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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000293388

ANWENDUNG

DER

DIFFERENTIAL- UND INTEGRAL

RECHNUNG

AUF

GEOMETRIE

VON

Dr. GEORG SCHEFFERS,

O. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU DARMSTADT.

ZWEITER BAND.

EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE DER FLÄCHEN.

LEIPZIG,

VERLAG VON VEIT & COMP.

KAT. MATEMATTtU Wydz. Bud. Lud BiBLIOTEKA |f|cK Mat. Ogölnej

EINFÜHRUNG

IN DIE

THEORIE DER FLÄCHEN

VON

Dr. GEORG SCHEFFERS,

0. PROFESSOR AK DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU DARMSTADT.

MIT VIELEN FIGUREN IM TEXT.

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KATEDRA I ZAKIAD M ATE M AT V K I WYDZIAt.ll INZYNIERII W KRAKOWIE

LEIPZIG,

VEELAG VON VEIT & COMP.

BIBLIOTEKä

POifrCTHfk-iMA ‘ -matyki rUUTECHNIKI KRaKOWSkijj

1902

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4 : A-A

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Druck von Metzger & Wittag in Leipzig.

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Vorwort.

Diesem zweiten, abschliessenden Bande der Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie seien zunächst einige Bemerkungen über die Art der Benutzung des Buches durch Lernende vorausgeschickt.

Der Inhalt des ersten Bandes wird als bekannt vorausgesetzt. Es ist aber auch möglich, dass man unmittelbar mit diesem zweiten Bande beginne, sobald man nur die wichtigeren Sätze der Curven-theorie anderswo schon kennen gelernt hat. Zwar ist es am besten, die vier Abschnitte, in die dies Buch zerfällt, der Reihenfolge nach durchzunehmen; aber der dritte, schwierigste, Abschnitt braucht nur zum Teil vor dem vierten studiert zu werden. Man findet die nötigen Hinweise darüber an den betreffenden Stellen im Buche und im Inhaltsverzeichnis. Der vierte Abschnitt ist überdies zum grössten Teil von dem dritten unabhängig, kann also gleichzeitig mit diesem begonnen werden. Damit die Theorie deutlicher hervortrete, sind die Beispiele, wenn sie nicht ganze Paragraphen umfassen, in kleineren Lettern gedruckt worden. Ist es auch nicht unbedingt nötig, dass der Leser alle Beispiele beachte, so muss er doch dessen gewärtig sein, dass ihre Ergebnisse später zuweilen in der allgemeinen Theorie benutzt werden. Ausserdem ist zu bedenken, dass gerade die Beispiele dem Anfänger die beste Gelegenheit zur Übung in der Anwendung der Theorie geben.

Der Umfang des Buches möge den Anfänger nicht erschrecken, denn nur bei entsprechendem Raume ist es möglich, die Dinge so ausführlich zu behandeln, dass sie vollkommen verständlich werden. Jedenfalls habe ich aufs Ernsteste nach leichter Verständlichkeit des Buches gestrebt. —

Es sei mir gestattet, mich noch hinsichtlich einiger Punkte den Fach genossen gegenüber zu äussern:

Dem Haupttitel des Werkes entsprechend habe ich auch in diesem Bande grundsätzlich die analytische Methode benutzt und rein geometrische Betrachtungen nur zum Erleichtern des Verstehens, bei der Andeutung weiterer Ausblicke, ferner da, wo sie besonders interessant sind, und endlich noch hin und wieder da, wo ihre rechnerische Wiedergabe auf der Hand liegt, eingefügt. Aber die Tendenz des Ganzen ist doch eine geometrische, indem ich solche Probleme aus der Flächentheorie ausgewählt habe, die in erster Linie von geometrischem Interesse sind. Man wird daher manche schöne Anwendung der Analysis auf die Geometrie vermissen, möge aber bedenken, dass das Gebiet der Flächentheorie so gross ist, dass dem Verfasser eine individuelle Auswahl daraus wohl gestattet ist. Manches, was andere elementare Lehrbücher bringen, fehlt hier; andererseits bringe ich manches, was andere Bücher nicht haben. Ich erwähne z. B. die Anwendung auf die Herstellung geographischer Karten, das Congruenzproblem für Flächen und die geodätische Abbildung.

Am besten wird man aus dem ausführlichen Sachregister am Schlüsse dieses Bandes erkennen, welche einzelnen Probleme der Flächentheorie behandelt worden sind. Probleme, die nicht eigentlich einzelne Flächen als vielmehr Flächenscharen betreffen, wurden überhaupt beiseite gelassen.

Zwei grundsätzliche Abweichungen von den sonstigen elementaren Lehrbüchern sind hier diese: Erstens die beständige Mitberücksichtigung des Imaginären, zweitens die infolge hiervon un-abweisliche Mitberücksichtigung derjenigen Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten, da auf diesen Flächen z. B. die EüLER’sche Krümmungstheorie nicht gilt. (Vgl. den „zweiten speziellen Fall“ von S. 113 an.)

Eine Hauptschwierigkeit für den Anfänger in der Flächentheorie ist die Fülle der Formeln und der stehenden Bezeichnungen. In Hinsicht auf das Eine habe ich die Sache durch den Anhang von Formeltafeln zu erleichtern versucht, in Hinsicht auf das Andere dadurch, dass ich nur ziemlich wenige stehende Zeichen, diese aber beständig, benutzt habe. Ich denke, ein Kenner der Flächentheorie wird beim Blättern in diesem Buche überall orientiert sein, sobald er nur weiss, dass u, v die Parameter auf der Fläche, E, E, fr und I, M, N ihre Fundamentalgrössen, X, Y, Z die Richtungscosinus der Flächennormale, Ev 7?₂ die Hauptkrümmungsradien, K das GAUssische Kriimmungsmaass und H die mittlere Krümmung bedeutet. In Tafel XXIV findet man übrigens eine vergleichende Zusammenstellung der Bezeichnungen bei verschiedenen Autoren.

Noch muss ich hervorheben, dass ich es für ausgeschlossen halte, dem Anfänger die Flächentheorie als Invariantentheorie zweier quadratischer Differentialformen beibringen zu wollen. Das kann er später aus den grossen Werken, wie z. B. aus Bianchi’s Differentialgeometrie, lernen; für den Anfang bietet die Geometrie der Flächen selbst schon fast zu viel des Neuen und Ungewohnten.

Bezüglich der litterarischen Hinweise, die übrigens in den „Berichtigungen und Zusätzen“ einige Ergänzungen erfahren haben, muss ich wie beim ersten Bande um Nachsicht bitten. Ich möchte überhaupt, um mich nicht zu wiederholen, auf das Vorwort zum ersten Bande verwaisen.

Nach der freundlichen Aufnahme, die dem ersten Bande seitens der Kritik, so weit ich davon Kenntnis erhalten habe, geworden ist, habe ich einige Zweifel, ob dieser zweite Band, der etwas knapper im Texte und doch bedeutend umfangreicher ausgefallen ist, eine ähnliche anerkennende Beurteilung erfährt. Der Verfasser selbst ist ja am wenigsten geeignet, sich über die Aufnahme seines Buches eine richtige Vorstellung zu machen.

Es ist mir schliesslich eine angenehme Pflicht, der Verlagshandlung für ihr bereitwilliges Eingehen auf alle meine Wünsche und für die musterhafte Drucklegung, die das Corrigieren der Bogen wesentlich erleichterte, hier zu danken.

Darmstadt, im Januar 1902.

Georg Scheffers.

Inhalt.

Erster Abschnitt.

Das Bogenelement der Fläche.

§ 1. Analytische Darstellung von Flächen..........

§ 2. Die Fundamentalgrössen erster Ordnung auf einer Fläche . .

§ 3. Tangentenebenen einer Fläche............

§ 4. Fortschreitungsrichtungen von einem Flächenpunkte aus . . .

§ 5. Flächentreue Abbildung von Flächen..........

§ 6. Flächentreue Abbildung der Rotationsflächen.......

§ 7. Isothermen auf einer Fläche.............

§ 8. Bestimmung der Isothermennetze auf einer Fläche.....

§ 9. Conforme Abbildung von Flächen...........

§ 10. Conforme Abbildung der Kugel auf die Ebene......

§11. Beliebige punktweise Abbildungen von Flächen......

Seite

13

19

27

36

40

54

61

67

75

90

Zweiter Abschnitt.

Die Krümmung der Fläche.

§ 1. Die Krümmung der Flächencurven und die Fundamentalgrössen

zweiter Ordnung.................

§ 2. Normalschnitte und Hauptkrümmungsrichtungen.......

§ 3. Hauptkrümmungen bei einer Rotationsfläche........

§ 4. Haupttangenten...................

§ 5. Die Indicatrix eines Flächenpunktes...........

§ 6. Veranschaulichung der Krümmungen in einem Flächenpunkte . . 144

§ 7. Conjugierte Richtungen..........^ . .    .    .

§ 8. Unendlich benachbarte Normalen ...........

§ 9. Krümmungscurven und Haupttangentencurven.......

§10. Systeme von conjugierten Curven...........

§11. Berührung zwischen Flächen.............

§12. Die sphärische Abbildung und die Krümmung der Flächen . . . 204

§13. Geradlinige Flächen......

§ 14. Die mittlere Krümmung der Flächen §15. Minimalflächen........

101

109

120

127

133

151

158

173

185

200

216

229

241

Dritter Abschnitt.

Die Fundamentalgleichungen der Flächentheorie.

§ 1. Die höheren Differentialquotienten der rechtwinkligen Coordinaten 261 § 2. Die drei Fundamentalgleichungen

* * *

CÖO CÖO CÖO CÖO CÖO CÖO CÖO

Ö tH

■»“H

cöo coo

Verbiegung einer Fläche auf eine andere.........

Verbiegung von Flächen auf Rotationsflächen.......

Verbiegung von Flächen constanter Krümmung.......

Differentialinvarianten einer Fläche...........

Richtungscosinus eines begleitenden Dreikants.......

Unbeschränkt integrabele totale Differentialgleichungen .    .    .    .

Endliche Gleichungen einer Fläche mit gegebenen Fundamentalgrössen .....................

Merkmale für die Congruenz zweier Flächen........

Flächen, deren Hauptkrümmungsradien durch eine Relation verbunden sind...................

Seite-

272-

289

297

302

310'

321

331

341

354

§ 12. Functionen des Ortes auf der Fläche

373

Vierter Abschnitt.

Curven auf der Fläche.

CÖO CÖO CÖO CÖO GOO G00 CÖO

•d p Ü> ^ CO tC K

Geodätische Curven.................

Geodätische Abbildung von Flächen...........

Orthogonale Trajectorien geodätischer Curven.......

Systeme von geodätischen Parametern..........

Centraflächen....................

Geradenscharen, die als Normalenscharen aufgefasst werden können Krümmung und Torsion einer Flächencurve........

396

415

432

441

453

469*

475

Anhang.

Tafel XI.

XII.

XIII.

XIV.

xv.

XVI.

>1

XVII.

XVIII.

XIX.

XX.

XXI,

XXII.

„ XXIII.

„ XXIV.

Sachregister Berichtigungen und Zusätze

}>

Formeln für die Fundamentalgrössen erster Ordnung und

für die Kichtungscosinus der Normalen......

Formeln für die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung und

für die Krümmung........:.....

Formeln für die Darstellung £ = f(x, y) der Fläche .    .    .

Sphärische Abbildung einer Fläche.........

Parallelflächen einer gegebenen Fläche.......

Die zweiten Differentialquotienten der rechtwinkligen Punkt-

coordinaten einer Fläche............

Die drei Fundamentalgleichungen der Fläehentheorie .    .

Formeln für Flächen, deren Parameterlinien die Minimal-

curven sind................

Formeln für Flächen, deren Parameterlinien die Krümmungs-

curven sind................

Differentialparameter..............

Geodätische Curven..............

Centraflächen.................

Flächencurven ................

Bezeichnungen................

492

493

496

497

498

493

499

509

501

502

502

503

505

506

503

* Vorläufig überschlagbar, vgl. die Anm. zu S. 310.

Erster Abschnitt,

Das Bogenelement der Fläche.

§ 1. Analytische Darstellung von Flächen.

Die einfachste analytische Darstellung einer Fläche ist die durch eine Gleichung zwischen den drei rechtwinkligen Punkt-coordinaten x, y, z des Baumes:

0)

F{x,y,z) = 0,

vgl. I S. 162.¹ Insbesondere benutzt man gern die Auflösung der Gleichung nach einer der drei Coordinaten, namentlich die nach z:

(2)

z = f{x,y)-

Bei der Darstellungsweise (2) einer Fläche haben sich Bezeichnungen für die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von z nach x und y eingebürgert, die wTir gelegentlich benutzen wollen und daher hier angeben. Man pflegt zu setzen:

(3)

P dx ’

0²*

_ d²x ~ dy² '

Allerdings muss man diese Abkürzungen da vermeiden, w⁷o z. B. schon eine Bogenlänge s oder ein Radius r oder ein Parameter t auftritt.

ö xd y

Beispiele zur Darstellung einer Fläche mittels einer Gleichung (1) zwischen den Coordinaten x, y, % sind: die Gleichung einer Ebene

Ax + By + C% + D = 0

und die Gleichung einer Kugel

(x — a)² + (y — b)⁷ + (% — e)² = r².

¹ Die Zahl I soll den ersten Band bezeichnen. Scheffers, Geom. Diffr. II.

Die Darstellungsform (2) ist unmöglich, wenn die Gleichung (1) der Fläche von z frei ist:

F(x, y) = 0.

Diese Gleichung wird zunächst von den Punkten (x, y) einer gewissen Curve in der xy-Ebene erfüllt, dann aber auch von allen denjenigen Punkten, deren Projectionen auf die a-«/-Ebene gerade auf jener Curve liegen; mit anderen Worten: die Gleichung stellt einen Cylinder dar, dessen Mantellinien der z-Axe parallel sind. (Ygl. I S. 161.)

Die bequeme Darstellungsform (2) ist demnach nicht erschöpfend, da sie jene Cylinder nicht mit umfasst. Dies thut nun zwar die Darstellungsform (1), aber diese ist wiederum nicht sehr bequem. Wir wollen daher die Flächen auf eine andere Art analytisch darstellen. Zu dieser anderen Art werden wir geführt, wenn wir einen Rückblick auf einige im ersten Bande betrachtete Flächen werfen:

Die Tangentenfläche einer Curve

x = cp (£),    y=y{t), z = y(t)

mit dem Parameter t wurde durch drei Gleichungen gegeben:

(4)

(p(t) + T<p'{t), y = x{t) +    z = xp{t) + rf (*).

Vgl. I S. 261. Legt man den beliebig veränderlichen Grössen t und r irgend welche bestimmte Werte bei, so liefern die drei Gleichungen (4) die Coordinaten x, y, z eines Punktes auf der Tangente der Stelle (t) der gegebenen Curve. Die Veränderliche r lässt sich leicht eliminieren. Es bleiben dann zwei Gleichungen zwischen x, y, z und t. Siehe I S. 262. Wenn man aus ihnen dann noch die Veränderliche t eliminieren würde, so bliebe eine Gleichung zwischen x, y und z übrig, sodass man zu einer Darstellungsform der Tangenten-fläche gelangen würde, die sich der Form (lj unterordnet.

Wir erinnern ferner daran, dass wir in I S. 300 die Coordinaten x, y, z der Punkte derjenigen Ebene, die durch einen bestimmten Punkt (x₀, y₀, z₀) geht und zwei zu einander senkrechte Richtungen mit den Cosinus «, ß, y und /, ?n, n enthält, in dieser Form dargestellt haben:

(5) x = xQ + «£ + /t),    y=y₀+ ßz + mt), z = z₀ + y£ + n\).

Dabei bedeuten £ und lj (vgl. die Fig. 61 dort) die gewöhnlichen rechtwinkligen Coordinaten des Punktes (x, y, z) in demjenigen Axen-kreuz, dessen Anfangspunkt der Punkt (ar₀, y₀, z₀) ist und dessen Axen die erwähnten beiden Richtungen haben. Jedem Wertepaar

£, t) entspricht also ein Punkt (x, y, z) jener Ebene, und umgekehrt: zu jedem Punkte (x, y, z) der Ebene gehört ein bestimmtes Wertepaar £, t). Die Coordinaten aller Punkte (x, y, z) jener Ebene werden also hier durch zwei Veränderliche £, t) ausgedrückt, die eine einfache geometrische Bedeutung haben.

Endlich erinnern wir daran, dass man auf der Kugel, aufgefasst als Erd- oder Himmelskugel, zur Festlegung eines Punktes die Breite ß und Länge X benutzt. Ist r der Radius der Kugel, die Ebene des Äquators die ary-Ebene, die Nordsüd-Axe die z-Axe und setzt man fest, dass die x z - Ebene die des

Längenkreises Null sein soll, so sind (siehe Fig. 1):

x = r cos ß cos X,

Fig. 1.

y — rcosßsmX,

(6)

z = r sin ß

die rechtwinkligen Coordinaten desjenigen Kugelpunktes, dessen Breite ß und Länge X ist. Um im Einklang mit unseren früheren Festsetzungen zu bleiben, haben wir die Länge positiv im Sinne der Drehung von der x-Axe zur y-Axe und die Breite ß vom Äquator nach der positiven z- Axe hin positiv gerechnet. Natürlich kann man dann ß auf das reelle Gebiet

to| a

und X auf das reelle Gebiet

— 7t < X < + 71

z als Functionen zweier anderer Veränder-

beschränken; aber innerhalb dieses Gebietes sind ß und X beliebig wählbar, da zu jedem Wertepaar ß, X ein Punkt (x, y, z) der Kugel gehört. Auf die Beschränkung der Veränderlichen ß und X auf bestimmte Bereiche kommen wir nachher noch einmal zurück. In (6) ist die Kugel durch drei Gleichungen dargestellt, vermöge deren die Punktcoordinaten liehen, ß und X, gegeben werden. Zur Vereinfachung des Ausdrucks werden wir auch später mit Nordpol und Südpol diejenigen Punkte bezeichnen, in denen die positive und negative z-Axe die Kugel trifft.

In den Formeln (4), (5) und (6) haben wir analytische Darstellungsarten einer Tangentenfläche, einer Ebene und einer Kugelfläche vor uns, die Eins mit einander gemein haben: Jedesmal werden die rechtwinkligen Coordinaten x, y, z der Punkte der betreffenden Fläche als Functionen von zwei anderen Veränderlichen gegeben, nämlich von t, r bez. j, t) bez. ß, 1.

Diese Thatsache führt uns zu der allgemeinen Frage: Es seien die Punktcoordinaten x, y, z als irgend welche Functionen von zwei anderen Veränderlichen, sagen wir u und v, gegeben:

(7)

x = cp (iu, v), y = x («, v), z = 'xp (u, v).

Was ist dann der geometrische Ort aller Punkte (x, y, %), die sich hieraus ergeben, wenn die Veränderlichen u und v alle möglichen Werte erhalten? Wir setzen dabei voraus, dass die Functionen cp, x, yj wenigstens in einem gewissen Bereiche für u und v — in dem wir alsdann verbleiben — endlich, eindeutig, stetig und differenzierbar seien.

Bei der Beantwortung der aufgeworfenen Frage sind drei Fälle zu unterscheiden:

Erstens: Die Functionen cp, x und yj sind in Wirklichkeit frei von u und v, also Constanten. Dann stellt (7) nur einen Punkt dar.

Zweitens: Die Functionen cp, x und y> sind nicht sämtlich constant, aber je zwei sind von einander abhängig. Nach I S. 82, 83 sind alsdann cp, x> Functionen von nur einer Function co von u und v, sodass die Gleichungen (7) die Form haben:

x — X(co), y — Y(co), z = Z(co).

Nehmen nun u und v alle möglichen Werte an, so gilt dasselbe von der Function co von u und v. Es sind also x, y, z drei Functionen einer Veränderlichen co, d. h. es liegt die Parameterdarstellung einer Curve mit dem Parameter co vor.

Drittens: Zwei der drei Functionen cp, x, y> sind von einander unabhängig, z. B. cp und x• Wenn wir alsdann den Coordinaten x und y irgend welche Werte vorschreiben, so bestimmen die beiden ersten Gleichungen (7):

(8)

x — Cp (u, v),

y = x(u, v),

da sie nach u und v theoretisch auflösbar sind, wenigstens ein Wertepaar u, v. Setzen wir dies in die dritte Gleichung (7):

(9)

z = yj(u, v)

ein, so giebt sie einen Wert z. Jetzt gehört also zu jedem Wertepaar x, y ein Wert z wie bei (2), d. h. alle Punkte (x, y, z), die durch (7) bei beliebiger Veränderlichkeit von u und v bestimmt werden, erfüllen eine Fläche. Will man diese Fläche in der Form (2) darstellen, so muss man die beiden Gleichungen (8) nach u und v auf lösen und die dadurch hervorgehenden Functionen u und v von x und y in die Gleichung (9) einsetzen.

Satz 1: Drei Gleichungen von der Form:

y = /{u, v)

x = cp (u, v),

z =    (U, V)

mit den beliebig veränderlichen Grössen u und v bestimmen dann und nur dann die Punkte (x, y, z) einer Fläche, wenn zwei der drei Functionen cp, yi von einander unabhängig sind.

Dies ist die allgemeine Parameterdarstellung einer Fläche.;1 u und v heissen die Parameter oder Hiilfsveränderlichen.

Oben haben wir in (4), (5) und (6) drei Beispiele hierzu gehabt, nämlich eine Parameterdarstellung einer Tangentenfläche, einer Ebene und einer Kugelfläche. Dabei waren die Parameter statt mit u, v mit t, t bez. £, t) bez. ß, l bezeichnet.

Man erkennt umgekehrt, wie man jede in der Form (1) gegebene Fläche:

F{x, y,z) = 0

mit Hülfe zweier Parameter u und v darstellen kann. Man verstehe nämlich z. B. unter cp und % irgend zwei von einander unabhängige Functionen von u und v und setze:

x — cp (u, v),

y = /{u, v).

Führt man sie in F — 0 für x und y ein, so geht eine Gleichung zwischen u, v und z hervor, deren Auflösung nach z eine dritte Gleichung

z = \p (u, V)

liefert.

Punkte (x, y, z), die durch

Nach der Entstehung dieser Gleichung ist sicher, dass die

y = x {u, v),

X = Cp {u, V),

z = yj [u, v)

¹ Diese Parameterdarstellung wurde von G-auss eingeführt in seinen grundlegenden und noch öfters zu erwähnenden „Disquisitiones generales circa superficies curvas“, Commentationes Soc. Scient. Gottingensis re-centiores Yol. VI (ad a. 1823—1827), Göttingen 1828. Siehe auch Gauss’ Werke, 4. Bd., und die Übersetzung in Ostwald’s Klassikern Nr. 5.

bei beliebiger Veränderlichkeit von n und v bestimmt werden, der Gleichung F[x, y, z) — 0 genügen, und nach Satz 1 wissen wir auch, dass sie thatsäclilich die ganze Fläche F — 0 und nicht nur eine Curve auf der Fläche bestimmen, da wir vorausgesetzt haben, dass cp und x von einander unabhängig seien.

Dies Verfahren wäre nur dann hinfällig, wenn die Gleichung F ■= 0 von z frei wäre. Aber dann könnten wir etwa x und z an die Stelle von x und y in unserer Betrachtung treten lassen, sodass also nur scheinbar eine Ausnahme vorliegt.

Diese Überlegung zeigt überdies, dass jede Fläche auf unendlich viele Arten in Parameterdarstellung gegeben werden kann, da die Wahl der Functionen cp und x — abgesehen von der ausbedungenen Unabhängigkeit — ganz beliebig blieb.

Künftig werden wir meistens die bequeme Parameterdarstellung

(7) an Stelle der ersten Darstellungen (1) oder (2) einer Fläche benutzen. Wie in dem obigen Beispiel der Kugel (6), bei der ß und X die Parameter waren, kann auch bei anderen Flächen die Veränderlichkeit der Parameter us v — obgleich sie zwei unabhängige Veränderliche sind — auf gewisse Gebiete eingeschränkt werden, wenn man nur reelle Punkte der Fläche betrachten will oder wenn man Stellen vermeiden will, an denen die Functionen cp, x, die oben gemachten Voraussetzungen der Stetigkeit u. s. w. nicht erfüllen. Auch ist zu beachten, dass trotz der Unabhängigkeit, die wir zweien der drei Functionen cp, x> vorschreiben mussten, doch für gewisse Wertepaare u, v die Auflösung von zwei der drei Gleichungen (7) nach u und v unmöglich sein kann.

Denn wenn z. B. die Functionen cp und / von einander unabhängig sind, so heisst dies doch nach I S. 83 nur, dass ihre Functionaldeterminante

\ Xu xv\

für beliebig gewählte Wertepaare u, v nicht gleich Null sein soll. Für gewisse Wertepaare u, v — ja im Allgemeinen sogar für oo1 Wertepaare u, v — kann die Auflösbarkeit aufhören, da das Nullsetzen der Functionaldeterminante im Allgemeinen eine Gleichung zwischen u und v liefert. Wir beschränken uns daher in der Folge stillschweigend immer auf einen solchen Bereich für die unabhängig veränderlichen Grössen u und v, innerhalb dessen die vorausgesetzte Unabhängigkeit zweier der drei Functionen cp, /, ip wirklich statt hat. Und wenn wir auch der Kürze halber einfach sagen: u und v sollen beliebig veränderlich sein oder alle möglichen Werte annehmen, so meinen wir doch, dass dies nur innerhalb eines erlaubten Bereiches geschehe. Bei jeder speciellen Anwendung ist dieser Bereich besonders festzustellen.

Aus unseren Betrachtungen geht hervor: Ist eine Fläche mittels zweier Parameter u, v in der Form (7) dargestellt, so gehört nicht nur zu jedem Wertepaar der Parameter u, v ein bestimmter Punkt (x, y, z) der Fläche, sondern auch umgekehrt: zu jedem bestimmten Punkte (x, ?/, z) der Fläche gehört ein bestimmtes Wertepaar der Parameter u, v.

Wir hoben vorhin hervor, dass eine Fläche unendlich viele Parameterdarstellungen hat. Es mögen nun:

und

X = 9d («i,»), y = x (tt, V)

x = 0 [u, v), y = X [u, v), z = W (ü, v)

zwei Parameterdarstellungen ein und derselben Fläche sein und zwar mit den Parametern u, v bez. ü, v. Zu jedem Wertepaar u, v gehört vermöge der drei ersten Gleichungen ein Punkt (x, y, z) der Fläche und zu diesem vermöge der drei letzten Gleichungen ein Wertepaar ü, v. Der Schluss ist auch umgekehrt zu machen, so-dass folgt: Es muss zu jedem Wertepaar u, v ein Wertepaar ü, v und umgekehrt zu jedem Wertepaar ü, v ein Wertepaar u, v gehören. Dies aber heisst: Es müssen u und v zwei von einander unabhängige Functionen von ü und v sein:¹

(10)

U = X (ü, V) , V = (JL {ü, v).

Hieraus folgt:

Satz 2: Liegt eine Darstellung

x = (f{u,v),    y=x(u,v), z = yj(u,v)

einer Fläche mittels der Parameter und i; vor, so ergiebt sich aus ihr die allgemeinste Parameterdarstellung derselben Fläche dadurch, dass u und v irgend zweien von einander unabhängigen Functionen zweier neuer Parameter ü, v gleich gesetzt:

u = X [ü, v), v = y (ü, v)

¹ Abgesehen von der geometrischen Bedeutung ist der Zusammenhang zwischen u, v und ü, v hier genau derselbe wie in I S. 106 der Zusammenhang zwischen u, v und x, y.

und diese Functionen in die gegebenen Gleichungen statt u und v eingeführt werden.

Die Parameter, mittels deren man eine Fläche darstellt, nennt man auch krummlinige Coordinaten der Fläche. Das Beiwort: krummlinig soll den Unterschied gegenüber den beiden gewöhnlichen Coordinaten x und y ausdrücken:

Liegt nämlich die Fläche in der Form

* = />•> y)

vor, so sind x und y solche Coordinaten, deren Angabe zur Bestimmung eines Flächenpunktes genügt, da das zugehörige z aus der Gleichung gewonnen wird. Wählt man für x einen bestimmten Wert x₀, lässt aber y noch beliebig, so erhält man zunächst oo1 Punkte (x₀, y) in der .ry-Ebene, nämlich die Punkte einer Parallelen zur y-Axe, und zu jedem dieser Punkte gehört ein Punkt (x₀, y, z) der Fläche. Mit anderen Worten: Wir betrachten (siehe Fig. 2) eine solche Curve auf der Fläche, deren senkrechte Projection auf die xy-Ebene eine Gerade parallel zur y-Axe ist. Analoges gilt,

Zo

<}L

(u„)

-x

X)

(*o)

Fig. 2.

Fig. 3.

wenn y statt x bestimmt gewählt und x beliebig gelassen wird. Jeder Punkt (x,y,z) der Fläche erscheint hiernach als Schnittpunkt zweier Curven auf der Fläche, und die senkrechten Projectionen aller dieser Curven auf die .ry-Ebene sind die Parallelen zur y- und x-Axe. Die Fläche ist demnach mit einem gewissen Netz von unendlich vielen Curven überzogen zu denken, die, auf die a-y-Ebene projiciert, ein orthogonales Netz von geraden Linien liefern.

Liegt dagegen die Fläche in Parameterdarstellung vor:

(11)

X = cp (u, v), y = 7 {u, V), z — yj («, v),

so sind u und v die Bestimmungsstücke. Geben wir u einen bestimmten Wert u₀, während wir v veränderlich lassen, so ergeben sich diejenigen Punkte {x,y, z) der Fläche, für die

a- = cp (u₀, v), y = x (u₀, v), z = ip (u₀, v)

ist. Hierin kommt rechts nur die eine Veränderliche v vor. Es liegt hier also eine Curve vor und zwar dargestellt mittels des Parameters v. Diese Curve liegt auf der Fläche und ist durch die Angabe des Wertes u₀, den wir u beilegten, völlig bestimmt. Sie heisst daher die Parameterlinie (u₀) der Fläche. Ihre Projection auf die xy-Ebene wird durch die beiden Gleichungen x = fp{u₀,v), y = x(u₀,v)

mit dem Parameter v dargestellt (siehe Fig. 3, S. 8) und ist im allgemeinen eine krumme Linie. Geben wir zweitens dem Parameter v einen bestimmten Wert vQ, während u beliebig veränderlich sein soll, so heisst dies, dass wir diejenigen Punkte (x, y, z) auf der Fläche betrachten, die auf der Curve

X — cp (u, V₀), y = x (w, v₀), z= \p (u, v₀)

mit dem Parameter u liegen. Diese Curve auf der Fläche heisst die Parameterlinie (u₀) der Fläche, und ihre Projection auf die a-y-Ebene ist die im allgemeinen krumme Linie

X = cp (u, V₀), y =/(*#,»„)

mit dem Parameter u. Wollen wir einen Punkt auf der Fläche bestimmt wählen, so haben wir u und v bestimmte Werte u₀, v₀ zu erteilen. Der zugehörige Punkt:

*o = rp {uo > vo)> Vo ~ A. («₀ > vo)> zo ~ yiuo> L>)

liegt dann im Schnitt der beiden Parameterlinien ^₀) und (y₀). Mithin haben wir uns die Fläche mit einem Netz von Parameterlinien (w₀) und (v₀) überzogen zu denken, und die Projection dieses Netzes auf die .ry-Ebene liefert ein im allgemeinen krummliniges Curvennetz

(12)

I, CD

X = cp (h, v), y = X iu> v)

in der Ebene. Vgl. I, 1. Abschn. § 16 u. 17, wo wir die ebenen Curvennetze ausführlich behandelt haben. Es ist hiernach klar, dass wir einen Punkt auf der Fläche statt als Punkt {x, y, z) auch als Punkt (w, v) bezeichnen können.

Die Bestimmung (11) der oo² Punkte einer Fläche vermöge zweier Parameter u und v ist die natürliche Verallgemeinerung der

Bestimmung der oo² Punkte einer Ebene vermöge zweier Parameter u und v. Es tritt eben bei der Fläche zu den zwei Gleichungen

(12) noch eine dritte z = yj [u, v) hinzu, die bei der xy-Ebene — diese im Raum betrachtet — einfach durch z — 0 zu ersetzen wäre.

1.    Beispiel: Die Tangentenfläche (4) einer Curve hat, wenn wir jetzt statt t und r die Zeichen u und v gebrauchen, die Darstellung:

x = cp (u) + v cp' (u), y = x (u) + v/' (u),    % — xp (u) + vxp' (u).

Geben wir u einen bestimmten Wert u₀, so heisst dies: Wir betrachten einen bestimmten Punkt der Gratlinie

x = q> («), y = x («0, x = ip (u)

und seine Tangente. Die Parameterlinie (u₀) ist demnach eine der Geraden der Fläche, während jede Parameterlinie (v₀) krummlinig ist. Wenn z. B. u direct die Bogenlänge der Gratlinie ist, so bedeutet ja v die Strecke, die auf der Tangente des Punktes (w) der Gratlinie abgetragen wird, nach I S. 262. Die Linie (w₀) ist daher der Ort der Punkte, die sich ergeben, wenn man auf allen Tangenten der Gratlinie die Strecke v₀ vom Berührungspunkte aus abträgt. Die Parameterlinie (v = 0) ist die Gratlinie selbst.

2.    Beispiel: Bezeichnen wir die Breite ß und die Länge l auf der Kugel (6) mit u bez. v, so liegt die Kugel vor:

x = r cos u cos v, y = r cos u sin v,    % — r sin u.

Die Parameterlinie (u₀) ist die Curve constanter Breite u₀, d. h. ein Breitenkreis, und die Parameterlinie (v₀) ist die Curve constanter Länge v₀, d. h. ein Meridian auf der Kugel.

Eine geometrisch gegebene Fläche kann willkürlich mit Curven-netzen, d. h. mit zwei Scharen von je oo¹ Curven, überzogen werden. Dem entspricht es, dass man ein und dieselbe Fläche auf beliebig viele Weisen mittels Parameter darstellen kann. Zu jeder Parameterdarstellung gehören ganz bestimmte Scharen von Parameterlinien, aber nicht umgekehrt: Wir erkennen vielmehr wie früher in der Ebene, I S. 112, dass die Scharen der Parameterlinien nur dann ungeändert bleiben, wenn man statt der alten Parameter u und v solche neue Parameter ü und v einführt, von denen jeder nur von einem der beiden alten Parameter abhängt:

ü = A (u),    v = B (u).

Diese Bemerkung kann man gelegentlich zur Vereinfachung der Parameterstellung benutzen, wenn man Wert darauf legt, die Natur der Parameterlinien selbst nicht zu ändern.

Eine beliebige Curve auf der Fläche

(13)

x = 9° (u> v)> y = x    v)>    z = VJ (?b »)

wird erhalten, wenn die Coordinaten x, y, z nur noch von einer veränderlichen Grösse t abhängen, wenn also u und v gleich zwei Functionen eines Parameters t gesetzt werden:

(14)

u = A(t), v — ß (t),

sodass (13) die Curve: x = cp[A (t), ß (*)],

z = y[A(i), ß(t)]

y=/[A(t), ß(t)], mit dem Parameter t liefert. Statt t können wir aber auch wie in I S. 159 eine Function von t, z. B. auch u = A{t), als Parameter längs der Flächencurve einführen, t ist dann eine Function von u\ wird sie in die zweite Gleichung (14) eingesetzt, so wird auch v eine Function von u:

(15)

V — CO (u),

sodass nunmehr:

z — xp [w, co (m)]

y = * o, co (m)],

X — Cf! [u, CO (m)] ,

die Gleichungen der Flächencurve sind. Allerdings ist hierbei vorausgesetzt, dass sich aus u — A(t) auch t als Functivon von u berechnen lasse, was nicht geht, wenn u längs der Curve constant ist. Die Parameterlinien (u) der Fläche entziehen sich also der letzten Darstellungsform. Besser bleibt daher die Art der Elimination von t aus (14) dahingestellt, sodass wir statt (15) die unaufgelöste Gleichung schreiben:

(16)

Q(u, v) = 0.

Satz 3: Auf einer Fläche mit den Parametern u, v wird jede Curve durch eine Gleichung

£2 (u, v) = 0

zwischen u und v definiert.

Die Gleichung (16) bestimmt zu jedem Werte u einen Wert v, ordnet also jeder Parameterlinie (u) eine Parameterlinie (v) zu. Der Ort der Schnittpunkte jedes solchen Paares ist die Curve, die durch (16) analytisch gegeben wird. (Siehe Fig. 4.)

(V)

Fig. 4.

Wie in der a-y-Ebene eine Schar von oo¹ Curven durch eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung zwischen den beiden Veränderlichen x und y definiert wird (siehe I, 1. Abschn. § 14), so wird eine Schar von oo1 Curven auf der Fläche durch eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung zwischen u und v definiert:

(17)

V(u, v) dv — V(u, v) du = 0.

Denn diese Gleichung integrieren, heisst — rein rechnerisch ausgesprochen — nach I S. 88 alle diejenigen Functionen v = tp(u) finden, die zusammen mit ihren Differentialquotienten dv : du — cp’ (u) die Gleichung (17) oder

(18)

du

V(u, v)

U (u, v)

für jeden Wert von u erfüllen, und diese Functionen heissen Lösungen von (17) oder (18). Aus Satz 59, I S. 90, können wir ferner entnehmen, dass die Differentialgleichung (17) oder (18) nur ein wesentliches Integral f[u,v) hat, das, gleich einer willkürlichen Constanten gesetzt:

(19)

f (u, v) = Const.

Lösungen v — cp (u, Const.) definiert, deren jede nach Satz 3 eine Curve-auf der Fläche darstellt. Die Gleichung (19) definiert also eine Schar von oo¹ Curven auf der Fläche.

Liegt umgekehrt eine Schar von oo¹ Curven auf der Fläche vor: f(u, v) — Const.,

so folgt hieraus:

df

du +

dv = 0,

also eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in u und v. Somit:

Satz 4: Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in u und v:

JJ(u, v) d v — V(u, v) du — 0

definiert eine Schar von oo¹ Curven auf der Fläche mit den Parametern u, v, und umgekehrt kann jede Schar von oo¹ Curven auf der Fläche analytisch durch eine solche Differentialgleichung definiert werden.

Sehr häufig werden wir auf Gleichungen stossen, die in du und dv homogen und quadratisch sind:

(20)

A (u, v) du² + 2B(u, v) dudv -j- C(u, v) clv² = 0.

Sie sind als quadratische Gleichungen

A(u,v) + 2 JB {ii, v)

für

dv

du

(21)

aufzufassen und liefern also zwei Gleichungen:

= f.i (u, v).

j- = X(u,v),

du

Jede definiert eine Schar von oo¹ Curven, nach Satz 4. Mithin definiert die Gleichung (20) zwei Scharen von je oo¹ Curven auf der Fläche.

Die Differentialgleichungen (21) der beiden Scharen finden wir auch, wenn wir die linke Seite von (20) in ihre hinsichtlich du und dv linearen Factoren zerspalten:

[ä du + (b + }/B² -AC) dv\ [idu + (B- ]/W^AC) dv\ = 0 . Es sind dann die beiden Gleichungen:

A du + {B + ]/B² — AC) dv = 0 .

Nur wenn B² — AC=0, d. h. die linke Seite von (20) ein vollständiges Quadrat hinsichtlich du und dv ist, fallen beide Differentialgleichungen zusammen. Es gilt der

Satz 5: Zwei Scharen von je oo¹ Curven auf einer Fläche mit den Parametern u, v können stets durch eine in du und dv quadratische homogene Gleichung A[u, v)du² -f- 2 B(u, v)dudv -f- C(u, v) dv² = 0

definiert werden. Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung in u und v zerspalten:

A du + {B + y_Z?² — AC) dv — 0 .

Nur dann, wenn die linke Seite jener quadratischen Gleichung ein vollständiges Quadrat ist, wenn alsoA² — AC=0 ist, fallen beide Curvenscharen zusammen.

Z. B. die Gleichung dudi? = 0 definiert die beiden Scharen von Parameterlinien.

§ 2. Die Fundamentalgrössen erster Ordnung auf einer Fläche.

Werden die Punkte der Ebene durch rechtwinklige Coordinaten y bestimmt, so wird das Quadrat des Bogenelementes ds, d. h. das Quadrat der Entfernung zweier unendlich benachbarter Punkte (x, y) und [x + dx, y + dy) von einander gegeben durch die Formel:

ds² = dx² -f- dy².

In der Formel (6), I S. 109, fanden wir den Ausdruck von ds2 für ein bestimmtes Parametersystem u, v in der Ebene, wobei

x = (f(u,v)} y = \fj(u,v)

war, in der Form:

d s2 = (<PU² + Vu)d u* + ² i<P» <Pv + Vu VÜ d u d v + (rA,² + Vv²) d v2 •

Allgemein also ist das Quadrat des Bogenelementes in der Ebene eine ganze homogene quadratische Function der Differentiale du und dv. Die Coefficienten dieser Function sind dabei Functionen der krummlinigen Coordinaten u und v selbst.

Eine ähnliche Erscheinung zeigt sich bei einer Fläche. Liegt die Fläche zunächst in der einfachen Darstellung vor:

(1)

z =f\xDj)

und sind (x, y, z) und (x + dx, y + dy, z + dz) zwei unendlich benachbarte Punkte der Fläche, so ist

dz — fx d x + fydy,

yu i/v

Wl'l

d. h. die allgemeine bilineare Gleichung in u und

log tg +

+ S (i/uv Zv + Vu Zvv ~ ZuPJv ~ ZuVvv) V' a = 0 •

{MR - Ff

(vj%!+2(äj^)oEt, + (w)o ’

SM. = 0.

bez- w

% = x + xudu + x^dv -f- . .

— x xv,

p2 + q2

s Xuux = -HL + KE,

M-i)

ds2 = 2 F(u, b) du du, ds2 = 2 F(ü, U)düdü.

(9)

= de, +512de2 + % X

co (u, v, er) = X (ff)

y - ±f m- iiürf« + (D,+*i),)<««>],

= z + RXZ

Hc + Z)

und g (ß, F, G, E,...)

Die geodätischen Curven der ersten Fläche genügen

AV - Si'

y = x{u, v),

Xu = ft» + / tu + fu t, xv = £„ + ftv + fvt,

*. *

Conforme Abbildung einer Fläche auf die Ebene 67 u

dz — fx d x + fydy,

sodass das Quadrat der Entfernung der beiden Punkte von einander, also das Quadrat des Bogenelementes der Fläche, nämlich:

d s² = d x² + dy² + dz²,

den Ausdruck annimmt:

^³ = (l +f*)d** + 2fJ,dxdy + {\ +f*)d,f.

Es ist also auch eine ganze homogene quadratische Function von den Differentialen der beiden unabhängigen Bestimmungsstücke x und y der Flächenpunkte. Benutzen wir die auf S. 1 angegebenen Abkürzungen (3), so können wir hier auch schreiben:

(2)

d s² — (1 -f- p²)dx² + 2 pq dx dy + (1 + q²) dy².

(3)

Liegt die Fläche in allgemeiner Parameterdarstellung vor: x = cp (u, v),

y = /{u, v),

* = VJ (u> v)>

so haben zwei unendlich benachbarte Flächenpunkte (x, y, z) und {x + dx, y + dy, z + dz) unendlich wenig von einander abweichende Parameterpaare u, v und u + du, v + dv. Es ist dann:

(4) dx = cpudu + cpvdv, dy = xudu + xvdv, dz = ^Udu + iftvdv,

sodass das Quadrat des Bogenelementes den Wert hat:

(5)

d«² = (SPU² + X² + Vu²) du² +

+ ²(^u <Pv +Xuzv + yu yv) du d V +

+ {<pv² + x* + yv²)dv².

Diese Formel ist von grundlegender Bedeutung. Da sie sehr oft

angewandt wird, empfiehlt es sich, zur Abkürzung neue Bezeichnungen einzuführen. Wir setzen:¹

E=cPu+ + Vu>

(6)

F= <Pu<Pl,+XuXv +

G = <Pv² + Xv² + Vv²

oder, was dasselbe ist:²

(7)

d y d y du d v

d % dz du d v

6 x d x du d v

8(£y-8,.*.

Diese drei Grössen heissen die Fundamentalgrössen erster Ordnung auf der Fläche (3), und zwar deshalb erster Ordnung, weil sie nur die ersten partiellen Differentialquotienten von x, y, z nach u und v enthalten. Mit ihrer Hülfe nimmt die Formel (5) für das Quadrat des Bogenelementes die einfache Gestalt an:

(8)

d s² = Fdu² + 2 Fdudv + Gdv².

Das Quadrat des Bogenelementes ds einer Fläche ist also auch bei der allgemeinsten Parameterdarstellung eine ganze homogene quadratische Function der Differentiale du und dv der Parameter. Die Coefficienten F, 2F, G sind Functionen von u und v.

Sind insbesondere x, y selbst die Parameter, d. h. liegt die Fläche in der Form (1) vor, so sind die Fundamentalgrössen nach

(2) diese:

G = 1 + q².

F=l+p²,

Der Darstellung (5) von ds² ordnet sich auch die Formel für das Quadrat des Bogenelementes der Ebene unter, an die wir oben erinnert haben. Sie geht aus (5) hervor, wenn wir die Ebene — aufgefasst als Fläche im Raume — so schreiben:

y = yj(u,v), z = 0.

(9)

X — Cp [u, v),

Die Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, G haben eine wichtige Eigenschaft: Sie ändern sich nicht, wenn die starr gedachte Fläche einer Bewegung (I S. 147) unterworfen wird. Man kann dies rein begrifflich daraus schliessen, dass ds² als Quadrat der Entfernung zweier Punkte bei der Bewegung ungeändert bleibt. Es soll aber auch durch die Rechnung bestätigt werden: Die Bewegung führe den Punkt [x, y, z) oder (;u, v) der Fläche (3) in den Punkt (,x, y, z) über. Dann ist nach den Formeln I (Ä)³ 4 des ersten Bandes:²

x = ux x + er₂ y -f a₃ z -f- a,

y = ßix + ß*y + ß3Z + ?>,

5 = y±x + y y + y z + c,

wobei die av ßv y. die in jener Tafel angegebenen Relationen erfüllen. Infolge dieser drei Formeln und infolge von (3) sind die Coordinaten x, y, z der Punkte der Fläche in ihrer neuen Lage ebenfalls Functionen der beiden Parameter u und v, und für diese Functionen ist:

u. s. w., sodass nach I (C) sofort folgt:

m §

fö

Cä3| Oj

S i'sS

u. s. w., d. li. nach (7):

E=E, F = F, G= G,

wenn E, F, G die Fundamentalgrössen der Fläche in ihrer neuen Lage bedeuten. Daher:

Satz 6: Die Fundamentalgrössen erster Ordnung einer Fläche bleiben bei Ausführung einer Bewegung unge-ändert.

Ganz anders verhält es sich, wenn man auf der Fläche neue krummlinige Coordinaten ü, v einführt. Setzen wir nämlich wie auf S. 7

(10)

u — X (u, v),

V — [X (u, V)

so werden x, y, z nach (3) Functionen von u, v, und es wird:

8x 8x dl

8 ü    du 8 ü

Cbj Cb Si|t=

Cb Cb «i 8

8 x 81 du 8v

8 x 8 fi 8 v    8 v

u. s. w.

Nun seien E, F, G die auf die neuen Parameter bezüglichen Fundamentalgrössen der Fläche; es sei also entsprechend (7):

bä

co

Qj Ob «i| &

(M

CO

Cb Cb Sl 8

Cb Cb

'Cb

CO

<b Cb

«i j 8

Wie man sieht, ergiebt sich aus den vorhergehenden Formeln:

I IS

CC jfö

IM

CO

<b| Cb

to

IC

<b Cb

Cbj <b Si|l=

CO

Cb! Cb

Cb Cb « 8

<b <b Si 'S

CO

Cb Cb

'S 8

Ähnlich drücken sich F und G aus. Ersetzen wir dann die Summen nach (7) durch ihre Zeichen E, F, G, so finden wir:

2 öl 8 fi 8 ü 8 ü

- (je)

8 fl)*

G,

(11)

81 81

du dl

E + ( —1 d-F i

^ [dü dl ^

2 8 l 8 fi dl ~8l

8 fi    81

8 ü    dl

)F+ij%e

Hierin sind rechts die Functionen E, F, G von u und v mit Hülfe der Formeln (10) in ü und v auszudrücken. Das Quadrat des Bogenelementes hat alsdann statt der Form (8) in der neuen Parameterdarstellung die Form:

(12)

ds² = Edü² + 2 Fdüdv + Gdv².

Die Formeln (11) zeigen, wie die Fundamental grossen erster Ordnung thatsächlich neue Formen bei Einführung neuer Parameter ü, v annehmen. —

Ist die Fläche (3) reell und gehören zu den reellen Werten der Parameter u, v die reellen Punkte der Fläche, so sind die Fundamentalgrössen E und G nach (7) reell und positiv, während F zwar reell ist, aber auch negativ sein kann.

Häufig wird auch die Grösse

(13)

E = ]/¹ EG - F²

gebraucht. Der Eadicand

ScMbfj-kks. G

S 4

EG - F²

8 x 8 x \2 du 8 v )

Diffr. II.

x-

Bei reellen Flächen mit reeller Parameterdarstellung ist also _ö2 stets positiv, sodass wir festsetzen dürfen, B bedeute alsdann die positive Quadratwurzel aus dem Ausdruck (14). D kann dann übrigens auch nicht für alle reellen Punkte gleich Null sein, weil sonst nach (14) die drei Functionaldeterminanten von je zweien der Grössen x, y, z hinsichtlich u und v gleich Null wären, was nach Satz 55, I S. 83, und nach Satz 1, S. 5, unstatthaft ist. Für imaginäre Flächen jedoch ist dieser Schluss nicht bindend.

Es giebt thatsächlich imaginäre Flächen, auf denen D überall gleich Null ist. Wir werden bald, auf S. 29, erkennen, was für Flächen dies sind.

Sehr oft wird in den Formeln die Grösse D als Nenner Vorkommen, was zur Folge hat, dass viele Sätze der allgemeinen Flächentheorie für jene besonderen Flächen nicht gelten oder wenigstens nur mit Vorsicht anzuwenden sind. Dasselbe gilt bei beliebigen Flächen für diejenigen Punkte auf ihnen, in denen B = 0 ist. Daher werden wir häufig den Fall B — 0 ausdrücklich auszu-schliessen haben.

Noch sei angemerkt, dass mit E, F, G natürlich auch die Function B von E, F, G bei allen Bewegungen ungeändert bleibt.

Liegt die Fläche in der Form vor:

² = fix> y) >

so hat B nach (9) und (13) den Wert:

(15)

lässt sich so umformen (vgl. Anm. I S. 146):

<“>

8 x 8 y \ 2 du 8 v )

8 x 8 %\2 du B v )

B y 8 x \2 8 u 8 v j

B = ]/l -j- p² + q².

1. Beispiel: Bei der Kugel um den Anfangspunkt mit Radius r (vgl. (6) auf S. 3):

ist:

x — r cos u cos v,

y = r cos u sin v,

x = r sin u

JE = r²

F = 0,

und das Quadrat des Bogenelementes also:

G = r² cos² u,

D = r² cos u

d s² = Fd u² + r² cos² u d v².

2. Beispiel: Ist u die Bogenlänge einer Curve:

S = 9> («) ,    11 = X (*0 ,    3 = V («)

so hat derjenige Punkt der Tangente der Stelle (’u), dessen Abstand vom Berührungspunkt gleich v ist, die Coordinaten:

(16)

* = i + rv

* = { + «?

wobei « = (p'{u), ß = x'{u), y = ip'(u) die Richtungscosinus der Tangente sind. Die Gleichungen (16) sind also, wenn u und v als Parameter aufgefasst werden, die der Tangenten fläche der Curve (vgl. 1. Beispiel S. 10 u. I S. 262, Formeln (4)). Hier ist nach III (C):

dy

—— = a -)--v

du

= r + —

wenn l, m, n die Richtungscosinus der Hauptnormale, r den Krümmungsradius der Gratlinie bedeuten. Ferner:

dx

dy

~d~v~r

sodass nach II (A):

v²

0=1,

D* = —7T

und also:

r²

ds² = 1 -j--s- \ d u² + 2 du dv + dv²

r²

ist. Dies steht in Einklang mit Formel (6) in I S. 263.

§ 3. Tangentenebenen einer Fläche.

Für den Fall, dass eine Fläche durch eine Gleichung zwischen x, y, z gegeben ist:

F{x, y,z) = 0,

haben wir in I S. 230 den Begriff und den analytischen Ausdruck ihrer Tangentenehenen aufgestellt. Wir wollen jetzt für den Fall, dass die Fläche mittels zweier Parameter u und v in der Form:

z = \p{u, v)

x = cp (u, v)

vorgelegt ist, ihre Tangentenebenen bestimmen.

Gehen wir von dem Punkte (u, v) der Fläche zu einem unendlich benachbarten Punkte (u + du, v + dv) über, so wachsen x, y, z um die Differenziale:

(1)

y = X («, v) >

dx =

du + dv, dy = d u + ^ d v ‘ d v    * du    d v

dz = ^r-du+^-dv. du    d v

Die Coordinaten wachsen also proportional den endlichen Grössen

d y dv

d v du ’ du

(2)

dx

dx dv d v du'

dy

du

dz dz dv d v du

Daher hat die Gerade vom Punkte (u, v) zum Punkte [u + d u, v + dv) in den laufenden Coordinaten £, t), 5 die Gleichungen:

dx dv\ dv du) ’

(3)

Cb Qj' Cb

dy dv d v ä u

mit dem Parameter £ Ist (m, r) ein ganz bestimmt gewählter Punkt der Fläche, so haben hierin die Grössen x, y, z und ihre Ableitungen nach u und v bestimmte Werte. Ausser t ist also rechts nur noch dv.du veränderlich. Je nachdem wir dies Verhältnis der Incremente von u und v wählen, erhalten wir verschiedene Geraden (3) vom Punkte (u,-v) aus nach unendlich benachbarten Punkten der Fläche. Nach I S. 282 sind diese 00¹ Geraden die Tangenten des Punktes (u, v) der Fläche. Setzen wir

d v

—— t — r

du

so geben also die Gleichungen:

dx

(4)

t + -k—t d v

wenn in ihnen t und r beliebig gelassen werden, alle oo2 Punkte (£, t), §) aller 00¹ Tangenten der Stelle (u, v) oder (x, y, z). Da die Elimination von t und r aus diesen drei Gleichungen die in £, t), § lineare Gleichung

dx dx

(5)

Sy dy

dz dz

liefert, so folgt, dass die 00¹ Tangenten des Flächenpunktes (u, v) eine Ebene erzeugen. Wir haben also hiermit auf anderem Wege als in I S. 232 nachgewiesen, dass die Tangenten eines Flächenpunktes im allgemeinen eine Ebene, die Tangentenebene oder

Tangentialebene des Punktes (u, v) bilden, von der man sagt, dass sie die Fläche in dem betreffenden Punkt berührt. Man erkennt nun, dass der obige Schluss nur dann gilt, wenn für den betrachteten Punkt (x, y, z) weder die drei ersten partiellen Ableitungen der Coordinaten nach u noch die nach v gleich Null sind.

Denn wenn für den betrachteten Punkt zunächst nur:

dx

= 0,

dy

= 0,

ist, so giebt die Reihenentwickelung:

dx —

d²X

du*

du² + 2

d²x

du dv

du dv +

8²x

Fv²

dv²) + • • •

und dieselbe Formel gilt, wenn x durch y oder z ersetzt wird. Da du² und dudv von höherer Ordnung unendlich klein als du sind, so hat man dann anzunehmen, dass dv² von derselben Ordnung wie du ist, sodass bleibt:

dx

- d²x (dv)2 2 dv² du

du.

Jetzt sind die Gleichungen der Tangente, die zu einem endlichen Werte k von (dvf'.du gehört, diese:

k t.,

8x x d²x ² d v²

b = y + -ä— * +

\^JL

2 Q v 2

d²z

dv²

mit dem Parameter t. Da die Gleichungen in t und k t linear sind, so erfüllen die Tangenten auch jetzt noch eine Ebene:

ä²x

dy

= 0.

d*y_ dv2 d'z dv²

Wenn nun aber für den betrachteten Punkt sowohl:

also auch

Qj Q)    Qj Qj

<S 8    8 S

8} 8    81 8

fO fO ‘ö

<^| Qj Q) Qj

ist, so kommt zunächst: dx -

¹    2 duz

d²x

du dv

du dv -f- ~or

d²x ² ‘ g v*

dv² + --.,

und diese Formel gilt auch, wenn x durch y oder z ersetzt wird. Geben wir du und dv unendlich kleine Werte von derselben Ordnung, so können wir uns auf die Glieder beschränken:

dv\²

d²x d v du dv du

dx - f-L —

a ~ t² du2 Die zugehörige Tangente hat daher, wenn

-I- i ‘ 2

d²x

Jv²

du

du².

du

gesetzt wird, die Gleichungen in den laufenden Coordinaten £, t), g:

\ JAx_

² du²

d² x

d²x

du d v

dv²

>‘²) t,

d²y

d²y

du d v

² du²

a²%

² du²

mit dem Parameter t Geben wir k alle beliebigen Werte, so stellen diese Gleichungen mittels der beiden Parameter t und k die Fläche dar, die von allen Tangenten des Punktes (x, y, z) gebildet wird. Die Elimination von t und k liefert die in £ — x, t) — y, 5 — z homogene quadratische Gleichung:

d² x

d² x

du d v

dv²

o-s

Xuv Xvv

yuv Vw

cä

l ~ Z Zuv Zvv

«-S

= o,

die einen Kegel zweiter Ordnung mit der Spitze (x, y, z) bedeutet. In dem vorliegenden Falle heisst daher der Punkt (x, y, z) singulär (vgl. Satz 32, I S. 231). Dadurch, dass auch höhere Ableitungen von x, y, z nach u und v gleich Null werden können, was wir soeben stillschweigend ausgeschlossen hatten, können übrigens noch stärkere Singularitäten eintreten: Der Tangentenkegel kann von höherer als zweiter Ordnung werden. Hierauf gehen wir jedoch nicht ein.

Wenn die ersten Ableitungen von x, y, z nach dem einen Parameter, nicht aber auch die nach dem anderen gleich Null sind, so kommt dem Punkte (x, y, z) zwar nach Obigem eine Tangentenebene zu. Jedoch hat ihre Gleichung nicht die Form (5). Allgemeine

Betrachtungen, hei denen die Form (5) benutzt wird, sind also nicht ohne weiteres auf solche Punkte anwendbar.

Wir setzen deshalb fest: Ein Punkt (x, y, z) der Fläche soll auch dann singulär heissen, wenn für ihn die ersten Ableitungen nach einem der beiden Parameter alle drei gleich Null sind. Von solchen Punkten sehen wir grundsätzlich ab, und wir brauchen dies deshalb später nicht mehr immer zu erwähnen. Bemerkt sei nur nochmals: Die Tangenten der Fläche verhalten sich an einer solchen singulären Stelle nur dann singulär, wenn die Ableitungen von x, y, z nach beiden Parametern gleich Null sind. Die sonstigen singulären Punkte sind, kann man sagen, nur in Hinsicht auf das gerade benutzte Parametersystem singulär. Denn man kann durch Einführung neuer Parameter leicht ihre Singularität vernichten.

Nicht-singuläre Punkte heissen regulär. Punkte allgemeiner Lage sind regulär.

Beispiel: Ein Kreis drehe sich um eine Secante. Dadurch entsteht eine Bing fläche, die in ihren Schnittpunkten mit der Secante singulär ist, weil dort die Tangenten des Kreises Botationskegel beschreiben.

Wir kehren zur Betrachtung der Fläche an einer regulären Stelle [x, y, z) zurück. Dort ist (5) die Gleichung der Tangentenebene.

Ordnen wir sie nach den laufenden Coordinaten £, t), so hat sie die Form: worin A, B, C, L nach (5) Functionen von x, y, z\ xu, yu, zu; xv, yv, zv, d. h. nach (1) Functionen von u und v sind. Die Coefficienten der allgemeinen Gleichung einer Tangentenebene enthalten also zwei willkürliche Parameter u und v, sodass wir sagen können: Eine Fläche hat höchstens oo² Tangentenebenen. Aber sie kann auch weniger haben, denn eine abwickelbare Fläche hat ja nur oo¹ Tangentenebenen (vgl. z. B. Satz 15, I S. 293).

Dies führt uns zu einer umgekehrten Fragestellung: Es sei eine stetige Schar von unendlich vielen Ebenen gegeben. Es wird dann gefragt, ob es eine Fläche giebt, die alle diese Ebenen berührt.

Da die Schar der Ebenen höchstens von zwei willkürlichen Grössen u und v abhängen darf, so wird sie durch eine Gleichung von der Form zu geben sein:

(6)

A [u, v) £ + B (u, v) b + C(u, v) i = D (w, v).

Wenn nun von den drei Verhältnissen der vier Grössen A, B, C, D zwei von einander unabhängige Functionen von u und v sind, so enthält die Schar (6) sicher oo² Ebenen. Andernfalls liegen nur oo⁵ Ebenen vor, und wir wissen, dass oo⁵ Ebenen die Tangentenebenen einer abwickelbaren Fläche sind, vgl. § 5, I S. 289 u. f. Da dieser Fall schon erledigt ist, setzen wir voraus, dass zwei der Verhältnisse der Grössen A, JB, C, B von einander unabhängig seien.

Sollen nun die oo² Ebenen (6) die Tangentenebenen einer Fläche sein, so muss jede der Ebenen einen Punkt (x, y, z) der fraglichen Fläche enthalten. Da eine Ebene aus der Schar (6) durch Angabe der Werte von u und v charakterisiert wird, so werden die Werte x, y, z auch Functionen von u und v sein. Wären sie bekannt, so läge die Fläche in Parameterdarstellung vor. Nun ist zu fordern, dass die zum Wertepaar u, v gehörige Ebene (6) alle Tangenten (4) des Punktes (.x, y, z) enthalte, d. h. dass⁵

S A (x + xu t + xv r) = B

sei für alle Werte von u, v und von t, r, also einzeln:

S Ax — B, SAxu = 0, SAxv = 0.

Da die erste Gleichung die durch Differentiation nach u oder v hervorgehenden Gleichungen:

S Avx + S Axv = Dv

S A x + S A xu = D

nach sich ziehen würde, so lassen sich die zweite und dritte Gleichung ersetzen durch:

SA x = B .

V    V

S Aux = Du,

(7)

S Av x = Bv

Mithin finden unsere Forderungen in den drei Bedingungen S Ax — D, SA x — B

für x, y, z ihren vollständigen Ausdruck.

Die Discussion dieser Bedingungen teilt man zweckmässig in zwei Fälle: Da von den Verhältnissen von A, B, C, D zwei von einander unabhängig sind, so scheiden wir so: Entweder sind die Verhältnisse von A, B, C allein (ohne B) von einander abhängig oder nicht.

Im ersten Fall sind A, B, C, abgesehen von einem gemeinsamen Factor, von einander abhängig. Da wir den gemeinsamen Factor durch Division entfernen können, so können wir dann annehmen, dass A, B, C alle drei Functionen einer Function oj [u, v) seien, so-dass die Gleichung (6) so lautet:

A (<ö)£ +    + C[po)ft = B{u, v).

Alsdann darf aber I) nicht eine Function von co allein sein. Die Bedingungen (7) sind hier:

S A x — jD

Die beiden letzten Gleichungen widersprechen einander, da die Functionaldeterminante von co und I) von Null verschieden ist. Es giebt also hier keine Lösung unserer Aufgabe. Im vorliegenden Falle sind alle oo² Ebenen der gegebenen Schar den Ebenen

A (co) £ + B (<ö) b + C{m) 5 = 0

durch den Anfangspunkt parallel. Diese letzteren sind aber nur oo¹ Ebenen, die also einen Kegel umhüllen.

In dem anderen Falle, dass die Verhältnisse von A, B und C allein von einander unabhängig sind, gilt dies auch von den Verhältnissen der Coefficienten von £, t), 5, sobald wir die Gleichung (6) durch Division mit B auf die Form

(8)

A% B ty + C ft — 1

gebracht haben. Diese Reduction ist übrigens unmöglich, wenn I) — 0 ist, d. h. alle oo² Ebenen die Ebenen durch den Anfangspunkt sind. Jetzt haben die Gleichungen (7) die Form:

S Av x = 0.

S Au x = 0

(9)

S A x = 1,

Ihre • Determinante hinsichtlich x, y, z ist, wie man durch Ausrechnung sieht, gleich der Funtionaldeterminante von A : C und B: C (vgl. I S. 81), multipliciert mit C³. Wäre sie gleich Null, so wäre entweder C— 0, was wir aber dadurch ausschliessen können, dass wir die Coordinaten vertauschen, denn zwei der drei Grössen A, B, C sind ja von Null verschieden, oder aber es wären A: C und B: C gegen die Voraussetzung von einander abhängig, nach Satz 54, I S. 82. Also sind die Gleichungen (9) nach x, y, z auflösbar.

Sind zwei der Functionen x, y, z von u und v, die sich aus (9) ergeben, von einander unabhängig, so stellen die Auflösungen eine Fläche in den laufenden Coordinaten x, y, z, ausgedrückt mittels der Parameter u und v, dar, und die 00² gegebenen Ebenen sind ihre Tangentenebenen. Wenn dagegen die drei Lösungen x, y, z von einander abhängige Functionen von u und v sind, so stellen sie eine

Curve dar (vgl. S. 4), die von den oo² gegebenen Ebenen berührt wird. Sind endlich die drei Lösungen x, y, z Constanten, so ergeben sie einen Punkt, durch den alle oo² gegebenen Flächen hindurchgehen. Das Gleiche liefert der Fall D = 0.

Unser Ergebnis ist somit, wenn wir in dem zweiten Hauptfall wieder von der speciellen Form (8) zur allgemeinen (6) zurückkehren :

Satz 7: Liegt eine Schar von oo² Ebenen in den laufenden Coordinaten £, t), § vor:

A (u, v) i + B(u, v) t) + C(u, v)% = D (u, v),

ausgedrückt mittels zweier Parameter u und v, so giebt es dann und nur dann eine Fläche, die alle diese Ebenen berührt, wenn die Auflösung der drei Gleichungen:

Ax + By + C z = D ,

ÄuX + Buy + CnZ = B

Avx + Bv y + cvz = A

nach x, y, z möglich ist, und zwar stellen die Lösungen die Fläche in den laufenden Coordinaten x, y. z, ausgedrückt mittels der Parameter u und v, dar. Diese Fläche reduciert sich auf eine Curve, wenn die Lösungen x, y, z von einander abhängige Functionen von u und v sind, und auf einen Punkt, wenn die Lösungen Constanten sind.

Ist die Auflösung der Gleichungen unmöglich, so sind alle oo² Flächen den Tangentenebenen eines Kegels parallel.

Da parallele Ebenen in der Auffassung der projectiven Geometrie (vgl. I S. 327 Anm. u. I S. 339) eine unendlich ferne Gerade gemein haben, so ist der letzte Fall der, dass je oo¹ Ebenen der Schar eine Gerade im Unendlichfernen gemein haben, sodass es in der unendlich fernen Ebene eine Curve giebt, die von den oo² Ebenen berührt wird, nämlich die Schnittcurve des erwähnten Kegels mit

der unendlich fernen Ebene.

Reduciert sich der Kegel auf eine Gerade, so reduciert sich die unendlich ferne Curve auf einen Punkt.

Das Hauptergebnis unserer Betrachtungen ist dies: Eine Schar von oo² Ebenen umhüllt im allgemeinen eine Fläche. (Vgl. I S. 140.)

§ 4. Fortschreitungsrichtungen von einem Flächenpunkte aus.

Wir kehren zur Betrachtung der Tangentenebenen einer gegebenen Fläche:

(1)

y =x{u, v),

zurück, deren Bogenelement ds durch die Formel:

dis² = Edu² + 2Fdudv + G dv²

X = cp (u, v)

z — 'Ip (u, v)

(2)

ausgedrückt sei. Wir haben gesehen, dass die Tangentenebene des Flächenpunktes (u, t;) in den laufenden Coordinaten t), g die Gleichung hat (vgl. (5), S. 20):

Xv

(3)

dv

= 0.

Zv

i-

Die Gerade, die im Berührungspunkt (u, v) auf der Tangentenebene senkrecht steht, heisst die Normale der Fläche im Punkte (u, v). Ihre Richtungscosinus sind nach (3) den drei Grössen:

VuZv - ZuVv> ZnXv - XuZv> Xudv ~ duXv

proportional. Da die Summe der Quadrate dieser drei Grössen nach (14), S. 18, gleich E² oder EG — F² ist, so sind:

(4)

yu %u yv

u Vv    y u

die Richtungscosinus X, Y, Z der Normalen. Dadurch, dass wir E und nicht — E geschrieben haben, ist der Normale im Fall eines reellen Flächenpunktes mit reellen Parameterwerten ein positiver Sinn beigelegt worden.

Wir merken hier einige öfters anzuwendende Formeln an. Zunächst ist augenscheinlich:

ferner:

SX²=1, SXXM = 0, sxxy = o

(5)

S Xxu = 0

S Xxv = 0.

Ferner ist nach (4):

Yzu ~ zVu = 77 1 (Vu² + Zu) xv ~ (du dv + ^ zv) XJ •

Wenn wir in der grossen Klammer x² xv addieren und subtrahieren, so kommt nach (7), S. 15:

Exv — Fxu

I)

Analog ergiebt sich überhaupt die Reihe von Formeln:

Exv — Fxu

(6)

*z» - tyu =

*yu - y*u =

Ezv — F%u

Z*. - =

*yv - =

Fxv — Gxu

F yv — G yu

Fzr — G zu

Auch folgt:

Xu Xv

¹

   Nach GrAuss’ „Disquisitiones“,

²

   Wie im 1. Band geben wir hinter dem Summenzeichen S nur das erste Gflied der Summe an. Die übrigen Glieder gehen aus ihm durch cyklisclie Vertauschung von x, y, z hervor. Vgl. I S. 178.

³

   Die Formeln der Tafeln im Anhang zum ersten Band werden wir immer durch die römische Ziffer der betreffenden Tafel und den Buchstaben der Formelbezeichnung citieren.

⁴

   Nach I S. 148 haben wir in jenen Formeln x, y, % mit x, y, i zu vertauschen, da jetzt x, y, % die Coordinaten des ursprünglichen Punktes bedeuten.

⁵

Das Summenzeichen bezieht sich hier natürlich auch auf cyklische Vertauschung von A, B, C.

(?)

yu i/v

Zu Zv Z I

wenn man die Determinante nach der letzten Reihe entwickelt und die Werte (4) benutzt.

Die Formeln (4) für die Richtungscosinus der Flächennormale enthalten D im Nenner und sind daher nicht brauchbar, wenn D gleich Null ist. Ist dies in einem Flächenpunkte («u, v) der Fall, so hat dort die Tangentenebene (3) eine solche Gleichung:

in der A² + B² + C² = 0 ist.

Die Normale zu dieser Ebene hat

keine Richtungscosinus und ist daher eine Minimalgerade (vgl. I S. 142). Nach Satz 48, I S. 339, ist die Tangentenebene folglich zugleich Tangentenebene des Kegels von Minimalgeraden, die durch den betrachteten Flächenpunkt gehen, d. h. der Nullkugel des Punktes.

Die Fläche wird also in denjenigen Punkten, in denen D = 0 ist, von den zugehörigen Nullkugeln berührt.

Fragen wir nach denjenigen Flächen, auf denen überall D — 0 ist. Sie müssen überall von den zugehörigen Nullkugeln berührt werden. Da nun alle Nullkugeln durch Schiebung aus dem Kegel der Minimalgeraden durch den Anfangspunkt hervorgehen (vgl. I S. 336), so sind die Tangentenebenen aller Nullkugeln den Tangentenebenen dieses einen Kegels parallel. Nach dem letzten Absatz des Satzes 7, S. 2b, giebt es keine Fläche, die alle diese Tangentenebenen berührt. Hieraus folgt, dass eine Fläche, auf der überall D — 0 ist, nur oo¹ Tangentenebenen hat, die zugleich Tangentenebenen von Nullkugeln sind. Nach Satz 15, I S. 293, ist die Fläche mithin eine abwickelbare Fläche. Ihre Gratlinie wird überall von der zugehörigen Nullkugel berührt und ist daher eine Minimal-curve. Die Gratlinie kann sich auf einen Punkt reducieren, dann ist die Fläche selbst eine Nullkugel; insbesondere gehören auch die Cylinder von Minimalgeraden hierzu. Also haben wir gefunden:

Satz 8: Die Grösse E² — E G — F² ist nur an solchen Stellen einer Fläche gleich Null, in denen die Fläche von der zugehörigen Nullkugel berührt wird.

Satz 9: Die Flächen, auf denen überall D² — EG — F2 gleich Null ist, sind die Tangentenflächen der Minimal-curven, insbesondere die Nullkugeln und die Cylinder von Minimal geraden.

Dass bei der Xugel auf S. 18 die Grösse D in den Polen (u = ±Yn) gleich Null ist, giebt deshalb nicht zu einer Folgerung im Sinne des Satzes 8 Anlass, weil diese Pole bei der gewählten Parameterdarstellung nach S. 6 überhaupt auszuschliessen sind.

Nebenbei sei bemerkt, dass F = 0 die Bedingung dafür ist, dass das Quadrat des Bogenelementes als vollständiges Quadrat (]/Fdu + ^Gclvf geschrieben werden kann. —

Nach dieser Einschaltung kehren wir zur allgemeine Betrachtung zurück.

Auf der gegebenen Fläche (1) lassen wir den Punkt (u, v) sich dadurch bewegen, dass wir nur u ändern, während v seinen Wert behalten soll. Dann beschreibt der Punkt eine Parameterlinie (v). Die Richtungscosinus ihrer Tangente sind proportional den Ableitungen xu, yu, zu von x, y, z nach u. Da die Summe der Quadrate dieser Ableitungen gleich E ist — nach (7), S. 15 —, so sind

(8)

]/F

Ve

yu>

VE

die Richtungscosinus selbst. Ebenso hat die Tangente der durch den Punkt (u, v) gehenden Parameterlinie (?<) dort die Richtungscosinus:

(9)

}/G~v’    ~ )/G Vv

Wir nennen im reellen Fall diejenigen Richtungen der Tangenten jDOsitiv, für deren Cosinus die Quadratwurzeln aus den positiven Grössen E und G positiv sind, d. h. diejenigen Richtungen, längs deren u bez. v zunimmt. (Vgl. I S. 168).

Erinnern wir uns daran, dass die Linien (v) und (u) nach S. 9 die natürliche Verallgemeinerung der Geraden y — Const. und

ä-

(VJ

(u) L yo

Fig. 5.

x — Const. in der .ry-Ebene sind, so liegt es im reellen Fall nahe, in der Tangentenebene diejenige Drehung als positiv zu bezeichnen, vermöge deren die Tangente der Linie (ü) in die der Linie (u) übergeht. Siehe Fig. 5. Wir behaupten, dass diese Drehung, sobald man sie von der positiven Seite der Normalen aus betrachtet, in •x demselben Sinn stattfindet, wie die Drehung in der xy-Ebene von der a>Axe zur y-Axe, sobald man die a-?/-Ebene von der positiven z-Axe aus betrachtet.

\\ enn wir nämlich für den Augenblick das Axenkreuz durch eine Bewegung in eine solche Lage (5, ty, g) bringen, dass der Flächenpunkt der Anfangspunkt, die positive Tangente der Curve (v) die £-Axe und die positive Normale die g-Axe wird, so werden sich A, G und D ]/A G — E² dabei nach Satz 6, S. 16, nicht ändern, während £, tj, § jetzt solche Functionen von u und v sein müssen, für die die Richtungscosinus (8) im betrachteten Punkte die Werte 1, 0, 0 und die Richtungscosinus (4) die Werte 0, 0, 1 haben. Bei dieser Annahme ist deshalb im Flächenpunkt

di

= yj,

di)

Cb o.

= 0,

0,

di

]/E ’ dv

sodass die Richtungscosinus (9) die Werte bekommen:

0.

dl

dv ’    ]/E ]/G

In der neuen £ ty-Ebene — der Tangentenebene — liegt mithin die Tangente der Curve (u) so, dass sie mit der positiven £-Axe einen Winkel co — im Sinne der Drehung von der £- zur t)-Axe — bildet, für den

dl

sin co =

cos co = —=-,

VQ dv

und daher sin co positiv ist. Folglich liegt co zwischen 0 und 71,

1/E ]/G

was eben aussagt, dass die Drehung, durch die wir die Tangente der Curve (u) in die der Curve (z<) überführen, gerade im Sinne der Drehung der j-Axe zur ty-Axe hin stattfindet.

Abgesehen davon also, dass der Winkel der Parameterlinien im Punkte (u, v) kein rechter ist, sind jetzt die Tangente der Curve (’v), die Tangente der Curve (?<) und die Normale gerade so gegen einander orientiert, wie die neuen Coordinatenaxen und also auch gerade so wie die alten Coordinatenaxen.

Die Formel

(10)

sin co =

yjsyä

gilt nach Satz 6, S. 16, auch im alten Coordinatensystem (x, y, z), zu dem wir jetzt zurückgreifen. Der Wert von cos co kann als Summe der Producte der Richtungscosinus (8) und (9) direct berechnet werden:

cos co =

oder nach (7), S. 15:

® yEXu y~oXv

(11)

cos co —

yE y q

Geht der Punkt (u, v) in den Punkt (u + du, v) über, so legt er das Bogenelement zurück:

(12)

du s = yE du,

geht er dagegen in den Punkt (u, v + d v) über, so legt er das Bogenelement

dv s = yG clv

zurück. Sind du und dv positiv, so bilden die alsdann positiven Elemente d s und d s den

U    V

Winkel co mit einander. Die vierte Ecke des durch beide Elemente bestimmten Par-allelogrammes (siehe Fig. 6) wird erreicht, wenn sowohl u um du als auch v um dv zunimmt.

(13)

klET /

/ Vff~

LJ. FM

(uLLLf dus

/[ /

ft?) fu+Gtu)

(irt dir)

Die Richtung, die der Punkt (u, v) auf der Fläche oder auf seiner Tangentenebene einschlägt, wenn u und v um Incremente du und dv wachsen, deren Verhältnis dv:du—h gegeben ist, finden wir daher

fr--

■fr)

Fig. 6.

so: Auf den positiven Tangenten der Parameterlinien (v) und (u) des Punktes {u, v) tragen wir von diesem Punkte aus Strecken ab, die sich wie ]/Edu zu ]/£dv oder also wie ]/E zu ij/ff halten, und vervollständigen das durch diese beiden Strecken bestimmte Parallelogramm, dessen Diagonale dann die gesuchte Richtung giebt. Je nachdem dabei du positiv oder negativ angenommen wird, wird diese Richtung im Sinne vom ursprünglichen Punkt [u, v) zur Gregenecke oder im entgegengesetzten Sinn, also nach rückwärts über den Punkt {u, v) hinaus, eingeschlagen.

ver-

Nehmen wir zwei Werte k und x für dv.du an, so gehören zu ihnen zwei Tangenten des Punktes (u, v). Längs der ersten ist dann

dx: dy : dz =• (xu + k xv) : (yu + kyv): (zu + k zv),

und die Summe der Quadrate der Klammern rechts ist nach (7), S. 15, gleich:

E + 2 Fk + Gk²,

sodass wir durch Division der Klammern mit der Quadratwurzel hieraus die Richtungscosinus der Tangente (h) erhalten. Wird die Wurzel positiv gewählt, so ist die Fortschreitungsrichtung diejenige, bei der d u positiv ist. Entsprechendes ergiebt sich bei der zweiten Tangente. Für den Winkel a beider ist also:

cos u =

_S [xu + k x,) (xu + x x,;)__

]/(E + 2 Yk + G D) (E + 2Fx+ gAF)

Nach (7), S. 15, kommt daher:

Satz 10: Auf einer Fläche mit den Parametern u und v hat der Cosinus desjenigen Winkels a, den zwei vom Punkte (u, v) ausgehende Tangenten (d v : d u = k) und {dv.du —x) mit einander bilden, den Wert:

cos Ci —

E + F(k + x) + Gkx ]/(£?+ 2Fk + Gk²)(E+2Fx+ Gx²) ’

und zwar ist die Quadratwurzel im reellen Fall positiv anzunehmen, wenn bei beiden Fortschreitungsrichtungen du positiv ist.

Stehen die beiden Richtungen auf einander senkrecht, so ist cos cc — 0. Dies tritt ein, wenn

E + F{k + ^)+ Gkx — 0

(14)

ist, vorausgesetzt dass der Nenner in der Formel für cos« nicht auch gleich Null ist. Aber wenn etwa auch

(15)

E + 2 Fk + Gk² = 0 wäre, so gäbe die Elimination von k aus beiden Gleichungen:

D{E + 2 Ex + Gx²) = 0,

also entweder J) = 0 oder

E + 2 Ex + Gx² = 0.

Wäre letzteres der Fall, so wäre hiernach und nach (15):

₇ F hx = i}’

sodass die Substitution dieser Werte in (14) doch 1) — 0 ergäbe. Also können wir sagen:

Zwei Fortschreitungsrichtungen (k) und (x) durch einen Flächenpunkt [u, v) sind zu einander senkrecht, wenn

Satz 11 :

E + F{k + x) + G k x = 0

ist, vorausgesetzt, dass dabei E = ~^EG — F² nicht gleich Null ist.

Da eine Differentialgleichung

A(u, v)du² + 2B[u, v)dudv + C[u, v)dv² — 0

nach Satz 5, S. 13, zwei Scharen von je oo¹ Curven auf der Fläche definiert, so können wir uns fragen, unter welchen Bedingungen diese beiden Scharen einander überall senkrecht schneiden oder also, wie wir sagen (vgl. I S. 110), ein Orthogonalsystem bilden. Die Differentialgleichung giebt, als quadratische Gleichung für dv.du aufgefasst, für jeden Punkt {u, v) der Fläche die Fortschreitungsrichtungen (h) und (x) der durch den Punkt gehenden Curven der beiden Scharen. Daher ist

k -f- x — —

**”-0 •

Setzen wir diese Werte in die Orthogonalitätsbedingung des Satzes 11 ein, so kommt:

Satz 12: Die durch die Differentialgleichung A (u, v)du² + 2 B (u, v) d u d v + C {u, v) d v² = 0 definierten beiden Scharen von je oo¹ Curven auf einer

Scheffers, Geom. Diff'r. II.

KATEDRA f ZAKtAD

matf matvki

WYDZIALU INtYNIERII

W krakowie

Fläche mit den Parametern u und v bilden, vorausgesetzt, dass L — ^EG — F² nicht gleich Null ist, ein Orthogonalsystem dann und nur dann, wenn

EC - 2FjB + GA = 0

für beliebige Werte von u und v ist.

Da insbesondere dudv — 0 die Differentialgleichung der Scharen von Parameterlinien ist und hier also A — C = 0 zu setzen wäre, so folgt:

Satz 13: Die Parameterlinien (u) und (v) einer Fläche, auf der D = ]/E G — F² nicht gleich Null ist, bilden ein Orthogonalsystem, wenn F für beliebige Werte von u und v gleich Null ist.

Ist F nicht überall gleich Null, so giebt die Forderung F = 0 als Gleichung zwischen u und v nach Satz 3, S. 11, im allgemeinen eine Curve, in deren Punkten die Parameterlinien einander senkrecht schneiden. Diese Curve kann sich auf einen Punkt reducieren, ja es kann Vorkommen, dass F nirgends gleich Null ist.

% = r sin u

y = r cos u sin v ,

ist F nach S. 18 gleich Null. In der That schneiden die Breitenkreise und Meridiane einander senkrecht.

Wählen wir auf der Fläche eine Schar von oo¹ Curven ganz beliebig, etwa so, dass sie die Differentialgleichung

Beispiel: Auf der Kugel x = r cos u cos v

erfüllen, so können wir die Differentialgleichung der zu dieser Schar orthogonalen Schar leicht aufstellen. Hätte sie die Form

so müssten eben A und g nach Satz 11 die Bedingung:

E + F{1 + g) + Gig = 0

erfüllen. Hieraus aber lässt sich die Function g (u, v) berechnen.

Der unendlich kleine Inhalt dJ des in Fig. 6, S. 31, dargestellten Parallelogramms mit den Seiten du s und dv s ist (vgl. I S. 118)

dJ — d s • d s • sin oo

U    V

mithin nach (10), (12) und (13)

(16)

d J — D du dv.

Also:

Satz 14: Die Grösse D = ]/ F G — F² ist, m u ltipliciert mit du und dv, gleich dem Inhalt des Parallelogramms der vier Punkte [u, v), [u ff du, v), [u, v ff- dv), (u + du, v ff- dv) auf der Fläche.

Insbesondere:

Satz 15: Das von unendlich benachbarten Parameter-curven [u), (u ff- s), (u ff- 2s) . . . bez. (u), (v ff- e), (v ff- 2s) . . . gebildete Curvennetz auf einer Fläche besteht dann und nur dann aus lauter gleich grossen Parallelogrammen, wenn B — ~jFG — F² auf der Fläche constant ist.

Beispiel: In der xx-Ebene sei eine Gerade im Abstander parallel zur z-Axe gelegt. Sie werde um die x-Axe gedreht, sodass sie einen Rotations-cylinder erzeugt. Da derjenige Punkt der Geraden, der zuerst die «-Coordi-nate u hat, bei der Drehung, sobald der Winkel v zurückgelegt ist, in den Punkt

x = r cos v , y — r sin v,    % — u

übergegangen ist (siehe Fig. 7), so sind diese drei Gleichungen eine Parameterdarstellung des Rotationscylinders. Hier ist E = 1, F = 0, G — r², daher D = r.

<a-

Die Sätze 13 und 15 werden hier bestätigt.

Fig. 7.

Unter den Fortschreitungsrichtungen (idv\du) von einem Flächenpunkte (u, v) aus sind auch zwei enthalten, für die das Quadrat des Bogenelementes:

ds² = Edu² + 2Fdudv + G dv²

gleich Null ist. Dies kann natürlich nur für imaginäre Fortschreitungsrichtungen der Fall sein, was analytisch auch daraus folgt, dass auf einer reellen Fläche mit reellen Parametern u und v die Grösse F G — F² nach S. 18 nie negativ ist. Die Differentialgleichung:

Fdu² ff- 2 Fdudv ff- Gdv² = 0

definiert also zwei imaginäre Scharen von je oo¹ Curven auf der Fläche, längs deren überall das Bogenelement gleich Null ist, also zwei Scharen von Minimalcurven (vgl. I S. 164). Diese beiden

3*

Erster Abschnitt: Das Bogenelement der Fläche.

co :

Scharen fallen nur dann zusammen, wenn die Differentialgleichung auf die Form:

(cc du + ß dv)² — 0

gebracht werden kann, d. h. wenn E G — F² = 0 ist. (Vgl. S. 29.) Daher nach Satz 9, S. 29:

Satz 16: Jede Fläche enthält zwei Scharen von je oo¹ Minimalcurven, die nur dann in eine Schar, nämlich in eine Schar von Minimalgeraden, zusammenfallen, wenn die Fläche die Tangentenfläche einer Minimalcurve ist. Die Differentialgleichung der Minimalcurven auf der Fläche ist:

Edu² A- 2F dudv + Gdv² = 0.

Insbesondere sind die Parameterlinien selbst die Minimalcurven, wenn diese Differentialgleichung die Form du dv = 0 hat. Also:

Satz 17: Die Parameterlinien (u) und (v) einer Fläche sind dann und nur dann ihre Minimalcurven, wenn das Quadrat des Bogenelementes die Form hat:

ds² = 2Fdudv,

d. h. von den Gliedern in du² und dv² frei ist.

Natürlich gehören dann zu reellen Punkten der Fläche imaginäre Werte der Parameter.

§ 5. Flächentreue Abbildung von Flächen.

Liegt irgend eine Fläche vor:

(1)

x = cp (u, v), y = / (u, v), z = xp (u, v),

so kann man sie auf unendlich viele Weisen Punkt für Punkt auf die Ebene abbilden, d. h. man kann auf unendlich viele Weisen jedem Punkt (u, v) der Fläche einen Punkt (£, t)) einer Ebene mit den rechtwinkligen Coordinaten £ und t) gesetzmässig zuordnen. Dies geschieht einfach dadurch, dass man £ und irgend wie als Functionen von u und v giebt:

(2)

j    v), t) = *P(u, v).

Nur muss man noch ausmachen, dass 0 und 0 von einander unabhängige Functionen sein sollen. Denn sonst wäre etwa 0 eine Function von 0 allein:

sodass die Bildpunkte (£, t)) der Flächenpunkte nach (2) an die Gleichung

= ®(f)

gebunden wären, geometrisch ausgesprochen: auf einer Curve lägen. Dann wären also alle oo² Punkte (u, v) der Fläche vermöge der Formeln (2) als die oo¹ Punkte einer Curve in der Ebene abgebildet. Je oo¹ Punkte der Fläche hätten denselben Bildpunkt, nämlich jedesmal solche oo¹ Punkte (u, v), für die v) den gleichen Wert hat, weil für solche oo¹ Flächenpunkte nach (2) die Grösse 5 gleiche Werte hätte und ebenso die Grösse t) nach (2) und (3). Eine solche Abbildung heisst ausgeartet, da bei ihr die Fläche nicht auf die ganze Ebene, sondern nur auf eine Curve abgebildet wird.

Wir setzen deshalb voraus, die beiden Gleichungen (2) seien nach u und v auflösbar. Allerdings kann dann immer noch für einzelne Punkte (u, v), ja für 00¹ Punkte (u, v) die Functional-determinante von 0 und 0 gleich Null sein. Es kann also Vorkommen, dass eine gewisse Curve oder einige auf der Fläche doch nur als Punkte abgebildet werden. Ebenso kann es Vorkommen, dass einzelne Punkte der Fläche sogar als Curven abgebildet werden, wenn nämlich 0 oder 0 für geAvisse Werte von u und v Unbestimmtheiten darbieten. Es kann also immerhin bei einer nicht ausgearteten Abbildung doch ausgeartete Stellen (Punkte oder Curven) geben. Wir müssen uns auf einen solchen Teil (u, v) der Fläche beschränken, für den 0 und 0 bestimmt bleiben und ihre Functional-determinante nicht gleich Null ist.

Berechnen wir u und v aus (2) als Functionen von £ und und setzen wir die berechneten Werte in (1) ein, so kommen drei Gleichungen von der Form:

x = f(h b)> y = y(b b)>    * = h(b b)-

Sie geben direct zu jedem Bildpunkt (£, ty) in der Ebene den Originalpunkt (x, y, z) auf der Fläche. Von solchen Gleichungen gingen wir aus, als wir im I. Band in § 3 des 3. Abschnittes diejenigen Abbildungen einer Fläche auf die Ebene besprachen, bei denen jede unendlich kleine Entfernung auf der Fläche auch im Bilde die wahre Grösse hatte. Damals sahen wir, dass nur gewisse Flächen, nämlich die Tangentenflächen von Curven, eine solche punktweise Abbildung auf die Ebene gestatten. Siehe Satz 10, I S. 282. Deshalb konnten wir diese besonderen Flächen die abwickelbaren Flächen nennen.

Wir folgern hieraus, dass wir eine beliebige Fläche (1) nicht

in der Weise auf die Ebene abzubilden vermögen, dass jeder Curve auf der Fläche in der Ebene eine gleich lange Curve entspricht. Diese Forderung der Längentreue, wie wir sie nennen können, geht also zu weit, wenn es sich um eine beliebige Fläche (1) handelt. Wohl aber können wir die Forderung der Flächentreue¹ stellen. Es giebt nämlich immer solche Abbildungen einer beliebigen Fläche (1) auf die Ebene, bei denen jedes Flächenstttck im Bilde denselben Flächeninhalt wie auf der Fläche selbst hat. Es ist unsere Absicht, dies hier zu beweisen.

Wir betrachten auf der Fläche (1) vier unendlich benachbarte Punkte, nämlich die Punkte (u, v), (u + du, v), (u, v + dv), (u -f- du, v + dv), siehe die Fig. 6 auf S. 31. Sie bestimmen, wie wir sahen, ein unendlich kleines Parallelogramm, dessen Inhalt nach (16), S. 35, gleich

D du dv

ist. Dem Parallelogramm entspricht bei der Abbildung (2) wiederum ein unendlich kleines Parallelogramm in der £ty-Ebene. Denn nach dem I. Band, § 16 des 1. Abschnittes, bestimmen die Gleichungen (2) ein Netz von Parameterlinien (u) und (r) in der Bildebene. Diese Linien sind die Bilder der Parameterlinien (u) und (v) der Fläche (1). Wie das vorhin betrachtete Parallelogramm auf der Fläche von den vier Parameterlinien (u), (u + du), (v), (v + dv) umschlossen wird, so wird das Bild dieses Parallelogramms in der £t)-Ebene von den vier Bildern dieser Parameterlinien umschlossen; und nach (9), I S. 118, ist der Inhalt des Bild-Parallelogramms gleich

± (⁰U    - qsu ⁰v)dudv,

wie man sieht, wenn man bedenkt, dass an die Stelle der damaligen Gleichungen (1) auf S. 112 die jetzigen Gleichungen (2) treten.

Das unendlich kleine Parallelogramm auf der Fläche hat also denselben Inhalt wie sein Bild in der jtj-Ebene, wenn

(4)

0 ip- ~ ip (D ^ + I)

U V    U V    —

ist. Gilt dies für alle Werte u, v innerhalb des zulässigen Wertebereiches, so hat auch jedes endliche Stück der Fläche denselben Inhalt wie sein Bild, denn jedes Flächenstück lässt sich als Summe (Doppelintegral) solcher unendlich kleiner Parallelogramme darstellen.

Die Gleichung (4) ist also — bei bestimmter Wahl des Vorzeichens — der analytische Ausdruck dafür, dass die betrachtete

Abbildung (2) der Fläche (1) auf die £t)-Ebene flächentreu ist. Wir wollen dies als Satz formulieren, indem wir auf die Formel (13), S. 17, zurückgehen:

y = x(u, v),

z = 7p [u, V)

ist dann und nur dann vermöge der Gleichungen

Satz 18: Die Fläche x = cp (u, v),

b = 0(u, v)

flächentreu auf die Ebene mit den rechtwinkligen Co-ordinaten £, t) abgebildet, wenn die Functionen 0 und 0 für beliebige Wertepaare u,v einederbeiden Bedingungen:

erfüllen.

Die frühere Voraussetzung der Unabhängigkeit von 0 und 0 ist im Satze nicht nötig, denn wenn 0 und 0 von einander abhängig sind, so ist ihre Functionaldeterminante nach I S. 83 gleich Null und mithin D = 0. Auf den Tangentenflächen der Minimal-curven (vgl. S. 29) hat aber nach Satz 14, S. 35, jede Fläche den Inhalt Null. Wenn wir also eine solche Fläche in ausgearteter Weise nur als Curve in der £b-Ebene abbilden, dürfen wir doch die Abbildung flächentreu nennen.

Man erkennt leicht, dass man nur eine flächentreue Abbildung der Fläche (1) auf die Ebene zu kennen braucht, um auch alle angeben zu können. Denn wir brauchen ja nur weiterhin die Jb-Ebene flächentreu auf eine andere Ebene, sagen wir auf eine |?7-Ebene abzubilden, was nach Satz 75, I S. 123, keine Schwierigkeiten macht. Jedem Punkt (;u, v) der Fläche entspricht dann ein Punkt (£, b) der ersten Ebene und weiterhin diesem Punkt ein Punkt (|, rj) der zweiten Ebene, und dabei sind entspechende Flächenstücke auf der Fläche und in den beiden Ebenen einander an Inhalt gleich. Der umgekehrte Schluss liegt auf der Hand: Ist die Fläche auf zwei Ebenen flächentreu abgebildet, etwa vermöge:

(5)

1=0 (U, v),

t)= 0 (u, v)

und vermöge

| = 0Y{u, V),

(6)

7]= 0₁ (M, V),

so ergeben sich durch Elimination von u und v zwei Gleichungen

V = T (?, b)>

die eine flächentreue Abbildung der einen Ebene auf die andere bedeuten. Daher:

Satz 19: Kennt man eine flächentreue Abbildung einer gegebenen Fläche auf die Ebene, so erhält man alle ihre übrigen flächentreuen Abbildungen auf eine Ebene dadurch, dass man jene eine Ebene weiterhin in allgemeinster Weise auf eine andere Ebene flächentreu abbildet.

Liegen zwei Flächen vor und will man die eine auf die andere in allgemeinster Weise flächentreu abbilden, so braucht man nur je eine flächentreue Abbildung jeder der beiden Flächen auf je eine Ebene zu kennen. Denn dann braucht man ja nur die eine Ebene in allgemeinster Weise flächentreu auf die andere abzubilden, sodass nach Satz 75, I S. 123, folgt:

Satz 20: Das Problem, eine gegebene Fläche in allgemeinster Weise flächentreu auf eine andere gegebene Fläche abzubilden, erfordert zu seiner Lösung nur noch Eliminationen, sobald man jede der beiden Flächen auf eine Art flächentreu auf die Ebene abzubilden vermag.

Beispiele hierzu bringt der nächste Paragraph.

§ 6. Flächentreue Abbildung der Rotationsflächen.

Das Problem der flächentreuen Abbildung ist insbesondere für die Rotationsflächen lösbar. Eine Rotationsfläche entsteht dadurch, dass eine starre Curve um eine fest mit ihr verbundene und im Raume unbewegliche Gerade gedreht wird. Diese Gerade heisst die Axe der Fläche. Alle ebenen Schnitte, die die Axe enthalten,

sind einander congruente Curven und heissen die Meridiane der Fläche. Jeder ebene Schnitt senkrecht zur Axe ist ein Kreis und heisst Breitenkreis. Diese Bezeichnungen sind von dem um die Erdaxe rotierenden Erdsphäroid entnommen.

3T

y-

“-JT

Fig. 8.

Um eine Rotationsfläche analytisch darzustellen, nehmen wir ihre Axe zur 2 -Axe, sodass die x z-Ebene einen Meridian enthält

Die Bogenlänge dieses Meridians, gemessen von

(siehe Fig. 8).

irgend einer Stelle aus, sei mit u bezeichnet, sodass etwa:

(1)

x=p{u), y = 0, z = q (u)

die Gleichungen dieses Meridians sind.

Wird die Ebene dieses

Meridians um den Winkel v um die z-Axe gedreht, so sind

(2)

X = p(u) COS V,

y = p (u) sin v

z = q(u)

Giebt man dem Winkel v

die Gleichungen des neuen Meridians, alle möglichen Werte, so stellen die Gleichungen (2) alle Meridiane dar, d. h. die Gleichungen (2) sind, wenn u und v beliebig variieren dürfen, die Gleichungen der Rotationsfläche, ausgedrückt mittels zweier Parameter u und v.

Nach (7) auf S. 15 sind die Fundamentalgrössen erster Ordnung hier diese:

F= 0,

E = p'² + q'²,

Die Formel F— 0 sagt nach Satz 13, S. 34, aus, dass die Parameterlinien ein Orthogonalsystem bilden. Dies kann man auch geometrisch leicht sehen, denn die Linien (u) sind die Breitenkreise und die Linien (y) die Meridiane.

Da u die Bogenlänge der Curve (1) ist, giebt Satz 4, I S. 164:

p'² + q'²= 1,

sodass wir haben:

(3)

E= 1, F= 0,

G =p².

Das Quadrat des Bogenelementes der Rotationsfläche (2) hat daher die Form:

ds² = du² + p² (u) dv².

Ferner ist hier;

J) = ]/FG-F² = ±p{u).

Um nun die Fläche auf wenigstens eine Art flächentreu auf die Ebene abzubilden, kommt es nach Satz 18, S. 39, darauf an, zwei Functionen und W von u und v so zu bestimmen, dass

(4)

⁽K Vv - Wu = ± p (u)

wird. Diese Forderung lässt sich leicht erfüllen, wenn man direct = v setzt, da dann einfach *Pu — + p (u) bleibt, sodass z. B.

= J p(u) du o

gesetzt werden darf. Daher:

Satz 21: Die Rotationsfläche

y = p (u) sin v,

bei der u die Bogenlänge des Meridians bedeuten soll, wird vermöge der Gleichungen:

t) = Jp (u) d u o

flächentreu auf die £t)-Ebene abgebildet.

Die Meridiane (v) bilden sich als die Gerade j = v parallel zur ty-Axe ab. Geht man von v = — % bis v = + n, so erhält man

alle reellen Meridiane und ihre Bilder. ' Diese Bilder bedecken einen Streifen der Ebene. Wenn wir diesen Streifen als Abwickelung eines Rotationscylinders auffassen, dessen Grundkreis also die Breite 2 n des Streifens zur Gesamtlänge und mithin den Radius Eins hat, so können wir vermittels dieses Cylinders die flächentreue Abbildung so hersteilen "m (siehe Fig. 9):¹

Wir construieren denjenigen Rota-tionscylinder mit dem Radius Eins, dessen Axe die Axe der Fläche ist. Als Grund-kreis ! des Cylinders sei derjenige Kreis bezeichnet, in dem die Ebene des Breitenkreises (u — 0) den Cylinder schneidet. Von diesem Breitenkreise an werden die Längen u auf den Meridianen gemessen. Nunmehr fassen wir insbesondere den Meridian (v = 0) ins Auge, der in der .rz-Ebene liegt. Er sei mit m bezeichnet. Die Ebene dieses Meridians trifft den Cylinder in zwei Geraden, von denen wir eine, nt, auswählen. Dem Punkte U des Meridians m, dessen Bogenlänge^?/ gleich u ist, ordnen wir denjenigen Punkt It

Zt

a--4?U

2\

¹\f1

<fD)

2l

C’

k-3

"Jf

ra

Fig. 9.

¹ Die Fig. 9 ist für die Rotationsfläche, genannt Catenoid, entworfen, die durch Drehung einer Ketten! inie rn um ihre Leitlinie entsteht. Hier ist:

V («) = ]/l + ul,    q (u) = log (u + Y1 + tc²),

sodass der Meridian m die durch Elimination von u hervorgehende Gleichung in x und z hat:

x = ±(ez + e-z).

In diesem besonderen Fall liegen die Punkte 91 und A, von denen oben die Rede ist, zusammen.

der Geraden m zu, dessen Abstand 21U vom Grundkreis I gleich dem Integral von 0 bis u über p{u)du ist. Nach (1) ist p (u) die Abscisse x von U, du das Bogenelement auf m. Jetzt ist jedem Punkt TJ des Nullmeridians in ein Punkt II der Geraden nt zugeordnet. Lassen wir m und m um die Axe (z-Axe) rotieren, so wird jedem Punkte der Fläche ein Punkt auf dem Cylinder zugeordnet sein. Wird endlich der Cylinder in die Ebene ausgebreitet, so liegt die gewünschte Abbildung vor. Der Grundkreis I und die Gerade nt sind die £- und t)-Axe in der Ebene.

Nach den Erörterungen, die zu Satz 19, S. 40, führten, folgt aus dem Satz 21, dass man alle übrigen flächentreuen Abbildungen der Rotationsfläche (2) auf die Ebene bloss durch Eliminationsprocesse finden kann.

Dies gilt insbesondere von den flächentreuen Abbildungen der Kugel. Solche Abbildungen sind namentlich für geographische Zwecke wichtig.¹ Wir wollen daher einige der beim Entwerfen von Landkarten gebräuchlichen oder doch vorgeschlagenen flächentreuen Abbildungen der Kugel hier ableiten.

Beispiele: Die Rotationsfläche (2) ist eine Kugel um den Anfangspunkt mit dem Radius Eins, wenn die Gleichungen (1J des Nullmeridians die des Kreises mit der Bogenlänge u sind:

x = cos u

Wir setzen also p = cos u, q = sin««, wodurch die Gleichungen (2) in der That in die schon auf S. 3 gefundenen Gleichungen der Kugel

x = sin u

mit der geographischen Breite u und Länge v übergehen. Die im Satz 21 genannte Abbildung hat hier die Gleichungen:

1) = sin u.

Wenn wir hier dieselbe Eig. 9 wie vorhin entwerfen, so sehen wir, dass die einander zugeordneten Punkte U und 11 gleiche Höhe über der ««/-Ebene haben. Mithin kann diese einfachste flächentreue Abbildung der Kugel so hergestellt werden:

Wir legen um die Kugel den längs des Äquators (u — 0) berührenden Rotationscylinder und ordnen jedem Punkte U der Kugel denjenigen Punkt II des Cylinders zu, in dem das über U hinaus verlängerte Lot von U auf die

x = cos u cos v

y = o,

x - sin u.

y = cos u sin v

(5)

l = v,

¹ Die flächentreuen Abbildungen der Kugel, die man auch weniger glücklich als äquivalente Abbildungen bezeichnet, wurden zuerst von Lambekt, „Anmerkungen und Zusätze zur Entwerfung der Land- und Himmelscharten“, in seinen „Beyträgen zum Gebrauche der Mathematik“, 3. Teil, Berlin 1772, untersucht. Siehe auch Ostwald’s Klassiker Nr. 54. Diese Abhandlung enthält die ersten allgemeinen Untersuchungen über das Problem, die Gradnetze für geographische Karten zu entwerfen.

I    ||

I    1,

Nord-Süd-Axe (%--Axe) den Cylinder trifft- Alsdann wird der Cylinder in die Ebene ausgebreitet. Dies ist eine der ältesten flächentreuen Abbildungen.² Sie ist in Fig. 10 dargestellt. Zum besseren Erkennen der Verzerrungen sind die Meridiane und Breitenkreise im Abstand von je zehn Grad und die Ländermassen auf der Erdoberfläche in das Bild eingezeichnet.³ Diese Abbildung (5)

¹

Hier ist das Wort Fläche im Sinne von Flächeninhalt zu verstehen.

²

   Man benennt sie nach Lambert (vgl. die oben erwähnte Abh.), der sie ausdrücklich als Abbildung anführt. Aber ihr Grundgedanke, dass nämlich die Fläche einer Kugelzone, die von zwei Ebenen parallel zum Äquator begrenzt wird, gleich der Fläche der entsprechenden Zone des längs des Äquators umschriebenen Cylinders ist, war schon Archimedes bekannt.

³

   Man sieht, dass sich diese Art der Abbildung nur für solche Länder eignet, die sich nicht allzusehr vom Äquator entfernen, da die Pole ausgeartet sind. Auch die später zu besprechenden Methoden der Abbildung eignen sich immer nur für Teile der Erdkugel, dennoch stellen wir immer zur besseren Erkenntnis des Abbildungsgesetzes in den Figuren die ganze Erdkugel dar.

Wl'l

\i AM

fi

Fig. 10.

ist übrigens periodisch, da sine« die Periode 2n hat. Die Figur enthält also nur eine Pei'iode des Bildes, die rechts und links noch beliebig oft angesetzt werden kann.

Um sonstige flächentreue Abbildungen der Kugel herzustellen, haben wir jetzt weiterhin nach S. 39 die j p-Ebene flächentreu auf eine andere Ebene zu beziehen. In dieser Ebene seien £ und rj rechtwinklige Coordinaten. Wir gehen auf Satz 75, I S. 123, zurück und haben nur statt u, v und x, y dort nd £, y oder also nach (5) statt u und v die geographische Länge v und den Sinus der geographischen Breite u und statt x, y die neuen Coordinaten )/ zu setzen. Wir verstehen demnach unter co irgend eine Function von v und £, für die

(6)

<9¹ co 0, |)

ist. Darauf setzen wir an:

U)

sin u —

d co

6 CO

ö£

und lösen beide Gleichungen nach £ und y auf. Hierdurch erhält man nur diejenigen flächentreuen Abbildungen nicht, bei denen die Meridiane in die Geraden £ = Const. übergehen. Aber durch Vertauschen von £ und y gehen auch diese hervor.

(8)

Setzen wir z. B. für co die allerdings ziemlich complicierte Function:

so folgt aus (7):

= arc cos —

oder durch Auflösen nach £ und r\:

£ = fl cos

(9)

7] — U .

Bei dieser Abbildung¹ erscheinen die Breitenkreise (u) als parallele Geraden rj = Const. in ihren wahren auf der Kugel gemessenen Abständen von einander, während die Meridiane (v) durch Curven dargestellt werden, die in der £ ij-Ebene die Gleichungen (9) mit dem Parameter u haben, die also — nach Elimination von u — auch so geschrieben werden können:

£ = V COS Tj .

Für die verschiedenen Werte der Breite v sind dies verschiedene Curven, die aber alle aus der Cosinuslinie

£ = COS 7],

dem Bilde des Längenkreises (v = 1), durch constante Vergrösserung der Ab-

'///////A

//A

\\\\\\\

^XXxXXX\\\\\

^-^fcXXXXXXXX

Fig. 11.

scissen hervorgehen. In Fig. 11 ist das Bild gegeben.² Die Meridiane schnei-

¹    Die erste Anwendung dieser Abbildungsart findet sich 1606 auf einem Blatte einer Ausgabe von Mekcatoe’s Atlas nach dem Tode Mercator’s. Wer den Entwurf dort hergestellt hat, ist nicht sicher bekannt. Sanson wandte diese Abbildungsart zuerst systematisch in seinem im 17. Jahrhundert in Frankreich erschienenen Atlas an. Daher wird sie nach ihm benannt.

²    Die Figuren 10—16 sind sämtlich in demselben Maassstab entworfen. Bei allen wäre wie bei Fig. 10 zu bemerken, dass die Abbildung insofern periodisch ist, als die Kugelfläche im Bilde unendlich oft wiederholt erscheint — wenn auch nicht gerade congruent wie in Fig. 11 —, da die Gleichungen der Abbildung periodische Functionen enthalten. Für die Zwecke der Kartographie benutzt man nur die in unseren Figuren gegebenen Perioden, ja auch diese nur teil weis wegen der an den Rändern auftretenden grossen Verzerrungen.

Die Bedingung für diese Functionen (12) können wir leicht aus (11) ableiten. Denn nach (12) ist:

0U - 0'u 0V = £« i]v ~ IL £« =

rv cos cp — r cpv sin cp rv sin cp + r cpv cos cp = ~ r (cpu rv - ru cpv) = - R (Fu Bv - Ru F,),

| ru cos cp — r cpu sin cp ru sin cp + rcpu cos cp

sodass wir statt (11) zu fordern haben: (14)

den im Bilde auf den Breitenkreisen Strecken ab, die von derselben Länge wie die betreffenden Stücke der Breitenkreise auf der Kugel sind.

Man bemerkt, dass die auf (7) begründete Methode zwar ohne Integrationen, durch Elimination allein alle flächentreuen Abbildungen der Kugel liefert, aber nicht gerade durch einfache Gleichungen darstellbare Abbildungen durch einfache Annahmen für die zu wählende Function co (v, £).

Geht man darauf aus, gewisse besondere Arten von flächentreuen Bildern der Kugel zu bestimmen, so wird man daher das directe Verfahren anwenden, das allerdings Integrationen verlangt:

Die Gleichungen

t) = 0 (u, v)

stellen ja allgemein eine flächentreue Abbildung der Kugel mit der Breite u und Länge v dar, wenn nach (4) und, weil jetzt p = cos u ist:

<Pu Fv - XFU <?„=•+ cos u

(10)

£ = 4>(m, ®),

ist. Ob wir das obere oder untere Vorzeichen wählen, ist gleichgültig, da wir den einen Fall aus dem andern durch Vertauschen von £ mit t) ableiten können. Wir wollen die Forderung so stellen:

(11)

Ou xVv — XFU 0V = — cos u.

Benutzen wir in der Ebene statt der rechtwinkligen Coordinaten £, Polarcoordinaten r, cp, so sind die Gleichungen (10) und (11) durch andere zu ersetzen. Es ist ja:

(12)

£ = r cos cp,

t) = r sin cp

sodass nach (10) auch r und cp Functionen von u und v sind: r = R (u, v),

13)

cp — F (u, v).

R (Fu Rv — Ru F,) = cos u.

In Polarcoordinaten r, cp stellen also die Gleichungen (13) eine flächentreue Abbildung der Kugel dar, wenn die Bedingung (14) erfüllt ist.

Zunächst fragen wir jetzt nach den flächentreuen Bildern, bei denen die Breitenkreise als concentrische Kreise und die Meridiane als ihre Radien erscheinen. Hier benutzen wir natürlich Polarcoordinaten r, cp, indem wir verlangen, dass jeder Breitenkreis (z^) als ein Kreis r = Const., jeder Meridian (v) als eine Gerade cp = Const. erscheinen soll. Wir unterwerfen also die Functionen (13) der Beschränkung, dass R nur von u und F nur von v abhängen soll. Dann reduciert sich (14) auf:

— RR' (u) F’ (v) = cos u,

woraus einzeln folgt:

(ä = Const.),

(b, c = Const.).

R R' (u) = — a cos u,

daher:

R² = 2 (b — a sin u),

Nach (13) sind also:

(15)

r — ]/2(6 — a sin u),

(a, b, c = Const.)

cp =--h c

a

die Gleichungen der gesuchten Abbildung.¹

Sie enthalten drei willkürliche Constanten a, b, c. Offenbar können wir durch Drehung des Anfangsstrahles der Polarcoordinaten erreichen, dass der Nullmeridian (v = 0) gerade als der Strahl (cp — 0) abgebildet wird. Wir dürfen

also in (15) ohne weiteres c = 0 annehmen. Die Pole i^u = ± der Kugel

bilden sich als die Kreise mit den Radien:

7/2 (6 T a)

ab, arten also in der Figur aus. Der Nordpol (^u

nicht, wenn b = a ist. Bei dieser besonderen Annahme können wir die Formeln (15) so schreiben:²

2/

thut dies nur dann

(16)

r — 27/ a sin |'

cp = —

Cb

Für a — 1 und a = 2 stellen die Figuren 12 und 13 auf S. 48 die Karten dar.

Jetzt wollen wir die flächentreuen Bilder suchen, auf denen die Breitenkreise als parallele Geraden erscheinen.³ Dabei benutzen wir natürlich gewöhnliche Punktcoordinaten 5, l), sodass die Formeln (10) und (11) anzuwenden sind. Wir verlangen, dass jedem Breitenkreis (u) eine Gerade 1) = Const. entspreche. Mithin muss eine Function von u allein sein, sodass aus (11) folgt:

d <t>

cos u

W'(u)

Da rechts nur u auftritt, so folgern wir weiter:

V cos u

+ CO (u).

Dabei bedeutet co eine beliebige Function von u. Also haben wir:

(17)

V cos u . v

¹    Sie rührt her von Albers in der Monat!. Korrespondenz für Erd- und Himmelskunde Bd. XI und XII, 1805.

²    Diesen Specialfall von Albers Methode hat schon Lambert 1772 (vgl. die Anm. S. 43).

³    Ein Specialfall hiervon ist die auf S. 45 gefundene SANSON’sche Ab

bildung.

als Gleichungen aller Abbildungen der gesuchten Art. Auch die Function W von u kann irgend wie gewählt werden.

Wir wollen insbesondere noch verlangen, dass die Meridiane als Geraden durch einen Punkt — das Bild des Nordpols — erscheinen. Wir denken uns

Fig. 12.

Fig. 13.

die ty-Axe durch diesen Bildpunkt gelegt, sodass £ = 0, 1) = b die Coordinaten des Polbildes sind. Jeder Meridian (V) soll als eine Gerade £: (tj — b) = Const. abgebildet werden, d. h. dies Verhältnis soll eine Function V von v allein sein, woraus nach (17) folgt:

v cos u

W (u)

+ w(u) — V (v) ■ [ W (u) — b].

Da die linke Seite linear in v ist, so gilt dasselbe von V:

V = av + c

(a, c = Const.).

Jetzt muss einzeln sein:

cos u

ip-’

= a(W- b)

und die hierin auftretenden Functionen W und co hängen nur von u ab. Die erste Formel giebt:

cos u = a{W — b) W'

oder integriert:

sin u + Const. =

oder:

1/

(X +

2 sin u

(■u = Const.)

während die zweite Formel nun liefert:

co = ± c

2 sin u

Nach (17) kommt somit:

£ = ± [av + c)

2 sin u

1) = b ±

« -f

2 sin u

tö a

Weil (j = 0, 1) = b) das Bild des Nordpols =

- — sein. Natürlich können wir annehmen, dass die j-Axe gerade das

Bild des Äquators (u — 0), also b ±f]/a = 0 sei. Ist b, wie wir offenbar ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit voraussetzen dürfen, positiv gewählt, so werden wir daher bei der Quadratwurzel das Minuszeichen benutzen und ausserdem a = b² setzen. Dann ist « = —

sein soll, so muss

3 t®

Ausserdem darf angenommen werden, dass die t)-Axe gerade der Nullmeridian (v = 0), daher c = 0 sei. Mithin kommt:

£ = v ]/l — sin u

1) = b (l — ]/l — sin u)

oder auch:

(18)

21/2

v sin

t® §

t) = b 1 — ]/ 2 sin ^ ~

Die Constante b kann irgendwie gewählt werden. Deshalb können wir es so

einrichten, dass die Meridiane = ± als Geraden erscheinen, die mit der

fy-Axe Winkel von 45° bilden. Dies tritt nämlich ein, wenn sich £ für u = 0, v — + auf ± b reduciert, d. h. für b = )Ar.

2 1/2“

Dann ist:

(19) J =

]/ti

v sin (— —

m

<v

Kartenbild² giebt die Fig.

14.

Der Südpol j'u = — - -j

s\

Sk

11

erscheint als

Gerade t) = — ]/n (]/2 — l) verzerrt, und die ganze Kugelfläche wird auf das Innere eines gleichschenkligen Dreiecks abgebildet, dessen Grundseite diese Gerade in der Länge 4]/2n und dessen Höhe gleich ]/2n ist.

Die Formeln (17) führen zu einer anderen weniger verzerrten Karte, wenn wir versuchen, die Functionen htt und a von u so zu wählen, dass die Meridiane als Ellipsen erscheinen, die eine Axe mit den Endpunkten (5 = 0, t) = ± b) gemein haben. Diese gemeinsame Axe hat dann die Länge 2b, während die andere Axe für jeden Meridian (v) eine besondere Länge haben wird. Die Länge der zweiten, in der j-Axe gelegenen Ellipsenaxe ist demnach als Function 2 V(v) von v allein anzunehmen, sodass

Fig. 14.

das Bild des Meridians (v) ist. Es fragt sich also, ob wir in (17) die Functionen W und a von u so wählen können, dass £ und t) bei geeigneter Wahl der Function V von v die letzte Gleichung erfüllen. Da die letzte Gleichung giebt:

(20)

so verlangen wir nach (17):

//

V cos u

W'(u)

+ CO (u) =

Zuerst zeigt sich, dass V linear in v sein muss:

V = av + 0

(1a, c = Const.).

Alsdann kommt einzeln: cos u

US’

und die hierin auftretenden Functionen W und a hängen nur vön u ah. Die erste Gleichung kann so geschrieben werden:

COS u =

V ]/t)2 - p*

und giebt integriert:

(21)

sin ti + Const. =

— ip l/A2 _ ipi , at)

2b r    2

arc sin

ip

Dies ist eine Bedingung für die Function W von u, während alsdann die Gleichung

(22)

ö-i cs

]/b² - IP²

noch die Function co von u ergiebt.

Die Bedingung (21) für W vereinfacht sich noch durch einige besondere Festsetzungen: Ohne die Allgemeinheit der Betrachtung zu beschränken, dürfen wir annehmen, dass sich insbesondere der Nullmeridian (v — 0) als die l)-Axe abbilde, also j = 0 sei für v = 0, d. h. nach (17) auch a = 0 oder also e — 0.

Ferner seien die Bilder der Meridiane — ± ~j Kreisbögen, also V= ± b für

v = ± - . Da V — av ist, sei also a = 2b:n. Der Äquator (u = 0) habe

gerade die j-Axe zum Bilde, was eintritt, wenn l) oder W für u = 0 verschwindet, wenn also die willkürliche Constante in (21) gleich Null gewählt wird. Endlich seien die gemeinsamen Scheitel (y = 0, t) = ± b) der Ellipsen

n>I a

INS a

die Bilder der Pole — ± - -J. Dies ist der Fall, wenn W für u = ± gleich

± b, also b = ]/2 ist. Jetzt haben wir statt (21) und (22):

~    ]/2 — W² + arc sin ^

und statt (17) wegen (20):

— v }/ 2 — n ², t) = W. n

Die Formeln werden etwas bequemer, wenn wir vermöge:

t)

lI>-

1/2 y 2

— = sin (p (u)

statt x¥ eine neue Function q> von u einführen. Denn jetzt haben wir:

2V2

2 cp + sin2qp = 7isin«.

(23)

p, — ——— v cos q>

71

t) = y~2 sin cp,

Die Gleichung rechts zur Bestimmung der Function cp (u) ist transcendent, doch lässt sich für jeden Wert von u der zugehörige Wert von cp durch Annäherung ohne Mühe mit beliebiger Genauigkeit berechnen. Bei dieser in Fig. 15, S. 52, dargestellten Abbildung ist die ganze Kugelfläche flächentreu auf das Innere der Ellipse mit den Halbaxen 2]/ 2 und ]/ 2 ausgebreitet.³

Schliesslich kommen wir zu der in der Praxis am meisten gebrauchten flächentreuen Abbildung der Kugel: Die Breitenkreise sollen in der Art als concentrische Kreise erscheinen, dass sich die Radien der Bilder zweier

AV

\\\\

^\\\\\\\

77

Fig. 15.

Breitenkreise gerade um den wahren sphärischen Abstand beider Kreise unterscheiden. Da u der sphärische Abstand des Kreises (u) vom Äquator ist, so soll der Radius r seines Bildes sein:

r = a — u {a — Const.).

Wir verwenden natürlich Polarcoordinaten r, cp, deren Ursprung der Mittelpunkt jener concentrischen Kreise ist, und gehen daher auf die Formeln (13) und (14) zurück. Da jetzt B = a — u ist, so giebt (14)

cos n

6F

mithin haben wir, weil cp = F ist:

(24)

V cos u

--1- w («).

u

Hier ist oo eine beliebige Function von u. Soll sich nun der Nullmeridian (v = 0) als die Gerade (cp — 0) abbilden, so ist a = 0 zu setzen, also:

v cos u

r = a — u}

<P =

(25)

r = a — u,

cp =

Cb — u

Diese Abbildung⁴ variiert noch mit der Constauten a. Die Pole bilden sich

cp = 0) ab, und die Meridiane werden transcendente

als die Punkte (r — a =F —

2

, also:

Curven. Sie schneiden, wie man leicht sieht, auf den Breitenkreisen auch im Bilde die wahren Längen ab. Im Fall a =

erscheint der Nordpol als Mittelpunkt der concentrischen Breitenkreise. Siehe Fig. 16.¹

k «B er

i m j> *

Fig. 16.

Hiermit wollen wir diese sehr beschränkte Auswahl aus der Zahl aller flächentreuen Abbildungen der Kugel abschliessen. Nach unseren früheren Erörterungen (auf S. 44) erfordert die Aufstellung aller flächentreuen Entwürfe nur Eliminationen und keine Integrationen.²

¹ Dies ist der erste flächentreue Kartenentwurf, der überhaupt angegeben worden ist. Er wurde nach dem Vorschläge von Stab ausgeführt von Werner, „Annotationes Joan. Verneri in primum librum geogr. Cl. Ptolemaei; libellus de quatuor aliis planis terr. orbis descriptionibus“, Nürnberg 1514.

² Bezüglich der Lehre vom Entwerfen der Gradnetze verweisen wir auf die Bücher:

to

■e

V COS U

Herz, „Lehrbuch der Landkartenprojectionen“, Leipzig 1885.

Tissot, „Die Netzentwürfe geographischer Karten“, deutsch bearb. von Hammer, Stuttgart 1887.

Zöppritz, „Leitfaden der Kartenentwurfslehre“, 1. Teil, 2. Aufl. bearb. von Bludau, Leipzig 1899.

Ferner erwähnen wir, dass Gravü 1896 in seiner auf S. 121 des 1. Bandes erwähnten Arbeit die Aufgabe gelöst hat, alle diejenigen flächentreuen Abbildungen der Kugel auf die Ebene zu bestimmen, bei denen die Meridiane und Breitenkreise sämtlich wieder als Kreise erscheinen.

Über nicht-flächentreue Gradnetzentwürfe, die andere ausgezeichnete Eigenschaften haben, sprechen wir später.

§ 7. Isothermen auf einer Fläche.

Es liege irgend eine Fläche in Parameterdarstellung vor:

X = cp(u, v) und das Quadrat ihres Bogenelementes sei:

d s² = JE du²    2 Fd udv + G d v².

In Bezug auf das System der Paranieterlinien (u), (y) können wir ähnliche Betrachtungen wie in der Ebene, im 1. Bd. § 17 des ersten Abschnittes, anstellen: Wollen wir dem Parameter u eine Reihe von Werten geben, von denen jeder folgende unendlich wenig vom vorhergehenden abweicht, so geschieht dies dadurch, dass wir den Zuwachs du des Parameters u gleich einer Function von u, multi-pliciert mit einer unendlich kleinen Grösse s, setzen:

du = u [u) s.

(1)

(2)

(3)

y = x (u,v)

z = xfj (m, v),

Lassen wir auch den Parameter v gesetzmässig immer um unendlich wenig wachsen:

(4)

dv = ß{v)s,

so wird hierdurch ein unendlich dichtes Netz von Parameterlinien bestimmt. Die Diagonalcurven des Netzes sind die Linien, auf denen u und v gleichzeitig um + u (u) e und + ß{v)e wachsen, längs deren also entweder:

du

dv

oder:

a(u)

« (u)    p (V)

ist. Integrieren wir diese Gleichungen:

(5)

r du _ r dv n

= Const-

so erhalten wir die Diagonalcurven, ausgedrückt durch endliche Gleichungen zwischen u und v (vgl. I S. 114).

Längs einer Diagonalcurve ist eine der beiden Grössen:

=    + f.

J "(U) J

constant, und vermöge der Gleichungen (6) können wir umgekehrt u und v als Functionen von U und V definieren. (Vgl. I S. 115.)

(6)

dv

ß{v) ’

ß(v)

Führen wir diese Functionen in die Gleichungen (1) ein, so werden x, y, z ebenfalls Functionen von U und F. Wir kommen somit zu einer neuen Parameterdarstellung unserer Fläche. Die neuen Parameterlinien {U) und (F) sind die Diagonalcurven (5) des durch (3) und (4) definierten Netzes der alten Parameterlinien (n) und (y).

Nach Satz 13, S. 34, schneiden die Parameterlinien (u) und (v) einander senkrecht, wenn

dz dz du d v

8 y dy du d v

ist. Dementsprechend schneiden die Diagonalcurven (U) und (F) einander senkrecht, wenn da3 d x ~dU JV

ist. Wie in I S. 116 finden wir aus den Formeln:

(?)

dy dy dü dV

dz dz BU 8 V

dx —

du

du +

dü+F

dF

u. s. w. und aus (6):

d x 1/ d x , a d x\

av=z{a^ + P^)'

sowie die entsprechenden Formeln in y und z statt x. Die Bedingung (7) kann daher so geschrieben werden:

S (u

*£) («& + /»£)-»

oder nach (7), S. 15, so:

(8)

a² E — ß² G = 0 oder: E: G = - \ ■. ■    •

'    «s (u)    ß² (V)

Ist sie erfüllt, so schneiden die Diagonalcurven des Netzes der Parameterlinien (u) und (u) einander senkrecht; mit anderen Worten: Das Netz besteht dann aus unendlich kleinen Rhomben (vgl. I S. 115). Daher:

Satz 22:

Damit sich die Parameterlinien (u) und (v) einer Fläche so anordnen lassen, dass sie ein Netz von unendlich kleinen Rhomben bilden, ist notwendig und hinreichend, dass das Verhältnis der beiden Fundamentalgrössen E und G gleich dem Verhältnis aus einer Function von u allein zu einer Function von v allein sei.

Wenn ausserdem F= 0 ist, so schneiden auch die Parameterlinien (u) und (v) einander senkrecht; die Rhomben sind dann Quadrate (vgl. I S. 117), sodass wir sagen können:

Satz 23: Damit sich die Parameterlinien (w) und (v) einer Fläche so anordnen lassen, dass sie ein Netz von unendlich kleinen Quadraten bilden, ist notwendig und hinreichend, dass die Fundamentalgrössen E, F, G Bedingungen von der Form

a² (ii) E — ß² (v) G — 0

F = 0,

erfüllen. Hierin bedeutet a eine Function von u allein und ß eine Function von v allein:

Es braucht kaum bemerkt zu werden, dass natürlich der Fall a = ß = 0 ausgeschlossen sein soll.

Ein Netz von Parameterlinien, das aus unendlich kleinen Quadraten besteht, heisst wie in der Ebene ein Isothermennetz (vgl. I S. 118).⁵ Der Satz 23 giebt also die Bedingungen für ein Isothermennetz auf der Fläche an.

Sind die Bedingungen des Satzes erfüllt, so haben E, F, G die Form:    .

(9)

E = —i²

a² (ti) ’

F= 0, G =

wobei X irgend eine Function von u und v sein kann. Das Quadrat (2) des Bogenelementes ds der Fläche hat daher jetzt die Form:

d u2 d⁵ (u)

Es liegt nunmehr nahe, neue Parameter einzuführen, ohne aber dabei neue Parameterlinien zu schaffen (vgl. S. 10), nämlich dadurch, dass wir (wie in I S. 125) setzen:

(10)

d s² — X² (u, v)

ß³ 0)

e=f

(ii)

ß(v)

a (u)

und nun ü und v als Parameter benutzen, ü hängt nur von u, v nur von v ab. Umgekehrt können wir uns vorstellen, dass u als Function von ü und v als Function von v nach Ausführung der Quadraturen (11) berechnet seien. Wenn wir diese Functionen in die Gleichungen (1) der Fläche einführen, so werden x, y, 2 Functionen der neuen Parameter ü, v. Aber die alten Parameterlinien u = Const. und v = Const. sind identisch mit den neuen: ü = Const. und v — Const. Auch in die Function X²{u, v) denken wir uns die Werte von u und v, ausgedrückt durch ü und v, eingesetzt, wodurch eine Function £2{ü, v) hervorgeht. Das Quadrat des Bogenelementes hat nun nach (10) die Form:

(12)

d s² = Q (u, v) [d ü² + d v²).

(Vgl. (8) in I S. 126.) Also:

Satz 24: Wenn sich aus den Parameterlinien (w) und (v) einer Fläche ein Isothermennetz bilden lässt, kann das Quadrat des Bogenelementes dadurch, dass geeignete Functionen ü und v von u bez. v allein als neue Parameter eingeführt werden, auf die Form gebracht werden:

ds² = 12(ü, v) {du² + dv²) .

Die Fundamentalgrössen haben jetzt für die neue Parameterdarstellung der Fläche die Werte:

F= 0,

E = Q,

sodass JE = G, F = 0 ist. —

Wir wollen annehmen, wir hätten auf der Fläche (1) irgend zwei von einander unabhängige Functionen von u und w als neue Parameter ü, v eingeführt, und dabei habe sich ergeben, dass die Fundamentalgrössen E, F, G für die neue Parameterdarstellung die Eigenschaften haben:

F=0.

(13)

E= G

Wir fragen uns, was wir hieraus schliessen können. Wegen F =. 0 durchschneiden die neuen Parameterlinien (ü) und (r) einander senkrecht — nach Satz 13, S. 34. Wenn wir ferner die Parameterlinien (ü) und {v) so anordnen, dass ü bez. v von Curve zu Curve um du — e bez. dv = e

wächst, wobei s ein und dieselbe unendlich kleine Grösse bedeute, so sind, da jetzt diese Gleichungen an die Stelle der Gleichungen (3) und (4) treten, mithin für a und ß Eins zu setzen ist, nach (5) die Curven:

ü + v = Const.

die Diagonalcurven. Statt (6) haben wir also jetzt für U und V die Werte ü— v und ü + v. Nun war (8) nur eine andere Form von (7), d. h. von der Bedingung für die Orthogonalität der Diagonalcurven, und sie hat jetzt die Gestalt

E — G = 0.

Die erste Gleichung (13) sagt also aus, dass die Diagonalcurven einander senkrecht schneiden. Mithin haben wir in (13) auch die

notwendigen Bedingungen dafür, dass die Curven {u) und {v) ein Isothermensystem bilden. Also:

Satz 25: Dafür, dass sich die Parameterlinien (ü) und (y) einer Fläche zu einem Isothermennetz anordnen lassen, in dem ü hez. v von Curve zu Curve um dieselbe unendlich kleine Grösse wächst, ist notwendig und hinreichend, dass die zugehörigen Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, G die Bedingungen

E= G,

erfüllen.

Solche Parameter ü und v heissen wie in der Ebene (vgl. I S. 127) thermische Parameter. Der dortige Satz 77, I S. 128, lässt sich hier ebenfalls beweisen, sodass also:

u = + a ü + Const., v = + a v -f- Const.

(a = Const.)

(14) ■ und

u = + av + Const., v = + aü + Const.

die allgemeinsten thermischen Parameterpaare sind, die zu demselben Isothermennetz wie die thermischen Parameter ü und v gehören. Dabei können die Vorzeichen beliebig gewählt werden.

Hat man von einer analytisch definierten Fläche, auf der man thermische Parameter ü und v kennt, ein Modell hergestellt und will man auf dem Modell das zugehörige Isothermennetz veranschaulichen, so wird man natürlich ein Netz mit Maschen von endlicher Seitenlänge einzeichnen, so wie wir dies in der Ebene in den Figuren 31 bis 34, I S. 128 bis 134, gethan haben. (Man vergleiche die damaligen Anmerkungen zu den Figuren.) Dies geschieht, indem man die Curven (u) bez. (v) so auf einander folgen lässt, dass ihr thermischer Parameter ü bez. v von Curve zu Curve um dieselbe endliche Grösse m zunimmt, also arithmetisch wächst. Dann erhält man ein Netz von Maschen, die man als endliche, aber krummlinige Quadrate bezeichnen könnte. Die Diagonalcurven des wirklichen, unendlich dichten Isothermennetzes sind auch bei diesem Netz von endlichen Maschen Diagonalcurven.

1. Beispiel: Auf der Rotationsfläche: x = p{u) cos v

(15)

IO

00

y = p{u) sin v ,

wo u die Bogenlänge der Meridiane bedeutet (siehe (2), S. 41), ist:

ds² = du³ + p²(u) d v².

Führen wir

(17)

*-J

p{u)'

als neue Parameter ein, so ist:

d u. =

und also kommt statt (16):

P («) ’

dv = dv

(18)

ds² = jo² (u) (d w² +- dv¹).

Natürlich kann hier p²{u) als Function S2(u) von u infolge der ersten Gleichung (17) aufgefasst werden. Wir haben jetzt die Fundamentalgrössen:

F=0.

E = G = S2 (u) = p² (u),

Jetzt sind ü und v thermische Parameter. Da die Curven (ü) und (v) nach (17) die alten Parameterlinien (u) und (v) sind, so folgt: Wir können die Breitenkreise und Meridiane einer Rotationsfläche stets so anordnen, dass sie die Fläche in unendlich kleine Quadrate zerlegen. Von Curve zu Curve wächst ü bez. v dabei um dieselbe unendlich kleine Grösse e. Da v den Winkel der Ebene des Meridians (») mit der des Meridians (v — 0) bedeutet, so müssen wir also alle Meridianschnitte hersteilen, die denselben unendlich kleinen Winkel e mit einander bilden. Da ferner p(u) gleich dem Radius des Breitenkreises (u) und u die Bogenlänge auf dem Meridian ist, so folgt ferner aus

e — du —

du

p (u) ’

dass man einen Meridian so einzuteilen hat, dass das Verhältnis aus dem unendlich kleinen Bogenstück dividiert durch den zugehörigen Breitenradius gleich e ist, und alsdann durch die Teilpunkte die Breitenkreise ziehen muss. Z. B. auf der Kugel (vgl. S. 43)

x = cos u cos v ,

ist p{u) = cos m, sodass nach (17):

y = cos u sin v ,

x = sin u

M = logtg LZ. + —J,

thermische Parameter sind. Dabei ist u die geographische Breite, v die geographische Länge. Die Seite des unendlich kleinen Quadrates an der Stelle (ü, p) hat nach (18) die Länge p[u)dü oder p(u)e, ist also proportional dem Radius des Breitenkreises, insbesondere bei der Kugel proportional dem Cosinus der geographischen Breite. Nach den Polen zu werden also die Maschen des Netzes immer kleiner. In den Polen selbst artet das Isothermennetz aus, indem dort die Quadratseite unendlich klein von höherer Ordnung als e wird.

(19)

2. Beispiel; Im 1. Band, auf S. 157, sprachen wir in Satz 3 von einer stetigen Schraubung. Unterwerfen wir eine Curve einer stetigen Schraubung, so beschreibt sie eine Schraubenfläche. Insbesondere betrachten wir folgenden Fall: Die &-Axe sei die Axe der Schraubung, und die Schraubung werde auf diejenige Gerade ausgeübt, die zuerst in der x-Axe liegt. Alle Punkte dieser Geraden beschreiben gemeine Schraubenlinien von gleicher Ganghöhe um die &-Axe. Nach den Formeln (8) auf der genannten Seite wird derjenige Punkt

der Geraden, dessen Abscisse zuerst gleich u ist, durch die Schraubung, sobald der Drehwinkel den Wert v erreicht hat, in den Punkt

(20)

X = U COS V ,

y — u sin v,

übergegangen sein, denn jetzt ist r durch u und cp durch v zu ersetzen. Die Grösse 2n q ist die Höhe eines Schraubenumganges und q eine Constante. Wenn wir nun in (20) den Grössen u und v völlige Veränderlichkeit zuschreiben, so heisst dies, dass wir alle Punkte der verschraubten Geraden in allen Stadien der stetigen Schraubung betrachteu wollen. Mit anderen Worten: Die Gleichungen (20) stellen mittels zweier Parameter u und v die Fläche dar, die jene Gerade beschreibt. Diese Fläche, die offenbar unendlich viele Geraden enthält, die die Schraubenaxe senkrecht schneiden, und also eine geradlinige Fläche (vgl. I S. 270) ist, heisst eine gemeine Schraubenfläche. Da bei ihr

d x = cos v du — u sin v d v ,

dy = sin v du + u cos v d v ,

d% — qdv

ist, so ist das Quadrat ihres Bogenelementes;

d s² = d u² + (u‘ + q²) rf v² ,

(21)

mithin:

G = u² + q².

F = 0,

Dass F = 0 ist, sagt nach Sats 13, S. 34, aus, dass die Parameterlinien («) und (®) einander senkrecht schneiden. Die Linien (u) sind die Curven, die von den einzelnen Punkten der ursprünglich in der x-Axe gelegenen Geraden beschrieben werden, d. h. es sind gemeine Schraubenlinien mit gleicher Ganghöhe 2 n q die x-Axe. Die Linien (v) sind die durch die Schraubung aus der ursprünglichen Geraden hervorgehenden geradlinigen Erzeugenden der Fläche. (Siehe Fig. 17, S. 61). Wenn wir setzen:

um

Ü-I

= log (u + ]/u² + q²), v = v,

]/u² + q²

so nimmt das Quadrat des Bogenelementes nach (21) die Form an:

d s² = {u² + q²) (dü² + dv²).

Also sind ü und v thermische Parameter. Die gemeinen Schraubenlinien (?«) und die geradlinigen Erzeugenden(#) der gemeinen Schraubenfläche bilden also ein Isothermensystem. Um das Isothermennetz zu erhalten, wählen wir alle diejenigen Geraden (v) oder (£) auf der Fläche aus, die jedesmal durch die Schraubung mit dem unendlich kleinen Winkel d v = einander hervorgehen. Ferner wählen wir auf der x-Axe diejenigen Punkte, deren Abscissen «jedesmal um die unendlich kleine Grösse du wachsen, für die

e aus

du

also

s = du = ——==, Y‘U² + q²

d u = £ )/ u² + q²

ist.

Sie beschreiben bei der stetigen Schraubung die zweite Curvenschar des

Netzes. Man sieht, dass die Maschen des Netzes dicht an der Schraubenaxe die Seitenlange sq haben und dass die Seitenlange um so grösser wird, je grösser die Entfernung u von der Axe wird. In die folgende Figur ist ein Netz

1/

Fig. 17.

von endlicher Maschengrösse eingezeichnet worden, bei dem die thermischen Parameter ü und v arithmetisch wachsen.

§ 8. Bestimmung der Isothermennetze auf einer Fläche.

Liegt eine Fläche vor, die analytisch mittels zweier Parameter u und v ausgedrückt ist und deren Bogenelement-Quadrat die Form hat:

(1)

ds² = Edu² + 2 Fdudv + Gdv²,

so soll jetzt die Frage beantwortet werden, wie man die Isothermennetze der Fläche findet, wenn überhaupt welche vorhanden sind. Wenn ü und v thermische Parameter sein sollen, so müssen u und v gewisse uns allerdings noch unbekannte Functionen von ü und v sein, sodass das Quadrat des Bogenelementes durch Einführung der

Parameter ü und v die in Satz 24, S. 57, angegebene charakteristische Form bekommt:

(2)

d s² = £2 (ü, v) (du² + dv²),

wo nun auch £2 eine uns noch unbekannte Function von ü und v bedeutet. Hierfür lässt sich schreiben:

ds² = £2 {ü, v) [dü + idv) (dü — idv).

Wenn man

(3)

ü -J- iv = U

ü — iv — b

setzt, so kommt:

(4)

ds² = £2 du rfb,

und man wird, sobald £2(ü, v) bekannt ist, auch in Q die Veränderlichen u und ü einführen können.

Umgekehrt: Nehmen wir an, es sei uns gelungen, statt u und v solche neue Parameter u und b einzuführen, dass ds² die Form

ds² = Qdndt)

annimmt, die also nur das Product der Differentiale enthält, so können wir auch sofort thermische Parameter ü und v finden. Wir setzen nämlich die Gleichungen (3) an oder ihre Auflösungen:

-y(u-d);

(5)

ü = — (u + b),

denn dann wird:

ds² = £2 [dü² + dv²).

Hieraus folgt: Es kommt zunächst darauf an, solche Parameter u und b zu finden, in denen das Quadrat des Bogenelementes nur das Product der Differentiale enthält:

d s² = £2 du dv .

Nach Satz 17, S. 36, können wir auch sagen:

Es handelt sich zunächst um die Bestimmung der Minimal-curven u = Const. und b = Const. auf der Fläche.

Bedenken wir nun, dass uns ds² in der Form (1) gegeben ist, so lehrt Satz 16, S. 36, dass die Gleichung

(6)

Edu² + 2 Fdu dv + G dv² = 0

die beiden Scharen von Minimalcurven auf der Fläche definiert, und zwar fallen die beiden Scharen nur dann zusammen, wenn die linke Seite von (6) ein vollständiges Quadrat, also D = 0 ist. In diesem Falle aber ist die Fläche die Tangentenfläche einer Minimalcurve.

Die oo¹ Tangenten dieser Curve sind Minimalgeraden. Ausser ihnen und ihrer Umhüllenden enthält die Fläche keine Minimalcurve.

Um thermische Parameter ü und v zu erhalten, müssen wir die Formeln (5) ansetzen. Weil aber ü und v von einander unabhängig sein müssen, so haben wir dasselbe von u und b zu verlangen. Also sehen wir bei den Isothermensystemen von den Tangentenflächen der Minimalcurven grundsätzlich ab.

Wir setzen also voraus, dass für beliebige Werte von u und v die Function

B 4= 0

sei. Nach Satz 5, S. 13, zerlegen wir die Gleichung (6) in ihre linearen Factoren:

E du + [F -f iB) dv = 0,

E du + (F — i B) d v = 0.

Dies sind die Differentialgleichungen für die beiden Scharen von Minimalcurven u = Const. und 0 = Const. Also sind u und b Integrale dieser Gleichungen. Es seien A (u, v) und g (u, v) zugehörige Multiplicatoren (vgl. I S. 91), d. h. es seien

du = l[Edu -f [F + iB) dv], du = g\E du + (F — iB)dv]

(?)

(8)

vollständige Differentiale.

Die Bestimmung der Multiplicatoren oder der Integrale verlangt natürlich die Integration der beiden Differentialgleichungen (7). Wir wollen annehmen, sie sei geleistet, sodass u und b als Functionen von u und v bekannt seien.

Ehe wir in der Theorie fortfahren, möge dies zunächst an einem Beispiel erläutert werden.

Beispiel: Auf der Kugel (S. 43) x = cos u cos v,

ist

y — cos u sin v,

z = sin u

ds* — did + cos² u dv² = {d u + i cos u dv) (du — i cos u dv).

Die Differentialgleichungen der Minimalcurven:

du ± i cos u dv = 0

haben hier den gemeinsamen Multiplicator

da

cos u

du —

cos u

dt> =---i dv

cos u

I oi ;

vollständige Differentiale sind. Es kommt:

Also sind die Curven:

+ i v — Const.

die Minimalcurven der Kugel. Da wir diese Gleichungen auch so schreiben können:

e±iVts{j + -")

= Const.,

so können wir als Integrale der beiden Differentialgleichungen der Minimalcurven auch

(9)

K> §

= (cos V ±

i sin v) tg (- - + y)

benutzen, was zu bequemeren Formeln führt. Hiernach ist nämlich:

tgv =

- t>

oder:

sin u =

(10)

u» + r

cos u —

sin v =

— i(n — b)

2 Vuü" ’

cos v = -

2 y u ü

u b + 1 ’ n + b 2 j/utT’

sodass sich x, y, x in den neuen Parametern u, b so ausdrücken:

. 11

— i —

(11)

uli — 1

ut + l

Diese Gleichungen stellen also die Kugel um den Anfangspunkt mit dem Radius Eins dar und zwar ausgedrückt mittels der Parameter u und b, sodass die Parameterlinien (u) und (b) die Minimalcurven der Kugel sind. Da die Verhältnisse

(1 — it²): i (1 + u²): 2u²

frei von b sind, so sind die Minimalcurven (u) Geraden, ebenso die Curven (b).

Satz 26: Die Kugel enthält zwei Scharen von Minimalgeraden.

Die Kugel ist folglich in zwei Arten als eine geradlinige Fläche aufzufassen (I S. 270), aber nicht als abwickelbare Fläche, denn sonst müssten die Minimalgeraden einer Schar eine Curve, also eine Minimalcurve, umhüllen — die Kugel enthält aber ausser den Geraden keine Minimalcurve — oder die Minimalgeraden einer Schar müssten einen Kegel bilden — was auch nicht der Fall ist. Eine beliebige Ebene

(12)

Ax + By + Cx — D

schneidet die Kugel in einem Kreis, der sich in u und b nach (11) so darstellt:

(13)

(0 - D) u b + (A — i B) u + (A + i B) b - (C + D) = 0,

¹

   Man sieht, dass sich diese Art der Abbildung nur für solche Länder eignet, die sich nicht allzusehr vom Äquator entfernen, da die Pole ausgeartet sind. Auch die später zu besprechenden Methoden der Abbildung eignen sich immer nur für Teile der Erdkugel, dennoch stellen wir immer zur besseren Erkenntnis des Abbildungsgesetzes in den Figuren die ganze Erdkugel dar.

²

Zuerst angegeben von Collignon, „K eeherches sur la represen-tation plane de la surface du globe terrestre“, Journ. de l’Ecole polyt. cah. 24, 1865.

³

Zuerst angegeben von Mollweide in der Monatl. Correspondenz für Erd- und Himmelskunde Bd. XII, 1805.

⁴

Diese Methode wurde zuerst von Bonne in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts angewandt, weshalb sie nach ihm benannt worden ist. Für ein Jahrhundert wurden die Länderkarten in den Atlanten fast ausschliesslich nach dieser Methode entworfen.

⁵

Geschichtliche Hinweise siehe in der Anmerkung zu I S. 124.

d. h. die allgemeine bilineare Gleichung in u und b:

(14)

21ub + S3u + (£b + ® = 0

stellt einen Kreis auf der Kugel dar. Insbesondere zerfällt diese Gleichung in zwei lineare Gleichungen u = Const. und b = Const., wenn

oder nach (13):

2t 2) - 93 e = 0 A² + B² + G² = D²

ist. Dann aber berührt die Ebene (12) die Kugel, da ihr Abstand vom Anfangspunkt gleich Eins ist. Nach I S. 7 sehen wir also: Die Tangentenebenen der Kugel schneiden die Kugel in Nullkreisen oder circularen Geradenpaaren oder also in Paaren von Minimalgeraden. Noch anders ausgesprochen: Die Minimalgeraden der Kugel sind die Schnittlinien der Kugel mit ihren Tangentenebenen.

Die durch (8) definierten neuen Parameter u und b sind, wie wir wissen, von einander unabhängig. Wenn wir jetzt nach (5):

y(U + b), fl = -y(U-ö)

setzen, so werden auch ü und v von einander unabhängige und zwar thermische Parameter sein. Also folgt:

Satz 27: Liegt eine Fläche vor, bei der das Quadrat des Bogenelementes

ds² = Edu² + 2 Fdudv + G dv²

nicht das vollständige Quadrat eines in du und dv linearen Ausdrucks, also _ö =j= 0 ist, so findet man ein thermisches Parameterpaar ü und v für die Fläche, indem man Integrale u und b der beiden in der Gleichung

E du² + 2 Fdu dv -f- G dv² — 0

enthaltenen Differentialgleichungen der Minimalcurven bestimmt und dann

Ü = ~ (u + b)

setzt.

Die Frage nach allen Isothermennetzen auf der Fläche ist nun schnell zu erledigen: Wir haben die Methode in allgemeinster Weise anzuwenden. Von u und b wurde nur das Eine verlangt, dass sie Integrale der Differentialgleichungen (7) sein sollen. Nach Satz 59, I S. 90, ist das allgemeinste Integral einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung in zwei Veränderlichen eine beliebige Function irgend eines Integrals der Gleichung. Mithin, wenn u und b zwei Integrale von (7) sind, so sind beliebige Func-

Scheffers, Geom. Diffr. II.

tionen A (u) und B (t>) von ihnen die allgemeinsten Integrale. Nach

(3) ergiebt sich demnach das allgemeinste Paar von thermischen Parametern Ü und V aus:

(15)

U + i V = A (u) = A (u + i v), Ü — iV = B (ö) = B(ü — iv).

Also gilt der

Satz 28: Sind ü und v thermische Parameter für eine Fläche, so ergiebt sich ihr allgemeinstes Paar von thermischen Parametern Ü und V, wenn man Ü + i V gleich irgend einer Function von ü + iv und XJ — iV gleich irgend einer Function von ü — iv setzt.

Der Satz 78, I S. 130, ist ein besonderer Fall hiervon, denn in der xy-Ebene sind die Coordinaten x und y selbst thermische Parameter.

Nehmen wir an, es liege eine reelle Fläche vor, und es seien ü und v reelle thermische Parameter, d. h. es seien x, y, z reelle Functionen von ü und v. Um dann das allgemeinste Paar von reellen thermischen Parametern zu bekommen, muss man dann die Functionen A und B in (15) so wählen, dass Ü und V reell in ü und v sind. Hieraus folgt — wie insbesondere für die Ebene der Satz 79, IS. 131, — der

Satz 29: Sind ü und v reelle thermische Parameter für eine reelle Fläche, so erhält man das allgemeinste reelle thermische Parameterpaar Ü, V für die Fläche, wenn man Ü gleich dem reellen und iV gleich dem rein imaginären Teil irgend einer Function von ü + iv setzt.

Beispiel: Bei der Kugel

x = cos u cos v, y = cos u sin v, x = sin u fanden wir in dem Beispiel auf S. 64 oben:

sodass hier

= log tg (I + |)

±iv,

i .

- — (u - Ü) = V

reelle thermische Parameter sind. Wir fanden sie auch im 1. Beispiel auf S. 59 auf directem Wege. Auf der Kugel bestimmt sich mithin das allgemeinste reelle thermische Parameterpaar Ü, V aus den beiden Gleichungen:

U ± i V = Ä |log tg (—■ + y) ± * ^

in denen A eine beliebige Function des angegebenen Argumentes ist. So z. B. folgt aus:

p±it=eIogtgG ⁺ t)±

das reelle thermische Parameterpaar:

u = tg (- - + - -)

$ Ol

cos v,

= tg + y) • (cos v ± i sin v)

r.,gA- ₊ |)

sin v.

§ 9. Conforme Abbildung von Flächen.

Wir erinnern an die einleitenden Bemerkungen in § 5, wo wir eine beliebige Fläche:

'(1)

Z = 'ifJ (m, V)

cp(u, v),

flächentreu auf die Ebene abbildeten.

Jetzt wollen wir diejenigen punktweisen Abbildungen der Fläche

(1) auf die Ebene untersuchen, bei denen jedes unendlich kleine Stück der Fläche in der Ebene ein Bild hat, das dem Original ähnlich ist. Solche Abbildungen heissen conform.¹

Zunächst ist es unsere Aufgabe, die conformen Abbildungen analytisch zu definieren.

Ist eine Fläche gesetzmässig Punkt für Punkt auf eine Ebene abgebildet und sind x, y, z rechtwinklige Punktcoordinaten der Fläche, dagegen u, v rechtwinklige Punktcoordinaten in der Bildebene, so ist auch jedem Bildpunkt, also jedem Wertepaar u, v, gesetzmässig ein Flächenpunkt, also ein Wertetripel x, y, z zugeordnet, mit anderen Worten: Dann sind x,y,z Functionen von u und v, wie oben in (1).

Wir können daher vorerst annehmen, die Fläche (1) mit den Parametern u, v sei dadurch auf eine Ebene abgebildet, dass die

Parameter u, v als rechtwinklige Coordinaten in der Bildebene gedeutet werden. Die Frage ist, unter welchen Umständen diese Abbildung conform ist.

Es sind (u, v), (u + du, v -f- dv), [u + du, v -f- dv) drei beliebige unendlich benachbarte Punkte der Fläche, wenn du, dv bez. öu, ö v beliebige unendlich kleine Incremente von u und v bedeuten. Ihnen entsprechen in der uv-Ebene drei ebenfalls unendlich benachbarte Punkte, deren rechtwinklige Coordinaten die betreffenden Parameterwerte sind. Wir verlangen, dass das unendlich kleine Dreieck auf der Fläche dem Bilddreieck in der Ebene ähnlich sei. (Siehe Fig. 18.) Dazu ist, weil wir das Flächendreieck als eben auffassen dürfen, zweierlei notwendig und hinreichend: Erstens müssen die beiden vom Punkte (u, v) der Fläche ausgehenden Seiten in demselben Verhältnis zu einander stehen wie ihre Bilder, und zweitens muss der von ihnen eingeschlossene Winkel gleich dem Winkel im Bilde sein. Da es zwei Arten von Ähnlichkeiten giebt: gleichsinnige und ungleichsinnige, so kommen die Vorzeichen der Seiten und Winkel hierbei nicht in Betracht. Wir stellen daher die Forderungen so:

Erstens sollen die Quadrate der vom Punkte (u, v) ausgehenden Seiten der beiden Dreiecke in demselben Verhältnis stehen,

/Utdu i

{v+dw

/U + rfu} (v+tfp)

\v)

und zweitens sollen die Cosinus ^ der Dreieckswinkel im Punkte (u, v) v+du) beider Dreiecke denselben Wert haben.

Fig. 18.

Auf der Fläche seien ds und ö s die vom Punkte {u, v) nach den Punkten [u + du, v + dv) und {u -)- du, v + dv) gehenden Dreiecksseiten, in der Ebene mögen ihnen d§ und ö § entsprechen. Auf der Fläche ist dann, wenn F, F, G ihre Fundamentalgrössen erster Ordnung sind:

ds² = Fdu² -f- 2 Fd udv + G dv², ös² = Fd u² + 2Fdu d v + G d v²,

dagegen in der Ebene:

d§² = du² dv²

Die erste Forderung ist also diese: Es soll

du² + d v²

E du* + 2F dudv + G dv* _

E 8 u* 4- 2 F ö u ö v + G d v*    ö u* + d v*

sein und zwar für jedes unendlich kleine Dreieck, d. h. wie auch die Verhältnisse

4— = k

gewählt sein mögen. Es soll also für beliebige Werte von k und x stets:

E + 2 Fk + Gk² _ 1 + k2 E+2Fx + Gx² 1 -f x²

sein. Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn

(2)

E = G und F = 0

ist.

Ist a der Winkel von ds und ös auf der Fläche und a der Bildwinkel, d. h. der Winkel von d§> und in der Ebene, so ist nach Satz 10, S. 32:

COS Ci —

E + F (Je -f- x) + G hx VW+ 2Fk + G F) (F + 2Fx + G x²) '

In der uv-Ebene sind

du

Je

oder

Y d id + d v² ’

Cosinus und Sinus des Winkels der u-Axe mit d§> und analog

y du² + d v²

y i + k²

yi + k²

yi+x²

V 1 +X² ’

Cosinus und Sinus des Winkels der u-Axe mit S§. Also ist:

COS Ct =

y (i + k²) (i + x°-)

Die zweite Forderung drückt sich daher so aus: Für jedes Wertepaar h und x soll:

E + F (k + x) + G k x V(E + 2Fk + G k²) {E 4- 2Fx + Gx²) ~~ ]/(1 + k²) (1 +x²)

sein. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn:

E = G und F — 0

ist. Damit kommen wir auf (2) zurück. Wir sehen somit, dass von den beiden Forderungen nur eine notwendig und hinreichend ist, da sie die andere nach sich zieht.

Satz 30: Dafür, dass eine Abbildung einer Fläche con-form sei, ist notwendig und hinreichend, dass entweder je

zwei von einem Punkte der Fläche ausgehenden Bogenelemente stets — abgesehen vom Vorzeichen — im selben Verhältnis zu einander stehen wie ihre Bilder oder der Winkel je zweier solcher Bogenelemente — abgesehen vom Vorzeichen — gleich dem Winkel im Bilde ist.

Als Merkmal der conformen Abbildung benutzen wir in der Folge die erste Forderung:

ds² d§²

dh² ~ J¥’

die wir auch so schreiben können:

ds² ös²

~d¥ — ~ö¥'

In dieser Form sagt sie aus, dass das Verhältnis aus einem Bogenelement-Quadrat der Fläche zum entsprechenden Bogenelement-Quadrat der Ebene dasselbe sein soll wie das analoge Verhältnis gebildet hinsichtlich eines beliebigen anderen von demselben Punkte (u, v) ausgehenden Bogenelementes. Wir können also sagen:

Satz 31: Dafür, dass eine Abbildung einer Fläche con-form sei, ist notwendig und hinreichend, dass das Verhältnis aus dem Quadrat des Bogenelementes der Fläche zum Quadrat des zugehörigen Bogenelementes im Bilde für alle von ein und demselben Punkte der Fläche ausgehenden Elemente dasselbe ist. Doch darf sich dies Verhältnis von Punkt zu Punkt ändern.

In Formel: Es soll

Fdu² + 2Fdudv + G dv² E+2Fk+Gk²

1 + k²

du² + dv²

von k unabhängig sein, was eben für E = G, F = 0 der Fall ist. Alsdann kommt:

ds²

dä²

= E{u, v),

sodass }/E: 1 das Verhältnis ist, in dem die unendlich kleine Umgebung des Flächenpunktes (u, v) auf die unendlich kleine Umgebung des Bildpunktes ähnlich abgebildet wird. Dies Verhältnis ändert sich im allgemeinen von Stelle zu Stelle, da E eine Function von u und v ist. Nur wenn E — Const., also G gleich derselben Con-stanten und F — 0 ist, ist der Ahnlichkeitsmaassstab überall derselbe. Durch passende ähnliche Vergrösserung oder Verkleinerung der Bildebene lässt sich dann erreichen, dass die Abbildung überall sogar congruent ist. Nach Satz 10, I S. 282, tritt dieser Fall nur für abwickelbare Flächen ein.

Die in Satz 31 aufgestellte Forderung zieht die der Übereinstimmung der Winkel im Original und im Bilde nach sich und umgekehrt die letztere Forderung die erstere. Die letztere Forderung kann als die der Winkeltreue bezeichnet werden, weshalb man statt: conforme Abbildung auch: winkeltreue Abbildung sagen darf.

Aus der Winkeltreue folgt, da ein Isothermennetz als Orthogonalnetz mit orthogonalem Diagonalnetz definiert werden kann (S. 56):;

Satz 32: Bei einer conformen Abbildung einer Fläche bildet sich jedes Isothermennetz als Isothermennetz ab.

Da die Curven u = Const., v = Const. in der u v-Ebene ein Isothermennetz bilden, so folgt, dass auch die Parameterlinien (u) und (v) der Fläche (1) ein Isothermennetz bilden müssen, wenn die Abbildung conform sein soll. Thatsächlich sagen die gefundenen Bedingungen (2) nach S. 58 sogar noch mehr aus: u und v müssen thermische Parameter auf der Fläche sein. Mithin:

Satz 33: Bildet man eine Fläche

x = cp (u, v)

y = / (u, v),

z = tp (u, V)

dadurch auf die Ebene ab, dass man dem Flächenpunkt (w, v) denjenigen Punkt der Ebene zuordnet, der die rechtwinkligen Coordinaten u und v hat, so ist die Abbildung dann und nur dann conform, wenn u und v thermische Parameter der Fläche sind.

Bedenken wir, dass wir auf der Fläche neue Parameter einführen können, so folgt hieraus:

Satz 34: Um eine Fläche in allgemeinster Weise conform auf die Ebene abzubilden, bestimmt man in allgemeinster Weise thermische Parameter auf der Fläche und deutet sie als rechtwinklige Punktcoordinaten in der Ebene.

Wir können die Lösung der Aufgabe der conformen Abbildung ohne Mühe verallgemeinern: Es mögen zwei Flächen vorliegen. Die eine soll punktweis auf die andere so abgebildet werden, dass jeder unendlich kleine Teil der einen Fläche dem entsprechenden unendlich kleinen Teil der anderen Fläche ähnlich ist. Eine solche Abbildung heisst eine conforme Abbildung der einen Fläche auf die andere. Sie ist in folgender Weise herzustellen:

Da zwei Figuren, die einer dritten ähnlich sind, auch unter einander ähnlich sind, so vermitteln wir zwischen beiden Flächen dadurch, dass wir beide conform auf ein und dieselbe Ebene abbilden. Vgl. hierzu die entsprechenden Bemerkungen für flächentreue Abbildungen auf S. 40.

Jedem Punkt der ersten Fläche entspricht dann ein Punkt der Ebene, und letzterem Punkt entspricht ein Punkt der zweiten Fläche* sodass die conforme punktweise Beziehung zwischen beiden Flächen hergestellt ist. So erhält man offenbar alle conformen Abbildungen. Es leuchtet ein, dass die Sätze 30, 31, 32 auch für conforme Abbildungen einer Fläche auf eine Fläche gelten; daher ist in ihnen absichtlich das Wort: Ebene unterdrückt worden. Aus Satz 34 folgt noch:

Satz 35: Um eine Fläche in allgemeinster Weise auf eine andere Fläche conform abzubilden, bestimmt man auf der einen ein thermisches Parameterpaar und auf der anderen das allgemeinste thermische Parameterpaar. Darauf setzt man die Parameterpaare einander gleich.

(3)

x = cp (u, V) und die andere die Gleichungen:

x = (p (u, v)

Z = xp (ll, V)

Es mögen zwei Flächen vorliegen, die eine habe die Gleichungen: V = X[u,v),

(4)

Z = XjJ (u,v).

Indem wir bei beiden Flächen die Parameter gleich bezeichnet haben, nämlich mit u und v, ist schon jedem Punkte (u, v) der einen Fläche ein Punkt der anderen gesetzmässig zugeordnet. Fragen wir uns, unter welchen Bedingungen diese Abbildung conform ist. Es seien:

ds² = Edu² -}- 2Fdudv -j- G dv², ds² = Edu² + 2Fdudv -f- G dv²

die Quadrate der Bogenelemente beider Flächen. Nach Satz 31 haben wir zu verlangen, dass das Verhältnis:

■ds² __ Edu² + 2Fdudv + Gdv² _ E + 2Fk + Gk2 ds² ~ Edu² + 2 Fdudv -f G dv² ~~ E + 2 Fk + Gk²

für alle Richtungen /< = dv.du dasselbe sei. Es ist also zu fordern:

(5)

E:F:G= E:F:G.

Satz 36: Um zwei Flächen conform auf einander abzubilden, hat man solche Parameter auf beiden Flächen einzuführen, in denen die Verhältnisse der Fundamentalgrossen erster Ordnung auf der einen Fläche gleich den Verhältnissen der Fundamentalgrössen erster Ordnung auf der anderen Fläche sind. Alsdann entsprechen diejenigen Punkte beider Flächen einander, die zu denselben Parameterwerten gehören.

Die Minimalcurven der einen Fläche sind diejenigen Curven, längs deren d s² = 0 ist. Entsprechend sind die Minimalcurven der zweiten Fläche diejenigen, längs deren ds² — 0 ist. Man sieht hieraus, dass infolge von (5) die Minimalcurven der einen Fläche bei der conformen Abbildung in die der anderen übergehen.

Dies lässt sich umkehren: Um dies zu zeigen, fragen wir, unter welchen Umständen die Abbildung der Fläche (3) auf die Fläche (4) so beschaffen ist, dass jeder Minimalcurve der einen Fläche eine Minimalcurve der anderen entspricht. Das Bogenelement ds wird als das Bogenelement ds abgebildet. Die vom Punkte (u, v) einer Fläche ausgehende Richtung dv: du ist die einer Minimalcurve, wenn für sie das Bogenelement gleich Null ist. Wir haben also zu fordern, dass der Ausdruck für ds² gleich Null wird, sobald dv\diL so gewählt wird, dass der Ausdruck für ds² gleich Null ist. Diese Forderung führt wieder auf die Bedingung (5). Also:

Satz 37: Die conformen Abbildungen einer Fläche auf eine andere Fläche können auch als diejenigen Abbildungen definiert werden, bei denen den Minimalcurven der einen Fläche die Minimalcurven der anderen entsprechen.

Man kann sich die Aufgabe stellen: Auf zwei Flächen ist je ein Isothermensystem gegeben. Gesucht werden alle diejenigen conformen Abbildungen der einen Fläche auf die andere, bei denen das eine Isothermensystem gerade dem anderen entspricht.

Es seien u, v solche thermische Parameter auf der einen Fläche, die zu dem gegebenen Isothermensystem gehören, entsprechend ü, v auf der anderen Fläche. Die Quadrate der Bogenelemente haben dann nach Satz 25, S. 58, die Form:

ds² = 0 (ü, v) (du² + dv²)

ds² — £2 (u, v) (du² -f- dv²),

sodass

a- a,

“Ul

£2 (u, v) du² + d v2 & (ü, v) du² + dv²

ist. Um eine Abbildung zu gewinnen, müssen wir ü und v. als Functionen von u und v definieren. Wenn die Curven (u) des einen

Isothermennetzes als die Curven (ü) des anderen abgebildet werden sollen, so muss ü = Const. sein, wenn u = Const. gesetzt wird. Also muss ü eine Function von u allein sein; ebenso v eine Function von v allein:

u — A (u),

sodass kommt:

1 + k²

~d¥ _    ‘ l'²du² + fi'²dv* ~ & {)., g) ' l'² + fi'²k² '

ds²

Si (u, v)

du² + dv²

Si (u, v)

Dies Verhältnis soll nun nach Satz 31 von k unabhängig sein. Dies ist nur dann der Fall, wenn

X (w)² = fi (v)²

und daher jede dieser beiden Grössen, weil die eine nur von u, die andere nur von v abhängt, constant ist. Demnach kommt (wie in (14) auf S. 58):

v = fi (v) =+ av Const. (a = Const.).

ü — /l (?<) —4; au -}~ Const.,

Hätten wir verlangt, dass die Curven [u) als die Curven (£) und die Curven (y) als die Curven (ü) abgebildet werden sollen, so hätten wir nur u mit v zu vertauschen. Demnach:

Satz 38: Um alle diejenigen conformen Abbildungen einer Fläche auf eine andere Fläche zu erhalten, bei denen ein gegebenes Isothermensystem der einen Fläche als ein gegebenes Isothermensystem der anderen abgebildet wird, bestimmt man thermische Parameter u, v und ü, v zu den beiden Systemen und setzt entweder:

+ Const.

ü = + a u + Const.,

oder:

M=+av+ Const.,

v = + aii + Const. (a = Const.).

Dabei können die Vorzeichen nach Belieben combiniert werden.

Kehren wir schliesslich zu den conformen Abbildungen einer Fläche auf die Ebene zurück. Wenn auf der Fläche u und v thermische Parameter sind, die zu einem bestimmten Isothermensystem gehören, und wenn die Fläche so auf die Ebene abgebildet werden soll, dass dies System in ein System von zwei zu einander senkrechten Geradenscharen übergehen soll, das ja das einfachste Isothermensystem in der Ebene ist, so haben wir zu bedenken, dass die gewöhnlichen rechtwinkligen Coordinaten £, t) in der Ebene thermische Parameter eines Systems der letzteren Art sind. Nach dem Satz 38 haben wir daher entweder:

t) = + a v + Const.

£ = ± a u + Const.,

oder:

£ = -j- a v + Const.,

t) = + a u + Const.    (a — Const.)

zu setzen. Die additiven Constanten sind unwesentlich, da sie durch Schiebung des Axenkreuzes in der £t)-Ebene entfernt werden können. Die Vertauschung von u mit v kommt auf die Vertauschung von £ mit t) hinaus, d. h. darauf, dass man die Ebene von der anderen Seite betrachtet. Alle jene Abbildungen sind also nichts wesentlich anderes als die eine:

£ = ± au,

t) = + a v

Sie unterscheidet sich von der speciellen:

(a = Const.).

CO

n-s

nur dadurch, dass das ganze Bild ähnlich vergrössert wird, wodurch die Winkeltreue ja offenbar nicht gestört wird. Daher folgt:

Satz 39: Alle diejenigen conformen Abbildungen einer Fläche auf die Ebene, bei denen ein bestimmtes Isothermensystem der Fläche in ein System zweier zu einander senkrechten Geradenscharen übergeht, sind mit einander in gleichem oder entgegengesetztem Sinn ähnlich.

Wir werden uns also auf die Annahme (6) beschränken dürfen.

§ 10. Conforme Abbildung der Kugel auf die Ebene.

In dem 1. Beispiel auf S. 59 ergaben sich durch Quadratur thermische Parameter auf einer beliebigen Rotationsfläche. Nach S. 58 können wir daher alle thermischen Parameterpaare für diese Fläche und mithin nach Satz 34, S. 71, alle conformen Abbildungen der Rotationsfläche auf die Ebene angeben.² Insbesondere gilt dies auch für die Kugel.

Wenn man jedoch den conformen Abbildungen noch besondere Bedingungen vorschreibt, so treten neue Probleme auf, die

durch diese allgemeinen Betrachtungen noch nicht erledigt sind. Wir wollen hier einige derartige Aufgaben über die conforme Abbildung der Kugel auf die Ebene lösen.

Zunächst können wir die allgemeinste conforme Abbildung der

Kugel

(1)

x = cos u cos v,

y = cos u sin v,

z = sin u

auf die £t)-Ebene auf Grund des Satzes 37, S. 73, sehr einfach aus-drücken, indem wir auf der Kugel und in der Ebene die Minimal -geraden als Parameterlinien wählen. Zu diesem Zwecke stellen wir die Kugel nach (11), S. 64, mittels der Parameter it und b so dar:

. u

— i —

JLt -f b

MD+ 1 ’

Alsdann sind die Parameterlinien (u) und (b) die Minimalgeraden der Kugel. In der jt)-Ebene sind die Linien

£ ± i t) = Const.

die Minimalgeraden. Nach dem angeführten Satze erhalten wir nun die allgemeinste conforme Abbildung der Kugel (2) auf die £ty-Ebene, wenn wir £ + i und £ — i gleich irgend welchen Functionen von je nur einem der beiden Parameter u und b setzen, wenn wir also entweder:

(2)

UÖ + 1

(3)

£ + i t) = Z7(u),

oder

.(4)

£ - *9 = ^(U),

£ +    = Hb)

setzen, wobei U eine beliebige Function von it und V eine beliebige Function von b bedeutet. Doch dürfen diese Functionen keine Constanten sein. Es muss also

(5)

u' 4= o, r =j= o

sein.

Jetzt wollen wir die Aufgabe lösen, alle diejenigen con-formen Abbildungen der Kugel auf die Ebene zu bestimmen, bei denen sich jeder Kreis der Kugel wieder als Kreis darstellt.¹

Dabei machen wir davon Gebrauch, dass ein Kreis auf der

¹ Nebenbei sei erwähnt, dass man beweisen kann, dass eine solche Abbildung der Kugel auf die Ebene, bei der alle Kreise wieder als Kreise erscheinen, überhaupt stets conform sein muss.

Kugel (2) dadurch bestimmt wird, dass man nach S. 65 eine beliebige bilineare Gleichung

(6)

5tuü + 53u + @ö + 2) = 0

zwischen u und ü herstellt, öder, was dasselbe ist, dadurch, dass man ö gleich einer linear gebrochenen Function von u setzt:

(7)

Const. u + Const.

Const. u + Const.

In der £ ty-Ebene gilt dasselbe, wenn man anstatt u und ü die Grösse £ + i l) und £ — i b benutzt. Unsere Aufgabe kann daher analytisch so ausgesprochen werden:

Man soll F(u) und V{p) in allgemeinster Weise so bestimmen, dass jede bilineare Gleichung zwischen £ + it) und £ — i\) infolge von (3) oder (4) mit einer bilinearen Gleichung zwischen u und ü identisch ist. Oder: So, dass jede Gleichung von der Form:

(8)

Const. U + Const.

Const. U + Const. ’

in der links nur t) und rechts nur u auftritt, mit einer Gleichung von der Form (7) oder — was dasselbe ist — von der Form (6) identisch ist.

Um dies Problem zu lösen, leiten wir zunächst einen Hülfssatz ab: Ist ü eine linear gebrochene Function von u, d. h. besteht eine Gleichung von der Form (6), so giebt sie, dreimal total nach u differenziert, drei Gleichungen für die Differentialquotienten ff, ff', ff" von ö nach u, nämlich:

5l( ö +uff ) + 53 + 6ü' =0,

+ 6ö" = 0,

+ (50"'= 0.

51(20' + uo")

5l(3ü"+ub"')

Sie sind linear und homogen in 5(, 53, 6 und aus ihnen folgt daher das Verschwinden der Determinante hinsichtlich 51, 53, (5. So kommt man zu der Gleichung:

(9)

3 ö"² — 2t>' ö"'= 0.

Umgekehrt: Ist ü eine solche Function von u, deren Differential-quotienten diese Bedingung erfüllen, so ist

^///

-2K

oder:

ff

ö".

3 log ff — 2 log ü" = Const.

also:

b"

oder:

]/ö'³

= Const.

%=r = Const.it + Const.,

also:

yv

b' =

(Const. u + Const.)² ’ woraus durch nochmalige Integration folgt, dass b die Form (7) hat. Wir haben also den Hülfssatz gefunden:

Satz 40: b ist dann und nur dann irgend eine linear gebrochene Function von u, wenn zwischen den Ableitungen ff, b", ff" von b nach u die Beziehung

3b"² - 2b'b'" = 0

besteht.

Nach dem Obigen kommt es daher darauf an, U und V so als Functionen von u bez. b allein zu bestimmen, dass jede bilineare Gleichung

AUV+ BU+CF+ D = 0    [A, B, C, B = Const.)

eine solche Function b von u definiert, deren Differentialquotienten ff, b", ff" die soeben gefundene Bedingung (9) erfüllen. Nun erhält man ff, b", b'" aus den Gleichungen, die aus der vorstehenden Gleichung durch dreimalige totale Differentiation nach lt hervorgehen. Diese Gleichungen sind linear und homogen in A, B, C, und es muss daher ihre Determinante hinsichtlich A, B, C gleich Null sein. Die so hervorgehende Gleichung:

dUV dü dV

du

du

d :t²

ist alsdann die einzige zwischen ff, b", ff" bestehende Relation, die bei allen beliebigen Annahmen der Constanten A, B, C, B gilt. Wir haben zu fordern, dass diese Gleichung die Form (9) habe. Ausführlich geschrieben lautet die Determinantengleichung so:

ü' r+ ury

U" F+ 2 TJ’ V' ff + U 7" ff² + UT b"

TT"r+ 3 ü"Ft)' + SU'F't)'² + UV'" b'³ +

+ 3 UT b" +3 U V" b' b" + UV' b'"

u’ r b'

V v" b'² + r b"

TT" V"' b'³ + 3F'b'b" + + V b"'

= 0.

Wenn man von der ersten Reihe die mit 7 multiplieierte zweite und die mit U multiplicierte dritte Reihe abzieht, vereinfacht sich die Determinante bedeutend. Ihre Ausrechnung ergiebt die Gleichung:

ü'² (8 V"² - 2 F F") ö'⁴ - F²(3 U"² -2 U' U"')\)'² +

+ U'²F²{3ü"² - 2ü' b'") = 0

zwischen b', b", b'". Da sie die Form (9) haben soll, so folgt mit Rücksicht auf (5), dass

3 V"² -2 F F" = 0

3 jj”² -2 U' U'" = 0,

sein muss. Dies aber sagt nach Satz 40 aus, dass U eine linear gebrochene Function von it und V eine linear gebrochene Function von b sein muss. Gehen wir jetzt auf (3) und (4) zurück, so kommt:

Satz 41: Alle diejenigen conformen Abbildungen der

Kugel

ub + r

auf die Ebene mit den rechtwinkligen Coordinaten £, t), bei denen sich jeder Kreis als Kreis abbildet, ergeben sich, wenn man £ + und £ — it) gleich beliebigen linear gebrochenen Functionen von je einem der beiden Parameter u und b setzt.

Nehmen wir etwa an:

(10)

«2 Ü + K c₂ b + d₂

so ist der Kreis

(11)

.4 (f + * ty) (£ — z b) + i?(£ + z b) + C(£ — f b) -f -ö = 0 in der j^-Ebene das Bild des Kreises:

(12)

A («! U + 5₁) (a₂ b + bf) + B [ax u +    (c₂ b + d₂) +

+ C (Cj U + df) [a₂ b + bf) + I) (Ci u + df) (c₂ b + d₂) = 0

auf der Kugel. Insbesondere werden sich gewisse Kreise der Kugel als die Geraden der Ebene darstellen. Da letztere bei der Annahme A = 0 aus (11) hervorgehen, so haben diese Kreise der Kugel nach (12) Gleichungen von der Form:

■B (ai U + ^i) (c₂ b + df) -j- C(cx U + df) (a₂ b + ^₂) +

+ D (cj u + df) (c₂ b df) = 0.

Wie auch die Constanten B, C, I) gewählt sein mögen, stets wird die Gleichung befriedigt, wenn man u und 0 so wählt, dass

c₂ ö + d₂ = 0

cx u + dx = 0,

ist, d. h. wenn man: setzt. Daher gehen diejenigen oo² Kreise der Kugel, deren Bilder die oo² Geraden der Ebene sind, durch den Punkt A mit diesen Coordinaten hindurch.

Wir können annehmen, dass wir diesen Punkt A durch Drehung der Kugel in sich in die z-Axe gebracht haben, d. h. wir können

A als Nordpol wählen. Für ihn ist dann die Breite u = —, daher

nach den Formeln (9), S. 64, der Parameter u und der Parameter t> unendlich gross. Mithin kommt diese besondere Wahl des Parametersystems darauf hinaus, dass wir cx und c₂ gleich Null annehmen, sodass wir die Gleichungen (10) der Abbildung, die selbst nicht specialisiert worden ist, so vereinfachen können:

£ — * b = a₂ ti + b₂.

Ferner können wir das Axenkreuz in der jt)-Ebene soweit verschieben, dass sich diese Gleichungen noch weiter vereinfachen:

£ - it) = a₂Ö.

E + ft) = ax u,

Der Längenkreis {v = 0), für den nach (9), S. 64, die Parameter u und ü einander gleich sind, bildet sich hiernach als die Gerade

t ~ « i)

«i

($2

ab. Wir können die £t)-Ebene um ihren Anfangspunkt drehen, bis diese Gerade die j-Axe wird, d. h. wir dürfen ax = a₂ annehmen. Nun bleibt:

oder:

E + it) = au,

£ — i t) = a ü

—TT («-»)■

Indem wir die j^-Ebene ähnlich vergrössern, was ja bei conformer Abbildung statthaft ist, können wir insbesondere a = 1 machen. Also haben wir:

. (13)

(u + b))

= - y(U-b).

Nach (2) bestehen daher zwischen den Coordinaten x, y, z eines Punktes der Kugel und den Coordinaten g, t) seines Bildpunktes die Beziehungen:

2f

£² + t)² - 1 £² + t)² -f- 1

Wenn wir jetzt die g ty-Ebene direct mit der xy-Ebene zur Deckung bringen, und zwar auch hinsichtlich der Axen, so lässt sich die Beziehung zwischen Originalpunkt (x, y, z) und Bildpunkt (g, t)) geometrisch leicht herstellen. Da nämlich

(14)

21)

£² + t)² + 1 ’

x-.y:(z - 1) = £:»: - 1

ist, so liegen die drei Punkte (ar, y, z), (g, t), 0) und (0, 0, 1) auf

einer Geraden. Der dritte Punkt (0, 0, 1) ist der oben erwähnte

Nordpols. (SieheFig. 19.) Wenn

man also vom Nordpol aus die

Gerade durch einen Punkt (x,y, z)

der Kugel zieht, so schneidet sie

die Aquatorebene (z — 0) in dem

zugehörigen Bildpunkt (g, ty, 0).

V))

Fig. 19.

Anders ausgesprochen: Die Abbildung wird dadurch gewonnen, dass man die Kugel vom Nordpol — als Projectionscentrum — perspectiv auf die Äquator-ebene projiciert. Wird die Aquatorebene durch eine zu ihr parallele Ebene ersetzt, so wird das Bild nur ähnlich vergrössert. Ausserdem muss man sich daran erinnern, dass wir zur Vereinfachung der Formeln einen bei der Abbildung ausgezeichneten Punkt als Nordpol wählten. An die Stelle des Nordpols kann also irgend ein Punkt der Kugel treten, die Bildebene ist alsdann eine zu seinem Durchmesser senkrechte Ebene. Ferner merken wir noch an, dass die durch (4) vermittelten Abbildungen aus den durch (3) vermittelten dadurch hervorgehen, dass man die gt)-Ebene von der anderen Seite betrachtet. Daher können wir das Ergebnis allgemein so aussprechen:

Satz 42: Die allgemeinste conforme Abbildung der Kugel auf eine Ebene, bei der sich alle Kreise wieder als Kreise darstellen, erhält man, wenn man die Kugel von einem ihrer Punkte aus perspectiv auf eine zum Durchmesser dieses Punktes senkrechte Ebene projiciert.

Scheffers, Geom. Diffr. II.

Die perspective Projection der Kugel von einem Punkte der Kugel aus auf eine zu seinem Durchmesser senkrechte Ebene heisst die stereographische Projection der Kugel. Also:

Satz 43: Die stereographischen Projectionen der Kugel sind die einzigen conformen Abbildungen der Kugel auf die Ebene, hei denen jeder Kreis wieder als Kreis erscheint. ¹

Wir wollen jetzt überhaupt nach allen denjenigen perspectiven Bildern der Kugel fragen, die conform sind.

Wird die Bildebene durch eine parallele Ebene ersetzt, so wird das perspective Bild nur ähnlich vergrössert. Wir dürfen also annehmen, dass die Bildebene durch die Mitte der Kugel gehe, da diese Mitte selbst sicher nicht das Projectionscentrum ist, wie man sofort einsieht. Sie werde alsdann als xy-Ebene, die Kugelmitte als Anfangspunkt gewählt. Das Projectionscentrum habe die Coordi-naten a, b, c. Nun soll der Bildpunkt (y, t), 0) des Kugelpunktes (x, y, z) auf der Geraden durch das Projectionscentrum (a, b, c) und den Punkt (.x, y, z) liegen. Also ist zu fordern:

t) - b

S - a x — a

wofür wir auch schreiben können:

(a±ib)x — cx^ficy

X — c

Da nun hei jeder conformen Abbildung Gleichungen von der Form (3) oder (4) bestehen, so muss also mit Rücksicht auf (2) jede der beiden Grössen

(a + ib) (u ü — 1) — 2 o, u

(1 — c) u b — (1 + e)

(a — i b) (u b — 1) — 2 c b (1 — c)u b — (1 + c)

von nur je einem der beiden Parameter u und ü abhängen. Es muss also entweder

a — b = 0, c = 1 oder:    a = b = 0, c — — 1

Die umständliche Ableitung dieser Abbildung, wie wir sie oben ge-

¹ Dass bei der stereographischen Projection die Winkel in wahrer G-rösse und die Kreise als Kreise erscheinen, ist leicht elementargeometrisch einzusehen. Diese Projection soll denn auch schon von Hippakch (um 160 v. Chr.) erfunden worden sein. Ihre Bezeichnung rührt her von Agtjillon, „Optica“, 1613.

geben haben, hat den Zweck, den nicht so elementaren Satz zu beweisen, dass es ausser der stereographischen Projection keine conforme Abbildung giebt, bei der die Kreise wieder als Kreise erscheinen. Dieser Satz ist implicite in der oben (S. 75, Anm.) genannten Arbeit von Lagrange enthalten.

sein, d. h. das Projectionscentrum ist einer der Schnittpunkte der z-Axe mit der Kugel. Wir kommen daher wieder zur stereographischen Proj ection:

Satz 44: Die conformen perspectiven Bilder der Kugel ergeben sich sämtlich durch die stereographische Pro-jection.

Bei stereographischer Proj ection wird die ganze Kugel eindeutig auf die unbegrenzte Ebene abgehildet. Die Halbkugel, die dem Centrum A der Projection gegenüberliegt, erfährt weniger starke Verzerrungen als die andere. Zu kartographischen Zwecken bedient man sich daher meistens der stereographischen Projection nur für jene Halbkugel. So ist auch in Fig. 20 die stereographische

sum

■HP"

■r.

m.

Fig. 21.

Fig. 20.

Projection einer Halbkugel vom Südpol aus und in Fig. 21 von einem Punkte des Äquators aus dargestellt.³ Die Bildseite ist dabei diejenige Seite der jedesmal senkrecht zum Durchmesser des Pro-jectionscentrums gelegten Ebene, auf der dies Centrum nicht liegt. Die Breitenkreise und Meridiane, die ja ein Isothermensystem bilden, nach S. 59, müssen sich auch in der Ebene als ein Isothermensystem von Kreisen darstellen. Diese Systeme bei unseren jetzigen Figuren wurden im ersten Band in Fig. 31, S. 128, und Fig. 33,

S. 134, angegeben. Bei der stenographischen Projection von irgend einem Punkte der Kugel aus tritt ebenfalls das in der citierten Figur 33 dargestellte Isothermensystem auf, während die in Fig. 32, I S. 131, und Fig. 34, I S. 134 angegebenen Isothermensysteme offenbar nicht auftreten.

Wir wollen jetzt die Aufgabe¹ lösen, alle diejenigen con-formen Abbildungen der Kugel auf die Ebene zu bestimmen, bei denen die Längenkreise und Breitenkreise wieder als Kreise abgebildet werden, während wir es dahingestellt sein lassen, wie sich die übrigen Kreise der Kugel im Bilde zeigen.

Nach Satz 81, I S. 133, werden sich die Längenkreise und Breitenkreise, da sie ein Isothermensystem bestimmen, in der Bildebene, der £b_Ebene, als Kreise darstellen, deren Gleichungen auf die Form gebracht werden können:

(15)

£² + i)² — 2p% = n²,    £² + b² — 2 q b = — n².

Dabei ist n eine bestimmte positive Constante, während p und q willkürliche Constanten bedeuten. Die Kreise der ersten Schar haben die reellen Punkte (£ = 0, b= ± n) der b-Axe gemein, die der zweiten die imaginären Punkte (j = + in, b = 0) der J-Axe; p und q sind die Abscisse bez. Ordinate der auf der f-Axe bez. b-Axe gelegenen Kreismitten. Wir fanden in den Formeln (18), I S. 133, dass

— arc tg —,

n    n

thermische Parameter des Netzes (15) sind. Lösen wir diese Gleichungen nach p und q auf, so kommt:

p = ntgnu',

Andererseits sind auf der Kugel:

u = -

(16)

env'+e-nv'

nv'

(17)

x — cos u cos v,

y = cos u sin v,

z = sin u

nach (19), S. 59,

(18)

ü = loStg (j + y)

thermische Parameter des Netzes der Breitenkreise und Meridiane. Nach Satz 38, S. 74, erhalten wir daher die gewünschten Abbildungen, wenn wir entweder

u — +flf(+ Const., u = + av -f- Const.,

oder

v — + a v + Const.

v = + a ü + Const. (a — Const.)

¹ Diese Aufgabe wurde von Lagrange in seiner in der Anm. auf S. 75 erwähnten Abhandlung gestellt und gelöst.

setzen. Da eine Änderung des Vorzeichens von u oder v nach (16) nur auf eine Änderung des Vorzeichens von p oder q, d. h. auf eine Vertauschung einer Axenrichtung mit der entgegengesetzten hinauskommt, und da das Bild nur ähnlich vergrössert wird, wenn p, q und n alle drei mit derselben Constanten multipliciert werden, d. h. wenn nach (16) die Grössen u' und v mit derselben Constanten multipliciert werden, so dürfen wir uns auf die beiden Annahmen beschränken:

und

u = — ü + Const., ii — v + Const.,

v + Const.

v = — ü + Const.

Bezeichnen wir die Constanten mit a und ß, so giebt (18) entweder:

¹

Die Aufgabe, eine Fläche conform auf eine andere Fläche abzubilden, wurde in voller Allgemeinheit zuerst (1822) von Gauss gelöst in seiner Preisschrift: „Allgemeine Auflösung der Aufgabe: Die Teile einer gegebenen Fläche auf einer anderen gegebenen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Teilen ähnlich wird“, zuerst erschienen in den Astron. Abhandl. von Schumacher, 3. Heft 1825, wieder abgedruckt in den Werken Bd. IY und in Ost-wald’s Klassikern Nr. 55. Doch ist zu bemerken, dass Lagrange in seiner weiter unten (S. 75) zu nennenden Abhandlung der Lösung schon nahe gekommen war.

5*

²

Die Aufgabe, eine beliebige Rotationsfläche conform auf die Ebene abzubilden, wurde im wesentlichen vollständig zuerst von Lageänge gelöst: „Sur la construction des cartes geographiques“, Nouv. Mem. de TAcad. de Berlin, annee 1779 (Berlin 1781), wieder abgedruckt in den Oeuvres T. IV, übersetzt in Ostwald’s Klassikern Nr. 55.

³

Diese Figuren, sowie Fig. 22 und 23 sind in solcher Grösse entworfen worden, dass jedesmal die Kartenmitte mit den früheren flächentreuen Karten (Fig. 10—16, S. 44—53) in der Flächengrösse übereinstimmt.

log tg +

oder:

u = v + ß,

sodass aus (16) entweder:

p — n tg

r-

C?q

(19)

$ CM

ßn(v + ß) + e-n(v + ß) 9 ~'    U en(v +ß) _ e-n(y + ß)

oder:

P = ntgn(v + ß),

(20)

na — nlog tg

(t + t)

-na+ nlogtg + -Äj

na — nlogtg

( Ti u \    ,    ,    ( n u \

+ ~y)_ e~na + nl°stg (x ⁺ ~2l

folgt. Diese Gleichungen (19) bez. (20) genügen zur Herstellung der Abbildungen, da sie zur gegebenen Breite u und Länge v die Mittel-punktscoordinaten p und q der Kreise (15) in der Bildebene liefern. Die Constanten «, ß, n sind dabei irgendwie, aber bestimmt zu wählen.

Bei der Abbildung (19) stellen sich die Breitenkreise (u) als die Kreise der ersten Schar (15) dar, also als Kreise durch zwei gemeinsame reelle Punkte, während die Bilder der Meridiane nicht — wie auf der Kugel — gemeinsame reelle Punkte haben. Für kartographische Zwecke benutzt man daher lieber die Abbildung (20), bei der die Bilder der Pole die beiden reellen Punkte (j = 0, t) = + n) sind. Bei dieser Abbildung wird der Winkel v, den der Meridian (v) auf der Kugel im Nord- oder Südpol mit dem Nullmeridian einschliesst, verzerrt. Denn die Bilder der Meridiane (v) sind die Kreise, die durch die erste Gleichung (15) definiert werden; der zu p gehörige Kreis aber hat im Punkte (£ = 0, t) = n) eine Tangente, deren Winkel a> mit der j-Axe durch

tgo> = 4

bestimmt wird. Hierfür kann nach der ersten Gleichung (20) geschrieben werden:

co — n(v + ß) = nv-]-nß.

nß ist bloss eine additive Constante. Daher sieht man: Der Winkel, unter dem sich zwei Meridiane auf der Kugel im Nordpol schneiden, erscheint im Bilde in n-facher Grösse. Die Abbildung ist deshalb für den Nordpol und ebenso für den Südpol nicht mehr conform, wenn n nicht etwa gerade gleich + 1 oder — 1 ist.

Nehmen wir etwa n = \ an. Ferner sei der Meridian, der sich als Kreis um den Anfangspunkt der j t)-Ebene mit dem Radius n abbildet, der Meridian (v — \n). Es sei also p = 0 für v — Nach (20) tritt dies für ß = 0 ein. Wir wählen deshalb ß = 0. Der Äquator (u = 0) möge sich als die f-Axe abbilden, d. h. als der zur zweiten Gleichung (15) für q = oo gehörige Kreis. Zu diesem Zweck wählen wir nach (20) die Constante a — 0. Jetzt vereinfachen sich die Gleichungen (20) so:

Diese conforme Abbildung ist in Fig. 22, S. 87, dargestellt.

Die Formeln (20) dienen dazu, die ganze Kugelfläche conform und eindeutig auf das Innere eines beliebigen ebenen Kreiszweiecks abzubilden, wobei die Meridiane als die Kreise durch die Ecken und die Meridiane als die dazu senkrechten Kreise erscheinen.

Es darf nicht übersehen werden, dass wir bei der Lösung unseres Problems von vornherein annahmen, das Bild der Breiten- und Längenkreise sei ein allgemeines Isothermensystem von Kreisen in der Ebene, denn neben diesem giebt es ja nach I S. 134 noch drei spezielle Gestalten, dargestellt durch die Figuren 31, 32, 34, I S. 128—134. Die Fälle der Figuren 32 und 34 gehen für n = 0 hez. n = oo hervor. Im Fall n= 0 wird offenbar die Abbildung im Nordpol ausgeartet, im Fall n — oo liegt das Bild des Nordpols unendlich fern. Der Fall der Figur 31 geht nicht so einfach durch

specielle Wahl der Constanten n hervor. Da sich dieser Fall jedoch ganz analog erledigen lässt, wenn man auf das 1. Beispiel, I S. 128, zurückgeht, so übergehen wir ihn.

Noch sei angemerkt, dass die gefundenen Abbildungen insbesondere für n = + 1 die stereographischen Projectionen ergeben. —

■■■■

I TUNS

r n ^

WLr ^

fr

\Lf

19

*1

Fig. 22.

Wir erwähnen noch einige Probleme: Man kann nach allen denjenigen conformen Abbildungen der Kugel fragen, bei denen sich die oo² grössten Kreise der Kugel als die Geraden der Ebene darstellen, aber es giebt keine solche Abbildung, was schon daraus folgt, dass die Winkelsumme in einem ebenen Dreieck stets zwei Rechte beträgt, aber nicht in einem sphärischen Dreieck. Die Winkeltreue kann also nicht gewahrt bleiben, wenn sich die grössten Kugelkreise als Geraden abbilden sollen.

Dagegen führt ein anderes Problem zu einer wichtigen Abbildung: Gesucht diejenigen conformen Abbildungen der Kugel auf die Ebene, bei denen die Loxodromen als Geraden erscheinen.

Unter einer Loxodrome versteht man eine Curve constanter Himmelsrichtung auf der Erdkugel, mathematisch ausgesprochen eine solche Curve der Kugel, die alle Breitenkreise oder Meridiane unter constantem Winkel schneidet. Zu den Loxodromen gehören die Breitenkreise und Meridiane; alle übrigen Loxodromen dagegen sind Curven, die die Pole der Kugel zu asymptotischen Punkten (I S. 18) haben, sodass also die grössten Kreise der Kugel — ausser den . Meridianen und dem Äquator — keine Loxodromen sind. Da sich die Loxodromen als Geraden darstellen sollen, so ist dies insbesondere von den Breitenkreisen und Meridianen zu fordern. Wegen der Winkeltreue müssen sie also als zwei Scharen zu einander senkrechter paralleler Geraden erscheinen.

Bei einer conformen Abbildung, bei der die Breitenkreise und Meridiane in dieser Weise auftreten, erscheinen die Loxodromen wegen der Winkeltreue als Linien, die eine Schar paralleler Geraden unter constanten Winkeln schneiden, mithin als Geraden.

Hieraus folgt, dass die jetzt gesuchten Abbildungen unter den oben besprochenen enthalten sind (nämlich für n = oo). Es ist aber bequemer, sie direct zu bestimmen: Denn auf der Kugel (17) sind die Grössen (18) thermische Parameter der Breitenkreise und Meridiane. Daher geben nach S. 75 die Gleichungen:

(21)

l = v,

eine Abbildung der gesuchten Art. Nach Satz 39. S. 75, folgt

Satz 45: Alle diejenigen conformen Abbildungen der Kugel mit der Breite u und der Länge v auf die yt)-Ebene, bei denen die Loxodromen als Geraden erscheinen, sind der Abbildung

t) = logtg (j + y)

l = v, t) = logtg + y) gleich- oder gegensinnig ähnlich.

Die Abbildung (21). heisst die Karte von Mercator.¹ Siehe

Fig. 23. Das Bild erfüllt den ganzen Streifen zwischen der Geraden £ = + 7i bis ins Unendliche¹ und wiederholt sich beiderseits periodisch. Es sei noch hervorgehoben, dass sich diese Abbildung natürlich nicht etwa einfach dadurch hersteilen lässt, dass man die Kugel auf einen längs des Äquators berührenden Cylinder von der

SS

:f\r

Fig. 23.

Mitte aus perspectiv projiciert und alsdann den Cylinder ab wickelt. Aber dieses letztere Verfahren giebt dieselben Meridiane und für niedrige Breiten wenig abweichende Bilder der Breitenkreise. — Wir verzichten auf die Betrachtung sonstiger conformer Abbildungen der Kugel.

gation“. Den ersten Beweis dafür gab endlich Halley, „An easy demon-stration of the logarithmic tangents to the meridian line“, Philos. Transactions für 1695—97, Vol. 18. Wegen ihres Nutzens für die Seefahrt heisst die MERCATOR’sche Karte schlechtweg die Seekarte. Sie gestattet die von der Seefahrt bevorzugten Linien constanten Curses, die Loxodromen, wegen ihrer Geradlinigkeit und Winkeltreue direct mittels des Compasses einzuzeichnen, sobald das Kartenblatt selbst orientirt ist.

¹ Die Fig. 23 geht von 80° nördlicher bis zu 80° südlicher Breite.

§11. Beliebige punktweise Abbildungen von Flächen.

In den Paragraphen 5, 6, 9 und 10 haben wir einige besondere Arten, eine Fläche auf eine andere Punkt für Punkt zu beziehen, in Betracht gezogen. Jetzt wollen wir einige Sätze aufstellen, die für jede beliebige punktweise Abbildung gelten.

Es liege eine Fläche in Parameterdarstellung vor:

Z = XfJ [u, v) .

(1)

X = cp [u, v),

Wenn die Fläche nach irgend einem Gesetz auf eine andere Fläche abgebildet wird, so gehört zu jedem Punkte (x, y, z) der Fläche ein Punkt (x, y, z) auf der zweiten Fläche. Daher sind dann x, y, z Functionen von x, y, z oder nach (1) Functionen von u und v. Es seien dies die Functionen:

CO

y = x(u, v)

(2)

X = cp (u, v)

y = x(u,v),

Z = XfJ [u, V) .

Diese Gleichungen ergeben, wenn u und v alle möglichen Werte annehmen, die Coordinaten aller Punkte [x, y, z) der zweiten Fläche. Mithin ist (2) eine Parameterdarstellung der zweiten Fläche. Zu jedem Wertepaare u, v gehören einander entsprechende Punkte (x, y, z) und (x, y, z) oder P und P der beiden Flächen (1) und (2).

Es seien

(3)

ds² = Edu² A~ 2Fdu dv -f- Qdv², ds² — Edu² A~ du dv A- 0 dv²

die Quadrate der Bogenelemente der beiden Flächen.

ilndern wir u und v unendlich wenig, so ändern sich auch die Punkte P und P unendlich wenig. Das als eben aufzufassende unendlich kleine Stück der ersten Fläche in der Umgebung eines beliebigen Punktes P bildet sich als das ebenfalls als eben aufzufassende unendlich kleine Stück der zweiten Fläche in der Umgebung des zugeordneten Punktes P ab. Wir wollen die Beziehung zwischen diesen beiden unendlich kleinen Bereichen untersuchen, verstehen also unter u, v zwei allgemein, aber bestimmt gewählte Werte der Parameter und setzen nach (1) und (2) an:

(4)

dx = Xu du Ar xv dv, dy = yu du + yv dv, dz = züdu + zvdv\ dx = xu du + xv dv, dy = yu du + yv dv, dz = zudu A~zvdv.

Hierin haben jetzt die partiellen Ableitungen von x, y, z und x, y, z nach u und v bestimmte Werte, während die Differentiale veränderlich bleiben. Es sind dx, dy, dz rechtwinklige Punktcoordi-naten für das unendlich kleine Stück der ersten Fläche in demjenigen Axenkreuz, das dem ursprünglichen parallel ist und seinen Anfangspunkt im Punkte P oder (x, y, z) der Fläche hat. Analoges gilt von dx, dy, dz. Wir sehen aus (4), dass diese rechtwinkligen Coordinaten linear und homogen von den Hülfsveränderlichen du und dv abbängen.

Jeder Fortschreitungsrichtung [dx: dy : dz) auf der ersten Fläche vom Punkte P aus entspricht hiernach eine Fortschreitungsrichtung {dx: dy: dz) auf der zweiten Fläche vom Punkte P aus.

Wenn wir du und du so annehmen, dass dv.du einen bestimmten Wert h hat, so ist der zugehörige Punkt [u + du, v + dv) oder {x + dx, y + dy, z + dz) der ersten Fläche an diejenige Tangente des Punktes {x, y, x) gebunden, deren Gleichungen in den laufenden Coordinaten y, t), 5 nach (3), S. 20, sind:

(5) y = x + (xu+ Xk)t, t)=y+ (yu + yv*)t, 3 = z + (zu + zvk)e mit dem längs der Tangente veränderlichen Parameter t. Dieser Tangente entspricht hei der zweiten Fläche die Tangente:

(6)

= X + (5 + Xv k) t, tj = y + (yu + y k) t, 5 = 5 + (5tt + zk)t.

Wir wollen nun k vier Werte kx, k₂, k₃, k₄ erteilen. Ihnen entsprechen vier Tangenten (5) in der Tangentenebene von P und vier Tangenten (6) in der Tangentenebene von P.

P'

■k

Fig. 24.

(Siehe Fig. 24). Die ersten vier Tangenten haben nach I S. 334 ein gewisses Doppelverhältnis, das wir leicht bestimmen können:

Wenn wir nämlich in (5) für t den Wert Eins setzen, so erhalten wir einen Punkt auf der Tangente (5):

9 =y + yu + yvk>

(7) i = x + xu+xvki

Geben wir jetzt k beliebige Werte, so sind dies wieder die Gleichungen einer Geraden mit den laufenden Coordinaten y, t), 5 und dem Parameter k. Diese Gerade liegt in der Tangentenebene von P.

• Jene vier Tangenten treffen sie in vier Punkten, deren Coordinaten aus (7) hervorgehen, wenn wir für k die vier Werte kx, k₂, k₃, A4 setzen. Nach Satz 41 oder 42, I S. 333, haben die Tangenten dasselbe Doppelverhältnis wie diese vier Punkte. Und da k in (7) linear auftritt, so ist das letztere Doppelverhältnis nach Satz 40, I S. 332, gleich dem der vier Werte kx, k₂, k₃, kv

Wir haben also zunächst den

Satz 46: Diejenigen vier Tangenten eines Punktes (u, v) auf einer Fläche mit den Parametern u, v, für die dv.du die Werte kx, k₂, k₃, k₄ hat, haben das Doppelverhältnis (kx k₂ k₃ ä₄).

Da der Satz auch für die Tangenten (6) der zweiten Fläche gilt, so folgt hieraus:

Satz 47: Sind zwei Flächen Punkt für Punkt auf einander bezogen, so entsprechen den Fortschreitungsricli-tungen, die auf der einen Fläche von irgend einem Punkte ausgehen, die Fortschreitungsrichtungen, die auf der anderen Fläche von dem zugeordneten Punkte ausgehen, und zwar in der Weise, dass irgend vier Richtungen durch den ersten Punkt dasselbe Doppelverhältnis wie die entsprechenden vier Richtungen durch den zweiten Punkt haben.

Wenn wir auf den Tangenten der Parameterlinien (u) und (v) des Punktes P der ersten Fläche ]/ö und ]AE als Strecken auftragen und diese Strecken zum Parallelogramm vervollständigen, wenn wir ferner das Analoge beim Punkt P der zweiten Fläche thun, so liegen zwei Parallelogramme vor, innerhalb deren wir jetzt die durch (4) rechnerisch ausgedrückte Beziehung zwischen den unendlich kleinen Flächenbereichen von P und P geometrisch her-stellen können: Hat nämlich dv:du etwa den Wert k, so werden,

PA

Fig. 25.

wie in Fig. 6, S. 31, die Seiten ]/G und ]/ö mit k multipliciert. Wird dann aus diesen verlängerten Seiten und den anderen Seiten ^E bez. ]/E jedesmal das Parallelo-gramm wieder vervollständigt, so entsprechen die Diagonalen beider Parallelogramme dem / gegebenen Wert k von dv : du. Wir können die beiden Figuren als unendliche ähnliche Vergrösserungen der unendlich kleinen Parallelogramme auf den Flächen auffassen. Wenn wir nun die eine unserer beiden Figuren, etwa die erste, soweit ähnlich vergrössern, bis die Querdiagonale des aus ]/(? und ]/E gebildeten Parallelogramms mit der

CD , CO I

entsprechenden Diagonale in der zweiten Figur an Länge übereinstimmt, so können wir beide Figuren so an einander legen, dass sie sich längs dieser Diagonale durcbdringen. Siehe Fig. 25, S. 92. Aus der Proportionalität der beiden vorhin mit k = dv:du ausgeführten Constructionen folgt dann der in der Figur angedeutete

Satz 48: Sind zwei Flächen Punkt für Punkt auf einander bezogen, so entspricht jedem unendlich kleinen Stück der einen Fläche ein unendlich kleines Stück der anderen Fläche. Bringt man zwei solche einander entsprechende Stücke in eine geeignete Lage zu einander, so kann man die Zuordnung zwischen ihren Punkten durch eine passende ähnliche Vergrösserung des einen Stücks und darauf folgende Parallelprojection des einen Stücks auf das andere geometrisch hersteilen.

Doch ist die besondere Art, wie weit die Vergrösserung auszuführen ist, in welche gegenseitige Lage beide Stücke zu bringen sind und in welcher Richtung zu projicieren ist, für jedes andere Paar zugeordneter Stücke natürlich eine andere.

Aus diesem geometrischen Ergebnis hätten wir den obigen Satz 47 mit Hülfe der Sätze des § 11, 3. Abschn. des 1. Bds., ebenfalls ableiten können. Auch die folgenden Betrachtungen lassen sich zum Teil rein geometrisch wiedergeben, aber wir schlagen den analytischen Weg ein.

Die zu zwei Werten k und x von dv.du gehörigen Fortschrei-tungsrichtungen im Punkte {u, v) der ersten Fläche bilden einen Winkel a mit einander, für den nach Satz 10, S. 32,

(8)

cos u =

E+F {Je+ x) + Gkx

]/{E + 2 Flc + G1A) {E + 2Fx + Gx*)

ist. Die entsprechenden Richtungen im Punkte (u, v) der zweiten Fläche bilden einen Winkel ä mit einander, für den

(9)

cos u =

E + F{k + x) + Gkx

V{E + 2 Ek + Gk*)(E + 2 Ex + (?x!)

ist. Werden k und x so gewählt, dass die zugehörigen Richtungen auf der ersten Fläche zu einander senkrecht sind, so werden die zugehörigen Richtungen auf der zweiten Fläche im allgemeinen nicht zu einander senkrecht sein. Einem rechten Winkel auf der ersten Fläche entspricht vielmehr nur dann ein rechter Winkel auf

d. h. k und x sind die beiden Wurzeln der in k quadratischen Gleichung:

(12)

der zweiten, wenn die Bestimmungsstücke k und x der Schenkel so gewählt werden, dass gleichzeitig cos a = 0 und cos ä — 0, also

E + F(k + x) + G k x = 0,

E + F(k x) Ar Gkx = 0

ist. Es müssen also k und x so gewählt werden, dass ihre Summe und ihr Product die Werte haben:

GE - EG FG - GE’

(10)

(11)

k Ar x —

hx —

EF - FE

FG - G F

(EF — FE) - (GE-EG)k + (FG - GF)k² = 0

oder

k² E E

(13)

- k    F    F = 0.

1    G    G

Hinsichtlich dieser quadratischen Gleichung sind nun drei Fälle zu unterscheiden:

1. Fall: Die Gleichung (12) oder (13) ist identisch erfüllt, d. h. es ist

E:F:G = E:F: G.

Nach S. 72 ist alsdann die Abbildung in den betrachteten Punkten (u, v) conform. Jedem rechten Winkel durch den Punkt (u, v) der einen Fläche entspricht ein rechter Winkel auf der anderen Fläche.

2. Fall: Die Gleichung (12) oder (13) hat zwei verschiedene Wurzeln. Im Punkte (u, v) der einen Fläche giebt es dann nur einen rechten Winkel, dem auf der anderen Fläche wieder ein rechter Winkel entspricht. Wenn wir k durch dv.du ersetzen, so lautet die Gleichung (12) oder (13) so:

(14) (EF — FE) du² - (GE - EG)dudv + (FG - GF)dv² = 0 oder:

dv²

(15)

— dv du F F = 0. du²

Nach Satz 5, S. 13, aber definiert diese Gleichung als Differentialgleichung in u und v zwei Curvenscharen auf jeder der beiden Flächen,

und zwar ist in jedem Punkte jeder der beiden Flächen die hindurchgehende Curve der einen Schar senkrecht zur hindurchgehenden Curve der andern Schar. Es giebt also auf der einen Fläche gerade ein Orthogonalsystem von Curven (vgl. S. 33), dem auf der anderen Fläche wieder ein Orthogonalsystem von Curven entspricht. — Sind die beiden Flächen reell und entsprechen reellen Werten der Parameter u, v reelle Punkte, so sind auch die Wurzeln k und x der quadratischen Gleichung (12) oder (13) reell. Dies sieht man wohl am schnellsten so ein: Deuten wir für den Augenblick

(16)

F

9 = * + ö-

als rechtwinklige Punktcoordinaten in einer Ebene, so stellt die erste Gleichung (10) die gleichseitige Hyperbel

D²

£ 9

dar. Die erste Gleichung (11) bedeutet dann eine Gerade:

£ + t) = Const.

parallel zur Hauptaxe der Hyperbel. Beide treffen einander in zwei reellen Punkten (j, ij), deren Coordinaten paarweis vertauscht sind (siehe Fig. 26). Zu jedem Punkt gehört nach (16) ein reelles Wertepaar k, x, das den Gleichungen (10) oder (11) oder

Im reellen Fall also

(12)    genügt.

4-

sind die beiden einander entsprechenden Orthogonalsysteme auch reell.

3. Fall: Die Gleichung (12) oder

Fig. 26.

(13)    hat zwei gleiche Wurzeln. Jetzt fallen die beiden zu einander senkrechten Fortschreitungsrichtungen auf jeder der beiden Flächen zusammen. Nach Satz 49, I S. 339, sind sie also die Dichtungen von Minimalgeraden. In der That giebt jede der Gleichungen (10), sobald k — x gesetzt wird, nach S. 35 die Bedingung für die Richtung k einer durch den Punkt (u, v) der ersten bez. zweiten Fläche gehenden Minimalcurve. Jedes der beiden Orthogonalsysteme des zweiten Falles ist mithin in eine Schar von Minimalcurven ausgeartet. Es liegt daher hier der besondere Fall vor, dass der einen Schar von Minimalcurven auf der ersten Fläche vermöge der Abbildung wieder gerade eine der Scharen von Minimalcurven auf der

zweiten Fläche zugeordnet ist. Übrigens tritt dies bei reeller Abbildung reeller Flächen nie ein, wie die Fig. 26 zeigt, da in dieser Figur die beiden Schnittpunkte der Geraden mit der Hyperbel nur dann zusammenfallen können, wenn die Hyperbel in ihre Asymptoten ausartet, also D — 0, d. h. die erste Fläche nach Satz 9, S. 29, die Tangentenfläche einer Minimalcurve ist.

Wenn wir von solchen Flächen absehen, so können wir das Ergebnis, indem wir uns an Satz 37, S. 73, erinnern und den zweiten und dritten Fall vertauschen, so formulieren:

Satz 49: Bildet man eine Fläche Punkt für Punkt auf eine andere Fläche ab und ist keine der beiden Flächen die Tangentenfläche einer Minimalcurve, so sind drei Fälle denkbar:

Erstens: Die beiden Scharen von Minimalcurven der einen Fläche bilden sich als die beiden Scharen von Minimalcurven der anderen Fläche ab. Dann ist die Abbildung conform, und jedem Orthogonalsystem auf der einen Fläche entspricht ein Orthogonalsystem auf der anderen Fläche.

Zweitens: Nur eine Schar von Minimalcurven der einen Fläche bildet sich als Schar von Minimalcurven der anderen Fläche ab. Ausser dieser als Ausartung eines Orthogonalsystems aufzufassenden Schar giebt es alsdann kein Orthogonalsystem auf der einen Fläche, dem auf der anderen Fläche wieder ein Orthogonalsystem entspräche. Bei reeller Abbildung tritt dieser Fall nie ein.

Drittens: Keine der beiden Scharen von Minimalcurven der einen Fläche bildet sich als Schar von Minimalcurven der anderen Fläche ab. Alsdann giebt es ein und nur ein Orthogonalsystem auf der einen Fläche, dem auf der anderen Fläche wieder ein Orthogonalsystem entspricht. Ist die Abbildung reell, so sind es auch diese beiden Orthogonalsysteme.

Der letzte Fall ist der allgemeinste. Wir wollen ihn daher insbesondere für reelle Abbildungen noch einmal als Satz aussprechen :

Satz 50: Wird eine reelle Fläche Punkt für Punkt, aber nicht conform, auf eine andere reelle Fläche abgebildet, so giebt es stets ein und nur ein Orthogonalsystem auf der einen Fläche, dem auf der anderen Fläche wieder ein Orthogonalsystem entspricht; und diese beiden Orthogonal-

Z = yj(u,v),

Systeme sind reell.¹ — Sind auf beiden Flächen einander entsprechende Punkte (x, y, z) und (x, y, z) auf dasselbe Parameterpaar bezogen:

x = cp (u, v), x — cp(u,v) ,

y =X{u,v),

y = *(», »)>

z = dp (u, v)

und sind E, F, G bez. E, F, G die Fundamentalgrössen erster Ordnung auf den beiden Flächen, so werden jene Ortho-gonalsysteme durch die Differentialgleichung

dv²

E E

— dudv F F =0 du³ 2 4 5 6 7 8

zwischen u und v definiert.

Sehen wir von dem Specialfall ab, der bei reeller Abbildung nie eintritt, dass nämlich die quadratische Gleichung (12) eine Doppelwurzel hat, so können wir nunmehr annehmen, dass die Parameter u und v schon so gewählt seien, dass gerade die Parameterlinien (u) und (v) auf beiden Flächen Orthogonalsysteme bilden. Im allgemeinen ist dies nur auf eine Weise möglich, im Fall der conformen Abbildung auf unendlich viele Weisen. Hervorzuheben ist noch, dass die so eingeführten neuen Parameter u und v im Fall einer reellen Abbildung für reelle Punkte auch reell sind.

Nach Satz 13, S. 34, ist jetzt F — F= 0 zu setzen, sodass

ds² = Edu² + Gdv², ds² — Edu² + Gdv²

ist. Jetzt sind die Parallelogramme in Fig. 25, S. 92, Rechtecke, und man erkennt: Geht man von einem Punkte P oder (n, v) der ersten Fläche in der Richtung (dv.du) fort zu einem unendlich benachbarten Punkt Q, so ist für den Winkel cp dieser Richtung mit der Tangente der Parameterlinie {u)\

y E du

Auf der anderen Fläche kommt entsprechend:

y E du

cos cp =

]/0 dv

ds

y Q dv

C0S(p = ~dir-

(Siehe Fig. 27.) In dem Axenkreuz, das von den Tangenten der

VEdu

VEdu

YGdv

VWdv

Fig. 27.

durch P gehenden Parameterlinien (v) und (v) gebildet wird, mögen j und t) rechtwinklige Coordinaten von Q sein. Dann ist:

£ = ds cos cp — ]/G dv, t) == ds sin cp = ]/Edu.

Analog construieren wir das Kreuz der j- und t)-Axe bei der zweiten Fläche. Dann hat der Bildpunkt von Q die rechtwinkligen Coordinaten:

Daher ist:

0-äl

Beschreibt Q einen unendlich kleinen Kreis um P mit dem Radius ds, so ist

f + p² = ds²,

und für die Bahn des Bildpunktes ergiebt sich dann der unendlich kleine Kegelschnitt:

-|j² + § 9a = ^-'a-

Im reellen Fall sind die Coefficienten hierin positiv (nach S. 17). Dann also ist die Bildcurve eine unendlich kleine Ellipse mit den Halbaxen

vi

d s,

vi

ds.

Wir finden also:

Satz 51: Bildet man eine Fläche Punkt für Punkt auf eine andere Fläche ab, so dass ein gewisses Orthogonal-

System der Fläche im Bilde wieder als Orthogonalsystem erscheint, so entspricht jedem unendlich kleinen Kreis nm einen Punkt P der Fläche auf der Bildfläche ein Kegelschnitt, dessen Mittelpunkt der Bildpunkt von P ist und dessen Axen in den Tangenten der durch diesen Bildpunkt gehenden Curven des zweiten Orthogonalsystems liegen. Ist die Abbildung reell, so ist der Kegelschnitt eine Ellipse.¹

Die Radien des Kreises um P bilden sich als die Halbmesser des Kegelschnittes ab. Da die Axen der Ellipse die Maxima oder Minima der Durchmesser sind, so sieht man:

Satz 52: Bildet man eine reelle Fläche punktweis, aber nicht conform auf eine andere reelle Fläche ab, wobei ein Orthogonalsystem der Fläche im Bilde wieder als Orthogonalsystem erscheint, so sind die Curven jenes Orthogonalsystems diejenigen Curven, längs deren an jeder Stelle die dur.ch die Stelle gehenden Bogenelemente bei der Abbildung die grösste Längenverzerrung erleiden.

Auch sieht man ein, dass die Curven ohne Längenver-zerrung, für die also ds — ds ist, zwei Scharen bilden, derart, dass die Winkel der durch einen Punkt gehenden beiden Curven von den Curven des Orthogonalsystems halbiert werden.

Aus der früheren Formel (8) folgt leicht:

tg« =

D{k - x)

E + F{k + x) + G k x

Wählen wir die Richtungen k und x unendlich wenig verschieden von einander, d. h. setzen wir etwa x = h — d k, so wird a unendlich klein, etwa gleich da, und tga = da, sodass kommt:

da =

Ddlc

E+2Fk + Gki

Diesem unendlich kleinen Winkel entspricht auf der zweiten Fläche ein unendlich kleiner Winkel dä, für den analog:

da =

-t- D die

E -I- 2 Fk + Gk* ist. Wir mussten hier + hinzufügen, weil wir über den Sinn der

¹ Tissot a. a. 0. Das Bild des Kreises, die Ellipse, wird häufig als Indicatrix bezeichnet. Da man aber einen anderen später (auf S. 139) auftretenden Kegelschnitt, der schon früher in die Flächentheorie eingeführt worden ist, ebenfalls so nennt, so würde man die hier vorkommende Ellipse zur Unterscheidung die TissoT’sche Indicatrix nennen müssen.

Messung der beiden Winkel keine einheitliche Festsetzung getroffen haben. Wir haben aber jetzt F = F = 0, also D = ]/EG, D = ]/EG, sodass kommt:

da =

uF.dk. =

± Veg

E + GE

E + G Je³

dk.

Demnach hat im reellen Fall, in dem ja E, G und E, G nach S. 17 positiv sind, das Verhältnis

= + ]/—. — V EG

E + G k²

E + GE

für k — 0 und k = oo ein Maximum oder Minimum, d. h. für dv = 0 und für du — 0. Also ergiebt sich:

Satz 53: Bildet man eine reelle Fläche punktweis, aber nicht -conform auf eine andere reelle Fläche ab, wobei ein gewisses Orthogonalsystem der Fläche wieder als Orthogonalsystem erscheint, so liegen diejenigen unendlich kleinen Winkel auf der einen Fläche, die von allen unendlich kleinen Winkeln mit demselben Scheitel die . stärkste Verzerrung bei der Abbildung erleiden, längs der Curven jenes Orthogonalsystems.

Auf die punktweise Abbildung von Flächen auf einander kommen wir gelegentlich zurück. —

Die wichtigsten Formeln dieses Abschnittes haben wir, um die Rückverweisung und Übersicht zu erleichtern, im Anhang zusammengestellt in der Tafel XI, wodurch der Anhang des ersten Bandes, Tafel I bis X, fortgesetzt wird. Wir verweisen auf diese Formeln künftig durch die Zeichen XI (A) bis XI (P).

Zweiter Abschnitt.

Die Krümmung der Fläche.

§ 1. Die Krümmung der Flächencurven und die Fundamental-grossen zweiter Ordnung.

Beim Rückblick auf den ersten Abschnitt wird der Leser bemerken, dass die wesentliche Grundlage der Untersuchungen die Formel

ds² = Edu² + 2Fdu dv -j- Gdv²

für das Quadrat des Bogenelementes war, anders ausgesprochen: es genügte uns im wesentlichen statt der Kenntnis der Gestalt der Flächen die Kenntnis der drei Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, G als Functionen der Parameter u und v.

Jetzt aber wollen wir die Gestalt der Flächen näher untersuchen, und dabei werden wir uns bald genötigt sehen, zu jenen Grössen noch drei Fundamentalgrössen zweiter Ordnung hinzuzufügen.

Will man eine Fläche

(1)

X = (p{u,v), y = X{u,v), Z = y(u,v)

in der Umgebung eines allgemein gewählten Punktes (u, v) untersuchen, so liegt es nahe, die Gestalt der verschiedenen durch diesen Punkt gehenden Curven auf der Fläche in Betracht zu ziehen.

Hat man im Punkte (u, v) eine Flächentangente t ausgewählt, so kann man stets solche Curven auf der Fläche ziehen, die im Punkte (u, v) die Tangente t haben, deren begleitendes Dreikant (vgl. I S. 171) aber an dieser Stelle im übrigen ganz beliebig vorgeschrieben worden ist. Um dies zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass man wenigstens eine Curve auf der Fläche ziehen kann, die im Punkte (u, v) die Tangente t hat und deren Schmiegungsebene E in diesem Punkte irgend eine Ebene durch t ist. Eine derartige Curve aber ist z. B. die ebene Curve, in der die Ebene E die Fläche schneidet. Umsomehr giebt es nicht-ebene Curven von der verlangten Eigenschaft.

Hiernach steht es fest, dass es Curven c auf der Fläche giebt, die im gewählten Punkt P oder (u, v) die gewählte Flächentangente t zur Tangente haben, während ihre Hauptnormale in P einen beliebigen Winkel co mit der Flächennormale bilden kann. Da die Normalenebene der Curve c in P senkrecht zu t ist und also die Flächennormale enthält, so wird die Hauptnormale in P durch Angabe ihres Winkels co mit der Flächennormale nur in soweit festgelegt, als sie noch zwei Lagen haben kann. Zu beachten ist dabei, dass wir der Flächennormale auf S. 27 einen positiven Sinn beigelegt haben, wenn sie reell ist, und dass wir natürlich auch der Tangente t einen bestimmten positiven Sinn erteilen werden. Wählen wir eine der beiden Möglichkeiten für die Hauptnormale, so ist alsdann die Binormale in P festgelegt und zwar auch ihrem Sinn nach.

Analytisch wird die Curve c dadurch bestimmt, dass längs ihrer die Parameter u und v Functionen eines Parameters sein müssen (nach S. 10 u. 11). Indem wir den Fall, dass die Curve c eine Minimalcurve sei, ausschliessen, dürfen wir annehmen, dieser eine Parameter sei die Bogenlänge s der Curve, gemessen von irgend einer Stelle an. Jetzt sind u und v in (1) als Functionen von ä aufzufassen, sodass auch x, y, z Functionen von s werden, deren Differentiation nach s die Richtungscosinus a, ß, y der Tangente t liefert (nach III (.B)):

(2) a = xuu + xvv, ß = yuu + yvv', y = zuu' + zvv\

Der Strich deutet die Differentiation nach s an:

(3)

u' =

du

v' =

Wenn wie früher (S. 27) X, T, Z die ßichtungscosinus der Flächennormale bedeuten, so ist

A es -}- Y ß -f- Z y — 0

die Bedingung dafür, dass die Flächennormale auf t senkrecht steht. Hierfür kann nach XI(F)¹ geschrieben werden:

s(yuzv - zuVv) * = °-

Hierbei sehen wir grundsätzlich davon ab, dass im Punkte

Tafel XI im Anhang dieses Bandes, vgl. S. 100.

(u, v) oder gar auf der ganzen Fläche die Grosse D — 0 sei (siehe S. 28). Die letzte Formel kann auch durch Einsetzen der Werte (2) sofort bestätigt werden. Da sie längs der Curve c überall gilt, darf sie total nach s differenziert werden. Dies giebt nach

III (67):

1—1 Sn

s (y„    - zuyv)¹ + 8 {yuu Zv + yu zuv - Zuuyv - Zuyj u' a +

¹

Kremer, genannt Mercator, veröffentlichte 1569 seine Weltkarte, auf der er zwar ihre Vorzüge angab, aber über die Art ihrer Construction nichts mitteilte. Nach seinem Tode fand Wright 1599 ein Näherungsverfahren, aber erst 1645 gab Bond den exacten mathematischen Ausdruck für die Abstände der Breitenkreise an in einem Anhänge zu Norwood’s „Epitome of navi-

²

Comptes Rendus t. 49 (1859), ausgesprochen. Eine ausführliche Begründung

³

Dies wurde zuerst von Tissot, „Sur les cartes geographiques“,

⁴

gab er 1878 in den Nouvelles Annales de Math., 2. serie, t. 17. Dass der Satz

⁵

bei imaginären Abbildungen nicht ausnahmslos gilt, bemerkte Lie, „Über

⁶

geodätische Linien“, Note I: „Über die allgemeinste geodätische Abbildung einer reellen oder imaginären Fläche“, Math. Ann. 20. Bd. (1882). Er machte darin auf den in obigem Satz 49 genannten zweiten Fall

⁷

aufmerksam.

⁸

cheffees, Geom. Diffr. II.

+ S (i/uv Zv + Vu Zvv ~ ZuPJv ~ ZuVvv) V' a = ⁰ •

Hierbei bedeuten l, m, n die Richtungscosinus der Hauptnormale und v den Krümmungsradius der Curve c an der Stelle (u, v) oder (.?). Das erste Glied in der Formel ist nach XI (F) gleich

— S XI

oder also, da co den Winkel der Flächennormale mit der Hauptnormale bezeichnen soll, gleich:

-COS CO .

Setzen wir ferner in den beiden anderen Gliedern die Werte von a, ß, y aus (2) ein, so werden sie homogen vom zweiten Grade in u und v. Dabei heben sich mehrere Grössen fort, sodass — nachdem nach den Potenzen von u und v geordnet worden ist — die Formel hervorgeht:

- COS CO —

S(.yM zv~ zu?/v)xuuu'² -- ² S {yu zv - zuyv) Xuv-U v - s {yu Zv - Zuyv) xvv-v 2 = 0.

Wenn wir nach XI (F) die Werte D X, DY, FZ für die Klammern einführen, so können wir F fortheben, da F 4= 0 ist, sodass bleibt:

= S XxUu-**+ 2$Xxuv-u'v'+S Xvv.v'*.

Nach (3) und wegen der Formel

ds² = Edu² -f 2 Fdu dv + G dv2 können wir dies Ergebnis auch so schreiben:

(4)

cos co

S Xxuu• dv? + 2S Xxuv-dudv + S Xvv-dv²

Edu² + 2F du dv + G dv²

Diese Formel dient zur Berechnung der Krümmung 1 :r der Flächencurve c an der Stelle P oder (u, v). Die rechte Seite ist bekannt, sobald man den Punkt P sowie die Fortschreitungsrichtung (dv: du) der Curve an dieser Stelle gegeben hat, denn der Bruch rechts ist in du und dv von nullter Ordnung homogen. Links tritt noch der Winkel co der Flächennormale mit der Hauptnormale des betrachteten Curvenpunktes auf.

In der Curventheorie haben wir (siehe I S. 179) dem Krümmungsradius im reellen Fall stets das positive Vorzeichen gegeben. Nach I S. 189 liegt der Krümmungsmittelpunkt auf dem positiven Teil der Hauptnormale. Die Formel (4) zeigt nun: Ist alles reell und die rechte Seite in (4) positiv, so muss cos co auch positiv sein, d. h. dann liegt die positive Seite der Hauptnormale von c und mithin auch der Krümmungsmittelpunkt von c auf der positiven Seite der Tangentenebene des Punktes F. Ist die rechte Seite von (4) negativ, so liegt der Krümmungsmittelpunkt auf der negativen Seite der Tangentenebene.

Wir wollen in (4) fortan unter r nicht den Krümmungsradius selbst verstehen, sondern den Abstand des Krümmungsmittelpunktes vom Punkte F und diesen Abstand im reellen Fall als positiv oder negativ bezeichnen, je nachdem der Krümmungsmittelpunkt auf der positiven oder negativen Seite der Tangentenebene liegt. Alsdann ist r nur noch seinem absoluten Werte nach der Krümmungsradius. Aber zur Abkürzung des sprachlichen Ausdruckes soll r doch auch dann noch schlechtweg der Krümmungsradius genannt werden.

Bei dieser Festsetzung ist r im reellen Fall vom selben Vorzeichen wie die rechte Seite in (4), also co ein spitzer Winkel. Unter co verstehen wir mithin von jetzt ab den spitzen Winkel, den die Flächennormale mit der Hauptnormale der Curve bildet, ganz abgesehen von den positiven Richtungen.

Wir erkennen aus (4), dass alle diejenigen Flächencurven c, die in P dieselbe Tangente t haben, nach derselben Seite der Tangentenebene gekrümmt sind. Welche Seite dies ist, giebt das Vorzeichen des Bruches rechts in (4) an.

Unter diesen Curven c wählen wir insbesondere diejenigen Curven C heraus, deren Hauptnormalen in P mit der Flächennormale zusammenfallen. Nach den soeben getroffenen Festsetzungen ist für diese Curven co — 0, also cos co = + 1 zu setzen, sodass für ihren Krümmungsradius F, mit Vorzeichen versehen, die Formel gilt:

(5)

S Xxnu- du² + 2S Xxuv- dudv + S Xxvv- dv2 JE du² + 2 Fdudv + O dv²

Hieraus und aus (4) folgt nun:

Diese Formel giebt den

Satz l:¹ Zieht man durch einen Flächenpunkt P alle möglichen Curven c auf der Fläche, die in P dieselbe Tangente t haben, so werden die zu P gehörigen Krümmungskreise der Curven c durch ihre Schmiegungsebenen aus einer Kugel ausgeschnitten, die in P die Tangentenebene der Fläche berührt. (Siehe Fig. 28.)

Hieraus folgt insbesondere:

Satz 2: Unter allen ebenen Schnitten, die man durch eine reelle Tangente einer reellen Fläche legen kann, hat der Normalschnitt in dem Berührungspunkt die kleinste Krümmung.

Man kann den Satz 1 auch anders einkleiden: Wenn man in der zu dem Winkel co gehörigen Ebene durch die Tangente t das

Ho

HC

Fig. 28.

Fig. 29.

Lot von P aus auf die Tangente errichtet und auf diesem Lot, der Hauptnormale, von P aus den reciproken Wert von r

r R cos ca

abträgt, so ist der Ort der Endpunkte für beliebige Werte von co augenscheinlich eine zu t windschiefe, aber senkrechte Gerade, die von t den kürzesten Abstand 1: E hat. (Siehe Fig. 29.) Also:

Satz 3:² Legt man durch eine Tangente t eines Flächenpunktes P beliebige Ebenen und trägt man jedesmal auf der zugehörigen Normalen der ebenen Schnittcurve von P aus die Krümmung der Schnittcurve in P als Strecke ab, so ist der Ort der Endpunkte eine zur Tangente t. windschiefe, aber senkrechte Gerade.

Die in (4) und (5) im Zähler rechts auftretenden Summen sind wegen der Werte XI (P) von X, T, Z Functionen der ersten und zweiten partiellen Ableitungen von x, y, z nach u und v. Wir nennen sie die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung³ und bezeichnen sie beständig mit L, M, N. Es soll also sein:

(?)

P = S Xxuu, M=SXxu oder ausführlicher geschrieben:

^ = si^

(8)

I — Xxuu + YVuu + Zzuu M = Xxuv + Yyuv + Zzu JV = Xx + Yy + Xz .

V V ¹ t7vv '    vv

Nach XI (P) lassen sie sich auch so schreiben:

X X X uu u v

X XX uv u v

X X X vv u v

J)

1/uu Du Vv

D Vuv Vu Vv

Vvv Vu Vv

Zuu ZU Zv

Zuv Zu Zv

Zvv Zu Zv

Wir merken für später hier sogleich noch eine andere Schreibweise an: Differenzieren wir XI (/) partiell nach u und partiell nach v, so erhalten wir vier Formeln:

M = — SXuxv = - S Xv xu,

Die Grössen L, M, X sind hiernach offenbar sämtlich für alle Wertepaare von u und v dann gleich Null, wenn die Fläche eine

SXuxu+SXruu - 0, S X„xu + SXxuv = °> aus denen nach (7) folgt:

(10) L = - SXuxu

$XuXv + 8Xxuv = Ö>

s**.+    = o,

A = — S Xvxv.

Zu Zv Xu Xv

Ebene ist, denn dann sind ja X, Y, Z als Richtungscosinus der Normalen constant. Umgekehrt: Wenn -I ■=. M =■ N ■= 0 für jedes Wertepaar u, v ist, so folgt aus (10), dass sich Xu, Yu, Zu und auch Xv, Yv, Zv zu einander verhalten wie

Vn Vv

Zu Zv

Xu Xv

Vu Vv

oder also nach XI (F) wie X: Y:Z. Da aber S X² = 1 ist und deshalb SXXu und SXJ gleich Null sind, so würde sich im Widerspruch hiermit 8X² = 0 ergeben, sobald nicht die Ableitungen von X, Y, Z sämtlich gleich Null sind. Daher sind dann X, Y, Z constant.

Wenn aber die Normalen einer Fläche constante Richtungscosinus haben, also einander parallel sind, so besteht nach XI (I) zwischen den Coordinaten x, y, z eine lineare Gleichung mit constan-ten Coefficienten. Die Fläche ist folglich eine Ebene.

Wir haben somit erkannt:

Satz 4: Die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung einer Fläche sind dann und nur dann auf der ganzen Fläche gleich Null, wenn die Fläche eine Ebene ist.

Die Voraussetzung D =j= 0 brauchte hier garnicht erwähnt zu werden, denn wenn D = 0 ist, die Fläche also nach Satz 9, S. 29, die Tangentenlläche einer Minimalcurve ist, so giebt es keine Richtungscosinus für ihre Normale. Also sind dann nicht nur die Formeln (9), sondern auch die Formeln (7) unbrauchbar. Wir sehen also: Nur auf den Tangentenflächen der Minimalcurven versagt die Definition der Fundamentalgrössen zweiter Ordnung.    ‘

Es sei noch hervorgehoben:

Satz 5: Die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung einer Fläche bleiben bei Ausführung einer Bewegung ungeändert.

Der Beweis ist analog dem des entsprechenden Satzes für die Fundamentalgrössen erster Ordnung auf S. 16. Wenn wir wie dort die neuen Coordinaten einführen:

x = ux x + «₂ y + cc₃ z -H- a, y = ßxx + ß₂y + ß₃z + 4,

.5 = yxx + y₂y Y y₃ z-+ c ,

wobei die av ßv y. die in der Tafel I angegebenen Relationen erfüllen, so ist:

K = ai*v + “tVv + aszv

u. s. w., ferner:

u. s. w. Auch die zweiten Ableitungen xuu, xuv xvv u. s. w. drücken sich analog durch die zweiten Ableitungen der ursprünglichen Coordinaten x, y, z aus. Berechnen wir nun die in (9) auftretenden Determinanten, geschrieben in x, y, 5, so ergiebt das Multiplicationsgesetz der Determinanten sofort, dass diese Determinanten gleich den in (9) selbst stehenden Determinanten multipliciert mit

ßx Yx

**2    ß 2    Y 2

a%    ß$    Y 3

sind. Aber diese Determinate ist nach I (F) gleich Eins. Da ferner D bei Ausführung einer Bewegung nach S. 18 ungeändert bleibt, so gilt mithin nach (9) dasselbe von A, M und N.

Liegt die Fläche in der Darstellungsform:

z = /*(*> y)

vor und sind p, q, r, s, t die in (3) auf S. 1 definierten Grössen, so ist wie in (9) auf S. 15:

(11)

F = pq,

E= 1 +P\

und

also nach (9): (12) L =

A» = yi +p* + q\

y l + p² + q²

y 1 + p² + q²

Sind ferner a, ß, y wie oben die Richtungscosinus der Tangente der betrachteten Curve auf der Fläche, so ist:

also:

u: ß : y = dx : dy \dz= dx: dy : (p dx + q dy),

)/(1 + p²) d x² + 2 p q dx dy + (1 + q²) d y²

(13)

dy

]/(1 + p²) dx² + 2 p q dx dy + (1 + q²)dy²

y ₌    _pdx + qdy_____________?

]/(1 + p²) dx² + 2 p q dx dy + (1 + q²)dy²

sodass die Formel (4) mit Rücksicht auf (7), (11) und (12) so lautet:

cos co _ ra² + 2saß + tß²

r    y 1 + p² + q²

Hierin bedeutet r rechts jedoch etwas anderes als links. Deshalb und der Allgemeinheit halber werden wir diese Form nicht anwenden, sondern bei den allgemeinen Parametern u und v bleiben.

§ 2. Normalschnitte und Hauptkrümmungsrichtungen.

Nach dem Satz 1, S. 105, kennt man die Krümmung einer Flächencurve in einem Punkte P, sobald man in P die Krümmung einer solchen Flächencurve kennt, die dort zwar dieselbe Tangente hat, deren Hauptnormale in P aber mit der Flächennormale in P zusammenfällt.

Für solche Curven gilt im Punkte P die Formel (5), S. 104, oder:

(1)

1 L du² + 21/du dv + N dv*

R    E du* + 2 F du dv + O dv²'

die zeigt, dass alle Curven, die in P dieselbe Tangentenrichtung (dv:du) und die FJächennormale zur Hauptnormale haben, dort auch denselben Krümmungsmittelpunkt haben, denn R bezeichnet den Abstand des auf der Flächennormalen gelegenen Krümmungsmittelpunktes vom Punkte P, im reellen Fall versehen mit dem positiven oder negativen Zeichen, je nachdem der Krümmungsmittelpunkt auf dem positiven oder negativen Teil der Normale liegt.

Es ist folglich keine Beschränkung der Allgemeinheit, wenn wir statt der durch P gehenden beliebigen Flächencurven, die dort die Flächennormale zur Hauptnormale haben, insbesondere nur die ebenen Flächencurven von dieser Art betrachten. Sie liegen in den Ebenen durch die Flächennormale und sollen kurz die Normalschnitte der Fläche in P heissen. Sie sind wohlbemerkt im allgemeinen nur für den einen Punkt P, nicht für jeden Punkt auf ihnen, Normalschnitte. Die Ebene durch die Normale wird durch die Annahme festgelegt, dass sich von P aus auf der Schnittcurve die Parameter u und v im ersten Elemente so ändern sollen, dass dv.du einen gegebenen Wert k hat. Alsdann ist nach (1):

(2)

1 _ L + 2 Mk + NE*

~R ~ E+ 2Fk + Qk*

die mit Vorzeichen versehene Krümmung des betreffenden Normalschnittes an der Stelle P.

Wir wollen jetzt die Krümmungen deroo¹ verschiedenen Normalschnitte durch P mit einander vergleichen. Es soll also die Grösse k variieren. Dabei sind drei verschiedene Fälle denkbar. Dadurch, dass wir die besonderen Fälle zuerst abthun, erreichen wir, dass wir heim dritten — allgemeinen — Fall wissen, welche besonderen Flächen und besonderen Punkte dem allgemeinen Gesetze nicht gehorchen.

Erster specieller Fall: Die rechte Seite der Formel (2) enthält nur scheinbar k. Dies tritt ein, wenn für den betrachteten Punkt P

(3)

L: M: N = E:F: G

ist. Alsdann haben alle Normalschnitte in P denselben Krümmungsmittelpunkt. Der Punkt P heisst dann ein Nabelpunkt.⁴ Im allgemeinen stellt die Proportion (3) zwei Gleichungen zwischen u und v vor, d. h. auf einer allgemeinen Fläche werden Naheipunkte nur vereinzelt auftreten. Auf gewissen Flächen aber können oo⁴ Nabelpunkte liegen, ja es giebt Flächen, deren Punkte sämtlich Nabelpunkte sind.

Für den Fall von oo⁴ Nabelpunkten liefern die Rotationsflächen ein einfaches

Beispiel: Wie in (2), S. 41, liege die Rotationsfläche vor: x = p(u) cos v , y = p(u) sin v ,    % = q (ü),

deren Nullmeridian (v = 0) in der :rs>Ebene verläuft und die Gleichungen hat: x — p {u), y = 0 ,    % = q(ü).

Es bedeute wieder u die Bogenlänge des Meridians, es sei also wie in (3), S. 41:

E = 1, F = 0 , G = p\

Setzen wir — was keine Beschränkung der Allgemeinheit ist — voraus, dass für alle Punkte des Meridians (v — 0) die Coordinate x = p[u) positiv sei, so ist auch dem Vorzeichen nach (vgl. S. 18):

D — p (u).

Nach (9), S. 106, ist hier:

L=p'q"-q'p",

M= 0,

N = p q’.

p' p" + q' q" = 0

Da u die Bogenlänge des Nullmeridians und demnach

P'⁵ + ?'⁵ = 1 ,

ist, so kann man auch schreiben:

V"

pp" + q'⁵ = 0 .

Die Bedingungen (3) für den Nabelpunkt reducieren sich mithin hier auf nur eine Gleichung:

Nach Satz 18, I S. 30, sind daher diejenigen Punkte des Nullmeridians Nabelpunkte, deren Krümmungsmittelpunkte auf der Axe der Rotationsfläche liegen, und sie erzeugen bei der Drehung des Meridians um die Axe solche Breitenkreise, deren Punkte sämtlich Nabelpunkte sind.

Wir wollen jetzt dies Flächen, deren Punkte sämtlich Nabelpunkte sind, bestimmen. Die Bedingungen (3) müssen wegen ihrer geometrischen Bedeutung für alle Punkte einer solchen Fläche ohne Rücksicht auf das gerade gewählte Parametersystem bestehen. Wir benutzen zur Vereinfachung der Formeln die Minimalcurven der Fläche als Parameterlinien, was nach Satz 16, S* 36, gestattet ist, da wir ja nach S. 107 von denjenigen Flächen, auf denen B =? 0 und also nur eine Schar von Minimalcurven vorhanden ist, absehen. Nun ist das Quadrat des Bogenelementes nach Satz 17, S. 36, von der Form:

i.    ds² = 2E du dv,

sodass E = G — 0 ist. Nach (3) soll also auch I — N= 0 sein.

Sehen wir zu, was zunächst aus L — 0 folgt. Da für die Richtungscosinus X, Y, Z der Normale S X² — 1 und also

II + YY + ZZ = 0

u ¹    u ¹    ■ u

und wegen L = 0 nach (10), S. 106:

ist, so kommt:

xu Xu + yu Yu + zu Zu = 0

K-JVA = P*. - %):<% -    - YxJ.

Wegen XI (K) und wegen E — 0 können wir hierfür schreiben:

(4)

Xu‘-Yu:Zu = Xu’-yu:Zu- '

Die Bedingung N = 0 ist noch nicht benutzt worden. Sie liefert analog:

X„--Y-.Z=xv:y-.z„.

Hiernach dürfen wir setzen:

(5)

Xu= lxul XV = hxv> .

Aus der zweiten Gleichung (10), S. 106, folgt nun

(I — fi) S xu xv — 0 oder ß — g) F — 0.

Da E = G = 0 und also F 0 ist, weil sonst B = 0 wäre, so ist 1 = p. Ausser den drei Formeln (5) haben wir also noch diese:

xv — Xxv, I = hyv> Zv = I zv.

Es muss aber sein:

dXu ₌ d X„ d v du

u. s. w. Somit folgt aus (5) und (6):

Kxu - Kxv = °> KVu - Kid =    - Kzv = °-

Weil die drei aus den Wertepaaren

Xu’ Xv'i 'Jul Vvi Zui Zv

zu bildenden zweireihigen Determinanten nach S. 6 nicht sämtlich gleich Null sind, so muß lu — lv = 0 und daher l — Const. sein. Ist 1 = 0, so sind X, T, Z nach (5) und (6) constant; die Fläche hat dann lauter parallele Normalen und ist nach S. 107 eine Ebene. Ist 1 = Const., aber =}= so folgt aus (5) und (6):

X=Aa: + a, Y — ly + b, Z = A z + c (a, b, c — Const.),

daher wegen S X² = 1:

(Ä# + a)² -f- (Ay + b)² + (A z + c)² = 1 .

Dies aber ist die Gleichung einer Kugel. Offenbar sind umgekehrt alle Punkte in der Ebene oder auf der Kugel Nabelpunkte. Daher:

Satz 6: Eine Fläche, auf der D nicht überall gleich Null ist, hat dann und nur dann lauter Nabelpunkte, wenn sie eine Kugel oder insbesondere eine Ebene ist.

Wir können aus L — 0 auch wie folgt schliessen: Die erste Formel (8), S. 106, giebt

Xxuu + Yyuu + Zzuu — 0.

Da E — S x² — 0 ist, so ist auch:

mithin:

xuxuu + yuyuu + zuzuu = ⁰

:yuu:zuu = (Yzu - zyu)'iZxu - xzu)■ (xvu -Yxu)'

woraus wegen XI (K) und E= 0 folgt:

oder:

xuu’-yuu:zuu = xu:yu:zu

d log xu _ d log yu _ d log xu _ d u

Setzeu wir diese drei Differentialquotienten gleich

3 log?

indem wir unter q eine Function von u und v verstehen, so kommt:

(7)

xu = Vx (v) 9> Vu = F2 (v) 9 > Zu = V3 (v) 9 >

wo Vx, Vz, Vz Functionen von v allein sind. Natürlich ist hierbei o =(= 0 und wegen E = 0 noch

(8)

r*+ r₂²+ f₃² = o.

Längs der Parameterlinien (r) wachsen x, y, z um Incremente proportional xu, yu, zu, die sich nach (7) zu einander verhalten wie die Functionen Vx, Vx, Vz von v und daher längs der Curven (u) constante Verhältnisse haben. Die Minimalcurven (v) sind also Geraden.

Dies lässt sich umkehren: Sind die Parametercurven (u) und (v) Minimalcurven und insbesondere die Curven (v) Minimalgeraden, so müssen die Verhältnisse xu:yu:zu frei von u sein, d. h. es müssen dann Gleichungen von der Form (7) bestehen. Berechnen wir auf Grund dieser Gleichungen xuu, yuu, zuu, so lehrt die erste Formel (9), S. 106, dass L — 0 ist. Daher:

Satz 7: Sind die Parameterlinien (u) und (v) einer Fläche Minimalcurven, so ist die Fundamentalgrösse L dann und nur dann auf der ganzen Fläche gleich Null, wenn die Curven (u) insbesondere Minimalgeraden sind.

Wenn auch N = 0 ist, so sind auch die Parameterlinien (u) Minimalgeraden. Daher:

Satz 8: Die Flächen, deren Punkte sämtlich Nabelpunkte sind, sind mit denjenigen Flächen identisch, die zwei getrennte Scharen von Minimalgeraden enthalten.

Nach Satz 6 folgt hieraus:

Satz 9: Ausser den Ebenen und Kugeln giebt es keine Fläche mit zwei getrennten Scharen von Minimalgeraden.

Wir haben thatsächlich schon in Satz 26, S. 64, gesehen, dass jede Kugel zwei Scharen von Minimalgeraden enthält.

Zweiter specieller Fall:⁶ Die rechte Seite der Formel

(9)

L + 2 Mk + Nk?

R ~ E+ 2 Fk + Gk*

enthält zwar nicht nur scheinbar k, lässt sich aber durch einen in k linearen Factor kürzen. In diesem Fall ist 1 :R eine linear gebrochene Function von k. Dasselbe gilt dann auch bei Einführung neuer Parameter. Denn wenn u und v gleich Functionen zweier neuer Parameter ü und v gesetzt werden und unter k die Grösse dv:dü verstanden wird, so ist:

Qj

£i §

Qj <$l    «

ft-!

also k eine linear gebrochene Function von k. Setzen wir sie in die Formel für 1 : R ein, so wird mithin 1 : R eine linear gebrochene Function von k, was zu beweisen war.

Die Bedingung für den jetzigen Fall kann auch so ausgesprochen werden: Die beiden in k quadratischen Gleichungen

L + 2Mk + Nk² = 0

E + 2 Fk + Gk² = 0, sollen eine Wurzel k gemein haben. Für diese gemeinsame Wurzel ist 1 :2k:k² = {FK-GM): {Gl - E N):{E M — FL),

daher:

(10)

4{EM- FL){FN —GM) — {GL - EN)² = 0.

Unter dieser Bedingung also hat 1 : R die Form:

(11)

_ a Ic + ß

R y Je + d ’

wobei a, ß, y, S Functionen von u und v bedeuten.

Wir haben in Satz 46, S. 92, gesehen, dass die vier Tangenten des Punktes F oder {u, v), die zu vier Werten von k gehören, dasselbe Doppelverhältnis haben wie die vier Werte von k selbst. Die vier Tangenten sind die Schnittlinien der vier zugehörigen Normalschnittebenen mit der Tangentenebene. Diese vier Ebenen haben nach I S. 334 dasselbe Doppelverhältnis. Dasselbe Doppelverhältnis haben nun nach (11) und Satz 35, I S. 328, die Krümmungsmittelpunkte der vier Normalschnitte. Daher liegt hier der Fall vor, dass irgend vier Normalschnittebenen des Punktes {u, v) dasselbe Doppelverhältnis wie die zugehörigen vier Krümmungsmittelpunkte auf der Normalen des Punktes {u, v) haben. (Siehe Fig. 30, S. 115.)

Durchläuft k alle Werte, so gilt dasselbe von R. Die Grösse

1 : R hat für keinen Wert von k ein endliches Maximum oder Minimum, da der Differentialquotient von 1 : R nach k den Wert

(y k + öy

pr^Epkk;

hat und nur für k — — §:y unendlich gross ist; aber für dieses k ist 1 : R auch unendlich gross.

M₂

\m₃

Fig. 30.

Die analytische Bedingung (10) für Punkte (u, v) von dieser Beschaffenheit ist eine Gleichung zwischen u und v. Demnach giebt es im allgemeinen eine gewisse Curve auf der Fläche, deren Punkte diese Eigentümlichkeit haben. Doch kann es sein, dass die Gleichung (10) einen Widerspruch enthält, sodass es keine solche Punkte giebt, oder dass diejenigen Punkte, für die (10) erfüllt ist, noch speciellerer Art, näpilich Nabelpunkte sind.

1. Beispiel: Bei der oben im Beispiel betrachteten Rotationsfläche lautet die Bedingung (10) so:

- ~{pp" -f q'²) = 0 .

Ist p = 0, so liegt der Schnittpunkt des Meridians mit der Drehaxe vor, der offenbar singulär ist (vgl. S. 23). Die Bedingung

pp" + q'² = 0

giebt, wie wir sahen, nur Nabelpunkte. Rotationsflächen haben also nie Punkte der jetzigen Art.

2. Beispiel: Wir können auf folgende Art eine Fläche herstellen, die einen reellen Punkt von dieser besonderen Art enthält: Wir construieren in den Ebenen durch die «-Axe alle Kreise, die im Anfangspunkt die xy-Ebene berühren und deren Mittelpunktshöhe « = R linear gebrochen von der Tangente des Winkels der jeweiligen Ebene mit der »«-Ebene abhängt. Dann hat der Anfangspunkt auf der Fläche der Kreise die gewünschte Eigenschaft.

Es giebt Flächen, die überall Punkte der jetzt betrachteten Art haben. Um sie zu bestimmen, benutzen wir die Minimalcurven der Fläche als Parameterlinien (u) und (v) wie oben. Dann ist ^=£ = 0, F=)= 0. Die Bedingung (10) lautet jetzt: ZJV=0. Nehmen wir etwa L = 0 an, so ist N =(= 0, weil sonst der Fall der Nabelpunkte vorliegen wrürde. Nach Satz 7 sagen die Bedingungen E = G = 0 und L = 0 aus, dass die Parameterlinien (v) Minimalgeraden sind. Die Curven (u) sind keine, weil JV =j= 0 ist. Mithin

Satz 10: Diejenigen Flächen, bei denen in jedem Punkt das Krümmungsmaass eines Normalschnittes eine linear gebrochene Function der zugehörigen Tangentenrichtung (dv\du) ist, bei denen also vier Normalschnittebenen eines Punktes stets dasselbe Doppelverhältnis wie die vier zugehörigen Krümmungsmittelpunkte haben, sind identisch mit denjenigen Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden und eine Schar von nicht-geraden Minimalcurven enthalten.

Die soeben bestimmten Flächen sind imaginär, denn wenn eine reelle Fläche eine Schar von Minimalgeraden enthält, so enthält sie auch diejenige Schar, die aus den Gleichungen dieser einen Schar durch Vertauschen von i mit — i hervorgeht, und ist also nach Satz 9 eine Ebene oder eine Kugel.

Allgemeiner Fall: Es liege eine Fläche vor, auf der D nicht überall gleich Null ist und die zu keiner der beiden besonderen Flächenarten gehört, d. h. die Fläche soll weder die Tangentenfläche einer Minimalcurve noch eine sonstige Fläche mit einer Schar von Minimalgeraden, noch eine Fläche mit zwei Scharen von Minimalgeraden (Ebene oder Kugel) sein. Kurz gesagt: Wir nehmen jetzt an, die vorliegende Fläche enthalte keine Schar von Minimalgeraden. Auch sei P oder (;u, v) ein Punkt allgemeiner Lage auf der Fläche. Alsdann ist die rechte Seite der F ormel:

L + 2 Mk + -ZV Ic2 R ~ E + 2Fk + Olc*

(12)

weder frei von k noch durch einen in k linearen Factor zu kürzen. Ist die Fläche reell und weder eine Ebene noch eine Kugel, so liegt für einen allgemein gewählten Punkt der Fläche stets dieser Fall vor.

Die Krümmung des Normalschnittes, der zu k gehört, ist eine quadratisch gebrochene Function von k und erreicht für zwei Werte von k ein Maximum oder Minimum. Denn wenn wir den Bruch rechts nach k differenzieren und den Differentialquotienten gleich Null setzen, so kommt:

(13) {M + Nk)[E+ 2Fk + Gk²) -{F+Gk){L + 2Mk+Nk²) = 0 oder

(14) {EM- FL) -{GL-EN)k + {FN - G M) k² = 0 oder auch:

(15)

= 0.

k² E L — h F

K K

Mithin verhalten sich die drei Grössen:

1, kx + k

zu einander gerade so wie die zweireihigen Unterdeterminanten der Elemente der ersten Reihe in der Determinante (15), sodass ein bekannter Determinantensatz ergiebt:

(17)

E + F (Aj -j- k₂) -ff Gkx k₂ = 0,

E -j- Hl (k^ -j- A₂) -ff N k₂ = 0,

was sich auch leicht durch Einsetzen der Werte (16) bestätigen lässt. Die Wurzeln kx und k₂ dieser beiden Gleichungen erfüllen die quadratische Gleichung (14), und dass sie im reellen Fall reell sind, folgt gerade so wie seinerzeit auf S. 95 die Realität der Wurzeln k und x der damaligen Gleichungen (10). Auch sind sie von einander verschieden, weil sonst nach (17) der Zähler und der Nenner rechts in (12) einen in k linearen Factor gemein hätten, was ausgeschlossen wurde.

Die erste Gleichung (17) sagt nach Satz 11, S. 33, aus, dass die beiden Richtungen (äx) und (ä₂) zu einander senkrecht sind. Die geometrische Bedeutung der zweiten Gleichung (17) wird später (auf S. 156) erörtert werden.

Im reellen Fall tritt nun für die beiden Werte kl und k₂ von k wirklich ein Maximum oder Minimum von 1 : R ein, denn wenn wir den Wert (12) von 1 : R zweimal nach k differenzieren, so geht, da und k₂ die Gleichung (14) erfüllen, deren linke Seite der Zähler des ersten Differentialquotienten von 1 : R nach k ist, für den zweiten Differentialquotienten ein Bruch mit positivem Nenner hervor, dessen Zähler für die Werte kx und /<₂ von k gleich der nach h differenzierten linken Seite von (14) ist. Dieser Zähler aber ist von Null verschieden, weil sonst die Gleichung (14) eine Doppelwurzel hätte, also die Bedingung (10) gegen die Voraussetzung erfüllt wäre.

Zur Bestimmung der Maximal- oder Minimalwerte von 1 : R ziehen wir aus (12) und (13) die Gleichung:

{k = kvk₂),

(18)

Sind und k₂ die beiden Wurzeln dieser quadratischen Gleichung, so ist:

(16)

“ff ^2 —

GL — EN

EM - FL

F N — GM’

FN - GM

{M+Nk)R - (F + Gk) = 0

aus der folgt:

(19)

MB - F

NB - G

(/l Aj, Ä'₂) .

Setzen wir dies in (15) ein, so kommt zunächst:

¹

Dies ist der sogenannte MEüSNiEß’sche Satz. Er wurde von Meusnier, „Memoire sur la courbure des surfaces“, M6m. des Savants etrangers t. 10 (lu 1776), 1785, gefunden.

²

Nach Hachette, „Elements de göomötrie ä trois dimensions“,

Paris 1817.

³

Gauss benutzte in seinen „Disquisitiones“ (vgl. Anm. S. 5) statt dieser Grössen die drei Grössen DL, DM, DN, die er mit D, D', D" bezeichnete. Nach dem Vorgang von Hoppe (vgl. Anm. I S. 210), dem sich Andere ange-.schlossen haben, benutzen wir als Fundamentalgrössen zweiter Ordnung die oben angegebenen.

⁴

Nach Monge, dessen grundlegendes Werk: „Application de l’ana-lyse ä la geometrie“, 4. (noch vom Verfasser selbst besorgte) Auflage,

⁵

Paris 1809, 5. (von Lioüville besorgte) Auflage, Paris 1850, wir schon in I S. 159 genannt haben.    o ..

⁶

Über diesen Fall sagen die Lehrbücher der Flächentheorie nichts. Wir finden ihn in Salmon-Fiedler’s „Analytischer Geometrie des Raumes, II. Teil“, 3. Aufl., Leipzig 1880, in der Anmerkung 16) auf S. XXIX kurz erwähnt. Untersucht wurde er von Stäckel, „Beiträge zur Krümmungstheorie“, Leipziger Berichte 1896.

Scheffers , Geom. Difir. II.

{MR - Ff

{MR - F) {NR - G) F M = 0 .

{NR - G)

Zur Vereinfachung subtrahieren wir von der ersten Reihe das {G — NR) fache der zweiten und das {NR² — GR) fache der dritten. Dann wird das zweite und dritte Element der ersten Reihe gleich Null, sodass bleibt:

(20)    {LN- M²)R² - {EN - 2FM+ GL)R + {EG - F²) = 0.

Diese Gleichung liefert die zu k₁ und k₂ gehörigen Werte Rx und R2 von R, die wir aber auch, wenn und k₂ gefunden sind, aus (12) oder aus (18) berechnen können.

Die Krümmungen 1 : R₁ und 1 : R₂ genügen der quadratischen Gleichung:

(21)    {LN— M²) - {EN-2FM + GL)-±- + {EG - F²)-^ = 0 .

Hiernach ist

1    1 LN-M²

~ EG — F²

EN - 2FM+GL

Rl ^ i?₂

Künftig bezeichnen wir diese beiden Werte mit H und K:

--f —

Rl T R₂

Man nennt die beiden Richtungen (/q) und {k₂) durch P, für die der Krümmungsradius des Normalschnittes ein Maximum oder Minimum hat, die Hauptkrümmungsrichtungen des Flächenpunktes P, entsprechend die mit Vorzeichen versehenen Radien R1 und i?₂ die Hauptkrümmungsradien, ihre reciproken Werte die Hauptkrümmungen und die zugehörigen Mittelpunkte die Hauptkrümmungsmittelpunkte des Flächenpunktes.¹

Wir haben gefunden:'

Satz 11: Liegt eine solche Fläche mit den Parametern u, v vor, die keine Schar von Minimalgeraden enthält, so giebt es unter den Normalschnitten eines Flächenpunktes

(22)

(23)

II =

EG — F²

K=N-

Ri R₂

von allgemeiner Lage zwei nicht zusammenfallende zu einander senkrechte und im reellen Fall reelle Schnitte, für die die Krümmung, verglichen mit den Krümmungen der übrigen Normalschnitte der Stelle, ein Maximum oder Minimum hat. Die Summe H und das Product K dieser beiden mit Vorzeichen versehenen Krümmungen haben, ausgedrückt in den Fundamentalgrössen E, F, G und L, M, N, die Werte:

LN- M²

E G - F²

LN - 2FM + GL

LG - F²

Die zu jenen beiden Normalschnitten gehörigen Hauptkrümmungsrichtungen (k = dv:du) auf der Fläche ergeben sich aus der quadratischen Gleichung:

Id E L -k F M =0.

1 G N

Beispiel: Bei der gemeinen Schraubenfläche, die durch stetige Schraubung einer in der a;-Axe gelegenen Geraden um die 3>Axe entsteht und nach (20), S. 60, die Gleichungen hat:

X = U COS V ,

ist, wie damals berechnet wurde:

L = 1

y = u sin v

daher:

F= 0;

D =    •

G = u² + q²,

Die Quadratwurzel ist nach S. 18 positiv zu nehmen. Ferner giebt die Anwendung der Formeln (9), S. 106;

M = --q-

y ul + q²

Der Satz 11 giebt daher:

o,

K= -

(u² + ET

H = 0 bedeutet: Auf der gemeinen Schraubenfläche sind die beiden Hauptkrümmungsradien in jedem Punkte einander entgegengesetzt gleich. Die Gleichung für die beiden Hauptkrümmungsrichtungen und k2 giebt hier:

± ----•

yi/T+ q²

Dem in Satz 11 ausgesprochenen allgemeinen Fall ordnet sich der erste Fall, der des Nabelpunktes, in gewisser Hinsicht als Specialfall unter. Ein Nabelpunkt tritt, können wir sagen, auf, wenn Rx = R₂ ist. Deshalb kann man den Satz 6 auch so aussprechen :

Satz 12: Diejenigen Flächen, auf denen in jedem Punkte die beiden Hauptkrümmungsradien einander, auch dem Vorzeichen nach, gleich sind, sind identisch mit den Kugeln, insbesondere mit den Ebenen.

Es muss noch bemerkt werden, dass ausser den oben im ersten und zweiten Fall erwähnten besonderen Erscheinungen, die für gewisse Punkte einer allgemein gewählten Fläche auftreten können, sodass dort der Satz 11 nicht gilt, scheinbar noch andere Ausnahmen von diesem Satze Vorkommen können. Denn man kann ja z. B. eine beliebige Schar von oo¹ Kreisen in den oo¹ Ebenen durch die z-Axe construieren, die sämtlich im Anfangspunkt die xy-Ebene berühren; sie erzeugen eine Fläche, und auf dieser Fläche sind die Normalschnitte des Anfangspunktes gerade diese beliebig gewählten Kreise. Man wird eine solche Fläche analytisch darstellen, indem man als den einen Parameter etwa den Winkel u der Kreisebenen mit der a-z-Ebene und als den anderen etwa den Winkel v des Radius des Punktes mit der z-Axe benutzt. Alsdann sind die Parameterlinien (u) die Kreise. Da sie sich alle im Anfangspunkt treffen, so ist diese Stelle nach S. 6 singulär im Hinblick auf die Parameterdarstellung.

Es darf also, wenn eine reelle Fläche etwa rein geometrisch definiert ist, nicht überraschen, wenn an einzelnen Stellen, an denen die Tangenten regulär eine Ebene bilden, doch der Satz 11 nicht gilt. Solche Stellen sind bei Anwendung zweier Flächenparameter singulär.¹ Doch gilt der Satz 11 stets für allgemein gewählte Punkte einer Fläche, sobald die Fläche keine Schar von Minimalgeraden enthält.

§ 3. Hauptkrümmungen bei einer Rotationsfläche.

Wir wollen die Formeln des vorigen Paragraphen auf eine allgemeine Rotationsfläche an wenden. Die Axe der Fläche wählen wir als z-Axe. Der in der xz-Ebene gelegene Meridian habe (wie auf S. 40) die Gleichungen:

z = q{u),

_ *=/>(“)> y = ⁰

¹ Hierauf liat Poisson zuerst aufmerksam gemacht: „Memoire sur la courbure des surfaces“, Journ. f. d. reine u. ang. Math. 8. Bd. (1832).

also für einen Punkt des Meridians (v — 0) in der a-z-Ebene:

Z= -7,

und u bedeute dabei die Bogenlänge des Meridians. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraussetzen, dass p[u) > 0 sei, wenn die Fläche reell ist. Die Bogenlänge u sei alsdann im Sinne der wachsenden Coordinate z gewählt, also q > 0. Durch Drehung des Meridians um die z-Axe entsteht di© Rotationsfläche:

y — p (u) sin v

(1)

x = p fu) cos v,

Wie früher, vgl. S. 110, ist:

F= 0,

1,

G=p²

z = q (u).

D—p\

(2)

P"

q' ’

M= 0,

Nach XI (P) ist ferner:

X = — q cos v

(3)

Y — — q sin v ,

Z = p,

7=0,

Da im reellen Fall q >0 ist, so ist dann die positive Flächennormale nach der z-Axe hingerichtet. Die Gleichung des Satzes 11, S. 119, für kx und k₂ ist hier: k = 0. Sie hat, aufgefasst als quadratische Gleichung, die Wurzeln kx = 0, k₂ — oo. Aus (20), S. 118, ergeben sich die zugehörigen Hauptkrümmungsradien:

j{ ₌

J-l2    n'

(4)

q’

q'

Da R nach S. 104 der mit Vorzeichen versehene Krümmungsradius eines Normalschnittes ist, so sind

t) + YR)

£ = x + XR

die Coordinaten des zugehörigen Krümmungsmittelpunktes. Mithin giebt kx — 0 für den Punkt P oder (u, 0) des Nullmeridians (v = 0) als Coordinaten des einen Hauptkrümmungsmittelpunktes:

i =    0,

H = p + ^»

Da p'² + q'² = 1, also pp' + qq = 0 ist, so ist auch

pW

V"

, F²

bi = 9 + Y⁷ ’

Dieser Hauptkrümmungsmittelpunkt ist nach Satz 18, IS. 80, der Krümmungsmittelpunkt ® des in der x 2-Ebene gelegenen Nullmeridians (v = 0). Dies war vorauszusehen, denn kx = 0 bedeutet dv — O, d. h. der zu kx gehörige Normalschnitt ist der Meridian Ferner bedeutet k₂ = oo oder du = 0, dass die zweite Hauptkrümmungsrichtung durch die Tangente des Breitenkreises (u) von P angegeben wird. (Siehe Fig. 31.) Der zugehörige Hauptkrümmungsmittelpunkt hat die Coordinaten:

PP'

ti

q'

liegt also auf der z-Axe und ist daher der Schnittpunkt 9? der Normalen mit der Drehaxe. Ferner ist nach (23), S. 118:

Fig. 31.

P"

Das Product P₁ P₂ ist absolut genommen gleich dem Product der Strecken P® und PW, und zwar ist es positiv oder negativ, je nachdem beide Strecken nach derselben Seite von P liegen oder nach verschiedenen Seiten. Daher:

Satz 13: Bei einer Rotationsfläche sind die Hauptkrümmungsrichtungen eines beliebigen Punktes P die Tangente des durch P gehenden Meridians und die Tangente des durch P gehen den Breitenkreises. Die zugehörigen Hauptkrümmungsmittelpunkte sind der Mittelpunkt ® des Krümmungskreises jenes Meridians und der Schnittpunkt W der Flächennormale P® mit der Drehaxe. Das Product der Hauptkrümmungsradien ist hei einer reellen Fläche positiv oder negativ, je nachdem ® und 9? auf derselben Seite von P liegen oder nicht.

Wir haben in Satz 65, I S. 103, alle ebenen Curven bestimmt, bei denen das Product aus dem Krümmungsradius und der Normalen, diese gemessen bis zu ihrem Schnittpunkt mit einer Geraden — damals der y-Axe — constant und zwar gleich + 1 ist, wobei das Vorzeichen positiv oder negativ angenommen wurde, je nachdem beide Strecken nach derselben oder nach verschiedenen Seiten des Curvenpunktes lagen. Durch ähnliche Vergrösserung gehen aus jenen Curven solche hervor, bei denen das Product einen con-stanten Wert (=)= 0) hat. Lassen wir diese Curven sich um die y-Axe drehen, so erzeugen sie diejenigen Rotationsflächen, auf denen

Ri

constant ist. Wenn wir statt der damaligen # «/-Ebene die x z-Ebene benutzen und noch die Bemerkungen im Anschluss an jenen Satz beachten, so finden wir:

Satz 14: Jede reelle Rotationsfläche, bei der das Product K der Hauptkrümmungen überall constant, aber von Null verschieden ist, ist einer derjenigen Rotationsflächen ähnlich, die durch Drehung der ebenen Curven:

(I a) x = c cos cp, y = 0, z = F{c,cp),

(Ib) x — — A cp, (II a) x = c cos cp, (II b) x = 4- A cp,

z = ~ E(c> (p) - F[c, <p) > z = Ftp, cp) — F(c,cp), z=~F(c,cp) -\E{c, cp)

Dabei bedeutet

um die z-Axe hervorgehen, meter der Curve und c eine positive Constante kleiner als

cp

den Para-

Eins. Ferner ist:

A cp = ]/1 — c² sin² cp ,

d cp

cp    cp

A cp

F[c,cp)= J“ A cp dcp ,    Ftp, cp) = J-

0 0

Das constante Product der Hauptkrümmungen ist bei den Typen (I a) und (I b) gleich +1, bei den Typen (II a) und (II b) gleich — 1. Insbesondere fallen die beiden ersten Typen für c = 1 zusammen und geben die Kugel vom Radius Eins. Ebenso fallen die beiden letzten Typen für c = 1 zusammen und geben die Fläche, die durch Drehung der Tractrix

^ = log tg (F +    — sin^

y = o,

x = cos cp , um die z-Axe hervorgeht.

Aus den Schlussbemerkungen jenes citierten Satzes folgt noch:

Satz 15: Verschiebt man eine Rotationsfläche, bei der das Product der Hauptkrümmungen überall constant, gleich K, ist, längs ihrer Axe, so gehen oo¹ Flächen hervor, die von oo¹ Rotationsflächen mit derselben Axe, bei denen jenes Product gleich — K ist, überall senkrecht durchschnitten werden.

In den Figuren 32 bis 37 sind die sechs Typen von reellen Rotationsflächen, bei denen K = + 1 ist, dargestellt. Insbesondere entspricht den Figuren 34 und 35 der Wert c — 1, den Figuren 32, 33, 36 und 37 der Wert c = i]/ 2 (siehe I S. 105). Die Figuren 32 und 33, dann 34 und 35, endlich 36 und 37 gehören paarweis zusammen, wie es Satz 15 angiebt. Die beiden ersten Figuren gehören zu den Typen (I a) und (II a), die beiden letzten zu den Typen (I b) und (II b) des Satzes 14. Fig. 34 ist die Kugel, Fig. 35 die Rotationsfläche der Tractrix.

Wir wollen auch diejenigen Rotationsflächen bestimmen, auf denen überall die beiden Hauptkrümmungen einander entgegengesetzt gleich sind, d. h. H — 0 ist. Nach Satz 13 kommt es darauf an, alle ebenen Curven zu bestimmen, bei denen der Krümmungsradius überall so lang wie die Normale ist, diese bis zu einer festen Geraden gemessen, aber dabei nach der entgegengesetzten Seite gerichtet ist. Durch Drehung einer derartigen Curve um die feste Gerade entsteht eine Rotationsfläche von der gewünschten Beschaffenheit.

Ist s die Bogenlänge der Curve in der xy-Ebene und die y-Axe die feste Gerade, so haben wir zu verlangen, dass die ar-Coordinate des Krümmungsmittelpunktes, d. h. nach Satz 18, I S. 30, die Grösse

x"

, v'2 x + -At

doppelt so gross als x selbst sei, daher:

y²

wenn der Strich die Differentiation nach s andeutet. Da x'² + y'² = 1 ist, folgt hieraus

1 — x² = x x"

oder:

dxx'

— = 1.

Mithin:

oder:

xx = s -(- b (b = Const.)

d(x²)

ds ~2s + 2b>

also:

x² = s² + 2 b s -j- a²    (ia² = Const.).

Die Bogenlänge sei von .derjenigen Stelle an gemessen, an der die Tangente der y-Axe parallel und daher xx = 0 ist, was auf die

Fig. 32.

Fig. 33.

Fig. 34.

Fig. 35.

Fig. 36.

Fig. 37.

Annahme b — 0 hinaus kommt, wodurch also die Allgemeinheit der Betrachtung nicht beschränkt wird. Jetzt ist:

daher

x = ]/s² + a²,

also:

y' = ]/l — x'² —

]/s² + a²

y = a log (s -j- ]/ä² + a²) + c (c = Const.).

Wenn wir noch durch Verschieben der Curve längs der y-Axe — was ja gestattet ist — den Punkt (s — 0) auf die x-Axe bringen, so muss y — 0 sein für im reellen Fall — die Quadratwurzel positiv nehmen, was auch erlaubt ist. Nun kommt:

0, mithin c = — log a, sobald wir —

s + ]/s² + a?

x = ]/s² + a², y = a log oder wenn s eliminiert wird:

_y_

_ JL\

Cl \ a .    a

IT +e 1

Dies aber ist die Grleichung einer Kettenlinie, deren Leitlinie die

Fig. 38.

y-Axe ist. Durch Drehung der Curve um ihre Leitlinie entsteht ein sogenanntes Catenoid.² (Siehe Fig. 38.) Daher:

Satz 16: Die Catenoide sind die einzigen Kotations-flächen, auf denen überall die beiden Hauptkrümmungsradien einander entgegengesetzt gleich sind.

§ 4. Haupttangenten.

Es liege eine Fläche vor, die keine Schar von Minimalgeraden enthält. Nach (2), S. 109, erfüllen die mit Vorzeichen versehenen Krümmungsradien B der Normalschnitte eines allgemein gewählten Punktes P oder (u, v) der Fläche die Gleichung:

(1)

L + 2 Mk + Nh*

~R ~ E + 2 Fk + G k² '

Dabei giebt k = dv:du die Fortschreitungsrichtung an, die in dem gewählten Normalschnitte liegt. Wir haben in Satz 11, S. 118, gesehen, dass es zwei Werte und k₂ von k giebt, für die 1 : B ein Maximum oder Minimum erreicht. Es giebt aber auch zwei Werte xx und x₂ von k, für die 1 : B gleich Null ist. Es sind dies die Wurzeln der quadratischen Gleichung

(2)

L+ 2 Mk + Bk² = 0,

von denen wir wissen (vgl. S. 116), dass sie nicht auch den Nenner rechts in (1) gleich Null machen. Die zugehörigen Normalschnitte haben nach I S. 38 in dem Punkte P Wendepunkte. Man nennt diese beiden Richtungen (jq) und (x₂) die Haupttangentenrichtungen, die zugehörigen Tangenten der Fläche die Haupttangenten des Punktes P.³ Nach I S. 226 folgt sofort:

Satz 17: Die Haupttangenten eines Flächenpunktes sind diejenigen Tangenten, die mit der Fläche eine Berührung von zweiter Ordnung eingehen.

Ist die Fläche und die Parameterdarstellung reell, so ist der Nenner rechts in (1), da er, mit du² multipliciert, das Quadrat des Bogenelementes bedeutet, stets positiv für reelle Fortschreitungs-richtungen (k). Die Krümmung eines Normalschnittes erfährt also beim Drehen der Normalschnittebene um die Normale des Punktes P nur da einen Zeichenwechsel, wo der Zähler rechts in (1) durch den Wert Null hindurchgeht, also dann, wenn die Normalschnittebene eine der beiden Haupttangenten von P enthält. Diese beiden Normalschnitte trennen also die Gesamtheit der Normalschnitte in diejenigen, deren Krümmungsmittelpunkte auf der positiven, und in diejenigen, deren Krümmungsmittelpunkte auf der negativen Seite der Tangentenebene liegen. Doch sind jq und x₂ nicht stets reell;

es kann also ebensowohl Vorkommen, dass alle Krümmungsmittelpunkte der Normalschnitte auf derselben Seite der Tangentenebene liegen. Ein Beispiel zeigt dies:

y = p[u) sin v ,

x = q(u)

Beispiel: Auf der Rotationsfläche: x — p(u) cos v

bei der wir wieder die auf S. 121 getroffenen Voraussetzungen machen, lautet die Gleichung (2):

+ p q' k² = 0

und giebt:

V"

Es ist aber (vgl. S. 121)

pq'²

q'\

77

die «-Coordinate des Krümmungsmittelpunktes $ des Meridians (v — 0). Da p die «-Coordinate des zugehörigen Punktes P dieses Meridians ist, so ist die

obige Quadratwurzel reell, wenn der Krümmungsmittelpunkt £ auf der positiven Normale von P liegt, die, wie wir sahen, von P nach aussen gerichtet ist, sobald wir die %-Axe, Drehaxe, als im Innern der Fläche gelegen bezeichnen. Überall da also, wo die Meridiancurve nach innen convex ist, also in Fig. 39 in dem ganzen Streifen vom \ Kreise a bis zum Kreise b, sind x, und x₂ reell;

Fig. 39.

da wo sie nach aussen convex ist, wie in den / Streifen von b bis c, sind und x₂ imaginär. c Die Breitenkreise der Wendepunkte der Meri-diancurven teilen also die Gebiete, in denen xt und x₂ reell oder imaginär sind, von einander.

Hiernach sind in einem allgemeinen reellen Flächenpunkte P drei Fälle denkbar:

Erster Fall: xx und sind imaginär, d. h. es ist LN - M*> 0.

Alle reellen Normalschnitte von P sind also nach derselben Seite der Tangentenebene gekrümmt. Man sagt, die Fläche sei in P convex-convex. Die Haupttangenten von P sind imaginär. Px und i?₂, die beiden Hauptkrümmungsradien, haben dasselbe Vorzeichen. (Siehe Fig. 40.)⁴

Zweiter Fall:

Hier ist:

x₁ und x₂ fallen zusammen, sind also reell.

L N - M² = 0 .

Alle reellen Normalschnitte von P sind nach derselben Seite der Tangentenebene gekrümmt. Nur ein Normalschnitt hat die Krümmung Null, d. h. sein Krümmungskreis artet in die einzige vorhandene Haupttangente aus. Da diese Krümmung Null ein Minimum oder Maximum ist, so ist diese Haupttangente zugleich Tangente einer der beiden Hauptkrümmungsrichtungen. Von Bl und P₂ ist also der eine Wert unendlich gross. (Siehe Fig. 41.)

Fig. 40.

Fig. 41.

Fig. 42.

Dritter Fall:

xi

und x₂ sind reell verschieden, oder es ist: LN -M² < 0.

Beide Haupttangenten sind reell verschieden. Ihre Normalschnitte teilen das Gebiet der nach der einen Seite gekrümmten Normalschnitte von dem Gebiet der nach der anderen Seite gekrümmten Normalschnitte. Man nennt dann die Fläche in P convex-concav. B₁ und P₂ haben verschiedene Vorzeichen. (Siehe Fig. 42.)

1.    Beispiel: Von den reellen Flächen zweiter Ordnung sind, wie man sofort aus der bekannten Gestalt dieser Flächen sieht, das Ellipsoid, das elliptische Paraboloid und das zweischalige Hyperboloid überall convex-convex. Dagegen ist das hyperbolische Paraboloid und das einschalige Hyperboloid überall convex-concav. Der Kegel und der Cylinder zweiter Ordnung sind Flächen, auf denen überall der zweite Fall vorliegt.

2.    Beispiel: Die gemeine Sch rauben fläche (S. 119) und das Catenoid (S. 126) haben überall entgegengesetzt gleiche Hauptkrümmungsradien. Sie sind mithin überall convex-concav.

3.    Beispiel: Betrachten wir irgend eine geradlinige Fläche mit reellen Erzeugenden. Durch einen Punkt P auf ihr geht eine Erzeugende h. Die Normale von P steht auf h senkrecht, die Tangentenebene von P enthält h vgl. I S. 277). Die durch die Normale und h gehende Ebene schneidet die Fläche

Scheffers, Geom. Diffr. II.

in h selbst, d. h. in einer Curve von der Krümmung Null. Mithin ist in P eine der beiden Haupttangenten die Gerade h. Da sie reell ist, so kann nur der 2. oder 3. Fall vorliegen. Auf einer reellen geradlinigen Fläche sind also überall die Hauptkrümmungsradien von verschiedenen Vorzeichen oder einer von ihnen ist unendlich gross. Es giebt also keine convex-convexe geradlinige Fläche mit reellen Erzeugenden. Wir werden sehen, dass das Ellipsoid, das convex-convex ist, zwar als geradlinige Fläche aufgefasst werden kann, aber ihre Erzeugenden sind imaginär. (Siehe S. 144.)

Bei der Unterscheidung der Punkte mit reellen und der Punkte mit imaginären Haupttangenten giebt der Wert des Ausdrucks LN —NF¹ den Ausschlag. Dieser Ausdruck lässt sich auch in anderer Weise schreiben; es ist nämlich nach (10), S. 106:

L N — M² = (Xu xu + Yuyu + Zu zj (Xv xv + Yvyv + Zv zv) —

- (XU Xv + l'uhv + Zu zv) (XV Xu + Xvyu + Zv ~J

= S (X zv - ZU Z) {yu Zv - Zuyv),

also nach XI (F):

daher:

L N - M‘² = D • 8 X(Yu Zv - Zu Yv),

Xu Xv

(3)

LN-M² = L)

Y Y .

U    V

z z

U    V

Bei reellen Flächen und reeller Parameterdarstellung ist I) nach S. 18 positiv. Die Entscheidung giebt also das Vorzeichen der Determinante. Wir sagen daher:

Satz 18: Eine Fläche, die keine Schar von Minimalgeraden enthält, hat in einem allgemein gewählten reellen Punkt (u, v) mit reellen Parametern zwei reell verschiedene oder zwei reell zusammenfallende oder zwei imaginäre Haupttangenten, je nachdem der Ausdruck LN — M² oder die Determinante für das betreffende Wertepaar kleiner als Null oder gleich Null oder grösser als Null ist. Dabei bedeuten L, M, N die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung und X, Y, Z die ßich-tungscosinus der Normale. Die Richtungen (dv.du) der Haupttangenten werden durch die Bedingung L du² 2Mdudv p N dv² — 0 bestimmt.

Da 8I² = 1 und also

SII=0, 811=0

ist, so kann die Determinante in (3) auch anders geschrieben werden. Multipliciert man nämlich ihre Zeilen mit X, Y, Z und nimmt ihre Summen als erste Zeile, so ist nur das erste Element dieser Zeile von Null verschieden, nämlich gleich Eins. Daher ist:

ln - hp = jj-

(4)

i« Zv — Zu Yv

Hieran reihen sich noch zwei Formeln, die durch cyklische Vertauschung von X, Y, Z hervorgehen.

Es ist leicht, alle Flächen zu bestimmen, auf denen

überall LN— M² = 0 ist. Vorweg heben wir dabei hervor: Wenn auf der Fläche überall LN—M² = 0 ist, so ist dies auch der Fall bei Einführung irgend eines anderen Parametersystems, weil die Gleichung L N — M² — 0 aussagt, dass die beiden Haupttangenten zusammenfallen, und weil diese geometrische Bedeutung von der Wahl des Parametersystems unabhängig ist. Ist nun auf der Fläche überall LN—M² = 0, so folgt aus (4) und aus den beiden analogen Formeln:

Xu:Yu:Zu = Xv:Yv:Zv,

(5)

Yu = QYt

also, wenn q eine gewisse Function von u und v bedeutet: Z =

U    S 1

Da nun:

dX — Xu du -f- Xv dv = Xv (q du + dv)

und entsprechend

d Z = Zv(q du -f dv)

dY = Yv{o du + dv),

ist, so bleiben X, Y, Z ungeändert, wenn der Punkt (u, v) auf der Fläche eine Curve beschreibt, längs deren oder also:

dV =- Q{u, v)

ist. Diese Differentialgleichung erster Ordnung in u und v definiert nach Satz 4, S. 12, eine Schar von oo¹ Curven auf der Fläche. Wir dürfen annehmen, dass wir gerade diese Curven von vornherein als die Parameterlinien (v) gewählt hätten. Dies kommt darauf hinaus, dass wir die Differentialgleichung in der Form dv = 0 annehmen dürfen. Dann aber ist q — 0, also sind dann X, 7, Z nach (5) frei von u. Aus der ersten Formel XI (7) folgt nun, dass SXx auch von u frei ist. Es sei etwa:

(6)

S Xx = V(v).

Differenzieren wir diese Formel nach v, so giebt die zweite Gleichung XI (7):

(7)

SXvx — V (u).

Da X, Y, Z und V nur von v, nicht von u, abhängen, so stellt die Gleichung

SXy = V{v)

in den laufenden Coordinaten £, t), 5 für jeden Wert von v eine Ebene dar. Diese Ebene schneidet die unendlich benachbarte, zu v + dv gehörige Ebene in der Geraden, die ausserdem der Gleichung genügt. Da die Gleichungen (6) und (7), in denen x, y, z die Punkt-coordinaten der Fläche sind, genau die Form dieser beiden Gleichungen haben, so folgt nach Satz 14, I S. 292, dass die Fläche von den 00¹ Ebenen

[v = Const.)

SXz = F(v)

umhüllt wird und also abwickelbar ist.

Umgekehrt: Liegt eine abwickelbare Fläche vor, so können wir ihre Gleichungen nach I S. 261 so schreiben:

(8) x = (p (v) + ucp'(v), y = x{v) + u/(v), z = y{v) + u

Durch Ausrechnung erkennt man, dass hier L = M = 0, also LN — M² = 0 ist. Nach einer oben gemachten Bemerkung gilt diese Gleichung LN— M² — 0 auch bei jeder anderen Parameterdarstellung der Fläche (8). Also:

Satz 19: Die abwickelbaren Flächen sind die einzigen Flächen, auf denen überall der aus den Fundamentalgrössen zweiter Ordnung gebildete Ausdruck

LN- M² = 0

ist.

Oder auch:

Satz 20: Die abwickelbaren Flächen sind die einzigen Flächen, auf denen überall die beiden Haupttangenten zusammenfallen, — und zwar fallen sie in die geradlinigen Erzeugenden der Fläche.

§ 5. Die Indicatrix eines Flächenpunktes.

Sind F, F, G und L, M, N die Fundamentalgrössen einer auf die Parameter u und v bezogenen Fläche, die keine Schar von Minimalgeraden enthält, so gilt für den Krümmungsradius R eines allgemeinen Normalschnittes der Stelle P oder (u, v) die Formel:

L + 2Mlc + NF R ~ E + 2Fk + G F ’

in der k = dv: du die Richtung des Schnittes angiebt. (Vgl. S. 109.)

Um hieraus eine geometrische Construction der Krümmungskreise abzuleiten, benutzen wir ein neues rechtwinkliges Co-ordinatensystem (£, t), §), dessen wir uns überhaupt öfters bedienen werden, wenn es sich um Untersuchungen in der Nähe eines bestimmt gewählten Fiächenpunktes handelt.

Der Punkt P oder (u, v) sei der neue Anfangspunkt, die £- und b-Axe seien die Tangenten der beiden Hauptkrümmungsschnitte des Punktes P, die ja nach S. 117 auf einander senkrecht stehen und im reellen Fall auch reell sind. Die g-Axe soll dann auch ihrem Sinn nach mit der Normalen des Punktes P zusammenfallen. In dem neuen Coordinatensystem wollen wir die Coordinaten £ und b selbst als Parameter, statt u und v, benutzen. Die Fläche denken wir uns also analytisch in der Form dargestellt:

Wir nennen das neue rechtwinklige Axenkreuz kurz das begleitende Axenkreuz des Flächenpunktes P.

Die der neuen Darstellung zugehörigen Fundamentalgrössen erster und zweiter Ordnung seien mit (£, g, ® und 2, 9k, 91 bezeichnet, sodass wir haben:

S + 2Wlt + kt2 R ~ © + 2$f + ©!² ’

wobei nun

f = dt): di

ist. Da die Parameterlinie (b = 0) im neuen Anfangspunkt P die £-Axe und die Parameterlinie (£ = 0) dort die b-Axe berührt, so ist für den Anfangspunkt P:

(1)

B±

Bi Jo

= 0,

Bi

B 9/o

= 0.

Der Index 0 soll daran erinnern, dass sich diese Gleichungen nur auf den Punkt P beziehen. Nach XI (A) und XI (C) ist für diesen Punkt:

(2)

3o = 0,

®o = ¹

£>o = l-

Da ferner dt) = 0 und d£ = 0 oder also f = 0 und f = oo die Hauptkrümmungsrichtungen von P liefern, so muss die quadratische Gleichung für f, die — nur mit lateinischen statt deutschen Buchstaben — in Satz 11, S. 119, angegeben wurde, für den Punkt P die Form f = 0 haben. Also ist jetzt auch für den Punkt P:

(3)

oder nach (9), S. 106:

(4)

St dt) Jo

= 0.

Nunmehr kommt:

1 •_ So + M*

R 1 + t»

Für ! = 0 und ! = oo ergeben sich die beiden Hauptkrümmungen:

(5)

l~ = 2

R₂

sodass nach (9), S. 106, für den Punkt P:

(3)

8f)o Äi ’

ist. Ferner sei cp der Winkel der Richtung (f) mit der Richtung der f-Axe (f = 0), also:

di

tg q> =

Die Formel für \ :R kann nun so geschrieben werden:

_ cos² cp R

Da wir für jeden Flächenpunkt P diese Betrachtung anstellen können, indem wir immer das zugehörige begleitende Axenkreuz benutzen, so folgt:

(7)

sin² cp

Ro

Satz 21: Sind und P₂ die Abscissen der Mittelpunkte der beiden Hauptkrümmungskreise eines Flächenpunktes, gemessen vom Flächenpunkte an auf seiner Normalen, so haben die Krümmungsmittelpunkte derjenigen Normalschnitte, die mit dem ersten Hauptkrümmungsschnitt die

eine Abscisse R, die sich aus der

Winkel + cp bilden Formel

bestimmt.¹

cos² cp , sin² <p £ ~ ~~R₁    ¹

Geben wir cp den Wert cp + so erkennen wir hieraus sofort:

Satz 22: Die Summe der Krümmungen zweier zu einander senkrechter Normalschnitte ist gleich der Summe der Hauptkrümmungen der betreffenden Stelle.

0'

Da die Formel (7) nur die Quadrate des Sinus und Cosinus von cp enthält, so kommt es auf den Sinn der Messung des Winkels cp gar nicht an.

Fig. 43.

Die Haupttangenten sind durch die Eigenschaft 1 :R = 0 charakterisiert (nach S. 127), so-dass ihre Winkel cc mit der ersten Hauptkrümmungsrichtung nach (7) durch:

sin² a

cos² a

74

oder:

iß)

74

74 bestimmt werden. Also (siehe Fig. 43)

Satz 23: Die Hauptkrümmungsrichtungen eines Flächenpunktes halbieren die Winkel seiner Haupttangenten.

Ferner:

Satz 24: Der Winkel der Haupttangenten eines Flächenpunktes hängt nur von den Werten der Hauptkrümmungen des Punktes ab.

Sind R₂ und R₂ beide positiv, so gilt dasselbe nach (7) von jedem Krümmungsradius R des Punktes R, der dann convexconvex ist (nach S. 128). Tragen wir auf der Tangente von P, die mit der £-Axe den Winkel cp bildet, von P aus nach beiden Seiten den Wert der Quadratwurzel des zugehörigen Krümmungsradius R auf, so bilden die Endpunkte, die man so für beliebige Werte von cp erhält, eine Ellipse, denn sie haben die Coordinaten:

t) = + ~]jR sin cp,

£ = + pCOS cp

¹ Dieser Satz heisst der EuxEit’sche Satz. Siehe die Anmerkung auf S. 118.

die nach (7) die Gleichung erfüllen:

Jak

T—I

yRx und ]/R₂ sind die auf der £- und t)-Axe gelegenen Halbaxen der Ellipse. (Siehe Fig. 44.)

Sind Rx und R₂ beide negativ, so gilt dasselbe nach (7) von jedem Krümmungsradius R des Punktes P. Die Stelle ist wieder convex-convex. Wir tragen auf allen Tangenten von P aus nunmehr }> — R ab und erhalten die Ellipse:

Fig. 44.

E²

t)²

= 1.

- A

In beiden betrachteten Fällen hat P nach (8) imaginäre Haupttangenten, und zwar sind die Haupttangenten offenbar die imaginären Asymptoten der betreffenden Ellipse.

Ist Rx positiv und R₂ negativ, so sind die Haupttangenten nach (8) reell. Es sei cc der positive spitze Winkel, für den dann

_ß₂

ist. Nun ist nach (7) der Wert R positiv, solange cp zwischen + a und — a liegt, sonst negativ. (Vgl. S. 129.) Die Fläche ist an der Stelle P convex-concav. Tragen wir wieder auf allen Tangenten den zugehörigen Wert der Quadratwurzel von R bez. — R ab, je nachdem R positiv oder negativ ist, so erfüllen die Endpunkte entweder die Gleichung:

(für R > 0)

e’

R - i?2 oder die Gleichung

,2

= 1 (für R < 0).

Fig. 45.

Es sind dies die Gleichungen zweier conjugier-ter Hyperbeln, die die beiden Haupttangenten zu Asymptoten haben. (Siehe Fig. 45.)

Ist R₁ negativ und R₂ positiv, so werden die Haupttangenten ebenso construiert. Im übrigen gilt über das Vorzeichen

von R gerade das Entgegengesetzte wie vorher. Es gehen die beiden conjugierten Hyperbeln hervor:

-Ri

(für R < 0)

und:

t)²

die wieder die Haupttangenten zu Asymptoten haben.

Ist endlich einer der beiden Hauptkrümmungsradien unendlich gross, so erhalten wir statt der Ellipse oder des Hyperbelpaares ein Paar paralleler Geraden. Ist nämlich etwa R₁ = oo und R2 positiv, so reduciert sich (7) auf:

sin² q>

R ~~ R₂ ’

d. h.: R ist überall positiv. Tragen wir ]/P auf der zugehörigen Tangente ab, so liegt der Endpunkt auf einer der beiden Geraden (siehe Fig. 46)

b—=t yp₂.

Ist R₁ = oo und P₂ negativ, so ist R überall negativ und das Abtragen von ]/ — R auf die Tangenten giebt die beiden Geraden t) == + ]/-A₂. Ist Rx positiv und R₂ = oo, so treten die beiden Geraden

£ = ± 1/Ri

fl

■?

Fig. 46.

auf, ebenso wenn Rx negativ und R₂ = oo ist, die beiden Geraden £ = + ]/ — Rv Überhaupt fallen bei den vier letzten Annahmen, d. h. wenn einer der Hauptkrümmungsradien unendlich gross ist, die beiden Haupttangenten in diejenige Tangente durch P zusammen, die den beiden erwähnten Geraden parallel ist.

Die beiden durch den Flächenpunkt P gehenden Minimalcurven der Fläche (vgl. Satz 16, S. 36) haben dort Richtungen, die nach (2) durch

d]c² + dt)² = 0

bestimmt werden, also die Richtungen:

d i;

di

= ±i.

Doch gilt dies nur an der Stelle P selbst. Daraus folgt:

Satz 25: Die beiden durch einen Fiächenjmnkt gehenden Minimalcurven der Fläche haben daselbst Tangenten, die symmetrisch zu den Hauptkrümmungstangenten des Punktes liegen. —

Die Kegelschnitte, die wir benutzt haben, sind nicht nur Hülfs-mittel zur Construction der Krümmungsradien, sondern treten auch direct auf, allerdings unendlich verkleinert, sobald man die Frage beantwortet, wie eine Ebene, die einer Tangentenebene der Fläche unendlich benachbart ist, die Fläche schneidet.

Da wir wie bisher den betrachteten Flächenpunkt P als Anfangspunkt eines Coordinatensystems (je, t), g) benutzen können, so können wir diese Frage analytisch so behandeln: Zur Tangentenebene von P, d. i. zur £ t)-Ebene, legen wir eine parallele Ebene im unendlich kleinen Abstand g. Sie schneidet die Fläche in einer Curve, und wir untersuchen, wie der Verlauf dieser Curve unendlich nahe bei P ist. Wir fassen also nur unendlich kleine Coordinaten £ und t) ins Auge. Da für hinreichend kleine Werte von £ und b die Reihenentwickelung gilt:

¹

Die ersten Untersuchungen über die Krümmung der Flächencurven verdankt man Eulek, der in der wichtigen Arbeit: „Recherches sur la cour-bure des surfaces“, Mem. de l’Academ. des Sciences de Berlin, T. XVI, 1760, die Krümmungen der Normalschnitte, die Hauptkrümmungsrichtungen und ihre Radien zuerst bestimmt hat.

²

Vgl. die Anmerkung auf S. 42.

³

Diese Geraden wurden zuerst untersucht von Dupin, „Developpements de geometrie“, Paris 1813.

⁴

In den drei Figuren 40, 41, 42 haben wir, um die Hauptkrümmungskreise als solche deutlicher zur Anschauung zu bringen, Flächen dargestellt, die mit ihren Hauptkrümmungskreisen ein endliches Stück gemein haben.

+ 172

(vj%!+2(äj^)oEt, + (w)o ’

so können wir hierfür nach (1), (4) und (6) schreiben:

(9)

i?₂

1/J1

2 Ui

Dies also ist, bei festem unendlich kleinen g, in £ und b die Gleichung der zu untersuchenden Curve.

Ist weder 1:P₁ noch l : P₂ gleich Null, so sind, sobald £ und b unendlich klein gewählt werden, also nur die Umgebung der Stelle P betrachtet wird, die nur angedeuteten Glieder von höherer Ordnung unendlich klein als die angegebenen, sodass bleibt:

(10)

s²

»²

= 2g.

i?i ¹ .Bj

Diese Gleichung stellt einen Kegelschnitt mit unendlich kleinen Axen dar, der zu den oben betrachteten Kegelschnitten

i'²

B, ⁺ ü₂ ± 1

ähnlich, ähnlich gelegen und concentrisch ist. Es hat sich also ergeben:

Satz 26: Schneidet man eine Fläche durch eine Ebene, die der Tangentenebene eines Flächenpunktes P mit den Hauptkrümmungsradien IIx und R₂ unendlich nah und parallel ist, so ist die Schnittcurve in der unendlich kleinen Umgebung der Stelle P durch einen Kegelschnitt ersetzbar, dessen Gleichung in laufenden Coordinaten £, lautet:

j!_ ₊ _s!_ = 2s.

Vorausgesetzt ist dabei, dass weder P₁ noch i?₂ unendlich gross sei. Ferner ist dabei 5 der auf der Normale von P mit entsprechendem Vorzeichen zu messende unendlich kleine Abstand der Schnittebene von der Tangentenebene, und das Coordinatensystem (£, ty) hat die Projectionen der Hauptkrümmungstangenten von P auf die Schnittehene zu

Fig. 48.

Fig. 47.

Axen. (Siehe Fig. 47 für den Fall, dass R^R₂ > 0, ist und Fig. 48 für den Fall, dass Rx R₂ < 0 ist).

Obgleich die Schnittcurve nur in unendlicher Nähe von P durch den Kegelschnitt ersetzt werden darf, braucht man doch häufig die unexacte Redeweise: Die der Tangentenebene unendlich benachbarte Ebene schneide die Fläche in jenem Kegelschnitt (10), und auch wir werden uns der Kürze halber dieser Redeweise bedienen. Der Kegelschnitt (10) heisst die Indicatrix des Punktes P der Fläche.¹

Liegt ein reeller convex-convexer Punkt vor, d. h. haben Rx und P₂ einerlei Vorzeichen, so ist die Curve (10) eine unendlich kleine reelle Ellipse, wenn § dasselbe Vorzeichen wie Rx und R2 hat, dagegen imaginär, wenn 5 das andere Vorzeichen hat. Von den zur Tangentenebene unendlich benachbarten parallelen Ebenen

schneiden also nur die auf der einen Seite gelegenen die Fläche in einer reellen Ellipse. Convex-convexe Punkte der Fläche heissen auch elliptische Punkte der Fläche. Ist der Punkt insbesondere ein Nabelpunkt (vgl. S. 119, 120), d. h. Px = A₂, so ist die Indi-catrix ein Kreis.

Liegt eine reelle convex-concave Stelle P vor, d. h. haben Rx und i?₂ verschiedene Vorzeichen, so ist die Curve (10) eine Hyperbel, wenn 5 positiv ist, und die conjugierte Hyperbel, wenn 5 durch — 5 ersetzt wird. Diejenigen Ebenen parallel der Tangentenebene also, die auf der einen Seite unendlich nahe liegen, schneiden die Fläche in einer Curve, die unendlich nahe hei P wie eine Hyperbel verläuft, deren Hauptaxe in der einen Hauptkrümmungsebene liegt. Wird die Ebene jedoch auf der anderen Seite der Tangentenebene angenommen, so tritt an die Stelle dieser Hyperbel eine Hyperbel, deren Hauptaxe in der anderen Hauptkrümmungsebene von Pliegt. Convex-concave Punkte der Fläche heissen auch hyperbolische Punkte der Fläche.

Wird § = 0 gesetzt, so geht aus (10) die Gleichung

R,

b²

r.₂

eines Geradenpaares hervor, das imaginär ist, wenn Px und R₂ dasselbe Zeichen haben. Nach (8) sind diese Geraden die Haupttangenten des Punktes P. Wir können also sagen, indem wir auf I S. 74 verweisen:

Satz 27: Für die Schnittcurve einer reellen Fläche mit der Tangentenebene eines ihrer Punkte P ist dieser Punkt singulär und zwar ein isolierter Punkt, wenn die Fläche in P convex-convex ist, dagegen ein Doppelpunkt, wenn sie in P convex-concav ist. Die imaginären bez. reellen Tangenten der Schnittcurve in P sind die Haupttangenten von P.

Die Projectionen dieser Haupttangenten auf die zur Tangentenebene parallelen unendlich benachbarten Ebenen sind die imaginären bez. reellen Asymptoten der oben erwähnten Ellipsen bez. Hyperbeln. Die Haupttangenten nennt man deshalb auch zuweilen die Asymptoten von P.

Den Übergang von den convex-convexen oder elliptischen Stellen zu den convex-concaven oder hyperbolischen Stellen bilden diejenigen Punkte, in denen Px oder R₂ unendlich gross ist. Man nennt sie parabolische Punkte der Fläche. Ist z. B. 1:^=0, so ist

der Schluss von (9) auf (10) nicht mehr richtig. Dann schliessen wir vielmehr wie in IS. 75, dass die Schnittcurve der zur Tangentenebene parallelen Ebene 5 = Const. in unendlicher Nähe von F im allgemeinen durch die Curve

ersetzt werden darf. In der Ebene (§) bilden dabei die Geraden, in denen sie die y 5- bez. 9 j-Ebene schneidet, die y- bez. t)-Axe für die analytische Darstellung dieser ebenen Curve dritter Ordnung, während 5 die Rolle einer bestimmten unendlich kleinen Grösse spielt. Man sieht, dass die Ordnungen, in denen y und t) in der Nähe von P unendlich klein sind, die 2. und 3. sein müssen, d. h. die Curve schmiegt sich der y-Axe in unendlicher Nähe des Anfangspunktes an. Da aus

öl)

und

Ö²U

folgt, dass die Curvenpunkte mit den Coordinaten:

öy²

für y = 0 auch gleich Null sind, so sind

£ = 0,

Wendepunkte (nach I S. 14), deren Tangenten der y-Axe parallel sind. Bei dem parabolischen Punkte P tritt also an die Stelle jener unendlich kleinen Ellipsen bez. Hyperbeln in unendlicher Nähe von P ein Paar paralleler Geraden: die reell sind, wenn P₂ und 5 dasselbe Zeichen haben. Da zwei parallele Geraden als eine ausgeartete Parabel aufzufassen sind, so ist der Name: parabolischer Punkt gerechtfertigt.

Im Fall eines parabolischen Punktes werden wir das gefundene Geradenpaar als die Indicatrix bezeichnen und nicht die Curve dritter Ordnung.

Es dürfte nicht unnütz sein, für die Indicatrix auch bei Benutzung eines beliebigen Axenkreuzes (.v, y, z) und beliebiger Parameter eine analytische Darstellung zu geben: Die Tangentenebene des Punktes (u, v) hat die Gleichung:

X(y -*)+rfo-y) + £(ä-*) = 0,

Die Parallelebene

wenn y, t), -5 ihre laufenden Coordinaten sind, im Abstand e hat die Gleichung:

denn sie wird durch

i)=y + Ye,

S = x + Xe,

wegen S X² = 1 erfüllt. Soll nun der Punkt (j, t), §) in der Schnitt-curve der Parallelebene mit der Fläche liegen und dem Punkte (x, y, z) oder (u, v) unendlich benachbart sein, so muss er Parameter haben, die von u und v unendlich wenig abweichen, sodass wir setzen können:

£ = x + xudu + xvdv + \{xuudu² + 2 xuvdudv + xvvdv²) + . . . u. s. w. Setzen wir diese Werte in (11) ein, so kommt wegen XI (/):

i(S Xxuudu² + 2SX xuvdudv + S Xxvvdv) + . . . oder nach (7), S. 106:

L du² -j- 2Mdudv + Xdv² + . . . = 2 e.

Berücksichtigen wir nur die Glieder niedrigster Ordnung, so finden wir:

Satz 28: Diejenigen einem Punkte (:u, v) einer Fläche unendlich benachbarten Punkte (u Y du, v + dv), die in einer zur Tangentenebene des Punktes (u, v) unendlich benachbarten und parallelen Ebene liegen, sind an die Gleichung gebunden:

L du² + 2Mdu dv -f- Ndv² — 2 s.

Darin bedeutet e den auf der Normalen des Punktes (u, v) mit Vorzeichen gemessenen Abstand der Parallelebene von der Tangentenebene.

Die Formel dieses Satzes stellt also analytisch die Indicatrix des Punktes (u, v) dar und zwar nach der oben getroffenen Festsetzung auch für den Fall eines parabolischen Punktes.

Im Anschluss hieran soll ein zweites analoges Problem ganz kurz erledigt werden:

Wir wählen auf der Normalen des Punktes (u, v) einen unendlich benachbarten Punkt, dessen Coordinaten also etwa sind:

* + Zy,

x + Xy, y + Yy

wenn y eine unendlich kleine Grösse bedeutet, und wollen diejenigen Tangentenebenen der Fläche construieren, die durch diesen Punkt gehen. Sie werden einen Kegel umhüllen, der die Fläche längs einer dem Punkte (u, v) unendlich benachbarten Curve berührt. Ist (y, -f- d u, v + d v) ein solcher Berührungspunkt, so muss seine Tangentenebene durch den gewählten Punkt gehen. Aber die Normale

des Punktes (u + d u, v + d v) hat die Eichtlingscosinus, die aus X Y, Z hervorgehen, wenn darin u + du und v + dv statt u und v geschrieben wird, d. h. die Tangentenebene dieses Punktes (u + d u, v + dv) hat in den laufenden Coordinaten y, t), 5 die Gleichung:

S (X + Xu d u + Xv d v) (j — x — xu du — xvdv) = 0.

Setzen wir hierin die Coordinaten x 4- X rj, y + Yr], % 4- Z r\ des angenommenen Punktes für y, tj, § ein, so geht die Bedingung hervor:

S {X + X du + Xv dv) — xu du — xv dv) = 0.

Hierfür kann nach XI (H), XI (/) und (10), S. 106, geschrieben werden:

77 4- I du² + 2 Mdu dv + Ndu² = 0 .

Daher:

Satz 29: Legt man durch einen Punkt, der auf der Normalen des Flächenpunktes [u, v) liegt und von diesem den mit Vorzeichen gemessenen unendlich kleinen Abstand 11 hat, alle diejenigen Ebenen, die die Fläche unendlich nah beim Punkte {u, v) berühren, so besteht die Be-rührungscurve aus den an die Gleichung:

Idu2, + 2Mdudv 4- Ndv² — — rj gebundenen Punkten [u 4- du, v 4- dv).

Also kommt nach Satz 28:

Satz 30: Die Ebenen, die eine Fläche längs der Indi-catrix eines Flächenpunktes P berühren, bilden einen Kegel, dessen Spitze so liegt, dass der Punkt P selbst die Strecke von der Spitze bis zur Indicatrixmitte im Verhältnis 2 :1 teilt.

Anhangsweise erwähnen wir noch, dass aus dem Satze 27 folgt, dass jede Fläche zweiter Ordnung zwei Scharen von Geraden enthält. Denn jede Ebene, also auch jede Tangentenebene schneidet eine Fläche zweiter Ordnung in einem Kegelschnitt. Da er nach dem Satze 27 im Berührungspunkt einen Doppelpunkt haben muss, zerfällt er in zwei Geraden. Durch jeden Punkt der Fläche gehen demnach zwei Geraden, die der Fläche angehören. Nur wenn der Punkt parabolisch ist, fallen die beiden Geraden zusammen. Wenn dies überall auf der Fläche der Fall ist, so ist die Fläche nach Satz 20, S. 132, abwickelbar. Aber eine abwickelbare Fläche wird — wenn sie kein Kegel oder Cylinder ist — von jeder Normalenebene ihrer Gratlinie nach Satz 3, I S. 268, in einer Curve mit Spitze geschnitten. Da die Fläche von zweiter Ordnung sein soll, so geht dies nur so an, dass diese Schnittcurve eine doppelt zählende Gerade ist, die Fläche also die der Tangenten einer ebenen Curve und daher selbst eine Ebene ist. Die Ebene ist aber nur, wenn sie doppelt aufgefasst wird, von zweiter Ordnung. Alle anderen abwickelbaren Flächen zweiter Ordnung sind mithin Kegel oder Cylinder.

Umgekehrt: Wenn eine Fläche zwei Scharen von Geraden enthält, so beweist man in der analytischen Geometrie, dass sie von zweiter Ordnung ist, indem man nämlich drei Gerade der einen Schar beliebig annimmt und alle Geraden bestimmt, die diese drei treffen. Mithin:

Satz 31: Die nicht abwickelbaren Flächen zweiter Ordnung sind die einzigen Flächen mit zwei verschiedenen Scharen von je oo² Geraden.

Auf dem einschaligen Hyperboloid und dem hyperbolischen Paraboloid sind die beiden Scharen reell, auf dem zweischaligen Hyperboloid, dem elliptischeu Paraboloid und dem Ellipsoid imaginär. Zum Ellipsoid gehört die Kugel, von der wir schon wissen, dass sie zwei Scharen von Minimalgeraden enthält (vgl. Satz 26, S. 64).

§ 6. Veranschaulichung der Krümmungen in einem Fiächenpunkte.

Will man sich von den Krümmungsverhältnissen in einem Flächenpunkte eine Vorstellung machen, so kann man noch verschiedene andere Wege einschlagen. Einige Arten der Verdeutlichung seien hier erwähnt:

Die Betrachtungen des vorigen Paragraphen legen es uns nahe, die Fläche in der Umgebung des Punktes F durch ein Paraboloid zu ersetzen, dessen Scheitel in P liegt und das in P dieselbe Indi-catrix wie die Fläche hat. Wenn wir nämlich das begleitende Axenkreuz (y, t), §) des Punktes P wie dort benutzen, sodass die Indicatrix, die in einer der Tangentenebene unendlich benachbarten Ebene § = Const. liegt, die Gleichung (vgl. Satz 26, S. 139):

(1)

Satz 32: Sind Px und P₂ die Hauptkrümmungsradien eines Flächenpunktes P und construiert man das Para-boloid mit der Gleichung:

i'²

das auf dasjenige Coordinatensystem bezogen ist, dessen £- und t)-Axe mit den Hauptkrümmungstangenten von P zusamenfallen, während die §-Axe die positive Normale von P ist, so besteht zwischen der Fläche und dem sie mit seinem Scheitel in P berührenden Paraholoid folgende Beziehung: Wird in P irgend eine Tangente an die Fläche und durch diese Tangente irgend eine Ebene gelegt und construiert man auf der Fläche und auf dem Paraholoid je eine Curve, die durch P geht, dort jene Tangente und die Ebene zur Schmiegungsebene hat, so haben beide Curven in P auch denselben Krümmungskreis, anders ausgesprochen: Sie berühren einander in zweiter Ordnung.

Man vergleiche hierzu Satz 16, I S. 190, und Satz 15, I S. 28. Mit Rücksicht auf die Bemerkung in I S. 171 oben nennen wir dies Paraboloid das osculierende Paraholoid des Flächenpunktes P.¹ (Vgl. auch S. 203.)

Der Satz 32 kann weniger exact, aber kürzer so ausgesprochen

werden:

Satz 33: In Hinsicht auf die Krümmung der Flächen-curven in einem Punkte P kann man die Fläche durch ein gewisses Paraboloid ersetzen, das die Fläche mit seinem Scheitel in P berührt.

Oder auch:

Satz 34: Hinsichtlich der Krümmung der Flächencurven hat der Scheitel eines allgemeinen Paraboloids den Charakter eines allgemeinen Flächenpunktes.

Ist P elliptisch oder hyperbolisch, so gilt dasselbe von dem osculierenden Paraboloid. Ist insbesondere P ein Nabelpunkt (S. 119), so ergiebt sich ein Rotationsparaboloid. Ist P parabolisch, z. B. 1 :R₂ = 0, so artet das Paraboloid in einen parabolischen Cylinder aus.

¹ Dies osculierende Paraboloid kommt schon bei Euler in seinen erwähnten „Recherches“ vor. Siehe die Anmerkung zu S. 118.

10

Scheffers , Geom. Diffr. II.

Eine andere Art der Veranschaulichung besteht darin, dass man die von den Krümmungskreisen der Normalschnitte

des Flächenpunktes P gebildete Fläche construiert. Ihre Gleichungen sind leicht aufzustellen, denn in der Normalschnittebene, die mit der ersten Haupt-krümmungstangente den Winkel cp bildet, liegt der Krümmungskreis mit dem Radius B, der nach (7), S. 134, durch

sin² cp

A$

■i

/»X"'

COS² Cp

R Rl

bestimmt wird. (Siehe Fig. 49.) Ist xp der Winkel, den der Radius eines Punktes Q dieses Kreises mit dem Radius des Punktes P bildet, so hat Q die Coordinaten:

Fig. 49.

p. = Bsmxp cos cp, Hierin ist der Wert

(2)

R₂

b = B sin xp sin cp,

l = B (1 — cos xp).

Ri R,

Rx sin² cp + R₂ cos² cp

einzusetzen. Also sind, geschrieben mittels der beiden Parameter cp und xp:

(8)

Rr R₂ sin xp cos cp Rx sin² cp + R₂ cos² cp ’ Rx R₂ sin xp sin cp Rt sin² cp + R₂ cos² cp ’

Rt R₂ (1 — cos xp)

R₁ sin² cp + R₂ cos² cp

die Gleichungen der gesuchten Fläche. Die Fläche ist in der Form F(%, t), 5) = 0 durch eine algebraische Gleichung ausdrückbar. Statt diese Gleichung durch Elimination von cp und xp aus (3) abzuleiten, findet man sie bequemer so: Der Kreis mit dem Radius B liegt in der Ebene

J² + t>s + äa = 2iüä.

Aus der ersten Gleichung und aus (2) folgt aber:

und auf der Kugel

t)²

Rx

sodass die Substitution dieses Wertes in die Gleichung der Kugel giebt:

(4)

(Ea + l)² + Ja) (

■) = 2j(Ea + l)a)-

Die Krümmungskreise der Normalschnitte eines Flächenpunktes bilden somit eine Fläche vierter Ordnung. Je nachdem der Punkt elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch ist, hat diese Fläche wesentlich verschiedenes Aussehen. Gänzlich im Endlichen liegt sie nur im Fall eines elliptischen Punktes. Für diesen Fall ist sie unter der Annahme 7?₂ = 2 R₁ in den beiden Figuren 50 und 51

Fig. 50.

Fig. 51.

in zwei verschiedenen Stellungen wiedergegeben. Längs eines Teiles der Flächennormale durchneidet sie sich selbst.

Eine andere Fläche, die zur Veranschaulichung der Lage aller 00² Krümmungskreise aller normalen und schiefen Schnitte durch den Flächenpunkt P dienen kann, hat den Vorzug, für die drei Fälle des elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Punktes stets dieselbe Gestalt zu haben. Nur ihre Grösse und Lage ist veränderlich. Man erhält sie so:

. Auf S. 105 erkannten wir: Legen wir durch einen Punkt P der Fläche eine Tangente t und construieren wir Flächencurven durch P mit dieser Tangente, so kann man jedesmal auf der betreffenden durch P gehenden Hauptnormale die Krümmung auftragen; der Ort der Endpunkte ist eine zur Tangente t windschiefe,

aber senkrechte Gerade g. Lassen wir die Tangente t sich um P in der Tangentenebene drehen, so gehen 00¹ Geraden g hervor. Die gesuchte Fläche ist die von ihnen gebildete geradlinige Fläche.

Benutzen wir wieder das Axenkreuz (£, t), g) und fassen wir die Tangente t des Punktes P ins Auge, die mit der j-Axe den Winkel cp bildet, so ist die zugehörige Gerade g diejenige, die den Winkel cp + x mit der £-Axe bildet, der £ 9-Ebene parallel läuft und die §-Axe im Punkte G mit der Abscisse

sin² cp

_ cos² cp

i?i

schneidet. Also sind:

£ = — l sin cp, t) = t cos cp

(5)

cos ²<p

sin² cp

r₂

die Gleichungen dieser Geraden, ausgedrückt mittels des Parameters t. Geben wir cp und t alle möglichen Werte, so sind dies zugleich die Gleichungen der geradlinigen Fläche, ausgedrückt mittels der Parameter cp und t. Wir können sie auch so schreiben:

(6) £ = — £ singo, \) = tcoscp, 5 = 1

-j cos 2 cp.

Wegen der Bedeutung von t sehen wir: Geben wir t einen bestimmten Wert, während cp beliebig bleibt, so erhalten wir die Schnittcurve der Fläche mit demjenigen Rotationscylin-der um die j-Axe, dessen Radius gleich t ist. Diesen Oylinder wickeln wir, um die Natur der Schnittcurve zu erkennen, auf diejenige Ebene E ab, die ihn längs der Geraden in der Ebene £ = t) berührt. (Siehe Fig. 52.)

Ebene sei eben diese Gerade die 77-Axe und die Tangente des in der £ty-Ebene gelegenen Kreises die |-Axe eines rechtwinkligen Coordinatensystems (|, 7/). Die abgewickelte Schnittcurve hat nun die Gleichungen:

V = l

AI

-i~.

Fig. 52.

r?

In dieser

Wird der Radius t des Cylinders gerade gleich

Ri R-2

gewählt, so kommt:

CM

'S

toji—'

'S

oder, wenn

2 cp +

gesetzt wird:

(Ar

tojl—■

⁸ ik ⁺ k)⁺¹ (

-B. B₂

sin co.

Diese Curve entsteht ans der Sinuslinie (vgl. I S. 34):

£ = 03,

7} — sin co

durch Vergrösserung im Maassstab

² 1 Ri R,

und durch Schiebung längs der ?y-A.xe um die Strecke

2 Ux + R,)'

Die Periode der Sinuslinie geht von co = 0 bis co = 2n, die Periode der ahgewickelten Curve hat also die Länge

= tn,

Rt Rj⁷¹

d. h. sie ist halb so gross als der Cylinderumfang. Daraus erhellt nach I S. 195, 196, dass die geradlinige Fläche (6) ein Cylindroid ist. (Siehe Fig. 53, S. 150.) Somit:³

Satz 35: Zieht man durch einen Flächenpunkt P beliebige Curven auf der Fläche und trägt man auf ihren durch P gehenden Hauptnormalen von P aus jedesmal die — mit Vorzeichen versehene — Krümmung der betreffenden Curve in P als Strecke auf, so ist der Ort der Endpunkte dieser Strecken ein Cylindroid.

Die Cylindroide sind alle einander ähnlich. Ihre Grösse hängt nur von dem Radius

Ri Ri

desjenigen Cylinders ab, auf den zwei Perioden einer der Sinuslinie ähnlichen Curve aufgewickelt werden. Das Cylindroid hat die

■?

fs

-V

-k

'P

■9

Fig. 53.

Flächennormale zur Axe. Seine Mitte bilden die Geraden, die (6) für den Wert cp = ±

Höhe

darstellt, also die Geraden, die in der

R₂

■) = **

(vgl. (23) auf S. 118) über der Tangentenebene liegen. Die Tangentenebene schneidet das Cylindroid in den Haupttangenten von P, was geometrisch leicht erhellt und auch daraus folgt, dass der Wert von i in (6) für

tgcp =±|/

gleich Null wird (vgl. (8) auf S. 135).

Wenn das Cylindroid die Tangentenebene nicht schneidet, so ist der Flächenpunkt elliptisch, berührt es diese Ebene, so ist er parabolisch, schneidet es diese Ebene, so ist er hyperbolisch.

oder cos 2 cp =

Äj + R₂

Ri — Rt

§ 7. Conjugierte Richtungen.

Wir haben in Satz 7, S. 26, festgestellt, dass eine Fläche durch die Gesamtheit ihrer Tangentenebenen völlig definiert werden kann. Wir sahen, dass eine nicht abwickelbare Fläche oo² Tangentenebenen hat, während eine abwickelbare nur oo¹ hat. Dem steht gegenüber, dass eine Schar von oo² Punkten eine Fläche, eine Schar von nur oo¹ aber eine Curve erzeugt. Da der Raum insgesamt oo³ Punkte und oo³ Ebenen enthält, so giebt es ausserdem keine Gebilde, die von stetigen Scharen von Punkten oder Ebenen erzeugt werden.

ln gewissem Sinne also stehen den Punkten einer Fläche die Tangenten ebenen der Fläche gleichwertig gegenüber. Fasst man die Flächen als Erzeugnisse ihrer Punkte auf, so haben die Curven — aufgefasst als degenerierte Flächen — eine Ausnahmestellung. Fasst man die Flächen dagegen als Erzeugnisse ihrer Tangentenebenen auf, so haben die abwickelbaren Flächen eine Ausnahmestellung.

Wir wollen hier nicht weiter auf diese doppelte Auffassung eingehen und nur das eine Ergebnis daraus zur Richtschnur für die folgenden Betrachtungen ziehen: Um die Natur einer Stelle auf einer Fläche zu untersuchen, können wir — statt wie bisher die Punkte der Fläche, die einem bestimmten Punkt unendlich benachbart sind — auch die Tangentenebenen der Fläche, die einer bestimmten Tangentenebene unendlich benachbart sind, ins Auge fassen.

Dies soll im gegenwärtigen Paragraphen gescheheu.

Es sei P ein Flächenpunkt und iß seine Tangentenebene. Eine unendlich benachbarte Tangentenebene D wird die Fläche in einem Punkte Q berühren, der dem Punkte P unendlich benachbart ist. Fragen wir uns nun, wie diese beiden Tangentenebenen iß und Q gegen einander liegen, so haben wir erstens ihre Schnittgerade und zweitens ihren unendlich kleinen Winkel zu bestimmen.

Was die Schnittgerade anbetrifft, so kann man bei flüchtiger Überlegung leicht zu einer ganz falschen Auffassung kommen: Da nämlich die Tangentenebene von P die zu P unendlich benachbarten Flächenpunkte, mithin auch den Punkt Q enthält, umgekehrt also auch die Tangentenebene von Q den Punkt P, so schliesst man, dass PQ die Schnittgerade sei. Aber dies ist falsch. Ein einfaches Beispiel zeigt es deutlich: Auf einem Rotationscylinder wählen wir zwei zunächst endlich entfernte Punkte P und Q auf einem Kreis. Ihre Tangentenebenen sind parallel zur Axe des Cylinders und

schneiden einander daher auch in einer Parallelen zur Axe, und dies gilt, wie nahe auch P und Q einander rücken mögen, während . doch die Gerade FQ die Axe senkrecht kreuzt.

?y7

Der Fehler in der obigen Überlegung liegt darin, dass der Punkt Q thatsächlich nicht in der Ebene $ß liegt, sondern von ihr einen Abstand hat, der von höherer Ordnung unendlich klein ist, wenn die Strecke FQ als unendlich klein von erster Ordnung aufgefasst wird. Ebenso hat P von der Ebene D einen unendlich kleinen Abstand von höherer Ordnung, während die Tangentenebenen $ß und G einen von erster Ordnung unendlich kleinen Winkel mit einander bilden. Vergrössern wir die Figur so weit, dass die unendlich kleine Strecke FQ endlich wird, so bleibt der Winkel der Ebenen immer noch unendlich klein von erster Ordnung, während P von D und Q von ^ß ebenfalls je einen unendlich kleinen Abstand von erster Ordnung hat. Man erkennt aber: Da der Winkel un-

Fig. 54.

endlich klein ist, so sind diese beiden letzteren Abstände unendlich klein, wo auch P in iß und Q in Q liegen mag, und so erhellt aus der vergrösserten Fig. 54, dass die Gerade FQ durchaus nicht die Richtung der Schnittgeraden beider Ebenen zu haben braucht.

Nun soll die Schnittgerade zweier unendlich benachbarter Tan

gentenebenen analytisch bestimmt werden:

Ein Punkt P oder (u, v) oder (x, y, z) hat, wenn X, Y, Z die Richtungscosinus seiner Normalen sind, die Tangentenebene in den laufenden Coordinaten £, t)> l:

(1)

s (v. + x, -|y) &

oder nach XI (7) einfacher:

(2)

Die Gleichungen (1) und (2) stellen also zusammen die Schnittgerade der Tangentenebene des Punktes (u, v) mit der Tangentenebene des Punktes {u + du, v + dv) dar. Sie geht durch den Punkt (u, v) oder (x, y, z) selbst. (Streng genommen freilich geht sie unendlich nah an ihm vorbei, was aber bei der Aufstellung der endlichen Gleichungen der Geraden nicht in Betracht kommt.) Es mögen u und v beim Fortschreiten auf der Schnittgeraden Incremente du und Sv erfahren. Alsdann müssen die Werte

£ — x + xu S u + xv S v

u. s. w. beide Gleichungen (1) und (2) erfüllen. Die erste Gleichung wird wegen XI (7) identisch erfüllt, während die zweite liefert:

S X +x

l U ¹ V

dv

du

Xu + Xv

Öv

Multiplicieren wir dies

aus, so

du

sich nach (10), S. 106: = 0

d v 8 v du 8 u

oder, wenn dv\du — k und öv: du = x gesetzt wird:

(3)

L + M [k + x) + N kx = 0.

Also haben wir den

Satz 36: Die Tangentenebene eines Flächenpunktes (u, v) schneidet die Tangentenebene des in der Richtung(k = dv. du) unendlich nah gelegenen Punktes der Fläche in einer Geraden, deren Richtung (x = Sv:Su) durch die Formel

L + M(k x) Nkx = 0

bestimmt wird.

Man bemerkt sofort, dass die Formel (3) symmetrisch in lt und x ist. Die Beziehung zwischen beiden Richtungen (k) und [x) ist also vollkommen wechselseitig.

Die Formel (3) wird im allgemeinen für verschiedene Werte von k verschiedene Werte von x geben. Dies ist nur dann nicht der Fall, wenn ihre linke Seite das Product zweier linearer Ausdrücke ist von der Form:

(« + ß k) (ce + ß x),

denn dann gehört zu jedem Werte k immer derselbe Wert x = — cr.ß. Dieser Ausnahmefall tritt ein, wenn

L:M:N = ct²:aß:ß²

oder also ist, d. h. nach Satz 19, S. 132, für die abwickelbaren Flächen. Dies ist nicht überraschend, denn eine abwickelbare Fläche hat ja nur oo⁴ Tangentenebenen, und je zwei unendlich benachbarte schneiden sich in einer Erzeugenden. Wenn also P auf einer abwickelbaren Fläche nach irgend einer Richtung fortschreitet und nicht gerade in der durch P gehenden Erzeugenden bleibt, so wird die neue Tangentenebene die alte längs der Erzeugenden von P schneiden.

Da wir bei unseren Betrachtungen die Richtungscosinus X, Y, Z der Normalen gebraucht haben, so haben wir von vornherein die Tangentenflächen der Minimalcurven (siehe S. 28, 29) ausgeschlossen. Weil aber diese Flächen auch zu den abwickelbaren gehören, so ist der folgende Satz allgemein richtig:

Satz 37: Auf einer nicht-abwickelbaren Fläche ist jeder Fortschreitungsrichtung von einem Punkte P der Fläche aus eine zweite Fortschreitungsrichtung, und zwar wechselseitig, zugeordnet derart, dass sich die Tangentenebene des Punktes P um die eine Richtung dreht, wenn der Punkt die andere Richtung einschlägt.

Diese Paare (k), (x) von Richtungen heissen conjugierte Richtungen und ihre zugehörigen Tangenten conjugierte Tangenten, und zwar deshalb, weil zu ihnen conjugierte Durchmesser der Indi-catrix des Flächenpunktes P gehören.⁴ In der That, wenn wir das begleitende Axenkreuz von P (vgl. S. 133) und die Grössen £, t) als Parameter benutzen, sodass

k = dt): e? £,    x = §t):

zu setzen ist, so tritt an die Stelle von (3):

(4)

= 0,

-L -f Ri R₂

vgl. (3) und (6) auf S. 134. Aber conjugierte Durchmesser der Indicatrix:

t)²

Rt

+ ;?r = 23

vgl. (10) auf S. 138, bilden mit der ersten Axe des Kegelschnittes solche Winkel a und ß, für die

(5)

“FT⁻ +

tg « tg ß _ Q

R'z

ist. Nun sind k und x auf der andern Seite gerade die Tangenten derjenigen Winkel, die von den Richtungen (k) und (x) mit dieser Axe gebildet werden. Die Vergleichung von (4) mit (5) lehrt also:

Satz 38: Die conjugierten Durchmesserpaare der Indi-catrix eines Flächenpunktes P sind parallel zu solchen Fortschreitungsrichtungen von dem Punkte P aus, von denen die eine die Drehgerade der Tangentenebene ist, sobald der Berührungspunkt von P aus die andere Richtung einschlägt.

Die Formel (3) soll noch — indem wir wieder zu den Parametern u, v zurückkehren und also k = dv.du, x = dv: du setzen — in dem Satze festgehalten werden:

Satz 39: Es ist

L du d u + M{du dv + dv du) + Ndv d v = 0

die Bedingung dafür, dass zwei Fortschreitungsrichtungen (,dv.du) und {dv.du) auf der Fläche zu einander conju-giert sind.

Fig. 55.

Will man sich den Zusammenhang zwischen den conjugierten Fort-schreitungsrichtungen und den conjugierten Durchmessern der Indicatrix geometrisch verständlich machen, so kann man so verfahren: Die Tangentenebene von P ist der Ebene der Indicatrix parallel, siehe Fig. 55. Wird nun ein zu P unendlich benachbarter Punkt Q irgendwo auf der Indicatrix gewählt, so enthält seine Tangentenebene die Tangente t der Indicatrix. Da t der ersteren Ebene parallel ist, so schneiden die beiden Ebenen einander in einer Parallelen zu t. Aber beim Kegelschnitt ist bekanntlich der zum Durchmesser des Punktes Q conjugierte Durchmesser parallel der Tangente t von Q. Also ist auch die Schnittgerade beider Tangentenebenen diesem conjugierten Durchmesser parallel.

Den Inhalt der Formel (5) wollen wir noch in dem Satze aussprechen:

Satz 40: Zwei Fortschreitungsrichtungen von einem Flächenpunkte P aus, die mit der ersten Hauptkrümmungsrichtung von F die Winkel u und ß bilden, sind dann und nur dann conjugiert, wenn

Ri

tg a tg ß = -

ist, wobei Bl und R₂ die Hauptkrümmungsradien von P bedeuten.

Nach Satz 11, S. 33, ist:

E + F{h + x) + G k x = 0

die Bedingung dafür, dass die beiden Richtungen {k = dv: du) und [x — Sv: du) auf einander senkrecht stehen, während wir oben die Formel:

L + M(h + x) + Nh x = 0

als Bedingung für conjugierte Richtungen erhalten haben. Sind beide Bedingungen erfüllt, so sind die zugehörigen Durchmesser der Indicatrix die Hauptaxen und die Richtungen (k) und (x) also die Hauptkrümmungsrichtungen. Hiermit sind die beiden Formeln (17) auf S. 117 geometrisch gedeutet. Also:

Satz 41: Die Hauptkrümmungsrichtungen eines Flächenpunktes sind die gleichzeitig zu einander senkrechten und zu einander conjugierten Fortschreitungsrichtungen des Punktes.

Bekanntlich sind die Asymptoten eines Kegelschnittes die zu sich selbst conjugierten Durchmesser. Sie ergeben sich hier durch die Annahme k — x. Also ist

L + 2 Mk + Nh² = 0

die Bedingung für die Richtung (k) einer Asymptote der Indicatrix oder, was dasselbe ist, einer Haupttangente (vgl. (2) auf S. 127). Also:

Satz 42: Die Haupttangenten eines Flächenpunktes sind diejenigen Tangenten, von denen jede zu sich selbst conjugiert ist.

Mithin auch:

Satz 43: Nur dann dreht sich die Tangentenebene eines Flächenpunktes um die Fortschreitungsrichtung des Punktes, wenn diese Richtung die einer Haupttangente ist.

Ist ein Flächenpunkt ein Nabelpunkt (S. 110), so ist die Indicatrix ein Kreis und die Bedingung für das Conjugiertsein identisch mit der für das Orthogonalsein. Deshalb ist auf der Kugel (vgl. Satz 6, S. 112) jede Tangente zu der zu ihr senkrechten Tangente desselben Punktes conjugiert.

Da die Asymptoten eines Kegelschnittes jedes conjugierte Durchmesserpaar harmonisch trennen, so ergiebt sich bei der Anwendung auf die Indicatrix ein flächentheoretischer Satz, den wir aber direct beweisen wollen:

Es seien Ax und A₂ die zu den Haupttangenten von P gehörigen Werte von dv:du, sodass

(für 1 = A: oder A₂)

(6)

L + 2 Ml -f- NI² = 0

ist. Ferner seien (A) und (x) zwei Richtungen, die von den Haupttangenten harmonisch getrennt werden. Nach Satz 46, S. 92, ist alsdann das Doppelverhältnis:

(vgl. I S. 332) oder

Aj Je    Je

2j    /o

Aj A₂ — \ (Aj -f- A₂) (k -f- %) -f- k x — 0 .

Da aber nach (6)

Ax A₂: (Ax -f- Aa): 1 = L : - 2M: N

ist, so kommt:

LJrM(li-\-x)JrNhx — 0

wie in (3). Somit:

Satz 44: Conjugierte Tangenten eines Flächenpunktes sind solche, die von den Haupttangenten des Punktes harmonisch getrennt werden.

Wir sprachen oben von den conjugierten Tangenten für den Fall einer abwickelbaren Fläche. Wir können nun eine beliebige Curve c auf einer nicht-abwickelbaren Fläche zu einer abwickelbaren, wie auf S. 152 geschah, in Beziehung bringen, da die Tangentenebenen längs c eine abwickelbare Fläche umhüllen. In jedem Punkte von c ist die Tangente von c sowohl auf dieser Fläche wie auf der nicht-abwickelbaren zur Erzeugenden der abwickelbaren Fläche, die ja auch Tangente ist, conjugiert. Daher:

Satz 45: Construiert man diejenige abwickelbare Fläche, die eine gegebene Fläche längs einer Curve c berührt, so ist in jedem Punkte von c die Tangente von c zur hindurchgehenden Erzeugenden der abwickelbaren Fläche conjugiert.

Wird eine Fläche durch eine solche Lichtquelle, die als ein Punkt L aufgefasst werden kann, beleuchtet, so ist die Schattengrenze auf der Fläche die Curve, in der die Fläche von demjenigen Tangentialkegel berührt wird, dessen Spitze L ist. Die Tangenten der Schattengrenze sind daher nach unserem Satze con-jugiert zu den jeweiligen tangierenden Lichtstrahlen. —

Es erübrigt nun, die oben angekündigte zweite Aufgabe zu behandeln, nämlich den unendlich kleinen Winkel zweier unendlich benachbarter Tangentenebenen zu bestimmen. Dieser Winkel ist derselbe wie der zweier unendlich naher Flächennormalen; und diesen untersuchen wir im nächsten Paragraphen.

§ 8. Unendlich benachbarte Normalen.

Um die geometrische Natur einer Stelle auf einer Fläche noch weiter zu erforschen, betrachten wir jetzt die Lagerung der unendlich vielen Normalen der Fläche, die einer Normalen unendlich benachbart sind.⁵ Dabei brauchen wir die Richtungscosinus X, Y, Z der Normalen und ihre Änderungen hei unendlich kleinen Änderungen der Parameter u, v, d. h. also ihre partiellen Differentialquotienten nach u und v.

Nach XI {E) ist:

¹

Nach Düpin, von dem diese Theorie überhaupt herrührt. Man vergleiche die Anmerkungen auf S. 99 und S. 127.

²

^ R-i    ⁶

hat, so brauchen wir nur die Beschränkung, dass § unendlich klein sein soll, aufzuheben, um in (1) die Gleichung des Paraboloids vor uns zu haben. Berücksichtigen wir den Satz 1, S. 105, so folgt:

³

In etwas anderer Fassung findet man diesen Satz in Salmon-Fiedler’s „Analytischer Geometrie des Raumes, II. Teil“, 3. Aufl., Leipzig 1880, S. 560.

⁴

Nach Dupin, siehe die Anm. auf S. 127.

⁵

   Die Beziehungen zwischen den Winkeln unendlich benachbarter Flächennormalen wurden von Bertrand zuerst genauer untersucht: „Memoire sur la theorie des surfaces“, Journal de Mathem. pures et appl., 1. serie, t. IX (1844), auch Comptes Rendus t. XVII (1843).

SM. = 0.

Nach (10), S. 106, ist ausserdem:

S xuXu = -L, SxvXu=-M.

Dies sind drei in Xu, Yu, Zu lineare Gleichungen, deren Determinante nach XI (Z) den Wert E hat. Mithin giebt ihre Auflösung mit Rücksicht auf XI (X):¹

(1)

GL)xu + [FL - EM)#J, Yu = ^ [(^ - G L)yu + {FL - EM)yv] , [{FM- G L) zu + {FL - EM) zj .

*U =

Ebenso lassen sich Xv, Yv, Zv berechnen. Bequemer finden wir sie aber aus (1), wenn wir u mit v, E mit G und L mit N vertauschen:

Xv = ±l(FN-GM)xu + (FM-EX)^-\,

pi [{EE - GM)yu + {FM - EN)yJ ,

Z, = ±l(FN-GM)zu + (FM-EH)z,-\.

Wir leiten hieraus sogleich noch einige nachher nützliche Formeln ab. Aus (1) und XI {Ä) folgt:

S X² = XD~ [{FM- GL)²E+2{FM- GL) {FL - EM) F+ {FL - EM)² G].

Multiplicieren wir alles aus, so heben sich mehrere Glieder, und es bleibt:

SXu² = ^[{EG - F²)GL² -2{EG - F²)FLM+ {EG — F²)E M²']

oder:

(2)

SXU² =

Analog kommt nach (2)

S E² =

iß)

(4)

GL² — 2 FLM+ EM²

D'²

EN²- 2FMN+ GL²

D²

Eine ähnliche Rechnung liefert nach (1) und (2):

GLM+ EMN - FM² - FLN

(5)

SXuXv =

D²

Mit Rücksicht auf die Werte von H und K in Satz 11, S. 119, können wir kürzer schreiben:

(6) S X ² = HL — KE, SXuXv = HM — KF, SXv²=EJV-KG.

Die Normale des Flächenpunktes F oder {x, y, z) oder {u, v) hat in den laufenden Coordinaten £, t), % die Gleichungen:

l — z + Zt,

ausgedrückt mittels eines Parameters t, der den (mit Vorzeichen

(?)

5 = x + Xt,

b= y + Et,

versehenen) Abstand des Punktes (f, ty, j) der Normalen von ihrem Fusspunkt (x, y, z) bedeutet. Analoge Bedeutung hat der Parameter r in den Gleichungen:

(8)

£ = x + d x + (X + dX) z, t)=y-\-dy + (Y+dY)z, ^ = z -J- d z -j- (yZ -(- d Z) z

der Normalen eines dem Punkte P oder (x, y, z) unendlich benachbarten Punktes Q oder (x + dx, y + dy, z + dz) der Fläche. Die zu Q gehörigen Flächenparameter seien u + du, v -f- dv.

Im allgemeinen werden die beiden Normalen (7) und (8) — wie überhaupt zwei unendlich benachbarte Geraden, vgl. I S. 270 bis 272, — einander nicht schneiden, sodass es ein Problem ist, ihren kürzesten Abstand AB zu bestimmen. (Siehe Fig. 56.)

Es fragt sich, welchen Parameterwert t bez. r der durch (7) bez. (8) dargestellten Punkt hat, wenn er einer der Endpunkte A bez. B dieses Abstandes ist. Da der Abstand zu den Normalen senkrecht ist, liegt er in der Ebene, die in dem Punkt A auf der ersten Normalen senkrecht steht und deren Gleichung in den laufenden Coordinaten £, ty, j so lautet:

~ x) + Y{ t) - y) + Z{i - z) = t.

Fig. 56.

Setzen wir hierin die Werte (8) ein, so ergiebt sich für den Punkt B auf der zweiten Normalen die Bedingung

S Xdx + S X(X + dX)r = t.

Wegen XI (Z7) und XI (/) kommt hieraus: r = t

Die beiden Endpunkte A und B des gesuchten kürzesten Abstandes gehören also zu einem und demselben, aber noch unbekannten Werte n von t und r. Dieser Wert muss so beschaffen sein, dass die Verbindende der beiden Punkte A und B oder (7) und (8) auch auf der zweiten Normalen senkrecht steht. Da diese Normale die Richtungscosinus X dX, F+ dl, Z + dZ hat, dagegen die Richtungscosinus der Geraden A B den Differenzen entsprechender Coordinaten (7) und (8) für t — z — n proportional sind, so ist zu fordern:

S [X + dX)[dx + dX • n) = 0 .

und also nach (12):

(16)

Wegen XI (H) und XI (/) reduciert sich diese Bedingung auf: S dXdx + S dX² -n = 0

und giebt:

(9)

S dXdx

SdX²

Hierin ist der Zähler:

% dXdx = S (Xu du + Xv dv) (xu du + xv dv) =

= S xu Xu du² + (S XU xv + S xv xj du dv + sxv xv dv²

oder nach (10), S. 106:

S dXdx = — (L du² + 2Mdudv + Ndv²).

Ferner hat der Nenner, nämlich:

S dX² = S {Xu du + dv)² = S X² du² + 2 S Xw ä; du dv + S X²dv², nach (6) den Wert:

(11) SdX² = H{Ldu²-\- 2 Mdudv -f- Ndv²) — K(Ndu²+ 2Fdudv-\- Gdv²),

(10)

sodass (9) giebt: (12) n =

L du² + 2 M du dv -f- N dv²

H{L du² + 2 Mdu dv + Ndv²) — lv{Edu² + 2 Fdu dv + G dv²)

Dies ist also der Abstand PA für denjenigen Punkt A, in dem der kürzeste Abstand der Normalen des Punktes P oder (u, v) von der Normalen des Punktes Q oder {u + du, v + dv) beginnt.

Ferner bezeichne dv den unendlich kleinen Winkel, den beide Normalen mit einander bilden. Nach (17), I S. 182, ist, da X, 7, Z die Richtungscosinus der einen und X + dX, Y + dY, Z + dZ die der anderen Normalen sind:

(13)

dv² = SdX²

also nach (11):

(14) dv² = H(Zdu²-\- 2Mdudv + Ndv²) — K(Edu²-\- 2Fdudv -f- Gdv²).

Da

ds² = E du² + 2 Fdu dv + G dv²

das Quadrat des Bogenelementes PQ ist, so folgt aus (14):

dv² + Kds²

(15)

L du² + 2 Mdudv + Ndv² =

Hn — 1

Endlich sei noch dn die Länge des kürzesten Abstandes AB beider Normalen. Da die Grössen (7) für t — n die Coordinaten von A und die Grössen (8) für r = n die Coordinaten von B sind, so ist:

(17) dxF = S(rf* + dX- nf = S dx² + 2nSdxdX + n²SdX².

(18)

Nach (10), (13), (15) und (16) folgt hieraus: d n \²

ds

En — 1

oder auch:

(19)

d n² + n²dv² = ds².

Zum besseren Verständnis möge die Fig. 57 dienen, in der PA die eine und QB die andere Normale bedeuten soll, also die Strecke PQ und ebenso der Winkel von PA und QB als unendlich klein aufzufassen ist. Zieht man durch B die Parallele BC zu AP und macht sie gleich AP, so steht PC\\AB auf PA und QB und deshalb auch auf der Ebene QBC senkrecht. Das Dreieck PQC hat also in C einen rechten Winkel, sodass:

PC² + CQ² = PQ²

Fig. 57.

ist. Da CQ die Projection von PQ auf die Ebene QBC ist und -PQB nur um unendlich wenig von einem rechten Winkel abweicht, weil QB die Normale von Q ist, so weicht auch 4~CQB nur unendlich wenig von einem rechten ab. "Weil ferner ^cQBC—dv und CB = PA = n ist, so ist also — abgesehen von unendlich kleinen Gliedern höherer Ordnung:

CQ — ndv.

Ausserdem ist PC = AB = du und PQ = ds. Setzen wir diese Werte in die obige Gleichung ein, so geht wieder die Formel (19) hervor.

Die Richtungscosinus des kürzesten Abstandes A B sind nach S. 160 proportional

dx-{-ndX, dy-\-ndY, dz-\-ndZ.

PC ist die zu dem kürzesten Abstand AB parallele Fortschreitungs-richtung auf der Fläche. Längs ihrer mögen u und v um §u und § v wachsen. Dann müssen die eben angegebenen Grössen den drei anderen:

xu8u + xvÖv,

zuSu + zv8v

yu öu + Vv⁸ v >

proportional sein. Es giebt also einen Factor q (u, v) derart, dass: xu du + xv Sv = q [(*„ + nXy) du + (xv + n Xv) dv] ,

du Su + Vvdv = ? [(y„ + n Yu) du + (y„ + n Yv) dv\ , zuön + zv8v = o [{zu + nZj du + (zv + nZv) dv]

ist. Mnltiplicieren wir die drei Gleichungen mit X, Y, Z und addieren sie, so geht wegen X (H) und X (/) eine Identität hervor. Es liegen also thatsächlich höchstens zwei von einander unabhängige Gleichungen vor. Um sie umzuformen, multiplicieren wir die drei Gleichungen mit Xu, Yu, Zu bez. Xv, Yv, Zv und addieren sie jedesmal. Nach (10), S. 106, kommt dann:

—    L du — MÖv = q [— L du — Mdv + n (S Xu² du + S Xu Xv dv)] ,

—    Mdu — N dv = q [— Mdu — N dv + n (8 Xu Xv du + S X² dv)].

Um die Hülfsgrösse q zu eliminieren, multiplicieren wir die erste Gleichung mit du und die zweite mit dv. Addieren wir sie dann, so wird nämlich die rechte Seite wegen (6) und (12) gleich Null, sodass bleibt:

L du du + M (idu dv + dv du) + Ndv dv = 0 .

Nach Satz 39, S. 155, heisst dies: Die Richtung (dv.du) ist zur Richtung (dv.du) conjugiert. Mithin, da die Richtung dv.du die von PC oder AB in Fig. 57 ist:

Satz 46: Geht man von einem Flächenpunkt P zu einem unendlich benachbarten Q über, construiert die Normalen beider und den kürzesten Abstand der Normalen, so ist die Richtung dieses kürzesten Abstandes dieselbe wie die zu PQ conjugierte Fortschreitungsrichtung auf der Fläche.

Man hätte dies auch aus Satz 38 und Fig. 55 auf S. 155 geometrisch folgern können, denn die Schnittlinie der Tangentenebenen von P und Q ist zu beiden Normalen senkrecht und hat also die Richtung des kürzesten Abstandes beider Normalen.

Oben erkannten wir im Anschluss an (8), dass die Normale des Punktes Q die zur Tangentenebene von P im Abstande t parallele Ebene in demjenigen Punkte trifft, dessen Coordinaten durch (8) für r = t gegeben werden.

Nehmen wir jetzt t irgendwie bestimmt an, während wir die Incremente d u und d v beliebig lassen, so geben nach (8) die Gleichungen

£ = x +    xu du +    xv dv +    (X + Xu du    + Xv dv) t,

(20)

9 =y +    yudu +Vvdv +    (r + Yndu    + Yvdv)l>

l — z +    zudu +    zvdv +    [Z + Zu du    -f- ZV dv) t

die Schnittpunkte (£, t), 5)    jener Parallelebene    mit den unendlich

vielen Normalen an, die der Normalen von F unendlich benachbart sind. Da hier zwei willkürliche, wenn auch unendlich kleine Grössen du und dv auftreten, so folgern wir, dass alle diese Schnittpunkte innerhalb eines unendlich kleinen Flächenstücks auf der Ebene liegen, das sich im allgemeinen nicht auf ein Curvenelement reducieren wird. Anders gesagt: Wenn die Normale von P die Parallelebene etwa in N trifft, so wird durch jeden Punkt der Parallelebene, der zu N unendlich benachbart ist, eine unendlich benachbarte Normale gehen.

Dies wird nur dann nicht der Fall sein, wenn die drei Functionen (20), aufgefasst als Functionen von du und dv. von einander abhängig sind, oder auch, da sie linear in du und dv sind, wenn die Coefficienten von du denen von dv proportional sind:

(21)

•Tu ~t" Am t _ yu Yu t _ %u -f- Zu t

xv + Xvt ~ yv + Yvt ~ xv + Zvt ’

denn dann kann man die Gleichungen (20) — sobald man diese drei Brüche mit 1 : q bezeichnet — so schreiben:

£ = x + Xt -f (xu + Xu t) (du -f g dv),

(22)

b = y + Yt + (yu + Yuf) {du + gdv),

l — z + Z t + (zu + Zu t) (du -j- p dv).

Sie enthalten dann die Veränderlichen du und dv nur in der Verbindung du + gdv, die linear auftritt, sodass alle diese Punkte (£,    5) alsdann eine Gerade erfüllen. Indem wir die Forderung,

dass alle drei Brüche (21) denselben Wert 1: p haben sollen, etwas anders schreiben, erkennen wir also Folgendes:

Nur dann, wenn man zwei Grössen t und p so bestimmen kann, dass

(23)

zv + Xvt= o (xu + Xu t),

yv + Yvt== Q(yu + YJ)»

Zv + Zv * = Q (Zu + Zu 0

wird, schneiden alle diejenigen 00² Normalen, die den Normalen von P unendlich benachbart sind, die zur Tangentenebene von P parallele und von ihr um die Strecke t entfernte Ebene in einer Geraden. Diese Gerade geht alsdann von dem Punkte N aus, in dem die Parallelebene die Normale von P schneidet, und hat nach (22) Richtungscosinus proportional

Xu + XU G Vu + Xu G zu + Zu t'

Nun ist es in der That möglich, die Gleichungen (23) durch passende Werte von t und q zu befriedigen. Wenn wir nämlich die Gleichungen (23) mit X, Y, Z multiplicieren und dann addieren, so geht nach XI (.U) und XI (/) eine Identität hervor. Thatsächlich liegen also nur zwei Bedingungsgleichungen vor. Diese können wir in bequemerer Form schreiben, indem wir die Gleichungen (23) das eine Mal mit xu, yu, zu und das andere Mal mit xv, yv, zv multiplicieren und dann jedesmal addieren. Dann kommt nach XI (A) und nach (10), S. 106:

F — Mt = q{E — Lt),

G- Nt = q(F - Mt).

Elimination der Hülfsgrösse q führt zu der Gleichung:

{LN- M²) t² - {FN-2 FM+ GL)t + {EG - F²) = 0, die nach (20), S. 118, aussagt, dass t gleich einem der beiden Hauptkrümmungsradien Rx, P₂ sein muss, vorausgesetzt, dass überhaupt Hauptkrümmungsradien vorhanden sind. Dies ist nach S. 115 nicht der Fall, wenn die Fläche eine Schar von Minimalgeraden enthält; vgl. den damaligen Satz 10. In diesem Ausnahmefall hat die quadratische Gleichung für t eine Doppelwurzel, denn die Bedingung (10) auf S. 114 für eine derartige Fläche kann ja auch so geschrieben werden:

4 {EG - F²) {L N — M²) — {EN — 2FM + G L)² = 0.

Man sieht also, dass diese besonderen Flächen eine besondere Betrachtung verlangen würden. Daher sehen wir von jetzt an von den Flächen mit einer Schar von Minimalgeraden ab.

Alsdann können wir sagen: Die Flächennormalen, die der des Punktes P unendlich benachbart sind, schneiden nur zwei zur Tangentenebene von P parallele Ebenen in Geraden, nämlich die Ebenen durch die beiden Hauptkrümmungsmittelpunkte Cj und C₂ von P. In jeder dieser Ebenen giebt es eine Gerade gx bez. g₂ durch Cj bez. C₂, die von allen oo² unendlich benachbarten Normalen getroffen wird.

Die Richtungscosinus der Geraden gx sind proportional

Vu + Yu » Zu + Zu^\

oder nach (1) proportional drei Grössen, von denen die erste diese ist:

{DG — F²) xu + {FM -G L) Bx xu + {FL - DM) Rx xv

und die beiden anderen durch cyklische Vertauschung von x, y, z aus ihr hervorgehen. Zur Vereinfachung dieser Grössen gehen wir auf die Formeln für die Hauptkrümmungen zurück. Sind kx und k2 die Werte von dv.du für die beiden Hauptkrümmungsrichtungen, so ist nach (18), S..117:

*i =

M + kxN

Setzen wir diesen Wert ein, so finden wir, dass die Richtungscosinus der Geraden g₁ drei solcher Grössen proportional sind, von denen die erste den Wert hat:

[G {DM- FL) + kx G {DN - G L) - kx F{FN - G M)~\ xu -

-{DM-FL){F+kx G)xv

und die beiden anderen durch cyklische Vertauschung hieraus hervorgehen. Nach (16), S. 117, ist jedoch:

2>

DM — FL — {FN — GM)kxk DN - GL = -{FN- GM){kx + k₂).

Setzen wir diese Werte ein, so kann bei den drei Grössen ein gemeinsamer Factor gestrichen werden, sodass sich ergiebt, dass die Richtungscosinus von gx den drei Grössen:

xu +

Vu + k2dv>

Zu + k‘2 Zv

proportional sind. Diese Grössen sind aber andererseits proportional den Richtungscosinus der zweiten Hauptkrümmungstangente von P. Entsprechende Schlüsse machen wir hinsichtlich der Geraden g₂. Daher kommt:

Satz 47:² Liegt eine Fläche vor, die keine Schar von oo² Minimalgeraden enthält, so schneiden die Normalen, die der Normalen des Flächenpunktes P unendlich benachbart sind, sämtlich zwei Geraden gx und g₂, von denen

die erste durch den ersten Hauptkrümmungsmittelpunkt C1 von P geht und der zweiten Hauptkrümmungstangente von P parallel ist, während die zweite durch den zweiten Hauptkrümmungsmittelpunkt C₂ von P geht und der ersten Hauptkrümmungstangente von P parallel ist.

9a

Fig. 58.

Fig. 59.

Siehe Fig. 58 für einen elliptischen und Fig. 59 für einen hyperbolischen Punkt.

Zugleich hat sich noch ergeben:

Satz 48: Die Richtungscosinus der ersten Hauptkrümmungstangente eines Flächenpunktes (u, v) sind proportional:

oder:

Xu + Xu    Vu + Yu t Zu + Zu ]'2

Xv +    yv + Zv X2 ’ Zv + Zv 2

und die der zweiten Hauptkrümmungstangente proportional:

oder:

*u + XuR

i’

Zv + ZvRV

Vorausgesetzt ist dabei, dass die Fläche keine Schar von oo¹ Minimalgeraden enthält.

Wir hatten zwar nur das Eine bewiesen, dass

XV + XVXi>    yv + Xv R

i»

proportional den Richtungscosinus der zweiten Hauptkrümmungs-tangente sind, aber das Übrige folgt durch Vertauschung der beiden Hauptkrümmungen und durch Vertauschen der beiden Parameter u und v.

Man erkennt aus dem Satze 47, dass die Gesamtheit der oo2 Normalen einer (nicht - abwickelbaren) Fläche die besondere Eigentümlichkeit hat, dass alle einander unendlich benachbarten Normalen zwei zu einander zwar windschiefe, aber senkrechte Geraden schneiden. Hieraus können wir den Schluss ziehen, dass nicht jede Schar von oo² Geraden als die Schar der Normalen einer Fläche aufgefasst werden kann. Denn es giebt hiernach z. B. keine Fläche, deren Normalen sämtlich zwei zu einander windschiefe Geraden schneiden.

Um aus unseren Formeln weitere geometrische Schlüsse zu ziehen, empfiehlt sich wieder die Einführung des Coordinatensystems (£, t), g), dessen Axen das begleitende System des Punktes F bilden (vgl. S. 133). Dabei werden dann £ und t) selbst als Parameter benutzt. Die Fundamentalgrössen des Punktes F haben alsdann die Werte:

@=1,    5 = o,

s = ü_ = o,

während nach (23), S. 118:

H=z R, ⁺ R, ist, sodass die Formel (12) die Gestalt annimmt:

■Jjr d S* + -fir d t)²    cos² tp + ~ sin² cp

d ?2 + d 1)2    cos2 ⁹ + Ft*sin2 ^

wenn ep den Winkel bezeichnet, den die Richtung {dty:d£) mit der ersten Hauptkrümmungstangente von F bildet. Ferner giebt (14):

(^)!=^cos2? ⁺ :fi?sinV

Diese Formel erinnert an die Formel des Satzes 21, S. 135, mittels deren die Krümmung eines beliebigen Normalschnittes des Flächenpunktes F bestimmt wird. Doch standen in jener Formel rechts und i?₂ statt is^² und F₂². Wir können daher hier eine analoge geometrische Veranschaulichung wie auf S. 135 u. f. be-

© = 1; ^ = 4-

RF

l l Ri R₂

(24)

(25)

n --

nutzen: Auf der Richtung, die mit der ersten Hauptkrümmungsrichtung den Winkel cp bildet, tragen wir als Radiusvector den reciproken Wert von dv:ds auf. Dabei ist zu beachten, dass im Fall einer reellen Fläche der Winkel dv ebenso wie das Bogenelement ds als wesentlich positiv aufzufassen ist. Die Endpunkte der Radienvectoren bilden dann in der fty-Ebene den Kegelschnitt:

t)²

Rx² ' R*

der im reellen Fall eine Ellipse ist, die aber nicht mit der Ellipse auf S. 136 verwechselt werden darf, da sie die absoluten Werte der beiden Hauptkrümmungsradien, nicht aber die Wurzeln daraus zu Halbaxen hat. Also:

Satz 49: Trägt man auf jeder Fortschreitungsrichtung auf einer Fläche von einem Punkte P aus den Quotienten aus dem Bogenelement ds und demjenigen unendlich kleinen Winkel dv auf, um den sich bei der Zurücklegung dieses Bogenelementes ds die Richtung der Flächennormale ändert, so bilden die Endpunkte der Radienvectoren einen Kegelschnitt, dessen Halbaxen auf den Hauptkrümmungstangenten von P liegen und die absoluten Werte der beiden Hauptkrümmungsradien von P als Längen haben. Im reellen Fall ist der Kegelschnitt eine Ellipse. Vorausgesetzt ist hierbei, dass die Fläche keine Schar von oo³ Minimalgeraden enthalte.

Sind cpx und cp₂ die Winkel, die zwei zu einander senkrechte Fortschreitungsrichtungen mit der ersten Hauptkrümmungsrichtung von P bilden, so ist cos²<jp₂ = sin²^ und sin²^ = cos²^, sodass nach (25) für die beiden zu diesen Richtungen gehörigen Werte

von der Satz hervorgeht:

Satz 50: Geht man von einem Flächenpunkte P aus nach zwei zu einander senkrechten Richtungen um unendlich kleine Bogenelemente dsx und ds₂ weiter, so genügen die unendlich kleinen Winkel dvx und dv₂, um die sich zugleich die Richtung der Flächennormale ändert, der Gleichung:

d y₂ \2 ds₂ )

Rd ⁺ Rd ’

wenn Px und U₂ die Hauptkrümmungsradien von P sind, die Fläche also keine Schar von oo³ Minimalgeraden enthält.

Gehören dagegen cp₁ und cp₂ zu conjugierten Richtungen, so ist nach Satz 40, S. 156:

RA

Rx

tg³ 4 5 cpl • tg⁴ <p₂ =

Nun lässt sich tg⁴gc aus (25) leicht berechnen. Setzen wir dann die Werte von tg⁴^., und tg⁴ cp₂ hier ein, so ergiebt sich ohne Mühe:

Satz 51:¹ Geht man von einem Flächenpunkte nach conjugierten Richtungen um die Bogenelemente ds₁ und ds2 fort, so genügen die unendlich kleinen Winkel dv₁ und dv₂, um die sich dabei die Richtung der Flächennormale ändert, der Gleichung:

dv ₂ \2 d s₂ /

d vx d Sj

U rJ ’

wobei vorausgesetzt ist, dass die Fläche keine Schar von oo¹ Minimalgeraden enthalte.

Die Formel (24) kann auch so geschrieben werden:

(26)

n — Bt

n — R₂

R-2

tg⁴ cp.

Ist ip der Winkel, den der kürzeste Abstand AK der beiden Normalen PA und QB (siehe Fig. 57, S. 162) mit der Richtung der ersten Hauptkrümmung von P macht, so ist nach Satz 46 und nach dem schon soeben citierten Satz 40, S. 156:

(27)

tg cp • tg y = -

Ri

Ri ’

sodass wir (26) auch so schreiben können:

n — Rx

(28)

= — ctg⁴ 'Ip .

Wollen wir jetzt ausser der bestimmt gewählten Flächennormale PA alle unendlich benachbarten ins Auge fassen, so haben wir cp oder tp alle möglichen Werte zu geben. Zu jedem Werte von xp gehört ein kürzester Abstand A B. Die Gesamtheit aller kürzesten Abstände bestimmt eine Schar von oo¹ Geraden, also eine geradlinige Fläche, deren Erzeugende die Normale PA oder die §-Axe senkrecht schneiden und zwar in Punkten A, deren Abstände n von P nach

(28)    als Functionen derjenigen Winkel 7p bestimmt werden, die diese Geraden mit der Richtung der ersten Hauptkrümmung von P, also mit der £-Axe, bilden. Es kommt nach (28):

n —    + P%)    \ {P\    P%)cos

sodass in den laufenden Coordinaten £, ty,

(29)    l = t cos 7p, ty = tsm7p,    L(i?x+7?₂)-^-(A₁ — A₂)cos2^ die Gleichungen einer dieser Geraden AP sind, ausgedrückt mittels eines Parameters t. Bleiben t und 7p willkürlich, so liegt hier eine analytische Darstellung jener geradlinigen Fläche vor. Durch eine Betrachtung, die ähnlich der auf S. 149 ist, folgern wir hieraus:

Satz 52: Die Geraden der kürzesten Abstände einer bestimmten Flächennormale von den ihr unendlich benachbarten Normalen bilden ein Cylindroid.

K <N

7P =

Aus (28) erkennt man sofort: Im reellen Fall liegen die verschiedenen Endpunkte A der kürzesten Abstände, da PA — n ist, zwischen den Punkten, für die n = Px und n — R₂ ist, d. h. zwischen den beiden Hauptkrümmungsmittelpunkten Cx und C₂ von P. Für und 7p = 0 ergeben sich die beiden äussersten Lagen n = und n == i?₂. Dabei ist nach (27) der Winkel cp — 0 bez.

cp =

ersten Hauptkrümmungsmittelpunkt Cx und ist zur zweiten Hauptkrümmungsrichtung von P parallel, und bei der Geraden für cp = -ist es umgekehrt. Hieraus folgt, dass diese beiden Geraden die oben (in Fig. 58 und 59) mit gx und g₂ bezeichneten Geraden sind.

• Die zu cp — 0 gehörige Gerade A B geht also durch den

Noch erwähnen wir: Für cp — 0 oder cp = n = bez. P₂ noch aus (25):

dv\²

ergiebt sich ausser

¹

   Diese Formeln finden sich implicite bei Weingarten, „Über eine Classe auf einander abwickelbarer Flächen“, Journ. f. d. reine u. angew. Math. 59. Bd. (1861), während sie für specielle Parametercurven schon früher Vorkommen.

²

Siehe Ch. Stürm, „Memoire sur la theorie de la vision“, Comptes Rendus (1845).

³

Diesen Satz finden wir ausdrücklich formuliert bei Kommerell, „Ver

⁴

allgemeinerung des ENNEPER’sehen Satzes von der Torsion der Asymptotenlinien“, Math.-naturw. Mitteilungen in Württemberg, 2. Serie,

⁵

Bd. (1901).

Bi

bez- w

und also nach (19) noch dn = 0. Dies bedeutet: In diesem Falle giebt es zwischen den beiden unendlich nahen Normalen einen unendlich kleinen Abstand von höherer Ordnung als ds. Dann also schneiden die beiden Normalen einander. (Vgl. I S. 272, 273.) Dies hätten wir auch aus Satz 47 folgern können. Wir können dies Ergebnis so formulieren:

Satz 53: Eine Flächennormale schneidet eine unendlich benachbarte nur dann, wenn der Fusspunkt der letz-

teren auf einer Hauptkrümmungsrichtung des Fusspunktes der ersteren liegt, und zwar ist der Schnittpunkt alsdann

der zugehörige Hauptkrümmungsmittelpunkt. Dabei ist vorausgesetzt, dass die Fläche keine Schar von oo¹ Minimalgeraden enthalte.

Es ist gut, sich dies geometrisch mit Hülfe der Indicatrix klar zu machen. In Fig. 60 sei P ein Flächenpunkt. Zu seiner Tangentenebene parallel legen wir eine Ebene in unendlich kleinem Abstand. Sie schneidet die Fläche nach S. 139 in der Indicatrix von P. In der Figur ist als Indicatrix eine Ellipse gewählt. Die Nor-

P\

JP

Fig. 60.

<s

\,

\,

r<5

Fig. 61.

Fig. 62.

male von P geht durch die Mitte M der Indicatrix. Ist Q irgend ein Punkt auf der Indicatrix, so ist die Indicatrixtangente von Q zugleich Flächentangente. Da der Kegel, der die Fläche längs der Indicatrix berührt, nach Satz 30, S. 143, seine Spitze S in dem Punkte auf der Verlängerung von PM über P hinaus hat, für den PS doppelt so gross wie PM ist, so geht eine Flächentangente des Punktes Q nach dieser Stelle S. Jetzt haben wir zwei Tangenten von Q construiert. Auf beiden muss die Normale von Q senkrecht stehen.

Wenn nun diese Normale die Normale von P schneiden soll, so muss QM ihre Projection auf die Ebene der Indicatrix sein, sodass QM auf der Indicatrixtangente von Q senkrecht stehen muss. Dies aber tritt nur in den Scheiteln der Indicatrix ein, d. h. wenn Q auf einer Hauptkrümmungsrichtung von P liegt. So kommen wir wieder zu Satz 53.

In den Figuren 61 und 62 haben wir versucht, von der Lagerung der Normalen längs der Indicatrix eine Vorstellung zu geben. In Fig. 61 ist als Indicatrix eine Ellipse, in Fig. 62 eine Hyperbel gewählt. Doch hat man sich die Axen dieser Kegelschnitte, verglichen mit den Entfernungen PC₁ und PC₂, unendlich klein zu denken. Es sind die Geraden construiert worden, die ausser der Indicatrix noch die Geraden gx und g₂ treffen.

§ 9. Krümmungscurven und Haupttangentencurven.

Bisher haben wir unsere Betrachtungen immer auf die Umgebung eines beliebig gewählten Punktes (u, v) der Fläche beschränkt. Wir dehnen sie jetzt auf die ganze Fläche aus. Sind wie immer F, F, G und L, MN die Fundamentalgrössen der Fläche, so haben wir im Punkte (u, v) drei Paare von Richtungen (k) als besonders ausgezeichnet kennen gelernt:

Erstens die Minimalrichtungen, für die

E + 2 Fk + GP = 0

ist (vgl. S. 35), zweitens die Hauptkrümmungsrichtungen, für die {EM- FL) - (GL - FN)k + (.FN- GM)P = 0

oder:

ist (vgl. S. 116), drittens die Haupttangentenrichtungen, für die L + 2 Mk + NP = 0

ist (vgl. S. 127). Schreiben wir dv.du für k, so liegen die drei Gleichungen vor:

(1)

Edu² -f 2 Fdudv + Gdv² = 0

d v²

(2)

— dudv F M G N

=--0,

du²

(3)

Ldu² + 2 Mdudv + Ndv² = 0.

Jede ist nach Satz 5, S. 13, als ein Paar von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung in u und v aufzufassen und definiert zwei Scharen von je oo¹ 2 Curven. Die durch (1) definierten Curven sind die schon öfters erwähnten Minimal curven der Fläche.

Die durch (2) definierten beiden Scharen von je oo¹ Curven heissen die Krümmungscurven der Fläche¹ und die durch (3) definierten beiden Scharen die Haupttangentencurven oder asymptotischen Curven der Fläche.²

Durch jeden allgemein gewählten Flächenpunkt (m, v) gehen zwei Minimalcurven, zwei Krümmungscurven und zwei Haupttangentencurven. Ihre Richtungen daselbst sind die Minimalrichtungen, die Hauptkrümmungsrichtungen und die Haupttangentenrichtungen. Die Minimalcurven sind stets imaginär, die Krümmungscurven auf reellen Flächen nach S. 117 stets reell und die Haupttangentencurven auf reellen Flächen an den hyperbolischen Stellen reell, an den elliptischen imaginär, nach S. 130.

Stillschweigend haben wir vorausgesetzt, dass der allgemeine Flächenpunkt zwei Hauptkrümmungsrichtungen habe. Da es jedoch nach S. 120 Flächen giebt, die nirgends solche haben, nämlich die Flächen mit einer oder zwei Scharen von Minimalgeraden, so müssen wir uns fragen, wie wir auf diesen die Krümmungscurven und Haupttangentencurven definieren wollen.

Bezüglich der Krümmungscurven bleiben wir stets bei der Definition durch die Gleichung (2). Enthält die Fläche zwei Scharen von Minimalgeraden, ist sie also nach Satz 9, S. 113, eine Kugel, so sind die Fundamentalgrössen L, M, A⁷ nach (3), S. 110, den Fundamentalgrössen F, F, G proportional, sodass die Gleichung (2) zur Identität wird. Daher ist jede beliebige Curve auf der Kugel, insbesondere in der Ebene, eine Krümmungscurve. Enthält die Fläche nur eine Schar von Minimalgeraden, ist sie aber nicht die Tangentenfiäche einer Minimal-curve, so ist, wenn wir die krummen Minimalcurven als Parameterlinien (u) und die geraden Minimalcurven als Parameterlinien (v) benutzen, nach Satz 7, S. 113:

F=G = E = 0, F^ 0, Z^O, sodass (2) ergiebt: dv² = 0. Hier also fallen die beiden Scharen von Krümmungscurven in die Schar der Minimalgeraden (v) zusammen. Ist endlich die Fläche die Tangentenfläche einer Minimal-curve, so verlieren L, M, N nach S. 107 ihre Bedeutung, d. h. bei solchen Flächen sprechen wir überhaupt nicht von Krümmungscurven.

Nach Satz 53, S. 171, haben die Krümmungscurven auf einer Fläche von allgemeiner Art die Eigenschaft, dass die Flächennormalen, die von zwei unendlich benachbarten Punkten der Curve ausgehen, einander stets schneiden, dass also die Normalen der Fläche längs einer Krümmungscurve eine abwickelbare Fläche bilden. Diese Eigenschaft kann man direct zur Definition der Krümmungscurven benutzen. Denn die Normale des Punktes (u, v)

£ = x + X t, b = y + Yt, i = z + Zt

schneidet die Normale des unendlich benachbarten Punktes (u + du, v + dv):

£ = x -j- d x -j- (A -f- d A) t}

9 ⁼⁼ y + dy + (Y + d Y) t, ^=z-\-dz-\-{Z-\-dZ)t nach (5) in I S. 272 dann und nur dann, wenn:

dx

Z dX

(4)

dy

Y d Y = 0 Z dZ

ist. Multiplicieren wir diese Gleichung mit der nach XI \L) nicht verschwindenden Determinante

indem wir Reihe mit Reihe multiplicieren, so kommt

S xudx S xu X S xudX S xv d x SxvX S xvd X =0.

S Xdx SX² SXdX

Aber es ist nach XI (A)

S xy d x = S xu [xu du + xv d v) = E du + Fd v

u. s. w., ferner S xu X = 0, S xv X = 0 nach XI (I), weiterhin nach (10), S. 107.

S xu dX — S xu (Xu du + Xydv) — — I du — Mdv u. s. w., sodass kommt:

= 0.

Fdu + Fdv Ldu-\-Mdv Fdu + Gdv Mdu-\-Ndv

Aber dies ist die Gleichung (2). Daher:

Satz 54: Die Krümmungscurven einer Fläche sind diejenigen Curven der Fläche, längs deren die Flächennormalen eine abwickelbare Fläche bilden.

Dies gilt auch für die Flächen mit Scharen von Minimal

geraden.

Zugleich hat sich ergeben, dass die Differentialgleichung (2) auch in der Form (4) geschrieben werden kann.

Die Bedingung für eine Krümmungscurve kann noch anders ausgesprochen werden: Schreiben wir in der Determinante (4) statt der ersten Zeile die Summe der bez. mit X, 7, Z multiplicierten ersten, zweiten und dritten Zeile, so kommt wegen SA²=1, S XdX= 0, S Xdx = 0: oder:

dY dZ

dz

dy

Ebenso kommt, dass dieser Bruck gleich dX:dx ist. Also ist längs einer Kriimmungscurve

dX dY dZ dy

Umgekehrt ziehen diese Relationen die Gleichung (4) nach sich. Daher:

Satz 55: Die Krümmungscurven einer Fläche sind diejenigen Curven, längs deren die Incremente der rechtwinkligen Punktcoordinaten proportional den Incrementen der Richtungscosinus der Normalen sind.

Sind auf der Fläche in einem allgemein gewählten Punkt zwei Hauptkrümmungsrichtungen vorhanden, so stehen sie nach Satz 11, S. 119, auf einander senkrecht. Im allgemeinen also bilden die Krümmungscurven ein Orthogonalsystem. Wir haben uns zu fragen, wie es hiermit in den Ausnahmefällen steht: Enthält die Fläche eine Schar von Minimalgeraden und eine Schar von krummen Minimalcurven, so fallen, wie wir vorhin sahen, beide Scharen von Krümmungscurven in die Minimalgeraden zusammen. Aber nach Satz 47, I S. 338, können wir sagen, dass jede Minimalgerade auf sich selbst senkrecht steht, mithin auch, dass die Orthogonalität der Krümmungscurven auch jetzt statt hat. Wenn die Fläche zwei getrennte Scharen von Minimalgeraden enthält und demnach eine Kugel oder insbesondere eine Ebene ist, so ist, wie wir sahen, jede Curve eine Krümmungscurve, also können wir auch hier Orthogonalsysteme von Krümmungscurven bilden; es giebt ihrer aber unendlich viele.

Liegt insbesondere eine abwickelbare Fläche vor, die natürlich nicht die Tangentenfläche einer Minimalcurve sein soll, so fallen überall nach Satz 20, S. 132, die beiden Haupttangenten in die Erzeugenden, und deshalb sind nach Satz 23, S. 135, die Krümmungscurven der einen Schar diese Erzeugenden selbst. Die der anderen Schar sind die orthogonalen Trajectorien c der Erzeugenden, d. h. nach Satz 16, I S. 296, die Filarevolventen der Gratlinie. Nach Satz 54 also bilden die Flächennormalen längs einer jeden dieser Trajectorien c eine abwickelbare Fläche.

Dies Ergebnis ist aber nur ein specieller Fall des Satzes 29, I S. 316, nach dem auch diejenigen Geraden, die längs einer orthogonalen Trajectorie c diese Curve c senkrecht schneiden und einen nicht notwendig rechten, aber constanten Winkel mit den Erzeugenden bilden, auf einer abwickelbaren Fläche liegen.

Aus diesem Satze können wir einen anderen über Krümmungscurven ableiten:

Es seien zwei Flächen Fy und P₃ gegeben, die einander längs einer Curve c unter constantem Winkel u schneiden, sodass also in jedem Punkte P von c die Normalen nx und n₂ beider Flächen denselben Winkel a mit einander bilden. Ist dann c eine Krümmungscurve auf der einen Fläche, auf Fv so bilden die Normalen ^

Scheffeks, Geom. Diffr. II.

nach Satz 54 eine abwickelbare Fläche. Auf dieser Fläche ist c eine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden nv Nun schneiden die Geraden n₂ als Normalen von F₂ die Curve c ebenfalls senkrecht; da sie ausserdem mit den Geraden nx den constanten Winkel a bilden, so folgt nach dem soeben angegebenen Satze: Die Normalen n2 der zweiten Fläche F₂ längs c bilden auch eine abwickelbare Fläche. Nach Satz 54 folgt hieraus: Die Curve c ist auch auf F₂ eine Krüm-mungscurve. Daher:

Satz 56: Schneiden zwei Flächen einander längs einer Curve unter constantem Winkel und ist die Curve auf der einen Fläche eine Krümmungscurve, so ist sie es auch auf der anderen.

Um dies auch analytisch zu beweisen, bezeichnen wir die Richtungscosinus der Normalen auf der einen Fläche Fx mit Xx, Yv Zx, auf der anderen Fläche F₂ mit X₂, Y₂, Z₂. In einem Punkte (x, y, z) der Schnittcurve c beider Flächen sollen nach Voraussetzung die Normalen einen constanten Winkel a bilden, d. h.:

SXxX₂ = cos a.

Wenn wir also längs der Schnittcurve c fortsclireiten, so muss S XxdX₂ + SX₂dXx = 0

sein. Ist nun c auf Fx eine Krümmungscurve, so sind dXx, dYx, dZ} nach Satz 55 proportional dx, dy, dz, sodass sich S X₂dXx nur um einen Factor von S X₂dx unterscheidet. Diese Summe aber ist gleich Null, da die Richtung (X₂: F₂: Z₂) auf der Tangentenrichtung (dx:dy:dz) von c senkrecht steht. Unsere Gleichung giebt also:

S Xx d X₂ = 0.

Ausserdem ist wegen S X₂² = 1 auch:

S X₂ dX₂ = 0 .

Andererseits ist, weil die Normalen auf den Tangenten von c senkrecht stehen:

S X₉ d x = 0 .

S Xx d x = 0,

Also folgt, dass dx, dy, dz denselben beiden linearen homogenen Gleichungen genügen wie dX₂, d,Y₂, dZ₂. Mithin sind die einen Incremente den anderen längs c proportional, d. h. nach Satz 55 ist c auf F₂ eine Krümmungscurve.

Wir können diese Schlussfolgerung umkehren: Es werde vorausgesetzt, dass die beiden Flächen Fx und F₂ einander in einer

Curve c schneiden, die auf beiden Flächen Krümmungscurve ist. Nach Satz 55 sind dann längs der Schnittcurve c sowohl die Incremente dXx, dYx, dZx als auch die Incremente dX,₂, dY₂, dZ₂ proportional dx, dy, dz. Da aber Sljrfx = 0 und SXic?^’ = 0 ist, so folgt also:

also auch:

oder:

S Jj dX₂ = 0, S X₂ d Xx = 0,

S X₁ dX₂

S Xa X₂ = Const.

Somit:³

und zwar längs c.

Satz 57: Schneiden zwei Flächen einander längs einer Curve, die auf beiden Flächen eine Krümmungscurve ist, so bilden sie längs der Curve einen constanten Winkel mit einander.

Aus der Proportionalität von dX₁, dY₁, dZ₁ mit dx, dy, dz darf nicht ohne weiteres auf die Gleichwertigkeit der Gleichungen S X₂dXx =0 und S X₂dx — 0 geschlossen werden, sobald dXx, dYv d Zx alle drei gleich Null sind, weil dann der Proportionalitätsfactor gleich Null ist. Dieser Fall tritt nur dann ein, wenn längs der Schnittcurve c die eine Fläche constante Stellung hat, d. h. wenn c der senkrechte Querschnitt eines Cylinders und somit eben ist. Da alle Curven in einer Ebene Krümmungscurven sind, so brauchen wir unsere Sätze nur noch für den Fall des Schnittes einer Fläche mit einer Ebene zu beweisen.

Sind X, Y, Z die Richtungscosinus einer Fläche, a, b, c die einer Ebene, so ist längs der Schnittcurve

S Xd x — 0,

S adx — 0.

Findet der Schnitt unter constantem Winkel a statt, so ist längs der Curve: 8 a X = cos u,

d. h.

S adX= 0.

Da ausserdem

S XdX = 0

ist, so folgt, dass d X, d Y, d Z denselben beiden linearen homogenen Gleichungen wie dx, dy, dz genügen, also einander proportional sind, sodass die Curve auf der Fläche nach Satz 55 eine Krümmungs-curve ist. Die Umkehrung ist erlaubt: Ist die Curve auf der Fläche eine Krümmungscurve, so sind dX, dY, dZ proportional dx, dy, dz, sodass aus der letzten Gleichung rückwärts die übrigen folgen. Daher:⁴

Satz 58: Schneidet eine Ebene eine Fläche unter con-stantem Winkel, so ist die Schnittcurve eine Krümmungscurve der Fläche.

Und:

SO

Satz 59: Hat eine Fläche eine ebene Krümmungscurve, hat sie längs der Curve eine constante Neigung zur Ebene der Curve.

Da auch auf der Kugel jede Curve eine Krümmungscurve ist, so folgt insbesondere aus Satz 56:

Satz 60: Schneidet eine Kugel eine Fläche unter con-stantem Winkel, so ist die Schnittcurve eine Krümmungscurve der Fläche.

Und aus Satz 57:

Satz 61: Hat eine Fläche eine sphärische Krümmungscurve, so hat sie längs der Curve eine constante Neigung zur Kugel der Curve.

Ist eine Krümmungscurve einer Fläche eine Gerade, so muss nach Satz 59 jede Ebene durch die Gerade die Fläche unter con-stantem Winkel schneiden, d. h. die Fläche muss längs der Geraden überall dieselbe Tangentenebene haben.

Satz 62: Enthält eine Fläche eine Gerade, so ist diese Gerade dann und nur dann eine Krümmungscurve, wenn die Fläche in allen Punkten der Geraden dieselbe Tangentenebene hat.

Wenn alle Krümmungscurven der einen Schar Geraden sein sollen, so muss daher die geradlinige Fläche nach Satz 7, I S. 277, abwickelbar sein.

Zu unseren Sätzen geben wir einige Beispiele:

1. Beispiel: Eine Rotationsfläche wird von jeder Ebene senkrecht zur Drehaxe und von jeder Ebene durch die Drehaxe in einer Krümmungscurve geschnitten. Dass in der That die Flächennormalen längs eines Breitenkreises eine abwickelbare Fläche, nämlich einen Kegel, und die längs eines Meridians ebenfalls eine abwickelbare Fläche, nämlich eine Ebene, bilden, leuchtet unmittelbar ein.

/r

je'

Fig. 63.

2. Beispiel: Die Rotationsflächen, von denen soeben die Rede war, kann man durch Drehung eines Meridians um die Axe erzeugen. Indem man diese Erzeugungsweise verallgemeinert, kommt man zur Familie der Gesimsflächen:¹ Eine starr gedachte Ebene E, in der eine Curve y liegt, werde stetig in co¹ Lagen übergeführt. Dabei umhüllt sie nach Satz 15, I S. 293, eine abwickelbare Fläche und ist Schmiegungsebene der Gratlinie c dieser Fläche. Die Fläche aller Lagen von y, die sogenannte Gesimsfläche, hat nun die Curven y zu Krümmungscurven. Jeder Punkt P von y bewegt sich nämlich beständig nach I S. 299 auf einer Planevolvente k von c, und die Tangente seiner Bahn ist jederzeit senkrecht zur Ebene E. Hiernach ist nun auch die Tangentenebene der Fläche in P senkrecht zur Ebene E. Die Ebene E schneidet also die Fläche in allen ihren Lagen überall senkrecht, woraus die Behauptung nach Satz 58 folgt. Die zweite Schar der Krümmungscurven besteht aus den erwähnten Planevolventen lc von c. Wählen wir irgend eine Planevolvente von c aus, also die Curve c, die alle oo1 Ebenen E senkrecht schneidet, und bewegen wir nun eine Ebene senkrecht zu c so, wie es in Satz 21, I S. 305, angegeben ist, so erzeugt eine Curve y in dieser Ebene wieder eine Gesimsfläche. Ist y insbesondere ein Kreis um den Punkt, in dem die Ebene die Curve c trifft, so entsteht eine Fläche von oo¹ congruenten Kreisen, deren Ebenen sämtlich zu dem Ort c der Mitten der Kreise senkrecht sind. Sie heisst eine Röhrenfläche.

(Siehe Fig. 63.) Die Kreise y bilden die eine Schar der Krümmungscurven und ihre orthogonalen Trajectorien k die andere Schar.

Im allgemeinen ist die Aufstellung der endlichen Gleichungen der Krümmungscurven unmöglich, weil sie die Integration der Differentialgleichung (2) verlangt. In besonderen Fällen ist die Integration jedoch durchführbar. Hierzu ein Beispiel.

ist

Beispiel: Auf der gemeinen Schraubeufläche (siehe (20) auf S. 60):

y = u sin v ,

x = u cos v,

und nach S.119:

E = 1, F= 0

G = u² + q²

<7

]/u² + q²

sodass hier die Differentialgleichung (2) der Krümmungscurven so lautet: _ (iu² + q²)dv² — du² = 0 .

¹ Diese Flächen wui'den zuerst von Monge, vgl. die Anm. auf S. 110, untersucht, insbesondere auch die nachher genannten Röhrenflächen.

Sie ist in der Form:

dv =

± ......_

]/u² + q²

sofort zu integrieren und giebt:

v = log (u ± ]/u² + q²) + Const.

Die Curven sind die Diagonalcurven des auf S. 60 bestimmten Isothermennetzes und infolge dessen in ihrem allgemeinen Verlauf in der Fig. 17, S. 61, leicht zu verfolgen.

Die Parameterlinien (u) und (r) einer Fläche sind selbst die Krümmungscurven, wenn die Gleichung (2) die Form

du dv — 0

hat, wenn also

EM- FL = 0

FN-GM — 0

ist. Ist F =jr 0, so ist dann

GM

EM

d. li.

E:F:G = L: M: JV,

was nach (3), S. 110, bedeutet, dass die Fläche lauter Nabelpunkte hat und also eine Kugel oder Ebene ist (nach Satz 8, S. 118). Ist F = 0, so kommt EM= GM— 0, mithin, da E und G nicht beide gleich Null sind, M— 0. Daher:

Satz 63: Die Parametercurven einer Fläche, die keine Kugel oder Ebene ist, sind nur dann die Krümmungscurven, wenn die zugehörigen Fundamentalgrössen F und M auf der ganzen Fläche gleich Null sind. —

Was nun die Haupttangentencurven anbetrifft, so folgt aus Satz 43, S. 156, dass je zwei Ebenen, die die Fläche in unendlich benachbarten Punkten einer solchen Curve berühren, einander in der Tangente der Curve schneiden. Die abwickelbare Fläche also, die von den oo¹ Tangentenebenen der Fläche längs einer Haupttangentencurve umhüllt wird, hat die Curve selbst zur Gratlinie. Oder nach Satz 14, I S. 292:

Satz 64: Die Hauj)ttangentencurven einer Fläche sind diejenigen Curven, deren Schmiegungsebenen zugleich Tangentenebenen der Fläche sind, oder also: deren Bi-normalen mit den Flächennormalen zusammenfallen, oder endlich: deren Hauptnormalen Tangenten der Fläche sind.

Die Definitionsgleichung (3) der Haupttangentencurven versagt nur dann, wenn die Fundamentalgrössen L, M, N ihre Bedeutung verlieren, d. h. auf den Tangentenflächen der Minimalcurven (vgl. S. 107). Sie wird zur Identität, d. li. jede Curve auf der Fläche ist eine Haupttangentencurve, wenn L — M — K = 0 oder also die Fläche nach Satz 4, S. 107, eine Ebene ist. In der Ebene ist also jede Curve eine Haupttangentencurve.

Die beiden Scharen von Haupttangentencurven fällen zusammen, wenn die linke Seite der Gleichung (3) ein vollständiges Quadrat, d. h. LN— M* — 0 oder also die Fläche nach Satz 19, S. 132, abwickelbar ist. Alsdann bilden die Erzeugenden die einzige Schar von Haupttangentencurven.

Beispiel: Es liege eine nicht-abwickelbare geradlinige Fläche vor. Die eine Schar der Haupttangentencurven wird von den Erzeugenden gebildet, nach S. 130. Ist die Fläche keine Fläche zweiter Ordnung (vgl. Satz 31, S. 144), so ist die andere Schar nicht geradlinig. Wollen wir sie bestimmen, so können wir so verfahren: Es sind nach (2), I S. 271:

(5)

V = * («) + v g (u)

% = ip (u) + v h (u)

x = cp {u) + v f(u),

die Gleichungen einer allgemeinen geradlinigen Fläche. Berechnen wir hier L, M, N nach (9), S. 106, so ergiebt sich, dass DL eine ganze quadratische Function von v ist, deren Coefficienten noch u enthalten, dass ferner D M nur von u abhängt und D N = 0 ist, sodass sich von der Differentialgleichung (3) zunächst die Gleichung du = 0 absondert, die aussagt, dass die geradlinigen Erzeugenden (u) der Fläche Haupttangentencurven sind. Ausserdem bleibt dann für die zweite Schar der Haupttangentencurven eine Differentialgleichung von der Form:

dv

— A(u) + B{u) v + C (u) v²,

d. h. nach I S. 213, 214 eine KiccATi’sche Differentialgleichung, wissen nach I S. 215, dass vier beliebige Lösungen

v — co t (u),

Wir

(6)

v = co₃ (u),

V =    (u),

dieser Gleichung ein constantes Doppelverhältnis haben. Wenn wir nun — was wir thun dürfen — voraussetzen, dass in den Gleichungen (5) der Fläche die Grössen f, g, h die Eichtungscosinus der geradlinigen Erzeugenden sind (wie in (9), I S. 275), so bedeutet v den Abstand des Punktes (u, v) der Fläche von der Flächencurve:

V = 0J₄ (u)

* = <p («), y = x («),    * = y («)>

und zwar gemessen auf der durch den Punkt (u, v) gehenden Erzeugenden. Mithin folgt, dass die vier Haupttangentencurven (6) solche vier Strecken v auf jeder Erzeugenden abschneiden, die ein auf der ganzen Fläche constantes Doppelverhältnis haben. Oder nach Satz 38, I S. 332:

Satz 65:⁵ Die krummlinigen Haupttangentencurven einer geradlinigen Fläche haben die Eigenschaft, dass je vier von ihnen alle Erzeugenden der Fläche in demselben Doppelverhältnis durchsetzen.

Insbesondere erhalten wir für Flächen zweiter Ordnung den

Satz 66: Die beiden Geradenscharen auf einer Fläche zweiter Ordnung haben die Eigenschaft, dass vier Geraden der einen Schar von allen Geraden der anderen Schar in demselben Doppelverhältnis geschnitten werden.

Die Parametercurven (m) und (v) sind selbst die Haupttangenten-eurven, wenn sich die Differentialgleichung (3) auf

du dv = 0

reduciert. Daher:

Satz 67: Die Parameterlinien einer Fläche sind die Haupttangentencurven, wenn die zugehörigen Fundamen-talgrössen L und 2V auf der Fläche gleich Null sind.

Beispiel: Bei der oben in einem Beispiel erwähnten gemeinen Schrauben fläche tritt dieser Fall ein. Die Haupttangentencurven (V) sind hier die Geraden der Fläche, die Haupttangentencurven (u) gemeine Schraubenlinien. Da hier auch F— 0 ist, so bilden die Haupttangentencurven ein Orthogonalsystem.

Dieses Beispiel führt uns zu der Frage, wann überhaupt die Haupttangentencurven ein Orthogonalsystem bilden. Da die Haupttangenten eines Flächenpunktes den Asymptoten seiner Indicatrix parallel sind (vgl. S. 140), so tritt dies ein, wenn alle Indicatricen gleichseitige Hyperbeln sind, d. h. wenn nach (8), S. 135, die beiden Hauptkrümmungsradien einander überall entgegengesetzt gleich sind. Daher:

Satz 68: Die Haupttangentencurven einer Fläche bilden ein Orthogonalsystem, sobald überall auf der Fläche die Summe der beiden Hauptkrümmungsradien gleich Null ist.

Beispiel: Ausser der gemeinen Schraubenfläche können wir hier das Catenoid nach Satz 16, S. 126, als Beispiel erwähnen. Danach ist das Catenoid die einzige Rotationsfläche mit zu einander orthogonalen Haupttangentencurven. Die Gleichungen des Catenoids können wir, wenn wir die Leitlinie der Kettenlinie, d. h. die Rotationsaxe, als &-Axe wählen, so schreiben:

COS V,

toi a

(eu + e-j

sin v,

% - au.

Nach (9), S. 106, ist hier:

MD = 0,

LD = - ND,

also die Differentialgleichung (3) der Haupttangentencurven:

du² — dv² = 0.

Sie zerfällt in:

du + dv =0

du — dv = 0.

Also sind die Curven

u + v = Const.

u — v — Const.

hier die Haupttangentencurven.

§ 10. Systeme von conjugierten Curven.

Fig. 64.

Wenn man eine Fläche mit zwei Scharen von je oo¹ Curven in der Art überzieht, dass in jedem Punkte der Fläche die hindurchgehenden Curven der beiden Scharen conjugierte Richtungen haben, so liegt ein System von conjugierten Curven vor. Nach Satz 44, S. 157, werden alsdann in jedem Punkte der Fläche die Tangenten der beiden hindurchgehenden Curven harmonisch durch die beiden Haupttangenten getrennt. Bewegt sich ein Punkt längs einer Curve der einen Schar, so dreht sich dabei seine Tangentenebene beständig um die jeweilige Tangente der durch ihn gehenden Curve der anderen Schar. Oder auch: Die Tangentenebenen längs einer Curve der einen Schar erzeugen eine abwickelbare Fläche, deren Geraden die Tangenten der Curven der anderen Schar in ihren Schnittpunkten mit jener einen Curve sind. (Siehe Fig. 64.) Nach den Erörterungen auf S. 154 hat der Begriff der conjugierten Curven nur auf den abwickelbaren Flächen keine bestimmte Bedeutung, weil hier die eine Curvenschar die der Erzeugenden sein muss, während die andere Schar ganz beliebig sein kann. Insbesondere können wir in der Ebene jedes System von Curven als conjugiert bezeichnen. Von den Tangentenflächen der Mini-malcurven haben wir dagegen hier völlig abzusehen (nach S. 154). Auf einer beliebigen Fläche sind die Krümmungscurven nach Satz 41, S. 156, zu einander conjugiert; auch sind die Haupttangentencurven jeder einzelnen Schar zu sich selbst conjugiert, nach Satz 42, S. 156. Umgekehrt: wenn die beiden conjugierten Scharen zusammenfallen, so bilden sie notwendig eine der beiden Scharen von Haupttangentencurven.

ist. Nach Satz 39, S. 155, ist zu fordern, dass diese Gleichungen die Gleichung

(2)

L + M (k + x) + Nk x = 0

nach sich ziehen. Da ist, so ergiebt sich:

Satz 69: Die durch die Differentialgleichung A (u, v) du² -f- 2B (u, v) du dv -f C(u, v) dv² — 0

definierten beiden Curvenscharen auf einer Fläche sind zu einander conjugiert, wenn die Coefficienten A, B, C mit den Fundamentalgrössen zweiter Ordnung L, M, N durch die Bedingung:

LG -2MB 4- NA — 0

verknüpft sind.

Ist

S. 13):

Fragen wir uns, wann eine Differentialgleichung (vgl. Satz 5,

A (u, v) d u² + 2 B (u, v) d u dv + C(u, v) d v² = 0

ein System von conjugierten Curven definiert. Die Gleichung liefert für jeden Punkt (iu, v) der Fläche die Werte h und x für die Richtungen (dv: du) der beiden durch ihn gehenden Curven, sodass

A + 2 Bk + Ck² = 0,

(1)

A + 2 Bx + Cx² = 0

Allerdings haben wir oben stillschweigend C =(= 0 angenommen. Ist C — 0, aber A ^ 0, so kommen wir zu demselben Ergebnis, wenn wir statt dv.du das Verhältnis du:dv benutzen.

A = C = 0, so ist (1) die Differentialgleichung

du dv — 0

der Parameterlinien (w) und (u), für die k — 0, x — oo ist, sodass sich die Bedingung (2) hier — nach Division mit x — auf M — 0 reduciert. So kommen wir zu folgendem Satz, der übrigens ein Specialfall des obigen ist:

Satz 70: Die Parameterlinien (/<) und (v) einer Fläche sind dann und nur dann zu einander conjugiert, wenn die zweite Fundamentalgrösse zweiter Ordnung, also M, für alle Werte von u und v gleich Null ist.

Nach (9), S. 106, ist diese Bedingung M = 0 ausführlich geschrieben diese;

mit gegebenen Functionen a und b und unbekannter oder zu suchender Function & ist eine Bedingung für die ersten und zweiten partiellen Differentialquotienten von also eine sogenannte partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für

Man kann diese Gleichung benutzen, um einige Flächenfamilien abzuleiten, deren Parameterlinien conjugiert sind, indem man nämlich für a und b besonders einfache Functionen wählt und dann die allgemeinste Function S zu bestimmen sucht, die der Gleichung genügt.

Beispiel: Die einfachste Annahme ist: a — b = U. Dann liegt die Gleichung vor:

d*9

du dv

Sie sagt aus, dass Form:

s ! Cp

von v frei und

d»

dv

von u frei ist, d. h. 9 hat die

9 = ü(u) + VM.

Satz 71 führt uns daher zu den Flächen von der Darstellungsform:

V = U₂ (uj + V₂ (v)

(5)

x = Ux (u) + V₁ (v),

x=U₃ (u) + V₃ (»).

Hier sind also Ulf U₂, U% Functionen von u allein und Vx, V₂, V₃ Functionen von v allein. Die Curven (u) sind offenbar sämtlich durch Schiebung aus der einen Curve:

* = vs (v)

X = K {v),

ableitbar. Die Fläche (5) enthält also eine Schar von oo⁶ congruenten und gleichgestellten Curven. Eine solche Fläche heisst eine Schiebungsfläche oder Translationsfläche.⁶ Wenn eine Curve:

x = Fi (v),

X = V₃ (v),

geschrieben in dem Parameter v, durch Schiebungen in oo⁶ Lagen gebracht werden soll, so haben wir zu den Coordinaten x, y, x solche Grössen zu addieren, die sich stetig ändern, also Functionen L\, U₂, U₃ eines zweiten Parameters u zu addieren. So gehen alsdann die Gleichungen (5) hervor. J e d e Schiebungsfläche ist daher in der Form (5) darzustellen. Sie lehrt, dass auch die Para-metercurven (v) sämtlich durch Schiebung aus der einen Curve

X = Uy (U)

herumgehen. Also, mit Rücksicht auf Satz 71:

y = U₂ (u),

*-Us (w)

Satz 72: Jede Schiebungsfläche enthält zwei Scharen von je co¹ congruenten und gleichgestellten Curven, uuid diese beiden Scharen sind zu einander conjugiert.

Dies letztere sieht man ebenfalls geometrisch sofort ein: Wenn eine starre Curve c stetig verschoben wird, sodass einer ihrer Punkte eine Curve y beschreibt (siehe Fig. 65), so haben die Punkte der Curve e in jedem Augenblicke parallele Bewegungsrichtungen. Es sind dies die Tangenten der durch die Punkte gehenden mit y congruenten Curven in homologen Punkten. Diese Tangenten bilden einen Cylinder, d. h. eine abwickelbare Fläche, sodass Satz 45, S. 157, angewandt werden kann.

Nächst den Cylindern, die ja augenscheinlich Schiebungsflächen sind, sind die Paraboloide

x — ax¹ + b y²

als besonders einfache Schiebungsflächen zu nennen. Denn sie lassen sich so darstellen:

x = au² + b v².

X = U ,

Hier ist also Ux = u, U₂ — 0, U₃ = au² und Vt = 0, V₂ = v, V₃ — b v². Die Curven c und y sind hier Parabeln.

IL

Es kann wohl Vorkommen, dass die beiden Scharen von Curven dieselbe analytische Darstellung haben; alsdann wird die Fläche von einer Schar von co¹ congruenten und gleichgestellten Curven doppelt überdeckt. Dieser Fall tritt ein, wenn die Functionen Ui, U₂, U3 von u, abgesehen von additiven

>(

Fig. 66.

Fig. 65.

Constanten, dieselbe Form haben wie die Function V1} V₂, V₃ von v. Hierauf kommen wir sogleich nochmals zurück.

Vorher bemerken wir noch, dass die Schiebungsfläche (5) noch auf eine andere Art erzeugt werden kann: Wir betrachten nämlich eine Curve G:

S = 2 üx (u), t) = 2 U₂ (u), j = 2 U₃ (■u)

und eine Curve F:

S = ² Fi (»)

3 = 2 V₃ (v),

t) = 2 F₂ (v) ,

ausgedrückt mittels eines Parameters u bez. v. Jeden Punkt (u) der einen

Curve verbinden wir geradlinig mit einem Punkt (v) der anderen. Die Mitten dieser Strecken sind dann durch die Gleichungen (5) gegeben. Siehe Fig. 66-Wir haben also den

Satz 73: Die Schiebungsflächen sind identisch mit denjenigen Flächen, die von den Mitten der Verbindungsgeraden zwischen den Punkten zweier Curven gebildet werden.

Wenn diese beiden Curven C und F insbesondere durch eine Curve G ersetzt werden, so ergeben sich die Flächen der Mitten der Secanten einer Curve. Und dies sind diejenigen Schiebungsflächen, bei denen die beiden Scharen von erzeugenden Curven in eine einzige zusammenfallen, die aber die Fläche doppelt überdeckt, sodass durch jeden Punkt der Fläche zwei Curven der Schar gehen. Eine derartige Fläche wird durch die Gleichungen (5) dargestellt, wenn man als Functionen V₁, V₂, V₃ die Functionen Ut, U2l U3 wählt, nachdem in ihnen das Argument u und v ersetzt worden ist. Es erhellt, dass alsdann die Curve G oder:

S = 2 üt(u),

die offenbar im jetzigen Falle auf der Fläche gelegen ist, von allen co¹ con-gruenten Curven berührt wird. Denn wählt man auf ihr einen Punkt P, zieht man von ihm aus alle Geraden, die die Curve G noch einmal treffen und halbiert man alle diese Sehnen, so bekommt man eine ähnliche Curve in halbem Maassstab, die G in P berührt. In diesem Falle also berühren alle Parameterlinien (u) und alle Parameterlinien (v) die Curve G. Da sie ein System von con-jugierten Curven bilden, und da also in jedem Punkte P von G die beiden hindurchgehenden Curven {u) und (v) die Curve G berühren, so ist die Tangente von G in P zu sich selbst conjugiert und also eine Haupttangente, nach Satz 42, S. 156. Mithin ist also G eine Haupttangentencurve der Fläche. Rechnerisch kann man dies aus den Gleichungen (5) — immer für den Fall, dass die Functionen Ut, U₂, U₃ von u dieselben wie die Functionen Vu V₂, Vs von v sind, deshalb nicht ableiten, weil die Parameterdarstellung der Fläche gerade für die Curve G ausartet, da die Parameterlinien einander in den Punkten von G berühren. (Vgl. S. 6.) Es hat sich ergeben:

Satz 74; Der Ort der Mitten der Secanten einer Curve C ist eine Schiebungsfläche, auf der die Curve G selbst eine Haupttangentencurve ist. In jedem Punkte wird die Curve G von einer der erzeugenden Curven der Schiebungsfläche berührt, und diese erzeugenden Curven, die der Curve G im halben Maassstab ähnlich sind, überdecken die Fläche doppelt, dabei ein System von con-jugierten Curven bildend.

Nehmen wir z. B. als Curve G die gemeine Schraubenlinie (vgl. (8) in

I S. 157):

t) = 2 U₂(u),

(6)

t) = r sin u,

auf dem Rotationscylinder um die *-Axe mit dem Radius r und mit der Steighöhe 27iq, so haben wir dem Parameter u zwei Werte u und v zu geben und jedesmal die halben Summen aus den beiden zusammengehörigen Coordinaten zu bilden. So erhalten wir

£ = r cos u,

b = Qu

CO

x = | r (cos u + cos v),

y — \ r (sin u + sin v),

als Gleichungen der Fläche der Mitten aller Secanten der Schraubenlinie (6). Die Fläche enthält als Schiebungsfläche oo⁷ gleichgestellte Schraubenlinien, die alle der gemeinen Schraubenlinie

y = }r sin u

x — \qu

x = -\ r cos u,

congruent sind; übrigens liegt diese selbst nicht auf der Fläche. Die oo⁷ Schraubenlinien überdecken die Fläche doppelt und bilden ein conjugiertes System. Benutzt man die neuen Parameter

ü — r cos | (u — v), so stellt sich die Fläche (7) so dar;

x — ü cos v

(8)

x — qv.

y = u sin v,

Nach (20), S. 60, ist sie also eine gemeine Schraubenfläche mit der Steighöhe 2nq. Die Schraubenlinie (6), die hier die Curve G ist, liegt auf ihr und ist nach unserem Satze eine Haupttangentencurve. (Vgl. auch das Beispiel auf S. 184.) Da der Radius r des Cylinders von C in den Gleichungen (8) der Schraubenfläche nicht auftritt, so folgt, dass als Curve C irgend eine derjenigen Schraubenlinien gewählt werden kann, in denen die Fläche von den Rotationscylindern um ihre Axe geschnitten wird. Jede Curve (») auf der Fläche, die zu dieser Curve G im halben Maassstab ähnlich und also von der Steighöhe n q ist, erfüllt nach (7) eine Gleichung:

[x — | r cos v)⁸ (y — ^ r sin vy = ^ r⁸,

die aussagt, dass sie auf einem Rotationscylinder vom Radius ^ r liegt, der die x-Axe als Mantellinie enthält. Daher:

Satz 75: Eine gemeine Schraubenfläche kann auf unendlich viele Arten als Schiebungsfläche aufgefasst werden. Wird sie nämlich mit irgend einem Rotationscylinder, der die Schraubeu-axe als Mantellinie enthält, zum Schnitt gebracht, so ergiebt sich eine gemeine Schraubenlinie, deren Steighöhe halb so gross wie die der Fläche ist, und die sich, starr gedacht, auf der Fläche verschieben lässt. Die oo⁷ Curven, in die sie dabei übergeht, berühren sämtlich eine derjenigen gemeinen Schraubenlinien der Fläche, die Haupttangentencurven sind. Wählt man umgekehrt irgend eine der krummen Haupttangentencurven der Fläche aus, so ist der Ort der Mitten ihrer Secanten die Fläche selbst.

Übrigens sind die gemeinen Schraubenflächen nicht die einzigen Flächen, die in unendlich vielen Weisen als Schiebungsflächen aufgefasst werden können. Ausser den Cylindern, die ja die Schiebung jeder Curve auf ihnen gestatten und daher triviale Beispiele sind, giebt es noch eine Reihe von anderen Flächen mit dieser ausgezeichneten Eigenschaft, auf die wir hier jedoch nicht eingehen wollen.⁷

Wählt man eine Schar von oo¹ Curven ganz beliebig auf einer Fläche, etwa so, dass sie die Differentialgleichung erfüllt, so ist es leicht, die Differentialgleichung der zu ihr con-jugierten Schar aufzustellen. Denn wenn

du

= p(u, v)

diese Gleichung wäre, so müssten k — l und x — g, für jedes Wertepaar u, v die Gleichung (2) erfüllen, d. h. es müsste

Jj -J-    (A -f- juij -f- Nh fx — 0

sein, und hieraus lässt sich (x leicht berechnen.

Man kann auch so Vorgehen: Ist eine Schar von oo¹ Curven auf der Fläche beliebig gegeben:

S2 {u, v) = Const.,

so führt man £2(u, v) = ü als neuen Parameter ü und irgend eine von & unabhängige Function von u und v als neuen Parameter v ein. Sind dann L, M, N die zu den neuen Parametern gehörigen Fundamentalgrössen zweiter Ordnung, so gilt jetzt die zu (2) analoge Bedingung:

L + M (k + x) + Nk x = 0.

Also

= oo.

In jedem Punkte der Schar (ü) ist jetzt dv:dü = k kommt für x die Bedingung:

oder wenn x — dv.dü gesetzt wird:

(9)

Mdü + Ndv = 0.

Dies ist also jetzt die Differentialgleichung der zu den neuen Para-metercurven (ü) conjugierten Schar von Curven.

lationsbewegung einer Curve erzeugt werden“, Archiv for Math, og Naturv. 1882. Einzelheiten hiervon hat er schon seit 1872 in verschiedenen Arbeiten gegeben. Einen wichtigen Fortschritt enthält alsdann Lie’s Note: „Sur une interpretation nouvelle du thöoröme d’Abel“, Comptes Rendus t. CXIY (1892), ausführlicher dargestellt in der Arbeit: „Über die Theorie der Translationsflächen und das AßEL’sche Theorem“, Leipziger Berichte 1896.

Zu den Systemen von conjugierten Ourven kommen wir auch, wenn wir uns die Frage vorlegen, bis zu welchem Grade die unendlich kleinen Vierecke eines Curvennetzes als eben zu bezeichnen sind. Es seien nämlich

(u, v),    (u + du, v),    (u, v + dv), [u + du, v + dv)

vier unendlich benachbarte Punkte auf der Fläche, die ein unendlich kleines Parallelogramm bilden, da ihr Viereck, unendlich ver-grössert, nur unendlich wenig von einem endlichen Parallelogramm abweicht. Diese Abweichung besteht darin, dass die Seitenrichtungen paarweis nicht genau parallel sind, sondern um unendlich kleine Winkel von einander abweichen. Man vergleiche die Betrachtung in der Ebene, I S. 115. Da wir aber jetzt Betrachtungen im Raume anstellen, so bringen es diese Abweichungen mit sich, dass das Viereck der vier Punkte auch windschief wird. Allerdings ist die Abweichung von einer Ebene nur unendlich klein von höherer als erster Ordnung, wenn man d u und d v als unendlich klein von erster Ordnung auffasst. Dies folgt schon daraus, dass die Gleichung der Tangentenebene des Punktes {u, v) oder (x, y, z):

(10)

~ x) + Yfy — y) + %(%- z) = 0

von dem Punkte (udu, v + dv) befriedigt wird, sobald man in den rechtwinkligen Coordinaten dieses Punktes, die sich ja durch Reihenentwickelung ergeben:

¹

   Nach Monge, siehe die Anm. auf S. 110.

²

   Nach Dupin, siehe die Anm. auf S. 127.

³

Die Sätze 56 und 57 rühren her von Bonnet, „Memoire sur les sur-faces dont les lignes de courbure sont planes 011 spheriques“, Journal de l’ficole polyt., 35. cah. (1853).

⁴

Die Sätze 58 bis 61 fasst man unter dem Namen des Satzes von Joachimsthal zusammen, siehe für ebene Krümmungscurven seine Abhandlung: ,,Demonstrationes theorematum ad superficies curvas spectan-tium“, Journal f. d. reine u. angew. Matliem. 30. Bd. (1846). Die oben erwähnten allgemeinen Sätze von Bonnet sind jüngeren Datums.

⁵

P. Serret, „Theorie nouvelle geometrique et mecanique des courbes 4 double courbure“, Paris 1860.

⁶

Die Schiebungsflächen wurden ausführlich untersucht von Lie, „Beiträge zur Theorie der Minimalflächen, I.“, Math. Annalen 14. Bd. (1879). Diese Abhandlung, auf die wir später noch zu verweisen haben, ist eine neue Bearbeitung einer älteren Abhandlung: „Synthetisch-analytische Untersuchungen über Minimal-Flächen, I.“, Archiv for Math, og Naturvidenskab 3, Bd. (1877).

⁷

Die obigen Sätze über Schiebungsflächen rühren von Lie her. Es giebt

⁸

Flächen mit vier Scharen von je co⁷ congruenten und gleichgestellten Curven und solche mit unendlich vielen Scharen, wie z. B. die gemeine Schraubenfläche. Alle Flächen von dieser Art wurden ebenfalls von Lie bestimmt: „Bestimmung aller Flächen, die in mehrfacherWeise durch Trans-

% = x + xudu + x^dv -f- . .

9 =y + yudu + ¹ Jvdv + • •

h = z + zu d u + zvd v +

die höheren Potenzen von du und dv vernachlässigt. Berücksichtigt man auch die höheren Potenzen, indem man setzt:

X + XU du + xr, dv ¥ ^2    d “2 +    du dv + Xvv dv2) +

und analog für t) und so giebt die linke Seite der Gleichung (10), die ja in der Normalform vorliegt, da X, Y, Z die Richtungscosinus der Tangentenebene sind, und die also allgemein den Abstand des Punktes (£, t), §) von der Tangentenebene des Punktes (x, y, z) vorstellt, Folgendes: Der Punkt (u -f du, u + dv) hat von der Tangentenebene des Punktes (u, v) den unendlich kleinen Abstand:

dt— S-V xudu + xvdv +

1.2

Nach XI (7) und nach (8), S. 106, können wir hierfür schreiben:

dt = \ (7/ du² + 2Mdudv + N dv²) + . . .

Dabei bedeuten die Punkte die Glieder von höherer Ordnung in du und dv. Also:

Satz 76: Sind (u, v) und (u + du, v + dv) zwei unendlich benachbarte Flächenpunkte und sind du und dv unendlich klein von erster Ordnung, so ist der Abstand des zweiten Punktes von der Tangentenebene des ersten Punktes von mindestens zweiter Ordnung unendlich klein, und zwar ist er in den unendlich kleinen Grössen zweiter Ordnung gleich:

\[Ldu² + 2 Mdudv + N dv²).

Dieser Abstand ist also nur dann von mindestens dritter Ordnung unendlich klein, wenn

L du² + 2 Mdudv + JV dv² = 0

ist, d. h. wenn die Richtung vom ersten Punkt zum zweiten eine Haupttangentenrichtung ist. (Vgl. Satz 18, S. 130.)

Nun kann man dieselbe Betrachtung für den Punkt [u + du, v) und für den Punkt (u, v + dv) anstellen. Also folgt, dass die drei Punkte

(u -j- du, v)

(u -f- du, v 4 dv)

(ü, v    dv),

sämtlich unendlich kleine Abstände zweiter Ordnung von der Tangentenebene des Punktes (u, v) haben. Diese Abstände wären nur dann von mindestens dritter Ordnung, wenn die vom Punkte [u, v) ausgehenden Seiten und die von dort ausgehende Diagonale des Parallelogramms Haupttangentenrichtungen wären. Da aber ein Punkt (u, v) nur zwei Haupttangentenrichtungen hat, so folgt:

Satz 77: Mindestens eine Ecke des Vierecks der unendlich benachbarten Punkte:

(«, v + dv)

(u, v),

auf einer Fläche weicht in zweiter und nicht höherer Ordnung von der Tangenten ebene des ersten Punktes ab, vorausgesetzt, dass du und dv von erster Ordnung unendlich klein sind.

Hieraus ziehen wir den Schluss: Die Ebene der drei Punkte

(u 4- du, v)

(u + du, v -j- dv)

(u, v),

(ii + du, v),

(u, v 4- dv)

darf nicht ohne weiteres bei unserer gegenwärtigen Untersuchung im Unendlich-Kleinen mit der Tangentenebene des Punktes (u, v) verwechselt werden. Vielmehr haben wir jetzt zu fragen, wie sich der Abstand des Punktes [u -f- du, v + dv) von der Ebene der drei genannten Punkte darstellt, und dabei haben wir überall die höheren als ersten Potenzen von du und dv zu beachten.

Wir verfahren so, dass wir zunächst den Inhalt dJ des von den vier Punkten bestimmten Tetraeders berechnen. Bezeichnen wir vorerst die rechtwinkligen Coordinaten der vier Punkte mit

x, y, z\

x3 > 1h ’ z3 >

so ist bekanntlich:

6 dJ =

Dabei erscheint der Inhalt (wie übrigens oben auch der Abstand dt) mit einem Vorzeichen behaftet.

Nun sind xx, yx, zx die Coordinaten des Punktes [u + d u, v). Daher ist zu setzen:

xx = x + xu d u +

₁^xnndu2 + --

u. s. w.

Ferner analog:

1.2

u. s. w., dagegen:

ixuu du2 + 2xuvdu dv + xvvdv²) + ...

x₃ = x -f- xu du -f- xv dv -f-

u. s. w., sodass sich ergiebt:

6 dJ —

xudu +

xv d v +

xudu + xvdv +

iTjiXuudu2+-"

— x d v² + ...

\ 2 v v 1

jTä ixnndu2+ ²xuvdudv + Xwdv') + * * *    *

Subtrahiert man die beiden ersten Zeilen von der dritten, und sondert man von den beiden ersten die Factoren du und dv ab, so erhält man:

Xundu

Xu +

6 dJ =

x -1----* x dv

v ¹    12 v v

du dv.

du dv + ...

Wenn wir nur die Glieder niedrigster, nämlich vierter Ordnung wirklich ausrechnen, so kommt:

Vu Zu

dJ=\ du² dv2.

oder nach (9), S. 106:

dJ — ]rD Mdu^dv2, + ...

Nach S. 34, 35 ist ferner der Inhalt des Dreiecks der drei ersten Punkte gleich

\ D du dv -f- ...

Ist nun dh der Abstand des vierten Punktes von der Ebene der drei ersten, so ist nach bekannter Formel der Stereometrie:

i (i T) du dv + .. ,)dh = d J.

Also kommt:

dh — Mdu dv -f- •. •

Daher:

Satz 78: Der Abstand der Ebene der drei unendlich benachbarten Flächenpunkte (u, v), (u + du, v), (u, v + dv) von dem Punkte (u -f- du, v + dv) ist, abgesehen von unendlich kleinen Grössen höherer Ordnung, gleich der Fundamentalgrösse M, multipliciert mit dudv.

Der Fall M — 0 liefert nun nach Satz 70, wenn wir noch bedenken, dass ]/Edu und ]/G dv zwei Seiten des Vierecks der vier Punkte sind, dies Ergebnis:

Satz 79: Legt man auf eine Fläche ein unendlich dichtes Netz von zwei Scharen von je oo¹ Curven und sind die Seiten der Netzvierecke unendlich klein von erster Ordnung, so weicht die vierte Ecke eines Netzvierecks von der Ebene der drei ersten im allgemeinen nur unendlich wenig von gerade zweiter Ordnung ab. Die Abweichung ist dann und nur dann unendlich klein von mindestens dritter Ordnung, wenn das Netz von einem System con-jugierter Curven gebildet wird.

Dies Ergebnis hat eine praktische Bedeutung:

Stellen wir uns zunächst vor. die Fläche sei mit irgend einem Curvennetz belegt, und vergrössern wir alsdann ein Flächenstück so weit, bis die unendlich kleinen Grössen erster Ordnung, also die Seiten der Netzvierecke, endlich werden. Die Richtungsunterschiede von Gegenseiten der Vierecke bleiben dabei unendlich klein von erster Ordnung, weil die Winkel bei der ähnlichen Vergrösserung nicht geändert werden. Der Abstand der vierten Ecke eines Netzvierecks von der Ebene der drei ersten Ecken dagegen wird jetzt im allgemeinen, nämlich solange das Netz nicht aus conjugierten Curven besteht, unendlich klein von erster Ordnung.

Wollen wir nun ein Modell dieses vergrösserten Flächenstückes aus lauter Vierecken herstellen und dabei Unendlich-Kleines von erster Ordnung durch nur Sehr-Kleines ersetzen, so müssen wir folglich die Vierecke windschief, wenn auch sehr wenig von der Ebene abweichend, annehmen. Besteht das Netz dagegen aus conjugierten Curven, so ist die Abweichung von der Ebene nach der Vergrösserung unendlich klein von mindestens zweiter Ordnung und braucht daher im Modell nicht zum Ausdruck zu kommen. Dann also dürfen wir ebene Vierecke wählen, aber im allgemeinen wohlbemerkt keine Parallelogramme, sondern Vierecke, die allerdings nur sehr wenig von Parallelogrammen abweichen,² da eben die Richtungsunterschiede von Gegenseiten jetzt von erster Ordnung unendlich klein sind und daher im Modell durch nur sehr kleine Winkel zum Ausdruck gebracht werden müssen.

abweichenden

Ein Netz von ebenen, sehr wenig von Parallelogrammen

Fig. 67.

Vierecken ist also als Modell eines Flächenstückes sehr wohl zu benutzen, doch muss man dann notwendig die Seiten der Vierecke als Bogenelemente zweier Scharen von conjugierten Curven auffassen. (Siehe Fig. 67.)

Es ist sehr bemerkenswert, dass man auf einer beliebigen Fläche durch eine einfache Construction, die analytisch nur Differentiationen

x

UV

(&)

= 0.

Vnv    Vu    yv

Zuv    Zu    Zv

Ist sie erfüllt, so giebt es drei nicht sämtlich verschwindende Functionen u, ß, y von u und v derart, dass gleichzeitig:

axuv + ß*u + rxv = °»

aVuv + ßyu + ryv = o,

azuv +ßzu + rzv = ⁰

ist, weil dies drei lineare homogene Gleichungen für a, ß, y sind, deren Determinante gleich Null ist. Wäre a — 0, so wären xu, yu, zu proportional xv, yv, zv, d. li. die Functionaldeterminante von je zweien der Functionen x, y, z wäre gleich Null, was nach Satz 1, S. 5, auszuschliessen ist. Da also cc =j= 0 ist, so folgt, wenn —ß:a mit a und — y.a mit b bezeichnet wird: Sind die Parametercurven zu einander conjugiert, so giebt es zwei Functionen a{u, v) und b(u,v) derart, dass:

Xuv = axu + bxv Vuv = aVu + hVv Zuv = aZu + bzv

ist. Umgekehrt,³ wenn drei solche Gleichungen gelten, so folgt aus ihnen wieder die Gleichung (3). Mithin können wir sagen:

Satz 71:¹ Liegt eine Fläche vor:

V — X («, v)

X = cp (U, V)

Z = V [u, V) ,

so sind ihre Parametercurven (u) und (v) dann und nur dann zu einander conjugiert, wenn die drei Functionen cp, y, 1y von u und v sämtlich, für t9- eingesetzt, ein und derselben Gleichung von der Form:

d⁴»

d#

du dv

= “(“>+ *<?>•) Yv

genügen.

Eine Gleichung von der Form:

(4)

e⁴y

d&

dit

du dv

dv

und Eliminationen verlangt, stets ein System von conjugierten Curven, ja sogar unendlich viele solche Systeme finden kann:

Man wähle nämlich irgend eine Gerade g fest im Raum und construiere erstens die Curven c, in denen die Fläche von allen Ebenen durch g geschnitten wird, und lege zweitens von jedem Punkte der Geraden g aus die Tangenten an die Fläche. Letzteres

liefert oo¹ Tangentialkegel; jeder berührt die Fläche längs einer Curve k (siehe Fig. 68). Die Curven c und /< sind nun zu einander conjugiert.

In der That: Die Tangentialkegel sind abwickelbare Flächen. NachSatz 45, S. 157, ist also in jedem Punkte P der Fläche die Tangente der hindurchgehenden Curve k conjugiert zur hindurch-gehenden Erzeugenden des Kegels. Diese Erzeugende aber schneidet die Gerade g und liegt daher in der Ebene der hindurchgehenden Curve c, indem sie diese Curve in P berührt. Also haben die durch P gehenden Curven c und k conjugierte Tangenten.

Um dies auch analytisch abzuleiten, wählen wir die Gerade g als z-Axe. Benutzen wir alsdann y: x als Parameter u, sodass

y — ux

ist, so sind die Curven (u) die Curven c. Nach (9) ist jetzt

Mdu + Ndv = 0

zu den Curven c conjugierten Curven.

(11)

(12)

ft

Fig. 68.

die Differentialgleichung der Infolge von (11) aber ist

(13)

yu = x +uxu ,

Vuv = xv + UXn

Vv = UXv > Vvv = UXvv’

sodass nach (9), S. 106, kommt:

- VÜ + *{*uvZv - *uv*v)]

N = jyx(xvvZv- zvvxv).

Die Differentialgleichung (12) lautet demnach:

(14) [xv (xvzu - ZvxJ + X (xuv Zv - zuvxv)] du + x (xvvzv - zvvxj dv = 0.

Wir müssen zeigen, dass sie von den Curven k erfüllt wird. Zu diesem Zweck construieren wir uns eine Curve k, indem wir einen Punkt (0, 0, c) auf der z-Axe wählen und alle Tangentenebenen

A(j — x) + Y(t) — y) + Z(g — z) — 0

von ihm aus an die Fläche legen. Diese Ebenen berühren die Fläche längs einer Curve k, die nach der Substitution von £ = 0, t) = 0, l — c dargestellt wird durch:

(15)

Xx + Y y + Z %

Es ist dies ja eine Gleichung von der Form    v) = c, und sie

stellt für jeden constanten Wert von c eine Curve k dar. Wegen (11) und (13) ist aber nach XI [F):

D X = x z — u(x z — z x ),

DY=x z — z x ,

V IC    V u⁷

¹

xuu du2 + 2 xuv du dv + *vv dv²)+ ... .

²

Nehmen wir Parallelogramme, so ergiebt sich ein Modell für die Schiebungsflächen (siehe S. 188).

³

Dieser Satz, nach dem zu einem jeden System von conjugierten Curven eine sogenannte LAPLACE’sche partielle Differentialgleichung gehört, ist von Darboux. Siehe seine „Le§ons sur la theorie generale des surfaces“,

⁴

1. partie, Paris 1887.

— x xv,

so dass (15) so lautet:

(16)

X Xv — X %v

x„

//

Fig. 69.

Das totale Differential der linken Seite hiervon ist aber gleich der linken Seite von (14), dividiert durch xv². Mithin ist (16) thatsächlich das Integral von (14). Hiermit ist der analytische Nachweis beendet und zugleich gezeigt, wie man auf einer beliebigen Fläche, nachdem man y : x als Parameter u eingeführt hat, mittels der Formel (16) die zu den Curven (u) eonjugierten Curven durch Differentiation allein findet.

Wir haben hiernach den

Satz 80:¹ Schneidet man eine Fläche durch diejenigen Ebenen, die eine feste Gerade enthalten, in oo¹ Curven c und construiert man die oo¹ Berührungscurven k derjenigen

Tangentialkegel der Fläche, deren Spitzen auf der festen Geraden liegen, so sind die Curven c und k zu einander conjugiert.

In Fig. 69, S. 199, ist die Form eines Modells angegeben, dass man nach den früheren Auseinandersetzungen für dieses System von conjugierten Curven hersteilen kann.

§11. Berührung zwischen Flächen.

In § 1 des gegenwärtigen Abschnittes und weiterhin haben wir die Krümmung der Curven untersucht, die von einem Flächenpunkte P ausgehend auf der Fläche verlaufen. Für verschiedene Curven durch einen Punkt P ergaben sich an der Stelle P verschiedene Krümmungen; auch für diejenigen Curven, die in P noch die Tangente gemein haben, ist sie verschieden, wie Satz 1, S. 105, lehrt.

Hiernach ist es klar, dass uns bisher noch eine Methode fehlt, um einen Begriff zu bestimmen, der ein Maass für die Krümmung der Fläche selbst an der betreffenden Stelle P abgeben würde. Wollen wir einen solchen Begriff ableiten, so liegt es zunächst nahe, zu versuchen, den Begriff des Krümmungskreises einer Curve für den Fall der Fläche zu verallgemeinern, denn der reciproke Wert des Radius dieses Krümmungskreises ist ja das, was wir die Krümmung der Curve an der Berührungsstelle genannt haben, vgl. I S. 38 und I S. 189. Der Krümmungskreis war als derjenige Kreis definiert worden, der die Curve an der betrachteten Stelle in zweiter Ordnung berührt, vgl. I S. 29 und I S. 188. Wollen wir nun den Begriff der Krümmung für die Flächen verallgemeinern, so werden wir an die Stelle der Curve die Fläche und an die Stelle des Kreises die Kugel setzen. Demnach werden wir zunächst versuchen, ob wir eine Kugel so wählen können, dass sie die Fläche in einem gegebenen Punkte möglichst innig berührt.

Zur Vorbereitung müssen wir davon sprechen, was überhaupt unter einer Berührung nter Ordnung zwischen zwei Flächen zu verstehen ist. In Analogie mit der Definition für die Berührung zwischen Curve und Fläche, I S. 226, setzen wir fest:

Zwei Flächen berühren einander in einem gemeinsamen Punkte P in nter Ordnung, wenn es zu jeder solchen Curve auf der einen Fläche, die durch P geht, eine Curve auf der anderen Fläche giebt, die jene Curve in P in nter Ordnung berührt.

Wir kommen hierdurch auf den Begriff der Berührung zwischen zwei Curven zurück. Unabhängig davon können wir die Definition nach I S. 19 und I S. 166 auch so aussprechen:

Zwei Flächen berühren einander in einem gemeinsamen Punkte P in nteT Ordnung, wenn es zu jedem auf der einen Fläche unendlich nah bei P gelegenen Punkte A einen Punkt St auf der andern Fläche derart giebt, dass die Strecke A% unendlich klein von (n + l)ter Ordnung ist, sobald die Strecken PA und PSI unendlich klein von erster Ordnung sind.

Aus dieser Form der Definition ist es leicht, analog dem Satze 5, I S. 167, ein analytisches Merkmal für die Berührung zwischen zwei Flächen:

und

x = <p(u,v),    y=x{u,v), z=y(u,v)

£=f(u, t>), b = g(u, b), ä = *)(u, ö)

abzuleiten. Der Unterschied gegenüber jenem Satze besteht hier nur darin, dass an die Stelle der Entwickelungen nach dt und dt hier Entwickelungen nach je zwei Differentialen du, dv bez. du, dt) treten, sodass also auch die damals gegebene Substitutionsgleichung durch zwei Gleichungen zu ersetzen ist, von denen die eine d\\ und die andere dt) als Eeihenentwickelung nach du und dv darstellt.

Wir verzichten jedoch auf die Formulierung dieses Satzes, weil wir die Berührung zwischen zwei Flächen nur in einigen solchen Fällen besprechen, die einfacher zu erledigen sind.

Betrachten wir zunächst den Fall der Berührung zwischen einer Fläche und einer Ebene, die durch den Punkt P der Fläche gehe. Soll die Berührung von erster Ordnung sein, so muss es zu jeder Geraden in der Ebene, die von P ausgeht, eine Flächencurve durch P geben, die jene Gerade in P berührt, d. h. die Ebene muss — was ja vorherzusehen war — die Tangentenebene von P sein.

Fragen wir uns, wann die Fläche von der Tangentenebene ihres Punktes P in zweiter Ordnung berührt wird. In diesem Fall muss es insbesondere zu jeder solchen Geraden in der Ebene, die von P ausgeht, d. h. also zu jeder Tangente von P eine Flächencurve geben, die diese Tangente in zweiter Ordnung berührt. Sind:

(1)

x = rp(u, v),    y = x (w, v)> z = y (u, v)

die Gleichungen der Fläche und ist der Punkt (u, v) der betrachtete Punkt P, so wird eine Flächencurve durch diesen Punkt nach S. 11 dadurch definiert, dass man u und v als zwei solche Functionen eines Parameters t auffasst, die etwa für t = 0 die Werte der Parameter liefern, die dem Punkte P zukommen. Dann ist auf der Curve, wenn die Striche die Differentiation nach t andeuten:

X = Xu U + Xv V,

und, wenn wir nochmals nach t differenzieren:

x" = xuuu'² + 2xuvv! V + xvvv'² + Xuu + Xvv".

Die Formeln bleiben richtig, wenn x durch y oder 2: ersetzt wird. Nach Satz 6, I S. 169, haben wir nun zu fordern, dass:

x"

y"

x"

sei oder:

x"=Qx'f y" = (> >/, wenn wir einen Proportionalitätsfactor q einführen. Dies giebt:

Xuu U'² + 2 Xuv U' V' + Xvv V'² = Xu ((> U' - U") + Xv ((> V' - V")

und die beiden Gleichungen, die hieraus hervorgehen, wenn man x durch y oder 2 ersetzt.

Diese Forderungen müssen nun erfüllt sein, wie auch die Tangente gewählt sei, d. h. welchen Wert auch das Verhältnis dv.du oder v :u hat. Um u'yv" zu entfernen, multiplieieren wir die Gleichungen mit den Richtungscosinus X, Y, Z der Normalen und addieren sie dann. So kommt nach (8), S. 106, und nach XI(/):

Lu² + 2Mu v + Nv'² = 0,

und da diese Bedingung für jeden Wert von v : 11 bestehen soll, so muss einzeln:

(2)

L = M= 0

für den betrachteten Punkt P sein.

Diese Bedingungen sind nun auch hinreichend dafür, dass die Fläche im Punkte P von ihrer Tangentenebene in zweiter Ordnung berührt wird. Denn nach Satz 76, S. 194, ist unter den Bedingungen (2) der Abstand, den ein dem Punkte P oder (w, v) unendlich benachbarter Punkt A oder [u + d u, v + d v) von der Tangentenebene des Punktes P hat, von mindestens dritter Ordnung unendlich klein, sobald PA unendlich klein von erster Ordnung ist. Wenn wir also den Fusspunkt dieses Abstandes mit 51 bezeichnen, so haben wir jedem Flächenpunkt A in der Umgebung von P einen Punkt 51 in der Tangenten ebene zugeordnet, derart, dass die auf S. 201 gegebene Definition für die Berührung im Falle n — 2 zutrifft.

Demnach:

Satz 81: Eine Fläche wird von einer Tangentenebene nur dann in zweiter Ordnung berührt, wenn die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung für den Berührungspunkt alle drei gleich Null sind.

Betrachten wir jetzt den Fall der Berührung zwischen Fläche und Kugel. Die Berührung ist zunächst, was ohne weiteres klar ist, von erster Ordnung, wenn die Kugel die Tangentenebene des gemeinsamen Punktes P berührt. Soll die Berührung von zweiter Ordnung sein, so muss es zu jeder Flächencurve c durch P eine Curve c auf der Kugel geben, die c in zweiter Ordnung berührt. Es sei nun k der Krümmungskreis von c in P. Er berührt c in zweiter Ordnung. Nach Satz 15, I S. 28, der nach Satz 8, I S. 170, auch für Raumcurven gilt, muss also auch die sphärische Curve c den Kreis k in zweiter Ordnung berühren, anders ausgesprochen: k muss auch der Krümmungskreis von c in P sein. Aber der Krümmungskreis einer sphärischen Curve liegt auf der Kugel, da die Kugel ihre Schmiegungskugel ist (vgl. I S. 237). Also folgt: Damit die Kugel die Fläche in zweiter Ordnung berühre, ist notwendig und augenscheinlich auch hinreichend, dass die Kugel von allen durch P gehenden Flächencurven die Krümmungskreise des Punktes P enthält. Insbesondere müsste die Kugel die Krümmungskreise aller Normalschnitte von P enthalten, d. h. der Punkt P müsste nach S. 110 ein Nabelpunkt sein. Dann aber tritt thatsächlich nach Satz 1, S. 105, Berührung zweiter Ordnung ein. Mithin:

Satz 82: Eine Fläche wird von einer Kugel nur dann in zweiter Ordnung berührt, wenn der Berührungspunkt ein Nabelpunkt der Fläche ist, und zwar ist dann der Kugelmittelpunkt der gemeinsame Mittelpunkt der Krümmungskreise aller Normalschnitte des Nabelpunktes.

Kehren wir jetzt zu den Betrachtungen am Anfang dieses Paragraphen zurück, so sehen wir, dass die Übertragung des Begriffes: Krümmungskreis einer Curve in den Begriff: Krümmungskugel einer Fläche unmöglich ist; sie ist nur für die vereinzelten Nabelpunkte der Fläche möglich.

Dies negative Ergebnis nötigt uns, einen anderen Weg zur Aufstellung des Begriffes der Krümmung einer Fläche einzuschlagen. Daran gehen wir im nächsten Paragraphen. Hier erwähnen wir nur noch, dass man leicht erkennt, dass das in Satz 32, S. 145, auftretende osculierende Paraholoid die Fläche in seinem Scheitel in der zweiten Ordnung berührt.

§ 12. Die sphärische Abbildung und die Krümmung der Flächen.

In der Ebene haben wir den Begriff der Krümmung einer Curve zunächst als Verhältnis aus dem Contingenzwinkel und Bogenelement definiert, siehe I S. 36. Dieser Definition gaben wir in Satz 28, I S. 41, eine andere Form, indem wir einen Kreis vom Radius Eins annahmen, alsdann zu jeder Normalen der Curve den parallelen Radius zogen und dadurch jedem Punkte der Curve einen Punkt auf dem Kreise zuordneten. Die Krümmung war dann gleich dem Verhältnis aus einem Bogenelement des Kreises zum zugehörigen Bogenelement der Curve. Dies Verfahren können wir auf die Flächen übertragen. Wir gelangen dadurch zu einer besonders wichtigen Art, eine Fläche auf die Kugel abzubilden, die schlechtweg die sphärische Abbildung der Fläche heissen soll.²

Gegeben sei die Fläche:

(1)

y = x(u, v),

x = q) (u, v),

/\p

Fig. 70.

Die Normalen der Fläche seien im reellen Fall mit positivem Sinn versehen, wie es auf S. 27 für ihre Richtungscosinus X, Y, Z festgesetzt worden ist. Wir nehmen nunmehr eine Kugel vom Radius Eins an, etwa die um den Anfangspunkt 0 als Mitte. Zur (im reellen Fall positiven) Normalen des Flächenpunktes P oder (u, v) ziehen wir von der Kugelmitte aus den parallelen Radius. Sein Endpunkt heisse das sphärische Bild des Punktes P. (Siehe Fig. 70.) Seine rechtwinkligen Coordinaten sind offenbar gleich den Richtungscosinus X, Y, Z.

Diese Art der Abbildung mittels paralleler Normalen mag noch so erläutert werden: Wird die vorgelegte Fläche aus irgend einer Richtung durch parallele Strahlen beleuchtet, und benutzt man den Satz, dass die Helligkeit einer Stelle proportional dem Cosinus des Einfallswinkels, d. h. des Winkels von Lichtstrahl und Normale, ist,

Man nennt sie

so sieht man: Von welcher Richtung aus man die Fläche und die Kugel durch paralleles Licht beleuchten mag, stets haben entsprechende Stellen von Fläche und Kugel dieselbe Helligkeit. Aus diesem Grunde bedient man sich der sphärischen Abbildung in der darstellenden Geometrie zur Bestimmung der Linien gleicher Helligkeit, der sogenannten Isophoten oder Lichtgleichen, auf gegebenen Flächen.

Hier ist auch Gelegenheit von Parallelflächen zu sprechen: Trägt man auf allen Normalen der gegebenen Fläche (1) von ihren Fusspunkten aus die constante Strecke a ab, so ist der Ort der Endpunkte eine Fläche mit den Gleichungen für die laufenden Coordinaten £, ty, g:

£ = x + Xa,    t)=y+Ya,    % = z + Za,

ebenfalls ausgedrückt mittels der Parameter u und v. Hier ist:

lu = Xu + Xua> L = Xv + Xva

u. s. w., sodass nach XI (ff) und XI (/) folgt:

34 = 0, SAfü = 0,

was aussagt, dass der Punkt (£, t), §) der neuen Fläche dieselbe Normale wie der Punkt (x, y, z) der Fläche (1) hat, oder auch:

Satz 83: Trägt man auf den Normalen einer Fläche von ihren Fusspunkten aus eine constante Strecke auf, so ist der Ort der Endpunkte eine Fläche, deren Tangentenebenen den Tangentenebenen der ursprünglichen Fläche in entsprechenden Punkten parallel sind, sodass beide Flächen die Normalen gemein haben.

Man nennt daher die neue Fläche eine Parallelfläche der Fläche (1). Es leuchtet ein, dass entsprechende Punkte der Fläche (1) und einer Parallelfläche dasselbe sphärische Bild haben. Die sphärische Abbildung bringt also, kann man sagen, nur diejenigen Eigenschaften der ursprünglichen Fläche zum Ausdruck, die auch allen ihren Parallelflächen zukommen. —

Bei der sphärischen Abbildung der Fläche (1) sind, wie gesagt, X, Y, Z die Coordinaten des Bildpunktes. Es sind dies Functionen der Parameter u, v, und daher sind u, v jetzt auch Parameter auf der Bildkugel.

Betrachten wir die beiden Punkte (u, v) und (u + du, v + dv) der Fläche (1). Es sei ds ihr Bogenelement. Dann ist:

d s² = E du² + 2 E'dudv + G dv².

Den beiden Punkten entsprechen bei der sphärischen Abbildung unendlich benachbarte Punkte auf der Kugel. Der eine hat die Coordi-naten X, Y, Z, der andere die Coordinaten X + e? X, Y+ dY, Z+ dZ, wenn d X, dY, dZ die Incremente bedeuten, die den Functionen X, Y, Z von u, v zukommen, sobald u um du und v um dv wächst. Daher entspricht dem obigen Bogenelement d s der Fläche ein Bogenelement d% auf der Kugel, für das:

d§² = dX² + dY² + dZ²

ist. Diese Summe wurde übrigens unter (13) 'auf S. 161 mit dv² — als Quadrat des Winkels unendlich benachbarter Normalen — bezeichnet. Nach der damals aufgestellten Formel (11) ist:

(2) d§,²=Il(Idu² + 2 Mdu dv + Ndv²) -K(E du² + 2Fdu dv + Gdv²),

wobei II und K die in Satz 11, S. 119, angegebenen Functionen der Fundamentalgrössen E, E, G und L, M, N sind.

Da auch auf der Bildkugel u und v Parameter sind, so hat die Kugel hinsichtlich dieser Parameter Fundamentalgrössen erster und zweiter Ordnung. Wir wollen sie mit (£,    ($ und ß, Ü0?, 9? be

zeichnen. Weil sich das Quadrat des Bogenelementes der Kugel durch die Fundamentalgrössen erster Ordnung so ausdrückt:

(3)

d§>² = (5 du² -f- 2 $ dudv -j- (5) dv²,

so zeigt (2) unmittelbar, dass

(4)

ist.

@ = SX² = HL — KE, % = SXUXV = HM-KE,

® = sa;² =hn-kg

In § 11 des ersten Abschnittes haben wir von beliebigen punktweisen Abbildungen einer Fläche auf eine andere Fläche gesprochen. Aus dem Satze 49, S. 96, können wir daher schliessen, dass es bei der sphärischen Abbildung im allgemeinen ein Orthogonalsystem auf der Fläche giebt, dessen Bild wieder ein Orthogonalsystem ist.

Dies können wir hier direct einsehen:

Sind nämlich die Parameterlinien (u) und (a) auf der Fläche (1) die Krümmungscurven, so ist nach Satz 63, S. 182, E = M= 0. Nach (4) ist dann ^ = 0, also sind dann die Bildcurven nach Satz 13, S. 34, zu einander orthogonal.

Umgekehrt: Sind die Parameterlinien (u) und (a) auf der Kugel, d. h. also die Bildcurven der Parameterlinien der Fläche (1), zu

einander orthogonal, so ist nach dem genannten Satze ^ = 0. Sind ausserdem die Parameterlinien (u) und (v) auf der Fläche selbst zu einander orthogonal, so ist auch F— 0, sodass aus der zweiten Gleichung (4) folgt:

HM = 0.

Nach Satz 63, S. 182, sind die

Ist H 0, so ist dann M = 0.

Curven (u) und (v) daher auf der Fläche die Krümmungslinien.

Wenn also auf der Fläche nicht etwa H überall gleich Null ist, so sind die Kriimmungscurven der Fläche das einzige Orthogonalsystem, dessen sphärisches Bild wieder ein Orthogonalsystem ist, denn die sphärische Abbildung ist selbst ja ganz unabhängig davon, ob wir gerade die Krümmungscurven, wie wir dies soeben gethan haben, als Parametercurven wählen oder nicht.

Nach (23), S. 118, ist: gleich der Summe der reciproken Werte der Hauptkrümmungsradien. Ist H — 0, so ist also Rl + P₂ = 0. Mithin:

n.

Satz 84: Bei der sphärischen Abbildung einer Fläche, auf der nicht überall die Hauptkrümmungsradien einander entgegengesetzt gleich sind, bildet sich nur das Orthogonalsystem der Krümmungscurven wieder als Orthogonalsystem ab.³

nz

Pt

Fig. 71.

Dies leuchtet auch geometrisch ein. Denn wenn P irgend ein Flächenpunkt ist und Pl und P2 ihm unendlich benachbarte Flächenpunkte auf den Hauptkrümmungsrichtungen von P sind, so wird die Normale n des Punktes P nach Satz 53, S. 171, von den Normalen nx und n₂ der Punkte P₁ und P2 geschnitten. Die zu n, und n2 parallel gezogenen Radien n, und n₂ der Bildkugel (siehe Fig. 71) liegen alsdann so, dass die Ebene (niii) der Ebene {nnx) und die

Ebene (nn₂) der Ebene (nn₂) parallel ist. Da die Ebenen [nn^ und (w n₂) auf einander senkrecht stehen, so gilt dasselbe von den Ebenen (nttj) und (nn₂).

Ist H = 0 auf der Fläche, so sind (£,    % nach (4) propor

tional E, F, G. Wenn aber die Fundamentalgrössen erster Ordnung auf zwei Flächen, die punktweis auf einander abgebildet sind, einander proportional sind, so ist die Abbildung nach Satz 86, S. 72, conform.

Umgekehrt: Ist die sphärische Abbildung conform, so bestehen Beziehungen von der Gestalt:

% = gG.

(£ = qE,

Alsdann folgt aus (4):

II Jj — (p -j- Aj E,

HM = (p + K) F,

ZZ JV = (p + A) G.

Entweder also ist II — 0 und p = — K oder aber es sind L, M, N proportional E, F, G, woraus folgt, dass die Fläche (1) lauter Nabelpunkte hat, nach S. 110, und also nach Satz 6, S. 112, eine Kugel ist. Daher:

Satz 85: Die sphärische Abbildung ist nur für diejenigen Flächen, auf denen in jedem Punkte die beiden Hauptkrümmungsradien einander entgegengesetzt gleich sind, und für die Kugeln conform.

Nach Satz 12, S. 120, können wir dies Ergebnis auch so for

mulieren:

Satz 86: Die sphärische Abbildung ist nur für diejenigen Flächen conform, auf denen in jedem Punkte zwischen den beiden Hauptkrümmungsradien Aj und Il2 eine der beiden Beziehungen

besteht.

In dieser Form lässt sich der Satz auch durch eine geometrische Infinitesimalbetrachtung in Anknüpfung an Fig. 71 leicht bestätigen. Dies sei dem Leser überlassen.

Hier sollen nun zunächst noch einige Formeln abgeleitet werden, die bei der sphärischen Abbildung von Flächen gebraucht werden:

Wenn wir in (4) die Werte von H und K nach Satz 11, S. 119, einsetzen, so kommt:

(5)

© = [ßM² - 2FL M + G L²],

[EMN- F{LN + M²)+ GLM], © = ~[EN² -2FMN + GM²].

D²

Aus (4) folgt ferner, dass die Grösse

2)2 = ©©-^

(6)

die wir analog der Grösse

D²= FG- F²

für die Kugel bilden, den Wert hat:

$2 ₌ II²{LN- M²) - HK [EN — 2 FM+ GL) + K²{FG - F²).

Wenn wir die erste und zweite Klammer nach Satz 11, S. 119, durch FL, K und D ausdrücken, so heben die beiden ersten Glieder rechts einander auf, sodass bleibt:

®² = K²D\

Nach S. 18 ist L) im reellen Fall positiv, ebenso, da dann auch das Bild auf der Kugel reell ist, die für die Kugel gebildete Grösse 2). Wir ziehen daher aus (7) den Schluss:

® = eKH,

(7)

(8)

wo € = ± 1 ist, je nachdem 0 ist.

Da der Radius der Kugel, der zum Bildpunkt oder (X, Y, Z) geht, zugleich Normale der Kugel ist, so sind die Richtungscosinus X, 2), $ der Kugelnormale, abgesehen vom Vorzeichen, gleich X, Y, Z selbst. Zur Bestimmung des Vorzeichens ist zu beachten, dass wir auf S. 27 Festsetzungen über das Vorzeichen getroffen haben. Nach den damaligen Formeln (4) ist, weil jetzt X, Y, Z an die Stelle von x, y, z und ® an die Stelle von D tritt:

(9)

YUZ„ - Zu Yv

zuxv-xuzv

Xu Yv - YUXV

3)

3)

3)

Nach dem Vorhergehenden ist klar, dass die rechten Seiten hierin gleich + X, + 7, + Z sein müssen. Man kann dies mit Hülfe der Formeln (4), S. 131, bestätigen, wodurch sich zugleich das Vorzeichen bestimmt. Denn danach ist:

Y Z — Z Y =

UV    UV

L N - M²

I)

also nach (9):

LN— M*

D$>

oder nach Satz 11, S. 119:

DK

*rx

oder endlich nach (8):

(10)

1 = eX, g) = e F, 3 = eZ.

Da X, Y, Z die Coordinaten des Bildpunktes von P sind, so ist die Normale der Kugel nach aussen — von der Kugelmitte aus — positiv, wenn £ = + 1 ist, nach innen, wenn e=— 1 ist. Da aber im reellen Fall e nach dem Früheren = +1 ist, je nachdem Kz=z0 ist, so folgt, weil K gleich dem Product der reciproken Werte der Hauptkrümmungsradien ist und nach S. 140:

Satz 87: Bei der sphärischen Abbildung einer reellen Fläche sind die Kugelnormalen nach aussen oder nach innen positiv zu nennen, je nachdem die zugehörige Stelle der Fläche elliptisch oder hyperbolisch gekrümmt ist.

Zur Vermeidung von Irrtümern heben wir jedoch nochmals ausdrücklich hervor, dass die Abbildung stets dadurch geschieht, dass man von der Kugelmitte aus die Radien parallel den positiven Flächennormalen zieht. Die Sache ist die, dass diese Radien für die ebenfalls mittels der Parameter u und v dargestellte Kugel nicht auch stets die positiven Richtungen der Kugelnormalen angeben, wenn anders die früher gemachten Festsetzungen über die positiven Sinne der Parameterlinien (vgl. S. 30) auch auf der Kugel gelten sollen. Es ist dies vielmehr nur für die Stellen der Fall, die den elliptischen Punkten der Fläche entsprechen.

Erinnern wir uns daran, dass die positive Tangente der Para-metercurve (v), die positive Tangente der Parametercurve (u) und die positive Normale im reellen Fall so gegeneinander liegen wie die drei Coordinatenaxen — abgesehen vom rechten Winkel der x- und g-Axe (vgl. S. 31) —, so sehen wir, dass die sphärische Abbildung für elliptische Stellen der Fläche gleichsinnig, für hyperbolische entgegengesetztsinnig ist, wenn man die Fläche von den positiven Normalen her betrachtet, die Kugel dagegen von aussen.

Wir können jetzt die auch dem Vorzeichen nach exacten Werte für die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung £,    auf der Kugel

sofort berechnen. Nach (10), S. 106, worin wir jetzt erstens de, g),

oder also eX, e Y, eZ statt X, Y, Z und zweitens X, Y, Z statt x, y, z zu setzen haben, ergiebt sich:

(H)

9fc= - 6SX²,

Q^-eSXJ,

d. h. nach (4):

(12)

arc = -6g,

Dass auf der Kugel die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung denen der ersten Ordnung proportional sein müssen, war nach Satz 6, S. 112, zu erwarten. Wir sehen, dass für solche Stellen der Kugel, die hyperbolischen Flächenpunkten entsprechen, die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung völlig mit denen erster Ordnung übereinstimmen, dagegen für solche Stellen, die elliptischen Flächenpunkten entsprechen, nur abgesehen vom Vorzeichen.

Erinnern wir uns jetzt daran, dass wir die sphärische Abbildung benutzen wollten, um ein Krümmungsmaass für die Flächen punkte abzuleiten. Zu diesem Zweck betrachten wir ein Element der Fläche (1), also ein unendlich kleines Stück der Fläche an einer Stelle F oder (u, v), etwa das in F anliegende unendlich kleine Parallelogramm der vier Punkte

(u + d u, v),

[u, v + dv), Nach Satz 14, S. 35, ist sein Inhalt gleich

D dudv.

(u Y du, v Y dv).

(«, v)

Wie man sieht, ist er im reellen Fall hier stets positiv ausgedrückt, wenn die Incremente du und dv positiv gewählt werden. Das Bild dieses unendlich kleinen, von den Parameterlinien (u), (u + du), (v), {v Y dv) eingeschlossenen Parallelogramms ist ein unendlich kleines Parallelogramm, das von den entsprechenden Parameterlinien auf der Kugel eingeschlossen wird. (Man möge die Fig. 70, S. 204, vergleichen.) Der Inhalt des Bildparallelogramms ist:

ü£) du dv.

Das Verhältnis aus dem Flächeninhalte dieses Bildes und dem des Originals würden wir nun nach den Bemerkungen am Anfang dieses Paragraphen als die Krümmung der Fläche an der Stelle F oder [u, v) definieren, wenn nicht noch ein Vorbehalt über das Vorzeichen zu machen wäre. Man wird wünschen, die Definition so zu fassen, dass sie für elliptische und für hyperbolische Punkte die Krümmung mit verschiedenen Vorzeichen ergiebt, und zwar ist es naturgemäss, für die ersteren Stellen das positive, für die letzteren Stellen das negative Zeichen anzuwenden. Dies können wir so erreichen: Wir setzen fest, dass wir die Inhalte der unendlich kleinen Parallelogramme auf der Kugel als positiv oder negativ bezeichnen wollen, je nachdem die Normale der Kugel an der betreffenden Stelle nach aussen oder nach innen positiv ist. Alsdann ist nicht %dudv, sondern

e ® dudv

der Inhalt des Parallelogramms auf der Kugel. Nunmehr definieren wir also so:

Unter der Krümmung in einem Flächenpunkte verstehen wir das Verhältnis aus dem Inhalte des sphärischen Bildes eines unendlich kleinen Stückes der Fläche an der betreffenden Stelle und dem Inhalte dieses Stückes selbst.

Die Krümmung an der Stelle (u, v) hat hiernach den Wert:

s 2) du dv

D du dv

oder nach (8) den Wert K. Daher nach (23), S. 118:

Satz 88: Die Krümmung in einem Flächenpunkte ist gleich K, d. h. gleich dem reciproken Wert von dem Product der mit Vorzeichen versehenen Hauptkrümmungsradien des Punktes.⁴

Allerdings könnte man einen Einwand machen: In der Definition des Krümmungsmaasses ist von einem beliebigen unendlich kleinen Flächenstück an der Stelle (?/, v) die Hede, während wir in den Formeln ein von Parameterlinien umgrenztes unendlich kleines Parallelogramm benutzt haben. Aber jeder Bereich lässt sich aus solchen Parallelogrammen zusammensetzen, auch zeigt das Ergebnis, da K = 1 : Kl i?₂ eine geometrische Bedeutung hat, dass es von der zufälligen Wahl des Parametersystems durchaus unabhängig ist.

Der Leser möge sich hier noch an den Satz 51, S. 170, erinnern. Dort betrachteten wir zwei conjügierte Bogenelemente ds1 und ds₂ der Fläche und die Winkel dvx und dv₂, die die in ihren Endpunkten errichteten Normalen mit den Normalen ihres Ausgangspunktes bilden. Bei der sphärischen Abbildung sind dvx und dv₂ die Bilder der Bogenelemente ds₁ und ds₂. Sind dst und ds₂ nicht nur conjugiert, sondern auch zu einander senkrecht, so können wir also nach Satz 84, da dann auch dv₁ und dv₂ zu einander senkrecht sind, aus Satz 51 wieder unseren Satz 88 — allerdings abgesehen von der Yorzeichenbestimmung — ableiten.

In § 2 des gegenwärtigen Abschnittes sahen wir, dass es zwei Arten von Flächen giebt, die in Bezug auf die Krümmungen der Normalschnitte ein wesentlich anderes Verhalten zeigen, als allgemeine Flächen, nämlich erstens die Flächen, die lauter Nabelpunkte haben, d. h. die Kugeln (siehe Satz 6, S. 112), und zweitens die Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten (siehe Satz 10, S. 115).

Wie wir aber schon auf S. 119, 120 bemerkt haben, können wir die Kugeln den allgemeinen Flächen unterordnen, indem wir irgend zwei zu einander senkrechte Normalschnitte als die Hauptkrümmungsschnitte bezeichnen. Es ist dann Ex — ü₂, gleich dem Radius der Kugel. Nach unserer Definition hat also eine Kugel vom Radius E das constante Krümmungsmaass 1 : R².

Liegt eine Fläche vor, die nur eine Schar von Minimalgeraden enthält, so sind zwei Fälle denkbar: Entweder umhüllen diese Geraden eine Curve, eine Minimalcurve, oder nicht. Im ersten Fall, also im Fall der Tangentenfläche einer Minimalcurve, sind unsere Formeln nicht anwendbar, weil die Grössen X, Y, Z ihre Bedeutung verlieren (vgl. S. 28). Aber die sphärische Abbildung artet überhaupt für abwickelbare Flächen aus, denn abwickelbare Flächen haben ja nur oo¹ Tangentenebenen. Die sphärische Abbildung kann nun natürlich auch, statt mittels Paralleler zu den Normalen, dadurch bewirkt werden, dass Tangentenebenen an die Kugel parallel zu den Tangentenebenen der Fläche gelegt werden. Man sieht, dass sich dann für die oo² Punkte einer abwickelbaren Fläche nur oo¹ Bildpunkte ergeben. Die sphärische Abbildung ist also für abwickelbare Flächen ausgeartet.

Wenn endlich eine Fläche eine Schar von Minimalgeraden enthält, die keine Curve umhüllen, so giebt es keine Hauptkrüm-mungsradien. Wir können also dann den Satz 88 nicht aussprechen. Wohl aber hat auch auf einer solchen Fläche die Grösse K, die ja nach S. 118 durch die Fundamentalgrössen erster und zweiter Ordnung ausdrückbar ist, eine analytische Bedeutung. Um also auch diesen Fall zu umfassen, werden wir gut thun, den Satz 88 nach (22), S. 118, durch diesen zu ersetzen;

Satz 89: Die Krümmung in einem Flächenpunkte ist:

LN - M2 LJ 0 - F² ’

wenn E, F, G und L, M, N die Fundamentalgrössen sind.

Dies bietet auch den Vorteil, dass wir den Begriff der Krümmung auch auf die abwickelbaren Flächen übertragen können, obwohl für solche Flächen das sphärische Bild ausartet. Wir sehen dann aus Satz 19, S. 132:

Satz 90: Die Flächen von der Krümmung Null sind die abwickelbaren ENächen.

Wenn man will, kann man allerdings auch hier die geometrische Definition durch das Verhältnis aus dem Element der Kugel zum Element der gegebenen Fläche aufrecht erhalten, denn da das sphärische Bild in eine Curve ausartet, so hat das Element der Kugel den Flächeninhalt Null.

Bei den Tangentenflächen der Minimalcurven dagegen versagen alle Definitionen. Hier sprechen wir also überhaupt nicht von der Krümmung. —

Beispiel: Auf einer Rotationsfläche ist die Krümmung nach Satz 13, S. 122, gleich dem reciproken Wert des Prqductes aus dem Krümmungsradius des Meridians in die Normale, wenn diese bis zur Axe gemessen wird, wobei noch das Vorzeichen zn beachten ist. Wir haben daher in Satz 14, S. 123, die Rotationsflächen constanter Krümmung⁵ bestimmt, abgesehen von denen von der Krümmung Null und von solchen Flächen, die wir damals überhaupt beiseite Hessen, nämlich von Flächen, die eine und nur eine Schar von Minimalgeraden enthalten. Aber die Rotationsflächen von der Krümmung Null sind ja nach Satz 90 abwickelbar, also Rotationskegel und Rotations-cylinder, insbesondere die Ebene. Wenn ferner eine Rotationsfläche eine Schar von Minimalgeraden enthält, so können wir sie so erzeugen: Die Gerade

l) = b + B u,

$ = c + Cu

£ = a + A u , ist eine Minimalgerade, wenn

A² + B² + G² = 0 x² + y² + x² = a² + b² 4- c² + 2(a A + b B + c G) (x — c).

ist, nach I S. 142. Lassen wir sie sich um die &-Axe drehen, so geht nach (1), I S. 8, die Fläche hervor:

x = (a + Au)cosv — (b-{-Bu)smv, y = [a + Au)sinv + (b+Bü)cosv, % = c + Cu. Hier ist

Die Fläche ist also eine Kugel und enthält daher gegen die Voraussetzung zwei Scharen von Minimalgeraden, nach Satz 26, S. 64. Nur wenn (7=0 ist, ist der Schluss etwas anders: Dann ist die Minimalgerade parallel der xy-Ebene, sodass eine Ebene hervorgeht. Es giebt also ausser den oben erwähnten Flächen keine sonstigen Rotationsflächen constanter Krümmung.

Was die sphärische Abbildung einer Fläche anbetrifft, so wollen wir hier anhangsweise noch Eines erörtern:

bilden.

Die Bildkugel enthält nach Satz 26, S. 64, zwei Scharen von Geraden, nämlich Minimalgeraden. Fragen wir uns, welche Curven auf der Fläche diese Geraden zu Bildcurven haben. Da bei der Abbildung einander entsprechende Punkte der Fläche und der Kugel parallele Tangentenebenen haben und da die Tangentenebenen der Kugel längs einer ihrer Minimalgeraden beständig diese Gerade enthalten, so werden längs derjenigen Curve der Fläche, deren sphärisches Bild diese Minimalgerade ist, die Tangentenebenen der Minimalgerade parallel sein, d. h. einen Cylinder von Minimalgeraden umhüllen. Die gesuchten Curven sind also diejenigen, längs deren die Fläche von Cylindern von Minimalgeraden umhüllt werden. Nach Satz 45, S. 157, sind diese Curven überall zu den Richtungen der hindurchgehenden tangierenden Minimalgeraden conjugiert. Die gesuchten Curven sind daher diejenigen, die mit einer Schar von Minimalcurven der Fläche ein System von conjugierten Curven Da die Fläche, sobald sie nicht Tangentenfläche einer Minimalcurve ist, zwei getrennte Scharen von Minimalcurven enthält — nach Satz 16, S. 36, — so folgt, dass es zwei Scharen von oo1 Curven der gesuchten Art giebt, derart, dass durch jeden Punkt der Fläche je eine Curve jeder Schar geht. Nach Satz 25, S. 138, sind die Tangenten der Minimalcurven durch einen Flächenpunkt symmetrisch zu den Hauptkrümmungstangenten des Punktes gelegen. Da man die conjugierten Richtungen nach Satz 38, S. 155, aus der Indicatrix ableitet, deren Axen den Hauptkrümmungstangenten parallel sind, so folgt, dass auch diese conjugierten Richtungen zu den Hauptkrümmungstangenten symmetrisch liegen. Anders ausgesprochen :

Satz 91: Diejenigen Curven einer Fläche, die sich bei der sphärischen Abbildung als die Minimalgeraden der

Kugel darstellen,⁶ sind zu den Minimalcurven conjugiert, und in jedem Flächenpunkte werden die Winkel ihrer Tangenten durch die Hauptkrümmungsrichtungen des Punktes halbiert.

§ 18. Geradlinige Flächen.

Indem wir daran gehen, die Krümmung der geradlinigen Flächen⁷ als Beispiel zu der vorangehenden Theorie zu betrachten, benutzen wir die Gelegenheit, die nicht-abwickelbaren geradlinigen Flächen etwas eingehender zu besprechen.

Von diesen

Vor allem ist da zu bemerken, dass es zwei wesentlich verschiedene Arten von geradlinigen Flächen giebt. Denn wir wissen ja, dass Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten, in Bezug auf die Krümmungstheorie eine besondere Rolle spielen, siehe S. 115. Daher gilt die allgemeine Krümmungstheorie der Flächen nicht ohne weiteres auch für diejenigen geradlinigen Flächen, deren Erzeugende Minimalgeraden sind.

Flächen sehen wir vorerst vollständig ab; sie sollen nachher kurz betrachtet werden.

Die Erzeugenden einer geradlinigen Fläche haben oo⁶ orthogonale Trajectorien. Es seien:

(1)

1 = Cf) {u), t) = / (u),    3 =    (u)

die Gleichungen einer dieser Trajectorien, in den laufenden Coordi-naten £, ty, 5 mittels ihrer Bogenlänge u ausgedrückt. Durch den Punkt (u) dieser Leitcurve — wie sie heissen möge — geht eine Erzeugende der Fläche. Sie kann als die Erzeugende (?<) bezeichnet werden. Sind f, g, h ihre Richtungscosinus, so sind f\ g, h Functionen von u. Die Annahme der Richtungscosinus f, g, h hat zur Folge, dass der Erzeugenden im reellen Fall ein positiver Sinn beizulegen ist. Es sei nun v die Strecke, um die ein Punkt auf der Erzeugenden von dem Punkte (u) der Leitcurve entfernt ist, im reellen Fall mit dem entsprechenden Vorzeichen versehen. Alsdann sind

(2) x = (f (1u) + vf[u),

V =X{u) + vg(u),

z — 'ifj (u) + v h (?/)

die Coordinaten dieses Punktes. In (2) liegt also eine Parameterdarstellung für die Punkte (u, v) der geradlinigen Fläche vor (vgl. (2) in I S. 271).

Da die Leitcurve eine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden sein soll, so ist, wenn a, ß, y die Richtungscosinus der Tangente der Leitcurve bedeuten:

(3)

S a f = 0.

Auf der geradlinigen Fläche (2) sind die Parameterlinien («) die Geraden. Jede Parameterlinie («) schneidet auf allen Geraden (?/,) dieselbe Strecke v ab, gemessen von der Leitcurve an. Sie hat aber noch eine einfache Eigenschaft: Die Richtungscosinus ihrer Tangente sind proportional xu, gu, zu. Nach (2) und III [B) ist aber:

xu = a + vf",    yu = ß + v9'»    zu⁼⁼y + vh'

und daher:

S xuf= S a f -f v S ff'.

Wegen (3), S f² — 1, S ff '= 0 ist dies gleich Null, d. h. die Curven (e) sind die orthogonalen Trajectorien der Geraden (u). Daher:

Satz 92: Zwei orthogonale Trajectorien einer Schar von oo¹ Geraden, die keine Minimalgeraden sind, schneiden auf allen Geraden dieselbe Strecke ab.

Kennt man auf einer geradlinigen Fläche eine orthogonale Trajectorie der Geraden, so findet man hiernach eine unendlich benachbarte orthogonale Trajectorie, wenn man jeden Punkt der ersteren Curve um dasselbe unendlich kleine Stück längs der hindurchgehenden Geraden verschiebt. Nehmen wir an, es sei von vornherein keine orthogonale Trajectorie bekannt. Alsdann werden wir die geradlinige Fläche auch in der Form (2) darstellen können, wobei aber nun die Erzeugenden der Fläche nicht gerade auf der Leitcurve (1) senkrecht stehen, sodass die Richtungscosinus f, g, h die Relation (3) nicht erfüllen. Alsdann kann man leicht nach S. 34 die Differentialgleichung erster Ordnung in u und v für die orthogonalen Trajectorien der Geraden der Fläche aufstellen. Nach Satz 62, I S. 93, verlangt daher die Bestimmung der orthogonalen Trajectorien nur eine Quadratur. Wir wollen dies direct bestätigen: Nach (2) ist auf der Fläche allgemein:

dx ■= [u -f v f') du + fdv

u. s. w. Da f g, h die Richtungscosinus der Geraden (u) sind, so ist also die Bedingung:

S [(« + vf)du + fd v] f = 0

die Differentialgleichung der orthogonalen Trajectorien. Wegen S/'² = 1, S ff = 0 kann sie so geschrieben werden:

S cc f • du + dv — U .

Hier ist S«/’eine Function von u allein. Mithin ist

S a f ■ du v =

Const.

die endliche Gleichung aller orthogonalen Trajectorien.

Nehmen wir jetzt wieder wie oben an, die Leitcurve (1) sei selbst eine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden, sodass die Relation (3) besteht. Die Erzeugende (m) liegt dann in der Normalenebene des Punktes (?<) der Leitcurve; es möge co der Winkel sein, den sie mit der (positiven) Hauptnormale der Leitcurve bildet. Der Winkel sei im Sinne der Drehung von der (positiven) Hauptnormale zur (positiven) Binormale der Leitcurve gemessen. Sind /, m, n und A, fi, v die Richtungscosinus der Haupt- und Binormale der Leitcurve, so ist dann:

(4) /'= /cos ro + A sinro, g = m cos co + g sin ro, h = n cos co + v sin»,

wie man sofort sieht, wenn man die auf der Erzeugenden vom Punkte (u) der Leitcurve aus aufgetragene Längeneinheit auf die Coordinatenaxen projicirt, indem man die Längeneinheit dabei durch einen gebrochenen Linienzug ersetzt (vgl. die analoge Überlegung in I S. 300). Wie f g, h ist auch co eine Function von u.

Die geradlinige Fläche ist vollständig gegeben, sobald die Leitcurve (1) und der Winkel ro als Function des in (1) auftretenden Parameters u gegeben ist. Dabei erhält man stets eine geradlinige Fläche, wie man auch die Curve (1) und die Function ro von u wählen mag.

Die Festlegung der Richtungen (/': g: h) mittels des Winkels co versagt oder ist wenigstens nicht eindeutig bestimmt, wenn die Leitcurve (1) eine Gerade ist, wenn also alle Geraden der Fläche eine Gerade senkrecht schneiden, wie dies bei der gemeinen Schrauben-tiäche (vgl. S. 60) der Fall ist. Alsdann aber werden doch nicht alle orthogonalen Trajectorien der Geraden wiederum Geraden sein, weil sonst die Fläche eine Ebene wäre. Wir umfassen also doch durch unsere Darstellungsweise alle geradlinigen Flächen, deren Erzeugende keine Minimalgeraden sind.

Ist 1 : r die Krümmung und 1 :g die Torsion der Leitcurve (1), so ist nach (4) und III (C), weil v die Bogenlänge der Leitcurve bedeuten soll; •

Ferner sind xvv, yvv, zvv nach (7) gleich Null, so dass die I unda-raentalgrösse N nach (9), S. 106, auch gleich Null ist. Dagegen ist xuv ~ f u- s- w-j sodass aus (4), (6) und II (D) für die Fundamentalgrösse M folgt:

M=

wobei nach (8) die Grösse D* = EG — F² = E ist.

Nun giebt der Satz 89, S. 214, für das Krümmungsmaass K der Fläche den Wert:

<Ll

(9)

cos co ■ a — co —

(sin 0) • l — cos co ■ X).

Es empfiehlt sich, zur Abkürzung zwei nachher beständig auftretende Functionen von u mit p und q zu bezeichnen:

q — co'---,

(5)

cos CO

sodass

f'= — pa — q (sin co • l — cos co • X)

ist. Entsprechende Werte gehen für g' und h' hervor. Nun ist nach (2), (6) und (4):

| xu — u + v f' = (1 — p v) a — <i sin to ■ v l + q cos co • v X,

\ xv — l cos co + X sin co

u. s. w. Nach XI (A) und II (A.) ergeben sich also die Fundamental-grossen erster Ordnung:

E = (1 — p v)² -f q² v²

(6)

(7)

(8)

F= 0,

G=l.

_ _ __ _~

E    E²    [(1 -pvf + q*v*f'

Auf einer geradlinigen Fläche mit reellen Erzeugenden ist also die Krümmung stets negativ oder höchstens gleich Null, was vorherzusehen war, da die Fläche nach S. 130 überall hyperbolisch oder insbesondere parabolisch ist. Ist die Krümmung überall auf der Fläche gleich Null, so ist die Fläche nach Satz 90, S. 214, abwickelbar. Dies tritt ein, wenn <7 = 0 oder also nach (5):

co =    _j_ Const.

J Q

ist. Diese Formel hat dieselbe Bedeutung wie die letzte Formel in I S. 311. Die Geraden der Fläche sind eben in diesem Falle solche Normalen der Leitcurve, die eine Curve auf der Polarfläche der Leitcurve umhüllen.

Sehen wir von den abwickelbaren Flächen ab, ist also q nicht identisch gleich Null, so erkennen wir aus (9), dass die Krümmung K längs einer jeden Erzeugenden (u) veränderlich ist, da sie im Nenner den längs der Erzeugenden (u) veränderlichen Abstand v von der Leitcurve enthält. Diese Grösse v käme ja nur dann in K nicht vor, wenn p = q = 0 wäre. Man erkennt hieraus, dass es unter den geradlinigen nicht-abwickelbaren Flächen, deren Erzeugende keine Minimalgeraden sind, keine Flächen con-stanter Krümmung giebt.

Durchläuft der Punkt (u, v) eine Erzeugende (?/.) und strebt er ins Unendlichferne, d. h. wird v unendlich gross, so convergiert die Krümmung nach (9) gegen Null, was wir auch so aussprechen können: Im Unendlichfernen hat die geradlinige Fläche den Charakter einer abwickelbaren Fläche. Dies kann man sich auch geometrisch leicht erklären.

Auf der Erzeugenden (u) erreicht nun die Krümmung, absolut genommen, da ein Maximum, wo der Differentialquotient des Nenners von K nach v gleich Null ist. Dies tritt ein für den Wert von v:

¹

Satz von Königs, vgl. hierüber die in der Anm. auf S. 187 genannten „Le§ons“ von Darboux, 1. partie, S. 111.

²

Die sphärische Abbildung der Flächen auf die Kugel wurde als ein wichtiges Hülfsmittel von Gauss in seinen „Disquisitiones“ (vgl. S. 5) in die Flächentheorie eingeführt und systematisch verwertet, deshalb auch die GAuss’sche Abbildung.

³

Da auf der Kugel jedes Orthogonalsystem als System der Krümmungscurven angesehen werden darf, nach S. 177, so steht dies mit dem späteren Satze 85 in Einklang.

⁴

In der hier angegebenen Weise hat Gauss das Krümmungsmaass in seinen „Disquisitiones“ (vgl. die Anin. auf S. 5) eingeführt.

⁵

Die Rotationsflächen constanter negativer Krümmung hat zuerst Minding bestimmt: „Wie sich entscheiden lässt, ob zwei gegebene krumme Flächen auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemerkungen über die Flächen mit unveränderlichem Krümmungsmaas se“, Journ. f. d. r. u. ang. Math. 19. Bd. (1839). Alle Rotationsflächen constanter Krümmung hat alsdann Liouville bestimmt und zwar in der 4. Note zur 5. Auflage von Monge’s „Application“ (1850). Vgl. die Anm. auf S. 110.

⁶

Diese Curven wurden zuerst von Bonnet betrachtet: „Memoire sur

⁷

l’emploi d’un nouveau Systeme de variables dans l’etude des pro-prietes des surfaces courbes“, Journal de Mathem. pures et appl., 2. serie t. 5. (1860).

(10)

p² + q²

Diese Stelle (u, t>) heisst der Mittelpunkt der Erzeugenden (?«);¹ dort hat die Krümmung den Wert:

(11)

«=*-

p² + q²\²

Man kommt leicht auf die Vermutung, dass der Mittelpunkt diejenige Stelle der Erzeugenden (u) ist, an der sie der unendlich benachbarten Erzeugenden [u + du) am nächsten kommt. In der That:

Ist (?/, b) diejenige Stelle der Geraden (u), in der der kürzeste Abstand dieser Erzeugenden von der Erzeugenden (u + du) beginnt, so muss diejenige Tangente der durch den Punkt (?/, b) gehenden orthogonalen Trajectorie (b) der Erzeugenden, deren Berührungspunkt der Punkt (u, b) ist, die Erzeugende (u + d u) senkrecht kreuzen. Sie hat aber Richtungscosinus proportional xu, yu, zu für v — b, und die Erzeugende (gi + du) hat die Richtungscosinus f-\-f'du, y + g'du, h + h'du. Also fordern wir für v = t):

S (/'+ f du) xu = 0 oder, da S fxu — 0 nach S. 217 ist:

§f'xu = ⁰

oder nach (6) und (7) wegen II (A):

— p (1 — p ü) + ü = 0,

aber diese Gleichung giebt wieder den Wert (10) von ü.

Satz 93: Längs einer solchen Erzeugenden einer geradlinigen Fläche, die keine Minimalgerade ist, erreicht die Krümmung der Fläche, absolut genommen, ihr Maximum an derjenigen Stelle, an der die Erzeugende einer unendlich benachbarten Erzeugenden am nächsten kommt.

Nach (10) und (11) ist

(12)

b²- -i-

b²-

sodass sich das Krümmungsmaass K nach (9) so ausdrückt:

(13)

K [l- Ä(® - b)a]² ‘

■e

Hiermit ist die Krümmung K im Punkte [u, v) ausgedrückt durch die Krümmung im Mittelpunkte (u, ü) der Geraden (u) und durch den Abstand v — t> beider Punkte von einander. Man sieht, dass symmetrisch zum Mittelpunkt gelegene Punkte der Erzeugenden dasselbe Krümmungsmaass haben.

Die Tangentenebene des Punktes P oder (u, v) enthält die durch ihn gehende Erzeugende (m) und die Tangente der durch ihn gehenden Parameterlinie (u).

u4^B Fig. 72.

Die letztere Tangente ist, weil die Curve (v) eine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden ist, diejenige Gerade, die im Punkte P auf der Graden (u) senkrecht steht und überdies die unendlich benachbarte Erzeugende (u + du) schneidet, etwa in Q. Ferner sei A der Mittelpunkt (u, ü) der Erzeugenden (u), also derjenige Punkt A, in dem der kürzeste Abstand AB zwischen den beiden Erzeugenden beginnt, siehe Fig. 72. Ziehen wir durch P die Parallele

zu AB und durch B die Parallele zu AB, so schneiden sich beide Parallelen in einem Punkte C. Die Geraden FC und FQ stehen alsdann auf PA senkrecht. Die Tangentenebene von P ist die Ebene P Q A. Rückt P nach A, so wird diese Ebene zur Ebene AB CP. Dies also ist die Tangentenebene des Mittelpunktes A. Beide Tangentenebenen schneiden einander längs PA, und es ist Ap:CPQ ihr Neigungswinkel gegen einander. Da PA auf PC und P Q senkrecht steht, so ist ApzB CQ ein Rechter. Da AB auf A P und B Q senkrecht steht, so ist -^cPCQ auch ein Rechter. Ist der unendlich kleine kürzeste Abstand AB — da und der unendlich kleine Winkel der beiden Erzeugenden, d. h. ApiCBQ, = dx, so folgt aus A BCQ und A PCQ:

CQ = APclr,

(14)

t gCPQ =

CQ

PC

= AP

Variiert der Punkt P auf der Erzeugenden (u), so ändert sich in dieser Formel rechts nur der Factor AP. Daher erkennen wir zunächst geometrisch:

Satz 94:¹ Bewegt sich ein Punkt P auf einer solchen Erzeugenden einer geradlinigen Fläche, die keine Minimalgerade ist, so dreht sich seine Tangentenebene um die Erzeugende in der Art, dass die Tangente des Winkels, den sie mit der Tangentenebene des Mittelpunktes der Erzeugenden bildet, proportional dem Abstande des beweglichen Punktes von dem Mittelpunkte ist.

Um dies auch analytisch exact einzusehen, bestimmen wir die Richtungscosinus X, Y, Z der Flächennormale. Nach XI (P), (7), II (C) und (8) ist:

q v a + (1 — p v) (sin co • l — cos co • A)

]/(l - p vf -f- p V¹

(15)

Dabei ist die Quadratwurzel im Nenner im reellen Fall positiv zu wählen, weil sie P> vorstellt. Insbesondere seien de, 9), 3 die Richtungscosinus der Normale des Mittelpunktes (u, ü). Nach (10) ist:

(16)

p n + q (sin co • l — cos co • X)

Vp² +

Jetzt finden wir für den Winkel i9- der Normalen des Punktes (u, v)

Dieser Satz und Satz 95 bei Chasies, siebe die Anm. zu S. 220.

und der Normalen des Mittelpunktes (u, b) oder also für den Winkel der Tangentenebenen beider Punkte nach II (A): ]/p² + ql ]/(l — p vf + ql v²

oder nach (12):

cos i? =

Hieraus aber folgt:

]/l- ®(V~ ü)²

tg²?9' = — ®(v — b)².

Da $ im reellen Fall stets negativ ist, so wird dadurch, dass wir

(17)

tg & = (v — b) ]/ — ®

ansetzen, dem Winkel th ein bestimmter Sinn beigelegt, sobald wir die Quadratwurzel aus — $ positiv wählen. Es ist nämlich alsdann tg & positiv für diejenigen Stellen der Erzeugenden (u), die ein Punkt durchläuft, wenn er vom Mittelpunkt A in positiver Richtung auf der Erzeugenden entlang geht (v > b). Dabei wächst d' von 0 bis i 7i. Durchläuft der Punkt das rückwärtige Stück der Geraden bis ins Unendliche, so nimmt d von 0 bis — \ n ab. Durchläuft der Punkt die ganze Gerade, so beschreibt demnach seine Tangentenebene einen gestreckten Winkel, indem die Tangentenebene im Unendlichfernen auf der im Mittelpunkte A senkrecht steht. Nebenbei bemerkt dürfen wir — entgegen unseren sonstigen Festsetzungen — hier auch das Unendlichferne in Betracht ziehen, da die erzeugenden Geraden der Fläche bis ins Unendlichferne wohl definiert sind. Besonders hervorgehoben sei noch, dass die Normale der Fläche im Unendlichfernen nach der einen oder anderen Seite positiv ist, je nachdem man bis v = + oo oder v = — oo geht.

Die Formel (17) sagt wie vorhin die Formel (14), in der ja ist, gerade das aus, was wir schon in Satz 94 ausgesprochen haben.

Dem Satze können wir noch eine andere Fassung geben: Auf der Tangentenebene des Mittelpunktes A errichten wir ein Lot, dessen kürzester Abstand von der Erzeugenden (u) gleich der Längeneinheit ist. Auf diesem Lot schneidet dann die Tangentenebene des Punktes (u, v) gerade die Strecke tg & ab. Also ist das Doppelverhältnis der Tangentenebenen von vier Punkten der Erzeugenden (m) gleich dem der vier zugehörigen Werte von tgt9-, nach Satz 43, I S. 334, und nach Satz 38, I S. 332. Nach (17) aber ist dies letztere Doppelverhältnis gleich dem der vier zugehörigen Werte von ö, wegen Satz 35, I S. 328, oder also gleich dem der vier zugehörigen Berührungspunkte. Daher:

Satz 95: Auf einer geradlinigen Fläche, deren Erzeugende keine Minimalgeraden sind, ist das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Erzeugenden gleich dem Doppelverhältnis ihrer Tangentenebenen. Insbesondere steht die Tangentenebene des Mittelpunktes auf der Tangentenebene im Unendlichfernen senkrecht.

Sind g und h zwei unendlich benachbarte Erzeugende der Fläche und ist A der Mittelpunkt von g, so enthält die Tangentenebene von A die Gerade g und den kürzesten Abstand AB von g und ä; die Tangentenebene des unendlich fernen Punktes von g steht auf dieser Ebene senkrecht. Daraus folgt: Ziehen wir durch einen Punkt, etwa durch den Anfangspunkt 0, die Parallelen g' und h' zu g und h, und errichten wir in 0 auf der Ebene von g' und K das Lot g', So ist die Tangentenebene von A der Ebene von g und g' parallel; und da die zu dieser letzteren Ebene senkrechte Ebene durch g auch h' enthält, so ist die Tangentenebene des unendlich fernen Punktes von g der Ebene von g und h! parallel.

Wenn wir durch 0 zu allen Erzeugenden die Parallelen ziehen, so entsteht ein Kegel, und die Ebene von g' und h' ist eine Tangentenebene des Kegels. Also:

Satz 96: Zieht man durch einen Punkt die Parallelen g zu den Erzeugenden g einer geradlinigen Fläche, so ist die Tangentenebene des unendlich fernen Punktes von g derjenigen Ebene parallel, die den Kegel jener Geraden g längs der zugehörigen Mantellinie g' berührt.

Den Kegel der Parallelen g' zu der Erzeugenden g nennt man den Richtungskegel der geradlinigen Fläche. Ist er gegeben, so kann man leicht die Stellungen derjenigen Tangentenebenen bestimmen, die die Fläche in den Mittelpunkten A der Erzeugenden g berühren, indem man nämlich zu jeder Tangenten ebene des Richtungskegels diejenige Ebene construiert, die auf dieser Ebene längs der Mantellinie g senkrecht steht. Sie ist der Tangentenebene des Mittelpunktes A der zugehörigen Erzeugenden g parallel.

Der Ort der Mittelpunkte A aller Erzeugenden g heisst die Strictionscurve der geradlinigen Fläche.³ Die Strictions-curve ist also einerseits der Ort derjenigen Punkte der Erzeugenden, in denen die Krümmung der Fläche, absolut genommen, ihr Maximum erreicht, andererseits der Ort derjenigen Punkte der Erzeugenden, in denen diese Erzeugenden den kleinsten Abstand von den unendlich benachbarten Erzeugenden haben. Die erste Definition versagt bei den abwickelbaren Flächen, bei denen ja die Krümmung überall gleich Null ist (vgl. Satz 90, S. 214); doch kann dann infolge der zweiten Definition die Gratlinie als Strictionscurve auffassen. Wenn aber keine Gratlinie vorhanden ist, d. h. wenn die Fläche ein Kegel ist, so ist die Strictionscurve zur Spitze des Kegels degeneriert. Ist aber die Fläche ein Cylinder, so kann offenbar jede der Curven, in denen die zu den Mantellinien senkrechten Ebenen den Cylinder schneiden, als Strictionscurve bezeichnet werden.

man

Fig. 73.

Im allgemeinen ist die Strictionscurve einer geradlinigen Fläche keine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden, denn die Strecken b, die sie auf den Erzeugenden (u) abschneidet — gemessen von der Leitcurve an —, sind nach (10) im allgemeinen von u abhängig. Die kürzesten Abstände zwischen je zwei unendlich benachbarten Erzeugenden sind also im allgemeinen nicht die Bogenelemente der Strictionscurve. Nur der Ort ihrer Anfangspunkte oder, was ja im Endlichen auf dasselbe hinauskommt, der Ort ihrer Endpunkte ist die Strictions-linie. Dies soll durch Fig. 73 erläutert werden. Hier sind auf einem Rotationshyperboloid die Geraden der einen Schar angedeutet. Dabei sind die kürzesten Abstände zwischen je zwei nahe auf einander folgenden Erzeugenden construiert worden. Die Strictionscurve ist hier der kleinste Kreis auf dem Hyperboloid, die kürzesten Abstände zwischen je zwei unendlich benachbarten Erzeugenden kreuzen den Kreis unter einem gewissen Winkel.

Es kann aber Vorkommen, dass die Strictionscurve eine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden ist. Dies tritt z. B. dann ein, wenn alle Erzeugenden eine Gerade senkrecht schneiden, wie bei der gemeinen Schraubenfläche. Die Gerade ist dann die Strictionscurve. Ist die Strictionscurve eine orthogonale Trajectorie, aber keine Gerade, so kann sie als Leitcurve gewählt werden, sodass

15

Scheffers, Geom. Diffr. II.

dann die Mittelpunkte der Erzeugenden auf der Leitcurve liegen, also b = 0 oder nach (10) und (5) entweder 1 : r = 0 oder cos co — 0 ist. Wäre 1 :r = 0, so wäre die Strictionscurve gegen die Voraussetzung nach Satz 27, I S. 221, eine Gerade. Ist cos co = 0, so sind die Erzeugenden nach (4) die Binormalen der Leitcurve. Daher:

Satz 97: Auf einer geradlinigen, aber nicht von Minimalgeraden gebildeten Fläche ist die Strictionscurve nur dann eine orthogonale Trajectorie der Erzeugenden, wenn die Fläche entweder aus den Binormalen einer Curve oder aus denjenigen Geraden besteht, die eine Gerade senkrecht schneiden. Alsdann ist die Curve bez. Gerade die Strictionscurve.

Die Fläche der Binormalen einer Curve ist nach I S. 275 im allgemeinen nicht abwickelbar, vielmehr nur dann, wenn die Curve eben ist. Alsdann ist die Fläche ein Cylinder, der* wie bemerkt, unendlich viele Strictionscurven hat.

Hat eine geradlinige Fläche zwei Scharen von je oo¹ Geraden, so ist sie nach Satz 31, S. 114, eine Fläche zweiter Ordnung. Sind die Geraden keine Minimalgeraden, so gehört zunächst zu jeder Schar eine Strictionscurve. Legt man nun durch den Punkt 0 die Ebenen parallel zu den Tangentenebenen der unendlich fernen Punkte der Fläche, so umhüllen sie den oben erwähnten Richtungskegel. Da die Erzeugenden der Fläche den Mantellinien des Kegels parallel sind, so folgt, dass beide Scharen von Erzeugenden den Mantellinien eines und desselben Kegels parallel sind. Wenn man nun diejenigen Ebenen construiert, die auf den Tangentenebenen des Kegels senkrecht stehen und sie längs der Mantellinien schneiden, so hat man solche oo¹ Ebenen, denen die Tangentenebenen der Fläche in den Punkten einer Strictionscurve nach dem Obigen parallel sind. Man findet also die Strictionscurve ganz unabhängig von der gewählten Schar der Erzeugenden, indem man diejenigen oo¹ Punkte der Fläche sucht, deren Tangentenebenen den soeben construierten oo¹ Ebenen parallel sind. Mithin fallen beide Strictionscurven zusammen.

Aus dem Richtungskegel und den Erzeugenden einer geradlinigen Fläche kann man rückwärts die Tangentenebenen der unendlich fernen Punkte der Fläche construieren, indem man durch jede Erzeugende g diejenige Ebene legt, die der Tangentenebene der zugehörigen Mantellinie g' des Kegels parallel ist. Die oo¹ Tangentenebenen der unendlich fernen Punkte umhüllen nach Satz 15,

I S. 293, eine abwickelbare Fläche, die man als die asymptotische abwickelbare Fläche der geradlinigen Fläche bezeichnen kann. (Vgl. I S. 18.) Diese abwickelbare Fläche kann ausarten; so sind z. B. die Tangentenebenen der unendlich fernen Punkte einer gemeinen Schraubenfläche (vgl. S. 60) die Ebenen senkrecht zur Schraubungsaxe; beim einschaligen Hyperboloid ist diese abwickelbare Fläche ein reeller Kegel u. s. w. Wir wollen hierauf nicht näher eingehen.

Wie wir oben sahen, giebt es unter denjenigen geradlinigen Flächen, deren Geraden keine Minimalgeraden sind, ausser den abwickelbaren Flächen keine Flächen constanter Krümmung. Ganz anders verhält es sich bei den Flächen von Minimalgeraden, wie schon das Beispiel der Kugel (vgl. Satz 26, S. 64) lehrt, denn die Kugel ist ja eine Fläche constanter Krümmung.

Wollen wir eine Fläche von Minimalgeraden analytisch darstellen, so wählen wir irgend eine Curve auf ihr als Leitcurve, etwa eine der krummen Minimalcurven der Fläche. Denn alsdann schliessen wir ja nur die Kugeln, auf denen auch die Minimalcurven der zweiten Art Geraden sind, und die Tangentenflächen von Minimalcurven aus. Die Kugeln haben constante Krümmung, und auf den Tangentenflächen von Minimalcurven versagt die Definition der Krümmung nach S. 214.

Nach Satz 50, I S. 342, sei also die Minimalcurve:

(18)    £ = yJ°(1 ~~ u²)cp[u)du, b = yJ"(1 + u²)cp{u)du, %=jucp{n)du die Leitcurve. Dabei bedeutet cp eine beliebige von Null verschiedene Function des Parameters u.

Durch den Punkt (u) der Leitcurve geht eine Minimalgerade der Fläche. Längs dieser Geraden wachsen die rechtwinkligen Co-ordinaten um solche Grössen A, B, C, bei denen die Summe der Quadrate gleich Null ist:

A² + B² + C² = 0.

Sie werden dabei Functionen von u sein. Wie in IS, 340 schreiben wir: {A +iB)(A - iB) =-C²

und setzen:

A - iB

CO (u)

sodass wir haben:

A: B: C =

y(l - ®²): y Q +

15*

Nun sind die Gleichungen der Fläche mit der Leitcurve (18): x = Y J~(! — “²) 9° du + y (1 — a²) v,

(19)

V = \ f ( 1 + u²) cp d u + y (1 + co²) v,

CO V,

2 3= J u cp du

ausgedrückt mittels der Parameter u und v.

Hier ist:

= y(x +

v=

xn = Y (! - u2) <P ~ ooa'v, Vu = Y (X + u^ V ⁺ * ® m v»

=    M9P    + Cö'ü,

daher nach XI (Ä):

(20)

F= - —{u- Q))² cp

G = 0.

Da ferner xvv, yvv, zvv gleich Null sind, so ist auch die Fundamentalgrösse N = 0 nach (9), S. 106, während sich wegen:

Vuv = *®<*>')

ergiebt:

Xuv =- OJG}',

Zuv =

M=-

i (u — co)² cp co'

Da D² nach (20) gleich — F² ist, so ergiebt sich nach Satz 89, S. 214, für das Krümmungsmaass K der Fläche der Wert:

K— 4 0) 2

(u — co)* cp² ’

der nur von u abhängt, nicht von v, woraus folgt, dass bei einer Fläche von Minimalgeraden die Krümmung längs jeder Erzeugenden constant ist.

Soll die Krümmung auf der ganzen Fläche einen constanten Wert K haben, so haben wir nach der letzten Formel

cp =

2 co'

1/K (m - co)² zu setzen. Mithin folgt aus (19):

Satz 98: Ausser den Kugeln und abwickelbaren Flächen giebt es noch andere geradlinige Flächen constanter

Krümmung K. Ihre Geraden sind Minimalgeraden. Jede solche Fläche lässt sich so darstellen:

du -1--(1 — co²) v,

2

du + — (1 + co²) v , du +

-wf

y Vk/

kf

(1 — u²) co'

(u - co)²

(1 + u²) co'

(u — co)²

u co'

0) V .

(u — co)²

Hierin bedeutet co eine beliebige nicht constante Function des Parameters ud

§ 14. Die mittlere Krümmung der Flächen.

Das in § 12 aufgestellte Krümmungsmaass entspricht in mancher Beziehung nicht den Anforderungen, die man von vornherein, ehe man an eine strenge Definition geht, an ein Krümmungsmaass zu stellen geneigt ist. So z. B. muss man sich erst darein finden, dass nicht nur die Ebenen, sondern auch die abwickelbaren Flächen nach Satz 90, S. 214, das Krümmungsmaass Null haben, obwohl doch diese Flächen augenscheinlich krumm sind. Wir werden ferner später sehen, dass sich das Krümmungsmaass nicht ändert, wenn man eine Fläche ohne Dehnung verbiegt. So interessant dieser Umstand an sich ist, so wenig entspricht er doch der Erwartung, die man von vornherein hegt, denn bei einer Verbiegung der Fläche ist man geneigt, zu sagen, dass sich ihre Krümmung ändert. Diese und andere Gründe sind die Ursache dafür, dass verschiedene andere Functionen als Maass der Krümmung vorgeschlagen worden sind. So auch die Grösse, die wir jetzt besprechen wollen und die man als die mittlere Krümmung zu bezeichnen pflegt, um sie von dem Krümmungsmaass K zu unterscheiden. Zu dieser Grösse hat eine physikalische Frage geführt. Man zeigt nämlich in der Physik, dass ein Teilchen, das an einer Stelle P der Oberfläche einer Flüssigkeit liegt, von denjenigen Teilchen, die in einer Schnitt-

¹ Diese imaginären geradlinigen Flächen von constanter Krümmung wurden früher, wie es scheint, stets übersehen und erst 1896 von Stäckel bestimmt in der in der Anm. auf S. 113 genannten Abhandlung. Allerdings erfordert die Aufstellung ihrer endlichen Gleichungen bei Stäckel noch die Integration einer linearen homogenen Differentialgleichung dritter Ordnung, während die obigen Formeln nur noch drei von einander unabhängige Quadraturen enthalten.

ebene der Fläche durch die Normale von P liegen, eine Anziehung erfährt, die — abgesehen von einer uns nicht interessierenden physikalischen Constanten — gleich der Krümmung 1 : r der durch die Ebene bestimmten Schnittcurve der Fläche an der Stelle P ist. Will man also die gesamte Anziehung ermitteln, die P erfährt, die sogenannte Oberflächenspannung in P, so hat man das Mittel aus den Krümmungen 1 : r aller Normalschnitte von P zu bilden.

Es liegt also jetzt die rein mathematische Frage vor: Durch die Normale eines Punktes P einer Fläche werden Ebenen gelegt, von denen je zwei auf einander folgende denselben Winkel mit einander bilden. Alsdann ist das arithmetische Mittel aus den Krümmungen 1: r aller dieser Normalschnitte zu bilden für den Fall, dass der erwähnte Winkel unendlich klein ist. Es ist also die Summe aller Krümmungen 1: r durch ihre Anzahl zu dividieren. Dies ist nach Satz 22, S. 135, ohne weiteres zu erledigen: Wir bilden die Summe, indem wir paarweis die beiden Krümmungen zusammenfassen, die in zwei zu einander senkrechten Normalschnitten auftreten. Dieses Paar liefert nach dem erwähnten Satze den Mittelwert:

Hvr + vr)’

wenn Rx und i?₂ die Hauptkrümmungsradien von P sind, also einen Wert, der für jedes dieser Paare derselbe ist. Mithin ist auch das gesamte arithmetische Mittel gleich diesem Werte, der also das Maass der Oberflächenspannung darstellt.

Aus dem angezogenen Satz folgt also der

Satz 99: Legt man durch die Normale eines Flächenpunktes P, dessen Hauptkrümmungsradien Rx und R₂ sind, lauter Schnittebenen, von denen je zwei benachbarte denselben unendlich kleinen Winkel mit einander bilden, so ist das arithmetische Mittel aus den Krümmungen aller Schnittcurven in P gleich:

i?₂

² \Ri

Die hier auftretende Summe der beiden Hauptkrümmungen, die wir in (23), S. 118, mit H bezeichnet haben, nennt man die mittlere Krümmung der Stelle P der Fläche.⁴ Nach (22), S. 118, drückt sie sich durch die Fundamentalgrössen so aus:

EN - 2FM+ GL

(1)

EG - F²

und diese Formel soll als Definition der mittleren Krümmung auch für den Fall gelten, dass P gar keine Hauptkrümmungsradien hat, also auf. den Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten (vgl. S. 115).

Zu dieser mittleren Krümmung II führt uns auch die Beantwortung der Frage, wie sich der Inhalt eines unendlich kleinen Flächenstückes ändert, wenn man die Fläche selbst einer unendlich kleinen Änderung unterwirft.

Es sei nämlich die Fläche vorgelegt:

(2)

X = (f(u, V)

z = xp(u, V)

y — x («, v),

von der wir voraussetzen, dass sie nicht die Tangentenfläche einer Minimalcurve sei, sodass auf ihr die Grösse D nach Satz 9, S. 29, nicht gleich Null ist. Wenn man nun die Fläche unendlich wenig ändert, sodass sie in eine unendlich benachbarte Fläche übergeht, so wird auf der Normalen eines jeden Flächenpunktes (u, v) ein Punkt der unendlich benachbarten Fläche liegen. Wir können daher die Änderung dadurch erzielen, dass wir jeden Punkt (u, v) der Fläche (2) längs seiner Normalen um ein unendlich kleines Stück verschieben. Die Grösse der Verschiebung wird von Punkt zu Punkt eine andere und daher eine Function von u und v sein. Sie habe den Wert

v {?/, v) £ ,

wenn e eine unendlich kleine Grösse bedeutet, die für alle Punkte (u, v) dieselbe sein soll. Sind X, Y, Z die Richtungscosinus der Flächennormale, so sind dann:

(3)

x — x + Xv s, y = y + Yv 6, z — z + Z v e

die Gleichungen der neuen Fläche. Hierin sind x, y, z die Functionen (2) und X, Y, Z die nach XI (F) zu berechnenden Functionen von u und v. Jedem Wertepaar u, v gehört ein Punkt der Fläche (2) und ein Punkt der neuen Fläche (3) zu; letzterer liegt auf der Normalen des ersteren. Die Fundamentalgrössen erster Ordnung seien auf der neuen Fläche mit E, I) 0 bezeichnet. Sie werden sich nur unendlich wenig von den entsprechenden Fundamentalgrössen F, F, G der alten Fläche unterscheiden. Wir wollen sie berechnen, indem

Krümmung bezeichnet, wie es auch Darboux thut. Wir schliessen uns an Bianchi und Stahl-Kommerell an.

wir dabei diejenigen Glieder vernachlässigen, die hinsichtlich s von höherer als erster Ordnung unendlich klein sind. Zunächst giebt (3):

*u = Xu + XuV6 + Xvu*>

Also ist nach XI (A):

% = S xu + ²(v S xu Xu + vu S xu X) 6 .

(4)

U. S. W.

Xv = Xv+ XvVe + Xvv⁶

Die erste Summe rechts ist gleich E, die zweite nach (10), S. 106, gleich — L und die dritte nach XI (/) gleich Null, sodass wir haben:

E = E — 2 vLe.

So kommt überhaupt:

(5) E=E-2vLe, F=F-2vMe, G=G-2vNe.

Dann ist nach XI (C):

D² = EG- F² = EG - F²- 2 v{EN- 2FM+ G L) e,

immer unter Vernachlässigung der höheren Potenzen von e. Hieraus folgt, wenn die Quadratwurzel ausgezogen wird:

(6)

’S

(EN- 2 FM + GL)e.

Diese Formel hat im reellen Fall das richtige Zeichen, da sich ja T) für 6 = 0 auf D reducieren muss.

Nach (1) können wir hierfür schreiben:

(7)

D = D - vDHe.

Hieraus folgt nach Satz 14, S. 85:

Satz 100: Ändert man eine Fläche dadurch unendlich wenig, dass man jeden Punkt (u, v) der Fläche um eine Strecke v[u,v) e auf seiner Normalen verschiebt — wobei e eine unendlich kleine Grösse bedeutet —, so ändert sich der Inhalt des von den vier Punkten (u, v), (u + du, v), (u,v-\-dv), (u + du, v -f dv) gebildeten unendlich kleinen Parallelogramms um die Grösse

— v I) H du dv • 6,

wo D = yiSG — F² und FL die mittlere Krümmung im Punkte (u, v) ist. Hierbei sind die hinsichtlich e von höherer Ordnung unendlich kleinen Grössen vernachlässigt worden.

Ein Flächenstück kann man sich immer aus Parallelogrammen von der erwähnten Art zusammengesetzt denken. Ist nun d J der

Inhalt eines unendlich kleinen Stückes der Fläche (2) an der Stelle (u, v) und dJ die entsprechende Grösse bei der Fläche (3), so haben wir also:

(8)

dJ — dJ = — v PL e • d J,

da Ddudv der Inhalt jenes unendlich kleinen Parallelogramms in obigem Satze ist. Also:

Satz 101: Ändert man eine Fläche dadurch unendlich wenig, dass man jeden Punkt auf seiner Normalen um eine unendlich kleine und von Punkt zu Punkt beliebige Strecke verschiebt, so ist die Änderung des Inhaltes eines unendlich kleinen Flächenstückes proportional dem Inhalte selbst, der Verschiebungsstrecke und der mittleren Krümmung an der betreffenden Stelle.

Wenn wir insbesondere die Verschiebungsstrecke constant, gleich £, wählen, so ist v = 1 und es folgt:

dJ — d J = — Hs • d J.

Dabei geht eine Parallelfläche der Fläche (1) hervor, nach S. 205. Demnach ist die Änderung des Inhaltes bei Parallelflächen proportional dem Flächeninhalte selbst und mittleren Krümmung.

Ist P eine reelle Stelle der Fläche und ist die Stelle elliptisch (vgl. S. 140), sodass und R₂ dort dasselbe Zeichen haben, so ist

// =

positiv oder negativ, je nachdem die Hauptkrümmungsmittelpunkte auf der positiven oder negativen Normalen liegen (vgl. S. 139). Man sieht also, dass die Parallelfläche grösseren Inhalt hat, sobald H entgegengesetztes Vorzeichen wie e hat, d. h. sobald sie auf der convexen Seite der ursprünglichen Fläche liegt. Ist dagegen P ein hyperbolischer Punkt und z. B. Rl > 0, R₂ < 0, so ist H > 0, wenn R₂, absolut genommen, grösser als Rx ist. Daher hat dann die Parallelfläche grösseren Inhalt, wenn sie auf derjenigen Seite der alten Fläche liegt, auf der auch der von P weiter entfernte Hauptkrümmungsmittelpunkt gelegen ist.

Wir wollen unsere Ergebnisse für ein wichtiges Problem in Anwendung bringen:

Angenommen, es sei eine reelle geschlossene Curve c gegeben. Dann können wir uns beliebig viele reelle Flächen vorstellen, die durch diese Curve hindurchgehen. Wir werden dann sagen, dass das innerhalb der Curve c gelegene Stück einer solchen Fläche einen kleinsten Inhalt hat, wenn sein Inhalt kleiner ist als der des entsprechenden Stückes aller unendlich benachbarten reellen Flächen durch die Curve c.

Ist etwa gerade die Fläche (2) eine solche Fläche kleinsten Inhaltes, so muss die Curve c auf der Fläche liegen, und diejenigen Flächen, deren Inhalt wir mit dem der Fläche (2) vergleichen, müssen zur Fläche (2) unendlich benachbart sein und ebenfalls c enthalten. Eine dieser benachbarten Flächen können wir also allgemein dadurch finden, dass wir auf den Normalen der Fläche (2) solche unendlich kleine reelle Strecken v (u, v) e auftragen, die insbesondere für die Punkte der Curve c gleich Null sind. Nun ist der Inhalt der Fläche (2), soweit er im Innern der Curve c liegt, als Doppelsumme der Inhalte der unendlich kleinen Parallelogramme der Parameterlinien darstellbar, also nach Satz 14, S. 35, als das Doppelintegral:

J — J J D du dv,

erstreckt über alle diejenigen Werte von u und v, die den Punkten in Innern der Curve c zukommen. Bei der unendlich benachbarten Fläche (3) haben wir nach (7) analog den Flächeninhalt:

Jj [D — v JD He) du dv

J = J JD du dv — e J Jv D H du dv.

Nun ist zu beachten, dass wir in der Formel (7) die höheren Potenzen von e vernachlässigt haben, daher ist auch in der Formel:

oder:

J — J = — e j' j*v H Hdu dv

von den höheren Potenzen von e abgesehen. Man weiss aber, dass eine Reihenentwickelung nach Potenzen von e dasselbe Vorzeichen wie das Glied niedrigster Potenz hat, mithin ist J — J, sobald der Coefficient der ersten Potenz, also:

J Jv JDIIdu dv,

von Null verschieden ist, positiv oder negativ, je nachdem man e positiv oder negativ wählt. Also ist in diesem Falle die Fläche (2) sicher keine Fläche kleinsten Inhaltes.

Die Fläche (2) kann vielmehr nur dann eine Fläche kleinsten Inhaltes sein, wenn

ff

v D H du dv = 0

ist, und zwar wie auch die reelle Function v (u, v) gewählt sein mag.

Da es sich um reelle Flächen handelt, so ist D eine von Null verschiedene positive Grösse. Ist nun H nicht überall auf der Fläche (2) im Innern der Curve c gleich Null, so wird auch, da ja dann mit v auch v D H als beliebige reelle Function von u und v aufgefasst werden kann, die obige Bedingung nicht erfüllt sein.

Die Fläche (2) kann also nur dann eine Fläche kleinsten Inhaltes sein, wenn die Grösse R überall innerhalb des durch die Curve c begrenzten Bereiches gleich Null ist.

Wohlbemerkt ist dies aber nur eine notwendige und keine hinreichende Bedingung für die Fläche kleinsten Inhaltes. Wir heben ausserdem hervor, dass H bei der jetzigen Betrachtung gleich der Summe der Hauptkrümmungen ist, da es sich ja um reelle Flächen handelt, die stets Hauptkrümmungsradien haben (nach S. 116). Daher haben wir gefunden:

Satz 102:⁵ Soll eine reelle Fläche, die sich durch eine geschlossene reelle Curve legen lässt, kleineren Flächeninhalt als alle unendlich benachbarten reellen Flächen durch dieselbe Curve haben, so ist dazu notwendig, aber nicht ohne weiteres auch hinreichend, dass in jedem Punkte der Fläche im Innern der Curve die beiden Hauptkrümmungsradien einander entgegengesetzt gleich seien:

K₁ + K₂ = 0.

Dieser Satz führt uns zur Betrachtung derjenigen Flächen, auf denen in jedem Punkte die beiden Hauptkrümmungsradien einander entgegengesetzt gleich sind, oder also der Flächen von der mittleren Krümmung Null. Man nennt sie Minimalflächen, weil zu ihnen die soeben besprochenen Flächen kleinsten Inhaltes gehören.

Wir wollen aber jenes Minimum-Problem nicht weiter erörtern, denn erstens überschreitet es die uns hier gesteckten Grenzen, die schwierige Frage nach den hinreichenden Bedingungen für das Minimum zu beantworten, und zweitens wollen wir uns nicht nur auf reelle Flächen beschränken, während doch jenes Minimum-Problem nur für reelle Flächen einen Sinn hat.

Ehe wir zur genaueren Betrachtung der Minimalflächen übergehen, erwähnen wir hier noch eine Beziehung zwischen den Flächen constanter Krümmung K und den Flächen con-stanter mittlerer Krümmung H.

Liegt eine Fläche constanter Krümmung K vor, die keine Schar von Minimalgeraden enthält, vielmehr in jedem Punkt zwei Hauptkrümmungsradien hat, und bei der also nach Satz 88, S. 212, das Product der beiden Hauptkrümmungsradien Rx und R₂ constant gleich 1 : K ist, und construieren wir eine Parallelfläche nach S. 205, indem wir auf jeder Normalen dieselbe Strecke a auftragen, so hat die Parallelfläche nach Satz 83 ebenda mit der ursprünglichen Fläche die Normalen gemein und daher auch nach Satz 53, S. 171, die Hauptkrümmungsmittelpunkte. Daher sind R₁ — a und R₂ — a ihre Hauptkrümmungsradien, sodass

K-

die mittlere Krümmung der Parallelfläche ist. Wegen ist:

(9)

— <i (R₁ +    + ß² + —j£

Nun kann man a so wählen, dass dieser Ausdruck frei von der Summe Rl + R₂ ist, indem man nämlich die Bedingung aufstellt:

1:2 a =

a : (a² +    ,

die für a constante Werte ergiebt:

H = +]/K.

Daher:⁶

Satz 103: Trägt man auf den Normalen einer Fläche von constanter Krümmung K die beiden constanten Strecken

Ii

Alsdann wird:

a = ±1/

auf, so sind die Örter der Endpunkte zwei Parallelflächen von den constanten mittleren Krümmungen + ]/A.

Umgekehrt: Es liege eine Fläche von constanter mittlerer Krümmung H vor, und es seien Rx und R₂ ihre Hauptkrümmungsradien. Wenn man dann die Parallelfläche im Abstand a construiert, so sind R₁ — a und R₂ — a ihre Hauptkrümmungsradien, sodass die Krümmung der Parallelfläche den Wert

hat. Da

ist, so folgt:

(Ri - a) ( R₂ - a) ⁺ R = E

(10)

(1 — a R) R₁ i?₂ + ®⁷ Wenn man also für a den constanten Wert:

wählt, so wird

K = II⁷.

Demnach:

Satz 104: Trägt man auf den Normalen einer Fläche von constanter mittlerer Krümmung H die constante Strecke

~H

auf, so ist der Ort der Endpunkte eine Parallelfläche von der constanten Krümmung H⁷.

Wir wollen die Sätze auch rein rechnerisch beweisen, wozu wir der Kenntnis der Fundamental grossen für Parallelflächen bedürfen. Zugleich füllen wir dadurch eine Lücke aus, denn die obigen Be-

² Die systematische Untersuchung der geradlinigen Fläche nimmt wohl ihren Anfang bei Monge, siehe die Anm. auf S. 110.

trachtungen gelten nicht mehr, wenn es auf den Flächen keine Hauptkrümmungsradien giebt, d. h. wenn die Flächen Scharen von Minimalgeraden enthalten.

Bezeichnen wir wie gewöhnlich mit x, y, z, X, Y, Z, E, F, G, L, M, N die auf eine Fläche bezüglichen Grössen, sodass nach Satz 11, S. 118:

(11)

EN - 2EM + GL

L N - M-²

EG - F²

ist, und benutzen wir bei der Parallelfläche im Abstand a über-strichene Buchstaben, so ist:

x = x + a X

daher:

y =y + aY,

Xu z=xu + a X,

u. s. w.

Also giebt XI (A):

E=Sx,’ + 2aS*.X. + a'&XS.

Hierin ist die erste Summe rechts gleich E, die zweite nach (10), S. 106, gleich — L, und die dritte wurde in (6), S. 159, berechnet. Demnach kommt, indem wir zugleich die Formeln für F und G hinschreiben:

(12)

E={ 1 - a²Ä)E- a{ 2 - a H) L , F= (1 - al K) F — a (2 - aIi)M, G={ 1 - a²K)G- a(2 - a H) N.

Hieraus folgt noch mit Rücksicht auf (11):

D² = E G - F² = D² (1 - ali + a² K)²,

also:

(13)

Hierbei haben wir das Vorzeichen so gewählt, dass es im reellen Fall unserer allgemeinen Festsetzung auf S. 18 für solche Werte von a entspricht, die nicht über ein gewisses Maass hinausgehen, sodass für a = 0 auch D = D ist.

Ferner haben wir:

Xuu — Xuu + a Xuu »

sodass nach (9), S. 106:

XU11 + aX,

jj yUu + a Yuu zuu -YaZ

Xu + aXu

yu + a J7u

Zu + aZn xv + aXv

yv + a Yv

Zv + aZv I

ist. Es ist bequemer, statt L zunächst LB zu berechnen, indem wir die Gleichung nach XI (I) mit multiplicieren. Dann kommt, wenn wir noch D auf die linke Seite bringen, zunächst der umständliche Ausdruck:

S xuuxu + a S Xunxu S x² +a S Xuxu S xvxu +aS Xvxu LBB= S xuuxv +aS Xuuxv    a S Xuxv S^² + a S

SxuuX+aSXuuX SxuX+aSXuX SxvX ₊ aSXX

Nach XI (A), XI (/), nach (7) und (10) auf S. 106 und wegen S X² == 1, also SI 1= 0, 81,1= 0 vereinfacht sich die Determinante bedeutend. Insbesondere findet man, dass die beiden letzten Elemente der letzten Zeile gleich Null sind, sodass kommt:

Ll)5 = (L + a SJ..X)

JE — a L F — aJM F — aJM G — aJV

Wegen S1 1= 0 ist noch:

s X X = - s X ²,

v MM    v U ’

daher nach (6), S. 159:

¹

Nach Chasees, „Memoire sur les surfaces engendrees par une

²

ligne droite“, Correspondance math. et phys. de Quetelet, t. XI (1839).

³

Nacli Chasles, siehe die Anm. zu S. 220.

⁴

Übrigens herrscht in dieser Beziehung keine Übereinstimmung unter den verschiedenen Autoren. Ursprünglich hat man wohl \H. als mittlere

⁵

Das Problem, die Flächen kleinsten Inhaltes bei gegebener Begrenzung zu bestimmen, behandelte Lagrange als Beispiel in seinem „Essai d’une nouvelle methode pour determiner les maxima et les minima des formules integrales indefinies“, Miscellanea Taurinensia t. II (1760 bis 1761), worin er die Variationsrechnung begründet hat. (Siehe auch Oeuvres t. I.) Er fand, dass die gesuchten Flächen % = f(x,y) der Gleichung (1 + 2⁸) r — 2 p q s + (1 + p⁸) t = 0

genügen müssen. Dies ist, wie die Formeln (11) und (12) auf S. 108 und (22) auf S. 118 zeigen, nichts anderes als die Gleichung    = 0. Aber diese

⁶

Satz 103 und 104 bei Bonnet, „Sur une propriete de maximum

⁷

relative ä la sphere“, Nouv. Annales de Mathem. t. 12 (1853).

⁸

charakteristische Eigenschaft fand erst Meusnier 1776 (siehe die in der Anm. auf S. 105 genannte Abhandlung) durch allerdings nicht ganz strenge geometrische Betrachtungen.

s Xuux = -HL + KE,

sodass mit Rücksicht auf (11) und (13) schliesslich X, ausgedrückt durch F, F, G, L, M, JV, H, K und a, hervorgeht. Analog berechnet sich M und X. Wir finden: 1 = aKF-f (1 - aH)L ,

(14)

M = aKF+ (1 - aJBJ) M,

X = aXG + (1 - aH) N .

Wenn wir die aus (12) und (14) analog (11) gebildeten Werte mit X und H bezeichnen, so kommt folglich:

Satz 105: Sind F, F, G, L, M, N die Fundamentalgrössen einer Fläche, deren Krümmung K und deren mittlere Krümmung FL ist, so sind die Fundamentalgrössen der Parallelfläche im Abstande a:

F={ 1 - a²K)E-a{2 -aH)L ,

F=(l - a²K)F-a{2 - aH)M,

G = (1 — a² K) G — a{2 — a H) -ZV;

L = a. KE +    — a H) L ,

M=aKF-\-{\ — a H) M,

N = a K G + {1 — «Ii) N .

Die Krümmung K und die mittlere Krümmung H der Parallelfläche drücken sich so aus:

1 - aH+ct?K'

H- 2a K

Ferner ist

1 - aH + a*K

D = ]/g7 G — F² —    — a Ii + a²K) D.

ln dieser letzten Formel ist das Vorzeichen so gewählt,, dass D im reellen Fall positiv ist für die dem Werte a — 0 benachbarten Werte von a.

Die beiden Formeln (9) und (10), aus denen wir die Sätze 103 und 104 ableiteten, sind, sobald darin

>t\ tcj

gesetzt wird, gerade die beiden im letzten Satze angegebenen Formeln für R und K. Demnach haben wir jetzt die Sätze 103 und 104 auch für den Fall nachgewiesen, dass die Flächen Scharen von Minimalgeraden enthalten.

Die Eigenschaft einer Fläche, eine Schar von oo¹ Minimalgeraden zu haben, wurde auf S. 114 durch die Bedingung (10) ausgedrückt die sich mittels der Krümmung K und der mittleren Krümmung H nach (11) so darstellen lässt:

{EG - F²)² {4 K — II²) = 0.

Da wir JD =f= 0 voraussetzen, so bleibt:

Also:

Satz 106: Die Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten, ohne aber Tangentenflächen von Mini-

malcurven zu sein, sind identisch mit denjenigen Flächen, deren Krümmung gleich einem Viertel des Quadrates der mittleren Krümmung ist.

Enthält die Fläche zwei Scharen von Minimalgeraden, so ist sie nach Satz 9, S. 113, eine Kugel oder Ebene, und man überzeugt sich leicht davon, dass hier der Satz erfüllt ist.

Aus dem Satze 105 folgt: Wenn K = \E² sein soll, so muss auch K = ^E² sein, d. h.:

Satz 107: Wenn eine von zwei Parallelflächen eine Schar von oo¹ Minimalgeraden enthält, so gilt dasselbe von der andern.

§ 15. Minimalflächen.

Im vorigen Paragraphen, auf S. 236, wurden die Minimalflächen als diejenigen Flächen definiert, deren mittlere Krümmung H überall gleich Null ist. Wir wollen diese Flächen jetzt etwas eingehender behandeln. Vorweg sei bemerkt, dass wir dabei von den Tangenten-fiächen der Minimalcurven grundsätzlich absehen, weil auf ihnen die Definition der mittleren Krümmung versagt, und ferner, dass eine Fläche, die eine Schar von Minimalgeraden enthält, nur dann eine Minimalfläche sein kann, wenn sie eine Ebene ist. Denn auf einer solchen Fläche muss nach Satz 106 wegen E = 0 auch die Krümmung K gleich Null sein, sodass die Fläche nach Satz 90, S. 214, abwickelbar wäre, während doch eine abwickelbare Fläche, die keine Ebene ist, nur eine Schar von Geraden enthält, die keine Minimalgeraden sind, wenn eben, wie gesagt, von den Tangentenflächen der Minimalcurven, insbesondere von den Cylindern von Minimalgeraden, abgesehen wird. Krumme Minimalflächen also enthalten keine Scharen von Minimalgeraden. Nach Satz 11, S. 118, haben sie folglich überall Hauptkrümmungsradien B₁ und Wegen

Ri -f- R₂

II = — H----

R₁ ^ R₂ RxR₂

und wegen E = 0 kann man sie daher als diejenigen Flächen, die in jedem Punkte entgegengesetzt gleiche Hauptkrümmungsradien haben, definieren. Sie sind also an allen reellen Stellen nach S. 140 hyperbolisch gekrümmt und haben dort nach Satz 26, S. 139, als Indicatricen gleichseitige Hyperbeln. Daraus folgt, dass man die krummen Minimalflächen auch als diejenigen Flächen, deren Haupttangentencurven ein Orthogonal-

16

Scheffers, Georn. Diffr. II.

System bilden, definieren kann. Den Satz 85, S. 208, können wir jetzt so aussprechen:

Satz 108: Die sphärische Abbildung ist nur für die Minimalflächen und für die Kugeln conform.

Wir wollen zunächst einige Beispiele von Minimalflächen bringen:

1. Beispiel: Fragen wir nach den Rotationsflächen, die Minimalflächen sind, so ist zunächst die Ebene zu nennen. Im übrigen ist dies Problem durch den Satz 16, S. 126, erledigt. Wir finden also:

Satz 109: Die einzigen Rotationsflächen, die Minimalflächen sind, sind die Ebenen und die Catenoide.

2. Beispiel: Wir fragen nach den geradlinigen Flächen, die Minimalflächen sind. Nach unseren obigen Bemerkungen können wir dabei von denjenigen Flächen absehen, deren Erzeugende Minimalgeraden sind, da sie nur die Ebenen liefern. Nun sind die Erzeugenden einer geradlinigen Fläche nach S. 183 Haupttangentencurven. Eine geradlinige Fläche ist daher dann und nur dann eine Minimalfläche, wenn die orthogonalen Trajectorien der Erzeugenden auch Haupttangentencurven sind. Nach Satz 64, S. 182, müssen dann die Hauptnormalen der orthogonalen Trajectorien Tangenten der Fläche und deshalb die Erzeugenden selbst sein.

Die gesuchten Flächen sind also diejenigen Flächen von oo¹ Geraden, auf denen die orthogonalen Trajectorien sämtlich die Geraden selbst zu Hauptnormalen haben. In § 10 des 3. Abschnittes, I. Band, haben wir Curven mit gemeinsamen Hauptnormalen betrachtet. Wir sahen damals, dass zu gewissen Curven je eine Curve zugeordnet ist, die mit ihr die Hauptnormalen gemein haben, und zwar je nur eine, sobald nicht Krümmung und Torsion der Curven constant ist, siehe I S. 325. Demnach sind die jetzt gesuchten Curven solche von constanter Krümmung und constanter Torsion. Nach Satz 29, I S. 226, sind die orthogonalen Trajectorien der Erzeugenden daher entweder gemeine Schraubenlinien oder gewisse imaginäre Curven dritter Ordnung. Die Hauptnormalen einer gemeinen Schraubenlinie treffen aber sämtlich die Axe ihres Cylinders senkrecht, nach I S. 191, und bilden daher eine gemeine Sch raubenfläche, von der wir schon wissen, dass sie eine Minimalfläche ist, weil wir in dem Beispiel auf S. 119 sahen, dass für sie die mittlere Krümmung H — 0 ist.¹

Ausserdem ist nun noch die Annahme zu machen, dass eine orthogonale

Trajectorie der Erzeugenden eine solche imaginäre Curve dritter Ordnung constanter Krümmung und Torsion sei, deren Gleichungen wir nach (12), I S. 226, so ansetzen können:

von

u²

iu² Yr³’

Allerdings haben wir in Satz 13, I S. 289 (vgl. auch I S. 224), erkannt, dass auch diese Curve eine Schraubenlinie ist, aber sie liegt auf einem Cylinder

6 r³

(r = Const.).

von Minimalgeraden, weshalb sie eine besondere Behandlung verlangt. Es ist u ihre Bogenlänge und r ihr Krümmungsradius, sodass die Richtungscosinus ihrer Hauptnormale nach III (B) die Werte haben:

'S §

Also sind:

uA

i uz i u 6 r²

v?

die Gleichungen der Fläche ihrer Hauptnormalen. Berechnen wir nach XI (J.) die Fundamentalgrösse F, so kommt F = 0, d. h. die Parametercurven (v) sind die orthogonalen Trajectorien der Erzeugenden (u) der Fläche. Wenn wir ferner nach (9), S. 106, die Fundamentalgrössen L und N berechnen, so finden wir, dass diese beiden auch gleich Null sind. Daher ist die mittlere Krümmung H nach (1), S. 231, wirklich gleich Null. Die Fläche ist deshalb eine allerdings imaginäre Minimalfläche. Dass sie nicht zu den gemeinen Schraubenflächen gehört, ist leicht zu sehen. Denn bei einer gemeinen Schraubenfläche ist eine der orthogonalen Trajectorien der Erzeugenden eine Gerade, nämlich die Schraubenaxe. Hier aber ist keine Curve (v) eine Gerade; es giebt ja keinen constanten endlichen Wert von v, für den die Verhältnisse von

Xu =

V?

2 r²

Vu =-

1    v? % v

2    r²

II

'S §

constant, frei von u, wären. Mithin:⁴

Satz 110: Ausser den Ebenen und den gemeinen Schraubenflächen giebt es noch eine Art von geradlinigen Flächen, die Minimalflächen sind. Es sind dies die Flächen der Hauptnormalen von gewissen imaginären Curven dritter Ordnung, die mit der Curve:

u°

■s §

to cc

II

** § bO

(r = Const.)

congruent sind. Die Geraden auf diesen imaginären Flächen sind keine Minimalgeraden.

Eliminiert man aus den Gleichungen der Fläche die Parameter u und v, was keine Schwierigkeiten macht, so kommt:

{x — iyf + 3 r(x— iy)% — 3 *>² y = 0 .

Hier liegen also imaginäre algebraische Minimalflächen dritter Ordnung vor.

Wir nehmen jetzt das Problem in Angriff, alle Minimalflächen zu bestimmen.⁵

Wir können dabei voraussetzen, dass die Parameterlinien die beiden Scharen der Minimalcurven der Fläche seien. Dann ist nach Satz 17, S. 36, E = G = 0. Damit die mittlere Krümmung H gleich Null sei, ist nun nach (1), S. 231, notwendig und hinreichend, dass M— 0 sei. Nach Satz 70, S. 186, heisst dies:

Satz 111: Eine Fläche ist dann und nur dann eine Minimalfläche, wenn ihre Minimalcurven zu einander con-jugiert sind.

Werden die Parameter mit u und ü bezeichnet, so besteht also nach Satz 71, S. 187, eine Gleichung von der Form:

(1)

öu 8t>

dh

— a (U> ö) + b (u, t>)    >

sobald man für # irgend eine der drei rechtwinkligen Coordinaten x, y, z der Flächenpunkte einsetzt. Es giebt also zwei Functionen a und h von u und ö derart, dass:

xu — CL Xu b Xß ,

yub = ayu + byv, zuti = azu + b z»

ist. Aber wenn wir diese drei Gleichungen mit xn, yu, zu multi-plicieren und dann addieren, so ergiebt sich, weil E=0 und also nach XI (Ä)

daher auch

S xu xn ü — 0

ist, und wegen S #u — F:

0 = bF.

Aber F ist nicht gleich Null, weil F = G = 0 ist. Mithin ist b = 0. Ebenso ergiebt sich, wenn die drei Gleichungen mit x₀, yü, z0 multiplieiert und dann addiert werden, dass auch a = 0 ist. Die Gleichung (1) nimmt daher die einfache Form an:

ö² &

du öb

= 0.

Nach dem Beispiel auf S. 188 aber bedeutet dies, dass die Parameterlinien (u) congruent und gleichgestellt sind und ebenso die Parameterlinien (ö). Da sie die Minimalcurven der Fläche sind, so folgt:

Satz 112: Jede Minimalfläche ist eine Schiebungsfläche, indem sie dadurch hervorgeht, dass man eine Minimal-curve, ohne ihre Gestalt und Stellung zu ändern, an einer anderen Minimalcurve entlang bewegt.¹

Oder in Formeln nach I S. 164:

Satz 113: Jede Minimalfläche lässt sich so darstellen:

X = ux (u) +    (t>),

y = v2 (u) +    (ö) i

z = U₃{ u) + F₃(t>).

Dabei sind die Functionen U₁, U₂, U₃ von u allein und die Functionen V₁, V₂, F₃ von ö allein nur an die beiden Bedingungen gebunden:

J7' 2 _j_ Ff² + V₃² — 0.

Ux'z + Ut’² + U₃'² = 0,

¹ Nachdem Monge (vgl. die Anm. zu S. 244) gefunden hatte, dass die Minimalflächen die in dem Satze 113 angegebene analytische Darstellung haben, machte erst Lie (vgl. die Anm. zu S. 188) auf die in Satz 112 ausgesprochene geometrische Deutung aufmerksam, die die Grundlage der LiE’schen Untersuchungen über die Minimalflächen bildet. Der geschichtliche Gang der Entwickelung ist also umgekehrt wie oben im Texte.

Denn es liegt auf der Hand, dass sich unsere Schlussfolgerung auch umkehren lässt.

Hiermit haben wir ein Mittel gewonnen, die Gleichungen einer beliebigen Minimalfläche aufzustellen, denn die Minimalcurven

und

? =    (U),    t) = ü₉ (u),    i= Uz (u)

l = y-l(ö)>    9 = ^₂(ö)>    3 =

die wir dabei gebrauchen, können nach Satz 50, I S. 342, explicite dargestellt werden. Dort ist allerdings nur von den nicht-geraden Minimalcurven die Rede, aber wir wissen ja, dass es unter den Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten, keine Minimalfläche ausser der Ebene giebt, was übrigens auch aus dem Satze 112 abgeleitet werden kann. Wir können daher, wenn wir von den Ebenen absehen, die eine Minimalcurve so wählen:

(2) £ = yJ(l-u²)V(u)du, t) = -|~J(1 + u²)U(u)g?u, $=ßt!7(u)du.

Dabei bedeutet U eine von Null verschiedene Function von u. Entsprechend schreiben wir die Gleichungen der zweiten Minimalcurve, indem wir u durch b und die Function U durch eine von Null verschiedene Function V von b ersetzen. Aber hierbei ist ein Umstand zu beachten: Handelt es sich nur um die Betrachtung einer Minimalcurve (2), so ist es gleichgültig, ob wir in der zweiten Gleichung + i oder — i schreiben. Sollen aber, wie bei der Minimalfläche, zwei Minimalcurven in Verbindung mit einander gebracht werden, so können wir entweder bei beiden i oder bei der einen i und bei der anderen — i schreiben. Dadurch ergeben sich zunächst zwei verschiedene Arten von Minimalflächen, je nachdem man nämlich in den Gleichungen:

* ⁼ y/⁽¹ ~ UWU)^U + yJ(! - b²)F(b)rfb, y = yJ (! + u²)U(u)rfu + yj (1 + b²)F(b)^b,

Ju U(u) du + J"b F()S)dv

bei dem zweiten Factor i das obere oder untere Vorzeichen wählt. Aber thatsächlich liefert die erste Annahme keine anderen Flächen als die zweite. Wenn man nämlich im ersten Fall neue Parameter u und v einführt, indem man:

schreibt und dann die Functionen

-u⁶P(u) = -4-?/(-4) = r₁(t,) F(b) = V (u) = Fj (u)

setzt, so gehen die Gleichungen über in diejenigen, die der zweite Fall liefert, mit den äusserlichen Unterschieden, dass u und v statt u und b und Ux und Vl statt U und V darin steht.

Mithin brauchen wir nur eines der beiden Vorzeichen zu berücksichtigen. Wir wählen das untere, sodass wir haben

Satz 114: Jede Minimalfläche mit Ausnahme der Ebene ist, und zwar in jeder Lage zu den Coordinatenaxen, in der Form darstellbar:

*L

er

J u.Udu + jbFJb.

Hierin bedeutet U irgend eine von Null verschiedene Function von u allein und V irgend eine von Null verschiedene Function von b allein.⁶ Nach XI (Ä) und XI (C) ist hier:

(3)    F=0, F= + \yur, G = 0, D — iF,

sodass XI (F). für die Richtungscosinus der Flächennormale die Werte giebt:

A =

u + b u b + 1 ’

Nach (10), S. 106, finden wir ausserdem:

M= 0,

(4)

r = — i—

ub + l ’

ub + 1

(5)

N =■ — V.

Beispiel: Oben fanden wir, dass es ausser den gemeinen Schraubenflächen noch imaginäre Minimalflächen mit geradlinigen Erzeugenden giebt. Bei geeigneter Wahl des Coordinatenkreuzes lassen sich diese Minimalflächen, wie wir sahen, so darstellen:

u³

6r*

y =-

i u³ i u Xr* ~ ~r~V'

Wollen wir sie in der im Satze angegebenen Form darstellen, so werden wir — um die Parameter u, v durch die dazu nötigen neuen Parameter u, b auszudrücken — bei unserer Fläche X, Y, Z nach XI (F) berechnen, wodurch sich ergiebt:

— i(u² — 2 r v) 2r ]/r² —2 rv

- u² + 2rv - 2ra 2 r]/r² — 2 rv

und diese Werte den Werten (4) gleichsetzen. Dadurch geht hervor:

]/ra — 2 r v

r (    1 \ * r

= it(u + y] ⁺y-

Setzen wir diese Werte in die Gleichungen der Fläche ein, so kommt:

tt

ir

12

u⁸-

<S>.

— u⁷ - —---

4    4 b⁷ 2

Diese Formeln gehen aber aus denen des Satzes hervor, wenn:

führung der sphärischen Abbildung (vgl. S. 204). Die Curven (u) und (b) auf der Kugel mit den rechtwinkligen Coordinaten X, Y, Z müssen also die Minimalgeraden der Kugel sein; und dies zeigt die Übereinstimmung unserer Formeln mit denen für die Kugel auf S. 64.

Wenn wir in den Gleichungen der in Satz 114 angegebenen Minimalfläche die Functionen U und V ganz beliebig wählen, so werden wir nicht gerade eine reelle Fläche erhalten. Wir fragen uns daher, unter welchen Umständen die Minimalfläche reell ist.

Zunächst müssen die Richtungscosinus der Normalen eines reellen Punktes (u, b) der Fläche auch reell sein. Daher müssen u und b so gewählt werden, dass die drei Ausdrücke (4) reell werden. Wann dies eintritt, ist leicht durch Rechnung zu entscheiden, indem man für u und b complexe Werte einsetzt. Wir können aber noch bequemer den soeben besprochenen Zusammenhang mit der Kugel heranziehen: Jeder reelle Punkt (x, y, z) der Fläche muss ein reelles Bild (X, Y, Z) auf der Kugel haben. Aber auf der Kugel sind u und b nach (9), S. 64, Functionen der Breite u und Länge v. Sind diese reell, so sind u und b nach jenen Formeln conjugiert complex.

Zunächst also müssen wir, um reelle Flächenpunkte zu erhalten, u und b conjugiert complex wählen. Aber dies ist nur eine notwendige, keine hinreichende Bedingung.

Wir setzen also an:

b = ?- it),

indem wir unter j und t) reelle Grössen verstehen. Nun seien die Functionen 27(u) und U(b) oder 27(y + ?' t)) und Yfe — it)) in ihren reellen und rein imaginären Teil zerlegt:

(6)

Afatf) + iB(i, t)),

v=    b)-

Alsdann hat z. B. die dritte Coordinate z den Wert: * = J[(? + *b)ü* +iJS) + *rfb) + (e - *b)(c'+iJ)) (^e - *<*b)]-

Der rein imaginäre Teil des Integranden ist, abgesehen vom Factor i:

-\- Bi— Cty + D£)di + (Ai — B\) —0% —

Er muss gleich Null sein. Daher müssen die Functionen A, B, C, B so beschaffen sein, dass:

(A-C)i-(B + B)q = 0

(A — 27)t) + (R-j-2?)f = 0,

sein. Dies aber bedeutet, dass TJ und V conjugiert complexe Functionen sein müssen.

Ist dies der Fall, so sind auch die in Satz 114 unter den beiden anderen Integralzeichen auftretenden Ausdrücke reell, da sie Summen sind, von denen die zweiten Summanden aus den ersten durch Vertauschen von i mit — i hervorgehen. Also

Satz 115: Die in Satz 114 angegebene Minimalfläche ist dann und nur dann reell, wenn u und b conjugiert complexe Veränderliche und U und F conjugiert complexe Functionen sind.¹

1. Beispiel: Wir wissen nach S. 242, dass die gemeine Schraubenfläche (vgl. die Formeln (20), S. 60):

(7)

y — u sin v

x = u cos v ,

eine reelle Minimalfläche ist. Sie muss sich also in der in Satz 114 angegebenen Form darstellen lassen. Um dies zu erreichen, müssen wir zunächst u und v als Function von u und b kennen lernen. Zu diesem Zweck bedienen wir uns wieder der Formeln (4). Denn nach XI (F) ist bei der gemeinen Schraubenfläche:

D X = q sin v ,

DY= — q cos v

wird. Also muss

C= A

D = -£

oder nach (6):

TJ — A + iB,

Berechnen wir hieraus X: Z und Y; Z und vergleichen wir diese Werte mit den aus (4) zu ziehenden Werten, so kommt:

sin v

(8)

u + b

q- = -,

u ub - 1

COS V

- b

ub - 1 ’

sodass:

51

|S

u_+ b 2 ]/u b ’

sein muss. Nun ist also bei der gemeinen Schraubenfläche (7):

sin v =

cos v =

. u - b 2 j/üb

v = — arc tg i

— q arc tg i —

¹ Hiernach ist es leicht, aus der ENNEPER-WEiERSTRASs’schen Form der Gleichungen einer Minimalfläche beliebig viele reelle Minimalflächen abzuleiten, während es früher ein Problem war, die mit Imaginärem behafteten lormeln von Monge so anzuwenden, dass sich reelle Minimalflächen ergaben.

und daher:

iq

2 u ’

während aus der dritten Formel des Satzes 114 folgt:

du

= uU.

Daher giebt die Vergleichung:

iq

2 u²

Wenn man dementsprechend die conjugiert complexen Werte:

iq

2 u² ’

iq

2 b²

in die Formeln des Satzes 114 einsetzt und dann u und b vermöge (8) durch u und v ausdrückt, so gehen thatsächlich die Gleichungen (7) der gemeinen Schraubenfläche hervor.

2. Beispiel: Schlagen wir jetzt, um eine andere reelle Minimalfläche zu gewinnen, den umgekehrten Weg ein. Wir wollen aunehmen, es sei:

2 u²

gewählt, also bis auf den Factor — i so wie soeben bei der gemeinen Schraubenfläche. Alsdann ist die conjugiert complexe Function:

2 b²

Der Satz 114 liefert daher die Fläche:

iq ( l

It

* + bj + Const., + bj + Const.,

(log u + log b) + Const.

u

u = e + i t)

so ergiebt sich die reelle Darstellung der Fläche:

- q r.

~2l

U

* = - q log Vf + i)²

Lassen wir die additiven Constanten fort, so heisst das, dass die Fläche im Raume verschoben wird, wobei sie ihre Gestalt nicht ändert. Benutzen wir ferner statt £ und t) neue Parameter u und v, indem wir setzen:

1} = — e ~ “ sin » ,

Setzen wir

f + t)²

+ Const.,

+ Const.,

+ Const.

£ = — e w cos v ,

so liegt die Fläche in dieser Darstellung vor: x = ±{eu + e~u)

Dies aber ist eine Rotationsfläche, deren Axe die «-Axe ist. Der Meridian in der x «-Ebene oder also die Parameterlinie (v = 0) hat die Gleichungen:

x = -|-(e“ + e_“),

cos v,

= -§•(«*+

n v,

« = qu,

sodass für diesen Meridian:

x = -f- (e« +e «

u

ist. Der Meridian ist also eine Kettenlinie, deren Leitlinie die «-Axe ist. Die gefundene Fläche ist daher ein Catenoid. (Siehe S. 126.)

3. Beispiel: Wir wollen

1 - b⁴

1 - u⁴’

wählen. Dann giebt der Satz 114 die Fläche:

u + b

x = arc tg u + arc tg b = arc tg ^ - ■    >

y — arctg i\i — arctg *b = arctg    ,

« = | log

(1 + u²) (1 + b²)

(1 - u²) (1 - b²)

Wir haben hier die bei y auftretenden Integrale dadurch ausgewertet, dass wir i\X und i b als die Veränderlichen benutzten. Wenn wir

einführen, so ergiebt sich die reelle Darstellung der Fläche:

2E

x = arc tg —-^-r-,

⁶ 1 - r² - t)² ’

woraus folgt:

1) = arc tg

2 t)

« = llog

(1 — e² — ty²)² + 4e2 (1 — E² — D²)² + 4 Q²¹

1 + tg² x

oder:

(9)

« = log

cos y

COS X

Diese Fläche heisst die ScHERn'sche Minimal fläche.⁸ Ihre Gestalt erkennt man am bequemsten aus der letzten Darstellungsform (9). Da « nur

dann reell ist, wenn cos x und cos y dasselbe Zeichen haben, so lassen sich die reellen Gebiete leicht erkennen: Wir teilen die x ^/-Ebene vermöge der Parallelen zu den Axen

~⁷¹    (n e^ne ganze Zahl)

2n + 1    ,

--n und y =

2 a

in Quadrate von der Seitenlänge n ein. Denken wir uns diese Quadrate schachbrettartig in zwei Scharen zerlegt, so sehen wir, dass für reelle Punkte der Fläche nur solche Werte von x und y in Betracht kommen, deren zugehörige Punkte (x,y) in der x ?/-Ebene in den Quadraten der einen Schar liegen, und zwar gehört zu dieser Schar dasjenige Quadrat, dessen Mitte der Anfangspunkt ist. Wenn x um n wächst oder abnimmt und y gleichzeitig um n wächst oder abnimmt, so ändern cos x und cos y zugleich ihr Zeichen, sodass % nach (9) ungeändert bleibt. Die Fläche ist daher doppelt-periodisch. Das Stück, das über dem Quadrat um den Anfangspunkt liegt, wiederholt sich congruent über den in den Diagonalen anstossenden Quadraten.

Stellt man die Fläche, indem man x und y als Parameter u und » benutzt, nach (9) in der Form dar:

z = log cos u — log cos »

(10)

x = u,

so erkennt man, dass sie auch dadurch entsteht, dass die Curve:

y = °,

(ii)

z = log cos u

längs der Curve:

(12)

y = v,

■ z = — log COS V ,

die sie im Anfangspunkt schneidet, ohne Änderung ihrer Gestalt und Stellung verschoben wird. Sie ist daher nicht nur hinsichtlich ihrer Minimalcurven als Minimalfläche eine Schiebungsfläche, sondern ausserdem hinsichtlich dieser Curven (11) und (12), vgl. S. 188. Sie ist daher sehr leicht zu eonstruieren, sobald man die Curven (11) und (12) für die Gebiete:

JT

- — <u <

toi a

toi a

bestimmt hat.

Leicht sind die Haupttangentencurven zu finden. Wir berechnen zunächst die Verhältnisse der Fundamentalgrössen zweiter Ordnung nach (9), S. 106. Es kommt, wenn die obigen Gleichungen (10) benutzt werden:

COS²Z( ’

MD = 0, ND =

cos²»

sodass nach S. 174 die Haupttangentencurven der Fläche der Gleichung

d u²

_ dv²

cos ²U cos²»

oder also einer der beiden Gleichungen:

cos u. cos»

genügen. Demnach sind:

l°S % (-j + - -) ± loS *g (Y + y)

= Const.

die endlichen Gleichungen der Haupttangentencurven. Die Projectionen der Haupttangentencurven auf die x ?/-Ebene haben also nach (10) die Gleichungen:

= Const.

und:

«(

Const.

Wir haben gesehen, dass die Fläche in doppelter Weise als Schiebungsfläche aufgefasst werden kann: Einmal als Schiebungsfläche ihrer imaginären Minimalcurven und dann als Schiebungsfläche der reellen Curven (11) und (12). Man kann beweisen, dass sie sogar auf unendlich viele Arten als Schiebungsfläche augefasst werden kann und daher ein Seitenstück zur gemeinen Schraubenfläche (vgl. S. 191) ist. Wenn man nämlich irgend eine Haupttangentencurve der Fläche herausgreift und den Ort der Mitten ihrer Secanten bestimmt, so findet man stets wieder Punkte der Fläche. (Vgl. S. 190). Die Fläche entsteht daher, wenn eine Curve, die zu einer Haupttangentencurve der Fläche im halben Maassstab ähnlich ist, an einer mit ihr congruenten Curve ohne Drehung entlang geschoben wird. Doch wollen wir hierauf nicht näher eingehen.¹

Wenn wir die reellen Minimalflächen bestimmen wollen, so müssen wir nach Satz 115 unter U und V conjugiert complexe Functionen der conjugiert complexen Grössen u = £ + et) und b = £ — it) verstehen und die Integrale in Satz 114 berechnen. Da nun jede der drei Coordinaten x, y, z als Summe von zwei Integralen gewonnen wird und jedesmal die beiden einzelnen Integrale conjugiert complex sind, so ist jedesmal ihre Summe gleich dem doppelten reellen Teil des einen Integrals allein.

Wenn wir also durch den Vorgesetzten Buchstaben 91 andeuten, dass von dem nachfolgenden Ausdruck nur der reelle Teil benutzt werden soll, so können wir das Ergebnis so aussprechen:²

Satz 116: Jede reelle Minimalfläche mit Ausnahme der Ebene ist in der Form darstellbar:

z = mßl -u²)£7(ü)du, y = dt Ji (1 + u²) U{vl) d u, z = dt J2u £/(u)du,

sobald man darin U als irgend eine Function von u = £ + z'b

¹    Diese Eigenschaft der ScHERK’schen Minimalfläche fand Lie; vgl. die Anm. zu S. 191.

²    Nach Weierstrass, vgl. die Anm. zu S. 247.

wählt, die nicht gleich Null ist, und nach beendigter Auswertung der Integrale £ und t) als Parameter der Fläche auffasst. Die reellen Punkte der Fläche gehören dann zu den reellen Werten der Parameter.

Wir können diese Gleichungen auch von den Integralzeichen befreien, indem wir wie in I S. 342 die Methode der teilweisen Integration anwenden. Wenn wir unter F(u) eine Function verstehen, deren dritter Differentialquotient gleich 27(u) ist und also als von Null verschieden vorausgesetzt werden muss (vgl. (5) in I S. 342), so kommt entsprechend dem Satz 51, I S. 343:

Satz 117: Jede reelle Minimalfläche mit Ausnahme der Ebene ist in der Form darstellbar:⁹

2itF"(u) -2/(u)]

* = «K [ (1 - u¹⁰)F'(u) + 2u F'(u) - 2F (u)], y = 9t [*(1 + u¹⁰) F" (u) - 2inF' (u) + 2iF(u)], z = 3ft[

sobald man darin u = £ + it} setzt und die reellen Grössen £ und t) als Parameter benutzt. Dabei bedeutet F{\\) eine beliebige Function von u, deren dritter Differentialquotient nicht gleich Null ist.

Die Parameter £ und t) sind nach Satz 27, S. 65, thermische Parameter der Minimalfläche. In der That lässt sich dies auch

sofort daraus schliessen, dass das Quadrat des Bogenelementes nach

(3) die Form

rfi¹⁰ = (ut)+ l)¹⁰ UFdVI dt)

oder also in £ und t) die Form:

ds¹⁰ = (£¹⁰ + t)¹⁰ + l)¹⁰ UV(dtf + d\)¹⁰),

also den Factor c?£¹⁰ + dt)¹⁰ hat. (Vgl. Satz 25, S. 58).

Die Parameterlinien (£) und (tj) bilden daher auf der Minimalfläche ein Isothermennetz.

Bei der sphärischen Abbildung sind die Grössen (4) die Coordi-naten des Bildpunktes des Flächenpunktes (u, ö) oder (£, t)). Sie haben, in £ und t) geschrieben, die Werte:

? + +

Dies ist eine analytische Darstellung für die Kugelpunkte {X, F, Z)

2?

t + 9¹⁰ + l ’

mit Hülfe zweier Parameter £, t). Da die sphärische Abbildung der Minimalfläche nach Satz 108 conform ist, so sind die Parameterlinien (f) und (ty) auf der Kugel ebenfalls Isothermen, nach Satz 32, S. 71. In der That traten dieselben Gleichungen schon auf S. 81 in (14) bei der stereographischen Projection der Kugel auf; nur hatten wir dort x, y, z statt X, Y, Z. Wenn wir also die Bildkugel vom Nordpol (0, 0, 1) aus auf die :ry-Ebene perspectiv projicieren, so ist die Projection des Kugelpunktes (X, Y, Z) der Punkt in der .ry-Ebene mit den rechtwinkligen Coordinaten j und ty-Die Parameterlinien (f) und (fy) auf der Kugel sind hiernach diejenigen Kreise, die im Nordpol die yz-Ebene bez. ^z-Ebene berühren. Da die stereographische Projection auch eine conforme Abbildung der Kugel auf die Ebene ist, so folgt:

Satz 118: Deutet man £ und als rechtwinklige Punkt-coordinaten in der Ebene, so wird die in Satz 116 angegebene Minimalfläche conform auf die Ebene abgebildet.

Wir beschliessen diesen Paragraphen,¹¹ indem wir noch ein Beispiel von Minimalflächen erwähnen, das allerdings etwas schwierigere Betrachtungen verlangt, sodass wir uns nur auf die Hauptsachen einlassen und es dem Leser anheimstellen, dies Beispiel zu überschlagen.

Beispiel: Wir wollen diejenigen Minimalflächen besprechen, die sogenannte Doppel flächen sind. Dabei erinnern wir daran, dass wir die allgemeinen Gleichungen einer Minimalfläche aus dem Umstande abgeleitet haben, dass die Minimalflächen Schiebungsflächen von Minimalcurven sind. Nun sahen wir, als wir auf S. 188 u.f. von den Schiebungsflächen überhaupt sprachen, dass es insbesondere Vorkommen kann, dass die beiden erzeugenden Curven der Schiebungsfläche mit einander congruent und von gleicher Stellung sind (vgl. S. 189). Da eine reelle Minimalfläche nur conjugiert complexe Minimalcurven enthält, so werden wir hier zu der besonderen Annahme geführt, dass beide erzeugende Minimalcurven einerseits conjugiert complex sind und andererseits die eine in die andere durch eine Schiebung übergeführt werden kann. Diese

Flächen hat man Doppelflächen genannt, und zwar deshalb, weil sie, sobald sie nicht-periodisch sind, eine merkwürdige Eigenschaft haben. Diese Eigenschaft wollen wir aber nicht durch geometrische Überlegungen, wie wir sie soeben andeuteten, sondern durch die Untersuchung eines analytischen Problems ableiten, nämlich so:

Wählt man eine bestimmte Function U (u), so gehört zu ihr nach Satz 116 eine reelle Minimalfläche, die bis auf eine Schiebung im Raume eine völlig bestimmte Lage hat, denn die Integrationsconstanten können noch beliebig gewählt werden. Man kann sich nun fragen, ob zwei verschiedene Functionen dieselbe Minimalfläche — abgesehen von Schiebungen — liefern. Geben wir daher der Functin U noch einen zweiten Wert U(ja), indem wir auch die Veränderliche u durch

u = £ + i t)

ersetzen, sodass für die zweite Fläche die Richtungscosinus der Normalen nach (4) die Werte haben:

üb - 1 üb + 1 ’

ü + D üö + 1

wo natürlich b der zu ü conjugierte Wert

b = f - i-t)

sein soll. Soll jeder Punkt (u, b) der ersten Fläche mit einem Punkte (ü, b) der zweiten — abgesehen von einer Schiebung im Raume — zusammenfallen, so müssen sie parallele Normalen haben, aber es kann der Sinn der positiven Normalen bei der zweiten Fläche der umgekehrte sein. Daher setzen wir die Werte (4) entweder direct den Werten (13) gleich oder aber erst nach Multiplication mit — 1. Im ersten Fall ergiebt sich dann

(13)

. ü - ö

% —- j

üb + 1

(14)

dagegen im zweiten Fall:

(15)

oder:

ci

und diese Werte u, b sind conjugiert complex, sobald es u und b sind. Denn

b = S - * t)

? + V²

wenn

ist, so giebt (15);

(16)

Nun giebt die Gleichung für x in Satz 116 oder, was vielleicht klarer ist, die Gleichung für x in Satz 114, wo U und V conjugiert complexe Functionen von u und b bedeuten:

dx = aUd\l + t>VdO,

während bei der neuen Fläche:

dx = ttZ7du 4- n V do

ist. Sollen beide Werte übereinstimmen, so giebt die Annahme (14) die triviale Lösung Ü(ü) = Ü(u) = Z7(u) und V (jo) = V (b) = V (b), also keine zweite Fläche. Dagegen giebt die Annahme (15):

uPdü + I Vdö =

Scheffers, Geom. Dififr. II.

«-F.

4-r)

dü.

17

Diese Forderung wird für alle Werte von u und n befriedigt, wenn:

¹

Die ersten krummen Minimalflächen, die überhaupt gefunden wurden,

²

beide in der Arbeit von Meusnier vom Jahre 1776 zuerst vor. Vgl. die Anm. zu S. 105.

³

sind die gemeinen Schraubenflächen und die Catenoide, und zwar kommen

⁴

Dass eine reelle krumme geradlinige Fläche nur dann eine Minimalfläche ist, wenn sie eine gemeine Schraubenfläche ist, hat zuerst Catalan bewiesen: „Sur les surfaces regl6es dont, l’aire est un minimum“, Journ. de Math. p. et appl., 1. serie, t. VII (1842). Die in Satz 110 angegebene, allerdings imaginäre geradlinige Minimalfläche scheint bisher nirgends beachtet worden zu sein.

16*

⁵

Wie wir in der Anm. auf S. 235 schon sagten, stellte Lagbange die partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung auf, der die Minimalflächen x = f(x,y) genügen müssen; aber er integrierte sie nicht. Monge versuchte die Integration in seinem „Memoire sur le calcul integral des equa-tions aux differences partielles“, Mem. de l’Acad. des Sciences 1784, beging aber dabei Irrtümer. Auf diese Fehler machte Legendke in seinem „Memoire sur l’integration de quelques öquations aux derivees partielles“, Mem. de l’Acad. des Sciences 1787, aufmerksam. Er bemerkte darin zugleich, dass Monge mittlerweile das wahre Integral gefunden und ihm mitgeteilt habe, und zeigte, wie er es alsdann ebenfalls gefunden habe. Die richtige Methode von Monge findet sich in seiner „Application“. Eine andere Methode, die auch von Monge herrührt, findet sich in dem „Traite du calcul difförentiel et du calcul integral“ von Lacroix, 2. Aufl., t. II, Paris 1814. Monge kommt dort zu dem wichtigen Satze 113 des Textes.

⁶

Diese Darstellung der Minimalflächen verdankt man Enneper, „Analytisch-geometrische Untersuchungen“, Zeitschrift f. Math. u. Physik, 9. Jahrg. (1864), und Weierstrass, „Über die Flächen, deren mittlere Krümmung überall gleich Null ist“, Monatsberichte d. Berliner Akad. 1866. Man muss dabei beachten, dass der Begriff der Minimalfläche älter als der Begriff der Minimalcurve ist, der eben in allen Arbeiten über Minimalflächen bis zu denen von Lie nur implicite auftritt. Vgl. die Anmerkung zu I S. 340.

⁷

b⁴

gesetzt wird.

Die Werte (4) von X, Y, Z sind genau dieselben Ausdrücke, die wir in (11) auf S. 64 für die Coordinaten x, y, z der Punkte einer Kugel vom Radius Eins um den Anfangspunkt erhielten. Dabei waren damals die Linien (u) und (ö) die Minimalgeraden der Kugel. Dieser Zusammenhang ist nicht überraschend, denn wir wissen ja, dass die sphärische Abbildung der Minimalflächen conform ist, siehe Satz 108, und andererseits, dass bei einer conformen Abbildung die Minimalcurven wieder in Minimalcurven übergehen, nach Satz 37, S. 73. Nun aber sind X, Y, Z ja gerade die Coordinaten des Bildpunktes des Punktes (u, ü) unserer Minimalfläche bei Aus-

⁸

Nach ihrem Entdecker Schere, „Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen“, Journ. f. d. r. u. ang. Math. 13. Bd. (1835). Zur richtigen Würdigung dieser Entdeckung sei hervorgehoben, dass man damals die Sätze 114 und 115 noch nicht kannte.

⁹

Auch diese Darstellung der reellen Mmimalflächen wurde von Weier

¹⁰

strass gegeben, vgl. die Anm. zu S. 247.

¹¹

Hierbei sei zur Orientierung des Lesers noch bemerkt, dass wir nur einen sehr kleinen Teil derjenigen Ergebnisse beibringen können, die seitens verschiedener Mathematiker auf dem Gebiete der Minimalflächen gefunden worden sind. So werden wir z. B. auf die wichtigen Untersuchungen von Schwarz gar nicht eingehen können. Wir wollen aber noch erwähnen, dass Schwarz im Journal f. d. r. u. angew. Math., 80. Band, einen geschichtlichen Überblick über die Minimalflächen gegeben hat, der auszugsweise in Salmon-Fiedler’s „Analytische Geometrie des Raumes“, II. Teil, Leipzig 1880, S. XX—XXVIII, aufgenommen worden ist. Auch die geschichtlichen Notizen in Darboux’ „Le^ons“ (vgl. die Anm. zu S. 187), I. partie, S. 267 u.f., sind zu beachten.

M-i)

gesetzt wird, und dann sind U und V thatsächlich zu einander conjugiert com-plexe Functionen. Daher, mit Rücksicht auf (16):

Satz 119: Die beiden reellen Minimalflächen, die durch die Gleichungen:

x =    (1 -ü²) Udü,

= Dt fi( 1 + ü²) Üd u, z = J“ 2ü Udü

und

x = Dt J" (1 — u²) Ud u , y — Dt Ji( 1 +u²) U du, x = mJ' 2 u Udu

dargestellt werden, in denen ü eine Function von

u = £ + i 1)

und U eine Function von

ü = j + * tj

bedeutet, sind — abgesehen von einer Schiebung — nur dann mit einander identisch, wenn entweder U dieselbe Function von tt wie U von ü ist oder wenn sich Z7 durch die zu TJ conjugiert .com-plexe Function V so ausdrückt:

Im zweiten Fall entspricht dem Punkte (j, t)) der einen Fläche derjenige Punkt (j, der anderen Fläche, für den

£² + >)

r =--I-

⁴    i-² +1)²

ist, und die Normalen beider Punkte sind einander parallel, aber von entgegengesetztem Sinn.

Bleiben wir jetzt bei dem nicht trivialen zweiten Fall. Es kann Vorkommen, dass, die neue Function U, ausgedrückt durch ü, genau dieselbe Function ist wie die alte Function U, ausgedrückt durch u. Alsdann liegt eine reelle Minimalfläche vor, ausgedrückt durch die reellen Parameter j und 1), bei der die Stelle (u) oder (y, h) mit der Stelle

oder

£² + t)²’

f + t)²

congruent ist, während sie an diesen beiden Stellen nach verschiedenen Seiten gerichtete parallele Normalen hat. Ist die Fläche nicht-periodisch, so müssen beide Stellen zusammenliegen. Wenn sie dagegen periodisch ist, so könnte die eine Stelle um eine oder um einige Perioden von der andern entfernt sein.

Setzen wir nun voraus, dass die Fläche nicht-periodisch sei, so wollen wir annehmen, dass sich die Grösse tt stetig in die Grösse — 1 :u verwandele. Dabei beschreibt der zugehörige Punkt (r, t)) der Fläche eine stetige Curve auf der Fläche, wobei er schliesslich in seine Anfangslage zurückkehrt, aber dann eine nach der anderen Seite gerichtete Normale hat; d. h. er ist auf die andere Seite der Fläche übergegangen. Es liegt also dann der merkwürdige Fall einer Fläche vor, bei der ein auf der Fläche gelegener Punkt auf stetigem Wege auf die andere Seite gerade an dieselbe Stelle gelangen kann, ohne die Fläche zu durchsetzen.¹ Eine solche Minimal-fläehe heisst eine Doppel fläche.²

Zu diesen Flächen gelangt man auch, wenn man, wie oben bemerkt, untersucht, wann die erzeugende Minimalcurve (b):

X = ~ J(1 - u²) U d u ,

y = yJV + u²) udu, x = f

u Udu

in die zu ihr conjugierte erzeugende Minimalcurve (u):

jf (1 +h²)Frfb,

* = ~₂J (1 -b²) Vdb,

% = J“ b V d b

durch Schiebung überführbar ist. Dies ist nämlich dann und nur dann der Fall, wenn man eine Veränderliche t so als Function von u bestimmen kann, dass für jeden Wert von t

(l-u²)E7du =    (1 - ts) V(t)dt,

(1 + u²) U d u = — (l + t²) V{t) dt, u U(u) du =    t V(t) dt

wird. Zunächst also wäre zu fordern:

1 - u² 1 - t² 1+u²    1 +t²

woraus folgt:

iH-t)

Alsdann bliebe, indem wir diesen Wert von t in die drei Bedingungen ein-setzen, nur die Forderung:

was wieder zu dem Werte U in unserem Satze 119 zurückführt.

¹    Es ist leicht, sich ein Modell einer Fläche herzustellen, die zwar keine Minimalfläche ist, aber auch die Eigenschaft hat, dass man von ihrer einen Seite auf die andere auf stetigem Wege gelangen kann, die also, wie man sagen kann, nur einseitig ist. Man schneide nämlich einen etwa rechteckigen Streifen Papier aus und klebe die kurzen Seiten zusammen, nachdem man das eine Ende zum andern hingebogen und einmal um zwei rechte Winkel gedreht hat. Verfolgt man auf dem so hergestellten Modell die frühere längere Mittellinie des Rechtecks, so erkennt man sofort die Einseitigkeit. — Auf das Vorhandensein einseitiger Flächen hat Listing, „Census räumlicher Complexe“, Abh. d. Gröttinger Gesellsch. d. Wiss. 10. Bd. (1862), und unabhängig von ihm und in ausdrücklicherer Weise Möbius, „Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders“, Leipziger Berichte 1865 (siehe auch Ges. Werke Bd. II), hingewiesen.

²    Die Theorie der Minimal-Doppelflächen rührt von Lie her, vgl. die Anm.

zu S. 188.

Setzen wir z. B.

ü{u) = 1 -

u⁴ ’

so ist die zu U conjugierte Function V von derselben Gestalt, also die im Satz 119 angegebene neue Function:

1--r-\ = 1--=T>

ir

ü⁴

d. h. dieselbe Function von u wie U von u. Mithin ergiebt sich für

ü(u) = l--r

eine Doppelfläche, denn die Fläche ist offenbar durch eine algebraische Gleichung zwischen x, y, % darstellbar und deshalb nicht-periodisch. Sie heisst die HENNEBEEö’sche Minimal fl äch e.¹

Indem wir hier mit dem Paragraphen auch den zweiten Abschnitt schliessen, bemerken wir noch, dass wir auch eine Reihe von Formeln dieses Abschnittes in Tafeln im Anhänge des Bandes zusammengestellt haben. Die Tafel XII enthält die Hauptformeln dieses Abschnittes, die sich auf die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung und die Krümmung beziehen. In der Tafel XIII sind einige dieser Formeln für die specielle Darstellungsform

² = t\x, y)

der Fläche, bei der x und y die Parameter sind, wiedergegeben. Einige von diesen Formeln sind zwar im Texte nicht entwickelt worden; sie gehen indes so unmittelbar aus den entsprechenden Formeln der Tafel XII durch Einsetzen der besonderen Werte hervor, dass wir von ihrer ausdrücklichen Ableitung hier füglich absehen dürfen. Die Tafel XIV bezieht sich auf die sphärische Abbildung einer Fläche und die Tafel XV auf die Parallelflächen.

Die Formeln dieser Tafeln werden wir künftig wieder in der üblichen Weise citieren.

Dritter Abschnitt.

Die Fundamentalgleichungen der Flächentheorie.

§ 1. Die höheren Differentialquotienten der rechtwinkligen Coordinaten.

Die Betrachtungen des ersten und des zweiten Abschnittes zeigen, dass die drei Fundamentalgrössen erster Ordnung, E, F, G, und die drei Fundamentalgrössen zweiter Ordnung, L, M, N, von der grössten Bedeutung für die Flächentheorie sind. Dieser Umstand ist schon durch die Benennung gewürdigt worden.

Wir haben eine Reihe von solchen Eigenschaften der Flächen besprochen, die yon ihrer zufälligen Lage gegenüber dem Kreuze der Coordinatenaxen unabhängig sind, wie z. B. die Krümmungsverhältnisse in einem Punkte, die Lagerung der zu einer Normalen unendlich benachbarten Normalen u. s. w. Wir fanden, dass zu ihrem analytischen Ausdruck die Fundamentalgrössen völlig ausreichten; so lassen sich z. B. die Hauptkrümmungsradien eines Flächenpunktes durch die Fundamentalgrössen allein ausdrücken, nach XII (K).

Da wir aber nur einen Teil der Eigenschaften der Flächen, insbesondere nur einen Teil ihrer von der Lage im Raume unabhängigen Eigenschaften betrachtet haben, so dürfen wir diese Bemerkung nicht ohne weiteres verallgemeinern. Vielmehr führt sie uns zu dem Problem, zu untersuchen, wie sich überhaupt die von der Lage im Raume unabhängigen Eigenschaften einer Fläche analytisch ausdrücken.

Die Erledigung dieses Problemes ist eines der Hauptziele des gegenwärtigen Abschnittes.

Zur Vorbereitung bedürfen wir einer Reihe von Formeln, die jetzt aufgestellt werden sollen. Erinnern wir uns an die Definitionen der Fundamentalgrössen in XI (A) und XII (JB):

(1)

Sxu² = E, S xuxv = F,

D²= EG- E²

WO

ist, so erkennen wir, dass sie die sechs ersten und neun zweiten partiellen Differentialquotienten der rechtwinkligen Coordinaten x, y, z nach den Parametern u und v enthalten. Differenzieren wir die drei Gleichungen (1) einmal partiell nach u und einmal partiell nach v, so gehen aus ihnen die sechs Gleichungen hervor:

§ xuu ² u ⁼ Y Fu’

S xuv ² u ⁼ i Fv 1

die wir auch so schreiben können:

$xuuxv + $xuxuv = Fl $² uv²v + §² u²vv = Fr

Xuu ² u ² V

Xuv ² u ² v

(2)

Vuu Vu Vv

= DL,

Zuu Zu Zv

yuv yu Vv z z z

uv u v

= DM,

XXX VV U V

Vvv Vu lJv

Zvv Zu Zv

= DiV,

S xuvxv ⁼⁼ Y^u’ **² vv²v ⁼ Y >

S ² uv²u ~~ 2 Fv> § xuvxv ~ Y@u>

§ xvv xu = Fv — Y Gu , S xvv xv ~ Y @v ’

Die Gleichungen (2) und (3) sind neun lineare Gleichungen für die neun zweiten partiellen Ableitungen von x, y, z:

(3)

S xuu ² u~~ 2 Fu’

$ ² uu²v = Fu - YEvl

*uyäxuu = J)L,

8 Xu Xuu ⁼ 2 Eu’

8 Xv Xuu = Eu ~~ ¥ Ev •

Ihre Determinante hinsichtlich xuu, yuu, zuu ist:

yuzv - zuyv zuxv - xuzv    xuyv - yuxv

Zu

yu

Xv

yv

Zv

Direct oder auch nach XI (F) und XI (Z) findet man als ihren Wert D². Ist also I) =j= 0, d. h. ist die Fläche nicht die Tangentenfläche einer Minimalcurve (nach S. 29), so ist die Auflösung nach *«„> Vuu' zuu möglich. So kommt:

BL

\EU

Eu~\Ev

Z X — X z uv uv

xuVv-yuxv

x =

uu

D²

oder:

Xuu —

+ iEu KVv + Xu Zv ~ XvVu Vv ~ Xv Zu Zv) ~

- (K - W(■xuyuyv+zuzv - xvy«a - xvO]•

Wenn wir in der zweiten runden Klammer xux² addieren und subtrahieren, so sehen wir, dass sie nach (1) den Wert xuG — xvF hat, und wenn wir in der letzten runden Klammer x² xv addieren und subtrahieren, finden wir, dass sie nach (1) den Wert xuF — xvF hat. So kommt:

xuu = jff {.DL{yuzv- zuyv) + \Eu[xuG - xF) - (Fu— \Ev)(xuF- xvF)].

Die Werte, die sich für yuu, zuu ergehen, gehen aus diesem durch cyklische Vertauschung von x, y, z hervor.

Wenn wir alsdann in den drei Gleichungen u mit v uud entsprechend E mit G, Z mit N vertauschen, so gehen die Werte von hervor.

Dm

Xuvy yuvl ZuV

zu finden, müssen wir die drei mittleren Gleichungen in (2) und (3) benutzen. Hier ist die Rechnung genau so wie vorher durchzuführen.

In dieser Weise kommen wir zu neun Formeln, von denen drei so lauten:

iyu Zv ~ ZuVv) +

2 £>²

{FuG + F,F-2FuF)xu +

+ «nrl-Js.*-Js.ls+2F»Z)*,>

4)

Xuv =

(y«zv ~ zu?/v) + -rwiEvG ~ GuF)xu +

2Z>²

{-EvF+GuE)xv, .

^-{yuzv-zuVv) +

2 D²

(-GvF-GuG + 2FvG)xu +

2 D*

{G₉F + GUF-2F₉F)*₉,

während die übrigen sechs aus diesen durch cyklische Vertauschung von x, y, z hervorgehen. Sie lehren:

Satz 1: Die zweiten partiellen Ableitungen der rechtwinkligen Coordinaten x, y, z eines Flächenpunktes nach den Parametern u und v lassen sich sämtlich durch die ersten Ableitungen von x, y, z, durch die Fundamentalgrössen erster und zweiter Ordnung und durch die ersten partiellen Ableitungen der Fundamentalgrössen erster Ordnung ausdrücken. Vorausgesetzt ist dabei, dass die Fläche keine Tangentenfläche einer Minimalcurve sei.

Hieraus ziehen wir weitere Schlüsse, wobei wir die Rechnungen gar nicht auszuführen brauchen: Wollen wir die dritten partiellen Ableitungen der Coordinaten x, y, z haben, so differenzieren wir unsere Formeln noch einmal nach u oder v. So giebt die erste Formel (4) nach u differenziert den Wert von xuuu, und zwar ausgedrückt durch die ersten und zweiten Ableitungen von x, y, z, durch die Fundamentalgrössen, durch die ersten und zweiten Ableitungen von E, F, G und durch die ersten Ableitungen von i/, M, N. Aber hierin können wir die zweiten Ableitungen von x, y, z mit Hilfe der Formeln (4) und der sechs analogen Formeln durch die ersten Ableitungen von x, y, z durch die Fundamentalgrössen und die ersten Ableitungen von E, F, G ausdrücken u. 8. w. So ergieht sich, wenn wir in derselben Weise weiter schliessen:

Satz 2: Die zweiten und höheren partiellen Ableitungen der rechtwinkligen Coordinaten x, y, z eines Flächenpunktes nach den Parametern u und v lassen sich sämtlich durch die ersten Ableitungen von x, y, z, durch die sechs Fundamentalgrössen und durch die partiellen Ableitungen der Fundamentalgrössen nach u und v ausdrücken, und zwar treten bei den wten Ableitungen von x, y, z die Ableitungen von JE, F, G bis zur (n — l)ten Ordnung, die von L, M, N bis zur (n — 2)ten Ordnung auf. Hierbei ist vorausgesetzt, dass die Fläche keine Tangentenfläche einer Mini-malcurve sei.

§ 2. Die drei Fundamentalgleichungen.

Wir sahen, dass sich die zweiten Ableitungen von x, y, z nach u und v durch die ersten, durch E, F, G, L, M, N und durch die ersten Ableitungen von E, F, G ausdrücken lassen. In den Formeln

(4), S. 264, sind die Ausdrücke für xuu, xuv, xvv ausführlich angegeben worden. Wir zogen hieraus Schlüsse in Bezug auf die höheren Ableitungen von x, y, z. Hierbei aber ist nun ein Einwand zu machen:

Wollen wir z. B. xuuv berechnen, so kann dies in zwei Arten geschehen, entweder dadurch, dass wir die Formel für xuu partiell nach v, oder dadurch, dass wir die Formel für xuv partiell nach u differenzieren. Dasselbe gilt bei der Berechnung von xuvv. Jedesmal haben wir zwei Methoden, und wenn wir die nach beiden Methoden berechneten Werte einander gleichsetzen, erhalten wir also zwei Gleichungen. Da wir dieselben Schlüsse für yuuv> yuvv und für zu machen können, so übersehen wir, dass wir so zu sechs Gleichungen kommen, die notwendig richtig sind.

Wir stellen uns die Aufgabe, diese sechs Gleichungen zu finden. Dabei werden wir sehen, dass sie sich auf nur drei reducieren, die wir ihrer grossen Wichtigkeit halber die drei Fundamentalgleichungen der Flächentheorie nennen wollen.

Da die Formeln einen grösseren Rechenaufwand erfordern, ist es angebracht, sie zunächst unter speciellen Voraussetzungen abzuleiten, für die sie sich einfacher gestalten. Der Leser wird dadurch einen besseren Überblick gewinnen und alsdann ihre allgemeine Berechnung leichter verstehen.

Wir wollen zunächst den speciellen Fall betrachten, dass die Parametercurven (w) und (u) Minimalcurven seien. Nach Satz 16, S. 36, schliessen wir dabei nur die Tangentenfiächen der Minimalcurven aus, von denen wir ja hier, wie schon auf S. 263 bemerkt wurde, überhaupt absehen. Nach Satz 17, S. 36, ist jetzt

E — G — Q

und also D = ^EG — F² — iF anzunehmen, sodass die Gleichungen (4), S. 264, die einfachere Gestalt bekommen:

Xuu = - ^JT (l/u Zv - ZU%) +

(1)

iM

Xuv=--Y~^uZv- ZuVv)’

Xvv    Jp (idu Zv ZuVv) d" J? Xv •

Wenn wir jetzt xuuv aus der ersten Gleichung durch partielle Differentiation nach v berechnen wollen, so haben wir rechts den Ausdruck

Fv

~ jp(?/uZv- ZvVv)

oder:

yu %v %u yv

partiell nach v zu differenzieren. Alsdann treten die zweiten partiellen Ableitungen von y und z auf, die wir mit Hülfe der Formeln, die aus (1) durch cyklische Vertauschung von x, y, z hervorgehen, wieder entfernen könnten. Aber wir können dies Geschäft vereinfachen, weil wir nämlich die partiellen Ableitungen des angegebenen Ausdruckes schon früher berechnet haben, denn er ist ja nach XI (F) nichts anderes als X, und die Ableitungen von X sind in XII (F) angegeben. Danach ist, weil jetzt E = G = 0, D = iF ist:

Wenn wir also statt (1) schreiben:

Xuu ~ X + F Xu J

= MX,

und nun die Formeln (2) benutzen, so ist es ein leichtes, die Werte von xuuv und xuvv zu berechnen.

Die erste Formel (3) giebt, nach v differenziert, mit Rücksicht auf die zweite Formel (2):

xuuv = LVX — L Xu + x) +

(2)

(3)

x

uv

d² log F

d ud v

Fu

Xu "f* F Xuv'

Die zweite Formel (3) dagegen giebt, nach u differenziert, mit Rücksicht auf die erste Formel (2):

ii r

-M.Z-*/(%*, + £*').

Setzen wir beide Werte einander gleich und entfernen wir xuv vermöge der zweiten Formel (3), so kommt:

d² log F

(!*„+!*„) +

oder, geordnet nach X, xu, xv:

(4)

Hätten wir in entsprechender Weise aus denjenigen Formeln, die aus (3) durch Vertauschung von x mit y oder z und von X mit Y oder Z hervorgehen, die beiden Werte von yu beiden Werte von

UV

und die

abgeleitet und jedesmal einander gleichgesetzt, so wären wir zu denjenigen beiden Gleichungen gelangt, die aus der letzten Gleichung durch dieselbe Vertauschung hervorgehen. Multiplicieren wir die drei so sich ergebenden Gleichungen mit X, Y, Z bezüglich xv, yv, zv und addieren sie jedesmal, so ergiebt sich, weil SX² = 1 und SVxv = 0 nach XI (I) ist, einzeln:

UV

(5)

L-M +FNM= 0

V    U ¹ Jp

LN - M²    d²logF

= o,

und diese beiden Gleichungen ziehen umgekehrt die Gleichung (4) nach sich sowie die aus (4) durch Vertauschung von x mit y oder z und X mit Y oder Z hervorgehenden beiden Gleichungen.

Wenn wir nun nach derselben Methode statt xuuv, yuuv, zu die Grössen xuvv, yuvv, zuvv berechnen und jedesmal die beiden hervorgehenden Werte einander gleich setzen, so ergeben sich diejenigen Bedingungen, die durch Vertauschung von u mit v hervorgehen, wobei dann auch L mit N zu vertauschen ist. Es treten also analog (5) die beiden Bedingungen auf:

0.

LN - M² _ d²logF _ d u d v

Von diesen aber ist die zweite Gleichung identisch mit der zweiten Gleichung (5). Mithin ergeben sich insgesamt gerade drei Bedingungen, die wir so schreiben:

L -M = — ~ M.

V    u    F }

LN - i¥² _    d² log J¹

d u d v

l

Wir kehren jetzt wieder zu allgemeinen Parametern u und v zurück. Dabei haben wir die Gleichungen (1) durch die Gleichungen (4), S. 264, zu ersetzen. Da der Übergang von den soeben benutzten speciellen Parametern u, v zu beliebigen Parametern auch dadurch bewirkt werden kann, dass man neue Parameter einführt, so ist es von vornherein klar, dass sich auch im allgemeinen Fall drei Bedingungen ergeben werden, diejenige nämlich, die aus (6) durch Einführung beliebiger neuer Parameter hervorgehen. Wir werden dies aber auch direct nachweisen. Die Gleichungen (4), S. 264, lassen sich zunächst wegen XI (F) so schreiben:

*

+ 2^(- EUF-E'E+ 2F,E)*.,

= NX +    G,F-GuO + 2FvG}Xu +

₊ ^{G,E+G^F-2F,F)xv.

Dabei nehmen wir Rücksicht auf die Formeln XII (R\ mittels deren die Ableitungen von X, T, Z zu berechnen sind und von denen die auf X bezüglichen so lauten:

^(FM-GL)xu +

X,=L{-FN~ «)*„ + 4(« - VN)*,.

(6)

(?)

(8)

X

UU

X

uv

{FL - FM)xv,

Wir differenzieren also jetzt die erste Gleichung (7) partiell nach v und die zweite partiell nach u. Die dadurch hervorgehenden Werte von

setzen wir einander gleich. So erhalten wir, wenn wir die dabei auftretenden Werte von xuu, xuv, xvv mittels (7) und

die Werte Xu, Xv mittels (8) entfernen, zunächst die sehr umständliche Gleichung:

Z.Z-M.X +

+ -&■ {M- GM)xu + ±i(FM-EK)xv-- -§■ (FM- GL)xu-JL (FL - FM) *, +

+ 2^(4 G + EVF-2 PuF)[MX + ^(E,0- GuF)xu +

+ 2^(--».*+0,-&)*.] +

+ 2S» (-M,F-E,E+2FuE)\NX+±i(-G„F-GuG + 2F,G)x„ +

— 2jji(Ke — G„ F)

2Z>²

+ j^i(G.E+G„F-2F.F)x^ -LX + ±i(E„G + EllF~2F,F)xu + (-E„F-EvE+2FuE)x„ -

- äfn(- *.-?+ ^    [jWX+255Ä » - ff.*K +

+    G«E)xv\ +

+4

8 Eu G + EVF — 2 FUF

— JEuF— EVE + 2FU E

2 D²

EVG- GUF

— Ev F 4- Gu E

2 Z>²

du

2Z>²

• ^=0-

Ehe wir an die Ausrechnung gehen, überblicken wir diese lange Formel und bemerken, dass sie in Bezug auf X, xu, xv linear und homogen ist, also die Form hat:

aX + ßxu + yxv = 0,

wobei a, ß, y Functionen der Fundamentalgrössen und ihrer Ableitungen sind.

u >■

Wenn wir entsprechend yu auf zwei Weisen berechnen und beide Werte einander gleich setzen und dasselbe für zuuv thun, so gehen die Gleichungen hervor:

ciY+ ßyu + rv* = °»

aZ + ßzu + yzv = 0,

da a, ß, y ungeändert bleiben, wenn x, y, z cyklisch vertauscht werden.

Jetzt liegen drei in a, ß, y lineare homogene Gleichungen vor, deren Determinante nach XI (.L) gleich D und daher von Null verschieden ist, sodass notwendig einzeln

a = 0,

sein muss. Diese drei Gleichungen ziehen umgekehrt die vorigen nach sich. Also sehen wir:

Die ersten drei Bedingungen ergeben sich dadurch, dass wir den Coefficienten von X, den von xu und den von xv in unserer umständlichen Gleichung einzeln gleich Null setzen.

Wir hätten ebenso schliessen können, indem wir xuvv, yuvv, zuvv auf je zwei Arten berechneten. Die dadurch hervorgehenden Bedingungen aber ergeben sich offenbar einfacher dadurch, dass wir in den soeben erwähnten drei Bedingungen u mit v und also JE mit G und L mit N vertauschen.

Insgesamt ergeben sich also sechs Bedingungen, doch werden wir wie gesagt sehen, dass sie sich auf nur drei reducieren.

Zunächst ist die Gleichung a = 0, die sich also durch Nullsetzen des Coefficienten von X aus der obigen langen Gleichung ergiebt, diese:

Ev G — Gu F

2 Z>²

(9)

EUQ- GUE + 2(Ev - FU)F

2 Z>²

M-

-A.

— EUF — EVE + 2 FUE

2 X>²

Bechnet man die Gleichungen ß = 0 und y — 0 aus, d. h. zieht man aus der grossen Gleichung die Coefficienten von xu und von xv und setzt sie gleich Null, so findet man, dass sich F bez. E absondern lässt. Alsdann aber bleibt bei beiden dasselbe übrig, sodass die beiden Gleichungen ß = 0 und y = 0 nur die eine Bedingung ergeben:

— JjpfiKv —    ~ Guu) -f

+ i^(G,²+J!,Gv-2GvFJ +

+ -^W + EuOu-2EuFv) +

+ XyAK G-K<?„-2F,fiu -2F,EV + 4F,FV).

LN-M²

— GVF — Gu G + 2 Fv G

2 Z>²

sodass wir also thatsächlich zu nur drei Bedingungen gelangen, zu den Gleichungen (9), (10) und (11).

Demnach ergiebt sich der wichtige

Satz 3: Zwischen den Fundamentalgrössen F, F, G und Z, M, N und ihren Ableitungen bestehen drei Gleichungen. Die eine drückt

LN - M²

EG - F²

als Function von F, F, G und den ersten und zweiten Ableitungen von E, F, G aus; die beiden anderen drücken

und

Dabei hat man natürlich zu berücksichtigen, dass

D² = E G — F²,

also

ö(Z>²)

= EUG + GUE-2FUF,

d(Z>²)

= EG + GE-2FF

V    V    V

ist.

Die drei Bedingungen cc = 0, ß — 0, y — 0 reducieren sich somit auf die beiden Gleichungen (9) und (10). Die übrigen Bedingungen erhält man mithin, indem man in (9) und (10) die Parameter u und v, entsprechend E und G sowie L und N vertauscht. Aber dabei bleibt die Gleichung (10) ungeändert. Also tritt nur die eine aus (9) folgende Gleichung hinzu:

Gu E - Ev F

2 -D²

(11)

Gv E — Ev G + 2(Gu - Fv) F

2 X»²

M-

als lineare homogene Functionen von L, M, N aus, deren Coefficienten die Grössen E, F, G und die ersten Ableitungen dieser Grössen enthalten.

Wie wir schon bemerkt haben, nennen wir die drei Gleichungen (9), (10) und (11) die Fundamentalgleichungen der Flächentheorie,³ und zwar aus folgendem Grunde: Wenn E, F, G und L, M, N irgend welche sechs gegebene Functionen von u und v sind, so können sie nach den obigen Ergebnissen nur dann die Fundamentalgrössen einer Fläche sein, wenn sie die drei Fundamentalgleichungen für alle Werte von u und v erfüllen. Ist dies nun der Fall, so werden wir erkennen, dass es thatsächlich Flächen giebt, die diese Grössen zu Fundamentalgrössen haben. Mit anderen Worten: Wir werden erkennen, dass die drei Fundamentalgleichungen nicht nur die notwendigen, sondern auch die hinreichenden Bedingungen dafür sind, dass sechs gegebene Functionen E, F, G und L, M, JN als Fundamentalgrössen einer Fläche aufgefasst werden können.

Doch geschieht dies erst später, in § 9. Ehe wir dazu übergehen, besprechen wir in § 3 bis § 5 einige Probleme, die sich an die Aufstellung der Fundamentalgleichungen naturgemäss anschliessen.

Wir wollen hier noch zum Überfluss erwähnen, dass sich die drei Fundamentalgleichungen (9), (10) und (11) für den Fall, dass die Curven (u) und (v) die Minimalcurven der Fläche sind, auf die drei Gleichungen (6) reducieren.

§ 3. Verbiegung einer Fläche auf eine andere.

Unter den drei Fundamentalgleichungen hat eine, nämlich die Gleichung (10) auf S. 270, eine besondere Bedeutung für ein wichtiges Problem der Flächentheorie. In dieser Gleichung steht links nichts anderes als das Krümmungsmaass K der Fläche — nach XII (X) —, so dass sich ergiebt: entwickelt worden. Er hat aus ihr wichtige Schlüsse gezogen, die wir im nächsten Paragraphen besprechen. Auch ist es leicht, aus den von Gauss sonst noch gegebenen Gleichungen die beiden anderen Fundamentalgleichungen abzuleiten, wie Darboux und Bianchi betont haben. Die beiden anderen Fundamentalgleichungen (9) und (11) treten, allerdings in anderer Form, bei Mainardi, „Su la teoria generale delle superficie“, Giornale dell’ Istituto Lom-bardo, t. IX (1857), auf, aber man nennt sie die Gleichungen von ConAzzi, weil sie in Codazzi’s Abhandlung „Sülle coordinate curvilinee d’una superficie e dello spazio“, Annali di Mat. t. II (1868), explicite zuerst Vorkommen. Bonnet gebührt das Verdienst, die grosse Bedeutung der Codazzi’-schen Gleichungen ins rechte Licht gesetzt zu haben, worauf wir noch zurückkommen. Schliesslich muss bemerkt werden, dass die Fundamentalgleichungen für specielle Parameter schon bei Lam£, insbesondere in seinen „Le 90ns sur les coordonn6es curvilignes et leurs diverses applications“, Paris 1859, Vorkommen.

Satz 4:⁴ Das Krümmungsmaass K einer Fläche ist als eine solche Function darstellbar, die nur die Fundamentalgrössen erster Ordnung E, E, G und die ersten und zweiten partiellen Ableitungen dieser drei Grössen nach den Parametern u und v der Fläche enthält.

Dies analytische Ergebnis hat nun auch einen geometrischen Sinn, wie bald auseinander gesetzt werden wird. Wir bedürfen dazu einiger Vorbereitungen.

In Satz 10, I S. 282, ist es ausgesprochen worden, dass nur die Tangentenflächen von Curven in der Art Punkt für Punkt auf die Ebene abgebildet werden können, dass jeder Curve der Fläche eine gleichlange Curve in der Ebene entspricht. Deshalb eben heissen diese Flächen abwickelbare Flächen. Es wäre deutlicher, sie auf die Ebene abwickelbare Flächen zu nennen, denn wenn man die Ebene durch eine krumme Fläche ersetzt, so kommt man zu einem neuen Problem:

Gegeben seien zwei Flächen. Wir fragen uns, ob es möglich ist, die eine Punkt für Punkt auf die andere so abzubilden, dass jeder Curve auf der einen Fläche eine gleichlange Curve auf der anderen Fläche entspricht. Lässt sich diese Forderung der Längentreue (vgl. S. 38) erfüllen, so werden wir sagen, dass die eine Fläche auf die andere abwickelbar sei. Man zieht es vor, zu sagen: Die eine Fläche lässt sich auf die andere verbiegen,⁵

18

indem man also unter Verbiegung eine solche Änderung der Gestalt einer Fläche versteht, bei der keine Flächencurve eine Dehnung oder Kürzung erleidet. Die Bevorzugung des Wortes Verbiegung vor dem Worte Abwickelung hat ihren Grund darin, dass man unter Abwickelung oft stillschweigend die Abwickelung auf die Ebene, statt auf eine krumme Fläche, versteht. Die abwickelbaren Flächen also sind die auf die Ebene verbiegbaren Flächen.

Die Verbiegung einer Fläche auf eine andere Fläche kann auch als eine zugleich flächentreue und conforme Abbildung definiert werden, wie aus S. 70 erhellt. Der Ähnlichkeitsmaassstab ist hier 1:1, d. h. die Verbiegung kann auch als eine solche Abbildung bezeichnet werden, bei der jedem unendlich kleinen Stück der einen Fläche ein congruentes Stück der anderen entspricht.

Hervorgehoben sei noch, dass wir im allgemeinen mit dem Wort: Verbiegung durchaus nicht den Begriff einer stetigen Überführung der einen Fläche in die andere — ohne Dehnung — verbinden. Ob die Verbiegung einer Fläche in eine andere Fläche auf stetigem Wege möglich ist, das ist eine schwierigere Frage, auf die wir nur in einzelnen Beispielen eingehen werden.

Während zwei beliebige Flächen nach Satz 35, S. 72, stets con-form auf einander abgebildet werden können, ist es klar, dass zwei beliebig gegebene Flächen nicht auf einander verbiegbar sein werden, denn wir wissen ja, dass z. B. auf die Ebene nur die Tangentenflächen der Curven verbiegbar sind. Vielmehr wird es zu jeder bestimmt gewählten Fläche nur eine gewisse Familie von Flächen geben, die auf sie verbiegbar sind.

Wenn wir wie in § 11 des 1. Abschnittes die punktweise Abbildung einer Fläche auf eine andere analytisch dadurch ausdrücken, dass wir entsprechenden Punkten beider Flächen dieselben Parameterwerte u, v geben, sodass etwa:

(1)

z — yj (iu, v)

x = (f (?/, v)

und

(2)

x = rp (m, u) ,

z = dp (?/, v)

der auf einander abwickelbaren Oberflächen“, Festschrift der technischen Hochschule zu Berlin 1884.

Endlich ist noch die Behandlung des Problems in Darboüx’ „LeQons“ (vgl. die Anin. zu S. 187), 3. partie, Paris 1894, zu erwähnen.

die Gleichungen der beiden Flächen sind, deren Bogenelemente die Quadrate haben mögen:

(3)

ds² = Edu² + 2 Fdudv + G dv², ds² = Edu² + 2 Fdudv + G dv²,

so wird die Abbildung der einen Fläche auf die andere nur dann eine Verbiegung sein, wenn insbesondere jedes Bogenelement ds der einen Fläche dieselbe Länge wie sein Bild ds bat. Nach (3) tritt dies dann und nur dann ein, wenn

(4)

E=E, F=F, G=G

ist. Da jede Curvenlänge ein Integral über Bogenelemente ist, so sind dann auch entsprechende Curven beider Flächen gleich lang. Also:

Satz 5: Eine Fläche ist dann und nur dann auf eine andere Fläche yerbiegbar, wenn es möglich ist, Parameter u, v auf beiden Flächen derart einzuführen, dass die Fundamentalgrössen erster Ordnung der einen Fläche den entsprechenden Fundamentalgrössen erster Ordnung der anderen Fläche gleich werden. Alsdann entsprechen diejenigen Punkte beider Flächen einander, die zu denselben Werten der Parameter u und v gehören.

Nach Satz 4 ist aber dann auch das Krümmungsmaass K der einen Fläche gleich dem Krümmungsmaass K der anderen. Daher:

Satz 6: Sind zwei Flächen auf einander verbiegbar, so haben sie in einander entsprechenden Punkten dasselbe Krümmungsmaass.

Oder auch:

Satz 7: Bei der Verbiegung einer Fläche bleibt ihr Krümmungsmaass überall ungeändert.⁶

Auf diesen wichtigen Satz haben wir schon gelegentlich (auf S. 229) hingewiesen.

Wenn zwei Flächen auf einander verbiegbar sein sollen, so müssen hiernach die einander entsprechenden Punkte beider Flächen dasselbe Krümmungsmaass haben. Hat man nun zwischen zwei Flächen eine solche punktweise Abbildung hergestellt, dass jeder Punkt der einen Fläche dasselbe Krümmungsmaass wie sein Bild-

18*

auf der zweiten Fläche die Werte:

E= 1, F = 0,    &= 1 + ü²

maasse

punkt auf der anderen Fläche hat, so folgt aber keineswegs daraus, dass die Abbildung der einen Fläche auf die andere eine Verbiegung wäre.

Es ist in der That leicht, Beispiele für das Gegenteil zu bilden.¹

Beispiel: In der aj^-Ebene sei die logaritlimische Curve:

% — log u

gegeben. Drehen wir sie um die &-Axe, so entsteht die Botations fläche der logarithmischen Curve:

x = u cos v,

auf der das Quadrat des Bogenelementes den Wert hat:

y = o,

y = u sin v ,

X — log u

d s² =

^1 4- “-j du² -V u² dv².

Andererseits betrachten wir die gemeine Schrauben fläche (vgl. S. 60):

y — ü sin v,

deren Ganghöhe gleich 2n ist. Hier ist das Quadrat des Bogenelementes: d s² = d ü² + (1 + ü²)dv².

X — u cos V

% — V,

Da bei der ersten Fläche die Fundamentalgrössen erster Ordnung die Werte E= 1 + -

u²

0 - u²,

haben, so ergiebt die Fundamentalgleichung (10), S. 270, für die Krümmungs-K und K beider Flächen die Werte:

2T = —

(1 + u²)²

(1 + ü²)²

Wenn wir also die Punkte der beiden Flächen einander dadurch zuordnen, dass wir

u = u,

setzen, so haben einander zugeordnete Punkte dasselbe Krümmungsmaass, während doch die Quadrate der Bogenelemente verschieden sind. Diese punktweise Zuordnung ist also keine Verbiegung der einen Fläche auf die andere.

Es giebt hier überhaupt keine Abbildung der einen Fläche auf die andere, die eine Verbiegung wäre. Denn die allgemeinste Abbildung der einen Fläche auf die andere, bei der jedem Punkte (u, v) ein Punkt (ü, v) mit demselben Krümmungsmaass entspricht, ergiebt sich ja, wenn man

_    1 + ü² = ± (1 + u²)

¹ Solche Beispiele gaben Stäckel und Wangerin, „Zur Theorie des GAuss’schen Krümmungsmaasses“, Leipziger Berichte 1893. Das obige Beispiel rührt von Wangerin her.

oder also:

annimmt, d. h.

u = y~ i ± i ± u²

u = ]/- 2 - u²

setzt, während v eine beliebige Function von u und v sein darf:

u = ± u oder

v — cp (u, v).

Führen wir zunächst u = ± u, v — cp (u, v) in den Ausdruck für d s² ein, so kommt:

d s² = du² + (1 + u²) (cpu du + (pvd v)². Er ist nur dann gleich dem obigen Ausdruck für d s², wenn

1 + (1 + u²) cpu² = 1 + ^

<Pu <Pv = 0 ,

(1 + u²) cp² = u²

ist. Wegen der zweiten Gleichung müsste cpu oder <pv gleich Null sein, was beides zu Widersprüchen führen würde. Wenn wir dagegen:

v = cp (u, v)

u = y — 2 — u²

in d s² einsetzen, so kommt:

ds² = -

u²

du² + (1 + u²) (cpu du + cpv d v)².

2 + u²

Dieser Ausdruck aber deckt sich nur dann mit ds², wenn

u²

2 + u²

+ (1 + U²) cpu = 1 +    ,

<Pu Cpv = 0

(1 4- u²) Cp² = u²

ist, was ebenso zu Widersprüchen führt.

Wir haben also hier den Fall vor uns, dass keine derjenigen Abbildungen der einen Fläche auf die andere, bei denen Punkte mit gleichem Krümmungs-maass einander entsprechen, eine Verbiegung ist.

Will man für zwei gegebene Flächen untersuchen, ob sie auf einander verbiegbar sind, so hat man zu bedenken, dass man von vornherein nicht weiss, wie die Punkte der beiden Flächen einander bei der noch fraglichen Verbiegbarkeit entsprechen. Aber man weiss von vornherein, dass gewissen Curven der einen Fläche gewisse Curven auf der anderen entsprechen müssen, nämlich die Minimal-curven. In der That gehören ja die Verbiegungen mit zu den conformen Abbildungen, sodass der Satz 37, S. 73, die Behauptung enthält. Man kann die Behauptung auch mittels des Satzes 5 und der Differentialgleichung XI (0) der Minimalcurven als richtig nach-weisen.

Wenn also zwei Flächen, von denen man nicht weiss, ob sie auf einander verbiegbar sind, irgend wie analytisch gegeben sind, so wird man gut thun, auf beiden die Minimalcurven als Parameterlinien einzuführen. Auf der einen Fläche seien u, ü und auf der anderen u, 0 zugehörige Parameter. Nach Satz 17, S. 36, haben dann die Quadrate der Bogenelemente beider Flächen die Formen:

¹

Henneberg, „Über solche Minimalflächen, welche eine vorgeschriebene ebene Curve zur geodätischen Linie haben“, Zürich 1875.

²

uu > ² uv ’ ² vv1 Vuu* Vuv} y vvl

Zuu , ZUV > ZVV ■

Dabei enthalten die drei in (2) und (3) links stehenden Gleichungen nur die partiellen Ableitungen der ersten Reihe, ferner die in (2) und (3) in der Mitte stehenden Gleichungen nur die partiellen Ableitungen der mittleren Reihe und endlich die in (2) und (3) rechts stehenden Gleichungen nur die partiellen Ableitungen der dritten Reihe der soeben angegebenen Tabelle. Wir werden nun sehen, dass jedesmal die betreffenden drei Gleichungen hinsichtlich der in ihnen vorkommenden zweiten Ableitungen eine von Null verschiedene Determinante haben und daher nach den zweiten Ableitungen auflösbar sind. Durch die Auflösung ergeben sich alsdann die zweiten Ableitungen ausgedrückt durch die ersten Ableitungen, durch die Fundamentalgrössen und durch die ersten partiellen Ableitungen der Fundamentalgrössen erster Ordnung.

Die drei in (2) und (3) links stehenden Gleichungen können so geschrieben werden:

³

Von den drei Fundamentalgleichungen ist die eine, die Gleichung (10), schon von Gaüss 1828 in seinen „Disquisitiones“ (siehe die Anm. zu S. 5)

⁴

   Wie schon in der letzten Anmerkung gesagt wurde, rührt dieser Satz von Gtauss her.

⁵

   Das Problem der Verbiegung von Flächen wurde von Gauss in seinen „Disquisitiones“ zuerst gestellt und behandelt. Daran schliesst sich eine sehr grosse Reihe von Arbeiten, von denen wir nur die folgenden nennen:

Minding, „Wie sich entscheiden lässt, ob zwei gegebene krumme Flächen auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemerkungen über die Flächen mit unveränderlichem Krümmungs-maasse“, Journ. f. d. r. u. ang. Math. 19. Bd. (1839).

Liouville’s Noten: „Sur le thöoreme de M. Gauss, concernant le produit des deux rayons de courbure principaux en chaque point d’une surface“ und „Du trace geographique des surfaces les unes sur les autres“ zur 5. Aufl. von Monge’s „Application“, Paris 1850.

Bour, „Theorie de la deformation des surfaces“, Journ. de 1’fCcole polyt. 39. cah. (1862).

Bonnet, „Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface donn^e“, Journ. de l’Ecole polyt. 41. u. 42. cah. (1865—67).

Weingarten, „Über eine Classe auf einander abwickelbarer Flächen“, Journ. f. d. r. u. ang. Math. 59. Bd. (1861), und „Über die Theorie Scheffers, Geom. Diffr. n.

⁶

Die Sätze 5, 6 und 7 rühren von Gauss her. Insbesondere ist Satz 7 das von Gauss so genannte „Theorema egregium“.

ds² = 2 F(u, b) du du, ds² = 2 F(ü, U)düdü.

Die Zurückführung der Bogenelement-Quadrate auf solche Formen erfordert natürlich die Integration der Differentialgleichung der Minimalcurven.

Wenn sich nun herausstellt, dass F{u, b) dieselbe Function von tt und b ist wie F von u und b, so würde durch u = u, b = b eine solche Abbildung der beiden Flächen auf einander vermittelt sein, bei der einander entsprechende Bogenelemente dieselbe Länge haben, d. h. dann ist die Verbiegung ausführbar.

Aber dies ist nicht die einzige Möglichkeit. Man muss sich vielmehr daran erinnern, dass zu bestimmten Scharen von Parameterlinien nach S. 10 nicht auch ganz bestimmte Parameter gehören. Vielmehr wird z. B. auf der ersten Fläche das System der Parameterlinien immer dann noch aus den Minimalcurven bestehen, wenn statt u und b eine Function ü von u allein und eine Function b von b allein als neue Parameter eingeführt werden.

Wird also etwa:

u — A (ü), b = i? (b)

gesetzt und werden hierdurch neue Parameter u und b eingeführt, so wird:

du — Ä d u

du = B'du,

sodass das Quadrat des Bogenelementes ds der ersten Fläche statt der Form

ds² = 2F{u, b) du du

die Form:

(5)

ds² = 2 F{A,B)A'B'düdu

annimmt. Mithin folgt, wenn man noch bedenkt, dass das System der Parameterlinien auch bei Vertauschung von u mit b ungeändert bleibt:

Satz 8: Sind zwei Flächen auf ihre Minimalcurven als Parameterlinien bezogen und sind u, b bez. ü, b zugehörige Parameter der beiden Flächen, wobei die Quadrate ihrer Bogenelemente also die Formen:

ds² = 2F(u, b) du du,    ds² = 2F(ü, b)du<fb

annehmen, so sind die beiden Flächen dann und nur dann auf einander verbiegbar, wenn es eine Function A von ü allein und eine Function B von b allein giebt, für die entweder:

oder

F{A,B) Ä (ü) B’ (b) = F(ü, b)

F{B, Ä) A' (u) B' fö) = F{ü, b)

für alle Werte von u und b ist. Dabei sind alsdann im ersten Fall:

n = A(n), b = B(p)

und im zweiten Fall:

u = Bfö), — A (ü) die Gleichungen der Verbiegung.

Beispiel: Es liege die Minimalfläche vor (vgl. Satz 114, S. 247):

x =    1 - ii²)(7du + y/(i -**)Vdn

(6)

y =    (1 + u²) Ud u - y J(1 + b²) V d

JuUdu + J

tiVdt),

wo U eine Function von u allein und V eine Function von ti allein bedeutet. Bei der Fläche (6) sind die Parameterlinien (u) und (b) die Minimalcurven, und das Quadrat ihres Bogenelementes ist:

ds² = (1 + uVfUVdvLd*.

Soll diese Minimalfläche auf eine andere Minimalfläche verbiegbar sein,¹ bei der ü und d statt u und b sowie C7(ü) und V(n) statt U und V stehen, so müssen u und b nach unserem Satze solche Functionen A (ü) und i?(b) sein, dass

(1 + A Bf U(A) V(B) A'B' = (1 + ü b)² U(ü) F(o)

(7)

wird, wenn wir vorerst von dem Fall, dass u mit b vertauscht wird, absehen. Wenn wir diese Gleichung logarithmisch nach ü differenzieren, so kommt:

VA'

2 A'B

A"

25

1 + AB

A'

1 + 55

Qi qi

woraus zu ersehen ist, dass

A'B

1 + A ß 1+UD

von D frei sein muss. Ebenso muss

AB'

1 -{-AB    1 + u fl

von ii frei sein. Wenn wir in dem ersten Ausdruck statt ü eine Constante setzen, was ja auf B (5) keinen Einfluss hat, so sehen wir sofort, dass B linear gebrochen in o sein muss. Ebenso muss A linear gebrochen in u sein. Setzen wir für A und B solche linear gebrochene Functionen in die beiden Ausdrücke ein und untersuchen wir, ob die Ausdrücke dann wirklich von o bez. u frei werden, so finden wir ohne Mühe, dass A und B die Formen haben müssen:

cu + d ’

du — c

wo a, b, c, d irgend welche Constanten bedeuten. Also werden:

(8)

au + b

du — c

cu + d

a — bu

die Gleichungen der Yerbiegung sein müssen. Aber dies lässt sich ganz erheblich vereinfachen. Nach den Formeln (4), S. 247, sind nämlich die Richtungscosinus X, Y, Z der Normale der Fläche (6):

Y = - i —

(9)

ub - l

ub + l ’

ub 4- 1 ’

Analog sind

ü + ü üb +1 ’

die der Normale der fraglichen zweiten Minimalfläche. Setzen wir hierin die Werte (8) ein, so finden wir:

(10)

üb -1

Üb +1

(ft² - c² - b² + tP) X + * (ft² - c² + &² - d²) Y + 2(e d — ab) Z 2 {ad — b c) -^(fta+ c²- F- d²)X+ (ft² + o²+ 5²+ d²) F+ 2i{cd + ab)Z 2 (ft d — b c) 2{b d — ft c) X — 2i{b d + a c) Y + 2 {ad + b c) Z 2(ft d — b c)

sodass sich X, Y, Z linear und homogen durch A, 7, Z ausdrücken. Die rechts auftretenden neun Coefficienten von X, Y, Z erfüllen nun die Bedingungen 1 ((7) oder I {D) und I (F) für die Cosinus der Winkel, die drei zu einander senkrechte und wie die Coordinatenaxen orientierte Richtungen mit den Coordinatenaxen bilden. Hieraus folgt: Wir können die fragliche zweite Minimalfläche, starr gedacht, in eine solche Lage mittels einer Bewegung überführen, dass direct X= X, Y = Y, Z = Z wird, d. h. dass entsprechende Punkte beider Flächen parallele und zwar auch dem Sinne nach parallele Normalen haben.

Man hätte dies voraussehen können: Wenn wir nämlich die gegebene Minimalfläche sphärisch abhilden, so ist die Abbildung nach Satz 108, S. 242, conform. Nach der Definition des Krümmungsmaasses K auf S. 212 wird dabei jedes unendlich kleine Flächenstück der Minimalfläcbe in einem solchen Maassstab ähnlich abgebildet, dass der Inhalt der Bildfläche zum Inhalt der Originalfläche im Verhältnis von K zu Eins steht. Ist nun die Minimalfläche auf eine andere Minimalfläche verbiegbar, so hat diese zweite Fläche an der entsprechenden Stelle nach Satz 6 dasselbe Krümmungsmaass K. D. h. zwei einander entsprechende Flächenelemente beider Flächen werden bei der sphärischen Abbildung im selben Maassstab ähnlich vergrössert oder verkleinert. Da nun die Verbiegung eine im Unendlichkleinen congruente Abbildung ist, so folgt, dass zwei einander entsprechende (congruente) unendlich kleine Stücke beider Flächen auch congruente sphärische Bilder haben. Hieraus kann man dann schliessen, dass auch zwei bei der Verbiegung mit einander zur Deckung zu bringende endliche Stücke beider Minimalflächen congruente sphärische Bilder haben. Aber zwei congruente Figuren auf der Bildkugel lassen sich durch Drehen der einen auf der Kugel mit einander zur Deckung bringen. Oder auch: Man kann die zweite, starr gedachte, Fläche in eine solche Lage bringen, dass ihr sphärisches Bild direct mit dem der ersten Fläche übereinstimmt.

Wir haben jedoch diese nicht ganz streng durchgeführte Infinitesimalbetrachtung durch die obigen exacten analytischen Schlüsse ersetzt und können nun annehmen, dass X = X, Y = Y, Z = Z ist, d. h. dass nach (9) und (10) einfach:

ist. Jetzt lautet die Bedingung (7) so:

Z7(ü)F(d) = U(ü)F(o).

Sie wird in allgemeinster Weise durch die Annahme:

U(ü) = cü(ü)

F(ö) = y F(5)

befriedigt, wobei c eine willkürliche Constante bedeutet. Vertauschen wir u mit b, so ergiebt sich:

u = b ,

und

U(ü) = c F(ü)

V (d) = j- TJ (ü).

In diesem Fall ist nach (9) und (10) zwar X = X und Z = Z, aber Y = — Y, d. h. alsdann liegen die sphärischen Bilder entsprechender Punkte beider Flächen symmetrisch zur x «-Ebene. In diesem Fall sind die sphärischen Bilder nicht congruent, sondern symmetrisch. Über diese Möglichkeit sind wir bei der obigen synthetischen Ableitung absichtlich stillschweigend hinweggegangen, um nicht Verwirrung hineinzubringen. Wir haben gefunden:

Satz 9: Sind zwei Minimalflächen auf einander verbiegbar, so kann man sie immer in eine solche gegenseitige Lage bringen, dass die sphärischen Bilder entsprechenderstellen beider Flächen

zusammenfallen oder symmetrisch auf beiden Seiten einer Ebene durch die Kugelmitte liegen. Sind

X = \J(1- u²)U(u)du + \ j(l - ö²)F(ti)dp, y = Y y*d + u²)17(u)rfu ~ -jf (1 + b²) F(t>) d b , J'nU(u)du + Jb U(t>) d ö

die Gleichungen der einen Fläche, so erhält man dadurch, dass man U und V durch

oder durch

eZ7(u) und

eV(n)

und

-F(»)

ersetzt, alle Flächen der einen oder anderen Art. Dabei ist c eine willkürliche Constante. Entsprechende Punkte der Flächen haben parallele Normalen.

an

Der zweite Fall kann durch folgende Überlegung aus dem ersten abgeleitet werden: Wenn zwei Flächen auf einander verbiegbar sind, so gilt dies auch, wenn man die eine Fläche durch ihr Spiegelbild ersetzt, das man erhält, wenn man sie z. B. an einer Coordinatenebene spiegelt, wenn man also eine der rechtwinkligen Coordinaten mit — 1 multipliciert, denn dabei bleiben die Fundamentalgrössen erster Ordnung ungeändert, nach XI (A). Aber dabei ändern zwei der drei Richtungscosinus der Normalen ihr Vorzeichen, nach XI (F). Wenn wir nun auf der Fläche überall den Sinn der Parameterlinien der einen Schar mit dem entgegengesetzten vertauschen, wodurch die Fläche selbst keine Änderung erfährt, so gehen alle drei Richtungscosinus in die entgegengesetzten über, nach S. 30. Also wird jetzt schliesslich gerade ein Richtungscosinus mit dem entgegengesetzten^ Zeichen wie zuerst behaftet sein, und dieser Fall lag oben vor, wo wir X = X, Z = Z, aber Y = —Y fanden. Die Flächen der zweiten Art gehen daher aus denen der ersten Art durch Spiegelung einer Ebene hervor.

con-

Soll die erste Minimalfläche des Satzes 9 reell sein, so müssen u und ü nach Satz 115, S. 250, conjugiert complexe Veränderliche und U und V jugiert complexe Functionen sein. Soll auch die Fläche, bei der U und F durch

c U und

— V

ersetzt werden, reell sein, so müssen also c und 1: c conjugiert complexe (konstanten sein, d. h. der absolute Betrag von c muss gleich Eins sein. Daher ist:

wo a eine beliebige reelle Constante bedeutet.

Somit:

vor:

Satz 10: Liegt eine reelle Minimalfläche

x = (¹~u^Udu + yj"(i - »²) Vd0>

y = y/(1 + u2) Udu ~if(1 + *2) Vdü’

JvlU du + J'

ü V d b ,

sind also u und t> conjugiert complexe Veränderliche und U und V conjugiert complexe Functionen von ihnen, so gehen alle auf diese Fläche verbiegbaren Minimalflächen dadurch hervor, dass man entweder U und V durch

-iay

eiaU und e

ersetzt, wobei « eine beliebige reelle Constante bedeutet, oder dadurch, dass man diese letzteren Flächen noch an einer Ebene spiegelt. Auf die erste Art erhält man diej enigen Minimalflächen, deren sphärisches Bild mit dem der gegebenen Fläche zusammenfällt.

Zu einer reellen Minimalfläche giebt es hiernach, weil die Constante ot willkürlich ist, unendlich viele auf sie verbiegbare und eine stetige Schar bildende Minimalflächen, und in entsprechenden Punkten haben diese Flächen parallele Normalen. Man nennt sie die zur ursprünglichen Minimalfläche assoeiierten Minimalflächen.

Wählt man insbesondere die Constante a unendlich klein, so kommt man zu einer Minimalfläche, die von der ursprünglichen unendlich wenig abweicht. Indem man für a nach und nach immer neue unendlich wenig von einander abweichende Werte setzt, kommt man so zu dem Begriff einer stetigen Verbiegung der ursprünglichen Fläche, wobei sie in jedem Augenblick eine unendlich kleine Formänderung erleidet, ohne sich zu dehnen und ohne aufzuhören, Minimalflächen zu sein. Am besten macht man sich dies klar, wenn man etwa a als Maass der Zeit deutet, in der die Veränderung vor sich geht. Nach dem Obigen bleiben bei dieser stetigen Verbiegung die Richtungen der Flächennormalen ungeändert.

Ist a von 0 bis \n gewachsen, so hat sich die Minimalfläche ergeben:

\f (l-uJ)Wu-|J (l-b²)Fdb,

ij'uüdu — i J

\ J(1 + u²) Udu-^jt 1 + »²J Vd b, b Vdt).

Wenn wir dagegen für a irgend einen reellen Wert wählen, so erkennen wir, da

eia = cos a + i sin a

ist, sofort, dass die zugehörige Minimalfläche aus der im Satze 10 angegebenen und der soeben bestimmten Minimalfläche so hervorgeht: Ist (x, y, x) ein Punkt

der ersten Fläche und (x, y, x) der zugehörige, d. h. zu denselben Werten von u und t> gehörige Punkt der zweiten Fläche, so sind:

£ = x cos a + x sin a ,

(11)

t} = y cos a + y sin « ,

’Q — x cos a + x sin «

die rechtwinkligen Coordinaten des zugehörigen Punktes der zu beliebigem a gehörigen Minimalfläche. Kennt man die zu a = 0 und a - \ n gehörenden Flächen, so findet man also die Zwischenflächen in sehr einfacher Weise. Der Punkt (x, y, x) der ursprünglichen Fläche beschreibt bei der stetigen Verbiegung, wenn a von 0 bis j- n geht, eine gewisse Curve, wobei er schliesslich in die Lage (x, y, x) gelangt. Die Gleichungen dieser Curven sind in den laufenden Coordinaten £, q, £ die Gleichungen (11) mit dem Parameter «. Offenbar ist die Curve eben, denn    £,    rj, £ erfüllen die lineare Gleichung

und da die Projectionen der Curve auf die Coordinatenebenen augenscheinlich Ellipsen sind, so ist die Curve selbst auch eine Ellipse.

Die stetige Verbiegung der Minimalfläche in die associierten Minimalflächen kann man daher in der Art bewirken, dass dabei jeder Punkt eine Ellipse beschreibt, während die Richtungen der Normalen ungeändert bleiben. Der Winkel a ist der Winkel, um den sich jedes Bogenelement der Fläche dabei dreht, doch überlassen wir dem Leser den Nachweis hierfür.

Wenden wir dies insbesondere auf den Fall der gemeinen Schraubenfläche an, die ja nach S. 242 eine Minimalfläche ist, so haben wir nach dem ersten Beispiel auf S. 251 zu setzen:

TJ — —

iq

iq

2 u²

Alsdann ist die im Satze 10 angegebene Fläche diejenige gemeine Schraubenfläche, deren Axe die x-Axe und deren Ganghöhe gleich 2nq ist. Die dem Werte a = entsprechende associierte Fläche gehört zu den Functionen:

V = —

2 Ö*

und ist daher nach dem zweiten Beispiel auf S. 251 dasjenige Catenoid, dessen Axe die *-Axe und dessen Meridian in der a;&-Ebene die Kettenlinie

2 u² ’

2 ö²

*"sT⁺* 7>

ist. Die gemeine Schraubenfläche lässt sich also ohne Dehnung stetig und ohne dabei aufzuhören, eine Minimalfläche zu bleiben, so verbiegen, dass sie ein Catenoid wird, wobei die Punkte sämtlich Ellipsen beschreiben. Nach Satz 6 geht dabei eine Curve, längs

deren das Krümmungsmaass constant ist, in eine ebensolche Curve über. Nun sind diese Curven auf der Schraubenfläche offenbar die Schraubenlinien um die fc-Axe und auf dem Catenoid die Breitenkreise. Erstere gehen also in letztere über. Insbesondere geht die Axe der Schraubenfläche, auf der die Krümmung am grössten ist, in den kleinsten Breitenkreis des Catenoids über, woraus man sieht, dass die Schraubenfläche das Catenoid unendlich oft nach der Verbiegung umhüllt. Da die Verbiegung winkeltreu ist, so leuchtet ferner ein, dass die orthogonalen Trajectorien der erwähnten Schraubenlinien, d. h. also die geradlinigen Erzeugenden der Schraubenfläche, in die Meridiane des Catenoids übergehen.

Die Verbiegung einer Fläche auf eine andere ist, wie wir hervorhoben, eine besondere Art der Abbildung der einen Fläche auf die andere. Nun sprachen wir in § 11 des ersten Abschnittes von beliebigen punktweisen Abbildungen von Flächen. Die dortigen Betrachtungen waren aber insofern unvollständig, als wir damals noch nicht von conjugierten Richtungen sprachen und deshalb auch einen Satz noch nicht erwähnen konnten, der für beliebige Abbildungen gilt, ein Analogon zu dem Satze 49, S. 96, ist und hier nachgetragen werden soll, da wir ihn für den Fall der Verbiegung gebrauchen.

Wenn wir nämlich wie damals zwei Flächen Punkt für Punkt auf einander abbilden und einander entsprechenden Punkten dieselben Parameterwerte u, v beilegen, sodass etwa

(12)

x = <p(u,v), y = x (m, v) , z = ifj (uy v)

die Gleichungen der einen Fläche und

(13)

x = y(u,v), y = x (u, v) , z = ip (u, v)

die der anderen Fläche sind, so sind zwei von einem Punkte (u, v) der ersten Fläche (12) ausgehende Fortschreitungsrichtungen (k = dv.du) und (x — Sv:öu) nach Satz 86, S. 153, oder Satz 39, S. 155, zu einander conjugiert, wenn

(14)

L + M(k + x) + Nk x = 0

ist, wobei L, M, N die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung auf der Fläche (12) bedeuten. Die ihnen bei der Abbildung entsprechenden Fortschreitungsrichtungen (ft) und (x) auf der zweiten Fläche (13) sind alsdann im allgemeinen nicht zu einander conjugiert. Sie sind es vielmehr nur dann, wenn ausserdem:

(15)

1 + M(k + x) + Nkx = 0

ist, sobald 1, M, N die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung auf der Fläche (13) bedeuten.

Sollen also zu k und x solche Richtungen gehören, die auf beiden Flächen conjugiert sind, so müssen die beiden Bedingungen (14) und (15) erfüllt sein. In § 11 des ersten Abschnittes haben wir ein analoges Problem behandelt, nämlich das, solche zwei Werte k und x zu finden, zu denen Richtungen gehören, die auf beiden Flächen zu einander senkrecht sind. An Stelle der Gleichungen (14) und (15) hatten wir damals die Gleichungen (10) auf S. 94. Ganz entsprechend wie damals können wir daher auch hier drei Fälle unterscheiden und discutieren. Nur ein Umstand ist wesentlich anders: Auf einer reellen Fläche mit reellen Parametern sind die Fundamentalgrössen erster Ordnung E und G reell positiv und ist die Fundamentalgrösse F reell. Die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung dagegen sind dann zwar auch reell, können aber beliebige Vorzeichen haben. Daher gilt die an die damalige Fig. 26, S. 95, geknüpfte Realitätsuntersuchung hier nicht.

Analog der Gleichung (13) auf S. 94 finden wir hier die quadratische Gleichung für k:

k²

(16)

^1 S| tMl

als Bedingung für die beiden Werte k und x, die den beiden Gleichungen (14) und (15) genügen. Beachten wir ferner, dass sich die Differentialgleichung XI (0) der Minimalcurven durch die Fundamentalgrössen erster Ordnung gerade so ausdrückt wie die Differentialgleichung XII (X) der Haupttangentencurven durch die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung, so übersehen wir sofort, dass sich analog dem Satze 49, S. 96, hier ein Satz ergiebt, bei dem wir, da es sich um conjugierte Richtungen handelt, die abwickelbaren Flächen nach S. 154 und S. 185 von vornherein ausschliessen. Es kommt:²

Satz 11: Bildet man eine nicht-abwickelbare Fläche Punkt für Punkt auf eine andere nicht-abwickelbare Fläche ab, so sind drei Fälle denkbar:

Erstens: Die beiden Scharen von Haupttangentencurven der einen Fläche bilden sich als die beiden Scharen von Haupttangentencurven der anderen Fläche ab. Jedem System conjugierter Curven auf der einen Fläche entspricht dann ein ebensolches System auf der anderen Fläche.

Zweitens: Nur eine Schar von Haupttangentencurven der einen Fläche bildet sich als Schar von Haupttangentencurven der anderen Fläche ab. Ausser dieser als Ausartung eines Systems conjugierter Curven aufzufassenden Schar giebt es alsdann kein System von conjugierten Curven auf der einen Fläche, dem auf der anderen Fläche ein ebensolches System entspräche.

Drittens: Keine der beiden Scharen von Haupttangentencurven der einen Fläche bildet sich als eine Schar von Haupttangentencurven der anderen Fläche ab. Alsdann giebt es ein und nur ein System von conjugierten Curven auf der einen Fläche, dem auf der anderen Fläche ein ebensolches System entspricht.

Der letzte Fall ist natürlich der allgemeine. In ihm ist nach (16), wenn darin wieder dv.du für k gesetzt wird, die Gleichung

dv² I 1 — dudv M M =0 du² N N

die Differentialgleichung der ausgezeichneten Systeme von conjugierten Curven auf beiden Flächen.

Ist nun die Abbildung der Fläche (12) auf die Fläche (13) insbesondere eine Verbiegung, und geht keine Schar von Haupttangentencurven der einen Fläche dabei in eine Schar von Haupttangentencurven der anderen Fläche über,³ so giebt es nach unserem Satze ein System von conjugierten Curven auf der einen Fläche, das auch nach der Verbiegung ein solches System bleibt. Da die Verbiegung ferner conform ist, so ändern sich die Winkel nicht, unter denen die Curven des Systems einander schneiden. Auch die Bogenlängen der Curven bleiben unverändert. Nach Satz 79, S. 196, sind die unendlich kleinen Netzvierecke als eben aufzufassen. Da nun ihre Winkel und Seitenlängen bei der Verbiegung ungeändert bleiben, so ist überhaupt jedes der Netzvierecke bei der Verbiegung als starr aufzufassen. Wir gewinnen hierdurch einen Einblick in das Wesen der Verbiegung einer Fläche, den wir so ausdrücken können:

Satz 12:⁴ Eine jede Verbiegung einer Fläche, bei der keine Schar von Haupttangentencurven eine solche Schar bleibt, kann aufgefasst werden als eine Formänderung eines Polyeders von lauter einzeln starren unendlich kleinen ebenen Vierecken.

Dies Polyeder hat man sich — indem man nur ein begrenztes Stück der Fläche betrachtet — offen vorzustellen wie in Fig. 67, S. 197.

Hiernach leuchtet ein, wie ein solches Flächenmodell, das auf S. 197 beschrieben wurde, geeignet ist, einen Begriff von der Verbiegung einer Fläche zu geben: Man hat es so einzurichten, dass die einzelnen starren ebenen Vierecke des Netzes gegen einander drehbar bleiben, was sich mechanisch leicht erreichen lässt. Doch darf nicht ausser acht gelassen werden, dass dasjenige System von conjugierten Curven, das bei der Verbiegung seine Eigentümlichkeit bewahrt, sehr wohl bei reellen Flächen imaginär sein kann. Dies ist z. B. hei den Minimalfiächen der Fall, denn die Minimal-curven einer Minimalfläche sind ja nach Satz 111, S. 244, zu einander conjugiert, und bei der Verbiegung einer Minimalfläche in eine Minimalfläche bleiben diese Curven — wie überhaupt — Minimal-curven und sind auch nachher conjugiert. Wenn man also zwei Minimalflächen auf einander verbiegen kann, so ist dasjenige System von conjugierten Curven der einen Fläche, dem ein ebensolches System auf der anderen entspricht, imaginär, sodass für diesen Fall kein Modell hergestellt werden kann.

Das beschriebene Modell giebt auch eine gute Vorstellung davon, was unter einer stetigen Verbiegung zu verstehen ist, da man es stetig in andere Gestalten überführen kann.

§ 4. Verbiegung von Flächen auf Rotationsflächen.

Es kann Vorkommen, dass eine Fläche auf sich selbst verbiegbar ist. Man denke sich nämlich die Fläche in zwei Exemplaren materiell hergestellt, etwa einmal aus starrem Material, das andere Mal aus einer zwar durchaus biegsamen, aber unausdehnbaren dünnen Haut. Alsdann wird diese zweite Haut natürlich so auf die erste Fläche ausgehreitet werden können, dass homologe Punkte zur Deckung kommen. Aber es ist auch denkbar, dass die unausdehnbare, aber biegsame Haut noch auf eine andere Art auf die starre Fläche vollkommen ausgebreitet werden kann, sodass nicht mehr homologe Punkte zur Deckung kommen. Ein triviales Beispiel hierzu liefert jede Rotationsfläche. Bei einer solchen darf sogar das zweite Modell auch starr sein. Es kann in unendlich vielen Lagen mit dem ersten Modell zur Deckung gebracht werden, da die Rotationsfläche durch Drehung um ihre Axe immer in sich übergeht. Ein allgemeineres, aber ebenfalls triviales Beispiel liefern die Schrauben flächen (vgl. 2. Beispiel, S. 59), die ja die Rotationsflächen umfassen, da jede Drehung eine specielle Schraubung ist. Jede Schraubenfläche geht, wenn man sie derjenigen stetigen Schraubung unterwirft, durch die sie aus einer starren Curve erzeugt worden ist, beständig in sich über.

Wir wollen uns nun fragen, welche Flächen stetig in sich selbst verbogen werden können. Diese Frage deckt sich mit der Frage: Welche Flächen können in der Art unendlich wenig verbogen werden, dass die neue Fläche mit der ursprünglichen congruent ist? Denn wenn eine Fläche eine solche unendlich kleine Verbiegung erlaubt, bei der sie wieder die alte Gestalt annimmt, so braucht man nur diese unendlich kleine Verbiegung beständig zu wiederholen, um dazu zu gelangen, die Fläche stetig in sich zu verbiegen.

Es seien wieder wie auf S. 278 die Parameterlinien (u) und (t>) die Minimalcurven der Fläche. Da sie zwei getrennte Scharen bilden, nach Satz 16, S. 36, — denn von den Tangentenflächen der Minimalcurven sehen wir ja ab —, und da andererseits jede Minimal-curve nach dem Früheren bei Verbiegung wieder in eine Minimal-curve übergeht, so kann eine Curve (u) bei unendlich kleiner Verbiegung nur in eine unendlich benachbarte Curve derselben Schar übergehen. Dasselbe gilt von jeder Curve (ö). Es möge daher die Curve (u) in die unendlich benachbarte Curve mit dem Parameter

u + cp (u) 8

und die Curve (b) in die unendlich benachbarte Curve mit dem Parameter

b +    (b)«

übergehen, wobei e auf der 'ganzen Fläche ein und dieselbe unendlich kleine Grösse bedeute. Wenn wir jetzt bedenken, dass das System der Parameterlinien nicht geändert wird, sobald wir eine Function von u als neuen Parameter ’u und eine Function von b als neuen Parameter b einführen, so können wir die Voraussetzungen noch etwas vereinfachen. Wenn sich nämlich u in u + cp (u) 6 verwandelt, so geht eine beliebige Function TJ von u über in

• ü(u + cp (u) e) = £7(u) + U'(u) • Cp (u) s, da « unendlich klein ist. Wählen wir also, wenn cp =j= 0 ist:

du.

<p(u)

so ändert, sich U gerade um e. Ebenso ändert sich, wenn xp 0 ist,

y/(b)

=fiv

gerade um e. Wenn wir nun diese Functionen TJ und V als neue Parameter benutzen, so sehen wir im Falle cp =(= 0, xp -(= Ö:

Wir können voraussetzen, dass auf der gesuchten Fläche solche Parameter u und -b vorhanden seien, dass erstens die Curven (u) und (b) die Minimalcurven der Fläche sind und dass zweitens jede Curve (u) bez. (b) bei der unendlich kleinen Verbiegung in die unendlich benachbarte Curve (u + s) bez. (b + e) übergeht. Ist jetzt, wie auf S. 278:

ds² = 2F(u, b) d\x d)o

das Quadrat des Bogenelementes der Fläche, so ist zu fordern, dass es ungeändert bleibe, wenn für u und b die Werte u + 6 und b + e gesetzt werden. Da d(u + «) = ^u und d(b + e) = <ib ist, so ist nur das Eine zu fordern:

F{u + 6, b + e) = F(u, b) oder, wenn wir nach Potenzen von e entwickeln:

dF

■ flu

6 -f-

dF

dü

Die angedeuteten Glieder sind von höherer Ordnung in e. Einmal lässt sich 8 absondern, sodass sich schliesslich ergiebt:

Dies ist leicht anders auszusprechen. Wenn wir nämlich für den Augenblick    .

5 = U — ö, t) = u

als Veränderliche in F einführen, so ist:

BF

«Dg

BF'

BF ■

+ 1T = 0-

ö    _ BJf    B_F_    BF_ _

8 B i    öl)’    6 b    B i ’

sodass die- Forderung zurückkommt auf:

BF

Öl)

A-lso enthält F nur £ oder u — ü.

- Im Fall (p = 0 ergiebt sich, dass F nur von u abhängt, sodass das Krümmungsmaass nach (10), S. 270, gleich Null, die Fläche also nach Satz 90, S. 214, abwickelbar ist. Ebenso im Falle \jj = 0. Daher:

Satz 1$: Ist es möglich, eine nicht-abwickelbare Fläche unendlich wenig in sich selbst zu verbiegen, so lassen sich solche Parameter u und ü auf der Fläche einführen, dass das Quadrat ihres Bogenelementes die Form annimmt:

ds² = 2F(\ü — t))dudt).

Umgekehrt: Jede Fläche mit diesem Bogenelement-Quadrat lässt sich stetig in sich derart verbiegen, dass dabei die Parameter u, ö eines beliebigen Flächenpunktes Schritt für Schritt um eine unendlich kleine Grösse e wachsen, die überall auf der Fläche denselben Wert hat.

Dass diese Fläche jetzt jede solche endliche Verbiegung erlaubt, bei der der Punkt (u, t>) in den Punkt (ü, ü) mit

Ö = ü + a

übergeht, wo a eine beliebige Constante ist, sieht man sofort daran, dass du = du, dö = dt) und ^(ü — 5) = F[vl — ü) ist.

Insbesondere gehören die Rotationsflächen zu diesen Flächen. Dies wollen wir bestätigen. Auf der Rotationsfläche (vgl. S. 41):

y = p[u) sin v,

X = p (U) COS V ,

bedeute u die Bogenlänge des Meridians, sodass ds² — du²    p² (u) dv²

(1)

z = q(u)

ist. Wenn wir daher neue Parameter u und ü einführen, indem wir setzen:

p(u)

oder:

du

p{u)

i d uj

+ iv,

so kommt:

p(u)

+• i v

(2)

d s² — — Ap² d u d ü .

Dabei ist:

(3)

p(u)

also u eine Function von u — ü allein und mithin p² (m) auch eine Function von u — ti allein, sodass das Bogenelement-Quadrat (2) thatsächlich die in unserem Satze angegebene charakteristische Form hat.

Aber noch mehr: Liegt irgend eine nicht-abwickelbare Fläche vor, die stetig in sich verbiegbar ist und deren Bogenelement-Quadrat also auf die Form gebracht werden kann:

ds² = 2 F( u — tj)dudt),

(4)

wobei F irgend eine Function von u — t) allein bezeichnet, so können wir stets eine Rotationsfläche mit genau demselben Quadrat des Bogenelementes bestimmen. Denn nach (2) und (4) ist zu fordern:

-2P\h) = F{vl-'6) oder, wenn it — ü mit w bezeichnet wird:

— 2 p² (u) = F[vi),

(5)

während nach (3)

(ö)

p(u) du

sein soll. Hierin ist F(w) gegeben, p{u) gesucht. Die Gleichung (5) liefert:

— 4 p(u) p (u) = F' (w)

oder, wenn (6) benutzt wird:

Die beiden Forderungen (5) und (6) sind jetzt ersetzbar durch (5) und (7). Eliminieren wir aus diesen beiden w, was ja, da F(w) eine gegebene Function von w ist, theoretisch möglich ist, so ergiebt sich eine Gleichung zwischen p (u) und p (u), etwa:

V (u) =    («)) •

Hieraus berechnen wir dann:

dp

il{p)

Eine additive Integrationsconstante spielt hier keine wesentliche Rolle, da wir die Bogenlänge u von irgend einer Stelle an rechnen können. Ist die Quadratur links ausgeführt, so lässt sich durch Auflösen der hervorgehenden Gleichung nach p diese Function p von u berechnen. Wir setzen sie alsdann in (5) ein und erlangen so eine Gleichung zwischen u und w, aus der sich — theoretisch — u als Function von w berechnen lässt. Überdies bestimmt man q (m) aus der Forderung, dass u die Bogenlänge des Meridians sein soll, also aus:

sodass kommt:

p'² + q'² = 1

?=//T

— p'² du.

Die bei dieser Quadratur auftretende additive Constante hat keine wesentliche Bedeutung; sie rührt daher, dass die Rotationsfläche längs ihrer Drehaxe, der 2-Axe, verschoben werden kann.

Wir haben also gefunden, dass es thatsächlich eine Rotationsfläche mit dem vorgeschriebenen Bogenelement-Quadrat giebt, woraus folgt:

Satz 14: Eine Fläche lässt sich dann und nur dann stetig in sich verbiegen, wenn sie auf eine Rotationsfläche verbiegbar ist.

Denn die Umkehrung leuchtet ein: Ist die Fläche auf eine Rotationsfläche verbiegbar, so giebt jede Drehung der Rotationsfläche um ihre Axe eine solche Verbiegung der Fläche, bei der sie in sich übergeht. Dass der Satz auch für jede abwickelbare Fläche gilt, ist klar.

Da insbesondere die Schrauben flächen in sich verschraubbar sind, so gehören sie zu den betrachteten Flächen, sodass sich ergiebt:

Satz 15:⁵ Jede Schraubenfläche ist auf eine Rotationsfläche verbiegbar.

Beispiel: Wir haben schon auf S. 284 gesehen, dass sich die gemeine Schraubenfläche auf ein Catenoid verbiegen lässt.

Wenn man beachtet, dass das Quadrat (4) des Bogenelementes einer Fläche, die stetig in sich verbogen werden kann, seine Form nicht wesentlich ändert, sobald man statt u und ü dieselben con-stanten Vielfachen an und a t> als Parameter einführt, weil dann an die Stelle von u — ü ein constantes Vielfaches von u — ö tritt, also F nach wie vor eine Function von u — b bleibt, so erhellt, dass wir nicht nur eine Rotationsfläche (1) bestimmen können, auf die sich die Fläche verbiegen lässt, sondern oo¹ solche Flächen. Und da zwei Flächen, die auf eine dritte verbiegbar sind, auch auf einander verbogen werden können, so schliessen wir hieraus, dass jede Rotationsfläche auf oo¹ Rotationsflächen verbiegbar sein wird. Wir wollen dies jetzt direct bestätigen.

Wir behandeln also die Frage nach allen Rotationsflächen, die auf eine gegebene Rotationsfläche verbiegbar sind. Auf einer Rotationsfläche sind die Breitenkreise diejenigen Curven, längs deren das Krümmungsmaass constant ist. Wenn daher auf den jetzt betrachteten Rotationsflächen das Krümmungsmaass nicht überhaupt constant ist — wovon wir vorerst abseh en, — so folgt aus Satz 7, S. 275, dass zwei Rotationsflächen nur so auf einander verbiegbar sind, dass jeder Breitenkreis der einen in einen Breitenkreis der anderen übergeht. Da ferner die Verbiegung eine winkeltreue Abbildung ist, so müssen die orthogonalen Trajectorien der Breitenkreise der einen Fläche in die orthogonalen Trajectorien der Breitenkreise der anderen Fläche übergehen, d. h. Meridian geht in Meridian über. Nun sind bei der Rotationsfläche

(8)

y — p {u) sin v,

z — q[u)

x = p (u) cos v,

die Parametercurven (w) und (u) die Breitenkreise und Meridiane. Soll die Fläche auf die Rotationsfläche:

(9)

y — p (u) sin v

z = q (ü)

x = p (ü) cos v,

verbiegbar sein, so muss also ü eine Function von u allein und v eine Function von v allein sein. Insbesondere setzen wir wieder voraus, dass u bez. ü die Bogenlängen auf den Meridianen bedeuten, sodass die Quadrate der Bogenelemente die Ausdrücke haben:

d s² = du² -f- p² dv²

ds² = du² + p²dv\

Wir haben daher zu verlangen, dass ü eine solche Function von u und v eine solche Function von v sei, dass:

du² = dü²,

p²dv² =p²dv²

wird. Also ist zunächst

ü — + u + Const.

zu setzen. Nun können wir aber dies vereinfachen: Wir rechnen die Bogenlänge von zwei solchen Breitenkreisen aus, die einander bei der Verbiegung entsprechen, und zwar überdies in entsprechendem Sinne. Alsdann dürfen wir

setzen. Jetzt bleibt die Bedingung:

V² (u)

dv2 ~dtf'

die links nur u, rechts nur v enthält, weil v eine Function von v sein soll. Also sind beide Seiten der Gleichung Constanten. Daher kommt:

p{u) = ap{u), dv

= ±i

(a — Const.),

woraus noch folgt:

v = ~\~ — Const.

CL

Aber wenn v um eine Constante wächst, so heisst dies nur, dass die Fläche um ihre Axe gedreht wird, wobei sie in sich übergeht. Wenn v durch — v ersetzt wird, so heisst dies, dass die Fläche an der a-z-Ebene gespiegelt wird, wodurch sie ebenfalls in sich übergeht. Wir können daher einfacher setzen:

Jetzt ist noch q zu bestimmen. Da u die Bogenlänge b’edeuten soll, so muss:

q = J* y 1 — cPp'^du

also

p'² + q²= 1, sein. Demnach sind:

z = jy 1 — cPp

²du

(10) x = ap(u) cos--, y = ap{u) sin - -,

die Gleichungen der gesuchten Fläche (9).

Durchläuft a stetig die Werte von Eins an, so erhalten wir eine stetige Schar von Rotationstlächen (10), die auf die Fläche (8), die sich aus (10) für a = 1 ergiebt, verbiegbar sind. Der Übergang hat die Eigentümlichkeit, dass das Product, das man aus der Normalen n ihres Punktes (w) — gemessen bis zur z-Axe — und aus dem Krümmungsradius r dieses Punktes von der Constanten a frei ist, wie aus Satz 7, S. 275, und aus Satz 13, S. 122, sofort folgt und auch direct nachgewiesen werden kann, da dies Product nach I S. 98 den Wert hat. Wir hätten die Meridiancurven der gesuchten Flächen auch auf Grund dieser Eigenschaft bestimmen können.

Wir sahen von den Rotationsflächen constanter Krümmung ab, da auf ihnen die Breitenkreise nicht die einzigen Curven mit constanter Flächenkrümmung sind, also auch nicht von vornherein feststeht, dass jeder Breitenkreis in einen Breitenkreis übergeht. Auf diese Flächen kommen wir im nächsten Paragraphen zurück.

Wir haben gefunden:

Satz 16:⁶ Liegt eine Rotationsfläche

z — J y\-p²{u)du

x = p (u) COS V ,

y = p(u) sin v ,

vor, die keine constante Krümmung hat, so werden alle Rotationsflächen, die auf diese Fläche verbiegbar sind, durch die Gleichungen:

z — fyi — a²p'(u)²du

von einer Rotationsfläche zu einer auf sie verbiegbaren Rotationsfläche kann also durch eine solche stetige Verbiegung erzielt werden, bei der die Fläche beständig Rotationsfläche bleibt.

Die in der xz-Ebene gelegene Meridiancurve der Fläche (10):

x = ap (u),

y = o,

z = J'y 1 — a² p

² du

x = ap{u) cos — , y = ap[u)svo. ,

gegeben. Dabei bedeutet a eine willkürliche Constante. Die Verbiegung wird in allgemeinster Weise dadurch bewirkt, dass man zunächst die Stellen mit gleichen Para-

meterwerten u, v mit einander zur Deckung bringt, worauf die eine Fläche noch in sich gedreht oder an einer Meridianebene gespiegelt werden kann. Dabei gehen Breitenkreise in Breitenkreise und Meridiane in Meridiane über.

§ 5. Verbiegung von Flächen constanter Krümmung.

Wir haben im vorigen Paragraphen bei der Betrachtung der Verbiegung von Rotationsflächen ausdrücklich von den Rotationsflächen constanter Krümmung abgesehen, von jenen Flächen also, deren typische Formen wir schon früher untersucht haben, vgl. das Beispiel auf S. 214. Der Grund für diese Ausschliessung ist der, dass die Flächen constanter Krümmung überhaupt in Bezug auf die Verbiegung eine Ausnahmestellung einnehmen.

Um dies zu zeigen, wollen wir zuerst untersuchen, auf welche Form sich das Quadrat des Bogenelementes einer jeden Fläche constanter Krümmung K bringen lässt. Sind die Parameterlinien (u) und (ü) wieder die Minimalcurven der Fläche, wie auf S. 278, sodass das Quadrat des Bogenelementes die Form hat:

(1)

ds² — 2 F(ü, ü) du d 0 ,

so wird die Fundamentalgleichung (10) auf S. 270 zur dritten Gleichung (6) auf S. 268 oder also, da wir u und t> statt u und v schreiben, zur Gleichung:

LN— M²

_ F²

1 d²log F F dudti

Hierin ist die linke Seite, da F = G = 0 ist, das Krümmungsmaass K, nach Satz 89, S. 214, sodass wir haben:

(2)

l d²\ogF _ t-7-

¥ dudti ~ ~ A ’

wo jetzt die rechte Seite nach Voraussetzung eine Con-stante ist.

Die Gleichung (2) ist eine Bedingungsgleichung für die einzige in (1) auftretende Function F, und die Frage ist, was für eine Gestalt sie der Function F vorschreibt. Die Gleichung (2) ist, weil sie von der unbekannten Function F von u und ö einen zweiten partiellen Differentialquotienten enthält, eine sogenannte partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für A⁷.⁷ Aber wir

können doch die Function F aus ihr bestimmen, ohne die Theorie derartiger Gleichungen dazu heranzuziehen, und zwar beruht dies darauf, dass es gelingt, zunächst den Ausdruck:

d log F

(3)

du

zu bestimmen.

In der That lässt sich ja (2) so schreiben:

K = - KF,

(4)

sodass, da K eine Constante ist,

Xuü = — KFU — — KF • ~~ = — KF oder also nach (3) und (4):

d logF

du

ist. Hierfür aber können wir schreiben:

Also muss Xn — j-X² eine Function von u allein sein. Bezeichnen wir sie für den Augenblick mit co (u), so kommt:

Xü = \X² + co (u).

Wohlbemerkt ist X eine Function von u und von ü. Da aber co (u) nur von u abhängt, so giebt es Functionen a von u allein, für die ganz analog:

(5)

dü    + '»('*)

ist. Denn dies ist ja eine RicCATi’sche Gleichung für die Function a von u (vgl. I S. 213, 214). Wir brauchen aber diese Gleichung gar nicht zu integrieren, denn ö>(u) bezeichnete uns irgend eine Function von u, die vorläufig keiner besonderen Beschränkung unterworfen ist. Wenn wir also unter <7(u) irgend eine Function von u allein verstehen, so können wir uns umgekehrt co (u) durch (6) definiert denken.

(6)

behandelt er gerade unser gegenwärtiges Problem. Ygl. auch seine Arbeit: „Sur l’equation aux differences partielles

d² log X du dv

2 a²

Comptes Rendus, t. XXXYI (1853), oder Journ. de Math. p. et app., 1. serie, t. XYIII (1853). Wir folgen im Texte seiner Methode.

Alsdann folgt aus (5) und (6)

(7)

i(*² - er²) = *(A - er)(A + er).

Hier haben wir er' statt der: du geschrieben, weil er nur von u abhängt und daher er' nur den Differentialquotienten nach u bedeuten kann.

Jetzt liegt es nahe, zu versuchen, zunächst A — er anstatt A selbst zu bestimmen. Wir setzen daher:

(8)

fjb = A, — ff

und finden aus (7)

oder:

oder auch:

■«Ul?

b ! a.

Qj

ko

a *ft I

«4-

Dies aber ist eine Bedingung für die Function:

¹

Die Theorie der Verbiegung von Minimalflächen in Minimalflächen verdankt man Bonnet. Siehe seine „Note sur la th6orie generale des sur-faces“, Comptes Rendus t. XXXVII (1853), und sein „Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface donnee“, 2. partie, Joum. de l’^cole polyt. 42. cahier (1867).

²

Dieser Satz rührt her von Peterson, „Über Curven und Flächen“, 1. Lieferung, Moskau und Leipzig 1868.

³

Da wir den Fall, dass die Haupttangentencurven einer Schar solche bei der Verbiegung bleiben, hier ausschliessen, sei zur Orientierung des Lesers bemerkt, dass Bonnet gezeigt hat, dass in diesem Falle die beiden Flächen congruent oder symmetrisch sind, es sei denn, dass sie geradlinig und die einander entsprechenden Haupttangentencurven die Geraden der Flächen sind.

⁴

Satz von Peterson (1868), vgl. die Anm. zu S. 286. Das Buch von Peterson hat bis in die jüngste Zeit fast keine Beachtung gefunden, sodass Ribaucour in seiner Note „Sur les systemes cycliques“, Comptes Rendus t. CXIII (1891), das gemeinschaftliche System conjugierter Curven von neuem betrachtet hat. Es ist das Verdienst von Stäckel, durch seine beiden Abhandlungen: „Über Abbildungen“, Math. Annalen 44. Bd. (1894), und „Biegungen und conjugierte Systeme“, ebenda 49. Bd. (1897), auf die vergessenen Ergebnisse Peterson’s hingewiesen zu haben.

⁵

Dieser Satz wird öfters als das Theorem von Bouk bezeichnet, vgl. die Anm. zu S. 273.

⁶

Satz von Minding, „Über die Biegung gewisser Flächen“, Journ. f. d. r. u. ang Math. 18. Bd. (1838).

⁷

Diese partielle Differentialgleichung hat zuerst Liouville (1850) in der ersten der beiden auf S. 278, Anm., genannten Noten allgemein integriert. Dort

(9)

nämlich diese:

(10)

vu=-

— ff V .

Wäre uns v bekannt, so würde uns (9) auch g und darauf (8) auch A geben, denn hiernach ist ja:

(11)

A = — + er.

Mithin wird es darauf ankommen, die Form der Function v(ü, ö) aus (10) abzuleiten.

Zu diesem Zweck machen wir wieder von dem Umstand Gebrauch, dass ff irgend eine Function von u bedeutet. Wir können also statt ff eine Function r von u allein vorlegen und

(12)

ff = —

x'

setzen, und zwar thun wir dies, weil dann die Gleichung (10) eine bequemere Form annimmt, nämlich diese:

Links steht jetzt der partielle Differentialquotient von v:r nach u. Wir würden diese Gleichung daher auswerten können, wenn auch rechts ein partieller Differentialquotient nach u stände. Dies aber erreichen wir, wenn wir abermals eine neue Function U von u allein statt r einführen, indem wir setzen:

(14)

- = 2 ü\

Dann ist v.r = 2 U'v, sodass (13) giebt:

woraus folgt, dass 2 U'v + U eine Function von ö allein sein muss. Wird diese Function mit — V bezeichnet, so haben wir nun:

(15)

oder:

(13)

T Vu — t'v

T²

ü+ V

2 U'

Wegen (12) und (14) ist aber jetzt:

(7 =

also nach (15) und (11):

U" U' ’

l =-

U"

Ü+V

U' ’

wofür wir auch schreiben können:

A[logP'_21og (U+F)-].

Jetzt lehrt (3), dass logF die Form hat:

log F = log U' — 2 log (U + V) + log W, wo W noch eine Function von t> allein bedeutet, sodass wir haben:

(16)

trw

(U+ Vf

Setzen wir aber diesen Wert in die ursprüngliche Gleichung (2) ein, so kommt:

2 V'

oder:

2 V'

sodass die Substitution dieses Wertes in (16) schliesslich ergiebt:

(17)

2 U' V'

k {tj+ vy '

Die allgemeinste Function F(u, ö) also, die der Bedingung (2) genügt, hat diese Form (17), in der TJ eine beliebig zu wählende Function von u allein und V eine beliebig zu wählende Function von ö allein bedeutet.

Aber dies gilt wohlbemerkt nur unter der Voraussetzung, dass K eine Constante ist.

Nach (1) lässt sich also das Quadrat des Bogenelementes einer jeden Fläche von der constanten Krümmung K auf die Form bringen:

ds² =

4 U'V’

K (U+ Vf

Führen wir nun TJ und V als neue Parameter u und v ein, wobei nach wie vor die Minimalcurven der Fläche die Parameterlinien sind, so kommt einfacher:

d s¹ —

Daher:

4 du dv K (u + vf

Satz 17:¹ Das Quadrat des Bogenelementes einer jeden Fläche von constanter Krümmung K lässt sich auf die Form bringen:

d s¹ =

4 du dv K (u + vf

Hieraus aber folgt weiter:

Satz 18:² Zwei Flächen von derselben constanten Krümmung sind stets auf einander verbiegbar.

Denn man kann hiernach ihre Bogenelemente durch geeignete Wahl der Parameter auf dieselbe Form bringen.

Bezüglich der Flächen constanter positiver Krümmung K kann hier noch ohne Mühe eine Folgerung gezogen werden: Da die Kugel vom Radius 1 :]/A die constante positive Krümmung K hat, so ist jede Fläche constanter positiver Krümmung auf eine Kugel verbiegbar, nach Satz 18. Die Kugel aber kann in sich nicht nur auf eine, sondern auf oo² 1 Arten gedreht werden. Daraus

folgt, dass eine Fläche constanter positiver Krümmung auf oo² Arten in sich verbogen werden kann. Dasselbe kann man übrigens von den Flächen constanter negativer Krümmung beweisen, worauf wir nicht näher eingehen. Man kann sagen: Es giebt drei Arten von Flächen, die einen lassen sich nicht stetig in sich verbiegen, die anderen auf oo¹ Arten — das sind die auf Rotationsflächen verbiegbaren Flächen nicht-constanter Krümmung —, und die letzten auf oo² Arten, — und dies sind die Flächen constanter Krümmung.

Wir haben aber nicht die Absicht, aus der sehr weit ausgebauten Theorie der Verbiegung hier noch weiteres zu bringen. So übergehen wir auch die Theorie der Verbiegung geradliniger Flächen.

§ 6. Differentialinvarianten einer Fläche.

Die Paragraphen 3 bis 5 sind als eine Einschaltung zu betrachten, die an eine der drei Fundamentalgleichungen der Flächentheorie angeknüpft wurde. Wir bitten daher den Leser, wieder auf die Betrachtungen der Paragraphen 1 und 2 zurückzugehen.

Wir fanden dort, dass sich die zweiten partiellen Differential-quotienten der rechtwinkligen Coordinaten x, y, z einer Fläche:

(1)

x = cp (w, v), y = x {u, v), z = xfj (u, v)

nach den Parametern u und v durch die ersten partiellen Differentialquotienten von x, y, z, durch die Fundamentalgrössen und die partiellen Differentialquotienten der Fundamentalgrössen ausdrücken lassen. Indem wir alsdann die dritten x4.bleitungen von x, y, z zu berechnen unternahmen, sahen wir, dass sich xuuv und xuvv auf je zwei Weisen finden lassen, und dasselbe galt von yuuv, yuvv und von zuuv, zuvv. Durch Gleichsetzen der jedesmal erhaltenen beiden Werte kamen wir zu sechs Gleichungen, die sich aber auf nur drei von einander unabhängige reducierten, auf die drei Fundamentalgleichungen der Flächentheorie. Es waren dies Gleichungen, die nur die Fundamentalgrössen und ihre Ableitungen enthielten.

Wir deuteten schon auf S. 272 an, dass wir darauf ausgehen, nachzuweisen, dass zu solchen sechs Functionen E, F, G, L, M, N von zwei Veränderlichen u und v, die diesen drei Fundamentalgleichungen Genüge leisten, stets Flächen (1) vorhanden sind, bei denen sie die Rolle der Fundamentalgrössen erster und zweiter Ordnung spielen; ja wir wollen überdies zeigen, dass alle Flächen, die diese sechs Grössen zu Fundamentalgrössen haben, mit einander

congruent sind. Es ist also unsere Absicht, in Bezug auf Flächen dasjenige Problem zu erledigen, das wir in Bezug auf Curven im ersten Bande in den Paragraphen 13 und 14 des zweiten Abschnittes behandelt haben. Wie wir damals einen Paragraphen über die Differentialinvarianten der Curven vorausschickten, so wollen wir auch hier vorerst die Frage nach allen Differentialinvarianten einer Fläche beantworten.

Unterwerfen wir eine Fläche (1) allen Bewegungen des Raumes, so geht sie in unendlich viele neue Lagen über. Dabei werden die rechtwinkligen Coordinaten x, y, z andere und andere Functionen der Parameter u und v. Wenn nämlich der Punkt (x, y, z) der Fläche bei einer Bewegung in den Punkt (x, y, z) übergeht, so ist, wie in (2), I S. 201: x = oq x -f- cc₂ y + «₃ z + a ,

(2)

y — ßxx + ß₂y + ßsz + ^ >

* = yxx + y₂y + y₃z + c,

wobei die a, ß, y solche Constanten sind, die den Formeln I ((7), {D), (E), (.F) Genüge leisten, im übrigen aber beliebig gewählt werden können, während a, b, c überhaupt ganz willkürliche Constanten bedeuten. Da x, y, z nach (1) Functionen von u und v sind, so sind x, y, z nach (2) ebenfalls Functionen von u und v, die aber noch willkürliche Constanten enthalten.

Wir fragen nun nach allen denjenigen Functionen von x, y, z und ihren partiellen Differentialquotienten nach u und v, die bei allen Bewegungen ungeändert bleiben, d. h. also nach allen Functionen

y> u xu> *v> yui yvi zu>    xw • • •)>

die ungeändert bleiben, sobald man in ihnen x, y, z durch die Functionen x, y, z ersetzt, die noch willkürliche Constanten enthalten. Alle derartigen Functionen J heissen Differentialinvarianten der Fläche hinsichtlich der Bewegungen.³

Zum besseren Verständnis dieser Definition ist noch zu bemerken, dass infolge von (2) die ersten Ableitungen von x, y, z nach u und v die Formen haben:

K    =    aiXu    +    a2 Vu    +    *3 Zu>    Xv    =    «1 Xv    +    atVv    +    a3Zv’

(3)

Vu    =    ßl Xu    +    ß 2 Vu    +    ßs Zu »    Vv    =    ßl Xv    +    /V/y    +    & V

.    =    /i ^    +    r₂3/„    +    r₃ zu»    *,    =    /i    +    r₃

und dass sich die höheren Ableitungen analog ausdrücken. Wenn wir nämlich zur Vereinfachung unter Xik diejenige Ableitung einer Function X von u und v verstehen, die sich durch ?'-malige Differentiation nach u und A-malige Differentiation nach v ergiebt, also allgemein setzen:

(4)

8l + k X (u, v)

du¹ d vk

= X.

ik ’

so ist nach (2):

Xik — a\ Xik ~b a2 Vik 4“ a3 Zi ßik ⁼ ßl Xi k d~ ß‘2> Vik d“ ßz Zik *

Zik ~ Xik d" IX2 Vik d" y3 Zik ‘

Nun soll die Function J eine Differentialinvariante heissen die Gleichung:

J (X> y5 z 1 X\0’ X01’ y\0> 3^01 > Z10’ Z01 1 X20 > hl! x02 • • •) = = J(x,y,z, ^io i *^01 ’ 3/io>    1 > zio > zoi > ^20»    *^02 • ’

(5)

(6)

wenn

infolge von (2) und (5) besteht, wie auch die Coefficienten a, b, c und die Richtungscosinus a₁, a₂, a₃, ßx, ß₂, ß₃, y}, y₂, y₃ gewählt sein mögen, vorausgesetzt, dass diese Cosinus die in Tafel I angegebenen Bedingungen erfüllen. — Es ist vielleicht überflüssig, hierbei hervorzuheben, dass z. B. x₁₀ und x₀₁ nach der Definition (4) die Ableitungen xu und xv bedeuten, sodass die Formeln (3) mit in (5) enthalten sind.

Noch deutlicher wird die Definition der Differentialinvarianten werden, wenn wir einige Beispiele angeben. Solche Beispiele sind die Fundamentalgrössen erster und zweiter Ordnung E, F, G, L, M, N, deren Unveränderlichkeit bei den Bewegungen des Raumes wir schon in Satz 6, S. 16, und Satz 5, S. 107, ausgesprochen haben. Bei unserer Bezeichnungsweise (4) ist nach XI (A) insbesondere:

“b ^io “b zio > ^ ⁼ ^oi "b 3/10^01 "b z\o zoi >

G = xlx

E = x'(₀

(7)

+ yl\ + zoi

Zur Bestimmung aller Differentialinvarianten wenden wir mit einigen Umstellungen in der Reihenfolge der Schlussfolgerungen dieselbe Methode an wie bei dem entsprechenden Problem für die Curven in § 12 des 2. Abschn., 1. Bd. Wie dort auf S. 202 erkennen wir auch hier:

Die Differentialinvarianten sind frei von x, y, z selbst, was genau wie damals so auch hier daraus folgt, dass die ganz willkürlichen Constanten a, b, c nur in den Formeln (2), dagegen nicht in den Formeln (5) auftreten.

Jetzt beweisen wir weiter eine Behauptung, die analog der letzten Bemerkung des erwähnten Paragraphen, I S. 208, ist, dort aber aus dem Gesamtergebnis geschlossen wurde, während wir sie hier benutzen, um das Ergebnis selbst abzuleiten:

Wenn nämlich eine Function J eine Differential-invariante ist, so sind auch alle ihre partiellen Ableitungen nach u und v Differentialinvarianten.

Um dies zu beweisen, wollen wir der Übersichtlichkeit halber in J nur eines der Argumente, xi]c, besonders angeben und die übrigen Argumente durch Punkte andeuten:

Es soll dann unter

J (xik . . .)

dieselbe Function verstanden werden, nachdem aber überall, nicht nur in dem einen Argumente xik, die Zeichen x, y, z durch x, y, z ersetzt worden sind. Ist nun J eine Differentialinvariante, so ist:

J iXik ■ •    • • •)

infolge von (5) und zwar für alle Werte von u und v. Daher darf die Formel zunächst nach u differenziert werden. Also ist:

<9 J (xtt...)

(8)

dJ{xik.. ■)

Nun steht auch rechts wieder eine Function der partiellen Differentialquotienten von x, y, z nach u und v, denn es ist ja:

d J(xik ...) 8xik

8 J(xik ...)

dxik

wo rechts so viele Summanden stehen, als J Argumente hat; und nach der Definition (4) können wir hierfür schreiben:

8 J (xik ...)

(9)

8 J(xik...)

8xik

xi + 1, k + • • •

Demnach ist die rechte Seite von (8) eine Function der Ableitungen von x, y, z\ und links steht in (8) dieselbe Function, aber in x, y, z

20

Scheffers, Geom. Diffr. II.

statt x, y, z geschrieben. Die Gleichung (8) sagt aus, dass die Function (9) ebenfalls eine Differentialinvariante ist.

Ebenso können wir beweisen, dass die partielle Differentiation einer Differentialinvariante J nach v wieder eine Differentialinvariante liefert; und weiterhin folgt, dass dasselbe auch für beliebig häufige Differentiation nach u und v gilt, sodass unsere obige Behauptung als richtig dargethan ist.

Da wir hiermit ein einfaches Mittel haben, aus schon bekannten Differentialinvarianten neue abzuleiten, so können wir es z. B. auf die Fundamentalgrössen E, F, G, L, M, N anwenden, die ja, wie wir wissen, Differentialinvarianten sind.

Hiernach sind nicht nur die Fundamentalgrössen erster und zweiter Ordnung, sondern auch alle ihre partiellen Ableitungen nach den Parametern u und v Differentialinvarianten.

Fragen wir jetzt zunächst nach allen denjenigen Differentialinvarianten, die nur die ersten partiellen Ableitungen von x, y und z enthalten, also nach den sogenannten Differentialinvarianten erster Ordnung, so handelt es sich darum, diejenigen Functionen

J (Xu> Xv> Vu' yv' ZxO zv)

zu bestimmen, für die infolge von (3):

v yu> yv> zu> zv) = J(xu> xv> yU’ yv>*«» zv)

ist. Sie sind leicht gefunden. Die Gleichungen (3) nämlich sind, abgesehen von den Bezeichnungen der Veränderlichen — indem hier die Indices u und v statt 1 und 2 stehen —, genau dieselben wie die Gleichungen in I S. 203 oben, sodass analytisch dasselbe Problem wie damals vorliegt. Nach I S. 204 erkennen wir also, dass jede Differentialinvariante erster Ordnung eine Function von den dreien ist:

*.f + y.² + *.a»

xuxv + yuyv + zuz*.

*„Ä + 'y«² + *.a>

d. h. eine Function der drei Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, G.

Da jede Function von Differentialinvarianten wieder eine Differentialinvariante ist, so folgt, dass E, F, G die einzigen wesentlichen Differentialinvarianten erster Ordnung sind.

Jetzt benutzen wir den Satz 2, S. 264, nach dem sich alle partiellen Ableitungen von x, y, z von den zweiten an durch die ersten, durch die Fundamentalgrössen und die Ableitungen der

Fundamentalgrössen ausdrücken lassen. Thun wir dies in irgend einer Differentialinvariante J, so sehen wir, dass sie sich als Function der ersten Ableitungen von x, y, z, der Fundamentalgrössen und der Ableitungen der Fundamentalgrössen darstellen lässt.

Jede Differentalinvariante lässt sich daher auf die Form bringen:

xv- Vu’ Vv’ Zu> zv‘i E> Fi G, Eu . . .; L, M, JV, Lu . . .),

in der die partiellen Differentialquotienten von E, F, G und X, M, N durch Punkte angedeutet sind.

Die Eigenschaft dieser Function, bei allen Bewegungen un-geändert zu bleiben, wird durch die Gleichung ausgedrückt:

J(xui xv> yu> üv’ zu’v» E> F> G> K • • •; z> M> N> K • • •) =

“    XV> Vu> Uv’ ZU’ Zv’l E' F’ G> EU • * *5    N, Lu . . .),

wo E, F, G, L, M, N und ihre Ableitungen auch links stehen, weil diese Functionen bei allen Bewegungen ungeändert bleiben.

Die Gleichung bleibt notwendig richtig, wenn man für die rechts und links genau an gleicher Stelle stehenden Functionen E, F, G, L, M, N und ihre Ableitungen irgend welche Zahlen setzt, denn die Gleichung soll ja infolge von (3) allein bestehen, also ohne Rücksicht auf die Bedeutung dieser Functionen. Wenn wir aber Zahlen einsetzen, so reduciert sich die Differentialinvariante J auf eine Function von xu, xv, yu, yv, zu, zv allein, also auf eine Differentialinvariante erster Ordnung. Da wir aber gesehen haben, dass jede Differentialinvariante erster Ordnung eine Function von E, F, G allein ist, so schliessen wir, dass die Function J vor der Substitution von Zahlen eine Function der Fundamentalgrössen und ihrer Ableitungen allein ist.

Andererseits ist mit den Fundamentalgrössen und ihren Ableitungen auch jede Function dieser Functionen eine Differentialinvariante. Mithin folgt:

Satz 19: Unterwirft man eine Fläche

z = xp(u, u)

x = cp(u,v), y = z{u, v)

allen Bewegungen des Raumes, ohne ihr Parametersystem zu ändern, so ändern sich x, y, z und ihre partiellen Ableitungen nach u und v. Eine Function dieser Grössen bleibt bei allen Bewegungen dann und nur dann ungeändert, wenn sie eine Function der sechs Fundamental-

20*

grossen E, F, G, L, M, JV und ihrer partiellen Ableitungen nach u und v ist. Hierbei wird von den Tangentenflächen der Minimalcurven abgesehen.

Die letzte Einschränkung ist deshalb nötig, weil wir den Satz 2, S. 264, benutzt haben.

Wir wollen eine Anwendung machen: Es ist leicht einzusehen, dass jede Summe von der Form

oder

S xik Xr.

s di + kx dr + 8x duldvk öur d v⁸

eine Differentialinvariante ist, denn analog (5) ist auch:

S>

Xrt = «1 *rs + «2 Vrs + «3 drs = ßl Xrs + ßZ Vrs+ ßtZr

Zrs = Yx*r, + YiVrs + Y₈ Zr

sodass sich ergiebt:

S Xik xrs = S («j xik + yik + Za)    + €t% Vrs + «₃    ■

Nach 1(6?) aber ist die rechte Seite gleich Sx.kxrs, also, wie behauptet wurde:

S xiJc Xrs ~~ S xik xrs•

Da also S xikxrs eine Differentialinvariante ist, so folgt für sie aus Satz 19:

Satz 20: Sind

x = cp(u,v),    y = / («, v),    z = y (m, v)

die Gleichungen einer Fläche, die keine Tangentenfläche einer Minimalcurve ist, so ist jede Summe von der Form:

di+kx dr +

du¹ d vk d ur d vs du¹ d vk dur d v⁸

x- +

di + ky dr + 8y

di + kx

dr + 8x du¹ d vk dur d vs

als Function der Fundamentalgrössen E, F, G, L, M, N und ihrer partiellen Ableitungen nach u und v darstellbar.

Die Formeln (4), S. 264, gestatten uns, dies für die einfachsten Summen von dieser Art wirklich auszurechnen. Wir machen dabei Gebrauch davon, dass

${yuz„- zuyf = ¹⁾²

nach XI (G), ferner

■1t''    "•    •

*«y«K=’⁰>

S(?/uZv - ZuVv)Xv = ⁰

und endlich

S xu = Ei S V*® = F’ S x* = (7

ist. Nach (4), S. 264, berechnen wir nämlich bilden analog ylu und zlu und addieren alle drei. Wegen der soeben angegebenen Gleichungen erhalten wir alsdann S^u als Function von E,F,G,L und den ersten Ableitungen von E, F, G. ■ Entsprechend lassen sich die anderen ähnlichen Summen berechnen. So kommt:

S Xuu

-^(E*G+2EUE,F+E*E-

-4,B„F„F-iB.F„B+4?*B)

{B,*G-2B.G.F+GJ E),

4 D'¹

-w* + -t&(gug + 2g»g«f+g*i:-

-    E+ 4F*G),

-±r{Bj.G+B.'F-2B,F%F-

-B,G.F-B,G,B+2F,G,-B),

4^r(- E.G.E~ E.°*G + iEJ*G ~

-B,G,B-B,G,F+2B,F,F + + 2F.G,B + -2F,G.F-4 FUF,F)

3*->„ = MN + ^WF+G.G.B-ZG.F'r-

-GnEfi-G,E,F+2EJß).

S x'vv

$XuuXuv = LM +

Der Satz 19 bestätigt die grosse Bedeutung der Fundamentalgrössen: Kennt man die Fundamentalgrössen E, F, G, L, M, N einer Fläche, so kennt man auch alle ihre Differentialinvarianten.

Die Bedeutung der Fundamentalgrössen wird in den folgenden Paragraphen noch stärker hervortreten. Wenn nämlich zwei Flächen dieselben Fundamentalgrössen haben, so haben sie hiernach überhaupt dieselben Differentialinvarianten. Dass alsdann die Flächen mit einander congruent sind, werden wir in § 9 erkennen.

§ 7. Richtungscosinus eines begleitenden Dreikants.¹

Wir nähern uns jetzt der Lösung der Aufgabe, zu gegebenen Fundamentalgrössen die Fläche zu finden. Da diese Lösung nicht ganz einfach ist, so erscheint es uns angemessen, ihre Behandlung in eine Reihe einzelner Schritte zu zerlegen. Das Problem hat einige Analogie mit dem in § 13 und 14 des 2. Abschnittes im ersten Bande behandelten Problem für Curven. Wie dort, so werden wir auch hier darauf ausgehen, statt der rechtwinkligen Coordinaten der Flächenpunkte zunächst die Cosinus dreier zu einander senkrechter Richtungen zu berechnen, und zwar dreier solcher Richtungen, die in naher Beziehung zum Flächenpunkte stehen. Wir bereiten demnach die Lösung unseres Problems dadurch vor, dass wir im gegenwärtigen Paragraphen ein solches Axenkreuz genauer untersuchen.

(1)

y = z (w, v),

z = y (u, v)

Im Punkte (u, v) der Fläche: x = cp (u, v),

haben wir zunächst eine ausgezeichnete Richtung, die der Flächennormale, mit den Cosinus X, Y, Z. Zwei zu dieser senkrechte und auch zu einander senkrechte Richtungen werden alsdann dadurch bestimmt, dass wir nach irgend einem Gesetze zwei zu einander senkrechte Tangenten des Punktes (u, v) auswählen.

Dies geschieht so: Sind k und x die Werte von dv.du für zwei zu einander senkrechte Fortschreitungsrichtungen, so ist nach Satz (11), S. 33:

(2)

E + F[k + x) + Gkx = 0.

Verstehen wir jetzt unter k eine irgend wie, aber bestimmt gewählte Function von u und v, so ist damit jedem Punkte (m, v) der Fläche eine Richtung {k) zugeordnet. Der alsdann aus (2) folgende Wert von x:

JS + Fk

(3)

F + Gk

ist ebenfalls eine Function von u und v und giebt in jedem Punkte

¹ Solchen Lesern, denen die folgenden Betrachtungen vorerst zu schwierig sein sollten, raten wir, die Paragraphen 7 bis 9 zu überschlagen. Wenn sie nur die Sätze 25—27 des § 9, S. 338, in sich aufnehmen und sie ohne Beweis als richtig gelten lassen, so wird ihnen das Folgende, von § 10 an, verständlich sein. Das Studium der §§ 7—9 kann also auf spätere Zeit verschoben werden.

{u, v) die zur Richtung (k) senkrechte Richtung an. Sind dcv $i die Cosinus der Richtung (k) und £₂, §)₂, $₂ die der Richtung {x), so ist:

#1 : Di : Bi = (*„ + h xv): (l/u + kVv): (** + k zv) >

^2: D₂: B₂ = (■xu + xxv): (y„ + xVv): (*« + **„)•

Da nach XI (Ä):

ist, so folgt:

(4) X, =

xu + k xr

Y E + 2Fk + Gk*

Di =

__Vu + k y,

]/E+2Fk + Gk*’

Bi =

zu + kzv

yjE+2Fk+ Gk*'

und entsprechend kommt: xu -{- ft xv

yE + 2Fy. + Ghd ’

zu + xzv_

yE +2Fx~-y0ht*

Wenn wir hierin den Wert x aus (3) einsetzen, so gehen die Ausdrücke hervor:

d₂ =

Vu "f“ ^ Vv

yE+ 2 Ex + Gx²

b₂ =

—    (F+ Gk) xu + (E + Fk) xv Dy E + 2 Fk + Gk²

(6)

qj _ — (F + Gr k) Vu + (E + Fk) yv

J2 ~ D y E + 2 Fk + Gk²

. b₂ =

—    (F + Gk) %u -f- (E + F k) zv D yE + 2Fk + Gk*

Hierin haben wir das Vorzeichen schon so gewählt, dass die Determinante der Cosinus der drei Richtungen (SSj: Di':Bi)» (^₂:D₂:B₂)> (X: Y: Z) gleich + 1 sind, vorausgesetzt, dass wir für die in (4) und

(6) auftretende Quadratwurzel

yjE+ 2Fk + Gk*

stets denselben Wert nehmen. Denn jene Determinante ist zunächst:

x₂ x

lJv

1 d₂

i B₂ Z

Nach XI (Z) aber folgt hieraus:

Nach I S. 146 sind jetzt die drei Richtungen (Aj:    : Qß,

(3^ ; S)₂: $₂), (X:Y:Z) so gegen einander orientiert wie die x-, y-und z-Axe. Wir nennen die drei vom Flächenpunkt [n, v) ausgehenden Geraden mit diesen Richtungen das begleitende Dreikant des Punktes {u, v) der Fläche. Bei seiner Feststellung kann die Function k, wie gesagt, willkürlich gewählt werden.

7.

Wir wollen die ersten partiellen Ableitungen der Richtungscosinus des begleitenden Dreikants nach u und v berechnen, aber nur so weit, als es für die späteren Betrachtungen nötig ist. Um aber auch zum Gebrauch fertige Formeln zu haben, wollen wir später in dem Falle, dass k = 0 gewählt ist, die Formeln vollständig geben.

Wollten wir nämlich schon jetzt die Formeln in aller Ausführlichkeit entwickeln, so würde ihr grosser Umfang und das Nebensächliche der Rechnung den allgemeinen Überblick erschweren.

Wenn wir die partiellen Ableitungen der Richtungscosinus bestimmen wollen, so haben wir dabei die Formeln für die zweiten Ableitungen von x, y, z nach u und v zu benutzen, die wir unter

(7), S. 268, aufstellten. Sie zeigen, dass sich die zweiten Ableitungen von x linear und homogen durch xu, xv, X ausdrücken mit Coeffi-cienten, die nur die Fundamentalgrössen E, F, G, L, M, N und die ersten Ableitungen der Fundamentalgrössen E, F, G enthalten. Wir wissen ferner, dass diese Formeln richtig bleiben, wenn x und X mit y und Y oder z und Z vertauscht werden.

Wird der Wert von36j, der oben unter (4) angegeben ist, partiell nach u differenziert, so erkennen wir, dass der Differentialquotient zunächst linear und homogen in xuu, xuv, xu und xv ist. Die Coefficienten hängen dabei nur von den Grössen E, F, G, Eu, Fu, Gu, k und ku ab. Wenn wir hierin für xuu und xuv die Werte aus den citierten Formeln (7), S. 268, einsetzen, so erkennen wir, dass die partielle Ableitung von 3£x nach u linear und homogen in xu, xv und X wird mit Coefficienten, die nur von den Grössen

(8)

k» K’ kv

E, F, G, L, M, N-

abhängen. Wir gelangen also zu einer Formel von dieser Gestalt:

5 3E,

= Vxu + ßXv + yX

wo a, ß, y Functionen der Grössen (8) sind. Nun aber können wir die beiden ersten Gleichungen (4) und (6) benutzen, um umgekehrt aus ihnen xu und xv linear und homogen durch 3^ und £₂ auszudrücken. Setzen wir diese Werte, deren Coefficienten von E, F, G, k abbängen, in die hingeschriebene Formel, ein, so wird sich schliesslich

linear und homogen durch de₂ und X ausdrücken. Dabei enthalten die Coefficienten nur die Grössen (8).

Dieselben Schlüsse gelten für die ersten Ableitungen von äq und X₂ nach u und v überhaupt.

Was die Ableitungen Xu und Xv betrifft, so sind sie schon unter XII (R) angegeben. Auch hierin drücken wir xu und xv wie oben mittels der beiden ersten Formeln (4) und (6) linear und homogen durch dex und de₂ aus.

Durch diesen summarischen Überblick über die zwar theoretisch einfachen, aber praktisch umständlichen Rechenoperationen erkennen wir also, dass sich sechs Formeln ableiten lassen, von denen die drei ersten diese Gestalt haben:

¹

   Satz von Minbing (1839), vgl. die Anm. zu S. 273. Minding’s Beweis verwendet eine andere Methode als die, die wir hier nach Liouville benutzt haben.

²

   Satz von Liouville (1850), vgl. die Anm. zu S. 273.

³

Wie wir schon in der Anm. zu I S. 44 bemerkten, ist der Begriff der Differentialinvarianten überhaupt allmählich ausgebildet worden. Seine völlige, scharfe und allgemeine Definition und Theorie aber verdankt man Lie’s Arbeiten aus den Jahren 1882—84. Wir nennen von seinen vielen Arbeiten hierüber nur die eine: „Über Differentialinvarianten“, Math. Ann. 24. Bd. (1884).

= de, +51₂de₂ + % X

(9)

6 2e₂

= 33^ + 33₂3£₂ + 53s X,

~JÜ

eX = S.3E, +6.31

fl

fl

Pb

-1

fl

a>

fl

CU

i-S

Qj

djc₂    8X

d v ’    6 v ganz entsprechend gebaut sind. Darin sind die Coefficienten Functionen der Grössen (8).

Da diese Grössen (8) sich nicht ändern, wenn x, y, z cyklisch vertauscht werden, so gelten die Gleichungen (9) auch, wenn de und X durch 5) und 7 oder durch $ und Z ersetzt werden.

Nun aber ist nach I (C):

(10) und daher:

¹ du

oder, wenn die Werte der Differentialquotienten aus (9) und den sechs analogen Gleichungen eingesetzt werden:

(11) se, (St, 3£j + a, x, + a, X) + g)₁ («, a, + si₃ $₂ + n +

+ Bl (^1 Bl + ^2 B2 + ^3 Z) = 0 .

Weil aber nach I (C) ausser (10) auch

= ⁰ ’ z + 9i^+ & * = ⁰

ist, so folgt aus (11), dass = 0 ist. Ebenso muss $S₂ = 0 sein. Wenn wir nun wie soeben mit (10) mit der Gleichung

verfahren, so ergiebt dieselbe Schlussfolgerung, dass 51₂ + S3₁ = 0 sein muss. Genau so folgt, dass 5B₃ + (£₂ und (Sx + $l₃ gleich Null sein müssen.

Ohne näher darauf einzugehen, bemerken wir, dass die Analogie mit den Formeln in I S. 153 nicht bloss zufällig ist.

Wir haben jetzt also gefunden:

9Cj = S3₂ = o, ©₃ + e₂ = ®x + St₃ =    + S3X = 0.

Mithin haben die Formeln (9) für die partiellen Ableitungen der Richtungscosinus nach u eine noch speciellere Gestalt:

dl,

= CxX₂-BxX,

(12)

dl,

= A, X - Cx dcx,

dX

=    Ax %₂,

und da dieselbe Betrachtung für die Ableitungen nach v gilt, so haben wir ausserdem drei Formeln von der Gestalt:

dl,

= C₂1₂-B₂X,

(13)

dl.

= A₂x - C₂3c

dX

= B₂ 1x - X₂I

Die Coefficienten Ax, Bx, Cx und A₂, B₂, C₂ sind dabei Functionen der Grössen (8). Auch wissen wir, dass die Formeln (12) und (13) richtig bleiben, wenn de und X durch %) und Y oder durch 3 und Z ersetzt werden.

Aus (12) und (13) lässt sich nun die zweite Ableitung

d*1,

du dv

in zwei Weisen berechnen. Da beide Werte übereinstimmen müssen, so finden wir, dass

und

oder:

öjeä

¹ dv

sx + x

dB,

co

! »O

² dv

_ r d £, _ n dx v- d C,

² d u ² du    ² d u

ist. Setzen wir hierin für die Ableitungen von %₂ und X ihre Werte aus (12) und (13) ein, so kommt:

(14) (ciJ,-C,AJ-eB'

Ebenso ergiebt sich je eine Bedingung, wenn wir

dB,

dB,

) X + (bx A₂ — B₂A, + -J-

dC,    de,

du

-)*₂ = 0.

du dv

d²X

du dv

aus (12) und (13) berechnen. Diese Bedingungen gehen schneller aus (14) hervor, wenn wir hierin 3^, 3c₂, X, ferner Ax, Bx, Cx und A₂, B₂, C₂ cyklisch vertauschen. Wir kommen so zu insgesamt drei Gleichungen. Man bemerkt aber sofort, dass sich die sechs Coefticienten der drei Bedingungen durch die folgenden drei Grössen ausdrücken:

CI —

d A, d A, d v    du

~(BxC₂-CxB%)

(15)

dB,

dB,

- (Cx A₂ - Ax C₂)

^ d v du dG'

Die Bedingungen sind nämlich diese:

ßX -yX₂ = 0, y lx — aX = 0, uX₂ - ßlx = 0.

Sind nun u, ß, y nicht alle drei gleich Null, so sagen diese Gleichungen aus, dass sich dcv 3c₂, X wie a, ß, y zu einander verhalten. Dasselbe würde aber für tyx, ^)₂, Y und für $j,    % folgen, was

in Widerspruch mit der Gleichung (7) ist. Also ist

u = ß = y = 0.

Also erfüllen die Coefticienten, die in (12) und (13) auftreten,

wegen der in (15) angegebenen Bedeutung von a, ß, y die Bedingungen:

(16)

— (A C₂ — Gx B₂) = 0

8 Cx

8 v du

^-(C₁A₂-A₁C₂) = 0, -(A₁B₂-B₁A₂) = 0.

. *; r.

Es hat sich insgesamt Folgendes ergeben:

Satz 21: Liegt eine Fläche vor, die keine Tangentenfläche einer Minimalcurve ist, etwa die Fläche:

x = cp («, v), y = x (u, v)

und wählt man im Flächenpunkte (u, v) eine Tangente dadurch aus, dass man ihre Richtung (k = dv:du) als eine Function k von u und v beliebig wählt, so kann man aus dieser Tangente, der zu ihr senkrechten Tangente und der Flächennormale ein rechtwinkliges begleitendes Dreikant des Flächenpunktes (u,v) hersteilen, dessen Kanten wie'die Coordinatenaxen gegen einander orientiert sind. Die Richtungscosinus 361? 5^, 3i5 3^25 ^)₂, -825 X, T. Z der drei Kanten erfüllen alsdann Gleichungen von der Form:

= C₂X₂ -b₂x,

8 £2    iv    /■■> x

- //2 A±.    ^9 ^

dX = B,3L - J₂X₂

= cx de₂ - Bx X,

ö3£₁

82Et

8X

= A₁ X - C₁ de

= B₁ de, - Ax de₂,

sowie diejenigen Gleichungen, die hieraus hervorgehen, wenn de und X durch 5) und Y oder durch 3 und Z ersetzt werden. Die sechs Coefficienten

A1) By, Cx und A₂, B₂, C₂

sind dabei Functionen von den Fundamentalgrössen E, F, G, L, M, N, von den ersten Ableitungen von E, F, G und von k, ku und kv. Die aus der Gleichung

8 8Xx = _8_ 82Ü,

8 v du du 8v

und den analogen Gleichungen für die übrigen acht Rieh-tungscosinus hervorgehenden Bedingungen reducieren sich sämtlich auf die drei Bedingungen:

-(AC₂- ^₂) = o,

-{CxA₂ - A₁ C₂) — 0,

§ r? S

' dC\

J - - K - B₁ J,) = 0,

denen die Coefficienten A, B, C für alle Werte von u und v genügen.

Wir merken hier noch Folgendes an:

Die in unserem Satze angegebenen Gleichungen für die partiellen Ableitungen von 3£1? 3£₂ und X und ebenso diejenigen Gleichungen, die aus ihnen hervorgehen, wenn 36 und X durch und Y oder durch $ und Z ersetzt werden, sind partielle Differentialgleichungen erster Ordnung für die Richtungscosinus. Die Gleichungen (16) geben die Bedingungen dafür an, dass infolge der partiellen Differentialgleichungen auch die Relationen

d dlj ₌ J_ dXi dp du du d v

u. s. w. bestehen. Man nennt diese Bedingungen (16) die Inte-grabilitätsbedingungen jenes Systems von partiellen Differentialgleichungen. Unser Satz sagt aus, dass sich die Integrabilitäts-bedingungen auf drei Gleichungen reducieren, die nur die Fundamentalgrössen, die Ableitungen der Fundamentalgrössen und die Grössen k, k , k , k , k , k , enthalten.

⁷ U⁷ V⁷ uu⁷ UV⁷ vv

Aber wir können noch mehr erkennen, nämlich dass diese drei Bedingungen (16) von k unabhängig sind. Dies sehen wir so ein:

Bei unseren Betrachtungen trat die willkürliche Function k(u,v) als Wert von dv.du für die Tangentenrichtung (3£x:    : 3i) au£

wodurch das begleitende Dreikant vollständig definiert wird. Es ist leicht, von diesem Dreikant zu einem beliebigen anderen begleitenden Dreikant überzugehen. Denn wir brauchen ja zu dem Zwecke nur den rechten Winkel der beiden Tangenten (3^:    : 3i) un(^

um irgend einen Winkel u zu drehen, der eine beliebige Function von u und v sein kann. Dann treten an die Stelle von 2)1? $1 und 3E₂, S)₂, ß₂ andere Richtungscosinus, die wir mit £₁, Dj, J3i und S₂, f)₂, $2 bezeichnen wollen, die sich linear und homogen durch die alten und durch sin a und cos c/, ausdriicken.

Denn die Cosinus der Winkel der ursprünglichen ersten Tangente mit den beiden neuen Tangenten sind cos u und — sin a und die der ursprünglichen zweiten Tangente mit den neuen sind sin a und cos «, sodass

(17)

3Ej cos a + dc₂ sin a,

X₂ = — 3^ sin a + 3£₂ cos a,    <§₁ — — sin tt + §)₂ cos a,

Bi = Bi cos « + B₂ sin <*»

B₂ = - Bi sin « + B₂ cos a

ii =

9)₁ cos a + 9)₂ sin a,

ist. Daher ist

— cos«

s LS«

-ff sin «

<53£₂

<9 u

— 3£x sin «• «M -ff 3£₂ cos a • au

oder nach (12)

53E,

(18)

= cos «(Cj 3£₂ — Bx X) -ff sin a(AxX -r-    3^) —

— sin «• au -ff 3c₂ cos a- au.

Nun müssen aber für die neuen ßichtungscosinus partielle Differentialgleichungen analog den alten Gleichungen (12) und (13) bestehen. Wir wollen in ihnen die an die Stelle von Av Bv Gx und A₂, Bv C2 tretenden Grössen mit überstrichenen Buchstaben bezeichnen, sodass zunächst analog der ersten Gleichung (12):

= Cx 1₂ - BxX

oder nach (17)

= Cx (— 3£x sin « -ff 3c₂ cos a) — Bx X

ist. Vergleichen wir dies mit (18), so folgt, dass

Gi ~ Ci + au

B = — Ax sin a -j- B^ cos a

ist. So ergiebt sich überhaupt, dass für die überstrichenen ßichtungscosinus solche Gleichungen analog den Gleichungen (12) und (13) bestehen, in denen die Coefffcienten durch die folgenden ersetzt sind:

A₂ cos u -ff B₂ sin a, B₂ = — A₂ sin a + B₂ cos a ,

Ax cos a -f Bx sin a, Ä₂ = Bx = —. Äx sin a + Bx cos a

Für diese Grössen müssen Gleichungen von derselben Form wie die Gleichungen (16) bestehen. Bilden wir sie, so finden wir aber, dass sie sich auf die von a freien Gleichungen (16) reducieren

Also folgt: Die Integrabilitätsbedingungen (16) sind stets dieselben, wie auch das begleitende Dreikant gewählt sein mag.

Mithin enthalten sie die willkürliche Function k und ihre Ableitungen nur scheinbar. Sie sind also Gleichungen zwischen den Fundamentalgrössen und ihren Ableitungen allein. Die Vermutung liegt daher nahe, dass diese drei Gleichungen nichts anderes als die drei Fundamentalgleichungen der Flächentheorie sind (vgl. S. 271). Das ist in der That der Fall.

Um dies zu zeigen, genügt es nach dem Vorhergehenden, sie für ein specielles begleitendes Dreikant aufzustellen und mit den drei Fundamentalgleichungen zu vergleichen. Indem wir dies thun, benutzen wir gleich die Gelegenheit, für ein specielles begleitendes Dreikant die Formeln des Satzes 21 vollständig ausgeführt anzugeben, sodass sie zum Gebrauch geeignet sind.¹

(19)

Wir wählen k = 0, also nach (4) und (6):

'Y?

t-

Ve

]/E

1fE

— Fxu -I- Exv

- Fyu + Eyv

— Fzu + Exv

dYe

D]/E

D]/E

Differenzieren wir jetzt diese Grössen nach u und nach v, indem wir, wie es oben auseinandergesetzt wurde, für die zweiten Ableitungen von x, y, z die Werte aus (7), S. 268, einführen und dann die ersten Ableitungen von x, y, z mittels der aus (19) folgenden Formeln:

(20)

Xv =

]/E

yu =

Vv =

F iR + D D.

]/E

I

₌ ^8i + D3*

Zv

Ve

entfernen, so erhalten wir als Gleichungen (12), (13) hier diese:

d 1, _ — Eu F — Ev E + 2 Eu E

1/E

F- x

‘IDE

(21)

dl.

EM - FL

dYe

dX

L__ £

1/E

und

dl, _ - EVF+ QUE

2DE

- EUF — EVE + 2FUE ^ 2 DE

EM — FL v

Dyk 2 -Fx,

1/E

(22)

dl₂

EN - FM

D]/E

— Ev F + Gu E ^ 2 DE

dX

_ M % Ye ¹

EN - FM T D]/E ²'

Hier ist also:

(23)

EM-FL

dYe ’

EN-FM D]/E ’

A=-

]/¥

Ve*

- EUF — EVE+2FUE

2 DE

-EVF+QUE

Bildet man jetzt mit diesen Grössen die Integrabilitätsbedin-gungen (16), was keine Schwierigkeit macht, so erkennt man, dass die drei hervorgehenden Gleichungen nur eine andere Form der drei Fundamentalgleichungen (9), (10) und (11), S. 270, 271, sind. Die beiden ersten nämlich sind aus den beiden Fundamentalgleichungen (9) und (11) zusammengesetzt, während die dritte die Fundamentalgleichung (10) liefert, und zwar ergiebt sich diese Gleichung, die ja das Krümmungsmaass ausdrückt (vgl. S. 272), in der bequemen Form:

d - ELF-EVE+2FUE

d — EVF+ GUE

(24)

LN-M²

du

2 DE

Zu Satz 21 können wir demnach hinzufügen:

Satz 22: Die in Satz 21 angegebenen drei Bedingungen, denen die Functionen Ax, Bx, Cx und A₂, Ba, C₂ genügen, sind die drei Fundamentalgleichungen.

Endlich heben wir noch einen wichtigen Umstand hervor: In (20) liegen xu, yu,y„; zu, zv ausgedrückt durch    g^, g)₂; Sv S

vor. Dabei müssen die Bedingungen:

8 v Xu d u Xv ’    8 v    8 u yv ’    8 v Zu 8 u Zv

(25)

erfüllt sein. Bilden wir sie, indem wir also die Formeln (20) differenzieren und dann für die Ableitungen von 3£x, 36₂; $)₁, 2)₂; 3X, 32 die Werte aus (21) und (22) einsetzen, so ergeben sich thatsächlich Identitäten. Also: Sobald die Gleichungen (21) und (22) erfüllt sind, genügen die durch (20) gegebenen Werte von xu> xv; I/u’ Vv'i zu> zv den drei Bedingungen (25). Dieser Umstand wird später verwertet werden.

§ 8. Unbeschränkt integrabele totale Differentialgleichungen.²

Die Betrachtungen des vorigen Paragraphen dienen zur Vorbereitung für die Erledigung eines Problems, das wir jetzt in Angriff nehmen und das wir im nächsten Paragraphen weiter erörtern werden.

Wir fragen uns nämlich, ob oder inwiefern eine Fläche durch Angabe ihrer sechs Fundamentalgrössen E, F, G, L, M, N bestimmt ist. Wir nehmen also an, von einer Fläche sei uns nichts bekannt ausser den Werten der sechs Fundamentalgrössen als Functionen der Parameter u und v.

Zunächst gehen wir darauf aus, die Richtungscosinus eines begleitenden Dreikants der Fläche als Functionen von u und v zu bestimmen. Zu diesem Zwecke wählen wir wie im vorigen Paragraphen eine Function k von u und v irgend wie aus. Alsdann geben uns die Gleichungen (4) und (6), S. 311, die Richtungscosinus 3£x, .ßj und dc₂, |)₂, $2 der beiden ersten Kanten des begleitenden Dreikants, während die Richtungscosinus X, Y, Z der Flächennormale in XI (F) angegeben sind. Nun aber sind uns xu, xv, yu, yv, zu, zv nicht als Functionen von u und v bekannt, also auch nicht die Richtungscosinus. Aber wir wissen, dass die Richtungscosinus die in Satz 21, S. 316, angegebenen Gleichungen erfüllen müssen. In diesen Gleichungen sind die Coefficienten Ax, Bx, Cj und A₂, B₂, C2 Functionen von Grössen, die wir sämtlich durch u und v ausdrücken können, nämlich von den Grössen:

v‘

E, F, G, I, M, JX; Eu, Ev, Fu, Fv, Gu, Gv\ k, ku, k

Wenn nun diese uns bekannten Functionen Av Bv Cx und A₂, Bv C2 von u und v die Integrabilitätsbedingungen (16), S. 316, nicht für alle

Werte von und w erfüllen, so widersprechen die Gleichungen für die Richtungscosinus einander nach S. 315, d. h. dann giebt es keine Fläche zu den gegebenen Fundamentalgrössen. Wir setzen daher voraus, dass die gegebenen Grössen E, F, G, L, M, X die Gleichungen (16) für alle Werte von u und v erfüllen. Da diese Gleichungen nach Satz 22, S. 320, die drei Fundamentalgleichungen der Flächentheorie sind, so setzen wir also voraus, dass die sechs Fundamentalgrössen den drei Fundamentalgleichungen für alle Werte von u und v genügen.

Insbesondere bestehen die sechs im Satze 21 explicite angegebenen Gleichungen für die partiellen Ableitungen von Xiy X₂ und X. Da aber nach I (D)

£² + 3L² + z²=i

sein muss, so lassen sich die drei Grössen 3^, X₂, X durch nur zwei allerdings ebenfalls unbekannte Functionen | und 1/ von u und v ausdrücken. Wir verfahren dabei genau so wie in I S. 212, indem wir

’fee

Xi + i 3b'₂

(1)

X, + *X₂

Xx - iX*

setzen. Dann ist umgekehrt — vgl. (14), I S. 212, —

f + i?

7^7'

(2)

X, =

l -

$-v ’

l +

S-v ’

Wir gehen nun darauf aus, statt X

X₂, X zunächst | und i] zu bestimmen. Sind | und g als Functionen von u und v bekannt, so sind es nach (2) auch Xlf X₂, X.

Nun ist nach (1):

ö3Ex

<3X₂

dX

)+-l__

/Tl-I du

1 -X [du

Setzen wir hierin die Ableitungen von Xx, X₂ und X aus Satz 21 S. 316, ein und berücksichtigen wir dabei (2), so kommt:

Dieselbe Rechnungweise liefert:

I. =— { (4, + >• A) - iC, I + 4 (4 -A) I²-

Wenn wir ebenso rju und rjv ausrechnen, so finden wir, dass sich x\u und r\v gerade so durch ausdrücken, wie sich hiernach |i( und durch | ausdrücken. Anders ausgesprochen:

Es giebt zwei Bedingungen für eine Function a von u und v, nämlich:

d CF

(3)

d <j

— —2~(Ai + 2 B\) — iC\G + y (A — * Bi) ⁰⁻²>

= — 2 (^2 + i Bt) - iC2 + Y (A2 - *    ⁰⁻² J

die sowohl von o = | als auch von a = g erfüllt werden.

Umgekehrt: Wenn diese Gleichungen (3) sowohl für a = | als auch für er = g bestehen, so erfüllen auch die durch (2) angegebenen Richtungscosinus 3^, 3£₂, X die in Satz 21, S. 316, aufgestellten Gleichungen. Wir brauchen dies nur für 3£x zu zeigen, da der Nachweis für 3£₂ und X entsprechend zu führen ist. Nach (2) ist:

&0?²- i) -    - U

(f - V?

Wenn nun | und g die Gleichungen (3) für a erfüllen, so ist:

i.=- 4 k+i i+4 k -*■■»,) i²,

4 w + ■ A) - «7 + 4 (4 - • •»,) >/²,

hu =-

sodass die Substitution dieser Werte liefert:

öS,

du

oder nach (2):

Ö&

^ = C>3£₂-^X.

Analog ergiebt sich natürlich

Qj

Hi

bö

fcO

Dies aber sind die beiden obersten unter den Gleichungen des Satzes 21.

Wir kennen demnach die allgemeinsten Functionen Xj, dc₂, X von xl und v, die den Gleichungen des Satzes 21, S. 316, Genüge leisten, sobald wir die allgemeinste Function er von u und v kennen, die den beiden Gleichungen (3) Genüge leistet. Denn wir brauchen dann nur für | und r] zwei allgemeine Werte von er zu wählen und haben in (2) unmittelbar die gesuchten Functionen dcx, 3c₂, X.

Unsere Aufgabe ist hiernach die: Die allgemeinste Function er von u und v zu finden, die den beiden Gleichungen (3) genügt. Dabei sind die in (3) auftretenden Coefficienten Av Blt Cx, A₂, B₂, C₂ bekannte Functionen von u und v und zwar solche, die die in Satz 22, S. 320, erwähnten drei Integrabilitäts-bedingungen für alle Werte von u und v befriedigen.

Die beiden Gleichungen (3) lassen sich in eine einzige zusammenfassen:

da =

(4)

+.

Y (Aj -ff i Bx) — iCx(r + ₂ (A₁ — i Bß) a2, du -ff 2 U₂ + * B₂) -iC₂(T + y {A₂ - i B₂) (T² dv.

Eine derartige Gleichung, die das totale Differential da einer unbekannten Function a von u und v durch bekannte Functionen und durch a selbst ausdrückt, heisst eine totale Differentialgleichung für a. Insbesondere tritt a rechts quadratisch auf. Deshalb nennt man eine totale Differentialgleichung von der Form (4) insbesondere eine totale RiccATi’sche Differentialgleichung, indem man eine Bezeichnung aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen verallgemeinert. Vgl. hierzu I S. 213, 214. Ganz allgemein heisst eine totale Differentialgleichung für a eine RiccATi’sche, wenn sie die charakteristische Form hat:

da = (eq + ß₁ o + yx tf²) du -ff [a₂ -ff ß₂ a 4- y₂ a²)dv,

wo cel, ßx, yx und ce₂, ß₂, y₂ irgend welche gegebene Functionen von u und v bedeuten. Die Gleichung (4) ordnet sich dieser Form unter.

Die Gleichung (4) fasst die beiden Gleichungen (3) in eine zusammen. Nun kann man auv aus der ersten Gleichung (3) durch Differentiation nach v und aus der zweiten Gleichung (3) durch Differentiation nach u berechnen. Beide Werte müssen übereinstimmen. Dies aber giebt die Gleichung:

x d(At + iBx) _ dCx

dv

dv

, i b(Ax — i Bx) o n

° + i—^—r-q

da

da

¹ dv

+ {A₁-iB₁)aj- =

ic —

d(A₂-iBa)

da

Setzen wir hierin die Werte von ~ und ~ aus den Gleichungen (3)

selbst ein, so geht eine Gleichung hervor, die vom zweiten Grade in a ist, da die Coefficienten von <r³ rechts und links einander auf-heben. Die Coefficienten von a² und a sowie das von a freie Glied setzen sich, wie die einfache Ausrechnung zeigt, linear aus je zweien derjenigen Ausdrücke zusammen, die in den in Satz 21, S. 317 oben, angegebenen Bedingungen links stehen. Da wir oben ausdrücklich vorausgesetzt haben, dass diese Fundamentalgleichungen für alle Werte von u und v erfüllt seien, so ist auch die soeben aufgestellte Bedingung erfüllt. —

Es fragt sich jetzt, wie wir die allgemeinste Lösung a der totalen RicCATi’schen Differentialgleichung (4) finden können. Weil die Gleichung (4) ziemlich umständlich ist, ist es klarer, wenn wir die Frage verallgemeinern, wenn wir also nach denjenigen Functionen (7 fragen, die eine allgemeine totale Differentialgleichung erfüllen.

Eine solche allgemeine totale Differentialgleichung für a hat die Form:

(5)

da = 0(w, v, er) du + 0(m, v, a)dv,

worin die rechts auftretenden Functionen 0 und 0 gegebene Functionen von u, v und a bedeuten sollen. Der Leser kann sich, wenn er will, unter 0 und 0 abkürzende Bezeichnungen für die in (4) in den eckigen Klammern stehenden Functionen von u, v und a vorstellen.

Auch unter Zugrundelegung der totalen Differentialgleichung (5) lässt sich auv auf zwei Weisen berechnen, denn statt (5) können wir einzeln schreiben:

d <t

⁼ ®>ff)

d er

= 0(«>

Aus der ersten Gleichung folgt:

d²cr dudv

aus der zweiten:

dv '

d²o

8 (7

— US J- US ——.

u +    du

du dv

Setzen wir rechts die Werte 0 und 0 für au und av wieder ein, so giebt Gleichsetzen beider Ausdrücke die Gleichung:

0„+ 0„*F= Wu +

Man nennt sie die Integrabilitätsbedingung der totalen Differentialgleichung (5).

(6)

Wir sahen vorhin, dass die entsprechende Rechnung für unsere totale RiccATi’sche Differentialgleichung (4) eine Gleichung lieferte, die nach Voraussetzung erfüllt war für alle Werte von u, v und a.

Daher können wir uns auf solche totale Differentialgleichungen

(5) beschränken, deren Integrabilitätsbedingung (6) ebenfalls für alle Werte von u, v und a erfüllt ist. Eine solche Differentialgleichung heisst eine unbeschränkt integrabele totale Differentialgleichung.

Wir schalten demnach hier in unsere flächentheoretischen Untersuchungen eine Betrachtung der unbeschränkt integrabelen totalen Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen u und v ein. Wir werden erkennen, dass ihre vollständige Integration, d. h. die Bestimmung aller Lösungen <j (u, v), die in (5) links und rechts eingesetzt eine identische Gleichung liefern, auf die Integration zweier gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung zurückgeführt werden kann.³ —

Betrachten wir die rechte Seite von (5) allein. Käme a nicht in 0 und 0 vor, so wäre die rechte Seite ein Differential in u und v. Aber ein solches Differential — wie in I S. 91 das Differential Xdy — Tdx — kann man durch Multiplication mit einem gewissen Factor g zu einem vollständigen Differential machen. Dies wollen wir thun, indem wir uns zunächst unter g in 0 und 0 irgend eine Constante vorstellen. Jenen Factor finden wir alsdann dadurch, dass wir die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in u und v:

(7) integrieren. Ist nämlich co ein Integral und g der zugehörige Multi-plicator, so ist:

(8)

cou = gO,

während g nach Satz 60, I S. 92, worin x, y durch u, v und X, Y durch — 0, 0 zu ersetzen sind, die Bedingung erfüllt:

(9)

- ~

Da die Differentialgleichung (7) in 0 und 0 noch die als

Constante aufgefasste Grösse a enthält, so werden auch co und fi ausser u und v noch a enthalten.

als eine Constante

Wir erkennen also: Durch die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung kann man zwei solche Functionen co (u, v, a) und /x(u,v,a) finden, die den Gleichungen (8) und (9) für alle Werte von u, v, a genügen. Darin bedeuten cou, cov, fxu, fxv die partiellen Ableitungen von co und fx, die sich ergeben, wenn man a auffasst.

Nun aber ist die gesuchte Function cj keine Constante. Daher ist der vollständige Differentialquotient von co nicht einfach coudu -ff covdv, sondern:

oder:

dco — coudu + covdv -J- coa(cru du + aydv)

dco — coudu + covdv + coada,

sodass sich, wenn wir hierin die Werte (8) einsetzen, ergiebt:

dco = [x(& du + Wdv) + coa da,

und zwar ist dies für alle Werte von u und v und für alle Functionen a von u und v richtig.

Nach (5) aber soll da den Wert (Ddu + Wdv haben. Die Forderung (5) lässt sich deshalb so schreiben:

(10)

d co — (fx + coa) d a.

a ist eine uns allerdings noch unbekannte Function von u und v. Setzen wir ihren Wert in co und fx -f coa für a ein, so werden co und fx + coa Functionen von u und v. Dann also sind co und a solche Functionen von u und v, die, wie (10) aussagt, einander proportionale vollständige Differentiale dco und da haben, sodass die Functionaldeterminante von co und a hinsichtlich u und v gleich Null ist, d. h. co eine Function von a ist — nach Satz 54, I S. 82. Soll es also eine Function a(u,v) geben, die der Forderung (5) oder (10) genügt, so muss co, nachdem darin für die Function a ihr Wert in u und v eingesetzt worden ist, eine Function A(<r) von a allein werden, die wir allerdings noch nicht kennen:

co (w, v, a) — X (a).

Dann giebt (10) noch:

X'(a) = fx + coa.

Also kommt unser ganzes Problem auf folgendes hinaus:

Es fragt sich, ob wir eine Function l von a allein so bestimmen können, dass die durch die Gleichung

¹

In seinen „Vorlesungen über Differentialgeometrie“, deutsch von Lukat, Leipzig 1899, hat Bianchi bei der allerdings knappen Behandlung desselben Problems, das wir in den gegenwärtigen Paragraphen im Auge haben, ein anderes specielles Dreikant benutzt, nämlich dasjenige, dessen beide ersten Seiten die Hauptkrümmungstangenten sind. Der Leser kann daher die Seiten 94 — 97 des Werkes von Bianchi zur Ergänzung heranziehen.

²

Vgl. die Anm. zu S. 310.

³

Dies zeigte zuerst Lagkange, „Methode generale pour integrer les 6quations aux differences partielles du premier ordre, lorsque ces differences ne sont que lineaires“, Nouv. Mem. de l’Acad. de Berlin 1785. Siehe auch Oeuvres t. 5.

(11)

co (u, v, er) = X (ff)

definierte Function ff von u und v auch die Gleichung

(12)

ß + coa = X (ff)

erfüllt. Dies ist nun in der That möglich. Wenn wir nämlich zunächst unter 1 (ff) eine beliebige Function von ff allein verstehen und dann a durch die Gleichung (11) — die wir uns nach er aufgelöst denken — als Function von u und v definieren und diese Function alsdann in ß + <oa einsetzen, so wird auch ß + coa eine Function von a allein. Um dies zu beweisen, haben wir nur zu zeigen, dass die Functionaldeterminante von a und ß + coa hinsichtlich u und v gleich Null ist. Sie lautet:

ßv

ßu f^u “f" ßa ßu “f“ ß*u a “h ß*o a ßu i ttv "f" f^o ßv “h ®i> a “h ß^a a ßv

Es muss nämlich dabei beachtet werden, dass in ß und in coa die Veränderlichen u und v auch in er auftreten. Die Determinante reduciert sich zunächst auf:

(13)

Pu “t COu o ßv + ß>

V <7

Nach (8) ist aber, da diese Gleichungen für alle Werte von u, v, a richtig sind:

(14)

ß>va = ßoW + fiVo

und nach (11):

oder:

ß>u ”1“ ß)<J ßu - ^ * ßu ?

ß>v d⁻ ß^o ßv — ^ * ßv

⁽⁷v =

(üv

oder nach (8):

V- coa

(15)

(Tu =

°v =

r- <oa ’

Setzen wir die Werte (14) und (15) in (13) ein, so geht aber eine Determinante hervor, die infolge von (6) und (9) gleich Null ist.

Wie also A(ff) als Function von a gewählt sein mag, stets definiert die Gleichung (11) eine Function a von u

X'- coa

uncl v derart, dass g + coa ebenfalls eine Function von er allein wird.

Wenn wir nun die Gleichung (11) nach u auflösen, so stellt sich u als Function von v, a und /L(rx) dar. Setzen wir diesen Wert in g + coa für u ein, so wird hiernach g + coa nur noch a enthalten, d. h. also auch von v frei sein, sodass sich etwa ergiebt:

g + eoa = £> (a,)l (oj).

Die Bedingung (12) lautet dann so:

Q ((T, h (<x)) = X (a) .

Dies aber ist nichts anderes als eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für die noch zu bestimmende Function K von er, denn wir können die Bedingung ja auch so schreiben:

dl d (T

Haben wir sie integriert, also l aus ihr als Function von a und einer willkürlichen Constante c bestimmt, so giebt die Gleichung (11) durch Auflösung nach <x für a eine Function von u, v und c, und diese Function erfüllt die vorgelegte unbeschränkt integrabele totale Differentialgleichung (5).

Wir sind also zu dem Ergebnis gelangt:

Satz 23: Wenn die totale Differentialgleichung für die unbekannte Function a von u und v:

da — </> (u, v, a) du + W(u, v, a)dv

unbeschränkt integrabel ist, d. h. wenn für alle Werte von u, v und a

<vv + d>a w = vu + wa

ist, so findet man den allgemeinsten Wert von a so: Man bestimmt ein Integral co der Gleichung:

[u, v,a) du +    (?/, v, a) d v = 0,

die man als eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in u und v auffasst, indem dabei a die Rolle einer willkürlichen Constanten spielt, sodass co eine Function von u, v und a wird, zu der ein Multiplicator g(u, v, a) gehört derart, dass für alle Werte von u, v und a

cou = g (P,

av = gP

ist. Alsdann setzt man den aus

co (u, v,er) = X

durch Auflösen nach u hervorgehenden Wert von u in die Function g + coa für u ein, wodurch sie in eine von v freie Function von er und X übergeht:

g F ooa = Q (er, X).

Darauf bildet man die gewöhnliche Differentialgleichung in er und X:

dl

= D (er, X)

und berechnet ihre allgemeinste Lösung X, die eine Function von er und einer willkürlichen Constanten c ist. Durch Auflösen der Gleichung:

co (u, v, er) = 1 (er, c)

nach a ergiebt sich dann die allgemeinste Lösung der vorgelegten totalen Differentialgleichung. Diese Lösung ist bis auf die in ihr auftretende willkürliche Contante c völlig bestimmt.

Nach dieser notwendigen Einschaltung kehren wir zu der unbeschränkt integrabelen totalen ßiccATi’schen Gleichung (4) für er zurück. Unser Satz lehrt, dass man die allgemeinste Lösung er dieser Gleichung durch successive Integration zweier gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung in je zwei Veränderlichen und zwei Eliminationen bestimmen kann. Diese Lösung enthält eine willkürliche Constante c. Da aber die Gleichung (4) rechts in er quadratisch ist, so kann man leicht sehen, dass die Lösung linear gebrochen in c ist — genau so, wie wir dies bei einer gewöhnlichen ßiccATi’schen Differentialgleichung in Satz 24, I S. 215, erkannten. Wffe in I S. 214 verstehen wir nämlich unter P, Q, B irgend drei specielle Lösungen der totalen Differentialgleichung (4) und betrachten das dort in (18) mit t bezeichnete Doppelverhältnis aus er, P, Q und R. Wenn wir es logarithmisch nach u oder v differenzieren und dann eru, Pu, Qu, Bu oder <rv, Pv, Bv mittels der Gleichung (4), der ja er, P, Q und B genügen, ausdrücken, so finden wir gerade so wie damals, dass r eine Constante ist, woraus alles Übrige folgt. Also:

Satz 24: Die allgemeine Lösung er einer unbeschränkt integrabelen totalen ßiccATi’schen Differentialgleichung mit den unabhängigen Veränderlichen u und v hat die Form:

(7 =

p (u, v) c + q (u, v)

7l(u,v)c+ x (u, v)

mit der willkürlichen Constanten c.

§ 9. Endliche Gleichungen einer Fläche mit gegebenen Fundamentalgrössen.¹

Wir haben im vorigen Paragraphen erkannt, dass unser Problem, aus gegebenen Fundamentalgrössen die Fläche zu bestimmen, zunächst die Integration einer unbeschränkt integrabelen totalen Ric-CATi’schen Differentialgleichung (4), S. 324, verlangt. Wir fanden, dass diese Integration durch successive Integration zweier gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung und zwei Eliminationen geleistet werden kann. Jetzt wollen wir annehmen, diese Integration sei erledigt. Nach unserem letzten Satze heisst dies, dass wir annehmen, wir hätten gefunden, dass die allgemeine Lösung tr jener Gleichung diese ist:

(1)

(7 =

p(u,v)c + q (u, v)

7t (u, v) e + x (u, v)

worin p, q, n, x nunmehr bekannte Functionen von u und v seien und c eine willkürliche Constante bedeute.

Um nun lüv 3£₂ undZ zu berechnen, brauchen wir zwei Lösungen | und p der ßiccATi’schen Gleichung. Wir geben daher der Constanten c in (1) zwei Werte a und b und setzen an:

Trc

pa + q

7t a + x

Alsdann setzen wir diese Werte in die Formeln (2), S. 322, ein. Wie wir schon auf S. 323 zeigten, sind wir dann sicher, dass die so hervorgehenden Functionen £v 3£₂, X von u, v und den beiden Constanten a, b die in Satz 21, S. 316, für 3^, 3£₂, X aufgestellten Gleichungen erfüllen.

Nun aber gelten die soeben erwähnten Gleichungen auch für ¥)i> Y und 82» %•> wenn diese statt 3^, 3E₂, X gesetzt werden. Wir brauchen daher nicht nur ein Constantenpaar a, b, sondern deren drei: a1? bx\ a₂, b₂\ a₃, bs und setzen an:

Alsdann sind die neun Richtungscosinus als Functionen von u, v und von je zwei willkürlichen Constanten ax, bx\ a₂, b₂\ a₃, b₃ bestimmt.

Aber diese Constanten dürfen nicht ganz beliebig gewählt werden. Die neun Richtungscosinus müssen ja die Bedingungen der Orthogonalität erfüllen. Sind die Cosinus die dreier zu einander senkrechter Richtungen, so können wir die drei Richtungen als neue Axen wählen. Alsdann hat die alte x-Axe in diesem neuen System die Richtungscosinus Xv X₂, X, die alte y-Axe die Cosinus ft, ft, Y und die alte z-Axe die Cosinus $1: ß₂, Z. Es muss also erstens

3ei² + 3E₂² + Z²=l, ft² + ft²+F²=l, Bl² + B2² + ^ = ¹

sein. Dies ist aber nach (3) der Fall. Zweitens müssen, da die alten Axen auf einander paarweis senkrecht stehen, die Orthogonalitätsbedingungen für je zwei erfüllt sein. So muss zunächst

9i3.+9,a, + rz=o

sein. Dies führt, wie in I S. 217 die Bedingung ß y mn yv — 0, zu der Forderung:

®2 a3 . b%    CI3

b$ b<i    bs

- 1,

oder:

£2 "*" ^8 . Vi ~    J

& - Vi' Vi- Vi

die aussagt, dass die Wertepaare |₂, y₂ und |₃, y₃ oder a₂, b₂ und a₃, b₃ einander harmonisch trennen müssen. Entsprechendes geben die Forderungen:

3^ ft + *₂ft + XZ=0.

to

'Ire

p dj + q

pbi + q

TC bi -f*

- (₂- = 1,2,3);

diese Werte sind dann nach (2), S. 322, in die Formeln einzutragen:

X= ^ ⁺ ft li “ Vi

(3)

l - fi Vi Zi-Vi

9i = V S,‘H‘.

^2 *?2

ft = «'

ll “ »?1 1 + £2 £* “ %

£2 + »72

£2 Vi

1    £3 Vi

£3    %

& = ■'

£3 — %

y_ £3 ~t~ Va

“ £,-% ‘

Bi x₁+S₂x₂ + zx= 0

Mithin müssen wir die drei Constantenpaare

a₃, b₃

so wählen, dass jedes Paar jedes andere harmonisch trennt. Alsdann sind, da die Beziehung zwischen dem alten Axenkreuz und dem neuen Dreikant umkehrbar ist, alle Orthogonalitätsbedingungen erfüllt.

Aber auch jene Bedingung ist zu erfüllen, die aussagt, dass die Kanten des Dreikants so zu einander orientiert sind wie die Coor-diatenaxen — vgl. (7), S. 311. Wenn wir in (3) die Werte (2) ein-setzen, so kommt

(n² - p²) gx b, + (n x - pq) (at + bx) + (x² — q²) (px-qn) (a, - bx)

(4)

di = i c

(n² + p²) ax bx + (n x + p q) (at + bt) + (x² + q²)

(px-qn) Oj - bx)

2 np a, b, + (p x + q n) (a, + bx) + 2 x q

(px-qn) (at - bx)

und die Werte für 9^, 2)₂, Y hez. 31? Q₂, Z gehen hieraus durch Ersetzen des Index 1 durch 2 bez. 3 hervor. Bilden wir jetzt die Determinante der Richtungscosinus, so sondert sich nach dem Multiplicationsgesetz der Determinanten eine Determinante ab, die nur p, q, 7t, x enthält und, wie ihre Ausrechnung lehrt, eine Constante ist. Es kommt so:

(5)

-2 i

(® 1    ^l) (ff2 ^2) (®3 bij)

1 ax + bx ax bx 1 a2 d⁻ ^2 ai ^2

Da die drei Richtungen auf einander senkrecht stehen, so ist dieser Ausdruck sicher gleich + 1, vgl. I S. 146. Wir wissen also, dass der Ausdruck

(«1 - bx)(a₂ - b₂)(a„ - bB)

gleich ±2 i ist, sobald die Constantenpaare av bx; a₂, b₂\ a₃, b₃ so gewählt sind, dass sie einander harmonisch trennen. Es ist nun zu beachten, .dass der in (5) explicite auftretende Factor i schon in der RiccATi’schen totalen Differentialgleichung vorkommt, also nicht durch — i ersetzt werden darf. Wohl aber können wir bei der Auswahl der Constanten, die ja von der RiccATi’schen Gleichung völlig unabhängig ist, die Grösse i durch — i ersetzen, wenn es nötig wäre.

Wir können also immer erreichen, dass die Determinante (5) gerade den gewünschten Wert +1 erhält.¹

Wir haben jetzt die Richtungscosinus 3c Y)₂, $₂; X, Y, Z in allgemeinster Weise so als Functionen von u und v bestimmt, dass sie erstens den in Satz 21,

S. 316

aufgestellten Gleichungen genügen und zweitens die Cosinus solcher dreier zu einander senkrechter Rich

tungen sind, die gerade so wie die Coordinatenaxen gegen einander orientiert sind.

was wir ja stets thun dürfen —. Wie dort

Ehe wir nun den letzten Schritt thun, nämlich auch die Coor-dinaten x, y, z selbst als Functionen von u und v bestimmen, wollen wir zur thatsächlichen Berechnung brauchbare Formeln angeben, indem wir wieder wie auf S. 319 das begleitende Dreikant speciell wählen nehmen wir 3clf    3X und 3c₂, %)₂, $₂ in der Form (19) an, sodass

Av Biy Cx und X₂, B₂, C₂ die Werte (23), S. 320, haben. Danach und nach (4), S. 324, lautet die zu integrierende unbeschränkt inte-grabele RiccATi’sche totale Differentialgleichung jetzt so:

da =

(6)

(.D-iF)L + iEM . EUF + EVE-2FuE ^ _ (.D + iF)L-iEM ^du + 2 DYf    2 DE    *    2DYE

a__iD±iF)M-iBNAdV'

2 üYE

(D-iF)M+iEN , . EVF — OuE

2 DYE

2 DE

Ist nun wie oben in (1):

(7 =

p(u,v)e + q(u,v)

n (u, v) ß + x (u, v)

die allgemeine Lösung dieser RiccATi’schen Gleichung (6), und bestimmt man die Constantenpaare av b₁; a₂, b₂\ a₃, b₃ so, wie es oben auseinandergesetzt wurde, so liegen in (4) die allgemeinsten Werte der Richtungscosinus 3^, 3c₂, X vor, die den Gleichungen (21) und (22), S. 320, genügen, und ^)x, g)₂, Y sowie 3p S₂> % gehen aus

(4) dadurch hervor, dass man av bx darin durch a₂, b₂ bez. a₃, b3 ersetzt.

Um nun x, y, z selbst zu finden, müssen wir die Gleichungen (20) auf S. 319 benutzen. Die beiden links stehenden lauten:

Xv ⁼

FX, + D X₂

VE

¹ Eine entsprechende Bemei’kung wäre zu den Gleichungen (5), I S. 216, zu machen. Sie ist damals vergessen worden.

und geben durch eine Quadratur:

(7)

x =    du +

1/E

dv i •

Der unter dem Integralzeichen stehende Ausdruck ist nämlich ein vollständiges Differential, weil wir auf S. 321 oben sahen, dass die Inte grabilitätsb edingun g infolge des Bestehens der Gleichungen (21), (22) auf S. 320 erfüllt ist, diese Gleichungen aber durch die gefundenen Werte von 3f1? H2 und X befriedigt werden.

Analog bestimmen sich y und 2.

Hieraus erhellt also, dass es thatsächlich Flächen giebt, deren Fundamentalgrössen die vorgeschriebenen Werte E, F, G, L, M, N haben; denn dass die gefundene Fläche diese Fundamentalgrössen hat, ist leicht zu erkennen: Wir wissen, dass die Coordinaten x,y,z den Gleichungen (20), S. 319, genügen. Nach (20) ist aber:

S xJ = E^ + ^ + ^) = E,

also ist nach XI (A) die erste Fundamentalgrösse erster Ordnung wirklich gleich E. Ebenso beweist man, dass F und G Fundamentalgrössen sind. Ferner ist nach (20) und (21), S. 321:

$*.*„ - --uv+g^+a,²) -    +da+&&)•

Die erste Klammer ist gleich Eins, die zweite gleich Null. Daher kommt:

$Xuxu = ~ L’

sodass L nach XII (C) wirklich die erste Fundamentalgrösse zweiter Ordnung ist. Entsprechend ist der Nachweis für M und N.

Da in den für die Richtungscosinus gefundenen Werten noch die Constanten av bx\ «₂, b₂\ a₃, b₃ auftreten, so giebt es unendlich viele Flächen mit den gegebenen Fundamentalgrössen. Wir können nachweisen, dass sie alle mit einander congruent sind.

Denn wir können die in (4) angegebenen Werte von und dc₂ sowie die entsprechend zu bildenden Werte von <$)₁ und 9f)2 und die von $1 und $2 noch etwas anders schreiben. Setzen wir nämlich:

1 + a₁bl

«i-*i

— ^₂}

a₃ 1

(8)

1 a^by.

^2

= /?

®2 ^2

= /?

1 ~ g» &3

«8-^8

= Yi>

• ¹ + «3&3 = — ^3

r/3 + ^S ¹⁷ 3 ~ ^3

so kommt:

p² — n² — q² + x²

i(p² — n² + q² — x²)

(9)

2 (px —

2(px — qri)

a₂ +

nx — qp

px — qn

a3 r

x₂ =

— i(p² + n² — q² — x²)

p² + 7i² 4- q² + x²

i(nx + qp)

2 (px — qn)

2(px — qn)

px — qn

Ersetzen wir die a durch die ß oder durch die y, so gehen die Werte von 2)₁ und $)₂ bez. 3i und S₂ hervor.

Nun wissen wir, dass die Wertepaare ax, 6₁; a₂, b2X a₃, b3 einander harmonisch trennen. Dies ist aber nichts anderes als der Ausdruck dafür, dass zwischen den neuen Constanten a, ß, y die Relationen bestehen:

Yi ai +/2Cf2 + /3ß!3 = ü

ßi H“ ^2 ß₂ d⁻ ^3 ß 3 — 9.

Ferner ist nach (8):

ßß + ßz² + ß₃2 =

Yi² + Y₂² + Y3²⁼¹-

a^ + a^ + a ₃² = 1,

Ausserdem ist die Determinante

(*1 ^2 ßl    ß₂    ß₃ =¹

Yi    y₂    y₃

nach dem Früheren (vgl. (5)). Mithin folgt: Die neun Constanten a, ß, y sind nichts anderes als die Richtungscosinus dreier zu einander senkrechter Richtungen, die ebenso wie die Coordinatenaxen gegen einander orientiert sind. Umgekehrt: Wählen wir als Werte der Grössen cc, ß, y die Richtungscosinus solcher dreier Richtungen beliebig, so heisst dies nach

(8), dass wir die Constanten at, ; a₂, b₂\ a₃, b₃ so gewählt haben, dass die Paare einander harmonisch trennen. Insbesondere erhalten wir also eine specielle Lösung unseres Problems, wenn wir die drei Richtungen als die der Coordinatenaxen wählen, also ax = ß₂ = y₃ = 1 und alle anderen a, ß, y gleich Null setzen. Dann kommt nach (9) und den entsprechenden Formeln für 2)j, S)₂ und Q₂ einfacher,

wenn wir bei dieser speciellen Wahl tiberstrichene Buchstaben benutzen :

p² — n² — q² + x²

2 (p x — q n)

i (p² + n² — q² — x²)

2{p x — qn)

(10)

i (p² — 7i² + q²— x²)

2(p x — qn)

p² + n² + q² + x²

2 { p x — qn)

i(n x + qp) p x — q 7i

Nach (7) stellen dann die mit diesen Grössen gebildeten Gleichungen:

E^du + (F3£x + Z>%₂) d v

n x — qp

p x — qn

>    32

-X=f

-/E

(ii)

Etyidu +    + DH)₃)dv

y~E

*=f

in den laufenden Coordinaten x,y,z die Gleichungen einer speciellen Fläche mit den gegebenen Fundamentalgrössen dar.

Da sich nun die allgemeinen Werte der Richtungscosinus nach (9) und den entsprechenden Gleichungen für ^)₂ und , $2 aus den speciellen Werten (10) linear mit den Coefficienten a, ß, y zusammensetzen, so findet man nach (7), dass sich die laufenden Coordinaten der allgemeinsten Fläche mit den gegebenen Fundamentalgrössen ebenso aus x, y, z zusammensetzen, nämlich so: x = ce₁ x + ct₂ y + e*₃ z + Const., y = ßx x -}- ß₂ y -f ß₃ z + Const.,

Z = /i X + Yi y + r₈ z + Const.

Nach Tafel I heisst dies aber nichts anderes, als dass die Fläche der Punkte [x, y, z) aus der Fläche (11) durch eine Bewegung hervorgeht; oder: Die allgemeinste Fläche, die zu den gegebenen Fundamentalgrössen-gehört, ist mit der speciellen Fläche (11) congruent.

Das Umgekehrte haben wir schon früher erkannt, vgl. Satz 6, S. 16, und Satz 5, S. 107, nämlich: Wenn zwei Flächen congruent sind und homologe Punkte zu denselben Parameterwerten gehören, so haben beide Flächen dieselben Fundamentalgrössen.

Erinnern wir uns jetzt daran, dass wir von den gegebenen Fundamental grossen nur das Eine voraussetzten, dass sie den drei Fundamentalgleichungen genügen (vgl. S. 322), so gelangen wir zu dem

22

Scheffers, Geom. Diffr. II.

Satz 25:¹ Sind E, F, G, L, M, N solche Functionen von zwei Parametern u und v, die den drei Fundamentalgleichungen genügen, so giebt es unendlich viele Flächen, die diese Functionen zu Fundamentalgrössen haben, diese Flächen sind mit einander congruent; aus einer von ihnen findet man alle übrigen, wenn man alle Bewegungen des Raumes auf sie ausübt.

Alle

Ferner folgt:

Satz 26: Sechs Functionen E, F, G, L, M, N von zwei Veränderlichen u und v sind dann und nur dann die Fundamentalgrössen einer Fläche, wenn sie die drei Fundamentalgleichungen erfüllen.

Nach S. 309 unten können wir auch sagen:

Satz 27: Stimmen zwei Flächen, die keine Tangentenflächen von Minimalcurven sind, in ihren Differentialinvarianten gegenüber allen Bewegungen überein, so sind sie congruent.

Was nämlich die Tangenten flächen von Minimalcurven anbetrifft, so sind sie hier ausgeschlossen, da ihnen keine Fundamentalgrössen zweiter Ordnung zukommen (S. 107) und wir ihre Differentialinvarianten nicht untersucht haben. Zwei solche Flächen sind übrigens offenbar dann und nur dann congruent, wenn es ihre beiden Minimalcurven sind. Aber da wir die Theorie der Differentialinvarianten der Minimalcurven nicht entwickelt haben (vgl. I S. 346), so können wir unseren Satz auch nicht auf diese ausdehnen.

Die Art der Bestimmung der Flächen mit vorgeschriebenen Fundamentalgrössen mag hier noch kurz in einem Satze zusammengefasst werden:

Satz 28: Um alle Flächen zu bestimmen, die solche vorgeschriebene Fundamentalgrössen E, F, G, L, M, N haben, die den drei Fundamentalgleichungen genügen, kann man so verfahren: Man integriert zunächst die unbeschränkt integrabele totale RiccATi’sche Gleichung für a:

da =

(.D-iF)L + iEM , . EUF+ EVE-2FUE

-----1- %--a

2 DyE    2DE

(D + iF)L— iEM

2 oy E

a² 3 d xl +

+ i-

(.D-iF)M+iEN

EVF — GUE

2 DyE

2 DE

{D + iF)M-iEN ₂1 ,

a — ---—=-a³ dv,

2 DyE

was durch successive Integration zweier gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung in je zwei Veränderlichen und zwei Eliminationen gelingt. Ihre allgemeine Lösung a enthält eine willkürliche Constante c in dieser Art:

ff =

p (u, v) e + q (u, v)

n(u,v)c + x {u, v)

Nunmehr berechnet man:

p² — Ti² — q² + x²

2{p x — qn)

i (p² + 7i² — q% — x²)

2(p x — q n)

i (p² — Ti² + q² — x²)

2{p x — qn)

p² + n² 4- g² + x²

2 (p x — q n)

i(n x + qp)

p x — qn

Alsdann geben die Quadraturen:

*⁼f

E dii d u + [F + L>H%) dv

y=j

E&du + (Fty, + D%)dv

E&i d u + (F & + D 3₉) dv

1/AT

die Gleichungen einer Fläche der verlangten Art. Alle übrigen erhält man, wenn man diese Fläche den Bewegungen des Raumes unterwirft.

Man wird bemerken, dass die Formeln dieses Satzes in dreierlei Hinsicht nicht vollkommen sind:

Erstens sind sie nicht symmetrisch hinsichtlich u und v. Dies hat seinen Grund darin, dass wir das begleitende Dreikant nicht symmetrisch hinsichtlich der Parameterlinien gewählt haben. Symmetrische Formeln würden sich z. B. ergeben, wenn wir als die beiden ersten Kanten des begleitenden Dreikants diejenigen Tangenten des Flächenpunktes (u, v) wählten, von denen die Winkel der Parameterlinien halbiert werden. Aber dadurch ergeben sich noch umständlichere Formeln. Die unsrigen sind schon compliciert genug. Die Aufstellung symmetrischer Formeln in der angedeuteten Weise ist eine gute Übung für den Leser.

Zweitens lehrt der Satz auch die Bestimmung von reellen Flächen nur auf dem Umweg durch das Imaginäre, da in der RiccATi’schen Gleichung und weiterhin i auftritt. Dies ist jedoch

22*

unvermeidlich, wenn man das Problem auf die Integration einer PiccATi’schen Gleichung zurückführen will, was hier nicht weiter begründet -werden kann.

Drittens endlich versagen die Formeln, wenn E = 0 ist, d. h. wenn die Parameterlinien (v) die Bogenlänge Null haben und also Minimalcurven sind; denn E tritt überall im Nenner auf. D tritt allerdings auch im Nenner auf, aber es ist D =j= 0 nach Satz 9, S. 29. Im Falle E — 0, G =|= 0 kann man aber doch zu brauchbaren Formeln gelangen, wenn man einfach u mit v vertauscht.

Wenn dagegen E = G = 0 ist, sodass also die Parameterlinien (u) und (v) Minimalcurven sind, hilft dies nichts. Man kann alsdann entweder z. B. u + v und u als neue Parameter benutzen, was keine grossen Schwierigkeiten macht, oder aber man wählt dann ein anderes begleitendes Dreikant. Wir wollen die nötigen Formeln für diesen Fall

E= G = 0

kurz angeben: Aus (4) und (6), S. 311, ziehen wir in diesem Fall, indem wir k = 1 annehmen:

Xu + xv

]/2Y

3L — i —-— >

²    }/2F

(12)

V« + Vr _

1/2 F

m ₌ i y» ~..y» ¹⁾² V2F

82 ~*

Xu + Xv

yoF

Xu - xv

1/2tf

sodass

u. s. w. ist. Bilden wir jetzt, wie auf S. 312 auseinandergesetzt wurde, die Ableitungen der Bichtungscosinus, indem wir dabei die einfacheren Formeln (2) und (3) auf S. 266 benutzen, so kommt:

L + M

1/2F

d S₂ . L — M Y . Fu 1/2 F L + M 1/2F

(13)

(14)

öS,

öS,

Fv

du

dv

3£₂ 4-

M+N

1/2 F

—— (7--—— (J² dv.

du

dv

dX

du

dv

M-N

y2F

M+N

y'2F

X -i

Fv

M-N

x₂.

ö⁻² du F

Ist:

<7 =

V e + g n e + x

ihre allgemeine Lösung, so gelten wieder die obigen Formeln (10) für die Richtungscosinus, während sich nach (13) für die Fläche statt (11) ergiebt:

x = ~ j ]/2 F [(3^ — i£₂) du + (3£x + idc₂) dv\,

¹

Ygl. die Anm. zu S. 310.

²

Satz von Bonnet, „Memoire sur la theorie des surfaces appli

³

cables sur une surface donnee“, Journ. de l’l£cole polyt., cah. 42 (1867).

(16)

y - ±f m- iiürf« + (D,+*i),)<««>],

- ⁼ ify w KSi -!' 8.) d« + (3, + m dv].

Man sieht, dass hier wegen der symmetrischen Wahl des begleitenden Dreikants die Formeln symmetrisch ausgefallen sind.

Schliesslich wollen wir noch einmal an ein früheres Ergebnis, S. 325, erinnern:

Satz 29: Die Integrabilitätsbedingungen derjenigen totalen RiccATi’schen Gleichung, die bei dem Problem auf-tritt, alle Flächen mit gegebenen Fundamentalgrössen erster und zweiter Ordnung zu bestimmen, sind die drei Fundamentalgleichungen.

§ 10. Merkmale für die Congruenz zweier Flächen.

Die Frage, wie man entscheidet, ob zwei gegebene Flächen einander congruent sind, ist durch die bisherigen Betrachtungen noch keineswegs vollständig erledigt worden; denn wir wissen bis jetzt nur folgendes:

Man muss untersuchen, ob man auf der einen Fläche in der Art neue Parameter einführen, kann, dass alsdann ihre Fundamentalgrössen, gebildet für die neue Parameterdarstellung, mit denen der anderen Fläche übereinstimmen. (Vgl. Satz 25, S. 338.) Giebt es solche neue Parameter, so sind die Flächen einander congruent, sonst nicht.¹

Es bleibt also noch die Schwierigkeit, wie man erkennt, ob es möglich ist, neue Parameter in der gewünschten Weise einzuführen. Diese Frage soll jetzt erledigt werden.

Der innere Grund jener Schwierigkeit ist der, dass die Funda-mentalgrössen zwar ungeändert bleiben, wenn man die Fläche einer Bewegung unterwirft (nach Satz 19, S. 307), dass sie sich aber ändern, wenn man auf der Fläche neue Parameter einführt. Die Sachlage wird deshalb erheblich vereinfacht, sobald man solche Grössen benutzt, die nicht nur hei allen Bewegungen, sodern auch dann ungeändert bleiben, wenn man neue Parameter auf der Fläche einführt. Man könnte solche Grössen Differentialinvarianten der Fläche hinsichtlich aller Bewegungen und hinsichtlich der Einführung neuer Parameter nennen. Jede derartige Differentialinvariante würde eine Grösse vorstellen, die mit dem betrachteten Flächenpunkt ganz unabhängig von der zufälligen Lage der Fläche und von ihrer zufälligen analytischen Darstellung geometrisch zusammenhinge und daher in noch höherem Maasse als die in § 6 betrachteten Differentialinvarianten für die starr gedachte, aber beliebig gelegene Fläche charakteristisch wäre.

In der That giebt es solche Grössen. Wir brauchen ja nur an das Krümmungsmaass K zu erinnern, das erstens bei allen Bewegungen ungeändert bleibt und zweitens, da es als der reciproke Wert des Productes der Hauptkrümmungsradien Rx und R₂ definiert werden kann, auch von der analytischen Darstellung der Fläche unabhängig ist. Eine solche Grösse ist ferner auch die mittlere Krümmung H. H und K sind Functionen von Rx und Rr Wir können statt H und K auch Rx und R₂ selbst als Beispiele nennen.

Es ist leicht, noch einige derartige Grössen aufzustellen:

Lassen wir nämlich den Punkt (;u, v) der Fläche

(1)

x = <p(u,v), y = x{u,v), z = xp(u,v)

um eine unendlich kleine Strecke d s auf einer seiner beiden Krüm-mungscurven weiter wandern, so werden sich Rx und R₂ um unendlich kleine Grössen dRx und dR₂ ändern. Dabei sind aber die Verhältnisse

von der Länge des unendlich kleinen Weges ds unabhängig. Denn wenn E, F, G, L, M, N die Fundamentalgrössen der Fläche sind, so ist allgemein:

und also:

d s = du² + 2 Fdu dv + G dv²

dR,

d Rx

du +

dBl

dv

]/E du* + ZF du dv + G dv²

oder, wenn dv.du =■ k gesetzt wird:

dRx

dv

dRt

yjs + 2 Fk + GW

Man sieht, dass dies Verhältnis nur vom Punkte (u, v) selbst und von der Fortschreitungsrichtung k längs der Krümmungscurve abhängt. Nach der Differentialgleichung XII (U) der Krümmungs-curven ist k bestimmt durch die quadratische Gleichung:

= o,

die zwei Werte kx und k₂ liefert, ausgedrückt durch die Fundamentalgrössen. Es gehen demnach zwei Grössen hervor:

d) dl

Qjj

Qj

Qj

'Cb

?r-

kb

Ebenso liefert R₂ zwei Grössen:

d R₂ d B₂

öR₂

du

dv

du

d R₂ , dv

]/R + 2F k₂ + G k₂² ’ yjE + 2F k₂ + G k₂²

Da sich Rx und R₂ selbst durch die Fundamentalgrössen ausdrücken lassen, vgl. XII (/), so sind also diese vier Grössen solche Functionen der Fundamentalgrössen und ihrer ersten Ableitungen, die vollständig bestimmt sind, sobald man auf der gegebenen Fläche den Punkt (w, v) angenommen und festgesetzt hat, nach welcher Krümmungscurve man fortschreiten will. Wir wollen mit dx s und d₂s die ßogenelemente längs der einen und längs der anderen Krümmungscurve des Punktes (u, v) bezeichnen, um für jene vier Functionen die bequemen Darstellungen zu gewinnen:

8R₁ dRx dR₂ dR₂

Wir wenden hier Zeichen der partiellen Differentiation an, weil ja die Differentialquotienten wesentlich von den Richtungen abhängen, nach denen differenziert wird.

Da Rv R₂ und die Hauptkrümmungsrichtungen des Flächenpunktes rein geometrische, d. h. von der zufälligen analytischen

d₂s

dxs

d₂s

Darstellung der Fläche unabhängige Grössen sind, so ist es klar, dass die vier gefundenen Grössen ebenso wie Rx und R₂ solche Ausdrücke sind, die ungeändert bleiben, wenn man neue Parameter auf der Fläche einführt. Ebenso bleiben sie ungeändert, wenn man die Fläche irgend einer Bewegung unterwirft, was sowohl geometrisch als auch nach Satz 19, S. 307, einleuchtet.

Da Rx und R₂ selbst derartige Grössen sind, so haben wir jetzt insgesamt sechs Grössen, die Differentialinvariantcn hinsichtlich der Bewegungen und der Einführung neuer Parameter sind.

Allerdings gilt dies nur mit einer Einschränkung, die wir bisher absichtlich nicht erwähnt haben: Die Vorzeichen der sechs Grössen hängen einerseits wesentlich davon ab, wie auf der Fläche die positive Normalenrichtung definiert worden ist, und sind andererseits auch dann noch nicht völlig bestimmt, da ja z. B. in

Öl s

eine Quadratwurzel im Nenner auftritt. Wir können also nur so sagen: Die sechs betrachteten Grössen können sich bei Einführung neuer Parameter nur im Vorzeichen ändern.

Da wir die Congruenzmerkmale in aller Schärfe, ohne Zweideutigkeiten im Vorzeichen, entwickeln wollen, weil wir sonst auch die nicht congruenten, sondern nur symmetrischen Flächen in den Bereich der Betrachtung ziehen würden, so erscheint es uns hier angebracht, uns auf reelle Flächen in reeller Parameterdarstellung zu beschränken. In diesem Falle ist die positive Richtung der Normalen auf S. 27 festgesetzt worden.

Auch wird es gut sein, wenn wir zunächst unsere Betrachtungen auf solche Parameterdarstellungen beschränken, bei denen sie besonders einfach werden, nämlich auf den Fall, dass die Parameterlinien die Krümmungscurven sind, die ja nach S. 174 reell sind. Wir werden nachher zur allgemeinen Parameterdarstellung zurückkehren.

Es seien also die Parametercurven (u), (u) der in reeller Darstellung vorliegenden reellen Fläche (1) die Krümmungscurven. Nach Satz 63, S. 182, ist in diesem Falle:

F =    0.

Auch geben dann k — 0 und k = oo die beiden Richtungen der Krümmungscurven (v) und (w) an, sodass nach XII (D): geschrieben in den laufenden Coordinaten x, y, z mittels der reellen Parameter ü, v. Auch auf dieser Fläche sollen die Para-metercurven die Krümmungscurven sein. Die auf die zweite Fläche bezüglichen Grössen sollen wie die auf die erste bezüglichen, aber mit einem Querstrich, geschrieben werden, sodass Rv R₂ ihre Hauptkrümmungsradien sind und den Grössen (3) die Grössen:

1 d Bx    l 6 Er

yE äü ’ ya dv

1 dB2 yE du y G dv

(5)

jf _ G R2 - N

dy s = ]/Fd u, d₂s = ]/G-’ d v

die Bogenelemente der Krümmungscurven (v) und (u) sind, so haben die vier Grössen

(2)

ist. Da

7p _ -F

R\ — L '

öJR₁

8BX

~d^’

8 B₂

8 B₂

“ö,T ’

8<

jetzt diese analytische Darstellung:

1    8E₁

VG dv

1 8El

1 d R₂

yE du Y G dv worin die Werte (2) einzutragen sind. Dabei setzen wir fest, dass yE und ]/G positiv genommen werden sollen.

Es liege nun eine zweite reelle Fläche vor:

(3)

1 dB,

yE du ’

(4)

X = (p (ü, v),

y = x{ü, v),

z = dp (u, v),

l öE₂

entsprechen.

Wenn nun die beiden Flächen (1) und (4) einander congruent sind, so müssen die Krümmungscurven der einen denen der andern congruent sein. Dabei sind zwei Fälle denkbar: Entweder entsprechen den Curven (m) die Curven {ü) und den Curven (u) die Curven (£) oder es entsprechen den Curven (w) die Curven (■£) und den Curven (w) die Curven (ü). Wir wollen zunächst nur den ersten Fall ins Auge fassen, da der zweite durch Vertauschen der Bezeichnungen ü und v auf ihn zurückgeführt werden kann.

Es mögen also die Curven (u) und (ü) und ebenso die Curven (v) und (v) homologe Curven auf beiden Flächen sein. Alsdann entspricht jedem Punkt (w, v) der Fläche (1) ein Punkt (ü,v) der Fläche (4). Da E-y die mit Vorzeichen genommene Strecke ist, die auf der Normalen des Punktes (u, v) von einer solchen unendlich benachbarten Normalen abgeschnitten wird, deren Fusspunkt auf der durch den Punkt (u, v) gebenden Krümmungscurve (v) liegt, und das Entsprechende auf der zweiten Fläche von Ry gilt, so müssen in homo-

logen Punkten (u, v) und (ü, v) die Werte von Rx und Rx übereinstimmen und ebenso die Werte von R₂ und R₂, aber nicht notwendig auch im Vorzeichen. Auf diesen Umstand kommen wir sogleich zurück. Vorher bemerken wir noch, dass nach unseren früheren Auseinandersetzungen über den invarianten Charakter der Grössen (3) auch alle diese Grössen in homologen Punkten mit den entsprechenden vier Grössen (5), abgesehen vom Vorzeichen, übereinstimmen müssen.

Die Vorzeichen der Hauptkrümmungsradien hängen nach S. 104 wesentlich von der Bestimmung der positiven Richtungen der Normalen ab. Diese haben wir so gewählt, dass auf der Fläche (1) im Punkte (u,v) die positive Richtung der Curve (v), die positive Richtung der Curve (u) und die positive Richtung der Normale so gegen einander orientiert sind, wie die positiven Axen, vgl. S. 30, 31. Wenn also auf beiden Flächen in homologen Punkten die positiven Richtungen der Parametercurven übereinstimmen, so muss dann auch Rx = Rx und R₂ = R₂ sein. Ist aber die Richtung der Curve (v) der der homologen Curve (v) entgegengesetzt, während die Richtungen der homologen Curven (u) und (ü) übereinstimmen, so ist die Normale entgegengesetzt, also R₁=—R₁ und R₂=—R₂, u. s. w. Wenn beide Parametercurven auf der zweiten Fläche entgegengesetzten Sinn haben, so ist dagegen wieder Übereinstimmung in den positiven Normalenrichtungen vorhanden, also R₁=R₁ und R₂=R₂. Da wir ferner in (3) und (5) die Quadratwurzeln positiv gewählt haben, so hängen die Vorzeichen dieser Grössen sonst nur noch von den positiven Richtungen auf den Parametercurven ab. da die Differentiale du, dv, dü, dv sowohl als auch die im Zähler auftretenden Grössen Rv R₂, Rv R₂ bei anderer Wahl jener Richtungen ihre Zeichen ändern.

Um alle Möglichkeiten zu umfassen, verstehen wir unter a eine der beiden Zahlen + 1 und unter ß auch eine der Zahlen + 1. Dabei sei a — -\-l oder —1, je nachdem die Curven (v) und (v) im Sinne übereinstimmen oder nicht, und ß= + l oder —1, je nachdem die Curven (u) und (ü) im Sinne übereinstimmen oder nicht. Alsdann muss in homologen Punkten (u,v) und (ü,v) der beiden Flächen offenbar sein:

Rx = u ß Rx,

1 dRi YF du

1 dRx

YFdü '

YE du

1 dRt YE dü ’

cc ß R₂,

__ ₌

Es sind dies insgesamt sechs Gleichungen. Ihre linken Seiten sind Functionen von u, v, ihre rechten Seiten Functionen von ü, v. Jedem Punkt [u, v) der Fläche (1) entspricht ein Punkt (ü, v) der Fläche (4) und umgekehrt, sodass ü, v zwei von einander unabhängige, allerdings noch unbekannte Functionen von u, v sein müssen. Setzt man diese Functionen für ü und v in (6) rechts ein, so müssen sich also sechs Identitäten ergeben, sobald eine gewisse unter den vier Annahmen:

a — 1, ß=l; a= —l,ß = 1; cc = l,ß = — l; a = — l, ß — — l

gemacht wird.

Nun werden wir das Umgekehrte beweisen: Wir setzen voraus, dass zwei reelle Flächen (1) und (4) in reellen Parameterdarstellungen vorliegen und dass die Curven (u), (u) und die Curven (w), (£) ihre Krümmungscurven seien. Wenn wir dann die in (6) auftretenden Functionen von u, v bez. ü, v berechnen und in (6) ein-setzen, so ergeben sich sechs Gleichungen zwischen u, v und ü, v. Wenn diese sechs Gleichungen bei einer gewissen Annahme von ec = +1, ß— +1 einander nicht widersprechen, wenn es vielmehr zwei Functionen ü und v von u und v giebt, die — in (6) rechts eingesetzt — alle diese Gleichungen für alle Werte von u und v befriedigen, so sind die beiden Flächen, wie wir zeigen werden, congruent. Allerdings tritt noch eine Beschränkung hinzu, die sich sogleich von selbst ergeben wird.

Zunächst folgt, wenn wir ü, v als die nach Voraussetzung durch

(6) definierten Functionen von u, v auffassen und bei dieser Auffassung die beiden ersten Gleichungen (6) nach u differenzieren, was ja erlaubt ist:

dB, du    dB, <9#\

dü du    dv du)’

dB^dv_\ dv du )

dB,

du ^t=clß(^L^L du ¹ \ du du

Setzen wir hierin für die linken Seiten die aus (6) folgenden Werte

ÖÄ,

-V

E dB, 6B2 E dü } du

ein, so kommt:

0M

. du

•vl)»

S sc

K]/!)

dü

dv^dB^ = <9 £ 5 Ä₂ _

0,

o.

Es sind dies zwei hinsichtlich

CL> Qj § ! §1

Qj CIj §    <31

lineare und homogene Gleichungen mit der Determinante:

d Bi d

du

dv

dB₂ d B2 dü dv

Diese Determinante ist die Functionaldeterminante von R₁ und Ä2 (vgl. I S. 81). Sobald R₁ und R₂ zwei von einander unabhängige Functionen von ü und v sind, ist sie von Null verschieden (vgl. I S. 82, 83), und diese Voraussetzung wollen wir machen. Alsdann folgt aus jenen linearen Gleichungen:

^_ = 0.

du

du

= Kl/f

du

Ganz ebenso ergiebt sich, wenn die beiden ersten Gleichungen (6) nach v differenziert werden:

⁸* =0,

dv

Mithin ist u eine Function von u allein und v eine Function von v allein:

(7)

ü = A(w),

V = p {v),

wobei

(8)

=Ki/

tSi!

'-VI

ist. Da die Quadratwurzeln in (8) positiv sind, so sieht man auch, dass X ===0 ist, je nachdem a = + 1 ist, und dass //=== 0 ist, je nachdem ß = + 1 ist.

Wenn wir jetzt die durch (7) definierten neuen Parameter ü, v auf der ersten Fläche (1) einführen und die zugehörigen Fundamentalgrössen berechnen, so werden wir sehen, dass sie gerade gleich den entsprechenden Fundamentalgrössen der zweiten Fläche werden. Die neuen Fundamentalgrössen der ersten Fläche seien nämlich zunächst mit E', F', G', L', M', N' bezeichnet. Da ü nur von u und v nur von v abhängt, so sind die neuen Parameterlinien (ü), (v) der Fläche (1) immer noch die Krümmungs-curven, sodass auch jetzt:

F' = M' = 0

ist. Ferner ist, da x, y, z Functionen von ü und v werden, nach (7):

dx

, dx

xv - P T~V

sodass aus XI (Ä) folgt:

oder wegen (8):

Ebenso kommt:

E = S xu² = V² S (|f)²= *'²&

E' = ~ = E.

G' — G.

Durch die Einführung der neuen Parameter (7) wird die Schar der Parameterlinien (v), wie gesagt, nicht geändert, wohl aber ändert sich ihr Sinn, wenn dü : du oder V < 0 ist. Da, wie wir sahen, A'sgO ist, je nachdem a — + 1 ist, so ändert sich also der Sinn der einen Schar von Parameterlinien, wenn cc= — 1 ist; entsprechend ändert sich der Sinn der andern, wenn ß = — 1 ist. Die Flächennormale ändert ihren Sinn nur dann, wenn nur eine dieser beiden Scharen ihren Sinn ändert, d. h. wenn aß = — 1 ist. Alsdann ändert auch R₁ das Vorzeichen. Mithin geht Rx jetzt in a ß R1 über. Analog (2) ist also jetzt:

oder:

o 7? E' E aß Rx = -jr

während

bi bi

ist. Aus der ersten Gleichung (6) folgt daher:

JE

oder L' = L. Ebenso ergiebt sich M' — M. In den neuen Parametern ü, v hat mithin die Fläche (1) genau dieselben Fundamentalgrössen wie die Fläche (4). Daher sind beide Flächen nach Satz 25, S. 338, einander congruent.

Im Beweise haben wir uns genötigt gesehen, die Voraussetzung zu treffen, dass Rx und R₂ zwei von einander unabhängige Functionen der Parameter ü und v seien. Wegen der beiden ersten Gleichungen (6) und auch aus rein geometrischen Gründen leuchtet ein, dass alsdann auch für die andere Fläche die analoge Voraussetzung zu treffen ist, d. h. also, wir setzen voraus, dass auf keiner der beiden Flächen der eine Hauptkrümmungsradius eine Function des andern sei, oder

auch, dass auf keiner der beiden Flächen eine Relation zwischen den beiden Hauptkrümmungsradien bestehe.

Die Bedingungen (6) können wir alsdann auch etwas anders ausdrücken. Es sind nämlich

1 8 R₂ 1 ä R2 ]/ E du    ye dv

l d Rt

VE du ’ Y& dv

Functionen von u und v. Da nun Rx und R₂ von einander unabhängige Functionen von u und v sind und deshalb auch umgekehrt u und v als Functionen von i?x und R₂ aufgefasst werden können, so werden sich die übrigen vier angegebenen Grössen als Functionen von R₁ und R₂ darstellen lassen. Anders ausgesprochen: Durch Elimination von u und v aus den sechs Gleichungen, die die angegebenen sechs Grössen als Functionen von u, v darstellen, ergeben sich vier Gleichungen von der Form:

1 BBj

VE du

Rl 1 R₂ ’

1 ä El

1 ä Rt

(9)

1 d R₂

YE du

= 0₂(^,A₃)

Yä dv 1 d R2 y~G dv

= ^(rvr2)

Alsdann folgt aus (6):

' ß äR, ₌

YW 8ü ~

ß 8R,

. YE d ü

Die Congruenz-Bedingung, die darin besteht, dass die sechs Gleichungen (6) zwischen u, v und ü, v einander nicht widersprechen sollen, kann jetzt so ausgedrückt werden: Auf der ersten Fläche bestehen sicher vier Relationen von der Form (9). Die Fläche ist der zweiten Fläche dann und nur dann congruent, wenn alsdann auf der zweiten Fläche für eine gewisse Annahme von a = + 1 und ß = + 1 die vier Relationen (10) bestehen.

In der That, ist dies der Fall und setzen wir fest, dass zwischen u, v und ü, v die beiden von einander unabhängigen Gleichungen bestehen sollen:

(l>₁(ceßRvc(ßR₂),

(10)

a ä Rx

ya dv

= VyccßRvaßRJ,

= il⁾₂{aßRx ,aßR₂),

y~G dv

= V^aß^ccßRJ.

R2 — ^ ß R2 ’

so folgen hieraus und aus (9) und (10) rückwärts die Gleichungen (6). Die beiden Gleichungen (11) dienen nur dazu, die einander homologen Stellen (u, v) und [ü, v) beider Flächen zu bestimmen, während

(11)

dagegen die von Parametern freien Gleichungen (9) oder (10) charakteristisch für eine Familie congruenter Flächen sind.

Die Rückkehr zu allgemeinen Parametern ist nun sehr leicht, weil die in (9) und (10) auftretenden Grössen bei Parameteränderungen abgesehen vom Vorzeichen ungeändert bleiben. Weil wir Vorzeichenänderungen schon durch die Factoren a und ß berücksichtigt haben, so kommen wir von den Gleichungen (9) und (10) zu ganz analogen Gleichungen, in denen nur die links stehenden Grössen durch

d B₁ 8 Rx 8 R₂    8 R₂

d₂s

bez.

8X s ’ d₂ s ’ dj s

8 Rx 8 Ri 8 R₂ 8 R2 8t s ’ d₂ s ’ di s ’ d₂s

zu ersetzen sind, während die Gleichungen (11) die alten bleiben. Ausserdem darf nicht ausser acht gelassen werden, dass wir bisher nur den Fall betrachtet hatten, dass die Curven (u) den Curven (ü) und nicht etwa den Curven (v) entsprechen. Indem wir dies berücksichtigen, erkennen wir, dass sich das Ergebnis so darstellen lässt:¹

Satz 30: Liegen zwei reelle Flächen in reeller Parameterdarstellung vor:

und

X = Cp (u, v),

x = cp (ü, v),

y = x{u,v),

y = x («, ®),

Z — 'ifJ {u, V)

und besteht auf keiner der beiden Flächen eine Relation zwischen den Hauptkrümmungsradien und i?₂ bez. und R₂, so wird die Frage, ob die Flächen einander con-gruent sind, so entschieden: Bedeuten d₁ s und d₂ s die Bogenelemente auf der durch einen Punkt der ersten Fläche gehenden Krümmungscurven, so bildet man diejenigen Differentialquotienten der Hauptkrümmungsradien, die sich beim Fortschreiten nach diesen Elementen ergeben. Man setzt nämlich, wenn E, F, G, I, M, N die Fundamentalgrössen der ersten Fläche bedeuten, in

8 Ri

8 R₂

yjß + 2 Fk + Gk²

_ ]/F+2Fk + Ok²

¹ Dieses Merkmal der Congraenz hat Lie angegeben, vgl. die Anm. zu S. 341; doch ist er auf die Vorzeichenbestimmung nicht eingegangen, sodass bei ihm zwischen Congruenz und Symmetrie nicht unterschieden wird, ein Umstand, auf den er übrigens selbst hingewiesen hat.

für k die beiden reellen Werte ein, die sich aus der quadratischen Gleichung

= 0,

k² E L — k FM

ergeben, indem man die Quadratwurzeln, die soeben auftraten, positiv wählt. Zwischen den dadurch hervorgehenden vier Functionen von u und v:

d₂ s

d Rl B Rx B E₂ 8 E2 Bx s ’ B₂ s ’ Bx s '

und den beiden von einander unabhängigen Functionen von u und v:

xx,

bestehen alsdann vier Gleichungen von der Form:

BE₁

BE,

B₂ s 8 E2 B₂ s

Bildet man die entsprechenden Grössen für die zweite Fläche:

ö, s B E₂

B₁ s

= %(RVR₂),

B Ei    B Et 8 E₂ 8 E₂

Bi s    B₂ s    Bi s    B₂ s

so sind beide Flächen einander dann und nur dann con-gruent, wenn für die zweite Fläche bei passender Wahl von a — + 1 und ß = + 1 entweder die Gleichungen:

8 Ei

B₂ s

B Ei

= &x(aßRv aßR₂),

= ^(ccßR^aßR^,

oder diejenigen Gleichungen bestehen, die hieraus hervorgehen, wenn man die Indices 1 und 2 vertauscht. — Alsdann sind diejenigen Punkte (u, v) und (ü, v) beider Flächen homolog, deren Parameter im ersten Falle den beiden Gleichungen

Bi s

Rx = aßRx,

R 2 — aß R₂,

R₂ = a ß Rx

im zweiten Falle den beiden Gleichungen Rx = a ß R₂

genügen.

Hiernach ist es angebracht, die Gleichungen:

dB,

dB,

d₂ s

d B2 d₂ s

die natürlichen Gleichungen der Fläche (1) zu nennen,¹ da sie die Fläche ohne Rücksicht auf ihre zufällige Lage und ohne Rücksicht auf ihre zufällige Parameterdarstellung vollkommen charakterisieren. Man vergleiche die analoge Bezeichnung bei den Curven in I S. 210. Damals entzogen sich gewisse Curven der allgemeinen Form (1) der natürlichen Gleichungen einer Curve, 1 S. 208, nämlich diejenigen, als deren natürliche Gleichungen die Gleichungen (4) und (5), I S. 210, zu benutzen waren. Hierzu haben wir in der Flächentheorie etwas Entsprechendes: Eine Ausnahme bilden hier diejenigen Flächen, auf denen eine Relation zwischen den beiden Hauptkrümmungsradien besteht. Diese Flächen sollen im nächsten Paragraphen betrachtet werden.

Oben sprachen wir einleitend von denjenigen Differentialinvarianten der Flächen, die nicht nur bei Ausführung aller Bewegungen ungeändert bleiben, sondern — abgesehen vom Vorzeichen — auch hei Einführung irgend welcher neuer Parameter. Insbesondere fanden wir, dass

(12)

Öl

d B₂

d, s

dB, dB, dB₂ dB2 d₂s

solche Grössen sind. Da nun eine Fläche, abgesehen von ihrer Lage im Raume und ihrer analytischen Darstellung, durch ihre natürlichen Gleichungen (12) völlig charakterisiert ist, so kann man daraus schliessen, dass alle übrigen Differentialinvarianten der erwähnten Art aus den sechs angegebenen durch einfache Differen-tiationsprocesse hervorgehen. Wir wollen dies hiermit nur angedeutet haben und gehen nicht weiter darauf ein, weil wir, wie

(13)

d,s

d,s

d₂s

¹ Obgleich verschiedene Autoren von den natürlichen Gleichungen einer Curve sprechen, scheint doch nirgends von den natürlichen Gleichungen einer Fläche die Rede zu sein, selbst nicht in Cesaro’s „Vorlesungen über natürliche Geometrie“, deutsch von Kowalewski, Leipzig 1901, in denen man noch am ehesten diese Bezeichnung zu finden erwartet. Wir citieren dies Werk hier, um unsere litterarischen Nachweise zur Theorie der natürlichen Gleichungen von Curven im 1. Bande dadurch zu vervollständigen. Man findet in diesem Buche zahlreiche Beispiele im Sinne der von uns in I S. 68—71 gegebenen.

Scheffkrs, Geom. Diffr. II.

23

unsere Ergebnisse lehren, thatsächlich mit -den sechs betrachteten Grössen (13) ausreichen. Nochmals erinnern wir aber daran, dass in (13) die Differentiationen zwar nach den Bogenelementen der Krümmungscurven auszuführen sind, dass wir aber doch die Grössen (13) stets bei beliebig yorgelegten Flächengleichungen:

x = cp[u,v), y=x{u,v)

durch Differentiationen allein berechnen können, und dass die Aufstellung der natürlichen Gleichungen (12) also nur Differentiationen und Eliminationen verlangt.

Wir deuten nur noch Eines an: Legt man auf die obigen Vorzeichenbestimmungen keinen Wert, so kann man zu den Merkmalen kommen, die nicht nur den Fall der Congruenz, sondern auch den der Symmetrie umfassen, und dann steht nichts im Wege, das Ergebnis auch auf imaginäre Flächen oder auf reelle Flächen mit imaginärer Parameterdarstellung auszudehnen. Wir nennen deshalb die Gleichungen (12) auch in diesen Fällen die natürlichen Gleichungen der Fläche.

§11. Flächen, deren Hauptkrümmungsradien durch eine Relation

verbunden sind.

Bei der im vorigen Paragraphen auseinandergesetzten Theorie der Congruenz sahen wir uns genötigt, diejenigen Flächen auszu-schliessen, bei denen zwischen den beiden Hauptkrümmungsradien Rx und i?₂ des allgemeinen Flächenpunktes (u, v) eine Gleichung besteht, oder also, bei denen sich 7?₂ als Fnnction von Rx allein aus-drücken lässt (vgl. S. 348). Diese Flächen lassen sich auch so charakterisieren: Bei ihnen besteht eine Gleichung zwischen der Krümmung K und der mittleren Krümmung H. Indem wir sie so definieren, umfassen wir zugleich diejenigen imaginären Flächen, die keine Hauptkrümmungsradien haben, nämlich die Flächen mit einer Schar von Minimalgeraden (vgl. S. 115). Denn nach Satz 106, S. 240, besteht ja bei diesen Flächen die Gleichung:

W = i//².

Aber zu den bisher ausgeschlossenen Flächen gehören noch viele andere, insbesondere reelle Flächen. So gehören hierher die Flächen constanter Krümmung, für die

K = Const.

ist, von denen wir in § 5 sprachen, ferner die Minimal flächen für die ist und die wir in § 15 des 2. Abschnittes untersucht haben. Es gehören hierher auch die Flächen constanter mittlerer Krümmung überhaupt:

H = Const.

denen wir gelegentlich, auf S. 236, begegnet sind. Endlich sind hier auch die Rotationsflächen zu nennen, denn nach S. 122 sind Krümmung K und mittlere Krümmung H einer Rotationsfläche Functionen der Bogenlänge der Meridiancurve, sodass auch bei den Rotationsflächen eine Relation zwischen K und H besteht.

Zu den Flächen also, bei denen eine Relation zwischen der Krümmung K und der mittleren Krümmung H vorhanden ist, gehören ausgedehnte Familien von gerade besonders interessanten Flächen, und aus diesem Grunde wollen wir hier diese Flächen genauer untersuchen.²

Wir nehmen dabei die Krümmungscurven als Parameterlinien (u:) und (v) an. Durch diese Annahme werden allerdings diejenigen Flächen, die eine Schar von Minimalgeraden enthalten, ausgeschlossen (nach S. 175), also diejenigen Flächen, die wir schon auf S. 227—229 kurz untersucht und analytisch dargestellt haben. Wenn wir von ihnen hier absehen, so haben die zu betrachtenden Flächen im allgemein gewählten Punkte (?/, v) sicher Hauptkrümmungsradien Rx und Rr

Wir benutzen diese Gelegenheit, um hier einmal diejenigen Formeln zusammenzustellen, die aus unseren allgemeinen Formeln hervorgehen, wenn es sich um eine beliebige Fläche handelt, deren Parameterlinien die Krümmungscurven sind. Nach Satz 63, S. 182, und naeh XI (C) ist in diesem Falle:

F = i¥ = 0,

(1)

H³ = EG.

Die drei Fundamentalgleichungen (9), (10), (11), S. 270, 271, nehmen daher die Form an:

Lvz=\Ev[^ + 4~)’

L N= - 4 E - i G +1

2 vv 2 uu ¹    4

A = Gu

(2)

Ev² + Eu Gu

GS + Ev Gv

(W)

Nach XII (Ä") ist ferner, wenn Bx denjenigen • Hauptkrümmungs-radius bezeichnet, der zur Tangente der Krümmungscurve (w) gehört:

7? E

(3)

ygl. XII (.H), sodass die erste und dritte Fundamentalgleichung auch so geschrieben werden kann:

F _ IS⁷/

JV B, -T

B₂

du B₂

( Ri ⁺ B, )

oder so:

(4)

d Tn„ VE 1 dBt

dv ö Bt    B₂^B₁ dv ’

A log JA

du ö B₂

1 dB,

Bx — B₂ du

Hierin treten übrigens die Wurzelzeichen nur -scheinbar auf, sodass wir über ihre Vorzeichen nichts festzusetzen brauchen. Die zweite Fundamentalgleichung (2) lässt sich wegen (3) so schreiben:

_ ywä ₌ d gu

BlB₂ du 2 ]/E G

oder:

■ d -K_

"t" dv 2YEG

Yeg ₌ j_l l dVG

BtB₂ du \ ]/E du

Auch hier treten die Wurzeln nur scheinbar auf.

Nach XII (E) kommt ferner wegen (1) und (3):

X = -“ Bt

y

[ Äv- B₂'

Die Formeln (1) bis (6) gelten für beliebige Flächen, vorausgesetzt, dass ihre Parameterlinien (u) und (v) die Krümmungscurven sind.

(5)

(6)

_ ( 1 dj/ E dv\yG dv

y _ Vu

y    Ku .

^ ⁼ - äT’

y    Vv    ry

B₂ '

Wir wollten nun insbesondere diejenigen Flächen betrachten, auf denen eine Relation zwischen den beiden Hauptkrümmungsradien Rx und R₂ besteht:

Q(RvR₂) = 0.

Im besonderen kann diese Relation die specielle Form Rx = Const. oder Z?₂ = Const. haben; es ist aber leicht, alle Flächen, auf denen einer der Hauptkrümmungsradien constant ist, anzugeben. Ist nämlich z. B.

= Const.,

so lehren die drei ersten Formeln (6), dass die Ausdrücke: x -j- Rl X, y + RlY, z + Rx Z

frei von u sind. Es sind dies aber die Coordinaten £, t), g des Mittelpunktes des ersten Hauptkrümmungskreises im Flächenpunkte (u, v). Sie hängen also nur von v ab, d. h. die Mittelpunkte der ersten Hauptkrümmungskreise erfüllen eine gewisse Curve c, keine Fläche, indem zu allen Punkten einer Krümmungs-curve (v) derselbe Mittelpunkt gehört. Aber noch mehr, aus:

¹

Eine erschöpfende Theorie der Congruenz zweier Flächen hat erst Lie gegeben: „Zur Invariantentheorie der Gruppe der Bewegungen“, Leipziger Berichte 1896.

²

Auf die in vielfacher Hinsicht interessanten Flächen, deren Haupt

³

krümmungsradien durch eine Relation verbunden sind, hat zuerst Weingarten aufmerksam gemacht, dem man auch eine Reihe wichtiger Sätze über diese Flächen verdankt. Man nennt diese Flächen deshalb IV ein garten 'sehe oder kürzer W-Flächen. Wir citieren Weingarten’s Abhandlungen: „Über eine Classe auf einander abwickelbarer Flächen“, Journal f. d. r. u. a. Math. 59. Bd. (1861), und „Über die Oberflächen, für welche einer der beiden Hauptkrümmungshalbmesser eine Function des anderen ist“, ebenda 62. Bd. (1862).

E (ü) = x + ßix folgt noch längs der Curve c:

l — Xv +

t) (u) = y + i?i r,

= z + RXZ

Also ist:

s S' (* — I) = — Ä, S (x„ + E₁Xi)X=-B₁S Xxv - E* sxxv. Nach XI (//) und XI (/) gilt also die in x, y, z lineare Gleichung:

S t (ar - S) = 0 .

Da £, t), l nur von v abhängen, so heisst dies: Jede Curve (v) liegt in einer Ebene, die durch den zugehörigen Mittelpunkt (f, t), g) geht und deren Normale Richtungscosinus proportional £', tf, § hat und deshalb der Tangente der Mittelpunktscurve c im Punkte (5, t), g) parallel ist. Da alle Punkte (x, y, z) der Curve (u) vom zugehörigen Mittelpunkt (5, t), g) denselben Abstand R₁ haben, so ist daher jede Curve (u) ein Kreis vom constanten Radius Rv dessen Mittelpunkt (£, t), g) auf einer Curve c liegt und dessen Ebene zur Tangente von c in diesem Mittelpunkt senkrecht ist. Also ist die Fläche eine Röhrenfläche (vgl. das 2. Beispiel und Fig. 63, S. 181).

Stillschweigend haben wir hierbei vorausgesetzt, dass die con-stante Grösse Rx endlich sei. Ist Rl =00, so ist I — 0 nach (3), d. h. wegen (1) auch L N — M² = 0. Die Fläche ist dann abwickelbar, nach Satz 19, S. 132. Umgekehrt leuchtet ein, dass auf jeder abwickelbaren Fläche der eine Hauptkrümmungsradius unendlich gross ist, denn die Krümmungscurven der einen Schar sind hier die Erzeugenden, nach S. 177, und die Normalen der Fläche längs einer Erzeugenden sind einander parallel, nach Satz 7, I S. 277, treffen sich also erst im Unendlichen.

Sollen beide Hauptkrümmungsradien einer Fläche constant sein, so sind verschiedene Fälle denkbar: Wären zunächst Rl und R₂ beide endlich, aber verschieden, so würde aus (4) folgen, dass E nur von u und G nur von v abhinge, sodass das Quadrat des Bogenelementes wäre: d s² = E (m) d u² + G (v) d v².

Indem man J ]/Edu und J ]/G dv als neue Parameter ü und v einführt, bringt man es alsdann auf die Form:

d s² = d ü² -f- d v².

Dies aber ist das Quadrat des Bogenelementes in der Ebene mit den rechtwinkligen Coordinaten ü, v, sodass die Fläche abwickelbar wäre; nach IS. 279 u. f. Dann aber ist ein Hauptkrümmungsradius unendlich gross, sodass sich ein Widerspruch ergiebt. Daher ist, wenn R₁ und R₂ constant und endlich sein sollen, nur der Fall Rx = R₂ möglich, in dem die Fläche nach Satz 12, S. 120, eine Kugel ist.

Ist Rx constant und endlich, aber R₂ = oo, so ist die Fläche einerseits eine Röhrenfläche mit oo¹ congruenten Kreisen (u) und andererseits abwickelbar. Dabei müssen die Geraden der Fläche, als Krümmungscurven (w), jene Kreise senkrecht schneiden. Aber die Tangenten der Curven (w) sind nach S. 181 den Tangenten der Mittel-punktscurve c parallel. Also ist der Ort der Kreismitten eine Gerade, die Fläche daher ein Rotationscylinder.

Sind endlich R₁ und R₂ beide unendlich gross, so artet der Cylinder in die Ebene aus. Daher:

Satz 31: Ist einer der Hauptkrümmungsradien einer Fläche constant und endlich, so ist die Fläche eine Röhrenfläche; ist er unendlich gross, so ist sie insbesondere eine abwickelbare Fläche. Sind beide Hauptkrümmungsradien constant, aber endlich, so müssen sie einander gleich sein, und die Fläche ist dann eine Kugel. Ist der eine endlich und constant, der andere unendlich gross, so ist die Fläche ein Rotationscylinder. Sind beide unendlich gross, so ist die Fläche eine Ebene.

Da wir somit die Flächen kennen, auf denen wenigstens ein Hauptkrümmungsradius constant ist, können wir von jetzt ab von ihnen absehen. Wir wollen also jetzt diejenigen Flächen untersuchen, auf denen eine Relation zwischen den beiden Hauptkrümmungsradien R^ und R₂ besteht:

(?)

Q{RX,R%) = 0,

die sich aber nicht auf Rx — Const. oder R₂ = Const. redu-cieren soll, ebenso nicht auf Rx = R₂, da sich dann nach Satz 12, S. 120, wieder die Kugeln ergeben würden.

Infolge dieser Relation (7) ist Rx als Function von R₂ oder umgekehrt R₂ als Function von Rx aufzufassen. Aus (4) folgt dann, dass von den Functionen:

-]/G

logA

Ra —

die erste eine Function von u allein und die zweite eine Function von v allein ist, sodass kommt:

JS=S^U(u)e²J^k, G=B₂‘F{v)e

wo U nur von u und V nur von v abhängt. Unter dem ersten Integral ist natürlich für R₂ die aus (7) folgende Function von Rx zu setzen, unter dem zweiten dagegen für Rx die aus (7) folgende Function von R₂. Es ist weder U noch V gleich Null, weil sonst JD = 0, die Fläche also die Tangentenfläche einer Minimalcurve wäre. Wenn wir jetzt neue Parameter

- R₂

(8)

²J

Hi — R2

U du

ü=fy

auf der Fläche einführen, wobei die Krümmungscurven nach wie vor die Parameterlinien bleiben, da ü nur von u und v nur von v abhängt, so werden die Coordinaten x, y, z Functionen von ü, v, und zwar ist:

xü

YT= xv

u. s. w., sodass nach XI (A) für die neuen Fundamentalgrössen E, G kommt:

- ~U *

E = Sxu² = S~j

also nach (8):

E» — Ex

G=B

*e²J

Ei E₂

(12)

Bei der Aufstellung der Formeln (1) bis (6) hatten wir nur das Eine vorausgesetzt, dass die Parameterlinien (u) und (v) die Krüm-mungscurven seien. Da dasselbe von den neuen Parameterlinien (ü) und (v) gilt, so dürfen wir annehmen, wir hätten schon vor der Aufstellung der Formeln (1) bis (6) gerade diese neuen Parameter ü und v statt u und v benutzt, d. h. wir dürfen annehmen, dass in den Formeln (1) bis (6) die Grössen E und G die soeben gefundenen Werte E, G haben, also:

*/

s,,²/ —

G = R₂²e

E = I\

sei. Weil R₁ — R₂ nach Voraussetzung nicht gleich Null ist, so sind die Integrale endlich.

Bisher haben wir in der ersten Formel (9) die Grösse R₂ als Function von Rx und in der zweiten Formel (9) die Grösse Rx als Function von R₂ aufgefasst, definiert durch die Relation (7). Wir können natürlich auch Rx und R₂ beide als Functionen einer dritten Grösse, einer Hülfsveränderlichen w auffassen, z. B. so: Die Function

(9)

(10)

r dB,

w = e ^ Ri —

ist sicher nicht constant, weil 1 : (Rx — R₂) nicht gleich Null ist. Wenn wir aus (7) die Grösse R₂ als Function von Rx berechnen und in diesen Ausdruck w einsetzen, so wird w eine Function von Rx allein, die keine Constante ist. Umgekehrt ist dann auch Rx eine Function von u\ etwa:

(11)

Rx = d' (w).

Wegen (10) ist alsdann

dR^

oder:

woraus folgt:

& — R₂

!C

R₂ = fr — w

Wenn wir unter &(w) irgend eine Function der Hülfsveränderlichen w verstehen und darauf Rx und R₂ durch die Formeln (11) und (12) als Functionen von w definieren, so wird die Elimination von iv aus (11) und (12) eine Relation zwischen Rx und R₂ geben.

Man erkennt also, dass man die eine Relation (7) stets bei Einführung einer Hülfsgrösse iv durch die beiden Gleichungen (11)

und (12) ersetzen kann, und umgekehrt: Ist    irgend eine Func

tion von w, so ist durch (11) und (12) eine Relation (7) zwischen Rx und li₂ hergestellt.

Auf der Fläche sind Rx und R₂ zwei infolge von (7) von einander abhängige Functionen von u und v. Daher ist nach (11) auch die Hülfsgrösse w eine gewisse Function von u und v.

Wenn wir nun die Werte (11) und (12) in (9) einführen, wobei infolge von (11) und (12):

d R₂ — — w &"d w ist, so kommt, weil dann auch (10) besteht:

d Rx = \Edw,

(13)

h²

IV² ’

während

oder:

G = (# - w xE)² e

„ C

~²J Wdw

(14)

(a ₌ Const.)

wird. Wenn wir statt v einen neuen Parameter v = cv einführen, wobei c eine Constante bedeute, so sind x, y, z Functionen der neuen Parameter: und dabei ist:

u. s. w., sodass die neuen Fundamentalgrössen E und G nach XI (A) diese werden:

E= Sxu² = Sxu² = E,

G = Sxv² =

c²

S^² =

Wählen wir jetzt c = ]/«, so kommt also nach (13) und (14)

&²

Da wir bei Einführung der neuen Parameter wiederum die Krümmungscurven als Parameterlinien haben, so dürfen wir — wie oben — annehmen, wir hätten von vornherein, vor Aufstellung der Formeln von (1) an, schon diese besonderen Parameter benutzt, d. h. wir dürfen setzen:

(15)

&²

E= ~

Die Formeln (10), (11), (12) ändern sich dabei nicht, weil in ihnen weder u noch v als Argument auftritt, vielmehr u und v nur in .Äj, JR₂ und w Vorkommen. Nach (3), (11), (12) und (15) kommt noch:

feg

w* ’

R,

#'²

x41so hat sich ergeben:

Satz 32: Besteht auf einer Fläche, die keine Schar von Minimalgeraden enthält, eine Relation zwischen den beiden Hauptkrümmungsradien 7^ und ist aber weder 7?x noch 7?₂ constant, so kann man die Fundamentalgrössen der Fläche auf die Form bringen:

E = 0, G =

Z-*

& - wF

IV¹

während:

J?2 = & — w rh'

ist. Dabei bedeutet w eine Function der Parameter u, v der Fläche und & eine Function von w allein.

Es fragt sich nun aber, ob man w irgendwie als Function von u, v und & irgendwie als Function von w wählen darf. Wir wissen nach Satz 25, S. 338, dass zu gegebenen Fundamentalgrössen dann und nur dann Flächen vorhanden sind, wenn sie die Fundamentalgleichungen erfüllen. Wenn wir die im Satze 32 angegebenen Fundamentalgrössen benutzen, so reducieren sich die Fundamentalgleichungen wegen F = M = 0 auf die obigen Gleichungen (2). Ferner sind dann 7^ und E₂ durch (3) gegeben. Man überzeugt sich sofort, dass die im Satze angegebenen Werte von Iil und 7?₂ die Gleichungen (3) erfüllen. Wir haben die Fundamentalgleichungen mittels (3) auf die Formen (4) und (5) gebracht. Die Gleichungen (4) werden augenscheinlich befriedigt, nicht so die Gleichung (5). Denn zunächst können wir für rfE und ]/(r nach dem Satze die Werte

& — w&'

>r

nehmen, da das Vorzeichen der Whirzeln, wie schon bemerkt wurde, in (5) keine Rolle spielt. Alsdann aber* kommen für

1 dVE Y G d v

und

l d]/G 1/~E d u

die Werte:

u'²

und

h'wv

sodass die Gleichung (5) — die einzige noch zu erfüllende Bedingung — die Form annimmt:

d •&" w wu wh' du &'²

d h'wv

d v uf-

Wir finden also:

Satz 33: Nur dann, wenn man w so als Function von u und v und H so als Function von w wählt, dass die Bedingung:

d \l"wwu d -&'wv wh' du ~tf⁷²    *“ ~dv w²

für alle Werte von u und v erfüllt wird, giebt es Flächen mit den in Satz 32 angegebenen Fundamentalgrössen.

Nehmen wir jetzt an, eine Fläche sei uns irgendwie durch ihre endlichen Gleichungen gegeben, ausgedrückt mittels zweier Parameter ü und v:

x = (p(ü,v), g =    z = xp(ü, v).

(16)

Wir können dann leicht entscheiden, ob sie zu den hier betrachteten Flächen gehört. Wir berechnen nämlich die Hauptkrümmungsradien Rx und R₂ als Functionen von ü und v nach XII (K) und untersuchen, ob die Functionaldeterminante von Rx und R₂ hinsichtlich ü und v gleich Null ist. Ist dies der Fall, so besteht eine Relation zwischen Rl und R₂, sonst nicht; nach Satz 54, I S. 82. Wenn eine Relation besteht, so ergiebt sich, indem man aus den gefundenen Werten von R₂ und R₂ etwa ü eliminiert, wobei dann zugleich v von selbst verschwinden muss, die Relation zwischen Rl und R₂.

Wir wollen nun annehmen, bei der Fläche (16) sei wirklich eine solche Relation vorhanden, die nach R% aufgelöst etwa ergebe:

(17)

R₂ = q (i?x),

indem wir den Fall R^ = Const. beiseite lassen, und wollen uns fragen, wie man alsdann die in Satz 32 benutzten Parameter u und v findet, die vorläufig ja noch unbekannte Functionen der in (16) auftretenden Parameter ü, v sind. Es wird eine noch unbekannte Function w von u, v und eine noch unbekannte Function & von w geben, sodass in Gemässheit des Satzes:

R₉ = H — w &'

wird. Natürlich kann w auch als Function der Parameter ü und v aufgefasst werden. Als solche aber kann sie und zugleich xd leicht berechnet werden, denn nach (17) ist zu fordern:

xd- — w \F = O (xd')

oder, da & nur von w abhängt:

dd

tr

woraus durch eine Quadratur hervorgeht:

= log w + Const.

dd .

- o (F)

Ist die Quadratur ausgeführt, so giebt die Auflösung dieser Gleichung nach d die gesuchte Function xd von w, wobei noch eine willkürliche Constante auftritt. Nun folgt, da E₁ als Function von ü und v bekannt ist, aus

E₁₌= xd (iw)

durch Auflösung nach iv auch der Wert von w als Function der ursprünglichen Parameter ü, v.

Jetzt gehen wir daran, die neuen Parameter u und v als Functionen von ü und v zu finden. Sind

u = K (ü, v),

diese unbekannten Functionen, so ist längs der Krümmungscurven (w) und (w) der Fläche du = 0 bez. dv — 0, d. h. entweder

(18)

V = fl (ü, v)

CD

du + —z— d v = 0 ¹ dv

oder

(20)

du + 4^dv = 0. du    dv

Nun aber lautet die Differentialgleichung der Krümmungscurven in den ursprünglichen Parametern ü, v, wenn E, Fy G, L, M, N die zugehörigen als Functionen von ü, v bekannten Fundamental -grossen bedeuten, nach XII (U)    so:

Es ist dies eine quadratische Gleichung für dv: du, die sich in

= 0.

zwei lineare Gleichungen zerspalten lässt. Es ergeben sich dabei etwa die Gleichungen

= Ci ('Ü, V) ,

= ß{ü,v)

als die Differentialgleichungen der Krümmungslinien, a und ß sind bekannte Functionen von ü, v. Dann muss (19) durch den einen, (20) durch den anderen Wert von dv:dü befriedigt werden, d. h. es muss sein:

Qj Qj §l

<-''s    l<^

d fi

+ T¥ß = °-

Dies sind zwei Bedingungen für die unbekannten Functionen l und H von ü und v, aus denen folgt:

(21)

dl

dl

d fi

-/»&•

Ausserdem wissen wir, dass die noch unbekannten auf u und v bezüglichen Fundamentalgrössen E, F, G den in (11), S. 17, aufgestellten Bedingungen genügen, die sich infolge von (21), da ja F — 0 sein muss, reduciren auf:

dl V

dv

+ ß²G

d fi

(22)

dl\ 2

Nun sind uns zwar E, F\ G als Functionen von u und v unbekannt, aber wir können sie als Functionen von ü, v darstellen. Denn sie müssen die in Satz 32 angegebenen Werte haben, und darin sind uns & und w, wie wir sahen, als Functionen von ü und v bekannt, sodass wir also E, F, G als Functionen von ü, v kennen, wobei allerdings noch eine willkürliche Constante auftritt. In den Gleichungen (22) sind also nur

dl

und

d (i

unbekannte, alle anderen Grössen dagegen bekannte Functionen von ü und v, und ausserdem tritt eine noch nicht näher bestimmte Constante auf. Da a =j= ß ist, weil sonst die beiden Scharen von Krümmungscurven zusammenfallen würden, was ja oben ausgeschlossen worden ist, so ergeben schon zwei der drei Gleichungen (22) durch Auflösen nach

dl

d fi

und

diese Grössen als bekannte Functionen von ü und v. Es kann sein, dass dabei die noch auftretende Constante beliebig bleiben darf oder aber bestimmt gewählt werden muss, damit die drei Gleichungen (22) einander nicht widersprechen. Aus (21) ergeben sich weiterhin auch

d fi

dl

und

als Functionen von ü und v. Entweder tritt in den Ausdrücken für diese vier partiellen Differentialquotienten noch eine willkürliche Constante auf oder nicht. Da es jedenfalls Functionen l und (x geben muss, weil der Satz 32 gilt, so werden jedenfalls für einen bestimmten Wert der Constanten die gefundenen Ausdrücke den Bedingungen:

Sl

'S

rü ro

d dl-dü d v ’

d    d fi d    ö fi

dv dü    dü d v

für alle Werte von ü und v Genüge leisten, sodass sich durch je eine Quadratur auch l und fi selbst als Functionen von ü und v bestimmen lassen. Da wir somit die Gleichungen (18) zwischen den ursprünglichen Parametern ü, v und den neuen Parametern u, v kennen, so macht die Reduction der Flächengleichungen (16) auf diejenige Form, die in Satz 32 benutzt worden ist, keine Schwierigkeiten mehr. Zugleich haben wir die endlichen Gleichungen l (ü, v) = Const., fi (ü, v) — Const. der Krümmungscurven gefunden. Daher hat sich noch ergeben:

Satz 34: Besteht auf einer Fläche eine Relation zwischen ihren beiden Hauptkrümmungsradien, so verlangt die Bestimmung ihrer Krümmungscurven nur Eliminationen und Quadraturen.¹

In dem besonderen Fall einer Röhrenfiäche haben wir dies schon auf S. 181 erkannt.

Die Formeln des Satzes 32 zeigen, dass man auf den hier betrachteten Flächen solche Parameter einführen kann, dass die zugehörigen Fundamentalgrössen erster und zweiter Ordnung sämtlich Functionen von nur einer Function w (u, v) werden. Diese Eigenschaft ist nun charakteristisch: Wenn man nämlich auf irgend einer Fläche solche Parameter u, v einführen kann, dass die Fundamentalgrössen sämtlich nur von einer Function io von u und v abhängen, so folgt aus XII (.K), dass auch ihre Hauptkrümmungsradien Rx und R₂ Functionen von iv allein werden und daher zwischen ihnen eine Delation besteht. Also können wir sagen:

Satz 35: Auf einer Fläche lassen sich dann und nur dann solche Parameter einführen, für die alle sechs Fundamentalgrössen von einander abhängige Functionen werden, wenn zwischen der Krümmung und mittleren Krümmung der Fläche eine Relation besteht.

Im vorigen Paragraphen haben wir das Congruenzproblem allgemein behandelt. Wir Hessen dabei eine Lücke, indem wir eben die jetzt betrachteten Flächen ausschlossen. Wir wollen eine Art, wie man diese Lücke ausfüllen kann, nur kurz andeuten:

Liegen zwei Flächen vor und besteht auf der einen eine Relation zwischen Rx und i?₂, so kann diese Fläche der anderen nur dann congruent sein, wenn hei der zweiten Fläche dieselbe Relation zwischen Rx und R₂ besteht. Um dann über ihre Congruenz zu entscheiden, kann man auf beiden Flächen nach der oben auseinandergesetzten Methode mittels Eliminationen und Quadraturen solche neue Parameter u, v bez. ü, v einführen,² dass die zugehörigen Fundamentalgrössen die in Satz 32 angegebenen Formen erhalten, also auf der einen Fläche:

F= 0, G =

w‘‘

& - W&'\2

& — wd-'

und auf der anderen Fläche:

F = 0,

(9 =

& - W&'\ 2

2= -

SA <pi

JV =

a/2

wird. Dabei ist w eine Function von u, v, ferner w eine Function von ü, v und & eine Function von w allein, eine Function von iv allein. Da ausserdem die Parametercurven die Krümmungscurven sind, so können die Flächen nur in der Art einander congruent sein, dass den Parameterlinien der einen Fläche die der anderen entsprechen. Mithin wird man nach S. 17 und nach Satz 25, S. 338, so verfahren: Man führt etwa auf der ersten Fläche neue Parameter ein vermöge zweier Gleichungen von der Form:

V — ß (v)

oder vermöge zweier Gleichungen von der Form:

ü = X (u),

v = X(u),

ü = li («),

wobei wie auf S. 346 im reellen Fall zu beachten ist, dass die Flächennormale ihre positive Richtung und daher auch die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung ihr Vorzeichen ändern, wenn nur eine der beiden Grössen X' und fi negativ ist. Die Einführung der neuen Veränderlichen und die Berechnung der neuen Fundamentalgrössen E', F’, G', I1W, N' ist mittels der Formeln XI (A) und XII (B) leicht ausgeführt. Es kommt z. B. im ersten Fall:

ü! L r² >

E' =

F'= 0,

M'= 0,

jv'=

wo a = + 1 ist, je nachdem X' EgO ist, und ß = + 1 ist, je nachdem ist. Nun hat man zu untersuchen, ob sich die Functionen X und fx so wählen lassen, dass E’, G' und LN' die obigen Werte E, G, L, N annehmen.

Diese Untersuchung bietet keinerlei Schwierigkeiten dar. Man findet sehr leicht, dass w: w eine Constante sein muss, darauf, dass X' und fx Constanten sein müssen u. s. w. Wir überlassen die Rechnung und die Aufstellung des Ergebnisses dem Leser.

Wenn auf der einen Fläche ein Hauptkrümmungsradius con-stant ist, so muss dasselbe auf der anderen Fläche gelten. In diesem Falle ist die Erledigung des Congruenzproblems noch einfacher. Denn nach Satz 31 sind dann folgende Möglichkeiten vorhanden:

Beide Flächen sind Röhren flächen: Man wird die Gleichungen des Ortes c der Kreismitten bestimmen und untersuchen, ob diese beiden Curven einander congruent sind, nach Satz 25, I S. 219.

Beide Flächen sind abwickelbar: Man untersucht, ob ihre Gratlinien einander congruent sind.

Beide Flächen sind Kugeln oder beide Flächen sind Bota-tionscylinder: In diesen Fällen ist die Untersuchung augenscheinlich noch einfacher.

Wie schon bemerkt wurde, gehören zu den in diesem Paragraphen betrachteten Flächen insbesondere die Flächen constanter mittlerer Krümmung

b\

Für diese ergiebt Satz 32, wenn die Werte von J?x und _Z?₂ eingesetzt werden, die Bedingungsgleichung für H:

JL +_L_

& T & - w&'

aus der folgt:

dw

(H& - l)d&

(HU -2)&

Integrieren wir beiderseits, so kommt:

(23)

^ log (H & — 2) xk — log w + Const.

oder:

i + y i + cw²

(c = Const.).

Jetzt ist nach Satz 32:

= c²,

E _ &²(H# - 2)2 G    w⁴

also constant. Nach Satz 23, S. 56, folgt hieraus, da die Parameterlinien die Krümmungscurven sind:

Satz 36: Auf den Flächen constanter mittlerer Krümmung bilden die Krümmungscurven ein Isothermensystem.³

Ferner lautet hier die Differentialgleichung XI (0) der Minimal-curven, da überdies F — 0 ist, so:

c² d u² + d v² = 0

oder:

sodass

c d + dv = 0,

cu + v = Const.

die endlichen Gleichungen der Minimalcurven sind. Da die Einführung der Parameter u, v nach dem Obigen nur Eliminationen und Quadraturen erforderte, so folgt:

Satz 37:¹ Auf den Flächen constanter mittlerer Krümmung lassen sich die Minimalcurven durch Quadratur bestimmen.

Insbesondere gehören die Minimalflächen zu den Flächen constanter mittlerer Krümmung, denn es sind dies die Flächen, für die E = 0 ist. In diesem Fall aber folgt aus (23) anderes wie oben, nämlich:

ft = cw²

(c = Const.),

sodass nach Satz 32

(24)

= 4 c²,

d. h. auch jetzt constant ist. Der Satz 36 mag für diesen Fall besonders formuliert werden:

Satz 38: Auf den Minimalflächen bilden die Krüm-mungscurven ein Isothermensystem.

Hier lassen sich also die Krümmungscurven so anordnen, dass sie unendlich kleine Quadrate bilden, deren Diagonalcurven einerseits wieder ein Isothermennetz darstellen, weil das in I S. 125 Gesagte ja offenbar auch auf Flächen gilt, und andererseits nach S. 241 die Haupttangentencurven sind, sodass auch der Satz gilt:

Satz 39: Auf den Minimalflächen bilden die Haupttangentencurven ein Isothermensystem.

Aus (24) erhellt ferner, dass der Satz 37 auch für die Minimalflächen gilt, indem sich hier die endlichen Gleichungen für die Minimalcurven ergeben:

2 cu + iv = Const.

Ferner ist im Fall der Minimalflächen wegen ft = cic² und nach Satz 32:

-4c²,

frF²

N ~ w² - w »') —

also, da M — 0 ist, nach XII (X) die Differentialgleichung der Haupttangentencurven : ⁴

— 4 c² d u² -f d v² = 0

oder:

2 c du + dv = 0

woraus die endlichen Gleichungen der Haupttangentencurven hervorgehen :

2 cu ± v = Const.

Also folgt:

Satz 40: Auf den Minimalflächen lassen sich die Haupttangentencurven durch Quadratur bestimmen.⁵

Übrigens kann man dies bei der in Satz 114, S. 247, gegebenen Darstellung der Minimalflächen, die allerdings zur Voraussetzung hat, dass man die Minimalcurven der Fläche schon kennt, sofort bestätigen, denn dort ergaben sich in (5) für die Fundamentalgrössen L, M, N solche Werte, für die die Differentialgleichung der Haupttangentencurven nach XII (X) so lautet:

yij du + iyVdv — 0 >

sodass

Const.

fyt/du±i yv d«=

die endlichen Gleichungen der Haupttangentencurven sind.

Wir haben auf den Minimalflächen oben folgende einfache Darstellungen der charakteristischen Curven gefunden: Die Krümmungs-curven sind gegeben durch:

v = Const.,

u — Const.,

die Minimalcurven durch:

2 cu + iv = Const.

die Haupttangentencurven durch:

¹¹    2 cu + v = Const.

Hieraus folgt, dass auf der Minimalfläche die Krümmungscurven so angeordnet werden können, dass die Diagonalcurven ihres Netzes entweder die Minimalcurven oder aber die Haupttangentencurven werden. Vgl. I S. 138, 139. Man erkennt hieraus, dass der Satz 87, I S. 139, für den Fall dieser Curven auf den Minimalflächen durch unsere Ergebnisse bestätigt wird.⁶

Auch die Flächen constanter Krümmung:

R\ i?₂

gehören zu den Flächen des Satzes 32. Mittels Elimination und Quadraturen können wir also auch auf ihnen solche Parameter u, v einführen, dass die Formeln des Satzes 32 gelten. Alsdann folgt aber, wenn wir dem Satze die Werte von Rx und i?₂ entnehmen:

{)' {xd — w xd’) = -~

oder

,    d(&*)

2 r_

A² - Ar

woraus durch Integration folgt:

oder auch:

log    = logw? + Const.

xd² = ~ + cw²

(c == Const.).

Nach Satz 32 ist nun:

w²

Kcw

Die Differentialgleichung der Haupttangentencurven nimmt also nach XII (X) hier die einfache Gestalt an:

Kc² du² + dv² = 0

und liefert die beiden einzelnen Gleichungen:

+ c]/X du A dv = 0,

woraus folgt, dass

+ c ]/K u A v = Const.

die endlichen Gleichungen der Haupttangentencurven sind. Hieraus und aus Satz 34 folgt also:

Satz 41: Die Krümmungscurven und Haupttangentencurven einer Fläche constanter Krümmung lassen sich durch Quadratur bestimmen.¹

¹ Satz von Lie

„Zur Theorie der Flächen constanter Krümmung, I“, Archiv for Math, og Naturv. Bd. IV (1879).

§ 12. Functionen des Ortes auf der Fläche.

Zum Schlüsse dieses Abschnittes wollen wir noch eine Betrachtung anstellen, die die natürliche Verallgemeinerung der Betrachtung im 1. Bande, § 13 des ersten Abschnittes, ist. Wir stellen uns nämlich vor, es sei eine Fläche

(1)

x = cp[u,v), y = x[u,v), z = y{u, v) und eine Function

flu, v)

der Parameter u und v gegeben. Dabei beschränken wir uns — wie immer — auf eindeutige, endliche, stetige und differenzierbare Functionen (vgl. I S. 80).

Zu jedem Punkte {x, y, z) der Fläche gehört ein Wertepaar u, v der Parameter und zu diesem Wertepaar ein Wert der Function f. Jedem Punkte (w, v) der Fläche ist also ein Zahlenwert der Function f zugeordnet. Wenn man will, kann man der Function f eine physikalische Bedeutung unterlegen. Sie kann z. B. die Belegung der Fläche mit einer Masse zum Ausdruck bringen, indem f die Dichte der Masse an der Stelle (u, v) bedeutet, oder man kann sich vorstellen, die Fläche sei erwärmt worden und habe an der Stelle (■u, v) die Temperatur f(u, v) u. s. w.

Giebt man der Constanten c einen bestimmten Wert, so stellt die Gleichung

flu, v) = c

eine Curve auf der Fläche dar (nach Satz 3, S. 11). So liegen auf der Fläche oo¹ Curven

flu, v) = Const.,

auf deren jeder f einen constanten Wert hat. Durchwandert der Punkt (u, v) die Fläche (1) auf irgend einem Wege, so wird er diese Curvenschar durchsetzen, indem f nach und nach verschiedene Zahlenwerte annimmt. Dabei wird die Geschwindigkeit, mit der sich/' ändert, auch wechseln.

Diese Geschwindigkeit können wir so definieren: Der Punkt lu, v) lege einen unendlich kleinen Weg ds zurück, indem seine Parameter u und v um unendlich kleine Grössen du und dv wachsen. Dabei geht der zum Punkte (u, u) gehörige Wert von f{u, v) ebenfalls in einen unendlich wenig geänderten Wert über, denn f ändert sich um

Alsdann ist der Quotient

df

ds

das Maass der Geschwindigkeit, mit der sich die Function f auf dem Wege ds ändert. Wir können diesen Quotienten auch den Differentialquotienten der Function f nach dem Wege nennen.

Es muss aber gezeigt werden, dass dieser Differentialquotient einen bestimmten Wert hat: Sind F, F, G die Fundamentalgrössen erster Ordnung der Fläche (1), so ist

ds² = Fdu² + 2 Fdudv + G dv²,

also:

(3)

df

fudu + fvdv

^ E du* + 2Fdudv + G dv*

Die rechte Seite ist homogen von nullter Ordnung in Bezug auf du und dv, was auch dadurch zum Ausdruck gebracht werden kann, dass man den endlichen Quotienten:

dv:du — k

einführt, wodurch rechts die Differentiale fortfallen, sodass sich der endliche Wert ergiebt:

(4)

df

fu + fv h

ds

~\/ E + 2Fk + Gk*

Ist der Punkt (u, v) bestimmt gewählt worden, ebenso die Richtung (k = dv : du) des Fortschreitens längs eines Elementes ds und hat man eine Festsetzung über das Vorzeichen der Quadratwurzel getroffen, so hat die rechte Seite im allgemeinen einen endlichen und bestimmten Wert.

Nachdem wir so den Differentialquotienten der Function f nach dem Wege definiert haben, können wir ihn noch anders bezeichnen: Die rechte Seite von (4) hängt von der Länge des Weges ds gar nicht ab, sondern nur von seiner Richtung, die durch k angegeben Avird. Daher können wir den Ausdruck auch den Differentialquotienten der Function f nach der Richtung [k) nennen.

Wir sehen hierbei von solchen Stellen (u, u) der Fläche ab, an denen sowohl fu als auch fv gleich Null ist, weil dann das Increment von f nicht den Wert (2), sondern — vorausgesetzt, dass nicht alle zweiten partiellen Ableitungen von f ebenda gleich Null sind — den Wert: hat. An einer allgemein gewählten Stelle (u, v) der Fläche sind fu und fv sicher nicht beide gleich Null, weil sonst f eine Constante wäre, was wir natürlich ausschliessen. Solche Stellen (u, v) der Fläche, an denen fu=fv= 0 ist, nennen wir singuläre Stellen der Function f (vgl. I S. 84).

Ferner wollen wir im Fall einer reellen Fläche (1) mit reeller Parameterdarstellung den Weg ds stets als positiv betrachten, so-dass die Quadratwurzel in (3) alsdann positiv zu nehmen ist, woraus folgt, dass df: ds postiv oder negativ ist, je nachdem der Zähler in (3), d. h.

fudu +fvdv

positiv oder negativ ist, d. h. je nachdem f auf der eingeschlagenen Richtung zu- oder abnimmt.

Die Formel (4) werden wir also im reellen Fall lieber so schreiben:

(5)

fu + fv k_

yu + 2 Fk + Gk² ’

indem wir dann festsetzen, dass die Quadratwurzel positiv sein und e= ±1 sein soll, je nachdem

ist.

fudu + fvdv<⁰

Um uns nun von der Art der Änderung der Function f ein anschauliches Bild zu machen, tragen wir den Wert (4) oder (5) als Strecke auf der Tangente des zugehörigen Weges ds vom Punkte (u, v) aus auf und zwar, wenn der Wert positiv ist, im Sinne vom Punkte (u, v) zum Punkte (u + du, v + dv), andernfalls im umgekehrten Sinne, also rückwärts. Zu einer Tangente des Punktes (u, v) gehört zwar nur ein Wert von k = dv.du. Aber es ist auch

—    dv

—    du

Ist der Differentialquotient df -.ds für du und dv etwa positiv, so ist er für — du und — dv negativ, vom selben absoluten Werte und umgekehrt. Daraus folgt, dass wir bei seiner graphischen Darstellung für beide Richtungen des Fortschreitens auf der Tangente (k) doch nur eine Strecke erhalten, was auch die Formeln nachher zeigen werden.

Es seien 3c, D, 3 die Richtungscosinus der Tangente (k) und zwar im Sinne des Fortschreitens vom Punkte (u, v) zum Punkte (u + du, v -J- dv). Dann ist:

X'-d‘-8 = (xudu + xvdv)-(yudu + yvdd)-{zudu + z dv), u. s. w.

Das Fehlen von Quadratwurzeln und die Unveränderlich-

also, da die Summe der Quadrate der rechtsstehenden Klammern nach XI (Ä) gleich

ist:

Edu² + 2 Fdudv + Gdv²

(6)

xu du + xvdv

y Edu² + 2 Fdudv + Gdv²

u. s. w., wobei die Quadratwurzel im reellen Fall positiv zu wählen ist. Der Endpunkt der zugehörigen Strecke, die als Wert des Differentialquotienten df\ds aufgetragen wird, hat dann die Coordinaten:

df

df

oder nach (3) und (6) die Coordinaten:

(?)

(xu d u+ Xvdv){fudu + fvdv)

Edu² + 2Fdu d v + Gdv²

keit dieser Ausdrücke beim Ersetzen von du und dv durch —du

und — d v zeigt auch analytisch, dass wir auf der Tangente, die zu k — dv.du gehört, nur eine Strecke erhalten, gleichgültig ob wir im einen oder anderen Sinne fortschreiten.

Wir können die Coordinaten j, t), § des Endpunktes des graphisch dargestellten Differentialquotienten auch so schreiben:

fu + fr k

E + 2 Fk + Gk²

• (*„ + k) >

(8)

fu + fvk

E + 2 Fk + Gk²

• (y« + yv h)

fu + fv k

E + 2 Fk + Gk²

■iZu +Zv/i)-

Lassen wir k variieren, d. h. tragen wir auf allen Fort-schreitungsrichtungen vom Punkte (u, v) aus die zugehörigen Werte des Differentialquotienten df:ds graphisch auf, so ist der Ort der Endpunkte (£, t)> 3) eine Curve in der Tangentenebene des Punktes {u, v). Diese Curve ist durch (8) mittels des Parameters k dargestellt. Dabei sind mit u, v alle Grössen rechts ausser k bestimmte Zahlen.

In der Ebene ergab sich als die entsprechende Curve ein Kreis durch den Punkt (vgl. Satz 56, I S. 84). Dass dies auch jetzt der Fall ist, sieht man so: Wären a, h, c die rechtwinkligen

Coordinaten desjenigen Punktes des fraglichen Kreises, der dem Punkte (x, y, z) oder (u, v) gegenüberliegt, so wären

¹

Siehe Lie, „Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind“, Archiv for Math, og Naturv. Bd. IV (1880), oder die Übersetzung dieser Abhandlung: „Sur les surfaces dont les rayons de courbure ont entre eux une relation“, Bulletin des Sciences math. 2. serie, t. IV (1880). Insbesondere für die Minimalflächen, die ja zu den Flächen des Satzes 34 gehören, ist der Satz schon früher von Roberts bewiesen worden. Vgl. seine Arbeit: „Sur la surface dont les rayons de courbure sont egaux, mais dirigös en sens opposös“, Journ. de Math, p. et appl. 1. serie, t. XI. (1846).

²

Man kann die Congruenztheorie auch ohne vorherige Quadraturen durchführen, vgl. die in der Anm. zu S. 341 genannte Abhandlung von Lie. Es würde uns aber zu weit führen, darauf näher einzugehen.

³

Siehe Bonnet, „Note sur la theorie generale des surfaces“, Comptes Bendus t. XXXVII (1853), und die in der ersten Anm. auf S. 216 erwähnte Abhandlung.

Scheffkrs, Geom. Diffr. II.

⁴

Siehe die in der Anm. zu S. 366 genannten Arbeiten von Lie.

⁵

   Dies wurde zuerst von Koberts gezeigt, vgl. die in der Anm. zu S. 366 genannte Abhandlung.

⁶

   Weitere Ausführungen hierzu findet man in dem Werke von Lie; „Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen“, bearb. v. Verf., Leipzig 1891, Kap. 9, §4.

Hc + Z)

die Coordinaten der Kreismitte und S (a — x)² das Quadrat des Kreisdurchmessers, daher in den laufenden Coordinaten £, t), l die Gleichung:

S[E —i(a + *)]² = |S(a-x)²

die Gleichung der Kugel, die den Kreis zum grössten Kreis hätte. Es müsste also gezeigt werden, dass es drei von k unabhängige Coordinaten a, b, c giebt, die erstens diese Gleichung erfüllen und zweitens einen Punkt in der Tangentenebene des Punktes {x, y, z) festlegen. Die zweite Bedingung drückt sich, wenn X, Y, Z die Richtungscosinus der Flächennormale sind, so aus:

(9)

S X (a — x) = 0 ,

während die erste zunächst so geschrieben werden kann:

oder so:

S [(£ — x) — | (a — .r)]² = 1S (a — x)²

S (E — X)² — s (£ - X) (a — x) = 0 .

Nach (8) und XI (A) ist aber:

(fu+fvk)'

E + 2Fk + GW ;

S (f-x)² =

S (£ — x) (a — x) =

(fu + fyk) S {xu+xvk){a — x)

E + 2Fk + GW

sodass die Bedingung, weil sich überdies der Factor fu + fvk und der Nenner absondern lässt, so lautet:

fu + fvk - S (Xu + xvh) (« - x) = 0

oder:

[fu - S xu(a- x)] + [{fv - S xv (a - *)] k = 0.

Da die Bedingung für alle Werte von k bestehen soll, zerfällt sie in die beiden Forderungen:

(10)

S xu (a - *) =fu,

S xv{a - x) = fv.

Es kommt also nur noch darauf an zu beweisen, dass es Werte a, b, c giebt, die den Gleichungen (9) und (10) genügen. Es sind dies aber drei in a — x, b — y, c — z lineare Gleichungen, deren Determinante nach XI (Z) von Null verschieden ist, sobald die Fläche nicht die Tangentenfiäche einer Minimalcurve ist; von solchen

Flächen sehen wir ab. Also lassen sich a — x, b — y, c — z und damit auch a, b, c aus (9) und (10) bestimmen. Folglich:

Satz 42: Trägt man auf allen Fortschreitungsrichtungen von einem Flächenpunkte (u, v) aus diejenigen Differentialquotienten

df

fu du + fvdv

]/E d u¹ + 2 F du dv + G dv*

einer Ortsfunction f\u, v) graphisch als Strecken auf, die zu den betreffenden Richtungen (dv.du) gehören, so ist der Ort der Endpunkte dieser Strecken ein Kreis in der Tangentenebene des Punktes {u, v)\ und dieser Kreis geht durch den Punkt (u, v) selbst. Vorausgesetzt ist dabei, dass die Fläche keine Tangentenfläche einer Minimalcurve sei. (Siehe Fig. 74.)

Unter allen Fortschreitungsrichtungen vom Punkte (u, v) aus giebt es also zwei hinsichtlich der Function f ausgezeichnete

Fig. 74.

Richtungen, erstens die Richtung nach der Kreismitte hin und zweitens die dazu senkrechte, also die Tangentenrichtung des Kreises im Punkte (u, v). Die erste Richtung ist im reellen Fall diejenige, für die der Differentialquotient df:ds sein Maximum hat, die zweite ist — auch im imaginären Falle — diejenige, für die der Differentialquotient gleich Null ist. Jene erste Richtung nennen wir kurz die Maximalrichtung. Sie ist im reellen Fall auch dem Sinne nach vollständig bestimmt, da sie zum Punkte (a, b, c) geht. Sind du, dv die Incremente von u und v nach dieser Richtung hin, so müssen sich die Differentiale

xu du + xv dv, yu du + y dv, z du + z dv

so wie

h -y,

zu einander verhalten, und beide Grössenreihen müssen überdies im reellen Fall in ihren Vorzeichen übereinstimmen. Da nun aus (10) die in a — x, b — y, c — z homogene Gleichung folgt:

fv Sxu(a~x)-fuS xv (a ~ x) = 0;

so ist für die gesuchten Differentiale

fv S Xu (XU d U + Xvdv) -fu$Xv (Xudu + Xvdv) = ⁰

oder wegen XI (A):

sodass

- Ffu)du + (.Ffv - Gfjdv = 0,

du : dv = (Gfu -Ffv):{Efv- FfJ

ist. Wir wissen aber noch nicht, ob die Grössen du und dv dieselben Vorzeichen wie die Klammern rechts oder die entgegengesetzten Vorzeichen haben. Es ist zu fordern, dass z. B. die Summe:

oder

Edu+ Fdv

S *u d u + xv d v)

dasselbe Vorzeichen wie Sxu[a — x) oder — nach (10) — wie fu habe. Wenn wir statt du und dv direct jene beiden Klammern setzen, so tritt statt Edu + Fdv auf:

oder

mL - FQ + F(Ef - Ff»)

(E G — F²)fu,

und dies ist im reellen Fall nach S. 18 wirklich von demselben Vorzeichen wie fu. Also sehen wir:

Für die gesuchte Maximalrichtung sind d u und d v proportional

Gfu~Ffv und Ffv-Ffu

und stimmen — im reellen Fall — auch im Vorzeichen mit diesen Grössen überein. Aus (3) folgt der zugehörige Wert des Differentialquotienten von f, wenn wir diese proportionalen Grössen einsetzen. Da nämlich.

(11) Wf.-Fff + 2F{Ofu-FQ(Ff-FfJ + G(Efv-FfJ*=

= (EG-P)(FfJ-’ZFfJ\₊ GfJ)

ist, so kommt:

(12)

df

ds /Max. D

FfJ, + Gf*

und zwar gilt hier im reellen Fall das positive Vorzeichen bei der Wurzel, deren Radicand im reellen Fall selbst positiv ist.

Denken wir uns jetzt die Fläche von den schon oben erwähnten oo¹ Curven

f(u,v) = Const.

überzogen, so wird durch den betrachteten Punkt (u, v) eine gewisse Curve der Schar gehen. Längs ihrer ändert sich die Ortsfunction f nicht, längs ihrer Tangente im Punkte (iu, v) ist daher df:ds = 0. Mithin berührt sie im Punkte (u, v) den in Satz 42 angegebenen Kreis. Die zu ihrer Tangente senkrechte Tangente giebt also die Maximalrichtung an; sie ist die Richtung der durch den Punkt (u, v) gehenden orthogonalen Trajectorie aller Curven /' = Const. Wir sagen deshalb:

Satz 43: Der Differentialquotient df:ds der Ortsfunction f\u, v) auf einer Fläche hat im Punkte (u, v) der Fläche für die verschiedenen Fortschreitungsrichtungen verschiedene Werte. Er ist gleich Null längs der Tangente der Curve /'= Const., die durch den Punkt (u, v) geht, und hat längs der Tangente der durch den Punkt (w, v) laufenden orthogonalen Trajectorie aller oo¹ Curven f — Const. den Wert: der im reellen Fall das Maximum unter allen Werten von df:ds an der Stelle (u, v) angiebt. Längs der Fortschrei-tungsrichtung dieser orthogonalen Trajectorie sind die Incremente du und dv den Grössen:

Gf. - Ft, und Ffv - Ffu

proportional, und im reellen Fall stimmen sie auch mit diesen Grössen in den Vorzeichen überein, wenn der Sinn der Fortschreitung so genommen werden soll, dass f dabei wächst.

Kennt man den Differentialquotienten df:ds für zwei Richtungen durch den Punkt (u, v), z. B. für die (positiven) Fortschreitungsrichtungen auf den Parameterlinien, so kennt man ihn für alle Richtungen durch den Punkt (u, v). Denn wenn man die beiden Werte — unter Beachtung der Vorzeichen — graphisch aufträgt, erhält man zwei Endpunkte, die zusammen mit dem Punkte (u, v) den in Satz 42 angegebenen Kreis bestimmen.

Aus unseren Betrachtungen geht auch der Satz hervor:

Satz 44: Soll sich der Punkt {u, v) auf einer Fläche so bewegen, dass sich eine Function f(u, v) seines Ortes möglichst stark ändert, so muss er eine Curve beschreiben, die alle Curven

f(u, v) = Const.

auf der Fläche senkrecht durchschneidet.

Vgl. Satz 57, I S. 85, für den Fall der Ebene. Wie wir dort weiterhin den Satz 58, I S. 86, ableiteten, so könnten wir auch hier

einen entsprechenden Satz beweisen. Wir gehen hierauf aber nicht ein. Dagegen sei ein Umstand erwähnt, der Bedenken erregen könnte: Wir sahen, dass die Differentialquotienten df:ds der Ortsfunction f graphisch als Sehnen eines Kreises dargestellt werden können. Nun aber gehen vom Punkte (u, v) zwei Minimalrichtungen auf der Fläche aus, auf denen ds — 0 ist (nach S. 35), sodass hier df:ds=cc wird. Thatsächlich hat aber auch jeder Kreis unendlich grosse Sehnen, sobald man auch das Imaginäre berücksichtigt. Z. B. wird der Kreis in der ory-Ebene:

x² — 2 ax y² — 0,

der durch den Anfangspunkt geht, von einer Geraden y — ctx durch den Anfangspunkt zum zweiten Mal in einem Punkte getroffen, dessen or-Coordinate den Wert

1 + «²

hat. Für u = + i aber wird dieser Wert unendlich gross.¹

Führen wir auf die Fläche (1) eine Bewegung aus, bringen wir sie also in eine andere Lage, so hat das keine Wirkung auf die Function f(u, v) des Ortes, da die Parameter u, v nach wie vor dem alten, allerdings an eine andere Stelle des Raumes übergeführten Flächenpunkte angehören. Also bleibt auch der Ausdruck (12) dabei ungeändert, weil sich ja auch E, F, G und D nach Satz 6, S. 16, nicht ändern.

Führen wir zweitens neue Parameter ü und v auf der Fläche ein, indem wir etwa:

(13)

l (u, v), v — n{ü, v)

setzen, so geht die Function f(u, v) des Ortes in die Function:

f=f{l (ß, v), fx(ü, v))

von ü, v über. Da aber der Punkt (u, v) mit dem Punkte (ü, v) identisch ist, sobald die Parameterpaare den Bedingungen (13) genügen, so gehört nach wie vor jedem Punkte der Fläche derselbe Zahlenwert von /' zu, der ihm früher durch f zugeordnet war. Daher bleiben dann auch unsere Betrachtungen über den Differentialquotienten richtig. Der Maximalwert des Differentialquotienten von /' ist nun, wenn F, F, G die auf ü, v bezüglichen Fundamentalgrössen der Fläche bedeuten, analog (12) zu bilden, indem darin alle Grössen mit Querstrichen zu versehen sind. Er muss notwendig denselben Wert wie früher haben, da ja jedem Punkte der Fläche noch dieselbe Zahl durch die Ortsfunction zugeordnet ist wie vorher.

Dieser Schluss lässt sich auch auf den imaginären Fall ausdehnen, denn die Grösse (12) kann, statt als Maximalwert, auch als der vom Punkte (u, v) ausgehende Kreisdurchmesser definiert werden, und diese Definition behält auch für den imaginären Fall ihren Sinn. Da wir aber im Fall einer imaginären Fläche oder einer imaginären Parameterdarstellung einer reellen Fläche keine Festsetzung über das Vorzeichen der Quadratwurzel getroffen haben, so können wir das Ergebnis allgemein nur für das Quadrat des Ausdruckes (12) aussprechen:

Satz 45: Ist f{u, v) eine Function des Ortes (u, v) auf einer Fläche, so ändert sich der Ausdruck

Ef*-2Ffufv + Gf*

D²

weder bei Ausführung einer Bewegung noch bei Einführung neuer Parameter auf der Fläche.

Dieser Satz lässt sich auch direct leicht beweisen, indem man nämlich in den Ausdruck:

EG - Fa

"<.11» <■© jco

to

V. IS

CO

fco

<*l

die Werte von E, F, G nach den Formeln (11) auf S. 17 und die Werte:

einsetzt, wodurch der im Satze angegebene Ausdruck hervorgeht.

Der im Satze angegebene invariante Ausdruck heisst der erste Differentialparameter der Function f(u,v)² und zwar deshalb

Aff —

der erste, weil man auch mit dem zweiten Differentialquotienten von f einen invarianten Ausdruck bilden kann, den wir jedoch nicht besprechen. Zur Abkürzung bedienen wir uns für diesen ersten Differentialparameter von f des Zeichens

Aff.

Wir definieren dies Zeichen also durch die Formel:

EfJ- 2Ffufv+Ofu²

(14)

dem A

ff

Der Satz 45 über die Unveränderlichkeit von Aff gilt wohlbemerkt nur für Functionen f(u, v), deren Zahlenwerte den Punkten (u, v) der Fläche auch nach der Einführung neuer Veränderlicher bleiben. Deutlicher wird dies, wenn wir ein Beispiel beibringen, in sich dennoch ändert: Verstehen wir unter f etwa den Cosinus des Winkels der beiden durch den Punkt (u, v) gehenden Parametercurven, sodass nach (11), S. 31,

]/f ya

ist, so sind bei der Einführung neuer Parameter zwei Auffassungen möglich: Entweder halten wir an der durch diese Formel gegebenen analytischen Definition von f als Function von u und v fest, sodass wir die Einführung neuer Parameter ü, v dadurch bewerkstelligen, dass wir in dem Ausdruck von f für u und v ihre Werte in ü und v einsetzen. Alsdann bleibt Aff ungeändert, aber nach der Einführung der neuen Veränderlichen stellt f nicht den Cosinus des Winkels der neuen Parameterlinien, sondern immer noch den Cosinus des Winkels der alten Parameterlinien dar, weshalb der Ausdruck f und mit ihm Aff alsdann im neuen Parametersystem wenig Interesse hat. Oder aber wir bleiben bei der geometrischen Definition von /‘als Cosinus des Winkels der Parametercurven, sodass wir in der neuen Veränderlichen ü, v statt f den Ausdruck:

f—J.

_ ¹ VI VS

coordonnees curvilignes“, Paris 1859, Differentialparameter mit voller Kenntnis ihrer Bedeutung für die Ebene und für den Baum eingeführt, und sie erwiesen sich als äusserst nützlich in der Physik und Mechanik. Aber erst Beltrami hat ihren Begriff auf die Flächen übertragen und für die Geometrie der Flächen eine analoge Theorie geschaffen. Zu nennen sind seine Abhandlungen: ,,Bicerche di analisi applicata alla geometria“, Giornale di Matern, t. II (1865), und „Sulla teorica generale dei parametri diffe-renziali“, Memorie dell’ Accademia delle Scienze di Bologna, ser. II, t. VIII (1869).

benutzen. Aber diese Function /' geht aus f nicht durch Einführung der neuen Veränderlichen hervor, ist also keine Ortsfunction, oder anders gesagt: f hat für ein und denselben Flächenpunkt einen anderen Zahlenwert als f, denn f bedeutet für diesen Punkt den Cosinus des Winkels der alten und f den Cosinus des Winkels der neuen Parameterlinien. Daher hat auch der Differentialparameter von f in den alten Parametern für ein und denselben Flächenpunkt einen anderen Zahlenwert als der Differentialparameter von f in den neuen Parametern.

Anders verhält es sich, wenn wir die P^unction f ohne Rücksicht auf das gerade gewählte Parametersystem zu definieren vermögen. Dies ist z. B. der Fall, wenn f das Krümmungsmaass K oder das Quadrat der mittleren Krümmung H ist.³ (Vgl. S. 342.) Andere Beispiele sind: f bedeute das Quadrat des Differentialquotienten von K längs einer der Hauptkrümmungsrichtungen des Flächenpunktes oder: f bedeute die Excentricität der Indicatrix des Flächenpunktes u. s. w.

Ist z. B. f = K, dem Krümmungsmaass, so ist AKK eine ebenfalls gegenüber der Einführung neuer Veränderlicher invariante Grösse.

Wir thun daher gut, den Satz 45 etwas deutlicher so zu for

mulieren:

Satz 46: Führt man die Operation

Aff =

EP- 2 Ffu fv+ G fA

auf eine solche P^unction f[u, v) aus, die gegenüber allen Bewegungen und bei Einführung irgend welcher neuer Parameter auf der Fläche ungeändert bleibt, so geht eine Function von derselben Art hervor.

Die Functionen, von denen in diesem Satze die Rede ist, sind eben diejenigen, die wir auf S. 342 als die Differentialinvarianten der Fläche gegenüber den Bewegungen und der Einführung neuer Parameter bezeichnet haben und die selbstverständlich für die Geometrie der Fläche die grösste Bedeutung haben.

In betreff der Minimalcurven können wir noch einen einfachen Satz ableiten:

24

Nehmen wir an, es sei

f[u, v) = Const.

die endliche Gleichung der einen Schar von Minimalcurven auf der Fläche. Alsdann ändert sich die Ortsfunction f nicht beim Fort-schreiten längs der Minimalcurven, daher nach Satz 44 am stärksten in den zu ihnen senkrechten Trajectorien. Diese aber fallen mit jenen Minimalcurven selbst zusammen (vgl. S. 177 oder Satz 47, I S. 338), auf denen sich f nicht ändert. Der Widerspruch kann sich nur dadurch lösen, dass in diesem Fall die Maximaländerung von f gleich Null ist, d. h. nach Satz 43 muss jetzt

(15)

Ef:-ZFfufv+ Gfu² = 0

sein. Da wir jedoch hierbei das Imaginäre benutzten, während jener Maximalwert aus der Betrachtung der grössten reellen Sehne des in Satz 42 gefundenen Kreises abgeleitet wurde, soll dies noch direct bewiesen werden: Längs der Curven

f(u, v) = Const.

ist:

fudu + fvdv = 0,

also fu :fv — — dv: du. Setzen wir diese proportionalen Werte in

(15) ein, so kommt:

E du² + 2 Fdudv + G dv² — 0.

?

Dies ist aber nach XI (0) die Differentialgleichung der Minimalcurven. Daher:

Satz 47: Damit die Curvenschar f(u, v) = Const.

auf der Fläche mit den Parametern u, v eine der beiden Scharen von Minimalcurven sei, ist notwendig und hinreichend, dass der erste Differentialparameter Aff für alle Werte von u und v gleich Null ist. —

Dieselbe Betrachtung der Differentialquotienten wie oben führt uns auch noch zu einem zweiten Differentialparameter, d. h. zu einer zweiten Operation, die auf invariante Functionen ausgeübt wieder invariante Functionen liefert.

Wir betrachten nämlich ausser der Ortsfunction f\u, v) noch eine zweite Ortsfunction g{u, u). Im Punkte P oder [u, v) liefert die graphische Darstellung aller Differentialquotienten df:ds die

25

Scheffers, Geom. Diffr. II.

Sehnen eines Kreises und ebenso die graphische Darstellung aller Differentialquotienten dg:ds, nach Satz 42. Dabei sei FQx der Durchmesser des einen, PQ₂ der des anderen Kreises (siehe Fig. 75). Nach dem Früheren ist P Qx senkrecht zur Tangente der durch P gehenden Curve

Fig. 75.

f\u, v) = Const.

und PQ₂ senkrecht zur Tangente der durch P gehenden Curve

g[u, v) = Const.

Auch ist nach (12) und (14):

(16)

p«i = V4/. pQ* = V4,,

und zwar gelten im reellen Falle die positiven Wurzeln. Ferner wissen wir nach Satz 43, dass der Punkt {u, v) die Richtung PQ1 einschlägt — auch dem Sinne nach —, wenn seine Parameter um Incremente du und dv wachsen, die den Grössen

Gfu~Ffv ^d Pfv-Pfu

proportional sind und im reellen Fall auch in den Vorzeichen mit ihnen übereinstimmen. Nach (6) und (11) sind die Richtungscosinus , Dj, von PQi daher leicht zu berechnen. So ergieht sich für 3fj der folgende im reellen Falle auch dem Vorzeichen nach exacte Wert, wenn die Quadratwurzel positiv genommen wird:

(Q-fu - Ffv) xu + (Efv - Ffu) ocv

D]/Efv*~ 2Ffufv+Gfu*

Analog sind 9)₁ und ^ zu bilden. Wir erhalten hieraus die Richtungscosinus dc₂, g)₂, $₂ von PQ₂, wenn f durch g ersetzt wird. Mithin ist der Cosinus des Winkels a, den P und PQ₂ mit einander bilden:

cos a

_ s [{Ofu- Ff)xu + (Efv — Ffu)xv] [(Ogu - Fgv)xu +{Fgv-Fgu)xv] Dl -/Ef*- 2Ffu fv + OfA y Eg* - 2Fgugv + GgJ

oder mit Rücksicht auf XI (A) und XI (C):

• (17)

cos u —

Efvgv - F (fu g„ + fv gu) + G fu gu

yEP- 2 Ffu fv + GfJ }/FgA- 2Fgugv+GgJ

Also kommt, da die erste Wurzel im Nenner nach (14) gleich D^Aff, die zweite gleich Dy Agg ist:

V4 tH,

COS cc

Ff, gv - F(fu gv + fv gu) + G f„gu

Iß

oder nach (16):

(18)

P Qi • P Q₂ ■ cos a = E^v9v—F^u-9v^ f"9u^ + afu9u .

Links steht das Product aus den beiden Strecken PQX und PQ2 und dem Cosinus ihres Winkels, also das Product der einen Strecke PQ₁ in die Projection PQ₂coscc der anderen Strecke auf sie. Man nennt ein solches Product das innere Product beider Strecken.¹

Wenn wir nun wieder die Fläche irgend einer Bewegung unterwerfen oder auf ihr neue Parameter einführen, so bleiben die Strecken P Q₁ und P Q₂ davon in Bezug auf ihre Länge und gegenseitige Lage unberührt. Daraus folgt dann, dass auch die rechte Seite von (18) dabei ungeändert bleibt. Dies gilt auch im imaginären Falle, obgleich dann die Vorzeichen von P Q₁ und PQ₂ fraglich sind. Man braucht ja nur zu beachten, dass u nach der Definition des Winkels in n — a übergeht, wenn PQ₁ oder PQ2 das Zeichen wechselt, sodass das Vorzeichen der linken Seite von (18) auch im imaginären Falle bestimmt bleibt. Man sieht dies zum Überfluss auch daran, dass die rechte Seite von (18) kein Wurzelzeichen mehr enthält.

Diesen invarianten Ausdruck nennt man den Zwischenparameter oder gemischten Differentialparameter der Functionen f und g.² Wir bezeichnen ihn mit Afg, setzen also:

F fv ffv    F (fu ffV 4 fvffu) 4 Gfuffu

(19)

A fg ~~

Ist f — g, so geht er in den ersten Differentialparameter Aff von f über. Die Definition (14) von Aff ist also nur ein besonderer Fall der allgemeineren Definition (19). Auch sieht man, dass in Afg die Reihenfolge von f und g gleichgültig ist:

^fg ~ ^gf'

(20)

Wir haben also jetzt den

Satz 48: Führt man die Operation

F fv ff v F if ii ffv 4 fv ffii) + & fu ff u

Iß

¹    Eine Bezeichnung, die von G-rassmann durch seine „G-eometrische Analyse“, Preisschrift, Leipzig 1847, eingeführt wurde. Innere Producte spielen in vielen mathematischen Theorien eine wichtige Rolle.

²    Vgl. die Anm. zu S. 382.

25*

auf zwei solche Functionen f\u, v) und g(u, v) aus, die gegenüber allen Bewegungen und bei Einführung irgend welcher neuer Parameter auf der Fläche ungeändert bleiben, so geht eine Function von derselben Art hervor.

Man kann die Unveränderlichkeit bei Einführung neuer Parameter ü, v auch direct bestätigen, indem man:

u —    (ü, v) , V = (1 [ü, v)

annimmt und nun in den Ausdruck

df_ dl E G - F² d v dv

die in (11), S. 17, angegebenen Werte von JE, E, G, ferner die Werte auf S. 382 unten und endlich noch die Werte

*(■

df dg df dg dü dv dv dü

dg dg

d v du ’

dg dg d v dv

) +G

1L Ml

du du

einsetzt, wodurch der im Satze angegebene Ausdruck hervorgeht.

Aus der Definitionsgleichung der Differentialparameter Aff, Agg und Afg folgt, wenn man /'= u, g — v setzt:

A -*

(21)

A - —

^UU    J)2 ’

Iß

UV

D²’

sodass wegen D2, = EG — F² kommt:

A A - A² = -i

UU vv    UV

(22)

also:

(23) E =

- Auv

Auu

Auu Avv A²v

Diese Formeln sind bei der Einführung neuer Veränderlicher in das Quadrat des Bogenelementes

ds² = Edu² -f 2 Fdu dv -f- G dv²

Auu Avv A²v

Au u Av v    A² v

sehr bequem, denn wenn dieses Quadrat durch Einführung neuer Parameter ü und v, die irgend zwei von einander unabhängige Functionen von u und v seien, in:

ds² = Edu² + 2 Fdüdv + Gdv²

übergeht, so ist nach (23) z. B.

E =

Avv

wo wir A statt A geschrieben haben, weil die Symbole jetzt mit E, F, G, ü, v statt mit E, F, G u, v zu bilden wären. Aber nach Satz 46 und 48 werden die Differentialparameter durch Einführung neuer Veränderlicher nicht geändert, sodass

düV

-2 F

Aüü —    —

du du du d v

(~)

[du)

£²

u. s. w. ist. Wir können daher sagen:

Satz 49: Führt man auf einer Fläche mit dem Bogenelement-Quadrat:

ds² = E du² + 2 Fdu dv -f G dv²

V = 9 [u, V)

neue Parameter ü, v vermöge zweier Gleichungen ü = f(u, V) ,

ein, so sind die neuen Fundamentalgrössen erster Ordnung diese:

Ajji

Afg

Aff

- Afg ’

~Ah

Es ist dies natürlich nur eine andere Schreibweise der Formeln (11), S. 17, bei denen statt

Aff Agg ~ Afg

A~. A ff gg

Aff Agg

ü = f[u, v),

v = g {u, v)

die nach u und v aufgelösten Gleichungen

u — l (ü, v),

v — fx (ü, v)

vorgelegt waren.

Wir wollen diesen Satz 49 schliesslich zur Beantwortung einer wichtigen Frage verwenden, die wir früher nur gestreift haben und die wir allerdings auch hier nur unter gewissen beschränkenden Voraussetzungen beantworten wollen, nämlich zur Erledigung des Problems, wie man erkennt, ob zwei gegebene Flächen auf einander verbiegbar sind.

Wir erinnern dabei an den Satz 5, S. 275, nach dem zwei gegebene Flächen

(24)

X = cp (u, V)

y = X{u,v), z = xp(u, v)

und

Z = 1p(ü, V)

X — (f (ü, V) ,

y = X(ü,V),

dann und nur dann auf einander verbiegbar sind, wenn man solche

(25)

neue Parameter ü, v auf der ersten Fläche einführen kann, dass alsdann ihre zugehörigen Fundamentalgrössen erster Ordnung mit denen der zweiten Fläche übereinstimmen. Dieser Satz sagt nichts darüber aus, wie man erkennt, ob es solche neue Parameter giebt; in dieser Hinsicht soll er hier ergänzt werden.

Wir schicken hierbei Eines voraus: Es seien E, F, G die Fundamentalgrössen erster Ordnung der Fläche (24) und E, F, G die der Fläche (25). Nun möge

f{E,F,G,Eu,Ev...)

eine solche Function der Fundamentalgrössen E, F> G und ihrer Ableitungen nach u und v sein, die sich nicht ändert, wenn man neue Parameter auf der Fläche einführt. Eine solche Function ist nach Satz 4, S. 273, z. ß. das Krümmungsmaass K der Fläche (24). Sind nun die Flächen (24) und (25) auf einander verbiegbar, giebt es also solche zwei von einander unabhängige Gleichungen:

u — h[ü, V)

V = /JL (Ü, v) ,

vermöge deren wir solche neue Parameter ü, v auf der ersten Fläche (24) einführen können, in denen die Fundamentalgrössen erster Ordnung dieser Fläche mit den zur Fläche (25) gehörigen Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, G übereinstimmen, so geht die Function f, die ja eine Function von u und v ist, dadurch, dass wir darin für u und v die Werte l und g einsetzen, genau in

f(E, F, G, E-u, E-v...)

über, da sie ja nach Voraussetzung ungeändert bleiben soll. Dies ist eine Function der Fundamentalgrössen erster Ordnung der zweiten Fläche (25) und der Ableitungen dieser Grössen nach ü und v, und sie bleibt bei Einführung neuer Parameter ungeändert.

Wenn also die beiden Flächen (24) und (25) auf einander verbiegbar sind und wenn

f{E,F, G, Eu, Ev...)

eine bei der ersten Fläche gegenüber der Einführung neuer Parameter unveränderliche Function ist, so ist

f(E,P, G, Eü, Ejj...)

eine bei der zweiten Fläche gegenüber der Einführung neuer Parameter unveränderliche Function, und überdies haben die beiden Functionen für einander bei der Verbiegung entsprechende Punkte

(u, v) und (ü, v) beider Flächen dieselben Zahlenwerte. Fin Specialfall hiervon ist der Satz 6, S. 275, für das Krümmungsmaass.

Jetzt wollen wir annehmen, es seien uns zwei Functionen

f{E,F, G,Eu,E...)

g(E,E,G,Eu,Ev...)

bekannt, die erstens bei der Einführung neuer Parameter auf der ersten Fläche (24) ungeändert bleiben und zweitens von einander unabhängige Functionen von u und v seien.

Sollen dann die beiden Flächen auf einander verbiegbar sein, so müssen nach dem Vorhergehenden in solchen Punkten (u, v) und (ü, v) der beiden Flächen, die bei der Verbiegung mit einander zur Deckung kommen, jene Grössen f, g mit den Grössen, die man analog für die zweite Fläche (25) bilden kann, nämlich mit den Grössen:

9    -F, G, Eü, E„. . .)

f(E,F,G,Eü,E-v...),

übereinstimmen, d. h. einander entsprechende Punktepaare (u, v) und (ü, v) sind durch die beiden Gleichungen:

(26)

f\E,F,    G, Eu,Ev    . . .) = f(E, F, G,EÜ,E€. . .),

g{E,F,    G,Eu, Ev    . . .) =g(E,F, G,E-U,EV . . .)

mit einander verknüpft. Die linken Seiten dieser Gleichungen enthalten nur u und v, die rechten nur ü und v. Ausserdem sind sie nach u, v auflösbar, da die linken Seiten nach Voraussetzung von einander unabhängige Functionen von u und v sind. Wären nun die rechten Seiten nicht ebenfalls von einander unabhängige Functionen von ü und v, so bestände zwischen ihnen nach I S. 82 eine Gleichung, sodass die Gleichungen (26) auch eine Relation zwischen den linken Seiten nach sich zögen. Da diese nicht für alle Wertepaare u, v bestehen könnte, weil die linken Seiten ja von einander unabhängig sind, so hiesse    dies, dass nur für eine Curve    auf    der

ersten    Fläche die    Grössen    f und g mit denen auf der    zweiten

Fläche übereinstimmten, nach Satz 3, S. 11. Dann also wäre die Verbiegung unmöglich.

Wir wollen daher jetzt überdies voraussetzen, dass die rechten Seiten von (26) von einander unabhängige Functionen der Parameter ü, v seien.

Nunmehr sind die Gleichungen (26) sowohl nach u, v als auch nach ü, v auflösbar — wenigstens theoretisch, sodass sie diejenige Zuordnung zwischen den Punkten (u, v) und (ü, v) beider Flächen setzen, was wir dürfen, weil f, g hinsichtlich u, v und g hinsichtlich ü, v nach Voraussetzung von einander unabhängig sind nehmen die Quadrate der Bogenelemente beider Flächen neue Formen an, etwa:

so

definieren, die bei der Verbiegung auftritt, wenn diese Verbiegung überhaupt möglich ist.

Nach Satz 46 und Satz 48 sind nun

Afg i

Am

A„„

99

drei Functionen von E, F, G und ihren Ableitungen, die mit f und g selbst bei Einführung neuer Parameter ungeändert bleiben. Den Schluss, den wir oben für f zogen, können wir daher auch für diese drei Functionen machen: Ist die Verbiegung möglich, so muss auch:

Aff = Äff, Afg = Ä]g,

(27)

Agg ~ Ad<>

Hierin sollen natürlich /', g die rechten Seiten von (26) sein

sein.

und die Differentialparameter rechts für die zweite Fläche, d. h. mittels E, E, G, gebildet werden.

Dies alles sind notwendige Bedingungen für die Verbiegbar-keit. Jetzt wollen wir zeigen, dass sie auch hinreichen. Wir setzen also voraus, dass diejenigen Functionen u, v von ü, v, die durch (26) definiert werden, auch die drei Gleichungen (27) für alle Werte von ü, v erfüllen. Nebenbei bemerkt: Wenn die Gleichungen (26) mehrere Lösungen u, v zulassen, so wählen wir unter ihnen eine solche, die auch die Gleichungen (27) erfüllen.

Wenn wir jetzt auf beiden Flächen neue Parameter u, 0 einführen, indem wir auf der ersten:

(28)

n = f,

und auf der zweiten

(29)

u = /'

*=9

ds² = © du² + 2%dudü + ®dti²,

ds² = @ Ju² + 2%dudü + (5Uü². Aber nach Satz 49 ist dann wegen (28) bez. (29):

(30)

dg g

dyg

--,

dff Agg — A*fg

Infolge von (28) und (29) ist aber f — f, g = g, sodass die Gleichungen (26) erfüllt sind, die nach Voraussetzung die Gleichungen

Aff Agg - A²fg

(27) nach sich ziehen. Diese haben nach (30) die Gleichung @ = (I zur Folge. Ebenso erkennt man, dass 0 und ® = © wird, sodass bei beiden Flächen die Quadrate der Bogenelemente für den Fall der Parameter u und ö übereinstimmen.

Also folgt:

Satz 50: Kennt man bei der Fläche

X = (f{v.,v), y = 7 [u, v), z = xp (u, v) zwei von einander unabhängige Functionen

¹

Wie wir in I S. 339 sahen, haben alle Kugeln in der Auffassung der projectiven Geometrie einen imaginären unendlich fernen Kreis gemein. Jeder Kreis also hat im Unendlichfernen zwei imaginäre Punkte, nämlich jene Punkte, in denen seine Ebene jenen unendlich fernen Kreis trifft. Dies zur Erläuterung des Textes; doch machen wir von diesen Vorstellungen keinen Gebrauch.

²

Ganz gelegentlich kommt ein erster Differentialparameter schon in Gauss’ „ Disquisitiones“ (vgl. die Anm. zu S. 5) in art. 22 vor, wie man überhaupt naturgeinäss bei vielen Rechnungen in der Flächentheorie auf diesen invarianten Ausdruck geführt wird. Lam£ dagegen hatte in seinen „Le90ns sur les

³

Wir nehmen hier und im folgenden Beispiel das Quadrat, weil die Invarianz dann auch bezüglich des Vorzeichens gesichert ist, eine Voraussetzung, die wir hier ja stets machen. (Vgl. hierzu S. 346.)

und g (ß, F, G, E,...)

der Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, G und ihrer Ableitungen nach u und v, so kann man die Frage, ob und wie sich die Fläche auf eine andere gegebene Fläche: .

x = y(ü,v), y = x{ü,v), z = xjj(ü,v)

verbiegen lässt, stets durch Eliminationen entscheiden. Man berechnet nämlich die Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, G der zweiten Fläche und bildet die Functionen:

f = f{F, F, G, Eü, E-v. . .) und g = g (E, F, G, Eü, E^ . . .),

die aus den beiden bekannten Functionen f und g dadurch hervorgehen, dass man E, F, G durch E, F, G und u, v durch ü, v ersetzt. Damit nunmehr die Verbiegung möglich sei, ist notwendig und hinreichend, dass erstens f und g bei Einführung neuer Parameter auf der zweiten Fläche un-geändert bleiben, dass sie zweitens von einander unabhängige Functionen von ü und v seien und dass drittens die aus

f = f,

folgenden Functionen u und v von ü und v auch die drei Gleichungen

Aff — Aff, Afg — Afg, Agg — Agg

für alle Werte von ü, v erfüllen, wobei sich die Differentialparameter A auf die erste, die Differentialparameter A auf die zweite Fläche beziehen. Zugleich geben die aus den Gleichungen f—f, g — g folgenden Functionen u und v von ü, v an, wie die Punkte (w, v) der einen Fläche den Punkten (ü, v) der anderen Fläche entsprechen.

Als Function f kann man das Krümmungsmaass K benutzen, nach Satz 4, S. 273, vorausgesetzt, dass die erste Fläche keine constante Krümmung hat. Als Function g kann man alsdann die mit K nach Satz 46 ebenfalls invariante Function A vorausgesetzt, dass AKK eine von K unabhängige Function ist. Da das Krümmungsmaass auch auf der zweiten Fläche bei Einführung neuer Parameter ungeändert bleibt, so folgt also:

Satz 51: Liegt eine mittels zweier Parameter u, v dargestellte Fläche vor, deren Krümmungsmaass K nicht con-stant ist und für die der erste Differentialparameter AKK von K keine Function von K allein ist, so verlangt die Entscheidung der Frage, ob und wie die Fläche auf eine andere gegebene Fläche verbiegbar ist, nur Eliminationen: Man berechnet nämlich das Krümmungsmaass K der zweiten Fläche, die in den Parametern ü, v dargestellt sei, und seinen ersten Differentialparameter Akk hinsichtlich der zweiten Fläche. Alsdann ist notwendig und hinreichend, dass K und Akk zwei von einander unabhängige Functionen seien und dass für die aus

Akk — ^kk

folgenden Functionen u und v von ü, v auch die drei ersten Differentialparameter von K und AKK hinsichtlich der ersten Fläche mit den drei ersten Differentialparametern von K und Akk hinsichtlich der zweiten Fläche übereinstimmen. Zugleich geben jene Functionen u und v von ü, v an, wie die Punkte (u, v) der einen Fläche den Punkten (ü, v) der anderen Fläche entsprechen.

Man sieht, dass dies Kennzeichen nur dann nicht ausreicht, wenn entweder A selbst constant ist. Im letzteren Falle hat die erste Fläche constante Krümmung und dann gilt der Satz 18, S. 301. Im ersteren Falle kann man ebenfalls Merkmale für die Verbiegbarkeit ableiten; wir haben jedoch nicht die Absicht, darauf einzugehen.¹

Auch von den Formeln des gegenwärtigen Abschnittes, den wir

K = K,

KK

benutzen,

KK

eine Function von K allein ist oder aber K

¹ Die obige Behandlung des Problems der Verbiegung haben wir aus Darboux, „Le9ons sur la theorie generale des surfaces“, III. partie, Paris 1894, entnommen, wo man auch eine erschöpfende Behandlung der soeben erwähnten Ausnahmefälle findet.

hier schliessen, ist eine Anzahl in Tafeln des Anhanges zusammengestellt worden. Tafel XVI enthält die zweiten Dilferentialquotienten der rechtwinkligen Coordinaten und Tafel XYII die Fundamentalgleichungen. Tafel XVIII und XIX bringen eine Reihe von Formeln für die speciellen Fälle, dass die Parametercurven entweder die Minimalcurven oder die Krümmungscurven sind. Einige dieser Formeln sind freilich im Texte noch nicht vorgekommen. Sie ergeben sich aber aus den allgemeinen Formeln, indem man darin E = G = 0 oder F — M — 0 setzt. Tafel XX endlich bezieht sich auf die Differentialparameter.

Vierter Abschnitt.

Curven auf der Fläche.

§ 1. Geodätische Curven.

. Der letzte Abschnitt, den wir hier beginnen, soll den Curven auf der Fläche gewidmet sein. Bisher haben wir fast nur drei besondere Curvenarten auf der Fläche besprochen, die Minimalcurven, die Krümmungscurven und die Haupttangentencurven. Unter den übrigen Curven auf der Fläche haben die kürzesten Linien, die man auf der Fläche zwischen je zwei Punkten ziehen kann, ein besonderes Interesse. Ihrer Untersuchung ist daher der grösste Teil dieses Abschnittes gewidmet. Erst zum Schluss des Abschnittes geben wir noch kurz die wichtigsten Formeln für ganz beliebige Curven auf der Fläche an. —

Zur Vorbereitung der Untersuchung wollen wir zunächst ein Problem aus der Curventheorie behandeln:

Es sei eine Curve im Raume gegeben, und sie soll eine unendlich kleine Änderung erfahren. Wir fragen uns, wie sich dabei ihre Bogenlänge ändert. Dabei sehen wir von den Minimalcurven vorerst ab und benutzen als Parameter längs der Curve ihre Bogenlänge s. Es sei also:

(1)

x = (f 0), y =x(s), z = yj(s)

die analytische Darstellung der Curve. Eine unendlich kleine Änderung der Curve ergiebt sich, wenn wir alle Punkte der Curve nach einem gewissen Gesetze in neue Lagen bringen, die von ihren alten Lagen unendlich wenig verschieden sind. Die Formeln werden am bequemsten, wenn wir diese Änderung analytisch nicht in Bezug auf das Coor-dinatensystem (x, y, z), sondern in Bezug auf das begleitende Dreikant des Curvenpunktes zum Ausdruck bringen. (Vgl. I S. 174.) Der Punkt P oder (x, y, z) oder (s) der Curve (1) möge eine solche unendlich kleine Änderung seiner Lage erfahren, deren Projectionen auf seine Tangente, Haupt- und Binormale die Längen

(2)

!■(*)«»

n {s) s

haben, wobei e längs der Curve ein und dieselbe unendlich kleine Grösse bedeute und |, y, £ irgend drei Functionen von s sein sollen. Infolge dieser Änderung geht der Punkt P in eine unendlich benachbarte Lage P über, und es lässt sich leicht feststellen, wie sich dabei seine rechtwinkligen Coordinaten x, y, z um unendlich kleine Grössen d\v, dy, dz ändern. Denn wir brauchen zu diesem Zwecke nur den Satz anzuwenden, dass die Projection eine Strecke PP auf eine der Coordinatenaxen gleich der Summe der Projectionen der Seiten eines solchen ungeschlossenen Vielecks ist, das von P nach P geht (vgl. I S. 7). Indem wir den Punkt P zuerst um auf der Tangente, den neuen Punkt darauf um y e parallel der Hauptnormale und endlich den neuen Punkt wieder um £e parallel der Binormale weiterführen, gelangt er in die Lage P. Die drei Strecken £s, y e, £« bilden also ein Vieleck, wie wir es brauchen. Sind a, ß, y; l, m, n\ l, (jl, v die Bichtungscosinus der Tangente, der Haupt- und der Binormale von P, so folgt hieraus:

Sx = (ceg + ly + lt;)e, dy = (ßt- + my + y£)e, Öz = {y^ + ny + vC)e.

Nach Tafel III können wir die Bichtungscosinus aus (1) als Functionen von s berechnen. Alsdann sind:

X = X (u    l 7]    1 Q) £ ,

(3)

y = y + (ß£ +™y+ t*C)e,

z = z + (/ £ p ny v£) g

die Gleichungen der neuen Curve, die von der Curve (1) unendlich wenig abweicht, ausgedrückt mittels des Parameters s.

Jedem Bogenelement ds der alten Curve (1) entspricht ein Bogenelement ds der neuen Curve (3). Wir wollen es berechnen. Zu diesem Zwecke differenzieren wir die Formeln (3) nach s. Nach III [B) und III (C) ergiebt sich dann, wenn 1 : r und 1 : q Krümmung und Torsion der Curve (1) bedeuten:

«+

+ v' +

£/ +

R*| Q/-

Entsprechend gehen dy:ds und dz:ds hervor, wenn man auf der rechten Seite a, l, X durch ß, m, y, bez. y, n, v ersetzt. Quadrieren und Summieren der drei Formeln liefert nach II (Ä):

Es ist aber:

ds² = dx² + dy² + dz²

das Quadrat des zu ds gehörigen Bogenelementes der neuen Curve. Somit kommt, wenn wir noch nach Potenzen von e ordnen:

Den Coefficienten von e² haben wir nur angedeutet, da er für das Folgende unwichtig ist. Ziehen wir nun die Quadratwurzel aus und wird die neue Curve im selben Sinn wie die alte durchlaufen, sodass ds:ds im reellen Falle positiv ist, so giebt die Benutzung der bekannten Formel:

sofort

ds

dx² + dy* + d%*

ds²

-bM)

f+v'+

Y) 12

V-\ 6².

oder:

(4)

ds — ds

⁼ (r -

ds .s + ..

wobei die höheren Potenzen von s nur angedeutet worden sind.

Durchläuft s alle Werte von 0 bis er, so durchläuft der Punkt P die alte Curve von dem zu s = 0 gehörigen Punkte P₀ bis zu dem zu s= a gehörigen Punkte Pv Der Bogen, den alsdann der Punkt P auf der unendlich benachbarten Curve zurücklegt, sei ä. Nach (4) ergiebt sich durch Integration:

=/(r - v]

Es ist aber

f?ds = i(a)-£(0).

0

Wenn wir insbesondere annehmen, dass die der alten Curve P₀ P1 unendlich benachbarte Curve ebenfalls von P₀ ausgehe und in P₁ endige, so bleiben P₀ und Px bei der unendlich kleinen Änderung in Ruhe, d. h. die Functionen    von s sind nach (2)

gleich Null für s = 0 und s — a, sodass das soeben angegebene Integral gleich Null ist. Nunmehr kommt:

ff —

«r— p </r

— ds .6 +

Daher:

Satz 1: Ändert man eine von P₀ nach P₁ gehende Curve unendlich wenig mit festgehaltenen Endpunkten, und hat die Verrückung, die der allgemeine, zur Bogenlänge P₀P=s gehörige Punkt P der Curve erfährt, einen solchen Wert, dessen Projection auf die Hauptnormale des Punktes P gleich 7] (s) s ist, wobei e eine unendlich kleine von s unabhängige Grösse bedeute, so ist die Differenz zwischen der Länge ä der neuen Curve ,P₀P₁ und der Länge a der alten Curve P₀ P₁ gegeben durch:

(j —

a—J~r

o

Hierin ist r der Krümmungsradius der alten Curve an der Stelle P oder (s); und die Glieder, die mit höheren Potenzen von e behaftet sind, sind nur angedeutet.

Jetzt wollen wir annehmen, die Curve P₀ P₁ liege auf einer gegebenen Fläche, und es sollen ihr nur solche unendlich kleine Änderungen erteilt werden, bei denen sie beständig auf der Fläche bleibt und — wie bisher — ihre beiden Endpunkte P₀ und P₁ fest sind.

Die Ortsänderungen der Curvenpunkte sind jetzt noch ganz beliebig mit der einen Einschränkung, dass jeder Punkt in seiner Tangentenebene verbleiben soll. Sind also X, Y, Z die Richtungscosinus seiner Flächennormale, so drückt sich die Einschränkung nach (3) so aus: Es soll:

(5)

+ £ S Ä X = 0

sein. Die drei Summen hierin sind die Cosinus der Winkel, die die Flächennormale der betrachteten Curvenstelle mit der Tangente, Haupt- und Binormale bildet. Diese Forderung zeigt, dass die in Satz 1 auftretende Grösse rj auch jetzt noch ganz beliebig gewählt werden darf, da die Bedingung (5) alsdann eine Gleichung zwischen | und £ wird, die sich durch geeignete Wahl von | und £ erfüllen lässt. Dies ist nur dann nicht der Fall, wenn die Bedingung (5) frei von f und £ wird, d. h. wenn S a X = S Ä X = 0 ist, wenn also die Flächennormale auf der rectihcierenden Ebene (vgl. I S. 317) senkrecht steht und daher mit der Hauptnormalen der Curve — im selben oder im entgegengesetzten Sinn — zusammenfällt.

Solange dies nicht längs der ganzen Curve P₀ Px der Fall ist,

kann man also die Curve immer noch unendlich wenig auf der Fläche derart ändern, dass G — a unendlich klein von derselben Ordnung wie e wird. Tritt dagegen dieser besondere Fall ein, d. h. liegen die Hauptnormalen der Curve P₀ P₁ in den Flächennormalen, so ist r] notwendig längs der ganzen Curve gleich Null zu wählen, da sich dann die Bedingungsgleichung (5) auf rj = 0 reduciert. Alsdann fällt das Glied erster Ordnung in der Reihenentwickelung für ä — (t fort.

Also nur diejenigen Flächencurven, deren Hauptnormalen mit den Flächennormalen zusammenfallen, haben die Eigenschaft, dass ihre Ortsänderung auf der Fläche mit festgehaltenen Endpunkten stets eine solche Curve liefert, deren Länge G sich von der alten Länge a um unendlich wenig von höherer als erster Ordnung unterscheidet, sobald jene Ortsänderungen der Curvenpunkte unendlich klein von erster Ordnung sind.

Aber wir haben hierbei von zwei Curvenarten abgesehen, von den Minimalcurven und von den Geraden; von den letzteren nämlich deshalb, weil sie keine bestimmten Hauptnormalen haben. Wir müssen uns daher fragen, wie es sich bei diesen beiden Curvenarten mit der Längenänderung g — a verhält.

Was nun zunächst die Geraden anbetrilft, so liegt hier die Sache so, dass G — <r hei jeder unendlich kleinen Ortsänderung der Punkte einer Strecke P₀ Pl mit festgehaltenen Endpunkten unendlich klein von höherer Ordnung ist. Denn wenn wir diese Gerade als die x-Axe wählen und ihren allgemeinen Punkt (x, 0, 0) in den Punkt

x = x + £ (x) 6

y = r](x)e, z = C (#) e

überführen, so ist:

ds² — dx² + dy² + d x² = d x² + 2 §' dx². e -J- . .

also:

woraus folgt:

oder:

ds = dx-\-£'dx.e-{-...

!!■ = i+?■«+...

Sind (a, 0, 0) und (b, 0, 0) die festen Endpunkte der Strecke, so ist b — a ihre Länge a, wenn wir b > a wählen; also ist:

g = J(fs= fdx+Jg'dx.e + .. = tr + [(g)x=b—(£)»««]e + ...

Aber für die festen Endpunkte ist f = 0. Daher kommt:

<j = (X + . .

wo die Punkte unendlich kleine Glieder andeuten, die mit e², e³... behaftet sind. Hiermit ist unsere Behauptung dargethan.

Um so mehr wird sie gelten, wenn die Gerade auf einer Fläche liegt und ihre Punkte nur solchen Ortsänderungen unterworfen werden dürfen, bei denen sie auf der Fläche bleiben.

Also hat sich ergeben:

Satz 2: Liegt eine Curve, die keine Minimalcurve ist, auf einer gegebenen Fläche und sollen die Änderungen, die ihre Länge bei festgehaltenen Endpunkten erfährt, für alle solche Lagenänderungen der Curve, bei denen sie auf der Fläche verbleibt und bei denen die Verrückungen der Punkte von derselben Ordnung wie eine unendlich kleine Grösse e sind, stets unendlich klein von mindestens zweiter Ordnung in e sein, so ist die Curve entweder eine Gerade oder ihre Hauptnormalen fallen überall in die Flächennormalen.

Was dagegen die Minimalcurven anbetrifft, so liegt hier die Sache ganz anders: Eine Minimalcurve hat die Länge Null, also ist hier a = 0. Sind:

x = <p(t),    y=x{t), Z = y{t)

die Gleichungen der Curve, ausgedrückt mittels eines Parameters t, so ist für alle Werte von t:

cp'² +    + V² = 0

(vgl. I S. 164). Ändern wir den Punkt (£) der Curve dadurch, dass wir seinen Coordinaten die Incremente £(£)«, vj{t)e, C{t)s erteilen, so geht er in den Punkt mit den Coordinaten:

y — 7 +

über. Jetzt ist:

ds² = dx² + dy² + dz² = [2S<p'g.e + S!².s²]gG²,

mithin:

ds = ]/« j/2S cp’ £ + S £² • s dt

oder, wenn die zweite Wurzel nach Potenzen von 6 entwickelt wird:

ds

= i/2syi(i +

oder, wenn t = t₀ und t = tx die festgehaltenen Punkte geben:

4S<p'|

Mithin ist hier & — (j oder ä von derselben Ordnung wie ]/ e unendlich klein.¹ Hieran würde sich auch dann nichts ändern, wenn wir verlangten, dass die Minimalcurve nur solchen Ortsänderungen unterworfen sei, bei denen sie beständig eine Curve auf einer durch sie gehenden Fläche bleibt, was daraus folgt, dass eine Minimalcurve auf jeder Fläche, die durch sie geht, eine Minimalcurve ist.

Wegen dieses eigentümlichen Umstandes schliessen wir vorerst die Minimalcurven weiterhin von der Betrachtung aus. —

Unsere Untersuchung hat uns auf diejenigen Curven einer Fläche geführt, deren Längenänderungen bei festgehaltenen Endpunkten von höherer Ordnung unendlich klein sind. Wir nennen sie die geodätischen Curven der Fläche und können sie nach Satz 2 auch so definieren: Es sind dies die eventuell auf der Fläche vorhandenen Geraden und diejenigen Curven der Fläche, deren Hauptnormalen mit den Flächennormalen zusammenfallen, wobei von dem Sinn, in dem diese Normalen positiv gerechnet werden, ganz abgesehen wird. Später, wenn wir die analytischen Kennzeichen der geodätischen Curven aufstellen, werden wir sehen, dass wir auch die Minimalcurven zu ihnen rechnen können, da sie die analytischen Bedingungen, wie wir erkennen werden, ebenfalls erfüllen. Auch werden wir nachzuweisen haben, dass die in I S. 270 definierten geodätischen Curven auf abwickelbaren Flächen mit zu den soeben definierten geodätischen Curven gehören. Davon nachher.

Wir wollen uns jetzt einmal auf das Reelle beschränken: Es liege auf einer reellen Fläche eine reelle Curve P₀Pl vor. Wir werden sie eine kürzeste Linie auf der Fläche nennen, wenn sie kürzer ist als jede andere unendlich benachbarte reelle Curve auf der Fläche, die ebenfalls von P₀ nach P₁ geht. Nun aber wird, wenn wieder Jfg, ?/g, £g die Projectionen der Ortsänderung eines Curvenpunktes auf die Tangente, Haupt- und Binormale bedeuten, wie in (2), wobei jetzt alle Grössen reell sind, die Differenz ä — a zwischen den Längen der neuen und der alten Curve nach Satz 1 so dargestellt:

ff=-f±a

(7 —

o

Die rechts stehende unendliche Reihe nach Potenzen der unendlich kleinen Grösse 6 hat bekanntlich dasselbe Vorzeichen wie ihr erstes Glied, das da steht. Ist dies Glied nicht gleich Null, so können wir dadurch, dass wir längs der ganzen Curve rj dui’ch — ij ersetzen, zu einer zweiten unendlich benachbarten Curve kommen, bei der ä — a das entgegengesetzte Zeichen wie vorher hat. Ist aber die alte Curve eine kürzeste, so muss ö — a stets positiv sein. Daher kann sie nur dann eine kürzeste Linie sein, wenn für alle Verrückungen

fyds = 0

o

ist, was nach Satz 2 zu den geodätischen Curven führt. Daher:

Satz 3: Die kürzesten Curven, die auf einer reellen Fläche zwei reelle Punkte mit einander verbinden, gehören zu den geodätischen Curven der Fläche.

Sie sind also entweder Geraden oder solche Curven, deren Hauptnormalen Flächennormalen sind. Aber wohlbemerkt ist dies nur eine notwendige Bedingung, keine hinreichende. Die Frage nach hinreichenden Bedingungen ist so schwierig, dass wir sie gar nicht besprechen. Unsere Betrachtung lehrt aber, dass die geodätischen Curven auf den Flächen besonderes Interesse haben, weil zu ihnen auch die kürzesten Curven der Fläche gehören.

In I S. 270 definierten wir als geodätische Curven einer abwickelbaren Fläche diejenigen, die bei der Abwickelung der Fläche auf die Ebene zu Geraden werden. Es ist klar, dass diese Curven kürzeste auf der Fläche sind, sie gehören also zu denjenigen Curven, die wir hier als geodätische definiert haben. Aber auch umgekehrt: Liegt auf einer abwickelbaren Fläche eine Curve vor, die nach der jetzigen Definition geodätisch ist, so sind ihre Hauptnormalen zur Fläche senkrecht, d. h. die rectificierenden Ebenen der Curve sind die Tangentenebenen der abwickelbaren Fläche, die daher die rectificierende Fläche der Curve ist. Nach Satz 32, I S. 321, ist die Curve mithin auch nach der früheren Definition geodätisch.

Diejenigen geodätischen Curven einer Fläche, die keine Geraden sind, können wir offenbar auch als diejenigen Curven definieren, deren Schmiegungsebenen die Flächennormale enthalten oder deren Binormalen die Fläche berühren oder deren rectificierende Flächen die gegebene Fläche selbst längs der betreffenden Curven berühren.²

<Hn.

Fig. 76.

Obgleich Betrachtungen aus der Mechanik eigentlich nicht hierher gehören, wollen wir doch nicht unterlassen, die folgende einfache Überlegung anzugeben, die wohl zuerst zur Feststellung des Kennzeichens für geodätische Curven geführt hat:³ Über eine starr gedachte Fläche sei ein völlig biegsamer, aber unausdehnbarer Faden von P₀ bis Px gespannt, sodass er also eine kürzeste Linie von P0 bis Px ist. Sind dann A, B, C drei einander unendlich benachbarte Punkte der Curve (siehe Fig. 76), so erleidet der mittlere Punkt P zwei Spannkräfte, eine in der Richtung des Elementes B A, eine in der Richtung des Elementes B C. Die resultierende Kraft liegt in der Ebene ABC, die aber die Schmiegungsebene der betrachteten

Curvenstelle ist (nach I S. 174). Da die Curve auf die starre Fläche aufgespannt ist und ruht, so wird dieser Resultierenden durch den Widerstand der Fläche in B das Gleichgewicht gehalten. Die widerstehende Kraft ist aber in der Normalen des Flächenpunktes B gelegen. Also muss die Flächennormale von B in der Schmiegungsebene von B liegen. Die gespannte Curve hat daher die Eigenschaft, dass in allen ihren Punkten die jeweilige Flächennormale in der Schmiegungsebene liegt, und ist deshalb eine geodätische Curve.

Jetzt wollen wir die Definition der geodätischen Curven analytisch aussprechen: Eine Curve auf der Fläche:

(6)

x = <p(u,v), y = X{u,v), z = yj(u,v)

wird in allgemeinster Weise nach S. 11 dadurch gegeben, dass man u und v als Functionen eines Parameters t annimmt:

u — A(t), v — B (t).

Fasst man u und v in (6) als solche Functionen auf, so ist (6) eine analytische Darstellung einer Flächencurve, ausgedrückt mittels des Parameters t. Wenn wir die Differentiation nach t durch Striche andeuten, so ist längs der Curve:

(7)

X = Xu u + Xv V,

x" = XuuU'² + 2xuvU'V> + XvvV'² + XuU" + XvV"> und ähnlich sind y', y", z, z" zu berechnen. Nun sind die Richtungscosinus der Binormale der Curve nach Satz 10, I S. 175, proportional:

x y" — y x \

y z" - z'y">

z' x" — x z",

Ist die Curve weder eine Gerade noch eine Minimalcurve, so ist sie nur dann eine geodätische Curve, wenn ihre Binormale Tangente der Fläche ist, d. h. wenn es solche Functionen u und ß von t giebt, für die:

y z" - z'y" = <*xu + ßxv>

z x" - X z" = ayu + ßyv, x y" - y x" = cczu + ßzv

ist, denn dann ist die Binormale der Curve die zur Fortschreitungs-richtung (dv : du = ß : a) gehörige Tangente. Dies sind drei Gleichungen zur Bestimmung von zwei Grössen a und ß, die in ihnen linear auftreten. Die Forderung, dass es zwei solche Grössen u und ß gebe, die alle drei erfüllen, führt daher auf eine von a und ß freie Gleichung. Diese wollen wir so ahleiten: Wir multiplicieren die Gleichungen mit x, y, z bez. x", y", z" und addieren sie alsdann jedesmal. So gehen die beiden in a und ß homogenen Gleichungen hervor:

S xu x' + ß S Xv X = 0 , S Xu x" + ß s Xv x" — 0,

die wiederum verlangen, dass

(8)

Sxux' S xvx S xu x" S xv x"

sei. Da diese Gleichung frei von a und ß ist, ist sie die gewünschte Bedingung. Wir wollen die Determinante umstellen, weil dann ihre Schreibweise in der Folge bequemer wird:

= 0.

S Xu X s Xu x"

S Xv X S Xv x"

Nach (7), XI (A) und XVI (C) lässt sie sich nun so schreiben:

= 0.

(9)

Eu + Fv    \Euv!² + Evuv + (Fv - \ Gu)v'² + Eu" + Fv"

Fu + G v    {Fu—$EV) u² -V Gu uv + £ Gvv²+Fu" +' G v"

Wie man sieht, enthält sie als Coefticienten der Differentialquotienten u', v, u , v" nur die Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, G und deren erste Ableitungen. Sie gilt daher auch in dem Falle, dass die gegebene Fläche die Tangentenfläche einer Minim al-curve ist.

Wir können nun leicht sehen, dass sie auch für die etwa auf der Fläche vorhandenen Geraden gilt. Denn längs einer Geraden sind die Verhältnisse x'\y'\z constant, sodass etwa:

y = ob, z — q c [a, b, c — Const.)

= Q a>

ist, wo () eine Function von t bedeutet. Hier ist:

y" = Qb>

z" — Q C,

sodass die Gleichung (8) oder — was dasselbe ist — die Gleichung (9) erfüllt wird.

Wir deuteten schon oben (auf S. 402) an, dass sich ergeben wird, dass auch die bisher ausgeschlossenen Minimalcurven das analytische Kennzeichen der geodätischen Curven haben. In der That: Längs einer Minimalcurve sind u und v solche Functionen eines Parameters t, für die nach Satz 16, S. 36:

Eu'² + 2 Fnv + G v² = 0

ist, und zwar für alle Werte von t, sodass wir diese Gleichung nach t differenzieren dürfen. Dann kommt:

(Uuu + Evv')u² + 2 (Fuu + Fvv)u'v + (Guu + Gvv)v² +

+ 2 Eu u” -f- 2 F{u”v + uv”) + 2 Gv v” = 0.

Aber wenn wir die Gleichung (9) umformen, indem wir die Zeilen der Determinante mit w'-und v multiplicieren und dann ihre Summen als erste Zeile benutzen, so erkennen wir, dass die beiden Elemente dieser neuen ersten Zeile infolge der soeben angegebenen beiden Gleichungen gleich Null sind, sodass die Gleichung (9) erfüllt ist.

Es hat sich also ergeben:

Satz 4: Die Curve, die man erhält, wenn man auf einer Fläche mit den Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, G die Parameter u, v als Functionen eines Parameters t auffasst, ist unter der Bedingung, dass für alle Werte von t

Fu + Fv    \Euu'> + Evu'v' + (Fv-\Gu)v'* + Eu+Fv” ( =

Fu + Gv    — \Ev)u² + Guu'v + \Gvv²+ Fu” + Gv” I ist, entweder eine Curve, deren Hauptnormalen Flächennormalen sind, oder eine Gerade oder eine Minimalcurve; und die Bedingung wird von jeder Curve erfüllt, die zu einer dieser drei Arten gehört.

Es ist deshalb zweckmässig, nicht nur die beiden ersten Curven-arten, sondern auch die Minimalcurven der Fläche als die geodätischen Curven der Fläche zu bezeichnen, was von jetzt ab geschehen soll. Die Gemeinsamkeit des analytischen Merkmals ist schon ein genügender Grund hierfür. Man könnte diese Auffassung noch durch die Bemerkung verstärken, dass die Minimalcurven die Länge Null haben, also die allerkürzesten Curven auf der Fläche sind; aber dieser Begründung steht entgegen, dass wir von kürzesten Curven nur im reellen Falle gesprochen haben.

Als die Hülfsveränderliche t kann man auch den Parameter u selbst wählen, denn eine beliebige Curve kann auf der Fläche dadurch definiert werden, dass man v als Function von u auffasst, wodurch allerdings die Parameterlinien (?/) selbst von vornherein ausgeschlossen werden (vgl. S. 11). Diese Parameterlinien {u) selbst sind in der Form u = Const., v = t darstellbar; sodass für sie u = u' — v” = 0, v = 1 ist. Eine Parameterlinie [u) ist also nach

(9) eine geodätische Curve, wenn für alle Werte von v:

oder

K- Gu i Gv

boji—¹

FGv-2GFv+GGu = 0

ist. Alle anderen geodätischen Curven sind nun in der Form u = t, v = co(t) darstellbar; sodass für sie u — 1, u" = 0, aber

d²v du²

du ’

v" —

ist. Daher können wir den Satz 4 auch so aussprechen:

Satz 5: Fasst man auf einer Fläche mit den Fundamentalgrössen erster Ordnung E, F, G den Parameter v als eine Function des Parameters u auf, so ist die dadurch definierte Curve auf der Fläche dann und nur dann eine geodätische Curve, wenn die Function v mit ihrem ersten und zweiten Differentialquotienten nach u die Bedingung:

H*-w{£f+r-

für alle Werte von u erfüllt. Dieser Darstellung entziehen sich nur die Parameterlinien (u). Eine Parameterlinie (u) aber ist dann und nur dann eine geodätische Curve, wenn für den zugehörigen Wert u und für alle Werte von v

FG -2GF, + GG,=0

V    V ¹    u

Stellt man sich das Problem, die geodätischen Curven auf einer gegebenen Fläche zu bestimmen, so sind E, F, G bekannte Functionen von u und v, während es sich darum handelt, die unbekannte Function v von u so zu bestimmen, dass sie mit ihrem ersten und zweiten Differentialquotienten die in diesem Satze angegebene Gleichung, in der die unbekannte Function auch in E, F, G und den Ableitungen von E, F, G vorkommt, für alle Werte von u erfüllt. Diese Gleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung für die unbekannte Function v von u.¹

E + F-

du

\E +E

Zu¹ V

du

^u-iK+G,

du

d²v

du²

d² v j

du²

ist.

¹ Obwohl Joh. Bernoulli im Briefwechsel mit Leibniz (vgl. die Anm. zu S. 404) 1697 behauptete, die Differentialgleichung der geodätischen Curven aufgestellt zu haben, und obwohl er 1742 im vierten Bande seiner „Opera

Die geodätischen Curven einer Fläche werden also durch eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bestimmt, während die Minimalcurven, die Krümmungscurven und die Haupt-tangentencurven durch je eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung bestimmt werden — nach XI (0), XII (U) und XII (X). In der That besteht in betreff der Anzahl der Curven dieser Arten ein wesentlicher Unterschied: Es giebt auf der Fläche nur oo¹ Minimalcurven, oo¹ Krümmungscurven und oo¹ Haupt-tangentencurven. Wählen wir auf der Fläche irgend zwei Punkte P0 und Pp so wird es im allgemeinen keine Minimalcurve geben, die durch beide geht, ebenso keine Krümmungscurve und keine Haupt-tangentencurve, wohl aber wird es auf der Fläche unter allen denjenigen Curven, die P₀ mit P₁ verbinden, eine kürzeste geben, also eine geodätische. Freilich ist dies keine exacte Schlussfolgerung, denn erstens gilt dies nur für den reellen Fall und zweitens darf man nicht ohne weiteres annehmen, dass es unter unendlich vielen Curven stets eine kürzeste gebe. Dagegen ist es in einzelnen Beispielen auch exact zu sehen:

1. Beispiel: Auf einer abwickelbaren Fläche sind die geodätischen Curven, wie wir oben sahen, diejenigen, die sich bei der Ausbreitung der Fläche auf die Ebene als die Geraden darstellen. Zwischen zwei Punkten in der Ebene kann man aber stets eine Gerade ziehen, woraus folgt, dass es zwischen zwei beliebigen Punkten einer abwickelbaren Fläche stets wenigstens eine geodätische Curve giebt. Dabei nehmen wir an, dass beide Punkte auf demselben Mantel der Fläche liegen (vgl. I S. 266). Insbesondere kann es aber Vorkommen, dass es zwischen beiden Punkten unendlich viele geodätische Curven giebt, wenn nämlich die Abwickelung der Fläche auf die Ebene periodisch ist, sodass ein und derselbe Punkt der Fläche bei der Ausbreitung auf die Ebene unendlich oft wiederkehrt. Man sieht dies am deutlichsten im Falle eines Kotationscylinders. Wickeln wir ihn auf die Ebene ab (siehe Fig. 77, S. 410), so kehrt ein und dieselbe Stelle A unendlich oft in der Abwickelung wieder, in den Lagen A1} A₂, A₃ . . ., dasselbe gilt von einer Stelle B, der unendlich viele Lagen Bu B₂, Bs .. . in der Ebene entsprechen. Verbinden wir irgend einen der Punkte At, A₂, A₃ ... mit irgend einem der Punkte Bt, B₂, B₃ ... durch die Gerade, so giebt die Aufwickelung des Mantels auf den Cylinder eine geodätische Curve, nämlich eine gemeine Schraubenlinie omnia“, Lausanne und Genf, sie aufgestellt hat, gebührt doch Euler die Priorität der Veröffentlichung wegen seiner Arbeit: „De linea brevissima in superficie quacunque duo quaelibet puncta jungente“, Commen-tarii Acad. Petropolitanae, t. III, ad annum 1728, Petersburg 1732. Auch er geht von der mechanischen Betrachtung der Spannungen im Faden aus. Direct aus der geometrischen Definition der kürzesten Linien leitete erst Lagrange in seinem „Calcul des fonctions“, Paris 1806, siehe auch Oeuvres t. X, die Eigenschaft der geodätischen Curven ab.

(vgl. I S. 157). Dabei geben die Geraden, die sich nur um eine der Perioden der Abwickelung von einander unterscheiden, dieselbe Curve, so die Geraden Bi, A₂, Bo u. s. w.; ebenso Ax B₂, A₂ B₃ u. s. w. Diese Ergebnisse sind ganz unabhängig davon, wie die Punkte A und B gegen einander liegen. Wählen

Ax

Az

Ao

x;

;xi

><

''A

B₂

Fig. 77.

wir sie auch noch so dicht bei einander, so giebt es doch unendlich viele gemeine Schraubenlinien zwischen ihnen. Eine ist allerdings die kürzeste; in Fig. 77 ist es diejenige, die der Geraden A₁ B^ entspricht. Aber alle sind geodätische Cui-ven.

2. Beispiel: Auf der Kugel sind die Flächennormalen die Radien, also die geodätischen Curven — mit Ausnahme der beiden Scharen von je oo¹ Minimalgeraden (vgl. Satz 26, S. 64) — diejenigen, deren Hauptnormalen nach der Kugelmitte gehen, sodass bei ihnen der Mittelpunkt der Schmiegungskugel, die ja die Kugel selbst ist, mit dem Mittelpunkt des Krümmungskreises stets zusammenfällt. Ist dieser Mittelpunkt der Anfangspunkt und ist der Kugelradius gleich Eins, so sind hier

l = — x,

die Richtungscosinus der Hauptnormale. Das Minuszeichen ist hier anzuwenden, weil die Hauptnormale nach I S. 189 positiv in der Richtung nach dem Krümmungsmittelpunkt hin ist. Differentiation nach der Bogenlänge s der geodätischen Curven giebt nun wegen III (C) und III {B):

1--

Multiplicieren wir diese drei Gleichungen mit a, ß, y bez. I, /u, v und addieren sie alsdann jedesmal, so folgt nach II (A):

Nach der zweiten Gleichung sind die geodätischen Curven wegen Satz 13, I S. 185, eben und nach der ersten wegen Satz 29, I S. 41, Kreise vom Radius Eins; also sind es die grössten Kreise der Kugel, ein Ergebnis, das geometrisch schon von vornherein bekannt war. Man sieht auch, dass der grösste Kreis zwischen zwei Punkten der Kugel nur in einem seiner beiden Teile die kürzeste Curve ist. Liegen die beiden Punkte einander diametral gegenüber, so giebt es zwischen ihnen oo¹ geodätische Curven.

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen beweist man, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung zwischen u und v unter gewissen functionentheoretischen Voraussetzungen oo² Lösungen hat, und so könnte man daraus entnehmen, dass es unter den entsprechenden Voraussetzungen für die vorgelegte Fläche auf ihr oo² geodätische Curven giebt. Wir machen jedoch davon keinen Gebrauch und erwähnen es nur zur Orientierung des Lesers.

Liegt eine Fläche vor, so lassen sich ihre geodätischen Curven nur in den allerwenigsten Fällen durch endliche Gleichungen darstellen, weil die Auffindung derjenigen Functionen v von u, die der in Satz 5 angegebenen Gleichung genügen, die grössten Schwierigkeiten bereitet. Wir geben hier zunächst nur ein Beispiel, in dem es gelungen ist, sie zu bestimmen.

Beispiel: Es liege eine Rotationsfläche⁴ vor, deren Axe die x-Axe sei (vgl. (2), S. 41):

10)

X = p (u) COS V ,

y = p(u) sin v ,

% = q{u).

Wenn wir wie immer unter u die Bogenlänge der Meridiane verstehen, so ist wie auf S. 41:

p'² + q'² — 1

und:

(11)

E= 1

Nach Satz 5 sind also von- den Breitenkreisen (u) nur diejenigen geodätische Curven, für die

pp' = 0

ist. p — 0 giebt die zu Punkten degenerierten Breitenkreise, da p der Radius des Kreises (u) ist, und p' ist da gleich Null, wo die Tangente der Meridian-curve der Drehaxe parallel ist. Von den Breitenkreisen, die nicht in Punkte ausarten, sind also nur diejenigen geodätische Curven, in denen die Fläche von Rotationscylindern um die «-Axe berührt wird. Die übrigen geodätischeu Curven bestimmen sich nach Satz 5 aus der Bedingung:

p2

dv

dti

2 p p'

dr

du

+ p²

d²v

du²

*= 0

oder

(12)

d²v

+ PP'

dv

du

’₊₂rL * 0.

p du

Man kann diese Gleichung geometrisch deuten, wenn man den Winkel « einführt, den die gesuchte geodätische Curve an der Stelle (u: v) mit dem Meridian 0v) dieser Stelle bildet. Da längs der Meridiancurve {v) das Verhältnis dv.du gleich Null, längs der geodätischen Linie gleich dem in der vorstehenden

Gleichung auftretenden Differentialquotienten ^V wegen (11)

du

ist, so giebt Satz 10, S. 32,

(13)

cos a =

woraus folgt:

dv    tg a

= ±

du

Wir haben hier den Factor ± hinzugefügt, weil wir über den Sinn, in dem der Winkel a gemessen werden soll, keine bestimmte Annahme gemacht haben. Längs der geodätischen Curve ist nun wie v auch a eine Function von u, sodass die Differentiation nach u den folgenden Wert des zweiten Differentialquotienten von v liefert:

drv

du2    + p cos² a

du

zp Ml .

^ p2 p '

Setzen wir diese beiden Werte des ersten und zweiten Differentialquotienten von v nach u in (12) ein, so kommt:

oder

tg a du p

1 da

ist. Daher ergiebt sich, da p der Radius des Breitenkreises ist, der

Satz 6: Längs einer jeden solchen geodätischen Curve einer Rotationsfläche, die'keine Minimalcurve ist, ist das Productaus dem jeweiligen Radius des Breitenkreises und dem Sinus des Winkels, den die Curve mit dem Meridian bildet, constant.⁵

Dass wir die Minimalcurven ausnehmen müssen, folgt daraus, dass man bei ihnen nicht von einem Winkel a sprechen kann.

Da nach (13)

sin² « =

JdvV

¹ Dies ist der Satz von Clairaut, den wir in der letzten Anm. erwähnten.

ist, so lässt sich die Formel (14) so schreiben:

du

p "j/p² — m²

Hierin ist die rechte Seite eine Function von u allein. Eine Quadratur liefert also:

(15)

p ]/p² — m²

(m, n — Const.).

Hiermit aber sind die geodätischen Curven auf der Rotationsfläche in endlicher Form gefunden.

Nach dem Satze 6 oder der Formel (14) kann man sich eine allgemeine Vorstellung von dem Verlaufe einer reellen geodätischen Curve auf einer reellen Rotationsfläche machen: Wir können uns dabei auf einen solchen Teil der Fläche beschränken, auf dem p positiv ist, denn p — 0 giebt die zu Punkten entarteten Breitenkreise an. Ist nun z. B. für eine geodätische Curve die Constante m auch positiv, so ist der kleinste Wert, den p erreichen kann, der

ist. Der Breitenkreis vom Radius m wird also von

Wert m, für den a —

der geodätischen Curve berührt. Für noch kleinere Werte von p wird m :p> 1, sodass die Curve den Bereich derjenigen Breitenkreise meidet, deren Radius kleiner als m ist. Sie wird also an dem Kreise vom Radius rn zu den Kreisen von grösseren Radien umkehren; solange p wächst, nimmt a ab, d. h. die Curve wird weniger steil gegen den Meridian. Wächst der Radius bis ins Unendliche, so, nähert sich die Curve der Gestalt einer Meridiancurve.

Insbesondere wollen wir diese Ergebnisse auf die Rotationsflächen von constanter Krümmung K anwenden. Bei ihnen ist nach S. 122

p" = - Kp.

In I S. 98 hatten wir unter (6) dieselbe Gleichung, nur stand dort x statt p, und die Veränderliche, nach der differenziert wurde, war nicht mit u, sondern mit s bezeichnet. Wie wir in (8), I S. 99, sahen, ist also:

p = a cos YK u + b sin ]/ÄT u

die allgemeinste Function p (u), für die die Rotationsfläche (10) die constante Krümmung K hat. Dabei bedeuten a und b zwei Constanten. Wir haben nun von u nur das eine vorausgesetzt, dass u die Bogenlänge auf den Meridianen bedeute. Ist c irgend eine Constante, so ist auch

(16)

ü = u — e

die Bogenlänge auf den Meridianen, nur von einer anderen Stelle an gemessen. Dann ist:

oder:

p = a cos yK{u + c) + b sin ]/K(u + c)

]/if c + b sin "j/if e) cos ]/ä' ü +

( — a sin "j/üT c + b cos ]/K e) sin ]/K v .

Wir können die Constante c so wählen, dass die zweite Klammer gleich Null wird, indem wir nämlich:

a cos

tg vk c = -

also

(17)

cos

1/Ke =

V a² + b² ’

sin YK e =

y a² + b²

wählen. Dann wird

p — y a² + b² cos y K u .

Wir können uns jetzt vorstellen, wir hätten von vornherein schon die Bogenlänge durch ü statt u ausgedrückt, und dürfen daher ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass in den Formeln (10) die Veränderliche u diese passender gewählte Bogenlänge sei, sodass wir

(18)

p = A cos yK u

setzen dürfen, indem wir ]/a² + b² mit A bezeichnen.

Alsdann giebt (15):

A cos yK u y A² cos² yK u — m²

Diese Quadratur lässt sich nun dadurch ausführen, dass man ctg yKu als neue Veränderliche t benutzt. Dann kommt nämlich:

yxu = , *

y i+F

sin yKu =

yi+F'

cos

und

du = —

\ sin² y Ku .dt,

VK

sodass sich für v ergiebt:

m r    dt

aykJ tj/l²^²-w²(i +T²) n

oder integriert:

arc sin

oder:

yÄ² — m² t

sin {A yKv + n) =

yA² -

in

d. h., wenn wieder ctg ]/ Ar u für t gesetzt wird:

(19)

sin (A yKv + n) =

y a² -

tg yKu.

Diese Grleichung zwischen u und v, die ausser den durch den Wert (18) von p bedingten Constanten K und A noch die willkürlichen Constanten m und n enthält, stellt also die oo² geodätischen Curven der zu (18) gehörigen Rotationsfläche constanter Krümmung dar. Wir können die Gleichung auch so schreiben:

y A² — m

cos n . sin A ]/A v . ctg yKu -f sin n . cos A yK v . ctg⁻ yKu —

Wenn wir jetzt die neuen Parameter einführen:

(20)

]/ A² — m²

ü = sin A \'K v . ctg ]/K u , v — cos A 1/Kv . ctg j/Ku , so nimmt die Gleichung der geodätischen Curven die Form an: cos n . ü + sin n . v —

wobei n und m die willkürlichen Constanten sind. Mit m ist aber auch die rechte Seite eine willkürliche (konstante, etwa l, sodass wir haben:

(21)

(n, l = Const.).

cos n . ü + sin n .v — l

Also hat sich ergeben:

Satz 7: Man kann auf einer Rotationsfläche constanter Krümmung solche Parameter ü und v einführen, mittels deren die geodätischen Curven der Fläche durch die allgemeine lineare Gleichung

Const. u + Const. v = Const.

dargestellt werden.

§ 2. Geodätische Abbildung von Flächen.

Die Differentialgleichung der geodätischen Curven einer Fläche kann man nach Satz 5, S. 408, aufstellen, sobald man nur die Fundamentalgrössen erster Ordnung der Fläche als Functionen der Parameter kennt. Hieraus können wir einen wichtigen Schluss ziehen: Wenn es möglich ist, eine Fläche auf eine andere zu verbiegen, so -kann man entsprechenden Punkten beider Flächen gleiche Parameter beilegen, und dann stimmen die Fundamental-grossen erster Ordnung auf beiden Flächen nach Satz 5, S. 275, mit einander überein, folglich auch die Differentialgleichungen der geodätischen Curven auf beiden Flächen, sodass sich ergiebt:

Satz 8: Verbiegt man eine Fläche, so sind ihre geodätischen Curven auch nach der Verbiegung geodätische Curven.

Übrigens leuchtet dieser Satz für die kürzesten Curven wegen der Längentreue bei der Verbiegung (vgl. S. 278) ohne weiteres ein, aber nicht jede geodätische Curve ist eine kürzeste Linie. Freilich ist der Satz auch für die geodätischen Curven überhaupt leicht geometrisch einzusehen, da die unendlich kleine Änderung einer Flächen-curve, auf die wir im vorigen Paragraphen die Einführung der geodätischen Curven stützten, auf der verbogenen Fläche genau zu demselben Ergebnis wie auf der alten Fläche führt, denn die Verbiegung ist ja nach. S. 274 eine in den unendlich kleinen Teilen congruente Abbildung.

Man kann nun die Frage aufwerfen, ob sich der Satz 8 umkehren lässt, ob also alle diejenigen punktweisen Abbildungen einer Fläche, bei denen jeder geodätischen Curv.e der einen Fläche eine geodätische Curve der anderen entspricht, Verbiegungen sind. Wir werden derartige Abbildungen geodätische Abbildungen nennen. Alsdann können wir die Frage so formulieren: Ist jede geodätische Abbildung eine Verbiegung?

Sicher braucht sie es für eine Rotationsfläche von con-stanter Krümmung nicht zu sein. Denn nach dem Satze 7 des vorigen Paragraphen lassen sich auf einer Rotationsfläche constanter Krümmung K solche Parameter u, v einführen, in denen die geodätischen Curven der Fläche durch die allgemeine lineare Gleichung in u und v:

(1)

Const. u + Const. v = Const.

dargestellt werden. Wenn man nun dem Punkte (u, v) der Fläche denjenigen Punkt einer Ebene zuordnet, der die rechtwinkligen Coordinaten u, v hat, so liegt eine punktweise Abbildung der Fläche auf die Ebene vor. In der Ebene mit den rechtwinkligen Coordinaten u, v ist aber (1) die Gleichung einer Geraden, d. h. einer geodätischen Curve. Durchläuft der Punkt {u, v) auf der Fläche eine geodätische Curve, so thut sein Bildpunkt (u, v) in der Ebene dasselbe, d. h. die Abbildung ist geodätisch. Sie ist aber keine Verbiegung, sobald das constante Krümmungsmaass 0 ist, wegen Satz 7, S. 275.

Im Falle einer Rotationsfläche constanter Krümmung ist die aufgeworfene Frage demnach zu verneinen. Dasselbe gilt überhaupt für Flächen constanter Krümmung. Denn nach Satz 18, S. 301, lässt sich jede Fläche von der constanten Krümmung K auf eine Rotationsfläche von dieser Krümmung verbiegen, sodass sich Satz 7 wegen Satz 8 so verallgemeinern lässt:

Satz 9: Auf jeder Fläche von constanter Krümmung giebt es solche Parameter, in denen die geodätischen Curven der Fläche durch die allgemeine lineare Gleichung zwischen den Parametern dargestellt werden.

Indem wir nun dazu übergehen, die aufgeworfene Frage allgemein zu beantworten, bemerken wir gleich vorweg, dass wir erkennen werden, dass die Frage zwar im allgemeinen, bei beliebigen Flächen, zu bejahen, aber nicht nur für die Flächen von constanter

Krümmung, sondern für eine sie umfassende grössere Familie von Flächen zu verneinen ist.

Wir nehmen also jetzt an, es seien zwei Flächen geodätisch auf einander abgebildet. Keine der beiden Flächen sei aber die Tangentenfiäche einer Minimalcurve, auch sei die Abbildung nicht etwa so beschaffen, dass einer und nur einer Schar von Minimal-curven der einen Fläche eine Schar von Minimalcurven auf der anderen Fläche entspreche. Es sind dies Voraussetzungen, die im Falle der reellen Abbildung zweier reeller Flächen stets erfüllt sind. Nach Satz 49, S. 96, giebt es auf der einen Fläche mindestens ein (im reellen Falle reelles) Orthogonalsystem, dem auf der anderen wieder ein (im reellen Falle reelles) Orthogonalsystem entspricht. Wählen wir die Curven dieser Orthogonalsysteme als Parameterlinien, indem wir einander entsprechenden Curven beider Systeme gleiche Parameterwerte u bez. gleiche Parameterwerte v beilegen, so liegen also folgende Voraussetzungen vor:

Auf beiden Flächen bilden die Parameterlinien Orthogonalsysteme, und einander entsprechende Punkte beider Flächen gehören zu demselben Wertepaare der Parameter u, v. Nach Satz 13, S. 34, haben die Quadrate der Bogenelemente der beiden Flächen die Formen:

(1)

ds² = E du² + Gdv²,

ds² = Edu² + Gdv².

¹

Hierauf hat Darboux in seinen „Le<jons sur la theorie generale des surfaces“, 2. partie, Paris 1889, aufmerksam gemacht.

²

   Im Jahre 1697 stellte Joh. Bernoulli im Journal des Savans das Problem, die kürzesten Linien auf einer Fläche, insbesondere auf einer Rotationsfläche zu bestimmen. In einem Briefe an Leibniz aus demselben Jahre teilte er mit, dass er die Aufgabe auf eine Differentialgleichung zurückgeführt habe. Leibniz antwortete darauf, dass er schon früher eine Methode zur Lösung gefunden habe, jedoch zur wirklichen Durchführung der Rechnung nicht gekommen sei. Auf eine Aufforderung hin setzte Leibniz seine Methode in einem Briefe an Joh. Bernoulli 1698 auseinander (siehe „Got. Gul. Leibnitii et Johan. Bernoulli commercium philosophicum et mathematicum“, Lausanne u. Genf 1745, wieder abgedruckt in „Leibnizens mathematischen Schriften“, hgg. von Gerhardt, 1. Abt. Bd. III, Halle 1855). Die Andeutung, die er giebt, zeigt, dass er sich vorstellt, zwei unendlich benachbarte Punkte A und B der Fläche seien auf der fraglichen Curve angenommen, auf der Schnittlinie ihrer Tangentenebenen, durch die er sich dort die Fläche ersetzt denkt, muss man dann einen Punkt C so bestimmen, dass A G + CB ein Minimum wird. Joh. Bernoulli antwortete darauf in demselben Jahre (siehe die oben erwähnten Sammelwerke), dass er eine andere Methode gefunden habe, die sich darauf gründe, dass die Ebene durch drei benachbarte Punkte der gesuchten Curve auf der Tangentenebene der Fläche senkrecht stehe, was offenbar auf unser obiges Ergebnis hinauskommt. Ygl. hierzu Stäckel, „Bemerkungen zur Geschichte der geodätischen Linien“, Leipziger Berichte 1893. Daselbst wird auch der Ursprung der Bezeichnung: geodätisch aufgedeckt.

³

   Es ist wenigstens sehr wahrscheinlich, dass Joh. Bernoulli auf diesem Wege zu seinem in voriger Anmerkung erwähnten Ergebnis gelangt ist.

⁴

Jacob Bernoulli bestimmte in den Acta Eruditorum, Leipzig 1698, die geodätischen Curven auf einer Rotationsfläche und gelangte durch Quadraturen zum richtigen Ziel, obgleich sein Verfahren fehlerhaft war. Alsdann stellte Clairaut einen wichtigen Satz über die geodätischen Curven auf Rotationsflächen auf, den wir afileiten werden. Siehe seine: „Determinations geomc-trique de la perpendiculaire 4 la meridienne tracee par M. Cassini avec plusieurs möthodes d’en tirer la grandeur et la figure de la terre“; Mem. de l’Acad. de Paris pour l’annee 1733, Paris 1735.

⁵

sin a

woraus folgt, dass

Die geodätischen Curven der ersten Fläche genügen nach Satz 4, S. 407, der Gleichung:

2 [u v" — v u") —

^U'3₊ (2 G { G

2*2-)u'v’² + —v³ = 0.

E)    E

Bei der zweiten Fläche tritt an ihre Stelle die in E und G geschriebene Gleichung. Sollen nun die geodätischen Curven beider Flächen einander entsprechen, so müssen beide Gleichungen übereinstimmen. Dies führt zu den vier Bedingungen:

Ev Ev

(2)

/■;

Gu Eu G E ’

Ev _    _g -^v

~E ~ Q

Die beiden in der zweiten Zeile stehenden Gleichungen lassen sich so schreiben:

27

Scheffers , Geom. DifFr. II.

d i (G\ G²\ n du °gU ' E ) —    ’

8v \G G )

Der erste Numerus ist also eine Function xp von v allein, der zweite eine Function cp von u allein, so dass

E² E² . .

(3)

ist. Hieraus folgt:

*~n^;

ycp² ip

Y <p ip²

denn weder cp noch xp ist gleich Null, da sonst E oder G = 0 und also die erste Fläche gegen die Voraussetzung die Tangentenfläche einer Minimalcurve wäre. Bezeichnen wir die in der ersten dieser beiden Formeln vorkommenden dritten Wurzeln aus cp und xp mit U (u) und V (v), so kommt:

F- E E - IPV

G = B~uv^

wo e eine dritte Einheitswurzel, d. h. s³ = 1 ist. Aber wenn wir diese Werte in (3) einsetzen, so ergiebt sich 6=1. Also haben wir:

E U²V ’

(4)

G= *

UV²

wo U eine Function von u allein und V eine Function von v allein bedeutet.

Jetzt bleibt noch die Befriedigung der in (2) in der ersten Zeile stehenden Gleichungen übrig. Setzen wir darin die Werte (4) ein, so kommt:

d log E

= - V, (U — V)-d d^ G = U'.

Wir wollen zunächst annehmen, es sei U — V =j= 0. Alsdann folgt:' 8 log E _ 8 log {U —V)    8 log G _ 8 log (U — V)

(5)

(u-n

oder, wenn 1 eine Function von u allein und pt eine Function von v allein bedeutet:

E = 1(U — V),

G = fx(U— V),

U- V

sodass (4) noch

UV²

liefert. Nach (1) sind demnach:

ds² = (U—V)(Xdu² + ydv²),

ds² =

üDÄr[vdu2 + ydv²^

die Quadrate der Bogenelemente beider Flächen. Hätten wir nun von vornherein auf beiden Flächen

meter statt u und v benutzt, was erlaubt ist, so hätten wir in diesen Formeln X = y = 1 gehabt. Also lassen sich die Quadrate der Bogenelemente beider Flächen auf die einfacheren Formen bringen:

fyXdu und J'Y/udv

als Para-

(6)

ds² = (TJ— V)(du² + dv²), ds² = (i - i) + d-fj ■

In dem bisher ausgeschlossenen Falle U—F = 0 ist U = V = Const., weil U nur von u und V nur von v abhängt. Dann ist (5) erfüllt, und (4) lehrt, dass

(7)

(c = Const.)

ist. Aber wenn wir die erste gegebene Fläche ähnlich vergrössern, etwa vom Anfangspunkt aus, sodass die rechtwinkligen Coordinaten x, y, z m ax, ay, az übergehen, wobei a constant ist, so treten an die Stelle von E und G nach XI {Ä) die Grössen a² E und a² G. Wenn wir a = ]/c setzen, so zeigt (7), dass zu den Flächen, die auf die erste geodätisch abgebildet sind, insbesondere diejenigen gehören, die der ersten Fläche ähnlich sind, und nach Satz 8 also alle Flächen, die aus diesen ähnlichen Flächen durch Verbiegung hervorgehen.

Wir erkennen also, dass im allgemeinen jede geodätische Abbildung eine Verbiegung, eventuell verbunden mit einer ähnlichen Vergrösserung ist. Eine Ausnahmö tritt nur in dem Falle ein, wo sich die Quadrate der Bogenelemente beider Flächen auf die Formen (6) bringen lassen.

Dabei haben wir oben von vornherein die Annahme ausgeschlossen, dass einer Schar von Minimalem¹ ven der einen Fläche — und zwar nur einer Schar — eine Schar von Minimalcurven auf der anderen Fläche entspricht; wie gesagt tritt dieser Fall hei reeller Abbildung nie ein, weshalb wir auch hierauf nicht weiter eingehen wollen.

Unser Ergebnis ist, wenn wir in (6) noch V durch — V ersetzen, dieses:

27*

Satz 10:¹ Soll eine Abbildung einer Fläche auf eine andere Fläche geodätisch sein und wird dabei nicht etwa eine und nur eine Schar von Minimalcurven der einen Fläche als ebensolche Schar auf der anderen abgebildet, eine Möglichkeit, die bei reeller Abbildung nie eintritt, so ist die Abbildung im allgemeinen eine solche Beziehung zwischen beiden Flächen, bei der die zweite Fläche aus der ersten durch ähnliche Vergrösserung und Verbiegung hervorgeht. Dies ist nur dann nicht der Fall, wenn die Flächen so beschaffen sind, dass sich die Quadrate ihrer Bogenelemente gleichzeitig, d. h. mittels Parameter u, v, die auf beiden Flächen einander entsprechenden Punkten zugehören, auf die Formen bringen lassen:

ds² = {U+F)(du² + dv*),

ds^

dv²

r)’

wo U eine Function von u allein und V eine Function von v allein ist.

Dies führt uns zur Familie derjenigen Flächen, bei denen sich das Quadrat des Bogenelementes auf die Form

(8)

ds² — [U(u) + V(u)] [du² + du²]

bringen lässt.² Denn auch die Fläche, deren Bogenelement-Quadrat die im Satze angegebene zweite Form ds² hat, lässt sich dieser Form (8) unterordnen. Wenn man nämlich bei ihr

Cdu _ C dv

JyW~u’ JyTf~v

als Parameter einführt, sodass u eine Function von u allein und v eine Function von v allein ist, so kommt:

ds² = -

j (d ü² -f- d v²).

¹ Dieser Satz und seine Ableitung rührt her von Dini

„Sopra un

problema che si presenta nella teoria generale delle rappresen-tazioni geografiche di una superficie su di un’ altra“, Annali di Matern, t. III (1869), und zwar mit der in ihm ausgesprochenen Einschränkung, die Dini allerdings nicht ausdrücklich erwähnt hat, weil er nur reelle Abbildungen ins Auge fasste.

² Man nennt diese Flächen LiouviLLE’sche Flächen, weil Liouville durch seine Note III: „Theoreme concernant l’int6gration de l’equation des lignes geodesiques“ zu Monge’s „Application“, 5. Aufl., Paris 1850, zuerst auf diese interessante Flächenfamilie aufmerksam gemacht hat.

bez.

als eine Function U von u allein bez. eine Function V von v allein darstellbar, sodass kommt:

ds² — (U + V) {dü² + dv²),

also, abgesehen von der Bezeichnung, die Form (8).

Zu den Flächen, deren Bogenelement-Quadrat auf die Form (8) gebracht werden kann, gehören insbesondere die Flächen con-stanter Krümmung K, denn nach Satz 17, S. 301, lässt sich ihr Bogenelement-Quadrat auf die Form:

4 du dv

K (u + v)²

Hierin ist

ds² = —

bringen. Wenn wir hierin

v = u — iv

setzen, so kommt:

ds² = -

KÜ-²

(idü² + dv²),

eine Form, die als Specialfall in (8) enthalten ist.

Auch die Rotationsflächen gehören zu den durch (8) charakterisierten Flächen, denn nach S. 41 lässt sich ds² bei einer Rotationsfläche auf die Form:

oder also:

ds² = du² + p² (u) d v²

ds²

=+ivi)

bringen, die sofort als ein Specialfall aus (8) hervorgeht, sobald man

I statt u als den einen Parameter benutzt.

J P

Hieraus schliessen wir nach Satz 5, S. 275, dass auch die auf Rotationsflächen verbiegbaren Flächen zu denjenigen Flächen gehören, bei denen sich ds² auf die Form (8) bringen lässt, insbesondere also nach Satz 15, S. 293, die Schraubenflächen.

Liegt eine Fläche vor, deren Bogenelement-Quadrat die Form (8) hat, so ist die Differentialgleichung ihrer geodätischen Curven nach Satz 4, S. 407, wegen:

(9)

F= 0

diese:

(10)

(U'v- V' u) (u'² + v²) + 2 {U + V) {u v" - v u") = 0.

sin «

(14)

p sin a = m

(m = Const.)

Wollen wir die geodätischen Curven der Fläche bestimmen, so handelt es sich um die Aufgabe, u und v so als Functionen eines Parameters t zu bestimmen, dass sie mit ihren ersten und zweiten Differentialquotienten der G-leichung (10) für alle Werte von t genügen, wobei zu beachten ist, dass TJ als Function von u und V als Function von v auch Functionen von t sind. Es ist:

__ jjr du

dü

dV

sodass wir (10) auch so schreiben können:

v' dTJ_ u! d V u' dt    v' dt

(11)

+ 2 (U+F)

u'v"-v'u"

u² + v'²

= 0.

Der letzte Bruch hierin ist aber der Differentialquotient nach t von arctg (v : u). Da v : u auch in den beiden ersten Gliedern auf-tritt, so veranlasst uns dies, den Winkel cc, dessen Tangente gleich v : u ist, als Hülfsgrösse einzuführen. Wir setzen also:

u = o cos a,

(12)

v — q sin a,

wo p und a noch unbekannte Functionen von t sind. Jetzt nimmt (11)- die Form an:

dU

dV

oder, wenn wir mit sin «cos« multiplicieren:

• o d U    o

Sin"⁵ « • —T---cos² « •

dV

dt

dt + 2 (£7+ V) sin « cos «-^ = 0.

Es ist aber

siri² « •

dU

dt

+ 2 Usin « cos «

dt

der Differentialquotient von sin² «. U nach t und

cos² a •

dV

— 2 V sin a cos a

dt

der Differentialquotient von cos² a. V nach t, sodass sich ergiebt, dass sin² a. TJ — cos² a.V — a

(13)

[a = Const.)

sein muss. Aber nach (12) ist: sin² a =

u't + v'* ’

cos² « =

u'*

u't + v'* ’

sodass folgt:

v² U — u² V = a (u ² + v²)

oder;

oder auch:

u'² (V + a) = v2, (U — a)

u'

vr

]/U-a

Da links nur u und u und rechts nur v und v auftritt, so folgt hieraus durch Quadraturen:

yv+a

(14)

r du r dv

J ~J

(b = Const.)

yv+a

Hat man die Quadraturen ausgeführt, so ergieht sich eine Gleichung zwischen u, v und den beiden willkürlichen Constanten a, b. Sie gilt für alle geodätischen Curven der Fläche, deren Bogenelement-Quadrat die Form (8) hat, und stellt demnach die oo² geodätischen Curven der Fläche dar.

Da die Parametercurven (m) und (v) zu einander orthogonal sind, so hat der vorhin benutzte Hülfswinkel a eine einfache geometrische Bedeutung. Es ist nämlich, wenn der Punkt {u, v) zum unendlich benachbarten Punkte (u + du, v + dv) oder (u + u dt, v -y v dt) auf einer geodätischen Curve fortschreitet, der Cosinus des Winkels dieser Fortschreitungsrichtung mit der Fortschreitungs-richtung längs der Parametercurve (v) nach (9) und Satz 10, S. 32, gleich:

u'

yu,2 + v*

da jetzt in jenem Satze k — v:u und % = 0 zu setzen ist. Die Tangente dieses Winkels ist also gleich + v : u, sodass der durch (12) eingeführte Winkel a einer derjenigen Winkel ist, den die geodätische Curve im Punkte (u, v) mit der hindurchgehenden Parametercurve (u) bildet.

Ist die Fläche insbesondere die Rotationsfläche (vgl. S. 41): x = p(u) cos v, y = p{u) sin v,    z — q (u)

mit der Bogenlänge u auf den Meridianen, sodass ds²

ist oder, wenn

= P²(~r + <t’’²)

r du

J P

und v

als neue Parameter ü und v benutzt werden, wobei d s² = p² {d ü² + d v²)

wird und p² eine Function von ü allein ist, so giebt die Vergleichung mit (8), dass jetzt ü und v statt u und v und ausserdem U = p², V — 0 zu setzen ist, somit statt (13) kommt:

p² sin² a = a .

Die auf S. 412 aufgestellte Formel (14) ist also nur ein specieller Fall der jetzigen Formel (13). Der damals formulierte Satz 6 ist mithin einer Verallgemeinerung auf beliebige solche Flächen fähig, deren ds² auf die Form (8) gebracht werden kann; diese Verallgemeinerung ist eben die Formel (13).

Unser Ergebnis wollen wir so zusammenfassen:

Satz 11:¹ Kann das Quadrat des Bogenelementes einer Fläche auf die Form:

ds² = {ü+ V)[du² + dv²)

gebracht werden, wo U eine Function von u allein und V eine Function von v allein ist, so liefert die Ausführung der Quadraturen in:

r du    r

J ]/üG-~ä J

(a, h = Oonst.)

VV+a

die Gleichung der oo² geodätischen Curven der Fläche.

Wir wollen jetzt wieder das Problem der geodätischen Abbildung aufnehmen, indem wir die allgemeinen Ergebnisse des Satzes 10 benutzen und uns fragen, welche Flächen sich geodätisch auf die Ebene abbilden lassen.

Zunächst selbstverständlich die auf die Ebene verbiegbaren Flächen, d. h. die sogenannten abwickelbaren Flächen. Durch ähnliche Vergrösserung gewinnen wir aus ihnen keine neuen Flächen.

Um diese trivialen Fälle auszuschliessen, fragen wir daher:

Welche nicht-abwickelbaren Flächen lassen sich geodätisch auf die Ebene abbilden?

Wenn wir wie in Satz 10 zunächst von dem bei reeller Abbildung nie vorkommenden Fall absehen, dass gerade und nur der einen Schar von Minimalgeraden der Ebene eine Schar von Minimal-curven auf der Fläche entsprechen, so bleibt nach Satz 10 nur noch die Annahme übrig, dass das Quadrat des Bogenelementes in der Ebene auf die Form

ds² = (U + V) [du² + dv²)

Satz von Liouville, vgl. die 2. Anm. zu S. 420.

und auf der gesuchten Fläche auf die Form:

du²

(16)

ds² = —

U + V.

dv²

gebracht werden kann. Dass das Er3tere möglich ist, folgt daraus, dass die Ebene zu den vorhin angeführten besonderen Flächenarten gehört.

Wir haben nun, um die fraglichen Flächen zu bestimmen, die für die Ebene und die auf sie abwickelbaren Flächen charakteri

stische Eigenschaft zu benutzen, dass ihr Krümmungsmaass K — 0 ist (nach Satz 90, S. 214). Das Krümmungsmaass lässt sich aus den Fundamentalgrössen erster Ordnung, die aus (15) folgen:

F= 0,

e=u+v,

G = U+ V

nach XVII (i?) leicht berechnen, da U nur von u und V nur von v abhängt. Es kommt:

(17)

[u,2 + ra-(u+ v){ü" + V")].

2 (U+ Vf

Da sich übrigens das ßogenelement-Quadrat (16) durch Einführung der neuen Parameter

du

yu

yy

wie schon auf S. 421 erwähnt wurde, auf die zu (15) analoge Form: ds²={Ü+ V){dü² + dv²)

bringen lässt, wo

~ü>

ist, so ist analog (17) das Krümmungsmaass der zu (16) gehörigen Fläche:

2(Z7+ Vf

[U'a+ r²-[Vy V){U"+F"j].

Führen wir hierin wieder die Parameter u und v ein, so kommt, weil

= «■ yr

du

= yu,

ist:

(18)

[i(3P + V)F²U'²- \(U + 3F)U²F² +

₊ UV(U+ V)[TJV" — VU")~\ .

Weil nun, wie gesagt, K — 0 sein muss, so folgt aus (17), dass

2 07 + Vf

(19)

V² - VV” - (UV” + VTJ”) + F²- VF' = 0

sein muss.

Wir werden also versuchen, die Functionen U von u

und V von v in allgemeinster Weise so zu bestimmen, dass sie für alle Werte von u und v der Bedingung (19) genügen, aus der durch successive Differentiation nach u und v sofort noch folgt:

v v" + r u"' = o.

Da U und V keine Constanten sind, weil sonst K nach (18) gleich Null, die gesuchte Fläche daher gegen die Voraussetzung abwickelbar wäre (nach Satz 90, S. 214), so können wir hierfür schreiben:

(20)

y"

U'"

V'

W’

es sei denn, dass etwa nur U = Const., aber V =j= Const. wäre. Erledigen wir daher vorerst die Annahme:

ü= a,

F4= 0

(a = Const.).

In diesem Falle giebt (19):

- aV" + V'²- VV"= 0,

woraus folgt, dass die Function cp — V -f- a von v allein die Bedingung:

oder:

cp'² — cp cp" = 0

d² log cp _ 0 dv⁸

erfüllt, logge also linear in v oder cp von der Form:

(b, c = Const.)

ist, so dass kommt:

cp = b ecv

(21)

a,

V — cp — a = b ecv — a .

Setzen wir diese Werte in (18) ein, so ergiebt sich für K ein con-stanter Wert. In diesem Falle also ist die fragliche Fläche von constanter Krümmung. Im Falle ?/'=(= 0, V = Const. ergiebt sich dasselbe.

Dasselbe ergiebt sich nun aber auch im allgemeinen Falle, in dem (20) gilt und weder U' noch V gleich Null ist. Denn in diesem Falle lassen sich die Formen von U und V so finden: Da in (20) links nur v, rechts nur u auftritt, so sind beide Seiten ein und derselben Constanten gleich, die wir mit c² bezeichnen wollen. Alsdann haben wir:

V" == - c² ü’,

oder:

d² TJ'

du²

= - c² JJ',

d? V'

dv²

= c² V.

Die Functionen JJ' von u und V von v haben also die Eigenschaft, dass sie mit ihren zweiten Differentialquotienten bis auf einen con-stanten Factor — c² bez. c² übereinstimmen. Eine solche Erscheinung lag vor kurzem auf S. 413 vor, und wie dort benutzen wir auch hier das Ergebnis in I S. 98, 99, wo es sich in (6) um eine Function x von s handelte, deren zweiter Differentialquotient gleich — Kx [K = Const.) war, und von der wir sahen, dass sie die Form (8) haben muss. Indem wir für s jetzt u bez. v, für x jetzt JJ' bez. V und für K jetzt c² bez. — c² setzen, erhalten wir also:

JJ' = Const. cos c u + Const. sin cu,

V' — Const. cos i c u + Const. sin i c u, sobald c =j= 0 ist, woraus durch Integration folgt:

JJ — ax cos cu bx sin cu + m V = a₂ cos icv + b₂ sin i c v + m

wo alf a₂, b₂, c, m₁ und m₂ Constanten sind. Setzen wir diese Werte in (19) ein, so kommt:

(22)

(ml + m₂)(ax cos cu + bx sin cu — a₂ cos icv — b₂ sin icv) +

+ al*+b₁*-a₂*-b₂ 2 = 0.

Wäre m₁ + m₂ =f= 0, so müsste = bx = a₂= b₂ = 0, also JJ' — V — 0 sein, was gegen die Voraussetzung ist. Mithin kommt:

ai² +    2 = ß2² ff" ^2² •

+ m₂ = 0,

Diese Bedingungen erfüllen wir, indem wir neue Constanten m, n, a, ß einführen und setzen: m₁ =

mo = — m,

= n cos a, = n cos i ß,

b₁ = n sin u, b₂ — n sin i ß,

sodass (22) giebt:

JJ — n cos (c u — cc) + m,

V = n cos i(cv — ß) — m

Setzen wir diese Werte in (18) ein, so ergiebt sich für K eine Con-stante, d. h. die fraglichen Flächen haben constante Krümmung.

Im Falle c = 0, der analog und leicht zu erledigen ist, ergiebt sich dies ebenfalls.

(23)

(m, n, a, ß, c = Const.).

Oben sahen wir schon in Satz 9, dass es auf jeder Fläche constanter Krümmung solche Parameter u, v giebt, in denen sich die geodätischen Curven durch die allgemeine lineare Gleichung in u und v darstellen, was — wenn u und v als rechtwinklige Punkt-coordinaten in der Ebene gedeutet werden — darauf hinaus kommt, dass sich die Flächen constanter Krümmung so auf die Ebene abbilden lassen, dass jeder geodätischen Curve eine Gerade in der Ebene entspricht. Unsere letzten Betrachtungen gestatten uns nun, diesen Satz umzukehren und zwar, da die abwickelbaren Flächen die constante Krümmung Null haben, in dieser Weise:

Satz 12:¹ Die Flächen constanter Krümmung und nur diese Flächen lassen sich geodätisch auf die Ebene abbilden.

Wir haben in diesem Satze gar nicht erwähnt, dass wir die im reellen Falle allerdings nie eintretende Möglichkeit ausgeschlossen hatten, dass die eine und nur die eine Schar von Minimalgeraden der Ebene als eine Schar von Minimalcurven abgebildet werde. Es lässt sich nämlich zeigen, dass auch in diesem Falle nur Flächen constanter Krümmung, nämlich abwickelbare Flächen hervorgehen. In der That: Führen wir in der xy-Ebene die Grössen x + iy und x — iy als Parameter u, v ein, so ist

d s¹ 2 = du dv

das Quadrat ihres Bogenelementes. Benutzen wir auf der Fläche, die auf die Ebene abgebildet werden soll, die den Minimalgeraden (u) und (u) der Ebene entsprechenden Curven als Parameterlinien, so sei

ds² = Edu² -f- 2 Fdudv + Ö dv²

das Quadrat ihres Bogenelementes, während bei der Ebene F = G = 0 F = \ ist. Da nur den Minimalgeraden der einen Schar, etwa den Geraden (u), Minimalcurven auf der Fläche entsprechen sollen, so muss ds² für du = 0 auch verschwinden, d. h. es ist G = 0. Dagegen ist A” =j= 0, F=|= 0 anzunehmen, weil die Fläche sonst abwickelbar wäre. Nach Satz 4, S. 407, ist wegen E = G — 0, F — i jetzt

v'u" — uv" — 0

die Differentialgleichung der geodätischen Curven in der Ebene, und, da G — 0 ist:

*>'<*" - «'»") + W.- i K) - i-f-SLl“'³ +

+ F(FU-§    = ü

die Differentialgleichung der geodätischen Curven auf der Fläche. Soll die Abbildung geodätisch sein, so müssen beide Differentialgleichungen übereinstimmen. Hieraus folgt zunächst wegen des letzten Gliedes, dass F nur u enthalten darf, und dann weiterhin, dass

tUP-ify-iFS.- 0,

Da F nur u enthält und G — 0 ist, so ergiebt sich als

sein muss.

Krümmungsmaass K der Fläche nach XVII (B):

Evv 2 F³ 4

Soeben aber ergab sich, dass Ev nur von u abhängt, sodass K = 0, die Fläche also, wie behauptet wurde, abwickelbar sein muss (vgl. Satz 90, S. 214).

Daher durften wir unser Ergebnis in der Form des obigen Satzes 12 ohne Einschränkung aussprechen.

ein.

die geodätische Abbildung einer Rotationsfläche von constanter Krümmung auf die Ebene direct ausgeführt haben.

Es ist nicht ohne Interesse, die in (23) gewonnenen besonderen Formen von U und V in das Bogenelement-Quadrat (15) der Ebene einzusetzen und zu untersuchen, was für Curven in der Ebene die Parameterlinien [u] und (u) sind; wir gehen darauf nicht Wir begnügen uns vielmehr damit, dass wir auf S. 413—415

perspectiv auf die andere Ebene projiciert. Man nennt deshalb auch die geodätische Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene eine projective Abbildung. Will man sie aber analytisch bestimmen, so kann man so verfahren:¹ Sind u, v in der einen Ebene rechtwinklige Coordinaten und fasst man längs einer Curve v als Function von u auf, so ist

(24)

d²v du²

die Differentialgleichung der geodätischen Curven, d. i. der G-eraden, da sie ja aussagt, dass v linear und ganz in u ist. Ist nun derjenige Punkt der zweiten Ebene, der dem Punkte (u, v) der ersten entspricht, mit denselben Parametern versehen, so seien:

x = cp (u, v), die Gleichungen der zweiten Ebene. Hier ist

d²y dx²

(25)

(26)

y = ip{u,v),

die Differentialgleichung der geodätischen Curven (Geraden), da sie ja aussagt, dass y linear und ganz in x ist. Aber x und y sind die durch (25) definierten Functionen von u und v. Nach (25) ist:

dy

dy _ du _ ipu + ipvv' dx dx cpu -f <pv v'

du

wenn wir auch auf der zweiten Ebene längs der geodätischen Curven (Geraden) u als Parameter benutzen und der Strich die Differentiation nach u andeutet. Weiter folgt hieraus:

d²y

dAt

du du

d ipu + yjyv’ <Pu + qp» v'

cpu + <pv V

Führen wir die letzte Differentiation aus, indem wir immer dabei v als Function von u betrachten, so finden wir, dass die Differentialgleichung (26) der geodätischen Curven (Geraden) der zweiten Ebene die Form hat:

Cipuu + 2 ipuv v’ + ipvv v'² + yjv v") {cpu + cpv v’) -- (cpuu + 2 cpuv v' -f- cpvv v'² + <pv v") {yju + ifjvv0 = 0.

Soll die Abbildung geodätisch sein, so muss sich diese Gleichung auf die Gleichung (24) oder v” = 0 reducieren. Dies führt auf die vier Bedingungen — indem die Coefficienten von V³, v'², v' und das von v' freie Glied einzeln gleich Null sein müssen:

Ipuu Cpu Cpuu Xpu 0 ,

(27)

¹ Wir wenden hier dieselbe Methode an, die wir in dem in der Anm. zu I S. 346 erwähnten Werke benutzt haben.

und zwar ist zu verlangen, dass diese Gleichungen für alle Werte von u und v richtig seien. Die erste und letzte Gleichung gehen:

8 log if>u 8 log <pu

8 log ipv _ d log <pv

sodass yju: cpu eine Function F von v allein und yjv: cpv eine Function von u allein sein muss, woraus folgt:

(28)

ipu F (pu , yjv U cpv.

Setzen wir diese Werte in die beiden mittleren Gleichungen (27) ein, so kommt: (u— V) cpuu cpv — 2 V cpj = 0,

(29)

(U— V) cpvv cpu 4- 2 U' cpv² = 0.

Ferner ergiebt sich, wenn wir aus jeder der Gleichungen (28) den Wert von yiuv berechnen und beide einander gleich setzen:

(U — V)cp uv — V' cpu + U' <pv = 0 .

Die erste Gleichung (29) giebt partiell nach u differenziert:

Cpv 4" Cpuu Cpuv)    d V Cpu Cpuu ⁼ ff

(80)

ü' Cpuu cpv 4- {ü - V) (cp

oder, wenn hierin die Werte von cpuu, cpuv und cpvv aus (29) und (30) eingesetzt werden:

6 F'² cpu³

Hieraus folgt, wenn wir für cpv den aus der ersten Gleichung (29) folgenden Wert einsetzen:

3 cpuu² -2 cpucpu

= 0,

was nach Satz 40, S. 78, aussagt, dass cp in u linear gebrochen sein muss. Da die Gleichungen (27) nur unter einander vertauscht werden, wenn u mit v vertauscht wird, so folgt, dass cp auch in v linear gebrochen sein muss. Also kommt:

at + btu + cxv + dyuv a + ßu + yv + 8uv ’

wo at, b1} c₁, d₁ und a, ß, y, 8 Constanten sind. Aus der Symmetrie der Formeln (27) folgt, dass ip dieselbe allgemeine Form hat und aus (28), dass wir die Nenner in cp und yj einander gleich annehmen dürfen, sodass kommt:

a₂ + b₂ u 4- c₂ ® + d₂ u v a + ßu + y v + 8 uv ’

cp =

V> =

wo a₂, h, c₂, d₂ Constanten sind. Setzen wir diese Werte von cp und yj in die beiden mittleren Gleichungen (27) ein, so folgt sofort dl = d₂ — 8 = 0, sodass bleibt:

cp =

a 4- ß u 4- Y v

yj =

a₂ 4- b₂u + c₂v

a 4- ß u 4- Y v

Diese Werte erfüllen alle vier Gleichungen (27). Somit haben wir den

Satz 13: Sind u, v rechtwinklige Coordinaten in einer Ebene, x, y rechtwinklige Coordinaten in einer zweiten Ebene, so wird die allgemeinste punktweise Abbildung der einen Ebene auf die

andere, bei der jeder Geraden der einen Ebene eine Gerade der anderen entspricht, durch zwei Gleichungen von der Form:

a₁+blu + c₁v

a₂ + b₂u + c₂v

« + ßu -f- yv

a + ßu + yv

gegeben, in denen at, b1} ex; a₂, b₂, e₂; a, ß, y Constanten sind und die beiden Nenner übereinstimmen.

Dies ist also die allgemeinste projective Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene.

§ 3. Orthogonale Trajectorien geodätischer Curven.

Mit Hülfe der geodätischen Curven lassen sich solche besondere Parameter auf der Fläche einführen, mittels deren manche flächentheoretische Probleme besonders bequem behandelt werden können. Nun ist es, wie schon hervorgehoben wurde (vgl. S. 411), allerdings im allgemeinen unmöglich, die geodätischen Curven auf einer gegebenen Fläche zu bestimmen, aber für viele Probleme genügt es zu wissen, dass sie überhaupt vorhanden sind, ohne dass es darauf ankommt, sie wirklich in endlicher Form dargestellt vor sich zu haben.

Wir nehmen an, es sei uns auf einer Fläche mit den Parametern u, v und dem Quadrate des Bogenelementes

ds² — Edu² 2 Fdudv -j- G dv²

eine Schar von oo¹ geodätischen Curven bekannt, die durch eine Gleichung

fji(u,v) — Const.

zwischen u und v definiert sei. Dieser Fall tritt bei manchen Flächen ein, so sind z. B. auf einer Rotationsfläche die oo1 Meridiane augenscheinlich geodätische Curven, da sie eben sind und ihre Hauptnormalen also in ihren Ebenen liegen. Liegt eine geradlinige Fläche vor, so sind die Geraden der Fläche solche bekannte oo¹ geodätische Curven, u. s. w.

Längs der nach Voraussetzung bekannten geodätischen Curven ja = Const. mögen die Incremente der Parameter u, v mit du und ö v bezeichnet sein. Dann ist

oder:

(1)

<5 v

El

Die zu diesen oo¹ geodätischen Gurren orthogonalen Trajectorien haben also überall solche Fortschreitungsrichtungen (idv.du), für die unter der Voraussetzung, dass die Fläche keine Tangentenfläche einer Minimalcurve sei, nach Satz 11, S. 33:

E + f(4^~ -*l)- g4^    = 0

\ du uv)    du (iv

oder:

(2)

{Egv - Ffiu) du + (Ffiv - G^ijdv = 0

ist. Es ist dies die Differentialgleichung erster Ordnung für die orthogonalen Trajectorien. Ist X (u, v) ein Integral dieser Gleichung (vgl. I S. 90), so ist

X (u, v) = Const.

die endliche Gleichung der oo¹ orthogonalen Trajectorien der oo1 geodätischen Curven fi = Const.

Wenn die geodätischen Curven fi = Const., wie wir voraussetzen wollen, keine Minimalcurven sind, so fällt die Schar X = Const. nicht mit ihnen zusammen, sodass X und fi von einander unabhängige Functionen von u und v sind (vgl. I S. 82, 83) und daher als neue Parameter benutzt werden können.

Jetzt wollen wir annehmen, in den Gleichungen:

y = '/{u,v), z = xp(u,v)

(3)

x = cp{u,v)

der Fläche seien u und v schon diese neuen Parameter, d. h, es seien die Parameterlinien (u) geodätische Curven, aber keine Minimalcurven, und die Parameterlinien (u) ihre orthogonalen Trajectorien. Nach Satz 13, S. 34, ist dann die Fundamentalgrösse F= 0. Ausserdem sind die geodätischen Curven (v) in der Form u = t, v = Const. darstellbar, sodass für sie v! = 1, u" = 0, v — 0, v" = 0 ist und daher nach Satz 4, S. 407, auch EEv= 0 sein muss. Da die Curven (/;) keine Minimalcurven sind, so ist E =(= 0, und daher er-giebt sich, dass E eine von Null verschiedene Function von u allein sein muss. Also ist jetzt:

(4)

d s² = E (u) d u² -f- G [u, v)dv².

Wir wollen die Bogenlänge s der geodätischen Curve (ü) berechnen, etwa gemessen von der Trajectorie (u = 0) an bis zu einer beliebigen Trajectorie (u). Längs der Curve (v) ist Ju = 0, also ds = ]/Edu, sodass für die Bogenlänge der Wert kommt:

s = j']/Edu .

o

Da E von v frei ist, so ergiebt sich derselbe Wert auf jeder geodätischen Curve (v), also:

Satz 14⁵: Zwei orthogonale Trajectorien einer Schar von oo⁵ geodätischen Curven auf einer Fläche, die keine Tangentenfläche einer Minimalcurve ist, schneiden auf allen diesen geodätischen Curven dieselbe Bogenlänge ab, vorausgesetzt, dass die geodätischen Curven keine Mini-malcurven sind.

Dieser Satz ist die Verallgemeinerung des Satzes 40, I S. 64, über Parallelcurven in der Ebene, denn in der Ebene sind ja die Geraden die geodätischen Curven. Man nennt daher die oo⁵ orthogonalen Trajectorien von oo⁵ geodätischen Curven eine Schar von Parallelcurven auf der Fläche.

Nachdem wir diesen Satz gewonnen haben, wollen wir noch einmal zu der vorhergehenden Betrachtung zurückgehen und die Frage, wie man die Differentialgleichung (2) der orthogonalen Trajectorien X = Const. einer Schar von oo⁵ gegebenen geodätischen Curven fi = Const. integriert, näher erörtern. Unser Satz 14 wird uns nämlich dabei helfen.

Angenommen, es seien y₀, yx, y₂ . . . eine Schar von oo⁵ gegebenen geodätischen Curven. Ferner seien c und c zwei unendlich benachbarte orthogonale Trajectorien dieser Schar. (Siehe Fig. 78.)

cf

Nach Satz 14 schneiden sie auf allen Curven y denselben unendlich kleinen Bogen §s ab.

1%

Fig. 78.

Aus einer orthogonalen Trajectorie c können wir daher leicht eine unendlich benachbarte c ableiten: Wir construieren in allen Punkten von c die zu den Tangenten von c senkrechten Tangenten der Fläche, d. h. die Tangenten der Curven y, und tragen auf ihnen dieselbe unendlich kleine Strecke § s ab. Der Ort der Endpunkte ist die Curve c.

Dies wollen wir analytisch verfolgen: Im Punkte (u, v) der Curve c hat die Tangente der Curve y die durch (1) bestimmte

Fortschreitungsrichtung (8v:8u), und es soll die Strecke 8s auf diese Tangente aufgetragen werden, d. h. es soll sein:

E8u² + 2 Fd u 8v -f- G 8v² = 8 s².

Hieraus und aus (1) folgt:

(6) 8u =

gv 8 s

yEgJ — 2 Fgu gv + G gj

— guö s

y E gv² - 2 F gugv + G g²

wo in beiden Formeln für die Quadratwurzel derselbe Wert zu nehmen ist.

Die Differentialgleichung (2) der orthogonalen Trajectorien der geodätischen Curven g — Const. hat demnach die Eigenschaft, dass jede ihrer Integralcurven h(u, v) — c in eine unendlich benachbarte Integralcurve übergeht, sobald man u und v die Incremente (6) erteilt, wenn 8 s längs der ganzen Curve dieselbe unendlich kleine Grösse bedeutet. Nach Satz 62, I S. 93, können wir daher einen Multiplicator der Differentialgleichung (2) angeben und diese Gleichung folglich durch eine Quadratur integrieren.

Ja noch mehr: Die Differentialgleichung (2) und die Werte (6) enthalten gu und gv nur in ihrem Verhältnis. Wir brauchen also g gar nicht zu kennen, sondern nur gv: gu als Function von u und v.

Wir brauchen also nach (1) nur die Fortschreitungsrichtungen {8v : 8 u) längs der geodätischen Curven g = Const. zu kennen. Dies aber ist der Fall, wenn die oo¹ geodätischen Curven nicht durch ihre endliche Gleichung g = Const., sondern durch ihre Differentialgleichung

a (u, v) d u + ß [u, v) d v = 0

gegeben sind, weil dann

also nach (1) auch gu: gv = cc:ß ist. Ersetzen wir dann gu und gv in (2) und (6) durch cc und ß, so liegt in (2) die Differentialgleichung der orthogonalen Trajectorien und in (6) eine solche unendlich kleine Ortsänderung vor, die jede dieser Trajectorien wieder in eine Trajectorie überführt, sodass der citierte Satz des ersten Bandes ergiebt:

Satz 15: Kennt man die Differentialgleichung erster Ordnung einer Schar von oo¹ geodätischen Curven auf einer Fläche, so verlangt die Bestimmung der orthogonalen Trajectorien dieser Schar nur eine Quadratur.

Wir wollen zeigen, wie man die Rechnung durchführen kann. Dabei wollen wir bei der früheren Voraussetzung bleiben, dass die Schar der oc¹ geodätischen Curven durch ihre endliche Gleichung /a = Const. gegeben sei. Ist dies nicht der Fall, liegt vielmehr nur ihre Differentialgleichung adu-]-ßdv — 0 vor, so ersetze man in dem Folgenden einfach fxu und fxv durch a und ß. Wenn man will, kann man übrigens die Gleichungen (6) mit Hülfe des Differentialparameters erster Ordnung von /x nach XX (A) so schreiben:

__Äs

DYÄ^ ’

(7)

natürlich D — ~]E G — F² sein soll.

Soll nun k (u, v) ein Integral der Differentialgleichung (2) sein, so muss sich (2) mit

wo

k du + k dv = 0

U    ¹ V

decken, woraus folgt:

(8)

(F/xv - G fiu) ku - {Ffxv - F(xu) kv = 0.

Ferner muss aus jeder Curve

k {u, V) — c

durch Ausübung der in (6) oder (7) angegebenen Änderung wieder eine Integralcurve

k(u-\-§u,v-\-Öv) — Const.

hervorgehen, d. h. es muss

oder also

k {u, v) + ku Su + kv Sv

(5 v

nach I S. 83 eine Function von k sein. Also fordern wir noch

oder, wenn wir hierin die Werte (6) einsetzen:

(9)

ftV ^u    ftu

VFfxV-- 2 F/xu fiv + G [iu*

= 03 (k) .

Übrigens ist <y(Z) nicht etwa gleich Null, weil sonst aus (8) und (9) folgen würde:

Ffiß - 2 F fxu fiv + G(xu² = 0,

was aussagen würde, dass die Curven gt = Const. gegen die Voraussetzung Minimalcurven wären, nach Satz 47, S. 385.

Die Integralcurven X = Const. kann man nun auch durch irgend eine Gleichung von der Form:

cp [u, u) = Const.

darstellen, sobald nur cp eine Function von X allein ist:

cp — jß (A).

Dann ist:

= LT X

Tv = &K-

Setzen wir die hieraus folgenden Werte:

2    __Tv

¹

Das Problem der geodätischen Abbildung einer Fläche auf die Ebene

²

wurde von Beltrami gestellt und gelöst. Siehe seine Abhandlung: „Riso-luzione del problema: Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette“, Annali di Matern, t. YII (1866). Am Schlüsse dieser Arbeit warf Beltrami die Frage nach der geodätischen Abbildung einer Fläche auf eine andere Fläche auf, eine Frage, die, wie wir in der 1. Anm. zu S. 420 schon angaben, alsdann von Dini 1869 beantwortet wurde.

³

   Beispiel: Die Kugel wird dadurch, dass man sie von ihrer Mitte aus perspectiv auf eine Ebene projiciert, augenscheinlich geodätisch auf die Ebene abgebildet. Man könnte also geographische Karten hersteilen, auf denen die grössten Kreise der Kugel als Geraden erscheinen, doch würden sie starke Verzerrungen aufweisen.

⁴

   Beispiel: Die allgemeinste geodätische Abbildung der Ebene auf die Ebene, d. h. die allgemeinste Abbildung, bei der jeder Geraden der einen Ebene eine Gerade in der anderen Ebene entspricht, kann man in verschiedenen Weisen bestimmen, so z. B. rein geometrisch. Man erkennt dann, dass sie erzielt wird, wenn man die Ebenen in passende Lagen gegen einander bringt und nun von einem passenden Centrum aus die eine Ebene

⁵

Satz von G-auss, der überhaupt in seinen „Disquisitiones“ (siehe die Anm. zu S. 5) eingehende Untersuchungen über die geodätischen Curven auf einer Fläche angestellt hat, wie sie bis dahin (1828) von keiner Seite versucht worden waren.

AV - Si'

in (8) und (9) ein, so kommt:

(F>w- G fxj cpu - (Efxv - Fgu)cpv = 0,

yiJgv² - 2 Fgug„ + G gu²

= co {X) L2' (A).

Wenn wir also:

d. h. L2

=fdl

CO (1)

annehmen, was wir thun dürfen, da co =)= 0 ist, so erkennen wir:

Die Integralcurven der Differentialgleichung (2) lassen sich in einer solchen Form

cp (u, v) = Const.

schreiben, dass:

(Fgv - G gu) cpu - {JE fiv - Efiu) cpv = 0,

}/E gv² — 2 Fgugv + G gu²

wird. Hieraus lassen sich cpu und cpv sofort berechnen. Es kommt:

<Pu =

Egv - Fgu

y E g² - 2 F gu gv + G g,²

<Pv =

F gv - G gu

VEgv² - 2 F gugv + G [lu

sodass eine Quadratur:

<P

=/

(Egv - Fgu)du + (F gv — Ggu)dv

y Eg² — 2 Fgugv+Ggü‘

die oo¹ orthogonalen Trajectorien cp = Const. liefert, wie in Satz 15 behauptet wurde.

Thatsächlich enthält die Formel für cp die Differentialquotiente fiu und (iv nur in ihrem Verhältnis. Ersetzen wir fiu und fiv durch und ß wie oben, so finden wir also:

Satz 16: Ist

a (u, v) d u + ß (u, v) d v = 0

die Differentialgleichung einer Schar von oo¹ geodätischen Curven, die keine Minimalcurven sind, so ist

(Eß - Fa)du + (Fß - Qä)dv

VEß² - 2 Fa ß + ff«²

das vollständige Differential einer Function <p{u,v), und die Gleichung

cp (u, v) = C o n s t.

stellt die oo¹ orthogonalen Trajectorien jener Schar dar.

Beispiel: Auf einer geradlinigen Fläche sind die Geraden geodätische Curven. Nach Satz 15 oder 16 findet man also die orthogonalen Trajectorien der Geraden durch eine Quadratur. In der That haben wir sie so auf S. 217, 218 bestimmt. Der damalige Satz 92 ist ein specieller Fall unseres Satzes 14.

Statt in der Form cp = Const. hatten wir die orthogonalen Trajectorien zuerst in der Form l = Const. geschrieben; cp war eine Function von X. Für lu und Xv gelten die Gleichungen (8) und (9). Mittels (8) können wir fiu: (xv aus (9) fortschaffen, da (8) ergiebt: sodass (9) die Form annimmt: wofür wir auch nach XX [Ä) schreiben können:

4u = «*(*).

Diese Eigenschaft ist nun charakteristisch für die orthogonalen Trajectorien X = Const. von Scharen geodätischer Linien. Wir können nämlich umgekehrt beweisen, dass eine Schar von oo¹ Curven

X (u, v) = Const.

orthogonale Trajectorien einer Schar von oo¹ geodätischen Curven sind, wenn eine Function von X allein ist.

Es sei also eine Function X(u, v) gegeben, die keine Constante sein soll und für die Au eine Function von X allein ist:

4u=A*)-

Alsdann stellt A = Const. eine Schar von oo¹ Curven auf der Fläche dar. Wäre Axi = 0, so wären es Minimalcurven, nach Satz 47, S. 385, sodass ihre orthogonalen Trajectorien mit ihnen zusammenfielen und der zu beweisende Satz trivial würde. Also sei An =j= 0. Sind g (u, v) = Const. die orthogonalen Trajectorien der Curven A = Const., so sind A und g, von einander unabhängige Functionen, und es ist nach Satz 11, S. 33, und nach XX (i?) der Zwischen-parameter

Führen wir nun

g (u, v) — v

A (u, v) = u,

als Flächenparameter ein, so nehmen die Fundamentalgrössen nach Satz 49, S. 389, und wegen

die Werte an:

= /■(*).

Aiu = 9

F= 0

(10)

sodass das Quadrat des Bogenelementes in der Form erscheint: d s² = —d ü² + 0 {ü, v) d v².

Diese Form ordnet sich aber der früheren Form (4) unter, bei der die Curven (v) geodätische Curven waren. Also sind die Curven (®) oder g = Const. geodätisch. Somit sind die Curven A = Const. orthogonale Trajectorien von oo¹ geodätischen Curven. Daher:

Satz 17:¹ Damit die Curvenschar A (u, v) = Const.

den orthogonalen Trajectorien von oo¹ geodätischen

aus

Curven der Fläche bestehe, ist notwendig und hinreichend, dass der Differentialparameter erster Ordnung An von A eine Function von A allein sei:

An = fW-

Die Voraussetzung, dass die Fläche keine Tangentenfläche einer Minimalcurve sei, ist schon dadurch ein geführt, dass An sonst nicht definiert wäre.

Insbesondere ist in (10) der Parameter ü direct die Bogenlänge der Curven (v), gemessen von der Curve [ü = 0) an, wenn f(ü) = 1 ist — ebenso wie in (4) der Parameter u direct die Bogenlänge der Curven (u), gemessen von der Curve (u = 0) an, darstellt, wenn E = 1 ist, wie die Formel (5) zeigt. Daher können wir noch sagen:

Satz 18:¹ Damit die Curvenschar l(u, v) = Const.

aus den orthogonalen Trajectorien von oo¹ geodätischen Curven der Fläche bestehe und gleichzeitig 1 die Länge dieser geodätischen Curven, gemessen von der Curve 2 = 0 an, angebe, ist notwendig und hinreichend, dass der erste Differentialparameter An gleich Eins sei.

Wenn wir insbesondere

VW

als neuen Parameter u statt ü einführen, so nimmt das Quadrat des Bogenelementes (10) gerade die eben erwähnte einfachere Gestalt an:

ds² = du'² + co (u, v)dv².

Dies lässt sich umkehren: Nehmen wir an, das Quadrat des Bogenelementes der Fläche sei durch geeignete Parameter u, v in der Form:

ds² = du² + G (u, v)dv²

dargestellt. Alsdann sind die Parameterlinien (u) und (v) zu einander orthogonal nach Satz 13, S. 84. Ausserdem ist dann u die Bogenlänge der Curven (v), die von den Curven (u = 0) und (u) ab-geschnitten wird. Ferner sind dann die Curven (v) geodätisch, denn analog der in Satz 5, S. 408, ausgedrückten Bedingung für den Fall geodätischer Parameterlinien (u) haben wir für den Fall geodätischer Parameterlinien (v) die Bedingung:

FE — 2 EF + EE = 0.

u    u ¹    u

Diese ist aber hier, da E — 1, F = 0 ist, erfüllt.

Mithin gilt der

Satz 19: Dann und nur dann, wenn die Parameterlinien (c) geodätische Curven und die Parameterlinien (u) ihre orthogonalen Trajectorien sind, kann man die Parameter

¹ Dies findet man Gauss’ „Disquisitiones“.

wenn auch nicht ausdrücklich formuliert, schon in

so wählen, dass das Quadrat des Bogenelementes die Form:³

d, s⁴ — du⁴ G[u, v)dv⁴

annimmt. Alsdann ist zugleich u die Länge aller geodätischen Curven*(u) zwischen den Trajectorien (u = 0) und (m). Vorausgesetzt ist hierbei, dass die Fläche keine Tangentenfläche einer Minimalcurve sei.

§ 4. Systeme von geodätischen Parametern.

Die letzten Betrachtungen haben zu einer besonderen Art der Parameterdarstellung einer beliebigen Fläche, die keine Tangenten-fiäche einer Minimalcurve ist, geführt:

(v)

Als die Parameterlinien (v) wählen wir eine Schar von oo³ geodätischen Linien, als die Parameterlinien (u) ihre orthogonalen Trajectorien. Nach unseren letzten Ergebnissen können wir dabei den Parameter u so wählen, dass u die Bogenlänge vorstellt, die auf allen Parameterlinien (u) von den Trajectorien {u = 0) und (u) abgeschnitten werden.

n)

(Siehe Fig. 79.) Wir haben ferner gesehen, dass das Quadrat des Bogenelementes alsdann die Form annimmt:

Fig. 79.

(1)

d s⁴ = d u⁴ + G (m, v) d v⁴.

In diesem Falle sagen wir, dass die Fläche auf ein System von geodätischen Parametern oder auf ein System von geodätischen Coordinaten bezogen sei.

Legen wir diese Parameter zu Grunde, so nimmt die Differentialgleichung der geodätischen Curven nach Satz 4, S. 407, da jetzt 1) = ]/(? und zwar im reellen Falle die positive Wurzel aus G ist, die Form an:

•(2)

D{u v" — v'a") + 2 Duu⁴v + Dvu'v'⁴ + D⁴Duv'⁴ = 0.

Dabei hat man sich vorzustellen, dass u und v Functionen irgend eines Hülfsparameters t seien. Wählen wir als diesen Parameter

insbesondere die Grösse v, sodass nur die geodätischen Curven (v) selbst ausgeschlossen bleiben, so ist v' = 1, v" = 0, während

cPu dv*

du

dv >

u" =

wird. Alsdann kommt statt (2):

+2B^y

(3)

- B-

d²u

Jv²

du

+ B*Du = 0,

v dv

d. h.: der Punkt (u, v) beschreibt eine geodätische Curve, sobald die Bogenlänge u, die sie auf den Parameterlinien (v) abschneidet — gemessen von der Trajectorie (u = 0) an —, eine solche Function

von v ist, die der Differentialgleichung (3) für alle Werte von v genügt.

Im reellen Falle wollen wir alsdann die geodätische Curve im Sinne des wachsenden Parameters v durchlaufen. Es sei ci der Winkel, den eine durch den Punkt (u, v) gehende geodätische Curve mit der hindurchgehenden Parameterlinie (u) bildet, siehe Fig. 80. Längs der ersteren Curve nehmen u und v um du und dv zu, längs der letzteren ist dagegen dv = 0, sodass wegen (1) aus Satz 10, S. 32, folgt:

Fig. 80.

'v-hdv)

v)

COS Ci = —

also:

tg a = ± L

dv

du

Da J) im reellen Falle positiv und    ist, je nachdem u auf

der geodätischen Curve wächst oder abnimmt, so ist das obere Vorzeichen zu wählen:

tga — 1)

sodass:

du ’

(4)

wird. Längs der geodätischen Curve ändert sich a\ wächst v um dv, so nehme a um da zu. Dann ist:

d²u _ d D

dv²    dv

GtgCi sin²a dv ’

wobei nach (4)

dB

du

u dv

+ iüv = D Du ctg a + Dv

ist, sodass kommt;

d²u dv'⁵

= DDu ctg²a + DV ctgct--^

Aber für. geodätische Curven besteht die Gleichung (3). Setzen wir darin die Werte (4) und (5) ein, so kommt einfach:

(5)

dv

(6)

= ~A>

was wir so aussprechen:

Satz 20:⁵ Ist eine Fläche auf geodätische Parameter u,v bezogen, sodass

ds² = du² + Gdv²

das Quadrat ihres Bogenelementes ist, so ändert sich der Winkel a, unter dem irgend eine geodätische Curve die geodätischen Parameterlinien (u) durchsetzt, in Gemäss-heit der Formel:

- JJ

wo D = yc im reellen f^alle positiv ist und der Fort-schreitungssinn der betrachteten geodätischen Curve im Sinne des wachsenden Parameters v festgesetzt worden ist.

(p)

Es ist häufig bequemer, statt der Differentialgleichung (2) oder (3) der geodätischen Curven die viel einfachere Gleichung (6) zu benutzen. Wir werden dies gelegentlich thun. —

(v)

Insbesondere ist nun eine noch spe-ciellere Wahl der Parameterlinien möglich: Als Parameterlinien (y) wählen wir nämlich oo⁵ geodätische Curven durch einen gemeinsamen Punkte (siehe Fig. 81).

Fig. 81.

Alsdann ist von den orthogonalen Trajec-torien (m) eine, etwa (uQ), ausgeartet, nämlich in den Punkt A selbst zusammengeschrumpft, während jede andere orthogonale Trajectorie (u) von allen von A ausgehenden

geodätischen Curven (o) dieselbe Bogenlänge u — u₀ abschneidet und daher als eine Curve constanter geodätischer Entfernung vom Punkte A bezeichnet werden kann. Dabei verstehen wir unter geodätischer Entfernung des Punktes (u, v) vom Punkte A eben die Bogenlänge der durch den Punkt (u, v) gehenden geodätischen Curve (v) von A bis zum Punkte (u, v).

Allerdings ist hier ein Einwand zu erheben: Es ist wohl denkbar, dass von A mehr als eine geodätische Curve zum Punkte (w, v) geht. Wir haben ja in einem Beispiel auf S. 409 gesehen, dass sogar unendlich viele geodätische Curven von einem Punkte nach einem anderen gehen können, vgl. die Eig. 77, S. 410. Man kann aber unter gewissen functionentheoretischen Voraussetzungen doch den Beweis führen, dass es um den Punkt A herum stets ein solches Stück der Fläche giebt, innerhalb dessen nur eine geodätische Curve von A nach irgend einer Stelle hin geht. Ein solches Gebiet kann man z. B. leicht in dem angezogenen Beispiel des Rotationscylinders dadurch abgrenzen, dass man zwei Mantellinien und zwei Kreise als den Rand des Gebietes vorschreibt. Wir gedenken jedoch auf die angeregte Frage nicht weiter einzugehen und formulieren daher das Ergebnis so:

Satz 21: Kann man um einen Punkt A einer Fläche, die keine Tangentenfläche einer Minimalcurve ist, ein solches Gebiet abgrenzen, innerhalb dessen oo¹ geodätische Curven von A derart ausgehen, dass durch jeden Punkt des Gebietes nur eine von ihnen läuft, so sind die orthogonalen Trajectorien dieser oo¹ geodätischen Curven die Curven constanter geodätischer Entfernung von dem Punkte A.

Diese orthogonalen Trajectorien sind daher eine naturgemässe Verallgemeinerung der Kreise um einen Punkt als Mittelpunkt in der Ebene und können als geodätische Kreise mit der Mitte A bezeichnet werden. Doch wollen wir gleich hier anmerken, dass der Begriff des Kreises noch eine zweite naturgemässe Verallgemeinerung für den Fall einer Fläche hat, die sich mit dieser nicht deckt. Wir werden sie aber erst in § 7 an geben. —

Sind die Parameterlinien (v) von einem Punkte A ausgehende geodätische Curven und die Parameterlinien (u) ihre orthogonalen Trajectorien, sodass

ds² = du² + G{u, v)dv²

ist, so kann man es insbesondere so einrichten, dass die zum

Punkte A degenerierte orthogonale Trajectorie (u₀) gerade die Curve (u = 0) ist, indem man nämlich einfach u — u₀ als Parameter statt u einführt. Alsdann ist u die geodätische Entfernung des Punktes (u, v) von der Stelle A. Man nennt ein solches Parametersystem¹ ein System von geodätischen Polarcoordinaten mit dem Pole A, da es die natürliche Verallgemeinerung des Systems der Polarcoordinaten in der Ebene (vgl. I S. 107) ist. Wie bei den ebenen Polarcoordinaten, so ist auch hier der Pol selbst in Hinsicht auf die Parameterdarstellung ein singulärer Punkt, da für ihn die auf S. 6 getroffenen Festsetzungen nicht gelten. Denn zu diesem Punkte A gehört zwar nur der eine Wert Null des Parameters u, aber der Parameter v bleibt für ihn unbestimmt, weil alle Curven (v) durch ihn hindurchgehen. Da die Curve [u = 0) zu einem Punkte degeneriert, so ist ihre Bogenlänge gleich Null, d. h. es ist jetzt

(7)

G [u, v) = 0 .

\u = 0

In vielen Problemen der Flächentheorie bieten sich solche geodätische Polarcoordinaten naturgemäss dar, so z. B. auf den Rotationsflächen.

Wenn die Meridiancurven einer Rotationsfläche die Axe der Fläche in einem Punkte A treffen, so sind die von ihm ausgehenden Meridiancurven unsere geodätischen Curven (u) und die Parallelkreise unsere geodätischen Kreise (u) (vgl. S. 432).

Wenn die Meridiancurven der Rotationsfläche die Axe nicht in

da _    /

d7=+r-

~ (p sin u) = //sin a j" + p p cos a

¹ Zuerst von Gauss benutzt, von dem auch die übrigen Sätze dieses Paragraphen herrühren.

reellen Punkten treffen, wenn man aber doch eine reelle Parameterdarstellung benutzen will, so wird man zu dem oben erwähnten allgemeineren System von geodätischen Coordinaten zurückgreifen, also die Meridiancurven zwar wieder als Curven (u) wählen, aber als orthogonale Trajectorie {u = 0) irgend einen Parallelkreis der Fläche wählen, von dem aus also die Bogenlängen u gerechnet werden. Man sieht, dass wir auf S. 41 und später oft gerade dies Parametersystem für die Rotationsflächen benutzt haben. Insbesondere ist auch der Satz 6, S. 412, nur ein besonderer Fall des Satzes 20 für beliebige Flächen, denn dort war D² = p²{u), sodass Satz 20 liefert:

sodass

(P sin «) = 0,

oder wegen (4):

also p sin a — Const. ist, was eben der erwähnte Satz 6 aussagt.

Auch auf beliebigen Flächen können wir geodätische Coor-dinaten einführen und zwar explicite, sobald wir eine Schar von oo¹ geodätischen Curven kennen, die keine Minimalcurven sind. Alsdann stellt sich auch das Krümmungsmaass K der Fläche, da E = 1, F = 0 nach (1) ist, infolge von XVII (B) besonders einfach dar, nämlich so:

(8)

'    1 d²Y&

Yo du²

in dieser Formel tritt das Wurzelzeichen übrigens nur scheinbar auf.

Ein Hauptvorteil der geodätischen Coordinaten ist der, dass das Quadrat des Bogenelementes bei ihrer Anwendung nur eine Function G(u, v) enthält, und diesen Vorteil teilt es mit dem Parametersystem der Minimalcurven, für das sich ja nach XVIII (A) ergiebt:

ds² = 2 F(u, v) du dv.

Das System der Minimalcurven hat den Nachteil, imaginär zu sein, dagegen gegenüber dem geodätischen Parametersystem den Vorteil, bei wirklicher expliciter Anwendung nur die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, nämlich der Gleichung XI (0) zu verlangen, während die geodätischen Curven nach Satz 5, S. 408, durch eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bestimmt werden und man kein Mittel hat, bei beliebigen Flächen gerade oo¹ geodätische Curven zu finden.

Man kann die geodätischen Coordinaten, insbesondere die Formel (6), benutzen, um die Sätze über die Verbiegung von Flächen constanter Krümmung abzuleiten, die wir in § 5 des 3. Abschnittes unter Zugrundelegung der Minimalcurven als Parameterlinien ableiteten, und dies ist die Methode, die jetzt in den Lehrbüchern der Flächentheorie meistens benutzt wird. Wir wollen hierauf nicht näher eingehen und nur das Eine bemerken: Soll die Fläche constante Krümmung A haben, so muss nach (8):

- KfG

d³V~G _ du⁴ “

sein, d. h. der zweite Differentialquotient von |/6r nach u ist gleich ]/£?, multipliciert mit dem constanten Factor — K. Wie wir schon

in einigen Fällen (auf S. 413 und S. 427) auf die Betrachtung in I S. 98, 99 verweisen konnten, so auch hier. Es ergiebt sich, dass ]/(r die Iform hat:

]/(? = Vx (u) cos ]/la + F₂(u)sin]/Ku

wo Vx und F₂ Functionen von v allein sind. —

Im Falle geodätischer Polarcoordinaten kann man dem Parameter v noch eine specielle geometrische Deutung unterlegen. Zunächst nämlich betrachten wir die zu einem beliebigen Werte von u gehörige orthogonale Trajectorie der von dem Pole A ausgehenden geodätischen Curven (v), also, wie wir kurz sagen können, den geodätischen Kreis mit dem (geodätisch gemessenen) Radius u.

(Siehe Fig. 82.) Es sei P₀ sein Schnittpunkt mit einer bestimmten geodätischen Curve (i>), etwa der Curve (» = 0), und P sein Schnittpunkt mit einer beliebigen geodätischen Curve (u). Sein Bogen P₀ P drückt sich nach (1), da längs der Curve (u) der Parameter u constant ist, so aus:

S)

Po

(u)

rA

Fig. 82.

= J ]/Gdv,

o

wo die Wurzel im reellen Falle positiv ist. Das Verhältnis aus dem Bogen P₀ P und dem Radius AP₀ = AP = u ist also:

Wählen wir u unendlich klein, so ist der Kreis (u) als unendlich kleiner Kreis in der Tangentenebene von A mit der Mitte A und dem Radius u aufzufassen; daher ist das soeben betrachtete Verhältnis dann gleich dem Winkel w, den die geodätische Curve (v) mit der Curve (v — 0) an der Stelle A bildet. Alsdann kommt:

f}/Gdv

w = lim —

Nach bekannter Regel bestimmt man den Grenzwert, indem man Zähler und Nenner nach u differenziert und dann u gleich Null

setzt. Das Differenzieren und das Nullsetzen von u darf im Zähler unter dem Integralzeichen geschehen, sodass kommt:

(9)

ZV —

öl/G

d v.

u=0

Dies also ist der Winkel w, den die Curve (v) im Punkte A mit der Curve (v = 0) bildet. Direct konnte er deshalb nicht berechnet werden, weil der Punkt A im System der geodätischen Polarcoordinaten singulär ist.

Aus (9) wird sich für w eine Function von v ergeben. Umgekehrt kann man dann v als Function von w auffassen und also auch w statt v als Parameter benutzen.

Man kann also insbesondere bei den geodätischen Polarcoordinaten als Parameter v den Winkel benutzen, den die Parameterlinie (u) mit der Parameterlinie (u = 0) im Pole A bildet. Auch dann hat das Quadrat des Bogenelementes eine solche Form wie in (1), aber wegen der besonderen Bedeutung von v ist dann nach (9):

fl

o

ö]/<?

du

dv = v

u — 0

woraus durch Differentiation nach v folgt:

d]/G

Diese Gleichung deckt sich mit der vorigen, sodass wir mit Rücksicht auf (1) und (7) den Satz aufstellen können:

Satz 22: Sind u, v zu einem System geodätischer Polarcoordinaten gehörige Parameter u, v, d. h. sind die Curven (v) die von einem Punkte A ausgehenden geodätischen Curven, die Curven (u) ihre orthogonalen Trajectorien und ist u die von A an gemessene Bogenlänge der geodätischen Curven (v) bis zu ihren Schnittpunkten mit der Trajectorie (u), sodass das Quadrat des Bogenelementes die Form

ds² = du² -f- G(u, v)dv²

hat, wobei

oder

D =0

- u = 0

G(u, v) = 0 J u = 0

ist, so stellt der Parameter v insbesondere den Winkel

vor, den die Curve (v) im Pole A mit der Curve (v = 0) bildet, wenn überdies

' dVG 1

. du L

oder

ist.

Wir machen eine Anwendung hiervon zur Berechnung der sogenannten Totalkrümmung eines Flächenstückes.

Unter der Totalkrümmung T eines abgegrenzten Flächenstückes versteht man den Inhalt desjenigen Flächenstückes, das ihm bei der sphärischen Abbildung auf der Kugel entspricht. Sind

[u -f- du, v),

die Ecken eines unendlich kleinen Netzvierecks der Parameterlinien auf der Fläche, so entsprechen ihnen bei der sphärischen Abbildung vier Punkte auf der Kugel, nach S. 204, und dabei ist der Inhalt des Bildvierecks nach S. 212 gleich

e'S) dudv,

(«, v)

(ur v 4- d v),

(u -j- du, v + dv)

wenn wir ihn positiv oder negativ rechnen, je nachdem die Fläche an der Stelle (u, v) elliptisch (e = + 1) oder hyperbolisch (s = — 1) ist. Aber nach der Definition des Krümmungsmaasses K ebenda ist dieser Inhalt gleich

K D du dv.

Mithin ist die Totalkrümmung T eines abgegrenzten Flächenstückes gleich dem Doppelintegral:

(10)

T= JJKD du dv

hinerstreckt über alle innerhalb des abgegrenzten Gebietes gelegenen Punkte (u, v).

Jetzt wollen wir insbesondere ein geodätisches Dreieck ABC auf der Fläche abgrenzen, d. h. ein Dreieck, das von drei geodätischen Curven begrenzt ist (siehe Fig. 83).

Wir können dann die Ecke A als Pol geodätischer Polarcoordinaten benutzen, bei denen die von A ausgehenden geodätischen Curven die Parametercurven (v) sind. Dabei sei (v = 0) die Curve AB selbst, und die Amplitude v werde so gemessen, dass der Schnittpunkt Q, der Parametercurve (v) mit der Seite BC des Dreiecks von B nach C geht, wenn v von Null an wächst. Für

Scheffep.s , Geom. Diffr. II.

'O

Cf-

^70,

bJ

Fig. 83.

29

die Seite AC sei die Amplitude v gleich a. Ferner seien b und c die absolut gemessenen Innenwinkel des Dreiecks ABC bei B und C. Der Parameter u bedeutet die Bogenlänge auf den Curven (u), und wir können voraussetzen, sie sei auf der allgemeinen Curve (u) im Sinne von A nach Q positiv gemessen.

Die getroffenen Voraussetzungen sind nur dann nicht erfüllbar, wenn die geodätische Curve BC ihren Fortschreitungssinn, wie er weiter oben durch die wachsende Amplitude v bestimmt war, ändert, d. h. wenn die Curven BC eine solche Wendung macht, dass die

Fig. 84.

von A ausgehenden geodätischen Curven sie öfters treffen, wie die punktierte ^ Curve in Fig. 84 es thut. Wir werden in einem solchen Falle das geodätische Dreieck durch von A ausgehende geodätische Curven in einzelne Dreiecke zerlegen, für die die gemachte Voraussetzung zutrifft, und alsdann die Totalkrümmungen der einzelnen Dreiecke berechnen, denn die Totalkrümmung eines Flächenstückes ist ihrer Definition nach gleich der Summe der Totalkrümmungen ihrer Teile.

Unter den gemachten Voraussetzungen ist die Totalkrümmung T des geodätischen Dreiecks ABC nach (10):

wo die obere Grenze u die Länge des Bogens AQ der allgemeinen Parametercurve (v) von A bis zu ihrem Schnittpunkte Q mit BC bedeutet (siehe wieder die frühere Fig. 83). Nach (8) ist aber, weil yG = B ist:

also nach Satz 22:

sodass kommt:

KB du — — JB o    o

U

JKB du =

o

a

T = f(i-I)Jdv = a- fj)u

0 0

du — — B -V \B ~\

u ¹ .L UAU —

0’

1 - J)

dv.

Hierfür können wir nach Satz 20 schreiben:

d v,

wenn u den Winkel bedeutet, den die Curve BC mit der Parameterlinie (u) bildet. Das unbestimmte Integral hat den Wert oc + Const. Für v = 0 wird « = % — b, für v = a dagegen wird a = c, wie Fig. 83, S. 449, zeigt, sodass kommt:

T — a + h + c — n.

Ai

Fig. 85.

Um dies einfache Ergebnis auch für geodätische Dreiecke zu beweisen, die den gestellten Anforderungen nicht genügen, haben wir sie nur noch für ein geodätisches Dreieck ABC nachzuweisen, das durch eine geodätische Curve AB in zwei einzelne zerlegt ist, wie in Fig. 85. Sind die Winkel des A Dreiecks ABB mit a₁, hx, d₁, die des Dreiecks ABC mit a₂, d₂, c₂ bezeichnet, so sind die Totalkrümmungen der beiden einzelnen Dreiecke gleich

a₂ -j- d₂ -j- c₂ 7t,

ax bx -j- dx — 7t sodass die Totalkrümmung des Dreiecks ABC den Wert hat:

und

(al + bx + d₁ — 7t) + («₂ + d₂ + c₂ — ti) .

Es ist aber dx + d₂ = 7t, sodass der Wert gleich («i + aa) + b\ + c2 “ ⁷¹

wird. Da nun ax -f a₂, bx und c₂ die Winkel des Dreiecks ABC sind, so folgt wieder das alte Ergebnis, sodass wir erkennen: Wenn das geodätische Dreieck in zwei Teile zerlegt wird, für die einzeln die gemachten Voraussetzungen gelten, so ist das Ergebnis bezüglich der Totalkrümmung auch für das ganze Dreieck richtig. Da sich nun jedes geodätische Dreieck durch geeignete geodätische Querlinien in solche zerteilen lässt, für die die Voraussetzungen erfüllt sind, so haben wir den

Satz 23: Die Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks ist gleich der Summe der Winkel des Dreiecks vermindert um 7t.

Man hat zu beachten, dass die Totalkrümmung ihrer Definition nach sehr wohl im reellen Falle negativ sein kann, da wir die Inhalte

der Flächenelemente auf der Bildkugel positiv oder negativ gerechnet haben (vgl. S. 212), je nachdem die zugehörige Stelle der sphärisch abgebildeten Fläche selbst elliptisch oder hyperbolisch gekrümmt ist. Hieraus folgt, dass auf einer überall hyperbolisch gekrümmten Fläche, wie z. B. auf dem einschaligen Hyperboloid und auf jeder reellen Minimalfläche (vgl. S. 241), die Winkelsumme eines geodätischen Dreiecks kleiner als tc ist. Auf dem einschaligen Rotationshyperboloid kann man ein solches Dreieck z. B. durch zwei einander schneidende Geraden und den Kehlkreis begrenzen.

Ist nun aber die Krümmung K der Fläche constant, so ist die Totalkrümmung eines Flächenstückes:

T = KB du dv = K J“j B du dv,

also nach Satz 14, S. 35, gleich dem Z-fachen Inhalt des Flächenstückes. Daher schliessen wir aus Satz 23:

Satz 24: Der Flächeninhalt J eines geodätischen Dreiecks auf einer Fläche constanter Krümmung K ist gleich der um % verminderten Winkelsumme a -f h + c des Dreiecks, dividiert durch K, also:

a + b 4- c — n

Hierbei sei noch besonders hervorgehoben, dass wir die Fläche J als Doppelintegral über Bdudv im reellen Falle positiv ausgemessen haben, da B positiv ist und sich u und v beide in positivem Sinne änderten, u von Null bis zur Länge des Bogens AQ und alsdann v von Null bis a > 0, sodass du und dv beide positiv waren.

Ist K — 0, d. h. liegt eine abwickelbare Fläche vor, nach Satz 90, S. 214, so ist der Nenner in dem Ausdruck des Flächeninhaltes gleich Null, aber auch der Zähler, denn wenn man die Fläche auf die Ebene ausbreitet, so wird das geodätische Dreieck zu einem geradlinigen Dreieck, dessen Winkelsumme a -J- h + c gleich 71 ist.

Auf jeder anderen Fläche constanter Krümmung K dagegen besteht zwischen der Winkelsumme a + h + c und dem Inhalte J der Fläche eines geodätischen Dreiecks die Beziehung:

Die Winkelsumme ist also auf einer Fläche constanter

positiver Krümmung grösser als n, auf einer Fläche constanter negativer Krümmung kleiner als n.

Erinnern wir uns nun an den Satz 9, S. 416, und an Satz 12, S. 428; wir sahen, dass von allen reellen Flächen nur die Flächen constanter Krümmung geodätisch auf die Ebene ahgebildet werden können, d. h. dass nur auf ihnen solche Parameter u, v vorhanden sind, in denen sich die geodätischen Curven durch die allgemeine lineare Gleichung:

Const. u + Const. v = Const.

ausdrücken lassen. Die analytische Geometrie der Ebene gründet sich darauf, dass einerseits die Geraden durch lineare Gleichungen zwischen den Coordinaten x, y dargestellt werden, andererseits auf die Annahme, dass die Summe der Winkel eines geradlinigen Dreiecks gleich n sei. Wie man sieht, gilt das erstere auch für die geodätischen Curven auf den reellen Flächen constanter Krümmung, das letztere jedoch nicht. Alle diejenigen Sätze aus der Geometrie der Geraden in der Ebene also, die nur darauf beruhen, dass die Geraden durch lineare Gleichungen dargestellt werden, haben ihr Analogon auf den reellen Flächen constanter Krümmung, indem die geodätischen Curven an die Stelle der Geraden treteD, nicht aber diejenigen Sätze, die auf jener Annahme über die Winkelsumme des Dreiecks beruhen.

Es lässt sich also auf jeder reellen Fläche constanter Krümmung eine Geometrie der geodätischen Curven analog unserer ebenen (euklidischen) Geometrie der Geraden entwickeln, in der jedoch die Voraussetzung, dass jedes Dreieck die Winkelsumme n habe, nicht gilt. Man nennt eine solche Geometrie eine nicht-euklidische. Dass solche Geometrien auf den Flächen constanter Krümmung entwickelt werden können, steht damit in Einklang, dass sich der Satz von der Winkelsumme der geradlinigen Dreiecke nicht mittels der übrigen Axiome der euklidischen Geometrie beweisen lässt.

§ 5. Centraflächen.

Während wir in der Theorie der ebenen Curven im ersten Bande schon frühzeitig, in § 11 des ersten Abschnittes, den Ort der Krümmungsmittelpunkte, die Evolute, besprochen haben, haben wir in der Flächentheorie bisher die Betrachtung derjenigen Fläche, die von den Hauptkrümmungsmittelpunkten einer gegebenen Fläche erfüllt wird, absichtlich unterlassen und zwar deshalb, weil hierbei die geodätischen Curven eine Rolle spielen. Daher können wir erst jetzt dazu übergehen.

Wir betrachten eine Fläche

¹

Vgl. die in der Anm. zu S. 383 genannte Abhandlung von Beltrami im

²

Giornale di Matern.

³

Diese Form des Quadrates des Bogenelementes wurde von Gauss in

⁴

seinen „Disquisitiones“ eingeführt und zu Betrachtungen verwendet, die wir im nächsten Paragraphen wiedergeben.

⁵

Satz 20 und 21 von Gauss, in den „Disquisitiones“.

z = y{u,v),

x = cp (u, V) ,

(1)

y = x{u, v),

die in ihren Punkten von allgemeiner Lage Hauptkrümmungskreise hat, also keine Schar von oo¹ Minimalgeraden enthält, vgl. Satz 11, S. 118. Jeder allgemeine Punkt F oder (u, v) der Fläche hat zwei auf seiner Normalen gelegene Hauptkrümmungsmittelpunkte, die wir wie in § 8 des 2. Abschnittes mit C₁ und C₂ bezeichnen wollen. Der Ort der Hauptkrümmungsmittelpunkte heisst die Centrafläche der gegebenen Fläche (1) oder auch die Evolutenfläche der gegebenen Fläche (l).¹

Vor allem ist hier zu beachten, dass die Centrafläche aus zwei verschiedenen Mänteln besteht, denn wenn wir bei einem Flächenpunkte P die beiden Hauptkrümmungsmittelpunkte als ersten und zweiten, und C2f bezeichnen, so ist damit für alle Punkte der Fläche die Unterscheidung von ersten und zweiten Hauptkrümmungsmittelpunkten festgelegt. In der That: Die Hauptkrümmungsrichtungen der oo² Flächenpunkte sind ja die Tangenten der beiden Scharen von Krünlmungscurven, deren Differentialgleichung XII (U} als quadratische homogene Gleichung in d u und d v zerlegbar ist in zwei in du und dv lineare homogene Gleichungen. Die Richtung (dv : du) der zu C₁ gehörigen Hauptkrümmungsebene des betrachteten bestimmt gewählten Punktes P, die Richtung also, in der die Ebene des Hauptkrümmungskreises mit der Mitte Cx die Tangentenebene von P schneidet, genügt nun einer von diesen beiden linearen Gleichungen. Folglich hat man alle dieser einen Gleichung genügenden Richtungen (dv: du) für beliebig gewählte Flächenpunkte (■u, v) als die ersten Hauptkrümmungsrichtungen zu bezeichnen und die zugehörigen Hauptkrümmungsmittelpunkte entsprechend als die ersten. Sie bilden den ersten Mantel der Centrafläche, die anderen den zweiten Mantel.

Da die Fläche (1) insgesamt oo² Punkte P hat, so wird sie im allgemeinen auch oo²'Hauptkrümmungsmittelpunkte Cx und oo² Hauptkrümmungsmittelpunkte C₂ haben, d. h. die Punkte C₁ bez. C₂ werden im allgemeinen wirklich je eine Fläche erfüllen; aber es kann Vorkommen, dass es nur oo¹ Punkte Cx oder C₂ giebt, ja sogar nur einzelne Punkte. Die Mäntel der Centrafläche können also zu Curven oder zu Punkten verkümmern.

1.    Beispiel: Die Kugel gehört freilich zu den Flächen mit Scharen von Minimalgeraden, aber wie wir auf S. 119, 120 bemerkten, können wir sie doch zu den Flächen mit Hauptkrümmungscentren rechnen. Die Mittelpunkte Gx und C₃ fallen hier beide in die Kugelmitte, d. h. beide Mäntel der Centrafläche degenerieren in einen und nur einen Punkt.

2.    Beispiel: Bei einer Rotationsfläche ist der eine Mantel der Centrafläche nach Satz 13, S. 122, in die Drehaxe ausgeartet, während der andere Mantel diejenige Rotationsfläche mit derselben Axe ist, deren Meridiancurve die Evolute der Meridiancurve der gegebenen Fläche ist.

3.    Beispiel: Bei einer Röhrenfläche, vgl. das 2. Beispiel auf S. 181, ist der eine Mantel der Centrafläche in die Curve der Mittelpunkte des erzeugenden Kreises ausgeartet.

4.    Beispiel: Bei einer abwickelbaren Fläche ist der eine Hauptkrümmungsradius unendlich gross, also der eine Mantel der Centrafläche unendlich fern und zwar, wie man sagen kann, eine unendlich ferne Curve, keine Fläche. Die eine Schar der Krümmungscurven besteht nämlich hier aus den Geraden der Fläche (nach S. 177), und längs jeder Geraden der Fläche hat die Flächennormale constante Richtung, sodass die unendlich fernen Hauptkrümmungscentren nach im Ganzen nur oo¹ Richtungen liegen, entsprechend dem Vorhandensein von ex¹ Erzeugenden.

Nach Satz 53, S. 171, schneidet die Normale des Punktes P der Fläche (1) eine unendlich benachbarte Normale nur dann, wenn der Fusspunkt dieser zweiten Normale auf einer der beiden Hauptkrümmungstangenten von P liegt, und zwar ist der Schnittpunkt alsdann der zugehörige Hauptkrümmungsmittelpunkt. Die Normalen längs einer Krümmungslinie der Fläche (1) bilden also eine abwickelbare Fläche, wie wir schon auf S. 175 auseinandersetzten, und die Gratlinie dieser abwickelbaren Fläche ist der Ort der zugehörigen Hauptkrümmungscentren. Also sehen wir:

Satz 25: Der eine Mantel der Centrafläche einer gegebenen Fläche wird von den Gratlinien derjenigen abwickelbaren Flächen gebildet, die von den Flächennormalen längs einer jeden Krümmungscurve der einen Schar der gegebenen Flächen erzeugt werden, der andere Mantel von den Gratlinien der zur zweiten Schar von Krümmungscurven gehörigen abwickelbaren Flächen von Flächennormalen.

Da die Flächennormalen längs einer Krümmungscurve der Fläche (1) die Tangenten der Gratlinie ihrer abwickelbaren Fläche

sind und diese Gratlinie auf dem einen Mantel der Centrafläche liegt, so folgt weiter, dass jene Flächennormalen auch Tangenten dieses Mantels der Centrafläche sind, sodass wir sagen können:

Satz 26: Die beiden Mäntel der Centrafläche einer gegebenen Fläche werden von den Normalen dieser Fläche berührt, und zwar berührt die Normale des Punktes P die beiden Mäntel in den beiden zu P gehörigen Hauptkrümmungsmittelpunkten.

Diese Sätze sollen durch die Fig. 86 erläutert werden, in der die gegebene Fläche (1) mit einem Netz von Krümmungscurven

überzogen ist und zu zweien dieser Krümmungscurven, kx und k₂, die abwickelbaren Flächen der Flächennormalen sowie die zugehörigen Gratlinien yv y₂ angegeben sind. Die beiden Mäntel der Centrafläche sind schematisch angedeutet. ¹

Ist die Fläche (1) reell und in P elliptisch gekrümmt, so liegen die zugehörigen Stellen Cx und C2 der Centrafläche nach S. 140 auf derselben Seite von P, ist die Fläche (1) in P hyperbolisch gekrümmt, so liegen sie auf verschiedenen Seiten von P. Für ein reelles Flächenstück also, das durchaus hyperbolisch gekrümmt ist, sind die zugehörigen Stücke der beiden Mäntel der Centrafläche durch das Flächenstück selbst von einander getrennt. Dies ist z. ß. in Fig. 86 der Fall.

Wir wollen mit xx, yx, zl die rechtwinkligen Coordinaten des zu P gehörigen Hauptkrümmungscentrums Cv mit x₂, y₂, z₂ die des Punktes C₂ bezeichnen. Alsdann ist, wenn Pj und P₂ die Haupt-

¥/7/l

7,

Y\

\cy

Fig. 86.

¹ Im BEiLL’schen Verlage, jetzt bei Schilling in Halle, sind Modelle der Centraflächen des Ellipsoids und des einschaligen Hyperboloids erschienen, hergestellt von Schwärz und Dyck. Man findet in dieser Sammlung überhaupt eine Keihe von Modellen, die für das Studium der Flächentheorie nützlich sind.

krümmungsradien des Punktes P oder (x, y, z) der Fläche (1) und X, Y, Z die Richtungscosinus der Normale von P bedeuten:

Vi =y + Y,

(2)

xx = x + Rx X,

zx = z + RXZ

und

(3)

x₂ — x P₂X,

y 2    y "b -^*2 y t

Z₂= z + R₂Z.

Da x, y, z, Pv P₂ und X, Y, Z Functionen von u und v sind, so liegen hierin Parameterdarstellungen der beiden Mäntel der Centra-fiäche vor. Zu jedem Wertepaar (u, v) gehört ein Punkt P der Fläche (1), ein Punkt Cj des ersten Mantels (2) und ein Punkt C2 des zweiten Mantels (3) der Centrafläche.

Es wird sich nun offenbar empfehlen, als Parameterlinien (u) und (v) auf der Fläche (1) die Krümmungscurven zu wählen. Es seien alsdann die Curven («) die Krümmungscurven der ersten Art, die Curven (u) die der zweiten Art, sodass also die Punkte Cx die Schnittpunkte unendlich benachbarter Normalen längs der Curven (v) sein sollen. Auch gelten dann die Formeln der Tafel XIX.

Wir wollen die auf die beiden Mäntel der Centrafläche bezüglichen Elemente berechnen; es seien E^, Aj, G₁,    M₁, Ny die

Fundamentalgrössen des ersten Mantels und X1} Y₁, Zx die Richtungscosinus seiner Normalen. Beim zweiten Mantel wenden wilden Index 2 an. Zunächst folgt aus (2):

dRt

dxx

= xu + RxXu+X oder nach XIX (F):

du

8 R1 8 u ’

dXi

ÖX₁ _ jr

= xv + P₁Xv + X

6R₁

R₂ - Rx

R₂

XV •

dR,

Hierin darf x mit y oder z und X mit Y oder Z vertauscht werden. Hieraus folgt nach XI (.F), dass

Xi’Y₁\Z₁— (Yzv - ZyJ : (,Zx₉ - XzJ : (Xyv - YxJ oder also nach XI (K) und wegen F — 0, nach XIX (A):

Xl:Yl:Z₁ =xu:yu:zu.

(5)

Ganz entsprechend ergiebt sich:

(6)

X₂--Y₂-.Z₂ — xv yv: zv.

Diese Formeln haben eine einfache geometrische Bedeutung: Es seien nämlich die beiden durch den Punkt P oder (u, v) der gegebenen Fläche (1) gehenden Krümmungscurven (y) und (u)

mit kx und k₂ bezeichnet. Die Normale n von P (siehe Fig. 86 auf S. 456) enthält die Punkte Cx und C₂ der beiden Mäntel der Centrafläche und berührt in ihnen die beiden Mäntel. Die Normalen der gegebenen Fläche längs kx umhüllen eine Curve yx auf dem ersten Mantel, die Normalen längs k₂ eine Curve y₂ auf dem zweiten Mantel. Die Curve yx hat als Gratlinie diejenige Ebene zur Schmiegungsebene, die die Normale n und die Tangente tx von kx in P enthält, d. h. die Ebene des ersten Hauptkrümmungskreises von P. Ebenso hat y₂ in C₂ die Ebene durch die Normale n und durch die Tangente t₂ von k₂ zur. Schmiegungsebene. Nun sagt (5) aus, dass diejenige Normale vx des ersten Mantels der Centrafläche, die von Cx ausgeht, zur Tangente tx parallel ist, und aus (6) folgt, dass diejenige Normale v₂ des zweiten Mantels, die von C₂ ausgeht, zur Tangente t₂ parallel ist. Also:

Satz 27: Sind Cx und C₂ die zu einem Flächenpunkte P gehörigen Punkte der beiden Mäntel der Centrafläche, so ist die Normale der Centrafläche in Cx bez. C₂ der betreffenden Hauptkrümmungstangente von P parallel.

Aber noch mehr, wir sehen, dass die Normale vx in der Schmiegungsebene von yx liegt, also die Hauptnormale von yx ist. Die Curve yx ist folglich nach S. 402 eine geodätische Curve des ersten Mantels. Ebenso ist die Normale v₂ des zweiten Mantels Hauptnormale von y₂, sodass y₂ eine geodätische Curve des zweiten Mantels ist. Also:

Satz 28: Diejenigen Curven, die von den Normalen einer Fläche längs je einer Krümmungscurve umhüllt werden, sind geodätische Curven auf der Centrafläche.

Nach Satz 27 berührt, wie noch ausdrücklich erwähnt sein möge, jeder der beiden Hauptkrümmungsschnitte eines Flächenpunktes P denjenigen Mantel der Centrafläche, der ihm nicht zugehört, in demjenigen Hauptkrümmungsmittelpunkt, der ihm ebenfalls nicht zugehört.

Ehe wir weitergehen, wollen wir die Frage beantworten, wann einer der beiden Mäntel der Centrafläche ausartet. Dabei werden wir die Gleichung benutzen, die aussagt, dass die Strecke PCx gleich Px ist, nämlich:

(7)

Aus ihr geht durch Differentiation nach v hervor:

S (ar - Xx) (xv

d xx

dßl

oder, da x — xx, y — yx, z — zx proportional X, Y, Z sind und also S (x — x₁)xv nach XI (/) gleich Null ist:

(8)

— 8(* -

eine Formel, die wir auch mittels (2), (4), XI (H) und XI (/) veri-ficieren können.

Der erste Mantel der Centrafiäche enthält nun oo¹ Curven yv Jeder Ourve yx entspricht eine Krümmungscurve kx oder (t?) der gegebenen Fläche. Bei der Parameterdarstellung (2) des ersten Mantels sind also die Parameterlinien (u) die geodätischen Curven yx. Soll der erste Mantel in eine Curve degenerieren, so ist dies auf zwei Arten denkbar: Entweder schrumpft jede einzelne Curve yx in einen Punkt zusammen oder alle Curven yx fallen in eine einzige zusammen. Aber die zweite Möglichkeit ist deshalb ausgeschlossen, weil alle Tangenten aller Curven yx identisch sind mit allen Normalen der gegebenen Fläche, sodass die Fläche (1) dann nur oo1 Normalen hätte. Es bleibt also nur die eine Möglichkeit, dass sich jede Curve yx oder (v) des ersten Mantels (2) auf einen Punkt reduciert. Alsdann müssen xv yv zx unverändert bleiben, wenn sich nur u ändert, d. h. sie sind dann Functionen von v allein. Aus der ersten Gleichung (4) und den beiden analogen Gleichungen für y und z folgt ferner, da X, T] Z nicht sämtlich gleich Null sind, dass auch Px eine Function von v allein sein muss.

Halten wir jetzt v fest und variieren nur u, d. h. beschreibt der Punkt P oder (x, y, z) eine Krümmungscurve kv so sind in (7) und (8) nur x, y, z veränderlich. Aber (7) stellt für die Punkte (x, y, z) eine Kugel, (8) eine Ebene dar, d. h. jede Curve kx ist ein Kreis. Die Normalen n längs kx gehen beständig nach der Mitte (.i^, yv Zj) oder Cx der betreffenden Kugel, anders ausgesprochen: Die Fläche (1) wird längs des Kreises kx von einer Kugel berührt.

Insgesamt haben wir oo¹ Kugeln, da die Coordinaten xx, yv zx der Mitten und die Radien Px Functionen der Grösse v sind.

Wird umgekehrt eine Schar von oo¹ Kugeln gegeben, so kann dies analytisch dadurch geschehen, dass wir die Coordinaten xv yv zx der Mitten und die Radien Ptx der Kugeln als Functionen eines Parameters v geben. Soll alsdann eine Fläche vorhanden sein, die jede dieser Kugeln längs einer Curve berührt, so müssen die rechtwinkligen Coordinaten x, y, z der Punkte der Fläche ausser von v noch von einem Parameter abhängen, sodass die Parameterlinie (v) der fraglichen Fläche auf der zu v gehörigen Kugel liegt

und die Kugel die Fläche längs dieser Curve berührt. Also ist zu fordern, dass einerseits

(9)

(* - *i)² + (y - yi)² + (* - zi)² = V

sei und andererseits die Tangentenrichtungen der Fläche auf der Kugel liegen, also:

(10)

(* - *i) xu + (y - yi)y* + (z~ zi)    = °

und

(11)

{x - Xx) Xv + (y - yf)yv + (z - ^)    = 0

sei. Aber (9) giebt wie oben nach v differenziert:

ulso wegen (11):

(12)

S (x - Xj) (xv

— S{x — Xj) = Ii\

dBl

dv

dv

was wieder aussagt, dass die Parameterlinien (v) der fraglichen Fläche in Ebenen liegen, also Kreise sind.

Jetzt können wir so sagen: Wir verstehen unter x, y, z drei Functionen, die den Gleichungen (9) und (12) genügen, also, da dies nur zwei Bedingungen sind, ausser v noch eine Veränderliche u enthalten können, sodass sie die analytische Darstellung einer Fläche geben, die wir auch durch Elimination von v aus (9) und (12), wo v in xx, yv zx und Rx und ihren Ableitungen auftritt, in der Form erhalten würden. Diese Fläche erfüllt ausser den Gleichungen (9), (12) alle durch Differentiation nach u und v daraus hervorgehenden Gleichungen. Aber die Differentiation von (9) nach u giebt (10), da xx, yx, zx, Rx von u frei sind, und die Differentiation von (9) nach v giebt mit Rücksicht auf (12) gerade (11). Die gefundene Fläche hat also die gewünschte Eigenschaft: Sie berührt jede der oo¹ Kugeln längs einer Curve, und wir haben überdies gesehen, dass die Curven Kreise sein müssen. Wir wollen zunächst dies Ergebnis formulieren:

Satz 29: Eine stetige Schar von oo¹ Kugeln erzeugt stets eine Fläche, die von jeder Kugel der Schar längs einer Curve berührt wird. Diese Berührungscurven sind Kreise. (Siehe Fig 87, S. 461.)

Man sagt, dass diese Fläche die Umhüllende, Einhüllende oder Enveloppe der oo³ Kugeln sei. Man kann nämlich, wenn eine stetige Schar von oo³ beliebigen Flächen vorliegt, ebenfalls beweisen, dass es eine solche Fläche giebt, die jede Fläche der Schar längs einer Curve berührt, worauf wir jedoch nicht ein-gehen wollen. Der Beweis ist — abgesehen davon, dass sich vorhin insbesondere Kreise ergaben — ganz analog dem obigen.³

j/

Insbesondere nennt man die Umhüllende einer \

Schar von oo³ Kugeln eine Canalfläche.⁴ Die oo³ Kreise, in denen sie von den oo³ Kugeln be- \ rührt wird, sind ihre Krümmungscurven der einen    V

Fig. 87.

Schar, da die Normalen längs jedes dieser Kreise zugleich Normalen der betreffenden Kugel sind und also eine Kegelfläche bilden, sodass Satz 54,

S. 176, angewandt werden kann. Zu den Canalflächen gehören insbesondere die in dem 2. Beispiel auf S. 181 erwähnten Röhrenflächen. Jede Rotationsfläche ist augenscheinlich auch eine Canalfläche; hier sind die Kugelmitten die Schnittpunkte der Normalen mit der Drehaxe und die Kugelradien diese Normalen selbst.

Kehren wir nun wieder zu den Centraflächen zurück, so können wir sagen:

Satz 30: Ein Mantel der Centrafläche artet nur dann in eine Curve aus, wenn die Fläche eine Canalfläche ist. In diesem Falle ist der Ort der Mitten derjenigen Kugeln, die von der Canalfläche umhüllt wird, der ausgeartete Mantel.

Eine andere Ausartung tritt ein, wenn der eine Mantel der Centrafläche unendlich fern ist, d. h. wenn die Normalen längs

jeder Curve kx einander parallel sind, die Curven kx also Geraden sind und die Fläche abwickelbar ist. Diesen Fall erwähnten wir schon oben in dem 4. Beispiele. Man kann die abwickelbaren Flächen als Canalflächen auffassen, deren erzeugende Kugeln unendlich ferne Mitten haben, also zu Ebenen geworden sind, nämlich zu den oo¹ Tangentenebenen der abwickelbaren Fläche.

Da der erste Mantel der Centrafläche nur dann ausartet, wenn sich jede Curve yx auf einen Punkt reduciert, also Bx längs jeder Curve kx oder (w) constant ist, und da umgekehrt daraus, dass Bx nur von v abhängt, nach (4) folgt, dass xv yx, zx nur von v ab-hängen, also jede Curve yx nur ein Punkt ist, so können wir auch diesen Satz formulieren:

Satz 31: Die Flächen, bei denen der eine Hauptkrümmungsradius längs jeder zugehörigen Krümmungscurve constant ist, sind die Canalflächen; auf ihnen bilden die Kreise diese eine Schar von Krümmungscurven.

Es können auch beide Mäntel der Centrafläche ausarten; doch hierauf wollen wir erst weiter unten gelegentlich zurückkommen, um jetzt nicht zu weit von der allgemeinen Theorie der Centra-flächen fortgeführt zu werden. (Siehe S. 473, 474.)

Kehren wir jetzt zur Aufstellung allgemeiner Formeln für die Centraflächen zurück. Aus (4) können wir nach XI (A) sofort die Fundamentalgrössen erster Ordnung Ex, I\, Gx des ersten Mantels ableiten. Wegen XI (II) und XI (/) kommt:

1*lY

du

(13) Ex =

dR, dlf du d v

Gi =

dRx \²

R₂-R₁y

Ri

G.

Ferner ist

(m² (R'-BGo.

R₂

Also setzen wir in Gemässheit der Bestimmung auf S. 18:

d J?, R^ — Ri £l “öfT" Ri

wo = + 1 ist und im reellen Falle so gewählt werden soll, dass Dx positiv wird. Dabei sei dann im reellen Falle unter ]/G die positive Quadratwurzel verstanden.

Wie wir schon oben fanden, ist nach (4):

dt* _ dxt dy1 du d v d

(14)

v. =

•Ve,

oder nach XI (K), da F = 0 ist:

d y₁ d %x d %t d yA __    B₂ — By ä By

du 8 v

By du

~dX TV ~ -    — ~    ⁼    ’ ^

Wegen (14) ergiebt sich deshalb aus XI (F) für den Richtungscosinus 2\ der Normalen des ersten Mantels:

v . VO x

Äl ~    ⁶1 f) Xu'

Es ist aber D = y F -y G, wo wir im reellen Falle beide Wurzeln positiv wählen; also kommt:

__*i_

<15)

Mithin ist:

1/X

Xu>

y=-

Bi

Ye

dXy

7=Xuu +

Bi Eu

]/E

2 ]/E

3 Xul

dXi

Bl Ev

]/E

sodass hieraus und aus (4) nach XII (C) für die Fundamentalgrössen Jjv Mv Nx des ersten Mantels folgt:

yx

X —

uu

Eu

»*.)

yx

X —

uv

Er

2y e

3 Xuj

Y    d Ei

du ’

Y    d Bj

x —

uv

Ev

2 yx

,3 Xu

B₂ — By

i?₂

aus

Rechnet man diese Summen mit Hülfe von XII (A), XI (/), XVI (C) so kommt, weil überdies F — M — 0 nach XIX (A) ist:

/V _ l ei E* ~ a

1    2 yx r₂

oder nach XIX (D):

SyYE 8 By

Ey

M₁ = 0, Nx = i

Sy E₂ — By

yE b₂

Der Wert von Nx lässt sich noch umformen, denn nach XIX((7) ist:

Gu

Ei

8 B₂

² 0 B₂{By - B₂) du ’

sodass wir schliesslich finden: (i6)    ₌

ä u

Mx = 0

N\= — h

G By d log J?2 yE B₂ du

Aus Mx — 0 folgt nach Satz 70, S. 186, dass die Curven (m) und (v) auf dem ersten Mantel der Centrafläche zu einander conjugiert sind. Die Curven (v) sind die oben mit yx bezeich-neten Curven. Eine Curve (u) wird von denjenigen Hauptkrümmungs-centren Cj gebildet, die auf den Normalen der ursprünglichen Fläche längs einer Krümmungscurve k₂ liegen. Da Entsprechendes für den zweiten Mantel der Centrafläche gilt, so folgt:

Satz 32: Auf jedem Mantel der Centrafläche sind die Curven, in deren Punkten er von den Normalen der ursprünglichen Fläche längs der Kriimmungscurven berührt wird, zu einander conjugiert.

jpirNx.

vj;

j.»

i

Fig. 88.

di?, di?,

du d v

Die zu den Curven yx des ersten Mantels conjugierten Curven unterscheiden sich wesentlich von den Curven yx: Die Curven ylt die geodätisch sind, haben die Normalen der ursprünglichen Fläche zu Tangenten, die anderen Curven nicht, obgleich ihre Punkte Berührungspunkte der Normalen mit dem Mantel sind. Dies soll durch Fig. 88 erläutert werden, in der eine Curve der zweiten Art auf dem ersten Mantel der Centrafläche dargestellt ist.

Nach (13) ist das Quadrat des Bogenelementes ds₁ des ersten Mantels der Centrafläche:

<i7>

wofür wir auch schreiben können:

du dv +

'W²

i?<> — R,

R*

j G d v²,

d Sj² = d Rx ² + ^

Ist dieser Mantel der Centrafläche nicht ausgeartet, so ist Rx längs der Kriimmungscurven (v) oder kx, wie wir oben sahen, nicht con-stant, d. h. Rx ist eine von v unabhängige Function von u und v. Wir können daher statt u und v auch

ü = Rx,

(18)

(19)

R,

Gdv².

als Parameter auf diesem Mantel einführen. ds^ nach (18) so dar:

Alsdann stellt sich

(20)

dsx² = dü² + ^

B₂

Gdv²,

wo wir natürlich den Factor von dv² als Function von ü und v auffassen können. Nach Satz 19, S. 440, folgt hieraus, dass die Curven (y) geodätische Curven und die Curven (ü) ihre orthogonalen Trajectorien auf dem ersten Mantel der Centrafläche sind. Dass die Parameterlinien (v), die ja nach (19) die Linien (v) oder yx sind, geodätisch sind, wird also hier aufs Neue bewiesen. Die Curven (ü) sind nach (19) diejenigen Curven, für die Rx constant ist. Man erhält sie, wenn man auf der ursprünglichen Fläche (1) längs einer solchen Curve fortschreitet, für deren Punkte der erste Hauptkrümmungsradius Rx constant ist, und zwar sind sie dann die Orter der Berührungspunkte Cx der Normalen mit dem ersten Mantel der Centrafläche.

Entsprechendes gilt auf dem zweiten Mantel. Also:

Satz 33: Beschreibt man auf einer Fläche eine Curve, für deren Punkte der erste oder zweite Hauptkrümmungsradius constant ist, so ist der Ort der zugehörigen Haupt-kriimmungsmittelpunkte eine solche Curve auf dem ersten hez. zweiten Mantel der Centrafläche, die jene geodätischen Linien orthogonal schneidet, die den Krümmungscurven der ersten bez. zweiten Art entsprechen.

Wir sehen aber noch mehr: Nach Satz 19, S. 440, ist ferner ü in (20) oder also Rx die Bogenlänge der geodätischen Curven yx zwischen den Curven (ü = 0) und (ü). Da der Fall, dass ü — Rx — 0 ist, im allgemeinen nicht eintritt, ist es besser, so zu sagen: Die Differenz der beiden Werte, die Rx für zwei Punkte einer Krümmungscurve kx hat, ist gleich dem Bogen des zugehörigen Stückes der geodätischen Curve yx. Also:

Satz 34: Beschreibt ein Punkt eine Krümmungscurve der ersten oder zweiten Art auf einer Fläche, so ist die Bogenlänge der Curve des zugehörigen Hauptkrümmungsmittelpunktes auf dem ersten bez. zweiten Mantel der Centrafläche gleich der Differenz der Werte des ersten bez. zweiten Hauptkrümmungsradius für die beiden Endpunkte des Weges.

Zur Erläuterung diene die Fig. 89, S. 466, für eine Krümmungscurve A.

Dieser Satz 34 ist in gewissem Sinne als eine Verallgemeinerung des Satzes über Evoluten und Evolventen in der Ebene aufzufassen,

r*:    ;

P/>

nach dem die Bogenlänge der Evolute gleich der Differenz der Normalen der Evolvente in den Endpunkten ist (vgl. Satz 39, I S. 63, und (4), I S. 295).

Schliesslich wollen wir noch das Krümmungsmaass Kx für den ersten Mantel der Centrafläche berechnen. Nach XII (K) ist:

ru~r:

sodass aus (14) und (16) folgt:

dR₂

Fig. 89.

(21) Kx = —

{Ti,_ - Rff dRx

du

Ein entsprechender Wert ergiebt sich für das Krümmungsmaass K₂ des zweiten Mantels, wie ja überhaupt aus den auf den ersten Mantel bezüglichen Formeln die für den zweiten gültigen Formeln einfach dadurch hervorgehen, dass man überall die In-dices 1 und 2, ferner u und v, daher auch E und G und endlich L und N vertauscht, also z. B. Ex durch G₂ ersetzt u. ;. w.

von Null verschieden, sodass nur die Formel

Rv R₂ und

(21) noch zu einer Bemerkung nötigt: Hier würde sich für Kx ein unendlich grosser Wert ergeben, wenn R₁ = i?₂ wäre. Dann aber hätte die Fläche lauter Nabelpunkte und wäre eine Kugel, nach Satz 12, S. 120, die zu den ausgeschlossenen Canalflächen gehört.

Wegen der Werte (16) und nach XII (X) lässt sich die Differentialgleichung der Haupttangentencurven des ersten Mantels in der symmetrischen Form schreiben:

In den entwickelten Formeln kommen einige Nenner vor, deren Verschwinden Anstoss erregen könnte; aber wenn wir von den Fällen, in denen der eine oder andere Mantel der Centrafläche ausartet, ganz absehen, so hat dies nichts auf sich, denn dann sind 8Rt dR2 du ’ dv

(22)

ER²

du

du² - GR² 4^- d v² = 0. ¹ du

Analog gilt auf dem zweiten Mantel die Gleichung:

für die Haupttangentencurven.

Zum Schluss wollen wir die Formeln über Centraflächen auf eine besonders interessante Flächenfamilie anwenden, nämlich auf diejenigen Flächen, die wir schon in § 11 des 3. Abschnittes befrachtet haben.

Beispiel: Es bestehe auf der ursprünglichen Fläche (1) eine

Relation

(23)

ER²

oRi ² dv

du² — GR*

8 R2 i Ifv

dv² - 0

(24)

zwischen ihren Hauptkrümmungsradien. Alsdann sind Rt und R₂ von -einander abhängige Functionen von u und v, für die also die Functionaldeter-minante (vgl. I S. 81) gleich Null ist:

8 _Rj d R2 du 8 v

(25)

8 R₂ 8 Rt du 8 v

= 0.

Da nun das Krümmungsmaass K₂ des zweiten Mantels der Centrafläche analog (21) den Wert

8 R₁

K₂=-

(Rt — _R₂)² ö R₂

hat, so folgt aus (25), dass

{Rt — J?₂)⁴

ist. In (22) und (23) haben wir ferner die Differentialgleichungen der Haupt-tangenteneurven auf beiden Mänteln der Centrafläche aufgestellt. Nach (25) sind diese beiden Gleichungen jetzt mit einander identisch. Daher haben wir den

Satz 35: Besteht auf einer Fläche eine Relation zwischen ihren Hauptkrümmungsradien, so ist das Product der Krümmungen ihrer beiden Centraflächenmäntel in solchen Punkten, die auf derselben Normalen der Fläche liegen, gleich dem reciproken Wert der vierten Potenz der Differenz der beiden Radien. Ausserdem liegen die Haupttangentencurven auf beiden Mänteln so, dass diejenigen Normalen, die nach den Punkten einer Haupttangentencurve des einen Mantels gehen, auch auf dem anderen Mantel eine Haupttangentencurve bestimmen.

Wir sahen ferner, dass wir das Quadrat des Bogenelementes dst des ersten Mantels der Centrafläche durch Einführung der in (19) angegebenen Parameter ü, v auf die Form (20) bringen können. Wegen (24) ist aber jetzt R.₂ eine gewisse Function von R,: (26)

und ausserdem kann nach (9), S. 360, Q als Function von Rx und R₂, also auch als Function von Rx allein aufgefasst werden, sodass wegen Rx = ü aus (20) folgt:

(27)

dsf⁵ = du- + y(u)dv⁶.

Nun gehören zu ein und derselben Relation (24) unendlich viele Flächen. Aber bei allen ist die Function cp dieselbe, also lässt sich für alle das Quadrat des Bogenelementes des ersten Mantels der Centrafläche auf eine gemeinsame Form (27) bringen. Nach Satz 5, S. 275, sind daher diese ersten Mäntel der Centra-flächen aller jener unendlich vielen Flächen auf einander verbiegbar. Dasselbe gilt natürlich für die zweiten Mäntel. Demnach folgt

Satz 36: Besteht auf zwei Flächen dieselbe Relation zwischen, ihren Hauptkrümmungsradien, so sind ihre Centraflächen auf einander verbiegbar, und zwar entsprechende Mäntel auf einander.

Aber noch mehr: Die Form (27) erinnert an das Quadrat des Bogenelementes einer Rotationsfläche. Sind nämlich:

x = p{u) cos v

y = p (u) sin v

% — J* j/l — p' (u) d u

die Gleichungen einer Rotationsfläche wie in Satz 16, S. 296, so ist

d 5* = d ü* + p⁶ (ü) d v⁶

das Quadrat ihres Bogenelementes d s. Wir können nun p (u) so wählen:

V (“) = W(«) •

Alsdann stimmt die Form (27) von dsx⁶ mit der von ds⁶ überein, sodass der schon einmal citierte Satz 5, S. 275, ergiebt:

Satz 37: Besteht auf einer Fläche eine Relation zwischen ihren Hauptkrümmungsradien, so ist jeder der beiden Mäntel ihrer Centrafläche auf je eine Rotationsfläche verbiegbar. Dabei gehen die geodätischen Curven des ersten Mantels, die den Krümmungs-curven erster Art der Fläche entsprechen, in die Meridiane und diejenigen Curven des ersten Mantels, die den Orten gleichen Wertes des ersten Hauptkrümmungsradius zugehören, in die Breitenkreise der einen Rotationsfläche über; und für den zweiten Mantel lässt sich Entsprechendes aussagen.⁵

Denn man hat nur zu bedenken, dass die Curven (ü) nach (19) denjenigen Curven der ursprünglichen Fläche entsprechen, für die Rx = Const. ist, und dass die Curven (v) nach (19) die geodätischen Curven (v) des ersten Mantels sind, die wir als die Curven px bezeichnet hatten.

§ 6. Geradenscharen, die als Normalenscharen aufgefasst werden können.

In gewissem Sinne ist die Centrafläche einer Fläche die natürliche Verallgemeinerung des aus der Theorie der ebenen Curven geläufigen Begriffes der Evolute einer Curve. In der Ebene haben wir damals auch die Umkehrung untersucht: Zu einer gegebenen Evolute die Evolvente zu finden. (Vgl. I S. 65.) Entsprechend giebt es auch in der Flächentheorie eine Umkehrung:

Zu einer gegebenen Centrafläche die zugehörige Ur-fläche zu bestimmen.

Doch dies Problem lässt sich verschiedenartig fassen: Da nämlich die Centrafläche aus zwei Mänteln besteht, so kann man entweder annehmen, beide Mäntel seien gegeben, oder man kann annehmen, dass nur ein Mantel gegeben sei.

Wir betrachten zunächst das erste Problem: Es seien beide Mäntel der Centrafläche gegeben, gesucht wird die Urfläche. In diesem Falle kann man ohne Mühe die Normalen der Urfläche finden, da sie beide Mäntel der Centrafläche berühren müssen. Wir wählen nämlich auf dem einen Mantel einen Punkt C1 beliebig. Dann muss es eine Normale der Urfläche geben, die den Mantel in Cr berührt, also in der Tangentenebene von C₁ liegt. Diese Tangentenebene schneidet den zweiten Mantel in einer Curve, und die gesuchte von Cl ausgehende Normale muss auch den zweiten Mantel, mithin diese Curve berühren. Von Cx wird nun im allgemeinen eine Tangente oder eine endliche Anzahl von Tangenten an die Curve gehen. Unter ihnen muss die gesuchte Normale enthalten sein.

Man sieht so, dass es leicht ist, diejenigen Geraden zu bestimmen, die Normalen der gesuchten Fläche sein könnten. Da der eine Mantel oo² Punkte enthält, erhalten wir gerade oo² Geraden, ebenso viele wie es Normalen geben müsste. Die Frage ist also jetzt auf die andere Frage zurückgeführt:

Unter welchen Bedingungen ist eine stetige Schar von oo² Geraden als die Schar der Normalen einer Fläche aufzufassen?

Hätten wir diese Frage beantwortet, so würden wir die Bedingungen auf die soeben construierte Geradenschar anwenden. Wären sie erfüllt, so würden wir die Flächen zu suchen haben, die die Geraden der Schar senkrecht schneiden.

Man sieht hieraus, dass die Schwierigkeit des Problems einmal in der soeben formulierten Frage und dann in der zweiten Frage liegt, wie man die Flächen bestimmt, die die oo² Geraden zu Normalen haben. Wir legen uns daher das Problem vor:

Gegeben sei eine stetige Schar von oo² Geraden; gefragt wird, ob sie die Normalen einer Fläche sein können und, wenn sie es sind, wie man diese Fläche findet.

Eine stetige Schar von oo² Geraden nennt man auch (vgl. I S. 141) ein Strahlensystem.⁷ Wir fragen also nach den Bedingungen, unter denen ein Strahlensystem das Normalensystem einer Fläche ist. Dabei sehen wir von vornherein selbstverständlich von dem Falle ab, dass die Geraden des Strahlensystems-Minimalgeraden seien.

Eine Gerade mit der Richtungscosinus f g, h kann, wenn (f, t), f) ein bestimmter Punkt auf ihr ist, in den laufenden Coordinaten x, y, z mittels eines Parameters t so dargestellt werden:

(1)

x = l + ft,

z = '$ + ht.

In (1) liegen oo² Geraden, also ein Strahlensystem, vor, sobald wir unter j, t), §, f, g, li Functionen von zwei Parametern u und v verstehen. Denn dann gehören zu jedem Wertepaar u, v bestimmte Werte von j, t), j, f, g, h, also auch eine bestimmte Gerade (1). Da wir insbesondere unter f g, h die RichtuDgscosinus der Geraden verstehen wollten, so können wir uns dabei auf solche Functionen /' g, h von u und v beschränken, für die

(2)

f² + 9* + A³ = 1

ist.

Soll es eine Fläche geben, die die oo² Geraden (1) zu Normalen hat, so muss auf jeder Geraden (1) ein Punkt der Fläche liegen. Nun wird ein Punkt (x, y, z) auf der Geraden (1) durch die Angabe des Wertes des Parameters t festgelegt, der nebenbei bemerkt den Abstand des Punktes (x, y, z) vom Punkte (f, t), 5) vorstellt. Die Gerade (1) selbst wird durch ein Wertepaar u, v festgelegt. Für jede einzelne der 00² Geraden (1), d. h. für jedes einzelne Wertepaar u, v, wird jener Abstand t für den fraglichen Fusspunkt (x, y, z) der Normalen einen besonderen Wert haben; mit anderen Worten: Wir haben unter t eine noch unbekannte Function von u und v zu verstehen, sodass x, y, z in (1) Functionen von u und v allein werden.

Die Frage ist jetzt diese: Können wir für t eine Function von u und v setzen, sodass alle durch (1) bestimmten Punkte (x,y,z) eine solche Fläche in den Parametern u, v erfüllen, deren Normalen die gegebenen Richtungscosinus f, g, h haben? Wenn t in (1) als Function von u und v aufgefasst wird, so ist also zu fordern, dass

S    S xvf = 0

sei, wo sich die Summenzeichen natürlich auch auf die cyklische Vertauschung von f g, h beziehen. Nun aber ist nach (1):

¹

Sie wurde von Monge in seiner „Application“, siehe die Anm. za

²

S. 110, zuerst untersucht.

³

   Während man in der Ebene nur oo³ Curven zu betrachten hat, wenn man die Umüllungstheorie aufstellen will, hat man dagegen im Raume zwei Fälle zu unterscheiden: Es können oo³ oder oo⁴ Flächen vorliegen. Eine erschöpfende Behandlung der Umhüllungstheorie im Raume führt naturgemäss zu der Theorie der partieeilen Differntialgleichungen erster Ordnung, auf die wir grundsätzlich nicht eingehen wollen, und deshalb hauptsächlich unterlassen wir es, die Umhüllenden von Flächenscharen zu untersuchen. Wir wollen aber anmerken, dass Monge ihre Theorie in seiner „Application“ geschaffen hat, wodurch er zugleich in die von Lagrange herrührende analytische Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung anschauliche geometrische Vorstellungen hineinbrachte.

⁴

   Sie wurden zuerst von Monge in seiner „Application“ untersucht.

⁵

Theorem von Weingarten, von dem überhaupt die angegebenen Sätze

⁶

über diese sogenannten WEiNGARTEN’schen Flächen herrühren. Vgl. die Anm. zu S. 355.

⁷

Die Strahlensysteme wurden zuerst von Malus systematisch untersucht,, siehe seine Note: „Optique“ in der Correspondance de l’flcole poiyt. I (1806) und seine Abhandlung: „Optique“ im Journal de l’Pcole poiyt., 14. cah.. (1808). Insbesondere fand er, dass sich die Geraden eines Strahlensystems in zwei Weisen zu Scharen von je 00⁷ Geraden zusammenfassen lassen, die abwickelbare Flächen erzeugen, also so, wie es bei der Normalen einer Fläche der Fall ist, wenn man die Normalen längs je einer Krümmungscurve herausgreift (vgl. die Fig. 86 auf S. 456). Die Gratlinien dieser abwickelbaren Flächen bilden auch bei beliebigen Strahlensystemen zwei Flächenmäntel, die sogenannten Brennflächen. Malus fand so, dass die Geraden eines jeden Strahlen Systems Doppeltangenten einer aus zwei Mänteln bestehenden Fläche sind. Wenn insbesondere jene beiden Scharen von abwickelbaren Flächen einander senkrecht schneiden, so liegt ein Strahlensystem vor, das das Normalensystem einer Fläche ist. Man könnte dem Satze 38 auf S. 472 diese begriffliche Deutung geben. Sie wurde ebenfalls von Malus erkannt, aber erst von Bekteand , „M6moire sur la theorie des surfaces“, Journ. de; Math, pures et appl., 1. serie t. IX (1844), vollständig ausgesprochen und bewiesen.

Xu ⁼ ft» + / tu + fu t, xv = £„ + ftv + fvt,

sodass die Bedingungen diese werden:

$(?«* + f*u + fu *)f ⁼

s (?,+/;*)/'= °-

Es ist jedoch nach (2) sowohl S f² = 1 als auch S ffu = Sffv — 0, sodass bleibt:

(3)

*«=-$£„/*, tv=~ $£vf-

In diesen beiden Gleichungen stehen rechts gegebene Functionen von zi und v, links die partiellen Ableitungen einer Function t von u und v, deren Vorhandensein gefordert wird und die dann und nur dann wirklich vorhanden ist, wenn die Werte (3) von tu und tg der Bedingung

d tu _ d tv d v du

genügen, d. h. wenn

(•4) ist. Ist diese Bedingung für alle Werte von u und v erfüllt, so folgt aus (3) durch Quadratur:

(5)

⁼⁼~f\§lufdu +    dv) + Const.

Wird dieser Wert in (1) eingesetzt, so giebt (1) die Gleichung einer Fläche, die die gegebenen oo² Geraden zu Normalen hat.

Da in (5) noch eine additive willkürliche Constante auftritt, so giebt es, wenn überhaupt eine Fläche der gewünschten Art vorhanden ist, deren sogar oo¹, die aus der einen Fläche dadurch hervorgehen, dass man auf ihren Normalen, den Geraden (1), noch ein constantes Stück aufträgt, also Flächen, die die Parallelflächen der einen Fläche sind. Dies war nach Satz 83, S. 205, vorauszusehen.

Die Bedingung (4), die Bedingung dafür, dass die in (3) angegebenen Werte von fu und tv so beschaffen sind, dass tudu + tvdv ein vollständiges Differential in u und v ist, kann auch so ausgesprochen werden: Es muss der in (5) unter dem Integralzeichen stehende Ausdruck ein vollständiges Differential sein. Und dieser Ausdruck lässt sich kürzer so schreiben:

S/V/j.

Also haben wir den

Satz 38:¹ Ist eine Schar von oo² Geraden, die keine Minimalgeraden sind, dadurch gegeben, dass in den Gleichungen einer Geraden mit den laufenden Coordinaten x, y, z und dem Parameter t:

* = i’ + ft, y = t) + g i, z = % + ht

die Coordinaten j, t), § eines Punktes der Geraden und die Richtungscosinus f, y, h der Geraden als Functionen zweier Parameter u und v angenommen werden, wobei also

p + p + h² = 1

ist, so ist die Schar dann und nur dann die Schar der Normalen einer Fläche, wenn der Ausdruck

fdi + gd\) + hd%

¹ Satz von Hamilton, „Supplements to an essay on the theory of Systems of rays“, Transactions of the R. Irish Acad., vol. 16 (1830).

«in vollständiges Differential in u und v ist. Es giebt dann oo¹ parallele Flächen, die alle jene oo² Geraden senkrecht schneiden. Analytisch werden sie in den laufenden Coordinaten x, y, z mittels der Parameter u, v dargestellt, wenn der durch Quadratur hervorgehende Wert

= — I*(f di + y d\) + hdf) + C ons t,

in die Gleichungen der Geraden eingesetzt wird.

Wir erinnern beiläufig daran, dass wir schon auf S. 168 hervorgehoben haben, dass nicht jede Schar von oo² Geraden als die Schar der Normalen einer Fläche aufgefasst werden kann.

Beispiel: Vorgelegt seien oo² Geraden, die sämtlich eine Curve treffen, die keine Minimalcurve ist. Die Gleichungen der Curve seien in den laufenden Coordinaten y, t), 3 und mittels der Bogenlänge u gegeben:

(6)

9 = z(u),

5 = V (“)•

Von jedem Punkte (u) dieser Curve sollen also oo¹ gegebene Geraden ausgehen, deren Richtungscosinus f g, h also ausser von u noch von einem zweiten Parameter v abhängen. Wählen wir f, g, h als Functionen von u und v so, dass die Bedingung (2) erfüllt ist, so stellt (1) die oo² Geraden dar, vorausgesetzt, dass darin für y, 1), 3 die Werte (6) eingesetzt werden. Jetzt sind yu, 1}U, 3,, die Richtungscosinus a, ß, y der Tangente der Curve (6), nach III (B), während iv = 9» = fr» = 0 ist, sodass die Bedingung (4) so lautet:

0.

0 v

Nun ist Saf der Cosinus des Winkels, den die zu u, v gehörige Gerade mit der Tangente der Curve (6) in ihrem Ausgangspunkte (u) auf der Curve bildet. Er soll hiernach frei von v sein, d. h. die von ein und demselben Punkte (u) der Curve (6) ausgehenden 00¹ Geraden der Schar sollen sämtlich mit der Tangente dieses Punktes denselben Winkel bilden. Dieser Winkel darf sich aber ändern, wenn der Punkt (u) auf der Curve (6) fortschreitet. Die Geraden des Strahlensystems müssen demnach 00¹ Rotationskegel bilden, deren Spitzen eine Curve (6) und deren Axen die zugehörigen Tangenten der Curve (6) sein müssen. Nur dann giebt es Flächen, die jene Geraden zu Normalen haben Da die Rotationskegel abwickelbar sind, so sind ihre Schnittcurven mit den Flächen nach Satz 54, S. 176, Krümmungscurven. Der eine Mantel der Centra-fläche ist daher die Curve (6). Wir kommen somit zu den auf S. 461 betrachteten Canalflächen.

Wenn die Schar der oo² Geraden aus allen denjenigen Geraden besteht, die zwei gegebene Curven treffen, so folgt hieraus, dass die von einem Punkt einer jeden der beiden Curven ausgehenden Geraden, die die andere Curve treffen, einen Rotationskegel bilden müssen, wenn anders das Strahlensystem ein Normalensystem sein soll. Jede der beiden Curven liegt dann auf unendlich vielen Rotationskegeln und ist folglich ein Kegelschnitt. Um also alle Flächen zu finden, die in doppelter Weise Canalflächen sind, hat man zwei Kegelschnitte c und k so zu bestimmen, dass jeder der Kegel, der von irgend einem Punkte der einen Curve ausgeht und die andere Curve enthält, ein Rotationskegel wird. Solche Paare von Kegelschnitten giebt es bekanntlich, wie in der analytischen Geometrie gelehrt wird. Ist z. B. c eine Ellipse, so ist k diejenige Hyperbel, deren Ebene die Ebene der Ellipse senkrecht längs der grossen Axe der Ellipse schneidet, deren Brennpunkte die Hauptscheitel der Ellipse und deren Scheitel die Brennpunkte der Ellipse sind. Die Geraden, die zwei solche Kegelschnitte, sogenannte Focalkegelschnitte, treffen, sind also die Normalen derjenigen Flächen, die in doppelter Weise als Canalflächen aufgefasst werden können oder deren beide Centraflächenmäntel in Curven ausgeartet sind. Nach Satz 30 und 31, S. 461, 462, werden diese Flächen von zwei Scharen von je oo¹ Kugeln umhüllt, und die Krümmungscurven jeder Schar sind Kreise. Die Kugeln haben ihre Mitten auf den beiden Focalkegel-schnitten. Man nennt diese Flächen, die in doppelter Weise als Canalflächen aufgefasst werden können, Cykliden.¹ Ist der eine Kegelschnitt ein Kreis, so ist der andere das Mittellot zur Kreisebene, die Flächen sind dann solche Flächen, die je eine um jenes Mittellot rotierende Kugel umhüllen, die sogenannten Ringflächen. Sie können auch als die Rotationsflächen definiert werden, die durch Drehung eines Kreises um eine in seiner Ebene liegende Gerade hervorgehen. Wir wollen auf die Theorie der Cykliden nicht weiter eingehen und nur noch bezüglich der Gestalt der Cykliden bemerken, dass sie allgemein ringförmig sind, wenn auch keine Rotationsflächen, und dass die Stärke des Canals an einer Stelle des Ringes ein Maximum, gegenüber ein Minimum hat.

Wir wollen uns jetzt zu dem zweiten oben angedeuteten Problem

wenden:

Es liege nur eine Fläche gegeben vor; gefragt wird, ob es Flächen giebt, für die diese eine Fläche der eine Mantel der Centrafläche ist.

Nach Satz 28, S. 458, müssen den Krümmungscurven der einen Schar der gesuchten Fläche geodätische Curven auf der gegebenen Fläche entsprechen. Wir werden daher annehmen, es sei auf der gegebenen Fläche eine Schar von geodätischen Curven ausgewählt und das zugehörige geodätische Parametersystem (vgl. S. 441) eingeführt, sodass das Quadrat des Bogenelementes der gegebenen Fläche die Form:

(?)

d s² = d u² + G (u, v) d v²

habe. Die Curven (y) sind dann die geodätischen Curven. Ihre TaDgenten müssten nun die Normalen der gesuchten Fläche sein.

Umgekehrt ist es klar, dass, wenn es eine Fläche giebt, die diese Tangenten zu Normalen hat, alsdann die gegebene Fläche der eine Mantel der Centrafiäche ist, denn dann bilden ja die Normalen längs einer solchen Curve der fraglichen Fläche, die einer der geodätischen Curven (v) entspricht, eine abwickelbare Fläche, sodass die Curve nach Satz 54, S. 176, eine Krümmungscurve ist, für die die Hauptkrümmungscentra der einen Art die geodätische Curve bilden.

Unser Problem kommt also auf das in Satz 38 erledigte Problem zurück. Um es mit Hülfe dieses Satzes zu beantworten, wollen wir die rechtwinkligen Coordinaten der Punkte der gegebenen Fläche mit £, t)> l bezeichnen. Die vom Punkte (u, v) oder (£, t), $) ausgehende Tangente der geodätischen Curve (v) habe dann die Richtungs-cosinus /' g, h. Es ist:

f-9-h = lu^u’iu’

also, da £m² + tyu² + i² als Fundamentalgrösse erster Ordnung nach

(7) gleich Eins ist, direct:

h ~~ öu>

/'=?«>

sodass die Bedingung des Satzes 38 oder (4) so lautet:

TT**? =

Die Summe links ist aber, wie schon soeben gesagt wurde, gleich Eins und die Summe rechts nach (7) als Fundamentalgrösse erster Ordnung gleich Null. Also ist die Bedingung erfüllt. Daher folgt:

Satz 39: Eine beliebige Fläche kann auf unendlich viele Arten als der eine Mantel der Centrafiäche einer anderen

Wenn man nämlich auf der

Fläche aufgefasst werden.

Fläche eine Schar von oo¹ geodätischen Curven beliebig auswählt, so sind ihre oo² Tangenten die Normalen von oo¹ Parallelflächen, für die die gegebene Fläche der eine Mantel der Centrafiäche ist. Die Krümmungscurven der einen Schar auf den Parallelflächen sind die Filarevol-venten der ausgewählten geodätischen Curven.

Das Letztere folgt unmittelbar aus der Definition der Filar-evolventen in I S. 295, 296.

§ 7. Krümmung und Torsion einer Flächencurve.

Nachdem wir bisher eine Reihe von besonderen Curvenarten auf einer Fläche besprochen haben, nämlich die Minimalcurven, die Krümmungscurven, die Haupttangentencurven und schliesslich die geodätischen Curven, wollen wir jetzt als Abschluss unserer flächentheoretischen Betrachtungen beliebige Curven auf der Fläche ins Auge fassen.

Es seien u, v die Parameter auf der Fläche, E, F. G, L, M} N ihre Fundamentalgrössen und X, I, Z die Richtungscosinus der Normale. Wenn wir nun u und v als Functionen eines neuen Para

Stelle (t + d t) wird dann aus

zur

meters t irgendwie wählen, so wird dadurch nach S. 11 eine Curve auf der Fläche definiert. Das Bogenelement d s dieser Curve von der Stelle (t) bis

ds² — E du² + 2 Fdudv + G dv²

bestimmt, wo du und dv die Incremente der Functionen u und v von t bedeuten, die zu dem Zuwachs dt von t gehören. Es ist also die Bogenlänge der Curve vom Punkte (t = 0) bis zu einem beliebigen Punkte (£):

Co

du\²

du dv

Hierbei hat man sich in E, F, G für u und v immer die Functionen von t gesetzt zu denken. Durch diese Formel wird s als Function von t definiert. Denken wir uns die Quadratur ausgeführt und die Gleichung dann nach t aufgelöst, so wird sich t als Function von s darstellen. Setzen wir diese Function t von s in u und v für t ein, so ergehen sich u und v als Functionen der Bogenlänge s der Curve.

Man sieht, dass der Parameter t selbst die Bogenlänge ist, sobald das Integral den Wert + t fiat, d. h. sobald für alle Werte von t

du\-

ist.

du dv dt dl

Wir wollen nun voraussetzen, wir hätten u und v in der angegebenen Weise als Functionen der Bogenlänge s der Curve bestimmt. Alsdann soll die Differentiation nach der Bogenlänge durch Striche angedeutet werden. Wir haben dann nach der letzten Formel:

(2)

Eu'² + 2 Fu'v + Gv'² = 1

Indem wir wie in der Curventheorie im

für alle Werte von s. ersten Bande die Curve im reellen Falle im Sinne wachsender Bogenlänge s durchlaufen, sind die Richtungscosinus a, ß, y; l, m, n\

X, fi, v ihrer Tangente, Haupt- und Binormale an der Stelle (ä) oder (■u, v) völlig definiert (vgl. I S. 174 u. f.). Wie in I S. 179 rechnen wir dabei die Krümmung l:r der Curve stets positiv.

Dies scheint in Widerspruch mit der Festsetzung zu stehen, die wir auf S. 104 trafen. Aber damals kam es uns mehr darauf an, die Art der Krümmung der Fläche an einer Stelle, nicht die Art der Krümmung der Curven auf der Fläche zu erkennen, und deshalb war es damals zweckmässig, die in der Curventheorie getroffene Festsetzung für den Augenblick aufzuheben. Oder auch so: Damals haben wir mit r nicht den Krümmungsradius der Curve bezeichnet, der eben in der Curventheorie als stets positiv angenommen wurde, sondern den Abstand des Krümmungsmittelpunktes vom betrachteten Curvenpunkte, und zwar rechneten wir dabei diesen Abstand positiv oder negativ, je nachdem der Krümmungsmittelpunkt auf der positiven oder negativen Seite der Tangentenebene der Fläche lag. Ja, wir haben es damals ausdrücklich hervorgehoben, dass in den abzuleitenden Formeln r nur seinem absoluten Werte nach den Krümmungsradius bedeute.

Jetzt also soll r wieder wie in der Curventheorie den absolut genommenen Krümmungsradius der Curve vorstellen. Ferner sei a> der Winkel der (positiven) Hauptnormale der Curve mit der (positiven) Flächennormale und zwar gemessen im Sinne der Drehung von der Hauptnormale zur Binormale hin. Die Formel (4), S. 103, gilt auch jetzt; sie wurde ja vor jener besonderen Festsetzung aufgestellt. Sie kann nach XII (A) so geschrieben werden:

COS (O

L du”- + 2 Mdudv -f- Ndv2 r    E du”- + 2 Fdudv + G dv²

oder auch, da u und v Functionen von s sind, für die (2) gilt,

= Lu² -(- 2 Mu' v + N v'².

Dieser Ausdruck hat eine geometrische Bedeutung, die bisher noch nicht zur Sprache gekommen ist. Um diese Bedeutung abzuleiten, stellen wir jedoch vorher einen Satz über die Krümmung der Projection einer Curve auf: Sind

x = cp (s), y=x 0)> z = V (s)

die Gleichungen einer Raumcurve c, ausgedrückt mittels der Bogenlänge s, so hat die senkrechte Projection c der Curve auf eine Ebene, z. B. auf die a-y-Ebene, die Gleichungen:

x = cp(s), y = x(s),

(3)

COS CO

in denen der Parameter s aber nicht mehr die Rolle der Bogenlänge spielt. Sind a, ß, y, l, m, n\ 1, y, v die Richtungscosinus der Tangente, Haupt- und Binormale der Curve an der Stelle (s), so ist das Bogenelement ds der Projection c gleich dem Bogenelement ds der Curve c multipliciert mit y. Wir wollen insbesondere annehmen, dass die Ebene, auf die wir die Curve c projicieren, der Tangente der betrachteten Stelle parallel sei; auch rechnen wir die Bogenlänge der Projection c im selben Sinne wie die der Curve c, sodass wir y = + 1 und ds = ds finden. Da x, y mit x, y übereinstimmen, so folgt dann auch, dass an der betrachteten Stelle .    — mit Rücksicht auf III (P) —

dx

ds ds

= Ci,

^£>1

aber y = 0,

also auch:

aber n — 0

_ d'¹ x _

r    ds²    ds r

ist, wenn die überstrichenen Buchstaben für die Projection c gelten und wenn 1 : r die Krümmung der Curve c an der betrachteten Stelle bedeutet. Quadrieren und Addieren der drei letzten Gleichungen giebt, weil l² + m² = 1 — n² ist:

1 — n²

r'¹

Dabei ist n der Cosinus des Winkels, den die Hauptnormale der betrachteten Stelle mit der zur Projectionsebene senkrechten z-Axe bildet. Nun haben wir zwar, wie wir vorhin hervorhoben, die Krümmung bei reellen Raumcurven positiv angenommen, jedoch haben wir bei ebenen Curven der Krümmung ein Vorzeichen beigelegt, sobald wir die Ebene der Curve von einer bestimmten Seite her — die ary-Ebene von der z-Axe her — betrachten.¹ Das Vorzeichen hing davon ab, ob der Contingenzwinkel, der im Sinne der Drehung von der .r-Axe zur y-Axe, also im Sinne der positiven Drehung um die z-Axe gemessen wird, zunahm oder abnahm, sobald die Curve in dem ihr vorgeschriebenen Sinne durchlaufen wurde (vgl. I S. 37). Dies Vorzeichen wollen wir nun bei der Projection c der Raumcurve c auf die Ebene berücksichtigen. Die Figg. 90, 91, in denen die Projectionstafel statt parallel zur Tangente der betrachteten Stelle P direct durch die Tangente t der Stelle

Man vergleiche hierzu die Anmerkung zu I S. 189.

gelegt worden ist, was ja nichts wesentliches ausmacht, lehren nun unmittelbar, dass die Krümmung der Projection e in P positiv oder negativ ist, je nachdem die positive Normale der Tafel, d. h. also diejenige Normale, von der aus die Projection betrachtet wird, auf

Bn.

Bn.

Hn-

J4n- \

Fig. 90.

Fig. 91.

derselben Seite der Schmiegungsebene liegt wie die Binormale oder nicht, je nachdem also der Winkel cp der positiven Normale der Ebene mit der positiven Binormale    ist. Nun ist n² — sin² cp,

also giebt unsere letzte Formel:

l _ COS Cp

und diese Formel ist jetzt auch im Vorzeichen exact.

Wir können mithin den folgenden Hülfssatz aufstellen:

Satz 40: Wird eine Curve auf eine zur Tangente einer Stelle P parallele Ebene senkrecht projiciert und bildet die Binormale dieser Stelle mit der Normale der Ebene den Winkel cp, so ist die Krümmung 1 : r der Projection von P gleich der Krümmung 1: r von P selbst multipliciert mit dem Cosinus von cp:

cos

<p

und zwar giebt diese Formel im reellen Falle auch das für ebene Curven festgesetzte Vorzeichen der Krümmung 1 : r, sobald die Projection der ßaumeurve in demselben Sinne wie die Raumcurve selbst durchlaufen und überdies die Ebene von derjenigen Seite her betrachtet wird, auf

der jene Normale liegt, die mit der Binormale den Winkel ep bildet.

Wir wenden diesen Satz nun auf die Flächencurve an, für die

wir oben die Formel (8) aufgestellt haben. Wird die Flächencurve auf diejenige Ebene projiciert, die durch die Tangente des Curven-

punktes P oder (w, v) und durch die Flächennormale geht, so ist die Normale dieser Ebene

T9'

\*

in P die zu jener Tangente der Curve senkrechte Flächen-Wir wollen diese

tangente.

Normale in dem Sinne posi-

Fln.

tiv nennen, dass die positive Curventangente, die positive Flächennormale und diese Nor-

Fig. 92.

male zur Ebene so wie die Coordinatenaxen gegen einander orientiert sind. (Siehe Fig. 92.) Dann bildet die Normale der Ebene mit der Binormale den Winkel tu, sodass die Formel (3) nach unserem Satze die Krümmung der Projection der Curve auf die Ebene durch die Tangente und Flächennormale, auch ihrem Vorzeichen nach, darstellt. Deshalb nennt man diesen Ausdruck (3) auch die normale Krümmung der Flächencurve in dem Punkte P oder (n, v).

Zweitens wollen wir die Flächencurve auf die Tangenten ebene der Fläche an der Stelle P projicieren. Diese Ebene betrachten wir natürlich von der positiven Flächennormale her. Da der Winkel co der Flächennormale mit der Hauptnormale im Sinne der Drehung von der positiven Hauptnormale zur positiven Binormale gemessen worden ist, so ist der Cosinus des Winkels, den die Binormale mit der Flächennormale bildet, gleich sin«, sodass nach unserem Satze

sin co

die mit Vorzeichen versehene Krümmung der Projection der Flächencurve auf die Tangentenebene des Punktes P für diese Stelle P selbst ist. Man nennt diesen Ausdruck deshalb die tangentiale Krümmung der Flächencurve in dem Punkte P oder (u, v). Wir wollen sie berechnen.

Da die Flächennormale die Cosinus X, Y, Z, die Binormale die

Cosinus X, y, v hat, so ist der Cosinus des Winkels beider, also sin co, so auszudrücken:

(4)

sin co = 8 X X, wofür wir nach III (B) schreiben können:

x x"

(5)

sin co

y y"

2' 2"

Hierin ist nun:

(6)

dx

also:

(7)

^7 = XuuU'² + 2xuvU'V' + XvvV'² + XuU" + XvV">

worin wir die Werte XVI (B) der zweiten Ableitungen xuu, xuv, xvv eintragen können. Dann ergiebt sich für x" ein ziemlich umständlicher Ausdruck, den wir abgekürzt für den Augenblick so schreiben:

x" — X(Z?/² + 2 Muv’ -\- Xu'²) + A xu -f- Bxv,

wobei

Ä = ”"+ äjr.P'»⁶' + E»F~ 2F« F)u“ + ²Äe -    +

+ (~G,F-G„G + 2F,G)v*],

X = “"+^-E»I'-I1vE+^E)^+2(-M,F+GJ)u’v' +

+ (e„E + G„F-2Ft,F)t>'J]

ist. Setzen wir die Werte (6) und (8) und die entsprechenden Werte für y\ y", z2" in (5) ein, so kommt:

(8)

sm co

X xuu' + xvv Axu + Bxv

Y yuu'+yvv' Ayu + £yv

oder:

x xv

⁸¹™=(Bu'-Av') yu yv

Zu Zv

wofür wir nach XI (Z) schreiben können:

= D{Bu — Av').

Setzen wir die Werte (8) von A und B ein, so kommt:

«' S*u"+\(EUG + J},F-2F„F)u* +

+ (K°-ff.-F) «'*'+ i(-G,F- <?„<? + 2FVG)i>'s ,

v' 2>V' + l(- E„F- EvE+2FnF)u* +

+ (- EJ+ G„F)«'v+i(G„F+ G,F-2FJ)</*

Diese Determinante erinnert uns an eine andere ähnlich gebaute Determinante, nämlich an die in Satz 4, S. 407, für die geodätischen Curven. Dies ist nicht nur äusserlich: Ist nämlich die Flächen-curve eine Curve, deren Hauptnormalen mit den Flächennormalen zusammenfallen (vgl. S. 402), so ist sinw = 0, also die vorstehende Determinante auch gleich Null. Mithin muss das Nullsetzen der obigen Determinante die Differentialgleichung der geodätischen Curven ergeben. Dies kann man auch rechnerisch sofort bestätigen; man findet, dass die obige Determinante genau denselben Wert wie die Determinante in Satz 4, S. 407, hat, sodass wir schreiben können:¹

Eu + Fv \Euu² + Evu'v +{FV— iGu)v'² + Eu" + Fv"

B Fu -f-Gv' {Fu — ±Ef)u² + Guuv + ^Gvv'²+Fu" + Gv"

Wir können diese tangentiale Krümmung der Flächen-curve auch dann, wenn die Curve keine geodätische Curve ist, in enge Beziehung zu den geodätischen Curven bringen.

Wenn man nämlich bedenkt, dass die geodätischen Curven auf der Fläche die naturgemässe Verallgemeinerung der geraden Linien in der Ebene sind, so wird man dazu geführt, Constructionen, die man in der Ebene mittels gerader Linien bei einer ^ Curve ausgeführt hat, auf die Fläche zu übertragen, indem man die ebene Curve durch eine Flächencurve, die Geraden durch geodätische Curven ersetzt. So haben wir in der Ebene in I S. 86 die Krümmung einer Curve als Quotienten aus Contingenzwinkel dr und Bogenelement definiert, und der Contingenzwinkel war dabei der Winkel der Tangenten in den Endpunkten P und Pj des Bogenelementes d s. Übertragen wir dies auf die Fläche, so verfahren wir so: In zwei unendlich benachbarten Punkten P und P1 einer Flächencurve c construieren wir die berührenden geodätischen

sin co    1

r    D

sin co

\Q

rp

Fig. 93.

¹ Diese Formel findet sich bei Minding, „Bemerkung über die Abwickelung krummer Linien von Flächen“, Journal f. d. r. u. a. Math. Bd. 6 (1830).

■Curven g und gv (Siehe Fig. 93.) Sie werden sich etwa in Q unter einem unendlich kleinen Winkel dr, dem geodätischen Con-tingenzwinkel¹ des Bogenelementes PPl oder ds der Curve c, schneiden. Alsdann ist der Quotient die Übertragung des Krümmungsbegriffs von der ebenen Curve auf die Flächencurve. Wird das Bogenelement ds in dem auf der Curve c festgesetzten Sinne durchlaufen, so ist noch die Art der Messung des Winkels dz festzustellen. Sie soll im positiven Sinne auf der Fläche (vgl. S. 30 und Fig. 5) stattfinden. Jener Quotient heisst dann die geodätische Krümmung der Flächencurve -an der Stelle P.²

T,

Um den Quotienten dr \ ds zu berechnen, können wir uns eines besonderen Parametersystems bedienen, da ja der Begriff dieses Quotienten geometrisch, also unabhängig von der gewählten Parameterdarstellung ist. Wir benutzen geodätische Parameter u, v, indem wir nämlich diejenigen oo¹ geodätischen Curven als Parameterlinien (v) einführen, die die gegebene Curve c senkrecht schneiden, sodass die Curven (u) die orthogonalen Trajectorien jener oo¹ geodätischen Curven sind und insbesondere die Curve c

P)

Fig. 94.

zu ihnen gehört. Vgl. S. 441. Die allgemeine Curve (u) können wir dann also als die Curve c dP ■betrachten. P habe die Parameter u, v, dagegen 0^ hat dann Px die Parameter u, v + dv. (Siehe Fig. 94). Wir können dabei voraussetzen, dass v in der Richtung von P nach Px zunehme (vgl.

S. 442). Das Quadrat des Bogenelementes ist nun auf der Fläche Allgemein:

ds² = du² + G(u, v)dv²,

sodass das Bogenelement ds oder PPX von c den Wert hat:

d s — ]/ö d v,

¹    Die Bezeichnung rührt von Liouville her: „Sur la theorie generale des surfaces“, Journ. de Math. p. et appl. t. XYI (1851).

²    Nach einem Vorschläge von Liouville, vgl. den Schluss seiner Note I: „Sur les courbes 4 double courbure“ zu Monge’s „Application“ (1850). Diesen Vorschlag hat Bonnet in seiner Abhandlung im Journal de l’^cole polyt. cah. 32 (1848) angenommen. Liouville. selbst hat die geodätische Krümmung in der schon in der Anm. zu S. 420 erwähnten Note III zu Monge’s „Applicati°n<‘ genauer untersucht.

wobei die Wurzel im reellen Falle positiv ist. Die Wurzel kann auch mit D bezeichnet werden, da F² = F G — F² = G ist; also:

(10)

ds = D dv.

Die geodätische Curve g, die c in F berührt, durchlaufen wir in entsprechendem Sinne wie c, d. h. im Sinne des wachsenden Parameters v. Für ihre Winkel u mit der Curve (u) gilt dann nach Satz 20, S. 448, die Formel:

du — — D dv.

U

Dabei ist u an der Stelle F gleich \-n, sodass also die Curve g die Curve (v + d v) durch P₁ in einem Punkte T so schneidet, dass dort der Winkel gleich

— D,.dv

&    U

ist. Das unendlich kleine Dreieck TPl Q ist in P₁ rechtwinklig und hat in Q den Winkel dz, in T den Winkel \n — Fudv. Da ein unendlich kleines Flächendreieck als eben aufgefasst werden kann, wenn man von unendlich kleinen Grössen höherer Ordnung absieht, so folgt, dass

(11)

dz = Fu dv + ...

ist, wo die Punkte unendlich kleine Glieder andeuten, die mit höheren Potenzen von dv behaftet sind. Hiernach und nach (10) ist die geodätische Krümmung in P:

Du

(12)

Andererseits ist, da jetzt E = 1, F= 0, G = F² ist, nach (9) die tangentiale Krümmung der Curve c in P leicht zu berechnen, denn für die Curve c oder (u) ist u — u"— 0 und nach (10):

ds D

v —

sodass kommt:

Du

sin co

wie in (12). Hieraus folgt:

Satz 41: Die tangentiale Krümmung einer Flächencurve ist dasselbe wie ihre geodätische Krümmung.

Wie die geodätische Krümmung auf der Fläche die natur-gemässe Verallgemeinerung der Krümmung in der Ebene ist, so giebt der Kreis in der Ebene als Curve constanter Krümmung (vgl.

Satz 29, I S. 41) Anlass zu einer naturgemässen Verallgemeinerung; er führt uns zu den Curven constanter geodätischer Krümmung auf der Fläche. Man kann sie geodätische Kreise nennen,³ muss aber dabei beachten, dass der Kreisbegriff auch eine andere naturgemässe Verallgemeinerung zulässt, nämlich zu den' Curven constanter geodätischer Entfernung auf der Fläche führt, die deshalb auch geodätische Kreise genannt worden sind, wie wir auf S. 444 bemerkt haben. Dass sich beide Begriffe im allgemeinen nicht decken, ist leicht zu sehen. Ist nämlich die Fläche auf geodätische Polarcoordinaten u, v bezogen, so sind die Curven (u) Curven constanter geodätischer Entfernung von dem Pole A (siehe S. 445). Aber nach (12) ist für sie die geodätische Krümmung nur dann constant, wenn längs ihrer

= Const., o u

d. h. also nur von u abhängig ist, was im allgemeinen nicht gerade der Fall sein wird.

Die Formeln (3) und (9) für die normale und für die tangentiale oder geodätische Krümmung unterscheiden sich wesentlich dadurch, dass die erste auch die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung, I, M, N, enthält, die zweite nicht. Hieraus lässt sich schliessen, dass der allgemeine Ausdruck der geodätischen Krümmung für Curven auf zwei verschiedenen Flächen derselbe ist, sobald beide Flächen auf Parameter u, v so bezogen werden können, dass sie dieselben Fundamentalgrössen erster Ordnung haben, d. h. sobald die beiden Flächen auf einander verbiegbar sind, nach Satz 5, S. 275. Betrachten wir irgend eine Curve von Punkten (u, v) auf der einen Fläche, fassen wir also u und v als irgendwelche derartige Functionen eines Parameters s auf, für die

Eu'⁴ + 2 Fu'v'+ Gv⁴ = 1

ist, sodass s die Bogenlänge bedeutet, so entspricht ihr eine Curve von Punkten (u, v) auf der anderen Fläche, und s ist auch auf der anderen Fläche die Bogenlänge, weil E, F, G auf beiden Flächen übereinstimmen. Daher haben beide Curven in entsprechenden

Punkten (u, v) nach (9) auch dieselbe geodätische Krümmung, weil' schliesslich auch u , v, u", v" bei beiden übereinstimmen. Somit folgt

Satz 42:¹ Bei der Verbiegung einer Fläche bleibt die geodätische Krümmung einer jeden Curve auf der Fläche ungeändert.

Insbesondere gehen Curven constanter geodätischer Krümmung wieder in Curven constanter geodätischer Krümmung über. Ein noch speciellerer Fall ist der der geodätischen Curven, die ja die Curven von der geodätischen Krümmung Null sind. (VgL S. 482.) Dass die Curven constanter geodätischer Entfernung von einer Stelle (vgl. S. 444) bei Verbiegung in ebensolche Curven übergehen, leuchtet, nebenbei bemerkt, sofort ein. Dass die geodätische-Krümmung bei Verbiegung ungeändert bleibt, geht rein geometrisch auch aus ihrer Definition auf der Fläche durch den Quotienten dx: ds-hervor, wenn man bedenkt, dass die Verbiegung eine in den kleinsten Teilen congruente Abbildung ist (nach S. 274).

Die Formeln (3) und (9) für die normale und für die geodätische Krümmung einer Flächencurve beziehen sich auf den Fall,, dass längs der Curven die Parameter u, v als Functionen der Bogenlänge s gegeben seien. Ist dem nicht so, sind u und v vielmehr als Functionen irgend eines Parameters t gegeben, so werden die Formeln umständlicher. Wir wollen angeben, wie man sie aus den Formeln (3) und (9) ableiten kann: Deutet der Strich wie bisher die Differentiation nach der Bogenlänge s an, so ist: (13)

also:

d⁵ 6 v

TW

t' und t" werden aus (1) abgeleitet, denn (1) liefert:

(14)

u" =

dt*

v" =

t'⁶ +

t".

(15)

i/w

dv \⁶

woraus durch nochmalige Differentiation nach s folgt, indem die rechte Seite zuerst nach t differenziert und dann das Ergebnis mit t' multipliciert wird:

(16)

t" = -

du \²

du dv dt dt

dv VI² ’

•    ät

dv

du

dv

+ (2FV + Gu) dt Vfi

du

dt

d v \ d? u dt) dt*

tO

Cb

% •"e

<s

Setzen wir diese Werte (15) und (16) in (13) und (14) ein, so werden u, v, u", v" durch die ersten und zweiten Differentialquotienten von u und v nach t ausgedrückt. Die Substitution dieser Ausdrücke in (3) und (9) giebt die allgemeinen Formeln für die normale und die geodätische Krümmung. —

Nachdem wir in (3) und (9) die normale und die geodätische Krümmung

COS CO

und

sin co

berechnet haben, finden wir daraus auch leicht tgw und die absolute Krümmung 1: r der Curve. Es kommt:

(17) tg« = und:

IEu' + Fv' \Euu'* + Evu'v' + (Fv - \Gu)v'* + Eu" + Fv" Fu' + Gv' (Fu — I Ev) u'* + Guu' v + \Gvv'* + Fu" + Gv"

D{Lu+ 2 Mut tt + Nv'*)

(18)

(-ij² = (I u'² + 2 Mu' v' + Nv'²)² +

j_ Eu'+Fv' %Euu'²+Evu'v' + {Fv-\Gu)v'²+Eu''+Fo" 2 ¹⁾² Fu'+Gv' [Fu-%Ev)u'²+Guu'v' + %Gvv'²+Fu" +Gv" \

Im reellen Falle giebt die positive Quadratwurzel hieraus den Wert der Krümmung.

Schliesslich wollen wir noch die Torsion 1: p der Flächen-curve berechnen. Sie tritt auf, wenn wir die Formel (4), nämlich:

sin co — S X l

S XI

nach der Bogenlänge s differenzieren, weil dann nach III(C) kommt: co' cos co = S X' 1 +

oder, da S XI = cos co ist, und wenn wir die Gleichung nach 1: p auf lösen:

SJ'i

COS CO

In (17) liegt tgw vor; daraus lässt sich cos« und «' bestimmen. Es erübrigt also nur noch die Berechnung der Summe S X' L Diese finden wir so: Wenn wir aus III (B) die Werte von l, (je, v entnehmen, so kommt:

Zur Vereinfachung multiplicieren wir, was ja oft nützlich ist, diese Gleichung mit 1), indem wir rechts statt D die in XI (I) angegebene Determinante benutzen. Es ergiebt sich dann zunächst:

¹

Die Cykliden wurden von Dupin entdeckt und untersucht. Siehe seine

²

„Applications de geometrie et de mechanique ä la marine et aux ponts et chaussees“, Paris 1822.

³

So that es Lie in der Abhandlung: „Bestimmung des Bogen

⁴

elementes aller Flächen, deren geodätische Kreise eine infinitesimale Berührungstransformation gestatten“, Archiv for Math, og Natur-videnskab Bd. IX (1884), in der insbesondere für die geodätischen Kreise auf Flächen constanter Krümmung wichtige Sätze aufgestellt werden.

⁵

In Minding’s oben, S. 482, genannter Arbeit zwar nicht ausdrücklich

⁶

formuliert, aber doch implicite enthalten.

X'

x"

*. *

Y'

y y"

Vv

Z'

z'

Multiplicieren wir in beiden Determinanten Reihe mit Reihe, so geht eine Determinante hervor, in der in einer Reihe die Elemente

S X' X, S x X

auftreten, die wegen x = xu u + vv v, XI {R) und XI (/) gleich Null sind. Daher kommt:

%X'xu I Sxxu

Nach XII (C) ist aber wegen X' = Xuu' + Xvv:

S X' xv = - Mu! - Nv

sxx =

rSx" X

SX'*,

S x Xv

SX'xu =- Zu - Mv,

und nach XI (A):

S x xv — Fu -j- G v,

S x xu = Eu 4- Fv, endlich noch nach III (B):

r Sx" X = S XI = cos co,

sodass die Formel hervorgeht:

SX'A= -

COS CO

Lu + Mv' Mu + Nv Eu + Fv Fu +(??;'

Erinnern wir uns an XII (U) und XII (V), so finden wir:

q -rrr    COS CO

b X / = —^

v² E L -uv' F M . u² G N

Setzen wir diesen Wert in (19) ein, so ergiebt sich für die Torsion der Wert:

(20)

v² E L — u v F M u'² G N

in den wir, wie schon gesagt wurde, den aus (17) durch Differentiation nach s hervorgehenden Wert von eo' einsetzen können.

Wir erwähnen schliesslich einige einfache Schlüsse, die sich an die Formeln (3), (9) und (20) anknüpfen:

Ist die Flächeneurve eine Krümmungscurve, so liegt zunächst ein Irrtum nahe, auf den hingewiesen werden muss: Der zu einem Punkte der Curve gehörige Hauptkrümmungskreis der Fläche ist durchaus nicht immer der Krümmungskreis der Krümmungscurve. Er wäre es nur dann, wenn die Flächennormale die Hauptnormale wäre, also wenn die Krümmungscurve zugleich geodätische Curve wäre. Nach XII (27) ist für die Krümmungscurven die in (20) auftretende Determinante gleich Null, sodass bei ihnen die Torsion

ist.

— = m Q .

Für eine geodätische Curve ist die normale Krümmung die Krümmung der Curve selbst, da dann die Hauptnormale zugleich Flächennormale ist, während die geodätische Krümmung, wie gesagt, gleich Null ist.

Liegt eine Haupttangentencurve vor, so ist ihre Hauptnormale eine Tangente der Fläche, nach Satz 64, S. 182, sodass <o =±\n ist. Daher:

Satz 43: Die Haupttangentencurven einer Fläche sind diejenigen Curven, deren normale Krümmung gleich Null ist.

Aus (20) folgt ferner für eine Haupttangentencurve als Wert der Torsion, da co längs der Curve constant ist:

~~D

Benutzen wir als Parameterlinien die Haupttangentencurven, so ist nach Satz 67, S. 184, L — N = 0, sodass noch einfacher kommt:

= *~{Gv’² - Eu²).

Zugleich ist dann entweder u — 0 oder v = 0. Für die Haupt-tangentencurve (u) ist also die Torsion

MG ,2 D ü ’

wobei

v² =

ist, sodass kommt:

() i>

Für die Haupttangentencurve (v) dagegen ergiebt sich auf dieselbe-Weise, weil dann u² = 1 : E und v = 0 ist:

I)

Fassen wir einen Punkt (u, v) der Fläche ins Auge, so sehen wir also, dass die Torsion der einen Haupttangentencurve in diesem Punkte entgegengesetzt gleich der der anderen Haupttangentencurve in diesem Punkte ist, und zwar ist das Product beider gleich

M²

B²

Dies aber ist nach XII (X) gerade das Krümmungsmaass K der Fläche im Punkte (u, v), weil ja jetzt L = N= 0 ist. Hieraus folgt:¹

Satz 44: Die Torsionen der beiden durch einen Flächenpunkt gehenden Haupttangentencurven sind dort einander entgegengesetzt gleich, und ihr Product ist gleich dem Krümmungsmaass der Fläche an der betrachteten Stelle!

Insbesondere folgt hieraus:

)

Satz 45: Auf einer Fläche constanter Krümmung haben alle Haupttangentencurven der einen Schar überall dieselbe Torsion und alle Haupttangentencurven der anderen Schar überall die entgegengesetzte Torsion.

Die Haupttangentencurven der Flächen constanter Krümmung sind also Curven constanter Torsion, von denen in Satz 43, I S. 252, die Rede war.

Schliesslich erinnern wir daran, dass der Satz 44 — abgesehen von der Vorzeichen!)estimmung — schon in unserem früheren Satz 51, S. 170, als specieller Fall enthalten ist, weil die Flächennormale bei einer Haupttangentencurve Binormale ist und die Torsion als das Verhältnis dB:ds aus dem Winkel d B, um den sich die Binormale beim Fortschreiten längs der Curve dreht, und aus dem zugehörigen Bogenelement ds definiert werden kann, wie in I S. 183. —

In den Tafeln XXI und XXIII sind die wichtigsten Formeln über geodätische und andere Flächencurven, die wir im gegenwärtigen Abschnitte gewonnen haben, zusammengestellt. Tafel XXII betrifft die Centrafiächen.

Endlich soll die Tafel XXIV dazu dienen, dem Leser den Übergang zu anderen Lehrbüchern der Flächentheorie zu erleichtern; es sind in Tafel XXIV die Bezeichnungen angegeben, die in den wichtigeren Lehrbüchern für die Fundamentalgrössen u. s. w. gebraucht werden.

Zu weiterer Vertiefung in die Theorie der Curven und Flächen empfehlen wir dem Leser das Studium der öfters erwähnten Lehrbücher von Bianchi und Darboux sowie der in den Anmerkungen genannten Abhandlungen.

Anhang.

(Fortsetzung des Anhangs zum ersten Band,)

Tafel XL

Formeln für die Fundamentalgrössen erster Ordnung und für die Richtungscosinus der Normalen.

x, y, z die rechtwinkligen Coordinaten des Flächenpunktes.

u, v seine Parameter.

ds das Bogenelement der Fläche.

E, F\ 0 die Fundamentalgrössen erster Ordnung.

X, Y, Z die Richtungscosinus der Flächennormale. co Winkel der Parameterlinien.

{A) (S. 15)²

(B)    (S. 15)

(C)    (S. 17)

F = $XUXV’

G = Sxv\

SxJ,

ds² = E du² + 2 Fdudv + Gdv².

I) = -jEG-F²,

im reellen Falle positiv zu nehmen.

Gleichung der Tangentenebene in den laufenden Coordinaten

E> ^ h:

(S. 20)

N “-er

Vu

Vv

oder:

{E)

yuxv xuye

xuyv - yu%,

(F)    (S. 27) X=-^

(G)    (S. 18)

%uxv — xux„

JJ

^² = S (yuzv-zuyf.

SP = 1, SIIu = 0, SII =0.

(//) (S. 27) (/) (S. 27)

SXxu = 0, SXxv = 0.

(X)

(S. 28)

Yzu-ZVu = Zxu-Xzu =

Xy.-Y** =

Exv — Fxu

Fxv - Qxu

Fyv — F yu

Ezv — Fzu

’ Yzv-ZVv =

, ZXv-xzv=iy^, ■ Xy,-7*,=

Fz„ - G zu

ß)

(S. 28)

Xu Xv Vu Vv

(M) (S. 31)

sin öj =

Z>

cos co = —

wo die Wurzeln im reellen Falle positiv zu nehmen sind. Für den Winkel u der zu

Yeg ’

du

gehörigen Fortschreitungsrichtungen ist:

(.N) (8. 32) cos u =

E + F(k + x) + Oku Y{E + 2 F k + Gki)(E+ 2Fx + Öxs)

Differentialgleichung der Minimalcurven:

Edu² + 2 Fdudv + G’g/u² = 0

(O)    (S. 36) oder zerlegt:

(P)    (S. 63) \ßdu + (F + *2?) dd] [ÄVm + (^⁷ - iD)dv\ = 0.

Tafel XII.

Formeln für die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung und für die Krümmung.

Z, M, N die Fundamentalgrössen zweiter Ordnung. kv k₂ die Werte von dv.du für die beiden Hauptkrümmungsrichtungen.

xv x₂ die Werte von dv.du für die beiden Haupttangentenrichtungen.

R der Krümmungsradius des zu irgend einer Fortschreitungs-richtung (dv.du) oder (k) gehörigen Normalschnittes.

cp

der Winkel seiner Ebene mit der Normalebene durch die «erste Hauptkrümmungsrichtung.

Rv R₂ die Hauptkrümmungsradien.

K das Krümmungsmaass.

H die mittlere Krümmung.

X=SXxvv.

(Ä) (S. 106) L = SXxuu, M=SXxuv,

kommen.

X XX uu u v

Xuv Xu Xv

Xvv Xu xV

(S. 106)

Vuu Vu Vv

pp | yuv yu yv , N—

I/vv Vu Vv

Zw ZU Zv

(C) (S. 106) L = - SXuxu, M= - SXUXV = - sx^, X= - SXvxv.

1 L du- + 2 Mdu dv + N dv² L+2Mk+Nk²

R    Edu² + 2Fdudv + G dr² E + 2Fk + Glc¹

[{EM- FL)-{GL-EX) h + {FX - GM) k² = 0 oder:

(D) (S. 109)

[E)

-(S. 116)

k²

für k = kv k₂.

[F) (S. 117) ky+k₂ =

iß) (S. 117)

GL - EN FN-GM'

| E + F{kj + /<₂) + G kx lc₂ = 0, | L + M {ky + k₂) + Nky k₂ = 0.

EM - FL

FN - G M

(H) (S. 117) ky=-

MR, - F

N R, - G

MR₂ — F

NR,, - G

</) (S. 118)    (LX - M²) R² - {EX -2 FM+GL)R +{EG - F²) = 0

für R = Rv R₂.

LN - M² LN - M2 R, ' R₂ ” E G - F²

(X)

D²

{S. 118)

EN -2FM+ GL

EN—2FM + GL

EG - F²

(S. 130)

LN —M* = D Y

(M)

<S. 131)

LN -M² = JJ

YUZV-ZUYV

ZUXV —XUZV

= 1)

XUY„-YUXV

Für die Winkel u der Haupttangenten mit der ersten Hauptkrümmungsrichtung ist:

= ± /- Si

Gleichung der Indicatrix im Abstande e von der Tangenten-

(N) (S. 135)

t g«

A-

ebene:

(0) (S. 142)

L du² + 2Mdudv + Ndv² = 2e.

1 cos² q>    sin² qp

R    Rt    R₂

Sind a und ß die Winkel conjugierter Richtungen mit der ersten Hauptkrümmungsrichtung, so ist:

tgßtg/? = - K'

J. =    G L)xu + (FL - EM)xv-\,

ru = -^[(fm- GL)y« + {-FL -

z. =^FM-    + (■FL - EM)^

x. = A - o m + (FM-EN) xj,

Y, = [(FN — GM)yu + (FM - EN)y„],

2„ = jyr \_(FN -GM)zu + (FM - EN)zv].

S Xu² = ~[GL²-2FLM+EM²]

SXuXv =    [GLM+EMN—FM² - FLN] = HM-KF,

S A;² = -L [PA² - 2FJ/A + G tJ/²]

(P) (S. 134)

Q) (S. 156)

(S. 159)

(5)

(S. 159)

= HL - KE,

= H N — KG.

(:T) (S. 161) SdXdx = - [Ldu? + 2Mdudv + Ndv²). Differentialgleichung der Krümmungscurven:

{U)

(S. 174)

— dudv F M

du2, G N

oder:

(F) (S. 176)

Edu-\-Fdv Ldu-\-Mdv Fdu-\-Gdv Mdu + Ndv

oder:

a.

(W)

(S. 175)

SL

Y dY

= 0.

a.

Differentialgleichung der Haupttangentencurven:

(X) (S. 174)

Ldu? + 2 Mdudv + Ndv² = 0.

Tafel XIII.

Formeln für die Darstellung:    y) der Fläche.

= P,

d² x

dhX

= r>

(Ä) (S. 15) F=l (*) (S. 18)

d² x d xd y

F = pq>

Zi-t.

dy²

D = ]/l + p* + q2 im reellen Falle positiv zu nehmen.

P)

Vi + p² 4- q²’

]/l + p² + q²’

]/l + p² + q²

(D) (S. 108) L =

]/l +p² + q²’

M=

]/l + p² + q²

r d x² -f- 2 sdxdy + tdy2 R ]/l + p² + q² (1 + p²) d x² + 2p q d x d y + (1 + q²) d y²

l/l +p² + q²

r t — s²

(F)

(1 + p² + q²)

(L + p²) t — 2p q s + (1 4- q²) r

]/l + p² + q² 3

(ö)

Differentialgleichung der Minimalcurven:

(1 + p²) dx² + 2p qdx dy + (1 + q²) dy² = 0 . Differentialgleichung der Krümmungscurven:

dy

1 + p² r

= 0.

(I)

— dxdy    p q    s

dx²    1 + q²    t

Differentialgleichung der Haupttangentencurven:

rdx² + 2 sdxdy + tdy² = 0.

Tafel XIV.

Sphärische Abbildung einer Fläche.

Die lateinischen Buchstaben beziehen sich auf die Fläche, die deutschen auf die Bildkugel.

(A) (S. 204)

j = X, b = T, i = Z.

{B) (S. 206) dä² = dX² + d Y² + dZ = ®du² + 2%dudv + ®dv².

® = SXu² = HL- KE=j^[EM² -2FLM+ GL²],

(S. 206, g = SII = HM —KE¹— -L[EMiY-F{LN+ M²) + GLM],

® = SXu² = HN-KG = ^[EN² -2FMN + GM²].

iO)

209)

{B) (S 209)

wo s = + 1 ist und zwar im reellen Falle, je nachdem K^O ist.

(^) (S. 210)    3£ = eX,

(i?)(S. 211) S=-«@,

I)-*r,

= -6$

8 =

91 = -e(3.

Tafel XV.

Parallelflächen einer gegebenen Fläche.

Die überstrichenen Buchstaben beziehen sich auf die Elemente der Parallelfläche im Abstande a.

(//) (S. 238)

y = y + aY,

E = (1 - a² K)E — ö! (2 - aR)L ,

Ä = (1 - a² K) F - a (2 - a H)M,

G = (1 - a² K)G - a(2 - aH) N.

L =

# = ßÄT+ (1 — aH)M,

N = al(? + (1 — a47)JV.

49 = (1 - a4V + a²X)49,

wo das Vorzeichen so gewählt ist, dass im reellen Falle die Formel für die Null benachbarten Werte von a positives T) giebt.

x = x + a X,

z = z + a Z.

(S. 238)

(0)

(S. 239)

(R)    (S. 238)

(E)

(S. 240)

l - all + a²K ’ H- 2a K_ V-aH+a*K '

Tafel XVI.

Die zweiten Differentialquotienten der rechtwinkligen Punktcoordinaten einer Fläche.

Xuu=¹    VuZv ~ Zu?Jv) +

(4)

Xuv =

bjfe:

(S. 2G4)

(E„G + S,F-2F„F)z„ +

+    + 2 FuE)xv,

(.'/«zv - ZU'J) +    (KG - G.^’)*, +

(-■E. Z + <?.•»)*.,

-₂-V(-G,y-G,ff + ²VR +

(o^e+g^f- 2/;^)*,

Xvv = ~d(!/uZv- ZuI/v) +

2 ü²

2 Dl

oder:

X

uu

(*)

<S. 268)

= LX + —[(E^O + E,F-2 FuF)xu +

+ {- EMF-EvE+2FuE)x^, KC- 0,F)x, + (- EVF+ OuE)xJ,

XUV=MX +

2 D²

= NX + flß K- G«F~Gu g + 2FvG)xu +

+ {GvE+ GuF — 2Fv F) rJ .

Die Formeln (A) und (B) gelten auch, wenn x und X durch y und Y oder durch z und Z ersetzt werden.

S XuuXu ~ \Xu >

(S.262) I Sxx = F, - IX

(0)

§XuvXu —

S XuvXv ~    ’

§XvvXu = Fv - iGu > $xvvxv = \Gv •

Tafel XVII.

Die drei Fundamentalgleichungen der Flächentheorie.

~ -JW^uG - GUE + 2(Ev - Fu)F] M -[-EuF-EvE₊2FuE]N.

= K = ~FW ~ Evv ~ Guu) +

+ Jjj¹ ^ G* + XvGv—2 Gv Fu) +

+ ATA + EuGu— ² Vu +

+ AJF (Gv~ XvGu ~ -FuGu — 2FvEv + 1FUFV).

(P) nu-mv = ~[_gue- EvF]N-

(S.271)

(S. 270)

(S. 270)

L2V- M²

2i»a

2 B²

[GVE- EvG + 2(Gu-Fv)F]M-

2 B²

[-GvF-GuG + 2FvG]Z.

V>)

Andere Form der zweiten Fundamentalgleichung (B): LN- M'²

d - EUF-EVE+ 2FUE

d - EVF+ 0UE

(S. 320)

2 DE

du

2D E

Tafel XVIII.

Formeln für Flächen, deren Parameterlinien die Minimalcurven sind.

M= G = 0,

Fundamentalgleichungen:

D = iF.

(B)

(S. 268)

L — M — — — M

V    u ‘    F ’

LN-M*_ d* logF d u d v ’

Fv

[C)

1    LN-M»

Rt' ~    -F*    ’

]/ Rx ⁺    F

iL

xuu    jr

(B)

%M

(S. 266)

Xuv    JP

(,Vuzv- zuVv) + TjT*u = ZX + = MX,

(t/uZv~ Zu!/v)

iN

Fv

t.-XX+T*.-

[xw = - -p-iyuzv-zuyv) + F

Diese Formeln (_ö) gelten auch, wenn x und X durch y und Y oder durch z und Z ersetzt werden.

{E)

(S. 266)

(F)

Xu-~F ^Xn ⁺ B>xv)>

ru = — f + By^,

2 LM F ’

rv=-FN^+AfyJ>

*. = - ±W*. + Mzj. LN+M²    ₀-r₂

F ’    ” Av    f

2 MN

(G)

Differentialgleichung der Krümmungscurven:

L du² — Ndv² = 0.

Anhang.

Ci

H-l

Tafel XIX.

Formeln für Flächen, deren Parameterlinien die Krümmungscurven sind.

I) = yEG.

(A) (S. 355)

Fundamentalgleichungen:

⁼    + ~q) ’

L N = — ± Evv — \ Guu + i

ö , Ve öFlog^"

F = M = 0,

E² 4- Eu Gu

(S. 356)

oder:

dB,

(O)

(S. 356)

Ü?₂ — jßj Ö 0

_    ₌ _ö / ¹ g]/g

Äj Ä₂ du \ l/i? du

_ / 1 d YE dv \ yG dv I

(D) •(& 356)

l0STT

B,-Ri du

7|,2 “ jV ‘

'-» /    \ . Eu Ev j y Eu E„

xuu ßil/uzv ZuVv> 2E X’u 2GXy    ~h 2~EXu 20

Ev Gu 2EXu+ 2G X”’

^*.= A’z- §*»+ sl*»-

Diese Formeln (X) gelten auch, wenn x und X durch y und Y oder durch z und Z ersetzt werden.

(F)

Xuv =

17

(F)

Zu=- *-

(S. 356)

ÄX ’

Xv = - *

Ä₂ ’

/7    *« .

/» = _ sT’

i?₂

(G)

SX² =

(Ä)

SX² =

u

feg *2 ^ feg

sxuxw = o, si; =

sxux =0

ä₂²

iV²

s*»²= *

(*)

Differentialgleichung der Minimalcurven:

Edu² + G dv² = 0.

Differentialgleichung der Haupttangentencurven:

L du² -f- Ndv² = 0.

{A) (S. 388)

Tafel XX.

Differentialparameter.

EP- 2Ffufv+GfJ

(B)    (S. 387)

(C)    (S. 387)

^fg ~~

Aff —

E fvgc - F(fug„ + f , g») + G fu gu

Z)²

Afg — Agf.

Werden ü=f(u,v) und v = g(u,v) als Parameter auf der Fläche benutzt, so sind die zugehörigen Fundamental grossen erster Ordnung:

V>)

Ann

gg

Afg

ff

S. 389)

AffAgg~A} Insbesondere ist:

AffAgg~A}

Aff Agg

~ Afg

{E)

AVV

-Auv

Auu

(S. 388)

AUUAVV- ASV ’

Auu Avv A^v

Au U Av v    Au V

Tafel XXL

Geodätische Curven.

Differentialgleichung der geodätischen Curven, wenn u und v Functionen eines Parameters sind und nach diesem differenziert wird:

Eu + Fv    \Euu"¹ + Evu v + (Fv - * Gu)v'² + Eu" + Fv"

(S. 406) Fu Ar Gv (Fu-$Ev)u²+ Guuv'+$Gvv'²+Fu'' + Gv"

Oder, wenn u als Parameter längs der Curven benutzt wird:

E+F

K-iK+O^ + iO^f+O

wobei jedoch die Curven (m) ausgeschlossen sind.

(S. 408)

F+eü

div

du?

d? v du²

= 0.

Bedingung für die orthogonalen Trajectorien l(u, v) = Const. von oc¹ geodätischen Curven:

4u = /W-

(C) (S. 439)

[B) (S. 440)

Bogenelement-Quadrat bei geodätischem Parametersystem: d s² = d u² + G(u, v)d v²,

wobei B = \G im reellen Falle positiv zu wählen ist.

Für den Winkel a einer beliebigen geodätischen Curve mit den geodätischen Curven (u) ist im Falle [B)\

u‘

{E) (S. 443)

Bei der Annahme (B) ist:

[F) (S. 446)

i d[y_o

]/G du²

Bun

Liegen geodätische Polarcoordinaten vor, so ist in (B) noch:

8y~ö

(S. 445,

448)

G = B² = 0

J u = 0

?<= 0

Tafel XXII.

Centraflächen.

Die Parameterlinien (u), (v) auf der Urfläche (x, y, z) sollen die Krümmungscurven sein. Die auf den ersten oder zweiten Mantel der Centrafläche bezüglichen Grössen haben den Index 1 oder 2.

(A)    (S. 457) xx=x + RxX, yx=y + RxY, z₁=z + l?₁Z.

(B)    (S. 457) x₂ = x + B₂ X, y₂ = y + B₂ Y, z₂ = z + R₂Z.

6R1 8 u ’

8RX

8xv

Oj q_>

(C)

R₂ — R\

ü₂ ä,

R₂

R₃

(S. 457)

dxx __ y 8 Rl

Rt — Rt

Rt

dx₂

d R₂ Rx — R₂

du

R\

Xu

dy-i

²- = Y

d R₂ Ri — Ri

Ä⁻*«»

(A

dv

d R₂

d R₂ . Ri — R₂ ~

" R. «’

3 ßä

dv

(E)

(S. 462)

Ey —

dR₁y

d 74 d 74    „

du dv 1    1

dR,

R₂ — Rx

R₂

G.

(*)

E,

d R₂ dR₂

du d v *

^2 =

dR₂

{G) (S. 462)

d Ry J?₂ — Ry

7₄

A = £i

wo im reellen Falle ]!G positiv sein soll und = ± 1 so zu wählen is, dass Dy positiv wird.

-A = fi2

wo im reellen Falle y~E positiv sein soll und e₂ = ± 1 so zu wählen ist, dass _D₂ positiv wird.

(H)

d R₂ Ri — 7?₂

TT~ ■ 1*’

(/) (S. 463)    =    Yx=-A

Ye

Vu>

Ye

(X)

(A

(S. 463)

*2 =

Z₁=e₁l/E™^, My = 0,

d u

yo

= Xv’

Y =__v

² YgJv'

z*⁼-v§z°'

(M)

{N) (S. 464)

(0)

G Rt d log 74.

YE ^

, m₂ = 0, n₂ — s₂ yG

dSy² = dRy² + (j?2^ — jGdV². ds₂² = dE² +

^ J4 _ d log 74

yW ’ 74

A = - £i

d log 74

(A

5 7?₂

dBx

(S. 466 u.

A=~

467)

(74 - 74)’ ö 7?,

(7?, - t?₂)² 574

Differentialgleichung der Haupttangentencurven auf dem ersten

Mantel:

(Q) (S. 466)

EB*

di?,

du² - GB ²

d i?2 ¹ d u

dv² = 0,

auf dem zweiten Mantel:

(72) (S. 467)    E7?₂²

di?,

du² - G ²

dB,

¹ dv

dv² = 0.

Tafel XXIII.

Flächencurven.

Die Parameter u, v seien als Functionen der Bogenlänge s der Curve gegeben, sodass

{A) (S. 476)

Eu'² + 2 Fuv -f- G v'² — 1

ist, wenn die Striche die Differentiation nach s andeuten.

(o der Winkel der Hauptnormale mit der Flächennormale, 1 : r die Krümmung, 1: p die Torsion.

Normale Krümmung:

(B) (S. 477)

c0-s— = Zu² + 2Mu v + Fv'². r

Tangentiale oder geodätische Krümmung:

(C) sin co

(S.482)~⁼ I>

Eu+Fv' -IEuu'² + Evu'v' + (Fv-IGu)v'² + Eu" + Ev" \ Eu' Ar Gv (.Eu-\Ev)u²+ Guuv'+ \Gvv² +Fu"+ Gv" I

| Eu' + Fv' 1 Eu u'² + Ev u'v' + (Fv - \ Gu) v'² + E u" + F v" \

(8^487) tg Ci) = IFu' + Gv' (Fu -\EV) u'* + W v' + \ Gv v'² + Fu" + G 0" \ j 8    D(Lu'² + 2Mu'v' + Nv'A

(E)

^1-j² = [Lu'² + 2 Muv'+Fv'²)² +

(S. 487) ^ Eu’ + Fv> xEuu'² + Evu'v' + {Fv-^Gu)v'²+Eu'+Fv" ²

¹⁾² Fu’ + Gv' (Fu - * jS>'² + Guuv' + ± Gvv'² + Fu" + Gv"

Im reellen Falle ist 1 : r die positive Quadratwurzel hieraus.

v'² E L

(F) (S. 489)

— (0 —

— xl v F M

u² G N

Tafel XXIV.

Bezeichnungen.

In der nachstehenden Tabelle sind die Bezeichnungen angegeben, die in sieben Werken über Flächentheorie statt der unsrigen benutzt worden sind, soweit in ihnen überhaupt stehende Bezeichnungen für die betreffenden Grössen gebraucht worden sind. In alphabetischer Anordnung sind die sieben Werke diese:

Bianchi, „Vorlesungen über Differentialgeometrie“ Deutsch von Lukat, Leipzig 1899.

Daeboux, „Legons sur la thöorie gönörale des surfaces et les applications göomötriques du calcul infinitesimal“.

1. —IV. partie, Paris 1887—1896.

Gauss, „Disquisitiones generales circa superficies curvas“. Commentationes Soc. Scient. Gottingensis recentiores Vol. VI (ad a. 1823—1827), Göttingen 1828. Siehe auch Gauss’ Werke,

4. Bd., und die Übersetzung in Ostwald’s Klassikern Nr. 5.

Hoppe, „Lehrbuch der analytischen Geometrie in zwei Teilen. Zweiter Teil: Principien der Flächentheorie“.

2.    Aufl., Leipzig 1890.

Joachimsthal, „Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flächen und der Linien doppelter Krümmung“. 3. Aufl., bearb. von Natani, Leipzig 1890.

Knoblauch, „Einleitung in die allgemeine Theorie der krummen Flächen“. Leipzig 1888.

Stahl und Kommeeell, „Die Grundformeln der allgemeinen Flächentheorie“. Leipzig 1893.

Auch A², AOcosa, C².

²    Auch A.

³    Auch

ft-

>1

RR'

Bianchi

Darboux

Gauss

Hoppe

Joachims

thal

Knoblauch

Stahl

und

Kommerei.l

pq

EFO EFO EFO

EFO

ef9

EFO EFG

ef 9

I)

XYZ XYZ

c c' o'

L MN BD'D

XYZ

„ d p' D" d iy ir

H H H A A A

p qr

EFO

XYZ ⁴

ft b c

LMN dd'd"

Qi Qi

Ql Qi

?! Qi

rt r₂

Ye 0 - F i ’ YE 0 - F l ’    ]/ E 0 - F¹ ’

ABC

T ’ T

Benutzt dieselben Fundamentalgrössen zweiter Ordnung wie Gauss, vgl. die Anm. zu S. 106.

Sachregister.

un-

Abbildung der Fläche auf die Ebene 36 u. f.; conform = Conforme Abbildung ; flächentreu = Flächentreue Abbildung; geodätisch = Geodätische Abbildung; längentreu 38.

Abbildung der Fläche auf eine Fläche 90 u. f., 285 u. f.

Abbildung der Fläche auf die Kugel durch parallele Normalen = Sphärische Abbildung.

Ableitungen der Coordinaten 19 u. f.; der Richtungscosinus 159, 312 u. £, 320, 340.

Abstand der Tangentenebene von benachbarten Flächen punkten 193 u.f.

Abwickelbare Flächen 24, 132, 151,154, 177, 180, 183, 185, 225, 273, 358, 369, 403, 409 u. f., 424, 428 u. f., 452, 455,470; der Normalen längs Krüm-mungscurven 175 u. f., 455,473; die eine Fläche längs Curven berühren, 157.

Abwickelung einer Fläche auf eine andere = Verbiegung.

Algebraische geradlinige Minimalfläche dritter Ordnung 244, 248.

Änderung der Bogenlänge bei unendlich kleiner Änderung einer Curve 396 u. f.; der Flächeninhalte bei endlich kleiner Änderung einerFläche 232 u. f.

Arithmetisches Mittel der Krümmungen der Normalschnitte 230.

Associierte Minimalflächen 283.

Asymptoten eines Flächenpunktes 140.

Asymptotische abwickelbare Fläche einer geradlinigen Fläche 227.

Asymptotische Curven 174 = Haupt-tangentencurven.

Bedingung für conjugierte Richtungen 155; für Hauptkrümmungsrichtungen 117, 118, 158; für Haupttangenten-riclitungen 127, 156; für Minimalrichtungen 86; für senkrechte Richtungen 83.

Begleitendes Axenkreuz eines Flächenpunktes 133 u. f., 144, 168.

Begleitendes Dreikant eines Flächenpunktes 312 u. f,; in ein anderes übergeführt 317 u.f.; speciell gewählt 319 u.f., 340.

Bereich für die Parameter auf der Fläche 6.

Berührung nter Ordnung zwischen zwei Flächen 200 u. f.; zweiter Ordnung zwischen Fläche und Kugel 203; zweiter Ordnung zwischen Fläche und Paraboloid 203; zweiter Ordnung zwischen Fläche und Tangentenebene 202 u. f.

Bewegung 16, 18, 107, 303, 337 u. f., 342, 344.

Biegung = Verbiegung.

Bildkugel 204 u. f.

Bilineare Gleichung durch eine Differentialgleichung ausgedrückt 78; für die Kreise auf der Kugel 65, 77 u. f.

Binormalen einer Curve 226.

Bogenelement-Quadrat in der Ebene 13; auf der Fläche 14,17; als vollständiges Quadrat 29; für Isothermennetze 57; bei Verbiegung 275; auf die Form du² + O dv² gebracht 440 u.f.; auf einer Fläche, die sich unendlich wenig in sich verbiegen lässt, 291; der Centrafläche 464 u.f.; auf einer Fläche constanter Krümmung 301; von der Form (CJ+ V){du² + dv²) 420, 423.

Bogenlänge einer Curve bei unendlich kleiner Änderung 396 u. f.; einer Flächencurve 102, 476.

Breite und Länge auf der Kugel 3.

Breitenkreise 40.

Brennflächen eines Strahlensystems 470.

Canalflächen 461 u. f., 473 u. f.

Catenoid 42, 126, 129, 184; als Mini- J malfläche 242, 252; verbogen auf eine gemeine Schraubenfläche 284 u. f., 294.

Centrafläche 454 u. f.; ausgeai’tet458 u. f., 473 u. f.; einer abwickelbaren Fläche 455; einer Canalfläche 461; einer Fläche, deren Hauptkrümmungsradien durch eine Relation verbunden sind, 467 u. f.; einer Kugel 455; einer Röhrenfläche 455; einer Rotationsfläche 455.

¹

Satz von Enneper, „Über asymptotische Linien“, Göttinger Nachrichten 1870.

²

Bezeichnung der Seite, auf der die Formeln zum ersten Male Vor

Conforme Abbildung einer Fläche auf die Ebene 67 u.f., 74, 94, 96; der Kugel auf die Ebene 75 u.f.; einer Minimalfläche auf die Ebene 256; einer Fläche auf eine Fläche 71 u. f., 94, 96; einer Fläche auf die Bildkugel 208; einer Minimalfläche auf die Kugel 242, 248 u. f., 256.

Congruenz von Flächen mit denselben Fundamentalgrössen 337 u. f.

Congruenzmerkmale für zwei Flächen 341 u.f., 351 u.f., 367 u. f.

Conjugierte Curven 185 u. f., 196 u. f., 198 u.f.; auf abwickelbarer Fläche 185; auf Centraflächen 464; als Parameterlinien 186; die bei Abbildung conjugiert bleiben, 285 u. f.; die Mini-malcurven sind, 244.

Conjugierte Durchmesser der Indicatrix 154 u. f.

Conjugierte Hyperbeln 136, 137.

Conjugierte Richtungen 154 u.f., 163, 170; auf abwickelbarer Fläche 154; auf einer Kugel 157.

Conjugierte Tangenten 154; harmonisch getrennt durch die Haupttangenten 157.

Contingenzwinkel, geodätischer, 483.

Convex-concave und convex-convexe Stellen 128 u.f., 135 u.f., 140.

Cosinuslinie 45.

Curve 4; aufgefasst als Fläche 151; von constanter Torsion 490; unendlich wenig verändert 396 u. f.; dritter Ordnung mit constanter Krümmung und Torsion 242 u. f.

Curven auf der Fläche 10 u. f., 101 u. f., 476 u.f.; unendlich wenig verändert 399 u.f.; deren Binormalen die Flächennormalen sind, = Haupttangen-teneurven; deren Binormalen die Fläche berühren, 404; deren Hauptnormalen in die Flächennormalen fallen, 100u.f.; längs deren einHauptkrümmungsradius constant ist, 465; ohne bez. von grösster Längenverzerrung bei Abbildung 99; von con-stanter geodätischer Entfernung 444, 485 u. f.; von constanter geodätischer Krümmung 485 u. f.; von der geodätischen Krümmung Null 486; von der normalen Krümmung Null 489.

Curvennetz auf der Fläche mit ebenen Vierecken 193 u. f., 196 u. f.

Cykliden 474.

Cylinder 2, 189, 225; zweiter Ordnung 129; siehe auch Rotationscylinder.

Cylindroid der kürzesten Abstände einer Normalen von den benachbarten Normalen 171; zur Veranschaulichung der Krümmungen eines Flächenpunktes 149.

Diagonalcurven 54 u. f., 57 u. f.

Differentialgleichung der Curven, die zu einer gegebenen Schar conjugiert sind, 192; der geodätischen Curven 408 u. f., 417; der geodätischen Curven (Geraden) der Ebene 430; der geodätischen Curven auf Flächen mit ds² = (U + V) (du²+dv²) 421 u.f.; der geodätischen Curven bei geodätischen Parametern 442 u. f.; der geodätischen Curven auf Rotationsflächen 411 u.f.; der Haupttangentencurven 174; der Haupttangentencurven auf geradlinigen Flächen 183 u. f.; der Krümmungscurven 174, 176; der Minimalcurven 35 u. f., 62 u. f., 174; bei einem Orthogonal system 33 u.f.; der orthogonalen Trajectorien von oo1 geodätischen Curven 433 u.f., 437u.f.; eines Systems von conjugierten Curven 186.

Differentialgleichung, gewöhnliche, siehe auch unter Gewöhnliche Differentialgleichung; partielle siehe unter Partielle. Differentialgleichung; RiccATi’sche siehe unter RiccATi’sche Differentialgleichung.

Differentialinvarianten der Fläche hinsichtlich der Bewegungen 303 u. f.; differenziert nach einem Parameter 305 u. f.; symmetrisch aus den Ableitungen der Coordinaten gebildet 308 u.f.; von erster Ordnung 306; hinsichtlich der Bewegungen und auch hinsichtlich der Einführung neuer Parameter 342 u.f., 353, 384, 387, 390 u. f.

Differentialparameter erster Ordnung 382 u. f., 436, 439; gemischter oder Zwischenparameter 387 u. f., 439.

] )ifferentialquotienten der Coordinaten 19 u. f., 261 u. f.; von Functionen des Ortes auf der Fläche 374 u. f.; der Richtungscosinus der Flächennormale 159; der Richtungscosinus des begleitenden Dreikants der Fläche 312 u.f., 320, 340.

Doppelflächen 256 u. f.

Doppel Verhältnis der Krümmungsmittelpunkte von vier Normalschnitten eines Flächenpunktes 114 u.f.; von vier Tangenten eines Flächenpunktes 91 u.f., 114; von den Tangentenebenen von vier Punkten einer Erzeugenden einer geradlinigen Fläche 224.

Dreikant, begleitendes, siehe unter Begleitendes Dreikant eines Flächenpunktes.

Ebene 1 u. f., 13, 107, 112 u.f., 120, 179, 182 u.f., 185, 241 u.f.; geodätisch auf eine Ebene abgebildet 429 u.f.; unendlich benachbart und parallel einer Tangentenebene 138.

Ebene Krümmungscurven 180.

Einhüllende von oo¹ Kugeln 461.

Einseitige Flächen 259.

Ellipse als Bild eines unendlich kleinen Kreises 98 u.f.; zur Construction der Krümmung eines Normalschnittes 135 u.f.; zur Construction des Winkels benachbarter Normalen 169.

Elliptischer Punkt 140.

Endliche Gleichungen einer Fläche abgeleitet aus den Fuudamentalgrössen 335, 337 u. f.

Entfernung der Tangentenebene von benachbartem Flächenpunkt 152,193 u. f.

Euklidische Geometrie 453.

Evolutenfläche = Centrafläclie.

Faden aufgespannt auf die Fläche 404 u. f.

Filarevolventen 177.

Flächen allgemein 1 u. f.; abgeleitet aus den Fundamentalgrössen 335, 337 u. f.; conform abgebildet siehe unter Conforme Abbildung; erzeugt durch ihre Punkte oder durch ihre Tangentenebenen 151; gesucht zu gegebener Centrafläclie 469 u. f., 474 u. f.; gesucht zu gegebenem Normalensystem 470 u. f.; umhüllt von oo² Ebenen 26.

Flächen von besonderer Art und zwar: Flächen, auf denen EG — F'¹ = 0 ist, 29; auf denen LN—M² = 0 ist, 131 u.f., siehe auch unter Abwickelbare Flächen; mit lauter Nabelpunkten (Kugeln) 111 u. f.; mit lauter parallelen Normalen 107; mit nur einer Seite 259; mit zwei Scharen von Geraden 144; mit einer Schar von Minimalgeraden 115 u. f., 165, 175, 177, 213, 227 u.f., 240 u. f., 354 u.f.; mit zwei Scharen von Minimalgeraden (Kugeln) 64,113; von zweiter Ordnung 129, 143, 184, 226; mit ocPcongruen-ten und gleichgestellten Curven = Schiebungsflächen; die durch Drehung einer Curve entstehen, = Rotationsflächen; die durch Schraubung einer Curve entstehen, = Schrauben-flächen; mit conjugierten Minimal-curven 244, siehe auch unter Minimalflächen; die von co¹ Kugeln in Kreisen berührt werden, 459 u. f., 473 u. f.; mit orthogonalen Haupt-tangentencurven siehe unter Minimalflächen; mit zusammenfallenden Haupttangenten 131 u. fl, siehe auch unter Abwickelbare Flächen; con-stanter Krümmung 236 u. f., 297 u. f., 354, 372, 394, 416, 421, 426 u. f., 446, 452 u. f., 490; constanter Krümmung, verbogen auf die Kugel 301 u. f.; constanter Krümmung mit einer Schar von Minimalgeraden 228 u f.; mit der Krümmung Null 214, siehe auch unter Abwickelbare Flächen; constanter mittlerer Krümmung 236 u. f., 369 u. f.; mit der mittleren Krümmung Null = Minimalflächen; mit einer Relation zwischen den Hauptkrümmungsradien 353 u. f.; 467 u. f.; mit einem constanten Hauptkrümmungsradius 357 u. f., 368 u. f.; mit gleichen Hauptkrümmungsradien (Kugeln) 120; mit entgegengesetzt gleichen Hauptkrümmungsradien 119, 184, 207 u.f, 235 u f., siehe auch unter Minimalflächen; deren Fundamentalgrössen von einander abhängige Functionen sind, 367; die sich unendlich wenig in sich verbiegen lassen, 28u u. f.; verbiegbar auf Rotationsflächen 293; auf denen ds² = (U + V) [d u- + <t v²) ist, 420, 423 u. f.; Fläche der Bi-normalen einer Curve 226; der Ilauptnormalen einer Curve dritter Ordnung von constanter Krümmung und Torsion 243 u. f.; der Krüin-

mungskreise der Normalschnitte eines Gemischter Differentialparameter 387 allgemeinen Fläehenpunktes 146; der u f.

Flächencurve = Curve auf der Fläche.

Flächenpaar, das sich in Krümmungs-curven schneidet, 177 u.f.; das sich unter constantem Winkel schneidet, 178 u. f.

Flächennormale = Normale.

Flächentreue Abbildung 38 u. f.; der Kugel auf die Ebene 43 u. f.; einer Rotationsfläche auf die Ebene 41 u.f.

Flächentreue geographische Karten 43 u. f.

Focalkegelschnitte 474.

Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche 29 u.f.; conjugiert zu einander siehe unter Conjagierte Richtungen; senkrecht zu einander 33, 117, 135, 156, 109.

Function des Ortes auf der Fläche 373 u. f.

Mitten der Strecken zwischen zwei Geodätische Abbildung einer Ebene auf Curven 190; der Normalen längs der ( eine Ebene 429 u. f.; einer Fläche Indicatrix 173.    auf eine Ebene 424 u. f., 428 u. f.;

einer Fläche auf eine Fläche 41 6 u.f.; einer Rotationsfläche auf die Ebene 424 u. f., 428 u. f.; einer Fläche constanter Krümmung auf die Ebene 416.

Geodätischer Contingenzwinkel 483. Geodätische Curven 402 u. f., 474 u.f., 482 u. f., 486, 489; auf abwickelbaren Flächen 403, 409 u. f.; auf Centraflächen 458 u. f., 465; auf Flächen mit ds² = (U + V)(du² + dv²) 423 u. f.; auf Flächen constanter Krümmung 416; auf Kugeln 410; auf Rotationscylindern 409 u. f.; auf Rotationsflächen 411 u. f., 423 u. f.; auf Rotationsflächen constanter Krümmung 413 u. f.; bei Verbiegung 415 u. f.

Functionen der Fundamentalgrössen und ihrer Ableitungen 307 u. f.

Fundamentalgleichungen der Flächentheorie 265, 271 u. f.; als Integi-a-bilitätsbedingungen für die Differentialquotienten der Richtungscosinus des begleitenden Dreikants 320, 322; als Integrabilitätsbedingungen einer RiccATi’schen Gleichung 325, 341; für den Fall, dass die Parameterlinien Minimalcurven sind, 268, 272.

Fundamentalgrössen erster Ordnung 15 u. f.; als Differentialinvarianten 304,

306; bei Einführung neuer Parameter 17 u. f.; ungeändert bei Bewegungen 16, 18.

Fundamentalgrössen zweiter Ordnung 106 u. f.; als Differentialinvarianten 304; gleich Null in einem Punkte j 202; gleich Null auf der Fläche überhaupt 107; ungeändert bei Bewegungen 107.

Fundamentalgrössen im Anfangspunkt I des begleitenden Axenkreuzes 134; J charakteristisch für die Congruenz j von Flächen 337 u. f.; der Bildkugel 206 u. f.; der Centrafläche 462 u. f.; Geschwindigkeit der Änderung einer von Parallelflächen 238 u. f.    I Ortsfunction 373 u. f.

Geodätische Dreiecke 449 u. f.; auf Flächen constanter Krümmung 452 u. f.

Geodätische Entfernung 444, 485. Geodätische Kreise mit Mittelpunkt 444, 485 u. f.; von constanter geodätischer Krümmung 485 u. f. Geodätische Krümmung 483 u. f., 187; bei Verbiegung 485 u. f.; gleich Null 486, 489.

Geodätische Parameter oder Coordina-ten 441 u. f., 474, 483.

Geodätische Polarcoordinaten 445. Geographische Karten 43 u. f., 83 u. f. Geometrie auf einer Fläche constanter

Krümmung 4 53.

einen Hauptkrümmungs-

Gerade als geodätische Curve 402, 406 u. f.; durch mittelpunkt parallel der anderen Hauptkrümmungstangente 166 u. f., 171; unendlich wenig geändert 400 u. f.

Geradlinige Flächen 129, 183 u.f., 216 u.f., 438; die Minimalflächen sind, 242 u. £, 248; abwickelbar siehe unter Abwickelbare Flächen; constanter Krümmung 228 u. f.

Gesimsflächen 181.

Gemeine Schraubenfläche 60, 119, 129, 181, 184, 191, 225, 276; als Mini-malfläche 242 u. f., 250; verbogen auf ein Catenoid 284 u. f., 294. Gemeine Schraubenlinie 60, 409.

Gewöhnliche Differentialgleichung siehe auch unter Differentialgleichung; erster Ordnung in u und v 11 u. f.; erster Ordnung, homogen und quadratisch hinsichtlich du und dv 12 u. f.; der geodätischen Curven 408

u. f.; der Haupttangentencurven 174; der Krümmungscurven 147, 176; der Minimalcurven 35 u. f., 62 u. f., 174; zur Integration einer totalen Differentialgleichung 326 u. f.

Gleichung zwischen den Parametern einer Fläche 11.

Gleichungen einer Fläche 1 u. f.; aufgelöst nach x 1, 15, 18, 108, 260; natürliche 353 u. f.

Gradnetze 43 u. f., 83 u. f.

Graphische Darstellung der Differentialquotienten einer Ortsfunction auf der Fläche 376 u. f.

Hauptkrümmungsradien 118 u. f.; als Differentialinvarianten 342 u. f.; bei gemeinen Schraubenflächen 119; bei Rotationsflächen 121 u. f.; unendlich gross 129, 137.

Hauptkrümmungsmittelpunkte 118 u. f., 165, 171 u. f., 454 u. f

Hauptkrümmungsrichtungen 118 u. f., 156, 167, 174.

Haupttangenten 127 u. f., 135, 150,174, 194; als Asymptoten 136 u. f., 156; imaginär 128, 130; reell verschieden 129 u. f.; reell zusammenfallend 129 u. f.; zu sich selbst conjugiert. 156; harmonisch zu conjugierten Richtungen 157; bei abwickelbaren Flächen 132; bei gei’adlinigen Flächen 129; bei Rotationsflächen 128.

Haupttangentencurven 174, 182 u. f., 185, 409, 489 u. f.; bei Abbildung von Flächen auf Flächen 286 u. f.; auf abwickelbaren Flächen 183; auf dem Catenoid 184; auf Centraflächen 466 u. f.; auf Flächen constanter Krümmung 372; auf gemeinen Schraubenflächen 184; auf geradlinigen Flächen 183 u. f.; auf Minimalflächen 370 u. f.; als Parameter-curven 184, 489; die ein Orthogonalsystem bilden, 184.

HENNEBERG’sche Minimalfläche 260.

Höhere Differentialquotienten der Co-ordinaten 264 u. f.

Hülfsveränderliche = Parameter.

Hyperbel zur Construction der Krümmung eines Normalschnittes 136 u. f.

Hyperbolischer Punkt 140.

Hyperboloid 129, 144, 225, 452.

Indicatrix 139 u. f., 154 u. f., 172 u.f.; von anderer Art bei Abbildung von Flächen 99.

Inhalt eines Flächenelementes 34 u. f.; bei unendlich kleiner Änderung der Fläche 231 u. f.; des Tetraeders von vier benachbarten Flächenpunkten 195 u. f.

Inneres Product zweier Strecken 387.

Integral einer gewöhnlichen Differentialgleichung in u und v 12.

Integrabilitätsbedingungen für die Differentialquotienten der Richtungscosinus des begleitenden Dreikants 317 u. f.; identisch mit den Fundamentalgleichungen 319 u. f.; für totale Differentialgleichungen 325; für totale RiccATi’sche Differentialgleichungen 325, 341.

Integration totaler Differentialgleichungen 326 u. f.

Invariante Functionen siehe unter Differentialinvarianten.

Isophoten bei paralleler Beleuchtung 205.

Isothermennetze auf einer Fläche 50 u. f., 61 u. f., 71; bei conformer Abbildung 71, 73 u. f.; auf gemeinen Schraubenflächen 60; auf Kugeln 59; auf Rotationsflächen 59; gebildet von Haupttangentencurven 370; gebildet von Krümmungscurven 369 u. f.

(Siehe auch unter C.)

Kegel zweiter Ordnung 22, 129.

Kegelschnitt zur Construction der Krümmungen von Normalschnitten 135u. f.; zur Construction des Winkels benachbarter Normalen 169; als Bild eines unendlich kleinen Kreises 98 u. f.; als Schnitt der Fläche mit einer zur Tangentenebene benachbarten Ebene 138 u. f., siehe auch unter Indicatrix.

Kennzeichen = Merkmale.

Kettenlinie 42, 126.

Kleinste Fläche durch gegebene Curve 234 u. f.

Kreise bei graphischer Darstellung der Differentialquotienten einer Ortsfunction 376 u. f.; auf Kugeln 64 u. f., 76 u. f.

Kriterien = Merkmale.

Krummlinige Coordinaten der Fläche 8, siehe auch unter Parameter.

Krümmung einer Flächencurve 103 u. f., 477, 487; geodätisch = Geodätische Krümmung; normal = Normale Krümmung; tangential = Tangentiale Krümmung; der Normalschnitte eines

Flächenpunktes 109 u. f., 113 u. f., 116 u. f., 120; der Normalschnitte ausgedrückt durch die Hauptkrümmungen 134 u. f.; eines Normalschnittes gleich Null 127; zweier zu einander senkrechter Normalschnitte 135; der Projection einer Curve 477 u. f.

Krümmungsmaass oder Krümmung der Fläche 200, 211 u. f., 272 u. f.; als Differentialinvariante 342; als Product der Torsionen der Haupttan-gentencurven 490; bei Verbiegung 275; für Centraflächen 466 u. f.; für Parallelflächen 237, 240; auf abwickelbaren Flächen 214; constant siehe unter Flächen constanter Krümmung; auf Flächen von Minimalgeraden 228; auf geradlinigen Flächen 219 u. f.; auf Kugeln 213; auf Rotationsflächen 214.

Krümmung, mittlere, siehe unter Mittlere Krümmung.

Krümmung, totale 449 u. f.

Krümmungscurven 174 u. f., 185, 409, 489; als Parametercurven 182, 206, 344 u. f., 355 u. f., 457 u. f.; bei sphärischer Abbildung 206 u. f.; auf abwickelbaren Flächen 177; auf Canalflächen 461; auf Cykliden 474; •eben 180; auf Flächen, deren Hauptkrümmungsradien durch eine Relation verbunden sind, 366; auf Flächen constanter Krümmung 372; auf Flächen constanter mittlerer Krümmung 369; auf gemeinen Schraubenflächen 181 u. f.; gerade 180; auf Gesimsflächen 181; auf Minimalflächen 366, 371; auf Röhrenflächen 181; auf Rotationsflächen 181; sphärisch 180.

Kugel 1, 3, 10, 18, 34, 43 u. f., 59, 63 u. f., 66, 112 u. f., 120, 123 u. f., 157, 180, 182, 200, 203, 208, 213 u.f., 301, 358, 369, 410, 455, 466; als Bildkugel 204 u. f., siehe auch unter Sphärische Abbildung; conform abgebildet 75 u. f.; flächentreu abgebildet 43 u. f.; geodätisch abgebildet 429; als ge- I radlinige Fläche 64.

Kürzester Abstand zwischen benachbarten Erzeugenden einer geradlinigen Fläche 220 u. f., 225; zwischen benachbarten Normalen 160 u. f., 170 u. f.

Kürzeste Linien auf einer Fläche 402 u. f., siehe auch unter Geodätische Curven.

Sc Hefters , Geom. Diffr. II.

Länge und Breite auf der Kugel 3.

Länge einer Curve siehe unter Bogenlänge.

Längentreue Abbildung 38.

Leitcurven auf geradlinigen Flächen 216.

Lichtgleichen bei paralleler Beleuchtung 205.

Lineare Gleichungen für die geodätischen Curven einer Fläche constanter Krümmung 415 u. f.

Linear gebrochene Functionen einer Veränderlichen 78.

Logarithmische Curve 276.

Lösungen von totalen Differentialgleichungen 326, 330; von totalen RiccATi’schen Differentialgleichungen 330 u. f.

Loxodromen auf der Kugel 88.

Maass der Krümmung = Krümmungsmaass oder Krümmung.

Maxima und Minima der Krümmungen in einem Flächenpunkte 105, 115 u. f.

Maximalrichtung für die Differentialquotienten einer Ortsfunction 378 u.f.

Mercatorkarte 88.

Meridiane 40.

Merkmale für die Congruenz von Flä-chen 341 u. f., 351 u. f., 367 u. f.; für die Verbiegbarkeit einer Fläche auf einer anderen 389 u. f.

Minimalcurven auf einer Fläche 35 u. f., 62 u. f., 73, 137 u. f., 246, 384 u. f., 409, 417, 428; bei Abbildungen 95 u.f.; bei conformen Abbildungen 73; als geodätische Curven aufgefasst 406 u. f.; als Parameterlinien 36, 111, 113, 115, 227, 244 u. f., 249 u. f., 265 u. f., 277 u- f., 289 u. f., 297 u. f., 340 u. f., 446; bei Verbiegung 277 u. f., 289 u. f.; unendlich wenig geändert 401 u. f.; auf Flächen constanter mittlerer Krümmung 370; auf Minimalflächen 371.

Minimalflächen 236, 241 u. f., 355, 366, 370 u. f., 452; associiert 283; reell 249 u. f.; als Schiebungsflächen aufgefasst 245 u. f.; sphärisch abgebildet 242, 248 u. f.; verbogen in Minimalflächen 279 u. f.; die Doppelflächen sind, 256 u. f.; geradlinig 242 u. f. 248; von Henneberg 260; die Rotationsflächen sind, 242; mit einer Schar von Minimalgeraden 241; von Schere 252 u. f.

33

Minimalgeraden, die Flächennorpaalen | Orthogonale Trajectorien einer Curven-sind, 28; auf der Kugel 64; als Parameterlinien 113, 115 u. f.

schar auf der Fläche 380; von oo1 geodätischen Curven 433 u. fl, 435 u. fl, 439, 444; einer Geradenschar 217 u. fl, 225 u. fl, 438.

Mittelpunkte der Erzeugenden von geradlinigen Flächen 220 u. f.

Mittelwert der Krümmungen aller Nor- Ortsfunction = Function des Ortes auf malschnitte eines Flächenpunktes    der Fläche.

230.    Osculierendes Paraboloid 145, 203.

Parabolische Punkte 140 u. fl

Mittlere Krümmung 229 u. f.; als DifFerentialinvariante 342; von Par- j allelflächen 236, 240.

Modelle von Flächen 58; aus ebenen Paraboloid als Ersatz der Fläche 145; Vierecken 197, 288, 518; von Centra- a]s Schiebungsfläche 189. flächen 456; von Schiebungsflächen Parallelcurven auf der Fläche 434.

197.

Multiplicator 326, 435.

Parallelflächen 205, 233, 236 u. fl, 472" u. fl; von Flächen von Minimalgeraden 241.

Nabelpunkte 110 u. fl, 113, 119, 140,

156, 203; auf Rotationsflächen 110.

Natürliche Gleichungen einer Fläche 353 u. fl

Netz von Parameterlinien 54 u. fl; von Quadraten siehe unter Isothermen- j netze; von Rhomben 55.

Netzviereck auf der Fläche als ebenes Viereck aufzufassen 193, 197; als Tetraeder aufgefasst 195 u. fl

Neue Parameter 7, 10, 16 u. fl, 388 u. fl

Nichteuklidische Geometrie 453.

Normalen der Fläche 27; benachbart 160 u. fl; längs einer Flächencurve, deren Bogenlänge sich bei unendlich kleiner Änderung der Curve um Unendlichkleines von höherer Ordnung ändert, 399 u. fl; längs einer geodätischen Curve 402 u. fl; längs der Haupttangentencurve 182; längs einer Indicatrix 173; längs einer Krüm-mungscurve 175 u. fl; längs einer kürzesten Flächencurve 403.

Normalensysteme 470 u. fl

Normale Krümmrng einer Flächencurve 480, 487; bei geodätischen Curven 489; bei Haupttangenten-curven 489.

Normalschnitte durch einen Flächen- Quadrat des Bogenelementes = Bogen-punkt 105, 109 u. fl; die dasselbe element-Quadrat.

Doppelverhältnis wie ihre Krüm- Quadrate unendlich klein auf der . mungsmittelpunkte haben, 114 u. fl; Fläche 55 u. fl eines Nabelpunktes 110; mit Wendepunkt 127.

Parallelogramme von Parameterlinien. 31, 35, 55, 232.

Parameter auf der Fläche 5 u. fl Parameterlinien auf der Fläche 9, 10: conjugiert 186; die ein Netz von flächeDgleichen Parallelogrammen bilden, 35; orthogonal 34; die Hanpt-tangentencurven sind, 184; dieKrüm-mungscurven sind, 182.

Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung für die Richtungscosinus des begleitenden Dreikants 317 u. fl; zweiter Ordnung für die Coordinaten bei conjugierteu Parameterlinien 187;. zweiter Ordnung bei Flächen con-stanter Krümmung 297.

| Partielle Differentialquotienten p, q, rr s, t 1.

Perspective Abbildung der Kugel 81 u. fl. Product, inneres 387; der Hauptkrümmungen eines Flächenpunktes 118 u. fl, 122 u. fl, 159, siehe auch unter Krümmungsmaass oder Krümmung. Projeetive Abbildung der Ebene auf die Ebene 430, 432.

Punkte, in denen D² = E G — F² — O ist, 28 u. fl

Oberflächenspannung 230. Orthogonalsystem auf der Fläche 33; bei Abbildung 95 u. fl, 417; bei sphärischer Abbildung 206 u. fl; von Haupttangentencurven 184; von Krümmungscurven 177.

Regelflächen = geradlinige Flächen. Reguläre Punkte 23.

Rhomben unendlich klein auf der Fläche 55.

RiccATi’sche gewöhnliche Differentialgleichung 183; totale Differentialgleichung 324, 330 u. fl, 340.

Richtungscosinus des begleitenden Dreikants 310 u. f., differenziert 312 u. f.; bestimmt durch eine Riccati’-sche totale Differentialgleichung 324,

meine siehe unter Gemeine Schrau-benfläche.

Schraubenlinie, gemeine 60, 409.

Seekarte 89.

Singuläre Punkte 22 u. f., 120.

Sinuslinie 149.

Sphärische Abbildung 204 u. f., 449, 452; für die Curven, die sich als Minimalgeraden darstellen, 215 u. f.; conform 208, 242; für Minimalflächen 242, 248 u. f., 281.

332 u. f., 340; speciell gewählt 319 u. f., 334, 340.

Richtungs cosinus der Hauptkrümmungstangenten 166 u. f.; der Flächennormalen 27; differenziert 158 u. f.

Richtungskegel 224.

Ringflächen 23, 474.

Röhrenflächen 181, 357 u. f., 368, 455. Sphärische Krümmungscurven 180.

Rotationscylinder 35, 358, 369, 409 u. f. Stereographische Projection der Kugel

Rotationsflächen 40, 58 u. f., 110, 115,    82 u. f., 256.

120 u. f., 128, 180 u. f., 289, 291    Stetige Verbiegung 274, 283, 288 u. f.,

u. f., 355, 411 u. f., 421, 423 u. f.,    291.

445, 455, 461, 468; conform abge- Strahlensystem 470. bildet 75; flächentreu abgebildet 41 Strietionscurve 224; auf abwickelbarer u. f.; verbogen auf Rotationsflächen    Fläche 225; auf einer Fläche zweiter

294 u. f.; mit constantem Product    Ordnung 226.

unter Coujugierte Curven; von geodätischen Parametern oder Coordinaten 441 u. f., 474; von geodätischen Polarcoordinaten 445.

der Hauptkrümmungsradien (von con- | Summe der Hauptkrümmungen 118 u. f., stanter Krümmung) 122 u. f., 214 u. f., j 122, 124, 150, 159, siehe auch unter 413 u. f.; mit entgegengesetzt glei- Mittlere Krümmung, chen Hauptkrümmungsradien (Mini- Summenzeichen 15. mal-Rotationsflächen) 124, 126, 242; j Symmetrische Summen aus Differential-mit orthogonalen Haupttangenten- quotienten der Coordinaten 308 u. f. curven (dsgl.) 184; der Kettenlinie = ! System von conjugierten Curven siehe Catenoid; der logarithmischen Curve 276; der Tractrix 123 u. f.

Rotationshyperboloid 225, 452.

Schaf von oo¹ Curven auf der Fläche j

11 u. f.; von oo² Ebenen 23 u. f., 26, Tangenten der Fläche 20; der Para-151; von oo² Geraden 168, 470; von    meterlinien 29; in singulären Punk-

oo² Geraden, die ein Normalen-    ten 22; die in zweiter Ordnung be-

system bilden, 469 u. f.; von oo² Ge- rühren, 127.

raden, die eine oder zwei Curven Tangentenebenen 20 u. f., 151, 193 u. f., treffen, 473 u. f.    201 u. f.; benachbart 151 u. f.; bei

Schattengrenze bei centraler Beleuch- geradlinigen Flächen 221 u. f.

tung 158.    Tangentenfläche einer Curve 2, 10, 19;

Scheitel eines Paraboloids als Ersatz einer Minimalcurve 29, 107.

eines Flächenpunktes 145.    Tangentialebene = Tangentenebene.

ScHEEK Sche Minimalfläche 252 u. f. Tangentialkegel 198; von einem der Schiebungsflächen 188 u. f., 197; von Fläche benachbarten Punkte aus Minimalcurven siehe unter Minimal- 142 u. f.

flächen.    L Tangentiale Krümmung 480 u. f., 484,

Schnitt der Fläche mit ihrerTangenten- siehe auch unter Geodätische Krüm-ebene 140; mit einer Ebene, die der mung.

Tangentenebene parallel und benach- Tetraeder von vier benachbarten Flä-bart ist, 138 u. f., 142; benachbarter I chenpunkten 195 u. f. Tangentenebenen 151 u. f.; benach- Thermische Parameter 58, 65'u. f., 71 harter Normalen 171 u. f.; der einer u. f.; auf gemeinen Schraubenflächen Normalen benachbarten Normalen    60; auf Minimalflächen 255; auf

mit einer Ebene senkrecht zu jener    Kugeln 59, 66 u. f.; auf Rotations

164 u. f.

flächen 58 u. f.

Schraubenfläche 59, 289; auf Rota- Totale Differentialgleichungen 325u.f.; tionsfläche verbiegbar 293, 421; ge- RiccATi’sche 324, 330 u. f., 340 u. f.

Zweite Differentialquotienten der Coordinaten 262 u. f.

Zwischenparameter ouer Gemischter Differentialparameter 387 u. f.

Torsion einer Flächencurve 487 u. f.; einer Haupttangentencurve 489 u. f.; constant 490.

Totalkrümmung 449 u. f.

Tractrix 123 u. f.

Translationsflächen = Schiebungsflächen.

Umhüllende von co¹ Kugeln 461.

Unendlich benachbarte Normalen 160 u. f.; die einander schneiden, 171 u. f.

Unendlich benachbarte Tangentenebenen 151.

Unendlich ferne Curven 26,    455;

Punkte auf geradlinigen Flächen 223 u. f.

Unendlich kleine Änderung einer Curve im Raume 396 u. f.; einer Curve auf der Fläche 399 u. f.; einer Geraden 400 u. f.; einer Minimalcurve 401 u. f.; einer Fläche 231 u. f.; einer Fläche in sich selbst 289.

Unendlich kleiner Kegelschnitt als Bild eines unendlich kleinen Kreises 98 u. f.; als Schnitt der Fläche mit einer zur Tangentenebene parallelen benachbarten Ebene = Indicatrix.

Unendlich kleine Parallelogramme auf der Fläche 31, 35; Quadrate 55 u. f.; Rhomben 55; Vierecke 193 u. f.

Unendlich kleine Verbiegung von Flächen, die dabei in sich übergehen, 289 u. f.

Unendlich kleine Winkel zwischen Normalen 161, 168 u. f.

Unveränderliche Functionen = Differentialinvarianten.

Unveränderlichkeit des Krümmungs-maasses bei Verbiegung 275; der geodätischen Krümmung bei Verbiegung 486.

Verbiegung von Flächen 273 u. £, 389 u. f., 415 u. f., 419, 485 u. f.; von

Centraflächen 468; von Flächen auf sich selbst 289; von Flächen con-stanter Krümmung 301 u. f,; von gemeinen Schraubenflächen auf Ca-tenoide 284 u. f., 294; von Minimalflächen auf Minimalflächen 279 u. f., 283 u. f.; von Flächen auf Rotationsflächen 293, 468; von Rotationsflächen auf Rotationsflächen 294 u. f.; von Schraubenflächen auf Rotationsflächen 293; stetig 274, 283, 288 u. f., 291.

Verbiegung von Polyedern 288, 518.

Verzerrung der Curvenlängen bei Abbildung 37, 99; von unendlich kleinen Winkeln bei Abbildung 100.

Vorzeichen der Krümmung einer Flä-chencurve 104, 477; der Krümmung eines Normalschnittes 104, 127.

W-Flächen oder WEiNGARTEN’sche Flächen 355 u. f., 467 u. f.

Winkel von Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche 32, 68.

Winkel einer geodätischen Curve mit oo¹ geodätischen Curven 442 u. f.; auf Rotationsflächen 412 u. f.

Winkel der Haupttangentencurven 135.

Winkel der Parameterlinien 30 u. f.; bei geodätischen Polarcoordinaten 447 u. f.

Winkel unendlich benachbarter Normalen 161, 168 u. f.

Winkelsumme in geodätischen Dreiecken 451 u. f.

Winkeltreue Abbildung = Conforme Abbildung.

Winkeltreue geographische Karten 83 u. f.

Zum I. Band.

Seite 17, Zeile 9 von oben lies: t statt: t.

,,    21, Zeile 2 von unten füge hinzu: (Ax    0).

„    69, letzte Zeile lies: r statt: r.

„    96, Satz 63.

Diesen Satz findet man schon bei Cesäeo, „Lezioni di geometria intrinseea“, Neapel 1896. Vgl. die Anmerkung zu S. 353 des vorliegenden Bandes. In der in I S. 96, Anmerkung, genannten Arbeit werden dagegen weitere Sätze aufgestellt, die tiefer liegen.

,,' 109, Formel (7) vertausche cp mit 1p.

„    161, Zeile 7 von unten schalte nach: xy-Ebene ein: und die »«-Ebene.

„    168, Formeln (4) lies in der letzten Quadratwurzel -f- statt: =.

,,    194, Satz 17, und Seite 197, Satz 19. Diese Sätze rühren her von Schell.

Siehe seine „Allgemeine Theorie der Curven doppelter Krümmung in rein geometrischer Darstellung“, Leipzig 1859, 2. Aufl. 1898.

„    197, § 11. Die in diesem Paragraphen untersuchte unendlich kleine

Schraubung wurde zuerst von Beltrami, „Intorno ad una pro-prietä delle curve a doppia curvatura“, Giornale di Matern, vol. V (1867), betrachtet. In seiner Abhandlung: „Del moto geometrico di un solido che ruzzola sopra un altro solido“, ebenda vol. X (1872), kommt das auf S. 196 bestimmte Cylindroid vor.

207, Zeile 14 von oben lies: Grössen statt: Grösse.

216, Formeln (5). Man beachte hierzu die Anmerkung auf S. 334 des gegenwärtigen Bandes.

„    261, in der dritten Formel (2) lies: $ = statt: 5 +.

330,    Zeile 15 u. 12 von unten lies: ]/3 statt: 3.

331,    Zeile 11 von unten lies: 2 statt: 1.

357, letzte Zeile links lies: Ellipse.

Zum II. Band.

Seite 56, Zeile 8 von oben setze einen Punkt statt des Doppelpunktes.

„    159, Formel (4) lies: M² statt: L².

„ 171, Satz 52 rührt von Hamilton her, vgl. die Anmerkung zu S. 472. „ 172, Zeile 7 von oben lies: Man thut statt: Es ist.

Seite 181, Zeile 21 von oben lies: eine Curve statt: die Curve.

„    205, Zeile 10 von unten lies: solche statt: diejenigen.

„    245, schalte in Satz 112 nach: ändern, ein: mit einem ihrer Punkte.

„    257, Zeile 11 von oben lies: Function.

„    288. Zu dem hier erwähnten Modelle ist allerdings zu bemerken, dass es

nur bei einer beschränkten Anzahl von Vierecken beweglich ist. Zwei beliebig lange an einander stossende Streifen von Vierecken sind ebenfalls beweglich.

„    394, Zeile 8 von unten fehlt ein Komma nach: Krümmung.

„ 404, Fig. 76 lies: P₀ und P₁ statt: P und P.

„    453. Zu den Schlussbemerkungen des § 4 ist die Abhandlung von Bel-

teami zu nennen: „Saggio d’interpretazione della geo-metria noneuclidea“, Griornale di Mat. vol. VI (1868).

„    479, Fig. 91. Hier ist cp falsch eingeschrieben; <p ist der Winkel der

Normale zur Ebene mit der Binormale, vgl. Fig. 90.

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