WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GLÖWNA

L. inw.

im

[WWW*

ppp

saMSs

&gg|Iä

mm

w&

vj

mdl

mm

dgp«*sa$»j

t$äl«’iviiii3fe

SS

n

äm

Ml

mm

i»

ll^pL

ila

PPgMggPgs

tJH

■5-JVeir>Ä*^^W

i£a

äs

%mm

W&M'

mmm«

mgm

mmm

mMt

mm

nl

ISilli

(fei

SK

BHyaii

IfcrfWMfc

.,y

Mi

12

&*

3,

ÜMI Ä

*t-4>£

gRSByMMII

SÄ

kWfätWfäSS

%m

m

ü&

üi

mm

m

1

««

sMIli

^TOÜ

■■Ml

^jKg&aSg

1111111111

>v

tl??lpSll|8

rcää^re&äsSSram

llllllil

■iiP&ä?

liMIPlll RlilS

pap

h?ry ■ -- »6^>s-jC

raIHsflgl

isÄläär

mg

S£>

aS*

ü&

|g|»

agR^-v

gggp

Bi

8s

ÄQMtf?

Ü&

KgSjgjj

25;

■UpMIi

JMmm

£T««HÄf;?SS$:-ä®

pagf..*!

l'W^

PPIiSSpslili

BhhM

jpSMH

mm

m mm,

wk mmm

-«r HL

MB

n§Sp

iillfi

wmm

£» 2

^ Y j

'Mmw

iX~^K^v=

SIS

im

mm

IPliiliiii

WKmmmß?mKM

BgilBpaBl

iIIIIiIm

■WL;

HB

a&S

HHW

■u

te

Käß?

■■■■■■■

HR^jMgraSsSäSS

»liil

i^aät.

£4

Sa

|pp«i

iS

|Bpi^

>SSSJS-3

Äm?.

SISfcll

K*J

ÜÜ

r*+*£a

&sa

t;>

ÜL,

i^HI

:%S;

iKi

1^

mm

i»i

vMgi-wKr^.

«mm

■I

?ÄÜP

mMM

®«a

Pl£l

mm

sc*:

1«

WPS

I»

1^5

|Bp

Bp;

Ne%q»

Wmm

pyjj

&s

ImWPi

umiSm

K::j

«3

cs? ,-ij ^

G^_g. W/f,.^

Bib/iotek

a Politechmki Ktak

mm

v;*%

skssJ

r$s*i?

ff

KE

'*i

wm

«ftil

>:*

SÄ|

mm

.zKMms

Ä^l

mm

i«

%8f

'>2R5k,*^5

n*

gä

M

piJ

ft

IM

%g$m&

;v

si

<<&.!

HB®

l*Sä$*SSi

■1

VSStJS.

pSgig

k;3c*JS«W

ä&iSsgi

wKBmm

mmm

S#l

Sil

StISi

HK

mmm

HOB

3K§5

SS

pS

11

eSSmIi

PPnf

mm

b«s

■■1

HK

UHl

HH

Sil

n«

H&3B& ...

||||p||P|

^4lg§jP

Jstllfe

•%.. wm$*m '

kM

Wmmm

WMzMSm

mmm

’vQws$tJT$ *x^9Q

SWA^S

BMMM|

H|Hg

fKgfiäifr

ÜÄ

||||||p

^s5r$«Si&<

«M

BBHppil

. MBMpBilM

■■■;Ti ¹ jyTTTHMM

ffls

Cwo»

Bm

(&;*:•

M&mwWi

tmmm

Ssi

»i«

W&Ws*

B*2

»Ä

■MRI KBflll

ps?«M

1Ü

f>:

HM

»1

■■■:'

m

fej

ä~-

R|§&

Mil

«»fira&^ JsSä

iil»d

Pilpip

hHhMH

»lipilg^^-

£«Jw

«>*

PHH

«a

IIMB

I fe w-ÄS

g»

Spfhl

£v3K&fefe£Bw&£kMI

wkzM&Mm

üi

■m

&^Tj

&»22s«£

g&aHfK

Mn&$

&%;a£g3SSafi

lg

ü§

■spaiWBBBB

■BBBBWBBBf

»a

r%5:

®Bä

»K|

BW

mMßm

mkjufr

MP

■ *5

El

mm

mm

84

§|i

■*&cklp

W&,

I BMBBII

■ppBli

m^^mmäami

mm

mm

hM

W^9

■i®

Ml

W$mk

2¥Ä*>i

HS

SS

s»?

m(m

m&

gft

ggigP*Sä

I»

■B

üi

i;

5i‘*

aa

H»

8^TOg^2§2«i

iW/f;

äassi

MBBHp

ViBaF^wm

m

*&&;

SS5

fe-r

£?r

RI

V:V

mm?

SiS

mm

Rppl

®5äg<£*2

wrnimm

=Mßm ?mmmm

jlsw»

««J^^wjM^ßSsWSlSÄ

Mmm

HM

Mw

<MI

Ss

i«

liB

ÄS

IIP

aeyg

E>1*§

WM

mz&M&m

'mms

J

!

„ .

■

'&*'rj/£ts'    ^/y/£ f<    </^V>    ,/***-

p?ty/:*><-

/XX

,

M'l

Geschwindigkeit

des

strömenden Wassers in verschiedenen Tiefen,

untersucht nach den von Brünings ausgeführten Messungen.

Von

G. Hagen.

Aus den Abhandlungen der Königl. Preufs. Akademie der Wissenschaften zu Berlin

vom Jahre 1883.

Gelesen in der Gesammtsitzung vom 12. April 1883 [Sitzungsberichte St. XVIII. S. 429].

dor

Mit 1 Tafel.

; öffentlich«! Arbeiten

Berlin 1883.

Verlag der Königlichen Akademie der Wissenschaften.

A*K

MILISTEKA FOLITEGHttCZIA

KRAKÖW

11145531

' X\\s

Äfec. Nr.

- ,C 3f

UQ

\W

1. Veranlassung und wissenschaftliche Bedeutung der in Rede stehenden Geschwindigkeits -Messungen.

Seit

langer Zeit hat man sich bemüht, das Gesetz zu entdecken, nach welchem die mittlere Geschwindigkeit des strömenden Wassers vom relativen Gefalle und von der Wassertiefe abhängt, doch ist dieses bisher nicht gelungen. Aus den allgemein gültigen Gesetzen der Hydrodynamik läfst sich die Aufgabe nicht lösen, da ein Umstand, der den wesentlichsten Einflufs auf die Erscheinung ausübt, der nähern Untersuchung sich noch ganz entzogen hat. Dieses sind die anscheinend höchst unregelmäfsi-gen innern Bewegungen des Wassers.

In engen Röhren oder sehr flachen Rinnen, besonders wenn sie nur langsam durchströmt werden, fehlen diese Bewegungen freilich, und alle im Wasser schwebenden Körper folgen der allgemeinen Richtung der Strömung. Leitet man dagegen durch eine Glasröhre von nur 1 Zoll Weite Wasser hindurch, das mit Sägespänen vermengt ist, so bemerkt man, wie diese, von den verschiedensten Wirbeln gefafst, Wege durchlaufen, die viel länger, als die Röhre sind. Es leidet keinen Zweifel, dafs hierdurch, so wie auch durch die Reibung zwischen den in verschiedenen Richtungen sich bewegenden Massen ein grofser Theil der lebendigen Kraft consumirt wird, den das Wasser beim Herabgleiten in der ge-

neigten Röhre, oder überhaupt durch das Gefälle gewinnt. Auch in gröfsern Wasserläufen und in Strömen fehlen dieselben nie. Sie werden besonders stark an scharfen Uferecken, neben Buhnen u. dgl. Auch wenn man Geschwindigkeits-Messungen an demselben Punkte mehrfach wiederholt, pflegen dieselben stets verschiedene Resultate zu geben, woher die Strömung keineswegs immer dieselbe bleibt, oder in aller Strenge eine gleichförmige ist.

Stürzt das Wasser über ein Wehr, so beschränken die Wirkungen des Sturzes sich allein auf die unmittelbar dahinter belegene Stelle. Hier bilden sich die heftigsten Bewegungen, welche die Sohle und die Ufer angreifen, in geringer Entfernung ist die Strömung aber wieder eben so ruhig, als wenn das Wehr gar nicht existirte. Noch auffallender zeigen sich diese Erscheinungen in Gebirgsgegenden, wo man oft Bächen begegnet, die eine steile Wand herabstürzen, sobald sie aber die Thalsohle erreicht haben, auf derselben eben so weiter fliefsen, als ob sie das Thal gar nicht verlassen hätten. Die innern Bewegungen sind sonach sehr verschieden, und so auch ihre Einwirkungen auf die lebendige Kraft, von der die Geschwindigkeit in der Richtung des Stroms abhängt.

Wenn es sich um die Anlage von Entwässerungs-Canälen, Stromdurchstichen und dergleichen handelt, so beabsichtigt man, möglichst re-gelmäfsige Wasserläufe darzustellen, worin eine starke Änderung der Geschwindigkeit und überhaupt die Veranlassung zu heftigen innern Bewegungen möglichst vermieden wird, so darf man erwarten, dafs die Erfahrungen, die man an schon bestehenden Stromstrecken dieser Art gemacht hat, in den neuen Anlagen, wie auch bei Stromregulirungen sich wiederholen werden. In diesem Fall handelt es sich nicht mehr um die Darstellung eines allgemein gültigen Gesetzes, sondern nur um ein solches für ziemlich regelmäfsige Strecken.

Die dabei zum Grunde zu legenden Beobachtungen müssen aber mit Sorgfals ausgeführt und namentlich die Geschwindigkeiten und die relativen Gefälle hinreichend sicher gemessen werden. Dieses ist bisher meist nicht geschehn, wie im Folgenden nachgewiesen werden wird. Überdiefs darf während dieser Messungen auch der Wasserstand und mit demselben das Gefälle sich nicht ändern.

Die unter Leitung von Brünings am Schlufs des vorigen Jahr-

hunderts in den Niederlanden ausgeführten Messungen entsprechen zwar nicht vollständig diesen Anforderungen, da keineswegs eine wissenschaftliche Verwerthung derselben beabsichtigt wurde, die einzelnen Reihen derselben zeigen aber so regelmäfsige Änderungen der Geschwindigkeit, wie man in spätern ähnlichen Messungen dieser Art vergeblich sucht. Dieses ergiebt sich besonders deutlich, wenn man sie graphisch aufträgt. Die beikommende Zeichnung stellt diejenige Reihe dar, welche unter Allen die gröfste Anzahl von Beobachtungen umfafst, und auf die gröfste Wassertiefe sich bezieht. Der Zug der sogenannten Geschwindigkeits-Curve, oder derjenigen Linie, deren Abscissen die Abstände vom Grunde und deren Ordinaten die Geschwindigkeiten sind, läfst sich in den mit kleinen Kreisen umschlossenen Punkten mit solcher Sicherheit erkennen, wie wohl in keiner der sonst ausgeführten ähnlichen Messungen, die Eigenthümlichkeiten dieser Curve werde ich später zurückkommen, hier mag nur bemerkt werden, dafs andre unter den vorliegenden Reihen sich noch vollständiger, als diese an das daraus abgeleitete Gesetz anschliefsen, wie aus Vergleichung der wahrscheinlichen Beobachtungsfehler sich ergeben wird.

Auf

Diese Beobachtungen wurden nicht etwa zu wissenschaftlichen Zwecken, sondern allein im Interesse der eingedeichten Ländereien angestellt. Verschiedene Provinzen der damaligen Batavischen Republik hatten vielfach Beschwerde darüber geführt, dafs dieser und jener Arm des Rheins bei Anschwellungen übermäfsig belastet und dadurch ihre Deiche zu sehr gefährdet würden. In dieser Beziehung hatte man schon 1745 sich dahin geeinigt, dafs von der ganzen Wassermenge des ungetheilten Rheins die Whaal zwei Drittel, der Pannerdensche Canal, also der weiter abwärts belegene Rhein, nur ein Drittel, und von diesem wieder die Yssel den dritten Theil aufnehmen solle. Um diese Verhältnisse darzustellen hatte man die verschiedenen Arme neben den Trennungspunkten in entsprechender Weise verengt oder verbreitet, ob aber die ganze Wassermenge in diesen Verhältnissen wirklich vertheilt sei, war bisher nicht geprüft worden und wurde vielfach in Abrede gestellt. In Folge dessen wurde unter Leitung des General-Directors des Wasserstaates Christian Brünings im April 1790 bei mittlerem, und im April 1792 bei hohem Wasserstande die durch gewisse Queerprofile in den verschiedenen Strömen

hindurchfliefsenden Wassermengen gemessen und unter einander verglichen. Zu diesem Zweck wählte man in jedem Profil verschiedene Lothlinien, die nach Mafsgabe der Breiten der betreffenden Stromstrecken 5 bis 10 Ruthen von einander entfernt waren. In jeder dieser Lothlinien wurden alsdann in Abständen von 6 Zoll die Geschwindigkeiten von nahe unter dem Wasserspiegel bis nahe über dem Grunde gemessen.

In dieser Weise sind im Ganzen 105 Beobachtungsreihen ausgeführt, die zunächst sehr sicher erkennen lassen, in welcher Beziehung die Geschwindigkeiten der über einander liegenden Wasserschichten zum Abstande derselben vom Grunde stehn. Sie sind also vorzugsweise geeignet, den Ausdruck für die Geschwindigkeits-Curve zu finden. Indem aber in manchen dieser Queerprofile die Tiefen, also auch die Längen der darin gewählten Lothlinien sehr verschieden sind, so kann man auch unter der Voraussetzung, dafs das Gefälle bei Messung der Geschwindigkeiten in allen Lothlinien eines Profils ungeändert dasselbe geblieben ist, aus diesen Beobachtungen entnehmen, welchen Einflufs die Wassertiefe auf die Geschwindigkeit hat. Die Eingangs gestellte sehr wichtige Frage nach dem allgemeinen Gesetz des strömenden Wassers läfst sich freilich aus diesen Beobachtungen nicht beantworten, da die Messung der relativen Gefälle der Ströme an diesen Stellen nicht in der Aufgabe lag, vielmehr die Wassermengen direct gemessen werden sollten.

Brünings liefs diese Messungen mit einem von ihm selbst angeordneten Apparat ausführen, den er Strommesser nannte, und der nicht unmittelbar die Geschwindigkeit, vielmehr den Druck mafs, den das strömende Wasser gegen eine ihm entgegen gerichtete Planscheibe ausübte. Im Folgenden wird dieser Apparat eingehend beschrieben werden.

Indem ich beabsichtigte, aus diesen Beobachtungsreihen ganz methodisch und mit voller Schärfe das Gesetz, dem die Geschwindigkeits-Curven sich anschliefsen, herzuleiten, kam es zunächst darauf an, den in Aussicht stehenden sehr zeitraubenden Rechnungen die Geschwindigkeiten, wie die Messungen sie ergeben hatten, richtig und frei von allen Druckfehlern und sonstigen Entstellungen zum Grunde zu legen. Ich ersuchte daher das königliche Ingenieur-Institut im Haag, dessen Mitglied zu sein, ich die Ehre habe, um eine zuverläfsige Copie der Original-Beobachtungen. Hierauf hatte der Vorsitzende des Instituts, der Minister für

Handel und den Wasserstaat, Hr. Klerck, die aufserordentliche Güte, ein Exemplar der 1798 gedruckten Berichte und Verhandlungen in Betreff der Vertheilung des Rhein-Wassers unter die verschiedenen Ströme in den Niederlanden mir zukommen zu lassen, worin auch die gewünschten Messungen enthalten sind. Der Titel dieses aus zwei Folio-Bänden Text und einem Bande Karten bestehenden Werkes lautet: Verzameling van Rapporten, Verhaalen en verdere Stukken betreffende de Doorsnydingen en Werken, welken sedert de Conventie van den Jaare 1771 op de Boven-Rivieren tusschen Emmerik en Arnhem syn aangelegd, zo tot bevordering van derzelver Vaarbarheid, als om door eene geregelde Verdeeling van het Opperwater, de Overstroomingen (by open Rivier) te voorkomen. In den Haag 1798.

In allen Berichten und sonstigen Mittheilungen dieser Sammlung ist von der Messung der relativen Gefälle an den Stellen, wo die Queerschnitte liegen, gar nicht die Rede. Solche sind also nicht ausgeführt, wozu auch keine Veranlassung vorlag. Eben so sucht man vergeblich dieselben in Wiebeking’s allgemeiner Wasserbaukunst, wenn freilich hier für längere Stromstrecken in den Niederlanden die Gefälle mit-getheilt werden.

Hiermit steht die Angabe Eytelwein’s in dessen Untersuchungen über die Bewegung des Wassers (Abhandlungen der Berliner Akademie der Wissenschaften 1813 und 1814) in directem Widerspruch, indem aus eben diesen Geschwindigkeiten und den dabei gemessenen Gefällen jenes oben erwähnte allgemeine Gesetz hergeleitet wird. Auch die Gefälle sollen aus Wiebeking’s allgemeiner Wasserbaukunst entnommen sein, wo sie jedoch in diesen Maafsen gar nicht mitgetheilt sind.

Funk hatte 1808 seine Beiträge zur allgemeinen Wasserbaukunst veröffentlicht, und daselbst mit diesen Geschwindigkeiten auch die Gefälle, wie sieEytelwein benutzte, mitgetheilt. Woher er die letzten entnommen, sagt er nicht, macht auch keinen weitern Gebrauch von denselben. Bei näherer Untersuchung ergeben sich indessen aus diesen Gefällen so viele an sich höchst unwahrscheinliche Combinationen, dafs ihr Zusammentreffen vermuthen läfst, sie seien nicht wirklich gemessen, weil dabei immer zufällige Fehler Vorkommen, die solche Übereinstimmung verhindern. In meinen Grundzügen der Wahrscheinlichkeits-Rechnung habe ich

nachgewiesen, man könne nicht nur Millionen und Milliarden, sondern einen Betrag, der sich durch eine Zahl von 21 Ziffern ausdrückt, gegen

1 darauf wetten, dafs diese Gefälle nach der damals als allgemein gültigen Formel Eytelwein’s

c — 90,9 ]/tct

berechnet sind, wo c die mittlere Geschwindigkeit und t die mittlere Tiefe in Rheinländischen Fufsen, a aber das relative Gefälle ausdrückt. Es stand also bereits fest, dafs Funk ohne es zu erwähnen, und im vollen Vertrauen auf die allgemeine Gültigkeit jener Formel nach derselben seine Mittheilung vervollständigte, Eytelwein aber sich hierdurch täuschen liefs, und aus den nach seiner Formel berechneten Gefällen den Einflufs derselben auf die Geschwindigkeiten herzuleiten versuchte.

2. Die üblichen Geschwindigkeits-Messungen.

Am einfachsten mifst man die Geschwindigkeit des strömenden Wassers, wenn man schwimmende Körper treiben läfst. Indem diese nicht tief eintauchen, so ergiebt sich daraus nur die Geschwindigkeit der obern Wasserschichten. Dabei tritt auch der Ubelstand ein, dafs in Folge der innern Bewegungen, und wohl noch mehr durch die Zähigkeit der Oberfläche des Wassers, die Schwimmer, selbst in regelmäfsig geformten Strombetten und in geraden Strecken nicht parallel zu den Ufern sich bewegen, sondern meist derjenigen Linie sich nähern, in der die Strömung am stärksten ist. Man kann demnach durch sie nicht in aller Schärfe die Geschwindigkeiten an den verschiedenen Stellen des gewählten Queerprofils bestimmen. Um die Abweichung von der allgemeinen Richtung der Stromstrecke auf das geringste Mafs zu beschränken, müssen die beiden abgesteckten Visirlinien, bei deren Durchgang die Zeiten beobachtet werden, nicht zu weit von einander entfernt sein. Dieses verbietet sich auch schon dadurch, dafs bei weitern Abständen die Geschwindigkeit, mit welcher der Schwimmer den Zwischenraum durchläuft, sich leicht ändert. Jedenfalls mufs aber die Zwischenzeit hinreichend grofs sein, damit ein Fehler von einer Secunde, der sich wohl nicht vermeiden läfst, das Resultat nicht zu sehr entstellt.

Der Stab des Cabeo, der cylindrisch geformt, und jedesmal so durch eingelegte Bleischeiben beschwert sein mufs, dafs sein unteres Ende möglichst wenig vom Grunde entfernt bleibt, ohne denselben auf seinem Wege zu berühren, ist ein brauchbares Instrument. Seine Bewegung entspricht unmittelbar der mittleren Geschwindigkeit aller über einander liegenden Wasserschichten, die ihn berühren. Er treibt indessen eben so, wie der einfache Schwimmer, nicht in der Richtung der beiderseitigen Ufer. Aufserdem darf man ihn gemeinhin auch nicht genügend dem Grunde nähern, weil er alsdann diesen leicht irgendwo auf seinem Wege berührt und alsdann festgehalten oder seine Bewegung verzögert wird.

Humphreys und Abbot bedienten sich bei ihren vielfachen Messungen eines an einem Schwimmer hängenden Körpers, der specifisch etwas schwerer als das Wasser war, und daher in stehendem Wasser je nach der Länge des ihn mit dem Schwimmer verbindenden Fadens loth-recht unter dem letzteren schwebte. In gleicher Weise wurden auch von Cunningham die Geschwindigkeiten in verschiedenen Tiefen des Ganges-Canals in Ostindien gemessen. Eines ähnlichen Apparats, nämlich zweier mit einander verbundenen Wachskugeln, von denen eine etwas beschwert war, so dafs sie im Wasser schwebend von der andern getragen wurde, bediente sich schon Mariotte und machte dabei die wichtige Entdeckung, dafs in der freien Seine jedesmal die in der Oberfläche schwimmende Kugel der andern voraneilte, dafs aber die in der Tiefe schwebende diese überholte, sobald beide an einem Brückenpfeiler vorbeitrieben. Bei Benutzung ähnlicher Apparate bemüht man sich gemeinhin, dem schwereren und vom Schwimmer getragenen Körper eine möglichst grofse Ausdehnung zu geben, damit die Strömung auf ihn vorzugsweise einwirkt und sonach auch der Schwimmer, der eine viel kleinere Angriffsfläche dem Wasser bietet, mit der Geschwindigkeit derjenigen Wasserschichten, die den untern Körper treffen, fortgetrieben wird. Um dieses zu erreichen, belastet man den letztem so wenig, dafs er nur so eben im Wasser niedersinkt. Hierdurch bildet sich aber ein höchst nachtheiliger Übelstand, der bei diesem Apparat sich nie ganz umgehn läfst. Wenn im offenen Strom der Schwimmer voraneilt und den an ihm hängenden Körper nach sich zieht, so wird er wegen des schrägen Zuges denselben heben, und zwar um so mehr, je leichter dieser ist. Man mifst also, wenn auch der Stofs Math. CI. 1883. Abh. I.

gegen den Schwimmer so klein sein sollte, dafs er unbeachtet bleiben dürfte, die Geschwindigkeit in einer geringeren Tiefe, als die Länge des Fadens angiebt. Wollte man aber auch mit Rücksicht auf die Einwirkung des Wassers auf den obern Schwimmer die Geschwindigkeit derjenigen Wasserschicht ermitteln, in welcher der untere Körper treibt, so würde man doch immer nicht wissen, welche Neigung der Faden während der Beobachtung angenommen und wie er sich dabei vielleicht auch gekrümmt hatte. Die Tiefe, in welcher diese Geschwindigkeit stattfindet, bleibt also unbekannt.

prüfen, dafs man ihn in stehendem Wasser lang-

zu

Bei uns wird zur Messung der Geschwindigkeiten der tieferen Wasserschichten allgemein der Woltman’sche Flügel benutzt, der unbedingt ein sehr brauchbares Instrument ist und der ebenso wie der Schwimmer die Geschwindigkeit unmittelbar mifst, indem sich diese aus der Anzahl seiner Umdrehungen ergiebt. Das Verhältnifs zwischen einer Umdrehung zur Länge des Weges, den das dagegenstofsende Wasser zurücklegt, ergiebt sich leicht aus der Neigung der Flügel gegen ihre Drehungs-Ebene und aus dem Abstande derselben von der Achse. Die Reibung pflegt, wenn der Apparat sorgfältig ausgeführt ist, so geringe zu sein, dafs man wenigstens bei mäfsigen Geschwindigkeiten davon ganz absehn darf. Das Rad, das mit seinen Zähnen in die Schraubengänge der Flügelwelle eingreift und die Umdrehungen der letztem zählt, darf in diesem Fall nicht mittelst eines Getriebes oder einer Schraube noch ein zweites Rad in Bewegung setzen, das wieder die Anzahl der Umdrehungen des ersten Rades angiebt. Dieses ist auch entbehrlich, da man bei einiger Aufmerksamkeit und besonders, wenn man durch einen vorhergehenden, auf wenige Secunden beschränkten Versuch die Geschwindigkeit schon ungefähr kennen gelernt hat, nicht zweifelhaft sein wird, wie oft das Rad sich umgedreht hat. Jedenfalls empfiehlt es sich aber, den Flügel dadurch samer und schneller eine bestimmte Strecke hindurchführt und jedesmal die Anzahl der Umdrehungen der Flügelwelle abliest. Man ersieht alsdann, welcher Länge des Weges eine Umdrehung entspricht und zugleich, ob diese bei verschiedenen Geschwindigkeiten dieselbe bleibt oder ob die Reibung schon von Einflufs ist. Sollte dieses sein, so sind die hierdurch veranlafsten Fehler leicht zu erkennen, und man mufs dieselben zur Be-

richtigung der Messungen für verschiedene Geschwindigkeiten tabellarisch zusammen stellen.

Bei Benutzung dieses Instruments wird oft von der festen Aufstellung desselben abgesehn. Man schraubt es nur an eine Stange, die man frei in der Hand hält, und sie bis zu derjenigen Tiefe herabdrückt, in der man die Geschwindigkeit messen will. Um ein Klemmen des Rades gegen die Schraubengänge zu verhindern, wodurch die Bewegung vollständig unterbrochen werden könnte, mufs, wie auch wohl immer geschieht, dafür gesorgt werden, dafs der kleine Rahmen, der das Rad trägt, nicht über einen gewissen Punkt hinaus der Flügelwelle genähert werden kann und dafs ferner die Zähne des Rades wie auch die Schraubengänge in scharfe Schneiden auslaufen. Alsdann ist ein nachtheiliges Zusammentreffen dieser Schneiden fast undenkbar. Bei der vielfachen Benutzung meines Flügels ist solches niemals vorgekommen.

Sehr unpassend verbindet man zuweilen diesen Apparat mit einer grofsen Fahne, die ihn stets in die Richtung der stärksten Strömung stellt. Die Geschwindigkeit in dieser Richtung wird aber nie gesucht, es handelt sich vielmehr allein um die Geschwindigkeit, mit der das Wasser normal gegen die Ebene des Queerprofils sich bewegt. Diese allein bezeichnet die Wassermenge, die der Strom abführt. Bei gröfserer Tiefe und besonders bei stärkerer Strömung mufs man daher den Flügel so sicher fassen, dafs er seine Richtung nicht verändern kann.

In neuster Zeit wird der Flügel auch mit einem elektrischen Apparat verbunden, wodurch jede Umdrehung dem Beobachter bemerklich gemacht und sonach die spätere Ablesung entbehrlich wird. Man kann alsdann, sobald die Messung in einer gewissen Tiefe beendigt ist, unmittelbar darauf eine solche in andrer Tiefe vornehmen. Der Apparat verliert indessen dabei seine Einfachheit, die ihn doch vorzugsweise empfiehlt, und die sichere Benutzung desselben erfordert gröfsere Übung und Aufmerksamkeit, während zugleich seine Beweglichkeit durch vermehrte Reibung beeinträchtigt wird.

Die Geschwindigkeit des strömenden Wassers läfst sich andrerseits auch aus dem Druck erkennen, den es auf eine ihm zugekehrte Ebene ausübt. Dieser Druck kann mittelst verschiedener Vorrichtungen so übertragen werden, dafs man, während er noch wirksam ist, ihn bequem messen und zugleich die Schwankungen wahrnehmen kann, denen er unterworfen ist. Bei solchen Apparaten ist es auch nicht erforderlich, nach jeder Messung sie auszuheben und neu einzustellen, vielmehr darf man sie unmittelbar darauf für andere Tiefen benutzen. Vorrichtungen dieser Art waren schon früher von Italienischen Hydrotecten angegeben und benutzt. Der Apparat, den Brünings wählte, gehört auch zu dieser Classe.

Endlich wäre noch der Pitot’schen Röhre zu erwähnen, in welcher der Druck des strömenden Wassers gegen den ihm zugekehrten offenen horizontalen Schenkel durch das Ansteigen des Wassers in dem damit verbundenen lothrechten Schenkel bezeichnet wird. Mit manchen dabei angebrachten Verbesserungen wird dieses Instrument auch gegenwärtig noch in Frankreich, doch, wie es scheint, nur bei mäfsigen Tiefen benutzt.

3. Der Strommesser von Brünings.

Die Akademie der Wissenschaften in Haarlem hatte einen Preis ausgesetzt auf die Erfindung eines Apparats, womit man die Geschwindigkeit des Wassers in beliebiger Tiefe sicher messen könne. Diese Aufgabe löste Brünings und erhielt den Preis. Mehrere Jahre später (1798) veröffentlichte er die betreffende Denkschrift unter dem Titel: Verhande-ling over de snelheid van het strömend water en de meddelen om dezelve op allerlei diepte te bepalen. Unmittelbar darauf erschien in deutscher Sprache eine wörtliche Übersetzung dieser Schrift von Kröncke, dem Mitherausgeber des ersten Bandes von Wiebeking’s Wasserbaukunst. Brünings beschreibt darin und beurtheilt in sehr angemessener Weise die bisher zu diesem Zweck benutzten Instrumente und erläutert dieselben durch beigefügte Zeichnungen. Sodann giebt er den von ihm als besonders brauchbar erachteten Apparat an, der sehr eingehend erklärt und durch Zeichnung dargestellt wird. In einem Nachtrage erwähnt Brünings, dafs mit dem letzteren die Messungen am Rhein und in dessen Abzweigungen ausgeführt sind. Er spricht auch sein Bedauern aus, dafs bei Abfassung der Denkschrift ihm der Flügel seines Freundes Woltman noch nicht bekannt gewesen und er desselben nicht erwähnt habe, er sagt jedoch nicht, dafs er diesen seinem eigenen Apparat vorziehe und ihn zu jenen Messungen benutzt haben würde.

Ich gehe nun zur Beschreibung dieses Instruments über, das Brünings den Strommesser (Stroommeter) nannte. Derselbe bestand wesentlich aus einer dem Strom entgegen gerichteten Planscheibe, die sich leicht vor- und zurückschieben liefs, jedoch durch eine Leine zurückgehalten wurde, die aufwärts geführt und in bequemer Höhe über Wasser mit dem kürzeren Arm eines Hebels verbunden war. Der Zug, den diese Leine erfuhr, wurde durch ein Gegengewicht gemessen, das am langem Hebelarm hängend so weit verschoben wurde, bis das Gleichgewicht sich darstellte.

Die Planscheibe, die den Druck des dagegenströmenden Wassers aufnahm, war in quadratischer Form aus Kupferblech ausgeschnitten und mafs 6 rheinl. Zoll in ihren Seiten. In ihrem Mittelpunkt fafste sie, normal dagegen gerichtet, eine sorgfältig prismatisch bearbeitete kupferne Stange von 9,5 Zoll Länge und 6 Linien Höhe und Breite, die auf zwei horizontalen Rollen ruhte und zwischen vier verticalen Rollen, ohne ihre horizontale Stellung oder ihre Richtung zu verändern, leicht hin- und hergeschoben werden konnte. Der Strom drückte die Scheibe zurück, an ihr hinteres Ende schlofs sich indessen ein Queerarm an, den in entgegengesetzter Richtung eine Leine zurückhielt, die über eine Rolle lothrecht aufwärtsgeführt war. Auf diese Leine übertrug sich also der Druck des strömenden Wassers.

Die leichte Platte, an der die Führung der Scheibe wie auch die Rolle befestigt war, wurde an das untere Ende einer gezahnten Stange angeschroben, die aus kürzeren Stücken von 5 Fufs Länge bestehend bis auf 30 Fufs sich verlängern liefs. Durch ein Getriebe, das in die Zähne der Stange eingriff, konnte die Scheibe bis zu derjenigen Tiefe versenkt werden, in der man die Geschwindigkeit messen wollte. Die Latte aber, in allen ihren Theilen sorgfältig aus Mahagoniholz ausgeschnitten, war an der Rückseite schwalbenschwanzförmig gestaltet und ruhte in einer entsprechenden Rinne eines hinreichend langen Pfahls von Kiefernholz.

Jene Leine, welche die Scheibe dem Strom entgegendrückte, wurde über der erwähnten Rolle durch eine leichte Kette ersetzt, die an jeder beliebigen Stelle von einem Haken gefafst werden konnte, der an dem kürzern Arm eines am Pfahl befestigten Hebels hing. Der längere Arm dieses Hebels, an der obern Seite mit einer Reihe neben einander befindlicher und mit Nummern bezeichneter Kerben versehn, war durch ein leichtes Gegengewicht belastet, durch dessen Verstellung das Gleichgewicht dargestellt und der Druck des Wassers gegen die Scheibe gemessen wurde. Aufser diesem hing aber noch ein schwereres Gegengewicht an einer bestimmten Stelle desselben Hebelarms, das den überwiegend gröfsten Theil des Drucks gegen die Scheibe aufhob. Das hierdurch dargestellte Gleichgewicht war indessen keineswegs ein stätiges, vielmehr traten dabei sehr heftige Schwankungen ein. Um trotz dieser die passendste Stellung des kleinen Gegengewichts zu finden und um zugleich die Ausdehnung der Schwankungen zu beurtheilen, war über der aus einer scharfen Schneide bestehenden Drehungsachse des Hebels vor einem eingetheilten Kreisbogen ein aufrecht stehender Zeiger angebracht, aus dessen Stellung man sich auch überzeugen konnte, dafs der Hebel eine horizontale Lage einnahm.

Indem das Gewicht der am Hebel hängenden Kette bei den Messungen in verschiedenen Tiefen sich änderte, so wurde nach vorhergehenden Proben ein drittes, sehr kleines Gegengewicht noch an diejenige Stelle des längern Hebelarms gehängt, wo es bei der jedesmaligen Tiefe das Gleichgewicht mit der Kette darstellte. Die Entfernungen der beiden ersten Gewichte von der Achse des Hebels ergaben sonach unmittelbar den Druck des Wassers gegen die Scheibe. Dabei ist noch zu erwähnen, dafs diese Kette, indem sie von jener Rolle nach dem Hebel ansteigt, der Einwirkung der Strömung dadurch vollständig entzogen wurde, dafs sie in einer zweiten und zwar stromabwärts gekehrten Rinne des Pfahls schwebte.

Jedenfalls war es Bedingung, diesen Apparat nicht nur ganz fest, sondern auch in die Richtung des Stroms genau einzustellen. Jener starke Pfahl war daher sorgfältig prismatisch und zwar mit quadratischem Queer-schnitt bearbeitet und wurde durch eine entsprechende, mit Eisenschienen umgebene Öffnung in der schwimmenden Brücke umfafst. Am untern Ende war er mit einem Schuh versehn, der in eine scharfe Spitze auslief.

Die beiden Fahrzeuge, welche die Brücke trugen, waren 44 Fufs lang, 9,5 Fufs breit und tauchten 1 Fufs tief ein. Sie waren in der Art mit einander verbunden, dafs zwischen ihnen ein Canal von 12 Fufs Breite frei blieb. In der Mittellinie desselben und zwar nahe an seinem stromaufwärts gekehrten Ende stand der Pfahl. Die Fahrzeuge waren aber nicht nur gegen den Strom, sondern auch seitwärts so sicher verankert, dafs sie sich nicht bewegen konnten, also auch der Pfahl seine lothrechte Stellung wie seine Richtung während der Messung stets beibehielt. Um ihm diese in voller Schärfe geben zu können, waren alle Ankertaue durch Flaschenzüge angespannt, so dafs geringe Änderungen in der Lage der Fahrzeuge bequem und sicher sich ausführen liefsen.

Sobald der Pfahl eingerichtet war, wurde die gezahnte Latte in die Rinne eingeschoben, die Planscheibe, die den Druck des Wassers aufnahm, eingestellt, das Getriebe wie der Hebel an den Pfahl angeschraubt und die jedesmal erforderlichen Ansatzstücke zur Verlängerung der gezahnten Stange mit dieser verbunden.

Brünings untersuchte zunächst die Reibung der verschiedenen Theile des Apparats, er fand dieselbe aber vergleichungsweise zum Wasserdruck so geringe, dafs sie unbeachtet bleiben durfte. Die Geschwindigkeit des gegen die Scheibe stofsenden Wassers berechnete er unter der Voraussetzung, dafs die Geschwindigkeitshöhe dem Druck entspricht. Wenn diese Annahme nach manchen Beobachtungen auch nur im Allgemeinen, nicht aber in aller Strenge richtig ist, so dürften die dadurch veranlafs-ten Fehler, den andern unvermeidlichen gegenüber, kaum in Betracht kommen. Einige Versuche, diese Geschwindigkeit mit der durch schwimmende Körper gemessenen zu vergleichen, zeigten genügende Übereinstimmung. Einen andern Beweis für die Gültigkeit dieses Verfahrens fand er auch darin, dafs die hiernach berechnete Wassermenge des ungetheilten Rheins nahe mit der Summe derjenigen seiner drei Arme übereinstimmte.

Es kann nur befremden, dafs dieser Apparat, soviel bekannt, seit jener Zeit nie wieder benutzt, vielmehr durch den Woltman’schen Flügel vollständig verdrängt ist. Wenn letzterer allerdings den Vorzug hat, dafs er unmittelbar die Geschwindigkeit mifst, so läfst jener schon während der Messung den Druck und die Schwankungen desselben deutlich erkennen, so dafs man im Stande ist, mit grofser Sicherheit seinen mittleren Werth abzulesen, und dazu kommt noch die Bequemlichkeit, dafs man nicht, um das Resultat zu erfahren, das Instrument jedesmal ausheben darf. Mit einigen nicht gerade wesentlichen Verbesserungen, dem heutigen Stande des Maschinenbaues entsprechend, ausgeführt, dürfte dieser Apparat zu genauen Geschwindigkeits-Messungen sich vorzugsweise empfehlen, doch müfste die Beziehung zwischen dem Druck und der Geschwindigkeit des Wassers noch näher untersucht werden, da wahrscheinlich die Gröfse und Form der Scheibe einigen Einflufs auf den Druck gegen die Flächen-Einheit hat.

Bei Berechnung der Geschwindigkeiten benutzte Brünings, wie aus der Beschreibung des Strommessers sich ergiebt, siebenstellige Logarithmen-Tafeln und grofsentheils werden die dabei gefundenen Resultate auch vollständig mitgetheilt, so dafs die Geschwindigkeiten bis auf den hunderttausendsten Theil eines Zolls genau angegeben sind. Die Vergleichung dieser Geschwindigkeiten, die in voller Übereinstimmung ihrer Werthe sich stets wiederholen, ergiebt indessen, dafs die Ablesungen äufsersten Falls nur Differenzen von ein Drittel Zoll erkennen lassen. Die Schärfe der Messungen wird daher nicht nur vollständig gewahrt, sondern schon überschritten, wenn man nur die erste Decimalstelle, also den zehnten Theil eines Zolls beibehält. Dieses ist in den folgenden Mittheilungen geschehn.

Die zur Ermittelung der Wassermengen angestellten Messungen wurden 1790 ungefähr bei mittlerem Wasserstande in 6, und 1792 bei hohem Wasserstande in 8, also zusammen in 14 Queerprofilen gemacht. Die Wasserstände und die Änderung derselben während der Messung beziehn sich immer auf den Pegel bei Arnheim, doch bleiben diese Mittheilungen für das Jahr 1790 sehr unvollständig. Diese Queerprofile sind nach den von Brünings gewählten Bezeichnungen unter Beifügung der Jahreszahl die folgenden:

1.    Profil A. 1790. — Im ungetheilten Rhein, 320 Ruthen oberhalb des Austritts der Whaal wurden vom 15. bis 19. April beim Wasserstande von 3'6" in Abständen von 10^ Ruthen in 12 Loth-linien von 7 bis 16 Fufs Tiefe die Geschwindigkeiten gemessen.

2.    Profil B. 1790. — In der Whaal, 250 Ruthen unterhalb der Abzweigung aus dem Rhein, am 20. bis 21. April beim Wasserstande von 3'9" und in Abständen von 9,75 Ruthen sind in 8 Lothlinien bei Tiefen von 6,75 bis 16,5 Fufs die Geschwindigkeiten gemessen.

Profil C. 1790. — Im Pannerdenschen Canal, 40 Rathen unterhalb der Trennung von der Whaal. Am 21. April, Wasserstand 3'9", in 5 Lothlinien von 8,5 bis 10 Fufs Tiefe, die 7,5 Ruthen von einander entfernt.

3.

4.    Profil D. 1790. — Im Nieder-Rhein, 975 Ruthen oberhalb der Yssel-Mündung. Am 22. April. Wasserstand 3'9". In 7 Lothlinien, die 6 Ruthen von einander entfernt und 8,5 bis 11 Fufs tief waren.

5.    Profil E. 1790. — In der Yssel, 160 Ruthen unterhalb ihres Austritts aus dem Rhein. Am 23. April bei Wasserstand 3'9" 4 Lothlinien von 3,75 bis 4,5 Fufs Tiefe, die 4,75 Ruthen von einander entfernt.

6.    Profil F. 1790. — Im Unter-Rhein, 135 Ruthen unterhalb der Yssel-Mündung. Am 23. April bei 3'9" Wasserstand. 6 Lothlinien von 7 bis 9 Fufs Tiefe, 7 Ruthen von einander entfernt.

7.    Profil A. 1792. — Nieder-Rhein, 1130 Ruthen oberhalb der Yssel-Mündung. Am 13. und 14. April beim Wasserstande von 14'4". 8 Lothlinien in Tiefen von 15 bis 20 Fufs, die 8 Ruthen von einander entfernt. Während der Messung fiel das Wasser 3 Zoll.

8.    Profil B. 1792. — Unter-Rhein, 135 Ruthen unterhalb des Austritts der Yssel. Am 16. April bei Wasserstand von 11'10". 7 Lothlinien von 10,5 bis 21 Fufs Tiefe in Abständen von 8 Ruthen. Das Wasser fiel während der Messung 7 Zoll.

9.    Profil C. 1792. — In der Yssel, 160 Ruthen unterhalb ihres Austritts aus dem Rhein. Gemessen am 17. April bei 10' 11" Wasserstand. 5 Lothlinien von 10,25 bis 11 Fufs Tiefe, die 5 Ruthen von einander entfernt waren. Das Wasser fiel 4 Zoll.

10. Profil D. 1792. — Im Pannerdenschen Canal, 275 Ruthen unterhalb des Austritts der Whaal. Am 19. bis 22. April, durchschnittlich beim Wasserstande von 9'0','5, der aber, wie es scheint, während der Messung sogar um 16 Zoll sank. 7 Lothlinien in Abständen von 7 Ruthen mit Tiefen von 10 bis 14 Fufs.

Math. CI. 1883. Abh. I.

Profil EL 1792.— Im ungetheilten Rhein, 320 Rathen oberhalb des Austritts der Whaal. Am 23. bis 26. April bei dem während der Messung unveränderten Wasserstande von 9'3". Es wurden in Abständen von 10 Ruthen 14 Lothlinien in Tiefen von 12 bis 23 Fufs gemessen.

11.

12.

13.

14.

Profil F. 1792. — In der Whaal, 250 Ruthen unterhalb ihrer obern Mündung. Am 26. bis 27. April durchschnittlich beim Wasserstande von 8' 10", der während der Messung 6 Zoll sank. 10 Lothlinien in Abständen von 9,75 Ruthen, mit Tiefen von 12 bis 20,5 Fufs.

Profil G. 1792. — Nieder-Rhein, 975 Ruthen oberhalb der Yssel-Mündung. Am 30. April bei Wasserstand von 7’5','75, der 2,5 Zoll während der Messung sank. 7 Lothlinien in 7 Ruthen Abstand mit Tiefen von 10 bis 13,5 Fufs.

Profil H. 1792. — In der Yssel, 160 Ruthen unterhalb ihres Austritts aus dem Rhein. Gemessen am 1. Mai bei Wasserstand 7'3','5, der um 1 Zoll sich senkte. 5 Lothlinien in 5 Ruthen Abstand mit Tiefen von 7 bis 7\ Fufs.

Es liegen sonach für 105 Lothlinien ebenso viele Beobachtungsreihen vor. In jeder sind in Abständen von 6 zu 6 Zoll unter einander die Geschwindigkeiten in Zollen gemessen. Dabei ist das damals in den Niederlanden übliche Rheinländische Fufsmafs benutzt. Jede Reihe beginnt 1 Fufs unter dem Wasserspiegel und endet meist 1 Fufs 3 Zoll über dem Grunde, doch konnten die Beobachtungen mehrfach, wie gesagt wird, wegen des starken Sandtreibens in der Nähe des Grundes nicht so weit fortgesetzt werden. Einige wenige Reihen setzen sich dagegen so weit fort, dafs nach der jedesmal angegebenen Tiefe der Lothlinie der untere Rand der Scheibe den Grund berührte. Im Folgenden habe ich diese Beobachtungen zwar mit aufgenommen, sie jedoch als unsicher in den Rechnungen nicht berücksichtigt. Dasselbe ist auch bei denjenigen Messungen in der Nähe des Wasserspiegels geschehn, die bei Vergleichung der Geschwindigkeiten hier eine merkliche Verringerung derselben, im Allgemeinen um mehr als 1 Zoll erkennen liefsen. Diese waren, wie schon die erwähnten Erfahrungen von Mariotte zeigten, durch die daneben befind-

liehen feststehenden Körper veranlafst, fanden also im freien Strom nicht statt. Aufserdem hatte ich mich auch durch einen besondern Apparat davon überzeugt, dafs im freien Strom die Geschwindigkeit der obern Wasserschichten niemals geringer als die der darunterliegenden ist, dafs aber eine Verzögerung eintritt, sobald ein vor Anker liegendes Schilf oder ein sonstiger Körper, welcher der Strömung nicht folgt, in der Nähe sich befindet. Hier bildete der feststehende Mefs-Apparat, sowie auch noch mehr die beiden Fahrzeuge, die ihn trugen, das Hindernifs, und so konnte es nicht fehlen, dafs solche Verzögerungen unter gewissen Umständen sich zeigten.

Brünings giebt für die einzelnen Geschwindigkeits-Messungen nicht die Abstände vom Grunde, sondern vom Wasserspiegel an, und zwar nicht die des Mittelpunktes der Scheibe, sondern die des obern oder des untern Randes derselben. Bei den Beobachtungen im Jahr 1790 mafs er die Abstände des obern und im Jahr 1792 die des untern Randes der Scheibe von der Oberfläche des Wassers. Hierdurch erklärt es sich, dafs nach der Reduction auf den Mittelpunkt der Scheibe, wobei also immer 3 Zoll zugesetzt oder abgezogen werden mufsten, die Abstände, gemessen in der Einheit von 6 Zoll, nicht ganze Zahlen, sondern mit dem Zusatz von ein Halb versehn sind, wie die folgenden Tabellen zeigen.

4. Untersuchung derjenigen Beobachtungsreihe, welche unter allen die ausgedehnteste ist.

Um im Allgemeinen ein Urtheil darüber zu gewinnen, wie die Geschwindigkeiten der über einander liegenden Wasserschichten mit dem Abstande vom Grunde zunehmen, stellte ich mehrere der längsten Beobachtungsreihen, die also in tieferem Wasser gemessen waren, graphisch dar, indem ich die Abstände vom Grunde als Abscissen (%) auf eine Verti-cal-Linie und die Geschwindigkeiten rechtwinklig an diese als Ordinaten (y) auftrug. Es liefsen sich alsdann mit mehr oder weniger Sicherheit Cur-ven zwischen die letztem legen, die ohne Ausnahme von der halben Parabel sich wesentlich dadurch unterschieden, dafs sie nicht im Scheitelpunkt, also bei x — 0, sondern in einer mäfsigen Entfernung vom Grunde die stärkste Krümmung zeigten. Es mufs aber bemerkt werden, dafs diese Eigentümlichkeit bei den sämmtlichen Beobachtungsreihen sich wiederholte. Unmittelbar über dem Grunde sind nach dem Zuge der Curven, welche die Beobachtungen andeuten, die Geschwindigkeiten so grofs, dafs sich hier fast gerade Linien bilden, während jenseit jener stärksten Krümmung die Zunahme der Geschwindigkeit sehr schnell sich vermindert und bei gröfsern Wassertiefen beinahe ganz auf hört.

Hiernach war zu vermuthen, dafs die Curve ungefähr dem einfachen Ausdruck

yn — px

entsprechen werde, wobei n einen noch unbekannten Exponenten bezeichnet, der aber jedenfalls gröfser als 2 ist, und p einen gleichfalls noch unbekannten Factor darstellt, der wahrscheinlich von dem relativen Gefälle des Stroms an dieser Stelle bedingt wird.

Um mich zu überzeugen, ob dieser Ausdruck passend sei, versuchte ich ihn zunächst an diejenige Beobachtungsreihe anzuschliefsen, die unter allen die längste und zugleich im tiefsten Wasser ausgeführt war. Sie bezieht sich auf die 14te Lothlinie im Profil E vom Jahr 1792, also im ungetheilten Rhein zur Zeit des Hoclrwassers. Diese Reihe gehört unbedingt zu denjenigen, in welchen die Geschwindigkeiten sich recht zufriedenstellend an einander anschliefsen, wiewohl sich aus dem Folgenden ergeben wird, dafs bei mehreren andern Reihen der wahrscheinliche Beobachtungsfehler noch etwas geringer ist.

Die nachstehende Tabelle enthält die betreffenden Beobachtungen, nämlich die mit x überschriebene Spalte die Abstände vom Grunde, gemessen in der Einheit von 6 Zoll, und die nächste Spalte y die daselbst gefundenen Geschwindigkeiten, ausgedrückt in Zollen. Die Bedeutung der Zahlen in den beiden folgenden Spalten wird später angegeben werden.

Profil E (1792). Lothlinie 14. Tiefe 23 Fufs.

Y'

Y'

45,5

58,0

58,0

21,5

58,0

20,5

56,1

19,5

56,1

18,5

54,8

17,5

54,8

16,5

54,1

15,5

52,7

14,5

52,0

13,5

52,0

12,5

48,4

11,5

50,6

10,5

50,0

9,5

45,3

8,5

45,3

7,5

46,9

6,5

43,6

5,5

40,1

4,5

38,3

3,5

36,3

2,5

34,2

£ 3 S p p t p S p P S S 2 S S 2 s g S S S 2

O) 05 Oi ^¹ Ol QO © >—‘    "oo

t>^    H    0O    O    tJI

t-    eo    urT    irT    ^7

lO    IO    lO    »O    lO    »o

Ul

53,7

53,1

52,4

51,6

50,8

50,0

49,1

48,1

47,1

45,9

44,6

43,1

Die erste Beobachtung, welche in diesem Fall eine starke Verzögerung der obern Wasserschichten durch den Mefs-Apparat und die beiden Fahrzeuge erkennen läfst, mufste bei der Unsersuchung ausgeschlossen bleiben. Es kam darauf an, aus den übrigen Beobachtungen und zwar unter gleichmäfsiger Benutzung derselben die wahrscheinlichsten Werthe des Factors p und des Exponenten n zu berechnen. Der Ausdruck

yn = px

gestattet indessen nicht die unmittelbare Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate. Die Zerlegung von n in einen Näherungswerth a und die Correction desselben h führte auch nicht zum Ziel, da bei Benutzung des Taylor’schen Lehrsatzes die Factoren von h stets solche Werthe hatten, dafs, wenn h nicht nahe unendlich klein war, die vermeintliche Correction nur zu noch gröfseren Abweichungen führte. Hiernach ging ich zum logarithmischen Ausdruck

log?/ = * logp H--log#

über, woraus sich unmittelbar die beiden Bedingungs-Gleichungen ergaben :

und

[log y] = m ■ ^iogi> + [log®] •

[logy • log®] = [log®] • Üogp -+- [log® • log®]i

Die Paranthese [ ] bezeichnet die Summe der aus allen einzelnen Beobachtungen sich ergebenden Logarithmen oder deren Producte. m ist aber die Anzahl dieser Beobachtungen.

Aus den in der Tabelle mitgetheilten Werthen von # und y findet man

aufserdem

[log#] = 55,126 [log?/] = 74,859 [log# . log#] = 74,936 [log# . log?/] = 96,945 m = 43

Hieraus ergaben sich die beiden Unbekannten

und

also

und

SS ‘ I—⁴

logp = 1,4484

- = 0,2286 n    ¹

logj9 = 6,3365 n = 4,3747

Man erhält also die Gleichung der Curve, an welche die Beobachtungen am besten sich anschliefsen

?/⁴’³⁷ = 2170300.#

Indem es auf die genaue Angabe des Factors p in der vorliegenden Untersuchung nicht ankommt, da das relative Gefälle, von dem ohne Zweifel p vorzugsweise abhängt, gar nicht gemessen ist, so beschränke ich mich darauf, im Folgenden nicht p, sondern nur den Werth von logp anzugeben.

Nach vorstehender Formel berechnete ich nunmehr die Geschwindigkeiten in den betreffenden Abständen vom Grunde. Diese Geschwindigkeiten enthält die dritte, mit Y überschriebene Spalte der Tabelle. In der beikommenden Zeichnung ist die Curve, deren Ordinaten diese Y sind, durch die ausgezogene Linie bezeichnet. Man bemerkt, dafs dieselbe sich befriedigend an die vorliegenden Beobachtungen anschliefst. Aus den Differenzen zwischen y und Y ergiebt sich aber, dafs der wahrscheinliche Beobachtungsfehler, also derjenige, der ebenso oft überschritten, als nicht erreicht wird, gleich 0,775 Zoll ist, während der mittlere Werth der Geschwindigkeiten 56 Zoll beträgt. Hiernach ist der wahrscheinliche Fehler nur 1,4 Procent der gemessenen Geschwindigkeiten. Eine ähnliche Schärfe ist wohl bei Messungen dieser Art nie wieder erreicht worden.

Auch in Betreff der Krümmung der Curve schliefst sich die gewählte Gleichung sehr befriedigend an die Beobachtungen an. Die Coor-dinaten desjenigen Punktes, der in der schärfsten Krümmung liegt, seien x und y, diejenigen des Mittelpunktes des Berührungskreises a und ß, so wie der Radius des letztem = 7. Alsdann ergeben die bekannten Ausdrücke für die Gleichung

yn — px

yn~²

n (n — i)p

(n JijP*(p²+wyn *yy

1    (|)²+n²!/²"'²)²

yn~²

n (n — l)p²

Setzt man 87 = 0, so ergiebt sich für den Punkt der schärfsten Krümmung die Geschwindigkeit y

und hieraus läfst sich der zugehörige Abstand vom Grunde oder x finden.

Durch Einführung der Werthe

und

erhält man

n = 4,3747 log p = 6,3365

5,2

y = 40,9 ct = 33,8 ß = 25,1 v = 32,7

In die beigefügte Zeichnung ist der Krümmungshalbmesser des kleinsten Berührungskreises eingetragen, und zwar trifft derselbe die Gurve in dem Punkte ihrer schärfsten Krümmung.

Es mag noch erwähnt werden, dafs die mittlere Geschwindigkeit

n -4- 1

ist, also für diese Lothlinie

v = 54,86 Zoll,

wobei die Tiefe aber wieder in der Einheit eines halben Fufses gemessen, daher t = 46 gesetzt werden mufste.

Brünings, der das arithmetische Mittel aus allen gemessenen Geschwindigkeiten als die mittlere Geschwindigkeit ansah, fand

v = 56,05 Zoll.

Obwohl aus Vorstehendem ein durchaus befriedigender Anschlufs der Beobachtungen an das angenommene Gesetz sich ergiebt, so darf doch nicht unerwähnt bleiben, dafs bei der ausgeführten Rechnung nicht die Bedingung zum Grunde gelegt ist, dafs die Summe der Fehlerquadrate der gemessenen Geschwindigkeiten, vielmehr diejenige der Logarithmen dieser Geschwindigkeiten ein Minimum wird. Die gröfsten und kleinsten Geschwindigkeiten dieser Reihe, sowie auch in allen übrigen, verhalten

sich indessen äufsersten Falls zu einander nur etwa wie 1 zu 2. Wenn daher auch nicht vermieden werden konnte, dafs die geringsten Geschwindigkeiten vorzugsweise Geltung erhielten, so sind die hieraus entstehenden Fehler doch nicht von Bedeutung. Nichts desto weniger geben sich solche dennoch dadurch zu erkennen, dafs, wenn auch nicht in dieser Reihe, doch in mehreren andern der wahrscheinliche Fehler der Geschwindigkeiten bei Einführung eines bestimmten Werthes für n etwas geringer ist, als wenn man die Werthe von n und p nach der Methode der kleinsten Quadrate suchte. Im letzten Fall wurde aber die Summe der Fehlerquadrate von logy berücksichtigt, die der Summe der Fehlerquadrate von y nicht entspricht.

Aus dem Folgenden wird sich ergeben, dafs die bedeutendsten der von Brünings mitgetheilten Beobachtungsreihen auf einen bestimmten, und zwar durch eine einfache Zahl bezeichneten Werth des Exponenten hindeuten, nämlich auf

In Betreff der vorliegenden Beobachtungsreihe bleibt also noch zu untersuchen, in wie weit dieselbe sich diesem Exponent anschliefst. Unter Einführung der Werthe von x und y der einzelnen Beobachtungen ergiebt sich aus der Gleichung

5    5/

y — Vp. Vx

der wahrscheinlichste Werth von p

[Vx . Vx]

für die vorliegende Beobachtungsreihe also

woraus man findet

5

Vp =

4462,5

145,48

-J-log^ = 1,4868 logp = 7,4339

Berechnet man hiernach die Geschwindigkeiten oder die y für die verschiedenen Abstände vom Grunde x, so ergeben sich dieselben, wie sie Math. CI. 1883. Abh. I.

und

in der mit F? überschriebenen Spalte der vorstehenden Tabelle angegeben sind. Aus diesen findet man den wahrscheinlichen Beobachtungsfehler

w'== 0,94

Derselbe ist allerdings etwas gröfser als früher, doch bleibt er vergleichungsweise gegen andre Beobachtungen dieser Art noch immer sehr geringe und mifst nur 1,80 Procent des Mittelwerthes der Geschwindigkeiten. Die durch diese Y' gelegte Curve ist in derselben Figur durch die unterbrochene Linie angegeben.

Auch in Bezug auf die Lage und Gröfse der stärksten Krümmung schliefst der Exponent 5 sich an die Beobachtungen genügend an. Man hat nämlich alsdann unter Beibehaltung der obigen Bezeichnungen

1 p² 4- 25 . ys

20 . p

y _ ß = -i- . (y 25 . y⁸) y 1    (p² + 25 . ?/⁸)²

20 . p²

Der Werth von y ergiebt sich aber aus der Gleichung

woraus auch das betreffende x —

* PL

gefunden wird. Indem

so erhält man

logp = 7,4339

4,9

y = 42,1

a — 29,1

ß = 28,0 7 = 28,0

Auch dieser Krümmungshalbmesser ist in gleicher Weise wie der erste und zwar durch die unterbrochene Linie in die Figur eingetragen.

Der Ausdruck der mittleren Geschwindigkeit verwandelt sich, wenn

n = 5 ist, in

also für die vorliegende Beobachtungsreihe ist

c = 54,97

was mit dem früher gefundenen Werth sehr nahe übereinstimmt.

Es mufs erwähnt werden, dafs genau in der hier bezeichneten Weise auch für die übrigen benutzten Beobachtungsreihen die Rechnungen durchgeführt sind, so weit sie sich auf die Unbekannten n, p und p', sowie auch auf die wahrscheinlichen Fehler w und cP bezogen.

5. Feststellung des Exponenten n.

n = 5,428 logj? = 7,075 U) = 0,37

Man bemerkt, dafs in diesem Profil dieselben Ersch

11. Resultate der vorstehenden Untersuchungen.

5. Feststellung des Exponenten n.

Der für jene längste Beobachtungsreihe gefundene wahrscheinlichste Werth des Exponenten, nämlich 4,3747 erregt insofern Bedenken, als die Ausdrücke für andre Naturgesetze wohl immer nur Exponenten enthalten, die einfache ganze Zahlen oder einfache Brüche sind, dazu kommt noch, dafs die andern von Brünings beobachteten Reihen ganz verschiedene Exponenten ergeben, die meist gröfser als dieser sind, und sich sogar bis auf 27 stellen. Man bemerkt indessen eine auffallende Beziehung zwischen den Exponenten n und den Factoren p. Letztere werden nämlich jedesmal sehr grofs, sobald die n hohe Werthe annehmen. Hieraus ergiebt sich schon, dafs ihre wahrscheinlichen Fehler sehr grofs sind. Eine wesentliche Änderung derselben gegen ihre wahrscheinlichsten Werthe ist daher im Allgemeinen keineswegs unstatthaft.

Je gröfser der Exponent n ist, um so geringer wird die Zunahme der Geschwindigkeiten oberhalb des Punktes der schärfsten Krümmung. Sucht man daher den wahren Werth von so mufs man solche Beobachtungsreihen zum Grunde legen, aus denen sich am auffallendsten ergiebt, ob die obern Theile der Geschwindigkeits-Curven steiler oder flacher ansteigen. Die vorliegende Frage läfst sich also am sichersten aus

4*

aus den in besonders tiefem Wasser gemessenen Geschwindigkeiten herleiten.

Hiernach benutzte ich bei dieser Untersuchung nur diejenigen Beobachtungsreihen, die sich auf Wassertiefen von mindestens 18 Fufs bezogen. Es waren 14 solche gegeben und zwar nur in den Messungen des Jahres 1792. Von diesen langem Lothlinien liegen

3 im Profil A

und

Nachstehend sind die betreffenden Beobachtungen wieder vollständig und zwar unter Beibehaltung der obigen Bezeichnungen mitgetheilt. x sind die Abstände vom Grunde, gemessen in der Einheit eines halben Fufses, y die beobachteten Geschwindigkeiten in Zollen, Y die unter Zugrundelegung der wahrscheinlichsten Werthe von n und p berechneten Geschwindigkeiten, und w die wahrscheinlichen Fehler derselben. Wird dagegen n — 5 gesetzt, so ergiebt die Rechnung die mit p' bezeichneten wahrscheinlichsten Werthe von p und hieraus wieder die Geschwindigkeiten Y' mit ihren wahrscheinlichen Fehlern w’.

Profil A (1792). Lothlinie 6. Tiefe 19 Fufs.

Y'

OOOOm^0505 05 05    °°

Oi oi oi oi oi o> o> 'bi Ol 'bi

57,4

Ü> Ü> Ol » Ol O) Ol O) CO M p o -3 Oo'bc'bi'p-i'^'C-iCj'bi

O« Ol Oi to J00 CO

^    rt °° «o «

OO GO !>• L^- CO CO CO I0i0u0i0i0i0i0i0>0

J3 jä S £ ß ß ß ß ß

(K OO W oi o

CO O R- CO

5 So“ SjSJEjSS! *3

OiOiOiOiOiOiOiOiOi

52,7

56,0

Ol

52,7

56,8

54,1

54,1

54,1

55,7

55,4

55,0

54,7

54,4

54,0

53,6

53,2

52,8

O'OiOiO-iOiOiOiO'OiCn

W Oo O:    ^    ^    üi    o« 03

Mi Q©    CO    00    CO    -sj    tO G"i    O

Y'

Y'

<0n Ol

IC »O O >0 IO IO

t4'^o'io'-^7co'o7'r-rcr

i"H r—( rH rH rH rH r—1 rH

52,1

51,5

50,8

50,2

O CO 05 05

<oT oT co'

»o

Oi

05^ co co>

O 05 05 OO iO ^    ^

49,5

48,7

47,9

47,0

n= 6,811 log;) = 10,467

üü =

1,36

log/= 7,341

w'= 1,68

►£»    hl*.

05 -j

03 I—* 'co

41,4

Profil A (1792). Lothlinie 7. Tiefe 19 Fufs.

Y'

^ rf* rfs» Ol ffi

O t—*

42,7

41,3

39,7

37,8

56,8

19,5

60,5

60,5

61,7

62,9

61,7

59,9

18,5

17,5

16,5

15,5

14,5

13,5

Ci

"T¹

,1

57,0

60,5

60,4

62,5

12,5

51,5

61,1

60,2

62,0

11,5

51,5

59,3

60,5

59,9

61,6

10,5

52,7

59,6

61,2

9,5

52,7

60,5 j 59,3

60,7

8,5

52,7

55,5

59,0

60,3

7,5

52,7

57,4

58,7

59,8

6,5

51,5

57,4

58,4

57,4

58,1

59,3

58,8

5,5

49,3

4,5

57,4

57,8

58,2

3,5 j

05 Oi

V.» VJ

56,8

57,4

57,7

2,5

41,9

P P P P P p s p a g s g g s g _a s

00000)0i0)0'0)0']03®|tk0^050j^

s P P £ & p p p g £ g g g g g g g g

Cfi0' 05 03 00bS^0'Ü'l(i0JHG0tnWOÜ'l-i

7,791 log;? — 12,424

log;/ =

7,493

«' =

2.00

Profil A (1792). Lothlinie 8. Tiefe 20 F ufs.

Y'

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO Ol Ol (71 Ol Ol Ol Ol Ol

46,9

20,5

52,7

49,4

Cn Ü1 Ol Oi Oi ^ üx bO ^ t-S

^    V«    KJ    Vj|    VJ    ^

i—¹ H-¹ O»    i—> o Ol

52,7

52,7

52,0

51,5

O Os CO

52,7

53,2

54,9

53,0

52,7

52,5

52,2

52,0

51.8

51.5 51,2

50.9

50.6

50,3

50,0

49,7

54,6

54,3

54,0

53,6

53,3

52.9 52,5 52,1 51,7

51.3

50.9

50.4 50,0

7,048 logj? = 10,624

00

1,34

19,5

18,5

17,5

16,5

15,5

14,5

13,5

12,5

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

log£>'

w'

51,5

50,0

50,0

48,4

48,4

50,0

48,4

46,9

45,3

45,3

41,9

43,6

42,8

42,8

38,3

CO CO CO

CO

co co

CO LO H lO

l> H

49,0

48,7

48,3

47,9

47,5

47,0

46,5

46,0

45,5

44,9

44,3

43,6

42,8

42,0

41,0

39,8

38,4

36,6

Profil B (1792). Lothlinie 6. Tiefe 21Fufs.

41,5

41,9

33,5

40,5

43,6

39.5

38.5

43,4

43,2

37,5

43,6

43,0

36,5

41,9

42,7

35,5

43,6

34,5

43,6

kO CO

<oT o7

CT>    uO    O    OO    uO

J"' Cn    cn rs cn

co    co    CO    CO    CO    (M    S<l

^    TH    t*    .44

32,5

31,5

30,5

29,5

28,5

27,5

26,5

■'T CO

c) co co co

^ ^ »

42,0

41,8

41,5

41,3

eo o oT o7

41,7

41,5

40,1

41,9

41,0

41,0

41,0

t- t-i

cT cT cT

'sH ^

41,2

40,9

40,6

40,3

Y'

Y'

Cn Sjl Q« Ql Ql Ql Ql Ql Ql Ql Ql Ql

41,9

41,0

38,3

41,0

39,2

36,3

38,3

36,3

36,3

35,3

36,3

35,3 j

39,8

39,5

39,2

38,9

‘ONOOilOfflH®

•T'    ••    «• r>    ■->    «.

ao QO N N |> co co co

05

oo

co

CD CD iO CO CO CO

40,0

39,7

39,4

39,0

38,7

38,3

37,9

37,5

37,1

36,7

36,2

35,7

n — 5,091 logjD = 6,740 w == 1,08

h-¹ b-1 h—¹ h-1

00^Ül(Ji*4Q0CDOMlvSl05

O'O'O'O'O’O’O'O’O’

35,3

35,3

34,2

35,3

32,0

30,9

33,1

32,0

27,1

29,6

27,1

CMCDrHvOOOi-HCOvOiOCOO rH CO (M (N t—i» O CT» 00 t>-COCOCOCOCOCOCOCOCMOSCM

35,2

34,7

34,1

33,5

32,8

32,0

31,3

30,4

29,4

28,3

26,9

logp — 6,604 1,05

Profil E (1792). Lothlinie 11. Tiefe 19 Fufs.

Y’

37,5

36,5

35,5

34,5

33,5

32,5

31,5

30,5

29,5

28,5

27,5

26,5

25,5

24,5

23,5

22,5

GS CM

sssssssassgggg»«»s

üiO>HCocosiii|f.^ooo 'cd 'cd 'oo 'cd ^ üi

19,5

55,5

CO O C— CO Ci CD <M

H rH (D cT cT ^ ^

^ 0 O CO lQ

61,2

60,9

60,6

60,2

59,8

o< o>

CD CD

58,8

58,4

57,9

57,5

57,1

56,6

56,1

55,6

55,1

54,6

59,5

59,1

58,7

58,3

57,9

57,4

57,0

56,6

56,1

55,6

55,1

54,6

4,943

7,275

18,5

17,5

16,5

15,5

14,5

13,5

12,5

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

log p'

54,8

53,4

53,4

52,0

50,6

49,3

46,9

45,3

45,3

45,3

45,3

45,3

41,9

O"^    tr>»

co co co

<* eo CO^ 0(MTfCflt'l>l>OCO(X)ffl(MI> ■'t* co cm cm i—< ® o~ dT ao t>*' cd uo -4T ^ ^    r

Oi 0> O' tO tO GO 4-

co r-1 o oo >co co co

ObOOOnf^Qiot>-<lOOCOOOH-*

VJOVJVj'JVJVJ    UVJOViVJVJVJVJvJ    y/ vj'

COCUCOO^ÄOOOO^ffi^MtflOOStfiO'O

CO OS 0> 00

7,373

Y'

40,5    59,3

20,5

39,5

38,5

37,5

33,5

32,5

<70 CO

29,5

28,5

27,5

26,5

25,5

24,5

CO CM CM CM

21,5

ä S S S g g S g £ S 2 2 2 £ £ 2 g 2 2

^    '1 ^.1 "5- 'oj 'ä; "c.

65,6

64,8

Ol c£> 'to

64,1

63,8

63,4

63,0

62,6

62,1

61,7

61,3

60,8

60,4

59,9

59,4

58,9

58,3

57,8

64,5

64,2

63,8

63,4

63,1

62,7

62,3

62,0

CO CO CO CO

59,9

59,4

58,9

58,4

57,9

57,4

n = 4,796 log^p = 7,116 (JO = 1,02

CG GO

r—I H

17,5

16,5

15,5

14,5

13,5

12,5

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

56.8

54.8

57,2

56,9

56,1

54,1

55,5

54,1

52,7

^ Ol Ol Ol

50,0

49,3

48,4

47,8

44,5

41,0

37,3

36,3

lo gp = 7,462 w'= 0,94

56,6

56,0

55,4

54,7

54,0

53,2

52,4

51,6

c\

O C5 00 l> ^ O CO

41,7

OG OG OG co

"b

Profil E (1792). Lothlinie 13. Tiefe 20,5 Fufs.

Y'

56,3

55,7

55,1

54,5

53,8

53,1

52,3

51,5

50,6

49,7

48,7

47,7

46,5

45,2

43,7

42,0

39,9

37,3

Y'

40,5    58,7

70

oT

03 w w On 05

^    ^    V*

Ol Ol Üi Ol ÜI Ü1

GO

co co

OG    OG    OG    OG    “vj    “vj

^    H    CO    GO    H    O

V# N.#    V.*

üi    tfk    m    tu    m    a

O    CD    ^    H    CO

*n rs    CN CN CN

OG    OG    OG    OG    GO    GO

GO    GO    GO    CO    GO    GO

70,5

70,1

iß iß iß iß

ccT ^ ^ co co

iß iß iß r—i O 05 00 f'-CO CO CM ßJ CM

70,0

69,5

69,0

68,5'

68,5

68,5

67,9

r-i. CO

co" t'-CO GO

iß i—I 00

t-r i>r co

C£>    ZO

og

Oj 05

"o V

"7    ^    « o

ffi 05 00 OO N N |C O CO CO © O Ö CO

Y'

■ Y'

►—C    •—¹    I—¹    I—'    to    tO    I>£>    to    IsD    fcO

^ 5"    Qi    .r«    0°    P    ©    ~    N>    p    p    p    p

Oi    O*    Ot    Oi    Qi    Oi    Oi    Ol    oi

03 C3 03

h- l-i ^

^

^•1 <1 C5 05 IO OO CD

N CD O CD CD CD CD

io o CD CD

O' Ü' Ol

Oi

Ü» 05 O' Oi GO <X> <X>    C£> CD

<1 03 W H tD 'cD

CD CD CD CD

CD CD CD CD

59,7

Oi    05    G)    C)    Ci

OJ    ^    ^    Üt    05    Ci

V* 's» S*    V*

Q0    OS    CD    Üi    O    Oi

in <ji <m io

cd cd

59,7

58,9

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

05 lO (M »O *0 kO

59,0

58,1

55,5

55,5

54,1

52,7

58,3

57,6

56,8

55,9

54,9

53,8

52,6

51,2

49,6

47,7

45,2

57,2

56,3

55,3

54,2

53,0

51,7

O 00 <x> ^

41,5

6,337 logp = 10,093

log/ = 7,691 £*/ = 1,47

00

1,18

Profil E (1792). Lothlinie 14. Tiefe 23 Fufs,

ist bereits im 4ten Abschnitt mitgetheilt, dabei ergab sich

log/ — 7,434 w' = 0,94

n = 4,375 logjj = 6,336 w = 0,78

Profil F (1792). Lothlinie 1. Tiefe 18 Fufs.

Y'

Y'

WWW W ^ Üi

Zj\ <Zj\ Qj\

Oil 05 GO

H t-H 04 ^ ^

26,5

32,5

31,5

lO

co

30,5

42,8

29,5

43,6

28,5

42,8

27,5

43,6

n    Tf    h    co    m    ct

o\ r\    »ct »\ f\

N    l>    N    (D    CD    CO

'ch    ^    ■<#    ^

03 Ül

22,5

21,5

20,5

19,5

18,5

43,6

43,6

44,5

42,8

43,6

41,9

41,9

43,4

44,7

43,2

43,0

42,8

42,6

42,3

44,3

43,9

43,5

43,1

42,6

Math. CI. 1883. Abh. I.

Y'

Y'

Oi Oi Oi

OMbDOO^OiO^I cn Ü1 Ol Oi üi

42,8

41,9

41,9

41,9

42,8

41,0

41,0

41,0

42,1

41,8

41,6

41,3

41,0

40,7

40,3

39,9

42,2

41,7

41,2

40,6

40,0

O CO GO CO CO CO

VJVi>JO>Jv#Vjv.

Ol O* Oi

o cT

38,3

35,3

34,2

3533SS-SS-

COCOCOCOCOCOCOCO

^OOOOOOOOOOWOJ

050H*.03010'0)

9,787 log|i = 14,652

log^> = 6,881 oü'= 1,87

00 =

0,61

Profil F (1792). Lothlinie 2. Tiefe 19Fufs.

Y'

Y'

37,5

54,1

19,5

50,0

50,3

50,4

36,5

58,0

35,5

56,1

34,5

56,8

33,5

54,1

32,5

54,8

31,5

53,4

30,5

53,4

29,5

53,4

28,5

54,1

27,5

52,7

26,5

52,7

-fl CM CM

»O lO lO »O iO lO

r»    rN

t-H O

CM CM

54,1

52,7

tO InS to oo

52,7

52,0

51,5

52,7

o cr> cm t>

O S S S o n a ^ CO m    ^    ^    ^    ^    ^ O

lO‘OvOvOLOiOiOiO>OiOiOOiOiO»OiOiO

18,5

17,5

16,5

15,5

14,5

13,5

12,5

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3.5

2.5

51,5

50,6

50,0

48,4

49,3

46,9

45,3

45,3

42,8

43,6

41,9

41,9

39,2

38,3

38,3

38,3

36,3

49,8

49,3

48,8

48,3

47,7

47,1

46,5

45,8

45,1

44,3

43,4

42,5

41,4

40,2

38,8

37,1

34,9

49,8

49,3

48,7

48,1

47,5

46,8

46,1

45,3

44,5

43,6

42,7

41,6

40,4

H ® N ^ C5 N O CO CO CO CO CO

n = 5,651 logj9 = 8,325

oo — 0,80

log/ = 7,220 w' = 0,84

40,5

39,5

38,5

37,5

36,5

35,5

34,5

33,5

32,5

31,5

30,5

29,5

28,5

27,5

26,5

25,5

24,5

23,5

22,5

21,5

lO 0^0 0

n CN rs r>

05 OO I> C

co co co co

»o'

co co

33,5

32,5

Profil F (1792). Lothlinie 3. Tiefe 20,5 Fufs.

58,0

J>0 j,ikJ(i‘^^Ü'0'<I-vlOOOOCOO©Mi-‘O^K) 'JHMOOOOO'Ol(^l^<I<I05Ü’0'HI-‘0'003

CO ^ CO CO CO

CO CO CO

60,6

60,1

59,7

59,2

58,7

58,2

57,7

57,2

Oi Oi ctx

55,0

54,4

Y'

61,3

© © CO O

-7 cT cT cT

CLO CO CO CO

59,6

59,3

58,9

58,6

58,2

57,8

57,4

57,0

56,6

56,2

55,7

55,2

54,7

H-¹ H—⁴ h-¹ h-¹ I—n h-⁴ »—¹    h-¹ h-n t>C

U> OO Oi CO C0CO^^03^ÜiC0*4G0COO Ol Oi O* Ol Ol Ol Ol    0 0^0000 Ol 'oi 'ci 'oi *Oi

52,7

54,1

54,1

52,0

52,7

52,7

51,5

50,0

50,6

46,9

50,0

48,4

47,8

43,6

38,3

39,2

37,3

32,0

29,6

OOH-^OOCT^CO

r-l © OS

iO vO o ^

CO CO 04 t-h lO lO lO »O

GO

COCOOOCO^^^^^^Hi JnS ^oi co O IO oo ^ Ol Cj

CO O    "-^4 'cti Q ^1 ^-4 ^4

K)ÜSÜi05H^00«5OOhWN>W03 -s)«DHH©C£>*Jif».HCO Cu 7-> Cl t>3 Cq

CO N N CO r-H <gz r— iO

co co co

54,2

n = 4,123 logjp = 5,822 U) = 1.30

logjp = 7,340 w' = 1,39

Profil F (1792). Lothlinie 4. Tiefe 20Fufs.

52,0

vO    uO    CO    CO    CO    T—<    io

rv    O r.

o    O    Gz    CO    CO    t-h    o

co    co    uO    *0    CO    CO

O    O CO oo^

CO 04 04 04 r-H H O CO CO CO CO CO CO CD

Y'

Y'

G^i Gz    Gz    G)    Gz    Gz    Gz

O O    >—*■    >—¹    t—i    fcO    fcO

Gz "co    'co    CO    CO    OO    CO

31,5

30,5

29,5

28.5

27.5

26.5

25,5

24,5

Oi Oi Oi Oi Oi Oi Oi Oi -<|OOCOCOCOCOCOCO

^ o co co oo co "co 'co

60,4

60,0

59,6

59,2

58,8

58,3

57,8

57,3

60,2

59,8

59,4

59,0

58,6

58,1

57

Y'

Y'

23.5

22.5

21,5

20,5

19,5

18,5

17,5

16,5

15,5

14,5

13,5

s a s s g s g s g s g

05 Ot Ü< ^ GO 1—‘ ^ <1 00 h H

56,8

56,3

55,8

55,3

54,7

54,1

52,1

Cn Cn

O*    C^ O'    Oi    O' O’    O*    Oi oi cti

P> r p « p p p P p p

00    Ol tO    CD O*    h-¹ -<I    OC    00 CO 00

51,5    49,8

50,6

50,0

50,0

48,4

48,4

43,6

41,9

36,3

36,3

34,2

40,0

48,1

47,1

46,0

44,8

43,5

42,0

40,3

38,2

35,6

p p © fe & & fe s & $ s

CO 00 0O ^ CD 'co ~CO 'co ~0

n = 4,801 lo gp — 7,054 w = 1,16

log p == 7,399

w' = 1,12

Profil F (1792). Lothlinie 5. Tiefe 18 Fufs.

Y'

Y'

35,5    58,0

18,5

53,4

ummnmm

s: £ s s s s s s g g g z g s g s

oxoooiüiqoi—‘«jooüioioii—"co ü< 'to

^ co O o o o cT

CD CD CO *a

62,5

62,2

61,8

61,4

17,5

16,5

15,5

14,5

55,5

56,8

55,5

52,0

59,4

59,1

58,8

58,5

58,2

57,8

57,5

57,1

56,7

56,3

55,9

55,5

61,0

13,5

54,1

60,6

60,2

59,8

59,3

58,9

58,4

57,9

57,4

56,9

56,3

55,8

6,559 lo gp = 10,151

12,5

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

log p'

52,0

50,0

50,6

49,3

47,8

48,4

46,9

45,3

43,6

43,6

41,0

sssaasass

a -q ^ ^ ce o » i » »» o. n o» h oj 'U

55,2

54,6

54,0

53,3

52,6

51,8

51,0

50,2

49,3

48,3

47,2

46,1

44,8

43,3

CD CD O

H 03 l> T+i CO CO

7,443 w' — 1,35

Profil F (1792). Lothlinie 6. Tiefe 18 Fufs.

Y'

Y'

© g g jg £ g g g g g p p jg g j£ g

OiCOiOtO'O'O'OiUiO' "üt 'oi 'o' 'cn

52,0

56,8

54,8

55,5

54,8

54,1

52,0

54,1

52,7

52,7

54,1

51,5

52,7

51,5

50,0

48,4

sss.sssssssscgsgg

w - OS © ^ 'io -u, ü, Io -OS € 'S S

56,2

55,9

55,5

55,2

54,8

54,5

54,1

53,7

53,3

52,9

52,5

52,1

51,6

51,1

50,6

19,5

18,5

17,5

16,5

15,5

14,5

13,5

12,5

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

52,0

49,7

50,1

50,6

50,0

48,4

46,9

46,9

45,3

44,5

45,3

45,3

45,3

44,5

41,9

39,2

39,2

36,3

49,2

48,7

48,1

47,5

46,9

46,3

45,6

44,9

44,1

CO 'ns

"co

40,1

38,8

37,4

49,6

49,1

48,5

47,9

47,3

46,6

45,9

45,1

44,3

43,4

42,5

41,4

40,2

38,9

37,4

logp —

•>

lo gp — 7,211 w'=-0,78

oo

Zur leichteren Übersicht und bequemeren Vergleichung der gefundenen Resultate sind dieselben nachstehend zusainmengestellt.

Tiefen

Profil Loth-(1792)

linie

\ogp

log p'

w’

Ot>-O0«ßr-H<MCO^

H r-H r—(

ooooopcßoowopcOMOtato

11111111111111

r-lrHr-(    H    ^ CC O t>- O C—

¹ r"1 W r( ® (O

^ ^ ^    ^    ^ q -¹

1,36

1,03

1,34

1,08

0,85

1,

CM GO

0,78

0,61

0,80

1,30

^ ^ J⁷⁵ JO JO J* O» <» J* J« w^tooococr>c}-<ioö^<x>^

O O 8—* ^ I—⁴ tsS CO    h-⁴ CO h—⁴

1,68

2,00

1,55

1,05

0,83

0,94

1,47

0,94

1,87

0,84

1,39

r <-T cT

16

C5 CO t-h Oi    r-H

co^ ^

i>T o

1,12

1,35

Die Exponenten n schwanken zwischen 4,12 und 9,79, sind also sehr verschieden. Ihr mittlerer Werth stellt sich auf 5,95. Am gröfsten wird derselbe in der ersten Lothlinie des Profils F, doch ist diese Beobachtungsreihe schon in andrer Beziehung sehr zweifelhaft. Die spätere Mittheilung der ähnlichen Resultate für die sämmtlichen Lothlinien einzelner Profile zeigt nämlich, dafs oft in der ersten und letzten Lothlinie die Geschwindigkeiten in gleichem Abstande vom Grunde etwas geringer sind, als in den dazwischen stehenden, woraus folgt, dafs die Ufer ebenso wie die Sohle eine gewisse Verzögerung veranlassen. Dieses geschieht auch in der bezeichneten Lothlinie, und zwar ist der Unterschied der Geschwindigkeit bei gleichen Werthen von x gegen die nächste und die folgenden Lothlinien in diesem Profil übermäfsig grofs. Während er in der Nähe des Grundes etwa 3 Zoll beträgt, wächst er mit der Höhe und steigert sich bis nahe 15 Zoll. Es mufs also an dem daneben befindlichen Ufer oder vielleicht auch in der Sohle, die sich an dieser Stelle plötzlich hob oder senkte, besondere Veranlassung zur Verzögerung, namentlich der obern Wasserschichten gewesen sein. Gemessen wurde nur die Geschwindigkeit in der Richtung normal gegen die Profilfläche, und sonach veran-lafsten die innern seitwärts oder auf- und abwärts gerichteten Bewegungen keinen Fehler bei Bestimmung der abgeführten Wassermenge, wohl aber entstellen sie die Geschwindigkeits-Curve, und da die gegenwärtige Untersuchung sich nur auf möglichst geregelte Stromstrecken bezieht, so dürfen Messungen neben einem unregelmäfsigen Ufer, welches so auffallende Abweichungen veranlafst, derselben nicht zum Grunde gelegt werden.

Fällt diese Beobachtung aus, so stellt sich der mittlere Werth des Exponenten auf 5,65 und es entsteht die Frage, ob man 5 oder 6 wählen soll. Indem es bei den vorliegenden Messungen nicht darauf ankam, ob Unregelmäfsigkeiten in den Ufern oder der Sohle vorhanden waren, und ob hierdurch die innern Bewegungen verstärkt wurden, so blieben wohl andre Rücksichten bei der Wahl der Profile entscheidend, und sonach ist zu erwarten, dafs auch andre Beobachtungsreihen und zwar jedesmal diejenigen, welche die gröfsern Werthe für n ergeben, schon bedenklich sind. Hiernach erscheint es passend n — 5 zu setzen, wodurch auch die ausgedehnteste und sehr regelmäfsig fortschreitende Reihe E 14, die einen noch kleineren Exponent ergiebt, möglichst berücksichtigt wird.

Endlich findet diese Annahme auch noch in andrer Weise ihre volle Bestätigung. Es ergiebt sich nämlich aus Vorstehendem, dafs der Exponent n die Form der Curve, also die Lage des Punktes der stärksten Krümmung und die Neigungen der beiden anschliefsenden Theile bedingt, aber von dem relativen Gefälle des Stroms an dieser Stelle ganz unabhängig ist. Letzteres hat dagegen den wesentlichsten und wahrscheinlich alleinigen Einflufs auf den Factor p. Darf man daher voraussetzen, dafs in allen Lothlinien eines Queerprofils das Gefälle dasselbe ist, so müfste auch p denselben Werth annehmen. Nach vorstehender Zusammenstellung treffen in die Profile A, E und F schon 3, 4 und 6 Lothlinien, und man bemerkt, wie für diese in jedem Profil die Werthe von sich einander nähern, sobald man n = 5 setzt. Viel auffallender wird sich dieses noch darstellen, wenn man im Folgenden die Resultate der Rechnung für alle Lothlinien eines Profils mit einander vergleicht. Ich mufs aber hinzufügen, dafs ich mehrfach versuchte, unter der Voraussetzung, dafs n = 6, die Factoren p' zu berechnen, dafs diese aber weniger mit einander übereinstimmten, als die für n — b gefundenen. Jedenfalls schliefsen an die letzte Voraussetzung die vorliegenden Beobachtungen sich so genau an, dafs man mit Rücksicht auf die in vielfacher Beziehung möglichen Störungen nur die volle Bestätigung derselben finden kann.

logp'

Indem dieses Gesetz der Geschwindigkeits - Curve aus denjenigen Reihen hergeleitet ist, welche die ausgedehntesten waren, oder sich auf die gröfsten Wassertiefen bezogen, so beruht es zugleich auf solchen, welche die gröfsten hier gemessenen Geschwindigkeiten umfassen. Da in diesen Messungen die Geschwindigkeiten innerhalb sehr beschränkter Grenzen liegen, so erscheint es nothwendig, das Gesetz noch an denjenigen zu prüfen, in welchen der Factor p den geringsten Werth annimmt. Dieses erkennt man daran, dafs in bestimmten Abständen vom Grunde oder bei gewissen x die Geschwindigkeiten y sich als besonders klein herausstellen.

Hiernach wählte ich zu diesem Zweck diejenigen Beobachtungsreihen, in welchen bei x == 10,5 die y kleiner als 36 Zoll, zugleich aber die Wassertiefen mindestens 8 Fufs waren. Die Einführung der letzten Bedingung ergab sich als noth wendig, weil bei geringeren Tiefen kein Gesetz sicher zu erkennen war. Hiernach blieben nur fünf Reihen übrig,

die sämmtlich bei mittlerem Wasserstande, also waren. Es sind folgende:

im Jahr 1790, gemessen

Sh

PS

iS

^ b b to to

PT

.2

5’

I—i

CO O ^ CO Ci

na

!=

iS

2.

Ul

r+-

35,3

29,6

Ol

iS iS

28,9

34,2

SS

ss

30,8

Indem jede dieser Reihen in gleicher Weise, wie vorstehend, behandelt wird, so erhält man

Profil B (1790). Lothlinie 5. Tiefe 13 Fufs.

Y'

Y'

24,5

41,9

23,5

39,2

22,5

39,2

21,5

37,3

20,5

37,3

19,5

38,3

v»    VJ    V»    vj    o

Oi CO O bü ^

41,6

41,3

40,9

40,6

40,2

39,8

12.5

11.5

10,5

CO CO

r> cn

kO iO CO CO CO

CO

36,5

36,1

35,8

9,5

8,5

7,5

35,3

34,2

35,3

35,4

18,5

38,3

38,1

39,3

6,5

35,3

17,5

37,3

38,9

5,5

33,1

16,5

15,5

14,5

CO CO CO

er*

37,4

37,1

38,5

38,0

37,5

4,5

3,5

2,5

32,0

33,1

13,5

35,3

36,8

37,0

1,5

C* ^    Ä    IN    kO    O    ^    1>

rf rjT    CO    CO    (N    h'    (O

CO CO    CO    CO    CO    CO    CO

oo

^    ^ ^    C^    00^ O    <34 CO    00

CO    CO CO CO    CO CO CO    CO 04    04 04    04

n = 8,823 lo gp = 12,685

logjp = 6,709 üü'= 1,79

00

0,73

Profil B (1790). Lothlinie 6. Tiefe 10 Fufs.

Y'

r*H

05 -ü OO _ : Oi Oi

35,3

Oi

(n£) "bO

H N M

co co co co co

kO kO kO

⁰    r.

kO    CO

rH rH rH

05 CO 05 © fco 05

©Ol—¹

CO^ O G4 04 H CO CO CO

0^)10 0 G4 04 04 CO CO CO

h-i

tsO    tsD    IsO    JsS    JsS    J\2

—3    oo    co    co    co    co

^    v>    V*    VJ    VJ    VJ

*-* co o*

GM^ OO^ ^ 03^    00

r-> © O 03 03 OO CO CO CO GM GM GM

Y'

Y'

31,5

31,0

CO CD O

m io io o co uo ceT c4

t'-

j>T irT icT

GM GM GM GM GM

28,1

27,4

26,5

25,5

24,2

ISO

KS ^ ü» 03 -M

si \<    o vj

cc ^ -1 <1 O

28,4

n — 6,272 logp = 8,275 oo = 0,80

logp = 6,394 w' = 0,84

Profil D (1790). Lothlinie 1. Tiefe 11 Fufs.

Y'

Y'

20,5

19,5

18,5

17,5

16,5

15,5

14,5

13,5

12,5

11,5

bOtOlOböWWCOlOCOOJ

GOOOCDCDIsöOOCOOtsÖ

CO CO 03 03 © CO CO 03 CO ©

31,1

CD CO O O O O

VJ    VJ    v> V« VJ

28,9

GM CM CO CO

31,8

31,5

H l> CO ff) t-H o O CC3 CO CO CO CN

03 03 OO GM

I—*

JsSjW^^Cnas^joocDO

Üi&ÜttJ'Ü'Ü'ÜiÜ'Oi

03_ 03^

GO 00 GM

tOJsSNJtOJsStsölsSrsStsO

M^Ü'O'OJ'JMOOOO

Viv#sivjs>vi\jvj V«

COOOOOCT'l—*031—‘Oi

CO CO CO O O GO CO

r>rNfNfvr\CNr.r>»N

(M (N (N (N (M (M

n — 6,442 logp = 8,354 ca — 0,46

log p — 6,247 w' = 0,62

Profil D (1790). Lothlinie 2. Tiefe 8,5Fufs.

Y'

Y'

Math. CI. 1883. Abh. I.

37,4

Co' CD io'

kO o o

cT cT «T

33,1

kO o co 1—1 ,* TjT ccT co' co co co co

CO CD 03 gm

rs rs

kO rfJ CO CO

co eo co co

CO

iO iO lO O

b crT urT tjT

I—O Ol CO CO cT cT oT CO CO CO (TU

IO Ol CM Cß

K. .    r\ cs cs

^    CM r-H r-H O

CO CO CO CO

Y'

*0 ^ (M CM rH O Ci CO CO CO CM

CO CM

GO

Ci OO Ol CM

O "oo

1,5    27,1    !    26,1

0,5    [    27,1

logj) = 6,676 co'= 0,91

Y'

7,327

logj9 = 10,202

U) =

Die letzte Beobachtung in dieser Reihe ist deshalb in der Rechnung nicht berücksichtigt, weil nach der angegebenen Tiefe der untere Rand der Scheibe den Grund so eben berührte.

0,44

Profil F (1790). Lothlinie 6. Tiefe 9 Fufs.

<«ä

Y'

I0i0*0i0i0i0*0>0

r\CNf\r\r»r>cNr\

COuO"^HCOOHr-lOOl

I r—I '—I i—l r—I i—(    (

CM rH    r-H    O    O    Ci    Ci    Ci

«-SCSCSCSCSCSCSCS

^ CO    CO    CM    (M    O    O    O

cocococococococo

CO CO (M <M (M r-H CO CO CO CO CO CO

I>-cOCiiOO^OO^t<

^    ^    r> r> cs rs cs

r-H O

CO CO CO

34,0

33,6

33,2

32,7

32,2

31,7

31,1

30,5

CO lb Co"

iO »O >0 O

urT -rtT ofT cT

CC    Cß    Ol    H    (M

^    ^ r» r> r« r* r.

®    Ol    00    t>    io    ^

<M    N    M    ß)    (M    (M    (M

CO    H    ^    1(5    Kl

r> r, o r>

®    ®    QO    N    tß

N    (N    (M    (M    (M

t\5 1x5 i—¹ Oß

C© r-H    CO    o CO

cs rs cs cs rs es

® m oo n tc m N (M (N N IM (N

n = 5,428 logj? = 7,075 U) = 0,37

log/)' = 6,442 üü' = 0,36

Zusammenstellung der Resultate.

Profile Loth-

(1790)

linie

'O (ß rl (M tß

Tiefen

logp

UJ

logp'

o/

r-■

co o h oor oi

w’

-J O) Ol cc

v* NJ VJ    \J

^ bO

oo

t©

CO (M (M t> oo t' ^ m <n co ^

12,685

8,275

8,354

10,202

7,075

Ci    tP    (M    h    CD

00    O    Ci    CO

f' r> o r« r,

r-t    O    O    O    O

Man ersieht, dafs zwar in jeder von diesen Reihen der Exponent n einen Werth annimmt, der gröfser als 5 ist, dafs aber bei Einführung desselben die. je zwei Reihen, sowohl in Profil B wie 2), für logjf Werthe ergeben, die einander viel näher stehn, als diejenigen von logp. Dazu kommt noch, dafs die Beobachtungsfehler w' nur mäfsig bleiben, also der Voraussetzung n = 5 nicht widersprechen.

6. Geschwindigkeits-Messungen im ungeteilten Rhein zur Zeit des Hochwassers. Profil E (1792).

Unter den vierzehn Profilen, in welchen die hindurchfliefsenden Wassermengen gemessen wurden, befinden sich fünf, deren Lothlinien auffallend verschiedene Tiefen haben. Dieses sind A (1790), B (1790), B (1792), E (1792) und F (1792). Dieselben bieten Gelegenheit zu untersuchen, welchen Einflufs die Tiefe auf die Geschwindigkeit der über einander liegenden Wasserschichten hat. Dabei mufs man aber die Voraussetzung machen, dafs während der Messung in sämmtlichen Lothlinien jedes Profils das relative Gefälle des Stroms an dieser Stelle, welches man nicht kennt, sich nicht ändert. Diese Voraussetzung gilt aber nicht mehr in voller Strenge, sobald in dieser Zeit der Wasserstand nicht derselbe blieb. Bei Mittheilung der Messungen im Profil E (1792) wird ausdrücklich erwähnt, dafs der Wasserstand während derselben sich nicht geändert -habe, für die übrigen Profile sind dagegen solche Änderungen nachgewiesen oder es fehlen darüber die Mittheilungen. Indem nun das erwähnte Profil überdiefs unter allen das ausgedehnteste ist und die sichersten Resultate daraus zu ziehn sind, so erscheint es angemessen, dasselbe zuerst zu untersuchen.

Die Beobachtungen selbst, sowie die daraus zunächst gezogenen Resultate sind in gleicher Weise unter denselben Bezeichnungen, wie die im vorigen Abschnitt mitgetheilten, nachstehend angegeben.

25,5

24,5

23,5

22,5

21,5

20,5

19,5

18,5

17,5

16,5

15,5

14,5

O iO-

•N *A

CI |H O

co co co

'oi

Profil E (1792)* Lothlinie 1. Tiefe 13Fufs.

38,3

© ©' cT

39,2

40,1

40,1

40,1

39,2

39,2

38,3

38,3

Y'

Y'

n= 7,112 log^? = 10,085 üü = 0,49

*70 C4 t“H 00 O0> 00 In f Q lO tJH CA C9

rH t-H r-H r“H

37,3

37,3

37,3

37,3

37,3

36,3

35,3

34,2

33,1

33,1

29,6

29,6

log p' = 6,760 £«'= 1,06

CO co

CO

37,9

37,3

36,9

36,7

36,4

36,0

35,9

35,4

34,7

34,0

33,3

32,3

31,2

29,8

Profil E (1792). Lothlinie 2. Tiefe 16,5-Fufs.

46,9

54,1

53,4

53,6

53,3

35,3

34,5

33,7

32,7

31,6

30,4

28,9

27,0

Y'

Y'

53,4

53,0

54,1

52,7

54,8

52,4

52,7

52,1

50,0

51,8

50,0

51,4

50,6

51,1

48,4

50,7

50,0

50,4

50,0

50,0

50,0

49,6

50,0

49,1

2 «? 2 2 rf 2 2 2 2 5 2 2 2- 5 2

^ ^ t-H r-H r-H i-H rH

io io

4** 4^ 4^ 4^ 4^ 4^> 4^ 4-. lL* lL* ^

48,2

47,7

47,2

46,7

46,1

45,5

44,8

44,1

43,3

42,4

co co eo

4^ 4^

39,0

37,5

CO

co

35,5

“ | ss s p t p p p p p p p SS p

50,0

48,7

n = log^ =

U) =

00

co i—i co

T-—< r—<

crf cT o

k——•

Ci t'-H Ci

t>T ö

CO

30,5

29,5

28,5

27,5

26,5

25,5

24,5

23,5

22,5

21,5

20,5

19.5

18.5

17.5

16,5

rc

Ol

I—1|_1|_II—ifcototssfcotototo 0'05-<100c00>-‘t0004-0i05 O'O'O'Ü'üiÜ'Ü'tJ'ü'O'CnO'

Profil £ (1792). Lothlinie 3. Tiefe 15,5Fufs.

!/

Y'

Y'

52,7

54,1

54,1

52,7

52,7

52,7

52,7

52,7

51,5

50,6

51,5

50,0

50,0

oo co¹

52,9

52,6

52,2

51,9

51,6

51,2

50,8

50,4

50,0

49,6

49,2

48,8

48,3

47,8

53,8

53,4

53,0

52,6

52,2

51,8

51,4

50,9

50,5

50,0

49,5

49,0

48,5

47,9

n = 5,718 logjti = 8,838 w = 1,19

15.5

14.5

13.5

45,3

45,3

41,9

47,3

47,3

12,5

41,0

11.5

10.5

42,8

42,8

46,7

46,1

45,5

44,8

44,1

46,7

46,0

45,3

44,5

43,7

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

41,9

41,9

41,9

co co co OcT 00 co' co co co

logjj = 7,182 U)'= 1,19

43,4

42,5

41,6

40,6

39,4

38,0

36,4

34,3

Profil £' (1792). Lothlinie 4. Tiefe 14Fufs.

Y'

42,8

41,9

40,9

00 Tf C) H 00

c\ c\ o,

oo co vo co co co co co

Y'

^05

oo oo co

| & 6 p § § S 2 2 S JS jS

M<IHO)O^OOMOi(aWÜ>

’zL

g 5^3

o CO 05

•<1 fcO to GO CO CO OOl—‘bOtOOOOOOO to üi o    o 05 N> <|    <. 'U OS 'U Ü1 to

CO Ci

14.5

13.5

45,3

46,9

47,7

47,8

12,5

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

46,9

46,9

45,3

45,3

43,6

41,9

43,6

40,1

39,2

38,3

36,3

47,1

46,5

45,9

45,3

44,6

43,7

42,8

41,9

40,8

05 O-

-*n co

35,9

47,1

46,4

45,6

44,8

43,9

42,9

41,9

40,7

39,4

37,8

36,0

33,6

Profil E (1792). Lothlinie 5. Tiefe 14,5Fnfs.

Y'

vO    io    !0    O

ao    I>7    «T    ifT    -sf

!M    CI    (M    (M    (M

co «T

Pf

O*

M> IO

,7

51,8

51,5

52,9

52,5

lOiOiOiOiOiOiOiOiOiO O Os oo !>• O *0

G4 G4 rH rH r—(    r—(

51,5

51,2

52,1

CO 04 04 04

51,5

50,8

51,7

50,6

50,4

51,3

46,9

49,3

47,8

47,8

46,9

49,3

46,9

49,1

49,7

49,3

48,9

48,4

47,9

47,4

50,8

50,3

49,8

49,3

48,7

48,1

47,5

tOWWOJW^^^iLiLiLJiJi

Z Z Z 'S Z Z -S Z Z * " -* -*

46,9

46,4

45,8

45,1

CO 04 ^ ^ ^

WOJOSW4kl^^lfi^t(i,tL₍L.±.

« y s' y P P P y p p y y y

OCOl—‘OOOOlbSCO

n — 6,014 logj; = 8,887 ca = 0,93

log|) = 7,195 «'= 1,14

Profil E (1792). Lothlinie 6. Tiefe 13Fufs.

Y'

Y'

^ y y p y j® ® .r « y ** »

OiOiOiOiOiOiOiOiOiOiOi Ol

48,4

54,1

54,1

54,1

54,1

52,0

51.5

50.6 50,6 50,6 50,6 50,0

~ ^    ^ ■> so Ol lO O lO

CO CO    PC co Pc

55.5

55.1

54.6 |    54,1

!    53,6

53.1 52,5 51,9

51,3

50,7

50,0

1n5C0^C^CJ<100C0OhN)00 O» Oi Ol O' Oi Ol Oi Oi Oi Oi Oi Oi

50,0

50,0

49,0

48,5

49,3

48,6

48,4

47,9

47,8

46,9

46,9

45,3

45,3

43,6

41,9

41,9

38,3

38,3

47,3

46,6

45,9

45,0

44,1

43,1

46,9

46,0

45,0

43,9

42,6

41,2

OS

35,2

6,936 log^ = 10,595 ca = 0,65

23,5

22,5

21,5

20,5

19,5

18,5

17,5

16,5

15,5

-r co

pH pH

»o

oo

<M CM

21,5

14,5

13,5

Profil E (1792). Lothlinie 7. Tiefe 12Fufs.

O'O'O'O^CnCn C" Cn Ci jTi    C2

00 GO 'oo 'o* 'oo "oo Ol ~Ci

53,4

52,7

54,1

Y'

Y'

12.5

11.5

52,0

50,6

57,6

57,5

10,5

50,0

57,1

56,5

55,9

55,3

54,6

53,9

53,2

52,4

57,0

56,4

55,8

55,2

54,5

53,8

53,1

52,4

n = 4,921 logp = 7,331 w = 0,60

51,6

51,6

50,7

49,8

50,7

49,8

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

50,0

47,8

47,8

45,3

45,3

41,0

Ci O CO CO

logjp = 7,464 a/= 0,58

48,8

47,7

46,5

Ci:    03    ^    ^

*J    (O    M    OJ    o>

V»    VJ V#

K)    00    <5    M    CO

Profil E (1792). Lothlinie 8. Tiefe 12Fnfs.

fc* o

VJ vj

•s| Ci

O' Cn ü«

Oi    ^

-Ol—‘Orf^l^-OOOIODI—i

Qi Oi & Di Üi tO 1^ W OJ O:

48,8

47,7

46,5

45,2

43,7

42,0

40,0

37,4

Y'

Y'

>o iO iO

56,9

56,3

55,7

55,2

54,6

53,9

53,2

52,5

51,8

pH

h-*

K)0:i^Ü'C5<l(XiCOOi-‘b5

'J'JVJVJMVJNJVJVJVJV*

O'O'CnO'O'O'CnCnCnCnOi

>—¹¹0ia50505 0'0500<l0

t>£> co ⁴ H-‘    ¹ Ow ¹ ^ oo o^t

50,6

50,0

49,3

48,5

47,7

46,8

45,8

44,7

43,4

41,8

39.7

^OO^O^IOOOO^

vj\jv*vjvjv>sjvivivjvj

OOiOlOJOOMbSOSOJbSO

Ci l>-CO CO

bß

6,649

10,232

i—I CO

t>» i—I

1,01

25,5

bO oo 4^

21,5

O Ci OO t>^ tS kjrs'

14,5

Profil E (1792). Lothlinie 9. Tiefe 13 Fufs.

cd oo^ io

0^*0 O kO Io

54,1

55,5

52,7

53,4

54,1

Oi Oi O» Oi »—‘ bO bO |s£)

'ü'    ~0

Y'

Y'

OO CO r-t kO © CD Cß io IO CO iO u0 kO Ö iO

co    t>    o    co    io

»    O)    (N    H    (D

iO    iO    kO    iO    o

Ol O» Oi

'oi "©

55,0

54,5

54,0

53,5

52,9

52,3

51,7

51,1

50,4

v#    s*    sj    v«

OiO'O'O'O'OiÜi&OÜiÜ'Oi

51,5

48,4

50,0

46,8

45,3

45,3

43,6

43,6

41,9

39,2

36,3

32,0

49,7

48,8

47,9

46,9

45,9

44,8

43,5

42,1

40,6

38,8

co co

4^ a*

V»    VJ

48,1

47,2

46,3

45,3

44,2

42,9

41,5

39,9

37,9

35,5

n — 4,451 log_p = 6,419 oo — 0,83

logj? = 7,350 w'= 0,85

Profil E (1792). Lothlinie 10. Tiefe 15,5 Fufs.

30,5    51,5

b£> bO bO

v?' v? kT¹ oo

Ol Ol Ol Ol Ol

Ol

^ ^ Ol

"oo 'oo

HO UO

o»

55,5

55,5

H bO bO bO

Ci^lGOOOO*—‘*^004^

'J^ivJv»v»vikjvJv»

Ü'O'müiüküiÜ'O'Cn

56,8

56,1

54,8

52,7

52,7

51,5

51,5

© ©

© © »O lO

Ü'O'O'OkÜ'Ü'ÜiÜiü'ÜiOiO'OiÜ'

Ot-*HtocaoJMwi|iifkitiü<OkO'

'^'JvJvJVjkJVJsJvJsJvJVJvJvJ

00 CO QO bO Oi O 4^> *4 H—* Oi QO >—⁴ Oi GO

57,1

56,7

56,3

Oi o» Oi

iO CO i-H O rH r-H iH r-H H rH

54,5

53,6

53,1

52,5

52,0

51,4

tOU#.Oi05M0O©

'JkJkJvJ'JvjvjvJkJvJvJvJvjvi

O'O'Ü'tliÜ'OiÜ'OiÜiO'O'OiO'O'

50,0

49,3

46,9

46,9

46,9

46,9

46,1

44,5

43,6

43,6

43,6

41,9

40,1

38,3

43,7

42,5

41,1

39,5

37,4

50,2

49,5

48,8

48,1

47,3

46,4

45.5

44.5

43,4

42,2

oo co co oo

O ffs N ^

co co co

50,8

'1-.

S 53

6,184

9,327

bß

0,78

Für die folgenden Lothlinien in diesem Profil sind die beobachteten, wie die unter beiden Voraussetzungen berechneten Geschwindigkeiten bereits mitgetheilt, nämlich für die 14te im vierten und für die Ute, 12 te und 13te im fünften Abschnitt.

Um die gefundenen Resultate bequem mit einander vergleichen zu können, sind dieselben in nachstehender Tabelle unter Beifügung der Tiefen t noch zusammengestellt.

Loth-

linie

logi>

ui

log/

iO o

eo crT irT    co

rH t—( H rH H

H-⁴ H—* US) US)

lO lO

CO »O © © © CO

■ TH T-I ©q (M CN

7,112    10,085

h O O © _© M p p

'o 'ob 'Vl 'co 'o "© 'bi t© ^-1 7-* ^<1 7^

CCK)0i®MHO0i05M(fl03tD

6,760

7,199

7,182

7,235 |

7,195 :

7,334 ;

7,464 |

7,441

7,350

7,313

7,373

7,462

7,691

7,434

1,06

0,97

1,

CJi

1,14

0,87

0,58

CO 00

0,92

0,83

Mehrmals stellt sich hier der wahrscheinliche Fehler der Geschwind digkeiten etwas gröfser heraus, wenn mit dem Factor auch der Exponent gesucht, als wenn letzterer als bekannt vorausgesetzt wurde. Dieses ist dadurch veranlafst, dafs im ersten Fall nur die Bedingung eingeführt werden konnte, dafs die Summe der Fehlerquadrate der Logarithmen der Geschwindigkeiten ein Minimum sei.

Zwischen dem Factor p und dem Exponent n bemerkt man, sobald die wahrscheinlichsten Werthe beider berechnet sind, insofern eine gewisse Beziehung, als beide immer zugleich gröfser oder kleiner als die Mittelwerthe werden. Dabei schwanken die logjp zwischen 6,3 und 10,6, wogegen sie aber, sobald n~ 5 gesetzt wird, zwischen den viel nähern Grenzen 6,8 und 7,7 bleiben. Unter der Voraussetzung, dafs die Math. CI. 1883. Abh. I.

Gefälle dieselben, also die Factoren constant sein sollten, ergiebt sich, dafs der Exponent ungefähr richtig gewählt ist.

Aus dem Gesetz, wonach in einer Lothlinie die Geschwindigkeiten mit dem Abstande vom Grunde zunehmen, folgt schon, dafs die mittleren Geschwindigkeiten in einer Lothlinie bei tiefem Wasser gröfser als bei flachem sind, was durch die Beobachtungen auch bestätigt wird. Es fragt sich indessen, ob, hiervon abgesehn, die Geschwindigkeiten noch in andrer Weise von den Wassertiefen abhängen, oder ob zwischen den Wer-then von p' und von t noch eine gewisse Beziehung stattfindet. Die vorstehende Tabelle deutet allerdings eine solche an, indem bei gröfsern Tiefen auch der Factor sich vergröfsert. Dieses Resultat ist indessen keineswegs sicher, und besonders wird es dadurch zweifelhaft, dafs für die 14te Lothlinie, wo t den gröfsten Werth annimmt, p' sogar kleiner ist als bei der 7ten und 8ten Lothlinie, die sich auf die geringste Tiefe beziehn. Dabei mag sogleich bemerkt werden, dafs auch aus den andern Queerprofilen, worin die Tiefen der Lothlinien auffallend verschieden sind, eine solche Beziehung keineswegs mit Sicherheit sich erkennen läfst. In zweien dieser Profile wachsen zwar ganz entschieden die Werthe von p' mit den t, ebenso entschieden zeigt aber ein anderes Profil das Gegentheil.

Nunmehr fragt es sich, ob es möglich sei, bei passender Wahl des Factors, der in diesem Fall mit p" bezeichnet werden mag, die sämmt-lichen in einem Profil gemessenen Geschwindigkeiten hinreichend genau durch dieselbe Formel darzustellen.

Zu dieser Untersuchung eignet sich vorzugsweise das hier in Rede stehende Profil, weil es unter allen das einzige ist, von dem ausdrücklich gesagt wird, dafs während der Messungen in demselben der Wasserstand sich gar nicht verändert habe, woher man annehmen darf, dafs die sämmt-lichen Beobachtungen bei gleichem relativem Gefälle gemacht wurden. Dasselbe empfiehlt sich auch dadurch, dafs es die meisten Lothlinien und die gröfsten Tiefen umfafst.

Der wahrscheinlichste Werth von logp" ist der mittlere von den vierzehn logp'. Diese haben aber keineswegs gleiche Gewichte, man nmfs daher jeden mit der Anzahl der betreffenden einzelnen Beobachtungen multipliciren und die Summe dieser Producte durch die Anzahl der Beobachtungen in allen Lothlinien dividiren. Man hat hiernach

und

2927,4

lo gp" =

|logp"= 1,4674

399

= 7,337

Die Geschwindigkeiten sind daher

Y" = 29,334]/#

und für die verschiedenen Abstände vom Grunde ergeben sich für alle Lothlinien im Profil E (1792) die folgenden Geschwindigkeiten:

Y"

Y"

Y"

44.5

43.5

42,5

41,5

40,5

39,5

38,5

37,5

36,5

35,5

34,5

33,5

32,5

31,5

30,5

a>Q0CX>j£>'X>J£>J^OO»-Jk    k h-■

H|^OOWO>®OSC) 'so 7sS 'oo h-i ^ ^3

29,5

28.5

27.5

21.5

20.5

19,5

18,5

17.5

16.5

15,5

» « ^ Cü OJ <1 00 O O- H M W ÜiOiÜiCnüiOimCTx'oi'cn'oimCn

N>wui0)05<l®>ffl0 IsS^IOSOJ-OCOOOCOQOO^i—‘

r-( (^» J>- IC CO CO CO

Vergleicht man diese 1 " mit den beobachteten ?/, so ergiebt sich die Summe der Fehlerquadrate gleich 9056,5 und da die Anzahl der einzelnen Beobachtungen 399 ist, so stellt sich der wahrscheinliche Fehler auf 3,2 Zoll oder zum mittleren Werth der Geschwindigkeiten auf 6 Procent.

Obwohl bei der Mehrzahl neuerer Geschwdndigkeits-Messungen selbst diese Sicherheit nicht erreicht werden dürfte, so bleibt das Resultat dennoch nicht befriedigend. Die starken Abweichungen sind indessen keineswegs Beobachtungsfehler, sie werden vielmehr durch die auf-

7*

fallend viel gröfseren oder kleineren Geschwindigkeiten in zwei Reihen veranlafst. In den übrigen zwölf Reihen beschränken sich die Fehler auf Theile eines Zolls oder auf wenige Zolle, in der ersten Lothlinie bleiben dagegen die gemessenen Geschwindigkeiten stets sehr bedeutend und durchschnittlich sogar um 12 Zoll hinter den berechneten zurück, in der 13ten Lothlinie sind aber jene durchschnittlich um 10 Zoll gröfser, als diese.

Schon im vorigen Abschnitt wurde eines ähnlichen Falls erwähnt, da in Profil F (1792) die Geschwindigkeiten der ersten Lothlinie von denen der zweiten und der folgenden wesentlich abwichen. Vielleicht gab hierzu die unregelmäfsige Gestaltung des daneben befindlichen Ufers Veranlassung. Diese Erklärung würde bei Profil E auch für die erste Lothlinie gelten, für die 13te pafst sie aber nicht. In diesem und in allen ähnlichen Fällen, deren noch einige andre in den Messungen von Brünings Vorkommen, rührt aber die Anomalie wahrscheinlich von der Verschiedenheit der Tiefen her. Es ist ersichtlich, welchen wesentlichen Ein-flufs eine starke Vergröfserung oder Verminderung der in der Richtung des Stroms hinter einander liegenden Tiefen auf die Bewegung der daselbst fliefsenden Wassermasse haben mufs. Unregelmäfsigkeiten dieser Art gehören aber nach der Eingangs gegebenen Erklärung nicht hierher, da nur die gleichförmige Bewegung in regehnäfsig geformten Strombetten einfachen und allgemein gültigen Gesetzen unterliegen kann.

Noch mag erwähnt werden, dafs die Summe der Fehlerquadrate der lten und 13ten Lothlinie zusammen sich auf mehr als zwei Drittel der ganzen Summe, nämlich auf 6500,9 stellt. Schliefst man diese beiden Reihen aus, so verringert sich unter Bezugnahme auf die kleinere Anzahl der Beobachtungen der wahrscheinliche Fehler auf 1,86 Zoll oder auf 3 Procent der mittleren Geschwindigkeit, und dieses dürfte ohne Zweifel als ein befriedigendes Resultat anzusehn sein.

7. Geschwindigkeits-Messungen im ungetheilten Rhein bei mittlerem Wasserstande. Profil A (1790).

Die beobachteten und berechneten Geschwindigkeiten in diesem Profil sind folgende:

Profil A (1790). Lothlinie 1. Tiefe 16 Fufs.

Y'

Y'

30,5

52,7

15,5

52,0

51,8

52,0

29,5

56,1

56,0

59,2

14,5

54,8

51,4

51,3

28,5

54,8

55,7

27,5

53,4

55,5

58,8

58,3

13,5

12,5

51,0

50,6

26,5

53,4

55,2

57,9

11,5

51,5

25,5

54,8

55,0

57,4

10,5

24,5

55,5

54,7

57,0

9,5

23,5

55,5

54,5

56,5

8,5

22,5

52,7

54,2

56,0

7,5

21,5

54,8

53,9

55,5

6,5

H    ^    ^    H    lO

r» r\ r» r. r.

^    CM    CO    rfl    vO

lO    *0    iO    o

53,6

53,2

52,9

52,6

52,2

!og p

55,0

54,4

53,9

53,3

52,7

00 CO 1—1

CO 02

oo 00 »o

CO i—I i—I

5,5

4,5

3,5

2,5

1,5

oo co' »rT WT «hT c^T io'

^ Ol Ol

48,9

48,2

47,5

49,8

49,0

48,1

47,2

46,1

45,0

43,6

41,0

41,0

logjP = 7,390 a/== 2,18

OO    On

41,7

39,2

43,7

42,3

40,6

CO CO CM CO CO CO

Profil A (1790). Lothlinie 2. Tiefe 15 Fufs.

Y'

Y'

oo t>7

o ©_ o' ©

lO iO

IO fcO Ol 05

VJ    V.

Ol Ol

Ol

OS Ol

cT cT

lO iO

co oT kO iO

21,5

<5D^ C~ 02 O N CO 00 ‘O ^

49,8

52,4

02 05 05

52,0

51,5

51,1

‘t—il—

CO'O

'JVfvJvJVJ'JUVJVJvJ

48,4

48,9

48,4

48,4

46,9

47,8

46,9

47,8

49,3

46,9

48,4

48,6

48,4

48,1

47,8

47,5

47,1

46,8

46,4

46,0

O'O'Oi^-^OOSOCOO©

H®ü'(4CC((k005HO>

yiO'&üiO'&O'ü'O'

45,3

43,6

42,8

41,9

39,2

39,2

41,9

45,5

44,3

45,1

44,5

44,0

43,3

42,6

41,7

40,6

39,2

co

41,4

40,2

38,9

37,3

35,5

33,2

9,497 log^j = 14,730

log^> = 7,209 w' = 2,04

00

0,95

Profil A (1790). Lothlinie 3. Tiefe 13 Fufs.

24,5

23,5

22,5

21,5

20,5

51,8

51,3

■p °

19,5

46,9

47,4

4».

zo ZO

18,5

46,9

47,2

48,9

17,5

16,5

15,5

14,5

13,5

48,4

47,8

47,2

46,6

45,9

h—¹ h-*

39,2

41,0

CN^

CO CO

37,3

45,2

44,8

44,4

43,9

43,4

42,8

42,1

41.4

40.5

39,4

37,9

35,9

(N«NCOffiCCt''#OJH»0

»O ■<# CO >2 o' cn OO IO o' ctT

n = 9,237 lo gp = 14,193

logj/ = 7,181 oo'=l,91

00

0,79

Profile (1790). Lothlinie 4. Tiefe 9,5 Fufs.

Y'

17,5    42,8

16,5

43,6

15,5

43,6

14,5

44,5

13,5

42,8

12,5

43,6

11,5    44,5

44.1    45,6 43,8 45,1 43,4 44,5 43,0 43,9 42,6 43,2

42.1    42,5

41,7

40,9

40,0

39,0

37,9

36,6

35,2

U) =

7,770 logj? == 11,561

0,98 log p' — 7,079

cP = 1,22

Profil A (1790). Lothlinie 5. Tiefe 7 Fufs.

Y'

12,5

11,5

O O © rH

^ r\ r« r> o

rH rH r-H rH O

^    ^ Hfl    Hf

U)

n = 11,940 log|) = 18,259

0.49

logp = 7,125 tu — 1,42

Profil A (1790). Lothlinie 6. Tiefe 7 Fufs.

Y'

39,2

38,3

38,9

38,7

41,0

40,9

40,1

40,6

lO lO lO

oT ocT

40,2

39,8

39,4

fo    N    OO    QO

^ r» r» r» r»

CO    fN    rH    o    CS

■'f    tJH    CO

39,2

36,3

36,3

36,3

38,3

37,6

36,8

35,7

37,4

35,9

34,1

31,9

U) —

n = 11,180 log p — 16,958

0,63

logp = 7,123 cP = 1,50

Profil A (1790). Lothlinie 7.

Tiefe 7 Fufs.

Y'

Y'

41,7

41,5

41,2

9,5

41,0

co

3,5

38,3

37,3

8.5    41,0

7.5    41,0

41,4

39,9

40,4

n = 11,265 logp = 17,164

2.5    36,3

1.5    35,3

logp' = 7,156 <jü'= 1,96

36,2

34,6

N) CO 05 03 05 05 ^4 CO

oo ^    ^ 4c

0,81

Profil A (1790). Lothlinie 8. Tiefe 8 Fufs.

Y'

Y'

14,5

42,8

41,1

44,4

8,5

13,5

41,0

40,9

43,8

7,5

41,0 j 40,0 39,2 ;    39,8

39,9

38,9

12,5

40,1

40,8

43,1

6,5

39,2

39,6

37,8

11,5

38,3

40,6

42,4

5,5

39,2

39,3

36,6

10,5

41,0

40,4

41,6

4,5

38,3 i 38,9

35,1

9,5

41,0

40,2    40,8

3,5

39,2

38,4

33,4

n = 21,512 logp = 33,550 0,75

logp' — 7,07 6 w'= 2,13

Profil A (1790). Lothlinie 9. Tiefe 8,5 Fufs.

iO uO uO *0 uO uO uO uO

•N »N »s r\ f\ r\

vO

r-H r-H r—1

39,2

41,0

41,9

41,0

41,0

40,1

co co GO CO CO CO

OO

cT cT o' cT ■*t*    co

44,2

43,5

42,9

42,1

38,8

38,4

38,0

38,7

37,6

36,4

4,5

3,5

37,3

37,3

37,5

36,9

34,9

33,2

ZD CO r-l CTS (JS

co co co

41,4

40,6

39,7

2,5

1,5

36,3

36,2

31,1

36,3

35,0

28,0

log p

15,839

24,282

logp' = 7,063 0ü'= 2,39

üü

0,93

Profil A (1790). Lothlinie 10. Tiefe 8,5 Fufs.

Y'

Y'

h-*    »—i h-* H-i ►—i

ZD    O    h-‘    Ist)    CO Ol

^    V* v* V# Vf Vj

Ol    Üi    Ol    Qi    Üi    Ol Ü1

41,9    41,1

40,1

40,9

rH t-H Ci Ci ^ ^ co co

40,7

40,5

40,2

co cc~ «7

41,0

37,3

38,3

38,3

co O co

38,1

41,7

37,3

37,5

40,1

Ci Ci co co

37,3

36,9

36,3

36,0

(M    IN    (M    O    O    CO    t>

*“\    C\ #\ ry

<35    OO    l>    iO    ^    N    O

CO    CO    CO    CO    CO    CO    CO

n = 13,703 log^9 == 20,922

logy = 7,039 w' = 1,91

00

0,61

Profil A (1790). Lothlinie 11. Tiefe 9,5 Fufs.

Y'

Y'

lO    lO    uO    »O    »-O    iO    O

CN    »N »N    ev r\

CO    ^    CO    04    r-H    O

r—<    tH    r-H    i-H    rH    t-H    rH    rH

co

43,6

43,6

WOi^C^Oi^OOC

Üiü’O'O’OiO'OiOi

0(N(N(NCOCOCOCO

t-HCiCiCil>*l>-t^»CC>

^cococococococo

COOTpCOOOOOCDrH »-H^-iOCiOOt^OvO co co co co CO

4*- 4^

CO    Ci    Ci    OO    uO    O

r\ cs r\ r\

h    o    Ci    oo    cr>

^    co    co    co    co

34,3

31,0

7,814 log£> = 12,676

logp =7,130

u>’= 1,21

00

0,73

Profil A (1790). Lothlinie 12. Tiefe 10 Fufs.

cs

Y'

Y'

18,5

17,5

16,5

15,5

4^- 45. 4^ 4^ b£> JsS J-¹

bo 'cd cd

42,7

42,6

42,4

00

42,2

46,5

►-* I—‘    ¹

►—* bS OS 4^ "o* Ui

40,1

42,0

41,8

41,6

41,3

44,3

43,7

O CO

Math. CI. 1883. Abh. L

Y’

Y'

»O IC

s *

iO iO

00 'S

1—I C5 05 1—i O O T—I I—I O 1—I Tfl ^

41,1

39,7

41,5

40,7

39,8

38,8

37,7

iO *0 lO »o o

r>    cn rv

io ^ m cm h

CN^ CO_

oT oT

CO CO CO

co co co co" co co

co    co    oo    oo    co

<C51    OO    QO    CO

^o    H    o    w

CO O CO CO CO CO

KO CO GO t—¹

"h-* KO 'co 'h-‘ Oi

n = 14,275 log p = 23,013

logj/= 7,071 ü/= 2,45

üo

0,53

Zur bequemeren Vergleichung ist hier wieder beigefügt die

Zusammenstellung der Eesultate für Profil A (1790).

Loth-

linie

logp

log/

MHOCOCC<|OJOi^OJbSH

O* CO QO GO GO    »kJ    co CO üi 05

Oi Oi Oi

8,386

9,497

9,237

7,770

11,940

11,180

11,265

21,512

15,839

13,703

7,814

14,275

13,189

14,730

14,193

11,561

18,259

16,958

17,164

33,550

24,282

20,922

12,676

23,013

1,15

0,95

0,79

0,98

0,49

0,63

0,81

0,75

0,93

0,61

0,73

0,53

7,390

7,209

7,181

7,079

7,125

7,123

7,156

7,076

7,063

7,039

7,130

7,071

2,18

CD t" IsS CO C

2,45

Man bemerkt, dafs in diesem Profil dieselben Erscheinungen wie bei E (1792) sich wiederholen, nur dafs hier die innern Bewegungen noch stärker und daher die Voraussetzung, dafs n — 5, etwas zweifelhafter wird. Dennoch treten bei Einführung derselben die Werthe der Factoren nahe zusammen, indem ihre Logarithmen zwischen 7,04 und 7,39 bleiben, während sie früher zwischen 11,56 und 33,55 schwankten.

Eine gewisse Abhängigkeit dieses Factors von der Tiefe wird auch hier angedeutet und zwar wieder in der Art, dafs beide gleichinäfsig sich

verändern. Die letzten Reihen, bei welchen die Tiefen wesentlich gröfser werden, lassen indessen eine entsprechende Vergrößerung des Factors nicht erkennen und so gewinnt es den Anschein, als ob während der Messung das Gefälle sich änderte, und deshalb der Factor ganz unabhängig von der Tiefe sich nach und nach verringerte. Diese der Reihenfolge der Lothlinien nahe entsprechende Änderung des Factors könnte auch vermuthen lassen, dafs das relative Gefälle in der ganzen Breite des Profils nicht dasselbe, vielmehr an einer Seite gröfser als an der andern sei. Wenn indessen ein solcher Unterschied auch wirklich existirte, der, soviel bekannt, noch nie erwiesen ist, so möchte derselbe wohl stets so geringe bleiben, dafs er die hier bemerkten Änderungen nicht veranlassen könnte.

8.

Geschwindigkeits-Messungen in der Whaal bei mittlerem Wasserstande. Profil B (1790).

Die in diesem Profil gemessenenen und dafür berechneten Geschwindigkeiten sind folgende:

Profil B (1790). Lothlinie 1. Tiefe 16Fufs.

30,5

46,4

29,5

46,1

28,5

45,8

27,5

26,5

45,4

45,0

25,5

44,7

CO (N

43,6

43,6

44,5

44,3

43,9

43,5

21.5    j

20.5

43,6

44,5

43,0

o io >o ^ ^ co' co d

42,6

42,5

«OOOOiO'OiOiOiCiCuO oT CO    N    CO    IO CO    d' 1-7    cT    OS

r-H H    H    r—1    H    r-H rH    r-H r-H    r—t

44,5

45,3

42,8

42,8

42,8

41,9

QO OS CO CO

39,2

38,3

36,3

O0 ^ rfk. rf!»

CD © O    ^

"cs 'oi CD Ol 7-* OS IvS -3

OO 00 1> CO CO CO CO CO CO CO

Oi OO N l> CD CO CO CO CO CO

QO

JTi    00

Ol dl Ol Oi

32,0

29,6

28,9

29,6

CM , CO CM O

K .    ^ r. *i r\

«rs

co co

CO CM

co co

Y'

Y'

b- CO CO N

n 1. *i

O •# CO

co co eo co

iO^ *0 »O CO (N

Ci_ Ci^

oT o' o

CM CO CO

30,7

29,1

27,0

Ci^ ©_ i—i Ci oo CO W (N

n = 4,620 lo gp — 6,217 w = 1,54

log/ = 6,832 w'=f 1,54

Profil B (1790). Lothlinie 2. Tiefe 16,5 Fufs.

Y'

31,5

42,8

16,5

30,5

46,9

47,4

50,0

15,5

29,5

46,9

47,2

49,6

14,5

28,5

46,1

47,0

49,2

13,5

27,5

46,1

46,8

48,8

12,5

26,5

44,5

46,6

48,4

11,5

25,5

45,3

46,3

48,0

10,5

24,5

46,9

46,1

47,7

9,5

23,5

46,1

45,9

47,3

8,5

22.5

21.5

46,1

45,3

45,6

45,4

46,9

46,4

7,5

6,5

20,5

46,1

45,1

46,0

5,5

19,5

44,5

44,8

45,5

4,5

18,5

44,5

44,5

45,0

3,5

17,5

44,5

44,2

44,5

2,5

y¹ Y" ^ S° P JT Y² i® « **    « Y⁵ 3° I ^

MW««0JMOCC00 05Üi00aoS(J) ¹

00 l>S "i. 05

Y'

44,0

43,5

42,9

42,3

8,083 logji = 12,059

log/ =

u’ =

O OO

<o >o

l>. i—i

IO

00 =

0,66

Profil B (1790). Lothlinie 3. Tiefe 16,5 Fufs.

54

Y'

31,5

cT cT ocT

o

ocT oo' cT o

o io

4»- 4*- 4*- 4»-Ci -vj -<i -<|

^ "ci

CM 00 iO Ci Ci OO OO

'f -+l if

CM CM

IsO bO

■ Ol ^Ci -3 Ol Ü1 Ü1 Ol

47,8

46,9

^4-

4>. 4>- 4- 4-Ol _Ci _Oi 05

4o 7t-

48,2

47,8

47,4

47,1

Y'

Y'

23,5

45,3

22,5

46,9

21,5

46,9

20,5

46,1

19,5

45,3

18,5

43,6

CO CO O t> H

rt n    r> r»

»O O lO T|( ii ^ ■'f

46,7

46,3

45,9

45,5

45,0

44,5

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

CM^ CO CO CO

O) 00 l>

CO co CO

41,0

40,4

40,5

40,0

17,5

43,6

43,7

44,0

5,5

16,5

43,6

43,3

43,5

4,5

CO co CO CO CO

Cl

39,4

38,1

>0

y—i rH

43,6

42,9

43,0

3,5

42,8

42,4

2,5

CM^ CM (M CO CO "'+¹    CO

co

38,5

37,6

36,7

35,6

34,3

37,1

CO CO

33,5

31,9

CO CM

41,0

41,0

41,5

41,8

41,1

n = 6,701 logj? = 9,746 U) == 1,45

3,5

co

co co

32,7

30,3

29,8

26,9

logjf = 6,974 u’= 1,51

Profil B (1790)- Lothlinie 4. Tiefe 16Fufs.

Y'

Y'

30,5    43,6

15,5

41,0

41,8

41,9

16.5    43,6    | 42,2

47,6

47,3

46,9

46,6

46,2

45,9

45,5

45,1

44,7

44,3

43,8

43,4

42,9

42,4

n — 6,351 log^p = 9,103 u) = 0,88

14,5

13,5

12,5

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

1,5

log p'

w'

41,9

41,3

41,3

O Ci CD oo'

38,3

38,3

37,3

36,3

CO rH rH

c» r\ r> r»

»o co co co co

co

o o co co

t—i O ZO T—I

oo

40,9

39,9

39,3

38,7

38,0

37,2

CO CO CO

Ol 05

00^

CO H oo co CO (M

40,7

40,1

39,4

38,7

37,9

37,1

36,2

35,2

05 05

'o

rH rH

<-T cT CO CO <M

Die Geschwindigkeiten der 5ten und 6ten Lothlinie sind bereits im fünften Abschnitt mitgetheilt worden.

Profil B (1790). Lothlinie 7. Tiefe 6,75 Fufs.

Y’

CM r-1 o 05 OO t-

i-H i-H rH

to to to bO bO to

Ol Ü1 Ü1 'J M <1

sj VJ «J vj vi 1^

——~4 —4 1—¹ i—‘ i—¹

26,4

26,3

26,2

26,1

25,9

25,7

l>^ CM^ p O CO 05 CC OO t' N C*T CM

to bo tss t>o to

(O ift T(l eo CT H

25,7

24,2

24,2

24,2

24,2

24,2

lO CO O 1(5 iß i(5

(M (N (N CT (M (M

rso bö bö bo ISO oa jF* _üi

to 'o'i Ci Cn

b-* ba

jo p

O0 'Cu

n == 20,034 logp = 27,411

logp = 6,252 «' = 1,72

U)

0,46

Profil B (1790). Lothlinie 8. Tiefe 7 Fufs.

Y'

•<3 G0 bD O b-i

Sj    sj    vj    VJ    s>    VJ

Oi Oi Oi Oi Üi Ol

25,7

25,3

rH rH

25,7

24,2

24,2

24,2

24,2

25,1

CO

tO    tO    tO    62    tO    tO

0^    Üi    05    05    H

Vi    vJ VI    V« SJ

M    03    CO    tfb    O    05

iOiO>OiOiO ‘ r »s r> r> cn r O O ^ CO (N H

W bS bS bS jF». iF>.

O TsS 'bO

b£> b»

«o o

CM .-T CM CM

t>^ CO^ Oi CO

CO CO (N CM

CN rH

(M

O    (N    M    (N    00    05

r< r> es    rs r.

r)l    95    CT    H    C5    b

CT    CT    CT    CT    H    H

n = 12,814 logp — 16,884

\ogp = 6,085 «' = 1,25

0,36

Zusammenstellung der Resultate für Profil B (1790).

Lotli-

linie

logj?

logjp'

4,620

8,083

6,701

6,351

8,823

6,272

20,034

12,814

1,54

0,66

1,45

0,88

12,685

8,275

27,411

16,884

0,73

0,36

Die aus diesem Profil gezogenen Resultate stimmen so sehr mit denen des Profils A (1790) überein, dafs die bei letzterem gegebenen Erklärungen hier nur wiederholt werden können. Die Werthe der Fac-toren treten einander bei Einführung der fünften Potenz viel näher, als nach der ersten Rechnung, in welcher die wahrscheinlichsten Werthe der Exponenten n gesucht und benutzt wurden. Ferner sind für die Lothlinien von gröfserer Tiefe die Factoren p' wieder entschieden gröfser als in flachem Wasser, aber auch in diesem Profil verändern sich die Tiefen übereinstimmend mit der Reihenfolge der Lothlinien, und es bleibt zweifelhaft, ob die relativen Gefälle vielleicht nach und nach geringer wurden.

9. Geschwindigkeits- Messungen im Unter-Rhein bei Hochwasser.

Profil B (1792).

Die in den verschiedenen Lothlinien dieses Profils gemessenen Geschwindigkeiten, sowie auch die unter zwei Voraussetzungen dafür berechneten, sind folgende:

Y'

r> f'»>r.«>«NrNr₁rsr>

O C500NCOiO^CO(Nh 04 r—(r—IrHr—(r-HrHrHj—(r-H

44,5

10,5

41,0

42,1

42,3

45,3

46,9

46,1

45,3

45,3

43,6

42,8

41,0

41,0

44,1

43,8

43,5

43,2

42,9

42,5

47,9

47,4

46,9

43,1

7,497 log|> == 14,308 w = 0,82

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

1,5

41,9

41,0

41,0

39,2

38,3

37,3

37,3

36,3

36,3

logjö = 7,114 w'= 1,77

41,6

41,1

40,6

40,0

Oi OO CO CO

CO CO CO

Profil B (1792). Lothlinie 2. Tiefe 11 Fufs.

Y'

41,5

40,6

39,6

38,5

37,2

35,7

34,0

31,8

28,7

21,5    51,5

20,5

19,5

IO »o

18,5

17,5

16,5

15,5

14,5

rsö oo

NOiOCOCO^^^o,

1—¹¹ o IO oo oo oo CD >o O ^ -rtl -t+i

50,3

50,0

49,6

49,2

48,8

48,4

vT¹    v?°

O Üt o

52,2

51,7

51,2

50,6

50,0

49,4

48,8

48,1

47,3

46,5

45,7

44,8

43,8

42,7

41,5

7,251 logp = 11,029

log p = 7,279 c*/ = 1,47

1,21

Profil B (1792). Lothlinie 3. Tiefe 12Fufs.

23,5    48,4

12,5

43,6

22,5

21,5

© co

o o o co « oö' cc o 0 co

~©

-Cl GO 00 00 CD

H ^ OO M

^

W D © 0 <1

VJ    VJ    \J    Vi    V»    y,

Oi © l£* CD 00 -CI

50,7

50,3

49,9

49,3

48,8

48,2

47,7

47,1

46,5

45,8

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

43,6

43,6

41,9

41,9

41,9

^ o«^ iO io ^ CO CO (N H ^ ^ ^

co co co

1>    CO    CO    O    Ol    ^

CN    CN CN

O    ©    QO    1>-    IC

co    co    co    co

cp^    co    oo    ©    t>-

©    cc    cd⁻    irT    ol

co    co    co    co    co

n= 6,710 log|; = 10,039

logj? = 7,174 ui' = 1,05

ui

0,71

Profil B (1792). Lothlinie 4. Tiefe 13,5Fnfs.

Y'

Y'

^ D D <1 00 JO O H W W tK Ül D Ü1 "oi ~CJi Ü'O'ÜIO'Ü'Ü'OIO'OI 'ot

00050505 05 00 0505000 CO OC ^ >—■* t—¹ CD CD ^ CD CD <© CC) O

49,3

49,0

48,8

48,5

48,3

48,0

47,8

47,5

47,2

46,9

46,6

03 Ol

46,3

45,9

OOOO-v^OOOOCDCOOOOh^h-*ts£5 ^SOOrf^OüiOOiO^OOO-cih-i

lO iO lO o CcT oT r-T cT

rH r—( r-H t-H

45,5

44,8

44,1

43,3

^ OO 4».    05 OO O

41,9

41,9

40,1

40,1

40,1

40,1

38,3

41,9

41,1

40,1

o ic

42,4

41,5

40,5

CO H uO OO iß

oT GC CcT öl

CO CO CO CO CO

n = 8,723 log p = 13,275

logp — 7,161 w' = 1,72

ui =

0,80

Math. CI. 1883. Abh. I.

Y'

31,5

30,5

29,5

CO OO Ci

43,9

43,8

43,6

28,5

co co co

43,4

43,3

43,1

05^ «C (M ff) CO CO C^T ^ ^

45,6

45,3

43,6

42,9

45,9

43,6

42,7

44,6

23,5

40,1

42,5

44,2

22,5

41,9

42,3

43,8

21,5

41,0

42,1

43,4

39,2

41,9

43,0

38,3

41,7

42,6

41,9

41,5

42,1

40,1

41,3

41,7

®    ^ CO CI I-<©05GCt^COiO-'^'COG'l

rH r-H rH rH rH rH rH

43,6

40,1

41,0

38,3

co co

0O 05

38,3

37,3

36,3

36,3

36,3

38,3

38,3

36,3

36,3

41,0

40,7

40,4

40,1

39,8

39,4

39,0

38,6

38,2

37,7

37,1

36,4

35,7

34,7

33,5

^^ff^C^C^CO CO 05    t" CN 03

U 2 2 m ® ® !> ® 15 1/5 ^    ^ o" 00"

i,'r^WcocococococococoeocoiM

n = 9,346 log^) = 13,854

logj? = 6,856 u/= 2,04

ÜO =

1,36

Die Geschwindigkeiten in der Lothlinie 6 sind bereits im fünften Abschnitt mitgetheilt.

Profil B (1792). Lothlinie 7. Tiefe 16 Fufs.

Y'

31,5

42,8

30.5    | -29,5

28.5

44,4

48,4

44,3

48,1

27,5

*rp CO

44,2

47,7

44,0

47,4

26,5

43,6

43,9

47,0

18,5

42,8

44,5

43,8

46,7

17,5

41,9

44,5

43,7

46,3

16,5

42,8

CO^ O ^ (M H ffl OO «O

co crT erT oT co' of g-7

45,9

-+I

45,5

45,1

44,7

44,3

43,8

43,3

42,8

0,47

U)

Y'

iO vO iO iO uO vO iC

io oo d r-T o oT

pP rH rH rH rH rH

oo

co" d . .

Hfl Pfrl

30_ CO O rH

rH d 1—7 CP

41,8

41,6

41,3

41,0

42,3

41,7

41,1

40,5

39,8

39,1

38,3

xO *0 O) O *0 »O »O

^ rN C-,    r«,    ch ch

oo c~- cd in co <n

rH r—* rH rH

o" o" o~ o"

rtf Hf

co co OO O N

co co co

co

t- O iO O CO o

cP cP cP

iß oo_

d d

co co

OO CO) oo t-CO M CO CO

CO

JO H 05 ^ Ü' 03 O ^ Ü>

CO CO W (M

n = 14,813 lo gp = 22,916

lo gp = 6,940 w'= 2,23

Zusammenstellung der Resultate für Profil B (1792).

Loth-

linie

log^

log p’

u'

O H (M Co" CO H ^

rH rH r—I H t-h

CT*

r» r»

l> t> CO OO OJ O

14,813

14,308

11,029

10,039

13,275

13,854

6,740

22,916

0,82

"oo d To

1,36

öl    <30    30    —3    — 1    — 1    — I

CO    OJ    OC    P    H    (4    M

tfp    O    Cn    30    p->

O    ^    05    p    l)i    (C

bÖ pp bä pp p-> pj

lo o o m o ^ m

O’ —j

Auch in diesem Profil stimmen die aus den sieben Beobachtungsreihen sich ergebenden Factoren p oderp' viel näher unter einander überein, wenn n — 5 gesetzt wird, als wenn man die sehr verschiedenen wahrscheinlichsten Werthe der Exponenten in die Rechnung einführt.

Diese Factoren p' scheinen aber in inniger Beziehung mit den Wassertiefen zu stehn, und zwar in der Art, dafs sie für gröfsere Tiefen kleiner werden. Die Änderungen beider erfolgen in diesem Profil mit einer Regelmäfsigkeit, wie solche in den übrigen nicht entfernt sich zeigt, in welchen mit mehr oder weniger Wahrscheinlichkeit die entgegengesetzten Änderungen sich zu erkennen gaben. Wenn letztere vermuthen liefsen, dafs diese Factoren mit den Tiefen oder den Längen der Loth-linien wachsen, so nehmen sie hier sehr entschieden bei gröfseren Tiefen kleinere Werthe an. Hieraus ergiebt sich, dafs eine Beziehung zwischen p' und t aus den vorliegenden Beobachtungen sich nicht nachwei-sen läfst, vielmehr nur der Zufall eine solche in verschiedener Weise veranlafste.

10.

Geschwindigkeits-Messungen in der Whaal bei Hochwasser.

Profil F (1792).

Die Geschwindigkeiten in den sechs ersten Lothlinien dieses Profils sind bereits im fünften Abschnitt mitgetheilt.

Profil F (1792). Lothlinie 7. Tiefe 15 Fufs.

Y'

Y'

29,5

52,0

51,1

50,3

15,5

45,3

44,2

44,2

28,5

50,6

50,7

49,9

14,5

46,1

43,5

43,6

27,5

49,3

50,3

49,6

13,5

43,6

42,8

43,0

26.5

25.5

46,1

46,9

49,9

49,5

49,2

48,8

12,5

11,5

45,3

43,6

42,1

42,3

41,3

41,6

24,5

47,8

49,0

48,4

10,5

41,0

40,5

CO cm Ol cm

47,8

48,5

48,0

.    9,5

40,1

39,6

49,3

48,1

47,6

8,5

■ 39,2

38,6

CM CM

46,9

47,6

47,2

7,5

46,9

47,1

46,8

6,5

19,5

46,1

46,6

46,3

5,5

18,5

46,1

46,0

17,5

46,1

45,4

45,8

45,3

4,5

3,5

16,5

46,1 |    44,8

44,8

2,5

CO CM <M <M ÖS «cfl

^ r\    cs r\

TU o OO CO CO CO CO CO <M

37,5

36,3

35,0

33,5

31,6

29,3

03 03

oo co

V* V»

INS) GO

HOiOOOt«

r\ »\ i\

^ (N O CO CO CO CO CO

n = 4,447 lo gp — 6,126 w = 1,05

log p'= 7,036 «'== 1,07

Profil F (1792). Lothlinie 8. Tiefe 13 Fufs.

Y'

rf^CJ*G^^IODCOO»—Ox

•    V*    Vj    Vj    ^    Vj    V*    VJ    V-»    V*

Ü'Ü'^Ü'OiO'O’O'CJiÜ' o*

42,8

46,9

43,6

4*- 4-sT³ r3 o> 'cd

© CD

«\ cs

I>- CD

45,3

43,6

46,9

43,6

41,9

42,8

45,3

44,5

42,8

47,0

46,5

46,0

45,4

44,8

co r-- © co co co

r+l ^    ^

i4-

lO

46,2

45,7

45,3

44,9

44,4

43,9

43,4

42,9

42,3

)—¹    h-¹ I h-*

100C^Ü'C5vlGCCDO»Jfi)00

V»V»V»V»0»VjV»V»V»V»V*V»

ÜiO'ÜiCüC'Ü'ÜiCHO'ÜiO'Oi

43,6

41,0

41,0

38,3

39,2

39,2

r-n r>*

cd' o' t-C' »o CO CO CT (M

4*

O O H

VCO 'co

41,7

41,1

CO

39,3

38,4

37,4

36,3

35,1

4- (O 00

28,1

O 05 OO OO I> ^ CO CO CO CO

05    05

4» 05

V»VjV_»V_»VjVjV»VjVjV>

^aoo4i.oooH-iOooi05 4i.

CO 1-H O0> CO CO <M

n = 4,276 logj) = 5,795 w = 1,60

logj9 = 6,969 u/= 1,51

Profil F (1792). Lothlinie 9. Tiefe 2,5Fufs.

Y'

Y'

24,5

IO

'-‘MMMppubSbibitS

O’O'O'O'OifO'OtÜ'O'O'

GO CO 05 00 ^ O 00

•N c\ *-\    r\ e\

co rt (N W i (N

^    '’+l r+l -4

42,8

41,9

42,8

42,8

41,0

45,1

44,8

44,4

44,0

43,6

43,2

42,8

42,4

42,0

41,5

r-H O

log p

45,6

4- 4-4*- Üi

4- 4-

CO CO (M ^ ^ ^

42,1

r-H i-H

40,5

5,444

7,617

0,94

O lO lO lO

(M rC 6' oT

1""I t—1 H

41,9

40,1

41,0

38,3

10 0 0 0 0*0 c\ cn Ci c\

OO © fl W N

38,3

36,3

33,1

34,2

32,0

30,8

29,6

logjö' = 6,905 u/ = 0,98

39,9

39,3

38,6

37,9

37,1

36,3

35,4

34,3

33,0

31,6

29,7

05 (M lO t'- 05 O

c\ c\ »\ cn »N

05 05 00 CD CO CO CO CO

05 05

O)

O 00 iO 05 05

c\ r, r, r\

io co m co co co

tO 05

00 O

Y'

23,5

22,5

21,5

20,5

19,5

18,5

17,5

16,5

15,5

14,5

13,5

i—( CD CD O CD CD CO GO O O O

cn rNr\*>rsr*rvr>r.r>r\

O COCO-^COCOCMCMi—l T-C 1—(

12,5

rv    c>>    c>

^ CO CO CM CM

41,7

41,1

40,4

39,7

43,8

43,4

43,0

42,6

42,1

41,6

41,1

40,6

40,1

39,5

11,5

10,5

9,5

8,5

7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

CO (M CO (M

co co

co CO CO

35,3

35,3

32,0

Ol zo cT oT

CO CM

oo oo CM CM

O    DQ    ^    O    O

^ cn r> rN r.

Ol    00    N    «D    IO

CO    CO    CO    M    CO

co^    cd    oo    o

OO    OO    O    CD    cd'

CO    CO    CO    CO    CO

■rfrl CO

35,1

34,1

31,9

30,4

28,6

26,4

33,0

CO co

28,2

n == 4,130 logp = 5,472 W = 0.75

logp = 6,853 o/ = 0,96

Zusammenstellung der Resultate für Profil F (1792).

Loth

linie

log p

ÜJ

log F

w'

CD OO

20,5

20

18

18

15

13

12,5

12

14,652

8,325

5,822

7,054

10,151

7,424

6,126

5,795

7,617

5,472

r-JOOCOrHailOOrHO IDOOCOr-IOlt^OCOOlt^ OO.—It—lOOr-lrHOO

Ol Ol Ol JV! ~3 -3 -S3 ~3 ^ Ol OOCflCDO^S)f.03 03M ^ Ins O O >-*

oo

oo

1,87

0,84

1,39

O CO h CD Oi kO co ö^> ^ h CO CD O O

1,12

1,35

0,78

1,07

1,51

o cT

Auch m diesem Profil weichen die Factoren p, wenn der Exponent = 5 angenommen wird, viel weniger von einander ab, als wenn für jede Lothlinie der wahrscheinlichste Werth des Exponenten gesucht und in Rechnung gestellt wird. Die Factoren p' werden aber im All-

gemeinen auffallend kleiner bei geringeren Wassertiefen, doch bleibt es wieder zweifelhaft, ob hierzu vielleicht eine stetige Änderung des relativen Gefälles während der Geschwindigkeits-Messungen Veranlassung gab, oder ob an sich schon das Gefälle an einer Seite gröfser als an der andern war.

11. Resultate der vorstehenden Untersuchungen.

Durch die vorliegenden, hier mitgetheilten Beobachtungen sollte nur die Wassermenge gemessen werden, die jedes der angegebenen Profile durchflofs. Zur Messung der relativen Gefälle lag keine Veranlassung vor. Diese sind daher unbekannt geblieben, und der Beantwortung der besonders wichtigen Frage, in welcher W'eise die mittlere Geschwindigkeit vom Gefälle abhängt, konnte daher nicht näher getreten werden.

Dagegen lassen die zahlreichen, in den einzelnen Lothlinien ange-stellten Messungen sehr sicher auf das Gesetz schliefsen, nach welchem die Geschwindigkeiten der über einander liegenden Wasserschichten mit dem Abstande vom Grunde zunehmen. Der Mefs-Apparat war aber so eingerichtet, dafs er nur die normal gegen das Queerprofil gerichtete Geschwindigkeit angab, die hier, wie in allen sonstigen Fällen, wohl allein nur gesucht wird. Trägt man diese Geschwindigkeiten als Ordinaten, die Abstände vom Grunde aber als Abscissen auf, so bildet sich die sogenannte Gesellwindigkeits-Curve. Dafs die sichere Kenntnifs derselben mit jener ersten Frage in naher Beziehung steht, unterliegt wohl keinem Zweifel, und man darf sie als einen wichtigen Schritt zum Verständnis der ganzen sehr complicirten Erscheinung ansehn. Man hat dieses bereits anerkannt und sich vielfach bemüht, das von Humphreys und Abbot angegebene Gesetz der Curve als richtig darzustellen und die Übereinstimmung desselben mit einigen Beobachtungen nachzuweisen. Selbst in den neusten Untersuchungen über die Bewegungen des Wassers, sowohl bei uns, als auch in englischen Schriften, ist dieses geschehn, doch sind die dafür gegebenen Beweise nicht nur sehr zweifelhaft, sondern das Gesetz selbst stellt sich auch bei näherer Betrachtung als unmöglich heraus, da es undenkbar ist, dafs in einem freien und breiten Strom die obern Wasserschichten langsamer als die darunter befindlichen sich bewegen sollten, von denen sie doch getragen werden. Die mit viel gröfserer Schärfe und in weiterer x4usdehnung von Brünings ausgeführten Messungen widersprechen vollständig jenem vermeintlichen Gesetz, deuten dagegen mit grofser Sicherheit ein anderes viel einfacheres und leicht erklärliches Gesetz an.

Wenn man von den kleinen Anomalien, etwa bis zu 1 Zoll, absieht, die unvermeidliche Beobachtungsfehler sind, so zeigt ein grofser Theil dieser Beobachtungsreihen, dafs die in der Richtung des Stroms gemessenen Geschwindigkeiten bei weiterer Entfernung vom Grunde sich fortwährend vergröfsern, oder dafs sie sich wenigstens nicht vermindern, wenn auch die Vergröfserung der Geschwindigkeit nicht mehr sicher zu erkennen ist. Bei andern Reihen, wie auch in der für Profil E (1792) Lothlinie 14, graphisch dargestellten Curve zeigt sich nahe unter dem Wasserspiegel plötzlich eine sehr starke Verzögerung, die bei der sonstigen Übereinstimmung der Beobachtungen mit der nach einem bestimmten Gesetz dazwischen gezogenen Curve nur durch eine äufsere Einwirkung veranlafst sein kann. Diese Einwirkung rührt aber nach vielfachen sonstigen Erfahrungen von Körpern her, die von der Strömung nicht gefafst werden und daher die obern Schichten zurückhalten. Im vorliegenden Falle sind dieses die beiden Fahrzeuge, die den Mefs-Apparat tragen, vielleicht auch der Mefs-Apparat selbst. Die beobachtete Verzögerung ist also durch die Messung veranlafst und verschwindet, sobald der Mefs-Apparat wieder entfernt wird.

Nach allen einzelnen Beobachtungsreihen stellt sich die Geschwin-digkeits-Curve als eine Linie dar, welche in der Achse den Grund erreicht. Bei weiterer Entfernung vom Grunde entfernt sie sich auch immer weiter von der Achse, obwohl sie bei grofser Wassertiefe schliefslich nahe parallel zu derselben gerichtet ist, also die Zunahme der Geschwindigkeit sich nicht mehr mit Sicherheit erkennen läfst. Von einer halben gewöhnlichen Parabel unterscheidet sich aber diese Curve dadurch, dafs ihre stärkste Krümmung nicht in die Achse trifft, sondern in einem gewissen geringen Abstande über dem Grunde liegt. Die Beobachtungen konnten natürlich nicht bis zum Grunde fortgesetzt wrerden, mufsten vielmehr zu-

weilen schon 2 Fufs über demselben wegen des starken Sandtreibens abgebrochen werden; gewöhnlich sind sie bis 15 Zoll über dem Grunde fortgesetzt, und man bemerkt, dafs alsdann die Geschwindigkeiten schon sehr bedeutend, also die Curve hier nahe horizontal gerichtet ist. Bei x = 0 ist also der Krümmungs-Halbmesser sehr grofs. In einer mäfsi-gen Entfernung vom Grunde krümmt sich aber die Curve jedesmal sehr auffallend und nimmt von hier ab eine steilere Richtung an, während ihre Krümmung nach und nach immer schwächer wird.

Diese Eigenthümlichkeiten veranlafsten mich zu versuchen, ob die Curve sich vielleicht dem einfachen Ausdruck

yn — px

n = 4,375

anschliefst. Zunächst wurde in dieser Beziehung die längste Beobachtungsreihe, nämlich die der 14. Lothlinie des Profils E (1792) geprüft. Um jede Willkür zu vermeiden, berechnete ich unter Zugrundelegung der sämmtlichen 43 einzelnen Messungen nach der Methode der kleinsten Quadrate die wahrscheinlichsten Werthe des Exponenten n und des Factors p. Ich fand

und

p = 2170000

Wenn ich aber nach diesen Werthen für dieselben Abstände vom Grunde die Geschwindigkeiten berechnete, so ergaben sich dieselben, wie in der mit Y überschriebenen Spalte in der im 4ten Abschnitt mitgetheilten Tabelle angegeben ist. Der wahrscheinliche Beobachtungsfehler betrug nur 0,77, also sehr nahe drei Viertel Zoll. Dieses Resultat war ohne Zweifel sehr befriedigend, da die Geschwindigkeiten durchschnittlich 56 Zoll mafsen. In der beikommenden Figur ist die Curve, wie diese Rechnung sie ergab, durch die ausgezogene Linie bezeichnet.

Demnächst berechnete ich die Coordinaten desjenigen Punktes der Curve, wo sie am schärfsten gekrümmt oder ihr Krümmungs-Halbmesser ein Minimum ist, sowie auch die Coordinaten des Mittelpunktes dieser Krümmung. Beide sind durch ihre Endpunkte der ausgezogenen geraden Linie in der Figur bezeichnet. Auch hieraus ergiebt sich wieder eine genügende Übereinstimmung mit den Beobachtungen.

10

Math. CI. 1883. Abh. I.

Demnächst kam es darauf an zu prüfen, ob die übrigen Beobachtungsreihen sich gleichfalls an jenen für die Geschwindigkeiten gefundenen Ausdruck anschliefsen. Im Ganzen wurden in 105 Lothlinien diese Messungen ausgeführt, darunter befinden sich indessen verschiedene, die nur wenig ausgedehnt sind und sonach zu keinem sichern Resultat führen können, während andrerseits es auch entbehrlich erschien, die sehr zeitraubenden Rechnungen auf die sämmtlichen Lothlinien auszudehnen. Hiernach habe ich nur diejenigen Reihen berücksichtigt, welche zur Beantwortung mancher wichtigen Fragen besonders geeignet waren. Dieses sind die in den gröfsten Tiefen, von mindestens 18 Fufs, angestellten Messungen, sodann diejenigen, in welchen bei genügender Ausdehnung die Geschwindigkeiten besonders geringe sind, und endlich die in allen Lothlinien derjenigen 5 Queerprofile ausgeführten Beobachtungen, welche auffallend verschiedene Wassertiefen umfassen, aus denen sich also entnehmen liefs, ob und welchen Einflufs die Wassertiefe bei gleichem Gefälle auf die Geschwindigkeit hat.

Hiernach wurden für 57 Beobachtungsreihen die wahrscheinlichsten Werthe der Exponenten und der Factoren, und unter Zugrundelegung derselben für die gleichen Abstände vom Grunde die Geschwindigkeiten berechnet. Aus der Vergleichung der letztem mit den beobachteten Geschwindigkeiten ergab sich, dafs der wahrscheinliche Beobachtungsfehler 40mal unter 1 Zoll blieb und in keinem Fall 2 Zoll erreichte.

Die Exponenten n wie auch die Factoren p nehmen nach diesen Rechnungen sehr verschiedene Werthe an. Der Exponent n schwankt meist zwischen 5 und 7, während er im Minimum sich auf 4,1 stellt und im Maximum sogar zweimal gröfser als 20 wird. In noch höherem Grade ändert sich der Factor p, der ohne Zweifel vom relativen Gefälle abhängt. Bei Vergleichung beider Unbekannten läfst sich leicht erkennen, dafs, sobald die eine einen ungewöhnlich grofsen Werth annimmt, die andre sich gleichfalls auffallend vergröfsert. Die wahrscheinlichen Fehler ihrer Werthe stellen sich aber sehr bedeutend heraus, woher wesentliche Änderungen derselben zulässig bleiben.

In den Gesetzen andrer Natur-Erscheinungen pflegen die Exponenten nicht nur constant, sondern auch einfache ganze Zahlen oder einfache ächte Brüche zu sein. Im vorliegenden Fall ist dagegen die Erscheinung

sehr complicirt und unterliegt der Einwirkung äufserer Umstände, die grofsentheils noch wenig bekannt sind. Man mufs daher erwarten, dafs die Gesetze, denen sie sich anschliefst, nicht so einfach sind als jene. Unter diesen Einwirkungen * sind namentlich die innern Bewegungen des Wassers von grofser Bedeutung. Es ist bereits erwähnt, wie sehr sie die lebendige Kraft consumiren, welche das Wasser beim Herabfliefsen gewinnt, uud wie sehr dadurch die Geschwindigkeit in der allgemeinen Richtung der Strömung vermindert wird. Von der Heftigkeit dieser innern Bewegungen scheint der Exponent n vorzugsweise abhängig zu sein. Je stärker sie sind, um so mehr wird die strömende Wassermasse in sich vermengt, und um so mehr gleichen die Geschwindigkeiten in der Richtung der fortschreitenden Bewegung der über einander liegenden Schichten sich aus. Diese Geschwindigkeit y wird also in den tiefer liegenden Schichten vergröfsert, in den obern dagegen vermindert, und hiernach stellt sich der oberhalb der schärfsten Krümmung befindliche Theil der Geschwindigkeits-Curve steiler aufwärts, als wenn die innern Bewegungen schwächer sind. Diese veränderte Form der Curve bedingt aber einen gröfsern Werth des Exponenten. Dieser ist daher nicht constant, und so lange die Gesetze, denen die innern Bewegungen folgen, nicht ergründet sind, läfst sich sein Werth nicht allgemeingültig bezeichnen.

Es handelt sich indessen gewöhnlich nur um Strom- und Canalstrecken, die ziemlich regelmäfsig geformt sind, in welchen daher besonders heftige innere Bewegungen nicht Vorkommen. Man darf sonach erwarten, dafs in allen Fällen dieser Art die Exponenten ungefähr dieselben bleiben. Dazu kommt aber noch, dafs ein geringer Fehler bei Bestimmung ihrer Gröfse keinen wesentlichen Einflufs auf das Resultat der Rechnung hat. Man ersieht aus den Zusammenstellungen der beobachteten und der berechneten Geschwindigkeiten, dafs die wahrscheinlichen Beobachtungsfehler oo und oo' oft ziemlich nahe zusammenfallen, obwohl der Exponent n im letzten Fall gleich 5 gesetzt wurde, während derselbe im ersten gewöhnlich viel gröfser war.

Dabei fragt es sich aber, ob bei Ausführung der vorliegenden Messungen die gewählten Queerprofile wirklich in ziemlich regelmäfsigen Stromstrecken lagen. Dieses wird freilich nicht bestimmt ausgesprochen, auch war es keineswegs ein nothwendiges Erfordernifs, da der Apparat nur die normal gegen die Profilfläche gerichtete Geschwindigkeit mafs, und sonach die innern Bewegungen, wie stark sie auch sein mochten, unbeachtet bleiben durften. Nichts desto weniger ist anzunehmen, dafs man bei der ganz freien Wahl die Profile in die regelmäfsigsten Stromstrecken verlegte. Wenn aber hier, wie früher erwähnt, stellenweise starke Änderungen der Tiefe vorkamen, wodurch in einzelnen Lothlinien die Geschwindigkeiten bei gleichen Abständen vom Grunde viel gröfser oder kleiner waren, als in den übrigen Lothlinien derselben Profile, so ist dieses wohl ein Übelstand, der sich nie ganz vermeiden läfst. Überhaupt darf man nicht erwarten, bei Untersuchung der Bewegung des Wassers gegen verschiedene zufällige Einwirkungen sich so zu sichern, wie dieses wohl möglich ist, wenn nur die Wirkungen bekannter Kräfte in Betracht kommen.

Zur Ermittelung des passendsten Werthes des Exponenten benutzte ich diejenigen 14 Beobachtungsreihen, die in Wassertiefen von mindestens 18 Fufs angestellt waren, da die Sicherheit der zu erwartenden Resultate von der Anzahl der zum Grunde liegenden Messungen bedingt wird. Hierzu kommt aber noch, dafs bei tieferem Wasser die Geschwindigkeits-Curve sich weiter aufwärts erstreckt, also die Richtung ihres obern Theils, und mit dieser auch der Exponent sich sicherer erkennen läfst. Hieraus ergab sich als wahrscheinlichster Werth n — 5,65.

Indem in der ausgedehntesten Beobachtungsreihe, nämlich in der Lothlinie 14 des Profils E (1792), die auch eine sehr befriedigende Übereinstimmung der einzelnen Messungen unter sich zeigt, der wahrscheinlichste Werth des Exponenten sich nur auf 4,37 gestellt hatte, aufserdem es aber auch zweifelhaft blieb, ob die gewählten Queerprofile überhaupt in recht regelmäfsige Stromstrecken verlegt wurden, und dadurch der Exponent denjenigen geringem Werth erhielt, den die technische Anwendung der gefundenen Resultate fordert, so schien es passend, den Exponent gleich 5 zu setzen.

Die Richtigkeit dieser Voraussetzung bestätigt sich noch in andrer Weise. Der Factor p steht nämlich nach den vorliegenden Beobachtungen in keiner Beziehung zur Wassertiefe. Dieses ergiebt sich aus seinen Werthen für die 5 Profile, in welchen die Wassertiefen auffallend verschieden waren. Er ist daher allein vom relativen Gefälle abhängig und

verändert sich nicht, so lange dieses dasselbe bleibt. Da nun während der Ausführung der Messungen in Profil E (1792), in welchem die Wassertiefen nahe in dem Verhältnifs von 1:2 verschieden sind, das Wasser weder stieg noch fiel, so ist für dieses am meisten zu erwarten, dafs auch die betreffenden Messungen bei gleichem Gefälle angestellt wurden. Aus den Mittheilungen des sechsten Abschnitts ergiebt sich aber, dafs die Werthe von p sehr nahe zusammenfallen, sobald n= 5 gesetzt wird. Noch mehr rechtfertigt sich dieser Werth des Exponenten dadurch, dafs die beobachteten Geschwindigkeiten in jenen 12 Lothlinien dieses Profils sich befriedigend darstellen, sobald n — 5 und für p ein gemeinsamer Werth eingeführt wird.

Auch die andern 4 Profile, in welchen die Wassertiefen auffallend verschieden sind, bei denen aber die Änderungen des WTass erstand es auch Änderungen des Gefälles während der Messungen vermuthen lassen, nähern sich die Factoren jedesmal einander, sobald der Exponent gleich 5 gesetzt wird.

Mehrfache Versuche, dafür 6 zu wählen, ergaben zwar keine wesentlich verschiedenen Resultate, doch wurden alsdann meist die wahrscheinlichen Beobachtungsfehler w' etwas gröfser, und die Factoren p' wichen stärker von einander ab, als bei der Annahme n — 5.

Endlich mufs noch darauf aufmerksam gemacht werden, dafs bei Annahme dieses Werthes des Exponenten unter den 57 berechneten Beobachtungsreihen, sich nur 6 befinden, in welchen die wahrscheinlichen Beobachtungsfehler gröfser als 2 Zoll sind und im Maximum sich auf 2,45 Zoll stellen. Von diesen Überschreitungen fallen aber 5, und darunter auch die gröfste, in das Profil A (1790), das zuerst gemessen wurde, und worin die Abweichungen der Geschwindigkeiten unter einander auf besonders starke Unregelmäfsigkeiten im Strombette schliefsen lassen.

Hiernach darf man wohl annehmen, dafs in ziemlich regelmäfsigen Stromstrecken die Geschwindigkeiten durch den Ausdruck

yb = px

befriedigend dargestellt werden. Die in dieser Weise für jene Lothlinie 14 in Profil E (1792) sich ergebende Curve und deren Krümmung zeigen die unterbrochenen Linien in der beigefügten Zeichnung.

Dieses Resultat gewinnt noch dadurch an Bedeutung, dafs es zeigt, wie eine einzige Geschwindigkeits-Messung genügt, um die mittlere Geschwindigkeit der ganzen Lothlinie zu finden. Diese mittlere Geschwindigkeit v einer Lothlinie von der Tiefe t ist, wie bereits im vierten Abschnitt angegeben wurde,

71 + 1

also, wenn n = 5,

Hat man in einer gewissen Tiefe, also in einem bekannten Abstande x vom Grunde, die Geschwindigkeit y gemessen und kennt sonach y und x, so ergiebt sich und hieraus nach vorstehendem Ausdruck auch v. Es dürfte sich besonders empfehlen, die Geschwindigkeit der Oberfläche durch frei treibende Schwimmer zu messen. Nennt man diese Geschwindigkeit c, so ist jene

w = fe

also ganz unabhängig von der Wassertiefe.

Endlich läfst sich auch die mittlere Geschwindigkeit unmittelbar messen; dieselbe ist nämlich einem gewissen y gleich, und es fragt sich daher nur, wie grofs das zu diesem y — v gehörige x ist.

= )/px

n 4- 1

Vpt

daher dieses

So

oder, wenn n — 5,

In dem Abstande 0,4 . t vom Grunde oder in der Tiefe 0,6 . t unter dem Wasserspiegel kann man sonach unmittelbar die mittlere Geschwindigkeit messen.

Noch in andrer Beziehung läfst sich unter Umständen aus dem gefundenen Ausdruck der Geschwindigkeits-Curve ein wesentlicher Vortheil ziehn. Oft ist es nämlich nöthig, die bei einem gewissen Wasserstande gemessene Wassermenge auf einen etwas höhern oder niedrigem Wasserstand zu reduciren. Bei den vorliegenden Messungen trat dieses Bedürfnifs in der That ein, und Brünings nahm an, dafs nicht nur die Gefälle, sondern auch die mittleren Geschwindigkeiten der Lothlinien bei der veränderten Wassertiefe dieselben geblieben seien. Die erste Voraussetzung bleibt wohl immer bedenklich, die zweite ist dagegen nach den Resultaten dieser Beobachtungen nicht ganz richtig. Aus diesen er-giebt sich, dafs bei gleichen Gefällen in zwei Lothlinien, deren Tiefen t und t —J— t sind, die mittleren Geschwindigkeiten sich verhalten wie

Vf ; Vf+7

und wenn r vergleichungsweise gegen t so klein ist, dafs man die höhern Potenzen von j vernachlässigen darf, so hat man

1 : H--

5<

v : v' —

also

v' =

Buchdruckerei der Königl. Akademie der Wissenschaften (G. Vogt). Berlin, Universitäts-Strafse 8.

BIBLIOTEKA P0UTE8Ü8IGZIIA

KRAKOW

oc, EidferraiTUjen vom.

Grunde, (jemessen in der Einheit

von

0,5.

s'o/

s’st

s'oz

'S '9%

.30,5

's 'sc

•t-

o,

*>³⁷ = % / voooo. ,7c

ij,    Geschwindiyketten (jemessen in ,

io    <5    ao    25

Äbhandl. d. Bcrl.AkacL. d, Wiss.Mcdh. CI. 1883.

.M-

Zollen.

J]

l'

30

se

X-

0*7

y = ZY/60000. oc

S+r

so

Geschwindigkeilen in verschiedenen Tiefen , gemessen \VdZ im Rhein bei Lobith.

\\

0^

55

Öx

öo

ÖO^-

60

65

'~v

1

#

4

',

i

1 %. V

!

/

V

■M

'

t

■

'

iilftllü

■MÜ^

mm*

•V. ' / ’

mmm», ■mmmi

mm

85

■■■■■Ui | .iris|Hn ■HIHI

ii!

iMf

ligl

mm

«hmt

WS&mmmM

%T<

Ml

MMM

2fe^gB«MM&EaR

Mi

5&ä&

pH

wB®

PHP

RBägfes^gSgjwfr^gKK

S»fi

I

mm

htHIfe....._..

Wmm&k

üü!

■■

»TiäÖK.*

SS

llllllN

Um

mm

mm

mmm

»M|

■ML

p&jjjä

«■PI

iP«

K«§

mmm

IHM

SS

p

Ifei

Mi

IHflO

■■■i

"Ajtm

■PK

Big

Ss&figsSBaSft^«

Hl

gRiSlIl

aBßjs&Bpmm

£wmgmgBM

hhmmhhBV

NMI

■fllH

mmmm iüwüd

883

mmm

IMMl

lla&lpS

ftray.yj5yfr.

&SB55.

gvl

äm®

liPiPftlgKs

MWi

P§^R

H

y||ij||28|i

iiw

w |w^B§r ’3K

»1111

S-Ä® ü^»HH

i^Äig

Um

MMI

teil

Riyiipfl

■■■MH

■Hl

|g|gg|g

PHwü

■m:

MMMj

SE?iSS8tä^*J*<lK?

mmm

MMM

■■lAH

SHÜr

MM

"M

iS

0SE&

mmm

mmm

MMMgM

Ami

iiplpli

IMÜMÜ

PM

■MMMg

ni lliite

nB

mmm®

■II

iß

r-: - f¹'

M^yw

Wiw,

lMl

mBMmm

S55S

Mmim

mi

33S@S

ce-a

#»Kf »

SÄ»

J§|if

•,vlfßx

mM

mm

mm

J»L

püpp

MMMHm

II

MmP

»mi

IHM

Mmmm

MMI

B»-I*s™^‘-*'**3gfr.'.V.#?gK‘ y»~7vS» >V/

mm

MwM

mMWMzm

y.zmM

mmm

p^S :«;*^gE*

gli

Bl

i»?

mmm

laP*vliIlNaPI

RBfei

h|

#1

nla

Hfl

ä^-ilSäilas

$$mm

Mb

8US

tei«|

Hwap

lilfe

mm

I®

säg

Äi

wSHm

ÄIM1|

iiSS

KE!

SnäpnBj

W:-

mm

ä~-

-8E

mm

•>

WSm

aal

SmeS^

ä$IPl

SSE»*!

::v?»ra

§Sp:Sp$

IIHä

WM

■bh

IMURl!

IMi

BHPHL

mn»!

mm

gSj

pB|

iü

ilü

nl

mm

|h

iwHÜH

wmm

gmm

^pK^P^pe

Müll

P§

iAwLs-^-:45ää^:

qESBft&sapggcl

gp^

BSBi

1:

Hi

W0m

WZyi'M- >Mi;

gBH|

'■ft

Ei

£k3

HBfe j

§p§ä

i»t

I1HHHMI I

.mmauat

&Ibs3s«1

K'-ä

lü

ins

mm

J?S&p£

1Hfl

BHHnl

»Sä

g»-*,

y*;

«BBÖ

fl®t!!§äS

|ggj§|

«Hfa

li^^B

ss

lt'2

sg

WBBm

müi

s HPSKgsii

. **< -

»Eff

M*

Wm

ÜÜ

aisiisnpwnns

HMHP

Ül||»'l';^i

[iHBBByi§Bi

»^pSRl

m&smm

HH

MSI

SH

Mm

Hl

:g

Z+X

wm

yjgd

§$§gggg|g||

■BhHB

mSsm

pÄ

ifl®

wß&ßpTBßiMfr

MSMi

BS9I

8§

ffiSI

■Bl

BpHM

BKiviiii

v< "V

WSw'

mSmm

«wMÄ

^wJpBpHWBpHMi

HBBHlHiP

3®:-

fei

m

Ml

l:

:(1' :■/

«JsbkIhJ

SM»

m4

wBp

Wm

Mm?3

&&

g3w3

ii

ss*

Wh

Wmm:

iS

BUBI

r_ r£---^--^5rs

■ppi pfcü

S\ %

E-iastS

ii

l_

tag

■: v

PÜI

W$mS&

H«jlP

i£H

Wmm

PI

? >:•-

SS^5=3

ISi

iiiiis

gSM#

mW,

mmm

KM&Sskty:

l^pp

HB

mmm

-;S

äfef

iÄ

‘mWMi

mW?

zm-

wmwm

»:>

m®mm

?".

Sfe^i

mmm

IM

iü

mm

Biblioteka Politechniki Kiak

owskiej