F

H

k:

ia

-

f

. iK.raymp

rx-

ł

.

te

*>. .•

a

m

ki. . '

r±

II

1 -

-

-

...

..

:

.

ił

v

dr;

i

pt

-V .

•1

■D

'•i

i

i

V

»

r

>

l

m

'JM

TEORYA

SPRĘŻYSTOŚCI

l JEJ ZASTOSOWANIE DO NAUKI O

WYTRZYMAŁOŚCI MATERYAŁÓW ąUDOWLANYCH

OKAZ DO ZASAD GŁÓWNYCH

STATYKI CIECZY I DYNAMIKI CIECZY.

o-

NAPISAŁ

HIPOLIT JEWNIEWICZ

Profesor Instytutu Technologicznego w Petersburgu.

Wydawnictwo Kasy funduszu imienia prof. Hipolita Jewniewieża przy Stowarzyszeniu Techników w Warszawie

WARSZAWA.

Skład główny w księgarni E, Wende i S-ka (T. hiż i Turkuł).

Cena rub. 2.

m

■

Biblioteka Politechniki Ki akowskie)

100000301605

'

*

!-

KRAKÓW |

^//łechnic*^

'■m

> %

TEORYA

SPRĘŻYSTOŚCI

Przez przestawienie kołowe liter x, y i z oraz u,

x -j- dx , y-\~k3V 1 z + h 3z-

Znakiem ( )," wyrażamy tu tę okoliczność, że wielk

Pyy — alł 4“ tt12 4" ^x) = ^12 ® + 2 «44 A

///e+g+a***

to ^ = 0,3

. . (221 .

J__ M

Gdy zaś n jest nieparzyste, to przyjmując n — 2 X

• • (c).

Jeżeli całkę strony pierwszej tego równania rozpos

UW

ROZDZIAŁ VIII.

B i/ir-kff : t r ki'-

sr+er+er

na przekątnie kwadratu: - a = 0,235 a, dla promien

__ J_ (m -f m’) j sin (mx) cos (m' x) — cos (mx) s

¥ -f f + C2 = 1

37 w + W

SPRĘŻYSTOŚCI

1 JEJ ZASTOSOWANIE DO NAUKI O

WYTRZYMAŁOŚCI MATERYAŁÓW BUDOWLANYCH

ORA.Z DO ZASAD GŁÓWNYCH

STATYKI CIECZY I DYNAMIKI CIECZY.

NAPISAŁ

HIPOLIT JEWNIEWICZ

Profesor Instytutu Technologicznego w Petersburgu.

Wydawnictwo Kasy funduszu imienia prof. Hipolita Jewniewicza przy Stowarzyszeniu Techników w Warszawie.

WARSZAWA.

Skład główny w księgarni E. Wende i S-ka (T. hi iż i Turkuł).

„«epUG)t7q^

■f

KRAKÓW

^^echnic*^

III Ib 5$3

Drukarnia Rubieszewskiego i Wrotnowskiego w Warszawie.

C. <2 Pff

<fpcr,

%■

Akc. Hr.

15^50

Od Komitetu funduszu imienia prof. Hipolita Jewniewicza

przy Stowarzyszeniu Techników w Warszawie.

Komitet funduszu imienia profesora Hipolita Jewniewicza przy Stowarzyszeniu Techników w Warszawie, jako pierwsze swe wydawnictwo postanowił wydrukować dotychczas nigdzie nie wydane dzieło ś. p. prof. H. Jewniewicza p. t. „Teorya sprężystości¹¹.

Ponieważ rękopis był przygotowany przez autora do użytku słuchaczów Instytutu Technologicznego w Petersburgu, przeto trzeba było przełożyć go na język ojczysty. Przed przystąpieniem do druku praca niniejsza została przejrzana przez profesora Wszechnicy Jagiellońskiej Kazimierza Żurawskiego i innych matematyków, którzy orzekli, że mimo kilkunastu lat, jakie ubiegły od czasu napisania dzieła, nie straciło ono swej wartości.

Słownictwo zastosowano w przekładzie powszechnie w dziełach polskich tej treści przyjęte; zachowano jednak pewne wyrażenia odrębne oryginału, jako cechy znamienne tej pracy.

Na czele dzieła podano życiorys autora.

Komitet uważa za swój obowiązek wyrażenie głębokiego uznania p. inż. Jakóbowi Heilpernowi, który bezinteresownie poprawił i przygotował do druku rękopis przekładu, dorobił spis przedmiotów i skorowidz alfabetyczny wyrażeń technicznych oraz wykonał mozolną pracę korekty drukarskiej.

Hipolit Dominik Jewniewicz.

Hipolit Dominik Jewniewicz urodził się 4 sierpnia 1831 r., we wsi Kiemin, położonej w powiecie Sieńskim gub. Mohylowskiej i był jedynym synem Antoniego i Maryi z Lipińskich.

Z domu rodzicielskiego wyniósł staranne wychowanie domowe, a oddany do szkół wychowywał się początkowo w Orszy w szkole powiatowej, poczem uczęszczał do gimnazyum w Mohylowie, następnie w Pskowie, gdzie zdobył patent dojrzałości wraz z medalem srebrnym.

Nauki wyższe pobierał w Uniwersytecie w Petersburgu na wydziale fizyczno-matematycznym, który ukończył chlubnie w r. 1855. Dzięki swym wybitnym zdolnościom i rzadko spotykanej pracowistości, już na ławie szkolnej potrafił zwrócić na siebie uwagę ówczesnych profesorów, z którymi następnie utrzymywał bliższe stosunki przez długie lata po ukończeniu Uniwersytetu.

Swoją działalność pedagogiczną rozpoczął Jewniewicz w r. 1856 w Instytucie Technologicznym Petersburskim, który wówczas był szkołą średnią. Podróż za granicę, którą odbył w latach 1861—62, w celach naukowych, dla zbadania teoryi budowy maszyn i zwiedzenia fabryk maszyn, skierowała jego działalność na tory matematyki stosowanej, której życie całe poświęcił. Gdy Instytut Technologiczny zostaje przekształcony ze szkoły średniej na wyższy zakład naukowy, Jewniewicz zajmuje odrazu wybitne w nim stanowisko, którego nie opuszcza przez lat 47, do końca życia, kształcąc umysły i serca oddanej mu młodzieży.

W r. 1868 Jewniewicz zostaje dziekanem Instytutu Technologicznego i stanowisko to piastuje przez lat 19, czyli przez cały okres trwania tego urzędu, jednając sobie na niem wielką popularność i wielką miłość młodzieży za roztropne, a wyrozumiałe i ojcowskie jej traktowanie. Na stanowisku tern wielce się on przyczynił do rozrostu i rozkwitu Instytutu, ściągając swymi wykładami liczne zastępy młodzieży.

Jego wykłady mechaniki stosowanej, hydrauliki, teoryi sprężystości, teoryi wytrzymałości materyałów budowlanych, mechaniki elementarnej i analitycznej, teoryi prawdopodobieństwa, teoryi rachunku kwateruio-wego, ściągały liczne zastępy słuchaczów, wpajały w młodzież prawdziwe zamiłowanie do nauki przez lat 45 z górą. Przepełniony miłością do szerzenia wiedzy wśród pokoleń młodych, z któremi nawet w wieku późniejszym przedziwnie potrafił obcować z katedry, hypnotyzując audytoryum świeżością i młodością swego umysłu, Jewniewicz chętnie rozszerzał zakres swych wykładów.

W r. 1863 rozpoczyna on wykłady mechaniki w Petersburskiej Akademii Inżynierów Marynarki, w r. 1884 obejmuje katedrę mechaniki stosowanej i hydrauliki w Instytucie Inżynierów Cywilnych, który własnym nakładem wydaje dzieło jego: „Kurs praktyczny mechaniki"; wreszcie w r. 1891 zostaje zaproszony jako profesor do Instytutu Inżynierów Elektrotechników i w znacznej mierze przyczynia się osobistą pracą do zorganizowania tej uczelni, która w uznaniu wysokich jego zasług mianuje go w r. 1895 członkiem honorowym Rady Instytutu, a w r. 1900 inżynierem honorowym elektrotechniki.

Niestrudzona działalność profesorska w czterech wyższych zakładach naukowych bynajmniej nie wyczerpuje jego zasług i nie stanowi jedynego ujścia dla jego pracy i energii.

Poza działalnością profesorską H. Jewniewicz bierze czynny udział w życiu społecznem, w szeregu komisyi naukowych, w spełnianiu licznych specyalnych poleceń rządowych, w ekspertyzach, konkursach, ocenach miejskich, oraz w towarzystwach naukowych, wreszcie wydaje szereg własnych prac naukowych.

ma-

Za pracę „Podręcznik do ustalenia praw wytrzymałości materya-łów budowlanych, wraz z teoryą sprężystości ciał stałych" Uniwersytet Petersburski w r. 1868 udziela Jewniewiczowi stopień magistra tematyki stosowanej; dzieło to i dziś jeszcze zalicza się do klasycznej literatury zawodowej i celuje zwięzłością i jasnością wykładu czystej teoryi pojęć matematycznych i praw w tej dziedzinie.

Wydawany przez lat 13 staraniem Petersburskiego Towarzystwa Techników Słownik techniczny rosyjsko-francusko-angielsko-niemiecki posiadał w osobie Jewniewicza niezmordowanego współpracownika i zawdzięcza mu swoją korektę drukarską.

Artykuły Jewniewicza w czasopiśmie „Inżeniernyj Żurnał" p. t. „Kilka słów o prawach ruchu wody zaskórnej“ i „O wypływie cieczy przy zmiennym poziomie", które się zjawiły w r. 1891, zyskały autorowi spe-cyalną nagrodę.

Działalność jego jako członka Towarzystwa Technicznego Petersburskiego jest tak niestrudzona i cenna, iż Towarzystwo to w uznaniu zasług położonych mianuje Jewniewicza swym członkiem dożywotnim.

Siłą wypadków rzucony na obczyznę; oderwany od pnia rodzimego, dla dobra którego w odmiennych warunkach poświęciłby swe życie pracowite, Jewniewicz potrafił utrzymać zawsze związek z krajem rodzinnym i to w sposób podwójny: był on opiekunem i powiernikiem tułaczej młodzieży polskiej, która jak i on na obczyźnie szukać musiała nauki, a nadto otwierał jej i dom swój i serce swoje, rozumem, radą i stosunkami służył.

Skromna ofiara, z której się zebrał „Fundusz imienia profesora Hipolita Jewniewicza" ku uczczeniu 45-letniej pracy jego profesorskiej, jest raczej chęcią wyrażenia zasłużonej czci, niż jej miernikiem.

Prawdziwy obywatel kraju, prof. Jewniewicz dobrze się zasługiwał i technice polskiej. Utrzymywał stały kontakt z redakcyą Przeglądu Technicznego i w r. 1889 wchodzi w skład Komitetu Redakcyjnego tegoż pisma; drukuje w Przeglądzie Technicznym szereg własnych artykułów z dziedziny matematyki stosowanej, pozostaje w ciągłym stosunku z Redakcyą „Prac matematyczno-fizycznych" prof. Dicksteina i Kasą Mianowskiego. Z prac Jewniewicza drukowanych w Przeglądzie Technicznym wymieniamy: „Równania hydrauliczne Boussinesq’a i kilka z nich wniosków“ (1889), „Prawa ruchu wód zaskórnych" (1889), „O wypływie cieczy przy zmiennym poziomie" (1890), „Zarys cynematyki cieczy" (1891). I szkolnictwu polskiem Jewniewicz na schyłku swego życia nie odmówił swego bogatego doświadczenia, zdobytego na niwie pedagogiki, biorąc bardzo czynny udział w tworzeniu programów oraz organizacyi szkoły średniej technicznej w Warszawie pp. Wawelberga i Rotwanda.

Za tę swoją pracę niestrudzoną, za umiłowanie młodzieży, za prawość charakteru, nieskazitelność duszy, za pogodę oblicza, zdobył sobie zasłużone uznanie, miłość i cześć, jakie się rzadko komu w udziale dostają. Swoi i obcy, blizcy i dalecy, składali hołd bezgranicznej czci i wdzięczności sędziwemu starcowi w roku 1902, roku jego jubileuszu 45-letniej działalności profesorskiej.

A drugim aktem hołdu, połączonego ze smutkiem bezgranicznym, był dzień 21 listopada 1905 r., gdy niezliczone tłumy przyjaciół, uczniów, wielbicieli i życzliwych oddawały ostatnią posługę jego śmiertelnym szczątkom.

Komitet funduszu imienia. prof. Hipolita Jewniewicza przy Stowarzyszeniu Techników w Warszawie.

TREŚĆ DZIEŁA.

Część pierwsza. Teorya sprężystości ciał stałych.

Wstęp. 1. Cząsteczki. Siły cząsteczkowe. Przyciąganie i odpychanie. Równowaga naprężona i równowaga naturalna. Odkształcenia. Siły sprężystości (naprężenia) ....    ...............

2.    Sprężystość. Zmiany sprężyste i trwałe............

3.    Proporcyonalność małych zmian układu względnego cząsteczek ciała

do sił sprężystości. Odkształcenia............

Str.

CC

Rozdział I. Własności geometryczne odkształceń.

4.    Uwagi wstępne. Proste rozciąganie i ściskanie........

5.    Wydłużenie wskutek rozciągania..............

0. Przesuwanie (ścinanie)........... ......

7.    Rozciąganie wskutek przesuwania.............

8.    Przesuwanie wskutek rozciągania..............

9.    Przesuwanie wskutek przesuwania............

10. Odkształcenie ogólne ciała...............

Zależność odkształceń składowych od bezwzględnych posunięć punktów

ciała...........

Warunki odkształceń składowych. .

Wzory Euler’a.........

Rozdział II. O siłach sprężystości.

19.    Określenie siły sprężystości............

20.    Równania równowagi ciała sprężystego. Równanie ogólne równowagi

21.    Równania szczególne równowagi ...........

22.    Rozmieszczenie sił sprężystych dokoła punktu..........

23.    Elipsoida sprężystości.............

11.

12.

13.

14.

15.

10.

17.

18.

na

wydłużenia i przesunięcia .

O H lO X x

CO CO CO CO CO

24.    Wyznaczenie sił głównych sprężystości

25.    Wyznaczenie największej siły stycznej

26.    Równania ruchu ciała sprężystego .    .

27.    Praca sił poruszających. Zasada pracy najmniejszej sił sprężystych . 46

28.    Potencyał sił sprężystych..................

Rozdział 111. Zależność sił sprężystości od okształceń składowych.

29.    Współczynniki sprężystości.................

30.    Ciała o płaszczyznach symetryi...............

31.    Ciała równozwrotnie sprężyste................

32.    Współczynnik zmian poprzecznych..............

33.    Wyznaczalność zagadnień, odnoszących się do odkształceń. Warunki

znoszące posunięcia wspólne wszystkim punktom ciała......

34.    Uwagi o ciałach, których jeden wymiar lub dwa wymiary są nieskoń

czenie małe......................

40

42

45

49

53

57

58

60

63

66

Część druga. Zastosowania teoryi sprężystości.

Wytrzymałość materyałów budowlanych.

Wstęp. 35. Uwagi wstępne.............

36.    Ciała graniastosłupowate. Najprostsze ich odkształcenia

37.    Przekroje i włókna po odkształceniu........

38.    Wzory Grreen’a.................

69

70

71

73

Rozdział IV. Rozciąganie, ściskanie i przesuwanie (ścinanie) ciał graniastostosłupowatych.

35). Rozciąganie albo ściskanie, przy którem ujawnia się zmiana wymiarów poprzecznych......................

40.    Warunek wytrzymałości..................

41.    Rozciąganie albo ściskanie, przy którem nie ujawniają się zmiany po

przeczne........................

42.    Rozciąganie albo ściskanie, przy uwzględnieniu ciężaru własnego gra-

niastosłupa.......................

43.    Ciała o wytrzymałości jednostajnej..............

44.    Przesuwanie w graniastosłupach i wytrzymałość ich złożona przy rozcią

ganiu i przesuwaniu...................

45.    Tablica I współczynników.................

Rozdział V. Skręcanie.

40. Skręcanie walca o podstawie kołowej . .

47.    Warunek wytrzymałości.......

48.    Skręcanie prętów o obwodzie niekołowym

49.    Skręcanie walca kołowego około osi pozaśrodkowej (mimośrodkowej) . 103 49a. Skręcanie walca eliptycznego

50.    Skręcanie graniastosłnpa, mającego za podstawę trójkąt równoboczny. 106

51.    Skręcanie prostopadłościanów

52.    Skręcanie rur......

53.    Tablica II współczynników .

92

95

95

104

108

112

Rozdział VI Wyginanie.

54.

55.

56.

Układ naprężeń w punktach przekroju graniastosłupa wyginanego .    . 115

Równanie włókna środkowego................

I. Jeden koniec graniastosłupa, osadzony jest nieruchomo, drugi zaś jest swobodny. Wyginanie wywołuje siła, działająca na koniec

119

57.

58.

59.

60.

61.

62.

68.

64.

65.

66.

67.

68-71.

72.

73.

74.

75.

76.

77

Wyginanie następuje pod obciążeniem, rozłożonem równomiernie na całej długości graniastosłupa.................

Wyginanie wywołują dwie siły równoległe...........

II.    Jeden koniec graniastosłupa jest osadzony nieruchomo, drugi zaś jest podparty. Wyginanie wywołuje siła, działająca w pewnej odległości od końca osadzonego

Wyginanie następuje pod obciążeniem rozłożonem równomiernie na całej długości graniastosłupa................

III.    Oba końce graniastosłupa osadzone są nieruchomo. Wyginanie

wywołuje jedna siła...................

Wyginanie następuje pod obciążeniem rozłożonem równomiernie .    .    . 131

IV.    Oba końce graniastosłupa są podparte swobodnie. Wyginanie

wywołuje jedna siła...................

Wyginanie powstaje pod obciążeniem rozłożonem równomiernie na całej długości......................

Wygięcie Lamarle’a....................

V.    Graniastosłup ma więcej niż dwa punkty podparcia, leżące na jednej prostej. Twierdzenie o trzech momentach.

Przęsła jednakowej długości i jednakowo obciążone.

VI.    Wyginanie pod działaniem sił nieprostopadłych do osi gra

niastosłupa. Siła działa na koniec swobodny belki, w drugim końcu osadzonej......................

Warunek wytrzymałości graniastosłupów wyginanych.......

Wyginanie stożka.....................

Warunek wytrzymałości dla klina..............

Ciała o wytrzymałości jednostajnej na wyginanie........

Tablica III współczynników................

VII.    Wyginanie belek o osi krzywej.............

124

125

. . 127

129

129

132

133

134

135

. 138

Ol Ttt cr> o 00 o

lO iO lC lO CD

160

Rozdział VII. Zadanie Saint-Venant’a.

78.    Określenie zadania.................

79.    Wyznaczenie posunięć u, v i w............

80.    Wyznaczenie współczynników.............

81.    Obwód symetryczny.................

82.    Oznaczenie funkcyi B₀, i B₃ dla obwodu eliptycznego . .

83.    Przypadki szczególne odkształcenia ciała graniastosłupowatego. Rozcią

ganie albo ściskanie. Skręcanie. Wyginanie płaskie. Wyginanie ukośne ................

84.    Warunki wytrzymałości złożonej graniastosłupów

85.    Wyginanie i skręcanie...........

86.    Rozciąganie, wyginanie i skręcanie......

87.    Praca sił wewnętrznych ciała graniastosłupowatego, powstająca pod

czas jego odkształcania..................

88.    Zastosowanie zasady pracy najmniejszej sił wewnętrznych.....

167

168

172

177

. . 178

180

. 184

185

189

190

Rozdział VIII. Wytrzymałość naczyń kulistych i walcowych na ciśnienie prostopadłe do ścian.

89.    Wytrzymałość naczyń kulistych. Kula pusta i kula pełna.....

90.    Wytrzymałość naczyń walcowych.......

91.    Warunek wytrzymałości warstwy walcowej. . . .

92.    Rura zaopatrzona w dna...........

98. Wzory przybliżone na grubość ścianki naczynia .    .

94.    Naczynie walcowe o obwodzie eliptycznym przekroju

Rozdział IX. Drgania nieskończenie małe ciała sprężystego. Przenoszenie się drgań w ośrodku sprężystym.

95.    Równania równowagi drutu bardzo cienkiego.....

90. Drgania struny naprężonej............

97.    D’Alembert’a całka zupełna............

98.    Drgania płyt.................

99.    Drgania płyty prostokątnej............

100.    Drgania płyty okrągłej.............

101.    Drganie ciężaru zawieszonego na końcu pręta pionowego

102.    Ten sam przypadek przy uwzględnieniu ciężaru własnego pręta .    .    . 255

103.    Drgania pręta pod wpływem sił wywołujących wygięcie .

104.    Drgania pręta sprężystego prostego podczas skręcania. .    . .

105.    Rozchodzenie się drgań w ośrodku równozwrotnym o sprężystości stałej 265 100. Rozchodzenie się drgań poprzecznych w ośrodku krystalicznym . . . 271

202

. 207

210

217

222

225

234

236

. 240

244

252

. . 259

263

Równania zasadnicze statyki cieczy i dynamiki cieczy.

107.    Ciecz. Ciśnienie hydrostatyczne. Równania ogólne równowagi cieczy . 285

108.    Równania ruchu ciała ciekłego. Równanie znamienne gazów. .    . . 286

109.    Hypoteza Newton’a. Równania Navier’a. Współczynnik tarcia

wnętrznego cieczy.................

we-

288

Ważniejsze omyłki druku.

Str.

wiersz

zamiast:

winno być:

15

5 od dołu

<Pu

dz²

dz²

co o> CN co

co cs

o> CS 1-1 CN

2 od góry 9 od dołu 11 i 10 od dołu

A>

nazwał elipsoidą tego względem cienkiej co

nazwał również elipsoidą tego równania względem cienkiej, <o

CZĘŚĆ PIERWSZA.

TEORYA SPRĘŻYSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH.

WSTĘP.

1. W celu wyjaśnienia zjawisk, występujących w ciałach w przyrodzie, pod działaniem sił zewnętrznych, np. zjawiska kurczenia i rozszerzania się ciał, zjawiska przenoszenia się ciśnień z jednej części ciała na inną, zjawiska takiegoż przenoszenia się wstrząśnień i t. p., należy przyjąć, że ciała w przyrodzie składają się z cząsteczek oddzielnych, nie stykających się, lecz połączonych jednak z sobą w pewien sposób. Na czem właściwie polega istota tych połączeń i w czem tkwi przyczyna ich istnienia, tego nie wiemy.

Ponieważ połączenia te zmieniają warunki ruchu cząsteczek ciała, gdy na nie działają siły zewnętrzne, przeto możemy, zgodnie z zasadami mechaniki, zastąpić działanie tych połączeń pewnemi siłami, które też zwać będziemy cząsteczkowemi czyli molehularnemi, albo ogólniej siłami wewnętrznemi ciała.

Skoro przyjmujemy istnienie sił wewnętrznych, to należy przypuścić, że są one dwojakie: przyciągające i odpychające. Zarówno pierwsze jak i drugie należy uważać za funkcye ciągłe odległości wzajemnej cząsteczek i to za funkcye, które z powiększaniem się odległości między cząsteczkami nadzwyczaj szybko maleją, tak, że wartości tych funkcyi stają się równe zeru przy odległościach zaledwie dostrzegalnych przy naszych spostrzeżeniach.

Funkcya, wyrażająca prawo przyciągania cząsteczkowego, maleje wolniej aniżeli funkcya, wyrażająca prawo odpychania. Ponieważ dla pewnej odległości cząsteczek przyciąganie równa się odpychaniu, przeto po zwiększeniu tej odległości, przyciąganie będzie większe aniżeli odpychanie, a po zmniejszeniu, naodwrót, odpychanie stanie się więk-szem aniżeli przyciąganie.

Jeżeli ciało, na które działają siły zewnętrzne, znajduje się w równowadze, to siły te równoważą się z siłami wewnętrznemi ciała. Taki

przypadek równowagi, zachodzący zwykle w rzeczywistości, nazywamy równowagą naprężoną, dla odróżnienia od przypadku urojonego, zwanego równowagą naturalną, którą wyobrażamy sobie jako istniejącą, gdy sił zewnętrznych niema, a więc gdy siły wewnętrzne ciała znajdują się same w równowadze.

Przypuśćmy, że na ciało, znajdujące się w równowadze naturalnej, zaczynają działać pewne siły zewnętrzne. Siły te naruszają równowagę sił wewnętrznych, wskutek czego układ względny cząsteczek ciała i ich odległości wzajemnie zaczną się zmieniać, a wraz ze zmianą tych odległości zmienią się także i naprężenia sił wewnętrznych. Tak więc pod działaniem sił zewnętrznych na cząsteczki ciała powinny powstać nowe siły wewnętrzne, wzajemnie się nie równoważące. Rzecz jasna, że zmiana położenia cząsteczek ciała i zmiana jego kształtu, czyli odkształcenie ciała, będzie trwało dopókąd nowe siły cząsteczkowe nie zrównoważą się z siłami zewnętrznemi i ciało w ten sposób nie przejdzie ze stanu równowagi naturalnej do stanu równowagi naprężonej. Oczywiście, że jeżeli wielkość sił zewnętrznych jest znaczna, to zanim siły wewnętrzne będą mogły zrównoważyć się z siłami zewnętrznemi, może łączność cząsteczek ciała zostać zerwaną, t. j. odległości pomiędzy cząsteczkami w niektórych miejscach mogą osiągnąć taką wielkość, przy której przyciąganie stanie się równe zeru i wówczas ciało rozpadnie się na części.

Przypuśćmy teraz, że siły zewnętrzne, które zmieniły kształt ciała, przestały działać. Wtedy cząsteczki znowu zaczną zmieniać swoje położenie wzajemne, lecz w kierunku odwrotnym. Istotnie tam, gdzie ciało było rozciągane, t. j. gdzie przyciąganie jest silniejsze aniżeli odpychanie, cząsteczki, nie wstrzymywane już przez siły zewnętrzne, będą się zbliżały, tam zaś, gdzie ciało było ściskane, czyli gdzie odpychanie jest silniejsze aniżeli przyciąganie, tam cząsteczki będą się oddalały. Skoro więc siły zewnętrzne przestaną działać, to znowu rozpocznie się odkształcanie ciała, przyczem będzie ono wracało do swego kształtu pierwotnego, zupełnie podobnie, jak sprężyna wygięta wraca do stanu początkowego z chwilą, gdy siła, która ją wygięła, przestaje działać. Zgodnie z tą ostatnią własnością ciał, różnice sił wzajemnie się przyciągających i odpychających, z sobą się nie równoważących, działających między każdą parą zbliżonych do siebie punktów ciała podczas działania na to ciało sił zewnętrznych, nazywamy siłami sprężystości czyli naprężeniami.

2. Z objaśnień powyższych nie należy jednakże wysnuwać wniosku, że wszystkie ciała i zawsze, po ustaniu działania sił zewnętrznych, wracają w zupełności do poprzedniego swojego kształtu. Przy dostatecznie wielkiej zmianie układu względnego cząsteczek ciała, może się zdarzyć, że powrót do kształtu pierwotnego uskutecznia się tylko częściowo i wskutek tego ciało przejdzie w nowy stan naturalny, różniący się od pierwotnego układem cząsteczek i kształtem zewnętrznym. W tym przypadku mówi się, że sprężystość ciała została naruszona przez działanie sił zewnętrznych. Wartości zaś zmian wzajemnych odległości cząsteczek, przy których sprężystość zostaje naruszona, nazwano granicą zmian bezpiecznych.

Zmiany wzajemnych odległości cząsteczek ciała, wywołane działaniem sił zewnętrznych, należy ogólnie uważać za składające się z dwóch części: ze zmian sprężystych, znikających po ustaniu działania sił zewnętrznych i zmian trwałych, pozostających w ciele na zawsze.

Należy jeszcze zaznaczyć, że na wielkość zmian układu względnego cząsteczek ciała może mieć wpływ dłuższy lub krótszy czas działania sił zewnętrznych i bezwładność poruszanych cząsteczek ciała. Spostrzeżenia wykazują, że przy długotrwałem działaniu sił, zmiany, należące do bezpiecznych (nieszkodliwych), mogą, wzrastając nieograniczenie, przekroczyć granicę tych zmian bezpiecznych. Z tego powodu rozróżnia się granice zmian bezpiecznych czasowych i długotrwałych. Te ostatnie, oczywiście, zawsze są mniejsze aniżeli pierwsze. Co się zaś tyczy bezwładności cząsteczek poruszanych, to siła ta ujawnia szczególnie wyraźne działanie przy szybkich zmianach stanu ciała, jak np. przy uderzeniach. W takim przypadku, wskutek działania bezwładności może nietylko sprężystość ciała zostać naruszoną, ale i samo ciało może uledz zupełnemu zburzeniu i rozpaść się na części.

3. Na zakończenie dodamy, że we wszystkich badaniach niniejszej teoryi będą rozważane tylko przypadki bardzo małego odkształcenia ciał, t. j. takiego odkształcenia, przy którem wzajemne odległości cząsteczek otrzymują przyrosty (dodatnie lub ujemne) bardzo małe w stosunku do tych odległości. Takie ograniczenie jest niezbędne nietylko dlatego, że upraszcza badanie, ale i z powodu, że zależność między siłami zewnętrznemi a wywoływanemi przez nie zmianami jest nam znana dostatecznie dokładnie tylko wtedy, gdy te zmiany mają bardzo małe wartości. Co się tyczy tej zależności, to doświadczenie uczy, że bardzo małe zmiany są proporcyonalne do sił zewnętrznych. Skoro więc uwzględnimy, że siły sprężystości równoważą się z siłami zewnętrznemi, to dojdziemy do wniosku, że bardzo małe zmiany uicładu względnego cząsteczek ciała są proporcyonalne do sil sprężystości.

Ten ostatni wniosek, stanowiący jedno z założeń podstawowych teoryi, powinien być przyjęty albo jako wynik doświadczenia, albo jako hypoteza, która, z powodu zgodności wyprowadzanych z niej wniosków z doświadczeniem, osiągnęła wysoki stopień prawdopodobieństwa.

ROZDZIAŁ I.

Własności geometryczne odkształceń.

4. Wykład teoryi sprężystości zaczniemy od badania zmian, które mogą powstać w układzie względnym punktów ciała, czyli od wyjaśnienia własności geometrycznych tych zmian, nie biorąc na razie pod uwagę działania sił, wywołujących te zmiany.

Każda z wielkości, zdolna, zgodnie z naszemi pojęciami, do zmian podczas odkształcania ciała, otrzyma wskutek tego odkształcania przyrost. Te przyrosty uważać będziemy za tak małe w stosunku do samych wielkości, że w obliczenia nasze będziemy wprowadzali tylko pierwsze potęgi tych przyrostów.

Zaczniemy od rozważania najprostszych przypadków odkształce

nia ciała.

Proste rozciąganie albo ściskanie. Przypuśćmy, że cząsteczki ciała, które zmieniło swój kształt pod działaniem sił zewnętrznych, zadość czyniły przy przenoszeniu się następującym warunkom: a) wszystkie one poruszały się po prostych równoległych do pewnej prostej X; b) cząsteczki, należące do tego samego przecięcia, prostopadłego do X, przebyły równe długości; c) cząsteczki, należące do różnych przecięć, prostopadłych do X, przeszły nierówne długości, lecz poruszały się tak, że wzajemna odległość dwóch takich przecięć, otrzymała przyrost propor-cyonalny do tej odległości. Współczynnik proporcyonalności, czyli stosunek przyrostu odległości przecięć do odległości tych przecięć, będziemy oznaczali przez Ax.

Przyjmujemy w ciele, przed jego odkształceniem, dwa punkty A i B (rys. 1), leżące na kierunku X ich ogólnego poruszania się i prowadzimy dwa przecięcia, prostopadłe do X, z których pierwsze przechodzi przez punkt A, drugie zaś przez punkt B.

Ponieważ, zgodnie z istotą niniejszej teoryi, zajmują nas sprawy dotyczące zmian układu względnego punktów ciała, nie zaś rozkład

bezwzględny punktów tych w przestrzeni, przeto i w przypadku danym możemy pierwsze przecięcie uważać za nieruchome, drugie zaś za przesunięte w nowe położenie, w którem odległość wzajemna AB' tych przecięć równa się rzeczywistej odległości między temi przecięciami po odkształceniu ciała. Stosunek przyrostu BB' odległości AB danych przecięć do tejże odległości AB będzie

BB'

AB

(1).

Stosunek ten nazywamy względnem wydłużeniem (rozciągnięciem) w kierunku X. Oznacza on oczywiście przyrost jednostki długości ciała, uważany w kierunku X i jest wielkością oderwaną.

Zaznaczymy jeszcze, że gdyby odległość AB dwóch przecięć danych ciała, prostopadłych do X, zmniejszyła się o długość BB', to wówczas Ax byłoby wielkością ujemną i wyrażałoby względne skrócenie ciała w kierunku X.

5. Wydłużenie wskutek rozciągania. Zmianom odległości wzajemnej cąsteczek, w kierunku X, towarzyszą niezbędnie zmiany odległości w rozmaitych innych kierunkach; możemy przeto zająć się oznaczeniem wydłużenia względnego Ar w kierunku r, wywołanego przez wydłużenie A*. W celu rozwiązania tego zadania prowadzimy przez punkt A ciała prostą, równoległą do danego kierunku r, przecinającą w punkcie C płaszczyznę prostopadłą do X, przechodzącą przez punkt B. Posunięcie CC' punktu C będzie równe posunięciu BB' punktu B i do tego posunięcia równoległe, a zatem odległość AC po odkształceniu ciała, zamienia się na AC', t. j. powiększa się o długość, równą różnicy AC' — AC. Do oznaczenia Ar mamy:

AC — AC

Rys. 1.

B’

D'

Ar =

AC

(p. rys. 1).

Ponieważ zmiany w układzie względnym punktów ciała przyjmujemy jako bardzo małe, przeto długości BB' i CC' uważać musimy jako bardzo małe w stosunku do AB i AC, a więc i kąt CAC' musi być bardzo mały. Po wyprowadzeniu z punktu C' prostopadłej C'P do prostej. AC, można, z dokładnością do wielkości bardzo małych drugiego stopnia, przyjąć AC' = AP i Ar =

CP

AC

; a ponieważ CP=CCr cos (r,X)=

= BB' cos (r, X) i AG

AB

cos (r, X)

Ar =    . cos² (r, X)

, przeto do oznaczenia Ar służy wzór:

(2).

6.    Przesuwanie (ścinanie). Przypuśćmy, że cząsteczki ciała podczas odkształcania poruszały się przy zachowaniu następujących warunków: a) wszystkie one poruszały się w kierunkach równoległych do prostej prostopadłej do prostej X; b) cząsteczki, należące do tego samego przecięcia, prostopadłego do X, przeszły równe długości; c) cząsteczki, należące do różnych takich przecięć, przeszły nierówne długości, ale poruszały się tak, że różnica długości przebytych przez punkty dwóch takich przecięć, jest proporcyonalna do odległości wzajemnej tych przecięć. Współczynnik proporcyonalności będziemy oznaczali w danym przypadku przez gX[,.

Przyjmujemy wewnątrz ciała dwa punkty A i B (rys. 2), leżące na prostej równoległej do kierunku X, i przez każdy z tych punktów prowadzimy przecięcie prostopadłe do X. Przyjmując pierwsze z nich, przechodzące przez punkt A, za nieruchome, a drugie, przechodzące przez punkt B, za przesunięte równolegle do kierunku tx o długość BB', otrzymamy:

B*

. . (3).

BBf AB '

B’

Rys. 2.

Ten stosunek będziemy nazywali przesunięciem względnem przecięć prostopadłych do prostej X w kierunku ji, a płaszczyznę prostopadłych do siebie kierunków X i [i — płaszczyzną przesuwania {ścinania). Z wzoru (3) widzimy, że przedstawia właściwie styczną (tangens) kąta BAB’, ale ponieważ wobec nieznacznego odkształcenia ciała, przesunięcie względne BB' może być tylko bardzo małe w stosunku do AB, przeto g\^ możemy, zgodnie z przyjętym przez nas stopniem dokładności, poczytywać za miarę kąta BAB’. Skoro uwzględnimy, że dwie proste A\>. i 4X, które przed odkształceniem tworzyły kąt prosty, po odkształceniu tworzą kąt \lAB', równający się prostemu zmniejszonemu o kąt BAB', to możemy określić przesunięcie w następujący jeszcze sposób: przesunięcie g\^ stanowi miarę powstającego podczas odkształcania ciała ujemnego przyrostu kąta prostego między kierunkami X z jjl.

7.    Rozciąganie wskutek przesuwania (ścinania). Przechodzimy do oznaczenia rozciągnięcia w danym kierunku r, wywołanego przez przesunięcie

Ponieważ AC' = (1 -J- Ar) AC i AD' = (1 -J- A,) AD, przeto:

[(1 + M)² — 1 ] AC² + [(1 + As)² — 1 ] AD2 2(1 +Ar)(l + A.) AC. AD

W celu rozwiązania tego zadania, prowadzimy przez punkt A prostą AC (rys. 2), równoległą do kierunku danego r, aż do przecięcia w punkie C z płaszczyzną prostopadłą do X, przechodzącą przez punkt B. Posunięcie względne CC' punktu C jest równe posunięciu BB' punktu B i do niego równoległe. Ponieważ prosta AC, po odkształceniu ciała, zamienia się na AC’, przeto długość jej powiększa się o różnicę AC'—AC; otrzymujemy więc:

Ar =

AC' —AC

AC

Z punktu C' prowadzimy prostopadłą GB do prostej AC. Możemy przyjąć: AC' = AP; AC' — AC = CP = CC' cos (r, {*); CC' = BB'

i AC =

AB

więc:

= ff\v cos (r, X). cos (r,

Wzór ten wskazuje, że przesuwanie (ścinanie) wywołuje w pewnych kierunkach rozciągnięcie, w innych zaś ściśnięcie. Tak np. w kierunku r na rys. 2 powstaje rozciągnięcie, a w kierunku s — ściśnięcie.

8. Przesuwanie (ścinanie) wskutek rozciągania. Wróćmy do rozciągania w kierunku X i oznaczmy przesunięcie grs, wywołane wydłużeniem A^ (rys. 1). Już z samego określenia przesuwania (ścinania) wynika, że kierunki r i s, przed odkształceniem ciała, tworzą kąt prosty. Obieramy na przecięciu, prostopadłem do kierunku ruchu punktów ciała, przechodzącem przez punkt B, dwa punkty C i D takie, ażeby prosta AC była równoległą do kierunku r, a prosta AD do kierunku s. Kąt CAD będzie równy 90°; po odkształceniu ciała, gdy trójkąt CBD przejdzie w położenie C'B'D', proste AG i AD przejdą wlC' i AD', a kąt CAD zamieni się na CAD'. Ten kąt, z uwagi na przyjęte przesunięcie

grs, będzie równy ^--grs.

Po rozwiązaniu trójkątów CAD i C'AD' i uwzględniając, że C'D' = = CD, otrzymamy:

cos (r, X)

(4).

CD² = AC² + AD² = AC'² + AD'² — 2 AC'. AD’. cos(CAD'),

skąd

cos (CAD’) = cos |

to a

_ AC'² -f AD'² — AC² — AD²

2 AC' . AD'

C0S    ) ⁼ sin,9-r

i z dokładnością do drugiego stopnia bardzo małych wielkości, otrzymujemy:

Ar = Ax cos² (r, X) i As = Ax cos² (s, X).

Wskutek tego na oznaczenie przesunięcia wywołanego rozciąganiem otrzymujemy wzór:

(6).

Cjrs - Ar

AC

AD

fAs

AD

AC '

A ponieważ ztrójkątów prostokątnych ABCiABD mamy AC

AB

i AD —

AB

cos (r, X)

cos (8, X)

, więc:

A COS (8, X) r cos (r, X)

cos (r, X) cos 0,X)

Ponieważ mamy oznaczyć przesunięcie wywołane istniejącem wydłużeniem Ax, przeto powinniśmy w wzorze (5) oznaczyć Ar i As z wzoru (2), a mianowicie:

9rs =

fA.

• • (5).

grs — 2 Ax cos (r, X) cos (s, X)

9.    Przesuwanie (ścinanie) wskutek przesuwania (ścinania). Pozostaje jeszcze oznaczyć przesuwanie wywołane przesuwaniem. W tym celu przypuśćmy, że mamy oznaczyć przesunięcie grs, wywołane istniejącem przesunięciem #X|X.

Rzecz jasna, że wzór (5) daje możność oznaczenia szukanego przesunięcia, jeżeli w nim przyjmiemy Ar i Ag za rozciągnięcia, wywołane przesunięciem #X(A, czyli, gdy oznaczymy te rozciągnięcia z wzoru (4). Skoro to wykonamy, otrzymamy na przesuwanie wywołane przesuwaniem wzór następujący:

9rs = gx (, [ cos (r, X). cos (s, jjl) cos (r, p.). cos (s, X) ] .    . (7).

Zwróćmy uwagę, że części drugie wzorów (6) i (7) są symetryczne względem liter r i s, więc grs — gsr. Z tego równania wypływa, że jeżeli w ciele nastąpiło przesunięcie grs przecięć prostopadłych do r w kierunku s, to takiemu przesunięciu, przy przyjętym przez nas do obliczeń stopniu dokładności, niezbędnie towarzyszy równe mu pod względem wielkości przesunięcie gsr przecięć prostopadłych do s w kierunku r.

10.    Odkształcenie ogólne ciała. Przy każdem, choćby najmniejszem, odkształceniu ciała, zmiany w układzie względnym blizko siebie znajdujących się cząstek ciała, sprowadzają się do zmian odległości wzajemnych między cząsteczkami i do zmiany kątów, utworzonych przez te odległości, t. j. do pewnych wydłużeń i przesunięć. W istocie, odnieśmy ciało, znajdujące się w równowadze naturalnej, do trzech wzajemnie do siebie prostopadłych osi współrzędnych x, y i z i z punktu, któremu odpowiadają współrzędne x, ij i z, nakreślmy nieskończenie mały prostopadłościan, o krawędziach równoległych do osi współrzędnych. W taki sposób ustalony prostopadłościan nazywać będziemy prostopadłością-nem cząstkowym {elementarnym), a długości jego krawędzi, równoległych do osi x, y i z, oznaczać będziemy przez dx, 3y i 3z. Nadto przyjmujemy, że ciało doznało pewnego, ale bardzo małego, odkształcenia. Układ względny cząsteczek prostopadłościanu cząstkowego zmieni się,, ale tak, że nieskończenie małe jego krawędzie pozostaną prostemi, a nieskończenie małe ściany jego pozostaną płaszczyznami; skutkiem czego jedyne zmiany, jakie zajdą w tym prostopadłościanie, polegać będą na zmianie długości krawędzi i na zmianie kątów, utworzonych przez te krawędzie, czyli na powstaniu trzech wydłużeń A*, A*, i A* i trzech przesunięć gyz— gzy> ffzx— Qxz i 9xy— ffyx.

Oczywiście, że w przypadku najogólniejszym odkształcenia ciała, odkształcenie jest w zupełności oznaczone przez wartości liczebne sześciu ilości: A*, A^, Aa, gyz, i gxy, które zwać będziemy odkształceniami składowemi ciała odkształconego i które dla rozmaitych 'prostopadłościanów cząstkowych, na które można rozdzielić całe ciało, mogą mieć wartości różne. Zgodnie z tern odkształcenia składowe ciała powinniśmy uważać za funkcye współrzędnych. Postać tych funkcyi jest zależna od układu sił zewnętrznych, wywołujących, odkształcenie, jako też od kształtu ciała, na które siły te działają.

Gdy znamy wartości odkształceń składowych dla dowolnego punktu ciała, możemy oznaczyć dla tego punktu dowolne wydłużenie Ar i dowolne przesunięcie grs. W istocie, zgodnie z zasadą niezależności ruchów skojarzonych {sprzężonych), wydłużenie Ar musi składać się z sumy sześciu wydłużeń, wywołanych przez każde z sześciu odkształceń skojarzonych oddzielnie. Skoro trzy pierwsze z tych wydłużeń oznaczymy z wzoru (2), a trzy pozostałe z wzoru (4), to po dodaniu ich otrzymamy:

Ar = A* cos² (r, x) + Ay cos² {r, y) -f- A₂ cos² (r, z)

+ gyz cos {r, y). cos (r, z) +gzx cos (r, z).cos (r, x)+gxycos {r,x) cos (r, y) (8).

Stosując w sposób podobny wzory (6) i (7) do oznaczenia przesunięcia grs, otrzymamy:

Należy mieć na uwadze, że ten ostatni wzór jest ważny tylko gdy cos (r, s) = 0.

11. Zależność odkształceń składowych od bezwzględnych posunięć punktów ciała. Jeżeli posunięcia bezwzględne punków ciała są znane, to można z nich oznaczyć i zmiany zaszłe w układzie względnym tych punktów, można więc znaleźć odkształcenia składowe ciała. W celu

oznaczenia zależności odkształceń składowych od posunięć bezwzględnych budujemy w ciele, przed jego odkształceniem, równoległościan cząstkowy (elementarny), o krawędziach dx, 3y i 3z. Oznaczmy literą O wierzchołek równoległościanu najbliższy początku osi współrzędnych, a trzy krawędzie, schodzące się w tym wierzchołku i równoległe do osi x, y i z niechaj będą OA, OB i OC. Współrzędne czterech wierzchołków równoległościanu O, A, B i C, przed odkształceniem ciała, są następujące:

wierzchołka O: x,

A: x+dx, y,

B.

X,

C: x,

y-\~dy,

y,

Z-j-dz.

Jeżeli współrzędne wierzchołka O, po odkształceniu ciała, oznaczymy przez x -J- u, y -j- v, z -(- w, to u, v, w będą posunięciami bezwzględnemi punktu O. Posunięcia te należy uważać za funkcye współrzędnych, albowiem rozmaite punkty ciała posuwają się rozmaicie. Jednocześnie mamy prawo uważać te funkcye za ciągle, czyli za takie, zapomocą których można oznaczać posunięcia nietylko cząsteczek materyalnych ciała, ale i tych punktów geometrycznych, które możemy wyobrazić sobie w odstępach pomiędzy cząsteczkami.

Przy takiem założeniu co do funkcyi u, v i w, otrzymujemy dla współrzędnych czterech wierzchołków równoległościanu, po odkształceniu ciała: dla O: x —j— u,

„ A: x -j- u -j- dx-{

y 4-

dv

„ dx, u 4- v -4- —— dx ’ " I '

3w

dx ,

z-\-w

dw

o ta

S i 5ss S co I co co

ro

dv

yJrVJr2iyĄ--—dy, z+w -f

diy

dy\

co

y v~\~

a* $

dz,

z+w+dz+

dz .

Odejmując od współrzędnych wierzchołków A, B i G odpowiadające im współrzędne wierzchołka O, otrzymujemy do oznaczenia rzutów krawędzi równoległościanu na osie współrzędnych, po odkształceniu równo-ległościanu, wzory następujące, w których długość tych krawędzi OA, OB, OC po odkształceniu oznaczona jest przez a, b i c:

dlV

I    $<11 \

acos(a, 2c)=ll-|—— 13#, « cos (a,y)

6 cos (5, a) =

cu

32/

dy, &cos(&,y)=(l

dw

3w

C COS (c, «) = -T— C>Z, c cos (c,«/)

c'£

cv \

3y, bcos(b,z) lrS*> «COS(e,*)=((l+-^)9Jr

3«/

3z/ * aa).

Dla długości krawędzi, po odkształceniu, mamy: a = (1 -j- kx)dx;. b = (1 -j-Ay)dij i c = ( 1 -f- Aa) dz; to też do oznaczenia A* służy równanie:

f+m+m- •

. . (a).

du \²

dx

Dostawę zaś kąta, utworzonego przez krawędzie b i c, po odkształceniu, oznaczyć można z wzoru:

cos

(i

9yz

du

dy dz

du i 3v \ dv

dlV

dy

(b).

(1 "4“ A y) (1 + A a)

Ponieważ odkształcenia przyjmujemy jako bardzo małe, przeto wielkości a, b i c uważać należy za różniące się bardzo mało od dx, dy i dz; dostawy zaś kątów (a, x), (b, y) i (c, z) za bardzo zbliżone do jedności, a dostawy pozostałych kątów, wchodzących we wzory (10), za bardzo zbliżone do zera. Przy tych założeniach, musimy wszystkie pochodne cząstkowe funkcyi u, v i w, wchodzące we wzory (10), również jak i odkształcenia składowe uważać za ułamki bardzo małe; to też, zachowując we wzorach (a) i (b) tylko pierwsze potęgi tych ułamków, otrzymamy:

A*

du

dv

dw

Sx > sin gy, gy, & + Sy ■

W takiż sposób oznaczyć możemy i pozostałe cztery odkształcenia składowe.

A zatem zależność pomiędzy odkształceniami składowemi a posunięciami bezwzględnemi punktów ciała, wyraża się wzorami następującymi:

A,

du

dx

A,

A*

dw

dz

dv

9a'~ dz

dw

3y ’

9zx

du

dli

dv

dx

(ID-

Zanim przystąpimy do wysnucia wniosków z tych wzorów, zużytkujemy wzory (10) do oznaczenia objętości równoległościanu cząstkowego, po jego odkształceniu.

Objętość równoległościanu dowolnego, przy jakiemkolwiek położeniu jego względem osi współrzędnych, jak wiadomo z Geome-tryi Analitycznej, wyraża się zapomocą wyznacznika, utworzonego z rzutów jego krawędzi na osie współrzędnych; w danym więc przypadku objętość szukana jest:

D . dx dy dz,

gdzie D jest wyznacznikiem:

3u

3v

3w

dx ’

dx ’

3x

du

3v

dy ’

dy

3v

3w

3 z ’

Tworząc w rzeczy samej ten wyznacznik i zachowując w nim tylko

3u

pierwsze potęgi bardzo małych ułamków, otrzymamy: D = 1    -f-

| 3y f 3w ' 3y 3z

niu, będzie:

a zatem objętość równoległościanu, po jego odkształce-

3v

/ 3u

Oznaczmy literą 6 tak zwane względne rozprzestrzenienie (rozszerzalność przestrzenną) ciałrt, czyli stosunek przyrostu objętości do jej wielkości pierwotnej, a otrzymamy:

3y

j 3x3y3z.

3u , 3v 3w

(12).

3x 3y    3 z

A więc rozprzestrzenienie ciała w danym jego punkcie równa się sumie trzech wydłużeń iv trzech wzajemnie do siebie prostopadłych kierunkach.

12. Warunki odkształceń składowych. Wzór (11) wskazuje, że wszystkie sześć odkształceń składowych wyrażają się zapomocą pochodnych cząstkowych trzech funkcyi u, v i w\ a zatem nie mamy prawa wybierania dla tych odkształceń składowych funkcyi dowolnych, choćby one miały bardzo małe wartości dla wszystkich punktów ciała, albowiem te funkcye muszą czynić zadość pewnym warunkom całko-walności. A więc pomiędzy odkształceniami składowemi istnieje zależność, którą możemy uwidocznić, wyłączając funkcye u, v i w z równań (10). Tak np. różniczkując czwarte z tych równań dwukrotnie, względem y i z, otrzymamy:

3³ w

32

3v

d%* _ d*v

3y3z 3y3z² 1 3z3y²    3z² \3y

Z czwartego i piątego równania wynika:

d9y* , dJh_ ₂ 92 w

3y    3x3y ¹ 3x3 z

3² V

32

3w

3²A,

2²A₃

3y²

3²u

3x

3z )    3z²

3y

f (a)-

2 3²w 3y 3 z    3x 3y

3z ’

Różniczkując zaś to równanie ostatnie względem z, otrzymamy:

⁹V , ⁹² 9**

3x 3z    3y 3 z

⁹V*₃

3²AZ

9__ -1__

3x3y ^

. . (b).

W ten sposób możemy otrzymać jeszcze dwa równania podobne do (a) i dwa równania podobne do (6); szukana więc zależność wyrazi się zapo-mocą równań następujących:

_ d'^y

dydz dz2 3²g*x _ S2A* dz dx

3²A*

dx²

dz²

2²gx

3²A*

3²A,

d<l9yz dx dz

dydx

dx dy

dy dz d²gxy ^ ^²AX dz dx    dydz

d2r/yz _o³²Ay dxdy    dzdx

dy

dx²

2 !!Ą.

dxdy

dx²

d%x

dy²

. .    (13).

dz dy

Te równania nazywają się warunkami jednoczesności odkształceń składowych. Równania te powinny przejść w tożsamości, gdy za odkształcenia składowe podstawimy funkcye, które wyrażają te odkształcenia składowe.

13. Wzory Euler’a. Przypadek takiego posunięcia punktów ciała sprężystego, przy którem układ względny jego cząsteczek się nie zmienia, musi, jako przypadek szczególny, podpadać pod wzory ogólne (11). W takim przypadku odkształcenia składowe wszystkich punktów ciała muszą być równe zeru. To też posunięcia, nie zmieniające układu względnego cząsteczek i kształtu ciała, można otrzymać przez całkowanie następujących sześciu równań różniczkowych, o pochodnych cząstkowych:

du

dx

0,

dy

dlj

= 0,

dy

dw

dz

du

= o,

dw

du

dx ^ dz

<£> <X>

SS

■ (14).

Trzy pierwsze z tych równań wykazują, że funkcya u zawiera tylko y i z, funkcya v — tylko x i z, funkcya w—tylko x i y\ różniczkując przeto

dhy

równanie piąte względem z, a szóste względem y, otrzymamy: ^

d^U

— 0* Różniczkując równanie piąte względem y, szóste zaś względem £ i dodając, otrzymamy:

3² v

3²u    d id w    3y\

dy dz    dx \dy    dz)    ’

dx dz

2 32u 1    32 w

dy dz ' dxdy'

d²ll

a stąd, przy uwzględnieniu równania czwartego, otrzymujemy

dydz

Tak więc widzimy, że wszystkie trzy pochodne cząstkowe stopnia drugiego funkcyi u są równe zeru, wskutek czego funkcya ta ma postać:

a + qe + q'y.

Podobnież przekonamy się, że funkcye v i w, można wyrazić w postaci: v — p -|- rx -J- r'z

w = q Ą-pyĄ-p^,

gdzie a, (3, y, p, q, r, j/, g' i r' są ilościami stałemi. Sprawdzając zaś równanie (14), otrzymamy: q =—r, rf = — p i p' =—g. A więc ostatecznie jest:

(15).

w = a + qz — ry v = $ rx — pz w — q py — qx

Wzory te są znane w Mechanice Analitycznej pod nazwą wzorów Eulera. Wyznaczają one nieskończenie małe posunięcia punktów ciała bezwzględnie sztywnego w kierunku osi współrzędnych. Stałe a, [3 i y są to nieskończenie małe posunięcia postępowe w kierunku osi x, y i z, stałe zaś p, q i r — nieskończenie małe ruchy obrotowe około tychże osi.

14. Obroty względne cząstek (elementów) ciała. Weźmy teraz w ciele, przed jego odkształceniem, dwa sąsiednie punkty i niech x, y i z będą współrzędnemi punktu pierwszego, zaś x -f- dx, y -f- dy i z + dz — współrzędnemi drugiego. Skoro współrzędne punktu pierwszego po odkształceniu oznaczymy przez x -f- u, y -f- v i z Ą- to, to dla współrzędnych punktu drugiego otrzymamy: x + dx -f u 4- du; y + dy 4- v -f dv i z -f- dz -f w -f- dw. Tu różniczki zupełne da, dv i dw przedstawiają ruchy względne punktu drugiego (względem punktu pierwszego), zaś dx,dy\dz — współrzędne względne punktu drugiego. Tak więc dla ruchów względnych mamy wyrażenia:

du

du = ——dx-1 dx

du

c>U

dz

dz

dv —

dv

dv

dx

dxĄ

dv

%+-wds

dw

dw

dw

Wyrażenia te możemy przedstawić w innej postaci, zasługującej na uwagę. W tym celu załóżmy, że:

dw —

dy

dy+ u

dz .

dw do

dy

dz

2n

du dw

dz

3x ~2X

(16).

do

du

dx

dy

Łącząc te wzory z (11), znajdziemy, że:

du

dx

A*,

du

dy

P 2 9%y j

du

^ —X + h9**

r-j

P “"f⁻ 19%y>

dV

do

dy

a*

. (17).

dw

dw

dw

%=Jrh9yz>

Otrzymujemy więc dla ruchów względnych:

du = A* dx — \gyx dy -\-\gzx dz -f y^dz — pdy dv = kydg — \gzy dz + \gxy dx + P dx — %dz dw=x dz — \gxz dx -f- \9yn dv + TC dy — ydx

Wzory te wskazują, że ruch względny cząstek ciała w kierunku każdej z osi współrzędnych składa się z posunięć wywołanych przez jedno rozciągnięcie i dwa przesunięcia, powstałe w kierunku osi, i nadto z posunięcia, które się wyraża różnicą ydz— pdy dla osi x, pdx — tcdz dla osi y i %dy — ydx dla osi z. Te ostatnie posunięcia mają skład identyczny z ruchami ciała bezwzględnie sztywnego (p. wzór 15), wywołanymi przez obrót jego około osi współrzędnych. A więc stałe tc, y i p, wchodzące we wzory (16), są to bardzo małe ruchy rozglądnę obrotowe cząstek ciała. Dochodzimy przeto do wniosku, że podczas odkształcania ciała każda cząstka jego, mówiąc ogólnie, nietylko się odkształca, ale i obraca około osi współrzędnych o kąty bardzo małe względem cząstek sąsiednich.

15. Wyprowadzenie analityczne wzorów na wydłużenia i przesunięcia.

Przyjmijmy w ciele, przed jego odkształceniem, punkt O o współrzędnych x,y\z i przeprowadźmy przez ten punkt dwa dowolne kierunki r i s. Na pierwszym z tych kierunków przyjmujemy punkt A w nieskończenie małej odległości dr od punktu O, na drugim —punkt i? w nieskończenie małej odległości ds od tegoż punktu O. Gdy ciało ulegnie bardzo małemu odkształceniu, punkty O, A i B zajmą inne położenie, przyczem zmieni się kąt między kierunkami O A i OB, czyli między r i s. Postarajmy się oznaczyć przyrost dostawy kąta, utworzonego przez te kierunki.

Teorya sprężystości.

a* *-t0.

dy

= A,

• (18).

Zgódźmy się na razie oznaczać znakiem 8 przyrosty, powstające wskutek odkształcenia, a znakiem d nieskończenie małe przyrosty geometryczne, które otrzymujemy, przechodząc od jednego punktu ciała do innego sąsiedniego. Musimy jednakże mieć na uwadze, że te dwa rodzaje przyrostów są zupełnie od siebie niezależne. Przyjmując odkształcenie ciała za tak małe, że można nie uwzględniać potęg wyższych nad pierwszą bardzo małych przyrostów oznaczonych znakiem 8, powinniśmy zapatrywać się na te przyrosty jako na wielkości, które ze względu na swoje własności nie różnią się od różniczek.

Ponieważ już przedtem zgodziliśmy się oznaczać przyrosty współrzędnych, powstające wskutek odkształcenia, przez u, v i iv, przeto:

u = 8x, v — 8y i w = 8z......

Do oznaczenia 8 cos (r, s) mamy:

8 cos (r, s) = 8 [cos (r, x) cos (s, x)] -f- 8 [cos (r, y) cos (s, y)\ -f-

-j- 8 [cos (r, z) cos (&*, z)].......

Pierwszy wyraz części drugiej przyjmuje postać:

8 [cos (r, x)cos (s, x)\ = cos (s, x) 8 cos (r, x) -f- cos (r, x) 8 cos (s, x) (c).

dr dr dr dr

(a).

(b).

SU

Że jednak

przeto 8 cos (r, a?) =8

Wskutek niezależności działań, oznaczonych znakami 8 i d, otrzymujemy:

— cos (r, x)

8 dr

dr

8dx = d8x = du —

du

du

du

sxdx+^dy+sids-

8 dr

Nadto widoczne jest, że:    — Ar, więc:

8 cos (r, a;) =

dx

du

ArJ cos (r, a?) -[-A*j cos (s, x) + ~ cos (s, t/) -f ^

dy

cos (r, */) + 3g

cos (r, 2).

Oczywiście:

8cos(s,x) = g

Równanie (c) przyjmuje więc postać:

cos (s, z).

8 [cos (r, x) cos (s, x)\ = 2 — —

Ar — As J cos (r, a?) cos (s, a?) -|-

du

[cos (r,y) cos (s,oj) -f- cos (r, a?) cos ($,«/)]+

-[- — [cos (r, 2) cos (s, a?) -f- cos (r, x) cos (5, z)} .    .    .    (d).

Przez przestawienie kołowe liter x, y i z oraz u, v \w wyprowadzimy z wzoru (d) wzory na dwa pozostałe wyrazy części drugiej wzoru (b), tak, że na 8 cos (r, s), czyli na —sin (r, s) 8 (rs) otrzymamy wzór:

— sin (r, s) 8 (rs) = — (Ar -[- A,) cos (r, s) -j-

du

+ 23x

dV

cos (r, x) cos (s, sc) —j— 2 — cos (r, ij) cos (s, iy)~j-

dy

cos (r, z) cos (s, z) -f-

+(

dv    dtV

3 z    dy

j [cos (r, z) cos (8, y) + cos (r, y) cos (s, z)] -j-I SlV cu \

+ \dx + ~dż) fcos (r’ ^ cos (s>    + cos (r» ^ cos (s> *)] +

+ (■+ ^r) tcos (**, 2/) cos (s, x) *+ cos (r, x) cos (s, y)\

• • (19)

W przypadku szczególnym, gdy kierunek s zlewa się z kierunkiem r, otrzymamy sin (r, s) = 0, cos (r, s) = l, Ar = As i z wzoru (19) można będzie oznaczyć wyrażenie na Ar. Jeżeli zaś kierunek s będzie prostopadły do r, to otrzymamy sin (r, s) — 1, cos (r, s) = 0 i—8 (rs) = grs. W tym przypadku wzór (19) wyznaczy przesunięcie grs. Tak więc wzór (19) obejmuje nietylko wzór (8) i (9), ale i wzory (11), wyrażające zależność odkształceń składowych od bezwzględnych posunięć punktów.

16. Elipsoida wydłużeń. Postarajmy się wyprowadzić wnioski z wzoru (p. wzór 8):

Ar = A* cos² (r, x) -f- \y cos² (r, y) -}- AH cos² (r, z) -\-+ 9y* cos (r, y) cos (r, z) -f gzx cos (r, z) cos (r, x) +

(20).

+ g*y cos (r, x) cos (r, y)

y ± Ar

Ponieważ dla danego kierunku r wydłużenie Ar może być ilością dodatnią lub ujemną, przeto z dwóch znaków, stojących przed ilością A wybierzemy ten, dla którego ilość pod znakiem pierwiastku jest dodat-

Za początek współrzędnych przyjmujemy ten punkt ciała, dla którego znane są wartości liczebne odkształceń składowych i oznaczywszy Ar dla danego kierunku r z wzoru (20), odkładamy na tym kierunku, od początku współrzędnych, długość R, zawierającą tyle jednostek miary linijnej, ile jednostek oderwanych mieści się w wielkości

nia. Przy takim wyborze znaku długość R =

Y± Ar

będzie zawsze

rzeczywista. Wskutek tego przy wskazanem postępowaniu otrzymamy punkt na każdym kierunku, wychodzącym z początku współrzędnych. Wszystkie te punkty łącznie utworzą pewną powierzchnię, mającą tę własność, że jej promienie wodzące, wychodzące z początku współrzędnych, są odwrotnie proporcyonąlne do pierwiastku kwadratowego z wydłużeń, odpowiadająch kierunkom tych promieni wodzących.

Niech x, y i z będą współrzędnemi końca długości R, czyli współ-rzędnemi jednego z punktów tej powierzchni. W celu otrzymania równania samej powierzchni, należy we wzorze (20) przyjąć:

cos (r, x) = Jr = XV=fc Ar, cos (r, y) = y V± Ar i cos (r,z) y±Ar,

a wtedy otrzymamy równanie:

A* x² -f- Ay y² -j- Aez² -f gyz. yz + gtx. zx + gxy. xy = ± 1 .    (21).

Równanie to przedstawia powierzchnię drugiego stopnia, mającą środek w początku współrzędnych.

Wiemy, że takie powierzchnie mają trzy główne wzajemnie do siebie prostopadłe średnice, mające tę własność, że gdy osi współrzędnych zleją się z temi średnicami, równanie powierzchni nie będzie zawierało wyrazów z iloczynami współrzędnych. Oznaczając więc kierunki średnic głównych przez £, tj i C, otrzymamy:

. . (22).

A£.4² + A,.V + Ac.C²=±1 Ar — A$. cos² (r, 6) -j- At) . cos² (r, rj) -|- A^ cos² (r, C) . (23).

a jednocześnie:

9* c = 0,

. . (24).

9tt = ⁰ i 9tn = 0 •    •

Trzy równania ostatnie dowodzą, że w każdym punkcie ciała istnieją trzy wzajemnie do siebie prostopadłe płaszczyzny, które nie ulegają przesuwaniu, czyli wyrażając się inaczej, w każdym punkcie ciała istnieją trzy takie wzajemnie do siebie prostopadłe kierunki, które i po odkształceniu ciała pozostają wzajemnie do siebie prostopadłymi. Kierunki te zlewają się ze średnicami głównemi powierzchni (22) i nazywają się kierunkami wydłużeń głównych, a ilości Ae, Av i Ac zwane są wydłużeniami głównemi.

Jeżeli wszystkie trzy wydłużenia główne mają znak jednakowy, to równaniu (22) uczynimy zadość, przyjmując w części jegodrugiej znak-|-lub —, stosownie do tego, czy wydłużenia główne są ilościami do-datniemi czy też ujemnemi. W danym przypadku równanie (22) będzie wyrażało elipsoidę, a wydłużenia, odpowiadające wszelkim innym kierunkom, będą miały taki sam znak jak i wydłużenia główne, co wynika z równania (23).

Jeżeli natomiast wydłużenia główne mają znaki różne, to równaniu (22) uczynimy zadość, przyjmując w części jego drugiej zarówno —J— 1 jak i — 1. W przypadku tym więc równanie rzeczone rozpada się na dwa równania i przedstawia dwie hyperboloidy sprzężone: jednopowło-kową i dwupowłokową, mające wspólny stożek asymptotyczny, którego równanie brzmi:

Aę.€² +Vif + Ac.C* = 0 •

. . (25).

Promieniom wodzącym jednej z tych hyperboloid odpowiadają wydłużenia, promieniom zaś wodzącym drugiej — skrócenia; na tworzących stożka asymptotycznego niema ani wydłużeń, ani skróceń, dlatego też można stożek ten nazwać stożkiem wydłużeń zerowych.

Równanie (22) może przedstawiać oczywiście wszystkie poszczególne przypadki elipsoidy i hyperboloidy. Tak np. jeżeli jedno z wydłużeń głównych, przypuśćmy Aę będzie równe zeru, to równanie (22) przyjmie postać:

A₆.e» + VT = ±i

i będzie przedstawiało albo jeden walec o podstawie eliptycznej, albo dwa walce, mające za podstawy dwie hyperbole sprzężone. W tym ostatnim przypadku stożek asymptotyczny zamienia się na dwie płaszczyzny, zawierające oś C i asymptoty hyperbol.

Jeżeli dwa wydłużenia główne, np. A^ i Aę, równe są zeru, to równanie (22) przyjmie postać:

AE.4’ = + 1 czyli 4 = ±f~,

będzie więc przedstawiało dwie płaszczyzny, prostopadłe do osi ę. Stożek asymptotyczny zamieni się w tym przypadku na płaszczyznę współrzędnych (y]C). Przy przejściu kierunku r z części przestrzeni, leżącej z jednej strony tej płaszczyzny, do części przestrzeni, leżącej z drugiej strony tejże płaszczyzny, ilość Ar stanie się zawsze równa zeru, ilekroć kierunek r padnie na płaszczyznę (tjC), ale z obu stron tej płaszczyzny będzie miała jeden i ten sam znak, zgodny ze znakiem ilości A?.

Jeżeli wszystkie trzy wydłużenia główne są równe zeru, to i każde wydłużenie Ar jest równe zeru, czyli wzór ogólny (20) przyjmie w tym przypadku postać:

gyz cos (r, y) cos (r, z) - j- g„ cos (r, z) cos (r, x) -f -f g*y cos (r,x) cos (r,y) = 0.

A że wzór ten jest ważny dla dowolnego r, przeto:

g y z⁼⁼ g zx = g?y = o.

Wynika stąd, że wszystkie trzy wydłużenia główne mogą być równe zeru tylko w takim punkcie ciała, w którego sąsiedztwie w ciele nie nastąpiło żadne odkształcenie.

Jeżeli dwa wydłużenia główne są sobie równe, to równanie (22) przedstawiać będzie albo elipsoidą obrotową albo dwie hyperboloidy obrotowe; jeżeli zaś wszystkie trzy wydłużenia główne są sobie równe, to równanie (22) wyrazi powierzchnią kulistą.

17. Oznaczenie wydłużeń głównych. Ponieważ wydłużenie względne Ar jest odwrotnie proporcyonalne do potęgi drugiej długości połowy tej średnicy elipsoidy wydłużeń, która pada na kierunek r, przeto oznaczenie wydłużeń głównych sprowadza się do oznaczenia wydłużeń największych i najmniejszych, czyli do oznaczenia takich wartości dostaw: cos (r, x), cos (r, y) i cos (r, z), dla których Ar będzie największe lub najmniejsze, z zastrzeżeniem, że:

cos² (r, x) -J- cos² (r, y) -f- cos² (r, z) — 1 .    .    .    (a).

Zgodnie więc ze znanemi zasadami oznaczania największości względnej, należy przyrównać do zera pochodne względem każdej z trzech dostaw funkcyi następującej:

Ar — X [cos² (r, x) -f- cos² (r, y) -|- cos² (r, 0)],

a po rozwiązaniu otrzymanych równań względem dostaw wybrać w nich dla stałego czynnika X wartość taką, jaka zadość czyniłaby równaniu warunkowemu (a).

Wartości dostaw należy szukać z równań:

3 cos (r, x)

— 2 X cos (r, x) = 0,

3Ar

3 cos (r, y)

— 2 X cos (r, y) — 0,

2 X cos (r, z) = 0.

3Ar

3 cos (r, z)

Oznaczywszy zaś w rzeczy samej pochodne Ar względem dostaw z równania (8), otrzymamy:

• (b).

2 (A* —X) cos (r, x) -f- gxy cos (r, y) -f- g„ cos (r, z) — 0, gxy cos (r, x) + 2 (Ay —X) cos {r, ij) -f gyz cos (r, z) = 0, gzx cos (r, x) -f gyz cos (r, y) -\- 2 (A, —X) cos (r, s) = 0

Pomnóżmy pierwsze z tych równań przez cos (r, 0), drugie przez cos (r, «/), trzecie przez cos (r, 0) i dodajmy je, a otrzymamy równanie:

2 [Ar —X | cos² (r, x) -(- cos² (r, y) -j- cos² (r, 0) j ] = 0 .    .    (c),

które wskutek warunku (a) daje:

x = (Ar)

max.

• (d).

a"b — b"a ’

b"c — c"b c"a — a"c

bc' — cbf

Rzeczywiście, równanie (c) otrzymaliśmy z równań (b), istniejących dla takich tylko wartości dostaw, przy których Ar ma wartość największą albo najmniejszą.

W celu oznaczenia wydłużeń głównych, należy rozwiązać układ równań postaci:

ax -{-by -}- cz = 0 a'x -[- b'y -j- c'z = 0 a"x-f- b"y-{- c"z=. 0

(e),

pod warunkiem, że:

(f),

x² -{-y² -\- z² = \......

x — cos (♦■, x), y = cos (r, y), z — cos (r, z)

0 = 2(4,—X), b' = 2^y— X), c"=2(\₂ — X)

6 — ćl — Qxy j C — ft -@    ^    -9 y a

Gdy istnieją równania (f), równania (e) nie dopuszczają rozwiązania x = y— z — 0. Wskutek tego wyznacznik, utworzony z współczynników tych równań, musi być równy zeru.

Mamy więc równanie:

• (g).

a , b , c 5', c' a",    b", c"

które możemy wyrazić w następujących trzech postaciach:

a (b'c" — c'bn) -|- b (c'a"■ — a'c") -f- c (ci'b" — b'a") — 0 a' (b"c — c"b) -{- b' (c"a — a"c) -f- c' (a" b — b" a) — 0 a" (be¹ — cb') -j- b" (ca' — ac') -f- c" (ab' —ba’) =0 Z porównania tych równań z równaniami (e), otrzymamy:

a’,

. . (h),

b'c" — c'b"

ća" — a’c"

a'b" — Va"'

---—-- = —-T

ca' — ac' ab' — ba' ’

Z równości (g) wynika jednak, że:

b'c" — c'b" = b’c" — c'² = 4 (A, —X) (A, —X) — g2 c"a — a"c — c"a — c² = 4 (Ae —X) (A*—X) — g²^ — p a&' — 6a' =    —    b²    —    4 (A* — X) (A*—X) — g²xy — 7

a"b — b"a = ca' — ac' = gBX gxy — 2 (A, — X) gyB = p a'b"— b'a" — bc' — cb' = gxy gyB — 2 (A, — X) g** = q c'a"— a'c" = b"c—c"b = gzy gzx — 2 (A, — X) gxy — r przyczem równania (i) zamieniają się na:

yz= a

• • (j),

Va? -j- r² -j- g²

P P V r² -f p² + p²

. . (k).

q p 7 Vq² + p² 4- 7²

Z tych ostatnich proporcyi wynika:

p² = P7, g² = 701 i r² = «p .    .

CO Z/ CO 1/    Y

W istocie, z proporcyi    i — = -y wynika, że - - = —, czyli

Z Z! Z

r² = ap; w tenże sposób z proporcyi -    = — i — otrzymujemy

Z cc z co

p² = P7; z proporcyi zaś — = — i — — — mamy g²

Ilości, znajdujące się pod znakiem pierwiastku kwadratowego w równaniach (k), można wyrazić w sposób następujący:

a² —|— r² -J- q²    = a²    -j- ap —|— 70C    =    a    (a -j— p 7)    = a F (X)

r² + P² -f-P²    = aP    + P² + Pt    =    P    (a + P + Tf)    = P F (X)    (m).

g² -f-p² + 7²    = 70    + P7 -j- 7²    =    7    (a + p -f 7)    = 7 JP (X)

gdzie ^(X) = a-f p-f 7    .    .    .

Weźmy teraz z proporcyi (k):

__ y_ ₌_ __

« yat.Fffl’ P Kpj^(X)’ T VqF(\)’

a podnosząc te równania do potęgi drugiej, otrzymamy:

• • O).

TX>!^

— 7a-

(n).

x²

TX>

- F(k)’

F (X)    •

• • (o).

Wyrażenia ostatnie posłużą do oznaczenia wartości liczebnej każdej z niewiadomych x, y i z. W celu zaś oznaczenia znaków, jakie nadać należy tym niewiadomym, bierzemy proporcye następujące:

hg kg

x y

7 ⁼ J ’

a mnożąc pierwszą z nich przez z, drugą przez x, trzecią przez y, otrzymamy:

X²

(P).

zx=qir=W)

Wreszcie wstawiając w równania (h), (o) i (p) za x, y, z, a, p, 7, a, b, c i t. p. ich wartości, otrzymamy równania.

yz = p —

p iw •

4 (A, -X) (A, -X) (A. - X) - (A, -X) g²ye - (A, -X) g\x -

• • (26),

("^3    9^xy "j⁻ 9yz g*x Qxy-0 •

cos² (r, x) =

[4 (A, -X) (Aa —X) — g²yz ]

cos² (r, y) =

[4 (Aa —X) (Ax —X) — g²BX ]

■ ■ (27).

cos² (r, z) —

[4 (Ax —X) (Ay-\)-g\y\

cos (r, y) cos (r, z) =

\fjzx gxy 2 (Ax X) [JyB ]

cos (r, 0) cos (r, a:)

*tt)

\9xy9yz 2 (Ay X) ć/ax ]

. . (28).

a ponieważ to ostatnie równanie powinno być identyczne z równaniem:

(X-Ae) (X-A₇₎) (X- A0 = 0,

przeto porównywając w tych równaniach ze sobą współczynniki przy jednakowych potęgach X, otrzymamy następujący związek między wydłużeniami głównemi a odkształceniami składowemi:

\ “h ^7) +    -j-    -|- Az

^7) ^H“Ac Aę-f“Aę Ar)=A^ Aa + A* Aa-J-Aa-Ay I “h    + 9²xy ) •• (31).

Aę Ayj Aę Aj; A^ Az —(— ^ (gyz Qzx 9xy Ax ,9²y2    A^ 9^zx A₂ xy)

Wielkość każdego z wydłużeń głównych nie zależy, oczywiście, od układu osi współrzędnych x, y i z, dlatego też części drugie równości (31) powinny mieć tę samą własność, t. j. części drugie tych równań są takiemi funkcyami odkształceń składowych, że nie zmieniają się ze zmianą układu osi współrzędnych i że wskutek tego można je nazwać niezmiennikami (inw ary anta mi) osi współrzędnych.

Zapomocą tych niezmienników można wyprowadzić wiele innych. Tak np. jeżeli oznaczymy pierwszy z niezmienników (31) przez 9, a drugi przez 0', to z łatwością otrzymamy niezmiennik następujący:

Q2 _ 20' — a*x -f- A², + A², + i (g\,+ g\v) . . (32).

18. Oznaczenie wydłużeń głównych w przypadkach szczególnych. Przypadek 1-szy. Dwa wydłużenia główne są sobie równe. Przypuśćmy np., żeA₇₎ = At;. Wówczas na zasadzie własności równań, mających pierwiastki wielokrotne, otrzymujemy F(\rt) = 0’y dla danego więc pierwiastku z równań (27) i (28) znajdujemy:

4 (A,-A,) (A* — ATj) = g*ys 4(AZ — Ayj) (Ax— ATi) = g2 4 (A* — ATi) (Ay-A,) = ^

(33).

a _ą _i 9*y

'Jyz

Ay - Ay, = ¹ -    9X11

Az — Ay, =

9*y

Jeżeli dla skrócenia oznaczymy: J_ Z.ffgy 9zx

2 \ 9v«

9y*

9xy |

9y*

g*x

9*y

. . (34).

\_9yz9zx 2 (Ag X) 9xy\ ¹

gdzie

to z trzech ostatnich równań otrzymamy:

A*) = Ac = ^ [A^ -j- Ay -f- A, — &].....(35).

Kierunki y] i C są zupełnie dowolne, byleby były wzajemnie do siebie prostopadłe i leżały w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku £. Pierwsze z równań (31), daje w przypadku rozważanym:

. . (36)

A^ = 0 — 2 A, — Ayj -j- k ... przyczem z równań (27) i (28) dla kierunku i wynika:

COS²(£, X) = -jfc— , COS² ($,    , C03² (£,

cos (6, y) cos (e, s) = 2k

cos (£, «) cos (6, *) =

2k ’

■ (37),

9%y

cos (£, a?) cos (4, y) = 2k

a przytem _F(A₅) = J^(A^ -j- k) = 4 A:².

Przypadek 2-gi. Wszystkie trzy wydłużenia główne są sobie równe. Wtedy mamy:

9yz - 9zx - 9xy - 0 ,

Aę — A^ — Aę — A* — A y A

Jako kierunki £, tj i C mogą być wzięte dowolne trzy kierunki wzajemnie do siebie prostopadłe.

Przypadek 3-ci. Jedno z wydłużeń głównych równe jest zeru. Niech będzie np. Ac = 0, wtedy do oznaczenia kierunku C otrzymujemy z równań (27) i (28):

^(O)

cos² (C, x) ==

[4 A*, Aa - g\z]

F{ o)

⁹ cos² (C, ?/)

[4 Aa Ax — g\x]

cos² (C, z)

F{o)

[4 A* A*, —g\y\

F( o)

cos (C, y) cos (C, z)

[9*% gxy    2 \x gyz ]

cos (C, z) cos (C, x) =

^(0)

[9xy 9ye    2 A ygzx\

f9yz 9z%    2 Aa gxy ]

gdzie ^(o) = 4 (A, Aa -f Aa A, + A* Ay) — g\z —g²zx —g\y,

cos (C, a?) cos (C,:?/) =

F( o)

a przytem z ostatniego równania (31) otrzymamy:

Aa: ky Aa "j* { [@yi£/xx(Jxy A^ CJ^yz Ay    &z 9^xy) z= 0 • • (39).

Dwa pozostałe wydłużenia A$ i A^ są pierwiastkami następującego równania stopnia drugiego:

— (A* ~j- Ay -f- A*) X -|- Ay A„ -J- Aa \x — l(g²yz9²xy) — 0- • (40).

Przypadek 4-ty. Dwa wydłużenia główne są równe zeru. Przypuśćmy, że np. A,, = Aę — 0. W tym przypadku należy w równaniach (38) przyjąć F{o) = 0; z ostatnich więc trzech z tych równań otrzymamy:

i ^zx 9xy 9yz

a dla Aę otrzymamy z równania pierwszego grupy (31):

A* —

_ i 9%y9yg

\ _ 1 9y* 9z%

-Ag - 7    •

9*y

. . (41),

A,

cos² (£, x) = ~ k

A^ — A* —j— Ay    A₂ — k — 0

, cos² (4, y)=^r

A*

cos² (£, z) =

cos (6,«/) cos (4, ^) —    > cos (£> *) cos & *) =

2& ’

• • (42).

9*y

cos (4, z) cos (£, y) = 2k

Przypadek 5-ty. Znaleźć wydłużenia główne w punkcie ciała, dZa którego wszystkie odkształcenia składowe, za wyłączeniem gxy, są równe zeru. Równanie ogólne (26) w danym przypadku przyjmie postać:

4X³—0²*yX = O czyli (X² — \g²xy) X = 0.

Pierwiastki tego równania są:

Aę⁼⁼ \9xyi A^ = h 9%y i Aę = 0 .... (43).

A więc zarówno największe wydłużenie jak i największe skrócenie, wywołane przesunięciem gxy, ma wartość liczebną równą połowie tego przesunięcia. W celu zaś oznaczenia kierunku i zwróćmy się do równań (27) i (28), z których, mając na względzie, że F(Aę) = 2g²xy, otrzymamy:

cos² (i,x) = cos² (4, y) = cos (4, x) cos (4, y)—\ i cos (4, z) = 0.

Kierunek więc największego wydłużenia leży w płaszczyźnie (x,y), i tworzy zarówno z osią x jak i z osią y kąt 45°.

Do oznaczenia zaś kierunku yj największego skrócenia otrzymamy:

COS² (y], a?) = COS² (?], ?/) = — COS (Y],ic) cos (Y), */) = ^ i cos(y), z)=0.

A więc y] tworzy z jedną z osi a: lub y kąt 45°, a z drugą kąt 135°.

czyli wstawiając za Xx wartość jego z równania (44):

cos² (r, x) =

tS;!-⁴

Przypadek 6-ty. Oznaczyć największe wydłużenie w punkcie ciała, dla którego:

Ax — A y — [i A₂ i gXy — gy₂ — 0. Równanie (26) w tym przypadku przyjmuje postać:

(X -J- [i Aa) [ 4 (X —|— jj. Az) (X Ag) — g²^ ] = 0 i rozpada się na dwa równania następujące:

4 (X -|- Ag) (X Ag) =: g² zx)

i X₃ = — jł Aa.

Pierwiastki tych równań są: Xi I 1 —

Jeżeli przyjmiemy, że Aa > 0 i jł < 1, to największe wydłużenie rzeczywiste da się oznaczyć z wzoru:

+

2

(Ar)max. --

• (44).

Dla F(\j) otrzymujemy:

= 8 (XŁ —J— |t A*) (Xx — Ag) -f- 4 (X -f- [j. Ag)² — g²

a ponieważ pierwiastek Xj czyni zadość równaniu:

4 (X + ^ Ag) (X — Ag) = g²

zx j

przeto otrzymujemy:

— 4 (Xx —J— [ł Ag) (Xx — Ag) -f- 4 (X —{— (J.Aa)² lub F(X,) = 4 (Xj -j- |x Ag) [ 2 Xj (1 ji) Ag ].

Dla kierunku zaś największego wydłużenia otrzymujemy:

Xi Ag

2X₁ — (1 —;x) A,

cos² (r, x) =

, cos² (r, y) = 0 ,

cos² (r,z) =

XŁ -f ;xAg

2X₁ — (1 — {i)Aa ’

2 cos (r, x) cos (r, z) =

g**

2Xł — (1 — |x) Ag ’

(1 + (D Ag

V(i+v.?w+g\,

COS² (r, z) = i -f

(1 4- ja) Ag

^(1 + [t)² A²*-j-g²zx

• • (45).

2 cos (r, x) cos (r, z) =

g*x

zx

)

>/(l + ₁₁)³A², + <ri

Wzory (44) i (45) mają zastosowanie ważne w nauce o wytrzymałości materyałów budowlanych.

ROZDZIAŁ II.

O siłach sprężystości.

19. Określenie siły sprężystości. W celu określenia siły sprężystości wyobraźmy sobie, że mamy ciało, znajdujące się w równowadze pod działaniem sił zewnętrznych. Prowadzimy płaszczyznę dowolną MN tak, ażeby przecięła ciało na dwie części P i Q, i odłączamy w myśli część Q. Ponieważ punkty części Q wywierają pewne działania na punkty części P i odwrotnie i ponieważ tylko dzięki temu wzajemnemu oddziaływaniu istnieje stan równowagi, przeto po odjęciu części Q równowaga zostanie naruszoną. Punkty powierzchni MN, ograniczającej część pozostałą P, dążyć będą do poruszania się i istotnie poruszą się, o ile nie będą wstrzymane przez pewne siły, ściśle oznaczone zarówno co do wielkości swej jak i kierunku. Weźmy na płaszczyźnie MN punkt m i niech n będzie normalną zewnętrzną (normalną w kierunku części odjętej Q,) do płaszczyzny w tym punkcie, a niech będzie nieskończenie małą płaszczyzną (cząstką, czyli elementem powierzchni), której środek ciężkości znajduje się w punkcie m i która przystaje do płaszczyzny stycznej do powierzchni. Jeżeli po odjęciu części Q, cząstka 3o> ma pozostać w położeniu swem pierwotnem, to na wszystkie jej punkty muszą działać pewne siły. Wypadkowa wszystkich tych sił jest siłą zwaną siłą sprężystości, działającą w punkcie m ciała, na płaszczyznę 3co, dla której n jest normalną zewnętrzną.

Siła ta jest proporcyonalna do powierzchni płaszczyzny i z tego powodu może być oznaczona przez pn 3co. Przy takiem oznaczeniu, będzie pn siłą sprężystości, sprowadzoną do jednostki powierzchni. Wskaźnik n wskazuje kierunek normalnej do tej płaszczyzny, na którą działa owa siła.

Siła sprężystości, działająca na cząstkę powierzchni MN części P, zastępuje oczywiście działanie części Q na tę cząstkę, a więc, jeżeli siła ta będzie skierowana w stronę części Q, to będzie to oznaczało, że część Q, przyciąga tę cząstkę, czyli że i część P przyciąga ją z taką samą siłą.

W tym przypadku siła sprężystości będzie przyciągająca, a rzut jej na normalną zewnętrzną będzie dodatni. Jeżeli zaś siła sprężystości skierowana będzie wgłąb pozostałej części P, to cząstka uważana powierzchni jest odpychana przez część Q, a więc i przez część P. Siła sprężystości w tym razie będzie odpychająca, a rzut jej na normalną zewnętrzną będzie ujemny.

Z podanego powyżej określenia siły sprężystości wynika nietylko, że siła ta może dla różnych punktów ciała być rozmaitą, lecz że nawet dla jednego i tego samego punktu można otrzymać różne co do wielkości i kierunku siły sprężystości, jeżeli płaszczyzna, na którą działa ta siła, będzie zmieniała swoje położenie, obracając się około swego środka ciężkości. Należy zatem siłę sprężystości uważać za funkcyę współrzędnych punktu i kątów, wyznaczających położenie normalnej do płaszczyzny. Gdy zaś cząsteczki ciała nie znajdują się w stanie spoczynku, siła sprężystości jest zarazem funkcyą czasu.

Przyjmijmy oznaczenia następujące: siłę sprężystości, sprowadzoną do jednostki powierzchni i działającą na płaszczyznę, dla której normalną zewnętrzną jest n, oznaczać będziemy przez pn, rzut zaś siły pn na kierunek dowolny s — przez p„s. Tak np.

Pns = Pn COS (pn , s) , psn = ps COS (ps , W) , P„n = P„ COS (pn , «),

Pxx — Px cos (px, x) , pxy = px cos {px, y) , i t. p.

Celem dokładnego poznania sił sprężystości powinniśmy umieć wyjaśnić, jak się te siły zmieniają przy przejściu od jednego punktu ciała do innego sąsiedniego, a również poznać zależność ich od kątów, ustalających położenie płaszczyzny, na którą działa dana siła.

Zmienność sił sprężystości przy przejściu od jednego punktu do innego i rozkład ich dokoła danego punktu na rozmaite pod względem swojego położenia płaszczyzny, można wyprowadzić z warunków równowagi sił, działających na punkty ciała. Zwracamy się przeto obecnie do oznaczenia tych warunków.

20. Równania równowagi ciała sprężystego. W celu otrzymania równań równowagi układu punktów, połączonych z sobą w sposób dowolny, można posiłkować się metodą Lagrange’a, opartą na zasadzie przesunięć przygotowanych (przysposobionych). Metoda ta ma tę ważną zaletę, że wszystkie warunki niezbędne dla równowagi daje jednocześnie, ale wymaga, ażeby warunki przesunięć przygotowanych układu punktów były wyrażone analitycznie w postaci równań lub nierówności, co nie zawsze jest łatwe, szczególniej zaś wtedy, gdy warunki te nie są dane bezpośrednio i musimy je oznaczać z pewnych własności układu. W takim przypadku dogodniej jest w celu wyprowadzenia równań równowagi posiłkować się inną metodą, polegającą na działaniach następujących: a) z danego układu punktów wybieramy cząstkę objętości, której to cząstki wszystkie trzy wymiary są wielkościami nieskończenie małemi stopnia pierwszego i odrzuciwszy inne części układu, zastępujemy ich działanie na wydzieloną cząstkę siłami, działającemi na punkty powierzchni cząstki; b) biorąc pod uwagę, że równowaga układu nie zostaje naruszona przez wprowadzenie nowych związków, zmieniających pewne z przesunięć przygotowanych na niemożliwe, wprowadzamy założenie, że cząstka wybrana jest ciałem bezwględnie sztywnem, którego części nie są zdolne do posunięć, zmieniających ich układ względny, i c) oznaczamy warunki równowagi cząstki z wzorów, służących do swobodnego niezmiennego układu punktów.

Ta ostatnia metoda jest równie ogólną jak metoda Lagrange’a, albowiem może być stosowana i do układu nieswobodnego, o ile do sił rzeczywiście działających na punkty układu dołączymy i przeciwdziałania związków, które go czynią nieswobodnym. Metoda ta stoi niżej od metody Lagrange’a pod względem zupełności, ponieważ nie daje jednocześnie wszystkich warunków niezbędnych do równowagi. Istotnie, warunki niezbędne i wystarczające do równowagi układu niezmiennego są niezbędne i dla układu zmiennego, lecz nie są dlań wystarczające. Dla układu zmiennego, oprócz warunków wspólnych dla wszystkich jego punktów, istnieją jeszcze warunki szczególne dla punktów, leżących na powierzchniach, ograniczających układ. Celem otrzymania tych warunków szczególnych, należy wyosobnić z układu cząstkę objętości tak, ażeby jedna z jej ścian przystawała do powierzchni ograniczającej i wyprowadzić równania równowagi tej cząstki.

Wyprowadzimy równania równowagi ciała sprężystego na zasadzie metody ostatnio wspomnianej.

Przypominamy, że równania równowagi ciała swobodnego, bezwzględnie sztywnego, są następujące:

(46),

XX=0 , I Y= 0 , U = 0

'Z(Zy—Yz) = 0, Z(Xz-Zx) = 0, 1 (Yx = Xy) = 0 |

gdzie X, Y i Z są to rzuty na wzajemnie do siebie prostopadłe osie współrzędnych siły, działającej na punkt ciała, o współrzędnych x, y i z.

Równania ogólne równowagi. Oznaczmy w ciele, znajdującem się w stanie równowagi naprężonej, równoległościan cząstkowy, o krawędziach dx, dy i dz, a odrzuciwszy wszystkie inne części ciała, zastąpmy ich działanie siłami, działającemi na ściany tego równoległościanu. Wypadkowa sił, działających na punkty ściany dowolnej, będzie siłą sprężystości, działającą na tę ścianę. Tę ostatnią siłę rozkładamy na trzy składowe, równoległe do osi współrzędnych.

Zaczynamy od ściany najbliższej do płaszczyzny (yz) i do niej równoległej. Ponieważ powierzchnia tej ściany równa się iloczynowi dydz, a normalna zewnętrzna do niej idzie w kierunku osi ujemnej x, przeto siła sprężystości, działająca na tę ścianę, będzie —px^yds, a rzuty jej na osie współrzędnych będą:

—Pxy³y³z i — P*B 32/3*.

Współrzędne zaś punktu przyczepienia siły będą:

OJ

Oj

OJ

Oj

gdzie x, y i z są współrzędnemi wierzchołka równoległościanu, najbliższego do początku współrzędnych.

Przy przejściu od ściany uważanej do ściany do niej równoległej, współrzędne y i z się nie zmieniają, lecz współrzędna x zwiększa się o dx, a wskutek tego siły sprężystości, uważane jako funkcye ciągłe współrzędnych otrzymają przy tern przejściu nieskończenie małe przyrosty tylko wskutek zmiany x. Z uwagi zaś, że dla tej ściany oś dodatnia x jest normalną zewnętrzną, otrzymamy dla rzutów siły sprężystości tej ściany na osie współrzędnych:

) ³U ³Z , [vxy + ~~    dy dz , [pxa + ^    dy 30,

dp

XX ^

— dx

dx

dla współrzędnych zaś punktu przyczepienia (przytknięcia) siły:

¹

os (r, x) cos (r, ?/) =

-F(X) = 4 (Ay —X) (Ag —X) -j- 4 (Ag —X) (Ax —X) -|-

+ ⁴ (A* — X) (Ay — X) — g²yB — g²zx — 0²xy .    .    .    (29).

Zauważmy, że F(\) jest pochodną względem X części pierwszej równania (26), wziętą ze znakiem minus.

Pierwiastki równania (26) trzeciego stopnia, względem X, dają wielkości trzech wydłużeń głównych; równania zaś (27) i (28) oznaczą kierunek każdego z tych wydłużeń.

Po wykonaniu działań, wskazanych w części pierwszej równania (26) i po zniesieniu współczynnika przy X³, otrzymamy równanie to w postaci:

(A* - j“ Aj, -j- Ag) X² -j- [Ax Aj, -|- Aj, Ag -j- Aa Ax — \ (g²yz -f g²zx -\-g²xy ]) X —[— l h 9 yz + ^y 9^zx ~^3 9^xy 9yz 9*x 9xy )    h ⁼⁼ 0 • • (30),

x -j- dx , y-\~k³V 1 z + h 3z-

W takiż sposób otrzymamy dla rzutów siły sprężystości, działającej na ścianę najbliższą do płaszczyzny (zx):

P yx    dX , — Pyy dz dx , — Pyz dz dx ,

dla współrzędnych zaś punktu przyczepienia:

X 4- \ dx ,

Oj

H-

tOjt—*•

CO

Rzuty siły, przytkniętej do ściany najbardziej oddalonej od płaszczyzny (zx), będą:

3 z dx ,

dp

yy

dy

³y)

dz dx ,

[pyzĄ—y 3y⁾jdzdx,

a współrzędne punktu przyczepienia:

+'

Mfl-*

CO

'■J

Oj

liW

OJ

Oj

Wreszcie dla ściany, najbliższej do płaszczyzny (osy) otrzymamy dla rzutów siły sprężystości:

— pS3 dy

-2hxdxdy, —pty dxdy

a dla współrzędnych punktu przyczepienia:

« +1 dx , y + i dy i

dla ściany zaś równoległej do ostatniej mieć będziemy:

[PsK

dz -) te-dy, {p*y + tej te dy, [pzz + dzj dx dy,

xĄ-\dx ,

y +1dy i, z-\-dz.

Jeżeli nadto przez X, Y i Z oznaczymy rzuty na osie współrzędnych przyśpieszenia zewnętrznej siły masy, działającej na wszystkie punkty ciała (np. siły ciężkości i t. p.), a przez m masę jednostki objętości ciała (gęstość), to rzuty wypadkowej sił zewnętrznych, działających jednocześnie na wszystkie punkty równoległościanu cząstkowego, będą:

m X dx dy dz , m Ydxdydz i m Z dx dy 3 z , współrzędne zaś punktu przyczepienia będą:

S.

Teraz łatwo można zauważyć, że pierwsze trzy równania grupy (46) sprowadzają się do następujących:

8 8 8

+ + +

ik <#i~ ik

+ + +

8 i    ^    j

co⁴

+ + +

H    O)

<frl<8

• • (47).

Istnienie tych równań jest niezbędne do unicestwienia posunięć postępowych równoległościanu cząstkowego; w celu zaś otrzymania warunków, przy których znikają jego ruchy obrotowe, zobaczmy, do czego doprowadza np. warunek l(Yx — Xy) = 0. W tym celu zauważymy przedewszystkiem, że równania (46) otrzymano przy założeniu, iż środek momentów znajduje się w początku współrzędnych, którego położenie jest zresztą zupełnie dowolne. Celem więc możliwie prędkiego otrzymania szukanych warunków, przenosimy początek współrzędnych do środka ciężkości równoległościanu, nie zmieniając kierunku osi. Rzuty sił pozostaną przytem bez zmiany, a nowe współrzędne ich punktów przyczepienia otrzymamy z poprzednich, zastępując w nich x, y i z przez x — \dx, y— \dy i £ — i dz, i wprowadzając założenie, że x=y==z^ 0. Postępując w ten sposób, przekonamy się z łatwością, że powyższy warunek sprowadza się do następującego:

2y= 0,

Vxy + * dx 2X ~ Pyx ~ 3jf

albo, zaniedbując wielkości nieskończenie małe wobec wielkości skończonych: pxy — pyx. W thkiż sposób ustalimy jeszcze dwa warunki:

Pyz-; Pzy i Pzx =z Pxz •

Równania więc (47), wraz z warunkami:

• • (48)

Pyz -Pzy > *Pzx-Pxz 1 Pxy Py.    •

są to właśnie równania ogólne równowagi ciała sprężystego, które powinny istnieć dla każdego jego punktu.

21. Równania szczególne równowagi. W celu otrzymania równań szczególnych równowagi dla punktów, leżących na granicach ciała, wydzielamy z ciała nieskończenie mały czworościan taki, ażeby trzy jego ściany były równoległe do płaszczyzn współrzędnych, a czwarta, pochylona względem nich, przystawała do powierzchni ograniczającej ciało Niech n będzie normalną zewnętrzną do tej ostatniej ściany, 3w — powierzchnią tej ściany, P — ciśnieniem zewnętrznem, działającem na jednostkę powierzchni, a dx, dy\dz — długościami krawędzi czworościanu równoległych do osi współrzędnych.

Zastępując działanie na czworościan części ciała siłami sprężystości, przekonamy się łatwo, że równania, unicestwiające posunięcia postępowe tego czworościanu, są następujące:

- i [Pxx ²y ²Z—j—Pyx ²Z ²X-\-pBX dx dy] + P 3w cos (P, x) -f - \ m Xdxdydz = 0 — h [Pxy ²lł 2z\-Pyy 2z 2X~\~Pzy ²% %] + P ²& COS (P, ig) -f- J HI T dx dy 2z = 0 --h [ Pxz ²y 2z~\~Pyz 2z 2%+Pzz ²% ²y\-\-P 3t0 COS (P, z) -{- W Z dx dydz — 0

Ponieważ wzajemnie do siebie prostopadłe trzy ściany czworościanu są rzutami na płaszczyzny współrzędnych, pochylonej względem nich ściany czwartej 3co, przeto:

1 dydz — du> COS (n, x) ,    1 dz dx — d(t) COS (W, y) ,    £ dx dy = doi COS (w, Z).

Skoro wprowadzimy to w równania poprzednie i usuniemy z nich wyrazy ostatnie, jako nieskończenie małe wyższego stopnia, w porównaniu z innymi, oraz zniesiemy 3w, to otrzymamy ostatecznie równania następujące:

P cos (P, x) = pxx cos (:n, x) + Pyx cos (w, y) -f- pBX cos (w, 2)

• (49).

P cos (P, y) = jp** cos (n, a?) + cos (n, y) -j- pzy cos (n, z)

P cos (P, z) = cos (n, a?) + Pyz cos (w, ?/) -j- pzz cos (n, z)

Warunki, unicestwiające ruchy obrotowe czworościanu, prowadzą do równań (48).

Równania (49) są to właśnie równania szczególne (graniczne) równowagi, ważne tylko dla punktów, leżących na powierzchniach, ograniczających ciało.

Gdyby czworościan był wydzielony z ciała w taki sposób, iż nie miałby ściany wspólnej z powierzchnią, ograniczającą ciało, to w równaniach (49) należałoby siłę P zastąpić siłą sprężystości p„; wskutek czego równania te przybrałyby postać:

Pnx = Pxx COS (w, x) 4- pyx cos (w, y) 4- p3X cos (n, z)

Pny = Pxy COS (w, #) 4* Vyy COS (W, r/) 4- T^yCOS (n, .?)    . .    (50).

— Pxb COS (n, a) 4- Pyz COS (w, y) 4- Pzz cos (n, 0)

Te trzy równania mieszczą się, oczywiście, w jednem następującem:

Pm = Pxs cos (w, x) 4- Pys COS («, y) + pu COS (w, *).    .    .    (51).

Równania (50) mogą dać pojęcie o prawie rozmieszczenia sił sprężystości dokoła danego punktu ciała, ponieważ określają one zależność siły p„ od kierunku normalnej n do tej płaszczyzny, na którą działa ta siła; równania zaś (47) wraz z (48), jako zawierające pochodne sił sprężystości względem współrzędnych, mogą dać pojęcie o zmienności tych sił przy przejściu z jednego punktu ciała do innego sąsiedniego.

Wszystkie te równania zawierają tylko sześć sił sprężystości:

Pxx > Pyy

Pzx - Pxz

Pzz , Pyz-Pzy

z których trzy pierwsze są to siły normalne, pozostałe zaś trzy styczne. Wogóle pnn jest to siła normalna, a p stości, o ile dla tej siły ostatniej* kierunki nim są do siebie prostopadłe.

i Pxy ⁼⁼⁼ Py

siły

siła styczna spręży-

22. Rozmieszczenie sił sprężystych dokoła punktu. Przy przyjętych przez nas oznaczeniach rzutów sił sprężystych i przy uwzględnieniu warunku, że osi współrzędnych x, y i z tworzą układ prostokątny osi, otrzymujemy wzory:

(52).

P n-P~nx 4- P^ny 4~ P~nz •    •    • ^

p²x — P² xx 4- p²xy 4“ p²xz

. . (53).

tu

P\ = P\x JrP²yy +P²    '    •    .    •    •

P²z = p²zx 4- P²zy + P² ■

. (54).

Pns — Pnx COS (s, x) -j- pny COS (S, lj) 4~ Pnz COS (S, z)

Wzór ostatni, gdy w nim za pnx, pny i pnz podstawimy ich wartości z równań (50), przybierze postać:

Pm =Pxx cos (n, x) cos (s, x) + pyy cos (n, y) cos (s, y) 4ptz cos (n, z) cos (s, z) -j--\-Pyz [cos (n, y)    cos    (s, z)    -f cos (n, z) cos (s, y)]

Pzz [cos (w, z)    cos    (s,x)    -f cos (n, x) cos (s, z)\    -J-

~YPxy [cos (w, x)    cos    (s,y)    -f- cos (n, y) cos (s, x)]    . .    (55).

W przypadku szczególnym, gdy kierunek s, na którym oznaczamy rzut siły p„, zleje się z kierunkiem n, otrzymamy:

.    . (56).

Pnn — Pxx cos² (n, x) -)- Pyy cos - (•n,. y) -(- pzz cos² (n, z) -j--j- 2pyzcos (n, y) cos (w, z) -|- 2p3X cos (n, z) cos (w, #) -}-+ 2^ cos (w, x) cos (w, y) .    . .

Ponieważ część druga wzoru (55) jest symetryczna względem liter n i s, przeto przychodzimy do wniosku, że dla kierunków dowolnych n i s zawsze

(57).

Pm-Psn .

Wzór ostatni mieści w sobie twierdzenie wzajemnej równości rzutów sił sprężystych, polegające na tern, że rzut siły sprężystości pn na linię s równy jest rzutowi siły sprężystości p₈ na linię n. Warunki równowagi (48)' są to więc przypadki szczególne tego twierdzenia.

Ponieważ wzory (51) i (54) otrzymaliśmy na podstawie założenia, że rzut siły wypadkowej na kierunek dowolny równy jest sumie rzutów sił składowych na ten sam kierunek, przeto z wzoru (54) wynika, że pnr, pny i p„z są to wzajemnie do siebie prostopadłe siły składowe siły pn, a z wzoru (51), że px cos (m, x), py cos [n, y) i pz cos (n, z) są to także składowe siły pn, ale nie prostopadłe do siebie wzajemnie.

Z zestawienia wzoru (56) z (8) jest widoczne> że siła normalna sprężystości pnn wyraża się przez cos (n, x), cos (n, y) i cos (n, z), zupełnie tak samo jak wydłużenie względne A„; wskutek tego prawo rozmieszczenia dokoła danego punktu sił normalnych, działających na rozmaite płaszczyzny, jest zgodne z prawem rozmieszczenia wydłużeń dokoła tegoż punktu. Takaż analogia istnieje pomiędzy wzorem (55), określającym siłę sprężystości p„s, a wzorem (9), określającym przesunięcie gm.

Vyy i

Ażeby od wzorów ogólnych (8) i (9) przejść do wzorów (56) i (55), należy we wzorach (8) i (9) za wielkości A.,:, Ay, A₃ i A„ podstawić p pzz\pnn, a za wielkości gy3, yBX, gxy, i y„s podstawić 2pxx, 2pyy, 2p„ i 2pns. Z tego nie należy jednak wyprowadzać wniosku, że każdy wzór, wyrażający pewną zależność między odkształceniami ciała, można zapo-mocą wskazanej powyżej zamiany współczynników, przekształcić na wzór, wyrażający zależność między siłami sprężystości. Zupełna analogia bowiem między wzorami obu tych kategoryi nie istnieje, choćby tylko dlatego, że dla przesunięcia yns musieliśmy z konieczności przypuścić, iż kierunki w i s są do siebie prostopadłe, gdy tymczasem dla siły sprężystości p„s takie ograniczenie nie jest potrzebne, gdyż istnieje ona dla dowolnych kierunków n\s. Tak np. trzy siły sprężystości pnx, p„y i p„z istnieją jednocześnie, gdy tymczasem trzy przesunięcia gnx, gny i gnz jednocześnie istnieć nie mogą, albowiem nie-

ma takiego kierunku n, który byłby jednocześnie prostopadły do trzech osi x, y i z.

23. Elipsoida sprężystości. Wzór (56), określający p

dozwala na

takie wykreślenie, jakiem posiłkowaliśmy się przy wyprowadzeniu wzoru (8). W każdym więc punkcie ciała możemy przeprowadzić powierzchnię stopnia drugiego, oznaczoną przez równanie:

P«*X¹ -j~ Vyy y² + P** z² + 2 pye yz-\- 2pzx zx Ą- 2pxy ry = ± 1 .    .    (58),

której środek leży w punkcie wybranym, a promienie wodzące, wycho-

dzące z tego środka, są równe

P nn

Tę powierzchnię Cauchy nazwał elipsoidą sprężystości, a kierunki jej średnic głównych — osiami sprężystości w danym punkcie.

Jeżeli przez £, yj i C oznaczymy kierunki wzajemne do siebie prostopadłych osi sprężystości w danym punkcie, a przez Av A₂ i A₃—siły główne sprężystości, działające w tychże kierunkach, to równanie elipsoidy sprężystości, odniesione do jej średnic głównych, będzie:

• •    (59),

vM²-M₂f + a₃c² = ±i • •

a wzór na siłę sprężystości p„n:

Pnn = A₁ COS² (W, $) -f- A₂ COS" (W, 7j) + A₃ cos² (n, C).    .    (60).

Jednocześnie będziemy mieli warunki:

. . (61).

P^—0, pCr = 0 i p^ = 0    .    .

Te ostatnie warunki wykazują, że w każdym punkcie ciała istnieją trzy takie wzajemnie prostopadłe płaszczyzny, na które działają prostopadłe do nich siły sprężystości. Normalne do tych płaszczyzn padają na kierunki 6, ą i C; mamy więc:

Pi — P& — A

Pt] —    — A₂ i pi—p^ — A₃ .

. (62).

Gdy wszystkię te trzy siły główne sprężystości są przyciągające, albo wszystkie trzy odpychające, wówczas równanie (59) da nam elipsoidę. W tym przypadku wszystkie inne siły normalne danego punktu będą jednoimienne z głównemi. Jeżeli natomiast dwie z sił głównych będą przyciągające, a trzecia odpychająca, lub naodwrót, wówczas równanie (59) da nam dwie hyperboloidy sprzężone: jednopowłokową i dwupo-włokową, mające wspólny stożek asymptotyczny, którego równanie ma postać:

Ai ¥ -\~A2 y)² + A₃ C² = 0

Dla kierunku n, zlewającego się z dowolną z tworzących tego stożka asymptotycznego, siła pnn będzie równa zeru. A zatem tworzące tego stożka mają kierunek normalnych do takich płaszczyzn, na które działają siły styczne sprężystości.

(63).

»*

Wzory (50) przyjmują szczególnie prostą postać, gdy osi współrzędnych x, y i z zlewają się z osiami głównemi sprężystości danego punktu. W tym przypadku wzory te dla rzutów siły pn na osie główne sprężystości, dadzą:

p^—Ax cos (n, £) , pm. = A₂ cos (n, tj) , pK= A₃ cos (n, C) . . (64), skąd wynika, że:

pn = J/ cos² (w, £) -j- A₉* cos² (n, 7]) -j- Z₃² cos² (w, C)] . . (65). Ax cos (n,$)

cos (jp*, I) —

Pn

cos (ph, Q =

COS (P„, 7]) =

Aa cos (w, C)

A₂ COS (W, Tj)

(66).

Wreszcie, do oznaczenia kąta, jaki tworzy siła pn z normalną n, służy

równanie:

.    pnn A

cos (pn, n)— — =

^3

cos² («,£) -\-

cos² (w, 7]) -Ą--- cos² (n, C). (67).

Pn    Pn

Jeżeli przez V, tj' i C' oznaczymy współrzędne punktu końcowego siły pn, odniesionego do osi głównych sprężystości, to otrzymamy:

= Pn COS (pn, i) =    , Tj' = pmi i C' = Pnt: ,

= A₁ cos (w, £) , 7]' = A₂ cos (w, t]) i — A₃ cos (w, C).

Skoro zaś z tych równań oznaczymy cos (n, 6), cos (*h, tj), i cos (w, C) oraz podstawimy w znaną równość:

cos² (n, 6) -j- cos² (w, tj) -f- cos² (w, C) = 1,

Pn

Pn

lub

to otrzymamy równanie:

^²

12

£'2

2 + Ta - ¹

2    ^3

(68).

^l²

Z tego równania wyprowadzamy wniosek, że punkty końcowe wszystkich sił sprężystości danego punktu leżą na elipsoidzie, której pół-osie zlewają się z osiami głównemi sprężystości i mają wielkości równe siłom głównym sprężystości. Tę elipsoidę Lamę nazwał elipsoidą sprężystości.

Ponieważ z równań powyższych dla £', rj i C' wynika, że: , cos (■n, Tj) =

■“2

przeto równanie płaszczyzny, na którą działa siła pn, będzie:

31 i + 1

A,⁵ ‘ J

, cos (w, C) =

C'

C'

.    . (69);

" ^1 + J 2    ^3

płaszczyzna ta jest więc równoległa do płaszczyzny stycznej do po-

wierzchni, oznaczonej przez równanie:

li _L i . i!

A, ^ A,

i-

w tym samym punkcie, w którym przecina ją siła p„. To ostatnie równanie daje albo elipsoidę albo dwie hyperboloidy, posiadające wspólny stożek asymptotyczny, o równaniu:

ś² , f , c²

& "T jr ~r t“

-™1 Ji ₂    3

(71).

Z pochodzenia powierzchni (70) wynika, że gdy siła p„ zleje się z jedną z tworzących stożka asymptotycznego (71), wówczas płaszczyzna, na którą działa ta siła, zlewa się z płaszczyzną styczną do tego stożka, zawierającą tę tworzącą, czyli w tym przypadku siła p„ będzie siłą styczną sprężystości.

Oczywiście, płaszczyzny styczne do stożka (71) zlewają się z tern i płaszczyznami, do których normalne tworzą stożek, oznaczony przez równanie (63).

24. Wyznaczenie sił głównych sprężystości. Ponieważ każda siła główna sprężystości jest prostopadła do płaszczyzny, na którą działa, przeto oznaczając przez A którąkolwiek z trzech sił głównych sprężystości, a przez N kierunek normalnej do jej płaszczyzny, otrzymamy na podstawie wzoru (50) następujące równania do wyznaczenia wielkości i kierunku tej siły:

A cos    {N,    x)    — pxx    cos (N, x) -f    PyX    COS (N, y) -f- psx cos (N, z),

A cos    (N,    y)    = pxy    cos (N, y) -f-    pyy    cos (N, y) -f - pey cos (N, z),

A cos    (N,    z)    =pXB    cos (AT, z) -f-    pyz    cos (2V, z) -f pZ3 cos (Ar, z),

czyli:

{Pxx — A) cos (N, x) -f- pyx cos (N, y) - pBX cos (N, z) = 0 Pxy COS {N, x) -+- {pyy—A) cos (N, y) -j- pzy cos (N, z) — 0 prs cos (N, X) -f- pyz cos (N., y) + {psz —A) cos {N, z) = 0, cos² (AT, x) -f- cos² (N. y) Ą- cos² (N, z) = 1

Rozwiązując te równania w taki sam sposób, w jaki rozwiązaliśmy równania, służące do wyznaczania wielkości i kierunku największego wydłużenia względnego, otrzymamy równania:

• (72).

gdzie

cos² {N, x) =

cos² {N, y) =

cos² (N, z) =

(Pyy A)    A)    P^yz

F{A)

A') {pxx A') P B X

F{A)

{Pxx A') (Pyy    A)    p xy

F{A)

(P»

^(4)

cos (N, y) cos (N, z) =

Pzx Pyx Pzy (Pxx -4)

F(A)

cos (N, z) cos (N, x) —

PxyPzy Vxz {Pyy 4)

F(A)

cos (N, x) cos {N, y) =

Pyz Pxz Pyx (Pzz 4.)

gdzie F(A) = (pyy — A) (pm — 4) -f- (pK — 4) (pxx — 4) -f-

4“ (PxX    4) (Pyy    4) (P^yz “I⁻ P²ZX~\~ P^Xy) • • (75)

(Pxx A) (Pyy A) (Pzs 4)    (P** —~ 4) ^²,/z    ( Pffy “ 4) /)²ga;

. . (76).

(Pzz    4) P^xy 4“ ^Pyz Pzx Pxy 0

Ostatniemu równaniu możemy nadać postać następującą:

4³ (Pxx ~\~Pyy 4~Pzz) 4²4~\PyyPzz ~\~Pzz pxx 4~Pxx Pyy P² yz P² zx P² xy ) A ^Pyz Pzx Piy Pxx Pyy Pzz 4~ P xx P²yz ' | Pyy p² za- 4~ Pzz P^ay-

= (4—44 (4—4₂) (.4-4³) = 0 .....(77).

Stąd:

4] 4- 4₂ 4- 4g = Pxx —j— Pyy ~j~ Pze

Al A₂ 4“ Ag A 3 "4~ -4-g 4^ —‘—Pxx Pyy | Pyy Pzz 4~ Pzz Pxx jP²yz p‘ zx P“

Al Ag 43 -Pxx Pyy Pzz | ^ Pyz Pzx Pxy Paa- P yz PyyP zx Pzz P xy

Zarówno pierwsze, jak i drugie części ostatnich trzech równań są niezmiennikami osi współrzędnych.

W przypadku szczególnym, gdy z sił głównych sprężystości dwie są sobie równe, np. 4₂ = 4₃, będziemy mieli wzory: F (4₂) = 0.

{Pyy    4₂) (pZB    4₂)    — P² yz

( Pzz    4₂) ( P rx    4₂)    - P^ZX

( Pxx    A₂) ( pyy    4₂)    - p²xy

m    a _ Pxy Pxz    ,    _ PyzPyx

Pxx ^*-2 —    ' t Pyy 4 ₂ -

Pyz    Vzx

> Pzz

_    _ Pzx Pzy

Pxy

xy

(78).

. . (79).

gdzie

A ) — "4* 3 — 4 \ pxx “I⁻ Pyy H P<&    ^ ]

Pyz Pya-

P xyP xz

Pza-Pzy

(80),

Pyz

PzT

Pay

Al - Ag 4~ k

k cos² (Nu x) = pxx — Ag, k cos² (iV₃, y) = pyy— A kcos² (Nvz) = pzz —Ag k cos (77,, y) cos (7Vj, z)=pyz, k cos (Nu z) cos (77,, x) == p„, k cos (Nu x) cos (Nv y) — pxy

• (81)

. (82)

. . (83).

W przypadku, gdy Ax = A₂ = Az elipsoida sprężystości staje się kulą i wtedy:

Pyz - Pzx. --- Pxy - 0    (84).

Gdy jedna z sił głównych sprężystości równa się zeru, np. Az — 0, otrzymujemy wzory:

XX

— Pyy — Pzz

P (O) —PyyPzz | Pzz Pxx• ”j PxxPyy    Pyz    P² zx    P^ ty • (85).

F (O) COS² (Wg , X) — PyyPzz — P2 F (o) cos² (A/₃, y) — Pzz p,x—p\x F(0) COS² (Wg, Z) =PxxPyy—p².ry

l (o) COS    (Wg , y) COS (Wg , z) - PyxPzx    Pyz Pxx

F (o) COS    (Ag, Z) COS (Wg, X) -PeyPxy    PzxPyy

F (o) COS    (A(g , X) COS (Ag, y) -Pxs Pyz    PxyPzz

Dwie siły pozostałe, nie równe zeru, będą pierwiastkami równania:

A² (pxx -j~ Pyy Pzz) A -j- F (o) = 0

yz

. . (86).

•    • (87),

przyczem będzie nadto:

Pxr Pyy Pzz ~b 2 Pyz Pzx Pxy Pxx P yz Pyy V²zx Pzz P xy- 0 • (88).

Gdy dwie z sił głównych sprężystości są równe zeru, wtedy F{o) —0, a z równania (86) wynika:

Pzx Pzy

Pry

Trzecia siła, nie równa zeru, może być oznaczona z równań:

Ax — Pxx | Pyy | Pzz — k

k cos² (AT,, x) = pxx , Tc cos² (W,, y) = pyy, Tc cos² (AT, ,e) = p Tc cos (Afj, y) cos (Nlf z) = pyz, k cos (Arx, z) cos (Nu x) —p Tc cos (W,, x) cos (AT,, y) = pxy Wreszcie, gdy Ax — A₂ = A.₃ — 0, wtedy:

Pxx — Pyy — Pzz — Pyz — Pz.r — P>y — 0

*25. Wyznaczenie największej siły stycznej. W zastosowaniu teoryi sprężystości może okazać się potrzebnym wzór na największą z sił stycznych w danym punkcie ciała. W celu oznaczenia takiej największej siły, przyjmujemy siły główne sprężystości w danym punkcie za osie współrzędnych i wtedy na dowolną siłę styczną p„s będziemy mieli wzór:

pns — Ax cos (w, 6) cos (s, £) -f A₂ cos (n, yj) cos (s, yj) -j-A₃ cos (n, C) cos (s, C) . .

_ PyxPsx

Pxx -

Pyz

j Pyy —

Pyz Pyx

Pzx

hi    hl

H    t,ł

■ . (89).

. (90).

. . (91).

pod warunkiem, że: cos (n, s) = 0.

Przypuśćmy na razie, że kierunek n jest dany, szukamy zaś kierunku s, dla którego siła pm staje się największą. Ażeby rozwiązać to zadanie, musimy przyrównać do zera pochodne względem cos (s, £), cos (s, ■ri) i cos (s, C) funkcyi następującej:

Pms — X |cos (n, £) cos (s, £) + cos (m, yj) cos (s, yj) —f- cos (n, C) cos (s, C)|4-

+ (A j 1 — cos² (s, I) gdzie X i [x są to ilości stałe nie równe zeru.

COS² («, Y]) — COS² (s, 0 i ,

Rozwiązanie więc zadania zawarte jest w równaniach następu

jących:

(Ax — X) cos    (n, 4)    =    2 jjl    cos (s, 6)

.    . (93).

(A₂ — X) cos    (n, yj)    =    2 [x    cos (s, yj)    .    .

(A₃ — X) cos    (n, C)    =    2 {j.    cos (5, C)

. • (94)

cos² (s, £) + cos² (s, Y]) 4- cos² (.9, C)=l] cos² (w, 0 cos² (n, yj) + cos² (w, C) = 1 1 COS (W, 0 COS (s, 0--j— COS (w, Yj) COS (s, Yj) -f- cos (w, C) cos (s, C = 0). . (95).

Mnożąc równania (93) najpierw przez cos (s, 6), cos (s, yj), cos (s, C)

1    dodając je, następnie zaś przez cos (n, £)> cos (n, yj), cos (n, C) i również dodając, otrzymujemy:

2    !J- = (Pns )max i X = Aj. = COS² (W,0+-^₂ COS² (W,Yj)+^.j COS² (w, 0=Pnn.

Podnosząc wreszcie równania (93) do drugiej potęgi i dodając je, otrzymujemy:

(2 (x)² = (p²m )max — Ax² cos² (n, £) + A.? cos² (w, yj) -f A₃² cos² (w, C)+ + X² — 2 X [Ax cos² (n, I) 4- -A₂ cos2 (M> Yl) + ^3 cos2 (w> 0] czyli (p^ns )max —— Ax² COS² («,£) -Mg² CQS² (w, Yj) 4-A₃² cos² (n,0—p²nn- ■ (96).

To ostatnie równanie na zasadzie wzoru (65) można przedstawić w postaci:

(.P^ns )max P*n P"nn CZyli ( p²ns    p²nn P^ti'

A więc największa z sił stycznych sprężystości danej płaszczyzny jest rzutem na tęż płaszczyznę tej siły sprężystości, która na tę płaszczyznę działa. Podstawiając we wzorze (96) za siłę pnn jej wartość, otrzymamy:

(p²ns )max —— .4,² cos² («, 4) sin² (w, I) 4- A₂² cos² (n, yj) sin² (n, Yj) -|--j- As² cos² (w, C) sin² (w, C) — 2 4L₁ d₂ cos² (w, £) cos² (w, yj) — — 2 4₂ J₃ cos² (n, yj) cos² (w, C) — 2 A₃ ^ cos² (w, C)cos² («, 6).

Że jednak: sin² (n, i) = cos² (n, yj) 4- cos² (n, C) i t. d., przeto:

• • (97).

( P²vs)max = (^i—A₂)² cos²(n,0 cos² (n,7]) + (4₂—4₃)² cos² (n, Yj) cos² (w, C)+ + (4₃—.-tx)² cos² (n, C) cos² (n, 4) .    .

Teraz oznaczmy kierunek n, dla którego równanie (97) staje się największem. W tym celu przyrównywamy do zera pochodne względem cos (n, $), cos (n, yj) i cos (w, C) funkcyi następującej:

{'P²m )max + f [1 -COS² (fi, £) — COS² (fi, TT]) — COS² («, C) ],

gdzie / jest współczynnikiem stałym. Rozwiązanie więc zadania zawarte jest w równaniach:

[(Ax—A₂)² cos² («,yj) -|- (-^3—A^)² cos² (n, C)—/] cos (n, 4) = 0

[(A₂—A₃)² cos² (n, C) -J- (Aj—A₂)² cos² (n, i) — /] cos (n, yj) = 0    .    (98).

[(2L₃—Aj)² cos² (w, 4) -f- (A₂ — A₃)² cos² (n, yj)—f] cos (n, C) = 0

Uczynić zadość tym równaniom przez przypuszczenie, że cos (n, i)— — cos (n, Yj) = cos (w, C) = 0, nie można, z powodu istnienia drugiego z równań warunkowych (94). Również nie można przyjąć, że dwie z trzech powyższych dostaw są równe zeru; albowiem, przyjmując np. cos (n, i) = cos (n, yj) = 0, otrzymamy z równania (93), że cos (s, 0 = = cos (s, Yj) — 0, a wówczas z równania (95) wypadnie: cos (n, C) = 0 albo cos (s, C) = 0, co znowu jest niemożliwe, z uwagi na równania warunkowe (94).

Można jednakże uczynić zadość powyższym równaniom, przyjmując, że jedna z trzech dostaw równa się zeru. Tak np. gdy przyjmiemy cos (w, £) = 0, uczynimy zadość pierwszemu z równań (98), a wtedy drugie i trzecie z tych równań dają: f — (A₂ — Aa)² cos² (n, C) = = (A₂—A₃)² cos² (v, Yj), czyli cos² (r>, C) = cos² (n, yj); a że cos² (??, 'rj) +-4- cos² (n, C)=l, przeto otrzymujemy rozwiązanie:

cos (n, C) = ^4, cos (n, yj) =    , cos (n, 0 = 0 .    .    (99).

Wtedy z wzoru (97) otrzymamy:

a więc:

Nadto mamy:

= (A2~-az? cos³ (n, yj) cos² (n, C) = |    ,

2 [A ⁼⁼ (j?«s )max ;=; ^ (-^2    -^3) ......

(100).

X =p

nn

_ A2~\~A:i

(101).

W celu zaś wyznaczenia kierunku s z równań (93), znajdujemy:

/ x A 2 COS (s, Yj)= -4-

COS (.9, 0 = 0,

2 [j.

cos (n, Yj) =

A2—ł

(^2    ^-3)

— cos(n,Yj)

— ł(^2~h ^-3) ł (^2 ^3)

cos (n, C) = — cos (n, C) — — J^.

Ażeby otrzymane rozwiązanie rzeczywiście dawało największą ze wszystkich sił stycznych punktu, różnica A₂ — Az powinna być największa, czyli A₂ powinno być największą, a A₃ — najmniejszą z trzech sił głównych sprężystości punktu. Kierunek więc normalnej n do płaszczyzny, na którą działa największa z sił stycznych i kierunek s tej największej siły stycznej leżą na płaszczyźnie, przechodzącej przez największą i najmniejszą z sił głównych sprężystości. Kierunek n (albo s tworzy z temi siłami głównemi kąty 45°; kierunek zaś s (albo n) tworzy z jedną z tych sił kąt 45°, a z drugą 90" -f 45°.

26. Równania ruchu ciała sprężystego. W celu dokładnego poznania sił sprężystości należy umieć oznaczać ich pracę, ujawniającą się podczas odkształcania, to też należy wyprowadzić równania ruchu ciała sprężystego.

Równania ruchu można otrzymać z równań równowagi ciała sprężystego, według zasady d’Alembert’a, przez zastąpienie w tych ostatnich równaniach sił zewnętrznych, działających jednocześnie na wszystkie punkty ciała, t. j. działających na masę ciała, siłami straconemi, lub mówiąc inaczej, przez wprowadzenie do równań równowagi sił, bezwładności poruszających się punktów ciała.

Jeżeli współrzędne pewnego punktu ciała, przed odkształceniem, oznaczymy przez x, y i z, a przez x ~\-u, y -J- v i z-\~w — współrzędne tego samego punktu w chwili t, gdy cząstki ciała się posuwają, to dla rzutów przyśpieszenia siły bezwładności na osie współrzędnych otrzymamy wzory:

d²v

d²u

~~ W ’ ' ' dt²

czyli cos (s, tj) = cos (», kj) = i

cos (5, C) =

2 {j.

— cos (n, C) =

d²w dt²

Skoro więc w równaniu (47) za X, 7 i ^ podstawimy X —

d²u

d²v

d'lw

dt²

dt²

dt²

to otrzymamy równania ruchu ciała sprę-

żystego:

d²u

dt²

d²v

dt²

d²w

dt²

⁸|s s i ** 8

+ +

oj i gp oj j 4^* oj i ^

j ^

j~ +

s\f s\f

-j- m X

-f m Y

-4-m Z

27. Praca sił poruszających. Zasada pracy najmniejszej sił sprężystych. Niech punkt ciała, któremu w chwili t odpowiadają współrzędne x -f u, y -j- v i z-\-w, ulegnie dowolnemu nieskończenie małemu posunięciu, którego rzuty na osie współrzędnych niech będą 8u, 8v i 8w. Praca cząstkowa (elementarna) siły, poruszającej równoległościan cząstkowy, wydzielony w danem ciele, będzie: d²u

dt²

8 u -j-

d²v

d²w

dt²

dt²

8 w \ 3x 3y 3z ,

a praca cząstkowa wszystkich sił, poruszających punkty ciała, którą oznaczymy przez 8T, będzie wyrażona przez całkę trzykrotną:

d²w

8T =

IJJm(wSu+

d²v

dt²

8v +

8iv^3x3y 3 z .

• (103),

która rozpościera się na całą objętość ciała.

Wzór ten na 8T może być przy uwzględnieniu równań (102 ) przedstawiony w postaci:

8T=8V+8V......

8 U = fJJ m (X 8 u 4- Y 8 v + Z 8io) 3x 3y 3z .

.    (104),

• (105),

gdzie

jest pracą cząstkową sił zewnętrznych, działających jednocześnie na wszystkie punkty ciała, a

'yx.r .

r— T"

3x

dp

xy

3x

-V

3p

dp

--:.r

By

3p

²P’~y

3y

3x3y3z .    .    .    (106)

i 3x

jest pracą cząstkową sił sprężystych wewnętrznych, działających zarówno na punkty wewnętrzne jak i na punkty skrajne ciała.

Zbadajmy jedną z dziewięciu całek, wchodzących w skład wzoru na ST⁷. Weźmy np. całkę:

* 3p

Jfl a*

.r.r

8u . 3x 3ydz— j I 3ydz j

²Pxx

3x

- 3x.

Całkując w rzeczy samej względem x przez części, otrzymamy:

"-fp

dp

.r.r

2x 2x = (P** $ u),

3 8u

r.r

—— 3x.

3x

38u

A ponieważ A

, przeto otrzymamy:

fff ³|~8u ■dx dy dz=fi dydz (p

:r.i

8 u),

Znakiem ( )," wyrażamy tu tę okoliczność, że wielkość, znajdującą się w nawiasie, należy brać w pewnych granicach. Ponieważ poprzednie całkowanie przez części wykonane było względem x, więc uważaliśmy y i £ za ilości stałe, wskutek czego całkowanie rozciągało się na objętość tylko tych cząstek ciała, które przez swe zespolenie tworzą nieskończenie cienki słup, równoległy do osi x i mający za podstawę płaszczyznę 3y dz. Zatem granicom wskazanego całkowania powinny odpowiadać te punkty powierzchni ciała, przez które słup ten wchodzi wgłąb ciała i wychodzi z niego nazewnątrz. Zakładając, że ciało jest ograniczone ze wszystkich stron, otrzymamy punktów takich liczbę parzystą. Niech n' i n" będą normalne zewnętrzne do powierzchni ciała w dwóch następujących po sobie punktach wejścia i wyjścia słupa, a 3q' i 3q" nieskończenie małe cząstki powierzchni w tych punktach, wybrane tak, że płaszczyzna dy dz jest rzutem ich obu na płaszczyznę (yz). Przy tych założeniach otrzymamy:

dy dz = dq" cos (n", x) — — dq' cos (n\ x).

Tu cos (n',x) wzięty jest ze znakiem minus, z powodu, że powierzchnia dy dz jest wielkością dodatnią, dostawa zaś kąta rozwartego jest wielkością ujemną.

du' i du" wartości

xx y

Wreszcie, jeżeli oznaczymy przez p'xx i p" siły pxx, i posunięcia du w punktach wejścia i wyjścia słupa, to otrzymamy:

du" cos (n", x) dq" -j-

1f' (Pxx du)f" dy dz = jl p"

p'.rx Sm' cos (n', x) dq'.

Dwa inne punkty wejścia i wyjścia słupa dadzą w części drugiej równania ostatniego dwa nowe wyrazy, podobne do poprzednich i t. d. dla każdej pary takich punktów. Szukana więc całka ff (pxx du)" dydz może oczywiście być zastąpiona całką:

11 pxx du cos (w, x) dq ,

rozpostartą na wszystkie cząstki dq powierzchni, ograniczającej ciało. Mamy więc:

du . dx dy dz —

ll Pxx Su cos (n,x) dq —f 11 pxx d (^) dxdydz,

W takiż sposób otrzymamy:

i t. p.

Wzór więc na 8 V przyjmie postać:

(107),

dxdijdz = j'! pyx 8u cos (n, y)3q — j fj pyx 8 j 3* 3?/ 3*

fff ~teL 3w 'dydz =( I P*x 8w cos (n> ⁰)    P«* ³ (|f) dz

dx dydz =1 I pxy8v cos (n, a?) 3g

f ff 9x

dPx

P*. 8».

fff ^ (^f)dx 3ydz

8V=8V' — 8 F"

gdzie:

1 Pxx COS (/«, z) -f- Vyx COS (71, y) -j- pzx cos (n, z) j 8u

cos (n, z) j 8?;

\ pxz cos (n, cc) -f- cos (n, t/)    cos (n, 2) | 8w

czyli na podstawie równań (49):

8V' =

II j Pxy cos (n, #) + Pyy cos K y) + V

Hf

dq<

8 V' =

II j P cos (P, x) 8u -j- P cos (I\ y) 8v -\- P cos (P, z) 8w j 3q . (108)

8 F" =

+-‘6+3

'3w

3m

dx dz

czyli

8 V" =

j Pa-.r 8 A,, -j- pyy O \y -j— pzz 8 \z -j- Py, 8 gyz -j-

-f Psx O gzx -p P-y 5 (f xy \dxtydz .    .    .    .    (109).

Widzimy więc, że 8F' jest pracą cząstkową sił zewnętrznych, działających na punkty powierzchni, ograniczającej ciało; 8V" zaś jest pracą cząstkową sił sprężystych.

Mamy więc równanie:

(110).

8 T — 8 U 4- 8 F' — 8 V"

Jeżeli w chwili t ciało przejdzie w stan równowagi naprężonej, to 8 T — 0, a więc:

(Ul).

8 U + 8 V = 8V"

To ostatnie równanie, wynikające również z zasady przesunięć przygotowanych (przysposobionych), wskazuje, że przy równowadze ciała sprężystego siły zewnętrzne są w równowadze z siłami sprężystości.

Ponieważ równowaga ciała sprężystego nie zostanie naruszona przez wprowadzenie związków, które je zamieniają na ciało bezwzględnie sztywne, a dla takiego ciała, w razie jego równowagi, musi istnieć równanie 8 U -j- 8 V' — 0, przeto z równania (111) otrzymamy dla równowagi ciała sprężystego:

(112).

8 V" = 0

Widzimy stąd, że w razie równowagi ciała sprężystego zarówno siły zewnętrzne, jak i siły sprężystości, tworzą dwa takie układy sił, że żaden z nich, oddzielnie wzięty, nie może wywołać żadnych posunięć cząsteczek danego ciała, o ile ciało to zamieni się na bezwzględnie

sztywne.

Z równania (112) wynika jeszcze, że funkcya V", przedstawiająca pracę sił wewnętrznych ciała podczas jego odkształcania, osiąga w chwili nastąpienia równowagi najmniejszą swą wartość, albowiem można udowodnić, że dla tej chwili istnieje nierówność §² V" > 0.

Równanie więc (112) wyraża prawo ciekawe i pożyteczne w zastosowaniach, polegające na tern, że ciała, na które działają siły zewnętrzne, odkształcają się tak, iż praca sił wewnętrznych podczas tego odkształcania jest najmniejsza. Prawo to nazywa się zasadą najmniejszej pracy sił wewnętrznych.

28. Potencyał sił sprężystych. Równanie (109), przedstawiające pracę cząstkową sił sprężystych, napiszmy w postaci następującej:

j f f 8 & dx dy dz

8 V" =

(113),

gdzie

O 4* — pxx 8    [ Vyy ® ^y “l⁻ Pez 8&z ~j⁻ Pyz ® Pyz | Pzx 8 f) zx | Pxy8 Qxy • • (1 14).

Jeżeli mamy oznaczyć pracę sił wewnętrznych sprężystości w stosunku do rzeczywistych posunięć punktów ciała, w pewnym skończonym odstępie czasu, to należy zcałkować wzór (114) w granicach, odpowiadających początkowi i końcowi uważanego przeciągu czasu, a następnie pomnożyć otrzymaną całkę przez dx 3y 3z i rozpostrzeć na całą objętość ciała.

A ,r , A

Przypuśćmy np., że mamy oznaczyć pracę sił sprężystych, począwszy od chwili, gdy ciało zaczęło wychodzić ze stanu równowagi naturalnej do chwili, gdy pojawiły się w niem odkształcenia składowe . . gxy. Niech pxx, pyy . . . pxy będą siłami sprężystości, odpowiadającemi tym odkształceniom składowym, t. j. odpowiadające końcowi przyjętego okresu czasu. W takim razie granice dolne całkowania będą zerami, a górne będą równe odkształceniom składowym A*, Aj,... . gxy. Lecz przy takiem całkowaniu należy mieć na uwadze, że siły sprężystości same są funkcyami odkształceń składowych i że podczas uważanego przeciągu czasu siły te zmieniały się od zera do wartości, odpowiadających granicom górnym całkowania. Co się zaś tyczy

zależności sił sprężystości od odkształceń składowych, to, gdy poprzestajemy na przypadku bardzo małego odkształcenia ciała, należy na podstawie doświadczeń uważać siły sprężystości za funkcye liniowe odkształceń składowych. Przy takiem założeniu co do tych sił, wartość średnia każdej z nich, podczas uważanego przeciągu czasu, równa się średniej arytmetycznej z dwóch wartości skrajnych, odpowiadających początkowi i końcowi danego przeciągu czasu. Uznając za początek tego okresu czasu stan równowagi naturalnej, należy wartość początkową każdej siły sprężystości przyjąć za równą zeru, wskutek czego wartości średnie tych sił będą:

twll—■

^ Pxx J

Wstawiając te wartości średnie we wzór (114) i całkując go w granicach wskazanych, otrzymamy:

^    ł \Pxx^x ~i~ Pyy^y "j⁻ Psz A₂ —f- Pyzdyz~\~ Pzx Qzx -f" P.ryy.,y \ ■ • 1,1 15)r

a stąd:

(116).

V" = j f j <l> Bx By dz

Wielkość nazywa się potencyałem sił sprężystości, sprowadzonym do jednostki objętości ciała. Wielkość ta posiada wiele zasługujących na uwagę własności.

Wzór (115) na potencyał otrzymaliśmy, całkując wzór różniczkowy (114), w którym uważaliśmy wszystkie odkształcenia składowe za zmienne, od siebie niezależne. Potencyał <D powinien więc być zależny tylko od tych wartości odkształceń składowych, które odpowiadają granicy górnej i dolnej całkowania, nie może zaś być zależny na-przykład od porządku, w którym powstawały te odkształcenia składowe, od prawa, podług którego wzrastały one od zera do ich obecnych wartości, od postaci trajektoryi cząsteczek ciała odkształcanego i t. p. A więc przy całkowaniu wzoru (114) przyjęto założenie, wyraźnie niezaznaczone, że część druga tego wzoru jest różniczką zupełną pewnej funkcyi sześciu niezależnych od siebie odkształceń składowych. Teraz oczywiście powstaje pytanie, czyśmy mieli prawo uczynić założenie, że wzór (114) na 5jest różniczką zupełną zmiennych A.,., A^, . . ., g,y? Na pytanie to możemy odpowiedzieć twierdząco.

Istotnie, siły sprężystości powstają w sposób wiadomy z tych sił wewnętrznych cząsteczkowych, od których zależy oddziaływanie wzajemne na siebie cząsteczek ciała, a praca cząstkowa sił cząsteczkowych jest zawsze różniczką zupełną. Przypuśćmy, że dwie cząsteczki ciała a i b znajdują się od siebie w odległości r; współrzędne pierwszej niech będą x, y i z, drugiej zaś x\ y' i z¹; wreszcie niech f (r) będzie siłą oddziaływania wzajemnego na siebie tych cząsteczek. Siła ta ma kierunek prostej, łączącej cząsteczki a i b\ przypuśćmy, że działa od a ku b, gdy rozważamy działanie cząsteczki b na a, a od b ku a, gdy rozważamy działanie cząsteczki a na b. Wtedy rzuty siły, mającej początek w cząsteczce a, na osie współrzędnych, są: f (r) cos (r, x), f (r) cos (r, y) i f (r) cos (r, z), pracę zaś cząstkową tej siły wyrazi suma:

f (r) [cos (r, x) dx -(- cos (r, y) dy -|- cos (r, 0) 3^].

— f (r) cos (r, z),

Rzuty na osie współrzędnych siły, mającej początek w cząsteczce b, są: — f (r) cos (r, x),    — f (r) cos (r, y) i

a praca cząstkowa tej siły będzie:

— f (r) [cos (r, a) 3x' -[- cos (r, y) dy' -)- cos (r, z) dz'].

Praca więc cząstkowa sił, działających między parą punktów ciała a i b, jest:

f (:r) [cos (r, a?) (3x -dx') -f cos (r, y) (dy-dyr) -j- cos (r, 2) (3z—dz%

Jednakże r² = (x—x')² + {y—y’f + (z—z')² i cos (r, x)

y¹—y    /    ,    z'—z

—> cos *) = -7“ ;

X¹-X

cos (r, ?/) =

a ponieważ jednocześnie mamy:

r dr = (x—x') (dx—dx') -|- (y—y') (dy—dy') -[- (z—z’) (dz—dz'),

przeto:

dr = — [cos (r, x) (dx—dx') -f cos (r,«/) (dy—dtj') cos (r, 0) (32—3$')]

i dla szukanej pracy cząstkowej otrzymujemy: — f(r) dr. Dla takiejże pracy sił, działających między inną parą punktów, oddalonych od siebie o r\ otrzymamy: — f(r')dr' i t. d. Stąd wynika, że praca cząstkowa wszystkich sił cząsteczkowych ciała, będzie:

— S f (r) dr,

gdzie znak £ oznacza sumowanie, rozpostarte na wszystkie możliwe pary cząsteczek ciała. Ponieważ w tej sumie każdy wyraz, wzięty oddzielnie, jest różniczką zupełną, więc i cała suma przedstawia różniczkę zupełną pewnej funkcyi zmiennych odległości r, r', r", . . .

Wzór (114), przedstawiający pracę cząstkową sił cząsteczkowych, sprowadzoną do jednostki objętości ciała, musi więc także być różniczką zupełną pewnej funkcyi odkształceń składowych; otrzymujemy zatem równości:

XX )

3<p

dA — Pyy >

= Pb»

3<b

d9y*

— Vyz >

3<b

d9zx

- Pzx >

3<1>

.    . (117).

Pxy

®9xy

Różniczkując te równości, otrzymujemy piętnaście równości, zawartych w jednym wzorze ogólnym:

dpi _ dp,.

dl, ~ dl]

w którym za i i k należy podstawić liczby szeregu 1, 2, 3, 4, 5 i 6 i przyjmować:

P2 — Pyy 1 Pi — Vzz > Pi — Vyz > Pi — Pex i Pq — Pr.y\

1₂ = ly , A3 = lz

XX )

A₄ — gyz, A₅ — gzx i A₆ — gxy.

Pi=P li — 1

a otrzy-

Weźmy teraz pochodną cząstkową wzoru (115) względem 1 mamy:

9A*

— i Pxx ~b -i

1 \dP

XX

dp

3A*

A _i_ J.yy a i_ dlx +

i.+ Sp

yz

3A.,,

SA,

9yz +

dp

dlx

Jednakże

dp

yy _

dpx

dp

SPxx

8A»

’    3A..    3A,

i t. d.,

otrzymujemy więc:

pxx -

dp

XX

dp

XX

dp

XX

dl

d lz

lz -f dPxx

dg

yz

9yz +

dp

XX

9zx —|—

dp

XX

d9xy

Qxy •

Na podstawie znanego twierdzenia Euler’a dla funkcyi jednorodnych, wyprowadzamy wniosek, że pxx jest funkcyą odkształceń składowych jednorodną, pierwszego stopnia. W takiż sposób przekonamy się, że wszystkie siły sprężystości są funkcyami liniowemi odkształceń składowych, co przyjęliśmy już zresztą jako założenie podstawowe dla naszych wywodów, otrzymane z doświadczeń. Na podstawie doświadczeń należy, zgodnie z poglądem Kirchhoff a, przyjąć dla funkcyi jeszcze dwie własności następujące: że funkcya ta pozostaje zawsze dodatnią i że może zamienić się na zero tylko wtedy, gdy wszystkie odkształcenia składowe są równe zeru. W rzeczy samej, przypuszczając, że 4> może zmieniać swój znak, musielibyśmy przypuścić, że podczas odkształcania ciała siły wewnętrzne nie zawsze przeciwdziałają zewnętrznym, wywołującym odkształcenie, ale że mogą nawet pomagać im, a takie przypuszczenie jest sprzeczne ze wszelkiemi spostrzeżeniami. Skoro zaś przypuścilibyśmy, że <ł> może być równe zeru wtedy, gdy nie wszystkie odkształcenia składowe są zerami, to musielibyśmy przyjąć, że można wywoływać w ciałach pewne odkształcenia bez zużycia na to pracy, co również nie zgadza się z rzeczywistością.

ROZDZIAŁ III.

Zależność sił sprężystości od odkształceń składowych.

29. Współczynniki sprężystości. W rozdziale poprzednim dowiedliśmy, że przy bardzo małem odkształceniu ciała, siły sprężystości należy uważać za funkcye liniowe odkształceń składowych. Przyjmując to założenie podstawowe niniejszej teoryi jako wynik doświadczenia, można zależność sił sprężystości od odkształceń składowych wyrazić zapomocą wzorów następujących:

Pxx = an A* -f- «i₉ A* -f- an A* -f augyz + aJ5 gsx -f au gxy

. .(119)

Vyy — an A* + £*22 ^y + a23 Az -j- £*24 9yz “h ffl25 Qbx -f" £*26 9xy

Pxy - £*61 A, -\- £*62 Ay -j- a₆₃ A₂ -f- £*6₄ Qyz £*₆₅ gzx £*66 9xy

w których 36 współczynników: an, an, . . . a₆₆, zwanych współczynnikami (modułami) sprężystości ciała, należy uważać za ilości niezależne od odkształceń składowych.

Z samej postaci tych wzorów i z powodu, że odkształcenia składowe są to liczby bardzo małe, oderwane i ułamkowe, wynika, że współczynniki sprężystości ciała są to wielkości jednorodne z siłami sprężystości i w porównaniu z niemi bardzo wielkie.

Mając na uwadze piętnaście równości, zawartych we wzorze ogólnym (118), otrzymamy również piętnaście równości, zawartych we wzorze:

®iic — aM

. (120),

w którym za i i k należy podstawić dowolne liczby szeregu 1,2,3, 4, 5 i 6.

A więc z 36 współczynników może być tylko 21 różniących się wielkością; możemy więc powiedzieć, że w najogólniejszym przypadku budowy ciała natura jego charakteryzuje się nie więcej jak 21 różnymi współczynnikami (modułami).

Jeszcze w następujący sposób możemy się przekonać, że niema więcej aniżeli 21 różnych współczynników. Ponieważ siły sprężystości są to funkcye odkształceń składowych jednorodne, pierwszego stopnia, przeto potencyał O, oznaczony z wzoru (115), jest funkcyą odkształceń składowych, jednorodną, stopnia drugiego, wskutek czego wfunkcyi tej mogą występować tylko wyrazy, zawierające odkształcenia składowe w potędze drugiej lub ich iloczyny po dwa. Liczba wyrazów pierwszego rodzaju nie może być większa od sześciu, liczba zaś wyrazów drugiego rodzaju nie może być większa od liczby kombinacyi z sześciu liter po dwie, t. j. nie większa niż 15. Zatem wszystkich wyrazów we wzorze na <X> nie może być więcej niż 21. Ponieważ jednak pochodne cząstkowe potencyału względem odkształceń składowych są równe odpowiednim siłom sprężystości, przeto liczba różnych współczynników we wzorach na te siły, również nie może być większa niż 21.

W przypadku ogólnym gęstość i budowa ciała w rozmaitych miejscach może być różna, musimy więc w przypadku ogólnym współczynniki sprężystości uważać za funkcye współrzędnych punktów ciała; przy-czem dla różnych ciał postać tych funkcyi może być rozmaita. Naj-prostszemi ciałami przyrody pod względem budowy są oczywiście te, dla których współczynniki sprężystości są ilościami stałemi, jakkolwiek różnemi dla rozmaitych ciał tego rodzaju.

Budowa takich ciał powinna okazywać pewną jednolitość w ugrupowaniu cząsteczek dokoła każdego punktu. Z tego powodu ciała tego rodzaju można zwać ciałami o sprężystości jednolitej albo o sprężystości stałej. Bardzo jest prawdopodobne, że np. kryształy należą do grupy ciał o sprężystości stałej (jednolitej) i znamionują je współczynniki sprężystości stałe.

Jeszcze prostszy przypadek budowy przedstawiałoby ciało o sprężystości stałej (jednolitej), w którem rozkład cząsteczek byłby jednakowy z obu stron każdej płaszczyzny, mającej zupełnie określony kierunek, i ten sam dla wszystkich punktów. Takie ciało miałoby płaszczyznę symetryi i znamionowałyby je współczynniki sprężystości stałe, których liczba byłaby mniejsza od 21. Podobnież możemy wyobrazić sobie ciało, posiadające dwie albo trzy płaszczyzny symetryi. Możemy wyobrazić sobie ciało, w którem rozmieszczenie cząsteczek dokoła każdej linii, mającej kierunek określony jest jednakowe i wszędzie takie same. Takie ciało posiadałoby oś symetryi, a każda płaszczyzna, przechodząca przez tę oś, byłaby płaszczyzną symetryi.

Najprostszy wreszcie przypadek budowy ciała byłby ten, gdyby budowa ta jego była we wszystkich punktach i wszystkich kierunkach jednakowa. Dla takiego ciała każdy kierunek byłby osią symetryi, a więc i każda płaszczyzna byłaby płaszczyzną symetryi; liczba zaś różnych współczynników sprężystości byłaby najmniejsza. Ciała tego rodzaju będziemy, za przykładem Cauchy’ego, nazywali ciałami równozwrotnie sprężystemi (izotropowo-sprężystemi) albo ciałami równozwrotnemi o sprężystości stałej.

Własności współczynników sprężystości, zarówno w przypadku ogólnym jak i w przypadkach szczególnych budowy ciała, wynikają z własności funkcyi potencyalnej O. To też na zasadzie tej własności potencyału, że jego pochodne cząstkowe względem odkształceń składowych są równe odpowiednim siłom sprężystości, otrzymaliśmy 15 równości (120) pomiędzy współczynnikami. W takiż sposób ta własność potencyału, że on dla wszelkich dowolnych wartości odkształceń składowych pozostaje dodatnim, doprowadzi nas do poznania pewnych nierówności, którym współczynniki sprężystości powinny zadość czynić.

W celu otrzymania tych nierówności napiszmy wzór potencyału ćp w tej postaci, którą otrzymuje się, gdy we wzorze (115) za siły sprężystości podstawimy ich wartości z wzorów (119).

Postać ta jest następująca:

(121).

2 cp — an A²x -(- a₂₂ A²^ -j- a₃₃ A², -f- «₄₄ g²yz -j- a5ig²zcc -f- a₆₆ g²xy -(-—j— 2ć£₄₂ -Vr Ay -f- 2d₄₃ Ax Az —|— 2a^ Axgyz | 2Axgzx -j- 2rt₄g A^gxy T *P 2^23 ^y ~h 2^24 ^y 9yz 2ći₂5 ^y9sx T" 2fl₂6 Ay9xy ~t~

- P 2a₃₄ Az gyz -[- 2a₃₅ Azgzx + 2au Azgxy + gyz 9=x T- 2rt₄₆ gyzgxy 4-

“h 2^*5 6 9zxQxy

Ponieważ <p jest funkcyą odkształceń składowych jednorodną, stopnia drugiego, zawierającą 21 różnych współczynników, przeto możemy wyrazić ją także w postaci następującej:

2 d> = (A₁ Ax + A₂ Ay -j- As Az Ai gys + A₅ gzx -j- A₆ gxy)²-\-+ Ay -j- Bs As -f- B₄ gyz + B₅ gzx -j- Be gxy)²-\-+ (^3 4 +    9y* + ^5 9tx -f-    gxyf ~Y

9y* + F^gzx-\- Z>₆ gxy)2jr + (-®5 9»x-\~ ^6 9xy)2jr

+ F²g²xy .    .    (122),

gdzie część druga jest także funkcyą odkształceń składowych jednorodną, stopnia drugiego, zawierającą również 21 różnych współczynników.

Po porównaniu współczynników podobnych we wzorach (121) i (122), otrzymujemy równania następujące:

^■lA-ai2 > -^lA-ai'S > -^1^4-®14 > ^-lAc(-ft15 j ^-1^6-fl16 ’    •    •    (b)

AAA~ B₂B₃ ~^23 > -^-2-^4 ^ B₂B± — 0,21 , A₂A₅ -\-B₂B₃ — «25 j

(C)

At‘J — au ,

A² “I⁻ B₃² -f- C₃² — a₃₃,

A₂² + B₂² — a₂₂ ,

A₄²-[-B₄² A C₄²-{~D₄² — a₄₄ , A² + -B₅² •+• C₅² + D₅²-)-E₅²=a₅₅ , A² + B² + Cg² + D² + E² + F² = a₆₆

• • (a).

^-2-^6⁻ł-J^2^6 ~^26

-^3^4 +-®3-®4+ ^3^4 - tt34

^3^5 + -®3-®5+ ^3^5 - a35

(d)

^3^«    C₃C₆ —au

(i),

A^ + B^+C^+D^a^, AiA, + BiB₆ +CAC₆+DAD₆ = ai6. (e) AA ~\~B₃B&-\- B₅ C₆ 4- B₅Dg -f- F₅E₆ — a₅₆

z których możemy oznaczyć, w zależności od współczynników, wszystkie współczynniki wzoru (122), których jest 21.

Jeżeli wielkość O pozostaje dodatnią dla wszelkich możebnych wartości odkształceń składowych, to żaden ze współczynników wzoru (122), przedstawiającego sumę sześciu kwadratów, nie może być wielkością urojoną. Skoro wprowadzimy ten warunek do równań (a), (b), (c), (d), (e) i (f), to będziemy mogli ustalić wszystkie te nierówności, którym współczynniki sprężystości powinnny zadość czynić.

Z równań (a) widzimy, że każdy z sześciu współczynników sprężystości postaci a,i jest ilością dodatnią, czyli:

(123),

da > 0

gdzie za i należy podstawić liczby szeregu 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Pierwsze z równań (b) daje: A₂² = °A <l22 ^12²

«n

a wtedy drugie z równań

(a) przybiera postać: B₂2 albo pisząc inaczej:

«n

skąd wynika, że ana₂₂ — a₁₂²>0,

wyznacznik

aw 1 ^12 ^21 > ^*22

(124).

Pierwsze z równań (c) daje:

_ (a23    ^-2^-3)

^23

ai2ai3\²

all

B 2 2

a wtedy z trzeciego z równań (a) wynika:

_ (aU ^23 fl12 a!3)~

all (®11 a22    ^12²)

C₃" — a₃₃

an² _ (an a22 ai2 ai3)²

an (axl a₂₂ flą₂²)

>0,

. . aa

<*»] , <**2 , •

gdzie za i należy podstawić liczby szeregu 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

— u.

30. Ciała o płaszczyznach symetryi. Określmy płaszczyznę symetryi ciała własnością następującą potencyału: jeżeli oś x współrzędnych jest skierowana prostopadle do płaszczyzny symetryi, to potencyał O nie zmieni się wskutek zastąpienia x i u przez —x i

Ponieważ wskutek zmiany znaku przy ilościach: x i u zmienia się również znak odkształceń składowych gBX i gxy, jak to widzimy z wzorów (11), przeto we wzorze (121) na O powinny być równe zeru współczynniki następujące. <*15, fi₂₅, <*₃₅ , <x, <*₁₆, <i₂₆ > <*₃e > <*46 • A więc w przypadku, gdy płaszczyzna (ys) jest płaszczyzną symetryi ciała, zależność sił sprężystości od odkształceń składowych wyraża się zapomocą wzorów następujących:

Pxx — <*n    -J- a 12    -j~    <*i₃    Ae    -j-    «₁₄    gyz

Pyy ~ <*2i    A* -j⁻    <*22 H~    <*23    Az    -(-    <*24    9yz

•    • (127),

albo po wykonaniu działań wskazanych:

<*n»    <*12    j <*13

<*21 J <*22 »    <*23

fl31 >    <*32    J <*33

W takiż sposób przekonamy się, że wogóle:

<*12 j •    • • • <*1»

<*22 , ... . «2i

wyznacznik

an

wyznacznik

<*21 ,

> 0. ..

. . (.126),

pzz — <*₃i    A^ —J—    <*32 Ay —j—    <*₃₃    Aa    —(—    <*34    gys

Pyz =z <*41    Aj; -j-    <*42 Ay -J-    <*43    A₃    —(-    <*44    gyz

Pzx = <*55    gzx “I"    <*56 9%y

P.ry <*65 9zx “j_ <*66 9'xy

gdzie mamy tylko trzynaście różnych współczynników.

Jeżeli nietylko płaszczyzna {yz) ale i płaszczyzna (xz) jest płaszczyzną symetryi, to funkcya <I> nie powinna się zmieniać nawet w razie zastąpienia y i v przez — y i —v; a ponieważ w takim przypadku zmieniają znak odkształcenia składowe gyz i gxy, przeto we wzorze (121) muszą być równe zeru także współczynniki: a₁₄, a₂₄ > <*.34, <*5fi. W przypadku zatem, gdy płaszczyzny {yz) i {zx) są płaszczyznami symetryi ciała, mamy wzory:

Pxx Ax —(” ®12 Ay ~~f~ ®13 As

Pyy — a21    -\- #22 ^ 4~ a23

Pzz ^31 Ax —j⁻ ^32 A^ ~i~ ®33 A₂

Pyz z=z ®44 Pyz Pz.r = ft 5 5 Qz:r Pxy ⁼⁼ ^66 9xy

2 O = an A²X -}- a₂₂ A²^ -j- a₃₃ A², -|~ ^44 ć/²?^ -j~ a55 P²®* ~b ae6#²<y 4~

~t~ 2 (^12 Ax Ay —[— ffl₂3 Ay A₂ —{— ttj₃ A₂ A*) . • • (129j, gdzie różnych współczynników jest dziewięć.

Z tych wzorów widzimy, że w przypadku rozważanym, płaszczyzna (xy) jest również płaszczyzną symetryi. A zatem, jeżeli ciało posiada dwie do siebie prostopadłe płaszczyzny symetryi, to i płaszczyzna trzecia, do nich prostopadła, jest także płaszczyzną symetryi.

31. Ciała równozwrotnie sprężyste. Ciało równozwrotnie sprężyste charakteryzuje się własnością, że dla niego każda płaszczyzna jest płaszczyzną symetryi, a więc wzór (129) potencyału O jest ważny i dla tego ciała, bez względu na to, jakie jest położenie prostopadłych do siebie osi x, y i z. A zatem wzór ten nie może się zmieniać, gdy zamienimy oś x na oś y i odwrotnie, lub oś x na oś z i odwrotnie, lub wreszcie oś y na oś 0 i odwrotnie. Wskutek tego muszą istnieć równości:

$14 tt₂2 ⁼⁼ ®33 >    tf'44 = #55    $6₆ ,    $42 ⁼⁼ ®23 ⁼⁼ ®31 >

a wzór (129) musi przybrać postać:

2(]3=a₁₁ (A²x+A²y-t-A²₃) +-a₄4 (,y²2/E~i_.,5,2x2/)'ł'2tt₁₂(A.r A^-f- A^Ae-)-A₃A.'). Wzór ten możemy również tak napisać:

_i_ ^2 _j_ d‘lxy 4- y²yz -\-g²

| (g²zx -j- g²yz -j- y²xy ),

gdzie Ax + Ay -j- AE i A²* -f A²y + A², -f- \ {g\s -j- g²zx -f g\) są to

niezmienniki osi współrzędnych, jak to nam wiadomo z wzorów (31). Ażeby więc funkcya O była niezależna od położenia osi współrzędnych, nie powinno być w powyższym wzorze ostatniego wyrazu, zależnego od położenia osi. Otrzymujemy więc jeszcze równość:

a44 ⁼ h ian ^12) j

20

— ai2 (Ax+A y -f A=)² -j- (a, 4 — a₁₂) |a²x+A²

+(

ail ai2 “14 —    2

)+

gdzie a„ > a₁₂, gdyż atl > 0.

Vxx — (iu Aa- -f- a₁₂ (Ay -j- A₂) = a₁₂ G —j— 2 a₄₄ A

Pyz = «44 9yz Pex —- «-₄₄

Pyy — alł 4“ tt12 4" ^x) = ^12 ® + 2 «44 A

Vzt    Aj, -j— ®i2 (A* ”4 ^y) ⁼⁼ ^i2 ^ 4~ 2 ^4+ ^ ’ P%y ⁼⁼ ®44 9*9 •

gdzie wchodzą tylko dwa różne współczynniki.

Współczynnik a₄₄ nazywa się współczynnikiem sprężystości poprzecznej ciała i oznacza się literą G. Uznajmy dalej, że:

2(1+|>)G = E. . . (132),

®12 _ ^12 _ t*-

2 G 1 — 2p

24>

Mamy więc dla ciała równozwrotnie sprężystego wzory:

9¹ yz 4“

— ai2 (A.rH-A^-j-Aj,)²-1-2^44 |A²x-f-A²y-j-A²z +

2 a₄₄

gdzie [jl jest pewną liczbą oderwaną, a E jest ilością jednorodną ze współczynnikiem G, zwaną współczynnikiem sprężystości podłużnej ciała.

— au

Przy powyższych oznaczeniach otrzymujemy z równania 2 a₄₄ =

«i2:

2 G — an —

1-UL    .

^    , ale    a^

P <

Powyższe więc wzory dla ciała równozwrotnie sprężystego można przedstawić w postaci następującej:

skąd an =

i⁵ ! »

tvH

1—2(4.

więc    1—(4. > (4. , czyli

(133).

0> =

e² + A².r + A², + A²₃ + i (g\B +g\x +g\y) . (134)

P XX

Pyz —

2(1 4~p)

9yz

Pyy =

{i 6

1 +{4.    1-2(1

4“ AyJ

Pex

2(1 + (4.)

9zx

. . (135),

Pu

(i 6

4~

Pxy --

2(1 +(4

9xy

1 +(JL 1 —2(4.

gdzie 6 = Ax -j— A^ -j- Az.

Wzory zaś, wyrażające odkształcenia składowe zapomocą sił sprężystości, są następujące:

² d)    [ p²xx + P²yy + P² zz    2 (i. (Pxx Pyy + Pyy Pzz + Pss Pxx ) T"

. . (137).

+ 2(1 +|l) (P²yz + P²zx + P²xy ) ]    •    •

Dwa współczynniki, znajdujące się w powyższych wzorach, mianowicie współczynnik sprężystości podłużnej E i liczba (i, mają dla różnych ciał równozwrotnie sprężystych wartości różne. Liczba [i, jak to już udowodniliśmy, jest mniejsza od . Doświadczenia wskazują, że liczba ta leży między jaj.

32. Współczynnik zmian poprzecznych. Liczba p. ma znaczenie fizyczne, dzięki któremu nazywamy ją współczynnikiem zmian poprzecznych ciała. Dla ujawnienia tego znaczenia musimy udowodnić poprzednio twierdzenie następujące: przy każdem wydłużeniu ciała muszą zjawiać się skrócenia w kierunkach prostopadłych do wydłużenia, o ile niema sił zewnętrznych temu przechodziałających.

/ aj\\

Niech r będzie kierunkiem wydłużenia ciała, a więc kierunkiem sił zewnętrznych, wywołujących to wydłużenie. Przyjmijmy wewnątrz ciała cztery punkty: a, b, c i d (rys. 3) tak, aby one przed odkształceniem ciała leżały w wierzchołkach bardzo małego kwadratu, którego przekątnia ab jest równoległa do

j----kierunku r. Po odkształceniu odległość między

Rys. 3.

A,=

jjj [ Pxx    ( Pyy + Pzz ) ] >

9y* =

A?/ — Ti [ Vyy 1Ł ( Pzz + Pxx) ]

Qzx —

Pzx

^a - jji [ Pzz

1J' ( Pxx + Pyy ) ] J

9xy

²(¹~h0 v

E Pxy

punktami a i b będzie a' b¹ = ab (1+Ar). Ponieważ, zgodnie z założeniem, odległość między punktami a i b powiększyła się, przeto między nimi niewątpliwie zjawiła się siła przyciągająca sprężystości, skutkiem której działania punkty te powróciłyby do położenia pierwotnego, gdyby temu nie przeszkadzały siły zewnętrzne, rozciągające ciało. Z powiększeniem wszakże odległości między punktami a i b, powiększa się odległość również między punktami a i c, a id, hic, bid, a więc między każdą parą tych punktów pojawiają się także siły przyciągające sprężystości. Tak np. punkt c będzie poddany działaniu dwóch takich sił, równych sobie, z których jedna skierowana jest od c do a, a druga od c do b, a wypadkowa ich będzie skierowana od c do d.

Również punkt d będzie poddany działaniu dwóch sił, których wypadkowa ma kierunek od d do c. Ponieważ dla ruchu punktów c i d po przekątniej cd, prostopadłej do sił zewnętrznych, rozciągających ciało, niema przeszkód ze strony tych sił, przeto punkty c i d zbliżą się do siebie, a więc wydłużeniu w kierunku przekątniej ab będzie towarzyszyło skrócenie w kierunku przekątniej cd. W takiż sposób przekonać się możemy, że każdemu skróceniu w kierunku r towarzyszą wydłużenia w kierunkach prostopadłych do tego skrócenia.

Spostrzeżenia potwierdzają te wyniki teoreryczne i wykazują, że bardzo małe zmiany poprzeczne, wywołane przez zmiany podłużne, są zawsze proporcyonalne do tych ostatnich. Współczynnik proporcyonalności jest właśnie liczbą wchodzącą we wzory (135) i (136).

Istotnie, weźmy w ciele równoległościan cząstkowy, o krawędziach równoległych do osi współrzędnych x, y i z i poddajmy to ciało nieznacznemu odkształceniu. Po skończeniu tego odkształcenia w równo-ległościanie ujawnią się trzy wydłużenia: Ax, Ay i A₃ i trzy przesunięcia: gyz, gzx i gxy. Nadto na ścianach równoległościanu zjawią się siły sprężystości; te siły możemy uważać za owe siły zewnętrzne, które wywołały odkształcenie równoległościanu. Rozkładając każdą z tych sił na składowe w kierunkach osi współrzędnych x, y i z, otrzymujemy na każdej ścianie trzy siły: jedną normalną do ściany i dwie styczne. Możemy więc przyjąć, że równoległościan poddany jest działaniu sił następujących:

rozciągających go w kierunku osi x i działających na dwie ściany prostopadłe do tej osi;

2)    sił pyy, rozciągających w kierunku osi y,

3)    sił pZ3, rozciągających w kierunku osi z — i

4)    sił stycznych pyz, pzx i pxy, które wywołują oczywiście przesunięcia. g yz, gzx i g.xy.

Niech i, i' i i" będą wydłużeniami względnemi w kierunku osi x, y i z, wywołanemi przez siły normalne pxx, pyy i pzz. Ponieważ między temi siłami i wywołanemi przez nie wydłużeniami względnemi powinna istnieć zależność liniowa, przeto możemy uznać, że dla ciała rów-nozwrotnie sprężystego:

XX )

1) sił p

Pxx =Ęi , pyy=Ei' i pzz = Ei" ....    (138),

gdzie E jest współczynnikiem sprężystości podłużnej ciała, stałym dla wszystkich kierunków i dla wszystkich punktów ciała.

Każdemu z powstałych wydłużeń i, i' i i" musi towarzyszyć skrócenie poprzeczne. Z tego powodu nasz równoległościan ulegnie: w kierunku osi x wydłużeniu i i skróceniu \ń' i jii"

i'

i¹

tNł

tu" i {x |u i u.

— H (»"+ *) ¹ A₂ = i" — ^ (*' + i%

Otrzymamy zatem:

h.x=. i    jj. (i'~j- i") ,

czyli, wprowadzając za i, i' i i" ich wartości z równań (138):

A,=

A?/ E

A* =

Pyy [*• (Pxs 4” Pxx)

P~-= !x (pxx 4" Pyy )

Wzory te są identyczne z wzorami (136).

Dla sił stycznych sprężystości możemy przyjąć:

Pyz    ^ 9yz > P=x Q~Qsx i Pxy⁼^z G gXy . . . (139)

gdzie G jest współczynnikiem sprężystości poprzecznej ciała, stałym dla wszystkich kierunków i dla wszystkich punktów ciała równozwrot-nie sprężystego.

Pomiędzy tym współczynnikiem a ilościami E i ^ istnieje związek (132), który możemy otrzymać również na zasadzie rozumowania następującego, niezależnie od wzorów (136).

Rys. 4

Niech ABCD (rys. 4) przedstawia graniastosłup prosty, zbudowany z materyału równozwrotnie sprężystego i niech na obie podstawy tego graniastosłupa działają siły zewnętrzne, równoległe do jego osi geometrycznej i jednostajnie rozłożone na całej powierzchni każdej z tych podstaw. Kierunek tych sił jest taki, że graniastosłup jest rozciągany w kierunku swej długości. Niech P będzie wypadkową sił, działających na każdą z dwóch podstaw, i niech i będzie wydłużeniem względnem, w kierunku osi graniastosłupa. Wreszcie niech F oznacza powierzchnię przecięcia poprzecznego graniastosłupa, czyli powierzchnię jego podstawy. Otrzymujemy wtedy dla siły rozciągającej, sprowadzonej do jednostki powierzchni:

•• (HO).

Jeżeli siły zewnętrzne nie działają na ściany boczne i jeżeli nie uwzględnimy własnego ciężaru graniastosłupa, to odkształcenie graniastosłupa będzie polegało na wydłużeniu w kierunku jego osi geometrycz-

Weźmy teraz przekrój ab, pochylony do osi graniastosłupa pod kątem 45°, tak, aby normalna n do tego przekroju leżała na płaszczyźnie xz. Wówczas będzie: cos (n, x) = cos 45° = V ^; cos (n, y) = 0; cos (n, z) — sin 45° = V £ . W tym przekroju nastąpi największe przesunięcie 9„s, którego kierunek s może być oznaczony z następujących wartości dostaw: cos (s, x) = cos 135° = — V ^ ;

cos (s, y) — 0;

cos (.s, z) — cos 45° — A zatem dla danego przypadku, na mocy wzoru ogólnego (9) na przesunięcia gm, otrzymujemy:

9»» = — 2 jł i ( V \) (— V i) -f 2 i (l/i) (V^) = (1 -f \i)i czyli

9ns- (1 + (A)

(142).

EF

Przenieśmy teraz wszystkie siły składowe P na przekrój ab i rozłóżmy je w kierunkach n i s, t. j. w kierunkach: normalnym i stycznym do

P

!/ 2 ‘

nej i na skróceniach w kierunkach prostopadłych do tej osi. Jeżeli więc oś ^ ma kierunek osi graniastosłupa, a osi x i y leżą na jednej z jego podstaw, to dla dowolnego punktu graniastosłupa otrzymamy:

tL i    p

EF ’    ’ —

Aa;--- A y - i -

EF

i 9yz 9ze 9"y — 0 . . (141).

przekroju. Wypadkowa wszystkich sił stycznych będzie P cos 45° =

Jeżeli przez F' oznaczymy powierzchnię przekroju ukośnego, to dla stycznej siły sprężystości pns otrzymamy:

Pns -

ponieważ zaś F' —-~

COS 40

F' V 2 ’

^    = F V 2 , przeto

= kEi.

więc:

Siła styczna pm musi być proporcyonalna do przesunięcia gn \Ei — Ggns — G(1 -f (i)i ,

a stąd otrzymujemy: 2 (1 -j-ji) G = E, t. j. wzór (132).

33. Wyznaczalność zagadnień, odnoszących się do odkształceń. Warunki znoszące posunięcia, wspólne wszystkim punktom ciała. W niniejszym ustępie udowodnimy pewne twierdzenie, bardzo ważne w zastosowaniach teoryi sprężystości, polegające na tern, że zadanie, odnoszące się do odkształceń ciała sprężystego, będzie zupełnie określone i będzie dawało tylko jedno rozwiązanie, gdy wprowadzimy warunki, uniemożebnia-jące posunięcia i obroty, wspólne wszystkim punktom ciała.

Przypuśćmy, że przy rozwiązywaniu pewnego zadania otrzymaliśmy dwa rozwiązania. Niech ux, vx i wx, będzie układem posunięć, otrzymanych z pierwszego rozwiązania, a u₂, v₂ i w₂—z drugiego. W takim przypadku z wzorów (11) otrzymamy dwa układy odkształceń składowych, a z wzorów (136) otrzymamy dwa układy sił sprężystości (przypuszczamy, że ciało jest równozwrotnie sprężyste). Możemy więc napisać równania równowagi (47) i (49) dwojako: dla układu ux, vx i wx i dla układu v₂, v₂ i w.₂. Jeżeli od równań układu drugiego odejmiemy równania odpowiednie układu pierwszego, to otrzymamy równania równowagi dla układu u{ — u2 rały wyrazów z siłami zewnętrznemi. Musimy więc różnice ux—u₂, vx—v₂ i wx—w₂ uważać za takie posunięcia, jakim mogą podlegać punkty ciała przy przejściu tegoż ze stanu równowagi naturalnej do stanu równowagi naprężonej, bez działania sił zewnętrznych. Ale dla takiego przejścia praca sił wewnętrznych musi być równa zeru, czyli musi być:

i wx—w₂ , które nie będą zawie-

vx-v₂

f j* (* O 3x dy dz = 0 ,

gdzie w wyrażeniu na O za u, v i w należy podstawić różnice ux—v₂, vx—v₂ i wx—w₂. Ponieważ wszystkie elementy powyższej całki trzykrotnej są ilościami dodatniemi, przeto całka ta będzie równa zeru tylko wtedy, gdy 0=0, a ten warunek, zgodnie z własnością funkcyi O,' wyłożoną w ustępie 28, doprowadza do równań następujących:

a (nx—u₂)

a (vx—v₂)

c>X

dy

d(wx—w₂) Q

dz

dx

dz

a ivx—v₂)

dz

d(wx—W₂)

3y

³    y₂)

= 0,

d (ux-U₂)

dy

dx

z których otrzymujemy, jak wiadomo, z ustępu 13:

ux—u₂ = a.Jrqs — ry vx — v₂ — p -(- rx — pz wx —w₂ = i py.— qx.

Jeżeli wszakże wprowadzimy warunki, uniemożebniające posunięcia postępowe i ruchy obrotowe, wspólne wszystkim punktom ciała, to zmuszeni będziemy przyjąć:

a więc:

a. = $ = f = p z=-q = r = 0 ,

Ul — U2 > Vl — V2 i W\ co jest dowodem naszego twierdzenia.

Przy rozwiązywaniu więc jakiegokolwiek zadania tyczącego się odkształceń ciała sprężystego, gdy mamy otrzymać tylko jedno rozwiązanie, musimy wprowadzić warunki, znoszące możność zmiany położenia punktów ciała, przy których układ wzajemny tych punktów się nie zmienia, ale zarazem warunki te nie powinny zawierać przeszkód dla jakichkolwiekbądź posunięć, zmieniających układ wzajemny punktów. Tym wymaganiom uczynimy zadość, wprowadzając trzy warunki następujące: 1) jeden z punktów ciała powinien być nieruchomy, 2) jedna cząstka liniowa, przechodząca przez punkt nieruchomy, nie powinna zmieniać swojego kierunku i 3) jedna cząstka powierzchni, przechodząca przez rzeczoną cząstkę liniową, powinna pozostawać w swej płaszczyźnie.

Ażeby te warunki wyrazić analitycznie, przypuśćmy, że punkt nieruchomy leży w początku współrzędnych O i przyjmijmy na osi x punkt A, a na osi y punkt B, nieskończenie blizko do punktu O.

Współrzędne tych trzech punktów, przed odkształceniem ciała, są: dla punkt O

dx

Po odkształceniu zaś będą: dla punktu O :

dli

A: dx-\-u-\-—dx, dx

B:

du

dy

0.

dv _ lxdx’

dw

WĄ- — dx

dx

dr

u T dlJ > dl)+v+ ^ ty ,

dw

W+Tydy-

Warunek, że punkt O ma być nieruchomy, wymaga, ażeby u— 0, v = 0 i w = 0. Warunek, że cząstka liniowa O A nie powinna zmieniać jego kierunku, czyli że punkt A nie powinien zbaczać z osi x, wymaga,

dv

ażeby: — = 0 i

dx

Wreszcie warunek, że cząstka powierzchni OAB powinna pozostawać w swej płaszczyźnie, czyli że punkt B nie powinien schodzić z pła-

dw

dx

= 0.

dy

swo-

szczyzny (xy), wymaga, ażeby

3y

= 0.

Zawsze mamy więc prawo co do wartości funkcyi u, v i w wprowadzić warunki, że przy x = 0, y — 0 i z = 0 istnieją równości: u = 0 ,

iv = 0

v = 0    ,

= 0 i

Wprowadzając te warunki we wzory (15) w ustępie 13, otrzymamy:

p = q = r = 0 ,

skąd dochodzimy do wniosku, że warunki te znoszą zmiany miejsca postępowe i obrotowe, wspólne wszystkim punktom ciała.

dv

a = o ,

dx

div

d'W

rj. — [3 = y — 0

dx

dy

= 01

. . (143).

Gdyby punkt A leżał na osi z w odległości dz od początku współrzędnych O, a punkt B na osi x w odległości dx od O, to warunek, że punkt A nie powinien schodzić z osi 0, a punkt B nie powinien schodzić z płaszczyzny (zx), wyraziłby się w sposób następujący:

dli

= 0 przy x = y — z = 0 . . (143 bis).

^=0,

dz

dv    dv

dz    dx

34. Na zakończenie tego, cośmy wyżej wyłożyli, zauważymy, że w zadaniach, dotyczących odkształcenia ciał, przypuszczaliśmy milcząco, iż stosunki pomiędzy wymiarami rozważanych ciał są wielkościami skończonemi. Rzeczywiście, zawsze mieliśmy na widoku w tych zagadnieniach, iż sprężystość ciała podczas odkształcania nie zmienia się, czyli że układ wzajemny cząsteczek sąsiednich ciała zmienia się bardzo mało. Warunek ten w rozmaitych ciałach może być zachowany w różnych okolicznościach. Dla ciała, którego wymiary są wszystkie tego samego rzędu, t. j. albo wszystkie skończone, albo wszystkie nieskończenie małe, warunek, że sprężystość podczas odkształcania nie powinna się zmieniać, sprowadza się do tego, że postać ciała po odkształceniu powinna tylko bardzo mało różnić się od postaci pierwotnej. Dla takich ciał posunięcia u, v i w są funkcyami, zachowującemi bardzo małe wartości dla wszystkich punktów ciała. Gdy natomiast wymiary ciała są nie tego samego rzędu, np. w drucie bardzo cienkim albo w bardzo cienkiej płytce, wtedy warunek niezmienności sprężystości nie wymaga, by postać zewnętrzna po odkształceniu różniła się bardzo mało od postaci pierwotnej. Istotnie, drut prosty możemy zgiąć w pierścień albo spiralnie, cienką zaś płytkę płaską możemy zgiąć w rurkę, a jednak układ wzajemny cząsteczek w każdej cząstce, oddzielnie uważanej, zmieni się bardzo mało. Oczywiście, dla ciał tego rodzaju, funkcye u, v i w mogą dla wielu punktów ciała mieć wartości skończone, a jednak warunek niezmienności sprężystości będzie zachowany.

Wobec tego w teoryi sprężystości należy ciała, których wszystkie wymiary są tego samego rzędu, badać oddzielnie od ciał, których jeden lub dwa wymiary są nieskończenie małe.

na

Nie możemy jednakże rozgraniczyć wyraźnie obu tych części teoryi. Związek między niemi jest widoczny, a polega na tern, że ciała, których jeden lub dwa wymiary są bardzo małe, możemy rozłożyć cząstki, których wszystkie wymiary są tego samego rzędu, wskutek czego wszystkie wzory pierwszej części teoryi mogą być stosowane i do tych cząstek. Zadanie istotne drugiej części teoryi polega na wynajdywaniu sposobów, zapomocą których możnaby sumować wyniki, otrzymane dla każdej z cząstek, ażeby następnie z tych wyników wyprowadzić wnioski co do zjawisk, następnjących w całem ciele badanem.

CZĘŚĆ DRUGA.

ZASTOSOWANIA TEORYI SPRĘŻYSTOŚCI.

Wytrzymałość materyałów budowlanych.

WSTĘP.

35. Przy badaniu oporu, jaki przeciwstawiają ciała działaniu sił zewnętrznych, je odkształcających, rozróżniamy dwa rodzaje zagadnień, rzeczowo różnych, albowiem: albo z danego kształtu ciała przed odkształceniem i danych funkcyi zmian u, v \ w, należy oznaczyć układ sił zewnętrznych, mogący wywołać te dane zmiany; albo też na odwrót: z danych sił zewnętrznych i danego kształtu pierwotnego ciała, należy oznaczyć zmiany w położeniu wzajemnem jego punktów, czyli należy oznaczyć kształt ciała, po odkształceniu.

Zagadnienia pierwszego rodzaju zawsze dają się rozwiązywać bez trudności. Istotnie, w takim przypadku przez różniczkowanie danych funkcyi u, v i w oznaczamy najpierw odkształcenia składowe z wzorów (11), następnie zaś z wzorów (135) (w przypuszczeniu, że mamy do czynienia z ciałem równozwrotnie sprężystem) oznaczamy siły sprężystości i wreszcie z równań równowagi (47), (48) i (49) oznaczamy siły zewnętrzne, działające zarówno na masę jak i na oddzielne punkty powierzchni.

Rozwiązywanie natomiast zagadnień drugiego rodzaju, nawet w przypadkach najprostszych, połączone jest zeznacznemi trudnościami. Trudność tu napotykana polega głównie na całkowaniu równań różniczkowych (47). Dlatego też w nauce o wytrzymałości materyałów budowlanych badamy tylko odkształcenia ciał, najprostszych kształtów geometrycznych, mianowicie ciał graniastosłupowych i kulistych, z ma-teryału jednolitego, i to jedynie przy pewnych układach sił zewnętrznych, nie zaś przy układach dowolnych tych sił. W przypadkach nieco zawilszych, w celu rozwiązania zagadnienia, uciekamy się do założeń upraszczających, lub też staramy się odgadnąć wartość niektórych z sześciu odkształceń składowych, następnie zaś staramy się oznaczyć pozostałe, tak, ażeby uczynić zadość równaniom równowagi i warunkom jednocze-sności tych odkształceń składowych. Przy takim sposobie rozwiązywania zagadnień otrzymujemy równania różniczkowe cząstkowe prostsze, co ułatwia ich całkowanie.

Z założeń upraszczających, któremi się zwykle posiłkujemy, jedno polega na tern, że przy oznaczaniu wypadkowej i momentu liniowego sił zewnętrznych, gdy siły te po odkształceniu ciała dojdą już do równowagi z siłami sprężystości, przypuszczamy, że współrzędne punktów przyczepienia tych sił zewnętrznych są takie same jak przed odkształceniem ciała. Oczywiście, że takie założenie co do współrzędnych punktów przyczepienia sił jest przyczyną omyłek w obliczeniu, ale omyłki te są nieznaczne, o ile kształt ciała po odkształceniu rzeczywiście mało różni się od kształtu pierwotnego.

36. W badaniu odkształceń ciał graniastosłupowych będziemy te ciała sprowadzali do trzech prostopadłych do siebie osi współrzędnych x,y \ z\ przyjmując oś z w kierunku osi geometrycznej graniastosłupa (prostej, łączącej środki ciężkości jego przecięć poprzecznych), osi zaś x i y — w płaszczyźnie jednej z podstaw.

Jakkolwiek odkształcenia, którym może podlegać ciało graniasto-słupowe, są bardzo rozmaite, to jednak możemy uważać te odkształcenia jako wynik jednoczesnego powstania kilku prostszych odkształceń. Rzeczywiście, przypuśćmy, że przecięliśmy graniastosłup płaszczyzną prostopadłą do jego osi i że odłączyliśmy część graniastosłupa bardziej oddaloną od początku współrzędnych; wtedy dla równowagi części pozostałej należy działanie części odjętej zastąpić siłami sprężystości lub naprężeniami, działającemi na punkty danego przecięcia poprzecznego. Te naprężenia tworzą oczywiście układ sił równoznaczny z układem sił zewnętrznych, działających na punkty części odłączonej graniastosłupa. Jeżeli każdą z tych ostatnich sił zewnętrznych przeniesiemy równolegle do niej samej do środka ciężkości przyjętego przecięcia poprzecznego, to sprowadzimy układ tych sił do jednej wypadkowej R i do pary sił, której moment liniowy jest M. Niech Rx i R₂ będą rzutami wypadkowej R na normalnej do przekroju i na płaszczyźnie przekroju, a M₁iM2 takimiż rzutami momentu liniowego M pary wypadkowej. Najprostsze odkształcenia ciała graniastosłupowego otrzymujemy, gdy każda z czterech wielkości: Rly R₂, M₁ i M₂ istnieje oddzielnie.

Te najprostsze odkształcenia są:

1)    wydłużenie lub skrócenie, gdy działa tylko jedna siła R

2)    przesunięcie (ścięcie) lub poślizg, gdy działa tylko siła R

3)    skręcenie, gdy działa tylko moment M₁ pary, leżącej w płaszczyźnie przekroju

4)    ugięcie, gdy działa tylko moment M₂ pary, leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny przekroju.

A zatem odkształcenie ciała graniastosłupowego w przypadku najogólniejszym możemy uważać za wynik jednoczesnego rozciągnięcia podłużnego (lub ściśnięcia), przesunięcia, skręcenia i ugięcia.

Oznaczmy przez Rx, Ry i Rz rzuty wypadkowej R na osiach współrzędnych, a przez Mx, My i Ma rzuty głównego momentu liniowego M, w przypuszczeniu, że środek ciężkości przekroju przyjęliśmy za środek momentów. Przy takich założeniach i gdy uwzględnimy, że rzuty na osiach współrzędnych naprężenia przyczepionego w punkcie (x, yj przekroju są pzx, pzy i paai otrzymamy równania następujące:

Rx = J f Pzx dF , Ry= ff P*» dF > Rz — f f Pm dF ,

Mx == f J pza y dF

.    .    (144),

My⁼ f J v**xdF

Mz = f f (;pzyx — paxy) dF

gdzie całkowanie należy rozpostrzeć na wszystkie cząstki powierzchni F przekroju.

37. Niech x\ y' i z' będą współrzędnemi pewnego punktu ciała graniastosłupowego po tegoż odkształceniu, a x, y i z — współrzędnemi tegoż punktu przed odkształceniem, wreszcie u, v i w — bardzo ma-łemi posunięciami tegoż punktu; otrzymamy wtedy:

(145)

x’ = x -f- u y’ = y-\-v z* ⁼⁼ z —[— IV

gdzie u, v i w, jako funkcye współrzędnych, mogą być przedstawione w sposób następujący:

U = fx (x, y, z) , v — f₂ {cc, y, z) i w — fz (x, y, z).

Skoro z dwóch pierwszych równań (145) oznaczymy współrzędne x i y, to możemy w pierwszym stopniu przybliżenia zaniechać bardzo małe wielkości u iv, t. j. przyjąć x = x' i y = y', a wtedy trzecie z powyższych równań przyjmie postać:

(146).

fz (*', y\ z)z —z' = o

Jeżeli w tern równaniu będziemy uważali x', y' i z' za współrzędne bieżące, to przedstawi nam ono równanie tej powierzchni, w htórą się zamienia przekrój płaski graniastosłupa po odkształceniu. Ilość z wchodzi w to równanie jako parametr stały, z którego zmianą przechodzimy od jednego przekroju do innego. Niech N będzie normalną do tej powierzchni w pewnym punkcie x\ y' i z\ wtedy:

(153).

gdzie

cos (N, x) =

1

N dx

.7 >

cos {N, y) =

1 ‘Js N et y

cos (iV, z) = — N

..(147)

gdzie

,dx'l ' \dy')

A zatem, jeżeli przekrój pozostaje płaskim, to dostawy kątów, jakie tworzą normalne z osiami współrzędnych, muszą być ilościami sta-łemi, zależnemi tylko od parametru z, a więc:

d²W

d²w

dy²

. . (148),

czyli funkeya w będzie miała postać:

w = <P 0) + <Pi 0) x + <p₂ (*) V • •

. . (149).

Jeżeli przekroje, pozostając płaskimi, będą zarazem jak i poprzednio prostopadłe do osi z, to:

OJ OJ

= 0 i w = y(z) . . . . (150).

Z równania trzeciego grupy (144), odrzucając ilość w, otrzymamy z = z', a podstawiając tę wartość w dwa pierwsze równania tejże grupy, otrzymamy:

fi (x, V, z') + x — x' = 0 |

f> O, y, *') -\-y — yr = o I

Równania te oznaczają linią krzywą, w którą zamienia się proste włókno podłużne graniastosłupa po odkształceniu. Tu x i y są parametrami stałymi, które zmieniając, przechodzimy od jednego włókna podłużnego do innego.

Dostawy kątów stycznej z do włókna z osiami współrzędnych są:

. . (151).

cos (z, x) =

1 df\

Z dz

cos (t, y) —

t    3z' ’

cos (z, z) =

z

.    (152),

Jeżeli włókna podłużne graniastosłupa pozostają prostemi, to pochodne, wchodzące we wzory (152), będą ilościami stałemi, zależnemi tylko od parametrów x i y\ w danym więc przypadku:

d²U

d²V

(154).

a?⁻⁰

Jeżeli nadto włókna te pozostaną także równoległemi do osi 0, to:

3 z²

dv

dz

(155).

38. Wzory Green’a. W dalszych wywodach będą nam potrzebne wzory Green’a, mające bardzo ważne zastosowanie w wielu gałęziach fizyki matematycznej; wobec tego uważamy za pożądane tu je wyprowadzić.

Przypuśćmy, że mamy trzy funkcye A, B i O współrzędnych x,y\z i że mamy oznaczyć trzykrotną całkę:

dx dy 3z ,

rozpościerającą się na wszystkie cząstki pewnej bryły, ograniczonej ze wszystkich stron jedną lub kilku rozmaitemi powierzchniami. Co do funkcyi A, B i C i ich pierwszych pochodnych przypuszczamy, że są ciągłe, jednoznaczne i że dla wszystkich punktów rzeczonej bryły mają wartości skończone.

Wyznaczając pierwszy z trzech wyrazów, na które rozkłada się dana całka, otrzymujemy:

'dA

dx dy 3z =j I dy dz I ^

dx —

,fj (A"—A') dydz.

m

Tu A" i A' są to wartości funkcyi A, odpowiadające granicy górnej i dolnej całkowania względem zmiennej x. Granicom tym odpowiadają te miejsca powierzchni, ograniczającej bryłę, przez które słup prostolinijny, równoległy do osi x i mający za podstawę powierzchnię dy dz, wkracza w bryłę i wychodzi z niej na zewnątrz. Niech dS' i dS" będą cząstkami powierzchni ograniczającej, mieszczącemi się w owym słupie w miejscach jego wejścia i wyjścia, a N' i N" — kierunkami normalnych zewnętrznych do tych cząstek. Wtedy otrzymamy:

dy dz = dS" COS (N", X) = dS' COS (N¹, x) ,

wobec czego:

\jSfxdxdyd2=j\

A" dy dz =

A' dy dz =

A" cos (N", x) dS" +

A cos (.N, x) dS.

A' cos (N', x) dS' —

Ostatnią całkę musimy rozpostrzeć na wszystkie cząstki dS powierzchni ograniczającej. Oczywiście będzie:

dx dy dz

- dx dy 3z dz

=jj B cos {N, y) dS C cos (N, z) dS.

A zatem mamy wzór:

///e+g+a***

— f j [A cos (N, x) B cos (N, y) -f- C cos (N, z)] 3S. . . (156). Jeżeli w tym wzorze przyjmiemy:

37

A = U--, dx

37

37

B= *7— i a = U -4

dy

dz

gdzie U i 7 są także funkcyami współrzędnych x, y i z, to otrzymamy wzór:

jtkj+

3 ²7    3²7

3y²    3^²

j dx dy dz

y/3C7 37^ 3?7 3^ i dU 37 J 1 dx dx ' 3y dy ' dz dz

37

& cos (N,x) 4

Yrjf'dV dx

I U[dx W

37

37

cos (N, y) +^r- cos (N, z) dS=

OZ

37 dy 37 dz dy dN ' dz dN

dy

dS =

37

dN

dS . .

•    (157)

Przyjmując we wzorze ostatnim 27= 1, otrzymamy:

32 7    92 y    32 y

dx²

dy*

37²

j dx dy dz — j ^

37

dN

dS . . (158).

Wszystkie te wzory wskazują w jaki sposób pewne całki trzykrotne, rozpościerające się na pewną bryłę, mogą być zamienione na całki dwukrotne, rozpościerające się na powierzchnię, ograniczającą tę bryłę.

Jeżeliby zamiast trzech funkcyi A, B i C trzech współrzędnych x, y i z dane były tylko dwie funkcye A i B, zależne jedynie od dwóch współrzędnych x i y i jeżelibyśmy zamiast całki trzykrotnej objętościowej mieli do oznaczenia całkę dwukrotną następującą:

j dxdy

dA dB

dx

dy

rozpościerającą się na wszystkie cząstki płaszczyzny, ograniczonej jedną lub wielu liniami krzywemi, to w takim przypadku musielibyśmy w powyższych wzorach zamienić całki, rozpościerające się na bryłę, na całki, rozpościerające się na obwód, ograniczający tę płaszczyznę, na którą musi być rozpostarte całkowanie.

W takim przypadku szczególnym otrzymamy, oczywiście, zamiast wzorów (156), (157) i (158) wzory następujące:

ff(£

/*

—| 3# % = j [A cos (w, x) -j- B cos (n, y)\ 3s .

dU 37    3Ł7 37\

• (159),

/K?+S) **+//(■

dX ■ dx

f*

37

(160),

T,3SF ■

3?/² /    J L 3x

W tych wzorach n jest normalną zewnętrzną do cząstki 3s zarysu, ograniczającego daną płaszczyznę.

Potrzebne nam będą zwłaszcza wzory (159) i (161).

dx²

37

— cos (n, y) ds .. (161).

ROZDZIAŁ IV.

Rozciąganie, ściskanie i przesuwanie (ścinanie) ciał graniastosłupowych.

39. Rozciąganie albo ściskanie, przy którem ujawnia sie zmiana wymiarów poprzecznych. Wyobraźmy sobie graniastosłup z materyału jednolitego (izotropowego), położony względem osi współrzędnych x, y i z tak, jak to było wskazane w ustępie 36, i przypuśćmy, że wskutek działania sił zewnętrznych zjawiło się w nim wydłużenie względne i w kierunku osi z, jednakowe dla wszystkich punktów. Wyobraźmy sobie nadto, że temu wydłużeniu towarzyszy skrócenie poprzeczne — pi. Odległości x, y i z pewnego punktu graniastosłupa od płaszczyzn współrzędnych po odkształceniu będą: x — pAx , y — pAy i z -[- iz , przy założeniu, że punkt, znajdujący się w początku współrzędnych pozostał nieruchomym i że graniastosłup nie wykonywał ruchów obrotowych wokoło osi współrzędnych. Posunięcia w, v i w w danym przypadku będą:

u — — p.ix , v = — pAy i w — iz . . . (162),

a odkształcenia składowe (p. wzór 11) będą:

^y - p.

A ^ ■> 9y=—— 9xy—0 .    .    (163),

Rozprzestrzenienie zaś względne będzie:

0 = (1—2pd i

. (164).

roz-

Ponieważ liczba p., jak wiemy, jest mniejsza od £, przeto 1—2p. jest ilością dodatnią, a więc przy rozciąganiu podłużnem graniastosłupów (gdy i > 0), objętość ich, bez względu na skrócenia poprzeczne, zwiększa się; przy ściskaniu zaś podłużnem (gdy i < 0) — objętość się zmniejsza. Równania gyz = gzx = gxy=0, ważne dla wszystkich punktów ciała, wskazują, że kierunki wydłużeń głównych we wszystkich punktach są równoległe do osi współrzędnych; wskutek tego przy ciąganiu podłużnem, największe rozciągnięcie ujawni się we włóknach podłużnych, a przy ściskaniu podłużnem największe rozciągnięcie uja-

wni się we włóknach poprzecznych. W przypadku pierwszym największe rozciągnięcie równe jest ?, w drugim zaś \s.i.

Równanie powierzchni, zwanej elipsoidą wydłużeń, w danym przypadku będzie:

— jii (x² -j- y²) -)- iz² = + 1.

Powierzchnia ta składa się więc z dwóch sprzężonych hyperboloid obrotowych dokoła prostej równoległej do osi z i przechodzącej przez ten punkt ciała, dla którego tworzymy tę powierzchnię.

Stożek asymptotyczny, czyli stożek wydłużeń zerowych, oznaczony jest przez równanie:

z² = p (x² -j- y²) ,

z którego widzimy, że kąt a pochylenia tworzących tego stożka względem jego osi, może być oznaczony z równania:

tg a = J/ .

Ponieważ [*. znajduje się w granicach pomiędzy | a £, przeto kąt a blizki jest 60°.

W celu oznaczenia sił sprężystości lub naprężeń, wywołanych w punktach graniastosłupa, podstawiamy we wzorze (135) zamiast odkształceń składowych ich wartości i otrzymujemy:

. (165).

Pxx = Pyy = Pyz = pM = Pxy — 0 i pss = Ekz = El .

Ponieważ wszystkie trzy siły styczne pyg, pex i pxy są równe zeru, przeto w każdym punkcie graniastosłupa, osi sprężystości są równoległe do osi współrzędnych x, y i z.

Równanie elipsoidy sprężystości przyjmuje postać Eiz²= 1 albo z=±;ł/1 fEi. Wdanym więc przypadku powierzchnia ta składa się z dwóch płaszczyzn prostopadłych do osi z i jednakowo oddalonych od punktu, dla którego tworzymy tę powierzchnię. Stożek zaś asymptotyczny przekształca się w płaszczyznę, prostopadłą do osi z i przechodzącą przez punkt uważany.

Oznaczmy przez Q wypadkową wszystkich naprężeń normalnych Pzz przekroju graniastosłupa, a przez F— powierzchnię tego przekroju; wtedy będzie

Q = F. pez —EFi , skąd i= Q

. . (166).

EF ‘    ‘

Punktem przyczepienia wypadkowej Q jest oczywiście środek ciężkości przekroju.

Jeżeli mamy oznaczyć siły zewnętrzne, mogące wywołać odkształcenie rozważane graniastosłupa, to wprowadzamy do równań (47) zamiast naprężeń ich wartości i otrzymamy:

m X = mY — m Z = 0.

A zatem przypadek rozważany ..rozciągania albo ściskania może zajść tylko wtedy, gdy ciało graniastosłupowe podlega tylko siłom działającym na masę, t. j. tylko siłom, działającym jednocześnie na wszystkie punkty ciała.

Normalna zewnętrzna do powierzchni bocznej graniastosłupa w dowolnym tejże powierzchni punkcie jest prostopadła do osi z, czyli cos (n, z) — 0 i równanie (49) przybiera postać:

P COS (jP, x) = P COS (P, y) — p COS (P, z) = 0 ,

z czego wnosimy, że w punktach powierzchni bocznej niema ciśnień zewnętrznych. Wreszcie dla podstaw graniastosłupa mamy:

cos (», x) = cos (n, y) = 0 i cos (n, z) — ± 1 ,

gdzie znak -(- brać należy dla podstawy, bardziej oddalonej od początku współrzędnych, znak zaś — dla podstawy, przechodzącej przez początek współrzędnych. Wobec takich wartości dostaw, z równań (49) otrzymamy:

cos (P, x) = 0 , cos (P, y) — 0 , cos (P*,    = ±; 1 i P = pse.

Siły więc, działające na podstawy graniastosłupa, powinny być równoległe do osi graniastosłupa i działać na jedną z podstaw w kierunku dodatnich z-tów, na drugą zaś — w kierunku odwrotnym; nadto, siły te winny być rozłożone równomiernie na powierzchni podstawy, a wypadkowa sił, działających na każdą z podstaw, powinna być równa sile Q.

, a więc w

Powyżej mieliśmy: w = iz i i =

b M

żeli długość graniastosłupa przed odkształceniem oznaczymy przez L, a wydłużenie jego bezwzględne — przez Z, to do oznaczenia tego wydłużenia będziemy mieli wzór:

FE'

Qz Je-

QL

FE '

(167).

40. Warunek wytrzymałości. Przechodzimy teraz do warunku wytrzymałości graniastosłupa podlegającego rozciąganiu lub ściskaniu. Przedewszystkiem zauważmy, że przerwać związek między cząstkami ciała możemy tylko rozłączając cząsteczki, czyli powiększając ich odległości wzajemne. Jeżeli więc ciało ma zadość uczynić warunkom wytrzymałości, to należy takie nadać mu wymiary, ażeby największe rozciągnięcie względne (rozciągnięcie, nie zaś ściśnięcie), mogące powstać w tern ciele, nie przekroczyło granicy rozciągnięć bezpiecznych. Przypuśćmy, że I jest to wydłużenie względne, przy którem zaczyna naruszać się sprężystość materyału danego graniastosłupa. Warunek wytrzymałości możemy oczywiście wyrazić w postaci: (168),

(AP

max-

gdzie k jest pewną liczbą, niezbędnie większą od jedności. Liczbę tę możemy nazwać współczynnikiem wytrzymałości, albowiem im większem jest k, tern mniejszem jest wydłużenie ciała i tern więc jest większą wytrzymałość ciała.

Ponieważ każdemu wydłużeniu i odpowiada ściśle oznaczone naprężenie, wyrażające się wzorem pie — Ei, przeto oznaczając przez T naprężenie, odpowiadające największemu wydłużeniu nieszkodliwemu I, czyli przyjmując T=EI, możemy warunek wytrzymałości przedstawić także w postaci:

(Ar)

max-

.    . (169).

Oczywiście, naprężenie T, które nazywa się największem naprężeniem bezpiecznem, powinno być dla każdego materyału budowlanego oznaczone zapomocą doświadczeń. Co się tyczy wielkości liczebnej współczynnika wytrzymałości k, to należy zauważyć, że wielkość ta jest zależna od wielu okoliczności, np. od jakości materyału, od warunków, w jakich będzie się znajdowała dana część budowli i t. p. Współczynnik ten, stosownie do okoliczności, może mieć wartość od 3 do 6 i większą. Jeżeli dana część ustroju ma znajdować się w spoczynku, można przyjąć k = 3; dla części zaś ustroju, które znajdować się mają w ruchu łagodnym, przyjmuje się k = 4; gdy ustrój podlega uderzeniom i wstrząśnieniom słabym, można przyjąć k = 5, a przy uderzeniach silnych k = 6. Jednakże rozmaite inne względy mogą budującego w każdym poszczególnym przypadku nakłonić do uchylania się od tych wartości.

Wracając do rozważanego powyżej przypadku rozciągania grania-stosłupa, piszemy warunek wytrzymałości pod postacią:

(A,)

F.E ¹ kE ’

a stąd dla powierzchni przekroju graniastosłupa otrzymujemy:

(170).

kQ

T ■    ■

Ten ostatni wzór jest ważny tylko gdy zachodzi rzeczywiście rozciąganie. Dla ściskania zaś będzie:

(Ar)

max-    -

kE

i stąd

(171),

kQ kQ

"O

Przy porównywaniu ze sobą wzorów (170) i (171) łatwo zauważymy, że ciała jednolite (izotropowe) ujawniają wytrzymałość na ściskanie trzy do czterech razy większą, aniżeli na rozciąganie.

Jednakże ten wniosek teoretyczny nie zupełnie potwierdzają doświadczenia nad rozmaitymi materyałami budowlanymi, prawdopodobnie dlatego, że ich budowa nie zupełnie odpowiada pojęciu jednolitości (izo-tropii). Z tego powodu w zastosowaniu praktycznem wzoru (171) bie-T

rzemy zamiast T' nie , lecz dane, otrzymywane z bezpośrednich badań nad ściskaniem różnych materyałów. Tablice, w których zestawiono wartości naprężeń T i T' podane są poniżej.

41. Rozciąganie albo ściskanie, przy którem nie ujawniają się zmiany poprzeczne. Dla rozciągania podłużnego, któremu nie towarzyszy skrócenie poprzeczne, możemy oznaczyć posunięcia punktów graniastosłupa z wzorów następujących:

u — 0 , v — 0 i w = iz ,

6 = i,

z wzorów zaś (11), (135) i (47) otrzymamy: A* = Aj, = 0

Pxx —Pyy —

!J-

(1 +p.)(l— 2p.)

Ei

2^zz —

1—(j.

(1 + 4 (1—2jł)

Ei

Pyz pzx — Pxy — 0

Jeżeli przez p oznaczymy ciśnienie zewnętrzne, działające na jednostkę powierzchni bocznej graniastosłupa, to z równań (49) otrzymamy:

cos (p, y) = cos (■n, y) ,

cos (p, x) = cos (n, x) ,

cos (p, z) — 0 i

f'

(1+•{*) (1—2(i)

cos (P, y) = 0

COS (P, +) = ± 1

dla ciśnienia zaś P na jednostkę powierzchni podstawy graniastosłupa, otrzymamy z tych samych wzorów: cos (P, x) = 0

Ei .

(1 + !J) (1—2p.)

Wypadkowa Q, tych ciśnień ostatnich równa jest iloczynowi PP, a więc

i — (1 +\h) (1—2p.)

FE

(1    (1—hQ

Z tych wzorów dochodzimy do wniosku, że rozważany przypadek rozciągania może zajść w warunkach następujących: a) nie należy uwzględniać ciężaru własnego graniastosłupa, b) powierzchnia boczna graniastosłupa powinna podlegać ciśnieniu, jednostajnie na niej rozłożonemu i mającemu kierunek normalnych zewnętrznych, gdy i > 0, lub wewnętrznych, gdy i < 0, i c) ciśnienie normalne na jednostkę powierzchni bocznej graniastosłupa powinno być w takim stosunku do takiegoż ciśnienia na podstawy, jak do 1—jjl, czyli powinno być dwa do trzech razy mniejsze od ciśnienia na podstawy.

Gdy i > 0, wtedy (Ar)max = i i warunek wytrzymałości daje dla powierzchni F przekroju graniastosłupa:

F-=

1—tJ-

W danym więc przypadku graniastosłup jest nieco wytrzymalszy na roz-ciąganie, aniżeli w przypadku, gdy dla ściśnięć poprzecznych nie było żadnych przeszkód.

Gdy i < 0, czyli gdy graniastosłup podlega ściskaniu podłużnemu, któremu nie towarzyszą rozciągnięcia poprzeczne, nie zachodzi obawa rozerwania, a więc w tym razie niema warunku wytrzymałości. Rzeczywiście, gdybyśmy włożyli ciało graniastosłupowe w naczynie o ścianach bardzo wytrzymałych i szczelnie przylegających do powierzchni bocznej danego ciała, to moglibyśmy poddać to ciało bardzo silnemu ściskaniu, bez uszczerbku dla jego trwałości. Ciśnienie zewnętrzne działające na graniastosłup, udzieli się nietylko dnu naczynia, ale i jego ścianom, podobnie jak w razie, gdy naczynie napełnione byłoby cieczą, z tą jednakże różnicą, że ciśnienie na jednostkę powierzchni ściany będzie prawie trzy razy mniejsze od ciśnienia na dno, gdy tymczasem przy napełnieniu naczynia cieczą obydwa te ciśnienia byłyby sobie równe.

42. Rozciąganie albo ściskanie przy uwzględnieniu ciężaru własnego graniastosłupa. Zbadajmy rozciąganie graniastosłupa prostego przez działanie siły zewnętrznej pionowej Q, przyczepionej do podstawy dolnej graniastosłupa i przez ciężar własny graniastosłupa. W tym przypadku naprężenie pes dla punktów pewnego przekroju, przyjętego w odległości z od podstawy górnej, możemy oznaczyć w taki sam sposób, jak i w przypadku rozważanym w ustępie 39, zapomocą

3/c

wzoru Pu — E A₂ = E —. Ciśnienie więc na cały przekrój będzie

równe:

lh* F = EF— .

3 Z

Ciśnienie to musi być równe sile Q, powiększonej o ciężar części gra-niastosłupa, leżącej pomiędzy danym przekrojem a podstawą dolną. To też skoro oznaczymy przez 8 ciężar jednostki objętości graniastosłu-pa, to otrzymamy:

F dz .

•    . (172),

p„F = EF^=Q + sfL czyli, z uwagi, że F dla graniastosłupa jest ilością stałą:

EF

dw

dz

= Q 8 F (L—z) .... (173).

Z tego ostatniego wzoru wynika, że wydłużenie względne osiąga maxi-mum dla z = 0, czyli dla podstawy górnej graniastosłupa, która też w danym przypadku nazywa się przekrojem niebezpiecznym. To wydłużenie największe równa się -j-    ; warunek zatem wytrzymałości

Q dFL _ T FE' FE ~lcE '

będzie:

skąd znajdujemy:

(174).

kQ

T~k8L •

Równanie ostatnie wskazuje, że powierzchnia F przekroju graniastosłupa staje się wielkością nieoznaczoną, gdy:

<9 = 0

k8

.    .    (175).

Stąd wypływa wniosek, że graniastosłup prosty, poddany rozciąganiu tylko pod działaniem ciężaru własnego, będzie posiadał żądany stopień wytrzymałości k, bez względu na powierzchnię jego przekroju, o ile długość L tego graniastosłupa będzie oznaczona z wzoru (175). Największa długość graniastosłupa, przy której naprężenie w przekroju niebezpiecznym staje się równem największemu naprężeniu bezpiecznemu T, może być oznaczona z wzoru (175), gdy przyjmiemy w nim k= 1. Długość ta jest L

największe naprężenie bezpieczne T = 1200 kgjcm², a ciężar 1 cm³ wy-

1200 '

0,00889

Ciężar graniastosłupa o współczynniku wytrzymałości k, gdy powierzchnię przekroju tego graniastosłupa oznaczono z wzoru (174), wynosi:

max-

T

Y ■ Tak np. dla drutu miedzianego, dla którego

nosi 8 = 0,00889 kg, długość L

max -

cm = 1349,83 m.

(176).

8LkQ

T—k8L

Jeżeli mamy oznaczyć całkowite wydłużenie l takiego graniastosłupa, to powinniśmy zcałkować równanie (173) w granicach od z = 0 do z = L, po wykonaniu czego otrzymamy:

FE

(177).

Wprowadzając tu za F jego wartość z równania (174), otrzymamy:

TL _dL²

Je źe.......

Z porównania wzoru (177) z wzorem (167) wynika, że ciężar własny graniastosłupa prostego wywołuje w nim całkowite wydłużenie dwa razy mniejsze od tego, jakie wywołałaby siła równa temu ciężarowi, przyczepiona do podstawy dolnej graniastosłupa.

Wszystkie powyższe wzory są ważne także, gdy siła Q i ciężar własny graniastosłupa będą go ściskały, należy wtedy jedynie zastąpić

^- , czyli T', al-

(178).

najwyższe naprężenie bezpieczne T przez naprężenie

bowiem największemu rozciąganiu będą podlegały włókna nie podłużne, lecz poprzeczne, leżące w przekroju niebezpiecznym.

Można łatwo zbadać przypadki, w których siła Q i ciężar graniastosłupa działają w kierunkach przeciwnych, t. j. gdy jedna z tych sił rozciąga, druga zaś ściska graniastosłup, czyli gdy siły te wchodzą w równania ze znakami przeciwnymi. W takich przypadkach w grania-stosłupie mogą być dwa przekroje niebezpieczne: jeden tam, gdzie rozciągnięcia podłużne osiągają maximum, drugi zaś tam, gdzie rozciągnięcia poprzeczne są największe. To też w takich przypadkach należy ustalić dwa warunki wytrzymałości i uwzględnić ten, który dla powierzchni F przekroju daje wartość większą.

43. Ciała o wytrzymałości jednostajnej. Wzór (172) możemy stosować również do ciała niegraniastosłupowego o osi prostej, którego przekroje zmieniają się ciągle ze zmianą współrzędnej z. Zastosujemy tu ten wzór do wyznaczenia kształtu ciała o wytrzymałości jednostajnej na rozciąganie lub ściskanie, przyczem nazwą ciała o wytrzymałości jednostajnej oznaczamy takie ciało, którego wszystkie przekroje podlegają jednakowemu naprężeniu na jednostkę powierzchni.

3 w

Wielkość E —- , przedstawiającą naprężenie na jednostkę po-

OZ

wierzchni przekroju, musimy dla szukanego ciała poczytywać za stałą, powierzchnię zaś F — za zmienną; różniczkując przeto równanie (172) i mając na względzie, że w całce, wchodzącej w to równanie, granica dolna jest zmienna, otrzymamy:

dw

dw dF dz F

= — 8.3z .

E 3F = — 8 Fdz, czyli E oz

Całkując to równanie w granicach z — L i z— Z, znajdziemy:

dz

log nat = 8 (L—z),

gdzie F₀ jest powierzchnią podstawy ciała, odpowiadającą wartości z — L.

Przyjmując we wzorze (172) z = L i F= F

otrzymamy:

a więc log nat (^ ) = ⁵ (£—*)>

skąd:

o/-;

(179).

F = F₀e

Z tego wzoru wyznaczymy powierzchnię każdego z przekrojów ciała, gdy tylko znana jest powierzchnia F₀. Ta zaś powierzchnia może być wyznaczona z warunku wytrzymałości, który daje:

dw Q T    JcQ

dz ⁼ FJE⁼kE ’ Skąd 0 —

Ostatecznie otrzymujemy więc wzór:

&<2 V (/'~a)

" rji &    ......

Ciężar ciała o wytrzymałości jednostajnej jest równy:

(180).

/>£    Ł8Z,

8 J F dz = Q, (e~r — l) . .

. . (181).

Wydłużenie zaś całkowite l otrzymujemy, całkując równanie w granicach z = 0 i z = L :

3 te_ T

dz kE

TL

kE

(182).

Z porównania wzorów (181) i (182) z wzorami (176) i (178) wynika, że do zbudowania ciała o wytrzymałości jednostajnej potrzeba mniej materyału, aniżeli na ciało graniastosłupowe takiej samej długości i tego samego stopnia wytrzymałości, i że ciało o wytrzymałości jednostajnej odkształca się znaczniej aniżeli graniastosłupowe.

W praktyce często zamiast prętów, mających kształt ciała o wytrzymałości jednostajnej, stosowane są pręty, składające się z połączonych ze sobą części graniastosłupowych. Powierzchnie przekrojów

nadto z wzoru (183) znajdziemy:

1— «₂ 1—«₃

Fm =

tych części graniastosłupowych wyznaczane są w taki sposób, ażeby naprężenie na jednostkę powierzchni przekroju niebezpiecznego każdego

T

graniastosłupa było równe -=;

rC

ści graniastosłupowych, których przekroje są F₁, F₂, .... F„, długości zaś Lx, L.ź, . . . . Ln, gdzie Fx i Lx stosują się do tej części graniastosłupowej, na której podstawę dolną działa siła rozciągająca Q.

Weźmy dwa graniastosłupy, bezpośrednio po sobie idące, a mianowicie {x~ l)-szy i £-wy. Na przekrój niebezpieczny pierwszego działa T

siła Fx-i.    , a na przekrój niebezpieczny drugiego —

T

_i. y , powiększonej o ciężar własny graniastosłupa ic-wego; otrzymamy więc równanie:

. Przypuśćmy, że pręt składa się z n czę-

Ta ostatnia siła musi być równa sile Fx

Fx.

+ *FXL

siła Fx . V

a stąd:

Fx =

1 oJX JcdLx

• (183),

gdzie dla uproszczenia przyjęliśmy

Z wzoru (174) dla powierzchni przekroju graniastosłupa pierwszego

mamy:

F₁=

JcQ

JcQ 1 T — k8Lt    T ’ 1 —ox ’

F,-x

1 ux

Mnożąc te równania przez siebie, otrzymamy:

F —

-¹- X -

T ‘ (1—ax) (1—a₂).... (1—ax) W przypadku szczególnym, gdy Lx = L₂ = .

. (184).

, otrzy

mamy wzór:

Wydłużenie całkowite gramastosłupa x-go, zgodnie z wzorem (178), będzie:

T r -

kE

T7T

Wydłużenie zupełne całego pręta, składającego się z n części, będzie:

T

TwL

kE

(^i² “h ^2² + •••• + 7vn²)    .    .    (186),

gdy zaś długości części są jednakowe, to:

(186a).

1—

nT

(185).

TL _ 8L2 kE 2En

Ciężar całego pręta, przy długości jednakowej wszystkich części, wynosi:

n-\ l

d-L

n^ + F>+

a że:

M-f-l

«-(-l

UL

nQ

nT

nT iTl Wt-ul

przeto na ciężar ten otrzymujemy wzór:

n-fl

. . (187).

44. Przesuwanie w graniastosłupach i wytrzymałość ich złożona przy rozciąganiu i przesuwaniu. Przesuwanie (ścinanie) spotyka się w wielu przypadkach; nity, zwoje śrub i naśrubków, kliny łącznikowe i wiele innych części budowli podlegają przesuwaniu. Wogóle możemy powiedzieć, że graniastosłupy niewielkiej długości, poddane wyginaniu, przeciwdziałają temuż przez przesuwania we wszystkich swych przekrojach. Graniastosłupy natomiast znacznej długości, na które działają siły wyginające, przeciwdziałają im jedynie przez przesuwanie tylko w tych przekrojach, w których moment sił wyginających równa się zeru, lub jest bardzo mały. Tak np. belka, wygięta w dwóch przeciwnych kierunkach, której oś ma postać znaku /', opiera się tylko przesuwaniem w przekrojach, sąsiadujących z punktem zwrotnym, w którym niema ugięcia, albowiem krzywizna w tern miejscu równa się zeru.

Przypuśćmy, że mamy graniastosłup bardzo krótki, którego jedna podstawa umocowana jest nieruchomo, a na drugą działają siły zewnętrzne równoległe, rozłożone jednostajnie na powierzchni podstawy i prostopadłe do osi graniastosłupa (styczne do podstawy).

Niech wypadkowa tych sił będzie P. Różne przekroje będą opierały się sile P przesuwaniem i wyginaniem; że jednak moment sił wyginających, z powodu nieznacznej długości graniastosłupa, będzie dla każdego z tych przekrojów bardzo mały, przeto możemy przypuścić, że we wszystkich przekrojach ujawnia się tylko przesuwańie.

Przyjmując oś x za równoległą do siły P, możemy oznaczyć to przesuwanie przez gBX . Przypuszczając nadto, że jest ono jednakowe dla wszystkich punktów graniastosłupa, otrzymamy:

P*x = ogzx i p*xF = FOg2X =

g*x = p

EF

2 (!+{*•) skąd na przesuwanie otrzymujemy:

(188).

EF

Dla rozciągnięcia największego mamy wzór następujący (ustęp 17, przypadek 5-ty):

EF

(Ar)max- 5 gBx- (1 +

warunek więc wytrzymałości będzie:

(1 ++)

EF JcE

czyli

IcP

JcP

rpil

(189),

gdzie T" =

1 -+(J.

Z ostatniego wzoru wyprowadzamy wniosek, że ciała jednolite (izotropowe) są w stosunhu prawie 4 : 5 mniej wytrzymałe na przesuwanie, aniżeli na rozciąganie.

wraz z założeniem

ZX ■)

Przyjęte powyżej przypuszczenie, że z sześciu odkształceń składowych istnieje tylko odkształcenie składowe stałe g że podstawa graniastosłupa, leżąca na płaszczyźnie współrzędnej xy> jest nieruchoma, prowadzi do następujących wartości przesunięć:

u = gz , v — 0 i w = 0

gdzie g jest ilością stałą.

Z równań tych otrzymujemy dla odkształceń składowych: \x = Ay — Ag = gyK = gXy ⁼⁼ 0 i gzx ⁼⁼ g >

Eg

dla sił zaś sprężystości:

Pxx =z Vyy — Pez ⁼⁼ Pyz ⁼⁼ Pry — 0 i pzx — Gri) —

2 (1 + fO

Równania ogólne równowagi wykażą nadto, że sił działających na masę (t. j. jednocześnie na wszystkie punkty ciała) tu być nie powinno; natomiast z równań poszczególnych równowagi dla siły p, działającej na jednostkę powierzchni podstawy graniastosłupa, wynika:

cos (p, x) = 1 , cos (p, y) = cos (p, z) = 0 i p = pzx —

Eg

2(1+'

Dla siły zaś q, działającej na jednostkę powierzchni bocznej graniastosłupa, równania równowagi dadzą:

cos (g, P)=cos (g, g) 0 , cos (g, z) = \ i q=psx cos (n, x)=p cos (n,x).

wskutek

ZX y

A więc na powierzchnię boczną powinny działać siły zewnętrzne, równoległe do osi z, ale rozłożone nie jednostajnie, lecz proporcyonal-nie do dostawy kąta, jaki tworzy normalna n do powierzchni z osią x. Te siły zewnętrzne, styczne do powierzchni bocznej, mogą być dla części graniastosłupa, leżącej pomiędzy podstawą (na którą działa siła pF=P) a jakimkolwiek przekrojem, sprowadzone do jednej pary, znoszącej działanie pary, powstałej wskutek przeniesienia siły P z podstawy do środka ciężkości rozważanego przekroju. W ten sposób znosimy działanie wyginające siły P i pozostaje się tylko przesuwanie (ścinanie), wywołane tą siłą. Jeżeliby na powierzchnię boczną nie działały wspomniane powyżej siły styczne, to przesuwaniu będzie towarzyszyło wyginanie, wskutek którego zmieni się prawo układu przesunięć w punktach przekroju. Przesunięcia te wtedy będą się zmniejszały w miarę zbliżania się do obwodu przekroju, a na samym obwodzie staną się równe zeru. Istotnie, gdy na powierzchnię boczną nie działają żadne siły zewnętrzne styczne, to w punktach obwodu nie mogą zjawić się siły sprężystości p czego nie może w tych punktach być przesunięcia gzx. Przy takim układzie przesunięć przekroje graniastosłupa, po odkształceniu, powinny być powierzchniami krzywemi, z powodu, że przekroje te zachowują położenie prostopadłe względem wszystkich włókien podłużnych, leżących na powierzchni bocznej, ale zbaczają od takiego położenia względem wszystkich innych włókien podłużnych graniastosłupa.

Przechodzimy teraz do wyznaczenia warunku wytrzymałości graniastosłupa, poddanego jednocześnie rozciąganiu lub ściskaniu i przesuwaniu (ścinaniu) w pewnym przekroju.

Niech P będzie siłą, rozciągającą graniastosłup w kierunku jego osi, a Q — siłą, wywołującą przesuwanie przekroju. Zakładając, że oś x jest równoległa do siły Q i że niema przeszkód, tamujących kurczenie przecięcia poprzecznego, otrzymamy dla odkształceń składowych wartości następujące:

9yz — 9-r.y — 0

9ac - 9

Ax — Ay — )x.z , As — i

2 (1 + i*) Q

gdzie i =

Największe wydłużenie, wywołane temi zmianami, jest (wzór 44):

FE

FE

(A,)

max-

Warunek więc wytrzymałości, po wstawieniu za i i g ich wartości, będzie:

1-jł P 2 FE

Z równania tego otrzymujemy:

1— [i I ~2~ T

1+y- p\² i /

2 FE I : \

(1+|l)Q \² _ t

FE

kE

₊^mff+((ł±SMjy

. (190).

Wzorowi temu możemy jednak nadać inną postać. Niech Fy będzie powierzchnią przekroju, oznaczoną tylko dla siły rozciągającej P (t. j. w przypuszczeniu, że Q = 0), a F₀ — powierzchnią przekroju, oznaczoną tylko dla siły przesuwającej Q. Wtedy otrzymamy:

kP

Fl =

przyczem z wzoru (190) wyniknie:

F,

f+F<

• . (191).

czyli przyjmując jł = i:

y Ft + yww+i?

Gdyby siła P wywoływała ściskanie, nie zaś rozciąganie, musielibyśmy we wzorze (190) zmienić znak przy tej sile i wtedy otrzymalibyśmy:

1—[j. kP

~2~ ~T~

F= —

lW¥S+[

(1 + ^<?\²

(192).

Oznaczając zaś powierzchnię przekroju, wyznaczoną tylko dla ściskania, przez F₂, otrzymamy:

[jl kP

czyli

kP _P₂

F=.—

i2*tF>+yiwFt i

+ ^o².

Wartość najmniejszą dla powierzchni F otrzymujemy, gdy P₂=0,3Po; wtedy:

F = 0,8 F{

czyli ściskanie, towarzyszące przesuwaniu, może zwiększyć wytrzymałość graniasto słupa na przesuwanie {ścinanie).

Z wzoru (193) wynika, że F może być równe P₀ w dwóch wypadkach, a mianowicie: gdy F₂ = 0 i gdy F₂ = 0,75 P₀; czyli F < F₀ dla wszystkich wartości P₂, leżących w granicach

0 <F,< 0,75 F₀.

Zauważmy jeszcze, że jeżeli:

F₂ = 0,3 F₀ ,

(1 -htk) ^ Q

Przyjmując {* = i, znajdziemy:

F = —\F, + L(łA)² + K •

. . (193).

to ^ = 0,3

czyli p. P = 0,3 (1 -f p.) Q , i przy p, = { :

P=0,3.5Q = 1,5 Q.

Wogóle ściskanie zwiększa wytrzymałość na przesuwanie (ścinanie), gdy siła ściskająca P jest mniejsza od 3,75 Q .

45. Tablica I. Tablica ta zawiera dane, niezbędne przy rozwiązywaniu zagadnień praktycznych z zakresu rozciągania, ściskania i przesuwania (ścinania).

NAZWA MATERYAŁU

Żelazo kute dużych wymiarów Żelazo kute małych wymiarów

Żelazo kotłowe......

Drut żelazny.......

Żelazo lane.......

Stal lana........

Stal utwardniona (hartowana) .

Miedź.........

Drut miedziany......

Mosiądz........

Spiż (bronz) .......

Drzewo.........

WptOCOtDtOOOWIO

*—‘    >—*    ►—“*    H—‘    A    H-*    t—‘    t—Ł    b—‘    I—*    H—‘

oooooooooooo

1500

2000

1500

2000

750

6500

2600

360

1200

480

1500

2000

1500

1500

1200

1200

1200

650

4800

4800

cb

800

200

160

150

7000

7,75

1100    7500 ;    7,25

10000

7,85

7500

i 7,85 2700    6500 i 8,88

3000

1200 41000    8,55

2500 !

800    500 |od 0,50

do 0,75

8,89

8,40

ina konopna nowa Lina konopna stara Rzemień ....

Cegła.....

Mur z piaskowca . Mur z wapienia. .

25.10³    300

5.10³    200

10³ 120

to r}"

Uwa(,a. Gdy drzewo jest rozrywane w kierunku kien podłużnych, B = 50, nie zaś 800.

60 I    2

150 !    2

! 530 j 2,12 adłym do włó-

Liczby, wchodzące w skład lej tablicy, są: E współczynnik sprężystości podłużnej, T—naprężenie największe przy rozciąganiu, T'— przy ściskaniu, T" — przy przesuwaniu; R — naprężenie przy rozerwaniu wskutek rozciągania, R' — naprężenie przy zgnieceniu wskutek ściskania. Wszystkie te ilości są podane w kg/cm². Wreszcie § jest ciężarem w kg/dm³ materyału.

TJwaga. Chcąc wyrazić naprężenia w pudach na cal kwadratowy, należy pomnożyć liczby odpowiednie tej tablicy przez 0,39385 (t. j. w przybliżeniu przez 0,4).

ROZDZIAŁ V.

Skręcanie.

46. Skręcanie walca o podstawie kołowej. W walcu kołowym sam kształt obwodu przekroju, symetrycznego we wszystkich kierunkach względem osi, wskazuje, że przy pewnej symetryi w układzie sił zewnętrznych względem tej osi, przekroje walca mogą i po skręceniu pozostać płaskimi i prostopadłymi do osi, nie przekształcając się w powierzchnie krzywe.

Niech ABCD (rys. 5) przedstawia walec kołowy, którego przekroje

a'

uv

0'

O"

b*

n’

y: \

Rys. 5.

po skręceniu pozostały płaskimi i prostopadłymi do osi. Przypuśćmy, że na podstawy AB i CD (rys. 5)]działają pewne siły zewnętrzne, skręcające walec tak, że podstawa CD obróciła się względem podstawy AB, uważanej za nieruchomą, o kąt cp₀, który nazywać będziemy Jcątem skręcenia. Wtedy dwa sąsiednie przekroje ab i a'b' w odległości z i z-\-dz od podstawy AB obrócą się względem podstawy AB: pierwszy o kąt <p, drugi o kąt cp + 3cp . Przy takiem oznaczeniu 3cp przedstawia kąt, o który obrócił się przekrój a’b’ względem przekroju ab. Włókno podłużne mn, leżące pomiędzy przekrojami ab i a'b' i mające więc długość 30, przechodzi po odkształceniu w położenie mn¹ i wtedy nieskończenie mała płaszczyzna 3F, będąca podstawą włókna mn, przesuwa się w kierunku s, prostopadłym do prostej 0"n, i przebywa drogę nn’ równą pdy, gdzie p jest odległością środka n płaszczyzny 3F od osi z. A więc przesunięcie gzs w punkcie n walca wyraża się wzorem:

(193).

3®

9u =

dz

P £

To przesunięcie, jako posunięcie względne w płaszczyźnie (xy) punktu n, możemy rozłożyć na dwa posunięcia względne: gzx i gey, dla których otrzymujemy wzory następujące, gdy współrzędne punktu n oznaczymy przez x i y:

f)bx — gas cos (s, xj — gzs

co

w

55>

JO

*5

r»

CL,

co

co

-e

Naprężenia więc styczne w punkcie danym będą:

co

v — Q X

Pex ~ dZ

3®

y i p*y = G^-x.

.    194).

Rzuty Rx i Ry na osie x i y wypadkowej wszystkich takich naprężeń przekroju walca są:

Rx —

pzx 3F = — G

3cp r

dz

ydF

Pzy 3F =

G %['xdF. dzj

Ponieważ zaś środek ciężkości przekroju leży w osi z, przeto całki fydF i J'xdF są równe zeru, a więc Rx — Ry = 0, czyli wypadkowa naprężeń stycznych dowolnego przekroju walca równa jest zeru. To też te naprężenia sprowadzają się do pary sił, leżącej w płaszczyźnie przekroju. Moment tej pary jest:

co

Mz - j (pey x

— p*x y) 3F =

Ms =

3ęp

. . (195)

t*F=QfgI₉ . .

gdzie I₀ = y’p² jest to moment biegunowy bezwładności przekroju.

Oczywiście, rzeczone odkształcenie walca nastąpi w rzeczywistości, gdy siły zewnętrzne, działające na podstawy, będą rozmieszczone w punktach każdej z podstaw tak, jak są rozmieszczone naprężenia styczne pzs w punktach każdego z przekrojów. Przy zachowaniu tego warunku siły zewnętrzne, działające na jedną z podstaw walca, mogą być sprowadzone do pary sił, której moment równy jest wyżej oznaczonemu momentowi Mz. Dlatego możemy uważać wzór (195) za równanie równowagi walca. W równaniu tern część pierwsza, t j. Me, jest momentem sił zewnętrznych, skręcających walec, część zaś druga jest momentem naprężeń, powstałych w punktach przekroju i przeciwdziałających dalszemu skręcaniu.

Co się tyczy rozmieszczenia sił zewnętrznych, działających na powierzchnie, ograniczające ciało, to należy zauważyć, że nie możemy sprawdzić w każdym poszczególnym przypadku, czy siły te są tak rozłożone, czy inaczej. Istotnie, możemy wywierać ciśnienie na powierzchnię ciała tylko w ten sposób, że dane ciało stykamy z innemi ciałami, lecz przytem pytanie, jakie jest rozmieszczenie ciśnień w punktach powierzchni się stykających, prawdopodobnie nigdy wyjaśnione nie będzie. Spostrzeżenia dowodzą, że sposób rozmieszczenia sił zewnętrznych na powierzchni ciała ma wpływ nieznaczny na przejawy wytrzymałości ciał. Pomimo bardzo rozmaitego rozmieszczenia tych sił, zjawiska, ujawniające się w ciałach, są prawie identyczne, o ile tylko wypadkowa i moment liniowy sił zewnętrznych są jednakowe w rozmaitych przypadkach.

Należy zatem przypuścić, że sposób rozmieszczenia sił zewnętrznych w punktach powierzchni, ograniczającej ciało, wywiera wpływ jawny tylko na układ cząsteczek w pobliżu tej powierzchni; w głębi zaś ciała, w miarę oddalania się od powierzchni, na którą działają siły zewnętrzne, wpływ ich rozmieszczenia coraz bardziej maleje i staje się coraz mniej jawnym, a wszelkie zjawiska stają się zależnemi tylko od wypadkowej i od momentu liniowego sił zewnętrznych. Skoro więc przekonamy się, że np. siły zewnętrzne, działające na podstawę walca, sprowadzają się do pary sił, leżącej w płaszczyźnie tej podstawy, to możemy, bez popełnienia choćby nieznacznego błędu, zastosować do danego przypadku wzory wyprowadzone powyżej na skręcanie, bez względu na rozmieszczenie sił składowych.

Całkując równanie (195) i mając na względzie, że przy z = 0 także i <p = 0, otrzymujemy:

(196).

<P =

Mz.z

tf.Jo

Oznaczając zaś przez L długość walca i wyrażając kąt skręcenia w stopniach, otrzymamy dla tego kąta:

_ 360 M„.L 'fo~~ 2x O. J₀ ‘    •

gdzie T" =

1 +{^

Ostatnie więc równanie da

(199).

47. Warunek wytrzymałości. Wyprowadzenie warunku wytrzymałości w rozważanym przypadku nie przedstawia trudności.

Z wzoru (193) wynika, że przesunięcie ga osiąga swoje maximum w punktach najbardziej oddalonych od osi walca, t. j. w punktach, leżących na powierzchni bocznej. Oznaczając przeto przez r promień obwodu przekroju kołowego, otrzymamy:

3cp Mz r T dz~ GlT₀

(9«)

— 2 (l-f-|y)

Mz r

E l, ■

A ponieważ największe rozciągnięcie, wywołane przesunięciem, równe jest połowie tego przesunięcia, przeto warunek wytrzymałości będzie:

Mz r _

E /₀ kE ’

(^r)max - (1 ~ł“ tO

skąd otrzymujemy:

■n

— (1 + p)

kMz _ kMz

rrT~ ~mJi

. . (198),

TT

Wreszcie, jak wiemy, dla koła i₀ = ^ ’"⁴-nam:

_ 1/2 hM.

\ %T"

Zapomocą tego wzoru można oznaczyć promień walca, gdy dane są: Mz i T" .

Jakkolwiek wzór (198) jest ważny tylko dla walca kołowego, to jednak stosują go, jako przybliżony, do oznaczania wymiarów przekroju wszelkich graniastosłupów skręcanych, bez względu na kształt obwodu przekroju. Przy takiem zastosowaniu wzoru, należy wielkość I₀ uważać za moment biegunowy bezwładności przekroju graniastosłupa, a r — za odległość środka ciężkości przekroju od punktu obwodu, najbardziej oddalonego od tego środka ciężkości.

48. Skręcanie prętów o obwodzie niekołowym. Gdy kształt obwodu przekroju nie jest kołem, badanie skręcania wikła się skutkiem tego, że przekroje podczas odkształcania się paczą.

Rozpatrując uważnie warunki, dla których otrzymaliśmy wzory na skręcanie walca kołowego, możemy znaleźć w nich klucz do wyjaśnienia skręcania przy wielu innych kształtach obwodu.

Przy skręcaniu walca kołowego przypuszczaliśmy: 1) że niema sił działających na masę (t. j. działających na wszystkie punkty danego ciała jednocześnie), 2) że na powierzchnię boczną walca nie działają ci-

śnienia zewnętrzne i 3) że dla wszystkich jego punktów są urzeczywistnione warunki następujące:

dr

OJ

OJ

OJ oj

«s: i £

dv

dx

= 0.

• (200),

tak, że z sześciu odkształceń składowych, występują w każdym punkcie tylko dwa gzx i gzy. Ten ostatni warunek napisaliśmy w przypuszczeniu, że oś współrzędnych 0 albo leży w osi geometrycznej walca, albo jest do niej równoległa. W celu uogólnienia wyników będziemy przyjmowali, że oś z jest równoległa do osi walca.

Przekonamy się niebawem, że warunki powyżej przytoczone mogą być urzeczywistnione nietylko gdy obwód przekroju jest okręgiem koła, ale i przy nieskończenie wielu innych kształtach obwodu.

Wprowadzając warunki (200) w równania (135), otrzymujemy:

Pxx — Pyy — Vzz — P%y — ^

Równania zaś ogólne równowagi (47), gdy przyjmiemy w nich X= Y=Z = 0, dadzą:

. . (201).

dPz,

^Pzx I °]Pzy Q

dX ' dy ~~    ’

czyli, co jest to samo:

dz

dx

dy

^- = 0. . . (202).

Te trzy równania muszą istnieć dla wszystkich punktów ciała. Dla punktów zaś powierzchni bocznej, oprócz tych równań, otrzymujemy nadto z równań (49), przyjmując w nich P = 0:

Pzx COS    (■n, X)    + Pzy COS ('n, y) — 0 , czyli

. . (203)

gzx cos    («, x)    -|- (hy cos (n, y) = 0 .

gdzie n jest normalną zewnętrzną do powierzchni bocznej, a zatem i do obwodu przekroju.

Równania powyżej wyprowadzone dają możność oznaczenia postaci funkcyi    u, v i w.    Trzy    pierwsze z równań (200) wskazują,    że    u    nie

jest zależne    od x, v od y i    w od z; a zatem czwarte z    tych    równań,

przez różniczkowanie tegoż względem y i x, daje:

d²U

3.7²

== 0 i

dx²

.    .    (a).

Dwa pierwsze równania grupy (202) możemy napisać tak:

fdw 3u \ \dx ' dz]

idw , dv\ [dy^Yzj^⁰

dw

a zatem gdy ^

to:

d²v

3^ ²

9?-°

(b).

Wreszcie z czwartego równania grupy (200) wynika, że:

O² U

d²V

dy dz dxdz

= o,

możemy więc przyjąć:

o² U

dydz

3 ²v

3ic30

(c).

3p 3³m 3 ld²u\

3z    dydz²    dy \ dz²)    ’

Ponieważ w nie jest zależne od x, ani v od y, przeto ilość p nie może zawierać zmiennych x i y, a ponieważ —

przeto p nie zawiera zmiennej z, czyli p jest ilością stałą.

Do oznaczenia więc postaci funkcyi u i v otrzymaliśmy równania następujące:

d²U

= 0,

d²U

d²U

dz²

dy dz

d²V

d²V

d²V

dx²

dz²

dx dz

= p>

z których wynika:

u = — pyz Ą- ay bz c v = pzx -j- a'x -|- b'z -j- c'.

W ■ A ,    . 3y

Ze jednak    %

przeto:

— a a' = 0 , czyli a' = — a ,

bz -j- c

u= — §yz + ay v — pzx — ax -f- b'z -j- c'.

W celu unicestwienia posunięć postępowych i ruchów obrotowych, wspólnych wszystkim punktom ciała, wprowadzamy warunki, że punkt, znajdujący się w początku współrzędnych, jest nieruchomy, że cząstka liniowa, przechodząca przez ten punkt i leżąca na osi z, nie zmieniła swego kierunku i że cząstka powierzchni, przechodząca przez tę cząstkę liniową i leżąca w płaszczyźnie (zx), pozostała w tejże płaszczyźnie.

Warunki te wymagają (p. wzór 143 bis), ażeby przy x = y=z=0,

= 0,

dx

du dv dv dz dz

^x~y)cos (w>*) +    )sin («>

= 0, czyli

a więc, w celu zadośćuczynienia tym warunkom, należy przyjąć c = c' = a = b = b' = 0, a wtedy:

u — — $yz i v — $xz

(d).

Do oznaczenia posunięcia w, otrzymujemy z trzeciego z równań (202) następujące równanie różniczkowe:

d²w 3²iv

c>X²

%²

• (e).

Przypuśćmy, że ty = (3 5 (a?, t/), gdzie funkcyę 5 musimy oznaczyć z równania:

d²B 3²5 _

3x² dy² ’

przy warunku, że 5(0, 0) = 0, albowiem w musi być równe zeru, gdy x —y — 0.

Mamy więc równania:

u = — pyz , v = (3, w =$B(x,y) 3²B    d²B __

i 5(0,0) = 0

dX²

. . (204).

Posiłkując się temi równaniami, otrzymujemy:

P ZX -

p(?(f+*)

Bx =

Pzx dF =

. . 205).

Mz =

'35

aj+/. + /,

JJ U*

Równanie (203), ważne dla punktów na powierzchni bocznej, przyjmuje postać:

dx

35

— cos (*,*) +

35

dy

sin (w, a;) = y cos (w, aj) — aj sin (w, a?) . . (206).

To równanie ostatnie, lub równanie identyczne (206), należy uważać jako równanie różniczkowe obwodu przekroju danego ciała.

równaniu

Ponieważ istnieje nieskończona liczba funkcyi, czyniących zadość

d² B . d²B

~r

dx²

Ponieważ cos (n, y) = sin (n, x) ,

cos (n, y) cos (-n, x)

= tg (n, x)= —

dx

dy ’

przeto:

3T>

KH--(

= 0 , czyli

3jB \

y)3y = o . . . (207).

dy

= 0 i każda z tych funkcyi, przy uwzględnieniu

równania (207), da inne równanie obwodu, przeto istnieje nieskończenie wiele obwodów, przy których odkształcenie ciała graniastosłupo-wego czyni zadość podanym powyżej warunkom. W każdym przypadku poszczególnym możemy całkować równanie (207) bez trudności, ponieważ część pierwsza tego równania jest różniczką zupełną. Istotnie warunek całkowalności wymaga ażeby istniała tożsamość:

a ,dB dx \dx

- (— -\-x)

dy\dy' /’

czyli

d²B _ dx²

|2 ’

czyli

d²B dx*

d²B

dy

,2

= 0 , a to równanie jest równaniem czwartem grupy (204).

Teraz udowodnimy, że Rx = By = 0, czyli że naprężenia, wywołane w punktach przekroju, sprowadzają się do jednej pary sił, jak i w walcu kołowym.

d²B d²B

dy

Dzięki równaniu —₂ -f- ——₂ = 0, mamy:

JJ

CG CO

dF —

ff

dF =

r r    / dB\ d i dB\i

JJ L&e ( x dx) d y\x dy) J

[v sv)l

dF .

Posiłkując się zaś wzorem (159), otrzymamy:

ff

rrf—/x

JJ l⁹# \ I ' dlJ \ dyl

dF =

; j* %

dB

dx

d B

cos (n, a?) —|—^— cos (w, y) ds .

dl)

Całkę w drugiej części tego wzoru należy rozpostrzeć na obwód, a że dla punktów tego obwodu mamy równanie (206), przeto:

= 0 i R, -- 0 .

a zatem

' r 3B

3x

I[xy cos (n, x)

— x² cos (n, y)\ 3s =

IJ |djjicy)    2(—x²)j

3F =

ff yw,

W takiż sposób otrzymujemy:

//!

3F =

CC 2 / 3B\ . d I 3B\

J J \ y 3x) ^ 3# ( ^ 3y)

3F =

C PB ,    , , 3^

I y [dx cos (w, a?) -f

■ | [y² cos (»?, x) —xy cos (??, y)] 3s = ^(.~xy)

3y

COS

3.9 =

dF = —

x3F

JJflH

a zatem

dF = 0 i Ry = 0,

Dwa pierwsze z równań (204) wskazują, że gdy .^ = 0 i y — 0, posunięcia u i v stają się równe zeru, bez względu na wartość z, czyli włókno podłużne, leżące w osi z, nie zmienia swego położenia, t. j. oś z jest osią skręcania ciała.

Ponieważ V u² -|- v² = p z V x² -f- y² — $zp , gdzie p jest odległością punktu od osi skręcania, a Cu²-\-v², jest rzutem na płaszczyznę (xy) łuku, opisanego przez ten punkt podczas skręcania, przeto kąt skręcenia cp będzie:

V it²4--y²

¥ =-

P

. . (208)

a całkowity kąt skręcenia, wyrażony w stopniach, będzie:

¥o —

360

2tc

(209).

Oczywiście, p jest miarą kąta skręcenia każdej jednostki długości ciała.

Ilość p należy uważać za bardzo małą, ponieważ wszystkie nasze rozumowania przeprowadziliśmy tylko dla odkształceń nieznacznych.

Równanie powierzchni krzywej, w którą przekształcają się przekroje płaskie, jest (p. równ. 146):

(210),

z' = z -\- $B (x\ y')

Kształt tej powierzchni zależy od postaci funkcyi B, czyli od kształtu obwodu przekroju. Równania zaś włókien podłużnych, po odkształceniu, są (p. rów. 151):

x = x —    z' y

(211).

y' = y + I

Włókna więc podłużne pozostają prostemi, ale przestają być równole-głemi do osi z.

Wreszcie, do oznaczenia przesunięcia gzs mamy równanie:

dB

9 \s

c>X

*r+g+-n •

. . (212).

Zapomocą tego równania możemy udowodnić, że g²zs jest taką funkcyą zmiennych x i y, która nie posiada maximum. Istotnie, dla tych wartości x i y, przy których g²ss osiąga maximum, pochodne drugie, wzięte oba razy względem x i oba razy względem y, muszą być ilościami ujemnemi, a zatem i ich suma musi być ujemną, gdy tymczasem z wzoru (212) otrzymuje się dla tej sumy ilość dodatnią, albowiem

³² (<7²«)

dx²

\ , yl w⁺

d²B

dx²

d²B

d*B 3x3y

Suma tych pochodnych cząstkowych jest:

₂ d²B d²B [W ⁺ 3y²

2|3

3B

3x

,/ąJ?,    \ d*B id²B \²

' \dy ' XI dx²dy \dx3y /

+e+-)^+(

d²B

dx3 g

d²B

, / d²B , \² . /

+ M +(

\ 3 ld²B . d‘lB\ I3B . \ d td²B    3²B\-

V) te VW + W) ⁺ Ite + * ) Su \

3x3y

dx²

dy

A że

d²B d²B

2 ~r ~2 — 0’ przeto suma ta zawsze musi być dodatnia.

Przesunięcie gzs, nie posiadając maximum bezwzględnego, posiada jednak oczywiście maximum względne w pewnym punkcie obwodu przekroju, a więc i (A,.)max musi być na obwodzie.

Wzory powyżej wyprowadzone ustalają zarówno wszystkie okoliczności skręcania, jak i kształt obwodu przekroju, w zależności od postaci funkcyi B. Jednakże w zastosowaniach dogodniejszymi są wzo-ry, wyrażone bezpośrednio w zależności od kształtu obwodu. Niech f(x, y) = 0 będzie równaniem tego obwodu. Równanie jego różniczkowe będzie:

³/'

3x -f-

dy

dy = 0 .

Równanie (207) może się różnić od tego równania tylko czynnikiem stałym, ponieważ pierwsze części obu tych równań są różniczkami zupełne-mi. Możemy więc przyjąć:

diy

gdzie I) jest ilością stałą, nie równą zeru.

Z tych ostatnich równań otrzymujemy:

(214).

d*f d²f

dx²

CDI CD

Hf)

df

• (213),

dlj²

Za przykładem Lame’go nazywamy wyrażenie w pierwszej części tego równania parametrem różniczkowym drugiego stopnia funkcyi f\ mamy więc prawo powiedzieć, że wyprowadzone przez nas wzory na skręcanie mogą być stosowane do ciał graniastosłupowatych tylko wtedy, gdy obwód przekroju oznaczony jest równaniem f(x,y) = 0, za-wierającem funkcyę f(x, y), której parametr różniczkowy drugiego stopnia jest ilością stałą nie równą zeru.

Z równań (213) mamy:

dB

_ ¹ df dx y D dy

czyli

dB =

1 df

D dy

)Sx + (

dB _ 1 df dy I) dx 1 df D dx

. • (215),

1 df

D dy

)³" + (sf -*)*

. . (216).

Przytem równania, wyrażające warunki skręcania, przyjmują postać: u = — (5 yz

V = $xz

Mz

CO

Pzy — P

-m

i

D dx

*f

dy

df

X —

dx

dy

dy

. . (217).

y (ii +(i)

Wzór na moment Mz możemy przedstawić inaczej. Mamy: df df

X —— -1- V —

dx

dy dx

(x> f) + o- (y> f) — ² f

dy

Jednakże zgodnie z wzorem (159):

rr 3

(x ■ f) + ^ (*/ • /') dF= I f [x cos (w, aj) 4- y cos (w, t/)] 3s .

Ponieważ zaś na obwodzie f= 0, przeto całka w drugiej części ostatniego równania równa jest zeru i na moment Mz otrzymamy:

Ms =

2p jj jj f(x, y) dF

• . (218).

49. Skręcanie walca kołowego około osi pozaśrodkowej (mimośrodko-wej). Niech a i b będą współrzędnemi środka okręgu, o promieniu r. Przyjmując, że ten okrąg jest obwodem przekroju walca danego, będziemy mieli:

Stąd:

co co

/ (x, y) = (x — a)² -f- (y — b)² — r² = 0.

2(y-v, >    +

= 2.

= 2 (;x—a) ,

= 2D = 4

czyli

Ponieważ dla parametru różniczkowego drugiego stopnia funkcyi f (x, y) otrzymaliśmy ilość stałą, przeto skręcanie danego walca może być oznaczone z naszych wzorów.

Zauważymy najpierw, że:

ffxdF=nF, f f ydF = bF i f f (x² + y²) dF=I₀+(a²+ b²) F, gdzie F = %r² i J₀ =

Tir⁴

2 '

Równanie (216), służące do oznaczenia funkcyi B, przyjmie postać: B = f [(y — y -|- b) dx -j- (x — x — a) dy] = bx — ay i wtedy z wzorów (217) otrzymamy:

u — — $yz , v = $xz , w = [i (bx — ay) lhx = — P G (y — b) , pey=[iG (x — a) gzs = p V (x — a)² + (y— b)²

bpa

jj[Xhc+y%)

dF =

$G jj[x (x- a) -f y (y—b)\ dF =

= $G

{x² -f- y²) dF — a

xdF—b

ydF

= p G [I - (a² -f b²) F] = $GI₀.

Z wzoru (218) otrzymalibyśmy:

P G ff [ (x—a)² + (y - b)²—r² ] dF ==

: — (3 6r f (sc² -j- y² — 2    — 2by -j- a² -f- b² — r-) dF ==

°>G [1—2 (a² + 6²) F -j- (a² + b²) F—r² F] = — p (7 (I₀—r² F).

Mz = —

Z porównania tych dwóch wzorów na Mz, otrzymujemy:

4 =

I₀ -\-r² F , czyli 2I₀ = r²F i

I₀ = tr*F =

tu r⁴

no

= (3r .

Największe przesunięcie występuje na obwodzie, zatem (g,s)

Stąd wyprowadzamy wniosek, że zarówno (gss) wartości, jak przy skręcaniu około osi, przechodzącej przez środek przekroju.

max j

jak i M, mają te same

Równania przekrojów po odkształceniu są:

z' = z -[- p (bx' — aij') .

Przekroje te więc pozostają płaskimi, lecz nie są prostopadłymi do osi z. Równania włókien podłużnych są:

x' = x — $yz' i yr =zy -\- $xz' .

Równanie włókna środkowego jest:

x' — a — $bz' i y' = b —[— $az' .

Dostawy kątów, utworzonych przez to włókno środkowe z osiami współrzędnych, są:

Pa

T , gdzie T= ]/i + (pa)² + (p&)²,

Przekroje więc pozostają prostopadłymi do włókna środkowego.

49a. Skręcanie walca eliptycznego. Niech osi x i y padają na pół-osie elipsy, których wielkości są a i b. Równanie takiej elipsy jest: f (x, y) = b² x² -j- a² y² — a² b² — 0 .

Z równania tego otrzymujemy:

df

dx

= 2 b²x

df

dy

— 2 ahy ,

d²f

dx²

= 2 b² i

to i-.

= 2a²

a więc

% Fjj = 2 D = 2 (ai+V) , czyli D = a* + ¥ .

Ponieważ dla parametru różniczkowego funkcyi f otrzymaliśmy ilość stałą, przeto walec eliptyczny może przy skręcaniu czynić zadość warunkom, dla których wyprowadzone były wzory na skręcanie.

Wzory te w danym przypadku przyjmują postać:

a²— b2 a²pb²

u = — $zy , v = fizx , w = — p

xy .    .    (219).

Pzx = — P&

2a²

a²+b2 V

V*y

2 b²

a² + b2 X

a² Pb²

Mz = 2p O

a²Ix-yb²Iy

g*s = 2p

Ifahy² + bix2 a²-\-b²

gdzie Ix i Iy są momentami głównymi bezwładności elipsy względem osi x i y, czyli:

I.

co

Si

a³ b³

. . (221 .

Największe przesunięcie pojawić się musi na obwodzie, dla którego punktów wyraz V aiy²-\-bix² jest, jak wiemy, odwrotnie proporcyo-nalny do odległości stycznej do elipsy w punkcie (x, y) od środka elipsy. Największe więc przesunięcie występuje w tym punkcie obwodu, w którym przeprowadzona styczna najmniej jest oddalona od środka, t. j. na końcach osi małej obwodu eliptycznego. Skoro przyjmiemy a>&, to dla największego przesunięcia otrzymamy:

(.9zs)mas- 2 P

a²b

a² -f b² ’

czyli, podstawiając wartość p z równania (221):

(.9's)

max

2 Mz 7i O ab²

Z warunku więc wytrzymałości otrzymamy:

2 Jc Mz

• • *

ab² =

• (222),

gdzie T" =

l+l^

Równanie powierzchni przekrojów po odkształceniu jest:

z' —

a²—b2 Z~tf+b²

a²—b²

p x' y' =z

Powierzchnia ta jest powierzchnią skośną *). Przecięcia tej powierzchni z płaszczyznami prostopadłemi do osi 0 są hyperbolami, dla których osi x i y są asyinptotami Części powierzchni, leżące w ćwiartce pierwszej i trzeciej, w których obie współrzędne x' i y' mają znaki jednakowe, są zwrócone wklęsłościami w stronę dodatnich z-tów, w pozostałych zaś dwóch ćwiartkach części powierzchni są wypukłe.

Pożytecznem jest porównać wyniki, otrzymane z wzoru ścisłego (222), z wynikami, które otrzymalibyśmy gdyby wymiary elipsy były oznaczone z wzoru (198), którym, jak już zauważyliśmy w końcu ustępu 47, posiłkują się zazwyczaj w zastosowaniach przy wszelkich obwodach.

Ti G a³ b³

Mzx’y'. . . (223).

:i:) Paraboloida hyperboliczna.

Ponieważ moment biegunowy bezwładności elipsy I₀ — ab (a² + b²)\

odległość zaś punktu elipsy najbardziej oddalonego od osi skręcania równa się a, przeto z wzoru (198) otrzymujemy:

h Mz

4 b(a²+b²)

Niech będzie a = mb, gdzie m > 1; to z wzoru ścisłego otrzymalibyśmy:

3 __ 1

IZ T" ■ m ’

z wzoru zaś przybliżonego:

2 JcMz 2

Że jednak (m— l)² = 1+m² — 2m > 0, przeto

1+m²

więc przybliżony daje wymiary mniejsze dla półosi elipsy. Jeżeli m jest znacznie większe od jedności, to błąd na niekorzyść wytrzymałości może być bardzo poważny. Tak np. przy a = 5 b, czyli m == 5, z wzoru przybliżonego otrzymuje się dla półosi b wartość 0,72723 wielkości rzeczywistej.

50. Skręcanie graniastosłupa, mającego za podstawę trójkąt równoboczny. Obwód, mający kształt trójkąta równobocznego, jest po eliptycznym najprostszym z obwodów algebraicznych, dla których są ważne wzory powyżej wyprowadzone.

Przyjmując układ osi współrzędnych x i y "* taki, jaki jest wskazany na rys. 6 i oznaczając wysokość trójkąta przez h, otrzymujemy dla boków AC, BC i AB trójkąta ABC równania:

Rys. 6.

2jVS+x — ~ = 0 , yV 3 — |

Mnożąc przez się te równania, otrzymujemy równanie obwodu:

4/P

f{x, y) — h (.x²+y²) — +³—3 xy²) — ^ Z równania tego wynika:

= 0.

. . (224).

— = 2hx — 3 {x² — ij²)

*f

~ — 2hy •+ 6xy

2y

3²f

== 2h — 6x , dxl

*f

h*

= 2h    6x ,

»f+% = 2D = 4*.

dx²

dy²

D = 2/i

zatem

Równania (217) przyjmą wtedy postać:

(226).

u = — [Izy ,

v — $zx ,

w = ₂h (y* ~ 3x2y^

Bćr

$G

[ 2hx — 3 (x²—y²) ]

.    . (227).

P ./

J/ j 9 (x² 4- y²)² -j- 4/i² (a?² -f ?/²) — 12h (a?³—3xy²) j

jf.=H rri²* («s+s/²⁾

⁹“ — 2 h

— 3 (x‘A—3xy²) ] dF

Z wzoru (218) otrzymujemy na moment Me:

21| [ h jj (x² + if) dF    ff (x⁸—Sxy²) dF-    # j (228).

Dla danego trójkąta mamy wszakże:

F=h:

M. = —

4/i³

[x²-\-y²) dF —1₀ =

/i⁴    *)

9J/3 ’

na moment Mz mamy więc dwa wzory:

2/i⁵

2h L9 y 3

Ma =

pćr

2/i⁵

2h

3 f j' (x³ — 3xy²) dF jj (x³—3xi/)dF +

to

8/i⁵

9K3

Z porównania ze sobą tych wzorów, wynika:

271⁷ 3 ‘

^ j¹ (a?³ — 3a??/²) 3-F¹ =

4/i⁵

135 K 3

Zatem na Jf₃ otrzymujemy ostatecznie:

5-

2/i⁵ _    12/i⁵ i p^/i⁴

9 J/3 ~ 135J/ 3 _ 15J/“3

. . (229).

Największe przesunięcie następuje w środkach boków trójkąta, t. j. w punktach D, E i F. Przesunięcie to jest:

*) Moment bezwładności powierzchni trójkąta dowolnego względem prostej, leżącej w jego płaszczyźnie, jest równy sumie momentów trzech mas, z których każda jest równa jednej trzeciej powierzchni trójkąta, umieszczonych w środkach boków trójkąta.

(^£s)max- 2

15 J/3 Mz 2    £A³    '    '

. . (230).

W wierzchołkach zaś ^4, i? i (7 i w środku ciężkości O przesunięcie

gzs = o.

Z warunku wytrzymałości otrzymujemy:

JcMz

.    . (231).

15 y 3 k Mz

rp\\

Przy zastosowaniu natomiast wzoru (198) otrzymalibyśmy:

, ₃_6 V3 h Mb

T"

Wysokość h, oznaczona z tego wzoru, stanowiłaby 0,92832 wysokości rzeczywistej.

Równanie powierzchni krzywej, w którą przechodzą przekroje po odkształceniu, jest:

z' = z —

2h (3 2 y'—y'³) • •

Skoro zamiast współrzędnych x i y wprowadzimy współrzędne biegunowe p i cp i przyjmiemy x = p cos cp i ?/ = p sin ęp, to równanie tej powierzchni przyjmie postać:

z' — z —

.    . (232).

Pp³

2h Sin(3,p)

Z tego równania widzimy, że ta powierzchnia jest w kątach COD, AOE i BOF wklęsła, a w kątach AOD, BOE i COF — wypukła.

Zauważmy jeszcze, że równanie (223) obwodu przy współrzędnych biegunowych przyjmie postać:

(233).

Ahz

(234).

27

h[j²—p³ cos (3 cp) —

warun-

51. Skręcanie prostopadłościanów. Przy badaniu skręcania ciał graniastosłupowych, możemy napotkać trudności, polegające na tern, że albo równanie obwodu okaże się równaniem bardzo zawiłem przestęp-nem, jak to zawsze jest np. dla prostopadłościanów, o podstawie prostokątnej lub kwadratowej, albo też równanie to nie uczyni zadość kowi (214). W obydwu tych przypadkach można rozwiązać zadanie tylko w przybliżeniu. Droga, którą wtedy postępujemy, polega na tern, że stosownie do kształtu danego obwodu, tworzymy algebraiczną funkcyę całkowitą x\y ze współczynnikami nieoznaczonymi, która, gdy ją przyjmiemy za funkcyę f(x,y), mogłaby możebnie jaknajdokładniej przedstawiać miejsce geometryczne danego obwodu. Następnie oznaczamy

d²f a²/    /

współczynniki tej funkcyi tak, ażeby warunek

Ę? + sp = const- .W

spełniony i ażeby krzywa f(x, y) = 0 miała jaknajwięcej punktów wspólnych z danym obwodem.

Przypuśćmy dla przykładu, że dany jest prostopadłościan o podstawie kształtu prostokąta, którego boki są 2a i 2b. Przyjmując osi współrzędnych x i ly w osiach symetryi prostokąta, łatwo zauważymy, że krzywa, zbliżona do prostokąta, jest oznaczona równaniem parzystem zarówno względem x jak i względem y. Postać przeto ogólna równania takich krzywych algebraicznych jest:

Ax2jrBy²-ł-PxA-\-Rx²ij²-\-Qyi+px⁶A-rxiy²-\-sx²yi-\-q.y&Jr. . . — C— 0.

Parametr różniczkowy drugiego stopnia funkcyi, podanej w pierwszej części tego równania, jest:

2 (A-\-B) -f 2(6 P-\-R)x² 4- 2 (6 Q-\-R)y² + 2 (15p +r)x⁴ -f--\- 2 (15g-f s)y² -f- 12 (r-f s) x²ij² -|- ....

Ażeby parametr ten był ilością stałą, musimy przyjąć:

6P + R = 0 , 6Q-f P = 0 , 15 q -|- s = 0 ,

15 p    r — 0 ,

r -f- s = 0 , .

Stąd otrzymujemy:

s — — r = 15 p = — 15 q , ...

R — — 6 P = — 6 Q ,

Równanie więc, mogące z większą lub mniejszą dokładnością przedstawić jakikolwiek obwód symetryczny względem osi współrzędnych x i y, jest:

- C = 0.

Ax² -j- By² -{- P(x⁴ — 6 x²y² -j- ?/⁴) -j--j- p (x⁶ — 15 xxy² —j— 15 x²yi — y⁶) -J-.....

Oczywiście, im więcej wyrazów zatrzymamy w tern równaniu, tern dokładniej może ono przedstawić dany obwód. W celu otrzymania krzywej, zbliżonej kształtem do prostokąta, wystarcza zatrzymać wyrazy o współczynnikach A, B, P i C. Do oznaczenia zaś tych współczynników niezbędnem jest, ażeby krzywa przechodziła przez wszystkie wierzchołki i przez środki boków prostokąta. Wtedy otrzymamy:

Aa² -j-Bb²-\-P (a⁴ - 6 a²b² -f b*) = C Aa² -j- Pa⁴ = C i Bb² -f Pb* = G.

Z równań tych wynika:

6 b²—a²

6 a²—b²

C.

6a²b² ’ A~

Równanie więc szukanej krzywej jest:

/ (x, y)=-(66² — a²) x² +(6a²—b²) y²-\-x^—5x²y²-\-i/— 6a²/>² = 0 . . (235).

6 a²b²

6 a'Jb²

Z tego równania otrzymujemy do oznaczenia parametru funkcyi f:

2D = 2 (6ci²—b*) -f 2 (6b²—a²) = 10 (a²+&²) , dla pierwszych zaś pochodnych:

df

2 — 2x [ 6b² — a² -(- 2x¹ — 6y²\

^ = 2y [6a²— b² -j- 2y² — 6z²] .

Wobec tego, z równania (216) otrzymamy:

Me =

2p£

(6 a² — J²) Ix -J- (6 b² — a²) Iy -j--|- 2 j I (x⁴ — 6 x² y² + y⁴) dF J .

5 (a²+6²)

Ponieważ dla prostokąta o bokach 2a i 2b mamy Ix=§ab³, Iy=jba³, J J x⁴ 9F=£ bab ,

otrzymujemy:

I I y⁴ 3F—i ab⁵

J j x²y² dF=l aH\ przeto

ab

a²\b²

Przesunięcie gzs oznacza się z wzoru:

[a⁴ -f 40 a² b² -f M] . . . (236).

Obs —

2(3

Y{a;²(6b²—a²+2x²—6y²)²+y²(6a²-b²^-2y²- 0x²)²\. (237);

5 {g²-{-b²)

Analogicznie jak dla elipsy możemy przewidzieć, że największe przesunięcie występuje na obwodzie w punkcie (0, + b), o ile przyjmiemy a>b. Mamy więc:

(,9zs) max- § P

(6 a² + b²)b

a² + b²

.    . (238),

waru-

po podstawieniu zaś za (3 wartości z równania (236), otrzymamy nek wytrzymałości:

4 a⁴40 a²b² ^ b⁴ _lcMs - a 6a² + b² —

15

. . (239),

Przyjmując w wyprowadzonych powyżej wzorach a = b, otrzymamy wzory dostatecznie dokładne w zastosowaniu do prostopadłościanu, mającego za podstawę kwadrat:

Mz = 0,14 p G (2a)⁴

(9*s)

ma s

= 1,4 p a =

. . (240)

i jako warunek wytrzymałości:

0,2 (2a)³ =

kMz

(241).

Wzory zupełnie dokładne dałyby:

M

6r(2a)³

Mz = 0,14058 p £ (2a)⁴ , (#2S)max = 1,3506 p a = 4,80366

0,20817 (2a)³ =

JcM,

rp ll •

We wzorach tych 2a wyraża bok kwadratu.

Zaznaczamy, że w zastosowaniach należy zawsze oddawać pierwszeństwo wzorowi przybliżonemu (241) nad ścisłym, ponieważ jest on prostszy i jednocześnie daje nieco większe wymiary przekroju.

Gdy podstawą jest prostokąt bardzo wydłużony, tak, że a > 5b , lepiej jest posiłkować się wzorami, wyprowadzonymi dla obwodu eliptycznego, zastępując w nich Ix i Iy przez f abs i |&a³. Po takiem podstawieniu we wzorach (220) otrzymamy dla obwodów prostokątnych bardzo wydłużonych (gdy a > 5 b):

a³ bs

warunek zaś wytrzymałości będzie:

MZ = \£$G

(das) max 2 P

a² b

3 Mz

a² + b²

G (2a) (26)² ’

i (2o) (26)² =

kMz

(242).

Wreszcie gdy stosunek -y- leży w granicach między 1 a 5, lepiej jest posiłkować się wzorami następującymi:

Mz=i (2a) (2bf $ G ,    (#BS)

--'-(2a)(26)*=T^. •

2r

. (243),

2y

należy brać

w których wartości liczbowe współczynników y, ?] i —

z tablicy następującej, ułożonej przez Saint-Venant’a, na podstawie ścisłych wzorów, które ustalił na skręcanie prostopadłościanów, o podstawie kształtu prostokąta.

Przy oznaczaniu warunku wytrzymałości prostopadłościanów skręcanych i wyginanych, może zajść potrzeba oznaczenia wartości największego przesunięcia w środku mniejszego boku prostokąta. Oznaczając to przesunięcie przez g'zs i przedstawiając je zapomocą wzoru:

(244),

‘I

''l

ND

o-i a

j ęr-CN i

0,14058

0,15398

0,16612

0,17707

0,18690

0,19576

0,20374

1,3506

1,4396

1,5175

1,5854

1,6443

1,6951

1,7389

0,20817

0,21393

0,21920

0,22315

0,22733

0,23097

0,23433

1,75    0,21428

1,8    0,21743

2,0    0,22868

3,0    0,26332

4,0    0,28081

5,0    0,29135

oo    0,33333

1,7932

1,8088

1,8601

1,9709

1,9940

1,9987

2,0000

0,23896

0,24042

0,24588

0,26720

0,28166

0,29150

0,33333

g'zs = yf P a.......

należy brać wartość współczynnika tf z tablicy następującej:

c~ a

lO

CN

Cn

O

-N

Cn

CN

Cn

10

oo

7]' i 1,3506

1,1378 | 0,9707    0,8410    0,5935 ; 0,2970 j 0,1486 j 0

52. Skręcanie rur. Rury mają dwie powierzchnie boczne: zewnętrzną i wewnętrzną, a zatem dwa obwody przekroju. Dla każdej z tych powierzchni bocznych musi istnieć równanie (203), dla każdego więc z dwóch obwodów przekroju winno spełniać się równanie (207), czyli obydwa obwody powinny mieć wspólne równanie różniczkowe. Równania obwodów w postaci swej ostatecznej mogą więc różnić się tylko wyrazem stałym. Tak np. jeżeli jeden obwód jest okręgiem, o równaniu x² + y² — r² = 0, to równanie drugiego obwodu będzie x² -\-y² - r'² = 0, a więc drugi obwód będzie także okręgiem, lecz o promieniu innym r'. Jeżeli obwód zewnętrzny jest elipsą, o równaniu b²x²Ą-a²y²—a²b² — 0, to równanie obwodu wewnętrznego będzie:

b²x² -j- a²y² — m² a²b² — 0 ,

t. j. obwód wewnętrzny będzie także elipsą, o półosiach proporcyonal-nych do półosi elipsy zewnętrznej.

Dla rury walcowej, której przekroju obwodami są dwie elipsy, geometrycznie podobne i podobnie umieszczone, a mianowicie jedna o półosiach a i b, a druga o półosiach ma i mb, należy we wzorach (221) przyjąć:

Z równania (246) wynika:

. . (247).

ife = % p G

a² -f b²

dla warunku zaś wytrzymałości:

(1    W⁴) , (^«g)max- 2(3

&a²

a² + b² ’

2JcMz

(1 — w⁴) aft² —

Skoro tu przyjmiemy a = b = r, to otrzymamy wzory dla rury walcowej kołowej, o promieniu okręgu zewnętrznego r:

= $r i (1—m⁴)r³ =

Oznaczmy grubość ścianki tej rury przez e, a powierzchnię przekroju pierścieniowego przez F, to m — 1 — stąd zaś:

~ (3(7r⁴(l— m*)

Uhs)

% T"

(245).

2hMz %T" ⁻

. . (246).

= 7ir² (1—m²);

Tc (1 —m²)

Ix = -Ą ( ab³— (ma) (mb)³] ==

a&³(l —m⁴) i Iy =

ba³ (1—w?⁴),

wtedy otrzymamy:

(Fyi*=2V% —    —_—

1 j Z T" 1-f m² • •

Jeżeli przez F₀ oznaczymy powierzchnię przekroju walca pełnego, czyniącą zadość warunkowi wytrzymałości, to do oznaczenia tej powierzchni służy równanie:

(Foyi> = 2V%

Z dwóch ostatnich równań wynika:

JcMz

rjlll

(248).

3

-y

(249).

1—w2 (1-f w²)²

Stąd jest widoczne, że walce rurowe tern są wytrzymalsze na skręcanie, im m bardziej jest zbliżone do jedności, czyli im mniejszym jest stosunek ejr. Tak np. gdy e/r = 0,1, to m = 0,9 i F — 0,387 F₀.

wa-

Jeżeliby równania różniczkowe obwodu zewnętrznego i obwodu wewnętrznego nie były zupełnie jednakowe, to skręcanie rury o takich obwodach możnaby oznaczyć jedynie w przybliżeniu i to tylko pod runkiem, że szerokość powierzchni pierścieniowej, mieszczącej się między obwodami, jest niewielka w porównaniu z wymiarami samych obwodów. W celu otrzymania takich wzorów przybliżonych należy: ustalić najpierw równanie dokładne lub przybliżone krzywej, zajmującej wszędzie poło-

żenie średnie pomiędzy danymi obwodami i następnie wyprowadzić wzory na skręcanie walca pełnego, którego przekroju obwodem jest rzeczona krzywa. We wzorach, w ten sposób otrzymanych, do wyrażenia na moment Ms wejdą całki, które należy oznaczyć, rozpościerając całkowanie na powierzchnię pierścieniową danego ciała rurowego.

53. Tablica II. Przy wyznaczaniu wymiarów ciał słupowatych, skręcanych, należy dla naprężenia T", wchodzącego we wzory powyżej podane, brać wartości z tablicy następującej:

Materyał

Naprężenie bezpieczne T" Icg/an²

Stal .... Żelazo kowalne „ lane .

.    .    3 600

2160

900

144

Drzewo

gdzie T" =

ROZDZIAŁ VI.

Wyginanie.

54. Układ naprezeń w punktach przekroju graniastosłupa wyginanego.

W ustępie 36 wyjaśniliśmy, że wyginanie ciała graniastosłupowatego następuje wtedy, gdy naprężenia w przekroju sprowadzają się do pary sił, leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju. Powstające w tym przypadku odkształcenie graniastosłupa jest następstwem obracania się każdego z przekrojów około prostej, leżącej w płaszczyźnie danego przekroju; przyczem te przekroje mogą, jak i przy skręcaniu, przekształcać się na powierzchnie krzywe.

Badanie wyginania zaczniemy od założenia, że przekroje pozostają płaskimi i normalnymi do krzywej, w którą przekształca się oś graniastosłupa po odkształceniu. To założenie, przy nieznacznem wygięciu, zbliżone jest do rzeczywistości.

Niech AB i CD będą dwo-

c c'

ma nieskończenie blizkimi przekrojami graniastosłupa (rys. 7), O i O'

oL

ich środkami ciężkości, a 3s — ich odległością. Przypuśćmy, że przekrój CD obrócił się względem przekroju AB, który uważamy za nieruchomy, o nieskończenie mały kąt CEC'=^.

Wreszcie niech prosta Eh, leżąca w płaszczyźnie tego przekroju, będzie tą osią, około której przekrój CD się obrócił. Osie współrzędnych x i y przyjmujemy w płaszczyźnie tego przekroju, w kierunku osi głównych bezwładności środka ciężkości przekroju.

Skoro oznaczymy przez I, i Iu momenty główne bezwładności, to otrzy-

sŁ

I ta

Rys. 7.

mamy:

4 = // y2 dF ,

f j xydF = 0 ,

Iy= f f x*dF

j f x dF = j* j ydF = 0 Włókno podłużne nm, leżące pomiędzy rozważanymi przekrojami, wydłuża się o mm¹ = (yj4-8) 3cp , gdzie 7] jest odległością ma włókna od prostej Ok', równoległej do prostej Ek i przechodzącej przez środek ciężkości przekroju, a 8 jest odległością ab pomiędzy prostemi równole-głemi Ek i Ok'.

Wydłużenie więc względne włókna podłużnego nm jest:

• • (a).

d cp

(250).

4 — (Y]+S) —

Z wzoru tego wynika, że: 1) rozciągnięcie największe ujawnia się w punktach przekroju najbardziej oddalonych od osi obrotu Ek; 2) rząd włókien podłużnych, przechodzących przez oś obrotu, nie zmienia swojej długości i 3) z jednej strony tej osi włókna podłużne są rozciągane, z drugiej zaś — ściskane.

Rząd włókien, nie zmieniających długości podczas wyginania, nazywa się warstwą obojętną. We wzorze więc poprzednim na ilość S wyraża odległość środka ciężkości przekroju od warstwy obojętnej. Naprężenie normalne pze w punkcie ni przekroju wynosi:

P« = E -fi (V + 8)

(251),

a wypadkowa Z takich naprężeń we wszystkich punktach przekroju:

E^Fd. . . . (252), ds

Etff^ + S)dF =

gdzie //y]dF=0, gdyż prosta Ok', od której mierzymy odległość yj , przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Współrzędne zaś x₀ i y₀ punktu przyczepienia tej wypadkowej Z

będą:

x₀ =

E%[f(»+s)x3F

CO

E Fo

l j' 7} Xd F

ds

Vo =

ds

jj (y)+⁸) vdF

. . . . (b).

ds

F8

~Fd

Jj VJdF

Tworząc rzut boku am wielokąta maOcm na kierunek tegoż boku am, otrzymamy:

• • (c),

am = y] = x sin (3 — ij cos (3    .    .    .

gdzie (3 jest to kąt xOb\ który tworzy prosta Ok’ z osią r. Możemy więc wzory na x₀ i y₀ przedstawić w postaci:

Iy

I.

cos p . . . (253).

Vo -

F8

Przypuśćmy, że punkt H (rys. 7) jest punktem przyczepienia wypadkowej Z i że li jest odległością tego punktu od osi obrotu E£; wtedy z wzoru (c) otrzymamy:

h — 8 = v]₀ = x₀ sin (3 — y₀ cos [3 =

Skoro jednak moment bezwładności przekroju względem osi obrotu Ei oznaczymy przez Ą, a względem prostej Oi¹ przez Ą>, to otrzymamy: Ix cos² p + Iy sin² p = Iy — Ą — F8²

F8

lx cos² p + Iy sin² p

F8

. . (d).

a równanie (d) da wówczas:

hd =

(254).

Ten wzór ostatni wskazuje, że położenie względne punktu przyczepienia naprężenia normalnego wypadkowego i osi obrotu przekroju, czyni zadość temu samemu warunkowi, co położenie środka uderzenia i osi swobodnej obrotu.

Łatwo można teraz oznaczyć moment M siły Z względem środka ciężkości przekroju, albowiem:

M = Z V x² y² .

Wzór ten, na podstawie równań (250) i (251), można przedstawić w postaci:

37 V' (Ix cos (*)² + (Iy sin [3)²    ...    (255).

Przenosząc więc siłę Z równolegle do niej samej do środka ciężkości przekroju, sprowadzimy układ naprężeń normalnych danego przekroju do jednej siły przyczepionej w środku ciężkości przekroju, i do jednej pary, której moment M może być oznaczony z równania (255). Płaszczyzna tej pary jest prostopadła do płaszczyzny przekroju i przecina ją w prostej OH. W celu ustalenia położenia tej prostej, oznaczamy przez a kąt, który ona tworzy z osią x i otrzymujemy wtedy:

Ix cosj3 Iy sin p ’

tg a =

skąd:

tg « tg p = —

I*

. . (256).

Iy ' '

W tern równaniu ostatniem wyrażone jest twierdzenie Bresse’a, które można wysłowić w sposób następujący: Siad płaszczyzny pary na płaszczyźnie przekroju i prosta, przechodząca przez środek ciężkości przekroju, a równoległa do osi obrotu tegoż przekroju, zlewają się ze średnicami sprzężonemi elipsy centralnej przekroju.

Istotnie, równanie elipsy centralnej brzmi: Ix x²Ą-Iy y² = const., a równanie stycznej do niej w punkcie (xy') jest: Ix x'x-\-Iy y'y = const.;

jeżeli więc punktem styczności będzie punkt przecięcia prostej OH z elipsą, to otrzymamy:

V __ y o x' x₀

Oznaczając zaś przez 0 kąt, który ta styczna tworzy z osią x, otrzymamy z równania stycznej:

= tg a .

y — tg e = —

I*

L. '

'Si 8

Ctga.

Stąd:

tg a tg 0 = —    .

&

Z porównania tego równania z równaniem (256) wynika:

tg e = tg p,

co jest dowodem twierdzenia Bresse’a.

Do wyznaczenia kąta 7, utworzonego przez ślad pary i oś obrotu, mamy równanie:

x₀ cos p+2/0 sin p

^ ^o²+y₀²

cos 7 = cos (p—a) ~ cos p cos a -j- sin p sin a = czyli, podstawiając za x₀ i y₀ ich wartości:

cos 7 =

(Iy—Ix) cos p sin p V(IX cos P)²+(iy sin p)²

.    .    (257).

Z wzorów powyżej wyprowadzonych można wyprowadzić wiele ważnych wniosków: Z wzoru (252) widzimy, że 8 będzie równe zeru, gdy Z jest równe zeru, czyli że warstwa obojętna przechodzi przez środki ciężkości przekrojów, gdy w każdym z tych przekrojów wypadkowa naprężeń normalnych jest równa zeru.

Z wzorów (253) widzimy, że x₀ — y₀ = 0, gdy 8 = oo; a więc punkt przyczepienia wypadkowej wszystkich naprężeń normalnych (punkt H na rys. 7) znajduje się w środku ciężkości przekroju, gdy odległość warstwy obojętnej od tegoż środka ciężkości jest nieskończenie wielką. Skoro to nastąpi dla wszystkich przekrojów graniastosłupa, to zamiast wyginania otrzymamy rozciąganie zwykłe.

Z równania (255), przyjmując Iy>Ix, otrzymamy:

= E*

M

-“mai

Cp 9-\ OD \(K>

i.

przy p = 90°

Ix przy p = 180° (lub 0°)

. . (258).

A więc osi główne bezwładności przekroju mogą być nazwane osiami najłatwiejszego i najtrudniejszego wyginania, albowiem wytrzymałość na skręcanie (mierzona wielkością momentu naprężeń), około jednej z tych osi jest najmniejsza, a około drugiej największa. Największa wytrzymałość ujawnia się przy obracaniu przekroju około tej z głównych osi bezwładności, względem której moment bezwładności jest największy.

Przyjmując: a < 90° i Iy> Ix, otrzymamy z równań (256) i (257): ,3 > 90° i y > 90° ; gdy więc płaszczyzna pary nie przechodzi przez żadną z osi głównych bezwładności przekroju, kieruneJc osi obrotu znajduje się w kącie, utworzonym przez prostopadłą do płaszczyzny pary z osią najłatwiejszego wyginania.

Gdy oś obrotu pada na jedną z osi głównych bezwładności środka ciężkości przekroju, wytwarzają się przypadki najprostsze i jednocześnie najważniejsze w praktyce, ponieważ w budowlach układamy zazwyczaj części wyginane tak, ażeby ujawniały największą wytrzymałość i jaknaj-mniej zmieniały swój kształt, albo też tak, ażeby odkształcenia były największe. Ostatniemu warunkowi odpowiadają np. sprężyny w dynamo-metrach, gdzie znaczne odkształcenia, bez przekroczenia wytrzymałości, są korzystne, gdyż zwiększają czułość dynamometru.

Zajmować się będziemy przeważnie przypadkami, w których dla każdego przekroju ślad płaszczyzny pary na płaszczyźnie przekroju pada na jedną z osi głównych bezwładności środka ciężkości przekroju. W takim przypadku wzór na moment M przybiera postać:

ba

■6

CD

CG

(259),

gdzie 1 jest momentem bezwładności względem tej z głównych osi bezwładności, która jest prostopadła do płaszczyzny pary.

CC‘

55. Równanie włókna środkowego. Niech AB i C'D' (rys. 8) będą nieskończenie blizkimi przekrojami graniastosłupa wygiętego, które pozostały płaskimi i normalnymi zarówno do włókna ą środkowego OOl, jak i do warstwy obojętnej EE'.

Bs

Przekrój CD' przed wygięciem był równoległy do y— przekroju AB, czyli padał na CD, a więc kąt CE'C' =    , o który przekrój CD obrócił się

względem przekroju AB, równy jest kątowi ONO' normalnych głównych ON i 0'N do krzywej 00'.

Skoro więc odległość    rozważanych    przekrojów

Rys. 8.

przed wygięciem, czyli długość EE' warstwy obojętnej, oznaczymy przez ds, a promień krzywizny włókna środkowego przez p i uwzględnimy, że promień krzywizny warstwy obojętnej równy jest ON — OE = p — 8, to otrzymamy:

1 a tp

z równań zaś (250) i (257) wynika, że == ^ , otrzymujemy więc:

(261).

1 __ M p ~ IE '

¹

Krzywa stopnia czwartego, którą przyjęliśmy za prostokąt, różni się od prostokąta tern, że ma wierzchołki zaokrąglone i boki nieco wklęsłe. Jeżeli a mało różni się od b, to krzywa ta może z dostateczną dokładnością zastąpić prostokąt, lecz gdy a jest znacznie większe od b, np. gdy a > 5b, krzywa przybiera kształt zbliżony do cyfry 8 i wtedy w pobliżu wierzchołków prostokąta tworzy znaczne wypukłości i bardzo wybitnie różni się od niego kształtem.

W przypadku szczególnym, gdy we wszystkich przekrojach wypadkowa naprężeń normalnych równa jest zeru, albo gdy jest bardzo mała w porównaniu z siłą FE, możemy zamiast wzoru (261) stosować wzór następujący:

(262).

J__ M

p IE........

W tym przypadku włókno środkowe leży w warstwie obojętnej.

Równanie (261) lub (262), jako wyznaczające krzywiznę włókna środkowego, właściwie jest równaniem różniczkowem tej krzywej, w którą przekształca się włókno środkowe po wygięciu Całkując to równanie różniczkowe, możemy znaleźć równanie rzeczonej krzywej w postaci skończonej, ale w tym celu należy uprzednio oznaczyć ilości M i Z.

Oznaczenie momentu M i wypadkowej Z naprężeń normalnych nie przedstawia trudności, skoro zauważymy, że gdy odłączymy część graniastosłupa, leżącą pomiędzy rozważanym przekrojem a jedną z jego podstaw, należy przyjąć siły, działające na punkty przekroju, mogące zastąpić działanie części oddzielonej. Siły te powinny utworzyć układ sił równy układowi naprężeń, wywołanych w przekroju i równoznaczny z układem sił zewnętrznych, działających na punkty części odłączonej. Ilości M i Z dla danego przekroju mogą więc być ustalone, gdy oznaczymy moment liniowy i wypadkową sił zewnętrznych, działających na punkty części graniastosłupa, leżącej z jednej strony rozważanego przekroju i gdy przyjmiemy przytem środek ciężkości tego przekroju za środek momentów. Nie powinniśmy przytem przeoczyć, że do sił zewnętrznych należy dołączyć i oddziaływania, występujące w tych punktach graniastosłupa, których posunięcia są uwarunkowane pewnemi przeszkodami zewnęrrz-nemi. W przypuszczeniu, że odkształcenie jest nieznaczne, można uprościć rozwiązanie zadania, odnosząc siły zewnętrzne, przy oznaczaniu M i Z, do graniastosłupa w tern jego położeniu, jakie miał przed wygięciem. Przez to, oczywiście, wprowadzimy pewne błędy do równań na współrzędne punktów przyczepienia sił zewnętrznych, ale wpływ tych błędów będzie bardzo mały, gdy rozważamy wygięcie nieznaczne.

Równanie (261) lub (262) istnieje dla wszystkich punktów osi wygiętej graniastosłupa tylko wtedy, gdy kierunek momentu liniowego sił zewnętrznych w każdym przekroju pada na jedną i tę samą oś główną bezwładności przekroju. Ażeby warunek ten był spełniony, powinny siły zewnętrzne leżeć w płaszczyźnie prostopadłej do tejże osi bezwładności. A ponieważ w takim razie przekroje obracać się będą około tejże osi, przeto oś graniastosłupa, po wygięciu, będzie krzywą płaską, w której płaszczyźnie leżeć będą wszystkie siły zewnętrzne. Krzywą, w którą przekształca się oś graniastosłupa po wygięciu, t. j. oś odkształconą, będziemy nazywali linią wygięcia.

Wyprowadzimy równanie linii wygięcia dla różnych przypadków, spotykanych w zastosowaniach, w przypuszczeniu, że siły zewnętrzne wyginające są przyczepione do punktów tej linii. Siły te mogą być rozmieszczone dwojako: mogą działać na wszystkie punkty osi bez wyjątku, zmieniając się w pewien sposób ciągle przy przejściu z jednego punktu do innego, albo też mogą skupiać się tylko w pewnych oddzielnych punktach osi.

W przypadku pierwszym moment M będzie funkcyą ciągłą współrzędnych linii wygięcia na całej jej długości; w przypadku zaś drugim— dla każdej części tej linii wygięcia, leżącej między dwoma punktami przyczepienia dwóch sił sąsiednich, moment M będzie wyrażał się inną funkcyą. W tym więc ostatnim przypadku każda taka część linii wygięcia będzie wyrażona innem równaniem.

oraz do jednej pary, której moment jest:

Przypuśćmy, że siły zewnętrzne leżą w płaszczyźnie, zawierającej oś z i oś główną bezwładności x środka ciężkości przekroju. Rozważając część graniastosłupa, znajdującą się między podstawą bardziej oddaloną od początku współrzędnych a tym przekrojem, dla którego mamy oznaczyć układ naprężeń, przypuszczamy, że Px jest jedną z sił zewnętrznych, działających na rozważaną część graniastosłupa. Niech Zx i Xx będą rzutami tej siły na osie współrzędnych, a zx i x₁ — współ-rzędnemi punktu przyczepienia tej siły. Wreszcie niech £ i x będą współrzędnemi środka ciężkości danego przekroju. Przenosząc wszystkie siły zewnętrzne, działające na wspomnianą powyżej część graniastosłupa, do środka ciężkości przekroju, sprowadzimy układ jego naprężeń do jednej wypadkowej, której rzuty na osie współrzędnych są U, i SI

M—Z\Xx (z —z) — Zx (xx-x)} = 2 (ZŁ zx—Zx xx) - zZXx + xZ Zx .

A zatem nastąpi wyginanie, rozciąganie i przesuwanie. Siła, wywołująca rozciąganie, jest ZZX, wywołująca zaś przesuwanie jest 12^ . Zwróćmy uwagę, że te siły możemy otrzymać z wzoru na moment w sposób następujący:

Z Z, =

d.M

C>X

i ZXx =

.    .    (263).

Przypadek najprostszy zachodzi, gdy siły zewnętrzne są prostopadłe do osi graniastosłupa, t. j. do osi z-ów. W tym przypadku moment M jest

funkcyą tylko odciętej z linii wygięcia, ponieważ dla wszystkich sił jest równe zeru. Jeżelibyśmy w danym przypadku rozważali tylko wyginanie, nie uwzględniając wcale siły, wywołującej przesuwanie, to równanie linii wygięcia dałoby się łatwo zcałkować. W rzeczy samej, wiemy z rachunku różniczkowego, że:

d²X

dz²

a idx dz \3s

dx

<Z)\

co ¹ fci

. . (264)

możemy więc równanie (262) napisać w sposób następujący:

Eld

(I)

— Mdz ;

ponieważ zaś M jest funkcyą tylko zmiennej z, przeto:

El

dx

ds

fudz -f C

(265).

3.9

Jednakże - =

, czyli 3s =

dx

wadzając więc do tego równania za wartość tej pochodnej z równa-

<7#

nia (265) i całkując względem z, znajdziemy długość s rozważanej części

dx

linii wygięcia. Wreszcie, uwzględniając, że dx — ~ 3s , czyli

dx

dx

f'-gf

dz

. . (266),

otrzymamy przez całkowanie tego ostatniego wzoru związek między rzędną x a odciętą z dla rozważanej części linii wygięcia. Należy zauważyć, że całki, zapomocą których jest wyrażony łuk s i rzędna x linii wygięcia, prowadzą do funkcyi eliptycznych, a nawet ultraeliptycznych; to też dla ich uniknięcia poprzestajemy w praktyce na rozwiązaniu przy-bliżonem.

Skoro przyjmiemy, że wygięcie jest nieznaczne, to możemy oś graniastosłupa po wygięciu uważać za krzywą, bardzo mało różniącą się

dx

od osi prostej z, a więc —, jako dostawa kąta, który zosią x tworzy

styczna do tej krzywej, jest bardzo małym ułamkiem (jako dostawa kąta mało różniącego się od kąta prostego). Wobec tego możemy wzory na ds i dx rozłożyć na szeregi według potęg rosnących tego małego ułam-

ka i poprzestać na kilku pierwszych wyrazach. Szeregi te są następujące:

dx\² 1.3 idx

2.4

K_3.

274.6

Ol

©+;■

. . dz

dx =

dx

. . (267).

ds

to

dz

Jeżeli w każdym z tych szeregów odrzucimy potęgi wyższe od pierwszej

dx

ułamka bardzo małego -, to otrzymamy: ds = dz, a wówczas równanie (265) przyjmie postać:

EI~= f Mdz + C .    .

dz

. . (268).

Całkując je, otrzymamy:

EIx =fdz f Mdz + C7C.....(269).

Przy tym stopniu dokładności, który przyjęliśmy przy ustalaniu dwóch równań ostatnich, równanie podstawowe (262) przyjmuje postać:

d²X

(270).

Przypadki szczególne, które obecnie zamierzamy rozważać, wyjaśnią zastosowanie wyprowadzonych powyżej wzorów i wskażą te rozumowania, któremi posługiwać się należy przy wyznaczaniu dowolnych stałych, wprowadzanych przy całkowaniu.

I. Jeden koniec graniastosłupa osadzony jest nieruchomo, drugi zaś jest swobodny.

56. Wyginanie wywołuje siła P, działająca na koniec swobodny B

(rys. 9). Zauważmy przedewszystkiem,

dz²

że osadzenie nieruchome końca A po- Tl winno uniemożebnić wszelkie posunię-

cia postępowe i ruchy obrotowe pod- |p stawy tego końca. Skoro środek cięż- ^ kości podstawy A końca osadzonego nieruchomo przyjmiemy za początek współrzędnych, to styczna do linii wygięcia w punkcie A musi paść na kierunek osi graniastosłupa przed wygięciem, czyli na kierunek osi z, a więc

dgp

gdy z — 0 będzie x = 0 i — = 0, albowiem

o Z

stycznej z osią z.

dx

rri

Rys. 9.

jest tangensem kąta

Dla punktu m linii wygięcia, który przed wygięciem był oddalony o z od początku współrzędnych, otrzymujemy na moment wzór:

M = P (L — z) ,

gdzie L jest długością AB graniastosłupa. Mamy zatem równanie:

d²x

.    .    (271).

IE9? = P<--L-Z) ■    '

Mnożymy je przez dz i całkując w granicach od zera do z, otrzymu

jemy:

IE

.    . (272).

Zapomocą tego równania oznaczamy tangens kąta z osią z stycznej do linii wygięcia w każdym jej punkcie. Całkowanie dalsze równania (272) w tychże granicach daje:

IEx =

. . (273).

Jest to równanie przybliżone linii wygięcia AB w danym przypadku. Krzywa ta jest parabolą sześcienną. Największa rzędna tej krzywej nazywa się strzałką wygięcia albo ugięciem, i oznacza się zwykle literą f. Ugięcie otrzymujemy z równania (273), przyjmując w niem z = L:

(274).

BU 3TE

Zauważmy, że moment M = P (L — z) osiąga maximum w osadzonej nieruchomo podstawie A graniastosłupa, skutkiem czego podstawa ta w danym przypadku nazywa się przekrojem niebezpiecznym. Dla tego przekroju:

= PL

(275).

Wreszcie —^2 = P jest ilością stałą, co oznacza, że siła ścinająca P

dM

dz

jest we wszystkich przekrojach graniastosłupa jednakowa.

a na część mB (rys. 9), której długość mo-

57. Wyginanie następuje pod obciążeniem Q, rozłożonem równomiernie na całej długości L graniastosłupa. Gdy obciążenie Q rozłożone jest równomiernie na całej długości L, przypada na każdą jednostkę długości graniastosłupa obciążenie

(L—z). A po-

żemy przyjąć za równą L — 0, przypada obciążenie

nieważ odległość punktu przyczepienia tej siły od punktu m linii wygięcia jest ^(L—z), przeto na moment względem punktu m mamy:

, (276).

Q (L—z)²

Stąd otrzymujemy równanie:

r„*x Q{L—zf Q IE —

2L (L>-2Lz + z>).

Całkując to równanie dwukrotnie, za każdym razem w granicach od

dx

0 = 0 do z = z, i uwzględniając, że przy z = 0 musi być ^ i x = 0, otrzymamy:

■ •

Przyjmijmy w ostatniem równaniu z = L, to na ugięcie /'otrzymamy wzór:

. . (277)

/ z²

K-

. . (278).

QL3 81E

Przekrojem niebezpiecznym będzie, jak i w przypadku poprzednim, podstawa osadzona nieruchomo i dla tego przekroju:

d7max ^

(279).

(280).

Wreszcie do oznaczenia siły, wywołującej przesuwanie, mamy:

_Q{L — 0)

. Siła ta jest więc w różnych przekrojach rozmaitą.

Największą swą wartość, wynoszącą Q, siła ta osiąga w przekroju niebezpiecznym.

58. Wyginanie wywołują dwie siły równoległe do osi x, z których jedna P' działa w odległości a od podstawy osadzonej, a druga P działa w końcu swobodnym. W takim przypadku linia wygięcia składa się z dwóch części, posiadających swe oddzielne równania. Część pierwsza rozciąga się od podstawy osadzonej do punktu przyczepienia siły P', część druga zaś od tego punktu do końca swobodnego.

Warunki wyginania części pierwszej są wyznaczone równaniami na-stępującemi, w których odciętej z można nadawać wartości od 0 do a włącznie:

dz

Ml = IE^ = P< {a-z) + P (L-z)

) ¹ 'I''2 g)

Warunki wyginania części drugiej są wyznaczone równaniami:

IE

dx

= P’

IE x—Pf

I Z²

r 2

. . . (281).

M₂ = IE

d²X

9z²

= P (L — z)

c>X

IE^- = P\Lz —

dz

IEx=P

'Lz²

ę) ₊ o*+c'.

Stałe dowolne C i C¹ można oznaczyć z warunku, że obie powyżej 'wspomniane części linii wygięcia mają jeden punkt wspólny, a mianowicie punkt przyczepienia siły P', dla którego z = a. Wartości więc

dx

— ,ix, odpowiadające temu punktowi, można otrzymać bądź z równań

OZ

ostatnich, bądź też z równań (281) dla części pierwszej, przyjmując w nich z — a. Otrzymujemy wówczas:

to

P'%+P[Ą

+ p[La— ) = p\yLa—    ) -f C

to

Stąd:

tol %

a³

C = P'

i C' =

— P' — . 6

Równania więc części drugiej są:

J1P, = IE

d²x

dz²

= P (L—z)

ip

dx

dz

p[Lz

lEx — P [L

to i %

05

-    ) + P'a²

j -j- ^ P'a²z — \ P' a?

. . . (282).

W tych równaniach odcięta z może przyjmować wartości od a do L włącznie.

Na ugięcie /'otrzymamy z równania ostatniego, przyjmując wniem z — L, wzór:    <

. . (283).

PL³    P'

37P ¹ IE

Wyprowadzone powyżej wzory stosują się do przypadku, gdy obie siły P i P' są skierowane w stronę dodatniej osi x-6w. Natomiast, gdy jedna z tych sił, np. P', jest skierowana ku ujemnej osi x-ów, należy we wzorach zastąpić P' przez — P'. W tym przypadku część pierwsza krzywej może mieć punkt zwrotny, dla którego moment M₁ równy jest zeru.

Odciętą z tego punktu otrzymamy z równania: P (L—z) —P¹ (a—z) — 0, z którego wynika:

(284).

Fa — PL

P’—P

Ażeby jednak punkt zwrotny istniał w rzeczywistości, odcięta z, oznaczona z równania (284), musi być mniejsza od a, co może nastąpić tylko,

gdy P’ jest większe od P — .

Bez względu na to, czy siły P i P¹ są skierowane w jedną stronę, czy w strony przeciwne, przekrojem niebezpiecznym będzie albo podstawa osadzona, albo przekrój, dla którego z —a, zależnie od tego, dla którego z tych dwóch przekrojów wielkość liczebna (niezależnie od znaku) momentu jest większa.

II. Jeden koniec graniastosłupa jest osadzony nieruchomo, drugi zaś

jest podparty.

59. Wyginanie wywołuje siła P. działająca w odległości a od końca osadzonego (rys. 10). Zakładamy, że środek ciężkości przekroju podpartego B nie może podlegać posunięciom postępowym, lecz że sam przekrój może się swobodnie obracać. Ponieważ zapobiedz posunięciom postępowym punktu B możemy przez działanie na ten punkt pewnej siły, przeto możemy działanie podpory na ten punkt zastąpić siłą R, którą nazywamy oddziaływaniem albo odporem (reakcyą) w przekroju podpartym. To oddziaływanie musi być normalną do krzywej, którą tworzy oś graniasto-słupa po wygięciu; skoro jednak wygięcie uważamy za nieznaczne, to siłę tę możemy zawsze uważać za prostopadłą do osi z, t. j. do kierunku osi graniastosłupa przed wygięciem.

Oczywiście, gdy przyjmiemy, że siła P i oddziaływanie R są prostopadłe do osi 0, to wyginanie graniastosłupa w danym przypadku będzie oznaczone wzorami (281) i (282), po zastąpieniu w nich P' przez P

-i?-.

--

Rys. 10.

i P przez — R.

Mamy więc w tym przypadku: dla części AC:

Mi = P(a—z) — R (L—z) lEd- = plaz — i\ — R

z²

. . . (285)

cr>

IE x — P[ a

i dla części GB:

M₂ = — R (L—z)

IE

IEx =

05: w

| -|- b P a² z — \P a³

Ponieważ rzędna punktu B równa jest zeru, więc z ostatniego równania, gdy przyjmiemy w niem z — L, otrzymamy wzór na oddziaływanie:

² 3 L — a

3La — a²

.    .    (287).

Gdyby koniec JL, podobnie jak koniec 2?, był podparty, nie zaś osadzony nieruchomo, to moglibyśmy oddziaływanie R oznaczyć według zasad statyki, rozkładając siłę P na dwie siły równoległe, działające w punktach A i B. Wówczas otrzymalibyśmy jako oddziaływanie:

B= P t

W przypadku natomiast rozważanym, jak widzimy z wzoru (287), oddziaływanie w punkcie B jest mniejsze od P f , albo-

±J

gdy a<L, jest zawsze mniejszy od jedności.

wiem ułamek

3 La —a²

2 L²

A zatem ta okoliczność, że koniec B może się swobodnie obracać, a podstawa A pozbawiona jest tej możności, jest przyczyną, że część ciśnienia, przypadająca na koniec B, przechodzi na koniec A.

Największą wartość momentu w części pierwszej otrzymujemy gdy z — 0, a w części drugiej gdy z = a. Wartości tych momentów są:

— Pa 1 —

3 La — a²

2 L²

3 La — a² L — a 2L²    • L

Zakładając, że moment Mx części pierwszej jest równy zeru, otrzymujemy odciętą zx punktu zwrotnego:

3 La —a2 “ LU a 3 La—a2 L 2L²

Gdy a — ^L, otrzymujemy:

(•^2)max

zx = a —

= — Pa.

. . (288).

co jest zawsze < a ...    (289).

ooi en

(Al ₁)max- re ^L »    (Af.2)max —    52 bPL i Zx — T³T L.

A zatem w tym przypadku przekrojem niebezpiecznym jest podstawa osadzona nieruchomo.

GO. Wyginanie następuje pod obciążeniem Q, rozłoźonem równomiernie na całej długości graniastosłupa. Jeżeli i w tym przypadku oznaczymy oddziaływanie w końcu podpartym przez R, to na wyginanie otrzymamy wzory:

d‘²X

M~IE dz2 — 2L

(.L—zf — R (L-z)

dx

. . . (290).

IE dz    2 L

L²z — Lz² -f

R^Lz — -J

b(lT- :)

Skoro w równaniu ostatniem przyjmiemy z — O i x — 0, to otrzymamy równanie, z którego oznaczymy oddziaływanie R:

R = lQ

Przekrojem niebezpiecznym jest przekrój osadzony, dla którego jest:

QL

(291).

(292).

W miarę oddalania się od początku współrzędnych, moment M stopniowo zmniejsza się i dla z — £ L staje się równym zeru. A zatem odcięta z — \L wyznacza punkt zwrotny krzywej; poza tym punktem moment staje się ujemnym, a wartość jego liczebna rośnie do punktu z — \L, gdzie wartość ta jest największą i równą T|¥ QL. Ale to drugie maximum jest mniejsze od pierwszego.

Największa rzędna odpowiada odciętej 0 =

15 - 1/33

₁₆    P=0,578P.

III. Oba końce graniastosłupa osadzone są nieruchomo.

61. Wyginanie wywołuje siła P, działająca w odległości a od końca A.

Ponieważ koniec B (rys. 11) nie może ^

teraz wykonywać ruchów ani postępo- pL ____^^ ~

wych, ani obrotowych, przeto oddziały-    ^⁼⁼⁼⁼⁼^~EW-

wanie w tym końcu musi składać się z siły R, znoszącej ruch postępowy w kierunku osi x, i z pary sił o pewnym momencie y., znoszącej ruch obrotowy przekroju B. Płaszczyzna tej pary zlewa się z płaszczyzną (zx).

Ilości R i ij. nie są nam wiadome; wiemy natomiast, że w punkcie B linii wygięcia styczna pada na oś z i że rzędna tego punktu równa

doc

jest zeru, czyli, że przy z = L mamy    i -

dz

Warunki wyginania części pierwszej A C są oznaczone przez ró-

'bt

Rys. 11.

= 0.

wnania:

Mx — IE

d²X

3 z²

= P (a—z) — R (L— z) -f-

IE

dx

dz

[J.z

IE x = Pa

tol w

H(£

to %

z*\    Z²

-g ) + !*•■2

części zaś drugiej CB przez równania:

c²X

M^ = IE-? = -S(L-z) + v.

= -J8(i*-y) + |W + C

tI+^t + Cz + C'

W celu oznaczenia stałych C i C", wprowadzonych przy całkowaniu, przyjmujemy zarówno w tych ostatnich równaniach jak i w równaniach (293)

IE

IE x — —

B(Lj

dx

z = a i zrównywamy ze sobą wartości otrzymane na — i nax. W ten

sposób otrzymamy dwa równania o dwóch niewiadowych C i Cf, z których znajdziemy:

G = Pa² i C' = — l Pa³. Równania dla części CB przyjmują więc postać:

tiji—

m₂ = ie

d²x

= (£-*) +1*

+ +

-) + t^y+ P«²*-

W celu oznaczenia P i fi, przyjmujemy w ostatnich dwóch równaniach

dx

x = 0 , — = 0 i z = L. Otrzymamy wówczas dwa równania:

—    i PP² + y.L + | Pa² = 0

-    £ PP³ + £fi,P² + 4 Pa*L - | Pa² == 0,

dx

IEI- —

3^

IE x = —

tii—

WH

P a³

. . . . (294).

z których oznaczamy P i fx:

3Pa²— 2a³

P³

i fi=P

La² — a³

L²

= p(^)²(P-a) . . (295).

Mając te wartości na R i fi, z łatwością znajdziemy:

w punkcie A :

<L—a\²

>>

XłXmax

|i = P(L-a)(|)²

. . . (296).

Afmax = — 2 PL I r

a \² iL—a\²

Linia wygięcia ma dwa punkty zwrotne, których odcięte są:

2-2 = L

2| = ° i+2a W przypadku szczególnym, gdy a = \L, otrzymamy:

3L — 2a

. . (297).

T-tlOO

PL ,

zx = \L , z = \L.

V- =

Największa rzędna, czyli ugięcie /\ będzie w tym punkcie, którego odcięta z = ^ L. Na ugięcie otrzymujemy równanie:

lEf — T|₅ P-L³

W tym przypadku szczególnym przekroje końcowe i przekrój środkowy są jednakowo niebezpieczne. Dla każdego z tych przekrojów wartość liczebna momentu M jest równa \PL.

62. Wyginanie następuje pod obciążeniem Q, rozłożonem równomiernie na całej długości. W tym przypadku warunki wyginania są oznaczone przez równania:

(298).

M = IE

3²ic

(L—z)² — R (L—z) + p.

z²\

Lz-^j+^z

dz² 2 L

[i?i—£j² + ^)-ie(

2L [L'j -Lj + ^2) - R(

doC

Przyjmując w dwóch ostatnich równaniach x = 0, — = 0 i z = L,

d Z

IE

dx

dz 2 L

IE x =

to! *

Oi\

to|

otrzymamy dwa równania o dwóch niewiadomych Pip.. Z równań tych znajdziemy:

P = | Q i p. = QL

(299).

Wobec tego otrzymamy równania: l\L=Q^

12 L

(L² - 6Lz -f 60²)

dx

dz 12L

(L²z - 3Lz² 4- 2z²)

. . (300).

IE x —

12 L \

L²

M

J-*xmax

QL

₁₂ (gdy e — 0 i gdy z = L) . Linia wygięcia ma dwa punkty zwrotne, których odcięte są:

*i-0 -»T) y = 0,2113 L

*, = (1 + yj) y = 0,7886 L.

Wreszcie, największą rzędną, czyli ugięcie f, otrzymujemy z równania:

QL^

IEf =

384

(przy z = $L).

IV. Oba końce grauiastosłupa są podparte swobodnie.

63. Wyginanie wywołuje siła P, działająca w odległości a od podpory pierwszej A (rys. 12). W tym przypadku oddziaływania P₀ i P w przekrojach podpartych A i B mogą być oznaczone podług zasad statyki, a mianowicie mamy:

•z

->

i R₀ = P

. . (301).

Rys 12.

Mx — IE

d²X

dz¹

Dla przekroju dowolnego części pierwszej AC, moment Mx jest:

— P{a—z) — R(L— z) = —R₀z = — P—r— z. . (302).

Jj

Oznaczając przez o kąt, jaki z osią z tworzy styczna do linii wygięcia

dx

w punkcie A, czyli gdy z = 0, — = tga, i całkując równanie (302),

o Z

otrzymamy:

L—a z²

L T

L—a za

~TT T

W przekroju dowolnym części drugiej CB, moment M₂ jest:

M, = IE^, = — B(L-i) = -Pj-(L-i). . . (304). Całkując to równanie otrzymujemy:

1E

(l-H

= —P

. . (303).

IE (x — z Ago) = — P

ie

dx

dz

Łz

Z tych ostatnich równań na — i na x, na punkty C linii wygięcia powin-

dx

cZ

niśmy otrzymać takie same wartości jak z równań (303), a więc:

o*-*

C = IE tga + Pa² i C' =

Równania warunków wyginania części GJB, przyjmują wobec tego postać:

M, = - F~ (L-z)

dx

tg a )

[Lz

. . (305).

IE (x—z tg a) = — P

Jeżeli w tern ostatniem równaniu przyjmiemy z = L i x = 0, to otrzymamy równanie na tg a:

tg a =

Pa (L—a) (2 L—a)

6IEL

. . (306).

Z przedostatniego równania grupy (305) otrzymamy, przy z = L, na tg p, gdzie p jest kątem, który tworzy z osią z styczna do linii wygięcia w punkcie B:

tgp = —

Pa(L—a)(L-\-a)

6 IEL

. . (307).

Największą wartość osiąga moment w przekroju, dla którego odcięta z — a\

. . (308).

— T a (L—a) .    .    .

Wartość ujemna momentu wskazuje, że promień krzywizny linii wygięcia jest skierowany w stronę przeciwną aniżeli siła P.

W przypadku szczególnym, gdy a = £ L, otrzymamy:

PIJ 16 IE

W tym przypadku rzędna największa, czyli ugięcie f, odpowiada punktowi, leżącemu w środku długości, przyczem:

tg « = — tgp =

max-

PL

. (309).

PL³

to

48 IE 3IE

. . (310).

64. Wyginanie powstaje pod obciążeniem Q, rozłoźonem równomiernie na całej długości. W tym przypadku oddziaływania P₀ — R — Q, a warunki wyginania są oznaczone przez równania:

Skoro oznaczymy długość AB przez 26, to otrzymamy na ugięcie f — HF równanie (2p — f) f= b², z którego po podstawieniu za p jego wartości, otrzymamy:    •

(315).

3²x

IE dz²~ 2L^L ^

bo -O

(L-z)

IE

’3x

.30

- tg a

L²

-44)-(

..(311).

to!

O* !CN

to:

cni

Z dwóch ostatnich równań, przy z — L i a? = 0, otrzymujemy:

QL²

2ME........

tg « = — tg P =

(312).

Przy z — \L otrzymamy:

5_ QL*

384 IE ' '

65. Wygięcie Lamarle’a. W celu oznaczenia współczynnika E

sprężystości podłużnej zapomocą doświadczenia, Lamarle zastosował wygięcie, przedstawione na rys. 13. W tym przypadku punkty podparcia A i B belki leżą na jednej prostej poziomej w odległościach jednakowych od końców belki C i Z), na które działają siły równe P i P. Oczywiście, oddziaływanie w każdym punkcie podparcia jest P, a wobec tego moment sił, odniesiony do punktu dowolnego części AB linii wygięcia, jest ilością stałą równą Pa, gdzie a — AM i a — BN. To też AB jest łukiem kołowym, którego promień:

inax-

Rys. 13.

QL

. . (313).

IE

P Pa

(314).

Pa b²-\-f2 21 ' f

Ponieważ a, b, f i wymiary przekroju danego graniastosłupa mogą być oznaczone zapomocą pomiarów bezpośrednich, przeto wzór ostatni może służyć do oznaczenia współczynnika sprężystości E.

Ten przypadek wyginania daje bardzo ścisłe wartości współczynnika sprężystości. Rzeczywiście, uwzględniając, że wszystkie ciała uchy-

biają więcej lub mniej jednolitości (izotropii) budowy, możemy zapomo-cą doświadczeń oznaczać tylko wartości średnie współczynnika sprężystości, a wskutek tego najkorzystniej jest posiłkować się takiem odkształceniem graniastosłupa, przy którem wszystkie przekroje znajdują się w warunkach jednakowych. Przypadek Lamarle’a czyni zadość temu warunkowi dla wszystkich przekrojów części AB. Nadto, wzory nasze na wyginanie były wyprowadzone w przypuszczeniu, że przekroje pozostają płaskimi, co wogóle jest sprzeczne z rzeczywistością, gdy tymczasem w danym przypadku przekroje części AB ściśle odpowiadają temu warunkowi. Wreszcie, wzory nasze dają równanie przybliżone linii wygięcia, gdy tymczasem w przypadku Lamarle’a znamy zupełnie dokładne równanie tej krzywej i wskutek tego otrzymujemy zupełnie dokładny wzór na ugięcie f.

V. Graniastosłup ma więcej niż dwa punkty podparcia, leżące na

jednej prostej.

66. Twierdzenie o trzech momentach. Przypuśćmy, że graniastosłup ma n przęseł, czyli że opiera się na n-\-\ podporach. Oznaczmy oddziaływania w przekrojach podpartych kolejno przez B₀, Rx, ... i R„ (rys. 14), a długości przęseł przez a₁, a₂, ... . i an.

Przyjmijmy, że wyginanie wywołują obciążenia R rozłożone równomiernie na

f/?,

Jim ./

,Rm

Rn ■/

Rn

an

m &ni+ł -

a S"

B C

Rys. 14.

każdem z przęseł i że na jednostkę długości każdego z tych przęseł przypadają obciążenia równe kolejno <h, Q-2, ■ ■ • • i qn- Wreszcie, momenty względem każdego z przekrojów podpartych niech będą i*.₀, ^, . . . . i |i„. Z tych momentów |jl₀ i są równe zeru, gdy końce O i N (rys. 14) są podparte swobodnie; natomiast momenty te będą ilościami niewiadomemi gdy końce rzeczone będą osadzone nieruchomo.

W celu otrzymania równań, wyznaczających warunki wyginania, przyjmujemy początek m-tego przęsła, t. j. punkt A, za początek współrzędnych i przenosimy wszystkie siły, działające na część BN, do przekroju podpartego B. Wtedy w tym przekroju otrzymamy pewną siłę Pm i pewną parę sił, której moment jest równy um. Siła Pm będzie:

m    1    | Q[m-\-2    2 j⁻ . . . • | Qn

(a).

{Rm -j⁻ Rm\-\ 4“ . . . . Rn) •

Takaż siła w następnym przekroju podpartym C będzie:

-PTO-tl = dm-{-2 am+2    .... “j- Q_n 0* (PmĄ-1 ~\~ • • • • "j" P”) > więC

1 m,    PmĄ-i (?»»-)-] 0m-|-l

w przekroju A mamy teraz:

|Xm_ 1 |Xm -j⁻ 4    0 m “jf⁻ Pm 0

—1

. . (b).

Dla momentu |x;

skąd

dm

2 Q.m

(c)

— i qm+1 am4-i, więc

Clm

[4»H-1

D _ p    _ —1

-L m    - -

T" h    am-fi    i Qm am •

Ostatnie równanie wraz z równaniem (b) daje:

Pm = ^ (.Otm am -f-    0*4-1) -j- —-—\-

Wzór ten wskazuje, że oddziaływania podpór nie mogą być oznaczone przez rozłożenie każdego z obciążeń, zgodnie z zasadami statyki, na dwie składowe, ponieważ te oddziaływania zależą nietylko od obciążeń, lecz i od momentów |x. Tylko w dwóch przypadkach możnaby oznaczyć oddziaływania przez rozkład każdego z obciążeń na dwie składowe, a mianowicie: gdyby wszystkie momenty ^ były równe, albo gdyby na całej długości graniastosłupa spełnione było równanie:

\)'m l—1

0*

. . . (316).

ć^TO-fl

0*

.    . (317).

Zaznaczamy nadto, że wzór (316) służyć może do oznaczenia wszystkich oddziaływań za wyłączeniem skrajnych, ponieważ, jeżeli przyjmiemy w nim m = 0 i m—n, to do wzoru wejdą ilości nieistniejące a₍₎, 0*4-1,

(X_l i [A„ hi.

Oddziaływania P₀ i Pn można oznaczyć z równań następujących, wypływających bezpośrednio z rysunku 14:

th = h ffi «i² + fh> — ^0 «i (

[xn—1 — ^ qn cip —J— [X*    1bn dn \

gdzie jx₀ i fx„ są równe zeru, gdy końce są podparte swobodnie.

Do wyznaczenia warunków wyginania w przęśle m-tem mamy te-

•    • (318),

raz wzory:

d²X

IE    ^ qm (dm    z)² -f- Pm (0* z) -|- [x*

dx

IE ^ - <2 (Im ^0m^ Z    Z² ~\~

I    Z^    z^    z^

IE x-=\qm Idm² —— am — -)- —

\    Z    o    IZ

j + Pm Z — -g-j -j⁻ Z -f- Gm

| ^m ~2

to

CJ

O)

W tych równaniach można zmieniać z tylko w granicach od 0 do am włącznie.

Jeżeli wprowadzimy warunek, że przy z = am rzędna x = 0, to otrzymamy na stałą Cm wzór:

Cm - Clm (i Q_m Pm ~f~ Pm Qm ~f~ 2 {**»») ....    (d).

Jeżeli kąty stycznej z osią z na początku i na końcu przęsła iw-tego oznaczymy przez aTO_i i am, to drugie z równań (319) da:

IE tg (Xm—i -—- ( m

1E tg 0tm g O, m —1— Pm (Pm —f⁻ \^m dm | Cm .

(t*-m ~2 [Tm—i) .... (e)

. . (f).

Podstawiając tu za Pm i Cm ich wartości z równań (d) i (c), otrzymamy: IE tg OCm—1    ([m (Pm

IE tg 0.m--- yę Qjm Pm —|— g (^•m—1 | 2 [A>m) (^m

Powiększając we wzorze (e) wskaźnik m o jedność i porównywając osiągnięty wynik z wzorem (f), otrzymamy równanie:

\^m—1 T 2 {am H~    [^m T dm-\-1 [^m+1 (jlm Pm, J⁻    (P mĄ-1) • • • (320).

To ostatnie równanie, wyprowadzone przez Bertofa, wyrażające związek pomiędzy trzema momentami, odpowiadającymi trzem podporom sąsiednim, stanowi twierdzenie o trzech momentach.

Skoro w równaniu (320) nadawać będziemy wskaźnikowi m wszystkie wartości od 1 do n—1 włącznie, to otrzymamy n— 1 równań, z których oznaczymy wszystkie momenty, o ile ji₀ = *j.n = 0 , t. j. gdy końce graniastosłupa są swobodnie podparte. Jeżeliby natomiast końce były osadzone, musielibyśmy do n—1 równań, otrzymanych z twierdzenia Bertofa, dołączyć dwa równania, wynikające z warunku, że cl₀ — an — 0. Te ostatnie równania otrzymać można z równań (e) i (f), przyjmując w pierwszem m= 1, w drugiem zaś m = n. Równania te są 2 Ho + [Ł, = i qx «1² i 2    -J- [i„_i — \qna²n. . (321)

Jeżeliby jeden z końców, np. pierwszy, był osadzony nieruchomo, drug zaś podparty swobodnie, to należałoby w równaniach Bertofa przyjąć {iM — 0 i do równań tych dołączyć pierwsze z równań (321).

Stąd widzimy, że rozwiązanie zagadnienia dotyczącego wyginania belki, leżącej na wielu podporach, sprowadza się do rozwiązania równań, wypływających z twierdzenia Bertofa. Gdy liczba przęseł jest niewielka, rozwiązanie tych równań, jako równań stopnia pierwszego, nie przedstawia trudności, gdy natomiast liczba przęseł jest znaczna, rozwiązanie rzeczonych równań może być żmudne.

Równanie (320) jest to właściwie równanie liniowe różnicowe drugiego rządu. Celem wyprowadzenia z niego wzoru ogólnego na \i.m należy to równanie całkować, co jednak jest możebne tylko w niewielu przypadkach szczególnych.

67. Przęsła jednakowej długości i jednakowo obciążone. W tym przypadku należy przyjąć:

<h = q₂ = ■ ■

• = Qn = 0. •

Ct-y ——— ^2 - • •

Wobec tego z równania (320) wynika:

1 H⁻ 4 ^l,m —|—    ^ QCl² h ,

czyli, gdy m powiększymy o jedność:

P-m ~\~ 4    t^m+2 = \ Qci² — h ....    (322).

To ostatnie równanie, o stałych współczynnikach (niezależnych od ni), możemy spełnić, przyjmując:

Ci i-²

h -j- C km -f- <?'

-

gdzie k i k’ są pierwiastkami równania następującego:

(323),

(324),

x² -f- 4x -j- 1 = 0    .    .

a G i C są ilościami stałemi dowolnemi.

Istotnie, z równania (323) wynika:

= 4 A + C&+² -f C' k' ™+²

^m+2 = i h + G Jcm+² -f O k’™+² , z równania zaś (322) otrzymujemy:

(ł + ł + ł) * + Gkm (l+4&-fP)-f- C'k'™(l+4k' + k'²) = h ,

czyli otrzymujemy tożsamość /*=/*, z powodu, że 7r i ¥ są pierwiastkami równania (324).

Do oznaczenia stałych C i C' musimy znać warunki, w jakich znajdują się końce belki.

Przypuśćmy, że końce te są podparte swobodnie. Wtedy [xo=-jjl„ = 0; przyjmując więc w rozwiązaniu (323) m—0 i m — n i uwzględniając, że iloczyn JcJc'= 1, czyli k'=k~\ otrzymamy:

co

C+C = —

Stąd:

(7 = —

/i

6 ' kn 7j- 1

C' =

h kn 6“ ' k* + 1 ’

To

km -j- kn~m' ~ kn-fl

Równanie (316) daje wartość oddziaływania Rm:

Rm -    +

2 |i.m    —i

czyli, rugując [xm zapomocą równania:

-j- 4    -4- uTOą-i = ^ qa²

otrzymamy:

Rm = \qa —

Z wzoru (325) mamy:

I^to—1    t^m+1 =

/cm i + Tcm+³ = j-i- -J- Jc J km ,

a że:

qa²

qa²    /cm~³ -j-    + Jcni+³ + Tcn~m

12 '

Jcn + 1

1 j fen-m

(I *) i”-™

przeto:

.    _^    qa² &w + &w-m

|xm_i + (xm+1 — -g- + -3    &«_]_!    •

Ostatecznie więc otrzymujemy:

qa

&n+l

. . (326).

Jako oddziaływania w przekrojach końcowych otrzymujemy z wzo

ru (318):

. . (327).

hn~¹ -[- h

*"+l .

W celu ułatwienia obliczeń gdy n jest liczbą wielką, podajemy tablicę wartości współczynników 4 i Bf we wzorach:

Jc2i +1=4 # i &²*+i + 1=5,. (jfe+l) A:*' .    .    .    (328)

Bi

-5

CN CO ^ LO CD

14

19

- 52

— 71

10

194

265

11

- 724

- 989

12

2702

3691

13

— 10084 37634 — 140452 524174 — 1956244 7300802 — 27246964

- 13775 51409 — 191861 716035 — 2672279 9973081 — 37220045

Tablicę tę ułożono w sposób następujący: Wartości dwumianów &⁴-f-1, &⁶ +1 i t. d., o potęgach parzystych, otrzymano przez podnoszenie równania podstawowego &²-f1 = — 4/c do potęg całkowitych, poczynając od drugiej; wartości zaś dwumianów 7c³-j-1, &⁵ + l i t. d., o potęgach nieparzystych, otrzymano dzieląc te dwumiany przez TcĄ-1. Tak np.

(k² -f l)² = JA + 2F + 1 = (— Ak)² = 16P , stąd &⁴ + 1 = 16&² - 2k²= 14 k² , a więc A₂ = 14.

(k² + l)³ = k⁶ -f i + 3*2 (k² -j- i) = — 64F, stąd k⁶ + 1 = (— 64F -f- 3 . AB) = - 52&³ , a więc A₃ = — 52. £⁸-fl=(#4-l— &)(&-fl)=(—4—l)jfc(fc-fl)=—.5&(fc-fl), a więc ^ = -5 B 4-1 = [**-}-1 —jfc(*2_|_i)_|_£2] (*_!_!) ₌(14_|_4_(_1) (*-|-l) *² czyli -f- 1 = 19 lj) A;² , a więc B₂ = 19 , i t. d.

Zaznaczamy przytem, że liczby A, i B{ spełniają równania: Ai= — 4A

, Ą = — 4Ą_₁ — Ą_, i A,=5,+5,_₁ . . (329),

czyli liczby te tworzą tak zwane szeregi zwrotne, w których wyraz dowolny szeregu może być otrzymany z dwóch wyrazów go poprzedzających. Stosunek dowolnego wyrazu szeregu do wyrazu bezpośrednio po nim następującego, w miarę wzrastania ilości i zbliża się do tego pierwiastka równania &²-j-4fr-[-l=0, którego wartość liczebna jest mniejsza od jedności, t. j. do k = — 2 + ^3 = — 0,267949. To też, gdy i = oo , otrzymujemy:

lim

A i— i

A,

istotnie, wzór (328) daje:

= lim

45,-₁

Bt

= k — — 2 -j- P 3 . . (330).

W-') -f 1

k* + 1

B~~l

Ai— i

At ' ¥ A

A że ilości 0 i k2i, gdy k jest ułamkiem właściwym, zbliżają się do

A-_ i

zera, przeto w miarę wzrastania wykładnika, granica stosunku —— , przy i = oo, będzie równa k.

Takąż wartość otrzymamy i dla granicy stosunku liczb B Z łatwością jeszcze znajdziemy, że wogóle, gdy i— oo

lim r^j-A

= lim

Bi-S

= k*.

i Bi

Bi \

Przypuśćmy, że liczba n jest liczbą parzystą; przyjmując wtedy n = 2X, otrzymamy:

qa²

Pm — ₁₂

Ax

-Rm - QCl

A\—m

2 Ax

. • (331).

t—¹1 K5 tc¹ a

⁵+ A

¹

ex = -p£-

²

i Ckn -J- C' k~n =--- -.

³

i

Gdy zaś n jest nieparzyste, to przyjmując n — 2 X —{— 1, otrzymamy:

qa²

B\—m

Rm = qa

2 Bx

. . (332).

na

lO

bo

Ponieważ wartości liczebne A{ i B{ zwiększają się w miarę wzrastania i imają znaki naprzemian to + , to —, przeto możemy z łatwością z wzorów powyższych wyprowadzić wnioski następujące:

Bez względu na to, jaką jest liczba przęseł, zawsze ^    jest

największym z momentów, którego wartość liczebna, w miarę Zwiększamy^ 2

nia się liczby przęseł, zbliża się do granicy (1 — h) ~ , czyli do

-L Ł

qa²

1,267949    .

1Ł

Momenty o wskaźnikach nieparzystych , (i₃,    ... . zmniej

szają się w miarę zbliżania się do środka belki i zbliżają się do granica12 12"’

zbliżania się do środka belki i zbliżają się do tejże granicy ■ To

1 Li

samo możemy powiedzieć o oddziaływaniach. Największem z oddziaływań jest Bl — B zmniejszają się w miarę zbliżania się do środka belki i zbliżają się do granicy qa ; oddziaływania zaś o wskaźnikach parzystych zwiększają się w miarę zbliżania się do środka belki i zbliżają do tejże granicy qa. Największe z przeciwdziałań Bx, w miarę zwiększania się liczby przęseł, zbliża się do granicy (1 — \h) qa-= 1,133975 qa. Oddziaływania podpór skrajnych B₀ i Bn zawsze są mniejsze od wszystkich innych i w miarę zwiększania się n zbliżają się do 0,394338 qa.

Przypuśćmy teraz, że oba końce belki są osadzone nieruchomo. Do wyznaczenia momentów będziemy mieli szereg równań:

² tAo + 1*1 = i 1*0 + ⁴tAl + ^2 = 2

cy

momenty zaś o wskaźnikach parzystych zwiększają się w miarę

w—i •

Oddziaływania o wskaźnikach nieparzystych

Równania te będą spełnione, gdy:

t^w—2 -Ą- 4[aw_i -j-    — 7% qa²

[Aw_i + 2jxn = \ qa²

qa²

12

. . (333).

Ponieważ zaś równania stopnia pierwszego mają tylko jedno rozwiązanie, przeto rozwiązanie (333) jest jedynem rozwiązaniem szukanem. Gdy wszystkie momenty są jednakowe, możemy oddziaływania oznaczyć na podstawie zasad statyki, a więc:

= Rn—i = qa •

. (334).

-Rq - kin - -y QjCl ,    - R% -

Zbadajmy teraz przypadek szczególny, gdy koniec o oddziaływaniu Rn jest umocowany nieruchomo, drugi zaś koniec o oddziaływaniu Rn jest podparty swobodnie. W tym przypadku jest ;x„ = 0 i 2^o 4- t-4 = i <7«²- Te dwa równania służą do oznaczenia stałych C i C

+ Cle* +

Do oznaczenia więc C i C⁷

w całce ogólnej |xm =

mamy równania:

C&* -f C'k-" =

r-s; co

i C (2 + *) + C' (2 -j-&⁻¹) = 0.

Z drugiego z tych równań wynika:

2 -f k

F -f 2 &

° 2& + 1

albowiem z równania A;² —[— 4^ —(— 1 == 0 wynika, że P-j-2& =— (2^-j-l). Wobec tego równanie pierwsze daje:

C' = — C

2 + Jc

= C,

h__1_

6 kn-\- k

C= C =

h Jcn 6 '

W danym więc przypadku mamy:

qa²

₁₂

Am

. . (335)

-Km = qa

-Tm 1

24,]

. . (336)

R₀ = kqa

An

i Rn

_qa \\ | A-i

12L⁵+ An

. (337).

Wzory te wskazują, że zarówno największy moment, jak i największe oddziaływanie, występują nad podporą najbliższą do końca umocowanego belki.

VI. Wyginanie pod działaniem sił nieprostopadłych do osi graniastosłupa.

68. Zbadamy tu tylko ten przypadek, gdy siła wyginająca działa na koniec graniastosłupa. Niech Z i X (rys. 15) będą rzutami takiej siły na osie współrzędnych, a zx i xx niech będą współrzędnemi punktu przyczepienia tej siły po odkształcę- | niu. Moment tej siły względem punktu m linii wygięcia jest równy:

X,

X {zx— z) Z (£C₁ X) ,

Rys. 15.

wobec czego dla krzywizny linii wygięcia w punkcie m otrzymujemy wzór:

X (z₁—z) — Z (x₁—x)

IE{l + w)

. . (338).

d²X

i wtedy otrzymamy równanie różniczkowe:

Skoro poprzestaniemy na przypadku wyginania nieznacznego, to możemy zamiast — wziąć —^

p

2²x

a₂²

X (zj—z) — Z (oc₁— x)

■ ■ (a).

ie{x+Ł)

Jedną z całek szczególnych tego równania otrzymamy, przyrównywując licznik strony drugiej do zera. Całka ta jest:

wobec czego całka ogólna będzie miała postać:

x = *1 — ~Z    + f (*)    • • • • (b),

gdzie łunkcyę f(z) należy oznaczyć z równania:

a²/¹

ie[' + Ł)

•f(z) ■ ■

■ • (c).

Przy całkowaniu tego równania należy rozróżniać dwa przypadki: gdy Z>0 , t. j. gdy graniastosłup podlega rozciąganiu i wyginaniu, oraz gdy Z<cO , t. j. gdy zachodzi ściskanie i wyginanie.

Zaczniemy od przypadku, gdy Z>0.

W tym przypadku możemy przyjąć:

= VI²

(339),

a²/

przyczem m będzie ilością rzeczywistą, całka zaś równania^- = w² f(z), jak wiadomo, będzie miała postać f(z) — AemzĄ-Be

—ni a

jest:

A więc całka ogólna równania (a), zawierająca dwie stałe dowolne,

A'

x = xx — -g- (zx — z) -f- Aemz + Be~mz .    .

m (Aemz — Be~ms) .    .    .

• • (d)

dx

dz Z

• • (e).

Do oznaczenia stałych A i B mamy warunki: x=0 przy z = 0 i x=xx przy z = zx. Wprowadzając te warunki do równania (d), otrzymamy:

Xzx — Zxx

Aemz* -f- Be

—msj

= 0 i A \ B = zx — xx — Z

Stąd znajdujemy:

Xzt — Zxx

e~mB>

Xzx — Zxx

emzt

gme₁

g—mzx

Qmzx g—mzt

Dla linii wygięcia otrzymujemy więc:

Xzx — Zxx

« = xx — z {Zx—z) +

gtn (s,—e)_g—m (gt—2)

gmet_ g—mzx

dx

— ——j= m

dZ Z

Xzx — Zxx em +e~m (e«-z)

. . . (340).

e"' _ e-

mi

W celu uogólnienia wniosków przypuśćmy, że koniec A (rys. 15) graniastosłupa jest osadzony tak, że styczna do linii wygięcia w tym punkcie tworzy z osią z bardzo mały kąt a. Wtedy z równania ostatniego otrzymamy:

Xzx — Zxx emz' -[- e~

»12j

. . (341).

** = 5

To równanie ostatnie, w którem możemy zx zastąpić długością L graniastosłupa, daje nam możność oznaczenia ugięcia xx, wskutek czego równania (340) wyznaczą kształt linii wygięcia.

Jeżeli wreszcie mamy oznaczyć odległość S warstwy obojętnej od włókna środkowego w danym przekroju, to powinniśmy zwrócić się do

równań (252) i (259), z których wynika wogóle: 5 = tego w przypadku rozważanym:

gmzx _g—mzx

K,

Wskutek

.    . (342).

g _ _    _ ___

F’ X(zx—z) — Z(xx—x)

Z wzoru tego widzimy, że w żadnym z przekrojów włókno środkowe nie leży w warstwie obojętnej.

W przypadku szczególnym, gdy a równe jest zeru i siła wyginająca X jest także równa zeru, wzór (341) daje ^=0, a z równań (340)

otrzymamy dla wszystkich punktów linii wygięcia x — 0 i —

oz

Czyli: graniastosłup, na Mory działa tylko siła rozciągająca, przyczepiona w środku ciężkości podstawy, nie może się wygiąć.

69. Zbadajmy teraz ważniejszy dla nas przypadek, gdy Z < 0. Przypuśćmy, że Z = — Q, przyczem przyjmujemy siłę Q za dodatnią, nadto przypuśćmy, że:

= —. n² .

. (343).

1E (1 + El) IE (¹

Ilość n będzie ilością rzeczywistą, ponieważ Q, nawet przy znacznem wygięciu, jest mniejsze od siły EF.

Równanie (c) ustępu poprzedniego przybiera postać:

EFj

d² f

Z równania tego wynika:

f(z) = A cos (nz) -j- B sin (nz) wskutek czego całka ogólna równania (a) będzie:

x = xx + -77- (24 — z) + A cos (nz) 4- B sin (nz) .

Z równania tego przy tych samych warunkach, jak w ustępie 68, otrzymamy:

A cos (nzx) + B sin (nzy) = 0 i A -j- xx -f- zx = 0 .

Stąd:

Qxx + Xzx

B __ Qxx+Xz 1

q • ctg (nzx),

Qxx + Xzx cos [n(zx—z)\ sin (nzx)

.    . (344).

a więc:

x = xx -j- ~ (zx— z) —

dx

Qxx-\-Xzx sin [n(zx—z)] sin (nzx)

Przyjmując w równaniu ostatniem z — 0, otrzymamy:

QiX\^\-Xzx

tg a —

-j-n

ctg (nzx) .... (345).

Wreszcie do oznaczenia położenia warstwy obojętnej mamy równanie:

IQ

. (346).

sin (nzx)

F(Qx₁-{-Xzl) ' sin [n (zx — z)]

Zastanówmy się nad przypadkiem gdy X = 0. W tym przypadku równania, wyznaczające warunki wyginania, będą:

sin [n(zx—z)]' sin (nzx)

X = xx

dX

cos [n (zx—z)}

tg a = nxx . ctg (nzx)

sin (nzx)

Fxx ‘ sin [n(zx—z)]

S ==

sin (nzx)

gdzie

EF

j^(i

Równania te wyznaczają w zupełności warunki wyginania grania-stosłupa, gdy kąt a nie jest równy zeru. Gdy natomiast *=0, t. j. gdy koniec A osadzony jest w kierunku osi z, z równania trzeciego grupy (347) otrzymamy xx = 0, o ile ctg (nex) nie jest równy zeru, a wtedy

OJ

= oo.

dla wszystkich przekrojów będziemy mieli x = 0,

Graniastosłup podlega więc tylko ściskaniu bez wyginania. Jeżeli przy tg a = 0 i ctg{nzx) będzie równy zeru, to xx może istnieć i wyginanie staje się możliwem. Wzory dla tego przypadku przyjmują postać:

dx

x = xx[\ — cos {nz)\ i — = nxx sin (nz) .    .    .    (348).

Z warunku zaś, że ctg (nzx) = 0, wynika:

nzx —

LV

71

ie[ 1

— (2*+1) 2 ’

EF]

gdzie i jest jedną z liczb szeregu naturalnego 0, 1, 2, 3... . Przyjmując i — 0, otrzymamy długość najmniejszą graniastosłupa, przy której siła ściskająca Q może wywołać wygięcie. Długość tę wyznacza wzór:

£mi„- ₂ j/ Q[

EF] • *

.    . (349),

albo, w razie zaniechania ułamka

EF

, małego w stosunku do jedności:

. . (350).

_ TC i/lE ^min — 2 y

W tych wzorach I przedstawia najmniejszy z momentów bezwładności przekroju, albowiem przy zginaniu przekroje będą się obracały około osi wygięcia najlżejszego.

Z tego co powyżej powiedzieliśmy, wynika, że gdy jeden koniec

jest osadzony, a na drugi działa siła ściskająca Q, to wygięcie nie nastąpi, o ile długość L graniastosłupa czyni zadość nierówności:

-OiB

CO

Ol

Gdy ta nierówność nie jest spełniona, to wygięcie nastąpi, ale warunki jego nie są wyznaczone wzorami (348), ponieważ w te wzory wchodzi ilość nieoznaczona xx. Nieoznaczoność ta pochodzi stąd, że stopień dokładności, który przyjęliśmy przy wyprowadzaniu wzorów, nie jest dostateczny do rozwiązania niniejszego zadania.

Równania (347) zawierają jeszcze jeden przypadek wyginania. Przypuśćmy, że środki ciężkości obu podstaw pozostały na osi z. Wtedy

rzędna xx będzie równa zeru, a więc i a? = 0, -— = 0 i 8 = oo, wyginania więc nie będzie, o ile ctg(nzx) nie będzie równocześnie równy oo. Skoro natomiast ctg (nzx) będzie równy co, czyli sin (nzj będzie rów-3oc

ny zeru, to tg a, x, ~ i 8 przyjmą postać nieoznaczoną i wyginanie staje się znowu możliwem.

Rugując z dwóch pierwszych równań grupy (347) rzędną xx zapo-

mocą równania trzeciego tej grupy i przyjmując w wyniku ostatecznym

sin (nzx) = 0 , otrzymamy:

— = tg a cos (nz) .    .    .    .    (352).

tg a .    .    . dx

JOSm(»z),

Równania te zawierają jednak czynnik nieoznaczony tg a, nie mogą więc służyć do wyznaczania warunków wyginania.

Z warunku zaś, że sin (nzx) — 0, wynika:

= i TC ,

ie[\

nzj = L

EFj

gdzie i jest liczbą dowolną całkowitą. Przyjmując i — 1, otrzymamy:

Em\n-

albo mniej dokładnie:

//IminE l *1/ Q (

EF

7>min -

* y.

-7min E

A więc pręt, którego oba końce pozostają na prostej, wyznaczającej położenie jego osi, nie będzie się wyginał, gdy długość jego L czyni zadość nierówności:

L < TC

-Anin -E

. . (353).

^ = n² (x₁-x)

Sęp

(a).

Ponieważ to równanie zawiera trzy zmienne ęp, s i x, przeto w celu wyrugowania jednej z nich, różniczkujemy to równanie względem s i wpro-

wadzamy zamiast pochodnej ~ jej wartość sinep; wtedy otrzymamy

równanie:

S²ęp

(b).

70. Jeżeli mamy oznaczyć warunki wyginania w przypadkach, w których otrzymaliśmy wyrażenia nieoznaczone, to powinniśmy za-

2^2 , jak to czyniliśmy powyżej, lecz wyrażenie do-

brać nie

d²X

miast

kładniejsze.

Zupełnie dokładnem wyrażeniem krzywizny jest —

cp jest kątem stycznej do krzywej z osią z. Równanie więc dokładne, gdy X — 0 i Z =— Q, jest:

1 _3(p

gdzie

ds-t = — n* sin cp

Mnożymy to równanie przez 29ęp i całkujemy je, poczem otrzymamy:

(^) = c + 2tt² cosep.

Sęp

Ale z równania (a) widzimy, że ~ = 0 przy x — xx; oznaczając przeto

przez cp, wartość kąta cp przy x = xL, otrzymamy:

C = — 2n² cos cp,

Stąd wynika, że cos cp > cos cp,, czyli cp < cp,.

Równanie (a) na zasadzie równania (c) daje:

x — xl--— V 2 (cos cp — cos cp,) .    .    .    .    (d)

7l$S =

Sęp

X = n z₂ (cosep- cosep,) .    .    (C).

co

V 2 (cos cp — cos cp,)

• • (e).

Że jednak cosep - cosep, =2 [sin² j — sin² ||-j i sin < sin , przeto możemy przyjąć:

• • (*)•

sin = sin ^

i wtedy otrzymamy:

nds =

Sę{>

V¹ — sin²

• • (g).

. sin² cj>

Należy jeszcze tylko zcałkować to ostatnie równanie w granicach odpowiednich, ażeby oznaczyć zależność pomiędzy długością graniasto-słupa L a kątem <p,, ale w tym celu należy ściśle określić, jaki przypadek wyginania mamy badać.

Przypuśćmy, że koniec A (rys. 15) jest osadzony w kierunku osi z, drugi zaś koniec jest swobodny. W takim przypadku kąt <p będzie się

zmieniał w granicach od 0 do cpj, granice więc dla kąta będą 0 i - - ,

jak to widzimy z równania (f); z równania zaś (g) w tym przypadku otrzymamy:

nL == /* 2 ■

-o-

.    .    (354).

Rozwijając funkcyę pod znakiem całki w szereg, według potęg rosnących sin² i całkując, otrzymamy:

k =00

nL =

|'+2[

'    k= 1

1.3.5

(2*— 1)

2.4.6 ..... 2h

sin* t] i

. (355).

Jeżeli zaś poprzestaniemy tylko na dwóch pierwszych wyrazach tego szeregu nieskończonego, to otrzymamy:

nL =

tO! a

(l+lsin*!),

skąd wynika, że:

(356).

sinl =

Z tego ostatniego równania widzimy, że wyginanie będzie istniało, gdy

Zakładając, że

'—~r~ — 1 będzie większe od zera, czyli gdy L > — .

warunek ten jest spełniony i przyjmując w równaniu (d): x = 0 i cp = 0, otrzymamy:

x₁ =

— K2 (1 — cos ?1) =

<Pi

sint =

— 1. . (357).

Wzór ten wyznacza ugięcie xx, które w równaniach (348) było nieoznaczone.

Do oznaczenia w tym przypadku odciętej zx służy równanie:

— 2 sin² ~ _ sin² ty 3s .

dz = COS Cf . 35 ==

to

CM

toi-o

nz, — nL — 2 sin²

to:Zp

Podstawiając w tem równaniu za ds jego wartość z równania (g), otrzymamy:

ndz =

3c|>

fi

sin² . 3cJ>

— 2 sin² ^

J/1 — sin² ~ . sin² cj>

to zp

. sin² <j>

W wyrazie ostatnim strony drugiej tego równania możemy mianownik przyjąć równym jedności, ponieważ już licznik zawiera bardzo mały

czynnik sin²

otrzymamy:

— sin²

to Zr

, a wtedy, całkując to równanie w granicach od 0 do zu

A więc:

2tc {2nL

. . (358).

Gdy oba końce pręta pozostają w osi zlf rzędna xx będzie zerem i do wyznaczenia warunków wyginania będziemy mieli równanie:

3cP    ₂

— — nŁx , ds

z którego wyprowadzamy wniosek, że kąt cp, w miarę zwiększania się łuku s, albo odciętej z, będzie się zmniejszał przy wartościach dodatnich rzędnej x, a zwiększał przy wartościach ujemnych tejże rzędnej.

Skoro zróżniczkujemy to równanie względem s, zastąpimy - przez

es

sin cc i następnie zcałkujemy, to otrzymamy:

= C + 2n² cos cp.

W celu wyznaczenia stałej C przyjmijmy, że linia wygięcia tworzy kąt a z osią z w początku współrzędnych. Wtedy, mając na względzie,

że przy x = 0 jest także ^ = 0, otrzymamy:

. (359),

0 = C -f- 2n² cos a

czyli

w²#² == 2 (cos cp — cos a)

(360).

Widzimy stąd, że dla każdego punktu przecięcia linii wygięcia z osią z dostawa kąta cp będzie równa dostawie kąta a, a więc będzie

Z równania (359) wynika:

nds

a©

toi-o

V 2 (cos — cos a)

• n ^    • O

sin² --sin²

to na

albo, przyjmując sin = sin ~ sin ty:

-e-

j/1 — sin² * sin² «J>

Dla pierwszego punktu przecięcia linii wygięcia z osią£, t.j. dla początku

TU

współrzędnych, <p = a , a więc <j> = dla punktu drugiego <p = — a

371

57C

i tjj = —; dla trzeciego znowu cp = a i <{> =— i t. d. Dla ostatniego punktu przecięcia, czyli dla drugiego końca graniastosłupa, <p=-'(—l)<-,a

TC

i <!> = (2*— 1) 2 » gdzie i oznacza liczbę przecięć linii wygięcia z osią z.

Całkując więc teraz równanie ostatnie względem s, w granicach od 0 do L, otrzymamy:

nL =

(²* i) T

a<j>

1 — sin²

~ sin² ty

k — oo

czyli

nL — (i — 1) 7t 1

+ 2{

k= 1

1 .3.5.....(2 Tc— 1)

2.4.6.....2 Tc

sin*

to 8

W przybliżeniu zaś:

nL = (i — 1) 7c

UH*-*

cg.

tO 8

Stąd wynika, że:

sin

nL

{i— 1) 7i

. . (361).

Wyginanie więc będzie możebne tylko gdy czyli gdy:

(i — 1) TC

- 1 >0

L > (i—1) 7i

f^ł\

. . (362).

EFj

Przyjmując w tej nierówności i = 2, otrzymamy długość najmniejszą,

przy której wyginanie jest możliwe, przyczem linia wygięcia będzie miała tylko dwa punkty wspólne z osią z. Gdy L będzie nieco większe

j, linia wygięcia będzie miała trzy punkty współ-

fi\

EF

ne z osią z i t. d. (rys. 16).

71. Należy jeszcze zbadać dwa przypadki możliwego wyginania graniastosłupa przy działaniu siły go ściskającej.

■<r

rr>

i*

Rys. 16.

Rys. 17.

1) Jeden koniec osadzony jest nieruchomo w kierunku osi drugi zaś ma pozostawać w tej osi, ale może się swobodnie obracać (rys. 17). W tym przypadku należy graniastosłup uważać, jako podlegający w końcu B działaniu dwóch sił: jednej Q ściskającej i drugiej R, równoległej do osi x, stanowiącej nieznane nam oddziaływanie w końcu B swobodnie podpartym. Warunki wyginania w tym przypadku otrzymamy z wzorów (344) i (345) (w ustępie 69), jeśli przyjmiemy w nich xx = 0 , X = R i tg a = 0. Wzory te będą:

R \

x =    !

zx — z — zx

sin [n (zx — z)] | sin (nz^ (

dx

nzx

cos [n (zx—z)]

Zz Q 0 = nzx ctg (n0,) — 1

sin (nzx)

. . (363).

Z ostatniego z tych wzorów otrzymujemy:

tg (nzx) = nzx

Ponieważ łuki, mniejsze od ćwierci koła, są mniejsze niż ich tangens, przeto łuk, spełniający równanie (364), musi być większy od połowy okręgu koła i mniejszy od trzech czwartych okręgu. Łuk ten, wyrażony w stopniach, jest większy od 257° i mniejszy od 258". W istocie, łuk

257° jest równy 2tc

(364).

257

360

= 4,48543, a tg257° = tg 77° = 4,33148

gdy tymczasem łuk 258° jest równy 2%

258

=. 4,50288, a tg 258° =

= tg 78° = 4,70463. Możemy więc z wielką dokładnością przyjąć: nzx == £ (4,48543 + 4,50288) = 4,494 ,

360

czyli

zx = 4,494

IE

EF

(365).

We wzorze tym możemy przyjąć zx równe długości graniastosłupa L. Wobec tego wzór ten wyznacza najmniejszą długość graniastosłupa, dla której wyginanie jest możliwe.

2) Jeden koniec jest osadzony w kierunku osi z, drugi zaś ma pozostawać w tej osi i nie może obracać się swobodnie (rys. 18).

ytc R

Rys. 18.

W tym przypadku oddziaływanie w końcu B należy uważać jako złożone z siły R i pary, której moment przyjmujemy za równy Moment więc sił, działających na koniec B, względem pewnego punktu m linii wygięcia, będzie równy ^ R(zx — z) — Qx , gdzie zx = AB.

Równanie różniczkowe linii wygięcia jest:

EF

El

d²X

dz²

= ^ R (zx — z) — Qx ,

całka zaś jego:

-f- -77 0zi—z) + A cos (nz) -f B sin (nz)

dx

dz

ty — wA sin (nz) -f- ni? cos (nz) .

dx

Ponieważ x — 0 i = 0 gdy 2 = 0 i gdy z — zx, przeto mamy równania:

|X —{— Rzx

A — 0 ,--77 +    = 0

+ A cos (nzx) -j- B sin (nzj = 0 i

— nA sin (nzx) -|- nB cos (nzx) = 0 .

Z dwóch pierwszych z tych równań wynika:

jx + Rz x

nQ'

wobec czego dwa równania ostatnie przyjmą postać:

[1 — cos (nzx)\ [x -)- [sin (nzx) nzx cos (nzx)] R = 0 j sin (nzx) [x -j- [cos (nzx) -)- nzx sin (nzx) — 1 ] R — 0 j

. . (a).

Jeżeli z okoliczności warunkujących posunięcia końca B, można wywnioskować, że oddziaływanie R równe jest zeru, to z równań (a) otrzymamy:

cos (nzi) =1 i sin (nzt) — 0 ,

czyli nz₁ = 2tn, gdzie i jest liczbą dowolną całkowitą. W danym więc przypadku długość najmniejsza graniastosłupa, dla której możliwe jest wyginanie, wynosi:

. . (366).

%\ -— Lmin - 2 TT

JE FI '

Jeżeli nie możemy przyjąć, że oddziaływanie R jest równe zeru, to wyznacznik, złożony z współczynników równań (a), musi być równy zeru. Będziemy więc w takim przypadku mieli:

[ 1 — cos [nzx)\ [cos (nzx) + nz] sin (nz{) — 1 ] —

— sin (nzx) [sin (nzt) — nzx cos (nz^)] = 0 ,

czyli

czyli

nzx sin (nzx) — 2 [1 — cos (nzx)] = 0 ,

sin

(?) [>•(?)- •'"(¥)

• (b).

Równanie ostatnie ma dwa rozwiązania:

• • (c).

Łuk najmniejszy, czyniący zadość pierwszemu z tych równań, równy jest tu, a więc rozwiązanie to daje dla Lmin tę samą wartość jak i przy R = 0, a mianowicie wartość oznaczoną z wzoru (366).

Rozwiązanie drugie równania (c) daje:

y¹ - 4,494 ,

= 2,862

8,988

czyli

Rozwiązanie to daje na długość najmniejszą, przy której wyginanie jest możliwe, wartość większą od wartości z rozwiązania pierwszego, wskutek czego tę wartość ostatnią powinniśmy odrzucić.

W praktyce staramy się unikać wyginania graniastosłupów podlegających ściskaniu. Z tego powodu z wzorów powyżej wyprowadzonych wartość praktyczną mają nierówności, którym należy zadość uczynić, ażeby wyginanie nie nastąpiło.

72. Warunek wytrzymałości graniastosłupów wyginanych. Wyprowadzimy tu warunek wytrzymałości graniastosłupów wyginanych, przyjmując, że przesuwanie, zwykle towarzyszące wyginaniu, nie wywiera wpływu jawnego na wytrzymałość i że włókno środkowe leży w warstwie obojętnej.

Poprzednio widzieliśmy, że warstwa obojętna dzieli graniastosłup wygięty na dwie części: w jednej z nich włókna podłużne są rozciągane,

w drugiej — ściskane i to tern bardziej, im bardziej są one oddalone od warstwy obojętnej. W części pierwszej istnieją rozciągnięcia podłużne i ściśnięcia poprzeczne, w drugiej zaś ściśnięcia podłużne i rozciągnięcia poprzeczne. W ten sposób w każdem przecięciu poprzecznem grania-stosłupa wygiętego mamy dwa rodzaje rozciągnięć: jedne podłużne, drugie poprzeczne.

Niech y) będzie w pewnem przecięciu poprzecznem odległością od warstwy obojętnej tego punktu, w którym rozciągnięcie podłużne jest największe, i niech yj' będzie odległością punktu leżącego z drugiej strony warstwy obojętnej, w którym rozciągnięcia poprzeczne są największe. Wzór (250) wraz z wzorem (259), gdy w pierwszym z nich przyjmiemy d = 0, daje na rozciągnięcia największe:

My]

My]'

^lEl ‘ '

Ilości jednakże yj, y]', I, E i ^ są stałe dla wszystkich przecięć grania-stosłupa, gdy tymczasem moment M jest dla różnych takich przecięć rozmaity. Wobec tego rozciągnięcia największe osiągają wartość największą w tym przekroju, dla którego moment M ma wartość największą, t. j. w przekroju niebezpiecznym.

Warunki wytrzymałości mają oczywiście postać:

, Mm&x __ T El TcE ’

El

.    .    (a).

ma i

czyli

⁷³ El TcE I Tc M

I TcM

Y]

T' • •

.    . (367),

gdzie T' = — .

t¹

Z tych dwóch warunków należy w każdym przypadku szczególnym zatrzymać ten, który prowadzi do większych wymiarów przekroju.

Gdy przedstawimy równania (367) pod postacią:

T = Ic M

max *

T' = TcM

Mr\

jest naprężeniem, sprowadzonem

łatwo zauważymy, że wyraz

do jednostki powierzchni, w punkcie oddalonym od warstwy obojętnej o i należącym do przekroju, dla którego moment równy jest M. Warunek wytrzymałości wyraża, właściwie mówiąc, to, że wartość największa tego naprężenia nie przekracza pewnej granicy. A zatem warunki wytrzymałości możemy przedstawić także w postaci następującej:

max

i T' = k[^\

.    . (368).

Warunki wytrzymałości w tej ostatniej postaci mogą być stosowane i do prętów o przekroju zmiennym.

ip

Rys. 19.

Przypuśćmy np., że pręt stożkowy ABC (rys. 19), o podstawie kształtu koła, umocowany nieruchomo, wygina z się pod działaniem siły P, prostopadłej do osi stożka i działającej w odległości h od wierzchołka A. Oznaczmy przez r₀ promień podstawy umocowanej, a przez r promień pewnego przekroju bc w odległości z od podstawy; wtedy mamy:

Yj = 7]' = r , M — P {L — h — z) i r = r₀

a więc:

Mri _4P(L - h — z) _APL³ L — h — z

tzr₀³ ’ (L — zy

Wartość największą osiąga to wyrażenie w przekroju, dla którego z — L — \ h\ przekrój więc niebezpieczny leży pomiędzy podstawą osadzoną a przekrojem, w którym działa siła P i znajduje się w odległości \h od tego przekroju. A więc przekrój niebezpieczny leży w podstawie umocowanej, gdy h będzie równe lub większe niż | L.

Podstawiając we wzorze (a) L — | h zamiast z, otrzymamy:

_\6 PL3 27 Tiry h² k

7rr³

(7)

I M . I ••

■ • (a).

. . (369).

Wzór (369) wyraża warunek wytrzymałości, gdy h < %L. Gdy natomiast h jest większe niż f L, wtedy przekrojem niebezpiecznym jest podstawa umocowana, dla której z = 0 , a warunek wytrzymałości brzmi:

(370).

(L-h) =

Tiry

Gdy h jest zbliżone do L, należy warunek wytrzymałości wyprowadzić dla przesuwania (ścinania), albowiem w takim przypadku moment siły wyginającej jest bardzo mały dla wszystkich przekrojów.

73. Wyginanie stożka. Możemy ustalić wszystkie warunki wyginania stożka, rozważanego w ustępie 72, całkując dwukrotnie równanie:

d²x__M_APL⁴ L — h — z_4PL⁴ _1____

dz² I Tiry    (L — zy    Tiry (L — z)³    (L — z)*_

i wyznaczając stałe dowolne z warunków, że przy z = 0 jednocześnie

c^OC

powinno być x = 0 i — = 0 .

dz

Przyjmując w równaniu ostatniem z = L — h, otrzymamy na ugięcie wzór:

4 PL(L- h)³

(372).

?>TiEr^h

mek właściwy

Wzór ten wskazuje, że ugięcie staje się ilością bardzo wielką, gdy uła-ma wartości małe, co sprzeciwia się jednak założeniu,

że wyginanie ma być nieznaczne, przyjętemu za zasadę przy wyprowadzaniu wszystkich naszych wzorów. Stąd wynika, że wzory wyprowadzone na wyginanie stożka można stosować tylko gdy stosunek h/L nie bardzo różni się od jedności.

Rys. 20.

Równania otrzymane w ten sposób są:

„ 3x 4PL4 E — =    ,

2z TT r₀⁴

4PLA ____

TT r₀⁴    2 (L—z) 6 (L — z)²

3L — 2h]

2 (L —z )²

3 (L - z)³

6L:i

/i

3 L — 2h

3L—/<!

6 L²

74. Warunek wytrzymałości dla klina. Jako przykład drugi przypuśćmy, że mamy klin ABCD (rys. 20), którego podstawa osadzona jest nieruchomo i który wygina się pod działaniem obciążenia Q, prostopadłego do osi i rozłożonego równomiernie na długości L h od podstawy umocowanej BCD. Przekroje tego klina są prostokątami, o szerokości stałej a i wysokości zmiennej p.

Jeżeli wysokość BG podstawy osadzonej jest b, to:

p z E—z

* =¹ -TT

r-H ;cm

>-

w-

L-h ’

a więc:

te

CO

a KCł

to

L — h - z\²

L-z

.    .    (a).

^ _%

Ponieważ ułamek —=-jest mniejszy od jedności, przeto osiąga

on wartość największą przy wartości możebnie najmniejszej z, t j. przy z = 0. Z tego powodu przekrojem niebezpiecznym klina jest jego podstawa osadzona nieruchomo. Wobec tego warunek wytrzymałości będzie:

3q (L — łi)² =

max

~ ab²

. . (373).

. W tym więc przypadku naprężenie największe jest

Mri

Zrównania (a) wynika, że gdy ^ = O, ilość -T staje się ilością 3 qL²

stałą równą

ab²

jednakowe we wszystkich przecięciach poprzecznych, a więc wszystkie te przecięcia są jednakowo niebezpieczne. Ciało, w którego wszystkich przekrojach włókna niebezpieczne podlegają jednakowemu rozciąganiu, nazywa się ciałem o wytrzymałości jednostajnej na wyginanie.

75. Ciała o wytrzymałości jednostajnej na wyginanie. Z podanego powyżej określenia ciała o wytrzymałości jednostajnej wynika, że kształt jego powinien być wyznaczony z równania:

ił/rj

= const = T .    .

. . (374).

Dla przykładu przypuśćmy, że siła, wyginająca ciało, działa w końcu

swobodnym A (rys. 21) i że przekroje są prostokątami o szerokości stałej a * i wysokości zmiennej 2(3. Zadanie polega więc na wyznaczeniu krzywej A m C w taki sposób, ażeby otrzymać ciało o wytrzymałości jednostajnej.

Dla dowolnego przekroju tego ciała

mamy:

Rys. 21.

a więc:

«(2P):

12

³ , V = P 1 P(L-e)l

M — P (L—z) ;

ap³

stąd:

y = 2aT

{L-z)

(375).

Jeżeli przez 2 b oznaczymy wysokość BC podstawy osadzonej, to bę-

a więc:

dziemy mieli b²

3 PL

2 aT

. (376).

Uważając w tern równaniu z i (3 jako współrzędne bieżące krzywej BAmC, widzimy, że krzywa ta jest parabolą, której wierzchołek leży w punkcie A.

Gdyby przy takim samym kształcie przekrojów wyginanie wywołane było przez obciążenie rozłożone równomiernie na całej długości L i gdyby wzór ogólny na moment M był równy \ q (L—z)², to do ozna-

czenia p mielibyśmy równanie: p = ± b

- . Zamiast więc para-

boli mielibyśmy dwie proste, przecinające się w punkcie A, a ciało o wytrzymałości jednostajnej na wyginanie byłoby klinem, jak to już wiemy z ustępu 74.

Jeżeli ciało o wytrzymałości jednostajnej ma być bryłą obrotową, to oznaczając przez r„ i r promienie przekrojów, odpowiadających odciętym 0 i z, otrzymamy w przypadku, gdy M = P{L—z):

(377).

r3 - r 3 ^ Z

' — ⁰ L

W tym więc przypadku przecięcie podłużne ciała, przechodzące przez oś obrotu, jest ograniczone parabolą sześcienną.

Ciała o wytrzymałości jednostajnej na wyginanie, zarówno jak ciała o wytrzymałości jednostajnej na rozciąganie, wymagają mniej ma-teryału, lecz znaczniej się odkształcają W istocie, badając np. ciało o wytrzymałości jednostajnej, przedstawione na rys. 21, otrzymamy jego objętość, mnożąc powierzchnię BAC przez a; powierzchnia zaś, ograniczona parabolą BAC równa jest, jak wiadomo, § Lb. Objętość więc ciała tego równa jest §Lab. Objętość ciała graniastosłupowatego równałaby się 2 Lab, t. j. byłaby trzy razy większa. Druga własność tego ciała, tycząca się jego odkształcania, uwydatni się po oznaczeniu ugięcia. W celu oznaczenia ugięcia należy zcałkować dwukrotnie równanie:

d*x _ZP(L—z) 3PLZ L

2ab¹

Ł dz²~    2 «p¹

uwzględniając, że gdy z = 0 , musi być x — 0 i my więc równania:

dX

= 0. Otrzyma-

OZ

dx

ZPL/L

dz

abz

(VL — VL—z)

76. Tablica III. Naprężenie T⁷, wchodzące we wzory, które dają warunki wytrzymałości graniastosłupów wyginanych, należy brać z tablicy następującej.

Materyał Stal najlepsza Stal zwykła . Żelazo kowalne Żelazo lane . Miedź . .    .

Drzewo .    .

T w kg!cm²

. 6 000 . 3300 . 2 520 . 1260 . 1800

180

VII. Wyginanie belek o osi krzywej.

77. Wyobraźmy sobie krzywą płaską, nie mającą punktów odosobnionych (izolowanych), ani wielokrotnych, ani zwrotnych i przyjmijmy tę krzywą za kierownicę, po której posuwamy środek ciężkości powierzchni, ograniczonej pewnym obwodem symetrycznym tak, ażeby zadośćuczynić warunkom następującym: 1) płaszczyzna tworząca powinna być we wszystkich swoich położeniach prostopadła do kierownicy i 2) oś symetryi obwodu poruszającego się pozostawać powinna w płaszczyźnie kierownicy.

Płaszczyzna, poruszająca się w ten sposób, zakreśli pewne ciało geometryczne. Każde ciało materyalne, mające kształt podobny do kształtu tego ciała geometrycznego, będziemy nazywali belką albo prętem o osi krzywej płaskiej i o stałym przekroju.

Badać będziemy wyginanie takich belek krzywych, przyjmując nadto, że wymiary przekroju belki, leżące w płaszczyźnie kierownicy (w płaszczyźnie włókna środkowego), są niewielkie w porównaniu z promieniami krzywizny tej krzywej, i że siły zewnętrzne, wywołujące odkształcenie, leżą w płaszczyźnie kierownicy.

Przy spełnieniu wszystkich warun-q ków powyższych, oś płaska belki będzie i po odkształceniu krzywą płaską.

jjf

1 d co

..... "

Rys. 22.

Niech MQNP (rys. 22) będzie częścią belki krzywej przed odkształceniem i niech EF będzie włóknem środ-kowem tej belki, a AB i CD dwoma sąsiednimi przekrojami, pochylonymi do siebie pod kątem AOC = Sep i niech wreszcie Oa — O& = p₀ będzie promieniem krzywizny włókna środkowego w punkcie a. Przez środek ciężkości a przekroju AB prowadzimy prostą, prostopadłą do płaszczyzny a Ob

i oznaczamy przez yj odległość pewnego punktu m od tej prostej. Wreszcie, w punkcie m wyznaczamy nieskończenie małą płaszczyznę 3F, którą przyjmujemy za podstawę nieskończenie cienkiego włókna mn, równoległego do włókna środkowego ab. Oznaczając długość tych włókien ab i mn przez 3s₀ i 3s, otrzymamy:

• (a).

3²o = Po 3<f i 3s = (p₀ + yj) 3<p = 3.9₀ -J- yj 3cp .    .

Gdy pod działaniem sił zewnętrznych nastąpi odkształcenie, wszystkie ilości, wchodzące we wzory poprzednie, zmienią się, a mianowicie otrzymają przyrosty, które będziemy oznaczali znakiem §. Odkształcenie zaś przypuszczamy tak małe, że możemy bez znacznego błędu pominąć potęgi tych przyrostów wyższe od pierwszej. Przy takiem zastrzeżeniu przyrosty te niczem nie różnią się od różniczek. Wreszcie należy uwzględnić, że przyrosty, które oznaczamy znakami § i 3, są od siebie niezależne, wskutek czego mamy prawo napisać równości:

§3s = dds ,    §3p₀ = 3§p₀ i t. p.

Różniczkujemy teraz według znaku § drugie z równań (a) i otrzy

mujemy:

33s = S3s₀-|-7jS3cp-(-3cpSY] ,

skąd wynika, że:

**£0

8 3 s ^ 3 ^²₀ —j— yj S 3 cp —{— 3 cp 5 rj    3s₀

ds₀ + i\

+ ■²]

§ 3 cp 3<p

3«o

3s'₀

§y]

3s

Sep

1 + ^„

⁰ są to wydłużenia względne włókien mw i a&. Oznaczmy te wydłużenia przez A i A₀, a wtedy będzie:

Ale

§35

3.9

O;

3²0

stąd:

Po

§ 3ęp § Sęp Sep 3.9₀ Sep ‘ ds₀

Zmianę długości yj, występującą podczas odkształcania, należy uważać za skutek dwóch przyczyn: po pierwsze istnienia skróceń poprzecznych, towarzyszących wydłużeniom A, powtóre zmian wymiarów poprzecznych belki, pod działaniem mogących istnieć sił zewnętrznych normalnych, działających na powierzchnie boczne belki.

Wobec tego, że przypadek dany jest bardzo zawiły i przy założeniu, że wymiary przekroju belki, są niewielkie, przyjmujemy, że przekroje nie zmieniają ani kształtu ani wymiarów podczas odkształcania. Przy takiem przypuszczeniu możemy przyrost Srj uważać za równy zeru i zamiast wzoru (b) wziąć wzór:

Po

z którego otrzymujemy:

A-(A°+“ p.H¹⁺f) p ,o

wyższe od drugiej:

czyli, pomijając potęgi bardzo małego ułamka

A — A₀ —J— (co — A₀) |

. . (d).

1 _3²]

Po Po⁻/

Niech P będzie wypadkową wszystkich naprężeń, prostopadłych do przekroju, działającą w środku ciężkości przekroju, a M — momentem tych naprężeń względem prostej, przechodzącej przez środek ciężkości przekroju i prostopadłej do płaszczyzny włókna środkowego. Przy takich oznaczeniach będzie:

P = E f \d F i M = P/At]SP.

Podstawiając tu za A jego wartość i uwzględniając, że f F = 0, a J'ifdF — 1, otrzymamy:

P — E A o P — (w — A₀)

M — (to — A₀)

El

Po

Stąd na A₀ i w znajdujemy:

A° EF

Po

. . (379),

00 -

EF

P+ P„J⁺ El

a więc na A otrzymujemy wzór:

Ex =

(378),

Po

§ ?tp

—— = OD

Sep

(c)

EF

Po

MPo N _ i² \

Ęi \po po²/

czyli

EF

4.£|

El' Ep₀ \F I

Mr\

. . (380).

Wzór ostatni dla pręta o osi prostej, dla którego p₀ =oo, daje znany nam wzór w teoryi wyginania graniastosłupów:

P Mri

EF

El'

Niech p będzie promieniem krzywizny włókna środkowego po odkształceniu. Zróżniczkujemy według znaku 8 pierwsze z równań (a); wówczas otrzymamy:

8ds₀ = p₀ § 3 cc -f 3 cp § po ,

albo, dzieląc przez 3s₀=p₀c⁾® :

A₀ — co -|-

aPo

Po

Stąd wynika, że:

A„

- (O

SPo

w — A₀

po²

Po²

Po

Po

czyli, podstawiając za A₀ i co ich wartości:

J__ 1 M

P Po

El

(381).

Ilości P i M, wchodzące we wzory powyższe, powinny być w każdym przypadku szczególnym oznaczone z sił zewnętrznych, wyginających belkę krzywą. Przy takiem oznaczaniu tych ilości należy do sił zewnętrznych zaliczyć i oddziaływania niewiadome, istniejące w przekrojach belki, których posunięcia są zależne od pewnych warunków, wskutek czego wzory wyprowadzone powyżej nie rozwiązują w całości zagadnienia o wyginaniu danej belki. Musimy mieć wzory, z których moglibyśmy oznaczyć oddziaływania niewiadome. Oczywiście, do oznaczenia tych oddziaływań wystarczają równania, wyrażające zależność między posunięciami dwóch dowolnych przekrojów belki krzywej. Mając takie równania, można je stosować do każdej pary przekrojów, których posunięcia są^nam wiadome z warunków samego zadania; będziemy więc mogli otrzymać dostateczną liczbę równań, niezbędnych do oznaczenia oddziaływań niewiadomych.

Przystępujemy przeto do wyprowadzenia tych równań. Przypuśćmy, że jest dane położenie pewnej części AB (rys. 23) krzywej osi belki przed jej wygięciem i położenie A'B' tej samej części po wygięciu. Zadanie polega na oznaczeniu posunięć przekroju B w zależności od posu-

A'

rn

i'

r-

Rys. 23.

nięć przekroju A, w przypuszczeniu, że krzywa A'B' pod względem zarówno kształtu jak i położenia mało się różni od krzywej AB i że obie-dwie te krzywe leżą na jednej i tej samej płaszczyźnie (zx) współrzędnych.

Niech z₀ i x₀ będą współrzędnemi punktu A, a ąi xx współrzęd-nemi punktu B\ kąty zaś, jakie tworzą z osią 2 normalne do krzywej w punktach A i B niech będą <p₀ i ?i • Zgodnie z oznaczeniem przyję-tem, współrzędne punktu A' będą z₀ -f- §z₀ i ;r₀ + Sx₀, punktu B' zaś zx 4- 8zx i xx-\-§xx, kąty wreszcie, jakie tworzą z osią z normalne do krzywej A' B' w punktach A' i B' będą: <p„ -f- 2cp₀ i cpt -j- 8^.

Możemy przyjąć, że przejście krzywej AB w położenie A'B' odbyło się w sposób następujący:

1)    Krzywa AB, nie zmieniając swojego kształtu, posuwała się równolegle do siebie samej, aż do zlania się punktu A z punktem A'. Niech A'B₀ przedstawia położenie krzywej AB po ukończeniu tego ruchu postępowego.

2)    Krzywa A'B₀, nie zmieniając swojego kształtu, obracała się około punktu A' aż do zlania się swojej stycznej A't ze styczną A't' do krzywej A'B'. Niech A'B'₀ przedstawia położenie krzywej A'B₀ po ukończeniu tego ruchu obrotowego.

3)    Wszystkie cząstki krzywej A'B'₀, z powodu istniejących w rozmaitych jej punktach wydłużeń A₀, zwiększyły swoją długość, wskutek czego krzywa zajęła pewne nowe położenie, nieoznaczone na rysunku.

4)    Wszystkie normalne do krzywej zmieniły swoje położenia względne wskutek ruchu obrotowego przekrojów belki. Pod wpływem jednoczesnego działania rozciągnięć cząstek krzywej i obrotów jej normalnych, krzywa A'B'₀ przechodzi ostatecznie w położenie A'B'.

Oznaczmy teraz przyrosty współrzędnych punktu B, wywołane każdym z czterech powyżej wymienionych ruchów.

Wskutek pierwszego ruchu postępowego współrzędne punktu B otrzymują przyrosty równe przyrostom współrzędnych punktu A. Współrzędne więc punktu B są:

zx —j— i xx —J~ fiXi,.....

Podczas obrotu około punktu A', punkt B₀ zakreśla łuk BoB'₀, o promieniu równym długości cięciwy AB. Oznaczmy przez a kąt pochylenia tej cięciwy względem osi z, to:

cięciwa AB =

%1— *0 _ Z1 - zo COS a

• • (b).

sin a

Kąt obrotu tA't' równy jest kątowi, utworzonemu przez normalne AN i A'N'; kąt ten jest więc równy Scp₀, wskutek czego:

łuk B₀BJ =    Scp₀ =

*i - *o

COS a

Skoro łuk ten, jako bardzo mały, uważać będziemy za prostą i utworzy-my jego rzuty na osiach współrzędnych z i x, to na przyrosty współrzędnych punktu B₍₎ otrzymamy wartości:

• - (d).

— (xi — xo) ⁵<Po i (*1 — *o) s<Po •    •

Współrzędne więc punktu B₀' są:

*i +    ' (xi~xo) ScFo i Xx + dxc + (Zi—z₀) s?0 • • (e).

Wskutek rozciągnięcia jednej z cząstek 3s₀ krzywej, punkt B₀' przejdzie drogę w kierunku tej cząstki równą A₀ 3.s₀. Jeżeli więc oznaczymy przez cp kąt z osią z normalnej do tej cząstki, to otrzymamy na przyrosty współrzędnych punktu B₀' wartości: A₀3s₀sin<p i —A₀3s₀cos<p. że jednak ds₀ sin <p = dz i —3s₀ cos cp = 3x, przeto przyrosty te będą: A₀ 3z i A₀ dx. Całkując te wyrazy w granicach odpowiednich, otrzymamy na przyrosty współrzędnych punktu BJ, wywołane ogól nem rozciągnięciem wszystkich cząstek krzywej, wartości następujące:

A₀ dz i

A₀ dx.

(*)•

x₀

Wreszcie, wskutek obrotu jednego z przekrojów (którego współrzędne są: z ix) o bardzo mały kąt S3cp względem przekroju sąsiedniego, punkt B₀' zakreśli łuk koła o promieniu równym długości cięciwy, łączącej ten punkt ze środkiem przekroju się obracającego. Współrzędne więc otrzymają przyrosty: — (xx—x) S3cp i (zx—z) S3cp [p. powyżej równ. (d)]. Całkując te wyrazy, otrzymamy przyrosty wywołane działaniem łącznem obrotów wszystkich przekrojów. Ponieważ S3cp = co3cp, przeto przyrosty te będą:

j(x 1

-x) OD 3cp — — xx

9o

9t

fr

— Z) U) dtp z=z Zx

I od 3cp — j z co 3cp

• ■ (g).

9o

9o

Wskutek wszystkich powyżej wymienionych czterech ruchów punktów krzywej AB, punkt B przechodzi do B', a przyrosty 8zx i 8xt współrzędnych będą:

. . (382).

-f (s, —

W celu oznaczenia zaś przyrostu 3<pt kąta cpj należy zcałkować równanie 83cp =r 38cp = co3<p w granicach od <p₀ do <pt. Otrzymamy wtedy:

. . (383).

S?1 = ³?o + f wa<f

*<Po

Równania (382) i (383) mogą służyć do oznaczenia oddziaływań niewiadomych.

Przy zastosowaniu tych równań do pręta o osi prostej, musielibyśmy przyjąć p₀ = oo; przytem jednak należałoby uwzględnić, że

przy p₀ = oo, przekształca

toSęp równe jest 3s₀, gdzie czynnik w ,

P°    Po

M

się wEj> ja^ t° jest widoczne z równania drugiego grupy (379), a A₀

przekształca się w

EF'

Dla prętów więc o osi prostej mamy:

Zl

s,

§^₁ — 8z₀ -- (xi x₀) §cp₀ -j-

EF

Pdz —

EI (Xl— X) 3S

2,i

Su

Saą — 8x₀ -j- (,z, — z₀) 8<p₀-|-

EF

Xt    S,

j P 3x -(- j"

. . . (384).

Xq

So

2l

M 3z

*■=“»+ El

ROZDZIAŁ VII.

Zadanie Saint-Venant’a.

78. Określenie zadania. W rozdziale niniejszym rozważać będzie-my przypadek ogólny wytrzymałości złożonej graniastosłupów, przy działaniu sił je odkształcających. Zadanie wytrzymałości złożonej było rozwiązane przez Clebsch’a⁴) i nazwane zostało przezeń zadaniem Saint-Venant’a, z powodu, że warunki, przy których rozwiązanie tego zadania jest możebne, ustalił już dawniej Saint-Venant, który brał je za podstawę do wyjaśnienia zjawisk skręcania i wyginania graniastosłupów²).

Zadanie Saint-Venant’a jest następujące: Oznaczyć warunki równowagi ciała równozwrotnie sprężystego, kształtu graniastosłupa lub walca, gdy siły zewnętrzne działają tylko na jego końcach (niema natomiast sił działających na powierzchnię boczną, ani sił zewnętrznych działających na masę, t. j. działających jednocześnie na wszystkie punkty ciała), tak przytem rozmieszczonych, że włókna podłużne tego ciała nie wywierają na siebie ciśnień bocznych, t. j. że na powierzchni bocznej żadnego z tych włókien niema naprężeń normalnych.

Przyjmując osie współrzędnych tak, jak to było wskazane na początku ustępu 36 i oznaczając przez n kierunek normalnej do powierzchni bocznej dowolnego włókna podłużnego w dowolnym jej punkcie, otrzymamy, na zasadzie warunku ostatniego, dla wszystkich punktów ciała graniastosłupowatego równanie p„n = 0 przy wszystkich kierunkach n, dla których cos (n, z) = 0. Ponieważ kierunki x i y odpowiadają temu ostatniemu warunkowi, przeto dla nich również istnieją równości pxx = 0 i Pyy —— 0. Zwracając się do wzoru ogólnego (56) na p (p. ustęp 22) i przyjmując w nim pxx = pyy = 0 , cos (n, z) = Q i pnn=0, znajdziemy, że naprężenie styczne pxy także równe jest zeru.

M 3s

EF

xi = xo + Oi—*<>) ao + EJ

j M (zv—z) 3z

.    . (385).

Dla wszystkich więc punktów ciała mamy warunki:

Pxx ⁼⁼ Pyy ⁼ Pxy ⁼⁼ O .    .    .

Wprowadzając te warunki do wzorów (136) (p. ustęp 31), otrzymamy: A., = A y — albo:

• • (a)-

Pzz ' P

— E Aa i gXy — 0

czyli Ax = Ay = — p, Aa,

r-i

Pssz - E

. . (b).

-*9i ’

Równania równowagi (47) (p. ustęp 20), gdy przyjmiemy, że w nich siły działające na masę (t. j. działające jednocześnie na wszystkie punkty ciała) są równe zeru i gdy wprowadzimy warunki (a), dadzą:

3pzx I 3psy

dx ‘

’ dz

zy

= 0 , czyli

²Jjy

d9zx

dx

d9*«

3Aa

dy

= 0.

Podstawiając za odkształcenia składowe ich wartości w zależności od posunięć, otrzymamy:

3 ²u

W

4“

3 ²w dxd Z

d²v , d²w dydz

3 jd/( dl) \ \3a? '3y) *

d²w

3^ = °-

Równanie ostatnie, na mocy równań (b), przyjmie postać:

3 ²w 3 ²ic ₀²'w p.

W + 9+ + ²9zT=Z°-

Do oznaczenia więc funkcyi u, v i w mamy sześć równań różniczkowych:

3²u .    3²w

dx 3 z

dx²

+ 2(1+ p,)

du

3 z²

dv

3 w ' d²v

dy

du

dv

3 ²w dydz

d²W d²W    d²W _

dx² • dy² ' dz²

dz²

• • (c).

dy ¹ dx

79. Wyznaczenie posunięć u, v i w. Różniczkujemy równanie czwarte grupy (c) względem x, piąte względem y i dodajemy je:

3 ld-w d²w dz \3,r² dy²

d² Idll dv dz² \dx ^ dy

⁹² (    9 dw\ d i

) = 0, czyli

_ d²w \    _ ..    . d²w

~ ² ~dz? ) ⁼ ~ ² ^ ⁺ ^ W

d‘AW

dzz

= 0, czyli

(d).

Różniczkujemy równanie czwarte względem y, piąte względem x i dodajemy:

d³w

dxdy dz

a² idu ,dv \ dz² [dy ' dx) ' ¹

Stąd na zasadzie równania trzeciego:

(e).

d³w

dx dy dz

Różniczkujemy ponownie równanie czwarte względem x, piąte względem y i odejmujemy:

a² idu dv\ c>z² \dx dyj

d³w dzw dx² dz dy² dz d³w d³w dx² dz dy² dz

Różniczkujemy równanie szóste względem z: d⁵w d³w dx²dz ' dy²dz

Równanie to w związku z równaniem (f) daje:

d³w d³w dx? dz    dy² dz

= 0, czyli

(f)

d³w

2 yt = 0 [na mocy równania (d) ].

Do oznaczenia więc pochodnej czyli odkształcenia składowego Aa,

€)Z

służą równania następujące:

a² idw\ a² idu>\    a² /dw\

dx² [dz )    dy² \3z I    dz² [dz )

d²

dx dy \dz

nu

Równania te wskazują, że pochodna ^W zawiera każdą ze współrzędnych x, y i z w potędze nie wyższej od pierwszej i nie zawiera iloczy-xy, wskutek czego postać pochodnej ™ może być tylko nastę-

pująca:

dw

‘® a\x ~b a2 y ~h z (b ■ j~ x H⁻ ^2 y) ■ ■ • (h),

gdzie a, ax, a₂, b, bx i b₂ są to pewne ilości stałe dowolne, bardzo małe, albowiem odkształcenia składowe powinniśmy uważać za bardzo małe.

Teraz równania: pierwsze i drugie grupy (c) przyjmują postać:

dy = — t* (« + axx-\-a.,y) — {xz (b + bxx + b.₂y) .    .    .    (i).

du dv

dx

Całkując równania (i) i (h), otrzymamy:

(j. |ax + «i y + «₂    — F \^x + &i y + &2 ®2/) + /i (?/>z)

t¹ laV H~ ai XM + «2 2 )

w = (« + «i« + Ogy) « + (6 + &i³⁷ + y) ^ + F (x> 2/)

| by -j- #2/ 4~ ^2    ~b fi (z’x)

(j).

z²

Tu funkcye f₂ i F są funkcyami dowolnemi tych zmiennych, które przy każdem z wykonanych całkowań, przyjmowaliśmy za stałe.

Równania: czwarte i piąte grupy (c), wraz z równaniem (h), dają:

d²W

dx~dz 3 ²W

3 ²u

3 Id w' dx \dz ,

3 idw

3y dz    dy \3z ,

Sprawdzając te ostatnie równania zapomocą równań (j), otrzymujemy:

3 z²

diV

dz²

³Yi

3Y₂

dz²

Stąd wynika, że:

z²

— 6.

z²

cr> cn! w

+ ¥i (2/) • * + 4i (2/)

+ ¥2 0*0 •z + 4* 0*0>

U 0> *0 = — «2 y — &2

gdzie cpj, 4*i > ¥2 i 42 sd nowemi funkcyami dowolnemi, które należy oznaczyć, tak, ażeby równanie ^-{-™ = 0 było spełnione, wskutek czego:

— ^ a₂ x — [1 &₂ xz -(- z cp!' 4- V — [1 aj y — [i \ yz + e <p₂' -j- 4₂' = 0.

Ponieważ ta równość musi istnieć przy dowolnem 2, przeto rozpada się ona na dwie następujące równości:

?/ (2/) + ¥2' 0*0 = e^i?/ -f \^h2x + ho — K

4/ {y) ~b 42' 0*0 =    +!xfl₂*+fl₀- a₀>

gdzie dla tern większego uogólnienia wyników wprowadziliśmy różnice równe zeru b₀— b₀ i a₀ — n₀.

Ostatnie dwie tożsamości muszą być spełnione przy dowolnych x i y, mamy więc:

¥1' (y) =

a¥i

3y

= ^biy-\-b

¥2' (x) = ³^ = \ib,x — b

4/ Cy) =

3(j>

³4₂

a = y 4-«o , 4₂' 0*0 =    — «o •

Stąd, całkując, otrzymamy:

y²

?i(y) = i*A ₂

2

'W (*/) = F12 + «<>?/ + «' ;

Ilości a", 6' i 6” są to stałe dowolne.

Funkcyę F (x, y) możemy wyznaczyć zapomocą równania szóstego grupy (c), z którego otrzymamy:

d²F dx²

To ostatnie równanie można uprościć przez zastąpienie funkcyi F sumą dwóch funkcyi &{x,y) Ą-f{x, y), i przez podstawienie za funkcyę f jednej z całek cząstkowych równania (1).

Clebsch przyjmuje:

— b₀x -j- b"

d²F

dU

x²

. . . (k).

<ł>2 0*0 = {Ł «₂ 2--a°X + a"

2 H~ 2 (b-\-blx-\-b₂y) — 0 . . . . (1).

/ (x, y) = —

h x² + yl

-j- b₁ xy² -j- b₂ yx² -f- c' x -}- c" y ,

my zaś przyjmiemy:

f(x, y) =

h x²+ij²

2

tO "P

J (&₁.r³-j-&₂2/³)4-

- (6j x y² -j- b₂ y x²) -|- c' a? -j- c" y ....    (m),

albowiem z wzoru ostatniego na funkcyę / wynikają wzory ostateczne nieco prostsze.

Wprowadzając za Ii¹ sumę Ł2 —j— /*, otrzymamy równanie:

...

dx² dy²

a²ii

(n),

które służy do wyznaczenia funkcyi ii.

Z wyników dotychczasowych, łącznie uważanych, otrzymujemy następujące wzory na posunięcia u, v i w.

I    x²—

z²

— a₂ xyj — \lz j bx -j- b₁ —

+ ⁰ (&o2/ + &') + «o2/ + «'

2 +⁶2^| —

/ |/2_^,2^ / -^2—

— ji (ay + a^+aa ' g j - ty + ^ ^ + &₂ ’    ₂~ ~ /

*²

(o).

+ 0 (—b₀ x-\-b") — a₀x + a"

—    «₂y — b2

X² _j_ ^2

w = (a -f-a₁x +a₂ y) z-\- (& + T &₂ 2/)    -(-ii (^, y) b ^

-    (btxs -(- &₂r/³)—y {bxxy² + b₂yx²) — c’x — c"y

Zapomocą tych wzorów oznaczymy odkształcenia składowe, a następnie dla sił sprężystości otrzymamy:

Pbx-=

ba 4-

raił

dx

— (1 -f- ji) bx-j-b₀y -bxx² —2b.₂xy-\-b'— c'

Vzy-

— (l-f{x) by-\-b₀x—2\ib₁xy—b₂y²+b"-c"

2 (1 ~|—%

Pee — E [ a -f- «i x -[- a₂ y -j- z (b -|- ó, x -f- b₂ y) ]

• (p).

80. Wyznaczenie współczynników. Wzory (o) na posunięcia zawierają 14 współczynników a, a, , a₂, a₀, a', a", b, bl, b₂, b₀, b', b", c' i c", a nadto wartość funkcyi S2 (x, y) nie jest wyznaczona przy x — y — 0. Wzory więc nasze zawierają ogółem 15 niewiadomych ilości stałych. Do oznaczenia tych 15 niewiadomych mamy jednak tylko 12 warunków, a mianowicie: sześć warunków, wynikających z założenia, że ciało gra-niastosłupowate nie podlega posunięciom postępowym ani ruchom obrotowym, wspólnym wszystkim jego punktom i sześć warunków, oznaczonych przez trzy rzuty wypadkowej i trzy rzuty momentu liniowego sił zewnętrznych, odkształcających ciało. Nieoznaczone trzy współczynniki możemy wyzyskać w celu uproszczenia wzorów. Tak np. z wzorów (p) widzimy, że wzory na naprężenia styczne będą nieco prostsze, gdy przyjmiemy:

• (q).

c' = V i e" = b"

W celu uniemożebnienia posunięć postępowych i ruchów obrotowych, wspólnych wszystkim punktom ciała, wystarcza postawienie warunku, że przy x^y=z—0 powinny istnieć równości (p koniec ustępu 33):

dv dlV ci U) dx dx dy

Równości te zaś wymagają, ażeby: a' = a" = 0 ,

Q (O, O) == 0 ,

a₀ = 0

b' = c' =

’3Q

b" = c" —

.    .    (r).

dvK

Dotychczas nie wyraziliśmy analitycznie warunku, że na powierzchni bocznej graniastosłupa nie działają siły zewnętrzne. Oznaczając przez n normalną zewnętrzną do powierzchni bocznej w dowolnym jej punkcie, możemy warunek rzeczony wyrazić zapomocą równania pn = 0, które rozkłada się na trzy:

Pnx--0

Pny - 0 i Pnts - 0.

Te ostatnie równania, na podstawie wzorów (50) (p. ustęp 21), gdy istnieją równości:

dają tylko jedno równanie następujące:

pzx cos (n, x) + psy cos {n, y) = 0 , albo, gdy oznaczymy przez cp kąt normalnej n z osią x:

• • (s).

P** cos cp 4~ Vzy sin ęp == 0 .    .    „

To ostatnie równanie powinno istnieć tylko dla punktów obwodu przekroju. Kąt cp jest kątem normalnej zewnętrznej do obwodu z osią x. Skoro wprowadzimy w to równanie zamiast sił sprężystości ich wartości z równań (p), otrzymamy równanie:

aa

aa

cos cp 4~ di sin cp == V cos cp 4~ si° T -    •    •    •    (t),

gdzie

• (u).

V = (1 4-ji) bx — b₀y + bxx² 2^b₂xy y W = (1+ja) by 4- b₀x + 2\xb₁xy-\- b₂y² )

Z równań tych widzimy, że funkcya a może zawierać tylko współczynniki b, b,, bx i b₂, które z uwagi na nieznaczne odkształcenie należy uważać za ilości bardzo małe, wskutek czego, odrzucając potęgi wyższe od pierwszej tych ilości, możemy przyjąć:

0 = 6jB + 6₀B₀ + 6₁5₁4-6₂Ą.....(v),

gdzie B, B₀, Bx i B₂ są to pewne funkcye współrzędnych x i y.

Funkcya a powinna jednak spełniać równanie (n) dla wszystkich punktów graniastosłupa i równanie (t) dla punktów obwodu, bez względu na to, jakie są wartości stałych b, b₀, bx i b₂. Wskutek tego funkcye B, B₀, Bx i B., powinny dla wszystkich punktów graniastosłupa czynić zadość równaniom:

4-^ = °- • O)

3²B d²B 3²I?₀ d²B₀    3²Bx __3²J?₂

dx² ' dy² d.x² '    3y² dx² ' dy² dx²

i równocześnie powinny dla punktów obwodu zadość czynić równaniom:

dB

dx cos cp +

sin cp = (1 -f y.) (,x cos cp —j— 2/ sin <p)

dB,

CD

sin cp = — y cos cp 4~ cc sin cp

3x cos cp +

- cos cp 4- sin cp = x² cos cp -J- 2 xy sin cp

dy

■    • (X),

dx

dy

3B₂

dB₂

Sx C0S » + przyczem powinno być:

B (o, o) = B₀ (o, o) = Bx (o, o) = B₂ (o, o) = 0 .    .    .    (y).

dy

sin cp =; 2 [x xy cos cp 4- y² sin cp

¹

PL ZL

ab¹

Przyjmując w równaniu ostatniem z — L, otrzymamy na ugięcie wzór:

PL¹

Eab¹    ‘    '

gdy tymczasem dla ciała graniastosłupowatego mieliśmy:

PL¹ _ PL¹ 3lE~2Eab¹ ’

t. j. ugięcie jest dla ciała graniastosłupowatego dwa razy mniejsze niż dla ciała o wytrzymałości jednostajnej.

²

• (b),

Po

gdzie przez skrócenie oznaczyliśmy:

³

<Pl = §CP0 + fi} f

*o

Jeżeli oś pręta prostego przed odkształceniem pada na oś 0, to wszystkie rzędne x należy uważać za równe zeru, a przyrosty 8x za rzędne tej krzywej, w którą przechodzi oś prosta po wygięciu. Kąty cp należy przyjąć

TC

za równe ^ > przyrosty zaś 8<p uważać za kąty z osią 0 stycznych do

osi wygiętej pręta. Skoro te ostatnie kąty oznaczymy wogóle przez a, rzędne zaś osi wygiętej pręta wogóle przez x, to otrzymamy wzory:

«t

dzx —. 8z₀ -f-

So

⁴

Theorie der Elasticitat tester Korper, 1862.

³) Mem. sur la torsion des prismes, 1855; Mem. sur la flexion des prismes. Liouvłlle. Journ. II Serie, T. 1 (1856).

Na podstawie tych ostatnich równań można dowieść, że współczynnik b równy jest zeru, t. j. że funkcya B nie powinna wchodzić w nasze równania, albowiem równania, którym ta funkcya powinna zadość czynić, wymagają, ażeby powierzchnia przekroju była równa zeru, co jest niemożliwe. Rzeczywiście, na zasadzie wzoru (161) (p. ustęp 38) mamy:

rrid²B . 3²J3\    „ r idB

)J YW + w)xcy-l (

dx

COS cp -j-

dB

dy

sin <pj ds

Jeżeli całkę strony pierwszej tego równania rozpostrzemy na powierzchnię przekroju. to całkę strony drugiej powinniśmy rozpostrzeć na obwód przekroju. A że dla wszystkich punktów graniastosłupa

2²B    3² B

dx² dy*

a dla punktów obwodu:

dB

dx cos <p +

TO TO

sin cp =: (1 -f {j.) (x cos cp -f y sin cp)

przeto otrzymujemy równanie:

/ (x cos cp -f- y sin cp) 39 = 0 .

Jednakże z wzoru (159) wynika:

3 xdy =

j' (x cos cp -j- y sin cp) 3,9 = f f ^ ^ -L- ⁹ ^

ll (1 + 1) 3xdy — 2 I j' dxdy

gdzie F jest powierzchnią przekroju, która nie może być równą zeru. Przyjmując więc b=0, otrzymamy ostatecznie wzory następujące:

U — — JJ.

— x ^ V -j- b₂xyj

— ffl₁

tO (o

+⁰ |'¹" + (S)„

) — ^ [b^y+b^ ₂-X ⁾j

Pzx -

2(1 4"^)

P*y =

[ x + h°y — blX2 — 2[i&2 xy

— b₀x — 2 \xblxy — b₂y²

co co

rafi

2 (i H-nO Ydy

pBS =E[a-\- axx + a₂y -|- z (b₁x -f b₂y)]

Pxx Pyy — Pxy — O

& = \ B₀-^bx B₁-\-b₂Bi *Bo d*B» d% d²Bl=d²B₂ 3²B2 dx²    dy² dx² dy² dx² ' dy²

B₀ (o, o) = B₁ (o, o) = B₂ (o, o) = 0 dB

cos cp -f-    ~ sin cp = — y cos cp -j- x sin cp

3B₀

.    . (388).

dBx

dt COS cp +

OJ

dy

sin cp = 5c² cos cp -J— 2 *jl xy sin cp

3B₂

dB₂

sin cp = 21yxy cos cp +y² sin cp

W celu wyznaczenia pozostałych sześciu współczynników musimy zwrócić się do sił zewnętrznych, odkształcających graniastosłup.

Przyjmijmy, że siły zewnętrzne, działające na podstawę graniasto-słupa, po przeniesieniu ich do początku współrzędnych, każdą równolegle do siebie samej, sprowadzają się do jednej wypadkowej B, której rzuty na osie współrzędnych x, y i z są Ex, By i Bz i do jednej pary, której momentu liniowego rzuty na też osie są Mx, My i Ms.

Nadto przyjmijmy, że osi współrzędnych x i y zlewają się z osiami głównemi bezwładności środka ciężkości podstawy, czyli że:

xdxdy — §

^C0ST +

dy

jl ydxdy = 0 , jl xydxdy = 0 , II y²dxdy — Ix i 11 x²dXdy = Iy ,

gdzie Ix i Iy są to momenty główne bezwładności przekroju.

Skoro długość graniastosłupa oznaczymy przez L i uwzględnimy, że siły zewnętrzne równoważą się z naprężeniami, to otrzymamy:

Pb* dx dy

ff

11Pzx *xdy ,

By —- 11 pzy dxdy , M:c = jl' (pez y    Pzy I) dxdy=lj

Rx =

y Pzz dx dy — L By

Mt

I f(V*x

. . (389).

L — pzs x) dxdy =LRX —

X pez dxdy

czyli, wstawiając za siły sprężystości ich wartości:

Rx —

dxdy — l)xly

~3£>

Mz =

b-2

3 xdy

Ry =

Re = EaF

■Mx — E Ex (ttg -f- E bj) — L R2 My = — Ely (al -\- LbJ -\- LR

2(1+^) UJ ³?/

I 3Q \Xdy

y dx dy — ^0 (i*+1*) +

2(1+ [4 l:J„

+ (1—21*-) I I (blyx² — b₂ xy²) 3xdy .

Całki, wchodzące we wzory na Rx 'i Ry, mogą być wyznaczone, pomimo, że funkcya £2 nie jest jeszcze znana. Rzeczywiście:

3x

3y

3Q

dx

/3²£2    32£2\

( dx²    3z/²/

3£2

dx

mamy więc:

ff 9xSy~fJ [al (XS) + | (XĘ) ]

OJ OJ

dx dy

3£i .    \

4- sln ¥ f 3s (według wzoru 159) j x (Vcos cp -j- W sin cp) ds (    „

ff a (^F) + ₉~    ³«4/( „

'dQ

■Z[dxC0S(P

159).

c)    ^

Jednakże (a F) + g- (®TT) = -6„i/H-36₁a:²+4li.61!i«/ + 2i).S₁®² + 2^.

więc

₃^3x3yz=(³-j-2[i.) 6,4.

W takiż sposób otrzymamy:

= (3 + 2^) b₂Ix .

~3Q

JJ ty

Wobec tego wzory poprzednie przyjmują postać:

Rx — Ely b

Ry — E Ixb

Rz — E F a ,

= EIxa₂ ,

My — — EIyax

i dają:

Mx

Rx

Ry

Ely' ^ EIX ’ h Współczynnik b₀ powinien być oznaczony z równania:

y dx dlJ — K (Ix 4* ly) +

EF

EL

M. =

2(1+ty) [Jv

+ (1— 2{ł) jI (blyx² — b₂xy²)dxdy

(391),

gdzie & = b₀ B₀ -f bl B₁ -f- b₂ B₂.

81. Obwód symetryczny. Wzór (391), służący do oznaczenia współczynnika b₀, upraszcza się znacznie gdy obwód przekroju jest symetryczny względem osi x i y. To uproszczenie jest następstwem tej okoliczności, że w takim przypadku całka podwójna ff f(x,y)dxdy, rozpostarta na powierzchnię przekroju, będzie równa zeru zawsze, gdy funkcyą f(x, y) będzie nieparzysta względem jednej ze zmiennych x lub y, albowiem każdemu dodatniemu elementowi całki będzie odpowiadał element równy mu lecz ujemny.

Zgodnie z tą uwagą, we wzorze (391), gdy obwód jest symetryczny, należy przyjąć jj (blyx* — b₂xy²) dxdy = 0, ponieważ yx² jest funkcyą nieparzystą zmiennej y, a xy² jest funkcyą nieparzystą zmiennej x. Nadto możemy udowodnić, że i każda z całek

dB

dl/

hi to

d.jcdy i

dB ₂

3 By

dx 3 y

jest także równa zeru, wskutek czego równanie (391) przyjmuje postać:

M, =

Eb₀

2 (1+1*) U.

W istocie, jeżeli cp jest kątem normalnej zewnętrznej do obwodu z osią a? w punkcie (x,y), to w punkcie (— x,y) kąt ten, gdy obwód jest symetryczny, będzie równy 180° — <p; ponieważ zaś cos (180° — cp) = — cosep, a sin (180° — cp) = sin cp , przeto cos cp jest funkcyą nieparzystą zmiennej x, a sin® jest funkcyą parzystą zmiennej x. W punkcie (x,— y) obwodu, kąt będzie równy 360° — cp, czyli —cp ; a ponieważ cos (— cp) = cosep i sin( — cp) = — sin cp, przeto cos® jest funkcyą parzystą zmiennej y, a sin cp — nieparzystą zmiennej y.

Dla obwodów więc symetrycznych cosep jest funkcyą nieparzystą zmiennej x i parzystą zmiennej y, a sin cp jest funkcyą parzystą zmiennej x i nieparzystą zmiennej y. Rozważając strony drugie trzech równań ostatnich grupy (388), przychodzimy do wniosku, że gdy obwód jest symetryczny:

12

Teorya sprężystości.

CU

3jD

~ cos <p fsin cp jest funkcyą nieparzystą zarówno zmiennej x jak

i zmiennej y\

dB,

dB

cosep-ł--^ sin cp jest funkcyą nieparzystą zmiennej x i parzystą zmiennej y;

cos 'f 4- -Ę^ sin cp jest funkcyą parzystą zmiennej x i nieparzystą zmiennej y.

dx

A więc:

funkcyą B₀ musi być funkcyą nieparzystą zmiennych x i y funkcyą B, musi być funkcyą nieparzystą zmiennej x i parzystą zmiennej y

funkcyą B₂ musi być funkcyą parzystą zmiennej x i nieparzystą zmiennej y

. . (393),

przyczem funkeye

3B,

dB

dB₂ dB₂

x^y ~ y te będą nleParzyste-

x ir”

dy

mi: pierwsza zmiennej y, a druga zmiennej x, skutkiem czego podane wyżej całki tych funkcyi będą równe zeru.

dx

82. Oznaczenie funkcyi B₀, B, i B₂ dla obwodu eliptycznego. Dla przykładu oznaczymy funkeye B₀, Bl i B₂ dla obwodu eliptycznego,

o równaniu —2 + ^2 — Różniczkując to równanie, otrzymujemy:

dx m²y tg? — “ gy —

wskutek czego trzy równania ostatnie grupy (388) przyjmą postać:

m² — n2 m²n²

J* 3B, ^ ₌    2}!.

m² ' dy n² m²'n2 J

E.= **„*„ + . t

m² ' dy n² m²    " \ 2

Dla elipsy, jako obwodu symetrycznego, możemy przyjąć na zasadzie wyników (393):

2/ OC

czyli sin cp :cos <p =

OJ

B₀ x . dB₀ y_ _ dx * m²' dy ' n²

dB

dx

dB₂

dx

B₀ = a xy

B, = $x -J- xy² -j- p” x%

b₂ = iy + t' y + t' V •

•>V

• • (a).

Każda z tych funkcyi powinna jednakże zadość czynić równaniu d²B . d²B dx²

6p" -[- 2p' — 0 i 67” -)— 2 y' = 0, czyli p' = ~ 3p'' i y'=— 3y". Mamy więc:

B₀ = uxy, Bx =    -j- p" (x³ — 3xy²) i B.₂ = yy -|- 7” (i/— 3yx²).

Dla pochodnych tych funkcyi otrzymujemy:

dB₀

=°-y ■

d₍/

= 0 , wskutek czego:

3B₀

dB

dy

— ax

dX ⁼ ‘³ + ³P" (x2 - y²)

dB₂

'j

dB

3Bl

dy

— - 6[B" xy

^ = — 67 "xy

Te pochodne należy wprowadzić w równania (a); ponieważ jednak te równania istnieją tylko dla punktów obwodu, dla których

przeto mamy prawo uczynić pochodne

dy

= 7 -f- 37” (y² — x²) .

mi współrzędnych, mnożąc wyrazy p i 7 przez sumę — -)- ^ . konaniu tego otrzymamy zamiast równań (a) następujące:

Po wy-

m² — n²

NS+9+³^²-

CII    ®

— br xy —z

xy =

+ HI+9 +

m² n²

xy

2 (jl

tf?/²

Gdy porównamy współczynniki wyrazów podobnych w obu stronach każdej z tych równości, otrzymamy równania:

(m²    n²)

m² n²

P -f- 3 p” m² — m² , p — 3 (n² -j- 2 m²) p” = 2 [i m2 7 -j- 37" n² = n² ,    7 — 3 (m² -j- 2w²) 7” = 2jaw² ,

z których otrzymujemy:

w² — n²

w² 4- w²

2 (1 -ł- jjl) m² 4- n2 3 m² -f- w2 _ 2(1 + ji.) n² + m2 ■    3 ?i² -j- m²

1 — 2 {i m²

J 3?w² + n²

._1—2^

3 n² 4- m²

Funkcye więc szukane dla obwodu eliptycznego są:

m² — n2 m² -j- n²

Bo =

xiy

Bx =

3 m²-\-n²

j w² *1- 2 (1    p.) m² j # -f-

-—(xs—3 xy²)

. (394).

j w?² -f- 2 (1 -|- |a) n² j y -f-

¹ g²^ (2/³—3 yx²)

a zatem

ff 3xSy =

w² -f-n

w²

Sr (4

— 4) •

Z równania (392) w danym przypadku wynika:

1 —(— {J.    w² -}- n²

i? ’ m² Ix-\-n²Iy

< K —

7C

a ponieważ dla elipsy lx — mn³

1 —J— jjl 2 m² + w2 E % m²n%

Dla walca kołowego, o promieniu r, należy w tych wzorach przyjąć m² = n² = r².

83. Przypadki szczególne odkształcenia ciała graniastosłupowatego.

Rozciąganie albo ściskanie otrzymamy, gdy z sześciu współczynników a, a{, a₂, b₀, bx i b₂ zatrzymamy we wzorach tylko pierwszy a, pozostałe zaś przyjmiemy za równe zeru. W tym przypadku będzie:

v — — pay ,

b₀ =

• M.

(395),

i Iy — msn , przeto:

Mz

(396).

w — az

u = — ]±ax ,

A* = \x = — {i a ,

9zy ⁼⁼ 9yz =z 9=x ⁼⁼ 0 ,

Pxx Vyy Prcy —- Parć Pa«/ 3 »

Przypadek ten rozważaliśmy w ustępie 39.

Skręcanie otrzymamy, gdy zatrzymamy tylko współczynnik b₀. Wzory w tym przypadku będą miały postać następującą:

Az = a =

Rz

EF

ii = 0

Rz

PBa = Ea = y .

n = b₀ z y

Parć =

2 (1 + p-)

*0 = 6₀ [b₀ -

Kr +

v = b₀ z —

P* =

2(1+1*-)

— — a:

Do oznaczenia tunkcyi P₀ mamy równania: d*B₀ , 3²P₀

dx²

dy*

B₀ (o, o) = 0

dB₀

*B₀

C0S?+ dy

a współczynnik b₀ otrzymujemy z wzoru:

7 _2 (14"

⁰ ~~ E

dx

sin cp = — y cos <p -j- x sin cp ,

-y~lx

JJ \ * ty

Przypadek ten rozważaliśmy w ustępie 48.

) ty ~ (4 + Iy)

Wyginanie 'płaskie otrzymamy, gdy zatrzymamy dwa współczynniki ax i bx (albo a,₂ i b₂) Jeżeli np. wyginanie wywołuje siła P, działająca w środku ciężkości podstawy i równoległa do osi x, to otrzymamy Bx = P i My — PL , a więc:

ax = —

PL

Ely

i bx =

EP •

Wzory zaś dadzą:

= bx Bx

7^2 -yy 2    ^2

X (i-,) + Ly-

²g-S*s —    —

A„ = —

(^)o ⁼ ~rEll 2[xxtg'j ,    (gzy)₀

\x = Ay = — {i, A, ,

Lz —

EL

P IdB

(Jtx ~~ Ely l dx

1 to l₀

9*y =

dBx

Ely ( dy

_ _1>_ idBA

Ely \ dy )₀

Pu = Gg*x , Psy = B gz d²Bx , d²Bx

Pss = —

(L—z) x

3#²

dy²

(o, o) = 0

3P,

3x

COS Cp -j-

dB

ty

sin f = x² cos cp -f* 2 ^ a:?/ sin cp .

Równania włókna podłużnego, przechodzącego przez punkt (x, y) podstawy, są:

/y>2_?/2    pi 2 pi 3'

2^ <£-*’) + L ~2 - -6 + (sO, 2'

x' = X

Ely

P

y’ = y + -fli ^xy (L—z') + Wog’

a równania włókna środkowego:

x'

0'²

Ely

Z*

g-| + O**)o, y

- (#*2/'o ² •

Do oznaczenia kierunku stycznej do tej ostatniej krzywej, służą równania:

dx'

3z' ~ El

Lz' —

2'²

| -f- (yZx)

3 z'

— {9*y)o •

Z tych równań widzimy, że rzuty na płaszczyznę (yz) zarówno włókna środkowego, jak i wszystkich wogóle włókien podłużnych, są liniami prostemi, włókna więc te są krzywemi płaskiemi, ale nie leżą one w tej płaszczyźnie, równoległej do płaszczyzny (zx), w której leżały przed wygięciem.

Gdy obwód jest symetryczny, funkcya Bx będzie funkcyą nieparzystą zmiennej x i parzystą zmiennej y, wskutek czego    będzie

równe zeru, a równania linii wygięcia będą:

El,

</'=0

3p

“g ) + (#**)0 Z'

(l* - ę) + (fc)o

z'²

dz' El, d²x' P (P — z')

. . (397).

dz'²

EL

Gdy więc obwód jest symetryczny, linia wygięcia leży w płaszczy

źnie (zx).

Skoro porównamy te wzory z wzorami (271), (272) i (273), wyprowadzonymi bez uwzględnienia przesuwania, to zauważymy, że to przesuwanie zwiększa tangens kąta pochylenia stycznej względem osi z o wyraz, równy wartości przesuwania w środku ciężkości przekroju i zwiększa rzędną linii wygięcia o wyraz proporcyonalny do odciętej i tej wartości przesuwania. Tak np. gdy obwód jest eliptyczny, otrzymamy z wzoru (394):

tn²

gdzie

(ffex)o -

3x l₀

(9.) o = P

OF (1 +{ł) (3w²+ w²) (tjP

3 m² -f- n

2 l™² + 2 (1 + jł) w²]

m²

EIy 3 m² + n²

[n² + 2 (1 -j-p.) w²] ,

i £=2(l-fp.)S,

a więc:

⁴ + — ("f

1 4p. \m}

³ + (~)²

\mj

Gdyby przesuwanie, wywołane siłą P, było rozłożone równomiernie na wszystkie punkty przekroju, to równałoby się

; gdy zaś jest rozłożone nierównomiernie, to w celu oznaczenia jego wartości w środku

OF

elipsy należy

OF

pomnożyć przez współczynnik:

4 + th(f

2 *)

4

którego wartość liczebna leży w granicach od do

1 2 blizkich siebie, albowiem jl jest zbliżone do , wskutek czego y-p

jest zbliżone do 1,5. Możemy zatem zawsze przyjmować:

(9bx) o —• 1 >45

1 + (A

, bardzo

OF '

(398).

Dla walca kołowego, o promieniu r, otrzymalibyśmy:

dx f₀

(«®ł)

u* ’

czyli

(5+)o —

(3 + 2 p.) r² =

P 3 + 2 (j. OF 2 + 2 {i

= 1,4

GF '

. .    (399).

E 7i r⁴

Wyginanie ukośne otrzymamy gdy zatrzymamy we wzorach współczynniki ax, b]L, a₂\b₂. Takie wyginanie wywołają dwie siły Rx i Ry, których momenty względem początku współrzędnych są: My = RxL i Mx — — RyE\ wskutek czego:

Rx L

ETy'

Ry Ij ~ELX'

Rx

bl ~ EIy

n x

*) Granice te otrzymamy, przypuszczając, że — = 0 i

a₂ = —-

i b₂ =

EIX •

OD.

Dla Az otrzymamy:

Aa = axx -f a₂y + 0 (bxx-f b₂y) = —

Stąd widzimy, że Az będzie równe zeru we wszystkich przekrojach dla punktów, spełniających równanie:

Bx

x + ty

Jest to równanie prostej, będącej przecięciem warstwy obojętnej z płaszczyzną podstawy. Prosta ta przechodzi przez środek ciężkości podstawy i tworzy z osią x kąt a, którego tangens jest:

.    .    (400).

Ix Bx My Ix

Iy    I ł y    Mx Iy

Z tego ostatniego równania można łatwo otrzymać twierdzenie Bresse’a (p. równanie 256).

Ponieważ przy wyginaniu ukośnem zmienne u i v zawierają wyrazy ze współrzędną z w potędze wyższej od pierwszej, przeto włókno środkowe jest krzywą o krzywiznie podwójnej.

Wreszcie zaznaczamy, że przekroje graniastosłupa przy wyginaniu przekształcają się na powierzchnie krzywe, których kształt jest zależny od postaci funkcyi Bx i B₂, t. j. od kształtu obwodu przekroju. Skrzywienie przekrojów, oczywiście, jest następstwem nierównomiernego rozłożenia przesunięć w punktach każdego z tych przekrojów.

84. Warunki wytrzymałości złożonej graniastosłupów. Z wzorów (386), wyznaczających posunięcia u,v\w punktów ciała graniastosłupowatego, podlegającego rozciąganiu lub ściskaniu, przesuwaniu, wyginaniu i skręcaniu, możemy oznaczyć odkształcenia składowe dla każdego punktu, a zatem znaleść także największe rozciągnięcie dla danego punktu.

Ponieważ dla wszystkich punktów gxy = 0 i A* = \y = — p.Az, przeto dla największego rozciągnięcia, w punkcie (x, ij, z), zgodnie z wzorem (44) (p. ustęp 17), otrzymamy:

(X)

max-

. . (A),.

gdzie g² = g\x + g\y .

Z wzorów zaś (386) wynika:

A* = a -f a, x + a₂y z (b₁ x ~f b₂ y)

b° ("ar +v) +b' (

_ 7 ldB₀

gzy — ^0 (

[hx ~

dB₁

dB₂

dx

■ . (B).

⁺    -²i'■xy) + bĄ

ta

^ tc

— y²

Te wartości odkształceń składowych należy wprowadzić we wzór (A) i oznaczyć wartości współrzędnych x,y i z, przy których strona druga tego wzoru osiąga wartość największą. W ten sposób znajdziemy wydłużenie włókna niebezpiecznego w przekroju niebezpiecznym. Mając to wydłużenie, otrzymamy warunek wytrzymałości złożonej, w postaci:

j A, + 7/ (l±t A.)’ + i («/*», + g\)

. (401).

n—

max

~ltE ⁻

Oznaczenie wartości strony pierwszej tego równania przedstawia wielkie trudności, z powodu zawiłości równań, służących do oznaczenia tych wartości x, y i z, przy których strona pierwsza równania (401) osiąga wartość największą.

W zastosowaniach rozwiązanie zadania zazwyczaj upraszcza się, albowiem nie uwzględnia się przesunięć, wywoływanych przez siły wyginające, t. j. pomija się w wyrażeniach na gex i gzy wyrazy o współczynnikach bx i b₂. Przy takiem uproszczeniu otrzymamy:

a₃ = a + «i x 4 - «₂ y 4-e (&ix + &2 y)

0zx -

y*y —

gdzie:

i,    — X

Mat/

R,

ci₁ — —

My

EF ’

h _2(l+jt) 0 — E

Ely

a₂ =

Mx

R*

Ry

EIX ’

El,.

Mz

yFx) dxdy “    •

Jednakże Mx — — RyL i My = Rx L , więc:

. (402).

R* _ R^ (L — z)

Ely X

Tu Rx(L~ z) i Ry (L—z) są momentami sił Rx i Ry względem przekroju w odległości 0 od początku współrzędnych. Jeżeli te momenty zmienne oznaczymy przez My i Mx, to:

\z =

EF

Ry (E

El, y'

A₂ =

Ri

My . X

~M-X . y

— EF EL

El,

. .    (403)

g²zx + g~zy — V + V) + (

Zastosujemy te wzory do niektórych przypadków szczególnych.

85. Wyginanie i skręcanie. Przypuśćmy, że mamy walec kołowy, o promieniu r, podlegający wyginaniu w płaszczyźnie (zx) i skręcaniu.

Oznaczmy przez M największy moment wyginający, a przez M() moment skręcający. W tym przypadku należy przyjąć:

BB₀

dg

. . (404).

5« = 0

Ez = O , Mx = O , My — M , Mx = ifcf,

4(1 -bfO 44    *

rcr⁴ ’    *

4(l+i0 ^0

7T ?'⁴

Ponieważ w przypadku rozważanym największe wydłużenie As i największe przesunięcie g występują w jednym i tym samym punkcie obwodu, a mianowicie w punkcie, dla którego x = — r i 2/ = 0, przeto z warunku wytrzymałości (401) wynika:

1—{x 4 itc M

Skoro przez rx oznaczymy promień walca, obliczony wyłącznie na wyginanie, a przez r₀ promień obliczony wyłącznie na skręcanie, to przyjmując we wzorze (405) kolejno M₀ — 0 i M = 0, otrzymamy:

3 _ UM

r‘ ~ % T

I = — r4 My — 4 ' »

4

Enr*

V x² -j- y² .

7//1 -f-(x 4&lf\²

2(1 + Ex)/cJf₀\²

. .    (405).

i r₀³

2 lcM₀

. . (406),

gdzie

T" =

1 + ^

Z wzoru (405) otrzymamy wobec tego:

y* 3    -

albo, z powodu, że T' = —

, czyli [x =

i(

(i+^)]V+r»⁶ •

. (407).

Dla materyału równozwrotnie sprężystego stosunek

leży między

wogóle zaś wartości na T i T' należy brać z tablic na rozcią-

ł a

ganię i ściskanie.

W zastosowaniach często zamiast wzoru (407) stosowany jest wzór

prostszy:

. . (408),

r³ = rxs -f- r₀³

który wyprowadzić można w sposób następujący: Przypuśćmy, że walec składa się z ośrodka walcowego o promieniu rx i powłoki walcowej o grubości ścianki r — rx, i oznaczmy promień rx ośrodka na samo tylko wyginanie oraz grubość r — rx powłoki na samo tylko skręcanie.

Otrzymamy wtedy:

r⁴ — rt⁴ _2 k M₀

¹

= — (a [ay-\-atxy + a₂ - ₂ w = (a + atx + a₂y) z + (bxx -f- \y) — -f Q (x,y) —

—& ^³-f^2y³) — łp (&i xy² +    yx²) — x-y

UW

a więc

ri

r* = r.³ — -f ¹ r

2&M

ri

= G³ • f + V •

W stronie drugiej tego ostatniego wzoru dla uproszczenia i większego

%T"

ri

bezpieczeństwa możemy przyjąć ~ = 1, a wówczas otrzymamy wzór

(408). Wzór ten daje zawsze wymiary przekroju większe, aniżeli wzór ściślejszy (407), wobec czego może być w praktyce stosowany. W istocie, jeżeli wartość, otrzymana z wzoru (408) na r³ jest większa od wartości otrzymanej z wzoru (407), to musi istnieć nierówność:

rą³ -j- r₀³ >

+ ro⁶ , czyli

czyli

G³) 4“ ro⁶ ,

(1 + ^) n³ r₀³ > 0 , co jest zgodne z rzeczywistością.

Należy nadto zaznaczyć, że wzór (407) stosuje się do walca z ma-teryału równozwrotnie sprężystego lub w przybliżeniu jednolitego, dla T

którego < 1. Gdyby natomiast ten stosunek był większy od jedno

ści, to rozciągnięcia poprzeczne po stronie wklęsłej byłyby większe od rozciągnięć podłużnych po stronie wypukłej i punkt niebezpieczny przekroju byłby wyznaczony przez współrzędne x — r i y — 0, wskutek

Wzór (405) w takim przypadku przy-

czego byłoby równe —

AM

7ur³

brałby postać:

ypTp-Tw) + (

Z wzoru tego, przyjmując kolejno M₀ — 0 i M = 0, otrzymamy:

, AkM AkM ri = K-

wskutek czego otrzymamy wzór:

1 — ^ AkM

2 ' VT~

i r₀³

2kM

71 T

TC T" ’

T'\2

j rx³ + ró* .

. (409).

Jako drugi przykład zbadajmy walec, o podstawie eliptycznej, poddany skręcaniu i bardzo łagodnemu wyginaniu Niech równanie ob-

x2

wodu będzie —s m²

y-

+ ^2 ⁼ 1» gdzie w < n. W tym przypadku najwięk

sze rozciągnięcie, wywołane skręcaniem i największe rozciągnięcie, wywołane wyginaniem, wystąpią w tym samym punkcie obwodu, wyznaczonym przez współrzędne x = — m i y = 0.

Mamy więc:

A₃

4 i¥

4(1+!».) M₀

Eiznm²

E%n m²

Warunek zaś wytrzymałości będzie:

wm² =

*⁶ + «ofi . (410),

gdzie a³ =

4&il/

ao³ =

TZ T" ’

T

T" —

i T' =

Si rL

T

Dla ciał nierównozwrotnie sprężystych, dla których > 1, otrzymamy:

• (411)

nm² =

+ a>⁶+“°⁶-

₄ .    ,    4^7W

gdzie *i=-T,

Jeżeli dany walec będzie poddany skręcaniu i silniejszemu wyginaniu, to największe przesunięcie, wywołane skręcaniem, nastąpi, jak i poprzednio, na końcu małej osi elipsy, a największe rozciągnięcie wskutek wyginania ujawni się na końcu wielkiej osi elipsy; przy współ-czesnem przeto działaniu skręcania i wyginania punkt niebezpieczny może nie znajdować się na końcach osi.

Przyjmując m>n, otrzymamy dla dowolnego punktu przekroju niebezpiecznego:

Ag = —

a a₀³ ma wartość poprzednią.

2M₀

E%nm⁸

V n⁴ x² -j- m⁴y²

(wzór 220),

Warunek zaś wytrzymałości będzie:

nm² =

rU‘4Ma’+v(g)vs(fn.

Ponieważ punkt niebezpieczny musi leżeć na obwodzie, przeto zamiast

a wtedy otrzymamy:

wstawić możemy 1 —    ,

nm² = —

a³

a⁶ —

Wzór ten wskazuje, że punkt niebezpieczny przekroju niebezpiecznego, będzie wyznaczony przez współrzędne x= — m i y — 0, gdy:

(412).

Jeżeliby ten warunek nie był spełniony, to wartość współrzędnej x, przy której strona druga równania ostatniego osiąga maximum, musielibyśmy oznaczyć podług znanych zasad rachunku różniczkowego.

max

Dla graniastosłupów, o podstawie prostokątnej lub kwadratowej, ustalenie warunku wytrzymałości nie przedstawia trudności, gdy (A₃) i .ęw istnieją dla tego samego punktu obwodu. Gdy natomiast warunek ten nie jest spełniony, to oznaczenie niebezpiecznego punktu przekroju niebezpiecznego może być związane z wielkiemi trudnościami, z powodu, że w takim przypadku dla przesunięcia g musimy brać wzory ścisłe przestępne, gdyż wzory przybliżone, wyprowadzone przez upodobnienie prostokąta z elipsą lub lemniskatą, dają na przesunięcie g wartości znacznie różniące się od rzeczywistych, dla punktów, w których g nie jest największe.

86. Rozciąganie, wyginanie i skręcanie. Przypuśćmy, że na dany walec kołowy działa siła rozciągająca P, moment wyginający, którego wartość największa jest M, i moment skręcający M₀. Ponieważ rozciąganie wskutek siły P rozkłada się równomiernie na wszystkie włókna podłużne, przeto działanie jednoczesne tego rozciągania z wyginaniem i skręcaniem nie zmienia położenia punktu niebezpiecznego w przekroju niebezpiecznym, o ile siła P jest rzeczywiście rozciągającą, nie zaś ściskającą.

Jeżeli siła P rozciąga, to, gdy nie uwzględnimy przesuwania, wywołanego przez siły wyginające, otrzymamy dla punktu niebezpiecznego w przekroju niebezpiecznym:

_ P AM ~ EF^En P

2M₀

Eu r³

Wartości te należy wstawić we wzór (401), któremu możemy nadać postać:

E kg

2(1 Pij.) T"

. .    (414).

W danym więc przypadku do wyznaczenia r mamy równanie stopnia szóstego:

^3 ___

AfiPr+4M)\\r>₊-\

(Pr +4 M)

I kMt\*

\^wj '

NO

. (415).

Gdy działa rozciąganie i skręcanie, równanie to przyjmie postać:

kP

71T

• • (416),

gdy zaś działa rozciąganie i wyginanie:

^ (Pr+4 M) ] [r» + ^ (Pr + 4 U)

Gdy działa ściskanie, wyginanie i skręcanie musimy zastąpić P przez — P, a ponieważ w tym przypadku punkt niebezpieczny przekroju może znajdować się zarówno po stronie wypukłej, jak i po stronie wklęsłej walca, zależnie od wielkości sił działających, przeto warunek wytrzymałości należy przyjąć w postaci:

jf    t 7    J,    1/9 k M \²

±{-Pr±4M) r* + JL.(-Pr±4M) =    (418)

i brać przy M ten znak, przy którym r ma wartość większą.

W przypadku szczególnym, gdy działa ściskanie i skręcanie, będzie:

. .    (419), ,

= 0 . (417).

y* 3 _____

kP

2kM₀\²

%T\

7iT"

a gdy działa ściskanie i wyginanie:

|r³ — A₍_pr±4Jf) r*-f —( —Pr ± 4if) = 0. .(420).

W tych przypadkach wytrzymałości złożonej graniastosłupów, w których oznaczenie przesuwania, wywołanego przez moment skręcający, jest utrudnione, można wymiary przekroju, czyniące zadość warunkom wytrzymałości, oznaczyć w przybliżeniu, na zasadzie wzoru:

V x² y²

⁹

i oznaczając moment biegunowy bezwładności I₀ równy //’(a?² 4 «/²) gdzie całkowanie jest rozpostarte na powierzchnię przekroju danego ciała graniastosłupowatego.

87. Praca sił wewnętrznych ciała graniastosłupowatego, powstająca podczas jego odkształcania. Badania nad odkształcaniem ciał graniasto-słupowatych zakończymy wyznaczeniem pracy sił wewnętrznych podczas odkształcania takich ciał.

Wiadomo (p. wzory 115 i 116), że praca W sił wewnętrznych wo-góle wyraża się zapomocą całki potrójnej W = ffJ'Q>dxdydz, rozpo-

startej na całą objętość ciała sprężystego. Funkcya pod znakiem całki d>, zwana potencyałem sił sprężystych, może być oznaczona z wzoru:

- 2 \PxX    -j- pyy l\y —|— ^>33 A3 ~|— P ZX C)gx ~j— P Zy y ~j— PXy Qxy ] .

Wzór ten, gdy siły zewnętrzne działają tylko na końce ciała graniasto-słupowatego, przyjmuje postać:

^ “2 \_Pzz Aa -J— Pzx yzx ' |" Pzy 9zy \ >

gdyż w takim przypadku siły pxx, pyy i pxy dla wszystkich punktów ciała są równe zeru.

Skoro dla przekroju wyznaczonego przez współrzędną z, oznaczymy wypadkową naprężeń normalnych, działającą w środku ciężkości tego przekroju, przez Z, moment zaś naprężeń względem głównej os bezwładności środka ciężkości, około której obraca się przekrój, przez M i wreszcie przez x odległość pewnego punktu tego przekroju od tej głównej osi bezwładności, to na pzz otrzymamy:

CJ

Jeżeli przez M₀ oznaczymy moment skręcający i nie uwzględnimy przesuwania, wywołanego przez siły wyginające, to otrzymamy:

M₀

V x² -j- y²

(b).

Io

V P²bx + V²zy =

Ten wzór ostatni jest ścisły tylko dla walca kołowego, gdy jednak nie uwzględnimy wykrzywienia przekrojów, powstającego skutkiem skręcania, możemy posługiwać się tym wzorem, jako przybliżonym, przy wszelkich kształtach obwodu przekroju, o ile moment biegunowy bezwładności J₀ = Ix-\-Iy był wyznaczony dla powierzchni przekroju danego graniastosłupa.

Ponieważ

Pzz

fjsx —

Pzx

fhy

Pey

przeto

- (-

2E \F

[V²*x + P²*y] , czyli 1 M²

25 77 ⁽"! + y) ■

W celu otrzymania pracy W należy pomnożyć wyrażenia ostatnie przez dxdydz i zcałkować, rozpościerając całkowanie na całą objętość graniastosłupa. Przy tern całkowaniu przyjmiemy, że siły wyginające są prostopadłe do osi graniastosłupa, czyli do osi z, wskutek czego moment wyginający M jest funkcyą tylko współrzędnej 0.

Mamy więc:

JZ² 2 ZM

M² x²

2E

F² F.I

I²

j 3x3//30 -|-

il/₀²

2(7

₂ (.x² -j- ?/²) 3x dy dz =

2EF²

3x3// —

EFI

Jednakże

l Z Mdz ffx 3x 3/y -J- ^    j M²    j j Z² dx dy -j-

2 (jrl^ fd* f f    + dxdy '

O , j" j”X² dx dy

M²

ffdxdy

= F,

l'l'xdx dy

f f(x² -f y²) dxdy = I₀ i

f^+m/

TP— — 2EF

dz — L

M²dz +

a zatem:

M²L 2GI₀ ■ •

. . (421).

Gdy siła rozciągająca lub ściskająca ^ jest jednakowa dla wszystkich przekrojów, otrzymamy:

Z²L 1 2EF~^2EI

W—

IM²dzĄ

M²L

2GI₀

(422).

Jakkolwiek wzory te wyprowadzono przy założeniu, że siły zewnętrzne, odkształcające ciało graniastosłupowate, działają na jego końce, to jednak możemy nimi posługiwać się, jako przybliżonymi i przy dowolnem in-nem rozmieszczeniu sił zewnętrznych, o ile siły wyginające są prostopadłe do osi.

Zbadajmy niektóre przypadki szczególne.

Przypadek I. Proste rozciąganie albo ściskanie wskutek siły P, działającej na koniec.

W tym przypadku

= 0 i Z=P,

— JL pi

2EF 2    ■ '

a więc:

■    (423),

PL

jest to wydłużenie całkowite graniastosłupa, wywołane

gdzie l = przez siłę P.

Przypadek II. Proste rozciąganie albo ściskanie graniastosłupa pionowego wskutek ciężaru własnego Q i siły P, działającej na koniec. W tym przypadku należy przyjąć

EF

M = M₀ = 0

P-f

(L - z) .

Z wzoru przeto (421) otrzymamy:

2 EF

f    (£-*) +

Q²

L²

(L—z)² J ^ ,

czyli

w=

2 EF

[ P²L -f L² 4

bi <©

to to

2 EF

[p² + |- + Pq](424).

Jeżeliby rozciąganie albo ściskanie było wywołane tylko ciężarem własnym, to mielibyśmy w tym przypadku P = 0 i

W - Q2L

(425).

6 EF

A więc praca sił wewnętrznych podczas rozciągania graniastosłupa pionowego pod działaniem ciężaru własnego jest trzy razy mniejsza aniżeli praca podczas rozciągania pod działaniem siły równej ciężarowi, lecz mającej punkt przyczepienia w końcu graniastosłupa.

Ponieważ wzór (424) na pracę W, z powodu, iż wchodzi weń wyraz o iloczynie PQ, nie jest równy sumie wyrażeń (423) i (425), przeto nawet z tego przykładu szczególnego, do którego stosuje się wzór (424), widzimy, że praca sił wewnętrznych, powstająca w ciele sprężystem, gdy jednocześnie działa na to ciało kilka sił zewnętrznych, nie jest wogóle równa sumie prac, które otrzymalibyśmy, gdyby każda z tych sił działała oddzielnie.

Napiszmy wzór (423) w postaci:

P²FL 2 EW

gdzie V = FL jest objętością graniastosłupa.

Jeżeliby siła rozciągająca P była tak wielka, iż wywołane przez nią naprężenie w punktach przekroju graniastosłupa, byłoby równe największemu naprężeniu bezpiecznemu T, to na pracę W otrzymalibyśmy:

FL =

P\²

2 E\F

• V,

(426).

Tę pracę Poncelet nazwał wytrzymałością żywą syrężystą ciała grania-stosłupowatego na rozciąganie. Wytrzymałość żywa sprężysta na rozciąganie (albo ściskanie) jest więc wprost proporcyonalna do kwadratu największego naprężenia bezpiecznego i do objętości graniastosłupa, oraz odwrotnie proporcyonalna do współczynnika sprężystości podłużnej.

, przedstawiająca wytrzymałość żywą każdej jednostki objętości graniastosłupa, nazwano wijtrzymałością żywą sprężystą materyału na rozciąganie. -

Ilość zaś

rp 2

Przy budowie takiej części maszyny, która poddana będzie uderzeniom, należy wybierać materyał, którego wytrzymałość żywa jest wielka.

Przypadek III. Wyginanie płaskie wskutek siły P, działającej na koniec graniastosłupa. Przekrój, leżący w płaszczyźnie (xy), osadzony jest nieruchomo w kierunku osi z.

W tym przypadku mamy: Z = 0 , M₀ = 0 i M = P (P — z) ,

a więc:

P²

2 El

j" (L — z)² dz

_ F1L ‘A -~ 6 El ~

P.f. . . . (427),

gdzie

f=

PL³

3 El

jest ugięciem.

Jeżeli siła wyginająca P jest tak wielka, że wywołane przez nią naprężenie włókna niebezpiecznego w przekroju niebezpiecznym będzie równe największemu naprężeniu bezpiecznemu T, to:

. 7] PL y]

skąd P =

ECH

Lq ’

'PZ\² P³    T²IL

Pt]/ 6PJ    6Py]² '

Wyrażenie ostatnie nazwano wytrzymałością żywą sprężystą ciała gra-niastosłupowatego na wyginanie.

a zatem

(427a).

Dla graniastosłupa o przekroju prostokątnym, którego wymiary są a i b , otrzymamy:

gdy siła P jest równoległa do boku a:    ^ : °ą

gdy siła P jest równoległa do boku b:    ~ == ~ ^

mamy więc w obu przypadkach:

co

co

FL +

J12

. V . . . . (428).

18 E

Wytrzymałość żywa na wyginanie graniastosłupa o podstawie prostokątnej jest proporcyonalna do objętości graniastosłupa i nie jest zależna od tego, jakiemu wyginaniu podlega graniastosłup: silnemu czy słabemu. Ten sam wynik otrzymalibyśmy i dla walca o podstawie eliptycznej.

Przypadek IV. Wyginanie płaskie wskutek siły P, działającej na koniec graniastosłupa i obciążenia Q, równomiernie rozłożonego na całej długości. W tym przypadku mamy:

18 P

(L-z)² ,

a więc:

w=

2 El

-*)² +

PQ

Q²

(L—z)³- jj (L—zY dz , czyli

K+

U \P²    PQ , Ct

q ~T

Q² I?

AL² 5 — 2 El 3 Przypadek V. Wyginanie wskutek siły R, działającej na koniec graniastosłupa i siły P, działającej w odległości a od końca osadzonego, w którym znajduje się początek współrzędnych. Ponieważ w tym przypadku moment wyginający będzie dwojaki: jeden równy P(a-z)-\-4- R (L—z) dla wartości z, leżących w granicach od z — 0 do z — a, i drugi równy R(L—z) dla wartości z w granicach od z = a do z = L, przeto na pracę sił wewnętrznych otrzymamy:

W=

2 El

-i-

20J

(429).

W=

2 El

czyli:

W=

2 EI\)

O

j \P (a—z) -(- R (L—z)]² dz -j- j R² (L—z)²dz j ,

0    a

aa    L

f P² (a— z)² dz -f|*2 PR (a—z) (L—z) a* -f j R² (L-z)² dz j ,

czyli:

W—

+ *■PRa*(ZL—a) .    .    .

Przypadek VI. Skręcanie ciała graniastosłupowatego. W przypadku tym mamy Z = 0 i M — 0, a więc:

MJL 2 6I₀-

jest łukiem, mierzącym kąt skręcenia.

2 El

.    . (430).

(431),

gdzie <p =

mql

GI₀

Jeżeli moment skręcający M₀ jest tak wielki, że naprężenie we włóknie niebezpiecznem osiągnie wartość największego naprężenia bezpiecznego T, to będzie:

M₍₎ Y)

, czyli

1 -f-p-

_ rjin _

Mo ri

, skąd otrzymujemy:

T" T

M — __z.⁰

⁰    'fj

T"²I0 2(ir²

To ostatnie wyrażenie jest wytrzymałością żywą sprężystą ciała grania-stosłupowatego na skręcanie.

88. Zastosowanie zasady pracy najmniejszej sił wewnętrznych do rozwiązania niektórych zadań. Gdy mamy wzór na pracę sił wewnętrznych

, a więc:

(432).

ciała odkształcanego, możemy posiłkować się tym wzorem do oznaczenia pewnych ilości, wchodzących w skład tego wzoru jako niewiadome, stosując zasadą pracy najmniejszej sił wewnętrznych.

Przytoczone poniżej przykłady wystarczą do objaśnienia zastosowania rzeczonej zasady do rozwiązywania pewnych zadań.

Przykład I. Jeden koniec graniastosłupa jest osadzony nieruchomo w murze, drugi zaś opiera się swobodnie na podporze niesprężystej, w jednym poziomie z końcem osadzonym. Wyginanie wywołuje obciążenie Q, rozłożone równomiernie na całej długości L graniastosłupa. Mamy oznaczyć niewiadome oddziaływanie P w końcu podpartym.

Ponieważ w rozważanym przypadku wyginania, mamy na moment M wzór:

M = fL(L-z)² + PjL-z), przeto wzór na pracę W będzie (p. wzór 429):

W=

2 El

tP² PQ Q²\

\ 3 '    4 ' 20/ ’

We wzorze tym należy dobrać P tak, ażeby W było najmniejsze. Skoro więc weźmiemy pochodną względem P i przyrównamy ją do zera, to otrzymamy równanie:

CM ICO

skąd P = —

00 co

Q ... .    (433).

Przijkład II. Położenie graniastosłupa jest to samo, jak w przykładzie poprzednim, ale wyginanie wywołuje siła P, działająca w odległości a od muru. Mamy oznaczyć niewiadome oddziaływanie P w końcu podpartym.

W tym przypadku na moment M mamy dwa wzory rozmaite-' jeden P (a—z) -j- R (L—z) dla wartości z od z = 0 do z = ct, drugi zaś R (L—z) dla wartości z od z — a do z = L. Wzór więc na pracę W jest ten sam, jak wzór (430). Skoro pochodną strony drugiej tego względem R przyrównamy do zera, to otrzymamy:

³ ^p..(434).

Przykład III. Oba końce graniastosłupa są osadzone w murach równoległych na jednym poziomie. Wyginanie wywołuje obciążenie Q, rozłożone równomiernie na całej długości graniastosłupa. Mamy oznaczyć oddziaływania w obu końcach, które wyrażają się przez siłę R i przez parę sił o momencie [i.

\sL² + 3 Pa² (ZL—a) = 0 ,

Ponieważ tu

nTr (L — z)² -J- R (L—z) -j- [Ł ,

przeto na pracę W otrzymamy wzór:

"r q

2 EIJ [2L

(L~z)² + R(L — 0) + JŁ

Skoro pochodne strony drugiej tego wzoru, wzięte względem R i pu, przyrównamy do zera, to otrzymamy:

*r Q

(L—z)² -j- R (L—z) -|- ji. (P—z) dz = 0 ,

2jr (L—z)² + P (-Ł—+ {Ł ^ = 0 ,

czyli, po zcałkowaniu:

Q u l* 2L'T+B~3 +¹¹

= 0,

«©

CM

tr-t

CO I

kj ;CO

to!

to

T=

Rozwiązując te równania względem R i \z, otrzymamy:

O¹ cm

QL

(435 .

Przykład IV. Jeden koniec graniastosłupa jest osadzony w murze, drugi zaś opiera się swobodnie na słupie sprężystym graniastosłu-powym, w poziomie końca osadzonego. Wyginanie wywołane jest przez obciążenie Q, równomiernie rozłożone na całej długości graniastosłupa.

Skoro oddziaływanie niewiadome w końcu podpartym oznaczymy przez P, to otrzymamy dla pracy sił wewnętrznych wzór ten sam, jak w przykładzie pierwszym, ale ponieważ w danym przypadku ujawnia się także praca sił wewnętrznych w słupie, podlegającym ściskaniu pod działaniem siły P, przeto praca sił wewnętrznych graniastosłupa i podpory słupowej będzie:

2 El

p²p₀

2 F₀ P₀ ’

gdzie L₀, F₀ i E₀ są to kolejno: wysokość podpory słupowej, powierzchnia jej przekroju i współczynnik sprężystości podłużnej jej ma-teryału.

Wartość oddziaływania P, dla której wielkość ta staje się najmniejszą, jest:

p= -

CO 00

Q-

1+3

EIL₀

. . (436).

E₀F₀L*

Przykład V. Końce A i B drąga dwuramiennego załamanego ACB (rys. 24), dla zwiększenia jego trwałości połączone są ściągiem AB.

» Rys. 21.

Drąg znajduje się w równowadze pod działaniem sił P i Q, leżących w płaszczyźnie trójkąta ACB i działających ^ w końcach drąga, prostopadle do kierunków ramion. Mamy oznaczyć naprężenie R, powstające w ściągu AB.

Zauważymy najpierw, że to naprężenie nie może być oznaczone na podstawie zasad statyki z warunków równowagi dźwigni. W istocie, niech a, b i L będą kolejno: długościami ramion AC, BC i długością ściągu AB, «i(3 zaś - kątami przy wierzchołkach A i B trójkąta ACB, to, rozkładając naprężenie i? w każdym końcu drąga na dwie składowe: jedną prostopadłą do ramienia i drugą wzdłuż ramienia, otrzymamy: dla końca A ramienia AC siłę P—Psina, prostopadłą do tego ramienia, wywołującą wyginanie, i siłę R cos a, idącą wzdłuż ramienia, wywołującą ściskanie tego ramienia; dla końca zaś B ramienia BC dwie siły: Q — R sin [3, wywołującą wyginanie tego ramienia, i i? cos (3, ściskającą to ramię. Siły ściskające R cos a i R cos (3 są równoważone przez oddziaływania, powstające w punkcie podparcia G drąga, siły zaś P—R sin a i Q—R sin (3 będą w równowadze, gdy będzie spełniony warunek:

czyli

(P — R sin a) a = (41 — R sin (3) b

Pa — Q b = R (a sin a — b sin (3) . Z trójkąta ACB wynika jednak, że: a : b = sin (3: sin a ,

czyli a sin a — b sin p = 0 ,

wskutek czego warunek równowagi wymaga, ażeby Pa — Qb = 0, a zatem naprężenie R pozostaje nieoznaczonem.

Ponieważ w danym przypadku odkształcenie polega na ściśnięciu i zgięciu każdego z dwóch ramion drąga i na rozciągnięciu ściąga, przeto praca W sił wewnętrznych, powstających podczas tego odkształcania, jest:

W—

(.R cos a)² a

(P— R sin a)² a³

(.R cos p)² b

2 EF

6 El

2 EF

(Q — R sin [3)² bz

6 El

R²L 2 E₀Fj’

gdzie F i I są to: powierzchnia i moment bezwładności przekroju ramion drąga, F₀ zaś jest powierzchnią przekroju ściąga.

jest:

Wartość naprężenia R, przy którem ta praca staje się najmniejszą, Pa³ sin a -j- Q b³ sin (3

. . (437).

3 EIL '

E₀F₀

Przykład VI. Graniastosłup, którego oba końce osadzone są w murach równoległych, poddany jest w przekroju, oddalonym od pierwszego końca o L₁, a od drugiego o L₂ = L — Lx, działaniu pary skręcającej, o momencie M₀. Mamy oznaczyć momenty i Par> wyrażających oddziaływania w końcach osadzonych. Ponieważ pary , [a₂ i M₀ leżą w płaszczyznach równoległych i dwie pierwsze równoważą trzecią, przeto ji, -\-\l₂ — M₀. Oczywiście, część o długości Lx jest skręcana przez parę ^, część zaś o długości L₂— przez parę \x₂. Na pracę więc sił wewnętrznych otrzymujemy wzór:

Pi² i IV) E₂ _    1

2 GI₀ ' 2 GI₀ 2 GI₀

a³ sin² a + b³ sin² (3 + 3 ^ (a cos² a -j- b cos² (3) -j-

W=

[L, (V + L₂ (x₂²] , czyli

W=

[Pi im² e₂ (M₀ ■—m)²] .

2 GI₀

Skoro pochodną względem ^ strony drugiej tego równania przyrównamy do zera, to otrzymamy:

!xi — M₀

= MU

L,

lJj2 —    ^

. . (438).

Przy tych wartościach momentów ^ i jx₂, na kąty zupełne skręcania i <p₂ części Lx i L₂ graniastosłupa, otrzymamy wzory:

H Li

M₀ ly L,

GI₀ ~ G L L a więc cpx = cp₈, co można było łatwo z góry przewidzieć.

<Pi =

W Pj _ d/Q ly I₂

GL ~GI₀ L ⁻

. . (439),

Przijkład VII. Na podłodze poziomej niesprężystej, postawiony jest słup pionowy, o wysokości L i o powierzchni przekroju F. Na wierzchu słupa spoczywa płyta pozioma niesprężysta, na której leży obciążenie P, którego środek ciężkości C wyznaczony jest przez współrzędne O A = a i AC = p (rys. 25). Osi współrzędnych x i y zlewają się z osiami głównemi bezwładności środka ciężkości podstawy słupa. Mamy oznaczyć prawo rozkładu ciśnień na punkty podstawy słupa.

i/t

Rys. 25.

Niech q będzie ciśnieniem na jednostkę powierzchni podstawy

w punkcie, wyznaczonym przez współrzędne x i y, wtedy na zasadzie statyki otrzymamy trzy równania:

qdxdy — P

fT(qx dx 3y

== Pa

(a).

ffqy2x dy=

Nadto mamy równania:

fi x dx dy = 0

j j y dx dy == 0 , f f xy dx dy = 0

fj 3x dy

y² dy=Ix ,

Ol² 3# dy — /,

*/ >

w których wszystkie całki podwójne należy rozpostrzeć na całą powierzchnię F podstawy słupa.

Na pracę W sił wewnętrznych, powstających w materyale słupa podczas ściskania jego włókien podłużnych, mamy:

Cr (q dx dy)² L _ L

JJ 2 Fdxdy    2 E

W tym wzorze musimy znaleźć dla q taką funkcyę x i y, przy której całka Jjq²dxdy byłaby najmniejsza i któraby jednocześnie spełniała równania warunkowe (a).

W celu rozwiązania tego zadania, powinniśmy, zgodnie z wymaganiami rachunku waryacyjnego, doprowadzić do minimum całkę następującą:

w=

f f (f dx dy .

ff (q²—^q — ^qx — vqy) dxdy ,

w której X, [i i v są to czynniki stałe dowolne.

Ponieważ funkcya pod znakiem całki ostatniej zawiera tylko funkcyę niewiadomą q, nie zawiera zaś jej pochodnych, przeto należy przyrównać do zera pochodną funkcyi pod znakiem całki względem q i wtedy otrzymamy:

2q — X — \yx — vy — 0, czyli q = —-~j- -x-\---y .

Wprowadzając tę wartość na q w równania (a), otrzymamy:

— I 2 *

-

F ’    2 - Iy

tO

tO: >•

= Pa

Pa

- Ix = Pp , stąd v _Pp

2"~X

, a więc

[f+

aa?

. . (440).

Wzór ten wyraża prawo rozkładu ciśnień w punktach podstawy słupa, o ile a i (3 są takiemi, że dla żadnego punktu tej podstawy q nie staje się ujemnem. W istocie, włókno podłużne słupa, znajdujące się nad punktem, dla którego q < 0, byłoby nie ściskane lecz rozciągane, co jest niemożliwe z powodu, że podstawa słupa nie jest połączona z podłogą, na której słup stoi. Chcących zapoznać się z rozwiązaniem zadania w przypadku, gdy wzór (440) daje dla pewnej części podstawy słupa wartości ujemne, odsyłamy do części pierwszej Kursu Mechaniki stosowanej Bresse’a, a mianowicie do rozdziału: „Repartition d’une charge totale sur la base d’un prisme n’ayant pas d’adherence avec son appui“ ¹).

¹

Cours de Mecaniąue appliąuee par M. Bresse, lre partie.

ROZDZIAŁ VIII.

Wytrzymałość naczyń kulistych i walcowych na ciśnienie prostopadłe do ścian.

89. Wytrzymałość naczyń kulistych. Wyobraźmy sobie warstwę kulistą z materyału równozwrotnie sprężystego, t. j. ciało, ograniczone dwiema powierzchniami kulistemi współśrodkowemi. Niech R i R' będą promieniami powierzchni zewnętrznej i wewnętrznej, ar— odległością pewnego punktu warstwy od jej środka, np. punktu, wyznaczonego przez współrzędne x, y i z układu prostokątnego. Przyjmując początek współrzędnych w środku warstwy, będziemy mieli:

r² — x² -f y² “h z² i

dr

dr

dr

dx

dy

dz

(a).

Przypuśćmy, że na powierzchnie kuliste warstwy działają ciśnienia zewnętrzne, rozłożone równomiernie i mające kierunek normalnych wewnętrznych warstwy. Niech P będzie ciśnieniem na jednostkę powierzchni zewnętrznej, a P' — ciśnieniem na jednostkę powierzchni wewnętrznej.

Nie uwzględniając ciężaru własnego warstwy, możemy przypuścić, że każdy punkt warstwy może posuwać się tylko w kierunku promienia, na którym się znajduje, t. j. że każde z posunięć u, v i w tego punktu jest proporcyonalne do odpowiedniej współrzędnej. Mamy więc:

. . (b),

u = cp x ,

gdzie współczynnik proporcyonalności cp może być funkcyą tylko r.

W celu wyznaczenia tego współczynnika należy zwrócić się do równań ogólnych równowagi (47). Równania te, gdy w nich za siły sprężystości podstawimy ich wartości w zależności od odkształceń składowych z wzorów (135), następnie zaś wyrazimy odkształcenia składowe zapomocą posunięć z wzorów (11) i (12), przyjmą postać:

“t~ ® (w) | + P -X” — 0

+ ® (v) j + p I — 0

-j- 3) (w) [j z = o

i    a6

2 (1 + ^)    1—2 (a 3x

i ae 2(1+1**) L 1—2 pdy i ae

2 (1 + jł) L1 —2 jjl dz d%t c^V dlV

gdzie 6= — +--—+- —, zaś    ®(v) i ©(«>) są to tak zwane pa

rametry różniczkowe drugiego rzędu funkcyi u, viw, t. j. wyrażenia po-

a²Z< d²u S-U .

staci: ®(„) = —l + — + —t 11. d.

Z wzorów (b) zapomocą równań (a) otrzymujemy:

Sęp cr dr " dx Sęp 3)* dr ' dy Sęp dr dr ' dz

du

A„_ <p + a

x² 3ęp

Sr

Sr

3?/

3w

^ — Aa — <p + 0

z²

ą>!4> ą>;

• • (c),

a więc:

Sęp

d²U

(d)

I    y² \ x Sep . .rz/² a²cp

(    7*2 j y 2r 7*2 ’ g^2 ’

£C 3cp . xz² a²cp r dr ' r² ' dr² ’

lii + r?!s\ £. ₌ *L .

ar²/ r 3 a:

36

dx

(e)

dx²

d²u

dl)²

d²u

(³

S²ęp

a^² “

z²

^•2

■,yii r dr ^ -za?

7*    37"

_ xy 3cp y*y z r gr »

y*x —

3cp

®«=K,

Z pierwszego z równań (441), gdy przyjmiemy w niem X = 0, otrzymamy:

a więc:

4 2tf

Sęp

1s 1-6

czyli 4 r³ ^

Całkując to ostatnie równanie dwa razy, otrzymujemy: a cp    C

dr    7'⁴

gdzie Ci Cr są to stałe dowolne.

dr

—j— r

3r³

(f)-

Dla odkształceń składowych warstwy kulistej mamy:

Cx²

A, = C

> 9yz — 2(7

ryz

O/²

a*5

• * (g)

3r³

, g,s=2C°y

ifO

i 6 = 36" .

Ponieważ te równania istnieją przy każdem dowolnem położeniu osi współrzędnych, o ile ich początek znajduje się w środku warstwy kulistej, przeto możemy przyjąć, że oś x przechodzi przez punkt rozważany warstwy, wskutek czego będzie: x~r, y — z = 0 i

<7

1 C_

3 r³

A^ = A₂ = C

9yz - 9zx ⁼ y <y ⁼ 0

Wobec tego dla sił sprężystości otrzymamy:

E f 1 + ti

l+[x 1 — 2 pu

(h).

Pxx - Prr --

Ol co

Pyy — P*z —

1 + (x 1— 2[x Pyz —— P zx ⁼— Pxy z—- 0 •

LI O 'Ł O

• • (i)

Teraz zwracamy się do równań szczególnych równowagi (p. równ. 49). Dla punktu przecięcia osi x z powierzchnią zewnętrzną należy przyjąć:

cos (n, x) = cos (n, r) — 1 , cos (n, y) — cos (w, z) = 0 cos (P, x) — — 1 , cos (P, y) = cos (P, z) — 0 , a więc:

C' +

3 P³ ’

^    ¹+P

l+|x .1—2(x

dla punktu zaś przecięcia osi x z powierzchnią wewnętrzną:

— P'=

3 P'”³ ’

cos (n, a;) = — 1 , cos (n, y) = cos (n, «) = 0 , cos (P', x) = 1 , cos (P', |/) = cos (P', z) = 0 , a więc: _ E_ 1 -flJ-

1 -j-    1—2[x

Z równań tych wynika:

3 1+[Ł P³P'³(P' —P)

2" "IT

(7 = —

P³—P'³

1 —2[x P'P'³-PP³

P³—P'³

wobec czego mamy:

P XX

= Prr =

P'P'³—PP³ -

P³P'³(Z"— P)

^•3

P³ -P'³

P'P'³—PP³ +

P³ P¹³ (Pf— Zł)

2r³

P³ — P'³

A*=zAr =

P(P³ — li¹*)

(1 "l⁻^)

(1—2(i.)(P'P'³ —PP³) —

P³P'³

^•3

(P' - P)

. . . (443).

Ay -As-

P(P³ —P'³) . l-j-(l P³P

(l — 2|i.) (P'P'³—PP³) + (p- - p) ]

możemy napisać następujący warunek wytrzy-

Jeżeli ciśnienie wewnętrzne P' jest większe od zewnętrznego P i jeżeli jednocześnie P'P'³— PP³ >0, to, jak widzimy z równań (443), rozciągnięcie największe wystąpi na wewnętrznej powierzchni warstwy, w kierunku prostopadłym do promienia. Oznaczając to rozciągnięcie największe przez A małości warstwy:

Amax

P(P³—P'³) z którego otrzymujemy:

(i—2 (i) (pp'³—pp³) -f yp p³ (P ~ p)

Tc E

. . (444).

y + O -2^P'

+ y(¹-lA)p

Gdy znamy stosunek promieni, możemy wyznaczyć grubość e ściany warstwy z równania:

P P-fe _    _e_

P' P'    ^ P' ’

Ponieważ wzór (444) możemy wyrazić w postaci:

Y (W) (P'-P)

14-— = ' P'

7.

+ y (1 — p) ^--y (1 + p) P

przeto gdy różnica P'—P jest niewielka w porównaniu z napręże-

T

mem y , bliżonego:

możemy stosunek oznaczyć z następującego wzoru przy-y (1-rt (.F-P)

P¹

CS

. . (445).

Gdy każde z ciśnień P' i P, oddzielnie wzięte, jest niewielkie, możemy stosować wzór:

Jc(P' — P)

i?¹

CS

. . (446).

Lamę *) otrzymuje warunek wytrzymałości przez przyrównanie największej z sił sprężystości do naprężenia

. Warunek ten jest:

To ostatnie równanie możemy otrzymać również z wzoru (444), przyjmując w nim |j. = 0.

Gdy ciśnienie zewnętrzne P jest większe od wewnętrznego P', rozciągnięcie największe wystąpi również na powierzchni wewnętrznej, lecz kierunek jego padnie na kierunek promienia warstwy. Warunek wytrzymałości w tym przypadku będzie:

(l+p.)P³(P — P') — (l-2|i) (PP³-P'P'³)=^ (P³-P'³)

łc

. . (447).

czyli

B'~ \ T

+ 0-2 v)P>

.    . (448).

-jr -f-(l+|L)P' — 3|iP

Wreszcie, gdy ciśnienia P' i P są równe, otrzymamy:

Ax Ay Ag

na warstwę więc działać będzie ściskanie, jednakowe we wszystkich punktach i we wszystkich kierunkach. W tym przypadku nie zachodzi więc potrzeba ustalania warunku wytrzymałości. Ujawnia się to i‘z wzo-

*) Lamę. Leęons sur la theorie mathematiąue de 1’ elasticite des corps so-

es .

ru (444), który przy P=P' daje R = R' choćby najcieńsza uczyni zadość warunkowi wytrzymałości.

co dowodzi, że warstwa

Kula pełna. Gdy zamiast warstwy kulistej dana jest kula pełna, na której powierzchnię działa ciśnienie normalne P, wtedy promień r będzie mógł się zmieniać w granicach od 0 do R włącznie. Gdy przyjmiemy r = 0, czyli gdy przechodzimy do punktu, leżącego w środku kuli, z równań (g) ustępu poprzedniego, otrzymamy na odkształcenia składowe tego punktu wartości nieskończenie wielkie, co jest oczywiście niemożliwe. W celu usunięcia tej niemożliwości, należy przyjąć stałą C=0 i wtedy otrzymamy:

\x A y \z Cp C ,

dr

<p = C'

9ye 9zx fjxy 0 ,

Pyz-Pex-Pxy-0 i

Pxx —Pyy —P zz —

EG

1 — 2(i

P= —

EG

1—2 IŁ

P.

Jeżeli więc ciśnienie P ma kierunek normalnych wewnętrznych, to kula jest ściskana równomiernie i nie zachodzi więc potrzeba ustalania warunku wytrzymałości; jeżeli zaś ciśnienie P ma kierunek normalnych zewnętrznych, to kula podlega rozciąganiu równomiernemu, równemu 1—2(1.

P, a warunek wytrzymałości jest:

. . (449)

czyli Tc P —

kE E ’ dla dowolnego promienia kuli.

90. Wytrzymałość naczyń walcowych. W celu wyjaśnienia odkształceń warstwy walcowej, której każdy przekrój ograniczony jest dwoma okręgami wspólśrodkowymi, oznaczamy przez R i R' promienie powierzchni zewnętrznej i powierzchni wewnętrznej warstwy, a przez Pi P' ciśnienia normalne na jednostkę każdej z tych powierzchni.

Jeżeli oś 0 pada na oś walca, to dla punktu dowolnego warstwy, o współrzędnych x, y i z, oddalonego o r od osi walca, będzie:

r² — X² -4- y²

CO ICO

dr

dz

(a)

Wskutek układu symetrycznego względem osi z zarówno cząstek ma-teryalnych, tworzących warstwę, jak i sił zewnętrznych, ją odkształcających¹), należy uznać, że żadna cząstka warstwy nie może podczas odkształcania zboczyć z tej płaszczyzny diametralnej, na której się znajdowała przed odkształceniem. Otrzymamy więc na posunięcia u, v i w wzory:

(b)

u —    , v = yy i w = a z .    .    .    .

w których współczynniki <p i a mogą być zależne tylko od r.

Różniczkując te wzory, otrzymujemy na odkształcenia składowe i na siły sprężystości:

3ęp

_ 3a 9vz y " 3?*

_ ^ 3a

g*x = 7 •

2;c</ 3cp 3r

/v»2

= * + 7 ' * -

• • (c).

Pxx -

(1 +{*0(1—2 jx)

a + 2cp + r^.....

? + ł^a+ {^ + (1-2^) ^}r

(d)

Vyy —

• • • (e),

P** =

(1 + {7 (1 —2 [i)

(1— [x)a + 2{xcp + jxr ^

Pzy -

P zx -

E    yz 3a

2(1 + pc) ' r 3 r E    zx 3a

2 (1 +{ł) ‘ r

(f)-

36

a =0,

3#

A że

3² 3 cp

1³_

3+    ^'2 3r \

( r³~^J , przeto, przyjmując

3cp

3r

otrzymamy:

Pxy -

36

3x

36

3//

7+7+r 7)

(" + 3

3ęp

Sr

+ r7j

ro co

x Ida 1    9p\

r ' r2 dr I

CO co

lda i ¹

\3r ^ r² 9^ J

(g)-

36

Wreszcie dla parametrów różniczkowych funkcyi u, v i w mamy:

y

y3 9^

© (v) =

i ©(«,) =

-i

/ 9a 3²o\    ...

(a7- + r s^) • ' ' ' (h)-

3r ’

Wobec tego równania równowagi (441), gdy przyjmiemy w nich X = Y=Z=0, dadzą:

3p

3a

3a

3²a

3y ~3r²

• • (i).

da'

3a

czyli r

Ostatnie z tych równań wskazuje, że ^

, wobec czego równanie pierwsze przyjmuje postać

r dr,

dr

2(1—1*.) • a = C’ + C lg r

Mamy więc:

3<p

P = r³ ^ == C" —

Cr²

dr

4(1—t^) ’

skąd

dy _ C"

C"

4 (1—{i.) ‘ r Funkcye więc y i cp mają postać:

a == 0¹ -{- C lg r

dr

r'i

4(1 -ji)

lg r .

cn_

2 r²

lgr

• • (j).

4(1 —[i)

Powinniśmy jeszcze oznaczyć stałe, wchodzące w skład tych funkcyi. W tym celu przypuszczamy na razie, że na powierzchnie pierścieniowe podstaw warstwy nie działają żadne siły zewnętrzne. Wtedy naprężenie p* dla wartości z, odpowiadających tym podstawom, powinno być równe zeru. A ponieważ pes jest zależne tylko od r, które nie jest zależne od 0, przeto pBS będzie równe zeru dla wszystkich przekrojów. Stąd więc:

(1—P) a -f 2 {icp + {xr

3cp

dr

= 0 , czyli

(1—tfC' -f

{xC

4(1—ix)

2(1—11.).

C lg r — 0 .

Ponieważ to równanie musi istnieć przy dowolnem r, przeto otrzymujemy:

(1—i*.) C + 2|xC,"' = 0    ....    (k),

C^_

2 r²

Ażeby uprościć oznaczenie stałych C" i C'" przypuśćmy, że płaszczyzna współrzędnych (zx) przechodzi przez badany punkt warstwy, t. j. że x — r i y — 0. Wtedy z równań (e) otrzymamy dla sił sprężystości:

a więc:

a = C' i

(1).

Pxx - Prr

Pyy

[e," + {x67,±(l—2jx)

Wobec tego warunki równowagi punktów, leżących na zewnętrznej i wewnętrznej powierzchni warstwy, będą:

C'"    Ą- (1— 2jx)

C"

2Pa

P' (1 i |i.)(l    2 i».?

Z równań tych otrzymujemy:

C" ~h V-C'    (1—2|x)

C"

2P'² '

1-f-lŁ R²R'²(P'-P)

R²-R'²

(l+lt)(l -2{ł) P'R’² — PR* • • R²—R¹ 2

Dołączając do równania ostatniego równanie (k), otrzymamy:

2 |x P'R'² — PR²

C"' + \lC' =

.    .    (m).

C"' =

1 —[x P'R,2 — PR²

• • (n).

R² — R'²

Ostatecznie więc otrzymujemy dla rozciągnięć: Ar = Ax

A,

E(R² — R'²)

(1— [x)(P'P'² — PP²)=p

P²P'²

.    .    (450).

+ (l+tx) (P'-P)

2{x P'R'² — PR2 ~E ~R²^-R'²

91. Warunek wytrzymałości warstwy walcowej. Z wzoru (450) widzimy, że, gdy ciśnienie wewnętrzne P' jest większe od zewnętrznego P, rozciągnięciem największem będzie rozciągnięcie Ay przy r — R', a więc w takim przypadku najbardziej rozciągane są włókna pierścienio-

A,

r²

we, leżące na wewnętrznej powierzchni warstwy. Warunek wytrzymałości tych włókien jest:

— PB²) -f (1 +jx) (P' — P) iP] .

k ~ B²—B’²    ^ B

Z warunku tego otrzymujemy:

-f (1 - jł) P'

. . (451).

(l + {x)P' + 2P

Przyjmując w tym wzorze p. = 0, otrzymamy wzór Lame’go:

Ł = i ₊. = B' ' B'

•    . (452)

k P' + 2P

Gdy ciśnienia P' i P są niewielkie w porównaniu z naprężeniem do-z obu tych wzorów otrzymujemy wzór przybliżony:

puszczalnem

e __k(P' — P)

B’

. . (453).

Gdy zaś ciśnienie zewnętrzne jest większe od wewnętrznego, rozciągnięcie największe wystąpi we włóknach podłużnych warstwy, a warunek ich wytrzymałości będzie:

PB² - P’B'²

B² - B'²

Z warunku tego wynika stosunek promieni:

— 2 p,P

R'

. . (454).

— 2p.P

Wzór ten nie bywa stosowany w praktyce, albowiem z doświadczenia wiadomo, że gdy ciśnienie zewnętrzne jest większe od wewnętrznego, rura może łatwo wygiąć się w ten sposób, że okręgi przekrojów przekształcą się na obwody eliptyczne. Wobec tego przypadek, gdy P>P', wymaga badania oddzielnego, które przeprowadzimy w jednym z ustępów następnych.

t)2. Rura, zaopatrzona w dna. Przy badaniu odkształcenia naczynia walcowego, zaopatrzonego w dna albo pokrywy, będziemy przyjmowali, że ciśnienia, działające na dno, rozkładają się równomiernie na całą powierzchnię pierścieniową zetknięcia dna z warstwą walcową i że

dno nie stawia oporu posunięciom punktów tej powierzchni w kierunku odpowiednich promieni.

Przy takich założeniach na naprężenia pzz otrzymamy wzór:

Pzg-

(1+{*•)(! —2 n) czyli, podstawiając za a i cp ich wartości z wzorów (j):

R'*—PR²) rc(P²— R'²)    ’

(l-p.)<7' + 2p.C", —

p.(7

4(1—(i.)

_(1 + |Ł)(1—2{Ł) P'R'²— PR²

R² — R'²    •

Stąd wynika, że (7 = 0 i

(l-p.)C" + 2[xC"' =

(1 -ł-pL) (1— 2{a) P'P'² —PP2 W—R'² '

Dołączając do tego równania równanie (m), otrzymamy:

C'=C"' =

R²-R'² ’

1—2p, P'R'² — PR²

1+p.    R²R'²(P'-P)

R² — R'²

a więc dla odkształceń składowych punktu, leżącego na osi a?, otrzymamy:

Ar = A*

A,

— P(P² —P'²)

(1— 2^){P' R

PR²) q=

P²P'²l

. . (455).

ty* 2

1— 2{jl P'R'² — PR²

r² — r:²

Ar + A

. Największem więc rozciąg-

Z wzorów tych widzimy, że A₂ =

nięcie może być albo Ar albo A*. Gdy P' > P rozciągnięciu największemu podlegają włókna pierścieniowe, leżące na powierzchni we-

T

= (Ay)r =

wnętrznej. Z warunku więc, że (A*,)

R' —lJrR'

to

raax

otrzymamy:

+ (1-21*.) P

. .    (456).

- (1 + {ł)P' + (2—-p.) P

93. Wzory przybliżone na grubość ścianki naczynia. W praktyce, przy oznaczaniu grubości ścianki naczyń walcowych, oprócz wzorów ścisłych, powyżej uzasadnionych, są stosowane także wzory przybliżone. W celu otrzymania takich wzorów przybliżonych, rozwiążemy tu zadanie dotyczące odkształceń warstwy walcowej ponownie, ale w sposób odmienny

od poprzedniego. Przy tem rozwiązaniu otrzymamy równanie, z którego będziemy mogli wyprowadzić zarówno wzór ścisły, jak i wszystkie wzory przybliżone.

Wyobraźmy sobie punkt m warstwy, znajdujący się w odległości r od osi. Przez ten punkt prowadzimy trzy włókna wzajemnie do siebie* prostopadłe: jedno poprzeczne w kierunku promienia r, drugie pierścieniowe, którego odległość stała od osi jest r i trzecie podłużne, równoległe do osi. Naprężenia tych trzech włókien oznaczamy kolejno przez p, q i s. Przyrosty, powstające podczas odkształcania warstwy, będziemy oznaczali znakiem 8.

Promień włókna pierścieniowego po odkształceniu będzie

będzie

Cząstka dr włókna poprzecznego w punkcie rn po odkształceniu będzie miała długość 3r + S3r; rozciągnięcie więc względne tej cząstki 6 3 r 3r

r-j-dr; długość więc tego włókna powiększy się o 27cdr, a jego roz-

2 7i 6 r 2 nr

ciągnięcie względne będzie:

8r

ne włókna podłużnego możemy oznaczyć: niach otrzymamy z wzorów (136):

— r . Wreszcie rozciągnięcie względ-Przy takich oznacze-

8 3z

dz

A,=

ddr

E (P — !*•(»+»)] = a,.

8r

38 z

• • (A).

A.=

Prowadzimy przez oś walca i przez punkt m przecięcie i piszemy równanie równowagi między siłami zewnętrznemi, działającemi na powierzchni, ograniczającej warstwę, a naprężeniami w punktach płaszczyzny przecięcia. Przyjmując długość walca jako jednostkę, otrzymamy

r

wypadkową naprężeń: 2 J* qdr, na wypadkową zaś sił zewnętrz-

R'

na

nych: 2 (P¹ E' — PB); warunek więc równowagi warstwy jest:

/ qdr

iv

= P' R' - PR

(B).

Jeżeli w tem równaniu za promienie R' i R wstawimy r i r + dr i zamiast sił zewnętrznych P' i P wprowadzimy naprężenia p i p + dp ze znakiem minus, to otrzymamy równanie równowagi warstwy nieskończenie cienkiej, której grubość równa jest dr. Równanie to jest:

r + <)r

czyli

I qdr — — pr -j- (p -j- dpi) (r dr) — p dr r dp -|- 3p dr ,

dp

qdr = p dr -|- rdp , czyli q = p -j- r

. .    (C).

dr

Równania równowagi punktów, leżących na powierzchniach bocznych danej warstwy, będą:

P' = — (P)r=K’ i P= — (p)r = R- • punktów zaś, leżących na przekrojach końcowych:

• • (D),

■ • (E),

P’ B’²—PR²

W—W²

zależnie od tego, czy naczynie jest bez dna czy z dnem. We wzorach (A), (B), (C), (D) i (E) są zawarte rozwiązania wszystkich zadań, dotyczących odkształcenia naczynia walcowego. W istocie, z wzoru drugiego

grupy (A) mamy: Sr = PJ

znaku 3, otrzymamy:

d§r

dr E

[q — t* (p + «)] +

CU

dr

dp

** ■

= 0.

Równanie to wraz z równaniem pierwszem grupy (Aj daje: (1 -f (j.) (q — p)'+ r 0

Z równania (C) wynika, że:

s-p-=rSr

= 2^

Sr +

Do oznaczenia więc ^ mamy równanie:

°- czylifr('-⁵Sr) = ⁰’

d²p

r 3r2 =

którego całka jest:

to

(F).

Z równań (D) wynika:

zatem

— P' = C

2R'²

— P—C

(7

2R²

P¹ R'2 —PR2

R² — R'²

O CNI

R²R'²

— {P' P) W__R< 2 •

Z równań zaś (C) i ^F), rugując p, otrzymamy:

« = c' + £-

Mamy więc:

R² R'²

• • (G).

R²—R'²

J P¹ R¹² — P R² q= P' — P)

■s = 0 albo s =

P' R'²—PR2 R² — R'²

Wprowadzając te wartości p, q i s we wzory (A), otrzymamy wzory na odkształcenia składowe, które już wpierw wyprowadziliśmy. W ten sposób dochodzimy do wzorów ścisłych.

Wszystkie wzory przybliżone można wyprowadzić przy założeniu, że {i. = 0; to też drugie równanie grupy (A) przyjmie postać:

dr

z równania zaś (B) otrzymamy:

C dr

I r

R<

— dr = P’ R' — PR

(b).

Z tego ostatniego równania można wyprowadzić wszystkie wzory przybliżone po oznaczeniu całki, znajdującej się w części pierwszej, czyniąc

0 Y

rozmaite przypuszczenia co do postaci funkcyi - pod znakiem całki.

d v

Przypuszczenie 1-sze. Ilość — jest ilością stałą. dr

Przypuszczenie, że — = const. jest równoznaczne z przypuszcze-

T

niem, że q = const., możemy więc przyjąć q = —\ wtedy równanie (b) przyjmie postać:

Jc

dr =

(R— R') = P'R'— PR ,

skąd:

r-f JcP'

T-\-hP

Jc(P' — P)

, T-ł-k P *

Nie uwzględniając ciśnienia zewnętrznego P w porównaniu z naprężeniem dopuszczalnem, otrzymamy wzór następujący, znany pod nazwą wzoru Mariotte’a:

(457).

Jc(P' — P)

R'

Sr_ T

~ ⁼ kE

, wynika:

Z przypuszczenia, że

dR_8R'_8R — 8R'    8 (R — R') 8e

R ~~ R' ~ R — R

e kE ’ CZyh-5e kE’e•

Według więc wzoru Mariotte’a grubość ścianki rośnie w ten sposób, iż powiększa się podczas odkształcenia o ilość proporcyonalną do jej wymiaru pierwotnego, co sprzeciwia się objawom rzeczywistym odkształcenia warstwy.

Przypuszczenie 2~gie. Przyrost 8r — const.

R—R' ~

o v

W tym przypadku 8r = ~ = const., skąd

qr = R(q)K = R' (q)R> ,

T

Możemy więc przyjąć (q)R> = -₇-

k

a więc {q)R> > (q)R .

, wskutek czego:

TR

8 r = —-kE ’

R'

te

R'

Jeżeli w części drugiej tego wzoru, w wyrazie P

R'

przyjmiemy stosu-

równym jedności, to otrzymamy wzór Brix’a:

O

Z przypuszczenia, że 8r= const. wynika: 8R = 8R', a więc §(P — P') = Se = 0 . Według wzoru Brix’a grubość ścianki nie zmienia się podczas odkształcenia, co jest bardziej zbliżone do rzeczywistości.

Przypuszczenie 3-cie. Ilość r 8r = const. Przy tern przypuszczeniu mamy: qr² = R²(q~)R = R'² {q)R , a więc (q)B> > (q)R i możemy T

przyjąć (q)R> =    , wskutek czego z równania (b) otrzymamy:

nek

R'

k(P'— P)

(458).

TR'² r dr _ TR'² / 1    1

k r² ~ k~ \R!~~ R

= P'R' — PR, czyli

( Mt-*'

Rfl

(c).

Rozwiązując to równanie stopnia drugiego, otrzymujemy:

¹

Ciężaru własnego warstwy nie uwzględniamy.

²

+ [x r

³

Następnie dla pochodnych funkcyi 6 będzie:

B i/ir-kff : t r ki'-

E' / \    I "■ !.-r 2kP

Jeżeli zaś równaniu (c) nadamy postać:

(T-JcP>) , = T-JcP{ ₇j lR \²

i przyjmiemy w stronie drugiej = 1, co idzie na korzyść wytrzymałości, to otrzymamy wzór Barlow’a:

(460).

R _ T — hP R' ~ T— JcP'

Z przypuszczenia, że rdr = const. wynika: dR² z=zdR'²

czyli d (R² — R'²) = 0

czyli d F = 0 .

Wzór więc Barlow’a jest ważny w przypadkach, w których podczas odkształcania warstwy, powierzchnia przekroju się nie zmienia. Możemy łatwo przekonać się, że przytem grubość ścianki będzie się zmniejszała, co się zgadza z rzeczywistością, ale odbywa się podług prawa innego aniżeli wynikające z przypuszczenia, na którego podstawie otrzymaliśmy wzór Barlow’a.

94. Naczynie walcowe o obwodzie eliptycznym przekroju. Przyjmujemy, że grubość warstwy jest niewielka, t. j. że ciśnienia zewnętrzne są bar-

i że obwody

dzo małe w porównaniu z naprężeniem dopuszczalnem

przekrojów rury są elipsami współ-środkowemi, o małym mimośrodzie, tak, że jego potęgi wyższe od pierwszej można pominąć.

Niech elipsa ADBC (rys. 26) będzie przekrojem powierzchni, jednakowo oddalonej od powierzchni bocznych, ograniczających warstwę. Równanie tej elipsy, gdy oznaczymy oś wielką przez a a mimośród przez s, będzie: x² ,    y²

a² ' a²(l — e²)

Przypuszczenie, że grubość ścianki jest nieznaczna, pozwala uważać ciśnienia zewnętrzne za rozłożone równomiernie na punkty powierzchni środkowej AmDB. Niech p będzie ciśnieniem normalnem rzeczywi-stem na jednostkę tej powierzchni, czyli różnicą ciśnień na powierzchnie: ' wewnętrzną i zewnętrzną. Skoro długość naczynia eliptycznego przyj -

ty

pa

Rys. 26.

= 1 , czyli y~ = (a² — x²) (\—e²).    .    .    (a).

mierny za jedność, to jako wypadkową ciśnień zewnętrznych, działających na część ADB powierzchni środkowej, otrzymamy 2pa. Jeżeli odłączymy część AGB i działanie jej zastąpimy siłami, o punktach przyczepienia A i B, to każda z tych sił będzie równa pa i mieć będzie kierunek równoległy do osi ujemnej y-ów (przyjmujemy, że ciśnienie wewnętrzne jest większe od zewnętrznego). Wyznaczając położenie punktów przyczepienia oddziaływań pa w powierzchni środkowej, możemy popełnić błąd, ponieważ w rzeczywistości punkty przyczepienia tych sił mogą nie leżeć w powierzchni środkowej; powinniśmy więc przyjąć, że oprócz sił pa w każdym z punktów A i B istnieje nadto para sił, której moment niech będzie równy X.

Przenieśmy teraz wszystkie siły, działające na część Am do punktu m i przyjmując krzywą AmB za włókno środkowe pręta krzywego, oznaczmy przez P wypadkową naprężeń normalnych przekroju przechodzącego przez punkt m tego pręta, a przez M moment tych naprężeń.

Naprężenie normalne P, mające kierunek stycznej t w punkcie m do elipsy, ma na osiach x i y rzuty następujące: Pcos (t, x) i Pcos (t,y). Rzuty te muszą być równe sumie rzutów sił zewnętrznych, działających na część Am pręta krzywego. Układ ciśnień p, rozłożonych równomiernie na część krzywej Am, jest równoważny z układem takichże ciśnień na linię łamaną Anm. Oznaczając przeto współrzędne punktu m przez x i y, otrzymamy dwa równania:

P cos (t, x) = py

P cos (t, y) = p (a — x) — pa — —

A więc:

P¹ 2 = p² (y²Ą-x²)=p² [(a²—x²) (1—e²) Jrx²] = p² a² 1

px.

x²

s²

(b).

M = pa (a —x) — \ p (a —x)~ — | py² -f- X , czyli

y²) = X + £ pa²| 1

Należy tu uwzględnić, że momenty sił, powiększających krzywiznę pręta w przekroju m, uważaliśmy za ilości dodatnie, momenty zaś sił, zmniejszających krzywiznę, za — ujemne.

M — X -f- i p (a²—x²-

*L\

a²/

.    .    (c).

Do oznaczenia krzywizny elipsy w punkcie m mamy:

⁹ Z⁹//\ _ po    9x l ds)

(3y\² (1 — e²) x²

a² — e² a?²

3a?²\ e²

• • (d).

Ponieważ

dy

przeto Ts =

Z powodu symetrycznego układu względem osi y zarówno pręta AmB jak i sił zewnętrznych go wyginających, należy przyjąć, że położenie względne normalnych do krzywej ADB w punktach A i D nie może się zmienić podczas odkształcania. Stosując więc w danym przypadku równanie ogólne (383), wyprowadzone dla prętów o osi krzywej, otrzymamy równanie warunkowe:

ds

ds

co 3<p = 0 , czyli, zastępując 3<p przez

Po ’

— as = o .

Po

• • (e),

gdzie cs jest długością łuku ćwierci elipsy. Z równań ogólnych (379) wynika:

co

EF

\Po ^ Po²/

El '

A ponieważ

a*

x-x(i

3x2 ~ a²

e³

I2> &dy przez e oznaczymy grubość ścianki, przeto:

(O

a?²

CO

3 a:²

• • (O-

£²

a²

Należy jeszcze podstawić ten wzór w równanie (e) i wykonać całkowa-

ct²

nie. Wyznaczymy przytem całkę J x²ds , przedstawiającą moment

bezwładności ćwierci łuku elipsy względem osi y. Że jednak w wyrażeniu (f) wyrazom z x² towarzyszy stale czynnik £², którego potęgi wyższe od drugiej pomijamy, przeto możemy przy wyznaczaniu tej całki

przyrównywać e do zera, t. j. uważać elipsę za koło o promieniu a. Dla

ćwierci zaś koła mamy:

%²9s =

I y2ds,

a więc:

x² ds = j" (x² -|- y²) ds b

Po wykonaniu tego całkowania, otrzymamy z równania (e):

12 X

e²

— [v +

se [    ¹

Stąd na moment X otrzymamy:

(■f + 3i,^ + 2^)e2J -°'

31,2 s² 1-

³~?E +-J

ć²

e + a² + 2a²

czyli pomijając wyrazy, zawierające iloczyny dwóch bardzo małych ułamków s² i

Cf:

X = — pa².

3s2+(łf

12 +

jako mały

W tym wzorze można odrzucić w mianowniku ułamek

wobec 12, tern bardziej, że licznik też jest ilością bardzo małą. Ostatecznie więc otrzymamy:

pa²

• • (g)-

Wartość ujemna momentu X wskazuje, że w przekrojach A i B krzywizna zmniejsza się podczas odkształcania; oczywiście, w przekrojach C i D krzywizna powinna się powiększać. Gdy p <C 0, czyli gdy ciśnienie zewnętrzne jest większe niż wewnętrzne, rzecz będzie się miała odwrotnie.

Po wyznaczeniu X otrzymamy na moment M wzór:

2x²

pa²    /

T [I

• • (h),

z którego dla przekroju D otrzymujemy:

e \²

(i).

Największa wartość liczebna momentu M jest X, odpowiadająca x — a, t. j. przekrojom A i B. Tym przekrojom odpowiada także wartość największa siły P, równa pa, jak to wynika z wzoru (b). Naprężenie więc

największe, wywołane przez siłę P w przekroju A \est~, a naprężenie

największe w tymże przekroju, wywołane przez moment X jest j--, gdzie

'w

należy przyjąć r\ =---^ e i 4=    • Warunek więc wytrzymało

ści warstwy ma postać następującą:

czyli, mnożąc to równanie przez ( e j :

pa²

lc

p- - + -»

tO oo

ps+¹₂-p( f

Si a

, czyli

£)’

Cb

. S².

~~~2P

1    T

₀ p wobec -r i rozwiązując je, otrzymamy:

z    k

+

Dla rury walcowej kołowej, o promieniu a, otrzymalibyśmy:

Pomijając w tern równaniu

lep

TT

lep

e²

. . (461).

lep

a T

Gdy porównamy ten wzór z poprzednim, zauważymy, że nawet nieznaczny mimośród wymaga powiększenia grubości ścianki rury. Jeżeli przyjmiemy więc pod uwagę, że gdy ciśnienie zewnętrzne jest większe od wewnętrznego, mimośród powiększa się podczas odkształcania, to stanie się jasnem, dlaczego w tym przypadku grubość ścianki powinna być znacznie większa, aniżeli w przypadku, gdy ciśnienie wewnętrzne jest większe od zewnętrznego i mimośród podczas odkształcania się zmniejsza.

Do oznaczenia grubości ścianki rury kołowej, o promieniu a, na którą działa ciśnienie zewnętrzne, można stosować wzór (461), przyjmując w nim mimośród e równym około X.

ROZDZIAŁ IX.

Drgania nieskończenie małe ciała sprężystego. Przenoszenie się drgań w ośrodku sprężystym.

95. Równania równowagi drutu bardzo cienkiego. Rozpoczniemy od zbadania drgań bardzo cienkiej nitki sprężystej albo drutu sprężystego, t. j. ciała sprężystego, którego dwa wymiary są bardzo małe w porównaniu z trzecim.

Ponieważ równania ruchu jakiegokolwiek ciała otrzymujemy z rów-nań jego równowagi, przez wprowadzenie do tych równań wyrazów, zależnych od siły bezwładności cząstek się poruszających, przeto powinniśmy rozpocząć rzecz od wyprowadzenia równań równowagi nitki sprężystej

Równania równowagi wyprowadzimy na zasadzie przypuszczenia, że taka nitka jest ciałem dokładnie giętkiem, co, oczywiście, jest tern bliższe prawdy, im cieńszą jest nitka.

Niech w nitce bardzo cienkiej w będzie powierzchnią przekroju, przechodzącego przez punkt osi nitki, odpowiadający współrzędnym x, y i z i oddalony o s od początku nitki, mierząc w jej osi. Oznaczając kierunek stycznej do osi nitki w punkcie (x, y, z) także przez s, będziemy mieli:

co

8*18“

"S

dz

i cos (8, z) = ₉

.    . ta),

gdzie 3.s* przedstawia długość cząstki osi nitki.

Do oznaczenia wielkości i kierunku siły sprężystości ps, działającej w środku ciężkości przekroju to, mamy wzory:

Psx

dX

dy

dz

— P** ds + Pi* ds + Pb* ds

dx

• . fb).

+ Vyy    T" Psy

dx .

~r Pyz    X Piz

Na jeden więc koniec cząstki w ds nitki działa siła, której rzuty na osie współrzędnych są: —to psx , —co pty i —co pte, na drugi zaś koniec działają siły:

Psy — Pxy

Psz — Pxz

“P“ + Ss

Ss

Nadto występują w tej cząstce siły działające na masę (t. j. działające jednocześnie tia wszystkie punkty cząstki :

Y p co d s    i Zp co d s ,

X poid s

gdzie X, Y'\Z są rzutami na osie współrzędnych przyśpieszenia sił działających na masę (t. j. sił działających jednocześnie na wszystkie punkty cząstki), a p jest masą jednostki objętości nitki.

Skoro przyjmiemy, że na powierzchnię boczną badanej nitki sprężystej nie działają żadne siły zewnętrzne, to równania równowagi cząstki nitki będą:

d(toptx)

Ss +(■'*“ = 0,

⁹ (to Psy)

⁹ (to P„)

; - pZo> = 0

Do tych równań należy dołączyć równania, wypływające z warunku, że na bocznej powierzchni nitki nie działają żadne siły.

Oznaczmy przez n kierunek normalnej do bocznej powierzchni cząstki co3s w punkcie dowolnym. Ponieważ kierunki n i s są do siebie prostopadłe, przeto mamy równanie warunkowe:

ds

(c).

dx

CD CD

dz

• • (d).

cos (n, x) -f-

Trzy równania ostatnie istnieją dla wszystkich kierunków n, czyniących zadość równaniu (d); każde więc z tych trzech równań musi być identyczne z równaniem (d), a więc:

ds

• • (e).

Pxx

dx

dy

a zr-

P** = a Ts

dx

Pxy b ’ Vyy — b

• • (f).

Pxz

dx

Vy* =

dy (i .

*• -c r.

Rugując z tych dziewięciu równań trzy współczynniki a, b i c, otrzymamy sześć równań następujących:

ds ’

P XX

__Pyy Pzs

dx    fiy\²    (dz\²    dy dz

ds ' ds

Pyz

Pzx

Pxy

ds

ds

cS

dz dx dx d ds ' ds    ds ' ds

■ (g),

^er+ffl+B¹

gdzie p - pxx -(- Pyy —(- Pu

W istocie, mnożąc równanie pierwsze przez czwarte i drugie przez piąte grupy (f), otrzymamy:

Pxx Pxy — ab | j

Pyx Pyy = ab

rugując zaś stąd iloczyn ab, otrzymamy:

Pxx

dx\² jdlj

Mnożąc

ds,

ds,

2    , dX dy

Pxy Pyx P xy ^ ds ’ ds '

Pxx Pyy - Ob

równanie pierwsze przez piąte, drugie zaś przez czwarte, otrzymamy: dx dy ds ’ ds

A więc p²xy = pxx • Pyy Z otrzymanych dwóch równań, nie zawierających czynników a, b i c, wyprowadzimy cztery pozostałe przez zamianę kołową liter x, y i z, a z tych równań otrzymamy równania (g).

Gdy porównamy równania (g) z równaniami (90) (w ustępie 24), wyznaczającemi siłę główną sprężystości w przypadku, gdy pozostałe dwie siły główne równe są zeru, zauważymy, że w każdym punkcie badanej nitki sprężystej, dwie z sił głównych sprężystości równe są zeru, a trzecia, nie równa zeru, jest właśnie siłą p i że kierunek tej siły p pada na normalną do płaszczyzny w przekroju nitki. Wielkość p przedstawia więc naprężenie nitki w przekroju co.

Z wzorów (b), przy istnieniu równań (g) i warunku, że:

¹

— pa

²

Gdy ciśnienie wewnętrzne jest większe od zewnętrznego, t j. gdy p > 0, siła P będzie siłą rozciągającą; w przypadku zaś przeciwnym— ściskającą.

Na moment M naprężeń mamy:

sr+er+er

otrzymujemy:

d.r

dz

wobec czego równania równowagi (c) przyjmują postać:

ds /

i + [,x« = o

³(“^)

czyli, po wykonaniu różniczkowania: 3 (cojfl) dx ds    d S

d²x

+ °>P a?

3 (w w) du

-Vi-l+wp

d²y

^+"r“ = °

.    . (462).

3 (co w) 30    .

. ---h W »

35    35

3²0

35²

-j- p ^ co = 0

Ponieważ 3x\² .

-3 y\²

30\²

35

35

35

3# 3²# 35 ’ 35²

, dy_ dhj 30    3²0

35 " 3s² ' 3s 3s²    ’

przeto z równań (462) z łatwością otrzymamy:

3 (co_p) p co (Xdx -f- Ydy -j- Zdz) = 0 .    .    .    .    (463).

Równania te rozwiązują zadania, dotyczące równowagi nitki sprężystej.

96. Drgania struny naprężonej. Przypuśćmy, że dana jest struna, o stałym bardzo małym przekroju co, która została naprężona przez działanie siły P i w tym stanie końce tej struny A i B zostały nieruchomo. Początek współrzędnych umieszczamy w punkcie A, a za oś x przyjmujemy prostą AB. Wyobraźmy sobie, że struna ta została w jakikolwiek sposób wyprowadzona ze stanu równowagi i że wskutek tego wykonywa szereg bardzo małych drgań. Przyjmijmy na strunie podczas stanu równowagi dwa punkty sąsiednie: jeden o współrzędnych (x, o, o), drugi zaś o współrzędnych (x + dx, o, o), to współrzędne tych punktów w chwili t będą: pierwszego (x u> v i w)> drugiego

₃ 3xJ . Różnice odpowied-

umocowane

I    , du „    , dv _    .

{xJrdx.JrUJr — dx, v+ — dX) W-f

dw

nich współrzędnych tych punktów, przedstawiają nam rzuty na osie współrzędnych cząstki 3s łuku krzywej, którą tworzy oś struny w chwili t. Rzuty te są:

35 .cos (35, as)=3aj( 1

, ds . COS (ds, y) — dw

ds . COS (35, Z) — dx ,

dX

Teorya sprężystości.

a więc

a¹+£)■+©■

Jednakże cząstka 35 powinna pod względem zarówno wielkości, jak i swojego położenia, bardzo mało różnić się od 3,r, wskutek czego, du dv . dlV

doc ’    ¹ dx musz4 być ilościami bardzo małemi. Pomija

jąc potęgi tych ilości wyższe od pierwszej, otrzymamy.

pochodne

35 — 3;Z

CJ

I du\lł* I „    , du\

H¹⁺²d =te(¹⁺d’

3?; Sic 3y

cos (%,*) = ! , cos =

OJ OJ

dv

dx

dx

i cos (35, 0) =

„    .    . ds—dx du

Ponieważ ———

dw dx dw dx ' 35 dx

(> + s)

dw

dx

^ wyraża wydłużenie względne cząstki 3s, przeto

E — jest naprężeniem tej cząstki, wywołanem przez zmianę jej kształtu,

przy przejściu z położenia równowagi w położenie, w jakiem się znajduje w chwili t. Naprężenie więc zupełne struny w przekroju rozważanym będzie:

c>U .

dx

du

P + E°>*e-

Znając długość, kierunek i naprężenie zupełne cząstki ds struny, z łatwością możemy napisać równania ruchu struny. W tym celu należy w równaniach (462) przyjąć:

T) I rr dU o>P = PJT Eo> —

dx

d²x

2s = COS (35, X) —1 ,

i wreszcie zamiast sił X, Fi Z, działających na masę, wprowadzić wyrażenia na rzuty na osie współrzędnych przyśpieszenia siły bezwładności*), t. j. przyjąć:

35²

dy

— = COS (35, y) =

dv

dz

ds = COS (35, Z) =

dw

d²U

d²V

dt² ’

dt²

d²W

~ W '

*) Pomijamy tu ciężar własny struny.

Po wykonaniu tych podstawień w równaniach (462) i po odrzuceniu wyrazów, zawierających iloczyny pochodnych, jako bardzo małe stopnia wyższego niż pierwszy, otrzymamy równania następujące na bardzo małe drgania struny:

E(ń

d²u

= p (O

<X>| O)

d²v

d²v

dx²

d²W

pw=pM

d²W

dt² ’

czyli

d²U

dt²

= b²

d²u

dx²

d²V

dt²

= a²

P %

<X> Oj

■    (464),

d²w dt² ~~

= a²

d² tr

'■j

gdzie b² = — P

i a² =

(465).

Pierwsze z równań (464) wyznacza posunięcie u w kierunku długości struny, t. j. wyznacza tak zwane drgania podłużne, gdy tymczasem dwa równania pozostałe wyznaczają tak zwane drgania poprzeczne: jedno w płaszczyźnie {xy), drugie w płaszczyźnie (zx).

Ponieważ równania drgań podłużnych i poprzecznych mają postać zupełnie jednakową i różnią się tylko czynnikami stałymi, przeto dochodzimy do wniosku, że znamiona ogólne drgań zarówno podłużnych, jak i poprzecznych są jednakowe Z wzorów (465) wynika, że drgania podłużne struny są tak zależne od współczynnika sprężystości E, jak

drgania poprzeczne od naprężenia początkowego , sprowadzonego do jednostki powierzchni przekroju struny.

Rozważmy równanie drgań poprzecznych struny w płaszczyźnie (xy), t j. równanie:

d²V

dt²

= a²

dx²

gdzie a =

p (JO

. . (466).

bę-

Z łatwością możemy zapomocą prostego podstawienia, przekonać się, że jeżeli vt, v₂, vz ... . są rozwiązaniami równania (466), czyli takiemi funkcyami x i t, które po podstawieniu ich za v w to równanie, przekształcają je w tożsamość, to i suma c₁ v₁ -|- c₂ v.₂ -j- c₃ -j-dzie również rozwiązaniem i to przy dowolnych współczynnikach stałych

^1 > ^2 > ^3 ’.....

Mając to na względzie, przyjmujemy v = ea*+P® i staramy się wyjaśnić, czy nie można wyznaczyć stałych a i£ tak, ażeby funkcya była rozwiązaniem, t. j. całką szczególną równania (466).

Ponieważ mamy teraz:

9² v

d²V

_ = R² e at+Vx

3x2?

wobec czego równanie (466) przyjmuje postać: a² = a²p² i daje: £ = + a~ , przeto mamy dwa rozwiązania:

dt²

i v₂ = e a więc mamy jeszcze rozwiązanie następujące:

at —

(XX

O.JC

7.

ax-

--    a/--    —    --

a + c₂ e a = e«ł cxea-\- c₂ e “

Ponieważ jednak, zgodnie z założeniem, końce struny są umocowane nieruchomo, przeto przy x = 0 i przy x = l, posunięcie v musi być równe zeru dla każdego dowolnego t. Rozwiązanie (a) uczyni temu zadość, gdy będą istniały dwa równania następujące:

• • (a).

al

czyli

c‘i ea + c₂e

ea = e

c₂ — ćą

Równanie ostatnie nie może być spełnione przy żadnej rzeczywistej wartości stałej a, za wyłączeniem wartości o. = 0, przy której v = 0 dla wszystkich punktów struny, a więc wartości nie mającej w danym przypadku żadnego znaczenia. To też a może być tylko urojone. Przyjmijmy a = yV—1 i uważajmy 7 za ilość rzeczywistą. Wtedy rozwiązanie nasze przyjmie postać:

v =    1 c i|e “

Ale:

v = 2    V—1. sin j [ cos (7t) -j- sin (71) V— 1].

1 1 = cos (71) -f- sin (71) V— 1 ; e “

a więc:

Przyjmując tu x — l i v = Q, otrzymamy dla dowolnego t: sin|^-j = 0,

Y l    q

t.j. - = «7r, gdzie i jest dowolną liczbą całkowitą. A więc 7 = irc —

o,    i

i funkcye

A . I. x\ < I. at\ Ai sin h TT — I cos ■ J

i jB, sin

/. x\ . I. at\

**T sm ‘T

są rozwiązaniami naszego równania. Ponieważ w tych rozwiązaniach liczba i może być dowolną liczbą całkowitą, przeto mamy nieskończenie wielką liczbę różnych rozwiązań, wskutek czego całka ogólna równania (466) jest:

i— oo

. . . (467).

Ta całka ogólna zawiera dwa szeregi nieskończone ilości stałych dowolnych, a mianowicie: szereg ^41? A₂, A Tę całkę ogólną znalazł Daniel Bernoulli, jednakże całka szczególna po-

(¹ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t)1 sin(*T) była

staci A cos tz

B sin

i szereg Bx, B₂, Bx

znana Taylor’owi

już dawniej.

Oczywiście, wszystkie stałe dowolne tej całki ogólnej powinny być dokładnie oznaczone ze stanu początkowego struny, jak to wyjaśnimy poniżej.

Zobaczmy, co nam właściwie daje rozwiązanie (467). W tym celu bierzemy jedną z całek szczególnych, np. całkę:

t\ = si n (i tz

Ai cos

K)+

Bi sin

niedrgających, a mianowicie przekroje, wyznaczone przez następujące wartości współrzędnej x:

(•'-I)*

. . (470).

21 3Z

T’ T> T

Są to, tak zwane, węzły struny.

Jeżeli czas trwania jednego drgnienia oznaczymy przez t, to część druga wzoru (469) nie powinna się zmienić gdy za t podstawimy: t + z, a ponieważ wstawa luku nie zmieni się gdy łuk powiększymy o 2 tu , przeto do oznaczenia t mamy równanie:

=    -f- i TU

z którego otrzymujemy:

21

la

W"

= Nt =

21

VŁ ■

.    . (471).

Ni jest liczbą drgań na sekundę.

Z wzoru ostatniego wynika, że wysokość tonu, który struna wydaje, jest proporcyonalna do pierwiastka kwadratowego z naprężenia P, odwrotnie proporcyonalna do grubości struny (średnicy jej przekroju) i odwrotnie proporcyonalna do długości. Ton będzie tern wyższy, im większe jest i% Natomiast amplituda drgań określająca natężenie dźwięku, zmniejsza się w miarę powiększania się i, z powodu, że przy większem i mamy więcej węzłów, wskutek czego amplitudy stają się mniejsze.

Teraz staje się zrozumiałem, że całka ogólna (467) wskazuje, iż dźwięk, który wydaje struna, powinniśmy uważać za akord, składający się z nieskończenie wielkiej liczby dźwięków prostych, z których ton najsilniejszy, tak zwany zasadniczy, jest określony liczbą drgań:

N* = n

l/Ł.

I p<»

Ton ten jest jednocześnie najniższy; tony, następujące po nim, są stopniowo słabsze i posiadają liczbę drgań:

A- If'1,

21 y p (o

n₂ =

i t. d. Tony te nazywamy tonami harmonicznymi.

Pierwszym z tonów harmonicznych jest oktaiua tonu zasadniczego, drugim — kwinta oktawy i t. d. Jeżeli w przypadku szczególnym stałe .4,- i Bi są równe zeru dla pewnej wartości i, to wśród tonów harmonicznych niema tego, który odpowiada tej wartości i. W każdym instrumencie muzycznym tonowi zasadniczemu towarzyszą tony harmo-

21

p co

niczne, ale nie jednakowe we wszystkich instrumentach. Ta różność tonów harmonicznych jest przyczyną różnicy dźwięczności czyli barwy instrumentów. Tak np. przysłuchując się orkiestrze, odróżniamy dźwięki skrzypiec od dźwięków fletu, choćby skrzypce i flet wydawały ten sam ton zasadniczy. Fakt, że ucho nasze odróżnia dźwięki różnych instrumentów, dowodzi, że słyszy ono nietylko ton zasadniczy, lecz i kilka pierwszych tonów harmonicznych, towarzyszących tonowi zasadniczemu. A skoro tak jest, to ściśle określone drgania ciała dźwięczącego, dochodzące do nerwu słuchowego, rozkładają się w naszem uchu na ton zasadniczy i tony harmoniczne, podobnie jak promienie białe rozszczepiają się w pryzmacie na barwne.

Przechodzimy teraz do wyznaczenia stałych At i B{ z danego stanu początkowego struny. Przypuśćmy, że w chwili t = 0 posunięcia punktów struny czyniły zadość równaniu v = f(x), a prędkości tych punków

tów — równaniu — = F (x) .

ot

Oczywiście, mamy prawo stosowania tych funkcyi tylko przy wartościach zmiennej x, leżących w granicach od 0 do l. Funkcye te muszą naturalnie czynić zadość warunkom /(o) = 0, f(l) — 0, _F(o)=0 i F (l) = 0 , gdyż końce struny są umocowane nieruchomo.

Różniczkując względem t równanie (467) i przyjmując w równaniu tak otrzymanem, jako też w równaniu (467), t — 0, będziemy mieli:

oo

f (x) — ^ Ai sin % y j

.    . (472).

oo

F(x) =    i sin [i% - j

Ponieważ jesteśmy przekonani, że wszelkie Ai i Bi mogą być wyznaczone z tych równań ostatnich, gdyż drgania punktów struny, w każdym przypadku szczególnym, muszą być zupełnie oznaczone, przeto dochodzimy do wniosku, że Jcażda funkcya zmiennej x, posiadająca jedną wartość oznaczoną dla każdej wartości x, leżącej w granicach od 0 doi i zamieniająca się w zero dla samych granic, może być, w granicach wskazanych, wyrażona w postaci szeregu nieskończonego, ułożonego według wstaw (sinusów) łuków wielokrotnych wartości x.

To przypuszczenie jest twierdzeniem analizy matematycznej, do-wiedzionem przez Lagrange’a, który podał również i sposób oznaczenia wszystkich współczynników szeregu nieskończonego.

Współczynniki te można oznaczyć zapomocą całki następującej:

I sin (Xx) sin (\yx) dx .

(b).

.4

tg ?< = w

(* + <«*)    (469)

Ponieważ sin (\x) sin (fi x) = -y [cos j (X—y.)x \ — cos j (X + jj.) x j], przeto:

I sin (kx) sin (fi a?)    jcos j(X—\^)x\dx—yjcos j(X-f|i) x j dx

r-1 CN

sin | (X—fi) x\

X—{i

sin } (X + [x) x[y

X+ fi

staje się

-, a ponieważ wartość rzeczywista tej nieozna-

Ograniczając się do przypadku, gdy X i fi są liczbami całkowitemi, w rozpatrywanej całce określonej otrzymamy zero dla wszystkich wartości X i {i sobie nierównych. Skoro zaś przyjmiemy X = p., to ułamek sin j(X — ił) x j X—fl

czoności jest x, o czem można łatwo się przekonać, rozkładając sin w szereg i ponieważ ilość x, wzięta w granicach od 0 do tc, przechodzi w tc, przeto i całka nasza przy X = pu daje tc. Tak więc:

<5

I sin (Xx) sin (fix) dx

0, gdy X i [x nie są sobie równe;

tc>-

n, gdy X = ₁ł.

Wprowadźmy

TC X

zamiast x, a więc

TC dx

zamiast dx i zgodnie z tern za-

miast granic 0 i tc weźmy granice 0 i l, a otrzymamy wówczas:

0, gdy X nie jest równe fi;

/sin (^ t) s4f)

o'

dx =

. . . (473).

2 , gdy X = (ł .

Mnożymy obie strony każdego z równań (472) przez sin tc yj dx i całkujemy w granicach od 0 do l; wtedy na podstawie wzoru (473) otrzymamy:

Skąd:

f f(x) sin (iw jj

i

j" F {x) sin |^tc yj o

i

~ i f(x) sin [iiz^dx 5

i

^ j'F(x) sin (zTCyj dx 6

dx — Ai —

dx =

na

Ai =

Bt =

Przykład I. Przypuśćmy, że strunę wprawiono w ruch przez ude-. rżenie w bardzo małą jej część, leżącą pomiędzy x = h—e a x = h-\- s i że przytem wszystkim punktom bardzo małej długości 2e była nadana prędkość jednakowa 7.

W tym przypadku należy przyjąć: f (x) = 0 dla wszystkich wartości x,

F(x) = 7 dla wartości x, leżących w granicach od h—e do h-\-z i F{x) = 0 dla wartości x, leżących poza temi granicami.

Wzory (474) dadzą:

At = 0 dla dowolnego i,

A-f e

Bf =

lica

fsin (i«f)

dx =

27 ]_ i tc a ‘ i tc

cos

j iic (h—e)|

— COS

(ł7r(/Ł+8)|

czyli:

Bi — -¹,

4 7Z

a (* 7c)

2 Sin

li tc h\ . i i tc e \

Pr)sm hi

(475).

i t. d.

Podstawiając tu za i wszystkie liczby szeregu naturalnego, otrzymamy B\, B₂, B

Gdyby uderzony był jeden z węzłów, odpowiadających np. rozwiązaniu i — 5, to li byłoby równe jednej z ilości następujących:

ND

albo sin

~ , a wtedy czynnik sin {iic byłby równy sin J, albo sin , albo wreszcie sin |-^J; mielibyśmy

więc ostatecznie Bh = Bl0 — Bn — B₂₀ =.... = 0, i wśród tonów harmonicznych nie byłoby tych, które odpowiadają rozwiązaniu i = 5 , e = 10, i = 15 it. d.

Przykład II. Strunie nadano kształt linii łamanej ACB (rys. 27) i pozostawiono ją następnie samej sobie.

*₀ D

Rys. 27.

W tym przypadku F(x) = 0 dla wszystkich wartości x. Skoro współrzędne wierzchołka C oznaczymy przez x₀ i h, to otrzymamy:

dla x od 0 do x₀

(l — x) dla x od x₀ do l.

f(x)~x

i f (x) = 7—

i i

Dla współczynnika A₍ otrzymamy więc:

Ai —

o*

j x sin |/x^j

o

dx .

A że:

I x sin |«x yj

3iC = -

i TC

— £C COS

- fx . 3 cos [in

X COS X ^ j — j COS Tt~^dx -f- C

Kl+^Kl+c,

przeto otrzymujemy dla A<:

-4,=

2/i/²

i² x² (l—x₀) x₀

sin (*“t)

WSitl

.....(476).

i wtedy wszyst-

Gdyby x₀ — l, to mielibyśmy A, =

kie A* dla wartości parzystych i równałyby się zeru, a dla wartości

8 h

nieparzystych mielibyśmy: A, = —¥ , A, =

8/i

8/i

9x²

’ Ab 25 x²

i t. d.

Współczynniki zaś wszystkie równałyby się zeru dla każdego dowolnego x₀.

97. Całka ogólna (467) daje nam rozwiązanie równania:

d²V

= a² —^ w postaci szeregu nieskończonego, zawierającego liczbę

nieskończenie wielką stałych dowolnych A,- i liczbę nieskończenie wielką stałych Bt . Istnieje jeszcze rozwiązanie, zawierające dwie funkcye dowolne zmiennych x i t, podane przez d’Alembert’a i zwane całką zupełną.

W celu otrzymania tej całki napiszmy równanie nasze w postaci:

d²V

d²V

a² dt² dx²

i przyjmijmy w niem at = z, wtedy:

d²v ___d²v 3 Z² dx²

To ostatnie równanie wskazuje, że:

’ czyli ( )=iS-

Oj

Co

dv

dv

dz Ą- — dx dx    3 Z

jest różniczką zupełną pewnej funkcyi zmiennych x i z. Oznaczmy tę funkcyę przez <J>, a otrzymamy:

d<P =

dv

3v

~ ⁰⁰ + T~ 037 dx    oz

cC

JY

(a),

i dv — -~dx-\- — dz

dX    OZ

gdzie literą d oznaczamy różniczki zupełne.

Dodając i odejmując dwa równania ostatnie, otrzymamy dwa na

stępujące:

d [ v + $ (x, 2)) =    9 (as 4- z)

d[v-Ą> (as, z)} =    - ~) S(x— z) ,

w których strony drugie powinny być różniczkami zupełnemi, gdyż strony pierwsze są różniczkami zupełnemi. Stąd wyprowadzamy wniosek, że v -(-    (x, z) musi być funkcyą x-\-z, a v — <1> (x, z) musi być funkcyą

x — z. Oznaczmy pierwszą z tych funkcyi przez 2cp (x -)-z), drugą zaś przez 2 ^ (x—z), a otrzymamy:

v -f- <I> z) = 2 cp (x -j- z) i v — <J> (x, z) = 2 <j> (x — z) , skąd wynika, że v = cp {x -j- z) -f- ^ {x — z) ,

v = <p (x + at) -f- (x — at) .    .

gdzie cp i 4> są funkcyami dowolnemi.

Z rozwiązania tego wynika:

czyli

(477),

dv

d^ = a [cp' (x -f- at) — <J)’ (x — at)]. . . . (478). Przyjmując zaś, jak poprzednio, że przy t = 0:

dv -r,

dt = F ^ ’

V = f (x)

otrzymamy do oznaczenia funkcyi <p i równania:

<P (x) + ł 0*0 = f(x) ,

<p' 0*0 —    («) = — ^ 0*0 •

Uj

Z równania ostatniego, po zcałkowaniu tegoż, otrzymujemy:

y (as) —    (x) =

l F (x) dx .

Mamy więc:

₉ (x) = T f(x) +

(as) 3x

l F (X) dx o*

Równania te wyznaczają postać funkcyi cp i <J> z funkcyi danych f i F, lecz tylko dla wartości x, leżących w granicach od 0 do l, gdyż tylko dla tych wartości zmiennej x mają racyę bytu wartości funkcyi danych fiF. Tymczasem we wzorach (477) mamy prawo nadawać zmiennej t wszelkie możliwe wartości od — oo do-|-co, to też musimy znać wartości funkcyi 9 i ^ dla wszelkich możliwych wartości zmiennej, nie zaś tylko dla wartości od Odo l. Wszystkie te wartości oznaczyć można z warunków, że końce struny są nieruchome. W istocie, wprowadzając te warunki w równanie (477), otrzymamy:

cp (at) -f- ^ (— at) = 0 'f (l at) -|- ty (l— at) = 0,

— 00

(a)

czyli, oznaczając ilość at, która może mieć wszelkie wartości od do -j-co, przez z:

? (*) = — <!>(—■z) • • • •

¥.(*+*) — — ty{l — z) .    .

Zastępując zaś z przez —z, otrzymamy:

? (— z) = — ł (*) • • • •

cp (l — z) = — <J> (l -j- z) .    .

(b).

(c)

• • (d).

Wartości funkcyi cp i cjj w granicach od z = 0 do z — l są znane z równań (479), zmieniając więc w równaniu (b) z w granicach od l do 0, otrzymywać będziemy po stronie drugiej znane nam wartości funkcyi <|». A ponieważ wtedy po stronie pierwszej funkcya cp będzie przyjmowała wartości od cp (l) do cp (2 l), przeto wszystkie te wartości będą nam również znane. Zmieniając w takiż sposób w równaniu (d) z w granicach od l do 0, oznaczymy wszystkie wartości funkcyi od cj> (l) do ty (2 l) zapomocą wiadomych nam wartości funkcyi cp.

Skoro więc w równaniach (b) i (d) za z podstawimy l 4- z, to otrzymamy:

cp (2 l + z) = — ty (— z) = cp (z) i ty (21 + ż) = — cp (— z) — ty (z), skąd wyprowadzamy wniosek, że funkcye cp i c(> są okresowe ze wskaźnikiem okresowości równym 21.

Przy tej wartości wskaźnika okresowości funkcyi cpit|> posunięcie v nie powinno się zmieniać, o ile w równaniu (477) za x podstawimy x-ty-2l. A ponieważ v powinno zachować swoją wartość, gdy czas t zwiększymy o ix sekund, gdzie i jest liczbą całkowitą dowolną, przeto: x -j- 2 l —)- at = x —{- at —j- a i x , skąd

= Nt =

21 21

Wzór ten wyznacza wysokość tonu, który wydaje struna.

98. Drgania płyt. Zaczniemy od wyprowadzenia równań równo

wagi płyty.

Przyjmujemy, że dana jest płyta płaska lub krzywa, o bardzo małej grubości stałej e. Niech z = f(x,y) będzie równaniem powierzchni średniej, t. j. powierzchni, która wszędzie przechodzi przez środek grubości s.

Równanie różniczkowe tej powierzchni jest:

3/

3/

dz

dz

a* =^3*+-%, = -3*+^ .    .

• • (a).

Do oznaczenia z tego równania kierunku normalnej N do powierzchni, mamy:

1 dz h dy

cos (N, y) = —

,xr .    1 dz

cos <iV, *) = - x 3- .

(b),

cos (N, z) = +

gdzie

h - j/¹+(4) ■

Przy grubości stałej e normalna N do powierzchni średniej będzie normalną także do powierzchni, ograniczających płytę z obu stron.

Przypuśćmy, że na tych powierzchniach niema sił zewnętrznych, wtedy dla punktów tych powierzchni muszą być spełnione równania:

Pxx cos (N, x) -j- pyx cos (2V, y) -f pzx cos (N, z) = 0 P*v cos (N, X) -f pyy cos (N, y) 4 pzy cos (N, z) — 0 P*» cos (N, x) 4 pyz cos (iV, y) 4. pzz cos (N, z) = 0, które po podstawieniu w nie wyrażeń na dostawy przyjmą postać:

Pzx - Pxx

dx

CO CO

> P*y P*y 2X~\~ P

yy

dz

Pzz - Pzx

co

zy

CO I co

-Pxx

0’+^

3z dz dx dy

+-er

• • (c).

Z powodu bardzo małej grubości s możemy uważać te równania za istniejące dla wszystkich punktów

płyty-

:p

ta te*

'Al A

Teraz wyprowadzimy równanie równowagi nieskończenie małej cząstki płyty. W tym celu wyznaczamy na płaszczyźnie (xy) (rys. 28) w punkcie (x,y) nieskończenie mały prostokąt dxdy, przyjmujemy go za    /

podstawę prostopadłościanu, o kra-    *

wędziach równoległych do osi 2 i wystawiamy ten prostopadłościan. Część płyty, leżącą wewnątrz tego

->x

<źr

Rys. 28.

prostopadłościanu, przyjmujemy za cząstkę rozważaną płyty- Cząstk3 ta będzie OABCED.

Ściany AOB i ECD należą do powierzchni, ograniczających płytę, na nie więc nie będą działały ciśnienia zewnętrzne, na pozostałe zaś cztery ściany cząstki będą działały siły sprężystości.

Z wierzchołka O prowadzimy prostopadłą do ściany ECD. Kierunek tej prostopadłej zlewa się z normalną N, długość zaś tej prostopadłej jest równa grubości e płyty; wobec czego dla długości krawędzi OC mamy:

OC =

cos (N, z)

Powierzchnie ścian cząstki, prostopadłych do osi x, równają się hedy, prostopadłych zaś do osi y sąhsdX; objętość cząstki będzie hedxdy. Rzuty na osie współrzędnych siły działającej na masę cząstki, są:

phe Z dxdy .

Rzuty sił sprężystości, działających na ściany cząstki, są:

[jlizXdxdy , phe Ydxdy i

na ścianie BOC: —Pxxhzdy , na ścianie równoległej do niej:

pxx h -j- -    ²% e2U , psy h +

7    ,    ³ (Pxb h)

pxz h H--—-dx £ dy .

Pxyhzdy ,    — pxz h e dy ,

³ ( Psy h)

dx

dx £ dy

Na ścianie AOC:    —pyx h £dx ,    —pyyhsdx ,    —pyzhsdx

a na ścianie równoległej do niej:

³ ( Pyx h)

dy

dy zdx , pyy h -f

³ (Pyz h)

Pyz k -j-

dy

³ (Pm h)

dy

3?/J £ dx .

dy s dx ,

Z warunków więc równowagi cząstki otrzymujemy:

c (Pxx K) |    ³ (Pyx

dX

dy

³ (Pxy h) i ³ (Pyy h)

dx '

²(Px-A) ,d(pyzh)

dy

. . (480).

dx

dy

4- [jhZ — 0

Trzecie z tych równań możemy, posiłkując się dwoma pierwszemi równaniami grupy (c), przedstawić w postaci następującej:

W przypadku szczególnym, gdy płyta jest płaska i gdy jej powierzchnia średnia przyjętą zostanie za płaszczyznę (xy), funkcya f(x, y) będzie równa zeru dla wszystkich punktów powierzchni średniej; wówczas będzie:

h= 1

dx

Pxy

d_z_ \d(hpxx) | 2(hpXy)

dz    3 z \

di + V”dyl\ + phZ = Q' CZyU 3 (*J>w)

dz \d(hpxy)

dy

+ A hp

d² Z

o.

dx

dV

XX

Si²

xy

+ 2>

d² Z

a^/²

-\-pZ = o.

dxd y

Ostatnie równanie możemy, posiłkując się dwomapierwszemi równaniami grupy (480), napisać w sposób następujący:

d²z

P*x dx2 + ² V*y

d²Z

d² Z

dz

dz

dx dy

dy

dx

dy

= 0. . (481).

dz ■ dz dx dy

wobec czego z równań (c) otrzymamy:

Pbx — Pzy — Pzz — 0 .

równania zaś (480) przyjmą postać:

dPxy

■ ■ (482),

dp

+ pi=o

^Pxy I dPyy    y „

~d^^~~diT + 9

XX

dx

dy

.    .    (483).

Z = 0

Ostatnie z tych trzech równań wskazuje, że płyta w stanie równowagi może być płaska tylko przy takich siłach, działających na masę, które leżą w płaszczyźnie samej płyty.

Przypuśćmy teraz, że na powierzchnię boczną walcową (czyli na obwód) płyty płaskiej działa ciśnienie P na jednostkę powierzchni, normalne i jednakowe we wszystkich punktach. Oznaczając przez n normalną do walcowatej powierzchni płyty, otrzymamy:

P cos (n, x) = pxx cos (n, x) -f pyx cos (n, y)

P cos (n, y) — pxy cos (n, x) -|- pyy cos (n, y).

Ponieważ te równania muszą istnieć dla wszystkich punktów obwodu, t. j. dla wszystkich kierunków n, czyniących zadość warunkowi cos (n, z) — 0 , przeto mamy:

(d).

Pxx - Pyy - P i Pxy - 0

Gdybyśmy przyjęli, że równania ostatnie istnieją nietylko dla punktów, leżących na obwodzie, lecz i dla wszystkich punktów płyty, to z równań (483) otrzymalibyśmy X = Y = 0. Stąd dochodzimy do wniosku, że, nie uwzględniając sił zewnętrznych, działających na masę, możemy uważać płytę płaską, poddaną działaniu stałego naprężenia P na swoim obwodzie, za znajdującą się w stanie równowagi i wtedy siły sprężystości we wszystkich punktach tej płyty będą miały wartości następujące:

Pez - Pxz -Pyz ■— Pxy - 0 .

Prx — Vyy ⁼⁼ P

Przypuśćmy nadto, że mianowicie taka płyta została wyprowadzona ze stanu równowagi i wykonywa drgania poprzeczne, czyli, że jej punkty posuwają się w kierunkach równoległych do osi Posunięcie w punktu dowolnego w chwili t będzie funkcyą zmiennych x, y i t.

W celu oznaczenia równania tych drgań poprzecznych płyty, musimy w równaniu (481) przyjąć: z = iv, pxx = pyy — P, pxy = 0,

, zależ

X — Y= Z— 0 i wprowadzić w stronie drugiej wyraz p

ny od rzutu siły bezwładności na oś z.

Po wykonaniu tego otrzymamy równanie: d²w „

—77 = C²

d²W

ał

(484).

/9²w d²W\

\dx² ' dy² /

gdzie $c² = — .

Równanie to wyprowadził Euler.

99. Drgania płyty prostokątnej. Jako przykład pierwszy bierzemy płytę prostokątną o bokach a i b, umocowaną nieruchomo na całym obwodzie, gdy już poprzednio była naprężona przez siłę P na jednostkę powierzchni obwodu. Niech oś x zlewa się z bokiem a prostokąta, a oś y — z bokiem b.

Warunek, że obwód jest umocowany, wymaga, ażeby w — 0 przy x = 0 i przy x — a dla dowolnych y i t i ażeby w = 0 przy y — 0 i przy y = b dla dowolnych x i t. Tym warunkom czyni zadość następujące rozwiązanie szczególne równania (484):

w — sin

sin |/cir^r-j [Aik cos (icht) -f- Bik sin (%ht)] .    .    .    (1),

gdzie i i h są to liczby całkowite dowolne, Aik i Bik — ilości stałe dowolne, a

. . (485).

Jeżeli w tern rozwiązaniu nadawać będziemy ilości i wszystkie możliwe wartości całkowite od 1 dooo, to otrzymamy nieskończenie wielką

liczbę rozwiązań naszego równania, a jeżeli w każdem z tych rozwiązań nadawać będziemy ilości k wszelkie możliwe wartości całkowite od 1 do oo, to otrzymamy nieskończenie wielką liczbę szeregów o nieskończenie wielkiej liczbie wyrazów w każdym szeregu, a każdy z tych wyrazów będzie rozwiązaniem szczególnem naszego równania. Całka więc ogólna równania (484) przedstawiać się musi jako następująca suma podwójna: u, -sin {i z J sin iu -|-J [Aik cos (rcht)-\~Bik sin (%ht)]. .(486).

i—1    1

Liczba drgnień na sekundę, otrzymana z rozwiązania szczególnego (i, Jc), oznacza się z wzoru:

Nik = ₂ h =

tO Ci

rs +(D' ■

. . (487).

W celu oznaczenia stałych dowolnych J.ii?, przyjmujemy, że w chwili £=0

~=F(x,y).

Wtedy z wyrażenia dla całki ogólnej otrzymamy:

w = f(x, y)

oo Oo

f to 2/) = 2 2 sin y) sin (*⁷¹T)

1 1 oo oo

F (aj, y) = « ^ 2 ^ Bilc sin (*⁷¹ ) s*n % y)

. . (488).

Wiadomo nam jednak, że przy całkowitych wartościach wielkości

X, X', i y.

j sin (Xa) sin (X'a) 3 a j sin (|x(3) sin (ji/p) 3p =    ,

6    o

gdy X = X' i fx = [x', albo równa się zeru, gdy X nie jest równe X' i |x nie jest równe jx' .

Przyjmując zaś a

00

= n — i p = ir- - , możemy powiedzieć, że:

I sin(X7Cy) sin(x'n^)9x Isin (^k t) sin(p,7Cy)^

ó    6

ab

gdy X = Xr i [x = {j/, albo równa się zeru, gdy X nie jest równe X' i fx nie jest równe (x'.

-j- sin ^3tt j sin |tt-

Mnożymy wobec tego każde z równań (488) przez

sin

(?' 7c ) sin f/r7i -j dxc>y ,

a całkując następnie względem x i względem y w granicach od 0 do a i od 0 do b, otrzymamy:

Aik =

(489).

Buc —

7i ab c

Z całki szczególnej (f) widzimy, że w równa się zeru (przy dowolnem t) dla wartości x równych ,

ści y równych

— a i a oraz dla warto-

£_i

—y— 6 i b. Mamy więc oprócz obwo-

du płyty także linie węzłowe, a mianowicie i—1 takich linii równoodda-lonych prostych równoległych do boku b i k—1 równooddalonych prostych równoległych do boku a. Te linie węzłowe, gdy płyta wydaje ton, wyznaczony liczbą drgnień Nik (wzór 487), nie są jedynemi. Aby wyjaśnić, w jaki sposób mogą powstawać linie węzłowe oprócz linii równoległych do boków prostokąta, rozważymy przypadek gdy płyta jest kwadratowa, t. j. gdy a=b. Dla takiej płyty liczba drgnień na sekundę, odpowiadająca rozwiązaniu (f), będzie:

o-

to

gdzie r — i² + Jc².

Jeżeli mamy oznaczyć ton, dla którego szukamy linii węzłowych, to powinniśmy, oczywiście, oznaczyć ilość r. Przypuśćmy np., że mamy znaleźć linie węzłowe dla tonu, wyznaczonego liczbą drgnień ~ K10. W tym

przypadku będzie: r — i² -f- k² = 10, ale 10 = 1² —{— 3² i 10 = 3² + 1², możemy więc przyjąć i — 1 i Jc = 3, lecz możemy też przyjąć i = 3 i Jc= 1.

Dla danego więc tonu, gdy r = 10, mamy:

w = sin(jt j sin (₃ it -)

Au cos

(*TVl0ł) + B» sin (*TVm)

An cos | TT ^ KlO -j- Bn sin K lOćJ

Przypuśćmy, że płytę wyprowadzono ze stanu równowagi i pozostawiono sobie samej, t. j. że punktom jej nie nadano prędkości początkowej. W tym przypadku będzie: BVi = Bn = 0, a ponieważ wogóle sin 3 ot = sin a (4 cos² a—1), przeto na posunięcie w otrzymujemy:

w — sin

Z wzoru tego otrzymujemy następujące linie węzłowe: sin | tc = 0 , czyli x = 0 i x = a : dwa boki kwadratu,

sin (tc - J = 0, czyli y = 0 i y — a\ dwa pozostałe boki kwadratu.

+ 4„{ 4 «»*(«!)

COS

^.31

4 COS² ( TC — I — 1

= 0.

Gdyby się pokazało, że Au = 0, to z tego równania wynikłoby

—, stąd więc otrzymalibyśmy łuk 60° i 120°, a zatem

dwie proste równoległe do osi x. Gdyby An = — A byśmy cos|tc^-J

i y = x: obie przekątnie kwadratu. Gdyby An — An, mielibyśmy:

czyli cos ^2 tc -j -f- cos ^2 tc -~j =

To ostatnie równanie wyznacza krzywą zamkniętą, zbliżoną do okręgu, której środek znajduje się w punkcie przecięcia przekątnich kwadratu i której promień zbliżony jest do 0,24 a.

W istocie, wskutek przeniesienia początku współrzędnych do środka kwadratu, równanie krzywej przybiera postać:

cos fe tu = 1 i daje dla promieni wodzących krzywej, padających

cos tc —

TC - =

COS²

O co

7T -

i stąd y =

to mieli-

= =p cos |tc i stąd otrzymalibyśmy y— a — x

13 >

Si

COS

—1.

¹

przyjmujemy:

²

Ai sin |«7c yj = 2>t- sin cp,-Bi sin li 71 yj = 2),• cos cpt-

³

Będziemy wtedy mieli:

⁴

\i*~\VA?+B?. • (468).

⁵

Z równań ostatnich widzimy, że przy dowolnych A, i Bi, ilości i 2>i: są zawsze ilościami rzeczywistemi.

⁶

Całka szczególna przyjmuje teraz postać:

⁷

Vi = % sin

⁸

i wskazuje, że posunięcie przekroju struny, wyznaczonego przez współrzędną x, jest funkcyą okresową czasu t. To posunięcie mieści

⁹

się w granicach —2),- i + 2),-, a więc % jest amplitudą drgań (:roz

¹⁰

machem drgań) przekroju uważanego. A ponieważ ta amplituda jest zależna od x, jak to jest widoczne z równania (468), przeto dochodzimy do wniosku, że różne przekroje struny mają rozmaite amplitudy. Oprócz przekrojów końcowych umocowanych, mamy jeszcze i—1 przekrojów

na przekątnie kwadratu: - a = 0,235 a, dla promieni zaś wodzących, padających na osie współrzędnych: 0,25a.

CM

Gdybyśmy mieli oznaczyć linie węzłowe dla tonu, odpowiadającego wartości r = 65, musielibyśmy w całce ogólnej zatrzymać cztery rozwiązania szczególne, a mianowicie rozwiązania, dla których (i = 8, Jc = 1), (i = l, k=8), (i = 7, Tc = 4) i (*.= 4, fc = 7), gdyż

65 == 8² + l² = V + 4².

W danym przypadku, oczywiście, otrzymalibyśmy linii węzłowych więcej, niż w przypadku, gdy r — 10.

100. Drgania płyty okrągłej. Początek współrzędnych umieszczamy w środku płyty i zamiast współrzędnych prostolinijnych x i y wprowadzamy biegunowe r i cp, t. j. przyjmujemy:

y — r sin cp ,

x — r cos cp

czyli

r² = x² -f- y²

Z równań tych otrzymujemy:

co co

OJ ! OJ

= COS cp ,

y

~ = sin cp

3cp

dx    x²-\- y²

d²r

= - Sin 9

sin cp

3cp x    cos cp

r ’ dy    x²-\-y² r

Sep_sin²cp

d²r

dx

3ep COS²cp

y = c°S'f£ =

?!/

3²cp

Zx* ⁼ “ 3yi =

3²tp • 2 sin 9 cos 9

<^•2

Wobec tego będziemy mieli: 3 w    3 w dr

dx    dr dx

OJ Oj

3ęp

A więc:

d-w d²W d²w dx² dy² dr²

cp dx ’

d²w dr Sep dr 3cp dx dx ¹ 3cp

d²W

dw 3cp 3cp dy ’

dw dw dr dy    dr dy

, 3²w /3ęp\²    dw d~r dw 3²ęp

\dxj ' dr dx² ‘ 3cp dx² ’

OJ OJ

OJ Oj

-e

d²w

3cp

OJ OJ

dw d² r dr dy

dw

3cp

fo -o

3r\²

dr\² '

,dx

2 d²W

[dr 3cp    dr dcp

dr 3'p \3.z dx

dy dy

d²w /3cp\² . /3cp\² '    3w; ld²r.d²r\

Sep² Js#/ ' \3?//    ' 3r \3£c² ' 3?/²)

3w> /3²cp    3²cp\

\3iC²    3?/²/ '

3cc

Jednakże:

idry /3r\2 \dx) ^\dy)

= 1.

dr Sęp dx dx

dr 3ęp_ cos ęp sin ęp , sin ęp cos ęp

3 y 3 y

Idy \² , /3cp \²_sin² ęp + cos² ęp_ 1

te) '

^*2

^*2

32 y

dx²

3²r_sin² ęp -f cos² ęp_ 1

3²ęp S²ęp

Sjc² + 3?y²

= 0.

Równanie drgań płyty okrągłej, przy współrzędnych biegunowych, ma więc postać:

d²w

W—

= c²

ld²W 1 Sw>

(3^2    1    ^ 2r

1    d²w'

²    Sęp² y

. . (490).

Oznaczmy promień obwodu umocowanego płyty przez r₀ i przypuśćmy, że przeszła ona w ruch wskutek nadania jej punktom bardzo małych prędkości początkowych. Wobec tego funkcya w powinna odpowiadać następującym warunkom: powinna być równa zeru przy r = r₀ dla dowolnego t i powinno być

dw

dt

— F (r, (p) i w = 0 dla t = 0.

Zbadajmy, czy nie można uczynić zadość tym warunkom i równaniu (490), przyjmując:

(491),

gdzie T jest funkcyą tylko zmiennej t, R — tylko zmiennej r, 6 — tylko zmiennej ęp.

Wprowadzając tę wartość za w w równanie (490), otrzymamy:

1 dR

d²T

c² |re

czyli dzieląc przez TR 6:

1 d²T__ 2 T dt² “ C

Rd

d²R

dt²

dr²

-i- T 9

r

1 3²Q\

Sr + TBr* v) ’

1 2

‘ r²6 Sęp²/

1 d²R \ dR R dr² ' rR dr

Ponieważ strona pierwsza tego równania zależna jest tylko od t, druga zaś tylko od r i ęp, przeto równanie to rozpada się na dwa równania następujące:

. . (A).

= + c² q²

(B)

1 d²JR R dr²

rR dr

gdzie q² jest pewną ilością stałą.

1' dR J 3²0 r²9 Sęp²

= ±Q².....(Q,

Równaniu ostatniemu można nadać postać następującą:

r dR R dr

r² 3²R R dr²

i a²e

0    3<p² ‘

A ponieważ teraz strona pierwsza zawiera tylko zmienną r, druga zaś— tylko zmienną <p, przeto mamy znowu dwa równania:

1 d²Q 0 3cp

(D)

3²i£    1 3i?

3r²    r

gdzie n² jest nową ilością stałą.

Z samego założenia jednak posunięcie w winno być funkcyą okresową zarówno czasu t, jak i współrzędnej cp, przeto T i 0 muszą być funkcyami okresowemi. Wskaźnik okresowości pierwszej z tych funkcyi powinien być równy czasowi jednego drgnienia t, wskaźnik zaś drugiej powinien być równy 2rc.

Ażeby funkcye T i 0 były okresowemi, należy w równaniu (B) przy q² brać znak dolny, w równaniu zaś (D) brać przy n² znak górny i wtedy równania nasze będą:

dr

-f- q² R = + n²

• • (E),

d²T

d² 0

3(p²

= — n² 0

. . (492).

d²R    l dR

dr² r dr

+ (^²

ni) R = 0

Całka ogólna pierwszego z tych równań jest:

T — A cos (cqt) + B sin (cqt) ,

ale dla t = 0 musi być T= 0, gdyż w staje się równe zeru, a więc .4=0 i

(F)

T — B sin (cqt)

Całka drugiego z równań (492) jest:

(G),

0 = M cos (wcp) + N sin (wcp). a ponieważ wskaźnik okresowości funkcyi 0 musi być równy 2tc, przeto n musi być liczbą całkowitą. Mamy prawo, oczywiście, uważać n za ilość dodatnią, gdyż, przyjmując n za ilość ujemną, liczylibyśmy kąty cp w kierunku odwrotnym.

Całkę trzeciego z równań (492) można otrzymać w postaci szeregu nieskończonego.

Przyjmujemy:

R — A ra -j- B H⁵ -j- Cm -f- D r⁸ -j-

gdzie A, B, C,

są to współczynniki stałe, a, p, 7,

zaś

są pewnemi liczbami nierównemi, odpowiadającemi warunkom:

a<P<7<§<..........

Po podstawieniu tej wartości w równanie (492), otrzymamy:

A (a²—n²) ra~² + B ((3²—n²) rP~² -f- C (7²—n²) rf~² -f-.....

= 0.

_l_ A q²ra Bq² r$ -(- C q² rr -j-Ponieważ jest to tożsamość, która musi istnieć dla dowolnego r, przeto współczynniki przy rozmaitych potęgach zmiennej r, muszą być równe zeru. Mamy więc:

A (a²— n²) — 0 , czyli a = + n ;

P— 2= a i B($²—n²) + Aq² = 0, czyli p — 2 + w i B—

Aq²

P²—w

T — 2 = p i C (y²— w²) + Bq² = 0, czyli 7 = 4 + w i C Stąd otrzymujemy:

£g²

7^— n²

it.d.

a = ±n , p = 2 + n ,

7 = 4 ±; w , 3 = 6 + >2 i t. d.

( )²

l±n ’

A    SM___

1.2.3(1 ±n) (2±n) (3±n)

t:n

(i ⁽iY

1.2(1 ±n)(2±ri)

i t. d.

Mamy więc dwa rozwiązania:

R—Arn 1 —

(ł <r>f

(ł gry

1 (n +1) n 1.2 (71 -f 1) (n + 2)

(kM

1 .2.3 (n -f 1) (Ti + 2) (w 4- 3)

R'=A'r~n 1 4-

(I gr)²

(2 ⁽lrY

1 (n — 1)

1.2 (n— 1) (n— 2)

(I <P'f

1.2.3 (n — 1) (n — 2) (n — 3)

Ponieważ rozwiązanie ostatnie dla r — 0 daje R' = oo, co jest niemożliwe, gdyż posunięcie środka płytki nie może przecież być nieskończenie wielkiem, przeto powinniśmy zatrzymać tylko rozwiązanie pierwsze.

A więc jedna z całek szczególnych równania (490) jest:

w = rn \Hn cos (ncp) -\-Kn sin (w9)] Un sin (cqt) .    .    .    (H),

(hgrY

gdzie U — 1 — ^grY .____

g    "    n 4- 1 ⁺ 2 (714- 1) (714-2)

(igr)⁶

2.3(n-}-l) («4~2) (w4-3)

(493).

2.3(72-f 1) (71-j- 2) (72-4-3)

= 0    .    .    .    (494).

W rozwiązaniu tern mamy prawo podstawiać za n wszelkie możliwe liczby całkowite, począwszy od 0 do co; możemy więc otrzymać nieskończenie wielką liczbę rozwiązań szczególnych.

Ponieważ przy r = r₀ w — 0 dla dowolnego t, mamy więc rów

nanie:

(ł qro)²

(i g>o)⁴

71 + 1

2 (22 4-1) (w+ 2)

Równanie ostatnie służy do oznaczenia stałej q. Ponieważ stopień tego równania jest nieskończenie wielki, przeto ma ono nieskończenie wielką liczbę pierwiastków dla każdej danej wartości liczby całkowitej 72. Przypuśćmy, że pierwiastki tego równania są:

q₀

, 2o⁽³⁾>

, <h⁽³⁾>

•-—n    ,—\

cc    cc

dla 72 — 0 dla n = 1

Qn{l), qn{2), g¹⁽³⁾

qn{s)

dla n = n i t. d. ¹)

Każdemu z tych pierwiastków odpowiada oddzielne rozwiązanie, tak np. przyjmując q = qn⁽-s), otrzymamy:

wnM = rn [#„(•) cos (wtp) -j- Kn(s) sin (n cp) ] U»w sin (cqn(sH) .    (495),

gdzie Un{s) otrzymamy z równania (493), gdy w niem za q podstawimy qn{s).

Z tego ostatniego rozwiązania szczególnego można wyprowadzić wszystkie pozostałe, nadając liczbie n wszystkie wartości całkowite od 0 do co i liczbie s wszystkie wartości całkowite od 1 do oo.

Wyjaśnijmy teraz co nam daje rozwiązanie szczególne (495). Z rozwiązania tego dla czasu jednego drgnienia otrzymujemy: Gqn(s) v = 2 7c,

czyli t =

2 71

c qn(s)

a więc do oznaczenia liczby drgnień na sekundę, mamy:

Pierwiastki więc równania (494) wyznaczają wysokość tonu, który płyta wydaje, gdy drga ona tak, jak tego wymaga rozwiązanie rozważane.

Ton zasadniczy ma wysokość równą 27C?w(1)’ tony zaś harmoniczne — wysokość qn{2) ,

Z 7t

2 TC <ln(3>

2 71

qn

(»)

i t. d.

(496).

Linie węzłowe dla rozwiązania danego otrzymujemy z równań: rn — 0 , UJs) = 0 i Hn^ cos (n<f) -j- sin (n cp) = 0. . (497 ).

Pierwsze z tych równań daje r — 0, za wyłączeniem przypadku, gdy n = 0; środek więc płyty jest punktem węzłowym dla wszelkich rozwiązań za wyłączeniem rozwiązania, odpowiadającego n — 0.

-Z'

Z równania drugiego otrzymujemy:

a*)²

(ia)⁴

n-j-1    2 (n -|- 1) (n -j-2)

. . (498),

gdzie a = qn(s)r. Oznaczając więc pierwiastki tego równania przez a1? a₂, a₃ . . . . , otrzymamy:

r₂ =

a₂

r₃ =

Jednakże równanie (498) jest identyczne z równaniem (494), wskutek czego pierwiastki równania (498) przy temże n są takie same jak równania (494), a więc:

qn{8) ’

stąd:

«1 = qn(l)r₀ ,

__ ą*

«.<•> ⁰ ’

r₃ =

r, = r₀.

Otrzymujemy stąd s okręgów włącznie z okręgiem, będącym obwodem płytki.

Wreszcie z ostatniego z równań (497) wynika:

tg (n cp) =

= const.

_ BnM

Niech c|> będzie najmniejszym z łuków, czyniących zadość temu równaniu; wtedy pozostałe łuki, spełniające to równanie, będą oznaczone przez:

czyli cp = ^ + i Stąd otrzymujemy na cp wartości następujące:

<Po =

<Pi =

> ?2 =

3 i-e-

2tc

<P«-1 =

-e-

i    i    i n + ^

Jr% — ?o + ,c» ¥n+i — — H--—

Z wszystkich tych rozwiązań otrzymujemy n średnic, tworzących ze sobą kąty równe. Gdy zaś n — 0, średnice węzłowe nie istnieją i mamy tylko okręgi węzłowe.

Powinniśmy jeszcze wyjaśnić, w jaki sposób można wyznaczyć wszystkie stałe H i K.

-3- a

*€■

7c = cpi4-7c , .... cp2M_i = cpw_₁-f t:.

Niech q i q' będą 'dwoma różnymi pierwiastkami równania (494), odpowiadającymi tej samej wartości w; wtedy będziemy mieli dwa równania (p. równ. 492):

3 ²R 1 3R ' r 3 r 1 3 R r dr

dr'¹

32 R

dr²

~b

+ («² - £) *

+-(2

gdzie R i R' są wartościami funkcyi R, odpowiadającemi wartościom q i q'.

Mnożymy pierwsze z tych równań przez R', drugie zaś przez R i odejmujemy drugie od pierwszego; wtedy otrzymamy:

R'

32 R

dr²

3² R' 1 / dr² ‘ r \

R'

dR'

dr

— R~~

dr

Równanie ostatnie, po pomnożeniu go przez rdr i po zcałkowaniu w granicach od 0 do r₀, daje:

3 ²R    32 R

dr²' U dr²

n>

J\b

O

r₀

jrar+Hs

dR

dr

ą> w

j dr = {q

IJ

u

q²) ^RR’ rdr.

Jednakże:

r₀

R'

d²R

r₀

dr²

r dr —

R'r

d²R

(T

dr²

dr =

R'r

3 Ry» dr )o

dR '3 (R' r) dr ‘ dr

dr .

A ponieważ dla granicy górnej R i R' równe są zeru, dla granicy zaś dolnej r — 0, przeto wyraz, wolny od całki, równy jest zeru i

r„

f*

O

,d²R

dr²

r dr — —

r₀

dR d (R' r) dr dr

dr — — IR

ru

dR

dr

dr —

dR dR dr dr

rdr ,

o*

■o*

r₀

[R

d^R

dr²

ra

r dr = —

dR'

dr

dr —

r₀

'dR' dR dr dr

rdr ,

d²R dr²

R' —

o'

d²R

dr²

'O i?

r dr — —

, dR

dR'

dr

dr

dr ;

wskutek czego otrzymujemy:

r₀

(

RR' rdr = 0 , czyli

(f

r₀

Rn^Rn^rdr = 0.....(499).

Zapomocą równania ostatniego możemy oznaczyć wszystkie współczynniki H i K.

Całka ogólna wyraża się, oczywiście, zapomocą sumy podwójnej:

s= oo w=oo

W = 2 2 R"S)[HnS) C0S (ncf) H⁻ ^"(S) s'n (ncf)] S^n (C2*(,) 0-

$=1 n=0

Z warunku, że dla ć = 0 prędkość --- punktów płyty wyraża się zapo-

C i

mocą funkcyi F (r, cp), wynika:

s=oo n=oo

F (r, cp) = c ^ 2    cos ?) + -^«(s) sin (w <p)|] •

S=1    M=0

Mnożymy obie strony tego równania przez:

RJs) r cos (:n cp) Sr Sep

i całkujemy względem r w granicach 0 i r₀, względem zaś cp w granicach 0 i 2 % ; wówczas otrzymamy:

r₀ -k

| F (r, cp) Rn(*>r cos (n cp) 9rScp = zcgw⁽ó #„(*) ^ (Rn(s) )²

rdr . . (500).

ó'

W istocie wszystkie wyrazy ze współczynnikami Kn{s’], w których s' nie jest równe s , będą równe zeru, gdyż będą zawierały jako czynnik całkę (499). Z tego samego powodu wszystkie wyrazy ze współczynnikami Hn(s'] będą także równe zeru. Wyraz z KnW będzie zerem, z powodu,

2it

że zawiera czynnik j cos(wep) sin (n cp) Sep =0. Wyrazy z HJS'\ gdzie n' nie jest równe n, będą zerami, z powodu, że zawierają czynnik

2ic

I cos (n cp) cos (n' cp) Sep = 0. Wyrazy z KHW będą zerami, gdyż za-

2it

wierają czynnik j cos (nep) sin (w' cp) Sep = 0. Wreszcie, wyraz z )

jest równy:

r₀    2tz

qnW Hn^ I (Ą.O )²rSr | cos² (wep) Sep ;

a ponieważ:

2tt

| COS² (w cp) Sep

sin (2wep)

2it

= tc,

przeto do oznaczenia stałej Hn(*) otrzymujemy równanie (500).

W taki sam sposób, gdy obie strony równania na F (r, cp) pomnożymy przez .Bw(s) r sin (w<p) 3r3<p i następnie zcałkujemy względem r i względem <p w granicach powyżej wskazanych, otrzymamy równanie, służące do oznaczenia K£s):

r„ zw    r„

j"j' F (r, ęp) RJ-^r sin (wcp) 3r3cp = qn^ciiKn{S1 J (Rn(s>)²

r dr

■ (501).

oo

A zatem wszystkie współczynniki H i K można wyznaczyć z wzorów (500) i (501).

Uważamy za pożądane nadto zaznaczyć, że, ponieważ wszystkie elementy całki

r₀

J (i4(s))² r dr

• są dodatnie, a suma ilości dodatnich nie może być zerem, przeto żaden ze współczynników H i K, dla dowolnych n i s, nie może stać się ilością nieskończenie wielką.

101. Drganie ciężaru, zawieszonego na końcu pręta pionowego. Rozpoczynamy od przypadku, gdy masa pręta jest bardzo mała w stosunku do ciężaru zawieszonego.

Niech F będzie powierzchnią przekroju pręta graniastosłupowate-go, L—jego długością w stanie równowagi naturalnej, P— ciężarem zawieszonym, l — wydłużeniem całkowitem pręta w pewnej chwili t ruchu i X — wydłużeniem całkowitem pręta wywołanem przez ciężar P

PI

EF '

Ponieważ l wyraża drogę, przebytą przez ciężar P w przeciągu

P dH

czasu ł, przeto siła bezwładności ciężaru będzie — — ₂-.

winna pozostawać w równowadze z siłą P i naprężeniem całkowitem, wywołanem w jakimkolwiek z przekrojów pręta. Naprężenie to zaś, gdy

gdy pręt znajduje się w równowadze statycznej, czyli X =

Siła ta po-nie uwzględniamy ciężaru własnego pręta, będzie równe FE yr, gdzie

±J

jest wydłużeniem względnem, jednakowem dla wszystkich przekrojów. Równanie więc ruchu ciężaru jest:

P dH

czyli

d²l

FE

dl2 ~g g PL

Ponieważ X jest ilością niezależną od czasu, przeto możemy równanie ostatnie napisać w postaci:

l—l

f    • (502).

Całka ogólna tego równania różniczkowego, jak wiadomo, jest:

3t2 J

l — X == A cos

. . (502a).

Stąd prędkość ciężaru w chwili t możemy oznaczyć z równania:

— A sin

. (503).

W celu wyznaczenia stałych dowolnych przyjmujemy, że w chwili ć = 0 było l = l₀ i — = 7. Wobec tego będzie:

O t

a więc:

l — X = (£₀ — X) cos

+ y]f

cos

(f :)

. (504).

CD CD

Z tych równań widzimy, że zarówno l jak i

są funkcyami okresowe-

mi czasu t i że czas trwania jednego drgnienia z oznacza się z równania:

czyli z = 2 7c

V)

. (505).

az

Przyjmując pochodną ^ za równą zeru, otrzymamy do oznaczenia wartości największego i najmniejszego wydłużenia l:

sin

w ti

VV'\

COS f

Go >•' Vg '

czyli:

sin (e

__± vV X

cos

(7/ł)

stąd zaś otrzymamy na l:

^max - X —I⁻

to

to

to

^min - ^

23.

o.

tą

to

to

>-*

Gdyby dla ż = 0 było l = l₀ = 0 i F=0, to otrzymalibyśmy Zmax=2X. Ciężar więc P, zawieszony spokojnie na końcu pręta pionowego (o ciężarze własnym nieznacznym), wywoła w nim drgania, podczas których wydłużenie największe pręta będzie dwa razy większe od wydłużenia, jakie pojawiłoby się w tymże pręcie pod działaniem ciężaru P przy stanie równowagi naprężonej.

mrntm.

Gdyby pręt, rozciągnięty przez siłę P i znajdujący się w równowadze, był wprowadzony w ruch przez uderzenie o ciężar P (rys. 29) ciężaru Q, spadającego z wysokości h, to do oznaczenia wydłużenia największego powinni-byśmy we wzorze (506) przyjąć:

PL

(P Ą-Q)L

V__

l° ~ FE

prędkość zaś V uważać za równą tej prędkości, jaką osiągną obydwa ciężary po ukończeniu działania uderzenia; musielibyśmy więc oznaczyć V z równania:

Q.VZgh = (P+Q)V.

FE

Rys 29.

Otrzymalibyśmy więc:

^max

(P+<3)P , QL

FE

FE

FE

(P+ Q) L

2 h , czyli

PL

QL

FE FE

+ //' +

FE 2 h P+Q * L

. .    (507).

Z wzoru ostatniego widzimy, że nawet przy niewielkiej wysokości spadania, wydłużenie największe może osiągnąć wielkość niebezpieczną dla

wytrzymałości pręta. Tak np. gdyby h =

, to mielibyśmy:

4 (P + Q) L FE

PL

QL

FE

FE

(1 + V 1 +8) =

(P+4Q)L

FE

h = 40

(P + Q)L

₇    _(P+10Q)P

^max -

i t. d.

byłoby:

a przy

W pierwszym więc przypadku działanie dynamiczne ciężaru Q byłoby cztery razy, a w drugim przypadku dziesięć razy większe aniżeli jego działanie statyczne.

102. Teraz uwzględnimy także ciężar własny pręta, drgającego pod wpływem rozciągającego go ciężaru P.

Początek współrzędnych umieszczamy w podstawie górnej grania-stosłupa, osadzonej nieruchomo, oś zaś z umieszczamy w osi graniasto-słupa, w przypuszczeniu, że ta oś graniastosłupa jest pionową. Wreszcie, zachowując wszystkie poprzednie oznaczenia, oznaczamy przez o ciężar jednostki objętości graniastosłupa, przez Q zaś ciężar całego graniastosłupa, równy dFL.

Posunięcie przekroju, oddalonego o 0 od początku współrzędnych, oznaczamy przez w, wtedy jako naprężenie całkowite tego przekroju

FE

FE

(w chwili t) otrzymamy: FE

3 z

Gdyby dany graniastosłup znajdował się w stanie równowagi, to rzeczone naprężenie całkowite byłoby równe ciężarowi P, powiększonemu o ciężar części graniastosłupa, znajdującej się poniżej przekroju rozważanego. Mielibyśmy wtedy równania:

dw

czyli

FE^ = P+dF(L-z)

FEw = Pz-\rdF ILz — A = Pz -f (2Lz-z²) ,

W = PP+ ₂-fl^Ez — z²).........

(a).

Ale graniastosłup dany, zgodnie z założeniem, znajduje się w ruchu, posunięcie więc w jest funkcyą nietylko zmiennej 0, lecz i czasu t; równanie więc (a) nie istnieje. W celu wyznaczenia w należy wyprowadzić równanie ruchu cząstki graniastosłupa nieskończenie małej Pd z. Siła

dFdz d²W

W ■

bezwładności tej cząstki jest

Siła ta musi być równa cię-

żarowi cząstki dFdz, powiększonemu o różnicę naprężeń, działających na podstawę górną i dolną tej cząstki. A ponieważ ta różnica naprężeń

jest równa |PP ^

cząstki jest:

3 iv

3 ²w

3z²

— FE

dz ’

przeto równanie ruchu

d F dz d²w

dt²

d²W

dt²

= dFdz -f FE

Eg d²w d ' dz²

= 9-\~

d²W

dz²

dz , czyli

(508).

Łatwo możemy przekonać się, że wzór (a) na posunięcia w czyni zadość temu równaniu różniczkowemu, możemy przeto uważać go za jedną z całek cząstkowych tego równania. W celu otrzymania więc całki ogólnej

g

— (2L z — z²) -|- cp (z, t) Wprowadzając

możemy przyjąć w —

Pz

FE

to w równanie (508), otrzymamy:

3²cp

3²<p

Eg

= a²

. . (509).

gdzie a² = -5 o

Ponieważ przy ^ = 0 posunięcie w musi być równe zeru dla dowolnego t, przeto i funkcya <p musi spełnić tenże warunek, wskutek czego całka ogólna równania (509 ), jak to nam wiadomo z zadania dotyczącego drgania strun, będzie miała postać:

cp (z, t) = £ sin (mz) [A cos (mat) -j- B sin (mat)] ,

gdzie m, A i B są to ilości stałe, niezależne od z i t, lecz mogące mieć w każdym wyrazie sumy nieskończonej wartości rozmaite. Mamy więc:

dt²

fz² ’

Pz

W ~ FE

dlV

Sz

FE

-f- ^(2 Lz—z²) + £ sin (mz) [A cos (mat) -\-B sin (mat)] (510)

Irj

g

-j- r=- (L—z) + £ m cos (mz) [ A cos (mat) + B sin (mat) J (511)

. . (512).

clV0

—- = a S m sin (mz) [B cos (mat) — A sin (mat)] .    .

W celu oznaczenia stałych, wchodzących w te równania, przypuśćmy, że w początku ruchu, t. j. gdy t — 0, posunięcia przekrojów i ich prędkość czynią zadość równaniom:

w = f (z)

. . (513).

Tt=F(-z) ■ ■

Przyjmując więc w równaniach (510) i (512) t = 0 , otrzymamy:

Pz 8

= S A sin (m F(z) = ah B m sin (mz)

Do tych równań musimy dołączyć jeszcze jedno, wynikające z warunku, że na koniec nieumocowany graniastosłupa działa ciężar P.

Z równania (511), gdy przyjmiemy w niem z — L, otrzymamy do oznaczenia naprężenia tego końca:

. .    (514).

FE

tdw\

|—| = FE £ m cos (mL) [ A cos (mat) B sin (mat)] -j- P .

Naprężenie to, gdyby graniastosłup był w stanie spoczynku, równałoby

się P, lecz w stanie ruchu równa się P —

I3²w\

wl

z=L

; a ponieważ

3 ²w

dp

= — a² hm² sin (mz) [A cos (mat) -j- B sin (mat)] ,

przeto mamy równanie:

FE E m cos (mL) [A cos (mat) -j- B sin (mat) ] =

— a² E m² sin (mL) [A cos (mat) -f- B sin (mat) ] .

Równaniu temu uczynimy zadość, przy dowolnem t, przyjmując:

P

FE m cos (mL) — — a² m² sin (mL) ,

= b² . .

albo mL . tg (mL) --=

FLEg _ dFL

Pa²

. . (515).

Z równania tego otrzymamy nieskończenie wielką liczbę wartości stałej m. W istocie, jeżeli zmieniać będziemy łuk mL w granicach od 0

TC

do , to strona pierwsza równania (515) przejdzie przez wszystkie wartości dodatnie od 0 do oo, z których jedna musi być równa b². Rów-

TC

nanie więc to ma pierwiastek, leżący w granicach między 0 a y ;

w granicach od

czego w tych granicach równanie nie ma pierwiastków; w granicach od % do

do tangens jest stale ilością ujemną, wskutek

7u będzie znowu jeden pierwiastek i t. d. Wogóle, równa

nie (515) ma pierwiastek, leżący w granicach między iiz a i%-\---,

gdzie i jest liczbą dowolną całkowitą, nie wyłączając zera. Należy jednocześnie zauważyć, że funkcya x tg x jest funkcyą parzystą, dodatnie więc pierwiastki równania (515) czynią mu zadość także i wtedy, gdy są brane ze znakiem minus.

Przypuśćmy, że pierwiastki tego równania są: /

± m,, ±mi+i,;

w takim razie w sumie nieskończonej wyrażenia (510) na w, wyrazy, odpowiadające parze pierwiastków, równych pod względem wielkości, lecz różniących się znakiem, będą:

sin (mz) [(A — A') cos (mat) -f- (B+B’) sin (mat)], sin (mz) [C cos (mat) -(- D sin (mat) ] .

sin (mz) [A cos (mat) + B sin (mat)] — sin (mz) [A' cos (mat)—B' sin (mat)], albo albo

Ponieważ zbiór wyrazów, odpowiadających parze powyżej wymienionych pierwiastków, jest zupełnie tej samej postaci, jak i wyrazy, odpowiadające samemu tylko pierwiastkowi dodatniemu, przeto mamy prawo, bez uszczerbku dla ogólności wzoru (510), uwzględniać tylko pierwiastki dodatnie równania (515).

W celu oznaczenia stałych A i B posiłkujemy się całką ij cos (mx) cos (m¹ x) dx

dla której oznaczenia przyjmujemy:

j' cos (mx) cos (m' x) dx ij sin (mx) sin (w' x)

Dodając do siebie i odejmując od siebie te dwa równania, otrzymamy:

a więc: C =

C -j- D = J cos (mx — m'x) dx j" cos (mx -)- m’x) dx

f cos (mx) cos (m'x) 9x=±    , sin (mx+m’x)

J    2 L m-m' ^ m+m'

_ sin (mx—m'x)

m—m'

__ sin (mx + m'x)

¹

Bourget wskazał sposoby obliczania tych pierwiastków. Por. Annales de l’Ecole Normale. T. III.

__ J_ (m -f m’) j sin (mx) cos (m' x) — cos (mx) sin (m' x) j -f

— m'²

~ł~ (m — m') J sin (mx) cos (m' x) -[- cos (mx) sin (m' x)

m²—m'²

m sin (mx) cos (m'x) — m' cos (mx) sin (m'x)

m² — m'²

_ cos (mx) cos (m' x)

(m tg mx — m' tg m'x) . Biorąc tę całkę w granicach od 0 do L, otrzymamy:

m²— m'²

j' cos (mx) cos (m¹ x) dx

_ cos (mL) cos (m¹ L) (m²— m’²) L

[ mL tg {mL) — m’L tg (m’L) ],

wskutek czego, gdy mim' są dwoma pierwiastkami różnymi równania (515), będzie:

(A).

cos (mx) cos {m' x) dx — 0

Gdy zaś m' jest równe m, wtedy:

cos² mx . dx —

[ 2 mL -j- sin (2 mL)\.....(B).

Ażeby z tych wzorów ostatnich oznaczyć współczynniki A i B, różniczkujemy równania warunkowe (514) względem z i otrzymujemy:

E Am cos (mz) — f' (z) —

FE

(L — z)

E Bm² cos (mz) =

F'(z) .

Te ostatnie równania mnożymy przez cos (mz) 3z i całkujemy w granicach od 0 do L; otrzymujemy wówczas wzory:

Am 4 m

\2mL-\- sin (2mL) \ =

r (*)

O?

FE

bl

(NJ

oj

. . (C).

Bm²

— ( F' (z) COS (wi£) dz CL ) o

Wzory te wyznaczają wszystkie stałe 1 i wszystkie stałe B dla wszystkich pierwiastków równania (515).

103. Drgania pręta graniastosłupowatego pod wpływem sił, wywołujących wygięcie płaskie. Zbadamy drgania pręta poziomego pod wpływem ciężaru własnego P i obciążenia Q, rozłożonego równomiernie na całej długości pręta L, przyczem przyjmujemy, że końce pręta są tak podparte, iż nie mogą wykonywać ruchów postępowych, lecz mogą obracać się swobodnie.

Początek współrzędnych umieszczamy w końcu podpartym A, a oś z przeprowadzamy przez drugi koniec B (rys. 30), oś zaś x przyjmujemy w płaszczyźnie włókna środkowego.

Gdyby pręt znajdował się w stanie równowagi naprężonej, to mielibyśmy:

P+Q

EIdi2 = ~2L~

(L—z)² —

-i- i* ii*,

rn

JC

Rys. 30.

^(L-z) =

P+Q

{z²— Lz).

Całkując to równanie dwa razy i uwzględniając, że przy z — L po-dx

chodna— = 0, a przy z = 0 rzędna x = 0, otrzymamy:

El — =    ®

El x

P+ Q

24 L

L** + §

(0⁴-2L^ + I³2). . . . (516).

% IcO

Gdy pręt jest w ruchu, równania te nie mogą istnieć, gdyż oprócz sił P i Q będą działały siły bezwładności.

W celu otrzymania równania ruchu pręta należy oznaczyć moment wszystkich sił, działających na część mB, względem pewnego przekroju m pręta. W tym celu bierzemy część nieskończenie małą pręta, o długości 3zt, w odległości zx od początku współrzędnych i w odległości zx—z od przekroju m i rozważamy siły, działające na tę część.

Siły te są: ciężar własny tej części 3zx i obciążenie na niej spoczywające. Moment tych dwóch sił względem przekroju m jest równy:

(*i — z) dz

3²2U₁

• ~w

(*i~ z) dzx .

p+q„ /

L d*l {?—z)

jest równa: —

P+Q

gp

dzx

Bezwładność ciężaru

, a moment tej siły względem przekroju m

P+Q

g L ' 3t²

Ponieważ dana część 3zx pręta, wychodząc ze stanu równowagi, miała oprócz ruchu postępowego w dół także ruch obrotowy, przeto wskutek tego ostatniego ruchu powstały w niej siły bezwładności, sprowadzające się do pary sił, której moment musi być równy pierwszej pochodnej prędkości kątowej ruchu obrotowego względem czasu t, pomnożonej przez moment bezwładności części 3zx pręta względem jego osi obrotu. Przyjmując, że drgania są bardzo małe, możemy uważać

3²aą 3Zx dt

tu. Pochodna tej prędkości kątowej względem czasu t będzie —

jest równy: —

pochodną

dxx

zaś za prędkość kątową obro-dzxdt² '

Moment zaś bezwładności pręta względem osi obrotu, gdy ramię bezwładności względem tej osi oznaczymy na razie przez &, będzie równy P 3^

—~~ Jc². Jednakże część rozważana pręta przedstawia płytkę nieskoń-

gp

czenie cienką, której powierzchnia równa jest powierzchni F przekroju

pręta. Możemy więc przyjąć: FJc² — I, czyli Jc²=^r. Moment więc

PI 3³rr₁

g FL dzt dt²

3 Zx

za miarę kąta obrotu,

pary wspomnianej jest:

. dzv

Suma algebraiczna momentów otrzymanych jest:

1 d²xx'

9 dt'z .

Należy sumę tę zcałkować względem zx w granicach od zx — z do zx =L i dodać do tego moment oddziaływania R końca B, t. j. wyraz — R (L—z), poczem otrzymamy następujące równanie ruchu:

1 d²xx 9 W

P+Q

(zx — z) dzx —

PI d²xx g FL dzx dt²

) (zt — z) 90

dzx .

PI

g FL f dzx dt²

d%X

dzx — R (L — z) . .

• • (a).

Ażeby módz całkować to równanie, należy poprzednio oswobodzić stronę jego drugą od znaków całki. Można to osiągnąć, różniczkując to równanie dwukrotnie względem z.

W tym celu przypomnimy następujący wzór na różniczkowanie pod znakiem całki:

Jeżeli

to

U = ^ cp (X,

9cp (x, a)

a) dx ,

du

db

9a

3X + ,f (/>, a) - - <f (a, a)

da

da

Posiłkując się tym wzorem, otrzymamy po pierwszem różniczkowaniu:

dsx

P+Q C

1 d²xx 9 d*²

PI dzx JFL dzdł²

+ R . (517).

Różniczkowanie zaś powtórne da nam: d*x _ P-\-Q

d²X\ PI d⁴X dt²) ' g FL dz²dt²

Ponieważ równanie (516) jest jedną z całek szczególnych równania (518), przeto całka ogólna równania ostatniego będzie:

El

dz⁴

. . (518).

El x —

P+Q

24 L

(z⁴ - 2 L z³ -f L³ z) -f El y(e,t).....(519).

Stąd wynika, że:

ei*x = p+q

dz⁴ L

3⁴ęp

dz⁴

d²X

d (p-

dt-    dt²

d⁴X    d⁴ cp

dz² dt² ~ dz² dt² ‘

Równanie więc (518) przybiera postać:

a⁴

32² dt²

a⁴<p dhf _ a⁴j

32⁴ ' dt²

P 1 P+Q ’ F

LEI

g P+Q

Jedno z rozwiązań szczególnych tego równania, które daje cp = 0 przy 2 = 0, jak wymaga tego warunek, że koniec A pręta jest podparty, jest następujące:

gdzie

a⁴ —

= sin (nz) [A cos (ht) -f- B sin (ht)] , gdzie n, A, B i h są ilościami stałemi. Wprowadzając to rozwiązanie w równanie (520), otrzymamy:

a⁴ w⁴ — h² — b² n²h² — 0 ,

a więc

(521).

^_ a²n²

¹ ~ V 1 + b² v²

Całka ogólna równania (518) jest więc następująca:

(2⁴— 2 Lz%-\-L%z) -j- S sin (nz) [A cos (ht) -f- B sin (ht) ] .

El x ==

-P+Q

24 L

Warunek, że końce pręta są podparte, wymaga, ażeby x i

d²X

32²

sta-

wały się zerami zarówno przy 2 = 0, jak i przy z — L, a do tego potrzeba, ażeby sin (nL) było równe zeru.

A więc nL — i%, gdzie i jest liczbą całkowitą dowolną; całka więc ogólna przybiera ostatecznie postać:

EIx =

F+Q

24 L

(z⁴— 2 Lz²-\-Lzz)~(-S sin + Bi sin /

i² %² a²1

LV L²+(inb)

i)

Ai cos

i² iz² a²1

LV L² + (i %b)²

(522).

3.x

Jeżeli w chwili t = 0 będą dane równania x-=f(z) i —■ = F (2), wy-

znaczające kształt krzywej, którą tworzy włókno środkowe i prędkość początkową każdego punktu tego włókna, to wszystkie współczynniki Ai i Bi można wyznaczyć zapomocą sposobu Lagrange’a, jak to wskazaliśmy w ustępie 96, przy rozważaniu drgań struny.

Zauważymy, że czas trwania jednego drgnienia t* pręta, odpowiadający rozwiązaniu szczególnemu i, jest:

2 tu L V L² —|— (i it b)²

i² t:² a²

.    .    (523).

Najdłuższy czas trwania jednego drgnienia odpowiada pierwszemu rozwiązaniu, dla którego i — 1 , a mianowicie:

Tl =

2 L VL² -f- (tu b)²

tu a²

Stosunek czasów do t₄- jest:

L² —j— (tu6)2 L²Ą-(i tz b)²

Ti

Z wzoru tego wynika, że jakkolwiek ruch pręta, odpowiadający każdemu rozwiązaniu szczególnemu i, wziętemu oddzielnie, jest ruchem okresowym, to jednak ruch ogólny nie jest okresowym. Istotnie, ten ruch ogólny, jako wypadkowy nieskończenie wielkiej liczby ruchów okresowych, byłby okresowym, gdyby iloraz — był liczbą wymierną dla do-wolnej liczby całkowitej i. Wzór jednak ostatni wskazuje, że iloraz jest liczbą niewymierną. Iloraz ten mógłby być liczbą wymierną dla

dowolnego i tylko w tym przypadku, gdyby ilość b była zerem, t. j. gdybyśmy nie uwzględniali ciężaru własnego P pręta.

104. Drgania pręta sprężystego prostego podczas skręcania. Dany jest pręt, którego jeden koniec jest osadzony nieruchomo, na drugi zaś działa para sił, o momencie M, wywołująca skręcanie. Para ta, utrzymując pręt w stanie równowagi naprężonej, przestała nagle nań działać, wskutek czego pręt, pozostawiony sam sobie, wykonywa szereg drgań obrotowych.

W chwili t, naprężenia w przekroju, oddalonym o z od końca osadzonego, sprowadzają się do pary sił o momencie GI{

CU

, gdzie G jest

współczynnikiem sprężystości poprzecznej rnateryału, l₀ momentem biegunowym bezwładności przekroju, a cp — kątem obrotu przekroju danego, względem końca osadzonego.

a<p

Moment GI₀ T powinien być równy sumie momentów, względem

OZ

osi skręcania, wszystkich sił bezwładności, powstałych w części pręta, leżącej pomiędzy przekrojem o współrzędnej 5 a końcem swobodnym pręta. Ponieważ dla części pręta o długości nieskończenie małej dzl siły bezwładności tworzą parę o momencie:

dFdzx l₀ a²?p₁

T W’

przeto równanie ruchu pręta jest:

<«.?? =

dz

a²cpi

dz! >

z którego otrzymujemy:

'3<p’

Uwalniając to równanie od znaku całki przez zróżniczkowanie go względem z, otrzymamy równanie:

CŁ) | CU CD) CD "1-6

_SJ₀

9 W » = a²

czyli

3 ²cp

(524),

gdzie a² =

Całka ogólna tego równania jest:

cp = 2 sin (m£) [J. cos (maż) -{- B sin (mat)] .

3cc

Wprowadzając warunek, że = 0 przy z = L, dla dowolnego t,

otrzymujemy:    cos^raZ/) = 0 ,

TC

m = (2 i -f- 1) =-=-, gdzie i jest liczbą dowolną całkowitą. Z ±j

Tl

a więc mL — (2 i -f- 1) ^ , czyli

Wobec tego całka ogólna przyjmuje postać:

(525).

? = Ssin J(2i+l)^j [Acos|(2i+l)|^-J + + B,sin l(2*+l)~J]......

W początku ruchu, t. j. gdy ż — 0, kąt skręcania cp czyni zadość równaniu:

Me

GI₀ •

Mamy więc:

Mz

2 4-sin i (2t4-l)£ ! . .

. . (526).

GI₀

Stąd znajdziemy wszystkie At, sposobem Lagrange’a. Stałe J3t będą wszystkie równe zeru, o ile przekrojom pręta nie nadano w początku ru-

3cp

chu prędkości kątowych, t. j. o ile przy t = 0 pochodna J była rów-

ot

na zeru.

105. Rozchodzenie się drgań w ośrodku równozwrotnym, o sprężystości stałej. Wyobraźmy sobie, że w ośrodku jednorodnym i równozwrotnym o sprężystości stałej, rozprzestrzeniającym się bezgranicznie we wszelkich kierunkach, pewna cząstka C wykonywa szereg drgań izochronicz-nych. Cząstkę tę będziemy nazywali środkiem drgań.

Drgania cząstki C, udzielając się cząstkom otaczającym ją, będą się rozchodziły we wszelkich kierunkach. Wskutek jednorodności i rów-nozwrotności sprężystej ośrodka możemy przyjąć, że prędkość V rozchodzenia się tych drgań jest ilością stałą i jednakową dla wszelkich kierunków. Wszystkie więc cząstki pewnej kuli o promieniu P, której środek jest w punkcie C, zaczną drgać jednocześnie, następnie wszystkie cząstki innej kuli o promieniu R', większym aniżeli R, będą również jednocześnie wyprowadzone ze stanu spoczynku i t. d. Możemy więc twierdzić, że w ośrodku jednorodnym i równozwrotnym o sprężystości stałej, drgania rozchodzą się jako fale kuliste.

Nazwą fali oznaczamy tu oczywiście powierzchnię, na której znajdujące się cząstki ośrodka wychodzą jednocześnie ze stanu spoczynku.

Gdy środek drgań znajduje się w odległości od nas nieskończenie wielkiej, fale nas dochodzące należy uważać za płaskie.

Zaczynamy od zbadania rozchodzenia się fal płaskich.

Przypuśćmy, że w chwili t przez początek O prostopadłych do siebie osi współrzędnych x, y i z przechodzi fala płaska P₀. Prowadzimy płaszczyznę P, równoległą do płaszczyzny P₀, w odległości r od tejże. Ażeby wstrząśnienia punktów płaszczyzny P₀ mogły udzielić się punk-

sekund, gdzie V jest prędkością ru-

tom płaszczyzny P, potrzeba chu fali płaskiej.

Równanie płaszczyzny P, jako oddalonej o r od początku współrzędnych, jest:

(a),

dr

mx ny -j- pz = r

gdzie, jak wiadomo:

3r

— = m = cos (r, x) dx '

dz=P = cos(r,z) .    .    (b).

= cos (r, y) ,

dr

dy

Wszystkie cząstki płaszczyzny PQ, wychodząc jednocześnie z położeń, które zajmują w stanie równowagi, znajdą się jednocześnie w odległościach największych od tych położeń, i wogóle, będą miały w każdej danej chwili jednakowe fazy ruchu i jednakowe kierunki ruchu. To samo można powiedzieć i o cząstkach płaszczyzny P, ale fazy cząstek tej płaszczyzny P, mogą w danej chwili różnić się od faz cząstek fali P

V

gdyż cząstki fali P pozostają w tyle w stosunku do cząstek fali P₀ o -y

sekund. Jeżeli więc posunięcia cząstek płaszczyzny P₀ wyrazimy za-pomocą następującej funkcyi okresowej czasu t:

C7₀ = C₀ COS ^2% —J ,

to posunięcia cząstek płaszczyzny P należy wyrazić zapomocą wzoru:

t — Z

U — c cos

(527).

W tych wzorach U₀ i U, jak to objaśniliśmy, są posunięciami cząstek płaszczyzn P₀ i P, t jest czasem trwania jednego drgnienia, c₀ i c są amplitudami drgań cząstek płaszczyzn P₀ i P.

Amplitudy c₀ic oznaczają siłę dźwięku albo światła, wydzielanego przez środek drgań, gdy dźwięk lub światło dojdą do miejsca, zajmowanego przez płaszczyzny P₀ i P. Siła jednak dźwięku albo światła jest odwrotnie proporcyonalna do kwadratu odległości od ciała, wydającego dźwięk lub światło; to też oznaczając przez L odległość środka drgań od płaszczyzny P₀, otrzymamy:

c : c₀ = L² : (L r)² .

A ponieważ L = oo, przeto mamy c = c₀, t. j., że przy przenoszeniu wstrząśnień przez fale płaskie, mamy prawo amplitudę c uważać za ilość stałą.

Oznaczmy teraz przez u, v i w rzuty na osie współrzędnych posunięcia U i przyjmijmy:

V — 7] U ,

y] == cos (U, y) ,

Posunięcia u,v\w powinny czynić zadość równaniom ruchu ciała równozwrotnego o sprężystości stałej. Równania te zaś, gdy w nich nie uwzględnimy ciężaru ośrodka sprężystego, mogą być wyrażone w postaci następującej (p. równ. 441):

gdzie

u = iU , I = cos (U, x) ,

w = c £7 . .

• • (c),

C = cos (U, z) . (d).

3 ²u

3²u . 3²u

2 (1 LI —2 [i. 3z

3²iv

3x²

d²u

+w = !iw

3²w . 3²w

3y

r-j

d²v

d²w = P 3t²

.    .    (e)

gdzie :

3 u , 3v

3x~^ 3 y ¹

W celu sprawdzenia tych równań zapomocą wzorów (c), należy poprzednio oznaczyć pochodne posunięć u, v i w względem czasu t

i względem współrzędnych, pamiętając, że U jest funkcyą tylko zmiennych t i r i że kierunek tego posunięcia nie jest zależny ani od czasu t, ani od współrzędnych, czyli, że i, yj i C są ilościami stałemi.

Dla pochodnych mamy więc:

3 U dr

dx

dr dx

du

dz

d²u

dx²

d² U dr dr² dx

— i m²

dJJ dr dr dy dU dr dr dz

d² u d²u

dr² ’ dy²

co

= ip 3r

= i n²

d²U d²u

oj

dz²

= hv

₂ #U

dr² ’

a więc:

d²u d²u d²u    ₂, - -

'    ** dz²

d²u

d²U dr²

dx²

d²U dr²

Dalej otrzymamy:

du dv dw dx dy ' dz

, dU dU — (im 4- yj w + C p) ~=q —

gdzie: q = im-\--(\n— cos {U, r).......

30    3² U dr

dx ~ q dr² dx=qm dr²

. . (f),

(g)

d²U

30

dy

— qn

d²U

dr²

30

32 u

dr²

Wreszcie:

d²u

3Ż²

3² U d²V W ’ dt2 = T| dt²

d²u

d²W

d²U

3i²

3ć² *

Z równania zaś (527) wynika, że: d²U

'2 \²

d²U

2 7C\²

dr²

a więc:

d²U d²JJ

dt² ' dr²

Wobec tego z równań ruchu (e) wynika:

2(l+p.)(l-2p.)

2(l+li)(l-2li)

q n + (2U+PO

Q V + ( E

2(1+1*-)

p V²U = 0 p 7²J Y) = 0    ■.

p7’)E = 0

2(1 +1*0(1 — 21*)

Mnożąc te równania kolejno przez m, n i p i dodając je, otrzymamy:

P+₂ = 0 ,

p7²1 =0.

Równaniu temu uczynimy zadość, przyjmując albo q = 0, albo przy-równywając do zera drugi czynnik.

Przyjmując q = cos (U, r) = 0, otrzymujemy rozwiązanie dla drgań prostopadłych do kierunku r ich rozchodzenia się, czyli dla tak zwanych drgań poprzecznych. Prędkość rozchodzenia się tych drgań oznaczamy z równania (528), przy q = 0:

2(l+₍,)(l-2Sx)

"+(201+)

_1 — [*-

^ -(l+t**)(l—2p.)

czyli

. . (529).

czyli Y^J/

— PVX² = 0

.    . (530).

2 (1 + [*-) p

Ponieważ z równania (f) przy q — 0 otrzymujemy 0 = 0, przeto dochodzimy do wniosku, że drgania poprzeczne odbywają się bez zmiany gęstości ośrodka.

Przyjmując drugi czynnik równym zeru, otrzymamy:

2(1 + 1*-)

(1+|X) (1 — 2p.) ' P

. . (531).

Przy tej wartości prędkości V, równania (528) przyjmują postać:

qn = Y] , qp = C i dają:

qm — i

q* (m² + w² + +) = £² + t]² + C² , czyli q² = cos² (U, r) = 1. Wzór więc (531) daje możność oznaczenia prędkości rozchodzenia się drgań podłużnych, t. j. takich, w których kierunek posunięcia U zlewa się z kierunkiem r rozchodzenia się tych drgań. Drgania te odbywają się przy powtarzającem się okresowo rozszerzaniu i zwężaniu ośrodka.

Obie prędkości rozchodzenia się drgań, zarówno poprzecznych T+ jak i podłużnych V₂, są tern większe, im większy jest współczynnik E sprężystości ośrodka i im mniejsza jest gęstość p ośrodka. Stosunek tych prędkości jest:

yt-V

1 — 2(1

2(l-|i)

(532).

Ponieważ dla ciał równozwrotnie sprężystych p, < £, przeto dla takich ciał Vx < V₂, czyli prędkość rozchodzenia się drgań poprzecznych jest mniejsza od prędkości rozchodzenia się drgań podłużnych.

Zapomocą wzorów (530) i (531) na prędkości Vx i V₂ można wszystkie wzory, stosujące się do ciał równozwrotnych o sprężystości stałej, tak przekształcić, ażeby one zamiast ilości E i p, zawierały Vx i V₂.

rów-

2(l+{i)(l-2lt) równy p Vx²; równania więc

Tak np. równania ogólne ruchu ciała równozwrotnie sprężystego zawierają właściwie dwa współczynniki: jeden

2(1 -|-p-)

ny różnicy p V₂² — p V₁² i drugi te mogą być wyrażone w postaci:

V² -² dx

^

dy

Sd²U d²u

[dx² ' 9y²

d²u a 6i

d²u

dx

dt²

d²V

ra%

\dx² dy

a 9i

d²v

To²

90

“ dz

dz² dy ~d²W    d²W    d²W 361

dx²    dy²    dz² ~ 9zJ ' Z =

72

dt²

d²w

dt²

. . (533).

Nie od rzeczy będzie zauważyć, że skoro rzuty na osie współrzędnych prędkości kątowej względnej obrotu cząstek ciała oznaczymy przez to*, i&y i aę, t. j. przyjmiemy podług wzorów (16): dw dv dz ’

2a>* =

dy

du dw = ’

dv du dx dy

• (h),

to równania (533) mogą być wyrażone także w postaci:

^S + ²vg

+ 2F‘‘U ^+2V'L

90

9w₂

<U    i CU

s    ■ e

d²u

9(o*

9#

)+r

9co^

dx

d²v

dt²

d²tt>

dt²

. . (534).

Istotnie, mamy:

9²m d²U d²U 90 dx² ' 9p ' 90 ² ~ 3^

9²w dxdz

d²U d²u    . 9²w    9    Idu    dv

dx²    ' 9//²    9^²    9.-3?    \9n?    dy

dw'

dz

d²U

d²V

dZ ²

dxdy

d²U\ dy²) —

cu

Idu dw' \dz dx,

cu

du

CU

QJ

dy

i t. d.

Równania (533) są bardzo dogodne do badania ruchów wahadłowych. Tak np. gdy mamy badać drgania poprzeczne, odbywające się bez zmiany gęstości, należy w tych równaniach przyjąć 6 = 0, a wtedy równania te, gdy nadto przyjmiemy w nich X— Y—Z=Q, przekształcą się na następujące:

ld²u d²u d²u\ \dx² ' dy²' dz²)

_ d²u ⁼ dt²

V²

ld²V \dx² "*

d²V , d²V

d²v

3,2² f    dt²

3 ²w 3 ²w 3 ²w\ d²w

*⁺3?)

. . (535).

dt²

dx² dy

Całkując te równania, otrzymamy rozwiązanie najogólniejsze dla posunięć 21, v i w.

Gdy mamy badać drgania podłużne, powinniśmy przyjąć:

3² w    3²u , 3²u

dx²

36    da

W⁼9x ’ CZyh ~sł~ Sy ■ 3²y d²v _36

3^2 + dy2 +    ^ > czyh dx — dz

36

dz ’ CZy 1 3y ~~ dx

d²V

3² w

dx²

dy

3(oe

oj

. . (536)

d²W d²W dy²'" dz2 =

d(Oy

i wtedy równania te przyjmą postać:

v 2 36 _ d²u

¹ dx

36 d²w

dz    dt²

₂ 36 _d²v

dy dt² ’

t. j mieć będą postać taką samą, jak równania (535), z tą tylko różnicą, że 6 dla drgań podłużnych nie jest równe zeru.

Równania (536) wskazują, że wyrażenie:

w* -f- My dy (0₃ dz

dt2 1

V²

■ . (537),

jest różniczką zupełną pewnej funkcyi <p, t. j. że istnieje funkcya dla której:

dm

ZZ =    ,

OJ OJ

O) OJ

. . (538).

= (Oy

Możemy więc powiedzieć, że przy rozchodzeniu się w ośrodku równo-zwrotnem drgań podłużnych, istnieje potencyał prędkości kątowych obrotu cząstek ośrodka. Potencyał ten, jak widzimy z wyrażeń (h) i z równań (538), czyni zadość równaniu:

dx

= co₃ .

?!? _i_ dh . ?!? _ o

dx² ' dy² ^ dz²

(539).

106. Rozchodzenie się drgań poprzecznych w ośrodku krystalicznym.

Ośrodek krystaliczny uważamy za ciało jednorodne, posiadające we wszystkich punktach budowę jednakową, lecz różne w różnych kierunkach; prędkość więc rozchodzenia się drgań w takiem ośrodku należy uważać za wielkość stałą dla danego kierunku, lecz różną dla kierunków rozmaitych. Fale, otaczające środek wstrząśnień, tworzą, oczywiście, w takim ośrodku, pewne powierzchnie zamknięte, różniące się kształtem od powierzchni kuli. Gdy jednak środek wstrząśnień znajduje się w odległości od nas nieskończenie wielkiej, fale dochodzące do nas uważać należy i w tym przypadku za płaskie.

Oznaczymy prędkość rozchodzenia się drgań tylko poprzecznych w ośrodku krystalicznym załamującym światło podwójnie.

Oznaczmy przez V prędkość szukaną, z— czas trwania jednego drgnienia, u, v i w — rzuty na osie współrzędnych posunięcia U cząstki ośrodka, m, n i p — dostawy kątów normalnej do fali płaskiej z osiami współrzędnych, £, yj i C — dostawy kątów z temi osiami posunięcia U i 6 — rozprzestrzenialność (rozszerzalność objętościowa) środowiska.

Przy tych oznaczeniach będzie:

r = mx -f- ny -f- pz , u — iU

gdzie m² -[- n² -j- p² = 1, v = t]U, w =CU , gdzie    —j— v^² —j— C² = 1,

Vz,

U = C COS 2 TC

mi + n7] -J- p C = cos (U, r) = 0 0=—4-—4-— =0

dx 3 y    3 z

Dwa równania ostatnie wynikają z warunku, że rozważać mamy tylko drgania poprzeczne, odbywające się bez zmiany gęstości ośrodka.

Ponieważ doświadczenia wykazały, że kryształy załamujące światło podwójnie, ze względu na budowę swą wewnętrzną należą do ciał posiadających trzy wzajemnie do siebie prostopadłe płaszczyzny symetryi, przeto przyjmując osie współrzędnych równolegle do normalnych do tych płaszczyzn, otrzymamy wzory następujące, wyrażające zależność sił sprężystości od odkształceń składowych (p. wzory 128 w ustępie 30):

Pxx - #11 AX    |    #12 Ay    -j—    a^3    Aj

Pyy =    #₂i AX    “l⁻    #22    “1“    #'23    ^3

Pzz ⁼    #31 Aa;    -|-    #32 Ay    -j-    #33    A₂

Pyz ⁼⁼ #44 9yz    1 Pzx    ⁼⁼    #55 9zx

• • (b)

Pxy - #66 9xy •

• • (c).

d²U

Z uwagi zaś, że —j-: £7" = 7², trzy równania ostatnie ruchu, przy uwzględnieniu równań (d) i (e), przyjmą postać:

(«n    + «6e ™² + attP²) t + («i2 + «₆₆) »m y) -j- (a, ₃ + a₅₅) rop C=p 7² 6

• (O-

Ki+^ee)^™ 6 + (a₆₆m² + ft₂₂ rc² + a₄₄ p²) Y] + (ft₂₃ + «₄₄) rcpC=p7²Y]

(atx + aih)pm i + {a^-\-au)pn Yj+(a₅₅ m²+a₄₄w² + a₃₃ p²) i=pV² C Mnożąc te równania kolejno przez m, n i p i dodając je, otrzymamy:

A mi + Bn yj + Cpi = 0 ,

gdzie:

A = an m²    («2i    ~b ² a₆₆) ?2² -j- (a₃₁ -f- 2 a₅₅) £>²

• • (g).

dU

Oznaczając pochodną ~ przez U', otrzymamy:

du

dv

— (riP + Cn) TJ'

!h'~-3z    ' Sy

9zx = (Cm + ip) U’ 9xy= (i n + i\m) U' .

Mamy więc:

I>« = a₅5 (C»» + Sjp) ŁT'

«₆₆ (In + w) u>

. . (d)

• • (e)

Siły te powinny czynić zadość następującym równaniom ruchu:

^Pxx i ^Pyx i d pBX

dx    ty

^ Pxy i ^ Pyy i ^ P dx    3 y '

dPxz , 2p

d²u

zy

d²v

ys

dx

⁹ dt2 d²w

3z    ⁹ dt²

S 1X1

5 = (o₁₂ -(- 2 <t₆₆) m² -{- «₂₂ n² -j- (a₃₂ -[- 2 «₄₄) p²

G = («13 + ² «5s)    +    (a23 + ² «4*)    +    «33    ^

Do oznaczenia więc kierunku posunięcia U, czyli dostaw i, y] i C, mamy trzy równania:

Am£ -{- Bnr\ -\- Cpt, = 0 mi nr\ p^ = 0

• • (h).

¥ -f f + C² = 1

Z tych równań ostatnich otrzymuje się dla każdej dostawy dwa rozwiązania, różniące się tylko znakiem, co, właściwie, sprowadza się do jednego rozwiązania, t. j. wyznacza tylko jeden kierunek dla posunięcia U. Gdyby zaś zdarzyło się, że dwa pierwsze równania grupy (h) byłyby identyczne, to do oznaczenia trzech dostaw mielibyśmy tylko dwa równania i wtedy z równań tych moglibyśmy otrzymać kilka rozwiązań rzeczywiście różnych. Ten właśnie przypadek, zachodzący w kryształach załamujących światło podwójnie, ma tu dla nas ważność szczególniejszą.

Dwa pierwsze równania grupy (h) będą oczywiście identyczne, gdy A — B = C i to przy dowolnych m, n i p. Ażeby zaś to mogło nastąpić, musi, jak widzimy z wzorów (g), istnieć następująca zależność pomiędzy współczynnikami sprężystości kryształu:

an = ai2 ~b 2«₆₆ = a₁₃ -j- 2 a55 a₂₂ = a₂₃ -(- 2 au = a₂₁ -j- 2a66 ^33 ⁼⁼ ®31 H⁻ 2^55 = <2₃₂ -j~ 2 flt₄₄.

Że jednak an = a₂₁ , a₂₃ = a₃₂ i a₃₁ = aVA , przeto:

(i)

%1 = Cl22 ⁼ ®33

Ponieważ współczynniki a₄₄, a₅₅ i a₆₆ są ilościami dodatniemi (p. nierówności 123 w ustępie 29), przeto możemy przyjąć:

«4t=P«²»    «55=P^² i «66=P⁽‘²    •    •    •    •    (j)>

gdzie a, & i c są to pewne ilości rzeczywiste. Wobec tego otrzymamy (i₄₂ — ct₂₁ =    2 p c²

. . (k).

«18 = «31 = «U — 2p&²

<l₂₃ — rt32 = «n — 2 pa² .

Wzory zaś (b) na siły sprężystości przyjmą postać:

Pm, — — 2 (c² A, 4- &² Ae) P , pys=p a² gye

Pz« - P ^ f)z:r

Pxy- P 9xy

Pyy = — ² («²    + c2 A*) p ,

= — 2 (6² Aa. -|- a² Ay) p ,

a równania ogólne ruchu będą:

do>y

2 &²

3z

— c²

3(0*

\_d?u

⁼ dt²

2 c²

3(0*

3a;

— a²

dz f dt²

. . (540),

2 (a²

d(*>x

3a>

i (oz są to prędkości kątowe względne obrotu cząstek ośrodka około osi współrzędnych x, y i z. Równania te przechodzą w równania (534) (w ustępie 105) (w przypadku gdy 6 = 0 i X—Y=Z= 0), gdy przyjmiemy w nich a² — b² = c² — V². Stąd dochodzimy do wniosku, że ilości a, b i c są prędkościami rozchodzenia się drgań w pewnych szczególnych kierunkach w krysztale.

gdzie w

Wreszcie z równań (f), przy uwzględnieniu wzorów (j) i (k), otrzy-

mamy:

(c² n² -f- b²p² — F²) i — r² mn yj —■ b² mp C = 0

—    c² mn i -f- {a²p² -\-c² m²—V²) yj — a²np C = 0 ’ . .    (541).

—    b²mph — a² np r\-\~ {b² m² Ą- a² n²—F²) C = 0

Ponieważ te równania mają rozwiązanie i — yj = £ = 0, które nie czyni zadość warunkowi, że £² -j- y)² -f- C² = 1, przeto wyznacznik, złożony ze współczynników tych równań, musi być równy zeru. Mamy więc równanie:

(c n² -f b²p² — F²) [a²p²-f c² m² — F²) (b² m² -f a² n² — F²) — —(c²n²-\-b²p²—V²)ain²p² — (a² p² c² m² — V²)Wp²m²—

— (b²m²-\-a²n² —F²) c⁴ m² n² — 2 a² b² c² m² n²p² = 0    ....    (m).

Można z łatwością przekonać się, że w tern równaniu wyraz niezależny od F² równy jest zeru. Z tego powodu równanie to, gdy odrzucimy pierwiastek V² = 0, staje się równaniem kwadratowem względem V². To równanie kwadratowe jest:

F4~[(&2 + c²) m² + (c²-f a²) n² -f (a²-f b²)p^]V²^-b²c²m²Ą-+ c² a² n² -j- a² b²p² = 0    .

Mnożymy tu wyraz F⁴ przez m² + n²+p² (czyli przez 1) i grupujemy wyrazy z m², n² \ p² \ otrzymujemy wówczas:

(F²-b²){V²~ c²) m²+ (F²-c²) (F²— a²) w²-f (F²— a²) (F²— b²)p² = 0, czyli

. . (542).

p2

. . (543).

F² — c²

Niech Fj² i F₂² będą pierwiastkami równania (542) lub (543); otrzymamy wtedy tożsamości:

V² — a²

V² — b²

n²

V² — a²

p²

V!² - b²

Fj² — c²

m²

n²

p²

■ ■ (n).

V² ~ a² — V² — b² ' F₂² — c²

Odejmując te tożsamości od siebie, otrzymamy nową tożsamość: m²

(Fi²-a²)(F₂2 — a²)

p²

(F,²- b²) (F₂² - &²j ^ (Fj²—c²) (F₂²—c²)

= 0(o).

Nadto z równania (542) wynika:

(ib² -f- c²) m² -f- (c² -f- «²) w² -f" («² -f- ^²) F² = FŁ² -f- F₂2 6² c² m² -j- c² a² n² -f- «² &²i?² = Ft² F₂².

Rozwiązując te dwa równania wraz z równaniem w² -J- w² -j- p² = 1, względem m², n² i p², otrzymamy:

m² =

(V²— a²)(V₂²— a²)

(a²— b²) (c²— a²)

.    . (544).

(V²- b²) {V²— b²)

(6²— c²) (a²— &²)

p² =

(vx²— c²) (f₂² — c²)

(c²—a²) (b²—c²)

Wyprowadzimy jeszcze wzór na sumę następującą, która będzie nam później potrzebna:

m²

p²

(Vy— a²)² + (V² — b²y + {V²—c²)2 a ■

Sumę tę możemy otrzymać w sposób następujący: Z pierwszego z wzorów (544) wynika:

V₂²—V₁2JrV₁² — a²

yy—a²    (a² — b²) (c² — a²)    (o²—b²)(b² — c²)(c²—a²)

yy-yy , fł² — a²

m²

y₂²-a²

(b²—c²) =

(&² - c²),

gdzie przez skrócenie oznaczyliśmy:

A = (a²— b²) (b²- c²) (c²— a²) =— «² b² (a²—b²) — b²c² (ib²—c²) —

— c² a² (c² — a²) .

F2_y 2

v 2 K 1

A więc:

m²

6² — e²

&²—c²

{V² — a²)

W ten sam sposób otrzymamy:

‘ FŁ² — a² '

n²

c² —- a²

v₂² —yy c²— a²

(V- b²)²

‘ yt²—b²

p²

a² — b²

(F,² — c²)2 Dodając te równania, otrzymamy: F₂² —V²

yj — yy a² — b²

• V² — c²

I b² — c²    c² — a²

[yy—a² + vy

a²—b² \

~yy — c²)⁼

y₂²-v₁²

\{b² — c²) (Fj2 — 6²) (F^² — c²) +

(«² —a²) (F^ — c²) (Fx²— a²) + (a² — b²) (Ft² — u²) (F^-S²)] , gdzie P== (F₁²— a²) (F,² —&²) (Fx² — c²).

Po wykonaniu działań wskazanych, po stronie drugiej równania, otrzymamy:

V 2_72

y2 _yl

J.P

[ b² a² (a² — b²) -j- b² c² (6² — e²) -j- c² a² (c² — aa) ] ,

czyli:

m²

³    (F,² — a²)²

w²

(V²—h²y

(f₁2_c2)2 —

_7₂²_7ł2

•    •    (p)-

Przypuśćmy teraz, że a > b > c i Fj > V₂, wtedy z wzoru (544) z łatwością wyprowadzimy wniosek, że ilości w², w² i p² mogą być dodatnie-mi tylko gdy istnieje nierówność:

(545).

a> V1>b>V2>c Dla każdego z dwóch pierwiastków Vt² i F₂² równania (543) otrzymamy wartości odpowiednie dostaw £, rj i C z równań (541). Tak np. gdy oznaczymy przez £l5 % i CŁ wartości, odpowiadające pierwiastkowi Fj² i przez £₂,7]₂iC₂ wartości, odpowiadające pierwiastkowi V₂². otrzymamy:

Mnożąc te równania kolejno przez i₂,    t]₂ i    C₂    i dodając, otrzymamy:

(c² 72² -f- b²p²)ii£₂ -j- (a²p² -j- c²m²) y]i t]₂ -j- (6²m² -j- a²w²)CiC₂ — — a²np (t]i C₂ +Ci yj₂)— b²pm (Ci £₃-HiC₂) — c²mn (Si^ + ^y = — vi (£1 ^    ^2 + m ^2) •

Ponieważ strona pierwsza równania ostatniego nie zmieni się gdy zastąpimy wskaźnik 1 wskaźnikiem 2 i odwrotnie, przeto strona druga musi mieć tę samą własność. Ponieważ zaś strona druga zmienia się, gdy za Fx² wstawimy F₂², o ile nie przypuścimy, że Vl = V₂, przeto musi współczynnik przy V ² być równy zeru.

Dochodzimy więc do wniosku, że £, i₂ -f-    t]₂ -f CAC₂ = 0, czyli,

że kierunki drgań, rozchodzących się z prędkością Vx i F₂, do siebie prostopadłe.

Oznaczymy teraz prędkości rozchodzenia się drgań w kierunkach osi współrzędnych, przy uwzględnieniu nierówności (545).

Dla fali, biegnącej wzdłuż osi a?-ów, mamy:

m² = 1 , n = 0 i p — 0 ; z równań zaś (544) wynika: V² = &² i F₂² = c².

Równania (541) przyjmą postać:

F² C = 0 , (c²—F²) 7j = 0 i (b²— F²)C = 0.

Gdy więc V² = Vx² =. b², wtedy ix = rlx — O i Cx = ± 1, t. j. kierunek drgań jest równoległy do osi ,?-ów.

Jeżeli zaś V² = V= c², to = C₂ = 0 i tj₂ = + 1, t. j. kierunek drgań jest równoległy do osi y-ów.

W ten sam sposób, przyjmując dla fali, biegnącej wzdłuż osi y-ów, m = p = 0 i n² = 1 , otrzymamy:

Vx² = a²

F₂² = c² , e₂ = C₂ = 0 ,

Wreszcie dla fali, biegnącej wzdłuż osi 2-ów, należy przyjąć: m = w = 0 i p² = 1 i wtedy otrzymamy:

Vx² = a² ,    = Cx = 0

^2² = ^ »    ^2    = ± 1 ,    rh =    C₂ = 0    (    „

Widzimy więc,    że wzdłuż    osi    x    biegną    dwie fale:    jedna    o    prędkości b, druga zaś o    prędkości    c.    Drgania w    pierwszej    są    równoległe

do osi z, w drugiej zaś — do osi y.

Wzdłuż osi y biegną dwie fale o prędkościach c i a. W pierwszej, biegnącej z prędkością c, drgania są równoległe do osi x, w drugiej zaś— do osi z.

Ci = + 1 (drgania wzdłuż osi z)

4-2 = ± 1 (    „

„ «)•

7]i = db 1 (drgania wzdłuż osi y)

„ x).

Wzdłuż osi z biegną również dwie fale: jedna o prędkości a i druga o prędkości b\ w pierwszej drgania są równoległe do osi y, w drugiej zaś — do osi x.

Przypuśćmy, że w badanem przez nas ośrodku krystalicznym istnieje środek wstrząśnięć. Po upływie jednej sekundy wstrząśnienia te dosięgną punktów pewnej powierzchni zamkniętej, otaczającej środek, która będzie powierzchnią fali. W celu oznaczenia tej powierzchni, należy wyobrazić sobie, że w danej chwili przez środek wstrząśnięć, który przyjmujemy za początek współrzędnych, przebiega nieskończenie wiele fal płaskich, we wszelkich możliwych kierunkach; nadto należy przedstawić sobie, że każda z tych fal płaskich posunęła się równolegle do siebie samej o drogę równą prędkości V jej rozchodzenia się i ustalić powierzchnią powłóczącą wszystkich tych płaszczyzn.

Równanie jednej z takich płaszczyzn, gdy się ona styka z powierzchnią szukaną (t.j. z falą), jest:

mx    my -j- pz — V.

W równaniu tern m, n i p można oznaczyć z wzorów (544), a więc te dostawy są funkcyami parametrów Vx i V₂.

Zgodnie z teoryą powierzchni powłóczących otrzymamy równanie powierzchni fali, rugując parametry Vx i V, z trzech równań następujących:

m x -f- ny -f- pz = V1 3 m . dn xFTl+y3V₁

.    . (546).

3F,

%-. = 0

dm

3F₂

X 3F₂

Dwa ostatnie z tych równań wyprowadzają się z pierwszego, przez różniczkowanie równania pierwszego względem V₁ i V₂. Pochodne, wchodzące w te równania, otrzymać można z równań (544), a mianowicie:

3m

V² — a²

m²

3FX

(a²— b²) (c²—rt²)

mVl

V²—a2 = V² — a²

mV₂

nV

3F₂ ” F₂²— a² ’ 3FX F^ —b² 1 1 d' Wobec tego równania (546) przybierają postać:

mx -|- ny -\- pz = Vx

i__Pz

^ y* _C2    ' yi

___L    —Q

F₂² —a2_T“ F₂² — b2 T V²-c²

mx

ny

V² — a²

V²—b²

. . (547).

mx

ny

Rugując z tych równań parametry, należy uwzględnić, że F₃² i F₂² są pierwiastkami równania (543) i że m, n i p są funkcyami tych pierwiastków, oznaczonemi przez wzory (544).

Sposób zwykły, polegający na rugowaniu kolejnem najpierw jednego parametru, następnie zaś drugiego, nie może być zastosowany w danym przypadku, musimy więc uciec się do pewnego sposobu stucznego.

Przyjmujemy:

mk

Pi² —

nk

. . (548)

h2 + n Vi

z = yTZPp + p 11

i staramy się tak dobrać ilość k, ażeby równania (548) uczyniły zadość równaniom (547).

Te wzory na x, y i z czynią zadość pierwszemu i trzeciemu z równań (547) przy dowolnem k, z powodu istnienia równań (n) i (o). Drugiemu zaś z równań (547) uczynimy zadość, gdy ilość k będzie równa

v²-

pk

Zamiast więc rugować parametry F, i V₂ z równań (547), wyrugujemy je z równań (548), przyjmując w nich:

(q).

W2²-*?)' :

Podnosząc równania (548) do potęgi drugiej i dodając je, otrzymamy:

x² y² + z² — p² =

m²

p²

(Fj² — «²)2 czyli na mocy równania (p):

y 2_y 2

r, 2__T7 2 _ '2

p y — p

skąd wynika, że:

{V²    6²)

(Fj² — c²)²

F+F,²

P²

• yt² ₍y₂2—F₁²)²    Fł² (F₂²—Fi²) ’

(r).

P=(p²-~F₁²)(F₂²-F₁²) fx²

Ale moglibyśmy napisać i tak:

p²-v=

y 2_y 2

72_y 1

skąd mamy:

* = ( P²-y.²)^.......

Przy takiej wartości A; pierwsze z równań (548) przyjmie postać:

- a²

• (s).

/q2 _TA 2    \

* = mr< + ¹)

= m F, 4--

Ty — a² ’

czyli po podniesieniu do drugiej potęgi:

x² = m²Vl

₂ (P² — a²)2 (V² — a²)² '

Stąd otrzymamy:

x²

p² — a²

_ m²Ft² (p²— a²) (Fx²—a²)²

m²F₁² (p²—F,² + FŁ²— q2)

( F^2- rt²)²

m² Fi² (p² - Fj²)

(V —a²)²

m² \\²

Vj^a² ■

W takiż sposób otrzymamy:

?/a

p² — b²

W2yi2₍p2_yi2)

(FŁ²— &²)²

2²

_ p2yi2(p2_yi2₎

w² Fx2 y“2 _ p»

p²FŁ²

F>—> ‘

p² — c²

Dodając te równania i uwzględniając równania (n) i (p), otrzymamy:

(F|² — c²)²

a?¹

p² — a²

p²

l2- + -— 6²^p:

= F,² (p²—Fx²)

Strona druga tego równania, zgodnie z wzorem (r), równa się jedności; wobec tego równanie powierzchni fali jest:

= 1    . (549).

x² -}- y'i Jr z²— cŁ

Równanie to, po usunięciu mianowników, przyjmuje postać:

(x² y² 4- z²) (a² x² Ą- b²y²-\- c²z²) — [(&²-f«³) a²x² -f (c²Ą-a²) h²y² +

4- (a- -f h²) c²z²] -f a²b²c² — 0 .    .

Pochodzenie geometryczne tej powierzchni rzędu czwartego, mającej środek w początku współrzędnych, jest następujące:

x'i-\-y2jrz²—a²

x²Ą-y²+z²-b²

. . (550).

Weźmy elipsoidę:

a «

to to

fcO to

O i *>4

to! to

i przetnijmy ją płaszczyzną mx\ny -^pz — 0, przechodzącą przez jej środek. W przecięciu otrzymamy elipsę o półosiach równych przypuśćmy a i p. Ze środka tej elipsy prowadzimy prostą, prostopadłą do jej płaszczyzny i odkładamy na niej z jednej i z drugiej strony, mierząc od środka, długości równe półosiom a i p. Postępując w taki sam sposób ze wszelkiemi możliwemi płaszczyznami przecinającemi, przechodzącemi przez początek współrzędnych, otrzymamy szereg punktów, tworzących powierzchnię, wyznaczoną przez równanie (550).

Istotnie, niech R będzie odległością od początku współrzędnych punktu dowolnego elipsy, otrzymanej z przecięcia płaszczyzną mx-{-nyJrpz = 0. Współrzędne tego punktu powinny czynić zadość następującym trzem równaniom:

R² — x² -j- y² 4- z²

— 1=0

\ y² \ z²

a² b² ' c² mx -j- ny -j- pz — 0 ,

gdzie m² j - n² -\- p² = 1.

Punkty, leżące na końcach półosi tej elipsy, będą tymi, dla których R jest największe lub najmniejsze. Powinniśmy więc znaleść ma-ximum i minimum funkcyi następującej:

li) + P (mx 4- ny -f- pz) .

x² ~b y² z² -f- \²11

x²

a²    b²

Skoro pochodne tej funkcyi względem współrzędnych przyrównamy do zera, to otrzymamy:

2x | 1

• • (A).

2y (¹ “ f) +

2z ( 1

f) + ***

Mnożąc te równania kolejno przez x, y i z i dodając, otrzymamy:

1 — Aj = 0 , czyli

)+F-f) + *²(

c²

albo Rmin <

A więc X jest R

Wiedząc to, otrzymujemy z równań (A):

V)%Q?‘

X = 2 1J' X⁸—a² ’ 1, = 2 [J‘    ’ *

Wprowadzając to w równanie płaszczyzny przecinającej, otrzymamy:

n² b2 W—b²

Z tego równania kwadratowego względem X² widzimy, że każdej płaszczyźnie przecinającej, wyznaczonej przez dostawy m, n i p, odpowiadają dwie rozmaite wartości X- .

Oznaczmy przez X, Y i Z współrzędne punktu, leżącego na końcu długości X, odciętej na normalnej do płaszczyzny przecinającej. Wtedy otrzymamy:

m²a²

X² — a²

nb²

pc²

2 |J' X² — c² *

p² c2 X² — c²

• ■ (B).

m - T

Wobec tego równanie (B) przyjmie postać:

a² X² (X² —b²) (X² —c²) + b² F² (X² —o²) (X² —a²) + -\- c² Z² (X² —a²) (X² — b²) — 0 , czyli

(a² X² -J- b² P+c²Z²)X⁴ — [a²(6² + c²)Z² + b² (c²+a²) F² +

-f C2 (a2    ^2 ] a2 62 C2 (X² -fF² -f Z²) = 0 .

Że jednak Z² -f-F²-|-F² = X², przeto możemy podzielić równanie ostatnie przez X², poczem otrzymamy równanie (550) powierzchni fali.

Ta powierzchnia nazywa się powierzchnią FresneTa. Przecinając tę powierzchnię płaszczyznami współrzędnych, otrzymujemy krzywe, wyznaczone przez równania następujące:

z płaszczyzną (yz): (y² -(- z²t— a²) (b² y² c² z² — b² c²) = 0 (zx): (z² x²— b²) (c² z² -J- a² x² — c² a²) = 0 (xy): (x²-j- y²— c²) (a² x² -\-b² y² — a² b²) = 0

. (551).

i?

/i

C_

C_

ti

O''

I \

C \B

->x

Bl c

c JL*

P2

Rys. 30.

Rys. 31.

Rys. 32.

OB = b i OC= c.

Krzywe te są to elipsy i okręgi, wskazane na rys. 30, 31 i 32, w których O A = a ,

Z przecięcia z płaszczyzną (zx) widać, że powierzchnia fali składa się z dwóch powierzchni zamkniętych, wstawionych jedna w drugą i mających tylko cztery punkty wspólne: P₁, P1} P₂ i P₂ (rys. 31).

Proste P₁ Pt i P₂ P₂ zowią się osiami optycznemi icryszlału. Przez położenie osi optycznych wyznaczone jest zupełnie dokładnie położenie osi krystalicznych, czyli osi współrzędnych as, y i z. Istotnie, oś y jest prostopadłą do osi optycznych, osie zaś x i z są dwusiecznemi (wpół-siecznemi) kątów, utworzonych przez osie optyczne.

Punkty I\ i P₂ dla powierzchni zarówno zewnętrznej, jak i wewnętrznej, są to punkty ombilikalne, ponieważ styczne w każdym z tych czterech punktów tworzą nie płaszczyznę, lecz stożek.

Współrzędne ombilik są:

a² — c² ’

Z/o =

b² — c²

a² — c²

. (552).

Gdy a = &, otrzymujemy zamiast czterech ombilik tylko dwie, leżące na osi 0. W tym przypadku równanie powierzchni fali będzie:

(ix² -4- y² -f- z² — a²) [ a² (a?² -|- ?/²) -f- c² z² — a² c²] = 0 .

Równanie to daje kulę o promieniu a (powierzchnia zewnętrzna) i elipsoidę obrotową około osi z (powierzchnia wewnętrzna).

Gdy b = c, wtedy znowu zamiast czterech ombilik mamy tylko dwie, leżące na osi x, a równanie powierzchni fali będzie:

• (x² 4- y² -f- z² — b²) [a² x² -j- b² (y² --j- z²) — a²b²] = 0 .

W tym więc przypadku powierzchnia fali jest powierzchnią kuli o promieniu b (powierzchnia wewnętrzna) i elipsoidy obrotowej około osi x (powierzchnia zewnętrzna).

W każdym z tych przypadków szczególnych kryształ ma nie dwie, lecz tylko jedną oś optyczną.

Gdy zaś a = b — c, powierzchnia fali staje się zupełnie kulistą, co zachodzi w ośrodku równozwrotnie sprężystym.

Wszystkie zjawiska załamania podwójnego promieni w kryształach dwuosiowych i jednoosiowych, można wyjaśnić własnościami powierzchni fali zapomocą wykreśleń Huyghens’a.

Nie będziemy tu rozważali wszystkich tych zjawisk, gdyż to wchodzi w zakres optyki, nie zaś teoryi sprężystości, lecz zwrócimy jednak uwagę na dwa zjawiska następujące, wynikające z własności powierzchni fali.

a,

Prowadzimy wspólną styczną MN do krzywych otrzymanych z przecięcia fali płaszczyzną (zx) (rys. 33) i przez tę styczną prowadzimy płaszczyznę M równoległą do osi y, wtedy możemy dowieść, że ta płaszczyzna będzie się sty- A kała z powierzchnią fali po okręgu, którego średnica równa się odległości Q,: Q₂ punktów styczności Q₁ i Q,₂- Takich płaszczyzn stycznych do powierzchni fali możemy przeprowadzić cztery.

Rys. 33.

Równanie płaszczyzny MN jest:

x y a² — b² + z V b² — c² = bV a² — c² , czyli

—    c

—    c²

+ */<r

a²— b2 a²— c²

współrzędne zaś punktów Qx i Q₂ są:

a² — b2 a² — c²

Xx =

xj

= b.

• (553);

]/b±

\ a²

6*²

— c²

Cr- §5

b² — c² __ a² —c²    a ’

skąd otrzymujemy: x₀² = xtx₂ i z* — zx z₂; t. j. współrzędne ombiliki Pj są to średnie geometryczne współrzędnych punktów Qx i Qa.

Jeżeli wypiłowalibyśmy z kryształu płytkę tak, ażeby płaszczyzny ograniczające płytkę były równoległe do płaszczyzny MN, to promień światła, padając na taką płytkę prostopadle, po wyjściu z niej utwo-

a² — b²

x₂ =

a² — c²

rzyłby walec kołowy, a więc na ekranie zamiast punktu jasnego ujawniłby się jasny okrąg, którego średnica byłaby jednakowa dla wszystkich odległości ekranu od płytki. Z powodu tej własności kryształu układu dwuosiowego, kierunek prostej OQ₂, prostopadłej do MN, nazwano osią załamania walcowego. Takich osi ma kryształ układu dwuosiowego dwie.

Jeżelibyśmy zaś wycięli płytkę, o ścianach prostopadłych do osi optycznej OPl, to promień światła, padający na ścianę płytki prostopadle, po wyjściu z niej, utworzyłby stożek, a więc na ekranie zamiast punktu jasnego otrzymalibyśmy jasny okrąg, którego średnica powiększałaby się w miarę wzrastania odległości ekranu od płytki. Z powodu tej własności, osi optyczne kryształów układu dwuosiowego zwane są osiami załamania stożkowego.

Obie te własności wyprowadził Hamilton z równania powierzchni Fresneba i obie stwierdzono przez doświadczenia.

Równania zasadnicze statyki cieczy i dynamiki cieczy.

107. Zastosowania teoryi sprężystości zakończymy, wskazując w jaki sposób wzory tej teoryi mogą służyć do wyprowadzenia równań zasadniczych statyki cieczy i dynamiki cieczy.

Ażeby otrzymać te równania zasadnicze równowagi i ruchu ciała ciekłego, należy poprzednio dać określenie cieczy.

Ciałem ciekłem nazywać będziemy takie ciało, w którego materyale nie mogą pojawiać się siły styczne sprężystości.

Przyjmując w założeniu tę własność cieczy, musimy zarazem dla cieczy przyjąć:

(a).

Pyz -Pex - Pxy - 0......

Wzory więc zasadnicze (55) i (56) przyjmują dla cieczy postać:

pns = Pxx COS (n, x) cos (s, X) -j- Pyy cos (m, y) cos (s, y) -f--f- pz. cos (n, z) cos (s, z)

pnn = Pxx COS² (n, x) + Pyy cos² (w, y) -f- Pzz cos² (n, z).

Skoro wprowadzimy warunek, że kierunki n i s są do siebie prostopadłe, czyli, że siła pns jest siłą styczną sprężystości, to otrzymamy:

Pxx cos (n, x) cos (s, x) +pyy cos (n, y) cos (s, y) +pBS cos (w, z) cos (s, z)—0 cos (n, x) cos (s, x) + cos (w, y) cos (s, y) 4- cos (n, z) cos (s, z)=0.

Ponieważ ostatnie dwa równania muszą istnieć przy wszelkich kierunkach n i s, przeto jest:

Pxx -Pyy -_Pzz >

wobec czego z wzoru na siłę pn„ otrzymamy:

Pnn = Pxx [cos² (n, x) -{- cos² (n, y) -f- cos² (n, z)} = pxx, czyli

(b).

Pnn - Pxx - Pyy ~~~ Pzz

Jeśli więc wewnątrz ciała ciekłego mogą ujawniać się tylko siły normalne sprężystości, to siły te w danym punkcie cieczy muszą być

jednakowe dla wszystkich płaszczyzn, jakie można przeprowadzić przez ten punkt.

Jeżeli zaś postawimy jeszcze warunek, że te siły normalne, jednakowe dla wszystkich płaszczyzn w danym punkcie, są siłami odpycha-jącemi, to jesteśmy zmuszeni przyjąć:

.    .    (c).

Pnn - Pxx -Pyy - Psz - P •

Gdy zachodzi równowaga cieczy, siłę p nazywamy ciśnieniem hydrosta-tycznem.

Zwracamy się teraz do równań ogólnych równowagi ciała sprężystego (równ. 47) i przyjmujemy w nich siły styczne za równe zeru, normalne zaś za równe —p; wówczas otrzymujemy następujące równania ogólne równowagi cieczy:

dp

dp

dp

w których p oznacza masę jednostki objętości cieczy.

Z tych równań otrzymujemy następujące równanie różniczkowe, służące do oznaczenia ciśnienia hydrostatycznego:

dy

= pZ.....(554),

dp

dp

dp

% + 3, ^ = dP = P (xs% + Ydy + Z Si). (555).

Całkując zaś to równanie, otrzymamy:

P = f p (Xdx Ydy -\- zdz) ~\- C.....(556).

Równania szczególne równowagi (równ. 49) przyjmą dla ciała ciekłego postać:

P cos    (P,    x)    —    — p cos    (n, x)

P cos    (P,    y)    —    — p cos    (n, y)

P cos    (P,    z)    —    — p cos    (n, z)

skąd:

P = p , cos (P, x) — — cos (n, x) , cos (P, y) = — cos (n, y) , cos (P, jgr) = — cos (n, £f).

Ciśnienie więc zewnętrzne na jednostkę powierzchni, ograniczającej ciecz, musi w każdym punkcie tej powierzchni być równe ciśnieniu hydrostatycznemu, istniejącemu w tym punkcie i musi mieć kierunek normalnej wewnętrznej do powierzchni.

108. Równania ruchu ciała ciekłego otrzymujemy z równań równowagi, wprowadzając w nie wyrazy, zależne od siły bezwładności cząstki ciała ciekłego, dla której mamy oznaczyć równanie ruchu.

Oznaczmy przez u, v i w rzuty na osie współrzędnych prędkości cząstki, której współrzędne w chwili t są: x, y i z. Rzuty na osie współrzędnych przyśpieszenia siły bezwładności tej cząstki będą:

du

dw

dv

dt ’

dt    dt

Tworząc wyrazy dla tych pochodnych musimy uwzględnić, że prędkości cząstki otrzymują przez przeciąg czasu dt przyrosty, nie tylko wskutek tego, że czas się zmieniał, ale i z powodu, że zmieniały się współrzędne cząstki. Przyrost więc np. prędkości u, będzie:

du

du

du

-    9i/

du = Ś dx +    + iF 3t ■

Tu dx, dy i dz są to nieskończenie małe przyrosty współrzędnych cząstki cieczy, t. j. jej posunięcia rzeczywiste w kierunku każdej z osi współrzędnych x, y i z. Wskutek tego posunięcia te należy oznaczyć w sposób następujący:

dx — U dt , dy — vdt i dz — W dt .

Na pochodną zupełną prędkości u względem czasu otrzymujemy

równanie:

du du

du

du

dt

i co

. . (557),

r U -j— —— V -j- —— W —j— —

dx dy    dz    dt

^ są to pochodne cząstkowe prędkości u. ct

du du dx ’ dy

W takiż sposób możemy oznaczyć pochodne zupełne j i TJ .

gdzie

ru

du

du

dw

Y- —

dv

dx

u -j-

Sy V + JŹW + dv

— W -4-

3^    “ dt

V -f-

dr

. . (558).

dw

dw

— u -T dx

37 w + W

Do tych równań dołączane jest jeszcze jedno równanie, wynikające z warunku, że masa cząstki cieczy, podczas ruchu po swojej trajektoryi, się nie zmienia. Równanie to można otrzymać w sposób następujący:

Za cząstkę objętości cieczy przyjmujemy objętość nieskończenie małego równoległościanu, o krawędziach równoległych do osi współrzędnych. Długości tych krawędzi niech będą: dx, dy i dz. Przypuśćmy, że cała objętość tego równoległościanu jest zupełnie zapełniona

Gdy ciecz jest jednorodną, należy przyjąć dla takiej cieczy przyjmuje postać:

= 0, a równanie (559)

(J/Z

= dx dy dz

du

dv

dw

= dx dy dz

Równanie więc, które dołączyć należy do równań (558), jest: du dv dx ' dy

P(

dw\

⁺ dz) ⁺ dt

.    . (559),

gdzie:

co

CU

3p

Oj

dt

dx

dy

w+ St ■

— dx dy dz

— dx 8y dz

dz dt

cieczą, wtedy dla masy cząstki cieczy otrzymamy: p8x . dy . dz. Warunek, że masa ta podczas ruchu się nie zmienia, może być wyrażony przez równanie:

d (p dx dy 8e)

dt

d(dxdydz)

p...... ,i    m

tp = 0.

Jednakże:

d (8x 8y 8 z)

cl8x

dt

= dy dz -j- dz dx

(JjJ/

ddy

dt +My

d dz

dt

= dx dy dz

ddx

ddy

4-

ddz

8x dt dy dt dz dt

ddx

dx dt

ddy

dydt

ddz '

' d ldx] dx \dt,

d (&

dy \dt

d idz' dz \dt i

co co

dr

du)

dz

(560)

i wyraża warunek, że rozprzestrzenialność cząstek cieczy równa jest zeru, t. j. że objętość cząstek podczas ich ruchu się nie zmienia.

Gdy płyn jest nie cieczą lecz ciałem łotnem, do równań (558) i (559) dołączane jest nadto równanie, zwane równaniem znamiennem ciał lotnych (_gazów). Równanie to jest:

(561),

p = ky.........

gdzie lc jest to pewien współczynnik, zależny od temperatury.

109. Równania ruchu Euler’a są ważne tylko dla tak zwanych cieczy doskonałych, wewnątrz których, podczas ruchu, nie pojawia się tarcie między cząstkami. Ażeby otrzymać równania ruchu cieczy, istniejących rzeczywiście w przyrodzie, należy do równań Euler’a wprowadzić wyrazy, zależne od tarcia wewnętrznego cząstek cieczy.

W celu oznaczenia postaci wyrazów, które należy wprowadzić do równań Euler’a, powinniśmy znać prawa, którym podlegają tarcia wewnętrzne. Prawa te można wyprowadzić tylko drogą doświadczeń. Gdy niema dostatecznych danych z doświadczeń, a to właśnie zachodzi co do tarcia wewnętrznego cieczy, należy z konieczności poprzestać na hypotezach i doświadczeniami sprawdzać wyniki, otrzymane z tych hy-potez. Hypotezę co do tarcia o siebie cząstek ciała ciekłego podał Newton. Zgodnie z tą hypotezą tarcie wewnętrzne, istniejące między dwiema cząstkami sąsiedniemi cieczy, jest funkcyą liniową prędkości względnej tych cząstek.

Ponieważ rzuty prędkości względnej na osie współrzędnych są

funkcyami liniowemi pochodnych cząstkowych —, ^^    ^    ^

i t. p., przeto zgodnie z hypotezą Newton’a powinniśmy tarcia wewnętrzne cieczy uważać za funkcye liniowe tych pochodnych. Zależność ta jest więc taka sama, jak zależność sił sprężystości od odkształceń składowych ciała sprężystego, przy nieznacznem odkształceniu tego ciała.

du du du dv dv

Jeżeli nie uwzględniamy tarcia cząstek cieczy, to, jak widzieliśmy, powinniśmy dla ciała ciekłego przyjąć:

Pyz - Pzx - Vxy - 0 .

Jeżeli zaś uwzględnimy tarcie, to przypuśćmy, że będziemy mieli:

V -b **

Pxx -Pyy - Pzz - P >

Pxx — P “i⁻ ^x

Pyz -

Pyy — P %y

Pzx rz— ^ax

. (562).

%yz,. ... przed-

Oczywiście, przy takich oznaczeniach, siły %x stawiają naprężenia na ścianach równoległościanu cząstkowego, wziętego wewnątrz cieczy, pochodzące od tarcia.

Uważając zaś ciecz za upodobnioną do ciała równozwrotnie sprężystego, otrzymamy:

du

du

= m + 2Bjx

dv

%yy — i?' 6 -f- 2 B ^ ^ = £'0 + 2B de

dw

ldv dw\

W ⁺ 9yl '

, .    . du.dv.dw

gdzle 6 = - + -+^.

zyt — B

TlgX - B

\Sx    ’

^xy -

Idu dv\ m \9y ~]rdx) ’

19

Teorya sprężystości.

Mając te wzory, możemy z łatwością napisać równania ruchu cieczy. Pierwsze z tych równań jest:

dp

dp

dPx

du

fe- + pX_p - .

Równanie to, gdy w niem za siły pxx, pxy i pxt podstawimy ich wartości z równań (562), przyjmie postać:

+ 2 B

dx

diy

dp

, 96

9x

czyli

9²u

du

9²u

9²w

d²u .    9²v

‘ 9x 9y '

-f- B |

.    (9²u dii² . 9²u\    96

dx+B w + W + a?) + (B+B)

+ B dx

9x²

dy²

9z²

9x 9 z

)+f,X-p dt

9p

du

9x + pX p dt ’

Dla cieczy, t. j. gdy 6 — 0, otrzymujemy równania ruchu, wyprowadzone przez Navier’a:

1 dp B l9²u , 9²u . 9²u

p <$0C p \

du

9x²

dy*

9 z²

dt

Y—

1 9p

p 9y

l9²v . 9²v . 9²v\ dv Y \dx² 9y²    9z² ) ~ dt

. . (563).

dw

1 9p B ld²w 9²w

P 9z ' P \dx² ' dy

Ilość B, wchodząca w te równania, nazywa się współczynnikiem tarcia wewnętrznego cieczy. Wielkość liczebna tego współczynnika dla rozmaitych cieczy jest różna i zależna od temperatury cieczy.

v 9²w\ ²    ' dzj)

dt

KRAKÓW

c h n»

SKOROWIDZ ALFABETYCZNY.

Liczba przy wyrazie podana w nawiasie oznacza numer porządkowy dzieła; liczby zaś podane nie w nawiasach oznaczają stronice dzieła, przyczem miejsca, w których głównie o danym przedmiocie jest mowa lub gdzie podano określenie danego pojęcia, wyróżniano cyframi grubszemi (czcionkami tłustemi). — Wyrazy, użyte w dziele, jako już skądinąd znane, o ile weszły do skorowidza, podane są bez liczb. p. = patrz.

Akord (96); Akkord; accord; anopjyb; 280.

Amplituda drgań (długość drgań, rozmach drgań) (96); Amplitudę der Schwin-gungen; amplitudę d’oscillation; sm-miHTy₁n;a KoneSamn (pa3MaxT> Kone-óaHiS); 229.

Argument ciała odkształcanego p. odkształcenie składowe.

Barwa instrumentu p. dźwięczność.

Belka; Trager, Balken; poutre; 6pycT>, Samca.

Belka ciągła p. belka wieloprzęsłowa.

Belka wieloprzęsłowa (ciągła) (66) i (67); kontinuirlicher Trager; poutre continue; MHoronpojieTHi.iH 6py<yb; 185-142.

Bezwładność (2); Tragheit (Beharrungs-vermogen); inertie; HHepnda; 5.

Bryła obrotowa (75); Umdrehungskórper, Rotationskórper; corps de rotation; Tino Bpameuia; 159.

Ciało ciekłe p. ciecz.

Ciało doskonale sprężyste (20); vollkom-men elastischer Kórper; corps parfaite-ment elastiąue; ynpyroe Tino; 81— 35.

Ciało izotropowe p. ciało jednolite.

Ciało izotropowo-sprężyste p. ciało równo-zwrotnie sprężyste.

Ciało jednolite (izotropowe) (39), (40), (44); isotroper Kórper; corps isotrope; H3o-TponHoe Tino; 76, 80, 87.

Ciało jednorodne (106); homogener Kórper; corps homogene; oAnopoAnoe tLjio; 271.

Ciało lotne (gaz) (108); gasfórmiger Kórper; corps gazeux; ra3oo6pa3Haa hcha-koctb; 288.

Ciało niejednorodne; heterogener Kórper; corps heterogene; HeoAiiopoAHoe Tino.

Ciało niesprężyste; unealastischer Kórper; corps denue d’elasticite; Heynpyroe Tino.

Ciało płynne p. płyn.

Ciało o wytrzymałości jednostajnej (ciało wytrzymałości stałej) (43), (75); Kórper von gleicher Festigkeit; piece d’egale resistance; Tino paBiiaro co-upoTHBneHia; 83-86, 158-160.

Ciało równozwrotnie sprężyste, ciało rów-nozwrotne o sprężystości stałej (ciało izotropowo-sprężyste) (29), (31), (105); isotroper elastischer Kórper; corps isotrope elastiąue; Tino H30rponHo-ynpy-roe; 55, 58-60, 265-270.

Ciało sprężyste (26); elastischer Kórper; corps elastiąue; ynpyroe Tino; 45.

Ciało stałe; fester Kórper; corps solide; TBepAoe Tino

Ciało sztywne (13); starrer Kórper; corps regide; atecTKoe Tino; 15—16.

Ciągnienie p. rozciąganie.

Ciecz (ciało ciekłe) (108); tropfbare Fliis-sigkeit; corps liąuide; KanenŁHaa jkha-koctł; 285 - 288.

Ciecz doskonała (109); vollkommene Fliis-sigkeit; liąuide parfait; coBepmeHHaa h{hakoctł; 288.

Ciężar; Gewicht; poids; BicT>.

Ciśnienie p. ściskanie.

Ciśnienie boczne; Seitendruck; pression sur la paroi; óoKOBoe Aasneme.

Ciśnienie hydrostatyczne (107); hydrosta-tischer Druck; pression hydrostatiąue; rHApocTaTnnecKoe AasneHie; 286.

Cząsteczka (molekuł) (1), Molekuł; mole-cule; nacTHija (Moneiiynn.) 3.

Cząstka (element) (10), (14); Element; element; aneMeHTT> 10, 11, 12.

Czworościan cząstkowy (elementarny) (21); Elementartetragder; tetraedre elemen-tair; ane&ieHTapHBiS TeTpaa^pt; 35.

Deformacya p. odkształcenie.

Długość drgania p. amplituda drgań.

Długość fali; Wellenlange; longeur de 1’onde; AJrana bojihbi.

Dno (92); Boden; fond; AHHin;e; 211.

Drąg (dźwignia); Hebel; levier; paruarB.

Drąg dwuramienny (88); zweiarmiger (dop-pelarmiger) Hebel; levier a deux bran-ches; AByxruien:HBm puiuara.; 198

Drganie (951; Schwingung; vibration; ko-JieSanie, BHÓpanja; 222.

Drgania izochroniczne (105); isochrone Schwingungen; yibrations isochrones; H30xpoHńnecKia KOJiedania; 265.

Drganie podłużne (96), (105); Longitudi-nalschwingung; vibrationlongitudinale; npoAOJibHoe KoaeSaHie; 227; 268

Drganie poprzeczne (96), (105); Transver-salschwingung; vibration transversale; nonepeaHoe KOJie6aHie; 227; 268; 271.

Dynamika; Dynamik; dynamiąue; Arnra-

MHKa.

Dynamika cieczy (hydrodynamika) (107); Hydrodynamik; hydrodynamiąue; rnA_ poAHHaMHKa; 285—290.

Dźwięczność (barwa) instrumentu (96); Klangfarbe; timbre; 3ByauocTb, TeMÓpt; 231.

Dźwignia p. drąg.

Element p. cząstka.

Elipsa centralna (54); Centralellipse; ellip-se centrale; n;eHTpajibHHH ajummyb 117.

Elipsoidaobrotowa (16); Rotationsellipsoid; ellipsoide de rotation; aJumncoHAii Bpanąenia; 22.

Elipsoida sprężystości (23), (39); Elastici-tatsellipsoid; ellipsoide d’elasticite; aajmncoHA^ yripyrocrn; 38, 39, 77.

Elipsoida wydłużeń (16), (39); Dehnungs-ellipsoid; ellipsoide d’allongement; aujinncoHA^ pacTBatenin; 19, 20, 77.

Energia kinetyczna (siła żywa, rozmach); kinetische Energie (lebendige Kraft); energie cinetique (force vive); aciiBaa ciura.

Fala; Welle; onde; BOJiHa.

Fala kulista (powierzchnia falowa) (105); spharische Welle; Wallenflache; onde spheriąue, surface d’onde; c^epnnec-Kaa BOJiHa; 265.

Fala płaska (105); ebene Welle; onde piane; naocKaa Boaua; 265.

Faza drgania; Schwingungsphase; phase de la vibration; <j>a3a KoaeóaHia.

Faza ruchu (105); Bewegungsphase; phase du mouvement; |>a3a ABnacema; 265.

Gęstość (20); Dichte; densite; iijiothoctł

Graniastosłup Prisma; prisme; npnaMa.

Hydrodynamika p. dynamika cieczy.

Hydrostatyka p. statyka cieczy.

Hyperboloida dwupowłokowa (16); zwei-schaliges Hyperboloid; hyperboloide bi-valve; ABynoauS rnnepGojiOHAa.; 21.

Hyperboloida jednopowłokowa (16); einscha-liges Hyperboloid; hyperboloide uni-valve; OAHononuS rHnep6ojioHAi>; 21.

Hyperboloida obrotowa (16), (39); Rotations-hyperboloide; hyperboloide de rotation; r0nep6oJiOHA'B Bpain;eHia; 22, 77.

Hyperboloidy sprzężone (16); conjugirte Hyperboloide; hyperboloides conjugues; conpaaceHHHe rnnepSojioHAH; 21.

Inwaryant p. niezmiennik.

Izotropia p. jednolitość.

Jednolitość (40), (65); lsotropie; isotropie; H30Tponia; 80, 135.

Kąt skręcenia (46); Verdrehungswinkel; angle de torsion, torsionnement; yroa-b KpyaeHia, 93.

Kąt tarcia; Reibungswinkel; angle de friction; yrojrt Tpema.

Kierownica; Leitlinie, Directrix; directrice; HanpaBaaioii],aa KpHBan, AupeKTpHcca.

Kierunek główny; Hauptrichtung; direction principale; raaBHoe HanpaBJienie.

Kierunek wydłużenia głównego (16); Rich-tung der Hauptdehnung; direction d’allongement principale; nanpaBJienie raaBHaro pacTHJKema; 20.

Krzywizna; Kriimmung; courbure; Kpn-

BH3Ha.

Kwinta (96); Quinte; ąuinte; KBHHTa; 230.

Linia elastyczna p. linia wygięcia.

Linia węzłowa (linia węzłów) (99); Kno-tenlinie; ligne des noeuds; y3JiOBaa JiHHia; 242.

Linia wygięcia (linia elastyczna, oś odkształcona) (55); Biegungslinie, elas-tische Linie; ligne elastiąue; ajiacTH-necKaa (ynpyraa) KpHBaa; 121.

Materya p. tworzywo.

Materyały budowlane; Bustoffe, Baumateria-lien; materiaux; cTpoHTeai>Hue Marre-piaaH.

Moduł sprężystości p. współczynnik sprężystości.

Molekuł p. cząsteczka.

Moment beswładności (49rt); Tragheitsmo-ment; moment d’inertie; MoweHTrB HHep-pin; 104 — 106.

Moment biegunowy bezwładności przekroju

(46), (49a); polares Tragheitsmoment des Querschnittes; moment d’inertie polaire de la section; nojiapuBra mo-meHTT) HHepu,iH nonepeaHaro cfeae-nia, 93, 106.

Moment obrotu; Drehmoment, Drehungs-moment; moment de la rotation; mo-MeHTŁ BpaipeHia.

Naprężenie (1) (p. nadto: siła sprężystości); Spannung; tension; HanpHHceme 4.

Naprężenie bezpieczne (40); zulassige Spannung; charge de securite; 6e3onacHoe HaTHHteHie; 79, 114.

Naprężenie główne; Hauptspannung; pres-sion principale; raaBHOe HaTaajeiiie.

Naprężenie normalne; Normalspannung; Normalspannung; pression normale; HopMajiŁHoe HaTHJKeme.

Naprężenie styczne; Tangentialspannung; pression tangentielle; KacaTejibHoe Ha-Tflatenie.

Natężenie dźwięku (96); Schallspannung; CHJia 3Byna; 230.

Niezmiennik (inwaryant) (17); Invariante; invariant; HHBapiaHrb; 26.

Normalna (19); Normale; normale; Hop-MajiB; 30.

Obciążenie (57); Belastung; charge; Ha-rpy3Ka; 124.

Obciążenie równomierne (jednostajne) (57); gleichmassige Belastung; charge uni-formement repartie; paBHOM-hpHo pac-npefftjieuHaa Harpy3Ka; 124.

Obertony p. tony harmoniczne.

Obroty sprzężone; conjugirte Rotationen; rotations conjuguees; conpaateHHHH Bpam,eHia.

Obrót (ruch obrotowy) (14); Rotation, Dreh-ung; rotation; Bpamenie 16.

Obszerność drgania p. amplituda drgań.

Oddziaływanie podpory (odpór, reakcya) (59); Auflagerdruck, Stiitzdruck; re-action des appuis; peaKn,ia; 127.

Odkształcenie (deformacya) (1); Formver-anderung, Deformation; deformation; ą,e$opMan,ia, 4.

Odkształcenie składowe (10), (11), (12); partielle Deformation; deformation com-posante; apryMeHTB T^Jia 10, 11, 14, 49, 50, 53

Odkształcenie sprężyste; elastische Deformation; deformation elastiąue; ynpy-raa fle(j>opMan,ia.

Odkształcenie trwałe; bleibende Deformation; deformation permanente; nencne-3aK»maa Ae<j»opMan,ia.

Odpór p. oddziaływanie podpory.

Odpychanie (1); Abstossung; repulsion; OTTanKHBaHie 3.

Oktawa (96); Oktave; octave; OKTana; 230.

Ombilika (106); ombilic; OMSujmrcB 282 — 285.

Osi sprzężone obrotu: conjugirte Rota-tionsaxen; axes de rotation conjugues; conpaateHHLia och Bpauąeuia.

Oś bezwładności (54); Tragheitsaxe; axe d’inertie; oct Hiiepn,iH; 118.

Oś główna bezwładności (oś główna) (54); Hauptachse der Tragheit; axe Principal d’inertie; raaBHaa ocb HHepn;iH; 118.

Oś krystaliczna (106); Krystallaxe; axe dc cristall; KpacTajumnecKaa ocb; 282.

Oś mimośrodkowa p. oś pozaśrodkowa.

Oś obrotowa (54); Drehungsachse; axe de rotation; ocb Bpam,eHia; 116.

Oś odkształcona p. linia wygięcia.

Oś optyczna (106); optische Achse, Seh-achse; axe optiąue; onTHHecKaa ocb; 282.

Oś pozaśrodkowa (mimośrodkowa) (49); excentrische Achse; axe excentrique; 3Kcn,eHTpHaecKaa ocb; 103.

Oś refrakcyi p. oś załamania.

Oś skręcania pozaśrodkowa (mimośrodkowa) (49); excentrische Torsionsachse; axe de torsion excentrique; 3Kcu,enrrpH-aecKaa ocb Kpynema 103.

Oś skręcania (48); Torsionsachse, Drehungsachse; axe de torsion, ocb irpy-aema; 95.

Oś sprężystości (23), (39); Elasticitatsaxe; axe d’elasticite; ocb ynpyi^ocTH; 38, 39, 77.

Oś swobodna obrotu (54); freie Drehachse; axe permanente de rotation; ocb ao-SpOBOJiBHaa (cBoSoAnaa) Bpanj,eHia;

117.

Oś załamania (oś refrakcyi) (106); Strahlen-brechungsaxe; axe de refraction; ocb pe<j>paK[],iH; 284.

Para sił; Kraftepaar; couple de forces; napa chjib.

Parabola sześcienna (56); kubische Para-bel; parabole cube; KySHnecKaa napa-SoJia; 124.

Paraboloida hyperboliczna (49«); hyperbo-lisches Paraboloid; paraboloide hyper-bolique; rHnep6onHnecKiH napa6o-jioha^; 105.

Parametr (48). Parameter; parametre; rm-pa>ieTprB 102.

Płyn (ciało płynne) (108); Fliissigkeit; corps fluide; hchakoctb; 288.

Poślizg p. przesunięcie.

Potencyał siły (28); Potential, Kraftefunk-tion; potentiel; noTenn,iajiB chuij. 49 52.

Powierzchnia falowa p. fala kulista.

Powierzchnia FresneTa (106), 281.

Powierzchnia powłócząca (106); ornOaeMaa HOBCpXHOCTB; 277.

Praca (27); Arbeit; travail; paóoTa; 46—

49.

Praca cząstkowa (elementarna) (27;; Ele-mentararbeit;travailelementair; ajieMeu-Tapnaa paóora; 46, 49—51.

Prędkość; Geschwindigkeit; vitesse; cko-

pOCTB.

Pręt; Stab; lamę; cTepaceHB.

Promień świetlny; Lichtstrahl; rayon du lumiere; Jiywb CB^Ta.

Prostopadłościan; gerades Parallelepipe-don; parallelipipede rectangle, npHMoft na p a Jiaeno nn ne    .

Prostopadłościan cząstkowy (elementarny), (10); gerades Elementarparallelepipe-don; parallelipipede rectangle elemen-taire; BJieMeHTapHbin npHMoii napan-JiejionnneA^ 10—11.

Pryzmat; Prisma; prisme;npn3Ma; p. nadto: graniastosłup.

Przecięcie; Schnittflache; coupe; ciKy-nąaa toiockoctł.

Przekrój niebezpieczny (42); gefahrlicher Querschnitt, Bruchąuerschnitt; coupe de rupture; onacnoe cineHie; 82—83

Przesunięcie (ścięcie) (5), (36); Verschie-bung; glissement; cKOJibateHie, CAnnrt 8, 17, 70.

Przesunięcie przygotowane (przysposobione) (20); virtuelle Verschiebung; de-placement virtuel; B03Moatnoe nepe-MiipeHie; 31.

Przesuwanie (ścinanie) (6), (7), (8), (9); Schub; cisaillement; cKajiuBanie (cpi-3biBanie) 8, 9, 10.

Przyciąganie (1); Anziehung; attraction; npHTHHtenie 3.

Przyśpieszenie; Beschleunigung; accele-ration; ycuopenie.

Punkt odosobniony (izolowany) albo sprzężony (77); isolirter Punkt, konjugierter Punkt; point isole (conjugue); bhxo-fl,am;aa Tonua, 160.

Punkty ombilikalne (106); points ombili-cals; oMSHJiHKajiBHUH toukh; 282.

Punkt podparcia; Stiitzpunkt, point d’appui; TOHKa onopu.

Punkt przegięcia p. punkt zwrotny.

Punkt przyczepienia (przytknięcia) siły (20); Angriffspunkt der Kraft (Kraftpunkt); point d’application; Tonaa npnnoate-Hia chjih; 33.

Punkt wielokrotny (77); vielfacher Punkt; point multiple; Kparaaa Tonaa; 160.

Punkt zwrotny (punkt przegięcia); Infle-xionspunkt, Wendepunkt; point d’in-flexion; Touaa nepernSa.

Reakcya p. oddziaływanie podpory.

Refrakcya p. załamanie.

Rozciąganie (4), (7), (39), (41 -43), (86); Zug; traction; pacTaaceHie 6, 8, 76—86, 189-190.

Rozciągnięcie p. wydłużenie.

Rozmach p. energia kinetyczna.

Rozmach drgań p amplituda drgań.

Rozprzestrzenialność (rozszerzalność przestrzenna czyli objętościowa) (11), (39 *, (106); raumliche Ausdehnung; dilata-bilite cubiąue; rcyonnecrtoe pacnra-perne 14, 76, 271.

Równoległościan cząstkowy (elementarny) (11); (20); Ellementarparallelepipedon; parallelipipede elementaire; 9JieMeH-TapHHH napajinenonnne^T>; 12, 32.

Równowaga (1), (20); Gleichgewicht; equi-libre; paBHOBicie 4, 31 — 36.

Równowaga naprężona (1); gespanntes Gleichgewicht; eąuilibre tendu; Hanpji-HteHHoe paBHOBtcie 4.

Równowaga naturalna (1); nattirliches Gleichgewicht; eąuilibre generał; ecTecT-BeHHoe paBHOBicie 4.

Ruch; Bewegung; mouvement;

Ruch bezwzględny (11); absolute Bewegung; mouvement absolu; aSconioTHoe ABnateHie; 11.

Ruchy skojarzone (sprzężone) (10); conju-girte Bewegungen; mouvements conju-gues; cOBOitynnua ABHffieHia 11.

Rura; Rohr; tuyau; xpy6a.

Siła ciężkości (20); Schwerkraft; gravite, pesanteur; cnjia Taatec.TH; 34.

Siła cząsteczkowa (molekularna) p. siła wewnętrzna.

Siła normalna; Normalkraft; force nor-male; HopMajibHaji cnjia.

Siła odpychająca (1), (19); Abstossungs-kraft; force de repulsion; oTTajiKHBaio-m,aa cnjia 3, 31.

Siła przyciągająca (1), (19); Anziehungs-kraft; force d’attraction; npHTHraTejib-Haa cnjia 3, 31.

Siła składowa p. składowa.

Siła sprężystości (p. naprężenie) (1); Ela-sticitatskraft; force d’elasticite; cnna ynpyrocTH 4.

Siła styczna (25); Tangentialkraft; force tangente; KacaTe.ibiiaji cnna 42 — 45.

Siła wewnętrzna (cząsteczkowa, molekularna) (1); innere Kraft; force interieure; bHytperrhh cnna (nacTHHHaa cnaa, MoneKynapHafl cujia) 3.

Siła wypadkowa p. wypadkowa.

Siła zewnętrzna (1), aussere Kraft; force exterieure; BHiuiHaa cnna 3, 4.

Siła żywa p. energia kinetyczna.

Składowa (siła składowa); Komponentę '"Seitenkraft); composante d’une force; cocTaBHaa cnna.

Skręcenie (36), (46 53), (86>; Torsion; torsion; Kpyueirie, 70, 92 114, 185—

190

Skrócenie (ściśnięcie) (4), (36); Verkiirzung; accourcissement; jinHenHoe csKaTie 7, 60 i nast., 70.

Spoczynek; Ruhe; repos; cnoKoii.

Sprężystość (elastyczność) (2); Elasticitat (Federkraft); elasticite; ynpyrocTb 5.

Statyka; Statik: statiąue; CTaTHita.

Statyka cieczy (hydrostatyka) (107); Hy-drostatik; hydrostatiąue; rHApocrraxH-na; 285 - 290.

Stożek asymptotyczny (stożek wydłużeń zerowych) (16), (39); asymptotischer Kegel; cóne asymptotiąue; aeHMirro-TEraecKiił KOHycn, KOHycb HyjieBbrai, pacTaateHiii; 21, 77.

Stożek wydłużeń zerowych p. stożek asymptotyczny.

Strzałka wygięcia p. ugięcie.

Ściąg (88); Zugstange; tirant; Tara.

Ścinanie p. przesuwanie.

Ściskanie (4), (39), (41 — 43); Druck; pres-sion; cacaTie 6, 76—86.

Ściśnięcie p. skrócenie.

Średnice sprzężone (54); zugeordnete (kon-jugierte) Durchmesser; diametres con-jugues; conpaaceHHBie AiaMerpu; 117.

Środek ciężkości; Schwerpunkt; centre de gravite; n;eHTpT> TaacecTH.

Środek drgań (105); Schwingungsmittel-punkt; centre de vibration; peHTpt ko-Jie6anifi; 265.

Środek uderzenia (54); Mittelpunkt des Stosses, Stosspunkt; centre der percus-sion; peHTpi. yą,apa; 117.

Tarcie Reibung; friction; TpeHie.

Ton zasadniczy (96); Hauptton; ton prin-cipal; ochobhhh 3ByKT>; 2B0.

Tony harmoniczne (obertony) (96); harmo-nische Tonę, Obertóne; sons harmo-niques; oSepToim; 230.

Trajektorya; Trajektorie; trajectoire; Tpa-

OKTopia

Tworzywo (materya); Stoff, Materie; ma-tiere; MaTepia.

Ugięcie (strzałka wygięcia) (36); Durchbie-gung; fleche; cTpkjnta npornSa; 70.

Układ; System; systeme; CHCTeMa.

Walec; Cylinder; cylindre; phjihhap-b.

Walec eliptyczny (walec o podstawie eliptycznej) (49a); elliptischer Cylinder; cylindre elliptique; phjihhap-b ca. oa-arrnTHaecKHMT. ocHOBanieMb, 104.

Walec kołowy (49); Kreiscylinder; cylindre cyrculaire; pEJinHApT. et npyro-BMMT> OCHOBaHieMt, 103.

Warstwa obojętna (54); neutrale Faser-schichte; fibres neutres; HeHTpajibHbiii cjioh; 116 i nast.

Węzły struny (96); Saitenknoten; noeuds de la corde; y3JiH cTpyHH; 230.

Włókno (54), (55); Faser; fibrę; $n6pa; 116-124.

Współczynnik proporcyonalności (32); Pro-portionalitatscoefficient; Koa^^npieuTT. nponoppioHaaBHOCTH; 61.

Współczynnik sprężystości (moduł sprężystości) (29); Elasticitatsmodul; coeffi-cient d’elasticite; Moąyjib ynpyrocTn; 53-57.

Współczynnik sprężystości podłużnej (31); Koefficient der Zugelasticitat (der abso-luten Elasticitat); coefficient d’elastici-te de traction; MO,nyjib ripoą,oabHOH ynpyrocTn; 50.

Współczynnik sprężystości poprzecznej (31)> (45); Koefficient der Druckelasticitat (der rtiekwirkenden Elasticitat); coefficient d’elasticite de compression; mo-,a,yjib nonepenmofi ynpyrocTn; 59, 90.

Współczynnik tarcia; Reibungscoefficient; coefficient de friction; KOBcjnjmpieHTt TpeHia.

Współczynnik wytrzymałości (40); Festig-keitszahl, Widerstandskoefficient; coefficient de resistance; Koa^fjmpieHTT, npoHHOCTH (conpoTHBaema); 79.

Wyboczenie; seitliches Ausbiegen; flechis-sement; npo₁ąojibHhiH,H3rH6rb.

Wydłużenie (rozciągnięcie) (4), (36); Deh-nung; allongement; JiniieHHoe pacTa-atenie 7, 17, 60 i nast., 70.

Wydłużeniegłówne (16), (17),(18);Hauptdeh-nung; allongement principale; raaBHoe pacTaaceHie; 20.

Wyginanie (54—77), (83), (85); Biegung; flexion; H3rhS-b; 115—166, 181, 185— 190.

Wypadkowa (siła wypadkowa); Resultante (Mittelkraft); resultante; paBHOAtfi-CTByiomaa.

Wysokość tonu (96); Tonhóhe; hauteur du ton; BHCOTa Tona; 230.

Wytrzymałość materyałów budowlanych (18); Festigkeit der Baustoffe; resistance des materiaux; 69.

Wytrzymałość na przesuwanie (ścinanie)

(44); Schubfestigkeit, Scheerfestigkeit; resistance a glissement (a cisaillement); conpoTHBJieHie e,n;BHry (cptł3BiBaHiio, CKaabiBamio, cKOJiBHceHiio). 86-90.

Wytrzymałość na rozciąganie (39 — 43); Zugfestigkeit; resistance a la traction; conpoTHBJieHie pacTHateniio; 76-86.

Wytrzymałość na skręcanie; Torsionsfe-stigkeit, Drehungsfestigkeit; conpoTH-BJieHie KpyneHiio.

Wytrzymałość na ściskanie (39 — 43); Druckfestigkeit; resistance a la compression; conpoTHBJieHie ciKaTiio; 76— 86.

Wytrzymałość na wyboczenie; Knickfestig-keit; conpoTHBJieHie npoą;ojiBHOMy H3rn6y.

Wytrzymałość na wyginanie; Biegungsfestig-

keit; resistance a la flexion; conpoTH-Bjierne H3rH0y.

Wytrzymałość złożona (44), (84); zusam-mengesetzte Festigkeit; resistance com-posee; cjioatHoe conpoTHBJieHie; 86 — 90, 184-185.

Załamanie (rcfrakcya) (106); Strahlen-brechung, Refraktion; refraction; pe-<J>paKu,isi, JiyienpeJiOMJieHie; 271.

Załamanie podwójne (106); doppelte Strah-lenbrechung; double refraction; aboh-Hoe jiynenpejioMJieHie; 271.

Zmiana sprężysta (2); elastische Aende-rung; transformation elastiąue; ynpy-roe naM&Heme; 5.

Zmiana trwała (2); bleibende Aenderung; transformation permanente; oe.Taiome-eca HawfeHeHie; 5.

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

*U 16&83

L. inw..............................................

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

.

:

A

.

¹

I

/

\

/

w

r

I:

m

?7

4

j

U

|

"i ’■*

W M

f.

A?

I

*

%

&

:

Ra

w

cs

h—4

.•

JEJ

n‘!

i

ii'

IP®

!

'i

C

H

W

7Ń

>

c

O'

£

z

>

e^z.

0"

Ol

co

PK 349/83 - 100 000

*1

- V.

>

.

m

I"

n

-

%

'i

JA

K :

1

;

i.

,

■“Ł •

r

i *

^ i'

V

Lii

* i »«r    v V

'

£ J

0

wji

r

gjl

F    Biblioteka PoMechnikiK. akowskiej

w*t'^ *

v

*r-**qĘ~'

o

o

o

o

c

tn

Cl'

Sm.

«NE

4* *$«!-<

J2

có 4

ŁT

' SL

53

F-łT

. :

- - '• t ?

MC*