•'

:m;;

й/

■ИИи

1^ЯЯ

И^И!

.

§ш

Г«ч.

якШШР

! Вддго: дИИИИр

тж

::

1111

ИвидМНВ

йШЯжЯГОШйЩ«

■

1Ж

!fl

iü!

::

...

iiülä ;Щшт Сбщгс !'В01

Ш Л fa

г/;1;

■

- • ж

:т Шй

а    -л

"*> Vi* V*

щ

-

т

-

ш

sfeSb'sS'fei 4

'

:ЙЙ

'

■

Hü

.

- *

Biblioteka Politechniki Kir»kowskie|

'

100000301438

вш|

: V fe

fl

л

Щ

/.

i

*Ш Жй

ж

Ж.

'Ш

*щж

Ь

ш

ш

Ü

4*

т

■

*>и<

■

".

Ь -

•’т:Д4.'

)•$

'

Уй:

*

VS

pfe

\у

• i \

* I

'Ш

^ 3'

■

Г ,*»•'

•;

«

у

щ

■

<4;

Ш

/ V

щ

ж

■

.-

- - ->

I

'

-

jÄyj

'l

v* •

m

.

«

X;;

m

*

■

•.

:r-

.

3P|

\

к

\

f-у

itV:' *V'

f äs

/

;-rV'

X '

•jfij

I '••

I

ЙЛ

<

■■.

*

v>

£g:

4 v-‘‘

:

CD

CD

сгэ

ос

СО

PO

CD

сгэ

ос

SkX

сэ

ОС

VI. С. <Жуковскш

профессоръ Хмператорскаго Московского ТЛехническаго Училища.

С"

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

МЕДОНИКП.

«5-

ЦЪна 4 руб. 50 коп.

Издаше для слушателей автора.

W,

Типо-литограф1я Т-ва И. Н. КУШНЕРЕВЪ и К⁰. Пименовская улица, с. д„

МОСКВА—1910.

Издано съ разрЪшешя автора.

Издашемъ завЪдывали студенты В. Н. Литновъ, Л. С. Маршакъ и А. В. Назимовъ_

с_of

C_ö

§§

ОГЛАВЛЕН1Е.

Кинематика.

Кинематика точки.

Стр.

1.    Выражеше скорости въ Декартовыхъ координатахъ ....

2.    Выражеше скорости въ полярныхъ координатахъ.....

3.    Выражеше полнаго ускорешя въ Декартовыхъ координатахъ

4.    Проекцш полнаго ускоренш на касательную и нормаль . .

5.    Девтцш.........................

12

Кинематика системы.

6.    Формулы Эйлера....................

7.    Формулы скорости точки свободнаго твердаго тФла . . .

8.    Теорема Корюлиса...................

9.    Аналитическое выражеше проекцш поворотнаго ускоренш

10. Правило для построены поворотнаго ускорешя.....

14

16

16

19

21

Динамика.

Динамика точки.

23

11.    Дифференщальныя уравненш ........................

12.    Определены уравненш прямолинейнаго движенш, производимаго силой, законъ

измФненш которой изв4стенъ........................

13.    Паденю тФлъ съ большой высоты.......................

14.    Падеше тФла въ сопротивляющейся сред^...................

—451-Движен1е тФла, брошеннаго по вертикальному направлен1ю снизу вверхъ ....    43

16.    Криволинейное движеше ..............

17.    Теорема живыхъ силъ..............

18.    Консервативность силъ природы........

19.    Поверхность уровня ...............

20.    Теорема площадей................

21.    Теорема площадей для центральной силы.....

22.    Обратная теорема площадей для центральныхъ силъ

23.    Формулы Вине (Binet)..............

27

32

38

48

49

51

54

64

67

69

71

Движете планетъ.

1ыводъ закона Ньютона изъ законовъ Кеплера

25.    В'Цводъ законовъ Кеплера изъ закона Ньютона

26.    Он

24.

гЬлеше связи между положешейъ планеты и временемъ . . . .

-г I- о

I- 00

IV

§§

С mp.

27.    Движете тела, брошеннаго подъ угломъ къ горизонту . J

28.    Отчеканю огибающей всЬхъ параболическихъ траекторШ при постоянномъ ж . .    86

29.    Движете артиллершскаго снаряда, пущеннаго подъ угломъ къ горизонту ...    89

85

Равнов'Ьею несвободной материальной точки.

30.    Равновесш матертльной точки на поверхности..........

31.    Равновесш точки на линш....................

95

97

Движете несвободной матертльной точки.

32.    Движете матертльной точки по поверхности.................

33.    Движете точки по лиши...........................

34.    Теорема живыхъ силъ для несвободной матертльной точки..........

35.    Опред-Ьлеше силы давлешя материальной точки на поверхность, по которой она

движется..................................

36.    Математическш маятникъ..........................

37.    Изохронный маятникъ............................

98

99

100

102

105

111

Объ отноеительномъ движенш матертльной точки.

113

117

38.    Динамическая теорема Корюлиса...................

39.    Задача Фуко о движенш маятника..................

Статика системы.

40.    О механической системе..............

41.    Теорема Лагранжа. Методъ возможныхъ перем$щенш

42.    О равновесш неизменяемой системы........

43.    Равновесш гибкой нити ........ • ......

44.    Задача о цепной линш ...............

124

130

143

147

153

Динамика системы.

45.    Принципъ д’Аламбера.............

46.    О движенш центра тяжести.........

47.    Теорема площадей для системы........

48.    Теорема живыхъ силъ для системы......

49.    О моменте инерщи..............

50.    Вращеше твердаго тела около неподвижной оси

51.    Физическш маятникъ.............

О принужденныхъ колебаншхъ........

53.    О свободной оси вращенш..........

54.    Движенш твердаго тела параллельно плоскости

55-.—Задачи къ динамике системы.........

158

164

171

179

183

189

190

193

198

201

206

Объ ударЗэ.

210

56.    Понятш объ ударной силе.........

210

57.    Действш ударной силы на матертльную точку

58.    Действш удара на механическую систему. Измененш движенш центра тяжести . 214

59.    Измененш главнаго момента количествъ движенш

г/л

60.    Д4шствю удара на твердое т^ло, могущее вращаться около неподвижной оси .

61.    Объ ударф шаровъ. Прямой ударъ......................

62.    Косой ударъ шаровъ

■63. Объ измЛшенш живой силы при уд^рЪ шаровъ.................

64.    Объ изм^ненш живой силы при уда}р4 неупругихъ системъ..........

65.    Ударъ шаровъ несовершенно упруги^ъ....................

■66. Ударъ шара о преграждающую поверхность. Новое значенш коэффициента воз-

становлешя

Стр.

215

218

222

222

224

226

227

Примкнете метода Лагранжа къ задачамъ на упруия системы.

67.    Работа, производимая силами, деформирующими упругш т'Ьла

68.    Теорема Кастил1ано

69.    Теорема о наименьшей произведенной работФ

70.    Теорема Мора...............

71.    Теорема Максвеля.............

229

238

245

248

Отъ автора.

Это издаше моего курса по Аналитической механик^ заключаетъ въ себй противъ прежняго издашя дв'Ь добавочныя статьи:

1)    О принужденномъ движенш.

2)    Дршгожеше метода Лагранжа къ задачамъ Строительной механики. 06t статьи представляютъ интересъ для техниковъ. Последняя статья

даетъ пр]емы решенья задачъ на неопред^ленно-статическш системы, изсл'Ь-доваше которыхъ часто затрудняетъ конструкторовъ.

Н. Жуковекш.

I\

КИНЕМАТИКА.

Кинематика точки.

( § 1. Выражены скорости въ Декартовыхъ координатахъ. Движете точки^въ пространств^, разсматриваемое относительно прямоугольныхъ осей координатъ, дается уравненшми:

3 = y{t).

Исключая изъ нихъ t, получаемъ уравнены траекторш движенш точки:

y = F(x), 8 = F₁(X).

Обозначимъ скорость точки по траекторш че-резъ v (фиг. 1), а углы, образуемые векторомъ v съ осями дг, /, z,—черезъ а, ß, у.

Фиг. 1.

Па основанш известной теоремы: _проекцгя скорости точки на какую-либо изъ осей равна ско- Т рости движенш проекцш точки по этой оси, им’йемъ:

пр !rv = f'{t\₁_

(А)

пр yv = <p'(t), пр ,v = 1p'(t),

или

v cos а =

V cos ß—

cly

dt’ I

(В)

dz

V COS У =-ж .

Возводя въ квадратъ и складывая полученныя равенства, находимъ:

Но по известной теореме аналитической геометрш имйемъ:

cos²a -j- cos²ß -f- cos²y — 1,

а потому:

/ (dx\l

dz\²

(1)

Знакъ передъ корнемъ берется только положительный, такъ какъ v представляетъ абсолютную величину скорости, направлеше же ея определяется углами а, ß, у, определяемыми изъ уравнешй:

dx

dt

cos а =

dy

dt

cos ß =-

(2)

dz

cos у

dt

Пользуясь ур-шми (1) и (2), разберемъ следуюнцй примеръ. Даны уравненш движенш:

х — а cos cotß у = b sin wt, z = 0.

Требуется определить траекторда и скорость движенья.

Для определенш траекторш изъ первыхъ двухъ уравненш исключаемъ t\ находимъ:

/^2    о/2

—г- -\-    = cos² cot sin² cot = 1.

Следовательно, движете совершается по эллипсу.

Скорость этого движенш найдемъ въ формуле (1), для чего изъ данныхъ уравнешй

clx dy dz dt ’ dt ’

определяемъ значенья производныхъ -щ-,

Получаемъ:

dx

dt

, а

— Clo) sin cot = — -у о) У,

= bco COS oot — — ft) X, а

Подставляя въ формулу (1), получаемъ:

Направлеше скорости находимъ ио формуламъ (2):

cos а =

cos ß

dx

dt

. -dy

dt

~ЬУ

V “p” У

j § 2. Выражеше скорости въ полярныхъ координатахъ. Полярными координатами пользуются при изслйдованш движенш подъ дМствюмъ центральныхъ силъ. Такое движете, какъ это мы увидимъ впоследствии совершается въ плоскости, а потому выведемъ формулы скорости въ полярныхъ координатахъ лишь для движенш въ плоскости (фиг. 2).

Уравнешя такого движенш будутъ:

где г есть рад1усъ векторъ, а <р — уголъ его съ осью Ох.

Отсюда, исключая t, можно определить уравнеше траекторш:

1~г== F (ф).

При з = О (движете совершается въ плоскости) формула скорости (1) принимаетъ видъ:

•=С(Э‘+(1)

(!')

По формуламъ перехода отъ Декартовыхъ координатъ къ полярнымъ

имеемъ:

/х

= Г COS ср

у = r sin ср.

(а)

Отсюда, замечая, что г и <р суть функщи t, находимъ:

clx_dr

dt dt

cos <p — r sin p

d<p

dt ’

dy_dr

_ sin 9> + гшд>

dcp

(b)

dt

Возводя въ квадратъ и складывая, находимъ:

®+('!)4§)'+'•(#)■

откуда сл^дуетъ, что

dcp\² dt

TO

;4V

/g.

<-/7ы

Фиг. 2.

N/

'чур

Обозначая проекцию скорости на рад1усъ векторъ че-резъ vr, уголъ между ними— черезъ 6, а углы скорости v съ осями х и /—черезъ а и /?, им'Ьемъ:

Vr = V COS вi

а такъ какъ

e = COS<p cos a-f    - COS &

Пользуясь ур-шми (2), находимъ:

dx dt 9)—-

fcos(|—9.)

dy

dt

а зат’Ьмъ, принимая во внимаше ур-ш (Ъ) и д!злая соответствующая сокращены, находимъ:

vr - COS cp

dr

dcp

dt

COS cp — r sin cp

j -j- sin cp ^

dr

d<p

-Jtsin<p + r cosvTt

Итакъ:

б/г

(4)

т.-е. проекщя скорости na paöhicb векторъ равняется скоштт излтнешя величиньГ padiycd сект ора.

!|

Проекщю скорости на перпендикуляръ къ paдiycy вектору обозначимъ черезъ vp. По теоремй Пиеагора

/ V² = vr² -f- v/.

Подставляя сюда выраженш v и vr изъ (3) и (4), находимъ:

(!М£И*)

откуда:

а®

г

dt

(5)

Дал'йе, изъ прямоугольнаго треугольника MNL (фиг. 2) находимъ:

tg& —

NL

v

jp .

MN

vr'

drp

г

tg 6

dt

dr

(6)

dt

Итакъ, основныя кинематическгя формулы для полярныхъ координатъ

таковы:

(3)

(4)

dr

dt

tgß

dw

Г -TT-

dt

(5)

dw r —fr

dt

dr

(6)

dt

Величина vr называется скоростью скольжешя по уадфсу вектора, н , обозначаемая обыкновенно греческой буквой со, называется угловой

———    'i£z=S2₌₌₅

a>

скоуостъю vaöiiica вектора.. Кромй того, сл'йдуетъ обратить внимаше на sie г² называемое секторальной скоростьВывести ее можно такъ: пусть въ некоторый моментъ времени движущаяся точка находится

въ положеши М (фиг. 3). Площадь М^ОМ, описанную рад1усомъ векторомъ, обозначимъ черезъ о. Спустя безконечно малый промежутокъ времени dt точка перейдетъ въ положены Приращены МОМх площади, описываемой рад1усомъ векторомъ, обозначимъ черезъ da. Площадь МОМх въ предЬл'Ь равна площади сектора MON, такъ какъ площадь фигуры MNM\ есть безконечно малая величина второго порядка. Поэтому

da =

~ г dy , г — г² dy.

— —

'S

у,'

о<*

'>Лч

н\Ч

намъ

/Разд'Ьливъ на dt, получимъ нужное__

выражён1е секторальной скорости:

lra dy^do 2 dt dt ’

da

при чемъ -щ- даетъ скорость изменены величины площади,__описываемой рад1усомъ

векторомъ, —^этю__и_ будетъ ~сёктШ)аЯт^я лттрплтт.

ПримРнимъ полученный формулы (3—6) къ двумъ случаямъ движенш. I. Определить величину и направлены скорости движенш, даннаго уравнешямн:

Фиг. 3.

г — Tee, 'j

(«)

,=tJ

Исключая t, находимъ уравнены траектории

отсюда видно, что траекторш нашего движенш представляетъ собою логариемическую спираль, обладающую свойствомъ асси-мптотически приближаться къ полюсу 0 (фиг. 4) (г = 0 при

е/

(р= — оо).

Величина скорости и ея направлены определяются форму-

\ QV

~4(\

лами (3) и (6).

Изъ ур. (а) находимъ нужныя намъ выражены производит- dw — и —— : dt dt

ныхъ

dr

=,;l

Фиг. 4.

(?)

d<p

dt а

Подставляя ихъ въ (3) и (6j, находимъ:

v = }/r* + r2. -1- = г у 1 +    ;

tq в = г. — : г= — = const.

J    а    а

пред’блить направлена скорости точки, движущейся по эллипсу (фигура 5). Обозначимъ скорость точки М черезъ v, а проекцш скорости на рад1усъ векторъ и перпендикуляръ къ нему соответственно черезъ vr и vp.

ИзслФдуя движете въ полярныхъ координатахъ и принимая за полюсь одинъ фоку съ эллипса, F, имФемь, согласно (4):

С,

,А

dr

Ъ'г~ dt ’

Принимая за полюсь другой фокусъ, Fu

получаемы

dr*

F,

v«=-dT

А такъ какъ г +    — 2а, то, дифференци-

руя, получаемъ:

dr

Фиг. 5.

и, следовательно,

Мы имеемъ далее:

vr = — г'п.

vr — МА,

поэтому

Vr=-MB;

МА — — (— МВ),

или

МА = МВ.

Изъ равенства прямоугольныхъ треугольниковъ MAC и МВС находимъ:

/ СМ А — / СМ В.......

Это значить, что направление касательной къ эллипсу делить.подоламъ уголь между

jtaiiycüMb еектироигь И'Чшшюлжетемъ другого раДуса вектора.    --------- ------

Подобный способъ определена направлены касательной, разсматриваемой какъ направлены скорости, предложенъ Робервалемъ.

§ 3. Выражеше полнаго ускорены въ Декартовыхъ координатахъ.

Полное ускорены можетъ быть пред-Ni ставлено векторомъ, выражающииъ геометрическую производную скорости по времени. На фиг. 6 полное ускореше представляется отрезкомъ

v,

МК — Пт

NL

у-

Фиг. 6.

Для определены полнаго ускорены j, воспользуемся теоремой кинема-

проекщя полнаго ускорены на____

тики: _ _______

какую-нибудь ось равна ускорешю вк прямолинегшомъ движенги проекцш точки по этой оси.

ИмТемъ :

nPyJ — JCOSfl =

d*y

dt²

(С)

npzj =] COS V

d*z

dt²

где ; есть полное ускореше точки М, а Я, у, г — углы, образуемые уско-решемъ съ осями координатъ х, у, z.

Возводя полученныя уравненш въ квадратъ и складывая, находимъ:

rf²:r\²    [d%y\*

dt²

dt²

rfö²

(7)

Формулой (7) дается абсолютная величина /; направлен^ же определяется изъ формулъ:

cos Я =

COS (I

dt²

• J,

(8)

cos т

Возьмемъ для примера знакомыя уже намъ уравненш движенья:

(Г)

х = а cos o)t, у — Ъ sin o)t, г = 0.

Требуется определить полное ускореше j.

Движеше, очевидно, плоское. Исключая изъ первыхъ двухъ уравненш t, получаемъ уравнен1е траектории:

■I-

б²

1.

•" о.

J<V ' N

(фиг. 7).

Это есть уравнеше эллипса съ полуосями а и Ь

При z = 0 формула (7) принимаетъ видъ:

'-r'lSf+tSr

(Г)

Фиг. 7.

Но въ данномъ случае (см. стр. 2)

или, принимая во внимаше, что

t'

ds

находимъ:

-гsr = — w². a cos cot — — (jflx, dt¹

cPy

— — cfi-Ъ sin (üt = — сочу, dt2    a

Подставляя эти выраженш въ (7х), находимъ:

(д)-

j — dfl Vx* -|- «/² = to²r,

где г есть рад1усъ векторъ ОМ. Следовательно, j есть функцш рад1уса г. Направлеше j определяется углами Я, у, v по уравненшмъ (8) и (6). Находимъ:

cos Я = —

COS (Л — —

М²Г

cos v — Q.

Косинусы угловъ, образуемыхъ рад1усомъ векторомъ съ осями координатъ, отличаются отъ найденныхъ выраженш лишь знаками. Это показываетъ, что ускореше направлено по рад1усу вектору къ центру.

§ 4. Проекцш пол наго ускорены на касательную и главную нормаль. Для вывода искомыхъ формулъ проекцш, jv полнаго ускорены на касательную и проекцш, jn, полнаго ускорены на нормаль, преобразуемъ сначала выражены вторыхъ производныхъ, входящихъ въ уравнены (8).

и разсматривая х, какъ функцш прой-

Замйчая, что

деннаго пути s, а пройденный путь s—какъ функцш времени t, напишемъ:

d*x

dt*

а|§-

dx ds \ ds 'dt ]

d‘zx _d i dx\ dt* dt VV ds I'

Дифференцируя дал^е по правилу дифференцированы произведены,

нолучимъ:

Sc

dx

ds

dx dv

dx

ds

ds

dx dv

^ , d Idx ds ’ dt ~V ds l ds

äs dx dv

dt ds ’ dt '

d*x

ds²

■V,

что окончательно даетъ выражены для щху:

d‘lx    dx dv . ₂ d²x

ds²

dt²    ds dt'V

Аналогично находимъ выражены для пр j и прzj:

d*y

d*y du dv ,    „

Ж = Ж'Ж + г’

ds²

d^z

öfc>²

dz dv ,    ₉

dt* ds dt ' l>

Пусть a, ß, у суть углы^обра.чуемые касательной къ траекторш съ осями координатъ, а а, Ъ, с — углы, образуемые главною нормалью съ ТуйМи же осями. Въ анализй, въ главй о кривизн^ 1-го рода, доказываются сл’йдующы формулы:

V/ dx

// J^~~C0Sa'

dy

lE=C0Sß’

dz

d*x cos а Q ’ d*y cosb Q ’ d*z cosc Q ’

ds²

ds²

d \-äs = C0S7’

гд^ p есть рад1усъ кривизны траекторш въ разсматриваемой точкй М, а s — дуга кривой (фиг. 8). Подставляя эти выражены въ (9), получаемъ окончательно:    /

ds²

d*x dv

dt* dt

d*y__dv

dt²    dt

, v*cosa

COS d —I--,

__    Q

л . v*cosb

cos ß 4-----,

Q

(10)

d*z

dv

dt² dt

, v*cosc

cos у -+- —-.

Q

/Ъ

Формулами (10) мы и воспользуемся при выводЪ выражены проек-цш полнаго ускорены на касательную и нормаль.

Изъ чертежа имйемъ:

V/

jt = MN—j cos 0,

Фиг. 8.

гдй в есть уголъ касательной съ на-правлешемъ ускорены.

Обозначая далйе углы вектора

МК съ осями черезъ Я, у, т, получаемъ:

^,СО8-0~— COSXi cos Я ~f~ cos ß cos у -f- cos у cos V,

*    .    ют*¹ Miwri—Hi     п—япт——

jt =j (cos а cos Я 4- cos /9 cos-1- cos / cos r)

(11)

такъ что

Для преобразованы формулы (11) воспользуемся уравненшми (8) и (10). Получаемъ:

COS Я

d²x .

dt²

dv . v²cosa

äcosa + —-

'J-

Аналогично находимъ:

dv

COS fl = ₇cosß-\

v²cos Ъ

- • • (12)

dt

• ),

COS V =

(dv . v²cosc\

Ысо^+~г~)

Подставляя эти выражены косинусовъ въ формулу (11), находимъ:

dv

ft = (cos² а -|- cos² /9 -f- cos² у) -J- — (cos а cos а -j- cos /9 cos 5 -j- cos / cos c).

Первая сумма въ скобкахъ равна единице., а вторая, какъ выражаю-щая косинусъ угла между перпендикулярными лиными, равна нхдж. Следовательно:

dv

dt

(13)

Точно также для jn получимъ:

jn = MN¹ —j cos в₁.

Производимъ здесь подстановку, сходную съ предыдущей, а именно,

пишемъ:

jn = У cos 6Х =j (cos а cos Я cos£ cos ^ 4- cos с cos г),

МММ»

где а, Ь, с суть углы главной нормали съ осями координатъ. Далее, въ виду (12), получаемъ:

dv

уге = — (cosa cos«-f-cosö cos/9-|-cosc cos/)-f- — (cos²a-f-cos²&-|-cos²c),.(14)

dv

a такъ какъ сумма въ скобкахъ при -гг

^ есть нуль, а при —

— единица,

то получаемъ окончательно:

§ 5. ДевтиДя. Девыцш есть кинематическШ элементъ, даюшдй въ динамик^ представлеше объ эффекте дМствш силы за данный исчезающе малый промежутокъ времени т. Пусть ММ' есть траекторш движенш точки (фиг. 9). Если бы въ данный моментъ М сила перестала действовать, а точка имела бы уже скорость v, то въ следующей промежутокъ времени г точка, по закону инерщи, прошла бы прямолинейный путь МК — vx\ а такъ какъ на самомъ деле сила не перестаетъ действовать, то точка во время г при-детъ не въ К, а въ М'. Следовательно, результатъ действш силы за этотъ промежутокъ времени характеризуется хордой КМ\ называемой девгацгей. Будемъ обозначать ее буквой В. Основная теорема о девтцш можетъ быть формулирована такъ:

Теорема. Девшцгя направлена параллельно полному ускорепгю j и равна пути, пройденному за время г равномтърно ускореннымъ движешемъ съ ускорешемъ j.

Положимъ, что уравненш движе-вш будутъ:

VT,

X = f(t),

y = v(t),

X=<p(t).

w

ш[хШ~ут\

V !L

<3 = 0,

/;== о, /■* = о, /;=о,

Фиг. 70. - у

ду = бух = = 0.

J = Mq*

Итакъ, при движенш твердаго тела параллельно некот

(*’i — Щ),

(Q, Q')-

WYDZULT P0L1TECENICZNE KRAKOW

y = v(t),

z = V>(t).

У'

О,

и'

Фиг. 9.

Пусть положеше матершльной точки М соответствуете времени t, а положена М' — времени (t-\-т), такъ что, если От есть x=f(t), то От' есть

Для доказательства теоремы воспользуемся равенствомъ, получаемымъ изъ фиг. 9:

прХМ'К — прXD - mm' — mk.

Но

Поэтому:

mm' — Om' — Om =f(t -j~ r) — f (t) ; mk= npXMK = v т COS а — x ~^r = т Г00-

. (16")

Разлагая    x) въ рядъ по строке Тейлора, находимъ:

т²

nt) Л-...

НОН-

т³

1.2.3

ПОНf

Подставляя въ (16") и сокращая, находимъ:

np;cD

г²

но

т³

1.2.3

ПО

х¹

П1) Л- • • .(16')

Пренебрегая членами

т³

1.2.3

Г(*Н

г⁴

/"IV(0 + • • • > какъ безконечно

1.2.3.4

малыми высшаго порядки, сравнительно съ членомъ f" (0? получимъ изъ (16') проекцш девтцш на ось х:

г²

прлХ>

т²

/"(«) =

ddx

Т .2 Ш '

т²

Аналогично можемъ написать:

пРу®

т²

?>"(*)

т² ddy

ГТ2 I²’ ’

(16)

Отсюда находимъ

пр₂Х>

т²

Г(<)

т²

d²z

1.2 dt² ’

r²

d²x\² . (ddyy

oft²

$²

d²z\²

dt² j ’

(17')

что, въ виду (7), принимаетъ видъ:

т²

1.2 '

(17)

Направлен^ девтцш определится такимъ образомъ: обозначая углы вектора D съ осями координатъ черезъ Я, у, у, имеемъ:

откуда:

прXD = D. cos Я; ПР,-^

cos Я

что, въ виду (16) и (17), переписывается такт»:

d²x

cos Я

dt²

Аналогично:

/ (d*x\* . [d²y\² . /d²£\²

j/ Ы+ио+Ы

Ja# ^

I ¹⁰

d²y

COS ,0 = -

dt²

/ (d*xy . (dHjy . /d²£\²

1/ Ы+(ж) + Ы

d²Z

cosy —

dt²

/ /d*xy . tddyy . (d*zy

У Ы+(ж)+Ы

с-ь. К? ¹⁰ ^

Но таковы же были выражены косинусовъ угловъ, образуемыхъ векто-ромъ j съ осями координатъ (см. ур. 8). Следовательно: девшцгя параллельна полному ускоренгю.

Сопоставляя выражены

JD

т² .

1 .2

съ формулой

at*

S =

заключаемъ, что D есть путь, пройденный въ равномf.рно-ускоренно мъ движенш съ ускорешемъ j за время т.

Кинематика системы.

о)

■*/    § 6. Формулы Эйлера. Эти формулы выражаютъ проекщи скорости

X\d

какой-нибудь точки твердаго тела, ра щающаюся около неподвижной точки, на прямбугольныя оси координатъ, имеюнця начало во этой же неподвижной точюъ. По теореме, доказанной въ элементарномъ курсе кинематики, все движете тела, въ продолжеше весьма малаго промежутка времени, приводится къ его вращенш около некоторой мгновенной оси 0L (фиг. 10), проходящей черезъ неподвижную точку, съ некоторой угловой скоростью со.

У'

Фиг. 10.

Примемъ точку О за начало пря-моугольныхъ осей xyz и отложимъ на оси OL векторъ со такъ, чтобы наблюдатель, смотрянцй изъ конца вектора въ его начало, виделъ вращеше тела, совершающимся по часовой стрелке. Назовемъ проекцш этого вектора на оси координатъ х, у, z соответственно черезъ р, q, г.

Скорость v какой-либо точки тела М выражается формулой:

v — cod,

где d = MN есть длина перпендикуляра, опущеннаго изъ точки М на ось вращенш. Очевидно, что направленю этой скорости будетъ перпендикулярно къ плоскости треугольника 0MN. Легко усмотреть, что векторъ v, представляющей найденную скорость, геометрически равенъ моменту пары (со, со'), которую мы нашли бы, если бы разсматривали угловую' скорость со, какъ силу, и приложили бы къ точке М другую силу со', равную со, параллель-

15 —

яую ей и направленную въ обратную сторону (моментъ такой пары выразился бы также произведешемъ cod).

Проведемъ векторъ v черезъ точку 0 и постараемся составить выражены его проекщй по осямъ координатъ, пользуясь теоремой статики: проекцш момента пары на какую-либо ось равна суммгь моментовъ силъ, составляющихъ пару, относительно разсматриваемой оси:

прлМ) = тх(ю) + тх (со') = npxv.

Но

^х(со) = 0,

такъ какъ векторъ со перес^каетъ ось Ох. Что же касается тх(со’), то мы составимъ его по аналитической формул^ момента силы, принимая во вни-маше, что координаты точки М суть: х, у, z, а проекцш вектора со' суть: (— р), (—q), (—г), потому что векторъ со' направленъ въ противоположную сторону сравнительно съ векторомъ со.

Такимъ образомъ получаеыъ:

тх(со') = у (— г) -z( — q) = qz — ry.

Тч

Такъ что, окончательно, для проекщй вектора v на Ох находимъ:

npxv — qz — ry.

Аналогично для проекцш вектора v на оси 0у, Oz:

o>f~

(19')

np2/V = rx—pz,

np zv =py — qx.

Такимъ образомъ получаемъ систему уравнешй Эйлера для проекщй скорости v на оси координатъ:

пр xv = qz — ry,

прих = гх— pz,

KZ-

• V . (19)

прzv = py — q;X. /

При этомъ вывода мы воспользовались соображеными изъ области статики; но это сделано совершенно законно, такъ какъ соображены эти чисто геометрическаго характера и относятся какъ къ силамъ, такъ и ко всякимъ другимъ векторамъ. Величины р, q и г въ формулахъ Эйлера суть проекцш по осямъ угловой скорости со, такъ что

со = j/p² -]- 2² -f- г².

Пусть начало О неподвиоюныхъ осей координатъ совпадаетъ въ разсма-триваемый моментъ времени съ той именно точкой тела, по которой мы опред'Ьляемъ его поступательное движете (фиг. 10). Назовемъ скорость разематриваемаго поступательною движенш этой точки черезъ wK Искомая скорость и какой-нибудь точки М твердаго тела будетъ теперь геометрически слагаться изъ скорости w и скорости v во вращательномъ движенш тела около оси, проходящей черезъ точку Ö, т.-е.

§ 7. Формулы скорости точки свободнаго твердаго т1>ла. Для опре-д1злешя проекщй по осямъ координатъ скорости точки свободнаго твердаго тела мы можемъ воспользоваться теоремой кинематики, о разложенш раз-сматриваемаго движенш на поступательное движете со скоростью какой’-нибудь точки тела и на вращательное около оси, проходящей черезъ эту"* точку.    "

(20')

Скорость v находится согласно съ изложеннымъ въ предыдущемъ параграфе, и ея проекцш по осямъ координатъ могутъ быть выражены •формулами Эйлера.

Составимъ проекцш по осямъ координатъ вектора и, принимая во вни-маше формулу (20'). Когда векторы складываются геометрически, то ихъ проекцш складываются алгебраически; поэтому, по формуламъ(19) и (20'), им'Ьемъ:

(20)

пр(/ и = пр;/ /г гх —7>.г, пр₂г^ = пр₂гс -\-ру — qx.

Полученный формулы выражаютъ проекщй скорости какой-нибудь точки свободнаго твердаго пгп>ла на неподвижныя оси координатъ.

§ 8. Теорема Корюлиса. Въ элементарномъ курсе кинематики доказывалась теорема о сложенш полныхъ ускорешй, т.-е. находилось полное ускореше абсолюгпнаго движенш точки по полному ускоренно относительного движенш точки по движущейся траекторш и полному ускоренно переносного движенш самой траекторш относительно неподвижныхъ осей координатъ. По при этомъ делалась оговорка, что предложенное доказательство теоремы применимо лишь къ случаю перем'йщенш траекторш параллельно самой себе,— следовательно, траекторш разсматривалась двигающейся поступательно, безъ вращент. Теорема Корюлиса о полномъ ускоренш сложнаго движенш разематриваетъ общш случай, въ которомъ траекторш движется произвольно.

Дадимъ геометричесшй выводъ теоремы Корюлиса, пользуясь теоремой о девтцш (см. стр. 12).

Представимъ точку, движущуюся по траекторш AB (фиг. 11). Скорость этого огпносипгельнаго движенш обозначимъ черезъ и. Сама траекторш AB

движется въ пространств^, при чемъ точка ея А описываетъ кривую АЕ. Скорость этого переноснаго движенш обозначимъ черезъ w.

Отъ сложены этихъ двухъ движешй получается абсолютное движете по траекторш AL, со скоростью v.

Построимъ девтцш каждаго изъ упомянутыхъ движешй точки.

Находясь въ А и обладая скоростью относительная движешя и, наша точка, спустя исчезающе малый промежутокъ времени т, займетъ на траекторш AB положены С. Отложимъ на касательной АТ отр-Ьзокъ AN—иг. Девтцш относительнаго движенш будетъ NC. Разсуждая такимъ же образомъ, найдемъ, что девтцш переноснаго движешя представляется векторомъ НЕ, при чемъ АН — гиг.

Складывая по правилу па-к раллелограмма векторы AN = их и AH—wt, получимъ векторъ АР. Зд'Ьсь AP=vт, потому, что, если бы мы складывали векторы и и го, то получили бы векторъ v, выражаюгцш абсолютную скорость (по правилу параллелограмма скоростей); наши же векторы отличаются отъ этихъ лишь множителемъ т. Если же AP=vt, то девтцш абсолютная движенш точки равна PL, ибо въ абсолютномъ движенш точка опишетъ кривую AL. Новое положены траекторш AB, спустя время т, будетъ ЕК, а новое положены точки С будетъ L.

Представимъ теперь девтцпо абсолютнаго движешя въ вид^ геометрической суммы. Для этого черезъ точку Е проведемъ прямую ER, равную и параллельную AN, и прямую EQ, представляющую новое положены вектора AN. Проведемъ лиши PR, RQ, QL. Изъ фигуры (11) видно, что геометрическая сумма этихъ трехъ отр'Ьзковъ равна вектору PL.

nV"'

их

fC

*\

VT /

.А"

\

/о

Фиг. 11.

/²

2/

PL — PR Ч- HQ 4- QL . . ,

(21)

Полное ускорены абсолютнаго движещди обозначимъ черезъ j, полное ускорены оттосительшпй^ш^&зъ^а. полное ускорены переноснаго черезъ I. Выяснимъ значенш векторовъ, входящихъ въ равенство (21). Мы имгйемъ по формуЛ'й (17):

PL —

г² .

PR = НЕ —

т²

Аналитическая механика.

18 —

Векторъ RQ представляетъ разстояны, описанное концомъ вектора их, повернувшагося во время т, около мгновенной оси вращены zz (траекторы AB движется не поступательно). Опустимъ изъ точекъ R и Q перпендикуляры на ось zz, которые пересекутся въ центре вращены 0. Хорда RQ безконечно мало отличается отъ дуги RQ, описанной точкой R во время т, такъ какъ уголъ поворота ROQ при безконечно маломъ т тоже безконечно малъ. Обозначимъ угловую скорость вращены около оси zz черезъ со, тогда получимъ:

RQ = coOR т .

Но, обозначивъ уголъ между осью zz и направлетемъ скорости относительнаго движены и (т.-е. уголъ zER) черезъ в, получимъ изъ прямо-угольнаго AORE, что

OR — ER sin 6 = их sin в.

Подставляя значены OR въ предыдущее равенство, получимъ:

RQ = г^ ом Sin О.

Что касается направлены вектора RQ, то этотъ векторъ перпендику-ляренъ къ оси zz и скорости относительнаго движены и. Наконецъ, изъ фиг. (11) видно, что векторъ QL по абсолютной величине равенъ NC и,

следовательно, равенъ девтцш скорости и, т.-е. по формуле (17)

переходя къ пределу, при т = 0, получимъ совпадете положены траекто-рш ЕК съ AB, а потому и совпадете векторовъ QL и NC. Отсюда заключаема что въ пределе векторъ QL имеетъ направлены ускорены д.

Итакъ, находимъ:

т²

1.2

д• Но,

QL = NC =

9‘

Возвращаясь къ равенству (21) и вставляя въ него найденныя выражены векторовъ, получимъ: ,

г2    т2--т

jj=jlJrT%cousine^r-g . .

. • . (2й#)

Помноживъ обе части этого геометрическаго равенства на

г²

, получимъ:

(22")

j — l-{-2 сои sin в -f- д

Произведенное нами умножены обеихъ частей геометрическаго равен-

9

ства (22') на—* съ геометрической точки зрены соответствуетъ пропорциональному измененш абсолютныхъ величинъ векторовъ, представленныхъ

Выведенная формула даетъ ’ следующую теорему Корюлиса: полное _ ускорение сложиаго движент равно геометрической суммть трехъ векто-ровь: полного ускорены относительного движент, полного ускорены переносного движент и поворотного ускорены.

Посмотримъ, когда поворотное ускорены к обращается въ нуль. Это имеетъ место:

0;

1) если со

тогда движете траекторш поступательно, и

(22"')

2) если и = 0;

тогда точка не имеетъ относительнаго движент, и

(221У)

3) если sin0 = 0, или 0 = 0;

тогда скорость относительнаго движенш точки параллельна оси вращенш траекторш, и

(22у)

членами уравнены, безъ изменены ихъ направлены. А такъ какъ равенство (22') характеризуетъ замкнутость ломаной лиши PRQLP, то умножены 2

соответствует^ построены) новаго многоугольника AR'CfL'A,

стороны котораго параллельны и пропорцюнальны сторонамъ многоугольника

2

PRQLP, при чемъ факторъ пропорциональности равенъ —

его на

т²

Въ найденномъ

многоугольнике замыкающая сторона AL' —j представляетъ геометрическую сумму векторовъ AR'— I, Q'L' = g

т²

и R'Q' = к = 2 сои sin 0

(23)

Этотъ последшй векторъ 1: называется поворотиымь ускорешемъ: онъ перпендикуляренъ оси вращенш и скорости и относительнаго движенья.

На основание сказаннаго имеемъ:

Gc«

3 — l+k + 9

(22)

3=1 + 9

§ 9. Аналитическое выражены проекщй поворотнаго ускорены.

Пусть некоторая точка движется по траекторш AB, перемещающейся относительно осей координатъ х, /, z (фиг. 12).

Въ разсматриваемый моментъ времени точка находится въ положен!и М. Проведемъ черезъ М оси х\ у, z', параллельныя осямъ z, /, z. Обозна-чимъ скорость точки по траекторш черезъ и, мгновенную ось вращенш траекторш черезъ ML. Проведемъ черезъ точку D, лежащую на конце вектора относительной скорости и, плоскость Q, перпендикулярную къ оси ML, и пусть плоскость Q и ось ML пересекаются въ точке С.

Векторъ к, какъ сказано выше, долженъ быть перпендикуляренъ вектору и и оси вращенш AfZ, а потому и плоскости DMC. Поэтому онъ, во-первыхъ, имея общую точку D съ плоскостью Q, самъ будетъ лежать въ этой плоскости, ибо плоскость Q перпендикулярна къ MC, и, во-вторыхъ, будетъ перпендикуляренъ къ прямой CD, лежащей въ плоскости CMD, по той же причине.

Следовательно, векторъ к будетъ касательнымъ къ окружности, описываемой точкой D при вращенш около оси ML.

Въ предыдущемъ параграфе мы получили (23), что

14.

к = 2 сон sin О

(23)

Но изъ прямоугольнаго треугольника DCM заключаемъ, что

d = DC — DMsinO = и sin6.

Следовательно,

к = 2 cod.

С/

м,

О,

А"

У'

Фиг. 12.

cod равна скорости движенш точки D при вращенш ея | "ML 6ъ угловой скоростью со. j Такимъ образ опт» поворотное уско- j рент равно двойной скорости вра- j щательнаго движенш точки D и на- [ правлено по этой скорости. Слёдова-1 , тельно и проекцш поворотнаго уско-ренш на оси координатъ будутъ равны двойньшъ проекцшмъ на эти оси скорости движенш точки D. Величины же проекщй скорости точки D, имёющей координаты х, /, z\

Величи:

около оси

выражаются по формуламъ Эйлера (19) такъ:

пр    -ту'),

пр fÄ = 2(rx' — pz'), пре» к = 2 {ру' — qx').

— 21

Изъ фигуры (12) видно, что координаты х', у', z точки D равны проек-цымъ скорости и на оси х\ /, z'. Всл'йдствы параллельности этихъ осей съ осями х, у, z находимъ, что

Х' = ЩхЩ

у' = щуа\ z' = прг и.

Сд1злавъ подстановку этихъ выражешй въ уравнены (24'), получаемъ окончательный формулы проекщй поворотнаго ускорены на оси координатъ:

(24)

прл к = 2 (q . пр₂ и — г . пру и), пру к = 2 (г . прж и — р . пр₂ и), прзк = 2(р. пр;/и -д. прхи).

§ 10. Правило для построены поворотнаго ускорены. Мы доказали что поворотное ускорены выражается формулой:

(23)

к = 2 сои sin 6

и по направленно перпендикулярно относительной скорости и и оси враще-нш траекторш. Отсюда можно дать правило для построены его.

•В

Фиг. 13.

Проектируемъ относительную скорость и на плоскость N, перпендикулярную къ оси вращены (фиг. 13). Проекцы будетъ MC=usinO, гд'й 6 уголъ и съ осью вращены zz. Умножимъ эту проекцш на 2 со. По-лучимъ векторъ MH = 2сои sin 6. Чтобы сделать его перпендикулярнымъ къ и и zz, поворачиваемъ его на прямой уголъ около оси zz. Тогда онъ приметъ направлены вектора Мк и представитъ поворотное ускорены. Вращены надо совершать въ сторону вращены траекторш; это сл'йдуетъ изъ даннаго геометрическаго доказательства теоремы Корылиса.

Отсюда правило:

jmo6u получить поворотное ускоренге, надо относительную скорость спрос,купировать на плоскость т перпендикулярную къ оси вращенгя туаек торги, умножить на двойную угловую скорость гг повернуть на прямой уголь въ сторону вращепгя траекторш.

Определить поворотное ускореше точки, движущемся равномерно со скоростью v по меридшну и находящейся на широте <р, при вращательномъ движенш земли вокругъ ея оси (фиг. 14).

f\v

---f-----Г"

На основаши правила, известнаго

„öl

изъ элементарнаго курса кинематики, вра-щеню около оси NS со скоростью ш можетъ быть заменено вращешемъ около оси ML съ тою же угловой скоростью а> и поступа-тельнымъ движешемъ точки М со скоростью (оРМ. Проведя плоскость N, перпендикулярную къ ML, спроектируемъ на нее скорость V.

Проекцш

отрезкомъ

I,

выразится

MD = v sin <р. Его надо умножить на 2ш и повернуть на прямой уголъ въ сторону вращенш земли. Получимъ векторъ

Фиг. 14.

к — 2u>v sin <р.

ДИНАМИКА.

Динамика точки.

§ 11. Дифференщальныя уравнешя. Въ основу динамики матертль-"ной точки ложится следующая теорема о связи между действующей силой и полнымъ ускорешемъ:

сила направлена по полному ускоренно и равна произведению полнаго ускорены на массу.

Для прямолинейнаго движешя теорема эта была доказана въ элемен- | тарномъ курсе. Докажемъ ее для криволинейнаго движенш, пользуясь теоремой о девыцш.

По второму началу динамики (законъ независимости действш силъ) движенпГточки отъ дМствш силы и по инерцш слагается кинематически изъ движений, происходящихъ отъ этихъ двухъ причинъ отдельно. Поэтому z    движете точки М по траекторш ММ'

vz

М,

(фиг. 15) слагается изъ двухъ движе-н!й: jBO-первыхъ, .изъ движешядюднер^ щи со скоростью_рл которая въ исчезающе малый промежутокъ времени т

Фиг. 15.

приводитъ точку М въ N, где MN—vг, и, во-вторыхъ, изъ движенш точки подъ действюмъ движущей силы, при-х водящей въ тотъ же промежутокъ времени матерыльную точку изъ N въ М'г где NM' = D есть девтцш.

По теореме о девюцш (см. § 5) NM' = D параллельно MK = j, а следовательно сила Р параллельна полному ускоренно.

тл Т² •

Съ другой стороны, по той же теореме (форм. 17)    —

Но въ

элементарномъ курсе было показано, что сила Р,_ действующая на мате-рюльную точку массы m безъ начальной скорости, заставляетъ ее пройти во время г по своему направленно пространство

гг

cl^z dP '

Съ другой стороны, обозначая проекцш силы Р на оси координатъ черезъ X, Y, Z, им’йемъ:

(26)

(*7)

Но

т²

S= —

ибо девтцш (В) опред'Ьляетъ тоже движете безъ начальной скорости, а потому:

г²

2 ^ ш

г |(м

откуда

| Р = mj,

что и требовалось доказать.

Выведемъ теперь дифференщальныя уравненш движенш матертльной точки. Обозначимъ углы, образуемые силой Р, а равно и векторомъ ;, съ осями координатъ, черезъ а, ß, у и, умноживъ предыдущее равенство на cos а, cosß, cos у, найдемъ:

Р cos а = mj cos а,

Р cos ß = mj cos ß,

P cos у — mi cosr. J

(25)

По формуламъ (8) им-Ьемъ:

1 cos а

cl'²x

dP ’

j cos ß

dP ’

(8')

Р cos а = X, \ Р cos ß = Y, ■> P cos y = Z. '

И теперь въ виду (26) и (8') система ур-шй (25) приметъ видъ:

, сРх *~dP ’ d*y d%z dt² *

IC—

Полученный три уравненш называются дифференцшлъными уравне-нгями движенш свободной матертльной тонки Пъ иут, ттомотптдтпмы можемт> определите.....характеръ того поля силъ, къ которому относится движоше.

женш:

х = а cos (ot, у — Ъ sin wt.

Требуется определить силу Р, подъ действшмъ которой происходить это движете. [Движете очевидно плоское (^ = 0).]

Исключивъ изъ уравнетй движенш время t, получимъ уравнете траекторш:

х²    у²

а²

которое представляетъ эллипсъ съ полуосями а и Ъ (фиг. 16). Определимъ изъ данныхъ уравнетй выраженш

(Рх

и .

~W и 1т •

d²x

— oßx;

«-

фу ₌

dt2

f"'' U- -

Подставляя въ форм. (27), найдемъ:

X — — т oßx,

Y — — т о)Щ

Z = 0.

Фиг. 16.

Откуда искомая сила Р определится такъ:

Р= V X² + Y² + Z² — V т² о)^х²т² о>^у² = т oß Vх² -f- у²,

или

Р = т. oß .г,

где г есть рад1усъ векторъ эллипса.

Это выражете силы указываетъ, что сила Р изменяется пропорционально рад1усу

вектору эллипса, г.

Направлен1е же силы Р определяется углами сс = /_(Р,х) и ß — /_tP,y) по фор-

муламъ (26)

cs к = -р->

cs ß — -р-,

что для нашего случая выразится такъ:

cs а — —

т oßx

т oßr

cs ß —

т oßy_ у

т oßr ~~

Косинусы же угловъ, образуемыхъ рад1усомъ г съ осями х и /, равны ~ и у ;

следовательно, сила направлена по рад1усу. Но такъ какъ значенш косинусовъ этихъ угловъ по знакамъ противоположны, то сила направлена къ центру.

Разсматриваемое движете шр эллипсу представляетъ движете проекцш точки, вращающейся съ постоянней угловой скоростью со по окружности рад1уса а, наклоненной къ плоскости эллипса подъ угломъ а, определиемаго

\    2 л,

равенствомъ cosa — ~. Следовательно, першдъ оборота Т= —, т.-е. не зависитъ оть формы эллипса.

На основанш этого свойства разсматриваемаго движены устраиваются регуляторы некоторыхъ измерительныхъ приборовъ. Силой Р, движущей массу М въ этихъ регуляторахъ, является упругость вертикальнаго стержня AB (фиг. 17), ущемленнаго въ нижнемъ конце. Для правильнаго хода ось NL должна делать одинъ оборотъ въ определенное время Т. Къ этой оси прикреплена вилка LK, въ которую введенъ верхшй конецъ стержня AB, несущаго массу М. Величина Ж и упругость стержня подбираются соответственно требуемому перюду Р; следовательно, при нормальномъ ходе стержень движется свободно (центробежная сила заставляетъ удалиться стержень отъ точки d).

Если ходъ гирь, вращающихъ съ помощш зубча-тыхъ колесъ ось ON, замедляется, то стержень вследствю инерщи массы М нажимаетъ на вилку, ускоряетъ ея движете и приближается къ d.

Фиг. 17.

При ускорены хода вилка нажимаетъ на стержень, и движете замедляется, при чемъ стержень, вследствю увеличены центробежной силы, удаляется отъ d. Размеръ вилки подбирается такъ, чтобы, при возможныхъ откло-неншхъ отъ нормальнаго хода, стержень не выходилъ изъ вилки и не приближался къ ней въ точке d. Такой регуляторъ употребляется для регулированы движены астрономической трубы.

Приведенный примеръ показываетъ, какимъ образомъ по даннымъ уравненымъ движены определяется сила, подъ влытемъ которой происхо-дитъ это движете. Для этого пользуются дифференщальными уравнеными движены (форм. 27).

Обратная задача—по заданнымъ силамъ найти, какъ движется мате-р1альная точка, решается съ помонцю интегрированы этихъ уравнетй. Эта задача можетъ представить значительный трудности, такъ какъ, вообще, интеграцы yp-ifi можетъ быть недоступна. Напримеръ, мы можемъ считать вполне разрешенной задачу о движенш матертльной точки подъ влытемъ двухъ притягивающихъ центровъ; но вопросъ о движенш трехъ взаимно притягивающихся по закону Ньютона матертльныхъ точкахъ (задача о трехъ тйлахъ) не только не разрешенъ, но неизвестно даже и приближенное его разрешеше.

где а = 0° и а = 180°; въ первомъ случае

Фиг. 18.

Вопросъ объ интегращи

i-ift (27) представляется фундаментальными

вопросомъ динамики. Первая задача, которую мыпоставимъ себе разрешить, будетъ задача о прямолинейномъ движенш, въ которомъ точка или свободна, или движется по прямолинейному Пути, предписанному ей какими-либо кинематическими условшми.

§ 12. Опред^ленш уравнешй прямолинейнаго движенш, производи-маго силой, законъ изменены которой известенъ. Обращаясь къ ур-ш

йгх

заметимъ. что сила X можетъ быть различна. Самый важный

X = т

случай—это тотъ, когда сила есть^ функцш Ноложетя точки (магнитът пру-—, жина). Но могутъ быть предложены задачи, принадлежащая къ типу отно-' сительнаго движенш; тогда приходится вносить силы, ироисходящш вслфд-ствге того, что всякое относительное движете можно разсматривать, какъ '"ЦбСблютное7~прибавивъ къ действующими силами, какъ это будетъ доказано '--впослйдствш, силы днердш. Такш силы могутъ меняться со временемъ. 'Пилы могутъ⁻”изменяться со временемъ и вследствю движенш притягиваю-щаго тела; примеръ—действю луны на воду океана.

Наконецъ, третьимъ случаемъ мы будемъ считать тотъ, когда сила X является функцтГскоростщ обыкновенно такими силами бываютъ пассйв-ныя, сопротивлявшаяся движенш силы. Итакъ, изсл'Ьдуемъ всё три случая прямолинейнаго движенш въ сл'Ьдующемъ порядке.-

1)    Сила дана, какъ функцш времени: Х—до(1).

2)    Сила дана, какъ функцш пространства: Х = <р(х).

3)    Сила дана, какъ функцш скорости: X— <p(v).

Установимъ предварительно правило знаковъ для силъ. Свободная

матершльная точка движется прямолинейно, если сила им^етъ постоянное направлете и начальная скорость равна нулю или направлена по снлгь. Проведя по направлешю силы ось Ох (фиг. 18), налишемъ по форм. (26)

выражеше силы, действующей по этой оси:

clt⁸

\к

О.

Х=Р cos а

(26)

X будетъ иметь знакъ плюсъ, во второмъ—минусъ.

Итакъ, если сила Р направлена въ положительную сторону оси х, то X положителенъ, а въ противномъ случае отрицателенъ.

Обратимъ внимаше на следующш выраженш второй производной отъ пространства х по времени Ц

d*x_d (dx

dt²    dt V dt

dv

dt

(28)

Но такъ какъ скорость v есть функцш х, а х есть фунйцш вре

мени t, то

(28')

dv __ dv dx_ dv

/ dt dx dt V dx

Тъмъ или другимъ изъ этихъ выражешй намъ придется пользоваться при р-Ьшенш задачъ.

1 случай.

X=<p(t).

dd х

Зд'йсь производную надо писать непременно въ вид'Ь (28)

dt ' П°~

тому что тогда въ нанисанномъ уравненш будетъ только два перем’Ьнныхъ которыя можно разделить и произвести интеграцш.

По формуламъ (27) и (28) имйемъ:

d*x

dv

dt*

= m ■ -vt

dt

(27')

Интегрируя предыдущее выражеше, найдемъ:

mdv= \ Xdt

171 . V —

( Xät+ С.

Произвольное постоянное С всегда находится по начальнымъ даннымъ— начальному положенно и начальной скорости.

Полагая, что при t = 0, v = v₀, получимъ:

•о

О⁵

Xdl+C.

Вычитая это выражеше изъ предыдущаго, имъемъ:

-‘t

mv — mv ₀ =

Xdt

(29)

(Это выраженю-дредставляетъ собой теорему о количеств^ движения: уугллращете количества д в иже) и я равняется сушпъ импулъсовъ силъ за данное время......

Взявъ интегралъ ур-нш (29), получимъ уравнение вида:

Такъ какъ,

ах

r~ dt ’

то имъемъ:

dx

v = V’(t)=-ß

-■г

ip(t). dt4- C.

Полагая, что при начала движенш t = 0 и координата ж=0, получимъ:

'•О

0=    ^>(<) dt-f-    .

Вычитая это равенство изъ предыдущего, им'Ьемъ:

(30)

такъ что

dx — f(t) .dt.

Интегрируя, получаемъ:

rp{t). dt

Отсюда получаемъ пространство х, какъ функцш времени t. 2 случай.

Х=у(х).

Случай, когда сила есть функцш пространства, является самой ходовой задачей. Ускореше придется представить непременно въ вид'Ь (28') v С~ ,

опять-таки съ тою Ц'Ьлью, чтобы вошло только два перем^нныхъ.

По формуламъ (27) и (28')

dv

X = mv -г-

(/,г

(27")

Интегрируя (27"), найдемъ:

Г'X

X dx = I mv dv

miß

Полагаемъ при начала движенш

х — 0 и v = v₀.

Тогда:

'2

Xdx

Вычитая это равенство изъ предыдущего, находимъ:

Xdx

mv% mv₀²

(31)

Формула эта выражаетъ теорему живыхъ еидъ: пуиуащете живой силы па данномо пути равно работгь силы на этомъ пути (X есть сила,

,    "' ''' ■ '    - • •    V    . >'

dx—элементъ пути).

Изъ формулы (31) находимъ v:

г¹ = v₀²-j-

г

X dx = ip (x)

v = ±:\/y(x)-

Передъ корнемъ надо взять -f-, если при движенш точки координата х возрастает^ и —, если она убываетъ. Положимъ, что х возрастаете. :

dx

но v = -jr, поэтому:

dt

v = \/y(x)₁

dx

dt —

dx

Y*P(P) '

Интегрируя, найдемъ:

'ж dx

Yf(x)

f cz.

Полагая при начала движенш t — 0 и х = 0, находимъ:

f Ct.

Yv>lp)

Вычитаемъ это равенство изъ предыдущего:

(32)

iX dx

Это даетъ искомую связь между t и х. 3 случай.

X=rp(v).

Въ этомъ случай выражеше ускоренш можетъ представиться въ об'Ьихъ формахъ (28) и (28'); такъ какъ X зависитъ по условш, только отъ v, то, какую бы мы форму ни взяли, мы, все равно, получимъ только два пере-м'Ьнныхъ и ихъ дифференщалы.

Напишемъ дифференциальное уравнеше на основанш (27) и (28) въ такомъ вид'Ь:

Х—т

dv

dt

(27')

dv

Можно было бы воспользоваться и выражешемъ X = mv , но мы возьмемъ сначала первое и опредЬлимъ изъ него dt:

dv.

dt = т -г?

X*

Интегрируя, найдемъ:

j'%+с.

Полагая въ начала движенш 1 = 0 и v = v₀,им1земъ:

f'v о dv

+А-

с/

Вычитаемъ это равенство изъ предыдущаго:

(33)

Если это уравнеше можно решить относительно v, то находимъ:

dx

Подставляя сюда -гг вместо v, находимъ:

dt

dx = ip(t) dt,

откуда

я; = Г ^(0 сЙ-j- Cs

(34)

Это даетъ искомую связь между t и ж.

Большей частью уравнеше (33) не разрешимо относительно v, или разрешимо очень трудно. Въ такомъ случай пользуемся выражешемъ:

dv

X = mv -г- ; dx

dv

dx = mv.

Интегрируя, получимъ:

"'v dv . п

Полагая въ начала движены х = х₀ и v=-v₀, находимъ:

x₀ — m

'v° v. dv

Вычитаемъ это равенство изъ предыдущего:

х — х₀=т

’v v. dv

(35)

v0

Найденныя уравнены (33) и (35) даютъ возможность установить связь между t и х.

Кроме разсмотр^нныхъ трехъ случаевъ выражены силы, существуешь много другихъ, такъ какъ сила можетъ быть дана функщей н'йсколькихъ перем'йнныхъ: времени, пространства, скорости. Для такого случая н'йтъ общаго способа решены, оно известно лишь для частныхъ случаевъ.

Теперь р'йшимъ нисколько задачъ, важныхъ не только какъ примеры на интегрироваше дифференщальныхъ уравневШ, но им'йющихъ значеню изсл'йдовашя обыденныхъ явлешй природы. Въ нйкоторыхъ старинныхъ сочинешяхъ, каковъ, наприм'йръ, классичесшй трудъ Эйлера, эти задачи, въ связи съ другими подобными, составляютъ содержаше всего курса механики.

нально

§ 13. Падете телъ съ большой высоты. Если тело падаетъ съ очень олыной высоты, то законы Галлилея (ускореше постоянно) не могутъ быть^-РгрилоЖШБГ; такъ к11къ~^рйТ0дится принять въ соображены зависимость ’ ускорёшеГотъ разстояны. Рязсматривая-движете тЕда^да весьма боль-птомъ рязстоянш отъ земли, приходится принять силз⁷⁻ притяжены земли переменной, изменяющейся по закону Ньютона, обратно пропорц)о-квадрату разстояны отъ центра земли и прямо пропорционально массамъ земли и тела. Разсматриваемый случай имеешь место при паденш аэрблитовъ.

Пусть М и т суть массы земли и притягиваемаго ею тела, х — раз-стоян1е въ данный моментъ между центромъ земли и притягиваемымъ тй-ломъ (фиг. 19).

Сила взаимодействие по закону Ньютона напишется такъ:

(36)

тяготе-

₇ т.М

к. -    ,

где к есть кооффицкнтъргропорцтшльносгпи, выражающш силу ТИя‘ между двумя единицами массы на Единице разстоятя.

Полагая

k.M=fi,

получимъ:

ж²

Для определены ц предположимъ, что наша матеркльная точка т находится на поверхности земли. Тогда получимъ:

x — R (рад1усъ земли), Р — тд (весъ тела),

и уравнеше (36') приметъ видъ:

откуда

₄.....1а

•‘1

mg

т fi

R* ’

(36")

H = R*g = 9,₈₁ R²

(37)

Подставивъ значеше R въ метрахъ, получимъ числовую величину д.

Определивъ д и подставивъ полученное его значеше въ (36'), получимъ окончательно

т. 9,81 .jR²

ж²

(36'")

мТ°! .

Далее, принимая Ох за ось х-овъ, получаемъ диффе-ренщальное уравнеше движенш:

сРх

dv

Фиг. 19.

dP

mv -f-dx

(27")

Съ другой стороны, согласно съ направлешемъ силы (отъ х къ 0, т.-е. въ отрицательную сторону оси х-овъ) получаемъ:

Х=-Р=-

(36IV)

Следовательно, изъ (27") и (36IV) выходитъ:

dv

mv ~т~ dx

ж²

vdv = —

fi dx

Умножая обй части на 2 и интегрируя, получймъ:

' с1х

2 v . dv =    = — 2 у

~^+С.....(38)

X

Полагая, что при

х = а,

(гдй а—разстояше отъ начала падешя до центра земли), скорость

v = О,

имйемъ по (38):

-^ + с=о,

а ,

откуда:

С=-

Подставляя это значеше С въ (38), имйемъ:

?.2 _ ²fl

<м

откуда

(39)

Передъ кохтемъ надо взять минусъ, такъ какъ скорость направлена въ сторон//, обратную положительному направленно оси х-ово.

Полагая^ что точка приближается къ землй изъ мфового пространства, когда а = со, и беря x = R, по формулй (39), найдемъ скорость падешя тйла съ очень большой высоты:

/2 у

а по (37)

2 JPg

|/

Подставляя g = 9,81 mt/sec² и jßcg-6000 ж/, получаеыъ для скорости v значеше 11179 mt/sec.

Между тймъ, применяя формулу Галлилея:

вйрную для высотъ /г, неболынихъ по сравнешю съ рад1усомъ земли, получили бы въ данномъ случай: v = 00 (въ данномъ случай Ь — а = со).

Найдемъ теперь связь между временемъ и пространствомъ, для чего

въ уравнеши (39) зам'Ьнимъ v черезъ ^

dx

dx

di

(39')

Разд'йляемъ переменный:

\/ 2 ц. dt.

dx

\/ ах

/ш

I/ ж а

|/а — л;

dx.

Для удобства интегрированы д'Ьлимъ обе части равенства на \/ а и умножаемъ числителя и знаменателя второй части на \/х:

1    —2 xdx

²    |/ах — xd

V-

xdx

У ах — х'

Прибавляя и вычитая изъ числителя второй части по а . dx, получимъ:

|/ а

— 2 х dx Д- а dx — а dx

1 (а — 2х) dx 1 а dx

У ах — ж²

² У ах — .т²

² У ах — х

Въ подкоренномъ количестве знаменателя второго члена второй части прибавляемъ и вычитаемъ -- :

tu . dt=

1 (а — 2х) dx 1

a dx

² ]/ax — х‘г

•з* I

a\²

1    ddax—x²)

²    |/ах — хг

ю. а

dx

-dx

1/4

/а²    (2x—ay- c

с1\/ах — х^ — --

2x—a\²

2 dx

d ]/ ax — xd — —

/■-m

Зам'Ьтивъ, что d —--

сь

2 flr

-, получимъ:

а

2х — а

— dt = d\/ ах —

CI

7 /-? , « ₇    2х — а

— dy ах — ж² -f- — d arc cos ——-

Интегрируя, найдемъ:

(з

у?

= ]/ ах — х‘²-\-^г arc cos

Jj

2а; — а . г

Г" О

а

Полагая при начала движенш, т.-е. при t — 0, х = а, им'Ьемъ:

О = arc cos (I) -j- С]

—

Но

arc cos (1) = О,

а потому:

а = 0.

Следовательно,

У¥

,-т , а    2 х — а

у ах — х² arc cos ——

• • • (40)

6#eee*»*»*wiw

Формула (40) даетъ зависимость между пространствомъ х и потребнымъ для его прохожденш временемъ I.

Теперь докажемъ, что формула (40) переходитъ въ данную Галлилеемъ формулу паденш т^лъ на землю:

h = Va gt\

въ случае, когда li очень мялто сравнительно съ рад1усомъ земли Л.

Для этого случая [фиг. (19')j должны принять:

а = В, -f- h

х = JR.

(41)

Откуда:

Фиг. 19'.

Величину х беремъ равной 11 потому, что разсма-триваемъ моментъ достиженш теломъ земной поверхности,—моментъ конца паденш.

Въ нашу формулу (40) вместо arccos, введемъ arcsin по тригонометрической формул'й:

arc cos т = arc sin |/1 — т%

посдЪ чего она перепишется такъ:

>УЧ

]/ах —х* -j- — arc sin

У' - (тт*У

Подставляя сюда значеше изъ (37) и д'йлая необходимыя преобразован:^, получаемъ:

•уч

уу—>-

Теперь, принявъ во внимаше (41), напишемъ:

2R*g i?-f А

= у Rh

arc sin

А Rh

(R~\~h)

1&-Л

или, д1зля все равенство на

2JR²

D , ₇-, перепишемъ его такъ: Л п

или

Wg =т/

i7A. (i7 + А) .    (JR —{— А)

2 J7²

arc sm

(i?+A)²’ -

(i7 -(-А)

8i7²

• arc sin

4i7A

У (П+hy

Теперь умножимъ и разд'Ьлимъ посл'ЬднШ членъ этого равенства на

получимъ:

4 Rh

(R ~НА)

Wg

У ал

{R-\-h)li

(R -f-A)³ 4i7A 8i7²    ‘(i?+A)²

■ arc sin

4 Rh

(i7 + A)²

4 Rh

(Д+ A)

или

'^=1/ 2Л

(jß-j-A)A

(ü* -НА) А

arc sm

1/

4i7A

(i7+A)²,

4 .RA ’

(jR-j-A)²

<5-+-

«Cs

töl

to| а-

&öl H

s*

-H

feöl ^

tc

Наше равенство после этого перепишется такъ:

WfJ = 2

, что окон

38

ея ей]

Въ виду того, что 1г очень мало сравнительно съ Я, аргументъ дуги и ^ ть Очень малы, такъ что отношение дуги къ еяГ синусу можно

принять равны.мъ-1. Поэтому:

агс sin

lim

д:|7(1+д

Въ силу того же условш (h мало по сравненш съ Я) можно отбросить безъ заметной погрешности въ подкоренномъ выраженш членъ

чательно дастъ:

Wg = 2

Пг

откуда

t \/ g = ]/2h

или

h — — gt*.

Это и ешь формула Галлилея.

§ 14. Падете тела въ сопротивляющейся среде. Законъ паденш г_^д?Ьлъ, данный Галлилеемъ, вполне в'Ьренъ лишь для паденш въ пустот!;; тогда скорость, прюбретаемая теломъ, прямо пропорциональна времени v = gt. Если же тело падаетъ въ воздухе, то наблюдается отступлеше отъ этого закона, обусловливаемое наличностью сонротивленш воздуха паденш тела.

Живая сила падающаго тела тратится въ этомъ случае

----оО

*F

Фиг. 20.

н__бразованте випфевыхъ двиденй воздуха и. кроме жюо.

на преодолеваше молекулярныхъ силъ прилипанш воздуха / къ движущемуся телу. Опытъ показалъ, что сала соиро-тивленгя среды зависишь отъ скорости, при чемъ для не / слишкомъ малыхъ скоростей (0,1 mf. въ секунду и больше) 'сопротивление можно считать прямо пропорщоиальпымъ , квадрату скорости; въ случае же весьма незпачительиыхъ скоростей сопротивление пропорционально первой степени скордшзь,^^    ---“/

Выведемъ аналитически формулы паденш тела въ

воздухе. Пусть легшй шаръ падаетъ язъ точки 0. Примемъ

эту точку за начало координатъ оси х, которую направимъ

по вертикали внизъ (фиг. 20).

Во время паденш на тело дМствуютъ две силы: одна Р — сила тяжести, направленная внизъ и равная тд, и другая F, направленная вверхъ и равная силе сопротивленш воздуха. Если чрезъ д обозначимъ некоторый опытный коэффищентъ сопротивленш, черезъ б обозначимъ площадь боль-

л/**

шого круга падающаго шара, а черезъ у ооозначимъ плотность среды, въ которой происходитъ падете (для воздуха /=ГГ,2 при 15й), то изъ опыт-наго закона, приведеннаго выше, сл'Ьдуетъ, что:

!)

F = дбуу².

Определешемъ коэффищента д занимались мноие ученые, такъ Иыотонъ нашелъ, что для шара д = 0,026 (для пластинки принимаюсь д - 0,085). Покойный профессоръ Д. И. Мендел^евъ нашелът что при небольшихъ ско-ростяхъ 1отъ 0.1 ло 1 mt,. въ секунду) ^ = 0,25.

Въ последнее время закономъ изменены коэффищента д со скоростью занимался щюфессоръ Н. А. Морозовъ и построилъ кривую, выражающую связь между д и v. Если мы на оси абсциссъ будемъ откладывать скорости, а на оси ординатъ соответствующее этимъ скоростямъ коэффициенты д, то кривая, изображающая соответственный изменены коэффищента д отъ скорости, представится въ такомъ виде: при скоростяхъ отъ 3 до 10 mt. въ секунду, кривая немного опускается (д убываетъ); при скоростяхъ отъ 10 mt. до 300 mt. въ секунду, кривая медленно подымается (д возрастаетъ); при скоростяхъ отъ 300 mt. до 400 mt. въ секунду, кривая быстро поднимается, при скоростяхъ же болыпихъ 400 mt. въ сек., кривая идетъ параллельно оси абсциссъ (д остается постояннымъ и равнымъ 0,038).

Законъ же пропорщональности силы сопротивлензя плотности среды у оказывается необычайно веренъ. Обыкновенно опыты въ вод'Ь переносятъ⁻на опыты съ воздухомъ и только переменяютъ факторъ у. Кроме воды и воздуха опыты производились также и надъ нефтью (проф. Мерчиномъ).

Для упрощены вычислены преобразуемъ выражены

л/

F = дбудр

въ такое:

где

F= mgk*v?,

А jlr

4V

Юг

к* =

дву

(42)

тд

Движущая сила X слагается изъ положительной Р и отрицательной F, следовательно:

X тд — тдкЧ² ~тд{ 1 — А:² А). Согласно дифференщальному уравненпо движенш (27):

(27)

(1'¹Х

Ж. Ж,

/7 2/г

им'Ьемъ:

mg(l — k*v*)==m-flp.

Сокративъ на т и зам1шивъ

d*x

dv

dt²

согласно (28) чрезъ , им'Ьемъ:

= (1 —k*v*)g,

или, разд'Ьливъ переменны я, получимъ:

— д .dt.

dv

1 —кЧ*

Для интегрированы преобразуемъ это выражеше сл^дующимъ образомъ: Умножимъ и разд'кшмъ первую часть уравненш на 2

gdt.

1    2 dv

2    ' 1 — k*v*

Зат’Ьмъ къ числителю первой части прибавимъ и вычтемъ kvdv> тогда наше уравнеше напишется такъ:

(dv -f- kv dv)

2 [/1 —kv) (1 J-kv) rd —

; kv dv)

kv)(l + kv)j~⁹ '

что послФ необходимыхъ упрощешй дастъ:

гч |<м

".

".

г-Н

г-Н

= g.dt.

Умноживъ на 2к, получимъ:

kdv

kdv

1 -j- kv ' 1 — kv

2 kg. dt.

Интегрируя, получаемъ:

L (1 -j- kv) — L (1 —    — 2 kgt -|- G.

Полагая, что при начала движенш, т.-е. при t = О, v = 0, находимъ:

(7=0.

Первая часть представляетъ логариемъ дроби, а потому:

или

1 -|-kv

1 — kv

2 kgt

1 -f-kv

1 — kv

где e—основан1е Неперовыхъ логариемовъ. Определимъ отсюда v:

V — -4-

1 e2k(Jt— 1

/, ' е2^Ц_ ₁

(43)

Помношивъ числителя и знаменателя на е 2kgt, получимъ:

v — -r-

1 i — e~²w

к 1

(43')

Изъ этой формулы видно, что въ пред'&тЬ, при t — оо, скорость v становится максимальной постоянной величиной, а именно:

(43")

Конечно, въ действительности паден1е тгЬла въ воздухе не можетъ продолжаться безконечно долго, намъ большей частью приходится измерять это время секундами. Но на практике, вследствю малаго числового зна-ченш е~2кэ, можно считать, что, спустя одну, две секунды отъ начала па-

денш скорость v достигнетъ своего максимума, равнаго и тело станетъ двигаться дальше уже равномерно.

Благодаря сопротивление воздуха, всякое тело, падающее на земную поверхность, можетъ пршбрести только ограниченную максимальную скорость, зависящую отъ его массы, объема и формы. Это обстоятельство имеетъ громадное значеше. Если бы сопротивления воздуха не существовало, то падете совершалось бы по закону Галлилея и скорость, возрастая по формуле

v = \/2gh,

при значительныхъ к могла бы достигать большихъ значешй. Аэролиты, благодаря сопротивлешю воздуха, большей частда разрушаются, сгораютъ и падаютъ на земную поверхность въ виде осадка мелкой космической пыли. Если бы атмосфера не оказывала солротивленш, то скорость достигала бы величины, указанной въ § 13, стр. 34.

Изъ приведенныхъ формулъ для F елфцуетъ теорема MapioTTa: nve-дгьльныя скорости гиаровъ одинаковой лштности уазныхъ радщеовъ, пуящ проиорг^гональны тииямъ квадратным?, изъ ихъ радаусовъ.

тах ’

Обозначимъ рад1усъ одного шараНтерезъ г и его скорость черезъ vmax, а другого—?\ и ь\

Такъ какъ оба т'Ьла—шары, то коэффгщкнтъ у у пихъ одинъ и тотъ о/се. Обозначая плотность черезъ q по (43") и (42), и принимая во внимаше,

4

—-лг³р, а о — лг², получимъ:

3    _______

что т (масса шара) =

гах

******

/та    /4 хг³о /а /а /4 q

V=:VjflV•" I •";у

• j/r.

Аналогично для второго шара им'Ьемъ:

тах

V'X-V

4 лг/q 3 жг₁

Q ,/£ ₌ ,/£

²    ]/    |/ р

Отсюда:

что и требовалось доказать.

Формула (43) даетъ зависимость между скоростью падающаго тЬла и временемъ. Пользуясь этой формулой, выведемъ зависимость пути, прой-деннаго падающимъ въ сопротивляющейся сред’Ь тйломъ, отъ времени.

Умношимъ числителя и знаменателя второй части равенства (43) на

e-w и, зам'Ьнивъ v черезъ

ах

гг, получимъ:

dx

ek0t_g-*0*

<!t

ekgt-\-e~ket

Умноживъ обЪ части равенства на k~gdt, им'Ьемъ:

№g. dx

_e-w

ek9t-\-e~kgt

. kg dt.

Интегрируя, найдемъ:

k*gx = L\ehjt + e-k(jt]+C.

Полагая при начала движенш

X = О,

находимъ:

C= — L 2.

Поэтому:

k‘²gx = L

e** + e

-kgt

(44)

Выражеше въ скобкахъ представляетъ функщю отъ аргумента kgt, называемую Cosinus hyperbolicum. Это одна изъ гиперболическихъ функщй, имЬющихъ большое значен1е во многихъ вопросахъ механики. Функцш эти суть тЪ же обыкновенный тригонометрически! функщй, отнесенныя къ мни-мьшъ дугамъ. ОнЬ подробно изучены и для нихъ составлены татя же таблицы, какъ и для обыкновенныхъ тригонометрическихъ функщй. Обозначаются онЬ слЬдующимъ образомъ:

sin h (kgt)

krjt

e~

kgt

cos h (kgt)

e',:“+e

— kgt

При такомъ обозначены предыдущая формула можетъ быть написана

такъ:

х = L[Cosh(kgt)\

к*д

• (44'>

ИмЬя въ распоряженш упомянутый таблицы, легко найти пространство х по времени t, отыскавъ Leos к для аргумента kgt. 9 ₉ Lfy

§ 15. Движете т’Ьла, брошещнаго по вертикальному направленно снизу вверхъ. Пусть тЗзло массь\ т брошено изъ точки О вверхъ по вер

Аф

F

тикальной лиши полагая начало кооркинатъ въ точк'Ь 0. Во время движенш на тЬло будутъ дМртвовать двЬ силы: сила тяжести, наивная mg, и сила сопротивленш воз-

(фиг. 21), которую примемъ за ось,

правленная внизъ и духа, которая, согласно (42), выразится черезъ F — тдкН%

!гь сторону, противоположную напра-

и будетъ направлена влешю движенш. Пока\ т'Ьло летитъ вверхъ, сила F направлена внизъ. Въ шемъ которой и происходитъ движете, при полетЬ т!зла

'акомъ

случай сила X, подъ влш-

вверхъ выразится такъ:

Фиг. 21.

X— — (mg -{- mm'² v%) = — mg (1 -\- k²v-).

По (27) и (28)

(Г²х \dv X = т = »kW

dt²

Или:

tg kgt;

Подставляя вместо X его последнее выражены и д'Ьля об1з части уравнены на т, находимъ:

dv

m ⁼ ~gil+kV)-

РаздЬляемъ переменный:

к dv

kg. dt.

Интегрируя, находимъ:

агс tg kv = — kgt -}- С.

Полагая при t = 0, т.-е. въ начала движенш, v = w (скорость, съ которой было брошено т’Ьло), находимъ, что

С = агс tg kw.

Поэтому:

агс tg kw — агс tg kv — kgt.

Преобразуемъ первую часть равенства по тригонометрической формуле:

агс tg т — агс tg п — агс tg

1 -\-тп

Получаемъ:

агс tg

kw — kv 1 -f-k^wv

— kgt.

kw — kv

1 -f- k?wv

откуда:

kw — tg kgt ¹ k(i -\-kwtgkgt)

(45)

Опредйлимъ время T, въ продолжены котораго тело долетитъ до высшей точки. Въ этой точке скорость г> = 0, а потому искомое время Т будетъ равно t, найденному изъ предыдущей формулы при v = 0. Такимъ образомъ, находимъ:

kw = tgkgT;

откуда:

Т=

агс tg kw

kg

(46)

Выведемъ формулу, дающую зависимость пространства х отъ времени L Подставимъ въ формулу (45) вместо v; находимъ:

kw — tg kgt

их

lt    &(l-f-kwtgkgt)

Заменяя tgkgt черезъ ~

kdx

Ып kgt

kw cos kgt — sin kgt cos kgt -(- kw sin kgt

и преобразовывая, получаемъ:

dt.

Умножаемъ об'Ъ части равенства на kg:

k‘lg dx

lklgW cos kgt — kg sin kgt

co$ kgt -f- kw sin kgt

• dt.

Интегрируя, найдемъ:

к?дх = L [cos kgt -{- kw sin kgt] -j- C\ .

Полагая при началй движенш

t = О и х = 0,

находимъ, что откуда

Поэтому:

(47)

к²дх = L [cos kgt -|V kw sin kgt]

Найдемъ теперь наибольшую высоту II, на которую взлетитъ т£ло, брошенное вверхъ со скоростью w. Высота , эта будетъ достигнута, спустя Т секундъ посл'Ь начала движенш, а потому Н будетъ равно х, найденному изъ формулы (47) при

t=T

агс tg ки

kg

Ыо изъ этого поелфдняго равенства:

kg Т— агс tg kw,

или

tg kg 1 — kw.

46 —

Выразимъ входянце въ формулу (47) cos(kgT) и sin (kg Т) черезъ tg (кдТ). При значенш t—T и х — Н получимъ:

кХдН= L

kwtgkgT

V.1+tg*kiT-~J~V¹4-    т J'

Заменяя tg kg Т черезъ kw, иаходимъ:

ЩЯ= L

А²«;²

]/1 -|-А²?/;2 1 |/1 -|- А²гг² _

fi[l+A²w²j . . .(48) 2

По этой формуле и находимъ величину II, на которую подымется брошенное вверхъ тело.

Поднявшись на наибольшую высоту, тело будетъ падать. Скорость при паденш можно определить по формуле (43), но удобнее для этого иметь особую формулу. Выведемъ ее. Движете будемъ разсматривать относительно той же оси координатъ Ох, направленной вверхъ (фиг. 21). При паденш на тйло действуютъ две силы: во-первыхъ, сила тяжести Р—тд, направленная къ точке О и потому отрицательная, и, во-вторыхъ, сила сопротивленш воздуха F = тдкН^, направленная вверхъ и, следовательно, положительная. Въ такомъ случае сила, подъ влшшемъ которой совершается движете, будетъ:

mg -f- mglvhf¹ = — mg (1 — А-²г²).

dv

Представляя X по формуле (27") въ виде mv -j~, получаемъ:

dv

mv • ^4 = — mg(1 —А²г²);

откуда:

v dv

1 — к² V²

— gdx.

Для удобства интегрированы умножаемъ обе части равенства на—2 к'¹, а затемъ интегрируемъ. Получаемъ:

— 2А²г dv

2к²д d.r;

L{\ — A²v²)-f С% = 2№дх.

При начале паденш

поэтому

х = Н, v = 0;

(Д = 2 к*дН,

47 —

или, на основанш формулы (48),

CA=L( 1 +JcW).

Въ силу этого предыдущее уравнены приметъ видъ:

2 кЧдх = L (1Р- 1сЧ*) -J- L (L -f /г² м²),

или:

2Jc*gx — L[(l — Л²?;²) (1 + /<;²^²)] .. . .

• • • (49)

Эта формула даетъ зависимость между скоростью v при паденш тЬла, высотою х, на которой находится тело, и начальной скоростью iv, съ которой оно было брошено вверхъ.

Определимъ по этой формуле скорость г\, съ которой тело упадетъ на землю. На поверхности земли координата х = 0, а след, получаемъ:

L [(1 — кЧх ²) (1 + №w*)\ = 0.

Следовательно:

(1 — к\*) (1 i-|- /г² У Г²) = 1.

Решая последнее уравнены, находимъ:

гЬ²

1 + \;4v*

Если бы сопротивлены воздуха не существовало, то г\ = iv; изъ формулы же видно, что при сопротивлении воздуха [v₁ < гс. Когда начальная скорость w очень значительна, то въ выраженш

V!²

1 -f k*w*

можно пренебречь дробью ^, такъ какъ она очень мала. Тогда тело упа-

детъ со скоростью

*1 =

(49')

Найденная скорость равна скорости vmax, получаемой т'йломъ при па-денш внизъ въ продолжены значительнаго промежутка времени [см. (43")|. Ясно, что такъ и должно быть, такъ какъ при большой начальной скорости тело поднимается на большую высоту и, следовательно, падаетъ сравнительно долго.

- 48 —

§ 16. Криволинейное движете. Криволинейное движете дается тремя уравнеными:

Х—т

d‘zx

W’

Y=m~

с1Чу

dt'¹

.}

(27)

d^z

¹

— AV²

w

При этомъ сила P можетъ м4нять свое направлены или же с о хр а-_____

... нять его, но тогда направлены силы не будетъ совпадать съ направленымъ /первоначальной скорости точкиГ"    ~".v    "

'НВБпросъ объ интегрированы трехъ дифференщальныхъ уравнешй (27) решается просто, когда компоненты X, Y, Z являются функщями соот-в'йтственныхъ координатъ, проекщй скорости и времени, т.-е.

йх

X=F х, -jt, П,

dt

такъ какъ при этомъ каждое изъ уравнешй интегрируется отдельно. Въ этомъ случай решены сводится къ отысканш двухъ интеграловъ для каждой оси и требуетъ введены двухъ произвольныхъ постоянныхъ. Следовательно, всего придется ввести шесть постоянныхъ. Данными для определены этихъ шести постоянныхъ будутъ элементы, определявшие начальное по ложены точки, т.-е. три ея координаты и три слагающы скорости по осямъ координатъ (компоненты скорости) въ начальный моментъ движены. Въ курсе анализа доказывается, что и въ томъ случае, когда дифференщальныя уравнены движешя нельзя интегрировать порознь, произвольныхъ постоянныхъ будетъ также шесть. Задача объ интегрированы уравнешй криволи-нейнаго движешя мятврытгьной тачки, когда силы а/ 1, Z туПГ ф у н к ши времени, пространства и скорости, общихъ прымовъ решены не имеетъ, часто невыполнима по своей трудности, и только въ частныхъ случаяхъ возможно получить окончательное решены. Разобраться въ этихъ случаяхъ помогаютъ теоремы динамики, указывающая законы силъ природы, при кото-рыхъ уравнены динамики даютъ некоторый определенный соотношешя

между скоростями и координатами.

.^.Зависимость между

г-

ея скоростью и временемъ, удовлетворяющая уравнешямъ динамики, называется иитёураломъ уравнение движешя. Эти интегралы и даютъ теоремы механики. Некоторые изъ нихъ

были известны до применены анализа безконечно-малыхъ къ решенш во-просовъ механики. Къ числу подобныхъ интеграловъ принадлежитъ инте-гралъ живыхъ силъ, выводомъ котораго мы теперь и займемся.

§ 17. Теорема живыхъ еилъ. Для вывода теоремы воспользуемся диф-ференщальными уравнеными движешя:

X ----- т

ddx dP ’

Dl

d'²y dP ’

(27)

d*z dP ‘

Отнесемъ движете къ си-

стемКз координатъ х, у, z и поло-жимъ, что въ моментъ времени Ь матертльная точка находится въ М (фиг. 22), а въ промежутокъ времени dt проходитъ путь ds и нереходитъ въ Мх.

У множаемъ дшЬФеренщаль-х ныя уравнены (27) соответственно ТкГ77/7 (ty^clF^T.-e. на

Фиг. 22.

приращены координатъ за промежутокъ времени dl, и складывасмъ; получаемъ:

Xdx + Ydy+Zdzm

dx . ddx -f- dy. d‘*y-f- dz . ddz

■ . .(50)

“■»»»»иод,

Преобразуемъ первую часть этого уравнены, умножая и д'Ьля вс1з его члены на Р ds:

Xdx -f ¥ dy -\-Zdz - P ds

X dx , Y Р ’ ds

Z dzl

Р ds ‘

представляютъ косинусы угловъ, образуемыхъ силой /> Ш äy dz

Здг£сь

^    ^    даютъ косинусы угловъ элемента пути ds

съ осями х, /, z, а

съ тФми же осями. Въ такомъ случай сумма произведены ихъ въ скобкахъ равняется косинусу угла между направленшми Р и ds, т.-е. cos 6.

■ СлШБатеяШГГ “    ’    ■    1ШГ'~ ’    **"

(51)

X dx -j-Y dy-\-Z dz — P ds cos в

силы на элементъ

Выпадите РФ«», приставляющее произведете......    ......... _

пути и на cos угла между ними, называется элементарной работой сгори Р на пути äs.

Вторая же часть уравнешя (50) представляетъ

цфф I

чг<

силы: (I

тег;²

Въ самомъ д'йл'й, по формул^ (1) им'йемъ:

Возьмемъ отъ об’Ьихъ частей равенства производима по t; находимъ:

иначе:

§Ь|

(М

ST; '''

4-

d /1 dt 1 2

d.r dix _. dy d^y .dz dH dt <11- r dt ‘ dt- dt ~W *

|p«LllL<Wl

Умножая об^ части этого равенства на те dt, найдемъ:

= те -

dx d'lx -\-dy (Г-у - J - dz cPz

г//²

(52)

Пользуясь равенствами (51) и (52), нерепишемъ теперь уравнеше (50)

такъ:

Р ds cos в — d

тег'²

(53)

Это уравнен1е и даетъ теорему живыхъ силъ въ дифференциальной формЪ и можетъ быть формулировано такъ:

//

₁ диффеуеицшлъ живой силы равет элементарной уаботОгЬъ дгьйcm вую -

I ? щей силы.    >•

Если траекторш точки известна, а Р и 6) представляют извгйстныя

функцш отъ s, то yp-ie (53) можно проинтегрировать; а именно:

m. с²

.S

| Р COS (-) ds С.

Произвольное постоянное С опредйлимъ по начальнымъ даннымъ. Пусть въ начала движенш, при

•s o >

скорость

Тогда:

с*

| Р cos (-) ds --J- С.

51 —

Вычитая это равенство изъ предыдущаго, находимъ:

mrd тиф

гл

Р cos О ds . .

• • -(54)

Это равенство даетъ теорему живыхъ силъ:

прирагценге о/сивой силы на дапномъ пути равно рабопт силы на

эпюмъ пути.

ТЗъГ1юмъ"~случае, когда движете совершается подъ действюмъ силъ

природы, зависящихъ отъ координатъ х, /, z, выражеше теоремы живыхъ силъ значительно упрощается, благодаря замечательному свойству всехъ такихъ силъ, именно,—ихъ консервативности. Разсмотримъ, въ чемъ состоитъ это свойство и какъ выражается при его помощи теорема живыхъ

силъ.

§ 18. Консервативность силъ природы. Все силы природы, могущш быть представленными, какъ функции координатъ, обладаютъ свойствомъ консервативное т и. состоящимъ въ следующемъ:

ропота, совершаемая силами поля, при перепост матершлъной точки

I— 1    ,г...    ...........И..................... ihiwhwi . и >-‘ттятшняащ^—ш0тштт—ттятттттшт^*^*^яшт**тт*^ж

jus?, одной точки поля въ другую, не лависитъ отъ пути, по которому совершается переносъ. а лависитъ только отъ положения начальной и ко-печной точки переноса,Г

координатъ,

функщей характеризуется законъ поля силъ. Обозначимъ ее черезъ Г.

"Математически признакъ консервативности силъ выражается въ томъ, что п р о е к ц i и силы на оси координатъ равны части ымъ про из-воднымъ, взятымъ по темъ же осямъ отъ некоторой функц1и называемой силовой или потенцгальной фупкиуеи. Этой

Согласно указанному математическому признаку консервативности, имеемъ:

ол

Сл

СЛ

,il

Силовая Функшя есть функц1я только к о ордината и ття^тияйтсст /« также фу нкnie й точки., такъ какъ для всякой точки пространства она югЬетъ вполне определенное значеше. Йзъ вышесказаннаго заключаемъ, что силовая финки/я есть такая фгщкцг-я точки, частный производный■■ которой по осям о координатъ равны проекщямъ на. тгъ же оси силы Г. действующей въ той же точкой поля.

' Покажемъ, что изъ признака консервативности силъ, выраженнаго последними равенствами, выводится принципа консервативности. Воспользуемся уравнешемъ (51) и, пользуясь (55), пер^епишемъ его такъ:

•Г

P CO-s S (ls

X (Ix -j-, Y dуф-/ dz

. ÖU . . дГ 1 f(Jx -j—-— с/г/ -f- — dz.

dx

dp

dz

Замечая, что вторая часть равенства есть полный дифференщалъ отъ функцш U, им'йемъ:

(56)

Рcos О cls — Xäx-f- Yäy -f -Zdz — äU

................ ........,, „ ■

k.-e. элементарная работа силы yiqMiJüM3ML полному дифференциалу си-ыовон функщи.

носимъ

Пусть точка отнесена къ осямъ координатъ х, у, z (фиг. 23). Переточку изъ положенш А (./₀, у₀, z₀) въ положеше В (./у, ylf .г⁻,). Силовая функцш поля и въ точкй А пусть имйетъ значеше U₀, а въ точкЪ В~ТТ.

’В

Длина дуги траекторш А СВ отсчитывается отъ начальной точки /Г, отъ которой А пусть находится на разстоянш s₀, а 5 —на разстоянш s„ Въ такомъ случай, чтобы найти работу силъ поля при перенос^ матертльной точки изъ А въ В, надо взять междупред-йльный интегралъ отъ 5₀ до s отъ об'йихъ частей предыдущаго равенства. Получимъ:

,.s

Р cos О . äs

äU=.U — U₀ . .(57)

so

Фиг. 23.

Итакъ. работа силъ поли ара перепост точки изъ А въ В равна разности значенШ силовой функщи въ консчныхъ точкахъ В и зависитъ отъ пути, по которому совершается переносъ1 Это и есть свойство консервативности силъ.

Изъ приведеннаго доказательства видно, что ест силы, имгыощгя си-ловыя функщи, обладаютъ свойствомъ консервативности. Всгй известный силы природы, имйющш поле, ■ какъ-то: Ньютошанское тяготите, магне-тизмъ, электрическш силы, молекулярныя силы,—им'йютъ силовыя функцш, а потому обладаютъ свойствомъ консервативности.

Можетъ показаться, что для любой силы, выраженной функцшми разстоянш, можно подыскать силовую функцш, т.-е., что проекцш всякой силы по осямъ координатъ могутъ быть представлены, какъ частныя про-изводныя отъ некоторой функщи; а если такъ, то можно было бы подумать, что свойство консервативности должно существовать для всякаго поля силъ, какое бы мы ни вообразили.

Докажемъ, что такое пред положена невйрно, для чего выведемъ усло-с у щ е с т в о в а н i я с и л о в о й ф у н к ц i и. Воспользуемся соотноше-шями (55):

и вовсе не

Bie

/'

ÖV

дх

(55,)

(55₂)

г?"

Возьмемъ частную производную по .z отъ обеихъ частей равенства (55₂) и частную производную по у отъ равенства (55₃); получаемъ:

'О*

Ql

.₌ дЧТ ду dz ’

dZ _ d*U ду dz ду

Вторыя части этихъ уравнешй между собой равны, а следовательно, равны и первыя, т.-е.:

ÖZ

dz

ду

(58')

Поступая аналогично съ (55₃) и (55t), а затймъ съ (55х) и (55₂), нахо-димъ еще два подобныхъ же соотношешя:

(58")

dZ дХ дх dz

дХ дТ

ду

дх

(58"')

Система yp-ift (58'), (58"), (58'") и представляетъ собою искомое усло-Bie существовашя силовой функцш. Ради удобства выписываемъ ихъ здесь еще разъ:    ;

dY dZ

dz ду

О,¹ О-

. (58)

дТ

дх

Два посл'Ьднихъ равенства можно получить, сделавъ круговую подстановку въ первомъ.

Въ случай, когда движете производится силами консервативнаго поля, им'Ьющаго силовую функцш U, теорема живыхъ силъ преобразовывается къ виду, называемому интеграломъ живыхъ силъ, дающему соотношеше между координатами и скоростями въ движенш матершльной точки. Сопоставляя уравненш (54) и (57), получаемъ искомое соотношеше:

/ шг² ш?;₀²

1л

и- и₀

(59)

т.-е. приращенге живой силы на данномъ пути равно приращению силовой

функцш на этомъ пути.

Это справедливо независимо отъ самого пути, такъ какъ приращеше силовой функцш зависитъ только отъ начальной и конечной точекъ его, а въ этой формуле ц₀ и v означаютъ скорости въ начальной и конечной точкахъ разсматриваемаго движенш, производимаго силами даннаго поля.

Въ математической физике равенство (59) пишется обыкновенно въ другой форм!;, именно:

тс%

тс о²

(59')

га

Живую силу

принято называть кинетической энерпей или

явной энерпей, а (~Ц) — потеншалъной глш с к р ытсГйэнергюй" Это (—V) представляетъ запасъ энергш, который можетъ проявиться въ явной форме движенш. CooTHonieHie (59') выражаетъ законъ сохранешяjDHeprm, гласящш, что сумма кинетической и потенн/тльиой энергш во всяк/й мо-мпШтГ'дтжеи/'я, производимого дгьйствкмъ силъ консервативна?о поля, во ваъхъ точкахъ пути одна и та же.

Полная энергш при движенш матершльной точки въ консервативномъ поле силъ сохраняется.

§ 19. Поверхность уровня. ^Поверхностью уровня называем ппмри гюстъ, на которой силовая Фиики1я1Птетъ постоянную величину. Поло-жимъ, что мы им'йемт. консервативное поле силъ, характеризуемое силовой функщей TJ (.г, у, л). Уравнеше,

U(х, у, <) = const.f

или, короче,

Л~ С,

есть, согласно вышеприведенному определенно, уравнеше поверхности уровня. Въ этомъ уравненш U есть функцш трехъ координатъ, а С—параметръ. Придавая ему всевозможным значенш, мы получимъ целое семейство поверхностей уровня, разд'Ьляющихъ поле на слои, въ каждомъ изъ кото-рыхъ силовая функцш им^етъ некоторую определенную величину С. Нри-ведемъ две теоремы относительно консервативнаго поля силъ.

Теорема 1. Во всякой точкгь разсматриваемаго поля сила нормальна

къ поверхности уровня. "    —    ---------

ТГоложимъ, что въ точке поля М действуетъ сила Р, образующая съ осями координатъ углы «, ß, у (фиг. 24).

Пусть проекцш силы Р на оси х, /, z будутъ X, Y, Z. Косинусы угловъ, образуемыхъ силой Р съ осями, представятся такъ:

cos а =

— 55

Но X, Y, Z могутъ быть заменены частными производными силовой функцш U, но уравнению (55). Тогда

дТТ

cos а

öx

]/{ж) + {Щ) + (w)

ко-

Изъ анализа известно, что вторая часть равенства выражаетъ

синусъ угла, образуемаго нормалью къ по~ ^верхности ii съ осью' х; следовательно:

cos а cos (п, х).

Аналогично найдемъ, что

cos ß cos in, II),

Фиг. 24.

■Г*

, 'COsy — COS (н, .с).

■ 1^. М'

Эти три равенства указываютъ, что сила направлена по нормали къ поверхности уровня.

Доказанная теорема выясняетъ, почему поверхности, определяемый уравненшми вида U~ С, называются поверхностями уровня. Этими словами мы привыкли называть свободную поверхность воды, находящейся въ рав-HOB'fecin, подъ дМствюмъ перпендикулярныхъ къ этой поверхности сшгь тяжести. Кроме того, поверхностью уровня мы называемъ всякую поверхность, параллельную поверхности уровня воды. Такш поверхности выверяются нами посредствомъ ватерпаса или уровня. Такимъ образомъ свободная поверхность воды есть одна изъ поверхностей уровня силового поля, полу-чающагося вследствю притяженш массой земли.

Въ случае центральной силы поверхности уровня суть концентриче-скш сферы, описанныя изъ центра тяготенш. Въ случае какого-либо другого поля силъ поверхность уровня представляетъ какш-либо иныя геоме-трическш формы. Вообще говоря, всякому силовому полю соответствуютъ свои характерные формы поверхностей уровня, и оне могутъ быть безко-нечно разнообразны, и если мы себе представимъ въ какомъ бы то ни было изъ этихъ полей жидкость, на частицы которой действуютъ силы поля, то поверхность этой жидкости приметъ форму соответствующей этому полю поверхности уровня. Такъ, напримеръ, магнитныя или дшмагнитныя жидкости, помещенный въ поле сильнаго магнита или въ поле несколь-кихъ магнитовъ, принимаютъ своеобразныя волнистыя формы свободной поверхности. Поверхности уровня на центробежной машине представляютъ изъ себя параболоиды вращенш (фиг. 25).

Если бы, находясь на вращающейся площадка, мы вздумали выверить поверхность уровня посредствомъ ватерпаса, то вместо горизонтальной поверхности получили бы параболоидальную, потому что къ силовому полю тяготЪтя земли присоединилось бы поле центроб^жныхъ силъ. Если бы въ этомъ случай для выверки поверхности уровня мы воспользовались при-боромъ, называемымъ «уровнемъ съ воздушнымъ пузырькомъ», то пузырекъ этотъ занялъ бы устойчивое положеше посреди выпуклаго стекла прибора лишь въ томъ случай, когда плоскость осно-ван1я уровня совпала бы съ элементомъ поверхности уровня параболоида вра-щенш. Кроме того, стеклышко «уровня» должно быть при этомъ обращено вовнутрь параболоида, какъ показано на фигуре (25), такъ какъ вода, будучи тяжелее воздуха, при вращенш машины получаетъ большую центробежную силу, чемъ воздухъ.

Фиг. 25.

Изъ приведенныхъ примеровъ ясно, чемъ обусловливается возможность признанш данной поверхности поверхностью уровня.

Теорема 2. Производная отъ потенцшльной функиш по дут какой-нибудь кривой равна проекцт силы поля въ разсматриваемой точки> на касательную къ этой кривой.

Положимъ, что тгЬемъ какую-нибудь кривую AB (фиг. 26) (въ частномъ случае она можетъ быть и прямой), расположенную въ поле силъ, опреде-ляемомъ силовой функщей U. Зная уравнеше кривой AB, выразимъ координаты каждой изъ точекъ этой кривой, какъ функщи ея дуги s. Пусть:

X = f (■S), y = tx (S), г = /, (6-).

Тогда силовая функщя U=F {%,у, г) тоже можетъ быть представлена, какъ функщя s:

U= F (s).

Фиг. 26.

Это уравнеше даетъ значеше потен-х щальной функцш U во всякой точке кривой AB. Составимъ производную отъ V по s, разсматривая U, какъ функцш отъ х, у, з, а х, у, .г, какъ функщи s. Получимъ:

Cd сь

; ет

I Ms-

!_

О.

Преобразовывая написанное уравнеше по форм. (55), имйемъ:

Умножаемъ и дйлимъ вторую часть равенства на Р; получаемъ:

dU

ds

/X dx \Р ' äs

Г dy , Z dz ■Р "ds г Р "ds} '

Выражеше въ скобкахъ равно ~косинусу угла 0, образуемаго направле-шемъ силы Р съ касательной МТ. или, иначе говоря, съ элементомъ кривой äs. Поэтому:

ds

Р cos О,

(60)

что и требовалось доказать.

Разсмотримъ два частныхъ случая.

1) Если вся кривая лежитъ въ поверхности уровня, то во всйхъ точ-кахъ этой кривой функцш TJ имйетъ постоянное значеше; следовательно:

О,

clU

äs

и, значитъ,

Р cos S

0.

Но сила Р, вообще говоря, нс равна нулю, значитъ

0,

cos (-)

т.-е.

Такимъ образомъ, во всъхъ точкахъ кривой сила нормальна къ кривой, что даетъ намъ другое доказательство теоремы (1), такъ какъ кривую на поверхности уровня можно проводить произвольно.

2) Пусть кривая ортогональна съ поверхностью уровня поля, т.-е. она пересйкаетъ каждую поверхность уровня по направлешю нормали къ ней. Въ этомъ случай длина дуги s отсчитывается по нормалямъ къ поверхностямъ уровня и эту длину принято обозначать черезъ п. Тогда равенство (60) напишется такъ:

или

dü

dn

Р COS 0°

dU

du

Р cos 180°,

- 58 —

т. к. сила, будучи перпендикулярна къ поверхности уровня во вс’Ьхъ точ-кахъ кривой, направлена по касательной къ кривой.

Сила Р всегда берется лишь по абсолютной величине, косинусъ же,

определяющей ея направлеше, берется со знакомъ; следовательно,

dU

dn

равняется или Р, или — Р. Ясно, что направлеше силы зависитъ отъ знака

(функцш U возра-

производной

dU

dU

, а именно: при положительномъ

djj

стаетъ) уголъ 6 = 0; при отрицательномъ - (функцш ТГ убываетъ) уголъ

6 = ж. Отсюда вытекаетъ правило, определяющее направлеше силы:

сила направлена въ ту сторону нормали, куда силовая функц'т возрастаешь.

Разсмотримъ примеры силовыхъ функщй и соответствующихъ имъ поверхностей уровня. ^ ф (₀^'[

Примеръ 1. Действ!е силы тяжести, разематриваемое на небольшомъ районе, можетъ быть прцнято за равномерное поле, т.-е. такое поле, во всехъ точкахъ котораго действуютъ равный и параллельным силы. Разсма-тривая это поле въ Декартсщыхъ координатахъ и направляя ось z вертикально вверхъ, находимъ, что

di г

du

Х=\0, Т О, X

— ту.

Признакъ существований силовой функцш, очевидно, удовлетворяется, такъ какъ все три равенства К58) обращаются въ тождество.

Для нахожденш силовой функщй воспользуемся формулой (56):

dU=: Шх + Ydy -f Zdz.

Въ данномъ случае при X \ 0 и Т = 0, имеемч>

d ГТ-- — ту dz.

Интегрируя, находимъ:

ТГ

Это и есть силовая функцш для \ силы тяжести на небольшомъ районе. Такъ какъ выборъ положенш начала координатъ произволенъ, то мы мо-жемъ положить С\ — 0, после чего йолучимъ выражеше силовой функцш въ виде    \

•• mgz.

Поверхности уровня определяются уравнешемъ следовательно, yp-ie семейства поверхностей уровня имеетъ въ данномъ случае видъ

const)

Это есть уравнеше семейства горизонтальнфхъ плоскостей.

ПримЪръ 2. Разсмотримъ поле силъ, притягивающихъ къ центру па какому-нибудь закону, выраженному въ функцш разстоянш.

Примемъ начало координатъ О за центръ силъ. Точка М массы т отталкивается или притягивается къ этому центру силою Р (фиг. 27). Силу эту представимъ въ видй:

Р — у т ер (г).

ОМ.

Фиг. 27.

Здйсь у есть некоторый коэффищентъ* а ер(г) — некоторая функцш разстоянш точки отъ центра силъ, гдй г Функцш эта выражаетъ законъ измйненш силъ поля. Обозначая черезъ а, ß, у углы, образуемые силой Р, которую \будемъ считать притягательною, съ осями координатъ, и замечая, что

со

ros у

гдй х, у, z суть координаты точки М. находимъ выраженш компонентовъ силы Р:

X == Р cos а ф=

- у т ер (г) - ,

Y —Р cos ß

— и т у (г) —

(61)

Z=P сох у

Лутер {г)

Если бы сила Р была отталкивающая, то компоненты ея были бы положительны.

Посмотримъ, существуетъ ли для разсматриваемаго поля силъ силовая

функцш?

Для решетя этого вопроса испробуемъ, удовлетворяются ли въ на-шемъ случай условш существованья силовой функцш, данныя формулой (58),

именно:

dY_dZ dZ dX dX dz dy ’ öx dz ’ d\

Ql,

Ql.

. . . (58)

Подставляя въ (58) найденныя значешя Г и Z по (61), находимъ:

или:

±г.

dz I

(p (r) у m у

Ql

'83

j/.и

(Г)

ду

60 —

Такъ какъ у и т постоянны, у въ частномъ процессе изменены по z тоже постоянно, равно какъ и .г въ частномъ процессе изменены по у, то ихъ можно вынести за знакъ дифференщала, что нами и сделано.

Уравнеше это сокращается на (—ут). Кроме того, замечаемъ, что

Wx‘iJry*-l-z\

следовательно г есть функцы координатъ, а потому производныя, взятыя по координатамъ, могутъ быть заменены производными отъ техъ же выра-

жешй по г, помноженными на производныя отъ г по темъ же координатамъ. Тогда получимъ:

У Шдг

Ö.c

dr\_ г \ду

• (62)

Но

]/х* -f-у² -{- z'¹

дг _ д \/х'² -jj у'¹ -(- z*

ду

Точно такъ же

дг

dz

Подставляя эти выражены въ (62), имеемъ:

3-! äj

<У <! \уЩ r dr r J ’

—въ результате получили тождество. Поступая такимъ же образомъ съ остальными двумя условыми существованы силовой функцш, опять находимъ тождества.

Такимъ образомъ доказано, что для центральныхъ силь существуешь потенцгальная функцш V.

Найдемъ ея выражеше, для чего воспользуемся равенствами (61) и (56).

Имеемъ:

dU

Xdx -f Ydy + Zdz 4 - у m

У (г)

Выражеше въ скобкахъ равно rdr\ действительно:

г*

х* -А у² -J- .г²;

дифференцируя, получаемъ:

г dr

х dx -J- у dy -f- z dz.

Заметивъ это и произведя подстановку, находимъ:

(/Г    —у т (/ (г) dr.

— 61

Интегрируя, находимъ выражеше силовой функцш II для централь* ныхъ силъ:

(63)

Въ случай Ньютошанскаго поля сила обратно пропорцюнальна квадрату разстоянш, следовательно:

9> (г)    •

Подставляя последнее выражеше въ предыдущее уравнены, находимъ. силовую функцпо Ньютошанскаго поля:

— ti т

[г т

4-С

. (63>

Въ коэффищентъ ц входитъ масса центральнаго тела.

Поверхности уровня поля центральныхъ силъ выражаются уравнешемъ:

'S

const.

(63")

или:

const.

Отсюда выводимъ, что въ случае центральныхъ силъ поверхности уровня суть концентричесюя сферы, въ центре которыхъ находится центръ силы.

Когда известна силовая функцш поля, можно вычертить поверхности уровня и силовыя лиши, т.-е. лиши, по направленно которыхъ действуютъ силы поля. Линш эти будутъ ортогональны къ поверхностямъ уровня (стр. 54, теор. 1).

В.

cP

Jb

FV⁴

Фиг. 28.

Если мы представимъ себе какое-нибудь консервативное силовое поле (фиг. 28) съ построенными въ немъ поверхностями уровня, на которыхъ потенщалъ имеетъ значешя 11 х, ?7а, £7₃, L\ и т. д., то работа, совершаемая силами этого поля, при переносе въ немъ матертльной точки, будетъ равна разности потенщаловъ конечныхъ и начальныхъ точекъ. Законъэтотъ уже доказанъ и формулируется въ виде интеграла живыхъ силъ:

mv* mvJ

------?

Отсюда мы заключаемъ, что работа, которую нужно затратить (работа эта можетъ быть и положительна и отрицательна), чтобы перенести латеральную точку съ поверхности одного уровня на другой, равна разности потенц/аловъ этихъ уровней, и следовательно, не зависишь пи отъ траекторш переноса, ни отъ выбора на этихъ поверхностяхъ уровня начальной и конечной точекъ переноса.

Такимъ образомъ работа на пути АаВ (фиг. 28) равна работе на пути АЬВ и равна (/Д—ГД). Точно такъже работы на иутяхъ CD, СЕ и FG между собой равны и выражаются черезъ (ГД—ГД). Но на основаны приведен-наго интеграла живыхъ силъ можемъ сказать, что приращены силовой функцш равно приращенш живой силы. Отсюда заключаемъ, что

npupaiU/еме живой силы остается то же самое для вегъхъ путей, заключенныхъ между двумя поверхностями уровня.

Следствюмъ этого положены является следующее свойство движены подъ действюмъ консервативныхъ силъ.

Иредставимъ себе несколько магертльныхъ точекъ равныхъ массъ т, движущихся вследствш действш на нихъ силъ какого-нибудь консерватив-

наго поля. Положимъ, что поле это представлено на фиг. (29) и имеетъ поверхности уровня ГД и т. д. Если эти точки при ггерёходгъ черезъ какую-нибудь изъ поверхностей уровня имгьли одинаковый скорости, то и вся-\ кую другую поверхность уровня онгъ пройдутъ ⁴ тоже съ равными скоростями. Докажемъ это. Положимъ, что при переходе черезъ поверхность уровня ГД все точки имели скорость е₀, и пусть при переходе черезъ поверхность уровня ГД оне имеютъ скорости г\', t\" и т. д.

Приращены живой силы при переходе съ поверхности ГД на поверхность Т\ для каждой изъ точекъ равно (ГД—Т1₀), и, следовательно, приращены эти между собою равны, т.-е.

uv

m\

и₀, гг

ut,

и„.

"V

\л

Фиг. 29.

l\-Uo

mv j²    mvü‘l

т(г\У

UM

•откуда:

?i ?•/

что и требовалось доказать.

Если при переносе матертльной точки начальное и конечное ея положены находятся на одной и той же поверхности уровня, то вся L работа при переносе ея по какой бы то ни было траекторш равна нулю,—следовательно, и при-ращеше живой силы также равно нулю.

Отсюда вытекаетъ доказательство невозможности устроить perpetuum mobile въ поле консервативныхъ силъ. Действительно, на практике мы можемъ иметь

А*

fr

Ц Ц и, Фиг. 30.

дело съ полемъ силъ лишь на ограниченномъ пространстве; пусть эта граница доступной намъ части поля представлена на фиг. (30) контуромъ LLL. Поверхности уровня этого поля пусть будутъ Z7₀, JJX и т. д. Предста-вимъ себе матертльную точку А, движущуюся какъ-нибудь въ этомъ поле. Въ силу того, что поле ограничено, при предположены вечнаго дви-женш, необходимо допустить, что точка перес'Ьчетъ одну и ту же поверхность уровня неоднократно, а въ такомъ случай приращеше живой силы, будетъ равно нулю за промежутокъ времени между двумя вступленшми точки на одну и ту же поверхность уровня, и накоплены энерпи не будетъ получаться.

Для системы точекъ, а следовательно, и для всякой машины, это положены также справедливо, а потому нельзя устроить машины вечнаго движенш. Этого не допускаетъ свойство консервативности силъ природы.

Изъ интеграла живыхъ силъ заключаема., что если траекторш переноса точки замкнута, то работа, затраченная при переносе по этой траекторш, равна нулю, такъ какъ начальная и конечная точки совпадаютъ, и потенщалъ ихъ одинъ и тотъ же. Но есть случай, когда это положены оказывается невернымъ. Это случай, когда поле силъ имеетъ замкнутый сило-выя линш, охватываюгцш некоторыя кольца, поверхность которыхъ служитъ границею поля. Такое поле получается, напримеръ, когда имеемъ замкнутый проводникъ электрическаго тока.

Положимъ, что токъ идетъ по круглому проводнику А А (фиг. 31), тогда силовыя лиши электрическаго поля будутъ некоторыми замкнутыми кривыми FF, лежащими въ плоскостяхъ, пернендикулярныхъ къ плоскости

7л"

проводника. Силовыя лиши охватываютъ проводникъ и заполняютъ собой все пространство вокругъ него. Такимъ образомъ, поверхность проводника служитъ границею поля. Во всехъ точкахъ замкнутой силовой лиши I FF действуют*, силы, направленный ВЪ ОД1У сторону по силовой линш.

Фиг. 31.

]£сли мы представимъ себе матер]аль-ную дочку, на которую действуютъ силы нашего поля, и поместимъ эту точку на замкнутую силовую линпо, хотя бы въ К, то подъ влшшемъ силъ поля точка будетъ двигаться по лиши FF и, вернувшись опять въ К, будетъ уже иметь некоторую опреде-

ленную живую силу ——. Затемъ трчка опять опишетъ эту замкнутую

а

<])1У²

траектор1ю и получитъ еще такое ж ? приращеше живой силы - , и т. д.

Такимъ образомъ, оставляя точку двигаться, мы получасмъ безконечное движен1е и безконечное приращеше живой силы точки.

Мы получили «perpetunm mobilem, но такое «perpetuum mobile» не про-тиворечитъ принципу сохранешя эвергш, т. к. мы не создаемъ энерпи изъ ничего. Намъ необходимо для полученш указаннаго поля иметь создающей его электрическ!й токъ, и мы, въ сущности, преобразовываемъ электрическую энерию въ энерг1ю движенш нашей точки.

Разсматриваемый случай представляетъ случай многозначной силовой функцш, который подлежитъ особому изследованш. Если исключить изъ разсмотренгя траекторш проходягцш сквозь контуръ кольца (фигура 31'),

F,

проведя черезъ этотъ контуръ поверхность (эта поверхность на черт, затушевана), \    которую нельзя пересекать, то оставшееся

\    поле будетъ консервативно.

Фиг. 31'. ■

"Т уф“ § 20. Теорема площадей. Теорема I яйощадей имЗзетъ место, когда движете ! матертльной точки совершается подъ дей-г ствюмъ силы, постоянно пересекающей какую-либо ось.

Положимъ, что матертльная точка М (фиг. 32) массы т движется по траекторш AB подъ действюмъ силы Р, пересекающей ось Oz.

Составимъ компоненты силы Р. Обозначимъ уголъ, образуемый силой Р съ осью z, черезъ 6. Тогда проекцш силы Р на плоскость ху, равная положимъ Q, выразится такъ: Q Р sin 6. Векторъ Q проходитъ черезъ начало коордиыатъ 0, и косипусъ угла, образуемаго имъ съ осью 0ху

равенъ

, а съ осью Оу — равенъ --, где х и у — текущш координаты

точки М, а г~0М'. Компоненты силы Р выразятся такъ:

II

— Р cos О.

Пользуясь дифференщальными уравнениями движенш (27), находимы

<Рх

(Р

— P s i nß^,    > Ч

¹

(Ру

с/Р

— Р sin ,

cPz

(1Р

— Р cos в.

м;

Умножимъ первое yp-ie на уу второе на х, и вычтемъ изъ второго первое; получимъ:

Фиг. 32.

о.

/ (Ру (Рх\

т iJ w - у <т)

Но ш не равно нулю; поэтому

= 0.

(Рг] сРх Х(Ш~У(1Р

Зам'Ьтимъ, что первая часть равенства можетъ быть представлена

въ виде:

d Г du dx \

ш[хШ~ут\

(Px

dx du , d'lu du dx ,v „

d‘hi (Px xW—yd¥

= o.

Равенство это показываетъ, что выражете въ скобкахъ пе зависгтъ отъ времени. Интегрируя его, находимъ математическое выражеше теоремы площадей :

du

х

dx

dt У dt

(64)

_ Соотноптошо ото, называемое интеталомъ площадей. имгЬетъ большое значете, такъ какъ посредствомъ него решаются все случаи движенш подъ дМствюмъ силъ, перес'йкающихъ данную ось. Такихъ случаевъ въ

природе очень много. Между прочимъ сюда можно отнести движете тяжелой матертльной точки, прикрепленной на резине. Пусть матершльная точка т веса В, подвешена на резине От (фиг. 33).

\Q

Силу тяжести В можно сложить съ силой натяженш резины Q. Равнодействующая этихъ силъ постоянно пересекаетъ вертикальную ось Oz.

Выяснимъ, почему выведенный интегралъ (64) называется интеграломъ площадей.

Фиг. 33.

Пусть точка массы т (фиг. 32) въ своемъ движенш переходитъ изъ положены М въ положена Л7а . Соответственно этому и М' (проекцш М на плоскость ху) перейдетъ въ М\, описавъ дугу М'М\. Рад)усъ же г = 0М' опишетъ въ это время площадь М'ОМ\ . Обозначаемъ черезъ <р уголъ, образуемый радгусомъ г съ осью Ох и вместо Декартовыхъ координатъ примемъ полярныя. Формулы перехода, какъ известно, таковы (см. стр. 3):

'S

ев

Г² — X² -f- у ².

Аналитическая мсхапика.

Возьмемъ производную по времени отъ перваго равенства; имфемъ:

cUp

dt

du

X ~

dx

dt

У dt

du

X

dx

dt У dt

£²-f?/²

Заменяя знаменатель на основанш второй формулы перехода, имйемъ:

,₂ «г/;

dt

du

X -47-

dx

dt У dt

(640

Но вторая часть равенства есть выражеше интеграла площадей, равное произвольному постоянному С. Первая же часть, какъ было выведено

2 Ü

По-

въ кинематика (стр. 6), равна двойной секторальной скорости этому интегралъ площадей можетъ быть представленъ слйдующимъ образомъ:

dt

j'2

i=c>

или:

(7

(65')

Интегрируя последнее уравнеше, находимъ:

Ci

t-\- С\ .

(65 )

Полагая, что въ начала движенш рад1усъ г совпадаетъ съ осью х, отъ которой отсчитывается площадь б, находимъ, что при

с,

Подставляя эти значенш въ равенство (65"), находимъ, что

о,

и теорема площадей напишется такъ:

¹°[ О

(65)

т.-е. если матергальная точка движется подъ дгьйствгемъ силы, которая постоянно пересгькаетъ какую-нибудь ось, то рад1усъ векторъ проекцт

G7 —

j этой точки на плоскость, перпендикулярную къ этой оси, описываешь площади, пропорщоиальщйг временам».    '

Рад1усъ -векторъ берется отъ точки пересечены оси съ плоскостью. Можно ту же теорему выразить еще такъ:

точки есть величина по-

Секторальная скорость движешя проекцт стоянная.

|ГШ. Теорема площадей для центральной силы. Еще более важенъ, по своей распространенности въ природе, другой случай движешя,—именно,

Фиг. 34.

движете подъ действымъ центральной силы, т.-е. силы, проходящей всегда черезъ одну и ту же точку, называемую центромъ силъ. Въ этомъ случае имеетъ место не одинъ, а три интеграла площадей, т. к., если начало координатъ поместить въ центре силъ, то сила будетъ пересекать все три оси. Обозначимъ черезъ В разстояше точки М (фиг. 34) отъ центра силъ, а черезъ х, у, z координаты, определяющей ея положены. Найдемъ выражены компонентовъ силы Р, действующей на точку М. По уравнешю (26) ямеемъ:

«О

О

toi' **

•м

05

bö! *4

Беря отношены компонентовъ къ соответствующимъ координатамъ, видимъ, что призяакъ существованш центральныхъ силъ выражается следующими соотношешями:

ы Ktj

СО

05

Отсюда теорема:

^Компоненты г^ентральной силыт действующей въ какрИ-^^удь тюпирт поля, при центра силъ въ началгъ координатъ, пуопотиопальиы соотвгьт-ствующимъ'Иоорд'(Шатамъ этой точки.

Можно прямо написать три интеграла площадей, такъ какъ сила пе-ресйкаетъ каждую изъ осей координатъ, но для отчетливости выведемъ ихъ изъ дифференщальныхъ уравненШ движешя, для чего подставимъ въ (27) найденныя значенш компонентовъ силы. Изъ (27) находимъ:

68

d*x

dt* dH, dt* d*z dt*

Умножая второе yp*ie на z и третье на у и вычитая изъ третьяго второе, находимъ:

откуда:

что приводится къ

( (1*2

dt*

! (1*2 I У dt*

(12

У dt

Й*У\

" dt* ]

= 0;

dt* — ’

dt)

= 0.

Интегрируя, находимъ:

(67')

/ dz

\ У dt " dt

Таковъ интегралъ для оси Ох. Поступая аналогично, находимъ для осей Оу и Oz еще два интеграла. Такимъ образомъ, въ случай централь-выхъ силъ существуютъ следующее три совм’йстныхъ интеграла площадей:

для оси Ох:

п-Л-Л

У dt

dt

=Л,

X,

для оси Оу:

dx

dz

(67)

для оси Oz:

di)

dx

x dt У di

= C.

Совместное существоваше этихъ трехъ интеграловъ приводитъ къ за-ключешю объ особомъ виде траекторш. Умножая первое равенство на х, второе на у, третье на z и складывая ихъ, находимъ:

Ах -f- Ву -\-Cz- 0.

Это уравнеше плоскости;1_ проход яуи^.ей...иерезъ начало коордтштъ. Следовательно, траекторш есть плоская кривая, и въ плоскости ея лежитъ центръ силъ.

Примемъ плоскость траекторш за плоскость ху, тогда

z = О,

и два первыхъ интеграла удовлетворяются сами собой:

В = 0.

Остается треПй интегралъ, который будемъ писать въ полярномъ вид'ЗЬ по формуламъ (65) и (65').

Такимъ образомъ мы доказали теорему площадей для централъныхъ

силъ:

Кг,ли лила нейтральна. то траекторш матергалъной точки, движущейся подо дтъйсттемъ этой силы, будешь плоская, и плоскость траекторш проходить черезъ центръ силы. Въ этой плоскости движете совершается такъ, что радгусъ вектор*, 'проведенный от.поКительШп-пттта силы, описываетъ площайи, пропорцюналъныя времепамъ.

§ 22. Обратная теорема площадей для централъныхъ еилъ. Если движете совершается по плоской траекторш и если въ плоскости Ыраек- * monlu есть точка, относительно которой радгусъ векторъ описываетъ пло-

1    ¹    LJLis    JL.

Гй

иля временамъ, то движете это совершается подо дтиств/емъ центральной силы, имтющей цемтръ въ упомянутой точки,.

Пусть траекторш AB лежитъ въ плоскости К (фиг. 35). Начало коор-динатъ примемъ въ точк'Ь, относительно которой рад1усъ описываетъ площади, пропорщональныя временамъ. Математически это свойство выражается такъ:

do

dt

= const

(68)

Зд'Ьсь do есть площадь МОМ₁₅ описанная рад1усомъ R во время dt. Обозначимъ черезъ а, ß, у углы нормали N къ плоскости К съ осями х, у, z. Тогда, умноживъ выражеше (68) на cos а, cos ß, cos у, получимъ:

do

—rr cos а = const. cos а , dt

do

cos ß = const. cos ß

(68')

do

cos у = const. cos у.

Въ этихъ выраженшхъ clocosct, docosß, do cos у суть проекцш do на площади yz, хz, ху.

гдгЬ A = 2. const. COS CL , В = 2. const. cos ß и C = 2 . const. cos /, суть произвольныя постоянный.

'/ЬА

!М!

70 —

Обозначит, ихъ черезъ dax, da , doz и, подставивъ эти значенш въ равенства (68'), найдемъ:

и = const. cos а, dt

doy

- „ - — const. cos ß,

doz

-J- — const. COS'/.

Первый части этихъ равенствъ представляютъ собою секторальныя скорости проекцш точки на плоскости /z, zz, ху. Выразимъ эти секторальныя скорости въ Декартовыхъ координатахъ, пользуясь равенствами (65'} и (64'), и, принимая во внимаше (67), окончательно находимъ:

dz

„__/к-л

у dt - Ш •

d.r

dz

Z-тг — Х rr = B,

dt dt »

dy

dx

x /n' y dt Г’

dt

Взявъ производныя по времени отъ этихъ трехъ равенствъ и сд'йлавъ приве-х деше, получимъ:

РТ м

(Pz

Фиг. 35.

d*y

³ dt* ⁼ °’

Upz

X.j\P (Рх

dP У dP

У dP d*x

² IW

(PlJ

x-W-

0.

Изъ этихъ равенствъ составляемъ пропорцно:

(Рх

(Ру

dP

dP

^ j я в» Ь;

Заметимъ, что вторыя производным отъ координата х, у, z по времени пропорщональны компонентамъ силы по темъ же координатамъ [см. форм, а (27)]. Делая замену, находимъ:

Это и есть признакъ центральной силы (yp-ie 66), действующей изъ центра, помещеннаго въ начале координата. Итакъ, теорема доказана.

§ 23. Формулы Бинё (Binet). Формулы Вине служатъ для изследова-нш задачи о движеши матершльной точки подъ действюмъ центральной силы. Задача эта имеетъ важное применеше въ астрономш.

Въ виду того, что размеры небесныхъ телъ несравненно меньше раз-деляющихъ ихъ разстояшй, можно вместо телъ разсматривать матершльныя точки, сосредоточивая массы телъ въ ихъ центрахъ тяжести, а въ такомъ случае силы тяготенш являются центральными. Если между небесными телами, связанными силой тяготенш въ отдельную систему, имеется одно или несколько телъ, значительно превосходящихъ массою остальным, то движешя телъ системы можно считать совершающимися подъ действюмъ центральныхъ силъ, центрами которыхъ являются эти массив-ныя тела. Формулы Вине даютъ решете движешя небесныхъ телъ подъ действюмъ одного центра силъ.

Впервые эта задача была решена Ныотономъ въ его «Принципахъ натуральной философш». Все изследованш сделаны Ныотономъ геометрическими способами и занимаютъ большую часть этого сочинены. Теперь же, помощью анализа, задача о движеши подъ действюмъ центральной силы разрешается совсемъ просто.

Если дано уравнеше траекторш движешя, совершаемаго подъ действюмъ центральной силы, и дано расположен^ этой траекторш относительно центра силы, то, помощью формулъ Вине, можно определить съ точностью до постояннаго множителя:

во-первыхъ, скорость въ любой точке траекторш и,

во-вторыхъ, силу, действующую въ любой точке траекторш.

Пусть матертльная точка движется подъ действюмъ отталк и вате льной центральной силы Р, которую будемъ считать въ этомъ предположен^ положительной. При центральной силе, какъ известно, траекторш будетъ плоской кривой. Положимъ, что эта траекторш AB (фиг. 36) дана въ полярныхъ координатахъ уравнешемъ:

г = гр (до),

при чемъ полюсъ помещенъ въ центре силъ, въ точке О, а уголъ до отсчитывается отъ некоторой полярной оси Ох.

Квадрата скорости въ полярныхъ координатахъ представится по формуле (3) такъ:

drV¹

dt

4-г²

dm У

dt

(3)

Въ случае движешя подъ действюмъ центральной силы имеетъ место интегралъ площадей; напишемъ его въ полярныхъ координатахъ по формуле (65'):

dt

г²4? = С.

Исключимъ изъ написанныхъ уравнешй время, подставляя его значенье, найденное изъ второго уравненш, въ первое. Имеемъ:

d <p.

dt =

Тогда формула (3) перепишется такъ:

ТИ

.в

C11 с1>1 V

г¹ \dffi]

г*

(3f)

Въ формулахъ Вине вместо г употребляется другая величина:

(69)

Въ такомъ случай

Фиг. 36.

■ ■ ■ (69')

е/г = —

и¹

Сд'Ьлавъ подстановку изъ (69') въ (3'), найдемъ:

v² = (7*

(70)

Это и всть первая формула Вине, дающая связь меж, величиною и независимо отъ времени. Здесь

юстью и

определяется по данному уравненно траектории

г = у>(<р).

Входящш въ выражены скорости произвольный постоянный множитель <С указываетъ на то, что по всякой данной траекторш движете подъ дйй-ствымъ определенна™ центра можетъ происходить со многими разными скоростями, но вей эти скорости отличаются только постояннымъ множи-телемъ С. Величина скорости, при данной траекторш, всецело зависитъ отъ интенсивности центральной силы, и если эта сила дана въ какой-нибудь точке траекторш, то можно будетъ определить множитель С, какъ это увидимъ изъ второй формулы Вине, а тогда и скорость v будетъ иметь внолнй определенное значеше.

Для вывода этой второй формулы воспользуемся теоремой живыхъ силъ, написавъ ее въ дифференщальной форме [см. (53)]:

Р cos 6 äs = ä

шг²

(53)

Представимъ элементарную работу силы въ другомъ виде. Положимъ, что точка перешла изъ М въ М{ (фиг. 36), пройдя безконечно-малый эле-ментъ пути äs. Соответственно приращенпо äs рад1усъ векторъ получилъ при этомъ приращены dr. Ыа чертеже находимъ är, проведя изъ О дугу рад1уса ОМ; тогда är = NMX. При безконечно-маломъ äs дуги ММХ и MN можно заменить ихъ хордами. Тогда, полагая, что рад1усъ векторъ, по направленно котораго дййствуетъ сила, съ элементомъ пути äs образуетъ уголъ 6, изъ прямоугольнаго тр-ка MNM\ находимъ:

cos (-). äs

är =± —

än

и'² ’

въ виду (69').

Подставляя это выражен1е въ первую часть уравнены (53) и заменяя во второй части гг по формуле (70), получаемъ:

du

и*

I²

(7²

Выполняя дифференцирован1е второй части равенства, возьмемъ производную по drp отъ выражены въ скобкахъ и, умноживъ ее на d<p, найдемъ:

du

du , du däu\ .

Отсюда:

с*>Ф+щ}

(71)

Это и есть вторая формула Вине. Она выражаетъ законъ центральной силы, производящей движете по данной траекторш. Входящш въ выражены силы произвольный постоянный множитель О² показываетъ,

что движете точки по данной траекторш мошетъ производиться множествомъ различныхъ силъ, дМствующихъ изъ даннаго центра, но все эти силы находятся между собой въ опредйленномъ соотношенш: функциональная ихъ величина, обгцая для всгьхъ, вполнгь определенна, отличаются оюе оть только постоянными множителемъ С'².    • .

Найденныя формулы (70) и (71) показываютъ, что скорость v движе-нш точки прямо пропорщональна С, а сила Р, производящая это движете, прямо пропорщональна (7². Следовательно, увеличенш С въ п разъ соответствуем увеличены » въ к разъ и увеличены Р въ и² разъ. Отсюда заключаемъ, что производящая движете по данной траекторш центральная сила, действующая изъ даннаго центра и определяемая по второй формуле ЪнШфтжетъ быть изменяема въ и /юизволъное число п² пазъ.исоответ- ..... ственНо этому скорость v изменится въ и разъ,

Определенность функщональной величины силы, производящей движете, и такая же определенность скорости не будутъ иметь место въ томъ случае, когда дана только траекторш и не даны условш, что движете совершается подъ действымъ центральной силы. Въ этомъ случае для каждой точки траекторш можно взять произвольную скорость, по которой найдется соответственная сила.

Формулы Вине выведены здесь изъ разсмотренш движенья подъ действымъ отталкивающей центральной силы. Если вторая часть равенства (71) выйдетъ после вычислены со знакомъ плюсъ, то это показываем, что сила действительно отталкивательная, если же она выйдетъ со знакомъ дойну съ, то это показывало бы намъ, что сила Р не отталкивательная, а притягательная.

Заметимъ, что «формулой Вине» принято называть только вторую изъ выведенныхъ формулъ, дающую выражены силы.

7ц—°/^/

/ Движете планетъ.

§ 24. Выводъ закона Ньютона изъ законовъ Кеплера. Законы дви-женш планетъ были найдены Кеплеромъ изъ наблюдешй Тиходебраге и формулированы слйдующимъ образомъ:

1.    Всгь планеты\ и кометы движутся по коническимъ сеченгямъ, въ одномъ изъ фокусовъ которыхъ находится солнце.

2.    Площади, описываемый радиусами векторами планетъ, пропорциональны временамъ.

3.    Квадраты времеиъ обращения планетъ относятся какъ кубы боль-шихъ полуосей ихъ эллиптическихъ орбитъ.

При разсмотренш движенш планетъ мы примемъ во внимаше лишь действы солнца на планеты, а взаимодействы планетъ другъ на друга и влшше спутниковъ на движенш планетъ отбросимъ, какъ ничтожное сравнительно съ силою притяженш солнца, но очень усложняющее задачу.

— 75

На основаны первыхъ двухъ законовъ Кеплера мы заключаемъ, что орбиты планетъ плоски и движете совершается подъ дтйствгемъ 'центральной силы, направленной къ солнцу. Выведемъ теперь изъ этихъ законовъ законъ Ньютона.

Отнесемъ орбиту къ полярнымъ координатамъ съ полюсомъ въ центре солнца. Уравнены орбиты, какъ коническаго сечены, будетъ, какъ это выводится въ аналит. геометры:

(72)

где р— параметръ, а е — эксцентриситетъ коническаго сечены, равный |/а*—Ъ²

(а и Ь суть полуоси конич. сечены).

Заменимъ г его обратной величиной и по уравнешю (69) и напишемъ уравнены орбиты въ такомъ виде:

(72')

Вторая формула Вине имеетъ видъ:

(71)

Для определены величины

! (1² и

drp

- воспользуемся ур-ымъ (72'). Им'Ьемъ:

~fiy

e sin rp'

такъ что

e cos rp

d % (№

Подставляя въ (71) полученную величину Hie и изъ (72'), находимъ:

d%u

drp

равно какъ и значе-

= — С*й*

1 -J- е cos rp е cos rp

CHi²

Положивъ

(73)

[

и заменивъ и черезъ —, получимъ для силы Р такое выражены:

(I т

(74)

Формула (74) указываешь, что Р есть притягательная сила, изменяющаяся обратно проп ор г { г она ль г i о квадратамъ разстоянт и прямо пропорг^опально массамъ планегггъ, нодъ условюмъ постоянства коэффициента II. Это и есть законъ Ньютона.

Покажемъ теперь, что упомянутое условю постоянства р которое есть сила притяженш между двумя единицами массы на единиц^ разстоянш, оправдывается для вс'Ьхъ планетъ солнечной системы.

По третьему закону Кеплера:

а‘л

¹ - \= const

а, •*

(75)

тдгЬ Т и Тх суть времена полнаго обращены планетъ, а а и а₁ — болышя полуоси ихъ орбитъ. Обозначимъ малую полуось одной изъ орбитъ черезъ Ъ\ тогда площадь, ограниченная траекторшми планеты, будетъ равна жаЬ. Напишемъ выражеше секторальной скорости

da С dt 2

Интегрируя последнее уравнеше, находимъ:

с,

О ; <М

Полагая, что въ начала движенш рад1усъ г совпадаетъ съ осью х, отъ которой отсчитывается площадь о, находимъ, что при t = 0, о = 0.

Подставляя эти значенш въ последнее равенство, находимъ, что Ct— О, и теорема плошадей напишется:

с,

О l'M

Это выражеше представляетъ площадь, описанную рад1усомъ векторомъ планеты во время t. Положивъ t — T, гд^ Т—время полнаго оборота планеты, найдемъ, что вся площадь траекторш есть:

О ; -м

гС.

откуда:

2 жаЪ

Изъ (73) тгЬемъ:

C—Vpp'i

I— 77 —

далее, изъ аналитической геометрш известно:

тогда:

Т=

2 жаЬ 2 жаЬ

у:

2 ж ]/а³ _

такъ что:

Г'¹.    4 ж? а³ 4 ж²

. а³

!<

= const.,

откуда:

!< =

4 ж2 сойм.

7- — const

(76>

Итакъ, значете ,« оказывается одинаковымъ для вс'Ьхъ планстъ нашей системы; оно вычислено Гауссомъ и носитъ назваше «Гауссова числа».

§ 25. Выводъ законовъ Кеплера изъ закона Ньютона. Обратно, принявъ изв'Ьстнымъ законъ Ньютона, можно вывести законы Кеплера. Надо заметить, что эта задача отнюдь не предрешается предыдущимъ вы-водомъ закона притяженш изъ законовъ Кеплера, такъ какъ при известной силе можетъ получиться не одно движете, а несколько. Такъ, напримеръ, подъ влшшемъ двухъ солнцъ траекторш планеты можетъ быть коническимъ сечешемъ лишь подъ условюмъ известнаго первоначальнаго толчка, даннаго телу, а если бросить тело иначе, то траекторш значительно усложнится.

Для решетя предложенной задачи воспользуемся формулой интеграла живыхъ силъ (59):

mv% mvJ

(59)

т.-е. приращете живой силы равно приращетю силовой функцш. Силовая функщя для Ньютотанскихъ силъ, по формуле (63'), есть

fim

и=-

или, по замене — черезъ и:

U—!ппи .

— 7S —

Подставимъ это выражеше въ интегралъ живыхъ силъ; получимъ:

mv²    m'₀²

тци — т,«ш₀,

гд’Ь г^₀ есть величина, обратная рад1усу вектору для начальнаго момента времени. ОпредЕтимъ изъ предыдущего равенства г;²:

?;² = 2ци -|- г>₀² — 2,<|ш₀.

Но членъ (i’₀² — 2ци₀) есть величина постоянная, такъ какъ зависитъ только отъ начальныхъ данныхъ, поэтому обозначимъ его черезъ а.

Итакъ (77) тогда

Но по формул^ Нине (70) для центральной силы им'Ьемъ:

Поэтому:

[-+(») ] ■

с,г[м2+о1⁼н+“-

г?² = С,:2

Рйшая это уравнеше относительно dp, найденъ:

äff =zb

Выборъ знака передъ корнемъ зависитъ отъ условШ, которыми мы характеризуемъ начальное положеше. Условимся считать уголъ 99 въ направлены, соотвйтствующемъ возрастанпо г. Если г возрастаетъ, то его обратная величина и убываетъ, и du будетъ отрицательно, а потому въ предыдущей формул^ надо взять передъ второй частью минусъ:

dp

du

/а , ■ 2 ци

У Ü² ■ <7²

*=•

— iP

Для интеграцш преобразуемъ выражеше, стоящее подъ радикаломъ:

2 ци

С²

- Ц² =

У с*

НГ‘2 П

(7⁴

(7²

— 79 —

Такъ какъ С есть произвольная: постоянная, то, имея въ виду последующая преобразованы, положимъ:

а (I¹ е²

c*^~bi=pi

(78)

Эту сумму мы приравняли существенно положительной величине, такъ какъ въ противномъ случае выражеше 2-й части было бы мнимымъ. По формуле (73) имеемъ:

Cihs

(73')

Тогда, выражая d<p черезъ (78) и (73'), найдемъ:

]) du

ä<p

du

>/■ -(==)*

Вторая часть полученнаго равенства есть дифференщалъ arccos—-- .

О/

Поэтому по интеграцш находимъ:

откуда

ир — 1

COS (cp -f- ß)

u = ^^\-\-ecos (?>-+/?)J

(79)

Ъ-

\\

Для определены произвольнаго постоян-наго ß положимъ, что мы начали разсматри-вать движете съ того места, когда г есть min. (фиг. 37), а следовательно, и есть тах. Тогда, при <р = 0, имеемъ и есть тах. Но изъ формулы видно, что и будетъ тах. при cos (ff ß) =1, при чемъ оно получаетъ зна-чеше:

— (1 + е).

р

Фиг. 37.

Вставляя въ (79) найденный величины для начальнаго положены,

получимъ:

(L+e) = -(l jf ecosß},

откуда:

cos ß = 1; ß — 0.

80

По замене въ формуле (79) произвольнаго постояннаго его величиной*

найдемъ:

(1 -f - ecoscp),

а принимая во внимаше, что и

окончательно получимъ:

1 -j— е cos (р

Это и есть уравнеше коническихъ сЬчешй.

Посмотримъ, при какихъ условшхъ это коническое сечете будетъ эллипсомъ, гиперболой или параболой, что, какъ известно изъ аналитической геометрш, зависитъ отъ значенш е, которое мы и опред'Ьлимъ въ зависимости отъ данныхъ величинъ. Воспользуемся для этого уравнешями (78) и (73').

Уравнены (73') возведемъ въ квадратъ и вычтемъ изъ (78): Получимъ:

е² — 1

Р*

или, подставивъ а изъ уравнены (77), найдемъ:

ß²— 1

V - 2//. ul

откуда:

е² = 1 4

(у₀² — 2,м щ)р*

6'²

Изъ аналитической геометрш известно, что при е < 1 получимъ эллипсъ, при е = 1 — параболу, при е > 1 -4- гиперболу. Следовательно, траекторы будетъ:

1)    эллипсъ, если ?’₀²<2/ги₀.

2)    парабола, если у₀²==2/>м₀.

3)    гипербола, если v₀²>» 2/i и₀.

Видъ TpaeKTopin, стало быть, зависитъ отъ начальной скорости v₀ и отъ начальнаго положены и₀, но не зависитъ отъ направлены скорости.

§ 26. Определены связи между положешемъ планеты и временемъ. При решети вопроса о связи между положешемъ небеснаго тела на орбите (определяемая угломъ ср) и временемъ различаютъ два случая:

1) Движете совершается по параболе; тогда непосредственно находится связь между <р и t.

2) Движете происходить по эллипсу; тогда для простоты решенш приходится вводить вместо <р новое переменное.

Первый случай соответствуешь движешю кометъ. Кометами называются небесныя тела, движущшся въ пространсте по параболамъ или очень растянутымъ эллипсамъ. Для наблюденш кометы доступны лишь въ то время, когда оне приближаются къ солнцу. При этомъ кометы прюбретаютъ своеобразный видъ: у нихъ образуются хвосты, направленные въ сторону, противоположную отъ солнца.

Объяснена образованы хвостовъ и ихъ формы принадлежишь знаменитому астроному О. А. Бредихину. Теорш, предложенная имъ, состоитъ въ следующемъ: при приближены къ перигелда, на некоторый составныя части кометы начинаетъ усиливаться действш отталкивательныхъ централь-ныхъ силъ, центромъ которыхъ является солнце. Вследствю этихъ силъ некоторыя частицы отделяются отъ ядра кометы и начинаютъ двигаться по гиперболамъ, образуя газообразные хвосты кометы. На основаны опытовъ теперь установлено, что световые лучи, проходя черезъ очень редкое газообразное вещество, гонятъ это вещество по своему направленно. (Наследованы проф. П. Н. Лебедева.) Оделавъ это допущеше, Бредихинъ вполне разъяснилъ различныя формы хвостовъ и ихъ расположены. Разница формъ хвостовъ зависитъ отъ свойствъ составляющей ихъ матеры, въ связи съ которыми стоятъ разный величины коэффищентовъ отталкивательной силы. Такихъ коэффищентовъ найдено три, и каждому изъ нихъ соответ-ствуетъ особый типъ хвоста. Наблюдены показываютъ, что комета можетъ иметь одновременно одинъ, два или три хвоста, что зависитъ отъ состава ядра кометы.

Для отысканы связи между <р и t, когда траекторы представляется параболой, воспользуемся теоремой площадей. Отнесемъ орбиту кометы къ полярнымъ координатамъ съ центромъ О и осью О А (фиг. 37). Уравнены ея будетъ въ этомъ случае *):

откуда:

уЧ

dt

С.

dt

г¹ 2

d (f.

Подставляя сюда г изъ уравненш параболы, получимъ:

р-

d ((

С (1 -у- cos rp)%

*) Им'Ьемъ вообще г =

, гд-fe е

\/аЧ_frä

—    —; для параболы Ъ=0,& с.гЬд., е =

1.

Заменимъ (1 4- cos <()% по формуле косинуса половинной дуги:

сь

Тогда получимъ:

dt=

pl

(Up

2(7

2 cos²

co.9²

Ho

CO.S²

Следовательно:

*-Й

Здесь С зам'Ёнимъ черезъ У pp по (73); тогда наша формула при-метъ видъ:

dt =

ifcrM+И-¹* )•

После интегрированы найдемъ:

Ь-'

'S

со I см

4-

I ГО

сс

Sv! -м

Для определены произвольнаго постояннаго г начнемъ считать время отъ положены кометы въ перигелш. Тогда при <р = 0 и t = 0, а потому и г = 0.

Нтакъ, окончательно искомая связь выразится формулой:

's

СС

Svj'M

00

Установимъ теперь аналогичную связь между t и для планетъ, орбиты которыхъ суть эллипсы. Пусть планета описываетъ эллипсъ съ полуосями а и Ь, въ фокусе F этого эллипса находится центръ притяжены— солнце. Вместо угла (р, для удобства вычислены, введемъ новый уголъ с. Такая замена угла <р, называемаго истинной аномалкй, угломъ е, назы-ваемымъ эксцентрической аномалией, делается съ целью упростить интегрированы, которое, въ случае непосредственнаго отысканы связи между t и гр, приводить къ довольно сложнымъ квадратурамъ.

Площадь AFC Площадь круг. сект. АОС выразится черезъ

площади кругового сектора АОС безъ площади Л OAF.

АС. ОА

Для полученш угла е опишемъ на большой оси эллипса окружность (фиг. 38) и опустимъ изъ взятаго положены М планеты на орбитй перпен-

дикуляръ MN на главную ось; пересчете эго съ окружностью въ точкй А соединяемъ съ центромъ О. Полученный /_AON = z, называемый эксцентрической аномалгей, мы примемъ за уголъ, опредйляющш поможете планеты.

Связь между 6 и t найдемъ слйдую-щимъ образомъ. Исходимъ изъ теоремы площадей въ интегральной формй:

-,а

:'м\

/С I

О N F

Фиг. 38.

(65)

Въ данномъ случай о равно площади MFC--1 площади, описанной ра-д1усомъ векторомъ FC при перемйщенш планеты изъ С въ М. Для выражены площади MFC черезъ уголъ е и полуоси эллипса вообразимъ окружность

рад1уса ОС (фиг. 39), плоскость которой наклонена къ плоскости траекторш Q подъ

угломъ г, при чемъ cos г

а

Тогда эта окружность спроек-тируется въ видй эллипса съ полуосями а и Ь. Отмйтимъ въ эллипсй площадь а и будемъ разсматривать ее, какъ проекцпо площади AFC, полученной такимъ же образомъ, кайъ и на фигурй (38). Въ такомъ случай:

iif '' М

F,

MFC

Фиг. 39.

о = MFC

съ

Сг

съ

а I о¹

00

ц е . а_а'г е

Площадь Л OAF—

О А . 0F

sin

AOF

О А. OF

sin s.

Точка F есть фокусъ эллипса. Изъ аналит. геометрш извйстно, что

а j/V² — Ь²

0F =r ]/а ² — И¹ =

ае,

V !¹

аЪ

(83)

а принимая во внимаше (65) и вставляя въ него значенш для б изъ (83), получимъ:

ab

[t — C sin б].

Внося }/рр вместо С [по формуле (73) | и заменяя р черезъ - , получимъ окончательно:

он

[£ — С Shl б] ,

У¹¹'

или:

toi со

AFC

(б — ei sin £)

(82)

А OAF

84 —

ибо

(см. стр. 75).

Следов., площадь Л OAF перепишется такъ:

О А . OF sin е    а . ас . sin £ а-с sin £

Откуда:

Подставляя въ (81) значеше AFC изъ (82), находимъ:

(84)

Это и есть окончательная формула, дающая связь между ъ и £.

Если, наоборотъ, принять за известное величину t и определить изъ найденнаго уравненш £, то получимъ задачу Кеплера. При возрастали £ до 2ж время t становится равнымъ времени полнаго оборота планеты Т. Изъ формулы (84) имеемъ:

а².2 ж

¹

-f- cos ср

²

По теореме площадей (65):

V !L

Эта формула оправдываетъ треПй законъ Кеплера:

comb.

— 85

§ 27. Движете тела, брошеннаго подъ угломъ къ горизонту. Ре-

шимъ эту задачу, не принимая въ расчетъ сопротивлены среды. Пусть некоторое тело брошено въ плоскости хОу со скоростью w подъ угломъ « къ горизонту (фиг. 40). Движете тела въ этомъ случае будетъ происходить подъ действюмъ одной лишь силы тяжести, такъ что компоненты действующей силы по осямъ координатъ будутъ:

где т есть масса брошеннаго тела. Для нашего случая дифференщальныя у равненья движены (27) будутъ таковы:

d'lx

dt*

(21а)

а”

(27/9)

Интегрируя уравнен1е (27«), получимъ:

С.

(ix

dt

Произвольное постоянное С этого уравнены определяется по началь-нымъ условшмъ: тело брошено со скоростью w и въ начале движены имело скорость по оси Ох.

(1х

dt

Пнтегрируемъ найденное уравнены снова; находимъ:

wt^cos «-f- Су.....

х d t

i

с,-о,

(27₇)

Для точки О имеемъ:

следовательно,

0;

и наше уравнеше (27/) приметъ окончательный видъ:

х — whcosa

Для интегрированы уравнены (27ß) представимъ его въ виде:

d fdy dt [dt

=т — ff-

Интегрируя, находим!-:

(ly

Ж —et.+a.

(86')

dy

Для определены (7₂ заметимъ, что при T=iO, ~- = wsina (проекцы ги на ось Оу). Тогда

С% = w sin а,

и теперь ур. (86') напишется такъ:

(1у

^ '== — gt-~j- W sin а .

Интегрируя, найдемъ:

fft*

У = ~ — + wt sin а-{-} Сz

(86")

Для определены С₃ замечаемъ, что въ начале координата при у — О, имеемъ t — 0; тогда изъ (86") находимъ, что и С₃ = 0, и yp-ie (86") принимаешь окончательно видь:

у-- —sin а \

Подставляя въ это yp-ie значенш t изъ ур-ы (85):

w cos а ’

находимъ:

ух²

2 ?о² cos² а

w. х sin а

w cos а ’

что окончательно даетъ:

у = .г tg а

/у./-²

2 «с² cos²с

(86)

Это—yp-ie параболы.

Фиг. 40.

§ 28. Отысканы огибающей всехъ параболиче-скихъ траекторш при по-етоянномъ w. Зададимся целью отыскать огибающую всехъ параболическихъ траекторШ, по которымъ движется мaтepiaльнaя точка, бросаемая подъ различными углами.къ горизонту съ постоянной с к ор о с т ыо w (фиг. 40). Но прежде пока-жемъ oбщiй способъ получены уравнены огибающей по данному уравненш -огибаемой.

Если мы им'Ьемъ уравнеше кривой вида:

f (х, У, р) — О

гдгЬ х и у суть текущш координаты, а р—параметръ, то видъ этой кривой и положеше ея на плоскости, характеризуясь параметромъ р., меняются съ изм!шешемъ р. Огибающую можно разсматривать какъ геометрическое м'Ьсто пред-йлоБъ перес^ченш кривыхъ, происходящихъ отъ изм^ненш пара-метровъ въ уравненш данной кривой. Если въ данномъ уравненш кривой параметръ р изменится въ (р -|- ф), то уравнеше кривой будетъ:

f (х, у, р + dp) = 0.

Разлагая это уравнеше! по строка Тейлора, получимъ:

/ (х, У, р) + fp (X, у, р) dp

1.2 р

С (X, у, р) (ф)² + ...= 0 . . (87')

Координаты точки перерйченш об'йихъ безконечно близкихъ кривыхъ должны удовлетворять какъ этому ур-ш, такъ и yp-iio (87). Но въ виду (87) первый членъ строки (87') пропадаетъ и мы получаемъ yp-ie:

fp (xf у, р) dp -j-

1.2 р

f " {х, у, Р) (dp)*

= 0.

Сокращая все yp-ie на dp и переходя къ пределу (dp = 0), находимъ yp-ie, которому должны удовлетворять координаты точекъ перес^ченш смеж-ныхъ кривыхъ:

(88)

А' (X, У, р) = О

Исключая параметръ р изъ yp-iii (87) и (88), и получимъ yp-ie огибающей въ форм'й

В (,X, У) = 0.

Прим'йнимъ эти разсужденщ къ случаю, разобранному въ предыдущемъ параграф^. Мы им’йли тамъ yp-ie одной изъ параболъ:

у = худ а —

ух²

2 iv² cos² а

За параметръ р примемъ величину tg сс, т.-е. положимъ

W с’ = р.

Исключаемъ теперь параметръ р изъ (89') и (89"), искомое yp-ie огибающей. Изъ (89") имеемъ:

тогда и получимъ

4о

(89")

у = хр

2 w*

(I +i>²)

(89')

cos'¹ и

Тогда входящая сюда величина

cos'¹ а

выразится такъ:

1+/0*4= 1+р*

и предыдущее уравненie напишется:

Дифференцируя уравнеше (89') по р, согласно (88), находимъ:

W'¹

(JX

Подставляя это значеше р въ уравнеше (89'), получимъ уравнен^ огибающей:

И''¹

vm

9^

2 гг-

(89)

Это уравнен1е представляетъ тоже параболу. Точки пересечены ея съ осями координатъ определятся такъ:

съ осью х:

у -- - -- 0, х = ОМ= —

/V-

съ осью /:

х — О, у

ON

/с²

2 </

Таковы значенья координатъ точекъ пересечены М и N огибающей параболы съ осями х и /.

Отнесемъ полученное уравнеше (89) къ новой системе координатъ г/Ns, начало которой поместимъ въ точке N. Тогда имеемъ формулы перехода:

x = s,

W-?=2д~Ч-

И тогда ур. (89) приметъ видъ:

:-2 —

2^²

V-

Следовательно, огибающая парабола им-Ьетъ вершину въ N. ось ея

iv¹

есть /1>], а параметръ равенъ — .

§ 29. Движете артиллерШскаго снаряда, пущеннаго подъ угломъ къ горизонту. Мы разсмотр’Ьли задачу о д в и ж е н i и тела подъ угломъ къ горизонту въ пустот^. Если тЬло брошено въ воздух!}, то сопро-тивлеше среды значительно изм'Ьняетъ движете, и траекторий является своеобразная трансцендентная кривая. Изслйдоваше этого движенш очень важно въ баллистикъ. Въ артиллерШскихъ школахъ существуетъ снещаль-ная каеедра, посвященная подробному изученно этой задачи.

Фиг. 41.

Форма движущагося въ сопротивляющейся сред!} тела, а также и вращательное движете, сообщенное ему при бро-санш, влшютъ на его полетъ. Именно этими факторами и объясняются разнообразный и довольно удивительным формы траекторШ, описываемыхъ бумерангомъ,—охотничышъ орудюмъ, употребляемымъ некоторыми дикими племенами и предста-вляющимъ изъ себя деревянное тйло особой формы. На фиг. 41 представлена фигура, вырйзавъ которую изъ карточки, мы получимъ тело, способное описывать при бросанш траекторио, характерную для бумеранга.

Чтобы не сделать задачу слшнкомъ сложной, разсмотримъ движете въ сопротивляющейся среде шарообразцаго тела, брошеннаго подъ некото-рымъ угломъ къ горизонту и движущагрся поступательно. Въ этомъ случае на тело дМствуютъ две силы: сила; тяжести Р, по вертикали внизъ, и сила сопротивленш воздуха F, направленная въ сторону, противоположную движенш тела, и но величине прямо пропорцюнальная квадрату скорости. Трудность этой задачи состоитъ въ. томй>, что проекцш силы сопротивленш на оси координатъ не могутъ быть представлены въ виде функцш одной координаты, соответствующей оси, а пртому дифференщальныя уравненш движенш не могутъ быть объинтегрированы порознь. Приходится интегрировать ихъ особеннымъ образомъ совместно.

F/

Пусть тело1 брошенное подъ угломъ а къ А горизонту, движётся по плоской траекторш ОВС (фиг. 42). На него будутъ действовать силы: сила тяжести Р =тд и сила сопротивленш F = тфЬР [см. стр. 39, форм. (42)].

Силы эти даютъ следующее компоненты но

оснмъ х и /:

а\

_i_

CI

X - - —1 ni(j№v*

dx

Фиг. 42.

(Iß ’

— mg —

тву*Ш-

Здесь

dg

r/.S

представляютъ косинусы угловъ, образуемыхъ на-

правлешемъ скорости съ осями х и /. Дифференщальныя уравнены движены [формулы (27)] напишутся такъ:

(1² х    1 J ₀ dx

(1ц

— VI д —| mg к* с²    ,

г/²?/

т W ⁼

или':

dt*

— у!;'¹ гг

L dx

ds

(90)

(IHf

dt'¹

У — ()Щ v*

(/у

ds

(91)

d^ii du

и Р , входящы въ уравнеше (91)., могутъ быть

Прюмъ интегрированы будетъ состоять въ томъ, что мы будемъ стремиться выразить .х, у, t въ видй функцш параметра р, гд'Ь р — и пред-ставляетъ тангенсъ угла, образуемаго касательной къ траекторш съ осью х. Производным

выражены черезъ р такъ:

dy dy dx dx _

oft    dx dt    P dt ’

(t*X ,    <7r

р7т+Ж'Ж-

d*V

dt²

Подобнымъ же образомъ:

! dx

г7г/ % с/./

ds    dx ds    ^ \ ds ‘

Подставляя эти выражены въ (91), находимъ: d*x . dp dx '

-(Sf+«*-D+„

dx

dt dt.

dp

dx

elt

= —fi

Ho изъ уравнены (90) слйдуетъ, что выражеше въ скобкахъ равно нулю, а потому имйемъ:

dp dx

,//•-//" "

Дн

та

ГС

а

-д

СВ

Дн

b-1

та

Д.

СП

ГО

cd

е<

Подставляя это выражеше въ уравнеше (90), находимъ:

d-x

dt*

dt ’

dx

dt

dx

— gl*? dt.

dt

Ho

v r//.-=4 da,

а первая часть равенства представляетъ äL.g

(Ix

dt

; поэтому уравнеше (90)

напишется такъ:

äLg

dt

— gh*ds.

Интегрируя его, получимъ:

Lg

dx

dt

4 gJc*S 4- С.

Въ начальный моментъ движенш дуга s — 0, а проекщя скорости

dx

dt

Lg (г₀ соs с|) = С

равняется v₀cosa, гд-Ь а уголъ, подъ которымъ брошено тело относительно горизонта. Поэтому:

и уравнеше (90) теперь приметъ видъ:

dx \ |

dt

Lg

откуда:

dx

dt

г\ cos a\. c

—ylfls

(93)

где e основан1е Неперовыхъ логариемовъ.

Изъ уравненш (93) заключаемъ, что! при s, равномъ безконечности,

dx

dt

0. Это показываетъ, что при безконечномъ продолжены дуги траекто-

рщ точка теряетъ всю свою скорость по реи Ох. Следовательно, на неко-торомъ разстоянш отъ начала координатъ Iдолжна быть перпендикулярная

Вторая часть этого уравнены при всевозможныхъ значешяхч. s остается отрицательной. Это показываете, что дангенсъ угла, образуемаго касательной къ траекторш съ осью Ох, постоянно убываете. При .5 = 0 тангенсъ положителенъ, при н^которомъ промежуточномъ значенш онъ проходите че-резъ нуль и, становясь отрицательнымъ, при дальнМшемъ увеличены онъ продолжаете безпред'Ьльно убывать. Следовательно, при 5 = со, tga и а = — 90°, т.-е. касательная къ траекторш, проведенная въ точке, безконечно удаленной отъ ея начала, пересекаетъ ось Ох подъ прямымъ угломъ. Это и есть вышеупомянутая ассимптома.

= — со

Найдемъ связь между р и s изъ уравнешй (93) и (94). Заметимъ, что

äs -}/ d.f² и- dy²,

или

(95)

къ оси Ох ассимптота AS, къ которой безконечно приближается траекторш ОВС. Подставимъ въ уравнеше (92), наеденное изъ (93) выражеше , и

опред’Ьлимъ

dp

dt

Имгйемъ:

dp

dl

су. г y.’j, cos а

(94)

ds — dx у 1 Л~Р²

Разделивъ по частямъ уравнеше (94) и (93), находимъ:

dp

с/,Г

д_

r^'² cos'² а

(96)

Перемноживъ накрестъ уравнеше (96) и (95), получимъ:

Интегрируемъ это уравнеше:

2 \х/

1 -\-р'². dp

гd² cos* а . дк²

Интегралъ, стоянцй въ первой части равенства и встречающийся при квадратуре гиперболы, известенъ изъ анализа:

]/1 ~\~Р² ■ Ф

93 —

выражен!емъ, стоящимъ въ прямыхъ

Эта функцш р, представлены скобкахъ, очень важна для р'ЬшенЦ задачъ баллистики, и для нея вычислены спещальныя таблицы. Обозначимъ ее черезъ ip (р):

• (97)

Р V ¹ ~гР

Пользуясь формулой (97), гхерепишемъ предыдущее уравнеше:

/г²г₀² cos* сс

е2{'\

С—>р(р)

(98)

Для опред1;ленш С зам'Ьтимъ, что при начал'Ь движения s Подставляя эти значенш въ (98), находимъ:

О и р гд а.

С=

(99)

Дал'Ье изъ уравнешя (98) находим , что

lv₀ cos а . \/ С— Ф (р) ... .

■ . .(100)

Пользуясь этими уравненшми, выразимъ х, у, t черезъ р. Изъ урав-' ненш (96) им'Ьемъ:

dx

d„

Подставляемъ e9k's изъ уравненш (lOOl*

dx

[С — ip lp)\

-i

(101)

II37» уравненш

du

Ш:

имг1емъ:

dy = p dx.

Заменяя dx черезъ найденное выражеше изъ (101), находимъ:

SL

II

Изъ уравненш (94) им$емъ:

dt

v₀ cos сс д&*

. dp.

Подставляя e

aWs

изъ уравнены (100), находимъ:

dp

dt — — - [ С — гр (»)] 2

fdJ

Интегрируя уравнены (101), (102), (ЮЗ), получаемъ:

<ß'¹ J

[С-ЯЙГ.Ф;

tgcc

■ i>

[6'—?/Чр)] ¹-p.dp-,

(104)

'• tgcc

[C—ip (p)] 2. dp.

tgu

формулы (99) и (104) служатъ основашемъ решены задачъ баллистики. Для вычислены ихъ существуютъ спещальныя таблицы.

Положимъ, что намъ изв’Ьстенъ уголъ а, подъ которымъ брошенъ сна-

до

тд

рядъ, и первоначальная скорость снаряда ?;₀; известно также 1с =

(£ 14). Требуется определить полетъ такого снаряда.

По обыкновеннымъ таблицамъ отыскиваеыъ величину tg а. Затемъ, по спещальнымъ таблицамъ функцш хр(р) находимъ величину xptga. Далее, выяснивъ по формуле (99) постоянное С, можемъ определить х, у и t для всякаго р, т.-е. определить, въ какомъ месте пространства и въ какой моментъ времени движется снарядъ, образуя уголч. arc tgр съ горизонтомъ. Для этого обращаемся къ спещальнымъ таблицамъ следующихъ трехъ функщй:

• dp,

\С—хр(р)\

[С— хр(р)] ¹ . р . dp, 2=(    [0—хр(р)\~2. dp.

Въ этихъ таблицахъ мы будемъ открывать страницы, соответствующая вычисленному нами С. На этихъ страницахъ будемъ отыскивать значены функщй при выбранномъ нами аргументе р и изъ нихъ вычитать значе-Hie техъ же функщй при р, равномъ вычисленному tg а. Такимъ юбразомъ определятся междупредельные интегралы, входянце въ составъ формулы (104), а по нимъ уже легко определить х, у и t.

РавновЪсю несвободной матер1альной точки.

§ 30. PaBHOBtcie матершльной точки на поверхности. Пусть матерю льная точка М стеснена уеловгями, позволяющими ей перемещаться

лишь на поверхности S, данной уравнешемъ f(x, у, z) = 0 въ прямоугольной системе коор-динатъ (фиг. 43).

У,

Фиг. 43.

Поверхность 5 будемъ считать совершенно гладкой, чтобы не принимать въ расчетъ силъ тренш. Подъ влшшемъ внешней силы Р, при-х ложенной къ точке М, разовьется давлеше на '"поверхность, противодействуя!» которому будет!» нормальная сила Ж' сопротивления поверх-' пости. Заменив!» механичесгай эффектъ поверх- i ностй S силой Ж, мы можемъ разсматривать точку Л7, какъ свободную, и написать для нея условш равновесш, состоящш въ томъ, что сумма проекщй силъ на каждую изъ осей координатъ равна нулю.

°>)

(105')

Х-\-Ж cos а Y-\-Ж cos ß= О, Z-\~ Ж cos 7 = 0, j

где X, Y, Z—проекщй силы Р на оси координатъ, а «, ß, у—углы, образуемые нормалью къ поверхности съ осями координатъ.

Изъ анализа известно, что cos-ы угловъ нормали къ поверхности выражаются формулами:

df

öx

cos а = —r , cos ß

ÖIJ

cos у -

dz

. . . (106)

где

dz

—частныя производныя функцш / (х, у, г).

я df df df öx⁹ dy⁹

Выборъ знака при А зависитъ отъ того, какое направленю нормали мы принимаемъ за положительное. Когда это направлеше установлено, то сила сопротивлешя Ж считается положительнойt если направлена по ^положительной нормали, и отрицательной, если направлена въ обратную сторону Ж "    ~ ■    ¹ —    *"

9 Г,

Зам'Ьнивъ

93

То

найдемъ:

о arte; h

43 + И к

'S ——...

•<

::

=3

93

'S

CO

(105)

Это суть три уравнешя равновесш несвободной матеры льной точки. Ирисосдинивъ къ нимъ уравнеше поверхности, будемъ иметь 4 уравнения, изъ которыхъ и определятся координаты х, у, г и сила N.

Возьмемъ для примера такую задачу: Найти положеше равновЬсш матер]'альной точки М массы т (фигура 44) подъ действшмъ силы тяжести Р на поверхности эллипсоида, даннаго въ системе осей х, у, z, уравнешемъ:

к»

ic| ю

Назовешь углы, образуемые направлешемъ силы тяжести Р съ осями х, у, z, соответственно черезъ сс, ß и у. Величина силы Р будетъ = тд. Напишемъ условш равно-B-feciH точки на поверхности:

А' + Т'1 = ⁰'

= 0,

(Ю5)

= 0.

Изъ уравнены эллипсоида определимы

df _ 2х öf 2у <)f 2 z

дх    а² ’ ду    б² ’ dz    с²

Величины же А\ Y, Z для даннаго случая выразятся:

X =— mg cos сс, Y = — mg cos ß, Z — — mg cos у.

Условимся считать положительной внешнюю нормаль къ поверхности эллипсоида; въ такомъ случае при Л возьмемъ знакъ -j- (въ анализе было доказано, что внешней нормали соответствуютъ + Л). Тогда уравнены (105) примутъ 1\ндъ:

2Кх Ла%

— mg cos с. -}-

= 0,

— mg cos ß -j-

2 Ny

J6²

= 0,

, 2 Nz — Щ1 cos у + -j- -

Опредйлимъ отсюда координаты х, у, z:

\Л

_тд а² cos «

2

_тд Ь² cos ß J

У~ 2    ~'N’

_mg с² cos 7

~ 2

"N

(Ю7)

Подставивъ въ уравнен1е эллипсоида найденный величины, получимъ:

— 1.

(«² cos² tc h² cos² /? + c² cos² 7)

Отсюда:

iV

= ± ’Щ- Va² cos² a -f- Iß cos² {1 + c² cos² 7

(107')

Л'

Если въ системй ур-ш (107) замйшшъ —- полученной величиной изъ (107'), то будемъ имйть:

\ ; Г

О/-"

а² cos а

I/а² cos²« б² cos² 4 + с² cos² 7

//

⁷ ?Ч

Ö² COS ß

Vа² cos² а -\-b² cos² ß 4- c² cos² 7

c² cos 7

Фиг. 44. .

l/ß² cos² cc 4“ cos² ß 4- c² cos² 7

Итакъ, получено два рйшенш, опредйляющихъ положеше равновйсш точки М на данной поверхности. Этимъ двумъ рйшешямъ будутъ удовлетворять два значенш силы сопротивлен1я. Если мы возьмемъ координаты положительными, то почучимъ на поверхности эллипсоида точку М. Сила N будетъ въ этомъ случай положительна (потому что мы условились считать Л ноложительнымъ и изъ уравненш (107') имйемъ при положительномъ корнй положительное /V); это рйшеню имйетъ мйсто, если матертльная точка находится на внйшней поверхности эллипсоида. Проведя рад1усъ-векторъ черезъ точку М, найдемъ, что на его нродолжен1и въ обратную сторону будетъ находиться точка мх съ координатами, удовлетворяющими второму рйшенпо. Знакъ минусъ при N въ этомъ случай указываем направление силы N внутрь эллипсоида, что соотвйтствуетъ положенно точки мх во внутренней полости эллипсоида.

/    § 31. PaBHOBicie точки на лиши. Положимъ, что точка М подъ дМ-

ствгёмъ силы Р движется по некоторой лиши. Разсматривая эту линш, какъ пересйчеше 2-хъ поверхностей, получимъ ея уравнены въ вид1з:

/ (*, У> z) = 0, I

/ifo У, г)

Аналитическая механика.

— 93 -

Весь эффектъ дМствш поверхностей при дфйствш внешней силы Р на точку М (фиг. 45) можетъ быть представленъ въ вид'Ь нормальныхъ силъ сопротивленш N, оказываемыхъ каждой поверхностью. Тогда мы можемъ

разсматривать точку Л7, какъ свободную, подъ дМствюмъ трехъ силъ Р, N и N' и по (105') условш равновгЬсы написать въ вид^:

Г\

Ql

X -(- N cos а -f- Nt cos at — 0 I Y-\- N cosß-\- Nx cos ßv == 0 " . (108") \ Z-^N cos у -f Nt cos у у = 0,

Фиг. 45.

гдгЬ а, ß, у и с(у, ßy, у у суть углы нормалей къ поверхностямъ съ осями х, у, z. Пользуясь формулой (106), можно переписать систему yp-ifi (108") въ вид'Ь:

Х+*.*

дх

N df А ду

Pi

I z+? I+э

1

Ау дх

Щ д(\

Ау ду

у, ■>/, ,,

(108)

dz

Присоединяя къ отимъ уравненшмъ уравнены лин1и (108'), получимъ пять уравнений, изъ которыхъ и определить Bet нужныя памъ пять неиз-в'Ьстныхъ: х, у, z, N и Ny.

Движете несвободной матертльной точки.

§ 32. Движете матер1альной точки по поверхности. При решены задачи о движен1и несвободной матертльной точки поступаемъ такъ же, какъ и въ предыдущемъ параграф^; именно, зам'Ьняемъ связи силами сопротивленш и зат'Ьмъ разсматриваемъ движен1е матертльной точки, какъ свободной, подъ дМствюмъ данныхъ силъ и прибавленныхъ силъ сопро-тивлен1я.

Положгшъ, что точка М массы т подъ дМствюмъ силы Р движется по поверхности Q, данной уравнешемъ:

Механичесшй эффектъ идеально-гладкой поверхности представленъ цщь мальноп силой N (фиг. 46). Ыапишемъ дифференщальныя уравнены дви-жёны по поверхности, т.-е.:

Л дх ’

(Рх

т1¥

N df

d'ht

IR -77dr

Y+КЖ

TJ Oy_’

. (109)

ä*z mdt²

7Л_К df Z A de ’

W-

где X, Г, X суть компоненты силы Р, компоненты силы Y, при чемъ принято

Y d/¹ lY d/* a ~J"dx’ А ду и

d/*

■ ж суть

I/Ш+Ш+Ш-

N.

М₍

Три дифференщальныя уравнены движены (109) вместе съ уравнешемъ поверхности и решаютъ нашу задачу.

N

Исключая изъ (109) величину -j-,

'Р

Фиг. 46.

найдемъ два дифференщальныхъ уравнены второго порядка. Въ нихъ z за-х мйнимъ черезъ его значеше ?/; (.г, у/) найденное изъ уравнены поверхности. Тогда получимъ два уравнены второго порядка съ двумя неизвестными функциями х и у и независимымъ перемен-нымъ t. Объинтегрировавъ эти уравнены (при чемъ получатся четыре про-извольныхъ постоянныхъ, которыя опредйлимъ по начальнымъ условымъ), найдемъ х и у, какъ функцш t. Подставляя найденныя выражены въ уравнете z = ip(x, у), определимъ г, а потомъ изъ любого дифференщаль-наго уравнены движены можно найти и N.

§ 33. Движеше точки ■ по лин1и. Пусть лины, по которой движется точка, дана двумя уравнеными:

f"(x, у, 2) = О, ft (х, У, г) = о,

представляющими две поверхности, дающы въ пересечены нашу линда. Механическш эффектъ лиши является равнодействующимъ эффектомъ дйй-ствы обеихъ поверхностей, а потому его можно заменить нормальными

7*

100

силами сопротивленш У и Nt, придавъ которыя къ действующей силе Р, получимъ возможность разсматривать точку, какъ свободную.

Пишемъ дифференщальныя уравнешя:

dt2    1 /1 dx ¹ Л. Ох

К.Кл_&:<!к

А dy

т ~

di*    А г ' /I. dz '

алу т -~

dt*

. . . (110)

00 00Я

(1*2

Эти три уравнешя съ двумя уравненшми лиши вполне решаютъ вопросъ.

ОбщШ ходъ решенш задачи таковъ: исключивъ изъ трехъ дифферен

щальныхъ уравнешй движенш количества

, получимъ одно диф-

ту У,

т и

ференщальное уравнеше съ тремя неизвестными функцшми х, у, 2 и неза-висимымъ переменнымъ t. Изъ двухъ уравнешй поверхности находима.:

У=/Р{х), я = </>, (х).

Подставляя эти значенш въ только что полученное дифференщальное ypaBHeHie, получимъ дифференщальное ypaBHeHie второго порядка, содержащее только х и t. Интегрируя его (при чемъ получатся два произвольныхъ постоянныхъ), найдемъ х, какъ функцш t, а зат'Ьмъ изъ уравнешй у = <р (х) и z — <ру (х) опред’Ьлимъ также у и 2, какъ функцш t. Силы же N и Nx можно найти изъ любыхъ двухъ дифференщальныхъ уравнешй движенш. л § 34. Теорема живыхъ силъ для несвободной матертльной точки. Теорему живыхъ силъ для несвободной матертльной точки докажемъ, раз-сматривая случай движенш по лиши; случай же движенш по поверхности получимъ, полагая въ уравнешяхъ движенш по лиши N’l = 0.

Sr ST

Умножимъ уравнешя (110) соответственно на Складывая найденныя равенства, получаемъ:

dx dy

Ж ’ Ж ’    *

d.r

• IC i

IC

яг-

dt +rif+zir+T(dl

dH

dz

cte dt

' J, \(te dt'öy dt

Первую часть этого уравнены можно представить въ виде.*

dt

Два послДцнихъ члена второй части уравненш (111) равны нулю, такт* какъ равны нулю выражены въ скобкахъ, пред став ляюгцы собою полныя производныя по ^ отъ первыхъ частей уравнены / (.г, у, г) = 0 и /Д.г, у, .г) = 0, которымъ координаты точки все время удовлетворяютъ. Тогда уравнены (111) напишется въ виде:

или

(^.xg+rg+z

dz

dt

а (”|'²) = X dx + Т dy + Z ch.

Наконецъ, на основанш формулы (51) имеемъ:

mv²

= Р cos в. äs

(112)

Это и есть тсотма живыхя см,лг во дифференциальной форлиъ, — та жеДчто и для свободной точки. Разница только въ выводе: пришлось разсматривать еще нормальный силы сопротивленш поверхностей, но эти силы работы не производятъ, т. к. они нормальны къ элементамъ пути ds.

Принимая во внимаше, что по формуле (56)

Р cos в . ds = dJJ

и, интегрируя выведенное yp-ie (112), находимъ:

mv~

При v~v₀ им'Ьемъ:

следовательно:

mv²

f-+c=u₀.

U-U₀.

Вычитая это равенство изъ предыдущего, находимъ: mv²    mv₀²

Это интеграла живыхъ силъ. Изъ хода разсуждены видно, что и въ случае движены по поверхности, при JSft = 0, придемъ къ тому же результату.

Итакъ, теорема живыхъ силъ, а следовательно, и принципъ постоянства энергш остается неизменнымъ и для случая несвободнаго движены матертльной точки, при отсутствш силъ трены. Нормальныя силы сопро-тивлены поверхностей работы не производятъ.

М LL

М;

§ 35. Определены силы давлены матерыльной точки на поверхность, по которой она движется. По закону: действю равно противодействие, давлены Q точки М (фиг. 47) на поверхность равно силе N реак-цш поверхности, но направлено въ противопололшуго сторону; следовательно:

Q-- — X.

А' , ?/

6-'

/О

Фиг. 47.

Положимъ, что точка массы т движется по траекторш AB на поверхности S. Уравнены движены точки на поверхности (§ 32) напишутся по формуле (109) такъ:

d'²x

dt²'

У-f-iV cos ß

Z-\-X cos у — m

d'²y

П) -У

dt² * d²z

~W‘

Отсюда находимъ проекцш силы Q, имея въ виду, что Q

— X:

Q cos а = X — m ,

Q cosß = Y—m , )

. . . (113)

Q cos y — Z — m -

dt* '

Изъ кинематики известно (§ 4), что полное ускорены геометрически мошетъ быть представлено въ виде суммы двухтГ^^^

— I __| ,|Ц щ j...............——Г———¹    ' '

иолнаго ускорены на касательную,—тангенщальнаго ускорены, равнаго -щ , и 2) проекцш иолнаго ускорены на нормаль,—нормальнаго ускорены, равнаго

РИН II

Обозначимъ черезъ а, Ь, с углы, образуемые касательной къ траекто-pin съ осями координатъ, а черезъ Я, у, v — углы, образуемые рад1усомъ

— 103

кривизны съ осями координатъ; тогда проекцш полнаго ускорены представятся следующимъ образомъ:

^ tc I

cos Я

Уравненш

**

О

СС

4-

COS fl,

COS V.

(113) перепишутся теперь такъ:

dr

Q cos а — Х—m cos а — m — cos 1,

dr

Q cos ß = Y— m -7т cos b — 7«

clt

— cos fl, Q

$ cos у — Z

dv

m -77- COS C — 777 — COS T.

dt

Помножимъ эти три уравненш соответственно на cos а, cos ß, cos у,

—    ....    i i--*-

и сложимъ. Замъчаемъ, что сумма квадратовъ косинусовъ, получающаяся при $, равна 1, и подставляемъ вместо X, Y, Z выражены:

Y

р_ р

1 х Т) 1    ^

послгЬ чего Р выйдетъ за скобку. Получаемъ:

cos 7

COS СС —j— -jy cos ß —j—

mt

- (cos a cos а -}- cos ß cos b -}- cos у cos c) —

— 777 —- (cosX cosa-j- COS fl cos ß -f- cos V cos y).

Выражеше въ скобкахъ при /' равно cos у, где о есть уголь между направлешемъ силы и нормалью; выражеше въ скобкахъ при m ß

dv

dt равН0

косинусу угла между нормалью и касательной, т.-е. нулю, выражеше въ

—----- —

скобкахъ при 777 — равно cos в, где О есть уголъ, образуемый рад1у-сомъ кривизны, направленнымъ къ центру кривизны, съ нормалью (заме-

тимъ, что рад1усъ кривизны траекторш, вообще говоря, не совпадаетъ ст> направлешемъ нормали къ поверхности, на которой лежитъ траекторш). Теперь наше уравнеше принимаетъ видъ:

г/¹

Q = Р cos <р — т —

cos в.

(114)

Этой формул^ можно дать видъ:

Q — P cos <р -f- т

! -о

1-4

cos (л — О)

т.-е. давлете, развиваемое матсршльной тошой при движет»• р» мп

поверхности, направлено но нормали кь поверхности и равно сум.мт про-

. . ■ • • •' ' • " ' • .......... - •••'

. .*•    7Z2 Z.* **

сщш на эту нормаль данной силы Р и цептротьэюиои силы инерщи

Возьмемъ для примера сл'бдующ!!! случай движенья: Матершлышя точка движется иодъ действшмъ силы тялеести по поверхности шара, выходя изъ самой верхней его точки съ начальною скоростью го. Определить силу давлешя матершлыгой точки на эту поверхность и то место, где_матершльная точка соскочить съ шара.

Пусть имеемъ шаръ рад1уса а и матершльную точку М массы т (фиг. 48). Возьмемъ начало нрямо-угольныхъ осей координата въ центре шара и на-

Ar

t)

Pr

правимъ ось z вертикально вверхъ, а ось х такъ, чтобы начальная скорость го матершльной точки лежала въ плоскости xz.

Уравнеше шара относительно его центра пи-

шется такъ:

X² _|_ уЧ _j- z- = Я².

Фиг. 48.

которой движется точка М, въ нашемъ случай напишутся такъ:

Компоненты силы тяжести, иодъ действшмъ

X = 0, Т=0, Z — — mg.

Траекторий движешя будетъ меридшнъ AB въ вертикальной плоскости xz. Определить силу давления точки на поверхность шара. По yp-iio (114) имеемъ:

то²

Q = Р cos (Р, гг)--— cos ((>, п).

_    ______ С

Для нашего лее случая:

Р — mg-,

cos (Р, п) —

Q—Щ

cos (q, и) = l;

поэтому:

,, z

Q = ’«s~

то²

103 —

сила

Опред1злимъ v² по теоремй живыхъ силъ; для этого, принимая во внимаше, что тяжести им4етъ силовую функцйо, воспользуемся уравнен1емъ (59):

mv² mvn²

— U— U₀

(59)

Въ нашемъ случай

U = — mgz, U, —— тда,

v₀ —w;

такъ что (59) приметь видъ:

т v² — пт² -}- 2 тд (а — z).

Теперь уравненю (114') перепишется такъ:

Q = mg

— -- [mw² + 2mg (a — z)],

ИЛИ

со

Такова сила давленш матер!альной точки на шарЬ. Въ тотъ моментъ, когда это давленш обратится въ нуль, матершльная точка соскочить съ шара и будетъ двигаться, какъ •свободная, по парабол^. Координата z, характеризующая м4ето, гдТ точка соскочить съ шара, определится изъ уравнешя:

<3 = 0,

т.-е. изъ ур-ш:

3 де

гс-

—--2р--

п    а

= 0,

откуда:

ос' to

Если начальная скорость очень мала, такъ что членомъ t

го²

3//

можно будетъ прине-

' со! ю

бречь, то получимъ, что z —

а, т.-е. матершльная точка соскочить съ шара на вы-

сотй

9

/4

“ рад1уса шара, считая отъ горизонтальной плоскости, проходящей черезъ центръ.

§ 36. Математический маятникъ. Математическимъ маятникомъ называется тяжелая матершльная точка, движущаяся по некоторой данной кривой въ вертикальной плоскости. Будучи все время подъ дййствюмъ силы тяжести, маятникъ въ нижней точкй кривой находится въ устойчивомъ равновйсш; выведенный изъ этого положены и предоставленный силй тяжести, маятникъ получаетъ колебательное движете. Если нйтъ никакихъ силъ, сопротивляющихся его движение, то движете это продолжается без-конечно. ИзслЪдуемъ движете маятника.

Предположимъ, что выведенный изъ положены равнов'йсы С (фиг. 49) маятникъ пущенъ въ точкй А безъ всякой начальной скорости. Пусть кривая АСВ, по которой онъ движется, симметрична относительно вертикальной

106

оси Cz. Примемъ за прямоугольный оси координатъ прямую Сх, касательную къ А СВ въ точке С, и перпендикуляръ къ ней Cz. Координата г на-чальнаго положены маятника въ точке А пусть равняется h, а дуга АС равняется s₀. Будемъ определять положены маятника на кривой не координатами х и z, а дугою s, дающей разстояше его отъ точки С. Условимся считать направлены дуги s отъ С къ А положительными

ной

Для вывода формулы скорости маятника, въ какой-нибудь промежуточ-точке N воспользуемся теоремой живыхъ силъ въ форм?Г (o9jT

mv² mv₀² тт

2

и,. X

(59)

Въ данномъ случае vQ равно нулю, а величины U и U₀ суть значе-нш силовой функщи въ точкахъ II и А. Для силы тяжести силовая функция имеетъ видъ (—mgz). Следовательно:

—    mgz (для точки N),

—    mgh (для точки А).

.В

А,

N.

III

:z

J-x

Фиг. 49.

Приведенное уравнены (59) въ нагасмъ случае напишется такъ:

mv²

= — mgz -j- mgh — mg (h — z),

откуда:

v = zbY%g (h — z).

Если въ точке N маятникъ движется отъ А къ С, то беремъ v со зна-комъ минусъ, ибо дугу s считаемъ положительной отъ С къ А, и тогда:

— \/-2g(h — z)

(115)

Наибольшее значеше скорость, очевидно, будетъ иметь при z = 0, т.-е. въ точке С, здесь

По этимъ даннымъ легко определить ту точку В, до которой поднимется маятникъ, выйдя далее изъ С со скоростью vc. Очевидно, что въ этой точке скорость его vB равна нулю. Обозначимъ ординату искомой точки В черезъ z. Тогда для положешй маятника въ С и В можемъ написать yp-ie живыхъ силъ:

mvс² mv^

т . 2 gh

r    mv *

Имеемъ далее: vc—y2gh, такъ что ——

_ А--

(по условно); U₀ = 0, такъ какъ 17=— mgz, а для G,zc = 0; Подставляя полученыыя значенш въ вышенаписанное yp-ie, получимъ:

vigh- vB =-- О

— mgz'.

mgli - mgz',

такъ что

z' = h,

т.-е. точка Б симметрична съ точкой И, а поэтому

CA = ~CB = .s₀.

Зная теперь скорость во всякой точке пути, легко определить связь

ds

между временемъ и пройденнымъ путемъ. Подставляя =- вместо г въ формулу (115), получимъ:

dl

äs

]/2g{h — z)

Интегрироваше даетъ:

äs

]/2 g(h — z)

{-С.

При t = 0, s = s₀; следовательно:

r-s о

äs

y2g(h — z)

г+С.

Вычитая изъ перваго уравненш второе, получимъ:

f‘S о

äs

108

Называя время, соответствующее перемещение точки изъ А въ В, перюдомъ полного колебатл Т, име.емъ изъ предыдущей формулы для половины пер1ода yp-ie:

äs

(116)

Это есть общая формула времени колебаны всякаго математическаго

маятника.

Разсмотримъ случай кругового маятника. Пусть рад1усъ окружности, по которой движется матер!альная точка, есть I (фиг. 49'), а уголъ размаха, т.-е. уголъ наибольшаго отклонены отъ вертикали, равенъ </>₀. Въ случае круга удобнее дугу s заменить черезъ уголъ отклонены ср. Изъ чертежа видно, что:

о’

Ау

\N

Фиг. 49'.

iг/ *

Jk^djkp,

'=1 — 1 COS rp, Jl —l — l COS ср₀ .

Пределамъ s₀ и 0 будутъ соответствовать пределы гр₀ и 0. Формула (116) после подстановокъ и соответствующихъ упрощешй приметъ видъ:

! (м

(кр

j/2(cos (р — cos гр₀)

(U6')

Вычислимъ приближенную величину этого'интеграла, достаточно точную для малыхъ угловъ отклонены. Разложимъ coscp и cosrp₀ въ рядъ (по строка Маклорена):

COS <Р

TL _l <А

1.2'^

гр'->

4!    6!

COS Гр₀ = 1--

П²

1.2

Составимъ разность этихъ строкъ, пренебрегая членами рядовъ выше второй степени; находимъ:

COS (f — cos r/o = — (ГД² — (je²).

Подставляя это выражеше разностей въ формулу (116'), получимъ:

(Up ⁽Ро

Интегрированы даетъ

arc sin

такъ что для перюда полнаго колебашя имКземъ:

т=

л у 7-

Это есть приближенная формула кругового маятника. Ею можно-пользоваться, получая довольно точные результаты для случаевъ пеболь-шихъ угловъ отклоненш, до 5°.

Выведемъ, далее, точную формулу, для чего интегралъ формулы (116'} нриведемъ къ виду эллиптическаго интеграла перваго рода. Производимъ замену переменнаго у перем’Ьннымъ О, для чего полагаемъ:

sin — = sin ~ sin О

2 2

(117}

9> о

что всегда возможно, ибо sin — < sin -•, а потому sin 0 < 1.

— —

Пределы интегрированы при новомъ перемгЬнномъ О будутъ:

при (p — 0,    6 — 0 ;

I-

. . . (118)

Дал’Ье, опредЗзляемъ всг1> функцш прежняго перем-Ьниаго черезъ новое переменное. Дифференцируя (117), находимъ:

Ci

%

У.

се

откуда:

<м

•I

со

Но

8s|(M

COS

cos у = 1 — 2 sin¹ -| = 1 — 2 sm¹ sm¹ 0.

Z    —

Преобразуемъ теперь радикалъ формулы (116'); находимъ:

1 — 2 sm¹

]/2 (cos cp —COS r/⁾o) ⁼ 'y//

(120)

следовательно,

с/х/.

2 sin ~ cos 6 (1,6

Z

(119)

1 — sin¹ sm¹ 6

Z

далее:

2 . 2 . sm¹ ^ (1 — sm¹ 0) = 2 sm “ cos 0

На основанш соотношенш (1J8), (119) и (120), yp-ie (116) можно переписать такъ:

71

,т

2 sin cos Q ä&

Z

7t

-у/~ I ^ — sm¹ -у sm¹ 0 j ¹ d 0

и развернемъ подынтегральную функщю въ рядъ по биному Ньютона:

⁰ 2 sin

7t

}/Ч

,т

с/0

⁰ ~ш / 1 — sin¹    sin² 0

. . . (121)

Полученный интегралъ есть эллиптический интегралъ перваго рода и

. Дадимъ рядъ, выра-

й,

обозначается, по Лежандру, черезъ Л7 жаюнцй этотъ интегралъ. Представимъ его въ виде

111

Общш (м4-1)-ый членъ этого ряда будетъ:

1.3.5... (2м —1)

2.4.6..... 2п

sin²'¹ ~ sin²“ 6,

такъ что обнцй членъ ряда въ выражены —- положимъ, членъ /г, будем:

Z

Je

1.3.5.... (2м - 1) . 4.6

sin²'¹ —

<Ро

sm2nО (IQ.

Въ анализе было доказано, что

7С

shi2n О (IS —

1 . 3 . . . . (2 м — 1)

2.4

поэтому после интегрированы общш членъ примем видъ:

1с =

/К

1 . 3 . 5 . . . . (2м— 1)

2.46

«мм»

Что касается перваго члена ряда, то изъ выражены общаго члена онъ не можем быть непосредственно определенъ; но изъ равенствъ (121) и (122) , легко видеть, что первый членъ будетъ равенъ

с__°

Взявъ въ ряде за скобку л |/~ и умноживъ обе части уравнены (121)

уЯ'+ш’-имг

на 2, получимъ:

sin¹    •

Z

Такова точная формула времени одного размаха кругового маятника. Рядъ, входящш въ эту формулу, быстро сходится. Ограничиваясь конечнымъ числомъ членовъ ряда, мы получимъ величину Т всегда меньше действительной. Но для предельнаго случая, когда уголъ отклонены маятника равняется 180°, мы получаемъ въ скобкахъ рядъ расходящшся, и величину Т находимъ равною безконечности. Это соответствуем случаю неустойчи-ваго равновесы.    \

§ 37. Изохронный маятникъ. Изохнонизмомъ маятника называется свойство, по которому время колебаны маятника не зависим отъ величины

112 —

размаха. Свойствомъ изохронизма обладаетъ циклоидальный маятникъ, т.-е. маятникъ, матершльная точка котораго движется по циклоидй. Для этой кривой между длиной дуги s и координатою z существуетъ соотношении

s — j/Saz,

гдй а есть рад1усъ круга, производящаго циклоиду. Отсюда

«9 ²

При z — h, s — s₀ и, слйдовательно,

8 а *■

Подставивъ эти величины въ основную формулу перюда колебанш маятника (116), найдемъ:

äs

äs

/4 а Г'°

у у J,

■%

у¹-НУ

Интегрироваше даетъ:

«о

arc sin

•s*'

•Т

4 Tl/

/4а

Т— л

или

v'i

Полученная формула показываетъ, что пергодь колебаНгя циклоидалъ-

наго маятника не зависишь оть размаха, а зависишь только оть величины ра-öiyca окружности, образующей циклоиду, по которой движется маятникъ.

Для осуществлены циклоидальнаго маятника Гюйгенсъ воспользовался разверткой циклоиды, которая, какъ показываетъ анализъ, оказывается также циклоидой, равной притомъ разверзающей.

Выполнивъ два профиля AB и AB' циклоиды (фиг. 50), соответствующих!» образующей окружности рад1уса а, помй-стимъ ихъ около точки привйса А маятника. Материальная точка М при-

2а

2а

В’

вт

Фиг. 50.

в^шена на гибкой нити AM, длиной 4а. При качаны маятника въ плоскости направляющихъ циклондъ AB и AB' нить AM будетъ ихъ огибать, и точка М будетъ двигаться по циклоиде ВМВ', соответствующей образующей окружности рад1уса а. Такой маятникъ изощ

очень.

Вместо гибкой нити Гюйгенсъ употреблялъ твердый стержень, верхняя часть котораго А была заменена гибкой пружиной; при этомъ маятникъ не могъ, конечно, занимать положешй около В и В'.

Вопросъ о движенш маятника въ сойротивляющейся среде также вполне разрешенъ. Оказывается, что сопротивлеше среды влшетъ только на уменьшены амплитуды колебанш (величины размаха), вовсе не влшя на время качанш маятника; колебаше маятника въ этомъ случае называется «погасаю щимъ». Этимъ погасашемъ амплитуды пользуются для определены сопротивленш среды при малыхъ скоростяхъ.

Объ относительность движенш матер1альной точки.

/) § 38. Динамическая теорема Корюлиса. Задача объ относительномъ движенш заключается въ нахожденш свази между силами, действующими на точку, и ея относительнымъ движешсмъ.

Положимъ, что матершльная точка М массы т движется по поверхности 5 подъ действюмъ силы Р (фиг. 51). Поверхность S дана урав-нешемъ

м,

f{X, У, 8) = 0

Фиг. 51.

относительно подвижныхъ осей координатъ х, /, z, законъ перенос-наго движенш которыхъ известенъ. Сила Р дана тоже относительно этихъ подвижныхъ координатъ. Требуется найти дифференщальныя уравнены относительнаго движенш точки, т.-е. того движенш, которое увидитъ наблюдатель, перемещающейся вместе съ подвижными осями координатъ х, у, х. Для наблюдателя это движете будетъ совершаться такъ, какъ будто кроме данной силы Р действуютъ еще какш-то силы; эти силы, зависящш отъ передвиженш самой системы координатъ, называются Шрголисовыми си.шми.

МеханическШ эффектъ поверхности S заменимъ нормальной силой сопротивленш N и будемъ разсматривать движете точки, какъ свободной, подъ действшмъ силъ Р и N, дающихъ равнодействующую В.

Иа основаны § 11 напишемъ:

В = mj,

Аналитическая механика,

гд1з j есть полное ycKopeHie точки въ ея абсолютномъ движенш. Обозначая углы, образуемые силою R съ осями координатъ, черезъ а, ß, у, шгйемъ:

И cos а = mj cos i, j

- . . (123')

H cos 3 = mj cos /У,

R cos у — mj cos у. j

Выражены первыхъ частей вавенствъ преобвазуемъ на основаны фор-мулъ (109) движены матершльной точки по поверхности такъ_:

Roosa = X+^.§,

N öf А" dz ‘

R. cos у — % —j⁻

А для преобразованы вторыхъ частей равенство полное ускорены j сложнагсГ движены по теорем^ Корюлиса иредставимъ въ вид'й геометрической суммы полнаго ускорены относительнаго движенш д, полнаго ускорены переноснаго движенш I и поворотнадо ускорены к. [см. форм. (22-)]:

r—g + 1 + k.

Проектируя эти ускорены на оси координатъ, найдемъ:

j cos а = прxg np J -f np₍/- , i cos ß = npyg -f пр;/ -j- np/,', j cos у = npzg -f npJ + np./,-.

Проекцш же полнаго ускорены относительнаго движены, д, на тЪ же оси будутъ:

d'lx

ПР ш9 = -%ь>

dt ’

d*z

п M = W

—r 115 —

Подставляя найденныя значенш въ уравнены (123'), получимъ:

N df А dx

,    , dAx

— т прс I — ж п рх /,• = ж    ^

ч-

k

7    7

т пр?/1 — т иру /■ = т --ф

(123)

dz

— ш iip; l — m rip. к

clAz

m HF ’

Это и суть дифференцшлъныя уравненгя относителъшш^Нкщоюешя точки. Кромй непосредственно дФйствующйхъ силъ и силы сопротивленш связещ эти уравнены содержать еще двй другы силы, а именно: (— ml), силу инерщи^переноснаго движенш, и (—тк), поворотную силу инерцш.

Эти силы носятъ названы силъ Коршлисаинаправлены въ сторону,' противоположную ускоренымъ I ж к.

Отсюда вытекаетъ динамическая теорема Корюлиса: въ относи-тельномъ движенш къ дгьйствующимъ силамъ_надо прибавить силу инер-Ft/iu, происходящую отъ__J[^J^eH^Hep^ocfim() движенш, 'и Ъ^гую силц~ [ инерцги, происходящую^(шъ_првр^тпнаго ^скоретя, а затгьмъ разсматри- ^ 'есть¹ овилсешекакь абсолютное.

силъ не будетъ, если оси координатъ передвигаются въ пространств^ поступательно, прямолинейно и равномерно, такъ какъ при этомъ условш переносное и поворотное ускорены равны нулю. Въ этомъ случай относительное движете подъ дййствымъ данной силы будетъ происходить точно такъ же, какъ если бы оси координатъ находились въ покой.

авочныхъ

“ №

Въ случай поступательнаго движенш осей остается только одна сила Корюлиса,— сила инерцш отъ переноснаго движенш. Точно также при разсмотрйнш относительная покоя надо къ дййствующимъ силамъ прибавить только одну силу Корюлиса,—силу инерцш отъ переноснаго движенш.

На основаши теоремы Корюлиса выясняется, между прочимъ, почему при движенш тйлъ на земной поверхности происходить отклонены отъ того направлены, которое соотвйтствовало бы силамъ, дййствующимъ на тйло. Это отклонены обусловливается вращенымъ земли около ея оси.

Какъ мы видйли, эффектъ, получаюнцйся вслйдствы движенш осей координатъ (относительно которыхъ наблюдается движете), можетъ быть разсматриваемъ, какъ результатъ дййствы нйкоторыхъ воображаемыхъ силъ,—именно, Корюлисовыхъ силъ инерцш. Добавлены этихъ фиктивныхъ силъ имйетъ ту выгоду, что при этомъ мы можемъ удобно изслйдовать наблюдаемое нами относительное движете, такъ какъ, по теоремй Корюлиса, послй прибавлены этихъ силъ движете надо разсматривать, какъ абсолютное. Употребляя этотъ методъ, мы заключаемъ. что упомянутыя отклонены въ движенш на земной поверхности происходить вслйдствы силы инерцш поворотная ускорены.

II —гиг-—■——--—— .............

Для движены матершльной точки, находящейся на широте ср, по земному меридыну со скоростью v, поворотное ускорены имеетъ значеше [форм. (23)]:

к = 2cov sin cp,

где со — угловая скорость вращенш земли; а, значитъ, поворотная сила инерцш выразится черезъ

тк =2 со mv sin cp.

Направлена же эта сила инерцш перпендикулярно къ скорости и въ

такую......Сторону, что всякое движете на аъверномъ полушарш подучаетъ

отклонены вправо, а на южномъ — влгьво.

иллюстрируемъ статью объ отноСйтельномъ движенш сл'Ьдующимъ прим'Ьромъ, им'Ьющимъ не только теоретичесшй интересъ, но и практическое применены. Это приборъ, изобретенный японскимъ профессоромъ Миль-номъ для изследованы колебаны железнодорожныхъ поездовъ и называемый сейсмометромъ. Въ основу его положено существовате силы инерцш отъ ускорены влечены при относительномъ движенш тела. Сейсмометръ, смотря по роду колебашй, воспринимаемыхъ имъ, устраивается весьма разнообразно. Разсмотримъ типъ сейсмометровъ, служащихъ для измерены вертикаль-ныхъ перемещен^, испытываемыхъ поездомъ вследствы неоднородности строены верхняго пути и неравномерности и непрямолинейности хода поезда.

Сейсмометры эти имеютъ такое устройство (фиг. 52). Ломаный прямоугольный рычагъ ЛСВ посаженъ свободно на ось С; на горизонтальномъ плече ЛС онъ несетъ массу G; къ вертикальному плечу его, въ точке N, прикрепленъ конецъ пружины /?, другой конецъ которой скреп-ленъ со стойкой S. Рядомъ съ точкой N прикреплена къ рычагу другая пружина Т, оттягивающая его въ сторону, обратную действш пружины R. Допустимъ теперь, что ось С опускается быстро внизъ; тогда масса G, благодаря проявляющейся силе инерцш, стремясь сохранить свое первоначальное положены, приподымаетъ вверхъ конецъ Л рычага ЛСВ и заставляетъ конецъ В отклониться вправо отъ первоначальнаго положены. Это отклонены зарегистровывается штифтомъ К на барабане М, вращаемомъ часовымъ механизмомъ, а пружина Г, вместе съ пружиной R, заставляетъ затемъ рычагъ ЛСВ занять прежнее положены после совершоннаго имъ колебаны. Поставивъ такой приборъ вт» движунцйся поездъ, мы получимъ на барабане дшграмму, дающую наглядное представлены о зыбкости полотна и его уклонахъ.

Фиг. 52.

ш

с?

.11

1С

•I

f(x, у, z) = х² ~^у²(z ■—а)² — а² = О

(124)

Ч П7 —

1

§ 39. Задача Фуко о движенш

ср

----а—

___С

!/

/\

к'ш

/I

s|

Фиг. 53.

маятника. Пусть на поверхности земли, въ какой-нибудь ея точке О, находящейся на широта ср, производится опытъ съ маятникомъ (фиг. 53). Выведемъ аналитически законъ движе-н1я этого маятника относительно по-движныхъ (вследствю вращенш земли около ея оси) осей координатъ х, у, z, изъ которыхъ ось Oz направлена по вертикали отъ точки О вверхъ, ось Ох — по мерщцану на югъ, и ось Оу — по параллельному кругу на западъ. Наблюдатель, находящейся на поверхности земли, будетъ видеть именно это относительное движете.

Обозначивъ длину маятника че-резъ а, напишемъ уравнеше поверхности, на которой должна оставаться ма-тершльная точка:

Это будетъ, очевидно, поверхность шара съ центромъ въ точке С и ра-д1усомъ г = а.

Напишемъ выведенный выше [см. форм. (123)] дифференщальныя уравненш относительнаго движенш.

Обозначая проекцш силы притяженш земли на оси координатъ черезъ X, Y, Z, получимъ:

Ä — Ш прж l

-m пр,/,Ч- у §-

d²x m dt² ’

Y — m rip/; 1

, i N df

djT

. . . (123)

Z — 111 П p, l

iV df

P^ + T' s

d²z

mw

Въ разсматриваемомъ случай ускореше переноснаго движенш, вслЪд-CTBie равномерности вращен1я земли около ея оси, сводится къ одному центростремительному. Следовательно, силой инерцш переноснаго движенш будетъ сила центробежная. Но эта сила входитъ въ составъ силы тяжести тд, которая, собственно, и есть равнодействующая силы земного притяженш и центробежной силы.

Не зная величины X, мы знаемъ только, что

t С-

Х—т прх I = прх ту = О Y — т пру I = пру ту = О Z — т пр; I - пр₃ ту = —

(125)

ту.

Найдемъ теперь выражены для проекцш вектора к (поворот, ускор.). Обозначая скорость относительнаго движенш ферезъ и и замечая, что

ах

Пр *и = ~Ж’

dy

ПР"U ~ dt ’

прг и ==

dz

dt ’

имтвемъ по формул^ (24):

ПР хк

<М

ко

прс к

§44**    - -

Опред'Ьлимъ значенш входящихъ въ эти ур-ш факторовъ р, q и г (проекций угловой скорости земли на оси координатъ). Въ кинематика было показано, что всякое движете можно разсматривать какъ поступательное со скоростью некоторой точки т'йла и какъ вращательное около некоторой оси, проходящей черезъ эту точку. Поэтому движете нашихъ осей координатъ съ землею мы можемъ разсматривать какъ поступательное со скоростью точки 0 и вращательное около оси, проходящей черезъ эту точку и параллельной оси земли. Скорость вращательнаго движенш около этой оси будетъ равна угловой скорости вращетя земли со. Векторъ со отложимъ на чертеж^ отъ точки 0 внизъ, потому что при взгляд^ съ юга на сЗзверъ вращете земли представляется совершающимся по стр'Ьлк'й ча-совъ. Зная со, найдемъ проекцш ея на оси координатъ, т.-е. р, у, г:

р = со cos (со, х) = со COS Cf,

= 0,

==— со sin ср.

([ — со cos (со, у) — СО COS

г = со cos (со, г) — со cos

Подставляя эти значены въ уравнены для проекщй вектора 1с, на-

ходимъ:

прх 1с — 2 со sin ср

чр,,/.'

Л / . dx , dz\

2а(^,грЖ+С08грЖ)’-

(126)

7    du

ир₃ к = 2 со cos ср .

Преобразуемъ теперь выражены вида ~    ^

Ох

, входящы въ формулу (123).

Изъ уравнены поверхности движены (124) находимъ:

(М

bä

а.

<м

а,

2(2 — а).

Далее:

i/Ш+(%) +Ш i

|=|/4ж

-f- 4?/²-|-4 (2 — а)^—2а.

Следовательно:

(127)

= N\-

а

К к

А Ö2

Дифференщальныя уравненш (123) на основаны равенствъ (125), (126) и (127) перепишутся теперь такъ:

— 2 т со s in ср t

d!J

кРх

~ т W ’

2 т со sin ср

4-N --dt ^ а

, _    dz    и (Ру

+ 2 тюа»Аж + Я-- = т1р,

dx

. . . (128)

dy

— т</ —2 т со cos ср -щ

(Pz

dP *

Полученный уравнены представляютъ систему совместныхъ диффе-ренщальныхъ уравнешй движены съ постоянными коэффициентами. Хотя интегрированы ихъ можетъ быть доведено до конца совершенно точно, но при этомъ встречаются усложнен]я, зависящы отъ такихъ величинъ, кото-рыя на практике очень мало влыютъ на ходъ явлешй и которыя поэтому,

ради простоты результата, и представляете величина угловой скорости земли со весьма

я возможнымъ отбросить. Такъ мала, а именно:

со

24.60.60

3700 *

dz

Очень мала также и величина скорост;

маятника по оси Oz, потому

что въ опыте Фуко маятникъ берется весьма длинный и съ незначитель-нымъ размахомъ (всего нисколько минуть),—гпоэтому шарикъ маятника дви-

dz

жется почти горизонтально. По этимъ соображешямъ членомъ 2т со cos ср ^

второго уравнены можно пренебречь, упрощая тЬмъ самымъ систему урав-нешй (128).

Умноживъ первое изъ полученныхъ уравнешй на у, а второе на х, вычитаемъ первое изъ второго; находимъ:

LO

у.

§•

««S

to;-sSS

d'lx\

WJ'

откуда:

»*.»>£(**+**) = £(*§! j

dx

уж ■

Интегрируя, находимъ:

ca sin cp (ж² -f y‘l) — x^ — y S

C. .

(129)

Для определены произвольнаго постояннаго С перейдемъ къ поляр-нымъ координатамъ съ полюсомъ О, опред'Ьляющимъ положены проекщи маятника на плоскость хОу, отсчитывая при этомъ углы в рад1уса вектора q отъ оси Ох. Формулы перехода таковы (см. стр. 65):

ж² -j- ijl — р²,

0 = arc tq — . ^ х

dx ₀ с/0

ж~уж=?Ж-

Кроме того, при вывода теоремы площадей было показано (см. форм. 64'), что

Въ виду этого уравнены (129) приметь видь:

со sin cp . р² = р² — -(- С.

121

Положимте», что при начала движрнш маятникъ находится въ 0,—виситъ вертикально; дадимъ ему толчокъ. такомъ случай, въ начальный моментъ t = О и q = О, а следовательно 0=0, и наше уравнеше примешь видъ:

dCTasin,p

(130)

Интегрироваше даетъ:

0 = tcsin <f -4- С

При

значитъ:

= 0 'о •

И окончательно:

0 = в₀ со tsin ff.

Это уравнен1е показываетъ, что плоскость качанш маятника будетъ постоянно отступать отъ востока на западъ; для точекъ сгьвернаго полушария—по часовой стрелке, а ддя точекъ южнаго полушарш—противъ часовой стрелки (sin (р для южнаго полушарш отрицателенъ). Уравненю (130) даетъ угловую скорость этого вращенш плоскости качанш маятника, которая на полюсе, при (р = 90°, равна, скорости вращенш земли со, а на экваторе, при ср = 0°, равна нулю.

Определяя С, мы предположили, что движете маятника начинается отъ точки 0. Но это не соответфвуетъ способу приведения маятника въ движете, употребляемому на практике. Обыкновенно для этого маятникъ выводятъ на некоторый уголъ въ сторону, привязываютъ на нить и, подо-ждавъ, пока маятникъ успокоится, пережигаютъ нить. Не получивъ ника-кихъ толчковъ, маятникъ начинаешь колебаться, и можно доказать, что онъ, вследствю вращенш земли, при качанш не будетъ проходить черезъ точку, которую занималъ при равновесш, а будетъ описывать кривую двойной кривизны, проекция которой на горизонтальную плоскость будетъ иметь видъ, приблизительно представленный на фигуре 54. Допущетю же, сделан-

\f

{о Т

СО

Фиг. 54.

Фиг. 55.

ному нами, соответствуешь пускаше маятника посредствомъ централ ь-наго удара, при положении его въ точке 0. При такомъ пусканш маятника горизонтальная проекцш его траекторш будетъ иметь приблизительно видъ фигуры 55. На указанныхъ чертежахъ кривизна траекторш значи-

тельно увеличена,—такы кривыя соответствовали бы гораздо большимъ угловымъ скоростямъ, чемъ угловая скорость земли. Формы этихъ траекто-рШ очень наглядно воспроизводятся опытами съ маятникомъ, подвешеннымъ къ центробежной машине.

Посмотримъ, не влыетъ ли вращеше земли на время качаны

маятника.

Помноживъ дифференщальныя уравнены относйтельнаго движены (128)

„    dx du dz

соответственно на    , -щ- и сложивъ ихъ, ро упрощены, найдемъ

ИЛИ

лт х dx

iv — ■ TT-

a dt

. ,, я — а dz +*—

§s| Ir

dz

г)’+(1)+(й]

_ /ж._ _i_ v — -\-(z а) —^

а \Х dt    dt +(    ] dt)

На основаны уравнены (124) скобка въ первой части полученнаго уравнены равна нулю, а прямая скобка во второй части равенства равна v², квадрату скорости въ относительномъ движены [форм. (1)]. Поэтому можемъ написать:

dz

⁹ dt 2

(*>*)•

Интегрируя, получаемъ:

?;²=    — 2 gz.

При z

О маятникъ находится въ О. Обозначимъ квадратъ его скорости въ этотъ моментъ чрезъ ‘Jgh, где h есть некоторая высота; найдемъ:

С₂ = 2 gh.

Подставляя, получаемъ окончательно:

г?² = 2д (h — z)

(131)

Такова скорость относительнаго движены. Но эта относительная скорость слагается геометрически изъ двухъ скоростей; во-первыхъ, изъ скорости по дуге s, лежащей въ плоскости качаны маятника и, во-вто-

рыхъ, изъ скорости, получающейся всл'Ьдствю найденнаго вращены этой плоскости, равной Qcosing). Здесь угловая скорость вращены плоскости

ds

(форм. 130) помножена на р, где q есть разстояше движущейся точки отъ оси Oz. Эти составляющая скорости перпендикулярны между собой, значить:

v² =

sin² ср.

Членомъ q²со²sin² <р можно пренебречь, такъ какъ въ него входить множителемъ квадратъ очень малой величины со. Следовательно, уравне-ше (131) даетъ:

äs\²

dt

2g(h—z),

а это есть общая формула скорости маятника въ однородномъ поле съ на-пряжешемъ д (см. стр. 106). Такимъ образомъ, вращеше земли влшетъ на движете маятника постольку, поскольку оно влшетъ на напряжете тяжести.

СТАТИКА СИСТЕМЫ

§ 40. О механической системе. Механической системой называется собрате матерПльныхъ точекъ, связанныхъ между собой. ^Свящ эти могутъ (щггь съ одной стороны геометрическш, происходящей отъ извТстныхъ кинемтпическихъ условш, съ другой стороны динам ическгя, состояния въ в з а им о д е й с тв у ю щи х ъ между матерНльными точками си л ах ъ. Отъ нашего произвола зависитъ выделить известную группу матертльныхъ точекъ въ отдельную механическую систему.

такъ какъ

Существуютъ системы, не имТющш никакихъ геометрическихъ связей; такш системы называются динамическими; таковы, напримйръ, солнечная система, системы звТздныхъ скоплешй и т. д., въ которыхъ тела притягиваются другъ къ другу по закону Ньютона. Газъ такъ же обыкновенно характеризуютъ, какъ систему динамическую, точки которой отталкиваются другъ отъ друга. Если же въ системе есть какш-нибудь геометрическш связи, то такая система называется геометрической; таково, напримеръ, твердое тело. Всякую систему можно разематривать какъ динамическую. связи могутъ быть заменены силами.

Капельная жидкость есть также геометрическая система: мы можемъ произвольно перемещать ея части, придавая жидкой массе форму какого угодно сосуда, но объема каждаго элемента жидкости изменить не можемъ.

Силы, действующая на точки системы, и ея геометрическш связи разделяются на внутреншя и внешней. Внутренними силами называются 'тактщ которыя действуютъ между матершльными точками, входящими въ составь самой системы; внтьшними—такш, которыя действуютъ между посторонними матертльными точками и точками системы. Такъ, напримеръ, если примемъ за систему Сатурнъ съ его кольцами и спутниками, то действующая на эту систему сила тяготенш солнца и возмущающш влшнш планетъ будутъ внешними силами. Если же примемъ за систему солнце со всеми вращающимися вокругъ него телами, то силы, связующш систему Сатурна, и силы тяготенш солнца и планетъ,—все оне будутъ силами внутренними.

Связи точно также^ даэываются внутренними, если связываютъ между самой системы, п втъщними, если связываютъ точки системы

собой ТОЧКИ

-въ..- неподвижными телами или съ телами, движущимися по заданному закону.--

Если принять за систему жидкость и разсматривать ее налитою въ стаканъ, то условю ея несжимаемости будетъ внутренней геометрической связью, а условю, что она должна иметь форму сосуда, будетъ внгыиней геометрической связью.

Если система имгЬетъ одне внутреннш гоометричвокш гвязщ то она.,»" называется свободной. Свободная система характеризуется темъ, что она "можетъ получать те же перемещешя, какъ и свободное твердое тело. Жидкая масса, вылитая въ пространство, будетъ свободнымъ тЗзломъ, такъ какъ единственной связью въ этомъ случай явится ея несжимаемость.

Геометрическш связи системы выражаются математически соотношении между координатами точекъ системы. Если, наприм'Ьръ, система со-

А<&

»Б

стоитъ изъ двухъ матершльныхъ точекъ А съ координатами ./•, у, z и В съ координатами х', у

г[ и связана. „ темъ условюмъ, что разстояте I между точками не изменяется (фиг. 56), то эта связь выразится такимъ уравне-

шемъ

х    (х' —    —yY2Jr (%'—z)‘²=l* = со г ist.

Фиг. 56.

Такимъ образомъ, неизменяемость разстояшя двухъ точекъ системы даетъ намъ соотношен1е между 3.2 = 6 координатами этихъ точекъ.

Практически всякая геометрическая связь ооутпестшгяртля дгдрими- и нибудь кинематическими шъершльными средствами. Всякая геометрическая : связь "вполне обусловливается соотношетемъ между 1ссюрдинатами точекъ системы.

' я наоборотъ, всякая связь, выраженная соотношетемъ координатъ ) точекъ, есть связь геометрическая.

Въ общемъ виде при одной связи, стесняющей п точекъ системы съ координатами (х, у, z), (х.. и.. z<), . . . . . fa-i, У г—и    мы полу-

чимъ некоторое соотношеьйе между всеми 3п координатами:

f(x, у, z, xlt ylt zt, . .

.    . Хп—\ 1 Уп-1 j 2)1—l) — О-

Такихъ соотношешй можетъ быть несколько; тогда говорить, что система имеетъ несколько связей.

_Саще большое тш1^зависимыш^Шйдг1 собою coomupuimiü, выра^ жающихъ связи подвижной системы изъ п матершльныхъ точекъ, будетъ (Згг — 1):

¹

. sin* О

/зи — 1 = О

/;== о, /■* = о, /;=о,

потому что, если бы мы имели 3п соотношешй, то все 3п координатъ точекъ

126

йутгутъ иметь определенным значены, и, следовательно, система будешь

неподвижна.    " * ----^

'7 ^Система изъ п точекъ, стесненная (Зп —1V упавнвттшмт^ и^яытпытся системой съ полнымъ числомъ исловгй. или системой сводной степенью свободы. Система съ полнымъ числомъ условии является простейшей въ смысле определенности ея движены. Покажемъ, что въ такой системе каждая точка можетъ двигаться только по вполне определенному пути, и при этомъ перемещены одной точки по ея траектории! вызываетъ определенный перемещены всехъ другихъ точекъ по ихъ траекторымъ.

Пусть даны (3п — 1) условШ системы изъ п точекъ;

fАп— 1 =0.

f\ =    /₂ = О, U = О

Остановивъ внимаше на одной точке системы съ координатами (./ , у, .?■). исключимъ изъ 3и — 1 уравнены все координаты, кроме двухъ; всего, такпмъ образомъ, исключается Зп— 2 координаты, и останутся только "координаты л⁻ и у. Тогда получимъ одно уравнены съ двумя неизвестными:

<р(х, г/) = 0.

Производя исключены въ другомъ порядке, сохраняя координаты х и я, найдемъ:

9>i (х, в) = 0.

Эти два уравнены представляютъ намъ некоторую, вполне определенную лингю AB (фиг. 57), по которой можетъ двигаться одна точка системы, определяемая координатами х, у, я. Точно также находимъ уравнедыу траекторШ и всехъ

ъ, Даждой то2К$хшеш~-

z___

остальныхъ точекъ _    _________

съ полнымъ чисйомъ услов1й \предпйсанъ вполне, оI/ред)ь. Iенныи путь.

Фиг. 57.

Ноложимъ, что одна рзъ точекъ системы, хотя бы первая (х, у, .г), переместилась по своей траекторш изъ положены А въ положены В (фиг. 56), и Координата х ея новаго положены известна: х = а. Прибавляя это равенство къ имеющимся уже (Зи — 1) даннымъ уравненымъ, опредФляемъ все 3и координатъ и, следовательно, находимъ соответствующих новыя положены всехъ точекъ системы. Такимъ образомъ, всякое перемещены системы съ полнымъ числомъ условий вполнй определяется одним?, пар а метро мъ,— щорТАтцу такая система называется еще системой съ одной степенью свободы, или съ однимъ свободным?, иеремтцеш'емо.    ]

(ашины движется

шихъ

Примеръ системы съ полнымъ числомъ условш мф: имеемъ въ на-машинахъ, устроенныхъ такъ, что любая часть

систему изъ п точекъ наложено (3п — 2) условШ, то она называется системой съ двумя\ степенями свободы. Въ этомъ случае вс-е точки движутся по предписаннымъ поверхностямъ, и всякое перемещены системы вполне определяется двумя параметрами. Действительно, изъ

по вполне определенной траекторш, и если матершльную точку по этой траекторш продвинуть, то все остальныя матершльныя точки дадутъ вполне определенный перемещены.

Если на

(3п — 2) данныхъ уравнешй мы можемъ исключить все координаты, кроме трехъ (т.-е. всего 3п — 3 координаты); тогда связь между оставшимися

тремя координатами х, у, z выразится такъ:

= 0.

Это и есть уравнены поверхности, по которой можетъ перемещаться первая точка системы, такъ какъ ея координаты х, у, z постоянно должны удовлетворять этому уравненш. Производя исключены въ другомъ порядке, находимъ такимъ же способомъ уравненш поверхностей, по которымъ перемещаются остальныя точки.

Въ системе съ двумя степенями свободы всякое перемещены одной как,ой-либо точки по ея поверхности вызываетъ определенныя перемещены всехъ остальныхъ точекъ системы по ихъ поверхностямъ, потому что тогда мы знаемъ координаты х и у этой точки, а зная ихъ, можемъ присоединить ихъ къ даннымъ (Зм — 2) уравнешямъ, решая же эти уравнены, найдемъ для точекъ системы все 3п координатъ, выраженныхъ по этимъ двумъ

координатамъ, т.-е. определимъ положены всей системы. Такая система и

называется системой съ

nie вчолигъ опредгъляютъ два параметра.

Примеромъ системы съ двумя степенями свободы можетъ служить механизмъ центробежнаго регулятора. Его массивные шары могутъ быть повернуты около вертикальной оси и, кроме того, отклонены отъ нея; при этомъ точки шаровъ перемещаются по определеннымъ сферическимъ поверхностямъ, а точки муфты—по цилиндрамъ. Положеше этой системы определяется двумя параметрами: угломъ поворота и угломъ отклонены.

Систему съ двумя степенями свободы называютъ еще системой съ двумя свободными перемгъщенгями. Нельзя понимать этого выражены въ буквальномъ смысле, такъ какъ во всякой системе съ двумя степенями свободы каждая точка можетъ свободно перемещаться по безконечно разно-образнымъ траекторымъ, связаннымъ лишь теми условыми, что все оне лежатъ на одной поверхности.

Какъ мы видели, всякое перемещены системы съ двумя степенями свободы определяется только двумя параметрами, и измененш каждаго изъ этихъ параметровъ въ отдельности соответствуешь вполне определенный родъ перемещены всей системы. Всякое же другое перемещены системы можно разсматривать, какъ результатъ совмещены перемещешй этихъ двухъ родовъ. Приведенный примйръ центробежнаго регулятора хорошо поясняетъ сказанное. Двумя параметрами служатъ: 1) уголъ поворота и

2) уголъ отклонены. Каждому изъ этихъ параметровъ соответствуешь определенная рода перемещены: а) по параллельнымъ горизонтальнымъ кру-гамъ и Ь) по вертикальнымъ меридшнальнымъ кругамъ. Только эти два рода перемещены и возможны для системы регулятора. Поэтому всякое перемещены, возможное для регулятора, мы разсматриваемъ какъ сложены этихъ двухъ родовъ движешй. Зам'Ьтимъ, что возможными перемгьщешемъ называется такое, которое не противоречить даннымъ наложеннымъ на систему условымъ, выраженнымъ уравнеными.

Аналогично вышеизложенному разсматриваются еще системы съ тремя степенями свободы; въ нихъ положены всей системы определяется тремя параметрами, и, следовательно, всякая точка можетъ двигаться въ пространстве по какимъ угодно траекторымъ. Но и въ этомъ случае определенному перемещенш одной изъ точекъ системы соответствуютъ вполне определенныя перемещены всехъ другихъ.

Въ случае системы съ четырьмя степенями свободы такое соотноше-ны между движеншми точекъ уже не существуетъ. Перемещены одной мате-рыльной точки системы не определяетъ въ этомъ случае перемещен^ остальныхъ точекъ, такъ какъ для определены координатъ всехъ точекъ не достаточно трехъ координатъ, определяющихъ перемещены одной изъ нихъ, а нуженъ еще четвертый параметръ. Ясно, что въ этомъ случае,, перемещенш всей системы вполне определяется перемещешемъ одной изъ точекъ и измененшмъ еще какой-нибудь координаты.

\ ' Вообще можно разсматривать системы со многими степенями свободы. Если система изъ п точекъ имеетъ 3п — i связей, которыми она стеснена, то она называется системой съ i степенями свободы, и положены ея*впбЭ1ъ

определяется г параметрами, за которые можно взять, напримеръ, г координатъ. Определимъ для примера, сколько степеней свободы имгьетъ свободное твердое гтьло.

А,

•В

Фиг. 58.

Чтобы найти сколькими у еловыми стеснена свободная неизменяемая система, охарактеризуемъ ее такъ: изъ п точекъ этой системы возьмемъ три А, В и С, съ координатами (х₀, у₀, z₀), (Я?и Ун ч) и fe Уы 3,), неизменно связанныя въ треугольникъ лишями AB, ВС, АС (фиг. 58). Такъ какъ отрезки АВ = 1₀, ВС — 1Л и АС = /₂ постоянны, то имеемъ соотношены:

(Ч, —    + (Уо — 2/l)² + (я₀ — Ч)² =

Ф)

(Xi — Xj² + (y₁ — г/₂)² + (гх —

(х₂—x₀Y+(у* — y«Y 4- (я* — Y = 4²-

Станемъ теперь съ этими точками А, В и С соединять неизменяемыми линшми точки D, . съ координатами (ж₃, у₃, £₃), (xi, yt, £s),.. . Чтобы показать, что /7 соединено неизменяемо съ Л, 5, С, надо написать для трехъ лиши AD = l₃, BD — 1Х и CD = уравнены вида:

(ж₈    ^о)²+ (2/з    2/о)²“Ь(^3    *о)²'    4²> ^

• (Е)

(Ж₈ — ^₂)² -f Ü/з — 2/₂)² + (Л — **)*

'«««»мяк

Такимъ образомъ, кроме трехъ основныхъ уравнений (В) для точекъ А, В ж С, для каждой новой точки придется написать еще 3 уравнены типа (Е); а осталось у насъ точекъ (п — 3). Следовательно, мы получаемъ 3 (п — 3) уравнены. Прибавляя къ нимъ 3 уравнены (В), получимъ [3 —{-3(п — 3)], т.-е. (3 п — 6) уравнешй.

■ Это значитъ, что свободное твердое ттъло штешъ свободы, и движете его вполне определяется шестью параметрами.

Геометрическы связи, стесняющш свободу системы, могутъ быть двухъ родовъ: во-первыхъ, такш, отъ которыхъ система никоимъ образомъ освободиться не можетъ, и, во-вторыхъ, такш связи, отъ которыхъ она при некоторыхъ перемещеншхъ освобождается. Положимъ, яапримеръ, что две матертльныя точки соединены между собой неизменяемыми стержнемъ; такая система двухъ точекъ характеризуется темъ усло-вшмъ, что разстояше между ними не изменяется, и условю это выразится равенствомъ:

{х₁ — х,У -1- (у, — yj² -f (ех - £₀)² = 1².

Если же мы представимъ себе, что две матершльныя точки связаны между собой нитью, то система наша будетъ стеснена темъ геометрическимъ условюмъ, что разстояше между ними не можетъ быть больше даннаго. Математически эта связь выразится уже неравенствомъ вида

{хх — ж₀)² + (у, — уХ + (гх —    = Г².

Въ этомъ случае система можетъ освобождаться отъ связи, состоящей въ постоянстве разстоянш, лишь въ одну сторону,—именно, въ сторону у м е н ып е н i я этого разстоянш.

Связи, удерживающы съ одной или двухъ сторонъ, имеютъ место и для матершльной точки. Таковъ, напримеръ, случай, разсмотренный въ конце § 31, когда матершльная точка движется по поверхности эллипсоида; найдено два условы: для случая, когда точка можетъ сойти съ поверхности эллипсоида во внешнее пространство, и для случая возможности схода точки во внутреннее пространство полаго эллипсоида. Если же дано усло-Bie, что точка не можетъ сойти съ поверхности эллипсоида ни въ ту, ни въ другую сторону, то надо сохранить одновременно оба решены для равновесш.

Для простоты изложены мы будемъ разсматривать условы равновесы системъ, предполагая, что оне не могутъ освобождаться отъ наложен-ныхъ на нихъ связей. Если же дана задача съ освобождающимися свя

зями, то, решивъ ее въ предположены, что связи сохраняются, мы будемъ отбрасывать лишны по механическому смыслу задачи положены равновесы.

А«/

§ 41. Теорема Лагранжа. Методъ возможныхъ перем-Ъщешй. Переходя къ вопросу о равновесы системы, заметимъ, что задача о немъ решается съ помощью принципа возможныхъ перемещешй, установлешдаш. .... Лагранжемъ. Еще ранЗю принципъ этотъ "оьЙЪ открыть ~Галлилеемъ и формулированъ имъ въ виде известнаго «золотого правила»,—что теряется ___

въ силгь, то выигрывается въ скорости.

________ ________.__________

Но ГаТишлей 01’носилъ свое правило только къ машинамъ. Лагранжъ

же показалъ, что этотъ принципъ охватываетъ собою всю статику всевоз-можныхъ системъ и всевозможные вопросы о движены.

Теорема Лагранжа даетъ вполне обнцй и простой способъ решены задачи о равновесы системы, стесненной какими-либо кинематическими у еловыми; она читается такъ:

У слоте, необходимое и достаточное для равновгъсгя всякой системы,

^***—""*"^^—"**""* И. ш——‘*¹*—«—■————тттщшшшшшт***—**«ни——втшяшя*

состоитъ въ томъ, чтобы при всгьхъ возможныхъ безконечно-малыхъ пере-

———— ‘-----------1 I—■* — .... I II11- — I г—___ЛЦ1Щ———¹"‘—¹—¹-т-ттт

мгьщенгяхъ системы при выходгь ея изъ уазсматуиваемаго положенья равно-Шъс/я сумма элементарныхъ раоотъ всгьхъ дгьйствующихъ на систему саль была равна нулю.

Безконечно-малыя перемещены точекъ мы будемъ представлять въ виде безконечно-малыхъ векторовъ, изображая ихъ черезъ 6s, отмечая постановкой знака 6 вместо d перемещены не действительно существующая, которыя разсматриваются въ динамике, а воображаемыя перемещены, съ помощью которыхъ можно переместить точки системы изъ даннаго положены въ дру

гое, согласно съ ея связями.

Теорема Лагранжа заключаетъ въ себе могущественный способъ решены задачъ. Способъ этотъ гораздо шире, чемъ способъ элементарной статики, и является вполне однообразнымъ для различныхъ системъ. Пользуясь этимъ способомъ, всехъ силъ сопротивлены связей принимать въ соображен]е не приходится, благодаря чему обходится сложность решены задачи.

Излагаемую теорему Лагранжъ доказалъ въ своемъ знаменитомъ сочинены «Mecanique analytique» въ 1788 г. и положилъ ее въ основу всего своего изложены аналитической механики. Мы приведемъ здесь доказательство теоремы Лагранжа по способу Ампера, предпославъ ей предварительно следующы три вспомогательный леммы:

точки

Лемма 1. Если на деть неизмтьнно соединенный матершлъныя дгьиствуютъ равны я и прямо' пЬотивоположныя силы, то сумма элемен-тарныхъ работ:ъ этих* силъ при всякомъ возможному перемгьгиенги этой системы равна нулю.

Пусть"“ матершлъныя точки М (х, у, z) и М' (х\ уz'), на которыя действуютъ две равныя противоположный силы Р и Р', находятся на по-

стоянномъ между собой разстояши ММ' = 1 (фиг. 59); условю это выражается уравнешемъ:

• (132)

(х' — ху -j- (у’ — уУ (z' —    — l'²

Докажемъ, что при всякомъ возможномъ перем'йщенш

раб. (P)-f- раб. (Р') = 0.

Для этого вообразимъ, что наша

м;

\.в'

мГ

система получила безконечно-малое перем^щете, и разсматриваемыя точки заняли положеше Мх и Мх\ пройдя безконечно - малые элементы путей ММ, = ös и М'М

ds'. Координаты новыхъ положешй этихъ точекъ бу-

1 ~~~

дутъ теперь таковы:

[{Х -[- dx), (;у -j- <%), (z -f-<fe)] ,

У-

Фиг. 59.

[(«'+*;')» (#' + <¥)> (£' + &0]-

Подставивъ эти значенья координата въ уравнеше (132), выражающее основное условш системы, получимъ соотношеше:

(х¹ — xß-dx' — дху -\-(у' — у-\- dy' — Ф/)²+ (#' — z-У № — <fe)² = Z², или

(ж' — ж)² -{- (#' —г/)² -{— (^ — £)² -f- (dfc' — 6хУ 4~ (dy' — cfy)² -f- (<fe'    tte)*-)-

-j- 2 (У — ж) (dx' — dx)    2{у' — у) (dy' — <%)-{- 2 (У — #) (еУ — cfe) = Z².

ГХринявъ во внимаше уравнеше (132) и пренебрегая безконечно-малыми второго порядка, найдемъ:

2 (х' — X) (dx' — dx) -(- 2 (у' — ^/) (dy' — с%) -f- 2 (z' — z) (dz' — dz) == 0 *).

*■) Эту же формулу мы получили бы, продифференцировавъ уравненш (132):

(132)

(х’-Х)2+(у' — у)⁹+ (*' — *)* = **........

При этомъ нужно заметить, что дифференщалъ сл-Ьдуетъ брать не по знаку d, а по знаку 6.

Подъ знакомъ d въ механике разумеютъ определенное перемещена—приращенш коор-динатъ действительно совершившееся за определенное время. Когда же речь идетъ о разныхъ

Сокращаемъ все на 2 и пишемъ наше уравнеше нисколько въ иной форме:

(а/ — х) 6х' 4- (у' — у) 6у' -f- (z' — z) 6z -[-

-f (x — %') äx -\~{y — y') dy-\-(z — z') <*8 = 0.

, а последую-

Умножаемъ первые три члена уравнены на отношеше

. Затемъ первые три члена умно-

ице три—на равное ему отношеше жимъ и разделимъ на 6s', а послЪдше три—на ds. Тогда получимъ:

Но:

Р' 6з'

х' — х 6х

+.Р * [-

— х' 6х

, у' —У -<¥ ös' Т; i ‘ 6s'

I у—у'. fy_ , _5_

ds I ds '

г'— з

6а 1

' 6s' J

•т-

— z' 6z l 6s

]-

cos (I, х),

6х'

6s'

cos(x, s');

У'

У = COS“ (/, ?/),

6y'

ds'

cos(//, s');

z' — z

LJ,

= cos (l, z),

cfe'

ÖS'

cos(z, s').

Следовательно сумма, стоящая въ первыхъ скобкахъ, равна:

cos (/, х) cos (х, s') --f- cos (l, у) cos (у, s') -j- cos (l, z) cos (z, s') = cos (l, s') = cos в'.

Совершенно такъ же получимъ, что сумма, стоящая во вторыхъ скобкахъ, равна cos 6.

Итакъ, выражены въ первыхъ скобкахъ представляютъ. кдсинусъ _угла образуемый лишей ММ' съ направленшми перемещены ds', а выражены во вторыхъ—косину съ угла (-), образуемый лишей М’М съ напра-~ влешемъ ds. Зам^тимъ, что при отсчете угла в' за положительное напра-влеше линш ММ' принято направлеше отъ М къ М', при отсчете же угла в положительное направлеше лиши М'М считаемъ обратно. Обусловливается это темъ, что въ первыхъ прямыхъ скобкахъ стоятъ биномы типа (х'—х), во вторыхъ же—типа (х — ж'), а известно, что при выражены проеКцш

способахъ, которыми можно было бы систему привести въ движете, то, такъ называемое, возможное приращете параметровг обозначаютъ буквой д.

Итакъ, дифференцируемъ написанное уравнеше (132). Получаемъ:

2(ж' — x)(ßx' — дх) 4- 2(у' — у){ду' — ду)    2(У — s)(dz' — ds) = 0.

— 13В —

линш изъ координаты конечной точки вычитается координата начальной. Такимъ образомъ, 0 и 0' суть углы, образуемые направлеными силъ

Р и P' съ возможными перемтопешями ds. 6s'.

Заменяя™вьгражен1е прямыхъ скобокъ косинусами найденныхъ угловъ,

получимъ:

Р' 6s' cos 0' -J- Р 6s cos 0 = 0,

т.-е. сумма элементарныхъ работъ всякого возмоо1снаго перемэьщетя равна

—    ........ ......щтттщ    .„—„—и ■-—    ......—...........

пилю, что и требовалось доказать.

—О

Легко доказать эту лемму геометрически. Въ самомъ д'Ьл'й, вообразимъ въ пространств^ мате-ртльную палочку и попробуемъ дать ей другое положены (фиг. 60).

Привести ее изъ положены / въ положеше 4 можно такъ:

ri

-О

Сначала повернемь ее въ положеше 2. Работы при этомъ н'йтъ, такъ какъ перемещены перпендикулярно къ направлешю силы. ЗагЬмъ про-двинемъ палочку вдоль ея лиши; при этомъ одна сила совершаетъ отрицательную работу, но другая противоположная сила совершаетъ работу положительную, такъ что сумма об'йихъ работъ равна нгулю.

Фиг. 60.

Наконецъ, сообщаемъ палочке поступательное перемещены изъ положены 3 въ положены 4. Это перемещены, перпендикулярное къ направлешю дФйствы силъ, также не даетъ работы, и, такимъ

образомъ лемма доказана.

^ Лемма 2. Нисколько не сттсияя возмшсиыхъ перемгъщетй системы, можно всегда любым Шр?ГТЯ1почкгл~~связатъ неизмгьнно съ четвертой сво-

.......................... IIИ №    ____J„,|„||4W"I«.............*    ..............I...........

бобпой тоятй»

Положеше, высказанное въ этой лемме, само по себе очевидно; наглядно можно его себе представить следующей схемой. Вообразимъ, что три точки какой угодно системы соединены съ концами ножекъ треножника астролябш; четвертой свободной точкой является конецъ шарнира, кото-рымъ прикрепляется самая астролябы; ножки присоединены къ этому шарниру такъ, что способны вращаться во всехъ направлешяхъ. Ясно, что конечныя точки ножекъ могутъ двигаться всевозможными способами и присоединенная четвертая точка ничемъ не стеснитъ эти движены. Но такъ будетъ лишь до техъ поръ, пока четвертая точка не займетъ положены въ одной плоскости съ тремя другими; при такомъ ея положены прибавляется связь: три первыхъ точки уже не могутъ больше расходиться по направлешю ножекъ. Однако присоединяемая точка всегда можетъ быть выбрана такъ, что при вс'йхъ возможныхъ перем'йщешяхъ системы она не будетъ стеснять движены; для этого ее надо взять достаточно удаленной отъ плоскости, проходящей чрезъ три данныя точки.

134

Докажемъ эту лемму математически. Къ тремъ точкамъ А, В п С (фиг. 61), входящимъ въ какую-либо систему, присоединимъ свободную точку D такъ, что разстоянш АВ = а, ВО = Ъ и CD = e неизменны. Положимъ, что точки

D’

a>

А, В, С переместились въ весьма близкы положены А', В', С. Тогда новое положе-Hie D' точки D определится какъ бли-ч>в' жайшая изъ двухъ точекъ пересечены трехъ сферъ, описанныхъ изъ центровъ А\ В', С рад1усами а, Ь, с.

В.

Фиг. 61.

Такимъ способомъ оказывается, что траекторы и положены точки D вполне зависятъ отъ перемещешй точекъ А, В и С. Следовательно, точка D является включенной въ систему и не влыющей на ея перемещены, такъ какъ точка D взята свободной и не вступающей въ одну плоскость съ А, В и С.

ЛЯ

элементарныхъ работа составляюшихъ.

«■НО"

Пусть на матершльную точку М дМствуютъ

... Построивъ силовой много-

«?

Ч

R\

силы Р, Рх, Р угольникъ, находимъ равнодействующую В этихъ силъ, которая представится замыкающей стороной многоугольника MPP₁PiP₃ (фиг. 62).

Вообразимъ, что точка получила возможное перем^щете и прошла элементъ пути 6s. Проектируя силовой многоугольникъ на направлеше

Фиг. 62.

находимъ:

В cos (В, 6s) = zp cos (Р, 6s).

Помножая обе части равенства на 6s, находимъ:

В 6s cos (В, 6s)

ХР 6s cos (Р, 6s).

Равенство это и выражаетъ третью лемму.

Слгъдстж. Разлагая силу В на составляющая X, Y, Z (фиг. 63),

можемъ написать по лемме 3:

В 6s cos (В, 6s) =Х cos(x, 6s) <fe-f-

.ds

1 COS (у, 6s) 6s -f- Vj COS (Z,6s) ÖS.

Ho

COS (X, 6s) 6s = 6x,

'cos (y, 6s)6s = oy," C0sCpm-&ZJ~6s = 6.C

следовательно,

Фиг. 63.

В 6s cos (В, 6s) = X 6x-\-Y 6y -{- Z 6z.

Какъ уже было сказано, «золотое правило» было установлено Галли-леемъ; оно состоитъ въ томъ, что части машины, которыя находятся подъ эффектомъ малыхъ силъ, быстро двигаются, а части машины, находящаяся .подъ дМствшмъ .болынихъ силъ, двигаются медленно.

тШ'ЖШт

Если мы представимъ себе полиспастъ изъ шести блоковъ (фиг. 64) и назовемъ перемЪщеше руки, тянущей съ силой Р за конецъ веревки, черезъ ös, а соответственное перемещены груза Q назовемъ черезъ öx, то увидимъ, что:

öx =

т.-е. что выигралось во силгъ, то проигралось въ скорости.

Предполагая, что Р = 1 kg, а Q = 6 kg, составимъ работы силъ Р и Q:

р 6s = 1 ÖS,

Q дх — 6 öx = 6 — ös = ös.

6

Значитъ,

Р ös — Q д'х,

или

Р ös — Q öx = 0.

Q—& kg

Фиг. 64.

Но (— Qöx) представляетъ взятую съ надлежащимъ знакомъ работу груза Q\ следовательно, «золотое правило» сводится къ тому, что сумма работъ, съ надлежащими знаками, всехъ силъ, действующихъ на точки системы, равна нулю.

Сказанное относится къ машине, представляющей систему съ одною степенью свободы; но теорема Лагранжа справедлива и для системъ со всякою степенью свободы. Попробуемъ, напрямеръ, выводить всевозможными способами изъ положенш равноВесш свободное твердое тело.

Въ нашемъ распоряженш имеется шесть такихъ способовъ, характе-ризующихъ движете свободнаго тела: мы можемъ продвигать его вдоль трехъ осей координатъ и поворачивать около нихъ. Если силы находятся въ равновесш, то для каждаго такого перемещены найдемъ, что сумма элементарныхъ работъ равна нулю.

Можетъ, наконецъ, получить осуществлеше система, более свободная, нежели свободное твердое тело, напримеръ, подобно изменяемые многоугольники, которые можно растягивать.

Во всехъ случаяхъ равенство суммы работъ всехъ силъ нулю для всякихъ возможныхъ перемещешй служитъ необходимымъ и достаточнымъ признакомъ равновесш системы. Признакъ этотъ и достаточенъ, такъ какъ при немъ равновесш будетъ иметь место, и необходимъ, такъ какъ если

136

его нетъ, то нетъ и равновесш. Способы, которыми мы выводимъ систему изъ положены равновесш, вполне характеризуются параметрами, определяющими положены системы; параметры могутъ быть кате угодно, такъ что спо-собъ Лагранжа отнюдь не связанъ непременно Декартовыми координатами.

Приступимъ теперь къ доказательству теоремы Лагранжа по способу

i |\ АмпераГвъ такой "послеДбйаТбЛЬйОбТМ:-~~-

1) сначала докажемъ теорему для системы съ полнымъ числомъ уело-вт, состоящей изъ нечетнаго числа матертльныхъ I—^    2) доказательство это распространяется на систему съ четыымъ числомъ

! точекъГ“ " "

3) затемъ доказывается необходимость условш равновесш Лагранжа

lllll.lllllllllfIUWWfnP^'W*^""¹ H.'lll чип.ПИИ ЛИ ¹ Ч.

для всякой системы, со сколькими угодно степенями свободы,

/ Л) и, наконецъ, доказывается достаточность условш равновесия Лаг-| ранжа для всякой системы.

’Гакимъ образомъ теорема Лагранжа будетъ доказана во всей полноте. Докажемъ первое положены: пусть мы имеемъ систему съ полнымъ числомъ условШ (механизмъ любой машины), состоящую изъ нечетнаго числа,—положимъ, пяти матершльныхъ точекъ А, В, С, /?, £ (фиг. 65). На

эти точки действуютъ силы Р, Р₁, Р₂,... Каждая изъ этихъ точекъ можетъ перемещаться по своей, вполне определенной траекторш. При этомъ, если точка А пройдетъ по своей траекторш элементарный путь 6s, то все осталь-ныя пройдутъ по своимъ траекторшмъ вполне определенные пути efej, 6s

Сгруппируемъ эти точки попарно:

В съ С, D съ £, а одна изъ нихъ А пусть останется отдельно. Къ тремъ точкамъ А, В и С присоединимъ посред-ствомъ неизменяемыхъ стержней произвольную свободную точку N, а къ точ-

точекъ:

'    ‘ JR'

QVQi /

ыЧШ.

N IX/>

Уз*

EL

fei

с »г:

■—ъ

4 \

''V

камъ А, D и £—подобную же точку N,. Точки N ж N

Фиг. 65.

въ силу леммы второй, не стйснятъ систему, но, вклю-

чившись въ нее, получатъ при дан-номъ 6s единственныя возможный перемещенш 6а и 6ot. Къ концамъ неизменяемыхъ стержней NB, NC, NyD и NyE, по направленно ихъ, приба-вимъ по паре равныхъ и противоположныхъ силъ Q, что не повлшетъ на равновес1е системы, такъ какъ въ этомъ состоитъ одно изъ основныхъ началъ статики. Эти силы Q,, Qx, Q₂, Q./,. . . вьтберемъ такъ. чтобы.-..-, равнодействуюпця силъ Qx и Рх, Q₂ и 1\ , .71

Йыли н о р м а л ь н ы къ возможнымъ перемёщеншмъ этихъ точекъ cfet, 6s Точно также къ концамъ стержней NA и NXA приложимъ равныя и противоположный силы Р и Р', Ял и Р/ такъ, чтобы равнодействующая всехъ силъ при N и Nx были нормальны къ 6б и 6ах.

нритгпжетттлхъ въ В, Cf DiaJfrr~

UL""

do, да

Найденныя равнодействующая, будучи нормальными къ dst, ds₂,. ... при перемещены ихъ точекъ приложены работы никакой не про-

изведутъ; но элементарная работа равнодействующей равна сумме элемен-тарныхъ работъ составляющихъ (лемма 3), поэтому можемъ написать:

для точки В,

О,

Ру dsl COS (Ру , ÖS у) -J- Ql dsL cos (Qy , dSy)

для точки С,

. . . (133)

Р₂ ds₂ cos (Р₂, ds₂) -(- d's₂ cos (Q,>, ds₂) = 0,

для точки

Q\ da cos (Q'y, da)

Q ₂ do cos (Q \, dd) -|--|- PC da cos (IC, da) = 0.

Аналогичныя равенства можно написать также для точекъ D, Е, и УУ,.

Мы видимъ теперь, что на все точки нашей системы, кроме точки А, дМствуютъ равнодействующая силы, нормальный къ кривьшъ, по кото-рымъ эти точки могутъ перемещаться. Все эти силы могутъ быть отброшены, и у насъ остаются только силы, действующая на точку А. Такимъ образомъ задача упростилась. У насъ имеется одна матертльная точка, и, стало быть, для равновесы необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая всехъ силъ, приложенныхъ въ точке А, была нормальна къ пути ds, т.-е. работа равнодействующей этихъ силъ должна быть равна нулю, а следовательно (лемма 3) и сумма работъ слагающихъ также должна быть равна нулю. Въ этомъ—вся мысль доказательства Ампера. Это усло-Bie равновесы выразится уравнешемъ

Р ds cos (IC ds) 4- R ds cos (IC ds) -f- Рл ds cos (Рл, ds) = 0. . (134)

---Iinefn ,r, Л|₍

Равенство это можно преобразовать такъ, чтобы въ него входили только данныя силы. Для этого сложимъ все равенства (133) и (134); получимъ:

Ар ds COS (Р, ds) -j- [Qy dSy COS (Qy , dSjdd cos(Q\, d'o)] -j—

+...4- \Rds ~cos (P. ds) ICds cos (HQda)\-Q...

. = 0.

„ Все выражены, заключенный въ-ДРЯм^а    ппетгетавляюу^ гумми ,.

работъ д>авныхъ и противоположныхъ силъ, приложенныхъ къ концам'ь неизменяемы хъ стержней и направленныхъ по этймъ стержнямъ; следовательно, на основаны доказанного (лемма 1), выражены эти равны нулю.

.' потому равенство, выражающее необходимое и достаточное условю равновесы, примётъ видъ:

AP ds cos (Р, ds) = 0.

Т.-е. условге, необходимое и достаточное для равновгьсгя системы, состоишь въ тому, чтобы сумма элемептариыхъ уаботъ всгьхъ дгьйствию-~щйхъ на систему пси, пун возможпомъ персмтщеши ея была равна нулю. " Это и: есть теорема Лагранжа.

Второе положены: если система съ полнымъ числомъ условШ состоитъ изъ четна го числа матертльныхъ точекъ, то мы всегда можемъ прибавить къ ней еще одну свободную матертльную точку, къ которой приложена сила, равная нулю. Соединяя эту точку тремя стержнями съ тремя точками системы, мы, по лемме 2, не измЗшимъ условш равнов'йсш. Система будетъ съ нечетнымъ числомъ точекъ,—а въ такомъ случай имйетъ место только что приведенное доказательство Ампера.

Третье положены: если система имйетъ много степеней свободы, то изъ всякаго положены ее можно вывести безконечно разнообразными путями. Докажемъ, что при равновйсш этой системы условш Лагранжа будетъ удовлетворено для всякаго выхода системы изъ положены равнов'йсы.

Новаго доказательства здесь не нужно,—на основаны простыхъ логи-ческихъ разсуждешй можно прШти къ выводу, что теорема Лагранжа и въ ятомъ случай должна иметь место.

Итакъ, если равновйсю есть, то. наверное есть и указанный его признака Положимъ, что равновесш имйетъ место. Тогда мы разсуждаемъ такъ: остановить вниманш на какомъ-нибудь выходе изъ положены равновесш, при чемъ точки системы получаютъ перемещены 6s, cfej, 6\ ,.. . . Очевидно, равновесш не нарушится, если мы прибавимъ новыя связи. При-бавимъ столько новыхъ связей, чтобы сделать систему съ полнымъ числомъ условШ, и, притомъ, возьмемъ такы связи, чтобы только отмененная группа перемещены оказалась единственно возможной. Тогда мы получимъ систему съ полнымъ числомъ условШ, а для ея равновйсы необходимо, какъ было доказано, условш:

AP cfe cos (Р, 6s) = 0.

Но отмйченная группа перемещен^ выбирается произвольно, и для каждой изъ нихъ разсуждеше наше остается въ силе. Следовательно, для равновесш системы со сколькими угодно степенями свободы необходимо, чтобы при всйхъ возможныхъ выходахъ изъ этого положены равно-вйсы сумма элементарныхъ работъ дййствующихъ силъ была равна нулю.

Четвертое положены: докажемъ, что это необходимое условш равновесш достаточно для всякой системы.

Докажемъ, что если для системы съ г степенями свободы условш

AP 6s cos (Р, 6s) = О

удовлетворяется для всйхъ возможныхъ перемещен^ при выходе ея изъ разсматриваемаго положены, то тогда система наверное находится въ равновесш. Приведемъ способъ доказательства отъ противнаго, т.-е. обнаружить, что система двигаться не можетъ.

Допустимъ, что наша система выйдетъ изъ положены равновесш. . Тогда ея точки совершать определенный перемещенш ö's, dst, ös Прибавимъ къ нашей системе татя связи, которыя этимъ воображаемымъ перемещеншмъ не препятствуютъ, но другихъ перемещешй не допускаютъ. На основаны началъ статики эти связи не уничтожать предположеннаго движенш, и наша система станетъ системой съ полнымъ числомъ условш. Для такой системы было доказано, что при соблюдены условш

ХР ÖS cos (Р, Ös) = О

система непременно находится въ равновесш, а между темъ у насъ вышло, что система выходить изъ положены равновесш. Следовательно, сделанное предположены, что система пришла въ движете, невозможно.

Итакъ, условш необходимое и достаточное для р)авновтсш всякой системы состоишь въ томъ, что nvu всякомъ безконечно маломь возмож-

III и л. ,| л. МИНИ ИИ -11ИИИИ»1И1ИИ1111ШИ1МЯ1Г^~~""¹¹""^1,1 м"~----

номъ выходгъ системы изъ разсматриваемам положетя равновгьегя сумма элементл'пныхъ раоотъ встъхъ дтиствующихъ на систему силъ должна быть равна нулю.

Решймъ^методомъ Лагранжа несколько задачъ.

Примерь 1. Изсл’Ьдуемъ вопросъ о равновесш десятичныхъ весовъ (фиг. 66). Между плечами рычаговъ десятичныхъ весовъ существуютъ такт соотношения:

или

KL

ВС _ 1 CG_/Л/

AB~ То ’ ВС~~кТ

ВС 4- CG _ KL -f LH

ВС

ВС G

Фиг. 66.

Изъ этого послъдняго соотноше-шя легко вывести, что при всЬхъ воз-можныхъ перем!щешяхъ системы в!зсовъ площадка EF перемещается параллельно самой себе и, следовательно, перемйще-Hie груза равно перемещенш точки С ¹). Имея это въ виду, применимъ къ этой системе съ полнымъ числомъ условш методъ Лагранжа. Единственнымъ пара-метромъ является уголъ ер отклонешя коромысла отъ горизонтальнаго положена, который въ положены равновесш равенъ нулю. Представимъ себе безконечно малое перемещены системы изъ этого положены, характеризуемое величиной дер. Въ такомъ случае

раб. груза X = — X Aß дер, раб. груза Q = Q ВСдер.

140 —

И по теореме Лагранжа,

раб. X + раб. Q = дер (QBC— Аг AB) = 0;

откуда:

О ВС = Х AB,

ВС

«О

Итакъ, для уравновешенш груза на десятичныхъ весахъ надо употреблять гири въ 10 разъ легче груза.

ПримЪръ 2. Найдемъ соотношен1е между угловой скоростью вращенш регулятора Уатта и угломъ а отклонен!я отъ оси вращен1я его стержней, несущихъ массивные шары (фиг. 67).

Регуляторъ разсматривается присоединенный къ какой-либо машина, и угловая скорость его со зависать отъ скорости хода машины. Следовательно, въ этомъ случае регуляторъ Уатта является системой съ полнымъ числомъ условш, и единственное свободное перемещен1е его частей определяется нараметромъ а, т.-е. угломъ отклонен)'я стержня ОМ отъ оси OB. Воспользовавшись принципомъ д’Аламбера, применимъ къ решен1ю этой задачи методъ Лагранжа.

Пусть въ разсматриваемый моментъ регуляторъ вращается съ постоянной угловой скоростью со. Въ та-комъ случае на систему регулятора действуешь только сила тяжести. Пренебрегая весомъ стержней, получимъ следующш силы: Р— Р'— Мд — силы тяжести, действующая на массивные шары массы М, и еще весь муфты Q Прибавляемъ силы инерщи, въ данномъ случае это будутъ только центробежныя силы R — В'— Мг а>², где г = АМ. Подъ влшнюмъ всехъ этихъ силъ, по теореме д’Аламбера, остановленная система будетъ находиться въ равновесш и, следовательно, при возможномъ перемещенш изъ этого положен1я, определяемаго угломъ «, сумма элементарныхъ работъ упомянутыхъ силъ должна быть равна нулю. Вообразимъ, что уголъ а изменился на безконечно-малую величину да и система получила соответственное перемещенш. Тогда работа центробеж-ныхъ силъ В и В' будетъ равна:

О/.

[в

Фиг. 67.

-УХ*

р’

2 Мг со² дг — 2 Ж oß ОМ² cos а sin а да,

такъ какъ

/• ОМ sin а,

дг — ОМ cos а да.

Работа силъ Р и Р' будетъ:

2 Мд дОА = 2 Mg d(0d cos а) — — 2 Mg ОМ sin а да.

Работа силы Q будетъ:

Q дОВ — Q d(0D COS а + BD cos а) *) = Q д(200 cos «) = — 2 OD Q sin а да.

Но вместе съ этой точкой L передвигается и второй конецъ F рычага EF. Такимъ образомъ, выходить, что оба конца этого рычага ила платформа EF передвигается на пространство q, т.-е. если платформа сначала лежала горизонтально, то и при всякомъ наклоне-нш коромысла она останется горизонтальной.

*) Регуляторъ сделанъ такъ, что длина стержня 0D равна длппё стержня DB.

Сумма найден ныхъ элементарныхъ работъ равна нулю:

2 Ж oß ОМ² cos а sin а да

2 Mg ОМ sin а да — 2 OD Q sin а да = 0, 2 sin а да (М oß ОМ² cos а — Mg ОМ —- OD Q) = 0.

9 U + Q:™.]

ОМ COS а '    ■ ' Р ОМ ' ■

Таково искомое соотношеше между и и к.

ПримЪръ 3. Система состоитъ изъ неизменяемаго угла ВАС = а, могущаго вращаться около точки А, и изъ стержня СВ (фиг. 68). Стержень этотъ неизменно присоеди-ненъ къ ползушке С и движется въ ползушке В, которая можетъ скользить по звену AB;

такъ что стержень СВ\ при неподвижности угла ВАС, можетъ перемещаться параллельно самому себе. На ползушки В и С действуютъ силы Р н Q, направленш которыхъ определяются углами ß и у. Найдемъ, какимъ у&овшмъ должны удовлетворять величины и направле-нш этихъ силъ для равновесш системы.

Всякое положеше разсматриваемой системы вполне определяется двумя параметрами: угломъ ер и однимъ изъ следующихъ параметровъ, опеделяющихъ положе1пе звена ВС относительно угла ВАС: AB или АС.

Разсматриваемая система является системой съ двумя степенями свободы, и, применяя методъ Лагранжа, надо приравнять нулю сумму элементарныхъ работъ всякаго возможнаго безконечно-малаго перемеще-нш. Но условш это будетъ уже соблюдено, если мы приравняемъ нулю суммы элементарныхъ работъ без-коночно-малыхъ перемещешй, соответствующихъ изме-нен1ямъ каждаго изъ двухъ параметровъ въ отдельности, такъ какъ всякое другое перемещеню можно разсматривать, какъ совокупность перемещешй этихъ двухъ родовъ, и если для каждаго изъ нихъ въ отдельности сумма элементарныхъ работъ равна нулю, то и для совмегценщ ихъ условш это также будетъ соблюдено.

Олустимъ пзъ точки А на Р и Q перпендикуляры АК и АЕ. Тогда, полагая, что уголъ <р получилъ приращеше dcp, a AB и АС не изменились, напишемъ условш Лаграшка въ предположе1пи, что силы Р и Q перенесены въ точки К и £:

т-

ic

'Q

>к

Фиг. 68.

— Р AK дер -f Q АЕ дер = 0,

ИЛИ

— РАК -f Q АЕ = О,

но АК—АВ sin ß и АЕ — АС sin у; следовательно:

Р AB sin ß = Q АС sin у

(135)

Напишемъ еще условш Лагранжа, предполагая уголъ ер неизменнымъ, а АС и AB получающими приращенш дАС и дАВ:

Р cos ß дАВ — Q cos у дАС — 0.

Преобразуемъ это равенство при помощи соотношешй, выведенн!лхъ изъ Д АВС:

АС_sin В

A B

sin С sin В

AB —

sin С sinB АС’

6 AB =

AB

6 АС = —— 6 АС.

АС

или

Следовательно:

6АС (Р AB cos ß — Q АС cos у)

АС    —U’

Р AB cos ß — О АС cos у ■ . .

Деля (135) на (136), получимъ:

tff ß = tg У>

откуда:

и уравнен1е (135) приметъ видъ:

Р АВ= Q АС,

со

Итакъ, для равновесш необходимо, чтобы

_АС

Q -AB ß = 7-

Изъ чертежа видно, что точка D пересеченш силъ Р и Q лежитъ при найденномъ у слов] и на окружности, проходящей черезъ три точки А, В и С, такъ какъ при этомъ углы ß и у равны, какъ опирающюся на одну и ту же дугу AD. Следовательно, выбравъ на этой окружности любую точку О и соединивъ ее съ В и С, получимъ направленш силъ: одна направлена къ точке D, а другая отъ точки D. Величины же силъ должны находиться въ указанномъ отношенш.

ЩТ X

Ц*

Примеръ 4. Возьмемъ рядъ одинаковыхъ шарнирныхъ ромбовъ, подвешенныхъ въ точке 0 (фиг. 69). На конце нижняго ромба въ точке А подвешенъ грузъ Р. Изъ чертежа видно, что грузъ Р вытягиваетъ верхний ромбъ, пружина же старается его сократить. Найдемъ, какимъ условшмъ должны удовлетворять величины этихъ силъ для равновесш системы.

Выведемъ систему изъ положены равновесш. Пусть безконечно малыя перемещенш точекъ приложены силъ Т и Р будутъ 6у и öz. Въ такомъ случае:

раб. груза Р— Р 6z, раб. пружины Т= — Тбу.

Положимъ, что

тогда

п 6у = 6z,

6z

раб. Т— — Т ■— .

По теореме Лагранжа получаемъ:

Фиг. 69.

6z

или

Т= п Р,

где п есть число ромбовъ.

% 42. О равновесш неизменяемой системы. Условш Лагранжа выражается уравнешемъ:

= 0.

2Р cos (Р, 6s)6s

Преобразуемъ это уравнеше, пользуясь Декартовыми координатами, на основанш известнаго равенства:

Р cos (Р, 6s) 6s = X (Ух -[- Y 6у Z 6z,

где 6х, 6у, да суть приращенш координатъ, соответствующая прирагце-нш 6s. Условю равновесш Лагранжа перепишется теперь такъ:

. (137)

У (X 6х -(- Y 6у —j— Z 6z) = О

Свободная неизменяемая система имеетъ шесть степеней свободы, и потому мы можемъ выразить все приращенш координатъ 6х, 6у, 6z черезъ соответствующш приращенш шести параметровъ, определяющихъ положе-

Hie твердаго тела, или черезъ шесть какихъ - нибудь безконечно - малыхъ величияъ, определяющихъ его пере-мещеше. Эти безконечно-малыя ве-личины будутъ 6a, 6ß, 6у, 6<р, 6у, 60

изъ которыхъ три первый вщаад^ щтъ безконечно-малыя поступатель-ныя перемёщенш, которыя мы можемъ сообщить телу по направленно х каждой изъ осей координатъ х, у, z, а 6<р, 6>i\ 60 выражаютъ безконечно-

малыя угловыя перемещенш, на ко-

¹

Положимъ BC-j-CG = nßC; тогда, въ силу сделаннаго нами предположены,

KL + LH = nKL.

Пусть при .отклоневш коромысла точка С проходитъ весьма малое пространство q; тогда на такое же пространство и въ ту же сторону подвинется и конецъ Е стержня СЕ и рычага FE. Очевидно, что другая точка коромысла, точка G пройдетъ проетрансто щ, то же пространство пройдетъ и конецъ Н стержня НК-, точка же L этого рычага пройдетъ пространство, въ п разъ меньшее, т.-е. q.

Фиг. 70.    - у

торыя мы можемъ повернуть тело

около каждой изъ осей координатъ (фиггГ~70)Г

Чтобы выразить 6х,~6у, 6z черезъ упомянутыя безконечно-малыя величины, воспользуемся формулами Эйлера, определяющими скорости точекъ _

свободнаго твердаго тела [форм. (20)]:

Ar qz — ry,

dx_da

dt dt dy dß

dy

-мугРУ-qx,

где

cfa dß dy

T[.T[. Ti

суть скорости по осямъ х, у, z точки тела, лежащей

въ начала подвижныхъ осей координатъ. а р, q, г суть угловыя скорости вращенгй тела около осей х, у, z. ^

144 —

Умножая написанныя равенства на dt и переменяя у дифференща-ловъ' знаКЪ ■тзЬга^'Тшсъ какъ въ метод! Лагранжа разсматриваются перемещены воображаемыя, находимъ:

dx = da -[~ qz dt — ту dt,

ду = dß -)- тх dt — pz dt dz = dy-jrpy dt — qx dt.

Здесь dx, dy, dz суть возможным перемещен in по осямъ координатъ любой точки системы (определяемой координатами х\ у? 2)\ оа, ор, 'dy суть без-конечно-малыя перемещены по осямъ начала подвижныхтГкоординатъ и, следовательно, возможный безконечно-малыя поступательный перемещены неизменяемой системы по осямъ координатъ; а у dt. q dt. г dt предста-вляютъ безконечно-малые по вороты системы около осей координатъ х, у, z. и ихъ мы обозначили черезъ dy, dy, dß. Въ такомъ случае формулы Эйлера примутъ видъ:

дх = da -j-z dy — у dß, dy = dß -}- x dß — г. dy, dz = dy -j- у dy — x dy.

Подставивъ эти выраженья въ уравнены (137), иолучимъ сумму эле-ментарныхъ работъ въ виде:

У [X (da -[- z diy — у dß) -[- Y(dß -f- x dß — z dy) -)- Z(dy у dy t— X dy)] = 0,

или

daУХ-i- dß2 Y -j- dy 2Z-\- dy У (yZ— z Y) -f~ dtp2 (zX.A-xZ) ßr - _ 4- dß У (x Y — yX) = 0.........

(138)

Это уравнен1е выражаетъ условы равновесш Лагранжа для свободной неизменяемой системы. Въ него входятъ шесть независимых!» между собой безконечно-малыхъ величинъ da. dß, dy, dy, dy, dß, которыя могутъ иметь безконечжГ разнообразный значения.

Здесь можно обратить внимаше на следующее. Если несколько совершенно, производьныхъ величинъ „множатся на.....как1е,-нибу,ль коагМш- ~

то эти

щенты, при чемъ сумма этихъ произведен^ всегда равна нулю, коэффициенты непременно равны нулю. На основаны этой математической "теоремы” следуетъ въ уравнении (138) приравнять нулю все шесть коэффи-щентовъ при da, dß, dy, dy, dy, dß, что даетъ намъ шесть известныхъ уравнены равновесш свободнаго тверДаго тела.

Но более просто разсуждать такъ: полученное нами выражены должно равняться нулю при всякихъ возможныхъ безконечно-малыхъ перемеще-ншхъ. Предположимъ, что наше твердое тело получило только безконечно-малое поступательное перемещены вдоль оси Ох. Тогда все перемещены

характеризуется величиной да, которая единственно не равна нулю, остальным же безконечно-малыя величины: да, dß,.. обратятся въ нули. Все условы равновесш Лагранжа (138) получаетъ видъ:

d«y;x=o.

Такъ какъ да не равно нулю, то значитъ УХ —0. Поступая такъ дальше, найдемъ:

XY= 0 и XZ^O.

Точно такъ же можно предположить, что тело только безконечно - мало повернуто около оси Ох, Оу или Oz. Разсуждая такимъ образомъ, получимъ все шесть основныхъ уравнетй статики:

xx=o, xy= 0, XZ= 0,

X (yZ — zY) = 0, X (zX— xZ)

. . (139)

0, X (xY— yX) = 0.

Это суть изв'Ьстныя условш равновесш свободнаго твердаго тела. Условш же равновесш несвободной неизменяемой системы для вся-

каго случая легко могутъ быть выведены изъ общаго уравнены (138). Выве-демъ эти условш для основныхъ случаевъ несвободнаго твердаго тела, раз-смотренныхъ въ элементарномъ курсе статики. Мы увидимъ, что при этомъ некоторый изъ условШ (139) опустятся, и останется столько условШ равновесш, сколько параметровъ определяютъ въ пространстве положены несвободной системы.

1. Твердое тело имеетъ одну неподвижную точку.

Въ этомъ случае тело потребуетъ три условш равновесш.

Примемъ неподвижную точку за начало координатъ. Поступав перемещешй тело получать не можетъ, следовательно,

:ъ

i[JCL

/у

Перемещены же дер, дгр, дО, выражающш приращены ^гловъЛы] рота около осей х, у, z, могутъ иметь какы угодно значешй. иу Уравнены равновесш (138) напишется такъ:    V

да = dß = ду = 0.

/I

дер X (yZ— zY) -f dtp X (zX — xZ) -f <№ X (xY—jiJ&X^-ä^

Можно предположить, что мы поворачиваемъ тело только около оси Ох;

тогда

дер X(yZ—zY) =0,

следовательно:

также найдемъ:

iTfuZ-?¥) = <>; )

2(zX — xZ) = 0; X(xY—yX) = 0. J

(140)

Твердое тело имеетъ одну неподвижную ось, положимъ Ох (иначе юворя, две неподвижный точки).

Въ этомъ случай только дер не равно нулю, а

да — dß = ду — dtp = дО — О,

и уравнеше (138) напишется такъ:

dep2(yZ—zY) = О,

откуда:

(141)

Две точки твердаго тела могутъ скользить по данной оси, поло-:имъ по Ох. Въ этомъ случай

d'ß= ду — dtp = de = О,

и уравнеше (138) напишется такъ:

да XX —j— дер X (yZ— zY) = 0.

Можно разделить эти два перемещены. Только поступательное:

дер — 0, да-1= 0, .

откуда

ХХ = 0.

Только вращательное:

clcc = 0, d>p=j=0,

откуда

X(yZ—zY) = О

(142)

"4. Три точки твердаго тела могутъ скользить по плоскости ху. Въ этомъ случае

ду -- д<р = dtp = О,

и уравнеше (138) напишется такъ:

да XX-\-dßXY-\- дв X (xY— уХ) = О,

а||вд11 II ———ТПТИШ11 Ш И -И.

откуда:

XX = О,

XY= О, 2 (xY—yX) = 0.

§ 43. Равновесш гибкой нити. Изсд’Ьдуемъ вопросъ о равновесш идеально гибкой нерастяжимой однородной нити, которую будемъ разсма-тривать какъ материальную линш, равномерно покрытую массами. Массу, отнесенную къ единице длины нити, т.-е. ея плотность, обозначимъ черезъ q; у однородной нити (> есть величина постоянная вдоль всей линш. Задача" о равновесш гибкой нити состоитъ въ нахожденш Формы нити и силъ ея натяженш въ каждой точке. Мы изследуемъ равновесш нити подъ дей-^ствремъ силъ консервативна го поля, т.-е. силъ, имеющихъ силовую функ-цйо. Въ практике особый интересъ представляетъ случай равновесш гибкой”” ~нити подъ действюмъ равномернаго поля силъ тяжести; этотъ случай имеетъ место, напримеръ, въ подвесныхъ цепныхъ мостахъ. Въ вопросе о пряде-нш встречается случай изследованш равновесш нити подъ действюмъ поля центробежныхъ силъ, силовая функцш котораго выражается:

U=m у (ж² 4-ifY,

какъ этотъ, такъ и все друше случаи равновес1я нити подъ действшмъ силъ консервативнаго поля при постоянномъ q даютъ одинъ обнцй инте-гралъ, определяющШ натяжете. Когда же силовой функцш нетъ, тогда задача становится гораздо сложнее; таковъ, напримеръ, случай равновесш нити змея подъ действюмъ силы ветра.

/ Положимъ, что гибкая нить привязана концами въ точкахъ А и В (фиг. 71) и находится въ равновесш подъ действюмъ силъ какого-либо

т-

Ppds

Фиг. 71.

поля. Поле силъ отнесено къ единице массы, т.-е. на единицу массы въ каж-дой точке поля действуетъ .некоторая"” 6 и р е д е л е н наш⁻сил а F, даюшая компонен-Тты А, КТ Z по осямъ ко-ординатъ х, у, z. "Услов1я равновесш нити можно найти методомъ Лагранжа, но при этомъ надо пользоваться npie-мами варшщоннаго исчисле-нш; поэтому будемъ решать задачу элементарно.

Отбрасывая концы нити, выделяемъ ея элементъ ab=ds, а эффектъ концовъ аЛ и ЬВ заменимъ силами Т и Тх натяжен1я нити. Силы эти, вообще говоря, неравны между собой и направлены по касательнымъ въ точкахъ а и 6, следовательно направлены не по одной прямой линш. Масса dm элемента ds выразится черезъ pds, а зиачитъ на него действуетъ сила поля P(>ds. Напишемъ условш равновесш этого элемента подъ дей-

— 148

ствюмъ внешней силы PqcIs и силъ натяженш Т и 1Х (суммы проекщй силъ на оси координатъ равны нулю) для оси Ох:

ГД-fe:

dl

cos(Tt, x)\ j- = cos(T,x).

Bet входящш сюда величины будемъ разематривать какъ функцш дуги s, отсчитываемой хотя бы отъ точки А.

Разность

Тл

da:

dx

ds

äs

есть приращеше компонента силы натяженш нити по оси Ох, при переходе отъ точки а къ о, т.-е. при изменены s на элементъ дуггГds. Ъъ такомъ случай разность эта можетъ быть представлена такъ: при чемъ дифференщалъ берется по s. Условю равновесш напишется:

XQds + dlT^j = 0,

или, деля на ds, получимъ для вс'Ьхъ трехъ осей:

г>

Г\

rytitfb⁰’ ■ z<+£(T%)

(144)

= 0.

Это общш уравнены равновесш гибкой нити; въ нихъ X, Y, Z— компоненты дМствующихъ силъ Р какого угодно поля, хотя бы и не кон-сервативнаго. Изъ этихъ уравнешй надо определить следующш четыре функцш:

я=/>), y = ft(s), z = f₂(s), T=f₃ (s).

Въ нахожденш ихъ и состоитъ вся задача: оне выражаютъ форму нити при равновесш и ея натяжеше въ любой точке. Для -определены

четырехъ функцШ недостаточно трехъ уравненШ (144); четвертымъ является уравнеше:

/ йУ+Ж+(1)’

(145)

выражающее связь между косинусами угловъ, образуемыхъ элементомъ ds съ осями координатъ.

-I

Эти дифференщальныя уравненш второго порядка интегрируются несложно лишь въ частныхъ случаяхъ. Мы решимъ задачу для случая силъ равномернаго поля, когда нить принимаетъ форму цгъпнои лиши Но отмФтимъ раньше несколько замечательыыхъ свойствъ равновесия нити, когда поле силъ, подъ влшшемъ которыхъ она находится, имеетъ какую-либо силовую функцно.

При этомъ, если q постоянно, существуетъ интегралъ, очень сходный по внешнему виду съ интеграломъ живыхъ силъ. Этотъ интегралъ даетъ возможность найти натяжеше нити въ любой точке независимо отъ ея формы, зная натяжеше въ какой-либо одной точке, аналогично тому, какъ въ интеграле живыхъ силъ, зная скорость точки въ одномъ месте поля, мы определяемъ ея скорость въ любой точке, независимо отъ траектории движенш. Для вывода этого интеграла напишемъ уравненш (144), выполнивъ дифференцироваше въ такомъ виде:

Xq +

dT dx ds ds

d*x

ds²

0,

dT dy

dHI

ds²

r=0,

(146)

г-

Zq-\-

dT dz

ds ds’^T

d*z

ds²    °‘

Помноживъ эти уравненш соответственно на

dx dy dz ds ’ cfe ’ &

и сложивъ ихъ, получимъ:

Xdx-\-Y dy-\- Z dz

/

LA

ds

Ш#(1П

+ t[

dx d^x .dy d^y .dz d‘lz ds ds² ' ds ds² ' ds ds²

(147)

dT

равно единице [форм. (145)], а при Т равно

Выражеше въ скобкахъ при нулю [производная по ds отъ выраженш (145)]. Кроме того, по формуле (56)

X dx-\-Y dy -\-Z dz = dU,

где U есть силовая функцш силъ, дМствующихъ на нить. Помножая урав-неше (147) на ds и делая подстановки, получимъ:

q dU -\-с1Т=0.

Интеграцш даетъ:

q U+T= С.

Чтобы освободиться отъ произвольнаго постояннаго С, положимъ, что въ какой-нибудь точке, хотя бы въ /1, натяжеше нити известно и равно Т₀; значеше же силовой функцш въ этой точке равно Z7₀. Въ такомъ случай:

Вычитая это равенство изъ предыдущего, находимъ:

IV

(148)

Или:

T=U₀ q -}- Т₀ = const.,

^что читается такъ: разность натяженгй въ какихъ-либо двухъ точкахъ нити равна произведению плотности на разность значенш силовой функцией въ этнхъ точкахъ, взятую съ обратными знакомь,

Разность натяжешй не зависитъ отъ длины и формы нити.

-тммж

Покажемъ это на елфдующемъ при —» мере. Если им’йемъ тяжелый канатъ, какъ-нибудь натянутый между А и В или А и С (фиг. 72), при чемъ В и С лежатъ въ одной горизонтальной плоскости, то разность натяжешй на концахъ каната, которую можно определить посредствомъ динамоме-тровъ, во вейхъ случаяхъ одна и та же.

С"

Фиг. 72.

Если на высоте точекъ В и С силовая функцш силы тяжести имеетъ значеше 77₀ — С, то въ А на высоте h надъ этими точками, силовая функцш имеетъ значеше:

U=C-gh.

Следовательно, на основанш уравненш (148):

T—T. = QfC—(C—gh)\ = eeh.

// I

/Т.-е. разность натяженгй въ двухъ точкахъ равна вгьсу единицы длины каната {q(j), умноженному на высоту (//) одной точки над другой.

Выведенный интегралъ [форм. (148)], позволяетъ найти проекцйо действующей силы на касательную къ кривой нити. Взявъ производную по s отъ уравненЬг (148), въ которомъ Т₀, Л₀ и q величины постоянный, пайдсмъ:

ds

dU dT ® ds

dU

Но известно, ЧТО -J-[форм. (60)], а значитъ:

= P.

проекцш силы поля на касательную

dT

(149)

этомъ

Тангенщональная составляющая силы поля, действующей на элементъ нити ds, равна и противоположна приращенш силы натяженш нити на элементе ds. Следовательно, силы поля всегда направлены въ ту сто-рону, куда натяженш нити убываетъ.

Въ случае движенш гибкой нити (напримеръ, приводные ремни и канаты) вопросъ о натяженш ея въ различныхъ точкахъ решается темъ же общимъ способомъ; надо прибавить только по принципу д’Аламбера, къ действующимъ силамъ силы инерцш.

г Вьтвелемъ соотнотпетпе между величиной силы, действующей на нить, и рлдгусомъ кривизны ниш. Возведемъ въ квадратъ 'уравнешя (146) и сло-жимъ ихъ. Тогда, принимая во ^ниман1е, что

P = |/X²+T²-fZ²,

получимъ:

dT Vdx d*x , dy d*y ds ds ds² "1 ds ds²

dz d*z ds ds²

ЯГ&ЮШЦ

]•

Изъ уравненш (145) заключаемъ, что скобка перваго члена правой части равна единице, а последняго члена равна нулю, какъ производная этого перваго члена; кроме того, изъ анализа известно, что

гч ’

(djxy. (<Ру\*    (d*s\

\ ds² / ' \ cfo² / V ds² /

где г рад1усъ кривизны нити. Следовательно:

Pq

(150]

а

^Изъ этого равенства заключаемъ, что если на элементы нити ттр фЬй-ствуютъ никакы силы, и притомъ натяжеше нити Т не равно нулю, то она непременно имйетъ форму прямой лиши.

Действительно, при Р = 0 изъ равенства (150) находимъ:

Но сумма квадратовъ двухъ д’ййствительныхъ количествъ можетъ быть равна нулю только тогда, когда эти количества суть нули; поэтому

dT

ds

О, — =0.

г

ЫоГфО, значить г = 00, и, следовательно, нить и м е е т ъ форму прямой линin и на тяже nie втголь нея постоянно.

Определимъ теперь нормальную составляющую Рп силы поля. Изъ уравнены (150) находимъ:

ату

ds I ’

Г =PV-

а замечая, что по уравнены) (149)

dTV

ds

=PS4>\

напишемъ:

-р;²)-

(f)-^

Но очевидно, что

а следовательно

(151)

Р„» = -г

Уравнены (150), (149) и (151) даютъ выражены силы поля Рр, действующей на единицу длины нити, и ея составляющихъ Р₈р и Рир. Выражены последней показываетъ, что если натяжеше нити Т очень велико по сравнены) съ силой, действующей на элементъ нити, то и г очень велико. Такимъ образомъ, катя бы силы не действовали на нить, всегда можно, рроизвольно увеличивая силу натяшены Р, заставить нить принять форму какъ угодно близкую къ прямой.

Для определены С заметимъ, что въ точке Е нить перпендикулярна къ оси Оу, а следовательно въ этой точке

ds

44. Задача о цепной линш.^Цгьпной лингей называется форма, полу-_чаемая гибкой нитыо постоянной плотности подъ дФйствымъ силы тяжести. Для изследованш этого случая рамюнЕсшТ^койнити воспользуемся общими уравнеными (144):

Х*+Нтш)

гн4(г§)=°>

^+4_(г|) = о,.

= 0,

где Ä, Y, Z суть компоненты силы поля, действующей на единицу мас-с ы. Въ нашемъ случае на нить действуютъ силы тяжести, и следовательно (при массе т— 1):

Х=0, Г = о,

Z=-g.

х Расположимъ вертикальную ось

чтобы она проходила черезъ самую низшую точку нити Е (фиг. 73), а оси Оу дадимъ направлены перпендикулярное къ элементу нити, находящемуся въ точке Е.

Подставивъ выражены силъ въ написанныя выше уравнены, по-

Фиг. 73.

'акъ,

лучимъ:

(152)

(153)

™+Нтш)=°

(154)

Интегрируя уравнены (153), находимы

diy

ds

= С.

$=о,

поэтому и (7=0.

А въ такомъ случае по всей длине нити

M₌ü-

ds ’

но TФО, следовательно,

\\

5=o.

c/s

-р

Интеграцш этого равенства даетъ:

А,

А такъ какъ для точки £ имеемъ: у = О, вс^хъ точекъ нити

о"

Ul

tT=

ff

Ь"

т.-е. вся нить лежитъ въ плоскости jtöz.

Интегрируя уравнеше (152), находимъ:

dx

dx

Въ точке £ имеемъ:

= 1, такъ каке £ есть низшая точка цепной

лиши, и касательная образуетъ здесь съ осью Ох уголъ, равный 0°. Если натяжеше нити въ точке £ есть Т₀, то С₂ = Т₀, следовательно

dx

Т=-=Т

ds

откуда:

Т=Т₀:

dx

(155)

Подставляя найденное значеше Т въ уравнеше (154), получимъ:

sH

'О

ui т uz

{Jg l ' 0 ^7/v.

Пусть

Q9

где а есть некоторая постоянная величина; тогда:

cls

Изъ анализа известно, что

dz

ГД*Р = $.

\jds — У dx*    dz* —dx |/l -f-^²

(158)

dz

Подставляя въ уравнеше (157) значенш ^ и ds изъ уравнены (158), напишемъ его въ такомъ виде:

dp

dx \/1 4-р‘г .

dp

dx

]/i 4-р*

Будемъ его интегрировать. Интегралъ первой части известенъ изъ задачи ректификацш гиперболы; находимъ его:

L(V 4" Vх! + 2>²)

!+«•

При х = 0, т.-е. въ точке Е, р

О, потому что р есть тангенсъ угла,, образуемаго касательной въ точке Е съ осью Ох. Следовательно

L(l) = C₃ = 0,

и уравнеше напишется такъ:

L(p + Y 1 4~Р²)

S5 &

л/

V'¹

(159)

Съ целью определены р, воспользуемся тождествомъ:

которое совместно съ равенствомъ (159) даетъ:

СЪ

Вычитая уравнеше (160) изъ уравнены (152), находимъ:

или:

Jj> = \(za — e “

Й>{е‘~е *

ds

dx ‘

Умноживъ на dx и интегрируя, найдемъ:

/ X    __ Х\

f(e⁵+e“-) + 4.

Пусть начало координатъ расположено такъ, что 0Е=а; тогда при х = 0, z — a, и наше равенство даетъ:

4 = 0.

Следовательно:

а = а -J- ц, откуда

/ X    V

(161)

£(<Г' + <Г )

Это и есть уравненiе цепной л и Hi и. Такъ какъ вторая часть уравнешя съ изменешемъх на (— х) не меняется, то ось Oz является осью симметрш цепной лиши.

Ояределимъ теперь силу натяженш Т во всякой точке нити. Для этого воспользуемся формулой (155):

Т=Т₀:

с/х

ds '

Подставивъ въ нее значеше ds изъ уравнешя (158):

,2

ds = dx т/1

получимъ:

/ T=Ttyi+p\

Далее, сложивъ уравнешя (159) и (160), найдемъ:

(162)

Сравнивая это уравнеше съ уравнешемъ цепной лиши (161), получаемъ:

i/i+ps=4

а въ такомъ случаи:

т= у;

Но по уравненпо (156)

а = — , Q9

„а потому получимъ окончательно:

Т— д QZ-

Найденный результатъ наглядно представляется геометрически. Ось Ох, отстоящая отъ вершины цепной лиши на разстоянш а, ляющей, а раз стоя Hie а отъ оси Ох—параметромъ цепной лиши. Положимъ, что нужно определить натяжеше въ точке АГТТроведемъ ординату z, которая представится лишей МК. Если бы на этой прямой МК былъ располо-женъ отрезокъ нити, то весъ его былъ бы равенъ q д z (такъ какъ единица длины нити веситъ дд). Но какъ разъ этой же величине равно натяжеше Т нити въ точке М, следовательно: натяжеше нити во всякой точкгъ равно вгьсц отргъзка этой нити, повгьшеннаго вертикально, отъ данной точки öo направляющее_

На основанш сказаннаго, тяжелая нить, перекинутая черезъ два блока, находится въ равновесш, если ея свободные концы достигаютъ направляющей линш DD (фиг. 74).

Определимъ теперь длину дуги s, Изъ уравнешй (158) и (162) имеемъ:

ds —

/Ж    _ * \

^ea_j_g «J

dx.

Интегрируя, получаемъ:

.1.

Фиг. 74.

Условимся отсчитывать s отъ вершины цепной лиши; въ такомъ случай при х = 0, s = 0 и (7₅ = 0. Следовательно:

'х

(163)

5 = - в-

«г

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ.

§

-*ебба D'

45. Принципъ d’Alambera. Основашемъ для вполне общаго спо-решены задачъ о движенш системы служитъ очень важный для современной техники принципъ д’Аламбера. Применяя его, мы сводимъ задачу о движенш къ вопросу о равновЬсш, разрешаемому по методамъ статики. Принципъ д’Аламбера состоитъ въ следу ющемъ:

Если систему, находящуюся въ движенги, остановить въ какой-| / нгИбидь можнтъ~врештг и прибавить къ движущимъ силамъ^вспГ силы инерцш, то система будешь въ равновшйн. Реакция связей и внутрентя натяжетя, имтьющгя мгъсто щи этомъ равновгьсш, будутъ тгь же са-мыл, которым существуютъ и въ разсматриваемомъ положены при движенги системы.

Пусть система матерыльныхъ точекъ М, ,.., стесненныхъ какими-нибудь связями, находится подъ эффектомъ силъ Р, Р₁₅... (фиг. 75).

Если бы матертльныя точки были свободны, то ихъ ускорены были бы направлены по со-ответственнымъ силамъ Р, Р₁,...

Р Р

и были бы равны —,    ,.

т т,

NC J

Е-

сь

м’

"О,

где т, т₁,... суть массы этихъ точекъ. Но такъ какъ точки си-

-Q

стемы не свободны, то ихъ п о л-ныя ускорены j,    будутъ

направлены не по действующимъ силамъ, а по некоторымъ дру-гимъ силамъ Q,    и будутъ

где Q,

равны

51

т.

Фиг. 75.

суть те силы, который сообщили бы точкамъ системы ускорены j, д,,..., если бы действш связей мы заменили силами АГ, А^,... и стали бы разсматривать точки какъ свободныя.

Силы Q = mp    = mjt,.... д’Аламберъ называетъ дгъятельными си-

. разложимъ на деятельный силы , то силы Р, Р

лами. Если действующая силы Р, Plv.

Qi    И некоторыя другы силы Р, Р₁₅...    ___________

ЗЕАТс^-оффектомъ развившихся сопротивлешй связей системы А⁷”, А⁷,,... и,

. уничто-

вслйдствш этого, точки системы будутъ двигаться такъ, какъ будто бы онй были свободны и находились подъ дййствшмъ только дйятельныхъ силъ Q, Qx,.... Если это такъ, то, значитъ, силы В, Р₁₅..., которыя ___ д’Аламберъ называетъ потсряттшм, '1'аковы, чти если "бЫ'ихъ' приложить къ остановленной въ даннохгБ -полошешй- систем'Ь, то система разовьетъ эти самыя силы сопротивленш и тогда наступитъ равновйсш. .

Каждая потерянная сила В, какъ видно изъ фигуры 75, слагается изъ силъ Р и —Q — —mj. Сила —Q, какъ мы знаемъ, есть сила инерцш. Слйдовательно, прикладывая къ системй потерянныя силы, мы, иначе говоря, прикладываемъ вей дййствуюнця силы и силы инерщи.

Далйе, мы можемъ сказать, что потерянныя силы уравновйсятся на остановленной системй эффектомъ сопротивлешй связей этой системы, потому что силы В, Вх,... будутъ равны и противоположны еиламъ N, ХГх,... системы, которыя и суть силы реакщи при движенш. Такимъ образомъ желаемое доказано.

Пользуясь методомъ Лагранжа, выразимъ условш равновйсш силъ дййствующихъ и силъ инерцш на остановленной системй равенствомъ:

X В ds cos (В, ds) = О

или

X (Хх dx -j- Yx dy -f- Zx dz) = 0,

гдй Xx, Yx, Zx суть компоненты потерянной силы В по осямъ координатъ. Каждая цотерянная сила В слагается изъ дййствующей силы Р и изъ силы инерщи — Q = j— mj. Отсюда:

cPx

X, = X—m-

а.

Yx =Y—m

ZX = Z —

(Vlz

L.

dP ,

d ®x

гдй X, Y, Z суть компоненты по осямъ координатъ силы Р, а — т ,

й*у dP ’

d^z

dP

суть компоненты силы — Q = — mj по тймъ же осямъ.

Вслйдствю этого при всякомъ возможномъ безконечно-маломъ перемй-дценш системы, выводящемъ ее изъ положены, въ которо^ъ она въ любой моментъ времени воображается остановленной, будетъ удовлетворяться

УС.

з!е:

d*x

dP

-г7- dPy

T-m ж

d*z\

— т oz

dP

0. (164)

' Эторавёнство называется основнымъ нравненгемъ динамики и~ отли-чается отъ статическаго условш равновйсш лишь тймъ, что здйсь прибавлены силы инерщи:

d*x

~m ~W' ~m

d*y

dP ’

dlz

Ш dP '

Величины 6х, 6у, 6z, 6хх, 6ух, 6zx, ны, согласныя со связями остановленной системы.

суть возможным перемйще-

Вообразимъ, что имйемъ систему съ г степенями свободы; въ такомъ случай координаты точекъ системы представятся въ виде функщй отъ i пара-метровъ: q, qx,... q._x и еще времени t:

l(%=f(q,

di i di’

di-1» О»

У ft (di d\ i dii f7(d? dt’ di^

diJtTWf

di-1, 0-

Изъ этихъ уравнешй определяются безконечно-малыя приращены координатъ при возможныхъ перемещеныхъ; при этомъ t надо считать по-стояннымъ, такъ какъ, согласно началу д’Аламбера, мы должны изелйдо-вать равновйще системы въ ея остановленномъ положены при перестав-шихъ изменяться связяхъ. Такимъ образомъ получаемъ:

df

dq

<h +

df

df

ddt

dq₍.

6q

Опредй-

Аналогично находимъ выражены для 6у, 6z, 6xx, 6yx, 6z ляя далее выражены производныхъ отъ координатъ по времени, при чемъ t считается уже, очевидно, перем'Ьннымъ, находимъ:

+ +^-

rdt ’

df

Подставляя выражены 6x, 6y,.. . уравнены динамики и группируя члены, содержание 6q, 6qx,.. . , найдемъ:

dt² ’    dt² ’ *

.. въ основныя

Q dq +    -f- Qi dq% +.....-f- Q{_x 6q

-i

= 0.

Такъ какъ это равенство должно иметь место для всевозможныхъ значешй 6q, 6qx, Og₂то мы можемъ положить, что

« 6qx=j О,

это приведетъ насъ къ уравнены» $$2 = 0, изъ котораго слйдуетъ $ —0. Такимъ образомъ докажемъ, что вей коэффициенты Q, Qx, ф₂,.... должны

быть равны нулю и уравнеше тогда приводится къ следующимъ г урав-нешямъ:

Q = о,

Q<-i=o.

Въ выражешя    .....__ входятъ параметры д, , q₂,.... , ихъ

первый и вторыя производный по времени d'²qx d²q%

JELLJM-—

Задача сводится къ интегрировашю совместныхъ дифференщальныхъ уравнешй, въ результате котораго мы определимъ параметры q, qx, q₂,.. какъ функцш времени t. При этомъ войдутъ произвольный постоянный С, Сх,...., число которыхъ будетъ вдвое больше числа параметровъ, т.-е. 2 г. Поэтому мы будемъ иметь:

!clq äq \ <lq.,    i! ~ q

\Ж⁹ dt ’ ~Ж⁹”'

• •>

dt² ’

q = ip(t, С, Сх, . . . . Си-1).

Такимъ образомъ принципъ д’Аламбера сводитъ механическую задачу къ чисто-математической, къ интегрировашю дифференщальныхъ уравнешй. Это интегрирование по большей части бываетъ очень сложно, но простыл задачи иногда удается решить, воспользовавшись основными теоремами механики.■ Дадимъ некоторые примеры на применена начала д’Аламбера.

ПримЪръ 1. Наклоненная подъ /_ а къ горизонту доска лешитъ на двухъ опо-рахъ А и 5„(фиг. 76) и безъ тренш скользитъ по нимъ пбдъ влшшемъ своего веса Мд. Требуется определить, съ какимъ ускорешемъ должно бежать животное веса тд по этой доске сверху внизъ, чтобы доска не скользила.

На доску и животное действуютъ силы тяжести Мд и тд. Разложимъ ихъ на силы, направленный нормально къ доске и вдоль доски. Первыя уничтожаются реакцшми опоръ А и В, а вторыя, равныя Mg sin а и mg sin а, будутъ стремиться сдвинуть доску и животное по направлешю отъ А къ В.

mg

П^-в /«1 /

Фиг. 76.

!/

Мд

Представимъ себй, что животное бйжитъ съ искомымъ ускорешемъ j\ и доска при этомъ находится въ покой. Остановимъ животное и прибавимъ силы инерцш; въ нашемъ случай имеется только одна сила инерщи (—mj). По принципу д’Аламбера, сила эта вмйстй съ силами, действующими на систему, даетъ равновйше. Условю это выразится равенствомъ:

Mg sin а -}- mg sin а —mj = О,

откуда:

j = gsina (l + —)■

Съ такимъ ускорешемъ животное должно бежать, чтобы доска была неподвижна. Въ этой формуле gsina есть не что иное какъ ускореше скольженш доски по опорамъ, когда животное не бежитъ. Мы видимъ, что

никогда не можетъ сделаться отрица-

.    И

всегда jj>gsina, потому что

тельнымъ; следовательно, животное должно бежать съ ускорешемъ боль-шимъ, чемъ то, съ которымъ доска безъ бегущаго по ней животнаго со-скальзываетъ подъ дййствюмъ силы тяжести.

Примеръ 2. Покоющееся маховое колесо приводится въ движенье фрикцюнной муфтой. Определить работу трены за все время приведены колеса въ движеше.

Ж5

=== Т7Г7

Пусть (фиг. 77) отъ нажаты муфты В на фрикщонный конусъ С развивается сила трены F, перпендикулярная къ оси колеса. Назовемъ черезъ 1г кратчайшее разстояше этой силы отъ оси, такъ что моментъ ея относительно оси будетъ UF.

Фиг. 77.

Приме-

Пусть i2 будетъ конечная угловая скорость колеса, а со — его угловая скорость въ какой-нибудь моментъ времени t. Угловое ускореше для этого момента будетъ ^.

няемъ начало д’Аламбера. Для этого воображаемъ, что въ моментъ времени t колесо остановлено, и прилагаемъ къ нему силу F и вей силы инерцш. Для массы т всякой частицы колеса будемъ имйть центробежную силу инерщи:

т со*г,

гдй г разстояше точки т отъ оси, и тангенщальную силу инерщи:

асо m r dt ’

направленную перпендикулярно рад1усу г въ сторону обратную угловому ускорешю.

163 —

Поворачиваемъ маховое колесо изъ его остаыовленнаго положены на уголъ дер и пишемъ по теореме Лагранжа, что сумма работъ вс'Ьхъ дМ-ствуюпхихъ силъ и силъ инерщи равна нулю. Работа центробйжныхъ силъ инерщи при этомъ повороте будетъ нуль, такъ какъ оне перпендикулярны къ путямъ; работа же тангенщальныхъ силъ инерщи представится въ виде:

dco

clt

где 2 mr² есть моментъ инерцш J махового колеса. Работа силъ тренш при безконечно-маломъ воображаемомъ перемещены дер будетъ:

Fli дер.

Такимъ образомъ

дер {fu

dco

dt

= 0,

откуда следуетъ, что

dco

j —Л— = Fh.

dt

Чтобы определить отсюда работу тренш за все время движенш, умно-жаемъ обе части полученнаго равенства на безконечно-малый уголъ сколь-женш муфты по фрикщонному конусу

(Q — со) dt

и беремъ интегралъ въ пределахъ 0 и т, где т—время действш муфты (время, въ которое колесо прюбретаетъ скорость муфты й).

Fh (i2 — со) dt.

Вторая часть представляетъ искомую работу тренш, которую обозна-чимъ черезъ Т\ что касается первой части, то въ ней можно совершить интегрированы, замечая, что при t = 0, со — 0, а при t = т, co = Q. Получаемъ:

T=Jт-

есть вого

сообщается колесу въ виде живой силы.

Произведете момента инерщи на половину квадрата угловой скорости живая сила махового колеса. Такимъ образомъ при приведены махо-колеса фрикщонною муфтою поглощается столько же работы, сколько

§ 46. О движенш центра тяжести. Теорема о движет и центра тяжести имФ.етъ место, когда для системы являются возможными посту-пате льныя перемещены параллельно данной оси, параллельно данной плоскости или всякш поступательныя перемещены. Всякш поступательныя перемещены можетъ иметь свободная система. Но этимъ свойствомъ могутъ обладать и несвободныя системы.

Система можетъ иметь всевозможныя поступательныя перемещены всяшй разъ, когда въ уравнены, выражающы связи, входятъ только разности одноименныхъ координатъ, т.-е. когда уравненш эти им'Ьютъ видъ:

/ f(x — x^ хт-х₉,:... у —у,, у—у₂,- • • • 8 —    z—,г’₂, ....) = 0.

Это обстоятельство будетъ служить аналитическимъ выражешемъ того условы, что система можетъ перемещаться поступательно, при чемъ все одноименныя координаты получаютъ одно и то же приращен1е.

Действительно, въ этомъ случае мы можемъ продвинуть систему поступательно въ любомъ направлены, потому что координаты новаго положены

x    — х-\-да,    у = у -\~6ß,    z = 8 -f- ду,

xi    = »1+ ⁶'²’ У1 = У1~\-    =    + д'Г,

очевидно удовлетворяютъ уравненымъ, выражающимъ связи: все да, dß, ду взаимно сократятся и разности координатъ не изменятся.

E/v

7G \ N

Т)Ь

'а

aL-Щ.

•с

Примеромъ несвободной системы, для которой возможны всякш поступательныя перемещены, можетъ служить тело М (фиг. 78), прикрепленное къ жесткой рамке ABCD, которая подвешена къ другой жесткой рамке EFGH посредствомъ системы стержней, соеди-ненныхъ шарнирами Гука въ форму двухъ параллелепипедовъ. Стержни ab, cd, ef, gh, соединенные между собой линейками ас, bd, eg, fh, устраняютъ возможность некотораго закручиванш нижней рамки ABCD относильно верхней EFGH, лежащей въ плоскости потолка N.

Тело М можно уносить куда угод-

Фиг. 78.

но, но поворачивать нельзя, оно остается все время всеми своими частями . параллельно потолку N.

165

Разсмотримъ теперь три случая.

I.    Система допускаетъ только одно поступательное перемещены, т. е. можетъ двигаться поступательно по оси х. Примеръ: система помещена на рельсахъ, въ этомъ направлены ее двигать можно, но нельзя сдвинуть ни внизъ, ни въ стороны.

II.    Система допускаетъ только два поступательныхъ перемещены, т. е. можетъ поступательно перемещаться въ плоскостиДно ее нельзя Продвинуть поступательно перпендикулярно къ плоскости.

III.    Систему можно всячески двигать поступательно.

Положимъ, что система можетъ получить перемещены только въ направлены оси х (случай I). Для этого случая перемещены ду, dyt,..., 6z, сЦ,.... можно полагать равными нулю, а перемещены дх— 6хх—...ч=6а.

Сделавъ такое положены въ основномъ уравнены динамики (164),

получимъ:

6а X ( X — т

с1*х

d№

= 0.

Такъ какъ 4«=j=0, то

или

хх

Хт

cl^x

dt²

XX =

dx_d²

dt dt

Xmx.

Ио, какъ известно

Xmx = M.x. где M есть сумма массъ всехъ

точекъ, а х—координата центра тяжести системы. Следовательно,

XX = Xmx = M

dt²

d*x

dtd

(165')

Итакъ, если система можетъ получать поступательное перемещены по оси х, то сумма проекщй всехъ внешнихъ силъ на ось х равна произ-

веденш массы системы на

d*x

W ‘

Наличность внутреннихъ силъ никакой роли здесь играть не можетъ, такъ какъ, будучи равными и противоположными, все оне сокращаются въ XX.

Если XX— const, то уравнены (165') можно интегрировать. Произведя интеграцш получимъ

ах

tXX = M~ — M

dx₀

dt

dt ’

т. e. •прнращею'е количества <)в и же ui я центра тяжести или приращеше количества движешя всей системы по какому-нибудь направлетю (по на-правленгю какой-нибудь координатной оси) за данный промежутокъ врс-

1G6 —

г мени, уавно симмгъ импулъсовъ дгъйствуюшихъ силъ по тому же напра-влетю за этотъ промежуток^ времени.

Если —X О, то

Mw=⁰’

d*x

dx

О и -гг — а

dt

— const.

Отсюда т.-е. проекигя центра тяжести на ось х, будешь двигаться равномгърно. j** Положимъ, что система можетъ иметь поступательный перемещены по плоскости ху (случай II).

Для такихъ перемещен^:

öz = öz. =.....= О.

Если сообщимъ оставленной системе перемещены только въ направлены оси х, то

дх = бх₁ —.....= да,

ду = бух =.....= 0.

Основное уравнены динамики для этого случая приметь видъ:

даХ X—т

d^x

dt²

= 0.

Но ЛхфО. Следовательно

сРх V//E •

ХХ=Хт

Если же сообщимъ остановленной систем^ перемещены только въ направлены оси у, то

д'Х = дху — . ду = дух =

= 0,

= 6ß.

Основное уравнеше динамики для этого случая приметъ видъ:

= 0.

d*y

dt²

Но ф?фО. Следовательно

d*y

167 —

Такимъ образомъ будетъ доказана справедливость уравнешй:

XX

d*x d*    ^

dt* — dt* 2 mX ~ M

d*x dt² ’

d*

к-

d^y_

dt* dt*

X ту — M

Если XX =0 вертикальны, то

и ХХ=0, т.-е. вн'Ьшнихъ силъ н^тъ или оне

d*x

г/² £

dx

= 0,

°’    dt

d*V n d*y _ п    % _

dt* U ’ dt* ’

6Й²

6Й²

dt

— const., у = Ы-\-Ъ

т.-е. проещш центуа тяжести на плоскость xy будетъ двигаться прямолинейно и равномтрип.

Если шаръ, у котораго центръ тяжести не совпадаетъ съ геометри-ческимъ центромъ, опирается на вполне гладкую плоскость и скользитъ по ней безъ начальной скорости центра тяжести, то центръ тяжести шара будетъ подниматься или опускаться вверхъ и внизъ и не сойдетъ съ одной вертикальной лиши, точка же прикосновешя шара будетъ ходить направо и налево.

Точно также центръ тяжести колеблющагося судна на спокойной воде будетъ подниматься и опускаться вверхъ и внизъ, но не уйдетъ ни направо ни налево.

Пусть, наконецъ, система допускаетъ всякш поступательныя перем'Ь-щенш, т.-е. ее можно двигать по осямъ х, у, z (случай III).

Для точекъ системы, которую мы им’йемъ въ виду, непременно будетъ возможна следующая группа перемещешй:

--- - - da,

dx = dxt = dir₂ ==

dy = dyl=öyii =.....= dß,

dz = dzt — dz₂ =

Подставивъ эти значенш въ основное уравнеше (164), получимъ:

da X X — т

d*x

dt*

¥-тШ±хЛ

d*z

jML

= 0.

Здесь мы можемъ полагать изъ трехъ перемещешй da, dß, dy два равными нулю, а третье не равнымъ нулю и такимъ образомъ найдемъ:

i) -1

d*x

X—m XX

dt*

0,    2)X Г —m-

dHy\ dt*

dt*

= 0.

Эти уравненш удовлетворяются во все время движенш разсматриваемой системы. Напишемъ ихъ въ такомъ виде:

2Х=2т

сРх

dt*

XX 7тх,

2Y=2m-

(Ру

Md

или

(Р

XY — ту,

cPz

б«² ’

(Р

2Z = X- v Wigr>

гЛ²

Но известно, что

2 тх = М.х, 2 ту = М. у, 2 mz = Ж £.

Подставляя эти значенш въ наши уравненш, находимъ:

d*x

М’

| 2Х=М

ХГ=Ж

б/²« б« ² ’

. (165)

2Z = Ж

d*z

б?/² '

Здесь XX, XX, XZ суть проекцш на оси координатъ всХхъ силъ, дМ-ствующихъ на систему, или, иначе говоря, проекцш равнодействующей силы, которая получится, если все силы перенести въ центръ тяжести и сложить по правилу многоугольника.

Формулы (165) суть не что иное какъ уравненш движенш одной матертльной точки (центра тяжести), въ которой сосредоточена вся масса системы и къ которой приложена равнодействующая всехъ действующихъ силъ.

Эти формулы даютъ намъ теорему о движенш центра тяжести. Центръ тяжести свободной системы или системы, которая, хотя и не свободна, но можешь получать всятя поступательным перемшще-Н1Я,—движется какъ материальная точка, въ которой сосредоточена вся масса системы и на которую дгьиствуетъ равнодтйствуюгцая ваъхъ вюъш-нйхъ силъ, приложенныхъ къ систем,гь.

Заметимъ, что въ выраженш 2Х, 2Y, 2Z не входятъ внутреннш силы, а исключительно только внешнш. Это происходить оттого, что вну-треннш силы всегда войдутъ попарно и, по закону действш, равнаго противодействие, равны и направлены въ противоположный стороны; следо-тельно, никакихъ проекщй на оси координатъ не образуютъ. Поэтому, если

одна внутренняя сила даетъ на ось Ох проекщю (прж0, то другая, ей противоположная, даетъ проекщю (—прх0, такъ что сумма ихъ

(прXQ) + (—прх 0 = 0.

Такимъ образомъ внутреннш силы не могутъ влшть на движете центра тяжести. Положимъ, напримеръ, летитъ граната; пусть воздухъ не оказываетъ ей сопротивленш; въ такомъ случае центръ тяжести гранаты движется по параболе. Если затемъ во время полета гранату разорвало, то это, очевидно, эффектъ внутреннихъ силъ; а следовательно центръ тяжести системы всехъ, теперь уже отдельно летящихъ, кусковъ будетъ продолжать описывать свою параболическую траекторш до техъ поръ, пока не прибавятся какш-либо новыя силы или связи, пока все куски ядра про-до лжаютъ двигаться свободно.

Если равнодействующая внешнихъ силъ равна нулю, то

XX—О, 2Y= О, 2Z= О,

и уравнены движенш центра тяжести (165) будутъ:

Md~

dt²

О, M

d'²z

dt²

Интегрируя, получимъ:

dx

dz

dt

dy ₇

a’ Ж“*’ dt

(166)

Интегрируя еще1 разъ,Чкш)димъ:

. . . (167)

X — Clt —j— (Iq ,    — bt —)—    , Z — ct

Равенства (166) показываютъ, что если вн'Ьшнихъ силъ нетъ или оне взаимно уравновешиваются, то центръ тяжести будетъ двигаться прямолинейно и равномерно, такъ какъ скорость его будетъ иметь постоянную величину и направлен^.

Если бы въ начальный моментъ центръ тяжести былъ неподвиженъ, то мы имели бы, что а = Ь~с=0; а въ такомъ случае изъ уравнешй (167) находимы

£ = Со,

т.-е. координаты центра тяжести постоянны. Отсюда следуетъ принципъ сохранены центра тяжести: если система можетъ имгьть всякгя пбвштр

и на, нее дгьйствуютъ силы, равнодействующая которыхь равна пулю, то центръ тяжести системы или остается неподвиженъ, или двио/сется прямолинейно и равномерно.

170

Законъ о движенш центра тяжести прекрасно иллюстрируется прибо-ромъ Теплера, наглядно показывающимъ, что внутренны силы, вызывающая относительное неремещеше частей системы, не могутъ привести въ движете ея центра тяжести или изменить его движете. Приборъ этотъ им'Ьетъ следующее устройство (фиг. 79).

На незыбкомъ штативе укр’Ьпленъ стеклянный дискъ D съ строго плоской гладкой поверхностью. Помощью установительныхъ винтовъ р, q, г поверх-

ность этого диска приводится въ горизонтальное положены. Самая система, сохранена центра тяжести которой мы будемъ наблюдать, состоять изъ чугуннаго массива А (фиг. 80) и присоединеннаго къ нему массивнаго цилиндра В, могущаго перемещаться относительно А. Въ нижнюю часть массива А вд^ланъ стеклянный дискъ D', подобный диску D, съ плоской шлифованной поверхностью. Эта система ставится своей гладкой стеклянной поверхностью на очень точной работы стальные золоченые ша-■г рики, положенные на горизонтальный дискъ D. Такимъ образомъ наша система оказывается свободной для любыхъ перемещений параллельно горизонтальной плоскости.

Единственно внешними силами, действующими на систему, будутъ силы тяжести, вполне уничтожающыся сопротивлешемъ строго горизонтальной поверхности диска D. Силы же трены доведены до ничтожной малой величины тщательностью выполнены плоскостей и шариковъ, такъ что достаточно дунуть на систему, чтобы она покатилась; несмотря на ея значительную массу и, следовательно, большую инертность.

Съ массивомъ А неизменно соединена рамка RS. Къ этой рамке приделаны пружины 7 и fj, прикреплен-ныя другими концами къ массиву В. Этотъ последшй массивъ можетъ легко кататься по рельсамъ, положеннымъ на массиве А. Пружины F и Fx стремятся удерживать массивъ В въ середине между точками В и S. Если же его отвести изъ этого положены въ сторону, хотя бы въ /?, и затемъ пустить, то подъ действшмъ пружинь онъ будетъ колебаться около средняго положены, обозначеннаго на фигуре (80) осью zz.

■q

Фиг. 79.

Bl

⁹,

О Tw

Фиг. 80.

- ¹⁷f -

При этомъ внутренны силы упругости пружинъ приведутъ въ движете части системы одну относительно (другой; но, по вышеизложенной теореме, эти силы не приведутъ въ двикеше центра тяжести всей системы. Чтобы наглядно показать это на опь^тй съ описываемымъ приборомъ, къ массиву А, противъ его центра тяжести, въ точке К приделывается на оси рычажокъ, другой конецъ котораго оканчивается вилкой. Вилка эта наставляется на штифтикъ L, приделанный къ массиву В противъ его центра тяжести Ь. При техъ неболынихъ, сравнительно съ длиною рычажка, пере-мйщешяхъ точки L внутри вилки, ксгорыя имеютъ место во время опыта, можно считать, что разстояте KL = ab есть величина постоянная. Центръ тяжести всей системы, очевидно, н^аходится на линш ab, соединяющей центры тяжести частей А и В, и при^мъ въ точке с, делящей отрезокъ ab на части, обратно пропорщональныя массамъ частей А и В. Точка ДО рычажка, находящаяся постоянно противъ центра тяжести с всей системы и отмечаемая яркимъ кружочкомъ, имеетъ постоянное положены на рычаге KL, такъ какъ МК: ДО/, = ca : cb = (масса В): (масса А). Если центръ тяжести системы перемещается въ пространстве, то и метка ДО перемещается точно также. Если центръ тяжести системы не изменяетъ своего положены въ пространстве, то и ДО не движется. Для того чтобы удобно было отметить положены въ пространстве точки ДО, устроенъ указатель N, прикрепляемый къ штативу.

Опытъ состоитъ въ следующему Отводятъ массивъ В изъ положены равновесы, хотя бы направо, и привдзываютъ его нитью къ рамке RS. Установивъ указатель N противъ ме|гки ДО, пережигаютъ нить. Массивъ подъ действымъ пружинъ F покатитсД по рельсамъ налево; но вместе съ темъ вся система (массивъ А вместе сД В) покатится на шарикахъ направо. Дойдя до крайняго леваго положены, мцссивъ В станетъ двигаться направо, а вся система налево. Однако при всехё этихъ колебашяхъ метка ДО будетъ стоять неподвижно передъ указателемъ N. Итакъ, действительно, внутрен-ны силы не вызываютъ перемещены цёнтра тяжести.

§ 47. Теорема площадей для системы. Теорема площадей для системы применима тогда, когда система такова, что ее можно повернуть около одной оси, около двухъ осей или около всякой оси, проходящей черезъ данную точку пространства, на весьма малый уголъ. Эта теорема есть основная теорема динамики и излагается сначала въ дифференщальной форме.

Докажемъ эту теорему для одной оси.

Пусть система матершльныхъ точекъ (фиг. 81), находящаяся подъ действюмъ ряда силъ внутреннихъ и внешнихъ, можетъ поворачиваться около оси Oz. Это будетъ въ томъ случае, когда всевозможный ея точки связаны между собою и связаны чемъ-нибудь съ этой осью. При этомъ уравнены связей имеютъ видъ:

1’

А¹'1,2>    Г1,3>    Г2,3.....

Остановйвъ систему въ любой моментъ, можемъ написать по принципу д’Аламбера (форм. 164):

[(

сРх

dt²

)<fx+lr

dHj

dt²

di

. . (164)

Такъ какъ система можетъ вращаться около оси Oz, то допустимъ, что она повернулась, какъ твердое тело, около этой оси на уголъ dH и соответственно этому координаты получили приращены dx и dy.

По Дюрмуламъ Эйлера, вводя d<p, dtp, dH—углы поворота около осей Ох, Oy, Oz, имеемъ:

dx = z dtp— у dO , dy — х dH— z dff , dz = у dtp— x dtp .

Для разсматриваемаго случая d<p = 0, dtp — 0, a dH =f= 0, следовательно:

dx = — у dH , dy = xdH dz = 0 .

Эти приращены можно определить также, если разсматривать точку М (фиг. 81), которая повернулась около оси Oz на /_dH, такъ что проекцы

ея т на плоскость ху заняла положена т'. Обозначивъ тО черезъ г, изъ треугольника тст' имеемъ:

тс — — dx = Г dH sin Н,

но

тщ

с-

-=>0

а потому

г sin И

dx = — у dH;

"N

также и

dy = г dH cos Н = х dH;

Фиг. 81.

dz = 0.

Если подставить найденный значены для dx, dy, dz въ основное уравнены (164) динамики, то получимъ: .

d'²x

dt²

о,

Но такъ какъ 60 не равно нулю, то следовательно

или

<>'²у

)-»(х

d'lx

dt*

X(xY — уX) = — Xm ^у

d*x

dt*

7--x

^d*y\ dt²    '

Замечая, что

d*x d*y d yW~XY¥~dt

dx

dt

x<k)

dt) ’

перепишемъ полученное равенство:

X(xY-yX)

dy

dx

dt У dt

(16 8

Это уравнены выражаетъ теорему площадей въ дифференщальной форме. По способу выражены Пуансо, количества движенш слФдуетъ раз-“смаДривать какъ силы, въ виде векторовъ, направленныхъ по скоростямъ точекъ. Въ полученномъ выше уравнены роль проекцш силы X играетъ проекцш количества движенш на соответствующую ось, такъ что сумма моментовъ дМствующихъ силъ относительно оси 0z, стоящая въ левой части уравнены, равна производной по времени отъ суммы моментовъ коли-чествъ движенш {mv) относительно данной оси. Действительно,

dy

dx

У-тШ

y.npjmv),

а потому уравнены (168) приметъ видъ:

X (xY — yX)

2 [x . npy (mv) — у . прж (mv)\

(169)

******

""" "    " I

т.-е. сумма моментовъ вращающихъ силъ относительно оси z равна производной по времени отъ суммы моментовъ количество движенья относи-тельно той же оси.

ВнутреннГя" силы взаимодМствш матерыльныхъ точекъ системы не входятъ въ выражены X(xY — yX), такъ какъ эти силы являются всегда попарно равными и прямо противоположными (по закону дМствш, равнаго

противодМствш), и следовательно моменты ихъ попарно равны по величине, но противоположны по знаку *).

Пусть векторъ G есть (геометрический) линейный моментъ пары, который получится, если все количества движенш перенесемъ въ начало коор-динатъ, прибавимъ пары и заменимъ ихъ одной силой и одной парой. Векторъ этотъ называется главными моментомъ количествъ движетя. Изъ равенства (169) имйемъ:'

2(xF— уХ)

ж<пр-G)

(170)

Это равенство выражаетъ теорему площадей для системы въ несколько иной форме: сумма моментовъ вращающихъ силъ относительно оси z равна производной по времени отъ простри на ось z главною момента количество двиэюетя.

Въ § 20 о теореме площадей [формула (64')] было доказано:

du

х

dx

dt У dt

<к> _ ₂

i/i

dt ’

на основаны чего уравнеше (168) перепишется такъ:

da,

_z

2(xY—yX) = 2 -2 m -щ

(171)

Если же нйтъ внешнихъ силъ или если силы приводятся къ двумъ силамъ, пересекающимъ ось z, то

2 (х Y — уХ) = О,

*) На фигур* (81) видно, что для внутреннихъ силъ взаимод*йствш точекъ А/х и М₂ можно написать:

*»«(öi) = nP*&-*w==I,p QfP>

mz(Q₂) = —и?. Q₂.0N = — np Q₂.p,

откуда

mz (Qt) + mz (Q.₂) = 0.

На фигур* (82) внутреншя силы Q и Qi осуществлены въ вид* эффекта д*йствш включенной въ систему пружины.

Фиг. 82.

— 175

и следовательно

da

clt

-JL —- 0

dt

что по интегращи даетъ:

do,_C

dt

(172)

Уравнены это, будучи написано въ виде

(173)

„    / di) dx\

*m\xW -9 ж)

выражаетъ интегралъ площадей для системы и читается такъ: есуш система

можетъ вращаться около оси и на нее не дтйствуютъ витгишя силы......

или опт дтйствуютъ, но приводятся къ двумя силами, проходящими черезъ ось вращетя, то сумма пройзведенгй изъ массъ матершльныхъ точекъ на ихъ секторальным скорости равна постоянной величиит.

можетъ вращаться около двухъ осей х и у или около

Если система

каждой изъ осей х, у, z, т.-е. можетъ вращаться во вс'йхъ направленшхъ около точки 0, то, повторивъ предыдущш разсужденш для каждой изъ осей, мы нашли бы уравнены аналогичный уравненшмъ (168—173), выведеннымъ для системы, могущей вращаться около оси г. Интегралъ площадей выразится въ посл'ЗЕзднемъ случай следующими тремя уравненшми, которыя мы напигпемъ, делая круговую подстановку буквъ въ уравненш (173):

*4,

/7

dz

,<к\

~ а)

= А,

dx

dz

dt X dt

)=в’ 't

. (174>

Um [x

dy

dx

dt y dt

= c.

Формула (170) для этого случая приметъ видъ:

(Щ>* G),

2 (yZ — zY) =

2(zX-xZ) = ^(nfllG),

S{xY-yX) = ^{пРг G).

Выражать въ такомъ виде теорему площадей было предложено Пуансо. Она читается такъ: сумма моментовъ вращающихъ силъ относительно

какой-нибудь изъ осей координагпъ равна производной по времени отъ проекции на ту же ось главного момента количествъ движенгя.

Мы видели, что внутреннш силы не могутъ менять движенш центра тяжести, но не такъ обстоитъ дйло съ теоремой площадей.

Некоторые полагали, что внутренними силами нельзя произвести вра-щенш около данной оси. Такая мысль ошибочна. Внутренними силами мы не можемъ изменять угловую скорость; въ этомъ есть сходствсмТЕ"' ТбЩЗУМой-ТГцентр! тяжести; но нйтъ’ такого сходства въ вопросе объ измйненш угла. Когда внутреннш силы двигаютъ тйло, то всякий разъ, какъ вся система останавливается, угловыя скорости будутъ возвращаться къ прежнему состо-яшю. Delaunay, говоря о теореме площадей, впалъ въ упомянутую ошибку. Онъ представлялъ себе человека, неподвижно висящаго на веревке.

Когда t = О, вей б = 0 и 2то — 0.

Всегда сумма произведешй массъ на положительный площади плюсъ соответствующая сумма произведены! на отрицательным площади даетъ нуль.

Человйкъ Delaunay описываетъ рукой, положимъ, положительную площадь. Тогда тйло человйка непременно опишетъ отрицательную площадь, и притомъ такую, чтобы 2то = 0.

Необходимо имйть въ виду, что процессъ возвращенш къ прежнему состоянию можно делать не такимъ, какимъ тйло изъ этого состоянш выве

дено; а отъ этихъ процессовъ зависятъ площади.

Пусть къ скамейке А (фиг. 83) прикреплено кольцо, въ которомъ лежитъ рядъ шариковъ. Поверхъ ихъ находится крышка В, на которой стоитъ чело-

Фиг. 83.

вйкъ. Когда онъ быстро поднимаетъ руку вверхъ по стрйлке а, никакихъ площадей въ горизонталь-P'J ной плоскости не описывается, все остается непод-вижнымъ; когда человйкъ кладетъ себе руку на другое плечо, вращая ее на 180° по часовой стрйлке Ь, то масса руки описываетъ положительный площади, а такъ какъ w то должна быть равна нулю, то дискъ В вмйстй съ тйломъ человека описываютъ отрицательный площади и весь приборъ поворачивается въ сторону обратную часовой стрйлкй. Внизъ можно спустить руку опять въ вертикальной плоскости и привести ее въ прежнее положеше. Повторяя подобным движенш человйкъ будетъ постоянно поворачиваться противъ стрйлкй часовъ.

ПОТОМЪ ОПЯТЬ

вой скоростью.

Если мы сначала не имйемъ скорости, то какш бы манипуляцш мы делали, угловая скорость останется равной нулю, когда мы вернемся въ прежнее положеше.

Итакъ, уголъ прюбрйсти можно, но угловую скорость получить нельзя.

Если человйкъ вращается на скамейке съ разставленными руками, а опуститъ руки, то онъ начнетъ вращаться быстрее; но, если онъ подниметъ руки вверхъ, то онъ будетъ вращаться съ прежней угло-

ни

Если взять кошку за лапки, поднять ев надъ столомъ и выпустить изъ рукъ, то она перевернется въ воздухе подъ действюмъ внутреннихъ силъ и всегда упадетъ на лапки.

Пользуясь интегралами (174), докажемъ теорему о неизменной плоскости Лапласа.

р.

у/

Фиг. 84.

м,

О ¹

Пусть черезъ начало ко-ординатъ О проведена произвольная плоскость N и къ ней нормаль L (фиг. 84). Обозначивъ площадь сектора, описываемую рад1усомъ векторомъ некоторой точки М за элементъ времени черезъ da и проведя къ ней нормаль р, спроектируемъ ее на плоскость N. Тогда получимъ:

daN = da. cos {L,p).

Но

cos (L,p) — cos (p, x) cos (L, x) -J- cos (p, у) cos (L, у) -f- cos (p, z) cos (L, z),

какъ косинусъ угла между двумя прямыми, и, кроме того,

cos (р, х)

da

da

’ ,а

, cos (р, z)

следовательно

daN — da j cos (L,x)

'К

-fo + cos (L, y)

ж+C0S(-L’

Спроектировавъ все секторы da для всехъ точекъ на плоскость N и, взявъ сумму произведен^ проекщй секторовъ на массы соответствую -щихъ имъ точекъ системы, получимъ:

2 т daN = cos (L, х) 2 т dax -f- cos (L, у) 2 m day -j- cos (L, z) 2 m daz.

На основанш уравнены (172) подставимъ сюда:

dt

А — вместо 2 т dax,

м

§5:

2 m (iß j,

dt

2 m daz.

Тогда наше выражеше напишется такъ:

dt

2 т deN = — [ J. cos (L, х)-\-В cos (L, y)-\-C cos (L, я)]    . . (175)

А

Далее, на основанш равенствъ (170) и (171) имеемъ:

прг G=2 2m--

doz

dt ’

откуда по уравнение (172) напишемъ:

По аналогш получимъ:

прг G— С. пРя G= A, пру G=B.

• (176)

Следовательно векторъ

G = \/Ä*-{-B* + C\

а косинусы угловъ, образуемыхъ имъ съ осями координатъ, напишутся:

cos (G,x) =

cos(G,y)=Q-,

cos(G, s)

. . . (176')

Помноживъ и разделивъ теперь вторую часть равенства (175) на G, определяемая изъ (176'), получимъ:

(Н

2т deN = — G[cos (L, х) cos (G, x) -j- cos (L, y) cos (G,y)~j-

Ai

elf

-f- cos (L, г) cos (G, s)] = — Gcos (G, L).

Ai

Эта сумма достигаетъ maxymum’а при A-(G,B) = О, и тогда

dt

тах. 2 т doN = G —

При этомъ плоскость УУ будетъ перпендикулярна къ G. Но такъ какъ

G образуетъ съ осями постоянные углы, косинусы которыхъ суть

А В С_ G’ G’ G ’

то и плоскость Ж, характеризуемая темъ, что для нея 2 т -^л- им'Ьетъ

G

наибольшее значеше, равное —, есть неизменяемая плоскость во все

время движенш. Эта такъ называемая основная плоскость была указана Лапласомъ.

Благодаря тому, что линейный моментъ пары количествъ движенш остается неизмЪннымъ по величина и направленш, Пуансо выразилъ теорему площадей въ такой форме:

Если система можетъ свободно вращаться около начала коотрдинатъ, „ и моментъ внгьшнихъ силъ относительно начала координатъ равенъ нулю, ~1по во все время движенья линейный моментъ G равнодействующей '~ШГры, полученной отъ сложены количествъ движенья, остается неиз-' мгьннымъ.

W- § 48. Теорема живыхъ силъ для системы. .Теорема живыхъ силъ им^етъ место въ томъ случай, когда связи системы не зависятъ отъ времени. Необходимость этого усматривается изъ способа доказательства этой теоремы, въ которомъ исходятъ изъ основного уравнены динамики. Въ этомъ доказательстве за возможныя перемещены точекъ системы въ смысле теоремы Лагранжа принимаютъ ея действительныя перемещены. Если въ условы системы не входитъ время, то очевидно, что действительны перемещены суть одни изъ возможныхъ, т.-е. изъ всякаго положены системы, въ которомъ мы ее остановимъ во время движенш, ее можно вывести действительными перемещенный разсматриваемаго момента. Пусть, напри-меръ, какая-нибудь точка системы должна оставаться на поверхности во все время движенш. Если эта поверхность неподвижна, то, остановивъ точку въ какой-нибудь моментъ, мы увидимъ, что для нея возможными будутъ все перемещены по поверхности, а следовательно и то действительное перемещены ds, которое получитъ точка во время движенш. Итакъ, для того случая, когда связи системы не зависятъ отъ времени, действительное перемещены является однимъ изъ возможныхъ ds = ds. Если же

yds

А,

М,

Фиг. 85.

движете точки происходитъ по поверхности AB (фиг. 85), которая съ теченымъ времени изменяетъ •в свое положены въ пространстве и черезъ промежуток времени dt переходитъ въ А₁В₁, то действи-‘8^ тельное перемещены точки М будетъ, напримеръ, ds = ММХ. Если же остановимъ точку М и перестанемъ двигать поверхность, удерживая последнюю въ положены AB, то действительное перемещены ds не будетъ возможнымъ для выхода точки изъ положены М при условш ея сохранены на поверхности AB, а потому и методъ доказательства не можетъ быть приложенъ. Это будетъ еще яснее, если сравнимъ формулы, выражающы условы, для действи-тельныхъ и возможныхъ перемещешй.

Пусть система имеетъ связь, зависящую отъ времени, которая аналитически выражается уравнешемъ вида:

f(x, у, Z, хх, ух, гх,

, Ут Я», t) = 0.

Возможныя же перемещены должны удовлетворять условш, существующему при о станов ленныхъ связяхъ, т.-е. при постоянномъ значенш t.

Считая t неизменнымъ, возьмемъ отъ этой функцш полный диффе-ренщалъ. Поэтому для возможныхъ перемегцешй получимъ уравнены вида:

дх

dy

дх.

df

<>г.

dzn = 0.

Но если бы мы разсматривали не воображаемый, а действительный перемещены, которыя получатъ частицы въ элементъ времени dt, то для действительныхъ перемеигешй должно существовать такое соотношеше:

Vdx+fdy + fdz

dx

dy

df

dxl

dx^ —j—

dzn + %dlt = 0. n 1 dt

dzn

Это уравнен1е по сравнение съ предыдущимъ имеетъ добавочный

членъ

df

dt

dt.

Равенства dx — dx, dy — dy, dz

. . , dzn = dzn

dz, dxj = dxl, . .

могутъ иметь место только при ~dt — 0, т.-е. когда въ связи системы не

входитъ время. Въ этомъ предположены мы можемъ въ основномъ уравнены динамики (164) принять dx = dx, dy — dy, dz = dz. Итакъ, если связи системы не зависятъ отъ времени, то действительный перемещены можно считать одними изъ возможныхъ; тогда уравнены (164) приметъ видъ:

df

2^X—m

^dx-\-^Y

dhj

dt²

d*z

dt*

или

2 (X- dx 4- Y dy -f-Zdz) = - m ^

d*x

dt²

dx-\-

dhj

dt*

dy + ^d*y

Левая часть полученнаго уравнены представляетъ собой сумму эле-ментарныхъ работъ всехъ действующихъ силъ:

2 (Xdx + Ydy -f Zdz) = 2P ds £

Xdx

P ds

Ydy , Z dz Р ds'P ds

J = 2P ds cos 0 . (177)

Въ правой части

(d*x ,    . d*y ₇ ,

(-Wdx+Wdy+

d*z

dt²

dz

mv*

следовательно, имеемъ:

2 P cos О . ds = cl 2 r^~

mi

181 —

Это и есть теорема шивыхъ силъ для системы въ дифференщальной форме, т.-е. сумма элементарныхъ работъ дгьйствующихъ силъ равна дифференциалу всгъхь живыхъ силъ.

Часто бываетъ, что силы, действующая на систему, обладаютъ свой-ствомъ консервативности, т.-е. для всехъ дМствующихъ силъ существуетъ некоторая силовая функщя U, где TJ есть функщя координатъ всехъ точекъ системы

U=f (х, у, z, хх, ух, гх,

обладающая темъ свойствомъ, что

ÖTJ

ÖU

ÖU

dz,

дх,

Подставляя эти выраженш въ уравнеше (177), получимъ:

YPcos8ds=Y(Xdx-\-Y dy -|-Zdz)⁼^[    dx-\-    dy-f-

ÖU

dz

dz

dU. (179)

Итакъ, если существуетъ силовая функщя, то сумма элементарныхъ работъ действующихъ силъ равна полному дифференщалу силовой функцш. На основанш равенства (178) уравнеше (179) приметъ видъ:

7 гг .7 ^ mv<i

dU= dY ——.

Интеграцш даетъ:

„ mv*

^ ET

u+c

(180)

S50

Это и есть интегралъ живыхъ силъ, дагощш теорему: Если у слоек системы не зависитъ отъ времени и существуетъ силовая фунщгя, то приращенгё живой силы равно силовой фунщги плюсъ произвольное постоянное Ü.

Пусть для начальнаго момента времени точки системы имеютъ скорости

v = v₀, v' = v₀', v" = v₀", . .

и силовая функщя

U=U,

получимъ:

mv

mv₀²

т.-е. пуиуащете живой силы равно прирашеи/ю силовой (винкиш. Въ физикй эта теорема выражается въ такой формй:

mv²

-j- (— UQ) = 11= const.,

гд'Ь силовая функцш съ обратнымъ знакомъ, т.-е. (—TJ) = W называется

потенциальной энергией и есть запасъ работы, а

с—-—— ---------------—- ..

энерггей. Формула показываетъ, что сумма потенцгальной и кинетической енергш для консервативной системы, т.-е. полная энерггя Н системы,. есть величина постоянная.

Система называется консервативной, если связи ея не зависятъ отъ ^времени, и силы, на нее дМствующш, имЪютъ силовую функцш.

Когда вей точки находятся подъ эффектомъ силы тяжести, то для такой системы можемъ написать уравнеше (179)

кинетической

2 (Xdx-f Ydy + Zdz) = dU

(179)

Для нашего случая

х, = о,

Т{ = 0, Zt = — mtg.

Подставляя эти величины въ уравнеше (179), получимъ:

— g 2 mdz — dU.

Интегрируя, получимъ:

произвольное постоянное С здйсь обыкновенно не пишется. Принявъ во внимаше, что

2 mz = М. z,

имйемъ:

U — — Mg . z,

или

_ jj₌w=Mg .Z.

Подставивъ это въ наше основное уравнеше (180), получимъ, что для тяжелой системы

v mv²

Мд . z = const.

183

Изъ этого уравнены видно, что если центръ тяжести системы опускается внизъ, т.-е ^ уменьшается, то живая сила увеличивается; если же центръ тяжести системы подымается вверхъ, то живая сила уменьшается.

называется выраже-

/    § 49. О моменте инерцш. Жоментомъ инерцш

Jj=2m.d*,

Hie вида:

где т—элементарный массы, а d—разстояше этихъ массъ отъ оси, относительно которой пишется моментъ инерцш. Такое выражеше появляется во всйхъ вопросахъ динамики, касающихся вращены твердаго тела. Рад1у-сомъ инерцш q называется разстояше отъ оси вращены такой точки, сосредоточивая въ которой массу тела, получимъ моментъ инерцш такой же, какъ и для всего тела. Иначе, это есть корень квадратный изъ отношены момента инерцш къ массе тела:

С/ j

(181')

J = Mq*

Вообраэимъ, что тело отнесено къ прямоугольнымъ осямъ координатъ х, /, z (фиг. 86) и нужно определить моментъ инерцш этого тела относительно оси 0L, образующей съ осями координатъ углы а, ß, у. Этотъ моментъ будетъ:

(181)

J=2m.cP

Но

d* = ОМ* — ОР* = г² — ОР² = х² -f у* + ^² — г² cos² в

(я²    2/² + Р) — Р ^ cos а-\-~ cosß ~ cos 7^ ■

(,х²4- У*4" ^²) (cos² а 4~ cos²ß-j- cos²У) — Iх cos «4-у cosß-\-zcos7]2 = cos²« (t/² 4- £²) 4"cos² ^ (~² + x<1) 4- cos² 7 (ж² 4- ?/²) —

— 2y,z cos ß cos 7 — 2.c./- cos « cos 7 — 2xy cos a cos ß.

Поэтому

⁰Ij J=cos*cc 2m(г/²4-^²) 4- cos²ß2m(£²4-ж²) -j-cos^y 2m(ж² Ч-г/²)

— 2 cos ß cos у 2! туz— 2 cos a cosy_2mzx — 2 cos a cos ß 2!mxy . . (182)

Обозначимъ сумму произведен^ массъ на сумму квадратовъ двухъ координатъ черезъ:

; 2m{if-\- z²) = A,

55S&

^»г(ж²4~2/²) = С'

а сумму произведений массъ на yz, zx и ху черезъ:

2myz — J), 2mzx = JE, Етху — F.

Введя эти обозначены въ уравнены (182), получимъ выражены момента инерцш при произвольномъ направлены оси:

(J= А cos* а 4- В cos² 3-\-С cos² у — 2 D cos ß cos у — j—-2Е cos а cos у —

Если 6 постоянныхъ А, Б, С, Б, Е и F даны, то легко определить J для всякаго направлены оси OL.

Можно доказать, что А, Б и С суть моменты инерцш тела относительно осей х, у и z. Въ самомъ деле, направивъ ось OL по оси Ох, будемъ иметь :

2Fcosa cos ß

(183)

1    Я'

cosa= l, cos ß= cos у — cos — = 0

и предыдущее уравнены дастъ:

точно такъ же

=

=

J, = C.

J), Е и F называютъ центробежными моментами инерцш, такъ какъ они входятъ въ выражены моментовъ центробежныхъ силъ, относительно осей координатъ.

Докажемъ теперь три теоремы.

Теорема I. Если черезъ какую-нибудь точку 0 проведемь въ разныхъ направленгяхъ оси OL и отложит на иихъ отъ точки 0 длины B = OL =

то геометрическое мгъсто всгъхъ точекъ L будешь пред-

q]/M ’

ставлятъ трехосный эллипсоидъ, имгъющш г^ентромъ гпочку 0 (фиг. 86). Л называется центральнымъ рад1усомъ векторомъ эллипсоида инерцш. Примемъ за начало координатъ точку 0. Тогда координаты точки L

х, у и z будутъ:

x = OL cos a, y = OL cos ß, z

= OL cos у,

ИЛИ

cos a    cosß

x = —p=r , у = ——, z

\/J J j/T ’

cos у

(183')

Деля теперь уравнеше (183) на J, получимъ:

1 =A

(cosay -nfcospy , n(cosy\²

[W> ⁺ \w) ^ \wi

^ßCOSß cos у

~    У7 УТ

cos a cos у

COS CC cos ß

yj yj yj yj

■откуда по уравненш (183') им^емъ:

1 = Ах² -|- Ву² -\- Cz² — 2Byz — 2Ezx — 2Fxy

(184)

Это и есть уравнеше некоторой поверхности второго порядка, имеющей центръ въ начала координатъ, такъ какъ въ уравненш нЪтъ членовъ съ первой степенью неизвестныхъ. Поэтому, вообще, мы можемъ допустить, что найденная поверхность есть эллипсоидъ, или гиперболоидъ. Не трудно убедиться, что это не будетъ гиперболоидъ. Если бы наша поверхность была гиперболоидомъ, то некоторые изъ радфсовъ векторовъ, параллельные

ассимптотическому конусу, были бы равны безконечности. Но 0L

а <7Ф 0 (при конечныхъ размЪрахъ тела), следовательно 0L никогда не обратится въ безконечность, что имело бы место въ гиперболоиде. Когда речь идетъ о моменте инерцш палочки и ось 0L взята по самой палочке, тодга J= 0. Но эллипсоидъ въ такомъ случае обратится не въ гиперболоидъ, а въ круглый цилиндръ; одна ось его обратится въ безконечность, а две другш полуоси будутъ равны. Следовательно, наша поверхность можетъ быть только эллип-соидомъ, что и доказываетъ теорему.

Этотъ эллипсоидъ называется эллипсоидомъ инерщи для точки 0. Если точка 0 есть центръ тяжести тела, то эллипсоидъ называется цт-тралънымъ эллипсоидомъ инеурщи.

Если оси координатъ х, у, z направлены по осямъ эллипсоида инерцш, то въ уравнеше эллипсоида не войдутъ члены съ произведешемъ координатъ, следовательно въ этомъ случае центробежные моменты суть нули:

yj’

■'в

Р/

А-

>м

Фиг. 86.

D₌E = F= 0.

Эти оси называются главными осями эллипсоида инерцш для данной

точки.

Уравнеше (184) для этого случая напишется такъ:

1 = Ах² Ву² -f- Cz²

(185')

Иногда бываетъ важно знать ось, около которой, изъ всехъосей, про-ходящихъ чрезъ данную точку, легче всего вращать тело. Для этого нахо-дятъ наименышй моментъ инерцш относительно этихъ осей. Посмотримъ, когда моменты инерцш будутъ наименынимъ и наибольшимъ. Такъ какъ центральный рад1усъ векторъ R эллипсоида инерцш получается, откладывая R

—= , то J=

R* ‘

Если положимъ, что А<СБ<i С и представимъ А, Б и С въ виде

VJ

А’ ъ*

В,

7*-с'

то полуоси эллипсоида суть а^>Ь^>с.

Наиболышй рад1усъ векторъ есть а, а наименышй с, поэтому полуось а будетъ соответствовать самому малому моменту инерцш

min аг •

Наиболышй же моментъ инерцш соответствуем полуоси с

тах

Изъ уравненш (185') следуетъ теорема 2. Если оси координаты направлены по главнымъ осямъ эллипсоида инерцш, то

2 myz = 0, 2 mzx = 0, 2 тху = 0.

Когда известенъ центральный эллипсоидъ инерцш, то съ помощью его можно определить моментъ инерцш относительно всякой оси, проходящей черезъ центръ тяжести. А по этому моменту легко определить моментъ инерцш относительно всякой другой оси, пользуясь теоремой: моментъ инерцш относительно какой-нибудь оси равенъ моменту инерцш относительно параллельной оси, проходящей черезъ центръ тяжести плюсъ масса тгьла, умноженная на квадратъ разстоянгя между осями. Доказательство этой теоремы было дано въ элементарномъ курсе; повторимъ его здесь.

Положимъ, что начало координатъ находится въ центре тяжести и ось Oz параллельна той оси 0'z\ относительно которой нужно взять моментъ инерцш (фиг. 87).

Полагая координаты точки 0' равными а и Ь, найдемъ искомый моментъ инерцш:

J’= 2 т {d'Y = 2 т [{х.— а)² + {у — Ъ)*\ =

2 т (х² -f-у*)-\-2 т (а² -f- &²) — 2а 2 тх — 2Ь 2 ту.

z’

следовательно

2а 2 гпх = 0 и 2Ъ2ту = 0.

,м

А съ другой стороны

а² 4-&² = <Г².

Поэтому находимъ:

Ld'

Фиг. 87.

J' = А ш (ж² -}- ?/²) -f--j- 2тд* =    -Г ж.

Замйтивъ, что 2т = М, получаемъ окончательно:

J' = Jg+Mö\

Отсюда видно, что моментъ инерцш относительно оси, проходящей черезъ центръ тяжести, всегда меньше момента инерцш, относительно оси, ей параллельной, такъ что наименьшей изъ всйхъ моментовъ инерцш есть моментъ инерщи относительно большей оси центральнаго эллипсоида инерцш.

Теорема 3. Если центръ тяжести тгьла лежитъ на одной изъ глав-ныхъ осей эллипсоида инерщи, построеннаго для какой-нибудь точки тгьла, то ест эллипсоиды, имгьющге центры на этой оси, будутъ имтть упомянутую ось главной осью инерщи.

Пусть имеемъ эллипсоидъ инерщи, построенный для какой-нибудь точки 0 (фиг. 88), и одна изъ главныхъ осей этого эллипсоида инерцш проходитъ чрезъ центръ тяжести С гЬла. Примемъ эту ось за ось z, а оси х и / направимъ какъ-нибудь въ плоскости, перпендикулярной къ z. Посмо-тримъ, какъ выражается уравнеше даннаго эллипсоида инерщи относительно выбранныхъ нами осей. Если ось z есть одна изъ главныхъ осей эллипсоида, то, пересекая его плоскостями xz и yz, мы получимъ эллипсы, отнесенные къ ихъ главнымъ осямъ. Этому условш удовлетворяетъ уравнеше (184) эллипсоида

1 - Ах² -f- Ву² -j- Сг² — 2 Fxy .

. . . (185)

■мним

0;

187 -

Ho

2 mx

~1Г    ’

—    2 ту

У J\/£

Въ самомъ д'Ьл'й, пересекая эллипсоидъ плоскостью xz, уравнеше которой есть у — 0, мы получимъ въ сЬчеши эллипсъ, выражаемый урав-нешемъ

1 = Ах*-\-Сг\

которое отнесено къ главнымъ осямъ. Для плоскости zy при х — О мы по-лучимъ уравнеше эллипса

1=Вг/-\-Сг\

где оси / и z—главный оси.

х’

о'

<Ю

iß

ft

Фиг. 88.

Уравнеше (185) представляетъ эллипсоидъ, для котораго ось z есть главная ось. Условю это выражается т’Ьмъ, что въ указанномъ уравненш D = 0 и Е= 0. Следовательно, два условш:

I) = У туг = О, Е = У тгх = О

выражаютъ собой, что ось z есть главная ось инерцш.

Возьмемъ точку 0' на оси z и покажемъ, что ось z будетъ также главной осью эллипсоида, построеннаго для 0'. Отнесемъ его къ осямъ х', у', z\ где оси х' и /' параллельны осямъ х и у, и докажемъ, что для него _D' = 0 и Е'= 0.

Зная, что

D' = 2my'z'

Е' = У тг'х\

заменимъ х\ у', г' черезъ х, у, г. Формулы перехода будутъ:

х' — X,

У’ = У,

г' = г — 00' = г — d.

Следовательно

D' — 2 ту (z — d) — 2 myz — d 2 ту, E' = 2 mx (z — d) = 2 mzx — d 2 mx.

Ho

2myz = 0 и 21 mzx = 0,

потому что Л —0 и Е= 0. Кроме того, такъ какъ центръ тяжести лежитъ на оси z, то

2 тх

о, У

2 ту М ’

откуда:

2 тх = 0, 2 ту — 0.

Следовательно Е'= 0 и Л' = 0, на основанш чего заключаема», что на осяхъ х', у', z' эллипсоидъ инерцш для точки 0' располагается такъ, что ось z есть главная ось инерцш, что и требовалось доказать.

X-'i § 50. Вращеше твердаго тела около неподвижной оси. Положимъ, что тело вращается около неподвижной оси. Остановимъ тело и прибавимъ силы инерцш; тогда, по принципу д’Аламбера, действующи! силы вместе съ силами инерцш дадутъ равновесю. Въ случае неподвижной оси условю равновесгя состоитъ въ томъ, что сумма моментовъ всехъ силъ относительно этой оси равна нулю.

Проекцш действующихъ силъ на оси х и у обозначимъ черезъ X и Y, а проекцш силъ инерцш на оси х и у будутъ:

d^x

dt²

л%у\

dt * / '

Условю равновесш напишется такъ:

или

2 (х Y—yX)-j-2jz(

— т-

dHy

dt*

—у \—т

d*x

dt*

к»

(Px У dt² ,

)•

Преобразовывая вторую часть, какъ было показано въ теореме площадей (§ 20), получимъ:

2 (х Y— уХ)

dx

-т[х1-Уж)-

ж выра-

dx dy dz dt ’ dt

угловыя скорости вращешй р и q около осей х и у равны нулю, а угловая скорость вращенш г около оси z въ разсматриваемый моментъ равна со. Получимъ:

dx

Ж — О2 ГУ =    ⁽⁰У,

dy

~ = гх —pz = СОХ,

(186')

dz

ж=РУ— д.х = °‘

откуда:

Подставляя эти значенш въ предыдущее уравнеше, находимъ:

2 (х Т-уХ) = ~ соХ m (х* + 2/s) = J, ^ , X(xY—yX)

dco

dt

Jz

(186)

При вращательномъ движети около неподвижной оси угловое уско-

dco

рете ~хг равно суммгъ моментовъ вращающихъ силъ, раздгьленной на мо

ментъ инерцги тгъла относительно рассматриваемой оси.

§ 51. Физичееюй маятникъ. Физическимъ маятникомъ называется твердое тело, находящееся подъ дМствюмъ силы тяжести и имеющее неподвижную горизонтальную ось, не проходящую черезъ его центръ тяжести.

Пусть горизонтальная ось вращенш будетъ Oz (фиг. 89), а ось Оу направлена вертикально внизъ. Центръ тяжести тела С находится на раз-стоянш а отъ оси Oz въ плоскости ху, и положены его определяется координатами х, у.

Сила тяжести, действующая на эле-ментъ массы тела т, равна mg и направлена параллельно оси у. Следовательно, въ данномъ случае имеемъ:

(г

\0

СО

х=о,

Y= гид.

Сумма моментовъ силъ, действующихъ на тело, относительно оси Oz напишется такъ:

X (х Y— уХ) = д X тх = дМх,

Фиг. 89.

где М есть масса всего тела. Изъ чертежа видно, что х = а sin 6, где в—уголъ откло

нены ОС отъ вертикальной оси. Поэтому

X (х Y—yX) = дМа. sin в.

— 191

Угловое ускореше около оси по уравненш (186) напишется такъ:

sin 6.

dco_дМа

Угловая скорость со есть пределъ отношены приращены угла поворота къ соответствующему приращешю времени.

Будемъ отсчитывать уголь поворота отъ оси Ох; въ такомъ случае

откуда

Следовательно:

со = -тг . п

dt \ 2

dt = —

dB

со

dß

dt

(187')

dco de

dt de dt

dco

CO . dco

gMa

de

Jz

sin e,

или

со . dco

gMa

sin e .de.

Интегрируя, получаемъ:

Jz

cos e-\-с.

ю = 0; следовательно

Въ начале движены, при е = е

Jz

₀₌₌ 2дМа

cos е₀ -]- с.

Вычитая это равенство изъ предыдущего, имеемъ:

со² =

дМа

■ 2 (cose — cos в>₀);

/дМа

■ \/2 (cos е — cos ео).

Мы беремъ знакъ потому что вращеше совершается по часовой

de

стрелке. Заменяемъ теперь со на —    :

de

/дМа

У

Отсюда:

или

dt — —

V:

J.

de

gMa j/2 (cos (J— cos O₀) ’

_z__

dt = —

Ma

dS

9 У'2 {cos & — cos eo j

Полагая, что

_z_

Ma

= L,

получимъ

dt — —

dß

9 У2 (cos e—cos e₀)

Эта формула сходна съ формулой (116'), выведенной для математиче-скаго маятника, разница только въ томъ, что вместо I здесь стоить L =

Ма ‘

Итакъ, физичесшй маятникъ колеблется такъ, какъ математичесюй, длина , котораго L равна моменту инерцш, разделенному на произведете массы на разстояню отъ центра тяжести до точки привеса:

J.

Величина Ма называется статическимъ моментомъ маятника относительно оси вращенш.

Обозначивъ черезъ J₀ моментъ инерцш относительно оси, проходящей черезъ центръ тяжести маятника и параллельной оси привеса, получимъ:

J2 = Jo==Ma\

Поэтому

Х~Ж + а’

или

(L — а) а —    .

Величина L — а оказывается положительной, а следовательно

Х>а.

Если отложимъ длину L по лиши ОС отъ точки 0 (фиг. 90), то получимъ некоторую точку 0\ называемую центромъ качашя и расположен-

ную по предыдущему ниже центра тяжести. Изъ найденной формулы на основанш уравненш (181') им'Ьемъ:

или

a(L — а)

-Л Мд,*

М~ М

= (>о²;

OC.O'C = q₀².

Отсюда получаемъ простое построен1е центра качанш. Соединяемъ (фиг. 90) центръ тяжести С съ точкой привеса Ö; изъ С возставляемъ къ ОС перпендикуляръ и откладываемъ на немъ рад1усъ инер-цш р₀ = С К (относительно центра тяжести); соединяемъ точку К съ 0 и возставляемъ къ КО перпендикуляръ КО' до пересеченья съ продолжешемъ ОС. Точка пере-сйченш 0' этого перпендикуляра съ ОС будетъ искомый центръ качанш. Если бы мы приняли точку 0' заточку привеса и стали искать указаннымъ построешемъ новый центръ качанш, то нашли бы точку 0. Отсюда Теорема Гюйгенса: центръ качанш и точка привтса суть точки взаимный. Пользуясь этимъ, легко находить центры качанш. Если, обративъ маятникъ и сде-лавъ точку 0' точкой привеса, мы найдемъ то же время качанш, какое было прежде, то точка 0' есть центръ качанш. Па основанш этого соотношенш устраивается оборотный маятникъ Kater’a, известный изъ курса физики. у

§ 52. О принужденныхъ) колебашяхъ. Будемъ опять ^!а§сматрйвать колебательное движете физическаго маятника, но введемъ еще некоторое усложнеше. Предположимъ, что\ точка привеса маятника нисколько колеблется. Наприм'йръ, вообразимъ колеблюицйся маятникъ подвйшеннымъ къ подшипнику, который помощью кривошипнаго механизма можетъ двигаться въ направляющихъ. Эта раскачка сказывается на движеши маятника. При н'Ькоторыхъ условшхъ сопротивлеше воздуха черезъ некоторое время зату-шитъ колебанш маятника, но принужденное колебаше останется; если пе-рюды колебанш маятника совпадаютъ съ перюдами принужденнаго колеба-шя, то получаются возра стаюпце со временемъ размахи принужденнаго

Ö¹

Фиг. 90.

>К

движенья маятника.

Пусть маятникъ (фиг. 91) повешенъ на штативе, а штативъ подвер-женъ колебательнымъ движешямъ подъ действшмъ кривошипнаго механизма К и пружины F. Движете маятника не им'йетъ влшнш на действш кривошипа и пружины. Раскачка неизменно совершается по опре-

усть тележка, а следовательно и

законъ

деленному гармоническому закону, точка привеса 0 маятника отступае^ъ отъ средней линш на простран

ство £ по закону

£ = Ъ зтХН),

По теореме Корюлиса мы должны къ силе тяжести прибавить еще силы инерцш отъ колебанш тележки.

13

Колеблющшся оси х и / отходятъ на разстояше £ и направо и налево, поэтому каждая частица дастъ

d4

силу инерцш т , но

в\

dt*

Ы* sin (Xi),

следовательно сила инерцш приметъ видъ :

md*£

%тт>

I F L—_

I

жштшжт

dt²

= — тЪХ* sin (Xt).

Ъ

Фиг. 91.

муле (186) такъ:

Такъ какъ наши оси движутся поступательно, то силъ инерцш отъ поворотнаго ускорены не будетъ. Обозначая длину маятника ОС черезъ а напишемъ угловое ускорены по фор-

4со 2 (х Y — уХ) Ра sin 8 \ 2 тЪХ² sin (И) у

dt

Ра sin 8 -f- Ы* sin {Xt) — ту

Но

X ту — Ма cos 8

Р = Мд,

следовательно

dco _ Мда sin 8 -)- bl* sin (Щ Ма cos 8

dt

. . (187")

Заметимъ, что угловая скорость со по формуле (187') выражается такъ:

со -

dß

dt ’

откуда

dco

dt

d*8

di² *

Такъ какъ уголъ 8 слишкомъ малъ, то полагаемъ приближенно, что

— 195

Подставляя эти величин]

въ уравнеше (187"), получимъ:

или

(1Ю

dt*

=4 Му а в -f- Ма ЪХ* sin (Xt)

-г -У?' в ■-

е/

Ма ЪХ²

dt²

sin (Xt) = 0 . . .

. . . (187)

Задача о принужденномъ колебан1и маятника решается интеграций

этого дифференщальнаго уравнешя движенш.

sin(Xt), зависящей только отъ t. Опред*лимъ пер1одъ колебанш маятника.

Сравнивая это уравнеше еъ уравнешемъ движенш обыкновеннаго маятника, мы видимъ, что уравнеше (187) им*етъ добавочный членъ Mab X²

Пока разсмотримъ уравнеше (187) безъ посл*дняго члена, т.-е. уравнеше

d*&

(188')

dt²

t & щ о

Интегрируя, получимъ:

ГД*

/'² +

Мда

0,

■"У

Мда

Мда

/ Мда

а С п С₁-~произвольный постоянныя. Тогда получимъ:

О = Ce

J"‘+ae

yWa

Полагая, что

С=

)е r De-v 2 ’    ¹ Г 2

■а.

получимъ:

V    ₂ т . .7

Откуда по известной формул* анализа

О = D cos

f -f/)

(188")

13*

96 —

Называя чрезъ Т время одного гоазмаха, получимъ:

Мда _

Мда __ л:2 Т*

(188'")

Им^я интегралъ уравненш (187) безъ последней части, будемъ отыскивать какое-нибудь частное значеню уравненш (187). Пусть частный интегралъ уравненш (187) будетъ в = щ.

Если найдемъ частный интегралъ, то общШ интегралъ уравненш (187) съ посл'Ьднимъ членомъ будетъ тоже !найденъ. Этотъ общ!й интегралъ уравненш (187) съ посл'йднимъ членомъ будетъ равенъ интегралу уравне-нешя (187) безъ посл'Ьдняго члена плюс'Р, частный интегралъ.

Полошимъ

у> = А cos (Н) -f- 4? sin (Xt).

Подставляя это выражен1е въ уравнеше (187), получимъ:

— Я²

или

j^Hcos (Н) -\-Bsin (Я^) J    И cos (И) \^Bsin (Xt) j 4

cos (Xt)

МаЬ Я²

sin (Xt) = О

я²И-М

Мда

Шда ₊ МаЬхЛ₀

Для того, чтобы это условю удовлетворялось при всякомъ t, необходимо им'Ьть:

Г- — Я²

А(Мда

В Я²— -

Мда

Mab

Я².

Отсюда получаемъ:

А = О,

Mab

Я²

Я² — -

Мда

Напишемъ теперь весь интегралъ уравненш (187) съ посл'йднимъ

членомъ

Mab

-Я²

22_Мда

sin (Xi) -|- В cos

гд’й D и у—произвольный постоянный.

197 —

Обозначимъ теперь черезъ Тх — перюдъ полнаго размаха площадки и

напишемъ:

Ь sin U,

откуда

т.

1=*

Подставляя эти величины въ уравненш (188), а также величину (188'"),

получимъ:

/ JTT²    JT²\

V Ji²    T²/

или

xt

x²b

(T*-TS)g

Изъ этого уравненш видно, что если разность между Т ж Тх весьма мала, т„-е. перюды колебанш маятника и перюды принужденнаго колебанш весьма близки другъ къ другу, то-первый членъ нашего уравненш великъ и маятникъ получитъ болынш принужденныя колебанш.

Опред'Ьлимъ произвольныя постоянныя D и у по начальнымъ

даннымъ.

Дифференцируя уравневш (189) получимъ:

dB

хЧ)

dt

(T*-TS)g 1\

Г- COS

Ч-D^sin^t + r) .

. . (190')

Опред'йляемъ JD и у. Положимъ, что t = 0, 0 = 0 ляя эти значенш въ уравненш (189) и (190') получимъ:

dS

₀, м— 0* Подстав-

(190")

0О = D cos у

откуда

I)

0.

—Ч-.

cos у

Дал'Ье

хЧ)

(Т²-Т,% X

D %- sin у

Д'Ьля уравненш (190'") на (190"), получимъ:

х Ч)

D sin у

или

tgr

(Т'-Т^дТЛ

(190)

Далее определяемъ D:

в*

/)* - °-

COS² у

лЧУ¹ Т¹

(Т²—.7;²)vv;² ■

. . (191)

откуда

I)

V-

гтЧР Т*

{Т*\т*)*д*Т* '

Колебашя судовъ на спокойной поверхности моря выражаются формулою (188), при чемъ роль а играетъ разстояше между центромъ тяжести

и метоцентромъ.

Если судно не глубоко сидитъ въ воде, то оно имеешь большую остойчивость, т.-е. величина Ма большая.

При этомъ, согласно формул^ (188'"), время Т мало и колебашя

быстры.

Формула (189) даетъ для судна размахи колебашя на волнахъ, при чемъ Тх соответствуешь першду волнъ. Болыше размахи получитъ судно при условш близкомъ къ созвучш ТХ=Т.

Если судно остойчиво и Т мало, то для него опасны волны небольшого перюда Тх, которыя чаще встречаются. Свойство судна не раскачиваться на волнахъ называется его устойчивостью. Изъ сказаннаго следуешь, что остойчивое судно обладаетъ малою устойчивостью.

сЬ

§ 53. О свободной оси вращешя. Свободною осью вращенгя твердаго тела называется такая ось въ теле, около которой оно можетъ вращаться равномерно безъ того, чтобы ось нуждалась въ поддерэюке, если на тело не действу ютъ внегингя силы.

ты г

У’

Фиг. 92.

Положимъ, что тело вращается около оси Oz (фиг. 92) съ постоянною угловою скоростью со. По принципу д’Аламбера, х щстановивъ тело и прибавивъ къ силамъ действующимъ силы инерцш, мы полу-х чимъ равновесю. Въ нашемъ случае на тело не действуютъ никашя ввеншш силы. Каждая точка даннаго тела описываешь кругъ и силами инерцш будутъ только центробежный силы. Если эти центробежный силы взаимно уравновешиваются, то для равновесш тела не надо удерживать его ось вращешя, и, следовательно, эта ось окажется свободной осью вращешя. Для этого центробеж-

4- 199 —

ныя силы инерцш должны удовлетворять сл'Ьдующимъ шести уравненшмъ равновесш:

ХХ=0, XY= О,

О,

X(yZ—,:Y) = О, X(sX—xZ) = 0, Y (х Y—уХ ) =■■ 0.

Но центробежная сила инерцш, действующая на элементъ массы т, находящейся на разстоянш г отъ оси вращенш, равна шш²г, а проекщи этой центробежной силы на оси координатъ будутъ:

X = тсо

цг

mcob;,

tC

Z 0.

Поэтому нервыя три условш равнов^сш представятся такъ:

X тсо*х = о/¹ X тх = 0, Л¹ тсо*у = oi² X ту = 0, 2 0 = О,

ИЛИ."

X тх 4= О, X ту =ф 0.

(192)

Далее, известно, что координаты центра тяжести выражаются такъ:

X тх — X ту

~~Ж~’    ³

X т.г

~ъг>

а принимая во внимаше равенство (192), получаемъ:

х = 0,    у=± О,

т.-е. свободная ось вращенш должна проходить черезъ центръ тяжести. Три посл'Ьднихъ условш равновесш после подстановки дадутъ:

zmoßy) 4= О,

X (zmcoPx — х. 0) Ц= О,

ymoßx) — 0.

X (xmc'ßy

Отсюда сл'Ьдуетъ, что два центробежные момента инерцш должны равняться нулю.

Такимъ образомъ на оси Oz лежитъ центръ тяжести, и эллипсоидъ инерцш, построенный для точки 0, имеетъ эту ось своею главной осью инерцш. По теореме 3 для моментовъ инерцш всякШ эллипсоидъ инерцш, имеющш центръ на оси Oz, будетъ иметь одною изъ своихъ главныхъ осей эту ось. Отсюда следуетъ, что эта ось будетъ главною осью центральнаго эллипсоида инерцш.

Итакъ, для тою, чтобы ось вращетя тгьла была свободной осью, необходимо, чтобы центръ тяжести лежалъ на оси врагценгя, т.-е.:

ж = 0, у = О,

и чтобы ось вращетя была одной изъ трехъ главныхъ осей г^ентральнаю эллипсоида инерцш тгьла:

2 myz = 0,    22 mxz = 0.

Такъ какъ центральный эллипсоидъ имеетъ три оси, то во всякомъ теле существуютъ три свободный оси вращен1я, направленный по тремъ

главнымъ осямъ центральнаго эллипсоида инерцш. Если центральный эллипсоидъ есть шаръ, то всякая ось, проходящая черезъ центръ тяжести, есть свободная ось враще-нш. Не надо думать, что такимъ свойствомъ обладаютъ только тела шарообразной формы. Такимъ свойствомъ обладаетъ, напримеръ, кубъ, для котораго центральный эллипсоидъ инерцш, какъ известно, есть шаръ, и его вращеше ничемъ не отличается отъ враще-шя шара.

Lo

Есть тела, у которыхъ центральный эллипсоидъ инерцш не есть шаръ, но имеются некоторый точки, для которыхъ эллипсоидомъ будетъ шаръ, это въ томъ случае, когда центральный эллипсоидъ есть сплюснутый эллипсоидъ вращетя; на его оси можно найти две точки, для которыхъ эллипсоидъ инерцш

есть шаръ.

Фиг. 93.

или:

2 myz = 1) 22 mzx

0,

E-= 0.

Пользуясь этой теоремой, выяснимъ, какимъ образомъ центрируются жернова. На фигуре (93) А представляетъ лежакъ, а В—бегунъ. Жерновъ В прикреп-

ленъ къ центральной оси L. Статическое равнов’кче жернова достигается уже т’Ьмъ, что его центръ тяжести лежитъ на оси L, чтобы жер-новъ могъ стоять строго горизонтально. Когда жерновъ вращается, то появляются еще центроб'Ьжныя силы; надо достигнуть того, чтобы эти силы инерцш взаимно уравновешивались, иначе жерновъ будетъ бить, такъ какъ ось вращенш не можетъ удерживать этихъ силъ инерщи—ее расшатаетъ. Итакъ, для динамическаго равновесш необходимо, чтобы ось вращенш была свободной осью. Достигается это поднимашемъ и опускашемъ массивовъ /77, т₁, /77₂, /77₃ ..., помещаемыхъ въ дырахъ, просверленныхъ въ жернове. Действительно, для того, чтобы ось L была свободной осью, необходимо и достаточно соблюдете условШ:

х = О,

2/ = О,

I) Е туz - О, U mzx = 0.

Первыя два условш удовлетворяются, такъ какъ ось вращенш прохо-дитъ черезъ центръ тяжести. Для удовлетворена же двухъ последнихъ условШ мы можемъ изменять z, поднимая и опуская вышеупомянутые массивы, не смещая этимъ центръ тяжести съ оси L, но D и £ изменя-няются и получаются равными нулю.

§ 54. Движете твердаго тела параллельно плоскости. Пусть твердое тело массы М подъ действюмъ некоторыхъ силъ движется параллельно

плоскости ху, проходящей черезъ его центръ тяжести С (фиг. 94). Каждую изъ действующихъ силъ продолжимъ до пересеченш съ плоскостью ху и разложимъ на две.* одну, направленную по плоскости и другую, перпендикулярную къ ней. Последняя уничтожается силами связей, реакщей плоскости. Если же сила параллельна плоскости, то мы перенесемъ ее на плоскость въ точку, представляющую проекщю на плоскость ея точки приложенш, и при-бавимъ пару. Пару эту можно повернуть такъ, чтобы силы ея стали перпендикулярными къ плоскости; следовательно, пара эта уничтожается реак-цшми связей.

Ясно, что если все силы приводятся къ силамъ, лежащимъ въ плоскости ху, а все массы расположены симметрично относительно этой плоскости, то связи не нужны: тело будетъ двигаться параллельно плоскости ху, оставаясь свободными

z''

С)

У’

х'

Фиг. 94.

Итакъ, вся система приводится къ силамъ, находящимся въ плоскости ху. Перенесемъ ихъ въ центръ тяжести тела С и, прибавляя пары, полу-чимъ въ результате силу R (равнодействующую всехъ силъ, движущихъ тело) и пару (Q, Q'), стремящуюся вертеть тело около оси, проходящей черезъ центръ тяжести; при чемъ и сила и пара лежатъ въ плоскости ху. Посмо-тримъ, каково будетъ движете.

По принципу д’Аламбера, силы, действующая вместе съ силами инерщи, даютъ равновете. Проекщи силъ инерцш на оси х и у представляются такъ:

/ d*x\ /

\mW*) и (

d*y

dt* •

УсловШ равновесш въ нашемъ случае будетъ три:

2Х= О,

2Y=0,

2(уХ—х П- 0.

Они напишутся такъ:

d*x

1{у + ² (

у Кх — "Ь “Ь ^ (— т ) — Х (

dt*

. . . (193)    '

d*y

dt*

dt*

(194)

■ . :• . (195.

где L—моментъ пары (Q, Q ).

Изъ уравненш (193) находимъ:

Пл=Хт

d*x

dt*

mx:

но известно, что координата центра тяжести

а следовательно

пх=м

d*x

dt* '

(196)

Аналогично изъ уравненш (194) находимъ:

Полученныя равенства представляютъ дифференщальныя уравненш движенш центра тяжести. Они показываюсь, что г^ентръ тяжести даннаго _ тгьла движется поступательно, какъ матершлъная точка массы М, къ которой приложены ест силы, дгьйвтвующгя на тгьло.

Решимъ вопросъ о вращательномъ движенш около центра тяжести.

Изъ уравненш (195), произведя преобразована, уже встречавшееся въ теореме площадей (§ 20), получимъ:

yR,-xRt + L

Sr! О.

dx

x§»\

dt )■

Перейдемъ къ новымъ подвижнымъ осямъ х , z , параллельнымъ z, /, z и ямеющимъ постоянно начало въ центре тяжести С (фиг. 94). Формулы перехода напишутся:

х = х'-\-х, у- у' + у.

Получимъ:

ync — xIt!f-\-L (ff

dx

Ь' ■ "ч,//

ж*т{у'

-т'с1у'\ X dt )

•- H''+s(f+f)]

„ (—dx - dy\ .

-'"i".// ~*л) +

, dx

т'-Л

x dt)

- dy'

-Ж ~4.

dt

ч, / , dx'

im(» M

Sri Äj

gj

Sri

ж\-тх

dy

di

(l

et/' - dx'\

ritj—a

2 rnx

Но центръ тяжести всегда находится въ начале координатъ х', у', г',

поэтому

2 тх'

М °’

2 ту

и следовательно

2тх'

О,

2 ту' = О.

На основанш этихъ равенствъ последню четыре члена въ нашемъ уравненш равны нулю. (Заметимъ, что

2 rnx

- dy

dt

можетъ быть пред-

(М3*)

ставлено въ такомъ виде:]

и потому равно нулю.) Уравнены

напишется теперь такъ:

yRx-xRy + L = My

- d²x

df‘

— Мх

d*y

dt

-mvJ dt

dt / ‘

Ыа основаны уравнешй (196) и (197) первые два члена первой части равенства сокращаются съ первыми двумя членами второй части, и уравне-nie приводится къ следующему виду:

Ж~т\У м

dx'

Х'Щ

ау

Если вращеше совершается съ угловою скоростью со, то по форму-ламъ Эйлера (19) согласно фигуре (94), полагая р 0, ^ = 0 и г== — получимъ:

dy

= — сох .

dx

dt ~ mj ’ dt

Подставляя эти выражены, находимъ:

2 т {у ²-]-ж ²) со,

или:

L = J₀

dco

dt ’

где J~₀—моментъ инерцш тела относительно оси Oz', проходящей черезъ центръ тяжести 6*. Следовательно, моментъ вращаюгцей пары равеиъ моменту инешш ттьла относительно оси Oz', умноженному на узловое

ускоренге._

Отсюда:

(1(0

dt    J ₀ *

Это та же самая формула, которая была выведена для вращешя тела около неподвижной оси.

М^-масса всего ттла к а пиьло вращается около оси, перпендикулярной кг, Жанной плоскости и проходяшуи черезъ центръ тяжести ттла, съ угло-

Итакъ, при движенш твердаго тела параллельно некоторой плоскости все силы сводятся къ одной силе, приложенной въ центре тяжести, и къ одной паре, вращающей тело около оси, перпендикулярной къ данной плоскости. Движете происходить такъ: центръ тяжести движется подъ дтйствкмъ упомянутой силы, наш материальная точка массы Ж (гдгь

вымъ ускорешемъ, равнымъ моменту упомянутой пары, дгъленному на моментъ инерцш ттла относительно оси вращешя.

Возьмемъ следующей прим'Ьръ. Палочка AB массы М и длины 2а (фиг. 95) лежитъ на гладкомъ столе NN. Къ ея концу В привязана нить F,

за которую палочку тянутъ съ постоянной силой Р. При первоначаль-F номъ положенш нить образуетъ съ направлешемъ палочки уголъ ср. Определить, каково будетъ движете палочки.

JS.

--------х

По вышеизложенной теореме центръ тяжести палочки будетъ двигаться такъ, какъ движется мате-ршльная точка массы Ж подъ дей-ствшмъ силы Р. Сила Р постоянна и, следовательно, центръ тяжести палочки будетъ двигаться прямолинейно и равномерно-ускоренно съ ускорешемъ

Фиг. 95.

Интегрируя это уравнете два раза, получимъ:

х= Ct-\-

Кроме того, палочка будетъ иметь такое движете около центра тяжести,, какое она получила бы подъ действшмъ силы Р, если бы ея центръ тяжести С былъ неподвиженъ. Моментъ силы, производящей это движете, равенъ (Pa.sincp). Нить настолько длинна, что при всехъ положетяхъ палочки она будетъ оставаться параллельной самой себе.

Угловое ускорете около, проходящей чрезъ центръ тяжести перпендикулярно плоскости, оси по формуле (186) напишется такъ:

dco Ра sin ср dt    Ма²

Будемъ отсчитывать уголъ поворота ср отъ оси х, по которой движется центръ тяжести; въ такомъ случае

d<p

dt

Следовательно

со. dco = — Жа sin cp dcp.

Интегрируя, получаемъ:

со*

6Р

Ма

cos cf -|- С.

Въ начала движенш при г/ г/₀, ы~ 0; следовательно,

6Р

Ма

COS    —}— (J.

Вычитая это равенство изъ предыдущего, имеемъ:

со*

6Р

Жа

(cos С/ — COS Cf₀) ,

отсюда

«⁼ у Ш ^(cos r/> ~'cos <h ]

d<f

dt

dt

/Ма    d(f

\ 6P y/(cos ff — COS Cf₀ )

Эта формула сходна съ формулой, выведенной для маятника, разница только въ томъ, что въ нашемъ случае

г>ж

М а 6Р д

Отсюда видимъ, что сила Р сообщитъ палочке AB колебательное движете, свойственное маятнику, длина котораго

бР а-

О л

rz    ___

§ 55. Задачи къ динамике системы. Задача 1. Грузъ G (фиг. 96) поднимаетъ съ помощью подвижного блока грузъ Gx. Веса обоихъ блоковъ =Р, рад1усы блоковъ одинаковы р равны г. Определить ускореше груза G. Весъ обоймицы включенъ въ öl.

Ртъшеше.

Вообразивъ систему остановленной, прйложимъ силы инерцш Q '

Gx + Р j    '

-•J

• ’ . Кроме того, отъ силъ инерщи образуются еще пары д \

силъ. Моментъ инерщи блоковъ будетъ равенъ приведенной массе, умно-

женной на квадратъ рад1ус&. Если это произведете помножить на угловое ускореше, то полученный результата можно выразить такъ:

IС 1^.

гдгЬ угловое ускорен1е есть

./

Принимая во внимаше, что\ блоки при опущеши груза G на &х вертятся въ сторону, противоположную действию пары силъ инерцш, прирав-ниваемъ нулю сумму всФхъ элементарныхъ работа:

(G-fj)öx

. бх

Р.г . бх

ff

0.

СдФлавъ необходимыя преобразован^, получимъ, что

G G*+p

s)

Фиг, 96.

|°|

|С'

Фиг. 97.

CCZ3

Задача 2. Грузъ G (фиг. 97) под-нимаеуъ съ помощью полиспаста грузъ вФсъ котораго включенъ вФсъ подвижной обоймицы. ВсФхъ блоковъ четыре. \

Gy, вг

ВЪ

большихъ блоковъ — Р, вФса оковъ—р, рад1усы большихъ

малыхъ

блоковъ р^вны г, а рад1усы малыхъ равны гх. ОпДедФлить ускорена груза G.

Ргьшепге.

Силы Инерцш всякаго тФла сла-

гаются:

1) изъ силъ инерцш въ поступа-тельномъ движенш со скоростью центра тяжести щ

2) изъ силъ инерцш вращательнаго движенш около центра тяжести.

А) Элементарная работа вФсовъ и силъ инерцш отъ поступательнаго

. движенш:

G-

<■)*-[(?

Р+р

ttlff

Отсюда

J=fJ

В) Элементарная работа силъ инерцш отъ. вращательнаго движенш:

Jt I г 6х-    ■

2д 4    ¹ 4тх

Р 3j 3öx р 2; Tgrt^~Tgtr' 4г,

Сумма всЬхъ этихъ работъ должна равняться нулю.

2бх

2д

-К

Ю|

P 3/ 3öx 2g 4 4r

P 2,y

2g 4

2px

0.

G+l+lP+i^

Задача 3. Цилиндръ веса G (фиг. 98) въ точкахъ А и В поддерживается пружинами, сопротивленю которыхъ F—k(lü—1Х), где 1₀—начальная длина, а 1Х—уменьшенная длина пружинъ. Цилиндръ заключаетъ сжатый воздухъ, поддерживающей въ немъ поршень веса Gx. Краны С и D открываютъ и даютъ вытекать воздуху, при чемъ поршень опускается съ ускорешемъ у.

Определить, насколько поднимется цилиндръ.

"G

’ШШтШШШШШШШ/

Фиг. 98.

Ртьшенге.

Давлеше на площадь поршня назовемъ че-резъ р. б, где б—площадь поршня. Эта велику

чина р .6 = Gx —

G,

у. где — у—сила инерцш.

9    9

Называя искомую величину подняты цилиндра черезъ х, можемъ написать:

р . а 4= к (/₀ — х) — G.

На основаны полученныхъ уравнешй имеемъ:

к (1₀ — х) — Gx -f- G—| ~

У

(Gx -j- G) — k(l₀ — lx)

то, вычитая уравнен1е (Ъ) изъ уравнены (а), получимъ:

Но такъ какъ

(а)

(Ь)

Задача 4. Ыа цилиндръ съ горизонтальной осью (фиг. 99), имеюицй массу т, намотана нить, свободный конецъ которой движется равномерноускоренно вверхъ съ ускорешемъ f.

Какъ будетъ двигаться цилиндръ?

Ргьшенге.

Назовемъ силу черезъ Р и приложимъ начало d’Alamber’a. Положимъ,

что система остановлена. Такъ какъ центръ тяжести движется вверхъ, то сила инерцш направится внизъ и равна mj.

(1(0

Моментъ пары = J -j- .

--у---

Здесь имеются две степени свободы: можно все двигать вверхъ поступательно и можно задержать центръ цилиндра, а нить перемещать вверхъ. Для поступательнаго перемещены вверхъ на пространство дх имеемъ:

Р . д'х — тд&х — mj д'х = 0    ... (с)

отд

где Р — сила натяженш нити. Задерживая центръ тяжести и поворачивая цилиндръ на безконечно м^лый уголъ <%>, имеемъ во враща-тельномъ двиз^еши:

Фиг. 99.

dco

Pr üp—mr²d<p = 0    . . . (d)

Положимъ, что нить движется вверхъ с(> скоростью ги, а блокъ имеетъ поступательнук) скорость v. Тогда

Откуда

(ко

dt

Вводя обозначены

dw

dv

dt    dt h

имеемъ

f=jkrr

(ко

dt ’

откуда

doo

f—j

dt

14

Аналитическая механика.

210 —

Подставляя это въ наше уравнеше (d), получимъ:

2 т (f—j).

Но, по уравненда (с),

Значить:

Р = \г (д +/)•

I , I , 3 .

Окончательно получимъ:

cc to

(Ы

f~zg

Объ удар£.

§ 56. Поняты объ ударной силе. Можетъ случиться, что точки мате-ртльной системы внезапно изм’Ьняютъ скорости въ течете весьма корот-каго промежутка времени, при чемъ перемещены системы за это время ничтожно мало. Такъ, напримеръ, ударъ кы въ неподвижный бшшардный шаръ въ течете того чрезвычайно малаго промежутка времени, когда им^етъ место прикосновете кы и шара, сообщаетъ этому шару конечную скорость; что касается перемещены шара за время прикосновенш къ кш, то оно чрезвычайно мало. Точно такъ же упруйй шаръ, налетевпий на неподвижное препятствш, въ продолжены того краткаго мгновены, когда онъ прикасается къ этому препятствш, почти неподвиженъ, но скорости его точекъ внезапно изменяются, и въ результате шаръ отпрыгиваетъ отъ препятствш. Когда съ механической системой происходятъ такого рода явлены, то гово-рятъ, что она подвергается действш ударныхъ или мгновенныхъ силъ. Эти силы, действующая въ течете весьма короткаго промежутка времени, имеютъ весьма значительную величину, вследствы чего и изменена скоростей точекъ системы оказывается конечнымъ.

§ 57. Действы ударной силы на матершльную точку. Пусть мы имеемъ матертльную точку массы т и пусть компоненты силы, действующей на эту точку, суть X, Y, Z. Тогда, какъ известно дифференщальныя уравнены движены (27) будутъ:

Х=т

d*x dt² ’

LO

dt²

Каково бы ни было движете, въ продолжена его компоненты силы суть определенный функщи времени; имея это въ виду, множимъ уравнены (27) на dt и интегрируемъ каждое изъ нихъ почленно въ пределахъ отъ 4 до tx. Получимъ:

'S

— (mvx)₉ =

•h

Xdt

— (^)₀ =

4\

Ydt, } ... . (198)

'S

— (mVz\

■*1

Zdt.

ГД'Ь

dx

dx

dx

тШ]₁ и

... суть значенш m-^... во время tx и t₀.

m dt) о

Принято называть импулъсомъ Сцлы за время tx —1₀ векторъ, проек-цш котораго на оси выражаются правыми частями уравнений (198): Положимъ для краткости:

С

и г₀

Xdt =

*4

п,

(199)

Zdt = .Zr

Уравнены (198) выражаютъ то обстоятельство, что векторъ, изображающей количество движенш матершльной точки во время 4, равный mvx

и направленный по скорости vx, слагается геоме-в трически изъ вектора количества движенш, по-строеннаго для момента времени t₀, и импульса силы за время г — tx Д-1₀. Чтобы убедиться въ этомъ, достаточно, построивъ скорости точки М (фиг. 100), соответствующая моментамъ t₀ и t v₀ — MD и vx — ME, отложить затемъ на прямыхъ MD и МЕ длины MC — mv₀ и МВ = mvt и соединить точки С ж В. Тогда проектирована на оси ломаной МСВ и замыкающей ее МВ даетъ:

Су

Dy

'А

Фиг. 100.

(mvx)₀ -j~ пря СВ = (mvx)₀ + прх М/1, (mvy) 1 = (mvy\ + пру СВ (mvy)₀ -f npy МД, (mvz)о + пр₃ СВ = (mvz)₀ + пр_, МД.

(mvz)

14*

— 212

Изъ сравнены этихъ уравнешй съ (198) и (199) мы видимъ, что

прхЯГА=ХТ) пр vmA = Ttt пр₃ МА — Zr}

чемъ и доказывается высказанное ранее положен1е объ импульсе силы.

Предположимъ теперь, что промежутокъ г малъ. Если сила X, Y, Z не имеетъ весьма значительной величины, то слагающее ее импульсы

Xdt численно меньше весьма малаго количества X

весьма малы, ибо

шах

,т

и т. д.; следовательно и скорость за это время изменится на весьма малую величину. Это самое обстоятельство имеетъ место въ случае движенш мате-ршльной точки подъ действюмъ обыкновенныхъ силъ, какова, напримеръ, сила тяжести. Но если сила весьма значительна, напримеръ, если она выражается количествомъ ^ , где а некоторое конечное постоянное, то Хг Yz> Z₂

будутъ конечны и, стало быть, импульсъ также имеетъ конечную величину; вследствш этого конечно и приращены скорости. Такъ, если

то

Xdt = —

'к

dt =

Vi — to)

а\

откуда по уравненно (198)

{mvx\ — (mvx)₀ = а.

Перемещены матершльной точки за разсматриваемое время окажется однако же ничтожно малымъ; въ самомъ деле, если мы обозначимъ черезъ v наибольшую скорость, которую имеетъ точка въ течете этого времени, то перемещены ея, очевидно, менее vr.

Итакъ, весьма значительная сила, дгъйствуя на материальную точку въ течете весьма короткого промежутка времени, весьма мало смгъ-щаетъ точку изъ ея положены, но сообщаешь конечное измгьненге ея скорости.

Решая приближенно вопросъ о дМствш ударныхъ силъ, можно обсуждать идеальный случай (представляющш математическое отвлечете) и считать силу безконечно - большой, а время ея дМствш безконечно - малымъ. Тогда мы скажемъ, что подъ дМствшмъ ударной силы матертльная точка мгновенно м'Ьняетъ свою скорость, оставаясь въ томъ положены, въ кото-

ромъ засталъ ее ударъ. Уравнены (198) сохраняютъ свое значеше и въ этомъ случай; они позволяютъ измерять дййствш ударной силы на мате-ртльную точку по измйненш скорости этой точки. Будемъ называть силою удара или импульсивною силою векторъ, компоненты котораго по осямъ суть предгьльныя значенгя Хт, YTf ZT въ предположены, что Lim л = 0. Будемъ при этомъ всегда иметь въ виду, что обыкновенный силы и силы импульсивныя суть количества разнаго наименованы; въ то время, какъ первыя измеряются произведенюмъ массы точки на ускорены, послйд-ны имйютъ размйръ количества движены (или импульса обыкновенной силы).

Допустимъ, что на матершльную точку дййствуютъ силы, компоненты которыхъ суть X', Y', ZX", Y", Z",....

Тогда:

р] 2 /у»

т == Х'+ Х" + Х"'+ . . .

d*y mdP

Г'-f Г"+ Y'"-f . . .

Z'-f

мы

(200)

Умноживъ эти уравнены на dt и интегрируя въ предйлахъ tQ и t

получимъ:

rv-f rVf.

Z'T + Z"x -f- .

{mvx\ — (mvx)₀ = Х'Т + Х"т + . . . (mvy)i — (rnvy)₀

(mvz\ — (mvg\

Если въ числй дййствующихъ силъ имеются конечный силы, то предельный значенш соответствующихъ Yx Zr суть нули, и, стало быть, въ правыхъ частяхъ равенствъ (200) мы должны сохранить лишь слагающая пмпульсовъ ударныхъ силъ. Уравнены (200) показываютъ, что дйй-CTBie совокупности несколькихъ импульсивныхъ силъ на матершльную точку эквивалентно дййствш одной силы, компоненты которой определяются равенствами:

Т,

Хх = 2Х' YT = XY>

Г.

zT=xz>

Эта равнодействующая импульсивная сила, какъ ясно изъ только что написанныхъ уравнешй, есть геометрическая сумма слагающихъ импульсивныхъ силъ. Такимъ образомъ силы импульсивныя складываются по тому же способу, какъ и обыкновенныя.

§ 58. Действы удара на механическую систему. Изменены движенш центра тяжести. По теореме о движенш центра тяжести системы мы можемъ написать по (форм. 165):.

й‘*х

dP

хх,

(165)

= 2Y,

MP

(Pz

clP

2Z.

где Ж—сумма массъ точекъ, входящихъ въ систему, а XX, XY, XZ— суммы проекщй вн’Ьшнихъ силъ, на нее дМствующихъ. Внутреннш силы, развивающшся между членами системы, попарно равны и противоположны, а потому сумма проекщй ихъ на любое направлен^ есть нуль.

Интеграцш предыдущихъ уравнешй даетъ намъ:

{мж)г(мж)г Mrj

~(МГх)₀=Х

Xdt = XX

. (201)

и такимъ же образомъ:

{MVy\-{MVy\ = XYx> {MVX~{MV\ = XZ

где V есть скорость центра тяжести.    ^

Предположить, что промежутокъ tx—t₀ = r весьма малъ; тогда въ пра-выхъ частяхъ полученныхъ уравнены мы должны удержать только импульсы ударныхъ силъ, приложенныхъ извне къ разсматриваемой системе. Такимъ образомъ мы получаемъ следующую теорему: измгъненге количества движения г^ентра тяжести системы происходить такъ, какъ будто вся масса сосредоточена въ центрт тяжести и есть внгьшнгя импулъсивныя силы приложены непосредственно въ этой точит.

Изъ этой теоремы можно вывести такое еледетвю:

Удары, происходящее во время движенгя между тгьлами, входящими въ механическую систему, не измеъняютъ движения ея центра тяжести.

§ 59. Изменены главнаго момента количеетвъ движенш. Разумея подъ главнымъ моментомъ количеетвъ движенш системы, векторъ G, про-екцш котораго определяются формулами (176) и (174):

"Р .°=-г»

~    „    / dx dz

щв = 2т\мш-*ш

пр. G — 2т (х

dy

dx

dt у dt Г

мы на основанш теоремы площадей (форм. 168) можемъ написать:

прх£ = 2 (yZ— г Y),

-dj прyG = 2(zX — xZ), •......

^uPsG=2(xY-yX).

Интегрируемъ первое изъ этихъ уравненгй:

(np XG\

— (прж£)о = 2 I \yZ— z Y) dt

J t₀

(204)

Предположимъ, что tt — t₀ — v есть тотъ безконечно-малый промежу-токъ времени, въ течете котораго системе наносится ударъ. Координаты х, у, з точекъ приложены дМствующихъ на систему силъ не изменяются въ течете удара, такъ какъ система не успеваетъ сдвинуться, а потому:

-к

(yZ — zY) dt = у

‘к

Zdt—z

Ydt = yZT — zYT.

Воспользовавшись этимъ замечашемъ, мы пишемъ уравнеше (204) и следующш уравненш, аналогичныя ему, въ виде:

2{yZx-zYx)

.(205)

(пр^Х — (пр*£)0 (прVG\ — (пр2/(7)₀ = 2 {zXx — xZx), (прZG\ — (пр₃6т)₀ = 2 (х Yr — уХТ)

Въ правыхъ частяхъ подъ знаками суммъ должно удержать лишь члены, относящееся къ ударнымъ силамъ. Такъ какъ въ уравнешяхъ (203) входятъ справа лишь моменты внешнихъ силъ, то и въ уравненш (205) должны войти лишь внешнш импульсивныя силы.

Такимъ образом^, приращенге проекцги на какую-нибудь ось главнаго момента количество двиэюенгя (или суммы моментовъ количества движения около этой оси) равно сумме моментовъ внегинихъ импульсивныхъ силъ относительно этой оси.

§ 60. действщ удара на твердое тело, могущее вращаться около неподвижной оси. Примемъ за неподвижную ось тела ось Oz; пусть неподвижность этой прямой достигнута укр'йплешемъ двухъ ея точекъ 0 и 0 ' (фиг. 101). Допустимъ, что въ некоторый моментъ времени на движущееся твердое тело подействовали импульсивныя силы Р, Р', Р",.*•> определен-ныя своими проекцшми на оси координатъ Хт Yr Zz Х'т Y'r Z'

.....

и координатами точекъ приложены х, у, z, х', у', z\... Опред'Ёлимъ прежде

iN

всего изменены угловой скорости вра-щены тела. Заметимъ однако, что въ нашемъ случае проекцы вектора G выразится по уравнешю (202) такъ:

р’

xN I

Nb

*-ф-

ирeG=Xm ^х

dy

(Ix

dt У dt, 1 ⁵

_^x

а по уравненымъ (203) и (186):

\р"

прZG = J. со,

Фиг. 101.

где J— моментъ инерщи тела относительно оси Oz.

Тогда, подставивъ это последнее значеше проекц1и вектора G въ уравнены (205), найдемъ выражены, которое и рйтитъ нашъ вопросъ. Оно напишется следовательно такъ:

(206)

J(со, — со₀) = X (х YT — уХг)

Обратимся къ вопросу объ ударе, которому подвергается ось вращены. Твердое тело наноситъ ударъ точкамъ 0 и 0', которыя действуютъ на него импульсами, равными и противоположно направленными. Обозяачимъ эти последте черезъ X и N', а ихъ слагающы по осямъ черезъ Nx, Ж, Хе, N'x, Х"у, N\. Такъ какъ связи, стесняющы движете тела, заменены теперь силами, то тело можно считать за свободную механическую систему и приложить къ ней выше добытыя теоремы объ изменены количества движены центра тяжести и проекщй главнаго момента. Такъ какъ проекцш скорости точки тела, координаты которой суть ж, у, z, выразятся по формуле (186') такъ:

dx

v*=ä

= — 0Уу,

dy

Ж = сох'

dz

dt

= 0,

то по формуламъ (201) имеемъ:

. (207)

(MVX), - (MVX\ = - Му (СО, - со₀) = ХХТ + N.-+ N'x, I (MVy), - (М Vy\ = Их (со, - со₀) = 2 YT + Ny -f N'y, (MVZ), - (MVZ\ = 0 = SZr + Nz + N's.

Далее, изъ формулъ (205) замечая, что согласно (186')

КЗ

— со 2 m.cX,

dx

dz

np uG — 2m[zjf x d

— со 2 ту z,

найдемъ:

юо) = ² {yZx — zYT) — aN'y,

—    2mzx (со

—    2 mzy (cot — co₀) = 2 (zXT -xZz)-\- aN'x,

.1

. . . (208)

гд’й а = 00'. Полученныя уравнены (207) и (208) опредйляютъ искомыя силы сопротивлены оси удару, наносимому ей твердымъ т'Ззломъ.

Nx, Nyt Ж, N'

Обратимся къ тому случаю, когда имеется всего одна импульсивная сила, характеризующая получаемый тЗзломъ ударъ, и поставимъ себй сл’й-дуклщй вопросъ: какова должна быть эта сила, для того чтобы ось враще-нш не подвергалась удару. Въ этомъ предположены суммы, входящы въ формулы (207) и (208), сводятся лишь къ одному слагаемому, количества же JST', Ж₂ суть нули. Тогда для определены величины, направлены и точки приложены интересующей насъ импульсивной силы мы получаемъ изъ упомянутыхъ формулъ слфдующш равенства:

Му {со 1 —.со ₀) = -

Т •>

Мх(со₁ — со₀) = Y

ZT = о,

(со₁ — co₀)2mzx — z Y — (col — co₀)2mzy — zXz;

(въ посл’Ьднихъ двухъ уже принято въ разсчетъ предшествующее имъ Zz = 0).

Уравнены Zz = 0 показываетъ, что импульсивная сила перпендикулярна къ Oz. Мы можемъ поэтому выбрать координатную плоскость ху такъ, чтобы она содержала импульсивную силу; тогда координата z точки приложены этой силы есть нуль. Направивъ, кроме того, плоскость zx такъ, чтобы направлены удара было къ ней перпендикулярно, мы будемъ иметь Хт = 0, YZ = P, полной силе удара. После сего вышенайденныя уравнены перепишутся въ виде:

у(со₁ — со₀) = О,

Мх (со₁ — СО₀) — Р, 2 mzy = 2mzx = 0.

Два посл'Ьдны показываютъ, что ось Oz есть одна изъ главныхъ осей эллипсоида инерцш, построеннаго для точки 0; первое даетъ у — 0, а это

значитъ, что центръ тяжести тела лежитъ въ плоскости, проходящей'черезъ неподвижную ось тела и перпендикулярной йъ направленш наносимаго ему удара. Наконецъ, уравнены Мх(со₁ — со₀) = Р, сопоставленное съ (206), которое въ нашемъ случай принимаетъ видъ:

J (cot — со₀) = ж. Р,

даетъ намъ

/у* гр - - •    гр

Мх

Jy . jy    у    А

Сравнимъ это выражены съ формулою, определяющею центръ качаны физическаго маятника, который мы имели бы, подвесивъ наше тело за

ось Oz, т.-е. съ I =    .

’    Ма

Мы видимъ, что разстояше точки приложены удара отъ оси вращены равно разстоянно означеннаго центра качаны. Определенная такимъ обра-зомъ точка приложены импульсивной силы, не наносящей удара неподвижной оси вращены тела Oz, называется центромъ удара, соответствующимъ этой оси.

Сл1эдетв1е. Если тело вращается вокругъ неподвижной оси со скоростью со, то мы можемъ сразу остановить движете, не повреждая оси. Для этого должно подействовать на тело силой, равной Mcol, приложенной на разстоянш I отъ оси въ центре удара; сила эта должна быть направлена перпендикулярно къ плоскости, содержащей ось вращены и центръ тяжести, въ сторону противную движешю.

Это правило принимается въ разсчетъ при устройстве фабричныхъ молотовъ, употребляющихся въ железоделательной индустрш; въ против-номъ случае действю ударовъ, наносимыхъ молоту предметомъ обработки, не преминуло бы расшатать укреплены оси и привело бы аппаратъ въ негодное состояше. То же самое замечаше относится и къ устройству бал-листическаго маятника, служащаго для определены скорости полета артил-лерШскихъ снарядовъ.

§ 61. Объ ударе шаровъ. Прямой ударъ. Представимъ себе два шара (фиг. 102), движущихся передъ моментомъ удара поступательно по напра-

-......-х

Цуу > -У

Фиг. 102.

вленш прямой Ох, соединяющей ихъ центры, съ разными скоростями. Ударъ, который произойдетъ при такихъ обстоятельствахъ, называется прямыми

въ отличю отъ косого удара, имеющаго место, когда скорости шаровъ въ моментъ встречи направлены подъ угломъ къ лиши центровъ.

поло-

Пусть скорость и масса шара 1 суть ух и тх, для шара те же количества обозначимъ черезъ у₂ и т₂ и пусть    Скорости ь\

жительны, если он-fe направлены отъ О къ х.

Прим’Ьнимъ къ этому случаю теорему о движенш центра тяжести. Мы им'Ьемъ матершльную систему, состоящую изъ двухъ шаровъ. Координата ихъ общаго центра тяжести х определяется формулой:

- тххх+т^ тх -(- гщ ’

откуда

dx

V = —

х dt

dxx

dx₂

Щ dt +т'¹ dt

mxvx -j- т%у% тх -f- ш₂

Такъ какъ при соударенш шаровъ въ системе нашей развиваются лишь некоторый внутреннш силы, то

(MVX\ - {MVX = (те, + «У [(TJ, - ( У)»] = 0;

(V,\ = (VX-

Такимъ образомъ обнцй центръ тяжести шаровъ сохраняетъ после удара свою скорость. Обозначая скорости нашихъ шаровъ после удара черезъ ух , у₉’х мы получимъ такимъ образомъ:

(Щ + ш₂) Vm = тхух' + т₂< = тхvx -j- m₂v₂.....(209)

то уравнены имеетъ место, какова бы ни была природа соударив-шихся шаровъ.

Для полнаго определены скоростей после удара его недостаточно. Этотъ вопросъ разрешается различно въ двухъ существенно различныхъ случаяхъ.

I. Шары неупруги. Пока скорость одного изъ соударившихся шаровъ отличается отъ скорости другого (пока ух^>у₂), шары деформируются такъ, что разстояше между ихъ центрами уменьшается. Этотъ процессъ окончится въ моментъ равенства обеихъ скоростей, и два шара останутся въ томъ виде, какой они въ этотъ моментъ получатъ, такъ какъ мы считаемъ ихъ совершенно лишенными упругости; далее они будутъ продолжать движете, все время прикасаясь другъ къ другу, съ тою скоростью Vx, какою обла-даетъ ихъ обнцй центръ тяжести; итакъ, по уравненш (209):

тхУх-\-т^уг

Щ,+ Щ

II. Шары совершенно упруги. Явлеше удара распадается на двй фазы. Въ продолжена первой происходитъ то же самое, что и въ случай неупругихъ шаровъ; когда она закончится, то разстояню центровъ достигаетъ своего минимума, и скорости обоихъ шаровъ равны между собою; онй выразятся и въ этомъ случай формулой (210). Въ течете наступающей вслйдъ затймъ второй фазы происходитъ возстановлеше формы соударив-шихся тйлъ. Обозначимъ черезъ Р силу дййствы шара 1 на шаръ 2 въ какой-нибудь моментъ времени теченш удара. По связи между этой силой и работой мы будемъ имйть:

Такъ какъ сила реакцш второго шара равна и противоположна Р, то такимъ же образомъ:

- Pdx.

mxv* (l 2

Сложивъ два полученныя уравнены, мы будемъ имйть:

Р (dx'

dx) — Pd (х' — х) = Pdr . . .(211)

гдй г = х' — х есть разстояше центровъ шаровъ.

Примйнимъ полученное уравнены къ первой фазй удара. Пусть Р0 есть начальное, а Вл— конечное значеше перемйннаго г; такъ какъ силу развивающейся реакцш шаровъ мы можемъ считать функщей г, то, интегрируя уравнены (211) получимъ:

miVl²_f~m2V2²

к,

Pdr.

Я₀

Такъ какъ

Ыо = vt, (v₂)₀ = v₂, (vt \ = (v₂\ = Vt

то ypaBHeHie наше можно переписать въ видй:

(Щ + Щ) К²

■л»

Pdr . .

. . . (212)

Это уравнен1е будетъ имйть мйсто въ моментъ окончанш удара въ случай шаровъ неупругихъ. Во время второй фазы г измйняется отъ своего minimum’a до первоначальной величины Р₀; скорости мйняются отъ Vx до г\' и v₂, и поэтому интеграцы уравнены (211), отнесенная ко времени течены второй фазы, даетъ:

ff „

Если сила Р, разсматриваемая какъ функцы г, имеетъ одинъ и тотъ же видъ въ течете первой и второй фазы, то тела называются совершенно упругими; тогда

Во

Г ¹ Рг/г -f- Г

J п. J J}t

Pdr = 0.

Въ силу этого обстоятельства сложеше уравнешй (212) и (213) даетъ

намъ :

тхпх"*-\-ш₂г>₂'²

(214)

т.-е въ случай соударены совершенно упругихъ шаровъ ихъ живая сила не изменяется отъ влынш удара. Переписавъ уравнены (209) и (214) въ виде:

Щ {vx — г\) = т., (v₂ — v₂'),

Щ «² — Щ*) = Щ(v±² — <²),

мы, по разделены ихъ другъ на друга, находимъ:

V + ь\ =    + уа'

(215)

или

< — К = V1—Vz

(216)

Обозначимъ скорость удалены второго шара отъ перваго после удара черезъ и', а скорость ихъ сближены до удара черезъ щ тогда

и — v\ — vz,

а следовательно:

и' — и.

Т.-е. шары начинаютъ удаляться другъ отъ друга после удара съ тою самою относительною скоростью, съ которою происходило ихъ оближете псредъ моментомъ встречи. Для определены скоростей после удара мы должны решить совместно уравнены (209) и (216):

mxvx -f - w?₂v₂' = mlv₁ -f- ?w₂v₂, < — Vt' = v₁ — v*,

откуда и получимъ:

vt' = -f

(*’i — Щ),

mt — wz₂

mx + m₂

(vx - v₂).

— 222

III. Частные случаи удара совершенно упругихъ шаровъ.

1) Количества движены шаровъ передъ ударомъ равны и противо

положны :

тогда

mxvx'    = 0.

Складывая эти равенства и принимая во внимаше (215), получаемъ:

(Щ + тя) v/ = — {тх -J- m₂) vt,

откуда:

vi = — vi;

и точно такъ же:

Шары меняютъ направлеше своего движенш, не изменяя численной величины скорости.

2) Массы шаровъ равны. При т

т₂ формулы (217) даютъ:

«Y = *b»

= vi;

шары обмениваются скоростями. Если бы до удара переднШ шаръ былъ въ покое, то после удара задшй остановится, сообщивъ переднему всю свою скорость.

Косой ударъ шаровъ. Въ случае косого удара изследоваше можно вести следующимъ образомъ. Направимъ ось Ох (фиг. 102) по лиши центровъ въ моментъ встречи шаровъ; такъ какъ за время удара положеше шаровъ (приблизительно) не изменяется, то Ох можно считать за неподвижную ось. Такъ какъ направлеше силъ реакцш совпадаетъ съ осью х, то то же направлеше имеетъ и импульсивная сила, выражаемая компонентами

о*-

Xdt,

'Ч

Tdt,

Zdt,

изъ которыхъ два посл-Ьдше нули, ибо Y= Z =0. Применяя къ нашему случаю теорему объ изменены движены центра тяжести, мы убеждаемся, что слагающы скоростей по направленно, перпендикулярному къ Ох, у того и другого шара остаются безъ изменены; что же касается изменены ком-понентовъ по оси Ох, Yx и YJ, то оно совершается по законамъ прямого Удара.

§ 63. Объ изменены живой силы при ударе шаровъ. Мы уже убедились, что въ случае шаровъ совершенно упругихъ никакого видимаго

изменены живой силы не происходитъ. Посмотримъ теперь, что будетъ въ случае шаровъ неупругихъ. Обратимся для этого къ уравнешю (212):

(Щ + Щ) К²

Pdr.

тх ь\²    т₂ v₂² CRl

Ло

Легко убедиться, что интегралъ, стояпцй во второй части, менее нуля. Для этого достаточно вспомнить, что онъ есть пред'Ьлъ суммы членовъ вида Р. Лг, где первый множитель больше, а второй меньше нуля, ибо г уменьшается въ течете удара. Такимъ образомъ полученное уравнеше свиде-тельствуетъ о видимой потере живой силы при ударе неупругихъ т£лъ. Потерянная живая сила переходитъ въ живую силу частичнаго движенш соударившихся телъ, вследствю чего и происходитъ нагр'Ьваше ихъ.

Любопытно вычислить потерянную живую силу видимаго движенш.

Обозначимъ, для краткости, живую силу после удара черезъ Т, удара—черезъ Т₀; тогда

а до

(щ 4- щ) К²

Т = -*■0

%Vl²"b W2V2²

Составляемъ:

Гр    Гр _ Vlyl 1

“* 0    -* 1    9

Кроме того, по формуле (209) напишемъ:

0 = mtvx -f m₂v₂ — mt Vx — m₂ Vx.

Умноживъ это уравнеше на Vx и вычитая почленно изъ предшествующего равенства, находимъ по приведеши:

mi (vi — ^)²

Разности vy—Ух, v₂ — Vx носятъ назваше потерянныхъ скоростей. Применяя этотъ терминъ, мы можемъ выразить полученное уравнеше такъ: при ударгъ неупругихъ шаровъ потерянная живая сила равна живой силгь потерянныхъ скоростей. Это положеше носитъ назваше «теоремы Карно». Она им'Ьетъ место не только въ нашемъ частномъ случай, но и вообще при всякомъ ударе въ механической системе, если только связи, возникающая вследствю удара, им’Ьютъ тенденщю сохраняться и после него, такъ что действительное перемещеню системы въ моментъ времени, следующей за ударомъ, принадлежитъ къ числу перемещешй, согласующихся съ вновь наложенными связями. Таково въ нашемъ случае прикосновеше шаровъ, возникшее при ударе и длящееся, хотя, можетъ быть, и въ течете весьма короткаго промежутка времени, следующаго за ударомъ.

§ 64. Объ изменены живой силы при ударе неупругихъ системъ.

Посмотримъ, какъ изменяется живая сила при ударе неупругихъ системъ. Напишемъ условю равновесш внешнихъ силъ и силъ инерцш, т.-е. основное уравнеше (164) динамики:

X— m

d*x

dt*

)ty+{z

d*z

m dt²

= 0 . . (164)

можно счи-

Отнесемъ это уравнеше къ тому небольшому промежутку времени т, въ течете котораго произошло соудареше тЗшъ, входящихъ въ систему. Такъ какъ точки системы за все время удара г хотя и перемещаются, но очень мало, потому что тела очень твердый, то можно пренебречь теми малыми перемещеншми, которыя произойдутъ за время удара и въ промежутке времени удара т возможный перемещены дх, <%, дг, тать постоянными. Умноживъ основное уравнеше (164) на элементъ времени dt и проинтегрировавъ его въ пределахъ отъ 0 до т, изображающихъ начало и конецъ удара, получимъ:

Xdt — m

j wdt)fy+(\

*■' о    ^ о

Y dt — m

J wa)iyJt

^ о

Z dt — m

''r dd,2

dt*

dt I öz = 0.

Если нетъ внетнихъ мгновенныхъ силъ, то

•V

Xdt = T2X=0,

'•Г

Ydt = rxr= О,

'•Г

Zdt = rXZ=0.

Затемъ перейдемъ къ членамъ

! dx

■г

d*x

dt*

dt =

r-x

dt

- dt =

dx

dx

dt r~

dtJ₀’

⁴ dH)

dt*

dt =

/d ij \ _ (dy\ \dtjx \dt) o’

0.1 »I ^

cS

Обозначая проекцш скорости на оси координатъ въ начала удара черезъ и₀, v₀, w₀, а въ конце удара черезъ и, v, w, получимъ:

-■г

d²x ₇,

^ ^ и0 >

сЦ о

«в

О⁵

Такимъ образомъ результатомъ нашего преобразованы уравнены (164) будетъ следующая формула:

2 |т (и₀ — и) бх -f т (г?₀ — v)&y-\- т (w₀ — w) J = 0 . . . . (218)

Это уравнены показываетъ, что количества движены, потерянныя за время удара на системе съ новыми введенными ударомъ связями, уравновешиваются. Если система вполне неупруга, т.-е. такая, у которой скорости въ концгъ удара согласуются со связями сисгпемы, введенными въ началгь удауа, то одними изъ возможныхъ перемещешй, дозволяемыхъ связями, введенными въ начале удара, будутъ действительный перемещены въ конце удара. Обозначая скорости после удара черезъ и, v, w и называя элементъ времени черезъ dt, получимъ такы действительным перемещены

и dt, v dt, w dt.

Ихъ и можно ввести въ качестве возможныхъ перемещешй, т.-е. можно положить:

и dt = бх*), vdt = бу, w dt — 6z, ил dt = бхх.

*) Если мы возьмемъ скорости до удара и₀, v₀, w₀, то соотвйтствующш имъ безко-нечно-малыя перем-Ьщешя

щ dt, vq dt, w₀dt

не будутъ относиться къ числу возможныхъ, дозволяемыхъ новой связью, и потому не годятся для нашего уравнешя (218), которое выражаетъ paBHOBtcie количествъ движенш потерянныхъ во время удара.

Аналитическая механика. .

15

Следовательно уравнены равновесия потерянныхъ количествъ движе-нш будетъ:

Ho

2 | т |~(и₀ — и) и dt -f- (v₀ — v)v dt -j- (w₀ — w) w dt]^ | = 0 . . .(219') un -4-u

uя.-т--

v₀ -\-v

w==4±w

u₀ — и

v₀ — v

w₀—m

Сокращая уравнены (219') на dt и подставляя въ него эти выражены,

получимъ:

2т

■2т

—2т

О₀—У+К—vy-\-(iv₀—iuy

. (219)

Это выражены представляетъ теорему Карно и читается такъ: потерянная живая сила при ударт неупругихъ ттлъ равна живой силы потерянныхъ скоростей. Идея этого вывода принадлежитъ профессору Остроградскому.

Оказывается, что правая часть этого уравнены всегда положительна, т.-е. при ударе неупругихъ системъ всегда тергяется живая сила.

Теорема Карно имеетъ место вообще при всякомъ ударе въ механической системе, если только связи, возникающая вследствы удара, сохраняются и после него, такъ что действительное перемещены системы въ моментъ времени, следующей за ударомъ, принадлежитъ къ числу переме-щешй, согласующихся съ вновь наложенными связями.

Таково, напримеръ, прикосновеше шаровъ, возникшее при ударе и длящееся въ неупругихъ шарахъ после удара.

Эта теорема имеетъ многочисленныя приложены при изучены движе-ны машинъ.

Въ особенности часто приходится применять теорему Карно въ Гидравлике, где постоянно встречаются удары струй воды между собою или удары воды о лопатки, ковши колесъ и т. д.

§ 65. Ударъ шаровъ несовершенно упругихъ. Если мы имеемъ дело съ действительными физическими телами, то они всегда обладаютъ большею или меньшею дозою упругости, и потому въ действительности имеетъ место промежуточное явлены: происходить видимая потеря живой силы, но она меньше, чемъ если бы тела были совершенно лишены упругости. Назовемъ живую силу скоростей, потерянныхъ во время первой фазы, черезъ Т ; тогда:

Опытъ показываетъ, что число к определяется природою соударяющихся телъ и, стало быть, не стоить въ зависимости отъ скоростей соударяющихся те ль. Это число зовутъ коэффицгентомг возстановлеигя; оно введено въ науку впервые Ньютономъ. Въ случае совершенно упругихъ телъ 7с = 1; въ другомъ крайнемъ случае телъ неупругихъ 7с = 0; вообще же этотъ коэффищентъ представляетъ собою некоторую правильную дробь.

Такимъ образомъ, вопросъ объ ударе шаровъ несовершенно упругихъ сводится къ определенно скоростей ихъ изъ формулъ (209) и (220), т.-е. изъ уравнешй:

mxvx + Va'

т^уф¹

при чемъ по формуле (210):

тхг\ -}- гт₂о.2 тл -f- ш₂

§ 66. Ударъ упругаго шара о преграждающую поверхность. Новое значеше коэффициента возетановлены. Пусть упруий шарь встречаешь при своемъ движенш некоторую преграждающую поверхность. Примемъ

точку паденш шара на поверхность за начало координатъ (фиг. 103), нормаль поверхности въ этой точке—за ось 0х\ плоскость ху пусть содержитъ скорость летящаго шара, плоскость yz, конечно, касается поверхности въ точке О.

ß "а"

Фиг. 103.

Обозначимъ черезъ а уголъ паденш, у черезъ ß—уголъ отражены шара; проекцш скорости до удара на оси координатъ обозначимъ черезъ v, и, ги, а после удара— черезъ г/, и', го'. Заметимъ, что вслед-CTBie выбора осей w = 0.

Такъ какъ импульсивная сила, развиваемая поверхностью, перпендикулярна къ ней и, следовательно, направлена по Ох, то проекцш вектора количества движенш на оси у и z не изменяются после удара, и мы имеемъ:

ти — ти', и — и', mw — mw' = 0, w' — 0.

Последнее уравнеше показываетъ, что, по отражены отъ поверхности, шаръ продолжаетъ двигаться въ плоскости ху.

Живая сила Т₀ и 7t шара до и после паденш на поверхность определяется формулами:

w(w²-f-v²)

те (г//² -f- г/²)_те (г(² -(- г?'²)

Живая сила скорости, потерянной въ конце первой фазы удара,

будетъ:

гх

тег;²

Въ самомъ деле, въ конце первой фазы шаръ не будетъ иметь дви-женш по нормали къ поверхности, а проекцш его скорости на Оу равна своему начальному значению и; такимъ образомъ, слагающш потерянной скорости суть:

v — 0 = v,

Составляя

Т —Т =

⁷ о -Ч

те (г;² — г/²)

и применяя формулу (220), получимъ:

??г(г;² — г;'²)

откуда

v'* = Jc*v ²;

или

= /r²

Но

(9=‘*v’

а следовательно:

tg^a = Jc4g*ß.

Такъ какъ tga и tg/З больше нуля, то по извлеченш корня будемъ иметь отсюда:

tga

tgß

= к.

229

Еоэффицгентъ возстановлепья равенъ отношенью татенсовъ угловъ падетя и отраженья. Если бы шаръ об лада лъ совершенною упругостью, то мы имели бы к = 1 и получили бы обычный законъ равенства угловъ паденщ и отраженья.

ПримЪненю метода Лагранжа къ задачамъ на упругш

системы.

§ 67. Работа, производимая силами, деформирующими упругш тела.

Решимъ нисколько задачъ на определены работы, потребной на различный деформацш упругихъ т'йлъ.

Задача I. Пусть имФемъ стержень AB длины I (фиг. 104), укрепленный къ потолку и находящейся подъ действымъ силы Р, которая изменяется отъ нуля до определенной величины Р, находясь въ постоянномъ равновесш съ силами упругости стержня. Определимъ работу упругихъ силъ при растяженш

стержня.

Пусть въ какомъ-нибудь положены удлинены стержня

t---.

С~1

- и

есть и, тогда вытяжка стержня будетъ

щадь иоперечнаго сеченш стержня черезъ F и модуль упругости черезъ Е, будемъ иметь известную формулу

Назовемъ пло-

(221)

P = EF ,

Фиг. 104.

Пусть 1 будетъ вся работа, произведенная изменяющейся силой Р, т.-е. такъ называемая произведенная работа. Тогда элементарная работа для какого-нибудь положены стержня будетъ

clT= Р .du = ЕЕ - du.

Интегрируемъ, изменяя и отъ О до и, получимъ:

Т=

ЕЕ Г

и du

EF и*

. (221)

Эта формула определяетъ произведенную работу, но весьма во мно-гихъ вопросахъ важно определить произведенную работу не черезъ смещены и, а черезъ конечную силу Р. Чтобы сделать это, изъ формулы (221') определяемъ и

■р:

и~ ЕЕ

(222')

Изъ формулъ (221) и (222) мы видимъ замечательное свойство произведенной работы.

Производная отъ произведенной работы по смещешю равна силе, а производная отъ произведенной работы по силе равна смещешю. Действительно, изъ формулы (221) имеемъ:

dT EFu du l

что вследствы формулы (221) даетъ:

= Р.

Подставивъ это выражены въ формулу (221), найдемъ выражены произведенной работы по силе:

Т=

РЧ

2 EF

(222)

дТ

ди

Далее изъ формулы (222) имеемъ:

дТ_ 1Р_ дР ~~ EF ’

что вследствы формулы (222') даетъ:

QU Ql,

ко| S

Задача 2. Имеемъ стержень AB длины I (фиг. 105) одного и того же

сЗзченш, укрепленный концомъ А къ потолку, а на конце В подверженный действпо некоторой крутящей пары (Q, Q') съ мо-ментомъ М.

Длина I считается отъ А до того сечены, которое крутится. Этотъ моментъ изменяется отъ нуля до некоторой определенной величины, при чемъ при всякомъ положены пара уравновешивается силами упругости, происходящими отъ скашивашй въ сечеши F. Определимъ работу, потребную на преодолены силъ упругости.

При этомъ между моментомъ пары М и угломъ до, на который повернется конецъ

.-У

Я'

Фиг. 105.

стержня, существуешь известная связь:

m=gjX

(223')

где G есть второй коэффищентъ упругости (коэффищентъ для скашиванш), а J есть моментъ инерцш площади еЬчешя стержня относительно оси, проходящей черезъ центръ тяжести площади сбчешя стержня.

Такъ какъ работа пары (Q, Q') равна моменту пары Ж, умноженному на угловое перем’кцеше р, то въ нашемъ случай элементарная произведенная работа будетъ:

G.J

Р. dp.

clT— Mdp

Интегрируемъ, изменяя <р отъ О до р, получимъ:

Т=

G.J <р* I 2

(223)

Чтобы представить произведенную работу во второмъ виде, т.-е. черезъ моментъ Ж, опред'Ьляемъ изъ формулы (223')

ср =

Ml

G.J

(224')

и подставляемъ въ формулу (223); получимъ:

Т=

МП

2 GJ

(224)

Здесь мы опять пров’Ьримъ cooTHonieHie

•V,

дТ₌ G.J dp I

которое по формуле (223') равно моменту Ж. Далее изъ формулы (224) им'Ьемъ:

= не

дТ Ml дМ~ G.J

задача 3. Допустимъ, что небольшая часть короткой заклепки ABCD (фиг. 106) съ площадью сеченш F подвержена дМствш срезывающей силы Р и претерпеваетъ отъ нея скашиваше р. Тогда между силой Р и малымъ угломъ р, выраженнымъ въ доляхъ рад1уса, будетъ иметь место соотношеше

P=G.Fp

где G—коэффищентъ скашиванш.

Элементарная произведенная работа равна

dT=G.F.p.adp.

'■А

[Я

Р

Фиг. 106.

Интегрируя, при изменены ср отъ О до ср, получимъ

Т= GFa Г cpdcp =

л

G.Facp²

Подставляемъ сюда выражены 90 черезъ Р изъ формулы (225):

ср =

G.F *

Имеемъ:

1 G.FaP²

6,2Р²

(227)

Мы видимъ опять, что

ОР 1    >/т ^    „

= — GFa 2ср = Ра

дер

сра,

где сра есть перемещены точки приложены силы Р.

Очевидно, что, взявъ пвоизводныя отъ Т не по ср и по Р, а по сра и Р, мы получили бы прямо силу Р и смещены сра

дТ

дТ

|а

---—d------

д (сра)

д(Р)

сра.

■ ——л:

Фиг. 107.

Задача 4. Пусть имеемъ стержень ОА, ущемленный въ точке 0 (фиг. 107) и подверженный дМствда груза Р, изменяющегося отъ нуля до Р, находясь въ постоянномъ равновесш съ силами упругости. Определить произведенную работу при изгибанш стержня.

Осевая линш стержня приметъ видъ, который определяется извест-ньшъ дифференщальнымъ уравнешемъ:

dx²

d²y _ Р(1 — х) ~~E.J    ’

где Е—модуль упругости, а J моментъ инерцш сечены стержня относительно горизонтальной оси, проходящей черезъ центръ тяжести сеченш. Первое интегрированы даетъ:

При х = О и

äiy

clx

S I^SS

= 0, потому что въ точке 0 касательная къ дефор-

мированной осевой лиши образуетъ съ осью х-оъъ уголъ 0°. Отсюда

0= О+С.

Следовательно,

С= О

ах

Тангенсъ угла касательной на конце бруса получимъ, полагая х = 1. Онъ будетъ

сЦ_Р_ Р dx EJ 2

Вследствю малости угла касательной съ осью ж-овъ, можно, вместо тангенса, прямо разсматривать уголъ у.

Г/) = -

Р Р EJ 2

(228)

Переходя къ дальнейшему интегрированш уравнены

получимъ

EJäy = P[lx-~}dx,

Е-ТУ = Р(~

т) +

а.

Такъ какъ при ж = 0 и г/ = 0, то С₁ = 0. Получаемъ приближенное уравнеше упругой кривой

Е-Ту = р{~- -)

Полагая здесь х = I, найдемъ известную формулу для стрелы прогиба:

(229)

Р1³

3 EJ

Пользуясь формулой (229), можно сейчасъ же составить произведенную силой Р работу. Элементарная работа

Но изъ уравненш (229)

Следовательно,

dT—Pdy.

3 EJ

‘У-

3 EJ

dT— Pdy =

т 3 EJC* ,    3

T=~w\ У*И=2

ydy,

(230)

Подставимъ сюда величину у изъ формулы (229):

т= —

1«

2l³ E*J*

tc l'ö

ьэ

1 Р__ 6 EJ

(231)

Изъ формулъ (230) и (231) опять имеемъ соотношении

Ql,

ду    21³

3 . EJ. 2у 3 EJ Р_ Р 1³ EJ ' 3

- = Р,

дТ 1 I³ „ дР~ 3 EJ'¹ ~у‘

Q'

Задача 5. Определить произведенную работу отъ дМствш на стержень, ущемленный съ одного конца, пары силъ, приложенной къ другому концу.

J /А

Пусть стержень О А (фиг. 108), ущемленный въ точке О, на конце А подвер-женъ эффекту сгибающей пары (Q, Q') съ моментомъ М.

Тогда дифференщальное уравнеше осевой лиши будетъ такое:

Фиг. 108.

gJ а,

I к;

Со

или

= М.

г г А. ш

clx dx

Уголъ, образуемый касательной съ осью х-овъ, назовемъ черезъ ср,

получимъ:

clif

clx

tcg ср = cp.

Подставляя это выражеше въ наше уравнеше, получимъ:

EJ

dcp

dx

Интегрируя, получимъ:

EJcp Мх-\- С.

При

х — О, ср — о, следовательно (7=0.

Отсюда

EJcp = Мх.

Для конца Л надо положить х = 1; поэтому для конца имеемъ:

EJcp = Ml,

М=-

EJ

г”

(232)

Откуда следуетъ, что

ср =

Ml

EJ

(233)

Теперь определяемъ работу пары:

dT=Mdcp.

Выражаемъ работу по углу ср согласно формуле (232):

dT

EJ

ср dcp,

(234)

EJcp* l 2

Подставляя вместо ср его выражеше изъ формулы (233), получимъ:

EJ МП² _ МП 21 ЕЛТ¹ ~ 2EJ

Опять устанавливаемъ, что

дТ EJ п    EJ Ш

Фр ⁼ ТГ 2г/> = ~Г EJ = М’

ср.

дТ _ 1М дМ — EJ

236

Задача 6. Разсмотримъ тотъ случай, когда произведенная работа характеризуется двумя параметрами.

Определить работу, произведенную силами уравновешивающими силы упругости при балке, защемленной съ одного конца и подверженной съ

другого конца действш сгибающей силы и пары.

Пусть стержень AB (фиг. 109) находится подъ эффектомъ действш силы Р и пары (Q, Q') съ моментомъ М.

Здесь имеетъ место принципъ сложены деформащй.

Въ данномъ случае имеемъ, во-пер-выхъ, стрелу прогиба у, а, во-вторыхъ,— уголъ ср.

ж.

Если действуетъ только сила, то ~"х стрела прогиба и уголъ выразятся такъ:

pi³

1,1    3 EJ ’

Фиг. 109.

⁽Pi =

PVl

2JEJ '

Съ другой стороны, эффектъ одной только пары будетъ таковъ:

М/²

1,2 ~ 2EJ ’

EJ '

По принципу сложены деформащй, отъ эффекта одновременнаго дей-ствы получатся уголъ (р и стрела прогиба такой величины:

(£+*)

⁽Р — ⁽Pi + ⁽Рч — jqjj

.    I / PI² , Ml\

У    EJ \ 3    2 J

Мы видимъ, что коэффищентъ при Р въ выражены гр равенъ

(236)

(237)

2EJ ’

той же самой величине

2 EJ

равенъ коэффищентъ при М въ выра-

жеши у.

Составимъ выражены элементарной работы, воображая одновременное действш пары съ моментомъ М и силы Р

dT=Pdy-\-Mdrp.

237

to

и резуль-

Чтобы совершить интеграцно, надо Р и М выразить черезъ у и ср. Помножимъ теперь обе части уравнены (236) на величину татъ умножены вычтемъ изъ уравненш (237), получимъ:

EJ

(«-?>

12

(238)

Значитъ,

12 EJ

Рр

, обе части урав-

Помножимъ теперь обе части уравнены (236) на йены (237) на lL и вычтемъ изъ перваго второе; им^емъ:

EJ

r/,3

Ml

12 EJ

<P

] со

(239)

Зд'Ьсь также коэффищентъ въ уравнены (238) при <р (въ скобка) равенъ

^    ^ ; коэффищентъ въ уравненш (239) при у равенъ той же самой

величине

2/*

Элементарная работа равна

dT — ——

12 EJ

Благодаря упомянутому равенству коэффищентовъ, вторая часть пред-ставляетъ полный дифференщалъ, и уравнеше легко интегрируется

12 EJ [у²

где при ср = 0 и у — О, Т= 0, следовательно, (7=0. Такимъ образомъ произведенная работа будетъ:

гр 12 EJ (у² , /V 1<РУ Т=-^{2+~6

(240)

но проще взять дифференщалы этихъ двухъ выражешй и вставить ихъ въ элементарную работу:

ат=-

Р/

EJ

EJ

{wdP+l-™)+T£r{j*p+dM)

MdM

1 (päM+Mdp\ 1.

ПослУ интеграцщ получимъ:

Т=

EJ [ 6

Ж² I 1

T+JPM]

(241)

Легко убедиться, что, если взять частную производную отъ найденной произведенной работы по смущенно у, то выйдетъ сила Р, по смущенно <р—получится пара М; взявъ производную по силУ, получимъ смУще-nie у, взявъ же ее по моменту пары Ж, получимъ смУщеше ср.

НапримУръ:

дТ 12EJ

ду

7³

<Р ,

это есть сила Р.

дТ I

öM EJ

(*+?).

это есть смУщеше ср.

§ 68. Теорема Кастилшно. Механическая система съ упругими частями можетъ быть такой, что нУкоторыя части разсматриваются недефор-мирующимися, и потому нУкоторыя кинематичесшя условш системы считаются ненарушимыми, а другш части будутъ извУстнымъ образомъ деформироваться, при чемъ деформацш будетъ характеризоваться малымъ измУ-нешемъ нУкоторыхъ параметровъ.

Задача должна быть поставлена такъ, что рядъ параметровъ характе-ризуетъ всю деформацш.

I*

В_

Фиг. ПО.

Если, напримУръ, два бруска AB и CD, ущемленные въ точкахъ А и С (фиг. 110), соединены между собой тягой BD и находятся подъ эффектомъ силъ Р и Р, то деформацш системы, къ которой отнесемъ сгибаше брусковъ AB и CD, а ровно и вытяжку тяги DB, будетъ вполнУ охарактеризована вертикальными смУщеншми хну то-чекъ В и D.

ОпредУленнымъ силамъ Р и F соот-вУтствуютъ опредУленныя смУщенш хну и наоборотъ.

Положеше нашей системы опредУляется двумя параметрами х, у, кото-

сила соот-

рымъ соотвУтствуютъ двУ силы Р и Р. Чтобы сообразить какая

ветствуетъ данному параметру, надо: вообразить, что все параметры не изменяются, а изменяется только этотъ параметръ; потомъ определить сумму элементарныхъ работъ всехъ силъ и разделить ее на изменете раз-сматриваемаго параметра, Въ нашемъ случае, изменяя параметръ х, мы по-лучаемъ элементарную работу Р бх, которая, по разделенно на бх, даетъ намъ силу Р, соответствующую параметру х. На фигуре 111 представленъ стержневой параллелограммъ ABCD, стороны котораго мы считаемъ неизменными, перетянутый по дшгонали растяжимою тягою BD. На параллелограммъ действуетъ грузъ Р и пара (Q, Q'), приложенная къ его плечу CD. Смй-Q щеше параллелограмма определяется: вертикальнымъ смещешемъ х вершины В и угломъ поворота ср его звена ВС. Обобщенныя силы, соответствующая этимъ параметрамъ, будутъ сила Р и моментъ М пары

(Q, Q')-

Всегда, вообще, имеется несколько параметровъ, при изменены которыхъ внешнш силы производятъ работу, и по этой работе можно сообразить обобщенныя силы, соответствующая параметрамъ.

и соот-

Пусть даны параметры q, qx, q₂, ветствующш имъ силы Q, Qx, Q₂,...

Фиг. 111.

Изменены параметровъ весьма малы, но конечны. Когда все параметры заданы, то вполне охарактеризовано все положены системы, и по этой причине можно вполне определить работу Т всехъ упругихъ силъ, входящихъ въ систему, Въ этомъ заключается принципъ консервативности системы. Работа, произведенная на деформащю упругихъ телъ, зависитъ только отъ конечной формы этихъ телъ, а не зависитъ отъ того способа, которымъ мы къ этой форме подошли.

Математически этотъ принципъ консервативности выражается темъ, что производная работы есть функцш всехъ параметровъ, характеризую-

щихъ систему

Т— F(q,    ft,...),

не зависящая отъ того, какимъ образомъ деформащя произведена.

Мы видели, что работа выражается функщей второй степени отъ смй-щешй. Это происходитъ отъ того, что сами упрупя силы являются функщей 1-й степени отъ смещены.

Такимъ образомъ произведенная работа будетъ иметь видъ:

(242)

Т= aq² -(- bqx ² -j- 2cq qx -J-- äq₂" -f⁻

Докажемъ теперь теорему Кастшпано.

Теорема. Частныя производным отъ произведенной работы по смгь-щенгю равны соотвгътственнымъ силамъ, а частныя производным отъ произведенной работы по силамъ даютъ соотвттственныя смтщетя.

Для доказательства вообразимъ систему, подъ эффектомъ н£которыхъ вн'ЗЬшнихъ силъ Q,    Q₂...., въ равнов^сш, при смйщетяхъ q, qt, g₂,...

•>

и приложимъ къ положенно равнов'Ьсш теорему Лаграноюа, то-есть, предпо-ложимъ, что произошли безконечно-малыя изменены параметровъ, вслКзд-CTBie которыхъ всЬ вн'Ьшнш силы, а также и вс!; упругш силы произвели некоторый элементарный работы.

Такъ какъ, по сказанному, при измЗшенш см^щенш q на clq, работу совергааетъ только внешняя сила Q, то эта работа будетъ равна Qdq, также и относительно работы всЪхъ другихъ вн'Ьшнихъ силъ.

Что касается до элементарной работы силъ упругости, то мы зам^-тимъ следующее: мы назвали черезъ произведенную работу Т— работу вн'Ьшнихъ силъ, необходимую для того, чтобы упругш т’Ьла изъ недеформи-рованнаго состоянш привести въ деформированное. Такъ какъ упругш силы при этомъ сопротивляются внЪшнимъ силамъ, то ихъ работа одинакова по величин^, но противоположна по знаку работа внйшнихъ силъ. Такимъ образомъ, работа упругихъ силъ есть (—Т), а элементарная работа упру-гихъ силъ равна (-6Т).

Мы получаемъ уравнеше Лагранжа:

— öT= 0.

Qdq-\- Ql öqt -(-

Изм'Ьнеше ÖT происходитъ оттого, что величины q, входящш въ Т, получаютъ приращешя öq, öqt,... и т. д.

Поэтому наше уравнеше можно написать еще такъ:

дТ

Öq

öq-

дТ

öqt

Или

= 0.

Такъ какъ эта формула имг£етъ мЪсто при всевозможныхъ безконечно-малыхъ изм'Ьнешяхъ öq, öqt, öq₂,.... и т. д., то всЪ коэффищенты при этихъ множителяхъ öq, öqt, öq₂,.... и т. д. должны равняться нулю.

(Какъ известно, это положеше математически доказывается т'Ьмъ, что, вслфдствю произвола перем'Ьщешй, можно предположить, что меняется только одинъ параметръ.)

Итакъ,

Точно такъ же

Qi

дТ

. и т. д.

Такимъ образомъ, первая часть теоремы доказана. Что касается второй части теоремы, то она математически вытекаетъ изъ первой части,

опираясь на то положены, что произведенная работа есть однородная функ-цш второй степени относительно смещены. Въ математике доказывается следующее свойство однородной функцы. Если Т есть однородная функцш п-ой степени переменныхъ q, q₁,.... и т. д., то

п Т—

дТ , дТ

öq

dq,

01 + --

Въ нашемъ случай п — 2. Значитъ,

дТ

дТ

dq

Въ силу доказанной нами первой части теоремы равенство можно написать въ такомъ видй:

или

Предположимъ, что въ первой части все смещены q заменены черезъ соответственный силы Q, изъ линейныхъ формулъ, связывающихъ смещены съ силами, и возьмемъ отъ обеихъ частей этого равенства производную по Q, разсматривая вторую часть уравнены какъ сложную функцш, въ которой все q зависятъ отъ Q.

d(T)

dq

dqt

dQ

dQ

dQ

дТ dq_дТ_ dqL _

dq dQ dqt dQ

dq

dQ

Üj:h

dq

c\Q~r— QdQ

~ ÖQ ~q'

Точно такъ же можно прШти къ выводу, что

d(T)

qt и т. д. Это

и требовалось доказать.

Примеръ 1. Приложимъ теорему Кастилтно къ определенно смещены х и 2/въ упругой системе^ изображенной на фигуре 110 bis, въ предположены, что оба бруса одинаковы и действуете только сила Р. Надо сначала принимать F =iO и потомъ по применены теоремы положить jF = 0. Если сила натяжены тяги ВО есть S, то на точку В действуете сила Р — S, а на точку D сила^Р-}-^- Стрелки прогиба, на основаны сказаннаго выше (форм. 229), будутъ:

r (P-S)l* 3 EJ

(.F±S)P у ~    3 EJ    *

Удлинены стержня BD выразится (221') формулою:

aS

x~y=W’

где а длина, е модуль упругости и f площадь сечены стержня BD. Мы получаемъ для определены S уравнены:

{P-F—2S)P _aS

3 EJ

ef’

изъ котораго следуетъ, что

(Р— F)P

3 EJ

(Р — F)P '

-----т

з EJ

\iF

Положимъ для сокращены письма, что

зер •

Г а ,    2 г 1

*’ [ёГ⁺зЖ|

Фиг. НО bis.

тогда

S=(P—F)L

Подставляя это значеше въ выражены произведенной работы, найдеыъ по сказанному выше, что

:Г=-

1 Р

6 EJ

1    а£Р

2    ef

Теперь мы можемъ определить искомое смещеше х по теореме Ка-

стшпано:

дТ 1 Р Х~ дР ~~ 3 EJ

д&

дР

)+<*:+«) |£]

¹ _1³_

3 EJ

Подставляя сюда выше найденное значеше S, полагаемъ въ оконча-тельномъ результате Р=0.

Получаемъ:

1 РР 3 EJ

Если тяга DB весьма жестка, т.-е. е = оо, то Я думается смЪщете:

r-Ч <м

При этомъ по-

1 Р

6 EJ

Р,

которое будетъ въ два раза менее (см. формулу 229) стрелы прогиба, соответствующей только одному брусу AB.

Этотъ результата очевиденъ самъ собою.

ПримЪръ 2. Для второго примера разсмотримъ ферму, схематически представленную на фигуре 112, которая изображаетъ ферму, поддерживающую крышу въ Химическомъ Институте Императорскаго Московскаго Техническая Училища. Допустимъ для простоты, что весъ крыши 2 Р сосредоточивается въ точкахъ В и D, при чемъ AB = ВС = CD — DE. Сжатюмъ

N' С

В,

8'

Г"

-пЬ-

т.

fcei

со

«iS

_со

viod

сЧ !■

•п К----I

Фиг. 112.

балокъ АС и СЕ будемъ пренебрегать, такъ что всю упругую деформацно будемъ характеризовать изгибомъ балокъ АС и СЕ и растяжешемъ или сжатюмъ тяги BD. Зададимся вопросомъ объ определены силъ Р и R по вертикальному смещенпо у точки В и горизонтальному смещенпо х точки А; при этомъ первое смещеню будемъ считать положительнымъ внизъ, а второе—положительнымъ вправо. На конецъ А балки АС будетъ действовать, кроме R, горизонтальной силы реакцш стены, еще N, вертикальная реакцш стены а на конецъ этой балки С будетъ действовать горизонтальная сила противодействш N' правой балки на левую. Такъ какъ сумма моментовъ этихъ трехъ силъ относительно точки В равна нулю, то образованный ими составляющая нормальныя къ балке на концахъ ея А и С должны быть между собою равны. Вследствю этого обе половины балки АС будутъ симметрично согнуты относительно точки В. Пусть соответственная стрела про-

гиба будетъ BB₁=h. Кром'Ь изгиба балки АС, произойдетъ еще поворотъ ея на некоторый малый уголъ в относительно мгновеннаго центра вращенш О. Если назовемъ черезъ а уголъ наклоненш балки АС къ горизонту и черезъ z горизонтальное см'йщеше точки В, считаемое положительнымъ вправо, то для трехъ величинъ х, у и О найдемъ изъ фигуры 112:

х = Ъд,

у — аО-\-1г cos а, z — — О — к sin а,

и

CF и CAF — а.

гд-й 2 а = AF, Ь

Исключая в, находимъ:

а . ₇

у = - х -j— к cos а, 2 — — — к sm а,

Li

откуда

а х

cos а Ь cos а 2 = х — у tg а.

cos а

2 sin а ’

По этимъ формуламъ находимъ работу Т упругихъ силъ для одной половины фермы:

т=

⁷⁽²+2«

гд’Ь АС = 21, J моментъ инерцш сЬчешя балки АС и f площадь с1зчешя тяги BD. Под став ляемъ значенш к и 2:

т=

■£(

cos а

Теперь, пользуясь теоремой Кастшйано, можемъ написать:

дТ

дТ

дх

ду

р,

при чемъ знакъ минусъ въ первомъ равенств^ поставленъ потому, что-сила реакщи В взята въ обратномъ направленш см'Ьщешю х. Мы находимъ:

о EJ ( у

1³ \ cos а    2 sin а ] sin а

вЩ_у__х_

I³ \cosa 2 sin а] cos а а

~(х—у tga^j . .

. . (243')

ef Г — х

у Ч) «1 t(j « •

. (243")

Эти формулы рЪшаютъ предложенную задачу.

Если бы точки опоры А и Е оставались неподвижными и мы желали бы въ этомъ предположены определить силу В, распирающую стены, то надо бы было положить въ формулахъ (243' и 243") х — 0 и исключить изъ нихъ у. Это дало бы намъ:

Г lJr

efP

2 d9a

3 EJa

sin¹ а

14

efP

& EJa

sin² а

Если бы модуль е былъ очень малъ, т.-е. тяга была бы весьма слаба, то наша формула дала бы величину распора

B = — dg сс,

которая прямо получается, такъ какъ сумма моментовъ силъ N' и Р относительно центра О есть нуль и B = W. Когда 1, тогда членъ

JE

выходитъ очень болыпимъ, вследCTBie того что длина I значительно пре-восходитъ линейные размеры сечены балки. Въ этомъ предположены мы получаемъ:

е/7³

KJ

В = Р ctg а, у —

Ра

ef

dg² а.

Такимъ образомъ прибавлены тяги BD значительно увеличиваетъ рас-поръ ногъ фермы на стены. Этотъ, на первый взглядъ, парадоксальный результатъ произошелъ оттого, что въ данномъ случае тяга BD работаетъ не на растяжеше, а на сжаты.

§ 69. Теорема о наименьшей произведенной работе. Когда къ данной статически определенной системе прибавлены лишнш связи, то для определены упругихъ силъ въ этихъ связяхъ весьма удобно пользоваться теоремою о наименьшей произведенной работе, которая заключается въ следующемъ:'

Если отбросить лигиигя связи и замгьнить ихъ соответственными упругими силами ихъ реакцги на данную определенно статическую систему, потомъ по этимъ силамъ реагщгй и даннымъ внешнимъ силамъ определить всгъ упруггя силы въ полученной определетю статической системе и составить сумму произведенныхъ работъ какъ для определенно статической системы, такъ и для отброшенныхъ связей, то эта сумма при действительномъ значенги силъ реакцгй отброшенныхъ связей имеетъ тгпгтит.

Эта теорема является прямымъ следствымъ теоремы Кастшпано. Пусть (фиг. 113) имеемъ шарнирный параллелограммъ ABCD, точки С и D котораго неподвижны и который обремененъ грузомъ Р, приложен-нымъ къ шарниру А. Параллелограммъ перетянутъ двумя дшгональными тягами СА и DB. Здесь одна тяга, напримеръ, АС, является лишнею связью.

Если бы мы ее отбросили и заменили ея эффектъ силою натяженш Q, то система сделалась бы определенно статической и мы безъ труда нашли бы силы натяженш вс£хъ звеньевъ, въ зависимости отъ силъ Р и Q. По этимъ силамъ составимъ сумму произведенныхъ работъ, которую назовемъ черезъ Tt; кроме этого, составимъ произведенную работу для вытяжки звена СА силою Q', равной и противоположной Q, и назовемъ эту работу черезъ Т₂. Пусть q будетъ удлинеше звена СА. По теореме Кастилшно можемъ написать:

дТ

dQ

q.

Съ другой стороны, если бы речь шла только о звене СА, укреплен-

номъ въ точке С и находящемся подъ эффектомъ силы Q'—Q, то мы имели бы по теореме Кастилшно

дТ₂_дТ₂ _ дО'~дО-^-

Сложивъ обе написанныя формулы, полу

чаема»:

■>

dQ

9'

Но Тх -J- Т₂ = Т есть вся произведенная работа какъ въ системе съ отброшенной связью, такъ и въ отброшенной связи. Мы получимъ

Фиг. 113.

дТ

ÖQ

= 0;

но это есть условю minimum,’а или maximum’а функцш Т въ зависимости отъ переменнаго параметра Q. То обстоятельство, что въ данномъ случае будетъ Minimum, следуетъ изъ того, что Т есть функцш второй степени относительно переменнаго Q, которая при всехъ значеншхъ Q существенно положительна. Если бы имелось несколько лишнихъ связей, то доказательство теоремы было бы такое же. Отбрасываемъ связи и заменяемъ ихъ

силами Q, Qx, Q.₂,..., соответствующими деформацшмъ—q,— qx, — q₂,.....

Называемъ черезъ Тх работу на преодолена упругихъ силъ въ определенно статической системе съ отброшенными связями и черезъ Т₂—работу въ

отброшенныхъ связяхъ. Эти работы будутъ функцшми Q, Qx, Q₂,.....

Пишемъ по теореме Кастилшно:

дТл

дТ

dQ-

2_

ÖQ

=ъ

дТ,

äQ,~

— Qi>

дТ₂

dQx

— ft»

Складывая попарно эти равенства, получаемъ:

Q-j

<с>! ^

дТ

= 0,

Эти формулы даютъ намъ рядъ уравнешй первой степени, опред'Ьляю-щихъ силы Q, Qt,    которыя соответствовали бы minimum,'у функ-

цш Т, если бы это minimum существовало. Но такъ какъ функцы Т всегда положительна, то она наверно имеетъ minimum, который и соответствуем нашей задаче.

решимъ вопросъ о силе натяжены въ тяге СА (фиг. 113). При прибавленной силе Q звено DA будетъ сжато силою Q cos а, а звено AB растянуто силою Р — Q sin а. Звено СВ будетъ растянуто силою

(Р — Q sin а) dg а,

а звено BD будетъ сжато силою

sm а

(Р — Q sin а)

Произведенная работа Тх будетъ:

ef

21

£ Q cos «J -j

ef

2ltg а

[P

— Q sin а

] + 21 [Р ~~ ^ sin “] ct9*aJr

ef

+ 2lcosa

J^P — Q s in ßj

sin² ß ’

где e—одинаковый для всехъ звеньевъ модуль упругости, f—площадь сечены звеньевъ и l = AD. Для работы Р₂ найдемъ:

ef

т =_

² 21

CÖSa Q².

Такимъ образомъ

ef

21

j^cos² ß -f- cos ß) Q² -j- ^ ctg <x -J- ctg² ß -f-

cos а sin² ß

j (Р — Q sin ß)²J .

Согласно теореме о наименьшей произведенной работе искомая величина Q найдется изъ уравнены:

(cos² ß -f- COS Ci) Q —

[ctg аctg* а-\-

cos а

sin² ß

^ (Р — Q sin ß) sin а — О,

изъ котораго следуетъ, что

P cos a -f- sin ß -f-1 sin а 2 cos a -j~ sin ß -f- 2

§ 70. Теорема Мора. Будемъ разсматривать систему, стесненную ненарушимыми геометрическими связями и упругими частями. Предположимъ, что эта система въ первый разъ находится въ равновесш подъ дМствюмъ внешнихъ силъ Q, Qx,.... при смещеншхъ q, qxпри чемъ развиваются внутреннш упругш силы—S, Sx,.... и упругш деформацш s, s₁₅....; во второй разъ система находится въ равновесш подъ дМствюмъ внеш-нихъ силъ Q', Qx,.... при смещеншхъ q', qx,...., при чемъ развиваются внутреннш упругш силы — S', Sx,.... и соответственный деформацш s', 5/,....

Теорема Мора состоитъ въ следующемъ:

Сумма элемептарныхъ работъ вюыипихъ и упругихъ силъ первой группы при безконечио малыхъ перемгьщвтяхъ, проггорц'юналъпыхъ перемгь-п(,етямъ второй группы, равна нулю.

Для доказательства теоремы пишемъ согласно теореме Кастилшно:

дТ

Яг

дТ

öq, ’

Потомъ, умноживъ первое равенство на q', второе—на qx и т. д., складываемъ:

s^=s fs'

(243)

Произведенная работа Т есть однородная функщя второй степени относительно малыхъ смещешй q, qt,.... Представимъ ее въ виде.-

т=

+.....)•

Легко усмотреть, что

dq ⁽

= aqq' + bqlql'-lrc(qql'+q'qi)+ . . .

. . (244)

Съ другой стороны, произведенную работу Т мы можемъ разсматривать какъ однородную функцно второй степени отъ упругихъ деформацш s, sx,.... (удлинешй звеньевъ, стрелокъ прогиба, угловъ крученш и т. д.) и представлять въ виде:

Каждая изъ деформащй s есть линейная функцы относительно смй-щешй q, qx,.... Если замйнимъ величины s, sx,.... ихъ выраженшми черезъ q, qx,...., то выражены (Т) преобразуется въ Т. Составимъ сумму:

д(Т)

^ ~'л~ s' — ass    2у (ssx'-]-s'sx) -j-.....

Зам'Ёнимъ въ ней s, sx,

ихъ выраженшми черезъ q, qx,.....

равнымъ образомъ s', s/,.... подобными же выраженшми черезъ q', qx,....

получимъ:

ds

= aqi'+l>q₁ql'+c(qtll'+q,qi) +......= 2

2'-

На основаши сказаннаго равенство (243) можно представить въ виде:

mS'.

2Qq' = 2

ÖS

Но

дТ

w-s>

дТ

dsx

поэтому

2Qq' — 2Ss' = О

. (245)

Это равенство доказываетъ теорему Мора. Теорема Мора съ удоб-ствомъ прилагается для определены вертикальныхъ см£щешй въ определенно статической ферме.

Пусть (фиг. 114) требуется определить вертикальное смещены узла С подъ действымъ грузовъ Q, Qx, Q₃. Для этого отыски-ваемъ по обыкновеннымъ прымамъ графостатики напряжены S, Sx,... во всехъ звеньяхъ фермы, считая его положительнымъ въ случае растяжены. Потомъ отбрасываемъ все силы Qx, Q₂,    ; а силу Q,

приложенную къ той точке, смещены которой определяемъ, заме-няемъ силою, равною 1 (одна тонна), при чемъ для такой нагрузки по правиламъ графостатики опять разсчиты-

ваемъ все напряжены звеньевъ SXf S₂',.....

По напряженымъ S, Sx,.... вычисляемъ вытяжки звеньевъ

А (о)

ss

Q,

С'

Q,

Фиг. 114.

s;

o)D

s' =

IS'

ef ’

V:

ltSt

е/i

и пишемъ формулу Мора (245), взявши см'Ьщенш изъ второго случая нагрузки, а напряженш—изъ перваго. Получимъ

q — 2S

IS'

ef

0.

Эта формула определяетъ вертикальное см^щеше q точки С.

§ 71. Теорема Макевеля. Теорема эта устанавливаетъ взаимность между двумя точками А та В (фиг. 115) упругой системы по отношешю къ

силе, действующей на одну точку, и смещенш другой точки. Пусть ААХ — q, BBx=qx, АА% = q' и ВВг — qx. Эту теорему можно въ упрощенномъ виде высказать такъг Если сила Q, действующая па точку А, вызываешь въ точке В смещенге qx, то та оюе сила, при-лоо/сенная къ точке В по направленно смегценгя qx, вызываешь въ точке А по направлению прежней силы Q смещение q'. Доказательство этой теоремы получается изъ формулъ (243 и 244) пре-дыдущаго параграфа.

Мы имеемъ по этимъ формуламъ

С,

В,

'А,

в₂ а₂

я:

Фиг. 115.

=-—

"Zi

EQq' — aqq'-\- bqxqx + с (qqx-f q'qx) -f.....

Такъ какъ вторая часть равенства не изменяется отъ перестановки q, qx,.... на q', qx,...., то

EQq'= 2 Q'q

(246)

Это равенство и даетъ теорему Макевеля.

Предполагая, что въ первый разъ вся нагрузка сводится къ силе Q, приложенной въ точке А (фиг. 115), а во второй разъ къ силе Qx, приложенной въ точке В, будемъ иметь:

Qo'=Qid.i-

Если положимъ

Q — Qi >

то найдемъ:

qt = q,

что и требовалось доказать.

Hi Студенческой Издательской Кошм при К.! Т. У.

Вышли въ свЪтъ и поступили въ продажу:

1.    Астровъ А. И., ад.-профес. Водяныя турбины, изд. 2-е (печати.), съ отдельными

атласомъ. 235 стр.-f-XII табл. 1907 г. Цена 5 руб.

2.    Гавриленко А. П., профес. Технолопя дерева, изд. 3-е, исправленное и дополненное

(печати.), при участш инж-мех., препод. И. М. Т. У., С. О. Доброгурскаю. Съ отдельными атласомъ. 107 стр.-{-XV табл. 1909 г. Цена 2 руб.

3.    Горячевъ Д. Н., препод. Анализъ и Аналитическая геометрш. (Лекщи, читанныядля

студентовъ химич. отд. И. М. Т. У.) 412 стр., 125 черт, въ тексте (литограф.). 1909 г. Цена 3 руб. 50 кон.

4.    Жуковскгй Н. Е., профес. Аналитическая механика, издаше дополненное (печати.).

250 стр., 115 черт, въ тексте. 1910 г. Цена 4 руб. 50 коп.

5.    Зворыкинъ В. В., препод. Элементы графостатики, издаше дополненное (литограф.).

233 стр., 75 черт, въ тексте и III табл. 1910 г. Цена 2 руб. 25 коп.

6.    Еалинниковъ И. А., препод. Матершловедеше. Ч. I. Испыташе матертловъ (литограф.).

288 стр. 210 черт, въ тексте. 1910 г. Цена 2 руб. 50 коп.

7.    Кругъ Е. А., препод. Техника переменныхъ токовъ (литограф.). Ч. I. 302 стр., 283 черт.

въ тексте. 1908 г. Цена 3 руб.

8.    Латовой С. Л., ад.-профес. Технолопя воды и топлива (литограф.). 343 стр.-f XIII табл.

черт. 1909 г. Цена 3 руб.

9.    Лешель О. А., препод. Руководство къ практическими занятьями въ электротехнической

лабораторш (литограф.). Вып. I. 82 стр., 23 черт, въ тексте. 1907 г. Цена 65 коп.

10.    Его же. Переменный токъ. Курсъ для среднихъ учебныхъ заведешй (литограф.).

64 стр., 28 черт, въ тексте. 1908 г. Цена 65 коп.

11.    Сидоровъ А. И., профес. Описательный курсъ машинъ. (Элементы машиноведешя),

изд. 3-е (литограф.). 141 стран., 39 чертежей и 48 рисунковъ въ тексте. 1908 года. Цена 1 руб. 30 коп.

12.    Справочные листы для упражненш по термодинамике. Вышло 6 листовъ. Цена

листа 3 коп.

13.    Страховъ Л. С., препод. Практическая механика (печати.), съ отдельными атласомъ

чертежей. 1900 г. Цена 6 руб.

14.    Чаплинъ В. Ж, препод. Отоплеше и вентиляцш, изд. 2-е (печати.), исправленное и

дополненное. 160 стр., 106 черт, въ тексте. 1909 г. Цена 2 руб. 25 коп.

15.    Черепагиинскш М. М., профес. Каменныя сооруженш. (Лекщи, читанныя длястуд. мех.

отд. И. М. Т. У.) 52 стр.-[-У1 табл. черт, (печати.). 1903 г. Цена 1 руб. 15 коп.

16.    Чистяковъ I. Л., препод. Тригонометрш. (Лекщи для слушательницъ высшихъ жен-

скихъ курсовъ.) 128 стр., 67 черт, въ тексте (литограф.). 1910 г. Цена 1 руб.

Печатаются и готовятся къ печати:

17.    Астровъ А. И., ад.-профес. Гидравлика, изд. 2-е (печатное), исправленное и значи

тельно дополненное, съ черт, и табл, въ тексте.

18.    Давыдовскт В. О., профес. Конспектъ лекщи по физике для высшихъ женскихъ кур

совъ. Литографированный курсъ съ отдельными атласомъ чертежей.

19.    Жуковскт 77. Е., профес. Теоретическая механика. Ч. I. Статика. Ч. И. Кинема

тика. Ч. III. Динамика. Изд. 2-е (литограф.).

20.    Лахтинъ Н. К., нрепод. Расчетъ арокъ и сводовъ (печати.), съ черт, въ текста.

21.    Писаревъ В. 77., препод. Механика. Лекцш, читанный на высшихъ женскихъ курсахъ

(литограф.).

„Техническая библютека Студенческой Издательской Комиссш

при И. Т. У.".

Вышли въ с в t т ъ:

.№ 1. Бернеръ. Berner О., Dr.-Ing. Примкнете перегр^таго пара въ поршневой паровой машин!; (печати.). Переводъ инж.-мех. С. Н. Житкова, подъ ред. профес. И. М. Т. У. В. И. Гриневеп/каю. 97 стр., 39 черт, въ текста. 1908 г. ДЬна 1 руб. 60 коп.

№ 2. Шталь. Stahl W. Паропроводы высокаго давлены на выставка въ Дюссельдорф¹!; (печати.). Переводъ инж.-мех. 7/. А. Богданова и А. А. Оттъ, подъ редакций преподавателя И. М. Т. У. инж.-мех. К. В. Кирша. 24 стр., 28 фиг. въ текст!;. 1908 г. Ц!зна 55 коп.

№ 3. Жуковскт 77. Е., профес. Теоры регулированы хода машинъ (литограф.). Ч. I. 140 стр., 62 черт, въ тексгЬ и III табл. 1909 г. Пфна 2 руб. 25 коп.

КромЪ того, въ складЪ Издательской Комиссш имеются слЪ-

дующш изданы:

Литографированы ы я:

Величковскт А. 77., препод. Термодинамика. (Лекцш, читанный для студент, химич. отд.

И. М. Т. У.) 236 стр., 22 черт, въ текста. 1907 г. Ц!;на 2 руб. 20 коп.

Павловъ В. Е., ад.-профес. Аналитическая химы. Количественный анализъ. Ч. I. Объемный анализъ. Ч. II. Весовой анализъ. (Лекцш, читанный для студент, химич. отд. И. М. Т. У.) 240 стр., 26 черт, въ текст!;. 1907 г. Пфна 2 руб. 30 коп.

Прокунинъ М. 77., профес. Химическая технолопя мйнеральныхъ веществъ. 304 стран., 308 черт. 1899 г. Щзна 10 руб.

Страховь 77. С., препод. Прикладная механика. (Лекцш, читанный для студент, химич. отд. И. М. Т. У.) 368 стр., съ отд!;льнымъ атласомъ чертежей въ XXV табл. 1907 г. Пфна 4 руб. 60 к.

Черепашинскгй М. М., профес. Расчетъ моста. Пособю при проектировании жел!;зныхъ мостовъ. 109 стр., 45 черт, въ текст!;. 1906 г. Пфна 1 руб.

Печатный:

Александрово В. А.,инж. Практическая работы по электротехник^. 800 стр., 237 черт, въ текст!;. 1909 г. Пфна 2 руб. 25 коп.

Аидреевъ К. А., профес. Основной курсъ аналитической геометрш, изд. 5-е. Съ приложе-шемъ прим'йровъ, задачъ и вопросовъ для повторены. 610 стр. 120 черт, въ текста. 1909 г. Пфна 3 руб. 50 коп.

Ею же. Сборникъ упражненш по аналитической геометрш, изд. 2-е. 188 стр., 7 фиг. въ текст!;. 1909 г. Д. 1 руб.

Астровъ А. И., ад.-профес. Атласъ конструктивныхъ чертежей, исполненныхъ турбин-ныхъ установокъ, турбинъ и главн'ййшихъ ихъ деталей. Состоптъ изъ 95 таблицъ. 1905 г. Ц!;на 11 р.

Башелъри. Bachellery. Автоматическая сцФпка вагоновъ на американскихъ жел. дорогахъ. Переводъ съ франц. инж.-мех. II. В. Подчинепнова. 90 стр., 20 черт, въ текста. 1903 г. П*на 1 руб.

Вейнбергъ Я. И. ЛФсъ, значеше его въ природ* и мФры къ его сохраненпо. 563 стран. 1884 г. ЦФна 2 руб. 50 коп.

Его же. О самовозгаранш. 249 стр. 1895 г. Ц*на 75 коп.

Его же. Паровые котлы. Причины взрывовъ паровиковъ и м*ры къ ихъ предупреждение. 393 стр. 1888 г. Ц*на 1 руб. 25 коп.

Витгггенбауэръ Ф., профес. Сборники задачи по теоретической и аналитической механик* съ р*шешями. 770 задачи, 306 стр., 531 черт, въ текст!?. 1908 г. Ц*на 2 руб. 50 коп. Его же. Графическое опред*леше в*са махового колеса. Переводъ студ.-техн. JL 31.

Всшнберха. 16 стр., 8 фиг. на отдельной таблиц*. 1908 г. Ц*на 50 коп. Гриневецкт В. И., профес. О современныхъ локомобиляхъ. 105 стр., 33 черт, въ текст* и IY отд. таблицы чертежей. 1906 г. Ц*на 2 руб.

Его же. Тепловой расчетъ рабочаго процесса двигателей внутренняго сгоранш. 26 стр., 4 черт. 1907 г. Ц*на 75 коп.

Гюльднеръ Г., инж., Двигатели внутренняго сгоранш. Переводъ съ н*мецкаго инж.-мех. К. В. Кирша и II. К. Пафнутьева, подъ редакцией профес. И. М. Т. У. В. И. Гриневецкого. 594 стр., 812 фиг. въ текст* и XXYI листовъ чертежей. 1907 г. Ц*на 11 руб.

Донде А. Стереоскопическая фотографы, ея теорш и практика. 136 стр., 41 рис. 1908 г. Ц*на 50 коп.

Залгьсскт В. Г., ад.-профес. Строительное искусство. Ч. I. Строительные матершлы.

236 стр.+ХШ табл. черт. 1906 г. Ц*на 3 руб. 50 коп.

Игнатовъ К. 31., инж.-мех., препод. И. М. Т. У. и Зав*д. Технич. Контор. Московск. водонр. Изъ практики проектированш инженерныхъ сооружены. Издаше выходитъ отд*льными листами разм*ромъ 21"Х14", каждый листъ им*етъ свой №.

I отдгьлъ. Расчетъ движеиш воды въ трубахъ, каналахъ, р*кахъ, канавахъ, лоткахъ и пр. Расчетъ трубопроводной с*ти. Листы №№ 1—18 и № 27. Ц*на 4 руб. 65 коп.

II отдгьлъ. Проектные и рабочш чертежи но устройству трубопроводовъ. Листы №№ 30—33. Ц*на 60 коп.

III    отдгьлъ. Детали и расчетъ трубопроводовъ. Листы №№ 29, 40,42, 43 и 46.

Ц*на 75 коп.

IV    огггдгълъ. Общш данныя по проектированш жел*зо-бетона. Листы №№19,

22—26, 202 и 203. Ц*на 1 руб. 20 коп.

V огпдгълъ. Прим*ры расчета и конструкщй жел*зо-бетонныхъ (и кирпич-ныхъ) сооружен1й. Листы №№ 20, 21, 28, 34—39, 41, 44 и 45. Ц*на 1 руб. 50 коп.

VI огггдгълъ. Работы общаго характера. Листы №№ 25, 26 и 29. Ц*на 60 к. Его же. Къ воиросу о надежности и наивыгодн*йшей конструкц1и инженерныхъ сооружений (водопроводныхъ и канализащонныхъ). 31 стр. съ черт, въ текст*. 1909 г. Ц*на 60 коп.

Извтьстгя 31еханическаго Инсггптгуггга И. 31, Т. У.

Выпускъ I. Работы по паровымъ котламъ въ 1903—4 ак. году. 24 стр., IX табл. 1904 г. Ц*на 1 руб.

Выпускъ II. В. И. Гриневецкий. Графическш расчетъ парового котла. 46 стр., II табл. 1905 г. Ц*на 1 руб. 25 коп.

Выггускъ III. К. В. Киршъ. Изсл*доваше паровой установки Фряновской шерстопрядильной фабрики.

Работы локомобильнаго котла Инж. Лаборатории при новой нефтяной тоик*.-

Топка Вильтона и ея работа. 39 стр., 8 черт, и IY табл. 1906 г.

ЦФна 1 руб.

Выпускъ IV. И А. Калинниковъ.

Изсл!здоваше причинъ разрыва парового котла.

Испытаню желФзо-бетонныхъ брусьевъ.

Испыташе на разрывъ круглыхъ и плоскихъ образцовъ, поперечное с^чеше которыхъ въ середин!) длины сужено выточкой или запиломъ. Влшнш скручиванш литого железа на его механическш свойства. Испыташе литого и ковкаго чугуна Бутырскаго завода въ Москв4. Упругость приводныхъ ремней: кожанаго, тканаго верблюжьяго и тканаго хлопчато-бумажнаго.

Новые приборы для испытанья матершловъ: а) экстензометръ для ремней; Ь) дефлектометръ.

На какую глубину сл4дуетъ ввертывать железную шпильку въ чугунную деталь. Щна 1 руб.

Выпускъ V. Расходъ и давленш пара на пульверизацно при разныхъ кон-струкцшхъ и нагрузкахъ паровыхъ форсунокъ.

ИзслФдоваше влшнш разныхъ устройствъ топочной кладки на работу топки и котла. 11 стр., У табл., 8 фиг. и 5 рисунк. 1907 г. Щна 50 кон.

Выпускъ VI. К. В. Киршъ. Опыты съ корнваллшскимъ и водотрубнымъ кот-ломъ при нефтяномъ отопленш.

К. В. Киршъ и И. И. Куколевскш. Изсл'Ьдоваше пароэлектрической установки центральной станцш И. Т. У.

К. В. Киршъ. Изслйдоваше котельной центральной электрической станцш городскихъ желйзныхъ дорогъ Москвы. Щна 1 руб. 25 коп. Iocce Э., профес. Современный силовыя установки. Техническое и экономическое изсл'Ь-доваше. Переводъ съ нФм. инж.-мех. Н. К. Пафпутьева. 111 стр., 54 фиг. въ текста. 1909 г. Щна 1 руб. 50 коп.

Кестнеръ Е. Г., инж.-мех. Паровозостроительный заводъ Baidwina. Изъ поездки въ С4-веро-Американсше Соединенные Штаты. 77 стр., 76 фиг. въ текста. 1909 г. Щна 1 руб.

Киферъ Л. Г., инж.-мех., препод. И. М. Т. У. Атласъ конструктивныхъ чертежей и эскизовъ исполненныхъ воротовъ, крановъ, подъемниковъ и ихъ деталей. 63 табл.

1907    г. Щна 9 руб. 50 коп.

Его же. Изгибъ кривого бруса. Теорш и примеры расчетовъ. 55 стр., 26 фиг. въ текст!). 1904 г. Щша 80 коп.

Ержижановскт А. Э. Плотины и эксплоатацш энергш воды для питашя двигателя. 66 стр., ХУ табл. черт. 1904 г.

Его же. Гидравлическая теорш турбины Францисса быстроходнаго типа. Расчетъ и по-строеню лопатокъ. 37 стр., 18 черт. 1907 г.

Кроллъ М., профес. Учебникъ электротехники для техническихъ школъ и практиковъ. Переводъ съ нФмецкаго, подъ редакщей преподават. И. М. Т. У. В. И. Угримова. 332 стр., 595 фиг. въ текстй. 1908 г. Щна 3 руб. 60 коп.

Куколевскш И. И., инж.-мех. Насосныя машины городскихъ водоснабженш. 54 стран., 55 фиг. въ текст!) и I табл. 1909 г. Щна 1 руб. 80 коп.

Кулжовскт Г. И. Копироваше посредствомъ свФта картъ, плановъ, чертежей и т. п. съ научной и художественной ц4лью. Изд. 2-е, дополненное. 32 стр. съ рисунками въ текст!) и III цветными таблицами. 1900 г. Щна 60 коп.

Мазингъ Е. К., инж.-мех. Сборникъ чертежей калорическихъ двигателей. IX таблицъ. Щна 1 руб,

Миловичъ А., инж -мех. Конструирована лопатокъ турбины Френсиса по способу профессора Pfarr’a, изд. 2-е, исправленное и дополненное. 96 стр. и УШ табл. черт.

1908    г. Щна 1 руб. 50 коп.

- 255 —

Поллковъ Р. В., инж.-мех., препод. И. М. Т. У. Инструментальная сталь и ея закалка.

97 стр., 44 фиг. въ текст* и YI табл. 1910 г. Ц*на 1 руб. 25 коп.

Его же. Основы механической технологш металловъ XII-f338 стр., 326 фиг. въ текст* и YIII табл. 1909 г. Ц*на 3 руб. 50 кон.

Pfarr. Закрытия турбины на горизонтальномъ валу. 32 стр., 21 фиг. въ текст* и III отд*ль-ныхъ таблицы. 1909 г. Ц*на 75 коп.

Его же. Расчетъ всасывающей трубы. 19 стр. и II отд*льныхъ таблицы. Ц*на 35 кои.

Ридлеръ А., профес. Машиностроительное черчеше. Наглядное изложеше рацюнальныхъ основъ исполнены чертежей въ связи съ потребностями практики машиностроешя. Переводъ съ н*мецкаго инж.-мех. Н. К. Пафнутъева. 129 стр., 256 фиг. въ текст*. 1902 г. Ц*на 2 руб. 50 коп.

Ритшель Г. В., профес. Руководство къ расчету и проектирование системъ отопленш и вентиляцш. Переводъ подъ редакцией ад.-профес., гражд.-инж. В. Г. Залгъсскаго, препод., инж.-техн. В. М. Чаплина и инж.-техн. В. И. Кашкарова. 211+495 стр., XXVIII табл. 1906 г. Ц*на 10 руб.

■Сидоровъ А. И., профес. Атласъ конструктивныхъ чертежей деталей машинъ, изд. 4-е. 4.1. 60 табл. 1902 г. Ц*на 6 руб.

Его же. Атласъ конструктивныхъ чертежей деталей машинъ, изд. 4-е. Ч. II. Трубы и ихъ соединены. 62 табл. 1906 г. Ц*на 6 руб.

Его же. Временныя таблицы (для студ. И. М. Т. У.), изд. 2-е. XXXII таблицы. 1909 г. Ц*на 2 руб.

Ею же. Детали машинъ. Текстъ. Ч. 1. Изд. 3-е. 295 стр., 31 черт, въ текст* и 8 рисун. 1908 г. Ц*на 2 руб.

Ею же. Задачникъ по деталями машинъ. 329 задачи. 1909 г. Ц*на 1 руб.

Ею же. Плоскю регуляторы быстроходныхъ машинъ ихъ устройство теорш и расчетъ.

172 стр. -f- XII отд*льныхъ таблицъ черт. 1895 г. Ц*на 2 руб. 50 коп.

Таблицы по машиностроительному черчетю. Къ чертежу трубопровода. X табл. 1907 г. Ц*на 35 коп.

Таблицы по магииносгпроителъному черчетю. О вычерчиванш болтовъ и винтовой нар*зки.

IY табл. 1908 г. Ц*на 20 коп.

Таблицы по скицировцнгю. III табл. 1908 г. Ц. 15 коп.

Таблицы С.-Петербургскаю металлическаго завода. Котлы съ внутренними топочными трубами (Корнваллшсше и Фербернсюе). Пособш для проектированы 1907 г. Ц. 7 к. Тайлоръ Ф. В. Объ искусств* обработки металловъ р*зашемъ. Переводъ съ англыскаго инж.-мех. Р. В. Полякова. 114 стр. съ черт, и табл, въ текст*. 1908 г. Ц*на 1 руб.

Угримовъ Б. И., препод. И. М. Т. У. Основы техники сильныхъ токовъ. Томи I. Постоянный токъ. 487 стр., 428 фиг. въ текст* и IY табл. 1908 г. ЦФна 3 руб. 50 коп. Его же. Техника сильныхъ токовъ. Томъ II. Перем*нные токи. Вращающшся магнитныя поля. Трансформаторы. 225 стр., 188 фиг. въ текст*. 1908 г. Ц*на 2 руб. 50 коп.

Фолькъ К. Составлены перспективныхъ эскизовъ деталей машинъ. Переводъ съ нФмецк. инж.-мех. И. II. Еуколевскаго. 27 стр., 76 фиг. въ текст*. 1903 г. Ц*на 60 коп.

Ilaecler Н. Больная паровая машина и первая помощь въ несчастныхъ случаяхъ синею. Переводъ съ н*мецкаго инж.-мех. А. И. Сидорова.

Ч. I. 351 стр., 724 фиг. въ текст*. 1902 г. Ц*на 2 руб. 50 коп.

Ч. II. 433 стр., 457 фиг. въ текст*. 1904 г. Ц*на 2 руб. 50 коп.

Ею же. Паровыя машины и парораспред*лешя. Полный переводъ съ н*мецкаго, съ неправлеными и дополненшми профес. И. М. Т. У. А. И. Сидорова. Книга состоитъ изъ двухъ частей (въ одномъ том*) и папки съ чертежами (16 малыхъ и 10 боль-шихъ таблицъ). 1902 г. Ц*на 9 руб.

Худяковъ П. Е., профес. Сопротивлеше матертловъ. Часть I и II. Издаше 3-е, съ дополнениями. 333 стр., 93 фиг. въ текста. 1909 г. Ц*на 3 руб. 20 коп.

Его же. Построена насосовъ. 459 стр., 243 фиг. въ текст!;. 1899 г. Ц*на 3 руб. 60 коп.

Его же. Обзоръ усп*ховъ и новостей въ построенш и применены поршневыхъ насосовъ. 73 стр., 22 фиг. въ текст!;. 1903 г. Ц*на 50 коп.

Его же. Путь къ Цусим*, изд. 2-е. Посвящается памяти товарищей техниковъ, погиб-шихъ въ Цусимскомъ бою. Книга выясняетъ основныя причины нашего пораженш подъ Цусимою; въ ней собраны фактическш данныя для осв*щенш нашей поразительной технической отсталости въ морскомъ д*л* передъ войною и нашего нера-д*шя. 332 стр. 1908 г. Ц!;на 2 руб.

Hütte. Справочная книга для инженеровъ, архитекторовъ, механиковъ и студентовъ. Ч. I и II. Изд. 7-е, 2584 стр., бол*е 1650 черт, въ текст!;. 1910 г. Ц*на 6 руб. 50 к.

Шапогиниковъ II. А. Основной курсъ математическаго анализа.

Томъ /, выпускъ 1. Введеше въ высшую алгебру и анализъ перем!;нныхъ, изд. 3-е. 144 стр. 1908 г. Ц*на 1 руб.

Томъ I, выпускъ 2. Основашя дифференщальнаго и интегральнаго исчисления съ приложешями аналитическими и геометрическими. 236 стр., 80 черт, въ текст*. 1906 г. Ц*на 1 руб.

Томъ II, выпускъ 1. Основанья высшей алгебры и нродолжеше анализа пере-м*нныхъ съ приложешями аналитическими и геометрическими. 238 стр., 18 черт, въ текст*. 1908 г. Ц*на 1 руб.

Томъ II, выпускъ 2. Интегрирована дифференщальныхъ уравненш и Bapia-щонное исчислеше. 156 стр. 1909 г. Ц*на 1 руб.

Ясинскш В. И., докт.-инж., инж.-мех. Вентиляцш въ парц1альныхъ паровыхъ турбинахъ. Теорш и экспериментальное изсл*дован1е. 58 стр. 43 фиг. 1908 г. Ц*на 1 руб.

Его же. Комбинированная паровая турбина. Опытъ теоретическаго выясненш вопроса о ращональномъ комбинирован1и активной и реактивной паровыхъ турбинъ. 27 стр., 13 фиг. въ текст* и I табл. Ц*на 80 коп.

Его эгсе. J—S. Диаграмма для водяного пара. Въ маломъ масштаб*. Ц*на 15 коп. Въ болыпомъ масштаб*. Ц*на 30 коп., на лучшей бумаг* 40 коп.

КромЪ ве^хъ перечисленныхъ книгъ на Склада Издательской Ко-MHeeiH имеются и друпя издашя.

Студенческая Издательская KoMHccifl принимаетъ на себя выписку всевозможныхъ издан!й.

Студенческая Издательская Комиссш принимаетъ на себя какъ ведете всевозможныхъ издашй, такъ и иеполнеше вс’Ьхъ работъ по изданшмъ какъ-то: корректуру, изготовлен1е чертежей, рисунковъ, сноше-Hia съ типографшмя, литографшми, а также беретъ на себя представительство по распроетранешю издашй.

"Ш

V

V

= i ТШ?. г

‘■' ' .

S*'?

(ВчЕк*!

■    -Г■    ■■■■•■

«2

'

ШШШШти,

#

ЗШ» '-г \Г" '-

V

g •

Vv

.

■Щ,

V

■

•‘Ш

jfe

Ц

J

;

/

itv

m

■#'

m

Щ

■

ш

h

u

WÄ

f    I ■-.

iß

<

Ш

ЗЙ&

•W"V

p

■' vf-

. И

1

m

j

к*

А'

:

mm

'

■

Щ&'Z&- i'-'r'

,.... -&s* *: * ?■

■

а    ...

:.%<

4. ^

*»*fe -t

4/

iü -

. ■

■ 'j.v-4-v    ..*,    ' ;.r\-

aaa

^Ям*

gsg

a '⁴ .f ’fv.' s

А^АА^Й- AA ’l

Ш8Й; E||

m

«ei " •'    r^-4. ‘ »:Ч£Г--'>'"?-

ß AArA;'

aä-a

|fcj

V'^-:

>. .--:^v -4 . . -.■- ..

>

-•.’

Ж

fc;

Ptif;

ж

■

й

• ЩШ ' . Ш л

&

-■■

■

Ж

Щшт.

а

II

"

V У i

/    t .    ••

шш

У

"1

»

■

ßä

'

Шш

и?

SÄ;

'

ly

f ••§:

fr- 4'

-•

t

-Л

Ш§У

m

m

-- » ^

IsSf

ssb@£ul!

mm

■ m -

тшш

■■

f- ..:Г: 4;; У

a,Si II

>

Л

Г-

ч»:;

i

кг

ш

4

г

I 'П*

ШШ

m

Ш

.

и

\

Ш1

#

,

■ '    --V

' £

■

4 ;■

..

"

■ '■'■ -j;'"--«1

]

⁵"lü⁴

vK-’'-

V Я1Е.:

V.:

-

K£N*'

ii

.

Ц

mmm

\3ÄVt

ftlÜ4;0:; *»p§ 'mm, m;

r

Ш

•• ' Л.

. ’

&!8S5r*

WYDZULT P0L1TECENICZNE KRAKOW

В1ВЫ0ТБКА GtÖWNA

f—■ Г'.'ЛПЯ)

5 ;■ ■ ~x

--jänrnt

•-Kadi.

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

Biblioleka Politechniki Krakowskiej

100000301438