ai

iS

TTTzT

M»

H»

■

m

aM.::' .= "

MK

y: ;

■- ..

apaa

ararai i;ala

a.'à

;

iss*

a-a

..

TT'-TT T:

iil

;aa

aar

aTaTT

sssśj

S

MM:-

il

aaa

if?

:

;

::::::

:__::a: ia-^a.

aa rr~-:

Wê#

aâ ..

HH

■ -

::a

^Ëlpii

•M;

■

TTT

ü

MM

i

S

5vvp» ■^vC*"-Z--ÿ->'.

aâ

T'a

âiaa

P

T;T;

•> ¹    V-IT *-v ;-

ÏÏmmmS^WrU

__________________

ippii*fpsiilliii

JgP^

-

TM

■:. :

:

SÎÜSS

--.v! ■ : .

-Mi:

TT

ü?

aTTT

TT

-Mi

%lT ;

a-

äS?:!Ä

T T;

zm

TT-

: : K .•

TT

'a a

ÜPlfec

S=5î

MMI

:a-

«HS:

mm

. .:

;T'cV-

TTmT-’.T-:;

T

a mm......■ ■■“■■i

ife

m

1

ra

■■■■■pp

■mĘĘM

■«■■■IIBMM—

«

'ÊÊIÊIIÊÊIÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊli^M

.iôsïs^-^■*

TTî;

■■■■■■H

'

liliii

a J* a

:

s|i.

•V

ZASADY TEORYI PROMIENIOWANIA

PRZEZ

WŁADYSŁAWA NATANSONA

WARSZAWA

WYDAWNICTWO REDAKCYI

PRAG MA TE MA T Y G ZN O - FI Z YCZNYCH 1912

wm

mmm

■H

■■■

m

TM

m

gig

WM

-

h*

§8

m

wÊMBfflm

•;    ■ •-.    - .    •    ,    ■:    ■■'. :    ■ -V .    ,

mä

Wif*

m

ßKöNKrs

Ip

mm

mm

sm

B'blioteka P₀/,łech

E&rag9g£ll

«ÿ

&m:''

< ■,

II

«nsis

Fin? s

ZASADY TEORYI PROMIENIOWANIA

PRZEZ

WŁADYSŁAWA NATANSONA

WARSZAWA

WYDAWNICTWO REDAKCYI

PRAC MATEMATYCZNO-FIZYCZNYCH 1912

S OMLET

I,

Osobne odbicie z tomu XXIV-go

„PRAC MATEMATYCZNO-FIZYCZNYCH“.

I.

BIBLIOTEKA I .

krabów

,,dan

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298911

Drukarnia Kubieszcwskiego i Wrotnowskiogo w Warszawie.

TREŚĆ.

Rozdział pierwszy.

Str.

t/f t/f </f t/f r/f t/f t/f CSf t/f

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

§ io.

Promieniowanie trwałe . Założenia ......

Natężenie promieniowania Gęstość promieniowania . Zdolność emisyjna.    .    .

Zdolność absorbcyjna. . Prawo równowagi . . .

Uogólnienie.....

Wniosek......

Promieniowanie czarne .

11

11

t/f. t/f t/f t/f

cn co

Rozdział drugi.

Termodynamika próżni . Równanie Boltzmann a Prawo Stefana . . . Prawo W i e n a .    . .    .

CO lO CO N

etf. 'Ss Ss. ’S/. rss. 'Ss. ’S/. <//: Ss. <//. ■>//>

Rozdział trzeci.

Podział zagadnienia......

Pierwsze główne twierdzenie.............

Interpretacya odmienna...............

Rachunek Jeans a.................

Założenia Teoryi Plancka..............

Przypadek szczególny. Oscylator...........

Elektron. Uproszczone równanie drgania........

Zanikanie drgań. Przybliżona ocena liczbowa.......

Wpływ pola obcego; drgania wymuszone /.......

Energia pochłaniana i wysyłana. Wartość średnia energii . .

Oscylator pod wpływem promieniowania.........

Pierwsze twierdzenie główne.............

r- co

CM CN C/Cc //i

Rozdział czwarty.

Zasada Ekwipartycyi. Uwagi wstępne . Założenia............

35

37

§ 29. Twierdzenie Liouville’a.........

§ 30. Stan trwały. Hypoteza Maxwella.....

§ 31. Wniosek...............

§ 32. Pojęcie temperatury...........

§ 33. Drgania fundamentalne Nowa postać twierdzenia

§ 34. Prawo Rayleigha...........

§ 35. Interpretacya Jeansa..........

§ 36. Promieniowanie metalu. Teorya Lorentza . .

39

41

42

44

45

46

47

50

Rozdział piąty.

53

§ 37. Wstęp...............

§ 38. Założenia. Określenia.........

§ 39. Liczba możliwych rozkładów.......

§ 40. Liczba rozmieszczeń..........

§ 41. Prawdopodobieństwo rozdziału......

§ 42. Wybór pomiędzy dwiema miarami.....

§ 43. Warunek maximum..........

§ 44. Rachunek odmienny..........

§ 45. Równanie charakterystyczne.......

§ 46. Dwa przypadki............

§ 47. Pierwiastek równania charakterystycznego .    .

§ 48. Twierdzenia z Termodynamiki.......

§ 49. Twierdzenie Boltzmanna.......

§ 50. Gaz doskonały. Założenia. .......

§ 51. Ciąg dalszy. Rachunek.........

§ 52. Teorya Plancka Drugie główne twierdzenie

§ 53. Plancka formuła promieniowania.....

§ 54. Inna metoda dowodu..........

§ 55. Układy obficie zaopatrzone w energię . . .

§ 56. Teorya uogólniona. Założenia......

§ 57. Warunek równowagi..........

§ 58. Wartości stałych...........

§ 59. Dokończenie rachunku.........

§ 60. Uwaga uzupełniająca. Stosunek teoryj Plancka i Einsteina. . . 85 § 61. Potwierdzenie doświadczalne formuły Plancka § 62. O niektórych modyfikacyach teoryi.....

54

56

57

. 58

58

61

61

63

64

. 64

65

67

69

72

74

75

76

79

. . 81

82

83

84

WŁADYSŁAW NATANSON.

Zasady Teoryi Promieniowania.

(Principes de la Théorie du Rayonnement).

Rozdział pierwszy.

§ 1. Promieniowanie trwałe. Wiemy dotychczas stosunkowo mało o prawach zjawiska emisyi, czyli wysyłania promieniowania przez ciała ma-teryalne. Ograniczamy się zazwyczaj do szczególnego przypadku, który w dzisiejszym stanie Nauki jest niemal jedyny dostępny ilościowemu badaniu.

, które wy-

Wyobraźmy sobie pewien układ materyalny A i przypuśćmy, że ten układ emituje w czasie dt, w postaci promieniowania, pewną ilość energii dL, pobierając jednocześnie ilość ciepła dQ z otoczenia. Oznaczmy przez U energię układu A i, stosując zasadę oznaczoności pracy, załóżmy, że U jest funkcyą temperatury T oraz innych zmiennych qx, q₂, q3 znaczają stan układu. Mamy

(1)

d Q — dL = dU (T, qx, q₂, q₃

Temperatura T i zmienne qx, q₂, q3 czasu:

, wogóle mówiąc, są zależne od

\dT dU d<h dU d(h

\ dt 3T ' dt 3qx    dt dq₂

W szczególnym przypadku promieniowania stacyonarnego czyli trwałego temperatura i pozostałe zmienne niezależne nie zmieniają się z czasem; wówczas d U = 0 a zatem:

(2)

d U — dt

(3)

dQ = dL ;

promieniowanie jest wysyłane wyłącznie na koszt zewnętrznego dopływu ciepła z otoczenia. Podobne promieniowanie, które pierwszy G. Kirchhoff1 rozważał, nazywamy dzisiaj cieplnem albo jeszcze, za R. v. H e 1 m h o 11 z e m ¹>, temperaturowem promieniowaniem.

Jeżeli, podczas zjawiska emisyi, dokonywają się jakiekolwiekbądź zmiany w fizycznym lub chemicznym stanie ciała, które wysyła promieniowanie, wówczas, jak wynika z podanego określenia, promieniowanie nie może być trwałe. Jeżeli zatem (jak w dalszym ciągu) ograniczamy się do przypadku promieniowania trwałego, musimy wówczas wyłączyć z uwagi zjawiska fluo-rescencyi, fosforescencyi, chemicznej, mechanicznej czy elektrycznej lumine-scencyi i wogóle wszelkie przykłady t. zw. „jarzenia się“ ²>.

§ 2. Założenia. Wiemy, że całkowite promieniowanie rozpada się zawsze na promieniowania elementarne, które różnią się długością fali, zatem okresem i częstością drgania. Ograniczamy się w tej chwili do roztrząsania jednego z owych elementarnych promieniowań. Przypuśćmy, że rozważamy promieniowanie, którego częstość mieści się w granicach

(1)

n    i    n-\-dn;

nazywamy je wówczas dla skrócenia w-promieniowaniem. Jeżeli bierzemy na uwagę promieniowanie, którego długość fali jest zawarta pomiędzy

(2)

X    a    X —|— d X ,

mówimy o niem wówczas jako o „X-promieniowaniu“. Ograniczywszy promieniowanie do jakiegokolwiekbądź nieskończenie małego widmowego zakresu (jak tego daliśmy w tej chwili przykłady), poczytujemy je za monochromatyczne.

We wszystkich rozumowaniach niniejszych będziemy przypuszczali, że promieniowanie, które roztrząsamy, biegnie przez ośrodek doskonale izotropowy. Wyobraźmy sobie na chwilę, że pewien promień biegnie w dodatnim kierunku osi Oz prostokątnego prawoskrętnego układu osi spółrzędnych Oxyz. Ponieważ wyłączyliśmy z uwagi przypadek aelotropowego ośrodka, przeto możemy powiedzieć, że drgania elektryczne w tym promieniu odbywają się w płaszczyznach, równoległych do płaszczyzny Oxy. Rozkładając je w tych płaszczyznach na drgania, skierowane wzdłuż osi Ox i wzdłuż osi

*) Untersuchungen über das Sonnenspektrum und die Spektren der chemischen Elemente, Berlin 1862. Przedrukowane w „Gesammelte Abhandlungen“, Leipzig 1882, str. 571

i następne.

§ 229, str. 641.

Oy, możemy rozważać zosobna każde drganie składowe. Zajmując się drganiem, skierowanem naprzykład wzdłuż osi Ox, możemy wyrażać się tak, jak gdybyśmy mieli do czynienia z promieniowaniem liniowo spolaryzowanem.

§ 3. natężenie promieniowania. W miejscu, przez które nieustannie, we wszystkich kierunkach, przebiega promieniowanie, wyobraźmy sobie nieskończenie mały element powierzchowny dS, do którego normalną oznaczmy przez N. Uważajmy stożek, którego wierzchołek znajduje się w punkcie O, wybranym dowolnie w elemencie dS; w przypuszczeniu, że kąt otworu pomyślanego stożka jest nieskończenie mały, oznaczmy ten kąt przez dW. Ilość energii, którą w czasie dt przenosi przez dS liniowo spolaryzowane w-promieniowanie, wypełniające stożek cZ'F, możemy uważać za proporcyo-nalną do dt, do dS, do rô'F, oraz do dostawy kąta, powiedzmy 6, który tworzą ze sobą: oś stożka i normalna N do elementu dS. Możemy zatem napisać tę ilość energii w kształcie następującym:

O)

dt dSdW dn cos 0 Jń ,

gdzie wielkość Jń , zwana natężeniem liniowo spolaryzowanego ?i-promie-niowania, może zależeć od chwili i od miejsca spostrzeżenia, od kierunku w przestrzeni osi stożka dW, od wybranego przedziału spektralnego, wreszcie od stanu, właściwości i natury ośrodka, przez który promieniowanie przebiega, oraz ciał, które z tym ośrodkiem pozostają w stosunku fizycznym.

Jeżeli uważany promień jest dowolnie spolaryzowany, dodajemy do siebie natężenia, odpowiadające drganiom składowym w kierunku osi Ox oraz w kierunku osi Oy. Oznaczając teraz przez Jń oraz Jn" t. zw. natężenia główne, otrzymamy natężenie wypadkowe J z równania

oo

(2)

f dn(Jń + Jń').

Jeżeli promieniowanie jest (pozornie) niespolaryzowane czyli zwyczajne lub naturalne, mamy Jń = Jń' ; pisząc za każde z tych natężeń Jń, mamy

oo

(3)

C/3

&

CL

f—

II

!

12.

CG

| OJ

dn Jń.

Przypuśćmy, że dW jest utworzony: przez dwie płaszczyzny, poprowadzone przez normalną N do dS i zawierające pomiędzy sobą kąt dwuścienny dy; oraz przez dwie powierzchnie stożkowe, zatoczone dokoła N jako osi, powierzchnie, których kąty otworu są 0 oraz 0 —J— c? 0. Wówczas

= dy db sin 6.

(4)

Ilość energii, dana przez poprzedni wzór (1), staje się w tym przypadku równa

dt dS dn dy db sin 6 cos 6 J„'.

Ilość energii, którą w czasie dt przez dS przenosi liniowo spolaryzowane n-promieniowanie, biegnące od elementu dS w stronę, w którą kieruje się normalna N, wynosi zatem

(5)

2it tt/2

(6)

dtdSdn

f j' dy db

sin 6 cos 6 JJ ,

w szczególnym zaś przypadku promieniowania jednostajnego, w którym JJ nie zależy od <p ani od 6, wynosi

(7)

TidtdSdn JJ.

Iloczyn Tc JJ nazywamy zdolnością emisyjną Ej

(8)

EJ = 71 JJ

elementu powierzchownego dS, w stronę normalnej N, dla liniowo spolaryzowanego w-promieniowania.

Zajmowaliśmy się dotychczas promieniowaniem, ograniczonem do zakresu widmowego, który rozciąga się od częstości n do częstości n-\-dn. Jeżeli określimy inaczej zakres uważanego promieniowania, zamykając je na-przykład w granicach X oraz \-\-d\ długości fali, wówczas natężenie tego X-promieniowania będzie

(9)

2tcc

= T»

Jnj

gdzie c jest prędkością rozchodzenia się uważanego promieniowania w ośrodku. Zdolność emisyjna elementu dS w stronę normalnej N, utworzona dla liniowo spolaryzowanego X-promieniowania, wynosi podobnie

2 7ze

(10)

EJ = TC JJ =

X²

E, j.

§ 4. Gęstość promieniowania1}. Wyobraźmy sobie nieskończenie mały element objętościowy Ł2, przez który promieniowanie przebiega nieustannie,

M. Planck, Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung, Leipzig 1906,

§§ 22 i 23.

we wszystkich kierunkach. Wybieramy w nim dowolny punkt O, w którym umieszczamy środek powierzchni kulistej, zatoczonej promieniem r o skończonej długości. Uważajmy dowolny element dS powierzchni kulistej. Przez ten element biegną promienie we wszystkie strony; pomiędzy innemi biegnie przezeń wiązka promieni, obejmujących element 12. W tej wiązce wyobraźmy sobie stożek promieni, którego przecięcie poprzeczne, w odległości r od dS, niechaj nazywa się o. Nieskończenie mały kąt otworu tego stożka wynosi o/r².

Uważajmy liniowo spolaryzowane ^-promieniowanie, biegnące od dS i wpływające do li, przez pomieniony stożek o kącie otworu o/r², w czasie dt. Ilość energii, którą niesie to promieniowanie, jest równa

O)

dtdSdn —₂-

o czem przekonywamy się z formuły (1) § 3-go, zważywszy, że ówczesny kąt 9 jest równy zeru w obecnym przypadku.

Przypuśćmy, że ograniczenie elementu li wycina długość h w tworzących stożka. Potrzeba czasu h/c, ażeby promieniowanie przebyło drogę h\ każda zatem upatrzona ilość promieniowania pozostaje przez okres czasu h/c w obrębie elementu li. Uważajmy teraz przedział przestrzenny oh. Przebywa w nim trwale tyle energii, ile jej napływa przez czas przebywania; a zatem trwała zawartość energii w przedziale oh wynosi

(2)

dSdn — 4- Jn-c r2.

Stąd dalej wnosimy, że zawartość w jednostce objętości czyli t. zw. gęstość liniowo spolaryzowanego, biegnącego od dS, n-promieniowania, jest równa

Jn

(3)

dS dn r² ' c

całkowita zaś gęstość uważanego ^-promieniowania wynosi w punkcie O

(4)

dn Un —

dn

dS

Jn'

gdzie całkowanie rozciąga się do powierzchni kuli. Jeżeli promieniowanie jest jednostajne, «/„' nie zależy od kierunku promienia; wówczas zatem

(5)

UJ =

4 TC

JJ.

Jeżeli promieniowanie jest naturalne, gęstość całkowita wynosi

OG

(6)

²/

dn UJ■

Będziemy często pisali, kładąc Un = 2 UJ

oo

(7)

dnUn-

W razie, gdy promieniowanie jest naturalne i jest jednostajne, kładziemy J„ = 2 JJ i otrzymujemy z (5)

(8)

Un =

nadto z (7), z (8) oraz z (3) § 3-go wnioskujemy, że

(9)

t:

§ 5. Zdolność emisyjna. Wyobraźmy sobie nieskończenie mały element materyalny dii, który wysyła promieniowanie. Przypuśćmy, że dzięki naturalnemu w-promieniowaniu, które w obrębie stożka dW wysyła, traci on w czasie dt następującą ilość energii:

(1)

dt d£l dW dn s„.

Nazywamy en zdolnością emisyjną elementu, obliczoną dla w-promieniowa-nia, w kierunku stożka dW. Zdolność ta zależy, wogóle mówiąc, od kierunku promienia, od chwili, od wybranego spektralnego przedziału, od natury ośrodka, od stanu elementu, z którego promieniowanie wybiega. Jeżeli nie zależy od kierunku promienia, łączna emisya elementu we wszystkie strony wynosi, w czasie dt, dla naturalnego n-promieniowania

47T dt d£l dn e„.

Wyobraźmy sobie teraz ośrodek jednolity i izotropowy, który jest otoczony osłoną nieprzenikliwą dla ciepła. Przypuśćmy, że ten ośrodek znajduje się w spoczynku i że osiągnął (po upływie niewiadomo jak długiego okresu czasu) stan doskonałej termodynamicznej równowagi, stan, w którym temperatura wszystkich elementów ośrodka przybrała wartość niezmienną i jednakową. Zdolność emisyjna en elementu nie może być wówczas zależna od

(2)

chwili spostrzeżenia, ani od kierunku promienia, ani od wyboru elementu d& czyli od jego miejsca w ośrodku. Gdy zatem wspomniane warunki równowagi są spełnione, zdolność emisyjna danego ośrodka jest określona przez częstość wybraną n i przez temperaturę ośrodka T.

§ 6. Zdolność absorbcgjna. Wyobraźmy sobie, jak wyżej, ośrodek jednolity, izotropowy, spoczywający, adiabatycznie otoczony i przypuśćmy, że ten ośrodek osiągnął już stan doskonałej termodynamicznej równowagi. Upatrzmy pewną ilość w-promieniowania, którego pierwotna energia wynosiła E i przypuśćmy, że ono w łonie ośrodka odbyło drogę dz. Według znanego prawa, które Bouguer i Lambert ustanowili w XVIII-em stuleciu, stosunek dE/E, gdzie dE jest zmianą w ilości E, wywoływaną przez absorbcyę promieniowania w ośrodku na drodze dz, jest nieskończenie mały rzędu wielkości dz, jest niezależny od odbytej drogi z i niezależny także od wartości E. Mamy zatem

O)

dE — — o.nE dz

gdzie an oznacza wielkość skończoną, którą (skoro terminologia stałych charakteryzujących absorbcyę nie jest³) ustalona) będziemy nazywali zdolnością absorbcyjną ośrodka. Jeżeli ośrodek i stan, w którym on znajduje się, czynią zadosyć warunkom, wyrażonym na wstępie artykułu, zdolność absorbcyjna może być jedynie zależna: od natury ośrodka, od jego temperatury T oraz od wybranego spektralnego przedziału, określonego przez wartość częstości drgania n.

§ 7. Prawo równowagi. Ograniczając się (jak odtąd będziemy to zawsze czynili) do roztrząsania jednolitego, izotropowego, spoczywającego, cieplnie odosobnionego ośrodka, który znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej, porównywamy za G. Kirchhoffem absorbcyę i emisyę elementu ośrodka. Powracając do konstrukcyi, którą posługiwaliśmy się wyżej w § 4-ym, uważamy²⁾ ilość energii

(1)

dt dS dn -^r Jn ,

którą w czasie dt przynosi liniowo spolaryzowane ^-promieniowanie, pochodzące od dS i wpływające do elementu Łi przez stożek o kącie otworu a/r⁴. Jak powiedzieliśmy w powołanym artykule, energia ta odbywa drogę h w granicach elementu ß; z całkowitej zatem napływającej ilości energii (1) tylko następujący ułamek zostanie pochłonięty w granicach elementu

r2 ^n h an •

Tworzymy teraz wszelkie podobne ilości, które otrzymujemy dla wszelkich możliwych stożków powyższego typu, przecinających się z elementem 12. Całkowita energia liniowo spolaryzowanego ^-promieniowania, absorbowana przez element 12 w czasie dt, wypada równa

4Ti dt dn il Jn' a„.

W przypuszczeniu promieniowania naturalnego, ostateczna czyli wypadkowa ilość energii wszelkich częstości, absorbowanej w czasie dt przez element 12, wynosi

(2)

(3)

(4)

dt dSdn

4rc dt 12

o'

oo

Powiadamy skądinąd, że, według założeń powyższego art. 5-go, energia naturalnego promieniowania wszelkich częstości, wysyłana przez element li w czasie dt, jest dana przez

oo

(5)

4ir dt 12

<)

I dn sK

Otrzymujemy zatem następujące równanie jako warunek równowagi

oo

(6)

j dn (Jn ®n) - 0.

Możemy rozłożyć to równanie spektralnie, jeżeli uczynimy pewne nowe założenia. Wiemy, że w procesach absorbcyi i emisyi materya okazuje zdolność przekształcania promieniowań pewnych określonych częstości na promieniowania innych częstości. Lecz przekształcanie się takie nie dokonywa się nigdy w próżni, w otoczeniu ścian doskonale odbijających i spoczywających, nie dokonywa się zatem nigdy bez spółudziału materyi. Kierując się tą wiadomością, przypuszczamy, że przekształcanie się promieniowań jednych częstości na promieniowania innych częstości nie odbywa się nigdy samoistnie w próżni, t. j. nie dokonywa się, nawet w łonie ciał materyalnych, w nie-zajętych przez atomy zakresach przestrzennych; że po za koleją transformacyj, na których emisya i absorbcya promieniowania przez ostatnie cząstki materyi polega, ono jest wogóle niemożliwe.

Wyobraźmy sobie, że w powyższem równaniu (6) mielibyśmy Jnan>eM dla pewnych w-częstości, że natomiast dla innych częstości zachodzi nierów-

ność przeciwna, tak iż równanie (6) jest ostatecznie spełnione. Gdyby tak było, nierówność Jn aw>sM musiałaby spełniać się, dla w-częstości, we wszystkich elementach ośrodka, jak to wynika z twierdzeń artykułów 5-go i 6-go. Absorbcya uważanego n-promieniowania przeważałaby wówczas wszędzie nad jego emisyą. Ponieważ dopływ energii bezpośredni, od promieniowań innych częstości, jest niemożliwy według przyjętego przed chwilą założenia, przeto natężenie Jn uważanego w-promieniowania nie mogłoby w tym przypadku być niezależne od czasu i równowaga promieniowania nie byłaby możliwa.

Dochodzimy zatem do wniosku, że: w ośrodku jednolitym izotropowym, spoczywającym, cieplnie odosobnionym, który znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej, spełnione jest, dla każdej częstości n, równanie

rJ-n

(7)

w którem obiedwie strony zależą jedynie od temperatury, od wybranego spektralnego przedziału oraz od natury ośrodka.

§ 8. Uogólnienie. Wyobraźmy sobie układ, złożony z dwóch ciał jednolitych i izotropowych; przypuśćmy, że ten układ znajduje się w spoczynku, że jest cieplnie odosobniony od świata zewnętrznego i że osiągnął już stan doskonałej termodynamicznej równowagi. Bez względu na naturę powierzchni, która oddziela od siebie ciała układu, obowiązuje wówczas warunek równowagi następujący:

O)

J2)2 j{ 2)

n »» >

w którym , c⁽n²⁾ są prędkości rozchodzenia się n-promieniowania, oraz J"] natężenia tego promieniowania w pierwszem i w drugiem ciele układu. Stąd, w związku z twierdzeniami trzech poprzedzających artykułów, wynika, że agregat cn²J„, w przypadku, do którego ograniczyliśmy się, jest funkcyą uniwersalną częstości n i temperatury T, niezależną od natury ośrodka, przez który promieniowanie przebiega:

(2)

CnJn = F (n, T).

Jeżeli jednem z ciał uważanego układu jest próżnia, prędkość c przestaje zależeć od częstości i przybiera wartość fundamentalną:

(3)

c₀= 3.10¹⁰ cm sek⁻¹.

Twierdzenie poprzednie pozostaje ważne. Pomyślmy dziedzinę próżną, zamkniętą przez otoczenie materyalne spoczywające, adiabatycznie odosabnia-

Prace mat.-fiz., t. XXIV.

jące, którego temperatura jest stała i wszędzie jednakowa: T. Dla jednostajnego, zgoła nieuporządkowanego, doskonale zrównoważonego promieniowania, które wypełnia tę dziedzinę, otrzymujemy

(4)

Jn —— s F(n, T);

Co²

zatem, według § 3-go:

(5)

En=—, F{n, T)

C₀²

oraz, według § 4-go:

(6)

Un =

Ati

Co

F (n, T).

Twierdzenia, które przytoczyliśmy w trzech poprzedzających i w niniejszym artykule, wyrażają treść rozległego uogólnienia, zwanego pospolicie prawem Kirchhoffa. Wypowiedział je istotnie ten genialny myśliciel w powołanej już poprzednio, słynnej rozprawie . Niektóre z pomiędzy tych twier-

O

dzeń były już znane, przed badaniami Kirchhoffa, Angströmowi, Sir G. G. Stokesowi²), zwłaszcza zaś Balfour-Stewartowi³⁾. Clausius⁴) wygłosił następnie niektóre wnioski, które mieszczą się w prawie Kirchhof-f a ; wnioski te sprawdził prof. M. Smoluchowski⁵).

Poświęcono wiele uwagi pogłębieniu i dalszemu uzasadnieniu, albo też uproszczeniu dróg rozumowania, któremi posługiwał się Kirchhoff; możemy tu tylko dorywczo wymienić ⁶> niektóre z pomiędzy tych prac.

b Untersuchungen über das Sonnenspektrum, Berlin 1862; Gesammelte Abhandlungen, Leipzig 1882, p. 571.

*) Por. Mathematical and Physical Papers, Vol. 4, Cambridge 1904 oraz przedmowę Lorda Rayleigh do tomu 5-go, Cambridge 1905.

³)    Transactions of the Royal Society of Edinburgh, Vol. XXII. 1858.

⁴)    Poggendorffs Annalen, Bd. 121. 1864. Die Mechanische Wärmetheorie, Braunschweig 1876, Bd. 1. Abschn. XII.

⁵)    Comptes Rendus, 27 Juillet 1896; Journal de Physique (3) Vol. 5. p. 488. 1896.

⁶) H. von Helmholtz, Vorlesungen über Theorie der Wärme, hrsgbn von F. Ri-charz, Leipzig 1903, p. 147.

E. Pringsheim, Verh. d. d. phys. Gesellschaft, Bd. 3, p. 81, 1901.

P. Drude, Lehrbuch der Optik, Leipzig 1900. Abschn. III. Kap. II.

Wł. Gorczyński, Prace mat.-fizyczne, Warszawa 1905, tom XVI, p. 113.

M. Planck, Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung, Leipzig 1906,

Abschn. I.

W. Wien, Encyklopädie d. Math. Wissenschaften, Bd. V 3, Heft 2, p. 282. Leip

zig 1909.

§ 9. Wniosek. Wyobraźmy sobie dziedzinę próżną fi, ograniczoną przez otoczenie materyalne M zamknięte, spoczywające, cieplnie odosabnia-jące, które utrzymujemy w temperaturze T, wszędzie jednakowej i z czasem niezmiennej. Poprzednie twierdzenia będą się stosowały, gdy układ i zawarte w nim promieniowanie osiągną stan zupełnej równowagi termodynamicznej.

Przypuśćmy, że granicząca z próżnią powierzchnia materyalnego otoczenia M odbija doskonale promieniowania wszelkich możliwych częstości. Wyobraźmy sobie, że do próżni fi, przed zamknięciem otoczenia M, wpłynęło promieniowanie dowolnego pochodzenia i dowolnego spektralnego składu. Po zamknięciu otoczenia M, promieniowanie to znajduje się w warunkach (ograniczenia i spoczynku, adiabatycznego odosobnienia, jednostajności i niezmienności temperatury), które są konieczne, lecz nie są dostateczne do osiągnięcia stanu zupełnej równowagi. Ponieważ ściany otoczenia M mają własności powierzchni doskonale odbijających, promieniowanie, zamknięte w dziedzinie fi, nie znajduje się w stosunku wymiany z żadnem innem promieniowaniem, pochodzącem od jakichkolwiekbądź obcych ciał materyalnych; nie może zatem wzbogacać się emisyą takich ciał, ani dzięki ich absorbcyi nie może ubożeć. Jest to promieniowanie odosobnione, odcięte od działania ma-teryi. Według założenia, zawartego w pierwszem twierdzeniu Kirchhoffa (por. § 7), żadne z pomiędzy w-promieniowań częściowych, którejkolwiek częstości, wchodzących w skład uważanego promieniowania, nie może w tych warunkach przekształcać się w promieniowania innych częstości; wymiana energii pomiędzy temi składowemi promieniowaniami jest niemożliwa. A zatem spektralny skład promieniowania, zamkniętego w fi, pozostanie na zawsze niezmienny, taki mianowicie, jaki istniał przypadkowo pierwotnie.

Umówmy się, że każdemu składowemu w-promieniowaniu, wchodzącemu w skład uważanego całkowitego promieniowania, będziemy przypisywali temperaturę, która w przypadku osiągniętej równowagi odpowiadałaby, według praw (4) i (6) Art. 8-go, przypadkowemu natężeniu lub przypadkowej gęstości tego w-promieniowania. Możemy wówczas powiedzieć, że dziedzina fi, w pomienionych warunkach, jest wypełniona przez rozmaite w-promienio-wania, o temperaturach rozmaitych, wysokich i nizkich; możemy powiedzieć, że te n-promieniowania, które przestrzennie są ze sobą w zupełności zmieszane, które przenikają się i krzyżują nawzajem, nie dążą pomimo to wcale do zrównoważenia się, do wyrównania swych temperatur. Taki wniosek wypływa z założenia, zawartego w prawie Kirchhoffa; a jakkolwiek założenie samo przez się mogło wydawać się oczywiste i niezbędne, wniosek jednakże wiedzie wgłąb pojmowania Natury, ukazując obraz próżni, o własnościach pozytywnych, przeciwnych możnościom i zdolnościom materyi.

§10. Promieniowanie czarne. Przypuśćmy teraz, że w poprzedniej, dotychczas próżnej dziedzinie fi umieściliśmy ciało materyalne, którego po-

wierzchnia odbija niedoskonale; a zatem ciało (powiedzmy C), które tylko po części odbija promieniowanie, po części je pochłania, albo przepuszcza, załamuje, rozprasza i t. d. Albo też przypuśćmy (co na to samo wypada), że część powierzchni otoczenia M, lub cała ta powierzchnia, nie posiada własności doskonałego odbijania, które przypisywaliśmy jej poprzednio. Jeżeli inne warunki fizyczne zagadnienia są spełnione (o których mówiliśmy w artykule poprzednim), ustanowi się z czasem stan równowagi promieniowania w dziedzinie fi, przepisany przez prawo Kirchhoffa. Od przypadkowej natury wprowadzonego ciała C będzie oczywiście zależał przebieg zjawisk, wiodących układ ku równowadze końcowej; ale prawo ostatecznego stanu równowagi, skoro został osiągnięty, nie jest zawisłe od tych okoliczności. Jakiekolwiek są własności ciała C, promieniowanie, które ustanowi się w próżni fi, będzie ostatecznie zawsze, pod każdym względem, to samo. Wyobraźmy sobie ciało, t. zw. ciało czarne, które, z pomiędzy padających na nie (z próżni) promieniowań dowolnych częstości, nie odbija, ani też nie przepuszcza (chociażbyśmy wyobrazili je sobie w postaci najcieńszej warstewki) żadnego ułamka, lecz wszystko natychmiastowo i zupełnie pochłania. Powiadamy, że promieniowanie, które ustanawia się w dziedzinie fi, musi być pod każdym względem zgodne z promieniowaniem, które do tej dziedziny (próżnej) wysyłałoby ciało czarne. Promieniowanie, które znajduje się w stanie zupełnej równowagi, bywa nieraz nazywane, z tej przyczyny, czarnem promieniowaniem.

Wszystkie powyższe twierdzenia były już zawarte, w zasadzie, w poprzednio powołanych pracach Kirchhoffa. Ale dopiero Wien i Lummer, w roku 1895-ym ²⁾, zbliżywszy się znacznie do urzeczywistnienia zrównoważonego czyli czarnego promieniowania, przyczynili się przeważnie do oparcia Teoryi Promieniowania na niewątpliwej podstawie faktycznej.

Przypadek zrównoważonego promieniowania jest widocznie fikcyą, jest oderwanym przypadkiem granicznym, którego poznanie wyjaśnia tylko pewną szczególną, jednostronną cechę zjawisk promieniowania, mianowicie warunki ich równowagi. Nie znamy dotychczas w temperaturowem promieniowaniu niczego, co byłoby podobne do t. zw. „fałszywych" (albo pozornych) równowag Termodynamiki Materyi³⁾; dlatego mówimy, że owa cecha, wynikająca z prawa Kirchhoffa, wyznacza kres wspólny zjawisk promieniowania, jedyny, który umiemy dotychczas ilościowo opisać, posługując się nieznaczną liczbą zmiennych niezależnych. Zbadanie praw promieniowania czarnego jest zatem

*) M. Thiesen, Verh. d. d. physikal. Gesellschaft, tom 2, 1900, p. 65.

²) Annalen der Physik u. Chemie, tom 56, p. 451. 1895.

•’) P. Duhem, Théorie Thermodynamique de la Viscosité, du Frottement et des Faux Equilibres Chimiques. Paris 1896.

pierwszem i logicznie głównem zagadnieniem w Teoryi Promieniowania, zagadnieniem, którego rozwiązanie kładzie fundament pod całą dalszą budowę tej Nauki.

Rozdział drugi.

§ 11. Termodynamika próżni. W zwykłej, elementarnej Termodynamice Materyi zajmujemy się badaniem przemian energii, które dokonywają się w łonie stałej masy badanego ciała materyalnego, naprzykład w jednostce jego masy. Wyobraźmy sobie płyn, czyli ciało, którego stan termodynamiczny, w razie równowagi, jest dostatecznie określony przez podanie wartości dwóch zmiennych niezależnych. Oznaczmy przez M masę uważanego płynu, przez V jego objętość, przez T jego temperaturę. Powiadamy, że stan płynu, w razie równowagi, jest określony przez wartości (naprzykład) T i v, gdzie objętość właściwa v jest dana przez

(1)

v = VIM.

Twierdzimy, że energia U, że entropia S płynu są wielkościami kształtu następującego:

(2)

(3)

U — Mu (v, T) S = Ms(v, T),

gdzie energia właściwa (lub jednostki masy) u, oraz entropia właściwa s nie zależą wcale od M, lecz tylko od v i od T.

W Termodynamice próżni (lub w termodynamicznej teoryi równowagi promieniowania) czynimy, za Bartolim¹), Boltzmannem²) i ich następcami, założenie analogiczne. Przypuszczamy, że stan termodynamiczny jednostki objętości próżni, wypełnionej przez promieniowanie, jest dostatecznie określony, w razie równowagi, przez podanie wartości jednej zmiennej niezależnej, naprzykład temperatury. Zachowując zatem, co do znaczenia liter T, V, U, S, umowy poprzednie, zakładamy dla objętości V próżni

(4)

U — Vu (T) S= Vs (T).

*) Sopra i movimenti prodotti dalia luce e dal calore. Firenze, Le Monnier, 1876.

²) Annalen der Physik und Chemie, Band 22, p. 31, 1884.

Moglibyśmy sprowadzić obecny przypadek do poprzedniego, w sposób formalny, mówiąc, że, gdy zastępujemy M przez V, ówczesna v czyli V/ M, według równania (1), przechodzi w V/V czyli w jedność, zatem funkcye u {v, T), s(v, T) w (2) i (3) stają się funkcyami samej tylko temperatury T.

Przypuśćmy, że równania (4) i (5) stosują się; i że objętość V próżni, wypełniona przez promieniowanie, doznaje przemiany termodynamicznej odwracalnej, podczas której promieniowanie pozostaje wciąż zrównoważone. Przypuśćmy, że w tym stanie promieniowanie wywiera na otoczenie ciśnienie normalne i jednostajne, które oznaczmy przez p. Stosujmy do uważanej przemiany równanie Termodynamiki klasycznej

(6)

TdS= dU + pdV.

Zastosowanie takie jest oczywiście do pewnego stopnia hypotetyczne. Podczas przemiany, którą wyobraziliśmy sobie, próżnia nie może być odosobniona; promieniowanie, które ją wypełnia, musi pozostawać w zetknięciu z ciałem materyalnem niezmiennem, o temperaturze T, z ciałem, które absorbuje i które emituje promienistą energię. Widzimy, że, pisząc równanie (6), stosujemy zasady Termodynamiki tylko do jednej części całkowitego układu. Pamiętając o tern, zobaczmy, do jakich wniosków zostaniemy doprowadzeni. Wybierając V i u za zmienne niezależne, przepisujemy równanie (6) w postaci

(7)

T \sdyJrv    du\ = udV+Vdu-]-pdV}

skąd wynika

(8)

(9)

u — Ts -j- p = 0, T ds(u)

du

Równanie (8) wyraża warunek równowagi w sposób interesujący, który możemy oświetlić za pomocą analogii. Wyobraźmy sobie, że pewna masa pary pozostaje w zwykłej równowadze, znanej z Termodynamiki klasycznej, z pewną masą cieczy, z której ta para może tworzyć się i w którą, przeciwnie, może się zamieniać. Warunek równowagi, jak dobrze wiadomo, zawiera się w równaniu

(10)

łi(P> T) — Ą₂(p, T) = 0

w którem oznacza potencyał termodynamiczny zupełny jednostki masy cieczy, <J>₂ potencyał termodynamiczny zupełny jednostki masy pary i w którem obiedwie te wielkości są uważane za funkcye ciśnienia p, normalnego i jednostajnego, panującego w układzie, oraz temperatury T. Zupełnie podobnie, w przypadku równowagi promieniowania, wypełniającego próżną dziedzinę V i pozostającego pod wpływem ciała materyalnego o temperaturze T, warunek równowagi zawiera się w równaniu (8); czyli w równaniu (U) jeżeli przez «J> rozumiemy potencyał termodynamiczny zupełny jednostki objętości próżni:

U— TS+pV

-e-

(12)

Równanie (10), w przypadku równowagi cieczy i pary, wiąże pomiędzy sobą zmienne piT, tak iż tak zwane «ciśnienie nasycenia» jest ostatecznie funkcyą samej tylko temperatury T. W przypadku równowagi promieniowania równanie (11) wiąże pomiędzy sobą, podobnie, zmienne p i T, tak iż ciśnienie promieniowania jest ostatecznie lunkcyą samej tylko temperatury.

§ 12. Roumanie Boltzmanna. Przypuśćmy (mówiąc językiem Termodynamiki klasycznej), że równowaga promieniowania « przesuwa się » ; przy-czem temperatura zmienia się o dT, ciśnienie promieniowania o dp. Według równania (8) poprzedzającego artykułu mamy

SU Su

►s: s

ęu| a

co

co

Sul Su

Z równania (9) poprzedzającego artykułu wiemy jednakże, że

(2)

du ds_

dT ¹ d^t    U '

Powracając zatem do obecnego równania (1), mamy

(3)

dp _ dT S ’

albo jeszcze, stosownie do (8) § 11-go:

(4)

dp_u -p

dT

Równanie (4), w nieco odmiennej postaci, podał Boltzmann w wyżej cytowanej rozprawie (1. c., p. 37). Przekonywamy się łatwo, że w porównaniu, które przytoczyliśmy w poprzedzającym artykule, równanie to odgrywa rolę dobrze znanego wzoru Clapeyrona i Clausiusa. Jeżeli istotnie, oznaczając przez u1} u₂ i przez vlt v₂ energię jednostki masy cieczy i pary oraz

objętość jednostki masy cieczy i pary, napiszemy równanie Claperyona i Clausius a w postaci następującej:

(5)

dp _ U₂ - Uy -j- P (Vyy - Vy) _

dT

T(V₂ -Vy)

jeżeli powtóre, kładąc v = 1 w zagadnieniu o równowadze promieniowania w próżni (por. § 11), napiszemy, zamiast (4):

(6)

dp u -j-pv

Tv

dT

wówczas analogia, o której mówimy, staje się zupełna.

Możemy otrzymać równanie Boltzmanna bezpośrednio w sposób następujący. Jeżeli energia jednostki masy płynu Termodynamiki klasycznej U jest znana, jako funkcya U(v,p) zmiennych niezależnych v, p, wówczas, jak wiadomo, temperatura T może być znaleziona, jako funkcya T (v, p) zmiennych v, p, z równania różniczkowego następującego:

(7)

T_/ i d_U] *T_d_UdT

r 2v I dp c>p 2v'

Widzimy bez trudności, że możemy zastosować to równanie do zagadnienia o równowadze promieniowania w próżni, jeżeli, pisząc V zamiast v, równocześnie założymy

(8)

U—Vu (p) ;

SV=U{P)

(9)

T=T(p);

CD CD

Równanie (4) wynika wówczas z (7) natychmiast.

§13. Prawo Stefana. Z Elektromagnetycznej Teoryi Światła Maxwell, jak wiadomo, wyprowadził b wniosek, że istnieje « ciśnienie promieniowania », które w przypadku jednostajnego, zrównoważonego promieniowania wynosi zupełnie ogólnie

O)

Rozdział czwarty.

h2, hz,

S = const. -\-kN (log V -j- f log E).

¹

)    Die Licht- und Wärmestrahlung verbrennender Gase, Berlin 1890.

²

)    Aug. Witkowski, Zasady Fizyki, tom drugi, wydanie drugie, Warszawa 1908,

³

)    Zob. H. Kayser, Handbuch der Spectroscopie, Band III, Leipzig 1905, §§5—7.

⁴

)    M. Planck, Vorlesungen, §§ 25 i 26.

O)

Wstawiając tę zależność do równania Boltzmanna [(4), § 12], otrzymujemy znany związek

(2)

p — AT*,

») A Treatise on Electricity and Magnetism, Vol. 2; third Edition, Oxford 1892,

§§ 792—793.

w którym A oznacza spółczynnik stały. Stąd natychmiast

(3)

u = SAT⁴.

Ponieważ w rozdziale niniejszym oznaczamy przez u stosunek całkowitej energii, zawartej w objętości V próżni, do objętości V, przeto obecna u jest « gęstością promieniowania » rozdziału pierwszego. Powiadamy zatem: ciśnienie, gęstość, natężenie promieniowania czarnego zmieniają się w stosunku prostym do czwartej potęgi temperatury bezwzględnej. Prawo to zostało odkryte przez Stefana¹) w roku 1879-ym i uzasadnione niebawem teoretycznie przez Boltzmanna²). Nowsze badania³) potwierdziły je w zupełności.

§ 14. Prawo IDiena. Jak to wynika z artykułów 7,8,9 oraz 10 Rozdziału naszego pierwszego, zadanie główne Teoryi Promieniowania, po ustanowieniu prawa Kirchhoffa, polega na wyznaczeniu postaci funkcyi powszechnej F(n, T) § 8-go, której istnienia to prawo dowodzi. Rozwiązaniu tego zadania są poświęcone epokowe prace prof. M. Plancka z Berlina oraz liczne, do dzisiejszego dnia trwające badania jego następców; ono również stanowi główny przedmiot dalszych niniejszych roztrząsań.

W okresie rozwoju Teoryi, poprzedzającym prace Plancka, W. Wien ustanowił⁴) pewną zależność, zwaną VerSchiebungsgesetz, z której wynika niejakie zacieśnienie możliwości postaci funkcyi F(n, T), figurującej w wysłowieniu prawa Kirchhoffa. Polegając na zasadzie Dopplera, możemy udowodnić, na drodze zresztą termodynamicznej, że promieniowanie, które osiągnęło stan równowagi, stosuje się do prawa następującego. Oznaczając przez q iloczyn XT, mamy na zdolność emisyjną elementu, wysyłającego i pochłaniającego czarne promieniowanie, w zakresie spektralnym od X do X-f d\:

') Sitz.-Ber. d. K. Akad. d. Wiss. zu Wien. 2-e Abt., Bd. 79. p. 391. 1879.

²)    Annalen der Physik u. Chemie, Bd. 22. p. 291. 1884.

³)    W. Wien, O Lummer, E. Pringsheim, Annalen d. Physik u. Chemie, Bd. 63. p. 395. 1897; por. Annalen d. Physik, Bd. 3, p. 159. 1900. F. Kurlbaum, Annalen d. Physik u. Chemie, Bd. 65 p. 746. 1898, zwłaszcza p. 754. Lummer i Kurlbaum, Verh. d. d. ph. Ges., Bd. 17, N« 9. 1898 oraz Annalen der Physik, Bd. 5, p. 829. 1901. W obecnych badaniach idzie już tylko o wyznaczenie wartości stałej prawa Stefana. Zobacz: S. Valentine r, Annalen der Physik, Bd. 31. p 275. 1910; Ch. Féry i M. Drecą, Journal de Physique (5) Vol. 1. p. 551. 1911; G. A. Schakespear, Proceedings of the Royal Society of London, A, Vol. 86, p. 180. 1912.

⁴)    Annalen der Physik u Chemie, Bd. 52. p. 152. 1894; ibidem, Bd 58. p. 662. 1896. Inne dowody podali: Jeans, Proc. of the Roy. Soc. of London, A, Vol. 76. p. 546. 1905 [por. Ehrenfest, Phys. Zeitschrift 1906]; Abraham, Annalen der Physik, Bd. 10. p. 105. 1903; H. A. Lorentz, The Theory of Electrons, pp. 74 i 274. 1909.

Prace mat.-fiz., t. XXIV

O)

Ex =

X⁵ ’

Kształt funkcyi 1¹ (q) pozostaje przytem nieznany. Prawo Wien a zostało potwierdzone w zupełności przez doświadczalne badania b.

Nie wchodząc w bliższą dyskusyę tej zasady, zwracamy się obecnie ku właściwemu przedmiotowi naszego wykładu, ku problematowi Plancka.

Rozdział trzeci.

§ 15. Podział zagadnienia. Jest rzeczą dla jasności konieczną wyróżnić dwa zadania w problemacie PI a nck’owskim i podzielić na dwa stadya rozumowanie, które prowadzi do celu.

Ażeby módz wyjaśnić pytanie, którem zajmujemy się w pierwszem sta-dyum Teoryi, wyobraźmy sobie wraz z Planckiem²), że w ostatnich cząstkach ciał materyalnych znajdują się elektromagnetyczne układy drgające, t. zw. rezonatory, wibratory lub oscylatory, które są zdolne do wysyłania oraz do pochłaniania energii fal elektromagnetycznych. Przypuśćmy, że w próżnej zresztą dziedzinie Q, otoczonej przez ściany materyalne spoczywające, doskonale odbijające, utrzymywane w temperaturze wszędzie jednakowej i niezmiennej, znajduje się znaczna liczba wibratorów elektromagnetycznych, których energia, z biegiem czasu, dzięki emisyi i absorbcyi, doszła do równowagi z energią elektromagnetycznego promieniowania, wypełniającego dziedzinę Si. Z pośród wibratorów uważajmy pewną grupę, te mianowicie, z których każdy ma częstość n drgań własnych czyli swobodnych. Oznaczmy przez &n średnią energię jednego wibratora w tej grupie. Zapytujemy: jaki zachodzi związek, w stanie równowagi, pomiędzy &n a natężeniem Jn naturalnego n-pro-mieniowania, które wchodzi w skład zrównoważonego całkowitego promieniowania, wypełniającego w pomienionych warunkach dziedzinę £2. Takie jest pierwsze pytanie, na które próbujemy przedewszystkiem odpowiedzieć w Teoryi Promieniowania.

W drugiem stadyum badania staramy się poznać, według jakiego prawa średnia energia &n zależy od częstości n oraz od temperatury T, której wysokość wyznacza równowagę.

§ 16. Pierwsze główne twierdzenie. Uprzedzając wyniki następnych artykułów, przytoczymy tu dla jasności odpowiedź, którą Planck znalazł na pierwsze zapytanie. Zachowując literom Jn, &n ich powyższe znaczenie, możemy napisać równanie

(i)

n²

4 7t³ c²

jako warunek równowagi w wyłożonych w art. 15-ym warunkach. Wprowadzając gęstość U„ naturalnego ^-promieniowania zamiast natężenia jego Jn, znajdujemy zależność

(2)

Un =

7Ü² C³

jako nową postać w mowie będącego warunku. Możemy go wreszcie wyrazić pod kształtem

(3)

8 71

U\= -TT &n ,

X⁴

gdzie znaczenie symbolu U\ jest widoczne. Wszystkie te równania wyrażają twierdzenie, które nazywamy pierwszem twierdzeniem głównem naszej Teoryi.

§ 17. Interpretacya odmienna. Inną drogą idą Lord Rayleigh²) i J. H. Jeans³⁾ i z nowego stanowiska oświetlają zagadnienie. Wyobraźmy sobie, jak wyżej, dziedzinę £2 próżną; przypuśćmy dla określoności, że ma postać sześcianu. Ściany sześcianu spoczywają, są doskonale odbijające i zachowują temperaturę wszędzie jednakową i z czasem niezmienną T. Próżnię sześcianu wypełnia jednostajne, doskonale zrównoważone (czarne) promienio-

') Por. Sir J. Larmora Bakerian Lecture (Proc of the Roy. Soc. of London, A, Vol. 83, p. 82. 1909).

²)    Nature, Vol. 72. p. 54, p. 243. 1905. Phil. Magazine, Vol. 49, p. 539. 1900. Scientific Papers, Vol. 4, Cambridge 1903, p. 483. Vol. 5, Cambridge 1912, p. 248.

³)    Phil. Magazine, Vol. 10. p. 91. 1905. Proc, of the Roy. Soc. of London, A, Vol. 76. p. 545. 1905.

wanie; nie troszczymy się o to, jakimi sposobami zdołaliśmy w niej wytworzyć takie promieniowanie; jeżeli osiągnęliśmy je, naprzykład, przez wprowadzenie do próżni ciała materyalnego lub ciał materyalnych G, przypuszczamy, że usunęliśmy je stamtąd, bez zmiany stanu promieniowania. Zapytujemy teraz, do ilu drgań głównych czyli fundamentalnych jest zdolna próżnia wspomnianego sześcianu. Zobaczymy, że liczba wszystkich możliwych drgań fundamentalnych jest nieskończenie wielka w skończonym sześcianie; ale liczba drgań fundamentalnych, których częstość nie przewyższa pewnej skończonej granicy, jest skończona; liczba zaś n-drgań fundamentalnych (których częstość jest zawarta pomiędzy n a n-\-dri) jest nieskończenie mała jak dn. Obliczywszy tę liczbę i pomnożywszy przez nią średnią energię jednego n-drgania fundamentalnego (którą z umysłu znowu przez &n oznaczymy), otrzymujemy zawartość w sześcianie energii ?i-promieniowania, czyli iloczyn gęstości n-promieniowania przez objętość sześcianu. Przekonamy się niebawem, że związek pomiędzy &n a gęstością U„, który znajdujemy tą drogą, jest dokładnie zgodny z równaniem (2), § 16, które Planck ustanowił, pomimo, iż znaczenie pojęcia &„ w teoryi Jean sa jest, jak widzimy, zupełnie odmienne. Z tern zastrzeżeniem, rozwiązanie pierwszej części zagadnienia jest zatem zgodne w teoryach Plancka i Jeans a.

§ 18. Rachunek Deansa. Następujące rozumowanie jest nieco rozsze-rzonem powtórzeniem dowodu, podanego przez Jean sa. Przypuśćmy, że każda krawędź sześcianu ma długość a. Przypuśćmy, że odbijające nawe-wnątrz ściany sześcianu są wycięte w płaszczyznach następujących:

z — 0;

O)

x — 0;

(2)

V = 0;

(3)

(4)

(5)

y = a;

(6)

Z = CL .

W sześcianie możliwe są 1} fale stojące, których wektor elektryczny ma składowe następujące:

(Ja)

(7b)

(7c)

Ax cos (n t -f- B) cos W

c

Ay cos (n t -f - B) sin n^xX

O

Az cos (n t -[- B) sin n—* X c

sin

sin

nkz z

nky y . cos —— sin

sin

COS

nks z

nkz z

b Porówn. Lorda Rayleigh The Theory of Sound, 2-nd Edition, Vol. 2, p. 70. London 1896.

Ax, Ay, Az, B w tych wzorach są stałe o łatwo zrozumiałem znaczeniu fizycz-nem; kxt ky, kz są dostawy kierunkowe wektora prostopadłego do elektrycznego i jednoczesnego magnetycznego wektora; n jak dotychczas oznacza częstość drgań, c zaś prędkość rozchodzenia się fal w próżni sześcianu.

Twierdzenie Poyntinga pozwala natychmiast napisać warunek, któremu powinno stać się zadosyć na każdej odbijającej ścianie sześcianu. Przekonywamy się łatwo, że wyrażenia (7) spełniają ten warunek identycznie na ścianach (1), (2), (3); dalej, że spełniają go na ścianach (4), (5), (6) w tym razie, gdy

(8)

n | kx | a

— tc ;

n\ky\ a

n | ka | a

— hzK,

hy, hz mają oznaczać trzy liczby, bądź całkowite i dodatnie,

przyczem h

bądź równe (lecz nie jednocześnie) zeru. Otrzymujemy zatem

(9)

n² a2 7C² c²

Wiemy jednakże, że liczba układów podobnych liczb hx, hy, hZ} które czynią zadosyć warunkowi (10) może być przyjęta w przybliżeniu za

(H)

= ł*K³,

jeżeli R jest liczba dodatnia, duża w stosunku do jedności; wiemy nadto, że stopień przybliżenia w tern twierdzeniu jest tern wyższy, im R jest większa w porównaniu do jedności. Przypuszczając zatem, że a jest dostatecznie znaczna w stosunku do % c/n, dochodzimy do wniosku następującego: liczba możliwych układów liczb hx, hy, hz, a zatem i liczba możliwych układów typu (7), dla których częstość drgania jest ■< n, wynosi w przybliżeniu

(12)

n³ a³

6 TC¹ c³ *

Ponieważ w sześcianie zawiera się promieniowanie naturalne, przeto na każdy układ typu (7) liczymy po dwa drgania fundamentalne. Jeżeli zatem założona jednostajność promieniowania pozwala na odniesienie liczby drgań do jednostki objętości, powiadamy wówczas, że

n³

drgań fundamentalnych, których częstość jest mniejsza niż n lub conajwyżej równa n, przypada na jednostkę objętości próżni w naszym sześcianie. Stąd wynika, że na jednostkę objętości przypada

(14)

n² dn

7t²c³

drgań fundamentalnych, których częstość leży pomiędzy n a n-\-dn\ czyli, według przyjętej terminologii, n-drgań fundamentalnych. Jeżeli tedy dn Un oznacza (jak w § 4-ym) energię naturalnego n-promieniowania, zawartego w jednostce objętości, jeżeli dalej &n (jak powiedziano w § 17-ym) oznacza średnią energię jednego w-drgania fundamentalnego, wówczas z twierdzeń, udowodnionych przed chwilą, wyprowadzamy wniosek, że

(15)

Un =

TT² C³

co jest zapowiedzianem (w §§ 16-ym i 17-ym) pierwszem twierdzeniem głów-nem; czyli rozwiązaniem, według J e a n s a, pierwszej części zagadnienia, które stanowi przedmiot Teoryi.

Byłoby okolicznością pomyślną dla zupełności rozumowania, gdybyśmy mogli wykazać, że otrzymane wyniki nie zależą od szczególnej geometrycznej postaci, którą w dowodzie przypuszczamy dla próżnej dziedziny &. Jakkolwiek możliwość podobnego uogólnienia jest dzisiaj intuicyjnie widoczna, ścisłe jej udowodnienie stanowi zadanie, które Nauka w późniejszym dopiero czasie zapewne rozwiąże.

§ 19. Założenia Teoryi Plancka. Planck, w Teoryi oscylatorów elektromagnetycznych, idzie odmiennemi drogami. Ażeby przedstawić w zarysie jej najważniejsze momenta, przypominamy, że, według Max well owskiej Teoryi, zjawiska elektromagnetyczne w próżni czynią zadosyć równaniom zasadniczym następującym:

(la)

div E — 0 ;

(2 a)

curl H =

1 d_E c” ~dt

(Ib)

diviT=0;

(2 b)

curl E = —

1 dH

c dt *

W tych równaniach E i H oznaczają elektryczny i magnetyczny wektor zasadniczy, c oznacza stałą 3.10¹⁰ cm sek⁻¹. Stąd dalej wynika, że każda z pomiędzy składowych

czyni w próżni zadosyć równaniu rozchodzenia się fal, które napiszemy

(4)

a²s

dt²

— c² v²s — 0,

rozumiejąc przez s którąkolwiekbądź z pomiędzy składowych (3).

Za H. A. Rowlandern¹' (który w r. 1884-ym podał je pierwszy) oraz za H. Hertzem²^ uważajmy rozwiązanie następujące równań pola elektromagnetycznego

(5 a)

Ex —

a² u

dX dZ ’

Hx = —

1 a² u

c ayJt ’

(5 b)

dy 9z ’

1 d²u

C dXc>t

(5 c)

d²U

d²U

dX²

dy² ’

Hs = 0;

u ma być tutaj funkcyą, wogóle mówiąc zależną od x, y, z, t, która spełnia równanie

(6)

d²U

dt²

c²y²u = 0.

Sprawdzamy łatwo, bezpośrednim rachunkiem, że Ex, Eyy E₃, Hx, Hy, Ha, obliczone z równań (5), przy uwzględnieniu równania (6), czynią zadosyć równaniom zasadniczym (1) i (2); sprawdzamy następnie, że każda z tych składowych zosobna czyni zadosyć równaniu rozchodzenia się fal (4).

Przypuśćmy, że początek układu osi Oxyz leży w pewnym punkcie O, którego rolę fizyczną później poznamy i że

(7)

r = ^ x² -4- y² -(- z²

jest odległością miejsca wywiadowczego M (x, y, z) od początku O. Jeżeli funkcya u jest kształtu

(8)

u = u(r, t) fala (6) jest kulista. W tym przypadku

b American Journ. of Math. Vol. VI. 1884. Phil. Magazine, Vol. 17. p. 413. 1884.

-) Annalen der Physik und Chemie, Bd. 86. p. 1. 1889. Gesammelte Werke, Bd. 2. p. 150. Leipzig 1894. Ogólniejszy przypadek rozważa H. A. Lorentz w znanej pracy: Versuch einer Theorie der elektr. u. opt. Erscheinungen in bewegten Körpern, Leiden 1895, § 35, p. 54.

Kładąc

(10)

(9)

V² u =

d²u    2 3 u

3 y²    f d f

<j> (r, t) = ru(r, t), możemy wówczas napisać równanie (6) w postaci

(11)

3²<j>

dt²

c²

3² <];

3^“°-

Mamy zatem

(12)

ł-łl

lub, ograniczając się do uważania fali, która kieruje się od początku spółrzęd-nych i pisząc f zamiast znaku <ją :

(13)

u (r, t) =

M-t)-

(1)

§ 20. Przypadek szczególny. Oscylator. Załóżmy

2?r c

f = A sin

Przypuszczając, że punkt wywiadowczy M (x, y, z) leży nadzwyczajnie blisko początku O (w stosunku do długości fali X), Hertz udawadnia łatwo, na zasadzie równań (5) poprzedzającego artykułu, że

E = — y ? > gdzie <p = — A sin —-

K

ot.

dz \ r ) ‘

Gdy posuwamy się ku początkowi spółrzędnych, pole elektryczne zbliża się do pola drgania elektrycznego, którego oś przypada w kierunku osi Oz i którego moment f zmienia się, w sposób harmoniczny prosty, od —A do -\-A, przyczem okres zmienności wynosi X/c. Na zasadzie równań (5) § 19-go przekonywamy się również, że, skoro posuwamy się ku początkowi spół-rzędnych, pole magnetyczne zbliża się coraz bardziej do pola, które towarzyszyłoby prądowi elektrycznemu, równoważnemu opisanemu przed chwilą drganiu elektrycznemu.

Twierdzenia te, jak powiedzieliśmy, stosują się do odległości r bardzo małych (w stosunku do X); lecz nie rozciągają się do punktu, w którym odbywa się drganie.

Ażeby obliczyć Ex w miejscu, leżącem stosunkowo bardzo daleko od oscylatora, wyprowadzamy, z (5a) i z (13) §'19-go, co następuje:

(3)

E,

CO

•s «

*■ "--H.

co

gdzie f, f oznaczają pochodne względem argumentu t — r/c. Zakładając dla funkcyi f znowu typ (1) i przypuszczając, że r jest bardzo duży w stosunku do X, otrzymujemy pierwsze równanie układu następującego

{Aa)

Ex =

xz

... Hx = -

V v c² 3 r³ '

{Ab)

Ey =

= 4-JL.?

i    I

{Ac)

— E.=

^³+?/³ r

q2 y A    '

Pozostałe równania otrzymujemy w sposób analogiczny.

Przekonywamy się bezpośrednio na mocy równań (4), że następujące iloczyny skalarne są równe zeru

(5)

s{rE) = 0:

s(rH) = 0 ;

s{EH) = 0.

Ponieważ nadto He = 0, przeto wektor magnetyczny leży prostopadle do płaszczyzny południkowej, przechodzącej przez oś Oz i przez promień r; wektor E zaś znajduje się w tej płaszczyźnie południkowej. W ząkresie r bardzo wielkich fala elektromagnetyczna jest przybliżenie poprzeczna i spolaryzowana liniowo. Długość wektorów E i H wynosi zgodnie

(6)

sin 6 .f I c³r,

gdzie 6 jest kąt, zawarty pomiędzy dodatnim kierunkiem osi Oz a promieniem r, idącym od źródła O zaburzenia.

Zbudujmy za Planckiem powierzchnię kulistą o promieniu r dokoła punktu O; oznaczając przez 0 i <p zwykłe kąty biegunowe, wnosimy, na zasadzie twierdzenia Poyntinga, że ilość energii elektromagnetycznej, płynąca w czasie dt przez element d db sin 6 r³ powierzchni kulistej, w kierunku normalnym do elementu [por. (5)], wynosi [por. (6)]

.. 2

dtdy d6

sin³ 6 . f A% c³

2*

Całkowita energia, którą oscylator wysyła we wszystkie strony, w czasie od £ = 0 do t = T — X/c, jest zatem równa

(8)

•2

.. 2

3 c³

dt f.

o*

Pod znakiem całkowania / zależy od (t — r/c). Energia, wybiegająca po za granice kuli w chwili t, została wysłana przez źródło zaburzenia w chwili (,t — r/c). Zatem, jeżeli wstawimy t zamiast (t — r/c) do wyrażenia f, otrzymamy z (8) ilość energii, wysłanej przez oscylator w czasie od t = 0 do t = T.

Zastosujmy do uważanego oscylatora zasadę zachowania energii, w założeniu, że nie działa siła elektryczna zewnętrzna; mamy

(9)

o‘

f dt

3c³

n=o,

gdzie & jest energią oscylatora.

§ 21. elektron. Uproszczone równanie drgania. Wyobraźmy sobie elektron ujemny o ładunku e, o masie m, którego drganie dokoła położenia równowagi (a zarazem miejsca dodatniego ładunku e) ma stanowić źródło zaburzenia. Rozumiejąc przez C wychylenie elektronu z położenia równowagi (w kierunku dodatnim lub ujemnym osi Oz), podstawiamy iloczyn eC zamiast poprzedniego momentu f. Za energię oscylatora przyjmujemy wyrażenie następującego kształtu:

(1)

& = \m {n⁴ 5 C⁴ + C ).

Wartość n₀C, wogóle mówiąc, jest porównywalna z wartością C, wartość n0⁴ C

z wartością C; zatem n,,³ C⁴ jest porównywalna wogóle mówiąc z t Ç. Przypuśćmy, że oznacza okres czasu następujący:

(2)

(3)

rozumiemy, dlaczego Planck wnosi (1. c., p. 109—110), iż możemy przybliżenie uczynić zadosyć warunkom zadania, przyjmując równanie (6) za równanie ruchu. Jeżeli wyraz K w tern równaniu pozostaje zawsze bardzo mały, możemy zadowolnić się tern postępowaniem. W przeciwnym razie musimy powrócić do właściwego, nieuproszczonego równania, które nie jest liniowe. Będziemy przypuszczali, że okres czasu ł> jest niezmiernie mały w porównaniu do okresu drgania własnego (swobodnego), który w przybliżeniu wynosi 2:i/n₀. Dodatkowe przyśpieszenie, sprawiane przez pseudo-dy-sypacyjne działanie reakcyi własnego promieniowania elektronu, jest wówczas

wyrażone przez ł> C w dostatecznem przybliżeniu b.

§ 22. Zanikanie drgań. Przybliżona ocena liczbowa. Załóżmy

O)

C c₀

w równaniu (6) poprzedzającego artykułu, rozumiejąc przez C₀, przez a i przez b stałe, przez e podstawę logarytmów naturalnych, przez i pierwiastek kwadratowy z — 1. Otrzymujemy równania

(2)

O /y

v + ^ —8a² + 8a³^ = 0

(3)

ó² — a \ 3 a--^ | = 0,

z których wyliczamy a oraz b. Planck zadawalnia się 2> przybliżoną wartością

) H. A. Lorentz. La Théorie Electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants. Archives Néerlandaises, Vol. 25. 1892, p. 124 (wzory tamtejsze uzupełnić przez dodanie czynnika ²/₃). J. Larmor, Phil. Magazine, Ser 5, Vol 44, p. 503. 1897. M Planck, Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung 1906. H A. Lorentz, The Theory of Electrons, Leipzig 1909, pp 49 i 251.

'-) Vorlesungen, pag. 111. Porówn.: Bulletin Int. de l’Acad. d. Sciences de Cracovie

1909, p. 924.

jest wogóle mówiąc mały w porównaniu do &. Jeżeli teraz przepiszemy równanie (9) § 20-go w postaci następującej

2 e² Ć Ö

(5)

<S-f

3cx

3c³

zatem a oznacza dekrement logarytmiczny drgania.

Oceńmy w przybliżeniu istotną długość okresu czasu łh Oznaczając przez 31 stałą Avogadra, możemy założyć :

oraz

31 = 272.10¹⁹ cm-³

e3i1 = 1 -29 . 10¹⁰ gm1/2 cm~,/s sek-¹

skąd dalej²⁾ e — 474 . IO⁻¹⁰ gm⁷* cm³/² sek⁻¹.

Zakładamy dalej³⁾ :

— = 5'31 . 10¹⁷ gm-,/2 cmJ/> sek⁻¹

c = 3.10¹⁰ cm sek⁻¹.

Wstawiając do równania (2) § 21-go, otrzymujemy

(7)

3- = 6 . IO⁻²⁴ sek.

Możemy obliczyć wartość stałej 3- na drodze odmiennej, mianowicie na zasadzie optycznej teoryi normalnej dyspersyi w ciałach gazowych. Rachunek, oparty na tej podstawie, doprowadza do wypadku⁴) następującego:

(8)

a — —    oraz

à = n₀.

Jeżeli dwóm chwilom tl\t₂, których odstęp t₂ — t₁ jest T—2n/b, odpowiadają wartości, przypuśćmy, Cj oraz C₂, w takim razie, według (4) i (5), oraz według (3), § 21,

(4)

(5)

(6)

log t£)

3- = 47.10~²⁴ sek ;

wartość ta jest w pierwszem przybliżeniu zgodna z (7).

') Por. Bulletin Int. de l’Acad. d. Sc. de Cracovie 1909. p. 937.

²)    Nowe oznaczenia wartości e (Rutherford i Geiger, Proc. Roy. Soc., A, Vol. 81 p. 171. 1908; L. Begeman, Physical Review, Vol. 31, p. 54, 1910; R. A. Millikan, Physical Review, Vol. 32, p. 396. 1911) prowadzą do wyników, które nie różnią się znacznie od powyższego założenia.

³)    G. Classen, Phys Ztschrft Bd. IX, p 768 (1908); A. Bestelmayer, Annalen der Physik, Bd. 35, p. 928 (1911); J. Ma lassez, Annales de Chimie et de Physique, Vol. 23, p 397 (1911).

⁴)    Bulletin Int. de l’Acad. d. Sc. de Cracovie, 1909, p. 925.

sodu:

Weźmy na uwagę promieniowanie, odpowiadające liniom D w widmie

(9)

X₀ = 5’89.10~⁵ cm.

Z równania (4) znajdujemy

(10)

a = — 3-17 . 10⁷ sek⁻¹.

W czasie (naprzykład) wynoszącym §10~⁹ sek, amplituda drgania powinna zatem zmniejszać się w stosunku

1 . g—0-05

(11)

czyli

W tym czasie fala świetlna przebiega odległość 50 cm; przy takich różnicach drogi interferencye powinny przeto być jeszcze możliwe, co sprawdza się istotnie, jak wiemy z doświadczeń A. Michelsona i innych eksperymentatorów.

§ 23. IDpłyiu pola obcego; drgania wymuszone. W dwóch artykułach poprzednich roztrząsaliśmy drgania, odbywające się pod wyłącznym wpływem ąuasi-elastycznego pola siły restytucyjnej. Jeżeli drgania dokonywają się w polu elektrycznem obcem, lub (jak mawiamy) zewnętrznem, wówczas z wła-ściwemi zmianami możemy powtórzyć rozumowanie powyższe. Oznaczmy przez Ez utworzoną w kierunku osi Oz składową natężenia obcego pola elektrycznego, w miejscu, zajmowanem przez elektron; gdy obliczamy tę składową, powinniśmy oczywiście wypuścić z uwagi modyfikacyę pola, sprawianą przez obecność samego elektronu. Zamiast dawniejszego równania (6) § 21-go otrzymamy obecnie następujące zmienione równanie ruchu:

1 :095.

(1)

•    •••    p

C + n₀aC-*C = -£- Ez.

Przypuśćmy, że fala elektromagnetyczna pobudzająca (lub według Plancka «pierwotna»), która wytwarza pole zewnętrzne, jest zadana za pomocą równań

Ex — 0

Hx = 0

(2) Hy — — A cos n[t — -^-j —

Hz = 0,

w których n, jak poprzednio, jest częstością drgań, <|> zaś oznacza stałą dowolną. Takie wartości składowych elektrycznego i magnetycznego wektora,

Ey = 0

Ez = A cos

-e-

czyniące zadosyć zasadniczym równaniom pola, odpowiadają przypadkowi fali płaskiej, poprzecznej, biegnącej z prędkością c w kierunku osi Ox.

Przypuśćmy, że ta fala pada na oscylator, który badaliśmy w poprzednich artykułach Drgania oscylatora składają się wówczas, jak wiemy, z drgań tak zwanych własnych lub swobodnych, oraz z drgań «wymuszonych-. Drgania własne, dane przez równania § 22-go, zanikają z czasem. Z równań (1), (4) oraz (6) tego artykułu widzimy, że drgania własne mogą być uważane za znikające, jeżeli

(3)

czyli

an₀tf 2 %

gdzie T jest okresem drgania własnego, jest liczbą bardzo znaczną t. j. jeżeli czas, który upłynął od chwili t = 0, jest nadzwyczajnie długi w porównaniu do okresu T. Planck zaniedbuje zatem drgania swobodne i ogranicza się do roztrząsania drgań wymuszonych. Fala pobudzająca (2), w miejscu x = 0, wytwarza, w kierunku osi Oz, czynną siłę elektryczną

A cos (nt — ij>).

°t/T,

(4)

Zakładając:

(5)

C = B cos {n t — <\> — y) i wstawiając do równania (1), otrzymujemy

(6)

A e sin y mriA&

(7)

cotg y =

n₀² — n2 ns tł

Posługując się równaniem (5) oraz formułami (6) i (7), należy jednak pamiętać o tern, że one wyobrażają tylko końcowy czyli ostateczny sposób odbywania się drgania, sposób, do którego ruch rzeczywisty przybliża się z czasem, według praw bardziej zawiłych.

Jeżeli różnica n₀² — n² ma wartość znaczną, cotgY (z powodu bardzo małej łł) jest ogromna, zatem kąt y jest blizki wartości 0 lub it. Gdy n₀>n, wówczas y jest blizki zera; opóźnienie fazy drgania (w stosunku do fazy fali pobudzającej) jest dodatnie i małe, znacznie mniejsze niż |T, gdzie T = 2'tijn jest okresem drgań fali. Jeżeli przeciwnie n₀<n, kąt y zbliża się do wartości îc; opóźnienie fazy zbliża się do |T. Jednakże w obu przypadkach sin y jest mała, zatem według (6) wartość amplitudy B jest nieznaczna; reso-nancya oscylatora jest słaba.

Przeciwnie, gdy różnica n ² — n² jest bardzo nieznaczna, kąt y zbliża się do wartości i osiągają, skoro n₀ = n; opóźnienie fazy jest wówczas |T; amplituda B staje się największa, ale pozostaje skończona. Dzięki pseudo-dysypacyjnemu spółdziałaniu straty energii, wywoływanej przez promieniowanie, opóźnienie fazy zmienia się w sposób ciągły, gdy przechodzimy przez wartość n = n₀ i amplitudy nieskończenie wielkie nie pojawiają się w rachunku.

Gdyby wpływ pseudo-dysypacyjny straty energii, wynikającej z promieniowania, był znaczny, wówczas, jak łatwo widzimy, resonancya oscylatora, nawet w razie niezupełnie dokładnego izochronizmu drgań fali i ewentualnych drgań swobodnych, jest tylko mało różna od największej możliwej. Ale w naszym przykładzie założenie to nie jest spełnione; dysypacya w naszym przypadku jest wyjątkowo nieznaczna. Izochronizm w tym razie powinien być stosunkowo bardzo dokładny, jeżeli resonancya ma być dostatecznie zbliżona do największego swego natężenia. Stąd wnosimy, że jedynie tylko te fale, których częstość drgań jest szczególnie blizka wartości n₀, pobudzają oscylatory do ocenialnej resonancyi.

§ 24. Cnergia pochłaniana i 'wysyłana; wartość średnia energii. Obliczmy za Planckiem pracę obcego pola elektrycznego, pochłanianą przez oscylator w ciągu jednostki czasu, czyli wyrażenie:

(1)

dt e E₃ £.

Wstawiając zamiast Ez wartość A cos (nt — <j>), jak w artykule poprzedzającym, oraz obliczając C z równania (5) tegoż artykułu, otrzymujemy

(2)

A² e² sin² y

2mn² &

jako wartość wspomnianej przed chwilą, pochłanianej energii. Z drugiej strony, wysyłana przez oscylator energia, według twierdzenia (8) § 20-go, wynosi w jednostce czasu

(3)

2el

H-T

3c³ T

f dtt

Obliczając C z (5) § 23-go, przekonywamy się, że ta ilość (3) wynosi

(4)

e² n⁴ B2 3 c³ ’

lecz równanie (6) § 23-go, wraz z określeniem fr, zawartem we wzorze (2) § 21-go, wykazuje, że powyższe wyrażenia (2) i (4) są równe pomiędzy sobą.

A zatem sprawdziliśmy, że energia, wysyłana przez oscylator, jest równoważna pracy obcego pola, którą on w tym samym czasie pochłania.

Średnia wartość energii oscylatora wynosi

*+t

(5)

(ê*o) = 21

f dt(n₀² C² + Ća)

a zatem

(6)

(S«₀) — \m (n₀² -f n²) B²,

gdzie za B trzeba wstawić wartość (6) § 23-go.

§ 25. Oscylator pod wpływem promieniowania. Układ równań (2) § 23-go wyobraża falę płaską, ściśle peryodyczną, o określonej częstości. Wiemy jednak z rozdziału I-go, że zaburzenie tak prostego typu nie okazuje wcale własności rzeczywistego promieniowania, zwłaszcza zaś zrównoważonego czarnego promieniowania, którego przestrzennej izotropii wcale nie naśladuje. Wyobraźmy sobie oscylator, jaki badaliśmy w artykułach poprzednich i przypuśćmy, że on jest umieszczony w dziedzinie opróżnionej z materyi, spoczywającej, zamkniętej przez ściany odbijające i wypełnionej przez zrównoważone promieniowanie. Ażeby zbliżyć się w rozumowaniu do rzeczywistych warunków równowagi pomiędzy cząstkami materyi a promieniowaniem, Planck postępuje w sposób następujący. Rozkłada wypadkową składową Ez pola elektromagnetycznego, wytwarzanego przez promieniowanie w miejscu oscylatora, w czasie od t = 0 do t = T (gdzie T jest długim okresem czasu), na szereg

i — oo

(1)

eb =

'V ,    / 2 % i t

2j Ai cos I—ÿ

«=o

w którym wartości i mają stawać się równe po kolei wszystkim liczbom całkowitym i dodatnim, poczynając od zera, gdy przechodzimy od dowolnego do następnego wyrazu szeregu, wielkości zaś oraz «j»f mają wówczas zmieniać się, w sposób całkiem przypadkowy, nagłymi i nieobliczalnymi skokami. Wprowadzając taką wartość Ez do równania (1) § 23-go, otrzymujemy, jak wówczas, drganie wymuszone wypadkowe

i — co

(2)

Kładziemy tutaj ni — 2%ijT i mamy znowu, podobnie jak w § 23-im:

(3)

Bi =

Ai.e. sin y»

m rii⁸ -8-

(4)

, V — nt-²

Rachunki i wnioski § 24-go stosują się z odpowiedniemi zmianami do niniejszego przypadku. Energia, którą oscylator pochłania w jednostce czasu, wynosi obecnie

t ~ oo

(5)

6²

^ Ai² sin² y,

' n? •

î = 0

Ponieważ przypuszczamy stan trwały, przeto energia, wysyłana przez oscylator w jednostce czasu, jest również dana przez wyrażenie (5). Średnia wartość energii, którą oscylator zawiera trwale, jest

t = co

(6)

(<§«„) = 1^2 (V 4-

albo inaczej

• =:0

(7)

(«0 =

e²

i — oo

n₀² -f ni²

7?i⁶

A/ sin² T*.

Ponieważ ocenialnie absorbowane są tylko te drgania częściowe, których Hi leżą wyjątkowo blizko n₀, przeto możemy przepisać równanie (7) w postaci następującej

(8)

iK) =

^ ^li² sin² ti ^ n?

2mn²1>² -

u    i

§ 26. Pierwsze twierdzenie główne. Dziedzina £2 jest wypełniona, jak przypuszczamy, przez promieniowanie naturalne jednostajne. Oznaczając przez U, jak w pierwszym Rozdziale, całkowitą gęstość promieniowania, otrzymujemy w tym przypadku z dobrze znanego Maxwellowskiego rów-

=o

nania: (1) gdzie E², jest przestrzenną średnią wartością w jednostce objętości bardzo małej, zbudowanej w uważanem miejscu pola. Posługując się równaniem (1) § 25-go, możemy przepisać obecne równanie (1) w postaci następującej:

•=o

Ażeby módz rozłożyć spektralnie równanie (2), Planck czyni nowe założenia. Za gęstość w-promieniowania piszemy, jak dawniej, wyrażenie

(3)

i = oo

(2)

dnU„-,

do tego nieskończenie małego wyrażenia przyrównywamy, po prawej stronie równania, co następuje:

i+j

(4)

przyczem

dn. T 2tz

Oznaczmy przez [Ą] średnią wartość wszystkich Â\, obliczoną w granicach od i do i-\-j; dla dostatecznie małej j ta wartość powinna stawać się niezależna od j. Posługując się takiem oznaczeniem, otrzymujemy

(5)

TJ — ^ M?.i

n~~ 16 TT2 1    '

Oznaczmy przez stosunek energii, pochłanianej przez oscylator w jednostce czasu, do gęstości Un w-promieniowania (lub praktycznie napromieniowania), które pobudza go do drgań. Jeżeli przypuścimy, że wartość jj. (która stanowi miarę zdolności pochłaniania oscylatora) nie jest zależna od przypadkowo trafiających się w promieniowaniu amplitud, tedy z równania powyższego (5) oraz z wzoru (5) § 25-go otrzymujemy

i = co

(6)

4tc²c³ ^

T Zj

sin²

Sumę tu napisaną zastępujemy przez całkę określoną i obliczamy jej wartość przy pomocy równania (4) § 25-go; mamy ostatecznie

(7)

{JL = 7C²C³ łł.

Powracając do (5) § 25-go, otrzymujemy:

i — oo

(8)

Un =

3_ y Ai sin² Yt-4 TC² łł -“2- •

i— o

rii

Porównajmy to równanie z formułą (8) § 25-go. Przywracając dla ogólności

znak n i korzystając, jak poprzednio, z wzoru (2) § 21-go, otrzymujemy natychmiast

(9)

Un =

K² C³

gdzie opuściliśmy niepotrzebny już nawias. Równanie (9) jest zapowiedzia-nem w § 16-ym pierwszem głównem twierdzeniem Teoryi. Otrzymaliśmy je tutaj, za przykładem Plancka, rozważając sposób pochłaniania i wysyłania fal przez elektromagnetyczne oscylatory. Analogiczne równanie (15) § 18-go uzyskaliśmy przy pomocy metody Jeansa i Rayleigh a, która nie wymaga założeń, wchodzących szczegółowo w mechanizm absorbcyi i emisyi promienistej energii.

Jak widzieliśmy w poprzedzającym rachunku, oscylatory Plancka wpływają wprawdzie na natężenie promieniowania, którego częstość drgania różni się całkiem nieznacznie od ich własnej fundamentalnej częstości, ale nie mogą zmieniać częstości tego promieniowania; na pozostałe zaś promieniowanie nie wywierają ocenialnego wpływu. Stąd wynika, że oscylatory Plancka są pozbawione zasadniczej własności, która przysługuje materyi, mianowicie zdolności przekształcania promieniowań pewnych częstości na promieniowania odmiennych częstości; są pozbawione własności, dzięki której promieniowanie zrównoważone dochodzi wogóle w Naturze do skutku. Widzimy, że w teoryi Plancka pozostaje niedostatek istotny i niemal sprzeczność wewnętrzna. Prowadzi nas ona, co do warunku równowagi, do wyniku, który jest niewątpliwie, przynajmniej w przybliżeniu, prawdziwy; lecz nie uzasadnia i nie poręcza wniosku, że ten wynik stosuje się istotnie do przypadku promieniowania termodynamicznie zrównoważonego.

¹

Paschen, Annalen der Physik Bd. 58, p. 455, 1896; Bd. 60, p. 662, 1897.— Lummer i Pringsheim, Verh. d. d. phys. Gesellschaft, Bd. 1, p. 23, 1899. — Rubens i Kurlbaum, Annalen der Physik, Bd. 4, p. 652, 1901.

²) Sitz.-Berichte d. kgl. Preuss. Akademie d. Wiss. zu Berlin, z dn. 21 Marca 1895, 20 Lutego 1896, 4 Lutego 1897, 8 Lipca 1897, 16 Grudnia 1897, 7 Lipca 1898, 18 maja 1899, 9 Maja 1901.—Annalen der Physik, Bd. 1. p. 69, p. 719. 1900; Bd. 3. p. 764. 1900. Bd. 4. p. 553, p. 564. 1901; Bd. 6. p. 818. 1901; Bd. 9, p. 619, p. 629. 1902. - Verh. d. d. phys. Gesellschaft, Bd. 2. p. 202. 1900; ibidem, p. 237. 1900. — Physikalische Zeitschrift, Bd. 2. p. 530. 1901. — Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung, Leipzig 1906, passim.— Annalen der Physik, Bd. 31. p. 758. 1910.— Verh. d. d. phys. Gesellschaft Jhrg. 13. p. 138. 1911. — Sitz.-Berichte d. kgl. Preuss. Akademie d. Wiss. zu Berlin z dn. 13 Lipca 1911, p. 723.—Journal de Physique, Vol. 1. p. 345. 1911.—Verh. d. d. phys. Gesellschaft Jhrg. 14. p. 113. Januar 1912.—Annalen der Physik, Bd. 37, p. 642. 1912.

²

) Planck, Vorlesungen, p. 106.

³

Prace mat.-fiz., t. XXIV.

⁴

3 we3,1

przypuśćmy dalej, że liczba czysta

⁵

Ti &n₀

jest zawsze niezmiernie mała w stosunku do jedności. Stosunek

2 e⁴ i C

Rozdział czwarty.

§ 27. Zasada CkuMpartycyi. Uwagi wstępne. Zasada równego podziału czyli ekwipartycyi energii, przewidywana przez Waterstona²), została odkryta, w szczególnym przypadku, przez J. Cl er k-Maxwella ³> w roku

') Planck, Vorlesungen, pag. 220. Ehrenfest, Phys. Zeitschrift, VII Jahrgang, p. 528. 1906. W. Wien, Encyklop. d. Math. Wissenschaften, Bd V3, Heft 2, p. 302. 1909.

²)    Rozprawa J. J. Waterstona „On the Physics of Media that are composed of free and perfectly elastic molécules in a state of motiona została przedstawiona w Grudniu 1845-go roku Towarzystwu Królewskiemu w Londynie; lecz ogłoszono ją drukiem dopiero w roku 1892-im, staraniem Lorda Rayleigh (Philosophical Transactions of the Roy. Society of London, Vol. 188 (A) pp. 1-79. 1892)

³)    Philosophical Magazine, Jan 1860, July 1863; Scientific Papers of J. CL Maxwell, edited by W. D. Niven, Cambridge 1890, Vol. I, p. 377.

1859-ym. Ludwik Boltzmann, który tej Zasadzie oraz związanym z nią prawom Mechaniki i Termodynamiki poświęciłb przeszło trzydzieści lat nieprzerwanego badania, rozwinął ją i uogólnił ją znacznie, czyniąc z niej jednocześnie twierdzenie fundamentalne w Kinetycznej Teoryi Materyi. Maxwell, w jednej z ostatnich prac 2> swoich, powrócił raz jeszcze do tego przedmiotu i nietylko zakres Zasady ponownie rozszerzył, lecz nadto, w polocie geniuszu, rozpoznał podstawy Mechaniki Statystycznej, nowej Nauki, którą Boltzmann, Rayleigh, Lorentz, zwłaszcza zaś J. W. Gibbs³⁾ i liczni inni uczeni doprowadzili następnie do wysokiego stopnia doskonałości. Lecz, jakkolwiek rozwinięta została i umocniona w ten sposób, jakkolwiek wielokrotnie bywała sprawdzana w zakresie prostszych Równowag ⁴⁾ Materyi, Zasada Ekwipartycyi Energii budziła zawsze wątpliwości, budziła nawet opór; jeden z najpierwszych przywódzców Nauki w XIX-em stuleciu, Lord Kelvin, był trwale ⁵⁾ jej przeciwnikiem. Długie, pamiętne dyskusye łączą się z tym przedmiotem; powstała o nim rozległa literatura. Wyczerpujący obraz historyi zagadnienia, zupełne przedstawienie dzisiejszego jego stanu, wymagałyby całkowitego studyum, które przekraczałoby ramy naszej pracy. Poprzestajemy w tern miejscu na krótkiem streszczeniu wyników i wniosków, które możemy uważać za zdobyte, o ile o tern podobna jest sądzić w zagadnieniu, które wcale jeszcze nie jest wyczerpane. Zarazem podajemy w przypisku ⁶> przy-

]) Wissenschaftliche Abhandlungen von Ludwig Boltzmann, herausgegeben von Dr. Fr. Hasen öhrl, Leipzig 1909, trzy tomy.

²)    Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. XII, 1878. Scientific Papers, Vol. 2, p. 713.

³)    Elementary Principles in Statistical Mechanics, developed with especial reference to the rational foundation of Thermodynamics. New-York and London, 1902.

⁴)    Porówn. §§ 32, 35, 55.

⁵)    Proceedings of the Roy. Society of London, Vol. 50, p. 79. 1891; Philos. Magazine, Vol. 83, p 466. 1892. Baltimore Lectures on Molecular Dynamics and the Wave-The-ory of Light, London 1904, pp. 496, 504, 512; Mathematical and Physical Papers, Vol. 4, Cambridge 1910, pp. 484, 495.

⁶)    G. H. Bryan, Report on the present state of our Knowledge of Thermodynamics, British Assoc. Report, Oxford Meeting, 1894; partii. Boltzmann, Vorlesungen über Gastheorie, Leipzig 1896 — 1898, 2 tomy. Lord Rayleigh, Philos. Magazine, Vol. 33, p. 356, 1892; Vol. 49, p. 98, 1900; przedrukowane w Scientific Papers by J. W. Strutt, Baron Rayleigh, Cambridge 1899 i 1903, Vol. 3, p. 554, Vol. 4, p. 433. J. H. Jeans, Philos. Magazine, Vol. 4, p. 585. 1902; tegoż autora The Dynamical Theory of Gases, Cambridge 1904, rozdz. 2—5. S. H. Burbury, A Treatise on the Kinetic Theory of Gases, Cambridge 1899. A. Einstein, Ann. der Physik, Bd. 9, p. 417, 1902; Bd. 11, p. 170. 1903. H. A. Lorentz, Abhandlungen über theoretische Physik, I-er Band, Leipzig und Berlin 1907, pp. 202—298. L. Boltzmann u. J. Nabl, Encyklop. d. Math. Wiss., Band VI, Heft 4, p. 493. 1907. P. u. T. Eh renf est, Encyklop. d. Math. Wiss., Band IV 2II, Heft 6. 1911. P. Hertz» Ann. der Physik, Band 33, p. 225. 1910. J. H. Jeans, Philos. Magazine, Vol. 20, p. 943. 1910. S. B. Mc Laren, Philos. Magazine, Vol. 23, p. 513. 1912.

najmniej niektóre z pomiędzy ważniejszych rozpraw i monografij, które posiadamy obecnie, oprócz poprzednio już przytoczonych, o twierdzeniu Ekwi-partycyi Energii.

§ 28. Założenia. Wyobraźmy sobie nadzwyczajnie wielką liczbę układów dynamicznych, konserwatywnych, od siebie nawzajem niezależnych, pod każdym względem pomiędzy sobą ściśle identycznych. Przypuśćmy, że stan każdego układu jest określony przez uogólnione spółrzędne

(1)

On

Oi > 0.21

oraz przez uogólnione momenty

(2)

P i, P2y * • Przez moment p^ rozumiemy pochodną

Pn-

(3)

Pi = —

2 0i

(*=1, 2,

n),

przyczem E oznacza całkowitą energię układu, którą uważamy w (3) za funkcyę spółrzędnych g* oraz prędkości g,-. Każdy ogół wartości zmiennych (1) i (2) nazwiemy za Maxwellem fazą ruchu układu. Jeżeli wyobrazimy sobie przestrzeń 2 w-wymiarową, w której zmienne (1) i (2) grają rolę spółrzędnych Kartezyusza, w takim razie każda możliwa faza ruchu układu będzie reprezentowana przez pewien punkt tej przestrzeni.

Energia całkowita E składa się, wogóle mówiąc, z dwóch części: z energii potencyalnej V, która ma być funkcyą tylko spółrzędnych g,-, oraz z energii kinetycznej T, o której przypuszczamy, że jest funkcyą jednorodną stopnia drugiego momentów piy o spółczynnikach au, a{j, zależnych od spółrzędnych q{ i że nie zawiera czasu t wyraźnie. Wiadomo, że przez podstawienia liniowe, kształtu

k=n

(4)

Pi =

(*= 1, 2,

n),

(gdzie bik są funkeyami spółrzędnych qi) można doprowadzić zawsze energię kinetyczną T do postaci

5)

HM

2 c*rk

przyczem spółczynniki ck (z pomiędzy których żaden nie może być ujemny ani równy zeru) są znowuż, wogóle mówiąc, funkeyami spółrzędnych q,.

Nowe te zmienne rk nazywamy, za przykładem Boltzmann a, momentoida-mi układu, odpowiadającymi spółrzędnym qi. Widzimy, że istnienie każdego momentoidu rk przyczynia się udziałem \ckr\ do energii ogólnej kinetycznej układu.

Posługując się metodą, wprowadzoną do Dynamiki przez Hamiltona, wyobrażamy sobie energię całkowitą E układu jako funkcyę zmiennych qi'ipi, o której przypuszczamy, że nie zawiera czasu t wyraźnie. Prawa ruchu układu są zawarte w znanych równaniach kanonicznych, mianowicie, po pierwsze, w równaniach:

(6)

dpi

dt

(*= 1, 2, ... . n),

do których trzeba dołączyć, powtóre,

(7)

dqi

dt

(i= 1, 2, .... n).

Z równań (6) i (7) otrzymujemy, jak wiadomo, 2 n — 1 całek, następującej postaci

(8)

ł. («1 , 0₂ > • • • • > Qn, Pi, P₂, • • • • , Pn) = h„ («= 1, 2, . . . ., 2n—1)

gdzie są funkcyami 2 n zmiennych

(9) hs zaś oznaczają stałe. Ostatnia całka równań (6) i (7) może być napisana w postaci

(10)

$2n (#1 , q% , • • • • , Orty Pi , P₂ j . • • • , Pn) - h2n “j⁻ t ,

gdzie ^2n jest ostatnią funkcyą zmiennych niezależnych (9), h2n zaś ostatnią stałą; t wszędzie oznacza czas.

Przypuśćmy, że układ jest pozostawiony samemu sobie. Zmienne (9) przybierają wówczas z biegiem czasu coraz inne wartości, jednakże wielkość E pozostaje stała. Energia E jest zatem zależna od wszystkich lub od niektórych z pomiędzy powyższych stałych

(11)

/&i, lh,

, Jl2n-\ 5

możemy utożsamić funkcyę E z którąkolwiek z pomiędzy funkcyj (8) gdzie s— 1, 2, ... . 2n — \, innemi słowy, możemy rozumieć równanie zachowania energii

E = const.

(12)

przez jedno (którekolwiek) z pomiędzy równań (8), naprzykład przez równanie

(13)

łi = K •

Gdy zmienne (9) przybierają z biegiem czasu coraz inne wartości, faza ruchu układu zmienia się; punkt figuracyjny, który ją wyobraża w 2n-wymia-rowej przestrzeni, porusza się w niej i odbywa pewną drogę. Możemy powiedzieć, że zadaniem Mechaniki jest w ogólności wyznaczenie kształtu tej drogi, dla określonego układu, gdy punkt, w którym ona rozpoczyna się, jest wiadomy. Zadanie Statystycznej Mechaniki, według myśli Maxwell a, jest odmienne. Ażeby ją sformułować, przypominamy, że układów dynamicznych, pomiędzy sobą identycznych, które badamy, jest, jak powiedzieliśmy, nadzwyczajnie wiele. Przypuśćmy, że w pewnej chwili początkowej rozpoczęły one ruch, przy jednakowej wartości energii E, od wszelkich możliwych faz początkowych i że te ruchy odbywały się później, niezależnie od siebie, w identycznych warunkach. Uważajmy teraz element objętościowy

(14)

dÜ = dq₁ dq₂ .... dqn dpx dp₂ .... dpn

2w-wymiarowej przestrzeni. Zakładamy, że liczba układów, których punkty figuracyjne leżą w granicach elementu d&, może być wyrażona b przez iloczyn

(15)

p dii ;

gdzie p ma być wielkością skończoną, która może być, wogóle mówiąc, funkcyą zmiennych powyższych (9) oraz czasu. Nazywamy tę wielkość gęstością punktów figuracyjnych.

§ 29. Twierdzenie hiouuille’a. Oznaczmy przez

dt

O)

pochodną względem czasu funkcyi p, którą otrzymujemy, gdy wszystkie qi oraz pi w tej funkcyi pozostawiamy niezmienne. Za przykładem Gibbsa przekonywamy się łatwo, że ta pochodna spełnia zawsze równanie

') Nie wchodzimy wcale w dyskusyę pytania, do jakiego stopnia dowolne jest założenie powyższe. Zadawalniamy się uwagą, że jest możliwe czyli dozwolone. Z dotychczasowych badań wnosimy, że ono jest zarazem najprostsze z pomiędzy założeń, które spełniają wszystkie postulaty a priori konieczne.

Lecz z równań Hamiltona (6) i (7) artykułu poprzedzającego otrzymujemy natychmiast

(3)

bo

O) (ki "O

i v 1³ (pi) i ³(pÀ)| n + Z> \ Hi + 3p, |-u-

|®+^ = 0.

dqi 3 pi

Równanie (2) sprowadza się zatem do

(4)

bib

= 0,

gdzie D/Dt ma znaczyć

(5)

37 + 2 {?<

»•= 1 l

%+pi ~ •

Prawo, które jest wyrażone przez równanie (4), nazywa sie twierdzeniem Liouville’a i odgrywa rolę fundamentalną w Kinetycznej Teoryi Gazów. Dobrze wiadomo, ile uwagi i pracy Boltzmann poświęcił udowodnieniu tego twierdzenia oraz dyskusyi jego zastosowań.

Twierdzenie Liouville’a bywa zazwyczaj przytaczane w odmiennej postaci. Przypuśćmy, że w chwili t° punkty figuracyjne pewnej liczby układów leżą w granicach 2w-wymiarowej nieskończenie małej dziedziny

(6)

dqn° dp^ dp₂°

dpn ,

gdzie 2w-krotne całkowanie ma rozciągać się do całej uważanej, nieskończenie małej dziedziny. Układy te mają ulegać prawom Dynamiki od chwili t° do chwili t, odbywają zresztą ruch dowolny w tym czasie. W chwili t punkty ich figuracyjne leżą w granicach 2 w-wymiarowej nieskończenie małej dziedziny

(?)

Q = ff. .. j' dqx dq₂

dqn dpx dp₂

dp

gdzie całkowanie, jak w poprzedniem wyrażeniu (6), rozciąga się do całej uważanej, nieskończenie małej dziedziny. Bez względu na wybór chwil t° i t mamy wówczas

(8)

Q° == Ö.

J. W. Gibbs nazwał wartość całki (7) rozciągłością pod względem fazy (extension-in-phase); dlatego twierdzenie Liouville’a bywa przytaczane niekiedy jako zasada zachowania tej rozciągłości.

§ 30. Stan trwały. Hypoteza Iïlaxwella. Przypuśćmy, że osiągnięty został stan trwały, w którym gęstość p nie ma explicite zależeć od czasu. Z równania (4) poprzedzającego artykułu wnosimy, że wówczas

a)

-f-p* ^ !=o.

'    ²Pi \

Przejdźmy teraz wraz z Jeansem od zmiennych

(2)

<h,

; Q.n

P\ ■> P'l i

, p,

do następujących nowych zmiennych:

(3)

-C-

hn-

Znaczenie tych liter określiliśmy w § 28-ym [por. (8) i (10) tego artykułuj. Przepisawszy równanie (1) w postaci

j = 2 n

co

(4)

= 0,

powiadamy, że, dopóki

(5)

j= 1, 2,

dopóty mamy fy=0; lecz <j>2w, przeciwnie, jest różna od zera (por. § 28). Uwzględniając te własności zmiennych <j>j, otrzymujemy z (4)

(6)

dhn

= 0;

innemi słowy otrzymujemy

(7)

P = -F(łi, ł

'hii-i),

gdzie F jest funkcyą dowolną 2 n — 1 argumentów (3), które, jak wiemy z § 28-go, są równe odpowiednim stałym hj. Biorąc, jak powiedzieliśmy w § 28-ym, energię E za ^ i wstawiając pozostałe hj, przepisujemy równanie (7) w nowej postaci, jak następuje:

(8)

P — F(E, h₂, h

, Jl2n-l) •

Zamiast równania (8), które w tej chwili otrzymaliśmy, Maxwell, Boltzmann i liczni inni uczeni zakładają zazwyczaj

P = F(E).

(9)

Założenie (9) mieści się oczywiście, jako szczególny przypadek, w ogólniej-szem twierdzeniu (8), stanowi zatem możliwe, lecz (z dotychczasowego naszego punktu widzenia) bynajmniej nie jedyne możliwe, a przeto nie konieczne rozwiązanie zadania. Maxwell zdaje sobie sprawę z dowolności podobnej specyalizacyi rozwiązania; ażeby tę dowolność złagodzić, powoływa się na słynną odtąd hypotezę ciągłości drogi (assumption of continuity of path). Maxwell bierze na uwagę układ (tak zwany ergodyczny układ Boltzmann a), który, pozostawiony sam sobie, przebiegnie wcześniej czy później przez każdą fazę ruchu, zgodną z warunkiem zachowania energii. Przez każdy punkt 2n-wymiarowej przestrzeni, określonej w § 28-ym, przechodzi tylko jedna droga punktów figuracyjnych. Jeżeli droga, leżąca na danej powierzchni

(10)

E == const.,

ma przejść przez wszystkie punkty tej powierzchni, w takim razie na tej powierzchni istnieje właściwie tylko jedna droga, po której biegną wszystkie ruchy danej energii. Owóż układy, które roztrząsamy, rozpoczęły ruch od najrozmaitszych wprawdzie faz początkowych, lecz przy jednakowej energii. Układy te zatem znajdują się wszystkie na tej samej drodze; wartości

(U)

h₂,    ,

hïn—l

są dla nich wspólne; tylko (zależne od rachuby czasu) wartości h2n mogą być dla nich różne. Ale h2n nie wchodzi właśnie do p według równania (8). W przypadku ergodycznych układów założenie Maxwell a wydaje się więc uzasadnione. Jednakże możnaby było zapytać, czy rozumowanie, które doprowadza do (8), pozostaje ważne w przypadku ergodycznych układów; czy twierdzenie (8) wolno stosować do tego przypadku? Możnaby nawet zapytać, czy układ dynamiczny, do którego stosują się, naprzykład, równania Hamiltona, może wogóle być ergodyczny? Na te i podobne pytania nie posiadamy jeszcze dotychczas zupełnie jasnych i wyjaśniających odpowiedzi. Jak zauważył Lord Rayleigh, zastrzeżenie, zawarte w określeniu ergodycznego układu, jest nadzwyczajnie wyłączne; albowiem żąda, ażeby układ, wychodząc z jakiejkolwiekbądź fazy, przebiegał przez każdą inną fazę (zgodną z warunkiem zachowania energii), zanim powróci do fazy początkowej. Istotnie, skoro tylko faza początkowa zostałaby ponownie osiągnięta, ustanowiłaby się tern samem droga kołowa; żadna inna faza, po za nią leżąca, nie zostałaby wówczas przebieżona, bez względu na to, jak długo jeszcze ruch odbywać się będzie.

§ 31. IDniosek. Uważajmy układy, które wdanej chwili t znajdują się w określonej konfiguracyi

h ck (n²)

(5)

(1)

, Qn •

Qi, Qi,

Przyjmujemy hypotezę Maxwell a i przypuszczamy, że (por. §§ 28 i 30)

F (jE) dqxdq₂

jest liczbą układów, których spółrzędne i momenty leżą pomiędzy

, qn i qn-\~ dqn,

, pn i Pn-\- dpn.

Przeciętna wartość energii kinetycznej, odpowiadającej momentoidowi rk, dla uważanych układów, w uważanej konfiguracyi (1), wynosi, według § 28-go,

(^)

(3)

(4)

dqn dpx dp₂

dpn

Qi i Qi-\-dqly q₂ i q₂Ą-dq₂, Pi i P₂ + dp

Pi i Pi + dp

2,

czyli

Ck

4-00

I ... | dpi dp₂. . . . dpn Vk F (E)

(6)

— oo

4-00

. . . . dpn F (E)

J . .J dp!

Wyobraźmy sobie, że od zmiennych

(7)

Pi, Pi

, Pn

przechodzimy do nowych zmiennych

(8)

ru r₂,

, 'Cn •

Przypuszczamy, że momenty Pi są funkcyami liniowemi momentoidów rk, o spółczynnikach zależnych jedynie od spółrzędnych qi (§ 28); przeto wyznacznik

(9)

³(Pi, Pi

; Pn)

a ( r₁, r

, rn)

jest również tylko funkcyą spółrzędnych qt. Energia E jest sumą energii kinetycznej T, która według (5), §28, jest sumą wyrazów typu \ ckr^ oraz energii V, która zależy tylko od spółrzędnych gt-. Widzimy zatem, że zamiast (6) możemy napisać

C, (r¹²) = 1 c₂ (r₂²) =

Każda z pomiędzy tych średnich jest jedną n-tą częścią ich sumy, czyli energii kinetycznej T uważanych układów. Momentoidy dzielą się w częściach równych energią kinetyczną; na tern twierdzeniu polega Zasada Ekwipartycyi. Bryan, od którego zapożyczyliśmy powyższy rachunek, czyni uwagę, że, gdyby funkcya F, wyrażająca gęstość p punktów figuracyjnych, zawierała, oprócz E, jeszcze dalsze stałe

¹

Maxwell, Trans, of the Cambridge Phil. Society, l. c., pag. 726 (Récapitulation). Bryan i Boltzmann, Sitz. Ber. d. K- Akad. d. Wiss. Wien, Bd. 108, p. 1125. 1894 (lub Wiss. Abh., II, p. 510). J. J. Thomson, Applications of Dynamics to Physics and Chemistry, London 1888, Chapter VI. Por. Wstęp do Fizyki teoretycznej, Warszawa 1890, §§ 150, 152. Bulletin Int. Ac. d. Sc. de Cracovie, Décembre 1893.

(12)

> hy.n—i >

jak w równaniu (8) artykułu poprzedzającego, wówczas wniosek powyższy (11) pozostaje prawdziwy pod warunkiem, że

4- oo

i—l

to

ta

(10)

ff... j dr ₁ dr₂

dr„F (E)

— oo

tak iż wypada

h₂, hz,

(13)

-e-

w—1

zawierają tylko uogólnione spółrzędne </», nie zawierają zaś momentów p{. Słuszność tej uwagi jest widoczna z poprzedzającego rachunku.

§ 32. Pojęcie temperatury. Możliwość podania określenia dla pojęcia temperatury, w Kinetycznej Teoryi Gazów, polega, jak wiadomo, na hypote-tycznem zastosowaniu¹) Zasady Ekwipartycyi; uzasadnienie termometrycznych praw gazów doskonałych oraz prawa Avogadra, za pomocą założeń tej Teoryi, zależy zatem od ważności, w przypadku gazów, tej Zasady Statystycznej Mechaniki. Widzimy stąd, jak ważna dla Teoryi Gazów jest ta Zasada, jak rozległe i jak fundamentalne jest jej doświadczalne podłoże.

Oznaczmy przez T temperaturę bezwzględną czyli termodynamiczną gazu doskonałego, przez k pewną stałą uniwersalną stosownej wartości. Bez względu na fizyczne warunki, w których gaz się znajduje, bez względu na-przykład na możliwe działanie sił zewnętrznych, bez względu (w przypadku mieszanin) na chemiczną naturę cząsteczek, energia kinetyczna przeciętna jednej cząsteczki wynosi §kT, jeżeli stan równowagi został osiągnięty. Cząsteczki gazów poczytujemy tu za punkty materyalne swobodne. Na jeden stopień swobody w gazie doskonałym wypada zatem, w stanie równowagi, \kT kinetycznej energii. Ta sama ilość kinetycznej energii przypada każdemu stopniowi swobody w każdym dynamicznym układzie, jeżeli wolno zastosować do układu Zasadę Ekwipartycyi Energii i jeżeli znajduje się on w równowadze z ciałem materyalnem (z termometrem termodynamicznym), które wskazuje temperaturę T.

§ 33. Drgania fundamentalne. Doma postać twierdzenia. Przypuśćmy, że w uważanym układzie odbywają się t. zw. małe drgania dokoła położeń równowagi. Przypuśćmy, że możemy wybrać poprzednie zmienne q, w sposób taki, ażeby następujące warunki zostały spełnione. Każda z pomiędzy zmiennych q> ma być równa zeru w położeniu równowagi. Energia poten-cyalna układu ma być funkcyą postaci

(i)

»•=i

przyczem wszystkie bt mają być stałe. Energia kinetyczna układu ma być funkcyą postaci

(2) przyczem wszystkie mają być stałe. Równanie ruchu w któremkolwiek-bądź drganiu jest

(3)

i + ni² qt = 0 ,

gdzie

(4)

n? .= bij ai-,

rozwiązanie (3) jest

(5)

q{ = At cos riit-f- Bi sin ntt ;

rii jest częstością ć-go drgania. W tern drganiu implikowana jest wyłącznie tylko jedna, odpowiadająca mu spółrzędna niezależnie od drgań pozostałych, niezależnie od innych ruchów, które mogą odbywać się w układzie. Takie drgania noszą zazwyczaj nazwę drgań fundamentalnych.

Przypuśćmy, że drgań fundamentalnych odbywa się nadzwyczajnie wiele

w uważanym układzie; i że one odbywają się chaotycznie, że fazy drgań są rozłożone według prawa czystego przypadku. Zasadzając się na wzorach poprzednich, sprawdzamy łatwo, że przeciętna kinetyczna energia jednego drgania jest każdej chwili równa przeciętnej potencyalnej energii, jeżeli obliczamy obiedwie przeciętne, w każdej danej chwili, dla całego tłumu drgań indywidualnych. Stąd wynika, że przeciętna całkowita energia drgania fundamentalnego jest wówczas równa podwójnej przeciętnej kinetycznej energii; zatem wynosi kT, jeżeli T jest, jak poprzednio, temperaturą termodynamiczną układu.

§ 34. Prawo Rayleigha. Powróćmy do zagadnienia, którem zajmowaliśmy się w §§ 17-ym i 18-ym, za Lordem Rayleigh i Jeansem. Uważajmy znowu sześcian, którego ściany znajdują się w spoczynku, odbijają doskonale i zachowują wszędzie temperaturę niezmienną T. Próżnię sześcianu wypełnia promieniowanie jednostajne i zrównoważone. Przypuśćmy na chwilę, wraz zJeansem, że układ w tym stanie podpada pod działanie prawa Ekwi-partycyi Energii. Oznaczając, jak w §§ 17 i 18-ym, przez &n średnią energię jednego ^-drgania fundamentalnego, mamy, według końcowego wypadku § 33-go:

(1)

&n = kT,

niezależnie od n. Wstawiając tę wartość do równania (15) § 18-go, znajdujemy:

(2)

Un

7C²C³

kT.

Wzór (2) lub równoważna mu formuła

(3)

8vkT

X⁴

wyraża prawo promieniowania, które podał w r. 1900-ym Lord Rayleigh, ograniczając je jednak wyłącznie i wyraźnie do przypadku fal bardzo długich.

Dostrzegamy, istotnie, z łatwością, że prawo Rayleigha nie może być, żadną miarą, ogólną i ścisłą formułą czarnego promieniowania. Przede-wszystkiem, według wzorów (2) albo (3), gęstość energii, przypadająca falom bardzo krótkim, jest nadzwyczajnie wielka i może rosnąć, dla fal coraz krótszych, bez żadnej granicy. Całkując (2) względem n, od n = 0 do n = oo, jak tego wymaga określenie całkowitej gęstości U (§ 4), otrzymujemy oczywiście wypadek nieskończenie wielki. Prawo Rayleigha może zatem być widocznie tylko twierdzeniem granicznem, do którego zbliża się, w miarę malejących n, prawdziwa formuła promieniowania czarnego. Wiemy dalej, że Un lub U\, w każdej temperaturze, przechodzi przez największość dla pewnej

częstości n lub dla pewnej długości fali X, zależnej od tej temperatury. Badania doświadczalne i pomiary ilościowe dotarły niejednokrotnie do miejsc takich największości; wiemy dzisiaj, że one zgadzają się dobrze z prawem Wien a (§ 14). Stąd okazuje się również, że zależność Un lub U\ od n lub od X w prawdziwej formule promieniowania nie może być tak prosta jak w powyższych wzorach (2) albo (3). Zależność od T nie może także polegać na prostej proporcyonalności; posługując się Zasadą Kirchhoffa, można przekonać się o tern ze spostrzeżeń niemal codziennych 1}.

Zważmy obecnie, że w wywodzie, który doprowadził nas do sformułowania prawa Rayleigha, nie uczyniliśmy nigdzie zastrzeżenia, które ograniczałoby długość fali uważanego spektralnego przedziału; cały terr rachunek, jeżeli jego podstawy zostały przyjęte, powinien stosować się jednakowo do fal długich i krótkich. Dochodzimy zatem do wniosku wielkiej wagi, który możemy wyrazić w sposób następujący: zastosowana do przypadku czarnego promieniowania, Zasada Ekwipartycyi Energii prowadzi do prawa Rayleigha, wymagając, ażeby ono było ważne i ścisłe w całej rozciągłości widma; tern samem Zasada ta staje w jaskrawej sprzeczności z faktami elementarnego doświadczenia.

Powracając do założeń, możemy zrozumieć jednę z pomiędzy istotnych przyczyn tego niepowodzenia. Jak widzieliśmy w §§ 17 i 18-ym, liczba wszystkich drgań fundamentalnych, możliwych w próżni o objętości skończonej, jest nieskończenie wielka. Jeżeli więc przypuszczamy, że ta próżnia przez stosunek wymiany ze skończonem ciałem materyalnem C, o temperaturze T skończonej, osiągnęła stan równowagi, tedy widocznie, według Zasady Ekwipartycyi Energii, energia promieniowania, zawartego w próżni objętości skończonej, musi wypaść nieskończenie wielka; albowiem, według tej Zasady, energia każdego drgania fundamentalnego jest wówczas skończona.

Ponieważ skończone ciało materyalne zawiera tylko skończoną ilość energii, przeto widzimy, że, według Zasady Ekwipartycyi, stan równowagi pomiędzy skończonem ciałem materyalnem a skończoną objętością próżni nie jest wogóle możliwy. Skutkiem stosunku wymiany, całkowita energia ciała materyalnego, według tej Zasady, musiałaby przejść do próżni; pomimo to temperatura próżni nie podniosłaby się w sposób ocenialny. Próżnia, według Zasady, okazywałaby nieograniczoną tendencyę do pochłaniania energii, do odbierania energii; do osiągnięcia równowagi pomiędzy materyą a próżnią potrzeba byłoby niewyczerpanych zasobów energii w ciałach materyalnych.

§ 35. Interpretacya Jeansa. Jeans uznaje, że, według Zasady Ekwipartycyi, stan równowagi promieniowania nie jest wogóle możliwy ²>; przy-

x) H. A. Lorentz, The Theory of Electrons, Lipsk 1909, p. 287. ²) Nature, Vol. 71, p. 607, April 27, 1905.

puszcza jednak, że ten stan, zwłaszcza co do fal krótkich, dochodzi do skutku niezmiernie powoli. Streśćmy przewodnią myśl rozumowania, którem b kieruje się Jeans.

Wyobraźmy sobie, że pewne ciało gazowe wypromieniowywa energię do próżni. Niechaj gaz i próżnia będą zawarte w dziedzinie, ograniczonej przez ściany nieruchome, doskonale odbijające, utrzymywane w temperaturze stałej i jednostajnej. Kierując się zasadami Teoryi Elektronów, musimy przypuszczać, że cząsteczki gazu wysyłają energię jedynie podczas spotkań, które odbywają pomiędzy sobą, na długości zaś dróg swoich swobodnych wcale nie emitują energii. Jeżeli zgodzimy się na to założenie, wówczas, jak Jeans okazuje w jednym z najpiękniejszych rozdziałów znanego swego dzieła²⁾, szybkość rozpraszania energii, wynikającego z promieniowania cząsteczek, zależy przedewszystkiem od stosunku, zachodzącego pomiędzy czasem trwania x jednego spotkania a okresem peryodyczności êF lub 2tijn fali wysyłanej. Jeżeli stosunek S⁻: x jest bardzo mały, rozpraszanie jest niesłychanie powolne; jeżeli stosunek S⁻ : x jest znaczny, rozpraszanie odbywa się stosunkowo pośpiesznie. Innemi słowy, skutkiem spotkań, których czas trwania jest X, wytwarzają się (w czasie dostępnym naszemu dostrzeganiu) praktycznie takie tylko fale, których długość jest ogromna w stosunku do iloczynu cx, gdzie c oznacza prędkość rozchodzenia się fali; fale o długości, znacznie krótszej niż iloczyn cx, uzyskują (w okresach po ludzku biorąc długich), tak nadzwyczajnie mało energii od spotykających się cząsteczek, że ich udział w zjawiskach możemy całkowicie zaniedbać.

Powróćmy teraz do zagadnienia, którem zajmowaliśmy się w §§ 17-ym, 18-ym, 34-ym. Przypuśćmy, że gaz, którego sposób promieniowania opisaliśmy przed chwilą, jest jedynem ciałem materyalnem, znajdującem się w ówczesnym próżnym sześcianie ß. Podzielmy drgania fundamentalne, do których próżnia sześcianu ß jest zdolna, zgrubsza, na dwie kategorye: 1° na drgania, którym odpowiadają fale dłuższe i znacznie dłuższe niż cx; 2° na drgania, którym odpowiadają fale krótsze i znacznie krótsze. Liczba pierwszych w sześcianie niechaj nazywa się s. Spróbujmy ocenić tę liczbę.

Przypuśćmy wraz zJeansem, że w powietrzu atmosferycznem, w temperaturze 0° C., pod ciśnieniem 760 mm, długość czasu trwania spotkania dwóch cząsteczek gazowych wynosi w przecięciu około 10~¹⁴ sekundy. Zapytujemy, ile jest drgań w sześcianie, których częstość byłaby zawarta pomiędzy granicami: zero i 2ix. 10+¹⁴ sek. Z równania (9) § 18-go wynika, że potrzeba warunku

>) Philos. Magazine, Vol. 10, p. 91, 1905.

²) The Dynamical Theory of Gases, Cambridge 1904, Chapt. IX.

V hx² 4- hJ -f- K* < f 10⁴ a cm-¹.

(2)

Gdy a jest dostatecznie duża, wówczas, jak wiemy z § 18-go, liczba układów trzech liczb całkowitych hx, hy, hz, czyniących zadosyć warunkowi (2), jest w przybliżeniu

%a³. 10¹² cm⁻³;

(1)

!> i 10~¹⁴ sek,

C V hx² -j— lly² -j- łl* ażeby wypadło 10~¹⁴ sek. Potrzeba zatem

-(3)

liczba s będzie zatem

(4)

81

% a³. 10¹² cm⁻³.

Oznaczmy teraz przez r liczbę stopni swobody, które przypadają ciału gazowemu, zawartemu w sześcianie Q. Uważajmy cząsteczki gazu za punkty ma-teryalne. Oznaczając przez N liczbę Avogadra (czyli liczbę cząsteczek gazu doskonałego w centymetrze sześciennym, w temperaturze 0° C., pod ciśnieniem 760 mm), kładziemy

(5)

r = 3 Na³ cm~³.

Liczba N wynosi w przybliżeniu 3.10¹⁹; widzimy zatem, że stosunek s/r wypada rzędu 10~⁹, zatem jest nadzwyczajnie mały. A więc dochodzimy do wniosków następujących. Zasada Ekwipartycyi wymaga, ażeby wszystkie stopnie swobody próżni i wszystkie stopnie swobody materyi zostały równo obdzielone energią, skoro stan ostateczny zostanie osiągnięty. Ponieważ próżnia w sześcianie ma nieskończenie wiele stopni swobody, gaz zaś posiada ich liczbę skończoną, więc próżnia w końcu odbierze materyi całkowitą zawartą w niej energię. Ale ten rezultat, co do rozmaitych drgań w próżni i co do odpowiadających im stopni swobody, nastąpi w okresach czasu nadzwyczajnie niejednakowej długości. Pomiędzy r stopniami swobody materyi a stopniami swobody próżni, należącymi do pierwszej kategoryi, których liczba jest s, wyrównywanie się energii odbywa się żwawo; ta liczba s stopni swobody próżni w niezbyt długim okresie czasu osiąga udział, należny jej według Zasady Ekwipartycyi. Pozostałe stopnie swobody próżni, które zaliczyliśmy do drugiej kategoryi, odbierają energię cząsteczkom materyi tak nadzwyczajnie powoli, że nawet po upływie olbrzymich okresów czasu ani w przybliżeniu nie otrzymują przypadającego im według Zasady udziału. Przez czas niezmiernie długi stosunek energii próżni do energii materyi będzie bardzo

Prace mat.-fiz., t. XXIV.

mało różny od stosunku s/r; ten, jak wiemy, jest nadzwyczaj mały. Taki jest, według Je an sa, mechanizm, który sprawia, że w warunkach ludzkich dostrzeżeń prawo promieniowania Rayleigh a ani w przybliżeniu nie dochodzi do głosu.

Sama w sobie, hypoteza Jean sa jest nadzwyczaj wytworna; ale jej założenia fizyczne nie stosują się wcale ^ do rzeczywistych zjawisk promieniowania, które nie zdradzają bynajmniej postulowanej powolności wymiany energii. Zgodność z doświadczeniem prawa Kirchhoffa, praw Stefana i Boltzmann a, prawa Wien a byłoby trudno zrozumieć w przypuszczeniu, że w warunkach zwykłych dostrzeżeń stan ostatecznej równowagi jest zawsze jeszcze niezmiernie odległy. Hypoteza Je an sa nie może ocalić Zasady Ekwipartycyi w Teoryi Promieniowania.

Doniosłość tego wniosku jest znaczna. Zasada Ekwipartycyi, jak wiemy, jest ugruntowana na Mechanice Statystycznej i łączy się istotnie z fundamentami Kinetycznej Teoryi. Widzieliśmy wprawdzie, że do jej uzasadnienia są potrzebne niektóre założenia (§ 30), których słuszność, zwłaszcza w zagadnieniu zrównoważonego promieniowania, może być poczytywana za wątpliwą. Wiemy również oddawna ²⁾, że zgodność z doświadczeniem niektórych wynikających z niej wniosków jest niedostateczna; tych mianowicie, które tyczą się Kalorymetryi Gazów o wieloatomowych cząsteczkach. Pomimo to wszystko, Zasada Ekwipartycyi w swej najprostszej postaci jest i zapewne długo pozostanie fundamentalem twierdzeniem Kinetycznej Teoryi, kierującą formułą wszelkiej Molekularnej (lub Multytudynarnej) Teoryi Równowag w jakimkolwiek układzie Materyi ³>. Tymczasem, w Teoryi Promieniowania tasama zasada okazuje się całkiem daleka od prawdy. Oto jest fakt, z którym musimy się liczyć. Z pomiędzy nauk, które otrzymaliśmy w usiłowaniu pojęcia Natury, ta negatywna jest jedna z najbardziej wymownych.

§ 36. Promieniowanie metalu. Teorya liorentza. W słynnej rozprawie

On the Emission and Absorption by Metals of rays of heat of great wave-

ń Lord Rayleigh, Nature, Vol. 72, p, 55, May 18, 1905. Scientific Papers, Vol. 5, p. 248, 1912. H. A. Lorentz, Theory of Electrons, p. 287. Planck, Vorlesungen, p. 177. S. B. Mc. Laren, Philos. Magazine, Vol. 23. p. 538. 1912. Por. jeszcze J. H. Jeans, Phil. Magazine, Vol. 17. p 229. 1909; Philos. Magazine, Vol. 20, p. 943. 1910.

²)    rHere we are brought face to face with the greatest difficulty which the Molecu-lar Theory has yet encountered“ (Maxwell, Lecture delivered at the Chemical Society, Febr. 18, 1874. Scientific Papers, Vol. 2, p. 433). Por. Boltzmann, Gastheorie, Bd. II, p. 54. M. Smoluchowski, Prace mat.-fizyczne, tom 12, p. 112, Warszawa 1901.

³)    Naprzykład w teoryi ruchu Browna, zbudowanej przez M. Smoluchow skiego i A. Einsteina.

lengths b H. A. Lorentz dochodzi do wniosku, że hypoteza elektronowa przewodnictwa metali, zbudowana przez Rieckego, Drudego, J.J.Thomson a, przez samego Lorentza i przez innych uczonych, prowadzi również do prawa Rayleigh a, przynajmniej w przypadku fal długich.

Lorentz wychodzi z założenia, że absorbcya fal elektromagnetycznych, przynajmniej absorbcya fal długich, dokonywa się w metalach przy pomocy owego mechanizmu, dzięki któremu przez te ciała może przepływać zwykły prąd przewodzony. Związek pomiędzy ekstynkcyą a przewodnictwem Joule-owskiem metali ustanowił już¹ 2) Maxwell; jakkolwiek w widzialnej części widma nie znalazł go ilościowo zgodnym z faktami, przecież późniejsze doświadczenia Hagena i Rubensa³) nad zdolnością odbicia metali dowiodły, że w pozaczerwonej części widma ten związek musi być przynajmniej przybliżenie prawdziwy. Na funkcyonowaniu tego samego mechanizmu musi również polegać emisya w metalach, skoro ona, według prawa Kirchhoffa, idzie równolegle do absorbcyi ciała. Jeżeli zatem z elektronowej teoryi przewodnictwa metalicznego potrafimy wyprowadzić zosobna wartość emisyi i wartość absorbcyi, w takim razie, przez porównanie wypadków, powinniśmy znaleźć dla metali postać funkcyi F (n, T) § 8-go, która jednak, według przytoczonych tam twierdzeń, jest uniwersalna.

Lorentz roztrząsa zjawiska, które odbywają się w płytce metalu o niezmiernie małej grubości i ogranicza się w rachunku absorbcyi i w rachunku emisyi do badania normalnie do niej biegnącej wiązki promieni; według prawa Kirchhoffa, stosunek absorbcyi do emisyi nie może być zależny od tych upraszczających założeń. Zgodnie z § 6-ym określamy spółczynnik absorbcyi płytki jako stosunek ilości ciepła Joule’a, które w pewnym okresie czasu wydziela się w płytce, do całkowitej ilości energii, padającej na płytkę w tym samym okresie. Przekonywamy się łatwo, że ten spółczynnik absorbcyi jest proporcyonalny do iloczynu grubości płytki przez przewodnictwo właściwe metalu, z którego płytka jest wyrobiona. Za przewodnictwo powinniśmy wstawić, według przyjętej zasady rachunku, wartość, która wynika z Elektronowej Teoryi Metali.

Lorentz i Larmor dowiedli, w ogólnej Teoryi Elektronów, że zmiana prędkości elektronu (co do wartości lub co do kierunku) wytwarza zaburzenie elektromagnetyczne, które od elektronu biegnie przez próżnię. Lecz, według teoryi Drudego, elektrony swobodne w łonie ciał metalicznych poruszają się naogół po liniach prostych, ze stałą prędkością; w chwilach zaś spotkań z atomami metalu doznają nagłych zmian ruchu, dzięki którym w tych chwilach stają się źródłami promieniowania. Lorentz oblicza ilość energii, emitowanej w ten sposób, która w jednostce czasu jest przesyłana przez powierzchnię płyty. W tym rachunku przypuszcza, że okres czasu, upływający pomiędzy dwoma kolejnemi spotkaniami danego elektronu, a tern bardziej czas trwania każdego spotkania, jest nadzwyczajnie krótki w stosunku do okresu peryodyczności fali elektromagnetycznej, którą roztrząsa. Otrzymane przez Hagena i Rubensa wypadki wykazują, że to przypuszczenie musi być prawdziwe w przypadku fal ultraczerwonych. Tym sposobem Lorentz znajduje wartość zdolności emisyjnej uważanej płytki metalu. O ruchu elektronów w metalu czyni przytem założenia, które był przyjął poprzednio b w obliczeniu właściwego przewodnictwa metalu. Gdy utworzymy stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorbcyjnej metalu, okazuje się, że ten stosunek, jak być powinno, nie zależy od cech, charakteryzujących płytkę, na-przykład od jej grubości; nie zależy również od stałych, które są właściwe uważanemu ciału metalicznemu, naprzykład od liczby elektronów swobodnych, poruszających się w jednostce objętości, od długości ich średniej drogi swobodnej. Gdy obliczymy ten stosunek, zostajemy doprowadzeni natychmiast do formuły promieniowania, identycznej z prawem Rayleigh a.

Rachunek emisyi, wykonany przez Lorentza, został uogólniony, przynajmniej formalnie i rozciągnięty do fal dowolnej długości przez H. A. Wilsona ²L Uzupełniony i poprawiony przez K. Zakrzewskiego³⁾, dowód Wilsona doprowadza znowu do prawa Rayleigh a. Do tego samego prawa dotarlibyśmy prawdopodobnie, gdybyśmy utworzyli inny obraz elektromagnetyczny emisyi i absorbcyi, o ile nie wyszlibyśmy po za granice zwykłych, klasycznych pojęć Nauki.

Zgodność rezultatów, znalezionych na drodze Mechaniki Statystycznej i na drodze Elektromagnetycznej Teoryi oraz ich zupełna niezgodność z do-

*) Wzór, otrzymany przez Lorentza na przewodnictwo właściwe, odróżnia się od znanej formuły Drudego tylko wartością spółczynnika liczbowego. Drude, Annalen der Physik, Bd. 1, p. 566. 1900. Bd. 3, p. 369, 1900. H. A. Lorentz Akad. d. W. te Amsterdam, Proceedings, Vol. 7, 2-nd Part, p. 438. 1905. Konst. Zakrzewski, Buli. Int. de l’Acad. d. Sc. de Cracovie 1909, p. 734; ibidem (A) 1911, p 314.

²)    Philosophical Magazine, Vol. 20, p. 835 1910.

³)    Bulletin Int. de P Acad. d. Sc. de Cracovie (A) 1911, n. 314. Por. J. J. Thomson, Philos. Magazine, Vol. 14, p. 217. 1907. J. H. Jeans, Philos. Magazine, Vol. 17, p. 229. 1909; Vol. 18, p. 209. 1909.

świadczeniem — oto jest, w krótkich słowach, treść sytuacyi, w której, za przewodem Rayleigh a, Jeans a, Lorentza, zastajemy Teoryę Promieniowania. Przekonywamy się teraz, że napotkaliśmy tu trudność fundamentalną, którą jedynie wówczas zdołamy przezwyciężyć, gdy rozszerzymy, być może znacznie, założenia Teoryi.

Newton i jego następcy w XVIII-em stuleciu, posługując się metodami izotermicznej Dynamiki, napróżno usiłowali poznać prawa rozchodzenia się głosu w powietrzu. Rozwiązanie zadania leżało w innej, w adiabatycznej Dynamice, którą tworzył La place, gdy poprawiał rachunek Newtona i gdy tym sposobem pokonywał niezmierną, dziś dla nas już niezrozumiałą trudność ówczesnej epoki myślenia.

Rozdział piąty.

§ 37. IDstęp. Teoryi Plancka można uczynić wiele łatwych zarzutów. Jest rzeczą widoczną, że z własnych założeń nie może wydobyć wszystkich potrzebnych jej ogniw; że posiłkuje się dodatkowemi, niekiedy luźno do-łączonemi założeniami, które zapożycza od obcych teoryj; że zawiera nawet niewątpliwe wewnętrzne sprzeczności. Lecz instynktowne poczucie fizyka ostrzega go o tern, że ta teorya głębiej dociera niż inne, że o ważny krok zbliża nas do prawdy.

W artykułach poprzednich, od 19-go do 26-go, przedstawiliśmy w streszczeniu główną myśl jednej gałęzi tej teoryi. Zajmiemy się teraz drugą, bardziej istotną. Ograniczymy się znowu do rozbioru najważniejszych momentów. Nie możemy się kusić o wyczerpujące oddanie wyników prac Plancka¹) ani o dyskusyę wszystkich roztrząsań i badań, które ogłoszono w przedmiocie jego epokowego odkrycia²⁾.

b Zob. wykaz tych prac w powyższym § 15-ym.

b P. Ehrenfest, Phys. Zeitschrift, Jahrg. 7, p. 528. 1906. A. Einstein, Annalen der Physik, Bd. 22, p. 180. 1907; Phys. Zeitschrift, Jahrg. 10, p. 185. 1909. W. Ritz, Phys. Zeitschrift, Jahrg. 9, p. 903. 1908; ibidem, Jahrg. 10, p. 224. 1909. Gesammelte Werke-Oeuvres, pp. 493, 503, Paris 1911. W. Wien Encyklop. d. Math. Wiss., Bd. V3, Heft 2. 1909. J. Larmor Proceed. of the Roy. Society of London (A), Vol. 88, p. 82. 1909. H.A. Wilson, Philos. Magazine, Vol. 20, p. 121. 1910. J. H. Jeans Philos. Magazine, Vol. 20, p. 953. 1910. P. Debye, Annalen der Physik, Vol. 88, p. 1427, 1910. H. A. Lorentz, Physikalische Zeitschrift, Jahrg. 11, p. 1253. 1910. S. B. Mc Laren, Philos. Magazine, Vol. 21, p. 15. 1911; Vol. 22, p. 66. 1911; Vol. 23, p. 513. 1912. Fr. Hasenöhrl, Verh. d. d. phys. Gesellsch., Jahrg. 13, p. 756. 1911. A. Sommerfeld, Phys. Zeitschrift, Jahrg. 12, p. 1057. 1911. P. Ehrenfest, Annalen der Physik, Bd. 36, p. 91. 1911. A. Joffé, Annalen der Physik, Bd. 36, p. 534. 1911. H. Poincaré, Journal de Physique, Vol. 2, p. 5. 1912. Por. nadto Bull. Int. de l’Acad. d. Sc. de Cracovie (A) 1911, p. 134 oraz (A) 1912, p. 95.

§ 38. Założenia. Określenia- Weźmy na uwagę z początku tylko X-pro-mieniowanie, czyli, jak powiedzieliśmy w § 2-im, promieniowanie, którego długość fali jest zawarta pomiędzy granicami

(1)

X oraz X -\- d X.

Przypuśćmy, że pewna ilość X-promieniowania, w stanie równowagi, znajduje się w ciele materyalnem C. Wyobraźmy sobie, że energia E, którą ciało posiada, składa się z niepodzielnych jednostek energii1}; każda jednostka reprezentuje quantum energii e, w naszem zadaniu najmniejsze możliwe. Jeżeli mamy ogółem n takich jednostek, tedy

(2)

ne = E.

Rozumiejąc przez N liczbę atomów materyi, zawartych w ciele C, mówimy, że E/N jest średnią wartością energii, przypadającą na atom; oznaczmy tę średnią przez &. Mamy

(3)

Ne N '

Ten stosunek, którego wartość gra ważną rolę w teoryi, oznaczamy przez Q.

Każdy atom materyi może być: bądź pozbawiony energii X-promieniowania, bądź też może zawierać całkowitą, skończoną liczbę jednostek tej energii. Zawartość X-energii w atomie może być zatem

le, 2e, .... ie ...

Załóżmy, że w pewnym stanie układu jest:

N₀ atomów, z których każdy ma Oe

(4)

Oe

co najwyżej, przypuśćmy, pe.

Ni

2e

N₂

(5)

ie

pe

NP

*) Podobną hypotezą posłużył się po raz pierwszy Boltzmann w r. 1872-im (Sitz.-Ber. d. K- Akad. d. Wiss. Wien, 2a, Bd. 66, p. 275. Wiss. Abhandlungen, Bd. 1. p. 316. Rozdz. 2) lecz poczytywał ją tylko za fikcyę, której nic istotnego nie odpowiada w Naturze.

X-energii. Rozdziałem X-energii w układzie będziemy nazywali1] ogół stanów, do których stosuje się specyfikacya (5). Taki rozdział oznaczamy krótko w sposób następujący

to

Oe le 2e .... ie ... . pe t N. N, N, .... N,.... N„

Jeżeli wartości N oraz E, lub też N oraz n, uważamy za dane, w takim razie liczby Ni musimy poddać widocznie dwóm warunkowym równaniom:

(7)

i=p

(8)

ł=0

Wyobraźmy sobie, że opatrzyliśmy atomy liczbami porządkowemi. Każdy sposób rozmieszczenia jednostek energii w atomach, w którym wszystkie lub chociażby niektóre atomy pozyskują odmienną, temu sposobowi właściwą liczbę jednostek, nazywamy odrębnym rozkładem energii w układzie. Jeżeli naprzykład nx jednostek zawiera się w atomie, który nazwaliśmy pierwszym, n₂ w drugim itd., w takim razie mówimy, że w układzie panuje następujący rozkład energii:

I II

(9)

n\ n₂.

Liczby, charakteryzujące rozkład energii, czynią zadosyć równaniu warunkowemu

(10)

2 ni —n.

Rozważaliśmy przed chwilą rozdziały energii. Gdy o nich mówimy, nie jesteśmy obowiązani przypuszczać, z tego tytułu, że możemy rozpoznawać atomy albo jednostki energii. Jeżeli chcemy wyznaczyć pewien rozdział energii, powinniśmy podać liczbę atomów, które uzyskują (każdy) pewną wiadomą liczbę jednostek energii; ale w tym celu nie potrzeba nam wiedzieć, które mianowicie atomy otrzymały tę liczbę. Inaczej mają się rzeczy, gdy zajmu-

') Wstęp do Fizyki Teoretycznej, Warszawa 1890, str. 365.

jemy się rozkładami energii. Nie moglibyśmy określić pojęcia rozkładu, gdybyśmy nie przypuszczali implicite w określeniu, że możemy odróżniać atomy, że potrafimy zawsze przekonać się o tern, z którym atomem mamy do czynienia. Takie założenie zawiera się w samem pojęciu rozkładu. Co do jednostek energii, zawiera się w niem jednak założenie przeciwne. Tworząc rozkłady, postępujemy tak, jak gdybyśmy nie umieli stwierdzać tożsamości jednostek.

Warunki zadania zmieniają się, jeżeli przypuścimy, że rozporządzamy w tym względzie dostatecznymi środkami. Załóżmy, że każda jednostka energii jest nam zawsze osobiście znajoma, że możemy do każdej przywiązać nazwisko. Niechaj a, b, c, ... . f, g, h, ... . będą denominacye pewnych określonych jednostek energii. Przypuśćmy, że jednostki a, b, c, ... . zawierają się w pierwszym atomie, jednostki f, g, h,... . w drugim itd. Taki stan rzeczy nazywamy rozmieszczeniem energii w układzie; rozmieszczenie powyższe wyobrażamy za pomocą symbolu

II

f, g, h,...

a, b, c, . .

§ 39. Liczba możliwych rozkładów. Dany jest rozdział (6) artykułu poprzedzającego; zapytujemy, ile możemy utworzyć z niego rozkładów? Przypuśćmy z początku, że zadany nam został rozdział następujący

Oe le 2e,

(11)

ie

(1)

pe

w którym każdy atom zawiera inną liczbę jednostek. Z tego rozdziału (1) można utworzyć widocznie

(2)

N\

odrębnych rozkładów. Lecz skoro w rozdziale zadanym [(6) artykułu poprzedzającego] N₀ atomów, Nt atomów,.... wreszcie Np atomów zawiera liczby p jednostek energii, przeto odmiennych rozkładów w tym

0, 1,

dziale będzie tylko

roz-

(3)

N\

iV₀! Nt\

Ni !

Np\’

gdzie, jak zwykle, kładziemy 01 = 1. Oznaczając przez

(4)

W (2Vo, Nlt

N*),

jub krócej przez 3C, liczbę odrębnych rozkładów, które można otrzymać z rozdziału (6) § 38-go, powiadamy zatem

(5)

3Î =

N\

i—p

n Ni\

i= 0

Odpowiedzmy teraz na dalsze pytanie. Przypuśćmy, że liczby N i n są nam dane. Ile wówczas możemy utworzyć wogóle rozkładów? Oznaczmy ich liczbę przez S3C. Widzimy z łatwością [co już Planck zauważył¹)] że E3t jest równa liczbie kombinacyj po n, z powtarzaniem, z N elementów. Jeżeli zatem n i N są nam dane, wówczas

(6)

(n + N— 1)! n ! (N—1)1

§ 40. Liiczba rozmieszczeń. Oznaczmy przez 30 liczbę różnych pomiędzy sobą rozmieszczeń, które zawierają się w rozkładzie

I II

(1)

W szeregu liczb całkowitych dodatnich

(2)

7^2 >

liczba 0 powtarza się tutaj N₀ razy, liczba 1 powtarza się Nt razy itd. Od tych liczb N₀, Nlt.... i tylko od nich zależy wartość 30:

30 = 30 (iV₀, iVj,.....W,);

we wszystkich rozkładach, które mogą być wyprowadzone z tego samego rozdziału, wartość 30 musi więc być jednakowa. Stąd wynika, że rozdział, który mieści w sobie 3£ rozkładów, zawiera tem samem 3t30 rozmieszczeń energii.

Rozumując jak wyżej, dochodzimy łatwo do wniosku, że liczba 30 wyraża się w sposób następujący:

nu

Tljsr

(3)

(4)

3) =

n\

i—p

n ( i ! )Ni

i=0

) Vorlesungen, p. 152.

Na ogólną liczbę rozmieszczeń, które są możliwe, gdy n i N uważamy za dane, otrzymujemy bez trudności:

(5)

== Nn.

§ 41. Prawdopodobieństwo rozdziału. Napiszmy teraz wzór dla prawdopodobieństwa dowolnego rozdziału. Przez wyraz prawdopodobieństwo, zgodnie z klasyczną definicyą Laplace'a, należy rozumieć stosunek liczby przypadków, sprzyjających badanemu wydarzeniu, do liczby wszystkich możliwych przypadków. Oddawna wiadomo²', że to określenie nie posiada jasnego, niewątpliwego znaczenia, jeżeli nie dopełniamy go określeniem pojęcia „przypadków“, przez które rozumiemy widocznie jednakowo możliwe przypadki. Przypuśćmy naprzykład w powyższem zadaniu (§§ 38, 39, 40), że umiemy poznawać indywidualne atomy, lecz nie umiemy odróżniać jednostek energii. Powiadamy, że rozkłady energii są wówczas owymi przypadkami jednakowo możliwymi, które powinny być użyte w definicyi Laplace'a. Prawdopodobieństwo (powiedzmy P) uważanego rozdziału jest wówczas stosunkiem liczby rozkładów, które obejmuje w sobie ten rozdział, do ogólnej liczby rozkładów, możliwych przy danych wartościach liczb n oraz N:

(1)

7»! (i\r— 1)! N\

— (n-j-isf- 1)!

i=p

n Ni\

i=0

Przypuśćmy powtóre, że w kwestyi tożsamości jednostek energii wątpliwości są niemożliwe; że przekonywamy się o niej równie stanowczo, jak upewniamy się o identyczności indywidualnych atomów. Z § 38-go wiadomo, że rozmieszczenia energii są wówczas jednakowo możliwymi przypadkami, które przewiduje definicyą Laplace’a. Prawdopodobieństwo 8 badanego rozdziału powinniśmy wówczas obliczać według formuły następującej:

(2)

n\ N\

i —p    i=p

N* n Ni ! II (i\)Ni

i=0    t—0

§ 42. IDybór pomiędzy dmiema miarami. Boltzmann w Kinetycznej Teoryi Gazów, Planck w Teoryi Promieniowania, posługują się założeniem, że prawdopodobieństwo dowolnego rozdziału energii wyraża się przez stosu-

9 Wstęp do Fizyki Teoretycznej, str. 367—368.

²) H. Poincare, Calcul des Probabilités, leçons professées pendant le deuxième semestre 1893—1894, Paris 1896, §§ 1—10. Wład. Gosiewski, Zasady Rachunku Prawdopodobieństwa, Warszawa 1906, rozdz. 1-szy.

nek P liczby rozkładów które są w nim zawarte, do liczby wszystkich, przy danych n i N, możliwych rozkładów. Ażeby ocenić prawdopodobieństwo rozdziału, Boltzmann i Planck rachują tylko rozkłady, które w nim się mieszczą, poczytując je za przypadki jednakowo możliwe. W tern postępowaniu kryje się założenie, uczynione milcząco a przytem niejasne, ponieważ można mu przeciwstawić inne przypuszczenie, które a priori nie wydaje się mniej uzasadnione. Jeżeli wyobrazimy sobie, że możemy rozpoznawać jednostki energii, tak samo jak możemy odróżniać upatrzone atomy ma-teryi, w takim razie prawdopodobieństwo rozdziału energii wyraża się przez stosunek $ liczby rozmieszczeń, składających się na ten rozdział, czyli liczby öttßD, do ogólnej liczby wszystkich rozmieszczeń, które przydanych ^ i iST są możliwe. Stosunek c? jest naturalnie, wogóle mówiąc, różny od poprzedniego stosunku P. Dla przykładu uważajmy prosty przypadek, który Planck również roztrząsa:

N = 3.

Rozdziały możliwe są następujące:

2e 3e

III

Rozdział Oe

Rozdział A zawiera trzy rozkłady

II

i każdy z pomiędzy nich reprezentuje jedno rozmieszczenie. W przypadku rozdziału B mamy sześć rozkładów:

I II III    I II III

b Vorlesungen, pp. 152 — 153.

i każdy rozkład prowadzi do czterech odrębnych rozmieszczeń. W następującej tabliczce zebrane są wszystkie te i dalsze podobne wyniki:

Rozdział

OO

co

o to

CD

CO

CO

00

to

.00

CM

CO

CO

Cn cni ^ Oi; ^ cni

00 to GO

cc: co Oo

00

co

Możnaby mniemać, biorąc rzecz powierzchownie, że wybór pomiędzy powyższemi dwiema (lub może jeszcze innemi) miarami prawdopodobieństwa zależy od umowy; że możemy go dokonać dowolnie. Określenia pojęć fundamentalnych, u wstępu do każdej Nauki, są tylko pozornie dowolne. Tworzymy je, mniej lub bardziej świadomie, dla uproszczenia, dla uporządkowania i umocnienia wiedzy, którą posiadamy o pewnych zjawiskach; podlegając zarazem względom historycznego rozwoju (a one są zwykle psychologicznymi lub fizyologicznymi względami) wykształcamy te pojęcia, stosownie do celów, które chcemy i które w każdem stadyum rozwoju możemy osiągnąć.

Mechaniczne lub statystyczne lub wogóle multytudynarne tłomaczenie treści uogólnień Termodynamiki rozpoczęło się w Fizyce oddawna P. Od pierwszych prób tego pojmowania zaczęto dostrzegać, że pomiędzy niem a sposobami rozumowania Rachunku Prawdopodobieństwa zachodzi związek, istnieje podobieństwo. Jednym z najważniejszych wyników, które znaleziono, idąc tą drogą, jest twierdzenie Boltzmanna (§ 49), ustanawiające związek pomiędzy prawdopodobieństwem rozdziału energii w układzie a jego entropią; ów związek spełnia liczba lecz liczba go nie spełnia. Na ten fakt powołać się musimy, ażeby uzasadnić, dlaczego przyjmujemy miarę P prawdopodobieństwa rozdziału energii, miarę zaś $ odrzucamy.

Co tkwi na dnie tego faktu? czego można się z niego nauczyć? Jesteśmy jeszcze dalecy od posiadania odpowiedzi na te i podobne pytania. Możnaby było przypuszczać (uwagę tę uczynił Dr. K Kraft), że fizyczne znaczenie

9 W. J. M. Rankine (od 1851 r., por. Miscellaneous Scientific Papers, London 1881, passim); Boltzmann (1866), Clausius (1870), Szily, Lord Kelvin, Maxwell, Helmholtz, J. J. Thomson, J. W. Gibbs i wielu innych. Por. poprzedni rozdział czwarty.

pojęcia P oraz niepowodzenie $ jest wskazówką istnienia w Naturze molekularnych nieciągłości materyi i nie-istnienia rzeczywistych „ąuantów“ czyli nieciągłości energii. Lecz powinniśmy wyznać, że ta wskazówka jest dzisiaj jeszcze niejasna i wątła.

§ 43. IDarunek iïlaximum. Przypuszczając, że n i N są zadane, Nt zaś ograniczone tylko przez równania (7) i (8) § 38-go, poszukujemy warunków koniecznych, ażeby wielkość P była największością. Z równania (1) § 41-go wnosimy, skoro n i N uważamy za dane, że największości P odpowiada najmniejszość iloczynu

(i)

i=V

n na

i=0

Poczytujemy liczby Ni za liczby nadzwyczajnie znaczne i stosujemy do każdej twierdzenie Stirlinga:

(2)

12 z 192 £³ ’

log z ! = 0 + i) log z — z -f h log 2 Ti +

gdzie 0< p < 1. Pamiętając o warunkach (7) i (8) § 38-go, którym 7V» mają być zawsze poddane, otrzymujemy łatwo, jako warunek największości, równanie przybliżone

(3)

logiV,- + 2l + ^ = 0,

gdzie 31, są stałymi nieoznaczonymi czynnikami, których wartości musimy obliczyć z okoliczności zadania.

Kładąc

(4)

(5)

—    3t = log N₀

—    33 = log x,

otrzymujemy, zamiast równania (3), następujące:

(6)

Ni = N₀x\

Jest to równanie tylko w przybliżeniu prawdziwe, podobnie jak poprzedni związek (3), który otrzymaliśmy przy pomocy zaniedbań, widocznych z przebiegu rachunku. Pomimo to jednak równanie (6) ma znaczną doniosłość w różnych, pozornie dalekich dziedzinach Fizyki dzisiejszej.

§ 44. Rachunek odmienny. Posługując się formułą Stirlinga, skracamy wprawdzie rozumowanie, lecz jednocześnie sprawiamy, że ono staje się mechaniczne, mniej pouczające. Naszkicujmy tu zatem postępowanie odmienne, które naturalnie prowadzi do tego samego, jak wyżej, wyniku.

N₂^N, Nt + N₀+NŁ+,\ Nu Nt

(10)

Iloczyn (1) § 43-go ma być najmniejszością, pod warunkiem zachowania równań (7) i (8) § 38-go. Porównajmy ze sobą: iloczyn no:

n₀ = iV₀ !    ! iV₂ ! iVa ! #4 !

(1)

Np\

oraz inny IIx :

(2)

^ = (2^ + 00)! W + «i)l W + fl,)! 2V,! N4

Np !

w którym tylko czynniki N₀, 77,, N₂ mają inne niż w II₀ wartości. Stosując się do warunków (7) i (8) § 38-go, zakładamy:

(3 a)

(3 6)

a₀ --j—    —|— a₂ — 0

0 clq -j— 1 rïj —j— 2 ci₂ — 0

lub innemi słowy

(4 a)

ax = — 2 a0 a₂ = -\-a₀.

Liczby a₀, aly a₂ są całkowite, lecz zresztą dowolne; mogą być dodatnie, ujemne lub równe zeru. Przypuśćmy dla przykładu

ai = — 2 ;

(5)

ci₂ — -j- 1.

Powinniśmy mieć wówczas

N₀\N,\N₂\< (N₀ —J— 1 ) ! (Nt - 2)! (N₂ + 1)! jeżeli n₀ ma być mniejszy od IIj. Z tej nierówności wynika N, (Nx — 1) < (N₀ + 1) (2V₂ + 1).

(6)

(7)

Przypuśćmy teraz przeciwnie, że

«o = - ¹ ;

Jeżeli no ma być znowu mniejszy niż TI

N₀ N₂ < (Nx 2) (Nx + 1). Z nierówności (7) i (9) wyprowadzamy natychmiast

(8)

(9)

w takim razie

N, N₀

No ^ N₁ 3IV,+ 2 N^N^ N,NX •

Jeżeli liczby N₀, Nt, N₂ są olbrzymiemi liczbami rzędu jednakowego, nierówności (10) i (11) ograniczają wartość stosunku N₂/Nt ciasno i coraz cie-śniej, im bardziej te liczby wzrastają; w granicy

(12)

N₂_N,

Nt N₀■

Uogólniamy to postępowanie z łatwością i rozciągamy je do dalszych iloczynów, które możemy analogicznie utworzyć. Otrzymawszy

(13)

_N₂_N₃_

Ni N₂ ......

kładziemy x = iVl / Nn i otrzymujemy

N₂ = N„x>;

(14)

N₃ = N₀ xz ;.....

Ni = N, x ;

co jest rezultatem poprzednim (6) § 43-go.

§ 45. Równanie charakterystyczne. Podstawmy wartości Nif dane przez (6) § 43-go, do równań (7) i (8) § 38-go. Otrzymujemy

-|-xp) = N

N₀ (1 + x 4- æ² +

N₀ (x -(- 2x² 3cc³ -\- .... -f-pxp) = n. Stąd wyprowadzamy, skoro Nn jest zawsze różna od zera:

(1)

(2)

(3)

(p — Q) xv -f (p — 1 — Q) xP-¹ + .... + (1 — Q)x — Ç = 0,

gdzie, jak powiedziano w § 38-ym, (4)

Załóżmy

(5) f {x) = {p — Q) xp -f (p — 1 — Q) xp-] -f.....+ (1 —Q) x — Q i starajmy się poznać własności równania

(6)

f(x) = 0,

jak będziemy krótko pisali równanie (3) powyższe. Posługujemy się przytem pomocą pewnych założeń, odpowiadających naturze uważanego zagadnienia. Będziemy przypuszczali, że liczby n i N są bardzo znaczne. Jeżeli N jest olbrzymia, możemy przypuszczać, że p jest większa niż Q, że jest nawet większa niż 2 Q; możemy wogóle p uważać za liczbę ogromną. To założenie nie nastręcza trudności, jeżeli zawartość e jednostki energii jest mała.

Dla zwięzłości, nazywamy związek (3) albo (6) równaniem charaktery-stycznem naszego zadania; gra ono w niem istotnie rolę doniosłą.

§ 46. Dina przypadki. Będziemy odróżniali dwa szczególne, wprost sobie przeciwne przypadki, odpowiadające różnym wartościom, które może przybierać stosunek Q. W pierwszym przypadku Q ma być liczbą, znacznie większą od jedności. Ponieważ Q jest stosunkiem liczby jednostek energii do liczby atomów, zatem możemy powiedzieć w tym razie, że układ jest obficie zaopatrzony w energię. Jeżeli poczytujemy energię za ilość zmienną w sposób ciągły, taki sposób wyrażania się nie miałby jasnego znaczenia; ale w założeniu istnienia przerywanych jednostek odpowiada, przeciwnie, zupełnie określonemu pojęciu. Gaz w zwykłych warunkach, gaz, do którego możemy stosować założenia Kinetycznej Teoryi, jest, jak zobaczymy, układem, który musimy uważać, w tym trybie pojmowania, za opatrzony obficie w energię. Będziemy wyobrażali go sobie jako ciało, które jest suto obdarzone bardzo małemi jednostkami energii.

Do wprost przeciwnego typu równowag należą przypadki, które roztrząsamy zwyczajnie w dotychczasowej Teoryi Promieniowania. Ażeby poznać prawa tych równowag, musimy przypuszczać, że Q jest bardzo małym ułamkiem, którego wartość leży znacznie poniżej jedności. Jak przekonamy się później (§ 53), wydarza się nieraz w tych równowagach, że znaczna większość obecnych atomów nie ma żadnego wogóle udziału w energii, w tej energii przynajmniej, od której zależą zjawiska temperaturowego promieniowania. Możemy zatem mówić w podobnych przypadkach, że układ jest ubogo lub skąpo zaopatrzony w jednostki energii. Do takich przypadków stosuje się, o ile wiemy dotychczas, Plancka formuła promieniowania, do której doprowadzeni będziemy w wyniku wywodu.

§ 47. Pierwiastek równania charakterystycznego. Widzimy odrazu, że w wyrażeniu f(pc) § 45-go możemy mieć tylko jednę zmianę znaku. Z twierdzenia, które przypisują bądź Harriotowi, bądź K ar tezy u sz owi, wynika zatem, że równanie charakterystyczne może mieć conajwyżej jeden dodatni pierwiastek. Ponieważ jednakże

O)

jT(0)< 0,

przeto ten pierwiastek zawiera się pomiędzy granicami 0 i 1 .

Powracając do równań (1) i (2) § 45-go, otrzymujemy z łatwością

(2)

(1 — x) f{x) = x ~ Q ~xP+1) — (P + 1) xp+1 •

Wartość graniczna, do której dąży dodatni pierwiastek równania charaktery-

stycznego, gdy p dąży do nieskończoności, wartość, którą będziemy oznaczali przez a, wynosi

(3)

'1+Qm

Dopóki p jest skończona, mamy

(4)

/■(«)< 0 ,

tak iż dodatni pierwiastek [powiedzmy (a;)] równania charakterystycznego jest zawsze większy niż a; gdy p rośnie nieograniczenie, dodatnia różnica

(5)

(x) — a

zbliża się nieograniczenie do zera.

Kładąc x — Q, w powyższem równaniu (2), otrzymujemy

(6)

(i-QYf(Q) = Q² [i-&+' - (p+ i) (i - (?) Q*-'l.

Uważajmy teraz przypadki szczególne, o których mówiliśmy w artykule poprzednim. Przypuśćmy po pierwsze, że Q jest ułamkiem właściwym, znacznie mniejszym niż jedność. Z równania (6) wnosimy, że f(Q) jest wówczas większa od zera, jeżeli p jest dostatecznie duża; skąd wobec nierówności (4) wynika, że dodatni pierwiastek (x) równania charakterystycznego jest wówczas zawarty między granicami

(7)

a oraz

Q-

Skoro Q jest bardzo mała w stosunku do jedności, przeto według równania (3) możemy powiedzieć, że granice (7) leżą bardzo blizko siebie.

Uważajmy powtóre przypadek przeciwny, w którym Q jest wielkością dużą w stosunku do jedności. Powiadamy wówczas, że dodatni pierwiastek równania charakterystycznego jest zawarty pomiędzy granicami

(8)

a oraz

1,

które w tym razie są granicami ciasnemi, albowiem, gdy Q jest duża, a jest blizka jedności.

§ 48. twierdzenia z termodynamiki. Wyobraźmy sobie ciało materyal-ne w doskonałej termodynamicznej równowadze; pozostając w tej równowadze, ciało może jednak doznawać przemian odwracalnych. Przypuśćmy, że zmienne, które określają stan ciała, są następujące: (1) gdzie przez T oznaczamy temperaturę, odczytaną na skali termodynamicznej, wspólną wszystkim elementom ciała w przypadku równowagi. Przypuśćmy, że zmienne (1) mogą być wybrane w taki sposób *>, iż stanowią układ t. zw. normalnych termodynamicznych zmiennych niezależnych; qx, q₂, g₃,.... mają wyznaczać dynamiczny stan ciała. Zmiany wirtualne stanu dynamicznego są wówczas niezależne od zmiany temperatury i przeciwnie, zmiana temperatury jest niezależna od zmian stanu dynamicznego. Przypuśćmy, że praca zewnętrzna, pochłaniana przez ciało w wirtualnej (odwracalnej) przemianie, wyraża się przez

(2)

S Qi d Qi,

i gdzie Qi są funkcyami poprzednich zmiennych (1). W wyrażeniu (2) niema wyrazu, zawierającego dT, ponieważ przypuściliśmy, że stan układu może być wyrażony przez zmienne normalne; tern samem, jak wiadomo, praca zewnętrzna, towarzysząca wirtualnej zmianie temperatury, bez zmiany dynamicznego stanu ciała, jest równa zeru. Oznaczmy przez E i przez S energię oraz entropię jednostki masy uważanego ciała, w przypuszczeniu, że E i S są funkcyami zmiennych (1) poprzednich. Jeżeli powyższe hypotezy stosują się, mamy wówczas dla wirtualnych przemian odwracalnych:

(3)

dE-\-ZQidqi = TdS,

i

skąd wynikają następujące równania równowagi:

(4)

~\~Qi - T

CQ ] Ç3H

(5)

= r2S 3 T‘

Przypuśćmy jeszcze, że od zmiennych poprzednich (1) możemy przejść do następującego układu zmiennych niezależnych:

(6)

, E,

Q i » Q2,

które mają wystarczać do wyznaczania termodynamicznego stanu ciała. Rozumiejąc teraz przez T, przez S, przez Qt odpowiednie funkcye zmiennych (6), otrzymujemy z powyższego równania (3), w założeniach poprzednich:

') Zob. P. Duhem, Commentaire aux Principes de la Thermodynamique (Journal de Mathématiques, Vol. 10. p. 218. 1894); tegoż autora Traité d’Energétique ou de Thermodynamique Générale, Paris 1911, tome I, p 247 et suivantes.

00

CO K)

O} CC> Oi

(gdzie naturalnie 3S/dqi są tworzone w obecnym układzie (6) zmiennych niezależnych). Twierdzenie (8) jest zewnętrznie podobne do warunku równowagi promieniowania w próżni, który wyraziliśmy za pomocą równania (9) § 11-go (w rozdziale drugim). Lecz łatwo widzimy, że przypadek, który tu roztrząsaliśmy, jest odmienny od ówczesnego; założenia teraźniejszego naszego zadania są znacznie ogólniejszej natury.

§ 49. Twierdzenie Boltzmanna. Wyobraźmy sobie układ, złożony z dwóch ciał, przypuśćmy (1) i (2), których energie są Ex i E₂, temperatury Tx i T₂. Przypuśćmy, że stan każdego z tych ciał jest odniesiony do zmiennych qt, E artykułu poprzedzającego. Wyobraźmy sobie oddziaływanie, odbywające się pomiędzy uważanemi dwoma ciałami, w taki sposób, iż zmienne qi każdego ciała pozostają stałe, energie zaś Ex i E₂ ulegają zmianie. Jeżeli układ jest odosobniony, zmienne Ex i E₂ muszą nieustannie czynić zadosyć równaniu

El-\-Ei = const.

Entropia S układu, składającego się z ciał (1) i (2), jest sumą entropii ciała (1), powiedzmy Sx i entropii S₂ ciała (2). Entropia Sx jest funkcyą zmiennych qi, tyczących się ciała (1), oraz zmiennej Ex ; entropia S₂ jest funkcyą zmiennych #,• ciała (2) oraz zmiennej E₂. Poszukując warunku, który musi być spełniony, jeżeli S ma być największością, w przypuszczeniu, że wymaganie (1) jest wciąż zachowane, znajdujemy, według założeń powyższych:

O)

dS

dS

L —    ²

3 Ex 3 E.₂

i ten rezultat tłomaczy nam bliżej znaczenie równania (8) w artykule poprzednim. Do równowagi układu potrzeba, pomiędzy innemi, równości temperatur Tx i T₂.

Przypuśćmy teraz zBoltzmannem i Planckiem, że, gdy jakiekol-wiekbądź ciało osiąga stan doskonałej termodynamicznej równowagi, wówczas liczba W rozkładów, dana przez (5) § 39-go, przechodzi przez najwięk-szość; innemi słowy, przypuśćmy, że doskonałej równowadze termodynamicznej odpowiada rozdział, którego jest możliwie największa. Niechaj W oznacza taką największość. Uważamy ^tmax za funkcyę zmiennych oraz E. Za pomocą wybiegów, podobnych do poprzednio użytych, zastępujemy nie-

(2)

maz

ciągłą ^max przez możliwie do niej najbliższą funkcyę ciągłą, którą piszemy, dla ciał (1) i (2):

W) {Ej,

(3)

MW {Ej,

uwydatniając w niej jedynie zależność od argumentu E.

Planck roztrząsa¹) warunek jednoczesnej równowagi dwóch ciał (1) i (2), odosobnionych od zewnątrz, które mogą tylko wymieniać pomiędzy sobą energię. Kierując się analogią znanego twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia, złożonego z dwóch wzajemnie niezależnych wydarzeń, Planck, bez bliższego uzasadnienia, poczytuje za taki warunek spełnianie się związku:

(4)

MW {Ej). MW {Ej) = max.,

które ma być zarazem poddane wymaganiu:

(5)

E₁-\- E₂ = const.

Otrzymujemy stąd

(6)

a log W) {Ej) _ a log MM {Ej)

a E,

3E.₂

Porównawszy ten rezultat z twierdzeniem (2) niniejszego artykułu, wnosimy, że dla zgodności musimy uczynić a log M {E)/3E funkcyą uniwersalną temperatury bezwględnej. Oznaczmy przez k pewną stałą powszechną, którą zajmowaliśmy się już w § 32-im i którą oznaczaliśmy wówczas przez tę samą literę. Kładziemy:

(7)

a log M {E) __ 1

kT

i przez porównanie z (8) § 48-go otrzymujemy:

(8)

S = k log M (jE) -f- const.,

gdzie stała dodatkowa nie może zależeć od E. Równanie (8) wyraża słynne twierdzenie, które Boltzmann po raz pierwszy²) wygłosił. W dowodzie ograniczał się Boltzmann do przypadku gazu doskonałego. Wprawdzie

*) Vorlesungen, p. 136. Acht Vorlesungen über theoretische Physik, Leipzig 1910, pp. 54—55. Journal de Physique, Vol. I. p. 353. Mai 1911.

²) Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht, Sitzber. d. K. Akad. d. Wiss. in Wien, Abt. 2a, Bd. 66, p. 275. 1872. Wiss. Abhandlungen, Bd. 1, p.316. Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze etc., Sitzber. d. K. Akad. d. Wiss. in Wien, 2a, Bd. 76, p. 373. 1877. Wiss. Abhandlungen, Bd. 2, p. 164. Boltzmann powracał wielokrotnie do jego przedmiotu.

domniemywał się ó, że jego twierdzenie „stanowi ogólne prawo Natury, które stosuje się nietylko do gazów, lecz również do ciał stałych i ciekłych“; jednakże w rachunku, którym uzasadniał nowe twierdzenie, zajmował się wyłącznie gazem doskonałym. Musimy powtórzyć ten rachunek w skróceniu, pomimo, iż w rozmaitych odmianach można go znaleźć u wielu autorów ²⁾.

§ 50. Gaz doskonały. Założenia. Rozumowanie obecne nie będzie mieściło się w ramach dawniejszych wywodów, §§ 38 — 47. Zmieniamy zasadę, według której tworzymy liczby, analogiczne do poprzednich N,. Zmieniamy zatem sposób obliczania tak ważnej w zadaniu wielkości ⁶M.

Przypuszczaliśmy dotychczas, że energia atomu może przybierać tylko jednę z pomiędzy następujących wartości

(1)

Oe, le, 2e ,......

Oznaczaliśmy przez

(2)

N₀, N

N,,

liczby atomów, które posiadają takie po kolei wartości energii. Wyobrażamy sobie teraz gaz doskonały, złożony z cząsteczek, które uznajemy za punkty materyalne. Energia cząsteczki może być tylko kinetyczną energią. Poczytujemy ją teraz za wielkość, zmienną w sposób ciągły.

Wyobraźmy sobie, jednakowoż tylko na chwilę, że próbujemy, w obec-nem zadaniu, pójść drogą, znaną nam już z poprzednich wywodów. Bierzemy na uwagę energię kinetyczną cząsteczki i dla zwięzłości oznaczamy ją przez $. Zapytujemy: czy dla energii £ istnieją «przedziały (jednakowego) prawdopodobieństwa»? To znaczy: czy można tak ustanowić pewne przedziały, ażeby zawieranie się energii £ w granicach każdego z pomiędzy nich było wydarzeniem jednakowo możliwemu Uczyńmy założenie, które na pierwszy rzut oka wydaje się niemal konieczne. Przypuśćmy, że przedziały następujące:

(3)

od t do 2t,

od 2 x do 3x,

od 0 do t ,

są «przedziałami (jednakowego) prawdopodobieństwa» dla energii kinetycznej wielkość x jest tutaj bardzo małą ilością energii, którą następnie prowadzimy nieograniczenie do zera. Załóżmy, że

(4)

‘) Über die Beziehung, zakończenie (Wiss. Abh., 2, p. 223).

²) Naprzykład: Boltzmann, Gastheorie, 1,1. Bur bury, Treatise on the Kinetic Theory of Gases, Ch. X. Jeans, The Dynamical Theory of Gases Ch. VI. Planck, Vorlesungen über die Theorie d. Wärmestrahlung IV, 2; Acht Vorlesungen, p. 59.

są liczbami cząsteczek, których kinetyczna energia leży w granicach z kolei: pierwszego, drugiego, trzeciego itd. przedziału (3). Na zasadzie takiego wyboru «przedziałów prawdopodobieństwa» oraz odpowiadających im liczb utwórzmy wielkość śl(, posługując się wzorem fundamentalnym (5) § 39-go. Szukajmy warunków największości takiej innemi słowy, załóżmy stan rzeczy, w którym ^ osiągałaby maximum. Przekonalibyśmy się, że te warunki największości ślt nie są bynajmniej zgodne z rzeczywistemi prawami równowagi w gazie doskonałym, nie zgadzają się mianowicie 1} ze znanem twierdzeniem Maxwell a, przepisującem sposób rozdziału energii kinetycznej na indywidualne cząsteczki. Skąd taki rezultat? W założeniach rachunku musieliśmy stanąć w sprzeczności z pewnym istotnym warunkiem rozwiązania zadania. Taki błąd popełniliśmy rzeczywiście; przekonywamy się o nim przy pomocy twierdzenia Liouville’a (§ 29).

Wyobraźmy sobie nieruchomy prostokątny układ Oxyz osi spółrzęd-nych. Przypuśćmy, że w chwili t° spółrzędne i składowe prędkości pewnej liczby upatrzonych cząsteczek, odniesione do pomienionego układu osi, leżą w granicach

(5)

x° i x° -j- dx°, u° i u° du°,

y° i y° -j- dy°,

z° i z° -f- d z°, w° i w°-\- d w°.

v° i v° -f- dv°,

W czasie od t° do t cząsteczki mogą spotykać się z innemi cząsteczkami, mogą ulegać działaniu dowolnych sił i wogóle poruszać się w jakikolwiekbądź sposób. W chwili t ich spółrzędne i składowe prędkości, odniesione do tego samego jak wyżej układu osi spółrzędnych, leżą w granicach

x i x -j- dx ,

w i M-f du >

Wiemy z twierdzenia Liouville’a, że

(6)

y i y + dy, v i v -\-dv,

z i z -j- dz, w i w-\- dw.

(7)

dx° dy° dz° du⁰ dv° dw" = dx dy dz du dv dw.

Przypuśćmy teraz, że, zamiast składowemi u, v, w, pragniemy posługiwać się, w tern twierdzeniu, energią kinetyczną % (która wyznacza wartość prędkości) oraz dwoma kątami a, ß, które wyznaczałyby kierunek prędkości cząsteczki. Przypuśćmy, że w chwili t° spółrzędne, energia kinetyczna i kąty leżą, dla upatrzonych cząsteczek, pomiędzy granicami

(9)

y° i y° + dy°,

a° i a° -\- da⁰ , w chwili zaś t leżą pomiędzy granicami

(8)

z° i z° -j- dz⁰,

ß° i ß° + dß⁰,

yiy-\-dy, ziz-\-dz,

& i X-\-dX, a i a-[-da, ß i ß —|— ćZß.

Zamiast związku (7) mamy wówczas b następujący:

(10) dx°dy°dz° /T°dZ° ^(a⁰, ß°) da⁰ dß° = dx dy dzV%d% ff(a, ß)dadß

gdzie kształt funkcyi 3 kątów a, ß zależy od ich określenia. Z równania (10) widzimy, że podług twierdzenia Liouville’a powyższe przedziały (3) nie mogą być «przedziałami jednakowego prawdopodobieństwa» energii kinetycznej X. Według tego twierdzenia rozległość przedziału nie jest stała i zależy od £. A zatem hypoteza, według której przedziały (3) są «przedziałami jednakowego prawdopodobieństwa» energii % była błędna i nie mogła nas doprowadzić do prawdziwego rozwiązania zadania. Por. §§ 28, 29, 30.

Widzimy zarazem, dlaczego w Kinetycznej Teoryi musimy ustanawiać przedziały prawdopodobieństwa inaczej, aniżeli w poprzedzających naszych rozumowaniach. W najprostszym modelu ciała gazowego cząsteczki są ma-teryalnymi punktami, które poruszają się dowolnie w trójwymiarowej przestrzeni; skutkiem twierdzenia Liouville’a, przedziały (3) w tern założeniu przestają geometrycznie być jednakowo możliwe Przedziały (3) byłyby istotnie przedziałami jednakowego prawdopodobieństwa, gdyby punkty materyal-ne, stanowiące obrazy cząsteczek, mogły poruszać się tylko w pewnej płaszczyźnie; albo też, gdyby cząsteczki były płaskiemi kołami w tej płaszczyźnie lub walcami prostymi, stale do niej prostopadłymi. Hypotezy, które już przyjęliśmy w Teoryi Promieniowania w przedmiocie «przedziałów jednakowego prawdopodobieństwa» energii (por. § 38) mają zatem bardzo specyalny charakter; noszą one cechy, przejęte z zagadnień dwuwymiarowych. Czy możemy uzasadnić to zacieśnienie założeń? W wielu zagadnieniach Optyki posługujemy się najprostszą hypotezą o typie liniowym oscylatorów elementarnych (§ 54), o typie, który wyznaczamy przy pomocy jednej zmiennej q i jednego odpowiedniego momentu p\ wiemy, że ona w wielu zagadnieniach wystarcza. W Teoryi Promieniowania moglibyśmy zatem próbować drogi, podobnej do tej, która, w Kinetycznej Teoryi Gazów, pozwala budować na

trwałym gruncie Dynamiki. Lecz wszelkiej próbie podobnej staje na przeszkodzie fakt, polegający na tern, że twierdzenie Liouville’a w swej właściwej postaci nie stosuje się widocznie w Teoryi Promieniowania; ono w tej nauce może być prawdziwe li tylko w ograniczeniu do pewnych skończonych dziedzin płaszczyzny (qp), do dziedzin, które wycinamy z niej stosownie do pewnego warunku (zob. § 54), nie może zaś rozciągać się do dowolnego nieskończenie małego elementu płaszczyzny. Ponieważ tym sposobem jesteśmy pozbawieni podstawy, którą stwarza Dynamika, innej zaś, równie określonej i jasnej, nie znaleziono dotychczas, przeto błąkamy się nieco po omacku w dotychczasowej Teoryi Promieniowania.

Powiadamy ostatecznie: sposób ustanawiania przedziałów jednakowego prawdopodobieństwa w Teoryi Promieniowania jest odmienny niż sposób ustanawiania ich w Teoryi Gazów. Jest z dwóch przyczyn odmienny: z jednej przyczyny, której natura jest raczej geometryczna, zewnętrzna; z drugiej głębokiej, ukrytej, fizycznej przyczyny, której źródło pozostaje dla nas dotychczas całkowitą zagadką.

Skoro sposób ustanawiania przedziałów jednakowego prawdopodobieństwa energii jest w Teoryi Promieniowania odmienny, przeto i wybór liczb Ni jest w tej Teoryi odmienny; zatem i pojęcie liczby ^ w tych dwóch gałęziach Nauki, biorąc rzecz ściśle, nie jest jednakowe. Z tern zastrzeżeniem musimy zatem przyjmować za prawdziwe zdanie, które w twierdzeniu (8) artykułu poprzedzającego dostrzega niezmiernie rozległe, głębokie uogólnienie. Jeżeli to uogólnienie rzeczywiście istnieje, znamy je dotychczas tylko ułamkowo; jednolitość formuły Boltzmann a, jak widzimy, do pewnego stopnia jest tylko pozorna.

§ 51. Ciąg dalszy. Rachunek. Wprowadzając do równania (8) § 49-go określenie (5) § 39-go, otrzymujemy

(1)

k log W! — 2 log NJ 1 -f- const.,

’    »=o    >

gdzie oczywiście trzeba wstawić N według prawa, wyrażającego stan równowagi. Posługując się, jak w § 43-im, formułą Stirlinga i zaliczając do stałej dodatkowej wszystko, co zależy wyłącznie od N, znajdujemy:

*=p

(2)

S — const. — k 2 Ni log Nt.

Zastosujmy się teraz ń do twierdzenia Liouville’a. Jak w § 28-ym

napiszmy:

9 M. Planck, Vorlesungen, pag. 144.

dü = dx dy dz du dv dw,

(3)

zachowując tu, po prawej stronie, oznaczenia artykułu poprzedzającego. Kładźmy, jak w § 30-ym, za gęstość p punktów figuracyjnych:

(4)

o = F (u² -(- v² -j- w²)

w przypuszczeniu, że stan trwały został osiągnięty. Innemi słowy podstawiajmy

(5)

pdQ

zamiast Ni w powyższych równaniach (1) i (2). Warunki, ograniczające zmienność Nif brzmią teraz jak następuje:

(6)

//////**? = N,

(?)

ł m ffffff dQ p (u² + v² + w²) = E,

gdzie E jest energią N cząsteczek gazu, m masą każdej cząsteczki. Jako wynik zastosowania zasady Boltzmann a, otrzymamy widocznie, według twierdzenia Liouville’a:

(8)

S = const. — kffjfff düp logp.

Poszukując warunków największości entropii, w przypuszczeniu, że warunki (6) i (7) są nieustannie spełnione, znajdujemy

(9)

p = A g—^(“² + ea + «'²) f

gdzie A i h są stałe; wzór (9) wyraża znane prawo rozdziału, odkryte przez Maxwell a. Wartości A i h obliczamy z łatwością, podstawiając (9) do (6) i do (7): (10) gdzie V oznacza objętość gazu, zajmowaną przez N jego cząsteczek. Powracając do formuły (8) i obliczając entropię, przekonywamy się, że:

¹

)    Kon. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Sciences, Vol. 5, pp. 666—685. 1903. Tłomaczenie francuskie p. Lange vin w wydawnictwie „Ions, Electrons, Corpuscules“ (Coll, de Mém. rel. à la Physique, Soc. Fr. de Physique, 2-e Série) Paris 1905, p. 500. Theory of Electrons, p. 80, p. 280.

²

)    Treatise on Electricity and Magnetism, § 798. (Third Edition, Vol. II, pag. 445).

³

)    Sitzber. d. Kgl. Pr. Akad. d. Wiss zu Berlin, 1903, p. 269. Annalen der Physik, Bd 11, p. 873. 1903.

(U)

S = const. -\-kN (log V -j- f log E).

Tworząc teraz pochodną

Co

(12)

i korzystając z równania (8) § 48-go, wyprowadzamy wniosek:

E

(13)

=r=łkT;

zatem istotnie, jak powinniśmy byli otrzymać, wielkość § kT jest średnią kinetyczną energią cząsteczki gazu doskonałego o temperaturze T. Por. § 32.

§ 52. teorya Plancka. Drugie główne twierdzenie. Przyjmujemy teraz równanie (8) § 49-go, czyli twierdzenie Boltzmann a. Zamiast znaku ^ wstawiamy wartość największą, którą osiąga wielkość, dana przez formułę (5) § 39-go. Ze względu na równania (7) i (8) § 38-go oraz (6) § 43-go otrzymujemy, co następuje:

O)

S — k jWlog N— Nlog N₀ — n log x\ -J- const.,

gdzie stała dodatkowa nie powinna zależeć od n.

Wzór (1) jest ogólny. Przejdźmy teraz do uważania dwóch przypadków szczególnych, o których mówiliśmy w artykułach 46 i 47. Przypuśćmy po pierwsze, że Q § 46-go jest bardzo małym, znacznie od jedności mniejszym ułamkiem. Z§ 47-go wiadomo, że popełnimy bardzo mały błąd, jeżeli położymy w tym razie

(2)

x i+Q;

N₀ =

i ~\~Q

Z powyższego równania (1) wyprowadzamy podówczas:

(3)

S = k | (n N) log (n-\-N) — n log n — N log N\ -f- const.

Według (8) § 48-go mamy jednakże, w stanie równowagi:

£q £

<X>

Cti

Z (3) i (4) wypada natychmiast:

(5)

N Ne

Be/kT_ J >

gdzie s jest podstawą logarytmów naturalnych. Z tego równania (5), które nazywamy drugiem głównem równaniem Teoryi, otrzymamy niebawem formułę promieniowania, odkrytą przez Plancka.

Przypominamy obecnie z § 47-go, że, jeżeli Q jest mała, wartość (x) leży pomiędzy ówczesną a oraz Q. Zatem, ażeby uzyskać równanie (5) Plancka, musieliśmy przyjąć za {x) jego dolną granicę. Jeżeli do równania (1) wstawimy zamiast (x) jego górną granicę, t. j. jeżeli założymy w takim razie znajdziemy

(7)

Qâ~~Q = T .

Porównajmy ten wynik z równaniem (5) Plancka, które możemy przepisać w następującej postaci

(8)

(6)

x = Q;

N₀ = N(\-Q),

Ç(i + Ç)-¹ = ^e/fcr.

Przekonywamy się, że (7) i (8), albo (7) i (5), są to równania w przybliżeniu równoważne, ponieważ otrzymaliśmy je w założeniu, że Q jest bardzo małym ułamkiem.

§ 53. Plancka formuła promieniowania. Pierwszem głównem twierdzeniem Teoryi Promieniowania nazywaliśmy (w artykułach 16 i 26-ym) rezultat, który wyraża się przez

(1)

Un =

Ti¹ C³

Un jest tu gęstością naturalnego zrównoważonego n-promieniowania, &„ jest średnią energią jednego oscylatora. Jeżeli zgodzimy się na to, że oscylatorami są atomy uważanego ciała materyalnego (lub pewne zawarte w nich mechanizmy), jeżeli przeto dawniejszą &n poczytamy za identyczną z obecnym stosunkiem EJN, w takim razie, przez porównanie (1) z (5) § 52-go:

(2)

Un ——

Tt² q3 • £e/kT -J

Na zdolność emisyjną En ciała materyalnego, stosującą się do zrównoważonego n-promieniowania, otrzymamy następnie (por. § 4):

(3)

inaczej

(4)

Ex =

2ttc

à ⁴    * ?TkT __ i •

Zawartość e jednostki energii X-promieniowania musi być zależna od częstości n lub od długości fali X. Dla poznania tej zależności Planck proponuje dwie drogi. Odwołując się, po pierwsze 1}, do Verschiebungsgesetz W. Wie na, które przytoczyliśmy w § 14-ym, przekonywamy się łatwo.

że do zgodności z tem prawem formuły poprzedzającej (4) wystarcza założenie następujące:

(5)

gdzie h jest nową stałą, t. zw. zasadniczą stałą Plancka. Zgadzając się na takie założenie (5) i powracając do (4), dochodzimy do związku:

2 Ti c²h

(6)

Ek =

X⁵

* -ch/XkT_ l ¹

W tej formule prawo Plancka znajduje ostateczny swój wyraz.

Wspomnimy tu tymczasem (por. niżej § 61) tylko o jednym wniosku, który z tego prawa wynika. Pisząc dla zwięzłości r zamiast stosunku ch/\kT, przekonywamy się na mocy równania (6), że w miejscu, w którem E\ przechodzi przez największość, spełnione jest równanie następujące:

(7)

r — 5 -j- 5e~r = 0 ;

skąd wynika r = 4-965. W miejscu takiej największości (zob. § 34) mamy więc zawsze: e/kT = 4-965. Wstawiając tę wartość do równania (5) albo (8) oraz do (2) § 52-go, otrzymujemy:

(8)

145 ’

144

145

w miejscach największości. Takie wyniki są ilustracyą założeń, które uczyniliśmy w § 46-ym. Przekonywamy się, że, według równań, na których zasadzamy się obecnie, znaczna większość obecnych atomów nie ma rzeczywiście żadnego udziału w energii, w warunkach, w których równowaga promieniowania w miejscu największości dochodzi do skutku.

§ 54. Inna metoda dowodu. Rozważmy teraz inne rozumowanie, przy którego pomocy Planck¹) pragnie uzasadnić założenie (5) poprzedzającego artykułu a zarazem uniknąć powoływania na pomoc twierdzenia obcego, zapożyczonego z Nauki Termodynamiki. Wyobraźmy sobie ponownie prosty oscylator elektryczny, który roztrząsaliśmy w § 21-ym. Zachowując oznaczenia ówczesne, piszemy energię oscylatora w sposób następujący:

O)

<S = i m ( n₀² C² -j- C ) •

pp. 88—89.

Mimośród elipsy zależy od m i od n₀, zależy zatem od natury oscylatora, ale nie zależy od jego energii. Jeżeli temu samemu oscylatorowi będziemy udzielali coraz większych wartości energii, otrzymamy szereg elips podobnych i położonych podobnie.

Przypuśćmy, że oscylator ma zawierać i niepodzielnych jednostek energii. W takim razie, według Plancka, mamy założyć, że pole S odpowiadającej tej energii elipsy zawiera w sobie i niepodzielnych jednostek czyli elementów płaszczyzny (Cyj). Oznaczmy przez h pole niepodzielnego elementu płaszczyzny; mamy

(7)

S = ih.

Uważajmy dwie sąsiednie elipsy; różnica ich pól czyli pole pasa eliptycznego, który się pomiędzy niemi zawiera, jest

(8)

Jak wiemy z § 28-go i z artykułów następnych, w Mechanice Statystycznej posługujemy się pospolicie, jako zmiennemi niezależnemi, spółrzędnemi uogólnionemi q₍ oraz odpowiednimi momentami pt uważanych układów. Stosując się do tej zasady, Planck obiera spółrzędną C oraz moment tj, dany przez

(2)

ag

7j= —

mt,

SC

za zmienne niezależne, wyznaczające stan oscylatora. W tych zmiennych:

(3)

Uważajmy płaszczyznę (Cttj). Krzywa, zadana w tej płaszczyźnie przez warunek

(4)

g = const.,

jest elipsą; półosi jej wynoszą:

(5)

2&

Pole tej elipsy jest

(6)

S = Ti ci b =

2 7T &

AS = (i-\- i)h — ih = h.

Ale z powyższego równania (6) wnosimy, że różnica A<§ wartości energii, które odpowiadają tym elipsom, wynosi

Planck rozcina płaszczyznę (C⁻/]) na pasy eliptyczne o polach AS czyli h, jednakowych w całej płaszczyźnie. Kierując się analogią do twierdzenia Liouville’a, uznaje te pasy za przedziały jednakowego prawdopodobieństwa energii (por. § 50). Ponieważ różnice AS odpowiadają takim przedziałom, przeto Planck utażsamia je z jednostkami e swej Teoryi; zrównania (10) wnosi zatem, jak już poprzednio otrzymaliśmy [por. (5), § 53], że:

(11)

(9)

AS =

AS*

2ï A®’

zatem, według (8):

(10)

Aê =

7^

2 71

hn0 2 TC

Idąc za rozumowaniem, które tu przytoczyliśmy, można łatwo wpaść w pewne błędy i mylnie ocenić osiągnięty rezultat. Kompromis pomiędzy twierdzeniem Liouville’a a założeniem istnienia skończonych jednostek energii jest niemożliwy. Jeżeli oscylatory mogą przybierać tylko takie wartości energii, które są wielokrotnościami pewnej skończonej jednostki, tedy punkty ich figuracyjne nie rozsypują się po całej płaszczyźnie (£•/]), lecz koncentrują się raczej na obwodach pewnych z góry przepisanych elips. A zatem, jeżeli zgodziliśmy się na podstawowe założenie PIanck’owskiej teoryi, wówczas pola elementów płaszczyzny (Cyj), ani również pola AS wyżej wspomnianych pasów eliptycznych, nie wyznaczają wcale przedziałów prawdopodobieństwa energii. Jeżeli zgodziliśmy się na to podstawowe założenie, nie możemy operować powierzchowną gęstością punktów figuracyjnych w płaszczyźnie (Çyj), raczej jedynie ich liniową gęstością. Jednem słowem, w Teoryi Plancka nie mamy prawa do powoływania się na twierdzenie Liouville’a. Gdybyśmy chcieli zasadzać się na tern twierdzeniu, obierając je za punkt wyjścia, musielibyśmy uznać pola AS za nieskończenie małe; założenie skończonych jednostek energii byłoby tern samem wirtualnie odrzucone, rachunek zaś doprowadziłby nas łatwo do twierdzenia o ekwipartycyi energii i do prawa promieniowania Rayleigha.

Planck nie miał niewątpliwie zamiaru udowodnienia słuszności fundamentalnego swego założenia (11) na zasadzie twierdzenia Liouville’a; pragnął raczej wykazać, że można nadać inną postać temu założeniu, postać, która, choć ograniczona do pewnych skończonych dziedzin płaszczyzny, jest przecie podobna do zwykłej formy twierdzenia Liouville’a. Lecz jeżeli próbujemy pojmować w ten sposób przytoczone rozumowanie, nastręczają się dalsze trudności. Twierdzenie Liouville’a stosuje się do określonych, zawsze tych samych układów, które porównywamy w rozmaitych fazach ich ruchu; nie wiemy bynajmniej, czy stosuje się ono do różnych układów, różniących się swoją budową. Jeżeli częstość n₀ oscylatora zmienia się, całkowity rysunek elips w płaszczyźnie (Ct]) staje się inny. Zmieniając osnowę twierdzenia Liouville’a, jak powiedzieliśmy przed chwilą, musimy zatem uzupełnić je teraz dalszą hypotezą; musimy przypuścić, że, dla owych rozmaitych rysunków, wartość h skończonej jednostki pola płaszczyzny jest jednakowa. Jest to widocznie nowa hypotezą, z dotychczasowego biegu myśli nie wypływająca. Uzasadnienie założenia (11) nie wydaje się zatem rzeczywiście dokonane. Musimy zgodzić się na nie, jak wiemy z § 53-go; ale istotny sens tej tak ważnej hypotezy jest dotychczas zgoła niejasny.

§ 55. Układy obficie zaopatrzone u) energię. Twierdzeniom, otrzymanym w § 52-im, przeciwstawiamy teraz wyniki, do których dochodzimy, gdy przypuszczamy (przeciwnie niż w tym artykule), że wartość Q jest znaczna, że jest bardzo duża w stosunku do jedności. Z artykułu 47-go wiadomo, że pierwiastek dodatni (x) równania charakterystycznego jest wówczas zawarty pomiędzy (ciasnemi w tym razie) granicami a oraz 1. Przyrównywając (x) znowu do jego dolnej granicy, otrzymujemy, jak przody:

(1)

S — k j(n -f- N) log (n -(- N) — n log n — iVlog N\ -j- const.

Lecz, skoro Q jest obecnie ogromna, możemy przybliżenie napisać:

(2)

tak iż

1+Q n+N

— e-i/o

(3)

n log (n -J- N) — n log n = N.

Widzimy, że wyrazy, stojące po lewej stronie równania (3), staną się niezależne od n po prawej stronie powyższego równania (1). Pamiętając o tern i włączając do stałej dodatkowej wszystko, co zależy wyłącznie od N, możemy napisać, w przyjętym stopniu przybliżenia:

(4)

S — k N log n + const.

Przy pomocy równania (4) § 52-go wyprowadzamy ztąd zaraz:

(5)

kT

albo

= kT.

W obecnym przypadku otrzymujemy przeto wynik, który, jak widzieliśmy w § 33-im, wypływa z zastosowania Zasady Ekwipartycyi Energii; który prowadzi do formuły Rayleigh a. Z obecnego punktu widzenia dochodzimy zatem do wniosku, że ta Zasada stosuje się tylko do układów, obficie zaopatrzonych w energię; że stosuje się do nich w stopniu przybliżenia, zależnym od stosunku liczby jednostek energii, obecnych w układzie, do liczby atomów materyalnych, które stanowią ten układ. Jak zauważyliśmy już w § 38-ym, za miarę zaopatrzenia możemy poczytywać również stosunek średniej energii jednego atomu do zawartości elementarnej jednostki energii.

Rozważmy pokrótce niektóre fakta z tego stanowiska. Wiemy, że formuła Rayleigh a, w temperaturach zwyczajnych, stosuje się, jako pierwsze przybliżenie, do promieniowań o bardzo małej częstości; tak być powinno, skoro jednostka energii w tych warunkach jest stosunkowo bardzo niewielka. Przechodząc do Teoryi Gazów, powiadamy: jeżeli ciało gazowe możemy poczytywać za zbiorowisko punktów materyalnych, które, z zastrzeżeniami § 50-go, wyposażamy obficie w kinetyczną energię, wówczas (z owemi zastrzeżeniami) możemy stosować do tego przypadku Zasadę Ekwipartycyi Energii. W innych zagadnieniach musimy poczytywać cząsteczki gazu za kompleksy, złożone z cząstek bardziej elementarnych, z chemicznych atomów; w celu rozwiązania tych zadań, musimy obliczać wzajemną energię takich połączonych w cząsteczki atomów. Wiemy z § 35-go, że w podobnych przypadkach Zasada Ekwipartycyi Energii okazała się niezgodna z faktami. Czy będziemy mogli wyjaśnić tę sprzeczność, powołując się na okoliczność, że kompleksy atomów, czyli cząsteczki gazów, nie są dostatecznie obficie zaopatrzone w tę wzajemną energię? Jak dotychczas, założenie istnienia skończonych jednostek energii nie doprowadziło Nauki do zbudowania Teoryi ciepła właściwego gazów wieloatomowych, nie przezwyciężyło zadawnionej trudności, którą Maxwell i Boltzmann próżno próbowali pokonać (§ 35).

Cząsteczki cieczy, naogół, muszą być mniej sowicie zaopatrzone w energię niż cząsteczki gazów; zatem ciecze nie stosują się prawdopodobnie dokładnie do Zasady Ekwipartycyi. Wiadomo, że odkryte przez J. D. van der Waalsa prawo Zgodności termodynamicznej (zwane prawem odpowiadających sobie stanów), uogólnienie, które Kamerlingh Onnes połączyłb z zasadami Dynamiki, nie stanowi całkiem ścisłego twierdzenia fizycznego, że sprawdza się jedynie w pewnem przybliżeniu. Ten fakt moglibyśmy może przypisać: po części wpływowi złożoności cząsteczek, która objawia się również w kalorymetryi gazów wieloatomowych, po części niedoskonałemu stosowaniu się cząsteczek cieczy, nawet jednoatomowych, do Zasady Ekwipartycyi Energii.

Największych odstępstw od Zasady Ekwipartycyi Energii możemy spo-

l) Algemeene Theorie der Vloeistoffen, eerste en tweede Stuk, Amsterdam 1881. Archives Néerlandaises, Vol. 30, p. 101, 1896.

dziewać się w termodynamicznem zachowywaniu się ciał stałych; taka hypo-teza, która z przyjętych założeń nasuwa się sama przez się, stanowi myśl kierowniczą Einsteina Molekularnej Teoryi Budowy Ciał Stałych. Wspominamy tylko dorywczo, w tern miejscu, o owej niezmiernie pociągającej teoryi, której pierwsze zarysy rzucił Einstein¹! z nadzwyczajną śmiałością i którą obecnie on sam i liczni inni uczeni usiłują²) dalej rozwinąć.

§ 56. Teorya uogólniona. Założenia. W rozumowaniach poprzednich, poczynając od § 38-go, ograniczaliśmy się do uważania ściśle monochromatycznego promieniowania, naprzykład w-promieniowania lub X-promieniowa-nia. Spróbujmy uogólnić metodę dowodu, wychodząc z założeń, lepiej dostosowanych do warunków rzeczywistego promieniowania. Wybierzmy z widma nieskończenie mały przedział w skali częstości, który rozciąga się, przypuśćmy, od

O)

n do n-\-dn.

Jednostka energii ma zmieniać się w odpowiednich granicach:

(2)

od e(n) do e(w) -j- d .

Przypuśćmy, że, z pomiędzy badanych oscylatorów, pewna liczba, mianowicie

(3)

d n W₀⁽”)

nie posiada wcale energii; przypuśćmy, że

(4)

d n

oscylatorów posiada (każdy) energię, zawartą między

') Annalen der Physik Bd. 22, p. 180, 1907.

²) A. Einstein, Annalen der Physik, Bd. 34, p. 170. 1911; ibidem, Bd. 35, p. 679, 1911. O. Sackur, Annalen der Physik Bd. 34, p. 655, 1911. W.Nernst, Sitz. Ber. Kgl. Preuss. Akademie 1910, 1911, 1912; Annalen der Physik, Bd. 36, p. 395, 1911. F. Lin dema nn, Physikalische Zeitschrift, Jahrg. 11, p. 609, 1910. Berichte d. d. phys. Gesellschaft, Jahrg. 9, p. 1107, 1911; F. Haber, Berichte d. d. phys. Gesellschaft, Jahrg. 9, p. 1117, 1911; Veröffentl. d. Kais. Wilh. Instituts f. ph. Chemie Ne 1, 1911. H. Kamerlingh On ne s, Communications from the Phys. Laboratory of the University of Leiden, N°N»119(B), p. 23, 1911; również NeN» 120, 122, 124c., 1911. Akad. v. Wet. te Amsterdam, 25 Febr. 1911, Verslagen, p. 1187. S. Ratnowsky, Annalen der Physik, Bd. 38, p. 637. 1912. Porówn. jeszcze: Lord Kelvin, Baltimore Lectures; Wm. Sutherland, Philos. Magazine, Vol. 20, p. 657, 1910. E. Madelung, Phys. Zeitschrift, Jahrg. 11, p. 898, 1910. M. Brillouin, Société française de Physique, communication faite dans la séance du 2 Février 1912. M. Born u. Th. v. Karman, Phys. Zeitschrift, Jahrg. 13, p. 297, 1912. Zob. Bulletin Int. d. l’Acad. d. Sc. de Cracovie (A) 1912, p. 95.

e(w) a eW -j- d e(n)

(5)

i t. d. Przez dnN^n) wogóle oznaczamy liczbę oscylatorów, z pomiędzy których każdy posiada energię, leżącą w granicach

(6)

ie(n) oraz i (eW -J- de(n)).

Sumując wszystkie    odpowiadające wszelkim możliwym (całkowitym,

dodatnim) wartościom wskaźnika i, poczynając od i = 0, otrzymamy liczbę, którą nazywamy iV(n) : (7)

Podobne znaczenie będziemy nadawali symbolowi sumowania w dalszym biegu rachunku.

Posługując się przyjętą w § 38-ym terminologią, możemy powiedzieć, że założenia poprzednie (3), (4), (5) i t. d. wyznaczają pewien rozdział energii. Liczba śMW rozkładów, które mieszczą się w tym rozdziale, może być obliczona ze wzoru:

(8)

^(«) = - *'

dnN'WJ !

\(dn N/">) !

Przez zastosowanie formuły S tir linga dochodzimy zatem do związku

(9)

log ślCW = dn

| NW log NM — 2 N<{n) log N<(n) }

Jeżeli pomnożymy przez siebie wszystkie kolejne wartości, które przybiera ślCW, gdy n zmienia się od zera do nieskończoności, otrzymamy W generalną, która figuruje w twierdzeniu Boltzmanna [(8), § 49]. Otrzymujemy zatem, jako wartość entropii:

oo

(10)

k j dnf^NW log 7V⁽”> — ^ Ww) l°g J -f- const.

o    *

§ 57. IDarunek równowagi. Metodą, objaśnioną w poprzednich artykułach, poddajemy teraz entropię S waryacyi; chcemy znaleźć wartości iV/w), które uczynią S największością w stanie ostatecznym równowagi. Waryacyę tę ograniczają jednakże pewne warunkowe równania, które muszą być nieustannie spełnione. Mamy po pierwsze

O)

liczby N(n) nie doznają zmiany skutkiem wirtualnych zmian w rozdziale energii. Z zasady zachowania energii wynika powtóre

co

(2)

I dne<*> 2 iN'in)

o

= E,

gdzie E jest stała, oznacza mianowicie ilość energii, zawartą w uważanej masie ciała. Przypuśćmy, że N oraz E, łączna liczba oscylatorów i ogólna ilość energii, są utworzone dla jednostki masy ciała materyalnego.

Oznaczmy przez 3t(w) czynnik stały, który, wogóle mówiąc, ma być funkcyą argumentu n; przez 23 oznaczmy inny czynnik stały, niezależny od n. Celem dokonania waryacyi, o której była mowa przed chwilą, piszemy:

oo

(3) j dn 2 dN<{n) \ * (log NW — log TV,-»)) _[_ ®(»).+ ie23}

i tym sposobem znajdujemy warunek równowagi; zakładając 2l⁽"⁾ = k log A(n) ; e(n) 23 = k log a^n), piszemy ten warunek w następującej postaci:

= N[n) AW (a(n)y ;

zakładamy przytem, skoro i (wogóle mówiąc) może przybierać bardzo znaczne wartości, że a(n) jest zawsze mniejsza od jedności.

§ 58. IDartości stałych. W celu obliczenia A^n) wstawiamy wartość Ni{n), daną przez (5) § 57-go, do równania (7) § 56-go. Otrzymujemy natychmiast

(4)

(5)

O)

A_(n) —

Posługując się tą samą wartością iV/w), otrzymujemy z równania (2) artykułu 57-go wypadek następujący:

OG

(2)

■j dn iV(M) e(w) AW ^ i ia{n))' ;

o"    »

skąd, po wykonaniu działań i po podstawieniu (1), wynika:

oo

(3)

dn N(n)

e(«) a(n)

o*

1—a^ '

Zważmy, że NW oraz e(w) mają być funkcyami częstości n ; że jest również jej funkcyą, według wzoru

(4)

log    B,

gdzie B = <S/k [por. (4) § 57]. Zatem, po wykonaniu całkowania, otrzymalibyśmy z równania (3) pewien związek pomiędzy E a B. Jeżeli wyznaczymy kształt funkcyi

(5)

B = B (T),

gdzie T jest temperaturą absolutną, ustanowimy ostatecznie zależność pomiędzy energią E a temperaturą T.

§ 59. Dokończenie rachunku. Powróćmy do tormuły (10) § 56-go, która podaje wartość entropii uważanego układu. Wprowadzając do tej formuły wartość 2V/n), daną przez równanie (5) § 57-go oraz uwzględniając (1) §58-go, otrzymujemy:

oo

(1)

S=-

k j'dn iV(n) | log (1 — a(n)) -j-0

-j- const.

Zastosujmy teraz do obecnego zadania równanie (5) § 48-go. Obliczamy pochodną dE/ST z równania (3) § 58-go, pochodną dS/c>Tz powyższego wzoru (1) na entropię. W tych rachunkach przypuśćmy na chwilę, że możemy poczytywać za niezależną od temperatury T; powrócimy niebawem do dyskusyi tego przypuszczenia. Otrzymujemy:

da(n)

r.

dn iV(w)

(2)

dT

( 1 — a(n))

lub, przy pomocy (4) i (5) artykułu poprzedzającego:

oo

(3)

{l + kT.B(T)}

dB(T)

dT

d n iV(w)

&(”) (e(»0)2

(1 — aWf

= 0.

Ponieważ całka nie może być równa zeru, przeto jedyne rozwiązanie, które odpowiada warunkom zadania, jest następujące:

(4)

B(T)

kT ’

(5)

log &(n) = —

Wstawiając ten rezultat do równania (5) § 57-go, znajdujemy, wobec (1) § 58-go:

£— eW/Wj e—ie(n)/kT'

Na energię E otrzymujemy z powyższego wzoru (5), wobec (3), § 58:

(6)

Ni(n) = N™ {1

oo

s —eW/lcT

(7)

dn N{n) e(n)

J _ g -e(n)/kT

To ostatnie równanie (7) jest bezpośredniem uogólnieniem formuły dawniejszej (5) § 52-go, jest więc uogólnieniem (odpowiadającem obecnym naszym założeniom) drugiego głównego równania Teoryi Plancka. Równanie poprzednie (6) jest wyrazem panującego w stanie równowagi prawa rozdziału energii i odgrywa w naszem zagadnieniu rolę analogiczną do roli prawa Maxwell a w przypadku Kinetycznej Teoryi Gazów.

§ 60. Uwaga uzupełniająca. Stosunek teoryj Plancka i Cinsteina. Oznaczmy przez średnią energię oscylatora w tej ich klasie lub grupie, dla której częstość drgań własnych leży pomiędzy n a n-\- dn. Mamy zatem

2 ie^NiW

(1)

Całkowitą energię E jednostki masy ciała piszemy obecnie w postaci

co

(2) gdzie, według (3) § 58-go,

(3)

1 — a,w '

Wyobraźmy sobie zamkniętą dziedzinę Q, której ściany, doskonale odbijające i nieruchome, utrzymujemy w temperaturze T, wszędzie jednakowej i z czasem niezmiennej. Przypuśćmy, że w tej dziedzinie zawiera się doskonale zrównoważone, czarne promieniowanie; załóżmy, że ustanowiła się już równowaga pomiędzy tern promieniowaniem a energią oscylatorów, które mają być obecne w dziedzinie Œ. Jeżeli U(,l) jest gęstością promieniowania, przebiegającego przez próżnię we wszystkich kierunkach, wiemy wówczas (z artykułów: 16, 18, 26, 53-go), jaki jest związek, zachodzący pomiędzy U{n) a ß(w). Dlatego też wylącznem naszem dążeniem, w całym niniejszym Rozdziale, było wyliczenie średniej <§(w), jako funkcyi, zależnej od n i od T. Rozwiązanie tego zadania wykańcza Teoryę. Nie mieliśmy nigdzie potrzeby poszukiwania wartości iloczynu &<n) ; nie spotykaliśmy się wcale z taką wielkością.

Dostrzegamy obecnie, jak dalece fikcyjnem, jak w istocie tylko pomoc-niczem narzędziem posługiwaliśmy się w naszem rozumowaniu, mówiąc o wibratorach i oscylatorach, albo o atomach materyi, mieszczących w sobie energię. Średnia energia w-grupy, albo &[n\ tych wibratorów jest nam potrzebna; dlatego mówimy, że ona jest oznaczona w oznaczonych warunkach. Ale całkowita energia n-grupy, inaczej    nie wchodzi do rozumowania; pozo

stawiliśmy ją zatem niewyznaczoną i niewyznaczalną, podobnie jak liczbę N(n) oscylatorów w tej grupie. Liczba iV(w) w teoryi Plancka jest zupełnie dowolna. Skoro tak jest, przeto byłoby rzeczą próżną zastanawiać się nad tern, czy ta liczba zależy od temperatury (§ 59). W teoryi Plancka wybieramy ją, jak nam w rozumowaniu dogodnie.

Według fundamentalnej hypotezy Einsteina, ciała materyalne są zbudowane z oscylatorów molekularnych Planck’owskich, których energia stanowi to, co nazywamy ciepłem. Jeżeli przyjmiemy ten punkt widzenia, musimy skierować całą uwagę na zagadnienie, którego unikaliśmy i którego mogliśmy unikać w Teoryi idealnego, czystego promieniowania. W hypote-zie Einsteina jedno z najpierwszych, a może najpierwsze nastręcza się następujące pytanie: czy istnieje prawo, lub czy istnieją prawa, według których molekularne oscylatory rozdzielają się na różne S⁻- lub n-grupy, ustanowione według wartości okresu albo częstości ich drgania własnego? Z każdego niemal równania artykułów poprzednich, poczynając od § 56-go, wynika potrzeba poznania postaci takiego prawa, jeżeli ono istnieje. Jakkolwiek niektóre z pomiędzy przytoczonych w § 55-ym poszukiwań zwracają się już widocznie ku temu celowi, jesteśmy może jeszcze dalecy od uzyskania jasnej odpowiedzi na pytanie, wskazane tu przelotnie i na pokrewne pytania.

§ 61. Potwierdzenie doświadczalne formuły Plancka. Dobiegamy tu kresu, w zarysie, który założyliśmy sobie. Pragniemy uzupełnić go jeszcze krót-kiemi niektóremi wzmiankami.

Badania doświadczalne nad formułą promieniowania czarnego rozpoczynają się, w roku 1895-ym, od przytoczonej w § 10-ym, pamiętnej pracy Wie-na i Lummer a. Dalsze poszukiwania: Lummera i Pringsheima¹), Paschena²⁾, Wannera³⁾ były kierowane przeważnie przez zamiar sprawdzenia formuły promieniowania, którą podał był (z bardzo słabem zresztą uzasadnieniem) W. Wien⁴⁾ w roku 1896-ym; formuły, w którą formuła Plancka przechodzi, gdy wartość XT jest nadzwyczaj nieznaczna w porównaniu do wartości stałej ch/k. Skoro formuła Plancka pojawiła się na arenie, uwaga eksperymentatorów zwróciła się na nią. Z badań Ruben sa i Kurlbauma⁵⁾, Paschena⁶⁾, Wannera⁶*, Lummera i P rings hei-ma⁷⁾ oraz z dokonanego w nowszych czasach przez Baischa⁸⁾ szeregu pomiarów zdaje się wynikać, że formuła promieniowania, odkryta przez Plancka, zgadza się z doświadczeniem dobrze, w zakresie temperatur szerokim; lecz i w tym względzie dalecy jeszcze jesteśmy od posiadania wiadomości zupełnych i zgoła niewątpliwych.

§ 62. O niektórych modyfikacyach teoryi. W kilku pracach, ogłoszonych w ciągu ubiegłego i bieżącego roku⁹), Planck przekształca założenia swej dotychczasowej teoryi. Obadwa główne równania, na których ona zasadza się, ulegają zmianie; zarówno pierwsze [(1), § 53] jak drugie równanie [(5), § 52] przybiera inną postać, zostaje poddane pewnemu uzupełnieniu. Jednakże dokonane w tych zasadniczych równaniach poprawki równoważą się, tak iż ostateczne prawo promieniowania, formuła (6) § 53-go, zachowywa moc nienaruszoną. Gdy tym sposobem analityczny szkielet teoryi doznaje tylko drobnego przeobrażenia, postać zewnętrzna teoryi, szata konkretna, w którą mechanizm formuł jest odziany, staje się zupełnie odmienna. Nowe, jeszcze nieco ogólnikowe pojęcia o naturze zjawisk absorbcyi i emisyi pojawiają się w tej modyfikacyi Plancka teoryi.

’) Verh. d. d. physik. Gesellschaft, Bd. 1. p. 23, 1899; Bd. 2, p. 163, 1900.

²)    Annalen der Physik, Bd 4, p. 277, 1901.

³)    Annalen der Physik, Bd. 2, p. 141, 1900.

⁴)    Annalen der Physik, Bd. 58, p. 662, 1896.

⁵)    Annalen der Physik, Bd. 4, p. 649, 1901.

⁶)    Zobacz prace przed chwilą powołane.

T) Oprócz prac powołanych zob. jeszcze: Verh. d. d. physik. Gesellschaft, Bd. 8, p. 36, 1901, oraz Annalen der Physik, Bd. 6, p. 192, 1901 W ostatniej pracy można znaleźć szczegółową dyskusyę oraz dalsze wskazówki bibliograficzne.

⁸)    Annalen der Physik, Bd. 85, p. 543, 1911.

⁹)    Podaliśmy je w spisie powyższego artykułu 15-go.

Nie będziemy próbowali streszczać tych, ani innych pokrewnych poszukiwań spółczesnych. Ograniczymy się do powyższego elementarnego zarysu pierwszych podstaw Nauki o Promieniowaniu. Z biegiem lat, praca zbiorowa pokolenia wydobędzie z usiłowań dzisiejszych, co w nich jest owocne i twórcze; uzbrojona w nowe narzędzie, będzie sobie dalej torowała drogę przez nasze niepojmowanie Natury.

BIBLIOTEKA miTECE

K R-A K Ó W

\\} ?

.. i y

IM

v'

V-

:

-,

*

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298911

111-15730

¹

Vorlesungen über die Theorie d. Wärmestrahlung, pp. 154 — 156. Acht Vorlesungen,