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SERRET-SCHEFFERS

LEHRBUCH

DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

URSPRÜNGLICH ÜBERSETZUNG DES LEHRBUCHES VON J. A. SERRET, SEIT DER DRITTEN AUFLAGE GÄNZLICH NEU BEARBEITET

VON

G. SCHEFFERS

SECHSTE UND SIEBENTE AUFLAGE

ERSTER BAND

DIFFEREOTIALRECHNÜFG

MIT 70 FIGUREN IM TEXT

LEIPZIG UND BERLIN DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

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SCHUTZEORMEL FÜR DIE VEREINIGTEN STAATEN VON AMERIKA: COPYRIGHT 1915 BY B. G. TEUBNER IN BEIPZ1G.

ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

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Vorwort.

An die Stelle der Vorreden, die den bisher erschienenen Auflagen bei gegeben waren, mag hier ein Überblick über die Entwicklung des Lehrbuches in den verflossenen dreißig Jahren seines Daseins treten:

Zuerst war das Werk eine freie Übersetzung der 1879 bis 80 erschienenen zweiten Auflage des zweibändigen und zuerst 1868 herausgekommenen „Cours de calcul differentiel et integralu von J. A. Serret (Paris, bei Gauthier-Villars). Die späteren Auflagen des französischen Werkes nach dem Tode seines Verfassers (1885) haben jedoch keinen Einfluß mehr auf die Entwicklung des deutschen Lehsbuöhes gehabt. Die Übersetzung hatte A. Harnack hergesfeflt. Er veröffentlichte sie 1884—85 im Teubnerschen Verlage in zwei Bänden, von denen er den zweiten in zwei auch äußerlich gesonderte Teile zerlegte. Größere Änderungen und Ausführungen, die Harnaclc dabei notwendig gefunden hatte, wurden durch besonderen Druck kenntlich gemacht. Außerdem fügte er zu den beiden Teilen des zweiten Bandes Anhänge hinzu: „Zur Theorie der Fourier-schen Reihe und des Fourierschen Integralsu und „Zur Integration der partiellen Differentialgleichung in der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen:“

Im Jahre 1888 starb Harnack. Als eine neue Auflage des Werkes nötig wurde, übernahm G. Bohlmann zunächst allein die Bearbeitung, deren erster Band 1897 erschien. An die Stelle des zweiten Bandes in zwei Teilen trat ein zweiter und ein dritter Band, 1899 und 1904. Beim zweiten Bande wurde Bohlmann von H. Liebmann und E. Zermelo unterstützt, und der dritte wurde von Bohlmann und Zermelo gemeinsam bearbeitet.

Innerlich und äußerlich entfernte sich diese zweite Auflage beträchtlich von der ersten: Die Harnack sehen Ausfüh-

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rungen sowie neue Zusätze waren in den Text verwebt, auf eine bessere Trennung des Stoffes der Differentialrechnung von dem der Integralrechnung war man bedacht gewesen, und an vielen Stellen war ein Streben nach größerer Strenge der Beweise zu bemerken. Im ersten und zweiten Bande fanden sieb neue einleitende Kapitel über die Theorie der Funktionen von komplexen Veränderlichen, und das letzte Kapitel des dritten Bandes, das über die Variationsrechnung, war durchaus neu geschrieben. Äußerliche Fortschritte bekundeten sich in der Einteilung der Kapitel in Paragraphen mit besonderen Titeln, ferner in den zu allen einzelnen Nummern des Textes hinzugefügten Überschriften sowie in den jedem einzelnen Bande beigegebenen alphabetischen Sachregistern und „Bemerkungen Der Hauptzweck dieser Bemerkungen war, Werke — meistens neueren Ursprunges — nachzuweisen, aus denen sich der wißbegierige Leser noch genauer und gründlicher über die im Serret behandelten Dinge unterrichten konnte. Es würde zu weit führen, hier auch die vielen übrigen Neuerungen kleineren Umfanges in der zweiten Auflage einzeln anzugeben. Während das Harnacli:sche Werk in seinen drei Teilen, abgesehen von den Titeln, Vorworten und Inhaltsverzeichnissen, 567 -f- 380 -f- 388, also zusammen 1335 Seiten aufwies, waren die entsprechenden Zahlen in der zweiten Auflage 570 -f 428 -f 479, also zusammen 1477 Seiten.

Eines war an der zweiten Auflage mißlich: Man lernte beim Lesen bald unterscheiden, was von Serret, was von Har-nack und was von jBohlmann-Zermelo herrührte. Schon dieser Umstand veranlaßte mich, als ich 1905 die künftigen Bearbeitungen des Werkes übernahm, zu einer gründlichen Erneuerung ohne ängstliche Rücksichtnahme auf diesen Viermänner-Text. Mein Bestreben ging dahin, der Sprache des Lehrbuches mehr Gleichmäßigkeit, Klarheit und Schlichtheit zu verleihen. Alle phrasenhaften und alle pompös klingenden Wendungen wurden unterdrückt, ebenso eine Menge von entbehrlichen Fremdwörtern. Die Ergebnisse hob ich in besonderen Lehrsätzen mit Angabe der dabei gemachten Voraussetzungen hervor; dies ermöglichte das bessere Verstehen des Späteren durch zahlreiche kurze RückverWeisungen auf das Frühere. Zur Vermeidung von Unklarheiten nahm ich grundsätzlich in die Definition des Funktionsbegriffes die Ein Wertigkeit mit auf; mehrwertige Funktionen kommen nur noch an den wenigen besonders kenntlich gemachten Stellen vor, wo der Zusammenhang zwischen verschiedenen Zweigen mehrwertiger Funktionen notwendigerweise zu erläutern war. Dementsprechend wurden auch die Vorzeichen der namentlich in den geometrischen Anwendungen häufigen Quadratwurzeln festgelegt. Außerdem wurde durchweg eine reinliche Scheidung zwischen den Betrachtungen im reellen und im komplexen Bereiche vollzogen, was zur Folge hatte, daß mehrfach getrennte Beweisführungen für beide Betrachtungsweisen zu geben waren. Natürlich bemühte ich mich, den schon von Bohlmann und Zermelo eingeschlagenen Weg größerer Strenge noch weiter zu verfolgen. Dabei hielt ich aber diejenigen Grenzen ein, die dem Lehrbuche mit Rücksicht auf seinen Leserkreis nach meiner Ansicht gezogen werden müssen. Da, wo Betrachtungen auf schwachen Grundlagen aufgebaut waren, wurde auf die Mängel hingewiesen, damit der Leser nicht in falsche Sicherheit eingewiegt werde und sich die Ausfüllung der Lücken für eine spätere Zeit Vorbehalten könne. Die recht minderwertigen Figuren der ersten und zweiten Auflage ersetzte ich durch lauter neue Abbildungen in überdies größerer Anzahl. Ferner schien es mir, als ob die in der zweiten Auflage anhangsweise gebrachten „Bemerkungen“ mit ihren vielen Hinweisen auf andere lesenswerte Bücher den Anfänger, der an das Studium dieses umfangreichen Lehrbuches heran tritt, entmutigen müßten; deshalb unterdrückte ich sie. Aber schon bei der Ausgabe des ersten Bandes äußerte ich die Absicht, sie später durch geschichtliche Anmerkungen zu ersetzen. Serret hatte in seinem „Cours“ nur einige wenige Mathematiker, und zwar nur Landsleute, mit Namen genannt. Nicht viel besser war es damit in den beiden ersten Auflagen des deutschen Werkes bestellt. Beispielsweise fand sich bei der Einführung des Begriffes des Differentialquotienten nur der Name von Lagrange. Unter solchen Umständen mußte ein harmloser Leser seltsame Vorstellungen von der Geschichte seiner Wissenschaft bekommen.

Erst bei der Vorbereitung des zweiten Bandes für seine vierte und fünfte Auflage fand ich genug Muße zur Herstellung geschichtlicher Anmerkungen, die diesem Bande, zugleich auch für den ersten, beigegeben wurden, während der dritte Band auf ihn bezügliche geschichtliche Anmerkungen ebenfalls in der vierten und fünften Auflage erhielt. Von jetzt an soll jeder Teil des Werkes mit den zugehörigen geschichtlichen Anmer-

kungen versehen werden, wie der gegenwärtig vorliegende. Ausgiebig verwertete ich natürlich bei diesen Nachweisen Bücher und Abhandlungen über die Geschichte der Mathematik; die Quellen sind an Ort und Stelle erwähnt. Aber in nicht geringem Umfange wurden auch die Original werke selbst herangezogen. Besonders eingehend sind die Angaben aus dem Zeitalter der Erfindung der Infinitesimalrechnung, da das Ziel war, immer möglichst auf die Ursprünge selbst zurückzugehen. Natürlich haben die geschichtlichen Anmerkungen trotz aller daran gewandten Mühe noch viele Lücken, und sie werden immer verbesserungsfähig bleiben. Aber da ich mich bemühte, diese Bemerkungen trotz des in ihnen angehäuften QuellenstofFes immer noch lesbar zu gestalten, hoffe ich dennoch, durch sie mit zur Verbreitung von Kenntnissen in der Geschichte der Mathematik beizutragen.

Uber die Erscheinungszeiten der einzelnen Auflagen sei noch bemerkt: Der erste Band in der neuen Bearbeitung kam 1906 und der zweite 1907 heraus. Ehe der dritte fertig sein konnte, war der erste schon vergriffen, so daß er 1908 in einer Doppelauflage, der vierten und fünften, neu gedruckt werden mußte. Im Jahre 1909 erschien der dritte Band. Dann kam 1911 die vierte und fünfte Auflage des zweiten und 1914 ebenso die des dritten Bandes heraus.

Das Werk hat sich nun recht stark von seinem Ursprünge entfernt und trägt nur noch zum Teil die Züge des alten Ser-ret. Am meisten noch im ersten, am geringsten im dritten Bande, der abgesehen von den beibehaltenen alten Beispielen eigentlich ein ganz neues Buch ist. Es würde zu weit führen, wollte ich hier auf die inneren Abänderungen des Lehrbuches im einzelnen eingehen. Der Umstand, daß das Werk in der vierten und fünften Auflage in seinen drei Bänden 626    639 -j- 735,

also insgesamt gerade 2000 Seiten gegenüber den 1335 Seiten der Harnackschen Übersetzung aufweist, läßt schon die durchgreifende Veränderung des Lehrbuches erkennen. Der größte Teil der Verantwortlichkeit ist deshalb von Serret auf mich übergegangen. Daher erschien es recht und billig, den einen Verfassernamen auf dem Titelblatte nunmehr durch den Doppelnamen zu ersetzen. Dieser Beschluß wurde im Einverständnisse mit dem Verlagshause schon im Frühjahr 1914 gefaßt, was mit Rücksicht auf die gegenwärtigen Zeitumstände ausdrücklich erwähnt sei.

Nun nur noch einige kurze Bemerkungen über den vorliegenden ersten Band: Er ist überall sorglich durcbgesehen worden und verdankt namentlich Herrn Perron in München wertvolle Verbesserungen, für die ich auch hier meinen Dank aussprechen möchte. Insbesondere rühren von ihm die Grundlagen für die in Nr. 154 und 157 gegebenen Entwicklungen zur Theorie der Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher her.

Leider ist ein von mehreren Seiten mit Recht als unnötig beanstandeter Zusatz in Satz 10 von Nr. 31, S. 49, stehen geblieben: Die Worte „und außerdem F(X) von F(x₀) verschieden“ können und müssen fortfallen, vgl. das Verzeichnis der Berichtigungen auf S. 670. Das Übersehen dieser Änderung möge man freundlichst mit der Aufregung der letzten Julitage entschuldigen, in denen die betreffenden Korrekturen gelesen wurden.

Die Rückverweisungen der späteren Bände auf Stellen im ersten gelten auch bei Benutzung dieser neuen Ausgabe. Man muß dabei nur eine Kleinigkeit beachten: Die früheren Sätze 5 und 6 von Nr. 21 sind jetzt in einen Satz, den Satz 5, zusammengezogen, während Nr. 21 außerdem einen neu hinzugefügten Satz 6 enthält.

Hoffentlich bleibt diesem Bande wie bisher die Gunst der Leser erhalten, und hoffentlich teilen mir die Leser auch diesmal bemerkte Unrichtigkeiten freundlichst mit. Dem Verlagshaus allen Dank für seine stets bereite Mitarbeit bei der Herstellung des Buches.

Berlin-Steglitz, im November 1914.

Georg Scheffers.

Inhalt.¹)

Erstes Kapitel.

Einleitende Begriffe.

§ 1. Yon den Zahlen. 1. Der Bereich der rationalen Zahlen. —

2. Der Bereich der reellen Zahlen. — 3. Darstellung der reellen Zahlen durch Strecken auf einer Geraden. — 4. Der absolute Betrag. — 5. Über Potenzen und Wurzeln ....

§2. Von den Funktionen. 6. Konstanten und Veränderliche, Funktionen. — 7. Graphische Darstellung der Funktionen. —•

8. Die Exponentialfunktion ax. — 9. Die goniometrischen Funktionen. — 10. Die inverse Funktion. — 11. Der Logarithmus. — 12. Die zyklometrischen Funktionen......

§ 3. Der Begriff der Grenze. 13. Grenzwert bei wachsendem x. — 14. Grenzwert hei abnehmendem x. — 15. Grenzwert überhaupt. — 16. Grenzwert einer Funktion von mehreren Veränderlichen .

§ 4. Die Begriffe -f- oo und — oo. 17. Unendlicher Grenzwert bei endlichem x. — 18. Endlicher Grenzwert hei unendlichem x. — 19. Unendlicher Grenzwert bei unendlichem x. 25—28 § 5. Stetigkeit. 20. Stetigkeit von Funktionen einer Veränderlichen. — 21. Sätze über stetige Funktionen von einer Veränderlichen. — 22. Stetigkeit von Funktionen von mehreren Veränderlichen. — 23. Beispiele von stetigen Funktionen . 28—38 § 6. Das Rechnen mit Grenzwerten. 24. Rechenregeln für den Limes. — 25. Bestimmung des Grenzwertes durch Einengung. — 26. Anwendung

Seite

1—9

9—20

. 20—25

39—41

Zweites Kapitel.

DifFerentialquotient einer Funktion von einer V eränderlichen.

§ 1. Die abgeleitete Funktion. 27. Definition der Ableitung. — 28. Der Mittelwertsatz. — 29. Funktionen, deren Ableitungen gleich Null sind. — 30. Das Wachsen und Abnehmen

42

1) Ein alphabetisch geordnetes Sachregister befindet sich am Schlüsse des Bandes.

der Funktionswerte. — 31. Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes. — 32. Die Ableitung als Differentialquotient .... 42—54 § 2. Differentiation entwickelter algebraischer Funktionen. 33. Differentialquotient einer Funktion von einer Funktion.

ferentiation eines Produktes. — 36. Differentiation eines Bruches. — 37. Differentiation der inversen Funktion. — 38. Differentiation von Potenzen mit konstanten Exponenten . . . 54—60 § 3. Anwendungen. 39. Rechenbeispiele. — 40. Geometrische

Anwendungen.....................

§ 4. Differentiation von zusammengesetzten Funktionen. 41. Funktionen von zwei Funktionen. — 42. Funktionen von mehreren Funktionen. — 43. Anwendungen. —

44. Folgerungen aus dem Satze über Funktionen von mehreren

Funktionen.......................

§ 5. Differentiation des Logarithmus und der Exponentialfunktion. 45. Bestimmung von lim (1 -(- 1 : m)m für ganzes positives m. — 46. Bestimmung von lim (1 —{- 1 : m)m für beliebiges m. — 47. Die Ableitung von log#. — 48. Die Ableitung von ax. — 49. Eine Bestätigung. — 50. Anwendungen .............. .........

§ 6. Differentiation der Kreisfunktionen. 51. Die gonio-metrischen Funktionen. — 52. Eine Anwendung. — 53. Die

zyklometrischen Funktionen...............

§ 7. Differentiation der unentwickelten Funktionen.

54. Eine Funktion definiert durch eine Gleichung. — 55. Beispiele. — 56. Zwei Funktionen definiert durch zwei Gleichungen. — 57. Beispiel. — 58. n Funktionen definiert durch n Gleichungen

34. Differentiation einer Summe. — 35. Dif-

60—64

64—70

71—78

78—81

. 82—87

Drittes Kapitel.

Höhere Differentialquotienten, partielle Differentialquotienten und vollständige Differentiale.

88

§ 1. Höhere Differentialquotienten von Funktionen einer Veränderlichen. 59. Definition der Ableitung nter Ordnung. — 60. Die Ableitung nter Ordnung als nter Differentialquotient. — 61. Beispiele. — 62. Differenzen höherer Ordnung. — 63. Neue Verallgemeinerung des Mittelwerts atze s . 88—94 § 2. Partielle Diffentialquotienten. 64. Partielle Ableitungen. — 65. Gleichgültigkeit der Reihenfolge bei der Berechnung partieller Ableitungen. — 66. Die partiellen Ableitungen als partielle Differentialquotienten. — 67. Partielle Differentialquotienten als Grenzwerte von partiellen Differenzenquotienten. . .

§ 3. Differentiation tionen.

der zusammengesetzten Funk-68. Höhere Differentialquotienten zusammengesetzter Funktionen von einer Veränderlichen. — 69. Ein besonderer Fall.

94—102

70. Funktionen von ganzen linearen

Funktionen von x. — 71. Differentiation eines Produktes von Funktionen von x. — 72. Höhere partielle Differentialquotienten von zusammengesetzten Funktionen. — 73. Funktionen von ganzen linearen Funktionen von mehreren Veränderlichen.................

Seito

102—111

§4. Vollständige Differentiale.

74. Das vollständige Differential erster Ordnung. — *75. Vollständiges Differential einer zusammengesetzten Funktion. — 76. Vollständige Differentiale höherer Ordnung...........

111—117

Viertes Kapitel.

Differentiation unentwickelter Funktionen.

1. Unabhängigkeit von Funktionen und Gleichungen.

77.    Definition der Unabhängigkeit von Funktionen. —

78.    Umformung der Definition der Unabhängigkeit von

Funktionen. — 79. Unabhängigkeit von Gleichungen zwischen Veränderlichen. — 80. Die Funktionaldeterminante. — 81. Analogien zwischen Differentialquotienten und Funktionaldeterminanten ..................

§ 2. Ableitungen und Differentiale unentwickelter Funktione n. 82. Differentialquotienten einer unentwickelten Funktion von einer Veränderlichen. — 83. Differentialquotienten von mehreren unentwickelten Funktionen von einer Veränderlichen. — 84. Partielle Differentialquotienten unentwickelter Funktionen von mehreren Veränderlichen.

Funktionen von mehreren Veränderlichen ........

§3. Die Elimination willkürlicher Konstanten. 86. Elimination einer willkürlichen Konstante aus einer Gleichung. — 87. Elimination von m willkürlichen Konstanten aus m Gleichungen. — 88. Elimination von n

willkürlichen Konstanten aus einer Gleichung......

§ 4. Die Elimination willkürlicher Funktionen. 89. Lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion von zwei Veränderlichen. — 90. Lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion von n Veränderlichen. — 91. Homogene Funktionen. — 92. Allgemeine partielle Differentialgleichung

erster Ordnung....................

§5. Einführung von neuen Veränderlichen. 93. Darstellung einer Kurve mittels einer Hilfsveränderlichen. — 94. Einführung einer neuen unabhängigen und neuer abhängiger Veränderlicher. — 95. Eine neue Anwendung.

—    96. Einführung von mehreren neuen unabhängigen Veränderlichen. — 97. Einführung von Polarkoordinaten im Raume. — 98. Der Ausdruck d²u: dx²-\-d²u: dy2Jr d²u: dz².

—    99. Allgemeine Einführung neuer unabhängiger und

neuer abhängiger Veränderlicher. — 100. Die Legendresche Transformation....................

118

118—131

85. Vollständige Differentiale unentwickelter

131—138

138—143

143—152

152—171

Fünftes Kapitel.

172

Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen.

§ 1. Über unendliche Reihen überhaupt. 101. Definition der Konvergenz. — 102. Kennzeichen der Konvergenz. —

103. Folgerungen.

105. Hilfsmittel zur Festellung der Konvergenz oder Divergenz. — 106. Beispiele. — 107. Verschiedene Anordnungen bedingt konvergenter Reihen. — 108. Satz über bedingt konvergente Reihen. — 109. Die Summe einer unbedingt konvergenten Reihe. — zweier unbedingt konvergenter Reihen

§ 2. Der Taylorsche Satz für Funktionen von einer Veränderlichen. 111. Der Taylorsche Satz für einen besonderen Fall. — 112. Der allgemeine Taylorsche Satz.

—    113. Cauchysche Restform. — 114. Die Differenz ausgedrückt durch Differentiale. — 115. Bemerkungen zum Taylorschen Satze. — 116. Die Maclaurinsche Reihe. . . 193—203

§3. Reihenentwicklungen spezieller Funktionen.

117. Reihen für Exponentialfunktionen. — 118. Die Zahl e.

—    119. Reihen für Sinus und Kosinus,

den natürlichen Logarithmus. — 121. Berechnung der natürlichen Logarithmen. — 122. Der Modul der gewöhnlichen Logarithmen. — 123. Berechnung der gewöhnlichen Logarithmen. — 124. Das Einschalten in den Logarithmentafeln. — 125. Die Binomialreihe. — 126. Weitere Untersuchung der Binomialreihe..............

§ 4. Reihenentwicklungen nach positiven und negativen Potenzen. 127. Allgemeine Regeln. — 128. Beispiel ........................

§ 5. Bestimmung von Grenzwerten. 129. Grenzwert eines Bruches an einer Stelle, wo Zähler und Nenner verschwinden. — 130. Grenzwert eines Bruches an einer Stelle, wo Zähler und Nenner unendlich werden. — 131. Beispiele.

—    132. Bestimmung des Grenzwertes eines Bruches durch Reihenentwicklung. — 133. Beispiele. — 134. Grenzwert eines Produktes an einer Stelle, wo der eine Faktor gleich Null, der andere unendlich wird. — 135. Beispiel. —

136. Bestimmung von lim (1 -(- x : m)m.........

§ 6. Der Taylorsche Satz für Funktionen von mehreren Veränderlichen. 137. Der verallgemeinerte Taylorsche Satz. — 138. Der verallgemeinerte Maclaurinsche Satz. —

139. Der Eulersche Satz über homogene Funktionen . . . 233—238

104. Unbedingte Konvergenz. —

110. Multiplikation

120. Reihe für

172—193

203-216

217—220

221—232

Sechstes Kapitel.

Theorie der Maxima und Minima,

§ 1. Funktionen von einer Veränderlichen. 140. Definition der Extremwerte. — 141. Beispiele. — 142. Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extremwerte. 239—242

239

§ 2. Anwendungen. 143. Beispiele. — 144. Ein andersartiges Beispiel. — 145. Ein Fermatsches Problem. —

147. Größte

151. Extremwerte einer durch mehrere Glei

146. Größte und kleinste Entfernungen eines Punktes von den Punkten einer Kurve in der Ebene, und kleinste Entfernungen eines Punktes von den Punkten einer Raumkurve. — 148. Nebenbedingungen in Gestalt von Ungleichungen. — 149. Extremwerte einer unentwickelten Funktion von einer Yeränderlichen. — 150. Beispiel.

chungen gegebenen unentwickelten Funktion von einer

242-255

Veränderlichen. — 152. Nebenbedingungen.......

155. Unzureichende Bedin-

§3. Funktionen von mehrerenVeränderlichen. 153.Notwendige Bedingung für Extremwerte. — 154. Funktionen von zwei Yeränderlichen.

gungen für Extremwerte. — 156. Bedingungen dafür, daß das vollständige Differential zweiter Ordnung nie negativ oder nie positiv ist. — 157. Weitere Hilfsmittel zur Entscheidung über Extremwerte. — 158. Bedingungen für ein definites vollständiges Differential zweiter Ordnung . 255—272 § 4. Anwendungen. 159. Beispiel — 160. Größte und kleinste Entfernungen zwischen zwei Punkten, die auf zwei gegebenen Kurven liegen. — 161. Kleinste Entfernung zwischen zwei Punkten auf zwei gegebenen Geraden. —

162. Größte und kleinste Entfernungen eines Punktes von den Punkten einer Fläche. — 163. Ein Ausnahmefall. —

164. Extremwerte einer unentwickelten Funktion von mehreren Yeränderlichen. — 165. Nebenbedingungen. — 166. Andere Formulierung der Aufgabe mit Nebenbedingungen . 272—288

289

Siebentes Kapitel.

Theorie der ebenen Kurven.

§ 1. Kurve, Tangenten und Normalen. 167. Begriff der ebenen Kurve.

168. Analytische Darstellung einer ebenen Kurve. — 169. Gleichung der Tangente und Normale. — 170. Länge der Tangente, Normale, Subtangente und Subnormale. — 171. Asymptoten. — 172. Art und Ordnung der Berührung zwischen Kurve und Tangente. —

173. Konkavität und Konvexität der Kurve. — 174. Beispiele. 289—303 § 2. Homogene Koordinaten. 175. Kurven und ihre Tangenten in homogenen Koordinaten. — 176. Beispiel. —

303—315

177. Ebene algebraische Kurven. — 178. Wendepunkte einer algebraischen Kurve. — 179. Fortsetzung der Betrachtung der Wendepunkte. — 180. Abzählung der Wendepunkte einer algebraischen Kurve...........

§ 3. Singuläre Punkte. 181. Beispiel eines Endpunktes. —

186. Beispiel einer

182. Beispiel eines Eckpunktes. — 183. Beispiel eines Doppelpunktes. — 184. Beispiel einer Spitze. — 185. Beispiel eines isolierten Punktes.

Schnabelspitze. — 187. Definition der regulären und singulären Punkte. — 188. Reihentwicklung an einer regulären Stelle. — 189. Reihenentwicklung an einer singulären Stelle. — 190. Fortsetzung der Betrachtung singulärer Stellen. — 191. Allgemeine Bemerkungen über singuläre

Stellen.......................

§ 4. Differentialquotient der Fläche und der Bogenlänge. 192. Der Flächeninhalt bei einer ebenen Kurve. — 193. Die Bogenlänge einer ebenen Kurve. — 194. Die

Bogenlänge als unabhängige Veränderliche.......

§5. Krümmung der ebenen Kurven. 195. Das Krümmungsmaß. — 196. Die ebenen Kurven konstanter Krümmung. — 197. Der Krümmungskreis. — 198. Der Krümmungsmittelpunkt als Grenzlage des Schnittpunktes benachbarter Normalen. — 199. Definition der Evolute und Evolvente. —

315—386

336—341

200. Eigenschaften der Evolute. — 201. Mechanische Erzeugung der Evolvente. — 202. Evolute einer algebraischen

Kurve........................

§ 6. Polarkoordinaten. 203. Über die Verwendung von Polarkoordinaten überhaupt. — 204. Ableitung der Fläche eines Sektors. — 205. Das Bogenelement in Polarkoordinaten.

341—352

206. Bestimmung der Tangente in Polarkoordinaten. — 207. Polartangente, -normale, -subtangente und -subnormale. — 208. Der Krümmungsradius in Polarkoordinaten. — 209. Dipolare Koordinaten.........

§ 7. Einhüllende Kurven. 210. Definition der Einhüllenden.

352—359

—    211. Beispiel. — 212. Die Einhüllende als Berührende

der Kurvenschar. — 213. Kurven, deren Koordinaten als Funktionen des Tangentenwinkels gegeben sind..... 359—366

§ 8. Oskulierende Kurven. 214. Definition einer Berührung höherer Ordnung. — 215. Berührung in gerader und ungerader Ordnung. — 216. Definition des Oskulierens. —

217. Oskulierende Gerade und oskulierender Kegelschnitt.

—    218. Der oskulierende Kreis

366—375

Achtes Kapitel.

Anwendungen der Theorie der ebenen Kurven.

§ 1. Die Fläche und das Bogenelement der Kegelschnitte. 219. Die Parabelfläche. — 220. Die Ellipsenfläche. — 221. Die Hyperbelfläche. — 222. Das Bogenelement der Ellipse. — 223. Das Bogenelement der Hyperbel. — 224. Rektifikation der Parabel. — 225. Anwendung

der Parabelrektifikation ................

§2. Krümmung der Kegelschnitte. 226. Krümmungsradius beim Kegelschnitte. — 227. Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes beim Kegelschnitte. — 228. Evolute der Ellipse. — 229. Evolute der Hyperbel. — 230. Evolute der Parabel.....................

376

376—383

883—389

§ 3. Die gemeine Zykloide. 231. Definition der gemeinen Zykloide. — 232. Tangente und Normale der gemeinen Zykloide. — 233. Fläche der gemeinen Zykloide. — 234. Rektifikation der gemeinen Zykloide. — 235. Krümmungsradius der gemeinen Zykloide. — 236. Evolute der gemeinen

Zykloide.......................

§ 4. Epi- und Hypozykloide. 237. Definition der Epi- und Hypozykloide. — 238. Gleichungen der Epi- und Hypozykloide. — 239. Tangente und Normale der Epi- und Hypozykloide. — 240. Rektifikation der Epi- und Hypozykloide. — 241. Fläche der Epi- und Hypozykloide. —

242.    Krümmungsradius der Epi- und Hypozykloide. —

243.    Evolute der Epi- und Hypozykloide. — 244. Kreisevolvente .......................

250. Noch ein Bei-

389—394

395—403

403—410

§ 5. Einige andere bemerkenswerte Kurven. 245. Die Spirale des Archimedes. — 246. Die hyperbolische Spirale. — 247. Die logarithmische Spirale. — 248. Logarithmische Spiralen, die ihre eigenen Evoluten sind. — 249. Ein Beispiel zur Theorie der Einhüllenden, spiel zur Theorie der Einhüllenden

Neuntes Kapitel.

Theorie der Raumkurven und Flächen.

§ 1. Tangenten und Normalen. 251. Analytische Darstellung von Raumkurven und Flächen. — 252. Tangente und Normalebene einer Kurve. — 253. Tangentenebene und Normale einer Fläche.

gente und Normalebene einer Kurve. — 255. Tangentialkegel. — 256. Homogene Koordinaten im Raume .... 411—423 § 2. Bogenelement einer Raumkurve. 257. Ableitung der Bogenlänge. — 258. Das Bogenelement in Polarkoordinaten. — 259. Die Richtungskosinus der Kurventangente

ausgedrückt mittels des Bogendifferentials.......

§ 3. Krümmung einer Raumkurve. 260. Das Krümmungsmaß der Kurve. — 261. Hauptnormale einer Kurve. —

262. Das begleitende Dreikant einer Kurve. — 263. Krümmungskreis und Krümmungsachse. — 264. Gleichungen zwischen den Richtungskosinus des begleitenden Dreikants.

— 265. Diffex*enz zwischen Kurvenbogen und Sehne. —

266. Berührung zwischen Kurve und Fläche. — 267. Osku-lierde Flächen bei einer Raumkurve. — 268. Die Schmiegungsebene als Oskulationsebene. — 269. Die Schmiegungsebene als Grenzlage..................

§ 4. Torsion einer Raumkurve. 270. Die drei sphärischen Indikatrizen.

Formeln. — 273. Vorzeichen der Torsion — 274. Allgemeiner Ausdruck der Torsion.

Torsion Null. — 276. Die Schmiegungskugel

411

254. Nochmals die Tan-

424—427

427—446

271. Torsion.

272. Die Frenetschen

275. Kurven von der

446—455

§ 5. Einhüllende Flächen. 277. Ein Hilfssatz. — 278. Einhüllende einer Flächenschar, hüllenden. — 280. Berührung zwischen der Gratlinie und den Charakteristiken. — 281. Tangentenflächen. — 282. Die Tangentenflächen als abwickelbare Flächen. — 283. Gratlinie einer Tangentenfläche..............

§ 6. Polarfläche, Evoluten und Evolventen. 284. Polarfläche. — 285. Gratlinie der Polarfläche. — 286. Krümmung und Torsion der Gratlinie der Polarfläche. — 287. Sphärische Kurven. — 288. Kurven konstanter Krümmung. — 289. Polarfläche einer ebenen Kurve. — 290. Planevolventen. — 291. Filarevolventen. — 292. Filarevoluten. — 293. Filarevoluten einer ebenen Kurve. — 294. Abwicklung der Polarfläche.

296. Kurven, bei denen das Verhältnis von Krümmung und Torsion konstant ist.

Krümmung und konstanter Torsion...........

§ 7. Berührung höherer Ordnung zwischen Kurven und Flächen. 298. Berührung zwischen zwei Kurven. — 299. Oskulierende Kurven. — 300. Der Krümmungskreis als oskulierender Kreis. — 301. Berührung zwischen zwei Flächen. — 302. Oskulierende Flächen.........

279. Gratlinie der Ein-

456—466

295. Gemeine Schraubenlinien.

297. Kurven konstanter

466—483

483—490

Zehntes Kapitel.

491

Fläehenkurven und. Flächenfamilien.

§1. Die Krümmungsradien eines Flächenpunktes.

303. Vorbemerkung. — 304. Krümmungsradius einer Flächenkurve. — 305. Der Meusniersche Satz. — 306. Hauptschnitte eines Flächenpunktes. — 307. Nabelpunkte. —

308. Der Eulersche Satz. — 309. Überblick über die Krümmungen aller Normalschnitte eines Flächenpunktes . . . 491—499 §2. Die Dupinschen Indikatrizen. 310. Oskulierende Flächen zweiter Ordnung. — 311. Die Indikatrizen. —

312.    Elliptische, hyperbolische und parabolische Punkte. —

313.    Ableitung früherer Ergebnisse aus den Indikatrizen. —

314.    Ein Ausnahmefall. — 315. Konjugierte Tangenten. —

499—510

316. Haupttangenten und Haupttangentenkurven.....

510—529

§3. Hauptkrümmungsradien und Krümmungsmaß einer Fläche. 317. Bestimmung der Hauptkrümmungsradien. — 318. Das Gaußische Krümmungsmaß. — 319. Die Krümmungskurven. — 320. Die Tangenten der Krümmungskurven. — 321. Gratlinie der Fläche der Normalen längs einer Krümmungskurve. — 322. Flächen mit lauter Nabelpunkten. — 323. Die Flächennormalen längs einer beliebigen Flächenkurve. — 324. Bedingung für eine Krümmungskurve. — 325. Bedingung dafür, daß die Schnittkurve zweier Flächen eine Krümmungskurve ist. — 326. Andere Ableitung des Hauptsatzes der vorigen Nummer.....

§ 4. Dreifache orthogonale Flächensysteme. 327. Begriff eines dreifachen Flächensystems. — 328. Dreifaches orthogonales Flächensystem. — 329. Partielle Differentialgleichung dritter Ordnung für ein dreifaches orthogonales Flächensystem.

330. Ableitung der Orthogonalitäts-

Bedingungen der einen Art aus denen der anderen Art. — 331. Ableitungen zweiter Ordnung der Koordinaten in einem dreifachen orthogonalen System. — 332. Der Dupiu-sche Satz über dreifache orthogonale Systeme. — 333. Elliptische Koordinaten. — 334. Krümmungskurven des El-lipsoids. — 335. Projektion der Krümmungskurven des Ellipsoids in der Ebene der größten und kleinsten Achse.

—    336. Projektion der Krümmungskurven des Ellipsoids in der Ebene der größten und mittleren Achse. — 337. Differentialgleichung der Krümmungskurven des Ellipsoids.

—    338. Dreifaches orthogonales System von Kugeln und

529—544

545—547

547—562

Kegeln zweiter Ordnung. — 339. Dreifaches orthogonales System von Parat» oloiden...............

§ 5. Höhen-und Fallkurven. 340. Höhenkurven. — 341. Fallkurven. — 342. Höhen- und Fallkurven der Mittelpunktsflächen zweiter Ordnung................

§6. Flächenfamilien. 343. Linienflächen, insbesondere Tangentenflächen. — 344. Abstand und Winkel benachbarter Erzeugender einer Linienfläche. — 345. Zylinder. — 346. Kegel.

—    347. Konoide. — 348. Rotationsflächen. — 349. Partielle

Differentialgleichung erster Ordnung für eine Tangentenfläche. — 350. Partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für alle Tangentenflächen. — 351. Abwickelbare Flächen. — 352. Kanalflächen mit ebenen Leilinien. — 353. Partielle Differentialgleichung dritter Ordnung für alle Linienflächen...................

Elftes Kapitel.

Elementare Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 563

356. Geometrische

§ 1. Allgemeines über komplexe Zahlen. 354. Der Bereich der komplexen Zahlen. — 355. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen.

563—570

570—573

Ausführung der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. — 357. Absoluter Betrag einer Summe. — 358. nte Einheitswurzeln................

§2. Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern. 359. Endlicher Grenzwert einer unbegrenzten Zahlenfolge. — 360. Konvergenz einer unendlichen Reihe. — 361. Unbedingte Konvergenz. — 362. Sätze über unbedingt konvergente Reihen.......

363. Potenzreihen. — 364. Gleichmäßige Konvergenz. — 365. Funktionen, insbesondere analytische Funktionen. — 366. Grenzwert einer

§3. Analytische Funktionen.

analytischen Funktion. — 367. Stetigkeit. — 368. Ableitung einer Funktion. — 369. Konvergenzkreis der durch gliedweise Differentiation einer Potenzreihe hervorgehenden Reihe. — 370. Ableitung einer analytischen Funktion. — 371. Übereinstimmung zweier Potenzreihen. — 372. Die

Seite

573—588

589—601

602

602—606

616—621

622—657

658—670

670

Taylorsche Reihe...................

§4. Einige besondere Funktionen. 373. Die Funktionen e% sin z und cos z. — 374. Die Binomialreihe. — 375. Tangens und Kotangens. — 376. Der Logarithmus. — 377. Die zyklometrischen Funktionen. — 378. Folgerungen aus dem Fundamentalsatze der Algebra. — 379. Gebrochene rationale Funktionen. — 380. Entwicklung einer gebrochenen rationalen Funktion..................

Zwölftes Kapitel.

Theorie der Partialbruchzerlegung.

§ 1. Existenz der Partialbruchzerlegung. 381. Vorbemerkung. — 382. Der grundlegende Satz. — 383. Form der Partialbruchzerlegung. — 384. Nur eine Art der Partialbruchzerlegung ..................

§ 2. Ausführung der Partialbruchzerlegung. 385. Zerlegung im Falle lauter einfacher Nullstellen des Nenners.

. 607—615

—    386. Eine Folgerung. — 387. Erstes Verfahren zur Berechnung der Partialbrüche. — 388. Zweites Verfahren zur Berechnung der Partialbrüche. — 389. Drittes Verfahren zur Berechnung der Partialbrüche. — 390. Weitere Ausführung des dritten Verfahrens. — 391. Andere Darstellung der Partialbruchzerlegung — 392. Ausdruck für die auftretende ganze Funktion. — 393. Endgültige Darstellung der gesamten Partialbruchzerlegung

§ 3. Reelle Partialbruchzerlegung. 394. Vorbereitende Sätze. — 395. Die allgemeine reelle Partialbruchzerlegung.

—    396. Nur eine Art der reellen Partialbruchzerlegung.

—    397. Verfahren zur Berechnung. — 398. Die Einschaltungsformel von Lagrange...............

Geschichtliche Anmerkungen

Sachregister........

Berichtigungen.......

Erstes Kapitel.

Einleitende Begriffe.

§ 1. Yon den Zahlen.

1. Der Bereich der rationalen Zahlen. Die Arithmetik geht yon der natürlichen Zahlenreihe 1, 2, 3, ... aus, also von den ganzen positiven Zahlen. Sie stehen in einer Rangordnung: jede weiter rechts stehende heißt größer als (>) eine weiter links stehende. Addition und Multiplikation führen in diesem Bereiche stets wieder zu ganzen positiven Zahlen. Dabei gehorchen sie drei formalen Gesetzen, dem der Kommutation:

a + b = l) + o> und a . b — b . a

Assoziation:

(a -j- b) -f- c = a -f (b + c) und (a . b) c = a (b . c), Distribution:

(a -f b)c = a . c + b . c.

Die inversen Operationen, nämlich Subtraktion und Division, sind jedoch in diesem Bereiche nicht stets ausführbar. Deshalb wird das Zahlengebiet erweitert. Man befolgt dabei den Grundsatz von der Erhaltung der formalen Gesetze, richtet es nämlich so ein, daß auch im erweiterten Bereiche jene drei Gesetze gelten. Die Forderung der Ausführbarkeit der Subtraktion führt zur Null und zu den negativen ganzen Zahlen. Alle ganzen Zahlen ... — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3, . . . stehen wieder in einer Rangordnung; jede weiter rechts stehende heißt größer als jede weiter links stehende. Die Forderung der Ausführbarkeit der Division führt noch zur Hinzunahme

[1

Serret-Scheffer8,Diff.-ii.Integr.-Eechn. I. 6.u.7.Aufl.

aller gebrochenen Zahlen. Das so gewonnene Gebiet heißt der Bereich aller rationalen Zahlen. In ihm gelten die genannten drei Gesetze immer noch. Alle rationalen Zahlen stehen in einer Rangordnung. Sind nämlich a/b und c/d zwei rationale Zahlen, so dürfen a, b, c, d als ganze Zahlen und insbesondere die Nenner b und d als positive Zahlen vorausgesetzt werden; alsdann heißt a/& > c/d, wenn ad^>bc ist. Für alle rationalen Zahlen gelten nun die Gesetze:

Ist p > q und q > r, so ist auch p > r.

Ist p > q, so ist auch p + r > q + r.

Ist p > q und r > 0, so ist auch pr>qr.

Ist p~> q, aber r < 0, so ist jedoch pr < qr.

Null und Eins heißen Modul der Addition bzw. Multiplikation, da ihnen die Eigenschaften zukommen, daß für jede rationale Zahl p

p + 0 = 0 -f p =p, p.l = l.p=p

ist. Das Produkt der beiden Moduln ist gleich Null, d. h. gleich dem Modul der Addition. Die Null spielt daher eine besondere Rolle im Gebiete der Multiplikation; für jede rationale Zahlj? ist: p . 0 = 0 .p = 0.

Daraus folgt: Die Division mit Null ist unbestimmt und muß daher vermieden werden

Jede rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist, liegt zwischen zwei ganzen Zahlen a und a + 1 und ist also in der Form a -f b/c darstellbar, wo b/c ein positiver echter Bruch und 1/c ein Stammbruch heißt. Jeder Stammbruch 1/e läßt sich vermöge fortgesetzter Division von 10, 100, 1000 usw. mit c in einen Dezimalbruch verwandeln; da die Beste bei den Divisionen zwischen 0 und c liegen, kehrt dabei nach höchstens c Operationen der alte Rest wieder, oder aber die Division geht nach höchstens c Operationen auf. Die rationalen Zahlen überhaupt sind mithin durch Dezimalbrüche darstellbar, und zwar entweder durch endlose, aber periodische oder durch endliche Dezimalbrüche. In der Arithmetik wird gezeigt, daß umgekehrt jeder derartige Dezimalbruch in der Form a -f b/c darstellbar ist, wo a ganzzahlig und b/c ein positiver echter Bruch ist.

1J

Da man die Differenz zwischen zwei rationalen Zahlen in beliebig viele gleiche Teile teilen kann, so folgt: Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen, wie wenig auch ihre Differenz von Null ab weichen mag, stets noch unzählig viele rationale Zahlen. Dies meint man, wenn man kurz sagt: Der Bereich der rationalen Zahlen ist überall dicht.

2. Der Bereich der reellen Zahlen. Kann man alle rationalen Zahlen in zwei Klassen derart teilen, daß jede Zahl der ersten Klasse kleiner als jede Zahl der zweiten Klasse ist, so sind drei Fälle denkbar: Entweder gibt es eine größte Zahl der ersten Klasse oder zweitens eine kleinste Zahl der zweiten Klasse oder drittens weder das eine noch das andere. Der erste Fall liegt z. B. vor, wenn wir zur ersten Klasse alle rationalen Zahlen kleiner oder gleich 2,5 rechnen. Alsdann enthält die zweite Klasse alle rationalen Zahlen größer als 2,5. Es gibt hier keine kleinste Zahl der zweiten Klasse, denn zwischen 2,5 und jeder größeren rationalen Zahl liegen ja noch unzählig viele rationale Zahlen. Der zweite Fall dagegen liegt vor, wenn wir zur ersten Klasse alle rationalen Zahlen kleiner als 2,5 und zur zweiten alle rationalen Zahlen größer oder gleich 2,5 rechnen. In beiden Beispielen sagen wir, daß die rationale Zahl 2,5 die Grenze zwischen den beiden Klassen sei.

Es kann aber, wie gesagt, drittens Vorkommen, daß es keine rationale Zahl derart gibt, daß alle Zahlen der einen Klasse kleiner oder größer als diese Zahl sind. In diesem Falle sagt man, daß die Grenze zwischen beiden Klassen eine irrationale Zahl sei, die größer als alle Zahlen der ersten und Meiner als alle Zahlen der zweiten Klasse heißt. Zwei irrationale Zahlen heißen gleich, wenn durch sie alle rationalen Zahlen in dieselben beiden Klassen geteilt werden. Von zwei irrationalen Zahlen heißt eine größer als die andere, wenn es rationale Zahlen gibt, die kleiner als die eine und größer als die andere sind. Alle rationalen und irrationalen Zahlen stehen also wieder in einer Rangordnung. Ihre Gesamtheit heißt der Bereich aller reellen Zahlen.

Jede irrationale Zahl liegt zwischen solchen rationalen Zahlen, deren Differenz beliebig wenig von Null verschieden gemacht werden kaun. Eine reelle Zahl überhaupt ist voll-

[1, 2

ständig definiert, sobald zwei endlose Folgen von rationalen Zahlen px, p%₇ p₃₇ . . . und q₁₇ q₂₇ q₃, . . . irgendwie, aber so definiert sind, daß erstens die p der Reihe nach immer größer werden (jPn+1>lO, zweitens die q der Reihe nach immer kleiner werden (qn + i<qn), drittens jedes p kleiner als jedes q ist und viertens die (stets positive) Differenz qn — pn dadurch, daß man den Index n hinreichend groß wählt, kleiner als eine beliebig klein gewählte positive rationale Zahl 6 gemacht werden kann. Denn unter diesen Voraussetzungen ist, wie man zeigen könnte, eine jede beliebig gegebene rationale Zahl entweder größer als alle p oder kleiner als alle q, so daß alle rationalen Zahlen in der Tat in zwei Klassen geteilt sind. Diese Art der Definition liegt z. B. vor, wenn eine irrationale Zahl durch einen endlosen und nicht periodischen Dezimalbruch definiert wird. Wenn z. B. ]/2 berechnet werden soll, gibt es ja eine Vorschrift, nach der man den Dezimalbruch 1,4142 . . . Ziffer für Ziffer berechnen kann. Wird er nun nach der wten Dezimalstelle abgebrochen, so entsteht eine rationale Zahl pn. Wird in ihr die letzte Dezimale um eine Einheit erhöht, so entsteht eine größere rationale Zähl qn. Dabei ist qn — pn = 1 : 10". Augenscheinlich nimmt hier die Reihe aller pn zu, die aller qn ab; außerdem ist jede Zahl p kleiner als jede Zahl q, und, wenn man eine beliebig kleine positive rationale Zahl 6 gewählt hat, kann man n so groß annehmen, daß 1 : 10" und mithin qn — pn kleiner als 6 wird.

Man hat die Rechenregeln mit Hilfe des Grundsatzes von der Erhaltung der formalen Gesetze auf den Bereich aller reellen Zahlen so übertragen, daß auch hier alle in Nr. 1 auf-gestellten Gesetze gelten. Da schon der Bereich aller rationalen Zahlen überall dicht war, ist um so mehr der Bereich aller reellen Zahlen überall dicht.

Über den Bereich aller reellen Zahlen soll bis auf weiteres nicht hinausgegangen werden. Vielmehr verstehen wir in der Folge, solange nicht ausdrücklich eine andere Festsetzung getroffen wird, unter Zahl oder Größe schlechtweg immer eine reelle Zahl.

3. Darstellung' der reellen Zahlen durch Strecken auf einer G-eraden. Auf einer etwa wagerechten Geraden y werden zwei Punkte, der Nullpunkt 0 und der Einheitspunkt E, irgendwo festgesetzt, der Einheitspunkt etwa, um etwas Bestimmtes vor Augen zu haben, rechts vom Nullpunkte. Die Strecke OE soll die Strecke Eins heißen. Durch ihre Vervielfältigung über E hinaus erhält man eine Reihe von Endpunkten. Die Strecken von 0 bis zu ihnen heißen die Strecken 2, 3, 4 usw. Durch beständiges Abtragen von OE über 0 hinaus nach der anderen (linken) Seite entstehen ebenso die Strecken —1, —2, —3 usw. Da jede rationale Zahl nach Nr. 1 in der Form a -f- b/c darstellbar ist, können wir jede rationale Zahl ebenfalls als Strecke abbilden, indem wir den Unterschied der Strecken a und a + 1 in c gleiche Teile teilen und den &ten Teilpunkt als Endpunkt wählen. Jede rationale Zahl ivird somit durch eine in 0 beginnende und positiv oder negativ, d. h. nach rechts oder links, gerichtete Strecke dargestellt.

Man kann auch sagen, und das ist oft eine bequemere Ausdrucksweise, daß jede rationale Zahl durch einen Funkt auf der Geraden dargestellt wird, nämlich durch den End- . punkt der zugehörigen Strecke. Der Rangordnung der rationalen Zahlen entspricht die Anordnung dieser Punkte auf der Geraden im Sinne der Richtung von 0 nach E. Die Bildpunkte liegen überall dicht.

Trotzdem enthält die Gerade g noch unzählig viele Punkte, die nicht Bildpunkte von rationalen Zahlen sind. Wenn man z. B. in einer Ebene durch g das Quadrat über OE errichtet und seine Diagonale von 0 an über E hinaus auf g abträgt, ist der Endpunkt D kein Bildpunkt einer rationalen Zahl, weil |/2 keine rationale Zahl ist, wie man beweisen kann. Wenn man nun in D noch beliebige rationale Vielfache der Strecke Eins an trägt, kommt man daher zu unzählig vielen Punkten, die nicht Bildpunkte von rationalen Zahlen sind. Es folgt, daß um so mehr alle diejenigen Punkte der Geraden, die nicht Bildpunkte von rationalen Zahlen sind, überall dicht liegen. Solche Stellen können wir als Bildpunkte von irrationalen Zahlen definieren. Wenn nämlich eine irrationale Zahl wie in Nr. 2 durch die beiden endlosen Folgen p₁ < p₂ < p₃ usw. und 91 > #2 > ?3 usw. von rationalen Zahlen gegeben ist, so gehören zu beiden Folgen zwei endlose Folgen von Bildpunkten.

Die Bildpunkte der ersten Art liegen sämtlich links von denen der zweiten Art, und die von pn und qn liegen, wenn man n hinreichend groß wählt, so nahe beieinander, daß ihr Intervall qn — pn kleiner als eine beliebig kleine gegebene Strecke 6 wird. Nach dem Axiom von der Stetigkeit der geraden Linie gibt es mindestens einen Punkt auf der Geraden, der rechts von den Bildpunkten aller pn und links von den Bildpunkten aller qn liegt. Es kann nicht mehr als einen geben. Denn man kann ja das den Punkt einschließende Intervall qn — pn kleiner machen als das Intervall zwischen zwei noch so nahe beieinander liegenden Punkten. Der also einzig vorhandene Punkt, der rechts von den Bildpunkten aller pn und links von denen aller qn liegt, heißt der Bildpunkt der ins Auge gefaßten irrationalen Zahl. Oder auch: Die Strecke von 0 bis zu diesem Punkte , heißt das Bild der irrationalen Zahl.

Wählen wir umgekehrt irgendeinen Punkt P auf g, der kein Bildpunkt einer rationalen Zahl ist, so gibt es zwei ganze Zahlen a und a -fl, deren Bildpunkte den Punkt P einschließen. Wir teilen das Intervall zwischen ihnen in zehn gleiche Teile. In einem der Teilintervalle muß P liegen, etwa in dem (b -f l)ten. Dann teilen wir dies wieder in zehn gleiche Teile; nunmehr liege P im (c + l)ten dieser noch kleineren Intervalle. Pahren wir so fort, so ergeben sich Schritt für Schritt die Ziffern a, b, c, . . . eines endlosen Dezimalbruches

, b c a "* 10 ^ 100

der eine irrationale Zahl vorstellt, und zwar diejenige, deren Bildpunkt P ist.

Die Gesamtheit aller reellen Zahlen und die Gesamtheit aller von einem Nullpunkte 0 einer Geraden g ausgehenden Strecken auf der Geraden lassen sich daher so aufeinander beziehen, daß jeder reellen Zahl eine Strecke und jeder Strecke eine reelle Zahl entspricht. Der Bangordnung der reellen Zahlen entspricht dabei die Anordnung der Endpunkte der Strecken.

Hiermit ist für alle reellen Zahlen ein Maßstab hergestellt, dessen Längeneinheit die Strecke OE ist.

4. Der absolute Betrag. Die reellen Zahlen, abgesehen von der Null, sind positiv oder negativ. Unter dem absoluten 3,4]

Betrage einer positiven Zahl versteht man die Zahl selbst, unter dem absoluten Betrage einer negativen Zahl dieselbe Zahl, aber versehen mit dem Pluszeichen. Der absolute Betrag einer von Null verschiedenen Zahl ist also stets positiv und von Null verschieden; man sagt auch: Er ist der Wert der Zahl, abgesehen vom Vorzeichen, oder die absolut genommene Zahl. Unter dem absoluten Betrage von Null versteht man Null selbst. Den absoluten Betrag einer Zahl a bezeichnet man mit |a|. Es ist also z. B. |7| = | — 71 = 7. Ohne weiteres leuchtet ein:

Satz 1: Der absolute Betrag eines Produktes ist gleich dem Produkte der absoluten Beträge der Faktoren:

Iata,a₃ . .. an\ = \ax\ . |o»| . |o»| .. . \an\.

Der Satz über den absoluten Betrag einer Summe ist jedoch nicht so einfach, aber von größter Wichtigkeit:

Wenn nämlich eine Reihe von positiven oder negativen Zahlen aX} a,%,. . . an vorliegt, ist die Summe ax -f a₂ • • • -f an entweder positiv oder gleich Null oder negativ. In den beiden ersten Fällen ist sie ihrem absoluten Betrage gleich, im letzten dem entgegengesetzten Werte. Also ist entweder

% + a2 + ’ ’ ' + an ⁼ lttl + ai "F ‘ ' ’ "b an \

oder

— ax — a₂ — • • • — an — \ax -j- «₂ -f • • • -f an\.

Sowohl ax als auch — ax hat den absoluten Betrag | ax\, ebenso a₂ und — a₂ den absoluten Betrag [ a₂1 usw. Die linken Seiten werden nun höchstens vergrößert, wenn man ax, a₂, ... an oder — ax, — a₂, • • • — an durch ihre absoluten Beträge ersetzt, weil die Zahlen seihst ihren absoluten Beträgen höchstens gleich, aber sicher nicht größer als sie sind. In jedem Falle ist daher:

| a\ | + I a2 I + ‘ • ' + | an ^ I a\ + a2 + * ‘ ' + an 1 •

Gleichheit tritt nur dann ein, wenn keiner der Summanden ax, a₂, . . . an bzw. — ax, — a₂, • • • — an dadurch, daß man ihn durch seinen absoluten Betrag ersetzt, vergrößert wird, d. h. wenn sie sämtlich positiv sind, mit anderen Worten, wenn ax, a₂, ... an entweder sämtlich positiv oder sämtlich negativ

u*’

sind. Mithin ergibt sich, wenn man die letzte Ungleichung von rechts nach links liest, der

Satz 2: Der absolute Betrag einer Summe ist Deiner als die Summe der absoluten Beträge der Summanden oder höchstens ebenso groß:

\a\ + ^2 + ‘ ‘ ' + an\ ^ \ai \ + I <^21 + ‘ • • + \

Er ist ihr dann und nur dann gleich, wenn alle Summanden dasselbe Vorzeichen haben.

5. Über Potenzen und Wurzeln. In der Arithmetik wird definiert, daß uv, wenn v eine ganze positive Zahl ist, gleich dem Produkte von v Faktoren u sein soll, ferner j/w gleich einer Zahl, die v-mal mit sich selbst multipliziert das Produkt u gibt. Dabei wird ein Verfahren gelehrt, wie man Ziffer für Ziffer den Wert von jZu als (im allgemeinen endlosen) Dezimalbruch berechnen kann. Ist dabei v gerade, so muß jedoch u positiv angenommen werden. Potenzen mit negativen und gebrochenen Exponenten werden vermöge der Definitionen

i    _

uv = Yu

u~v =

auf die ursprünglichen Potenzen und Wurzeln zurückgeführt. Eine Potenz uv, deren Basis u positiv und deren Exponent v rational ist, hat stets nur einen positiven Wert. Zu ihm kann übrigens ein negativer Wert hinzutreten; wir beschränken uns jedoch hier auf den positiven Wert. Man zeigt: Der positive Wert von uv liegt, wenn u positiv und v positiv und rational ist, um so näher bei Eins, je Deiner v ist. Insbesondere wird u° = 1 gesetzt.

Die niedere Arithmetik gibt aber keine Definition von uv für den Fall, wo der Exponent v irrational ist. Ist v negativ, so führen wir uv auf 1 :u~v zurück, wo der Exponent positiv ist. Wir haben also noch die Aufgabe, uv für den Fall zu definieren, wo der Exponent v eine irrationale, aber positive Zahl ist. In diesem Falle läßt sich uv als irrationale Zahl in folgender Weise definieren, wenn wir noch ausdrücklich voraussetzen, daß die Basis u positiv sei:

Wir brechen den endlosen Dezimalbruch v nach der nten Dezimalstelle ab und erhalten dadurch eine rationale positive 4, 51

Wird die letzte Ziffer dieses Dezimalbruches um Eins erhöht, so geht eine größere rationale positive Zahl qn hervor. Dabei ist qn — pn = 1 : 10”. Nun sind

Zahl pn.

= u9n

xn = uPn,

nach dem Vorhergehenden wohldefinierte positive Zahlen, da ihre Exponenten rational sind und die Basis positiv ist. Im Falle u > 1 ist, wenn nach und nach n = 1, 2, 3, . . . gewählt wird, 7tx < je₂ < je₃ usw. und xx > x₂ > x₃ usw. Außerdem ist jedes je kleiner als jedes x. Die Differenz xn — jtn läßt sich so schreiben:

A°n- s

Xh ~ nn = K ( VU ~ V

,io" v

und ist also wegen jtn < xx kleiner als xxyyu — 1J. Da die hier auftretende Wurzel um so weniger von Eins abweicht, je größer n gewählt wird, läßt sich n stets so groß wählen, daß die Differenz xn — 7tn kleiner als eine beliebig klein gewählte positive Zahl <5 wird. Nach Nr. 2 definieren mithin die Wertereihen 7tx, jc₂, jr₃, . . . und xlf x₂, x₃, . . . eine bestimmte reelle Zahl, und diese Zahl soll der Wert der Potenz uv sein. Ist u <C 1, aber >0, so gelten dieselben Schlüsse, wenn man nur, die Größen je und x in ihrer Bedeutung vertauscht.

Wir mußten u > 0 voraussetzen, weil sonst die Zahlen 7tn oder xn zum Teil gar nicht reell vorhanden wären. Eine Potenz mit irrationalem Exponenten wird also nur dann definiert, ivenn ihre Basis positiv ist, und zivar ist sie dann als eine positive reelle Zahl definiert. Es läßt sich nun beweisen, daß die gewöhnlichen Potenzregeln auch für solche Potenzen gelten, da die Potenzen uPn und uqn, die den gewöhnlichen Rechenregeln gehorchen, die Potenz uv beliebig eng einschließen. Doch gehen wir hierauf nicht näher ein.

§ 2. Von den Funktionen.

6. Konstanten und Veränderliche, Funktionen. Die

Größen, die bei einer mathematischen Untersuchung auftreten, sind von zweierlei Art. Unter einer Konstante versteht man eine Größe, die während der Untersuchung immer einen und denselben Wert behalten soll. Eine Größe dagegen, die sich

[5,6

während der Untersuchung ändern darf oder soll, heißt eine Veränderliche (Variable). Veränderliche Größen bezeichnet man gern, soweit es angeht, mit den letzten Buchstaben des Alphabets. Wenn eine veränderliche Größe x nur Werte innerhalb eines gewissen Bereiches, z. B. nur alle Werte zwischen 2 und 3, annehmen darf, heißt die Gesamtheit dieser erlaubten Werte der Variabilitätsbereich der Veränderlichen x.

Ebenso spricht man von dem Variabilitätsbereiche mehrerer veränderlicher Größen xl} x₂, ... xn, indem man darunter die Gesamtheit aller derjenigen Wertsysteme x1} x₂, ... xn versteht, die man für die veränderlichen Größen zulassen will.

Bei jeder Frage, hei der man mehrere Veränderliche zu betrachten hat, kann man einigen dieser Veränderlichen irgendwelche Werte erteilen, und dann nehmen die übrigen Veränderlichen bestimmte Werte an. Die einen heißen dann unabhängige Veränderliche, die andern abhängige Veränderliche oder Funktionen der unabhängigen Veränderlichen.

So führt z. B. die Betrachtung eines Kreises zu drei Größen, dem Radius, dem Umfange und dem Inhalte. Wenn man einer von ihnen irgendeinen Wert erteilt, nehmen die beiden anderen zugehörige bestimmte Werte an; sie sind also Funktionen der zuerst bestimmt gewählten Größe, die hier die unabhängige Veränderliche ist. Bei einem geraden und begrenzten Kreiszylinder hat man vier Größen zu betrachten, den Radius, die Höhe, die Oberfläche und das Volumen. Hier kann man zweien von diesen Größen willkürliche Werte beilegen; die anderen beiden bekommen alsdann zugehörige bestimmte Werte, sie sind also Funktionen der beiden ersten, der unabhängigen Veränderlichen.

Allgemein definiert man:

Die Veränderliche y heißt eine Funktion der Veränderlichen x, wenn eine Vorschrift vorhanden ist, die jedem bestimmten Werte der Veränderlichen x innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches einen, aber auch mir einen bestimmten Wert der Veränderlichen y zuordnet. Alsdann heißt x die unabhängige Veränderliche in Hinsicht auf die abhängige Veränderliche y.

Ferner definiert man entsprechend:

Die Veränderliche y heißt eine Funktion der n Veränder-

«]

i*4

m-,=

(2)

cos#

4/0, y) - f(x + h, y) - f<x, y)>

df _ du cv df __ du dv

)-

oder einfacher:

Stellen wir uns unter den y irgendwelche Funktione

l«nl<*", K + ll<*,+ V---

(5) die wegen lim Bn = 0 konvergiert. Denn wenn die Summe ihrer w ersten Glieder mit bezeichnet wird, ist Fix + h) gleich Sn -j- Bn nach Satz 19, daher in der Tat:

lim (x — x0)mf(x) = A

so-

(2)

ss° = -J-wvj‘ + f^j‘y+Dn

Ky oder K2 zusammen, so bleibe es dahingestellt, o

9 = y% + (y - xy)-

Die ursprüngliche Bedingung für die Wendepunkte wa

x = <p(ß), y = ^(0

In der Folge nehmen wir den Radiusvektor stets pos

3^y'2-(i + y'2)<r=o,

(1)

(i) in der m, a und b Konstanten sind. Bann soll die Einhüllende der Kurvenschar bestimmt werden, die durch die Gleichung (2)

er er

« = <p(f), y = %(*), z =

fr ^

(1) der Punkte (%, y, z) einer Kurve heißt die Polarfläche der Kurve. Zweimalige Differentiation von (1) nach der Bogenlänge s gibt nach Nr. 272 mit Rücksicht auf (1):

— = A —

W

[323, 324

Sind die Höhenkurven Krümmungskurven, so müssen da

in Nr. 2 festgestellten Bereiche aller reellen Zah

Wenn eine Potenzreihe

e“= Q,

Nach Satz 6 von Nr. 71 ist nun die (m1 — l)t0 Able

Bezüglich des philogischen Ursprunges des Namens S

v2 •.

E.

«]

liehen xx, x₂, . . . xn, wenn eine Vorschrift vorhanden ist, die jedem bestimmten Wertsystem xx, x₂, ... xn, das innerhalb des Variabilitätsbereiches von xx, x₂, . . . xn liegt, einen, aber auch nur einen bestimmten Wert der Veränderlichen y zuordnet. Alsdann heißen xXJ x2J ... xn die unabhängigen Veränderlichen.

Die Funktionen y, die wir in der Folge betrachten, werden meistens analytisch definiert sein, d. h. mittels Gleichungen, die zwischen ihnen und den unabhängigen Veränderlichen bestehen.

Eine Funktion heißt algebraisch, wenn die Gleichung, durch die sie mit den unabhängigen Veränderlichen verknüpft wird, dadurch hergestellt worden ist, daß man auf alle Veränderlichen und eine Reihe von Konstanten nur die sogenannten algebraischen Operationen angewandt hat, nämlich die Addition und Subtraktion, die Multiplikation und Division, die Erhebung in Potenzen mit ganzen konstanten Exponenten und die Ausziehung von Wurzeln mit ganzen konstanten Exponenten. Da man die vorkommenden Wurzeln dadurch entfernen kann, daß man die Gleichung in passende Potenzen mit ganzzahligen Exponenten erhebt, und da man ferner durch passende Multiplikationen auch alle diejenigen Nenner und negativen Potenzen beseitigen kann, in denen Veränderliche Vorkommen, so leuchtet ein, daß eine Gleichung, durch die eine algebraische Funktion y von xx, x₂, . . . xn definiert wird, stets, indem man sie nach Potenzen von y ordnet, auf die Form gebracht werden kann: wo X₀, Xx, X₂, . . . Xn nur noch die unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, ... xn enthalten, und zwar mit einer Reihe von Konstanten nur noch durch die Operationen: Addition, Subtraktion und Multiplikation verknüpft. Aber es ist nicht sicher, daß, wenn man eine derartige Gleichung nach Belieben bildet, auch zu einem beliebigen Wertsystem xx, x₂, ... xn ein reeller Wert von y vorhanden ist.

Sicher ist dies jedoch der Fall, wenn die Gleichung insbesondere vom ersten Grade hinsichtlich y ist: X₀y -f Xx = 0, da sie dann in der Form nach y aufgelöst werden kann. Hier ist y ein Bruch, dessen Zähler und Nenner nur ganze positive Potenzen der unabhängigen Veränderlichen xx, xi} ... xn enthalten, die miteinander und mit Konstanten nur durch Addition, Subtraktion und Multiplikation verknüpft sind. Alsdann heißt y eine rationale Funktion von xt, x₂, . . . xn. Insbesondere ist also y eine rationale Funktion von nur einer Veränderlichen x allein, wenn sie so dargestellt werden kann:

• -J- a , x-\- a

171 — 1    771

(1)

aQxm + a^™-¹ + ■ ■

y \X’ +&iaV-lH-----'rbr-lX+br

wo m und r ganze positive Zahlen und die Koeffizienten a₀, am_x, am und b₀, blf . . . br_x, br Konstanten bedeuten. Insbesondere heißt y eine ganze rationale Funktion von xx, x₂, . . . xn, wenn der Nenner der rationalen Funktion eine Konstante ist, d. h. wenn y gleich einer Summe von Produkten von positiven ganzzahligen Potenzen von xx, x₂, ... xn und von Konstanten wird. Zum Unterschiede von den ganzen rationalen Funktionen nennt man rationale Funktionen, deren Nenner nicht konstant sind, gebrochene rationale Funktionen.

Nach dem Vorhergehenden ist also y eine ganze rationale Funktion von nur einer Veränderlichen x, wenn sie so dargestellt werden kann:

y = a₀xm -P axxm~¹ H-----P am-\x + am-

Ist a₀ 4= 0, so heißt sie eine ganze rationale Funktion vom mten Grade.

Eine Funktion y von xlf x%, . . . xn, die keine algebraische Funktion ist, heißt transzendent. So sind y — sin x, y = xx, y =    , y = IO²¹ transzendente Funktionen von x.

Wenn eine Funktion y von xx, x₂, ... xn durch eine Gleichung gegeben ist, die x1} x₂, ... xn enthält, aber nicht nach y aufgelöst ist, sagt man, daß y durch die Gleichung als unentwickelte oder implizite Funktion von x₁₇ x₃, ... xn gegeben wird. Wird z. B. y² — x = 0 vorgeschrieben, so ist y eine unentwickelte Funktion von x. Wir können sie jedoch in diesem Beispiele durch Auflösen der Gleichung nach y sofort als entwickelte oder explizite Funktion von x darstellen, aber es ergeben sich ihrer zwei, nämlich y = | y'x und y = — ]/^|-

In diesem Beispiele ist der Variabilitätsbereich von x der aller positiven Zahlen. Andere Beispiele von entwickelten Funktionen sind die oben erwähnten rationalen Funktionen. So ist y durch (1) als entwickelte Funktion von x definiert. Da eine rationale Funktion y von xlfxi}... xn offenbar für jedes reelle Wertsystem x1} x₃, . . . xn einen reellen Wert hat, abgesehen von denjenigen, für die der Nenner gleich Null wird (weil mau mit Null nicht dividieren darf, vgl. Nr. 1), so ist hier der Variabilitätsbereich von x1}xs,...xn der Bereich aller reellen Zahlen, abgesehen von denjenigen Wertsystemen, für die der Nenner gleich Null wird. Liegt eine ganze rationale Funktion y von xlf x₂, . . . xn vor, so fällt jede Beschränkung fort.

Wir werden die Funktionen oder abhängigen Veränderlichen ebenso wie die unabhängigen Veränderlichen x₁₇ x%, . . . xn einfach durch Buchstaben wie yx, y₂, . . . bezeichnen können. Wenn aber betont werden soll, daß sie von x1} x%, . . . xn abhängig sind, werden wir zu ihrer Bezeichnung Symbole wie f, F, (p, . . . benutzen, hinter die wir die unabhängigen Veränderlichen, eingeschlossen in Klammern, schreiben. So sollen f(x), F(x), cp(x) usw. Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen x bedeuten*, ebenso soll z. B. F(xl} x₂, . . . xn) eine Funktion von n unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, . . . xn sein. Solche Symbole brauchen wir natürlich nur dann anzuwenden, wenn wir nicht ganz bestimmt gegebene Funktionen betrachten wie z. B. y = sinrr, y= KV u. dgl., wo sie überflüssig sind. Wenn nun f(x) eine Funktion von x bedeutet, soll f(a) der Wert sein, den sie annimmt, sobald der Veränderlichen x der bestimmte Wert a erteilt wird. Ähnlich im Falle mehrerer unabhängiger Veränderlicher.

7. Graphische Darstellung* der Funktionen. Eine Funktion y = f(x) von einer Veränderlichen y stellt man graphisch dar, indem man in der aus der analytischen Geometrie bekannten Art ein Koordinatensystem benutzt. Denn nach Nr. 3 können wir alle reellen Zahlen x durch Strecken auf einer ic-Achse oder Abszissenachse darstellen, gemessen von einem Anfangs- oder Nidlpunhte 0 aus unter Zugrundelegung einer bestimmt gewählten Einheit Ol, siehe Fig. 1. Zu dieser

x-Achse senkrecht nehmen wir die y-Achse oder Ordinatenachse durch 0 an, indem wir auf ihr ebenfalls 0 als Anfangspunkt benutzen und zweckmäßigerweise die ^-Einheit gleich der Einheit wählen. Jede Achse hat eine positive und eine negative Richtung. Jedem reellen Wertepaare x, y entspricht eine Abszisse x*=* OP und eine Ordinate y=OQ, mithin ein Punkt M der Ebene als Bildpunkt mit den Koordinaten x und y. Umgekehrt: Zu jedem bestimmten Punkte M der Ebene gehört ein bestimmtes Koordinatenpaar x, y. Man zieht es vor, FM und nicht OQ die Ordinate zu nennen.

x-

et

b_

Fig. 1

Ist y = f(x) eine gegebene Funktion von x und ist der Variabilitätsbereich von x z. B. das Intervall von a bis b, so gehört zu jedem Werte von x zwischen a und b ein Wert von y, also ein Bildpunkt M. Die Gesamtheit aller Bildpunkte (x, y) heißt das Bild der Funktion f(x). Für viele Funktionen, namentlich für diejenigen, die wir genauer untersuchen, ist dies Bild, wie man sehen wird, eine stetige krumme Linie, eine Kurve. Daher veranschaulichen wir häufig eine Funktion y = f(x) in der Figur durch eine Kurve. Jedoch ist zu fordern, daß die Beweise aller Sätze, die nickt geometrischer, sondern analytischer Natur sind, auch unabhängig von derartigen Hilfsmitteln der Veranschaulichung geführt werden können.

Eine Funktion y = f(xly xf) von zwei unabhängigen Veränderlichen xt und x₂ veranschaulicht man sich in entsprechender Weise, indem man ein räumliches Koordinatensystem mit drei zueinander senkrechten Achsen, einer a^-Achse, einer x₂-Achse und einer y-Achse, benutzt. Jedem Wertepaare x1} x2 im Variabilitätsbereiche von x₁ und x₂ gehört ein Wert von y zu, allen drei Werten ein Punkt (xt, x₂, y) des Raumes. Alle diese Bildpunkte einer Funktion von zwei Veränderlichen werden in vielen Fällen eine Fläche erfüllen.

Zur Erläuterung betrachten wir jetzt einige besondere transzendente Funktionen von einer Veränderlichen.

8. Die Exponentialfunktion a*. Ist a eine positive Zahl, so hat ax nach Nr. 5 für jedes x einen bestimmten posi-7, 8] tiven Wert, so daß der Variabilitätsbereich von x alle reellen Zahlen umfaßt. Drei Fälle sind zu unterscheiden:

y4)\

’y-r*

a) Ist a > 1, so nimmt die stets positive Potenz y = ax mit wachsendem x beständig zu. Solange x absolut genommen sehr große, aber negative Werte hat, ist y oder 1 : a~x sehr klein; für x = 0 ist«/ = 15 wächst x zu sehr großen positiven Werten, so wird auch y sehr groß.

1=2

y-

Siehe die ausgezogene Kurve in Fig. 2, in der a insbesondere gleich Zwei gewählt wurde.

ß) Ist a = 1, so ist y = ax = 1.

Fig. 2.

Das Bild ist die Parallele zur x-Achse mit der Ordinate Eins.

y) Ist a < 1 (aber positiv), so ergibt sich, da ax = (1: a)~x ist, derselbe Verlauf wie im Falle cc), aber mit Vertauschung von rechts und links. So geht für a = | die gestrichelte Kurve aus der Kurve für a = 2 durch Umklappung um die y-Achse hervor.

B,

oe

C <5373?

9. Die goniometrischen Funktionen. Darunter versteht man Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens von x, also sin x, cos x, tg x und ctg x. Hierbei soll wie stets, wenn von den goniometrischen Funktionen die Rede sein wird, unter x nicht das Gradmaß, sondern das natürliche oder Bogenmaß des Winkels verstanden werden. Es sei nämlich a das Gradmaß eines Winkels, und es werde um seinen Scheitel der Kreis mit dem Radius Eins konstruiert. Siehe Fig. 3.

Fig. 3.

Die Länge des Bogens, den der Winkel auf dem Kreise abschneidet, heißt das Bogenmaß x des Winkels. Das Bogenmaß ist zum Gradmaße proportional, d. h. es ist x:2n = a: 360 oder x = jta: 180.

Das Bogenmaß von 1° ist gleich % : 180 oder rund 0,01745. Der Winkel, dessen Bogenmaß x = 1 ist, den wir also künftig als Winkeleinheit benutzen, hat 180°: jr oder rund 57° 17'44",8.

[8, 9

Wird nun der Schenkel CA des Winkels festgehalten, dagegen der andere Schenkel Ci? in bestimmtem Sinne um C gedreht, so wächst # von Null bis zu beliebig großen Werten; bei der Drehung im entgegengesetzten Sinne nimmt # bis zu beliebig kleinen, nämlich negativen Werten ab. Der Variabilitätsbereich von x umfaßt also alle reellen Zahlen. In der Trigonometrie werden die Funktionen sin x, cos x, tg x, ctg x durch die in Fig. 3

~-v

-5*-

4:

Sy

Fig. 4.

angegebenen Strecken geometrisch definiert und, wie bekannt, mit bestimmten Vorzeichen. Tragen wir x als Abszisse auf einer x-Achse und den zugehörigen Funktionswert als zugehörige Ordinate auf, so kommen wir zu den in Fig. 4 und 5 gegebenen Bildern der goniometrischen Funktionen. Hier ist

jedoch die Längeneinheit Heiner als in Fig. 8 gewählt worden. Insbesondere sieht man:

XI

t 'V

! h ¹ / \*

Fig. 5.

Alle vier goniometrischen Funktionen sind periodisch, d. h. der Wert, den eine der vier Funktionen für irgendein x hat, ist gerade so groß wie derjenige Wert, den sie annimmt, wenn I dies x um einen gewissen Tcon-I stanten Betrag, die Periode, zu-oder abnimmt. Bei sin# und l cos# ist die Periode 2n (zu 360°gehörig), bei tg# und ctg# dagegen % (zu 180° gehörig). Infolgedessen wiederholen sich die Kurvenzweige in den Intervallen 2?r bzw. % beständig. Die Funktionen sin # und cos # nehmen nur Werte zwischen — 1 und -f 1 an, dagegen tg# und ctg# alle reellen Werte überhaupt. Die Funktion sin# nimmt im Intervalle

»]

— \% <j. x ^    jeden Wert zwischen — 1 und -f- 1 je ein

mal an; cos# tut dasselbe im Intervalle 0 <i x -p tg# nimmt jeden Zahlenwert einmal im Intervalle — \ 7t < x < + \it und ctg x jeden einmal im Intervalle 0 < x < % an. Für x = + aber hat tg# keinen endlichen Wert, ebenso wenig ctg x für x = 0 und x = tc. Dieselben Erscheinungen wiederholen sich periodisch.

oc

Fig. 6.

10. Die inverse Funktion. Es sei y = f(x) eine Funktion von x für jedes x, das dem Intervalle a x <1 b an gehört. Dann entspricht jedem Werte x dieses Intervalles ein gewisser Wert y. Die Gesamtheit dieser Werte möge dem Intervalle A <^y <i B angehören. Nimmt f(x) jeden Wert zwischen A und B nur einmal an, so entspricht auch M umgekehrt jedem Werte y des Intervalles A<jy<jB ein bestimmter Wert x, für den y = f(x) wird. Dann ist also auch x eine Funktion von «/, die wir etwa mit x = F{y) bezeichnen. Diese Funktion x —i> von y heißt die zur Funktion f(x) inverse Funktion. Fig. 6 sucht die Definition zu erläutern. Der Kurvenbogen gebe den Verlauf der Funktion y = fix), wenn x als Abszisse, y als Ordinate gewählt ist. Die Projektion der Kurvenpunkte auf die #-Achse liefert alle Punkte des Variabilitätsbereiches a<zX<ib. Projiziert man den Kurvenzug auf die «/-Achse, so wird auf dieser das Intervall von A bis B abgeschnitten. Da jedem Werte y dieses Intervalles ein und nur ein Wert x des Intervalles von

e mit der Ordinatenachse vertauscht.

■et-Scheffers, Diff.-u. Intogr.-Eechn. I. 6.u.7.Aufl.

a bis b entsprechen soll, wird bei der Projektion des Kurvenbogens auf die «/-Achse der Abschnitt von A bis B lückenlos und überall einfach überdeckt. Betrachtet man jetzt y als unabhängige Veränderliche und sucht man denjenigen Wert x im Intervalle von a bis b, für den y = /’(#) wird, so bildet man die Funktion x = F(y). Geometrisch wird sie erhalten, indem in den einzelnen Punkten y des Intervalles A <jy <i B Parallelen zur #-Achse von der Länge und Richtung gezogen werden, die jedesmal durch x = F(y) bestimmt sind. Dabei entsteht genau der alte Kurvenzug wieder, jedoch hat jetzt die Abszissenachse ih

Betrachten wir z. B. die Funktion y = x² und weisen wir x alle positiven Werte als Variabilitätsbereich an, so nimmt y ebenfalls alle positiven Werte an. Jedem positiven Werte x entspricht ein und nur ein positiver Wert y und jedem positiven Werte y ein und nur ein positiver Wert x. Demnach ist hier x = | ]/ y | die zu y = x² inverse Funktion.

11.    Der Logarithmus. Betrachten wir die in Nr. 8 besprochene Funktion y = ax. Wir sahen: wenn x alle Werte überhaupt durchläuft, nimmt y alle positiven Werte und jeden nur einmal an, vorausgesetzt, daß a positiv und von Null und Eins verschieden ist. Daher wird auch umgekehrt x eine Funktion von y werden. Die so entstehende Funktion heißt bekanntlich der Logarithmus von y mit der Basis a:

x = “log y.

Durchläuft y alle positiven Zahlen, so nimmt der Logarithmus alle positiven und negativen Werte und zwar jeden nur einmal an. Für negative Werte von y ist “log?/ nicht definiert.

12.    Die zyklometrischen Funktionen. Die zu den

goniometrischen Funktionen inversen Funktionen heißen die zyklometrischen Funktionen.

a) Ist y — tgx, so wird, wenn x von — \n bis -f -$-n wächst, y alle negativen und positiven Werte durchlaufen und jeden Wert nur einmal annehmen. Jedem Werte y entspricht daher ein und nur ein Wert x zwischen — \n und -J- \n. Also wird x eine Funktion von y, die, wenn y alle reellen Werte durchläuft, alle Werte zwischen — yjt und -f-annimmt. Die so definierte Funktion heißt der Arcus Tangens von y, und man schreibt:

Fig. 7.

x = arc tg y,

weil x ein Bogen ist, dessen Tangens gleich y ist. Siehe Fig. 7.

Die so entstehenden Werte x sind aber nicht die einzigen, die der Gleichung y = tg x genügen. Da vielmehr der Tangens nach Nr. 9 die Periode n hat, ist auch tg(a; — kn) = y, wenn k irgendeine ganze Zahl bedeutet, und daher erfüllt auch:

10, 11, 12]

x = arc t gy    7c je

die Bedingung y = tg#. Jede Funktion von der Form arc tg y -j- ft je ist somit eine zum Tangens inverse Funktion. Die Gleichung x = arctgy -f- ft je liefert aber auch alle Werte #, die y = tg x genügen, wenn k nach und nach alle ganzen Zahlen bedeutet. Sie werden sämtlich mit arc tg y bezeichnet. Aber arc tg x stellt nur dann eine Funktion in dem in Nr. 6 definierten Sinne vor, wenn noch vorgeschrieben wird, daß ihr Wert in einem bestimmten Intervalle von — -|-je -f- ft bis + l-ft -j- k liegen soll. Meistens werden wir künftig das Intervall von — bis -J- \7t vorschreiben. Eine entsprechende Bemerkung gilt auch in den folgenden Fällen b), c) und d).

b) Ist y = ctg ft' und durchläuft x alle Werte von 0 bis je,

so durchläuft y alle reellen Werte und jeden nur einmal. Umgekehrt wird daher

x = arc ctg y

eine Funktion, die alle Werte zwischen 0 und je und jeden nur einmal annimmt, wenn y alle reellen Werte durchläuft. Alle Werte x, für die y = ctg x ist, liefert die Gleichung x = arc ctg y -f- ftjE,

und sie werden sämtlich mit arc ctg y bezeichnet.

c)    Ist y = sin# und durchläuft x alle Werte von —^-je bis -f- -£je, so durchläuft y alle Werte von — 1 bis -f 1. Also ist

x = arc sin y

eine Funktion von y, die für alle Werte von y zwischen — 1 und -f- 1 definiert ist. Durchläuft y dieses Intervall, so nimmt x alle Werte zwischen — -\n und -j- \it und jeden nur einmal an. Da aber sin x = sin (# — 2 ft je) = sin {% — x -j- 2kn) ist, werden alle Lösungen der Gleichung y = sin x dargestellt durch:

x = arc sin y -f- 2kit, x = — arc sin y + (2k + 1)je .

Sie werden sämtlich mit arc sin y bezeichnet.

d)    Ist y = cos# und durchläuft x alle Werte von 0 bis je, so durchläuft y alle Werte von -f- 1 bis — 1. Deshalb ist

x = arc cos y

eine Funktion, die, wenn y alle Werte zwischen —1 und -f-1

[12

durchläuft, alle Werte zwischen it und 0 und jeden nur einmal annimmt. Eine andere Lösung der Gleichung y = cos x ergibt sich wegen cos# = cos(2jz — x), nämlich:

x = 2 je — arc cos y,

und alle Lösungen jener Gleichung stecken in den beiden Formeln:

x = arc cos y -j- 2ä:jt, x = — arc cos y -f-Sie werden sämtlich mit arc cos y bezeichnet.

§ 3. Der Begriff der Grenze.

13. Grenzwert bei wachsendem x. Wir wollen annehmen, y sei eine Funktion f(x), und zwar sei sie für solche Werte von x definiert, die kleiner als ein bestimmter Wert a sind; dagegen sei y für x = a selbst nicht definiert. Dies bedeutet: Wie nahe wir auch x bei a, aber immer noch kleiner als a wählen mögen, stets gehört zu diesem x ein Wert y. Man wird versucht sein, einen Wert von y auch für x = a aus der Betrachtung derjenigen Werte abzuleiten, die y kurz vorher hat. Zeigt sich, daß y, sobald sich x dem a nähert, stark schwankende Werte annimmt, so wird man freilich diesen Versuch aufgehen; zeigt sich jedoch, daß die Werte von y dabei immer weniger von einem gewissen Werte A ab weichen, so wird man sagen, daß y für x — a den Grenzwert A erreicht. Aber es ist noch genauer festzusetzen, was mit diesem immer geringeren Ab weichen von A gemeint wird. Wenn man unter 6 eine kleine positive Zahl versteht, kann man untersuchen, ob es unmittelbar vor x — a ein Intervall gibt, innerhalb dessen x überall von A um weniger als 6 abweicht. Die untere Grenze eines solchen Intervalles wird mit x — a — h zu bezeichnen sein, wo h eine positive Zahl bedeutet, während a selbst die obere Intervallgrenze ist. Wählen wir 6 noch kleiner als vorher, so kann es sein, daß es immer noch ein Intervall von Werten von x kleiner als a gibt, innerhalb dessen y überall von A um weniger als 6 abweicht. Gibt es ein derartiges Intervall, wie klein auch <3 gewählt sein mag, so werden wir sagen, daß y für x = a den Grenzwert A erreicht. So kommen wir zu der 12, 13]

Definition: Dine Funktion fix), die für Werte von x kleiner als a definiert ist, hat für den Wert x = a den Grenzwert A, wenn es stets, wie klein man auch eine positive Zahl 6 wählen mag, unmittelbar vor x = a ein nicht verschwindendes Intervall a — h < x < a gibt, innerhalb dessen f(x) überall von A um weniger als <3 abweicht, so daß für jedes x innerhalb dieses Intervalles \ f(x) — A [ < ö ist.

-h

*■3

4/

Fig. 8.

1.    Beispiel: Unter y werde für negative Werte von x die dritte Potenz von x verstanden. Wohlbemerkt definieren wir y => x³ nur für x < 0, nicht auch für x — 0; es soll also nicht geradezu darin x — 0 gesetzt werden, wodurch sich y = 0 ergäbe, sondern aus den vor x = 0 liegenden Werten der Funktion soll ihr Grenzwert für x = 0 ermittelt werden. Hier ist a = 0, also ein Intervall vor a etwa durch — h und 0 begrenzt. Wir haben eine Zahl A so zu suchen, daß stets, wie klein man auch die positive Zahl 0 wählen mag, x³ — A absolut genommen kleiner als 0 ist, wenn x zwischen — h und 0 liegt. Dies wird in der Tat erreicht, wenn insbesondere A = 0 gewählt wird und h < Y<3 ist, denn dann wird, sobald x zwischen — h und 0 liegt, | x³ — A | oder also j x³ j kleiner als y<3* = <3. Ist z. B. 6 = 0,001 gewählt, so ist |#³| für alle Werte von x zwischen — 0,1 und 0 kleiner als (3, also auch \x³— A |, wenn darin A = 0 ist. Wenn wir uns in Fig. 8 ein Bild von der Funktion y = x³ für negative Werte von x machen, sehen wir: Wie klein wir auch die Zahl <? wählen mögen, stets gibt es vor x = 0 ein Intervall — h < x < 0, innerhalb dessen die Ordinate von Null um weniger als <3 abweicht, so daß die beiden Parallelen zur x-Achse mit den Ordinaten -f <7 und — 6 dasjenige Stück des Bildes der Funktion einschließen, das von x = — ^6 bis x = 0 geht.

2.    Beispiel: Unter y = [x] sei die größte ganze in der positiven Zahl x enthaltene Zahl verstanden. Liegt x zwischen 0 und 1, so ist y = 0, liegt x zwischen 1 und 2, so ist y= 1 usw. Das Bild dieser Funktion besteht daher, siehe Fig. 9,

aus lauter treppenweise geschich-~i    teten parallelen Strecken. Für

i.

j x = 2 z. B. kann man im Zweifel j sein, ob man y den Wert 1 oder 2 zuschreiben soll. Wenn wir | aber x auf Werte Meiner als zwei !    beschränken, wird der Grenz-

Fig. 9.

i > wert von y für x = 2 der Wert Eins. In der Tat, in dem ganzen Intervalle 1 < x < 2 ist ja [x\ — 1 sogar gleich Null. Wie klein wir auch eine positive Zahl 6 wählen mögen, stets ist

[X] ~ 1 | < 6,

sobald x irgendwo in dem Intervalle 1 < x < 2 vor x = 2 liegt.

3. Beispiel: Es sei y die Funktion asina für Werte von a<0. Fig. 10 gibt das Bild dieser Funktion. Die Linie nähert sich mit wachsendem x in immer niedriger werdenden Schwingungen dem Nullpunkte, so daß für x = 0 als Grenzwert A von y der Wert Null zu vermuten ist In der Tat: Ist <3 eine beliebig kleine positive Zahl, so sei h = ]/6 gewählt. Dann ist, sobald x im Intervalle — Ji < x < 0 liegt, | x sin x \ kleiner als a², da der Sinus von x absolut genommen kleiner als der Winkel x (im Bogenmaß) ist, d. h. es kommt | x sin x — 0 [ < | a²1 < | W | =    .

4. Beispiel: Jetzt bedeute y für negative Werte von x die Funktion sin(l:a). Ihr Bild ist in Fig. 11 gedeutet; die Schwingungen werden, wenn x nach Null hin wächst, so eng,

an-

-2\X

«V

f/

daß sie nicht mehr gezeichnet werden können. Diese Funktion hat für x — 0

jii

Fig. 10.

heinen Grenzwert. Denn es sei —/i<a<0 irgendein Intervall vor x = 0. Innerhalb des Intervalles ist j 1: x \ größer als 1: h] wie auch h gewählt sein mag, stets gibt es eine ganze Zahl l: derart, daß -f- 21cjt und um so mehr

13]

-f- 2kn

-\-rt(2Tc-{-1)tc größer als 1 :h ist. Im Intervalle liegen also stets Werte von der Form:

und x =

—|— (2 /c —|- 1) 7C

Für den ersten ist y gleich —1, für den zweiten gleich + 1. Wäre nun A der Grenzwert für x = 0, so müßte also sowohl | — 1 — A | als auch | -j- 1 — A | < 6 sein, wie klein auch 6 gewählt sein mag.

Einen derartigen Wert A gibt es jedoch nicht.

14. Grenzwert bei abnehmen-

-A

_JL

dem x. Nehmen wir jetzt an, y sei eine Funktion f(x) für solche Werte von x, die größer als ein bestimmter Wert a sind; dagegen sei y für x = a nicht definiert. Alsdann können wir entsprechend definieren:

'4

Definition: Eine Funktion f(x), die für Werte von x größer als a definiert ist, hat für den Wert x = a den Grenzwert A, wenn es stets, wie Mein man auch eine positive Zahl ö wählen mag, unmittelbar nach x = a ein nicht verschwindendes Intervall a < x < a + h gibt, innerhalb dessen f(x) überall von A um weniger als 6 abweicht, so daß für jedes x innerhalb dieses Intervalles | f(x) — A \ <6 ist.

Fig. 11.

1.    Beispiel: Es sei y = x³ für positive Werte von x. Wählen wir h < j/<?, wo <5 eine beliebig kleine positive Zahl sei, so ist A³< 6, also im Intervalle 0 < x < h auch | ic³ — 0 | < ö", d. h. y hat für x — 0 den Grenzwert A = 0.

2.    Beispiel: Ist y = \oc] die größte ganze in der positiven Zahl x enthaltene Zahl, und zwar für alle x > 2, so hat y für x — 2 den Grenzwert A = 2. Denn wenn wir h = 1 wählen, ist im ganzen Intervalle 2 < x < 2 + h überhaupt [#] = 2, also | [a;] — 2 | < 6 für beliebiges positives 6.

3.    Beispiel: Ist y = x sin# für x > 0, so hat y für x = 0 den Grenzwert A = 0, denn wenn h = \Y 6 \ gewählt wird, ist für alle x im Intervalle 0<#</*. auch ja:sin# — 0; < #²< h² = er.

4.    Beispiel: Ist ?/ = sin(l:#) für x > 0, so hat y für x = 0 lieinen Grenzwert, was sich ähnlich wie in Nr. 13 ergibt.

15. Grenzwert überhaupt. Im ersten und dritten Beispiele zeigte sich, daß die Funktionen y = #³ und y = x sin# sowohl bei wachsendem # als auch bei abnehmendem # jedesmal gleiche Grenzwerte für # = 0 haben. Im zweiten Beispiele jedoch ergab sich, daß y — [#] für bis # = 2 wachsendes # den Grenzwert 1, für bis # = 2 abnehmendes # den Grenzwert 2 hat. Im vierten Beispiele ergaben sich überhaupt keine Grenzwerte.

Ist nun y = fix) innerhalb eines Intervalles für # um einen gewissen Wert # = a herum definiert, so kann man sich dem Werte # = a sowohl mit wachsendem als auch mit abnehmendem # nähern. Nur wenn sich beide Male derselbe Grenzwert ergibt, sagen wir, daß die Funktion für x = a dort einen Grenzwert schlechtweg hat.

Definition: Eine Funldion f(x) hat an einer Stelle x = a einen Grenzwert A, wenn sie sowohl für ein #, das bis a wächst, als auch für ein #, das bis a abnimmt, eben diesen Grenzwert A hat.

Oder auch:

Definition: Eine Funktion fix) hat an einer Stelle x = a einen Grenzwert A, wenn stets, ivie klein man auch eine positive Zahl 6 wählen mag, ein nicht verschwindendes Intervall a — h <. x < a h um a herum vorhanden ist, innerhalb dessen die Funktion fix) überall von A um weniger als 6 abweicht, so daß für jedes x innerhalb des Intervalles, abgesehen von x = a, | f{x) — A | < o ist.

Man bezeichnet den Grenzwert alsdann, indem man vor /■(#) das Zeichen „lim“ (Limes, die Grenze) setzt und darunter angibt, für welchen Wert von # der Grenzwert gemeint ist. Nach dem ersten und dritten Beispiele in Nr. 13, 14 ist also:

lim #⁸ = 0

x = 0

lim# sin# = 0.

£ = 0

In dem Falle, wo eine Funktion f(x) verschiedene Grenz-

werte hat, je nachdem x wachsend oder abnehmend nach a strebt, bezeichnet man die Grenzwerte auch mit f(a — 0) und

/( a d~ 0).

16. Grenzwert einer Funktion von mehreren Ver

änderlichen. Ist y — f(xx, x₂, . . . xn) als Funktion von xx, x₂,... xn in einem gewissen Yariabilitätsbereiche der n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn definiert, so kann man auch hier ein bestimmtes Wertsystem xx = ax, x₂ = a₂, . . . xn = an ins Auge fassen. Man sagt dafür kurz: Man betrachtet eine Stelle x₁ = alf x₂ = a₂, . . . xn = an oder (ax, a₂, . . . an). Dann gilt die

Definition: Eine Funktion f(ccx, x₂,. . . xn) hat an einer Stelle xx — ax, x₂ = a₂, .. . xn = an einen Grenzwert A, wenn es stets, wie Mein man auch eine positive Zahl 6 wählen mag, derartige nicht verschwindende Intervalle

ax — h < xx < ax + li, a₂ — h < x₂ < a₂ + h usw.

gibt, daß für alle Werte von xx, x₂,... xn innerhalb dieser Intervalle, abgesehen vom Wertsystem ax, a₂,. . . an selbst, die Funktion f(xx, x₂, . .. xn) von A um weniger als ö almeicht: \f(xx, xs,...xn)-A\<0.

§ 4. Die Begriffe + oo und — oo.

17. Unendlicher Grenzwert bei endlichem x. Es

sei y = f{x) eine Funktion von x, die wieder wie in Nr. 13 definiert sei für x<Ca. Sie habe aber für x = a keinen bestimmten endlichen Grenzwert. Alsdann ist es denkbar, daß y, je näher x wachsend an a heranrückt, immer größere und größere Werte erhält; und wir sagen, daß f(x) für x = a den Grenzwert -f oo hat, wenn es stets zu jeder noch so groß gewählten Zahl N ein nicht verschwindendes Intervall a — h<Cx<Ca vor a gibt, in dem y überall größer als N ist.

Entsprechendes gilt, wenn x > a ist und abnehmend an a heranrückt.

Es kann auch Vorkommen, daß f{x), sobald sich x dem Werte a, sei es wachsend oder abnehmend, nähert, nur absolut genommen immer größere Werte erhält und stets negativ ist. Dann werden wir dementsprechend sagen, daß nicht +00, sondern — 00 der Grenzwert sei.

[15,16, 17

Wir definieren also so:

Definition: Eine Funktion fix), die für Werte von x

! ^    | als a definiert ist, erreicht an der Stelle x = a

l größer )

wachsendem

abnehmendem

mit

x den Grenzwert + oo bzw. — oo, je nachdem, wie groß man auch eine positive Zald N wählen mag,

| t0)\ | x = a ein Intervall l nach l

stets unmittelbar

f a — h < x < a\ \a < x < a + h\ vorhanden ist, innerhalb dessen fix) bzw. — f{x) überall größer als N ist.

\a

In dieser Definition entsprechen einander natürlich die Vorzeichen von oo ^ und von fix).

Hier schließt sich nun noch entsprechend wie in Nr. 15 die folgende Definition an:

Mg. 12.

Definition: Eine Funktion f(x) hat an einer Stelle x = a den Grenzwert + oo bzw. den Grenzwert — oo, je nachdem, ivie groß man auch eine positive Zahl N wählen mag, stets ein nicht verschwindendes Intervall a — h < x <C a E h um die Stelle x = a herum vorhanden ist, innerhalb dessen fix) bzw. — fix) überall größer als N ist.

1.    Beispiel: Die Funktion y = 1 : (x — a) ist für jedes x außer x = a definiert. Siehe Fig. 12. Nähert sich x dem

Mg. 13.

Werte a wachsend, so hat y für x = a den Grenzwert — oo, denn wenn N eine beliebig große positive Zahl und h eine positive Zahl kleiner als 1 : N bedeutet, ist im Intervalle a — h<x<Ca überall 0<a — x<Ch, mithin 1 : (a — x) oder —- y > 1 : h, d. h. — y)> N. Wenn dagegen x abnehmend bis a gelangt, ist der Grenzwert -f oo. Denn für jedes x im Intervalle a < x < a -f h ist 0 < x — a < h, d. h. y = 1: {x — a) > 1: h > N. Für x = a treten also die beiden Grenzwerte + oo auf.

2.    Beispiel: Die Funktion y — 1 : (a — xj² hat sowohl bei zunehmendem als auch bei abnehmendem x für x = a den Grenzwert -f- oo. Denn wenn wir h < 1 : j \/N j wählen, ist im Intervalle a — hC.xKa-fh überall (a — x)² < IV < 1: IV, d. h. y > .ZV. Siehe Fig. 13.

18. Endlicher Grenzwert bei unendlichem x. Für

beliebig große positive Werte von x sei eine Funktion y = f(oc) definiert. Dann fragt es sich, ob y einem Grenzwerte A zustrebt, wenn x über jede Zahl wächst. In diesem Falle fordern wir naturgemäß, daß y von A um beliebig wenig abweichen soll, wenn nur x hinreichend groß gewählt wird. Entsprechendes gilt, wenn y = f(x) für zwar absolut genommen beliebig große, aber negative Werte von x definiert ist.

Definition: ■ Eine Funktion f(x), die für beliebig große positive Werte von x oder aber für absolut genommen beliebig große, aber negative Werte von x definiert ist, hat für x = + oo bzw. für x = — oo einen bestimmten endlichen Grenzwert A, wenn es stets, wie klein man auch eine positive Zahl 6 wählen mag, einen positiven bzw. negativen Wert n derart gibt, daß f(x) für jedes x größer bzw. Heiner als n von A um iveniger als 6 abweicht: \f(x) — A\ < 6.

Beispiel: Es sei gegeben:

i*4

Wenn n positiv ist, wird für jedes x > n, oder, wenn n negativ ist, für jedes x < n auch x² > ri\ sobald \n\ > 1 ist, folglich:

\y-!| =

Bedeutet nun <5 eine beliebig klein gewählte positive Zahl und wird im Falle n > 0:

VI-

im Falle n < 0:

— oo

gewählt, so ist für jedes x > n bzw. für jedes x < — n auch \y — 1| < (?, d. h. y hat für x = -j- oo und für x =

den Grenzwert 1. Siehe Fig. 14, wo dies bedeutet: Ziehen wir zur «-Achse parallele Geraden mit den Ordinaten 1 ± <?, so verläuft die Bildkurve stets, wie klein auch <? gewählt sein mag, für alle «, die absolut genommen größer als \]/l : 6 — l| sind, in dem Streifen zwischen beiden Geraden.

Fig. 14.

19. Unendlicher Grenzwert hei unendlichem x. Gibt es keinen endlichen Grenzwert wie in Nr. 18 für x = oo oder x = — oo, so kann es sein, daß die Funktion f(cc) nach -f- oo oder — oo strebt. Wir sagen nämlich:

Definition: Eine Funktion fix) hat für x = j ^ |

den Grenzwert -f- oo bzw. — oo, wenn es stets, wie groß man auch eine positive Zahl N wählen mag, einen

| positiven

Wert n

als n

derart gibt, daß fix) bzw. — fix) für jedes x größer als N ist.

Aber ebenso, wie es Vorkommen kann, daß eine Funktion für ein endliches x weder einen bestimmten endlichen Grenzwert noch den Grenzwert -f- oo oder — oo hat, kann es auch sein, daß sie für x = + oo oder x = — oo weder einen endlichen Grenzwert A noch den Grenzwert + oo oder — oo hat. So ist es z. B. bei der Funktion sin«, von der für « = ± oo dasselbe gilt wie von der Funktion sin(l:«) für « = 0 (vgl.

4. Beispiel, Nr. 13 und 14).

Da hier die Symbole -f- oo und — oo aufgetreten sind, ist hervorzuheben, daß sie nicht alle Rechenregeln erfüllen, die für Zahlen gelten. Ist z. B. a endlich, so folgt aus a -\-b = a notwendig b — 0. Dies folgt jedoch nicht aus oo 4- b = oo. Wenn im folgenden Zahlen oder Buchstaben a, b, . . . benutzt werden, sollen die Symbole + <x> und — oo stets ausgeschlossen sein.

§ 5. Stetigkeit.

20. Stetigkeit von Funktionen einer Veränderlichen. Wenn wir auch in Nr. 13 zunächst voraussetzten, daß

18, 19, 20] die betrachtete Funktion f(x) für denjenigen Wert x = a, für den wir ihren Grenzwert untersuchten, nicht definiert sei, können wir doch auch an jeder Stelle x, wo fix) definiert ist, nach dem Grenzwerte lim f(x) fragen. Er braucht durchaus nicht mit dem Werte, den f(x) selbst an der fraglichen Stelle hat, übereinzustimmen, da er sich ja nicht aus diesem Werte, sondern aus denjenigen Werten ergibt, die der Funktion meinem Intervalle vor bzw. nach der betrachteten Stelle zukommen.

Wir können z. B. eine Funktion fix) so definieren: Ihr Wert soll für irgendein x gleich xs sein, nur für x = 0 soll ihr Wert gleich Eins sein. Da dann für jedes x der Funktionswert definiert ist, liegt tatsächlich nach Nr. 6 eine Funktion vor. Nun ist aber lim x* = 0 für x — 0, vgl. Nr. 15, während die Funktion für x — 0 nach Definition den Wert Eins hat. Der Grenzwert der Funktion für x = 0 stimmt also nicht mit dem Funktionswerte für x = 0 überein.

Wenn wir wie in Nr. 15 unter dem Grenzwerte A von f(x) an einer Stelle x = a denjenigen Grenzwert verstehen, der sich in gleicher Weise ergibt, ob x bis a zu- oder abnimmt, so werden wir nun die Stetigkeit der Funktion definieren, indem wir bedenken, daß durch sie der Zusammenhang der Werte der Funktion für verschiedene unmittelbar benachbarte Werte von x zum Ausdrucke gebracht werden soll. Wir sagen:

Definition: Eine Funktion fix), die in einem, Intervalle definiert ist, heißt an einer Stelle x = a innerhalb dieses Intervalles stetig, wenn sie erstens für x = a einen bestimmten endlichen Grenzivert hat und wenn zweitens dieser Grenzwert übereinstimmt mit demjenigen Werte f(a), der der Funktion an der Stelle x = a vorgeschrieben ist:

lim f(x) — f(a).

Erinnern wir uns an die in Nr. 15 gegebene Definition des Grenzwertes, so folgt:

Satz 3: Ist eine Funktion f(x) in einem Intervalle definiert, so ist sie an einer Stelle x = a innerhalb des Intervalles dann und nur dann stetig, wenn es stets, wie klein man auch eine positive Zahl cs wählen mag, ein Intervall a-h<ix<Za-\- h

[20

um a herum derart gibt, daß für jedes x innerhalb dieses Intervalles

\f(x) — f(a) | < ö,

aber h =j= 0 ist.

Umgekehrt kann man diesen Satz als Definition der Stetigkeit benutzen und alsdann die vorher gegebene Definition als Folgerung daraus ableiten. Aus diesem Satze folgt, daß die Bildpunkte der Funktion f(x) in der Umgebung einer Stelle x = a, wo die Funktion stetig ist, so liegen: Wählen wir 6 beliebig klein und ziehen wir diejenigen Parallelen zur a>Achse, deren Ordinaten gleich f(a) -f- <3 und f(a) — <3 sind, so gibt es stets eine positive Zahl h derart, daß alle Bildpunkte, die sich für a — Ä < a: < « + A ergeben, innerhalb des von jenen beiden Geraden bestimmten Streifens liegen, siehe Fig. 15. Anders ausgedrückt: Ziehen wir noch die Parallelen zur y- Achse mit den Abszissen a — h

->• und a -f- h, so erhalten wir ein Rechteck

Zh

Fig. 15.

(in der Figur schraffiert), innerhalb dessen alle erwähnten Bildpunkte liegen. Wie klein man die Höhe 2<J des Rechtecks wählen mag, stets gehört dazu eine von Null verschiedene Breite 2h des Rechtecks.

21. Sätze über stetige Funktionen von einer Veränderlichen. Da (3 in dem Satze der vorigen Nummer beliebig klein gewählt werden kann, weicht f(x) beliebig wenig von f(a) im Intervalle a — h < x < a -f- h ab. Ist insbesondere /■(a)4=0, so können wir 6 kleiner als den absoluten Betrag von f(a) annehmen, so daß folglich f(x) im Intervalle a — h < x < a + h dasselbe Vorzeichen wie f(a) hat. Daher:

Satz 4: Ist f(x) an einer Stelle x = a stetig und überdies von Null verschieden, so gibt es ein nicht verschwindendes Intervall a — h x <i a j- h um x = a herum, innerhalb dessen fix) überall dasselbe Vorzeichen wie f(a) hat.

Wenn nun ffx) wieder in einem gewissen Intervalle stetig ist, aber an zwei Stellen x₀ und xx des Intervalles verschiedene Vorzeichen hat, läßt sich beweisen, daß fix) zwischen x0 und xx an mindestens einer Stelle gleich Null ist. Wenn wir nämlich das Intervall von x₀ bis xx halbieren, kommen wir 20, 21] za einem Werte x₂. Da die Behauptung im Falle f(x₂) — 0 erfüllt wäre, nehmen wir f(%₂) =f= 0 an, so daß f'(x₂) entweder dasselbe Vorzeichen wie f(x₀) oder dasselbe wie fixf) hat. Eine der beiden Intervallhälften ist demnach wieder so beschaffen, daß f(x) an ihren Enden verschiedene Vorzeichen annimmt. Auf diese Hälfte läßt sich derselbe Schluß wie soeben anwenden, usw. So geht eine endlose Folge von nach Null strebenden Intervallen hervor, von denen jedes folgende in dem vorhergehenden enthalten ist. Diese Folge definiert nach Nr. 2 und 3 eine Zahl x, d. h. eine allen Intervallen der Folge gemeinsame Stelle x. Nach Satz 3 von Nr. 20 gibt es nun zu einer beliebig klein gewählten positiven Zahl a ein Intervall um x herum derart, daß f(x) darin überall um weniger als 6 von f(x) abweicht. Dies gilt insbesondere von einem hinreichend kleinen Intervalle aus der endlosen Folge. Wäre nun fix) 4= 0, so könnten wir 6 < | f(x') | annehmen, so daß f(oc) an beiden Enden dieses Intervalles dasselbe Vorzeichen wie f{x) haben müßte. Vorhin aber erkannten wir, daß f{x) an beiden Enden verschiedene Vorzeichen hat. Die Annahme fix) 4= 0 ist daher falsch. Mithin muß f(x) — 0 sein. Es gibt demnach wenigstens eine Stelle im Intervalle xü < x < xlf an der fix) = 0 wird.

Dies Ergebnis läßt sich sofort verallgemeinern: Wenn fix) wieder im Intervalle x₀ <i x xx stetig ist und fix₀) und fixf) irgendwelche Werte A und B haben und wenn außerdem C eine zwischen A und B gelegene Zahl bedeutet, ist die Funktion fix) — C im Intervalle stetig und für x = x₀ von entgegengesetztem Vorzeichen wie für x = x₁. Somit gibt es wenigstens eine Stelle im Intervalle, wo fix) — C — 0, also fix) = G wird. Mithin gilt der

Satz 5: Eine im Intervalle x₀ <[ x <i xx stetige Funktion fix) von x nimmt jeden zwischen fix₀) und fixf) gelegenen Wert wenigstens von einer Stelle im Intervalle an.

Alle Zahlen zerfallen in zwei Klassen: Die eine enthält alle Werte, die fix) nirgends im Intervalle überschreitet, die andere alle Werte, die fix) im Intervalle überschreitet. Jede Zahl der ersten Klasse ist größer als jede der zweiten. Nach Nr. 2 bestimmen beide Klassen daher eine Zahl M als Grenze zwischen beiden Klassen. Sie ist die obere Grenze aller Werte, die f{x) im Intervalle annirnmt. Es gibt also wenigstens eine Stelle x im Intervalle derart, daß f(x) auch in einem beliebig kleinen Intervalle um x herum die obere Grenze M hat. Nach

Nr. 15 existiert also zu einer beliebig kleinen positiven Zahl 6 ein Intervall x — h < x < x -f h derart, daß darin | f(cc) — M | < 6 wird. Andererseits läßt sich dies Intervall wegen der Stetigkeit so klein machen, daß darin | f(x')—f(x) | < <? wird. Da f(x) — M die Summe von f(x) — M und von fix') — f(x) ist, folgt also nach Satz 2, Nr. 4, daß \f(x') — M\ <26 ist, d. h. f(oc) hat an der Stelle x den Grenzwert M. Entsprechende Schlüsse lassen sich auch für die untere Grenze aller Werte von f(x) im Intervalle x₀ <i x ^ xx machen. Dies gibt den

Satz 6: Ist f(x) eine im Intervalle xQ x <i xx stetige Funktion von x, so gibt es einen größten und einen kleinsten Wert, den die Funläion im Intervalle an ivenigstens je einer Stelle erreicht.

22. Stetigkeit von Funktionen von mehreren Veränderlichen. Die Definition der Stetigkeit läßt sich, vgl. Nr. 16 und 20, unmittelbar so verallgemeinern:

Definition: Eine Funläion f(xlfx%,...xw), die für alle Wertsysteme xx, x₂,.. . xn innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches definiert ist, heißt an einer Stelle xx — ax, x% = a₂, . . . xn = an innerhalb des Variabilitätsbereiches stetig, wenn sie dort erstens einen bestimmten endlichen Grenzwert hat und wenn zweitens dieser Grenzwert übereinstimmt mit demjenigen Werte f(ax, a₂, . . . an), der der Funktion an dieser Stelle vor geschrieben ist: lim f(xx, x₂,... xn) = f{ax, a₂, . . . an) für xx = ax, z₂ = a,,,. . ..

Hieraus folgt:

Satz 7: Ist eine Funktion f(xx, x₂,... xn) innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches definiert, so ist sie an einer Stelle Xx — ax> x₂ = a₂, . . . xn — an innerhalb des Bereiches dann und nur dann stetig, wenn es stets, wie klein man auch eine positive Zahl 6 wählen mag, nicht verschwindende Intervalle

ax — h < xx < ax -f- h, a₂ — h < x₂ < a₂ + h usw.

derart gibt, daß für jedes Wertsystem xx, x₂, . . . xn innerhalb dieser Intervalle

ist.

\f(xx, x₂,... xn) - f(ax, a₂,. . . an) | < a

Im Anschlüsse hieran wollen wir den folgenden allgemeinen Satz beweisen.

Satz 8: Sind f\, f₂, ■ • ■ fm Funktionen von x1} x₂, .. . xn, die an einer Stelle xl = a1} x₂ = a₂,. . . xn = an stetig sind und die Werte b1} b₂, . . . bm annehmen, und ist F eine Funktion von yx, y₂₎... ym, die an der Stelle yx = bx, y₂ = b₂, ... ym = bm stetig ist, so ist auch F(fx, f₂, ... fm) eine Funktion von xx,x₂, . . . xn, die an der Stelle xx = al; x₂ = a₂,. . . xn = aH stetig ist.

Ist nämlich 6 eine beliebig klein gewählte positive Zahl; so gibt es eine positive Zahl k derart, daß

I F(vu • • ■ yJ - F(\> ■■■K)\<ß

wird für jedes Wertsystem der y, das den Bedingungen genügt: \yx - bx\<k, ...\ym-bm\<k.

Aber jedes yi=fi(xx,... xn) ist an der Stelle xx = ax, ...xn = an stetig und nimmt dort den Wert bi an. Also gibt es eine positive Zahl h derart, daß

wird, sobald

\fi(xx,... xn) - f{(ax,.. . an)\<k

\xx-ax\<h, ...\xn-an\<h

jeder beliebig kleinen positiven Zahl

es zu

ist. Folglich gibt <3 eine positive Zahl h derart, daß:

I F(fx(x),... fm(x)) - F(fx{a),.. . fm{aj) \ < <? wird für jedes Wertsystem der x, das den Bedingungen \xx — ax\<h, . , | xn — ä „| < h genügt. Hiermit ist der Satz bewiesen.

23. Beispiele von stetigen Funktionen.

Satz 9: Bas Produkt von x und einer Konstante C, also Cx, ist für jeden Wert x eine stetige Funktion von x.

Die Kurve y = Cx ist eine im Winkel arctgC gegen die positive Richtung der £-Achse geneigte gerade Linie, die an keiner Stelle eine Unstetigkeit aufweist. Der Beweis für den

³    [22, 23

Serret-Scheffers, Diff.-u. Integr.-Rechn. I. 6.u. 7.Aufl.

Kap. I. Einleitende Begriffe

84

Satz liegt darin, daß lim Cx = Ga für lim x = a ist. Um aber dies zn erkennen, braucht man nur eine positive Zahl h so zu finden, daß | Cx — Ca | = | C(x — a) kleiner wird als irgendeine vorgegebene positive Zahl o, wenn nur a-h<x<Ca-{-h ist. Eine solche Zahl h ist die Zahl 6 : \ C\.

Satz 10: Eine Konstante C ist für jeden Wert x eine stetige Funktion von x.

Die Bildkurve ist hier die Parallele zur a:-Achse mit der Ordinate C.

Satz 11: xx + x₂ ist an jeder Stelle eine stetige Funktion von xx und x₂.

Geometrisch wird der Verlauf der Funktion y = xx + x2 durch eine Ebene dargestellt, die durch den Anfangspunkt ö hindurchgeht und gegen die Achsen in leicht zu bestimmender Weise geneigt ist. Die Anschauung läßt an keiner Stelle der Ebene eine Unstetigkeit erkennen. Zum Beweise des Satzes verstehen wir unter 6 eine beliebig kleine positive Zahl und setzen h = Dann wird für jedes Wertepaar xlf x₂, das den Bedingungen xx — a₁ <.h, | x₂ — a₂ | < h genügt, nach Satz 2 in Nr. 4:

| (xx + x₂) — (ax -f af) | ^ | xx — ax \ -[-1 x₂ — a₂1 < 2h = <?. Satz 12: Sind fx(pcx,... xn) und f₂(xx,... xn) an einer Stelle xx = ax, .. . xn = an stetig, so gilt dasselbe von ihrer Summe fx(xX) ... xn) + f₃(xx,... xj.

Setzt man nämlich:

& • • •

\ = AOi; • • •

und

F(ih, yf) = yi+ y₂,

so sind laut Annahme fx und f₂ an der Stelle xx = alf ... xn — an

stetig und nehmen dort die Werte bx, b₂ an. yx + y₂ ist aber nach dem vorigen Satze an der Stelle yx — bx, y₂ = b₂ stetig. Also gelten die Voraussetzungen von Satz 8 in Nr. 22, und es folgt, daß auch

F(fit ff) fi + fs

an der Stelle xx = ax, ... xn — an stetig ist.

Satz 13: Sind fx, f₂,... fm an einer Stelle xx = ax,... xn = an stetig, so gilt dasselbe von ihrer Summe fx + ft + • • • + fm.

»3]

Ist der Satz bereits für fX) f₂, . . . fm

bewiesen, so weiß man, daß fx -f- f₃ -f • • • -)- fm_x an der Stelle xx = ax, ...xn = an stetig ist. Dasselbe gilt von fm, also nach Satz 12 auch von fi + fa + * * * + fm-i + fm- Nun war der Satz für m = 2 schon bewiesen,, also gilt er auch für m = 3 usw.

Satz 14: Bas Produld xxx₂ ist an jeder Stelle eine stetige Funktion von xx und x₃.

-i

Zunächst nämlich ist unmittelbar klar, daß xxx₃ an der Stelle xx — 0, x₂ = 0 stetig ist. Denn setzt man h = | ]/ 6 \, so wird \xxx₂\<.6 für jedes Wertepaar x1} x₃, das den Bedingungen j xx , < h, J #₂; < genügt. xxx₃ ist aber auch an jeder anderen Stelle xx = al} x₂ = a₂ stetig. Denn das Produkt (xx — ax) (x₂ — a₃) ist an dieser Stelle stetig; nach Satz 9 sind aber auch axx₃ und a₃xx, nach Satz 10 auch — axa₂ an derselben Stelle stetig. Also ist nach Satz 13 auch die Summe

xxx₂ = {xx — ax) (x₃ — a₃) + axx₃ -f- a₂xx — axa3 an derselben Stelle stetig.

Mit Hilfe von Satz 8 in Nr. 22 schließt man wie nach Satz 12: Satz 15: Sind fx(xx,... xn) und f₂(xx,... xn) an einer Stelle xx = alf. . . xn = an stetig, so gilt dasselbe von ihrem Produkte

/iOi, •••*-)• f*(xi> * • • *»)•

Und durch denSchluß von m auf m-f 1 ergibt sich wie Satz 13: Satz 16: Sind fx, f₃, . .. fm an einer Stelle xx = ax,... xn = an stetig, so gilt dasselbe von ihrem Produkte fx f₂... fm ■

Da eine Konstante C ebenso wie xx, x₂₎ . . . xn für alle Stellen xx = ax, ... xn — an stetig ist, gilt dasselbe von einem Produkte von beliebig vielen dieser Funktionen:

Cx*' x%*. .. x“™,

wenn ux, cc₃,... an positive ganze Zahlen bedeuten. Addiert man eine endliche Anzahl von derartigen Produkten, so entsteht nach Satz 13 eine stetige Funktion der x, und zwar nach Nr. 6 eine ganze rationale Funktion. Also:

Satz 17: Eine ganze rationale Funktion von mehreren Veränderlichen ist überall stetig.

Ferner gilt der

Satz 18: Die Funktion 1 : x ist überall mit Ausnahme der Stelle x == 0 stetig

3*

[*3

— > —-— x a -\-h

Wir brauchen diesen Satz nur für x = a > 0 zu beweisen, denn wenn a negativ ist, beweisen wir ihn zuerst für die Funktion — 1 : x und positives x. Ist nun a > 0 und bedeutet 6 eine beliebig klein gewählte positive Zahl, so nehmen wir

a*<>

1 -f- aa’

also positiv, an. Dann ist a — h = a : (1 -f- ad) > 0, d. h. das Intervall a — h <i x <C a h enthält nur positive Werte von x. Deshalb ist in ihm auch

¹ <r ¹

x<a-h

Wegen des gewählten Wertes von h folgt hieraus:

— o

1 —2 aa

Da 1 + 2au > 1 ist, wird der absolute Betrag des letzten Bruches kleiner als 6. Also ist für jedes x im Intervalle a — h < x < a + h:

und

1 1 ^ , 1

---<0 und —

x a    x

«i i--

! — -i <*.

i    «

Für a = 0 dagegen versagt der Beweis.

Satz 19: Ist f{xx, x₂,... xn) an der Stelle x₁ = a₁,... xn = an stetig und von Null verschieden, so gilt dasselbe von dem reziproken Werte 1 : f(xx, x₂,. . . xn).

Der Satz folgt sofort aus Satz 18 un-d Satz 8 in Nr. 22.

Ist f(xt, . . . xn) eine ganze rationale Funktion, so ist daher 1 : f nach Satz 17 stetig an allen Stellen, an denen f nicht gleich Null ist. Ist g(xt, . . . xn) eine zweite ganze rationale Funktion, so ist diese überall stetig. Also ist nach Satz 15 das Produkt g . (1 : f), d. h. der Bruch g : f stetig an allen Stellen, an denen f nicht verschwindet. Daher:

Satz 20: Eine gebrochene rationale Funktion von mehreren Veränderlichen ist stetig an allen Stellen, an denen ihr Nenner nicht verschwindet.

Wir behaupten ferner:

Satz 21: Wenn eine Funktion fix), während x alle Werte des Intervalles a <ix <Lb durchläuft, alle Werte von A bis B annimmt, dabei stets bestimmte endliche Werte hat und überdies stets zunimmt, ist sie stetig an jeder Stelle innerhalb des Intervalles von a bis b.

Sind nämlich x₀ und xt > x₀ irgend zwei Stellen im Innern des Interyalles von a bis b, so bilde man die nach Voraussetzung positive Differenz

fM ~ f(xo) = t-

Ist nun 6 eine beliebig klein gewählte positive Zahl, so kann erstens x <? sein. Alsdann ist bereits 0 < f(x) — f(%₀) < für jedes x im Intervalle xQ<C% <lxx. Ist dagegen zweitens x > <?, so wird nach Voraussetzung, während x alle Werte von x₀ bis xl durchläuft, f(x) — f(x₀) beständig wachsend alle Zahlen von 0 bis x passieren. Für eine bestimmte Stelle x = x₀ -f- \ zwischen x₀ und xt wird daher jene Differenz einmal den Wert 0 annehmen, und für jedes x im Intervalle x₀<x<x₀A\ ist dann wieder 0 < f(x) — f(x ₀) < <?. Betrachtet man eine Stelle x₂ < x₀, so findet man ebenso: es gibt eine positive Zahl h₂, so daß 0 < f(x₀) — f(x) < <5 ist für jedes x im Intervalle x₀ — h₂ < x < x₀. Nimmt man nun h gleich der kleineren der beiden Zahlen ht und Ji₂ an, so ist folglich in der Tat

\f{x) — f(x₀) | < 0

für jedes x im Intervalle x₀ — h < x < x₀ + h.

Ersetzt man f(x) durch —fix), so ergibt sich sofort:

Satz 22: Wenn eine Funktion f(x), während x alle Werte von a bis b durchläuft, alle Werte von A bis B annimmt, dabei immer bestimmte endliche Werte hat und überdies stets abnimmt, ist sie stetig an jeder Stelle innerhalb des Intervalles von a bis b.

Aus den beiden letzten Sätzen ergibt sich nach Nr. 8:

Satz 23: Die stets positive Funktion ax ist überall stetig, vorausgesetzt, daß a eine positive Zahl ist.

Ist nämlich a == 1, so ist die Funktion konstant, nämlich gleich Eins; wir kommen dann auf Satz 10 zurück.

Ist dagegen «=(= 1, so gilt für jedes noch so große Intervall, in dem man x variieren läßt, der Satz 21 oder 22. Denn für a > 1 wächst ax beständig, es gilt also Satz 21; ist a < 1, so nimmt ax beständig ab, es gilt also Satz 22.

Satz 24: Die Funktion sin x ist überall stetig.

Denn im Intervalle von 0 bis wächst der Sinus, es gilt Satz 21; von -\n bis n nimmt der Sinus ab, es gilt Satz 22.

sin® cos®

Der Sinus ist also an jeder Stelle zwischen 0 und \n und zwischen und % stetig. Er ist aber auch an der Stelle x = \n stetig, denn sin x hat den Grenzwert Eins sowohl, wenn x bis wächst, als auch, wenn x bis ^n abnimmt, während auch sin \n = 1 ist. Ebenso erkennt man, daß der Sinus für x = 0 und x = n stetig ist. Die Formeln

sin (2kn — x) — — sin x, sin (x -f 27cir) = sin x, in denen k eine ganze Zahl bedeutet, lehren jetzt, daß der Sinus auch für alle anderen, aus dem Intervalle 0 <1 x <[ n heraustretenden Werte x stetig ist.

Satz 25: Die Funktion cos x ist überall stetig.

Denn es ist cos x <= sin (\-n — x).

Satz 26: Die Funktion tg x ist stetig an jeder Stelle, die von l-7t -f kn verschieden ist; die Funktion ctg x ist stetig an jeder Stelle, die von kit verschieden ist. Dabei bedeutet k eine beliebige ganze Zahl.

Denn es ist:

.    cos®

, ctg X = .--

’    ® ein®

tg# =

Der Bruch von zwei stetigen Funktionen ist nach Satz 15 und 19 stetig an jeder Stelle, an der der Nenner nicht gleich Null ist; cos x wird aber gleich Null nur für x = \:n kn und sin x nur für x = kn.

Satz 27: Die Funktion “log x ist für jedes positive x stetig.

Ist nämlich zunächst a > 1, so nimmt “log x nach Nr. 11 wachsend alle reellen Zahlwerte an, wenn x von Null wachsend alle positiven Zahlen durchläuft. Es findet also Satz 21 Anwendung. Ist a < 1, so gilt Satz 22.

Satz 28: Die zyklometrischen Funktionen sind stetig für alle Werte x, für die sie definiert sind.

Dieser Satz ergibt sich sofort durch Anwendung der Sätze 21 und 22, wenn die zyklometrischen Funktionen zunächst im engeren Sinne so wie in Nr. 12 definiert werden. Da die übrigen Werte der zyklometrischen Funktionen aus diesen nach Nr. 11 durch Addition ganzer Vielfacher von % und eventuelle Multiplikation mit — 1 hervorgehen, gilt der Satz folglich für jedes der Intervalle, die man den Funktionen nach Nr. 12 vorzuschreiben hat.

§ 6. Das Rechnen mit Grenzwerten.

24. Rechenregeln für den Limes. Ist F eine Funktion von yuy₂, ... ym, die an der Stelle yx = bx, . . . ym = b,n stetig ist, so ist an dieser Stelle nach Nr. 22:

lim F(yx, yif .. . yj = F(bit bt, . .. bj.

Sind nun die y ihrerseits Funktionen von xx, ... xn:

Vx = fx(XX, • • • Xn)> • • • Vm = fm(XX> • • • Xn), die an der Stelle xx = ax, . . . xn = an die Grenzwerte bx, b₂, . . bm haben, so ist für alle f an dieser Stelle:

lim ft(xlf . . . xn) = bt

und daher: lim F(yx, . . . ym) = F(lim fx, ... lim fj

oder auch:

lim F(ft, ... fj - FQim ft, ... Um fj.

Die Limites beziehen sich jetzt auf beiden Seiten darauf, daß die Stelle (xx, . . • xn) in die Stelle (ax, ... an) hineinrücken soll. Es gilt also der

Satz 29: Wenn m Funktionen fx(xx,... xn),... fm(xx,... xn) an einer Stelle xx = ax,... xn = au bestimmte endliche Grenzwerte bx, ...bm haben und F(yx,... ym) als Funktion der y an der Stelle Hx ⁼ \ > • * • Vm ^ bm stetig ist, wird an der Stelle xx = ax,... xn = an auch lim F(fx, . . . fj - F(lim fx, ... lim fm).

Man kann also das Limeszeichen vor F durch die Limeszeichen vor fx, f₂, ... fm ersetzen und umgekehrt.

Ist z. B. F = yx + y₂, so folgt:

lim (fx + ft) = lim fx + lim ftt

in Worten:

Satz 30: Wenn fx (xx,. .. xn) und f₂(xx,... xn) an einer Stelle xx = ax, . . . xn = an bestimmte endliche Grenzwerte haben, ist dort der Grenzwert der Summe von fx und f₂ gleich der Summe der Grenzwerte von /j und f₂.

Unter derselben Voraussetzung ergibt sich:

lim (C . f) = C . lim f,

wo C eine Konstante bedeutet, ferner:

lim (/; . ff) = lim fx . lim f₂,

in Worten:

Satz 31: Der Grenzwert eines Produktes ist gleich dem Produkte der Grenziverte der Faktoren.

Wenn außerdem lim f₂ ={= 0 ist, kommt auch: ,. /i lim f

in Worten:

Satz 32: Der Grenzwert eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte von Dividend und Divisor. Überhaupt gilt nach Satz 17 in Nr. 23 der Satz 33: Wenn /j, fi}... fm an einer Stelle xl = al, ... xn «= an bestimmte endliche Grenzwerte haben und F eine ganze rationale Funktion von ft, ft, ... f bedeutet, ist

lim F(fit . . . fm) = F(lim f, . . . lim fj.

25. Bestimmung' des Grenzwertes durch Einengung. Von Wichtigkeit ist der folgende Satz, den wir der Bequemlichkeit halber nur für Funktionen von nur einer Veränderlichen aussprechen, obwohl es augenscheinlich ist, daß er ebenso für beliebig viele Veränderliche gilt.

Satz 34: Ist lim f(x) = A und lim g(x) = A für x = a und außerdem f(x) Sj cp (x) <L g (x) für alle Werte von x in einem, Intervalle a — h x <C a p h, so ist auch lim cp{x) = A für x = a.

Nach Voraussetzung nämlich ist für ein beliebig kleines positives 0:

\f(x) — Ä\<0,    'g(x) — A \<6

für jedes x innerhalb eines Intervalles a — k < x < a p k, wo 0 < k < h ist. Für jedes derartige x ist also

— (J < f{x) — A<p <5,    — Ö < g(x) — A < + 6.

Aber aus

f(x) £ <p(x) < g(x)

folgt:

f(x) — A<fcp(x) — g(x) — A.

Demnach ist auch

oder:

— 6 <i (p{x) — A <. P 6 lim cp{x) = A.

24, 25J

26. Anwendung. Wie man durch Vergleichung der Inhalte des zu dem Bogen x gehörigen Kreissektors in Fig. 3,

S. 15, und der von den Strecken sin x und tg x begrenzten rechtwinkligen Dreiecke erkennt, ist für 0 <jj x < -\n:

sin x cos x <1 x <[ tg x und daher, weil sin x positiv ist:

/ X >    1

COS X < —— <--

■= sin x — cos®

Ist dagegen — \jt < x <1 0, so gelten die umgekehrten Zeichen. Da aber lim cos x = 1 und lim(l : cos x) = 1 ist, folgt:

x = 0

sin®

* = o^~

lim t~~ = 1 oder lim

x = 0a™X

Ferner ist

und daher:

tg x sin x

• cos x

• lim cos x,

x    x

lim t— = lim —— .

x = 0tSX x = 0BmX x

woraus folgt:

oder lim

lim x~ == 1 * = 0^*

Zweites Kapitel.

Differentialquotient einer Funktion von einer Veränderlichen.

§ 1. Die abgeleitete Funktion.

Q\

p p'

Fig. 16.

27. Definition der Ableitung. Gegeben sei eine Funktion fix), die für alle Zahlen x in einem bestimmten Intervalle definiert ist. Fig. 16 mag den Verlauf der Funktion geometrisch versinnlichen. Ist #(= OP) ein bestimmter Wert der unabhängigen Veränderlichen, so ist f(x) (= PM) der zugehörige Funktionswert. Lassen wir jetzt x um eine (positive oder negative) Zahl zunehmen, etwa um h (= PP ), so wird f{x + h) (= P'M') der zu x + h (== OP') gehörige Funktionswert sein. Der Zunahme h (= MQ) der unabhängigen Veränderlichen x entspricht also die Zunahme fix -f- h) — f(x) (= QM') des Funktionswertes. Der Quotient beider Zunahmen:

QM' _ f(x ~f h) — fix)

MQ

ist eine gewisse Funktion Fix, h) der beiden Veränderlichen x und h und bedeutet den Tangens des Winkels, den die Sehne MM' mit der positiven Richtung der Abszissenachse bildet. Hat nun Fix, h), als Funktion von h betrachtet, an der Stelle h — 0 einen bestimmten endlichen Grenzwert, so wird dieser eine Funktion f\x) von x allein:

lim Fix, h) = f\x). h = o

Dieser Grenzwert heißt die abgeleitete Funktion oder Ableitung der Funktion f(x) und wird allgemein mit f'{x) bezeichnet.

Geometrisch gibt er den Tangens des Winkels an, den die sogenannte Tangente MB im Punkte M der Kurve mit der positiven Richtung der #-Achse bildet. Denn wenn sich h der Null nähert, rückt M' nach M, und die Gerade, auf der die Sehne M'M liegt, dreht sich um M, bis sie in eine Grenzlage MB kommt, die man eben die Tangente von M nennt.

Man definiert also:

Definition: Hat an einer bestimmten Stelle x der Quotient von f(x -f- h) — f(x) und li für den Wert h = 0 einen Grenzwert

f' (x) = lim

f(x + h)-f(x)

so heißt dieser die Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x.

mJ',

Nach dem, was in Nr. 15 über den Begriff des Grenzwertes gesagt wurde, ist es selbstverständlich, daß sowohl, wenn h von einem positiven Werte aus abnehmend zu Null wird, als auch, wenn h von einem negativen Werte aus A wachsend zu Null wird, der Quotient einen bestimmten und jedesmal denselben Grenzwert haben soll. Dies läuft darauf hinaus, daß — unter h eine positive Zahl verstanden — die beiden Ausdrücke

f(x + h)-f(x)

und

P %

Fig. 17.

für bis Null abnehmendes h denselben Grenzwert haben sollen.

Liegt z. B. eine Linie vor, die etwa wie in Fig. 17 im Punkte M eine Ecke hat, so hat sie in diesem Punkte nicht eine bestimmte Tangente, vielmehr wird hier zu unterscheiden sein zwischen einer Tangente zur Rechten MBX, die aus der Sehne MMX entsteht, wenn Mx nach M hineinrückt, und einer Tangente zur Linken MB₂, die aus der Sehne MM₂ hervorgeht, wenn M₂ nach M hineinrückt.

Im folgenden werden nun, solange nicht das Gegenteil ausdrücklich gesagt wird, immer nur solche Funktionen von x betrachtet werden, die mindestens für ein Intervall x₀ x X die folgende Forderung erfüllen:

Forderung 51: Die Funktion f(x) hat an jeder Stelle x des Intervalles x₀ <L x <j X nicht nur seihst einen bestimmten endlichen Wert, sondern auch eine bestimmte endliche Ableitung.

Wir werden sehen, daß für die einfacheren Funktionen wie xn, sin x usw. die Forderung 51 immer erfüllt ist.

Es gilt der

Satz 1: In einem Intervalle, in dem eine Funktion f(x) die Forderung 51 erfüllt, ist sie auch stetig.

Denn wenn f (x) an der Stelle x — a einen bestimmten endlichen Wert hat, ist

lim

A = 0

f(a + h)-f(a)

= /•'(«)

und mithin infolge des Satzes 29 in Nr. 24:

lim {f(a + h) — f{a)} = lim [

A = 0    A = 0

f(a -f Ä) - f(a)

•*)

= lim

h = o

• lim h = f (a) ■ lim h — 0.

A = 0

Also kommt:

lim f(a + h) = f(a), a = o

und da f(a) endlich sein soll, ist somit f(x) nach Nr. 20 an der Stelle x = a stetig. Dies gilt für jeden Wert a im Intervalle x₀ <[ a <1 X.

Hieraus ergibt sich, daß man an einer Unstetigkeitsstelle der Funktion nicht auf einen bestimmten endlichen Wert der Ableitung rechnen darf.

28. Der Mittelwertsatz. Betrachtet man in Fig. 18 den Kurvenzug m₀ M und die Sehne m₀ M, so sieht man, daß die Tangenten in den einzelnen Kurvenpunkten von der in m0 vorhandenen Richtung schließlich in die Richtung der Tangente in M übergehen. ■*" Inzwischen wird einmal eine Lage der Tangente, etwa in mx, eintreten, in der sie zur Sehne m₀M parallel wird. Ist xx die Abszisse dieses Punktes mx, sind ferner x₀ und X die Abszissen der Punkte m₀ und M und ist die Kurve das Bild 27, »81

7/

<>

^ X

Fig. 18.

der Funktion fix), so bestimmt die Sehne m₀M mit der positiven x-Achse einen Winkel, dessen Tangens gleich

X Xq

ist. Die Kurventangente in m₁ dagegen bildet mit der positiven rr-Achse einen Winkel, dessen Tangens gleich dem Werte f'ixf) der Ableitung von f{cc) im Punkte m₁ ist. Mithin kommt:

m=m=nxi).

Diese Überlegung, die noch kein strenger Beweis ist, führt zu der Vermutung, daß der folgende Satz gelten wird:

Satz 2 (Mittelwertsatz): Hat eine Funktion f(x) ebenso wie ihre Ableitung f" (x) für jedes x im Intervalle x₀ x X einen bestimmten endlichen Wert, so gibt es im Intervalle wenigstens einen von x₀ und X verschiedenen Wert xt von x, für ■ den die Formel gilt:

m-,₌

*^0

Zum Beweise betrachten wir den Quotienten

f(X) — f(x₀)

X x₀

der nach den Voraussetzungen des Satzes einen bestimmten endlichen Wert A hat, so daß

(1)

[/(%-) — AX] — [f(x₀) — Ax₀] = 0

ist. Wir betrachten ferner diejenige Funktion <p(x), die durch die Formel:

(2)

9>0) = if\x) - Äx\ — \Axo) - Äxol

definiert ist. Nach den Voraussetzungen des Satzes hat sie im Intervalle x₀ ^ x <1 X überall bestimmte endliche Werte. Da ferner nach (2):

~Ä,

cp(x-\-h) — cp(x) _ f(x -f h) — fix)

folglich:

lim

h = 0

(f(x h) — cp (x)

“ f'(X) ~ A

ist, hat cp (#) überall im Intervalle x₀ x X auch eine bestimmte endliche Ableitung y' (x) = f (x) — A. Außerdem ist cp (x) nach (2) gleich Null für x = x₀ und wegen (1) auch gleich Null für x = X.

Da die Funktion cp(x) überall im Intervalle eine bestimmte endliche Ableitung hat, verhält sie sich nach Satz 1 von Nr. 27 überall im Intervalle stetig.

Zunächst ist es nun denkbar, daß sie überall im Intervalle den Wert Null hat. Dann kommt ihrer Ableitung cp'(x) offenbar überall ebenfalls der Wert Null zu. Sie ist aber gleich f'(x) — A. Somit wird dann A = f'(x) an jeder Stelle x im Intervalle. Wegen der Bedeutung von A besagt dies, daß die Formel des Satzes 2 für jede Stelle xt im Intervalle gilt.

In der Folge können wir daher von dem Falle absehen, wo cp{x) überall im Intervalle verschwindet. Nunmehr kann cp(x) sowohl positive als auch negative Werte annebmen. Nimmt cp(x) zunächst unter anderen auch positive Werte an, so gibt es nach Satz 6 von Nr. 21 wenigstens eine Stelle xx im Intervalle, an der cp(x) den notwendig von Null verschiedenen größten Wert erreicht, so daß xx weder mit x₀ noch mit X zusammenfällt, weil ja cp(x₀) = 0 und cp(X) = 0 ist. Wird x irgendwo im Intervalle angenommen, so ist nun <p{x)— <p(xt) stets negativ oder höchstens gleich Null. Bedeutet h eine beliebig kleine positive Zahl, so kann x sowohl gleich xx — ln als auch gleich xx + h gewählt werden, d. h. sowohl cp(xi — 1i) — (p(xt) als auch cp(xt + h) — cp(xx) ist negativ oder höchstens gleich Null. Von den beiden Quotienten

(3)

und

wird somit der erste positiv oder gleich Null und der zweite negativ oder gleich Null.

Diese Schlüsse sind hinfällig, wenn cp(x) nirgends im Intervalle positiv wird, weil dann der größte Wert — <p(x) gleich Null ist und also x₁ mit x₀ oder X zusammenfallen könnte. In diesem Falle bedeute xx eine Stelle, an der cp(x) den kleinsten Wert im Intervalle erreicht. Da jetzt cp(xx) negativ und von Null verschieden ist, erhellt, daß xt weder mit x₀ noch mit X zusammenfällt. Entsprechende Schlüsse wie vorher 38]

yfo +*) —qpfo)

zeigen, daß jetzt der erste Quotient (3) negativ oder gleich Null und der zweite positiv oder gleich Null wird.

Die folgenden Schlüsse gelten für beide Fälle: Beide Quotienten (3) streben für lim h — 0 nach der Ableitung von cp (x) für x = xx, d. h. nach f fcf) — A. Da sie aber, falls sie nicht verschwinden, in beiden Fällen verschiedene Vorzeichen haben, kann ihr Grenzwert nur die Null sein. Somit ist A=f'(xx). Wegen der Bedeutung von A geht hieraus die Formel des Mittelwertsatzes 2 hervor, der somit in allen Fällen richtig ist.

Wir wollen ihm noch eine andere Form geben: Da xx von x₀ und X verschieden und #₀ < xx < X ist, macht die Differenz xx — x₀ einen positiven Bruchteil der Differenz X — x₀ aus. Bezeichnen wir diese mit k, so kann also xx — x₀ = 6k gesetzt werden, wenn 6 eine zwischen Null und Eins gelegene Zahl bedeutet, die wir einen positiven echten Bruch nennen wollen. Alsdann ist X = x₀ -f- k und xx = x₀-\- Ok, so daß der Satz so ausgesprochen werden kann:

Satz 3 (Mittelwertsatz): Hat eine Funktion fix) ebenso wie ihre Ableitung f (x) für jedes x im Intervalle x₀ <i x x₀ -f k einen bestimmten endlichen Wert, so gibt es wenigstens einen positiven echten Bruch 6, der von Null und Eins verschieden ist und für den die Gleichung gilt:

f(x₀ + k) - f(x₀) = kf\xo + Oh).

Übrigens gilt dies auch, wenn k negativ ist, das Intervall also von x₀ + k bis xQ > x₀ + k geht, da ja dann nur Anfang und Ende des Intervalles zu vertauschen sind. Aber auch dann ist 6 positiv.

29. Funktionen, deren Ableitungen gleich Null sind. Ist zunächst f(x) konstant für alle Werte von x innerhalb eines gegebenen Intervalles, so folgt aus Nr. 27 der selbstverständliche und auch schon in Nr. 28 benutzte

Satz 4: Die Ableitung einer Funktion, die in einem Intervalle konstant bleibt, ist in dem Intervalle überall gleich Null.

Es gilt aber auch die Umkehrung:

Satz 5: Wenn die Ableitung fix) einer Funktion f(x) innerhalb eines gewissen Intervalles überall gleich Null ist, hat die Funktion f(x) in diesem Intervalle einen konstanten Wert.

[»8, »9

Denn wenn xQ uud x₀ + k zwei Werte von x im Intervalle sind, gibt es einen positiven echten Bruch Q derart, daß nach dem Mittelwertsatze

f(x o + k) — f(x₀) === kffx ₀ + Ob)

ist. Die rechte Seite hat nach Voraussetzung den Wert Null; folglich ist f(xQ -f k) = f(x₀), d. h. f(x) hat überall im Intervalle den Wert f(x₀).

Um hieraus weitere Sätze zu finden, schalten wir zunächst ein:

Satz 6: Die Ableitung der Summe oder Differenz zweier Funktionen ist gleich der Summe hzw. Differenz der Ableitungen beider Funktionen.

Ist nämlich

so ist auch

daher:

cp(x) = fix) ±F(x), ip(x + h) = f(x + h) + F(x -f- h)

q>(x -\-h) — (p(x) fix -f- h) — fix) F{x -)- h) — F(x)

woraus sich beim Grenzübergange lim Ä = 0 in der Tat ergibt:

Nun gilt der

Satz 7: Wenn die Differenz zweier Funktionen fix) und F(x) in einem Intervalle einen konstanten Wert hat, ist überall im Intervalle die Ableitung von fix) gleich der von F(x).

Denn wenn (p(x) = f(x) — F(x) gesetzt wird, ist nach Voraussetzung (p(x) == konst., d. h. im ganzen Intervalle (p'(x) = 0 nach Satz 4, mithin f'{x) = F'(x) nach Satz 6.

Es gilt aber auch der umgekehrte

Satz 8: Wenn überall in einem Intervalle die Ableitung einer Funktion f(x) gleich der Ableitung einer Funktion F(x) ist, bleibt die Differenz f\x) — F(x) im Intervalle konstant.

Denn hier ist nach Voraussetzung (p'(x) == f {x) — F\x) == 0, als nach Satz 5 auch (fix) = f{x) — F(x) = konst.

30. Das Wachsen und Abnahmen der Funktionswerte. Aus dem Mittelwertsatze fließt auch folgender

Satz 9: Hat eine Funktion f(x) ebenso wie ihre Ableitung f (x) im Intervalle x₀ ff x ff X überall bestimmte endliche

29, 30J

Werte und ist f (x) dabei stets positiv bzw. stets negativ, so nimmt f(x) im Intervalle mit wachsendem x stets zu bzw. ab.

Sind nämlich x und x -\-h zwei Stellen im Intervalle, so ist nach Satz 3 von Nr. 28:

f{x + k) - fix) = hf'ix + Ok), 0 < 0 < 1, und x -f- 6k gehört ebenfalls dem Intervalle an. Ist nun f (x) überall im Intervalle positiv, so wird daher

fix + Je) > f(x)

für irgend zwei Stellen x, x + k des Intervalles, wenn Je positiv ist; fix) wächst also mit wachsendem x. Ist dagegen f ix) überall im Intervalle negativ, so wird

fix + k) < fix)

für positives daher nimmt f\x) mit wachsendem x ab.

31. Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes. Eine allgemeinere Form des Mittelwertsatzes ist der

Satz 10: Wenn zwei Funktionen fix) und Fix) und ihre Ableitungen fix) und F\x) überall im Intervalle x^fLxfX bestimmte endliche Werte haben, ferner F\x) nirgends im Innern des Intervalles gleich Null und außerdem F(X) von Fix₀) verschieden ist, wird für mindestens einen Wert x₁ im Intervalle

f(X)-f(x₀)    f'(xd .

F(X)-F(x₀)    F'(x,) ’

dabei ist x₁ weder gleich xQ noch gleich X.

Wir wenden dieselbe Überlegung an, die zum Beweise des Mittelwertsatzes diente. Setzen wir

so ist

f(X)-f(xq)

F(X)-F(x₀)

(i)

[/(X) - AF(X)] - [f(*₀) - AF(x₀)] - 0.

Hieraus folgt, daß die Funktion

(2)

*>(*) - \f(*) ~ AF{x)] - [/•(*„) - AF{x,)-],

die für x = xQ verschwindet, auch für x = X gleich Null wird.

Ist also die Funktion cp ix) nicht beständig gleich Null, so

gibt es mindestens eine Stelle x. im Innern des Intervalles,

an der sie ihren größten oder kleinsten Wert annimmt, vgl..    ,ti

Satz 6, Nr. 21. An dieser Stelle haben

Serret-Scheffera, Diff.- u. Integr.-Kechn. I. 6. u. 7. Aufl.    4    [3Ö 31

’ r -M cp(x₁ — h) — (p{xl)

gp foi -f li) — qp (ae,)

und

— h

entgegengesetzte Zeichen, also ist wie in Nr. 28:

lim 9(^1 + &)- y(*i) ₌ o

/(= o    ;

d. h. nach Gleichung (2):

/'(«, +/Q — A^i)

oder:

lim

/(= o

-F(*x + h) - Fix,)

l' = 0

f'M - AF'(xi) = o.

Der Wert x, ist weder gleich £₀ noch gleich X. Nach Voraussetzung wird ferner F'(x) nicht gleich Null für Werte von # zwischen x₀ und X. Daher folgt

fix i)

und deshalb ist wegen der Bedeutung von A:

gx)-f{xq)    n*x)

F(X)-F(x₀) F\x,y

Hat das Intervall von rr₀ bis X die Länge Je, ist also X = x₀ -(- Je, wo übrigens Je positiv oder negativ sein kann, so läßt sich das Ergebnis wie Satz 3 in Nr. 28 etwas anders aus-drücken: Es gibt einen von Null und Eins verschiedenen positiven echten Bruch 6 derart, daß die Gleichung gilt:

f(x₀ + fc) — f(x₀) ₌ n*o + 0*0 .

F(x„ + k) — F(x₀j    F' (x₀ + d Je)

32. Die Ableitung als Differentialquotient. Wir

werden das Zeichen A, vor eine Veränderliche gesetzt, benutzen, um eine positive oder negative Zunahme der Veränderlichen auszudrücken. So soll Ax eine Zunahme der Veränderlichen x bedeuten. In Nr. 27 hatten wir statt Ax das Zeichen Ji gebraucht.

Wächst x um Ax, so wird die Zunahme, die eine Funktion f(x) dabei erfährt, also die zugehörige Zunahme Af(x), dargestellt durch:

Af(x) = f{x -f- Ax) — fix).

Die Zunahmen Ax und Af\x) sind ihrer Natur nach Diffe renzen; infolgedessen ist ihr Quotient

4fix) _ fix 4- Ax) — fix)

Ax

Ax

31, 32]

Die Ableitung ist also hier nicht wie vorhin nur als Grenzwert eines Quotienten, sondern selbst als ein Quotient dy : dx dargestellt. Man nennt dx und dy Differentiale und ihren Quotienten einen Differentialquotienten.

Sehen wir ganz von der geometrischen Veranschaulichung ab, so definieren wir mithin: Unter dem Differential dx verstehen wir eine beliebige Zunahme von x; unter dem Differential dy soll alsdann eine Größe verstanden werden, die mit dx dividiert die Ableitung f'(x) von y = f(x) liefert

Die Formel (1) oder

(2)

als Differenzenquotient zu bezeichnen. Nach der Definition in Nr. 27 ist die Ableitung f'(x) der Grenzwert des Differenzen-quotienten für lim Ax = 0:

Afjx)

jx=o

Ist z. B. die Kurve in Fig. 19 das Bild der Funktion y = f(x), und hat M die Abszisse x — OP, so bedeutet PP' einen Zuwachs Ax von x und QM' den zugehörigen Zuwachs Af{x) oder Ay der Funktion. Der Grenzwert des Differenzenquotienten Ay-.Ax oder QM':MQ gibt nach Nr. 27 den Tangens des Winkels an, den die Kur- » ventangente MR mit der positiven x-Aehse bildet.

Diese gerade Linie MR ist selbst ebenfalls das Bild einer Funktion. Lassen wir jetzt x wieder wachsen, aber den -o zugehörigen Punkt M auf der Tangente weiterlaufen, so wollen wir die Zunahmen der Abszisse und Ordinate zum Unterschiede nicht Ax und Ay, sondern dx und dy nennen, so daß in Fig. 19 z. B. PP' = dx und QR = dy ist. Alsdann ist dy : dx der Wert der Ableitung von f(x) für das betrachtete x, d. h.

(i)

fix) — lim

-lim

J X — 0

f{x -F Ax) — fix)

Ax

py

AX

.,■6.    o——->

P P"

Fig. 19.

fix) = lim

Jx = 0Jx

läßt sich so deuten: Die Ableitung f'{x) gibt ein Maß für diejenige Stärke des Wachsens der Funktion f(x) an, die

[3a

gerade dann vorhanden ist, wenn der betrachtete Wert x passiert wird. Wenn wir diese Ausdrucksweise benutzen, können wir der Formel die folgende Deutung geben: Würde sich die Funktion f(x) von der betrachteten Stelle x an nicht mehr in wechselnder Stärke ändern, sondern von da an beständig so, wie es augenblicklich der Fall ist, so würden die Differentiale dx und dy zusammengehörige Zunahmen von x und y bedeuten. Der Bildpunkt M nämlich würde dann nicht weiterhin die Kurve, sondern die Tangente MB durchlaufen.

Zwischen den Differenzen /dx und /dy und den Differentialen dx und dy besteht also ein wesentlicher Unterschied. Zwar hindert uns nichts, /dx gerade so groß wie dx zu wählen, nämlich gleich PB' in Fig. 19, aber dann ist /dy der zugehörige Zuwachs der Funktion, gleich QM\ und dy der zugehörige Zuwachs QB für die Tangente. Erst beim Grenz-übergange, für lim /dx = 0, werden dann /dy und dy dasselbe bedeuten. In der Tat ist ja nach Definition

dy = f'(x)dx,

also, wenn dx = /dx gewählt und die Formel mit /dy dividiert wird:

dy

Ay

Machen wir den Grenzübergang, so folgt nach Satz 32 von Nr. 24 und nach (2):

was bewiesen werden sollte.

Da y = f(cc) ist, können wir das Differential dy auch mit df(x) bezeichnen, so daß wir für die Ableitung f'(x) die von Leibniz herrührenden Darstellungs weisen

(3)

f(„\_üy_df{x)

I W ~ dx~

dx

haben. Diese Art der Darstellung der Ableitung als Differentialquotienten ist die am meisten gebrauchte. Den Bruch df(x): dx kann man dabei von zwei verschiedenen Standpunkten aus auf-

33] fassen, entweder wirklich als Quotienten von df(x) und dx oder als ein Symbol, das den Grenzwert des Quotienten Ay : Ax oder Af(oc) : /Ix zusammengehöriger Zunahmen von y und x bedeutet. Auch schreibt man die Formel (3) oft so:

df(x)=f'(x)dx oder dy = f'(x)dx,

wenn man die Nenner vermeiden will.

Gelegentlich ist es bequem, noch eine andere Bezeichnung für die Ableitung f (x) zu benutzen. Ist nämlich y = f(x), so soll auch y die Ableitung bedeuten. So z. B. sollen u, v, w die Ableitungen von Veränderlichen u, v, w sein, die Funktionen von x sind. Diese Bezeichnung darf jedoch nur dann angewandt werden, wenn kein Zweifel darüber besteht, welche Größe die unabhängige Veränderliche ist. Ebenso stelle (u -f- v)' die Ableitung oder den Differentialquotienten einer Summe von zwei Funktionen u und v von x vor, so daß wir z. B. den Satz 6 von Nr. 29 in den folgenden verschiedenen Weisen darstellen können:

(u + v)' = u ± v oder

d(u + v) du dv

dx    dx — dx

Es gibt Funktionen, bei denen der Unterschied zwischen den Differentialen dx, dy und den Differenzen /Ix, /ly nicht vorhanden ist. Das sind die sogenannten linearen Funktionen, d. h. die ganzen rationalen Funktionen ersten Grades, also die Funktionen von der Form

y = ax + b,

wo a und b konstant sind. Hier nämlich ist y -f- /ly = a(x-\- /Ix) + b, also /ly = a/lx, daher /ly:/lx = a,

also konstant. Somit ist hier 4y : /Ix nicht nur beim Grenz-übergange lim /Ix = 0, sondern überhaupt gleich a, so daß /ly : Ax — dy : dx ist, mithin, wenn wir Ax — dx annehmen, auch Ay = dy. In der Tat ist es ja bekannt, daß das Bild einer linearen Funktion y = ax 4* b eine gerade Linie ist, die überall mit ihrer Tangente zusammenfällt.

Die Berechnung der Ableitung oder des Differentialquotienten einer Funktion heißt die Differentiation oder das Differenzieren der Funktion. Die Differentiationsregeln, die wir

[38

in den folgenden Nummern aufstellen, bilden die Grundlage der Differentialrechnung.

§2. Differentiation entwickelter algebraischer Funktionen.

33. Differentialquotient einer Funktion von einer Funktion. Es sei u = f(x) eine nicht konstante Funktion von x, und es sei y eine Funktion von u, etwa y — F(u). Dann ist auch y = F(J\x)), d. h. y kann auch als Funktion von x aufgefaßt werden. Für ihre Differentiation gilt der grundlegende Satz 11: Ist u = f(x) und y = F(u), so daß y = F(f{x)) auch eine Funktion von x ist, so findet man die Ableitung von y nach x nach dieser Regel:

dy

^ = *»/>)•

oder

dy dy du dx du dx

Denn wenn x um dx wächst, nehme u = f(x) um du zu. Wenn aber u um du zunimmt, möge y = F(u) um dy wachsen. Nun ist

Ay Ay Au Ax Au Ax

und also nach Satz 31 von Nr. 24:

.. A y -i. A y    Au

lim -r- = lim ~ • lim — •

J X — Q ^    /f X — 0 ^ ^ Af X — 0

Der Grenzwert links ist der gesuchte Differentialquotient dy: dx, der zweite Grenzwert rechts ist der Differentialquotient du : dx. Da für \imdx = 0 auch der Grenzwert von du =* f(x + dx) — f(x) gleich Null wird, ist der erste Grenzwert rechts:

lim

J x= 0

Mithin folgt in der Tat:

Ay

Au

_ lim _ p.

Ju=0Au du

TS TS

du

dx

Der Satz 11 ist eine Regel, die uns erlaubt, die Ableitung von F(f(x)) zu berechnen, wenn wir die Ableitungen von F(u) und von f(x) schon kennen. Beim Beweise ist natürlich stillschweigend vorausgesetzt worden, daß die beiden Funktionen F(u) und f(x) an der betrachteten Stelle bestimmte endliche Werte und bestimmte endliche Ableitungen haben. 38, 33]

Wir werden in den folgenden Nummern noch mehrere derartige Regeln aufstellen, wodurch eine neue Differentiation auf schon ausgeführt gedachte Differentiationen zurückgeführt wird. Und dabei gelten für diese Funktionen, aus denen die zu differenzierende Funktion zusammengesetzt ist, stillschweigend immer die entsprechenden Voraussetzungen wie hier für F(u) und f(x).

34. Differentiation einer Summe. Dasselbe Beweis-verfahren, das in Nr. 29 zum Satze 6 führte, ist auch für Summen und Differenzen von mehr als zwei Funktionen anwendbar. Daher:

Satz 12: Die Ableitung einer algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen der Funktionen, in Formel:

dx — dx —    — dx

d(ui ± u2 + ' ■ ■ i un)_du,

dx

35. Differentiation eines Produktes. Ist zunächst y — au, wo a eine Konstante und u eine Funktion von x sei, so wachse x um Ax und infolge davon u um An und y um Ay. Dann ist:

Ay

Au

Ay — aAu, also

Gehen wir zur Grenze über, so folgt:

Satz 13: Die Ableitung des Produktes aus einer Konstante und einer Funktion ist gleich der Ableitung der Funktion, multipliziert mit der Konstante, in Formel:

d (a u)

dx a dx}

Man sagt kurz dafür: Konstante Faktoren bleiben beim Differenzieren stehen. Anders verhält es sich mit konstanten Summanden. Ist nämlich y = u -f- a, so folgt aus Satz 0 und 4 von Nr. 29, daß y = u ist, d. h. konstante Summanden fallen beim Differenzieren fort.

Jetzt betrachten wir ein Produkt y = uv von zwei Funktionen u und v von x. Wächst x um Ax, so Avachse u um Au, v um Av und y um Ay. Dann ist:

Ay = (w + Au) (v -f Av) — uv = vAu + uAv -f- Au. Av,

[33, 34, 35

Ax

= a — • Ax

du

wenn a = honst.

U    V

(uv)' = VU 4- uv'

oder, wenn wir mit uv dividieren:

(uv)’

uv

also:

Ay

A v A u Av Ax ' Ax Ax

Au ,

Jx = VJi + a Beim Grenzübergange lim Alx = 0 ergibt sieb, da

• Ax.

lim

Ax = 0

Au Av A x A x

• lim ~ • lim Alx

A x = 0

■ Alx — lim

z/a: = 0

und lim Alx selbst gleich Null ist, der

Satz 14: Die Ableitung eines Produktes von zwei Funktionen ist gleich der Summe der Produkte, die man erhält, wenn man jede Funktion mit der Ableitung der andern multipliziert, in Formel:

Ax

duv du dx V dx U

Hierfür können Wir auch schreiben:

EU &

Der Bau dieser Formel erinnert an eine Formel aus der Theorie der Logarithmen: Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. Wir wollen deshalb den Bruch, dessen Zähler die Ableitung einer Funktion und dessen Nenner die Funktion selbst ist wie z. B. u:u, die logarithmische Ableitung der Funktion nennen. Ein anderer Grund für diese Bezeichnung wird in Nr. 47 zutage treten. Wir können die gefundene FQrmel nun so aussprechen:

Satz 15: Die logarithmische Ableitung eines Produktes ist gleich der Summe der logarithmischen Ableitungen der Faktoren.

Wir haben in diesem Satze unterdrückt, daß das Produkt zwei Faktoren haben soll. Wir werden nämlich sogleich sehen, daß er auch für Produkte von mehreren Faktoren gilt: Es sei u₁ui...un ein Produkt aus einer endlichen Anzahl von Funktionen ut, w₂, ... un der Veränderlichen x. Nach der Regel für die logarithmische Ableitung eines Produktes von nur zwei Faktoren ist dann:

ebenso:

{u₁ui • ■ • w„)'_uj

uxu% ■ ■ ■ un

4₂ u₃ ■ ■ • un) _ u₃

uiui---un

— + ux

(.•ug ua • • ■ un) Us • • • un ’

(WgM₄ • • • Un)'

«SS

usw.

Addition aller dieser n Gleichungen gibt:

₌ <₊< ₊ .. ux u₂

un

«1 «2 • • ■ un

womit Satz 15 allgemein bewiesen ist. Multiplikation mit dem Nenner u₁u₂ . . . un gibt die Formel für die Ableitung eines Produktes von n Faktoren:

• • • uj = ufu₉ • • • m„ + utu₉' • • • un H----+ *^«8 ‘' • «C«

Der Beweis setzte allerdings voraus, daß %m₂ • • • un H= 0 sei. Es ist aber leicht zu sehen, daß die Formel von dieser Annahme unabhängig ist, da man sie auch durch wiederholte Anwendung des Satzes 14 finden kann.

36. Differentiation eines Bruches. Sind u und v zwei Funktionen von x und ist y der Bruch u: v, so kommt u du V -f- dv

Ay =

du

udv

und daher:

V -\- dv    4- dv)

dy

dx v-\-dv dx    v(v-\- dv) dx

für jedes x, für das v und v -f Av 4= 0 ist. Gehen wir zur

Grenze über, so folgt für jedes x, für das v 4= 0 ist:

du    dv

V 1--U J-

dx    dx

(i)

dy 1 du

dx

u dv dx v²dx

v°

Satz 16: Die Ableitung eines Bruches aus zivei Funktionen ist für solche Werte der unabhängigen Veränderlichen, für die der Nenner nicht gleich Null ist, gleich einem Bruche, dessen Zähler die Differenz aus dem Produkte des Nenners mit der Ableitung des Zählers und dem Produkte des Zählers mit der Ableitung des Nenners ist, während im Nenner das Quadrat des gegebenen Nenners steht, in Formel:

vu — UV

V²

Übersichtlicher wird die Formel, wenn wir sie mit y oder uw dividieren, da dann kommt:

Satz 17: Die logarithmische Ableitung eines Bruches y — uw ist gleich der Differenz der logarithmischen Ableitungen von Zähler und Nenner, in Formel:

Dies entspricht der Eigenschaft des Logarithmus eines

Bruches.

37. Differentiation der inversen Funktion. Wenn man die Ableitung einer Funktion kennt, kann man zeigen, daß auch die inverse Funktion (vgl. Nr. 10) eine Ableitung hat, und kann diese Ableitung leicht berechnen. In der Tat, nehmen wir an, daß y = f(x) sei und die inverse Funktion die Form x = F(y) habe. Wächst x um /Ix, so wachse y um /ly. Alsdann ist die Ableitung der Funktion y = f{x) von x:

Jy

f\x) = lim

A x = 0

dagegen die Ableitung der inversen Funktion x = F(y) von y:

Ist nun die Ableitung f\x) wirklich vorhanden und von

Null verschieden, so wird mit zIx = 0 auch /ly = 0. Ferner ist:

Ax i.

= lim

A x = 0

Ax ’

lim

ax=ojv

1 : lim A!

A x = 0

Ax ’

so daß in der Tat eine Ableitung F' (y) vorhanden ist, für die sich ergibt:

F'{y) = l:f\x).

Stellen wir die Ableitungen als Differentialquotienten dar, so drückt sich dies so aus:

dx

SV Si.

I Sä

Satz 18: Hat y als Funktion von x an der Stelle x eine endliche und von Null verschiedene Ableitung f' (x), so hat auch x als Funktion von y an der entsprechenden Stelle y eine endliche und von Null verschiedene Ableitung F' (y). Die Ableitung der inversen Funktion ist der reziproke Wert der Ableitung der ursprünglichen Funktion.

38. Differentiation von Potenzen mit konstanten Exponenten. Es sei y = xn, wo n zunächst eine positive ganzzahlige Konstante bedeute. Dann ist y das Produkt von n gleichen Faktoren x, so daß die letzte Formel von Nr. 35 für u\ = u₂ = • • • == un = x sofort gibt:

(1)

y = nx"~l.

Nach Satz 18 hat daher y = xr den Differentialquotienten:

dy ₌ i dx ryr~x

l

Setzen wir hierin wieder y = xr ein, so kommt:

l-i

— xr

Diese Formel ordnet sich der Formel (1) für die Annahme n = 1 : r unter, so daß also die Formel (1) gilt, wenn der Exponent eine ganze Zahl oder ein Stammbruch ist.

Viertens sei jetzt n eine beliebige rationale, nämlich gebrochene Zahl s:r, wo s und r ganze Zahlen sind und r> 0 ist. Alsdann wird:

V = (xr ) .

Wenn wir u = xr setzen, wird y = u*. Da hier nach dem Vorgehenden

= SM*⁻¹

Zweitens sei n eine negative ganzzahlige Konstante und m

ihr absoluter Betrag, also n =— m. Dann ist y=l:xrn, so daß Satz 16, Nr. 36, anzuwenden ist, wobei u = 1 und v = xm, folglich u =0 und nach (1), weil m eine positive ganze Zahl bedeutet, v' == mxm~¹ ist. So kommt:

VI xin ~¹

y'= -

= — m xr m-1,

was, wenn wieder m == — n eingesetzt wird, zur zurückführt, die also richtig ist, wenn der Exponent irgendeine ganze Zahl bedeutet.

Drittens sei n ein Stammbruch 1 : r, so daß r eine positive ganze Zahl bedeutet. Alsdann ist x = yr die inverse Funktion. Da hier der Exponent eine ganze Zahl ist, hat diese inverse Funktion nach (1) den Differentialquotienten:

a;2

nt

Formel (1)

dx

dy

= ryr~ h

du 1--1

T— = - Xr

dx r

wird, folgt durch Anwendung des Satzes 11, Nr. 33:

oder, wenn wieder u — xr eingesetzt wird:

dy

--1

dx

d. h. die Formel (1) gilt auch, wenn n — s : r ist.

Satz 19: Die Ableitung einer Potenz xn mit konstantem rationalen Exponenten n ist gleich nxn~x.

Daß dies auch dann richtig ist, wenn n eine irrationale Konstante bedeutet, wird in Nr. 47 bewiesen werden.

Ist u irgendeine Funktion von x und y = un, so gibt die Anwendung des Satzes 11, Nr. 33, sofort:

Satz 20: Ist u eine Funktion von x, so hat die nie Potenz von u die Ableitung:

d(un)

dx

= nun~

x du dx’

vorausgesetzt, daß n eine konstante rationale Zahl ist.

Dieser Satz erlaubt uns die Differentiation von Wurzeln. Wählen wir z. B. n = so folgt:

1 du 2 ffü dx

d~\/u

dx

§ 3. Anwendungen.

39. Rechenbeispiele. Eine entwickelte algebraische Funktion von x wird erhalten, wenn man mit der Veränderlichen x und mit Konstanten eine endliche Anzahl von algebraischen Operationen (vgl. Nr. 6) ausführt. Die Ableitung dieser Funktion kann man daher immer mittels der bisherigen Regeln berechnen. Wir geben einige Beispiele.

1. Beispiel: Ist y = Axm -f Bxn + • • • + Lxr, wo A, B, . . . L, m, n, . . . r Konstanten und insbesondere m, n, . . . r rationale Zahlen bedeuten, so erhält man durch Anwendung der Sätze 12, 13 und 19, Nr. 34, 35 und 38, sofort:

y = mAxm~¹ -f- nBxn~x + •••-{- rLxr~x.

Ist z. B. insbesondere

]/x

y=*0> + 1>V% + -p- +

wo

a, b, c, g Konstanten bedeuten, so läßt sich schreiben:

so daß kommt:

y = a -f- bx² -f

cx

+ gx~\

jJ__JL_?__JL .

2    2 «y*    xi

2. Beispiel: Ist y = #²(a² + #²)]/a² — x³ und a eine Konstante, so schreiben wir:

y'= ~bx ² — \cx ² — gx~³ =

y = (a²#² -f #⁴) ]/a² — #²

und wenden hierauf die Produktregel in Satz 14, Nr. 35, an, wobei u = a²x³ -f- x⁴ und v = ]/a² — x², also insbesondere u — 2a²x + 4a;³

ist. Um v zu berechnen, benutzen wir Satz 20, indem wir v = ]/w und w = a² — x² setzen, so daß

dv d}/w dw dx div dx

%y w

ist. Die Produktregel gibt jetzt:

b (- 2z) =

y' =Ya²—x² (2a²aH- 4 a:³)—(a²a²-|- x⁴)    _

ya⁸—a⁸

(2a⁴-{-a⁸#⁸— 5x*)x

]/a⁸ — x⁸

5. Beispiel: Ist y = (aaf" + &)”, wo a, b, m, n konstant und m, n rational sind, so kommt nach Satz 20:

₁ d{axm -f- b)

y = n(axm -j- b)n~

= rnnaxm~x{axm + b)n~x.

40. Geometrische Anwendungen. Die gewonnenen Regeln reichen schon zur Lösung mancher Aufgaben aus; es wird nützlich sein, hierfür einige i Beispiele zu geben. Wir entnehmen sie der analytischen Geometrie, und wir müssen zunächst an einige in der Kurventheorie gebräuchliche Bezeichnungen erinnern. Ist eine ^

Kurve auf rechtwinklige Koordinaten x, y bezogen, und konstruiert man wie in Fig. 20 die Tangente TM eines Kurvenpunktes M und die Senkrechte dazu durch M, d. h. die Normale MN, so heißen diejenigen Strecken dieser Geraden, die zwischen der a:-Achse und dem Kurvenpunkte M liegen, schlechtweg die Tangente und die Normale; außerdem nennt man die Projektionen dieser Strecken

[39, 40

dx

Bl

Fig. 20.

auf die x-Achse, also die Strecken PT und PN, die Subtangente und die Subnormale.

1.    Beispiel: Diejenigen Kurven sollen gefunden werden, bei denen die Subnormale konstant, gleich p, ist. Ist die Kurve das Bild einer Funktion y von x, so ist die Aufgabe die, diese Funktion zu bestimmen. Die Subnormale PN = p ist gleich der Ordinate y = PM, multipliziert mit dem Tangens des Winkels PMN, der dem Winkel PTM der Tangente mit der positiven x-Achse gleich ist. Also ist tg PMN = y', der Ableitung der gesuchten Funktion, folglich PN = yy. Die Bedingung der Aufgabe wird daher ausgedrückt durch die Bleichung yy'=p, wofür wir schreiben:

2yij = 2 p.

Hier steht links nach Satz 20, Nr. 38, die Ableitung von y², rechts die von 2px. Also haben y² und 2px dieselbe Ableitung. Daher ist ihre Differenz nach Satz 8 in Nr. 29 konstant, gleich C, so daß folgt: y² = 2px -f C oder y = ]/2px -\- C. Wie man auch die Konstante G wählen mag, stets ist die gestellte Forderung PN = p erfüllt. Die gesuchten Kurven sind daher alle diejenigen Parabeln mit dem Parameter p, deren Achse die x-Achse ist. Je nachdem man die Subnormale positiv oder negativ auffaßt, können sich die Parabeln nach der einen oder anderen Richtung der x-Achse hin erstrecken.

2.    Beispiel: Diejenigen Kurven sollen gefunden werden, bei denen die Normale konstant, gleich a, ist. Nach der Fig. 20 ist das Quadrat der Normale gleich der Summe der Quadrate von Subnormale und Ordinate, also gleich y²y'² + y², so daß

(1)

rV² + y² = a²

die Bedingung der Aufgabe ist. Sie kann so geschrieben werden:

_y_y__₌ i

Va*-y*

vorausgesetzt, daß a² =4= y² ist. Untersuchen wir daher zunächst, was sich für a² = y² ergibt. In diesem Falle ist y = 2z a, y = 0, so daß (1) erfüllt ist. Daher sind die Paral-len zur x Achse mit den Ordinaten 2z a Lösungen der Aufgabe. Sehen wir von ihnen ab, so können wir die Bedingung 40]

(2)

in der Form (2) benutzen. Die linke Seite von (2) bedeutet die Ableitung von — ]/a² — y², die rechte die von nach Satz 8 in Nr. 29 muß also — ]/a² — y² gleich x — C sein, wo C konstant ist. Also kommt:

(x-C)² + y² = a²,

d. h. alle Kreise mit dem Radius a und mit den Mittelpunkten auf der a;-Achse sind außer den beiden erwähnten Geraden die Lösungen der Aufgabe.

3. Beispiel: Ein Kegelschnitt OAB, siehe Fig. 21, sei gegeben.

Fig. 21.

Man soll nun eine Kurve JM so bestimmen, daß jede Tangente AMB dieser Kurve, die eine Sehne AB des Kegelschnittes ist, ihren Berührungspunkt M in der Mitte der Sehne AB hat. In den laufenden Koordinaten X, Y hat die Gleichung des Kegelschnittes, bezogen auf eine Kegelschnittsachse als Abszissenachse und eine zugehörige Scheiteltangente in 0 als Ordinatenachse, bekanntlich die Form:

Y² = 2p X + qX².

Ist (x, y) ein Punkt M der gesuchten Kurve, so hat seine Tangente AB, da y der Tangens des Winkels ist, den sie mit der ß-Achse bildet, in den laufenden Koordinaten X, Y die Gleichung:

1 = 2/' oder Y - y = y (X - x).

Setzt man Y — y -j- y\X — x) in die Kegelschnittsgleichung ein, so ergibt sich eine quadratische Gleichung:

(y² — q) X² -f 2{yy — xy² — p) X + (y — xy)² = 0 für die Abszissen X der beiden Schnittpunkte A und B. Es genügt, zu fordern, daß die halbe Summe dieser Abszissen gleich der Abszisse x von M sei. Die halbe Summe der Wurzeln X der quadratischen Gleichung ist aber:

p — yy + xy'*

y'² — q.

Also lautet die Bedingung der Aufgabe:

2yy' = 2p + 2 qx.

Links steht die Ableitung von y², rechts die von 2px + qx². Nach Satz 8 von Nr. 29 ist daher:

y² = 2px + qx² -f- C,

wo G eine beliebig wählbare Konstante bedeutet. Die gesuchte Kurve ist daher ein Kegelschnitt, der mit dem gegebenen Kegelschnitte ähnlich, ähnlich gelegen und konzentrisch ist.

§ 4. Differentiation von zusammengesetzten Funktionen.

41. Funktionen von zwei Funktionen. Die Ergebnisse des § 2 sind in einem allgemeineren Satze enthalten, den wir in diesem Paragraphen ableiten wollen. Wenn ux, u₂, %, . . . Funktionen von x sind und y = f(u1} u₂, uz, . . .) eine Funktion von ux,u₂,uz,... ist, wird y auch eine Funktion von x. Man sagt, daß diese Funktion y von x aus den Funktionen ux, u₂, uz, . . . von x zusammengesetzt sei. Zunächst wollen wir den Differentialquotienten einer Funktion

y = f(u, v)

berechnen, die aus nur zwei Funktionen u und v von x zusammengesetzt ist.

Wenn x um Ax wächst, nehme u um Au und v um Av zu. Dann wird y um Ay — f(u -f Au, v + Av) — f(u, v) wachsen. Subtrahieren und addieren wir hier f(u, v -f Av) und dividieren wir alsdann mit Ax, so kommt:

(1)

Ay

f{u -f- 4u, v -J- J v) — f(u, v + A v) A u

Ax

Au

f(u, v -j- Av) — f(u, v) Av

Av

Ehe wir aus dieser Formel den Differentialquotienten dy : dx berechnen, schicken wir einige Bemerkungen voraus.

Wir machen zunächst darauf aufmerksam, daß man rein formal von zwei Ableitungen der Funktion f(u, v) sprechen kann. Denn wenn wir ganz davon absehen, daß u und v Funktionen von x sein sollen, vielmehr u und v als unabhängige Veränderliche betrachten, können wir v einen bestimmten Wert erteilen und u allein um Au ändern. Alsdann wird der Grenzwert 40, 41]

lim '+ Ju’ V) ~ '-U’ --

Ju=o    Au

— lim

J v = 0

f(u, V -f Av) — /■(?(, v)

falls er überhaupt vorhanden ist, die Ableitung von f nach u zu nennen sein. Wir könnten ihn also mit df: du bezeichnen. Um jedoch darauf aufmerksam zu machen, daß sich nur die eine Größe u ändern soll, bezeichnet man ihn mit df: du. Ebenso bezeichnet man mit cf:dv denjenigen Differential-quotienten, der sich ergibt, wenn man u ungeändert läßt und nur v variiert. Es soll also sein: f k™ f(u + ^ u, v) — f(u, v)

Av

— uni------,

U Ju=0    Au

Die beiden Differentiale df, die hier Vorkommen, haben verschiedene Bedeutung, so daß man sie eigentlich verschieden bezeichnen müßte, z. B. mit duf und dvf; durch die zugehörigen Nenner du und dv wird jedoch schon einer Verwechselung genügend vorgebeugt.

Wenn die Grenzwerte vorhanden sind, bedeuten sie Funktionen der beiden Größen u und v. Um dies deutlich hervorzuheben, wollen wir sie daher in der nächsten Betrachtung mit cp(u, v) und ih(u,v) bezeichnen. Es sei also: f(u -)- Au, v) — f(u, v)

= <p(u, V),

lim

J u = 0

lim

J v = 0

Wenn wir alle Werte der ersten Veränderlichen in dem Intervalle von u bis u -f- Au und alle Werte der zweiten Veränderlichen in dem Intervalle von v bis v -f- Av ins Auge fassen, können wir für alle Stellen in diesen Intervallen solche Ableitungen definieren, vorausgesetzt, daß überall die betreffenden Grenzwerte vorhanden sind. So z. B. können wir die Ableitung nach u auch dann bilden, wenn wir der zweiten Veränderlichen den bestimmten Wert v + Av geben. Nach der ersten Formel (2) ist sie:

lim + Au>v + Av) ~ f(u>v + Av^

Au = 0

(2)

Au

f(u,v -f Av) - f(u, v)

Au

Av

=    v).

= cp(u, v -f- Av).

Wir setzen nun folgendes voraus:

1. Die Funktionen u und v von x sollen an der betrach-

Serret-Scheff ers, Diff.- u. Integr.-Kechn. I 6.u. 7 Aufl.

teten Stelle x bestimmte endliche Werte und bestimmte endliche Ableitungen haben:

du

Au = lim —— > A x

Av

dx

= lim —— •

/! x — d

Jx = 0^ x

2.    Die Funktion f(u, v) der beiden Veränderlichen u und v soll überall in den Intervallen von u bis u -f- Au und von v bis v + Av bestimmte endliche Werte haben.

3.    Die Funktion f(u, v), betrachtet als Funktion von u allein, soll in dem Intervalle von u bis w -f Au überall eine bestimmte endliche Ableitung haben, und zwar auch dann, wenn der Größe v irgendein bestimmter Wert in dem Intervalle von v bis v + Av beigelegt wird. Wir setzen also nach der ersten Formel (2) voraus, daß die Funktion <p (u, v) für jedes Wertepaar in den Intervallen von u bis u + Zlu und von v bis v -f- Av einen bestimmten endlichen Wert habe, so daß also auch der Wert (3) bestimmt und endlich ist.

4.    Die Funktion f(u, v), betrachtet als Funktion von v allein, soll für das Wertepaar u, v am Anfänge jener öfters erwähnten Intervalle eine bestimmte endliche Ableitung haben, d. h. wir setzen nach der zweiten Formel (2) voraus, daß rp(u, v) dort einen bestimmten endlichen Wert habe.

5.    Die Funktion (p(u, v) soll für dies Wertepaar u, v am Anfänge jener Intervalle eine stetige Funktion von u und v sein.

Die Voraussetzung 1 zieht nach Satz 1, Nr. 27, nach sich, daß u und v für den betrachteten Wert von x stetige Funktionen von x sind, woraus folgt, daß Au und Av für \\mAx = 0 den Grenzwert Null haben. Aus (1) folgt demnach:

(4)

V ' dx Jx=0Ax

lim

A u = 0, A v — 0

+ lim

Av-0

Wir können nun den Mittelwertsatz der Nr. 28 in der in Satz 3 gegebenen Form anwenden auf die Funktion f(u, v -f- Av), aufgefaßt als Funktion von u allein, wegen der Voraussetzungen 2 und 3. Dabei ist xQ durch u, k durch Au und die Ableitung f'(x) nach (2) durch cp(u, v Av) zu ersetzen, so daß also ein positiver echter Bruch 6 vorhanden ist, für den

f(u-\-Au,    f(u, v -{- Av) du

dx

Au

Av

f(u,v-\-Av) — f(u, v) dv dx

f(u 4 Au,v 4 Av) — f(u, v 4 z/ü) = z/m . qp(w 4 dAu,v 4 Av) ist. Hieraus folgt:

f(u Ju,v -\-Jv) — f(u, v 4 z/ v)

z/m

— cp{u 4- 0Au,v 4 Av).

Nach der Voraussetzung 5 ist also:

f(u -f- ^/m,v 4 z/w) — f(u, v 4 z/v)

(5)

lim

= 0, Zw = 0

Aus der Voraussetzung 4 folgt außerdem:

z/m

= (p(u, v).

(6)

lim

Z w = 0

Setzen wir die Werte (5) und (6) in (4) ein, so kommt:

§f = y(«,0-§ + *(».«’)• gl-

Hierin bedeuten (p{u,v) und iff(u, v) die Ableitungen von f(u, v) nach u bzw. v, so daß wir — ihre oben erwähnte Bezeichnung benutzend — auch schreiben können:

d f(u, v)_ dy_ d f(u, v) du df(u, v) d v

dx dx

Vorhin haben wir das geringste Maß an Voraussetzungen genau bezeichnet. Um jedoch das Ergebnis knapper auszusprechen, wollen wir die Voraussetzungen noch vermehren, obgleich es nicht nötig wäre: Wir wollen voraussetzen, daß es eine positive Zahl h so gebe, daß f(u, v) für alle Werte in den Intervallen von u — Ji bis u h und von v — h bis v 4 Ä stetig ist und Ableitungen nach u und nach v hat, die ebenfalls in diesen Intervallen stetig sind. Fügen wir dann noch die Voraussetzung 1 hinzu, so können wir \Ax\ so klein wählen, daß u 4 Au und v Av in den bezeichneten Intervallen liegen, so daß dann die neuen Voraussetzungen sicher die Voraussetzungen 2 bis 5 in sich enthalten.

Ehe wir das Ergebnis formulieren, führen wir noch eine bequemere Bezeichnungsweise ein, die wir auch später öfters benutzen wollen:

Wir sagen, eine Funktion f(xX} x₂₎ . . . xn) habe eine gewisse Eigenschaft in einer Umgebung der Stelle xx = ax, x₂ = a₂, . . . xn = an, wenn es eine positive Zahl h 4 0 derart gibt, daß f jene Eigenschaft an allen Stellen (xxt x₂, ... xn) hat, die den

zlv

du dx

dv

dx

6*

[41

Bedingungen \x± — ay \ < h, \x% — a₂j < h,. .. \ ccn — an\ < h genügen. Alsdann können wir den folgenden Satz aussprechen:

Satz 21: Sind u und v zwei Funktionen von x, die in einer Umgebung einer Stelle x bestimmte endliche Werte und bestimmte endliche Ableitungen du : dx und dv : dx haben, und bedeutet f{u, v) eine Funktion von u und v, die in einer Umgebung der zugehörigen Stelle (u, v) nebst ihren beiden Ableitungen nach u und v als Funktion der beiden Veränderlichen u und v stetig ist, so hat die Funktion f, aufgefaßt als Funktion von x, an der betrachteten Stelle x die Ableitung:

df(u,v) dfiU'V) du df(u,v) dv

dx    du    dx ' dv    dx

42. Funktionen von mehreren Funktionen. Das

Ergebnis kann leicht verallgemeinert werden: Es seien u, v, w, . . . Funktionen von x, und es sei y = f(u, v, w, . . .) eine aus ihnen zusammengesetzte Funktion von x. Ersetzen wir hierin v, w, . . ., aber nicht u, durch ihre Werte in x, so ist y ausgedrückt durch u und x} also aus u und x zusammengesetzt. Man kann daher die letzte Formel, in der x statt v zu schreiben ist, in Anwendung bringen. Dadurch ergibt sich, weil dx : dx — 1 ist:

TS TS

TS TS

wobei d'y: dx diejenige Ableitung von y bedeuten soll, bei deren formaler Berechnung u als Konstante betrachtet wird. Man hat dann ebenso:

d'y

dx

TS .TS

d"y dx ’

Man sieht, daß man so schließlich aus allen diesen Gleichungen die folgende gewinnt:

usw.

wobei d"y: dx diejenige Ableitung von y bedeuten soll, bei deren formaler Berechnung u und v als Konstanten betrachtet werden

dy

.dy dv dy dw ' dv dx' dtv dx '

Erinnert man sich noch an den Satz 11 in Nr. 33, nach dem die Funktion y = f(u, v, w, . . .), aufgefaßt z. B. als Funktion von u allein, die Ableitung

41, 42]

H I'SS

du

SU

df du du dx

haben würde, so können wir das Ergebnis so aussprechen:

Satz 22: Die Ableitung einer aus mehreren Funktionen u, v, w, . . . von x zusammengesetzten Funktion f von x ist gleich der Summe aus allen denjenigen Ableitungen, die sich ergeben, wenn man nach und nach jede der zusammensetzenden Funktionen u, v, w, . . . als allein veränderlich auffaßt, so daß d df du df dv df dw

du dx

' dv dx'div dx ' .

tvird. Vorausgesetzt ist dabei, daß die zusammensetzenden Funktionen u, v, w, .. . in einer Umgebung der betrachteten Stelle x bestimmte endliche Werte und bestimmte endliche Ableitungen haben, und daß die zusammengesetzte Funktion f, aufgefaßt als eine Funktion von unabhängigen Veränderlichen u, v, w, . . nebst ihren Ableitungen nach u, nach v, nach iv usw. in einer Umgebung der jenem betrachteten x entsprechenden Stelle (u, v, w, .. .) stetig ist.

43. Anwendungen. 1. Feispiel: Ist y = ut + u₂ + ... + un, so bat man die Ableitung dy \cux unter der Annahme zu berechnen, daß u₂, uz, . . . un bloß Konstanten bedeuten. Daher ist dy : dux — 1; Entsprechendes gilt von dy : du₂ usw., so daß kommt:

d{u, ±ut±---±un)    dut    du,

dx — dx

dx

+ ... + ^5

r - dx ’

womit Satz 12 in Nr. 34 von neuem bewiesen ist.

2.    Beispiel: Ist y = uxu₂ . . . un, so sind u₂, us . . . un bei der Berechnung von dy : dut als konstante Faktoren aufzufassen. Daher ist dy: dut — u₂u% . . . un, ebenso dy : du₂ = utu₂ . . . un usw., so daß sich ergibt:

Oh U₂ . . . uj = ufu₂ . . . un + u^uf . . . Un 4----+«!***■•• Un>

womit die Produktformel in Nr. 35 von neuem bewiesen ist.

3.    Beispiel: Ist y = u:v = uv~¹, so ist, wenn v nicht gerade den Wert Null hat, dy : cu = v~x und dy : dv = — uv dies nach Satz 19 von Nr. 38. Also kommt:

= V~¹U — U V~ ² V =

vu — uv'

wie in Satz 16, Nr. 36.

44. Folgerungen aus dem Satze über Funktionen von mehreren Funktionen. Eine Funktion y von einer Veränderlichen x ergehe sich dadurch, daß man mit x und Konstanten nacheinander eine Reihe von Rechenoperationen ausführt. Die Anzahl dieser Operationen sei aber endlich, etwa gleich n. Ist es nicht nur eine Operation, so wird eine der Operationen die letzte sein. Sind durch die vorhergehenden Operationen schon Funktionen u, v, w, . . . gewonnen worden, so besteht diese letzte Operation darin, daß aus u, v, w, . . . die Funktion y zusammengesetzt wird.

Der Satz 22 von Nr. 42 zeigt uns, daß wir y differenzieren können, sobald wir die einfacheren Funktionen u, v, w, . . sowie die Funktion /, aufgefaßt als Funktion von u allein oder von v allein usw., differenzieren können. Nun sind die Funktionen u, v, w, . . . ihrerseits durch n — 1 Rechenoperationen hervorgegangen; auf sie können wir daher dieselbe Betrachtung wie soeben auf y anwenden, usw. So sieht man, daß die Aufgabe, die angenommene Funktion y zu differenzieren, Schritt für Schritt auf lauter einzelne Aufgaben zurückgeführt wird, bei denen es sich nur noch darum handelt, gewisse Funktionen von einer Veränderlichen zu differenzieren, die durch eine einzige Rechenoperation hervorgegangen sind. Diese Funktionen können wir die elementaren Funktionen nennen, aus denen die andern zusammengesetzt sind. Es kommt nun ganz darauf an, in welchem Umfange man solche elementare Funktionen heranziehen will. Wir wollen nur die folgenden elementaren Funktionen betrachten:

1.    Die Funktionen, die durch eine algebraische Operation hervorgehen, nämlich a + x, ax, xn, wo a = konst. und n = konst. sei. Wir können sie nach Nr. 35 und Nr. 38 differenzieren.

2.    Die Logarithmusfunktion “log x und die Exponentialfunktion ax hier konstantes positives a.

3.    Die goniometrischen und zyklometrischen Funktionen sin x, cos x, tg x, ctg x und arc sin x, arc cos x, arc tg x, arc ctg x, die man auch zusammen die Kreisfunktionen nennt.

Wir haben demnach die Aufgabe, noch die unter 2 und 3 genannten Funktionen zu differenzieren.

§ 5. Differentiation des Logarithmus und der Exponentialfunktion.

45. Bestimmung von lim (l + — für ganzes posi-

tives m. Die Bestimmung dieser Grenze ist unerläßlich für die Aufgabe, die wir uns gestellt haben. Wir nehmen zunächst an, daß die Zahl m nach einem positiven unendlich großen Wert strebe, indem sie dabei nur die Heike der ganzen positiven Zahlen durchlaufe. Alsdann ist nach der Binomial-formel in bezug auf einen ganzzahligen positiven Exponenten:

V¹ + m) = 1 + T * m + —r*"" ' m’

m(m — 1) (m— 2)    1    / 1 \m

1-2-3

m* '    \ m /

Ist nun n eine bestimmte ganze positive Zahl kleiner als m und bedeutet Bn die Summe aller derjenigen rechtsstehenden Glieder, die auf das (n -f- l)te Glied folgen, so läßt sich schreiben:

(i)

i-i

» , V »/ v *•/

1-2-3

n — 1\ m I

+ Rn’

wo

\ m/ \ m) \ m )

1-2-3 - - - w

m — IV m )

(n -f-1) (n -f- 2)

(w -f-1) (n -f- 2) • ■ • m

_ w -f-1

ist. JRn hat hier zwei positive Faktoren. Der erste wächst mit zunehmendem m und hat für lim m = oo den Grenzwert 1 : (1.2.3 . . . n). Der zweite ist eine Summe von lauter positiven Gliedern, die kleiner sind als die entsprechenden Glieder der geometrischen Progression:

—---1--¹—

n -(- 1 ' (n -f-1)

Mit wachsendem m wächst diese Summe bis zum Grenzwerte 1 : n. Also ist für jedes m > n:

(2)

\2

¹..........— JLfi V I.

(» + 1)"‘ n L (n + 1)TOJ

[45

1 • 2 • 3 • • • n

• — = 2J . n n

Sn + r < Sn +

0<Bn<

TH §

1 • 2 • 3 • • • n

Ferner wachsen die in der Entwicklung (1) rechts vorkommen-den Zählerfaktoren mit zunehmendem m sämtlich bis zum Grenzwerte Eins. Mithin liegt der Wert von

für lim m = oo zwischen den beiden Summen: $„ = 1 + y +

= 1 + t + J72

(3)

Dabei bedeutet n irgendeine ganze positive Zahl, die wir nunmehr auch beliebig groß wählen können. In Nr. 106 wird sich zeigen, daß Sn für lim n — oo nach einem bestimmten endlichen Grenzwerte strebt; man pflegt ihn mit e zu bezeichnen:

(4)

e _ l -i. — _)__1:__|__I

^ 1 ^ 1 • 2 '    1 • 2 • 3

Hier genügt es zu bemerken: Wenn n in Sn durch eine größere ganze Zahl n + r ersetzt wird, ergibt sich zwar ein größerer Wert S

n -f- r 1

es kommt:

aber er bleibt doch immer kleiner als 2Jn. Denn

S. + r-S. 4 < Sn +

1 • 2 • 3 • • • n [n + 1 T (n + 1) (» -f - 2)

(n -f-1) (n -(- 2) • • • (n -f- r)

r_i

1-2-3---WLW+1

(n + 1) J

('n + 1)

oder, da hier eine geometrische Progression auftritt, nach (2):

Außerdem bemerkt man, daß die Differenz 2Jn — Sn mit wachsendem n nach Null strebt.

Demnach gilt für ein ganzes positives m die Formel:

(5)

lim (l +

ro = «A    »*/

e.

Bricht man die Reihe (4) nach ihrem (n -f- l)ten Gliede ab, so ist der noch fehlende positive Rest kleiner als Un — Sn, d. h. als der nte Teil des letzten noch berücksichtigten Gliedes.

Dies gestattet, die Zahl e mit beliebig großer Annäherung zu berechnen. Wählt man z. B. n — 5, so ergibt sich, daß e zwischen 2,71666 . . . und 2,71833 . . . liegt. Man findet auf 15 Dezimalstellen genau:

e = 2,71828 18284 59045 ..

/    1 \tn

46. Bestimmung von lim (1 + — j für beliebiges m.

tnzz ao

Nehmen wir jetzt an, die Zahl m werde positiv unendlich, indem sie alle positiven Zahlenwerte durchläuft, und bezeichnen wir mit p die ganze Zahl, die dem Werte m jedesmal am nächsten liegt und kleiner ist als m, so wird:

oder

(L +

('+ir

rM‘+irr.)<('+ir<('+Tr('+i)-

ft -f" ¹

Wenn nun m über alle Grenzen wächst, gilt dasselbe von der ganzen Zahl p. Dann werden die Grenzwerte (vgl. Nr. 45):

lim

lim

(,₊±)--

Größe ^1 + zwischen zwei Werten einge-

Mithin ist die

schlossen, die beide die Grenze e haben; man hat folglich nach Satz 34 in Nr. 25:

lim m = + eo

Nehmen wir schließlich an, daß m negativ unendlich werde, und setzen wir m — — p, so ist:

also

(! + i) - (x +    ¹(¹+;rb)'

Wächst p über alle Grenzen, d. h. nimmt m beliebig weit ab, so kommt nach dem Vorhergehenden:

= e,

lim

(i +

1;

also ist

lim (l -f —\ = e.

m=-a0\    *»/

Satz 23: Es ist

lim (l + -Y

m=±CCl\ m)

der bestimmte endliche Wert der unendlichen Iieihe:

1-2-3

47. Die Ableitung von log x. Die Basis der Logarithmen sei irgendeine gegebene positive Zahl a; die Veränderliche x kann nach Nr. 11 alle positiven Werte annehmen. Erteilt man ihr einen Zuwachs Ax, so wird

also:

A log x = log (x -f Ax) — log x = log ^1 -f

**('+¥)

d loga:

dx

dx

Setzt man ~ — m, d. h. Ax = ~, so folgt:

dx ’    m ’    °

d loga:

dx

Wenn nun Ax nach Null strebt, wird m wegen m=*x:Ax unendlich groß für x > 0. Nach Satz 23 kommt also:

Satz 24: Die Ableitung des Logarithmus von x mit irgendeiner Basis ist für jedes positive x:

löge.

d\ogx _ dx

Sind die Logarithmen in bezug auf die Basis e gebildet, so heißen sie die natürlichen Logarithmen (auch Neper sehe Logarithmen). Hier ist log e = 1 zu setzen. Daher:

Satz 25: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus von x ist gleich 1: x, in Formel

d log uata:

dx

Ersetzt man x durch eine Funktion u von x, so kommt nach Satz 11 in Nr. 33:

dlognatt* cülognatw du    du

du    dx    dx

dx

SS §

Hierdurch rechtfertigt sich der Name logarithmische Ableitung, der in Nr. 35 eingeführt wurde. Sie ist in der Tat die Ableitung des natürlichen Logarithmus der betreffenden Funktion.

Eine Anwendung hiervon machen wir für den Fall einer Potenz y = xn mit beliebigem irrationalen, aber konstanten Exponenten. Dabei ist x nach Nr. 5 positiv anzunehmen. Alsdann wird

log y = n log#,

so daß die Differentiation gibt:

ny

d. h.

= nxn~x.

1 dy n y dx x

Der Satz 19 in Nr. 38 läßt sich also so verallgemeinern:

Satz 26: Die Ableitung einer Potenz xn mit konstantem Exponenten n ist gleich nxn~\

48. Di© Ableitung von ax. Die Basis a muß nach Nr. 5 positiv angenommen werden, weil ja die unabhängige Veränderliche x irrationale Werte haben kann. Alsdann hat

ax einen positiven Wert. Es kommt nun:

A (ax) = ax+Jx — ax = ax (aJx — 1),

also:

J(ax)

«• a

— ax - .

Ax

Führen wir m durch die Formel

aJx = 1 +

ein, so ist, wenn wir hier beiderseits den Logarithmus bilden:

(1)

(2)

Ax

Ax

. loga-log (l + l)

oder Ax

M¹⁺s)

loga

Setzen wir diesen Wert von Ax und den Wert (2) von aJx in (1) ein, so kommt:

loga

Ax

= ax

loga

Strebt Ax nach Null, so wächst m nach (2) über alle Grenzen. Nach Satz 23, Nr. 46, kommt also:

loga löge

d(gx)

dx

= ax

Satz 27: Die Ableitung von ax ist ax log nat a, die von ex ist e? selbst.

a*

49. Eine Bestätigung. Wir haben die Bestimmung der Ableitungen von log# und ax direkt ausgeführt. Sobald aber die Ableitung von einer dieser Funktionen bekannt ist, kann man daraus die Ableitung der anderen berechnen. Denn setzen wir y = ax, so ist log?/ mit der Basis a nach Nr. 11 die inverse Funktion x. Nach Satz 18 in Nr. 37 ist also die Ableitung von ax gleich dem reziproken Werte der Ableitung von log?/ nach y. Diese Ableitung aber ist nach Satz 24, Nr. 47, gleich löge:?/. Folglich kommt: d{ax) _

dx löge löge

Wir haben aber e = aloge, also, wenn wir beiderseits den natürlichen Logarithmus nehmen:

1 = log e log nat a, d. h. - = log nat a.

Demnach kommt wie in Nr. 48 aufs neue:

d(ax)

Die Basis der Logarithmen ist dabei irgendeine. Wählt man das natürliche System, so ist loge = 1 und demnach

= ax log nat a.

Insbesondere ergibt sich für a = e, daß e* die Ableitung

d(ax)

dx

hat.

= ax log nat a.

Wir merken hier an, daß wir den natürlichen Logarithmus künftig kurz mit ln bezeichnen wollen.

50. Anwendungen.

1. Beispiel: Ist

so ist auch:

/l — x

1 -j- x

daher:

y = ln ]/ y = IM1 _ x) — iln(i + x)>

dy

dx

vH |(N

oder:

(1 ~ x)'

i — x

¹    +xy

2    1 +x

{l-x +

48, 49, 50]

2. Beispiel: Ist

y = ln (x -f ]/#² + a) und a eine Konstante, so hat man

, (x -+- Vx* 4- a)'

y =    , \/~rr~ ⁼

a; -f- Vx + a

3. Beispiel: Ist

1-f

x-\~ ]/x* -f- a

]/xs -f- a

y = u%

und sind u und v Funktionen von x, so wird

ln y = v lnw₇

also:

oder:

d ln y    d ln u

dx    dx

dv

+ ln“S5

also:

y — vuv~¹u + uvv'\nu.

Man hätte auch die Regel für die Differentiation zusammengesetzter Funktionen an wenden können, in Verbindung mit der Regel für die Ableitung der Funktion ax.

Setzt man u — x, v = 1 : x, so gibt die letzte Formel

TS

(1 — ln#).

--2

dx

== xx

Nach Satz 9 in Nr. 30 erkennt man hieraus, daß die Funktion xx wächst, solange x kleiner als e bleibt, denn die Ableitung ist dann positiv, und daß sie abnimmt, wenn x größer als e wird. Folglich erlangt die Funktion ihren größten Wert für x = e. Für negative Werte von x ist die Funktion überhaupt nicht definiert, nach Nr. 5.

4. Beispiel: In welchen Logarithmensystemen gibt es Zahlen, die gleich ihren Logarithmen sind?

Es handelt sich darum zu bestimmen, bei welchen Werten von a sich Größen x nachweisen lassen, für die

y = ax — x

den Wert Null annimmt. Es ist:

^ = ax\na — 1. ax

Nach Nr. 8 nimmt ax von + oo bis Null ab, wenn # von — oo bis -f- ⁰⁰ wächst, sobald a < 1 ist. Ist a > 1, so nimmt ax dagegen von 0 bis + oo zu, wenn x von — oo bis -f oo geht. Also folgt:

Im Falle 0 < a < 1 ist die Ableitung von y stets negativ, so daß y nach Satz 9 in Nr. 30 mit wachsendem x stets abnimmt. Für x = 0 ist y noch positiv, nämlich gleich Eins, für lim x = -f oo wird lim y = — oo. Es gibt also einen und nur einen und zwar positiven Wert x, für den y = 0 wird.

Im Falle a > 1 nimmt y so lange ab, als x kleiner bleibt als derjenige Wert xX} für den die Ableitung gleich Null, d. h., wenn man die Logarithmen bildet, für den xx ln a -f- ln ln a = 0 wird. Dies ist der Wert

ln ln a a ‘

Ist x > Xx, so wächst y. Für lim# = — oo ist lim?/ = -f- oo; für hinreichend großes x wird, wie wir in Nr. 131 (4. Beisp.) zeigen, ax~>x, also y~>0. Da y bis x — xx abnimmt und nachher wächst, erreicht y für x =*= xx den kleinsten Wert. Wegen a — elna ist er gleich (1 -f ln Ina): Ina. Es sind jetzt drei Fälle möglich: Ist erstens dieser kleinste Wert negativ, so wird y für zwei Werte von x gleich Null, der eine ist kleiner als xx, der andere größer als xx. Ist zweitens dieser kleinste Wert positiv, so bleibt y stets positiv. Ist drittens dieser kleinste Wert gleich Null, so wird y = 0 nur für x == xx. In diesem Falle ist ln ln a = — 1, also ln a — 1: e und a = e1:e.

§ 6. Differentiation der Kreisfunktionen.

51. Die goniometrischen Funktionen. Wir betrachten zuerst die Funktionen sin# und cos#. Erteilen wir der Veränderlichen # einen Zuwachs z/#, so ist:

(*+V)>

A sin # = sin (# + Ax) — sin # = 2 sin ^ cos A cos# = cos (# + Ax) — cos# = — 2 sin — sin [x    ,

also:

50, 51]

A sin x

. A x >m-2

Ax

cos

A cos x

sin

Ax

Ax

2    .    / Ax\

rsm (* + t)-

Nach Nr. 26 ist der Grenzwert von sin ~ ^ gleich Eins. Also kommt:

d cos x

d sin x

Da die Funktionen tg x und ctg x gleich den Quotienten

und

dx

= — sin x.

sin x cos x

cos x

sin x

sind, kann man ihre Ableitungen mittels der Regel für die Differentiation eines Bruches aus den Ableitungen von sin x und cos x berechnen. Es wird: d sin x dx

d tg x

cos x

— sin x

d cos x dx

dx

COS⁸ X

cos⁸ x -f- sin⁸ x

cos⁸«    cos⁸«’

d ctg x

sin x

d cos x

dx

cos x

d sin x

dx

sin⁸ x -f- cos⁸ x

dx

sin⁸ x

sin⁸ x

sin⁸ x

Es hat sich mithin ergeben:

Satz 28: Die Ableitungen der goniometrischen Funktionen

sind:

d sin x

dx

= cos X,

digx

d cos x

-sr--8m*>

d ctg x _    1

dx    sin⁸ x

cos⁸ x’

Die rechts stehenden Formeln hätten wir auch aus den links stehenden ableiten können. Denn wenn u —    — x ist,

folgt aus den Formeln links nach Satz 11 in Nr. 33:

d tg u

dx    cos *u

Es ist aber sin u = cos x, cos u = sin x, tg u — ctg x, so daß sich in der Tat ergibt:

dx

d sin u

dx

= — COS u,

d cos x

-HF---81,1

d ctg x

dx

sin⁸«

52. Eine Anwendung. Verbindet man die vorstehenden Regeln mit der Regel für die Dilferentiation der Logarithmen, so erhält man unmittelbar die Ableitungen der Funktionen ln sin x, ln cos x, ln tg x.

Es wird:

d ln sin #

dx    sin#

d ln cos x

1 d sin x

dx

cos x sin x

dx

d ln tg #

dx

1 d cos x cos x

1 d tg x _

tg# dx tg#cos*#

dx

= ctg X,

sin x cos x

= - tg x,

sin 2 #

Wenn man in der letzten Formel x durch u = \x bzw. u = \x \tc ersetzt und Satz 11 in Nr. 33 benutzt, erhält man:

d lntg-1# 1 d lh tg (|# -f-1«) dx    sin # ’

dx

cos#

53. Die zyklometrischeu Funktionen. Sie sind nach Nr. 12 zu den goniometrischen Funktionen invers, so daß ihre Differentialquotienten nach Satz 18, Nr. 37, die reziproken Werte der Differentialquotienten der goniometrischen Funktionen sind. Im einzelnen kommt:

a) Ist y = arc sin x, so wird x — sin y, also nach Nr. 51 dx : dy = cos y. Folglich kommt dy : dx = 1 : cos y. Da aber sin y = x ist, haben wir cos y = ]/l — #². Mithin ergibt sich d arc sin #

dx

y i—#*

für jedes x im Intervalle — 1 < x < + 1. Das Vorzeichen der Wurzel ist das von cos y, also positiv, wenn arc sin x einen im Intervalle von — -|-jr bis + y³* gelegenen Bogen bedeutet. (Vgl. c in Nr. 12.)

b) Ist y = arc cos x, so wird x = cos y, also nach Nr. 51 dx : dy — — sin y und folglich dy : dx — — 1 : sin y, so daß wegen cos y = x kommt:

d arc cos #

dx

1/1-#*

für — 1 < x < -f 1. Das Vorzeichen der Wurzel ist das von sin y, daher positiv, wenn arc cos x einen im Intervalle von 0 bis n gelegenen Bogen bedeutet. (Vgl. d in Nr. 12.)

52, 53]

c) Aus y = arc tg x folgt # =* tg y, also dx: dy = 1: cos² y7 d. h. dy: dx = cos²?/. Da tgy = x ist, wird cos²«/ = 1: (1 + x²). Also kommt für jedes x:

d arc tg x

dx

1 -f

d) Aus y = arc ctg x folgt x = ctg y, also dx :«?«/ = — 1 : sin²«/, d. h. dy : dx = — sin² y, woraus für jedes x hervorgeht:

d arc ctg x

1    x*'

Satz 29: Für — 1 < x < -f 1 ist:

dx

d arc sin x

d arc cos x

dx

y i — x²

dx

y i — x*

Das Vorzeichen der ersten Quadratwurzel ist das gleiche wie das des zugehörigen Kosinus und das Vorzeichen der zweiten das gleiche wie das des zugehörigen Sinus. Insbesondere für

— y 7t < arc sin x <    %

ist die Quadratwurzel im Differentialquotienten von are sin x positiv und für

0 < arc cos x < %

die Quadratwurzel im Differentialquotienten von arc cos x positiv, Außerdem ist für jedes x:

d arc ctg x

d arc tg x

1 -f- X* ’

dx

dx

1+r

Man möge beachten, daß die Ableitungen der zyklometri-scben Funktionen ebenso wie die Ableitung des Logarithmus algebraische Funktionen sind. Ferner ist arc tg a? -|- arc ctg x stets ein ungerades Vielfaches von also konstant, womit im Einklänge steht, daß arc tg x und arc ctg x entgegengesetzt gleiche Ableitungen haben. Vgl. Satz 7, Nr. 29. Auch bemerkt man, daß entweder arc sin x -f- arc cos x oder arc sin x — arc cos x ein ungerades Vielfaches von ist, was damit im Einklänge steht, daß arc sin x und arc cos x Ableitungen haben, die sich entweder nur durch das Vorzeichen oder überhaupt nicht voneinander unterscheiden.

Serret-Scheffers, Diff.- u Integr.-Eechn. I. ß.u.7.Aufl.

§ 7. Differentiation der unentwickelten Funktionen.

54. Eine Funktion definiert durch eine Gleichung.

In diesem Paragraphen wollen wir zeigen, wie man rein formal die Differentialquotienten von Funktionen berechnen kann, die implizite (vgl- Nr. 6), nämlich durch unaufgelöste Gleichungen, gegeben sind. Dabei wollen wir die Frage, ob es wirklich solche Funktionen gibt, und ob sie wirklich Ableitungen haben, ganz beiseite lassen. Auf diese Frage werden wir erst im dritten Bande zurückkommen.

Zunächst liege der Fall vor, wo eine Funktion y von einer unabhängigen Veränderlichen x durch eine nicht nach y aufgelöste Gleichung gegeben sei. Bringen wir die rechte Seite der Gleichung auf Null, so hat die Gleichung die Form:

f(x, y) = 0.

Nehmen wir an, sie definiere in der Tat innerhalb eines gewissen Intervalles von x die Veränderliche y als Funktion von x, etwa als die Funktion v(x), so ist für jedes x innerhalb des Intervalles

fix, v(x)) = 0,

d. h. fix, v(x)) ist eine Funktion von x, die innerhalb des Intervalles den konstanten Wert Null und daher auch die Ableitung Null hat, nach Satz 4 in Nr. 29:

= 0.

(1)

df(x,v(x))

dx

aus

Nun aber ist fix,v{x)) als eine Funktion zu betrachten, die den beiden Funktionen x und v{x) zusammengesetzt ist. Dies tritt noch klarer hervor, wenn wir die erste Funktion, nämlich x, zum Überfluß mit u bezeichnen, weil dann f(x,v(x)) die Form f(u, v) hat. Wir kommen dann dazu, den Satz 21 in Nr. 41 anzuwenden. Wenn die bei ihm angegebenen Voraussetzungen erfüllt sind, ergibt die Formel des Satzes wegen (1) und, weil wegen u = x insbesondere du : dx = 1 ist:

du

df(u,v) df(u, v) _ dv dv dx

oder, wenn wir wieder u durch x und v durch y ersetzen:

(2)

0 = dffa y) _i_ d/fo. V) . dy _

dx    dy dx

dy

Hieraus folgt:

(3) öffr i y)

dx

dx df{x, y)'

dy

Man könnte durch genaueres Eingehen auf die hei Satz 21 in Nr. 41 angegebenen Voraussetzungen feststellen, unter welchen Voraussetzungen die Formel (3) gilt, die uns die Ableitung dy: dx der implizite gegebenen Funktion y von x liefert. Jedoch wollen wir hier, wie gesagt, nur die formale Seite des Problems betrachten und deshalb dies Ergebnis (3) nicht als Satz formulieren. Die Formel (3) gibt uns ein Verfahren, wonach man die Ableitung der durch f(oc, y) = 0 definierten Funktion y von x praktisch berechnen kann, wenn die Funktion existiert und eine Ableitung hat, und wenn ferner die in (3) mit f(pc} y) gemachten Operationen erlaubt sind.

55. Beispiele.

1. Beispiel: Es sei a == konst.y b = konst. und: a²y² -f b²x² — a²b² — 0.

Hier bedeutet f(x, y) die links stehende Funktion. Für sie ist:

= g =

so daß die Formel (3) der vorigen Nummer gibt:

fc* x dx    a² y

Die vorgelegte Gleichung ist bekanntlich die einer Ellipse, und sie läßt sich nach y auflösen, so daß wir das Ergebnis bestätigen können. Die Auflösung nach y gibt nämlich:

df

dx

dy

woraus durch direkte Differentiation folgt: dy

bx

dx

«■j/a² — x*

Da die Wurzel gleich ay:b ist, erhalten wir in der Tat dieselbe Formel wie oben.

2. Beispiel: Die Punkte, deren Koordinaten die Gleichung

(x² + y²)² — 2 a²(x² — y²) = 0

mit a = konst. erfüllen, bilden eine sogenannte Lemnislcate. Bedeutet f die links stehende Funktion, so ist

CO

= 4 xix* + y²) — 4 a²x,

= 4?/0² + ?/²) + 4a²?/.

Nach (3) in Nr. 54 kommt also:

dy    £c² —{- 2/² — a* a:

da;    x*-\-y*a* y

Nur für das Wertepaar x = y = 0, das die gegebene Gleichung erfüllt, versagt die Formel. Wiederum kann man das Ergebnis bestätigen, weil die gegebene Gleichung quadratisch in y² ist und daher y als entwickelte Funktion von x aus ihr berechnet werden kann. Wir überlassen die Bestätigung dem Leser.

56. Zwei Funktionen definiert durch zwei Gleichungen. Sind zwei Gleichungen in x, y, z gegeben:

f(x, y, z) = 0, F(x, y, z) = 0,

so können wir uns vorstellen, sie seien in einem gewissen Variabilitätsbereiche von x nach y und g auflösbar. Dann sind y und g gewisse Funktionen von x. Würden wir sie in fix, y, z) und F{x, y, z) einsetzen, so würden f und F Funktionen von x allein werden, aber für jedes x im Intervalle gleich Null sein, also auch ihre Ableitungen df: dx und dF: dx. Andererseits wären dann fix, y, z) und Fix, y, z) solche Funktionen von x allein, die aus x und zwei Funktionen y und g von x zusammengesetzt sind wie in Satz 22, Nr. 42, wo die Funktion f aus den Funktionen u, v, w,. . . von x allein zusammengesetzt war. Wir wenden also diesen Satz an, indem wir darin unter f eine Funktion f bzw. F von drei Funktionen u, v, w verstehen, von denen u gleich x selbst ist, dagegen v und w die gedachten Funktionen y und z von x bedeuten sollen. Dann ist du : dx = 1 und, wie schon gesagt, df: dx und dF: dx gleich Null, so daß kommt:

(1)

dx

Hieraus folgt:

df dF dfdF dx dy dy dx df dF_WjF dy dz dz dy

dy    dz    dz dy

Die Voraussetzungen, unter denen diese Formeln gelten, könnten wir zum Teil aus den Voraussetzungen des benutzten Satzes 22 von Nr. 42 entnehmen. Wir wollen hier jedoch wie in Nr. 54 nur die rechnerische Seite des Problems betrachten.

Wir fügen hinzu: Die Auflösung der Gleichungen (1) nach dy : dx und dz : dx, in denen sie ja linear sind, geschieht am bequemsten mit Hilfe von Determinanten. Es empfiehlt sich dabei eine Abkürzung: Wenn f und _F Funktionen von mehreren Veränderlichen, z. B. x, y, z, sind, soll unter

&    -H>

diejenige zweireihige Determinante verstanden werden, deren erste Zeile aus den Ableitungen von f nach x und y und deren zweite Zeile aus den Ableitungen von F nach x und y besteht. So soll überhaupt sein:

cf cf dx dy dFdF dx dy

Man nennt diese Ausdrücke die Funktionaldeterminanten von f und F hinsichtlich x, y bzw. y, z bzw. z, x. Jetzt ist die Auflösung von (1) so zu schreiben:

f F

z x

)-

df df dy dz d_F d F dy dz

df df dz dx dFdF | dz dx \

dy

dz

dx //' F\ ’ dx /f F\ \y z)    \y z)

57. Beispiel. Es seien y und z als Funktionen von x definiert durch die beiden Gleichungen:

«x + ßy + yz = p,

x² F if-f 0² = r2 wo r, a, ß, y,p Konstanten bedeuten. Sind x, y, z rechtwinklige Koordinaten im Raume, so ist die erste Gleichung die einer Kugel, die zweite die einer Ebene; beide zusammen stellen also den Kreis dar, in dem die Kugel die Ebene schneidet. Wir könnten hier y und z wirklich als Funktionen von x explizite berechnen und ihre Differentialquotienten geradezu finden. Da also Differentialquotienten im Falle des Schnittes vorhanden sind, finden wir sie jedoch bequemer nach dem angegebenen

Verfahren. Dabei sind unter f und F die Funktionen zu verstehen:

f= x* + y² + £²— r², JF=* ccx + ßy -f- yz — p.

Hier ist:

df

3a:

= 2x,

-2y

df

= 2*,

3-F

3F

dF

3» “if

Ji~y-

Also haben die Funktionaldeterminanten die Werte:

dx

- — cc

F\ = %(.ßx-uy), (f F\ = 2(yy \x yJ    \y z ¹

— ß z)

(t F\ = 2(ccz—yx),

\Z X/

so daß kommt:

dz ßx — ay yy — ßz

dy _ a z — y x

dx yy — ßz’ dx

58. n Funktionen definiert durch n G-leichungen.

Es seien n Gleichungen in n -fl Veränderlichen x, xx,x₂,... xH gegeben:

flfa ^2 7 ••• Xn) ^7 f^x, xlf x₂, ... xj = 0

fn(x7 Xlf X₂, ... Xn) — 0.

Wir wollen voraussetzen, daß sie nach x1} x₂, ... xn auflösbar seien, so daß sie also x1}x2} ... xn implizite als Funktionen von x allein definieren. Denken wir uns für x₁,x₂,...xn wirklich diese Funktionen von x in allen n Funktionen fi eingesetzt, so wird jedes f{ eine Funktion von x allein. Aber jedes f. ist gleich Null für jeden Wert von x innerhalb des für x erlaubten Bereiches. Also wird die Ableitung df{: dx = 0. Andererseits findet man diese Ableitung wieder nach der in Satz 22 von Nr. 42 angegebenen Regel, worin u, v, w, . . . durch x, xt, x₂, ... xn zu ersetzen sind. Daher kommt, weil u = x, also du : dx = 1 ist, für i = 1, 2, ... n:

0 ₌ Mi i Mi dxi I Midx*

dx' dxx dx ' dxi dx

Mi d xn.

dxn dx

So gehen insgesamt n Gleichungen hervor, die linear hinsichtlich der n Größen

dxx dx,    dx„

dx ’ dx }    dx

sind. Sie lassen sich mit Hilfe von Determinanten leicht auf-lösen. Es soll wieder die in Nr. 56 benutzte Bezeichnung der Funldionaldeierminanten angewandt werden. So bedeute

fl ff- fn

x, x₂ ...xn

diejenige n-reihige Determinante, deren it0 Zeile aus den Ableitungen von f. nach xlf x2} ... xn besteht. Alsdann kommt:

fl fi • • • fn

(1)

dxk _

dx

Gl

■ • • xk — \ xxk +1 •

fl fi--- fn\

xj

Xx x₂ . . .

Insbesondere ergibt sich für k — 1:

dfi dfx

dx ex, dfi dfi .

dx

dxi _ dx W&₂

dfn dfn

dx dx₂

dfn dfn    dfn

dx. dx.    dxn

Alle n Ableitungen drücken sich nach (1) als Brüche aus, deren gemeinsamer Nenner die Funktionaldeterminante

fi

...xj

ist, und daher muß vorausgesetzt werden, daß diese Determinante von Null verschieden sei. Im übrigen wollen wir auch hier nicht näher auf die Voraussetzungen eingehen, unter denen die vorhin gemachte Anwendung des Satzes 22 von Nr. 42 statthaft ist.

Drittes Kapitel.

Höhere Differentialquotienten, partielle Differential-quotienten nnd vollständige Differentiale.

§ 1. Höhere Differentialquotienten von Funktionen einer Veränderlichen.

59.    Definition der Ableitung nUr Ordnung. Ist f(x)

fix).

eine Funktion von x, die eine Ableitung f'(x) hat, so kann es sein, daß auch f'(x) eine Ableitung hat. Diese Ableitung wird mit f"(x) bezeichnet. Ebenso bedeutet f'"(x) die Ableitung von f"(x), falls sie vorhanden ist, usw. Allgemein wird unter fW(x) die Ableitung der Funktion f(n~x\x) verstanden, wobei der Index n, der zur Unterscheidung von Potenzen in Klammern zu setzen ist, nach und nach die ganzzahligen positiven Werte 1, 2, 3, ... durchläuft. Die Funktion fW(x) wird auch die Ableitung nter Ordnung oder die nte Ableitung von f(x) selbst genannt. Die im vorigen Kapitel schlechtweg als Ableitung bezeichnete Funktion f'(x) ist also die erste Ableitung von Wenn wir künftig von der Ableitung einer Funktion f(x) sprechen (also nicht von den Ableitungen), ist damit immer die Ableitung erster Ordnung gemeint.

60.    Die Ableitung nter Ordnung als nt6r Differentialquotient. Ist y = f(x) eine Funktion von x, so soll in dieser Nummer dhy dasjenige Differential von y bezeichnen, das zu einem Differential dx = h gehört, d. h. es soll nach Nr. 32

dhy = f{x)h

sein. Dies Differential ist eine Funktion von x und von h. Insbesondere wollen wir, da wir nachher der Veränderlichen x

59, 60]

dKy = fV)\

verschiedene Differentiale geben, zunächst x das Differential \ beilegen, so daß

(1)

das zugehörige Differential von y ist. Dies Differential ist ebenfalls eine Funktion von x. Dasjenige Differential dieser Funktion, das dem Differential li₂ von x entspricht, geht durch Multiplikation ihrer Ableitung f"(x)ht mit \ hervor, ist also gleich f'(x)hx\. Dies Differential heißt das Differential zweiter Ordnung von y selbst; es ist mit dh dh y zu bezeichnen:

(2)

dKdKy = r MM«-

Dies Differential zweiter Ordnung ist wieder eine Funktion von x. Geben wir x das Differential h₃, so hat diese Funktion, da f"'(x)W ihre Ableitung ist, das Differential:

dKdKdKV “ f"\x)hhh 5

es wird das Differential dritter Ordnung von y selbst ge-genannt, usw.

Nach n Schritten geht das Differential nier Ordnung von y hervor:

(3)

dh d,

hn hn-1

• • dkdihy = f{nKx)W • • • K-iK-

Die rechte Seite bleibt bei Vertauschungen von h₁,h₂, ... hn ungeändert. Also ändert sich der Wert des Differentials nter Ordnung von y nicht, wenn man die Reihenfolge, in der man x nach und nach die Differentiale h₂, ... hn erteilt, irgendwie wählt.

Sind insbesondere alle n Differentiale h₂, . . . hn gleich groß, etwa gleich dx, so brauchen wir die unteren Indizes ht) Ji₂, . . . hn nicht mehr anzugeben. Die Differentiale dy, ddy, dddy, ... können wir alsdann kürzer mit dy, d²y, d³y, ... bezeichnen, allgemein das nt6T Ordnung mit dny (gelesen: d-n-y), so daß nach (3)

(4)

dny = f⁽-n'}(x)dxn

ist, wo nun dxn die wte Potenz von dx bedeutet, während d(xn) das Differential der wten Potenz von x vorstellen würde, vgl. Nr. 38. Aus (4) folgt

Hiermit ist die nie Ableitung als ein Bruch dargestellt, dessen Zähler das Differential ntei Ordnung von y und dessen Nenner die wte Potenz des Differentials von x ist, also als ein Differentialquotient, der insbesondere der Differentialquotient nter Ordnung oder der nte Differentialquotient von y beißt. Ziehen wir die Erläuterungen in Nr. 32 heran, so können wir — weniger scharf, aber anschaulicher — so sagen: Das Differential dny stellt den Zuwachs dar, den die Funktion dn~¹y von x haben würde, wenn sie sich von dem zur betrachteten Stelle x gehörigen Werte an weiterhin beständig so ändern würde, wie sie es momentan tut.

Die Darstellung der wten Ableitung durch den nten Differentialquotienten wird sehr viel gebraucht. Nach (4) ist das Differential nter Ordnung von y gleich der nten Ableitung von y, multipliziert mit der nten Potenz des Differentials von x.

61. Beispiele. Es leuchtet ein, daß man die höheren Differentialquotienten einer Funktion durch wiederholte Anwendung der im vorigen Kapitel gefundenen Differentiationsregeln erhält. Hierzu einige Beispiele.

m(m — l)xm

j-n = mim — 1) ... (m — n -f- \)xm~n.

2. Beispiel: Ist y = lnx, so wird dy : dx = x~l, daher für n > 1:

-2

USW.,

1. Beispiel: Ist y = xm und m konstant, so wird -i

dx

⁷ dxs

g = (-l)”-‘1.2.3...(«-l>-».

3.    Beispiel: Ist y = ax, wo a eine positive Konstante bedeute, so wird:

= a* (lna)2? •

dny ₌

dx¹¹

ax (ln a)n.

= ax\na,

4.    Beispiel: Ist y = sin(# -f- a) und a konstant, so wird:

^ = cos(a; + u) — sin(a; -)- a -f

Man erhält also die Ableitung von sin (x + konst.), indem man die Konstante um vergrößert. Also ist für jede positive ganze Zahl n:

60, 61]

dny dxn

Setzt man für a Null oder so kommt:

dncos x

~döF~

62. Differenzen höherer Ordnung. Der Zuwachs f{x -f- hf) — fix), den eine Funktion y — f(x) erfährt, wenn die unabhängige Veränderliche x um \ wächst, heißt Differenz erster Ordnung von y und werde mit Ah y bezeichnet. Sie ist eine Funktion von x, so daß wir wiederum die Differenz erster Ordnung für sie bilden können, d. h. den Zuwachs, den sie erfährt, wenn x um eine Größe h₂ zunimmt. Diese Differenz Ah Ah y heißt Differenz zweiter Ordnung von y. So können wir fortfahren und eine Reihe von Differenzen bilden:

sin (x -f- cc -f \nn).

dn sin«

dxn

= sin(# +

= cos(# -f 1 nn)-

• • • ^hn^hn-\ ' ' ‘

Die zuletzt angegebene heißt die Differenz nter Ordnung von y. Aus der Definition der Differenz erster Ordnung

= fix + K) - fix)

folgt:

4h4Ky = [f(x + \ + h₂) - fix + h₂)] - [fix + K) - fix)]-

Da sich nun dieser Wert nicht ändert, wenn ht mit h₂ vertauscht wird, folgt allgemein: Bei der Berechnung der Differenz nter Ordnung kann man, ohne ihren Wert zu ändern, die Reihenfolge zweier aufeinander folgender Zunahmen h und demnach überhaupt die Reihenfolge aller n Zunahmen hx, h₂, . . . hn von x beliebig ändern. So ist z. B. Ah Ah Ah y dasselbe wie

63. Neue Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes.

Zwischen der Differenz wter Ordnung und der Ableitung wter Ordnung besteht eine wichtige Beziehung, die wir nachweisen wollen. Zunächst können wir den Mittelwertsatz in der in Nr. 28 als Satz 3 angegebenen Form, da AhF(x) — Fix -f h) — Fix) ist, so aussprechen:

Satz 1: Hat eine Funktion Fix) nebst ihrer ersten Ableitung F\x) für jedes x im Intervalle von x₀ bis x₀ -f h einen bestimmten endlichen Wert, so gibt es einen von Null und Eins

verschiedenen positiven echten Bruch 0 derart, daß die Gleichung besteht:

4hF(x₀) = hF\x o + Oh). Außerdem schicken wir voraus: Aus

dJhF(x)

dx

- F'{x + h) - F'(x) - JhF'{x) -

folgt, daß die Operationen des Differenzenbildens und des Differenzierern hinsichtlich ihrer Reihenfolge vertauschbar sind.

Wir wollen jetzt annehmen, daß eine Funktion f(x) und ihre Ableitungen bis zu der von der (in — l)ten Ordnung in dem Intervalle von xQ bis x₀ -j- \ -f- hx -f- • • • + hn der Forderung 51 in Nr. 27 genügen. Alsdann genügt die Differenz (n — l)ter Ordnung

im Intervalle von x₀ bis x₀ -j- hn der Forderung 51, da bei ihrer Bildung x insgesamt den Zuwachs hx -f- \ + • • • + \_x erhalten hat. Wenden wir den Satz 1 statt auf F(x) auf diese Differenz an, so kommt:

ddhn_₁^hn^₂- • • 4,/VMA) dx₀

⁼ \dhn(xoFOnhn),

da die Operationen des Differenzenbildens und Differenzierens hinsichtlich ihrer Reihenfolge vertauschbar sind. Dabei liegt 6n zwischen 0 und 1. Ferner genügt die Differenz (n — 2)ter Ordnung von f (x -f 6nhn), nämlich z/.    Ah

"n — 2 "n — 3

als Funktion von x -f- 0nhn der Forderung 5t, da bei ihrer Bildung x insgesamt um \ h₂    hn_ ₂ wächst, also

die Veränderliche von xQ -f 0nhn bis x₀ + ht + \ + • * • + hn_x -f 0nhn zunimmt. Die Anwendung des Satzes 1 auf die Differenz (n — 2)ter Ordnung gibt somit:

(1) '

• • ^a/Oo) = K

• •    + ⁶nh),

hn-\

z/

hn-2 '

• •    (*0 + °nh) =

dz^/in_2 • • •    (xo "f 0nhn + On_xhn_f)

= hn ,

= h„ , z/.

« -1 - 2

dx₀

wo 0n_₁ zwischen 0 und 1 liegt, so daß die Formel (1) durch Einsetzen dieses Wertes gibt:

K-i)-

■^hfXxo + dnhn+0

~ 1 hn- 2"

n —1

^hn ^ hn _!*••    fM ⁼ \ \

Ebenso schließen wir weiter und erhalten endlich nach n Anwendungen des Satzes 1:

A} A} .

Der Zähler des links stehenden Bruches ist die Differenz ntei Ordnung von f(xQ) und der Nenner das Produkt der n bei der Bildung dieser Differenz benutzten Zunahmen    . Ain

von x. Deshalb heißt dieser Bruch der allgemeine Differenzenquotient nter Ordnung von f(x) an der Stelle x₀. Wählen wir insbesondere alle Zunahmen \, h₃, . . . hn gleich Ax, so werden wir ihn kürzer so bezeichnen können:

4nf(x₀)

—ÄIT'

wo Axn die nte Potenz von Ax bedeutet, während A(xn) einen Zuwachs der wten Potenz von x vorstellen würde. In der Formel

des Satzes kommt dann rechts die Summe    -----Y®()Ax

vor, worin + 0₂ +----(- Qn zwischen 0 und n liegt, also in der

Form nd darstellbar ist, wenn 6 einen von Null und Eins verschiedenen positiven echten Bruch bedeutet. Wir haben jetzt:

-TJpl _ /*•>(*„ + nBJx).

f(n\x)

Machen wir den Grenzübergang lim Ax = 0, so kommt, wenn an der Stelle x₀ stetig ist:

Jnf(x₀)

Jxn

= f{nKxo)-

lim J 1=0

Die Ableitung nter Ordnung ergibt sich also als Grenzwert des Differenzenquotienten nter Ordnung.

§ 2. Partielle Diiferentialquotienten.

64. Partielle Ableitungen. Es sei f(x, y) eine Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen x und y. Man kann, indem man der Veränderlichen y irgendeinen gestatteten bestimmten Wert beilegt, die Funktion f als eine Funktion von x allein betrachten. Hat sie dann eine Ableitung, so nennt man diese die partielle Ableitung erster Ordnung von f hinsichtlich oder nach x und bezeichnet sie mit fx(x, y). Man kann sich aber auch denken, daß der Veränderlichen x ein bestimmter gestatteter Wert beigelegt sei, so daß dann f als eine Funktion von y allein erscheint. Hat sie als solche eine Ableitung, so heißt diese die partielle Ableitung erster Ordnung von f hinsichtlich oder nach y, und sie wird mit fy(x, y) bezeichnet. Die beiden Ableitungen fxfa y) und fy(x, y),

die man auch kurz die ersten partiellen Ableitungen von f nennt, sind ihrerseits wieder Funktionen von x und y. Genau so wie bei f selbst können wir also auch bei fx und f von partiellen Ableitungen erster Ordnung sprechen, vorausgesetzt, daß es welche gibt. So kann fx zwei partielle Ableitungen, eine nach x und eine nach y, haben, die so bezeichnet werden:

fxM V) und fxy{x,y)‘

ebenso kann f zwei partielle Ableitungen, eine nach x und eine nach y, haben, die so bezeichnet werden:

fyxip, y) und fyy(x> y)-

Die so gebildeten Ableitungen heißen die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f selbst. Da sie wiederum Funktionen von x und y sind, kann man die Betrachtung fortsetzen. So gelangt man nach n Differentiationen zu den partiellen Ableitungen nter Ordnung von f selbst, worunter eben die partiellen Ableitungen erster Ordnung aller partiellen Ableitungen (n — l)ter Ordnung von f zu verstehen sind. Sie werden in entsprechender Weise durch angehängte Indizes x und y bezeichnet, 63, 64]

die angeben, in welcher Reihenfolge nacheinander die partiellen Ableitungen zu nehmen sind oder, wie man auch sagt, in welcher Reihenfolge partiell nach x bzw, y zu differenzieren ist. So z. B. bedeutet fxyxx(cc, y) eine partielle Ableitung vierter Ordnung, die folgendermaßen hervorgeht: Zuerst wird f partiell nach x, das Ergebnis partiell nach y, das neue Ergebnis partiell nach x und das so hervorgehende schließlich nochmals partiell nach x differenziert.

Eine entsprechende Betrachtung läßt sich bei Funktionen von mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen anstellen. Dies ist so einleuchtend, daß wir die partiellen Ableitungen einer Funktion von n Veränderlichen gar nicht ausdrücklich zu definieren brauchen.

65. Gleichgültigkeit der Reihenfolge hei der Berechnung partieller Ableitungen. Nach dem Vorhergehenden hat eine Funktion f(x, y) von zwei unabhängigen Veränderlichen zwei partielle Ableitungen erster Ordnung fx und f} dagegen vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung fxxjfxy und fyxffyy’ folglich acht von dritter Ordnung usw. In Wahrheit aber ist die Zahl der Ableitungen meistens geringer. Wir werden nämlich beweisen, daß die Reihenfolge der Bildung der partiellen Ableitungen unter gewissen Voraussetzungen gleichgültig ist, so daß fxy dasselbe wie fyx liefert.

Es möge dem x der Zuwachs h oder dem y der Zuwachs 1c erteilt werden. Das Zeichen Ax, vor eine Funktion von x und y gesetzt, soll den Zuwachs angeben, den die Funktion erfährt, wenn x um h wächst. Ebenso soll Ay, vor die Funktion gesetzt, ihren Zuwachs angeben für den Fall, daß y um Tc wächst. Dann ist:

(i)

4/0, y) - f(x + h, y) - f<x, y)>

folglich:

y) = I/O + h, y + h) - f{x, y + &)]

- [f{x + h,y) - f(x, y)\

Genau dasselbe — nur in anderer Reihenfolge der Summanden rechts — ergibt sich für z1xzlyfix, y). Die Reihenfolge, in der man nacheinander die Differenzen Ax und Ay bildet, ist hiernach ohne Einfluß auf das schließliche Ergebnis.

Nun sei F(cc, y₀) eine Funktion, die, als Funktion von x aufgefaßt, im Intervalle von x₀ bis x₀ -f- h der Forderung 2t in Nr. 27 genügt. Alsdann gibt der Mittelwertsatz, wie wir ihn in Nr. 63 als Satz 1 formuliert haben:

(2)

^Vo) ~ ^-F'xoOo d⁻ Oh, yQ), wo 6 einen gewissen positiven echten Bruch bedeutet. Wenn andererseits F(x₀, y), als Funktion von y auf gef aßt, die Forderung 2t im Intervalle von y₀ bis y₀ + k erfüllt, ergibt sich entsprechend:

(3)

y₀) = kFyo(x0, y₀ + &k),

wo & einen gewissen positiven echten Bruch bedeutet.

Insbesondere wollen wir die Formel (3) auf diejenige Funktion F(x₀, y) anwenden, die gleich zlxJ‘(x₀, y) ist. Ihre partielle Ableitung nach y ist, wie (1) zeigt, gleich fy{xQ-\-h,y) — fy(cco, y) oder /ixJy{x₀, y), so daß sich nach (3) ergibt:

(4)

^y^xof&o’ Vo) = k4Xofyo(x₀, y₀ + Q-k), vorausgesetzt, daß zJxJ(xQ, y) im Intervalle von y₀ bis y₀ -f- k die Forderung 21 erfüllt. Hiernach wenden wir die Formel (2) auf diejenige Funktion F(x, y₀) an, die gleich fJo{x, y₀ -f- &k) ist, so daß kommt:

^xofyo{X0, VO +    = hfy₀x₀Oo + ⁶h Vo +

vorausgesetzt, daß fya(x, y₀ + &k) die Forderung 2t im Intervalle von x₀ bis x₀ -f h erfüllt. Setzen wir diesen Wert in (4) auf der rechten Seite ein, so folgt nach Division mit kh:

^y^xJ^Vo)

(5)

kh

= fyoX„Oe + 6k>

Hätten wir in der vorhergehenden Betrachtung in bezug auf x und y die umgekehrte Reihenfolge beobachtet, so hätten wir ebenso erhalten:

Jx₀dyJ(x<n y*)

hk

= fxovM0 + e'h, y₀ +

wo 6' und positive echte Brüche bedeuten. Nach einer vorausgeschickten Bemerkung hat die linke Seite dieser Formel denselben Wert wie die linke Seite von (5), so daß auch

(⁶)    fxo9oOo + O'h, y₀ + &'k) = fyoXo(xo + Oh, y₀ + &k)

ist, vorausgesetzt, daß die Funktionen von x:

65]

40*0 + ⁶'h, V) und AJ{x₀, y)

4,0», y₀ + und Ajix, y₀) im Intervalle von x₀ bis x₀ -f- h und ebenso die Funktionen von y:

im Intervalle von y₀ bis yQ -f- k die Forderung 51 erfüllen. Wenn außerdem die Funktionen fxy(x, y) und fyx{x, y) an der Stelle (x₀, y₀) stetig sind, gebt aus (6) beim Grenzübergange lim h = 0, lim 7c = 0 das Ergebnis hervor:

fx₀y₀(.X0> 7/o) = fyoxa(X0’ Vo)-

Die Voraussetzungen, unter denen diese Formel gilt, sind verwickelter Natur, und wir vereinfachen ihren Ausdruck dadurch, daß wir sie etwas erweitern, obwohl es nicht nötig wäre, so daß wir das Ergebnis aussprechen dürfen:

Satz 3: Rat eine Funktion f(x, y) an der Stelle {x, y) bestimmte endliche Ableitungen fx, fy, f und fyx, und ist sie ebenso wie diese Ableitungen in einer Umgebung der Stelle stetig, so hat fxy an der Stelle denselben Wert wie fyx.

Bedeutet f eine Funktion von m unabhängigen Veränderlichen xlf x₂,... xm, so ist dieser Satz immer noch anwendbar, sobald die Funktion nebst den in Betracht kommenden Ableitungen in der Umgebung der Stelle (x1} x₂, . . . xm) stetig ist. Denn wenn wir, um eine höhere Ableitung zu berechnen, einmal von einer schon gefundenen Ableitung weiterhin die nach x{ und von dem Ergebnisse die nach xk bilden, werden bei diesen beiden Operationen alle übrigen m — 2 Veränderlichen als Konstanten behandelt, so daß eine Funktion von nur zwei Veränderlichen xt und xk vorliegt. Die Reihenfolge der beiden aufeinander folgenden Ableitungen ist daher nach Satz 3 ohne Einfluß auf das Ergebnis. Durch fortwährende Vertauschung zweier aufeinander folgender Operationen können wir aber alle auszuführenden Ableitungen in eine beliebige Reihenfolge bringen. Also:

Satz 4: Wenn eine Funktion f(xx, x₂, ... xm) von m Veränderlichen xx, x₂, ... xm nebst allen in Betracht kommenden Ableitungen in einer Umgebung der Stelle (x₁₇ x₂,... xm) stetig ist, bleibt die Reihenfolge der Operationen, durch die man irgendeine partielle Ableitung der Funktion gewinnt, gleichgültig.

Diese Funktion f hat m Ableitungen erster Ordnung und

allgemein

Abeitungen nteT Ordnung, nämlich gerade so viele, als es verschiedene Kombinationen nteT Klasse mit Wiederholung in den m Veränderlichen xx, xs, ... xm gibt. Hiernach läßt sich auch die Bezeichnung der partiellen Ableitungen vereinfachen. Liegt nämlich z. B. eine Funktion f(cc, y, z) von drei Veränderlichen x, y, z vor, so möge irgendeine Ableitung berechnet worden sein, bei deren Bildung insgesamt a-mal nach x, ß-mal nach y und y-mal nach z abgeleitet worden ist, aber in irgendwelchem Wechsel zwischen x, y und z. Dasselbe Ergebnis geht hervor, wenn wir zunächst a-mal nach x ableiten, darauf /3-mal nach y und schließlich y-mal nach z, so daß die berechnete Ableitung mit

bezeichnet werden kann. Dabei ist a + ß -f y die Ordnung der Ableitung.

66. Die partiellen Ableitungen als partielle Differentialquotienten. Es liege eine Funktion f von etwa drei Veränderlichen x, y, z mit den drei partiellen Ableitungen erster Ordnung fx, fy, fz vor. Wir wollen nun mit

dasjenige Differential von f bezeichnen, das zu einem Differential dx = h von x allein gehört, wobei y und z unverändert gelassen werden, so daß

w-v.

ist. Es heißt das partielle Differential erster Ordnung von f hinsichtlich x. Entsprechendes gilt von den partiellen Differentialen hinsichtlich y und z.

Nehmen wir an, daß hx, kx, \ die Differentiale von x, y, z seien, so sind also

(i)

wf-ixf,

die zugehörigen partiellen Differentiale erster Ordnung von f. Sie sind Funktionen von x, y, z, können also ihrerseits partielle

65, 66]

Differentiale erster Ordnung haben, die hervorgehen, wenn wir x, y, z neue Differentiale h₂, &₂, l₂ vorschreiben. So z. B. ist

dasjenige Differential der zweiten in (1) angegebenen Funktion, das hervorgeht, wenn dem z das Differential Z₂ erteilt wird. Es ist also

Nach der dritten Formel (1) aber ist, wenn wir darin f durch f und lx durch Z₂ ersetzen:

so daß kommt:

C^fy =

Gilt Satz 4 von Nr. 65, so hat dies Differential denselben Wert wie das Differential:

= hhf,y-

Die partiellen Differentiale erster Ordnung, die man von den partiellen Differentialen erster Ordnung (1) von f in dieser Weise bilden kann, heißen die partiellen Differentiale zweiter Ordnung von f. Von ihnen, die ja wieder Funktionen von x, y, z sind, kann man abermals partielle Differentiale erster Ordnung bilden, indem man je einer der Veränderlichen x, y, z ein Differential hs bzw. bzw. Z₃ erteilt, wodurch man zu den partiellen Differentialen dritter Ordnung von f gelangt, usw.

Ein bestimmtes partielles Differential ntei Ordnung von f entsteht also, wenn man in bestimmter Reihenfolge dem x etwa die a Differentiale hlf h₂, . . . ha, dem y die ß Differentiale

. . kß und dem z die y Differentiale l

. . lr erteilt,

wobei a -f- ß + y = n sein soll. In welcher Reihenfolge man auch vorgehen mag, immer nimmt dies Differential infolge des Satzes 4 von Nr. 65 den Wert an:

hx1l₂ . . . 1la lixli₂ . . . kß lxl₂ . . . ly fxccyßzy ■

Wählt man alle Differentiale Ji₂, . . . ha von x gleich ex, alle Differentiale    von y gleich dy und alle Differen

tiale lx, l₂,. .. ly von z gleich dz, so können wir das partielle Differential nteT Ordnung kürzer so bezeichnen:

r-n    r

°xayß zyT )

wo a + ß + y = -w ist, und es hat den Wert:

°xayftzrf ⁼⁼ °xa dyß C0y fxa yfi zY'

Hier bedeuten dxa, dyß, dzY Potenzen von dx, dy und dz, während links keine Potenz steht. Es folgt:

“yPzvf

dxady!idzY1

fxayßzY

wo n = a + ß + y ist. Aber rechts brauchen im Zähler die Indizes xa, y?, zY gar nicht angegeben zu werden, da der Nenner schon andeutet, daß das Differential a-mal hinsichtlich x, /3-mal hinsichtlich y und y-mal hinsichtlich z zu bilden ist. Man schreibt daher einfacher:

d<*+ß+Yf

(2)

dxadyP dzr

fx«yßzY ~

Dies ist eine für die partiellen Ableitungen sehr gebräuchliche Schreibweise; sie sind hier als Quotienten von partiellen Differentialen, als sogenannte partielle Differentialquotienten von der Ordnung a -f ß -f- y, dargestellt. Aus (2) folgt:

da+^rf-f^zY^xady?dzy,

d. h. das partielle Differential (a -f- ß + y)ter Ordnung von f{pc, y, x) ist gleich der entsprechenden (a -f ß + y)ten partiellen Ableitung von f, multipliziert mit den zugehörigen Potenzen der Differentiale dx, dy, dz.

Es braucht kaum bemerkt zu werden, daß Entsprechendes gilt, wenn die Funktion f nicht gerade von drei unabhängigen Veränderlichen abhängt. Wir erwähnen noch, daß, wenn f eine Funktion von nur einer Veränderlichen ist, statt des Zeichens d das Zeichen d benutzt wird, wie es ja im vorigen Kapitel geschah, und daß man dann statt von partiellen von gewöhnlichen Differentialen und Differentialquotienten spricht.

67. Partielle Differentialquotienten als Grenzwerte von partiellen Differenzenquotienten. Wenn wir wieder der Einfachheit halber unter f eine Funktion von nur drei Veränderlichen x, y, z verstehen, nennen wir partielle Differenzen erster Ordnung der Funktion f diejenigen Zunahmen, 66, 67]

die sie erfährt, sobald nur x oder nur y oder nur z um eine gewisse Größe hx bzw. kx bzw. lx wächst, und wir bezeichnen sie entsprechend wie die partiellen Differentiale. So z. B. ist die auf die Zunahme \ von x bezügliche partielle Differenz diese:

^i]f=fix + K y, *) - f(x> y> *)•

Da die partiellen Differenzen erster Ordnung von f wieder Funktionen von x, y, z sind, können wir von ihnen abermals partielle Differenzen bilden, usw. So geht eine partielle Differenz nter Ordnung von f hervor, wenn wir insgesamt dem x nach und nach a Zunahmen hx, Ji₂, . . . ha, dem y insgesamt ß Zunahmen    . k^ und dem 8 insgesamt y Zunahmen

lX7 ?₂, ... ly erteilt haben, vorausgesetzt, daß a + ß + y = n ist. Dabei ist nach Nr. 62 und nach einer Bemerkung in Nr. 65 die Reihenfolge der a -f- ß + y Operationen ohne Belang für das Ergebnis.

Durch Betrachtungen wie in Nr. 63 und 65 findet man mit Hilfe des Mittelwertsatzes folgende Darstellung dieser partiellen Differenz nteT Ordnung: z/^fd. . . D^D^. . . z/^dz/dd. . . zffff = \ . . . ha Tcx . . . kß lx .. . ly

'fxa/zy(X+01^1 4-----2/ + H-----\r ^ +    -----fVyly),

wo die 0, ff und rj positive echte Brüche sind. Vorausgesetzt ist dabei, daß die Funktion f nebst ihren Ableitungen bis zur

Ordnung ct -j- ß -f- y in den Intervallen von x bis x + \ -|-----\- ha,

von y bis y + kx + • • • + kß und von 8 bis z -f lx -f • • • + ly bestimmte endliche Werte habe. Durch Division mit dem Produkte aller Zunahmen h, k und l von x, y und z geht ein partieller Differenzenquotient (a + ß -(- y)ter Ordnung hervor:

-jd'd, _ _ ^(Äa)

h₁...hak₁...kßl₁...ly

fxayPzYix + 0\\-\-----\-0aha, y-\-&xkx-\-----1-ftpkß, z-\-rixlx-\-----

Wählen wir alle Zunahmen \, ... Jia von x gleich D x, alle Zunahmen kx, ... k^ von y gleich Dy und alle Zunahmen lx,...l von z gleich Dz, so können wir dies Ergebnis kürzer schreiben. Dann ist z. B. die Summe Qx \ + • • • + da ha zwischen Null und aDx gelegen, so daß als Formel für den partiellen Differenzenquotienten diese hervorgeht:

ja+ß+yf

= fx«yß,Y(x + aOAx, y + ß&Ay, z + yrjAz),

Jxa dy? d ZY

wo 6, ff, t] positive echte Brüche sind. Ist die («4-/3-}- y)te Ableitung von f insbesondere an der betrachteten Stelle (x, y, z) stetig, so ergibt der Grenzübergang lim Ax = 0, lim Ay = 0, lim Az = 0, daß der Grenzwert des Differenzenquotienten gleich dem entsprechenden Differentialquotienten ist.

Dasselbe ergibt sich natürlich für Funktionen f, die nicht gerade von drei Veränderlichen abhängen.

§ 3. Differentiation der zusammengesetzten Funktionen.

68. Höhere DifFerentialquotienten zusammengesetzter Funktionen von einer Veränderlichen. In diesem

Paragraphen wollen wir ein für allemal voraussetzen, daß alle yorkommenden Funktionen für die gerade betrachteten Werte ihrer Veränderlichen die folgende Forderung erfüllen:

Forderung 35: Die Funktionen und alle ihre Ableitungen, soweit sie Vorkommen, sind in der Umgebung der betrachteten Wertsysteme stetig.

Es sei nun

V = f(u, v,w,.. .)

eine Funktion der Größen u, v, w, . . ., die ihrerseits Funktionen einer einzigen Veränderlichen x seien, so daß y ebenfalls eine Funktion von x ist. Wir stellen uns die Aufgabe, ihre Differentialquotienten zu berechnen. Wie in Nr. 32 bezeichnen wir die ersten Differentialquotienten von u, v, w, . . . kurz mit u, v', w', . . .. Ebenso sollen u", v", w", . . . ihre zweiten Differentialquotienten bedeuten, usw. Dies sind gewöhnliche Differentialquotienten (vgl. Nr. 66). Nach Satz 22 von Nr. 42 kommt:

S l~-s

y' =

Jedes Glied auf der rechten Seite ist ein Produkt von zwei Faktoren, gibt also bei nochmaliger Differentiation nach der Produktregel zwei Summanden. Ordnen wir die ersten Summanden in der oberen und die zweiten in der unteren Zeile zusammen, so kommt:

ff

dx

y =

oder kürzer:

(i)

ff

y —

da;

W -f-

df    df

¹ V    ¹ -

da;

*' + 3fw+---

Wenden wir den Satz 22 von Nr. 42 auf fu, fv, fw, . . . an, so ergibt sieb einzeln:

df

U

dx

⁼ fuuU' + fuvv' + fuwW' + ' • • »

df.

-jfc = f,u»' + fvvV +fvww' +

~d^:==:fwuU + fwvV' + fwwW' + • • •

usw., so daß das Einsetzen dieser Werte in (1) liefert, weil

für, = fvu USW- ist:

(2){

y'=fuuU'² + 2fuvU,V'+fvvV'² + 2fuwU'W' + 2fvu,V'W'+fu,y² + -’-

+ fuU"+fvV"+fwW"^----•

Auf dieselbe Weise ergeben sieb durch fortgesetzte Differentiation die höheren Ableitungen y", y1Y usw.

69. Ein besonderer Fall. Es sei f eine Funktion, die aus x und einer Funktion v von x zusammengesetzt ist, so daß f(x, v) eine Funktion von x allein ist. In diesem Falle gibt die einmalige Differentiation:

da die Ableitung von x gleich Eins ist. Jetzt steht rechts eine Funktion von x, v und v. Nach der allgemeinen Formel

dF(x, v, v) ₌ „ jt dv -y dv' dx    x J^vdx ^v' dx

= K + Fvv + Fv'v"

differenziert, liefert sie also:

d^fix, v)

dx²

= fxx + fxvV' + (fxv + fvvV') V' + fvV"

=f*x + 2f*s+f,y² + fy-

Jetzt steht reclits eine Funktion von x, v, v, v”. Nach der allgemeinen Formel

dv

dv

d F(x, v, v', v")

dx

-F₉ + F₉v'+F₉'v"+F₉»v"'

differenziert, gibt sie ferner: d³f(x,v)

= fxxx + 2fxx„v + fxvvV* + fxvV"

+ (fxxv + 2fxVVV' -f- fvvvV² + fvvv') V

+ (²fx,+²/»"+/>"'

-fxxx + ^fxxvV'+^fxvvV'² + fvvvV'S+^(fxv+fvvV')V"+fy'-

Dasselbe Verfahren liefert Schritt für Schritt die höheren Differentialquotienten der Funktion f(x, v).

70. Funktionen von ganzen linearen Funktionen

von x. Wenn u, v, iv,. . ganze lineare Funktionen von x, d. h. ganze rationale Funktionen ersten Grades (vgl. Nr. 6) sind, also die Form haben:

u = atx + v = a%x + b₂, w = a₃x -f b₃, wo die a und b konstant sind, ist u = a1} v'= a₃, w'=a₃, .. ferner u"= v"= w" = ■ • • = 0, so daß die Formel (2) der vorletzten Nummer gibt:

d² f(u, v, w,.. .)

dx²

= fuuai* + ²/L.«l«8 + f„<h*

+ 2fuwai°3 + 2fvwa2a3 + fww°3 J----•

Die rechte Seite dieser Formel können wir auch durch folgendes mechanische Verfahren gewinnen, wie man sofort sieht:

Wir berechnen das Quadrat von fuat -f- fva% + fwa₃ -f • • • und ersetzen alsdann in den hervorgehenden Summanden die Produkte

fwfw> • • •

fufu, f«f*> fvfv, fufw, fvfwi

durch die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

fuowl

fu u’    fu V1    fvv) fuw) fl

Durch ein ähnliches Verfahren können wir auch die höheren Ableitungen von f(u, v, iv, . . .) gewinnen, nämlich die nte, indem wir zunächst die nte Potenz

(/>i +f,<h+fwa3 + * • ■)

69, 701

ausrechnen und darauf in jedem Gliede das darin auftretende Produkt von der Form

fa fß fY

/ U / V / w • • •

durch die entsprechende höhere Ableitung

duadvßdwY ...

fua vß wY • • ‘    0(3er

ersetzen. Da dies im Falle n = 2 schon bewiesen ist, können wir es allgemein so beweisen: Wir nehmen an, daß es für irgendein positives ganzes n richtig sei, und zeigen, daß es dann auch für den nächstfolgenden Wert n + 1 stimmt.

Es möge ausgerechnet die Summe hervorgehen:

(!)    (/>! + /> 2 + />3 4----T =    /f fi ■ • •    «2 «3 • • -,

wobei c den Koeffizienten eines allgemeinen Gliedes bedeute, so daß nach Annahme:

wird. Nun ist nach Satz 22 in Nr. 42 der Differentialquotient von

fuavßwY ...

(2)

dnf dxn

gleich:

fucc + ¹eßwY...ai “t" fuavß⁺¹lcY ...a2 + fuavßwY + l .. . % + ' * ' >

so daß aus (2) durch Differentiation folgt: dn + 1f

dxn+1

2C(fua + 1vß wY ...ai + fuavß + 1wY...a 2    ' ‘ ')Öf'1 a‘² a3 • •

Dieser Ausdruck aber geht aus

2c(fu⁺¹fßvfl ■ • ■ai + fu fv ⁺¹ fw • • • «₂ H----) «1    • • •

dadurch hervor, daß man nach dem erwähnten Verfahren jedes Produkt von Ableitungen erster Ordnung durch die entsprechende Ableitung höherer Ordnung ersetzt. Der letzte Ausdruck ist nun gleich

2c fu fZ ... a«a$al. .. (fuax + fva₂ + fwa₃ 4----)

oder nach (1) gleich der (n -f l)ten Potenz von fuax -f- fea.2 F fwa3 + ' •    Hiermit ist der Beweis beendet.

Satz 5: Ist f eine Funktion von ganzen linearen Funktionen u = axx 4- bl} v = a₂x -f w — a₃x -f &₃, ...

von x, so kann man die allgemeine Formel für die nte Ableitung von f nach x so finden: Man rechnet die nte Potenz von

fu°i + fva 2 + fwa 3 + • • •

aus und ersetzt alsdann jedes darin vorkommende Produkt

fu fvfw • • • (ß + ß + y -(-••• = n)

von Ableitungen erster Ordnung durch die entsprechende Ableitung nter Ordnung:

ßcc + ß + y+ - y duadvßdwY. ..

71. Differentiation eines Produktes von Funktionen

von x. Zunächst bedeute y ein Produkt von drei Faktoren u, v, w, die ihrerseits Funktionen von x sein sollen. Um den nteQ Differentialquotienten dieser Funktion y von x zu berechnen, benutzen wir abermals einige Analogien, nämlich solche, die zwischen den Potenzen von Summen und den Differentialquotienten von Produkten bestehen.

Die erste Potenz der Summe u + v + w kann so geschrieben werden:

(1)

(u -f V + w)¹ = ulv°w° -f- u°vlw° -j- u°v°w¹, da ja u° = v° — w° 1 ist. Andererseits ist der erste Differentialquotient des Produktes nach Nr. 35:

{uvw)' = uvw -f- uv'w -f- uvw'.

Wenn wir allgemein mit u(n) den wten Differentialquotienten von u bezeichnen, ist es sinngemäß, unter    die gar

nicht differenzierte Funktion u zu verstehen, d. h. die Funktion u selbst. Alsdann kann die letzte Formel so geschrieben werden:

(2)

(uvw)' = u'v^w^ -f- u^v'w^ -f- u^v^w,

wodurch ihre völlige Analogie mit der Formel (1) hervortritt.

(3)

Nun findet man die zweite Potenz der Summe u + v -f- w, indem man rechts in (1) jedes Glied mit u-\-v -\-w multipliziert. So gehen aus dem ersten Gliede rechts die Glieder hervor: u²v°w° + u^v^w® -f u¹v°w¹.

Andererseits findet man den zweiten Differentialquotienten des Produktes uvw, indem man rechts in (2) jedes Glied

70, 71]

differenziert. So gehen aus dem ersten Gliede rechts nach Nr. 35 die Glieder hervor:

(4)

w"V⁰⁾w⁽⁰⁾ + uvw^ -f- uv^w,

die den Gliedern (3) analog sind. Dieselbe Analogie gilt bei den übrigen Gliedern. Während man bei der Berechnung der zweiten, dritten usw. Potenz der Summe u -f- v + w jedes schon erhaltene Glied immer wieder mit u v w multiplizieren muß, wodurch je drei Glieder hervorgehen, muß man hei der Berechnung des zweiten, dritten usw. Differentialquotienten des Produktes uvw jedes schon erhaltene Glied immer noch einmal differenzieren, wodurch ebenfalls je drei Glieder hervorgehen. Die oben bemerkte Analogie gilt alsdann stets.

(5)

Um dies zu beweisen, wollen wir annehmen, diese Analogie sei schon bis zur nt6n Potenz der Summe bzw. bis zum nten Differentialquotienten des Produktes festgestellt. Es sei also uavliwY, wo a -f- ß + y = w ist, ein Glied der Entwicklung von (u + v + w)n und

(6)

w(“) i>0*)

das entsprechende Glied des wten Differentialquotienten von uvw. Wenn wir nun das Produkt (5) mit u + v -j- w multiplizieren, kommt:

Ua + ¹ vß Wy -f- Ua l'ß + 1WY -f- Ua vß WY + 1.

Wenn wir andererseits das Glied (6) noch einmal differenzieren, kommt nach Nr. 35:

u{a +1) v((3) yp)    M(a) y(/? + l) wiy) _|_ u{a) yiß) y;(Y +1) }

womit die Behauptung bewiesen ist, weil die Analogie immer noch besteht.

Es leuchtet ein, daß dieselbe Analogie für die nte Potenz einer Summe ux + % + ••• + von m Summanden und für den ntea Differentialquotienten eines Produktes u₁u₁... um von m Faktoren ganz ebenso zu beweisen ist. Mithin folgt:

Satz 6: Die Formel für den nten Differentialquotienten eines Produktes von m Funktionen ux, u₂,... um von x kann aus der Formel für die nte Potenz der Summe der m Funktionen ux,u₂,.. .um so gewonnen werden: Man rechnet die nte Potenz vollständig aus, wodurch eine Summe hervorgeht. In dieser Summe

ersetzt man jede Potenz uta durch denjenigen Differentialquotienten ufa\ dessen Index derselbe ist. Fehlt jedoch in einem Gliede der Entwicklung der nten Potenz eine Funktion uif so ist vor dem Ersetzen der Faktor uf, der gleich Eins ist, hinzuzufügen. Alsdann ist unter m/⁰⁾ die Funktion ut selbst zu verstehen.

So folgt z. B. aus dem binomischen Satze

(u -f v)n = Un + ” Un~¹ V -f-

un~² v² -f • • • -f* Vn

wofür man zunächst zu schreiben hat:

(u + v)n = unv° -j- j- un~] v¹ +

n(n — 1)

sofort:

dn ( u v)

dxn

n (■n — 1)

= u^v -f y w(re_1V +

72. Höhere partielle Differentialquotienten von zusammengesetzten Punktionen. Es sei f eine Funktion von u, v, w, . . ., die ihrerseits nicht wie bisher von nur einer Veränderlichen, sondern von n Veränderlichen xv x%,...xn abhängen. Alsdann ist f eine zusammengesetzte Funktion der n unabhängigen Veränderlichen xu x₂, ... xn. Will man ihre partiellen Ableitungen

U(n~2)V"    u VW.

df df

dxp

df

dxp ' ' ' dxn

berechnen, so hat man alle Veränderlichen xt, x%,... xn außer je einer wie Konstanten zu behandeln. Nach Satz 22 in Nr. 42 ist also:

(1)

du

dv

dw

(i = 1,2,... w).

Diese ersten partiellen Ableitungen von f sind wieder zusammengesetzte Funktionen von xt, x₂,. . . xn. Sie sind nämlich zusammengesetzt aus u, v, w,. . . und den ersten partiellen Ableitungen von u,v,w,.... Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f nach xv x₂,... xn sind die partiellen Ableitungen erster Ordnung von diesen Funktionen (1). Also sind sie nach derselben Methode zu berechnen. So z. B. ergibt sich aus (1) durch partielle Differentiation nach xh\

In entsprechender Weise ergeben sieb die höheren partiellen Ableitungen von f nach x1} xiy ... xn.

Beispiel: Es sei f eine Funktion der rechtwinkligen Punktkoordinaten x, y, die ihrerseits durch die Bolarhoordi-naten p, co ausgedrückt seien:

x = p cos co, y = Q sin co.

Also kommt:

d*f    dfu du    dfv dv . dfwdw

dxidxk    dxkdxi    dxkdxt dxkdxi

d*w dxi d xk

+ fu

d*u

dsv

dxidxk

+ fw

dxt 8xk

und hierin sind die Werte einzutragen:

dxk

f uu

du

dxk

+ ft

dv

dw

dxk

U IV

dxk

df#

du

dv

dw

dxk

dxk

fvw dxk ^ ' ’

Öfw

du

dv

dw

dxk

dxk

I¹-' 0

dxk

+ fwwßXk + ‘ ■ ■ >

Es ergibt sich so, weil fvu — fuv usw. ist:

j. du du    j. /du dv    .    du

‘uudxidxk    ’uv\dxidxk    dxkdxj

j. dv dv    j. (du dw    du dw\

' ‘ ov dxidxk 'uw\dxidxk dxkdxj i f i^v dw i dv_ dw\ j.

Tvw \jßXi ßXk "r dxkdxj ‘‘

d*f

dxi dxk

(2)

dw dw d xi d xk

dxtdxk ^'°dxidxk    ^wdxidxle

olu

div

+• •••

Alsdann ist f eine zusammengesetzte Funktion von p und co. Hier spielen x, y die Rolle der u, v, w, . . . und p, co die der xx, x^ ... xn.

df

df

ZÜ ⁼ -fxQ sin ® + fyQ cos co,

g- = fx C0S a +fy sin 03

Cif

ly = (fxx cos co -f fxy sin co) cos co -f (fxy cos co + fyy sin co) sin co — fxx cos² + 2 f sin co cos co + f sin² co,

[7a

= (fxxcos 03 + fxy sin 03) (— Q sin 03) + (fxy cos oj + fyy sin 03) q cos 03

d'f

—    fx sin 03 + fy cos 03

⁼ ~fxxQ s^ncj cosos "^rfxyQ (cos²03 — sin²G3) -\-fyyQ sinG3 cos 03

—    fx sin 03 + f cos co,

=(- fxxQ sin C3 + fxyQ cos 03) (- q sin 03)

+ (— fxyQ sin 03 + fyyQ COS 03) Q COS 03 — /> COS 03 -fyQ sin 03 = fxxQ² sin² 03 — 2fxyQ² sin 03 cos 03 + fyyQ² cos² a -fxQ cos a — fyQ sin 03.

73. Funktionen von ganzen linearen Funktionen von mehreren Veränderlichen. Wenn f wie in Nr. 72

gegeben ist, aber «, v, w, . . . ganze lineare Funktionen von xx, x₂, ... xn sind, also    die Form    haben:

du

du

dxk

= a™> dFk = a*k’ dFk = a™’ • *

während die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von u, v, w, . . . gleich Null sind. Dementsprechend vereinfacht sich die Formel (2) der vorigen Nummer. Man erkennt, daß ihre rechte Seite formal so gewonnen werden kann: Man rechnet das Produkt

(fuan + fvau + fwa3i + • • ■ ) (fua u + fva2k + fwa3k + • • •)

aus und ersetzt alsdann die vorkommenden Produkte

fufu, fuL fvfvt fufw> fvL> fwfw> ■ ■ •

durch die zweiten partiellen Ableitungen:

uu>

fuv) fvv) full}) ft

VU)f

11} w *

Man gelangt durch dieselbe Schluß weise wie in Nr. 70 zu dem Satz 7: Ist f eine Funktion von ganzen linearen Funktionen

von n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn, so kann man die Formel für eine partielle Ableitung mter Ordnung

, wo    +    ist,

drnf

dx“dx$...dxvn so finden: Man rechnet das Frodukt

0fuai\ + fva21 H----)“ (,fua 12 + fva8 2 H----y • • * (/»ai* + fva2n H----)V

aws Mnd ersetzt alsdann jedes darin vorkommende Frodukt fl fl.. . durch die entsprechende Ableitung mter Ordnung

cmf

dupdvq..,

§ 4. Vollständige Differentiale.

74. Das vollständige Differential erster Ordnung.

Auch in diesem Paragraphen setzen wir voraus, daß die vorkommenden Funktionen der in Nr. 68 angegebenen Forderung 39 genügen.

Es sei nunmehr f eine Funktion von n unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, . . . xn. Wir haben in Nr. 66 ihre partiellen Differentiale erster Ordnung definiert. Erteilen wir xx, x₂, . . . xn bzw. die Differentiale dxx, dx₂, . . . dxn, so sind diese partiellen Differentiale die Größen:

df

ex, dxv

df

df

■ Wndx"'

-^-dx

dxs

Unter dem vollständigen Differential df von f versteht man die Summe dieser partiellen Differentiale:

+ Ix,dx* + ■ • • + w.dx>-

Ist die Funktion f für alle Werte von xx, x₂, ... xn, die innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches liegen, konstant, so ist einzeln nach Satz 4 in Nr. 29:

(1)

df

df

(2)

df

dxx ~ ⁰

df

df

dxi

dxn

= 0,

also auch das vollständige Differential df gleich Null. Umgekehrt: Wenn das vollständige Differential df innerhalb jenes Yariabilitätsbereiches überall gleich Null ist, müssen einzeln, da dxx, dx%, ... dxn willkürliche Größen sind, alle n Gleichungen (2) bestehen, die nach Satz 5 in Nr. 29 aussagen, daß sich f nicht ändert, wenn sich nur xx ändert, ebenso nicht, wenn sich nur x₂ ändert, usw.

Hieraus aber läßt sich folgern, daß f überhaupt im Varia-bilitätsbereiche konstant sein muß. Dies soll im Falle einer Funktion f(x, y) von nur zwei Veränderlichen x, y näher auseinandergesetzt werden, wobei also im ganzen Bereiche der erlaubten Wertepaare x, y

dy

= 0 und £-0

sein soll. Sind a, h und ax, bx zwei derartige Paare, so setzen wir zunächst y = b und lassen x von a bis ax variieren. Dabei ist f(x, b) eine Funktion von x allein und wegen df : < x = 0 nach Satz 5, Nr. 29, konstant, so daß f(a, b) = f{ax, b) sein muß. Nunmehr setzen wir x = ax und lassen y von b bis bx variieren, wobei sich wegen df\cy = 0 ebenso ergibt, daß f(ax, b) = f(aX) bx) sein muß. Aus f(a, b) = f(ax, b) = f(ax, bf) folgt also, daß die Funktion /' an der Stelle (a, b) denselben Wert wie an der Stelle (alf bx) hat.

Aber hierbei ist noch ein Einwand zu machen: Es ist fraglich, ob der Variabilitätsbereich wirklich alle diejenigen Wertepaare enthält, die sich ergeben, wenn y = b gesetzt und x von a bis ax variiert wird, ebenso wie es fraglich ist, ob er wirklich alle diejenigen Wertepaare enthält, die sich ergeben, wenn x = ax gesetzt und y von b bis bx variiert wird. Ist dies nicht der Fall, so muß man passende im Bereiche enthaltene Wertepaare

a, b; a, a",    a", b"■ . . .

derart einschalten, daß erstens alle Wertepaare, für die y — b ist und x von a bis a variiert, im Bereiche enthalten sind, zweitens alle Wertepaare, für die x = a ist und y von b bis b' variiert, drittens alle Wertepaare, für die y = b' ist und x von a bis a" variiert, usw. Genau dieselbe Schlußfolgerung liefert alsdann

f(a, b) = f{a, b) = /‘(a, &') = f{a", b') = • • • = /K, &J.

Das Entsprechende ist im Falle einer Funktion f von n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn zu sagen. Wir gelangen also stets zu dem

Satz 8: Bas vollständige Differential einer Funktion f von n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn ist innerhalb des Variabilitätsbereiches der Veränderlichen dann und nur dann überall gleich Null, wenn die Funktion f innerhalb des Bereiches überall einen und denselben Wert hat.

Nun seien u und v zwei Funktionen von xX) x₂, . . . xn, und es bedeute f ihre Summe oder Differenz u + v. Da dann

usw.

df _ du cv    df __ du dv

dx, dxx — dxx ’ dx₂ dxt — dx₂

ist; folgt aus (1):

df = du + dv.

Entsprechendes gilt, wenn f eine algebraische Summe von mehr als zwei Funktionen ist. Also:

Satz 9: Das vollständige Differential einer algebraischen Summe ist gleich der algebraischen Summe der vollständigen Differentiale der Summanden.

Dieser Satz entspricht dem Satze 6 in Nr. 29. Wie dort folgt hier aus Satz 9 und Satz 8 sofort

Satz 10: Die vollständigen Differentiale zweier Funktionen von n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn sind innerhalb eines gemeinsamen Variabilitätsbereiches dann und nur dann überall einander gleich, wenn die Differenz beider Funktionen innerhalb des Bereiches überall einen und denselben Wert hat.

75. Vollständiges Differential einer zusammengesetzten Funktion. Jetzt sei f eine Funktion von m Veränderlichen ux, u₂, . . . um. Diese selbst seien ihrerseits Funktionen von n Veränderlichen xx, x₂, ... xn, so daß f eine zusammengesetzte Funktion von xx, x₂, . . . xn ist. Wir suchen ihr vollständiges Differential df, also die Summe der partiellen Differentiale

df

dx~

dxx

df

dx₂

dx₂, . .

df

■ W.dx-‘

Nun ist allgemein:

⁸    [74, 75

Serret-Soheffersj Di£f.-u. Integr.-Beclin. I. 6.u. 7.Aufl.

;ß^dx'+Si%dx* ⁺ --- + dx») ■

CU

df_₌ df du, . cf du2 dxi duffdXi ou.₂ C xt

+ • • • +

(<-l, V..n).

df dum

dum dXi

Multiplizieren wir diese n Gleichungen bzw. mit dxx, dx₂, . . . dxn und addieren wir sie, so kommt mithin:

af=a dx>+^dx*+• ■ •+w. ^

(dus 7 i du₂ ,

te dxi⁺ Tx,dx* +

df

du%

. _i_

r dxn

dXn)

In den Klammern stehen aber die vollständigen Differentiale dux, du₂, . . . dum von ux, m₂, .. . um. Also folgt:

Satz 11: Ist f eine Funktion von ux, u₂, . . . um, und sind ux, u₂, ... um ihrerseits Funktionen von xx, x₂, . . . xn, so daß f eine zusammengesetzte Funktion von xx, xi} ... xn ist, so hat das vollständige Differential df dieser zusammengesetzten Funktion den Wert:

df

df

df

dum

und ist daher gerade so zu bilden, als ob ux, u₂, . . . um die unabhängigen Veränderlichen wären.

Ist insbesondere

du

so folgt:

df = dux ±du₂ ± • • • ± dum,

womit Satz 9 der vorigen Nummer von neuem bewiesen ist. Ist /■= uxu.₂ . . . um, so folgt:

df= u₂u₃ . .. umdux + uxu₃ .. . umdu₂ -f- • • • + uxus. . . um_x dum. Ist f = u : v, so folgt:

vdu — udv

df = — du — dv =

¹ v    vz

Ist f — un und n konstant, so folgt:

df = nun~ldu.

?5J

Also:

Satz 12: Die Regeln für die Differentiation von Summen, Differenzen, Produkten, Quotienten und Potenzen von Funktionen einer einzigen Veränderlichen gelten entsprechend auch für Funktionen von mehreren Veränderlichen, sobald man nur statt mit den Differentialquotienten mit den vollständigen Differentialen rechnet.

76. Vollständige Differentiale höherer Ordnung.

Das vollständige Differential

(i)

df

df

df

d'~ dx,    «*! + "• + fXn <**.

von xx, x₂, ... xn. vollständige Differential dritter Ordnung von f und wird mit d³f bezeichnet, usw.

einer Punktion /'von n unabhängigen Yeränderliclien xt, x₂, ... xn ist ebenfalls eine Punktion von xlfx₂,...xn (die außerdem willkürliche Konstanten dxi} äx₂, . . . dxn enthält), und daher können wir weiterhin das vollständige Differential von df bilden. Es heißt das vollständige Differential zweiter Ordnung von f, wird mit d²f bezeichnet und ist wieder eine Punktion Ihr vollständiges Differential heißt das

Um d²f

zu

berechnen, leiten wir aus (1) nach Satz 12 ab:

~~ ^ Fx, ’    + d ’ dx₂ + • • • +    • dxn.

Da nun für i = 1, 2, .. . n

a i{ -    **+ä ^+• ■ ■+&dx■

ist, folgt:

d?f = fx^dxf* + 2fXlXidx₁äx₂ -f fx^dx* H-----|- fxnxndxj.

Derselbe Ausdruck entsteht auch so: Man rechnet das Quadrat

(fx₁dx₁ + fx.₁dx₂ H-----h fxndxnf

ixk‘

aus und ersetzt dann jedes Produkt fXifXk durch die entsprechende Ableitung zweiter Ordnung fx

Dies erinnert an eine Bemerkung in Nr. 70. In der Tat spielen hier die Differentiale dxx, dx₂, . . . dxn, die zwar beliebig, aber doch während der Differentiation konstant sind, dieselbe Rolle wie damals die Konstanten alf a.₂, . . .. Genau

8*    [75, 76

so wie dort finden wir durch Schluß von m auf m -f- 1 den dem Satze 5 jener Nummer entsprechenden

Satz 13: Ist f eine Funktion von n unabhängigen Veränderlichen x1} x₂,.. . xn, so kann man die Formel für das vollständige Differential mter Ordnung dmf von f so finden: Man berechnet die mte Potenz von

df = fXldxl + fx^dx₂ 4----+ fXndxn

und ersetzt alsdann jedes darin vorkommende Produkt

fOC fpry    fV

I xllxjxi‘ ' • I xn

(a-fi |8 + y + •••-!- v = m)

von Ableitungen erster Ordnung durch die entsprechende Ableitung mter Ordnung

d xxdx%dx\ ■ • ■ dx*

Es muß aber betont werden, daß dies nicht mehr richtig ist, wenn xx,x₂,...xn nicht unabhängige Veränderliche sind Denn wäre z. B. x₂ eine Funktion u(xx) von xlf so wäre dx₂ = u(x₁)dx₁, d. h. das Differential dx₂ spielte nicht mehr die Rolle einer Konstante.

Um den allgemeinsten Fall zu betrachten, der hier Vorkommen kann, nehmen wir an, es sei f eine Funktion von ux,u₂, . . . um\ dagegen seien ux, u₂, . . . um keine unabhängigen Veränderlichen, sondern Funktionen von xx, x₂₎ . . . xn, und diese Größen xX} x2} . . . xn sollen wirklich unabhängig sein. Jetzt ist zwar nach Satz 11 in Nr. 75:

df — fUldux + fuzdu₂ -f • • • -f- fumdum,

aber hierin ist allgemein:

dxn.

dui ~ dxl dx' + dx* + ‘ * ‘ +

Wollen wir d²f bilden, so haben wir zu bedenken, daß nicht nur fu!> fut, • • • fum} sondern auch dux, du₂, . . . dum Funktionen von xlf x₂, . . . xn sind. Also kommt:

d*f — dfUx. dux -f- dfUr. du₂ 4" • • • 4~ dfUm. dum

V fuid²ux    fuxd'²u.₂ + • • • + fumd²um.

Man sieht, daß man hier zur Rechnungen gelangt, die nicht denen in Nr. 70, sondern denen in Nr. 68 entsprechen.

76]

Zweckmäßiger ist es, zur Berechnung des vollständigen Differentials rter Ordnung so zu verfahren: Da f als Funktion von u₂, ... um auch eine Funktion der wirklich unabhängigen Veränderlichen xl} x₂, --.xn ist, kann man zunächst drf nach dem in Satz 13 angegebenen Verfahren formal darstellen. Man erhält eine Summe, in der die rten Ableitungen von f nach xx,x₂,...xn auftreten. Diese Ableitungen sind nun einzeln zu berechnen, worauf man ihre Werte in die Summe einträgt. Um z. B. die Ableitung

drf dx^dx^ • • •

zu berechnen, differenziert man die Funktion f von u1} w₂,... um zunächst a-mal partiell nach x1} das Ergebnis ß-mal partiell nach x₂ usw.

Viertes Kapitel.

Differentiation unentwickelter Funktionen.

§ 1. Unabhängigkeit von Funktionen und Gleichungen.

77. Definition der Unabhängigkeit von Punktionen.

Wir wollen jetzt eine Reihe von formalen Betrachtungen vorführen. Dabei ist es unerläßlich, die folgende Forderung zu stellen:

Forderung ß: Jede vorkommende Gleichung zwischen Veränderlichen ist so beschaffen, daß vermöge ihrer jede wirklich in ihr auftretende Veränderliche implizite als Funktion der übrigen definiert wird. Jede vorkommende Funktion, insbesondere auch jede implizite definierte, ist innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches stetig und hat dort ebenfalls stetige partielle Ableitungen erster Ordnung.

Wenn eine Gleichung f(xx, x₂, . . . xn) = 0 zwischen n Veränderlichen xx, x₂, . . . xn vorliegt, kann man allerdings beweisen, daß sie z. B. xx implizite als stetige Funktion von x₂, x₃, . . . xn mit stetigen partiellen Ableitungen definiert, sobald man über die Funktion f selbst gewisse Voraussetzungen macht. Wir wollen jedoch auf derartige Fragen, die uns erst im dritten Bande beschäftigen werden, hier gar nicht ein-gehen, ihre Beantwortung vielmehr durch die Forderung (5 ersetzen. Ist xt durch die Gleichung f(xx, x₂, . . . xn) = 0 als Funktion von x₂, x₃, ... xn definiert, so können wir diese Funktion symbolisch mit cp(x₂, x₃, . . . xB) bezeichnen. Alsdann sagen wir: Die Gleichung f = 0 hat die Außösung xx = cp(x₂, x₃,... x^j.

77]

An die Spitze unserer Betrachtungen stellen wir nun die Definition: m Funktionen

9l = fl(Xl,    Xn), V* = U C*1» XSf " ' ’ Xn)

von n unabhängigen Veränderlichen xX)x₂,...xn heißen voneinander unabhängig, wenn es keine von allen Veränderlichen xx, xs, ... xn freie Gleichung zwischen yx, y₂, . . . ym gibt, dagegen voneinander abhängig, wenn es mindestens eine derartige Gleichung gibt:

F(yi, y%, • • • yj = °>

die also erfüllt sein müßte, sobald man darin für yx, y₂, . . . ym die gegebenen Funktionen fx, f₂, .. . fm von xx, x₂,. . . xn einsetzte, und zwar erfüllt durch alle diejenigen Wertsysteme xx, x₂,... xn, für die alle m Funktionen fx, f₂, . . . fm definiert sind.

Es braucht kaum bemerkt zu werden, daß natürlich nur von solchen Gleichungen F = 0 die Rede ist, die nicht identisch bestehen wie z. B. yx — yx = 0 oder dgl. Mit anderen Worten: Die Gleichung F — 0, die im Falle der Abhängigkeit vorhanden ist, muß mindestens eine der m Funktionen yx, Vst • • • ym wirtlich enthalten, d. h. als Funktion der übrigen definieren.

1.    Beispiel: Zwei Funktionen ?/₁=/’₁(^) und y₂ = f₂(x) von nur einer Veränderlichen sind stets voneinander abhängig. Denn wenn sie Konstanten a und b sind, bestehen zwei Gleichungen F = 0, nämlich yx — a = 0 und y₂ — b = 0. Sind sie nicht beide konstant, so enthalte die erste etwa x wirklich. Dann gibt es eine zu ihr inverse Funktion x = (p(yx)-, setzen wir diese in die zweite für x ein, so folgt, daß zwischen yx und y₂ die Gleichung y₂ — f₂(cp(yxj) = 0 besteht.

2.    Beispiel: Die beiden Funktionen von xx und x₂:

xy + xV

x₁ * — xt ²

Vx

= -i

X,

sind voneinander abhängig, denn es ist:

?/₂0i²- 1) —- 2/i²— 1 = 0.

78. Umformung der Definition der Unabhängigkeit von Funktionen. Wenn m Funktionen von n unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, . . . xn vorliegen:

kann es sein, daß xx, x₂, ... xn nirgends in /j, f2: . . . fm wirklich, auftreten, d. h. daß yx, f/₂,... ym Konstanten ax,a₂,... arn sind. Weil dann die Gleichungen yx — ax = 0, . . . ym — am = 0 bestehen, sind diese Funktionen voneinander abhängig. Tritt dieser extreme Fall nicht auf, so wird eine der Funktionen eine der unabhängigen Veränderlichen wirklich enthalten. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit der Betrachtung dürfen wir annehmen, daß etwa xt wirklich vorkomme, und zwar etwa in der ersten Gleichung (1), so daß die Auflösung dieser Gleichung nach xx ergebe:

(1)

(7c = 1, 2,... m),

(2)

Setzen wir diesen Wert in die übrigen m — 1 Gleichungen (1) für xx ein, so werden y₂, y₃, . . . ym durch yx und x₂, x₃, . . . xn ausgedrückt. Kämen nun x%, x₅, . . . xn in Wahrheit rechts nicht mehr vor, so hätten die neuen Gleichungen die Formen Fz(yi)> - • • ym= Fr,M, d- die y wären voneinander abhängig. Ist dies nicht der Fall, so wird also etwa x% noch wirklich Vorkommen, sagen wir etwa in der ersten der m — 1 Gleichungen. Dann sind yx und y% gewiß voneinander unabhängig. Denn sonst bestände ja eine Gleichung zwischen yt und y₂, die nicht frei von y₂ wäre (da yx =4= konst. ist), so daß y₂ eine Funktion von yx allein wäre und also die erste der m — 1 durch die Substitution (2) hervorgehenden Gleichungen gegen die Voraussetzung doch frei von x₂ wäre. Die Auflösung dieser ersten der m — 1 Gleichungen nach x₂ möge nun ergeben:

(3)

X2 ~ ‘PsG/l’ V2) X3> • • • Xn)-

Dasselbe Schlußverfahren ist fortzusetzen: Nachdem wir in die Gleichungen (1) mit Ausnahme der ersten den Wert (2) von xx eingesetzt haben, führen wir in alle hervorgegangenen in — 1 Gleichungen mit Ausnahme der ersten noch den Wert (3) von £₂ ein, so daß sich y₃, yx,. .. ym durch yx, y₂, xz, x±,. . . xn ausdrücken. Fallen x₃, xi} . . . xn dabei ganz heraus, so sind y₃, • • • Vm Funktionen von yx und y₂ allein, also mit anderen Worten yx, y₂, ... ym voneinander abhängig. Fällt dagegen z. B. x₃ nicht heraus, sondern bleibt x₃ rechts etwa in der ersten 78] der m — 2 Gleichungen stehen, so ist sie nach x₃ auflösbar und gibt etwa:

(4)

XZ ~ Wz (.Vl) Vn Vz ) ¹4f • ’ • ¹ n)‘

Auch ist dann y₅ von yx und y₂ unabhängig. Denn sonst bestände zwischen allen dreien eine Gleichung, die, weil yt und y2 voneinander unabhängig sind, y₃ enthalten müßte, so daß y3 eine Funktion von yx und y₂ allein und frei von x₃ wäre, was der Voraussetzung widerspricht.

Nunmehr machen wir in den m — 3 letzten Gleichungen noch die Substitution (4), so daß sich y±, y₅, . . . ym durch Ui7 Vi) Vz 1    ■ xn aus drücken, und schließen entsprechend

weiter. Das Verfahren endet, sobald die noch übrigen Funktionen y durch die vorher benutzten y allein ausgedrückt sind, also eine Abhängigkeit besteht. Andernfalls endet es erst mit dem mten Schritte, d. h. wenn alle m Gleichungen (1) aufgebraucht worden sind. Zugleich folgt, daß dann m <Ln ist. In diesem Falle haben wir nach und nach m Gleichungen gewonnen von der Form:

XX 9h (?/li ¹2) ¹ Z) • • • ¹ m'> ¹ m +17 ' * * ¹ n) > X2 ~ 9h    Vi) ¹ Z1 • • ' ¹ m’ ¹ m + 1> ’ ‘ • ¹ n))

und nur dann voneinander unabhängig, wenn erstens ihre Anzahl m höchstens gleich der Anzahl n der unabhängigen Veränderlichen ist und überdies zweitens die vorliegenden m Gleichungen nach gerade m der n Veränderlichen xx,x₂,...xn auflösbar sind.

Sind sie etwa nach xa, Xß, xy, . . . auflösbar, so sagt man, daß die Funktionen yx, y₂,. . . ym hinsichtlich xa, Xß, xy,. . . voneinander unabhängig seien.

Beispiel: Die beiden Funktionen yx = xx + x₂ + x₃ und y₂ ⁼ (^i + ^2) xs    unabhängig voneinander, aber nicht hin

sichtlich xx und x₂, sondern hinsichtlich xx und x₃ (oder x2 und x₃).

79. Unabhängigkeit von Gleichungen zwischen Veränderlichen. Wir wollen jetzt annehmen, daß m Gleichungen zwischen n Veränderlichen xx,x₂, ... xn vorliegen:

(1)

fx (xX) x₂, ...xn) = 0,... fm(xx, x₂,... xn) = 0.

Die Veränderlichen xx, x₂, . . . xn sollen    sonst    keiner Gleichung

unterworfen sein.    Käme xx in keiner    der    Gleichungen vor,

so hätten wir von dieser Veränderlichen xx völlig ahsehen können. Daher nehmen wir an, daß etwa xx wirklich in einer Gleichung, etwa in der ersten, auftrete, so daß sich aus ihr durch Auflösung nach xx ergibt:

(2)

xx — g:x (x₂, x₃,. . . xn).

Wir setzen den Wert in alle m — 1 übrigen Gleichungen (1) ein. Es kann sein, daß sie samt und sonders Identitäten werden. Wir sagen dann,    daß alle    Gleichungen    (1) Folgen der ersten

Gleichung seien.    Es kann    auch sein,    daß    einige Identitäten

werden. Sie sind dann Folgen der ersten Gleichung, und wir können sie bei den ferneren Überlegungen beiseite lassen. Es kann auch sein, daß sich Widersprüche ergeben, wie es z. B. der Fall ist, wenn das System (1) die Form hat:

xx + x₂ + x₃ = 0

(xx + a?₂ + #₃)² = 1 •

Alsdann sind die Gleichungen des Systems (1) unverträglich miteinander, und die Untersuchung wird gegenstandslos. Wir wollen bei der weiteren Betrachtung annehmen, daß sich nie Widersprüche ergeben.

78, 79]

Die Substitution des Wertes (2) von xx in die m — 1 letzten Gleichungen (1) gibt nun höchstens m — 1 Gleichungen in x₂, x₃,. . . xn allein. Sie sind, wenn ihre Zahl nicht gleich Null ist, nicht frei von allen x₂, xz, . . . xn. Nehmen wir also an, eine enthalte etwa x₂ wirklich und gebe x₂ = (jP₂ (,XZ>    • • • xn)‘

Diesen Wert setzen wir in alle übrigen ein, so daß Gleichungen in xs, x±,. . . xn allein hervorgehen, unter denen wieder Identitäten vorhanden sein können, usw. Das Verfahren endet etwa mit

X,u ~ W/t 0*7« + i > • • • Xn) >

..xn).

< + i> •

wo g m ist, wenn alle übrigen Gleichungen durch die angewandten Substitutionen identisch erfüllt werden. Dann sind alle m Gleichungen (1) Folgen der g Gleichungen: xx = cpx(x₂,x3,...xn), x₂ = (p₂(xz,...xf),...x^

Von diesen ist aber keine eine Folge der anderen, denn die erste enthält xXi das in allen übrigen nicht vorkommt, die zweite enthält x₂, das in allen folgenden nicht vorkommt, usw. Wenn wir den Wert von x in alle vorhergehenden, darauf den von x x in alle vorhergehenden usw. einsetzen, gehen fi Gleichungen hervor von der Form:

(3)

• • Xn),

+ 1? •

xi =    (*„+i, • • • *0» • • •    = % 0*>

und alle m Gleichungen (1) sind Folgen dieser fi (<i m) Gleichungen. Wir sagen alsdann: Die Gleichungen (1) sind nach xx, x₂,. . . x auflösbar.

Hier gilt nun wieder die Bemerkung, daß wir nur des bequemeren Ausdruckes halber diejenigen fi Veränderlichen, nach denen die Gleichungen (1) auflösbar sind, mit xx, x₂, . . . x bezeichnet haben. Es können fi andere unter den n Veränderlichen xx,x₂, ... xn sein, aber sicher ist fi <im. Demnach sind m Gleichungen nach höchstens m Veränderlichen auflösbar. Wenn nun insbesondere fi — m ist, wird keine der m gegebenen Gleichungen eine Folge von weniger als m Gleichungen, d. h. dann ist keine überflüssig. Wir sagen:

Definition: m Gleichungen in n Veränderlichen heißen voneinander unabhängig, wenn sie nach gerade m Veränderlichen auflösbar sind. Insbesondere heißen sie dann voneinander unabhängig hinsichtlich dieser m Veränderlichen.

Alsdann ist m<in. Sind die Gleichungen (1) etwa hinsichtlich xx, x₃,. . . xm voneinander unabhängig, so erhalten wir Auflösungen von der Form:

..xn).

• ■ Xn)> ■ ■ • Xm = i'rn (X

xx = iA (x

Anders gesagt: Die m Gleichungen (1) lassen sich auf die Form eines Systems von m Gleichungen

xk - 4>k (x

(4)

(Je = 1,2,... m)

m +15 '

bringen. Die linken Seiten dieser m Gleichungen sind Funktionen

(5)

..xn)

m + l? *

von xt, x₃, . . . xn. Da sich die Gleichungen (5) nach xlt . . . xm auf lösen lassen in der Form xk = yk -f- rhk, so folgt aus Satz 1 in Nr. 78, daß y1} y₂, . .. ym voneinander unabhängige Funktionen hinsichtlich xx, x₃, . . . xm sind. Hieraus ergibt sich all

gemein:

Satz 2: Sind m Gleichungen in n Veränderlichen xly x₃, ... xn voneinander unabhängig hinsichtlich m Veränderlicher xa, Xß, xy, . . ., so lassen sie sich durch Auflösung auf eine Form

fk(xi> x₂,... xn) = 0

(ft = 1, 2,... m)

bringen, in der ihre linken Seiten voneinander unabhängige Funktionen hinsichtlich xa, X*, xy, . . . sind.

Wenn umgekehrt ein System (1) vorliegt, in dem die linken Seiten fx, f₃, . . . fm voneinander unabhängige Funktionen, etwa hinsichtlich xx, x₃, . . . xm, sind, lassen sich die m Gleichungen

Vi = fi (xi, x₃,... x„) infolge von Satz 1 in Nr. 78 nach xx, x₃, . . . xm auflösen. Setzen wir in den Auflösungen yx — y₂ = • gehen die Auflösungen des Systems (1) nach xx, x₂, . . . xm hervor. Also:

Satz 3: Sind m Funktionen fx, f₃, . . . fm von n Veränderlichen xx, x₃, . . . xn voneinander unabhängig hinsichtlich m Veränderlicher xa, Xß, xy, . . ., so sind auch die m Gleichungen fx = 0,. . . fm = 0 voneinander unabhängig hinsicht-

Xa5 Xß) Xy‘> ‘    ‘

(6)

lieh

(• = 1, 2, • • • m)

yrn = °; ⁸⁰

Durch die Sätze 2 und 3 wird die Untersuchung der Unabhängigkeit von Gleichungen auf die Untersuchung der Unabhängigkeit yon Funktionen zurückgeführt.

80. Die Funktionaldeterminante. Als analytisches Kennzeichen der Unabhängigkeit von Funktionen dient, wie wir zeigen werden, der Wert ihrer Funktionaldeterminante oder Jacobischen Determinante, von der wir schon in Nr. 56 und 58 sprachen. Unter der Funkionaldeterminante von m Funktionen

(i = 1,2,... m)

Vi-fiOi*^, ■•<) von n Q> m) Veränderlichen xx,x₂, ... xn und zwar unter der Funktionaldeterminante hinsichtlich der m Veränderlichen xa, x*, . . . versteht man die m-reihige Determinante der m2 partiellen Ableitungen erster Ordnung von y1} y%, . . . yni nach xa, Xß,. . . x^. Wie schon gesagt, wird sie symbolisch mit

(i)

Vl Vs ' • • Vrn

oder

fl h ■ ■ • fm

V '

bezeichnet. So ist die Funktionaldeterminante von y1} y₂, . . . ym hinsichtlich xx, x₂,. .. xm:

rp rp    rp

'"ß ’ * *

(2)

li y ₂ • • • y^

rp rp    t»

^1 x2 • • •

14 14... 14

dx, dxt    dxm

1414_____44

dx, dx., cxm

j 14 4k 14

I    2a:m

Sind nun die w Funktionen yl} ya, . . . ym voneinander abhängig, so besteht zwischen ihnen eine Gleichung; sie enthalte etwa yx wirklich, so daß ihre Auflösung nach yt gibt:

Dann ist also:

Vi -⁰⁵    • • -sO-

fi -⁰³ (4 4 • • • 4),

. n:

so daß fx hierdurch als zusammengesetzte Funktion von x1; x₂,... xn dargestellt wird. Nach Nr. 72 ist folglich für *-1,2,..

dfi ₌ 1» 14 v 1°» 14 i . .    1“ 14.

da* d/a 3aj* dU dxi'~    dfm dxi

Die Determinante (2) ändert nun bekanntlich ihren Wert nicht, wenn wir von ihrer ersten Zeile die mit irgendwelchen Größen multiplizierten übrigen Zeilen subtrahieren. Multiplizieren wir diese dabei insbesondere mit

O.

so zeigt die letzte Gleichung, daß alle Glieder der ersten Zeile gleich Null werden. Sobald also m Funktionen fx, /₂, . . . fm von n Veränderlichen x1; x₂, ■ . ■ xn (n^>m) voneinander abhängig sind, ist die Funktionaldeterminante von f\, f₃₎. . . fm hinsichtlich irgendwelcher m Veränderlichen aus der Reihe aller n Veränderlichen x1} x₃₎ . . . xn stets gleich Ntdl.

Wir wollen jetzt beweisen, daß dagegen, wenn fx, f₂,. . . fm etwa hinsichtlich xx, x₃, . . . xm voneinander unabhängig sind, ihre Funktionaldeterminante hinsichtlich xx, x₂, . . . xm nicht gleich Null ist. Dazu bedienen wir uns des Schlusses von m — 1 auf m, denn es ist sicher richtig für m = 1. In der Tat, ist m = 1, d. h. liegt eine Funktion y = f(xx, x₂,.. . xn) vor, so ist sie nach der allgemeinen Definition in Nr. 77 als unabhängig zu bezeichnen, wenn sie keine Konstante c ist, da ja sonst eine Gleichung in y allein vorhanden wäre, nämlich y — c = 0. Insbesondere ist sie nun als unabhängig hinsichtlich xx zu bezeichnen, wenn die Gleichung y = f nach xx auflösbar ist, d. h. wenn die Funktion f die Veränderliche xx wirklich enthält. Alsdann aber ist cf: cxx 4= 0. Aber für m = 1 reduziert sich die Funktionaldeterminante (2) gerade auf df: dxx.

Die Behauptung wird hiernach bewiesen sein, wenn wir, ausgehend von der Annahme, daß sie für m — 1 Funktionen richtig sei, bewiesen haben, daß sie auch für m Funktionen gilt. Dieser Beweis ist wie folgt zu führen:

Nehmen wir an, die Funktionen (1) seien unabhängig hinsichtlich xx, x%, . . . xm. Dann sind die Gleichungen (1) nach Satz 1 in Nr. 78 nach xx, x₂, ... xm auflösbar, und zwar etwa die m — 1 letzten gerade nach x%, x₃, ... xm, so daß also die m — 1 Funktionen yt, y₃, . . . ym gerade hinsichtlich x%, x₃,... xm voneinander unabhängig sind. Nach Annahme 80]

ist in diesem Falle die Funktionaldeterminante von f₂, f‘3} . . . fm hinsichtlich x₂, x₃, ... xm nicht gleich Null, also:

(3)

+ 0.

» • • • fm

...xm

Wenn wir die aus den m — 1 letzten Gleichungen (1) durch Auflösung hervorgehenden Werte von xSf x3f. . . xm in die erste einsetzen, drückt diese yx durch x1} y₂, . . . ym aus:

Vi = <P (%i> Vz, • • • yj-

Diese Gleichung ist nicht frei von x1} da sonst eine Gleichung zwischen ylt y₂, . . . ym bestände, was ihrer vorausgesetzten Unabhängigkeit widersprechen würde. Wir haben also

(4)

fi = fi> fz, • • • fj,

wo

(5)

ccp

4= 0

ist. Durch (4) wird fx als zusammengesetzte Funktion von xlf x₂, . . . xm dargestellt. Nach Nr. 72 sind ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung diese:

dcp dU df\ dxx ccp df\ df» dx₂

d<j>

dxx dxx

dU

dx^

d<p dfm dfm dxx ’

gy dfm dfm dx₂ ’

dfi

dtp dfi

dU dxm

d<p dfm dfm dxm

dxm

Wenn wir nun in der Funktionaldeterminante (2) von der ersten Zeile die bzw. mit

d(f>

dcp

CM

oTv-e

’ ‘ ‘ ‘ dfm

multiplizierten übrigen m — 1 Zeilen abziehen, was ihren Wert nicht ändert, zeigt sich, daß alle Glieder der ersten Zeile mit Ausnahme des ersten gleich Null werden. Die m-reihige Determinante (2) ist daher das Produkt dieses ersten Gliedes dy.dxx mit der zugehörigen (m—l)-reihigen Unterdeterminante, die ihrerseits nichts anderes als die in (3) angegebene Determinante ist. Nach (3) und (5) ist mithin die Determinante (2) von Null verschieden.

d^ ’

Wenn wir jetzt wieder xx, x₂, . . . xm durch irgendwelche m der n Veränderlichen xx, x₂, ... xn ersetzen, können wir das Ergebnis so aussprechen:

Satz 4: m Funktionen

fi(xi> x₂,... xn), f₂{xx, x₂,... xn), . .. fm(xx, x₂₎... xj von nQ>m) unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, .. . xn sind dann und nur dann hinsichtlich m Veränderlicher xa, ... x^ voneinander unabhängig, wenn ihre Funktionaldeterminante hinsichtlich xa, Xß,. . . x^ von Null verschieden ist:

/fl ff - fm \xa

) + °.

Beispiel: Die schon in Nr. 78 betrachteten Funktionen

Vx==x1 + X2 + xz, lk = (xi + x-i) X3

haben hinsichtlich xx und x₂ bzw. hinsichtlich xx und x₃ die Funktionaldeterminanten

bzw.

X3 X1 Y X2

von denen die erste gleich Null, die zweite dagegen gleich xx -f x₂ — x₃ ist. Sie sind also nicht hinsichtlich xx und x₂, wohl aber hinsichtlich xx und x₃ (ebenso hinsichtlich x₂ und x₃) voneinander unabhängig.

81. Analogien zwischen Diiferentialquotienten und Funktionaldeterminanten. In Nr. 80 bemerkten wir gelegentlich, daß die Funktionaldeterminante von fx, f₂, . . . fm hinsichtlich xx, x₂, . . . xm im Falle m = 1 eine Ableitung erster Ordnung nach xx wird. Man kann Sätze aufstellen, die zeigen, daß die Funktionaldeterminante von m Funktionen in der Tat eine naturgemäße Verallgemeinerung des ersten Differentialquotienten einer Funktion von einer Veränderlichen für den Fall von m Funktionen von m Veränderlichen ist.

Es seien nämlich

X3

(1)

(k = 1, 2, . . . m)

m Funktionen von gerade m Veränderlichen xx,x₂,... xm. Ferner seien zx> z₂, . . . zm gerade m Funktionen von yx, y₂, . . . ym:

(2)

(Z = 1, 2, . . . m).

80, 81]

§ 1. Unabhängigkeit von Funktionen und Gleichungen Da wir nach (1) auch

*i = <Pi(fu f%> • • • fj schreiben können, sind z1} z₂, . . . zm zusammengesetzte Funktionen von xX} x₂, ... xm, und sie haben nach Nr. 72 die Ableitungen :

.. m),

dzt ' ■ d(pi dfi . d%dft .    \ , d<pt cfm

dx;

3/i C xi ' df dxi    ‘ dfm dxi

wofür wir wegen (1) und (2) schreiben können:

(i =1,2,... m).

/ox deL dzt dy± 8zt dyt .    ■ dzL dym

' ⁾ dxi dy₁ dxi ^ dy,_ ox{ '    8yrn dxf

Wir wollen nun das Produkt der beiden Funktionaldeterminanten

und

• • • *»

•-

• • • ym

bilden. Dies kann nach dem bekannten Satze über die Multiplikation von Determinanten so geschehen, daß wir als ites Glied der lten Zeile das Produkt annehmen, das hervorgebt, wenn wir die Glieder der lten Zeile der ersten Determinante mit den Gliedern der «ten JReihe der zweiten Determinante multiplizieren. Die dadurch hervorgehende Summe ist gerade der in (3) rechts stehende Ausdruck. Demnach ist:

Satz 5: Sind y1} y₂, . . . ym Funktionen von xlf x₂,. . . xm und ferner zu z%J ... zm Funktionen von ylf y₂, . . . ym, so daß zx, zs, . . . zm auch zusammengesetzte Funktionen von xx,x₂₎...xm iverden, so ist das Produkt der Funktionaldeterminante der z hinsichtlich der y und der Funktionaldeterminante der y hinsichtlich der x gleich der Funktionaldeterminante der z hinsichtlich der x.

Dieser Satz ist für den Fall m = 1 nichts anderes als der

Satz 11 in Nr. 33 über Funktionen von Funktionen. Denn wenn m — 1, also

z = (p (y) und y = f(x)

gegeben ist, kommt:

dz

dy dz dy dx dx

Wenn ferner yl7 y₂₇ . . . ym insbesondere voneinander unabhängige Funktionen von x₁₇ xi7 . . . xm sind:

(/;= 1,2,... m),

(5)

24 = /*<>l>^27 ■••««) haben die Gleichungen (5) nach Satz 1 von Nr. 78 Auflösungen nach xt, x₃₇ . . . xm:

Damit sind x₁₇ x3} ... xm als Funktionen von y₁₇ y₂, . . . ym dargestellt. Indem wir den in Nr. 10 aufgestellten Begriff verallgemeinern, werden wir diese neuen m Funktionen die zu fi) fz> ■ • • fm inversen Funktionen nennen. Da nun

= %(vi, y», • • • yj, yk = fk*»,••• O

ist, liegt ein besonderer Fall zu den früheren Annahmen (1) und (2) vor, indem nunmehr zl7 zi7. . . zm durch x₁,xSf...xm zu ersetzen sind. Aus (4) folgt also, weil die Funktionaldeterminante von x1} x₃₇... xm hinsichtlich x₁₇ x₃₇ . . . xm selbst gleich Eins ist: y» • • • ym

daher

x$ . . . Xm,

CM

(    '''%l)

\    ...«m/

SS <s£

KD    t®

Satz 6: Die Funktionaldeterminante der zu m unabhängigen Funktionen von m Veränderlichen gehörigen inversen Funktionen ist gleich dem reziproken Werte der Funktionaldeterminante der ursprünglichen Funktionen.

Im Falle m = 1, wo also eine Funktion y — f(x) von einer Veränderlichen x vorliegt, gibt die Auflösung x = cp (y) die zu y inverse Funktion in dem früheren, beschränkteren Sinne. Man sieht also, daß Satz 6 die natürliche Verallgemeinerung des Satzes 18 in Nr. 37 vorstellt, wonach

dx

dy dy

ist.

dx

Beispiel: Sind x, y rechtwinklige Punktkoordinaten in der Ebene und p, m die zugehörigen Polarkoordinaten, ist also:

= arc tg —,

so stellen p und co Funktionen von x und y vor, deren Funktionaldeterminante den von Null verschiedenen Wert hat:

¹

m ⁼ <Pm(yi> Vll Vzt • * • lfm) ¹ m + D • ‘ * ¹ n) •

Setzen wir den Wert von xm in alle m — 1 vorhergehenden Gleichungen ein, darauf den von xm_₁ in alle m — 2 vorhergehenden usw., so ergeben sich m Gleichungen von der Form:

Xk ~ VtQhl 1/2) • • ’ Um) ¹ m +1) • • • ¹ n) (k =• 1, 2, . . . m),

so daß die Gleichungen (1) hierdurch nach xx,x₂,...xm aufgelöst sind.

Nur der Bequemlichkeit des Ausdruckes halber nahmen wir an, daß nach und nach gerade xx, x₂, . . . xm berechenbar seien. Statt ihrer kann allgemein eine andere Reihe xa, Xß} xy,. . . von m der n Veränderlichen x1} x₂, . . . xn auf-treten. Es hat sich also ergeben:

Satz 1: m Funktionen

Vl = fl Ol 7 ¹2> • • • ¹ n), ■■■ym= fm(x17 V*, • • • ¹ n) von n unabhängigen Veränderlichen xx, x₂,... xn sind dann

[78

)-

x = q cos co, y = q sin co von (j und co. Ihre Funktionaldeterminante ist:

Also sind q und co voneinander unabhängige Funktionen von x und y. Die zu ihnen inversen Funktionen sind die Funktionen

(X y\ = \(> co/

cos co

sin co

— q sin co

p cos co

= 9-

§ 2. Ableitungen und Differentiale unentwickelter Funktionen.

82. Differentialquotienten einer unentwickelten Funktion von einer Veränderlichen. Ist y als Funktion von x implizite gegeben durch eine Gleichung:

f{pc, y) = 0,

und verstehen wir unter y die hierdurch definierte Funktion von x, so ist f eine zusammengesetzte Funktion von x allein, die für alle Werte von x (innerhalb des Variabilitätsbereiches) gleich Null ist, so daß also bei dieser Auffassung auch alle Differentialquotienten von f gleich Null sind. Es liegt dann der Fall von Nr. 69 vor, indem hier y die Rolle der dort mit v bezeichneten Funktion spielt. Daher ergibt sich durch wiederholte vollständige Differentiation nach x:

fx + fyV'^⁰’

fxx + 2 fxyy + fyyV² ■Jrfyy" = 0)

fxxx+SfxxyV + SfxyyV'² + fyyyV* + 3 (fxy + fyytf) y" + fyV" = 0

usw. Die erste Formel hatten wir in Nr. 54 unter (2) aufgestellt. Aus ihr läßt sich y berechnen, wenn f 4=0 ist, darauf aus der zweiten y" unter derselben Bedingung, alsdann aus der dritten y" ebenfalls unter derselben Bedingung usw.

9*

[81, 8»

83. Differentialquotienten von mehreren unentwickelten Funktionen von einer Veränderlichen. Allgemeiner liege jetzt ein System von m Gleichungen zwischen m -fl Veränderlichen x, ylf yif . . . yrn vor:

(i)

f» (x> yi> y*> • • • yJ = °>

Sind die Funktionen f1} f₂, . . . fm voneinander unabhängig hinsichtlich y1} y₂, . . . ym, d. h. ist nach Satz 4 von Nr. 80 die Funktionaldeterminante

(2)

fln\ + 0 yj

so können wir nach Satz 3 in Nr. 79 annehmen, daß die Gleichungen (1) die m Größen ylf yi} . . . ym als Funktionen der einen unabhängigen Veränderlichen x definieren. Wir haben schon in Nr. 58 gezeigt, wie man bei dieser Auffassung ihre Differentialquotienten erster Ordnung berechnen kann, nämlich aus den n Gleichungen

(³)    + ff-J'i + W.y' ⁺ • • • ⁺ WJ”' = ⁰ die in der Tat unter der Bedingung (2) als lineare Gleichungen in yt\ y₂', . . . ym nach den gesuchten Differentialquotienten y\t y*, ■ ■ ■ ym auflösbar sind.

In (3) sind die linken Seiten Funktionen von

X1 V\1 Vs) • • • Um)

ih, y*, ■ ■ ■ ym-

Da y₁, y₂, . . . ym Funktionen von x bedeuten, also auch y±, yt', . . . y'm, sind die linken Seiten von (3) zusammengesetzte Funktionen von x, die laut (3) gleich Null sind für alle Werte von x (innerhalb des Variabilitätsbereiches). Also müssen auch diejenigen Funktionen gleich Null sein, die durch wiederholte Differentiation nach x aus den linken Seiten der Gleichungen (3) hervorgehen. Doch müssen wir dabei vollständig, nicht partiell, nach x differenzieren, d. h. beständig im Auge behalten, daß s/i, y₂, ■ ■ ■ y,n im(l !h> yi, • • ■ ym ebenfalls Funktionen von x 83] sind, die differenziert yj, f/₂', ... ym und yx , y₂”, ... y" ergeben. Einmalige Differentiation gibt also:

dx> ⁺ dx dVl Vx + • ‘ + fody- Vm

. ( d*fk , Vfk , . d'fk    r    ,    a²/*    ' \

\dx dyl dy,*^ dy\ dy₂ y'²    ^ dy, dym ^m) y%

(4)

I ( d*fk l    d*fk y ' _J___y ' I . .

⁺ \dxdym ⁺ dymdyt Vx + dymdyt y2 +

I Üfk n . dfk ,t .    . dfk " C\

+ i£* ⁺ Si> "*    ⁺ WJm“⁰

(k = 1, 2,.. . m).

■ -f

d'fk \ ’

fyly)y-

Man bemerkt, daß dies m in y”, y₂, . . . y’m lineare Gleichungen sind, deren Determinante die Funktionaldeterminante (2) ist. Da sie nicht verschwindet, kann man hieraus yx", y₂", . . y"m berechnen.

Abermalige vollständige Differentiation der m Gleichungen

(4) nach x gibt noch umständlichere Gleichungen, von denen wir nur diejenigen Glieder angeben, die yx", y₂", . . . y"m enthalten:

(k - 1, 2,... m).

Sie sind in yy₂",. . . ym linear und wegen (2) nach diesen Ableitungen auflösbar, usw.

84. Partielle Dififerentialquotienten unentwickelter Funktionen von mehreren Veränderlichen. Noch allgemeiner sei jetzt ein System von m Gleichungen in n -f- m Veränderlichen xu x₃, . .. xn, yx, y₂,.. . ym gegeben:

(1)

fk(?i,    • • • xn> Vi> y*> ■ • • yJ = ⁰ (Je =1,2,... m).

Wenn die m Funktionen /j, f₃, . .. fm unabhängig voneinander hinsichtlich yx, y₂, . . . ym sind, d. h. wenn nach Satz 4 in Nr. 80 die Funktionaldeterminante

)⁺°

(2)

fi • • • f Vl ■■■ym

ist, können wir nach Satz 3 in Nr. 79 annehmen, daß die

[83, 84

Gleichungen (1) die m Größen yx, y₂, . . . ym als Funktionen der n unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, . . . xn definieren. Sobald wir nun in (1) unter yx, y₂, . . . ym diese Funktionen von x1} x₂, xn verstehen, sind die linken Seiten der Gleichungen (1) zusammengesetzte Funktionen von xx, x₂, . . . xn, die für alle Werte von xx, x₂, . . . xn (innerhalb ihres Variabilitätsbereiches) gleich Null sind, so daß auch ihre Ableitungen erster Ordnung nach xx, x₂, . . . xn verschwinden. Bei der Berechnung der Ableitungen muß man aber im Auge behalten, daß y1} y₂,. . . ym bei dieser Auffassung von xt, x₂, . . . xn abhängen. Die Differentiation nach x{ gibt daher die m Gleichungen:

dfk

(3)

+ • • • + = ⁰

dym dxi

Sie sind linear in

(Je = 1, 2,... m).

(4)

, hi, ...Qu*

dxi    dxt

und ihre Determinante hinsichtlich dieser m Größen ist die Funktionaldeterminante (2), so daß sich die partiellen Ableitungen von yx, y₂, . . . ym nach x{ aus ihnen berechnen lassen.

Differenzieren wir die m Gleichungen (3) nach xv indem wir bedenken, daß y₁,y₂,---ym und die m Ableitungen (4) von xt abhängen, so ergibt sich weiterhin:

4-

■ m Bym

dxidxl ' dxldy₁ dxx ' ' ' ' "r dx, dym dx,

d*fk djh d':fk _ dy, dxfiy-! dx, *t" dx,dys dx,

(Pf* dJh _i_ d'fh

\ Vx² dx, 'r dyxdyx dx,

cd

Pfk dy-m dx,dym dx,

d[fk dym\ dytdym

dyx

dx{

, / Pfk dyx .    dyt    ,____|_    (ffk Hm\    dy™

^ \dymdy₁ dx, "¹" dymdyi    dx,    ~r    "r 8yl dx,)    dx,

, dfk d*yx . dfk    d*yt    ,____,    dfk d'ym = ()

^ dyx dx,dx, "t" dyt    dxidxl ’r    *    "r    dym dx,dx,

(k = 1, 2, . . . m).

Dies sind m in bezug auf

d'Vi d*y₂ > _ . d²ym

dxtdxl ’ dxt cxt ’    dxidxl

lineare Gleichungen mit der Determinante (2), so daß sich aus ihnen die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von yx, y₂, . . . ym nach xt und xx berechnen lassen, usw.

85. Vollständige Differentiale unentwickelter Funktionen von mehreren Veränderlichen. Wir betrachten denselben allgemeinsten Fall wie in voriger Nummer. Es seien also m Gleichungen in x1} x₂, . . . xn, yX) y%,---y vorgelegt:

fk(xx, x„... xn, ylf ys,... ym) = 0 die unter der Voraussetzung

(1)

(k = 1, 2,... m),

■ • ‘ tm

die Größen ylt y2l . . . ym implizite als Funktionen von xX) x₂, . . . xn definieren. Wenn wir unter yx, y₂, . . . ym diese Funktionen von Xj Null für alle

bereiches), so daß auch ihre vollständigen Differentiale nach Satz 8 von Nr. 74 verschwinden. So kommt zunächst:

(2)

'sS "-s

fco tsö *

, . . . xn verstehen, sind f\, f₂, . . . fm gleich , x₂, . . . xn (innerhalb ihres Variabilitäts-

(3)

dfk

dxt

dxn+^

dfk

CVrn

(Je — 1, 2,. . . m).

Diese m Gleichungen sind linear in bezug auf dyx, dy.₂, ...dym, und zwar haben sie in bezug auf diese m Größen die von Null verschiedene Determinante (2), so daß ihre Auflösung die vollständigen Differentiale erster Ordnung dyx, dy₂, . . . dym der Funktionen yx, y₂, . .. ym liefert.

In (3) stehen links Funktionen von

/Y' rY>    /V»

•^1? ^2 5 * • • J'n)

die außerdem die als willkürliche Konstanten zu betrachtenden Differentiale dxx, dx₂, . . . dxn der unabhängigen Veränderlichen enthalten.

V\i y%> • • • y^m> dyx, dy₂, . . . dym,

Verstehen wir unter yx, y2} . . . ym die durch (1) definierten Funktionen von xx, x₂, . . . xn und unter dy1} dy₂, .. . dym die aus (3) zu berechnenden Funktionen von xt, x₂, . . . xn und yl} y₂, . .. ym, so sind die linken Seiten der Gleichungen (3) zusammengesetzte Funktionen von x1} x₂,.. . xn, die nach (3) für alle Werte von xlf x₂, . . . xn (innerhalb des Variabilitätsbereiches) gleich Null sind und deren vollständige Differentiale also nach Satz 8 von Nr. 74 verschwinden. Um diese vollständigen Differentiale aufzustellen, differenziert man nach jedem xt und multipliziert mit dxv ferner differenziert man nach jedem yl und multipliziert mit dyv außerdem differenziert man nach jedem dyt und multipliziert mit d²yr Aus allen so hervorgehenden Ausdrücken ist die Summe zu bilden. So kommt:

g2/*

dxx dx₂

d'-fk

d x^ d x₂ -)-••• +

+² GJrfe dxidyi+Tx/iy; dx*dvi+

c/y₁ dy₂H----+

dx^

oVk

3*.*

dXn

Vfk

dxndym

dxndym)

3%fk

dy i² 4* 2

3* ft

d²fk

CVm

* dVrn

dft

d y.

d²yt 4-

ff*

Al

fco

• 4-

ofk

~rym

d%Vm = 0

(h = 1, 2, . . . m).

Dies sind m in d?ylf d²y₂,. .. d²yn lineare Gleichungen mit der Determinante (2), so daß sich die vollständigen Differentiale zweiter Ordnung von yt, y₂, . . . ym aus ihnen berechnen lassen. Entsprechend gehen die vollständigen Differentiale höherer Ordnung hervor.

Man kann aber auch folgenden Weg ein schlagen: Zuerst stellt man, indem man bedenkt, daß yt eine Funktion von x1} x₂, . . . xn ist, das gesuchte vollständige Differential rtor Ordnung dryt von yt nach Satz 13 von Nr. 76 als eine Summe dar, in der die partiellen Ableitungen von yl nach x1}x₂,...xn auftreten. Hierin setzt man dann die nach Nr. 84 zu berechnenden Werte dieser Ableitungen ein.

Beispiel: Es sei z als Funktion von x und y definiert durch die Gleichung: f{x, y, z) = 0.

(4)

Man pflegt die partiellen Ableitungen erster Ordnung von z mit p und q, die zweiter Ordnung mit r, s, t zu bezeichnen:

dz

(5)

Tx ~ p’

isi

d-z

diz

d*z

_ c

dxdy ’

Dann ist nach Satz 13 von Nr. 76:

dz = pdx + qdy, d²z = rdx² -f- 2sdxdy -f- tdy².

dxi r’

dyi

(6)

Nun sind p und q ebenfalls Funktionen von x und y, und wegen ihrer in (5) angegebenen Bedeutung lauten ihre vollständigen Differentiale so:

00

dp = dx + dy = rdx + sdy, dy = sdx -f tdy.

dq =

dq

dx

dx

dq

dy

Um die Werte der vollständigen Differentiale (6) zu finden, müssen wir zunächst p und q ermitteln. Deshalb differenzieren wir die Gleichung (4) partiell nach x bzw. y, indem wir z als Funktion von x und y auffassen:

(8)

fx + fzP ⁼ 0, fy + fzq = 0.

Hieraus folgt:

g. = -

Um r, s, t zu ermitteln, differenzieren wir (8) partiell nach x hzw. y, indem wir z, p und q als Funktionen von x und y auffassen. So gehen zunächst vier Gleichungen hervor:

fxx + fxtP + fzxP + flzP² + fzr = 0,

(9)

fxy + fxz<l + fsyP + fzzM + f,* = °, fyx + fyzP + fxx*l + fzz<lP + fzS = 0,

fyy + fyzQ. + fzyQ. + fzzQ* + fj = 0,

und zwar die beiden ersten aus der ersten Gleichung (8), die beiden letzten aus der zweiten Gleichung (8). Die zweite und dritte Gleichung (9) sind aber miteinander identisch, da fxy = fyx usw. ist. Wir können also hieraus r, s, t berechnen.

Zur Erläuterung nehmen wir als Gleichung (4) diese an: ot? + y² + s² — a² = 0.

Hier lauten die Gleichungen (8) und (9):

x + zp = 0, y + gq = 0;

1 + P² + ar = 0, pq -f zs = 0,    1 + 2² + ^ = 0,

so daß kommt:

<1 =

_ xy

Z& ,

t + S²

0³

§ 3. Die Elimination willkürlicher Konstanten.

86. Elimination einer willkürlichen Konstante aus einer Gleichung. Es sei y als Funktion von x definiert durch eine Gleichung

(1)

f(x, y, c) = 0,

die noch eine willkürliche Konstante c enthält, so daß sie für jeden Wert von c (wenigstens innerhalb eines gewissen Wertbereiches) eine besondere Funktion y von x definiert. Die Differentiation der Gleichung liefert:

(2)

+    i-°-

Kann man nun die Konstante c aus den beiden Gleichungen

(1) und (2) entfernen, so geht eine Gleichung

(3)

zwischen der unabhängigen Veränderlichen x, der Funktion y und ihrer Ableitung dy : dx hervor. Diese Gleichung ist ganz unabhängig von dem für die Konstante c gewählten Werte, so daß sie richtig ist für alle durch (1) definierten Funktionen

y von x.

Man nennt (3) eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung und (1) die zugehörige ursprüngliche Gleichung.

Deutet man x und y als rechtwinklige Punktkoordinaten in der Ebene, so stellt die Gleichung (1) für jeden Wert von c eine Kurve, also insgesamt eine Kurvenschar dar. 85, 86]

Die Gleichung (3) drückt alsdann eine Eigenschaft aus, die allen Kurven der Schar zukommt, und zwar eine Eigenschaft der Tangente.

1. Beispiel: Ist als Gleichung (1) y² — 2px — c = 0

mit bestimmter Konstante p vorgelegt, d. h. die Gleichung einer Schar von kongruenten Parabeln, deren Achse die #-Achse ist, so geht als Gleichung (2)

„ ₌ o

y dx v

hervor, die an sich von c frei ist, demnach schon die zugehörige Differentialgleichung (3) vorstellt. Nach dem 1. Beispiele in Nr. 40 besagt sie, daß alle jene Parabeln eine Subnormale von derselben Länge p haben.

2. Beispiel: Die Gleichung:

x*

F-

c² — m²

JB

stellt für jeden Wert der Konstante c einen Kegelschnitt dar, dessen Brennpunkte F und F' auf der x-Achse liegen und die gegebenen Abszissen + m haben. Siehe Fig. 22. Um eine allen diesen Iconfokalen Kegelschnitten gemeinsame Eigenschaft abzuleiten, bilden wir die Gleichung (2) durch Differentiation:

-O-

Fig. 22.

y dv ₌ 0

c² — m*~dx

Setzen wir den hieraus zu entnehmenden Wert

c² =

m*x x + yy

in die gegebene Gleichung ein, so kommt:

nr.

Dies ist hier die Differentialgleichung (3). Um ihre geometrische Bedeutung zu ermitteln, verstehen wir unter B und C die Schnittpunkte der Tangente und Normale eines Kurvenpunktes M mit der «/-Achse. Da die Tangente und

Normale in den laufenden Koordinaten £, die Gleichungen haben:

y' (l-x)r

9 — */ = y'(i — x) und \) — y =

ergibt sich für £ = 0:

OB — y — xy, OC = y-f

so daß die Differentialgleichung besagt:

OB. OC = — m².

Das Minuszeichen lehrt, daß B und C auf verschiedenen Seiten von 0 liegen. Da auch OF. OF' = — m² wird, ist die geometrische Deutung diese: Der Kreis durch die Brennpunkte F und F' und einen Kurvenpunkt M trifft die Nebenachse des Kegelschnittes in Punkten B und G der Tangente und Normale von M, und dies gilt für alle konfokalen Kegelschnitte.

87. Elimination von m willkürlichen Konstanten aus m Gleichungen. Liegt ein System von m Gleichungen im m + 1 Veränderlichen x, y1} y%,. . . ym vor, das außerdem m willkürliche Konstanten clf c₂, . . . cm enthält:

(1)

fLi.xr VlJ Vir • • • Vmr C1 r ^2r • • • ~ fi(xr Vir Vir ■ ■ • Vmr ci> C2r • ■ • CTO) ⁼⁼

^ fm(.xrVir Vir • ■ Vmr cir C2> • • • Cm)    ^

und sind die linken Seiten voneinander unabhängigen Funktionen hinsichtlich yt, s/₂, . . . ym, d. h. ist nach Satz 4 von Nr. 80 die Funktionaldeterminante: so definieren die Gleichungen (1) die m Größen yx, y₂, ... ym als Funktionen der unabhängigen Veränderlichen x, nach Satz 3 von Nr. 79. Diese Funktionen enthalten noch die m willkürlichen Konstanten clf c₂, • • • cm, werden also andere bei anderer Wahl der Konstanten. Durch vollständige Differentiation der m Gleichungen (1) nach x ergeben sich die n Gleichungen: 86, 87]

Vx + f£ ü+w* ⁺ lfL °> f§ ⁺ Wiyi + ys + "'⁺ Ifc y'm'~ °’

(3)

col

» lg**

CO

CO

Sind die 2 m Gleichungen (1) und (3) so beschaffen, daß sich die m Konstanten clf c₂, . . . cm daraus eliminieren lassen, so geht ein System von Gleichungen in x, y1} yi} . . . ym, yf, Vt) • • • y'm hervor. Sobald die m Funktionen flf . . . fm hinsichtlich cx, c₂,. . . cm voneinander unabhängig sind, können wir uns die Elimination so ausgeführt denken: Wir berechnen cx, c₂, . . . cm aus (1) (vgl. Satz 3 von Nr. 79) und setzen die Werte in (3) ein. Die Gleichungen (3) sind hinsichtlich yf yf, • • • y'm voneinander unabhängig, wenn die Determinante (2) von Null verschieden ist. Sobald also durch Einsetzen jener Werte von clf c₂, . . . cm die Funktionaldeterminante (2) nicht gleich Null wird, gehen insgesamt gerade m voneinander hinsichtlich yf, ijz, . . . ym unabhängige Gleichungen hervor von der Form:

Fk{x, yu ys>... ym, yf, y₂',. . . y J = 0 (h = 1, 2,... m).

Man nennt sie ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung für m abhängige Veränderliche yx, y₂, . • . ym. Dies System drückt Eigenschaften aus, die allen durch (1) definierten Funktionen ylt y₂, ... ym von x zukommen, welche Werte auch die willkürlichen Konstanten c₁₎ c₂,. . . cm (in einem Bereiche) haben mögen.

88. Elimination von n willkürlichen Konstanten aus einer Gleichung. Wenn eine Gleichung zwischen x und y

(1)

fix, y, c₁₅ c₂, . .. cn) = 0

n willkürliche Konstanten clf c₂, . . . cn enthält, definiert sie lauter Funktionen y von x, die für verschiedene Werte, die man dem System der Konstanten c₁,ci,...cn beilegen kann, verschiedenartig sein werden. Auch hier kann man die Konstanten durch Heranziehen der differenzierten Gleichungen eliminieren, nur muß man, sobald n > 1 ist, — andernfalls

[87, 88

läge der Fall von Nr. 86 vor —, mehrere Male nach x differenzieren. Nach Nr. 82 bilden wir so viele Gleichungen

fx + fyV = °>

(2)

fxx + ZfxyV' + fyytf² + fyl)" = 0,

bis wir in ihnen zusammen mit (1) hinreichend viele Gleichungen vor uns haben, aus denen sich cv c₂, ... cn eliminieren lassen. Dazu braucht man höchstens n-mal zu differenzieren, sobald die Gleichung (1) zusammen mit den n — 1 ersten Gleichungen (2) hinsichtlich der n Größen clf c₂, . . . cn voneinander unabhängig sind. Die Elimination von cX) c₂, . . . cn aus den n + 1 Gleichungen (1) und (2) gibt dann eine Gleichung von der Form:

(3)

F{x, y, y, y",... y{n)) = 0.

Sie heißt eine gewöhnliche Differentialgleichung nter Ordnung für eine abhängige Veränderliche und drückt eine Eigenschaft aus, die allen durch (1) definierten Funktionen y von x zukommt.

Übrigens können wir dies Eliminationsproblem auf das in der vorigen Nummer besprochene zurückführen. Wenn wir nämlich y, y", . . . y^n~¹'> als Funktionen von x mit jeq, #₂,...sn_x bezeichnen, haben wir statt der einen Gleichung (1) die n Gleichungen: f{x, y, clr c₂,.. . cn) = 0,

(4)

«x = y\ ^ = y",

(n-l)

= y

worin y, y", . . . y(n~¹'> die Differentialquotienten der durch die erste Gleichung definierten Funktion y von x und daher Funktionen von x und clf c₂, . . . cn sind. Es liegen also n Gleichungen zwischen den n -f- 1 Veränderlichen x, y, zX} . . . zn_l vor, die außerdem willkürliche Konstanten. clf c₂, . . . cn enthalten. In Nr. 87 lag Entsprechendes vor, nur waren dort die abhängigen Veränderlichen mit yx, y₂₎ . . . ym bezeichnet. Wenn wir mithin so wie dort Vorgehen, d. h. die Gleichungen (4) 88]

und y',zx,/₃,... z'n_x

differenzieren und darauf cx, c₂, . . . cn eliminieren, wird sich eine Gleichung zwischen

V> &l>    ‘ • &n — t

ergeben. Aber zx, z₃,. . . zn_x bedeuten nach Definition nichts anderes als y, y", . . . y^n~^ und daher zx, z₃,... zn_x nichts anderes als y'\ y'", . . . y(n\ so daß die hervorgehende Gleichung eine Gleichung in x, y, y, y", . . . yW ist, nämlich die Gleichung (3).

§ 4. Die Elimination willkürlicher Funktionen.

89. Lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion von zwei Veränderlichen.

Eine Verallgemeinerung der Betrachtungen des vorigen Paragraphen geht hervor, wenn wir uns die Aufgabe stellen, nicht mehr eine auftretende willkürliche Konstante, sondern vielmehr eine auftretende willkürliche Funktion dadurch zu entfernen, daß wir durch Differentiation genügend viele Gleichungen bilden, aus denen sie eliminiert werden kann. Ein ziemlich einfacher Fall ist dieser:

Es sollen u und v zwei bestimmt gegebene Funktionen von drei Veränderlichen x, y und z sein. Dagegen bedeute <&(u, v) eine willkürliche Funktion von u und v. Wenn wir nun die Gleichung vorschreiben:

(i)

<&{u, v) = 0,

enthält sie x, y und z und bestimmt, wenn sie nicht frei von z ist, die Veränderliche z als Funktion der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y. Da jedoch die Funktion beliebig wählbar bleiben soll, definiert (1) nicht nur eine, sondern unzählig viele Funktionen z von x und y. Wir fragen uns, ob wir eine allen diesen Funktionen z von x und y gemeinsame, also von der besonderen Wahl von 0 unabhängige Eigenschaft ermitteln können.

Dies geschieht so: Die Gleichung (1) besagt nur das Eine, daß u und v voneinander abhängige Funktionen sein sollen, und da z als Funktion von x und y aufgefaßt werden soll, besagt sie, daß u und v voneinander abhängig hinsichtlich x

[88, 89

und y sein sollen, sobald darin z als Funktion von x und y betrachtet wird. Nach Satz 4 von Nr. 80 ist dazu notwendig und hinreichend, daß die Funktionaldeterminante

dx dy dv dv

du dv    du dv    ~

dx dy    dy dx

sei. Dabei ist aber die Bedeutung der Ableitungen von u und v, weil x und y in z Vorkommen, wohlbemerkt diese:

= ux + u,p,

du

du

Ty ~U>⁺ “*«>

Ü-V. + V.P,

dx

wenn wir wie in dem Beispiele zu Nr. 85 die partiellen Ableitungen erster Ordnung von z nach x und y mit p und q bezeichnen. Also ergibt sich:

(ux + usp) (vy + vzq) - (uy + u,q) (vx + v:p) = 0

oder ausmultipliziert:

UxVy ~ UyVx + (UzVy ~ UyVz)P +    ~ UzVx) C1 = ⁽⁾

oder auch:

q -1

Uy

= 0.

vv

Wie man sieht, ist dies eine Gleichung, die x₇ y und z und außerdem die partiellen Ableitungen erster Ordnung dz:dx und dz'.dy, nämlich p und q, und zwar diese beiden bloß linear, enthält. Eine Gleichung in x, y, z und den beiden Ableitungen dz\dx und dz\dy heißt eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion z der beiden unabhängigen Veränderlichen x, y. Da die Ableitungen linear auftreten, liegt hier insbesondere eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung vor.

Satz 7: Sind u und v gegebene Funktionen von x, y und z, so genügt die Gesamtheit derjenigen Funktionen z von x und y, die durch irgendeine Gleichung <P(w, v) = 0 in u und v definiert iverden können, was für eine Funktion von u und v auch 89]

(p sein mag, der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

I dJL

dx cy Zlx

Vz Vy

-1

= 0.

90. Lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion von n Veränderlichen.

Die vorhergehende Betrachtung läßt sich ohne Mühe verallgemeinern: Es seien ulf u₂, . . . un insgesamt n gegebene Funktionen von n1 Veränderlichen xx, x%, .. . xn und z. Wir schreiben vor, daß irgendeine Gleichung zwischen ulfua,... un bestehen soll:

(1)

#0l, Mg, . . . un) = 0,

wodurch dann, wenn sie nicht zufällig von z frei ist, die Veränderliche z als Funktion von n unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, . . . xn definiert wird. So werden unzählig viele Funktionen z von xx,x₂, ... xn gegeben, da die Funktion O beliebig gewählt werden kann. Wir suchen eine Eigenschaft, die allen diesen Funktionen z von xx, x₂, ... xn zukommt.

Die Gleichung (1) besagt, daß für die durch (1) definierte Funktion z von xx, x₂, . . . xn die n Funktionen ux, u₂, . . . un voneinander abhängige Funktionen von xx, x₂, ... xn werden^ so daß nach Satz 4 von Nr. 80 ihre Funktionaldeterminante

xx x₂ .

sein muß. Dabei hat aber, da allgemein ui die Veränderliche xk einmal für sich und dann noch in z enthält, die Ableitung von ui nach xk den Wert:

dui dui dz dxk ‘ dz dxk

Bezeichnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung von z nach xx, x₂, . . . xn mit px, p₂, . . .pn, setzen wir also:

dz

dxx

= Pi,

dz

dz

dxt P‘²’    ''' dxn ^n’

so ist folglich:

S er re t-S che f f er a, Diff-u. Integr.-Reclm. I. C. ü. 7. Aufl.

dun dun dun dun dun dun dFx + p'~Tz dx, + p* •' ‘ Wn + PnTz Diese Determinante läßt sieh in eine Summe von w-reihigen Determinanten zerlegen, da jede Reihe in zwei Reihen zu zerfallen ist. Aber die zweiten Teile aller Reihen sind zueinander proportional, sie bestehen nämlich aus den Gliedern

(3)

dux du.,    d urL

dz ’

dz ’ dz

bzw. multipliziert mit p1} p.₂, . . . pn. Die Zerlegung der Determinante in einzelne liefert also viele Determinanten, deren Werte gleich Null sind, und es bleiben nur n + 1 Determinanten übrig. Verstehen wir unter A die Determinante:

dux |

' ” Zxn du₄

3“n <>Un    dun

| dxx dxt    dxn |

und unter Ai diejenige, die aus ihr hervorgeht, wenn wir die ite Reihe durch die Reihe der Glieder (3) ersetzen, so leuchtet ein, daß die Gleichung (2) die Form annimmt:

(4)

co

dux

deCj

dUi

dxx

dux dux    dux

dxn ' Pn dz

Yx,    _

I y. 3ux dux    -

+ pi~dJ dx,+P*Tz dut du%    du₂

¹ dz

du%

A    -f lh&z + ' • • + Pn\ = 0.

Hierin sind A, Ax, A₂, ... An gegebene Funktionen von xu x.₂, . . xn und z. Die Gleichung (4) enthält außerdem die partiellen Ableitungen erster Ordnung von z nach xx, x₂, ... xn, nämlich px, p₂, . . . pn, und zwar linear. Sie heißt daher eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion z von n unabhängigen Veränderlichen x1} x₃, . . . xn.

Satz 8: Sind ul7 w₂, . . . un gegebene Funktionen von xX} x₂,... xn und z, so genügt die Gesamtheit derjenigen Funktionen z von xu x2} . . . xnf die durch irgendeine Gleichung

#Oi, m₂, ...«0 = 0

duj du2 dx. ’ dx ’ ' '

durch

ersetzt.

l    l

du, dut dun Tz ’ Tz~’ • • ‘ dz

Wir hätten dies Ergebnis auch ohne Benutzung des Satzes 4 von Nr. 80 finden können, denn aus 0 = 0 folgt durch vollständige Differentiation nach xt, x₂, ... xn das System:

ao> /dun gu,.\ =0 dun ydXi    dz ^lJ

a$/<K    \

du, yd#,- ' dz *l) '

(i =1,2,... n),

und diese n Gleichungen in den n linear auftretenden Größen

a$

definiert werden Können, was für eine Funktion der u auch Q sein mag, der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung:

dz

dz

dz

A + A> 8^ + A* ü. + " ' + A» ~ °' wo A die Funktionaldeterminante von u₁, u.,, . . u1{ hinsichtlich x,, xa,. . . xn allein bedeutet und Ai aus A hervorgeht, wenn man in A die Glieder

a#

du, ’ dut } dun

können, da ihre rechten Seiten gleich Null sind, bekanntlich nur dann bestehen, wenn ihre Determinante gleich Null ist. So kommen wir zur Gleichung (2), also auch zur Gleichung (4).

91. Homogene Funktionen. Eine Funktion von mehreren Veränderlichen heißt homogen und zwar homogen vom mten Qrage^ wenn die Multiplikation aller Veränderlichen mit einem und demselben, aber beliebigen Faktor t eine Funktion liefert, die gleich der ursprünglichen Funktion, aber multipliziert mit tm, ist. Eine Funktion z = f{xlf x₂, . . . xn) von xx, xt, ... xn heißt also homogen vom mten Grade, wenn für jeden Wert von t die Gleichung besteht:

f(txt, tx ₂,. .. txn) = tmf{xx, x₂,...xn) = tmz.

Danach sind xx -j- x₂ -\----xn und xxx% ... xn homogene

Funktionen ersten bzw. wten Grades. Ferner ist yx₁x₂ + ]/x₃x4 eine homogene Funktion ersten Grades, dagegen ]/x₁ + ~/xa

¹⁰*    [90, 91

eine homogene Funktion, deren Grad gleich \ ist, und xx : x2 eine vom Grade Null.

Wählt man insbesondere t = 1 : xn, so folgt, daß eine homogene Funktion mten Grades z = f(ocx, x₂, . . . xw) in der Form

(i)

dargestellt werden kann, also als eine Funktion der n — 1 Verhältnisse xx : xn, x₂: xn} ... xn_x : xn, multipliziert mit der mten Potenz von xn.

Umgekehrt: Jede Funktion von der Form

xs ... Xn-1 xn

ist eine homogene Funktion mten Grades in xx, x₂,. . . was für eine Funktion von xx : xn, x₂\ xn, ... xn_x: xn auch F sein mag. Denn wenn wir xx, x₂, ... xn durch txx, tx₂, .. . txn ersetzen, ändern sich die Brüche xx : xn, x₂ : xn, ... xn_x : xn nicht; also bleibt F ungeändert, und es kommt (txn)mF oder tmz. Setzen wir nun

₌

xn

(2)

xn

ux,

xi ₌

xn-1

xn

xn

Un-u

aber: —

= Un,

so wird:

Un = Ffa, U₂, . . . Un_x),

d. h. es besteht eine Gleichung

0(ux, u₂,... un_x, un) = 0

zwischen ux, u₂, . . . un. Wir haben also wieder den Ansatz von Nr. 90 vor uns, indem jetzt ux, u₂, . . . un die besonderen Funktionen (2) von xx, x₂, . . . xn und z sind, so daß die Gleichung (2) von Nr. 90 hier die Form annimmt:

xn

xn

xn

xn

xn-1

xn

xn

Pi_ Pi_ . . Pn-1

rrm

VIZ

Pn

xn

TO

n

Multiplizieren wir die ersten n — 1 Beihcn der Determinante mit

xn —1

Xx

J*

xj n

und addieren wir sie dann zur letzten, so werden die n— 1 ersten Glieder der letzten Reihe gleich Null, so daß kommt:

Xn

p(

mz

Xx Px + x,Pi 4-----VxnPn

/y-m + l

-°

oder einfacher:

Xxpx + %<Ah i-----h XnPn = mz-

Daher:

ten

Satz 9 (Eulerscher Satz): Ist z eine homogene Funktion Grades von n Veränderlichen xt, x₂₎ ... xn, so ist die Summe der hzw. mit xlf x₂,. . . xn midtiplizierten partiellen Ableitungen von z nach x1} x₂, . . . xn gleich dem m-fachen der Funktion z:

dz

dz

dz

^    + **    + " ’ + *» d

Da die homogenen Funktionen m (1) darstellbar sind und da aus (1) durch partielle Differentiation nach x{ hervorgeht:

8 Z    m

Pi~ 8Xi~ X»

df

xn

i' ii

= mz.

Grades in der Form

-l

df

CO

xn

wo der zweite Faktor wieder bloß eine Funktion der Brüche xx: xn, x₂: xn,. . . xn_l\xn ist, so folgt sofort der

Satz 10: Die partiellen Ableitungen erster Ordnung einer homogenen Funktion mten Grades sind homogene Funktionen (m — l)ten Grades.

92. Allgemeine partielle Differentialgleichung erster Ordnung. Die Betrachtungen in Nr. 89 und 90 führten zu linearen partiellen Differentialgleichungen. Wir wollen nun zunächst für den Fall von zwei unabhängigen Veränderlichen x, y zeigen, wie man zu einer allgemeinen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion z von x und y gelangt, und zwar durch einen Ansatz, der, wie sich allerdings erst viel später zeigen wird, für die Theorie der partiellen Differentialgleichungen von fundamentaler Bedeutung ist.

[91, 92

Es sei cc eine Veränderliche, cp eine ivilllcürliclie Funktion von ihr und

y= f{x, y, e, Ci, <p(a))

eine gegebene Funktion von x, y, z, cc und <p(ct). Alsdann verlangen wir das Bestehen der beiden Gleichungen:

(l)

F=0,

dv

du

= 0,

Wenn der Funktion <p(a) eine bestimmte Bedeutung gegeben wird, sind dies zwei Gleichungen, aus denen durch Elimination von cc eine Gleichung in x, y, z allein hergeht, so daß wir annehmen dürfen, daß dadurch z als Funktion von x und y definiert wird. Für verschiedene Annahmen hinsichtlich der Funktion cp(a) von cc gehen so verschiedene Funktionen z von x und y hervor. Wir wollen nun wieder eine Eigenschaft ableiten, die allen diesen Funktionen z von x und y gemeinsam ist.

Zu diesem Zwecke verstehen wir unter a diejenige Funktion von x, y, z, die aus der zweiten Gleichung (1) zu berechnen wäre, und denken sie uns in die erste Gleichung (1) eingesetzt. Nun muß für die betrachtete Funktion z von x und y das vollständige Differential d V gleich Null sein, da V für alle x und y (innerhalb ihres Variabilitätsbereiches) gleich Null ist. Folglich haben wir:

dV

dV

ÜT dx + Jy dy +    +

Da aber a die durch die zweite Gleichung (1) bestimmte Funktion sein soll, ist das letzte Glied der links stehenden Summe gleich Null. Ferner ist dz = pdx + qdy, so daß wir bekommen:

dx + 'i dy + V (jpdx + qdy) = 0

(£+£*)*+(£+£«)*-<>■

Weil die Differentiale dx und dy der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y willkürlich gewählt werden können, muß also einzeln

oder:

dx

(2)

rdV A 2FJF n

+    Jy⁺J^q==0

sein. Indem wir nunmehr a und cp aus den beiden Gleichungen

(2) und der ersten Gleichung (1) eliminieren, kommen wir zu einer Gleichung von der Form:

F{x, y, e, p, q) = 0.

Sie heißt eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion z von x und y, da sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung p und q von z nach x und y enthält (vgl. Nr. 89).

Beispiel: Es sei vorgelegt als Funktion V:

V— (x — a)² + [y — <p(a)]² + z² — R², wo R eine gegebene Konstante sein soll. Hier ist:

dV

da

— — 2(x - a) — 2[y — cp{a)]cp' (a).

Wir fragen, welche gemeinsame Eigenschaft allen denjenigen Funktionen z von x und y zukommt, die durch die beiden Gleichungen F=0 und dV:da = 0 definiert werden, wenn darin cp irgendeine Funktion von a bedeutet. Es ist hier:

= 2z,

dv

dx

= 2 (x — a),

dv

dv

dy

dz

so daß die Gleichungen (2) so lauten:

x — a -f- zp = 0, y — cp(a) + zq — 0.

Hieraus entnehmen wir x — a = — zp und y — cp (a) = — zq und setzen diese Werte in V — 0 ein. Dadurch geht die gesuchte partielle Differentialgleichung erster Ordnung für z hervor:

(1 + p² + (f)z² = R² oder:

V¹ ~\~ P* + 9²

Die vorhergehenden Betrachtungen lassen sich sofort verallgemeinern: Es mögen cc₁, a₂, . . . an_₁ irgendwelche Veränderliche sein, und es bedeute cp (a1} a₂, . . . ccn_f) eine willkürliche Funktion von ihnen. Ferner sei

V fip\ 1>    1 • ‘    *P 1    • • • Kn— l)

eine gegebene Funktion von xlf x₂,... xn, z, cp und cclt a₂,... an_ x. Wir wollen dann die n Forderungen stellen:

*r_o dr~o

Dies sind n Gleichungen, die, wie wir annehmen wollen, die Größen cq, «₂, . . . an_₁ und z als Funktionen von xl} x₂, ... xn

[92

(ß)

V== 0,

dv

= 0.

definieren. Es handelt sich nun darum, insbesondere für die Funktionen z von xx, x₂, . . . xn, die hierdurch definiert werden, eine Eigenschaft zu finden, die von der besonderen Wahl der willkürlichen Funktion 99 von alf a₂, ... an_, unabhängig ist.

Wenn wir unter ax, a₂,, . . un_₁ die aus den letzten n — 1 Gleichungen (3) zu berechnenden Funktionen von xx, x₂, .. ,xn und z verstehen, wird V — 0 eine Gleichung in xx, x₂, ... xn und z allein, und es muß das vollständige Differential

+ •*' + Wndx* + lHdz + i^dcci + ■" +

sein. Infolge der n — 1 letzten Gleichungen (3) fallen nun die n — 1 letzten Summanden fort. Außerdem ist dz = pldx₁ -f-• • • Pndxn, wenn pt, . . .pn wie in Nr. 90 die partiellen Ableitungen erster Ordnung von z bedeuten. Da die Gleichung für alle Werte der beliebig anzunehmenden Differentiale dxx, dx₂, . . . dxn der unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, . . . xn gelten muß, kommt mithin einzeln:

,'A\ dv . dv n dv . dv    dv , dv

*-⁴)    +    3i; + wft”⁰’”'ä5.⁺wA”°-

Eliminieren wir ccx, a₂,... ccn_x und 9p aus diesen n Gleichungen (4) und der Gleichung V = 0, so geht die gesuchte partielle Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion z von xx, x₂, . . . xn hervor:

F(xx, x₂,... xn, z,px,p₂,. . .pn) = 0.

§ 5. Einführung von neuen Veränderlichen.

93. Darstellung einer Kurve mittels einer Hilfs> veränderlichen. Wir haben bisher eine Kurve durch eine Gleichung y = f(x) oder — unaufgelöst — durch eine Gleichung F(x, y) — 0 in den rechtwinkligen Koordinaten x, y dargestellt. Aber auch zwei Gleichungen von der Form:

(1)

£ = <p(t), y = 4’(t)

stellen eine Kurve dar, wenn t die unabhängig veränderliche Größe, eine sogenannte Hilfsveränderliche (Parameter) ist, von der die Koordinaten x, y der Punkte der Kurve abhängen. Solche Fälle treten z. B. dann auf, wenn man anzugeben weiß, welche Koordinaten ein beweglicher Punkt zu einer 92, 93]

beliebigen Zeit t hat. Wenn man aus der ersten Gleichung (1) die Veränderliche t als Funktion von x berechnet, also die inverse Funktion t — 0(x) bildet und sie in die zweite Gleichung einsetzt, geht die gewohnte Darstellung von y als Funktion von x in der Form y = i{>(&{x)) hervor.

Es entsteht nun häufig das Problem, einen Differential-ausdruck, der in bezug auf die neue Darstellungsform (1) einer Kurve gefunden worden ist, so umzuformen, daß er auch für die alte gewohnte Darstellungsform y = f(x) brauchbar ist. Dies aber können wir leisten, sobald wir die Aufgabe gelöst haben:

Gegeben sind die Ableitungen von x und y als Funktionen

einer dritten Veränderlichen t; gesucht werden die Werte der Differentialquotienten

dy diy dx¹ dx² ’ '

ausgedrückt durch jene Ableitungen nach t.

Hierbei wollen wir die Ableitungen von x und y nach t mit x', x",. . . und y, y",. . . bezeichnen: dsx_

Ad “ x

dx ,

di-*’

%7

r d?y

~~ y ’ dt² ~y >■

Es ist jetzt y die Funktion von t, aber t die zu x = cp(f) inverse Funktion von x. Nach Satz 11 von Nr. 33 und Satz 18 von Nr. 37 haben wir daher:

dy dy di dx dt dx

und

dt

dx

Also folgt:

dx

dt

(2)

dy

dx x

Hierdurch ist dy : dx als Funktion von t gefunden. Ersetzen wir in dieser Formel y durch y : x, so folgt ebenso:

(3)

(I)

d*y ₌ ________

dx¹ dt

xy” — y'x”

x~*

weiterhin ebenso:

xy” — y'x"

x (xy— y'x'”) — 3x”{xy” — y'x”)

dt

x⁶

• _ =----—----

x usw.

Übrigens ist die Darstellungsform y — f(x) einer Kurve nur ein besonderer Fall der Darstellungsform (1). Ist nämlicli cp(t) gleich t selbst, so wird die Form (1) diese: x = t, y = ip(t) oder kürzer: y = ip(x). Im Falle x == t wird ferner x' — 1, x" = 0, x" = 0,. . . und y' = dy: dx, y" = ä?y :dx², .. ., so daß dann (2), (3) und (4) Identitäten werden.

Ein anderer Spezialfall geht hervor, wenn wir die zweite Gleichung (1) in der einfachen Form y — t annebmen, da dann die Kurve in der Form x = cp (y) gegeben ist, also in der zu y = f(x) inversen Form. In diesem Falle ist y = 1, y" = 0, y" = 0, . . ., dagegen x = dx : dy, x" = d²x : dy³ . . ., so daß

(2), (3) und (4) geben:

dx d³x

d²x

dy_ 1 d²y _ dy³ dsy _ dy dys

dx dx’ dx²    ^dx\^, dx*    /

dy

TS '■s

Es ist oft im Hinblicke auf die Symmetrie und vielseitige Verwendbarkeit der Formeln vorteilhaft, die Hilfsveränderliche t nicht zu spezialisieren.

Dieselben Vorteile wie eine Hilfsveränderliche t gewährt das Rechnen mit Differentialen statt mit Differentialquotienten. Wenn wir nämlich jetzt wieder unter y, y", y'", . . . die Ableitungen von y nach x verstehen, also nicht die Ableitungen nach t, wie es vorhin geschah, so haben wir:

(5)

dy = y’dx, dy =y"dx, dy" = y"'dx,. ...

Diese Formeln gelten, welche Größe auch die unabhängige Veränderliche sein mag, nach Satz 11 von Nr. 33. Die erste Gleichung gibt nun, wie bekannt:

(6)

r dy

y =^-

Wenn man hierauf die Regel von der Differentiation eines Bruches an wendet (vgl. dabei Satz 12 von Nr. 75), so kommt, welche Größe auch die unabhängige Veränderliche sein mag:

dxd*y — dyd²x

dx²

oder nach der zweiten Formel (5) durch Division mit dx:

(7)

tt

y =

äxd²y — dyd²x

dx⁸

Dieselbe Regel gibt aufs neue angewandt:

dy" =

dx(dxdsy — dyd³x) — 3 d²x(dxd²y — dyd²x)

dx⁴

oder nach der dritten Formel (5) durch Division mit dx:

(8)

y,r/ _ dx{dxd³y — dydsx) — 3d² x{dxd²y — dyd²x)

dx⁶

usw. Man erkennt, daß sich yW mittels der Differentiale von x und y bis zu denen von der wten Ordnung ausdrücken läßt.

WTenn man in den Formeln (6), (7), (8) usw. das Differential dx konstant wählt, also dbx = 0, clzx = 0 usw. annimmt, gehen wieder die definierenden Gleichungen hervor:

v =    ₌ d'y, v"'₌ d*y .

" dx y dx² * dx³ ’

94. Einführung einer neuen unabhängigen und neuer abhängiger Veränderlicher. Wir stellen uns nun die folgende Aufgabe:

Wenn x, y, z, . . . Veränderliche sind, die sämtlich von nur einer unter ihnen obhängen, und wenn unter ihnen x als unabhängige Veränderliche betrachtet ivird, sollen in einer Funktion V von

g

> dx²’’ '    ’ dx’

dz d²z

dx² ’ '

die Veränderlichen x, y, z, . . . gleich Funktionen von anderen Veränderlichen §, rj, g, . .. gesetzt und unter diesen eine, z. B. £, als unabhängige Veränderliche betrachtet werden. Wie ist der Wert von V als Funktion von |, rj, £,.. . und den Ableitungen von rj. nach £ zu bilden?

Um diese Frage zu beantworten, hat man zuerst die Funktion V mittels der Formeln der vorigen Nummer so auszudrücken, daß darin statt der Ableitungen die Differentiale erster und höherer Ordnung von x,y,z,... auftreten. Alsdann ist V eine Funktion von x, y, z,... und ihren Differentialen. Nun lassen sich aus den Gleichungen, durch die x, y, z, . . . als Funktionen der neuen Veränderlichen definiert werden:

% Vj • • •)? y    * • •)> ^    •••)>•• •

durch Differentiation die Differentiale

dx, d²x, . . . dy, d²y, . . . dz, d²z,. . .

berechnen, und hierbei ist dh, als konstant anzunehmen. Alle diese Werte sind in V einzusetzen, und damit ist die Aufgabe gelöst.

Beispiel: Es seien x und y die rechtwinkligen Koordinaten der Punkte einer Kurve, wobei x als unabhängige Veränderliche betrachtet ist. Was wird aus dem Ausdrucke

b+mi

d²y dx²

wenn man an Stelle der rechtwinkligen Koordinaten Polarkoordinaten co, g einführt und co als unabhängige Veränderliche ansieht? Nach Nr. 93 ist der Ausdruck

{dec*-f dr/y

dxd'Ay — dyd-x

Die unabhängige Veränderliche kann dabei irgendwelche sein. Nun ist:

also:

x = g cos co, y = g sin co,

dx = dg cos co — g sin codco, dy = dg sin co + g cos codco.

Differenziert man von neuem und nimmt man dco als konstant an, so findet man

d²x = d²g cos co — 2 sin cadgdeo — g cos codco², d²y = d²g sin co -f- 2 cos (odgdco — g sin codco².

Hieraus folgt:

dx² -f dy² = dg² + g²dco², dxd²y — dyd²x = — gd²gdco + 2dg²dco -f g²doP.

Also ist:

{dV + Vda>*y

— Qpgdco -f- 2dg²doj -}- Q^da³

d*Q ' du*

95. Eine neue Anwendung. Bei der Aufgabe der Einführung von neuen Veränderlichen kann auch der Fall ein-treten, wo die ursprünglichen Veränderlichen nicht unmittelbar als Funktionen der neuen gegeben sind, sondern mit diesen nur durch gegebene Differentialgleichungen verknüpft sind. 94, 95]

Dabei kann es Vorkommen, daß die gegebenen Gleichungen zusammen mit denjenigen, die man durch Differentiation aus ihnen gewinnt, hinreichen, um die ursprünglichen Veränderlichen zu eliminieren und auf diese Weise den vorgelegten Ausdruck zu transformieren. Auch hierfür wollen wir ein Beispiel geben und denselben Ausdruck wie oben, nämlich

(1)

d*y

dx²

behandeln. Es soll die Form bestimmt werden, die er annimmt, wenn man an Stelle von x und y zwei andere Veränderliche q und s einführt, die mit diesen durch die Gleichungen

«² + V² = Q², dx² -f dy² = ds²

verbunden sind, wobei s als unabhängige Veränderliche gelten soll. Zunächst transformieren wir wiederum V in

{dx² -f- dy²)\ dxd²y — dy d²x

Die Differentiation von (2) und (3) ergibt:

xdx + ydy = QdQ,

dxd²x 4 dyd²y = 0.

Durch Differentiation der Gleichung (5) erhält man ferner:

xd²x 4 yd²y 4- dx² 4 dy² = dQ² 4 Qd²Q

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

oder nach (3):

(7)

xd²x 4 yd²y = Qd²q 4 dQ² — ds².

Aus den Gleichungen (3), (5), (6), (7) lassen sich dx, dy, d²x, d²y berechnen, und zwar wird aus den Gleichungen (6) und (7) erhalten:

also:

(ydx — xdy)d²x = — ($ä²Q 4 dQ² — ds²)dy, (;ydx — xdy)d²y = 4 ($d²Q 4 dQ² — ds²)dx,

dxd²y — dyd²x =

(p d²Q 4 dp² — ds²) ds²

ydx — xdy

Nun ist:

ydx — xdy = ]/(x'¹ -f y¹)(dx¹ + dy¹) — (xdx + ydyf also nach (2), (3) und (5) gleich p]/<7s* -- dg¹, daher:

(gd¹Q -f dQ*—ds*)d8* e|/ds¹ — (Iq* Infolge von (4), (3) und (8) kommt also:

(8)

dxd¹y — dyd¹x —

ndLl i (ch.Y_ i Qdsi+\ds)

v_ Qd*yda* — dQ²

gd¹Q -f" dg¹ — ds²

96. Einführung von mehreren neuen unabhängigen Veränderlichen. Wir wollen jetzt allgemeiner eine Funktion u von mehreren, etwa von n unabhängigen Veränderlichen xx, x₂, ... xn betrachten und untersuchen, wie Ausdrücke, die u und die Ableitungen von u enthalten, transformiert werden, sobald man neue unabhängige Veränderliche |₂, ... einführt, d. h. sobald x1} x₂, . . . xn als gewisse voneinander unabhängige Funktionen von n anderen Veränderlichen £1; |a, ... aufgefaßt werden. Es handelt sich also darum, die partiellen Ableitungen von u nach xlt x₂, . . . xn durch die von u nach fe, |₂, . . . £n auszudrücken. Dies wurde im Grunde genommen schon in Nr. 72 erledigt, wo u, v, iv, . . . statt x1} x₂, . . . xn, ferner xx, xs, ... xn statt |₂, ... und /■ statt w gesagt wurde. Aber wir wollen hier noch zeigen, daß die Formeln durch die Benutzung vollständiger Differentiale am übersichtlichsten werden.

Da nämlich x1} x₂,. . . xn als Funktionen von |1? |₂,. . . aufzufassen sind, ist u eine zusammengesetzte Funktion von |₂, ... deren vollständiges Differential in den beiden Formen

du

CU

du

(1)

(2)

du =    +

dxi= ff d*l +

dxt

dg,

berechnen und in (2) einsetzen, wird der Koeffizient von d%k nach (1) die Ableitung du:d%k, ausgedrückt durch £₂, . . . und die Ableitungen von u nach x1} x₂, ... xn. Aus den so hervorgehenden n Gleichungen lassen sich die partiellen Ableitungen erster Ordnung von u nach xt, x₂, ... xn berechnen als Funktionen von £₂, ... und von den partiellen Ableitungen erster Ordnung von u nach |₂, ...

Wir können auch so verfahren: Wir berechnen zuerst |₂, . . . als Funktionen von xx, x₂, ... xn und leiten daraus die Werte

(3)

dit-d£dxl+^dx, + - + l&dX. (jfc=l, 2,... »)

ab, die wir in die Formel (1) einsetzen. Alsdann wird der Koeffizient von dxt nach (2) die Ableitung du : dxi: ausgedrückt durch xlt x₂, ... xn und durch die Ableitungen von u nach £t, £₂, ... %n. Hierin können wir dann noch für xx, x₂, ... xn ihre Werte in £1? |₂, ... %n einsetzen.

Auf die eine oder andere Art ergeben sich so die Ableitungen erster Ordnung

du du

du

dx₁’ dx₂

dxn

als Funktionen von

du du    d

dg? dg? “ ' d

Nun können wir ebenso weiter schließen: Wir berechnen das vollständige Differential

d —

dwr-wdl‘⁺

worin dann allgemein

ii, i

2; •

• k,

ns

du

(4)

oxt

dg,

dg*

dk,

al^

dxt

TÄ

. . gM und die Ableitungen erster und zweiter

durch g1; l

Ordnung von u nach |₂, ... ausgedrückt ist. Setzen wir in (4) die Werte (3) ein, so muß der Koeffizient von dxt die Ableitung c^u : dxidxl sein, usw.

97. Einführung von Folarkoordinaten im Baume.

Wir wenden dies auf den Fall an, wo die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z im Raume durch Polarlcoordinaten r, 6, xp ersetzt werden sollen vermöge der Gleichungen:

(1)    x = r sin 6 cos xp, y — r sin 6 sin xp, z — r cos 6, die, nach r, 6, tgxp aufgelöst, ergeben:

j/x¹ I xf +

Ist u eine gegebene Funktion von x, y, z, so stellen wir uns also die Aufgabe, ihre partiellen Ableitungen nach x, y, z auszudrücken durch die nach r, 6, xp. Aus (2) folgt:

(2)    r =]/Vi -f- y² -f- z², cos 6 =

dr =

xdx -f- y dy -j- zdz

sin ddd =

z(xdx -f- ydy) — (a:* + y*)dz

(x^ + yt + zy

xdy — ydx

x¹

--"g r d Xp —

cos- xp

oder mittels der Gleichungen (1):

dr = sin 6 cos xpdx -J- sin 6 sinxpdy -f cos 6dz,

de =

(3)

y cos d cos xpdx cos 6 sin xpdy —^ sinSdz

,    1 sin xp ,    ,1 cos xp

dxp ---r-^dx 4-----—~ dy.

^    r Bin 0    r sin 0 J

Setzen wir diese Werte in die Gleichung

du

du = -r— dr + jq dd -f ^zr.dxp

ein, so kommt:

(du du . a

= x— sin 6 cos xp + dx dr

du du .    .

= 3— sin e sin dy or

(4)

du

du

cos e

dxp

d u cos0 cos i/j du sin xp dxp r sin 0! d u cos xp dxp r sin 0

de

d u cos 0 sin xp

d u sin 0

,dz dr

Um die vollständigen Differentiale dieser Ableitungen erster Ordnung von u zu bilden, berechnen wir zunächst die partiellen Ableitungen der Werte (4) nach r, 6, xp. Es ergeben sich die drei Formelgruppen:

97]

dd r

a du

0 TT—

dx d²u ■ ü ~fr = ff sm ^ COS ip -j

du cos 0 costp

o²u cos 0 cos tp d²u sin tp drd'tp rsin0

drdO

de

r²

du sirnp dtp r²sin 0’

d²u

(5)

dd drdO

sin 9 cos ip -f

cos 9 cos ip —

d~u cos 0 cos tp

de*

d u sin 0 cos tp

dd

d²u sin ddd'tp rsin0 du cos 0 sin tp dtp rsin²0 ’

Clü> ^

d²u

dtp drd'tp

sin 9 cos ip +

d²u cos 0 cos-j/) d²u ainip d'tp² r sin 0

dddip

du

dr

sin 6 sin ip —

ducoadsintp du cos tp ^ dtp rsin0’

dd

«sä £

d²u • n ■    ,    , d²u cos 0 simp

~J7~ Sr’smesm* + WM-d u cos 0 sin tp du cos-ip dip r² sin 6’

d²u cos tp ' drd'tp r sin 0

~do

r²

(6)

_dj> _ _

dd drdO

d²u

sin 6 sin ip +

cos 9 sin ip —

d²u cos tp ddd'tp raind duaindaintp du cos 0 cos tp d'tp r sin² 0 ’

d²u cos 0 sin tp

de

dO

rsd U

dJy ₌ d²u

dtp dr d'tp

, du . ü

+ sm 9 cos i< -f-

sin 9 sin ip -f

d²u cos 0 sin tp c²u cos tp dT räiud

dQdtp

du cos0 cos tp

dd

du sin ip dtp rsin0’

(?)

\ du

d~dz d*u dr    dr²

„du dz _

"dd ~ drdO

cos 9 —

d² u

d²u sin 0 du sin 0 drdO r ‘ dd r² ’

cos 9 —

d²u sin0 du dd² ~ r    er

sin 9 —

du cos0

dd r

CV,

d²u

drdip

cos 9 —

d²u sin 0

, dtp

Addieren wir die Gleichungen (5), nachdem wir sie zuvor mit den entsprechenden Gleichungen (3) multipliziert haben, so geht das vollständige Differential von du : dx hervor, und die

Serret-S cheffers, Diff.- u. Integr.-Beehn. I. 6. u. 7. Aufl.

ddd'tp r

darin yorkommenden Koeffizienten von dx, dy, dz werden die gesuchten Werte von

3²m

d²u

3²m

Joe²’ dxdy² SxdT

Ebenso ergeben sieb die übrigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung, wenn die Gleichungen (6) oder (7) mit den Gleichungen (3) multipliziert und alsdann addiert werden. Es kommt:

„ 3²m sin ip cos ip drdip r

3²m    3²m ■ 9n 9 , , o 3²m sin 0 cos 0 cos² ip

W~W'»m 9 008 * + ² sidö--------------------

3²m cos²0 cos²Ip

Je² ~

p 3²m cos 0 sin ip cos ip 303 ip r²sin0

3²m sin²ip Jip r² sin² 0

3r

du cos²

ip u (sin²ip— 2sin²0cos²i/))cos0 ~ 3 m sin ip cos ip 0    r² sin 0    dip r² sin² 0 ’

d²u _3²m

dxdy dr²

d²u sin0 cos0 sini/> cos-j/) ,    3²m cos²ip— sin²ip

dro6

d²u cos² 0 sin ip cos ip ,    3²m (cos² tp — sin² tp) cos 0    3²m sin ip cos ip

dtp² r²sin²0

3m sin²0 sin ip cos ip 3 u (1 -f- 2 sin² 0) cos 0 sin ip cos ip du coa² ip — sin² ip

sin² 9 sin ip cos tp -f- 2

dreip

+ Tf'

r²

de dtp

r ² sin 0

r² sin² 0

3²m    3²m .    „    ^    , ,    3²m (cos²0 — sin² 0) cos ip d²u cos0sini/>

5 5 = w⁻* sm 0 cos 9 cos ip 4- -a—q-v --------------— 0 a    ~

dxdz    er²    3»'30    r    drdip rsm0

3r

r² sin 0

3i/>

3²m sin 0 cos 0 cos ip p 3²m sin ip 00*—

3m sin 0 cos 0 cos ip du (cos² 0 — sin² 0) cos ip

r²

dOdrp r²

3r

30

r²

3²m d²u . 2/i • 2 i o ^²u sin0 cos 0 sm²i/> „ 3²m sin ip cos 1p dy² 3rsSm Sm ^    3r30    r    drdip

d²u cos 0 sin 1p cos ip d²u cos² ip dtp² r^sin² 0

3²m cos² 0 sin² ip

f2

dOdty

r² sin 0

(cos² ip — 2sin²0 sin²i/j)cos0 „ 3 m sin ip cos ip ‘ 30    r² sin0    3i/> r²sin²0 ⁷

3²m _3²m

dydz dr²

sin 9 cos 9 sin ip -f

d²u (cos²0 — sin² 0) sin i/)

drdO

3²m cos 0 cos i/) 3r 3 ip r sin 0

d²u sin 0 cos 0 sin ip

d²u coaip

30²

r²

dOdty r²

3« sin 0 cos 0 sini/>    3m (cos²0 — sin²0) sin ip

3 r    r    30    r2    ?

3²m 3²m ₂n o 3s² “ 3r2 C0S 6 2

3 m sin² 0

3r

r ⁺²30

3²m sin 0 cos 0 3r30

3 m sin 0 cos 0

3²m sin² 0

0-01-7*-

r²

d²u d²u diu dxS + dyt + dz⁷

der Einführung neuer Veränderlicher notwendigen Rechnungen manchmal abkürzen, indem man sich gewisser, den Problemen angemessener Kunstgriffe bedient. Um von solchen Vereinfachungen einen Begriff zu geben, wollen wir eine Aufgabe behandeln, deren Lösung für verschiedene mathematische Theorien nützlich ist: In den Ausdruck

« d*u . diu d^u

b = ~d& ⁺ w ⁺ Tz*

wollen wir an Stelle der rechtwinkligen Koordinaten x, y, z die Polarkoordinaten r, 6, ih einführen, ohne die allgemeinen Formeln der vorigen Nummer anzuwenden.

Da zwischen x, y, z und r, 6, t\> die Beziehungen x = r sin 6 cos Th, y = r sin 6 sin ip, z = r cos 6 bestehen, können wir die neuen Veränderlichen nacheinander in zwei Schritten einführen. Zuerst nämlich behalten wir z bei und führen q und if> ein vermöge:

# = pcos ih, y==QsinTh, so daß q, xl> und z die neuen Veränderlichen werden. Alsdann behalten wir ip bei und führen r und 6 ein vermöge:

0 = rcosö, {? = rsin0.

Die Formeln (3) und (4) zusammen kommen auf die Formeln (2) hinaus. Wir bemerken vorweg: Die Formeln (3) und (4) zeigen, daß sich x und y ebenso durch q und ausdrücken wie z und q durch r und 6. Hiervon machen wir nachher zweckmäßigen Gebrauch.

Zuerst also behalten wir z bei und führen statt x und y die neuen Veränderlichen q und Th vermöge (3) ein. Es handelt sich dabei nur um die Umformung der beiden ersten Summanden von S. Weil nach (3)

98. Der Ausdruck

• Man kann die bei

(1)

(2)

(3)

(4)

ist, kommt:

9 = }/x² + y², i> = arc tg ^

dg =

x dx -f- y dy

V** + y*

dih =

x dy — ydx

= cos Th dx + sin Th dy,

sin ib ,    , cos Tb n

=--— dx H--- dy

Q    Q '

11*

[98

woraus einzeln hervorgeht:

dg    ,

F^-cos*>

Also ist:

— sin ip,.

dtp

dx

sin tp dtp cos tp

dy

u    du    du d'ip     du    du    sin^

x ~ Wq ⁺dydx =dQeoBv~dy~T~-> du    du dg    .    du dtp    du .    du cos ip

dy    dg dy    dtp dy    dg ⁸¹¹¹    ^    dtp g

Diese Formeln gelten für beliebige Funktionen u von x, y, z, also auch, wenn in der ersten Formel u durch du\dx und in der zweiten u durch du : dy ersetzt wird, so daß folgt:

d (d u\

~Bi{Tx)C0B*-

diu    d (du\ . . . d rdu\ cos tp

dy* ~ dg \dy) sm^ dtp \dy) g

Hierfür aber läßt sich, da tp bei der partiellen Differentiation nach q als Konstante zu behandeln ist, schreiben:

/ du .    ,\ . du cos ip

irwismV + sn-r-

1 d (du \ dusimp \dy C0S y) ⁺ dy g

Addieren wir diese Werte, so treten die Summen

(5)

d*u dx*

d*u dx* d*u

dy*

CV>'

d (d u\ sin tp Xd x) T” ’

dtp

= we^oa't’) +

g dtp

g dtp

du

du

cos ip -f- sin ip und — ^ sin tp -j- ^ cos tp

auf, deren Werte nach (5) gleich

u ,

— und

du 1 dtp g

sind. Folglich kommt:

d*u    d*u d*u 1 d*u    1 du

dx“    dy*    dg* ' g* dtp*    g dg

Wenn wir also z beibehalten, aber x cos ip und y = psin^> setzen, wird nach (1):

o _ d*u 1 d*u 1 du ö ~ dg* ⁺ ^dtp* ⁺ Jd^>

(6)

d*u dz* '

Jetzt führen wir, indem wir ip beibehalten, statt z und p vermöge (4) die neuen Veränderlichen r und 6 ein. Weil, wie gesagt, die Formeln (4) aus (3) hervorgehen, wenn

98]

x, y, q, ip durch £, q, r, 6

ersetzt werden, so folgt, daß entsprechend (6) die Beziehung besteht:

d²u    d²u d²u 1 d²u 1 du

dz* ⁺ dn* — dr* ⁺ 7* He* ⁺ ~dr ebenso entsprechend der zweiten Gleichung (5) diese:

du_du

dg dr

sin 6 +

d u cos 0 dd r

Die so dargestellten Ausdrücke treten nun in (7) als Summanden auf. Also ist:

.    1 d²u

+ 7* Je*

d²u dr²

d u cos 0

1 du ,    1 d²u du sin 0

g² d'ip² dr g

Setzen wir schließlich noch p = r sin 0 aus (4) ein, so kommt in anderer Anordnung der Glieder die gesuchte Formel heraus:

1 d²u 1 d²u r* sin² 0 JT* ⁺ ~r* Jd²

dd rg

d²u

Tr²

Da übrigens

“b

2 du r dr '

cos 0 du r² sin 0 dd

d²(ru)

d / du \

-jf[r^ + u)-r

je{An6rs)-

ist, kann man auch schreiben:

und

dr²

d²u

Tr²'

du

sin 0

du

+ coseM

d²u

¹    4-    ¹

²    + sind

g(sin9p“)

dd

sin²0 d'ip

Bei den Anwendungen ist es oft zweckmäßig, y — cos 6

als Veränderliche statt 6 einzuführen. Da dann

du du du,    . n du

W ⁼ Tide“~Bme^

also sin 0 ^ = — (I — ii¹) ^

ist, folgt:

Te (sin ⁶ ff) ” -sin e h (siD 6 fl) “ sin ⁸ h [0 - <**) §3

so daß kommt:

r»S-r+ —¹______

dr²    1 — g² d'ip

+Ä[0-^§3-

99. Allgemeine Einführung neuer unabhängiger und neuer abhängiger Veränderlicher. Ein in gewissem Sinne allgemeines Transformationsproblem ist das folgende:

Es seien xlf x₉, ... xH die unabhängigen Veränderlichen und yx, y₂, . . . ym von ihnen abhängige Veränderliche. Ferner sei V eine Funktion der x, der y und der partiellen Ableitungen der y nach den x bis zu einer beliebigen Ordnung. Nun sollen n+m neue Veränderliche £x, 2j₈, . .. £n, %,%>••• Vm eingeführt werden, indem die x und y gleich n -f m voneinander unabhängigen gegebenen Funktionen der % und rj gesetzt werden:

xi =    Vi,--- Vm)    (* = h 2, . . . n),

24 = ^*(§1, • • • 5«» Vi> • • Vm)    (7c= 1, 2, . .. m).

Diese Gleichungen haben nach Satz 3 von Nr. 79 Auflösungen nach den | und r\:

% =    24, • • • Vm)

Vi =    •••*«, 24, • • • y») (J -1, 2,... w).

(1)

(2)

(3)

(4)

= 1, 2,. . • »),

¹

geschrieben werden kann. Wenn wir nun aus denjenigen Gleichungen, die #₂, . . . durch |₂, ... ausdrücken, die Differentiale

■’ten

Stellen wir uns unter den y irgendwelche Funktionen der x vor, so werden die § und rj nach (3) und (4) Funktionen der x allein. Wir nehmen insbesondere an, daß auch dann noch die n Funktionen (3), die nunmehr xx, x₂, ... xn auch in yx, ya, . . . ym enthalten, voneinander unabhängige Funktionen von xx, xa, ... xn seien, so daß wir sagen können, daß vermöge (1) und (2) oder (3) und (4) solche n-\-m neue Veränderliche £ und rj eingeführt werden, von denen wir nunmehr die | als unabhängige Veränderliche betrachten dürfen, während die rj von den | abhängen. Die soeben gemachte Voraussetzung bedeutet nach Satz 4 in Nr. 80, daß die Funktionaldeterminante der O nach den x unter der Annahme, daß die y irgendwelche Funktionen der x bedeuten, von Null verschieden sein soll. Diese Determinante ist w-reihig und hat als it0B Glied der j Zeile dieses:

cu

I®

CU

CU

Cu Cu

©■

CD

<N

2?

4-

dlldyrn

Wir

Wählen wir z. B. die y gleich Konstanten, so geht die Funktionaldeterminante in die der Größen c&j : dx{ über.

99] setzen deshalb voraus, daß die Funktionen 0 in (3) hinsichtlich xx, x₂, ... xn allein voneinander unabhängig seien:

+ 0.

0X 0₂...0n

Xi z₂ ... xn

Diese Voraussetzung reicht aus, denn infolge von ihr ist diejenige Determinante, deren allgemeines Glied in (5) angegeben wurde, für ganz beliebige Funktionen y der x nicht gleich Null.

Wollen wir nun in V die neuen Veränderlichen |, rj einführen, so müssen wir finden, wie sich die partiellen Ableitungen der y nach den x durch die der rj nach den £ ausdrücken. Dazu verfahren wir so: Von (1) und (2) bilden wir die vollständigen Differentiale:

indem wir uns zur Abkürzung der Formeln des Summenzeichens 2J bedienen, dessen Bedeutung definiert wird durch:

Da die rj Funktionen der £ sind, die y Funktionen der x, so haben wir einzusetzen:

so daß sich ergibt:

dVi—^5]    äVk —

i i    i

dx{,

dx‘~2t(n;⁺2

1 X J 1

n    m

i    i    J i    J

(6)

deppem

drhdZj

(i = 1, 2,... n)

Nach Voraussetzung und nach Satz 6, Nr. 81, ist die Funktionaldeterminante der (p hinsichtlich der £ nicht gleich Null, daher auch nicht die w-reihige Determinante, deren jteB Glied in der iten Zeile gleich

?.n

ist. Die n Gleichungen (6) sind folglich nach dt,x, d^,.. .di,n auflösbar. Sie ergeben für diese Differentiale Ausdrücke von der Form:

(8) dlj = ajX dxx + aj3 dx.₂ H-----(- ain (j =1,2,. . . n),

worin die a Funktionen der |, ^ und der partiellen Ableitungen erster Ordnung der y nach den | sind. Wenn wir sie in (7) einsetzen, gehen n in dxx, dx₂ . . . dxn lineare Gleichungen hervor, in denen jedes dx{ links denselben Koeffizienten wie rechts haben muß, weil dxx, dx₂, . . . dxn beliebige Konstanten sind. Wir gelangen durch Vergleichen dieser Koeffizienten zu Gleichungen von der Form:

dj4 ₌

dx{

Z=l, 2,...

■ = 1. 2....

Hiermit sind die partiellen Anleitungen erster Ordnung der y nach den x ausgedrückt durch die die rj und die partiellen Ableitungen erster Ordnung der r\ nach den g. Wir wollen diese Ausdrücke symbolisch so schreiben:

dyk

— Fki

Vif- Vm,

cv>

dxi

Um nun die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der y nach den x zu berechnen, bilden wir hiervon das vollständige Differential:

dl dx, dxt + dxkdx7 <lx*    f dx!dxn dX*

m

H jy i ’ST'dFk

tdi/⁺2s J 1

-2

dF

dt

dvi

worin wir wieder

drh

i    ³

und außerdem

d²Vi

Hjd i,

döm ₌ J)\_dt +

d$j dtjdt, ⁺

dt.

■²⁺

einsetzen. Alsdann treten rechts nur die Differentiale d%X) . . . d£n auf, für die wir wieder die Werte (8) substituieren. Nun gebt eine in dx₁, . . . dxn lineare Gleichung hervor, hei der die Koeffi-zientenvergleichung links und rechts ohne weiteres die gesuchten Ableitungen zweiter Ordnung der y nach den x liefert.

Entsprechend finden wir die höheren Ableitungen.

100. Die Legendresche Transformation. Es kann auch Vorkommen, daß man Größen als neue Veränderliche einführt, die mit den ursprünglichen Veränderlichen durch Differentialgleichungen verknüpft sind. Im Falle einer unabhängigen Veränderlichen gibt Nr. 95 ein Beispiel, im Falle zweier unabhängiger Veränderlicher wählen wir als Beispiel eine von Legendre zuerst benutzte Transformation, die gelegentlich in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen angewandt wird.

Verstehen wir unter z irgendeine Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen x und y, so werden auch ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung nach x und y, die wir wieder mit p und q bezeichnen wollen, Funktionen von x und y sein. Wir können sie daher als neue unabhängige Veränderliche benutzen, sobald sie voneinander unabhängig sind, d. h. sobald die Funktionaldeterminante

d²z d²z \ ex²dxdy ' d^z dsz | dxdy dy²

_ d*z d*g _ dx²dy²

dp dp dxdy dq dg dxdy

ist. Dies wollen wir voraussetzen. Alsdann dürfen wir ferner irgendeine Funktion von x, y, z, p, q als neue abhängige Veränderliche betrachten, da sie ja als Funktion von x und y allein aufzufassen ist, weil z, p und q Funktionen von x und y sind. Die Legendresche Transformation besteht nun darin, daß p und q als neue unabhängige und

u = px 4- qy — z

als neue abhängige Veränderliche dienen sollen. Es handelt sich daher darum, die Ableitungen von z nach x und y durch p, q, u und durch die Ableitungen von u nach p und q auszudrücken. Die von erster Ordnung sind schon durch

dz

dz

(i)

dx    dy ^

in der gewünschten Weise ausgedrückt. Um es auch mit denen von zweiter Ordnung zu tun, betrachten wir die vollständigen Differentiale der ursprünglichen und der neuen abhängigen Veränderlichen z bzw. u:

(2)

dz = pdx -f- qdy, du = pdx -f qdy — dz -f xdp -f ydq, von denen das zweite wegen des ersten auf du = xdp -f ydq

zurückkommt, so daß

(3)

du

du

dp = x>

ist, wenn u, wie gesagt, als Funktion von p und q aufgefaßt wird. Bei derselben Auffassung bilden wir hiervon weiterhin die vollständigen Differentiale:

d²u

d~u dp²

d²u dpdq

Andererseits bilden wir von (1) die vollständigen Differentiale, indem wir z als Funktion von x und y auffassen:

d²z dx*

Setzen wir hierin die aus (4) folgenden Werte von dp und dq ein, so ergeben sich zwei Gleichungen in dx und dy, die für aEe Werte von dx und dy gelten müssen. Die Vergleichung der Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung gibt alsdann sofort:

(4)

(5)

dp +

dp d q

dx +

d²z

dq — dx,

dxdy

dy = dp,

d²z

dp + °^dq = dy.

dxdy

dx -f

d²z

dy²

dy = dq.

___    i d^u

dx²    Ä dq²⁷ dxdy A dpdq’ dy² A dp²’

wo zur Abkürzung

(6)

d²z

1 d²u

d²z

1 d²u

d²z

d²u d²u dp² dq²

/ d²u \²_

\dpdq) ~

gesetzt worden ist. Durch (6) werden die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von z nach x und y dargestellt mittels der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von u nach p und q.

lOO]

Wollen wir umgekehrt die Ableitungen von u nach p und q durch die ursprünglichen Veränderlichen x, y, z und die Ableitungen von z nach x und y darstellen, so haben wir nach (3) und (6) zu setzen:

du

du

(7)

d^u * d*z d^u dp² dydpdq

woraus dann überdies folgt, daß

l _d*zd*z A dx⁴dy²

dp ~ X’ dq - y> = — A

dsz dsu dxdy’ dqi

d²z

dx² ’

ist.

( \⁸

\dxdy)

Fünftes Kapitel.

Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen.

§ 1. Über unendliche Reihen überhaupt.

101. Definition der Konvergenz. Unendliche Reihe nennt man eine endlose Folge von Zahlen, die nach irgendeiner Vorschrift nacheinander zu berechnen sind. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel nur mit solchen unendlichen Reihen, deren Glieder sämtlich reell sind, vgl. Nr. 2.

Definition: Eine unendliche Reihe u₀, ux, u₃, u₃, .. . un,. . . heißt konvergent, wenn die Summe der n ersten Glieder

-l

Sn = U0 + U1 + M2 + ‘ ' ' + Wn

bei unbegrenzt wachsendem Index n einen bestimmten endlichen Grenzwert S hat. Ist dies der Fall, so heißt S die Summe der Reihe. Andernfalls heißt die Reihe divergent.

Beispiel: Bei der geometrischen Progression a, ax, ax², axz, . . . axn, ... ist

Sn = a(l + x + x² -\----+ xn~x) =    ~ **)•

Im Falle \x\ < 1 ist der Grenzwert von xn für unbegrenzt wachsendes n gleich Null und daher

lim Sf =t— •

n = »o "    1-*

Die geometrische Progression konvergiert also für \x\ < 1. Offenbar ist sie divergent für \x\ > 1, da dann xn und mithin auch Sn für unbegrenzt wachsendes n nach Unendlich strebt. Für x = -f 1 ist Sn = na, also der Grenzwert Unendlich. Für x = — 1 ist Sn = a (1 — 1 -f- 1 — • • • + 1), so daß Sn keinen bestimmten Grenzwert hat. Daher:

101]

Satz 1: Die geometrische Progression a, ax, ax², . . . axn, . . . konvergiert dann und nur dann, wenn \x\ < 1 ist. Sie hat alsdann die Summe a : (1 — x).

102. Kennzeichen der Konvergenz. Die Summe der n ersten Glieder

= U0 + U1 + ' ' ‘ + Un-1

einer unendlichen Reihe u₀, u₁₇ . . . un, . . . ist eine 1Funktion des Index n, dessen Variabilitätsbereich der aller ganzen positiven Zahlen ist. Nach der in Nr. 18 gegebenen Definition des Grenzwertes für unbegrenzt wachsende Werte der Veränderlichen ist die Aussage, daß die Reihe konvergiert, d. h. eine bestimmte endliche Summe S hat, mithin gleichbedeutend mit dieser:

Wird eine beliebig kleine positive Zahl 6 angenommen, so gibt es stets einen Index n derart, daß

\8m-S\<6

wird für jedes ganze positive m, das mindestens so groß wie n ist, d. h. daß für jedes ganze positive p

\Sn+p ~ S\<<>

wird, insbesondere auch für p = 0:

\s.-s\<«.

Hieraus ziehen wir einen Schluß: Nach Satz 2 in Nr. 4 ist

I (S,+P-S) - (S, - S)\£\S.+t-SI + 18.-S|,

so daß folgt:

(1)

\S.

-Sn 1 <2tf.

n+p

Bezeichnen wir 26 mit r, so sehen wir:

Wenn die unendliche Reihe konvergiert, gibt es zu jeder beliebig kleinen vorgeschriebenen positiven Zahl x einen Indexwert n derart, daß die Summe von beliebig vielen aufeinanderfolgenden und mit un beginnenden Gliedern un, un+1, . . . der Reihe zwischen — r und -f- x liegt:

— x < wn + un+1 -f ••• + %„

(2)

< r.

+p — i

Jetzt wollen wir die Betrachtung umkehren. Wir setzen nicht mehr voraus, daß die Reihe konvergiere. Dagegen soll es zu jeder beliebig klein gewählten positiven Zahl r einen

[1Ö1, 102

Indexwert n derart geben, daß für jedes positive ganze p die Bedingung (2) erfüllt ist. Wir wollen beweisen, daß die Reibe alsdann konvergiert.

Zu diesem Zwecke wählen wir irgendeine endlose Folge von lauter beständig abnehmenden positiven Zahlen

ri > T2 > Ts > • • • > V •

die nach Null strebt (wie z. B. die Folge 1, V2, Vs, • • • Y»> • • •)• Nun seien nlf n₂, n₃, . . . n{, . . . diejenigen zu diesen Werten gehörigen Indexwerte, für die die zugehörigen Voraussetzungen (2) bestehen, so daß allgemein

~xi < \ + \ + i + • • • + %+p-i < Ti

ist, wofür wir auch schreiben können:

— *i<Sm< Sni + x, für m>nu Sm< Sni+1₂ für m > n₂,

(3)

S„₃ ~ *3< Sm< Sn3 + *3    M > Wj,

S„. ~ Xi < Sm < Sn. +    fül* ™ > ni

Betrachten wir jetzt die unendliche Reihe der Zahlen:

ni

Snx Tj, Sn^ Tg, SUi Tg, . . . S Die erste wollen wir mit px bezeichnen, die größere von den beiden ersten mit p₂, die größte unter den drei ersten mit p3 usw., allgemein die größte unter den i ersten mit pv Ferner betrachten wir die unendliche Reihe der Zahlen:

Sn, “H Sn^ "t" X2, Sn, 4~ Vs, . . .    + xi} • • ••

Die erste werde mit q₁ bezeichnet, die kleinere von den beiden ersten mit q₂, die kleinste unter den drei ersten mit q₃ usw., allgemein die kleinste unter den i ersten mit q{. Alsdann ist

Pi £P* <Pz ^    • <Pi £■ ■ ■

und

Ferner ist:

0i>Qz>0z>- ‘ - >0i^ - ■ ‘

Pi<0h, P2 < 0*, Pz < 9z, ¹ • ' Pi <9i,"‘-

Außerdem:

0.1 Pl ~ l, O'i Pz =    ' ' ’ Oi Pi ^ ^ Tj, • • '.

Denn 2t₂ ist das kleinere der beiden Intervalle 2rl und 2 t₂, ferner 2rs das kleinste der drei Intervalle 2tu 2t₂, 2t3 usw., weil tx > t₂ > r₃ . . . angenommen wurde.

Wählen wir nun den Index m größer als die i Indizes nx, n₂, . . . ni, so lehren die ersten i Ungleichungen (3), daß

Pi < Sm < Qi> Pz < Sm <&>-■■ Pi < Sm< Qi

ist. Die Summe Sm ist also zwischen zwei Folgen px, p₂, .. . pi} . . . und qx, q₂, . . . qi} . . . eingeschlossen, die genau so wie die in Nr. 2 betrachteten Folgen Intervalle qx — px, q₂ — p₂, . . . q. —- Pi haben, von denen jedes folgende innerhalb des vorhergehenden liegt, weil die Summe Sm zwischen p. und qt gelegen ist. Da die Reihe der gewählten Größen xx, r₂, t₃, . . . unbegrenzt bis zur Null abnehmen soll und qi — pt 2tf ist, folgt daraus:

Je größer wir i annehmen, um so enger rücken die Enden pt und q₍ der beiden Zahlenfolgen p und q aneinander. Zwischen ihnen liegt Sm, wenn m größer als nlf n₂, . . . ni gewählt wird. Nach Nr. 2 definieren jene beiden Folgen px, Pi)    und qx, q₂, . . . qi} . . . eine bestimmte endliche

Zahl S. Folglich wird

lim Sm — S.

rn = oo

Der einzige Unterschied gegenüber der Betrachtung in Nr. 2, wo wir die irrationalen Zahlen erst einführten, ist der, daß dort die Folgen px, p₂, . . . p.,    . . und qx, q₃, . . . qi: . . .

aus lauter rationalen Zahlen bestanden, was jetzt nicht der Fall zu sein braucht und ohne Belang für die Definition der Zahl S als Grenze zwischen den p und q ist. Es hat sich somit ergeben:

Satz 2: Wenn eine unendliche Reihe u₀, ux, u₃, ... un, . . . konvergiert, gibt es, sobald eine beliebig kleine positive Zahl r vorgeschrieben wird, stets einen Indexwert n derart, daß für jedes ganze positive p

\Un + Un +1 H----+ Un+p-1 ¹ < T

wird. Umgekehrt: Liegt eine unendliche Reihe u₀, ulf u₃, . . . un, . . . vor und ist diese Bedingung erfüllt, so ist die Reihe auch konvergent.

103. Polgerungen. Ist x wie in dem letzten Satze eine beliebig kleine vorgegebene positive Zahl und n der zugehörige Indexwert, so daß im Falle einer konvergenten Reihe für jedes ganze positive p

\Un + Un +1 + ----^ Un

ist; so folgt, wenn p durch p q ersetzt wird, auch:

Kl + un + i + • • • + un+p+q_₁ | < r.

Nach Satz 2 von Nr. 4 ist aber:

+p—i

'Un + Un + 1 + • ' • + un+p + q-1 — K, + Un + 1 + • • • + Un

+p-i'>

^ Un 4- un+i + • ' • 4- un+p+q_₁ \ 4- un + un+1 + • • • 4• un

mithin:

\<2t.

(1)

+P+S-1

I Un+p 4- Un+p + l + • ' • + Un

Daraus ergibt sich insbesondere für q= 1, wenn wir 2x mit 6 bezeichnen:

Satz 3: Ist eine unendliche Reihe u₀, u₁, .. . wn, . . . konvergent und 6 eine beliebig kleine vorgegebene positive Zahl, so sind alle Glieder der Reihe von einem gewissen Gliede an absolut genommen kleiner als 6, so daß

lim un = 0

wird.

Hieraus folgt sofort:

Satz 4: Streben die Glieder einer unendlichen Reihe u₀, ux, . . . un, . . . nicht nach dem Grenziverte Null, haben sie also entweder einen von Null verschiedenen oder keinen bestimmten Grenzwert lim un für lim n = oo, so ist die Reihe divergent.

Ein Beispiel zu dem Falle, wo die Glieder keinen bestimmten Grenzwert haben, begegnete uns schon in Nr. 101, nämlich die Reihe 1, — 1, -fl; — 1, 4" 1> • •

Aber die Bedingung lim un = 0 für lim n = oo ist kein hinreichendes Kennzeichen für die Konvergenz. Denn z. B. bei der Reihe

i -1    ¹    £

’    2 ’    3 >    4 ’ ‘ '

ist augenscheinlich lim un = 0, aber die Reihe divergiert. In

der Tat ist ja

— -f—    — > — = —

9    10    16    16    2

usw.

rH CO

Die Summation der Reihe gibt daher + °°-Ist eine Reihe u₀, ux, . . . un, . . . konvergent und c irgendeine Zahl, so folgt, wenn Sn die Summe der n ersten Glieder bedeutet und S die Summe der Reihe bezeichnet, aus Satz 31 von Nr. 24:

lim (cUq + cmx -f • • • +    = c lim Sn = cS.

n = oo

n = oo

Also:

Satz 5: Multipliziert man alle Glieder einer konvergenten Reihe mit der nämlichen Zahl c, so entsteht wieder eine konvergente Reihe. Ihre Summe ist das c-fache der Summe der ursprünglichen Reihe.

Jetzt mögen u₀, ux, ... un, ... und v₀, vlf ... vnf... konvergente Reihen mit den Summen S und S' sein. Bezeichnen Sn und Sn' die Summen ihrer n ersten Glieder, so folgt aus Satz 30 von Nr. 24:

lim [(w₀ + v₀) + («!+ üx) -f- •••+(«„_! + va -1)] ^ ißn +

= ]imSn + \imSn'=S + S'.

n — oo

Also:

71 = 00

71 = oo

Satz 6: Wenn man entsprechende Glieder zweier konvergenter Reihen u₀, ulf ... un,.. . und v₀, vlf.. . vn,. .. addiert, geht wieder eine konvergente Reihe u₀ -f v₀, ux -f- vx, .. . un + vn,. . . hervor. Ihre Summe ergibt sich durch Addition der Summen der beiden ursprünglichen Reihen.

Mehrmalige Anwendung dieses Satzes gibt:

Satz 7: Derselbe Satz gilt, wenn man eine begrenzte Anzahl von konvergenten Reihen gliedweise addiert.

104. Unbedingte Konvergenz. Es gilt der Satz 8: Eine unendliche Reihe u₀, ux, . . . un, . . . konvergiert insbesondere dann, wenn die Reihe der absoluten Beträge u₀ , |ux\, . . . \ un\, . . . ihrer Glieder konvergiert.

Serret-Scheffera, Diff.- u. Integr.-Bechn, I. 6. u. 7. Aufl.

Denn nach Satz 2 von Nr. 102, angewandt auf die Reihe der absoluten Beträge, gibt es wegen ihrer vorausgesetzten Konvergenz zu jeder beliebig kleinen positiven Zahl x einen Indexwert n derart, daß

\Un\Jr\ Un + 1 I H----+ I Un+p-l ! < T

wird. Die Summe links ist aber nach Satz 2 von Nr. 4 mindestens so groß wie der absolute Betrag von un -f- un ₊₁ + • • • -f u Also ist um so mehr:

|< r,

+p—i

womit die Konvergenz der Reihe u₀, u1} . . . unf . . . ebenfalls nach Satz 2 von Nr. 102 bewiesen ist.

Der Satz 8 läßt sich jedoch nicht umkehren; es gibt vielmehr unendliche Reihen, die konvergieren, obwohl es die Reihen der absoluten Beträge nicht tun. Hierfür werden wir nachher ein Beispiel geben. Vorher wollen wir den folgenden Satz beweisen:

Satz 9: Wenn die Glieder einer unendlichen Reihe ab-ivechselnd positiv und negativ sind, ferner ihre absoluten Beträge beständig abnehmen und zwar bis zur Grenze Null, ist die Reihe konvergent.

Wir betrachten also eine Reihe

w₃, . .

u₀₎ ut,

bei der für die absoluten Beträge u₀, mx, u₃, u₃, . . . der Glieder die Ungleichungen gelten:

(1)

und außerdem

(2)

lim u_ — 0

n

n — oo

ist. Alsdann setzen wir:

2i = % ~ ui + un>

= Uq u^ -f- Mg m₃ -f* u

q₃ = % — ui + w2 — Ms + ui — M₅ + u&

P\ «o >

Pi “ W₀ U^ Mg W₃,

Ps ^ U0 — U1 “h W2 — M3 4* Ui

usw.

Nach (1) ist p₂ = Pi + u₂ — m₃ pif ferner pa = p₂ *f-

+ W₄ — w₅ > p₂ usw. Dagegen ist q₂ = qt — (w₈ — m₄) <1 gx, ^3 = q₂ — (w₅ — u₆) <1 g₂ usw. Außerdem ist ql = px -f w₂ 2>^x, g₂ =i?2 + w4 ^ P% ^ üi usw. Alle Pd P<i, Ps> • • • bilden also eine wachsende, alle q1} q₂, q₃, . . . eine abnehmende Folge und kein q ist kleiner als ein p. Ferner ist

= g₂ -i>₂ = w₄, q₃ P$ = u6, • •

so daß die Intervalle q₁—px, q^—p^, ■ • • nach (1) immer kleiner werden und nach (2) bis zur Null streben. Nach Nr. 2 also wird durch beide Folgen px, p₂, . . . und qx, q₂, . . . eine bestimmte endliche Zahl S definiert als Wert der Summe u₀ — ux + u₂ — m₃

Beispiel: Die unendliche Reihe 1

ist hiernach konvergent. Dagegen ist die Reihe

• • •, wie sich in

der absoluten Beträge 1, y, * , * ,

Nr. 103 ergab, divergent. Wir haben also einen Fall vor uns, der zeigt, daß sich der Satz 8 nicht umkehren läßt.

Hiernach kann man alle konvergenten unendlichen Reihen in zwei Klassen einteilen, nämlich in solche, bei denen auch die Reihe der absoluten Beträge der Glieder konvergiert, und solche, bei denen dies nicht der Fall ist. Die der ersten Klasse heißen aus einem Grunde, der später (in Nr. 109) einleuchten wird, unbedingt konvergent, die der zweiten Klasse bedingt konvergent. Die geometrische Progression a, ax, ax², ax%, ... ist nach Satz 1 in Nr. 101 für | x | < 1 unbedingt konvergent,

• • • nur bedingt kon-

dagegen die Reihe 1

vergent.

Liegt eine unendliche Reihe mit lauter positiven Gliedern vor, so sind nur zwei Fälle denkbar: Entweder konvergiert sie unbedingt, oder aber sie divergiert. Die Divergenz besteht im zweiten Falle darin, daß die Summe S„ der n ersten Glieder der Reihe mit endlos wachsendem n über jeden endlichen Wert wächst, da Sn + X Sn ist, während der Fall, wo Sn keinen bestimmten Grenzwert hat, wie es ja sonst mitunter vorkommt (z. B. bei der Reihe + 1, — 1, + 1, — 1, . . .), hier gar nicht auf-treten kann.

105. Hilfsmittel zur Feststellung der Konvergenz oder Divergenz. Wir haben zwar in Satz 2 von Nr. 102 ein notwendiges und hinreichendes Merkmal für die Konvergenz einer unendlichen Reihe gewonnen; bei den Anwendungen auf bestimmte Fälle wird es aber meistens nicht möglich sein, unmittelbar die Summen un + un + 1 -f • • • -f- un+p_l daraufhin zu untersuchen, ob sie die Bedingungen des Satzes erfüllen. Vielmehr muß man andere Reihen, deren Konvergenz oder Divergenz schon feststeht, zur Vergleichung heranziehen, und zwar auf Grund des folgenden Satzes:

Satz 10: Wenn von zwei unendlichen Beihen u₀, u1} . . . . un,. . . und v₀, vlf.. . vn,. . . die zweite lauter positive Glieder hat und Jconvergent ist und wenn überdies die absoluten Beträge der Glieder der ersten Beihe nicht größer als die entsprechenden Glieder der zweiten Beihe sind, also jedes | un j <i vn ist, konvergiert die erste unbedingt. — Wenn dagegen die zweite Beihe mit lauter positiven Gliedern divergiert und die absoluten Beträge der Glieder der ersten Beihe nicht kleiner als die entsprechenden Glieder der zweiten Beihe sind, also jedes \un\j^ vn ist, divergiert die Beihe \ u₀ \, | ut |,. . . | un |, . . . der absoluten Beträge der Glieder der ersten Beihe ebenfalls.

Der Beweis ist einfach: Wäre im ersten Falle die Reihe

K|, l%|> Kl>- • •

divergent, so würde die Summe von lauter positiven Zahlen

I u0 ! + ! U1 I + ' • • + I un \

mit wachsendem n über jede Grenze wachsen, um so mehr also die Summe v₀ -(- vx -f • • • + vn, was der Voraussetzung widerspricht. Im zweiten Falle wächst die Summe v₀ -j- v± -f • • • + vn mit wachsendem n über jede Grenze, um so mehr also die Summe

I uo I + | % | + • • • 4- i un |.

Aus dem Satze 10 können wir nun folgern:

Satz 11: Eine unendliche Beihe u₀, u1} . . . un, . . . konvergiert unbedingt, wenn für alle Werte von n, die größer als ein bestimmter Index m sind, der Quotient | un + 1 : un kleiner als eine positive Zahl k ist, die selbst kleiner als Eins ist; sie 105] divergiert dagegen, wenn der Quotient größer als eine positive Zahl k ist, die seihst größer als Eins ist.

In beiden Fällen können wir von vornherein von den Gliedern u₀, u₁₇. . . um absehen, da ja ihre Anzahl begrenzt ist und sie also eine bestimmte Summe haben. Es handelt sich nur noch

um die unendliche Reihe um + 1, um + 2, . . . un, . . ..

Betrachten wir den ersten Fall des Satzes: Vorausgesetzt

wird, daß

i U'n + ²

| Vi

sei, woraus durch Multiplikation folgt:

m +1 Um

<1, . . .

i Um + p i Um + p — 1

<k

\Um + p

um

< kp oder | u

m+p

<kp\um\.

Daher sind die Glieder der Reihe

1 Um + 1 I )

kleiner als die entsprechenden Glieder der geometrischen Progression:

(1)

Je \um\, li² \um\, Je⁵1 um

um + 2, . . . unbedingt kon-

wobei Je < 1 ist. Diese geometrische Progression konvergiert nach Satz 1 von Nr. 101; folglich lehrt der erste Teil des Satzes 10, daß die Reihe u

vergiert.

Im zweiten Falle des Satzes 11 wird vorausgesetzt, daß

Um + 1

Urn

> k,

um + 2

Um + 1

>lc, . . .

Um + p Um + p -1

>k

sei, woraus durch Multiplikation folgt:

\Um+p\>llP\Um\-

. . nach dem zweiten Teile des

rn -f 1 *

Da jetzt k>l sein soll, divergiert die Progression (1), also auch die Reihe u Satzes 10.

Wir können entsprechend beweisen:

Satz 12: Eine unendliche Reihe u₀, ux,... un, ... konvergiert unbedingt, ivenn für alle Werte von n, die größer als ein bestimmter Index m sind, die positive nte Wurzel aus dem absoluten Betrage von un, also y \un\, kleiner als eine positive Zahl k

[105

ist, die selbst Meiner als Eins ist; sie divergiert dagegen, wenn diese Wurzel größer als eine positive Zahl Tc ist, die selbst großer als Eins ist.

Zum Beweise brauchen wir wieder nur die Glieder von w ₁ an zu betrachten. Machen wir die Voraussetzungen des ersten Falles des Satzes, so ist

V\un\<k

d. h.:

n+V\un+1 !<&>•••>

l«nl<*", K + ll<*,+ V---

Die geometrische Progression Je⁷¹, Jen + 1, . . . konvergiert aber, da Je <1 ist, so daß also die Schlüsse wie beim Beweise des vorigen Satzes zu machen sind. Im zweiten Falle ist dagegen

K₊il>&n+V-->

und die geometrische Progression divergiert, da Je > 1 ist, so daß wie beim Beweise des vorigen Satzes weiter geschlossen wird.

Wir wollen den Sätzen 11 und 12 noch speziellere Formen geben. Dabei bemerken wir allgemein, daß nach der Definition des Grenzwertes A einer Funktion f(n) für endlos wachsendes n in Nr. 18 zu jeder beliebig kleinen positiven Zahl 6 eine Zahl m so gefunden werden kann, daß für jedes n > m: — <? < f(n) — A < 6, also

(2)

f(n) < A und f(n) > A — 6

ist. Ist A<\, so können wir <? so klein wählen, daß auch A -f <y < 1, etwa gleich Je, wird. Ist dagegen A > 1, so können wir <J so klein wählen, daß auch A — <7>1, etwa gleich Je wird. Im ersten Falle lehrt die erste Ungleichung (2), daß für jedes n > m auch

f{n) < Je < 1

ist, im zweiten Falle lehrt die zweite Ungleichung (2), daß für jedes n > m auch

f(n) > Je > 1

ist.

Wählen wir nun insbesondere für f(n) den Quotienten

Un

oder die positive wt0 Wurzel

f(n) =y\un\,

so folgt sofort aus unseren Sätzen 11 und 12:

Satz 13: Eine unendliche Reihe u₀, ux, ... un, ... konvergiert unbedingt oder divergiert, wenn es einen bestimmten Grenzwert

un + 1

un

lim

n = oo

gibt, der kleiner als Eins bzw. größer als Eins ist.

Satz 14: Eine unendliche Reihe u₀, ulf ... un,... konvergiert unbedingt oder divergiert, wenn es einen bestimmten Grenzwert

lim ]/|un\

71 — 00

gibt, der kleiner als Eins bzw. größer als Eins ist.

Diese Sätze sind spezieller als die Sätze 11 und 12, weil in ihnen vorausgesetzt wird, daß |wn + 1:w„j bzw. y j un | einen Grenzwert habe.

Die Sätze 11 und 12 sagen im Falle k ==> 1 und die Sätze 13 und 14 im Falle des Grenzwertes Eins nichts über Konvergenz oder Divergenz aus. In der Tat kann man an Beispielen erkennen, daß dann sowohl Konvergenz als auch Divergenz Vorkommen kann.

Beispiel: Es liege die unendliche Reihe von lauter positiven Gliedern vor:

i¹ + e> 2¹⁺^>

wo q > — 1 sei (wegen Satz 4, Nr. 103). In diesem Falle ist das nte Glied:

folglich:

un

/ n \¹+?

~ Vn + lj ’

also nach Satz 29 von Nr. 24:

11 + ? = 1,

lim —— = (lim - n +e =

n — oo Un    \n = oonJT !/

so daß Satz 13 versagt. Auch Satz 14; denn es ist: ln lim '\/un = lim ln ]/un = lim ~

n = oo    « = oo    78 = oo ^

n = oo

== lim

n = oo

= 0.

— (1 —j- €>) Inn

Setzen wir nämlich n = eN, so ist \nn:n = N: eN, und dieser Bruch hat für lim N = oo den Grenzwert Null, da e > 1 ist. Mithin ergibt sich, daß den Grenzwert Eins hat, so daß Satz 14 nicht zur Entscheidung führt.

Durch eine geschickte Anwendung des Satzes 10 läßt sich aber doch entscheiden, für welche Werte von q die Reihe konvergiert oder divergiert. Bezeichnet man nämlich das erste Glied der Reihe mit w₀, die Summe der beiden folgenden mit wx, die Summe der vier folgenden mit w₂, die Summe der acht folgenden mit w₃ usw., so kommt, sobald q positiv ist:

= 1 D+e ’

_J—|—L_

2¹+(?    31 + C

_-—p ——

4¹⁺<?    5¹⁺?

W₀ =

^ 2    1

21 + e    2^ ’

-—I—¹    < . ⁴... =

usw. Folglich sind die Glieder der Reihe w₀, wx, w₂, nicht größer als die entsprechenden Glieder der Reihe

wx =

7l + ()

₄C

1 1, JL

* 2? ’    4<? ’    8? ¹

oder also der geometrischen Progression

1 \s

1 \2

⁷ 2?’

die nach Satz 1 von Nr. 101 für positives q konvergiert. Nach Satz 10 konvergiert daher auch die Reihe w₀, wx, w₂,

Die Summe wQ + wx -\- w₂ - ist aber nichts anderes als die Summe u₀ + ux -f u₂ + • • • der Glieder der vorgelegten Reihe, die also für q > 0 konvergiert.

Ist q negativ, aber größer als — 1, so bezeichnen wir das erste Glied der vorgelegten Reihe mit w₀, das zweite mit wx, die Summe der beiden folgenden mit w₂, die Summe der vier 105]

2?

• • •>

folgenden mit w₃, die Summe der acht folgenden mit usw. Dann ist, weil p negativ, aber 1 -j- p positiv ist:

™o =

= 1,

51 + ?T61 + ?

4¹ + ?

1 1

4¹ + Q 2    4 Q ’

—--1--i—

7¹ + ?    8¹ + ?

'>_£_ = JL.±

^ 8¹⁺ ? ² 8? ’

usw. Folglich sind die Glieder der Reihe w₀, wlf w₂, . . nicht kleiner als die entsprechenden Glieder der Reihe

1    l

2    8'

die aber vom zweiten Gliede an die geometrische Progression

1    J_    l

2    2?    2

ist und für negatives p und für p = 0 nach Satz 1 von Nr. 101 divergiert, so daß auch die Reihe w₀,wl,w divergiert. Die Summe w₀ -f wt -f- w₂ + • ■ • ist aber nichts anderes als die Summe u₀ -f- % -f- u.₂ + • • • der Glieder der vorgelegten Reihe, die also für p 0 divergiert. Im Falle p = 0 wurde die Divergenz auch schon in Nr. 103 bewiesen.

106. Beispiele. Bisher haben wir die unendlichen Reihen immer durch Gliederfolgen u₀, u₁₇ w₂,. . . un,. . . bezeichnet. Da es uns darauf ankommt, zu untersuchen, ob sie eine Summe haben, werden wir sie von jetzt an als Summen u₀ -}- ux -f-

+ w₂ -1----schreiben. Solche Summen haben aber nur dann einen

Sinn, wenn die Reihen wirklich konvergieren.

1. Beispiel: Die Reihen

2y •

. . nach Satz 10

xs

xn

1-2-3

x2n

1 • 2 • • •(2n)

x³

x⁵

1-2-3

----±

X2n + 1

1 • 2 • • -(2w-f 1)

konvergieren unbedingt für jeden Wert von x. Denn allgemein ist in der ersten Reihe das Verhältnis eines Gliedes zum vor

hergehenden x:n und lim (ja; w) = 0 für limn = oo, in der zweiten und dritten Reihe

igegen -± x²: n (n -f- 1) und lim [a;²: n(n -f- 1)] = 0 für lim n = oo. Die erste Reihe lehrt im Falle x = 1, daß die in Nr. 45 unter (3) vorkommende Summe Sn für lim n = oo einen bestimmten endlichen Grenzwert hat.

2. Beispiel: Die Reihe

konvergiert unbedingt für alle x des Intervalles — 1 < x < -j- 1; für x = 1 konvergiert sie bedingt; für x = — 1 und jedes andere x divergiert sie. Denn hier ist

lim

un + l j

= lim

= \x\.

oo ■ un

* i 4- -¹-

n

Nach Satz 13 von Nr. 105 konvergiert die Reihe unbedingt, wenn | x < 1 ist, und divergiert sie, wenn \x j > 1 ist. Für x — konvergiert sie nach Satz 9 von Nr. 104, aber nur bedingt, da sich die Reihe ihrer absoluten Beträge für x — — 1 ergibt und wir von ihr nach Nr. 103 wissen, daß sie divergiert.

107. Verschiedene Anordnungen bedingt konvergenter Reihen. Wir wollen an einem Beispiele zeigen, daß sich die Summe einer bedingt konvergenten Reihe ändern kann, wenn man ihre Glieder in einer anderen Reihenfolge summiert.

Nach dem Beispiele in Nr. 104 konvergiert die Reihe

(i)

— -J- —

2 ~ 3

nur bedingt. Wir bilden eine zweite Reihe mit denselben Gliedern, aber in anderer Anordnung, nämlich so, daß jedem negativen Gliede zwei positive vorangehen und folgen, also die Reihe:

(2) 1 + 4

ts; m.

4-

Ol H*-

+ 11

Sie enthält alle Glieder der Reihe (1) und sonst keine. Bezeichnen wir nun mit S2n die Summe aller Glieder der Reihe

106, 107]

(1) bis zum Gliede — 1 : 4 n, dies eingeschlossen, und mit die Summe aller Glieder der Reibe (2) bis zum Gliede — 1:2n, dies eingeschlossen, so ist

q 1__! , i__

x    2 ‘ 8

¹+ — + —

2    '    5 r 7

(3)

4 “ r 4 n -----+

— 1 in’

----1------------¹

4 n — 3 4 n — 1    2 n

oder

also:

5    = ^ (——--

\4 m — 2 T 4 m

l

¹--1--¹

— 2 4m ■

— 1    4m)’

m] 2    \2m — 1

2m

Die letzte Summe rechts ist ausgeschrieben die Summe

¹ -f • • • -j---—

4    '    ' 2n — 1

— _j_ ¹

2 ~ 3

die nach (3) mit Sn zu bezeichnen ist. Also haben wir:

= $2n + i^n‘

Wenn wir nun die Summe der konvergenten Reihe (1) mit S bezeichnen, ist

so daß folgt:

lim S2n — S und lim Sn = S,

n = oo

n = co

lim s; = | S.

n = oo

Z)ie beiden Beihen (1) und (2) haben dieselben Glieder und sind beide konvergent, und dennoch ist die Summe der zweiten Beihe das anderthalbfache der Summe der ersten Beihe.

Es kann auch Vorkommen, daß von zwei Reihen, die beide dieselben Glieder enthalten, die eine konvergiert und die andere divergiert. Ein Beispiel hierzu ist die Reihe

i — 4= + 4= —+ * •

■j/2 ' y 3 y4^

die wir in entsprechender Weise wie die Reihe (1) so anordnen:

[107

Vn

___L_ _j__1_ i__1___L. _L

(5) 1 + 1

}/3    j/2    j/ö    }/7    |/4    y9    ' |/ll    yö ¹

Die Quadratwurzeln sollen sämtlich positiv sein. Die Reihe (4) ist nach Satz 9 von Nr. 104 konvergent, die Reihe (5) jedoch, wie    wir    zeigen wollen,    divergent.    Es    sei nämlich    Sn    die

Summe der Glieder der Reihe (4) bis zum Gliede — 1 : ]/2w, dies    eingeschlossen,    und    ebenso S'n    die    Summe    der    Glieder

der Reihe (5) bis zu demselben Gliede. Dann wird:

S'n —

fl _    1__|__1

n y2yyi ' y2w-j-3

y2n -f- (2 n — 1)

Von den n Summanden ist der letzte der kleinste, so daß

y kn —

]/n

T y*_i

r n

oo sein.

wird. Für lim n = oo hat der Nenner den Grenzwert 2, der Zähler aber den Grenzwert Unendlich. Also ist lim S'n — lim Sn unendlich groß. Da nun lim Sn als Summe der konvergenten Reihe (4) endlich ist, muß lim S'n =

Übrigens konvergiert die Reihe (4) nur bedingt, da die Reihe der absoluten Beträge

1 +-7= + 4 + 7= + * • *

y2 |/3 y4

divergiert, denn es ist allgemein:

¹ _ ]/n    1

j/n n    n ^

von der Reihe mit demnach kleineren Gliedern:

wissen wir aber schon nach Nr. 103, daß sie divergiert.

Die beiden Heiken (4) und (5) haben dieselben Glieder; während die erste bedingt konvergent ist, ist jedoch die zweite divergent.

108. Satz über bedingt konvergente Reihen. Wir

knüpfen an das Vorhergehende eine einfache Bemerkung: Liegt eine bedingt konvergente unendliche Reihe u₀, ux, . . . un, . . . vor, so enthält sie notwendig Glieder mit verschiedenen Vorzeichen, und es seien v₀, vx, v₂,^. . . die positiven Glieder so, wie sie in der vorgelegten Reihe wirklich aufeinander folgen, und Wq, wl} w₂, .. . die absoluten Beträge der negativen Glieder in der gegebenen Folge.

Die Summe der absoluten Beträge der n ersten Glieder der gegebenen Reihe, also

&n ⁼ I uo I + I ui I + I I +----1- I un

enthalte etwa die ersten Glieder der Reihe v₀, vt, v₂, . . und die n₂ ersten Glieder der Reihe w₀, wx, w₂, . . ., und die Summen dieser nx bzw. n₂ Glieder seien mit S'n und bezeichnet. Dann ist:

sn = S'9i + sr,

folglich:

lim Sn = lim Sni + lim S”^.

Wenn nun die Reihen v₀, v1} v₂, . . . und w₀, w1: ws, . . . beide konvergierten, ständen rechts endliche Werte, d. h. die Reihe der absoluten Beträge der Glieder der ursprünglichen Reihe wäre konvergent, was damit im Widerspruche steht, daß die ursprüngliche Reihe nach Voraussetzung nur bedingt konvergiert. Eine der beiden Reihen vw vv v₂, . . . und w₀, wlf iv muß also gewiß divergent sein. Nun ist aber

uo + ui + u2 + ----1“ Un-i ⁼⁼ ^ — S^.

Wäre also etwa lim S'n endlich und lim S" unendlich groß (als Grenzwert bei einer Reihe von lauter positiven Gliedern, vgl. die letzte Bemerkung in Nr. 104), so wäre hiernach die vorgelegte Reihe auch divergent, ebenso, wenn lim S'n unendlich groß und lim S'n endlich wäre. Daher:

Satz 15: Konvergiert eine unendliche Reihe bedingt, so ist sowohl die Reihe ihrer positiven Glieder als auch die Reihe ihrer negativen Glieder divergent.

Man kann übrigens beweisen, daß sich die Glieder einer bedingt konvergenten Reihe so anordnen lassen, daß die Reihe konvergiert und irgendeinen vorgeschriebenen Wert zur Summe hat. Wir gehen hierauf aber nicht ein.

109. Die Summe einer unbedingt konvergenten Reihe. Die Einzelheiten in Nr. 107 und 108 waren notwendig, um die Bedeutung des folgenden Satzes richtig zu schätzen, der sich auf unbedingt konvergente Reihen bezieht:

Satz 16: Wenn eine unendliche Heike unbedingt konvergiert, kann man die Reihenfolge der Glieder beliebig ändern, ohne daß sie divergent wird oder der Summenwert der Reihe irgendeine Änderung erleidet.

Sind nämlich

(i)

u₀,    . . . un, . . .

die Glieder einer unbedingt konvergenten Reihe, so ist die Behauptung die, daß die Reihe

(2)

Uct1 Ußt Uy ■ • Ua>> ’ • ■>

. . . nach irgendeinem anderen

in der die Indizes cc, ß, y, . . .

Gesetze als dem der natürlichen Zahlenreihe aufeinander folgen, konvergent sei und die nämliche Summe habe wie die Reihe (1).

Wählen wir in der Reihe (2) die Anzahl der Glieder so groß, daß die n ersten Glieder der Reihe (1) darin enthalten sind, so wird

(3) ua -j- Up + uy H-----h Mtu = uo "h ui H-----un-1 “h

wenn man unter R die Summe aller derjenigen Glieder auf der linken Seite versteht, deren Index größer ist als n — 1. Diese Glieder seien mit up, u } ur, . . . us bezeichnet, so daß

R = Up + Uq + ur -f • • • -f- us

ist. Der absolute Betrag von R ist nicht größer als die Summe

! Up I + I Uq I + • • ‘ + ! US i ■

Nun hat aber die Summe

K = K I + I u»

+ \ Un + 2 I H----

einen bestimmten endlichen Wert. Denn die Reihe |w₀|-J--f- |mj | + |w₂1 + • • • konvergiert, und ihre Summe ist gleich:

I uo 1 + I «i | + • • • + |

Ferner ist ihre Summe gleich

lim (| w₀ | + I Mi | +----1-| «n_i |);

n = oo

folglich kommt:

lim Rn = 0.

n — oo

Da sämtliche Indizes p, q, ... s größer sind als n — 1, ist also auch

|R|<Rn oder \R\ = 6Rn,

wobei 6 eine zwischen 0 und 1 gelegene Zahl bedeutet. Wenn also Sn die Summe der n ersten Glieder der Reihe (1) darstellt, gibt die Gleichung (3):

¹¹ a + Ufi + UY -f • • • +    = Sn + 6Rn.

Ist nun S die Summe der Reihe (1), so wird lim Sn = S, während, wie wir sahen, lim Rn = 0 ist. Folglich konvergiert auch die Summe

Ua + U[i + Uy + • • ’ + Uu

nach dem Werte S, wenn man die Anzahl der Glieder in der Anordnung (2) unbegrenzt vermehrt.

Durch den Satz 16 wird die Bezeichnung: unbedingte Konvergenz erklärt. Sie besagt, daß die Reihe bei jeder Anordnung der Glieder konvergiert und stets denselben Wert behält.

110. Multiplikation zweier unbedingt konvergenter Reihen. Es gilt der

Satz 17: Sind u₀, ux, ... un, ... und v₀, vlf... vn,. . . zwei unbedingt konvergente Reihen mit den Summen S und S', so konvergiert auch diejenige unendliche Reihe w₀, w unbedingt, deren allgemeines Glied

= U0Vn + UlVn-l + «8 *>,,-* +----h K-1V1 + UnV0

ist, und ihre Summe ist gleich dem Produkte SS' der Summen der beiden ursprünglichen Reihen.

Es sei nämlich

Sn = u₀ + ux -f- • • • + un_x,

“ 'y0 + Vx H----+ Vn_lf

Sn"=w o +Wt-\-----1-w

also:

Sn"= U₀V₀ + (u₀Vx + uxv₀) + (u₀v2 + u₁v₁ -f u₂v₀) H----

• • • +    1 + uxvn_ ₂ + • • • + un_xv₀).

Wir nehmen zunächst an, daß alle Glieder der gegebenen Reihen 'positiv seien. Das Produkt SnSn' enthält alle Glieder von Sn", außerdem aber noch andere positive Glieder. Mithin ist

SS'> S

n n = n

Bezeichnen wir mit m die größte ganze Zahl, die in \n enthalten ist, also oder ^(n — 1), je nachdem n gerade

[109, 110

oder ungerade ist, so bilden, wie leicht einzusehen ist, die Glieder des Produktes SmSm einen Teil der Glieder, aus denen Sn" besteht; demnach haben wir:

SmSm< Sn".

Für lim n = oo wird auch lim m = oo. Die Summen S„ und

Sm konvergieren dabei nach der Grenze S, die Summen Sn' und 8^ nach der Grenze S'. Also ist Sn" zwischen zwei Größen eingeschlossen, deren gemeinsame Grenze das Produkt SS' ist; mithin hat auch Sn" den Grenzwert SS'. Somit ist:

lim Sn" = SS'.

n — oo

Wir nehmen jetzt zweitens an, daß die gegebenen Reihen sowohl positive als auch negative Glieder enthalten. Da sie unbedingt konvergieren sollen, bleiben sie konvergent, wenn man jedes negative Glied durch seinen absoluten Betrag ersetzt. Es ist nun:

(!) S„Sn'-Sn" = Un_xvn_x -f    + • • •

• • • + K_ 1»! + Un_₂V₂ +■•••+ U₂Vn_₂ +

Wir haben soeben erkannt, daß SnSn'—Sn" den Grenzwert Null hat, wenn die Größen u und v sämtlich positiv sind. Unserer Annahme nach bleihen aber die gegebenen Reihen konvergent, wenn man die Vorzeichen der negativen Glieder ändert; also hat die vorstehende Summe den Grenzwert Null, wenn jedes Glied u oder v durch seinen absoluten Betrag ersetzt wird. Solch eine Änderung kann aber den absoluten Betrag der vorstehenden Summe nicht verkleinern, und folglich ist auch jetzt:

lim (SA'-S»") = °-

n — oo

Also hat Sn" wieder den Grenzwert SS':

lim Sn"=SS'.

n — oo

Schließlich muß noch bewiesen werden, daß die Reihe w₀, w1} . . . wn, . . . unbedingt konvergiert. Nach Satz 1 und 2 von Nr. 4 ist:

(2)

K| <;K| Kl + K| \vn_t \ -h • •• + Kl K|.

Da die Reihen

hol, Kl, Kl, • • • und hol; Kl, v₂|; • • •

nach Voraussetzung konvergieren, so konvergiert nach dem Bewiesenen auch die Reihe mit dem allgemeinen Gliede

KIKI + KIK-il-i-*-- + KIKI

folglich wegen (2) die Reihe mit dem allgemeinen Gliede \wn\ nach Satz 10 von Nr. 105.

Der bewiesene Satz gilt nicht mehr stets, wenn die gegebenen Reihen nur bedingt konvergieren. Man überzeugt sich hiervon, indem man als erste und zweite gegebene Reihe die Reihe (4) aus Nr. 107 wählt:

1 —L    _JL

yV ^ yä

4= + 4= — •

]/4    j/5

Die Reihe der w wird hier:

und ist divergent, weil ihre Glieder nicht bis zur Null abnehmen (vgl. Satz 4 von Nr. 103), denn ein allgemeines Glied mit Pluszeichen wird:

k= +

l/n • n

j/(« — 1) (n + 1) y{n — 2) (n 4- 2)

2 n — 1 j/n ■ n

]/2(2w — 2)    ]/l(2n — 1)

§ 2. Der Taylorsche Satz für Funktionen von einer Veränderlichen.

111. Der Taylorsche Satz für einen besonderen Fall. Es seien f(x) und F(x) zwei Funktionen von x, die nebst ihren ersten Ableitungen im Intervalle von x₀ bis x₀ + h bestimmte endliche Werte haben. Verschwindet die Ableitung F'(x) nirgends im Innern des Intervalles, so liefert Satz 10 von Nr. 31 die Formel:

f(x₀ + ft) — /K) f(x₀ + K) F(cc₀ + h) — F(x₀) F' (x₀ + \)

¹³ [110, 111

Serret-Seheffera, Diff.-u. Integr.-Rechn. I. 6.u.7.Aufl.

Dabei bedeutet ht eine zwischen 0 und h gelegene Größe, verschieden von 0 und h. Ist nun insbesondere:

f(x₀) = 0 und F(x₀) = 0, so vereinfacht sich die Gleichung:

(1)

ffo+.fc) f'&o + K)

F(x₀+h)    F'(x₀+\)

Haben ferner auch f"(x) und F" (x) im Intervalle von x0 bis x₀ -f- h bestimmte endliche Werte, so läßt sich derselbe Schluß von neuem machen, wenn wir annehmen, daß auch

f(x₀) = 0 und F'(x₀) = 0

sei, dagegen F"(x) nirgends im Innern des Intervalles verschwinde. Es kommt also:

fixo + *l)    f'jxo + \)

F'(x₀ + \)    F’\x₀ + \y

wobei /<₂ eine Größe zwischen 0 und \ bezeichnet, verschieden von 0 und lix.

Wir nehmen nun allgemein an, daß die Punktionen fix) und F{x) und ebenso alle ihre Ableitungen bis einschließlich derjenigen nter Ordnung für alle Werte von x zwischen x0 und x₀ -j- h (einschließlich dieser Grenzen) bestimmte endliche Werte haben und daß die Ableitungen von F(x) im Innern des Intervalles nirgends gleich Null seien. Wenn dann überdies

f(x₀) = 0,    f (x₀) = 0,. .. f(n~ ‘> (x₀) = 0,

F(xf) = 0,    F\x₀) = 0,... JX-D fo) = 0

ist, ergibt sich:

fi*«+h) ₌ fix o + \) ₌ fixp+hf)_____ fw(x₀+hn)

F(x₀ + h)    F' (x₀ -f \) F" (x₀ -f \)    jfW (xq _|_ hn) ’

. . hn Größen von einerlei Vorzeichen bedeuten,

wobei h, h1} h

deren absolute Werte eine abnehmende Reihe bilden, aber sämtlich von Null verschieden sind. Bedeutet 0 einen positiven

echten Bruch, verschieden von Null und Eins, so kaun man deshalb hn = 6h setzen, und es wird:

(2)

fito+h) ₌ f^ixp + dh) m F{xa-\-h)    Fn)(x₀-\-6h)

Wählt man insbesondere

also

und

Fix) = (x — x₀)n,

FW (x) = n (n — 1) • • • (n — m -j- 1) (x — x₀)n~m

FW (x) = 1 • 2 • 3 • • • n = n\,

so sind alle Bedingungen, die für F(x) aufgestellt wurden, erfüllt. Dann gibt Gleichung (2):

(3)

hn

Diese Gleichung liefert uns einen Satz, der ein besonderer Fall des allgemeinen Taylorschen Satzes ist, den wir in der nächsten Nummer ableiten werden:

Satz 18: Wenn eine Funldion fix) im Intervalle von x0 bis x₀ -f- h nebst ihren Ableitungen bis zur einschließlich n Ordnung bestimmte endliche Werte hat und an der Stelle x — nebst ihren n — 1 ersten Ableitungen verschwindet, ist:

ten

hn

/'Oo + h) = F\f{n)(~Xo+ 0h)

wo 0 einen positiven echten Bruch, verschieden von Null und Eins, bedeutet.

112. Der allgemeine Taylorsche Satz. Jetzt sei F(x) eine Funktion der Veränderlichen x, die nebst ihren n ersten Ableitungen für alle Werte x von x₀ bis x₀ + h bestimmte endliche Werte hat.

Bezeichnet cp (x) die ganze Funktion (n — l)ten Grades

von x:

(1)

cp (x) - F(xt) + ^ F' (*„) +    F" (*„) + ■ • ■

(x — x₀)n ¹

(n — 1)!

so ist ihre Ableitung mtex Ordnung für m < n:

cp (») (x)=FW (xQ) + ?L_3- F{m+¹)(a:₀)H-----h

(X — x₀)n

—m—1

(n — m — 1)!

F^\x₀y

Für x = xQ kommt also:

cp (x₀) = F(x₀),    (pW (a:₀) = FW (xQ).

13*

[111, 11»

Hieraus folgt, daß der soeben gefundene Satz auf die Funktion

f{x) = F(x) — 99 (x)

anwendbar ist; denn diese Funktion erfüllt alle in dem Satze angegebenen Bedingungen. Es kommt also, weil überdies cpW(x) verschwindet:

hn

(o<e< 1).

Fix0 + h) - <p (x₀ + h) = - FW (x₀ + Oh)

Der Wert von rp(x₀ -f li) kann nun aus der Gleichung (1) berechnet werden. Wird er eingesetzt, so geht hervor:

(2) F(x₀ + h) - F{x₀) + l F(x₀) +    F"(x„) + ■■■

li"-1 (n —l)i

Wir wollen von jetzt an x₀ mit x bezeichnen, so daß wir finden:

(3)

Dabei ist:

Fix + h) - F(x) + ~ F (x) + V-, F" (*) + •••

hn

(4)

R„ = ~FW(x + eh).

Man nennt diesen Wert von lin die Lagrangesche Festform.

Die Gleichungen (3) und (4) sind offenbar nur eine Verallgemeinerung unseres Mittelwertsatzes in Nr. 28, der wieder hervorgeht, wenn wir n — 1 setzen. Es hat sich also ergeben:

Satz 19 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz): Hat eine Funktion F(x) im Intervalle von x bis x -f h nebst ihren n ersten Ableitungen bestimmte endliche Werte, so gibt es immer einen positiven echten Bruch 6 derart, daß

F(x + V)-Fix) + (,F'(x) + £ F"(x) + ■ • •

ist.

hn -¹

(n — 1)!

F^~¹\x) + ^FW(x+ Oh)

Bleiben nun die Voraussetzungen, die soeben ausgesprochen wurden, erhalten, wie groß auch der Index n werden mag, und ist außerdem für alle Werte x -f dh, die dem Intervalle angehören :

11ÄJ lim Bn = lim - FM (x + Oh) = 0

hn

ri = CO    72 — CO

so kommen wir zn einer unendlichen Reihe

(5) die wegen lim Bn = 0 konvergiert. Denn wenn die Summe ihrer w ersten Glieder mit bezeichnet wird, ist Fix + h) gleich Sn -j- Bn nach Satz 19, daher in der Tat:

lim Sn = F(x + h) - lim Bn = F(x + h).

n = co

71 = CO

Die unendliche Reihe (5) heißt die Taylorsche Beihc. Da uns der wahre Wert des positiven echten Bruches 0 nicht bekannt ist, vermögen wir nur dann zu behaupten, daß die Gleichung (5) gilt, wenn Bn für alle positiven echten Brüche 0 den Grenzwert Null hat. Daher ergibt sich der

Satz 20 (Taylorscher Satz): Flat eine Funktion F{x) im Intervalle von x bis x -f h nebst allen ihren Ableitungen bestimmte endliche Werte und ist der Grenzwert des Lagrangeschen Bestes

li¹

Rn-~F^(x + eh)

für lim n — oo und für jeden positiven echten Bruch 0 gleich Null, so läßt sich Fix ~f h) in eine konvergente und nach ganzen positiven Botenzen von h fortschreitende unendliche Beihc entwickeln:

F(x + h) - F(x) + hF' (*) + || F"(*) + ....

Man nennt eine nach Potenzen einer Größe h fortschreitende unendliche Reihe kurz eine Potenzreihe. Hierbei möge man beachten: Bedeutet k eine irgendwie gewählte Zahl zwischen 0 und h und ist wirklich lim Bn = 0, so gilt dasselbe, wenn h durch k ersetzt wird, denn x + Ok ist ja ein zwischen x und x + h gelegener Wert. Demnach kommt für jeden Wert k zwischen 0 und h:

F(x + *) - Fix) +(f' (x) + ü F" (*) + •■••

113. Cauchysche Restform. Dem Reste Rn kann man eine andere Form geben, die oft von Nutzen ist. Um sie zu erhalten, ersetzen wir h in der Gleichung (3) der vorigen Nummer durch z— x. Der Rest Rn wird dadurch eine Funktion von x und z, und wir bezeichnen ihn als Funktion von x mit fix). Es ist alsdann

(1)

(n — 1)!

.FC”⁻¹) ix) + fix) .

Bilden wir die Ableitungen von beiden Seiten in bezug auf x, indem wir z als konstant ansehen, so heben sich alle rechts hervorgehenden Glieder bis auf eines gegenseitig fort, und daher kommt:

(z-xf-1 (n — 1)!

Die Funktion fix) wird durch die Gleichung (1) definiert, denn diese Gleichung kann ja nach fix) aufgelöst werden, und die Funktion erfüllt nach unserer Voraussetzung über Fix) die Forderung 51 in Nr. 27 für alle Werte der Veränderlichen von «bis x-\-ln oder z. Nach dem Mittelwertsatze in Nr. 28 ist also, wenn 0 einen gewissen positiven echten Bruch bezeichnet:

(2)

f O) = -

FW ix).

f{e) — fix) = iz — x) f'[x+ Oiz - «)].

Aber die Gleichung (1) zeigt, daß fix) für x = z verschwindet. Mithin bleibt:

(3)

fix) == — iz — x) f \x -f 9 iz — «)].

Die Gleichung (2) ergibt ferner, wenn darin x durch x-\- Oiz — x) ersetzt wird:

f'[x -f 0^ — «)] = —

(z — x)n~¹( l — df ¹

in — 1)!

FW[x-f Oiz-x)]

und folglich ist nach (3):

(4) f{x) =

(n — 1)!

FW [x + 0 iz — «)].

Führen wir schließlich an Stelle von z wieder den Wert x + h ein, so folgt für den Rest fix) oder Rn in (1):

(5)

(1 — 0)"“V

FW(x + eh).

Dieser Wert heißt die Cauchysche Restform.

(w — 1)!

Satz 21: Die Restform Rn in Satz 20, Nr. 112, läßt sich durch die Cauchysche Restform

ersetzen.

(1 — e)”~ V

(n— 1)1

.FM (x + Oh)

Die hier mit 0 bezeichnete Größe braucht durchaus nicht dieselbe wie die in der Gleichung (4) oder in Satz 20 der vorigen Nummer zu sein; aber wie diese ist sie ein positiver echter Bruch.

114. Die Differenz ausgedrückt durch Differentiale.

Setzt man

y - F{x),

so sind die Größen

hF\x), h²F"(x),    h*F"'0),. ..

die aufeinander folgenden Differentiale

dy, d?y, d³y,. . .

der Funktion y, sobald dx = h gesetzt wird, vgl. Nr. 60. Dagegen ist

Dy = F{x + h) — F{x)

die zum Zuwachs h von x gehörige Differenz von y. Bezeichnet man ferner mit

d'ny

die Größe hnF^n\x -f- Oh), die das Differential wter Ordnung von y für einen Wert x F Oh der Veränderlichen zwischen x und x + h bedeutet, so erhält die Gleichung (3) der Nr. 112 die Form:

Dy =

dn~xy (n — 1)!

d'ny

n\

Sind die Bedingungen des Taylorschen Satzes erfüllt, so ist demnach die unendliche Taylorsche Reihe darstellbar in der Form:

, dsy i

⁺ 3! ⁺

Sie zeigt, daß die Differenz Dy mittels der Differentiale dy, d*y, d*y, . . . ausgedrückt werden kann.

115. Bemerkungen zum Taylorschen Satze. Die

Gleichung des Satzes 19 in Nr. 112 kann bis zu einem bestimmten Werte von n richtig sein, für größere Werte aber ungültig werden. Es sei z. B.

F(x) = {X- xoy,

wobei g irgendeine positive gebrochene Zahl bedeute. Ist m die größte ganze in g enthaltene Zahl, so gilt jene Gleichung insbesondere für x = x₀ nur so lange, als n nicht größer als m ist; denn die (m -f- l)te Ableitung von F{x) wird für x — x0 unendlich.

Um die Gültigkeit der Taylorschen Reihe behaupten zu können, genügt es nicht, daß man nur auf Grund der Sätze des § 1 beweist, daß diese unendliche Reihe

F(x) + ±r(X) + %r' (*) + ••

konvergiert. Denn wenn man z. B.

i_

F(x)=e

wählt, wird für jeden Wert von n an der Stelle x = x₀

= o,

weil die Funktion e (x~X(^ ebenso wie alle ihre Ableitungen für x = x₀ verschwindet, was in Nr. 131 bewiesen werden wird. Also konvergiert hier die Taylorsche Reihe und ist gleich Null, während sie doch den Wert

F(xo + h) — e h~

haben sollte. Man muß sich also nicht damit begnügen, irgendwie zu beweisen, daß die Taylorsche Reihe konvergiert, sondern stets nachweisen, daß der Rest Bn entweder in der Lagrange-schen oder in der Cauchyschen Form den Grenzwert Null hat. Wir können ferner den wichtigen Satz beweisen:

Satz 22: Gelten die Voraussetzungen des verallgemeinerten Mittelwertsatzes 19 in Nr. 112 und ist F^n~^ (x) 4= 0, so läßt sich der absolute Betrag von h so Mein wählen, daß der absolute Betrag des vorletzten Gliedes

hn~1 (« — D!

der dort angegebenen Entwicklung den absoluten Betrag des letzten, also des Bestgliedes, übertrifft.

Denn hätten wir die Entwicklung statt bis hn nur bis hn~¹ geführt, so hätten wir statt der Summe der letzten beiden Glieder, die wir mit

h”-1 (n — 1)!

bezeichnen wollen, nur ein Restglied

ft“-1 (n — 1)1

erhalten, wo & wie 9 ein positiver echter Bruch ist. Also muß un_₁ + Bn gleich Bn_₁ sein, woraus folgt:

Bn = Bn_₁ — un_r _ F^-Vix + dty-F^-Vix)

F^n~¹\x)

Un-l =

-^n-1 —

hn

F^(x + 0h)

Da F⁽'n~x) (x) 4=0 und nach den Voraussetzungen des Satzes und nach Satz 1, Nr. 27, stetig ist, hat die rechte Seite für lim h = 0 den Grenzwert Null, d. h. wählt man | li | hinreichend klein, so kann man Bn \ : \ un _ t | beliebig klein machen.

Eine andere nützliche Bemerkung ist diese:

Satz 23: Hat eine Funktion Fix) nebst allen ihren Ableitungen im Intervalle von x bis x h bestimmte endliche Werte, so läßt sich F(x -f h) in die konvergente Taylorsche Reihe

un-1

insbesondere stets dann entwickeln, wenn alle Ableitungen von F(x) von einer bestimmten Ordnung an absolut genommen überall im Intervalle kleiner sind als eine bestimmte positive Zahl.

Denn wenn dies etwa von F^m\x) an gilt, wählen wir w > m. Bedeutet k irgendeine bestimmte positive Zahl, so ist in dem Lagrangescben Reste

K-t- ■T:-AF^x + e^

die Anzahl derjenigen Faktoren

A A

l ’    2 ’

die absolut genommen größer als k sind, sicher endlich. Es

[115

seien dies die i ersten Faktoren. Ihr Produkt, multipliziert mit F^n)(x -f- Oh), sei mit Pn bezeichnet, da es noch von n abhängt. Der absolute Betrag von F^0(x -f- Oh) ist nach Voraussetzung, wie groß auch n sein mag, endlich, nämlich unterhalb einer bestimmten Zahl. Nun ist | Bn [ < | Pn | lin~i, da alle n — i Faktoren absolut genommen kleiner als k sind. Wählen wir k < 1, so hat kn~i für lim n = oo den Grenzwert Null, während \ Pn\ einen endlichen Wert behält. Also ist lim Rn — 0.

116. Die Maclaurinsche Reihe. Setzt man x = 0 in

der Gleichung (3) von Nr. 112 und bezeichnet man außerdem h mit x, so kommt:

(1) F{x) -F(0) + f, F' (0) + fj F" (0) + -. -f

wobei entweder nach (4) in Nr. 112 zu setzen ist:

xn

(2)

oder nach (5) in Nr. 113:

(3)

Rn =

(l — ey-¹

(n — 1)!

xnFO0(0x).

Dabei bedeutet 0 in beiden Formeln positive echte Brüche. Die Gleichung (1) ist unter der Bedingung bewiesen, daß die Funktion F(x) und ihre n ersten Ableitungen in dem Intervalle von 0 bis x bestimmte endliche Werte haben.

Genügen alle Ableitungen der Funktion F(x) dieser Bedingung und hat der Rest Rn bei unbegrenzt wachsenden Werten von n den Grenzwert Null, so gibt die Gleichung (1) eine Entwicklung der Funktion F(x) in eine konvergente und nach ganzen positiven Potenzen von x geordnete unendliche Reihe, nämlich:

(4) F(*)-F(0) + ^F'(0)+ f-i-F"(0) + §->"' (0)4- • • -

Dies ist die nach Maclaurin benannte Reihe; die Gleichungen (2) oder (3) gestatten, Grenzen für den Fehler zu bestimmen, den man begeht, wenn man die Reihe mit irgendeinem Gliede abbricht.

Satz 24 (Maclaurinscher Satz): Hat eine Funktion F(x) im Intervalle von Null bis zu einem betrachteten Werte x nebst ihren sämtlichen Ableitungen bestimmte endliche Werte und ist der Grenzwert des Lagrangeschen oder Cauchyschen Bestes

Bn=~FW(dx) oder

für lim n = oo und für jeden positiven echten Bruch 0 gleich Null, so gilt die konvergente unendliche Beihe:

(l—0)""¹

(»—!)!

xnFM(dx)

F(x) - F(0) + *,F'(0) +    F"(0) + ■ ■

Hieraus kann man rückwärts wieder den Taylorsclien Satz in Nr. 112 gewinnen, wenn man den Satz 24 auf die Funktion F(x-{-h) statt auf F(x) an wendet und schließlich in der hervorgehenden Formel h mit x vertauscht.

§ 3. Reihenentwicklungen spezieller Funktionen.

117. Reihen für Exponentialfunktionen. Die Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe hat den Zweck, die Funktion durch einen Ausdruck darzustellen, der ihre Berechnung für die verschiedenen Werte der unabhängigen Veränderlichen ermöglicht. Durch die Definitionen, die wir für e?, log#, sin#, cos# usw. früher gegeben haben, wird ja noch kein Verfahren zur Ermittelung ihrer Werte gegeben. Wir wollen jetzt zeigen, wie man sie berechnen kann.

Alle Ableitungen der Funktion e? sind gleich ex, bleiben also endlich, welchen Wert man auch der Veränderlichen # beilegen mag. Hieraus folgt nach Satz 23 von Nr. 115, daß e* in eine Potenzreihe, der Maclaurinschen Formel gemäß, entwickelbar ist, die für alle Werte von # gilt. Für # = 0 werden die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen gleich Eins, und man hat daher:

vH

.-I

Die Konvergenz dieser Reihe wurde schon in Nr. 106 nachgewiesen; soeben haben wir aber auch erkannt, daß ihre Summe ex ist, was ja nach einer Bemerkung in Nr. 115 mit jenem Nachweise noch nicht dargetan ist.

Der Rest der Reihe nach dem wten Gliede ist in der Lagrangeschen Form:

(2)

rpJl

R = — ePx. n n!

Ferner sei a irgendeine positive Zahl. Ersetzen wir dann x durch x ln a, so folgt aus (1) wegen der Gleichung ax = e*ln<l für jedes x:

(3)

1 + ^“ +

a?²(ln«)² a:s(lna) 2~j I 3I

+ • • '}

und beim Abbrechen nach dem nten Gliede kann der Rest so dargestellt werden:

ß _xn (ln a)n

n n\

a,ex.

(4)

Nach Nr. 8 und Nr. 48 geben die Reihen (1) und (3) die positiven Werte von ex und a,x, z. B. im Falle x = \ die positiven Quadratwurzeln aus e und a.

Die halbe Differenz bzw. Summe von ev und e~x pflegt man als den Sinns Jiyperbolicus und Cosinus hyperbolicus von x zu bezeichnen, abgekürzt mit ©in x und (Soj x oder auch snh x und csh x:

(5)

©in x =    — e~x), (£of x = -^(e* + e~x).

Sie stehen nämlich in einer ähnlichen Beziehung zur Fläche einer gleichseitigen Hyperbel wie die goniometrischen Funktionen sin x und cos x zur Fläche eines Kreissektors, worauf wir jedoch hier nicht näher eingehen wollen. Es kommt:

(6)

d Sin#

dx

X> dx

= ©in#.

Alle Ableituugen von ©in x und (£of x sind daher endlich für jeden Wert von x. Nach Satz 23, Nr. 115, lassen sich also auch ©in x und (Sof x für jedes x als konvergente Mae-laurinsche Reihen darstellen. Weil ©in# und ßofx für x = 0 gleich 0 bzw. 1 werden, ergibt sich:

(?)

X . Xs ,

©tn x = jj -f -gj + • • • + «■**- ¹ +W + - + 5,).

(2 TO 4- 1)!

2m

Es sei bei dieser Gelegenheit hinzugefügt: Infolge von

(5) ist:

(8)

ßof² x — ©in² x=lf

e? = (£of x -f- ©in x, e~x = (Sof x — ©in x.

Der Quotient von ©in x und ßof x heißt der Tangens hyperbolicus von x, bezeichnet mit Xg x oder tgh x:

ex-e~x

(9)

©itta:

(Sof x

ex+e~x

Die Ableitung von Xg x ist:

(10)

d%qx l

dx

~    ©oiV

©in x, (Sof x und Xg x heißen zusammen die hyperbolischen Funktionen.

118. Die Zahl e. Man kann leicht beweisen, daß die Zahl e nicht nur irrational ist, sondern auch nicht Wurzel einer Gleichung zweiten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten sein kann. Denn wäre dies der Fall, so müßte eine Gleichung bestehen von der Form

(i)

= ±Y

ae +

worin a, ß, y bestimmte positive ganze Zahlen bedeuten. Nun ist aber nach (1) und (2) in voriger Nummer:

e-l+ , + ■

¹⁻Ii ⁺

IC

-|-----[

(« — 1)! (-P*-¹ |

(n — i)!

Einsetzen dieser Werte in (1) ergibt:

= e⁻¹ =

----+ 7

(— l)ne~7]

n\

Multipliziert man mit (n—1)!, so folgt, daß die Größe

ae°± ß(— l)ne~

eine ganze Zahl sein müßte. Da man für n eine gerade oder ungerade Zahl wählen kann, läßt sich das Vorzeichen von

[117, 118

-f- (— 1)” nach Belieben annehmen. Wählt man das Pluszeichen, so müßte also

•    aee-\-ße~,‘

f* =

eine ganze Zahl sein, was jedoch zu einem Widerspruche führt. Denn ist, wenn n hinreichend groß gewählt wird, kleiner als Eins. Also ist die Behauptung bewiesen.

119. Reihen für Sinus und Kosinus. Die Ableitungen ntei Ordnung der Funktionen cos x und sin x sind nach Nr. 61

cos (x -f- l n7t) bzw. sin (x -f- l-njt) und bleiben also endlich für jeden beliebigen Wert von x. Hieraus folgt nach Satz 23 von Nr. 115, daß sich die Funktionen cos x und sin x nach der Maclaurinschen Formel für jeden Wert von x entwickeln lassen.

Für x = 0 bilden die Werte der Funktion cos# und ihrer Ableitungen eine periodische Folge, deren Periode 1, 0, -1, 0

ist; ebenso bilden die Werte der Funktion sin x und ihrer Ableitungen für x = 0 eine periodische Folge mit der Periode: 0, 1, 0, -1.

Also hat man für jedes x:

a:2m (2 m)!

2 m +1

m _±__i____

(2 m -p 1)! '

Um den Rest der Reihe (1) zu erhalten, wenn man sie nach dem Gliede vom Grade 2m abbricht, hat man in der Lagrangeschen Formel für JRn statt n den Wert 2 m -j- 2 zu setzen: dann wird:

(1)

(2)

COS X

sm x —

21 ' 41    x)

X X» X*    ₍ n

T!~3!+ 5!----+ C“¹)

H---->

^m+2

(2 m -f- 2) !

Ebenso wird, wenn die zweite Reihe nach dem Gliede vom Grade 2m + 1 abgebrochen wird, ihr Rest:

x2m + 3

-^2 m + 2

cos [0 x -f- (m + 1) 7t].

-^2 ?» + 3

(2 m -p 3)! gß m + 3

(2 m -f 3)!

sin ^0x -j- —

cos [Ox + (m + 1) 7t\.

(n — 1)! nl

±ß

(-iy

(-

nl

= ±y.

Für x = 0 geben diese Werte bzw. 1 und (—1)"~'(n — 1)!. Ferner ist ln(l -f- x) => 0 für x = 0. Also kommt: (1) ln(l + x) = f - I- + \ - . . • + (- 1)”-² ^zn + Rn und nach der Lagrangeschen Restformel:

(2)

Liegt x zwischen JNull und ^7t und gibt man m nacheinander die Werte 0, 1, 2, 3, . . ., so wird der Wert von abwechselnd negativ und positiv. Hieraus folgt, daß sich, wenn man die Reihe (1) oder (2) mit dem ersten, mit dem zweiten Gliede usw. abbricht, eine Reihe von Werten ergibt, die abwechselnd größer und kleiner sind als die Werte cos# und sinrr. Für 0 < x < ist daher:

cos x < 1, cos x > 1 —

R2m + 2 oder R

INC !

xs

sin x < x, sin x > x —

ü !

C0S#<1—

. xa . x⁵

smx<3C-r + m’--'

120. Reihe für den natürlichen Logarithmus. Die

erste Ableitung des natürlichen Logarithmus von 1 -f- x ist: dln (1 -|- x)

dx

+*)-*

und allgemein die nte:

d"ln(l -(- x)

dxn

= (-    - 1)!(1 +x)-\

(— l)n~¹xn

n( 1 -j- dx)n

oder nach der Cauchy sehen Restformel:

(3)

(— l)»“¹ (1 — d)n~¹xn

(1 + Qx)n

Wenn also der Rest Rn für unbegrenzt wachsende Werte von n den Grenzwert Null hätte, erhielte man nach der Maclaurinschen Formel:

(4)

ln(l+*)-T-T + T

Da diese Reihe nach Nr. 106 nur für — 1 < x <[ -f- 1 konvergiert, kann der Rest sicher nicht für andere Werte von x den GrenzAvert Null haben. Wir können uns also bei der Untersuchung des Grenzwertes auf — 1 < x ^ -}- 1 beschränken.

[119, 180

a) Ist x > 0, aber <1 1, so wenden wird die Form (2) des Restes an, nämlich

/ x \n

u + e*/ ’

K = (-1)’“¹

Der Faktor 1 : n hat den Grenzwert Null. Der letzte Faktor hat auch den Grenzwert Null, sobald x < 1 ist, und wird im Falle x — 1 selbst für 0 = 0 nie größer als Eins. Also wird lim Bn = 0 für 0 < x <i 1.

b) Wenn #<0, aber > — 1 ist, benutzen wir die Form (3) des Restes. Wenn wir darin x == — z setzen, so daß 0 < z < 1 ist, kommt:

/z — 6z\n~¹

u-W

—    0

—    6z

Der erste Faktor ist für jeden echten Bruch 0 endlich, der zweite wird kleiner als zn~¹ und hat daher den Grenzwert Null. Mithin ist lim Bn = 0 für — 1 < x < 0.

Die Gleichung

1 / -i ■    \    * Xi xs

ln (1 + x) = y — y d- y ~ *

gilt also für jedes x in dem Intervalle — 1 < x -j- 1.

Ist x positiv, so hat der Rest das Zeichen von (— l)n_1, und sein absoluter Wert ist kleiner als xn : n. Dieser Rest kann also auch in der Form

(o < e < i)

ir¹ —

dargestellt werden.

Ist x negativ und gleich — z, so wird — Bn für z < 1 gleich einem Produkte von zwei positiven Faktoren, die kleiner sind als z : (1 — z) bzw. zn~x. Demnach kann man dann setzen:

Qzn

(0 < 0 < 1).

Qxn

(i+*)

i — 0

Für n — 2 ist also, wenn x, 0 und ff Größen zwischen 0 und 1 bezeichnen:

(5) ln(l + x) = x — ln(l — x) =

6' x* l -\- x

121. Berechnung' der natürlichen Logarithmen.

Wenn x zwischen 0 und 1 enthalten ist, gelten die beiden konvergenten Reihen:

iao, i*ii

X² XS    X⁴

“ 2 + T ~ T + * ' ■

a:²    a;*    a:⁴

T — T ~ T ~ '

ln(l + #) = ln(l _*) -_*

Zieht man die zweite gliedweise von der ersten ab, was nach Satz 6 von Nr. 103 geschehen darf, so folgt:

lni±=-8( +t + T + -)-

(1)

(2)

(3)

Setzt man in (1) für # den Wert ii: N} so wird ln(l -f- x) = ln (Nh) — lnW. Also ist, wenn h und N positiv sind und Ji < N gewählt wird:

(4)

Setzt man ferner in der Gleichung (3)

h    -i 1 -f- x

x~2N+h’ also

so folgt für jedes positive h und N:

(5) ln(ff+A)-lnif=2[^j-^ +

h³

h³

H-

3(2JV-f- h)³ 1 5(2N + h)6 Die Gleichungen (4) und (5) wendet man an, um den natürlichen Logarithmus einer Zahl N + h zu bestimmen, wenn der Logarithmus der Zahl N schon bekannt ist. Die absoluten Beträge der Glieder dieser Reihen nehmen schnell ab, sobald N einigermaßen größer als li ist. Im besonderen kommt, für h = 1:

(6)    ln(N + 1) - InV- A - ^    ^ - • • • (ff > 1),

(7)    ln(ff+l)—lnff=2[SJjr , +    + ₆/aJr i ₁₎₅

H-

122. Der Modul der gewöhnlichen Logarithmen.

Es ist, wenn log x den gewöhnlichen Logarithmus mit der Basis 10 bezeichnet:

elnx =» 10los* == x.

Bildet man von beiden Seiten die natürlichen Logarithmen, so folgt:

Ina: = log# . ln 10. Wird 1 : ln 10 = M gesetzt, so ist also:

log# = M. ln#.

Serret-Scheffers, Diff.-u. Integr.-Kechn. I. 6.u. 7. Aufl.

¹⁴ [121, 122

Demnach ergeben sich die gewöhnlichen Logarithmen, indem man die natürlichen Logarithmen mit der Konstante M multipliziert, die der Modul der gewöhnlichen Logarithmen genannt wird.

Die Formeln der vorigen Nummer gestatten nun die Berechnung von zunächst ergibt die Formel (7) für N= 1:

(2)

+ -)•

Die Formel (5) gibt sodann, wenn N = 8 und h = 2 gesetzt wird:

_ = lnlO = 3ln2 + 2 (y +    + 5:96

und man hat folglich:

(4)

(3)

3.3^“r5^ ⁺ '")⁺²(i

5 • 9⁵

Die Glieder dieser Reihen nehmen rasch genug ab; aber es lassen sich auch viele andere bilden, in denen die Glieder noch rascher abnehmen. Wenn man z. B. in der Gleichung (5) von Nr. 121 für N den Wert 4096 = 2¹² und h = 4, also N -f- h — 4100, und in (7) für N den Wert 40 = 2² • 10 setzt, folgt:

5•2049⁶

2049

ln41 -f 21nl0 = 12 ln2 + 2 I

5^81*

ln41 = ln 10 -j- 2 ln2 + 2    -f- gTgjs -b

Eliminiert man ln41 und ln2 aus diesen Gleichungen und der Gleichung (3), so kommt:

(5) i = 20(i + ^₉. , ₅

3 • 81³

---P ..

5■81⁵ ‘

')

3•2049s

Berechnet man jedes Glied der Gleichung (4) oder (5) auf 28 Dezimalstellen, uni für die Werte von 1 : M und von M 25 Dezimalstellen zu erhalten, so findet man:

~ = 2,30258 50929 94045 68401 79914, M = 0,43429 44819 03251 82765 11289.

123. Berechnung der gewöhnlichen Logarithmen.

Die Formeln (4) und (5) in Nr. 121 dienen auch zur Berechnung der gewöhnlichen Logarithmen. Denn wenn man sie mit dem Modul M multipliziert, ergibt sich für N > 0, h > 0:

log (N + h) - log N= 1k[A -    für N > h,

3(2 N + h)

log (N + h) - log N = 2 U    +

und, wenn man h = 1 setzt:

■ ■ •] für N> 1

log (W + 1) - log N- M [i -    + j-L

+ -]•

3 (2 N -| • l)³

log(Jf+l)-logJV-2ilf[i^

Da der Modul ilf bekannt ist, kann man mittels dieser Gleichungen die Berechnung ausführen.

124. Das Einschalten in den Logarithmentafeln.

Bei der Benutzung der Logarithmentafeln nimmt man an, daß kleine Änderungen des Numerus proportional zu den entsprechenden Änderungen des Logarithmus seien. Wir wollen zeigen, daß diese Annahme für diejenige Annäherung, die man zu erreichen wünscht, zulässig ist. Zu diesem Zwecke benutzen wir die erste Gleichung (5) von Nr. 120:

Qx*

2 ’

worin x und 0 positive echte Brüche sind. Ersetzen wir x durch h : N und multiplizieren wir mit dem Modul M, so ergibt sich als Differenz der gewöhnlichen Logarithmen von N -\-h und N:

ln (1 + %) = x —

(1)

- log (N + k) - logN - MG - .!'*?) •

Hierbei sei N eine ganze positive Zahl und h ein positiver echter Bruch, so daß N -f h zwischen N und N -f- 1 liegt. Die Einschaltung oder Interpolation in den Logarithmentafeln besteht nun darin, daß man die für h = 1 hervorgehende Differenz

D = log(W + 1) - logJV- M(^ -

(2)

wo 0' auch ein positiver echter Bruch ist, berechnet, sie im Verhältnisse h : 1 teilt und alsdann hl) zu logW addiert,

¹⁴* [183, 184

nm augenähert log (N li) zu finden, während in Wahrheit A zu log N zu addieren wäre. Also ist e = A — JiD der Fehler beim Interpolieren der Logarithmen. Es ergibt sich (1) und (2):

aus

M(d' — 6h)h

2 N*

Wenn man dagegen den Numerus N + h aus dem gegebenen Logarithmus log(N + h) bestimmen will, berechnet man A und I) und benutzt statt des zu N zu addierenden h den Bruch A : D, so daß rj = h — A : D der Fehler beim Interpolieren des Numerus ist. Es ergibt sich aus (1) und (2):

(dh — d')h 2 N—6'

Der relative Fehler beim Interpolieren des Numerus ist das Verhältnis rj : N. Da 9, 0' und h positive echte Brüche sind und M < \ ist, wird:

\N < N(2N—1)'

Man sieht hieraus, daß, wenn N größer ist als 10000, wie es bei siebenstelligen Tafeln der Fall ist, der absolute Betrag von 8 kleiner wird als der vierte Teil der achten Dezimaleinheit. Der relative Fehler rj : N übersteigt absolut genommen kaum die Hälfte der achten Dezimaleinheit. In fünfstelligen Tafeln ist N größer als 1000, daher der absolute Betrag von e kleiner als der vierte Teil der sechsten Dezimaleinheit und der absolute Betrag des relativen Fehlers rj : N kaum größer als die Hälfte der sechsten Dezimaleinheit.

125. Die Binomialreihe. Wollen wir die mte Potenz eines Binoms a b für irgendeinen Wert des Exponenten m betrachten, so müssen wir a -f- b nach Nr. 5 positiv annehmen und unter (a -f- b)m den positiven Wert der Potenz verstehen. Setzen wir b : a = x, so wird die Potenz gleich am(l + x)m. Wir stellen uns daher die Aufgabe, den positiven Wert von (1 + x)m für positive Werte von 1 -j- x, d. h. für x > — 1, als eine Botenzreihe von x darzustellen.

Da nach Nr. 61

dn(l + x)m

dxn

= m{m — 1) • • • (m — n -f- 1) (1 -f- x)m~n

124, 125]

ist und für x = 0 gleich m(m — 1) ••• (m— w-f 1) wird, gibt die Maclaurinsche Formel (1) in Nr. 116:

(1)

(1 + X)m = 1 + y X +

m (in — 1)

m(m — 1) • • • (m — n -f- 2)

1 • 2 ... (w — 1)

xn

-l

+ Rn)

wo nach (2) und (3) in Nr. 116 entweder in (m — 1) • • • (in — n -f- 1)

oder

»!

*“(1 + 6x)m-n

in (m — 1) • • • (m — n + 1)

(11— 1)!

xn(i — Oy-'il + 6x)m~n

ist, indem 6 in (2) und (3) verschiedene positive echte Brüche vorstellt. Wäre nachgewiesen worden, daß für jeden Wert von 0 zwischen Null und Eins der Grenzwert von jßn für lim n — oo gleich Null wäre, so würden wir zu der sogenannten Binomialreilie gelangen:

* + =^«*4

die übrigens mit ihrem (m + l)ten Gliede endigt, sobald m eine positive ganze Zalü ist, indem alsdann alle folgenden Glieder verschwinden. Wir nehmen aber im folgenden für m eine beliebige Zahl an.

In der Reihe (4) ist das Verhältnis des (n -f- l)ten Gliedes Gliede gleich

(4)    (1 + *)»=1 +

m(m — 1 )(m — 2)

zum n

ten

1!

3!

xs -\----

und hat für lim n — oo den Grenzwert — x. Nach Satz 13 von Nr. 105 divergiert daher die Reihe (4) für \x \ > 1. Bei der Untersuchung des Grenzwertes des Restes Rn können wir uns also von vornherein auf das Intervall — 1 < x < -f- 1 beschränken. Was im Falle x = — 1 oder x = + 1 eintritt, wollen wir erst in Nr. 126 untersuchen. Der Fall x = 0 ist trivial Je nachdem x positiv oder negativ ist, empfiehlt es sich, die Restformel (2) oder (3) zu benutzen.

a) Ist 0 < x < -f- 1, aber x =f= -f- 1, so wird nach (2):

(1 + 6x)n~m

2^ mx (in — l)x (m — 2) x (m — n -f 1) x

n 1

Der letzte Faktor hat, wenn n > m gewählt wird, im Neuner eine positive Potenz der zwischen 1 und 2 gelegenen Zahl 1 -f- Ox, so daß der Grenzwert dieses Faktors für limw = oo gleich Null wird. Das Produkt der n ersten Faktoren hat, behaupten wir, den Grenzwert Null. Sobald nämlich n um eine Einheit wächst, tritt ein neuer Faktor

oder

(m — n) x

n 4-1

xll-n

\ n

+ ~r

hinzu, dessen Grenzwert für lim n= oo gleich —x wird. Es leuchtet also ein, daß, wenn n wächst, die Zahl derjenigen Faktoren in Rn, die absolut genommen größer als Eins sind, endlich ist, während die Zahl derjenigen Faktoren, die absolut genommen kleiner als Eins sind, ohne Ende mit n wächst. Daher gibt es eine positive Zahl h < 1 derart, daß immer mehr und mehr Faktoren absolut genommen kleiner als h werden. Da nun hr für limr = oo den Grenzwert Null hat, folgt daraus, daß lim ltn = 0 für lim n = oo sein muß.

b) Ist — 1 < x < 0, aber x 4= — 1, so setzen wir x = — z und betrachten nach (3) den Rest:

(m — n -\-l) s n — 1

■mz(\ ~    '■

Das Produkt der Faktoren in der ersten Zeile hat, wie wir vorhin sahen, da ja jetzt 0<^<+l ist, den Grenzwert Null, der nächste Faktor mz ist endlich, ebenso der folgende. Der letzte Faktor ist eine Potenz, deren Basis absolut genommen zwischen 0 und 1 liegt, so daß diese Potenz für lim w = oo gleich Null ist. Folglich ist lim JRn = 0 für lim n — oo.

Wir haben also erkannt, daß die JUnomialformet (4) für | x \ > 1 falsch ist, richtig dagegen für — 1 < x < + 1, während es noch dahingestellt bleibt, was sich im Falle x = -f 1 und im Falle x == — 1 ergibt. In der nächsten Nummer untersuchen wir, ob die Reihe in diesen Fällen konvergiert oder divergiert.

126. Weitere Untersuchung der Binomialreihe.

Wenn x = + 1 ist, geht die Binomialreihe in

125, 126]

zum n

ton

(1)

1+Y +

m (m — 1)

m (m — 1) (m — 2)

1-2-3

über, dagegen, wenn x = — 1 ist, in:

m (m — 1)

(2)

m (m — 1) (w — 2)

1-2-3

In beiden Reiben ist das Yerbältnis des (w + l)ten Gliedes Gliede absolut genommen gleich m-f 1

demnach größer als Eins für m + 1 < 0. In diesem Falle kann daher der Grenzwert des nten Gliedes für lim n = oo gewiß nicht gleich Null sein, d. h. beide Reihen divergieren für m < — 1, nach Satz 4, Nr. 103.

Ferner ergeben sich augenscheinlich divergente Reihen für m = — 1. Im folgenden setzen wir daher m größer als — 1 voraus.

Zunächst liege m im Intervalle von — 1 bis 0, sei aber weder gleich — 1 noch gleich 0. Dann besteht die Reihe (1) aus abwechselnd positiven und negativen Gliedern, die Reihe (2) dagegen aus lauter positiven Gliedern. Dabei ist die Reihe (2) die der absoluten Beträge der Glieder der Reihe (1). Da jetzt kein Glied der Reihe (2) kleiner als das entsprechende Glied der Reihe ist, die ebenfalls nur positive Glieder hat und divergiert, weil die Reihe 1 + v + y + • • • nach Nr. 103 divergent ist, so folgt

aus Satz 10, Nr. 105: Die Reihe (ß) divergiert für — 1 < m < 0. Hiernach kann die Reihe (1), falls sie konvergiert, sicher nur bedingt konvergieren. Da ihre Glieder abwechselnde Vorzeichen haben, ihre absoluten Beträge aber abnehmen und nach Null streben, lehrt Satz 9, Nr. 104: Die Reihe (1) konvergiert bedingt für — 1 < m < 0.

Im Falle m = 0 reduzieren sich beide Reihen auf ihr erstes Glied.

Wir kommen endlich zu dem Falle m > 0. Bezeichnen wir den absoluten Betrag des nten Gliedes der Reihe (1) oder,

[186

was dasselbe ist, der Reihe (2) mit un, so haben wir zunächst, wie schon gesagt wurde:

(3)

Un+1

Mn

Wir lassen hier die Striche, die den absoluten Betrag der rechten Seite andeuten, deshalb fort, weil wir annehmen können, daß n schon größer als m -f- 1 gewählt worden sei. Wir betrachten andererseits die Reihe

die für m > 0 nach dem Beispiele in Nr. 105 konvergiert. Ist vn ihr wteB Glied, so haben wir:

i±i = (i+±p .

vn \ nJ

Diese Potenz kann nach (1) und (2) in Nr. 125 entwickelt werden, wenn in jener Formel x durch 1 : n, m durch — m — 1 und n etwa durch 2 ersetzt wird. Dann kommt:

%»+l

Vn

m -J- 1 (m -f-1) (m -f- 2)

-_--------

n

wobei 6 einen positiven echten Bruch bedeutet. Da der letzte Summand positiv ist, zeigt die Vergleichung mit (3), daß

un    Vn

Un+1

d. h.

Un+ 1

Un

wird.

Vn+ 1

Wenn nun für irgendeinen bestimmten Wert n etwa

un = Jevn ist, folgt hieraus wn + 1 < Jcvn Die Reihe ux -(- ua -f • • • mit lauter positiven Gliedern konvergiert mithin, weil die Reihe vx + v₂ + • • ■ konvergent ist (vgl. Satz 10, Nr. 105). Also folgt: Die Reihen (1) und (2) sind unbedingt konvergent für m > 0.

Zusammengefaßt: Die Reihe (1) konvergiert für mf>_ 0 unbedingt und für — 1 < m < 0 bedingt, die Reihe (2) konvergiert für mf> 0 unbedingt. In allen andern Fällen sind die Reihen divergent.

+ 1?

Un + 2<kVn

usw.

Da (1 -f- x)m für x — + 1 gleich 2m und für x = — 1 und m > 0 gleich Null ist, wird man vermuten, daß die erste Reihe, falls sie konvergiert, gleich 2m und die zweite gleich Null ist, was in der Tat von Abel bewiesen worden ist. Wir gehen hierauf jedoch nicht ein.

§ 4. Reihenentwicklungen nach positiven und negativen

Potenzen.

127. Allgemeine Regeln. Wird eine Funktion f(x) oder eine ihrer Ableitungen für x = ,r₀ unstetig, so kann man f(xü -f- li) nicht nach dem Taylorschen Satze in eine unendliche Reihe entwickeln, z. B. nicht ln (x₀ + li) für x₀ = 0. Dies ist der Grund, weshalb wir in Nr. 120 nicht Ing;, sondern ln(l -\-x) entwickelt haben.

Um aber auch in solchen Fällen ein Verfahren zur Berechnung der Funktion zu gewinnen, wollen wir annehmen, die Funktion f(x) habe, wenn x nach einem gewissen Werte xQ hinstrebt, den Grenzwert -f- oo oder — oo. Die einfachste derartige Funktion ist:

x — x₀

Nun kann es sein, daß man eine Potenz von x — x₀ mit positivem Exponenten m so ausfindig machen kann, daß das Produkt von fix) mit ihr für x = x₀ nicht mehr den Grenzwert Unendlich, sondern einen endlichen und von Null verschiedenen Grenzwert hat, daß also

¹

1 + Ti ⁺ ¥! ⁺ '" +

(i)

lim (x — x₀)mf(x) = A

x = x₀

daß f{x)

ist, wo A eine endliche Zahl 4= 0 bedeutet. Dann sagt man, an der Stelle x₀ in der mtcn Ordnung mit 1: (x — x₀) unendlich wird. Es kann, wenn überhaupt, nur eine solche Zahl geben, denn jede andere Potenz (x — x₀)n ist in der Form (x — x₀)m(x — x₀)n~m darstellbar, also:

lim (x — x₀)nf(x) = lim (x — x₀)n~7H . lim (x — x₀)mf(x),

x = x₀

X — X₀

X = X₀

so daß aus (1) folgt:

lim (x — x₀)nf(x) = A lim (x — x₀)n~m.

X —■ X q    X —< Xq

Für n < m ist dieser Grenzwert Unendlich, für n > m Null.

Wir geben bei dieser Gelegenheit zugleich eine zweite Definition: Wenn fix) für x = x₀ den Grenzwert Nidl hat, sagt man, daß f{x) an der Stelle x₀ in der mten Ordnung mit x — x₀ zu Null wird, wenn man eine positive Zahl m so ausfindig machen kann, daß

lim    m

(2)

x = x₀ {x    X₀)

nämlich gleich einem bestimmten endlichen Werte A 4=0 wird. Hier kann man entsprechend beweisen, daß, wenn es überhaupt eine derartige Zahl m gibt, nur eine vorhanden ist.

In den beiden Fällen (1) und (2) wird

(x — x₀)mf(x) bzw.

fix)

(x — x₀)m

eine Funktion fx(x) von x, die für x = x₀ einen endlichen und von Null verschiedenen Wert A annimmt. Wir können also beide Formeln in die eine zusammenfassen:

(3)

f{x) = 0 — X₀)nft(x),

wobei ft(x) für x = x₀ endlich und von Null verschieden ist und n sowohl positiv als auch negativ sein kann. Ist n > 0, so hat f{x) für x = x₀ den Grenzwert Null und wird dort gleich Null in der wten Ordnung; ist n < 0, so hat f(x) für x = x₀ den Grenzwert Unendlich und wird dort unendlich groß in der (— w)ten Ordnung.

Bedeutet A wie bisher den endlichen und von Null verschiedenen Wert, den fx(x) für x == x₀ erreicht, so ist f\ {x) — A eine Funktion, die für x = x₀ den Grenzwert Null hat. Wird sie dort gleich Null in der w/⁰¹¹ Ordnung, so ergibt sich weiterhin:

(4)

/iO) — A = (x — x₀)n'fz(x)

wo f<j(x) für x = x₀ einen endlichen und von Null verschiedenen Wert At hat, so daß f\{x) — A₁ für x = x₀ wieder den Grenzwert Null hat. Wird f₂(x) — Ax dort gleich Null in der w₂ten Ordnung, so kommt:

(5)

AO) - At = (x - x₀)"'fz(x),

wo f₃(x₀) endlich und von Null verschieden ist, usw. Nach

(3) und (4) wird:

f(ß) = A (x — x„Y + (j: —    ⁺ /'/*),

also nach (5):

(6) fix) =A(x — x₀)n + Ax (x — x₀)n+-f (x — x₀)n + ”i + n*f₃ (x).

Kann man in dieser Weise eine Anzahl einzelner Schritte machen, so erhält man allgemein:

187]

f{x) = A (oc — x₀)n + A₁ (x — x₀)n+n' + A₂(x — x₀)n+ni+n* + • • • ----[- Ak{x — Xo^ + ni + n,+ "•+«* ₊ JR*,

wo dann noch eine Funktion von x als Best Bk übrig bleibt. Dies ist eine Entwicklung nach steigenden Potenzen von x — x₀, da nlf n₂, n₃, ...nk sämtlich positiv sind; aber die wachsenden Exponenten

n, n -f nx, n -f nx -f- n₂,.. . n nk + n₂ + • • • -f nk

können sehr wohl negative Zahlen sein, weil n negativ sein kann. Sie brauchen auch keine ganzen Zahlen zu sein.

Hieraus ergibt sich eine endlose Entwicklung der Funktion f{x) nach steigenden Potenzen von x — x₀, wenn dasselbe Verfahren auch auf den Rest Itk anwendbar ist und lim Bk = 0 wird für lim k = oo.

128. Beispiel. Zur Erläuterung betrachten wir die

Funktion

f(x) = ]/sin x — sin x₀,

die für x = x₀ den Grenzwert Null hat und nicht nach dem Taylorsclien Satze entwickelt werden kann, weil fix) für x = x₀ unstetig ist. Die Quadratwurzel habe hier wie im folgenden das Pluszeichen. Da für jedes x die Taylorsche Entwicklung

.    .    x — xn . (x—av)²

sin# — sm£₀ = cos#₀ ■    — sin x₀ -—

— cos x₀

(x — xf)³

.    . (x — x₀)⁴

+ ⁸¹¹¹ %o - - 4,    -

gilt, so folgt:

lim

f{x)

x = x„]/ X

X₀

= ]/cos x₀ = A.

Also verschwindet f(x) für x = x₀ in der Ordnung n = k. Nun ist die Funktion f ix) — fix): ]/x — x₀ zu bilden und zu untersuchen, in welcher Ordnung die Differenz

— ]/cos x₀

fix) — A =

fix)

für x = x₀ gleich Null wird.

y.x—x₀

Sie läßt sich so schreiben:

['127, 128

fx(x)-A

= ~j/cos Xq — sin Xq x — cos x₀    4----— j/cos x₀

X

— sin x₀

i: _ cos x {x~x^'

2! COSiro 3!

~i /    .    & —,

1/ cos — sin x₀ 2,

-----h ]/cos £₀

Hieraus folgt

A₁ = lim

fi ix) — A

= -T

1 sin x0 |/cos x₀ ’

so daß die Zahl nx in (4), Nr. 127, gleich Eins ist. Nunmehr kommt:

x₀

Jetzt ist zu untersuchen, in welcher Ordnung die Differenz f₂(x) — Ax für x = x₀ gleich Null wird, usw. Die Entwicklung von f(x) beginnt folglich so:

]/sin x — sin x₀ = Ycos x₀ ]/x — x₀ — \ sin iro yx _ ^ -f i?₂ ?

wo der Rest ist:

pcos x₀

sin x0 4|/cos x₀

Schneller kommt man in diesem Beispiele zum Ziele, wenn man x — x₀ = z² setzt, denn dann wird die Funktion

fix) = 8 ]/cos x₀ — sin x₀ ~ — cos x₀J, + sin x₀ ~ 4---- nach ganzen positiven Potenzen von z nach dem Maclaurin-schen Satze entwickelbar, und zwar treten nur die ungeraden Potenzen von z auf, so daß sich eine Reihe ergibt von der Form:

22re-¹ + B

2 fi -f⁻1

fix) = axz + «₃ z'd + a₅z⁵ + • • • + a2 Mithin ist f(x) so darstellbar:

]/sin x — sin x₀ = yx — x₀ \ax + o₃ (x — x₀) 4~ a₅ (x — x₀)² 4—

• • + «2«-l (^“^o)”⁻¹] + R Auf die Berechnung der Koeffizienten gehen wir nicht näher ein.

128]

§ 5. Bestimmung von Grenzwerten.

129. G-renzwert eines Bruches an einer Stelle, wo Zähler und Nenner verschwinden. Wenn eine Funktion in der Form eines Bruches f(x):F(x) gegeben ist, kann es eintreten, daß Zähler und Nenner für einen gewissen Wert x₀ von x beide gleich Null werden.

Es handelt sich dann darum, zu ermitteln, welchen Grenzwert der Bruch f(x) : F(x) für lim x = x₀ hat. Wir wollen annehmen, daß sowohl fix) als auch F(x) in einer Umgehung der Stelle x₀ nebst ihren ersten Ableitungen f\x) und F'(x) stetig seien.

Wählen wir alsdann den absoluten Betrag von h so klein, daß xQ + h in der Umgebung von xQ liegt und F'{x) außer höchstens für x = x₀ nicht in der Umgebung verschwindet, so ergibt sich nach Satz 10 in Nr. 31:

f(x₀ + h) ₌ f'(x₀ + \)

F(x₀ -f- h)    F'{x₀-\-hi)‘

Dabei bedeutet hv eine zwischen 0 und h gelegene Zahl. Für lim h = 0 kommt also:

f\x)

mithin:

lim - '    — lim--

Satz 25: Wenn zwei Funktionen f(x) und Fix) für x = x0 beide gleich Null sind und sich nebst ihren ersten Ableitungen in einer Umgebung von x₀ stetig verhalten, ist:

/»

lim = lim -•

.Jim

Wir heben hierbei hervor, daß es noch dahingestellt bleibt, ob überhaupt ein Grenzwert von f'(x):F'(x) für lim x = x0 vorhanden ist. Gibt es einen, so ist er notwendig der gesuchte Grenzwert.

Übrigens kann man den Satz 25 auch auf einem andern Wege sehr einfach beweisen:

Da nämlich f{x₀) = 0 und F(x₀) = 0 ist, hat man zunächst:

m _ m - f(x₀)

F (jx)    F(x) — F(x₀)

Weil man aber reehterhand Zähler und Nenner mit x — x0 dividieren darf, ergibt sich hieraus:

f(x) — f\x o)

x — x₀

F{x) F{x) - F(x₀)

X — x₀

Nun wird der Grenzübergang lim x = xQ gemacht. Nach der Definition der Ableitung in Nr. 27 sind die Grenzwerte von Zähler und Nenner reehterhand die Ableitungen von f(x) und F(x) für x = x₀. Mit Rücksicht auf Satz 32 von Nr. 24 geht also beim Grenz üb er gange lim x = x₀ wieder die Formel des Satzes 25 hervor.

Die Ermittelung des Grenzwertes des Bruches für lim x = x0 wird durch den Satz 25 auf die des Grenzwertes des Bruches f(x) : F'(x) für lim x = x₀ zurückgeführt. Wenn nun f'(x) und F'(x) beide für x = x₀ gleich Null sind, können wir den Satz 25 statt auf f(x):F(x) auf f'{x):F'{x) an wenden, so daß wir dann finden:

f"¥)

f\x)

f{%^) und F"(x₀) gleich

vorausgesetzt, daß f'(x) und F'(x) in einer Umgebung von x0 nebst ihren Ableitungen f"(x) und F"(x) stetig sind. Diesen Schluß können wir wiederholen, wenn Null sind, usw. Hiernach leuchtet ein, daß der folgende Satz gilt:

Satz 26: Wenn zwei Funktionen f{x) und F(x) nebst ihren n ersten Ableitungen in einer Umgebung der Stelle x — x₀ stetig sind und nebst ihren n — 1 ersten Ableitungen für x == x₀ verschwinden, ist

lim t-~l — i;m    .

Die Sätze 25 und 26 gelten auch, wenn der Grenzwert für lim x₀ — + oo zu bestimmen ist Es genügt zu beweisen, daß Satz 25 richtig bleibt für lim x₀ = + oo.

Wir setzen zu diesem Zwecke x = 1: z, so daß

T-i IO

l*»]

wird. Für lim x₀ — oo wird dann z = 0, also:

(1)

/■(*)

J“ W)

= lim

Wenn nun die rechts auftretenden Funktionen, aufgefaßt als Funktionen von z, den Voraussetzungen des Satzes 25 genügen, ist nach diesem Satze:

(2)

lim

'(t)

= lim

~~hr (t)

= lim

”°F{v)    (t) ■

= 0 JP'

Wir haben aber:

(3)

''(f)

F’(i)

f\x) ⁼ F'(x)

Mithin folgt aus (1), (2) und (3):

f\x)

lim — = lim ,

x=aoF(x) X=00F (x)’

was zu beweisen war.

130. Grenzwert eines Bruches an einer Steile, wo Zähler und Nenner unendlich werden. Der Satz 25 der

f{x) und F(x)

vorigen Nummer gilt auch für den Fall für x = xQ beide unendlich werden. Wir werden nämlich jetzt

wo

den folgenden Satz beweisen:

Satz 27: Wenn zivei Funktionen f(x) und F(x) für lim x = x₀ den Grenzivert -f oo oder — oo haben, ferner nebst ihren Ableitungen für jeden Wert von x in einer Umgebung von x₀, abgesehen von x₀ selbst, bestimmte endliche Werte haben und ivenn außerdem in dieser Umgebung F'(x) nirgends gleich Nidl . ist, ivird:

lim

X — XQ

fix)

Fix) l™oF\x)'

Dies gilt auch für lim x₀ — + oo.

Wie bei Satz 25 machen wir darauf aufmerksam, daß wir nicht beweisen werden, daß der Grenzwert rechterhand existiert, sondern nur, daß der gesuchte Grenzwert eben dieser Grenzwert sein muß, falls er vorhanden ist.

Wir wollen den Satz zuerst für lim x₀ = -f oo beweisen. Unter der Umgebung von x₀ ist dann die Gesamtheit aller Werte x zu verstehen, die größer als eine gewisse Zahl n sind. Bedeuten xx und x zwei solche Werte und ist x)>x₁, so gibt es nach Satz 10 von Nr. 31 einen Wert x₂ zwischen xt und x derart, daß

fix) — f(F i)    f'(x₂)

F(x)-F{x₁) F\xt)

wird. Diese Gleichung kann auch so geschrieben werden:

(1)

i    i)

fix) m ₌ f(3)

F{x) ‘    Fix,) F’{x%)

(Xt < x₂<x).

F(x)

a) Es sei nun zunächst ein endlicher Grenzwert

(2)

fix)

lim

a:= +oo

vorhanden. Wenn man dann eine beliebig kleine positive Zahl (S vorschreibt, gibt es eine Zahl xt derart, daß nicht nur

f(3)

F\xx)

F'(x)

— A <6

wird, vielmehr diese Ungleichung auch für jedes größere x besteht. Da x₂ > xx ist, wird also:

f'Gi)

A -j- (3.

Die Gleichung (1) liefert demnach:

m. m

F{x) _ Fix,)

< A + 6.

Fix)

Setzen wir jetzt für x den Grenzwert + oo, während x, fest bleibt, so ergibt sich:

fGi)

A — 6 < lim

•lim

X = + 00

F{x,)

<C A + 6.

F{x)

Der zweite Grenzwert ist gleich Eins, also folgt:

A — 6 < lim

X= + 00

Fix)

<A+ 6.

§ 5. Bestimmung von Grenzwerten Da ö aber beliebig klein gewählt worden war, bedeutet dies:

lim

X= +00

/“(«)

F(x)

oder wegen Gleichung (2):

lim

X = +00

/■(*)

f GO

b) Ist dagegen

lim

x = +oo

/»

F'(x)

== + oo,

so kann man n so groß wählen, daß für x > n

f\x)

F'{x)

>N

wird, wo N eine beliebig große vorgeschriebene Zahl bedeutet. Alsdann liefert die Gleichung (1):

m ¹ m

F(x) ₁ _ F(xx)

>N

F(x)

und durch Übergang zur Grenze für lim x = + oo:

>N,

lim ,

*=+00^)

d. h.:

lim

X = +00

F(x)

== + oo = lim

a; = + oo

fix)

F’(x)

c) Ist schließlich

f\x)

F'(X)

lim

X= +00

— OO,

so verfahren wir wie unter b, nur ist > N durch < — N zu ersetzen.

Der Beweis des Satzes 27 für lim x₀ = — oo ist natürlich ganz entsprechend zu führen.

Um nun den Satz für den Fall zu beweisen, daß x₀ einen endlichen Wert hat, setzen wir x = x₀ -f 1: z. Für lim 2 = + oo ist dann lim:r = 2;₀, und daher gibt das Vorhergehende:

Serret-Scheffera, Diff.- u. Integr.-Rochn. I. 6. u. 7. Aufl.

Mithin gilt der Satz 27 auch in diesem Falle.

131. Beispiele.

tg#

und

1. Beispiel: In den beiden Brüchen sin#

verschwinden Zähler und Nenner für # = 0. Nach Satz 25

von Nr. 129 ist also, wie sich schon in in Nr. 26 ergab:

-1,

lim

x = 0

■j. tg #    ,.    1    ..

lim —— == lim —=— = 1.

*=ocos *

2. Beispiel: Zähler und Nenner des Bruches

lim

/■(«)

x=x₀FW

'(*+4)

)•?

= lim

= lim

= lim

r(a:‘- + T)

= lim

/»

sin#    i • cos#

--= lim ——

#    „ _ n l

x = 0

aj = 0    *

ex — e~x— 2# # — sin #

werden ebenso wie ihre ersten und zweiten Ableitungen für x = 0 sämtlich gleich Null. Die Ableitungen dritter Ordnung sind

e* -f e~x und cos x

und haben für x = 0 die Werte 2 und 1. Folglich hat der Bruch nach Satz 26 von Nr. 129 für lima; = 0 den Grenzwert 2.

3. Beispiel: Zähler und Nenner des Bruches

xx — # # — l — ln #

sind gleich Null für x=l, desgleichen ihre Ableitungen erster Ordnung:

1 -f ln x) — 1 und 1--— •

Die Ableitungen zweiter Ordnung

xx [(1 + ln x)² -f und ~

sind für x = 1 gleich 2 und 1.    1 olglich ist der Grenzwert

des Bruches für lim# = 1 gleich 2.

4. Beispiel: Wenn in dem Bruche ax : xn die Konstante a > 1 und n eine ganze positive Zahl ist, werden Zähler und Nenner unendlich für lim x = -f- oo. Nach Satz 27 von Nr. 130 ist also

ax

lim — = lim

X = + 00

ax Ina

x = +oo

xn

nxn 1

Auch in dem Bruche rechts werden Zähler und Nenner unendlich für lim#=-}-oo. Wendet man auf ihn wiederholt dieselbe Regel an, so erhält man, indem man bis zur nten Ableitung vorgeht:

ux

ax (ln a)n

= lim ,

.-= + 00 w!

lim

X = +00

Man sagt deshalb: Die Exponentialfunktion ax wird für a > 1 und lim x = + oo von höherer Ordnung unendlich als jede positive Potenz von x (vgl. Nr. 127).

5. Beispiel: Ist a > 1 und n eine positive ganze Zahl, so werden Zähler und Nenner des Bruches

= + oo.

xn

gleich Null für lim# = 0, sobald sieb x der Null abnehmend nähert. Setzen wir x = 1 : 0, so kommt:

«I

zn

i. a

lim —«

x = 0    ^

Da x abnehmend zu Null werden soll, also positive Werte hat, ist hier lim£=-f-oo zu nehmen. Nach dem vorigen Beispiele ergibt sich der Grenzwert Null. Wenn dagegen x wachsend zu Null wird, hat der Bruch den Grenzwert + oo, wenn n gerade, und — oo, wenn n ungerade ist.

6. Beispiel: Ist a eine positive Zahl, so werden Zähler und Nenner des Bruches ln x : xa unendlich für lim# = -f- oo. Es kommt:

= lim z

Z = OQ d

lim

X = +00

ln x

xa

= lim -—r

l=+ooK XU

= lim — = 0.

cexa

x = + oo

Man sagt deshalb: Der Logarithmus von x wird für lim x = + oo von niedrigerer Ordnung unendlich als jede positive Potenz von x. Ebenso ist:

ln x

lim T-«

iE = 0 X

= lim

x= 0 — ccx

= 0.

— lim * = o “

Man sagt daher: ln x wird für lim x = 0 von niedrigerer Ordnung unendlich als jede positive Potenz von 1: x. Natürlich muß hier angenommen werden, daß x abnehmend zu Null wird, da ln x nur für positives x definiert ist.

7. Beispiel: Eine Ordnung des Unendlichwerdens der Funktion xn\nx für lima:=-(-oo ist nicht vorhanden, wenn n eine positive Zahl bedeutet. Die Ordnung läßt sich durch keine Zahl ausdrücken und ist doch nicht gleich oder kleiner als n und nicht größer als irgendeine Zahl, die n übertrifft. In der Tat, dividiert man die Funktion mit xr, so ist

xn ln x

lim

X = +00

gleich Null für r > n, dagegen unendlich, wenn r gleich oder kleiner als n ist.

i

8. Beispiel: Die Funktion f(x) = e <x~r°)² verschwindet für x = x₀, denn der Exponent wächst für lim x — x₀ absolut genommen über jeden Betrag. Man erhält für die Ableitung

xr

e (x-xo)¹

(x—x₀)³

und dieser Wert ist für lim# = ;z₀ nach dem 5. Beispiele gleich Null. Aus der Differentiation der Gleichung

f'(x) (x — x₀)³ = 2 e

folgt weiter:

(x - x₀)²

rix) (x - xoy + 3 fix) (x - xoy = {x^_Xoy e

und hieraus, daß auch f"(x₀) = 0 wird; ebenso erkennt man, daß alle höheren Ableitungen für lim x = xQ verschwinden. Hiervon wurde schon gelegentlich in Nr. 115 Gebrauch gemacht.

132. Bestimmung des Grenzwertes eines Bruches durch Reihenentwicklung. Die Sätze von Nr. 129 und 130

führen die Untersuchung des Grenzwertes des Bruches f(x) : F(x) für den kritischen Wert# = :r₀ auf die Bestimmung des Wertes zurück, den der Bruch f'(x) : F\x) annimmt. Dabei kann es indessen eintreten, daß dieser zweite Bruch dieselben Schwierigkeiten wie der erste bietet. Man kann dann den Grenzwert finden, sobald die Funktionen f(xQ-\-}i) und F(x₀-\-h) in Reihen entwickelbar sind, die nach steigenden positiven oder negativen, ganzen oder gebrochenen Potenzen von h geordnet sind, ln diesem Falle genügt es nämlich, das erste Glied Alin der einen Reihe und ebenso das erste Glied Bhm der anderen zu bestimmen, denn alsdann hat man

f(x₀ + h) = hn(A + s), F(x₀ + h) = hm(B + rj),

wobei s und rj mit h verschwinden, also:

m A + S

B + n

f(x₀ + h)

F(xo + h)

= hn~

Ist n = m, so kommt

lim

X = XoFW

während der Grenzwert gleich Null oder Unendlich ist, je nachdem n > m oder n < m ist.

133. Beispiele.

1. Beispiel: In dem Bruche

Yx² — x₀

f(x) ₌ Vx—Vx₀ +yx — x₀

Fix)

werden Zähler und Nenner gleich Null, wenn x abnehmend zu x₀ wird und die Wurzeln mit dem Pluszeichen berechnet werden; man erkennt, daß alle Ableitungen für lim x = x0 unendlich werden. Setzt man x = x₀-{-h, so wird ~]/x — x₀=Yh mit h gleich Null in der Ordnung dagegen ]/x—Yx₀ — = ]/ä^(|/l -\-h:x₀ — l) mit h gleich Null in der ersten Ordnung, wie man durch Anwendung der binomischen Reihe von Nr. 125 erkennt. Also ist f(x₀ -f h) =]/%( 1 -f- e), wo s mit h gleich Null wird. Der Nenner F(x) wird gleich ]/A ]/2a:₀ -f- h, so

daß er die Form ]/h {]/2x₀ -f hat, wo rj mit h gleich Null wird. Folglich ist:

, d. h. lim v =    _

’    x — ,r₀ ]i(X) V2X₀

f(xo +    __ i ~F£

(x<o "F    |/2 x₀ -|- v

2. Beispiel: Zähler und Nenner des Bruches

F{x)

— tsx — 3 °

— sing; 3

sind gleich Null für x = 0. Multipliziert man Zähler und Nenner mit 3 cos x, so kommt:

flx)

3 x cos x — sin x — sin 2 x

F(x)

3x⁶ cos x

Entwickelt man cos x, sing: und sin 2g: nach Nr. 119 in Potenzreihen, so erhält man

x² . g:⁴    \

Ti Ti ’' 7

F(x) = 3g:⁵ (l

oder, wenn s und r] Größen sind, die mit x zu Null werden:

f{x) = xi (- ^ + *),    F(?) — a:⁵(3 -f ri).

Hieraus schließt man:

flx)

so-

134. Grenzwert eines Produktes an einer Stelle, wo der eine Faktor gleich Null, der andere unendlich wird. Unsere Untersuchung umfaßt auch den Fall einer Funktion, die ein Produkt aus zwei Funktionen f(cc) und F(cc) ist, von denen die eine für lim x = xQ verschwindet, die andere unendlich wird. Denn setzt man

f(x) F(x) =

f\x)

[F(x)]~

oder f(cc) F(x) =

Fix)

[/■(«)]"

so liegt ein Quotient vor, dessen Glieder für lim x = x₀ entweder verschwinden oder unendlich werden.

133, 134]

(l +

für lim m = oo berechnen. Man erhält

ET

Auf diesen Fall kann man auch leicht die Untersuchung einer Funktion von der Form

y = uv

zurückführen, wenn für lim x — x₀ entweder u = 0 und v — 0

oder

u — oo und v = 0

oder

u — 1 und v = oo

wird. Denn wegen

\ny — v\xni

ist dann lny ein Produkt von zwei Faktoren, von denen der eine für lim x = xQ verschwindet, der andere unendlich wird.

135. Beispiel. Zur Bestimmung des Grenzwertes von xx für lim x = 0 berechnet man

\nxx =

ln x

Danach kommt:

lim ln xx = lim x ^

Folglich hat die Funktion xx für lim x = 0 den Grenzwert Eins.

Ist x eine bestimmte Größe und m veränderlich, so kann man nach Nr. 134 den Grenzwert des Ausdruckes

= — lim x — 0.

x—0

a:=0

X = 00

136. Bestimmung von lim ^1 +

(1 +w

Zähler und Nenner des letzten Bruches werden gleich Null für limw=oo. Folglich kommt, indem nach m zu differenzieren ist:

[134, 135, 136

lim (l+

ten

Die transzendente Funktion ex ist also die Grenze eines Ausdruckes, der eine algebraische, ja sogar eine ganze Funktion Grades ist, wenn man m unbegrenzt wachsen läßt. Man kann hiernach schreiben:

M¹ + £)’ + *>

wobei s eine Größe bezeichnet, die verschwindet, wenn m unendlich wird. Hieraus folgt:

Es ist aber nach Nr. 125: sobald \m\ hinreichend groß ist, also:

m j/e* — £ = m Yef -j- rj,

wobei rj für lim m = oo verschwindet; mithin kommt:

(ke*— 1) + rj.

Schreibt man x an Stelle von e* und folglich Ina: an Stelle von x, so ergibt sich:

ln x = m (j/x — 1) -j- rj

oder:

ln x = lim m (Yx — 1).

m = oo

lim ln (l +    = 1

m = oo    '    771 /    m

lim

i •    #

= lim

m=oo

also

Mithin ist auch die transzendente Funktion Ina; die Grenze einer algebraischen Funktion von x.

136]

§ 6. Der Taylorsche Satz für Funktionen von mehreren Veränderlichen.

137. Der verallgemeinerte Taylorsche Satz. Ist

u = F(x, y, z, . . .) eine Funktion von mehreren Veränderlichen, so ensteht die Aufgabe, die Funktion

u -p /I u — F-(- h, y -j- k, z -f- l, . . .)

in eine Reihe zu entwickeln, die nach ganzen positiven Potenzen der Größen h, k, l, . . . fortschreitet. Die Größe u -j- du ist der Wert, den die Funktion von t:

TJ =    (x -\-ht, y kt, z -F \t,. .

für t = 1 annimmt. Um die Aufgabe zu lösen, wird es also ausreichen, U nach der Maclaurinschen Formel in eine Reihe, geordnet nach Potenzen von t, zu entwickeln und schließlich t = 1 zu setzen. Substituiert man

x + ht=%, y + kt = rj, z + lt = £,..

so hat man:

und nach Nr. 75:

Ü = F($, rj, £,...)

dl

du

W dr[ +

Da rj, £, . . . lineare Funktionen der unabhängigen Veränderlichen t sind, kann man das Differential nter Ordnung dn U nach dem in Nr. 76 angegebenen Verfahren aus der wten Potenz

gewinnen. Dabei sei vorausgesetzt, daß alle partiellen Ableitungen von U, soweit sie gebraucht werden, stetige Funktionen von |, r;, £,.. . seien, so daß sie auch stetige Funktionen von t werden. Nun sind d%, drj, d£, . . . gleich h dt, k dt, l dt, Außerdem ist

du    du di-    du

dx    d\ dx~ dl USW;’

so daß dnU:dtn aus der Potenz

(hUm + hU, + lU, +

gewonnen werden kann. Insbesondere für t = 0 wird U = u, so daß der Wert von dn U: dtn für t = 0 aus der Potenz

(]iUX d- lcHtJ + lUZ "f • * •)”

gewonnen wird. Nach Satz 24 von Nr. 116 ergibt sich also:

U= u 4- (hux 4- kuy -f-lut-\----) -1 4- [hux 4- kuy 4- laz-1----+

----b {hux 4" kuy 4-    4* • • •}

tn~¹

(n—1)1

+ Rn>

wo wir durch geschweifte Klammern andeuten wollen, daß die Potenzen symbolisch aufzufassen sind, d. h. daß nach ihrer Ausrechnung jedes Produkt

u i/ uY . . . durch

x y z

d<* + P+Y+---u

d xa d yP 8 zy ...

ersetzt werden soll.

Der liest Rn ist in der Lagrangesehen Form gleich dem Produkte von tn : n\ mit dem Werte, den dnU:dtn annimmt, wenn darin t durch dt ersetzt wird, wo 6 einen positiven echten Bruch bezeichnet. Also wird:

lÄW* 4- huy 1- luz 4----}nx + het, y + ket, z + iot,...’

wo die Indizes x-\-h6t usw. anzeigen, daß x durch x-\-h6t, y durch y 4- kOt usw. ersetzt werden soll.

Schließlich ergibt sich für t = 1 als Verallgemeinerung des Satzes 19 von Nr. 112, wenn man bedenkt, welche Bedingungen für das Vorhandensein der höheren Ableitungen nach Nr. 68 bestehen, der

Satz 28 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz): Ist eine Funktion u von x,y, z . . . mit ihren 'partiellen Ableitungen bis zu denen von der ntcn Ordnung einschließlich für alle Werte der Veränderlichen in den Intervallen von x bis x-\-h, von y bis y 4- k, von z bis z -\-l usw. stetig, so gilt die Entivicklung: u(x 4- h, y 4- k, z 4- l,. ■ .) = u(x, y, z,. . .)

...4-

4- Yi Qlux 4* ^uy 4- Iw, 4- • • •) 4- ₂ , {hux 4- kuy 4- luz 4- • • •}² -f-(W_Zi)j {hux 4- kuy 4- luz 4- • • •}n~¹ 4- Rn,

wobei der Best Bn in der Form darstellbar ist:

Rn = VlUx + kUy + M----)l + oh, y + Ok, z + Ol, ■ ■ '

Dabei bedeuten die Indizes x -f Oh, y 9k, z + dl,. . . , daß in der Bestformel x, y, z usw. durch diese Werte ersetzt werden sollen. 6 stellt einen gewissen positiven echten Bruch vor. Die Potenzen der geschweiften Klammern sind nur symbolisch zu verstehen, d. h. es soll allgemein

{hux + kuy + lu, H----}m

derjenige Ausdruck sein, der aus der ausgerechneten m hervorgeht, wenn darin allgemein das Produkt

ua u^ uY . . .

x y z

len

Potenz

durch

^xa yß zy • • •

ersetzt wird.

Man kann sofort hinzufügen:

Satz 29 (Verallgemeinerter Taylorscher Satz): Sind die Voraussetzungen des vorigen Satzes für alle Ableitungen von u überhaupt erfüllt und ist für alle positiven echten Brüche 0

lim Bn = 0

n = go

so ergibt sich für u(x + h, y + k, z Al,. . .) eine konvergente und nach ganzen positiven Potenzen von h, k, l,. . . fortschreitende unendliche Beihe

u {x -f h,y + k,z +1,...) = u (x, y, z,...) + ^ (hux+ikuy +1uz +• • • •) +

+ 21 ( }lUx + ]cUy + luz + '

Wegen Au = u(x + h, y + k, z + Z, . . . ) — u (x, y, z,. . .) läßt sich diese Formel auch so schreiben:

. du dtu dsu

= — + “2T + ei -i t

denn die Potenzen in der Reihe sind die vollständigen Differentiale von u, sobald h, k, l, . . . die Differentiale von x, y, z, . . . bedeuten. Diese Formel ist eine Verallgemeinerung der letzten Formel in Nr. 114.

Satz 28 gibt z. B. für eine Funktion F{x, y) von zwei Veränderlichen die Entwicklung:

dF

F(x + h, y + k) - Fix, y) + ~ (li

^K£ + »“l£ + *E) +

da;

a»-i f

(n — 1)! (*

wo Rn der Wert ist, der aus

n i r ax« ⁺ i * Kdx*-' dy + ~rrr~h    /v s^Ty*⁺    + k w)

hervorgeht, wenn x bzw. y durch x -j-Oh bzw. y-\-6h ersetzt wird.

138. Der verallgemeinerte Maclaurinsche Satz.

Um die Maclaurinsche Formel für eine Funktion von mehreren Veränderlichen zu bilden, setzen wir in den Gleichungen der Sätze 28 und 29 für x, y, z, . . . den Wert Null und schreiben an Stelle von h, k, l, . . . die Größen x, y, z, . . .. Drücken wir dann durch den Index 0 aus, daß die Größen x, y, z . . . , soweit sie in den Ableitungen von u auftreten, den Wert Null erhalten sollen, und durch die Indizes 6x, 6y, 6 z, . . ., daß sie diese Werte annehmen sollen, so erhalten wir symbolisch:

M= «0 + n[* (fi)„ ⁺ ^(^)o⁺*(|j)o + " ']

,    1    ( du    du    du    >2

+ äiräi + s,äi ⁺ *e7 ⁺ "'lo⁺

1    (du    du    du    p-i . u

^W\{xn + ydy + !!d: ⁺ "'io ⁺-ß«

-r,    1    (du    du    du    \ n

di + y»i + *ä7 ⁺ '

dx^Jy

x dn~l F

dyn

^ -f -R

und

Es erübrigt wohl, den verallgemeinerten Maclaurinschcn Satz besonders zu formulieren.

139. Der Eulersche Satz über homogene Funktionen. Dieser Satz wurde schon in Nr. 91 bewiesen; da er von großer Bedeutung ist, wird es nicht überflüssig sein, hier noch einen anderen Beweis zu geben.

Es sei f eine homogene Funktion mten Grades von den n Veränderlichen x1} x₂, . . . xn. Multipliziert man alle Veränder-137, 138, 139]

§. 6. Der Taylorsche Satz f. Funktionen v. mehreren Veränderlichen 237

liehen mit dem Faktor 1 -f- a, so erhält die ursprüngliche Funktion den Faktor (1 -f a)m; man hat also:

f(xX    X₂ -[■    "f ^Xn) ⁼ (1 "F fip-i> X2) • • • Xn)'

Entwickelt man beide Seiten dieser Gleichung in eine nach Potenzen von cc geordnete Reihe, so ergibt die linke Seite:

f(xx, X„... Xn) + Ci (x,    +%!£ + ••• + Xn fl)

i H----+ Xn

+ h{*

d'f

ay

dxf

und die rechte Seite nach Nr. 125:

dx.

d*f

dxt dxj

m (m — 1)

f(xi, x₂,... xn) (l + ma +

Diese Reihe, die unendlich viele Glieder hat, wenn m keine ganze positive Zahl bedeutet, konvergiert nach Nr. 125, Avenn cc j < 1 ist. Die beiden nach Potenzen von u fortschreitenden Reihen müssen identisch sein; vergleicht man also die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von cc, so kommt:

X1 fl + X2 fl + • • • + Xn fln =    • • • Xn),

ßxf "P • • * “P Xn )xf    -p * * * vn(in \)f{xx, x₂, • • • Xn),

Die erste dieser Gleichungen drückt die wesentliche Eigenschaft homogener Funktionen aus, die wir von neuem ableiten wollten. Sie zieht alle folgenden Gleichungen nach sich, denn da die linke Seite der ersten Gleichung homogen von mter Ordnung ist, geht aus dieser Gleichung eine richtige neue Gleichung hervor, wenn in ihr f durch eben jene linke Seite

df . df .    . df

x>d^ + x*Tx~ ⁺ '" + x“te,

ersetzt Avird. So ergibt sich die zweite Gleichung, aus ihr durcli dasselbe Verfahren die dritte usw. Allgemein bat man symbolisch:

{xxfXi +x₂fXi+ • • • + xnfxy = m (m - 1) • •• (m-k + 1 )f

und insbesondere, wenn m eine ganze positive Zahl und h > m ist:

Die Potenzen sollen hierbei so verstanden werden, daß nach der vollzogenen Ausrechnung jedes Produkt

dxladxji...

fxfi * • • durch

zu ersetzen ist.

Sechstes Kapitel.

Theorie der Maxima und Minima.

§ 1. Funktionen von einer Veränderlichen.

140. Definition der Extremwerte. An die Spitze stellen wir die

Definition: Eine Funktion f(x) hat für x — x₀ ein Maximum, wenn es eine von Null verschiedene positive Zahl a derart gibt, daß die Funktion in dem Intervalle von x₀ — g bis x₀ + 6 definiert ist und überdies für jeden von Null verschiedenen Wert von h zwischen — 6 und + 6

f(x₀ + h) < f(x₀)

wird. Wenn dagegen unter denselben Voraussetzungen

f(*o + h) > f(,xo)

wird, hat f(x) für x — x₀ ein Minimum. Im ersten Falle heißt der Wert f(x₀) ein Maximal-, im zweiten ein Minimalwert der Funktion.

Da wir bisher, wenn eine Funktion mit wachsendem x zu- oder abnimmt, unterschiedlos gesagt haben, daß sie wächst — nämlich im Falle des Abnehmens um negative Beträge —, wollen wir hier ausdrücklich bemerken, daß wir im folgenden nur dann von einem Wachsen der Funktion sprechen wollen, wenn sie wirklich größere Werte annimmt. Die unabhängige Veränderliche denken wir uns immer wachsend, d. h. sich in der Richtung von — oo nach -f- oo ändernd.

Setzen wir insbesondere voraus, daß f(x) in dem Intervalle von xq—g bis ^₀+ö überall eine stetige Ableitung fix) habe, so ist nach dem Mittelwertsatze 3 von Nr. 28:

f(x₀ + h) - f(x₀) = lif{xo + Oh),

wobei 0 einen positiven echten Bruch bedeutet. Im Falle des Maximums muß daher hf\x₀ + Oh) überall im Intervalle für positives und negatives h negativ sein, d. h. für jeden positiven Wert von h, der kleiner als ö ist, muß

f'(x₀ — Oh) > 0, f'(x₀ + Oh) < 0 sein. Im Falle des Minimums ergibt sich dagegen umgekehrt: f'(x₀ — Oh) < 0, f(xo + Oh) > 0.

Da diese Ungleichungen gelten sollen, wie klein auch die positive Zahl h gewählt sein mag, und da die Ableitung stetig ist, folgt für lim7i = 0 in beiden Fällen:

fix o) = 0.

Dies also ist eine notwendige Bedingung des Maximums oder Minimums. Sie reicht jedoch nicht hin, wie das zweite der folgenden Beispiele zeigt.

Die Maxima und Minima einer Funktion heißen zusammen die Extremwerte der Funktion.

141. Beispiele.

1.    Beispiel: Die Funktion f(x) = x(a— x) hat eine überall stetige Ableitung fix) = a — 2x, die gleich Null wird für x = ja. Vorher ist f'(x) positiv, nachher negativ, d. h. nach Satz 9, Nr. 30, wächst fix), wenn x bis ja zunimmt, und nimmt ab, wenn x weiter über ja hinaus wächst. Demnach hat fix) für x = ja ein Maximum und sonst keinen Extremwert (für endliche Werte von x). Der Maximalwert ist ja².

2.    Beispiel: Auch bei der Funktion f\x) = (a — x)³ ist die Ableitung f\x) — — 3 (a — x)² überall stetig und insbesondere gleich Null für x = a. Vorher ist f\x) negativ und auch nachher, d. h. f(x) nimmt ab, wenn x bis a wächst, und nimmt immer weiter ab, wenn x über a hinaus wächst. Die Funktion hat also weder ein Maximum noch ein Minimum (für endliche Werte von x).

3.    Beispiel: Die Funktion fix) = }/(x — a)² hat die Ableitung f\x) = 2 : Sp'x — a, die für x < a stetig und negativ, für x > a stetig und positiv ist, so daß fix) bis x = a abnimmt und von da an wächst, also für x = a ein Minimum,

nämlich Null, hat. An dieser Stelle x = a wird aber f (x) nicht gleich Null; der Zeichenwechsel von f'(x) kommt vielmehr dadurch zustande, daß f'(x) für x = a unstetig ist und zwar für bis a zunehmendes x den Grenzwert — oo, dagegen für bis a abnehmendes x den Grenzwert + oo hat.

142. Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extremwerte. Wenn eine Funktion f(x) in einer Umgebung einer Stelle x₀ stetig ist und bestimmte endliche Ableitungen bis zu derjenigen Ordnung hat, die im folgenden noch gebraucht wird, können wir zu der in Nr. 140 gewonnenen notwendigen Bedingung des Maximums oder Minimums an der Stelle xQ, nämlich zu der Bedingung f'(x₀) == 0, leicht hinreichende Bedingungen hinzufügen.

Um sofort den allgemeinsten Fall ins Auge zu fassen, wollen wir annehmen, es sei x₀ ein Wert von x, für den nicht nur f'(x₀) = 0 ist, sondern überdies die zweite, dritte usw. Ableitung von f(x) gleich Null wird bis zu einschließlich der (n — l)ten, dagegen sei fW(x₀) =j= 0. Übrigens stellt n = 2 diejenige Annahme vor, die zumeist eintreten wird, weil ja im allgemeinen, wenn f(x) für x = x₀ verschwindet, nicht auch f"(x) für x = x₀ zu verschwinden braucht.

Bei unseren Voraussetzungen gilt nun nach Satz 19 von Nr. 112 in der Umgebung der Stelle x₀ von x₀ — 6 bis x₀ + <? für jeden Wert von h zwischen — o und -f <? die Formel:

hn

f(xQ + h) = f(x₀) + /W Oo) + K + i,

nach Satz 22 in Nr. 115 dadurch, daß

worin der Rest II

n +1

man 6 genügend klein wählt, absolut genommen kleiner als das vorhergehende Glied gemacht werden kann. Dies bedeutet, daß die Dilferenz

f(xo + h) - f(x₀) =    (x₀) - + R

hn

n + lf

wenn das Intervall von x₀ — 6 bis x₀ -f- 6 genügend eng gewählt wird, dasselbe Vorzeichen wie das erste Glied rechts für jedes h zwischen — 6 und -f- 0 hat.

Ist nun der Index n gerade, so wird h¹¹ für negatives und positives h stets positiv, d. h. dann hat f(x₀ -f h) — f(x₀)

Serret-Scheffers,Diff.- u.Integr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl.

¹⁶ [141,14»

dasselbe Vorzeichen wie fn\x₀). Ist fn\x₀) insbesondere negativ, so wird also überall im Intervalle f(x₀ + h) < f(xQ), so daß für x — x₀ ein Maximum eintritt. Ist dagegen fn\x₀) positiv, so wird überall im Intervalle f(x₀-\-h)>f(x₀), so daß für x = xQ ein Minimum eintritt.

Wenn jedoch der Index n ungerade ist, wird hn in der ersten Hälfte des Intervalles negativ und in der zweiten positiv, d. h. dann wechselt f(x₀ -f h) — f(x₀) das Zeichen, wenn h durch den Wert Null geht, so daß weder ein Maximum noch ein Minimum für x = x₀ eintritt. Folglich:

Satz 1: Eine Funktion f(x) kann für x = x₀ nur dann einen Extremwert haben, wenn f'(x) für x = x₀ gleich Null und außerdem diejenige erste unter den Ableitungen f"{x), f"'(x),. . ., die für x = x₀ nicht verschwindet, von gerader Ordnung ist. Wenn es die nte Ableitung ist, tritt ein Maximum oder Minimum ein, je nachdem fn\xQ) negativ bzw. positiv wird. Hierbei ist vorausgesetzt, daß die Funktion nebst ihren Ableitungen bis zur (n -f- iyen Ordnung bestimmte endliche Werte in einer Umgebung von x₀ habe.

§ 2. Anwendungen.

143. Beispiele. Der letzte Satz gestattet in vielen Fällen, die Extremwerte einer Funktion ohne weiteres zu bestimmen. Hierzu einige Beispiele:

1.    Beispiel: Die Funktion f(x) =*= x(a — x) hat die Ableitungen fix) = a — 2x und f"(x) = — 2, so daß der Satz 1 von Nr. 142 zeigt, daß sie für x == ja ein Maximum hat. Vgl. das 1. Beispiel in Nr. 141.

2.    Beispiel: Bei der Funktion f(x) = (a — x)³ ist fix) *= — 3(<z — xf, f"(x) = 6(a — x), f"'{x) = — 6. Da fix) == 0 für x = a ist und dort auch f''(x) = 0, aber f"{x)^4=0 ist, hat diese Funktion kein Maximum oder Minimum. Vgl. das 2. Beispiel in Nr. 141.

3.    Beispiel: Die Funktion y = x* ist nach Nr. 5 nur für positive Werte von x definiert und positiv. Hier haben wir:

y' = (ln x + 1) xf, y" = [— + (Ina: + l)²] x?.

Es ist y = 0 für x = 1 : e. Hier wird y" > 0, so daß ein Minimum eintritt.

144. Ein andersartiges Beispiel. Es gibt Funktionen, bei denen die Anwendung des Satzes 1 von Nr. 142 unbequem ist, weil die höheren Ableitungen umständlich werden. In solchen Fällen ist es oft bequemer, geradezu festzustellen, ob die Ableitung beim Durchgänge des x durch einen Wert xQ) für den sie gleich Null ist, das Zeichen wechselt.

Liegt z. B. die Funktion y = xm(a — x)n yor, wo a, m, n positive Konstanten seien und insbesondere m und n ganze Zahlen größer als Eins bedeuten mögen, so ist

y' = xm~¹(a — x)n~l\ma — (m + n)x\,

während y" recht umständlich wird. Wir schließen daher so: Für jedes x sind y und y stetig. Insbesondere wird y' = 0 für x = 0, für x = a und für x = ma : (m -f w), das kleiner als a, aber positiv ist. Geht x wachsend durch den Wert Null, so wechselt y nur dann das Zeichen, und zwar — in -f-, wenn m gerade ist, so daß y nach Satz 9 von Nr. 30 vorher abnimmt und nachher wächst, also für x = 0 ein Minimum eintritt. Geht x wachsend durch den Wert a, so gilt dasselbe, wenn n gerade ist. Geht x wachsend durch den Wert ma :{m + n), so hat y kurz vorher positive und kurz nachher negative Werte, so daß y vorher wächst und nachher abnimmt, also ein Maximum für x — ma : (m -(- n) eintritt.

IC

Alt

145. Ein Fermatsches Problem. Zwei Räume seien wie in Fig. 23 durch eine Ebene E getrennt. Ein Punkt lege in der Zeiteinheit im ersten Raume a und im zweiten Raume ß Längeneinheiten zurück, wobei a und ß Konstanten seien, so daß in jedem Raume die von dem Punkte zu- / rückgelegten Wege zu der dazu ge- Atj brauchten Zeit proportional sind.

Fig. 23.

Das Fermatsche Problem besteht nun darin, daß der Weg bestimmt werden soll, auf dem der Punkt in kürzester Zeit von einer ge-

¹⁶ * [143,144,145

gebenen Stelle A des ersten Raumes nach einer gegebenen Stelle B des zweiten Raumes gelangt. Die Wege sind in jedem der beiden Räume augenscheinlich geradlinig. Daher wird ein Punkt G auf der Ebene E so gesucht, daß die Strecke AG, dividiert mit a, und die Strecke GB, dividiert mit ß, die kleinste Summe geben. Legen wir durch A und B die Ebene senkrecht zu E, so wird sie E in einer Geraden

CD schneiden. Bedeutet L den Fußpunkt des Lotes von G auf CD

so ist die Hypotenuse AG des rechtwinkligen Dreiecks ALG länger als die Kathete AL und die Hypotenuse GB des rechtwinkligen Dreiecks GLB länger als die Kathete LB. Daher muß der gesuchte Weg notwendig in jener Vertikalebene ACDB liegen.

Mithin handelt es sich darum, einen Punkt H auf CD

so zu finden, daß AH: a + HB : ß ein Minimum wird. Es sei AC = a, DB=b, CD = c. Ferner sei H zunächst beliebig auf CD gewählt, so daß CH = x zu setzen ist, positiv genommen etwa im Sinne von C nach D, während a, b, c positive Konstanten sind. Alsdann ist AH = ]/x² -f a² und HB = y(c — x)² + b², so daß also das Minimum der Funktion gesucht wird. Dabei sind die Wurzeln ebenso wie a und ß positiv. Diese Funktion y von x ist überall stetig. Es kommt ferner:

y' =

(1)

a]/#² -j- a²    ßY(c — £c)² -f- &2 ?

so daß auch y überall stetig ist. Nach Satz 1 von Nr. 142 muß x so gewählt werden, daß y = 0 wird. Wenn wir die Wurzeln durch Quadrieren entfernen, ergibt sich demnach für das gesuchte x die Gleichung vierten Grades:

ß²x²(c — x)² -f- ß²b²x² — cc²x²(c — x)² — a²a²(c — x)² = 0.

Da sie durch Beseitigung der Wurzelzeichen hervorgegangen ist, gehören jedoch zu ihren Lösungen x auch diejenigen Werte, für die der Ausdruck (1) gleich Null ist, sobald die darin auftretenden Wurzeln irgendwelche Vorzeichen haben. Demnach sind nicht alle Lösungen der Gleichung vierten Grades brauchbar.

145]

Wir können auf geometrischem Wege sehen, daß eine und nur eine Lösung dieser Gleichung in Betracht kommt, und zugleich eine charakteristische Eigenschaft des gesuchten Punktes H finden. Es sei nämlich KI das Lot zur Ebene E in H, wobei HK im ersten und HI im zweiten Raume liege. Dann ist sin KHA = sin CAH und sin IHB = sin DBH, also:

= sin IHB.

Yx² -f a*

Dabei ist KAH positiv für positives x, wenn also II auf derselben Seite von G liegt wie D, und <)C IHB ist positiv für x<.c, wenn also H auf derselben Seite von D liegt wie C. Die Forderung y = 0 lautet nun nach (1):

= sin KHA,

(2)

sin KHA

sin IHB ß

Nennen wir KHA den Einfallswinkel und IHB den Brechungswinkel, so folgt, daß das Verhältnis der Sinus des Einfalls- und des Brechungswinkels gleich dem Verhältnisse a : ß der Geschwindigkeiten sein muß, mit denen sich der Punkt im ersten l)zw. zweiten Baume bewegt. Da a und ß positiv sind, muß H zwischen C und D liegen. Wenn x von 0 bis c wächst, d. h. wenn H von G nach I) geht, nimmt sin KHA von Null bis zu einem gewissen Werte < 1 zu, während sin IHB von einem gewissen positiven Werte < 1 bis Null abnimmt. Das Verhältnis der beiden Sinus wächst dabei folglich von Null bis -f oo, so daß es einen und nur einen Punkt H gibt, für den die Bedingung (2) erfüllt ist, und zwar liegt er zwischen G und D. Wird statt dieses Punktes H ein Punkt näher bei C gewählt, so wird der Minuend in (1) kleiner und der Subtrahend größer; wird dagegen ein Punkt näher bei D gewählt, so ist es umgekehrt. Daher hat y' vor dem Durchgänge durch den Punkt H negative und nachher positive Werte, so daß y vorher ab- und nachher zunimmt, also für II wirklich das Minimum eintritt.

146. Größte und kleinste Entfernungen eines Punktes von den Punkten einer Kurve in der Ebene.

Gegeben sei in der Ebene eine Kurve und ein Punkt P. Gesucht werden die größten und kleinsten Entfernungen des

Punktes P von den Punkten M der Kurve. — Es mögen a und b die Koordinaten von P sein, während der laufende Punkt M der Kurve die Koordinaten x und y habe. Dabei bedeutet y eine gegebene Funktion von x, da die Kurve vorliegen soll. Nun wird gefragt, wanu die Größe PM², nämlich

(i)

vj=(x — af + (y — by,

ein Maximum oder Minimum hat. Dabei muß beachtet werden, daß v eine zusammengesetzte Funktion von x allein ist, da y eine Funktion von x bedeutet. Deshalb ergeben sich die Differentialquotienten :

(2)

Wir fordern also zunächst nach Satz 1 von Nr. 142:

x — a + (y — b)y = 0.

Da (y — b):(x — a) der Tangens des Winkels ist, den die Gerade PM mit der #-Achse bildet, und y der Tangens des Winkels, den die Tangente des Kurvenpunktes M mit der £-Achse bildet, besagt die Forderung: Der gesuchte Kurvenpunkt M muß so liegen, daß PM die Normale des Punktes M ist. Wird nun 31 so gewählt, daß P31 die Normale von M ist, so fragt es sich aber noch, ob wirklich ein Maximum oder Minimum des Abstandes vorliegt.

Ist zunächst an dieser Stelle 31 der Kurve y" = 0, so wird d²v : dx² nach (2) positiv, so daß PM ein Minimum des Abstandes des Punktes P von den Punkten der Kurve ist. Ist jedoch y" 4= 0, so können wir immer eine Größe 1) so bestimmen, daß

(3) ist. Zu diesem Werte 1), aufgefaßt als eine Ordinate, gehört ein gewisser Punkt G oder (£, ty) der Normale PM. Wenn nun y" = — (1 -f- y'²): (y — t)) in (2) eingesetzt wird, kommt:

b — t)

£ = ²(x + y"-) l

Dieser Wert ist positiv oder negativ, je nachdem b — t) und y — t) dasselbe oder verschiedene Vorzeichen haben, d. h. PM ist ein Maximum des Abstandes, wenn G zwischen M und P

liegt, ein Minimum dagegen, wenn C nicht zwischen M und P liegt.

Liegt P in C selbst, so zeigen (3) und (2), daß d²v:dx2 verschwindet. Aus (2) berechnen wir dann weiterhin:

(4)

d*v

dxs

Sobald also

(5) X — a + (y — b)y' = 0,    1 + y'² + (y - b)y" = 0

ist, tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein, wenn nicht auch der Wert (4) gleich Null ist. Ist jedoch außerdem

(6)

3y'y" 4- (y —    = 0,

so hängt die Entscheidung davon ab, welches Vorzeichen d*v : dx⁴ hat, worauf wir nicht näher eingehen.¹)

Beispielsweise werde angenommen, die gegebene Kurve sei der Kreis um den Anfangspunkt 0:

x² + y² = E².

Dann muß M so auf dem Kreise gewählt werden, daß PM Normale wird, d. h. als einer der beiden Schnittpunkte Mt und M₂ der Geraden OP mit dem Kreise. Da jetzt kommt:

x + yy' = 0,    1 + y'² + yy" = 0,

lehrt (3), daß = 0, d. h. daß der Punkt C der Mittelpunkt 0 des Kreises ist. Nach dem Vorhergehenden ist PM₁ das Minimum und PM₂ das Maximum des Abstandes des Punktes P von den Punkten des Kreises, sobald Mx auf derselben Seite von 0 wie P liegt. Dies ist ja auch geometrisch einzu» sehen. Liegt dagegen P in 0 selbst, so sind alle Abstände gleich groß.

147. Größte und kleinste Entfernungen eines Punktes von den Punkten einer Baumkurve. Ist die

gegebene Kurve nicht eben oder liegt der gegebene Punkt P nicht in ihrer Ebene, so müssen wir zur Lösung des Problems ein Koordinatensystem im Raume benutzen. Der gegebene Punkt P habe die Koordinaten a, b, c, und es sei M ein laufender Punkt der gegebenen Kurve mit den Koordinaten x, y, z, so daß also y und z als gegebene Funktionen von x aufzufassen sind.²) Es handelt sich dann um die Maxima und Minima der Größe

(1)

v = (x - a)³ + (y — b)³ + (z — c)³,

die, weil y und z gegebene Funktionen von x bedeuten, eine zusammengesetzte Funktion von x ist, für die

j-x = 2[(> -d) + (y- b)y' + (z — c)z],

(2)

d³v

= 2[1 + y'* + ^'³ -f (y - b)y" + {z - c)z"j

dx³

Nach Satz 1 von Nr. 142 muß zunächst für den gesuchten Punkt M der Kurve dv : dx = 0 sein, also:

wird.

(3)

(x — a) + (y — b)y -f (z — c)z = 0.

Hierin liegt, da y und z gegebene Funktionen von x sind, eine Gleichung zur Bestimmung der TJnbelicmnten x vor.³) Wir denken uns x aus ihr berechnet und haben dann die ^-Koordinate eines gewissen Kurvenpunktes M gefunden. Es fragt sich, ob nun PM wirklich ein Maximum oder Minimum der Entfernungen des Punktes P von den Punkten der Kurve ist.

Wenn zunächst für den berechneten Wert x auch der Ausdruck {y — b)y" -f- (z — c)z" verschwindet⁴), lehrt (2), daß dann d³v : dx³ positiv ist, also nach Satz 1 von Nr 142 ein Minimum vorliegt. Verschwindet dagegen dieser Ausdruck

nicht, so lassen sich drei Größen £, t), 5 bestimmen, die den Bedingungen genügen:

(4)

i + y² + *'² + (y — tj) y" + (* — »)*" = o,

2/ —

a: — a

2/~

Nach der letzten Proportion liegt derjenige Punkt C, dessen Koordinaten £, t), $ sind, auf der Geraden durch die beiden Punkte (a, &, c) und (x, y, z), d. h. auf der Geraden PM. Außerdem ist hiernach

(y -    + (* - c) S' = [(y - W + (b - s)/']    ,

so daß nach der ersten Gleichung (4):

(y - %"+ 0 - <D*"« - (i + */'² + *'²)

ist und d²v : dx² nach (2) die Form bekommt:

div dx²

Also wird d²v:dx² positiv oder negativ, je nachdem a — £ und a; — £ dasselbe oder verschiedenes Vorzeichen haben, was ein-tritt, je nachdem die Punkte P und M auf derselben oder auf verschiedenen Seiten des Punktes C liegen. Im einen Falle ist PM ein Minimum, im anderen ein Maximum.

Liegt dagegen P in G selbst, so wird d²v:dx² = 0, so daß alsdann die dritte Ableitung von v berechnet werden muß. Sie ist nach (2):

dsv dxs

Wenn nun zwar P in G liegt, d. h. wenn zwar

0 — a) + (y — b) y + (e — c)z = 0,

1 + y² + /² + (y — 6) y"P (* — c)/'= 0

ist¹), aber der Wert (5) nicht verschwindet, tritt also weder

-2(l+^ + 0^

(5)

(6)

- 2 [3y y + 3/ /' + (y- b)y" + (* - c) /"].

1) Die beiden Gleichungen (6) sind, wie wir in Nr. 263 sehen werden, die Gleichungen der Krümmungsachse des Kurvenpunktes (x, y, 2), geschrieben in den laufenden Koordinaten a, &, c, so daß also jetzt P der Schnittpunkt einer Normale von M mit der Krümmungsachse ist.

ein Maximum noch ein Minimum ein. Ist aber außer den beiden Bedingungen (6) noch die Bedingung

(7)

3y y" + 3z z” + (y — b)y" + (z — c)z” = 0

erfüllt⁵), so hängt die Entscheidung vom Vorzeichen von cfiv: dx⁴ ab, worauf wir nicht näher eingehen wollen.

148. Nebenbedingungen in Gestalt von Ungleichungen. Bisweilen handelt es sich um die Bestimmung der Maxima und Minima, die eine Funktion f{x) der Veränderlichen x hat, wenn x nur auf ein Intervall a<x<^b beschränkt ist. Alsdann hat man für Stellen x im Innern des Intervalles dasselbe Verfahren wie bisher anzuwenden. Jedoch können dann an den Grenzen des Intervalles sogenannte Grenz-maxima oder Grcnzminima auftreten. Denn z. B. die Umgebung der Stelle x — a umfaßt jetzt, da x a sein soll, nur Werte, die größer als a sind, so daß wir die Definition in Nr. 140 anders fassen müssen:

Wir sagen, daß eine Funktion f(x) an der unteren Grenze x = a des Intervalles a<^x<Lb ein Grenzmaximum oder Grenzminimum hat, wenn es eine positive Zahl =+= 0 derart gibt, daß für jedes h zwischen 0 und 6 der Wert von f(a -f- h) kleiner bzw. größer als f(a) ist. Ferner sagen wir, daß f(x) an der oberen Grenze x == b des Intervalles ein Grenzmaximum oder Grenzminimum hat, wenn es eine positive Zahl 6 =f= 0 derart gibt, daß für jedes h zwischen 0 und o der Wert von f(b — h) kleiner bzw. größer als f(b) ist.

Setzen wir insbesondere voraus, daß f{x) in dem Intervalle aljix^b überall eine bestimmte endliche Ableitung f (x) habe, so folgt aus Satz 9 von Nr. 30, daß an der Stelle x = a ein Grenzmaximum oder Grenzminimum vorliegt, je nachdem f'(a) kleiner oder größer als Null ist, und daß an der Stelle x == b ein Grenzmaximum oder Grenzminimum vorliegt, je nachdem f'(b) größer oder kleiner als Null ist. Ist dagegen /■'(«)== 0 oder f'(b) = 0, so versagen diese Kennzeichen; man muß dann die Definitionen anwenden.

1.    Beispiel: Die Funktion y = xx, die nur für positives x definiert ist (vgl. Nr. 5 und 143), hat für x = 0 ein Grenzmaximum. Es ist nämlich lim«* für lim« = 0 nach Nr. 135 gleich Eins, während ln y oder xlnx für positive Werte von x, die kleiner als Eins sind, negativ wird, so daß y für solche Werte von x kleiner als für x = 0 ist.

Handelt es sich um eine Aufgabe, bei der als unabhängige Veränderliche verschiedene veränderliche Größen gewählt werden können, z. B. um geometrisch gestellte Aufgaben, so kann es Vorkommen, daß man eine unabhängige Veränderliche wählt, die nur innerhalb gewisser Grenzen variiert, so daß man, wenn diese Grenzen nicht beachtet werden, unter Umständen Maxima oder Minima übersieht.

2.    Beispiel: Soll die kleinste oder größte Entfernung eines Punktes x = a der positiven «-Achse von den Punkten des Kreises

x² + y² = R²

bestimmt werden — wie am Schlüsse von Nr. 146 —, so wird das Maximum oder Minimum der Funktion v = (x — a)² 4- y2 gesucht, wobei y² = B² — x² ist, so daß v = B² -f- a² — 2ax

wird. Hier ist dv : dx = — 2a 4= 0, so daß man also nach Satz 1 von Nr. 142 gar kein Maximum oder Minimum erhält. Aber die Gleichung y = ]/iü² — x² des Kreises lehrt, daß x nur in dem Intervalle von — B bis 4- B variiert, so daß die Grenz-maxima oder Grenzminima in Betracht kommen. Da dv : dx negativ ist, liegt an der unteren Intervallgrenze x = — B ein Grenzmaximum und an der oberen Intervallgrenze x = 4- R ein Grenzminimum vor.

149. Extremwerte einer unentwickelten Funktion von einer Veränderlichen. Ist y als Funktion von x definiert durch eine Gleichung

(1)

f(x, y) - 0,

und nehmen wir an, daß y eine stetige Ableitung habe, so ergibt sich durch Differentiation nach Nr. 54:

(2)

Die erste Bedingung des Maximums oder Minimums von y in Satz 1, Nr. 142, verlangt, daß y = 0 werde. Sie lautet also:

(3)

fx = ⁰-

Man hat daher ein Wertepaar x, y zu bestimmen, das den beiden Gleichungen (1) und (3) genügt. Wir sehen dabei von solchen Werten x, y ab, für die auch f gleich Null ist.⁶)

Um zu entscheiden, ob ein Wertepaar x, y, das den beiden Gleichungen (1) und (3) genügt, wirklich zu einem Maximum oder Minimum von y führt, müssen wir nach Satz 1 von Nr. 142 die zweite Ableitung y" von y nach x berechnen. Vollständige Differentiation von (2) nach x gibt:

fxx + 2fxyy' + fyyV ⁷ + fyV '^ 0.

Da für das zu betrachtende Wertepaar y' = 0 ist und fy nicht verschwindet, wird nun:

(4)

ff

y =-

fxx

fy

Ist dieser Wert positiv, so liegt ein Minimum von y vor, ist er negativ, so liegt ein Maximum von y vor. Ist er gleich Null, so hat man nach Satz 1 von Nr. 142 die höheren Ableitungen von y nach x zu berücksichtigen, um zu einer Entscheidung zu kommen.

150. Beispiel. Wir suchen die Maxima und Minima der durch

«/³ — 3 axy + xz = 0

bestimmten Funktion y von x. Dabei soll a eine positive Konstante bedeuten. Hier ist

also:

f — y³ — 3axy -f xs,

fx = 3(>⁷-a?/), fy = 3(y⁷ — ax).

Die Bedingungen (1) und (3) der vorigen Nummer lauten also: y³ — 3axy -f £³ = 0, x⁷ — ay = 0.

Wird y = x⁷: a aus der zweiten Gleichung in die erste eingesetzt, so kommt xz(xz— 2a³) = 0, so daß

entweder x = 0 oder x = a j/2 sein muß Die zugehörigen Werte von y sind

entweder y = 0 oder y = a .

Für x = y = 0 ist aber auch f = 0. Diesen Fall schließen wii nach einer Bemerkung in voriger Nummer aus. Für x = a p2 und y = a |^4 wird

f,- 3«*f/2 + 0, /;,-6*-6a^2,

so daß nach (4) in voriger Nummer y"= — 2 : a, also negativ wird. Demnach hat y für # = a]/2 das Maximum a f/4.

151. Extremwerte einer durch mehrere Gleichungen gegebenen unentwickelten Funktion von einer Veränderlichen. Vorgelegt sei ein System von etwa n Gleichungen zwischen n 4- 1 Veränderlichen x, y1} ya, . . . yn:

(1)

/iO> Vi, V-2, • • -Vn) = o, fi Vx »&,••• Vn) =

fn(x>    y„) = °-

Wir wollen voraussetzen, daß die Funktionen f₁₇ f%7 . . . fn voneinander unabhängig hinsichtlich yl} y₂, ... yn seien, d. h. daß nach Satz 4 von Nr. 80 die Funktionaldeterminante sei. Setzen wir ferner voraus, daß die Forderung (5 in Nr. 77 erfüllt sei, so definieren die Gleichungen (1) nach Satz 3 von Nr. 79 die Größen y1} y₂₎. . . yn als stetige Funktionen von x mit stetigen Ableitungen erster Ordnung innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches für die Veränderliche x.

Nunmehr stellen wir uns die Aufgabe, die Maxima und Minima einer dieser n Funktionen, allgemein die von yk, zu bestimmen. Nach Satz 1, Nr. 142, muß zunächst dyk : dx = 0 gefordert werden. Es ist aber nach Nr. 58:

(2)

dyk Ak

dx

(3)

wenn A^ diejenige Determinante bedeutet, die aus A hervorgeht, sobald darin

dfx dft dyk ’ ~hk ’ ‘

ersetzt werden. Wir fordern daher

cd: cd

durch

ofi dft

dx

dfn

dx ’ dx

A, = 0,

d. h. solche Werte von x, für die yk ein Maximum oder Minimum erreichen kann, müssen den n 1 Gleichungen (1) und

(3) in den w-f 1 Veränderlichen x, yx, y₂, . . . yn genügen. Wir nehmen an, es gebe ein System von Lösungen x, yx, ya,... yn dieser n-\-1 Gleichungen, und es sei für dies System A =4= 0. Fälle, in denen auch A = 0 wird, sind nicht nach dem allgemeinen Verfahren zu behandeln, erfordern vielmehr eine besondere Untersuchung.

Um zu erkennen, ob der gefundene Wert von yk für den gefundenen Wert von x wirklich ein Maximum oder Minimum ist, muß man wegen des Satzes 1, Nr. 142, die zweite Ableitung d²yk:dx'² berechnen; wie dies geschieht, wurde in Nr. 83 gezeigt. Ist nun diese Ableitung in einer Umgebung des berechneten Wertsystems x, yx, y.₂, . . . yn stetig, so tritt ein Maximum oder ein Minimum ein, je nachdem sie für dieses Wertsystem negativ oder positiv wird. Ist sie aber für dieses Wertsystem gleich Null, so liegt die Entscheidung nach Satz 1, Nr. 142, bei den höheren Differentialquotienten von yk, die wie in Nr. 83 zu bestimmen sind.

152. Nebenbedingungen. Die vorstehende Betrachtung umfaßt auch den Fall, in dem die Maxima und Minima einer entwickelten Funktion

F(xx, x₂, . . . xn)

von n Veränderlichen xx, xa, ... x„ gesucht werden, wenn dabei zwischen den Veränderlichen insgesamt gerade n — 1 voneinander unabhängige Bedingungen vorgeschrieben sind:

<Pi Oi, *i, • • • Xn) = ⁰ 0'= 1, 2, . . . w- 1), so daß also etwa x₂, x₃, . . . xn als Funktionen von xx aufzufassen sind und demnach F eine zusammengesetzte Funktion von nur einer unabhängigen Veränderlichen xx ist.

151, 158]

§ 3. Funktionen von mehreren Veränderlichen In der Tat, wenn wir F mit xn + l bezeichnen, liegen in:

Xn + l~F(xlrXSJ...Xn) = 0}

<Pi(% 1, **,••• Xn) = ⁰

insgesamt w voneinander unabhängige Gleichungen in n -f 1 Veränderlichen #₂, . . . xn + 1 vor, wobei x₃, x₃ . . . xn+l als Funktionen von x₁ aufzufassen sind. Es handelt sich um die Bestimmung der Maxima und Minima von xn + 1, aufgefaßt als Funktion von xv Diese Aufgabe ordnet sich der in voriger Nummer betrachteten unter, denn die dort mit x, y₁, «/₂, . . . yn bezeichneten Größen sind hier x1} x₂, x₃, . . . xn + l.

§ 3. Funktionen von mehreren Veränderlichen.

153. Notwendige Bedingung für Extremwerte.

Definition: Eine Funktion fix, y, z, . . .) von mehreren Veränderlichen x, y, z, . . . hat an einer Stelle x — xQ, y = yQ, .z = £₀, ... ihres Bereiches ein Maximum oder ein Minimum, wenn es eine von Null verschiedene positive Zahl o derart gibt, daß die Funktion erstens für alle Werte von x, y, z, . . . in den Intervallen

x₀ - 6 < X < x₀ + o, y₀ — 6 < y < y₀ + 0, .. .

definiert ist und zweitens überall in diesen Intervallen kleiner bzw. größer als für x = xQ, y = y₀, z =* z₀, ... ist.

Hieraus lassen sich leicht notwendige, wenn auch nicht hinreichende Bedingungen für die Extremwerte ableiten. Wenn wir nämlich annehmen, daß die vorstehenden Bedingungen erfüllt sind, und wenn wir in f(x, y, z, . . .) für y, z, . . . die bestimmten Werte y₀, zQ, . . . setzen, während wir x veränderlich lassen, hat die entstehende Funktion von x allein, nämlich f{x, y₀, zQ, . . .), die Eigenschaft, daß ihr Wert für alle x im Intervalle x₀ — 6 < x < x₀ -f- o im Falle eines Maximums kleiner und im Falle eines Minimums größer als für x = x₀ ist. Nach der Definition in Nr. 140 hat folglich diese Funktion von x für x = xQ ein Maximum bzw. Minimum. Wenn nun auch ihre Ableitung in einer Umgebung der Stelle x₀ stetig ist, muß, wie in Nr. 140 gezeigt wurde, die Ableitung gleich Null

[153, 153

für x = x₀ sein. Dieselbe Schlußfolgerung können wir in Hinsicht auf y, z usw. machen. Also haben wir gefunden:

Satz 2: Eine Funktion f(x, y, z, . . .) von mehreren Veränderlichen x, y, z, . . . kann an einer Stelle x = x₀, y — y₀, z = z₀, .. ., in deren Umgebung sie stetig ist und stetige partielle Ableitungen erster Ordnung nach x, y, z, . . . hat, nur dann ein Maximum oder Minimum haben, wenn die Gleichungen

= 0 1^ = 0 ’ dy

df

^-0

da ’

für x = x₀, y = y₀, z = z₀, ... bestehen, oder, was dasselbe besagt, wenn das vollständige Differential

df = fxdx + fydy + ftdz -j----

für x = x₀, y = y₀, z = z₀, ... gleich Nidl ist.

Dies ist jedoch eine noch keineswegs hinreichende Bedingung für das wirkliche Auftreten eines Maximums oder Minimums.

154. Funktionen von zwei Veränderlichen. Die

Aufgabe, entsprechend dem Satze 1 von Nr. 142 nicht nur not-wendige, sondern zugleich hinreichende Merkmale für die Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen abzuleiten, bietet ganz bedeutende Schwierigkeiten. Sie liegen nicht nur darin, daß naturgemäß die größere Zahl der Veränderlichen zu verwickeiteren Formeln führt, sondern namentlich auch darin, daß für die Taylorsche Entwicklung bei Funktionen von mehreren Veränderlichen kein solcher allgemeiner Satz über die Größe des Restgliedes gilt wie der Satz 22, Nr. 115, bei Funktionen von einer Veränderlichen, der ja die Grundlage für die Schlüsse in Nr. 142 war. Wir werden deshalb hier zunächst Funktionen von zwei Veränderlichen in bezug auf ihre Extremwerte genauer untersuchen.

Es sei f(x, y) eine Funktion von x und y, die nebst ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung in einer Umgebung der Stelle x = x₀, y = y₀ stetig ist. Alsdann ist nach Satz 28, Nr. 137:

f(x₀ + h,y₀+k)~ f(x₀, y₀) = (fxh + fh)

wo

(1)

■^2 ⁼    2    4" 2fxyhk -f- fyyk^xo + 0h,yo + 0k

ist. Die Indizes x₀, y₀ und #₀-|- 6h, y₀-\- 6k deuten dabei an, daß x, y durch diese Werte zu ersetzen sind, und 0 ist eine zwischen 0 und 1 gelegene Größe. Die Formeln gelten für alle Wertepaare x₀ + h, y₀-\-k in einer Umgebung von für alle Wertepaare h, k in einer Umgebung von h = 0, k = 0.

xQ, y₀, also

Soll nun die Funktion f(x, y) an der Stelle x = x₀, y = y0 einen Extremwert haben, so ist nach Satz 2 der vorigen Nummer zunächst erforderlich, daß fx und fy an dieser Stelle verschwinden, so daß die erste Gleichung liefert:

f{ccQ + h, y₀ + k) - f(x₀, y₀) = R₂.

Nach der Definition der Extremwerte muß daher weiterhin gefordert werden, daß eine Umgebung von h = 0, k = 0 vorhanden sei, worin JR₂ überall einerlei Vorzeichen hat, während gewiß kein Extremwert eintritt, falls Ii₂ dort noch das Zeichen wechseln kann. Nach (1) ist R₂ eine ganze quadratische Funktion von h und k, und ihre Koeffizienten werden mit Hilfe der Ableitungen zweiter Ordnung von f(oc, y) an der Stelle x = Xq-\- 6h, y = y₀-\-6k gebildet. Man kann aber zeigen: Durch hinreichende Einengung der Umgebung der Stelle ft = 0, k = 0 erreicht man, daß sich R₂ in bezug auf sein Vorzeichen darin genau so verhält wie derjenige Ausdruck JR₂°, der aus (1) hervorgeht, wenn man x₀ -|- 6h und yQ -f- 6k durch x₀ und y₀ ersetzt, also wie der Ausdruck:

(2)

= W,.,V + Zf,.,™ +

Um dies zu zeigen, verstehen wir unter x eine beliebig klein gewählte positive Größe. Weil fxx, fxy und fyy stetige Funktionen von x und y sind, erreicht man jetzt dadurch, daß man |ft| und |ft| kleiner als eine gewisse positive und von Null verschiedene Größe 6 annimmt, daß die absoluten Beträge von

O) Vo J

K == fxo + 0 h, x₀ + eh fx₀, x₀ ) ß — fx₀ 4- Oh, y₀ + 0 fc    fx

0) t/o)

T ~ fyo + Ok, y₀+d k fy

d. h. der Differenzen zwischen den in den Klammern von (1) und (2) vorkommenden Koeffizienten von h², 2hk und ft², sämtlich kleiner als x werden. Da nun

R₂ — R₂° = ^-(aft² + 2ßhk yk²)

Serret-Soheffera, Diff.- u. Integr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl. 17

ist, ergibt sich dann nach Satz 1 und 2 von Nr. 4:

|B.-iL«|<i(I|Ä|>+2r!A||/{| +r\k\³)

oder:

| i?₂ — jR₈° | < -|- r (A² + ft² + 2| hJe |).

Insbesondere fallen h | und Je \ beide kleiner als ö aus, wenn man unter p eine von Null verschiedene positive Zahl < 6 versteht und

(3)

(4)

h — q cos o), Je = p sin co setzt, wobei dann co beliebig im Intervalle von 0 bis 2n gewählt werden darf. Alsdann gibt (3):

114 — -4°! < i (1 + 2 | sin co cos co |), also, da j sin co cos co j <[ ^ ist, um so mehr:

\R,-R»\<XQ\

Demnach gelten jetzt die beiden Ungleichungen:

4 ^ 4° + t p².

Andererseits nimmt 4° durch Einsetzen der Werte (4) von Ji und Je in (2) die Form an:

(6)    cos’a + 2/;

(5)

B, > Its» - V,

cos co sin co 4-    „ sin² co).

Im folgenden nehmen wir nun an, daß h und Je auf denjenigen Bereich um h = Je = 0 beschränkt seien, der durch (4) unter der Voraussetzung 0 < p < 6 bestimmt wird. AusdrücJe-licli aber schließen wir dabei das Wertepaar h = 0, Je = 0 selbst aus.

XoVo

Nunmehr betrachten wir zuerst den Fall, wo 4° für alle erlaubten Wertepaare h, Je positiv und nie gleich Null ist. Wfeil |-p² einen positiven Wert hat, ist dann nach (6) der Ausdruck

cos co sin co 4- f „ sin² co

für alle Werte von co im Intervalle von 0 bis 2% positiv und nie gleich Null. Er ist eine stetige Funktion von co, und nach Satz 6 von Nr. 21 kommt ihm folglich ein positives Minimum g.=(=0 zu. Sein Wert hängt nur von den Werten von und fyoyo ab und ist deshalb unabhängig von der Zahl x. Nach (6) ist weiterhin 4°^ \q²P, und daraus folgt nach der ersten Ungleichung (5):

4 > QWL*' — *)-

(?)

4 x₀ > fi

x₀ya

4*„ cos2 03 + 2f:

*o!/o

Da g eine von x unabhängige positive Größe ist, kann man die positive Größe x so klein wählen, daß auch \g— t noch positiv bleibt. Dadurch beschränkt man folglich den Bereich der Wertepaare (4) um h = 0, k = 0 herum so weit, daß, falls R.₂° darin stets positiv und nie gleich Null ist, dasselbe auch von R₂ gilt.

Wenn zweitens R₂ für alle erlaubten Wertepaare h, k negativ und nie gleich Null ist, schließt man entsprechend, daß die Funktion (7) von co ein negatives Maximum g =}= 0 hat, folgert daraus nach (6), daß _ß₂° <[ %(>²g ist, und nach der zweiten Ungleichung (5), daß

■K* < Q² (i l* + t)

ist. Die positive Größe x kann man nun so klein annehmen, daß mit g auch }zg + f negativ wird. Mithin läßt sich der Bereich der Wertepaare (4) um h = 0, k = 0 herum so weit einschränken, daß, falls R₂° darin stets negativ und nie gleich Null ist, dasselbe auch von R₂ gilt.

Wenn drittens R₂ für gewisse Wertepaare (4) positiv und für gewisse negativ wird, also noch sein Zeichen wechseln kann, gibt es Werte co₁ und co₂ derart, daß die Funktion (7) für gj = coi positiv und für co = co₂ negativ wird, etwa gleich gl bzw. g₂, wobei also gt und g₂ beide von Null verschieden sind. Alsdann ist R₂° nach (6) für co = co₁ gleich    un{^

für co = co₂ gleich    Im Falle co = cox benutzen wir die

erste und im Falle co = co₂ die zweite Ungleichung (5). Danach ist für co = co₁ bzw. co = co₂:

> *>²(i Pi — T) bzw- ^2 < ^>²(i /hä + r)-

Da gt > 0 und g₂ < 0 ist, kann man die positive Zahl x so klein wählen, daß auch \ gl — x positiv und % g₂ + x negativ ausfällt. Mithin läßt sich der Bereich der Wertepaare (4) um h == 0, k = 0 herum so weit einschränken, daß, falls R₂° darin noch sein Zeichen wechseln kann, dasselbe von R₂ gilt.

Demnach kommt die Frage, ob R₂ stets positiv oder stets negativ ist oder wechselndes Vorzeichen haben kann, in der Tat auf die Frage hinaus, wie es sich in dieser Beziehung mit R₂° verhält. Dies aber läßt sich, falls der Ausdruck

D f x₀x₀ f y₀!/₀    f XolIo ^ ^

(8)

ist, leicht feststellen:

Wenn nämlich zunächst f =4= 0 ist, kann man den Wert (2) von wie folgt umformen: wofür sich einfacher schreiben läßt:

¹

Es wird sich später zeigen, daß C der zu dem Kurvenpunkte M gehörige sogenannte Krümmungsmittelpunkt ist (in Nr. 198) und daß die drei Bedingungen (5) und (6) erfüllt sind, wenn der Kurvenpunkt M ein Scheitel der Kurve ist und P in der zugehörigen Spitze der Evolute der Kurve liegt, vgl. Nr. 218.

²

   Wir sprechen im 9. Kapitel ausführlich von Raumkurven.

³

   Wir werden in Nr. 252 sehen: die Bedingung (3) besagt, daß P in der sogenannten Normalebene des Kurvenpunktes M liegen muß.

⁴

   Wir werden später sehen, daß dieser Ausdruck nur dann gleich Null ist und zugleich (3) besteht, wenn der Punkt P auf der sogenannten Binormale (vgl. Nr. 264) des Kurvenpunktes M liegt.

⁵

Die drei Gleichungen (6) und (7) zusammen besagen, wie das Spätere zeigen wird, daß der Punkt P oder («, b, c) der Mittelpunkt der sogenannten Schmiegungskugel des Kurvenpunktes M ist (vgl. Nr. 276).

⁶

Auf derartige singuläre Wertepaare x, y werden wir bei der

⁷

Besprechung der Kurven in der Ebene zurückkommen (in § 3 des 7. Kap.).

(9)

ss° = -J-wvj‘ + f^j‘y+Dn

' ^0^0

Ist D > 0, so ist der Inhalt der eckigen Klammer für Je =4= 0 positiv, aber auch für Je = 0, weil ja daun Ji =f= 0 sein muß und fxax₀ + 0 angenommen wurde. Im Falle fXoXo =4= 0 und D > 0 hat daher jR₉° dasselbe Vorzeichen wie und verschwindet nie. Wenn nach wie vor fXoXo=¥ 0, aber D<0 ist, wird der Inhalt der eckigen Klammer in (9) für Je = 0, Ji =J= 0 positiv, dagegen negativ, sobald man /* und & so wählt, daß der Inhalt der runden Klammer verschwindet, nämlich Ji und Je proportional zu — f und fXoXo annimmt. Dies ist stets möglich, wie klein auch die Umgebung der Stelle Ji = 0, Je = 0 sein mag, da ja hierdurch nur über das Verhältnis von Ji zu Je verfügt wird. Im Falle fXoXo ={= 0 und D < 0 kann somit i?₂° noch das Vorzeichen wechseln.

Da aber möglicherweise fx = 0 werden kann, ist es wichtig zu bemerken, daß entsprechende Schlüsse zu machen sind, falls /"    =4= 0 ist, indem man dann die Rollen von x₀

und y₀ vertauscht, so daß sich ergibt: Im Falle floyoH=0 hat iL° stets dasselbe V orzeichen wie f, „ und verschwindet nicht, sobald D > 0 ist, während i?₂° dann immer noch das Zeichen wechseln kann, sobald D < 0 ist.

Wenn schließlich sowohl fx r als auch f gleich Null ist, wird aus (2):

7? ° = f

lx₀ya

und infolge der Voraussetzung (8) ist dabei f =|= 0. Demnach wechselt jetzt ß₂° mit dem Produkte JiJe sein Zeichen.

Im Falle I) =4= 9 tritt demnach an der Stelle x = x₀, y = y₀ ein Extremwert der Funktion f(x, y) ein, wenn D > 0 ist, und zwar ein Maximum oder Minimum, je nachdem f 154]

JiJe,

Satz 28, Nr. 137,

wertes sind wir somit zu einem endgültigen Ergebnisse gekommen, falls D 4= 0 ist. Was dagegen den Fall D = 0 betrifft, so bemerken wir nur, daß alsdann die Entscheidung nur dadurch herbeigeführt werden kann, daß man die nach zu Anfang dieser Nummer herangezogene

Entwicklung der Differenz

f(x₀ -f- h, y₀ + k) - f(x₀, yQ)

weiter führt, nämlich auch die Ableitungen von höherer als zweiter Ordnung der Funktion f berücksichtigt. Hierauf wollen wir verzichten. Wir formulieren das Ergebnis in dem

Satz 3: Ist eine Funktion f(x, y) von x und y nebst ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung in einer Umgebung der Stelle (x₀, yf) stetig, so kann sie an der Stelle (x₀, y₀) nur dann einen Extremwert haben, wenn daselbst fx und f beide verschwinden. Ist außerdem an dieser Stelle der Ausdruck fxxfyy—fly von Null verschieden, so hat die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum, sobald der Ausdruck dort negativ ist. Ist er jedoch an der Stelle (x₀, y₀) positiv, so hat die Funktion daselbst ein Maximum, wenn dort fxx oder f negativ ist, und ein Minimum, wenn dort fxx oder f positiv ist.

155. Unzureichende Bedingungen für Extremwerte. Liegt eine Funktion fix, y, z, . . .) von mehr als zwei Veränderlichen x, y, z, . . . vor, so kann man in folgender Weise die schon in Satz 2, Nr. 153, gefundenen Bedingungen für Extremwerte verschärfen:

Setzen wir

(1)

x = x₀ + ht, y = y₀+kt, e = z₀+lt,..

indem wir unter h, k, l, . . . beliebige Konstanten und unter t eine Veränderliche verstehen, so wird f eine Funktion von t allein, nämlich:

F{t) — fix₀ + ht, y₀ + kt, z₀ Alt, .. .)

negativ oder positiv ist, während im Falle D < 0 Hierbei ist nur noch darauf aufmerksam zu machen, daß, wenn D > 0 ist, f. stets beide wegen fXoXofyoyo> fl mit demselben Vorzeichen behaftet sind.

Uber das Auftreten oder Nichtauftreten eines Extrem

oder f

kein Extremwert vorkommt.

Vo’Jo

o Vo

und f,

XqXq

von Null verschieden und

VoVo

die für 7 = 0 den Wert f(x₀, y₀, z₀, . . .) hat. Wird 17 \ hinreichend klein gewählt, so wird durch (1) eine Stelle in einer Umgehung der Stelle x = x₀, y = y₀, z = z₀, ... definiert, und zwar eine beliebige, da h, k, l, . . . beliebige Konstanten sein sollen. Hat nun die Funktion f an der Stelle (#₀, y₀, z₀, . . .) ein Maximum oder ein Minimum, so muß daher nach Nr. 153 die Funktion F(t) für alle Werte von t in einer Umgebung des Wertes t = 0 stets kleiner oder aber stets größer als F(0) sein, und zwar bei beliebiger Wahl von h, 7c, 7, . .

d. h. die

Funktion F(f) von einer Veränderlichen t muß für 7 = 0 ebenfalls ein Maximum oder aber ein Minimum haben, wie auch h, 7c, 7, . . . gewählt sein mögen.

Bedingungen hierfür aber können wir nach Satz 1, Nr. 142, leicht aufstellen, wenn wir voraussetzen, daß die Funktion f(x, y, z, . . .) in der Umgebung von x = x₀, y = y₀, z = zQ, .. . nebst ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung stetig sei, denn dann ist auch die Funktion F(t) in der Umgebung von 7 = 0 nebst ihren Ableitungen F'(t) und F"(t) stetig. Nach Satz 1 von Nr. 142 haben wir zunächst zu verlangen, daß F'(t) = 0 für 7 = 0 sei. Es ist aber

(2)

F'(t)==fxh + fyh + f,l + ",

Da F'(t) = 0 für 7 = 0 und für alle Werte von h, h, 7, . . . sein soll, müssen einzeln fx, fy, jf,, ... für x = xQ, y = y₀, * = gleich Null sein. So ergeben sich wieder die Bedingungen in Satz 2, Nr. 153. Weiterhin kann nach Satz 1, Nr. 142, im Falle eines Maximums nur zweierlei eintreten: Es muß F"(t) negativ oder gleich Null sein für 7 = 0. Im Falle des Minimums ferner muß F"(t) positiv oder gleich Null sein für 7 = 0. Im Falle eines Maximums darf also F"(t) für beliebige Werte von h,k,l, . . . und für 7 = 0 nicht positiv und im Falle eines Minimums nicht negativ sein. Es ist aber nach Satz 5, Nr. 70:

(3) F"(f) = fxxh²-\-<2fxyh1c + fyy1c²+ 2fxM + 2fytkl + /^7²-)----.

Wir weisen, ehe wir das Ergebnis formulieren, noch darauf hin, daß in (2) und (3) rechts die vollständigen Differentiale erster und zweiter Ordnung von f stehen, sobald wir h, k, 7, . . . als die Differentiale dx, dy, dz, . . . auffassen, die ja ebenso willkürlich sind wie h, k, l, .... Also hat sich ergeben:

1551

Satz 4: Ist eine Funktion f(x, y, z,. . .) nebst ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung in einer Umgebung der Stelle x = x₀, y = y₀, z = z₀,. .. stetig und hat sie an dieser Steile ein Maximum oder Minimum, so ist dort erstens das vollständige Differential erster Ordnung df gleich Null und zweitens das vollständige Differential zweiter Ordnung d²f für kein Wertsystem der Differentiale dx, dy, dz, ... im Falle des Maximums positiv oder im Falle des Minimums negativ.

Man muß sich aber vor einem falschen Schlüsse hüten: Wenn die Funktion F(t) von t für t = 0 ein Maximum oder ein Minimum hat — und zwar wohlbemerkt für alle beliebigen Wertsysteme h,k,l,... —, steht es doch noch nicht fest, daß auch die Funktion f(x, y, z ...) für x = x₀, y — y₀, z — z₀,... ein Maximum oder ein Minimum hat.

Daß die Umkehrung unstatthaft ist, liegt daran, daß wir bei den Annahmen (1), wenn sich t der Null nähert, auf einem ganz bestimmten Wege eine allgemeine Stelle (x, y, z, . . .) an die kritische Stelle (x₀, yQ, z₀, . . .) heranbringen, nämlich so, daß x— x₀, y — y₀, z — z₀, . . ., die ja nach (1) gleich lit, kt, It, ... sind, einander beständig proportional bleiben. Statthaft wäre jene Umkehrung, wenn wir nicht die besondere Substitution (1) gemacht hätten, sondern eine ganz allgemeine Substitution

« =    + 9>(0> V = Vo + %(*)> ² =    + t(ß), • • •>

wo <p(t), %(t), i>(t), ... irgendwelche Funktionen von t bedeuten, die für t = 0 sämtlich verschwinden und in der Umgebung von t — 0 stetig sind.

Das Unstatthafte jener Umkehrung soll noch an einem einfachen von Peano gegebenen Beispiele gezeigt werden: Wir betrachten die Funktion von zwei Veränderlichen x und y:

(4)

f(x, y) = (y — «²ff²) (y — Wx²),

worin a und b von Null verschiedene Konstanten bedeuten sollen. Wir wollen untersuchen, ob sie an der Stelle (0, 0) ein Maximum oder Minimum hat, also #₀=0, y₀ = 0 annehmen. Die Substitution (1) lautet hier:

x = ht

F(t) = t\k- a*h*t) (k - Wt)•

und gibt:

Für t = 0 ist F'(t) auch gleich Null. Für t — 0 wird ferner F"(t) = 2k², also positiv, wenn & =b 0 ist, so daß F(t) für /c4=0 sicher an der Stelle t = 0 nach Satz 1, Nr. 142, ein Minimum hat. Ist k = 0, so muß h 4= 0 genommen werden. Dann kommt F(t) = a²&²/&⁴£⁴, und diese Funktion hat für t = 0 ebenfalls ein Minimum, da für t = 0 zwar F'(t), F"(t), F'"(t) alle drei gleich Null sind, aber Fiy(t) = 1 • 2 • 3 • 4a²6²/&⁴ > 0 ist.

In unserem Beispiele hat also Fit) gewiß ein Minimum für t = 0. Dennoch hat die Funktion (4) an der Stelle (0, 0) weder ein Maximum noch ein Minimum. Setzen wir nämlich x = h, y = c²/«-², so liegt die Stelle (x,y), wenn \ h\ hinreichend klein gewählt wird, in der Umgebung jener Stelle, und es ist dann fix, y) = Ä⁴(c² — a²)(c² — fe²). Nehmen wir c² zwischen a² und &² an, so wird also /"< 0, andernfalls /’>0. Daher gibt es in der Umgebung der Stelle (0, 0) sowohl Stellen, an denen f kleiner, als auch Stellen, an denen f größer als für x = 0, y = 0 ist. —

Wenn eine Funktion fix, y, 8, ...) vorliegt und untersucht werden soll, ob sie für x = x₀, y — y₀, z = zQ,... einen Extremwert hat, ersetzt der Satz 4 den früheren Satz 2 in Nr. 153 insofern, als er zwar auch nur notwendige und nicht hinreichende Bedingungen liefert, aber schärfere Bedingungen als der Satz 2.

156. Bedingungen dafür, daß das vollständige Differential zweiter Ordnung nie negativ oder nie positiv ist. Um den Satz 4 von Nr. 155 anwenden zu können, müssen wir ein Verfahren haben, das uns gestattet, zu entscheiden, ob das vollständige Differential zweiter Ordnung d³f= fxxdx* + 2fxydxdy + fyydy³ + 2fxtdxdz +

+ ^fyzdydz + fzzdzi d----,

bei bestimmt gewählten Werten von x,y,z,... für kein Wertsystem der willkürlichen Differentiale dx, dy, dz, . . . positiv bzw. negativ wird. Soll etwa d²f nie positiv, d. h. d^f 0 sein, so bedeutet dies, daß das Differential zweiter Ordnung von — f stets positiv oder mindestens gleich Null sein soll. 155, 156]

Wir können uns also auf die Aufgabe beschränken, zu entscheiden, unter welchen Bedingungen stets d²f 0 ist.

Das vollständige Differential zweiter Ordnung stellt eine ganze rationale Funktion von dx, dy, dz, ... vor, die homogen vom zweiten Grade ist. Eine derartige Funktion heißt eine quadratische Form. Die Aufgabe ist also, zu erkennen, unter welchen Bedingungen eine quadratische Form nie negativ wird. Für eine quadratische Form B° mit nur zwei Veränderlichen wurde die Aufgabe schon in Nr. 154 gelöst, und für das folgende    Verfahren ist    jene    Lösung    vorbildlich. Vorweg    er

innern wir daran, daß die Koeffizienten fxx, fxy, f usw. jetzt bestimmte Werte haben, da für x, y, z, . . . bestimmte Werte eingesetzt sind. Zur Bequemlichkeit wollen wir die Differentiale dx, dy, dz, . . . wie in voriger Nummer mit h, Je, l, . . . bezeichnen, so daß wir haben:

(1) <**/■- f,,V + 2/-„Afc ■+ ft,V + 2f„M + 2f„kl + f„P + ■ • ••

Sind zunächst die Koeffizienten von h², Je², l², . . . sämtlich gleich    Null, so kann    d²f sowohl    positiv als auch negativ    gemacht    werden. Denn    dann    wird    ja    eine der Größen f ,    fxz,

.    . nicht gleich    Null    sein,    z.    B. fx nicht. Setzen    wir

alle Differentiale gleich Null außer h und Je, so wird d²f= 2fxyhJc, und dies hat dasselbe Vorzeichen wie f, h und Je gleiches Vorzeichen haben, und hat entgegengesetztes Vorzeichen wie f haben.

/;

yz7 ’

nun

xy)

wenn

xy)

wenn h und Je verschiedenes Vorzeichen

Es ist also zunächst für d²f'^: 0 zu fordern: Nicht alle fxx) fyy) ftz) • ■ • dürfen gleich Null sein. Es sei daher z. B.

Die Summe aller Glieder, die h in der ersten Potenz enthalten, sei mit 2Ph und die Summe aller von h freien Glieder mit Q bezeichnet; es sei also:

(2) P-fx3k ₊ fJ+..., Q ₌ fvvW₊2fy,M + fJ>+--:

Alsdann kommt:

d'f=fxxh²+2Ph+ Q.

Da d²f == fxxh² ist, wenn Je = l = • • • = 0 gesetzt wird, ist mit Rücksicht auf 4x4=0 zu fordern:

fxx> 0.

Kap. VI. Theorie der Maxima und Minima Nun läßt sich dPf so schreiben:

266

(3)

fXX

Da fxxh + P = 0 für h — — P : fxx ist, welche Werte auch Je, l, ... haben mögen, müssen wir verlangen:

o.

Ist auch diese Bedingung erfüllt, so wird d²f stets größer als Null oder mindestens gleich Null.

Nach (2) bedeutet aber fxxQ—P* eine quadratische Form mit den Veränderlichen k, ?,..., frei von h. Die Aufgabe, zu entscheiden, ob die quadratische Form (Pf mit den Veränderlichen h,k,l, . . . stets größer als Null oder mindestens gleich Null ist, wird somit auf die Aufgabe zurüclcgeführt, zu entscheiden, ob dasselbe für eine gewisse quadratische Form gilt, in der die Zahl der Veränderlichen um Eins kleiner ist.

Indem wir die neue quadratische Form nach demselben Verfahren behandeln, erniedrigen wir die Zahl der Veränderlichen abermals um Eins usw., so daß wir schließlich zu einer quadratischen Form mit nur einer Veränderlichen gelangen, die nur dann nie negativ wird, wenn ihr Koeffizient nicht negativ ist. Wir finden also auf diesem Wege stets alle notwendigen und hinreichenden Bedingungen für d²f^> 0.

157. Weitere Hilfsmittel zur Entscheidung über Extremwerte. Wir hoben in Nr. 155 hervor, daß der dort aufgestellte Satz 4 keineswegs hinreichende Bedingungen für das Maximum oder Minimum liefert. Gelten die Voraussetzungen jenes Satzes, so kann man aus den Bedingungen fx = 0, fy = 0, ft = 0, . . . diejenigen Wertsysteme x₀, y₀, z₀, ... finden, für die überhaupt Extremwerte von f denkbar sind. Mit Hilfe des Verfahrens in Nr. 156 kann man alsdann finden, ob für ein derartiges Wertsystem d²f auch wirklich nie negativ oder nie positiv wird. Wird es sowohl positiv wie auch negativ, so ist ein Extremwert mit Sicherheit ausgeschlossen, andernfalls jedoch steht die endgültige Entscheidung noch dahin. Es ist aber jetzt nach Satz 28 von Nr. 137:

(1) f(x₀ + h, y₀ + k, z₀ + l, ...)- f{xo, y₀, z₀,...) = P₂,

156, 157]

wo der Rest jß₂ der Ausdruck

(2)

B, -Wxxh?+2fxyhl + fvyW+2fx,hl + •••), aber gebildet für ein Wertsystern

(3)

x = -f 6h, y = y₀ + 6k, z = z₀ -f 61,... ist. Dabei bedeutet 6 eine zwischen 0 und 1 gelegene Größe. Nach der Definition hat nun die Funktion f an der Stelle (.x₀, y₀, z₀, . . .) gewiß ein Maximum bzw. Minimum, wenn Jß2 für alle Wertsysteme h, li, l, . . . in einer gewissen Umgebung von h = 0, k = 0, 1 = 0, . . . negativ bzw. positiv und nie gleich Null ausfällt. Dabei ist von dem besonderen Wertsystem h = 0, k = 0, 7 = 0,... sowohl hier als auch im folgenden abzusehen.

Wie in Nr. 154 führen wir nun die Untersuchung, ob B2 stets einerlei Vorzeichen hat und nie verschwindet, auf die Untersuchung zurück, ob dies für denjenigen Ausdruck B₂° gilt, der aus R₂ hervorgeht, wenn man darin x₀ -j- 9h, y₀ + 6k, z₀-f 61, . . . durch x₀, y₀, z₀, . .. ersetzt, also für den Ausdruck:

(4) *•-*</***■+ 2fXa,M + f„»+ 2fvhl + ■■■).

Zu diesem Zwecke stellen wir zunächst Ungleichungen entsprechend den Ungleichungen (5) in Nr. 154 auf: Es werde eine beliebig kleine und von Null verschiedene positive Größe t angenommen. Wegen der Stetigkeit der Ableitungen zweiter Ordnung von f gibt es dann eine positive und von Null verschiedene Zahl 6 derart, daß für h < o, j k | < <?, | Z [<<?,... die absoluten Beträge der Differenzen

x₀ x₀ y

« = fxx - fc

ß    fxy    fx₀ y₀ f y fyy fy₀y₀’ d = fxz - f.

sämtlich kleiner als r werden. Dabei sollen x, y, z, . .. das Wertsystem (3) bedeuten. Da nun nach (2) und (4)

R₂ - B₂° = i {ah² + 2ßhk + yk* + 28hl + • • •)

ist, folgt entsprechend (3) in Nr. 154:

\R₂-R₂°\ <\t(h² + 2\hk \ -\-h² + 2\hl\ + ...)

oder:

Ist die Anzahl der in f vorkommenden Veränderlichen x, y, z, . . ♦ gleich n, so steht hier rechts das Quadrat einer Summe von n positiven Größen \h\, \k\, \l\, . . und dies Quadrat ist nie größer als das n-fache der Summe h² -f k² -j- l² -f- • • *.¹) Mithin kommt:

| B, - B₂° | < { nt (h² + k² -f l² + • • •).

Sobald also \ h | < <7, | k | < <?, \l | < <7,. . . ist, bestehen die beiden Ungleichungen:

(5)

(    B₂° — 2 (^² "t" k² -j-1~ • • •),

1 B₂ B₂° -\-\nt (h'² -f- k² -j- l² -j- • • •), vgl. die entsprechenden Ungleichungen (5) in Nr. 154, wo ja p² = h² + k² und n = 2 war.

Nun wollen wir annehmen, daß B₂° für alle erlaubten Wertsysteme h, k, l,. . . positiv und nie gleich Null sei, und beweisen, daß man alsdann t so klein wählen kann, daß dasselbe von B₂ gilt. Vor allem ist zu bemerken, daß die Voraussetzung, B₂ sei für alle erlaubten Wertsysteme h, k,l,. . d. h. für | h | < 0, [ k | < a, | Z    positiv und nie gleich

Null, nach sich zieht, daß sie für alle Wertsysteme h,k,l, . . . überhaupt gilt, immer mit Ausnahme des Systems h== 0, k--= 0,

1) Wir benutzen hier also den Satz: Wenn al,ai,...an insgesamt n positive Größen sind, ist stets

Man erkennt seine Richtigkeit im Falle n = 2 sofort aus (at —a,)t d> 0 oder also a,² -f- a₂ ² ]> 2 a, a₂. Für n^> 2 beweist man ihn durch Schluß von n — 1 auf n. Man bildet nämlich die n Summen, die hervorgehen, wenn man stets nur n — 1 von den n Größen ax, a₂,... an addiert. Die Summe der Quadrate dieser n Summen ist gleich

Auf das Quadrat jeder einzelnen der n Summen wendet man nun die Ungleichung für den Fall n — 1 statt n an. Dadurch geht hervor: und dies ist nichts anderes als die obenstehende Ungleichung.

157]

1 = 0,.... Das liegt darin, daß B₂° eine homogene quadratische Funktion von h, k, l, . . . ist, die mit dem positiven Faktor p2 multipliziert erscheint, sobald man h, Je, l, . . . mit irgendeiner Zahl q multipliziert. Wir wollen nun vorerst nur solche Wertsysteme h,Jc,l, . . . bei B₂° annehmen, für die

(6)

h²-\-Jc²+l²-\--" = 1

ist. Obgleich B₂° für sie stets positiv und nie gleich Null wird, wäre es doch denkbar, daß B₂° von Null beliebig wenig abwiche, wenn man gewisse Wertsysteme h₀, k₀, l₀, ... benutzte, für die

V+V+

ist. Da aber B₂° eine stetige Funktion von h, Tz, l, . . . ist, würde dies nach sich ziehen, daß B₂ für ein der Bedingung (6) genüge leistendes Wertsystem gerade gleich Null würde, was * der Voraussetzung widerspricht. Demnach gibt es eine positive Zahl g, die von Null verschieden ist, derart, daß B₂ für kein die Gleichung (6) befriedigendes Wertsystem kleiner als g wird. Ersetzen wir alsdann h, Je, l, . . . durch das etwa p-fache dieser Größen, so folgt, daß B₂ für kein Wertsystem, das der Gleichung

(7)

genüge leistet, kleiner als Q²g wird. Insbesondere können wir | q | kleiner als die früher aufgetretene positive Größe 6 annehmen. Dann ist nach (7) auch j h | < <?, \ Je j < <?, 11 \ < 6 .. so daß die erste Ungleichung (5) gilt. Sie liefert wegen jB₂⁰^ Q“g und wegen (7):

R₂> (g - int) (Ji² + k² + l² + ■ ■ ■).

(8)

Diese Formel gilt also, solange

(9)

h²+k²+l²+---<6²

ist. Nun war die positive Größe g von t völlig unabhängig. Deshalb können wir die positive Zahl x so klein annehmen, daß auch g — \nx positiv wird, so daß (8) besagt: Für alle Wertsysteme h, k, l, . . ., die der Bedingung (9) genügen, wird iü₂ positiv und nie gleich Null.

Ebenso beweist man mit Hilfe der zweiten Ungleichung (5): Falls B₂ stets negativ und nie gleich Null wird, kann man die

[157

Umgebung des Wertsystems h = 0, k = 0, 1 = 0,... durch passende Wahl von r so weit einschränken, daß auch i?₂ negativ und nie gleich Null wird.

Wenn ferner Bf für gewisse Wertsysteme h,k,l, .. . positiv und für andere negativ ausfällt, erkennt man ähnlich wie in Nr. 154 mit Hilfe der beiden Ungleichungen (5), daß in einer beliebig kleinen Umgebung des Wertsystems h = 0, Je = 0, 1 = 0,... stets Wertsysteme h, 1c,l, . . . vorhanden sind, für die auch U₂ entweder positiv oder negativ wird.

Hieraus folgt, daß die Funktion f an der betrachteten Stelle (x₀, y₀, z₀, . . .) ein Maximum oder ein Minimum oder endlich keinen Extremwert hat, sobald _ß₂° stets negativ und nie gleich Null oder stets positiv und nie gleich Null ist oder endlich sowohl positive als auch negative Werte annimmt, und zwar können dabei für Bf, wie erläutert, alle Wertsysteme h, Je, l, ... benutzt werden, abgesehen natürlich von Ji = 0,k = 0, 1 = 0,.... Bezeichnet man Ji, Jt,l, . . . mit dx, dy, dz, . . ., so stellt daher Bf nach (4) nichts anderes vor als die Hälfte des vollständigen Differentials zweiter Ordnung

d²f=fxxdv²+ 2fXydxdy + fyydy² + 2fxzdxdz -j----),

gebildet an der Stelle (x₀, y₀, z₀, . . Demnach läßt sich der Satz 4 von Nr. 155 so ergänzen:

Satz 5: Unter den Voraussetzungen des Satzes 4 von Nr. 155 Jiat die Funktion f an der Stelle (x₀, y₀, z₀, . . .) ein Maximum l)zw. ein Minimum oder aber keinen Extremwert, je nacJidem ihr vollständiges Differential zweiter Ordnung dff an dieser Stelle für alle Werte der Differentiale dx, dy, dz, . . ., abgesehen von dem Wertsystem dx = 0, dy = 0, dz = 0,. . . selbst, negativ und nie gleich Null bzw. positiv und nie gleich Null ist oder aber sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann.

Wenn eine quadratische Form d^f für alle Werte von dx, dy, dz, . . ., abgesehen von dem Wrertsystem dx = 0, dy= 0, dz = 0, . . . selbst, positiv und nie gleich Null bzw. negativ und nie gleich Null wird, heißt sie eine definite positive bzw. definite negative Form. Dagegen heißt sie semidefinit positiv bzw. semidefinit negativ, falls sie zwar stets das Plus- bzw. Minuszeichen hat, aber auch für gewisse Wertsysteme dx, dy, 157]

dz, . . . gleich Null wird. Wenn die quadratische Form d²f für gewisse Wertsysteme dx, dy, dz positiv und für andere negativ ausfällt, heißt sie indefinit.

Die Sätze 4 und 5 lassen sich also so zusammenfassen:

Satz 6: Ist eine Funktion f{x, y, z,...) nebst ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung in einer Umgebung der Stelle (x₀, y₀, z₀, . . .) stetig, so kann sie daselbst nur dann einen Extremivert haben, wenn dort erstens df = 0 wird und zweitens d‘²f eine definite oder semidefinite Form der Differentiale dx, dy, dz, . . . ist. Ist d²f dort insbesondere eine definite Form, so tritt sicher ein Maximum oder Minimum ein, und zivar, je nachdem diese Form negativ oder positiv ist.

In dem Falle, wo d²f an der Stelle (x₀, y₀, z₀, . . .) semidefinit ist, leiten wir weiter keine entscheidenden Merkmale für das wirkliche Auftreten eines Extremwertes ab. Dann nämlich hat man auch die vollständigen Differentiale von höherer als zweiter Ordnung zu berücksichtigen. Man kann aber in einem solchen Falle, wenn eine bestimmte Funktion f vorliegt, versuchen, die Entscheidung dadurch zu treffen, daß man zusieht, ob die Definition der Extremwerte in Nr. 153 zutrifft.

158. Bedingungen für ein definites vollständiges Differential zweiter Ordnung. Um den letzten Satz anwenden zu können, muß man ein Verfahren haben, mittels dessen man erkennt, ob ein vollständiges Differential d²f definit ist. Nun haben wir in Nr. 156 gesehen, wie man feststellen kann, ob d²f wenigstens semidefinit ist. Verschärfen wir die Forderung, indem wir verlangen, daß d²f definit sein soll, so können wir zunächst entsprechend wie dort beweisen, daß fxx, f y, fZ3, . . . sämtlich von Null verschieden sein und zwar im Falle einer definiten positiven Form sämtlich positiv sein müssen. VVenn wir nun d'²f auf die dort angegebene Gestalt (3) bringen, sehen wir: Weil fxxh + P gleich Null gemacht werden kann, muß gefordert werden, daß fxxQ — P²>0, aber =f= 0 sei, d. h. diese neue quadratische Form, die eine Veränderliche weniger enthält, muß auch definit und positiv sein. Umgekehrt: Ist sie definit und positiv, so ist d²f nach (3) in Nr. 156 auch definit und positiv.

Das in Nr. 156 angegebene Verfahren gilt also auch, jetzt, nur muß man überall, wo dort die Zeichen standen, jetzt das Zeichen > allein setzen.

§ 4. Anwendungen.

159. Beispiel. Es liege die Funktion vor: f = xayßzy (a — x — y — z)n,

wo a, ß, y, n ganze positive Zahlen seien und a eine positive Konstante bedeute. Logarithmische Differentiation gibt:

df dx

—r = a -

(i)

dz

■~ + ß?i + y--

x r y ¹ z

dx -f- dy + dz a — x — y — z

Daher ist df = 0 zunächst für f = 0, d. h. für x — 0 oder y = 0 oder z — 0 oder für x + y -p z = a, wenn a > 1 bzw. ß > 1 bzw. y > 1 bzw. n > 1 ist. Von diesen Werten wollen wir absehen. Jetzt ist df = 0 nur noch dann, wenn x, y, z die Werte

(2) xQ =

cc a

ya

, y₀

haben. Auch ist f nehst den partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung in einer Umgebung dieser Stelle stetig. Für diese Stelle wird:

u+ß+Y

cc -f- ß -j- y n

a + [i+ y + n

>o.

Aus (1) folgt durch Differentiation:

(3)

d*f

Da df = 0 und /’>0 für das Wertsystem (2) ist, wird d²f an der Stelle x — x₀, y — y₀, z = z₀ nie positiv. Gleich Null kann d²f hier nur dann werden, wenn alle vier Summanden rechts in (3) einzeln gleich Null werden, d. h. nur für das auszuschließende Wertsystem dx — 0, dy = 0, dz = 0. Demnach ist d²f für die Werte (2) definit und negativ. Folglich gehört zu dem Wertsystem (2) ein Maximum der Funktion f.

160. Größte und kleinste Entfernungen zwischen zwei Funkten, die auf zwei gegebenen Kurven liegen. Im Raume seien zwei Punkte M und M' mit den Koordi-158, 159, 160]

naten x, y, z und x, y, z auf zwei gegebenen Kurven gelegen, so daß etwa y und z gegebene Funktionen von x sind und ebenso y und z gegebene Funktionen von Quadrat der Entfernung MM’ ist:

x.x) Das

(i)

V= (x — x)¹ 2 + {y~ y)² + {z — *')*,

also eine Funktion von x und x allein, da y, z Funktionen von x sind und y', z' Funktionen von x. Wir suchen die Extremwerte von V. Es kommt:

dz

(2)

ferner:

(3)

kZ = (~x-3r> + {-y-y>rx + (.*-*)

= 1+(sl)⁺ © + (y - y"> rl*,+ (* - *') — (¹⁺

“¹+(ä!)+(äi¹)-(y-y')ih

i a*F

2 2a:²

1 0² V

2 dx dx

1 d*v

■ 2 dx'²

dy' dy dx' dx

dx’

EU &

/ f\ dz ~ (⁰ ~ ⁰ ) dx' ’

d²s

da:² ’

dz'dz\

‘ dx dx) ’

Die ersten Bedingungen für ein Maximum oder Minimum sind also nach (2):²)

(4)

(X - %•) + (y - y‘) % + (*-    - 0,

(x - x) + (y - y) % + (*-*')% - 0.

Dies ist ein System von zwei Gleichungen zur Bestimmung von x und x. Wird für ein Wertepaar x, x, das diesen Gleichungen genügt,

(5)

d*V d^V _ dx² dx'²

so hat MM' ein Maximum, wenn c²V: dx² < 0 ist, und ein Minimum, wenn d²V:dx²> 0 ist, nach Satz 3 von Nr. 154. Wird der Ausdruck (5) dagegen negativ, so entspricht dem

gefundenen Wertepaare x, x weder ein Maximum noch ein Minimum. Wird er gleich Null, so lassen wir die Frage unentschieden.

161. Kleinste Entfernung zwischen zwei Funkten auf zwei gegebenen Oreraden. Sind die beiden Kurven, die wir uns in Nr. 160 gegeben dachten, Geraden im Raume, so sind y und z lineare ganze Funktionen von x und ebenso y' und z lineare ganze Funktionen von x'. Es sei also:

(i)

y = bx + ß,    z = cx + y;

y = Vx + ß', z = cx + y\ wo b, ß, c, y und b', ß'} c, y Konstanten bedeuten. Alsdann wird dy:dx = b, dz:dx = c, dy : dx' = &', dz’.äx^c', während die Ableitungen zweiter Ordnung von y und z nach x und von y und z nach x gleich Null sind. Einsetzen der Werte (3) von Nr. 160 in (5) ebenda gibt also:

(ixW) = ⁴ [(*- - V1) + (c- O² + (»«'- »Vf\> 0 •

d*V d*V _ dx² dx'*

Jene Bedingung (5) ist daher erfüllt, wenn nicht b = V und zugleich c — c ist, d. h. wenn die beiden gegebenen Geraden einander    nicht    parallel sind. Außerdem wird dann    d²V:    dx²    =

2 (1 -f- b² +    c²) > 0, so daß ein Minimum eintritt.    Die    Be

dingungen (4) von Nr. 160 sind hier:

(x — x) -f (y — y) b + (z — z) c = 0,

(x — x) + {y — y) b'+ (z - z)c' = 0.

Demnach ist

(2) x — x =k(bc'— cb'), y —y'=k(c — c), z — z'= — k(b — b')

zu setzen, wo Ti noch zu bestimmen ist. Zunächst folgt daraus für das Quadrat der kürzesten Entfernung:

F= l²[{b - b')² + (c - c)² + (bc-cb’)²].

Um h zu bestimmen, setzen wir die Werte (1) in (2) ein. Alsdann gehen drei in x, x, Tt lineare Gleichungen hervor, aus denen sich ergibt:

, (ß ß ) (c c) (y y') (b b‘) (& — F)s + (c — c')* + (&c — c F)²

Also ist

F=

(& — by + (c — c')² + (b c'— cb')

160, 161] das Quadrat des kürzesten Abstandes zwischen zwei Punkten der beiden Geraden (1). Das Verschwinden des Zählers von V ist die Bedingung dafür, daß die beiden Geraden (1) einander schneiden.

162. Größte und kleinste Entfernungen eines Punktes von den Punkten einer Fläche. Es seien a, b, c die

rechtwinkligen Koordinaten eines gegebenen Punktes Pirn Raume und x, y, z die eines veränderlichen Punktes M auf einer gegebenen Fläche. Das Quadrat der Entfernung beider Punkte ist:

V = (x — af + (y — b)² + (e — c)².

Weil der Punkt M oder (x, y, z) auf einer gegebenen Fläche liegt, ist z eine gegebene Funktion von x und y¹), also V eine Funktion von nur zwei unabhängigen Veränderlichen x und y. Wir verstehen wie in Nr. 85 unter p, q die partiellen Ableitungen erster und unter r, s, t die zweiter Ordnung von z, so daß dz = p dx + q dy, dp = r dx -f- s dy, dq = s dx -f t dy ist. Nun kommt:

(1)

1    Vx = (x-a) + p(z — c),

4-vy = (y — V) + q(?-cy,

= ¹ +p²+r(z-c),

(2)

= M + s(z- c),

2    Vyy ~ 1 + P + ^ (j² ~ C)‘

Mit Benutzung der Abkürzungen A = rt — s²,

(3)

ergibt sich:

B = (1 + q²)r — 2pqs + (1 + p²)t, G = p² + q² -f 1

F«) -A(f- c)>+ B{t - c) + C.

Die erste notwendige Bedingung d V = 0 des Maximums oder Minimums von V gibt nach (1):

(4)

(x — a) p (z — c) = 0,

(y — V)+q(e-c) = 0.

1) Wir werden im 9. und 10. Kapitel ausführlich über Flächen

sprechen.

¹⁸* [161, 163

Diese beiden Gleichungen zusammen mit der Gleichung der Fläche selbst bestimmen die Koordinaten x, y, z derjenigen Punkte M der Fläche, die von dem gegebenen Punkte P größte oder kleinste Entfernung haben können.*) Ein Maximum oder Minimum kann nach Satz 3, Nr. 154, überhaupt nur dann vorhanden sein, wenn

(5)

A (z — cf + B(z — c) -f- G 0

ist. Wir bestimmen nun zunächst eine Größe Z derart, daß

(6)

A(z-Zy + B(z-Z) + <7=0

wird. Die Wurzeln Z dieser quadratischen Gleichung sind reell,

denn die Diskriminante der Gleichung, nämlich

P²—4MC= [(1 -f q²)r—2pqsA(l +p²)£]²—4(j)²-fg²+l)(W—s²)

■I

“(i+ip²)(i

+ 0²+y +1) (i + p²) (i + <f)    i + q

ist positiv. Sind nun zx und zt die Wurzeln Z von (6), so wird die linke Seite dieser Gleichung für alle Werte von Z gleich

+ (X Z) (#₂ — Z),

also auch für Z = c, und folglich wird, wenn man für A seinen Wert aus (3) einsetzt, die Bedingung (5) diese:

(7)

(r t — s²) (zx — c) (#₂ — c) 0.

Bezeichnen wir mit Kx und K₂ diejenigen beiden Punkte'²) der Geraden PM, deren ^-Koordinaten gleich zx und z₂ sind, so sagt die Bedingung (7): Wenn

rt — s² > 0

ist, darf der Punkt P nicht zwischen den Punkten Kx und Ä"2 gelegen sein. Dagegen muß, wenn

rt — s² < 0

ist, der Punkt P zwischen Kx und 2T₂ liegen. Fällt P mit

1)    Wir werden in Nr. 253 sehen: Die Bedingungen (4) sagen aus, daß der gegebene Punkt P auf der Normale liegen muß, die der gegebenen Fläche im gesuchten Punkte M zukommt.

2)    Aus Nr. 317 kann man erkennen, daß und Nt die beiden Hauptkrümmungs-Mittelpunkte des Flächenpunktes M sind.

¹

   Wir werden im 9. Kapitel ausführlich über Raumkurven sprechen.

²

   Wie Nr. 252 zeigen wird, besagen die Forderungen (4), daß die Gerade M M' zur Tangente der ersten Kurve in M und zur Tangente der zweiten Kurve in M' senkrecht sein muß.

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integr.-Keohn. I. 6. u. 7. Anfl.

Ky oder K₂ zusammen, so bleibe es dahingestellt, ob ein Maximum oder Minimum eintritt.

Noch ist die Entscheidung über das Maximum oder Minimum zu treffen. Ist die Bedingung (5) erfüllt und der Fall der Gleichheit ausgeschlossen, ist also Vxx Vyy — V£y > 0, so hat die quadratische Gleichung für u:

keine reelle Lösung, woraus, wenn wir u durch q : p ersetzen, folgt, daß

2*^,- %MVXy -'rP'Vyy

für kein Wertepaar p, q gleich Null ist, außer für p = q == 0, und daher dasselbe Vorzeichen wie Vxx oder Vyy hat. Die Summe aller drei Größen, nämlich:

vyi

ist daher im Falle Vxx > 0 bzw. < 0 ebenfalls > 0 bzw. < 0, so daß nach Satz 3 von Nr. 154 ein Maximum oder Minimum eintritt, je nachdem diese Summe negativ oder positiv wird. Wegen der Werte (2) und (3) ist die Summe das Doppelte von B (z — c) -f- 2C. Also tritt ein Maximum oder Minimum ein, je nachdem

B(z — c) + 2 C < 0 oder > 0

wird. Die Gleichung (6) aber, deren Wurzeln Z=ex und Z = z2 sind, gibt:

(8)    = _ (* _ et) -(0- z₂)

B(z-c) + 2G=(^

so daß

— + Inh) o

«i    * —**/

wird. Weil G nach (3) größer als Eins ist, folgt also: Es tritt ein Maximum oder Minimum ein, je nachdem

(9)

-c-~gx. i c

Z - Zy Z

² < 0 oder > 0

ist. Wegen G > 1 und A = rt — s² lehrt ferner die zweite Gleichung (8): Es wird

(10) (z — Zy) (z — z₂)    0, je nachdem r t — s² ^ 0 ist.

Nehmen wir nun zunächst rt— s² > 0 an, so haben z — zx und z — z₂ dasselbe Zeichen. Außerdem haben dann nach (7) auch z₁—c und z₂ — c dasselbe Zeichen, so daß P nicht zwischen Kx und K₂ liegt. Die Punkte P und M liegen also nicht auf der Strecke KXK₂, sondern auf ihren Verlängerungen. Da c, z, zv z₂ die Koordinaten von P, M, Kv K₂ sind, lehrt (9), daß ein Maximum eintritt, wenn P und M auf den beiden verschiedenen Verlängerungen der Strecke KXK₂ liegen, dagegen ein Minimum, wenn sie auf derselben Verlängerung dieser Strecke liegen.

Nehmen wir zweitens rt — s² < 0 an, so haben z — zx und z — z₂ nach (10) verschiedene Zeichen. Außerdem haben nach (7) auch zx — c und z₂ — c verschiedene Zeichen. Sowohl P als auch M liegt daher jetzt zwischen Kx und K₂. Die in (9) stehende Summe ist in diesem Falle positiv, d. h. es tritt ein Minimum ein.

Ist drittens rt — s² = 0, also A = 0, so vereinfacht sich die Bedingung (5), wenn wir wieder vom Falle der Gleichheit absehen, so:

B{z — c) + G > 0.

Dann wird aber auch, da C > 1 ist, B(z — c) + 2C > 0, d. h. dann tritt ein Minimum ein. In diesem Falle hat die quadratische Gleichung (6), da sie auf eine lineare Gleichung zurückkommt, nur eine Lösung zl} so daß nur ein Punkt Kx vorhanden ist. (Den anderen, K₂, mag man sich unendlich fern auf der Geraden PM denken.) Dann wird B(z — zf)-{-C= 0, also B = — C:(z — zf), so daß die Bedingung (5) wegen C > 1 so lautet:

^>0.

2 — Zx

Also liegt P auf derselben Seite von Kx wie M.

Ist endlich für den Punkt M nicht nur A == 0, sondern auch B = 0, so wird die Bedingung (5):

G> 0.

Sie ist nach (3) immer erfüllt. Bei dieser Annahme aber hat man:

rt — s²= 0, (1 + <f)r ~ 2pqs + (1 + p²)t = 0.

Multipliziert man die zweite Gleichung mit r und substrahiert man dann von ihr das (1 +^²)-fache der ersten, so kommt: rs -f s² -f- (rq — spf = 0,

folglich

r = 0, s = 0, t — 0.

Da jetzt Vxx nach (2) positiv ist, tritt ein Minimum ein. In diesem Falle ist keiner der beiden Punkte und K₂ (im Endlichen) vorhanden.

163. Ein Ausnahmefall. Bei der Untersuchung der Maxima und Minima betrachteten wir nur solche Stellen, an denen die vorkommenden partiellen Ableitungen der Funktionen stetig waren. Es kann sich aber , auch in anderen Fällen ein Maximum

Kg. 24.

oder Minimum der Funktion ergeben, z. B. an einer Stelle, wo die Ableitungen erster Ordnung unbestimmt werden. Hierfür diene als Beleg die Lösung __ der folgenden einfachen geometrischen ^ Aufgabe:

In der Ebene eines gegebenen Dreiecks soll derjenige Funkt bestimmt werden, für den die Summe der Entfernungen von den Eckpunkten des Dreiecks ein Minimum ivird. Siehe Fig. 24. Eine Seite AB des Dreiecks wählen wir als #-Achse und

die dazu Senkrechte durch A als y-Achse. Die Länge der Seite AB sei c, die Koordinaten der dritten Ecke C seien x₀, y₀ und die des gesuchten Punktes M seien x, y. Die Funktion von x und y, deren Minimum gesucht wird, ist dann:

y² + Vl% - cf + y² + V(x — x₀f +(y —1/₀)²,

wo alle drei Wurzeln mit dem Pluszeichen zu nehmen sind. Geometrisch leuchtet ein, daß ein Minimum vorhanden sein muß.

Setzt man die partiellen Ableitungen der Funktion gleich Null, so bekommt man die beiden Gleichungen

(1)

yx* +

y_

X— C ^ _X — x₀    _ Q

Y(x — Cp + y* y (X- X₀)³ -\-(y — y₀Y

+_y-__+ — y-y> ........= 0,

/*    V(* — 0* + y* V(x — *₀)² + (y — 2/oP

[16a, 163

die in den laufenden Koordinaten x, y zwei Kurven darstellen, deren Schnitt den gesuchten Punkt M liefert. An Stelle dieser Kurven kann man aber zwei einfachere setzen. Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit cp, %, ip die Winkel, die von AM, BM, GM mit der positiven Abszissenachse gebildet werden. Jeder dieser Winkel wird beschrieben durch einen Strahl, der zunächst in der Richtung der positiven x-Achse durch den Punkt A oder B oder C gelegt ist und sich dann um A oder B oder C nach der positiven Ordinatenachse hin so weit dreht, bis er durch M geht. Es kommt:

V&TF ’

cos cp

cos % =

j/(x — c)* -f y*⁷

sin i =

]/(£ — c)s -f y¹ ’

x — x₀

V(x — x₀)i + (y — y₀y’

sin =

Y(f — xo)* + (y — y»Y

Sämtliche Wurzeln sind positiv. Wenn nun ein Punkt (x, y) vorhanden ist, dessen Koordinaten die Gleichungen (1) und (2) befriedigen, bestehen also für ihn die Gleichungen:

cos cp + cos % — — cos if>, sin cp + sin % = — sin ip. Quadriert man sie und addiert man sie dann, so kommt:

(cos cp -f- cos x)² + (sin <P + sin — 1

oder

cos (x - cp) = — -1-.

Ebenso ergibt sich

Also ist % — cp = AMB = 120°.

BMC = 120°, <£ CMA = 120°. Hieraus folgt, daß der Punkt M der Durchschnitt von drei Kreissegmenten ist, von denen jedes über einer Dreiecksseite, einen Winkel von 120° fassend, beschrieben ist. Die Kreise, die zu zweien dieser Segmente gehören, kann man also an die Stelle der durch die Gleichungen (1) und (2) dargestellten Kurven setzen. Damit sich aber diese Kreise wirklich schneiden, ist notwendig und hinreichend, daß alle Winkel des Dreieckes kleiner als 120° seien.

Ist ein Winkel größer als 120°, so liefern also die Gleichungen (1) und (2) keine Bestimmung des Minimums, obgleich

163] es sicher vorhanden ist. Die linken Seiten dieser Gleichungen sind aber nur dann nicht mehr bestimmt, wenn man x und y durch die Koordinaten einer Dreiecksecke ersetzt; folglich kann dann der gesuchte Punkt nur ein Eckpunkt sein. Dies wollen wir jetzt auch analytisch beweisen, indem wir andere Koordinaten einführen.

Wir benutzen Polarkoordinaten für M, nämlich den Winkel cp von AM mit der positiven x-Achse und den Kadiusvektor p = AM. Ist die Strecke AG = b und <)C BAG = a, so stellt sich die Summe der Entfernungen des Punktes M von A, B und G so dar:

S = p -f- j/c² -f p² — 2cp cos cp -|- ]/5² -f- p² — 2 & p cos (a — cp),

wo p positiv ist und auch die Wurzeln positiv zu nehmen sind. Wie nahe auch M hei A liegen mag, der Winkel cp kann dabei noch ganz beliebige Werte haben. Liegt M in A, so ist p = 0. Also haben wir zu untersuchen, ob diese Funktion S für p = 0 in der Tat ein Minimum hat und zwar für alle Werte von cp. Es liegt daher die Aufgabe vor, zu untersuchen, oh eine Funktion S von einer einzigen stets positiven Veränderlichen p für p = 0 ein Grenzminimum hat (vgl. Nr. 148), wobei die Funktion noch eine willkürlich wählbare Größe cp enthält. Es kommt:

dS

q — b cos (o: — cp)

}/b² -f- Qi — 2bQ cos (oc — cp),

dQ

Q — C COS Cp j/c² Q² — 2CQ COS qp

also für p = 0:

(äf) o⁼¹“ C0S ^ ~~ C0S

9?) = 1 — 2 cos a cos ( |- a — cp).

Ist oc kleiner als 120°, so wird 2 cos \ a größer als Eins. Der Winkel cp kann dann so gewählt werden, daß entweder

oder cos ({ a —fp)>

wird, d. h. daß dS:dp für p = 0 entweder positiv oder negativ ist, S also von demjenigen Werte an,‘ den es für p = 0 hat, mit wachsendem cp entweder zu- oder abnimmt, so daß dann für p = 0 weder ein Maximum noch ein Minimum vorliegt.

Ist jedoch a größer als 120, so wird 2cos^ce kleiner als Eins, also auch, da cosQ-a — cp) Eins nicht übersteigt, dS:dp für p = 0 stets positiv, wie auch cp gewählt sein mag. Dann liegt für 0 = 0 ein Minimum vor.

Ist a gerade gleich 120°, so gibt es zwar Winkel cp, für die dS: dp im Falle 0 = 0 gerade gleich Null ist, aber keine Winkel cp, für die es negativ wäre. Dann gibt es zwar in der Umgebung von A Stellen M, für die S denselben Wert hat, wie an der Stelle A selbst, dagegen keine, für die S dort kleiner wäre als an der Stelle A.

164. Extremwerte einer unentwickelten Funktion von mehreren Veränderlichen. Es mögen m Gleichungen zwischen n -f- m Veränderlichen xx, x₂, . . . xn, yx, y₂, . . . ym vorliegen:

(1)    fk(xi>    • ■ • xni Vn V*, ■ ■ ■ ym) =0    (7c = 1, 2, .. . m).

Die Funktionen /j, f₂, . . . fm seien voneinander unabhängig hinsichtlich yx, y₂, . . . ym, d. h. es sei die Funktionaldeterminante

• • • fm

to bO ³

) + o,

• • • ym'

vgl. Satz 4, Nr. 80. Setzen wir ferner voraus, daß die Forderung (E in Nr. 77 erfüllt sei, so definieren die Gleichungen (1) nach Satz 3 von Nr. 79 die Größen yx, y₂, ... ym als Funktionen der n unabhängigen Veränderlichen x1} x₂, ... xn mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches von x1} x₂, . . . xn. Wir stellen uns alsdann die Aufgabe, diejenigen Werte von xx> x2} . . . xn zu finden, für die irgend eine der m Funktionen yx, y₂, . . . ym, z. B. yi} ein Maximum oder Minimum haben kann, indem wir nach Satz 2 von Nr. 153 verlangen, daß für die gesuchten Werte x1} x₂₎ ... xn die Gleichungen

8x₁

= 0,

dx₂

= 0 oder dy{ = 0

bestehen. Nach (1) ist: dxt + • • • +

dfk

14

dxn

dxn-[

dfk

dfk

fcO

8ym

dym = ⁰

Diese m Gleichungen sind nach dylf dy₂, . . . dym auflösbar, da die Determinante A 4= 0 ist- Insbesondere ergeben sie:

wo A₂. diejenige Determinante bedeutet, die aus der Determinante A hervorgeht, wenn darin die m Glieder

dfi

cd

dfm

hi

durch die m Größen

dfi

dfi

dXy

dxn

dxn, • • •

Ofm

’ dx.

dxx -f •

QU QU

ersetzt werden. Demnach ist Af linear und homogen in dxt, dx₂, . . . dxn. Nun muß dyi für das gesuchte Wertsystem x1} x₂, ... xn und für alle Werte der unabhängigen Differentiale dxt, dx₂, . . . dxn gleich Null sein. Daher sind die n Koeffizienten von dxt, dx₂, . . . dxn in Ai einzeln gleich Null zu setzen. So gehen n Bedingungen hervor, die zusammen mit den m gegebenen Gleichungen (1) gerade n + m Gleichungen in xlf x₂, . . . xn, yt) y₂, . . . ym ausmachen, aus denen die gesuchten Werte von xi} x₂, . . . xn zu bestimmen sind.

Ob aber für ein solches Wertsystem x1} x₂, . . . xn wirklich ein Maximum oder Minimum von y{ eintritt, steht noch dahin.

165. Nebenbedingungen. Die letzte Betrachtung umfaßt auch folgenden Fall: Es sei u = F(x1} x₂, . . . xn) eine gegebene Funktion von n Veränderlichen xlf x₂,... xn, die aber ihrerseits nicht voneinander unabhängig, sondern etwa r (<w) voneinander unabhängigen Bedingungen

(1)

(* = 1, 2, . . . r)

(pk{xt, x₂, . . . xn) = 0

unterworfen seien. Die Frage ist, für welche erlaubten Werte von xl} x₂, . . . xn ein Maximum oder Minimum der Funktion F möglich ist. Insgesamt liegen hier r -f 1 voneinander unabhängige Gleichungen

(2)

9h = 0, 9>2 =    • • • <Pr = u ~ F = 0

in den n -fl Veränderlichen xlf x₂, ... xn und u vor, also gerade so wie in voriger Nummer m Gleichungen in nf «t

[164, 165

Veränderlichen xt, x₂, . . . xn, yx, y₂, . . . ym. Sie definieren r -fl Veränderliche — darunter auch u — als Funktionen der übrigen. Gefragt wird nach den Extremwerten von u. Wir können mithin das Verfahren der vorigen Nummer anwenden, wollen es aber in eine etwas andere Form bringen.

Da du = 0 sein soll, geben die r + 1 Gleichungen (2) die r -f- 1 Bedingungen:

(3)

Aus ihnen müssen, weil nur n — r Veränderliche voneinander unabhängig sind, also auch r Differentiale von den übrigen abhängen, insgesamt r Differentiale eliminiert werden. Die verbleibende Gleichung soll alsdann für alle Werte der noch vorkommenden n — r Differentiale bestehen. Mithin müssen sämtliche Koeffizienten der Differentiale in dieser einen Gleichung gleich Null gesetzt werden, wodurch die n — r Bedingungen der Lösung hervorgehen.

Um etwas Bestimmtes ins Auge zu fassen, nehmen wir an, cp₁, cp₂, ... rpr seien etwa hinsichtlich xx, x₂, . . . xr voneinander unabhängig, d. h. nach Satz 4, Nr. 80, sei die Funk-tionaldetermina nte:

Sk

Alsdann lassen sich dxX} dx₂, . . . dxr aus den r ersten Gleichungen (3) berechnen und in die letzte Gleichung einsetzen, wodurch dxt, dx₂, . . . dxr eliminiert werden. Diese Elimination können wir uns nun so ausgeführt denken: Wir multiplizieren die r ersten Gleichungen (3) mit Faktoren Xx, A₂, . . . lr und addieren sie dann zur letzten Gleichung (3). Dabei können wir uns die Größen Ax, A₂, . . . Xr so gewählt denken, daß dxi} dx₂, . . . dxr in der hervorgehenden Gleichung fehlen. Weil nun aber die Koeffizienten von dxr + l, dxr + 2, . . . dxn in der hervorgehenden Gleichung gleich Null gesetzt werden sollen, müssen nicht nur die Koeffizienten von dxx, dx₂, . . . dxr, sondern die aller n Differentiale dx1} dx₂, . . . dxn in der durch 165]

jene Addition aus (3) hervorgehenden Gleichung gleich Null gesetzt werden. Mithin ergeben sich die n Bedingungen:

Wenn man aus ihnen die r unbekannten Größen X1} X₂, ... Xr eliminiert, geben die Bedingungen hervor, die zwischen xl7 x₂, ... xn bestehen müssen für solche Stellen, an denen die yorgelegte Funktion F ein Maximum oder Minimum haben kann.

Durch die Anwendung der Faktoren Xx, X

2> •

. . Xr ist die

T    ß

Elimination symmetrisch geworden, denn in den Gleichungen

(4) sind jetzt die r Veränderlichen x₁₇ x₂, ... xr nicht mehr gegenüber den n — r anderen bevorzugt. Dieselben Gleichungen gehen also auch hervor, wenn cp₁₇ <p₂, . . . cpr nicht gerade hinsichtlich x1} x₂,. . . xr, sondern hinsichtlich irgendwelcher r der n Veränderlichen x1} x₂, ... xn voneinander unabhängig sind.

166. Andere Formulierung der Aufgabe mit Nebenbedingungen. Die soeben gegebene Behandlung des Problems kann noch anders gedeutet werden:

Stellen wir uns einmal vor, die Funktion

f = F F Xxcpx X₂y₂    Xrcpr

von n -f- r unabhängigen Veränderlichen xu x₂,.. .xn, X1} X₂,...Xr sei gegeben, wobei F, cp₁₇ cp₂, ... cpr von den Veränderlichen Xlf X2} ... Xr frei sind. Alsdann fragen wir, für welche Wertsysteme der »-fr Veränderlichen die Funktion f ein Maximum oder Minimum haben kann. Nach Satz 2 von Nr. 153 ist zu fordern:

df

= 0,

df

dxt

= 0, •

df

df

dl,

= 0,

df

d\

df

dl,.

= 0.

Die ersten n Gleichungen sind gerade die Bedingungen (4) der vorigen Nummer, und die letzten r Gleichungen sind die in voriger Nummer vorausgesetzten Bedingungen (1). Mithin ergibt sich der

Satz 7: Liegt eine Funktion F(xx, x₂, . . . xn) von n Veränderlichen x₁₇ x₂, . . . xn vor und bestehen zwischen den Veränderlichen r (< n) voneinander unabhängige Bedingungen

<Pi = °»    = 0,.. . qpr = 0,

so findet man diejenigen Werte der Veränderlichen, für die F ein Maximum oder Minimum haben kann, genau so, als ob die Aufgabe vorläge, diejenigen Werte von n V r voneinander unabhängigen Veränderlichen xt, x₂, . . . xn, Xx, X₂,... Xr zu finden, für die der Funktion

F    X ₁(p₁ + X₂(p₂ + • • • + kr cpr

von x1} x₂, . .. xn, Xx, X₂, . . . Xr ein Maximum oder Minimium zukommen kann.

In manchen Fällen ist es jedoch zweckmäßiger, die Funktion F von vornherein als entwickelte, aber zusammengesetzte Funktion von nur n — r Veränderlichen aufzufassen, indem man die übrigen r Veränderlichen als Funktionen von jenen betrachtet. So verfuhren wir z. B. in Nr. 160—163.

(1)

Beispiel: Unter allen Dreiecken von gegebenem Umfange 2 s soll das Dreieck mit dem größten Flächeninhalte ermittelt werden. Sind x,y,z die Längen der Dreiecksseiten, so ist x-\-y-\-z = 2s, während das Quadrat der Fläche des Dreiecks den Wert s(s — x) (s — y) (s — z) hat. Demnach handelt es sich um die Bestimmung des Maximums der Funktion F=.(s-x)(s — y)(s- s)

unter der Bedingung:

(2)

cp = x + yFz — 2s = 0.

Nach Satz 7 bilden wir die Funktion:

F -f X(p = (s — x) (s — y) (s — z) -f- X(x -f y -f z — 2s) der vier Veränderlichen x, y, z, X und setzen ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung nach x, y, z und X gleich Null. Dann ergibt sich

—    (s — y) (ß — z) + X = 0, — (s — *) (s — x) + X — 0,

x + y + z — 2s = 0.

—    (s - x) (s - y) + X = 0 Die drei ersten Bedingungen lehren, daß, falls keine der drei Differenzen s — x, s — y, s — z gleich Null ist, x = y = z, also nach der vierten Bedingung

166]

(3)

sein muß. Ist dagegen (s — y)(s-e) = 0, so

B. s — x = 0, so kommt X — 0 und aß etwa auch s — y = 0 sein muß, woraus sich mit Rücksicht auf die vierte Bedingung ergibt:

(4)

2 = 0.

x = y = s

Die beiden anderen Möglichkeiten, daß y = 2 = s, x = 0 oder 2 = £ = s, y = 0 sein kann, gehen aus dieser durch zyklische Vertauschung von x, y, 2 hervor, so daß wir sie beiseite lassen können. Im Falle (3) ist das gesuchte Dreieck gleichseitig, im Falle (4) artet es in eine Strecke aus.

Um zu untersuchen, ob wirklich Extremwerte eintreten, betrachten wir 2 in der Funktion F als die durch die Bedingung (2) definierte Funktion von x und y und bilden dann die Ableitungen von F nach x und y. Es kommt zunächst nach (1):

ff = - (s - y) (s    - *) 0 - y)

d²F

^=2{s-y)

d²F    , n dz f n dz ,    \ , x d²z

Mi “ S “ ⁵ + (s “ *) n +    - ») Sy    y) m-y ■

Daß die Ableitungen erster Ordnung von F nach x und y in den Fällen (3) und (4) verschwinden, steht von vornherein fest. Nach (2) ist ferner:

dz

dx

-(s — x)(s- y)

d²z

dx²’

d² z

— _0 -üi-

dx²    ’ dxdy

Im Falle (3) wird somit, da entsprechende Formeln bei Vertauschung von x mit y gelten:

d*F

dz

¹ + Tx ⁼ °>

= 0.

(5)

3 S’

dagegen im Falle (4):

d~F

d²F

dx²

dxdy

(6)

d²F

d²F _ A d²F _ dx² U’ dxdy S’ dy*

= 0.

Demnach ist

d²F d*F __ / 0*JF\* dx² dy² \dxdy)

im Falle (3) gleicli * s² > 0 und im Falle (4) gleich — s² < 0. Also tritt ein Extremwert nach Satz 3, Nr. 154, nur im Falle (3) ein, und zwar ergibt sich, da s der Natur der Aufgabe nach positiv ist, eine Maximum, weil b²F: dx² = — f- s negativ ausfällt. Daß im Falle (4), obgleich dann das Dreieck den Inhalt Null bekommt, kein Minimum hervorgeht, erklärt sich daraus, daß F auch negative Werte haben kann.

Siebentes Kapitel.

Theorie der ebenen Kuryen.

§ 1. Kurve, Tangenten und Normalen.

167. Begriff der ebenen Kurve. Unter einer ebenen Kurve verstehen wir den Inbegriff aller Bildpunkte (x, y) einer Funktion y = fix), die in einem Variabilitätsbereiche der Veränderlichen x überall stetig ist und überall eine bestimmte endliche Ableitung f (x) hat. Gelegentlich werden wir noch mehr Forderungen an f(x) stellen.

Unter den gemachten Voraussetzungen gehört zu jedem Werte von x innerhalb des Variabilitätsbereiches ein Kurvenpunkt ix, y), ferner bilden alle Kurvenpunkte wegen der Stetigkeit von fix) eine lückenlose Kette, und drittens hat die Gerade, die durch einen bestimmt gewählten Kurvenpunkt M0 und einen anderen Kurvenpunkt M geht, eine Grenzlage, wenn die Abszisse x von M in die Abszisse x₀ von M₀ übergeht. Diese Grenzlage ist die Tangente des Kurvenpunktes M₀, vgl. Nr. 27 und 32.

Es gibt Funktionen y = fix), die in einem Variabilitätsbereiche überall stetig sind und doch nirgends eine bestimmte endliche Ableitung haben. Ihre Bildpunkte ix, y) bilden also zwar lückenlose Ketten, diese haben jedoch keine Tangenten, weshalb wir sie auch nicht als Kurven bezeichnen.

Wir werden in der Folge öfters kurz sagen, eine in einem Bereiche definierte Funktion sei differenzierbar, sobald sie dort überall eine bestimmte endliche Ableitung hat. Benutzen wir diese Ausdrucks weise, so fassen wir das Gesagte so zusammen: Von Funktionen y = fix), die Bilder haben sollen, die man

Serret-Scheff era, Diff.- u. Integr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl.

Kurven zu nennen pflegt, ist die Differenzierbarkeit zu verlangen, die nach Satz 1, Nr. 27, die Stetigkeit nach sich zieht.

168. Analytische Darstellung einer ebenen Kurve.

Ist f(x) eine innerhalb eines Intervalles a < x <Cb differenzierbare Funktion, so stellt die Gleichung

(1)

V = f(?)

ebenda eine Kurve dar, besser gesagt, einen Kurvenziveig, denn es kann sehr wohl sein, daß verschiedene Teile einer geometrisch definierten Kurve durch verschiedene Funktionen analytisch ausgedrückt werden. Jede Gerade, die zur y-Achse parallel ist und deren Abszisse im Intervalle von a bis b liegt, hat mit diesem Kurvenzweige einen und nur einen Punkt gemein. Liegt allgemeiner eine nicht nach y aufgelöste Gleichung

(2)

F(x,y) = 0

vor, die y als eine gewisse differenzierbare Funktion von x innerhalb eines Variabilitätsbereiches a < x <C.b definiert, so kann sie ebenfalls zur analytischen Darstellung eines Kurvenzweiges benutzt werden.

Wir können auch, wie schon in Nr. 93 angedeutet wurde, eine Hilfsveränderliche oder einen Parameter t heranziehen: Es sei nämlich <p(t) eine innerhalb eines gewissen Intervalles a < t < ß differenzierbare Funktion von t, die, sobald t von a bis ß wächst, alle Werte von a bis b gerade einmal annimmt. Alsdann können wir in (1) für x diese Funktion cp(t) setzen; variiert nämlich t von a bis ß, so geht x = cp (t) von a bis b, und infolge von (1) wird y = f(gp(t)), d. h. eine Funktion ty(t), die in dem Bereiche a < t < ß differenzierbar ist, indem — f (cp) cp' ihre Ableitung gibt. Wir kommen so zur Darstellung einer Kurve in der Form

(3)

wo cp und -ip differenzierbare Funktionen von t innerhalb eines Variabilitätsbereiches a<7</3 bedeuten sollen.

Sind umgekehrt cp und ip gewisse zwei in einem Intervalle a < £ < /3 differenzierbare Funktionen von t und nimmt cp(t), wenn t von a bis ß wächst, alle Werte von a bis b gerade einmal an, so ist t die zu x = cp (t) inverse Funktion von x 167, 1681

(vgl. Nr. 10), etwa t =    die alle Werte von cc bis ß ge

rade einmal annimmt, wenn x alle Werte von a bis b durchläuft. Sie ist stetig und differenzierbar, wenn wir t auf ein Intervall beschränken, in dem cp'(t) nirgends verschwindet, vgl. Satz 18 von Nr. 37, so daß, wenn wir t = Q(x) in die zweite Gleichung (3) einsetzen, eine Darstellung der Kurve in der Form y = if>(&(x)) hervorgeht, die sich der ersten Form (1) unterordnet. Lassen wir auch Stellen zu, an denen cp' (t) = 0 wird, so sagen wir immer noch, daß die Gleichungen (3) eine Kurve oder einen Kurvenzweig definieren. Alsdann kann jedoch eine Parallele zur Abszissenachse die Kurve sehr wohl in zwei oder noch mehr Punkten treffen.

169. Gleichung der Tangente und Normale. Ist eine Kurve in der Form (1) der vorigen Nummer vorgelegt, so bildet die Tangente desjenigen Kurvenpunktes M, dessen Abszisse x ist, mit der z-Achse einen Winkel r, von dem wir zwar schon wissen, daß sein Tangens den Wert f (x) hat, über dessen scharfe Definition aber noch etwas nachgetragen werden muß: Wir denken uns die Kurve im Sinne zunehmender Abszissen x durchlaufen. Der Tangente geben wir dementsprechend diejenige positive Richtung, nach der ein Punkt auf der Tangente hinwandert, wenn seine Abszisse wachst, siehe Fig. 25. Alsdann soll r der Winkel der positiven x-Achse und positiven Tangente sein. In dem Drehsinne von der positiven x-Achse zur positiven «/-Achse hin gemessen ist er positiv, im entgegengesetzten Sinne negativ, so daß t bis auf ganze Vielfache von 2tc völlig bestimmt ist. Man kann, wenn man will, dem Tangentenwinkel x überhaupt i die Beschränkung —    <1 x -j-

auferlegen, braucht dies aber nicht zu

\ }X

tun. Man sieht, daß cos r stets posi-    y \

tiv ist, weil der zwischen der posi- ^_______„__X^ x\ >

tiven Achse und der positiven Tan- T Fig ^ N

gente gelegene Winkel stets spitz ist.

Da tg x = f (x) = y ist, gelten die Formeln:

sinr =

(1)

y'

COS X = —

V¹ v

in denen die Quadratwurzel positiv ist.

yi + y'*’

tg x = y\

Die Senkrechte zur Tangente durch den Berührungspunkt M heißt die Normale der Kurve in M (vgl. Nr. 40). Ihr geben wir ebenfalls einen positiven Sinn. Wir drehen nämlich die positive Tangente im positiven Sinne (d. h. von der positiven x-Achse zur positiven y-Achse hin) um einen rechten Winkel um M herum, wodurch die positive Normale hervorgehen soll. Ist v der Winkel, den die positive #-Achse beschreiben muß, um in diese Normale überzugehen, der sogenannte Normalenwinkel, so kommt also:

v = r -f- \n,

woraus nach (1) folgt:

(2)

sm v =

yi+sr

cos v

— y'

wobei die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist.

In den laufenden Koordinaten £, t) hat die Tangente bzw. Normale des Punktes (x, y) der Kurve

y = fix)

die Gleichung:

(3) t) — y = y (j — x) bzw. £ — x + y'(t) — y) = 0.

Hieraus können wir ihre Gleichungen ableiten für den Fall, daß die Kurve durch eine unaufgelöste Gleichung

F(x, y) = 0

gegeben wird, da ja dann y — — Fx: Fy nach Nr. 54 ist. Statt (3) kommt also für die Tangente bzw. Normale:

(4) F,(%-x) + Ft0>-y) = 0 hzw. F,{i - x) -    - y).

Wenn die Kurve mittels einer HilfsveränderUchen t in der

Form gegeben ist, empfiehlt es sich, auf ihr als Fortschreitungssinn nicht denjenigen festzusetzen, in dem die Abszisse x wächst, sondern denjenigen, in dem die Hilfsveränderliche t wächst. Übereinstimmung zwischen beiden Annahmen herrscht alsdann, solange (p' (t) > 0 ist; an einer Stelle jedoch, wo cp' (t) < 0 ist, ist die neue positive Richtung entgegen der oben festgesetzten. In der Folge wollen wir immer, sobald die Kurve mittels einer Hilfsveränderlichen t dargestellt wird, die auf die Kurve be-1Ö9J

züglichen Formeln nach dieser neuen Bestimmung schreiben. Da dx : dt = cp', dy : dt — ist, wenn die Akzentstriche die Differentiation nach t andeuten, kommt dy : dx = i>': cp'. An Stelle von (1) und (2) haben wir jetzt die Formeln:

(5) sin

W² + v'²

COS X

tgt =

(6) sin v

>v²+v² ’

COS V

— y'

tg" =

wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Die Gleichungen der Tangente und Normale sind:

(7) $ (j — x) = cp' (t) — y) bzw. cp'Qc-x)t'Q) — y) = 0.

170. Länge der Tangente, Normale, Subtangente und Subnormale. Sind T und N die Schnittpunkte der Tangente und Normale des Kurvenpunktes M mit der #-Achse und ist P der Fußpunkt der Ordinate von M (siehe Fig. 25 auf S. 291), so versteht man in engerem Sinne — vgl. auch Nr. 40 — unter der Tangente, Normale, Subtangente und Subnormale die Längen der Strecken von ilf nach T und nach N und der Strecken von P nach T und nach N. Dabei sollen die Strecken positiv oder negativ gerechnet werden, je nachdem ihre Endpunkte auf ihre Anfangspunkte M bzw. P in dem positiven Sinne der Tangente bzw. Normale folgen. Hiernach kommt:

MT = —-

sin T

MN==coat’ FT-~yct «*, PN = y tgr.

Wird die Kurve im Sinne wachsender x durchlaufen, so ergibt sich also nach (1) in voriger Nummer:

y'

MT—Zyr+TT, MN--yVT+7s, PT—K, PN-yy',

wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Wird die Kurve

im Sinne wachsender t durchlaufen, so kommt nach (5) in voriger Nummer:

ipYcp'² -j-1//²

MT

, MN=

> PT= —

v<p'

wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist.

171. Asymptoten. Ist y = f (x) eine Kurvengleichung und ist der Variabilitätsbereich von x bis + oo oder bis — oo erstreckt, so geht der Kurvenzweig ins Unendliche. Wir definieren nun:

Definition: Dine Gerade heißt eine Asymptote eines sich bis ins Unendliche erstreckenden Kurvenzweiges, wenn die Entfernung eines Kurvenpunktes M von der Geraden den Grenzwert Null hat, sobald der Punkt M auf dem Kurvenzweige ins Unendliche rückt.

— oo

Ehe wir die Bedingungen für das Vorhandensein einer Asymptote der Kurve y = f(x) für lim x = -f- oo oder lim x — ableiten, bemerken wir, daß die Asymptote nicht zur y-Achse parallel sein kann, denn die Gerade £ = h hat vom Kurvenpunkte M oder (x, y) die Entfernung x — h, die nicht den Grenzwert Null für lim x = + oo oder == — oo hat. Allerdings können zur y-Achse parallele Asymptoten auftreten, wenn f(x) für einen endlichen Wert von x nach + oo oder — oo strebt. Dieser Fall kann jedoch leicht mittels einer Drehung des Achsenkreuzes auf den anderen Fall zurückgeführt werden.

Die Gleichung einer nicht zur //-Achse parallelen Geraden lautet in der nach der laufenden Ordinate t) aufgelösten Form:

(1)

9 = gi + Ä.

Der Kurvenpunkt (x, y) hat von ihr den Abstand:

y — gx — h

und die Gerade (1) ist also dann und nur dann eine Asymptote, wenn

lim (y — gx — h) = 0

X — 00

ist. Wir schreiben hierin x = oo, worunter x = -f- oo oder x = — oo zu verstehen ist, je nachdem der Variabilitätsbereich von f(x) bis -f oo oder — oo geht. Die Forderung läßt sich auch so schreiben:

(2)

lim (y — gx) = h.

x = oo

Da lim x = oo ist, folgt durch Division mit x um so mehr: lim (— — g\ = lim

a: = oo ' *    ' x — oo

Also muß zunächst:

(3)

lim — = g „ x *

sein. Ist dies der Fall, d. h. hat y : x für lim x = oo einen bestimmten endlichen Grenzwert g, so setzen wir diesen Grenzwert für g in (2) ein; dann ist noch zu fordern, daß auch y — gx für lim x = oo einen bestimmten endlichen Grenzwert li habe. Daher kommt, wenn wir f(x) statt y schreiben, der

Satz 1: Erstreckt sich der durch y = f(x) definierte Kurvenzweig ins Unendliche, indem x bis + oo oder bis — oo gehen darf so hat die Kurve für diesen Grenzwert von x dann und nur dann eine Asymptote

9 = öl + h,

wenn erstens ein bestimmter endlicher Grenzwert

lim

f(x)

= n

x J

und zweitens ein bestimmter endlicher Grenzwert lim \f(x) — gx] = h für diesen Grenzwert von x vorhanden ist.

Betrachten wir nun die Tangente des Kurvenpunktes (x, y). Sie hat nach (3) in Nr. 169 die Gleichung

(4)

9 = y% + (y - xy)-

Wir wollen annehmen, daß ihr für lim x = oo eine bestimmte Grenzlage

(5)

zukomme, daß also

(6)

lim y = g, lim (y — xy) = h

X = co

X = oo

sei. Die Frage ist dann, ob diese Grenzlage (5) eine Asymptote der Kurve sein wird, d. h. oh die Bedingung (2) befriedigt wird. Da

y — gx — h = y — xy+ x(y' — g) — h

ist, hat man hier:

lim (y — gx — h) = lim (y — xy) -f- lim x(y' — g) — h

X = 00

X = co

X = 00

oder nach der zweiten Formel (6):

lim (y — gx — h) = lim x(y' — g).

X = oo

X = CG

Die Grenzlage (5) der Tangente ist demnach in der Tat eine Asymptote, sobald x(y' — g) den Grenzwert Null hat. Nun ist:

—    -    i •

y'—g

Nach der ersten Formel (6) streben Zähler und Nenner rechter-hand für lim x = oo nach Unendlich. Daher gibt Satz 27, Nr. 130, indem man Zähler und Nenner für sich differenziert, vorausgesetzt, daß y — f(x) eine Ableitung zweiter Ordnung hat:

lim x (y — g) = lim

X — CG

X = CG

y"

X = CG

(/— gY

Da y'—g nach (6) den Grenzwert Null hat, wird also der Grenzwert von x(y' — g) in der Tat gleich Null, sobald lim y" + 0 ist. Im Falle lim y" = 0 dagegen steht die Entscheidung noch aus. —

Wenn y = f(x) insbesondere für lim x = oo nicht ebenfalls unendlich groß wird, sondern einen bestimmten endlichen Grenzwert h hat, ist die zur #-Achse parallele Gerade t) = h augenscheinlich eine Asymptote, weil der Kurvenpunkt (x, y) von ihr den Abstand y — h hat, dessen Grenzwert gleich Null ist.

Wenn umgekehrt die Tangente (4) für lim x = oo eine zur x-Achse parallele Grenzlage tj = li hat, also

lim y = 0, lim (y — xy') = h

X — cg

(7)

ist, wird:

X= CG

(8)

lim y = lim (y — xy) + lim xy = h -f- lim xy'.

X — cg

X = cg

X — CG

X=- CG

Nun strebt in xy' der zweite Faktor wegen der ersten Formel (7) für lim# = oo nach Null. Wir berechnen daher den Grenzwert auf Grund von Satz 27, Nr. 130, wieder unter der Voraussetzung, daß y = f(x) eine Ableitung zweiter Ordnung hat, in der Form:

i •    /    i •    CC    i •    1

lim xy = lim — = lim —-

u'²

= - lim K •

X = CG

X = 00

ly"

Er ist nach der ersten Formel (7) augenscheinlich gleich Null,

171]

falls lim y" =|= 0 ist, Infolge die Grenzlage t) = h der Tangente ist eine Asymptote. Im Falle lim y" = 0 dagegen steht die Entscheidung noch aus.

(8) strebt dann y nach h, und

von

Wir fassen die Ergebnisse zusammen in dem Satz 2: Wenn sich der durch y = f(x) definierte Kurvenzweig ins Unendliche erstreckt, indem x entweder bis -f- oo oder bis — oo gehen darf, und die Funktion y = f(x) nicht nur eine Ableitung erster, sondern auch eine Ableitung zweiter Ordnung hat, und wenn der Tangente des Kurvenpunktes (x, y) für lim x = + oo eine bestimmte Grenzlage zukommt, ist diese Grenzlage zugleich eine Asymptote, sobald der Grenzwert der Ableitung zweiter Ordnung y" für lim x = + oo von Null verschieden ist.

Den Ausnahmefall, wo lim y" — 0 wird, wollen wir nicht weiter untersuchen. Er liegt z. B. für lim x — -(- oo bei der Kurve

sina?

y=

vor, da hier

ff

xs

y =

ist. Für lim x — -f oo hat die Tangente (4) dieser Kurve keine bestimmte Grenzlage, denn es wird zwar

lim y = lim (

X= + CO    X= + 00 '

xcosx — sin*

aber der Grenzwert

lim (y — xy) = — lim cos x

X= + CO

X = + CO

bleibt unbestimmt, weil cos x, wie groß auch x werden mag, immer noch alle Werte zwischen — 1 und -(- 1 annehmen kann. Also gibt es für lim x = + oo keine bestimmte Grenzlage der Tangente (ebenso wenig übrigens für lim x — — oo). Dennoch hat die Kurve eine Asymptote, denn die Bedingungen des Satzes 1 sind erfüllt, weil

sin«

= 0, also g = 0

lim ® = lim

x= + oo

flj= + 00 X

und daher

also h = 0

lim \f(x) - gx\ = lim ^ = 0,

» = + 00    »= + CO

ist, so daß die Abszissenachse y = 0 eine Asymptote ist (übrigens ergibt sie sich auch für lim x = — oo).

172. Art und Ordnung der Berührung zwischen Kurve und Tangente. Wir betrachten eine bestimmte Stelle M oder (x, y) einer Kurve y = fix). Es sei t die Tangente und P der Fußpunkt der Ordinate von M, siehe Fig. 26.

Ferner sei der zu x + h gehörige Kurvenpunkt mit Mx und der zugehörige Fußpunkt mit Px bezeichnet, so daß PPX den Wert h hat. Die Ordinate von M ist y = f(x), die von Mx ist yx = fix + h). Die Tangente t treffe die Gerade PXMX in Nx. Der Punkt Nx der Tangente hat dieselbe Abszisse x -f h wie der Punkt Mx der Kurve, aber seine Ordinate rjx ist eine andere. Aus der Gleichung (3) der Tangente in Nr. 169, worin £ = #-}-/& und \) = rjx zu setzen ist, folgt rjx = y-\- y h — fix) -\-f'(x)h, so daß

'1 h

p Fi

Fig. 86

(1)

—    — fix + Ä) — fix) — f ix)h

die Differenz der Ordinaten von Mx und Nx vorstellt. Wenn nun die Funktion f nebst einer Anzahl von Ableitungen f', f",. . . für alle Werte der unabhängigen Veränderlichen von x bis x + h bestimmte endliche Werte hat, können wir fix Ah) nach Satz 19 von Nr. 112 als eine begrenzte Reihe mit Restglied nach Potenzen von h entwickeln. Nach (1) stellt sich dann yx — rjx so dar:

hn + 1

(n+1)!

n + 2)

wo

(3)

Bn+2 = f^)(xA6h)

hn+²

{n -f 2)!

ist und 0 eine gewisse Zahl zwischen 0 und 1 bedeutet. Wir haben hierbei vorausgesetzt, daß die Funktion f nebst allen Ableitungen bis zur (n -|- 2)ten im Intervalle von x bis x -f h bestimmte endliche Werte habe. Die Formel (2) lehrt, daß lim {yx — rjf) = 0 für lim h = 0 ist, was ja auch geometrisch einleuchtet. Sie zeigt aber noch mehr: Um sogleich den denkbar allgemeinsten Fall zu besprechen, wollen wir annehmen, daß an der betrachteten Stelle x unter allen Differentialquotienten von fix) von der zweiten Ordnung an der erste, der 178]

nicht gleich Null ist, die (n -f- 1 )te Ordnung habe. Es sei also an der betrachteten Stelle:

(4) f"(x) = 0, f'"(%) = 0, . . . fW(x) = 0, aber f{-n + V)(x) =1=0.

Dann gibt (2):

Vt-Vi =fO + ¹](x) Hiernach und nach (3) kommt:

(5)

hn + 1

(»+!)!

n-f 2 ‘

(6)

lim *=* =

hn + 1 (n + 1)!

d. h. nach Nr. 127: Die Ordinatendifferenz yt — von Kurve und Tangente verschwindet mit h in der Ordnung n -j- 1.

Das Lot von M₁ auf die Tangente t habe den Fußpunkt Ql. Ist t der Winkel der Tangente t mit der positiven ^-Achse, gemessen in dem in Nr. 169 angegebenen Sinne, so kommt nach (1) in Nr. 169:

(?)

Q.M, = NM. cos r =

11    11    Vi+y*’

wo die Wurzel positiv genommen werden soll. Wir rechnen also Q₁M₁ positiv, wenn Qx und so aufeinander folgen, wie es dem positiven Sinne der Normale n von M entspricht (vgl. Nr. 169). Nach (6) wird

nun:

1 _ f{n+1\x)

yT+y* (w + 1)1

Also verschwindet der Abstand des Kurvenpunktes Mi von der Tangente des Punktes M mit der Abszissendifferenz h von Mx und M in der Ordnung n + 1 •

Die Zahl n heißt die Ordnung der Berührung von Kurve und Tangente. Im allgemeinen wird die Berührung von der ersten Ordnung, d. h. n = 1 sein. Denn sonst müßte ja überall auch f”(x) = 0, also f (cc) = konst. sein, so daß die Kurve eine gerade Linie wäre. Daher können Kurven stellen, an denen die Berührung von höherer als erster Ordnung ist, nur vereinzelt auftreten.

Qi Mi

lim j

A = 0 hn + 1

+ 0.

Wenn die Berührung von wter Ordnung ist, also die Annahmen (4) erfüllt sind, folgt aus (5) wegen des Satzes 22 von Nr. 115, daß, wenn \h\ hinreichend klein gewählt wird, die Differenz yl — rj₁ dasselbe Vorzeichen wie f(n + 1\x)hn + l hat. Dies Vorzeichen ändert sich mit dem von h, sobald n gerade ist, dagegen nicht, sobald n ungerade ist. Im ersten Falle also liegen die zu 31 benachbarten Punkte der Kurve auf verschiedenen Seiten der Tangente von 31, nämlich die vor 31 liegenden Punkte auf der einen, die auf 31 folgenden auf der anderen Seite der Tangente. Im zweiten Falle dagegen liegen sie sämtlich auf derselben Seite der Tangente.

Wir haben also gefunden:

Satz 3: Eine nicht geradlinige Kurve y = f(x) wird von der Tangente eines Punktes M im allgemeinen in erster Ordnung berührt, d. h. diejenigen Stellen 31, an denen die Berührung von höherer als erster Ordnung ist, können nicht einen Zweig der Kurve vollständig erfüllen. Wird die Kurve von der Tangente des Punktes 31 oder (x, y) in der nten Ordnung berührt, sind also für den betrachteten Punkt f"(x), f"(x), . . . f^{xj gleich Null, während f(n+1\x) 4= 0 ist, und ist die Funktion fix) nebst ihren Ableitungen bis zur (n -f- 2)ten Ordnung in einer Umgebung des betrachteten Wertes x bestimmt und endlich, so wird der Abstand jener Tangente von einem Kurvenpunkte, dessen Abszisse x -f h ist, mit h gleich Null in der Ordnung n -f- 1. Die Kurve durchsetzt die Tangente in 31, wenn die Ordnung n der Berührung gerade ist. Andernfalls liegen die zu 31 hinreichend benachbarten Kurvenpunkte sämtlich auf derselben Seite der Tangente von 31.

Fig. 27.

liegt wirklich ein derartiger Punkt vor. Ist jedoch überdies f'"(x) = 0, so liegt keiner vor, wenn /*IV(V)=j=0 ist, usw. Man sagt aber auch, daß die Kurve an der Stelle x einen Wendepunkt

Ist die Ordnung n der Berührung gerade, so verläuft also die Kurve in der Umgebung der Stelle 31 ungefähr so, wie es in Fig. 27 dargestellt wird. Man nennt solche Stellen der Kurve eigentliche Wende- oder Inflexionspunkte. Die erste notwendige Bedingung für einen derartigen Punkt ist f" (x) = 0. Wenn f"(x) verschwindet, aber f"\x) nicht,

habe, sobald nur die erste Bedingung f"(x) = 0 erfüllt wird. Dann ist der Punkt jedoch ein uneigentlicher Wendepunkt, wenn f'"(x) = 0 und f1Y(x) =f= 0 oder fy(x) = 0 und fyi(x) 4= 0 usw. ist.

173. Konkavität und Konvexität der Kurve. Man

sagt, daß eine Kurve in einem ihrer Punkte M einer Geraden g, die nicht durch M geht, ihre konkave Seite zuwende, wenn sie in einer hinreichend kleinen Umgebung von M vollständig innerhalb des spitzen Winkels verläuft, den die Tangente von M mit der Geraden g bildet; verläuft sie dagegen dort vollständig außerhalb dieses spitzen Winkels, so sagt man, daß sie der Geraden g in M ihre konvexe Seite zuwende, siehe Fig. 28, in der die Kurve in Ml konkav, in M₂ konvex gegen g ist. Wir wollen feststellen, unter welchen Bedingungen die Kurve y = f{x) insbesondere der x-Achse im Punkte M oder (x, y) die eine oder andere Seite zuwendet.

Zu diesem Zwecke benutzen wir die Formel (7) der vorigen Nummer. Wenn man bedenkt, in welchem Sinne die Tangente und Nor- 8 male des Punktes M nach Nr. 169 positiv sind, so lehren die in Fig. 29 angegebenen Möglichkeiten, daß die Kurve der #-Achse ihre konvexe Seite zuwendet, wenn QxMl im Falle y> 0 positiv und im Falle ?/<0 negativ ist, wenn also y . Q₁M₁> 0 oder y(yx — rtl) > 0 ist.

Machen wir wieder an der betrachteten Stelle die Annahmen

wenn

rw = o, rtx) = o,

M,

Mg

Fig. 28.

\>C

y<0

Fig. 29.

f"(x) = 0, f"(x) = 0, . . . f^(x) = 0, aber f^\x) 4= 0,

so wendet also die Kurve nach (5) in voriger Nummer und wegen des Satzes 22 von Nr. 115 der x- Achse ihre konvexe Seite zu, sobald

yf⁽>n+1\x)hn + 1> 0

wird. Natürlich ist dabei y 4= 0 anzunehmen. Diese Bedingung kann im Falle einer Berührung von gerader Ordnung nicht

[173, 173

zugleich für positive und negative Werte von h erfüllt sein, was ja auch geometrisch einleuchtet. Im Falle einer Berührung von ungerader Ordnung ist hn + 1 stets positiv, d. h.:

Satz 4: Eine Kurve y = f(xj wendet in einem, nicht auf der x-Achse gelegenen Funkte (x, y) dieser Achse nur dann ihre konvexe oder konkave Seite zu, wenn sie von ihrer Tangente dort in ungerader Ordnung berührt wird. Ist diese Ordnung gleich n, so ist die Kurve in bezug auf die x-Achse dort konvex oder konkav, je nachdem y y{n + einen positiven oder negativen Wert hat.

Insbesondere:

Satz 5: Eine Kurve y = f(x) ist an einer nicht auf der x-Achse gelegenen Stelle, an der sie von ihrer Tangente in der ersten Ordnung berührt wird, gegenüber der x-Achse konvex oder konkav, je nachdem dort yy" einen positiven oder negativen Wert hat.

Denken wir uns eine Gerade g, die zuerst auf der x-Achse liegt, nach unten, d. h. nach der negativen y-Achse hin immer weiter verschoben, so kommen wir zu dem Begriffe der Konvexität oder Konkavität der Kurve gegenüber ihrer Betrachtung von unten her. Die Bedingungen dafür sind dieselben, die sich für die Konvexität oder Konkavität gegenüber der ß-Achse ergeben, sobald AI oberhalb der rr-Achse liegt, also y positiv ist. Daraus folgt:

Satz 6: Eine Kurve y = f(x) ist an einer Stelle, an der sie von ihrer Tangente in der nten Ordnung berührt wird, von unten gesehen konvex oder konkav nur im Falle einer ungeraden Ordnung, und zwar ist sie alsdann konvex oder konkav, je nachdem an der betrachteten Stelle y{-n + v> einen positiven oder negativen Wert hat.

174. Beispiele. 1. Beispiel: Bei der Sinuslinie y = sin#, siehe Fig. 4, S. 16, ist y = cos x, y" = — sin x, also yy" = = — sin² x < 0, so daß sie der x-Achse stets ihre konkave Seite zuwendet. Soll ein Kurvenpunkt ein Wendepunkt sein, so muß y" = 0, d. h. x = krc sein, wo k eine ganze Zahl bedeutet. Dann ist y = sin x = 0 und y" — — cos x 4= 0. Also sind alle Schnittpunkte der Sinuslinie mit der x-Achse eigentliche Wendepunkte, und in ihnen tritt Berührung in zweiter Ordnung ein. Sonst gibt es keine Wendepunkte.

2.    Beispiel: Bei der Tangenslinie y = tg x, siehe Fig. 5,

S. 16, ist 1 : cos² x, y" = 2 tg x : cos² x, also yy" ~> 0. Sie wendet daher der x-Achse überall ihre konvexe Seite zu. Nur für die Schnittpunkte x = kit der Kurve mit der #-Achse verschwindet y', und diese Punkte sind eigentliche Wendepunkte mit Berührung in zweiter Ordnung.

3.    Beispiel: Bei der Ellipse

a;s

TT*

b*

ist:

³³ -i—

yy

b-

⁼ °> + = 0’

also yy" < 0, sie wendet daher der #-Achse überall ihre konkave Seite zu. Nirgends ist *y" = 0. Die Kurve wird also überall von ihren Tangenten in der ersten Ordnung berührt.

§ 2. Homogene Koordinaten.

175. Kurven und ihre Tangenten in homogenen Koordinaten. Wir wollen die rechtwinkligen Koordinaten x, y eines Punktes M durch Verhältnisse xt : x₃ und x₂ : x3 ersetzen, also statt der beiden Veränderlichen x, y ihrer drei xx,x₂, x₃ einführen. Eine von ihnen ist überzählig; wir können z. B. xä = 1 wählen und dadurch zu den alten Koordinaten x, y zurückkommen, die dann nur anders bezeichnet sind, nämlich mit x1; xs. Diese Annahme soll jedoch nicht gemacht werden. Wir führen vielmehr mit voller Absicht statt der beiden Veränderlichen x, y ihrer drei x1} x₂, x₃ ein, von denen also nur die Verhältnisse xx : x₃ und x₂ : x₃ für die geometrische Deutung in der Ebene in Betracht kommen. Alsdann sind x1} x₂, x₃ und txx, tx₂, tx₃ Bestimmungsstücke eines und desselben Punktes der Ebene, wie auch der Faktor t gewählt sein mag. Wir bezeichnen diesen Punkt als den Punkt (xx : x₂ : x₃), um anzudeuten, daß nur die Verhältnisse der drei Veränderlichen von Belang sind. Die drei Veränderlichen x1} x₂, x₃ heißen homogene Punktkoordinaten in der Ebene.

Der Rückweg von den homogenen Koordinaten zu den gewöhnlichen ist leicht auszuführen: Man ersetzt einfach xx, x2 und x₃ durch x, y und 1.

Die homogenen Koordinaten sind aus verschiedenen Gründen nützlich. Einen Grund liefert die sogenannte projektive Geometrie, in der das Bedürfnis vorliegt; auch die unendlich fernen Punkte der Ebene analytisch zu behandeln. Man kann dabei — um dies nur ganz kurz auszuführen — von der Bemerkung ausgehen, daß ein Punkt (x, y) auf der Geraden ax -f by + c = 0

ins Unendlichferne kommt, wenn | x | über alle Grenzen wächst, wobei im allgemeinen auch | y | über alle Grenzen wächst. Man darf aber mit -j- oo und — oc nicht wie mit Zahlen rechnen; daher ist hier die Einführung von homogenen Koordinaten nützlich, denn wenn wir x durch xx : x₃ und y durch x₃ : x3 ersetzen, wird die Gleichung der Geraden diese:

axx -j- hx₃ + cx₃ = 0,

wo die linke Seite eine ganze lineare homogene Funktion von xx, x₂₎ x₃ ist. Der Punkt (x, y) oder (xx : x₃ : ,r₃) liegt unendlich fern, wenn x₃ = 0 ist. Alsdann gibt die Gleichung axx -j- hx₂ = 0 oder xx : x₃ — — h : a. Mithin sagt man, daß (— h: a: 0) der unendlich ferne Punkt der Geraden ax -\-by c = 0 sei. Dabei stellt man allerdings das Axiom auf, daß jede Gerade in der Ebene nur einen unendlich fernen Punkt habe. Die homogenen Koordinaten xx, x₂, x₃ haben also den Vorzug, daß sie, sobald x₃ = 0 ist, zu den unendlich fernen Punkten der Ebene gehören, mithin trotz der unendlich fernen Lage der Punkte endlich bleiben.

Die homogenen Koordinaten haben außerdem den Vorzug, daß mit ihrer Hilfe manche Formeln symmetrischer und übersichtlicher werden als mit Hilfe gewöhnlicher Koordinaten. Man sieht dies schon an der Gleichung der Geraden, die in der Form axx + hx₃ + cx₃ = 0 symmetrischer ist als in der Form ax + hy + c = 0. Wenn wir die Koeffizienten a, h, c mit ax, a%, a₃ bezeichnen, können wir die Gerade axx + a₂y -f- a₃ = 0 in homogenen Koordinaten in der knappen Form

a,x, - 0

darstellen.

175]

Zu jedem Wertsystem xx, x₂, x₃ gehört zwar ein Punkt der Ebene, vorausgesetzt, daß man auch unendlich ferne Punkte zuläßt, für die x₃ = 0 wird; aber eine Ausnahme ist doch zu machen, nämlich zu dem Wertsystem 0, 0, 0 gehört kein Punkt der Ebene. Das Wertsystem 0, 0, 0 ist vielmehr bei homogenen Koordinaten sinnlos. Der Anfangspunkt ist in homogenen Koordinaten der Punkt (0:0: 1), der unendlich ferne Punkt der x-Achse der Punkt (1:0:0) und der unendlich ferne Punkt der «/-Achse der Punkt (0:1:0). Wollen wir von jenem obenerwähnten Axiom der projektiven Geometrie über die unendlich fernen Punkte keinen Gebrauch machen, so haben wir uns auf Punkte (xx: x₂: x₃) zu beschränken, deren dritte homogene Koordinate x₃ =(= 0 ist.

Ist F(x} y) — 0 die nicht aufgelöste Gleichung einer Kurve, so lautet sie in homogenen Koordinaten:

F(-S    = 0.

\a?s xs /

Die linke Seite bleibt ungeändert, wenn xx, x₂, x₃ durch txx, tx₂, tx₃ ersetzt werden, und ist daher nach Nr. 91 eine homogene Funktion nullten Grades von xx, x₂, x₃. Durch Multiplikation mit einer Potenz von x₃ kann man sie in eine homogene Funktion beliebigen Grades verwandeln.

Umgekehrt: Es liege eine Gleichung

(1)

f(xi, x₂, x₃) = 0

vor, deren linke Seite eine homogene Funktion nten Grades von xx, x₂, x₃ ist. Wird die Gleichung von einem Wertsystem xx, x₂, x₃ befriedigt, so wird ihr auch von dem Wertsystem txx, tx₂, tx₃ genügt, denn es ist:

f(txx, tx₂, tx₃) = tnf(xx, x₂, x₃),

und dies wird infolge von (1) gleich Null. Daher genügen der Gleichung (1) Punkte (xx : x₂ : x₃) mit homogenen Koordinaten xx, x₂, x₃. Setzen wir insbesondere xx = x, x₂ = y, x₃ = 1, so sehen wir, daß die Gleichung (1) die Kurve

f(*, y, i) = o

in den rechtwinkligen Koordinaten x, y darstellt.

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integr.-Kechn. 1.6. u. 7. Aufl.

Wir nehmen deshalb im folgenden an: Eine Kurve sei durch eine Gleichung (1) gegeben, deren linke Seite eine homogene Funktion nten Grades von xx, x₂, x₃ sei.

Differentiation der Gleichung (1) gibt:

(2)

fxßx1 + fxßx% + fxdx3 = 0.

Wegen xx = xx₃, x₂ = yx₃ kommt, wenn x₃ =j= 0 angenommen wird:

dxx = x₃dx -f xdx₃, dx₂ = x₃dy -f- ydx₃, so daß aus (2) wird:

xz\J'xßx + fxdy\ + [xxfXi + x₂fx% + x₃fxJ    = 0.

Nach Satz 9 von Nr. 91 und nach (1) ist aber:

xifXl + XJ^ + xJ*t = nf= 0.

Mithin bleibt, weil x₃ 4= 0 angenommen worden war:

fxßx + fxßy = 0,

(3)

(4)

woraus folgt:

4,

Die Gleichung der Tangente lautet also nach (3) in Nr. 169 in den laufenden Koordinaten j, ty:

4i

oder, wenn wir überall homogene Koordinaten einführen, also nicht nur x = xx : x₈, y = x₂ : x₃, sondern auch £ = jj : j₃ und D = h : h setzen:

Wird hierin für xxfx -\- x₂fXi der aus (3) folgende Wert — x₃fXi eingesetzt, so kommt nach Multiplikation mit £₃:

Ei 4, + hfXt + hfXi = ⁰ •

Satz 7: Ist f(xX} x₂, x₃) = 0 die Gleichung einer Kurve in der Ebene mit den homogenen Koordinaten xx, x₂, x₃, so ist

lxfXx + hfzt + hfXz = ⁰

die Gleichung der Tangente des Kurvenpunktes (xx : x₂ : x₃), geschrieben in den laufenden homogenen Koordinaten j₂, j₃.

175]

176. Beispiel. Ein Kegelschnitt wird bekanntlich analytisch durch eine Gleichung F(x, y) = 0 gegeben, deren linke Seite eine ganze rationale Funktion zweiten Grades in x, y ist. Ersetzen wir x und y durch xx : x₃ und x₂: x₃ und multiplizieren wir mit x₃², so ergibt sich, daß ein Kegelschnitt in homogenen Koordinaten allgemein durch eine Gleichung von der Form

*n«i² P *22«2~ P *33«3~ P 2 a₂₃x₂x₃ + 2 a3xx₃xx -f- 2 ax2xxx₂ = 0 dargestellt wird. Bezeichnen wir ihre linke Seite mit f, so ist:

{ fxL — *11 «1 "h *12 «2 P *13 «31 2 fXl ~ *21 «1 P *22 «2 P *23 «3,

\ fxi⁼⁼ *31 «1 P *32 «2 P *33 «3 •

Eigentlich wäre hierin «₃₁ statt «₁₃, aX2 statt «₂₁ und a₂₃ statt a₃₂ zu schreiben. Wir wollen aber festsetzen, daß allgemein aik denselben Koeffizienten wie aki bedeuten soll, weil die vorstehenden drei Formeln so offenbar symmetrischer sind. Die Tangente des Kegelschnittes, deren Berührungspunkt der Punkt (xx : x₂ : x₃) ist, hat nach Satz 7 von Nr. 175 in den homogenen laufenden Koordinaten    £3 die Gleichung:

(*ii«! P *12 «2 P *13 «3) £1 P O21 «1 + *22'«2 + *23 «3) £2 P

P (*31«1 P *32 «2 P *33 «3) £3 ~ P Die Kurvengleichung und die Tangentengleichung lassen sich beide knapper so schreiben:

3

2’kaaXiXk = 1

^j,kaahxk = ⁰

1

Will man zu gewöhnlichen Koordinaten zurückkehren, so braucht man nur xx, x₂, x₃ durch x, y, 1 und £1;    £3 durch

£, t), 1 zu ersetzen.

177. Ebene algebraische Kurven. Ist u(xX} x₂, x₃) eine homogene ganze rationale Funktion nten Grades von xx, x₂, x₃, so sagt man, daß die Gleichung

(i)

u{xx, x₂, x₃) = 0

eine algebraische Kurve nter Ordnung definiere. In Nr. 176 z. B. lag eine allgemeine algebraische Kurve zweiter Ordnung

[176, 177

vor, nämlich ein Kegelschnitt. Nach Nr. 175 ist jede algebraische Kurve erster Ordnung eine gerade Linie.

Nun sei : £₂ : £₃) irgendein bestimmt gewählter Punkt in der Ebene. Nach Satz 7 von Nr. 175 geht die Tangente des Punktes (xt: x₂: xf) der algebraischen Kurve nler Ordnung (1) durch jenen Punkt, sobald

(2)

ten

ist. Weil u , uXi, uXt nach Satz 10 von Nr. 91 homogene Funktionen (n — l)ten Grades von xl} x₂, x₃ sind, ist die linke Seite von (2) eine homogene ganze rationale Funktion (n — 1) Grades von xly x₂, x₃. Daher folgt:

Satz 8: Die Berührungspunkte aller von einem festen Funkte ausgehenden Tangenten einer ebenen algebraischen Kurve nter Ordnung liegen auf einer algebraischen Kurve (n — \)ter Ordnung.

Ist der Punkt (£x : g₂ : g₃) ein Punkt der Geraden

%£i +    £2 + «3£3 = 0

und rückt er auf ihr ins Unendlichferne, d. h. wird JC₃ = 0 (vgl. Nr. 175) und : g₂ = — a₃ : a1} so nimmt (2) die Form an:

asUXl-aJu =* 0,

aber das Unendlichferne vermeiden, so

man

und dies ist nach wie vor die Gleichung einer algebraischen Kurve (n—l)ter Ordnung. Wir würden daher zu dem Satze 8 für den Fall kommen, wo der gegebene feste Punkt unendlich fern liegt. Will

braucht man nur zu beachten, daß sich alle linearen homogenen Gleichungen

\ £1 + ^£2 F b₃£₃ — 0,

die von demselben Wertsystem (— a₂:at: 0) befriedigt werden, ergeben, wenn wir axb₂—a₂by = 0 wählen, d. h. 6₁:6₂=a₁:a2 setzen, so daß sie die Form haben:

«i£i F «2£2 F konst. £s — 0,

oder, nicht homogen geschrieben, die Form:

«j£ + a₂t) == konst.

Sie stellen demnach lauter parallele Geraden vor. Daher lautet das letzte Ergebnis so:

Satz 9: Die Berührungspunkte aller zu einer bestimmten Dichtung parallelen Tangenten einer ebenen algebraischen Kurve nter Ordnung liegen auf einer algebraischen Kurve (n — l)ter Ordnung.

178. Wendepunkte einer algebraischen Kurve.

Wieder sei

(i)

w(x 1, x₂, x₃) = 0

die Gleichung einer ebenen algebraischen Kurve nt0T Ordnung, also u eine homogene ganze rationale Funktion wten Grades von xx, x₂, x₃. Zur Abkürzung wollen wir die Ableitungen von u nach xx, x2f x₃ durch angehängte Indizes 1, 2, 3 bezeichnen. Es sei also gesetzt:

_ _ dx{    dxidxk    >l ik

so daß uik dasselbe bedeutet wie uki. Wird wie in Nr. 175 wieder x₃=%=0 angenommen und (1) differenziert, so ergibt sich entsprechend der Gleichung (4) von Nr. 175:

uxdx -f u₂dy = 0.

(2)

du

(», * = 1, 2, 3),

(3)

Ferner wird:

dux — uxxdxx + undx ₂ + uX3dx ₃, also, weil xx = xx₃, x₂ = yx₃ ist:

dux = x₃ (undx -f uX2dy) + (pcxuxx + x₂ux2 + x₃uX3)    •

xs

Grade

ten

Da aber ux nach Satz 10, Nr. 91, homogen vom (n— 1) ist, folgt nach Satz 9 ebenda:

xxun + x₂uX2 -1- x₃uX3 = (n — l)ux.

Also ergibt sich:

dux = x₃ (uxxdx + nX2dy) + (n — 1) ux

und ebenso geht hervor:

du₂ = x₃ (u2Xdx + u₂₂dy) -f- (n — 1) u₂ •

xs

Weil die Gleichung (1), nicht homogen geschrieben, eine Gleichung zwischen x und y ist, können wir y als Funktion

[177, 178

von x betrachten. Differenzieren wir unter dieser Annahme die Gleichung (3) vollständig, so kommt

duxdx + du₂dy -f- u₂d²y = 0

oder mit Hilfe der für dux und du₃ gefundenen Ausdrücke und wegen (3):

(4)

xs(ulxdx² + 2undxdy + u₃₂dy²) + u₂d²y = 0.

(5)

Die erste notwendige Bedingung für einen eigentlichen Wendepunkt ist nun nach Nr. 172 die Gleichung d²y = 0. Wenn wir sie allein berücksichtigen, gilt sie auch für die uneigentlichen Wendepunkte, also für alle Wendepunkte im weiteren Sinne; und wir wollen hier diese weitere Auffassung des Begriffes des Wendepunktes annehmen. Nach (4) wird also, sobald u₂ =1= 0 ist, die Bedingung für die Wendepunkte diese: undx² -f 2u₁₂dxdy + undy² = 0.

Wird dagegen für einen Punkt (xx : x₂: xz) insbesondere w₂ = 0, so heißt dies nach Satz 7 von Nr. 175, daß seine Tangente in der Form j₁m₁ + £₃% = 0 dargestellt ist, d. h. nicht homogen geschrieben in der Form £ = — us:ux, also zur y-Achse parallel läuft. Wir wollen vorläufig annehmen, daß kein Wendepunkt eine zur y-Achse parallele Tangente habe, also u₂ =k 0 für die Wendepunkte sei; der Fall w₂ = 0 soll in der nächsten Nummer besprochen werden.

Für die Wendepunkte ergab sich die Bedingung (5), in der die Differentiale dx und dy der Gleichung (3) unterworfen sind, so daß die Elimination der Differentiale liefert:

(6)

uxlu₂² — 2ux2uxu₂ -f u₂₂ux = 0.

Diese Gleichung kann anders geschrieben werden. Denn wenn man aus den nach Satz 9 von Nr. 91 für alle Werte von xx, x₂, x₃ bestehenden Gleichungen:

0)

nu    =    ulxx    -f    u₂x₂    + m₃x₃,

(n —    1) ux    =    ulxxx    +    ui2x₂    + ulsx₃,

(8)

(n    1) ?^₂    =    U2XXy    -j-    u₂₂x₂    -k u₂₃x3,

(p    1) %    ⁼    ^31^1    ~k    %2*^2    “k ^33^3

die linear auftretenden Größen xx, x₂ und u₃ eliminiert, kommt für alle Werte von xx, x₂, x₃:

178]

%1 W12 W13

(9)    — (w — 1)²[mum₂² ~ 2w₁₂%m₂ -f    = #₃² un u₂₂ u2S —

W31 w₃₂ w₃₃

— n (n — 1) u (unu₂₂ — w₁₂²).

Da m für die Punkte der Kurve verschwindet und n — 1 =f= 0 ist, weil wir ja von den geraden Linien absehen werden, folgt hieraus, daß die Bedingung (6) wegen x₃ =j= 0 ersetzt werden kann durch diese:

(10)

= 0.

»M

ux u₂

(n — 1) ux — ulsxs wu uX2

(fl    1)    ^23^3 ^21 ^22

W₃₃ #3

*3

un u₃₂    — (n — 1)

oder:

^11 ^12 ^13 U21 ^22 ^23 W31 W32 M33

Man nennt die Determinante der neun Ableitungen zweiter Ordnung von u die Hessesche Determinante; wir wollen sie mit Hu bezeichnen, so daß also H,t = 0 die Bedingung für die Wendepunkte der Kurve u — 0 wird. Diese Bedingung ist eine Gleichung, deren linke Seite eine homogene ganze rationale Funktion von xx, x₂, x₃ ist. Daher definiert sie eine gewisse algebraische Kurve. Die Wendepunkte der vorgelegten Kurve u = 0 sind also unter den Schnittpunkten der einen mit der anderen Kurve enthalten.

179. Fortsetzung der Betrachtung der Wendepunkte. Da die Gleichung (3) der vorigen Nummer den Differentialquotienten dg :dx = — ux:u₂ liefert, ist die übrige Rechnung für den Fall, wo für einen Kurvenpunkt sowohl ux als auch u₂ verschwindet, hinfällig, weil dann der Differentialquotient unbestimmt wird und daher auch d^y nicht wie oben gefunden werden kann. Derartige Punkte, für die ux — 0 und u₂ = 0 ist, werden wir erst später besprechen. Vorläufig haben wir nur festzustellen: Wenn ux = 0 und u₂ = 0 ist, wird die Bedingung (6) der vorigen Nummer erfüllt;

aber es ist nicht gesagt, daß dann ein Wendepunkt vorliegt. Die Bedingung Hu= 0 gibt also außer den Wendepunkten auch diejenigen Punkte, für die ux = u₂ = 0 ist, und für diese Punkte wird wegen der Gleichung (7) der vorigen Nummer und wegen u = 0 und x₃ =)= 0 auch u₃ = 0.

In der vorigen Nummer war von dem Falle u₂ = 0 ausdrücklich abgesehen worden. Ist nun für einen Wendepunkt u₂ = 0, aber ux =4= 0; so kommt man, wie wir jetzt zeigen wollen, dennoch zu demselben Ergebnisse. Zum Beweise drehen wir das Achsenkreuz um einen Winkel «, dessen Sinus von Null verschieden ist, so daß

y = — x sin u -f- y cos a

x = x cos a + y sin a

die neuen gewöhnlichen Koordinaten werden. Sind xx, x₂, x3 die zugehörigen homogenen Koordinaten, d. h. ist x = xx:x3 und y = x₂:x₃, so dürfen wir die überzählige Koordinate öc3 gleich x₃ annehmen. Dann kommt:

(i)

x₁ = xx cos a -f- x₂ sin a, x₂ = — xx sin ct -f- x₂ cos a,

xz ~ X3>

oder, nach xx, x₂, xz aufgelöst:

xx = xt cos a — x₂ sin cc, x₂ = xx sin a + x₂ cos a,

x3 — X3'

Werden diese Werte in die Funktion u(xx, x₂, x%) eingeführt, so geht eine homogene ganze rationale Funktion nten Grades U von xx, x₂, x₃ hervor, so daß U = 0 die Gleichung der Kurve in den neuen Koordinaten x1} x₂, x₃ wird. Wenn wir entsprechend den Formeln (2) in Nr. 178 die Bezeichnungen

dxtdxk

einführen, so daß üik = üki ist, folgt aus (1) oder (2):

üx = ux cos ß-f sin a, w₂ = — ux sin a -f- u₂ cos a,

tl§ ;—“ ttg

(2)

(3)

du

dxi

Uik

ft* - 1, 2, 3)

und ferner:

179]

ün —    un    cos² a    -f- 2u₁₂ sin a cos a    + un sin² a,

ün =    — un sin    a cos a -(- uX2 (cos²    a — sin² a) -f u₂₂ s’n a cos a>

ü₂₂ —    un    sin² a    — 2u₁₂ sin a cos a    -f- w₂₂ cos² a,

%3 “    W13    C0S a    "P M23 s^ri a>

ü₂₃ = — w₁₃ sin a -f m₂₃ cos a,

W33 = W33-

Durch Einsetzen dieser Werte in die Hessesche Determinante

CO    CO    CO

iH    CM    CO

IS    l§    IS

CM    CM    CM

tH    CM    CO

IS    IS    IS

iH    i-*

(M CO

iS    IS    'S

der Funktion u ergibt sich einfach:

(4)

Un — Hu.

Nach diesen Vorbereitungen fassen wir einen Punkt (xx : x₂: .-r₃) der Kurve u = 0 ins Auge, für den zwar u₂ = 0, aber uv =)= 0 ist. Aus (3) folgt, daß für ihn u₂ = — w₁ sin a =(= 0 wird; der Ausnahmefall ist also im neuen Koordinatensystem kein Ausnahmefall mehr. Man kann daher im neuen System die Betrachtung der vorigen Nummer auch für diesen Punkt durchführen, wodurch man zu der Bedingung Hu = 0 gelangt. Nach (4) aber ist sie dieselbe wie die ursprüngliche Bedingung Hu = 0. Wir haben somit erkannt:

Satz 10: Ist u(x1} x₂, x₃) = 0 die Gleichung einer ebenen algebraischen Kurve, geschrieben in den homogenen Koordinaten xx, x₂, xs, bedeutet also u eine homogene ganze rationale Funktion von xx, x₂, x₃, so liegen alle Wendepunkte der Kurve zugleich auf derjenigen algebraischen Kurve, deren Gleichung durch Nullsetzen der Hesseschen Determinante von u hervor geht:

Hu = 0.

Außer in den Wendepunkten trifft diese zweite Kurve die gegebene Kurve noch in allen denjenigen Punkten (xx: x₂: x₃), deren Koordinaten den drei Gleichungen genügen:

du

du

du

Txx ~ °> dx, ~ °> dx₃ ~ °-

180. Abzählung der Wendepunkte einer algebraischen Kurve. Liegt wie bisher eine algebraische Kurve Mter Ordnung u = 0 vor, so sind die Ableitungen zweiter Ordnung von u homogene ganze rationale Funktionen vom Grade n — 2, so daß die Hessesche Determinante höchstens vom Grade 3 (n — 2) ist. Die Wendepunkte einer algebraischen Kurve nter Ordnung werden daher aus der Kurve durch eine algebraische Kurve von höchstens 3(n — 2)ter Ordnung ausgeschnitten.

und höchstens

ten

Die beiden Gleichungen u = 0 und Hu = 0 sind in xt, x₂, xz homogen. Führt man nicht homogene Koordinaten x, y ein, so ergeben sich zwei Gleichungen vom n 3 (n — 2)ten Grade in x, y. Sie haben bekanntlich höchstens 3n(n — 2) gemeinsame Paare von Lösungen x, y. Eine algebraische Kurve nter Ordnung kann daher höchstens 3 n(n — 2) Wendepunkte haben. Eine Kurve zweiter Ordnung, ein Kegelschnitt, hat daher gar keinen Wendepunkt, eine Kurve dritter Ordnung höchstens neun.

Die ursprüngliche Bedingung für die Wendepunkte war die Gleichung (6) in Nr. 178:

(1)

MnW₂² — 2unUpU₂ -f- U₂₂ui² = 0*

ten

ten

Da ux,u₂ vom (n — l)ten Grade und un, u₁₂, u₂₂ vom (n — 2) Grade sind, ist dies eine Gleichung vom höchstens (3n —4) Grade, während Htl=0 vom höchstens (3n — 6)ten Grade ist. Die Erklärung des Unterschiedes liegt darin, daß die Bedingung (1) infolge der Identität (9) der Nr. 178 und wegen u — 0 auch dann erfüllt wird, wenn der darin rechts auftretende Faktor xz² = 0 ist. Aber wenn xs = 0 ist, liegt der Punkt (x₁:x₂:x₃) nach Nr. 175 unendlich fern. Daher hat man xz — 0 als die Gleichung der unendlich fernen Geraden aufzufassen, und zwar zählt sie doppelt, weil x₃ im Quadrate steht, so daß sie die Kurve u = 0 in n doppelt zu zählenden unendlich fernen Punkten trifft. So kommt die Differenz heraus, denn die Kurve (1) trifft die Kurve u = 0 in höchstens n(3n — 4) Punkten, dagegen die Kurve Hu= 0 trifft sie in höchstens n(ßn — 6) Punkten. Der Unterschied beider Zahlen ist gerade 2 m.

180]

Diese Abzählungen verlangen eigentlich ein gründlicheres Eingehen auf die Behandlung des Unendlichfernen in der Geometrie der algebraischen Kurven. Es mag aber genügen, erkannt zu haben, daß eine algebraische Kurve wter Ordnung nicht mehr als 3n(n — 2) Wendepunkte haben kann. Streng genommen haben wir selbst dies nicht völlig bewiesen, denn es wäre denkbar, daß die Kurven u = 0 und Hu = 0 ganze Zweige miteinander gemein hätten.

Wir wollen jedoch auf diesen Punkt nicht näher eingehen und den Ausflug in die Geometrie der algebraischen Kurven hiermit beschließen.

§ 3. Singuläre Punkte.

181. Beispiel eines Endpunktes. Vorgelegt sei die

Funktion

y = ex.

Sie ist nach Nr. 8 stets positiv und für alle Werte von x i m Intervalle — oo < x < 0 und im Intervalle 0 < x < -f oo definiert, stetig und mit der Ableitung

versehen. Für lim «==-(-00 und lim x = — 00 hat sie den Grenzwert Eins und ihre Ableitung y den Grenzwert Null. Sonst ist y überall negativ.

In beiden Intervallen — 00 < x < 0 und 0 < x < -f 00 ist das Bild der Funktion nach Nr. 167 eine Kurve. Wir gelangen also zu zwei Kurvenzweigen, die die Gerade y = 1 zur Asymptote haben (vgl. Nr. 171) und beständig fallen. Die beiden Zweige hängen aber nicht zusammen. Für x = 0 nämlich ist y nicht mehr einwertig definiert: Wenn x wachsend nach Null strebt, strebt y nach e~°° oder Null; wenn x abnehmend nach Null strebt, strebt y nach e + * oder -f- oo. Aus dem 5. Beispiele in Nr. 131 (worin x durch — x, a durch e, n durch 2 zu ersetzen und die Funktion mit — 1 zu multiplizieren ist) sieht man ferner, daß y für bis Null wachsendes x

[180, 181

den Grenzwert Null, für bis Null abnehmendes x den Grenzwert — oo hat. Während daher der rechte Kurvenzweig die

y-Achse zur Asymptote hat, siehe e    Fig. 30, endet der linke im Null

punkte, dort die x-Achse berührend. Der linke Kurvenzweig hat also in 0 einen Endpunkt.

182. Beispiel eines Eckpunktes. Nunmehr sei die Funktion

Fig. 30.

1 + cx

vorgelegt. Sie ist für alle Werte von x definiert, denn auch für lim x = 0 wird der Grenzwert von y bei wachsendem x derselbe wie der bei abnehmendem x, nämlich Null. Die Funktion ist für jedes x stetig, insbesondere für x = 0. Ist nämlich h eine sehr kleine positive Zahl und x = h, so wird der Nenner sehr groß; indem man h hinreichend klein wählt, kann man erreichen, daß y beliebig wenig von Null abweicht. Für — h ist der Nenner sehr wenig von Eins verschieden; indem man h hinreichend klein wählt, kann man auch jetzt erreichen, daß y beliebig wenig von Null ab weicht. Für lim x = + oo hat y den Grenzwert + oo, für lim x = — oo den Grenzwert — oo. Die Bildkurve hat eine Asymptote, denn es ergeben sich die Grenzwerte:

lim - = lim

x = ± cc X

x = + co

1 + ex

1 ,.    1 —ex

= — lim —-

⁴a:= + o₀ ¹

h = lim (y — gx) = lim —

x= + c»    a; = +ao "

so daß die Gerade nach Satz 1 von Nr. 171 sowohl für limic = + oo als auch für lim x = — oo eine Asymptote vorstellt. Sie ist in Fig. 31

181, 182] strich-punktiert angegeben. Ferner hat y für jedes endliche x eine bestimmte endliche Ableitung, abgesehen von der Stelle x = 0. Hier, wo ja auch y = 0 wird, müßte nämlich die Ableitung, wenn sie vorhanden wäre, nach der Definition in Nr. 27 gleich dem Grenzwerte von y : x für x = 0 sein. Es kommt aber:

x—0

= 0 oder 1,

1 + e

Fig. 31.

je nachdem x von positiven oder von negativen Werten nach Null strebt. Daher ergeben sich als Bild der Funktion zwei Kurvenzüge, die

sich zwar im Anfangspunkte 0 treffen, aber dort verschiedene Tangenten haben. Die linke Tangente halbiert den Winkel der Achsen, die rechte ist die Abszissenachse. Daher werden wir den Kurvenpunkt 0 einen Eckpunkt nennen. Die Voraussetzungen der Nr. 167 sind für alle Werte von x außer für x = 0 erfüllt. Schon in Nr. 27 (vgl. Fig. 17 auf S. 43) sprachen wir gelegentlich von einem Eckpunkte.

183. Beispiel eines Doppelpunktes. Wir gehen jetzt von der Gleichung aus:

(1)

y²— x(x — n)²= 0.

Darin bedeute a eine positive Konstante. Die Gleichung definiert zwei Funktionen y von x, nämlich

y = (x — a) Y x | und y = — (x — a) \ Yx | .

Beide Funktionen sind nur für positives x reell, die zweite ist dabei der ersten entgegengesetzt gleich. Ihre Bildkurve geht daher aus der Bildkurve der ersten hervor, wenn diese um die x-Achse herumgeklappt oder, anders gesagt, an der x-Achse gespiegelt wird. Betrachten wir daher vorerst nur die Bildkurve der ersten Funktion. Hier ist y negativ für 0 < x < a und positiv für x > a. Ferner ist:

,    |    — | . x — a

y~'Vxl + ^W\

Für x = 0 wird y = 0 und y' negativ unendlich; die Kurve berührt im Anfangspunkte 0 die y-Achse, indem sie nach

[18», 183

unten geht. Ihre tiefste Stelle liegt da, wo y = 0 wird, hat also die Abszisse x = \ a und eine negative Ordinate. (Siehe Fig. 32, worin a = 3 angenommen worden ist.) Dann steigt die Kurve, indem sie an der Stelle x = a die Abszissenachse überschreitet. Dabei ist ?/'=[]/« für x = a. Für x > a steigt die Kurve immer höher und höher. Die zweite Funktion y = — (x — a) ' )/x ¹ hat die durch Spiegelung an der x- Achse hervorgehende Bildkurve. Beide Zweige zusammen bilden die Kurve, die durch die vorgelegte Gleichung (1) definiert wird. Demnach ist die Gesamtkurve ein stetiger Zug, der sich an der Stelle x = a der Abszissenachse selbst durchschneidet. Diese Stelle heißt daher ein Doppelpunkt der Kurve; ihm gehören zwei Tangenten zu, indem hier die beiden Werte 2/'=±j]/a j gelten. Wenn wir die linke Seite von (1) mit F bezeichnen, wird:

■*/

4t

Fig. 32.

Fx = — (z — a) (3x - a), Fy=2y.

Beide Werte sind gleich Null für x = a, y = 0 und für x=\a, y = 0. Das zweite Wertepaar genügt jedoch der Gleichung (1) nicht, sondern nur das erste Paar x — a, y = 0, das zu dem Doppelpunkte gehört. Daraus folgt:

Der Doppelpunkt ist hier analytisch als derjenige Punkt der Kurve F = 0 gekennzeichnet, für den sowohl Fx als auch Fy gleich Null ist.

184. Beispiel einer Spitze. Anstatt a in der Gleichung (1) der vorigen Nummer positiv anzunehmen, wählen wir jetzt a = 0. Wir gehen also von der Gleichung aus:

(1)

ys — x³ = 0.

Hier sind wieder zunächst zwei verschiedene Funktionen y = x | y'x ( und y = — x j Yx \ zu betrachten, deren Bilder auch jetzt die x-Achse zur Symmetrielinie haben. Wieder muß x positiv genommen werden. Das Bild der ersten Funktion hat lauter positive Ordinaten. Dabei ist:

also stets positiv und nur für x = 0 gleich Null. Das Bild ist also eine vom Anfangspunkte 0 ansteigende und hier die positive Ahszissenachse berührende Linie. Klappen wir sie um die x-Achse herum, so geht    /

das Bild von y = — x Yx j hervor. Beide zusam-    /

men, siehe Fig. 33, geben die durch (1) definierte    /

Kurve. Sie hat an der Stelle 0 eine Spitze. Wenn wir die linke Seite von (1) mit F bezeichnen, wird Fx — — 3a;², Fy = 2y, und beide Werte sind gleich Null nur für x = y = 0. Daraus folgt:

Fig. 33.

Die Spitze ist hier analytisch als derjenige Funkt der Kurve F = 0 gekennzeichnet, für den sowohl Fx als auch F gleich Null ist.

185. Beispiel eines isolierten Punktes. Wir benutzen wieder die in Nr. 183 angenommene Gleichung (1), ersetzen aber a durch — «, schreiben also:

(1)

y² — x(x + «)2 = 0,

wo a eine positive Konstante bedeuten soll. Wir betrachten wieder die beiden einzelnen Funktionen:

y = (x -f- d) y x | und y = — (x -j- a) Y x \.

£_r«L

■o—£+

Das Bild der zweiten geht aus dem der ersten durch Spiegelung an der Ahszissenachse hervor. Da Yx auftritt, könnte man vermuten, daß x stets positiv sein müßte. Aber eine Ausnahme muß doch gemacht werden: Weil der Faktor x-\~a auftritt, ist y auch für x = — a reell, nämlich gleich Null. Hier tritt also der merkwürdige Fall ein, daß die durch (1) definierte Kurve (siehe Fig. 34, worin a = 3 gewählt worden ist), zwar nur im Gebiete positiver Abszissen verläuft, aber noch ein vereinzelter Punkt J, nämlich der Punkt (— a, 0) der negativen Abszissenachse, zu ihr gehört. Er heißt ein isolierter Funkt. Wenn wir die linke Seite von (1) mit F' bezeichnen, wird

Fx ---(x + a) (3x + a),

Fy=2y.

Fig. 34.

[184, 185

(y — x²)² — «⁵ = 0.

Beide Werte sind gleich Null für x = — a, y = 0 und für x = — -\a, y = 0; aber das zweite Wertepaare genügt der Gleichung (1) nicht und gehört daher auch gar nicht zu einem Kurvenpunkte. Also folgt:

Der isolierte Funkt ist hier analytisch als derjenige Funkt der Kurve F = 0 gekennzeichnet, für den sowohl Fx als auch Fy gleich Null ist.

186. Beispiel einer Schnabelspitze. Jetzt liege die Gleichung vor:

(i)

Ihr genügen zwei Funktionen y von x, nämlich:

y = x² (l -j- ! Vx\) un^ y = x²{\— j|/«|), die nur für positives x definiert und stetig sind. Beide Funktionen werden durch Kurvenzweige dargestellt, die vom Anfangspunkte 0 ausgehen. Dabei ist:

y'= ^-«(4    -j- 5    j]/«|) bzw.    y'= -§-«(4 — 5\Yx\).

Für x = 0    sind    beide    Werte y    gleich Null.    Beide Zweige

berühren also in 0 die positive «-Achse. Die erste Funktion y ist stets positiv und wächst beständig, die zweite ist positiv für jedes positive x < 1, dagegen negativ für x > 1 und hat ihr Maximum für x = (⁴)². Infolgedessen ergibt sich das Bild    in Fig. 35.    Der Anfangspunkt 0    ist wie im    Beispiele von

L_^ Nr. 184 eine Spitze, wenn beide Kur-

Fig. 35.

\ venzweige zusammen als eine Kurve aufgefaßt werden. Aber diese Spitze unterscheidet sich von der Spitze in Fig. 33 dadurch, daß jetzt beide Kurvenzweige in der Umgebung der Spitze auf derselben Seite der Spitzentangente liegen. Die Spitze heißt deshalb eine Schnabelspitze. Wird die linke Seite von (1) mit F bezeichnet, so kommt:

Fx = — 4 (y — x*) x — 5«⁴, Fy = 2 (y — x²).

Beide Werte sind gleich Null nur für x = 0, y = 0. Also folgt:

185,186]

Die Schnabelspitze ist hier analytisch als derjenige Punkt der Kurve F = 0 gekennzeichnet, für den sowohl Fx als auch Fy gleich Null ist.

187. Definition der regulären und singulären Funkte. In den Nummern 181 bis 186 haben wir in einer Reihe von Beispielen gesehen, daß auf Kurven gewisse merkwürdige Punkte Vorkommen können. Dabei sind die Beispiele der beiden ersten Nummern von anderer Art als die übrigen. Denn in Nr. 181 und 182 wurde eine entwickelte Funktion y von x betrachtet. Es zeigte sich, daß sie in einem gewissen Bereiche von x stetig und ditferenzierbar war, also den Bedingungen genügte, die wir in Nr. 167 für eine Kurve auf-stellten. Der Endpunkt in Nr. 181 und der Eckpunkt in Nr. 182 dagegen gehörten zu Stellen x, für die jene Bedingungen nicht mehr erfüllt waren. Denn der Endpunkt gehörte zu einem Werte von x, für den y zwei Werte (0 und -f- oo) hatte, und der Eckpunkt gehörte zu einem Werte von x, für den y zwei Werte (1 und 0) hatte. Streng genommen gehören also diese Punkte nicht mehr zur Kurve, wenn wir den Kurvenbegrilf in derselben Fassung wie in Nr. 167 beibehalten.

In den Beispielen der Nummern 183 bis 186 dagegen war y als Funktion von x durch eine Gleichung zwischen x und y gegeben:

F(x, y) = 0,

indem nacheinander für F die Funktionen gewählt wurden: y²—x(x — a)²,    y^—x*, y¹ — x(x + a)², {y — xry—T>.

Alle diese Funktionen F(x, y) sind für alle Wertepaare x, y, wenn man x und y als unabhängige Veränderliche auffaßt,

also nicht der Bedingung F = 0 unterwirft, definiert und stetig und haben stetige partielle Ableitungen von allen Ordnungen nach x und y. Daß dennoch solche merkwürdige Stellen wie ein Doppelpunkt, eine Spitze, ein isolierter Punkt und eine Schnabelspitze auftreten können, hat seinen Grund darin, daß y an x durch die Gleichung F= 0 gebunden wurde. Diese Gleichung definierte nämlich in den Beispielen jedesmal

Serret-Scheffera,Diff.-u. Iutegr.-Reehn.I. 6. u. 7. Aufl.

zwei entwickelte Funktionen y von x\ zu ihnen gehörten zwei Kurvenzweige, die wir dann zu einer Kurve zusammenfaßten. Wir haben also die Definition der Kurve, wie sie in Kr. 167 gegeben wurde, erweitert, indem wir die Gesamtheit aller Punkte (x, y), deren Koordinaten einer Gleichung F(cc}y) = 0 genügen, als eine Kurve bezeichnen. So kommen jene besonderen Punkte in den Nummern 183 bis 186 zustande.

Wir wollen in den folgenden Nummern des gegenwärtigen Paragraphen unter einer Kurve den Inbegriff aller Punkte verstehen, deren Koordinaten x, y eine Funktion F(x, y) gleich Null machen. Dabei soll diese Funktion in einer Umgebung eines betrachteten Kurvenpunktes (xQ, y₀) nach dem Taylor sehen Satze als unendliche Heike nach positiven ganzen Potenzen von x — x0 und y — y₀ entwickelbar sein. Vgl. Satz 29 von Nr. 137.

Diese Voraussetzung ist z. B. immer erfüllt, wenn es sich um eine algebraische Kurve handelt. Denn in Nr. 177 definierten wir eine algebraische Kurve durch eine gleich Null gesetzte homogene ganze rationale Funktion der drei homogenen Koordinaten xx, x₃, x₃5 wird aber x₃ — 1 gesetzt, so werden xx und x₂ nach Nr. 175 gewöhnliche Punktkoordinaten x und y, so daß also eine algebraische Kurve in der Ebene als der Inbegriff aller Punkte (x, y) zu definieren ist, deren Koordinaten x, y eine ganze rationale Funktion F(x,y) gleich Null machen. Die ganzen rationalen Funktionen von x und y sind nun in der Umgehung jeder Stelle (x₀, y₀) in endliche Reihen nach ganzen positiven Potenzen von x — xQ und y — y₀ entwickelbar, da ja die Potenzen in der rationalen Funktion F(x, y) einen gewissen Grad nicht überschreiten.

Infolge der gemachten Voraussetzung haben Fx und Fy in der Umgebung der Stelle (x₀, y₀) bestimmte endliche Werte.

Wir definieren nun: Regulär sollen alle diejenigen Punkte (x, y) der Kurve Fix, y) = 0 heißen, für die Fx und Fy nicht beide gleich Null sind. Wenn dagegen für einen Kurvenpunkt (x, y) sowohl Fx als auch Fy gleich Null ist, soll er singulär heißen. Dies sind rein analytische Definitionen; ihre geometrische Bedeutung werden wir in den folgenden Nummern besprechen. Man sieht vorläufig, daß die in Nr. 183 bis 186 187]

betrachteten besonderen Punkte nach dieser Definition singulär sind.

Die unter (4) in Nr. 169 angegebenen Gleichungen der Kurventangente und -normale sind für einen singulären Punkt nichtssagend, da ihre Koeffizienten verschwinden. Die Betrachtungen über Berührung in höherer Ordnung und über Konvexität und Konkavität sowie über Wendepunkte in den Nummern 172 und 173 gelten nur für reguläre, nicht für singuläre Funkte.

Wir bemerken außerdem, daß sich für eine in homogenen Koordinaten xx, x₂, xz dargestellte Kurve u (xl, x%, x₃) = 0 die Merkmale Fx = 0, Fy = 0 des singulären Punktes nach (3) in Nr. 178 in der Form ut = 0, u₃ = 0 dar stellen, und daß diese beiden Gleichungen die Gleichung u₃ = 0 nach sich ziehen, wie schon in Nr. 179 gezeigt wurde. Die in Satz 10 von Nr. 179 erwähnte Hessesche Kurve Hu — 0 trifft daher die Kurve u = 0 außer in ihren Wendepunkten noch in ihren singulären Funkten.

Wegen der über die Funktion F(x,y) gemachten Voraussetzungen haben wir von vornherein sokhe Funkte ganz ausgeschlossen, in denen Unstetigkeiten eintreten, also Punkte wie den Endpunkt in Nr. 181 und den Eckpunkt in Nr. 182, und zwar deshalb, weil es kein allgemeines Verfahren zur Behandlung derartiger Punkte gibt.

Schließlich noch eine Anmerkung: Wenn eine Kurve durch eine aufgelöste Gleichung y = f(x) gegeben und f(x) nach dem Taylorschen Satze nach Potenzen von x~x₀ entwickelbar ist, erfüllt die Funktion F{x, y) = y — f(x) die Bedingungen, denen wir oben die Funktion F unterwarfen. Da aber hier F = 1 =(= 0 ist, treten keine singulären Punkte auf.

188. Reihenentwicklung an einer regulären Stelle.

Die Funktion F(x, y) sei gleich Null insbesondere für x = 0, y = 0, und ferner sei die Funktion in einer Umgebung dieses Wertepaares nach dem Taylorschen Satze nach ganzen positiven Potenzen von x und y entwickelbar. Alsdann gehört der Anfangspunkt 0 zur Kurve F(x, y) = 0, und für hinreichend kleine Werte von \x\ und y ist:

(1) F(x, y) = (A₁₀x -f- A0ly^ -f- (A^qX^ -j- 2Altxy 4- A₀₂y ) -p + (Mgo#³ + 3Anx^y -f- 3A₁₂xy* + Aosy³) + • • •.

[187, 188

Wir werden im dritten Bande zeigen, daß man eine derartige in der Umgebung von x = 0, y == 0 unbedingt konvergente Reihe gliedweise differenzieren darf. Das muß, nebenbei gesagt, besonders bewiesen werden, weil der Satz 12 von Nr. 34 von der gliedweisen Differentiation einer Summe nur für Summen mit einer endlichen Anzahl von Summanden dargetan wurde. Nehmen wir also an, daß die Reihe gliedweise differenziert werden darf, so folgt:

(2){

*Wio+2 {A₂₀x -f- An y) + 3 (AS0x² -f- 2 Anxy -f- A₁₂y²) d----,

Fy=A₀₁-\-2(Anx + AQ2ij)-\-?>(Anx* -\- 2 Anxy+J.₀₃t/²)H----,

somit, wenn der Index Null die Substitution der Werte x = 0, y = 0 andeutet:

(3)

Nach der Definition in voriger Nummer ist daher der Punkt 0 ein regulärer Kurvenpunkt, sobald A₁₀ und A0l nicht beide gleich Null sind. Ist A0l = 0, aber A₁₀ + 0; ⁸⁰ können wir immer durch Vertauschen der Koordinatenachsen erreichen, daß A0l 4= 0 wird. Also ist es keine wesentliche Beschränkung der Allgemeinheit, wenn wir an der regulären Stelle 0 insbesondere voraussetzen:

(4)

FW = A₀1 + 0.    •

Wir werden im dritten Bande beweisen, daß es daun eine und nur eine Punktion y = f(x) von x gibt, die für x = 0 verschwindet, ferner in einer Umgebung von x = 0 nach ganzen positiven Potenzen von x nach dem Taylorschen Satze entwickelbar ist und drittens, in F(x, y) für y eingesetzt, die Funktion F gleich Null macht für alle Werte x in der Umgebung von x = 0, so daß y — f(x) die Darstellung der Kurve in der Umgebung des regulären Punktes O ist. Hier können wir von allem diesen vorläufig nur Eines dartun, nämlich, daß es höchstens eine Reihenentwicklung

(5)

y = ao + aix + a2^² + aäxs + • • • geben kann, die der Bedingung F <= 0 in der Umgebung von x = 0 genügen könnte. Dabei machen wir wieder davon Gebrauch, daß, wenn eine Reihe in der Umgebung von x — 0 unbedingt konvergiert, sie dort auch gliedweise differenziert 188]

werden darf, was wir, wie gesagt, erst später beweisen. Um jene Reihe (5) zu berechnen, verfahren wir so:

Aus (2) folgt:

Fxx = 1 ' 2A₂o + 2-3 (A₃₀x + A₂₁y) + • • •, Fxy=l-2An + 2.3 (A₂₁ x -f A₁₂ ?/) + ••*, Fyy ⁼ 1'2A₀₂ + 2-3 {A₁₂x -f- A₀₃y) + • • •, also für x = 0, y — 0:

^(°) = 2A

FM = 2 A₀₂.

yy    ⁰²

207

FM = 24,

Entsprechend lassen sich die höheren Ableitungen von ..F für x — 0, ?/ = 0 durch die Koeffizienten 4* leicht ausdrücken. Nach (5) muß andererseits sein:

y' = 1 • at 2 • a₂# + 3 • a₃£² -f- • • •,

?/"= 1 • 2 • a₂ -j- 2 • 3 • a₃;r -f • • •,

woraus für x — 0 folgt:

(6) y₀' — 1 • au y₀" = 1 • 2 • a₂, y₀"' = 1 • 2 • 3 • as,....

Nun fordern wir zunächst, daß die Funktion y von x in (5) gleich Null für x = 0 sei. Also ist a₀ = 0. Die Funktion soll auch die Gleichung Fix, y) = 0 in der Umgehung von # = 0 befriedigen. Dies ist an der Stelle x = 0 selbst der Fall, da F(0, 0) = 0 ist. Aber durch vollständige Differentiation von F=0 nach x ergeben sich nacheinander noch die Gleichungen:

Fx + Fyy = 0,

Fxx + %Fxyy + Fyyy ² -f- Fyy" = 0,

' Fxxx + 3Fxxyy -f 3Fxyyy'² -f Fyyyy'³

+ S(Fxy + Fyyy )y" + Fyy" = 0,

wobei besonders beachtet werden möge, daß jedesmal die Ableitung höchster Ordnung von y mit Fy multipliziert ist. Indem wir nun x = 0 annehmen und die Werte (6) einsetzen, erhalten wir eine Reihe von Gleichungen, von denen die erste ax, die zweite außerdem a₂, die dritte noch a₃ usw. enthält. Denn diese Größen treten wegen (3) multipliziert mit A₀₁, 1 • 24it 1 • 2 • 34i usw. auf. Weil A₀₁ =J= 0 nach (4) ist,

[188

dienen daher die Gleichungen (7) nacheinander zur eindeutigen Berechnung endlicher Werte von a1} a₂, a&, . . ..

Trotzdem wir ohne Beweis die gliedweise Differentiation von unendlichen Reihen benutzt haben, wird so erkannt, daß es höchstens eine unendliche Reihe (5) gehen kann, die der Bedingung F(x, y) — 0 in der Umgebung von x = 0 formal genügt, sobald Ff'¹ nicht verschwindet. Wenn F^ — 0, aber F®⁾=1=0 ist, können wir durch Vertauschung der Rollen, die x und y spielen, ebenso einsehen, daß es höchstens eine unendliche Reihe x = b₀ bxy -f- b₂y²    b₃y³ + • • •

geben kann, die der Bedingung F(x,y) = 0 in einer Umgebung von y — 0 formal genügt.

Wir haben jedoch nicht bewiesen, daß diese unendlichen Reihen, die in ihrer Art einzig sind, wirklich konvergieren und, in F = 0 eingesetzt, diese Gleichung befriedigen. Vielmehr hat die Betrachtung noch große Lücken, die, wie gesagt, erst später ausgefüllt werden können.

Daß wir x₀ = 0 und y₀ = 0 wählten, war eine Einschränkung ohne jede Bedeutung. Genau dieselbe Überlegung wie in der Umgebung der Stelle x = 0, y = 0 läßt sich in der Umgebung irgendeiner Stelle (x₀, y₀) machen, wenn in den gebrauchten unendlichen Reihen überall x und y durch x — x0 und y — y₀ ersetzt werden. An einer regulären Stelle (x₀, y₀) können wir somit im Falle F 4= 0 für x = x₀, y = y₀ gerade eine unendliche Reihe für y — y₀ nach ganzen positiven Rotenzen von x — x₀ berechnen und, wenn Fy = 0 für x = x₀, y = y₀ ist, eine unendliche Reihe für x — x₀ nach ganzen positiven Rotenzen von y —y₀.

189. Reihenentwicklung an einer singulären Stelle.

Das Verfahren der vorigen Nummer versagt, wenn der Punkt (0, 0) ein singulärer Punkt der Kurve F(x, y) — 0 ist, d. h. wenn nicht nur F, sondern auch Fx und Fy gleich⁴ Null für x = 0, y = 0 sind. Dann nämlich muß nach (3) in voriger Nummer

A₁₀ = 0, A₀₁ = 0

angenommen werden, so daß die erste Gleichung (7) für x = 0, y = 0 zur Identität wird. Wir können also aus ihr

188, 189]

keine Folgerung ziehen, beginnen vielmehr mit der zweiten Gleichung (7). Sie liefert für x — 0, y = 0, da F^ = 0 ist und die Werte (6) einzusetzen sind, die Gleichung:

(i)

Ff + 2Ffa, + Ffa* - 0,

somit eine quadratische Gleichung zur Berechnung von at.

Wir wollen vorerst annehmen, sie habe zwei reelle verschiedene Wurzeln alf d. h. es sei

(2)

JW* _ J?(0) JT(0) Q_ xy    xx yy ^

Außerdem nehmen wir an:

i*o) 4= 0.

yy '

Ist übrigens FW = 0, so kann man statt einer Reihenentwicklung von y nach Potenzen von x eine solche von x nach Potenzen von y suchen, wenn F^'-j, =4= 0 ist. Wenn wir also im folgenden F® =j= 0 voraussetzen, bedeutet dies keine wesentliche Beschränkung der allgemeineren Voraussetzung: Es sollen nicht beide Größen Ff}z und F^y gleich Null sein.

a2>

Wir erhalten aus (1) zwei reelle verschiedene Werte von a1} etwa a( und ax". Wenn wir nun die dritte, vierte usw. Gleichung (7) der vorigen Nummer für x = 0, y — 0 bilden, sehen wir, daß die dritte, da jetzt F^ = 0 ist, wegen der Substitutionen (6) der vorigen Nummer a₂ bestimmt, die vierte a₃ usw. Denn    die    dabei auftretenden Koeffizienten    von

bezeichnen wollen, so daß wir zu zwei Entwicklungen nach ganzen positiven Potenzen von x

y = aL' x -f a₂ + a₃ x³ -f- • • •, y = a/'x -f- a₂"x² -j- as"x³ -(-•••

gelangen, die, in F(x, y) eingesetzt, die Forderung F(x, y) = 0

an der Stelle x — 0, y = 0 formal erfüllen. Man kann, worauf wir hier nicht eingehen, zeigen, daß diese Entwicklungen in einer Umgebung von x = 0 unbedingt konvergieren und F= 0 befriedigen, also zwei Kurvenzweige definieren, die durch den singulären Anfangspunkt geben. Beide Kurvenzweige sind verschieden, da af =4= ai" ist. Also liegt jetzt ein Doppelpunkt der Kurve vor. Man kann nämlich überdies zeigen, — was wir hier ebenfalls nicht tun wollen —, daß dies die beiden einzigen Kurvenzweige sind, die durch den Anfangspunkt gehen.

Wir haben also, abgesehen von gewissen notwendigen Ergänzungen, erkannt, daß ein Funkt (xQ, y₀) der Kurve F(x, y) = 0 ein Doppelpunkt ist, wenn F, Fx, Fy für x = x₀, y = y₀ gleich Null sind, dagegen F*xy — FxxFyy für x = x₀, y = yo positiv ist und Fxx und Fyy für x = x₀, y = yQ nicht beide verschwinden. Nämlich das, was wir hier nur der größeren Einfachheit der Formeln halber für den Punkt (0,0) ableiteten, hätten wir ebenso für irgendeinen anderen Punkt (x₀, y₀) der Kurve finden können, wenn wir y — y₀ nach Potenzen von x — x₀ entwickelt hätten.

Wenn dagegen F*xy-FxxFyy< 0 für x = V = Vo ist, kann weder Fxx noch Fyy für x = x₀, y = y₀ verschwinden, und dann hat die quadratische Gleichung für ax keine reelle Wurzel. Wir kommen jetzt allerdings auch zu zwei Reihenentwicklungen, aber ihre Koeffizienten sind imaginär. Man kann zeigen, daß dann überhaupt keine reellen Kurvenzweige durch den betrachteten singulären Punkt gehen. Im Falle also, wo F, Fx und Fy an der Stelle (x₀₎ y₀) gleich Null sind und F²xy — FxxFyy ebenda negativ ist, stellt der Punkt (x₀, y₀) einen isolierten Funkt der Kurve F ■== 0 vor.

Beispiel: Liegt die Gleichung

F = y* - x(x - ay = 0

vor, so ist, wie wir in Nr. 183 sahen, F — 0, Fx = 0, Fy = 0 nur für x = a, y = 0. Es ist nun Fxx = 4a — Qx, Fxy = 0, Fyy = 2, also für den singulären Punkt F²xy — FxxFyy =4a und Fxx= — 2a. Im Falle a > 0 ist der Punkt folglich ein Doppelpunkt, im Falle a < 0 ein isolierter Punkt. Hierzu vgl. Nr. 185, wo a durch — a ersetzt worden war.

1891

190. Fortsetzung der Betrachtung singulärer Stellen. Wir wollen jetzt annehmen, daß für x = 0, y = 0 nicht nur F, Fx und Fy, sondern auch F\y — FxxFyy = 0 sei. Alsdann hat die in voriger Nummer angegebene quadratische Gleichung (1) für ax eine Doppelwurzel, für die also auch F^yax = 0 ist. Von den Gleichungen (7) in Nr. 188 fällt die erste wieder weg, während die zweite für x — 0, y = 0 jene quadratische Gleichung für ax und die dritte eine kubische Gleichung für ax gibt:

jF(°) + 3 F® ax + 3 F® < -f ax³ = 0.

xxx ¹    xxy J- ¹    xyy i ¹ yyy 1

Im allgemeinen wird die Doppelwurzel ax nicht auch diese kubische Gleichung befriedigen, d. h. es stellt sich der formalen Berechnung der Reihenentwicklung hier ein Hindernis entgegen. Dies ist ein ganz anderes Hindernis als im Falle des isolierten Punktes. Dort nämlich kann man immer noch Reihenentwicklungen finden, die jedoch imaginär sind, während hier geradezu ein Widerspruch vorkommt.

Da also keine Reihenentwicklung von y nach ganzen positiven Potenzen von x und ebenso keine von x nach ganzen positiven Potenzen von y vorhanden ist, muß man einen anderen Weg einschlagen. Um dies zu erläutern, wollen wir zunächst das Achsenkreuz in eine bequemere Lage bringen, indem wir es um einen Winkel u drehen. Sind xx, yx die neuen rechtwinkligen Koordinaten, so ist

(1)

xx — x cos a -f- y sin a, yx — — x sin a -f- y cos cc,

also:

x = xx cos a — yx sin cc, y = xx sin a + yx cos cc.

Daher wird F(x, y), wenn diese Werte von x und y eingesetzt werden, eine Funktion &(xx, yx)- Dabei ergibt sich genau so, wie wir in Nr. 179 die Ableitungen der neuen Funktion ü berechneten:

(2)

= Fx cos a-\-Fy sin cc, &yi = — Fx sin cc -f Fy cos cc,

®x,xx = Fxx cos2 a + 2Fxy sin cc cos cc -j- Fyy sin² cc,

(3)

xiVi

= — Fxx sin cc cos cc -\-Fx y (cos² cc—sin² cc) -f- F y sin cc cos cc, ®yin = Fxx sin² cc — 2Fxy sin kcos« + Fyy cos² cc.

Aber wir können den Winkel a so wählen, daß jetzt außerdem ®x\ ⁼ ^ wird, wegen der ersten Gleichung (3).

Man sieht hieraus, daß wir uns ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit auf den Fall beschränken können, wo insbesondere F{0) = 0 ist. Da für x = 0, y = 0 der Ausdruck F²    — F^F verschwinden soll, ist dann auch F^ = 0.

X y    xx yy    7    xy

Folglich nimmt die in Nr. 188 unter (1) angegebene Reihenentwicklung für F(x, y) die besondere Form an:

(4) F(x,y) = A₀₂y^-\- (^sox3 + 3A2lx²y -f- 3A₁₂xy² -j-M₀₃?/³)-|—. Welche Beschaffenheit nunmehr der singuläre Anfangspunkt hat, wollen wir nur in dem Falle untersuchen, wo

Aq2 ^ 0

ist, d. h. wo nicht alle Glieder zweiter Ordnung in der Entwicklung von F{x, y) verschwinden. Die Ergebnisse fallen verschieden aus, je nachdem M₃₀ =f= 0 oder M₃₀ = 0 ist.

Zunächst sei:

A₃₀ =4= 0.

Je nachdem x positiv oder negativ ist, können wir x mit |2 oder — bezeichnen. Wir setzen also x — st², wo s = + 1 sein darf. Ferner werde y : x mit y bezeichnet. Dies bedeutet: Es sollen neue Veränderliche £ und rj vermöge der Substitution

0 = ±1)

(5)

Aus (2) folgt, daß für den Anfangspunkt = G>y = 0 wird, da für ihn Fx = F = 0 ist. Ferner wird nach (3):

— jr 2 FF,

xy    xx yy >

02 _ 0 0

X\V\

x₁x₁

Vi Vi

also nach wie vor:

0W _ 0(0) 0(0) ₌ 0.

xiVi

xixi Vi Vi

x = st², y = £%²y

eingeführt werden. Aus der Gleichung F(x, y) — 0 wird dann eine Gleichung in £ und rj, deren linke Seite nach dem Taylor-schen Satze nach positiven ganzen Potenzen von £ und rj in einer Umgebung des Wertepaares £ = 0, y = 0 entwickelbar ist. Von ihr läßt sich der Faktor |⁴ ahsondern, was geschehen darf, da ja | = 0 nach (5) auch x = 0, y == 0 nach sich zieht, während wir nicht den Punkt (0,0), sondern seine Umgebung betrachten wollen, wo x und y nicht beide gleich Null sind. Demnach bleibt die Gleichung übrig:

190]

£Ä₀₂rj² -f (M₃₀£² + 3,4₂₁|²?7 + 3Jj₂£V + ^03IV) +

s(A^ + 4 A₃₁?V + 6M₂₃|V + 4M₁₃IV + AJV) + • • — 0

oder, wenn wir die Glieder nach ihren Dimensionen ordnen:

(6)

(-4₃₀l² + *A₀₂y²) + •_•• = 0,

wo die Glieder von höherer als zweiter Dimension nur durch Punkte angedeutet sind. Jetzt liegt rechnerisch wieder der in der vorigen Nummer besprochene Fall vor, indem an Stelle von F = (A><V + 2Anxy + Ä₀₂y²) -)----- 0

die neue Gleichung (6) zu nehmen ist. Die zugehörige quadratische Gleichung für a₁ wird:

-4-₃o "F ^02%2 =

Nach Voraussetzung ist J₃₀ + 0 und Ä₀₂ =j= 0. Sind beide vom seihen bzw. von verschiedenen Vorzeichen, so ergeben sich für a₁ zwei verschiedene reelle Werte af und af, wenn — 1 bzw. s = -j- 1 ist. Dabei ist af = — af. Wenn wir also £ = + 1 oder — 1 nach dieser Maßgabe wählen, gehen wie in voriger Nummer in jedem Falle zwei Reihen hervor:

V — ai I ~F a2 I² ~F az I³ ~F • • •, rj -    + VI³ + —,

wobei a” = — af ist. Nach (5) gibt es also in der Umgebung des Anfangspunktes zwei Darstellungen

x = £%*, y = V« I + < I² + <h' I³ H----)

und

x = f|²,

der Kurve mittels einer Hilfsveränderlichen |, daher zwei Kurvenzweige. Da £ den bestimmten Wert -fl oder — 1 bedeutet, ist x entweder für beide Zweige positiv oder für beide negativ. Ferner wird beim ersten Zweige: also für £ = 0 auch dy : dx = 0, ebenso beim zweiten Zweige. Beide Zweige berühren daher im Anfangspunkte die positive iC-Achse, wenn £ = 4-1 ist, dagegen die negative x-Achse, wenn £ = — 1 ist. Wir setzen natürlich immer den noch unbewiesenen Umstand voraus, daß die gefundenen Reihen gültige

Taylorsche Entwicklungen seien. Sie haben nach Satz 22 von Nr. 115 für hinreichend kleines |£| dasselbe Vorzeichen wie ihre ersten Glieder sa^³ und sa/'I³. Wegen a" — — aj berühren also beide Kuryenzweige im Palle e = + 1 im Anfangspunkte die positive Achse von verschiedenen Seiten und im Palle 8 = — 1 ebenso die negative x-Achse. Daher liegt eine Spitze vor wie in Nr. 184. Man nennt einen derartigen Punkt aus einleuchtendem Grunde auch einen Riickkehrpunkt.

Wir betrachten jetzt den Fall

A₃₀ = ⁰

CO

und wollen neue Veränderliche £ und rj vermöge x = S, y = lp

einführen, so daß die Gleichung (4), aus der sich |² forthebt, lautet:

Arf* + (3 An%p + 3A₁₂%p² + A₀₃%p³) + (Ai0£²-\-4An¥p+ ■■•) +■■• = ()

oder, wenn wir nur die Glieder von der niedrigsten, nämlich zweiten, Dimension wirklich an geben:

(Aoi² +    -f A₀₂p²) 4----= 0.

Wie man sieht, liegt jetzt rechnerisch wieder der Pall von Nr. 189 vor. Wir schließen daher: Ist

9< - 4A₀₂Ai0 < 0,

so gibt es keine reellen, sondern nur imaginäre Entwicklungen von p nach Potenzen von | (oder umgekehrt). Der Anfangspunkt wird daher ein isolierter Kurvenpunkt sein.

Ist dagegen

9A²n - 4Ao2Ai0 > 0

und A₀₂ =j= 0, so gibt es zwei verschiedene Entwicklungen von p nach Potenzen von |, so daß wegen (7) zwei Kurvenzweige hervorgehen:

(8)

y = x(at' x + a₂ x² + a₃ x³ 4----),

V = x(<h" x + a₂" x² -f as" x³ -\----),

wobei <z/ =j= a” ist. Wenn aber A₀₂ = 0, dagegen Ai0 =j= 0 ist, gibt es zwei verschiedene Entwicklungen von £ nach Po-

190]

tenzen von g, so daß wegen (7) wieder zwei Kurvenzweige hervorgehen, die mittels einer Hilfsveränderlichen g so dargestellt werden:

(9) und:

x = af’g + a₂'V H----, y = g(af g + a₂'VH----).

Im Falle (8) liefert x = 0 für beide Zweige y = 0 und auch dy : dx = 0. Da # positiv oder negativ sein kann, besteht die Kurve in der Umgebung des Anfangspunktes aus zwei Zweigen, die dort zwar die x-Achse berühren, aber kein Ende haben. Daher liegt eine Stelle vor, an der die Kurve sich selbst berührt, aber keine Spitze hat. Im Falle (9) ergibt sich dasselbe für den Anfangspunkt, da dann bei beiden Zweigen für g — 0 sowohl x und y als auch dy : dx gleich Null wird.

Der Fall, wo H₀₂ und A₄₀ beide gleich Null sind, ist beiseite gelassen worden; ebenso wollen wir auf den Fall 9 A\Y — 4H₀₂H₄₀ = 0 nicht näher eingehen. Man hat in diesen Fällen weitergehende Untersuchungen auzustellen. Hierher gehört z. B. die in Nr. 186 aufgetretene Schnabelspitze.

191. Allgemeine Bemerkungen über singuläre Stellen. In Nr. 187 haben wir, um auf wenigstens einigermaßen sicherem Grunde Untersuchungen über singuläre Stellen durchführen zu können, über die Funktion F{x, y), durch deren Nullsetzen eine Kurve definiert wird, ziemlich beschränkende Voraussetzungen gemacht. Die Gleichungen der Tangente und Normale unter (4) in Nr. 169 sind aber, wie wir schon in Nr. 187 hervorhoben, stets nichtssagend, sobald für einen Kurvenpunkt Fx und Fy beide gleich Null werden.

Wir sagen daher jetzt allgemeiner:

Ist F(x,y) innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches für x und y definiert und stetig und sind Fx und Fy innerhalb dieses Bereiches vorhanden, so soll ein Punkt (x, y) der Kurve F(x, y) = 0 nur dann regulär heißen, wenn für ihn Fx und F nicht alle beide gleich Nidl sind. Andernfallls heißt er singulär. Wenn wir später Betrachtungen für die Umgebung eines Kurvenpunktes (#, y) anstellen, soll immer ein regulärer

Punkt ins Auge gefaßt sein, wenn nicht ausdrücklich anderes gesagt wird.

Ist y = f(x) die Kurvengleichung und die Funktion f(oc) in einem Bereiche stetig und differenzierbar, so ist die Kurve dort überall regulär, wie schon in Nr. 187 betont wurde.

Wird die Kurve mittels einer Hilfsveränderlichen t in der Form

(1)

x = <p(ß), y = ^(0

dargestellt und sind (p{t) und i/j(t) innerhalb eines Bereiches für t stetig und differenzierbar, so können singuläre Stellen verschieden gekennzeichnet sein: Denn wenn wir die Kurve in der Form y = f(x) darstellen wollen, müssen wir (vgl. Nr. 168) zunächst t als Funktion von x gewinnen. Aber zu allen Werten von t innerhalb eines Intervalles a < t < ß können vermöge x = cp(t) Werte von x gehören, die ein Intervall a < x < b derart erfüllen, daß es z. B. zu jedem x im Intervalle a < x < b insgesamt n Werte von t im Intervalle a < t < ß gibt. Dann sind n zu x = cp(t) inverse Funktionen t = Q>{x) vorhanden, so daß y = ^(<£(2?)) insgesamt n Kurvenzweige darstellt, wenn x von a bis b wächst. Dabei können diese Kurven einander schneiden, wodurch Doppelpunkte oder mehrfache Funkte hervorgehen.

Mithin ist, sobald wir die yesamte durch (1) definierte Kurve betrachten, ein Punkt (x₀, y₀) singulär, wenn die Funktionen x und y für mindestens zwei verschiedene Werte /₀ und t₀' dieselben Werte xQ und y₀ annehmen. Wenn wir uns alsdann aber auf Werte von t in einer Umgebung von t₀ be schränken, verliert ein derartiger Punkt seinen singulären Charakter, so daß derartige Singularitäten nicht Vorkommen, sobald wir uns auf ein hinreichend kleines Intervall von Werten der Hilfsveränderlichen t beschränken. In der Tat gelang uns ja die Untersuchung einiger singulärer Stellen in den letzten Nummern durch Einführung einer Hilfsveränderliclien £ oder y, wodurch es möglich wurde, die durch einen singulären Punkt gehenden Kurvenzweige voneinander rechnerisch zu trennen.

Aber die Kurve (1) kann noch andere singuläre Punkte

haben: Wenn zu den Werten von t innerhalb eines Intervalles a < t < ß Werte von x gehören, die innerhalb des Inter valles a < x < & liegen und dies Intervall nur einfach erfüllen, gibt es zwar nur eine zu x = cp(t) inverse Funktion t = @(x), so daß wir zur Darstellung y = ip(ß>{xf) gelangen können, jedoch muß dabei von solchen Werten von t abgesehen werden, für die cp'(t) = 0 ist, weil dort die Ableitung von <D(x) nicht mehr nach Satz 18, Nr. 37, zu finden ist. Immerhin kann man diesen Ausnabmefall vermeiden, wenn für den betreffenden Wert von t nicht auch ip'(t) = 0 ist, weil man alsdann t als die zu y = ip(t) inverse Funktion t= *P(y) auffassen und in x — cp (t) einsetzen kann, so daß man zu einer nach x aufgelösten Kurvengleichung x = cp(W{y)) gelangt, indem nur die Rollen der beiden Koordinaten x und y vertauscht werden. Das geht jedoch nicht mehr, wenn für einen und denselben Wert von t sowohl cp\t) als auch ip'(t) gleich Null ist.

Wir wollen daher annehmen, für t = t₀ sei cp' (t) = 0 und ip'(t) = 0. Wir setzen cp (tQ) = x₀ und 7p (t₀) = y₀. Ferner mögen cp(t), ip(t) nebst ihren Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung in einer Umgebung von t = t₀ bestimmte endliche Werte haben. Nach Satz 19 von Nr. 112 ist dann für t = tQ-\-h und hinreichend kleines \h\:

X — ^0 +    '(« y +

J, 2

V = Uo + f(ßo) Y + $37

wobei die Reste R₃ und S₂ nach Satz 22 von Nr. 115 ohne Einfluß auf die Vorzeichen von

x — x₀

V - Ik =    \ + s.

sind, sobald wir cp"(t₀) =4= 0 und ip"(t₀) =j= 0 annehmen. Daher hat x — xQ für positives und negatives h in der Umgebung von h = 0 dasselbe Zeichen wie cp"(t₀) und ebenso y — y₀ dasselbe wie ip"(t₀)₇ d. h. die Kurvenpunkte, die sich für tf>£₀, und diejenigen, die sich für t<Ct₀ in der Umgebung von (x₀, y₀) ergeben, liegen in einem und demselben von den vier rechten Winkeln, die bestimmt werden, wenn man durch den Punkt

(x₀, y₀) die Parallelen zn den Achsen legt. Außerdem ist für positives und negatives h:

h-ox x0

V (fo)

Zieht man nun durch den Punkt (#₀, y₀) die Gerade, deren Winkel r mit der rr-Achse durch

tgT =

gegeben ist, so verlassen die beiden Kurvenzweige, die für t < t₀ und t > t₀ hervorgehen, den Punkt (xQ, y₀) in der Weise, daß sie dort die Gerade nach derselben Richtung vom Punkte (x₀, y₀) aus berühren, d. h. die Kurve hat im Punkte (xQ, y₀) eine Spitze. Noch höhere Singularitäten ergeben sich, wenn cp"(t₀) und ip"(t₀) verschwindet.

Hiernach sind diejenigen Funkte der Kurve x = (p (t), y = 4>(t), für die sowohl cp'(t) als auch tk'(ß) gleich Nidl ist, als singulär zu bezeichnen. In der Tat werden auch die Gleichungen der Tangente und der Normale, die in Nr. 169 unter (7) angegeben sind, für sie nichtssagend.

§ 4. Differentialquotient der Fläche und der Bogenlänge.

192. Der Flächeninhalt hei einer ebenen Kurve.

Das Bild einer Punktion

y = f(x)

habe innerhalb eines Intervalles überall positive Ordinaten. Siehe Fig. 36. Wir errichten eine bestimmte Ordinate AC und die zu einer veränderlichen Abszisse x =*= OP > OA gehörige Ordinate y = PM. Beide Ordinaten schließen zusammen mit der Abszissenachse und der Bildlinie ein Flächenstück AP MC ein. Wenn wir als Flächeneinheit das Quadrat wählen, dessen Seitenlänge die Längeneinheit ist, wird dieses Flächenstück AP MC, gemessen mit der Flächeneinheit, eine gewisse Größe u haben. Über die Art, wie man die Fläche AP MC exakt analytisch definiert und be-191, 192J

t~i

Kr

Aj

hl

dx

'

Fig. 36.

rechnen kann, werden wir erst im zweiten Bande sprechen. Wir begnügen uns hier damit, daß diese Fläche u geometrisch

yorliegt.

Ändert sich die Abszisse x = OP, so ändert sich auch

der Flächeninhalt u. Zu jedem Werte von x gehört ein Wert von w, solange x innerhalb eines gewissen Inter valles bleibt. Also ist die Fläche u eine Funktion der Abszisse x.

Lassen wir die Abszisse x um Ax = PPX wachsen, so erfährt die Fläche u eine Zunahme Au. Wenn P₁M₁ die Ordinate ist, die zu x + Ax gehört, bedeutet Au die Fläche, die zwischen PM, P₁M₁, der Abszissenachse und der Bildlinie liegt. Nehmen wir zunächst an, daß f(x) von x bis x -\- Ax beständig zu- oder abnehme, so liegt die Fläche Au zwischen den Flächen zweier Rechtecke, die sich ergeben, wenn man durch M und M₁ die Parallelen MJ und KM₁ zur Abszissenachse zieht, nämlich zwischen den Flächen der Rechtecke PPl JM und PP₁M₁K:

PP₁JM $ PP₁ MXM 3s PP₁ Mx K.

Hierbei gelten wie auch nachher die oberen oder unteren Zeichen, je nachdem f(x) von x bis x -j- Ax beständig zu-oder abnimmt. Nun ist PlM₁ die zu x + Ax gehörige Ordinate, also gleich y -f Ay. Daher kommt:

yAx ^ Au ^ (y + Ay) Ax.

Derartige Ungleichungen bestehen auch, wenn man mit Ax dividiert; nur hat man, wenn Ax negativ angenommen wird, > mit < zu vertauschen. In jedem Falle wird also:

y<

du

du

<y + Ay oder y>^>y + Ay.

Ist y = f(x) eine stetige Funktion, so wird lim Ay = 0 für lim Ax = 0. Also ergibt sich für \\va.Ax = 0 nach Satz 34 in Nr. 25, daß Au:Ax einen bestimmten endlichen Grenzwert hat, der daher der Differentialquotient der Fläche u nach der unabhängigen Veränderlichen x ist:

dx

du

dx

= y = f(?)-

Diese Formel ist unter der Voraussetzung bewiesen worden, daß f(x) von x bis x + Ax beständig zu- oder abnehme,

22

Serret-Sobeffers, Diff.- u.Integr.-Rechn.I. 6.U.7. Aufl.

[193

so daß von M bis eine der beiden Endordinaten PM und P₁M₁ die größte und die andere die kleinste ist. Diese Voraussetzung kann fallen gelassen werden, denn die Beweisführung gilt auch, wenn die kleinste und die größte Ordinate von M bis Ml irgendwo zwischen PM und PXM^ liegen. Ist nämlich k der kleinste und g der größte Wert, den y im Intervalle von x bis x -j- Ax annimmt, so wird wieder:

kAx^ Au^ gAx,

wo die oberen oder unteren Zeichen gelten, je nachdem Ax positiv oder negativ ist. Hieraus folgt durch Division mit Ax, weil dann > mit < zu vertauschen ist, sobald Ax negativ gewählt wird, in jedem Falle:

7 Au

oder, was dasselbe ist:

k<^<k + (g~k).

Außerdem ist im Intervalle von x bis x -f Ax:

Ä ^ y <1 k + {g — k).

Für lim Ax = 0 wird g = k, weil y = f(x) stetig ist, und folglich limft = «/. Also kommt wie vorhin:

du dx

Satz 11: Ist eine Funktion f(x) stetig und positiv in dem Intervalle von xQ bis x>x₀ und bedeutet u den Inhalt desjenigen Flächenstückes, das von der Abszissenachse, von den zu x₀ und x gehörigen Ordinaten und von dem Bilde der Funktion y = fix) begrenzt wird, so ist u eine Funktion der veränderlichen Abszisse x, deren Ableitung die Ordinate fix) ist:

du    s.

35-rt*)-

Wir machen darauf aufmerksam, daß wir nur die Stetigkeit von f(x) vorausgesetzt haben, nicht die Differenzierbarkeit. Insbesondere gilt der Satz auch für die von Kurven y = f(x) bestimmten Flächen, wenn die Kurven wie in Nr. 167 definiert werden.

193. Die Bogenlänge einer ebenen Kurve. Wir wollen jetzt annehmen, daß y = fix) nicht nur stetig, sondern auch

19», 193]

differenzierbar sei, so daß das Bild von y = f(%) nach Nr. 167 eine Kurve ist. Dabei benutzen wir wieder die Fig. 36 der yorigen Nummer. Der Kurve kommt von C bis M eine gewisse Bogenlänge s zu. Ohne hier auf die exakte analytische Definition dieses Begriffes einzugehen, die erst der zweite Band bringen soll, können wir uns doch folgendes vorstellen:

Es sei unter Beibehaltung der Bezeichnungen der vorigen Nummer und der Fig. 36 von G bis M längs der Kurve ein unausdehnbarer Faden hingelegt. Alsdann werde er abgenommen, gerade gespannt und mittels der Längeneinheit des Koordinatensystems gemessen, wodurch die Bogenlänge s von G bis M hervorgeht. Bei dieser Vorstellung setzen wir unbewiesen voraus, daß die Länge endlich sei. Außerdem sind die Begriffe der Biegsamkeit und Unausdehnbarkeit nicht definiert. Immerhin mag dies vorläufig als geometrische Erklärung der Bogenlänge genügen.

Der Punkt G habe die Abszisse x₀ — 0A und sei fest gewählt. Dagegen habe der Endpunkt M eine beliebige Lage auf der Kurve, seine Abszisse OP = x sei also veränderlich. Alsdann ist s eine Funktion von x, deren Vorhandensein wir, wie gesagt, ohne weiteres annehmen. Nunmehr wachse x wie in voriger Nummer um Ax, wobei s um As zunehme. Dann bedeutet As den Bogen MMWir wollen s positiv rechnen im Sinne wachsender Abszissen, so daß As mit Ax positiv ist. Nun ist die Sehne MMX gleich

VMJ² +JM? oder V~Ax* + Ay\

Rechnen wir auch die Sehne MMX mit Ax positiv, so wird:

Sehne MMx = Ax]/l +

und dabei ist die Quadratwurzel positiv. Daher kommt:

Sehne MM, Sehne MM\

Jx

MJ

Somit haben wir:

z/s Bogen MM, ~Qoge,nMM, Sehne MM, Bogen MM,

MJ Sehne MM, MJ Sehne MM,

Im zweiten Bande werden wir zeigen, daß das Verhältnis des

[193

Bogens MMl zur Sehne MM₁ für lim Ax = 0 den Grenzwert Eins hat. Also kommt:

lim

Js

Jx = 0Jx

folglich:

(1)

- ¹+(ir.

dx

Der Satz, nach dem der Grenzwert aus dem Verhältnisse des Bogens zur Sehne gleich Eins ist, wird übrigens im zweiten Bande unter der Voraussetzung bewiesen werden, daß y = f(%) in einer Umgebung der betrachteten Stelle x eine stetige Ableitung hat. Unter dieser Voraussetzung also stellt (1) die Ableitung der Bogenlänge s nach der Abszisse x vor, und zwar ist dabei, falls s mit x wachsend definiert wird, die Quadratwurzel positiv. Für das Differential ds der Bogenlänge gilt die Formel:

ds = Ydx² Ä dy'*•

(2)

Man nennt dies Differential auch das Bogenelement.

Wird die Kurve in der Form x = cp(t), y = ip(t) gegeben, so ist, falls cp(t) und 'ipft) in einer Umgebung der betrachteten Stelle t stetige Differentialquotienten haben, aber Stellen vermieden werden, wo 9fff) und t//(Q beide gleich Null sind (vgl. Nr. 191):

(3)

ds = VV(y² + ip'ft'fdt.

Da wir es dann jedoch nach Nr. 169 vorziehen, die Kurve im Sinne wachsender Werte von t zu durchlaufen, rechnen wir dann s wachsend mit wachsendem t. Infolge davon muß die Quadratwurzel in (3) positiv gewählt werden. Der Differentialquotient der Bogenlänge hat mithin den Wert

(4)

ds

dt⁼ >V(0²+Y(ty

mit positiver Quadratwurzel.

194. Die Bogenlänge als unabhängige Veränderliche. Formeln, die' sich auf die Theorie der ebenen Kurven beziehen, werden häufig besonders einfach, wenn die Bogenlänge s als unabhängige Veränderliche gewählt wird.

193, 194J

Nach (4) in voriger Nummer ist, wenn t die Bogenlänge s selbst bedeuten soll, cp'(t)² -f- ip'it)² = 1. Wenn also

die Darstellung einer Kurve mit Hilfe ihrer Bogenlänge s bedeutet, hat man für beliebiges s:

<p'(s)²+ ^'(s)²⁼ 1-

Nach (5) in Nr. 169 ergibt sich dabei für den Tangentenwinkel r:

(1)

dy

dx

Smt=d~s’

cos r = j-ds

§ 5. Krümmung der ebenen Kurven.

195. Das Krümmungsmaß. Nunmehr liege die Bildkurve einer Funktion

V = f(p)

vor, die nebst ihrer ersten und zweiten Ableitung in dem zu betrachtenden Intervalle überall stetig sei. Ist M oder (x, y) ein Punkt der Kurve, die nach Nr. 169    ^

im Sinne wachsender Abszissen durchlaufen wird, und bedeutet r den zugehörigen Tangentenwinkel, siehe Fig. 37, so wird sich r ändern, wenn M auf der Kurve fortwandert. Gelangt M nach M±, indem die Abszisse um Ax wächst, so gehöre zu M₁ der Tangentenwinkel r -t- Ar. Alsdann gibt Ar den Richtungsunterschied zwischen der neuen und der alten Tangente an. Er hat sich dadurch herausgestellt, daß M eine gewisse Bogenlänge As bis M₁ zurückgelegt hat. Der Bruch Ar : As heißt die mittlere oder durchschnittliche Krümmung des Kurienstückes von M bis M₁. Hätte ein Punkt dasselbe Kurvenstück rückwärts durchlaufen, so wäre As negativ, aber auch At hätte das Zeichen gewechselt. Es hätte sich also derselbe Wert für die mittlere Krümmung ergeben.

Die Tangenten t von M und ty von Mx schneiden sich in einem Punkte S unter dem Winkel Ar. In der Figur haben wir Ar positiv gewählt-, man erkennt aber, daß Ar positiv

Mj

JV ,-5’'

yf

Mi

r+Ax

->

Fig. 37.

oder negativ wird, je nachdem die Kurve von unten gesehen konvex oder konkav ist.

Wenn der Punkt Mt immer näher bei M gewählt wird, strebt nun die mittlere Krümmung z/t : z/s nach einem Grenzwerte. Es ist nämlich:

Ar

Ar

Sehne MM,

As SehneMM, Bogen MM,⁷

wobei die Sehne MM, nach Nr. 193 gleich

und die Quadratwurzel positiv ist. Wir benutzen wieder den in Nr. 193 erwähnten Satz, wonach der Grenzwert des Verhältnisses der Sehne zum Bogen gleich Eins ist. Daraus folgt jetzt:

,. Ar lim — = lim

Ar

/t x=a

Ax

Wegen x = arc tg y' (vgl. (1) in Nr. 169) ist aber:

d arc tg y'

lim

Ar

y"

dx

i + y'i

jj y. -fjA X

Außerdem hat Aly : /ix den Grenzwert y. Mithin hat z/t : z/s den Grenzwert:

(i)

dr

y"

is yi+y*"

wo die Wurzel positiv ist.

Dieser Grenzwert dx:ds der mittleren Krümmung z/t :a/s, der also hervorgeht, wenn immer näher an M heranrückt, ist die mittlere Krümmung des zur Grenze Null strebenden Kurvenbogens MM₁ und heißt das Krümmungsmaß oder die Krümmung der Kurve im Punkte M. Das Differential dx des Tangentenwinkels heißt der Kontingenzwinkel, so daß wir nach

(1) sagen können: Pie Krümmung ist der Quotient von Kontingenzwinkel und Bogenelement. Sie hat das Plus- oder Minuszeichen, je nachdem y" > 0 oder < 0 ist, d. h. je nachdem die Kurve an der betreffenden Stelle M von unten gesehen konvex oder konkav ist, vgl. Satz 6 von Nr. 173. An einer Stelle, wo y" — 0 ist, d. h. in einem eigentlichen oder uneigentlichen Wendepunkte (vgl. Nr. 172), wird die Krümmung gleich Null. 195]

Will man sich die Wahl der unabhängigen Veränderlichen noch Vorbehalten, so wird man in (1) die Differentiale erster und zweiter Ordnung von dx und dy einführen, indem man y" dx durch das Differential von dy : dx ersetzt, vgl. (7) in Nr. 93. Es ergibt sich so statt (1):

dt dxdiy— dyd³x d* ~ Yäx* -f dy**

Wenn die Kurve im Sinne der wachsenden Werte der unabhängigen Veränderlichen positiv gerechnet, dementsprechend x wie in Nr. 169 gemessen und s auch wachsend mit der unabhängigen Veränderlichen gerechnet wird, ist dabei die Wurzel positiv zu nehmen.

Wird z. B. die Bogenlänge s selbst als die unabhängige Veränderliche gewählt, so kommt nach (2) in Nr. 193:

dt dxd²y — äyd*x ds

Das Krümmungsmaß dt: ds ist positiv oder negativ, je nachdem der Tangentenwinkel t mit wachsendem s zu- oder abnimmt, d. h. je nachdem die Kurve beim Durchlaufen im Sinne wachsender Werte von s nach links oder rechts herumgeht.

196, Die ebenen Kurven konstanter Krümmung.

Hat eine Kurve konstante Krümmung k, so ist dx : ds = k, also, wenn k zunächst von Null verschieden angenommen wird, ds = dx : k, so daß aus (1) in Nr. 194 folgt:

dx = cos xdx, dy==-~B\n.xdx

(2)

(3)

dsS

oder:

,    , sin t

dx = d ~Y ,

— cos t Je

Nach Satz 5 von Nr. 29 ist also, wenn a und b Konstanten bedeuten:

dy = d

sinr k~ ’

cos t

woraus folgt:

(x — a)² + (y — b)² == -p •

Es ergibt sich somit ein Kreis, der den reziproken Wert der konstanten Krümmung zum Radius hat.

y = ax -j- konst.

Wenn die konstante Krümmung Je gleich Null ist, folgt aus dx:ds = h, daß dr = 0, also x = arc tg y = konst., daher y — konst., etwa y — a, mithin nach Satz 5, Nr. 29, y — ax = konst., folglich

wird. Dies aber ist die Gleichung einer Geraden.

Satz 12: Die Kreise und die Geraden sind die einzigen ebenen Kurven Jconstanter Krümmung, insbesondere die Geraden diejenigen von der Krümmung Null.

<z

/W

<>

Fig. 38 b.

Fig. 38 a.

Daß jeder Kreis eine konstante Krümmung hat, erhellt auch geometrisch. Für ein Bogenstück MMt eines Kreises um C mit dem Radius B, siehe Fig. 38a, wird nämlich /Ix gleich dem Zentriwinkel MCMr. Dieser aber ist gleich dem Bogen Ns oder MMX, dividiert mit dem Radius R. Daher ist Nx : Ns = 1 : R, d. h. auf dem Kreise ist überhaupt schon die mittlere Krümmung konstant, um so mehr also ihr Grenzwert, das Krümmungsmaß. Aber wenn man ein Kreisstück im Sinne wachsender Abszissen durchläuft, muß zwischen der oberen und unteren Kreishälfte unterschieden werden. Man ziehe zur Vergleichung die Fig. 38 b heran. In beiden Figuren wird der Bogen MM₁ im Sinne wachsender Abszissen durchlaufen, im Fig. 38 a ist Nx oder der Zentriwinkel positiv, in Fig. 38 b dagegen negativ. Ist also R der positiv gemessene Radius, so hat die untere Kreishälfte die konstante Krümmung 1 : R, die obere die konstante Krümmung — 1 : R. In der Tat ist auch die erste Hälfte von unten gesehen konvex, die zweite konkav. Man sieht noch mehr: Beachtet man, welche Normalenrichtung nach Nr. 169 positiv ist, so ergibt sich, 196]

daß die Krümmung solcher Stellen M des Kreises positiv wird, deren positive Normalen die Mitte C enthalten, und die Krümmung solcher Stellen M negativ wird, deren negative Normalen die Mitte C enthalten.

Diese Vorzeichenunterscheidung mag beim Kreise geometrisch unnatürlich erscheinen; wir werden jedoch sogleich eine Stelle einer beliebigen Kurve in nahe Beziehung zum Kreise bringen, wobei sich diese Unterscheidung als nützlich erweisen wird.

197. Der Krümmungskreis. Die Krümmung k = dx: ds

h<o

eines Kurvenpunktes (x, y) muß, wenn die Kurve weder eine Gerade noch ein Kreis ist, längs der Kurve veränderlich sein.

->■

Fig. SD.

Wir wollen nun auf der positiven Normale des Punktes M (vgl. Nr. 169) den reziproken y Wert R = 1: Je von k als Strecke bis zu einem Punkte G auf-

tragen, sobald k positiv ist. Ist k dagegen negativ, so tragen wir auf der negativen Normale des Punktes M den absoluten Betrag von R = 1 : k als Strecke bis C auf. Siehe Fig. 39 für beide Fälle, falls die Kurve im Sinne wachsender x durchlaufen wird. Alsdann schlagen wir um C den Kreis durch M. Er heißt der Krümmungskreis des Kurvenpunktes M und sein positiver oder negativer Radius R der Krümmungsradius des Punktes M. Nach den Bemerkungen der vorigen Nummer hat der Krümmungskreis an der Stelle M auch dem Vorzeichen nach gerade diejenige Krümmung, die der Kurve an der Stelle zukommt. Nach (1) in Nr. 195 ist der Krümmungsradius

ds

(i)

l/i + y'*s

TT

dr

wo die Quadratwurzel positiv ist. Für einen Wendepunkt (y" = 0, vgl. Nr. 172) wird der Krümmungsradius R unendlich groß, und der Krümmungskreis artet in eine Gerade aus, in die sogenannte Wendetangente, nämlich die Tangente des Wendepunktes.

Soll die Wahl der Größe, die als unabhängige Yeränder-liehe dient, Vorbehalten bleiben, so haben wir statt (1) entsprechend (2) in Nr. 195 zu schreiben:

ds

(2)

|/dx² -j- dy ** dt dxd²y — dyd²x

Wenn alsdann die Wurzel positiv gerechnet wird, sobald die Kurve im Sinne wachsender Werte der unabhängigen Veränderlichen durchlaufen und dadurch die positive Richtung der Tangente bestimmt, folglich auch die der Normale durch positive Drehung der positiven Tangente um einen rechten Winkel festgelegt wird, so ist auch jetzt R>0 oder <0, je nachdem der vorhin konstruierte Punkt C auf der positiven oder negativen Normale liegt.

Wird insbesondere die Bogenlänge s als unabhängige Veränderliche gewählt, also die Kurve mit wachsenden Werten von s durchlaufen, so ergibt sich entsprechend der Formel (3) in Nr. 195:

ds

(3)

ds³

dx dxd²y— dyd²x

Wir kehren zu der Annahme zurück, daß x die unabhängige Veränderliche sei und die Kurve im Sinne wachsender x durchlaufen werde. Alsdann ist, wenn v den Winkel der positiven Normale mit der positiven x-Achse bedeutet, nach

(2) in Nr. 169:

(4)

sin v =

cos v =

Yi + y”

wo die Wurzel positiv ist. Der Mittelpunkt C des Krümmungskreises, der sogenannte Krümmungsmittelpunkt von M, hat nun in jedem Falle nach Fig. 39 die Koordinaten:

(5)

xx = x -f- R cos v, yx—y-\-R sin v, so daß wegen (1) und (4) kommt:

(6)

(i + y'*)y' y"    ’    y'

-y =

i +y'

xx — X =

Daß hier die Quadratwurzel nicht mehr auftritt, hängt damit zusammen, daß der zu M gehörige Krümmungsmittelpnnkt C eine durch die Gestalt der Kurve allein bedingte ganz bestimmte Lage hat, die unabhängig davon ist, ob wir die Kurve im Sinne wachsender Abszissen oder anders durchlaufen.

197]

y"

198. Der Krümmungsmittelpunkt als Crrenzlage des Schnittpunktes benachbarter Normalen. Wir wollen nun beweisen:

Satz 13: Der Krümmungsmittelpunkt eines Punldes M einer ebenen Kurve ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normale von M mit der Normale eines benachbarten Kurvenpunktes Mlt wenn sich der Punkt Ml dem Punkte M längs der Kurve beliebig nähert.

In der Tat, die Gleichung der Normale der Kurve y = fix) lautet nach (3) in Nr. 169 in den laufenden Koordinaten £, t) so:

(i)

Z — x + y'ip-y) = 0.

Wir bezeichnen ihre linke Seite, die ja wegen y = fix), y'= f'{x) eine Funktion von x ist, mit V, so daß 7 = 0 die Gleichung der Normale bedeutet. Um die Gleichung der Normale des Kurvenpunktes Mx oder (x + Nx, yPNy) zu erhalten, muß man in dieser Gleichung 7= 0 die Größen x, y, y durch xpNx, yP Ny, y' P Ny' ersetzen; alsdann wachse V um NV. Der Schnittpunkt beider Normalen wird also durch

oder durch

F= 0, V P N V = 0

oder auch durch

7=0, NV= 0

gegeben. Nehmen wir nun an, daß der Punkt M₁ längs der Kurve nach M rücke, so wird der Schnittpunkt der beiden Normalen in eine Grenzlage gelangen, deren Koordinaten durch die beiden Gleichungen

7= 0 — = 0 ’dx

bestimmt sind. Die erste ist die Gleichung (1). Die zweite ergibt sich aus ihr durch vollständige Differentiation nach x, wobei man £ und t) als Konstanten behandelt; sie lautet also:

(2)

^! = -(1 + j^) + Gj- sOsr-o.

Bezeichnen wir die den Gleichungen (1) und (2) genügenden Werte von £, t) mit x1} yx, so kommt:

Dies aber sind die Formeln (6) der vorigen Nummer, womit der Satz 13 bewiesen ist.

Die Gleichungen (3) lassen sich so schreiben:

(4)

xx = x — R sin r, yx = y -f- R cos r,

wie aus (5) in Nr. 197 sofort folgt, weil cos r = - sinr und sin v = cos x nach (1) und (2) in Nr. 169 ist. Wir können hierfür, weil R — ds : dz ist, auch schreiben:

(5)

ds .    . ds

x~dtsm y^y + dicos r-

In Nr. 146 trat ein Punkt C auf der Normale eines Kurvenpunktes (x, y) auf, dessen Ordinate t) dort der Gleichung (3) genügte. Man sieht aus (2), daß jener Punkt C der Krümmungsmittelpunkt des Kurvenpunktes {x, y) war.

199. Definition der Evolute und Evolvente. Der

geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte G oder (x1} yx) der verschiedenen Punkte M oder (x, y) einer gegebenen ebenen Kurve heißt die Evolute der Kurve. Die gegebene Kurve selbst heißt eine Evolvente der Evolute.

Die Evolute ist also der Ort der Krümmungsmittelpunkte der Evolvente.

Die Gleichungen (3) in Nr. 198 bestimmen die Koordinaten OG, Hi) eines Punktes G der Evolute, wenn x als unabhängige Veränderliche gewählt wird. Diese besondere Voraussetzung kann vermieden werden: Wir führen in die Gleichungen (4) der vorigen Nummer den Wert von R aus (2) in Nr. 197 und die Werte von sin t und cos x ein, wodurch sich ergibt:

n\ *__(dx* + dy*)dy    (da² + dy*) dx

^    dxd^ — dyd^’    J dxd*y — dyd²x'

Sind x, y als Funktionen einer Hilfsveränderlichen t gegeben, so werden auch die Koordinaten xx, yx der Punkte der Evolute Funktionen der Hilfsveränderlichen t.

200. Eigenschaften der Evolute. Die Formeln (4) in Nr. 198, nämlich:

(1)

(3)

(i + y*)y'

y"

■> Vx

1 + 2/'2 -y = ~v'—

y"

xx = x — R sin x, yx == y -f- R cos r,

198, 199, »00] geben die Koordinaten xx, yx des zu einem Punkte M oder (x, y) der gegebenen Kurve gehörigen Punktes G der Evolute, ausgedrückt durch x, y, x und R. Diese vier Größen sind längs der Kurve der Punkte M sämtlich Funktionen einer einzigen Veränderlichen (z. B. von x). Daher gibt die Differentiation: dxx = dx — R cos t dt — sin x dR, dyx = dy — R sin x dx -\- cos x dR.

Weil aber nach (1) in Nr. 194 für dx und dy die Werte ds cos x und ds sin x gesetzt werden können und außerdem ds — Rdx ist, kommt:

dx — R cos x dx = 0, dy — R sin x dx = 0, so daß einfach bleibt:

(2)

sin x dR, dyi = cos x dR.

dx₁ =

Hieraus folgt:

jjjr = - ctg t = tg(r +

Aber x    $7t ist der Normalenwinkel v. Also folgt:

Satz ld: Die Normalen einer ebenen Kurve sind zugleich die Tangenten ihrer Evolute, und zwar berührt die Normale eines Kurvenpunktes die Evolute in dem zugehörigen Krümmungsmittelpunkte der Evolvente.

Haben wir bei der ursprünglichen Kurve der Punkte M einen bestimmten Fortschreitungssinn festgesetzt, so haben ihre Tangenten und folglich auch ihre Normalen bestimmte positive Richtungen, denn wir nehmen ja an, daß die positive Normale ebenso zur positiven Tangente liege wie die positive y-Achse zur positiven a>Achse. Da nun die Normalen die Evolute berühren, setzen wir fest: Die Evolute soll in demjenigen Sinne durchlaufen werden, der den positiven Richtungen der Normalen der Kurve der Punkte M entspricht. In diesem Sinne messen wir also auch die Bogenlänge sx der Evolute.

Hierbei ist zu bemerken: Für ein Stück M₀M₁ der gegebenen Kurve liegt das zugehörige Evolutenstück C₀C₁ völlig auf derselben Seite der Kurve, sobald längs M₀M₁ kein Wendepunkt (in dem R nach Nr. 197 unendlich groß würde) und kein singulärer Punkt (den wir ja ein für allemal ausschließen) vorhanden ist. Außerdem hat die Evolute, wenn etwa t die

[ÄÖÖ

unabhängige Veränderliche ist, durch die wir uns alle Größen ausgedrückt denken, singuläre Stellen da, wo ,dxx:dt und dyx : dt beide gleich Null sind, vgl Nr. 191 Dies ist nach (2) nur dann der Fall, wenn dB, = 0 wird, d. h. nach (2) in Nr. 197 nur dann, wenn

Schlüsse.

am

(3) (dxiJr di/) (dx dhy— dyd²x) — 3 (dx d²x -f dy d²y) (dx dhy — dy d²x)

wird. Solche Stellen der Evolvente, an denen diese Bedingung erfüllt, also dB = 0 ist, heißen Scheitel der Kurve. Wir kommen auf sie in Nr. 218 zurück. Setzen wir voraus, daß das Kurvenstück M₀MX keinen Scheitel habe, so hat also auch das zugehörige Evolutenstück G₀CX keinen singulären Punkt.

Bezeichnen wir mit tx den Tangentenwinkel der Evolute, so ist nach unseren Festsetzungen tx = v = t -j- ^tc, und nach (2) kommt:

dxx = cos xx dB, dyx — sin^ dB.

Nach (1) in Nr. 194 aber haben wir, wenn dsx das Bogen-element der Evolute bedeutet:

dxx = cos xx dsx, dy₁ = sin xx dsx.

Also ist dB = dsx, daher nach Satz 8 von Nr. 29 die Differenz B — Sj konstant. Hat B in M₀ den Wert B₀ und in Mx den Wert Bx, so folgt aus

B, — sx = konst.,

wenn s₁⁽⁰⁾ und s/'¹ die Werte der Bogenlänge der Evolute in CQ und Gx bedeuten:

B₀ —    = Bx —    = konst.,

also:

(4)

Sl(i) _ Sj(o) = BX~ B₀.

Satz 15: BecJmet man den Evolutenbogen positiv im Sinne der positiven Normale der Evolvente, so ist der Bogen eines Stückes G₀ Cx der Evolute gleich der Differenz Bx — B₀ der Krümmungsradien Bx und B₀ der Evolvente in den entsprechenden Punkten Mx und M₀. Dabei wird vorausgesetzt, daß das Stück M₀ Mx der Evolvente keinen Wendepunkt, keinen singulären Punkt und keinen Scheitel enthalte.

ao«]

201.    Mechanische Erzeugung der Evolvente. Auf

Grund der in voriger Nummer bewiesenen Eigenschaften hat der Ort der Krümmungsmittelpunkte den Namen Evolute, die Kurve selbst den Namen Evolvente bekommen. Wenn nämlich etwa B₀ absolut genommen kleiner als Bx ist, siehe Fig. 40, folgt aus (4) in voriger Nummer, nämlich aus Bi = SlW —    4- B₀, daß

sich Mx aus Cx so konstruieren läßt:

Wir ziehen in G₁ die Tangente an die Evolute im Sinne nach C₀ hin und tragen auf ihr die Summe des absolut gemessenen Bogens C₀Cx und der absolut genommenen Strecke M₀C₀ ab.

Fig. 40.

Der Endpunkt ist M₁. Es leuchtet also ein, daß ein in Cx (oder weiter über C₁ hinaus) an der Evolute befestigter unausdehnbarer, aber biegsamer Faden, der längs Ct C₀ an die Evolute angelegt und zunächst von G₀ an tangential bis M₀ angespannt ist, mit seinem Punkte M₀ die Evolvente M₀Ml beschreiben wird, sobald er, beständig straff gehalten, von der Evolute abgewickelt wird. Die Evolvente erscheint hier als eine Bahnkurve, als eine orthogonale Trajektorie der Tangenten der Evolute.

202.    Evolute einer algebraischen Kurve. Stellt F(x,y) = 0 eine algebraische Kurve vor, d. h. ist F{x,y) nach Nr. 187 eine ganze rationale Funktion von x und y, so ergeben sich aus

Fx + Fyy'= 0, Fxx-\- 2Fxyy' -f Fyyy'² -f- Fyy" = 0

für y und y" gebrochene rationale Funktionen von x und y. Setzen wir sie in die Formeln (6) von Nr. 197 ein, so stellen sich auch xx und yx als gebrochene rationale Funktionen von x und y dar. Wir kommen daher zu drei Gleichungen:

(i)

F — 0, Axxx + A₂ = 0, Bxyx + B₂ = 0,

in denen F, A1} A₂, Blf B₂ ganze rationale Funktionen von x und y sind. Wenn man diese Gleichungen wiederholt mit x und y multipliziert, erhält man eine Anzahl von Gleichungen, die in den Produkten von der Form xayP sämtlich linear sind.

[SOI, SOS

Bekanntlich kann man so viele Gleichungen aufstellen, daß alle vorkommenden Produkte xa yß durch Nullsetzen der Determinante ihrer Koeffizienten eliminiert werden. Folglich geht eine von x und y freie Gleichung    yx) = 0 hervor, deren

linke Seite rational und ganz in xx und yx ist. Daher gilt der Satz 16: Die Evolute einer ebenen algebraischen Kurve ist ebenfalls eine algebraische Kurve.

(4)

Rechnen wir die Bogenlänge der Evolute etwa von der in Nr. 200 mit C₀ bezeichneten Stelle an, so folgt aus in Nr. 200, daß die Bogenlänge gleich R— R₀ ist. Wegen R² = (xx — &)³ + (yx — yY wird R³ rational gebrochen in x und y, folglich auch Sj². Es ergibt sich somit eine Gleichung

(2)

DxsY + D, = 0,

in der Dx und D₂ ganze rationale Funktionen von x und y sind. Aus den vier Gleichungen (1) und (2) lassen sich durch ein Verfahren wie vorhin x und y eliminieren, wodurch eine Gleichung iE(xx, yx, sx²) = 0 hervorgeht, deren linke Seite in xx, ylf s₁² rational und ganz ist. Also wird sx eine algebraische Funktion von xx und y1} nach Nr. 6. Man sagt daher, daß die Evolute einer algebraischen Kurve algebraisch rektifizierbar sei. Unter der Rektifikation einer Kurve versteht man nämlich die Berechnung ihrer Bogenlänge.

§ 6. Polarkoordinaten.

203. Über die Verwendung' von Polarkoordinaten überhaupt. Zuweilen ist es bei der Untersuchung ebener Kurven nützlich, von den rechtwinkligen Koordinaten x, y zu Polarkoordinaten co, q (vgl. Nr. 72) überzugehen. Ist der Anfangspunkt der Pol der Polarkoordinaten, die positive rr-Achse der Anfangsstrahl und der positive Drehsinn der Amplitude o der Sinn der Drehung der positiven .-r-Achse nach der positiven y-Achse hin, so gelten für den Radiusvektor p und die Amplitude co der Polarkoordinaten die Formeln

(i)

x = q cos co, y — p sin co,

die jedoch p und co nicht einwertig als Funktionen von x und y definieren. Vielmehr gehören zu einem beliebigen Punkte

202, 203]

(x, y) unendlich viele Paare von Polarkoordinaten co und p. Ist nämlich co₀ und p₀ eines, das den Forderungen (1) genügt, so sind

(2) co = co₀ + 2/fcjt, p =■= und 00 = co₀ -f- (2k -f- l)jr, p =— p₀, wenn k eine beliebige ganze Zahl bedeutet, die allgemeinsten, die (1) ebenfalls erfüllen. Unter einem Punkte mit den Polarkoordinaten co und p muß man hiernach denjenigen Punkt M verstehen, der sich so ergibt: Man dreht zuerst die positive #-Achse um den Winkel co herum in die neue Lage. Auf dem so erhaltenen Schenkel trägt man vom Anfangspunkte 0 die Länge von p bis M ab und zwar auf dem Schenkel selbst, wenn p>0 ist, dagegen auf seiner rückwärtigen Verlängerung über 0 hinaus, wenn p< 0 ist. Beachtet man dies, so geben alle Wertepaare (2) denselben Punkt (co₀, p₀).

Nach (1) kommt:

q = ]/x² + y²

(3)

co = arc tg ^ ,

Wegen (1) ist hierin die Quadratwurzel positiv oder negativ zu wählen, je nachdem für co aus co = arc tg (y : x) ein Wert entnommen wird, für den x und cos co dasselbe oder verschiedene Vorzeichen haben.

Die erste Gleichung (3) gibt keine Bestimmung von co, wenn x = y = 0 ist. In der Tat muß der Anfangspunkt in Polarkoordinaten vermieden werden, da zu ihm zwar der Wert q = 0, aber ein beliebiger Wert von co gehört. Wenn eine Kurve durch den Anfangspunkt 0 geht, kann man allerdings unter der Amplitude co eines Punktes M der Kurve da, wo M die Lage 0 passiert, den Grenzwert verstehen, den co dort

erreicht, d. h. man kann unter der Richtung OM des Radiusvektors in diesem Falle die Grenzlage des Strahles OM verstehen für den Fall, daß M auf der Kurve in 0 hineinrückt, also die Richtung der Tangente. Aber die Definition der Polarkoordinaten verlangt dies nicht; es geschieht nur aus naheliegenden Gründen der Stetigkeit.

Vermeidet man bei der Betrachtung eines Kurvenstückes den Pol 0 der Polarkoordinaten, so kann man, da q alsdann den Wert Null nicht durchschreitet, den Radiusvektor p stets positiv annehmen, also als zweiten Schenkel von co (und nicht

Serret-Scheffers, Difi.- u. Integr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl.    23

als seine rückwärtige Verlängerung) benutzen. Alsdann stimmen die Vorzeichen von cos co und sin co mit denen von x und y überein.

Bei der Anwendung von Polarkoordinaten liebt man es, den Winkel co als unabhängige Veränderliche zu benutzen. Wenn man von rechtwinkligen zu Polarkoordinaten übergeht und vorher die Kurve im Sinne wachsender x positiv gerechnet hat, sie nunmehr aber im Sinne wachsender co positiv rechnen will, muß man beachten, ob co mit wachsendem x auch wächst oder abnimmt. Je nachdem das eine oder andere der Pall ist, bleibt der positive Sinn der alte oder nicht.

In der Folge nehmen wir den Radiusvektor stets positiv an. Ist eine Kurve durch eine Gleichung p=/'(co) gegeben, die für gewisse Werte von co negative Werte von p liefert, so dürfen wir ja nach (2) statt p und co die Werte — p und co -f n annehmen, d. h. p == — f(to -f- jr) setzen. Die Kurve p = — co2 z. B. ist dieselbe wie die Kurve p = (co -f st)²-

Nachdem wir somit bei einer Kurve p stets positiv gewählt haben, werden wir in der Folge als positiven Sinn auf ihr denjenigen Sinn festsetzen, in dem die Amplitude co wächst. Dementsprechend ist die Tangentenrichtung positiv zu wählen, und eine Drehung um einen positiven rechten Winkel führt die positive Tangente in die positive Normale über wie in Nr. 169.

Eine

204. Ableitung der Fläche eines Sektors.

Linie sei in Polarkoordinaten in der Form p=/'(co) gegeben, wobei /’(co) eine stetige positive Funktion von co sei. Wir wollen ein Stück AM der Linie ins Auge fassen. Es enthält den Pol

Fig. 41.

0 der Polarkoordinaten nicht. Siehe Fig. 41. Die Amplitude co wachse, wenn der Radiusvektor von OA in OM übergeht. Er überstreicht dabei einen gewissen Sektor, dessen Flächeninhalt gleich u sei. Wird A auf der Kurve fest gewählt, während M eine veränderliche Amplitude co hat, so wird die Fläche u eine Funktion der Amplitude co von M. Wenn co um Aco wächst, wandere M nach Mx. Die Fläche nehme dabei um Au zu. In der folgenden Betrachtung darf z/co auch

203, 204]

negativ gewählt werden, d. h. Mx vor M zwischen A und M gewählt werden. Dann ist auch Au negativ. Wir behaupten nun, daß der somit stets positive Differenzenquotient Au : Aco für lim Aa = 0 einen bestimmten endlichen Grenzwert hat.

Es sei nämlich g der längste, k der kürzeste unter allen Radien Vektoren zwischen OM und OM₁. Schlagen wir um 0 die Kreise mit den Radien g und k, so schneiden die Strahlen OM und 0Mt von ihnen Sektoren aus, von denen der erste größer, der zweite kleiner als A u ist. Absolut genommen haben die beiden Kreissektoren die Inhalte \g²\Aa\ und ^k²\Aco\. Demnach genügt der stets positive Bruch Au: Aco den Ungleichungen :

**■ <£<*«*•

Für lim z/co = 0 rücken OM und 0Mt zusammen, also auch die beiden Werte k und g in den Wert q = OM. Demnach ergibt sich für A,u : Aco der Grenzwert:

(1)

du

da

Dies also ist die Ableitung der Sektorfläche u nach der Amplitude co. Das Differential der Fläche ist:

(2)

du = ^(Adio.

Wollen wir rechtwinklige Koordinaten x, y nach Nr. 203 einführen, so ziehen wir aus tg co = y : x durch Differentiation die Formel

da

cos² a

xdy—ydx

x~

aus der wegen x = p cos co sofort folgt:

g^dco = xdy — ydx.

Aus (2) ergibt sich somit:

(3)

du — \{xdy — y dx) .

205. Das Bogenelement in Polarkoordinaten. Wenn wir eine Kurve q = /(co), deren Radienvektoren q positiv seien, im Sinne wachsender Amplituden co durchlaufen und in diesem Sinne die Bogenlänge s der Kurve von einer bestimmten Stelle

[304, 305

(co₀) der Kurve an messen, können wir das Bogendifferential leicht berechnen. Denn es ist nach (1) in Nr. 203:

dx = — p sinco co -f- cosadQ daher nach (2) in Nr. 193:

dy = Q coscoda -f- sincorfp,

(1)

ds* = Q*da*+ dp². Bezeichnen wir dQ : da mit p', so haben wir:

Ä'-l4r+9

(2)

dco

'2

wo die Wurzel positiv ist.

206. Bestimmung der Tangente in Folarkoor-dinaten. Unter y sei der Winkel verstanden, den die positive Tangente des Punktes M oder (a, p) der Kurve p = f(a) mit der Verlängerung des Radiusvektors OM über M hinaus bildet, d. h. y soll der Winkel sein, den diese Verlängerung beschreiben muß, um durch Drehung um 0 in die Lage der positiven Tangente zu kommen. Dabei ist der positive Sinn der Winkelmessung natürlich derselbe wie bei der Messung der Amplitude co. Ist x der Winkel der positiven Tangente mit dem Anfangsstrahle, so wird:

y — r — oo.

Also ergibt sich:

(1)

siny = sin(r — co), cosg = cos(t — co).

Nach (5) in Nr. 169 aber kommt, weil jetzt co die unabhängige Veränderliche bedeutet:

sirnr =

y'

cost =

1/x* + y'* ’ wo x und y die Ableitungen von

x = p cosco, y = p sinco

-\/x ⁸ + y

T»

nach co sind, d. h. die Werte haben:

x — p' cosco — p sinco, y' = p' sinco -f- p cosco.

Wie in Nr. 205 soll hier p' die Ableitung von p nach co vorstellen. Daher folgt:

sinr =

COST =

i v+y* ’

</ cosco — q sinco

Vq²+q'²

Aus (1) ergibt sieb mithin:

(2)

sin g =

V^+q'¹

eosu =

q'

wo .die Wurzel positiv ist, wenn die Kurve im Sinne wachsender Amplituden oo positiv gerechnet wird. Nach (2) in voriger Nummer können wir hierfür schreiben:

o'dco do

(3)

sin/i = so daß sich ergibt:

gdeo

tg(i -

gdeo g

dg

Die Tangente steht auf dem Radiusvektor an denjenigen Stellen senkrecht, wo p' = 0 ist.

Es sei A der Winkel, den die positive Normale mit dem verlängerten Radiusvektor OM bildet, und zwar in entsprechender Weise gemessen wie der Tangentenwinkel g. Dann wird

so daß kommt:

(5) sinA =

cosA =

V£/| Q/

tgA = -

Ve’ + Q¹’

wo die Wurzel positiv ist, wenn die Kurve im Sinne wachsender Amplituden co durchlaufen wird.

vV + p'

UM

-5»>

207. Polartangente, -normale, -subtangente und -subnormale. Wir legen, siehe Eig. 42, durch den Anfangspunkt 0 die Senkrechte zum Radiusvektor OM, und zwar rechnen wir sie positiv in derjenigen Richtung von 0 aus, die aus der Richtung OM N des Radiusvektors durch positive Drehung 'v um %% hervorgeht. Die Tangente und Normale mögen diese Gerade in T und N treffen.

Fig. 42.

Alsdann heißen MT und MN in engerem Sinne, nämlich als Strecken von bestimmter Länge, die Polartangente und Polarnormale und OT und ON die Polarsubtangente und Polarsubnormale. Diese Strecken sollen positiv gerechnet werden, wenn Anfaugs- und Endpunkt jedesmal so aufeinander folgen, wie es den positiven Richtungen der Tangente, Normale und jener Senkrechten zum

Radiusvektor entspricht; andernfalls sind sie negativ. Wir lesen aus der Figur ab:

MT =

cos fl

MN=-J-

sin ft ’

OT = — o tgy, ON = p ctgy.

Setzen wir hierin die Werte der goniometrischen Funktionen aus Nr. 206 ein, so kommt:

<>*

MT= —

⁹,Yq* + q'², JfW==j/p² + p'², OT = —

Q

wo die Wurzel positiv ist, wenn die Kurve im Sinne wachsender Amplituden co durchlaufen wird. Wir können nach (3) in voriger Nummer auch schreiben:

gds

ds

MN=~, OT =

dco ’

(Iq

208. Der Krümmungsradius in Folarkoordiuateu.

Wir haben schon in Nr. 94 erkannt, daß der Ausdruck

Ydx* + dy>* .    >V+ (>'**

dxd~y— dyd*x    p²-p2p'² — qq"

d co

übergeht, wenn Polarkoordinaten vermöge x = p cosoo, y — p sinra eingeführt werden. Wir haben also nach (2) in Nr. 197 den Krümmungsradius jR in Polarkoordinaten ausgedrückt und fügen nur noch hinzu, daß in

Vo’ + Q'²* q¹ + 2?'*— ec"

die Wurzel positiv ist, wenn wieder der positive Sinn durch das Wachsen der Amplitude co bedingt wird. Führen wir den reziproken Wert 1 : p von p ein, so geht hervor:

' 2³

V'O'O

Benutzen wir statt co die Bogenlänge s als unabhängige Veränderliche, so nimmt dagegen R den in Nr. 95 berechneten Wert

el/i — q'°

an. Die Akzente sollen aber in dieser letzten Formel die Differentiation nach s andeuten.

207, 208]

209. Dipolare Koordinaten. Als Anhang sei noch das System der dipolaren Koordinaten kurz erwähnt. Das sind die Entfernungen pj und p₂ des zu bestimmenden Punktes M von zwei festgewählten Punkten U und V, wobei pt und p2 positiv gerechnet werden sollen. Wenn wir eine Gleichung zwischen und p₂ vorschreiben, die eine der beiden Größen als differenzierbare Funktion der anderen definiert, ist der geometrische Ort der Punkte (p1; p₂), die ihr genügen, eine Kurve. Wir können die dipolaren Koordinaten px und p₂ mit den rechtwinkligen Koordinaten in Zusammenhang bringen, indem wir den Anfangspunkt 0 in der Mitte von UV, die Richtung OÜ als positive z-Achse und die Senkrechte dazu als y-Achse wählen. Ist die Länge von UV gleich 2a, so hat der Punkt M mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y die dipolaren Koordinaten:

(1)

Pi = i/{x — af -f y², p₂ = Y(x + a)² + y².

Die beiden Punkte (x, =t y) haben offenbar dieselben dipolaren Koordinaten. Die Tangente eines Kurvenpunktes M bilde mit den Strahlen pj und p₂ die Winkel und y₂, wobei wir auf eine schärfere Definition dieser Winkel gar nicht eingehen wollen. Nach den Formeln (3) in Nr. 206 ist auch jetzt, da px und p₂ als Radienvektoren mit den Polen U und V und Amplituden und co₂ aufgefaßt werden können, wobei und co2 die Winkel von px und p₂ mit UV bedeuten:

dQP. ds²

(2) sinVi-^/j¹ , sinV₂==^/s?~, cosVi=^V, cosV₂=

Die Ellipsen und Hyperbeln mit den Brennpunkten U und V haben in p1; p₂ die Gleichungen p₁ ± p₂ = konst., so daß £?p₁ + ^p₂ = 0 ist. Aus (2) folgt hier, daß cos²^ = = cos²y₂ wird, d. h. die Tangente des Punktes M halbiert einen der beiden Winkel, die von UM und VM gebildet werden, was ja wohlbekannt ist.

§ 7. Einhüllende Kurven.

210. Definition der Einhüllenden. Wir betrachten eine Funktion F(cc, y, a) von drei Veränderlichen x, y, a, so daß

[209, 210

Man sagt, daß die durch (1) dargestellte Kurvenschar eine einhüllende Kurve habe, wenn die Elimination von a aus den beiden Gleichungen (1) und (4) wieder die Gleichung einer Kurve

(5)

(1)

F(x, !/,«) = 0

für jeden bestimmten Wert des Parameters cc die Gleichung einer Kurve bedeutet, wenn die Gleichung etwa y als differenzierbare Funktion von x definiert. Die Gesamtheit der durch (1) dargestellten Kurven heißt eine (einfach unendliche) Kurvenschar.

Wird, nachdem a einen bestimmten Wert erhalten hat, dem Parameter ein anderer Wert cc + Ala erteilt, so erhält man eine zweite Kurve mit der Gleichung:

F(x, y, a + Aa) = 0.

(2)

Die Koordinaten derjenigen Punkte, die beiden Kurven angehören, befriedigen auch die Gleichung:

F{x, y, a -f- Acc) — F(x,y ,a)

(3)

= 0.

Hat F als Funktion von a eine Ableitung Fa) so für \\m A a = 0 über in:

geht (3)

(4)

d F(x ,y,u)

da

= 0.

f(x, y) = 0

liefert, die eben dann die Einhüllende (Enveloppe) der einye-hüllten Kurvenschar (1) heißt. Die Einhüllende ist also der geometrische Ort derjenigen Punkte, die je zwei benachbarte Kurven der Schar gemein haben, wenn sie einander immer näher kommen.

211. Beispiel. Um die Einhüllende derjenigen Kreise zu bestimmen, die gleichgroßen Radius a haben und deren Mittelpunkte auf einer festen Geraden liegen, wählen wir die Gerade als x-Achse. Dann ist die Gleichung der Kreisschar:

(x — a)² -)- y* — a² — 0,

und a der Parameter. Differentiation nach a gibt:

x — cc = 0,

und Elimination von a liefert:

y² - a* = (y — a)(y + «) = o

aio, aii] als einhüllende Kurve. Die Einhüllende besteht also aus den beiden Geraden parallel zur ^r-Achse mit den Ordinaten + a.

Auflösung der Gleichung der Kreisschar nach x — oc gibt:

ai yäJ — y².

Wählt man z. B. das Pluszeichen, so ist x — a — j/a² — y2 eine Funktion F(x, y, a) der drei Veränderlichen x, y, a wie in Nr. 210. Die Schar aller Kurven

a — j/a² — y~ = 0 hat aber keine Einhüllende, denn die Differentiation nach a liefert die sinnlose Gleichung —1=0, die beweist, daß zwei benachbarte Kurven der durch die Gleichung

a — yV² — y²1 = 0

dargestellten Schar keinen Punkt gemein haben. In der Tat stellt diese Gleichung gar nicht volle Kreise einer Kreisschar dar, sondern einer Schar von Halbkreisen, von denen jeder zur Rechten der Geraden x = a durch den zugehörigen Mittelpunkt liegt. In der Kreisschar schneiden sich aber, wie Fig. 43 zeigt, die Kreise immer in der Art, daß die rechte Hälfte eines Kreises die linke eines benachbarten trifft. Die rechten Hälften der Kreise haben also keine Einhüllende.

J\

Will man dennoch die Einhüllende der Kreisschar aus der aufgelösten Form der Gleichungen bestimmen, so muß man sagen, daß erst das System der beiden Gleichungen

a — \ya² — y* ( = 0, a + Va² — y²: =0

die Kreisschar definiert. Der Fall aber, wo eine Kurvenschar erst durch mehrere Gleichungen analytisch definiert wird, ist in der allgemeinen Betrachtung in Nr. 210 nicht behandelt worden, und man muß daher hier zur Bestimmung der Einhüllenden so verfahren, daß man in jeder der Gleichungen a um z/a vermehrt und die gemeinsamen Lösungen der entstandenen Gleichungen

(2) x — a — /la—|"|/ä²—y² =0, x—a — z/a-f }/a² — y² =0

[311

(i)

x —

Fig. 43.

mit den Gleichungen (1) bestimmt. Ist z. B. Ja positiv, so hat nur die erste Gleichung (1) mit der zweiten Gleichung (2) Lösungen gemein, nämlich diese:

x = a -f- ^Ja, y — + ]/tt² — \Ja*.

Wenn dagegen Ja negativ ist, hat nur die zweite Gleichung (1) mit der ersten Gleichung (2) Lösungen gemein, und zwar ebenfalls die Lösungen (3). Für lim Ja = 0 geht nun aus

x = a, y = + a

hervor. Da a willkürlich ist, ergeben sich demnach wie zu Anfang dieser Nummer die beiden Geraden y = + a als der geometrische Ort der Schnittpunkte benachbarter Kreise.

Hieraus ist die Lehre zu ziehen, daß man sich, wenn eine Kurvenschar F(x, y, a) = 0 vorliegt, bei den geometrischen Anwendungen stets vergewissern muß, oh die Gleichung in der vorgelegten Form auch wirklich die Kurven in ihren gesamten Linienzweigen oder nur Teile der Kurven darstellt.

212. Die Einhüllende als Berührende der Kurvenschar. Wir wollen jetzt beweisen:

Satz 17: Die Einhüllende einer ebenen Kurvenschar

F 0, y, a) = 0

mit einem Parameter a berührt in jedem Punkte diejenige Kurve der Schar, die dort eine benachbarte Kurve der Schar trifft, vorausgesetzt, daß der Punkt nicht singulär ist.

Die Einhüllende der Schar

F(x, y, a) = 0 wird durch die Gleichungen bestimmt:

F{x, y, a) = 0

Um nun die Richtung der Tangente in einem Punkte einer Kurve der Schar zu erhalten, muß man die Gleichung (1) differenzieren:

(3)

(3)

(1)

(2)

Fa = 0.

(3)

Fxdx + Fydy = 0.

Will man weiterhin die Richtung der Tangente in einem Punkte der Einhüllenden finden, so kann man immer noch die Gleichung (1) als die Gleichung der Einhüllenden ansehen,

211, 212]

nur muß man a nicht mehr als Konstante, sondern als diejenige Funktion von x und y betrachten, die durch die zweite Gleichung (2) bestimmt wird. Unter dieser Annahme hat man jetzt wieder die Gleichung (1) zu differenzieren, und das ergibt: Fxdx -f Fydy + Fada = 0.

Da nun für jeden Punkt der Einhüllenden Fa = 0 ist, nimmt diese Gleichung dennoch wieder die Form (3) an. Also erhält man für einen Punkt (x,y), der als Schnittpunkt einer Kurve der Schar mit einer benachbarten Kurve der Schar auch auf der Einhüllenden liegt, stets:

dy

dx F >

ob nun der Punkt (x, y) als Punkt der Kurve der Schar oder ob er als Punkt der Einhüllenden betrachtet wird. Hiermit ist der Satz bewiesen.

Der Beweis versagt, wenn Fx = F = 0 ist, d. h. wenn der Punkt (x, y) ein singulärer Punkt der gerade betrachteten Kurve der Schar ist. (Vgl. Nr. 191.)

Ein Beispiel für die im Satz 17 ausgesprochene Eigenschaft der Einhüllenden haben wir bereits behandelt: Die Evolute einer Kurve ist nichts anderes als* die Einhüllende der Normalenschar, und wir haben gesehen, daß sie die Normalen berührt. Siehe Satz 13 in Nr. 198 und Satz 14 in Nr. 200.

Die Gleichung F(x,y,u) = 0 kann, wenn die Koordinaten x, y eines Punktes M in sie eingesetzt werden, mehrere Werte u liefern; unter diesen ist aber, wenn M zugleich ein Punkt der Einhüllenden ist, jedenfalls einer vorhanden, der auch der Gleichung Fa = 0 genügt. Die auf diese Weise bestimmte Kurve der Schar wird von der Einhüllenden berührt, während die anderen Kurven der Schar, die etwa auch durch den Punkt M gehen, die Einhüllende daselbst schneiden können.

Wenn der Parameter a in der Funktion F(x, y, a) nur im ersten Grade vorkommt, die Gleichung der Kurvenschar also die Form

(4)

cp(x, y) + arpix, y) = 0 hat, wird die Gleichung Fa = 0 frei von a, nämlich diese:

y) = o.

[81g

Beide Gleichungen zusammen bestimmen nur die Schnittpunkte der beiden Kurven cp(x, y) = 0 und ip(x, y) — 0- Mithin haben die Kurven der Schar (4) keine Einhüllende, sondern nur eine Anzahl von gemeinsamen Punkten.

In den Nummern 249 und 250 werden wir einige Beispiele zur Theorie der Einhüllenden bringen.

213. Kurven, deren Koordinaten als Funktionen des Tangentenwinkels gegeben sind. Ist wie früher r der Winkel, den die positive Tangente einer Kurve mit der positiven x-Achse bildet, so kann x als unabhängige Veränderliche längs der Kurve gewählt werden. Die Tangente eines Punktes der Kurve hat dann in den laufenden Koordinaten £, eine Gleichung von der Form

(1)

£ sin x — t) cos x — f(x) = 0.

Wir wollen umgekehrt annehmen, f(x) sei eine gegebene Funktion von x. Für jeden Wert von r definiert alsdann die Gleichung (1) eine Gerade. Also liegt eine Geradenschar vor, bei der x die Rolle des früheren Parameters a spielt. Nach Satz 17 von Nr. 212 ist die Einhüllende der Geradenschar diejenige Kurve, die alle Geraden der Schar berührt. Um sie zu bestimmen, haben wir die Theorie der Nr. 210 anzuwenden. Dabei ist, wie gesagt, der Parameter a die Größe x und ferner F die Funktion

F(x, y, x) = x sin x — y cos x — f(x).

(2)

Die beiden Gleichungen F = 0 und Fa = 0 sind also hier: x sin x — y cos x — f (r) = 0, x cos x -f y sin x — f'(x) = 0.

Daraus lassen sich x und y berechnen: (3) x = f(r) cos x -f f(x) sin r, y = f'(x) sin x — f(x) cos x.

Diese Gleichungen stellen also eine beliebige Kurve dar, die mittels des Tangentenwinkels x als der unabhängigen Veränderlichen ausgedrückt ist.

Differentiation von (3) gibt:

(4)

dx = (f" -f f) cos x dx, dy = (f" -f /’) sin x dx,

also dy : dx = tg t, wie vorauszusehen war. Quadrieren und Addieren der Formeln (4) liefert das Quadrat des Bogendifferentials ds. Wenn wir daraus

(5)

ds = (f" -f f)dt

berechnen, stimmen auch die Formeln (1) von Nr. 194 in ihren Vorzeichen genau. Da rft der Kontingenzwinkel ist, ergibt sich als Wert des Krümmungsradius:

(6)

ds

*-2-r+r

Wenn wir x und y in (2) an keine weitere Bedingung binden, ist (2) die Gleichung derjenigen Geraden, die zur Tangente senkrecht ist und durch den Kurvenpunkt (3) geht, d. h. die Gleichung der Normale, geschrieben in den laufenden Koordinaten x und y. Lassen wir darin x willkürlich, so liegt in (2) die Schar aller Normalen der vorhin betrachteten Kurve (3) vor. Ihre Einhüllende, d. h. nach Nr. 200 die Evolute, ergibt sich nach Nr. 210, indem wir (2) nach t differenzieren:

— x sin x -\- y cos x — f" = 0;

die Punkte der Evolute müssen dann den beiden Gleichungen (2) und (7) genügen. Ist (scL, yx) der zum Punkte (x,y) der Kurve (3) oder zum Tangentenwinkel r gehörige Krümmungsmittelpunkt, so sind also seine Koordinaten die aus (2) und (7) folgenden Werte von x und y, nämlich:

(8)

xx = f cos x — f" sin x, yx = f sin x f' cos r.

Durch Differentiation folgt weiter:

dxx = — (f + f"') sin x dx, dyx = (f -j- f") cos x dx. Also ist das Bogendifferential der Evolute:

dsx — (f + f")dxy

daher nach (6) gleich dB. So findet man die Ergebnisse der Nr. 200 aufs neue.

Außerdem sehen wir, daß in (8) nur die Ableitungen f und f" von f Vorkommen. Daraus folgt: Wenn wir in (3) statt f(x) die Funktion fix) C einführen, wo C eine beliebige Konstante ist, hat die Kurve

[S13

x = f' cos t + (/’+ C) sin t, y = f sin x — (f -f- C) cos t

dieselbe Evolute (8) wie die Kurve (3). Demnach gehören zu einer Evolute (8) unendlich viele Evolventen. Sie haben sämtlich die Tangenten der Evolute zu Normalen, sind also die orthogonalen Trajektorien der Tangenten der Evolute (vgl. Nr. 201).

§ 8. Oskulierende Kurven.

214. Definition einer Berührung höherer Ordnung.

Vorgelegt seien die Gleichungen

y = f(x) und yx = fx {£)

Fig. 44.

zweier Kurven MM' und MMt' (siehe Fig. 44), deren Ordi-naten wir mit y und yx bezeichnen. Wir nehmen an, daß beide Kurven einen Punkt M mit einer gewissen Abszisse x gemein haben, so daß y und yx für diesen Wert x übereinstimmen. Außerdem sollen die Funktionen f(x) und fx(x) wiederholt differenzierbar sein.

Man sagt nun, daß sich die beiden Kurven im Punkte M in der yten Ordnung berühren, wenn für die Abszisse x dieses Punktes die Gleichungen bestehen:

yi-y, yi=y',

(i)

?/i" ⁼ y"> • • • j — y^\ wo yM und y^O die yten Ableitungen bedeuten, und außerdem

(2)

y^fl + 1) -j-, y(n + 1)

ist. Gleich hier sei betont: Ist die zweite Kurve eine Gerade, so sind für sie yx , yx",. . . y^\ y₁0 + 1) sämtlich gleich Null. Dann also besagen die Voraussetzungen (1) und (2), daß die Gerade die Tangente der ersten Kurve in M ist, ferner y", gleich Null sind, dagegen yO + ¹)    0 ist. Daraus

irr

y ,---y

sieht man, daß sich die Definition der Berührung höherer Ordnung zwischen einer Kurve und Geraden, die in Nr. 172 gegeben wurde, der hier aufgestellten Definition der Berührung höherer Ordnung zwischen zwei Kurven unterordnet.

Wir nehmen an, daß die Funktionen y und yx nebst ihren Ableitungen bis zur (y -f 2)ten Ordnung einschließlich in einer Umgebung der Stelle x bestimmte endliche Werte haben, so daß

der Satz 19 von Nr. 112 für n = y -f- 2 angewandt werden kann. Vermehren wir x um /Ix, so werden die zur Abszisse x -j- /Ix gehörigen Ordinaten Y und Yx beider Kurven wegen (1) gegeben durch:

„    . ,Jx „(dx)*

r-v+yir + y V“

2! T 1 J [il    (ft+ 1)1^'<“+2;

+^+i>gf9+«

(i!

/*+2 7

V    , f4x .

Y^y + y Tf + y

sobald \/Jx| hinreichend klein ist, und daher wird die Differenz

y(H + V _ y[P +1)

(A/z)“*¹ + -ß^ + 2 “ ^ + 2,

an der Stelle x, d. h. für lim /lx = 0, mit /Ix in der (g-fl)ten Ordnung gleich Null.

Die letzte Gleichung liefert uns eine geometrische Definition der Zahl g, der Ordnung der Berührung: In Pig. 44 soll OP = x, PP' = /Ix sein. Ferner sollen M' und m die zur Abszisse x -f- Ax gehörigen Punkte beider Kurven sein, d. h. P'W = Y, P'm = Yu so daß Y—Y₁=mM' ist. Da mM' mit /Ix in der Ordnung g -fl gleich Null wird, ist

mM'

p p'P +1

(3)

Y~ Yi =

(ft -f- 1)!

lim

PP’- o

endlich und von Null verschieden.

Um die Strecken mM' und PP' durch solche zu ersetzen, die eine vom Koordinatensystem unabhängige Bedeutung haben, verschieben wir den Anfangspunkt der Koordinaten in den Punkt M und machen die Tangente t in M zur x-Achse. Wenn wir die Koordinaten in dem neuen System mit überstrichenen Buchstaben bezeichnen, bestehen in bezug auf die erste Kurve Gleichungen von der Form:

x = x cos cc + y sin a + a, y — — x sin cc -f- y cos cc + b. Bedeuten y', y" usw. die Ableitungen von y nach cc, so folgt,

daß

dy

— sin cc -f- y cos cc

V " döc

ist, und allgemein drückt sich yW durch y, y", . . . y(w) aus. Genau ebenso drückt sich bei der zweiten Kurve y^n\ d. h.

[314

cos cc -J- y' sin cc

die wte Ableitung von yt nach x, durch yf, yf, . . . yfnt aus. Infolge von (1) und (2) ist also auch in dem neuen Koordinatensystem für den Punkt M:

fi-f, yi=y',---y^ = yw, aber    + y^+v.

In dem neuen System ist anstatt mM' die Strecke Mf M' senkrecht zur Tangente mit dem Fußpunkte Q und anstatt PP' die Strecke MQ zu nehmen. Diese beiden Größen haben eine vom Koordinatensystem unabhängige Bedeutung.

Fällt man also von einem Punkte M', der auf der Kurve y = fix) in der Umgebung von M liegt, das Lot M Q auf die gemeinsame Tangente beider Kurven im gemeinsamen Punkte M, so schneiden beide Kurven auf dem Lote das Stück Mf M' aus; der Fußpunkt Q des Lotes ist um die Strecke MQ vom gemeinsamen Berührungspunkte M entfernt; und wenn g die Ordnung der Berührung beider Kurven ist, muß

Mf M'

lim

mq=oMQV + 1

endlich und von Kuli verschieden sein. Daher gilt der

Satz 18: Wenn zwei ebene Kurven y*=f{x) undy₁=f₁(x) den Punkt M mit der Abszisse x gemein haben und einander dort in der gten Ordnung berühren, wenn also dort y = yv y = yf,. . .. yb*) = yt^\ aber y^¹ + b =|= yfp + b ist, tritt folgendes ein: Schneidet eine zur gemeinsamen Normale von M benachbarte parallele Gerade, die von M den Abstand M Q hat, die Kurven in M' und Mf, so ist der Grenzwert von Mf M': M Qu +1 für lim M Q = 0 endlich und von Null verschieden. Vorausgesetzt wird dabei, daß f\x) und fix) nebst ihren Ableitungen bis zur (g + 2)ten Ordnung in der Umgebung des betrachteten Wertes x bestimmt und endlich seien.

Später (in Nr. 298) werden wir zeigen, daß umgekehrt, wenn der Quotient Mf M': M Q“ + 1 einen endlichen und von Null verschiedenen Grenzwert hat, stets eine Berührung in gerade gtei Ordnung eintritt.

215. Berührung in gerader und ungerader Ordnung.

Ist die Ordnung g der Berührung ungerade, so ändert Y — Y, nach (3) in voriger Nummer und nach Satz 22 von Nr. 115

»14, »15] das Zeichen nicht, wenn man da3 Zeichen von Ax ändert, sobald nur | z1x | hinreichend klein gewählt wird; das Zeichen bleibt also das nämliche wie das der Differenz y^+V— yt^⁺¹\ Dies besagt, daß zu beiden Seiten des Berührungspunktes die eine Kurve durchaus auf derselben Seite der andern verläuft. Ist dagegen y eine gerade Zahl, so ändert Y — Yt mit Ax auch das Zeichen; die Kurven durchsetzen dann einander im Berührungspunkte. D. h.:

Satz 19: Wenn zwei Kurven in der Ebene einander in einem Punkte in gerader Ordnung berühren, durchsetzen sie einander dort, im Falle einer Berührung in ungerader Ordnung iedoch nicht.

Im Falle einer Berührung ytei Ordnung gibt es keine dritte Kurve durch M, die in der Umgebung von M zwischen den beiden ersten verläuft, es sei denn, daß sie im Punkte M Berührungen von ytei oder höherer Ordnung mit jenen Kurven eingeht. Denn wenn Y₂ diejenige Ordinate der dritten Kurve ist, die zur Abszisse x -f Ax gehört, hat man:

Verschwände Y₂ — Y in niedrigerer als der (ja -f l)ten Ordnung mit Ax, so wäre Y₂ — Yx von derselben Ordnung, und folglich hätten

y₂-yx und r₂-r

dasselbe Vorzeichen, d. h. die dritte Kurve verliefe nicht zwischen der ersten und zweiten Kurve.

Deshalb ist es nicht möglich, durch den Kurvenpunkt M eine Gerade zu ziehen, die in der Umgebung des Berührungspunktes M zwischen der Kurve und ihrer Tangente verliefe. Denn eine Sekante durch M berührt — so dürfen wir sagen — die Kurve in der nullten Ordnung, also in einer niedrigeren als die Tangente.

216. Definition des Oskulierens. K bezeichne eine gegebene Kurve y = f(x); wir nehmen an, daß die Funktion f(x) in einer Umgebung der gerade betrachteten Stelle x = x0 nach dem Taylorschen Satze entwickelbar sei:

(1) y = f(x) = y₀ + y₀' (x - x₀) Y ~(x~xoy -{----.

Serret-Schef fer b, Diff-u. Integr.-Kechn. I. 6.u. 7.Aufl.

²⁴ [315,316

Der Kurve K stellen wir eine Schar von Kurven K' gegenüber:

(%> Vl) C 01 Cl) * ' • Cn) ⁼

in deren Gleichung n + 1 willkürliche Konstanten c₀, cL, . . . cn Vorkommen und deren Ordinaten wir mit y₁ bezeichnen. Wir wollen annehmen, daß die Gleichung der Schar nach yt auflösbar und diese Funktion yl von x, c₀, c1} .. . cn in der Umgebung von x = x₀ nach dem Taylorschen Satze entwickelbar sei. Dabei mögen als Koeffizienten der ersten n -f 1 Glieder insbesondere die n + 1 Konstanten c₀, cx, . . . cn selbst auf-treten. Dann sieht die Gleichung der Kurvenschar so aus:

(2)    2/i = c₀ -{- Cj (x — x₀) + c₂(x — x₀f H----

+ cn(x- x₀)n + An+1 (x - x₀)n+1 + • • •.

Die Größen c₀, clf . . . cn sind willkürlich, aber die folgenden Koeffizienten A

n+1?    «4-2 ? •

. . gegebene Funktionen von ihnen.

Wird nun eine ganze positive Zahl g kleiner als n gewählt, so kann man über die Konstanten c₀, clf . . . cn so verfügen, daß die Kurven K und K' in einem zu x₀ gehörigen Punkte M einander in der |aten Ordnung berühren. Zu diesem Zwecke hat man ja nur c₀, clf . . . c so zu wählen, daß

(/')

(3)

co y<si ci Vo >

wird, und insbesondere wird man noch

yQ{fl+1)

4-1 +

(ft -f- 1)!

zu wählen haben. Die übrigen n — u Konstanten bleiben dann willkürlich. Wird aber g = n angenommen, so ist die Kurve K' der gegebenen Schar durch die Gleichungen (3) vollkommen bestimmt und hat im Punkte (xQ, yQ) mit K eine Berührung von mindestens wter Ordnung. In diesem Falle sagt man: Die Kurve K' der gegebenen Kurvenschar oskuliert die Kurve K im Punkte M. Dann ist nämlich diejenige unter allen Kurven der Schar bestimmt worden, die mit der Kurve K an der Stelle (x₀, y₀) eine Berührung von der größtmöglichen Ordnung eingeht.

Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden. Durch die n + 1 Gleichungen

C0 Vqi

c\ Vo > • •

A

sind nämlich jetzt alle c bestimmt und mit ihnen daher auch bereits alle folgenden Koeffizienten A Entwicklung (2). Im allgemeinen wird nun nicht auch

(*+i)

(^+1)1

. . in der

n + l> -a-n + 2) •

a _

^n + 1

werden; die Berührung wird also im allgemeinen gerade die von nteT Ordnung sein. Aber die letzte Gleichung könnte an der Stelle x₀ doch erfüllt werden und sogar auch von den folgenden Gleichungen einige. Dann ist die Berührung von noch höherer als nteT Ordnung. Die Kurven K und K' könnten sogar möglicherweise völlig zusammenfallen.

Man wird unter Umständen auch bei einer Kurvenschar, deren Gleichung die allgemeine Form

F(x, yu c₀, c1;. ..0 = °

hat, über die w-f- 1 Konstanten so verfügen können, daß die Berührung mit der Kurve K mindestens von der wten Ordnung wird. Die Konstanten können jedoch so in I eingehen, daß dies nicht mehr möglich ist. Die Behauptung, daß in der Schar, wenn ihre Gleichung in der Form (4) gegeben ist, eine Kurve enthalten sei, die K in mindestens nteT Ordnung berührt, bedarf daher in jedem Falle eines besonderen Nachweises, indem man sich nicht mit der bloßen Abzählung der Konstanten begnügt, sondern die fragliche Kurve der Schar tatsächlich bestimmt.

217. Oskulierende Gerade und oskulierender Kegelschnitt. Die Gleichung einer Geraden enthält nur zwei Konstanten und läßt sich sofort in die Form (2) der vorigen Nummer setzen. Man kann daher zwischen einer gegebenen Kurve und einer Geraden in einem allgemein gegebenen Kurvenpunkte nur eine Berührung in erster Ordnung herstellen. Die oskulierende Gerade ist also nichts anderes als die Tangente der Kurve. Es ist nämlich

Vi “ c₀ -i- c,

die allgemeine Gleichung einer Geraden, und man hat nach (3) in voriger Nummer anzusetzen:

co Vo> ci Vo •

24*

[316, 317

Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven Dann wird die Gleichung der Geraden:

372

Vt — Vo = Vo 0 - ^o)>

also in der Tat die Gleichung der Tangente im Punkte (x₀, y₀). Ihre laufenden Koordinaten sind x und y₁.

Die allgemeine Kegelschnittsgleichung enthält fünf willkürliche Konstanten. Bringt man sie auf die Form (2) der vorigen Nummer^ so kann man zeigen, daß c₀, clt c₂, c₃, c4 willkürlich bleiben; mithin hat der oskulierende Kegelschnitt einer gegebenen Kurve eine Berührung von mindestens vierter Ordnung mit dieser Kurve. In gewissen besonderen Fällen kann die Berührung eine höhere Ordnung haben. So gibt es z. B. auf einer Kurve dritter Ordnung im allgemeinen 27 Punkte, in denen der oskulierende Kegelschnitt eine Berührung fünfter Ordnung mit der Kurve eingeht. Wenn man Kegelschnitte betrachtet, die noch anderweitigen bestimmten Bedingungen genügen sollen, wird die Zahl der willkürlichen Konstanten kleiner als fünf, und der oskulierende Kegelschnitt hat dann im allgemeinen eine Berührung von niedrigerer als vierter Ordnung. Dieser Fall tritt z. B. ein, wenn man nur Parabeln betrachtet, die von vier Konstanten abhängen, oder Kreise, die von drei Konstanten abhängen. Diesen letzten Fall wollen wir genauer untersuchen.

218. Der oskulierende Kreis. Die allgemeine Gleichung eines Kreises enthält drei Konstanten, nämlich die Koordinaten a, b des Mittelpunktes und den Radius B. Man kann daher im allgemeinen in einem Punkte (x, y) einer gegebenen Kurve nur eine Berührung zweiter Ordnung mit einem Kreise her-steilen. Die Bedingungen dieser Oskulation sind:

(1)

Vi = y, Vi = y, yi'=y",

wenn yt die Ordinate des zu x gehörigen Punktes des Kreises bezeichnet. Die Gleichung des Kreises ist:

(x — a)² + {y₁ — b)² = B².

Differenziert man sie zweimal, so folgt:

(2)

(x — a) + (yx — b) yf= 0,

l + 2h,2+(2h-%r=0 217, 318]

Ersetzt man yl, jy₁', y₁" durch die Werte (1), so kommt:

0-a)²+(</-&)² =Ä²,

(3)

(x-a) + (y~b)y' = 0,

1 + y's + (y — V)y"= 0,

woraus sich die Koordinaten a, b des Mittelpunktes und der Radius R des im Kuryenpunkte (x, y) oskulierenden Kreises berechnen lassen. Dabei gehen die in Nr. 197 unter (6) und (1) für xx, y₁ und R gefundenen Werte hervor, so daß wir zum Krümmungskr eise des Kurvenpunktes (x, y) kommen.

Satz 20: In der Ebene ist von allen Kreisen durch einen Punkt einer Kurve der Krümmungskreis dieses Punktes derjenige, der die Kurve dort in der höchsten, nämlich in mindestens zweiter Ordnung berührt.

Er wird die Kurve dort im allgemeinen in gerade zweiter Ordnung berühren, d. h. die Kurve im Berührungspunkte nach Satz 19 in Nr. 215 durchsetzen. Dagegen berührt er sie in mindestens dritter Ordnung, wenn auch die Bedingung yf"— y" an der Stelle (x, y) erfüllt ist. Nochmalige Differentiation von (2) gibt dafür, wenn darin yx,yf, y", yf" durch y, y, y", y'" ersetzt werden, die Bedingung:

3 yy"E{y-b)y'"=0

oder, wenn y — b aus der letzten Gleichung (3) hierin eingesetzt wird:

"2

- (i=o.

3 y'y

Diese Bedingung ist dieselbe wie die Gleichung (3) in Nr. 200. Daher sind diejenigen Punkte einer Kurve, in denen sie mit ihrem Krümmungskreise eine Berührung von höherer als zweiter Ordnung eingeht, die Scheitel der Kurve.

Satz 21: Pie Scheitel einer ebenen Kurve, also diejenigen Punkte (x, y) der Kurve, in denen das Differential dR des Krümmungsradius R gleich Null ist, sind identisch mit den Punkten, in denen die Kurve vom Krümmungskreise in höherer als zweiter Ordnung berührt wird. Die Bedingung dafür ist

3^y'²-(i + y'²)<r=o,

wenn y, y", y" die Ableitungen von y nach x bedeuten.

also, wenn vollständig nach x differenziert wird: dxl    y’

da?

Da in einem Scheitel das Differential dR des Krümmungsradius verschwindet, ist der Scheitel ein Punkt, in dem die erste notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Maximums oder Minimums des Krümmungsradius erfüllt wird (vgl. Nr. 140). Man kann nun, wenn man will, zwischen eigentlichen und uneigentlichen Scheiteln (ähnlich wie zwischen eigentlichen und uneigentlichen Wendepunkten in Nr. 172) unterscheiden, d. h. als eigentliche Scheitel nur solche Kurvenpunkte bezeichnen, in denen nicht nur dR = 0, sondern wirklich ein Maximum oder Minimum des Krümmungsradius vorhanden ist. Im allgemeinen wird mit dR = 0 nicht auch d²R = 0 sein, d. h. im allgemeinen wird der Scheitel ein eigentlicher Scheitel sein (vgl. Satz 1, Nr. 142). Wir werden nur die erste notwendige Bedingung dR = 0 für einen Scheitel voraussetzen.

Sollen alle Kurvenpunkte Scheitel sein, so muß für alle Werte von x die Bedingung des Satzes 21 erfüllt sein. Nun aber ist, wenn xx, yx die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes bedeuten, nach (6) in Nr. 197:

_ „ _ (l H-y*) y'

JU    //

(4)

Xx

y"

; Vi=y +

y"

^2/i

da:

so daß ans der Bedingung des Satzes dx₁ = 0 und dyx = 0 folgt, also xx = konst. und yx = konst. Dasselbe ergibt sich wegen dR = 0 auch ohne weiteres aus den Formeln (2) von Nr. 200. Da R = konst. ist, sind dann alle Krümmungskreise der Kurve miteinander identisch, d. h. die Kurve ist dieser Kreis selbst. Hierbei war die Annahme y" = 0 auszuschließen. Im Falle y" = 0 aber ist y — ax + b, d. h. es liegt eine Gerade vor, die überall mit ihrem Krümmungskreise zusammenfällt. Daher:

Satz 22: Die einzigen ebenen Kurven, die überall Scheitel haben, sind die Geraden und Kreise,j

Das rechtfertigt nachträglich unsere Aussage, daß die Punkte einer Kurve im allgemeinen keine Scheitel sind.

Man kann übrigens den Satz 22 auch sofort aus Satz 12 von Nr. 196 gewinnen.

Hat eine Kurve eine Symmetriegerade und wählen wir diese Gerade als ?/-Achse, so hat die Funktion y = f(x), deren Bild die Kurve ist, die Eigenschaft, daß stets f(x) = f(—x) ist. Hieraus ergibt sich durch Differentiation nach x:

f'» = - f (~ x),

f" 0) = f" (- *0,

Für x = 0, d. h. für einen Schnittpunkt der Kurve mit der Symmetriegerade, folgt daraus, falls die Ableitungen nicht unstetig werden, daß f'(0) = 0 und f'"(0) = 0, also y und y" gleich Null wird. Dann aber ist für diesen Punkt die Bedingung des Satzes 21 erfüllt. Daher:

Satz 23: Hat eine ebene Kurve eine Symmetriegerade, so sind ihre Schnittpunkte mit der Symmetriegerade Scheitel, falls dort die drei ersten Ableitungen stetig bleiben.

Beispielsweise sind die höchsten und tiefsten Stellen der Sinuslinie y = sin x (siehe Nr. 9) Scheitel, ebenso diejenigen Punkte eines Kegelschnittes, die man schon in der analytischen Geometrie seine Scheitel zu nennen pflegt.

Satz 21 folgt, daß,

Die Gleichungen (4) stellen die Koordinaten x₁₇ yx der Punkte der Evolute als Funktionen von x, also von einer Flilfsveränderlichen, dar. Aus (5) und aus wenn x die Abszisse eines Scheitels der gegebenen Kurve ist, für den zugehörigen Punkt der Evolute dxx : dx und dyx : dx gleich Null wird. Nach Nr. 191 ist dieser Punkt der Evolute folglich singulär und zwar in der Regel eine Spitze.

Einem Scheitel einer Evolvente gehört also ein singulärer Funkt der Evolute und zwar in der Kegel eine Spitze der Evolute zu.

Schließlich sei noch bemerkt: Die dritte Gleichung (3) lehrt nach (3) in Nr. 146, daß der in Nr. 146 mit C bezeich-nete Punkt der Krümmungsmittelpunkt ist. Die Bedingungen

(5) und (6) ebenda besagen, daß der dort betrachtete Punkt M ein Scheitel ist.

Achtes Kapitel.

Anwendungen der Theorie der ebenen Kurven.

§ 1. Die Fläche und das Bogenelement der Kegelschnitte.

219. Die Parabelfläche. Obwohl die Ausmessung der von Kurven begrenzten Flächen der Integralrechnung angehört und daher in allgemeiner Form erst im zweiten Bande behandelt werden soll, können wir doch schon hier einige der einfachsten Fälle betrachten.

Pig. 45.

Es sei zunächst (siehe Fig. 45) die Fläche des Segmentes MOM' zu bestimmen, das zwischen dem Bogen der die «/-Achse im -t Scheitel 0 berührenden Parabel y² = 2px und einer Parallelen M'M zur «/-Achse enthalten ist. Sind x, y die Koordinaten des veränderlich gedachten Parabelpunktes M, so gilt für das Differential des oberhalb der Achse gelegenen Flächenstückes u, das mit x veränderlich ist, nach Satz 11 von Nr. 192 die Formel:

du = ydx.

Die Gleichung y² = 2px der Parabel ergibt aber:

y =Y2p . x^]

also kommt:

du = ]/2p . x^dx.

Da nun x^dx das Differential von %x^ ist, hat die Fläche u das nämliche Differential wie die Funktion -f ]/2p . x² und

219]

kann sich daher nach Satz 8 in Nr. 29 von dieser Funktion nur um eine additive Konstante unterscheiden. Ferner werden beide Funktionen für x = Q ebenfalls gleich Null; mithin muß die Konstante auch gleich Null sein. Daher ergibt sich:

u = -§- ]/2px . x — '\xy.

Diese Gleichung besagt, daß die Parabelfläche OPM gleich zwei Dritteln der Fläche des Rechtecks OPMQ ist. Desgleichen ist die Fläche OMP gleich zwei Dritteln des Rechtecks OPM'Q'; mithin ist das Segment MOM' auch gleich zwei Dritteln des Rechtecks Q M'MQ.

220. Die Ellipsenfläche. Es seien 2 a und 2b die

B*

Längen der Haupt- und Nebenachse einer Ellipse, und diese beiden Achsen mögen auf den Koordinatenachsen liegen. Nun soll die Fläche u bestimmt werden, die zwischen den beiden Achsen, dem Bogen BM und der Ordinate y = PM liegt (siehe Fig. 46). Wird der Kreis konstruiert, der die große Achse 2a zum Durchmesser hat, und mit ux die Fläche bezeichnet, die zwischen den Achsen, dem Kreisbogen B' M' und der Ordinate y₁ = PM' liegt, so ist nach Satz 11 von Nr. 192:

Fig. 46.

du = ydx, dux=yxdx.

Da aber yx und y die Ordinaten des Kreises und der Ellipse für dieselbe Abszisse sind, ist bekanntlich yx : a — y : b, also:

du = — dux.

Mithin haben die Größen u und bux : a dasselbe Differential, und weil beide mit x verschwinden, sind sie nach Satz 8 von Nr. 29 einander gleich, d. h. es ist:

Danach kann die Fläche u bei der Ellipse ohne weiteres aus der entsprechenden Fläche ux beim Kreise berechnet werden. Die ganze Kreisfläche ist gleich na², die ganze Ellipsenflächo demnach gleich nab.

221. Die Hyperbelfläche. Hier schicken wir voraus: Die Betrachtung in Nr. 192 bleibt — wie übrigens auch manche andere unserer früheren Betrachtungen — richtig, wenn die Koordinaten x, y nicht recht-, sondern schiefwinklig sind. An die Stelle der in Nr. 192 erwähnten Rechtecke treten dann Parallelo-

M gramme- Die Flächeneinheit ist der Inhalt ^    ¹ desjeni9en Rhombus, dessen Seiten parallel zu

Fig. 47.

den Achsen und gleich der Längeneinheit sind. Wir betrachten nun eine Hyperbel, die auf ihre beiden Asymptoten als Koordinatenachsen bezogen ist; ihre Gleichung lautet:

xy — m²,

wenn m die Abszisse des einen Scheitels bedeutet.

Die Fläche, die zwischen der Kurve, der x-Achse und den Ordinaten AC und FM liegt, sei gleich u. OA = x₀ sei fest und OP — x > x₀ veränderlich. Siehe Fig. 47. Nach Nr. 192 ist allgemein:

du = yclx.

Also wird für die Hyperbel:

du = m²

dx

Nun ist dx: x das Differential des natürlichen Logarithmus von x; daher kommt nach Satz 8 von Nr. 29:

u = m² ln x -f- konst.

x gleich der Abszisse x₀

wenn

Die Fläche u ist gleich Null, des Punktes C ist; folglich muß sein:

0 = m² ln x₀ + konst. oder konst. = — m² ln x₀.

Demnach wird:

u = m² ln — •

Benutzen wir als Flächeneinheit nicht den Rhombus mit den Seitenlängen Eins, sondern das Quadrat, dessen Seitenlänge die Längeneinheit ist, so ändert sich die Formel. Ist nämlich a der Winkel der beiden Koordinatenachsen, d. h. der Hyperbelasymptoten, so ist dann noch mit sin a zu multipli-;**1] zieren, da sich der Inhalt des Rhombus zu dem des Quadrates wie sin cc zu Eins verhält. Also kommt dann:

o •    i &

u = m* sin a In —

x₀

Bei einer gleichseitigen Hyperhel ist a ein rechter Winkel. Wählen wir bei ihr als feste Anfangsordinate die des einen Scheitels der Hyperbel, für den x₀ = m ist, und nehmen wir m gleich der Längeneinheit an, so wird:

u — ln x.

Die durch die verschiedenen Ordinaten der gleichseitigen Hyperbel begrenzten Flächen sind also gleich den natürlichen Logarithmen der entsprechenden Abszissen. Deshalb heißen die natürlichen Logarithmen auch die hyperbolischen.

222. Das Bogenelement der Ellipse. Die Koordinaten des laufenden Punktes einer Ellipse, bezogen auf die Hauptachsen, lassen sich als Funktionen einer Hilfsveränderlichen cp durch die Gleichungen

x = a sin cp, y — b cos cp

ausdrücken; a und b sind die Längen der Halbachsen, während die Hilfsveränderliche cp einen gewissen Winkel bezeichnet. Konstruiert man nämlich den konzentrischen Kreis mit dem Durchmesser 2a, so wird der zu einem Punkte M der Kurve zugehörige Winkel cp gefunden, indem man die Ordinate PM (vgl. Fig. 46 auf S. 377) bis zu ihrem Durchschnitte M' mit diesem Kreise verlängert; denn es ist alsdann B’ OM' = cp.

Aus den vorstehenden Gleichungen folgt:

dx = a cos cpdcp, dy = — b sin cpdcp.

Daher ist nach (2) in Nr. 193 das Bogenelement der Ellipse:

<i)

ds = ]/a² cos² cp -f &² sin² cpdcp.

Bezeichnet man mit Ti die Exzentrizität der Ellipse, nämlich den Quotienten y a¹—&²: a, so gewinnt dieser Ausdruck die Form:

(2)

ds = a]/l — Tc² sin² cpdcp, wofür man auch schreiben kann:

[221, 222

sin²qp(Zqp Yl —&²8in²qp.

Bisweilen ist es nützlich, ds als Funktion des Winkels v zu bestimmen, den die Normale der Ellipse mit der z-Achse bildet. Nach den vorigen Formeln und nach (2) in Nr. 169 wird:

(3)

ds =

/ d cp

a ( —r —r— .

V^/l—A²sin⁸qp

— k²

tg V = -

dx

also:

dy

= yCtg9P, d. b. tg^ = yCtgV,

a² cos² cp -\-b² sin² cp =

a²b²

und:

a²cos²v -f- b² sin* v

dcp) =

a cos⁸ cp

b sin² v

dv — —

ab dv

a² cos⁸ v -f- b²sin⁸i>

Daher kommt:

ds =

oder auch:

— a²b²dv

1/a² cos⁸ v    b² sin⁸ vs

(4)

ds

b²

— dv

a j/l — k² sin⁸ vS

Da v = x -j- nach Nr. 169 ist, wird dv = dx. Folglich ist ds : dv nach Nr. 197 der Krümmungsradius der Ellipse.

IC

223. Das Bogenelement der Hyperbel.

Wählen wir als x-Achse die Nebenachse, als y-Achse die Hauptachse einer Hyperbel und bezeichnen wir mit 2 a die Länge der Nebenachse, mit 2 b die Länge der Hauptachse, setzen wir ferner k = b : ]/a² + b², so ist die Gleichung der Kurve (siehe Fig. 48):

Fig. 48.

y =    V x² + a².

J    yTdzricH

Die Koordinaten x, y kann man als Funktionen einer Hilfsveränderlichen cp ausdrücken, indem man

x = a ]/l — k² tg cp, y =

ak    y 1 — k² sin² cp

cos cp

y l — k²

setzt, denn diese Funktionen genügen hei jedem Werte von cp der Kurvengleichung. Hieraus folgt:

dx = a Yl — k²

¹    C0S⁸gr

dy = aY 1 — k²

k sin cp

cos⁸qp j/l — k² sin² cp

dcp.

§ 1. Die Fläche und das Bogenelement der Kegelschnitte 381 Also wird nach (2) in Nr. 193 das Bogenelement:

ds = a]/l — k²

(1)

dep

cos²qp y 1 — &² sin² cp

Für den Endpunkt M des Bogens s, dessen Anfang wir im Scheitel A auf der positiven y- Achse annehmen, konstruieren wir die Tangente; dann fällen wir auf sie vom Mittelpunkte 0 die Senkrechte OP. Die Normalform der Gleichung der Geraden OP lautet in den laufenden Koordinaten £, t):

~|/1 — sin² cp . £ -f k sin cp . t) = 0.

Bezeichnet t die Strecke PM der Tangente, also die Entfernung des Punktes M von der Geraden OP, ist mithin

y=f>    sin2 V’

(2)

so folgt:

(3)

dt — a]/l — k²

dep

C08sqp j/1 —ft²sin²qp

a£²

dep

sin²qpdqo

|/l — Ä²Vl/l — &²sin²qp Yl —¥²sin²<jp

Subtrahieren wir nun die Gleichung (3) von der Gleichung (1), so kommt:

(4) d(s - t) -

sin² qp dep

d cp

ak²

"|/l — fc² V|/l — fc²sin²qp ]/l —&²sin²qp

Die Größe t ist übrigens eine nach (2) leicht zu berechnende algebraische Funktion der Koordinaten. Man sieht, daß das Differential der Differenz s — t eine ähnliche Form hat wie das Differential (3) des Ellipsenbogens in Nr. 222.

224. Rektifikation der Parabel. Unter Rektifikation versteht man, wie schon in Nr. 202 erwähnt wurde, die Bestimmung der Bogenlänge einer Kurve. Nun liege insbesondere die Gleichung einer Parabel

y² = 2px

vor, bezogen auf ihre Achse und Scheiteltangente. Für den Tangentenwinkel x ist nach Nr. 169:

T _ dy _ P_

° dx y ’

so daß die Parabel mittels der Hilfsveränderlichen r auch so dargestellt werden kann:

ctgr, # = y ctg² x.

Dies ist übrigens ein Beispiel zu (3) in Nr. 213, indem jetzt die Funktion f(x) den Wert —p cos² r: 2 sin x hat. Nun ergibt sich:

pdx sinsir ’

demnach als Bogendifferential nach (2) in Nr. 193:

pdr

~ sin⁸ r ‘

dy = —

dx —

p ctg x dx

sin ² x

AI

(1)

ds =

jA

<r

Wir müssen hier das Minuszeichen setzen, > weil die Bogenlänge s, die wir vom Scheitel an rechnen wollen, wächst, wenn der Winkel x abnimmt.

Fig. 49.

Bezeichnen wir mit t die Länge PM der Tangente zwischen ihrem Schnittpunkte P mit der y- Achse und dem Berührungspunkte M, der zugleich Endpunkt des Bogens s ist (siehe Fig. 49), so wird:

COS X

2 sin²r?

x _ p

cos x

demnach:

P dx ___

2 sin x “ sin⁸r

Subtraktion dieser Gleichung von (1) gibt:

p dx 2 sin x

In Nr. 52 wurde erkannt, daß dx : sin x das Differential von ln tg yX ist; mithin kommt nach Satz 8 von Nr. 29:

(2)

(3)

dt =

dx

d(s — t) =

SS

ln tg + konst.

Der Bogen s und die Strecke t verschwinden aber für r — |-jr, d. h. wenn M in 0 liegt, folglich ist die Konstante gleich Null; es kommt also als Bogenlänge der Parabel:

(4)

s = t- y ln tg | x.

225. Anwendung der Farabelrektifikation. Hieran schließen wir eine Anwendung: Die Gerade PP, die den Punkt P mit dem Brennpunkte F der Parabel verbindet, stebt bekanntlich auf der Tangente senkrecht; ihre Länge ist:

2 sin x

PP =

Wählen wir nun den Punkt J auf der Verlängerung von MP über P hinaus so, daß JM gleich dem Bogen s ist, so wird:

JP = s — t = — I ln tg|r.

Wenn wir das Lot JS zu JM konstruieren und alsdann die

beiden Geraden JM und JS zu Koordinatenachsen machen, werden die Koordinaten £, t) des Brennpunktes F in diesem neuen System:

£ = ~ y ln tg jr, t) = Aus der ersten Gleichung folgt:

2 sin x

daher:

Wjl-t

t und e p — ctg

fco M-

ll _U 2 e p -f e p —

sin x ’

und auf Grund der zweiten Gleichung wird also:

_*I e p + e p

= — oder == p    J 4

2J    _ 2 jc\

ep + e p).

Nach dem Vorhergehenden ist leicht einzusehen, daß dies die Gleichung derjenigen Kurve ist, die der Brennpunkt beschreibt, nenn die Parabel, ohne zu gleiten, auf der festen Geraden JM abrollt. Diese Kurve ist eine Kettenlinie.

§ 2. Krümmung der Kegelschnitte.

226. Krümmungsradius beim Kegelschnitte. Die

allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes kann immer, indem die Hauptachse als aj-Achse und ein Hauptscheite] als Anfangspunkt gewählt wird, auf die Form

(i)

y² = 2px + qx²

gebracht werden, wo p eine positive Konstante bedeutet und

[aas, aa«

bekanntlich der Parameter des Kegelschnittes heißt. Durch zweimalige Differentiation erhält man:

(2)

(3)

yy =p + g.x,

yy"+ y'² = <i-

Multipliziert man die Gleichungen (1) und (3) miteinander und subtrahiert man alsdann die Gleichung (2), nachdem sie ins Quadrat erhoben worden ist, so folgt:

q rr    o

yy = —p-

Der in Nr. 197 gewonnene Wert (1) für den Krümmungsradius wird daher hier:

lW±y,!)³

wobei die Quadratwurzel positiv ist. Nach Nr. 170 hat aber, wenn die Normale des Kurvenpunktes die x-Achse in N trifft, die Länge MN dieser Normale den Wert:

MN = — y ]/l -f- y's.

MNS

Demnach ergibt sich:

(4)

Der Krümmungsradius des Kegelschnittes ist also zum Kubus der Normale proportional, diese gerechnet vom Kurvenpunkte M bis zum Schnittpunkte N mit der Hauptachse. In (4) ist MN positiv oder negativ, je nachdem die Richtung von M nach N die positive oder negative Richtung der Normale ist. Die Kurve wird positiv im Sinne wachsender x durchlaufen.

Die Gleichung (2) gibt nach (1), ins Quadrat erhoben: y²y'² = p² + 2pqx -f q^x² = p² -f qy²,

folglich ist:

(5)

M N = ]/p² + (i + q)y²,

wo die Wurzel positiv oder negativ ist, je nachdem y für den betrachteten Punkt M negativ oder positiv ist, wie die vorher aufgestellte Formel MN =• — y ]/l -)- y'² zeigt, in der die Wurzel nach Nr. 170 positiv ist. Man kann mithin den Krümmungsradius nach (4) und (1) leicht als Funktion einer der beiden Koordinaten ausdrücken.

Einen anderen bemerkenswerten Ausdruck für ihn erhält man, wenn man den Winkel k einführt, den die Normale mit 22G]

dem von einem Brennpunkte ausgehenden Radiusvektor bildet. Bezeichnet q die Länge dieses Brennstrahls und a seinen Winkel mit der rr-Achse, so hat man:

1 4- ]/l 4- q COS co

, daher

yi+äsm».

Der Winkel A wird nun nach (5) in Nr. 206 bestimmt durch die Gleichung:

tg A =---j--

°    Qd CO

und es kommt demnach:

-yi + g

tg A =

°    p

Die Gleichung (5) gibt folglich:

p sin co =

(6)

MN² =

p-

cos* 1

Die Projektion der Normale auf den von einem Brennpunkte ausgehenden Radiusvektor ist also beim Kegelschnitte konstant und gleich dem sogenannten Parameter des Kegelschnittes.

Der Ausdruck (4) für den Krümmungsradius wird, indem man MN durch seinen Wert aus der Gleichung (6) ersetzt:

MN cos²Ä ⁷

wo auch das Vorzeichen stimmt, weil R positiv oder negativ ist, je nachdem R auf der positiven oder negativen Normale liegt, und MN positiv oder negativ ist, je nachdem N auf der positiven oder negativen Normale liegt.

227. Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes beim Kegelschnitte. Die letzte Formel führt zu einer einfachen Konstruktion des 1 Krümmungsradius, siehe Fig. 50. Man ziehe die Normale von M bis zu ihrem Schnittpunkte N mit der Hauptachse, errichte in N _ die zur Normale senkrechte Gerade bis zu I

I

ihrem Durchschnitte G mit dem Brenn- ' strahle MF und konstruiere im Punkte G

G)

NLy

t*F

das Lot zum Brennstrahle, das die Normale in C schneide. Dann ist C der Krümmungsmittelpunkt des Kurvenpunktes M. Denn es ist:

MN cos l ⁷

Serr et-Sc lief fers, Diff.-u. Integr.-Reclm. I. 6. u. 7. Aufl.

MG =

MC =

MG cos 1

Fig. 50.

Diese Konstruktion versagt, wenn der Kurvenpunkt M der Scheitel 0 selbst ist. Aber wenn M längs des Kegelschnittes nach 0 rückt, wird die Grenzlage des Punktes N nach Satz 13, Nr. 198, der Krümmungsmittelpunkt von 0, weil der Scheitel 0 die Hauptachse OF zur Normale hat. Beim Grenzübergange wird demnach R gleich MN, so daß aus in voriger Nummer p als absoluter Betrag des Krümmungsradius des Scheitels 0 hervorgeht.

(4)

228. Evolute der Ellipse. Aus der Ellipsengleichung

(1)

a²

b²

folgt durch zweimalige Differentiation:

« , yy n ¹ . 2/'² , yy" n £5 + Tr = u,

oder:

b*

a²ys*

b² x o² y ’

ff

y = -

daher:

a⁴y²-\-b⁴x² fe²(a⁴ — c²#²)    b*-\-c²y²

a⁴y²

a*y²

⁼    a²y2 J

wenn a² — l>² = c² gesetzt wird. Die Gleichungen (6) in Nr. 197 gehen folglich als Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes:

c-y³

(2)

c²x³

x\ ~ a4 > y^ ^

Nimmt man c² positiv, d. h. a² > b² an, und setzt man

Jö

®*|

so erfüllen xt und yi wegen (1) die Gleiclmng:

CO

-4-

die demnach die Evolute der Ellipse darstellt.

Diese Kurve hat als Symmetrieachsen die Ellipsenachsen. Die Punkte G und G', in denen sie die Hauptachse trifft,

227, 228]

liegen zwischen den Brennpunkten F und F’ der Ellipse, weil ax < c ist. Ferner erkennt man aus den Gleichungen (2), daß der zu einem Quadranten der Ellipse gehörige Quadrant der Evolute auf der andern Seite der Hauptachse neben ihm liegt. Auch kann man bemerken, / daß die Evolute ganz innerhalb der El- -4—«^ lipse liegt, wenn bx <6, d. h. a < &]/2    \

ist. Sie trifft die Ellipse gerade in den Nebenscheiteln, wenn a — b j/2 ist, schneidet dagegen die Ellipse in vier Punkten, wenn a > b ]/2 ist. Die Krümmungsradien der Ellipse in den Neben- und Hauptscheiteln haben die Längen b -f- bx und a — ax oder a²: b und 6² : a. Die Länge eines Quadranten der Evolute ist folglich nach Satz 15 von Nr. 200 gleich:

a² &² as — bs b a

Differenziert man die Gleichung (3) zweimal, so folgt:

ab

JOT

H*

Fig. 51.

__M/M

3 al ² \a₁)

WM V/M dy±

«i \a! / "r \ V&, / dxr

¹ (yi\~^d*yx V \bj [dxj^b^bj dx *

= 0,

und hieraus:

dVi    V Vi

“--i'~T

dxt

Hw

dyA =

dx^

Der Krümmungsradius jRx der Evolute wird also nach (1), Nr. 197:

Ä!==

Der Wert dyx :    wird gleich Null bzw. gleich oo in den

Schnittpunkten G, G' bzw. H, FL' mit der großen und kleinen Achse. Nach Nr. 218 sind diese vier Punkte Spitzen, indem sie zu den Scheiteln der Ellipse gehören. Der Wert von d²y₁ : dx * hat immer dasselbe Vorzeichen wie y₁. Die Evolute

[328

ist also nach Satz 5 von Nr. 173 überall konvex gegenüber der Abszissenachse.

229. Evolute der Hyperbel. Bei der Rechnung, die uns zur Gleichung der Ellipsenevolute führte, braucht b² nicht positiv angenommen zu werden; sie gilt daher auch für die Hyperbel. Schreibt man nämlich — b² an Stelle von b², so erhält die mit c² bezeichnete Größe den Wert

c² = a² + b²,

und die Gleichungen (1) und (2) der vorigen Nummer werden:

(1)

(2)

C*XS    C²?/⁸

yx = ~~i 4-*

Die Gleichung (1) stellt eine Hyperbel dar; die Gleichungen (2) geben die Koordinaten ihres Krümmungsmittelpunktes an.

Setzt man wie in Nr. 228

C²

at = —

¹ a

^ so gibt die Elimination von x und y als Gleichung der Evolute der Hyperbel:

Tig. 52.

(³)

1.

Man erkennt hieraus leicht, daß die Evolute, siehe Fig. 52, aus unendlichen Asten besteht, die zu den beiden Achsen symmetrisch und gegenüber der Hauptachse konvex sind. Die Punkte 6r, G', in denen sie diese Achse trifft, sind Spitzen. (Ygl. eine Bemerkung in Nr. 218.) Sie liegen außerhalb der Brennpunktsstrecke FF', weil ax > c ist.

230. Evolute der Parabel. Die Gleichung der Parabel

y² = 2px

ergibt:

2px -f- pi

<«2 TS

.TS

l+*/'²=l +

’’    &

v = —

J    y

und hieraus folgen nach (6) in Nr. 197 für die Koordinaten xx, yx des Krümmungsmittelpunktes die Werte:

Xl = 3x + p, yx = -^-

Demnach ist:

^ =    —p), y = -Vyxp²-

Trägt man diese Werte in die Gleichung der Parabel ein, so erhält man die der Evolute:

8 (X —p)s

27

Durch Differentiation folgt: dy_i_

■>*

V diJLy =

dxA

Diese Gleichungen zeigen, daß die Evolute der Parabel aus zwei unendlichen Ästen besteht, die sich in einem Punkte G der Hauptachse vereinigen. Dieser Punkt mit der Abszisse p ist entsprechend Nr. 218 eine Spitze, siehe Fig. 53. Die Evolute kehrt der Parabelachse die konvexe Seite zu.

dxx

(t)!>

&?■

Fig. 53.

§ 3. Die gemeine Zykloide.

231. Definition der gemeinen Zykloide. Die gemeine Zykloide ist die Bahnkurve eines Punktes auf der Peripherie eines Kreises, der ohne Gleiten auf einer Geraden rollt.

aus

Als x-Achse wählen wir die Gerade, längs deren der Kreis rollt, und als Anfangspunkt einen Punkt A auf dieser Geraden, der zur Zykloide gehört. Da sich die Bewegung des rollenden Kreises unbegrenzt fortsetzt und der erzeugende Punkt wiederholt auf der Geraden zu liegen kommt, besteht die Zykloide unendlich vielen kongruenten Teilen.

Fig. 54.

Die positive y-Achse liege auf derjenigen Seite der x-Achse, auf der auch der Kreis rollt. Wir fassen die erste oberhalb der positiven x-Achse gelegene Periode der Kurve ins Auge, siehe Fig. 54. G sei der Berührungspunkt des Kreises mit der x-Achse in

[SSO. 231

einer beliebigen Lage, M der zugehörige Punkt der Zykloide und P der Fußpunkt seiner Ordinate, so daß AP — x, PM = y ist. Ferner sei H der höchste Punkt des Kreises und 0 seine Mitte. Die Parallele zur #-Achse durch M treffe den Durchmesser GH in J. Dann ist:

x = AG - PG = AG - MJ, y — GO — JO.

Bedeutet a den Radius des erzeugenden Kreises und cp den Wälzungswinkel, d. h. den Winkel, den der Radius OM mit dem Radius OG bildet, so ist:

MJ = a sinqp, JO = a cos cp.

Dabei ist cp positiv gemessen im Sinne der Drehung, die der Kreis beim Abrollen erfährt, also entgegen dem Sinne der Drehung von der positiven x-Achse zur positiven y-Achse.

Nun ist die Strecke AG gleich der Länge des Kreisbogens GM = acp, weil der Kreis ohne Gleiten auf der Geraden rollt. Mithin wird:

(1) x = a(cp — sin<p), y = a( 1 — cosqp) = 2a sin²!-^,

und man erhält alle Punkte des einen sich periodisch wiederholenden Teiles der Kurve, wenn man der Größe cp alle Werte von 0 bis 2n gibt. Die zweite Gleichung (1) liefert:

g—y

(2)

COS cp =

-—also cp = arc cos a    T

daher:

j/2 ay — y*

(3)

sm cp =

Einsetzen dieser Werte in die erste Gleichung (1) gibt:

(4)

x = a arc cos

fLlJ' _ ]/2ay — y².

Beschränken wir uns auf Werte von cp zwischen 0 und 2jt, so sind unter der Arkusfunktion die beiden Werte zwischen 0 und 2% zu verstehen,- zu dem zwischen 0 und 7t gehört ein positiver, zu dem zwischen n und 2n ein negativer Wert der abzuziehenden Quadratwurzel.

Es ist aber nicht vorteilhaft, die Gleichung (4) an die Stelle der Gleichungen (1) zu setzen, und wir behalten daher diese bei. Durch sie werden x und y als Funktionen einer 231]

Hilfsveränderlichen cp gegeben. Mit wachsendem cp ivächst x ebenfalls.

232. Tangente und Normale der gemeinen Zykloide. Durch Differentiation der Gleichungen (1) der vorigen Nummer folgt:

(1)

dx = a(l — coscp)d(p, dy = a sin<jp dcp.

Nach Nr. 170 ist daher die Subnormale ydy:dx der Zykloide gleich asinqp, also die Strecke P6r, so daß die Normale des Punktes M der Zykloide durch G und mithin die Tangente durch H geht. Die Tangente des Punktes M können wir, ohne den Kreis durch M zu ziehen, mit Hilfe irgendeines der Kreise vom Radius a leicht konstruieren, z. B. mit Hilfe des Kreises, der den höchsten Punkt G der Kurve enthält, wie nach Fig. 54, S. 389, sofort einleuchtet, worin Mm zur #-Achse parallel, also mC zur gesuchten Tangente von M parallel ist.

Die beiden Differentiale (1) verschwinden für cp = 0 und cp = 2 7t] daher sind die Punkte, in denen die Zykloide die #-Achse trifft, nach Nr. 191 singulär und zwar augenscheinlich Spitzen.

Mittels der Gleichungen (1) und (3) der vorigen Nummer kann man den Ausdruck für die Subnormale auf die Form

(2)

P G = ]/2ay — y²

bringen, und da MG* = PG² -f- y² ist, wird:

(3)

MG = — 2a sin-|g),

wo das Minuszeichen gesetzt werden mußte, weil die Normale nach Nr. 170 dasselbe Vorzeichen wie — y hat.

Schreibt man in (2) für die Subnormale PG ihren Wert yy', so erhält man die Differentialgleichung der gemeinen Zykloide (vgl. Nr. 86):

(4)

Diese Gleichung gilt nicht nur für die Zykloide, die wir hier betrachten, sondern für alle Zykloiden, die durch Abrollen eines Kreises vom Radius a längs der #-Achse und zwar auf derselben Seite dieser Achse hervorgehen, also für alle, die durch x = a(cp — sincp) -f- konst., y = a(l — cos cp) dargestellt werden, da hier y und y von der willkürlichen Konstante frei sind.

verlegen und die positive Tangente von G

zu

Es ist mitunter von Vorteil, den Anfangspunkt der Koordinaten in den Scheitel C der Zykloide (vgl. Satz 23 in Nr. 218 und Fig. 54)

als neue positive j-Achse und die Parallele zur positiven y-Achse durch C als neue positive tpAchse zu wählen. Dann ist x = 7ta + g, y = 2 a -j- t) zu setzen, so daß die Differentialgleichung

(4) übergeht in:

cm |sss

t) _

2 a -(- tt

233. Fläche der gemeinen Zykloide. Bezeichnet man mit u die Fläche zwischen der Zykloide, der #-Achse und der Ordinate PM = y, siehe Fig. 54, S. 389, so findet man nach Satz 11 von Nr. 192 für das Differential der Fläche:

du = ydx = a²( 1 — cos(p)²d(p = a²(l — 2 cosqp -fi cos²(p)dcp.

Setzt man hierin für cos²qp den Wert -|(1 4- cos2cp) ein, so kommt:

du = a²(-1 — 2 cos<p + \ cos2cp)dcp. Die rechte Seite ist das Differential der Funktion

a²(f cp — 2 sin^ + ^ sin2qp),

die ebenso wie u für qp = 0 verschwindet. Folglich ist nach Satz 8 von Nr. 29:

u = a²(jcp — 2 sinqp -f- \ sin2<p).

Will man die ganze Fläche bestimmen, die von einer Periode der Kurve und der Bahngeraden begrenzt wird, so hat man cp = 2tc zu setzen. Dann ergibt sich 3na², d. h.: Die ganze Fläche eines Bogens der gemeinen Zykloide ist gleich dem Dreifachen der Fläche des erzeugenden Kreises.

234. Rektifikation der gemeinen Zykloide. Die

Gleichungen (1) in Nr. 232 geben:

dx² -f dy² = 2a²( 1 — cos(p)d(p² == 4ct² sin²-|cpdrp²,

also nach (2) in Nr. 193 das Bogenelement:

ds = 2a sirijcpdcp.

Die rechte Seite ist das Differential von — 4a cos-|<p; daher hat die Bogenlänge s nach Satz 8 von Nr. 29 einen Wert von der Form:

s = — 4a cos-|<jP + konst.

Wird die Spitze A als Anfang des Bogens gewählt, so ist s = 0 für cp = 0, also 0 = — 4a konst., d. h. konst. = 4a und daher:

s = 4a(l — cos i cp) = 8a sin²^<jp.

Die ganze Länge eines der sich periodisch wiederholenden Bogen der Zykloide ergibt sich für cp — 2% und ist mithin gleich 8 a, dem Vierfachen des Durchmessers des rollenden Kreises.

235. Krümmungsradius der gemeinen Zykloide.

Der Tangentenwinkel x der Zykloide ist gleich — cp), daher der Kontingenzwinkel dt = — \dcp, folglich der Krümmungsradius H = — 2ds : dcp. Nach voriger Nummer wird aber ds : dcp = 2a sin-cp. Somit kommt mit Rücksicht auf (3) in Nr. 232:

E = — 4a sin| cp = 2MG,

d. h. der Krümmungsmittelpunkt N geht hervor, wenn man die Normale MG, die ja negativ ist, über G hinaus bis N verdoppelt. Siehe Fig. 54, S. 389.

daß der soeben gefun-

man

236. Evolute der gemeinen Zykloide. Wenn man den Durchmesser HG des Kreises des Punktes M über G hinaus um die eigene Länge bis L verlängert (siehe immer Fig. 54 auf S. 389), erkennt dene Krümmungsmittelpunkt N auf dem Kreise liegt, der GL zum Durchmesser hat. Wir ziehen in L die Tangente LH dieses Kreises parallel zur #-Achse. Der Bogen LN des Kreises ist gleich GL) oder LH, wenn E den Endpunkt der Strecke vorstellt, die durch Verdoppeln von CD über D hinaus entsteht.

zu-

Hieraus folgt, daß die Evolute der gemeinen Zykloide auch eine gemeine Zykloide ist, nämlich die Bahn des Punktes N des Kreises über GL, wenn dieser Kreis auf der Geraden LE rollt. Wenn für die ursprüngliche Zykloide der beschreibende Punkt auf der Rollbahn selbst liegt (z. B. in Ä), ist der gehörige Punkt der Evolute an einer höchsten Stelle des

[234, 235, 236

unteren rollenden Kreises (nämlich auch in A) gelegen. Beide Zykloiden sind kongruent, jedoch nicht in einander zugehörigen Teilen.

Daß die Evolute eine kongruente Zykloide sein muß, erkennt man auch, ohne zu wissen, daß N der Krümmungsmittelpunkt von M ist. Denn wenn der untere Kreis auf der Geraden LE rollt, beschreibt N eine Zykloide mit der Tangente MGN. Diese Tangente ist Normale der oberen Zykloide. Die untere muß also nach Satz 14 von Nr. 200 die Evolute der oberen Zykloide sein.

Endlich ergibt sich dasselbe auch leicht aus den Gleichungen für die Koordinaten x1} y₁ des Krümmungsmittelpunktes. Die Differentiation der Gleichungen (1) in Nr. 232 liefert nämlich:

d²x = a sin ydcp², d²y = a cos cpdcp².

Aus (1) in Nr. 199 folgt also für die Evolute:

xt = a(qp -f- sin qp), yx — — a(l — cos cp).

Verschiebt man nun die Koordinatenachsen so weit parallel, bis der Punkt E, dessen Koordinaten na und — 2a sind, der Anfangspunkt wird, so sind lC₁ = xi — na und ^ = 14-(-2a die neuen Koordinaten des Punktes (24, «4). Wenn außerdem 94 = cp — n gesetzt wird, kommt:

£1 = a((p 1 “ sin 94), Di = «(1 — cos Die Evolute ist also nach (1) in Nr. 231 zur ursprünglichen Zykloide kongruent.

Auch diese Eigenschaft der gemeinen Zykloide führt nach Satz 15 von Nr. 200 unmittelbar zu ihrer Rektifikation, die rechnerisch schon in Nr. 234 ausgeführt wurde. Denn der Bogen EN der Evolute ist gleich der Differenz

EC — NM = 4a — 4a sin -^-qp

zwischen den Krümmungsradien der Punkte C und M. Andererseits sieht man, daß der Bogen s = AM erhalten wird, wenn man in diesem Ausdrucke n — qp statt cp setzt; also kommt wie in Nr. 234:

s = 4a — 4a cos qp = 8a sin² % cp.

§ 4. Epi- und Hypozykloide.

237. Definition der Epi- und Hypozykloide. Wenn ein Kreis ohne Gleiten auf einem andern Kreise abrollt, heißt die Bahnkurve eines Punktes auf der Peripherie des rollenden Kreises eine Epizykloide oder Hypozykloide, und zwar eine Hypozykloide, wenn der rollende Kreis im Innern des festen liegt, sonst eine Epizykloide. Wir behaupten, daß jede Epizykloide mittels zweier verschiedener Kreise erzeugt werden kann, die auf einem und demselben festen Kreise rollen, ebenso jede Hypozykloide mittels zweier Kreise, die im Innern eines und desselben festen Kreises rollen.

'S

Ky

P^

BQ

el\b q

Fig. 55.

Zum Beweise nehmen wir an, daß die Hypo- oder Epizykloide erzeugt sei durch einen Punkt M eines Kreises um A, der auf einem festen Kreise um 0 rollt, siehe Fig. 55 für beide Fälle. H sei einer derjenigen Punkte des festen Kreises, mit denen der erzeugende Punkt zusammenfallen kann, und P der Berührungspunkt beider Kreise. Wir ziehen AM, konstruieren über den Geraden AO, AM das Parallelogramm OAMÄ und beschreiben den Kreis um den Punkt A' als Mittelpunkt mit dem Radius A' M. Dieser Kreis wird den festen Kreis in einem Punkte P' berühren, der auf der Verlängerung der Geraden OÄ liegt. Denn wenn r den Radius des festen Kreises, a und d die Radien der Kreise um A und um A' bedeuten, ist bei der Hypozykloide bzw. Epizykloide

r = d a bzw. r = d—a,

Da nun die Winkel PAM, MÄP\

wenn etwa d > a ist.

POPr absolut gemessen einander gleich sind, wird

arc PM arcP'Jf arc PP'

also:

arc PP'

arc P' M A arc PM a + a

und weil r — d + ci ist, kommt:

arc P' M + arc PM = arc PP'.

Das obere Zeichen gilt für die Hypozykloide, das untere für die Epizykloide. In beiden Fällen aber ist arc PM = arc PH nach der Definition, folglich arc P'ilf=arc P'H, und demnach kann die Kurve auch erzeugt werden durch einen Punkt M des Kreises um Ä, der auf dem Kreise um 0 rollt.

Dabei ist noch zu bemerken: Wird eine Epizykloide erzeugt, indem ein Kreis vom Radius a auf dem festen Kreise so rollt, daß sich die beiden Kreise mit ihren konvexen Seiten berühren, so ist d = ra, und der zweite erzeugende Kreis berührt mit seiner konkaven Seite die konvexe des festen, enthält also den festen Kreis in sich. Geht man dagegen bei der Epizykloide von einem rollenden Kreise aus, der den festen umfaßt, so ist sein Radius a > r. Die erzeugte Epizykloide gestattet dann eine zweite Erzeugung durch Abrollen eines Kreises vom Radius d = a — r, der den festen Kreis mit seiner konvexen Seite berührt.

Wird eine Hypozykloide erzeugt, indem ein Kreis vom Radius a auf dem festen Kreise rollt, so daß die konvexe Seite des beweglichen die konkave des festen berührt, so ist a < r und d = r — a; der zweite erzeugende Kreis liegt daher ebenfalls im Innern des festen.

238. Gleichungen der Epi- und Hypozykloide. Wir

(siehe Fig. 55,

nehmen die Gerade OH als positive a>Achse an

S. 395) und wählen die y-Achse senkrecht dazu durch 0 und zwar positiv nach derjenigen Seite hin, auf der das Abrollen

des Kreises von H ans beginnt. Den Wiälzungswirikel PAM bezeichnen wir mit cp, positiv gemessen von AP aus, so daß acp der jeweils schon abgerollte Bogen PM = PH ist. Durchläuft cp alle Werte von 0 bis 2jc, so wird ein Bogen der Zykloide vollendet, der sich periodisch beständig wiederholt. Wir können daher cp auf 0 <i cp <[ 2ji beschränken. Wegen HP = acp ist HOP = acp :r. Die Lote von A und M auf die a;-Achse mögen die Fußpunkte B und Q haben. Schneidet die Parallele zur x-Achse durch M die Gerade AB in C, so sind die Koordinaten von M:

x = OB + BQ = OB + CM, y = QM = BA — GA. Hieraus folgt:

x = (r±a) cos

^acos(^±(p), y = {r ± a) sin "f + a sin ± yj-

Die oberen Zeichen gelten für die Epizykloide, die unteren für die Hypozykloide. Das Verhältnis a:r werde gleich n gesetzt; dann hat man für die Epizykloide:

= n~~~ cos ncp — cos (n -f 1) cp,

(1)

— = sin ncp — sin (n + 1) cp)

und aus diesen Formeln gehen die für die Hypozykloide hervor, wenn man statt a, n, cp die Werte — a, — n, — cp setzt.

Die Kurve ist algebraisch, wenn die positive oder negative Zahl n rational ist. Der Fall n — — liefert als Hypozykloide eine gerade Linie, denn die zweite Gleichung (1) wird dann y = 0, also die eines Durchmessers des festen Kreises.

Für n — — -} geben die Gleichungen (1), wenn man a durch — a, cp durch — cp ersetzt, die Hypozykloide:

— = 3 cos \ <p -f- cos f cp = 4 cos³ \ cp,

= 3 sin \ cp — sin f cp = 4 sin³ £ cp, also, wenn man cp eliminiert:

(2)

x[) y⁵ = (4a)"³".

Diese Gleichung erinnert an die Gleichung (3) der Ellipsenevolute in Nr. 228, in der jedoch at4&i war. Die Kurve (2) heißt ihrer sternförmigen Gestalt halber eine Astroide. Wir weiden ihr später (in Nr. 249) noch einmal begegnen.

Im Falle n — ^ ergibt sich eine Epizykloide, auf die wir ebenfalls gelegentlich (in Nr. 250) zurückkommen werden:

— = 3 cos cp — cos|- cp, ~ = 3 sin cp —- sin f- cp.

Im Falle n = 1 geht die Epizykloide hervor:

= 2 cos cp — cos 2 cp, ~ = 2 sin cp — sin 2 cp.

Hier ist:

2a = cos cp (1 - cos cp), = sin cp (1 — cos cp).

Führt man Polarkoordinaten q und oo ein, indem man x — a = q cos co, y = q sin co

setzt, so folgt aus diesen Gleichungen:

tg cp = tg oder cp = co

und:

q = 2a(l — cos co) — 4a sin²£ra.

Diese Kurve heißt wegen ihrer herzförmigen Gestalt die Kardioide.

Jede nicht algebraische Epizykloide oder Hypozykloide besteht aus unendlich vielen kongruenten Bogen, und die Punkte, in denen diese auf dem festen Kreise enden, sind Spitzen.

239. Tangente und Normale der Epi- und Hypozykloide. Die Differentiation der Gleichungen (1) in voriger Nummer ergibt:

(1)

also:

~ = (n + 1) [sin (w 4 1) <p — sin n <p] dcp — 2(n 4 1) sin %cp cos (ncp 4 -k<p) dcp, ~ — (n 4 1) [cos ncp — cos (n 4 1) <p] dcp = 2(n 4 1) sin %cp sin (ncp 4 ^9p) dcp,

(2)

Diese Gleichung zeigt, daß die Tangente im Punkte M der Kurve die Gerade MT ist, die den Punkt M mit dem Gegenpunkte T von P auf dem Kreise um A verbindet. Siehe Fig. 55, S. 395. Hieraus folgt, daß die Normale im Punkte M der Kurve die Gerade MP ist, die den Punkt M mit dem jeweiligen Berührungspunkte der beiden Kreise verbindet. Dies ist eine entsprechende Eigenschaft wie die der gemeinen Zykloiden (vgl. Nr. 232). In der Tat gehören die gemeinen Zykloiden sowohl zu den Epi- als auch zu den Hypozykloiden, nämlich zu lim r = oo oder lim n — 0.

240. Rektifikation der Epi- und Hypozykloide. Aus voriger Nummer folgt nach (2) in Nr. 193:

(i)

^ = 2(n + 1) sin -\<pdcp,

wenn wir die Bogenlänge s positiv im Sinne des wachsenden Winkels cp rechnen. Dieser Ausdruck ist das Differential von — 4{n -\- 1) cos ^cp. Nach Satz 8 von Nr. 29 ist daher, wenn wir s von H an rechnen, also s — 0 für cp = 0 annehmen:

(2)

Die Länge eine Periode der Kurve ergibt sich für cp — 2 3t, nämlich 8 {n -f- 1) a.

241. Fläche der Epi- und Hypozykloide. Die Gleichungen (1) in Nr. 238 und 239 ergeben:

xdy — ydx

(n -f- 1) (2n -f- 1)

a~

(1 — cos cp) dcp,

mithin:

du — a¹

in -f 1) (2 n + 1)

(1 — cos cp) dcp

die Fläche bezeichnet, die von der Kurve, dem Radius

wenn u

vektor OM des Punktes M und der Abszissenachse eingeschlossen wird, nach (3) in Nr. 204. Es ist aber (1 — cos cp) dcp das Differential von cp — sin cp, und diese Funktion verschwindet ebenso wie u mit cp. Demnach erhält man nach Satz 8 von

Nr. 29:

u = a¹

(n + l) (2n+l)

(<p — sin cp).

Für die ganze Fläche U, die von einem Bogen der Kurve und seinen beiden äußersten Radienvektoren eingeschlossen ist, wird <p — 2also ist:

?7Mq»(W + -¹-).Ü!L±l)3g.

Der Sektor des festen Kreises zwischen denselben Radien ist jta²:n, die zwischen dem festen Kreise und dem Kurvenbogen gelegene Fläche folglich V — ita? : n oder (2n + 3)7ta².

Da wir für n auch negative Werte zulassen, gelten die Formeln sowohl für die Epizykloide als auch für die Hypozykloide. Der Annahme n = 0 entspricht, wie schon in Nr. 239 bemerkt wurde, die gemeine Zykloide. In diesem Falle wird (2n -f 3)jra² gleich 37ta² wie in Nr. 233.

242. Krümmungsradius der Epi- und Hypozykloide.

Die Gleichung (2) in Nr. 239 lehrt, daß der Kontingenzwinkel dt gleich (n + -\)dcp ist. Mithin hat der Krümmungsradius H = ds : dt nach (1) in Nr 240 den Wert:

(1)

4 (n -f- 1)

2n -j- l

a sin-|-<p,

und weil 2a sinl£(p nach Fig. 55, S. 395, die Länge von MP an gibt, wird:

B _2w -j- 2 2r + 2a

MP 2 n -f- 1

Legt man durch den Punkt T die Sehne TK des rollenden Kreises parallel zur Normale MP und schneidet man OK mit MP in J, so ergibt sich:

(2)

r + 2a

PJ _ OP TK OT’

also, weil TK = MP ist:

MJ OP PT 2r + 2a MP ~ ~    0 T — r±2a '

Die oberen Zeichen gelten hier wie in (2) für die Epizykloide, die unteren für die Hypozykloide. Aus dieser Gleichung und der Gleichung (2) folgt, daß J der zum Punkte M gehörige Krümmungsmittelpunkt ist. Der Krümmungsmittelpunkt J eines Punktes M der Epi- oder Hypozykloide ist »41, »4»]

demnach der Schnittpunkt der Normale MP des Zykloiden-punktes M mit derjenigen Geraden durch den Mittelpunkt 0 des festen Kreises, die durch den Gegenpunkt K des Punktes M auf dem rollenden Kreise geht.

243. Evolute der Epi- und Hypozykloide. Aus der

Gleichung (2) in Nr. 239 folgt durch Differentiation:

y"

1+2/

Daher sind die Koordinaten xX) yx des Krümmungsmittelpunktes J nach (6) in Nr. 197:

2n -f- 1 dcp 2 dx '

.    2 dx

y 2,n    1 dcp

Xx = X —

__2 dy_

2n -f- 1 dcp ’

5.=

so daß nach den Gleichungen (1) in Nr. 238 und 239 folgt: 2+1    cos n<p + cos (n +1) 9>],

2/i ₌

2 +iF+sinw9’ + sm(n + l)V]-

Drehen wir die Koordinatenachsen um den Winkel nit und zwar in der Richtung von der positiven :z-Achse zur positiven y-Achse und bezeichnen wir mit xx und yx die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes in bezug auf die neuen Achsen, so wird:

xx == x\ cosnit -{- yx sin war, yx = — xx sin nn + yx cos mt. Setzen wir außerdem

«i =

<Pi=<P — X,

2n -j- 1 ’

ai    cos»^—cos(n + 1 )<px,

a, ⁼ r s'mn(Pl- sin(w + 1)^1-

Diese Formeln unterscheiden sich von den Gleichungen (1) in Nr. 238 nur dadurch, daß x, y, ax, cpx statt x, y, a, cp stehen. Also: Die Evolute der Epi- bziv. Hypozykloide ist wiederum eine Epi- bzw. Hypozykloide, die mit der ursprünglichen Zykloide ähnlich ist. Sie wird erzeugt, indem der Kreis vom Radius a : (2n + 1) auf dem Kreise vom Radius r : (2n + 1)

²⁶    [34a, 343

es folgt:

xi

V\

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integr.-Eechn. I. C.u. 7.Aufl.

rollt; dieser feste Kreis ist mit dem ursprünglichen festen Kreise konzentrisch. Die Spitzen der Evolute liegen auf denjenigen Radienvektoren von 0 aus, die durch die Drehung um den Winkel n% aus den Radienvektoren der Spitzen der ursprünglichen Kurve hervorgehen.

244. Kreisevolvente. Ersetzt man in den Gleichungen

(1) der Nummer 238, die eine Epizykloide definieren, a durch seinen Wert nr und führt man an Stelle von cp den Winkel rl> = ncp ein, den die Verbindungslinie der Mittelpunkte 0 und A der Kreise mit der x- Achse bildet, so lassen sich die Gleichungen der Epizykloide auf die Form bringen:

in —

j = cos^(l + 2«sin²^ + ii smi>- ”,

sin —

n

* -41

y_ ₌

in-i/j (l -\- 2n sin²—^ — ip cosif>

Wächst nun der Radius a des rollenden Kreises über jede Grenze, so gilt dasselbe von n, während

sin — : —

2n \ 2n ' 2n)

nach Nr. 26 den Grenzwert Eins annimmt, dagegen 2wsin²^- oder

den Grenzwert Null. Wenn also eine Gerade auf dem festen Kreise rollt, lauten die Gleichungen der Epizykloide so:

-y = cos ip A ^ sin jJj ,    == sin ^ — tfj cos ifj.

In jeder Lage ist die Gerade selbst die Normale der Kurve, und da sie stets den festen Kreis berührt, ist die Kurve nach Satz 14 von Nr. 200 eine Evolvente des festen Kreises.

Sie besteht aus zwei ins Unendliche gehenden Zweigen, deren Vereinigungspunkt eine Spitze ist, nämlich derjenige Punkt der Kurve, der auf dem festen Kreise liegt.

Die Eigenschaft der Epizykloide, ihrer Evolute ähnlich 243, 244] zu sein, gilt im eigentlichen Sinne nicht mehr für diesen Grenzfall; indessen kann man doch auch den Kreis selbst als Epizykloide betrachten, da er auch dem Falle lim n — oo zugehört. Denn wenn man einen Kreis vom Radius a auf einem Kreise vom Radius r rollen läßt, beschreibt der Punkt, der am Anfänge auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte im Abstande 2 a -f- r vom festen Zentrum liegt, eine Kurve, die um so weniger von einem Kreise mit dem Radius 2 a verschieden ist, je kleiner der Radius r des festen Kreises angenommen wird.

§ 5. Einige andere bemerkenswerte Kurven.

245. Die Spirale des Archimedes. Diese Spirale wird in Polarkoordinaten o>, p definiert durch die Gleichung:

p = aco,

wobei a eine gegebene Strecke bezeichnet. Beschreibt man um den Anfangspunkt einen Kreis mit dem Radius a, so sind die Bogen dieses Kreises, vom Schnittpunkte des Kreises mit dem Anfangsstrahle der Polarkoordinaten gerechnet, die Längen der Radienvektoren, die durch die Endpunkte dieser Bogen zu legen sind.

Für den Winkel [i zwischen der Tangente und dem Radiusvektor, für die Polarnormale MN, die Polarsubtangente OT und die Polarsubnormale ON kommt hier nach Nr. 206 und 207:

MN - «yT+~oj²,

o da

cIq

= — «60,

OT = ~Q*dco

ON = —- = «.

aco

Mithin ist die Subnormale konstant, woraus eine einfache Konstruktion der Tangente MT hervorgeht, siehe Fig. 56 (nächste Seite). Für den Krümmungsradius ergibt sich nach Nr. 208, wenn wir die Konstante a positiv wählen:

2 + co*

a]/l -j- co

MNS

MN*+ a*

Die Projektion u der Polarsubnor-male ON auf die Normale ist aber gleich a? : MN, deshalb II = MN²: (MN -j- u), woraus sich JR leicht konstruieren läßt. Die archimedische Spirale geht durch 0 hindurch und schneidet sich selbst unendlich oft, da auch negative Werte von co und q zuzulassen sind (nach Nr. 203). In der Figur sind nur die ersten Windungen um 0 herum angegeben.

Fig. 58.

246. Die hyperbolische Spirale. Die hyperbolische Spirale wird in Polarkoordinaten definiert durch die Gleichung:

qco = a,

wobei a eine gegebene Strecke bedeutet. Für co = 0 wird q unendlich. Der Radius nimmt ab, wenn co wächst, und wird gleich Null für lim oo = oo. Die Kurve macht also um den

.Ar

Fig. 57.

Anfangspunkt 0 unendlich viele Windungen, ohne ihn jemals zu erreichen; der Punkt 0 heißt daher asymptotisch. Siehe Fig. 57. Ist o negativ, also auch q negativ, so sind die Bemerkungen in Nr. 203 zu beachten, aus denen folgt, daß die Kurve einen zweiten Zweig hat, der aus dem ersten durch Spiegelung an der Senkrechten zum Anfangsstrahle durch 0 hervorgeht. Die Ordinate q sin co eines Punktes M der Kurve hat den Wert:

sinco

CO

y == q sm co = a

und wird gleich a für lim co = 0. Deshalb hat die Kurve diejenige Gerade zur Asymptote, die im Abstande a von der x-Achse parallel zu dieser Achse verläuft (vgl. Nr. 171). Die Größen tgg, OT und ON haben nach Nr. 206, 207 die Werte:

OT = a, ON =

tgg = — co,

~ co²'

Die Polarsubtangente ist also konstant, und hieraus folgt eine

345, 346]

einfache Tangentenkonstruktion. Auch die Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes ist leicht.

247. Die logarithmische Spirale, Die logarithmische Spirale wird in Polarkoordinaten o, g durch die Gleichung

g = ae

(1)

definiert, wobei a eine gegebene Strecke, m eine gegebene Zahl bezeichnet. Diese Gleichung gibt immer die nämliche Kurve, wie groß auch die gegebene Strecke a sein mag. Denn wenn man den Anfangs strahl um einen Winkel a in eine neue Lage dreht, sind co — co— a, g = g die neuen Polarkoordinaten, und in ihnen lautet die Kurvengleichung wieder:

Ar

Vs

./* /

oKTaJ!

'-V a 7/

g = aemü),

wenn man aemct mit ä bezeichnet. Der absolute Betrag von a in (1) ist also unwesentlich. Demnach kann man a = + 1 annehmen; wir wollen indessen die Gleichung (1) beibehalten und a > 0 wählen.

Für o = 0 ist p = a= OA, siehe Fig. 58. Wächst o von Null bis -j- oo, so wächst g von a bis + Nimmt o von Null bis — oo ab, so bleibt g positiv und nimmt von a bis Null ab. Demnach hat die Kurve unendlich viele Windungen um den Pol, der daher ein asymptotischer Punkt heißt.

Die Differentiation der Gleichung (1) nach o ergibt: o' = maemw = mg.

Folglich ist nach Nr. 206, 207:

Fig. 58.

(2)

(3)

0T =

, ON = mg.

tgy =

Die erste Gleichung besagt:

Bei der logarithmischen Spirale ist der Winkel zwischen dem Radiusvektor und der Tangente konstant.

Das Differential der Fläche eines Sektors der Kurve ist nach (2) in Nr. 204:

du = \g*dco = ^ gdg.

uj'm.

Nun ist QdQ das Differential von q², folglich nach Satz 8 von Nr. 29:

u = —f konst. 4 m

Rechnen wir die Fläche vom Radiusvektor OA an, so wird u = 0 für a = 0 oder also für q = a, und daher ist die Konstante gleich — a²: 4m, so daß kommt:

(>² — a°

4 m

Das Bogenelement ds der Kurve ist nach Nr. 205:

|/w² -f 1

d q,

(4) ds = ]/m² -fl gdco = a ]/m² -1- lemwda =

mithin die Bogenlänge nach Satz 8 von Nr. 29:

Ym*-f 1    ,    ,

s = -——— q -f konst.

Messen wir den Bogen s vom Punkte A an, für den q = a ist, so kommt insbesondere:

s_vw±i( }

m    '

Der Kontingenzwinkel dt ist gleich da, der Krümmungsradius JR oder ds : da folglich nach (4):

(5)

H — ]/m² -f 1 q .

In allem Vorhergehenden muß man die Quadratwurzel von m² -f 1 positiv annehmen, wenn die Kurve im Sinne wachsender Werte von a durchlaufen wird.

Nach Nr. 207 hat die Polarnormale 7107 ebenfalls den Wert ds:da. Mithin ist N der Krümmungsmittelpunkt. Hiernach kann man leicht die Gleichung der Evolute der logaritli-mischen Spirale bilden. Denn die Polarkoordinaten alf von N sind:

co₁ = £o -f ~7t,    = ON = q =

so daß sich durch Elimination von a als Gleichung der Evolute ergibt:

(6)

p₁ = mae

(m coL - 4 n)

Die Evolute der logarithmischen Spirale ist also eine kongruente logarithmische Spirale mit dem nämlichen Pol. Aber zusammengehörige Stücke der Evolute und Evolvente sind nicht kongruent.

248. Logarithmische Spiralen, die ihre eigenen Evoluten sind, Nach der Bemerkung zu Anfang von Nr. 247 läßt sich die Gleichung der Evolute der logarithmischen Spirale dadurch auf die Form der Gleichung der ursprünglichen Kurve bringen, daß man den Anfangsstrahl um den Pol um einen gewissen Winkel a dreht. Da es frei steht, ein ganzes positives oder negatives Vielfaches von 2 7t zu a zu addieren, kann man a -f- 2 Tat statt a schreiben, wobei k eine ganze Zahl, a einen Winkel zwischen 0 und 2 7t bedeutet. Wir ersetzen also in der Gleichung (6), Nr. 247, durch Oj + ß-f- 2kit. Dann wird die Gleichung der Evolute:

m (oc + 2 k rl — ~ n) + rn tu.

= mae

Sie deckt sich mit der Gleichung der ursprünglichen Kurve

q = aem03,

selbst, sobald a der Bedingung genügt:

me

m (a + 2 k n — n)

= 1 oder a = |-(1 — 4k) 7t —

ln TO

= |(1 - 4Ä-)jr

(1)

Ist die Zahl m insbesondere so beschaffen, daß ln to

TO für eine gewisse ganze Zahl k ist, so wird a = 0, d. h. dann ist die logarithmische Spirale ihre eigene Evolute. Die Funktion Yum: m von m, deren Ableitung nach m gleich (1 — lnm) : m² ist, wächst nun von — oo bis 1 : e, wenn m von 0 bis e wächst, und nimmt von 1 : e bis 0 ab, wenn m von e bis -f oc wächst. Hieraus folgt, daß, wenn für k irgendeine ganze positive Zahl gewählt wird, auch jedesmal ein Wert m vorhanden ist, der die Gleichung (1) befriedigt. Es gibt also unzählig viele logarithmische Spiralen, die mit ihren Evoluten zusammenfallen.

249. Ein Beispiel zur Theorie der Einhüllenden.

Wir wollen zum Schlüsse dieses Kapitels zwei Beispiele für das in Nr. 210 entwickelte Verfahren zur Bestimmung der Einhüllenden einer Kurvenschar geben. Wir stellen uns zunächst die Aufgabe:

Ztvei Veränderliche xx und yx seien miteinander durch die Bedingung verbunden:

¹

{n + 1) (1 — cos %<p) = 8(w + 1) sin¹£qp.

(i) in der m, a und b Konstanten sind. Bann soll die Einhüllende der Kurvenschar bestimmt werden, die durch die Gleichung (2)

definiert wird, wenn x und y die laufenden Koordinaten dieser Kurvenschar bedeuten. Babei soll n eine Konstante sein.

Da xx und yx wegen (1) als Funktionen einer Hilfsveränderlichen a betrachtet werden können, hat man die Gleichung (2) in bezug auf diese Veränderliche cc zu differenzieren. Dabei ist es gleichgültig, wie man sich z. B. xx als Funktion von a gewählt denkt. Die Differentiation liefert

SSI?

= 0,

wenn die Akzente die Differentiation nach a andeuten. Da xx und yx durch die Gleichung (1) verbunden sind, besteht zwischen xx' und yx' außerdem die Bedingung:

(^K₊(|p_/ ₌ o.

\aj x,    \ b ) y.

Elimination von yx : xx' aus den beiden letzten Gleichungen ergibt:

(3)

er er

(?)’ fr)'

Dies ist also diejenige Gleichung, die durch die Differentiation der Gleichung (2) nach der Hilfsveränderlichen a hervorgeht. Nach (1) und (2) ist die Summe der Nenner und ebenso die der Zähler in (3) gleich Eins. Folglich sind beide Seiten von (3)

gleich Eins. Die beiden Gleichungen (2) und (3) lassen sich also ersetzen durch diese:

oder:

(4)

er-er. er-er

=    ₌ (yy.

Hieraus muß noch die Hilfsveränderliche a eliminiert werden. Nun sind xx und yx Funktionen von a, die (1) genügen. Wrir müssen also xx und yx aus (1) und (4) eliminieren. Dann ergibt sich als Gleichung der gesuchten Einhüllenden:

mn

mn

(5)

m+ n

wi + n

= 1.

Der Fall a =» b, m = 2, n = 1 verdient besondere Erwähnung. Hier nämlich besteht die Kurvenschar aus allen Geraden in den laufenden Koordinaten x, y:

— -f — = 1,

«i yi

die auf den Achsen Abschnitte xx und yx bestimmen, für die

V + Vx = «²

ist, d. h. aus allen Geraden, von denen die beiden Achsen Strecken von der konstanten Länge a abschneiden. Ihre Einhüllende hat nach (5) die Gleichung:

CO t-3

wlfcO

x + y = a

und ist folglich nach (2) in Nr. 238 eine Hypozykloide von besonderer Art, nämlich eine Astroide; der feste Kreis hat den Radius a, der rollende den Radius \a.

250. Noch ein Beispiel zur Theorie der Einhüllenden. Wir entnehmen dies Beispiel der Optik, indem wir uns die Aufgabe stellen: Auf der Peripherie eines Kreises treffen parallele Strahlen auf, die von dort reflektiert werden, wobei der reflektierte Strahl mit der Normale jedesmal denselben Winkel bildet wie der einfallende. Die Einhüllende der reflektierten Strahlen soll bestimmt werden. Die gesuchte Einhüllende wird eine Katakaustika genannt.

Als Koordinatenachsen wählen wir zwei rechtwinklige

[249. 250

Durchmesser, von denen der eine, die :r-Achse, den einfallenden Strahlen parallel sei. Sind a cos« und a sin« die Koordinaten eines Punktes der Peripherie, den ein Strahl trifft, so bildet der reflektierte Strahl mit der x-Achse den Winkel 2«. Die Gleichung dieses Strahles ist:

oder:

y — a sin« = tg2a (x — a cosa)

y cos2« — x sin2« + a sin« = 0.

Nach Nr. 210 muß « aus dieser Gleichung und der durch Differentiation nach « aus ihr hervorgehenden Gleichung

y sin2« + x cos2« — \a cos« = 0

eliminiert werden. Man kann auch beide Gleichungen nach x und y auflösen. Dann kommt:

x =    (3 cos« — cos3a), y = ~a (ß sin« — sin3«),

indem hierin « die Rolle eines Parameters spielt.

Nach Nr. 238 ist diese Katakaustika eine Epizykloide, die von einem Kreise vom Radius ~a erzeugt wird, der auf einem Kreise vom Radius \a rollt. Der feste Kreis hat denselben Mittelpunkt wie der gegebene Kreis vom Radius a.

Neuntes Kapitel.

Theorie der Raumkurven und Flächen.

§ 1. Tangenten und Normalen.

251. Analytische Darstellung von Raumkurven und Flächen. Ein Punkt mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z ist an eine Baumkurve gebunden, d. h. sein geometrischer Ort ist eine Kurve im Raume, wenn seine Koordinaten x, y, z als differenzierbare Funktionen einer Hilfsveränderlichen t gegeben sind:

(i)

Setzt man die aus der ersten Gleichung folgende Funktion t von x in die beiden andern ein, so stellen sich y und z als Funktionen von x dar:

(2)

y - f(x),

Umgekehrt: Liegen zwei Gleichungen (2) vor, sind dabei f(x) und g(x) differenzierbar, und wird x mit t bezeichnet, so sind die Gleichungen ersetzbar durch x = t, y = f(t), z — g(t), d. h. es liegt ein Fall vor, der sich der Darstellung (1) einer Kurve unterordnet. Es kann sein, daß nicht gerade die erste Gleichung (1), sondern die zweite oder dritte t als Funktion einer der drei Koordinaten definiert. Allgemein lasse sich t auf irgendeine Weise aus den drei Gleichungen (1) eliminieren. Alsdann gehen zwei Gleichungen

(3)

F{x, y, z) = 0, G(x, y,e) = 0 hervor, so daß wir uns also eine Kurve auch durch zwei Gleichungen (3) definiert denken können, falls sie zwei der drei Veränderlichen als differenzierbare Funktionen der dritten definieren.

Wir betrachten jetzt eine Fläche, die wir uns vorläufig geometrisch gegeben denken. Fällen wir von einem beliebigen Punkte (x, y, z) der Fläche das Lot auf die xy-Ebene, so gebt ein Fußpunkt (x} y) in dieser Ebene hervor. Umgekehrt wird zu jedem Punkte (x, y) der Ebene — innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches von x und y (x, y, z) der Fläche gehören, dessen Höhe z über jenem Fußpunkte eine Funktion von x und y sein wird. Daher definiert analytisch eine Gleichung von der Form

ein Punkt

(4)

^ = f(x, y)

eine Fläche. Diese Gleichung ist nach z aufgelöst. Soll es noch dahingestellt bleiben, nach welcher der drei Koordinaten sie auflösbar ist, so wird die Fläche durch eine unaufgelöste Gleichung

(5)

F(x, y,z) = 0

gegeben. Wir schließen hieraus: In der Form (3) wird eine Raumkurve als Schnittkurve von zivei Flächen F= 0 und G — 0 definiert.

Es gibt eine noch allgemeinere Art, eine Fläche analytisch zu definieren. In (1) waren die Koordinaten eines Punktes (x, y, z) einer Kurve als Funktionen einer Hilfsveränderlichen t gegeben. Wir wollen dagegen jetzt x, y, z als Funktionen von zwei Hilfsveränderlichen u und v annehmen:

(6)

x = cp(u,v), y = %{u, v), z = ^{u,v).

Alle Punkte (x, y, z), deren Koordinaten hierdurch bestimmt werden, gehören einer Fläche an, wenn die Funktionen cp, %, nicht alle drei voneinander abhängig sind und zwei der Gleichungen u und v als Funktionen der Koordinaten definieren. Sind nämlich z. B. cp und i voneinander unabhängig, so setzen wir die durch die beiden ersten Gleichungen definierten Funktionen u und v von x und y in die letzte Gleichung ein, wodurch eine Darstellung von der Form (4) hervorgeht.

Ein einfaches Beispiel hierzu gibt uns die Darstellung einer Kugel mit dem Radius r, deren Mittelpunkt der Anfangspunkt ist, wenn wir uns der räumlichen Polarkoordinaten r, 6, ip bedienen (vgl. Nr. 97). Denn vermöge

(7)

x = r sinö cos^>, y = r sinö sin^, z = rcosO

werden die Koordinaten x, y, z der Punkte der Kugel mittels der beiden Hilfsveränderlichen 6 und ip ausgedrückt, die eine bekannte geometrische Bedeutung haben.

Die Darstellungsform (6) einer Fläche werden wir übrigens nur gelegentlich anwenden.

252. Tangente und Normalebene einer Kurve.

Eine Raumkurve sei durch die Gleichungen

(1)

x = (f( t), y =    z = ip(t)

definiert. Wir setzen voraus, daß die Funktionen cp, %, ip für einen gewissen Variabilitätsbereich von t nebst allen ihren Ableitungen, soweit sie gebraucht werden, stetig seien. Zu einem bestimmten Werte t gehöre der Kurvenpunkt M oder (x, y, z), zu einem anderen Werte t + At der Kurvenpunkt M' oder (x -f- Ax, y -f- Ay, z + Az), so daß x -f Ax gleich cp(t -f- At) usw. ist. Die Sekante MM' der Kurve hat in den laufenden Koordinaten £, t), § die Gleichungen:

£ —^ ₌    — V ₌ h — e '

Jx:Jt Jy:Jt Jz-.Jt

Die Grenzlage der Sekante für lim At = 0 heißt die Tangente der Kurve an der Stelle M. Da Ax : At den Grenzwert cp'(t) oder x hat usw., sind

y,

(2)

die Gleichungen der Tangente. Hier wie im folgenden sollen die Akzente die Differentiation nach der unabhängigen Veränderlichen t andeuten.

Die Gleichungen (2) werden unbestimmt, wenn für den gewählten Wert t alle drei Ableitungen x, y, z oder cp', yf, ip' gleich Null sind. Daher schließen wir Funkte der Kurve, für die cp'(t), % (t), ip'(t) alle drei gleich Null sind, als singulär ein für allemal von unseren Untersuchungen aus, vgl. das Entsprechende bei ebenen Kurven in Nr. 191. Wir haben nicht die Absicht, die Singularitäten von Raumkurven zu besprechen.

Die Kurve (1) denken wir uns stets in demjenigen Sinne durchlaufen, der wachsenden Werten der unabhängigen Veränderlichen t entspricht. Dann folgt der Punkt M' auf den Punkt M, wenn der Zuwachs At positiv ist. Der Sekante

[351, 353

MM' geben wir also bei der Annahme 4t > 0 als positiven Sinn den von M nach M', demnach auch ihrer Grenzlage, der Tangente. Ziehen wir vom Anfangspunkte 0 aus einen Strahl OM parallel zur positiven Tangente von M, so bildet er mit den positiven Achsen drei Winkel, deren Kosinus die Richtungskosinus der Tangente des Punktes M heißen. Geben wir insbesondere dem Strahle OM die Länge Eins, so sind die rechtwinkligen Koordinaten des Punktes M jene Richtungskosinus, woraus folgt, daß die Summe der Quadrate der Richtungskosinus einer Geraden stets gleich Eins ist. Da im Raume nicht wie in der Ebene von einem bestimmten Drehsinne gesprochen werden kann, bildet OM z. B. mit der positiven x-Achse unzählig viele Winkel, die alle in der Form ±cj-f-2&jr dargestellt werden können, wenn co einer von ihnen und k eine beliebige ganze Zahl ist. Die goniometrischen Funktionen dieser Winkel ändern sich mit Ausnahme des Kosinus sämtlich, wenn co das Vorzeichen wechselt. Während also im Raume die Winkel zwischen einer mit positivem Sinne versehenen Geraden und den drei positiven Achsen nicht einwertig sind, auch wenn man von dem selbstverständlichen Summanden 2kn absieht, haben sie dennoch ganz bestimmte Kosinus. Umgekehrt gehört zu drei bestimmt gewählten Richtungskosinus, deren Quadratsumme gleich Eins ist, stets eine und nur eine auch dem Sinne nach bestimmte Richtung im Raume. Dies ist der Grund, weshalb man in der Geometrie des Raumes nicht die Winkel selbst, sondern nur ihre Kosinus benutzt. Wir werden daher nicht die Winkel der positiven Tangente mit den positiven Achsen, sondern die Kosinus dieser Winkel mit Buchstaben a, ß, y bezeichnen.

Nach (2) sind a, ß, y proportional zu x, y\ z\ außerdem haben sie dieselben Vorzeichen wie x, y', z'. Da cd -f- ß² + y2 gleich Eins ist, ergibt sich also, daß die positive Tangente des Kurvenpunktes M die Richtungskosinus hat:

(3) a =

⁷    Vx'*A-y,'+e't'

yX'* + y'* + Z'V

wobei die Quadratwurzel positiv ist.

Es ist aus der analytischen Geometrie bekannt und übrigens leicht einzusehen, daß der Kosinus des Winkels, den zwei

252]

solche Richtungen einschließen, deren Richtungskosinus gleich «i; ßi, 7i und aa, ßt, ya sind, den Wert ata₂ + ß₁ß₂ -f y±y2 hat, woraus folgt, daß beide Richtungen dann und nur dann zueinander senkrecht sind, wenn diese Summe gleich Null ist.

Normalebene des Kurvenpunktes M oder (x, y, z) heißt die Ebene aller Normalen des Punktes M, d. h. aller derjenigen Geraden, die in M auf der Tangente senkrecht stehen. Ist (?, ä) ein beliebiger Punkt SR der Normalehene, so sind £ — x, t) — y, § — z proportional zu den Richtungskosinus der Normale JfSR. Da andererseits x, y', z zu den Richtungskosinus der Tangente proportional sind, drückt die Gleichung

(4)

x'il — x) + y'(9 — y) + 8 (s - e) = 0

aus, daß der Punkt SR oder (j, t), g) in der Normalebene von M liegt. Dies ist also in den laufenden Koordinaten £, t), g die Gleichung der Normalebene des Kurvenpunktes (x, y, z).

Aus (1) geht die besondere Darstellung

(5)

y = fix), e = g(%)

der Kurve hervor, wenn wir t = x annehmen und dementsprechend cp(t) = x, dagegen %(£) und xj(t) gleich f(x) und g(x) setzen. Als positiver Sinn auf der Kurve gilt dann derjenige, in dem die unabhängige Veränderliche x zunimmt. Jetzt ist x = 1, y = f'{x), z = g'(x), so daß nach (2):

(6)

9 - y — /■'(»(£ - x), g - * = g\x)(i — x)

die Gleichungen der Tangente und nach (3):

(7)    «

1/1 + f'i + 9/

die Richtungskosinus der Tangente sind. Die Quadratwurzel ist dabei positiv. Nach (4) wird ferner in diesem Falle die Gleichung der Normalebene:

(8)

(£-«)+ fix) (9 - y) + g\x){b - z) = o

in den laufenden Koordinaten £, t), g. Hiernach stellt (3) in Nr. 147 die Normalebene in den laufenden Koordinaten a, b, c dar, während die Formeln (4) in Nr. 160 besagen, daß dort MM' Normale beider Kurven ist.

253. Tangentenebene und Normale einer Fläche.

Nach Nr. 251 sei eine Fläche durch eine Gleichung

(1)

F(x, y, z) = 0

definiert. Wir setzen voraus, daß die Funktion F für einen gewissen Variabilitätsbereich von x, y, z nebst allen ihren Ableitungen, soweit sie in der Folge Vorkommen werden, stetig sei, und daß die Gleichung F = 0 innerhalb dieses Variabilitätsbereiches z als eine Funktion von x und y defiliere, die nebst allen ihren Ableitungen, soweit sie in der Folge Vorkommen, stetig ist. Alsdann ergeben sich z. B. die Ableitungen von z nach x und y aus den Formeln:

(2)

dz

dz

Fx + FZdx 0, Fy + Fz ^    0

Fx, Fy, Fz alle drei gleich Null

die hinfällig werden, wenn sind. Die gemachten Voraussetzungen werden also gewiß nicht

erfüllt für Wertetripel x, y, z, für die Fx, Fy, Fz alle drei verschwinden. Wir schließen daher durch unsere Annahmen

derartige singuläre Punkte (x, y, z) aus, die wir überhaupt nicht zu untersuchen beabsichtigen.

Wenn nun

(3)

2 - /'O, v)

die durch (1) definierte Funktion z von x und y bedeutet, liegt hierin eine besondere Darstellung einer Fläche vor (vgl. Nr. 251), und wir wollen zunächst von dieser Darstellung ausgehen. Ein bestimmtes W^ertepaar der beiden unabhängigen Veränderlichen x, y sei gewählt und z aus (3) bestimmt worden, wodurch ein Punkt M oder (x, y, z) der Fläche gewonnen wird. Nun gibt es unzählig viele Kurven auf der Fläche, die durch diesen Punkt gehen. Wird nämlich y durch irgendeine differenzierbare Funktion von x ersetzt, die für den betrachteten Wert von x gerade den angenommenen Wert hat, so wird nach (3) auch z eine differenzierbare Funktion von x, die für den betrachteten Wert von x gerade den vorhin bestimmten Wert hat. Jetzt sind daher y und z Funktionen von x, die eine durch M gehende Kurve auf der Fläche definieren.

Nach (6) in voriger Nummer sind

9 - y - % ö -*)

dz

die Gleichungen der Tangente des Punktes M dieser Kurve in den laufenden Koordinaten £, t), §. Dabei ist nach (3), weil y als Punktion von x aufgefaßt wurde:

dj =f , f dy_

dx ’x ' 'y dx

Folglich sind

(4) t) - y =    (? - x),

die Gleichungen der Tangente einer durch den Flächenpunkt M gehenden Kurve der Fläche. Zu beliebigen durch M gehenden Flächenkurven gehören beliebige Werte von dy : dx. Daher genügen die Punkte (£, t), §) aller Tangenten, die man in M an alle durch M gehenden Flächenkurven legen kann, derjenigen Gleichung, die aus (4) durch Elimination von dy : dx hervorgeht. Diese Gleichung lautet:

(5)

b - ff - /*(£ - x) - fy(ti -y) = °,

und da sie in den laufenden Koordinaten £, l), 5 linear ist, folgt: Satz 1: Ist f(x, y) innerhalb eines Variabilitätsbereiches

eine stetige und differenzierbare Funktion von x und y, so daß die Gleichung

e = f(x, y)

eine Fläche darstellt, so liegen alle von einem nicht singulären Punkt (x, y, z) der Fläche ausgehenden Tangenten an alle durch diesen selben Punkt laufenden Flächenkurven in einer Ebene.

Diese Ebene (5) heißt die Tangentenebene der Fläche an der Stelle M oder (x, y, z) und der Punkt M ihr Berührungspunkt. Die Tangenten, die man in M an die durch M gehenden Flächenkurven legen kann, heißen die Flächentangenten von M. Die Gerade, die in M auf der Tangentenebene senkrecht steht, heißt die Normale der Fläche im Punkte M.

Wenn die Funktion z ==> f(x, y) diejenige ist, die durch die ursprünglich vorgelegte Gleichung (1) definiert wird, bedeuten die in (5) auftretenden Größen fx und f die partiellen Ableitungen von z nach x und y, die sich aus (2) berechnen lassen. Setzen wir sie in (5) ein, so folgt, daß der Punkt M oder (x, y, z) der Fläche die Tangentenebene hat:

*) = °>

(6)

wenn £, l), 5 wie immer die laufenden Koordinaten bedeuten. Da dF = Fxdx + Fydy + F,de

ist, stellt also das gleich Null gesetzte vollständige Differential dF von F die Tangentenebene dar, sobald die Differentiale dx, dy, dz als die Differenzen £ — x, t) — y, 5 — z aufgefaßt werden. Die Normale des Flächenpunktes M hat, weil sie auf der Ebene (6) senkrecht steht, in den laufenden Koordinaten £, i), l die Gleichungen:

(?)

1 — x b — y ......b~z

Fz

F    F

x    y

Ihre Richtungskosinus sind somit proportional zu Fx, F , Fz. Wir wollen sie mit X, Y, Z bezeichnen. Dann ist:

Fv

(»)

yFi+F*+F*

VFl+Fl+*l

Wenn wir hierin der Quadratwurzel das Pluszeichen vorschreiben, haben wir der Normale einen positiven Sinn beigelegt. Wir untersuchen, welche geometrische Bedeutung diese Festsetzung hat. Es sei (£, t), 5) derjenige Punkt der Normale, der hervorgeht, wenn ein Punkt vom Flächenpunkte M oder (x, y, z) aus um eine Strecke s im positiven Sinne auf der Normale fortschreitet. Alsdann ist £ — x= Xs usw., also £ = x + Xs usw. Bilden wir die Funktion F für das Wertsystem £, t), 5 statt für x, y, z, so kommt also:

F(ic, y, 5) = F(x -j- Xs, y -f- Ys, z -f- Zs).

Dieser Wert ist natürlich nicht gleich Null, da der Punkt (£, t), 5) nicht auf der Fläche liegt. Nach Satz 24 von Nr. 116 kommt, da rechts eine Funktion von s steht:

1)? ä) = F(x, y, e) -f (FxX + Fy Y -f FzZ)s -f Ti,

wobei s nach Satz 22 von Nr. 115 so klein gewählt werden kann, daß der Rest F ohne Einfluß auf das Vorzeichen der rechten Seite ist. Wegen (8) folgt hieraus:

853]

F(b t), S) - F(x, y, i) = sVFf+Ff+ Fi + B.

Also ist diese Differenz bei hinreichend kleinem s positiv, wenn die Quadratwurzel nach Vorschrift positiv gewählt wird. Die Festsetzung über den positiven Sinn der Normale bedeutet also geometrisch: Sind x, y, z die Koordinaten eines Punktes der Fläche, so ist F(x, y, z) = 0; liegt der Punkt jedoch auf der einen oder andern Seite der Fläche hinreichend nahe, so ist F entweder positiv oder negativ. Nennen wir diejenige Seite, auf der F > 0 ist, die Außenseite der Fläche, so haben wir die Normale positiv nach der Außenseite hin angenommen.

Von der allgemeinen Darstellung F= 0 kehren wir zur Darstellung

(9)

* = f(x, y)

der Fläche zurück, indem wir einfach F = 0 durch z — f = 0, d. h. F durch z — f ersetzen. Außenseite ist alsdann diejenige, auf der z > f ist. Jetzt wird Fx = — fx, Fy — — fy und Fz = 1, und wie in Nr. 85 wollen wir cz : cx = fx und dz :'< y = f mit p und g bezeichnen. Nach (8) sind alsdann die Richtungskosinus der positiven Normale der Fläche (9):

— P

yF-fq.*+i’

(10) X =

Y =    ~ g

ViP-F

Vp'AF+i’

tvobei die Quadratwurzel positiv ist. Ferner hat nach (5) die Tangentenebene der Fläche (9) in den laufenden Koordinaten £, t), 1 die Gleichung:

(11)

(12)

(ä - S) -p(? - x) - g(t) - y) = 0, während die Normale nach (7) die Gleichungen hat: £— x t)

—P

Sie traten schon in Nr. 162 unter (4) in den laufenden Koordinaten a, b, c auf.

254. Nochmals die Tangente und Normalebene einer Kurve. In Nr. 252 haben wir den Fall, in dem eine Kurve in der Form

(i)

F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0, also nach Nr. 251 als Schnittkurve der beiden Flächen F = 0 und G = 0 dargestellt wird, vorläufig beiseite gelassen. Die

1»5», 354

Tangente eines Kurvenpunktes (x, y, z), der ja beiden Flächen angehört, ist die Schnittgerade derjenigen beiden Tangentenebenen, die bei der einen und andern Fläche zum Punkte (x, y, z) gehören, d. h. nach (6) in voriger Nummer sind:

(2)

— x) + Fy(\) — y) + Fz(% — z) = 0,

&*(? — %) +    -y)+ Gz{% — z) = 0

in den laufenden Koordinaten £, Ij, § die Gleichungen der Tangente der Kurve (1). Sie lassen sich so schreiben:

(3)

_______ __9 — V

Fy Gz — Gy Fz Fz Gx — Gz Fx Fx Gy — Gx Fy

Die Normalebene der Kurve (1) hat mithin in den laufenden Koordinaten £, t), § die Gleichung:

(4)

Die Richtungskosinus der Tangente sind zu den Nennern in (3) proportional. Die Summe ihrer Quadrate muß ferner gleich Eins sein. Nun ist die Summe der Quadrate der Nenner von (3) nach der auch sonst oft nützlichen Identität

(5)

OA — a₃b₂)² + (a₃ \ — «A)² -f OA — a₂bt)²

= {a²-fa²+ a₂²) (V+ b²+b²)—(al \ + a₂b₂ + a₃ b₃)² diese:

(6) ^-{Fy+Fy+FyyGy+Gy+G^-iF^+FyGy+Ffiy.

Verstehen wir unter T die positive Quadratwurzel hieraus, so sind also

(7)    « =

FyG.-Oy*'.

fzgx-gzfx

FxGy-GxFy

die Richtungskosinus der Tangente. Indem wir für T die positive Wurzel gewählt haben, ist der Tangente ein bestimmter positiver Sinn beigelegt worden. Wir machen aber darauf aufmerksam, daß sich der entgegengesetzte Sinn ergeben würde, wenn wir die Gleichungen (1) in umgekehrter Reihenfolge G = 0, F = 0 schrieben. Wir haben es also hier mit einer rein analytischen Festsetzung des Sinnes zu tun.

255. Tangentialkegel. Gegeben sei außer einer Fläche F(x, y, z) = 0 ein Punkt M₀ oder (x₀, y₀, z₀) im Raume. Wir betrachten diejenigen Tangentenebenen der Fläche, die durch M₀ gehen. Ist (x, y, z) oder M der Berührungspunkt einer derartigen Ebene, so bestehen nach (6) in Nr. 253 für x, y, z die beiden Gleichungen:

(1) F{x, y,z) = 0, Fx(x — x₀) + Fy(y - y₀) + F,(s ~ £₀) = °-

Diese beiden Gleichungen in x, y, z definieren zusammen eine Kurve Je von Punkten M auf der Fläche, nämlich den Ort aller derjenigen Punkte M der Fläche, deren Tangenten ebenen durch M₀ gehen. Die Gerade von irgendeinem Punkte M der Kurve Je nach M₀ ist eine Tangente der Fläche; die Gesamtheit aller dieser Geraden heißt der TangentialJeegel, der von der Spitze M₀ aus an die Fläche gelegt werden kann. Ist (j, l), §) irgendein Punkt auf einer der Geraden MM₀, so ist:

(2J

E — xo ₌ 9 — y„ ₌ b —    _

z — z₀

x x₀

Die Gleichung des Tangentialkegels in den laufenden Koordinaten £, t), i geht mithin durch Elimination von x, y, z aus den vier Gleichungen (1) und (2) hervor. Da die Tangentenebene eines Punktes M der Kurve Je auf der Fläche außer der Mantellinie MM₀ des Kegels die Tangente der Kurve Je enthält, ist sie zugleich diejenige Tangentenebene des Kegels, die den Kegel in allen Punkten der Mantellinie MM₀ berührt. Man sagt daher, daß der Tangentialkegel von M₀ der Fläche längs der Kurve Je umscJirieben sei.

Stellen wir uns vor, der Punkt M₀ rücke auf irgendeiner Geraden durch den Anfangspunkt 0 ins Unendlichferne, indem beständig x₀, y₀, z₀ zu drei Konstanten a, b, c proportional bleiben, so gelangen wir zum Begriffe desjenigen Tangentialzylinders, dessen Mantellinien Richtungskosinus proportional zu a,b, c haben.

256. Homogene Koordinaten im Raume. Wie wir

in Nr. 175 homogene Koordinaten in der Ebene einführten, können wir auch im Raume statt der drei rechtwinkligen Koordinaten x, y, z eines Punktes M vier homogene Koordinaten xt, x₂, xs, x± benutzen, indem wir

[255, 256

— _*

tAs    •

x₄

setzen. Bei den homogenen Koordinaten kommen nur ihre Verhältnisse in Betracht. Im Falle x₄ = 0 liegt ein unendlich ferner Punkt vor, nämlich der unendlich ferne Punkt aller Geraden, deren llichtungskosinus proportional zu xl} x₂, x₃ sind.

Ist F(x, y, z) = 0 die Gleichung einer Fläche, so stellt sie sich in den homogenen Koordinaten so dar:

(1)

tT₂

004

xK

*{

x%

= 0.

x₄ ’

Links steht nach Nr. 91 eine homogene Funktion nullten Grades von x1; x₂, x₃, x₄. Multiplizieren wir die Gleichung mit irgendeiner Potenz von x₄, so können wir ihre linke Seite in eine homogene Funktion von beliebigem Grade umwandeln. Umgekehrt: Ist U eine homogene Funktion n x1} x₂, x₃, x₄, so ist U: x₄ homogen vom nullten Grade. Eine homogene Funktion nullten Grades aber bleibt ungeändert wenn alle Veränderlichen mit derselben Größe multipliziert werden. Wenn wir also xt, x₂, x₃, x₄ mit 1: x₄ multiplizieren, wird U : x₄ nach (1) eine Funktion von x,y, z allein:

ten

Grades von

-V Ufa, x₂,x₃, X₄) = F{x, y, z).

Demnach stellt jede gleich Null gesetzte homogene Funktion ntea Grades

(2)

U(xi, x₂, xa, x₄) = 0 eine Fläche F(x, y, z) = 0 dar, falls sie eines der drei Verhältnisse xt : x₄, x₂ : x₄, x₃ : x₄ als differenzierbare Funktion der beiden andern definiert.

Die Differentiation von (2) nach x, y, z ergibt, da nach (1) x₁ = xx₄, x₂ = yx₄ und x₃ = zx₄ ist:

(3)

.r*

r « - i ’

«A/4

Die Gleichung (6) der Tangentenebene in Nr. 253 wird mithin:

x,n

X₄

uXi(i ~ x) + ^₂(b~ y) + ux%(i — z) 0.

Führen wir nicht nur für den Berührungspunkt (x,y,z), sondern auch für den Punkt (g, t), g) entsprechend (1) vermöge

r _ £1 ¹    £4

homogene Koordinaten £₄, £₂,    £₄ ein, so kommt, wenn wir

noch mit £₄ multiplizieren:

^£1 + UXnh + UXl £3 —

(UXX, + UXX ₂ + Uxx s) = 0.

Da U homogen vom wten Grade ist, wird der Inhalt der Klammer nach Satz 9 von Nr. 91 gleich nU — Ux x₄, also wegen (3) gleich — Uxx₄. Mithin ist

(4)

UxJa + ^£2 + Uxz h + UXili = 0

m den laufenden homogenen Koordinaten j₄, £₂, £₃, £₄ die Gleichung derjenigen Tangentenebene der Fläche (3), deren Berührungspunkt die homogenen Koordinaten xx, x₂, x₃, xi hat.

Ist eine Kurve als Schnittkurve zweier Flächen

(5)

U(x 1, x₂, x₃, xf) = 0, V(xu x₂, x₃, xf) = 0

gegeben, so wird die Tangente eines Punktes der Kurve durch die Gleichung (4) und die Gleichung

VXlh + VXM + VX3l₃ +    = 0

in den laufenden homogenen Koordinaten J₄, £₂, £3? £4 gegeben.

Eine Fläche heißt algebraisch von der nton Ordnung, wenn sie in homogenen Koordinaten durch eine Gleichung V = 0 dargestellt werden kann, deren linke Seite U eine homogene ganze rationale Funktion wton Grades ist. In der Gleichung (4) der Tangentenebene steht dann links eine homogene ganze rationale Funktion (n — l)ten Grades von xx, x₂, x₃, x±. Legen wir von einem bestimmten Punkte (jcx, J₂, £₃, £₄) des Raumes den Tangentialkegel an die Fläche (vgl. Nr. 255), so wird die Berührungskurve k durch die beiden Gleichungen (3) und (4) in den laufenden Koordinaten x1} x₂, x₃, x± gegeben. Da man nun die Schnittkurve zweier algebraischer Flächen von «ter und mtez Ordnung eine algebraische Kurve von der nmtoa Ordnung nennt, ist also k eine algebraische Kurve von der n{n — l)ten Ordnung.

Die soeben gegebene Definition der algebraischen Kurven kommt, wenn die eine Fläche eine Ebene ist, auf die Definition der ebenen algebraischen Kurven in Nr. 177 zurück, da die Ebene eine algebraische Fläche erster Ordnung ist.

[356

§ 2. Bogenelement einer Raumkurve.

257. Ableitung* der Bogenlänge. Gegeben sei eine Kurve durch die Gleichungen:

(i)

Wie in Nr. 193 hei den ebenen Kurven können wir auch bei den Raumkurven die Bogenlänge schon jetzt besprechen, indem wir uns ihre exakte analytische Definition für den zweiten Band Vorbehalten. Ist G ein bestimmter Punkt der Kurve, so durchlaufen wir sie von C an im Sinne wachsender Werte der Hilfsveränderlichen t bis zu einer beliebigen Stelle M, die zu einem allgemeinen Werte t gehört. Zu diesem Kurvenstücke CM gehört eine Bogenlänge s, die eine Funktion von t sein wird. Wir suchen ihre Ableitung ds : dt. Zu diesem Zwecke lassen wir t zunächst um einen beliebigen Wert /dt wachsen. Der Punkt M oder (x, y, z) gehe dabei in den Punkt M' oder (x + /dx, y -f- /dy, z -f- /dz) der Kurve über. Die Sehne MM' hat dann die Länge:

(2) mw =    + /,/ + J? - m |/|(§)V (§) +(f;) ■

Wir werden im zweiten Bande beweisen, daß der Grenzwert des Verhältnisses der Sehne MM' zum Bogen MM' gleich Eins ist, wenn M' nach M rückt, d. h. für limz/£ = 0, sobald <p(t), %(t), ip(t) in dem Intervalle von t bis t -f- /dt nebst ihren ersten Ableitungen stetig sind. Wenn wir die Bogenlänge im Sinne wachsender Werte von t positiv rechnen, müssen wir

die letzte Quadratwurzel in (2) positiv annehmen, weil dann MM' mit /dt positiv ist. Es ergibt sich

nun

aus (2):

Bogen MM’ Sehne MM' _-\//2x\² . //Jy\² . f/lzV²

Bogen MM' V \Jt) ‘ \/Jt) ' \Jt)

Für \imzlt = 0 geht, wie gesagt, der zweite Bruch links in Eins über, dagegen der erste in die Ableitung ds: dt des Bogens s nach t. Also kommt:

ds

(3)

wo die Wurzel positiv ist. Hiernach hat das Differential der Bogenlänge, das man auch das JBoycnelement nennt, den Wert:

*57] ds = ]/dx² -f- dy² -f dz².

(4)

Die Wurzel ist positiv oder negativ, je nachdem das Differential dt der unabhängigen Veränderlichen positiv oder negativ gewählt worden ist.

Ist die Kurve insbesondere in der Form

y = /w, * = g{x)

gegeben, so tritt x an die Stelle von t, und es kommt:

(5)

= ]/l + fix)* + g\x)²,

wo die Wurzel positiv ist.

258. Das Bogenelement in Polarkoordinaten. Statt der rechtwinkligen Koordinaten x, y, z kann man auch die Polarkoordinaten r, 0, xp einführen, indem man wie in Nr. 97

(1)

x = r sin 0 cos xp, y — r sin 0 sin xp, z == r cos 0

setzt. Eine Kurve im Raume wird alsdann durch zwei Gleichungen in r, 0, xp gegeben, z. B. so:

r = JR{0).

In diesem Falle ist 0 die unabhängige Veränderliche, der positive Sinn der Kurve also der Sinn wachsender Werte von 0. Aus (1) folgt:

r sin 0 dB.

cos 0 dr —

dx = sin 0 cos xp dr -f r cos 0 cos xp dd — r sin 0 sin xp d xp, dy = sin 0 sin xpdr + r cos 0 sin xp dQ + r sin 0 cos xp d xp, dz =

Also kommt:

dx² -f dy² -f dz2, = ^r² + ?'² ^0² + r² sin² 0 dxp².

(2)

Nach (4) in voriger Nummer ist demnach das Bogendifferential: ds = ]/c?r² -f- r²dd² + r²sin² 0 dxp²,

wobei die Wurzel das Pluszeichen hat, sobald das Differential der unabhängigen Veränderlichen positiv ist.

Der Ausdruck (2) läßt sich auch aus der geometrischen Anschauung ableiten: Der Punkt M mit den Polarkoordinaten r, 0, xp liegt nämlich erstens auf der Kugel um den Anfangspunkt 0 mit dem Radius r, zweitens auf dem Kegel, der

[»57, »58

durch Rotation des einen Schenkels des Winkels 0 um die Achse hervorgeht₇ und drittens auf derjenigen Ebene durch die ,2-Achse, die mit der #-Achse den Winkel ip bildet. Entsprechend liegt der Punkt M' oder (r -f- z/r, 9 + z/ 6, ip + dip) auf einer Kugel, einem Kegel und einer Ebene. Diese sechs Flächen schließen zusammen einen Pyramidenstumpf ein, dessen Kanten nach 0 laufen und der von zwei Kugeln ausgeschnitten wird. Die auf der Kugel vom Radius r gelegene Grundfläche des Stumpfes ist ein krummlinig begrenztes Rechteck, und zwar sind zwei der Grenzen Bogen von größten Kreisen einer Kugel vom Radius r und Zentriwinkel 49, so daß ihre Länge rz/0 ist. Die beiden anderen Grenzen sind Bogen von Kreisen mit den Radien r sin 9 und r sin (0 -f- 49), die zum Zentriwinkel z/t/7 gehören, haben also die Längen rsin0z/t/7 und rsin(0 -j- z/0)z/^7. Die beiden Bogen rz/0 und r sin 9zlip bilden mit den zugehörigen Sehnen Verhältnisse, deren Grenzwerte für lim z/0 = 0 und limz/i^ = 0 gleich Eins sind, und die beiden Sehnen bilden miteinander einen Winkel, dessen Grenzwert ein rechter Winkel ist. Ebenso bildet die Kante z/r des Pyramidenstumpfes mit jenen beiden Sehnen Winkel, deren Grenzwerte rechte Winkel sind. Ferner wird das Verhältnis des Bogens z/s oder MM' zur Sehne MM' beim Grenzüber-gange lim z/r = 0, lim z/0 = 0, lim z/1/7 = 0 ebenfalls gleich Eins. Beim Grenzübergange wird also z/s Diagonale eines Rechtflachs mit den Seitenlängen z/r, rz/0 und r sin 0 z/t/7, so daß sich die Formel (2) ergibt.

259. Die Richtungskosinus der Kurventangente ausgedrückt mittels des Eogendiiferentials. Sind a, ß, y wie in Nr. 252 die Richtungskosinus der Kurventangente, so ist nach den dort gewonnenen Formeln (3), worin die Akzente die Differentiation nach der Hilfsveränderlichen t anzeigen:

usw.

dx

}/dx² -f- dy²    dz²

Die Wurzel hat das Pluszeichen, wenn die Differentiale dx, dy, dz zu einem positiven Differential dt gehören. Nach (4) n Nr. 257 ergibt sich daher:

(1)

co

dz

258, 259]

Wird die Bogenlänge s selbst als unabhängige Veränderliche gewählt, so ist die Kurve positiv im Sinne wachsender Werte von s; die Richtung sko sinus der Tangente sind alsdann die Ableitungen der Koordinaten x, y, z nach der Bogenlänge s.

§ 3. Krümmung einer Raumkurve.

260. Das Krümmungsmaß der Kurve. Den Anfangspunkt 0 wählen wir als Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius Eins, siehe Fig. 59. Wir ziehen parallel zu jeder Tangente einer vorgelegten Raumkurve den Radius von 0 aus und zwar entsprechend dem positiven Sinne der Tangente. So gehört zum Kurvenpunkte M ein Radius OM, zum Kurvenpunkte AI' ein Radius OM'. Dem Kurvenbogen MAI entspricht ein sphärischer Kurvenbogen MM'; er ist ein Stück der sogenannten sphärischen Indikatrix der Tangenten der Raumkurve. Diese Indikatrix wird im entsprechenden Sinne positiv gerechnet, d. h. wenn die Raumkurve von AI nach AT im festgesetzten positiven Sinne durchlaufen wird, soll der Fortschreitungssinn auf der Indikatrix von M nach M' positiv angenommen werden. Das Verhältnis des Bogens MM' der Indikatrix zum Bogen MM' der Raumkurve heißt die mittlere oder durchschnittliche Krümmung des Kurvenbogens MM'. Sie ist nach unseren Festsetzungen stets positiv. Wenn As und A<3 die Längen der Bogenstücke MM' und MM' sind, stellt Aö:As die mittlere Krümmung dar.

Wenn M' immer näher an M heranrückt, kommt auch M' immer näher an M heran. Wir werden sogleich zeigen, daß das Verhältnis Aö:As für lim As = 0 einen bestimmten endlichen Grenzwert hat. Er heißt das Krümmungsmaß oder die Krümmung der Raumkurve an der Stelle M. Das Bogendifferential da der Indikatrix wird der Kontingenzwinkel der Raum kurve genannt.

Für den Fall, daß die Kurve eben ist und in der # «/-Ebene liegt, kommen diese Definitionen auf die in Nr. 195 zurück,

[»59, »00

AA V\

1c

-n/A'

As

■Af

Fig. 59.

Ai’

aber ein ivesentlicher Unterschied ist doch vorhanden: Nach dem Vorhergehenden ist die Krümmung einer Raumkurve stets positiv. Bei einer ebenen Kurve in der x«/-Ebene dagegen war die Krümmung positiv oder negativ. Dies liegt daran, daß wir die Kurven in der a^y-Ebene stets von einerlei Seite der :r?/-Ebene her betrachtet haben. Eine ebene Kurve hat dagegen, als Raumkurve aufgefaßt, überall eine positive Krümmung wie jede andere Raumkurve.

Zum Beweise der Existenz des Grenzwertes dö:ds von dl6: dis, den wir k nennen wollen, sei die Raumkurve durch die Gleichungen

(1)

« = <p(f), y = %(*), z =

gegeben; zu den Werten t und t -f dlt sollen die Punkte M und M' gehören. Da OM zur positiven Tangente von M parallel ist und die Länge Eins hat, sind die Koordinaten von M die Richtungskosinus a, ß, y dieser Tangente. (Vgl. Nr. 252.) Sie mögen, wenn M nach M' wandert, um dla, dl ß, dly wachsen, so daß M' die Koordinaten a -f Aa, ß -j- dlß, y -f- dly hat. Jetzt ist:

d6

ds

Sehne MM'

Sehne M M' Sehne MM' ’ Sehne M M'

ds

Der letzte Bruch rechts hat, wie aus dem in Nr. 257 erwähnten, im zweiten Bande zu beweisenden Satze folgt, den Grenzwert Eins, falls cp, %, im Intervalle von t bis t dl t stetige Funktionen mit stetigen Ableitungen erster Ordnung sind. Da M die Koordinaten a, ß, y hat, ist der Grenzwert des ersten Bruches rechts aus demselben Grunde gleich Eins, falls a, ß, y dieselben Bedingungen erfüllen. Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich mithin als Wert der Krümmung:

da

Sehne MM'

ds

Sehne M M'

ds

MM'=0

Die beiden Sehnen MM' und MM' haben die Längen:

]/dlx² + dly² -f dlz² und ]/dla² + dl ß² -f dly². Dividieren wir mit dH² unter den Wurzeln, so kommt:

di 5 = 0

(2)

-v

»60]

wobei die Wurzel positiv ist und die Akzente die Differentiation nach t andeuten. Nach (3) in Nr. 252 ist aber:

(3)

cc —

x"

x\x x'a y y Az'z")

yV* + ^* + *'*⁸

]/x ² + y ² + *'*

und entsprechende Werte gehen für ß' und y hervor. Aus ihnen folgt:

(4) a'*+p+y'*-

(*wH-y//8+0(^a-f•y,'+z't)-&x''+y'y'f+*'z")'

(»'*+ y"'+z'*?

Die Substitution von (4) in (2) gibt schließlich:

da

(⁵) *-äi-

ö - (x'x"+y'y"+z'*T

?X'-Ay'- +

wo die Wurzeln positiv sind. Der Radikand im Zähler läßt sich noch nach der in Nr. 254 angegebenen Identität (5) umformen, so daß hervorgeht:

Oi

Ci

Viy'z" — z'y"?-f (z'x" — x'z"?A (x'y" — y'x"?

cc

wo die Wurzeln positiv sind. Dabei ist vorausgesetzt worden, daß cp, i, f und a, ß, y stetige Funktionen mit stetigen ersten Ableitungen seien. Nach (3) ist dies der Fall, wenn x, y, z nebst ihren Ableitungen erster und zweiter Ordnung an der Stelle t stetige Funktionen von t sind, aber ihre Ableitungen erster Ordnung nicht alle drei zugleich verschwinden (vgl. hierzu Nr. 252).

Der reziproke Wert der Krümmung k, also die stets positive Größe B = 1 : k, heißt der Krümmungsradius der Kurve an der betrachteten Stelle. Wir werden später sehen, daß es wie bei den ebenen Kurven (vgl. Nr. 197) einen Krümmungskreis gibt, dessen Radius den Wert B hat. Es kommt:

(V

V&e" ~ z'y"? + (*V' - x'z"? + (*' y” - y’x")

Der Krümmungsradius B ist endlich, wenn an der betrachteten Stelle nicht alle drei Größen

/    //    / ft    t tr    /    //    r »r    /    //

y z — z y } z x — x z , x y — y x

gleich Null sind.

Ist insbesondere die Bogenlänge s die unabhängige Veränderliche, so sind a, ß, y nach (1) in Nr. 259 gleich x, y, z, daher a, ß', y gleich x", y", z", so daß der Wert (4) einfach x"² -j~ y"² -f- z’² wird. Alsdann ergibt sich mithin:

Vx"'¹ + y"-+v-

(9) Tt = ~ - VF^+^"Y+~7Ti, B —

wobei die Quadratwurzel positiv ist.

261. Hauptnormale einer Kurve. Die sphärische In-dikatrix der Tangenten, siehe Fig. 59 auf S. 427, hat in dem zum Kurvenpunkte M gehörigen Punkte M eine Tangente, deren positiver Sinn dem Fortschreitungssinne der Indikatrix entsprechend anzunehmen ist. Der Strahl vom Kurvenpunkte M aus parallel zu dieser positiven Tangente der Indikatrix, der augenscheinlich zu den Normalen des Punktes M gehört, heißt die positive Hauptnormale von M. Ihre Richtungskosinus wollen wir mit l, m, n bezeichnen. Sie sind zugleich die Richtungskosinus der positiven Tangente des Punktes M der Indikatrix. Da 6 die Bogenlänge der Indikatrix ist und a, ß, y die Koordinaten von M sind, werden l, m, n entsprechend den Formeln (1) in Nr. 259 gegeben durch:

(1)

da ’

Ci "CO

Weil der Krümmungsradius B = ds : dö ist, folgt hieraus:

Nach (1) in Nr. 259 ist mithin auch:

(2)

da

l = B-V

ds

n = B,

TS 'S

(3)

1 d*x ¹ = ll ds* >

_ p d-y

M ds* ’

d*z

» “ ¹¹ ft* ■

Wir erwähnen noch die hieraus folgenden Formeln:

d-y

d*z

d*x l

äs2 = R ’ ds* ⁼ B ’ ds* ~ B

Um l, m, n auch mittels einer beliebigen unabhängigen Veränderlichen t auszudrücken, schreiben wir statt (2):

₇ j, da ds di : di

und setzen darin für B und da : dt oder u die Werte (7) und (3)

360, 361]

(4)

(5)

usw.

aus voriger Nummer und für ds:dt den Wert (3) aus Nr. 257 Dann kommt:

em.

z (z x"— x z") — y'(x'y"— y' x")

^x"*y %z ¹ Y(y'z"— z'y")"ljr (z'x"— x z")²-f- (%'y"— y'x'Y ’

und die Werte von m und n gehen hieraus durch zyklische Vertauschung von x, y, z hervor. Die Wurzeln sind dabei positiv. Der gemeinsame Neuner von l, m und n wird nur dann gleich Null, wenn entweder die drei Größen x, y, z oder die drei Größen

/ rr

yx

(?)

/ tr    f rf    r u    r rr    r rr

y z — z y y z x — x z y x y

gleich Null sind In beiden Fällen werden auch die Zähle von l, m und n gleich Null. In Nr. 252 wurden ausdrücklich solche Stellen als singulär ausgeschlossen, an denen x, y, z alle drei gleich Null sind. Wir erkennen jetzt, daß auch solche Stellen, an denen alle drei Größen (7) gleich Nidl sind, als singulär zu bezeichnen und bei der allgemeinen Betrachtung auszuschließen sind, da sich für sie der Begriff der Hauptnormale verflüchtigt. Vgl. auch (8) in Nr. 260.

Wir wollen schließlich noch die Formeln (5) in dieser Weise wiedergeben:

(8) l

Ra

Rß'

Ry'

\/x*+ y*+z' wo die Wurzel positiv ist.

Vx'* ff V²+ z* ’ n Vx'i+    ;

262. Das begleitende Dreikant einer Kurve. Die

Ebene durch die Tangente und Hauptnormale eines Kurvenpunktes M heißt die Schmiegungsebene, das Lot, das in M auf dieser Ebene errichtet werden kann, die Binormale von M] es gehört zu den Normalen der Kurve. Die durch M gehenden Geraden: Tangente, Haupt- und Binormale bilden eine dreifach rechtwinklige Ecke. Da zu jeder regulären Kurvenstelle M eine derartige Ecke gehört, nennen wir sie das begleitende Breikant der Kurve.

Auch der Binormale wird ein bestimmter positiver Sinn beigelegt, nämlich in der Weise, daß die positive Tangente, Haupt- und Binormale gerade so gegeneinander orientiert sind wie die positive x-, y und z-Achse.

263. Krümmungskreis und Krümmungsachse. Auf

der positiven Hauptnormale des Kurvenpunktes M werde dazugehörige und nach Nr. 260 stets positive Krümmungsradius li vom Punkte M aus als Strecke abgetragen. Der Endpunkt C heißt der Krümmungsmittelpunkt von M, und der Kreis mit der Mitte C und dem Radius ü, der in der Schmiegungsebene liegt und folglich die Kurve in M berührt, heißt der Krümmungskreis von M. Der wahre Grund für diese Bezeichnung kann erst später (in Nr. 300) gegeben werden. Die Krümmung des Krümmungskreises ist gerade so groß wie diejenige, die der Kurve in M zukommt. Das Lot, das in C auf der Schmiegungsebene zu errichten und mithin zur Binormale von M parallel ist, heißt die Krümmungsachse von M. Es gilt für diese Gerade der

Satz 2: Sind bei einer Kurve

diese drei Funktionen x, y, z von t nebst ihren Ableitungen bis zur dritten Ordnung an einer Stelle t bestimmt und endlich und ist der zu t gehörige Kurvenpunkt nicht singulär, so ist die Krümmungsachse des Punktes die Grenzlage der Schnittgeraden seiner Normalebene mit einer benachbarten Normalebene.

Wenn nämlich wie immer a, ß, y die Richtungskosinus der Tangente des Kurvenpunktes M bedeuten, hat die Normalebene von M in den laufenden Koordinaten £, t), 5 nach (4) und (3) in Nr. 252 die Gleichung:

(1)

«(s — x) + ß(*) — y) + y(b — e) = o,

die wir mit V == 0 bezeichnen wollen. Wächst t um At, so geht die Gleichung V AV = 0 einer anderen Normalebene hervor. Daher ist für die Schnittlinie beider Normalebenen:

= 0.

A V

At

Beim Grenzübergange lim At = 0 kommt:

7=0, V' = 0,

wobei der Akzent die Differentiation nach t andeutet. Die erste Gleichung ist die Gleichung (1), die zweite diese:

(2) a(i — x) + ß'0) — y) + /(& — *) — («x' + ßy' + yz) = 0.

Nach (3) in Nr. 252 ist der Inhalt der letzten Klammer gleich der positiven Quadratwurzel aus    + + und aus (8)

in Nr. 261 entnehmen wir die in die ersten Glieder yon (2) einzusetzenden Werte von a, ß', y. Dann geht (2) über in:

(3)

Da diese Gleichung linear in g, t), 5 ist, stellt sie eine Ebene dar und zwar, weil die Koeffizienten l, m, n die Richtungskosinus der Hauptnormale sind, eine zur Hauptnormale senkrechte Ebene, die also die Normalebene (1) in einer Parallelen zur Binormale schneidet. Um den Satz zu beweisen, brauchen wir daher nur noch zu zeigen, daß auch die Ebene (3) den Punkt C enthält. Die Gleichung (3) wird in der Tat befriedigt, wenn darin für g, ty, 5 die Werte:

(4)

xx = x + IR, yx = y -f mR, zx = z -f nR eingesetzt werden, weil Z² m² -f n² = 1 ist; und diese Werte (4) sind augenscheinlich die Koordinaten des Krümmungsmittel-punlctes C, da er auf der positiven Hauptnormale in der Entfernung R vom Punkte M liegt.¹)

Wir merken noch an, daß sich xx, yx, zx nach (4) in Nr. 261 auch so darstellen lassen:

d*x ds*’

-y + R^i,    #

dsz ds*'

264. Gleichungen zwischen den Richtungskosinus des begleitenden Dreikants. Für die Richtungskosinus der positiven Binormale wollen wir die Bezeichnungen l, y, v einführen. Die drei positiven Koordinatenachsen bilden alsdann mit den drei positiven Kanten des begleitenden Dreikants Winkel, deren Kosinus die folgende Tafel angibt:

(5) xx = x 4- jß²

Vi

Tangente . . Hauptnormale Binormale . .

1) Ist x die unabhängige Veränderliche, so sind (1) und (2) durch Z — x + y'(t) — y) + z' (5 —s) = 0, y"(j) — y) + z"(h — *) — (l + y'* + z*) = 0

²⁸    [S63,

zu ersetzen, woraus die auf S. 249, Anm., gemachte Behauptung folgt. Serret-Sclieffers, Integr.- u. Diff.-Bechn.I. 6.u. 7. Aufl.

Hieraus geht eine Reihe von Beziehungen zwischen den Kosinus hervor. Zunächst ist:

(1) a² -f ß² + y² = 1₇ l'² + m² -f- n² = 1, A² +    -f v² = 1.

Da die Kanten des Dreikants paarweise aufeinander senkrecht stehen, folgt ferner nach Nr. 252: (2) IX -f* m(i -f nv = 0, Xa-\- (iß vy = 0, aZ -f- /3m -f yn = 0.

Das begleitende Dreikant können wir nun aber auch als ein neues Kreuz von Koordinatenachsen auffassen. In ihm haben die alten Achsen die in der Tafel in den Heiken angegebenen Richtungskosinus. Also ist zunächst:

(3)    a² -f l² -f- A² = 1, /3³-)-«*² + F²=l, y² + n² + v² = 1,

und da die alten Achsen paarweise zueinander senkrecht sind folgt auch:

(4)    ßymn-\-(iv — 0, ycc -(- nl + vX — 0, aß -f Im + Ag = 0.

Ziehen wir durch den Anfangspunkt 0 die Parallelen OM, 0MX und 0M₂ zur positiven Tangente, Haupt- und Binormale und geben wir den Parallelen die Länge Eins, so entsteht ein Tetraeder OMMtM₂, dessen Volumen gleich einem Sechstel ist. Nach einem bekannten Satze der analytischen Geometrie ist das Volumen andererseits gleich einem Sechstel der Determinante der Koordinaten von M, M1; M₂. Diese Koordinaten sind die in der Tafel angegebenen Richtungskosinus. Daher ist, weil OM, ÖMr und OM₂ nach Nr. 262 überdies gerade so wie die drei positiven Koordinatenachsen gegeneinander orientiert sind:

(5)

’S § -es

- + 1.

Die zweite Gleichung (2), die erste Gleichung (2) und die dritte Gleichung (1) können wir als drei in X, (i, v lineare Gleichungen auffassen, deren Koeffizienten gerade diese Determinante bilden. Ihre Auflösung nach A, (i, v ergibt daher:

(6)

A = ßn — ym, (i — yl — an, v = am — ßl.

«<>4I

Durch zyklische Vertauschung der drei Zeilen der Tafel finden wir hieraus noch die Gleichungen:

« = niv — ng, ß = nX — Iv, y = lg

(?)

(8)

m X;

l = gy — vß, m = va — Xy, n = Xß — ga.

Vermöge (6) sind ivir nun imstande, die Richtungskosinus X, g, v der Binormale zu berechnen. Setzen wir nämlich darin die Werte von a, ß, y aus (3) in Nr. 252 und die von l, m, n aus (6) in Nr. 261 ein, so kommt:

_    y'z" — z y"______

V\y z" — z y"Y 4- (z x" — x z'⁷)'¹ -f ix' y" — y x'f ’

(9)

und entsprechende Formeln gehen für g und v durch zyklische Vertauschung von x, y, z hervor. Dabei kann die unabhängige Veränderliche irgendeine Hilfsgröße t sein; die Quadratwurzel ist positiv.¹)

Wenn insbesondere die Bogerdänge s die unabhängige Veränderliche ist, folgt aus (6) nach (1) in Nr. 259 und nach (3) in Nr. 261:

,, (dy (Pz \ds ds²

und durch zyklische Vertauschung von x, y, z ergeben sich hieraus auch die Werte von g und v.

265. Differenz zwischen Kurvenbogen und Sehne.

Einen bemerkenswerten Ausdruck für die Differenz zwischen einem Kurvenbogen und seiner Sehne erhält man, wenn man die Krümmungsradien in den Endpunkten des Bogens einführt. Zunächst stellen wir einige Formeln auf für den Fall, wo die Bogenlänge s als unabhängige Veränderliche gewählt worden ist, nach der differenziert wird. Nach (4) in Nr. 257 und nach (9) in Nr. 260 kommt nämlich dann:

*■» + </'» + /*- 1,    x"* + </"² + /'! = A-

Differentiation dieser Gleichungen nach s gibt:

(10)

(1)

(2)

x'x + y'y" + //' = 0,

dz d*y ds ds*

x"x" -f y" y" + z" z" —

/l

^ ds *

1) Ist x die unabhängige Veränderliche, so verhalten sich 1, y, v zueinander wie y'z" — z'y”, —z” und y", woraus die in der dritten Anmerkung zu S. 248 aufgestellte Behauptung folgt.

Differenzieren wir die erste Gleichung (2) noch einmal, so erhalten wir mit Rücksicht auf die zweite Gleichung (1):

xx" + y'y" + z'z" = — ~i}

und abermalige Differentiation dieser Gleichung gibt wegen der zweiten Gleichung (2):

(3)

ii»!.

xxxy + y'yxv + z'z1N = —

Sind nun Ax, z1y, Az diejenigen Zunahmen von x, y, z, die zur Zunahme As von s gehören, und haben x, y? z in dem Intervalle von s bis s + As nebst ihren Ableitungen nach s bis zur fünften Ordnung bestimmte endliche Werte, so ist nach Satz 19 von Nr. 112:

— x + 7x" As    l x'"As² 4- 24^?yAs³ + £,

“ y + ly"^s +    iy1YAs* +

-z' 4- \s"AS 4- \z"As* 4- ii^As* 4- g,

(4)

dx

dz

dS

2 ds

wobei rj, £ mit As in der vierten Ordnung gleich Null werden. Quadrieren und Addieren gibt mit Rücksicht auf

(1), (2), (3) und (4):

d 1 Ri

dx* + dys + dz* __ ₁ _ x 1_    ₂ _ x _

As²    R*    24 ‘ ds

wobei s mit As in der vierten Ordnung gleich Null wird. Da das Quadrat von

As³ + £,

, 1

dR*

1---i- . /i c2__L . -

24 Rt    48 ds

bis zur dritten Potenz von As dieselbe Form wie die rechte Seite der letzten Gleichung hat, wird daher:

}/dx² 4-    4~ 4 z*

Ass

i    4".

»s' jji    — h '

wobei die Wurzel positiv ist und o mit As in der vierten Ordnung gleich Null wird. Die Wurzel stellt den absoluten Betrag 5 der zum Bogen As gehörigen Sehne dar, so daß sich ergibt:

»«51

ds

(5)

4S — $ — 24 •    4s* -f ^ •

R'

ds

4 s* + fr,

wobei D- mit 4s in der fünften Ordnung gleich Null wird. Nun zeigt (9) in Nr. 260, daß 1 : Bf unter den gemachten Voraussetzungen nach Satz 19 von Nr. 112 entwickelt werden kann.

Ist R₁ der Krümmungsradius an der zu s -f 4s gehörigen Kurvenstelle, so gilt ferner die Entwicklung:

dw

ds

4s -f 0,

RS R²

wobei 6 mit 4s in der zweiten Ordnung gleich Null wird, also auch:

d~

ds

RS R*

Js ’

Einsetzen dieses Wertes in (5) liefert nun:

(6)

wobei % mit 4s in mindestens fünfter Ordnung gleich Null wird. Die linke Seite dieser Gleichung ist die Differenz zivi-sehen der Bogenlänge und der zugehörigen Sehne. Insbesondere ergibt sich hieraus:

CO

lim

Js — Q

266. Berührung zwischen Kurve und Fläche. Eine Fläche möge mit einer Kurve einen Punkt M gemein haben. Wir sagen, daß die Kurve die Fläche in M berührt, wenn die Tangente der Kurve in M zugleich eine Tangente der Fläche in M ist, die Kurventangente also in der Tangentenebene des Flächenpunktes M liegt. Wir wählen nun, falls wirklich die Kurve die Fläche in M berührt, einen Punkt M' auf der Kurve in der Umgebung von M und fällen von ihm das Lot M' Q auf die Tangentenebene. Siehe Fig. 60. Dieses Lot treffe ferner die Fläche in der Umgebung von M in einem gewissen Punkte Mf und habe auf der Tangenten-

[365, 366

/'"\M

Fig. 60.

ebene den Fußpunkt Q. Wir sagen nun. daß die Kurie die Fläche in 31 insbesondere in der rten Ordnung berührt, wenn

(1)

lim

MßM'

MQ = 0 MQr

endlich und von Null verschieden ist.

Um diese Definition analytisch zu formulieren, wollen wir annehmen, die Fläche sei durch die Gleichung

(2)

F{x,y,z) = 0

gegeben. Die Richtungskosinus der Normale des Flächenpunktes M oder (x, y, z) bezeichnen wir wie in Nr. 253 mit X, Y, Z, so daß

(3)

Z(j - x) + Y(t) - y) + Z(i - ß) = 0

in den laufenden Koordinaten £, t), § die Tangentenebene des Punktes darstellt. Die Kurve sei mittels einer Hilfsveränderlichen t gegeben:

(4)

% = 9(0; V = *(0; S = 9(0-

Für einen gewissen Wert t sollen also diese Funktionen die Koordinaten des Punktes 31 sein. Zum Werte t Jt gehöre der Punkt 31' oder (x -f- Jx, y -f- /ly, z -f- /dz) der Kurve. Der Fußpunkt Q des Lotes von ihm auf die Tangentenebene von 31 habe die Koordinaten rj, £. Alsdann ist nach (3): während t,-{x-\-Jx), r\ — {y + Jy), £ — {z -f- /dz) zu den Richtungskosinus X, Y, Z proportional sind, so daß wir mit Hilfe einer Größe u schreiben können:

£ = x + /dx + uX, rj = y -f- Jy + uY, £ = z + /dz + wZ.

Setzen wir diese Werte in die letzte Gleichung ein, so ergibt sich, da X² + Y² + Z² = l ist:

— (X/dx + YJy ZJz).

Das Quadrat der Strecke 31Q ist gleich der Summe der Quadrate von | — x, i] — y und £ — z, d. h.:

31Q* = {/dx + uX)² + {/dy + u Yf + {Je + uZf

= Jx² + J\f + z/#²-f- 2u{XJx -f YJy •+• ZJe) -f- w2 oder, wenn der für u gefundene Wert eingesetzt wird:

(5) 31Q² = {YJe - ZJyf + {ZJx- XJzf + {XJy- YJx)\ 366]

Das Lot M'Q trifft die Fläche (2) in dem zu M benachbarten Punkte Mx, dessen Koordinaten x zlxx, y -f Axy, z -(- Axz seien. Einerseits muß dann

(6)

F{x + Axx, y + Axy, z + Axz) = 0

sein, weil der Punkt Mx auf der Fläche liegen soll, und andererseits muß Mx M' zur Normale von M parallel sein, d. h. die Koordinatendifferenzen von Mx und M', nämlich Axx — Ax Axy — Ay, Axz — Az, müssen proportional zu X, Y, Z sein. Wir setzen deshalb:

z1xx — Ax = vX, Axy — Ay = vY, Axz — Az — vZ und erhalten alsdann aus (6):

(7)    Fix + Ax -i- vX, y + Ay + vY, z + Az -f- vZ) = 0

als Bedingung für die Hilfsgröße v. Das Quadrat der Strecke MXM' ist:

(8)    MXM'² = (Axx — Axf -f- (.Axy — Ay)² + (Axz — Az)²

= v²(X² + Y² + Z²) = v².

Wenn nun die Funktion y mit ihrer Ableitung erster Ordnung in einer Umgebung des zu M gehörigen Wertes t bestimmte endliche Werte hat, ist nach dem Mittelwertsatze 3 von Nr. 28:

Ax = (p[t -f- At) — (p(t) = At(p'(t + OxAt), wo 6X zwischen Null und Eins liegt. Entsprechend wird:

Ay = Atx'(t + OtAf), Az = AtFiß + QzAt),

falls für % und i/j dieselben Voraussetzungen gemacht werden, indem auch 0₂ und 6S zwischen Null und Eins liegen. Also ist:

YA z — ZAy = At\YF{t 0₃At) — Z%'(t -j- 6₂At)\.

Entsprechende Werte gehen für ZAx — XAz und XAy— YAx hervor. Wenn (p'(t), x (t) und F(f) an der Stelle t überdies stetig sind, folgt hieraus, daß wenigstens eine der drei Differenzen YAz —ZAy, ZAx—XAz und XAy—YAx mit At in gerade erster Ordnung verschwindet, wenn nicht alle drei Differenzen YF— Zx, Zcp' — XF und Xx — Ycp' an der Stelle t gleich Null sind. Sie können jedoch nur dann alle drei gleich Null sein, wenn entweder rp', x, F alle

[ao6

drei gleich Null sind, d. h. M ein singulärer Punkt der Kurye ist (was wir ausschließen), oder, wenn cp', %, cp' proportional zu X, Y, Z sind, was aber nicht eintritt, weil cp', %, cp' proportional zu den Richtungskosinus der Kurventangente sind, die auf der Flächennormale senkrecht steht. Also folgt aus (5), daß MQ mit 4 t in der ersten und nicht in höherer Ordnung verschwindet. Nach (1) tritt demnach eine Berührung in gerade rter Ordnung ein, wenn M^M' mit 4t gerade in der (r -f- 1) Ordnung verschwindet.

ten

Wir haben hiernach den Ausdruck für    zu be

trachten, der nach (8) gleich v ist. Dabei wird v durch die Bedingung (7) bestimmt. Wir wollen darin vorläufig x 4 4x, y -(- 4y, z 4 4z, d. h. die Koordinaten des Kurvenpunktes M', mit £, t), i bezeichnen, so daß wir statt (7) haben:

(9)

F(jc 4 vX, t) 4- vY, § 4 vZ) = 0.

Ö4 l), ä)

Nehmen wir nun an, daß die Funktion F(x, y, z) nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in einer Umgebung des Wertsystems x, y, z stetig sei, so läßt sich, wenn und (y,-\-vX, t) 4 v Y, l 4 vZ) in dieser Umgebung liegen, die letzte Gleichung nach Satz 28 von Nr. 137 so schreiben:

JC +6 v X, t) 4 0 v Y, ft+0vZ‘

Dabei bedeuten Fs, F^, Fh in der Klammer die partiellen Ableitungen von F(jc, l, t)) für den Fall, daß £ durch £ 4 6vX usw. ersetzt wird. Ferner ist 6 ein positiver echter Bruch. Beim Grenzübergange lim 4t = 0, d. h. lim v = 0 folgt, daß F(jc, t), g) gerade in erster Ordnung mit v verschwindet, falls XFf + YF^ -j- ZFi endlich und von Null verschieden ist. Daß diese Summe in der Tat nicht verschwindet und endlich ist, folgt aber so: Beim Grenzübergange lim 4t = 0 gehen £, t), l oder x -f- 4x usw. in x, y, z über, so daß jene Summe dann gleich XFx 4 YFy -f- ZFz oder nach (8) in Nr. 253 gleich der Quadratwurzel aus Fx 4 Fy 4 Fz wird, die nicht verschwindet, wenn der Punkt M oder (x, y, z) der Fläche, wie wir voraussetzen, nicht singulär ist, also Fx, F , und Fz nicht alle drei gleich Null sind. Wir haben also erkannt, daß

0 = F{i, t), 8) + «[XF, 4 YF, 4 ZFh\

F(x + 4x, y + 4y, z 4 4e)

mit v gerade in erster Ordnung gleich Null wird. Da nun v die Strecke MfM' ist, folgt somit:

Satz 3: Wird eine Fläche F(x, y, z) = 0 in einem Punkte M oder (x, y, z) von einer Kurve

3“    y = l( 0; ^    ^ (t)

berührt und gehört zum Berührungspunkte der Wert t der unabhängigen Veränderlichen, so ist die Berührung von gerade rter Ordnung, wenn der Ausdruck

F(x + Ax, y + Ay, z + Az),

worin

x -j- Ax = <p(t -f- At), y -j- Ay = %{t + At), z -f- Az = y>(t -f- At)

ist, mit At gerade in der (r -f- l)ten Ordnung verschwindet. Dabei wird vorausgesetzt, daß der Punkt M weder für die Fläche noch für die Kurve singulär sei, die Funktionen (p, %, nebst ihren Ableitungen erster Ordnung in einer Umgebung des betrachteten Wertes t stetig seien und außerdem auch die Funktion F nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in einer Umgebung des zu M gehörigen Wertsystems x, y, z stetig sei.

Will man den Satz anwenden, so muß man für den Ausdruck F(x -f- Ax, y A Ay, z -f Az) die Taylorsche Entwicklung benutzen, d. h. voraussetzen, daß F nebst den Ableitungen bis zur (r -f l)ten Ordnung in der Umgebung der Stelle M stetig sei. Alsdann ergibt sich nach Satz 28 von Nr. 137, da F an der Stelle M verschwindet:

F{x + Ax,y + Ay, z + Az) = ^ {FxAx + FyAy + FzAz)

(10)

+ 21 \Fx^X + Fy^y + Fz^*} ² + •••

A±{FxAx + FyAy + F,Azy

r+l

x + O/lx, y\0dy,z + 6/lz^

+ (r-j-1)! (F*Ax + Fy^y + Fz^* 1

wobei die geschweiften Klammern so zu verstehen sind, wie es in Nr. 137 auseinandergesetzt wurde. Ferner werde vorausgesetzt, daß cp, x, tk in der Umgebung von t nebst ihren Ableitungen bis zur (r -f l)ten Ordnung bestimmte endliche Werte haben, so daß nach Satz 19 von Nr. 112:

Ax- <p\f) £ + <p"(t)~ + ■ ■ • + ^Kt)~ + SP"⁺"(< + MO

zltr + i (r + 1)!

wird und entsprechende Formeln fiir dy und dz bestehen. Diese Werte von dx, dy, dz sind in (10) einzusetzen, wodurch sich rechts in (10) eine Entwicklung nach Potenzen von dt bis zur (r + l)ten ergibt. Die Bedingungen der Berührung in mindestens rtcr Ordnung sind dann diejenigen Gleichungen, die durch Nullsetzen der Koeffizienten von dt, dt², ... dtr hervorgehen.

Insbesondere ergibt sich für eine Berührung von mindestens erster Ordnung die Bedingung:

(in

Fx<p' + Fy% + Fz^' =

die schon erfüllt ist, weil wir voraussetzen, daß die Tangente des Kurvenpunktes M in der Tangentenebene des Flächenpunktes M liege. Soll die Berührung von mindestens zweiter Ordnung sein, so muß außerdem

(12) {

*>" + Fyl + *>" + Fxx<p'² + FyyZ* + F,N'² +

+ ² \Fyz%ty' + F'Xll>V + FxyVX) = 0

sein. Soll die Berührung von mindestens dritter Ordnung sein, so tritt noch die Bedingung hinzu:

■F,<p"'+F₉z'"+ Fy+ 3 (Fxx<pV + FyyTti'+ F>NV) + + 3 [Fyz (xV'+ t'x")+F„(l>'<p" + cp'ip")+FXy (<p'x"+ X,(p") J

(13)

+ Fxxx<p'*+ FyyyXZjr F„t1>’* + 6Fxy,<p'zY +

+ 3[Fw,z'V'+ FyzzX^'2jr F%tJ>*y' f Fzxxf'cp'² +

FFxxy<p'²XJr Fxyy<p'x'²) = 0.

267. Oskulierende Flächen bei einer Raumkurve.

Ist außer einer Kurve

nicht nur eine Fläche, sondern eine Flächenschar durch eine Gleichung

(1)

Fix, y, z, alf    an) = 0

gegeben, die n willkürliche Konstanten alf a₃, . . . an enthält, so können wir einen zu einem bestimmten Werte t gehörigen

366, 367]

nicht singulären Punkt M der Kurve ins Auge fassen und die Konstanten o₁, a₂, ... an so gewählt denken, daß die Koordinaten x, y, z dieses Punktes die Gleichung (1) erfüllen. Da nur eine Bedingung für die n Konstanten ist, werden n—1 Konstanten willkürlich bleiben. Verlangen wir, daß die Kurve in dem Punkte M von Flächen der Schar in erster Ordnung berührt werden soll, so tritt die Bedingung (11) der vorigen Nummer hinzu; fordern wir Berührung in zweiter Ordnung, so tritt noch die Bedingung (12) der vorigen Nummer hinzu, usw. Verlangen wir allgemein eine Berührung in rter Ordnung, so treten zu (1) noch r Bedingungen hinzu. Kann man r so groß wählen, daß durch alle r -j- 1 Bedingungen gerade alle n Konstanten ax, a₂, . . . an bestimmt werden, so gibt es gerade eine Fläche der Schar, die mit der Kurve an der Stelle M eine Berührung von der höchsten möglichen Ordnung eingeht. Diese Fläche der Flächenschar heißt die oskulierendc Fläche. Man darf im allgemeinen erwarten, daß r -f- 1 = n, also die höchste Ordnung der Berührung die (n — l)te sein wird.

(1)

268. Die Schmiegungsebene als Oskulationsebene.

Wir wenden dies auf den Fall an, wo die Flächenschar aus allen Ebenen besteht, fragen also nach derjenigen Ebene, die durch den Punkt M oder (x, y, z) der Kurve

(1)

x = <p(0, y = x(f), 2 =

geht und dort mit der Kurve eine Berührung von möglichst hoher Ordnung hat. Da die Ebene von drei wesentlichen Bestimmungsstücken abhängt, darf man erwarten, daß diese Ordnung die zweite sein wird. Das bestätigt die Rechnung:

Wenn wir alle Ebenen ins Auge fassen wollen, auch die durch den Anfangspunkt gehenden, müssen wir die Ebenengleichung mit vier willkürlichen Konstanten a₁₇ a₂, «₃, versehen :

(2)

<hl +    + azl + «4 = 0.

Dabei kommen aber für die Bestimmung der Ebene nur die drei Verhältnisse der Konstanten in Betracht. Wir verlangen zunächst, daß der Punkt (x, y, z) auf der Ebene liege:

(3)

a^x -j- a₂y -j- z -f- a^ = 0.

Wenn wir axx -f ci₂y -f a₃z + ax für F in die Gleichungen (11) und (12) von Nr. 266 einsetzen und cp, %, ip wie in (1) mit x, y, z bezeichnen, ergeben sich noch die beiden Bedingungen für eine Berührung in mindestens zweiter Ordnung:

(4) axx + a₂y +    = 0, axx" -+- a₃y" -}- a₃z" = 0.

Sie bestimmen die Verhältnisse der drei Konstanten ax, a₂, a₃, sobald nicht alle drei Größen

(5)

y'z" — z'y", z'x" — x'z", xy" — y’x"

gleich Null sind, und (3) gibt alsdann noch die Verhältnisse von zu ax, a₂, a₃. Elimination von ax, a₂, a₃, ax aus (2),

(3), (4) liefert die Gleichung der oskulierenden Ebene in den laufenden Koordinaten £, t), $ in der Form:

Ort

(6)

= 0.

Nach (9) in Nr. 264 ist die Normale dieser Ebene zur Bi-normale der Kurve parallel und die Ebene folglich die Schmiegungsebene.

Im allgemeinen wird sie die Kurve nicht in noch höherer als zweiter Ordnung berühren, denn es müßte sonst noch mindestens die Bedingung (13) in Nr. 266 erfüllt sein, die hier so lauten würde:

CO

axx" + a₂y" + a₃z" = 0.

Es gibt nur dann endliche und nicht sämtlich verschwindende Werte von ax, a₂, a₃, die den drei Gleichungen (4) und (7) genügen, wenn ihre Determinante gleich Null ist. Indem wir noch daran erinnern, daß die Werte (5) für einen regulären Kurvenpunkt nach Nr. 261 nicht sämtlich gleich Null sind, kommen wir zu dem

Satz 4: Ist der zu einem bestimmten Werte t gehörige Funkt einer Kurve nicht singulär und haben cp, %, in einer Umgebung von t bestimmte endliche Ableitungen bis zur dritten Ordnung, so geht

£68]

von allen Ebenen, die diesen Funkt enthalten, die Schmiegungsebene dort eine Berührung von höchster Ordnung mit der Kurve ein. Die Ordnung ist im allgemeinen gleich zwei; sie ist nur dann größer als zwei, wenn die Determinante

x'

rr    rr    rr

x y z

rr r

trr

rrr

an der betrachteten Stelle verschwindet.

269. Die Schmiegungsebene als Grrenzlage. Ferner

gilt der

Satz 5: Wenn der zu t gehörige Funkt M einer Kurve

0 = ir(f)

nicht singulär ist und cp, %, c\> in einer Umgebung von t bestimmte endliche Ableitungen bis zur dritten Ordnung haben, ist die Schmiegungsebene von M die Grenzlage der Ebene durch die Tangente von M und einen Kurvenpunkt Mx in der Umgebung von M für den Fall, wo Mx auf der Kurve nach M strebt.

Zum Beweise nehmen wir an, der Punkt Mx habe Koordinaten xx, yx, zx, die zu dem Werte t -f h gehören. Eine Ebene durch M, etwa die Ebene

«i (? — x) + «₂ (t) — y) + «₃ (ä - e) =■

enthält die Tangente von M, wenn

axx + a^y -j- a₃z' = 0

ist, und geht durch Mx, wenn

ax(xx -x)-\- a₂(yx — y) + a₃(zx — z) = 0 ist, so daß ihre Gleichung durch Determinantenbildung in der Form:

1-*

zx — z

Xx —X

hervorgeht. Hierbei ist nach Satz 19 von Nr. 112:

xx — x = cp(t -f- h) — <p(t) = hcp (t) -f \h²cp"(t + 0xh),

worin 0X einen positiven echten Bruch bedeutet. Entsprechende Werte gehen für yx — y und zx — z hervor. Subtrahieren wir

[268, 26»

von der letzten Zeile der Determinante das fe-fache der vorhergehenden und multiplizieren wir sie dann mit 2 : li², so wird cp"(t -f- dji) ihr erstes Glied. Nach Satz 1 von Nr. 27 ist aber cp" stetig, so daß dies Glied beim Grenziibergange limÄ = 0 gleich cp" (t) oder x" wird. Ebenso wird y" und z" das zweite bzw. dritte Glied der letzten Zeile. Wir gelangen folglich in der Tat zu der in Nr. 268 gefundenen Gleichung

(6) der Schmiegungsebene.

§ 4. Torsion einer llaumkurve.

Wie in

270. Die drei sphärischen Indikatrizen.

Nr. 260 benutzen wir, siehe Fig. 61, die Kugel mit dem Radius Eins, deren Mitte der Anfangspunkt 0 ist, und ziehen von ihrer Mitte 0 aus diejenigen drei Radien OM, OM, und 0M₂, die der positiven Tangente, Haupt- und Binormale des Punktes M der Raumkurve gleichsinnig parallel sind. Durchläuft

M einen Bogen MM' der Raumkurve, so durchlaufen M, M, und M₂ drei Bogen von gewissen Kurven auf der Kugel, von denen die erste nach Nr. 260 die sphärische Indikatrix der Tangenten heißt. Die beiden andern werden

Bn.

fr.........^

Fig. 61.

entsprechend die sphärischen Indikatrizen der Haupt- bzw. Binormalen genannt. Die drei zusammengehörigen Punkte M, M, und M₂ sind die Ecken eines gleichseitigen rechtwinkligen sphärischen Dreiecks.

Wir beschäftigen uns jetzt mit der sphärischen Indikatrix der Binormalen. Die Richtungskosinus X, p, v der positiven Binormale sind zugleich die Koordinaten des Punktes M₂ der Indikatrix der Binormalen. Wird bei der Raumkurve die Bodenlange s als unabhängige Veränderliche gewählt, so wird auch diese Indikatrix mittels der Hilfsveränderlichen s dargestellt, so daß die Ableitungen X', p, v' nach s zu den Richtungskosinus der Tangente dieser Indikatrix proportional sind.

Nun gelten nach Nr. 264 die Gleichungen:

»60, »70]

4² + y~ + v² = 1,

IX -f m\t -f- nv = 0, aX -f ßg -f yv = 0

von denen die erste, da l, m, n nach (8) in Nr. 261 zu a, ß', y proportional sind, durch

a X -f- ß' g -f- y'v — 0

ersetzt werden kann, so daß die zweite und dritte, nach s differenziert, mit Rücksicht hierauf ergehen:

aX’ -f ßg' + yv' = 0, XX' -f- gg -\- vv = 0, woraus nach (8) in Nr. 264 folgt:

(1)

X': g : v == l: m : n.

Die Tangente der Indikatrix der Binormalen in M₂ ist somit zur Hauptnormale von M und daher zu 0M₁ parallel.

Wir haben der Indikatrix der Tangenten in Nr. 260 denjenigen positiven Sinn beigelegt, in dem sie durchwandert wird, wenn M die Raumkurve im positiven Sinne durchläuft. Bei der Indikatrix der Binormalen dagegen werden wir den positiven Sinn davon abhängig machen, wie die Tangente der Indikatrix in M₂ zum zugehörigen Punkte M der Indikatrix der Tangenten liegt. Ein von 0 aus nach der Kugel blickender Beobachter sieht den Punkt M₂, wenn M auf der Raumkurve weiter wandert, eine Richtung senkrecht zum Bogen MM2 eines größten Kugelkreises einschlagen. Ist der Sinn dieser Bewegung von M₂ um M herum derselbe wie der positive Drehsinn der :rf/-Ebene, von der positiven £-A_chse aus betrachtet, so soll die Fortschreitung auf der Indikatrix der Binormalen positiv angenommen werden, sonst negativ. Diese Vorschrift werden wir später in den Formeln zum Ausdrucke bringen.

271. Torsion. Die Raumkurve werde von M nach M' im positiven Sinne durchlaufen, so daß ein positiver Bogen z/s zurückgelegt wird und die Koordinaten x, y, z von M um z1x, Dy, Dz wachsen. Der Bogen M₂M₂', den dabei der zugehörige Punkt der Indikatrix der Binormalen beschreibt, sei gleich z/t, gemessen mit demjenigen Vorzeichen, das der soeben angegebenen Vorschrift entspricht. Der Bruch Dt : Ds heißt dann die mittlere Torsion des Bogens MM' der Baumkurve.

Er hat, wie wir sehen werden, für limz/s = 0 einen Grenzwert dx: ds, den man die Torsion der Raumkurve an der Stelle M nennt.

Zum Nachweise des Grenzwertes verfahren wir wie in Nr. 260. Es ist:

Ar

Ax

As

Sehne M₂ M₂'

As Sehne M₂M./ Sehne MM' ’ Sehne MM'

An die Stelle von 6, a, ß, y in Nr. 260 treten hier r, A, y, v, während sonst alles beim alten bleibt, so daß sich entsprechend

(2) in Nr. 260 für die Torsion der Wert

(i)

dx _ yf* + u'* + V* ds ~~ Yx'z + y't-j-z'*

ergibt, sobald x, y, z nebst den Ableitungen x, y, z nach der Hilfsveränderlichen t und überdies A, y, v nebst den Ableitungen A', y, v nach t für den Punkt M stetig sind. Dies ist nach (9) in Nr. 264 der Pall, wenn M nicht singulär ist und die Ableitungen von x, y, z nach t bis zur dritten Ordnung an der betrachteten Stelle stetig sind. Die Quadratwurzel im Nenner von (1) ist positiv, dagegen die im Zähler positiv oder negativ, je nachdem die positive Richtung der Indikatrix der Binormalen in M₂ mit der Fortschreitungsrich-tung von M₂ nach M₂' übereinstimmt oder nicht. Wie man dies Vorzeichen analytisch bestimmt, wird jedoch erst in Nr. 273 erörtert werden.

Der reziproke Wert der Torsion heißt der Torsionsradius; wir wollen ihn mit T bezeichnen. Ist die unabhängige Veränderliche insbesondere die Bogenlänge s der Raumkurve, so wird x² -f- y'² -j- g* == 1 nach (4) in Nr. 257, so daß sich für die Torsion ergibt:

=V(ir+©!+(!f-

dx

(2)

T ds

Sie ist als eine Ableitung dx : ds nach s dargestellt. Das Differential dx heißt der Torsionswinkel; er ist zugleich das Bogenelement der sphärischen Indikatrix der Binormalen.

Wenn wir die Differentiation nach der Bogenlänge s durch Akzente bezeichnen, wird der Kosinus A nach (10) in Nr. 264 gleich R(y'z" — z'y"), also:

271]

F - B\y’z" - z'y ) + B(y'z" - z'y'").

Nach (1) in Nr. 270 sind X', y, v zu l, m, n proportional, so daß es eine Funktion cd von s derart gibt, daß nach (3) in Nr. 261:

(3)

X' = ox", y = coy", v — coz"

ist, woraus folgt:

ax" = B'(y'z' — z'y") + B{y z" — zy'").

Zyklische Vertauschung von x, y, z gibt noch zwei Gleichungen. Multiplizieren wir die drei Gleichungen mit x" bzw. y" bzw. z" und addieren sie dann, so geht wegen (4) in Nr. 261 und wegen l² -j- m² + n² = 1 hervor:

z'

(4)

(D =

-Bä

trt

nr

Weil X'² ff- y'² + v² nach (3) gleich a²(x"² -f- y"² + z"²), d. h. nach (4) in Nr. 261 gleich o²: B² ist, erhalten wir nach (2) für die Torsion den Wert:

(5)

dr

T ds

oder:

(6)

— B²

Hier ist das Minuszeichen gewählt worden; wir werden in der Tat in Nr. 273 zeigen, daß es nach den in Nr. 270 getroffenen Festsetzungen gewählt werden muß.

272. Die Frenetschen Formeln. Man nennt so diejenigen Formeln, die zeigen, wie sich die Ableitungen der Richtungkosinus der Tangente, Haupt- und Binormale nach der Bogenlänge s durch die Richtungskosinus selbst ausdrücken. Nach

(1) in Nr. 259 ist da : ds gleich d²x : ds², d. h. nach (4) in Nr. 261 gleich l : B. So kommt überhaupt:

d cc

ds B ’

ft.

Die in voriger Nummer gj genannte Größe ist nach, den dort ge-gefundenen Gleichungen (4) und (6) gleich B: T, so daß die Gleichungen (3) von Nr. 271 geben:

dl

ds ⁼ T ’

CO

ss.1 ss-

®0

Aus (8) in Nr. 264 folgen nach (1) und (2) sofort durch Differentiation die Werte der Ableitungen von l, m, n nach .s, ausgedrückt durch a, ß, y, X, y, v, B und T. Wegen (6) und (7) in Nr. 264 ergeben sie:

(3)

dl

l d m ds B T ⁷ ds B

T’

§ CO

'S 'S

y v ~B~T'

Da nach Nr. 260 der Kontingenzwinkel da = ds: B und nach Nr. 271 der Torsionsivinkel dt = ds: T ist, lassen sich die Frenetschen Formeln (1), (2) und (3) auch so schreiben:

dß

-f- = m,    -r- = n\

da    ’    d 6

(4)

da

d <s

dy

lO

SS-' SS-

SSj SS-

* 'S

m,

UV

dt

(6) dl = — ud<5—Xdr, dm = — ßdö—ydr, dn = — ydö—vdz.

273. Vorzeichen der Torsion. Um zu beweisen, daß das in der Formel (5) von Nr. 271 gewählte Vorzeichen der Torsion richtig ist, und zu sehen, wie es die Kurve kennzeichnet, wählen wir einen Kurvenpunkt M₀ als Anfangspunkt und sein begleitendes Dreikant als das Achsenkreuz, so daß für den Punkt M₀ insbesondere die Richtungskosinus a₀, m₀, v₀ gleich Eins, dagegen alle anderen Richtungskosinus gleich Null sind. Nach (1) in Nr. 259 und nach (4) in Nr. 261 ist dann, wenn der Akzent die Differentiation nach der Bogenlänge bedeutet, an der Stelle M₀:

Xq — 1,

Vo =

*o = ⁰

xo    Vo

Nach der Formel (6) von Nr. 271 ist ferner ebenda:

= ~ -ZW";

d. h.

K T₀

Sind nun für die Kurvenpunkte in einer Umgebung von M0 die Ableitungen von x, y, z bis zur dritten Ordnung stetige Funktionen der Bogenlänge s, so können wir x, y, z für eine

272, 27S]

hinreichend kleine positive oder negative Zunahme As der Bogenlänge von M₀ an nach Satz 19, Nr. 112, entwickeln. Es kommt:

(1) x = As-\----, y =

wobei die angegebenen ersten Glieder für hinreichend kleine Werte von \As\ nach Satz 22 von Nr. 115 für die Vorzeichen der rechten Seiten ausschlaggebend sind. Zt₀ ist nach Nr. 260 positiv. Die zweite Formel (1) lehrt daher, daß die Kurve in der Nähe von M₀ auf derjenigen Seite der Ebene durch die Tangente und Binormale < verläuft, auf der die positive Hauptnormale liegt. Ist die Torsion 1: T₀ von M₀ insbesondere negativ, so sind x und z für negatives As beide negativ, für positives As dagegen positiv. In M₀ durchsetzt also die Kurve die Schmiegungsebene von der negativen Seite her, sich aber doch ihr anschmiegend. Siehe Fig. 62, worin die Kurve mit c bezeichnet ist, während c' ihre Projektion in der Schmiegungsebene und c" ihre Projektion in der Ebene der Tangente und Binormale ist.¹) Die Kurve c" hat in M₀ einen Wendepunkt. Ein in M₀ auf der Schmiegungsebene stehender und nach der positiven Hauptnormale blickender Beobachter sieht also die Kurve von der negativen Seite der Schmiegungsebene nach der positiven Seite ansteigen. Die Kurve ist daher in M₀ rechts gewunden (wie eine gewöhnliche Schraube), vorausgesetzt, daß die Drehung von der positiven Tangente zur positiven Hauptnormale hin,

2Ä₀

Tg-

lila

Fig. 62.

(TP

1) Es dürfte nützlich sein, hier darauf hinzuweisen, daß wir uns die positive x-, y- und z-Achse besser nicht in der sonst oft vorkommenden Art orientiert denken, sondern so wie in der Fig. 62 die positive Tangente, Haupt- und Binormale. Nämlich nur bei dieser Orientierung liegt für jemanden, der die a;t/-Ebene von der positiven z-Achse her betrachtet, die positive i/-Achse gegenüber der positiven x-Achse so, wie man es in der analytischen Geometrie der Ebene fast stets anzunehmen gewöhnt ist.

von der positiven Binormale aus betrachtet, dem Sinne der Uhrzeigerdrehung entgegengesetzt ist.

Wir konstruieren nun die zu M₀ gehörigen Punkte M und M₂ der sphärischen Indikatrizen der Tangenten und Bi-normalen. M liegt, weil M₀ Anfangspunkt ist, auf der positiven Tangente und M₂ auf der positiven Biuormale von M₀. Nach (2) in Nr. 272 haben dl\ds, dg: ds und dv:ds für M₀ die Werte 0, 1: T₀, 0. Da diese drei Ableitungen zu den Richtungskosinus der positiven Tangente der Indikatrix in M₂ proportional sind und in den Vorzeichen mit ihnen übereinstimmen, und da wir 1 : T₀, negativ angenommen haben, besteht wirklich die in Nr. 270 getroffene Festsetzung.

Wir heben zum Schlüsse nochmals hervor: Rechtsgewundene Kurven haben negative Torsion, linksgewundene positive Torsion.

274. Allgemeiner Ausdruck der Torsion. Wird die Raumkurve mittels einer Hilfsveränderlichen t analytisch dargestellt, so ist nach (1) in Nr. 259, wenn die Akzente die Differentiation nach t andeuten:

dx x' d³x l ds s' ’ ds2 d³x __ ds³

Entsprechende Formeln gelten für die Ableitungen von y und z nach s. Die in (6), Nr. 271, auftretende Determinante, in der x, x", x" usw. die Ableitungen nach s bedeuteten, hat also den Wert:

(1)

s"

~ 7*x” ~7*x >

3 s"² — sV"

1 n, 3S" „

^äX ~ TTX +

S'⁶

X.

s'⁶

rrr

rrr

rrr

wo ober jetzt x, x", x" usw. die Ableitungen nach t bedeuten. Da ferner R den in Nr. 260 unter (7) angegebenen Wert hat, in dem s's im Zähler steht, ergibt sich aus (6) in Nr. 271 als allgemeiner Ausdruck der Torsion:

x y z'

(2) y = — x" y" z" \[(yz"—zy'y+(zx”—xzryA{xy'—yx'y\.

rrr rrr rrr

273, »74]

275. Kurven von der Torsion Null. Wählen wir x als unabhängige Veränderliche, so ist x = 1, x" = 0, x" — 0. Die letzte Formel zeigt also, daß die Torsion längs der ganzen Kurve gleich Null ist, sobald bei dieser Annahme die Differenz y" z" — z' y'", d. h. die Ableitung von z" : y" nach x gleich Null, daher z" : y" konstant, etwa gleich B, mithin z" — By" gleich Null ist. Dann aber ist z — By' konstant, etwa gleich A, also auch z — By' — A gleich Null, d. h. z — By — Ax ebenfalls konstant, mithin schließlich:

z — A x A By + G,

wo auch C eine Konstante bedeutet. Hier aber liegt die Gleichung einer Ebene vor, die Kurve ist demnach eben. Diese Schlußfolgerung versagt, wenn x längs der Kurve konstant ist; dann liegt die Kurve in einer Ebene x — konst.

Umgekehrt: Liegt eine Raumkurve in einer Ebene

Ax -f- By -f- Gz + D == 0,

so gibt die Differentiation nach der Hilfsveränderlichen t: Ax'ABy'A Gz = 0, Ax"+By"+Cz"= 0, Ax'"+Btf'+Cz”‘=0,

d. h. 1 : T — 0 nach der Formel (2) der letzten Nummer. Also:

Satz 6: Diejenigen Kurven, die überall die Torsion Null haben, sind die ebenen Kurven.

Dies sind die einzigen Kurven, bei denen alle Schmiegungsebenen dieselbe Stellung haben und also in eine Ebene, die der Kurve, zusammenfallen. Die nicht ebenen Kurven heißen auch Kurven doppelter Krümmung, indem man ihre Torsion als ihre zweite Krümmung bezeichnet.

Aus unseren Betrachtungen folgt noch ein rein analytisches Ergebnis: Die in der Formel (2) der vorigen Nummer auftretende Determinante ist hiernach dann und nur dann gleich Null, wenn zwischen x, y, z eine lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten besteht. Also allgemein:

Satz 7: Sind x, y, z drei Funktionen von einer Veränderlichen, so ist die Determinante aus den Ableitungen erster Ordnung x, y, z, aus den Ableitungen zweiter Ordnung x", y", z" und aus den Ableitungen dritter Ordnung x", y", z" nur dann gleich Null, wenn zwischen x, y, z eine lineare Gleichung

Ax + By -f- Gz -f D = 0 mit konstanten Koeffizienten A, B, C, I) besteht, von denen A, B, C nicht sämtlich gleich Null sind.

Diese Determinante wird uns im dritten Bande abermals begegnen. Dort soll ein rein analytischer Beweis für den Satz 7 gebracht werden.

276. Die Schmiegungskugel. Unter allen Kugeln, die durch einen Punkt M oder (x, y, z) einer Kurve gehen, wird es eine geben, die mit der Kurve in M eine Berührung von höchster Ordnung eingeht. Da die allgemeine Gleichung einer Kugel vier willkürliche Konstanten enthält, ist nach Nr. 267 zu erwarten, daß die höchste Ordnung der Berührung die dritte sein wird. Dies ist, wie wir sogleich sehen werden, in der Tat der Fall. Die oskulierende Kugel heißt die Schmieyungskugel des Punktes M der Raumkurve, ihr Radius der Schmiegungsradius.

Eine Kugel hat die Gleichung:

(s — ^)² + (b — f )² + (5 — U)² = SR²,

wenn öc, y, z die Koordinaten ihrer Mitte sind, 91 ihr Radius ist und £, L), § laufende Koordinaten bedeuten. Nach dem in Nr. 266 gegebenen Verfahren setzen wir als erste Bedingung an:

(1)

F ==■ (x — x)² + (y — y)² + (z — z)² — 91² = 0.

Die Gleichungen (11), (12) und (13) jener Nummer geben die drei übrigen Bedingungen für eine Berührung in mindestens dritter Ordnung:

(2) (x-x)x' + (y-y)y' -f (*—*)/ = 0,

{x—x)x + {y-y)yn + {z—z)z" + x² + y'² + z'² == 0,

{x—x)x"+ (y—y)y"'+ (z—z)z"'+ 3(x'x"+y'y"+z'z") = 0.

Benutzen wir die Bogenlänge s der Kurve als unabhängige Veränderliche, so ist x² + y² + z² = 1, also xx" -f- yy" + zz" = 0, so daß die beiden letzten Gleichungen die Form annehmen:

(3)

(x — x)x" + (y — y)y" + (z — z)z" = - 1,

(x — x)x" + (y — y)y" + (e — z)z" = 0.

Sobald für den betrachteten Kurvenpunkt M die Torsion 1 : T nicht verschwindet, ist die Determinante der drei in x — x, y—y, z — z linearen Gleichungen (2) und (3) nach (6) in Nr. 271 von Null verschieden und zwar gleich — 1 : TR², so daß sich 275, 276]

(4)

durch Auflösen dieser Gleichungen ergibt:

x — x = — TR²(yz" — zy") usw.

Nach (4) in Nr. 261 ist nun x"= l: R, daher x"= l': R — IR': R², also nach (3) in Nr. 272:

x" =

IR'

R² RI R² '

aus

Entsprechende Werte gehen für y"', zhervor, so daß sich

(4) mit Rücksicht auf (1) in Nr. 259, (8) und (6) in Nr. 264 die Koordinaten des Mittelpunktes der Schmiegungskugel ergeben*):

(5) x=x-flR—AR'T, y=y-\-mR—gR'T, z=z-fnR—vR'T. R' ist dabei die Ableitung von R nach der Bogenlänge. Nach

(1)    ist ferner das Quadrat des Radius 3t der Schmiegungskugel: W = (IR - XR'Tf + (mR - gR'T)² + (nR - vR'T)²,

woraus wegen der bekannten Beziehungen zwischen den Richtungskosinus l, m, n, und A, g, v durch Ausquadrieren folgt:

(6)

W = R² + R'²T².

Nach Nr. 263 geht die Krümmungsachse des Kurvenpunktes M durch den Krümmungsmittelpunkt, dessen Koordinaten x + IR, y -f mR, z + nR sind. Außerdem ist sie zur Bi-normale parallel, deren Richtungskosinus X, g, v sind. Nach

(5) liegt daher der Mittelpunkt der Schmiegungskugel auf der Krümmungsachse und zwar in der Entfernung — R'T vom Krümmungsmittelpunkte, wobei diese Entfernung positiv gerechnet wird, sobald die Richtung vom Krümmungsmittelpunkte zum Kugelmittelpunkte mit der positiven Richtung der Bi-normale übereinstimmt. Da der Krümmungsmittelpunkt vom Kurvenpunkte die Entfernung R hat, lehrt (6):

Satz 8: Der Krümmungskreis eines Kurvenpunktes ist der Kreis, in dem die Schmiegungsebene die Schmiegungskugel schneidet.

Wenn — was wir oben ausschlossen — die Torsion des Kurvenpunktes M gleich Null ist, versagen die Gleichungen

(2)    und (3) für die Berechnung von x x, y — y, z — z. Es ist leicht zu zeigen, daß dann die Schmiegungskugel in die Schmiegungsebene ausartet.

1) Wird x als unabhängige Veränderliche gewählt, so erkennt man leicht die Richtigkeit der Anmerkung zu S. 250.

§ 5. Einhüllende Flächen.

277. Ein Hilfsatz. Bei den folgenden Untersuchungen bedürfen wir eines auch sonst nützlichen einfachen Hilfsatzes, den wir hier ausdrücklich ableiten wollen, obgleich er sich leicht aus früheren Betrachtungen ergibt:

Es sei F eine Funktion von a und mehreren anderen Veränderlichen x, y, z, . . .. Wir geben der Veränderlichen a außer dem einen Werte a noch zwei andere Werte a + h und a -f Je und wollen die Wertsysteme x, y, z, . . . betrachten, die allen drei Gleichungen

(1) F(u,x,y,z,...) =0, F(cc+h,x,y,z,...) =0, F(a-{-lt,x,y,z,...)=0

genügen. Die Frage ist, was aus diesen Gleichungen wird, falls h und 1c nach Null streben. Es ist nicht richtig, diese Frage einfach dadurch zu beantworten, daß man geradezu h = 0 und h = 0 setzt, wobei dann nur die eine Gleichung F(a,x,y,z,...) = 0 übrig bliebe. Vielmehr soll der Grenzübergang gemacht, d. h. h und h sollen zwar nach Null streben, aber von Null und voneinander verschieden bleiben.

Wir nehmen an, daß a -f- h und a -f h in einer Umgebung von a liegen, innerhalb deren die Funktion F(u,x,y,z,...) nebst ihren partiellen Ableitungen nach a bis zur dritten Ordnung bestimmte endliche Werte hat. Nach Satz 19 von Nr. 112 läßt sich dann die zweite und dritte Gleichung (1) mit Rücksicht auf die erste so schreiben:

F\a) + \F" 0 + Qh)h = 0, F\a) + \F"(a + »k)k = 0,

wo 6 und & positive echte Brüche sind. Zur Vereinfachung der Schreibweise haben wir die Veränderlichen x, y, z,. . . nicht ausdrücklich angegeben; die Akzente deuten die partielle Differentiation nach a an. Hieraus folgt, daß die drei Gleichungen (1) durch folgende ersetzbar sind:

F(a) = 0, F\a) + \F'\u + 0h)h = 0,

F"{a + Oh)h - F"(a + »k)k = 0.

Weil nun nach der gemachten Voraussetzung die zweite Ableitung von F eine stetige Funktion von a ist, ergibt sich beim Grenzübergange lim h = 0 aus der zweiten Gleichung

277]

einfach F'(a) = 0, während die dritte beim Grenzübergange lim h = 0 und lim k = 0 die Gleichung F" (a) = 0 gibt, weil h beständig von k, d.Ji. a -f h beständig von cc A k verschieden bleibt. Also:

Satz 9: Ist F(a, x, y, z,.. .) eine Funktion, die nebst ihren partiellen Ableitungen nach a bis zur dritten Ordnung für die zu betrachtenden Wertsysteme x,y,z,... in einer Umgebung des Wertes a bestimmte endliche Werte hat, so geht das System der drei Gleichungen

F(u -f h, x, y, z,...) = 0,

F(cc + Je, x, y, z,...) = 0

beim Grenzübergange lim h = 0 und lim k = 0 in das System der drei Gleichungen

I (a, x, y, z,. ..) — 0,

dF(cc,x,y,z,..,)

I (k, x, y, z,...)    0,

da

n d*F{a,x,y,z,...) n -",    a«i =u

über, wenn cc, cc + h und a + k beim Grenzübergange beständig voneinander verschieden bleiben.

Wenn wir künftig drei verschiedene Werte a, cc -f- h, a -f k in der Grenze zu a übergehen lassen, wird stets stillschweigend vorausgesetzt, daß alle drei beständig voneinander verschieden bleiben.

(i)

278. Einhüllende einer Fläche. Nun liege eine Gleichung zwischen x, y, z und einer willkürlichen Konstante a vor: F( x, y, z, d) = 0,

die für jeden Wert von a innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches eine Fläche definiere, so daß also durch (1) eine Flächenschar gegeben wird. Die zu zwei verschiedenen Werten a und cc Ah der willkürlichen Konstante gehörigen Flächen der Schar, die wir kurz die Flächen (a) und (a + h) nennen, haben eine Schnittkurve, die durch die Gleichung (1) und die Gleichung

F(x, y,z,a A h) = 0

dargestellt wird. Ziehen wir von der zweiten Gleichung die erste ab und dividieren wir dann mit h, so ergibt sich für lim h = 0: Die Grenzlage der Schnittkurve einer bestimmten Fläche (cc) mit einer benachbarten Fläche der Schar genügt außer der Gleichung (1) noch der Gleichung:

dF(x, y, z, a)

(2)

Diese Grenzlage wird nach Monge die Charakteristik der Fläche (a) der Schar genannt. Vorausgesetzt wird, daß sich F und d F: d a für den angenommenen Wert von a hinsichtlich a stetig verhalten.

Auf jeder Fläche (a) der Schar liegt eine Charakteristik. Die Gesamtheit aller Charakteristiken wird im allgemeinen eine gewisse Fläche erfüllen, die aus einem sogleich einleuchtenden Grunde die Einhüllende der Flächenschar heißt. Die Gleichung dieser einhüllenden Fläche geht durch Elimination der willkürlichen Konstante a aus (1) und (2) hervor. Vgl. die entsprechenden Überlegungen für eine Kurvenschar in der Ebene in Nr. 210. Dem Satze 17 von Nr. 212 entspricht hier der

Satz 10: Die Einhüllende einer Flächenschar

F (x, y, z, a) = 0

berührt jede einzelne Fläche der Schar in allen Funkten der zugehörigen Charakteristik.

In der Tat, bedeutet M einen Punkt (x, y, z) der zu einem bestimmten Werte von a gehörigen Fläche (1), so ist:

(3)

Fx (£ — x) + Fy (l) — y) + Fs (j — z) = 0

die Gleichung seiner Tangentenebene in den laufenden Koordinaten £, ty, §• Nun bedeutet (1) auch die Gleichung der Einhüllenden, falls wir darin unter a die durch (2) definierte Funktion von x, y, z verstehen. Daher hat die Einhüllende, sobald M auch auf ihr liegt, in M die Tangentenebene:

(Fx+Faax) (jc—x) + {Fy+FacctJ) (l)—y) + (F$ + Faaj) (j— z) = 0.

Da aber für die Funktion a von x, y, z die Gleichung (2) gilt, ist Fa = 0, so daß die letzte Gleichung in der Tat mit

(3) übereinstimmt.

279. Gratlinie der Einhüllenden. Wir betrachten jetzt die zu drei verschiedenen Werten a, a + h und a -f k gehörigen Flächen (a), (a -f- h) und (cc -f- k) der Schar:

(1)

F{x, y, z, a) = 0.

Ist (oc, y, z) ein gemeinsamer Punkt von allen dreien, so genügen seine Koordinaten nacli Satz 9 von Nr. 277 für den Fall, daß h und Je zur Grenze Null streben, den drei Gleichungen:

(2)    F(x,y,e,a)-0,    o,

d²F(x, y, g,a)

da²

= 0,

falls die Funktion F von a nebst ihren ersten drei Ableitungen nach a bestimmte endliche Werte hat. Wir haben also drei Bedingungen (2) für den GrenzpunJct, d. b. für den Schnittpunkt dreier benachbarter Flächen der Schar für den Fall erhalten, wo die drei Flächen immer näher aneinander rücken. Gibt es einen Punkt (x, y, z), der den drei Gleichungen (2) für den gewählten Wert von a genügt, so liegt er auf der Charakteristik der zugehörigen Fläche (a), da die beiden ersten Gleichungen (2) mit den Gleichungen (1) und (2) der vorigen Nummer übereinstimmen. Weil nun die Charakteristik der Fläche (a) die Grenzlage ihrer Schnittlinie mit der Fläche (a + Ji) ist und weil die Fläche («-f Ji) mit der Fläche (a -f Je) beim Grenzübergange ebenfalls eine Charakteristik gemein hat, ist der Grenzpunkt auch die Grenzlage eines SchnittpunJetcs zweier benachbarter Charakteristiken.

Wenn die drei Gleichungen (2) für beliebige Werte von a nach x, y, z auflösbar sind, werden x, y, z Funktionen von a. Fassen wir dann a als Hilfsveränderliche auf’ so ist eine analytische Darstellung einer Kurve gewonnen, nämlich des Ortes aller Grenzpunkte aller Charakteristiken. Diese Kurve heißt die Gratlinie oder BücJeJeehrJeurve der Einhüllenden, weil die Einhüllende, der ja die Gratlinie angehört, längs ihrer eine scharfe Kante aufweist, was wir in der Folge wenigstens in einem besonderen Falle (in Nr. 283) zeigen wollen.

280. Berührung zwischen der Grratlinie und den Charakteristiken. Es sei M oder (x,y,z) ein Grenzpunkt, der auf der Charakteristik einer bestimmten Fläche F(x, y, z,a) = 0 der angenommenen Flächenschar liegt.

Diese Charakteristik selbst hat die beiden Gleichungen F=0 und Fa = 0. Nach (2) in Nr. 254 ist daher die Tangente der Charakteristik in M in den laufenden Koordinaten £, x), § gegeben durch die beiden Gleichungen:

fx (s ~ x) + Fy 0) ~~ v) + fs (§—8) = o,

Fax (%~X) + Ft'ay (t) — y) + Fax (b — z) = 0.

Wenn wir dagegen in JF = 0 und Fa = 0 unter a die durch Faa = 0 definierte Funktion von x, y, z verstehen, stellen die Gleichungen F = 0, Fa = 0 die Gratlinie dar, die folglich in M die Tangente mit den beiden Gleichungen (■Fx+Fa ccx) (£ -—x) + {Fy + Fa up) (ty—y) -f (F₂-fFa a₂) (g—z) = 0, (Fax-\~Faaux) (l—x) + (Fay+Faceay)(ty—y) -f- (Fm+Ftaaccz) (%—z) = 0 hat. Da aber für die Gratlinie Fa = 0 und Faa = 0 ist, sind dies dieselben Gleichungen wie die der Tangente der Charakteristik. Also folgt:

Satz 11: Die Gratlinie der Einhüllenden einer Flächenschar F(x, y, z, a) = 0 berührt in jedem Grenzpunkte die zugehörige Charakteristik.

Bei den allgemeinen Betrachtungen der letzten drei Nummern muß man beachten, daß über die Funktion F und über

die durch F= 0, Fa = 0 und Ft

= 0 implizite definierten Funktionen besondere Annahmen gemacht wurden, deren Richtigkeit bei jeder Anwendung zu prüfen ist.

281. Tangentenilächen. Insbesondere sei jetzt als die Flächenschar F = 0 eine Schar von Ebenen gegeben, d. h. eine in x, y, z lineare Gleichung

(1)

u(a)x + v(a)y + w(u)z + o(«) = 0,

deren Koeffizienten u, v, w, co Funktionen einer willkürlichen Größe a sind. Differentiation nach a liefert:

(2)

(3)

ux -j- v y + wz -f co' =0, u"x -f v"y -f- w"z -j- co" = 0.

Die Gleichungen (1) und (2) geben für einen beliebigen Wert von a eine zugehörige Charakteristik, und zwar eine Gerade, sobald nicht die drei zweireihigen Determinanten vw’ — wv, wu—uw, uv' — vu sämtlich gleich Null sind. Alle drei Gleichungen geben einen auf der zugehörigen Charakteristik gelegenen Grenzpunkt, falls die Determinante »80, »81] (4)

nicht verschwindet. Alsdann sind auch die soeben erwähnten zweireihigen Determinanten nicht alle drei gleich Null. Die Charakteristiken sind nach Satz 11 der vorigen Nummer die Tangenten der Gratlinie. Die Einhüllende ist folglich die Fläche der Tangenten der Gratlinie. Sie heißt die Tangenten fläche der Gratlinie. Jede Ebene (1) berührt sie längs einer Geraden, nämlich längs der zugehörigen Charakteristik.

Verstehen wir unter x, y, z diejenigen Funktionen von a, die durch die Auflösung der Gleichungen (1), (2), (3) hervorgehen, also die Koordinaten der Punkte der Gratlinie, ausgedrückt durch die Hilfsveränderliche a, so muß die vollständige Differentiation jener Gleichungen nach a Null liefern. Diese Differentiation der Gleichungen (1) und (2) gibt mit Rücksicht auf (2) und (3):

(5)

ux + vy + wz = 0, ux + vy + wz = 0.

Die erste dieser beiden Gleichungen wiederum liefert, abermals vollständig nach a differenziert, mit Rücksicht auf die zweite:

(6)

ux" + vy" -f wz" = 0.

Nach der ersten Gleichung (5) und nach (6) sind u, v, w proportional zu y'z" — zy" usw., d. h. nach (9) in Nr. 264 proportional zu den Richtungskosinus der Binormale der Gratlinie. Die Gleichung (1) stellt daher für jeden bestimmten Wert von cc die Schmiegungsebene der zugehörigen Stelle der Gratlinie in den laufenden Koordinaten x, y, z dar.

Gehen wir umgekehrt von einer Raumkurve aus und betrachten wir die Schar ihrer Schmiegungsebenen als die gegebene Ebenenschar, so folgt aus Satz 5 von Nr. 269 und kann auch leicht aufs neue bewiesen werden, daß die Charakteristiken die Tangenten der Raumkurve sind.

Ist die Determinante (4) für alle Werte von a gleich Null, so heißt dies: Drei Funktionen von a, deren Ableitungen u, v, w sind, haben die in Satz 7, Nr. 275, angegebene Eigenschaft, so daß zwischen ihnen eine lineare Gleichung mit

[281

konstanten Koeffizienten besteht, aus der durch Differentiation nach a eine Gleichung

A u    B v ~\- (J w = 0

folgt, in der A, B, G nicht sämtlich verschwindende Konstanten sind. Weil aber u, v, w zu den Richtungskosinus der Normale der Ebene (1) proportional sind, bedeutet dies, daß dann alle Ebenen der gegebenen Schar dieselbe Richtung enthalten, nämlich diejenige, deren Kosinus zu A, B, G proportional sind. Eine derartige Ebenenschar umhüllt einen Zylinder, dessen Mantellinien jene feste Richtung haben und die Charakteristiken vorstellen. Eine Gratlinie ist dann nicht mehr vorhanden.

Die Auflösung der Gleichungen (1), (2), (3) nach x, y, z kann übrigens unter Umständen für x, y, z von a freie, also konstante Werte ergeben. Dann gehen alle Ebenen (1) durch einen und denselben festen Punkt; sie umhüllen einen Kegel, der diesen Punkt zur Spitze hat, und die Mantellinien des Kegels sind die Charakteristiken. Statt der Gratlinie tritt jetzt ein Punkt, die Kegelspitze, auf. Wenn dagegen alle Ebenen (1) eine feste Gerade enthalten, liegt ein Ebenenbüschel vor, und der Kegel artet in die Gerade aus.

Satz 12: Die Ebenen einer Schar

u(a)x + v(u)y iv{a)z ff- a>(a) = 0,

die nicht sämtlich einen Funkt gemein haben und auch nicht sämtlich eine feste Dichtung enthalten, umhüllen die Tangentenfläche einer Kurve und sind die Schmiegungsebenen der Kurve. Die Kurve selbst ist die Gratlinie der Tangentenfläche.

282. Die Tangentenflächen als abwickelbare Flächen. Die Koordinaten der Punkte M oder (x, y, z) einer Kurve seien als Funktionen der Bogenlänge s gegeben:

(1)

s = 9>(»; y = Xiß), e — f(s).

Ferner sei Mx derjenige Punkt auf der Tangente von M, der von M eine gewisse Entfernung t hat, wobei t = MMX positiv im Sinne der positiven Tangente gerechnet werden soll. Da cc = x, ß = y, y — z die Richtungskosinus der positiven Tangente sind, hat Mx die Koordinaten:

(2)

xx = x + x't, yx = y + yt, zx = z -f zt,

wobei der Akzent die Differentiation nach der Bogenlänge s andeutet. Die Formeln (2) geben, wenn man außer s auch t veränderlich läßt, die Koordinaten aller Punkte der Tangentenfläche der Kurve (1), ausgedrückt mittels zweier Hilfsveränderlichen s und t. Dies ist ein Beispiel zu der am Schlüsse von Nr. 251 erwähnten Darstellung (6) einer Fläche. Ferner sei B der Krümmungsradius der Kurve (1); er ist eine gewisse Funktion von s. Wir betrachten außer M noch einen benachbarten Punkt M' der Kurve (1), etwa den zu s -f Hs gehörigen; die Tangenten von M und M' bilden miteinander einen gewissen Winkel, auch wenn sie einander gar nicht treffen. Der Grenzwert des Verhältnisses aus diesem Winkel und aus

Hs ist für lim Hs = 0 nach Nr. 260 die Krümmung 1 : B.

Außer der Raumkurve (1) wollen wir jetzt eine Kurve in einer jt)-Ebene betrachten, bei der s ebenfalls die Bogenlänge bedeute:

(3)

£ - ®00, t) - V{s), und wir wollen voraussetzen, daß der Krümmungsradius B dieser ebenen Kurve genau dieselbe Funktion der Bogenlänge s sei wie bei der Baumkurve (1).

Nun können wir jedem Punkte M von (1) einen Punkt 9JI von (3) zuordnen, nämlich denjenigen, der zu demselben Werte von s gehört. Die Kurven (1) und (3) haben in entsprechenden Punkten M und 9)t die gleiche Bogenlänge und die gleiche Krümmung. Wie bei der Raumkurve ziehen wir auch bei der ebenen Kurve (3) die Tangente des Punktes und tragen auf ihr, mit gehöriger Beachtung des Vorzeichens, von aus die Strecke t ab, wodurch wir zu einem Punkte der Jb-Ebene gelangen, dessen Koordinaten sind:

(4)

h = £ + S'G = 9 + tft-

Der Akzent deutet wieder die Differentiation nach der Bogenlänge s an. Zu jedem bestimmten Wertepaare s, t gehört also sowohl ein Funkt Mx der Tangentenfläche der Baumkurve als auch ein zugeordneter Funkt 9)^ der Ebene.

Lassen wir auch bei der ebenen Kurve (3) die Bogenlänge s um Hs wachsen, wodurch wir zu demjenigen Punkte 9J£' gelangen, der dem Punkte M' zugeordnet ist, so bilden

die Tangenten von ÜJJ2: und ÜDF einen gewissen Winkel miteinander. Der Grenzwert des Verhältnisses aus ihm und aus z/s für lim z/s = 0 wird die Krümmung 1: R, die nach Annahme in ÜÜi dieselbe wie in M ist.

Hieraus folgt: Der Streifen der Tangentenfläche der Raumkurve (1), der zwischen den zu M und M' gehörigen Tangenten liegt, und der zugehörige Streifen der -Ebene zwischen den Tangenten von und 2JT werden zwar, je kleiner |z/s| gewählt wird, immer schmaler, aber um so genauer lassen sich beide Streifen in entsprechenden Punkten M, M', M₁ und 9K, ÜDV, 9)^ miteinander zur Deckung bringen. Dies meint man, wenn man sagt: Die Tangenten fläche der Raumkurve (1) ist auf die Ebene abwickelbar.

3ft”'

W“

JJt”

201

Fig. 63.

Fig. 64.

Eiue Vorstellung von dieser Abwicklung kann man sich dadurch machen, daß man die Raumkurve (1) zunächst durch ein räumliches Vieleck MM'M" . . . und die Tangenten der Raumkurve durch die beliebig weit verlängerten Seiten MM', M M", . . . des Vielecks ersetzt, siehe Fig. 63. Statt der Tangentenfläche tritt dann eine Reihe von ebenen Winkelfeldern auf, und zwar steht jedem solchen Winkelfelde das Feld des Scheitelwinkels gegenüber, so daß sich zwei Mäntel der Fläche ergeben. Da dies Modell aus lauter aneinander grenzenden ebenen Stücken besteht, läßt es sich auf die Ebene ausbreiten, siehe Fig. 64, wobei aus dem räumlichen Vieleck MM' M"... ein ebenes Vieleck    9J2" . . . hervorgeht. Je mehr sich das

2S3J

Vieleck MM' M"... einer Raumkurve nähert, um so deutlicher wird die Vorstellung von der Abwicklung der Tangenten fläche einer Raumkurve.

Die Tangentenfläche einer Raumkurve läßt sich also auf die Ebene so ausbreiten, daß dabei die Längen von Linien auf der Fläche keine Veränderung erfahren. Man erkennt auch, daß die beiden Mäntel der Tangentenfläche, von denen der eine die positiven, der andere die negativen Tangenten enthält und die längs der Raumkurve ineinander übergehen, bei der Abwicklung aufeinander fallen, da die Tangenten der ebenen Kurve in der Nähe ihrer Berührungspunkte auf der konvexen Seite der Kurve liegen.

283. G-ratlinie einer Tangentenfläche. Die beiden Mäntel der Tangentenfläche einer Raumkurve, auf denen die positiven bzw. negativen Tangenten liegen, treffen einander längs der Kurve, der Gratlinie. Wir wollen zeigen, daß sie längs ihrer einen scharfen Grat miteinander bilden (wie schon am Schlüsse von Nr. 279 angedeutet wurde). Zu diesem Zwecke wählen wir das begleitende Dreikant eines Punktes M0 der Raumkurve als Achsenkreuz, so daß nach (1) in Nr. 273:

6E₀T₀z/s3 + "'

x = 4sy = gjj- 4s* -f • • •

die Koordinaten eines zu M₀ benachbarten Punktes M der Kurve sind, wenn \4s\ hinlänglich klein gewählt wird. Für die Richtungskosinus der Tangente von M ergibt sich leicht:

so

daß nach (2) in voriger Nummer

xi = 4s -f- • • • + £(1 + •••)>

~ 4s² + • • • + t(jjr 4s + • • •),

¥B₀T₀ As* ⁺ ' ' ‘ ⁺ *('

Vi =

2B₀T₀    ^ J

die Koordinaten eines Punktes Mx der Tangentenfläche sind. Wir wollen den Schnitt der Tangentenfläche mit der Normalebene von M₀ betrachten, d. h. mit der yz-Ebene, demnach t so wählen, daß ^ = 0 wird. Ist \4s\ hinlänglich klein, so nehmen wir daher für t einen Wert von der Form — 4s + • • •, wo

30

Serret-Sclieffers, Diff.- u. Intogr.-ftechn. I. 6. u. 7. Aufl.

[»83, 383

~*R₀

die durch Funkte angedeuteten Glieder höhere Potenzen von zls enthalten. Setzen wir eine derartige Entwicklung für t in die Werte von yx und zt ein, so kommt:

i-4s*+ ••

3B₀T₀^S" ⁺ '"-

Daher ist der Anfangspunkt M₀ eine Spitze (Rückkehrpunkt) der Schnittlinie der Tangentenfläche mit der Normalebene von M₀, vgl. Nr. 184 und Nr. 190. Seine Tangente ist die ?/-Achse, d. h. die Hauptnormale von M₀.

Die beiden Mäntel der Tangentenfläche bilden also in der Tat längs der Raumkurve einen scharfen Grat miteinander.

§ 6. Polarfläche, Evoluten und Evolventen.

284. Polarfläche. Die Einhüllende der Normalebenen

(1) der Punkte (%, y, z) einer Kurve heißt die Polarfläche der Kurve. Zweimalige Differentiation von (1) nach der Bogenlänge s gibt nach Nr. 272 mit Rücksicht auf (1):

(2)

Kl — %) + m(i) — y) + n(i — e) = R,

Ki - x) +    - y) + »(s - *) — — T da a² -f- ß² -f y² = 1 und la -f- mß + ny = 0 ist. Alle drei Gleichungen (1) und (2) definieren zusammen die Punkte (g, t), g) der Gratlinie der Polarfläche, die Gleichung (1) und die erste Gleichung (2) dagegen die Charakteristiken der Polarfläche. Man ersieht aus Nr. 263, daß die Charakteristiken die Krümmungsachsen der gegebenen Kurve sind, und nach (5) in Nr. 276, daß die Gratlinie der Polar fläche der Ort der Mittelpunkt der Schmiegungskugeln ist. Nach Nr. 281 sind also die Krümmungsachsen die Tangenten des Ortes der Mittelpunkte des Schmiegungskugeln.

285. G-ratlinie der PolarfLäche. Die Koordinaten der Punkte der Gratlinie der Polarfläche, d. h. diejenigen Werte von g, t) und g, die den Gleichungen (1) und (2) der letzten »83, »84, »85]

mithin l : m :n = 1: m : n, d. h. die Hauptnormale der Grat-linie der Polarfläche ist zur Hauptnormale der Urkurve parallel, natürlich an entsprechenden Stellen beider Kurven. Die Pi-normale der Gratlinie ist folglich zur Tangente der Urkurve parallel.

286. Krümmung und Torsion der G-ratlinie der Polarfläche. Aus den letzten Formeln folgt durch Quadrieren und Addieren, daß ds²: R² = ds²:T² wird. Da R nach Nr. 260 stets positiv ist, kommt also:

ds’

Nummer genügen, mögen wie in Nr. 276 x, y und z heißen. Dann ist wie in (5) ebenda:

(1) x=x-\-lR—XR'T, y=y-\-mR—pR’ T, z=z-\-nR—vR'T. Dies also sind die Gleichungen der Gratlinie der Polarfläche, ausgedrückt mittels der Bogenlänge s der Urkurve, wobei R' = dR : ds ist. Differentiation hinsichtlich s gibt nach Nr. 272:

(2)

dx

ds

, (R dR'T\ = -+ 1,

und entsprechende Formeln gehen für dy : ds und dz : ds hervor. Da die Tangenten der Gratlinie, d. h. die Krümmungsachsen der Urkurve, zu den Binormalen der Urkurve parallel sind, gehen wir ihnen und damit auch der Gratlinie denselben positiven Sinn wie diesen Binormalen. Dann sind nach (1) in Nr. 259 dx :ds = X, dy : ds = p, dz : ds = v die Richtungskosinus cc, ß, y der Tangente der Gratlinie, wenn ds das Bogendifferential der Gratlinie bedeutet, so daß aus (2) folgt:

dR'T ■> ds

(3)

ds

Außerdem ist:

ds

(4)

a = X,

■03

y = v.

= fD

Ferner seien l ,m,n die Richtungskosinus der positiven Hauptnormale der Gratlinie, und außerdem sei R der Krümmungsradius der Gratlinie. Da da = dX usw. ist, folgt aus Nr. 272:

(5)

ds —

~T

ds,

m    ₇_    in    ₇

CCS    =    r.,    CC S y

R    T

i§

ds = ~ ds,

(1)

Sind dö und dt der Kontingenz- und der Torsionswinkel der Urkurve, dä und dt die der Gratlinie der Polarfläche, so folgt hieraus nach den Formeln (2) von Nr. 260 und 271:

(5)

wobei a = + 1 oder — 1 und zwar so zu wählen ist, daß dieser Ausdruck positiv wird. Aus (5) in Nr. 285 folgt nun:

m = am, n = an.

aus (4) in voriger Nummer ergeben sieb hieraus die Richtungskosinus der positiven Binormale der Gratlinie. Wegen (7) in Nr. 264 kommt:

X = — aa, g = — aß, v — — ay.

Durch Differentiation folgt mit Hilfe von (2) und (1) in Nr. 272, wenn 1 : T die Torsion der Gratlinie bedeutet:

(2)

l = al

Nach (6) in Nr. 264 und

(3)

«i; —i

ds = — a -p ds usw.,

nach (2) also auch T = — Rds : ds, so daß sich mit Rücksicht auf (1) ergibt:

(4)

ds

ds ds ds

r’ b=£^'

dö = — dt, dö — adt.

Die Formel (3) der vorigen Nummer läßt sich mitbin auch so schreiben:

(6)

ds = —

a(Rdö ₊ dd*).

287. Sphärische Kurven. Eine Kurve, die auf einer Kugel liegt, heißt sphärisch. Die Kugel ist für alle Punkte der Kurve die Schmiegungskugel. Statt der Gratlinie der Polarfläche tritt also nur der Mittelpunkt der Kugel auf. Die Polarfläche ist folglich ein Kegel, dessen Spitze in der Kugelmitte liegt.

Umgekehrt: Ist der Radius 91 der Schmiegungskugel einer Raumkurve konstant, so ist K +    nach (6) in Nr. 276

konstant, so daß durch Differentiation nach s folgt:

(1)

R\R + ITT² + R' TT') = 0.

Sehen wir von dem Falle ab, wo die Krümmung konstant ist,

»86, »87]

nehmen wir also R' =}= 0 an, so ds — 0 wird, und (2) in Nr. 285, daß auch x = konst. wird. Ebenso ergeben sich für y und z konstante Werte. Dabei ist jedoch vorausgesetzt, daß 1 : T =J= 0 sei, weil sonst die Formeln (1) in Nr. 285, aus denen die soeben benutzten Formeln folgen, nicht brauchbar sind. Es wird also von den ebenen Kurven abgesehen (vgl. Nr. 275 und Schluß von Nr. 276). Demnach gilt der

lehrt (3) in Nr. 285, daß

Satz 13: Eine Kurve, die nicht eben ist und deren Krümmung nicht konstant ist, ist dann und nur dann sphärisch, ivenn der Radius ihrer Schmiegungskugel konstant ist.

288.    Kurven konstanter Krümmung. Hat eine Kurve konstante Krümmung, so ist für sie R' = 0. Nach (1) in Nr. 285 fällt also für jeden Punkt der Kurve der Mittelpunkt des Krümmungskreises mit dem Mittelpunkte der Schmiegungskugel zusammen, vorausgesetzt, daß 1 : T 4= 0, die Kurve also nicht eben ist (vgl. Nr. 275). Die ebenen Kurven konstanter Krümmung sind übrigens nach Satz 12 von Nr. 196 die Geraden und Kreise und gehören zu den sphärischen Kurven. Im Falle R' = 0 wird ferner ds = — Rds : T, nach (3) in Nr. 285, daher nach (1) in Nr. 286 auch R = — eR, weshalb dann s = — 1 wegen R > 0 sein muß. Also folgt:

Satz 14: Die Mittelpunkte der Schmiegungskugeln einer nicht ebenen Kurve fallen dann und nur dann mit den Mittelpunkten der Krümmungskreise derselben Stellen zusammen, wenn die Kurve konstante Krümmung hat. Alsdann ist der Ort dieser Mittelpunkte, also die Gratlinie der Polarfläche, eine Kurve von derselben konstanten Krümmung.

289.    Polarfläche einer ebenen Kurve. Eine ebene Kurve hat an jeder Stelle ihre Ebene zur Schmiegungsebene. Diejenigen Geraden also, die wir in Nr. 169 als die Normalen definierten, sind ihre Hauptnormalen zu nennen, sobald wir die ebene Kurve als eine Kurve im Raume betrachten. Die Geraden, die in den Punkten der Kurve auf der Ebene der Kurve senkrecht stehen, bedeuten die Binor-malen. Nach Satz 13 von Nr. 198 und nach Nr. 199 sind folglich die Krümmungsachsen diejenigen Geraden, die in den Punkten der Evolute auf der Ebene der Kurve senkrecht stehen,

[«87, 388, 389

d. h. die Polar fläche ist der Zylinder, dessen senkrechter Querschnitt die Evolute ist. Die Polarfläche hat, weil sie in einen Zylinder ausartet, keine Gratlinie, vgl. Nr. 281.

290. Planevolventen. Ist eine Kurve im Raume gegeben, so kann man sich fragen, ob sie die Gratlinie der Polarfläche einer andern Kurve sein kann. Nach der Definition in Nr. 284 hat man zu fordern, daß die Schmiegungsebenen der gegebenen Kurve die Normalebenen der gesuchten Kurve werden, d. h. die gesuchten Kurven sind die orthogonalen Trajektorien der Schmiegungsebenen der gegebenen Kurve. Man nennt sie die Planevolventen der gegebenen Kurve, diese selbst die zugehörige Planevolute. Die Gratlinie der Polarfläche einer Kurve ist also die Planevolute der Kurve.

Die Bestimmung der Planevolventen einer gegebenen Kurve kann in folgender Weise durchgeführt werden: Wir wollen bei der gegebenen Kurve die gebräuchlichen Bezeichnungen x, y, z\ a, ß, y- l, m, n\ A, g, v und R für die Koordinaten, die Richtungskosinus der Kanten des begleitenden Dreikants und den Krümmungsradius benutzen. Dagegen seien |, rj, £ die Koordinaten des in der Schmiegungsebene des Punktes M oder (x, y, z) gelegenen Punktes der gesuchten Planevolvente. Zunächst muß sein:

A(£ — x) + g(rj — y) + v(g — e) = 0.

Die Größen

X=a(g—x) + ß(rj—y) + y(£—e), Y=l(%—x) + m{f]—y)+n(Z—s)

sind die Koordinaten des Punktes (£, rj, £) in demjenigen Achsenkreuze, das in der Schmiegungsebene von der positiven Tangente und Hauptnormale von M gebildet wird. Die Auflösung aller drei Gleichungen gibt nach Nr. 264:

(1) §=#+«X-f l Y, rj=y-\-ß X-\-mYf t>=z-\-yX-\-nY.

Da die Planevolvente die Schmiegungsebene senkrecht schneiden soll, handelt es sich nun darum, die Funktionen X und Y so zu bestimmen, daß

(2)

adh, -f- ßdrj -j- yd£ = 0, ld% -f- mdg -f ndt, = 0

wird. Aus (1) aber folgt nach (1) in Nr. 259 und nach (4) und (3) in Nr. 272, wenn wir die Bogenlänge <3 der sphärischen

289, 290] ludikatrix der Tangenten der gegebenen Kurve als unabhängige Veränderliche benutzen, so daß ds = Rd<3 ist:

*|-(B-r+*f)« ₊ (x + £)j-f rx,

und entsprechende Werte gehen für die Ableitungen von v\ und £ hervor. Die Forderungen (2) geben also mit Rücksicht auf die Gleichungen in Nr. 264:

(3)

R-Y +

dX

dß

= 0, X +

aJ

= 0.

Diese Bedingungen werden einfacher, wenn wir statt X und Y die Größen

£ = — X cos 6 + Y sin 6, t) = — X sm <? — Y cos <3 als die zu berechnenden Funktionen von a einführen, also:

X = — £ cos <3 — b sin Y = £ sin <3 — cos (3 setzen, da sie dann übergehen in:

= R cos <3,

(4)

(5)

a. a.

= R sin (3.

Betrachten wir nunmehr eine ebene Kurve in einer £t)-Ebene, bei der 6 den Tangentenwinkel und R den Krümmungsradius bedeutet, so bestehen bei ihr nach (4) und (6) in Nr. 213 dieselben Gleichungen (5). Die Aufgabe, die Planevolventen einer Raumkurve zu bestimmen, bei der der Krümmungsradius R eine bekannte Funktion der Bogenlänge <3 der sphärischen Indikatrix der Tangenten ist, kommt also auf die Aufgabe zurück, diejenigen ebenen Kurven zu bestimmen, bei denen der Krümmungsradius als Funktion des Tangentenwinkels gegeben ist. Hat man diese Aufgabe erledigt, so sind X und Y nach (4), also auch |, rj, £ nach (1) gefunden. Es kommt:

(6)    | = x — cos <3 -j- t) sin ö) -f- l(jc sin <3 — b cos <?),

und entsprechende Werte gehen für r\ und £ hervor.

291. Filarevolventen. Diejenigen Kurven, die alle Tangenten einer Raumkurve senkrecht schneiden, also die orthogonalen Trajektorien der Tangenten, heißen die Filarevolventen der gegebenen Kurve, die selbst eine zugehörige Filarevolute

[390, 301

genannt wird. Nach Satz 14 von Nr. 200 sind diejenigen Kurven, die wir damals schlechtweg als Evolventen und Evoluten bezeichnten, Filarevolventen und -evoluten ebener Kurven.

Wir wollen die Elemente einer gegebenen Kurve in der gebräuchlichen Weise bezeichnen. Alsdann seien X, Y, Z die Koordinaten desjenigen Punktes P einer Filarevolvente, der auf der Tangente des Punktes M oder (x, y, z) der gegebenen Kurve liegt. Ist MP = t, positiv gerechnet im Sinne der positiven Tangente, so kommt:

Y = y + ßt, Z = z p yt.

X — x - at,

Um die Filarevolventen zu linden, hat man t so als Funktion der Bogenlänge s der gegebenen Kurve zu bestimmen, daß

udX + ßdY+ydZ = 0

wird. Nach den Frenetschen Formeln in Nr. 272 lautet diese Bedingung:

a{a + ^ + at) + ß (ß + ft * + ßt') + y (y + ^t + y *') = o,

wenn t' die Ableitung von t nach s bedeutet. Nach Nr. 264 vereinfacht sich die Bedingung zu 1 -f t' = 0, d. h. s -f t = konst. Daher sind:

(1) X — x + u(c — s), Y = y + ß{c — s), Z = z + y(e — s),

wo c eine willkürliche Konstante vorstellt, die Gleichungen einer Filarevolvente. Wächst s um As, so möge der Kurvenpunkt M oder (x, y, z) in den Punkt Mx übergehen. Der zu Mx gehörige Punkt Pt der Evolvente schneidet auf der Tangente von Mx die Strecke t At = c — s — As ab. Also ist der Bogen MMX, vermehrt um die Strecke MXPX, gleich As -f-(c — s — As) = c — s = MP.

Pie Filarevolventen lassen sich mithin mechanisch gerade so durch Abwicklung eines Fadens von der gegebenen Evolute erzeugen ivie die Evolventen einer ebenen Kurve, vgl. Nr. 201.

292. Filarevoluten. Wir wollen jetzt die gegebene Kurve als Filarevolvente auffassen, d. h. die zugehörigen Filarevoluten suchen. Sie sind definiert als diejenigen Kurven, deren Tangenten zugleich Normalen der gegebenen Kurve sind.

am, a9aj

Wir schicken dabei eine einfache Bemerkung voraus: Ist eine Filarevolute eben, so erhellt, daß die Filarevolvente ebenfalls eben ist. Deshalb kann keine Füarevölute einer nicht ebenen Kurve eben sein.

Da wir schon in Nr. 263 mit xx, yx, zx die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes eines Punktes M oder (x, y, z) einer gegebenen Kurve bezeichnet haben, wollen wir für die Punkte der Filarevoluten der gegebenen Kurve die Koordinaten x₂, y₂, #₂ gebrauchen. Es sei also M₂ oder (x₂, y₂, z₂) der in der Normalebene von M gelegene Punkt einer Filarevolute, so daß

u(x₂ - x) + ß(tft -y) + rO₂ — e)=*o

ist. Bedeuten X und Y die Koordinaten von M₂ in dem von der positiven Haupt- und Binormale von M gebildeten Achsenkreuze, d. h. ist

X = l(x2 — X) + m(y₂ - y) + n(z₂ - z),

Y = X{x₂ - x) + y(y₂ - y) -j- v{z₂ - z),

so folgt aus den vorstehenden drei Gleichungen mit Rücksicht auf die Formeln in Nr. 264: (1) xx = x-\-lX-\- XY, = mX-f jül, z₂ = z-\-nXJrvY.

Unsere Aufgabe ist jetzt, X und Y als Funktionen der Bogenlänge s der gegebenen Kurve so zu bestimmen, daß die Tangente der durch (1) mittels der Hilfsveränderlichen s dargestellten Kurve die Richtung M₂M hat, d. h. dx₂, dy₂, dz2 zu x₂ —x, y₂ — y, — z oder nach (1) zu ZX + X Y, »(Xjji Y, nX-\-vY proportional werden. Nach (1) und den Formeln in Nr. 272 ist daher zu fordern:

IN

r.

><!

wobei der Proportionalitätsfaktor co eine noch unbekannte Funktion von s bedeutet, oder:

dX

(1-:ä# + (? + n

öl) z + (-

dY

+ ds

rar)i = o.

Zyklische Vertauschung von cc, ß, y bzw. I, m, n bzw. X, y, v

[292

gibt zwei entsprechende Formeln. Wegen (5) in Nr. 264 muß mithin einzeln sein:

= 0,

dX

ds

-ß)X = 0,

Co

Die erste Gleichung oder X — R besagt, daß der Punkt ilf2 der Filarevolute auf der Krümmungsachse von M liegt. Die Filarevolute verläuft daher auf der Polarfläche der gegebenen Kurve. Die Elimination der Hilfsgröße gj aus den beiden letzten Gleichungen gibt außerdem:

(2)

d arc tg (Y: X)    1

ds

⁼ T ‘

Bezeichnen wir arctg(F: X) mit cp, so können wir unter cp wegen der Bedeutung von X(= R) und Y denjenigen Winkel verstehen, den die positive Hauptnormale des Punktes M in der Normalebene von M zurücklegen muß, um in die Richtung MM₂ überzugehen, positiv gemessen im Sinne der Drehung nach der positiven Binormale hin. Dann ist X = jß, Y=Rtgcp und nach (2):

dep 1 Pis ⁼ ~T '

Bedeutet dt den Torsionswinkel der gegebenen Kurve, so wird andererseits 1 : T = dt : ds, daher nach (3) auch dep — dt = 0, mithin cp — t -ß c, wo c eine Konstante ist. Dabei ist r die Bogenlänge der sphärischen Indikatrix der Binormalen der gegebenen Kurve. Die besondere Annahme c — 0 gibt mithin nach (1) die eine Filarevolute:

(3)

(4)

x₂ = x +• (l +• l tg t) R

y% = v 4- O 4- y tg r) R

z₂ = z -|- (n + v tg r) R,

(5)

während die allgemeinste Filarevolute in der Form x% = x + [l 4- A tg (r + c)] R, y* “ y + \m + g tg(r 4 c)] R, z₂ = z + [w 4- v tg (r + c)] R

dargestellt wird, wobei c eine willkürliche Konstante bedeutet, jEine gegebene Kurve hat somit unzählig viele Filarevoluten, und sie liegen sämtlich auf der Polarfläche. Dabei ist R tg (r 4- c) die Strecke, die von der Filarevolute (5) auf der Krümmungs-

»9Ä]

achse abgeschnitten wird, positiv gemessen vom Krümmungsmittelpunkte an im Sinne der positiven Binormale.

Die Filarevolute (5) würde nur dann auf allen Krümmungs-achsen die Strecke Null abschneiden, wenn jR tg (t + c) = 0 wäre. Da für nicht singuläre Punkte B =4= 0 ist, bleibt die Annahme x = konst., d. h. dt = 0 oder 1 : T = 0. Nach Satz 6 von Nr. 275 ist mithin der Ort der Krümmungsmittelpunkte nur dann eine Filarevolute, wenn die Urkurve eben ist

Die Tangente MM₂ der Filarevolute (4) liegt in der Normalebene von M und bildet mit der positiven Hauptnormale von M den Winkel t. Die Projektionen von MM₂ auf die Kanten des Dreikants von M sind gleich 0, MM₂c,ost und MM₂ sint. Die Projektion von MM₂ auf die #-Achse ist mithin gleich MM₂(l cos x + X sin t). Folglich sind die Richtungskosinus der Tangente MM₂ der Filarevolute (4):

(6) cc₂==ZcosTr-t-4sinT, ß₂ = mcosr-f^sinT, y₂=ncosT-)-nsinr,

(6), daß die Hauptnormale der

aus

wenn die Tangente im Sinne von M nach M₂ positiv gerechnet wird. Die Bogenlänge s₂ der Filarevolute (4) wird eine Funktion der Bogenlänge s der Urkurve sein, so daß dcc₂ : ds, dß₂ : ds und dy₂ : ds nach (1) in Nr. 272 zu den Richtungskosinus der Hauptnormale der Evolute proportional sind. Mit Rücksicht auf (2) und (3) in Nr. 272 sowie auf (p = r und

(3) ergibt sich mithin Filarevolute zur Tangente der Urkurve parallel und somit Normale der Polarfläche ist. Dies gilt übrigens auch für alle übrigen Filarevoluten (5).

293. Filarevoluten einer ebenen Kurve. Die Polarfläche einer ebenen Kurve ist nach Nr. 289 der auf der Ebene der Kurve senkrecht stehende Zylinder, dessen Grundkurve der Ort der Krümmungsmittelpunkte, die ebene Evolute, ist. Wie wir vorhin sahen, wird cp in diesem Falle konstant. Die Tangenten einer Filarevolute bilden also hier mit der Normale der Kurvenebene einen konstanten Winkel. Daher sind die Filarevoluten jetzt solche Kurven auf jenem Zylinder, die alle Mantellinien unter einem konstanten Winkel schneiden. Derartige Kurven heißen allgemeine Schraubenlinien. Der Winkel ist von Kurve zu Kurve ein anderer. Bei der Ausbreitung

[»93, 393

der zylindrischen Polarfiäche auf der Ebene gehen diese Filar-evoluten offenbar in gerade Linien über.

294. Abwicklung der Polarfiäche. Das letzte Ergebnis ist ein besonderer Fall eines Satzes, der für eine beliebige, d. h. nicht notwendig ebene Urkurve gilt. Es sei M oder (x, y, z) ein Punkt einer gegebenen Raumkurve, Mx oder (xt, yx, der zugehörige Krümmungsmittelpunkt und M oder (x, y, z) der zugehörige Punkt der Gratlinie. Vgl. (4) in Nr. 263 und (5) in Nr. 276. Aus den allgemeinen Formeln (5) von Nr. 292 für einen Punkt M₂ oder (x₂, y₂, z₂) einer Filar-evolute ergibt sich, da R' T = TdR : ds — dR : dx ist:

(1)

x₂

= * + x[ßtg(* + c) + ^],

und entsprechende Formeln gehen für y₂ und z₂ hervor. Ferner

ist:

(2)

dJR

und entsprechende Formeln gelten für yx und zx.

Wir wollen nun diejenigen Größen einführen, die sich auf die Gratlinie der Polarfläche der gegebenen Kurve beziehen. Wir bezeichnen sie wie in Nr. 285 und 286 mit überstrichenen Buchstaben. Nach (4) in Nr. 285 sind X, g, v durch a, ß, y zu ersetzen. Ferner ist dx nach (5) in Nr. 286 gleich edd, wobei d die Bogenlänge der sphärischen Indikatrix der Tangenten der Gratlinie bedeutet. Die Größe e ist nach der Vorschrift in Nr. 286 gleich ± 1. An die Stelle treten also die Gleichungen:

von

(1) und (2)

(3) x₂ = x + s cc tg (e> + k) -f

_ . -dB — X -F ecc dd •

Entsprechende Gleichungen gelten für die übrigen Koordinaten. Dabei ist die Konstante ß = Nach (6) in Nr. 286 haben wir:

d²B _ da* ~    £ da ’

ds

folglich wegen ds : R = da:

(4)

d*R _ da* ~

— sR.

»93, »94]

Wenn wir nun die Größen einführen:

Q!

CG

(5) £ = — s (R sin <? -f- cos <?j, b = e ^R cos <? kommt nach (4):

A A All«

R COS <?,

AI A AI h»

— R sin <3.

Infolge von (5) aber ist:

R = — s (£ sin 6 — b cos <?),

= — s (£ cos <? + t) sin <?),

so daß wir die Gleichungen (3) und die entsprechenden Gleichungen für die übrigen Koordinaten so schreiben können:

CO

— £ cos k — t) sin k a cos (ff -|- k) ’

x% = x —

y% = y - ß

— r cos k — h sin k 3^=3 —y cos «*) t

0 £ cos k — t) sin k

cos (ff -f- k)

(8)

xt = x — a (£ cos ä -f- t) sin <?),

V\=y — ß (scos ö+9sin ⁶)>

0₁=i — y (£ cos <? + t) sin <?).

Hierin beziehen sich die überstrichenen Größen auf die Gratlinie der Urkurve, und £, b sind solche Funktionen der Bogenlänge 6 der sphärischen Indikatrix der Tangenten der Gratlinie, deren Ableitungen durch (6) gegeben sind. Wir haben also die Koordinaten der* Punkte J/₂ einer Filarevolute und des Ortes der Krümmungsmittelpunkte M₁ durch die auf die Gratlinie bezüglichen Elemente ausgedrückt. Die Konstante k in (7) ist willkürlich.

Jetzt deuten wir die Funktionen £ und b von 6, deren Ableitungen durch (6) gegeben sind, als rechtivinklige Punktkoordinaten in einer Ebene. Nach Nr. 200 ist alsdann <? als der Tangentenwinkel und R als der Krümmungsradius der ebenen Kurve der Punkte (£, b) aufzufassen. Nach Nr. 282 geht mithin die Gratlinie bei der Abwicklung der Polarfläche auf die Ebene gerade in diese ebene Kurve über. Da die in Nr. 282 mit t bezeichnete Größe für die auf der Polarfläche gelegene Filarevolute (7) die Strecke MM₂, also den in (7) auftretenden Bruch bedeutet, geht ferner der Punkt Jf₂ hei der Abwicklung in den Punkt mit den Koordinaten

£ cos k — t) sin /.:

£ cos k — t) sin k

sin 6

I3»4

über und entsprechend der Punkt M₁ in den Punkt mit den Koordinaten:

(10)    — (£ cos d-besinn) cos d, t)1 = t)-(?eosd + bsind)sind.

Eliminiert man <5 aus (9), so fällt auch j und heraus, und es kommt:

£s cos k — y₂ sin k = 0.

Dies aber ist die Gleichung einer geraden Linie; und weil k willkürlich war, ergeben sich lauter Geraden durch den Anfangspunkt der Ebene. Da sich die Gleichungen (10) durch

Ol — 0 = (El — s) tg <?, bl = — £i ctg 0 ersetzen lassen, von denen die erste in den laufenden Koordinaten £1; t)x die Tangente der aus der Gratlinie bei der Abwicklung hervorgegangenen Kurve bestimmt, weil 6 der Tangentenwinkel dieser Kurve ist, und die zweite das Lot vom Anfangspunkte auf diese Tangente darstellt, gilt der

Satz 15: Wird die Polar fläche einer Kurve in eine Ebene abgewickelt, so gehen alle Filarevoluten in Geraden durch einen gemeinsamen Punkt über. Zugleich geht der Ort der Krümmungsmittelpunkte in den Ort der Fußpunkte der Lote von diesem Punkte auf alle Tangenten derjenigen Kurve über, in die dabei die Gratlinie der Polarfläche verwandelt wird.

Da alle Kurven der Polarfläche bei der Abwicklung ihre Längen behalten und die Filarevoluten zu Geraden werden, sind sie auf der Polarfläche kürzeste Linien.

295. Gemeine Schraubenlinien. In Nr. 293 erwähnten wir die allgemeinen Schraubenlinien. Insbesondere heißen Schraubenlinien auf Rotationszylindern gemeine Schraubenlinien. Wir wollen eine gemeine Schraubenlinie als Beispiel behandeln.

Die Achse des Rotationszylinders, die sogenannten Schraubenachse, wählen wir als z-Achse, und die x-Achse legen wir durch einen Punkt M₀ der Kurve. Ferner sei a der positiv gerechnete Radius des Zylinders und j der nach der Definition konstante Winkel, den die Tangenten der Schraubenlinie mit den Mantellinien und daher auch mit der positiven z-Achse bilden. Von M₀ aus messen wir die Bogenlänge s der Kurve. Da die Schraubenlinie bei der Abwicklung des »94, 295]

Zylinders in eine jt)-Ebene in die Gerade £ = ,ssinj, t) = scosj übergebt, indem der Grundkreis des Zylinders zur g-Acbse wird und überdies M₀ der Anfangspunkt der -Ebene ist, bedeutet £ die Länge des Kreisbogens M₀N, der durch die Projektion des Kurvenbogens s oder M₀M der Schraubenlinie auf die xy-Ebene entsteht; 1} ist die Koordinate von M. Folglich sind:

x = a cos

s sin j

s sin j

■—V

die Gleichungen der gemeinen Schraubenlinie, ausgedrückt mittels der Bogenlänge s. Benutzen wir statt der Bogenlänge die Größe t — S sinj:a, nämlich den Winkel M₀ON, als unabhängige Veränderliche, so kommen wir zu der gebräuchlichen Darstellung: x = ac,ost, y = a$mt, z = atctgj.

Unter der Schraubenhohe versteht man die Strecke, um die z wächst, wenn ein Umlauf um den Zylinder vollendet wird, d. h. wenn der Winkel t um 2 % wächst. Sie ist deshalb nach der dritten Formel (2) gleich 2nactgj.

Da dt:ds = sinj:a ist, ergibt die Differentiation von (2) nach s als Richtungskosinus der Tangente:

— sin j sin t, ß = sin j cos t, y = cos j.

Nach (1) in Nr. 272 folgt durch abermalige Differentiation für die Richtungskosinus der Hauptnormale:

— ^-sin²^' cos£,

(1)

(2)

(3)

a =>

= a sin

z — s COSJ

— sin² j sin    n

= 0.

Quadrieren, Addieren und Wurzelausziehen gibt, weil E > 0 ist, die Krümmung:

(4)

Demnach wird:

(5)

l == — cos t, m = — siiU, n = 0.

Hiernach ist die Hauptnormale das Lot von M auf die Zylinderachse und zwar positiv in der Richtung von M nach der Achse hin. Nach (6) in Nr. 264 folgt tungskosinus oder Binormale:

X = cos j sin t, y — — cos j cos t, v = sin j.

Differentiation der ersten Gleichung (6) nach s gibt mit Rücksicht

[»95

aus

(3) und (5) für die Rich-

(6)

T ⁼

auf die erste Gleichung (5) und nach (2) in Nr. 272 die Torsion:

sin j cos j

1 sin 2 j

CO

Nach Nr. 273 ist die Schraubenlinie folglich rechts oder links gewunden, je nachdem sin2j^ 0 ist, was auch die Anschauung lehrt. Nach der dritten Formel (6) bildet die Binormale, also auch die Schmiegungsebene, mit der Schraubenachse einen konstanten Winkel. Aus (4) und (7) folgt, daß Krümmung und Torsion der gemeinen Schraubenlinie konstant sind. Nach Nr. 288 fällt der Mittelpunkt der Schmiegungskugel mit dem Krümmungsmittelpunkte zusammen. Die Gratlinie der Polarfläche wird daher durch

(8) öc = — a ctg²j cos t, y = — a ctg²j sin t, z = at ctg j

dargestellt. Vergleichung mit (2) zeigt, daß die Gratlinie ebenfalls eine gemeine Schraubenlinie ist; sie liegt auf einem Zylinder vom Radius a ctg² j mit derselben Achse. Diese Schraubenlinie hat dieselbe Schraubenhöhe wie die Urkurve.

Die Polarfläche ist als Tangentenfläche dieser zweiten gemeinen Schraubenlinie eine sogenannte abwickelbare Schraubenfläche. Da die Normalebene der Schraubenlinie (2) nach (3) in den laufenden Koordinaten £, t), 5 durch

(9)

sin t. £ — cos t . t) — ctgj . 5 -f- at ctg²j = 0

dargestellt wird, geht die Gleichung der Polarfläche hervor, wenn man zunächst (9) nach t differenziert:

cos t. £ -f sin t.    + a ctg²j — 0

und dann hieraus und aus (9) die Veränderliche t eliminiert. Die Schnittlinie der Polarfläche mit der xy-Ebene ergibt sich bei der Annahme 5 = 0:

£ = — a ctg^j(t sin/ -f cos/), i) = a ctg²j(t cost — sin /).

Ersetzen wir hierin £ durch — x und t) durch — y, d. h. drehen wir die Kurve um die Schraubenachse um einen gestreckten Winkel herum, und bezeichnen wir a ctg²j mit r und / mit so liegen die Gleichungen der in Nr. 244 besprochenen Kreisevolvente vor.

»95]

an

Z = c cos j.

X = a cos t -f- (at    — c sinj) sin t,

Y ==    a sin t — (at    — c sinj) cos t,

Weil Z konstant ist, sind die Filarevölventen die Schnittlinien von zur Schraubenachse senkrechten Ebenen mit der Tangentenfläche der Schraubenlinie und daher wie die Schnittlinie der Polarfläche mit der xy-Ebene Kreisevolventen.

296. Kurven, bei denen das Verhältnis von Krümmung und Torsion konstant ist. Aus den Frenetschen Formeln (1)    und (2) in    Nr. 272 folgt, daß Rda    —    Tdl,

Rdß —    Tdp    und Rdy —    Tdv gleich Null sind. Ist    nun    bei

einer Kurve das Verhältnis von Krümmung und Torsion konstant, also auch JR: ]/iü²-f T² und T : ]/jR² -f T² konstant, etwa gleich cosc und sine, so folgt, daß da — tge dl usw. gleich Null sind, d. h. a — Ztgc, ß—gtge, y — vtge oder auch

a cos c — X sin c, ß cos c — y sin c, y cos c — v sin c

konstant sind. Die Summe der Quadrate dieser drei Größen ist aber gleich Eins; also sind sie die Richtungskosinus A, R, C einer festen Richtung. Weil nun

Aa + Rß -f Cy = cosc

ist, bilden die Tangenten der Kurve mit der festen Richtung den konstanten Winkel c. Legen wir durch alle Punkte der Kurve Geraden in dieser Richtung, so entsteht ein Zylinder.

S err et-Scheff er s, Diff,- u, Iategr.-fteohn. I. 6 u 7. Anfl.

Da s — at: sin j, also ds = adt: sin j und der Torsionswinkel dt = ds:T ist, folgt aus (7) noch dt = — cosjdt. Wenn wir demnach r = — t cos j setzen, geben die Gleichungen (5) von Nr. 292 die Filarevoluten der gemeinen Schraubenlinie:

a cos j sin*] a cos j sin *j

ö ctgi * - si“j tg (t cosi -c),

x₂ — — a ctg² j cos t —

(10)

y₂ = —a ctg² j sin t +

sin t tg (t cosi — c). cos t tg (t cos j — c)

wobei c eine willkürliche Konstante bezeichnet. Nach (1) in Nr. 291 sind die Gleichungen der Filarevölventen der gemeinen Schraubenlinie:

³¹ [»95, »96

Die Kurve schneidet alle Mantellinien dieses Zylinders unter einem konstanten Winkel c und ist folglich eine Schraubenlinie im allgemeinen Sinne des Wortes (vgl. Nr. 293).

Umgekehrt: Liegt eine allgemeine Schraubenlinie vor und wird die #-Achse parallel zur Richtung ihres Zylinders gewählt, so ist y konstant. Nach der letzten Frenetschen Formel (1) in Nr. 272 wird also n = 0, daher nach der letzten Frenetschen Formel (3) ebenda:

(1)

d. h. v =

-L -L. — = 0

B ' T

Nun ist aber y² -f n² -f v² = 1; mithin folgt: d. h. mit y ist auch T: U konstant.

Satz 16: Bei einer Kurve ist dann und nur dann das Verhältnis von Krümmung und Torsion konstant, ivenn sie irgendeine allgemeine Schraubenlinie ist.

297. Kurven konstanter Krümmung' und konstanter Torsion, Wenn sowohl die Krümmung als auch die Torsion einer Kurve konstant ist, gilt dasselbe vom Verhältnisse von Krümmung und Torsion, so daß es sich um eine Schraubenlinie handelt. Wir wollen untersuchen, um was für eine. Wird wieder die ^-Achse parallel zur Richtung des Zylinders gewählt, so ist wie vorhin y konstant und n = 0. Die Gleichung (1) der vorigen Nummer besagt, daß auch v konstant ist. Wegen a² + ß² = 1 — y² können wir

a = ■}/1 — y² sin cp, ß — }/l — y² cos cp

setzen. Weil a und ß die Ableitungen x und y von x und y nach der Bogenlänge 5 sind, kommt:

y' = y 1 — y² cos cp, y" — — y 1 — y² sin<p . cp .

x = y 1 — y² sin cp,

x" = y 1 — y² cos cp . cp',

Da nun nach (10) in Nr. 264 die Konstante v = B(xy" — y'x") ist, ergibt sich für cp' oder dcp : ds ein konstanter Wert, so daß cp die Form as -f- b hat, wo a und b Konstanten sind. Also kommt:

396, 397J

dz

^ = -j/l_y28in(as + &),

äs ^V¹ — y²cos(as+b),

dT^r-

Führen wir t = 7C — as — b als unabhängige Veränderliche ein; so ergibt sich:

dx

dy __ j/l — yi

ds

dt

cos £

Daher sind die drei Größen

* r sin« = i/₀,    3 + 11 -

Konstanten. Verlegen wir den Punkt (:r₀, y₀, z₀) in den Anfangspunkt, so geht hervor:

l/l—y² ,

# = -——cos t, y =

cos t = #₀,    ?/

sin«,

Dies sind nach (2) in Nr. 295 die Gleichungen einer gemeinen Schraubenlinie, die, wie wir damals sahen, in der Tat konstante Krümmung und konstante Torsion hat. Also folgt der Satz 17: Eine Kurve hat dann und nur dann sowohl

konstante Krümmung als auch konstante Torsion, wenn sie eine gemeine Schraubenlinie ist.

§ 7. Berührung höherer Ordnung zwischen Kurven und Flächen.

Wenn

298. Berührung zwischen zwei Kurven.

zwei Raumkurven einander in einem Punkte M berühren, können wir die Berührung in höherer Ordnung so definieren:

Ein zu M benachbarter Punkt der gemeinsamen Tangente sei Q, siehe Fig. 65. Die durch Q gehende und zur Tangente senkrechte Ebene schneide die beiden Kurven in M' und Mt'. Alsdann sagen wir,

--dL/

daß die Kurven einander in M in der Ordnung r berühren, wenn der Grenzwert

M'M,'

MQ = 0 MQr

endlich und von Null verschieden ist.

Um diese Definition analytisch zu formulieren, wollen wir annehmen, die Kurven seien durch

(i)

lim

Fig. 65.

(3) y-F(x), e = G(x) gegeben, also ausgedrückt mittels der unabhängigen Veränderlichen x. Nach Voraussetzung soll es einen Wert von x geben, für den aus (2) dieselben Werte von y und z hervorgehen wie aus (3); außerdem sollen beide Kurven in dem dadurch bestimmten gemeinsamen Punkte M eine gemeinsame Tangente haben, d. h. dort soll f'(x) = F'(x) und g'(x) — G'ix) sein.

(2) y = f (a?), e=g(x)

Zunächst möge im besonderen angenommen werden, die gemeinsame Tangente sei zur x-Achse parallel. Dann hat ein Punkt Q dieser Tangente, der zu M benachbart ist, eine Abszisse x + Ax, während für ihn y und z dieselben Werte wie für M haben. Die Punkte M' und Mx' haben dieselbe Abszisse x -f- Ax, doch sind die beiden anderen Koordinaten von M' diese:

y -f Ay = f{x + Ax), z-\-Az = g(x-f- Ax) und die von Mf diese:

y 4- Ayx = Fix + Ax), z -f Azx = G(x -j- Ax).

Nun ist:

M Q = Ax, M' Mf* = (Ayx - Ayf + (Azx - Az)\

Wir fordern daher, daß M'Mf² mit Ax für lim Ax = 0 in der (2r + 2)ten Ordnung gleich Null werde. Dies muß also von mindestens einem der beiden Summanden (Ayl—Ay)² und (Az₁ — Az)² gelten, während der andere mit Ax sehr wohl in höherer, aber nicht in niedrigerer Ordnung verschwinden darf. Von den beiden Grenzwerten von

Ali — Av J xr + 1

(4)

und

Jz₁ — dz

r+t

für lim Ax = 0 muß also einer endlich und von Null verschieden sein, während der andere zwar auch endlich sein muß, aber auch gleich Null sein darf.

Nehmen wir an, daß die Funktionen f(x) und g{x) und ebenso die Funktionen F{x) und G(x) nebst ihren Ableitungen bis zur (f -f l)ten Ordnung einschließlich in der Umgebung des betrachteten Wertes x bestimmte endliche Werte haben, so können wir, da fix) = F{x), f {x) = F'(x) und g(x) = G (x), g’(x) = G'(x) für den betrachteten Wert x ist, die Differenzen Ayx — Ay und Azx — Az so schreiben:

398]

A rr+1

+ \F(' + »(* + BJx) - f>'+»(» + 9 ^)] ~) T ’

-f [Cr(r+1) (# + Hz/z) — g[r + V) (x -f Hz/#)]

z/xr + 1

(r + 1)!

wobei 9 und & positive echte Brüche sind, vorausgesetzt, daß \Ax\ hinreichend klein gewählt wird, nach Satz 19, Nr. 112. Damit die Werte (4) endliche Grenzwerte für lim z/a; = 0 haben, ist also notwendig, daß die Ableitungen von F(x) mit denen von f(oc) und die Ableitungen von G(x) mit denen von g(x) bis zur rten Ordnung einschließlich übereinstimmen. Damit ferner wenigstens einer der beiden Grenzwerte nicht gleich Null sei, ist notwendig und hinreichend, daß nicht beide Ableitungen (r+l)ter Ordnung von F(x) und G(x) mit denen von f(x) und g(x) übereinstimmen. Gemeint ist natürlich immer Übereinstimmung für den betrachteten Wert von x.

Daß dies Ergebnis auch dann gilt, wenn die gemeinsame Tangente beider Kurven nicht zur x-Achse parallel ist, sieht man so ein: Das Achsenkreuz werde durch eine Drehung um den Anfangspunkt in irgendeine neue Lage gebracht. Sind öc, y, z die Koordinaten im neuen Achsenkreuze, so bestehen Beziehungen von der Form:

(5)

x = Axx + Bxy + Gxz, y = A₂x + B₂y + C₂z, z = A₃x + B₃y -f C₃z,

in denen die Koeffizienten konstant sind. Im alten Achsenkreuze war x die unabhängige Veränderliche, im neuen soll es x sein. Nach Nr. 94 sind die Ableitungen von bestimmter Ordnung von y und z nach x durch die Ableitungen von der ersten bis zu dieser bestimmten Ordnung von y und z nach x ausdrückbar, und umgekehrt. Dabei muß allerdings verlangt werden, daß der aus (5) folgende Wert

— = A    —

dx ¹ ‘    ¹dx '    ¹ dx

in der Umgebung der betrachteten Stelle von Null verschieden sei. Da nun dy : dx und dz : dx an jener Stelle nach der früheren Voraussetzung gleich Null sind, muß folglich A, =(= 0 angenommen werden. Dies bedeutet: Die gemeinsame Tangente, die der alten x-Achse parallel ist, darf im neuen Achsenkreuze nicht senkrecht zur ä;-Achse sein. Unter dieser Bedingung folgt nun, falls die Ableitungen von y und z nach x bis zur rten Ordnung bei beiden Kurven an der betrachteten Stelle übereinstimmen, dasselbe für die Ableitungen von y und z nach x. Die gemeinsame Tangente ist gewiß nicht zur x-Achse senkrecht, wenn die Ableitungen erster Ordnung von y und z dort endliche Werte haben. Also gilt der

Satz 18: Zwei Kurven

y = fix), z = g(x) und y = Fix), z = G(x)

berühren einander in einem Punkte in gerader rter Ordnung, wenn für den zugehörigen Wert von x

fix) - Fix), fix) - F'ix), . .. r\x) = F^ix), n\x) = <?(*), '/(*) — &')x), ... g,r](x) = G-Hx) ist, dagegen nicht beide Gleichungen

+ *\x) = F(r+V(x), g<r+1\x) = G(r+V(x)

ten

bestehen. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Funktionen f(x) g (x), F{x) und G(x) nebst ihren Ableitungen bis zur (r-f 1) Ordnung einschließlich an der betrachteten Stelle x stetig seien.

Wir nehmen jetzt wie soeben an, daß die Tangente des gemeinsamen Punktes M irgendeine Lage habe. Infolge der vorausgesetzten Darstellungen (2) und (3) der beiden Kurven ist sie dann gewiß nicht senkrecht zur #-Achse. Durch einen zu M benachbarten Punkt Q der Tangente wollen wir aber jetzt nicht wie bisher die Tangente, sondern die zur x-Achse senkrechte Ebene legen. Sie treffe die beiden Kurven in M' und Mf. Alsdann ist aus den Entwicklungen der Koordinaten y -(- Ay, z + Az von M' und der Koordinaten y -f- Ayt, z -f Azt von Mf nach Potenzen von Ax wie oben zu ersehen, daß Mr Mf: M Qr + 1 unter den Voraussetzungen des Satzes für lim MQ — 0 einen endlichen und von Null verschiedenen Grrenz-298]

eine Kurvenschar

wert hat. In Nr. 214 gingen wir bei der Betrachtung der Berührung höherer Ordnung zwischen ebenen Kurven von diesem Grenzwerte aus und zeigten dann, daß auch der zu Anfang der jetzigen Nummer aufgestellte Grenzwert endlich und von Null verschieden ist. Hier haben wir den umgekehrten Weg eingeschlagen, wodurch die damaligen Betrachtungen in einem wesentlichen Punkte vervollständigt werden.

Aus dem Satze 18 und aus Nr. 214 folgt noch:

Satz 19: Berühren zwei Kurven einander gerade in der rten Ordnung und ist die gemeinsame Tangente nicht senkrecht zur x-Achse, so berühren auch die Projektionen beider Kurven auf die xy-Ebene und ebenso ihre Projektionen auf die xz-Ebene einander in mindestens rUr Ordnung, und eine dieser beiden Berührungen ist dabei von gerade rter Ordnung.

299. Oskulierende Kurven. Liegt außer einer Kurve V = f{%), e = g(x)

(i)

(2)

y = F(x, ax, a₂.. . an), z = G(x, ax, a₂,. .. an) mit n willkürlichen Konstanten ax, ai}... an vor, so kann man nach derjenigen Kurve der Schar fragen, die mit der gegebenen Kurve (1) an einer bestimmten Stelle x eine Berührung in möglichst hoher Ordnung eingeht. Da Satz 18 der vorigen Nummer zu 2(r -f- 1) Bedingungen für eine Berührung in der rten Ordnung führt, kann man im allgemeinen erwarten, daß sie sich durch passende Wahl von ax, a₂, . . . an erfüllen lassen, wenn n 2 (r + 1) ist. Es ist jedoch möglich, daß einige Konstanten noch ganz willkürlich bleiben, so daß es in der Schar (2) nicht eine einzige, sondern unzählig viele Kurven gibt, die mit der Kurve (1) an der vorgeschriebenen Stelle eine Berührung in derselben höchsten möglichen Ordnung eingehen-Diese Kurven heißen die dort oskulierenden Kurven der Schar.

300. Der Krümmungskreis als oskulierender Kreis. Die Gleichungen eines beliebigen Kreises im Raume enthalten die Koordinaten des Mittelpunktes, den Radius und die Richtungskosinus der Senkrechten zur Kreisebene. Da die Summe der Quadrate der Richtungskosinus gleich Eins ist, sind nur zwei von den drei Kosinus beliebig wählbar. Demnach treten

[»98, »99, 300

in den Gleichungen sechs willkürliche Konstanten auf. Die Zahl n der vorigen Nummer ist also jetzt gleich sechs. Aus w = 2(r+l) folgt nun r = 2, so daß wir vermuten dürfen, daß es gerade einen Kreis gibt, der eine gegebene Kurve an einer gegebenen Stelle in der höchsten möglichen Ordnung, und zwar in der zweiten, berührt. In der Tat: Wenn die Berührung von zweiter Ordnung sein soll, müssen die Ableitungen erster und zweiter Ordnung von y und z beim Kreise mit denen bei der Kurve übereinstimmen; der Kreis muß also in der Schmiegungsebene des Kurvenpunktes, folglich seine Mitte auf der Hauptnormale liegen, da er die Kurve berühren soll. Weil auch der Krümmungsradius von den Ableitungen bis zur zweiten Ordnung abhängt, muß er der Radius des Kreises sein, d. h. der oskulierende Kreis ist der Krümmungskreis. Er berührt im allgemeinen in nicht höherer als zweiter Ordnung, denn wenn die Berührung von dritter Ordnung wäre, würde die Torsion der Kurve an der betrachteten Stelle mit der des Kreises übereinstimmen, die jedoch nach Satz 6 von Nr. 275 gleich Null ist. Also folgt:

Satz 20: Derjenige Kreis, der mit einer Baumkurve an einer Stelle, deren Torsion nicht gleich Null ist, eine Berührung in möglichst hoher Ordnung eingeht, ist der Krümmungskreis, und seine Berührung ist von gerade zweiter Ordnung.

Ist die Torsion dort gleich Null, so wird übrigens der Krümmungskreis im allgemeinen die Kurve auch dann nur in der zweiten Ordnung berühren, denn dieser Fall tritt z. B. bei den ebenen Kurven ein, vgl. Satz 6 von Nr. 275 und Satz 20 und 21 von Nr. 218.

301. Berührung zwischen zwei Flächen. Man sagt: Zwei Flächen berühren einander, wenn sie einen Punkt M und die Tangentenebene von M gemein haben. Legen wir dann durch die gemeinsame Normale von M eine beliebige Ebene, so schneidet sie die Flächen in zwei ebenen Kurven k und kx, die einander in M berühren. Die Ordnung dieser Berührung kann für verschiedene Schnittebenen verschieden sein. Ist sie für keine Schnittebene kleiner als r und für mindestens eine gleich r, so sagen wir, daß die Flächen einander in M in gerade rter Ordnung berühren.

#

Die gemeinsame Normale sei zunächst zur ^-Achse parallel, und die SchnittebeiJfe bilde mit der xz-Woene den Winkel co. Ferner seien x, «/, z die Koordinaten von M. In der Schnittebene ziehen wir eine zur Normale benachbarte und parallele Gerade, die 7c und lcx in M' und Mx treffe, so daß x -f A x und y Ay gemeinsame x- und «/-Koordinaten von M' und Mx sind, während M' und Mx verschiedene ^-Koordinaten z 4- Az und z-\-Azx haben werden. Nach Nr. 214 ist zu fordern, daß die Differenz Az — Azx mit der Entfernung ~]/Ax² -(- A y2 zwischen der Normale und M' Mx mindestens in der (r-f l)ten Ordnung gleich Null werde, wie immer auch co gewählt sein mag, und daß dies für wenigstens einen Wert von co in gerade (r-fl)ter Ordnung der Fall sei. Sind die Koordinaten z und zt der beiden Flächen Funktionen von x und y, die mit ihren Ableitungen bis zu denen von der (r l)ten Ordnung stetig in der Umgebung des betrachteten Wertepaares x, y sind, so ist nach Satz 28 von Nr. 137 zu verlangen, daß für beide Flächen an der betrachteten Stelle

co

dz = dzt, d²z — d*z1} . . . d^z = d^z₁

sei, sobald dx = q cos co, dy = p sin co gesetzt wird, und daß wenigstens für einen Wert von co:

(2)

d(r+1~>z =4= c7(r+1)0₁

ton

sei. Da die Bedingungen (1) unabhängig von dem Werte von co, also für alle Differentiale dx und dy gelten sollen, müssen an der betrachteten Stelle nicht nur z und zlf sondern auch alle partiellen Ableitungen von z und zx bis zu denen von der rten Ordnung entsprechend gleiche Werte haben. Wegen (2) darf dies jedoch nicht für alle Ableitungen von der (r + 1) Ordnung gelten.

Daß dieser Schluß von der Annahme, daß die gemeinsame Normale zur £-Achse parallel sei, unabhängig ist, erkennt man wie in Nr. 298 durch Einführung eines neuen Achsenkreuzes. Nur darf die neue £-Achse nicht parallel zur Tangentenebene von M sein. Dies ist aber auch sicher nicht der Fall, wenn die Ableitungen erster Ordnung von z und zt stetig sind. Somit folgt:

[301

Satz 21: Wenn zwei Flächen

z — f(x, y) und z = F(ß,y) einander in einem Funkte berühren, ist die Berührung von gerade rter Ordnung, wenn für die zugehörigen Werte von x und y die Funktion f(x, y) nebst allen ihren partiellen Ableitungen bis zur rten Ordnung mit der Funktion F (x, y) nebst ihren entsprechenden partiellen Ableitungen bis zur rten Ordnung übereinstimmt, während diese Uereinstimmung nicht mehr bei allen Ableitungen von der (r + 1 )ten Ordnung besteht. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Funktionen f und F nebst allen Ableitungen bis zur (r -f l)ten Ordnung in der Umgebung der betrachteten Werte x und y stetig seien.

Insgesamt ergeben sich \{r + 1) (r -f- 2) Bedingungen, da eine Funktion von zwei Veränderlichen k -(- 1 partielle Ableitungen von kter Ordnung hat.

302. Oskulierende Flächen. Liegt außer einer bestimmten Fläche z = f(x, y) eine Flächenschar z = F{x, y, a1} a₂,... an)

mit n willkürlichen Konstanten ax, a₂, ... an vor, so kann man nach denjenigen Flächen der Schar fragen, die mit der gegebenen Fläche in einem gegebenen Punkte eine Berührung in möglichst hoher Ordnung eingehen. Sie heißen die osku-lierenden Flächen. Da wir zu (r -f- 1) (r 4- 2) Bedingungen für eine Berührung von rter Ordnung gelangten, ist im allgemeinen zu erwarten, daß sich oskulierende Flächen mit einer Berührung in rter Ordnung ergeben werden, wenn die Zahl n der willkürlichen Konstanten mindestens gleich    1) (r + 2)

ist. Dabei können jedoch mehrere Konstanten willkürlich bleiben, so daß eine Schar von in derselben höchsten Ordnung osku-lierenden Flächen hervorgeht. Wenn die Flächenschar z. B. die aller Kugeln ist, enthält ihre Gleichung vier wesentliche Konstanten. Die Bedingung l£(r + 1) (r -f 2)    4 gibt hier r = 1.

In der Tat gibt es, wie man zeigen könnte, unter allen Kugeln, die eine Fläche an einer Stelle berühren, im allgemeinen keine, die in höherer als erster Ordnung berührt.

Zehntes Kapitel.

Flächenkurven und Flächenfamilien.

§ 1. Die Krümmungsradien eines Flächenpuuktes.

303.    Vorbemerkung. Da wir uns jetzt zu Kurven auf Flächen, kurz gesagt zu Flächenkurven, wenden, also die Theorie der Kurven mit der Theorie der Flächen verbinden wollen, sei vorweg bemerkt, daß wir uns die Fläche meistens in der Form z = f(oc, y) gegeben denken werden. Dann ist eine Flächenkurve definiert, wenn x und y gewisse Funktionen einer Hilfsveränderlichen sind und für z die aus z = f (x, y) hervorgehende Funktion dieser Veränderlichen gesetzt wird. Wir nehmen dabei an, daß alle vorkommenden Funktionen nebst ihren Ableitungen, soweit sie gebraucht werden, in einer Umgebung der betrachteten Stelle der Fläche stetig seien.

Wie in Nr. 85 seien mit p und q die Ableitungen erster Ordnung und mit r, s, t die Ableitungen zweiter Ordnung von z = f(x, y) bezeichnet, so daß auf der Fläche

(2)

(1) dz = pdx -j- q dy, dp = rdx + sdy, dq = sdx + tdy ist. Das vollständige Differential zweiter Ordnung von z lautet: d²z = rdx² -f 2sdxdy + tdy².

304.    Krümmungsradius einer Flächenkurve. Es

sei M oder (x, y, z) ein Flächenpunkt, durch den eine gewisse Kurve auf der Fläche gehe. Wie immer bezeichnen wir mit a, ß, y bzw. Z, m, n die Richtungskosinus der positiven Tangente bzw. Hauptnormale der Kurve an der Stelle M, mit H ihren Krümmungsradius in M und wie in Nr. 260 mit dö ihren Kontingenzwinkel, d. h. mit 6 die Bogenlänge der sphärischen

[303, 304

Differentiation der ersten Gleichung nach <? gibt mit Rücksicht auf die beiden letzten:

57 ~PS7 ~ 41 “ X(ra* + 2saß + tß!).

Wird dies in (4) eingesetzt, so geht hervor:

(5)

Ii =

cos 8.

Indikatrix der Tangenten der Kurve. Dann ist lidö das Bogenelement der Flächenkurve, so nach (4) in Nr. 272 kommt:

dx — Ru,

daß nach (1) in Nr. 259 und

(i)

da

a. a,

Cl

- Kr,

(2)

du

da

-J,

dß

da

== m

a.| a.

CI

Sind ferner X, Y, Z die Richtungskosinus der positiven t lachen-normale von M, so wird nach (10) in Nr. 253:

— g

vy+g²+i⁷

wobei die Wurzel positiv ist. Als Kosinus des Winkels 8 zwischen der positiven Flächennormale und der Hauptnormale von M ergibt sich nach (2) und (3):

(4) cos 8 = Xl+Ym + Zn = (

Werden die Werte von dx, dy, dz aus (1) in die Formeln (1) der vorigen Nummer eingesetzt, so kommt:

y=pcc + qß, = R(ra + sß),

iV + g’ + l’

'S

~P

-^^):l/p²+g²+l-

Ä — K(sa -f tß).

Vp* + <Y +1

ru¹ -f- 2suß -j- tß²

Diese Formel drückt den Krümmungsradius der Flächenkurve in M erstens durch die Größen p, q, r, s, t aus, die sich nur auf die Fläche beziehen, zweitens durch die beiden ersten Richtungskosinus a, ß der Kurventangente und drittens durch den Kosinus des Winkels 8 zwischen der Flächennormale und der Hauptnormale der Kurve in M. Da der Krümmungsradius nach Nr. 260 stets positiv ist, sehen wir:

Ist ra²-\-2saß -{-tß² positiv bzw. negativ, so gilt dasselbe von cos 8, d. h. dann bildet die positive Flächennormale mit der positiven Hauptnormale einen spitzen bzw. stumpfen Winkel. 304]

Weil der Krümmungsmittelpunkt auf der positiven Hauptnormale liegt, ist er im einen oder anderen Falle auf der positiven bzw. negativen Seite der Tangentenebene der Fläche gelegen.

305. Der Meusniersche Satz. Durch den Flächenpunkt M werde nun die Ebene gelegt, die die Flächennormale und die Tangente der Flächenkurve enthält. Sie schneidet die Fläche in einer ebenen Kurve, die man einen Normalschnitt der Fläche in M nennt und zwar denjenigen, der zur gegebenen Kurventangente gehört. Die Hauptnormale des Normalschnittes in M fällt mit der Flächennormale in M zusammen. Als positiven Sinn längs des Normalschnittes wählen wir denjenigen, der der positiven Kurventangente in M entspricht. Je nachdem die Hauptnormale des Normalschnittes gleichsinnig oder ungleichsinnig mit der Flächennormale zusammenfällt, ist der Kosinus des Winkels der beiden Geraden gleich -f 1 oder — 1. Ist B₀ der Krümmungsradius des Normalschnittes in M, so gibt folglich die Formel (5) der vorigen Nummer, die ja für beliebige Flächenkurven gilt, insbesondere:

Vp' + q'+i .

ra'i -|- 2sccß -j- tß²

Da jß₀ nach Nr. 260 positiv ist, gilt das obere oder untere Zeichen, je nachdem rcc² -f- 2saß -f tß² positiv oder negativ ist.

Es erscheint jedoch zweckmäßig, bei den Normalschnitten von denjenigen Vorzeichen-Festsetzungen abzusehen, die wir in Nr. 260, 261 für Baumkurven machten, und zwar deshalb, weil diese Normalschnitte ebene Kurven sind, die mit der Gestalt der Fläche an der Stelle M in engem Zusammenhänge stehen. Wir wollen deshalb unter B₀ nicht den stets positiven Krümmungsradius des Normalschnittes in M verstehen, sondern den mit 1 oder — 1 multiplizierten Wert, d. h. wir setzen:

Ro = ±

(i)

B₀ =

Yp~ 4 <f -r 1

ra* -|- 2saß -f- tßs

mit positiver Wurzel, so daß nunmehr B₀ positiv oder negativ ist, je nachdem der Krümmungsmittelpunkt des Normalschnittes auf der positiven oder negativen Flächennormale liegt.

Die letzte Formel (1) und die Formel (5) von Nr. 304 ergeben nun:

L304, 305

R = R₀ cos 6.

(2)

In dieser Formel liegt der

Satz 1 (Meusnierscher Satz): Der stets positive Krümmungsradius einer Flächenkurve in einem ihrer Funkte ist gleich dem Krümmungsradius des zugehörigen Normalschnittes, multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen der positiven Hauptnormale der Flächenkurve und der positiven Flächennormale. Dabei wird der Krümmungsradius des Normalschnittes positiv oder negativ gerechnet, je nachdem der Krümmungsmittelpunkt des Normalschnittes auf der positiven oder negativen Flächennormale liegt.

Da der Krümmnngsmittelpunkt immer auf der positiven Hauptnormale liegt und vom Kurvenpunkte die Entfernung R hat, folgt weiter:

Satz 2: Alle Flächenkurven durch einen Punkt M und mit derselben Tangente in M haben in M Krümmungskreise, die auf derjenigen Kugel liegen, die den Krümmungskreis des zugehörigen Normalschnittes zum größten Kreise hat.

Hierdurch wird die Untersuchung der Krümmung beliebiger Flächenkurven, die durch M gehen, auf die Untersuchung der Krümmung der Normalschnitte an dieser Stelle zurückgeführt.

306. Hauptschnitte eines Flächenpunktes. Durch die Normale eines Flächenpunktes M lassen sich beliebig viele Normalschnitte legen. Sie werden in M verschiedene Krümmungsradien haben, aber die zu M gehörigen Krümmungsmittelpunkte liegen sämtlich auf der Flächennormale von M. Auch deshalb ist die in voriger Nummer getroffene Festsetzung über das Vorzeichen der Krümmungsradien der Normalschnitte

gerechtfertigt, da diese Flächennormale nach Nr. 253 einen bestimmten positiven Sinn hat. Wir wollen von jetzt an den mit Vorzeichen gemessenen Krümmungsradius desjenigen Normalschnittes, der in M die Tangente mit den Richtungskosinus a, ß, y hat, mit R (statt R₀) bezeichnen, so daß nach (1) in voriger Nummer:

(i)

ra! -(- 2saß tßs

ist. Übersichtlicher wird die Formel, wenn wir den Flächen-

305, 306] punkt M selbst als Anfangspunkt und seine positive Normale als z-Achse wählen, so daß die xy- Ebene die Tangentenebene von

M wird. Nach (3) in Nr. 304 ist dann für den Punkt M

wegen Z= 1 auch j3²+g² = 0, d. h. p = 0 und q = 0. Ferner sei m der Winkel, den die durch M gezogene Tangente mit der positiven x-Achse bildet, so daß a = coso3, /3 = sino3 wird. Nun ergibt (1):

(2)

= r cos²03 + 2s cos 03 sin 03 + t sin²03 ⁼ t(r +t) + i (r — t) cos2oj -f s sin 203.

Zu 03 und zu 03 -f- 7t gehören dieselben Werte von R, was damit im Einklänge steht, daß beiden Winkeln derselbe Normalschnitt entspricht.

Bedeutet 2 03₀ denjenigen Winkel zwischen 0 und n,

für den

(3) tg 2 co₀ =

, also sin 2 G30 ist, so können wir (2) so schreiben:

2s

Y(r — tf -f 4 s*

>0

(4)

^ = £ (r + t) + \ cos 2 (oj — 03₀) Y(r — tf + 4s²,

wobei die Wurzel das Vorzeichen der Ableitung s hat. Hiernach erreicht 1 :R für diejenigen Werte von co ein Maximum oder Minimum, für die cos 2 (o> — eo₀) = + 1 ist, d. h. für 03 = G30 und für 03 = oj₀ -f n. Für os == 03₀ hat 1 : R das Maximum oder Minimum, je nachdem s positiv oder negativ ist, und für 03 = 03₀ -f 4-#, je nachdem s negativ oder positiv ist. Es gibt also zwei zueinander senkrechte Normalschnitte, für die R ein Maximum bziv. Minimum hat. Diese Normalschnitte heißen die Hauptschnitte des Flächenpunktes M.

307. Naheipunkte. Ehe wir das letzte Ergebnis als Satz formulieren, ist noch zu bemerken, daß der Winkel O30 unbestimmt wird, wenn s = 0 und r = t ist. ln diesem Ausnahmefalle gibt die Formel (2) der vorigen Nummer 1 : R — r, d. h dann haben alle Normalschnitte von M denselben Krümmungsradius. Flächenpunkte von dieser Beschaffenheit heißen Nabelpunkte.

Also sagen wir:

Satz 3: Unter den Normalschnitten eines regulären Flächenpunktes, der kein Nabelpunkt ist, gibt es stets zwei, für die der Krümmungsradius ein Maximum bzw. Minimum hat, und sie sind zueinander senkrecht.

Die Formel (1) für B in voriger Nummer, bei der die besondere Annahme über das Achsenkreuz noch nicht gemacht worden war, zeigt, welches die allgemeine Bedingung für einen Nabelpunkt ist. Da nämlich a, ß, y die Riohtungskosinus der Tangente sind, und da die Tangente auf der Flächennormale senkrecht steht, sind cc, ß, y nach (3) in Nr. 304 an die beiden Bedingungen cd + ß² + y² = 1 und ap -f- ßq = y gebunden, d. h. zwischen a und ß besteht bloß die Bedingung:

ad + ß² + (ccp + ßqff —1 = 0.

Ein Nabelpunkt liegt also vor, wenn der Nenner des Wertes (1) von B in voriger Nummer unter dieser Bedingung für alle Werte von a und ß derselbe ist, d. h. wenn es zwei von a und ß unabhängige Größen u und v derart gibt, daß für alle Werte von a und ß

red + 2saß + tß² = u[cd -f- ß² + {ap + ßq)² — 1] -f v wird. Dann muß u = v und

(1)

r = tt(l +F], s = upq, t = u( 1 -f g²)

sein. Elimination von u liefert demnach den

Satz 4: Ein Punkt der Fläche z = fix, y) ist dann und nur dann ein Nabelpunkt, wenn für ihn

r: s: t = (1 -J- p²) :pq: (1 -f- q²)

ist, wobei p, q, r, s, t die Ableitungen erster und ziveiter Ordnung von z bedeuten.

Beispiel: Liegt ein Ellipsoid

(2)

x* , V² i

F + F + F

vor, so ergibt Differentiation nach x bzw. y:

aä r c²

also nochmalige Differentiation:

1    . p*-\-zr A    ,    n 1    , 4*+ 2* a

(3)

(4)

c²

= 0,

Um die Nabelpunkte zu finden, setzen wir hierin für r, s, t die Werte (1) ein und erhalten:

c²

11 z{l -{-p²) +i>² + ZY

WS

tH

WS

ws

4-

0.

Ist 1 -f- uz — 0, so folgt a² = 1/ = c², was wir ausschließen, da das Ellipsoid dann eine Kugel ist. Wenn 1 + uz 4= 0 ist, gibt die zweite Gleichung entweder p = 0 oder q = 0. Nehmen wir a² > b² > c² an, so liefert die Annahme p = 0 für q keinen reellen Wert. Daher verbleibt die Annahme q = 0. In diesem Falle geben die vorhergehenden Gleichungen:

x = a ~j/

a² — b²

a² — c² ’

-i/&² — c*

wobei die Vorzeichen der Wurzeln beliebig gewählt werden können. Daher hat ein Ellipsoid mit drei verschieden langen Achsen vier Nabelpunlde; sie liegen in der Ebene der größten und kleinsten Achse des Ellipsoids.

308. Der Eulersche Satz. Wieder wählen wir wie in

Nr. 306 einen Flächenpunkt M als Anfangspunkt und seine positive Normale als z-Achse. Außerdem können wir die beiden Hauptschnitte, die ja zueinander senkrecht sind, als xz-und y z-Ebene benutzen, d. h. wir dürfen co₀ = 0 oder also s = 0 nach (3) in Nr. 306 annehmen, so daß die Formel (2) von Nr. 306 diese wird:

(1)

^ = r cos²in -f- t sin² 09 .

Die Krümmungsradien JR₁ und Jl₂ der beiden Hauptschnitte heißen die Hauptkrümmungsradien des Flächenpunktes, ihre reziproken Werte seine Hauptkrümmungen. Die Werte von Bl und R₂ ergeben sich aus (1) durch die Annahmen 09 = 0 und 09 = 7t:

(2)

B, T<

Aus (1) und (2) folgt nun weiter:

Satz 5 (Eulerscher Satz): Sind Rt und Ii₂ die Hauptkrümmungsradien eines Flächenpunktes und ist co der Winkel

³² [307, 308

J?₂

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integr.-Eeohn.I. 6.u.7. Aufl.

eines beliebigen Normalschnittes des Punktes mit dem ersten Hauptschnitte, so ist die Krümmung dieses Normalschnittes:

1 COS²ö>

B ⁼ R±

sin² 03

Bi

Ersetzen wir ca durch ca -f d. h. drehen wir den Nor-malschnitt nm einen rechten Winkel, so ergibt sich für die Krümmung 1 : 11' des neuen Schnittes:

sin²o)

By = JR,

COS²ü)

so daß folgt:

Demnach:

¹ , ¹ _ ¹ , ¹

R + W - B, + R,

Satz 6: Die Summe der Krümmungen zweier zueinander senkrechter Normalschnitte eines Flächenpunktes ist für alle derartigen Paare in diesem Punkte die gleiche.

Die halbe Summe der Hauptkrümmungen 1: R₁ und 1: J?2 heißt die mittlere Krümmung der Fläche in dem betrachteten Punkte. Also:

Satz 7: Das arithmetische Mittel der Krümmungen zweier zueinander senkrechter Normalschnitte eines Flächenpunktes ist gleich der mittleren Krümmung der Fläche in diesem Punkte.

Ersetzen wir ca in Satz 5 durch — ca, so bleibt die Formel des Satzes ungeändert. Dies bedeutet:

Satz 8: Zwei Normalschnitte eines Flächenpunktes, die zu einem der Hauptschnitte und also auch zum andern symmetrisch liegen, haben übereinstimmende Krümmung.

309. Überblick über die Krümmungen aller Normalschnitte eines Flächenpunktes. Nach dem Eulerschen Satze ist die Krümmung 1: P eines beliebigen Normalschnittes eine Funktion des Winkels ca, den die Ebene des Schnittes mit der einen Hauptschnittebene bildet. Durch Differentiation nach cd ergibt sich aus der Formel des Eulerschen Satzes:

= sin 2 03 Q

da> B

-iY

Wir können, um zu einem Überblicke zu gelangen, den Winkel 03 nach dem letzten Satze auf das Intervall 0 oj <i yjr beschränken, in dem sin2o3 positiv ist. Wenn ca von 0 bis

308, 300]

wächst, nimmt daher 1 : B von 1 :    bis 1 : B₂ entweder

beständig zu oder beständig ab.

Sind B₁ und B₂ beide positiv bzw. beide negativ, so ist auch 1 : B stets positiv bzw. stets negativ, d. h. dann sind alle Normalschnitte, von der positiven Normale aus betrachtet, konkav bzw. alle konvex.

Wenn dagegen Bt und B₂ verschiedene Vorzeichen haben, nimmt 1 : B im ersten Quadranten einmal und nur einmal den Wert Null an, nämlich für denjenigen Winkel w zwischen 0 und für den tg'³co = — B₂ : Bx ist. Die zugehörige Normalschnittebene sowie diejenige, die zu dieser Ebene symmetrisch hinsichtlich der Hauptschnitte ist, teilen die Gesamtheit aller Normalschnitte des Punktes M in zwei Klassen. Die der einen Klasse sind, von der positiven Normale aus betrachtet, konvex und die der andern konkav, d. h. die Fläche ist an der Stelle M sattelförmig.

§ 2. Die Dupinschen Indikatrizen.

310. Oskulierende Flächen zweiter Ordnung. Wieder sei der Flächenpunkt M der Anfangspunkt, seine Tangentenebene die #2/-Ebene, und die Hauptschnitte seinen die xz- bzw. y^-Ebene, so daß, wenn z = f(x,y) die Flächengleichung ist und Blf B₂ die Hauptkrümmungsradien von M sind, die Ableitungen erster und zweiter Ordnung von z an der Stelle M nach Nr. 306 und 308 die Werte haben:

P - 0, q = 0

' -Bi '

Wir wollen jetzt diejenigen Flächen zweiter Ordnung bestimmen, die mit der gegebenen Fläche im Anfangspunkte M eine Berührung von möglichst hoher Ordnung eingehen. Die allgemeine Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung, die durch den Anfangspunkt geht, lautet:

(2) anx² + 2al2xy + a₂₂y² + %auxz + 2anyz + a^z² +

+ 2aux + 2a2iy + 2 auz = 0.

Um Satz 21 von Nr. 301 benutzen zu können, berechnen wir zunächst die Ableitungen p, q, r, s, t erster und zweiter Ord-

a2* [309, 310

nung der durch (2) definierten Funktion 0 von x und y. Einmalige vollständige Differentiation nach x bzw. y ergibt:

anx + ox2y + ax3z + «u + (<h»x + «23 2/ + «33^ + au)P = 0, av2x -f a₂₂y + «23^ + «24 + («13# + «23?/ + «33^ + «34) 9 ⁼ 0. Wir fordern nach (1), daß für x = y = 0 — 0 auch^ = gr = 0 sei. Dies tritt für eru = a₂₄ = 0 ein. Von der Annahme a3i — 0 ist übrigens abzusehen, da sonst die Fläche (2) ein Kegel wäre, der im Anfangspunkt seine Spitze, d. h. einen singulären Punkt, hätte. Differenzieren wir die beiden letzten Gleichungen noch einmal vollständig nach x bzw. y, so gehen drei Gleichungen für r, s, t, hervor:

«n + 2a₁₃p + «₃₃p² + (a₁₃x + a₂₃y + a₃₃z + a3i)r = 0,

«12 + «13 2 + «23 P + «33PO. + («13* + «23?/ + «33^ + «34) S 0,

«22 + 2«₂₃(? + «33 9~ + («₁₃ X + «23 V + «33^ + «34) * = °-Wir haben nun für den Fall einer Berührung in zweiter Ordnung zu fordern, daß für x = y = z=p^=q — 0 die Werte (1) von r, s, t hervorgehen. Also muß sein:

«11 + «12 = «22 +

Da a3i =4= 0 ist, darf au — 1 gesetzt werden. Nach (2) kommt dann

(3) -(

2zJ -f- 2a₁₃xz -f- 2a₃₃yz + a₃₃z* = 0

als die Gleichung der allgemeinsten Fläche zweiter Ordnung, die in M mit der gegebenen Fläche eine Berührung in mindestens zweiter Ordnung eingeht und in M keinen singulären Punkt hat. Berechnet man die Ableitungen dritter Ordnung von 0 nach x und y und setzt sie gleich den Werten, die sie für x = y = 0 — 0 bei der gegebenen Fläche 0 = fix, y) haben, so erkennt man, daß sich mehr Bedingungen als verfügbare Konstanten ax3, a₂₃, ai3 ergeben. Solange wir also nicht für den Flächenpunkt M besondere Annahmen machen, gibt es unter den Flächen (3) keine, die mit der gegebenen Fläche eine Berührung von höherer als zweiter Ordnung eingeht. Die Flächen (3) sind folglich nach Nr. 302 als die in M oszillierenden Flächen zweiter Ordnung zu bezeichnen.

3101

311. Die Indikatrizen. Dupin, dem wir diese Beirachtungen verdanken, bestimmte den Kegelschnitt, in dem eine der oskulierenden Flächen zweiter Ordnung durch diejenige Ebene geschnitten wird, die durch den Mittelpunkt der Fläche zweiter Ordnung geht und zur Tangentenehene von M parallel ist. Der Mittelpunkt M₀ oder (x₀, y₀, z₀) einer Fläche (3) der vorigen Nummer wird nach den Regeln der analytischen Geometrie durch die Bedingungen bestimmt:

(1)

x₀ = lilanz₀,

ai3X0 +    + a33²0 +1=0.

In einer durch den Punkt M₀ parallel zur xy-Ebene gelegten Ebene benutzen wir als £- und tj-Achse die durch M₀ parallel zur x-Achse und ?/-Achse gezogenen Geraden, so daß # = #„ + £, y = y₀ + 1), z = z₀ zu setzen ist. Tun wir dies in der Gleichung (3) der vorigen Nummer, so ergibt sich mit Rücksicht auf (1) die Gleichung

(2)

-VT +

eines Kegelschnittes mit dem Mittelpunkte M₀. Projizieren wir ihn in der Richtung des Strahles von M₀ nach dem Flächenpunkte M auf die Tangentenebene von M, d. h. auf die xy-Ebene, so ergibt sich ein kongruenter Kegelschnitt, dessen Mitte M ist und dessen Achsen in den Hauptschnitten von M gelegen sind. Dieser Kegelschnitt heißt eine Indikatrix des Flächenpunktes M.

Da wir über a₁₃, a₂₃, a₃₃ willkürlich verfügen können, können wir übrigens einen beliebigen Punkt M₀ als Mitte der oskulierenden Fläche zweiter Ordnung wählen, denn wenn wir x₀, y₀, z₀ irgendwie wählen, lassen sich an, a₂₃ und a₃₃ aus (1) berechnen. Die Größe z₀ in (2) ist also willkürlich. Wir kommen mithin zu einer Schar von Kegelschnitten:

= konst.

Wenn wir nicht gerade durch die Mitte M₀ einer der oskulierenden Flächen zweiter Ordnung die zur Tangentenebene von M parallele Ebene legen, sondern in ganz beliebiger Höhe über der Tangentenehene, gehen bekanntlich als

Schnittkurven mit der Fläche zweiter Ordnung lauter ähnliche Kegelschnitte hervor, deren Mitten auf MM₀ gelegen sind. Ihre Projektion auf die Tangentenebene von M in der Richtung von Mq nach M liefert also ebenfalls die Kegelschnitte (3). Hiernach hat sich ergeben:

Satz 9: Alle diejenigen Flächen zweiter Ordnung, die eine gegebene Fläche in einem ihrer Funkte M in der zweiten Ordnung berühren, ohne dort eine singuläre Stelle zw haben, werden von den zur Tangentenebene von M parallelen Ebenen in Kegelschnitten getroffen, die, in der Richtung von ihren Mitten nach M auf die Tangentenebene von M projiziert, die Gleichung

f Ir = honst.

JAj    -ftg

mit einer willkürlichen Konstante haben, wenn 11, und R₃ die Hauptkrümmungsradien von M und die x- und y-Achse diejenigen Tangenten von M sind, die in den zu Rt und R₃ gehörigen Hauptschnitten von M liegen.

Wenn wir Polarkoordinaten co, q in der Tangentenebene von M benutzen, indem wir x = q cos co, y — q sin co setzen, kommt statt (3):

₉ /cos ² co

n—

sin² co

it;

= konst.

Der Eulersche Satz von Nr. 308 gibt also:

(4)

= konst.

Satz 10: Hie Krümmungsradien der Normalschnitte eines Flächenpunktes M sind proportional zu den Quadraten derjenigen Radienvektoren einer der Dupinschen Indikatrizen von M, die in den betreffenden Normalschnittebenen gelegen sind.

312. Elliptische, hyperbolische und parabolische Punkte. Wenn die Hauptkrümmungsradien R₁ und R₃ das nämliche Vorzeichen haben, also alle Normalschnitte von M nach derselben Seite der Tangentenebene hin konvex sind (vgl. Nr. 309), ergehen sich nur daun reelle Indikatrizen, wenn der Konstante in der Formel des Satzes 9 dasselbe Vorzeichen gegeben wird, und zwar sind sie Ellipsen. Deshalb heißt ein Flächenpunkt elliptisch, wenn für ihn RXR₃ > 0 ist.

Wenn Rx und R₂ verschiedene Vorzeichen haben, so daß 311, 313]

die Normalsclmitte von M teils nach der einen, teils nach der anderen Seite der Tangentenebene hin konvex sind, ergeben sich dagegen als Indikatrizen lauter Hyperbeln. Sie haben sämtlich dieselben Asymptoten, da durch tg²a> = — P₂: Px die Winkel co der Asymptoten mit der :r-Achse bestimmt werden. Die Asymptoten liegen nach Nr. 309 in denjenigen Normalschnitten von M, deren Krümmung in M gleich Null ist. Je nachdem die Konstante in der Gleichung der Indikatrizen positiv oder negativ gewählt wird, liegt die Hyperbel im einen oder anderen Winkelfelde der Asymptoten. Ein Flächenpunkt heißt deshalb hyperbolisch, wenn für ihn Rx iü₂ < 0 ist.

Es kann auch der Fall eintreten, wo 1 : R₁ oder 1 : ir2 gleich Null ist. Im Falle 1:    = 0 z. B. besteht jede Indikatrix

aus zwei zur a>Achse parallelen Geraden und kann -als Ausartung einer Parabel aufgefaßt werden. In diesem Falle heißt der Flächenpunkt parabolisch. Die Krümmungen aller Normalschnitte von M sind hier nach dem Eulerschen Satze, Nr. 308, zwischen Null und 1 :    gelegen, d. h. alle Normalschnitte

sind nach derselben Seite der Tangentenebene hin konvex.

Ist sowohl 1 : Bx als auch 1 : i?₂ gleich Null, so haben alle Normalschnitte des Flächenpunktes M nach dem Eulerschen Satze die Krümmung Null. Die allgemeine Formel (1) in Nr. 306 lehrt, daß dies nur dann eintreten kann, wenn dort r = s = t = 0 ist, und zwar unter Voraussetzung einer beliebigen Lage des Achsenkreuzes. Derartige Flächenpunkte sollen als singuläre Punkte von den allgemeinen Betrachtungen ausgeschlossen werden. Für einen derartigen Punkt wird die Gleichung (3) der oskulierenden Flächen zweiter Ordnung in Nr. 310 einfach diese:

z(2anx + 2a^y -f a3Sz + 2) = 0.

Die Flächen zerfallen also in die Tangentenebene von M und je eine beliebige Ebene. Nach Satz 21 von Nr. 301 berührt andererseits eine Ebene z = ax -f- by + c, bei der jar = s = tf = 0 ist, eine Fläche in einem Punkte in der Tat nur dann in mindestens zweiter Ordnung, wenn für die Fläche dort auch r = s = t = 0 ist.

Für einen Nabelpunkt (vgl. Nr. 307) sind die Indikatrizen

[31»

Kreise. Ist die gegebene Fläche selbst eine Fläche zweiter Ordnung, so gehört sie mit zu ihren oskulierenden Flächen zweiter Ordnung. Die Nabelpunkte einer Fläche zweiter Ordnung sind mithin die Berührungspunkte derjenigen Tangentenebenen , die den Kreisschnitten der Fläche parallel sind, vgl. das Beispiel in Nr. 307.

313. Ableitung früherer Ergebnisse aus den Indi-katrizen. Mit Hilfe der bekannten Eigenschaften der Kegelschnitte und auf Grund des Satzes 10 von Nr. 311 lassen sich die Sätze 6 bis 8 von Nr. 308 von neuem beweisen. Bei einer Ellipse ist ja die Summe der Quadrate der reziproken Werte zweier zueinander senkrechter Halbmesser konstant. Außerdem sind bei einer Ellipse und auch bei einer Hyperbel zwei Halbmesser, die mit der Hauptachse den gleichen Winkel bilden, gleich lang. Um Satz 6 von Nr. 308 insbesondere für einen hyperbolischen Punkt abzuleiten, müssen wir beachten, daß die Konstante in der Formel (4) von Nr. 311 die in der Gleichung der Indikatrizen auftretende Konstante ist. Der Satz 10 von Nr. 311 gilt also für alle Normalschnitte eines hyperbolischen Punktes, wenn wir die beiden Hyperbeln

% ⁺ 4 “ ± 1:

mit derselben Konstante k, aber verschiedenen Vorzeichen von Ti benutzen. Dies sind zwei sogenannte konjugierte Hyperbeln. Für diejenigen Normalschnitte, deren Ebenen die eine oder andere Hyperbel schneiden, lautet dann die Formel (4) von Nr. 311 so:

— k.

= k bzw. Q

Jt\

Bei konjugierten Hyperbeln ist aber die Differenz der Quadrate der reziproken Werte zweier zueinander senkrechter Halbmesser konstant. Sind nun q und q solche Halbmesser und B und B' die zugehörigen Krümmungsradien, so ist p² = kB,-p'² = — kB', also:

= konst.

W

wie in Satz 6 von Nr. 308.

313, 313]

g 2. Die Dupinschen Indikatrizen

505

314. Ein Ausnahmefall. Der Eulersche Satz in Nr. 308, der aussagt, wie sich die Krümmung eines Normalschnittes eines Flächenpunktes M gesetzmäßig ändert, sobald sich die Ebene um die Normale von M dreht, gilt nur dann, wenn die Ableitungen p, q, r, s, t an der betrachteten Stelle M der Fläche 3 = f{x, y) bestimmte endliche Werte haben, vgl. die allgemeine Voraussetzung in Nr. 303. Daß sonst das Gesetz, nach dem sich die Krümmung eines Normalschnittes ändert, ganz anders sein kann, soll an einem Beispiele gezeigt werden:

Wir betrachten die Fläche:

(1)

z =    -y\

² 41)

Dabei bedeute <p eine gegebene Funktion von y : x. Führen wir Polarkoordinaten vermöge x = qcosg), ?/= p sin co ein, so kommt:

p²

(2)

2<p(tgw)

Für einen bestimmten Wert von cd ist dies die Gleichung derjenigen ebenen Kurve, in der die Fläche durch die Ebene y = x tgcD geschnitten wird, und zwar geschrieben in den rechtwinkligen Koordinaten q und 3. Diese Kurve ist eine Parabel, die den Anfangspunkt zum Scheitel hat und deren Scheiteltangente in der xy-Ebene liegt. Der Anfangspunkt ist folglich ein Punkt der Fläche, die ,0-Achse die Normale dieses Flächenpunktes und die betrachtete Kurve ein Normalschnitt, der zum Anfangspunkte gehört. Da der Krümmungsradius der Parabel y = cx² im Scheitel gleich 1: 2c ist, hat die durch (2) dargestellte Parabel im Anfangspunkte den Krümmungsradius R — cp (tg cd), und weil nun die Funktion cp von y : x oder tgeo willkürlich gewählt werden kann, ist der Anfangspunkt ein Punkt der Fläche (1), für den der Eulersche Satz über die Krümmungen der Normalschnitte nicht zu gelten braucht. Für den Anfangspunkt werden aber auch die Ableitungen der durch (1) definierten Funktion 3 von x und y unbestimmt. Denn cp kann als Funktion von y : x verschiedene Werte annehmen je nach der Art, wie man sich dem Anfangspunkte auf der Fläche nähert.

315. Konjugierte Tangenten. Auf der Fläche z = fix, y)

sei eine Kurve gegeben. Ihre Koordinaten x, y, z sind Funktionen einer Hilfsveränderlichen, vgl. Nr. 303. Die Tangentenebene der Fläche in einem Punkte (x, y, z) oder M der Kurve hat in den laufenden Koordinaten g, t), i nach (5) in Nr. 253 die Gleichung:

(1)

§ - g — p (g - x) - q (t) - t|) = 0.

Hierin sind x und y und also auch z, p und q Funktionen der Hilfsveränderlichen. Die Gesamtheit derjenigen Tangentenebenen der Fläche, deren Berührungspunkte M auf der Flächenkurve liegen, bildet also eine von der Hilfsveränderlichen abhängige Schar, deren Einhüllende nach Nr. 282 eine abwickelbare Fläche ist. Zur Bestimmung dieser Fläche müssen wir die Gleichung (1) nach der Hilfsveränderlichen differenzieren, was der Akzent andeuten soll:

— z' - p(i — x) — q(\) — y) + px + qy ^ 0.

Längs der Kurve ist z = f(x, y), daher dz = pdx -f- qdy oder z = px -f- qy', so daß bleibt:

(2)

Elimination der Hilfsveränderlichen aus (1) und (2) gibt die Gleichung der abwickelbaren Fläche, geschrieben in den laufenden Koordinaten g, t), §.

Um die Gratlinie der abwickelbaren Fläche zu bestimmen, differenzieren wir (2) abermals. Es kommt:

(3)

p\l — x) + q(l) - y) - (px + qy) = 0.

Die Gleichungen (1), (2), (3) werden zusammengefaßt in den Formeln:

(4)

px -f- qy

l — x^ 9 — y₌ h~z i — p p ü — <ip qp"—pq

Sie geben die laufenden Koordinaten g, Ij, 5 der Punkte der Gratlinie als Funktionen der Hilfsveränderlichen. Die Gleichungen (4) sind, wenn von dem letzten Bruche abgesehen wird, dieselben wie (1) und (2) und bestimmen für jeden Wert der Hilfsveränderlichen eine geradlinige Charakteristik der Einhüllenden, die durch den zugehörigen Punkt M der gegebenen Flächenkurve geht. Diese Charakteristik ist, weil 315] sie in der Tangentenebene (1) liegt, eine Tangente der gegebenen Fläche in ihrem Punkte M.

Von jedem Punkte M der Flächenkurve gehen also zwei bei der gegenwärtigen Betrachtung besonders beachtenswerte Tangenten der Fläche aus, erstens die Tangente der Flächen-kurve, zweitens die Erzeugende der abwickelbaren Fläche der Tangentenebenen. Diese beiden Tangenten heißen nach Dupin zueinander konjugiert.

Nunmehr seien M und M' zwei benachbarte Punkte der gegebenen Fläche. Wir denken uns durch M und M' eine Kurve auf der Fläche gezogen. Die Tangente der Kurve in M ist die Grenzlage, der die Sekante MM' zustrebt, wenn M' auf der Kurve nach M wandert. Andererseits ist die durch M gehende konjugierte Tangente, d. h. Erzeugende derjenigen abwickelbaren Fläche, die von allen Tangentenebenen längs der Flächenkurve umhüllt wird, die Grenzlage der Schnittlinie der Tangentenebenen von M und M'. Wenn also ein Punkt M auf der Fläche nach irgendeiner Richtung hin zu tu andern beginnt, d. h. die Richtung einer von M ausgehenden Flächentangente einschlägt, dreht sich seine Tangentenebene zunächst um die zu dieser Tangente konjugierte Tangente des Flächenpunktes M. Schon hieraus erhellt, daß die konjugierte Tangente vollständig bestimmt ist, sobald nur die ursprüngliche Tangente von M und nicht die ganze von M ausgehende Flächenkurve gegeben wird. Analytisch leuchtet dies so ein:

Die Richtungskosinus a, ß, y der von M ausgehenden Tangente der Flächenkurve sind zu x', y, z proportional. Andererseits sind die Riehtungskosinus a1} ß1} yt der konjugierten Tangente wegen der drei ersten Glieder in (4) zu q, — p und pq — qp proportional. Aber wegen dp = rdx -f- sdy und dq = sdx+tdy ist p = rx + sy' und q = sx -f ty . Mithin sind al} ßt, yt zu

sx + ty, - (rx + sy), (ps — qr)x + (pt - qs)y' proportional. Folglich kommt:

(5)

sec -j- tß

ßi

7i

— (rcc -f- s ß)

(ps — qr)oc-\- (pt — qs)ß Wenn also für einen bestimmten Punkt der Fläche z=f(x,y)

[315

eine Taugente gewählt worden ist, d. li. ihre Richtungskosinus a, ß, y gegeben sind, liefern die Gleichungen (5) die Richtung der zur gewählten Tangente konjugierten Tangente mit den Richtungskosinus ccx, ßl} yx.

Die beiden Gleichungen (5) lassen sich auf nur eine zurückführen. Denn wegen dz =pdx -f qdy ist:

y-poc + qß, Yi = P«i + 2ßi-

Es bleibt daher die durch Gleichsetzen der ersten beiden Brüche in (5) hervorgehende Gleichung als einzige wesentliche •übrig. Sie kann übersichtlicher so geschrieben werden:

(6)

rccax -f- s{aßx -f ßax) -f- tßßx = 0.

Weil sie sich nicht ändert, wenn a, ß, y bzw. mit ax, ßX} yt vertauscht werden, folgt, daß umgekehrt die zur zweiten Tangente konjugierte Tangente die erste Tangente ist. Dies erst berechtigt zu der Bezeichnung beider Tangenten als konjugiert. Diese Benennung hat aber noch einen anderen Grund:

Wählen wir nämlich den Flächenpunkt M wie in Nr. 310 als Anfangspunkt, so daß für ihn p = q = s = 0,r=l:Rx und t = 1 : i?₂ ist, und bildet die eine Tangente mit der x- Achse den Winkel tu, die andere den Winkel cox, so ist cc = cosra, /3 = sinro und a₁ = coso>₁, /3₁ = sina)₁, so daß aus (6) folgt:

(?)

tgotgöi = -|j‘

Hieraus ergibt sich mit Rücksicht auf die Gleichung der Indi-katrizen in Satz 9 von Nr. 311:

Satz 11: Konjugierte Tangenten eines Flächenpunktes sind identisch mit konjugierten Durchmessern einer Indikatrix des Punktes.

Nach Satz 10 von Nr. 311 und nach einem bekannten Satze über konjugierte Durchmesser einer Ellipse bzw. zweier konjugierter Hyperbeln (vgl. Nr. 313) folgt sofort:

Satz 12: Die Summe der Krümmungsradien zweier Normalschnitte eines Flächenpunktes, die konjugierte Tangenten haben, ist für den Flächenpunkt gleich der Summe der beiden Hauptkrümmungsradien des Punktes.

Es braucht kaum bemerkt zu werden, daß die Radien natürlich immer mit den zugehörigen Vorzeichen zu messen sind, vgl. die Festsetzung in Nr. 305.

316. Haupttangenten und Haupttangentenkurven.

Liegen zwei konjugierte Hyperbeln vor, so weiß man, daß sie zwei Durchmesser haben, von denen jeder zu sich selbst konjugiert ist, nämlich ihre Asymptoten. Nach Nr. 315 gibt es daher in einem hyperbolischen Punkte einer Fläche zwei Tangenten, von denen jede zu sich selbst konjugiert ist. Im Falle eines elliptischen Punktes, wo also die Indikatrizen Ellipsen sind, gibt es zwar auch zwei, aber sie sind imaginär, weil die Ellipse imaginäre Asymptoten hat. Im Falle eines parabolischen Punktes M arten die Indikatrizen in Paare von parallelen Geraden aus, bei denen, wenn sie als Kegelschnitte aufgefaßt werden, der durch M gehende Durchmesser, der den Geraden parallel ist, bekanntlich zu sich seihst und zu jedem anderen Durchmesser konjugiert ist. Hier also gibt es nur eine zu sich selbst konjugierte Tangente; sie ist reell und gehört zu demjenigen Hauptschnitte, für den die Krümmung gleich Null ist.

Die Formel (7) in voriger Nummer bestätigt diese Ergebnisse. Denn tg a wird gleich tg co1? wenn tg²ra = — P₂ : B1 ist. Haben Rx und P₂ verschiedene Vorzeichen, d. h. liegt ein hyperbolischer Punkt vor, so gehen hieraus für tgra zwei verschiedene reelle Werte hervor. Haben und R₂ dasselbe Vorzeichen, d. h. liegt ein elliptischer Punkt vor, so ergeben sich zwei verschiedene imaginäre Werte. Ist drittens 1:^ = 0, d. li. liegt ein parabolischer Punkt vor, so ergibt sich nur tg ca = 0.

Die zu sich selbst konjugierten Tangenten eines Flächenpunktes heißen seine Haupttangenten (Asymptoten). Sind a, ß die beiden Richtungskosinus einer Haupttangente gegenüber der positiven x- und y-Achse, so gilt für sie in einem beliebigen Punkte der Fläche z = f(x, y) nach (6) in Nr. 315 die Gleichung:

ra²-f- 2saß + tß²= 0.

Wenn dx, dy} dz die Differentiale von x, y, z längs einer Haupttangente sind, ist also für sie:

(1)

rdx² + 2sdxdy + tdy² = 0.

Aus dieser für dy:dx quadratischen Gleichung ergehen sich für dy:dx zwei reelle verschiedene Werte im Falle rt — s² < 0 (hyperbolischer Punkt), zwei reelle gleiche Werte im Falle rt — s² = 0 (parabolischer Punkt) und zwei imaginär konjugierte Werte im Falle rt — s² > 0 (elliptischer Punkt).

Diejenigen Kurven auf der Fläche, die in jedem ihrer Punkte eine Haupttangente berühren, heißen die Haupttan-gentenkurven der Fläche. Sie sind auf demjenigen Gebiete der Fläche vorhanden, dessen Punkte hyperbolisch sind, und überdecken dort die Fläche netzartig, nämlich doppelt, indem durch jeden Punkt dieses Gebietes zwei verschiedene gehen. Da, wo die Fläche parabolische Punkte hat, fallen dagegen die Fort-schreitungsrichtungen auf beiden Kurven zusammen. Im Gebiete der elliptischen Punkte sind die Haupttangentenkurven imaginär. Wenn in (1) für r, s, t die aus z = f(x, y) folgenden Werte in x, y eingesetzt werden, enthält (1) nur x, y und dy:dx und wird also eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, vgl. Nr. 86, nämlich die Differentialgleichung derjenigen Kurven in der xy-Ebene, die die senkrechten Projektionen der Haupttangentenkurven der Eläche sind.

§ 3. Hauptkrümmungsradien und Kriuumungsinaß einer Fläche.

317. Bestimmung der Hauptkrümmungsradien. Die

geschehen darf, weil diese Summe gleich

was

in Nr. 306 angegebene Formel (1) für den Krümmungsradius P desjenigen Normalschnittes, der die Tangente mit den Richtungskosinus a, ß, y enthält, wollen wir zunächst so umformen, daß darin nur die Verhältnisse der Kosinus auftreten. Zu diesem Zwecke multiplizieren wir ihre rechte Seite mit u² ß² y²,

Eins ist. Wegen dz = pdx + qdy wird ferner y = pu + qß. Nach Einsetzen dieses Wertes ergibt sich, nach den Potenzen von a und ß geordnet, die Gleichung:

(1)

Er

py++1

^ a²-\- 2 [pq

Et

Es

ypi -p cf -(- l

W = o.

Die Quadratwurzel ist nach Nr. 304 positiv. Die Formel gestattet, R zu berechnen, sobald nur das Verhältnis a : ß der Richtungskosinus der Tangente gegenüber der x- und ?/-Achse gegeben ist. Umgekehrt: Geben wir R einen bestimmten Wert, so ist (1) eine quadratische Gleichung für a : ß, die, wenn sie reelle Wurzeln hat, zwei Tangenten bestimmt, für deren zugehörige Normalschnitte der Krümmungsradius den gleichen gegebenen Wert hat. Zwei Normalschnitte eines Flächenpunktes haben nun nach Satz 8, Nr. 308, nur dann dieselbe Krümmung, wenn sie zu einem der beiden Hauptschnitte symmetrisch sind. Also liefert (1) die folgende Bedingung für einen Hauptschnitt: Die für a : ß quadratische Gleichung (1) muß zwei gleiche Wurzeln haben, d. h. es muß sein:

(m

Rs

)=(!+»*

Rr

Rt

Vp* + <l² + i

Vp² + <i² +1

VP² + 2S + 1

oder, ausgerechnet:

(2) (rt—s²)R²— [(1 -f-q²)r—2pqs-f (1-f-p²)t]]/p² -f- q²-f 1R -f- (p^A#²+1)²= 0.

Hier liegt eine quadratische Gleichung für R vor. Ihre Wurzeln sind die Hauptkrümmungsradien R₁ und R₂ des betrachteten Flächenpunktes. Zur Bestimmung der zugehörigen Hauptschnitte oder Tangentenrichtungen, also des Verhältnisses a : ß, schließen wir so: Ist R eine Wurzel der Gleichung (2), so hat die für a oder ß quadratische Gleichung (1) eine Doppelwurzel. Für eine Doppelwurzel u einer quadratischen Gleichung Au² -f- 2Ru -f C= 0 ist aber auch AuR = 0. Daher folgt, je nachdem wir (1) als quadratische Gleichung für a oder ß auffassen, daß für die Hauptschnitte:

PQ

Rr

Rs

Vp²+9.²+ 1

)«+(l +s!

Rs

Vp* + s² -F1

«o,

Rt

)/i-0

oder umgeformt:

(3)

ra -f- sß

SCC -f- tß

Vp² + g² + i

(1 +p*)a -j-pqß pqet + (1 -f q²) ß

ist. Die beiden ersten Glieder in (3) stellen eine in a : ß

[317

quadratische Gleichung vor, die zur Bestimmung der Tangenten der beiden Hauptschnitte dient. Nach (2) ist für die Hauptkrümmungsradien Rt und R₂:

(4)

B1 + Rt-    + V +    f+ 1,

(P*+B+ir

b₁r₂ =

und hieraus folgt noch:

(5)

(rt — s²)

pq 1 +p

1+q

(^+g²+i)ä(i+i>²)(i+ga)r *

(r£ — s²)²

Li + p-    l -f-ä⁸

]²

318. Das Graußische Krümmungsmaß. Die Werte der beiden Hauptkrümmungsradien 7^ und R₂ eines Flächenpunktes stehen in engster Beziehung zu derjenigen Größe, die nach Gauß das Krümmungsmaß der Fläche in jenem Punkte heißt. Dies ist übrigens wohlbemerkt eine andere Größe als die in Nr. 308 erwähnte mittlere Krümmung. Wir gelangen zu ihr auf folgendem Wege:

Um den Anfangspunkt 0 als Mittelpunkt wird wie in Nr. 260 die Kugel vom Radius Eins gelegt. Ist nun M ein Punkt der gegebenen Fläche, so ziehen wir von 0 aus denjenigen Radius, dessen Richtung und Sinn ebenso ist wie bei der positiven Flächennormale von 717. Der Endpunkt des Radius heißt das sphärische Bild des Flächenpunktes 717. Jedem Punkte M der Fläche entspricht ein Bildpunkt, umgekehrt aber können zu einem Bildpunkte mehrere Punkte der Fläche gehören, nämlich Punkte mit parallelen positiven Normalen. Wir wollen ein Stück der Fläche betrachten, auf dem es keine zwei Punkte gibt, die parallele und gleichsinnige Normalen haben, so daß alle Punkte 717 dieses Stückes verschiedene Bildpunkte haben.

Wir werden allerdings erst im zweiten Bande den Begriff des Flächeninhaltes einer krummen Fläche definieren können, möchten aber doch schon hier davon Gebrauch machen, um nicht die Definition des Krümmungsmaßes ungebührlich lange hinausschieben zu müssen. Dieser Begriff des Flächeninhaltes 317, 318] ist ja rein geometrisch schon verständlich. Es möge also etwa S den Flächeninhalt des betrachteten Stückes der gegebenen Fläche bedeuten. Die Bildpunkte 3JI der Punkte M dieses Stückes erfüllen alsdann ein gewisses Stück der Kugeloberfläche, und es sei © der Flächeninhalt dieses sphärischen Stückes. Das Verhältnis ©: S nennen wir die durchschnittliche Krümmung des Flächenstückes S, nicht, wie es entsprechend Nr. 260 nahe liegen würde, die mittlere, da die mittlere Krümmung schon eine andere bestimmte Bedeutung hat, vgl. Nr. 308. Ist nun das Flächenstück S eine Umgebung eines gewissen Pnnktes M der Fläche und wird die Umgebung immer kleiner gemacht, so wird das zugehörige sphärische Stück © auch eine immer kleinere Umgebung des sphärischen Bildes SD? von M. Man kann zeigen, daß das Verhältnis © : S einen bestimmten endlichen Grenzwert hat, wenn die Fläche S um M herum nach Null strebt, und dieser Grenzwert heißt nach Gauß das Krümmungsmaß oder die Krümmung der Fläche an der betrachteten Stelle M.

Die Tangentenebene der Fläche in M ist zur Tangentenebene der Kugel in parallel. Je kleiner das Flächenstück S um M herum und dadurch auch das Flächenstück © um äJt herum wird, um so weniger weichen beide Stücke von Teilen dieser beiden parallelen Ebenen ab. Da nun, wie man zeigen könnte, der Flächeninhalt eines Stückes einer Ebene in einem von seiner Form unabhängigen Verhältnisse zu dem Flächeninhalte seiner senkrechten Projektion auf die ^^/-Ebene steht, schließen wir: Um das Krümmungsmaß der Fläche in M zu berechnen, dürfen wir die beiden Flächenstücke S und © durch ihre Projektionen S' und ©' auf die xy-Ebene ersetzen.

Nun möge M' die Projektion von M auf die a?i/-Ebene sein. Wir wählen zwei zu M' benachbarte Punkte und Hf₂' in der #?/-Ebene und betrachten das geradlinige Dreieck M'als die Projektion S’ des Flächenstückes S, das also durch ein krummliniges Dreieck MM₁Mi auf der Fläche begrenzt sei. Sind und die sphärischen Bilder von M1 und JZ₂, so ist die sphärische Fläche © durch ein krummliniges Dreieck 9JI90^9ft₂ begrenzt, dessen Ecken, auf die xy-Ebene projiziert, die Punkte 9JT, 9K/, 9JI₂' liefern mögen. Die

33

Serret-Seheffers, Diff.- u. Iutegr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl.

[318

Projektion © von © ist alsdann durch ein krummliniges Dreieck    begrenzt. Man kann nun beweisen, worauf

wir hier nicht eingeheu, daß die Fläche des krummlinig begrenzten Dreiecks    zur Fläche des geradlinig be

grenzten Dreiecks äJT'äJi/äftj' ein Verhältnis hat, das dem Grenzwerte Eins zustrebt, falls die Punkte SDi/ und 9i)?₂' immer näher an 9JF heranrücken. Daher dürfen wir folgern, daß die Krümmung der Fläche in M der Grenzwert ist:

K — lim

(1)

A9JT SJlj'ÜJl/

a

wobei beide Dreiecke geradlinig begrenzt seien.

Der Punkt M der Fläche z=f(x,y) habe die Koordinaten x, y, z. Der Punkt M' hat dann die Koordinaten x, y. Den Punkt Mx können wir auf derjenigen Geraden durch M' wählen, die zur «-Achse parallel ist, so daß Mx die Koordinaten x -f- z/« und y habe. Dagegen möge Jf₂' die Koordinaten x und y-\-/dy haben. Alsdann hat das Dreieck M'Mx M₂' den Inhalt -^zJxAly.

Die Richtungskosinus der positiven Normale des Flächenpunktes M seien wie immer X, Y, Z. Sie sind zugleich die rechtwinkligen Koordinaten des Bildpunktes äft auf der Kugel. Mithin hat SDP die Koordinaten X und Y. Sie sind gewisse Funktionen von x und y. Wenn nur x um z1x wächst, mögen sie die Zunahmen    und z/x Y erfahren; wenn da

gegen nur y um z/?/ wächst, seien z/₂X und z/₂ Y ihre Zunahmen. Alsdann haben die Ecken des Dreiecks äß'äft/ÜJftj' die Koordinaten:

x, r; x + z/xx, r+z^r; x + z/₂x, r+z/₂r,

so daß ^ (z/₁ X z/₂ V—z/j Yz/₂ X) der Inhalt dieses Dreiecks ist. Nach (1) wird folglich:

K = lim

Ax 14 Y — Ax YAS X

AxAy

— lim

AxX z/₂r _ AXY At X Ax    Ay Ax

Ay

Haben X und Y stetige Ableitungen nach x und y, so kommt:

. =Xx, lim-*— = Y , lim Ax    x’    Ax x)

lim

AxX

AtX

Ay

= Xy, lim

A%Y

mithin:

(2)

K = XxY,-YxXy.

Wir erinnern daran, daß das Vorzeichen des Inhaltes eines ebenen Dreiecks von dem Sinne abhängt, in dem das Dreieck umlaufen wird, und daß wir hier bei beiden Dreiecken den entsprechenden Sinn gewählt haben. Da sie die Projektionen von krummlinigen Dreiecken auf der Fläche und der Kugel sind und diese beiden Flächenstücke in den Umgebungen zweier Stellen M und 907 mit parallelen Tangenten ebenen liegen, haben wir also die Inhalte der Dreiecke auf der Fläche und auf der Kugel mit bestimmten Vorzeichen versehen, die von dem Sinne des Umlaufs abhängen, falls die Fläche von der positiven Normale aus und die Kugel von außen betrachtet wird.

Nach (10) in Nr. 253 haben wir nun:

xr=--²

tr

wobei w = yp¹ -f- (f + 1 ist. Hieraus folgt:

wyp — sw

(3)

x„-

wxp — rw

w*

w¹

r,-

wxq — sw

wy q — t w

so

daß aus (2) hervorgeht:

l wxP ~ rw wyP — sw\ wxq — sw wyq — tw

w*

= \w\rt - s²) - wwx(pt - qs) - wwy{qr - ps)\

Nun ist w² = p²q²1, also wwx = pr + qs, wwy=psJr qt. Demnach geht schließlich nach (4) in Nr. 317 hervor:

(4)

rt — s²

(2p + 2² + l)⁸⁼⁼ BfB*'

Somit ist die Krümmung der Fläche in einem Funkte gleich dem Produkte der beiden Hauptkrümmungen des Punktes.

319. Die Krümmungskurven. Konstruiert man in jedem Punkte einer Flächenkurve die zugehörige Normale der Fläche, so werden diese Normalen im allgemeinen nicht die Tangenten einer Raumkurve sein. Ist es aber im besonderen doch der Fall, so heißt die Flächenkurve eine Krümmungskurve.

In diesem Falle wird die Fläche der Normalen von Ebenen umhüllt (nach Nr. 281). Die durch einen Punkt M oder

[318, 319

(x, y, z) der Krümmungskurve gehende Ebene muß erstens die Normale des Punktes und zweitens die Tangente der Krümmungskurve enthalten. Um nun die Bedingungen für eine Krümmnngskurve aufzustellen, denken wir uns x, y, z als Funktionen einer Hilfsveränderlichen derart, daß die zugehörige Kurve auf der Fläche z = f(x, y) liegt. Deutet dann der Akzent die Differentiation nach der Hilfsveränderlichen an, so sind x', y', z zu den Richtungskosinus der Tangente der Kurve proportional. Sind ferner X, Y, Z die Richtungskosinus der Flächennormale, so wird die Ebene durch die Normale und durch die Tangente der Krümmungskurve in M in den laufenden Koordinaten £, ty, g dargestellt durch die Gleichung:

OM

IC-x t) — y

(i)

x'

0.

Hierin sind x, y, z und mithin auch x, y', z und X, Y, Z Funktionen der Hilfsveränderlichen, so daß zu jedem Werte der Hilfsveränderlichen eine Ebene gehört. Daher liegt eine Ebenenschar vor, und es ist zu fordern, daß die Charakteristiken der von den Ebenen umhüllten Fläche Normalen der gegebenen Fläche seien. Nach Nr. 278 wird die durch M gehende Charakteristik durch die Gleichung (1) und die aus ihr durch Differentiation nach der Hilfsveränderlichen hervorgehende Gleichung bestimmt. Die Differentiation der ersten Zeile in (1) gibt die zweite, abgesehen vom Minuszeichen; also wird die zweite Gleichung der Charakteristik:

OM

--ü

h-z

-0.

Z'

Beide Gleichungen sollen nun durch alle Punkte der Flächennormale, d. h. durch £ = a;-f- Xh, b = Yh, % = z-\-Zh erfüllt werden, wenn ln beliebig ist. Dies ist mit der Gleichung (1) der Fall, so daß die Gleichung (2) allein die notwendige und hinreichende Bedingung für eine Krümmungskurve in der Form liefert: x y z

(3)

= 0.

X Y Z X' Y' Z'

Die Flächennormale ist aber zur Tangente senkrecht, d. h.:

Xz'+ Yy + Zz = 0.

Aus den beiden letzten in x, y', z linearen Gleichungen folgt, daß sich x, y, z zueinander verhalten müssen wie drei Größen, von denen wir die erste angeben:

(ZX' - XZ') Z - (X r - YX') Y,

woraus die beiden anderen durch zyklische Vertauschung von

X,    Y, Z hervorgehen. Wenn zur ersten Größe X²X' addiert und dann X²X' davon wieder subtrahiert wird, kommt:

(X² f Y² + Z²)X'- (XX' + YY' + ZZ')X.

Nun ist aber I²+P+^ = l und also XX' + YY' + ZZ'= 0, so daß die erste Größe einfach gleich X' wird. Also sind

X’ _ Y__ Z' x y' z

die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine Krümmungskurve. Sie besagen, daß die Differentiale von X,

Y,    Z zu denen von x, y, z proportional sein müssen.

Satz 13: Eine Flächenkurve ist dann und nur dann eine Krümmungskurve, wenn längs ihrer die Differentiale der Richtung skosinus X, Yf Z der Flächennormale proportional zu den Differentialen der Koordinaten x, y, z sind.

Man kann der Bedingung (3) noch verschiedene andere Formen geben: Es ist z'=px + qy, ferner nach (10) in Nr. 253 auch X = —p:w, Y= — q:w und Z =l:w, wenn w die positive Quadratwurzel aus p² + q² + 1 bedeutet. Daher wird (vgl. (3) in Nr. 318):

Y' =

Z' = -

[OXP ~ ™)x' + (wyp - sw)y], ^ [0»A ~ sw)x + (wyq - tw)y], ~ [wxx + wyy\.

Setzt man diese Werte in (3) ein, so vereinfacht sich die dritte Zeile der Determinante, mit Rücksicht auf die zweite. Es kommt:

y' px+qy

—v

“2

= 0,

rx + sy sx -j- ty'

oder ausgerechnet:

(4) [(1 -fp²)s —pqr]x²-\-[(l-h^>²)^—(l+g²)^*jxy'— [(1 j-q²)s —pqt]y'²=0.

Da px + qy = z und rx -f sy' = p\ sx -f ty = 2 ist> läßt sich die Bedingung auch so schreiben:

x' + pz' y' + qz’

y z

(5)

-1

jp'

P 1

/ q 0

Führt man in (4) statt x, y die Differentiale dx und dy ein, so kommt:

(6)    [(1 +jP²)s — pqr]dx² + [(1 -\~P²)t — (1 -f* q²)r]dxdy

— [(1 4- q²)s — pqt] dy² = 0.

Hierin sind p, q, r, s, t wegen z = f(x, y) Funktionen von x, y. Diese Gleichung ist folglich nach Nr. 86 eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, nämlich für diejenigen Kurven in der xy-Ebene, die durch senkrechte Projektion der Krümmungskurven auf die xy-Ebene hervorgehen.

320. Die Tangenten der Krümmungskurven. Wird ein Flächenpunkt M wie in Nr. 310 als Anfangspunkt gewählt, so daß für ihn p = q = s = 0 und r = 1: Bl) t — 1 : H₂ ist, so liefert die Gleichung (4) der vorigen Nummer für ihn x'y' = 0, d. h. x = 0 oder y'= 0. Da die Tangenten von M jetzt in der xy-Ebene liegen, bedeutet dies, daß entweder die y-Achse oder die a;-Achse die Tangente der durch AT gehenden Krümmungskurve ist. Weil nun gegenwärtig die #,s-Ebene und 2/0-Ebene die Hauptschnittebenen von M sind, ergibt sich der

Satz 14: Die durch einen Flächenpunkt gehenden Krümmungskurven berühren dort die beiden Hauptschnitte der Fläche.

Hieraus folgern wir, daß durch jeden Flächenpunkt M, der kein Nabelpunkt ist, zwei Krümmungskurven gehen, deren 319, 3ÄO]

Tangenten in M zueinander senkrecht sind. Die Krümmungskurven bilden demnach ein Netz von orthogonalen Kurven. Überall halbieren die Tangenten der Krümmungskurven die Winkel der Haupttangenten, vgl. Nr. 316.

321. Gratlinie der Fläche der Normalen längs einer Krümmungskurve. Wir nehmen wie in Nr. 319 an, eine Krümmungskurve der Fläche z = f(x, y) sei dadurch dargestellt, daß für x, y, z Funktionen einer Hilfsveränderlichen gesetzt seien, die natürlich insbesondere der Flächengleichung genügen müssen. Wie immer seien X, Y, Z die .Richtungskosinus der positiven Normale eines Flächenpunktes M oder (x, y, z\ und der Punkt M gehöre der Krümmungskurve an. Die Punkte (g, t), $) der Flächennormale von M sind dann durch

(i)

g = x -f- Xh, t) = y -}- Yh, § = z -f- Zh

gegeben, wobei h die mit Vorzeichen gemessene Strecke von M bis zum Punkte (g,    §) bedeutet. Die Gratlinie derjenigen

Fläche, die von den Normalen längs der Krümmungskurve gebildet wird, hat diese Normalen zu Tangenten. Mithin muß sich auch die Gratlinie in der Form (1) in den laufenden Koordinaten g, ty, § darstellen lassen, sobald h die richtige Funktion der Hilfsveränderlichen ist. Wir werden diese Funktion so finden: Stellen wir sie uns unter h in (1) vor, so sind g', ty', l' zu den Richtungskosinus der Tangente der Gratlinie proportional, wenn die Akzente die Differentiation nach der Hilfsveränderlichen andeuten. Diese Kosinus müssen andererseits gleich X, Y, Z sein. Also ergibt sich aus (1):

x'+X'h+Xh'^uX, y' + Y'h+Yh'=uY, z'+Z'h+Zh'-uZ,

wobei u einen noch unbekannten Faktor darstellt. Wegen X² + r² + X² = 1 ist aber XX' + YY' + XX' = 0. Multiplizieren wir daher die drei Gleichungen mit X', Y'} Z' und addieren sie dann, so ergibt sich eine von u und h' freie Gleichung, aus der sich h berechnen läßt. Es kommt:

h- —

x’X+y'Y + z‘Z'

X'² -f T'¹ + Z'¹

Um die geometrische Bedeutung dieser Strecke h zu

[320, 321

ermitteln, wählen wir für den Augenblick M wie in voriger Nummer als Anfangspunkt so, daß für M insbesondere p = q — s = 0, r = 1:RX, t = 1 : JR₂ ist. Bedeutet w wie in Nr. 319 die positive Quadratwurzel aus jp² + q² + 1, so wird wwx = pr + qs = 0 und wwy — ps -f- qt— 0; folglich ergeben sich nach derselben Nummer für X', Y', Y' die Werte —x : Rx, — y':B₂ und 0. Nun sind x', y', z zu den Richtungskosinus der Tangente einer der beiden durch M gebenden Krümmungskurven proportional. Diese Tangente fällt aber jetzt nach Nr. 320 entweder auf die x- oder auf die «/-Achse, so daß entweder y' = 0, g'= 0 oder x = 0, z' = 0 ist. Im ersten bzw. zweiten Falle gibt die Formel (2) mithin h = Bx bzw. Dies bedeutet geometrisch:

h = R₍

Satz 15: Die Gratlinie derjenigen abwickelbaren Fläche, die von allen Flächennormalen längs einer Krümmungskurve gebildet wird, ist der geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte aller derjenigen Hauptschnitte, die jene Krümmungskurve berühren.

Kehren wir wieder zu einer beliebigen Lage des Achsenkreuzes zurück, so wissen wir also, daß h entweder gleich Rx oder gleich B₂ zu setzen ist. Nach (1) sind daher entweder

(3)

£ = x + Z.Bxt t) = y -f YRX, l — ² -\- ZBX

oder

(4)

die Gleichungen der Gratlinie.

Vor einem naheliegenden Irrtume ist aber zu warnen: Eine Krümmungskurve hat wie jede Raumkurve nach Nr. 263 für jeden ihrer Punkte M einen Krümmungsmittelpunkt. Er liegt auf der positiven Hauptnormale der Kurve. Diese Hauptnormale ist aber im allgemeinen durchaus nicht die Flächennormale. Also sind 11L und B₂ im allgemeinen durchaus nicht die Krümmungsradien der beiden durch M gehenden Krümmungskurven. Die Gratlinien sind demnach auch im allgemeinen nicht die Orte der Krümmungsmittelpunkte der Krümmungskurven; sie sind aber nach Nr. 291 Filarevoluten der Krümmungskurven.

331]

322. Flächen mit lauter Naheipunkten. Die Kugeln haben nach dem Meusnierschen Satze 1 von Nr. 305 überall Nabelpunkte (vgl. Nr. 307). Ferner haben alle Normalen einer Kugel die Eigenschaft, einander zu treffen (im Fall der Ebene parallel zu sein). Nach der Definition in Nr. 319 ist daher jede Kurve auf der Kugel (oder Ebene) eine Krümmungskurve. Dies zeigt sich analytisch so:

Liegt die Kugel

(x — a)² -f (y — 6)² + {z — c)² — iü² = 0 vor, so ergibt zweimalige Differentiation nach x und y:

1 -\-pijr {? — c)r = 0, pq-\-(z — c)s = 0, 1 + q² 4- (0 — c)t = 0

woraus folgt, daß die drei eckigen Klammern in der Differentialgleichung (6) von Nr. 319 in diesem Falle den Inhalt Null haben, die Gleichung also nichts aussagt. Dasselbe ergibt sich im Falle einer Ebene.

Um alle Flächen zu finden, deren Punkte sämtlich Nabelpunkte sind, gehen wir davon aus, daß nach (3) in Nr. 318 für die Richtungskosinus X, Y, Z der Normale einer Fläche allgemein die Gleichungen gelten:

pqt — (i +jp)s Vjp² + 2* + i⁸ '

pqs— (1 -f p*)t _

Vp*+q* + ia '

Soll die Fläche lauter Nabelpunkte haben, so muß also nach Satz 4 von Nr. 307 überall X„ = 0, Yr = 0 und Xr — Y sein. Nach der ersten Bedingung hängt daher X nur von x, nach der zweiten Y nur von y ab, und folglich ist nach der dritten Xx = Yy konstant. Ist die Konstante von Null verschieden, so kann sie mit 1 : c bezeichnet werden. Dann haben x — cX und y — cY die Ableitungen Null und sind deshalb auch Konstanten x₀ und y₀, so daß X = (x —■ x₀) : c und Y=(y — y₀):c wird. Da X² -f Y² -f- Z² = 1 ist, kommt außerdem:

X* =

X

P<is — (l + q*)r

VK + <i* +1³ ’

y.-

pqr — (1 4-J>²)s

VVTF+V ’

(*-*„)*-

Nach (10) in Nr. 253 ist aber p = — X: Z und q = — Y: Z. Aus dz — p dx + qdy folgt daher:

[32a

(x - x₀) dx -f (y — y₀) dy Vc² — (x — x₀y — (y — y₀y

= 0.

dz +

Auf der linken Seite steht ein vollständiges Differential, nämlich das von 0 ~Vc² — (x — x₀)² — (y — y₀)², und dieser Wert muß daher konstant, etwa gleich z₀, sein. Daraus ergibt sich schließlich:

o - x₀f + (y- yoy + {e - z₀)² = c², d. h. die Fläche ist eine Kugel.

Wir setzten vorhin voraus, daß die Konstante Xx= Yy 4= 0 sei. Ist dagegen Xx = Yy = 0, so ergibt sich noch einfacher X = konst., Y = konst., folglich auch Z = konst. Die Fläche hat also lauter parallele Normalen. Wählen wir die £-Achse in der Richtung dieser Normalen, so muß X =• Y= 0, d. h. p = q = 0, daher z = konst. sein. Wir gelangen mithin zu einer Ebene.

Satz 16: Die Ebenen und Kugeln sind die einzigen Flächen mit lauter Nabelpunkten. Auf ihnen ist jede Kurve eine Krümmungskurve.

323. Die Flächennormalen längs einer beliebigen Flächenkurve. Ehe wir die Krümmungskurven weiter untersuchen, wollen wir eine beliebige Flächenkurve annehmen und einige Formeln aufstellen, die sich auf die Lagerung der Normalen der Fläche z = f(x, y) längs der Kurve beziehen. Die Kurve sei wieder dadurch gegeben, daß für x, y und z Funktionen einer Hilfsveränderlichen gewählt worden sind, die der Gleichung der Fläche Genüge leisten. Die Normalen der Fläche längs der Kurve werden im allgemeinen keine Tangentenfläche bilden, also nicht die Tangenten einer Kurve sein. Aber es wird Raumkurven geben, deren Tangenten zu diesen Normaleo parallel sind; wenn wir davon Gebrauch machen, ergibt sich mit Leichtigkeit eine Reihe von nützlichen Formeln.

Wir stellen uns also eine Raumkurve vor, deren Punkte (xlf yt, zf) ebenfalls Funktionen jener Hilfsveränderlichen sind, so daß jedem Punkte M oder (x, y, z) der Flächenkuvve ein gewisser Punkt Mx oder (x1} y1} zf) der Baumkurse entspricht, nämlich derjenige, der zu demselben Werte der Hilfsveränderlichen gehört, und außerdem soll die Tangente der Baumkurve 322, 323]

in Mx zur Normale des Flächenpunktes M parallel sein. Die auf die Flächenkurve bezüglichen Elemente bezeichnen wir wie üblich, also z. B. mit a, ß, y die Richtungskosinns ihrer positiven Tangente. Die auf die Raumkurve bezüglichen Elemente unterscheiden wir von jenen durch den angehängten Index 1, so daß z. B. ccx, ßx, yx die Richtungskosinus ihrer positiven Tangente sind. Bedeuten wie immer X, Y, Z die Richtungskosinus der positiven Normale des Flächenpunktes M, so ist zunächst nach Voraussetzung:

(1)

A-r,

Yi=Z-

ccx = X,

Nach den Frenetschen Formeln (4), (5), (6) in Nr. 272 kommt ferner:

(2)

dyx = nxdßx; dvx = nxdtx;

dlx — — axdßx — lxdxx, dmx = — ßxdöx — [ildrx, dnx = — yx döx — vx dxx.

Hier ist dßx der Kontingenz- und drx der Torsionswinkel der Raumkurve, so daß sich nach (2), (1) und (3) und wegen lx -f- mx -f- nx — 1 noch ergibt:

(3)

(4)

dax— lxdßx, d 4 — lx d r x,

dßx = mxd6x, dpx = mx dxx,

(5) dax = Yda* + dßx² + dyx² = YdX² + dY² + dZ²,

(6)

dxx = Ydl² 4~ d[ix² 4- dvx.

Die Wurzeln in (5) sind nach Nr. 260 positiv.

Nun sei oo der Winkel zwischen der positiven Tangente der Flächenkurve und der positiven Hauptnormale der Raumkurve (natürlich an entsprechenden Stellen). Ferner sei 6 der Winkel zwischen der positiven Flächennormale und der positiven Hauptnormale der Flächenkurve. Es sind zwei begleitende rechtwinklige Dreikante vorhanden, das des Punktes M der Flächenkurve und das des entsprechenden Punktes Mx der Raumkurve. Legen wir beide mit den Punkten M und Mx zusammen, ohne ihre Richtungen zu ändern, so kommt die erste Kante des zweiten Dreikants, nämlich die Tangente von Mx, in die Ebene der Haupt- und Binormale des ersten Dreikants, da die Tangente von Mx zur Flächennormale von M parallel

[3»3

und die Flächennormale eine Normale der Flächenkurve ißt. Die erste Kante des zweiten Dreikants liegt insbesondere so, daß die Kosinus ihrer Winkel mit der zweiten und dritten Kante des ersten Dreikants, d. h. mit der Haupt- und Binormale von M, gleich cos 9 und sin 9 sind. Da die Tangente der Flächenkurve zur Tangente der Raumkurve senkrecht ist, liegt ferner die erste Kante des ersten Dreikants in der Ebene der zweiten und dritten Kante des zweiten Dreikants und bildet mit ihnen Winkel, deren Kosinus gleich cos co und sinra sind. Die Kosinus derjenigen Winkel, die von der zweiten und dritten Kante des ersten Dreikants mit der zweiten bzw. dritten Kante des zweiten Dreikants gebildet werden, seien vorläufig mit A, B bzw. C, D bezeichnet. Die folgende Tafel gibt eine bessere Übersicht über die Kosinus:

aßy

Imn

cos 9 sin 9

lx m₁ nl

Da je zwei Richtungen eines der beiden Dreikante zueinander senkrecht sind, liefert die Multiplikation entsprechender Glieder je zweier Zeilen bzw. zweier Reihen miteinander die Bedingungen:

COS G)

sin co

A cos 9 -f B sin 0 = 0

G cos 9 -f D sin 6 = 0, sin co cos ca -f AG -f- BD = 0,

A cos ß) -f C sin co = 0, B cosco + D sin co = 0, sin 9 cos 9 -f- AB + CD = 0, aus denen ohne Mühe zu folgern ist:

e sin 9 sin co, B = — e cos 9 sin co,

£ cos 9 cos CO,

G = — e sin 9 cosco,

wobei £ die Zahl + 1 oder — 1 bedeutet. Überdies sind die drei positiven Kanten jedes der beiden Dreikante gegeneinander gleich orientiert. Entsprechend der Formel (5) in Nr. 264, die sich auf die Kosinus der Richtungen eines Dreikants gegenüber dem Dreikant des Koordinaten-Achsenkreuzes bezieht, 323]

muß daher die Determinante der in der Tafel angegebenen Großen gleich Eins sein, woraus s = — 1 hervorgeht. Daher gibt die folgende Tafel sämtliche Kosinus der Winkel beider Drei kante an:

Imn

aßy

«i ßiYi o

Zj ml nx cos 03    — sin 6 sin oj

fG v\

Dies bedeutet im einzelnen:

sin 03

sin 0

cos 6 sin co sin 6 cos 03 — cos0coso3

cos 6

(7)

(8)

(9)

lax + ^ßi + vyx = sinö,

ccax + ßßx + yyx ⁼ 0? Zßj -f- mßx + nyx == cosö,

«Z₁ + /3m₁+^w₁=coso3;    — sinösinos, AZ₁+/rm₁+vnx = cos# sinos,

aX₁-J-/3ft₁ + yi/₁==sino3; ZA₁-f-m;a₁+wv₁ = sinö cosos; XXx-\- y,fix-\-vvx—— cosöcosos.

Differenziert man die Gleichungen (7), (8), (9) und nimmt man Rücksicht auf die Gleichungen (4), (5), (6) von Nr. 272 sowie auf die vorhin aufgestellten Formeln (2), (3) und (4), so ergeben sich, wenn man nach Ausführung der Differentiationen die vorliegenden Formeln (7), (8) (9) benutzt, drei und nur drei verschiedene Gleichungen. Man erhält sie schon, wenn man nur die erste und zweite Gleichung (7) sowie die erste Gleichung (8) differenziert, nämlich die folgenden Beziehungen :

(10)

cos cad6x -f cos 6dö = 0

(12) dt — dB —■ sin codöx.

(11) dtx = ^03 — sin 9dö,

Die Gleichung (12) läßt sich übrigens mit Rücksicht auf (10) auch so schreiben:

(13)

dt = dO -f- cos# tg03<7c».

324. Bedingung für eine Krümmungskurve. Insbesondere werde jetzt angenommen, daß die Flächenkurve eine Krümmungskurve sei. Nach Satz 13, Nr. 319, ist dies der Fall, wenn dx, dy, dz zu dX, dY, dZ proportional sind. Weil nun dx, dy, dz zu den Richtungskosinus a, ß, y der Tangente der Flächenkurve, dagegen dX, dY, dZ nach (1) und (2) in voriger Nummer zu lx, mx, nx proportional sind,

[323, 324

ist die Flächenkurve dann und nur dann eine Krümmungskurve, wenn ihre Tangente zur Hauptnormale der zugehörigen Raumkurve parallel liegt. Folglich ist sin o = 0 die not-ivendige und hinreichende Bedingung für eine Krümmungskurve. Nach (13) in Nr. 323 verschwindet sin eo unter der Annahme cos 6 =f= 0 dann und nur dann, wenn dr = dO ist. Im Falle cos# = 0 folgt «fr = 0, d. h. dann ist die Kurve nach Satz 6 von Nr. 275 eben. Demnach geht der Satz von Lancret hervor:

Satz 17: Eine nicht ebene Flächenkurve ist dann und nur dann eine Krümmungskurve, wenn ihr Torsionswinkel gleich dem Differential desjenigen Winkels ist, den die Flächennormale mit der Hauptnormale der Kurve bildet.

Ist die Kurve eben, also dr = Q, so folgt aus sinoo = 0 und aus (12) in Nr. 323 noch dO = 0. Daher gilt der Satz von Joachimsthal:

Satz 18: Eine Ebene schneidet eine Fläche dann und nur dann in einer Krümmungskurve, wenn die Ebene der Kurve die Fläche überall unter demselben Winkel trifft.

Denn in diesem Falle ist die Hauptnormale der Kurve in der Ebene gelegen; der Winkel der Ebene mit der Tangentenebene der Fläche wird daher das Komplement von 6.

Wenn die Flächenkurve eine Krümmungskurve ist, bilden die Normalen der Fläche längs der Kurve nach der Definition in Nr. 319 eine Tangentenfiäche und sind daher die Tangenten der Gratlinie dieser Fläche. Mithin kann jetzt unter der in voriger Nummer eingeführten Uaumkurve diese Gratlinie verstanden werden.

(10)

Ist die Krümmungskurve eben, so folgt noch aus und (11) in voriger Nummer, daß dxx:d<3x = + tgö, also konstant sein muß, weil ja 6, wie wir sahen, konstant ist. Bei der Gratlinie bedeutet aber dtx:dsx, weil dsx ihr Bogen-differential vorstellt, die Torsion und d&x:dsx die Krümmung. Mithin wird das Verhältnis aus Krümmung und Torsion bei der Gratlinie konstant. Nach Satz 16 von Nr. 296 folgt somit:

Satz 19: Die Normalen einer Fläche längs einer ebenen Krümmungskurve sind die Tangenten einer Schraubenlinie.

3»4]

325. Bedingung dafür, daß die Schnittkurve zweier Flächen eine Krümmungskurve ist. Zwei Flächen mögen sich in einer Kurve schneiden. Diese Kurve ist dann in doppelter Weise eine Flächenkurve. Wir behalten die üblichen Bezeichnungen für die Auffassung der Schnittkurve als Kurve der ersten Fläche bei, während wir zur Unterscheidung bei der Auffassung der Schnittkurve als Kurve der zweiten Fläche den Index 1 hinzufügen wollen. Nach (13) in Nr. 323 ist alsdann:

dt = dd -f- cosötgo3(7<? = d6₁ -f- cos0₁ tgm₁(7o,

d. h.:

(1)

d(6 — 6t) = (cosöj tgcoj — cosö tgeo)rf<7.

Nach der Definition in Nr. 323 sind 0 und 0l die Winkel, die von der positiven Hauptnormale der Schnittkurve mit den positiven Normalen der beiden Flächen gebildet werden. Alle drei Geraden liegen in der Normalebene der Schnittkurve. Daher bedeutet 0 — 0y den Winkel, den die beiden Flächennormalen miteinander in einem Funkte der Schnittkurve bilden. Ist nun die Schnittkurve auf beiden Flächen eine Krümmungs-kurve, so wird nach Nr. 324 sowohl sin ca als auch sino^ gleich Null, mithin d (0 — Of) = 0, also 0 — konstant. Hieraus folgt der Satz von Bonnet:

Satz 20: Ist die Schnittkurve zweier Flächen auf beiden Flächen eine Krümmungskurve, so schneiden sich die Flächen längs der Kurve unter einem konstanten Winkel.

Umgekehrt: Die Schnittkurve sei auf der zweiten Fläche eine Krümmungskurve, und außerdem mögen sich die Kurven unter einem konstanten Winkel schneiden. Alsdann ist sin C5j = 0 und d(0 — 0f) = 0, so daß aus (1) folgt, daß cosötgm = 0 sein muß. Im Falle cosö=|=0 wird also sinra = 0, d. h. die Kurve muß auch auf der ersten Fläche eine Krümmungskurve sein. Im Falle cos 6 = 0 versagt zwar dieser Schluß. Wir werden aber in der nächsten Nummer sehen, daß auch dann stets die Folgerung gilt:

Satz 21: Schneiden sich zwei Flächen längs einer Kurve unter einem konstanten Winkel und ist die Schnittkurve auf der einen Fläche eine Krümmungskurve, so ist sie es mich auf der andern.

Weil jede Kurve einer Ebene oder Kugel nach Nr. 322 eine Krümmungskurve ist, ergibt sich noch ein Satz, der den Joachimsthalschen Satz 18 von Nr. 324 mit umfaßt:

Satz 22: Eine auf einer Fläche gelegene ebene oder sphärische Kurve ist dann und nur dann eine Krümmungslcurve der Fläche, wenn die Ebene oder Kugel, auf der die Kurve liegt, die Fläche unter einem konstanten Winkel schneidet.

Eine einfache Anwendung von Satz 21 ist diese: Die Tangentenebenen einer Tangentenfläche berühren die Fläche längs erzeugender Geraden, vgl. Nr. 281, und bilden also längs dieser Geraden den Winkel Null mit der Fläche. Mithin folgt:

Satz 23: Die Erzeugenden einer Tangentenfläche sind Krümmungskurven der Fläche.

326. Andere Ableitung des Hauptsatzes der vorigen Nummer. Wir betrachten wieder zwei Flächen und wollen die Ableitungen von z nach x und y auf der zweiten Fläche zum Unterschiede mit dem Index 1 versehen. Alsdann gelten für die Schnittkurve beider Flächen die beiden Formeln:

dz = pdx + qdy, dz — ptdx -f- qxdy.

Wenn nun der Akzent die Differentiation nach der Hilfs veränderlichen andeutet, mittels derer die Schnittkurve dargestellt wird, folgt hieraus:

(1)

y’

z'

a —Pi —p m—<hP

Diese drei gleichgroßen Brüche wollen wir mit k bezeichnen. Außerdem setzen wir:

x -j-pz'

(2)

= P,

Pf

Alsdann kommt:

Pp = [q(ppt + qql + 1) - qt(p² + q² + 1)]&,

Qq = [p^p² + 3² + 1) - p(ppx + qqx + 1)]&.

den Winkel der Normalen beider Flächen in

Wenn

einem Punkte ihrer Schnittkurve bedeutet, also nach (10) in

<P

Nr. 253:

cos cp =

Vjp*Hb2* +1 VPi* + qt* +¹

325, 3J86]

ist, folgt aus dem Vorhergehenden:

d COsqp

dp

, dcosqp ,

*,+-dT⁽i =

(Q-P)p'q

k}/p²-\-q²+lJ ]/Pl ² +    ² + 1

Eine entsprechende Formel ergibt sich, wenn p, q, p'} q mit Pi> Qi>Pi'j Qi und P} Q Pu Qi vertauscht werden. Durch Addition beider Formeln geht hervor:

(3) (cos cp)'

Q-P

*Vp*+9.£+iYpi*+<Ii*+1VMr-fM-i

PQ~\

Qi—Pi / A

(4)

Nach (2) sind

(Q - P)p'q' = 0 und Wi-PiKffi'“ 0

nun

wegen (5) in Nr. 319:

die Bedingungen dafür, daß die Schnittkurve auf der einen oder andern Fläche eine Krümmungskurve ist. Fügen wir noch die Gleichung hinzu, die aussagt, wann der Winkel cp konstant ist:

(5)

(cos cp)' = 0,

so lehrt die Formel (3), daß zwei der drei Bedingungen (4) und (5) jedesmal die dritte nach sich ziehen, womit die Sätze 20 und 21 der vorigen Nummer von neuem bewiesen sind. Dabei ist nur noch zu bemerken, daß die in (3) auftretende Größe k, die ja die drei gleichen Brüche (1) darstellt, nur dann verschwindet, wenn die Schnittkurve eine Gerade ist, in welchem Falle wir den Satz 18 von Nr. 324 heranziehen können, indem wir durch die Gerade eine Ebene legen.

§ 4. Dreifache orthogonale Flächensysteme.

327. Begriff eines dreifachen Flächensystems.

Werden drei Funktionen cp, %, von x, y, z drei willkürlichen Konstanten X, y, v gleichgesetzt:

(1) cp(x,y,z) = X, %(x,y,z) = y, y>(x,y,z) = v,

so stellt jede einzelne Gleichung eine Flächenschar dar. Wir setzen voraus, daß diejenigen drei Flächen, die sich ergeben, wenn wir X, y, v drei bestimmte Werte — innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches — beilegen, einen Schnittpunkt (x, y, z) haben, die drei Gleichungen (1) also nach x, y, z

Serret-Scheffers, Diff.-u.Integr.-Kechn. I. 6.u.7.Auf!.

³⁴    [326, 327

auflösbar seien:

(2)

x=0{X,g,v),    y=X{X,g,v),    0—V?(X,ii,v)

Nach Satz 3 von Nr. 79 setzen wir also voraus, daß die drei Funktionen cp, cp voneinander unabhängig seien. Man sagt alsdann, daß die Gleichungen (1) ein sogenanntes dreifaches Flächensystem definieren.

In (2) bedeuten 0, X, 0 die zu den drei Funktionen (1) inversen Funktionen (vgl. Nr. 81). Die rechtwinkligen Koordinaten eines beliebigen Punktes (x, y, z) des Raumes sind nun innerhalb eines gewissen Bereiches durch (2) mittels der drei veränderlichen Größen A, g, v ausgedrückt. Ein Beispiel hierzu ist die Art, wie man die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z durch räumliche Polarkoordinaten r, 6, cp ausdriicken kann, vgl. (7) in Nr. 251. Wenn drei nach A, g, v auflösbare Gleichungen (2) vorliegen, sagt man, daß die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z als Funktionen krummliniger Koordinaten A, g, v dargestellt seien. Während nämlich je zwei der drei Gleichungen x = konst., y = konst., z = konst. zusammen eine gerade Linie definieren, wird durch je zwei der drei Gleichungen A = konst., g = konst., v = konst. nach (1) eine krumme Linie, nämlich die Schnittlinie von zwei Flächen der drei Scharen, gegeben.

Wenn wir nun etwa den Größen g und v bestimmte Werte beilegen, aber A veränderlich lassen, stellen die Gleichungen (2) die Punkte (x, y, z) der Schnittlinie zweier Flächen g = konst. und v = konst. des Systems (1) dar, ausgedrückt mittels der Hilfsveränderlichen A. Daher sind nach Nr. 252 die Ableitungen xx, yx, zx der drei Funktionen (2) proportional zu den Richtungskosinus der Tangente dieser Schnittkurve.

Wenn wir in der Folge von den drei Funktionen x, y, z oder von den drei Funktionen A, g, v sprechen, so meinen wir damit die drei Funktionen (2) von A, g, v bzw. die drei Funktionen (1) von x, y, z.

328. Dreifaches orthogonales Flächensystem. Bedeuten wie vorher x, y, z voneinander unabhängige Funktionen von A, g, v und umgekehrt A, g, v die dazu inversen Funktionen von x, y, z, so heißt das dadurch definierte dreifache Flächen-

3»8]

systera insbesondere orthogonal, wenn jede Fläche jeder Schar die Flächen der beiden andern Scharen überall senkrecht schneidet. Die Bedingungen hierfür lassen sich in doppelter Weise ausdrücken:

Zunächst nämlich sind, wenn x, y, z die Koordinaten eines beliebig herausgegriffenen Punktes bedeuten, Xx, X , Xz zu den Richtungskosinus der Normale derjenigen Fläche X = konst. proportional, die durch diesen Punkt geht, nach Nr. 253. Ebenso sind gv, gy, gz bzw. vx, vy, vz zu den Richtungskosinus der Normalen derjenigen beiden Flächen g = konst. und v = konst. proportional, die durch den Punkt gehen. Für die Orthogonalität ist folglich notwendig und hinreichend, daß die Summen der Produkte entsprechender Ableitungen der g und v, der v und X und der X und g gleich Null seien. Wir können aber auch so schließen: Es ist notwendig und hinreichend, daß die drei durch den beliebigen Punkt (x} y, z) gehenden Schnittkurven je zweier der genannten drei Flächen in diesem Punkte zueinander senkrechte Tangenten haben. Nach der vorigen Nummer sind nun xx, yx, zX) ferner xu, y¹ , z^ und endlich xy, yv, zv zu den Richtungskosinus dieser drei Tangenten proportional, so daß die Summen der Produkte entsprechender Ableitungen der x, y, z nach g und v, nach v und X und nach X und g gleich Null gesetzt werden müssen.

Demnach lassen sich die notwendigen und hinreichenden Bedingungen der Orthogonalität in einer der beiden folgenden Arten ausdrücken:

+ Pyvv +    = °>

(!) ' vxK + vyK + v,x, = o, ^ ⁼

XuXr + y,uVv + V* ⁼

(2) xvxx + yvyx + zvzx = 0,

+ w? = °-

In Nr. 330 wird gezeigt werden, wie man die Bedingungen der einen Art analytisch in die der andern Art umformen kann.

329. Partielle Differentialgleichung dritter Ordnung für ein dreifaches orthogonales Flächensystem.

Aus den Orthogonalitäts-Bedingungen der ersten Art kann man zwei der drei Funktionen X, g, v entfernen, indem man noch die Gleichungen benutzt, die durch die Differentiation dieser

34* [338, 33«

Addieren wir alle drei Gleichungen, so geht rechts Null hervor. Setzen wir außerdem- die Werte von Kvx, Kvy, Kvz aus (1) auf der linken Seite ein, so kommt:

~d(k {i — A. y ) d(l y — l y V

\ 2 x xK zJ    \ xk y y x/

Vx

dz

dy

d (X 11 — X 11 ) c (X a — X 11 ^

+ vy L

\ x* y y' x)    \ yl z z y>

dz

Bedingungen her Vorgehen. Nach den beiden ersten Gleichungen (1) der vorigen Nummer ist nämlich zunächst:

(1) Kvx = lyftz~Kfty, Kvy = lzyx — Kftz, Kvz = Xx[Ly-lytix,

wobei K eine gewisse Funktion von x, y, 2 bedeutet; und

hiernach gelten auch die Formeln:

dKv dKv y    *

Vx

dz

vA

dKvz

dx

dKv

X

Vz

dy

) = VxVyKz - VxVzKy>

dKv \

jf ) = vyv*K* ~ vyv*K*>

"') = VzVxKy ~ V,VyKx.

dy

dKv

dx

dx

_ W.-Wl

dy    dx -1

Führen wir die Differentiationen aus und addieren wir noch die beiden ersten Gleichungen (1) der vorigen Nummer, nachdem sie zuvor mit

Kx Kv Kz bzw. yxx -f- \i,jy -f- yzg

multipliziert worden sind, so folgt:

Vx(.^xftxX    KftW    f^XZ ftx^XX ftyKy ft z^Xz)

(ß)    +    Vyi^xpxy +    K^yy    +    Kftv* ~ ftx^xy — ftyKy ~ ftz^yz)

+    Vz (hftxz +    ly ftyt    +    K ftzz - ftx Kz - fty lyz ~ ftz Kz)    = ⁰‘

Um hieraus die Ableitungen zweiter Ordnung von y zu entfernen, differenzieren wir zunächst die dritte Gleichung (1) der vorigen Nummer nach x, nach y und nach 2, wodurch sich ergibt:

Ix ft xx b    lyftxy    "b ^zftxz    ftx^xx iftyKy ftz^xz*

Ixftxy ~b    lyftyy    ~b l*ftyz    ftx^xy fty^“yy ftz^ytl

K ftxz +    ly ftyz    + K yzz    = —    ftx Kz — ftylyz — ftz Kz ■

Setzen wir die rechts stehenden Werte für die links stehenden in (2) ein und führen wir für vx, vy, v₂ die in (1) rechts angegebenen zu ihnen proportionalen Größen ein, so kommt:

{Xy Xz (pa; Xxx “t“ XXy -f* p; Xxz)

(3)

j "h (Xzgx Xxgz^ (gxXXy -(- gy Xyy d~ gzXyX) ' “f" i^xl^y

Diese Gleichung enthält v nicht mehr; sie ist außerdem frei von den Ableitungen zweiter Ordnung von g und hat, nach den Ableitungen erster Ordnung von g geordnet, die Form:

(4) Agx² -f Bg² + Cg² + A'gyg₂ -f B'gsgx + C’gxgy = 0,

wobei die Koeffizienten die Bedeutungen haben:

A = XzXXy    X^Axzy B = XXXyz XzXyX) C ==s XyXzx XX X zy ,

(5)

A =*= Xx (y Xzz    Xyy)    d⁻    XyXxy    Xz Xxz,

yx>

B — Xy (Xxx    Xzz)    d⁻    Xz Xyz    Xx X

0 — Xz(Xyy    Xxx)    d"    XXXzx    XyXzy.

In (4) und in der dritten Gleichung (1) der vorigen Nummer haben wir nun zwei Gleichungen vor uns, die von v ganz frei sind und von g nur die Ableitungen gx, gy, gz enthalten und zwar bloß in ihren Verhältnissen zueinander. Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich folglich die Verhältnisse der Ableitungen gx, gy, gz als Verhältnisse dreier Größen 31,93, ß berechnen, die jedoch so umständlich sind, daß wir sie nicht ausführlich hinsetzen. Jedenfalls aber sind 21, 93, © drei berechenbare Funktionen der Ableitungen erster und zweiter Ordnung von X allein. Verstehen wir unter $ eine gewisse Funktion von x, y, z, so können wir nun schreiben:

(6)

®gx = 21, ®gy = 93, &gz = (£.

Ebenso wie wir nach den Formeln (1) eine Summe bildeten, die gleich Null war, erkennen wir, daß jetzt auch:

d®iiz    dStix

/WLy    , __ (

^x\ dz dy J ' ^ \ dx

ist. Mithin folgt nach (6):

21(93, - (5,) + 93 ((E, - 21,) + (5(21, - 93.) = 0.

dz

CO

[3»0

Da 5t, 33, (£ Funktionen der Ableitungen erster und zweiter Ordnung von X allein sind, enthält diese Gleichung nur die Ableitungen erster bis dritter Ordnung von X. Übrigens heben sich, wie ihre Ausrechnung lehren würde, nicht etwa alle Glieder links gegenseitig fort. Eine Gleichung nun, die außer mehreren unabhängigen Veränderlichen — hier x, y, z — eine Funktion X und ihre partiellen Ableitungen bis zur wten Ordnung enthält, heißt eine partielle Differentialgleichung nter Ordnung für die Funktion X. Hier liegt eine von der dritten Ordnung vor, so daß sich der Satz ergibt:

Satz 24: Gehört eine Flächenschar X(x, y, z) = honst, einem dreifachen orthogonalen System an, so genügt die Funktion X einer gewissen partiellen Differentialgleichung dritter Ordnung, die von x, y, z und X selbst frei ist.

330. Ableitung der Orthogonalitäts-Bedingungen der einen Art aus denen der anderen Art. Aus den

in Nr. 328 angegebenen Orthogonalitäts-Bedingungen (1) lassen sich, wie schon angekündigt wurde, die sie ersetzenden Bedingungen (2) auch rechnerisch ableiten. Es sind ja x, y, z Funktionen von X, g, v, die ihrerseits wieder die dazu inversen Funktionen von x, y, z bedeuten, so daß z. B. x ausgedrückt durch X, g, v, eine zusammengesetzte Funktion von x, y, z ist (vgl. Nr. 41, 42). In dieser Weise aufgefaßt, sind die Ableitungen von x nach x, y, z gleich 1, 0, 0. Somit ergibt sich:

XxK + X^x + XvVx = 1; XlKj + XflVy + XvVy = ⁰>

XlK + x^z + XvVz = 0.

Multiplizieren wir diese drei Gleichungen bzw. mit Xx, Xy, Xz oder gx, gy, gz oder vx, vy, vz und addieren sie dann jedesmal, so ergeben sich wegen der Orthogonalitäts-Bedingungen (1) in Nr. 328 drei Gleichungen, zu denen wir sogleich die entsprechenden Gleichungen für die Ableitungen nach y und z hinzufügen können:

gx = M²xfl, vx = N²xv,

Vy = M2ytu> Vy = N*yv, gz = M²zfl, vz = N²zv.

Hierin ist zur Abkürzung gesetzt worden:

329, 330]

K = L*xi’

(1)

K = L*Vx,

K - L*zx,

(2) V+A/+A/-X», g/+g/+g/=M², vm'+vy'+v?-N*.

Um nun noch L², M², N² durch die Ableitungen von x, y, z nach A, g, v auszudrücken, quadrieren wir die Gleichungen (1) und addieren dann jedesmal die drei untereinander stehenden Gleichungen. Alsdann geht wegen der in (2) angegebenen Bedeutung von L², M², N² sofort hervor:

(3) jr«“**²+ &* + ***

M-2 =;v+jp —^²+y*-\-z².

Setzen wir diese Werte in (1) ein, so werden die Ableitungen von X, g, v nach x, y, z durch die von x, y, z nach A, g, v ausgedrückt. Umgekehrt geben die Gleichungen (1) auch sofort die Ableitungen von x, y, z nach A, g, v, ausgedrückt durch die von A, g, v nach x, y, z.

(1)

Werden die Werte (1) in die Orthogonalitäts-Bedingungen von Nr. 328 eingeführt, so gehen die Orthogondlitäts- Bedingungen (2) von Nr. 328 hervor.

331. Ableitungen zweiter Ordnung der Koordinaten in einem dreifachen orthogonalen System. Differenzieren wir die Orthogonalitäts-Bedingungen (2) von Nr. 328 bzw. nach A, g, v und subtrahieren wir von der Summe der hervorgehenden beiden letzten Gleichungen die erste, so folgt:

»iV + ViVur +    = o.

Differenzieren wir die zweite Gleichung (3) der vorigen Nummer nach v und die dritte nach g, so kommt:

M

XfiXHV + y^Jfiv + Z,u ²u V =    XvXuvJr Vv'y^ + ZuZfiv ⁼

N/c

Na '

Werden die gewonnenen drei Gleichungen bzw. mit lx, gx) vx multipliziert und darauf addiert, so bekommen x/l Koeffizienten, die offenbar nichts anderes als dx : dx, dy : dx, dz : dx, d. h. als 1, 0, 0 sind, so daß mithin links nur x auf-tritt. Rechts setzen wir für gx und vx ihre Werte aus den Gleichungen (1) der vorigen Nummer ein. Dann geht eine Formel für x hervor. Wir geben außerdem sogleich die entsprechenden Formeln für y und z an:

[330, 331

X,u r    jyr &n    jy~ xrj

(1)

Mr

Mr

Mzv N ⁰*' Sie lassen sich auch so schreiben:

/LI V

(2)

d M    d M yu    d M z/t

dv

dv

dv

Entsprechende Formeln gehen aus (1) und (2) hervor, wenn gleichzeitig X, fi, v und L, M, N zyklisch vertauscht werden.

332. Der Dupinsche Satz über dreifache orthogonale Systeme. Die letzten Formeln haben eine schöne geometrische Bedeutung:

Werden für X und fi konstante Werte gewählt, während v veränderlich bleibt, so beschreibt der Punkt (x, y, z) nach Nr. 327 die Schnittkurve zweier Flächen X — konst. und ft = konst. des Systems; längs der Kurve ist v die unabhängige Veränderliche, und die Richtungskosinus der Kurventangente verhalten sich zueinander wie xv, yv, zv. Die Richtungskosinus X, Y, Z der Normale der Fläche fi = konst. im Punkte (x, y, z) sind proportional zu yx, y , und also wegen der zweiten Formel (2) von Nr. 330 gleich yx: Mf : M, : M, somit nach den Formeln der zweiten Reihe in (1), Nr. 330, gleich Mx^, My/t, Mzfl. Daher besagen die Gleichungen (2) der vorigen Nummer, wenn wir von dem letzten Gliede absehen, daß längs jener Schnittkurve, längs deren v die unabhängige Veränderliche vorstellt,

Xv : Yv :Zv = xv:yv: zt,

ist. Dies bedeutet nach Satz 13 von Nr. 319, daß die Schnittkurve eine Krümmungskurve der Fläche fi = konst. ist. Ebenso folgt aus den Gleichungen, die den Formeln (2) in voriger Nummer entsprechend zu bilden sind, daß die Kurve eine Krümmungskurve der Fläche X = konst. ist. Wir gelangen somit zu dem Satze von Dupin:

331, 33»J

Xv

Vv

*v

Satz 25: In einem dreifachen orthogonalen Flächensystem tvird jede Fläche einer Schar von allen Flächen der leiden anderen Scharen in Krümmungskurven geschnitten.

333. Elliptische Koordinaten. Ein besonders wichtiges System von krummlinigen Koordinaten (ygl. Nr. 327) sind die elliptischen. Darunter versteht man die drei Wurzeln A, g, v der für a kubischen Gleichung;

(1)

x*

« + b* ^~cc + c²-~a ° ¹ >

in der a², b², c² gegebene positive Konstanten bedeuten und etwa a² > b² > c² sein möge. Die kubische Gleichung läßt sich auch so schreiben:

x²(b² — a) (c² — cc) -f y² (c² — a) (a² — cc) -f- z² (a² — cc) (b² — k) — (a² — cc) (b² — cc) (c² — a) — 0 .

Hier steht links eine ganze rationale Funktion dritten Grades von cc, die mit a zugleich nach -f- oo oder — oo strebt, während sie für cc — c² positiv, für a — b² negativ und für cc = a² positiv ist, so daß die Gleichung nach Satz 5 von Nr. 21 drei reelle Wurzeln A, g, v hat, die so liegen, wie es die Ungleichungen angeben:

(2)

l < c² < g < b² < v < a².

Die drei Gleichungen, die aus (1) hervorgehen, wenn darin für cc drei Werte A, g, v gesetzt werden, die den Ungleichungen (2) genügen, lassen sich, da sie in x², y², z² linear sind, ohne Mühe nach x², y², z² auflösen. Insbesondere ergibt sich:

x² =

(3)

(a² — X) (a² — g) (a² — v)

(a² — &*) (a² — c²)

woraus die Werte von y² und z² durch zyklische Vertauschung von a,b, c hervorgehen. Man sieht überdies, daß alle drei Werte positiv sind, sobald man die Bedingungen (2) berücksichtigt. Mithin ergeben sich für x, y, z drei Funktionen von A, g, v, wobei A, g, v die durch (2) vorgeschriebenen Variabilitätsbereiche haben Wir kommen also zu Gleichungen, die sich der allgemeinen Form (2) in Nr. 327 unterordnen, d. h. wir gelangen zu einem dreifachen Flächensystem. Wenn ins-

[338, 333

besondere für a irgendein Wert k gemäß (2) gewählt wird, stellt (1) ein Ellipsoid dar. Wählen wir dagegen für a irgendeinen Wert g gemäß (2), so definiert (1) ein einschaliges Hyperboloid. Wenn wir endlich für a einen Wert v gemäß (2) annehmen, so liefert (1) ein zweischaliges Hyperboloid. Das Vorhergehende zeigt, daß durch jeden Punkt (oc, y, z) gerade eine Fläche von jeder Art geht. Alle diese Flächen zweiter Ordnung haben die Koordinatenebenen zu Achsenebenen, und sie schneiden die Koordinatenebenen in konfokalen Kegelschnitten. Daher liegt ein dreifaches System von konfokalen Flächen zweiter Ordnung vor. Nach (3) ist:

_ j    a² — l

V* ⁼ 4 (a² — ft²) (a² — c²) ’

und durch zyklische Vertauschung von a, b, c gehen yfjyr und zflzv hervor. Diese drei Werte erfüllen die erste Gleichung (2) in Nr. 328. Ebenso erkennt man, daß die beiden anderen Gleichungen befriedigt werden, d. h. das System der konfokalen Flächen zweiter Ordnung ist orthogonal.

334. Krümmungskurven des Ellipsoids. Nach Satz 25 von Nr. 332 schneiden die Flächen des soeben betrachteten Systems einander in Krümmungskurven. Demnach können wir die Krümmungskurven irgendeiner der Flächen zweiter Ordnung berechnen. Wir greifen insbesondere ein Ellipsoid heraus, indem wir k = 0 wählen:

o- <si

M>j Ml

(«² > Zr > c²).

Dies Ellipsoid wird also von allen einschaligen Hyperboloiden mit der willkürlichen Konstante g:

(2)

x²    y*    z

- fi + b²-g + c*-ii

== 1

(c² < fl < 6²)

und von allen zweischaligen Hyperboloiden mit der willkürlichen Konstante v:

(3)

_₊ y*.....₊ _

r ' b² — v ' c

z²

«² —

in je einer Schar von Krümmungskurven geschnitten.

333, 334]

(&² < v < a²)

Um die Gestalt der Krümmungskurven zu untersuchen, projizieren wir sie senkrecht auf die Achsenebenen des Ellipsoids, d. h. auf die Koordinatenebenen. Wir eliminieren also entweder x oder y oder z aus (1) und (2) bzw. aus (1) und (3).

nur durch die Bezeichnung der willkürlichen Konstanten p und v unterscheidet, setzen wir für beide dasselbe Zeichen a und erhalten durch die Elimination von x oder y oder z die drei Gleichungen: b² —

Da sich (2) von (3)

(4)

a² ₂ c2 b²(b²—cc)y + c²(c² — a)

— a²

z²=l

(5)

c² — b²

c²(c² — a)

z² -f

a² — b²

a²(a² — a)

x²= 1

(6)

a² —

a²(a² — cc)

c\x² +

b² — e²

b²(b² — a)

y*-i.

Beispielsweise stellt (4) die Projektion der Krümmungskurven beider Scharen in der yz-Ebene dar und zwar die der ersten Schar, wenn a zwischen c² und b² gewählt wird, dagegen die der zweiten Schar, wenn a zwischen b² und a² gewählt wird. Man sieht, daß die Projektionen der Krümmungskurven des Ellipsoids in jeder Achsenebene Kegelschnitte sind, deren Achsen auf den Achsen des Ellipsoids liegen.

Die Koeffizienten der Koordinatenquadrate in (4), (5), (6) haben, je nachdem a zwischen c² und b² oder zwischen b² und a² gewählt wird, die hier angegebenen Vorzeichen:

c² < a <i²

b² < « < a²

^ iO co

Die Projektionen der Krümmungskurven sind daher in der Ebene der größten und kleinsten Achse des Ellipsoids, d. h. in der xz-Ebene — siehe (5) —, lauter Ellipsen. Dagegen sind die Projektionen der Krümmungskurven der einen oder anderen Schar in der Ebene der größten und mittleren Achse, d. h. in der xy-Ebene, lauter Ellipsen und Hyperbeln — siehe

(6) — und in der Ebene der mittleren und kleinsten Achse, d. h. in der ^-Ebene, lauter Hyperbeln und Ellipsen — siehe (4).

[334

335. Projektion der Krümmungskurven des Ellip-soids in der Ebene der größten und kleinsten Achse.

Wir betrachten insbesondere die Ellipsen, die sich als Projektionen der Krümmungskurven beider Scharen in der a?0-Ebene ergeben, siehe (5) in voriger Nummer:

a² —

(1)

c² — b²

c²(c²— a)

z² -f-

a²(a² — a)

Die Halbachsen einer derartigen Ellipse seien xx und zx. Sie hängen von dem für a gewählten Werte ab; es ist nämlich:

a² (a²— a)

, zx

Xi² =

c²(c² — a)

c² — h²

Elimination von a liefert eine Gleichung für xt und yx:

x² +

(2)

a² — b²

b² — c²)

a²(a² — c²)

c² (a² — c²)

V = 1.

Dies ist wegen a² > b² > c² die Gleichung einer Ellipse, wenn wir xt und zx als rechtwinklige Koordinaten deuten. Wir benutzen sie nach Monge als Hilfsellipse zur Konstruktion der Projektionen der Krümmungskurven. Ist nämlich Px ein beliebiger Punkt dieser Hilfsellipse, so sind seine Koordinaten^,^ die Halbachsen einer der zu konstruierenden Ellipsen, d. h. die Lote von Px auf die x- und 0-Achse haben als Fußpunkte die Haupt- und Nebenscheitel einer der gesuchten Ellipsen. Alle Ellipsen liegen innerhalb der Hilfsellipse, indem zwei von ihnen in Strecken ausarten, nämlich in die große und kleine Achse der Hilfsellipse. (Vgl. auch Nr. 249 für m =— n == 2.)

Die Einhüllende der Ellipsenschar (1) ergibt sich nach Nr. 210, wenn man die Gleichung nach a differenziert, wodurch

(3)

c² — b²

c² (c² — cc)

₂ z² +

a²—b²

a²(a² — «)

hervorgeht, und dann a aus (1) und (3) eliminiert. Zu diesem Zwecke berechnet man aus (1) und (3) zunächst:

c (c² — a)

YW—c²)(b² — c²)

„ ₌ a («⁸ — «)

Y(a² — b²) {a² — c²) ’

und eliminiert erst dann a. So ergibt sich:

1 i/a² — b²    1 -|/6* — c² ₁

TT V a² — c2 X ~ ~c V ä²—c* ² ~ ’

wobei die Wurzeln positiv oder negativ sein können. Mithin bestellt die Einhüllende aus vier Geraden. Jede von ihnen enthält einen Haupt- und einen Nebenscheitel der Hilfsellipse. Also sind alle Ellipsen (1) einem Rhombus einbeschrieben.

Insbesondere ist unter den Ellipsen (1) die Ellipse enthalten, in der die #£-Ebene das Ellipsoid schneidet, nämlich für a = b². Sie gehört also zu den Krümmungskurven des Ellipsoids und bildet die Grenze zwischen denen der einen und anderen Schar, da bei denen der einen Schar a < b² und bei denen der anderen Schar a > b² ist. Diese Hauptellipse ist folglich ebenfalls dem Rhombus einbeschrieben. Nach dem Beispiele in Nr. 307 erkennt man ohne Mühe, daß sie den Rhombus in den vier Habelpunkten des Ellipsoids berührt.

336. Projektion der Krümmungskurven des Ellipsoids in der Ebene der größten und mittleren Achse. Projizieren wir die Krümmungskurven des Ellipsoids auf die #?/-Ebene, so ist die Gleichung (6) von Nr. 334 zu benutzen:

— e²

(1)

² = 1.

a² —

«² (a² — a)

Sie stellt für c² < a < b² eine Ellipse und für b² < a < a² eine Hyperbel dar. Sind xx und yx die Halbachsen einer der Ellipsen, so ist:

(2)

a² — c² ₂ fc² — c² ₂    ..

a*(a* — b*) Xl ~ Z>² (a² — 6²) ^ ~ ¹'

Sind dagegen xx und yx die Halbachsen einer der Hyperbeln, so ist:

(3)

a² -

C²    2    |

«²(a² — 6²) Xl + &² (a² — ft²)

-c²,

2/i² = 1.

Als Ort der Punkte (xx, yx), deren Koordinaten die Halbachsen einer Ellipse bzw. Hyperbel sind, ergibt sich daher eine Hyperbel (2) bzw. Ellipse (3). Diese Kurven benutzen wir als Hilfshyperbel und Hilfsellipse. Sie haben die x-Achse und y- Achse zu Hauptachsen und berühren einander in den Scheiteln der Hyperbel. Da die willkürliche Konstante a für die erste Schar der Krümmungskurven nicht kleiner als c² wird, ist die Hilfshyperbel (2) nur bis zu denjenigen Punkten zu benutzen, die sich für a — c² ergeben, d. h. bis zu den Punkten xx = + a, y₁ = + b. Die icy-Ebene schneidet das Ellipsoid in

[ 335, 330

einer Ellipse mit den Halbachsen a und b. Umschreiben wir also dieser Hauptellipse der Fläche das Rechteck, das aus den vier Scheiteltangenten besteht, so geht die Hilfshyperbel durch die Ecken des Rechtecks und ist nur so weit von Bedeutung, als sie im Innern des Rechtecks liegt. Die gemeinsamen Scheitel der Hilfshyperbel und Hilfsellipse haben die Koordinaten

(4)

»i-0

Xi = ± a

Fa* - e⁸

und sind nach dem Beispiele in Nr. 307 die Projektionen der Nabelpunkte des Ellipsoids.

Wir konstruieren nun die Ellipsen und Hyperbeln, als die sich die Krümmungskurven des Ellipsoids in der xy-Ebene projizieren, so: Ein beliebiger Punkt wird auf der Hilfshyperbel innerhalb des angegebenen Gebietes oder auf der Hilfsellipse gewählt. Alsdann werden seine Koordinaten als die Halbachsen einer Ellipse bzw. Hyperbel benutzt und zwar als Halbachsen auf der x- bzw. y-Achse. Alle diese Ellipsen und Hyperbeln wenden den beiden Punkten (4) ihre konkaven Seiten zu. Die beiden Scharen von Krümmungskurven des Ellipsoids umschließen folglich die vier Nabelpunkte der Fläche. Bei der Annahme a = 6² geht nach Nr. 335 als Krümmungskurve die Hauptellipse der Fläche hervor, die in der a:^-Ebene liegt, alle vier Nabelpunkte enthält und beiden Scharen von Krümmungskurven angehört. Die Gleichung (1) liefert bei der Annahme a = c² diejenige Hauptellipse der Fläche, die in der xy-Waene liegt. Sie gehört daher auch zu den Krümmungskurven, aber nur zu denen der ersten Schar.

Die Projektion der Krümmungskurven in der Ebene der mittleren und kleinsten Achsen läßt sich entsprechend behandeln.

337. Differentialgleichung der Krümmungskurven des Ellipsoids. Um zu finden, welcher Differentialgleichung die Projektionen der Krümmungskurven des Ellipsoids

x² . y² . z8 + F + ~c*

in der #?/-Ebene genügen, wird man z, p, q, r, s, t hieraus und aus den durch Differentiation hervorgehenden Formeln berechnen und in die Gleichung (6) von Nr. 319 einsetzen.

»36, 337]

Setzt man in die Gleichung (6) von Nr. 319 diese Werte und ferner an Stelle von z, p und q ihre Werte, ausgedrückt in x, y, ein, so bekommt die gesuchte Differentialgleichung die Form:

(i)

Ein Teil der Rechnung ist schon im Beispiele von Nr. 307 ausgeführt worden. Danach kommt:

a² —e²

z [(1 -\-p²)s—pqr] = —

a²

Z>² — c³

pq, z[(l-rq-)s-pqt] = -    ^ pq,

ft²—c² ₉ a²—c² «

(a² — b²) c²

a²/;²

Axydy² -f- (pc² — Ay² — B) dydx — xydx² = 0,

worin A und B die Konstanten bedeuten:

a² (fc² — c²)

&² (a² — c*j

, 5-

a² (a² — b%)

a² — c²

Zur Differentialgleichung (1) gelangt man auch, wenn man die Gleichung (1) von Nr. 336 differenziert lind dann die willkürliche Konstante a aus beiden Gleichungen eliminiert.

338. Dreifaches orthogonales System von Kugeln und Kegeln zweiter Ordnung. Die Gleichung

0²

2/²

stellt nach Nr. 333 ein dreifaches orthogonales System dar, sobald für a je eine von drei willkürlichen Konstanten X, y, v gesetzt wird, wobei X < c² < y < b² < v < a² ist. Wenn wir nun x, y, z durch x : s, y : e, z : s und X durch — X²: e² ersetzen, wobei s irgendeine Größe sei, sind die Bedingungen der Orthogonalität nach wie vor erfüllt. Aber heim Grenz-übergange lim s = 0 ergibt sich als Ausartung des Systems das neue System:

(1)    a;²

zi

y-

z-

--V — = 0,

V C“ — V ’

a² — u + ö² — [i c² — y

wobei wie vorher c² < u < b² < v < a² ist, während jetzt X2 eine beliebige positive Konstante bedeutet. Die erste Gleichung definiert alle Kugeln mit dem Anfangspunkte als Mitte,

[337, 338

a² — v

fc² —

während die zweite und dritte Kegel zweiter Ordnung vorstellen, die den Anfangspunkt zur Spitze haben. Um die Auflösungen der Gleichungen dieses dreifachen orthogonalen Systems nach x, y, z zu erhalten, geht man am bequemsten^' von der Gleichung

(3) in Nr. 333 und den beiden entsprechenden Gleichungen aus, worin man dieselbe Substitution und denselben Grenzübergang macht. So kommt:

(a² — ft) (a² — v)

(2)

(a²—&²) (a² - c~)

rr² = X*

und zyklische Vertauschung von a, b, c gibt die Formeln für y² und z².

339. Dreifaches orthogonales System von Fara-boloiden. Durch einen anderen Grenzübergang gewinnt man aus dem System der Ellipsoide und Hyperboloide ein dreifaches orthogonales System von Paraboloiden, indem man zunächst den Anfangspunkt in einen der Brennpunkte in der xy-Ebene verlegt und darauf die Hauptschnittellipsen in Parabeln ausarten läßt. Wir ziehen es jedoch vor, dies neue System geradezu mittels der Gleichung

y²

(1)

c² —

zu definieren, worin c eine bestimmte, cc eine willkürliche Konstante bedeute. Diese Gleichung (1) hat, als Gleichung für a aufgefaßt, wieder drei reelle Wurzeln l, g, v, für die

(2)

A < 0 <    < c² < v

ist. Wählt man für X, g, v irgend drei Konstanten in diesen Intervallen und setzt man sie für a in (1) ein, so gehen drei nach x, y², z² auflösbare Gleichungen hervor, von denen die erste ein elliptisches, die zweite ein hyperbolisches und die dritte wieder ein elliptisches Paraboloid definiert. Die Auflösung ergibt: x==c*-X-g-v, y*=-^^, £² = -^- (c²-A)(c²—g){c¹-v), wobei die Werte von y² und z² infolge von (2) in der Tat positiv sind. Mit Hilfe dieser Formeln kann man leicht beweisen, daß die Bedingungen (2) der Orthogonalität in Nr. 328 erfüllt sind.

§ 5. Höhen- und Fallkurven.

340. Höhenkurven. Wird die o;i/-Ebene als wagereckte Ebene betrachtet, so heißen die zur xy-Ebene parallelen und also wagerechten ebenen Schnitte einer Fläche z = f(x, y) die Höhenkurven der Fläche. Für jede Höhenkurve ist dz = 0, also pdx qdy = 0. Daher stellt

•    (i)

dy =_ JL

dx

die Differentialgleichung der Höhenkurven oder, genauer gesagt, die Differentialgleichung der mit diesen Kurven kongruenten senkrechten Projektionen in der #«/-Ebene vor.

Sollen die Höhenkurven insbesondere Krümmungskurven sein, so muß diejenige Bedingung erfüllt werden, die sich durch Einsetzen von (1) in die Gleichung (6) von Nr. 319 ergibt:

pq(r — t) -f- (g² — p²)s = 0.

Dies ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die fraglichen Flächen.

Die Bedingung wird etwas einfacher, wenn man die xz-Ebene als die wagerechte Ebene annimmt, da dann für die Höhenkurven dy = 0 ist, also nach (6) in Nr. 319 kommt:

(1 -f- p²)s — pqr = 0.

Dies ist nun eine der beiden Bedingungen, die sich in Satz 4, Nr. 307, für einen Nabelpunkt ergaben. Auf einer Fläche also, deren Höhenkurven Krümmungskurven sind, hat man bei der Aufsuchung ihrer Nabelpunkte nur noch eine Bedingung zu erfüllen, woraus man schließt, daß es im allgemeinen eine Kurve auf der Fläche geben wird, deren Punkte sämtlich Nabelpunkte sind. Sollen sowohl die zur xz-Ebene, als auch die zur yz-Ebene gehörigen Höhenkurven Krümmungskurven sein, so folgt, daß alle Punkte der Fläche Nabelpunkte sein müssen, d. h. die Fläche ist dann eine Ebene oder Kugel, nach Satz 16 von Nr. 322.

341. Fallkurven. Wird wieder die xy-Ebene als wagerechte Ebene betrachtet, so versteht man unter den Fallkurven diejenigen Kurven einer Fläche, deren Tangenten überall die

Serret-Seheffera, Diff.- u. Integr.-Rechn. I. 6,u.7.Aufl.

³⁵ [340, 341

Tangenten stärkster Neigung zur £i/-Ebene sind. Jede Tangente einer Fallkurve ist daher, selbst als Kurve in der zugehörigen Tangenten ebene aufgefaßt, eine Fallkurve dieser Ebene, daher rechtwinklig zu den wagerechten Tangenten. Da nach (1) in Nr. 340 für diese wagerechten Tangenten dy: dx gleich — p : q ist, ergibt sich

dy

dx

als Differentialgleichung der Fallkurven oder, genauer gesagt, als Differentialgleichung der senkrechten Projektionen dieser Kurven in der xy-Ebene. Die Höhen- und Fallkurven sind zueinander orthogonal, und dasselbe gilt von ihren Projektionen in der xy-Ebene.

Sind die Höhenkurven Krümmungskurven, so müssen daher auch die Fallkurven Krümmungskurven sein.

342. Höhen- und Fallkurven der Mittelpunkts

ax² -j- hy² -f cs² = m,

flächen zweiter Ordnung. Eine derartige Fläche hat die Gleichung:

wo a, h, c, m Konstanten sind. Hier ist:

ax -f- czp = 0, hy -f- csq = 0.

Folglich sind nach den beiden vorhergehenden Nummern

dy by

ax

x by’

die Differentialgleichungen der Höhen- und Fallkurven, wenn die rr^-Ebene wagerecht angenommen wird. Die Gleichungen lassen sich so schreiben:

dx

ax

hydy -f- axdx — 0,

ady bdx

= 0.

Die linken Seiten sind die vollständigen Differentiale von -\(hy² + ax²) und a ln y — h ln x. Daher definieren die Gleichungen:

hy² -f- ax² = konst., a ln y — h ln x *= konst. die Höhen- und Fallkurven. Die erste Gleichung besagt, was auch geometrisch einleuchtet, daß die Höhenkurven Kegelschnitte sind. Für die Fallkurven ist:

y =** konst. xb:a.

In der xy- Ebene gibt diese Gleichung die Projektionen der Fallkurven und daher diejenigen Kurven an, die alle konzentrischen, ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitte

by² -f- ax² = konst.

senkrecht durchsetzen, die sogenannten orthogonalen Trajektorien dieser Kegelschnitte.

§ 6. Flächenfamilien.

343. Linienflächen, insbesondere Tangentenflächen.

Nachher sollen nacheinander verschiedene Familien von Flächen betrachtet und diejenigen partiellen Differentialgleichungen bestimmt werden, denen die Flächen einer Familie genügen.

Vorher fassen wir in der gegenwärtigen und in der nächsten Nummer die Linienflächen genauer ins Auge. Dies sind diejenigen Flächen, die durch eine bewegliche Gerade beschrieben werden. Durch jeden Punkt einer derartigen Fläche geht demnach eine Gerade, die der Fläche angehört. Diese Geraden heißen die Erzeugenden. Eine bewegliche Gerade können wir uns analytisch durch zwei Gleichungen

(1)

x = Uz -f- u, y = Vz -f- v

gegeben denken, in denen U, u, V, v Funktionen einer Hilfsveränderlichen x sind. Die Elimination von r aus (1) würde eine Gleichung zwischen x, y und z, eben die Gleichung der erzeugten Linienfläche, liefern.

Fragen wir uns vor allem, unter welchen Umständen die Linienfläche insbesondere eine Tangenten fläche ist, d. h. nach Nr. 281, unter welchen Umständen die Linienfläche die Einhüllende einer Ebenenschar ist, so daß die Erzeugenden die Charakteristiken der Einhüllenden vorstellen. Eine allgemeine Ebene der Schar wird von dem Werte von r abhängen und muß die Gerade (1) enthalten. Ihre Gleichung wird daher in den laufenden Koordinaten x, y, z die Form haben:

(2)

x — Uz — u -f w(y —■ Vz — v) = 0,

worin w eine gewisse Funktion von r bedeutet. Soll die Ge-- rade (1), die in dieser Ebene liegt, eine Charakteristik sein,

[342, 343

so muß sie auch derjenigen Gleichung genügen, die durch Differentiation von (2) nach x hervorgeht:

— {U'z -f- u) — w(V'z -f- v) -f- w\y — Vz — v) = 0. Wegen (1) muß also für alle Werte von z

U'z + u + w(V'z + v') == 0,

mithin einzeln

U' + w V' = 0

u -f- wv = 0

sein. Demnach gibt es dann und nur dann eine Ebenen schar (2), deren Einhüllende die Linien fläche ist, wenn eine Funktion w vorhanden ist, die diesen beiden Bedingungen genügt, d. h. wenn U’v' — V'u verschwindet. Somit folgt:

Satz 26: Fine bewegliche Gerade

x — Uz -j- u,

in deren Gleichungen U, u, V, v Funktionen einer Veränderlichen x sind, erzeugt dann und nur dann eine Tangentenfläche, wenn die Ableitungen der Funktionen U, u, V, v nach r der Bedingung genügen:

U'v - V'u =0.

In Nr. 282 erkannten wir, daß sich die Tangentenflächen ohne Dehnung auf die Ebene abwickeln lassen.

344. Abstand und Winkel benachbarter Erzeugender einer Linieniläche. Wir betrachten jetzt eine beliebige Linienfläche, definiert durch die Gleichungen (1) der vorigen Nummer. Die Funktionen U, u, Vt v mögen für einen zweiten Werte xr von x die Werte Ulf ux, Vx, vx haben. Alsdann stellen die Gleichungenpaare:

(1) x=Uz-{-u, y = Vz-\-v und xx= U₁z₁ ux, yx = Vlzl + vx zwei Erzeugende der Fläche dar, wobei x, y, z bzw. xx, yx, zx die laufenden Koordinaten sind.

Nach Nr. 161, worin wir b, ß, c, y durch U, u, V, v und b', ß', c, y durch Ux, ux, Vx, vx ersetzen, ist das Quadrat der kürzesten Entfernung I) zwischen zwei Punkten der beiden Erzeugenden:

[(U, - ü) {v, — V) - (Ft — V) (u, - u)\*

(ux -uy + (v] — vy -\-(uvl — vuty

7)²==

Ist tx = t + At und    U AU, ut = u ■+• Au usw., so

kommt:

(2)

D² =

(A UAv — A VAu)*

AÜ² + AV* + {TJA V— VA TJ)

Die Richtungskosinus der ersten Erzeugenden sind proportional zu U, V, 1 und die der zweiten proportional zu JJ -f ATJ, V -J- A V, 1. Mithin ist der Kosinus ihres Winkels j leicht zu berechnen, woraus weiterhin sofort

(3)

sin²^’ =

A U² + A V² + (UA V — VA UY

D + u*-\- v²j[1 -\-(ü+ A uy-\-(V+Ä vy\

folgt. Daher ergibt sich aus (2) und (3) beim Grenzübergange lim A'r = 0*

(4)

(1+ P²-F VytTJ'v' — V'u'Y sin*j ~ [U'³-f- rj+ {UV — vuyw

1)²

wo die Akzente die Differentiation nach x andeuten. Der Bruch rechts ist nur im Falle einer Tangentenfläche nach Satz 26 von Nr. 343 gleich Null. Vgl. auch die letzte Bemerkung in Nr. 161. Da nach Nr. 26 für lim Ar = 0:

,. D .. D    sin j    ..    I)

lim —r~ = lim ~—; • lim. — = lim —— sin j

,1

sin j

ist, gilt nach (4) der

Satz 27: Bei einer Linienfläche, die keine Tangentenfläche ist, verschwindet die kürzeste Entfernung zweier benachbarter Erzeugenden mit dem Winkel, den sie miteinander bilden, gerade in der ersten Ordnung.

345. Zylinder. Die einfachsten nicht ebenen Tangentenflächen sind die Zylinder, vgl. Nr. 281. Eine Fläche ist ein Zylinder dann und nur dann, wenn sie in jedem ihrer Punkte eine Tangente hat, die einer festen Richtung parallel läuft. Daher muß die Gleichung ihrer Tangentenebene

4>(s — x) + 20? - y) - (J - *) = 0

erfüllt werden, wenn darin £ = a; -f- at, = y bt, 5 = z -f ct gesetzt wird, wo t veränderlich ist und a, b, c bestimmt gegebene Konstanten sind, die eben zu den Kosinus jener festen Richtung proportional sind. Folglich ist

ap + bq — c = 0

(i)

die Bedingung für einen Zylinder. Diese Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung. Man folgert leicht:

Satz 28: Eine Fläche ist dann und nur dann eine Zylinderflüche, ivenn sie einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung von der Form

ap -f bq — c = 0

genügt, worin a, h, c Konstanten bedeuten. Die Richtung'S-liosinus der Erzeugenden der Zylinderfläche sind proportional zu a, b, c.

Man kann die Bedingung auch aus der allgemeinen Darstellung einer Zylinderfläche als Linienfläche ableiten: Wir betrachten eine bewegliche Gerade, deren Richtungskosinus proportional zu a, b, c sind. Dies tritt bei der Geraden (1) in Nr. 343 ein, wenn U:V: 1 = a :b : c ist. Wir setzen also U = a : c, V—b:c und erhalten:

z 4- v.

a .

x = ~z + u,

Bei der beweglichen Geraden müssen hiernach cx — az und cy — bz Funktionen cu bzw. cv von nur einer Veränderlichen t sein, d. h. voneinander abhängige Funktionen sein, so daß zwischen ihnen eine Gleichung besteht. Mithin ist

(2)

F(cx — az, cy — bz) = 0,

worin a, b, c Konstanten sind, die allgemeine Gleichung einer Zylinderfläche.

Nach Satz 4 von Nr. 80 muß die Funktionaldeterminante von cx — az und cy— bz hinsichtlich x, y gleich Null sein:

= 0 oder ap -f bq — c = 0.

c — ap — aq — bp c—bq Dies ist wieder die partielle Differentialgleichung (1).

Nach Satz 23 von Nr. 325 bilden die Erzeugenden der Zylinderfläche die eine Schar von Krümmungskurven, so daß die dazu senkrechte zweite Schar von Krümmungskurven von denjenigen ebenen Kurven gebildet wird, in denen die Fläche durch die Ebenen senkrecht zur Richtung des Zylinders geschnitten wird.

345]

346. Kegel. Auch die Kegel gehören zu den Tangentenflächen (vgl. Nr. 281). Ein Kegel ist eine Linienfläche, die von einer beweglichen Geraden erzeugt wird, die beständig durch einen festen Punkt (x₀, y₀, z₀) geht. Wie man leicht einsieht, genügt es zu verlangen, daß jede Tangentenehene

i>(? - x) -f g(t) - y) — (& - z) = 0

durch den festen Punkt geht; daher ist

p(x₀ — x) + q(y₀ - y) - (*₀ - d) = 0 die Bedingung für die Kegelfläche.

Satz 29: Eine Fläche ist dann und nur dann eine Kegelfläche, wenn sie einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung von der Form

{x - x₀)p + (y - y₀)q - {z - z₀) = 0 genügt, worin x₀, y₀, z₀ Konstanten bedeuten.

Wir können diese Bedingung auch aus der allgemeinen Darstellung einer Kegelfläche als Linienfläche ableiten: Die in Nr. 343 unter (1) angegebene bewegliche Gerade geht beständig durch den festen Punkt (x₀, y₀, z₀), wenn u = xQ— Uz0 und v = y₀ — Vz₀ ist, so daß

yQ = V{Z — Z₀)

x — x₀=U(z-z₀), y

die Gleichungen der Erzeugenden des Kegels sind. Sie besagen, daß (x — x₀) : {z — z₀) und (y — y₀): (z — z₀) voneinander abhängige Funktionen sein müssen, so daß:

(1)

yjzKo) ₌ o

2 — ’o /

die allgemeine Gleichung eines Kegels ist. Die Bedingung dafür, daß die beiden erwähnten Funktionen voneinander abhängig sind, findet nach Satz 4 von Nr. 80 ihren Ausdruck darin, daß die Funktionaldeterminante beider Funktionen hinsichtlich x und y gleich Null wird. Rechnen wir sie aus, so kommen wir zur Bedingung des Satzes 29 zurück.

Nach Satz 23 von Nr. 325 bilden die Erzeugenden der Kegelfläche die eine Schar von Krümmungskurven. Die dazu senkrechte zweite Schar von Krümmungskurven besteht daher

[346

aus denjenigen sphärischen Kurven, in denen der Kegel von allen Kugeln geschnitten wird, deren Mittelpunkte in der Kegelspitze liegen.

347. Konoide. Bewegt sich eine Gerade so, daß sie stets eine feste Gerade, die sogenannte Leitgerade, trifft und stets einer festen Ebene, der sogenannten Leitebene, parallel bleibt, während sie im übrigen ihre Richtung ändern darf, so beißt die von ihr erzeugte Fläche ein Konoid. Die Konoide sind im allgemeinen keine Tangentenflächen. Ein Beispiel ist das hyperbolische Paraboloid.

Die Leitgerade habe die Gleichungen:

(1)

£ — ai + aj ⁼    + ß.

Da es hei der Leitebene nur auf ihre Stellung ankommt, können wir sie so weit verschieben, bis sie durch den Anfangspunkt geht. Ihre Gleichung sei dann:

(2)

A% -J- Bi) -f- C% — 0.

Nun muß gefordert werden, daß die Tangentenebene

(3)

P (E - «) + 2 (5 -y)-(h-*) = 0 der Fläche eine Gerade durch den Berührungspunkt (x, y, z) enthalte, die erstens die Gerade (1) trifft und zweitens zur Ebene (2) parallel ist. Wegen der zweiten Bedingung muß die Gerade in der Ebene

(4)

A (S — x) + B — y) + C($ - z) = 0 liegen. Also fordern wir, daß die Schnittlinie der beiden Ebenen

(3) und (4) die Gerade (1) treffe. Dazu ist notwendig und hinreichend, daß es einen Wert von g gebe, für den:

p (oj + a — x) + q {bl + ß - y) — (j — e) = 0,

A (aft -f a — x) + B(b% -f- ß — y) ff- — z) — 0

wird. Hieraus folgt durch Elimination von § der

Satz 30: Eine Fläche ist dann und nur dann ein Konoid, wenn sie einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung von der Form

! =0

J ap + bq — 1    p (a — x) + q (ß — y) + z

\ aA + bB + C A (u — x) -f- B{ß — y) — Gz

genügt, in der a, b, a, ß, A, B, C Konstanten bedeuten.

346, 347]

Wenn insbesondere die Leitgerade zur Leitebene senkrecht ist, kann die #-Achse als Leitgerade und die £?/-Ebene als Leitebene benutzt werden. Dann ist a = b — cc — ß — A~B—0, so daß einfacher kommt:

(5)

xp + yo. = o.

In diesem Falle haben die Erzeugenden Gleichungen von der Form z = u(t), y = v(t)x, weil sie die z-Achse treffen und zur a;?/-Ebene parallel sind, d. h. z und y:x sind voneinander abhängige Funktionen, so daß allgemein

(6)

* - V (!)

eine derartige Konoidfläche darstellt. Die Fläche z = fix, y) ist also dann und nur dann ein Konoid, dessen Leitgerade die z-Achse und dessen Leitebene die xy-Ebene ist, wenn z als homogene Funktion nullter Ordnung von x und y ausgedrückt wird. Nach Satz 9 von Nr. 91 muß dann in der Tat die Gleichung (5) bestehen.

348. Rotationsflächen. Dreht sich eine starre Kurve um eine mit ihr starr verbundene feste Gerade, so erzeugt sie eine JRotationsfläche. Die feste Gerade heißt die Achse der Fläche. Jeder Punkt der erzeugenden Kurve beschreibt einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Achse liegt und dessen Ebene zur Achse senkrecht ist. Diese Kreise heißen die Breitenkreise (auch Parallelkreise) der Fläche. Alle Ebenen durch die Achse schneiden die Fläche in kongruenten Kurven, den sogenannten Meridianen.

Die beiden einfachsten Arten zur Erzeugung einer Rotationsfläche sind offenbar diese: Entweder läßt man eine ebene Kurve (Meridian) um eine in ihrer Ebene gelegene feste Achse rotieren, oder man läßt einen Kreis (Breitenkreis) von veränderlichem Radius eine Bewegung ausführen, bei der sein Mittelpunkt die feste Achse beschreibt und seine Ebene beständig zur Achse senkrecht ist. Wir wollen die zweite Erzeugungsweise benutzen:

Die Achse gehe durch den Punkt [a, b, c) und habe die Richtungskosinus cc, ß, y. Dann sind a -f- at, b ßt, c -f- yt

[347, 348

die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Achse, wenn t eine Hilfsyeränderliche bedeutet. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des veränderlichen Kreises. Der Radius r soll eine gewisse Funktion von t sein. Nun ist (x, y, z) ein Punkt des Kreises, wenn die Formeln gelten:

(x — a — a t)² -f- (y — 6 — ß t)² + (z — c — yt)² = r², cc(x — a — at) -j- ß(y — b — ßt) -f y(z — c — yt) = 0.

Denn die erste Gleichung sagt aus, daß der Punkt vom Mittelpunkte den Abstand r hat, und die zweite, daß der Radius zur Achse senkrecht ist. Die zweite Gleichung gibt wegen a* + ß* + y*-l:

(1)

t=a(x — a) + ß(if — b) + y(g — c),

also die erste:

(2)

r² -f t² = (x — a)² + (y — b)² -f- (z — c)².

Weil r² -f t² eine Funktion von t allein ist, folgt: Die rechten Seiten der beiden Formeln (1) und (2) müssen voneinander abhängige Funktionen sein. Umgekehrt: Ist dies der Fall und wird die erste Funktion mit t bezeichnet, die zweite dagegen mit r² -f t², so wird r dadurch als Funktion von t definiert. Nun ist zu bedenken, daß z auf der Rotationsfläche eine Funktion von x und y sein wird. Also fordern wir nach Satz 4 von Nr. 80: Wird z als eine Funktion von x und y betrachtet, so muß die Funktionaldeterminante der rechten Seiten der Gleichungen (1) und (2) hinsichtlich x und y verschwinden. Dies gibt:

a -j- yp

= 0.

ß + ya

x — a -f p(z — c) y — b -f q{z — c)

Diese Gleichung ändert sich nicht, wenn wir für a, ß, y dazu proportionale Größen setzen. Die Bedingung a² ß² y² = 1 braucht also nicht erfüllt zu sein. Somit folgt:

Satz 31: Eine Fläche ist dann und nur dann eine lio-tationsfläche, wenn sie einer partiellen Differentialgleichung von der Form

(x — a)(ß + yq) — (jf - b) (a + yp) + {z - c) (ßp — aq) = 0

genügt, in der a, b, c, a, ß, y Konstanten bedeuten.

348]

Die Normalen der Rotationsfläche treffen sämtlich die Achse. Wir wollen dies analytisch ausdrücken: Die Richtungs-kosinus der Normalen sind nach (10) in Nr. 253 proportional zu p, q und — 1; folglich sind

E = x + ph, \)=y + qh, 1 = 2 — h die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Normale des Flächenpunktes (x, y, 2), wenn h beliebig ist. Dieser Punkt (g, 9; b) hegt auf der Achse

J = a + at} t) = & -(- ßt, l = c + yt, wenn sich t und h so bestimmen lassen, daß:

h — c -f y t

x -\- ph = a at, y -f qh = b + ßt, 2 wird. Dazu ist notwendig und hinreichend: x —

(3)

= 0.

y—    ß    ®

2 — c    y — 1

Dies aber ist nichts anderes als die partielle Differentialgleichung in Satz 31. Also folgt:

Sat2 32: Eine Fläche ist dann und nur dann eine lio-tationsfläche, wenn alle Normalen der Fläche eine und dieselbe feste Gerade schneiden.

y =H 0,

Form

Wird die Rotationsachse als 0-J.chse gewählt, so können wir a = b = c = 0 setzen. Außerdem ist dann a = ß = 0, so daß die partielle Differentialgleichung die einfache

(4)

xq — yp = 0

annimmt. Die Formeln (1) und (2) geben jetzt t — 2 und r² = x² + y². Dies also müssen voneinander abhängige Funktionen sein. Mithin stellt:

2 = cp (x² + y*)

die allgemeine Gleichung einer Rotationsfläche dar, deren Achse die 2-Achse ist.

Da die Normalen der Rotationsfläche sämtlich die Achse treffen, insbesondere also diejenigen längs eines Meridians eine Ebene und diejenigen längs eines Breitenkreises einen Rotationskegel bilden, folgt aus der Definition in Nr. 319,

[348

daß die Breitenkreise und Meridiane die Krümmungskurven der Rotationsfläche sind, Weiterhin schließt man hieraus nach Satz 15, Nr. 321, daß der eine Hauptkrümmungsradius eines Punktes M der Rotationsfläche die Strecke von M bis zur Achse, der andere dagegen der Krümmungsradius des Meridians von M ist.

(1)

349. Partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Tangentenfläche. Eine Tangentenfläche ist nach Nr. 281 die Einhüllende einer Schar von Ebenen. Wir greifen nun aus der Gesamtheit aller Ebenen ux + vy -f- wz -f cj = 0 dadurch eine Schar heraus, daß wir ebenso wie damals unter u, v, w, (o Funktionen einer willkürlichen Konstante a verstehen. Die Einhüllende z — f(x, y) der Schar geht dann hervor, wenn a aus (1) und der durch Differentiation nach a gebildeten Gleichung

(2)

ux -f v'y -f w'z + a = 0 eliminiert wird. Um für die Tangentenfläche z = f(x, y) die Werte der Ableitungen p und q zu berechnen, differenzieren wir die Gleichung (1) vollständig, indem wir darin unter z die Funktion f(x, y) und unter a diejenige Funktion von x, y, z verstehen, die durch (2) definiert wird. Dies gibt:

udx -j- v dy -f- w (pdx + qdy) fl- (ux v'y -j- w'z + «') da = 0 oder wegen (2) einfacher:

udx -j- vdy -f- w (pdx + qdy) = 0.

Also ist einzeln:

u -f wp == 0, v -f- wq = 0 oder p = — ~

d. h. p und q sind Funktionen von a allein, so daß zwischen ihnen eine Gleichung besteht:

(3)

<p(p, VÖ = o.

Man kann nun zeigen, daß, wenn umgekehrt bei einer Fläche z=f(%,y) zwischen den Ableitungen p und q eine Gleichung (3) besteht, die Fläche eine Tangentenfläche sein muß. Denn alle diejenigen Punkte der Fläche, für die p oder fx denselben Wert hat, liegen auf einer Flächenkurve, und für 348, 349] diese Kurve hat auch q nach (3) einen konstanten Wert. Deshalb sind längs dieser Kurve alle Tangentenebenen der Fläche einander parallel. Da nun die Tangenten der Flächenkurve in den Tangentenebenen liegen, sind also alle Tangenten der Kurve zu einer Ebene parallel. Wählen wir diese Ebene für den Augenblick als xy- Ebene, so ist längs der Kurve dz = 0, d. h. z — konst., die Kurve daher eben. Somit fallen die einander parallelen Tangentenebenen aller Punkte der Kurve in eine Ebene zusammen. Zunächst also erkennen wir: Wenn längs einer Kurve der Fläche p konstant ist, hat die Fläche längs der Kurve einerlei Tangentenebene.

Da nun p, q, — 1 zu den Richtungskosinus der Normale der Fläche proportional sind und q nach (3) eine Funktion von p, etwa: ist, muß die längs der Kurve p = konst. unveränderliche Tangentenebene eine Gleichung von der Form

PI + ^ O) D — b = konet-

haben. Die Konstante kann für andere Kurven p = konst. der Fläche anders ausfallen und muß also allgemein eine Funktion von p sein. Folglich stellt eine Gleichung von der Form alle Tangentenebenen der Fläche dar. Hier aber liegt eine Schar von Ebenen vor, die von einer willkürlichen Größe p abhängt, und ihre Einhüllende ist nach Nr. 281 eine Tangentenfläche. Insbesondere ergibt sich nachträglich noch, daß die Flächenkurven p = konst., von denen wir vorhin bewiesen, daß sie eben seien, auch geradlinig sind.

Satz 33: Eine Fläche ist dann und nur dann eine Tangentenfläche, wenn sie einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung genügt von der Form :

cp(p, q) = 0.

350. Partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für alle Tangentenflächen. Nach dem letzten Satze ist eine Fläche z = f(x, y) dann und nur dann eine Tangentenfläche, wenn die Ableitungen p und q voneinander abhängige

Funktionen von x und y sind. Nach Satz 4 von Nr. 80 ist dafür notwendig und hinreichend, daß die Funktionaldeterminante von p und q hinsichtlich x und y gleich Null sei, d. h. daß rt — s² = 0 sei, vgl. Nr. 100. Also folgt:

Satz 34: Eine Fläche ist dann und nur dann eine Tan

rt — s² = 0.

gentenfläche, wenn sie der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung genügt:

Der in Nr. 318 aufgestellte Wert (4) der Krümmung der Fläche lehrt, daß wir diesen Satz auch so aussprechen können:

Satz 35: Die Tangentenflächen sind die Flächen von der Krümmung Null.

351. Abwickelbare Flächen. Wir eikannten in Nr. 282, daß die Tangentenflächen abwickelbar sind. Wir wollen jetzt beweisen, daß es sonst keine abwickelbaren Flächen gibt:

Eine gegebene Fläche

(1)

£ = fix, y)

wird Punkt für Punkt in allgemeinster Weise in einer jtp Ebene abgebildet, wenn wir jedem Wertepaare x, y ein Wertepaar £, t) zuordnen, indem wir für £ und t) voneinander unabhängige Funktionen von x und y setzen:

(2)

l = <p{x,y),    \) = f(x ,y).

Nach Satz 4 von Nr. 80 ist dann:

<pxipy —    4= 0.

Wir betrachten nun irgendeine Kurve auf der Fläche (1), d. h. wir verstehen unter y irgendeine Funktion von x:

(3)

y = g>0),

so daß die Gleichungen der Kurve sind:

(4)

y = <n(V), z = f\x,G>(x)].

Diese Kurve wird vermöge (2) in der £t)-Ebene a^s eine Kurve abgebildet, deren Gleichungen lauten:

(5)

£ = (p\x, ra(¥)], t) = if:[x, «(»].

Hier spielt x die Rolle einer Hilfsveränderlichen. Die Fläche (1) heißt nun auf die £b-Ebene abwickelbar, wenn es eine Abbildung (2) gibt, bei der jedem Bogenelement irgendeiner Flächenkurve (4) ein gleich großes Bogenelement der Bildkurve (5) entspricht.

350, 351]

Um die analytischen Bedingungen hierfür aufzustellen, bemerken wir, daß bei der Flächenkurve (4)

dy = co'dx, dz = (fx -f- fy<a')dx, also das Quadrat des Bogenelements nach (4) in Nr. 257 (6) ds² = dx² -f dy² + dz² = [1 + to'² + (fx + fyco'Y\dx²

ist, worin y = a(x) gesetzt werden muß. Bei der ebenen Kurve (5) kommt dagegen:

dl = (cpx -f- <pya')dx, dt) = (gl>x -f ifjy(o')dx, also das Quadrat des Bogenelements

(?)

ds² = [(cpx + (pyft'y 4~ (tx + ipy(o'y]dx²,

ds² einander gleich sein sollen, for-

von

worin ebenfalls y = a{x) gesetzt werden muß. Da die beiden Werte (6) und (7) dern wir:

1 -f m'² -f- {fx -f- fyC0 )² = (<px -f- cpy(o )² + (iffx -f- ^ßi')²;

und diese Bedingung soll erfüllt sein, wenn für y beliebige Funktionen a von x gesetzt werden. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn einzeln die drei Gleichungen bestehen:

1 + fx² = <Px² + tx², fxfy = (px<Py + ^xty, 1 + fy* = (fy² + 1>y*f

die sich wegen fx = p und fy = q auch so schreiben lassen:

(8)    1 +JP² = qP*² + ^*², pq = <px(fy+ tyxty, 1 + q² = (fy² + ty².

Diese drei Bedingungen müssen somit für beliebige Werte von x und y erfüllt sein.

Wenn sie partiell nach x bzw. y differenziert werden, gehen sechs Gleichungen hervor, von denen sich zwei wegen der übrigen etwas vereinfachen lassen, so daß kommt:

pr = cpx(pxx + txtxx,    qr    =    (pycpxx    +    ify4’xx,

PS = (px(pxy + ifxll’xy,    qs    =    (py<Pxj    +    ifyi’xy,

pt = tyxtyyy 4" tyxlpyy)    qt    —    tyyCpyy    4“    Ipytyyy

Hiernach stehen r, cpxx, tpxx in    denselben Verhältnissen zuein

ander wie s, <pXy, 4>xy und ebenso wie t, q>yy, ij>yy. Also ist:

(pxx^Pxy fpxy^xx ⁼ 9; tyxy^yy tyyy'H’xy — 0;

q^xy t q>yy & tyxy t ~ tyyy ⁼⁼⁼ 9 •

(pxx S txx S

Cpxy V

tyxy T

= 0,

= 0,

= 9,

Die linken Seiten dieser Gleichungen aber sind Funktional-determinanten von je zweien der Größen cpx, tyx‘ cpy, ihy', cpx, jp; cpy, q] i>x, P] ty, <1‘ Nach Satz 4 von Nr. 80 besteht folglich jedes dieser Paare aus zwei voneinander abhängigen Funktionen. Die Paare cpx, ipx', cpx, p\ i(jx, p zeigen, daß cpx, ipx und p voneinander abhängen, die Paare cpy, cpy, q-, ipv, q dagegen, daß cpy, ijjy und q voneinander abhängen. Daher sind cpx und i[fx Funktionen von p allein und cpy und 4>y Funktionen von q allein. Setzen wir sie in die mittlere Gleichung (8) ein, so ergibt sich eine Gleichung zwischen p und q allein, so daß die Fläche nach Satz 33 von Nr. 349 eine Tangentenfläche ist. Also gilt der

Satz 36: Nur die Tangentenflächen sind auf die Ebene abwickelbar.

352. Kanalflächen mit ebenen Leitlinien. Beschreibt der Mittelpunkt einer Kugel von konstantem Radius B eine Kurve, die sogenannte Leitlinie, so heißt die Einhüllende der Kugel eine Kanalfläche. Wir wollen nur den Fall betrachten, wo die Leitlinie eine ebene Kurve ist, etwa die Kurve y = cp (x) in der xy-Ebene. Dann ist

(i)

(x — a)² + [y — cp (ce)]² -f- z² — ll² — 0

die Gleichung der Kugelschar. Um die Einhüllende zu linden, haben wir diese Gleichung nach a zu differenzieren, wodurch hervorgeht:

(2)

x — a + (y — cp') cp' = 0.

Bereits im Beispiele von Nr. 92 wurde diejenige partielle Differentialgleichung erster Ordnung bestimmt, der alle diese Flächen genügen, nämlich:

(3)

i:

V i -\-p~ •+■ ⁽fl

Wir wollen die Krümmungskurven der betrachteten Flächen ermitteln. Zunächst gelten die schon in Nr. 92 aufgestellten Gleichungen, die durch Differentiation von (1) nach x und y hervorgehen:

(4)

x — a -f- pz = 0, vorausgesetzt, daß a die durch (2) definierte Funktion von x und y ist. Längs einer Flächenkurve sind x und y und mithin auch z, p, q und a Funktionen einer Veränderlichen, und

351, 353]

die Differentiation nach dieser Veränderlichen sei durch den Akzent angedeutet, so daß aus (4) folgt:

(5)

x + pz + zp = a, y + qz + zq = cp'(a)a.

Setzen wir die Werte von x — a und y — <p aus (4) in (2) ein, so kommt noch:

P -{- qq>'(cc) — 0, also qp'(a) = — Hieraus und aus (5) folgt:

i _i_    ₌    -

' x' 4-pz' x-{-pz

zq'

p u'

2 y' + 2*' ’

y + s«'

Die linken Seiten dieser Gleichungen sind nur für eine Krümmungskurve einander gleich, nach (5) in Nr. 319. Also ist für die Krümmungskurven:

qcc'    pcc    n

x' + pz' + y ^ qz " °

oder wegen px -f- qy = z:

(1 + jo² -f- q*)z'a = 0,‘

woraus a = 0 oder z =0, d. h. a = konst. oder z = konst. folgt. Die Krümmungskurven der einen Schar sind daher die Charakteristiken der Einhüllenden, nämlich diejenigen größten Kreise der Kugeln, deren Ebenen zur Leitlinie senkrecht sind, und die Krümmungskurven der anderen Schar sind die Höhenkurven, woraus nach Nr. 341 zu schließen ist, daß die Krümmungskurven der ersten Schar die Fallkurven vorstellen.

353. Partielle Differentialgleichung dritter Ordnung für alle Linienüächen. Sind

(1)

x — Uz + u, y=Vz + v die Gleichung einer beweglichen Geraden, d. h. sind TJ, u, V, v wie in Nr. 343 Funktionen von nur einer Veränderlichen x, so erzeugt die Gerade (1) eine Linienfläche.

Nach (1) ist t auf der Fläche eine Funktion von x, y, z und deshalb ebenso wie z eine Funktion von x und y. Differenzieren wir die Gleichungen (1) nach x und y, so ergibt sich, wenn der Akzent die Differentiation nach x andeutet:

dx’

1 = üp + (V'z + u)ddrx, 0 = Vp + (V'z + v) dT

0 = Uq + {V'z + ii)°d ,    1 - Vq + (V'Z + V) |1.

Serr et-Scheffera, Diff.- u. Integr.-Rechn. I. 6. u. 7.Aufl.

³⁶ [S52,35H

Hieraus folgt:

dr

also:

dx '

CO CO

Up — 1 Vp Uq ⁼ Vq — 1 J

(3)

Up -f Vq = 1

dr

dr

ürX+Vfy~°-

Differentiation der ersten Gleichung (3) nach x und y liefert: Ur+n + (U'p + Vq) ll = 0, Vs + Vt + (ü'p + Vq)

Multiplizieren wir diese Gleichungen bzw. mit ü und V und addieren sie danu, so kommt wegen der zweiten Gleichung (3): U*r + 2ÜVs+ VH = 0.

= 0.

(4)

Differentiation dieser Gleichung nach x und y ergibt, wenn wir die Ableitungen dritter Ordnung von z nach x und y mit a, ß, y, d bezeichnen:

u²u + 2 uvß + v²r +

djU'r + ZUVs+VH) dr

dr

dx

= 0,

U²ß + 2UVr-f V²d 4-

d(U²r+ 2UVs + VH) dr n

dr

Werden diese beiden Gleichungen bzw. mit U und V multipliziert und dann addiert, so kommt wegen der zweiten Gleichung (3):

(5)

Uia + 3U²Vß + 3UV‘r + FM = 0.

Nun sind (4) und (5) in U und V homogen, so daß sich U und V daraus eliminieren lassen. Setzen wir nämlich zur Abkürzung:

— s -\-Vs2 — rt

so gibt (4) für V den Wert MU, der in (5) einzusetzen ist. Wenn wir wieder a, ß, y, d als Ableitungen dritter Ordnung von z ausführlich schreiben, geht die Gleichung hervor:

ds_z i 3(\^    _ i 3jv\2    I (\^3    _ o

dx³ +    11 dx*dy + dxdy* ⁺ ™ dy³ Ul

Dies ist also eine partielle Differentialgleichung dritter Ordnung, der alle Linienflächen genügen.

Elftes Kapitel.

Elementare Funktionen einer komplexen Veränderlicken.

§ 1. Allgemeines über komplexe Zahlen.

354. Der Bereich der komplexen Zahlen. In dem

in Nr. 2 festgestellten Bereiche aller reellen Zahlen haben die einfachsten Funktionen, nämlich die ganzen linearen Funktionen y = ax + b, die folgende Eigenschaft: Nicht nur für diese Funktionen selbst, sondern auch für die zu ihnen inversen Funktionen x — (y — h) : a ist der Variabilitätsbereich der unabhängigen Veränderlichen unbeschränkt. Dies trifft jedoch bei den nächst einfachen ganzen Funktionen nicht mehr zu. Denn die einfachste ganze quadratische Funktion, nämlich y = x², ist zwar für alle Werte von x definiert, die inversen Funktionen x = i]A/ sind es dagegen nur für positive Werte von y. Der Wunsch, die inversen Funktionen auch für negative Werte der Veränderlichen y zu definieren, führt also zunächst im Falle y = — 1 zu der Zahl i, der imaginären Einheit, die man mit Y—1 bezeichnet und die durch die Eigenschaft i² = — 1 definiert wird. Fügt man diese Zahl dem Gebiete aller reellen Zahlen hinzu, so ist x = + jA/ auch für jeden negativen Wert von y definiert, da sich für y = — h² ergibt, daß x = + ih sein muß, wenn vorausgesetzt wird, daß auch in dem erweiterten Gebiete die formalen Gesetze von Nr. 1 gelten. Der soeben berührte und schon in Nr. 1 erwähnte Grundsatz von der Erhaltung der formalen Gesetze führt ferner zu der Forderung, daß auch die Summe aus einer reellen Zahl a und einer sogenannten rein imaginären Zahl ih, wo h reell ist, daß also auch a -\- ih eine erlaubte Zahl sein soll. So gelangt man zum

Bereiche aller komplexen Zahlen a + ib, bei denen a und b reell sind.

Eine Zahl a -f- ib ist im Falle a =j= 0 und b 4= 0 wedel-reell noch rein imaginär. Denn bei Aufrechterhaltung der formalen Gesetze würde aus a -f- ib = c bzw. aus a -f ib = ic, wo c reell sein soll, entweder ib = c — a oder a = i(c — b) folgen, woraus durch Quadrieren entweder — b² = (c — a)² oder a² = — (c — b)² hervorginge. Da a, b, c reell sein sollen, müßte also entweder b =*= 0 und c = a oder aber a =*• 0 und c = b sein.

Die komplexen Zahlen a -\- ib sind daher neue Zahlen, und zwar sind zwei komplexe Zahlen nur dann einander gleich, wenn ihre reellen Bestandteile übereinstimmen und ebenso ihre rein imaginären Bestandteile. Denn wenn a ib = c id sein soll, muß a — c = i(d — b), d. h. (a — c)² = — (d — b)², also a = c und d=b sein. Insbesondere ist eine komplexe Zahl a-\-ib dann und nur dann gleich Null, wenn sowohl a = 0 als auch b = 0 ist. Nach dem Grundsätze von der Erhaltung der formalen Gesetze kann man die Rechenregeln für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division aufstellen und zwar so, daß sie ebenfalls den formalen Gesetzen der Kommutation, Assoziation und Distribution (siehe Nr. 1) genügen und zu keinerlei Widersprüchen führen. Es ist zu setzen:

(a + ib) + (c + id) = (a ± c) + i (b + d),

(a + ib) (c + id) = ac — bd + i (bc + ad),

a -f-ib    (a -f- ib) (c — id) ac -{-bd -f- i{bc — ad)

c-\-id (c -)- id) (c — id)

ac -j- bd ⁼ cs + d

(1)

(2)

(3)

c² + d*

bc — ad

c² <Z²

Nur die Division (a + ib) : (c -f- id) kann unmöglich werden, nämlich wenn c² + d² = 0, d. h. c = d = 0 ist. Also gilt auch jetzt, daß nur die Division mit Null unstatthaft ist. Aus (2) folgt: Ein Produkt verschwindet nur dann, wenn einer der Faktoren gleich Null ist, da aus ac — bd = 0 und bc ad = 0 entweder a = b = 0 oder c = c? = 0 folgt.

Wir haben vorhin i als eine Zahl definiert, deren Quadrat

gleich — 1 ist. Soll das Quadrat einer komplexen Zahl a + ib den Wert — 1 haben, so muß

a² — b² 2iab = — 1, d. h. a² + 1 = b², ab = 0

sein, woraus b =\= 0, a = 0 und also b² = 1, d. h. b = -f- 1 oder — 1 folgt. Demnach gibt es im komplexen Bereiche nur zwei Zahlen, deren Quadrate gleich — 1 sind, nämlich i und — i. Unter i wird also eine der beiden Wurzeln z der quadratischen Gleichung z² = — 1 verstanden; die andere ist alsdann — i.

Wenn man den Funktionsbegriff auf den Bereich aller komplexen Zahlen ausdehnt, kann man übrigens erkennen, daß sich nirgends die Notwendigkeit zu einer nochmaligen Erweiterung des Bereiches herausstellt, weshalb wir hiermit endgültig die Erweiterung des Zahlengebietes abschließen.

S,

CJ

Fig. 66.

355. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Da die allgemeine komplexe Zahl a -f- ib von zwei reellen Zahlen a und b ahhängt, stellen wir sie durch einen Punkt der Ebene dar, nämlich durch denjenigen Punkt P, dessen rechtwinklige Koordinaten a und b sind. Man. kann sie auch statt durch den Punkt P durch die von 0 nach P gerichtete Strecke OP vom Anfangspunkte 0 aus darstellen. Siehe Fig. 66. Man sagt auch, die Zahl a -f- ib sei durch den Vektor OP dargestellt. Sobald die Zahl reell, also b — 0 ist, kommen wir zur Darstellung der reellen Zahlen auf einer Geraden, der ic-Achse, zurück, vgl. Nr. 3.

Die benutzte Ebene heißt die ZaMenebene, die Abszissenachse ihre reelle Achse und die Ordinatenachse ihre imaginäre Achse, obgleich sie an sich reell ist. Gemeint ist nur, daß sie der Träger der Bildpunkte aller rein imaginären Zahlen sein soll, während die #-Achse der Träger der Bildpunkte aller reellen Zahlen ist. Der Bildpunkt der Zahl Eins, des Moduls der Multiplikation (vgl. Nr. 1), liegt auf der reellen Achse und heißt der Einheitspunkt.

Die Strecke OP, deren Sinn der von 0 nach P ist, bildet gerade so wie die positive Tangente einer Kurve (siehe Nr. 169)

[354, 355

mit der positiven reellen Aclise einen bis auf ganze Vielfache von 27t bestimmten Winkel co. Hat OP die positiv gemessene Länge p, so ist

(i)

a = p cos co, b = q sin co,

folglich:

(2)

a -f- ib = p (cos co -f- i sin co).

Es gibt nur eine derartige Darstellung der Zahl a ib, denn die Forderung (2) zerfällt in die beiden Forderungen (1) und ergibt:

(3) ₉ = Ya^+¥,

cos co =

sin co =

l/«² -4- fe² ’

wobei die Wurzel positiv ist. Nur wenn n² + 6² = 0, also a = b = 0 ist, wird co unbestimmt, während p verschwindet. Also nur für die Zahl Null bleibt co unbestimmt. Die stets

\/ a¹ b

positive Größe p heißt der absolute Betrag der komplexen Zahl. Ist die Zahl reell, also b = 0, so kommt diese Definition auf die in Nr. 4 zurück. Deshalb darf der absolute Betrag p einer komplexen Zahl a 4- ib ebenfalls durch Einschluß der Zahl zwischen zwei Strichen bezeichnet werden:

p = \a + ib \ = ; ]/a² + b²\ ■

Der Winkel co heißt die Amplitude der komplexen Zahl; er ist, wie gesagt, nicht völlig bestimmt, weil noch ein beliebiges ganzes Vielfaches von zu ihm addiert werden darf. Dagegen haben cos co und sinco bestimmte Werte. Der Faktor cos co -j- i sin co, mit dem man nach (2) den absoluten Betrag einer Zahl multiplizieren muß, um die Zahl selbst zu erhalten, hat den absoluten Betrag Eins.

Wir formulieren einige Ergebnisse in dem Satz 1: Jede komplexe Zahl a -f- ib, die nicht gleich Nidl ist, läßt sich auf eine und nur eine Art darstellen in der Form p (cos co 4- i sinco), wo p positiv ist. Der absolute Betrag p einer komplexen Zahl ist dann und nur dann gleich Null, wenn die Zahl selbst gleich Null ist.

Der Ort der Bildpunkte aller Zahlen a -f- ib mit demselben absoluten Betrage p ist der Kreis um 0 mit dem Radius p. Die Amplituden von entgegengesetzt gleichen komplexen Zahlen a ib und — a — ib unterscheiden sich um ein ungerades 355]

ganzes Vielfaches von n, während ihre absoluten Beträge über-einstimmen. Der Punkt 0 ist die Mitte zwischen ihren Bildpunkten. Zwei Zahlen von der Form a-\-ib und a — ib heißen konjugiert komplex; sie haben gleiche absolute Beträge, und die Summe ihrer Amplituden ist ein gerades ganzes Vielfaches von 2tc. Ihre Bildpunkte liegen symmetrisch zur reellen Achse. Ihr Produkt ist eine reelle positive Zahl a² + &².

356. Geometrische Ausführung der Addition, Sub

traktion, Multiplikation und Division. Die beiden Zahlen % -f- ibt und a₂ -f- ib₂ mögen die Summe a-\-ib haben. Ferner seien P1} P₂, P die Bildpunkte der Summanden und der Summe. Da a = ax -j- a₂ und b = \ + b₂ ist, ergibt sich der Bildpunkt P der Summe durch die sogenannte geometrische Addition der

Vektoren OPt und OP (oder P₂)

Pj P (oder P₂ P) parallel, gleich und gleichsinnig mit der Strecke OP₂ (oder OPf) an. Den Bildpunkt Q der Differenz von aj -f i\ und a₂ -j- ib₂, gewinnt man ebenso, nachdem man P₂ durch den hinsichtlich 0 symmetrischen Punkt Pf ersetzt hat.

siehe Fig. 67: Wir tragen in P1 an OPx (oder OP₂) eine Strecke J?

Vig. 67.

Sind und q₂ die absoluten Beträge und und ra₂ die Amplituden von ax -f- ibt und a₂ -f ib₂, d. h. ist

ai + ibt = (cos ojj -f i sin ojJ, a₂ + ib₂ = q₂ (cos cj₂ -f- i sin <u₂), so ist das Produkt beider Zahlen:

(1) (ax + ibf) (a₂ -f ib₂) = ^ q₂ [cos (oj + gj₂) + i sin (c^ + ra₂)].

Nach Satz 1 in voriger Nummer folgt daraus:

Satz 2: Der absolute Betrag eines Produktes ist gleich dem Produkte der absoluten Beträge der Faktoren.

Dies gilt, wie der Schluß von n auf n -fl zeigt, für beliebig viele Faktoren. Der Satz 1 von Nr. 4 ist demnach auch im Bereiche aller komplexen Zahlen richtig.

Nach (1) ist ferner die Amplitude des Produktes gleich der Summe der Amplituden der Faktoren, wozu jedoch immer noch ein beliebiges ganzes Vielfaches von 2jt addiert werden darf.

[355, 356

357. Absoluter Betrag einer Summe. Schon aus der geometrischen Konstruktion des Bildpunktes P der Summe zweier Zahlen, siehe Fig. 67 auf S. 567, folgt, daß der absolute Betrag der Summe nicht größer als die Summe der absoluten Beträge der Summanden ist.

Um dies auch rechnerisch zu beweisen, nehmen wir an, daß pj, p₂ und p die absoluten Beträge zweier Summanden und ihrer Summe seien, ferner cox, co₂ und co die zugehörigen Amplituden. Aus:

p (cos co + i sin co) = px (cos cox-\- i sin ooj) -f- p₂ (cos oo₂ -f i sin co₂) folgt dann:

p cos co = Pi cos coj p₂ cos w₂, p sin co = px sin a₁ -f- p₂ sin co₂. Hieraus geht durch Quadrieren und Addieren hervor:

also:

3*3i

JE

Fig. 68.

Aus den Bildpunkten Px und P₂ von ax -f ibx und a₂ -f- ib₂ ergibt sich nach (1) der Bildpunkt P ihres Produktes wie in Fig. 68, worin E den Einheitspunkt (vgl. Nr. 355) bedeutet: Man konstruiert das zu dem Dreiecke OEPx (oder OEP₂) gleichsinnig ähnliche Dreieck OP₂P (oder OPlP), so daß OE und ÖP₂ (oder OPx)

homologe Stücke sind.

Durch Umkehrung dieses Verfahrens findet man ohne Mühe die geometrische Ausführung der Division.

p² = px² + p₂² + 2pxp₂ cos (e»! — co₂),

(Qi + Pa)² — P² = ²PiPa [1 — cos (®i — ®a)]*

Die rechte Seite ist stets positiv und nur dann gleich Null, wenn cos (c^ — co₂) = 1, d. h. a₂ = co₁ 2kji ist, wo k eine ganze Zahl bedeutet. Hieraus folgt zunächst für den Fall von nur zwei Summanden ein Satz, der sich sofort durch Schluß von n auf n + 1 auf Summen von beliebig vielen Summanden ausdehnen läßt und daher so lautet:

Satz 3: Der absolute Betrag einer Summe ist kleiner als die Summe der absoluten Beträge der Summanden oder höchstens ebenso groß. Er ist ihr dann und nur dann gleich, wenn alle 356, 357]

Summanden dieselbe Amplitude — abgesehen von ganzen Vielfachen von 2 7t — haben.

Satz 2 von Nr. 4 ist ein besonderer Fall dieses Satzes.

Nützlich ist noch folgende Bemerkung: Ist eine Zahl a 4 ib gegeben, so liegen die Bilder aller Zahlen u 4 iv, deren Unterschied von a 4 ib absolut genommen kleiner als eine positive Zahl 6 ist:

(i)

| (a 4 ib) — (u 4 iv) | < <?,

(2)

innerhalb desjenigen Kreises, dessen Mittelpunkt der Bildpunkt von a 4 ib und dessen Radius 6 ist, siehe Fig. 69. Die Bildpunkte der Zahlen u 4 iv liegen alsdann auch so, daß a — u | < 6 und | b — v | < 6 wird, also innerhalb des in der Figur angegebenen Quadrates.

#-

Fig. 69.

Fig. 70.

Umgekehrt: Gelten die Ungleichungen (2), d. h. liegt der Bildpunkt von u 4 iv innerhalb des Quadrates, so ist seine Entfernung von der Mitte kleiner als ö]/2, also:

(3)

| (a + ib) — (u 4 iv) | < <J]/2, wo die Wurzel natürlich positiv sein soll. Dies bedeutet, daß der Bildpunkt von u -f- iv innerhalb des dem Quadrate umschriebenen Kreises liegt, siehe Fig. 70.

358. nte Einheitswurzeln. Ist n eine ganze positive Zahl, so bedeutet Y~i eine Zahl, deren nie Potenz gleich Eins ist. Zu diesen nten Einheitswurzeln gehört die Zahl Eins selbst, aber es gibt außerdem noch n — 1 Werte. Denn nach Satz 2 von Nr. 356 muß zunächst der absolute Betrag einer wten Einheitswurzel gleich Eins sein. Bedeutet co ihre Amplitude, so ist mithin zu fordern:

(cos co + i sin co)n = 1.

Da aber die Amplitude eines Produktes von zwei Zahlen nach Nr. 356 der Summe der Amplituden der Faktoren gleichgesetzt werden darf, ergibt sich durch Schluß von n auf n-fl die sogenannte Moivresche Formel für ganzes positives n:

(1)

(cos 03 + i sin co)n = cos nco -f- i sin no3.

Also fordern wir:

cos noo + i sinwco = 1, d. h. cosmoo = 1, sinno^ = 0.

Mithin ist, wenn k eine beliebige ganze Zahl bedeutet, na = 2k st, d. h. oo = 2kn : n. Da die Amplituden co und co -j- 2st dieselbe Zahl liefern, gehen nur n wesentlich verschiedene Amplituden hervor, nämlich für k = 0, 1, 2, ... n — 1. In dem Ausdrucke

21c 7t .    •    • t- iv

cos---\- i sin —

n    n

liegen also alle wten Einheitswurzeln vor. Ihre n Bildpunkte liegen auf dem Kreise vom Radius Eins um den Nullpunkt und bilden auf dem Kreise dasjenige regelmäßige w-Eck, von dem der Einheitspunkt selbst eine Ecke ist.

Ist n eine gerade positive Zahl 2m, so gehören zu den 2mten Einheitswurzeln die reellen Werte -f- 1 und — 1, während die übrigen 2 m — 2 komplexen Werte in der Form

+ &n .    . .    -f- litt

—--b i sin =-

m    m

dargestellt werden können.

(2)

cos

2 7c 7t

(fc-0, 1, 2,

(7c = 1, 2, ... m — 1)

§ 2. Unendliche Reihen mit komplexen (Miedern.

359. Endlicher Grenzwert einer unbegrenzten Zahlenfolge. Nach irgendeiner Vorschrift gebildet, liege eine unbegrenzte Folge von komplexen Zahlen vor:

c₀ = «o +    ci = ai + ihi> • • • cn “    + ibn} • • •.

Durch sinngemäße Ausdehnung der in Nr. 18 gegebenen Definition des endlichen Grenzwertes einer von x abhängigen Größe bei unbegrenzt wachsendem x gelangen wir hier, wo n an die Stelle von x tritt, zu der 358, 359]

Definition: Die Zahlen einer unbegrenzten Zahlenfolge c₀, cx, . .. cn,. . . haben einen bestimmten endlichen Grenzwert C = A 4- iB, wenn es stets, ivie Mein man auch eine positive Zahl 6 wählen mag, einen Indexwert n derart gibt, daß der absolute Betrag der Differenz cm — C für jeden Index m n Meiner als 6 ist.

Für die Bildpunkte der Zahlen c₀, cx, . . . cn, . . . und G bedeutet dies nach den Schlußbemerkungen von Nr. 357: Wie klein man auch den Radius 6 eines Kreises um den Bildpunkt von G wählen mag, stets soll es einen Index n derart geben, daß die Bildpunkte von cn, cn + 1, cn + 3, . . . sämtlich innerhalb des Kreises liegen. Man sieht leicht ein, daß es höchstens eine derartige Stelle G geben kann; sie heißt Häufungsstelle der Punktfolge. Ferner folgt aus Nr. 357:

Satz 4: Wenn die Zahlen einer unbegrenzten Zahlenfolge

c₀ = a₀ + ibo,    q = ax + i\, ... cn = an + ibn, . . .

einen bestimmten endlichen Grenzwert G = A -j- iB haben, kommen den Zahlen der beiden reellen Zahlenfolgen

a₀, ax, . . . an, . . .

die bestimmten endlichen Grenzwerte A und B zu. Wenn umgekehrt die Zahlen dieser beiden Zahlenfolgen bestimmte endliche Grenzwerte A und B haben, kommt den Zahlen der vorgelegten Zahlenfolge der bestimmte endliche Grenzwert A-\-iB zu. Man sagt auch so: Aus

und b₀, \, ...bn, ...

lim (an + ibj — A + iB folgt: lim an = A, lim bn = B

n = oo

n = co

n = oo

und umgekehrt.

360. Konvergenz einer unendlichen Reihe. Nun

liege eine unendliche Reihe

^o + «,l + M,ä^-----h wn H----

von komplexen Zahlen wn = un + ivn vor. Alsdann sagen wir wie in Nr. 101, daß sie konvergiere und die Summe S habe, wenn die Summe der n ersten Glieder

-l

$n = W0 +    4" w2 + ' * ' + Wn

bei unbegrenzt wachsendem Index n einen bestimmten endlichen

[359, 360

Grenzwert S hat. Andernfalls heißt die Reihe divergent. Aus Satz 4 in voriger Nummer folgt nun sofort der Satz 5: Eine unendliche Reihe

(u₀ -f iv₀) + (wx + ivf) + • • • + (wB 4- ivJ 4- • • •

konvergiert dann und nur dann, wenn die beiden Reihen mit reellen Gliedern

% + wi 4-----h un 4---- und ^4-^4-----h vn 4----

konvergieren. Sind U und V die Summen dieser Reihen, so ist ü 4- iV die Summe der vorgelegten Reihe.

Daher gilt der Satz 2 in Nr. 102 auch jetzt, d. h.:

Satz 6: Eine unendliche Reihe von komplexen Gliedern w₀ + w\ 4~ ' ‘ ’ 4- wn 4- • • • konvergiert dann und nur dann, wenn es, sobald eine beliebig kleine positive Zahl r vorgeschrieben wird, stets einen Indexwert n derart gibt, daß für jedes ganze positive p die Ungleichung besteht:

< V.

n+p — 1

\*>n + Wn +1 4" * * ‘ 4- W

361. Unbedingte Konvergenz. Angenommen, es liege eine unendliche Reihe w₀ 4-    4- • • • 4-    + • • • vor, von der

wir nur das Eine wissen, daß die Reihe der absoluten Beträge i wo I 4- | «k' 4~ • • • 4- \ wn I + * ‘ ■ ? nämlich die Reihe

VV 4- V 4- yv 4- V 4- • • • 4- V^n +««* + •••»

in der alle Wurzeln positiv sind, konvergiert. Nach Satz 10 von Nr. 105 konvergieren dann auch die Reihen mit gewiß nicht größeren positiven Gliedern:

kl 4- kl 4-----hkl + •••und kl + hl4-• • • 4-kl 4----.

Die Reihen u₀ 4- ut 4-----(- un 4----und v₀ 4- vx 4- • • • 4- vn + ...

konvergieren überdies nach Nr. 104 unbedingt. Nach Satz 5 in voriger Nummer konvergiert mithin auch die Reihe wo + w\ + ' ' ‘ 4- wn 4- • • •• Daher gilt der Satz 8 von Nr. 104 auch jetzt:

Satz 7: Eine unendliche Reihe von komplexen Zahlen w₀ 4~ wx 4- • • • + wn 4- • • • konvergiert insbesondere, falls die Reihe der absoluten Beträge \wQ | 4- |    \ 4-----\-' wn j 4- • • • konvergiert.

Ist dies der Fall, so heißt die Reihe w₀ 4* u)x 4-----f- wn 4----

unbedingt konvergent.

360, 361]

362. Sätze über unbedingt konvergente Reihen.

Aus Satz 5 von Nr. 360 und aus Satz 16 von Nr. 109 folgt sofort, daß dieser Satz 16 auch im komplexen Zahlenbereiche gilt. Man erkennt ohne weiteres, daß jetzt auch alle Sätze 3 bis 7 von Nr. 103 gültig bleiben. Der Beweis des Satzes 10 von Nr. 105 gilt ferner offenbar auch dann, wenn die dort auftretende Reihe w₀, u1} u₂, . . . komplexe Glieder hat, woraus die Richtigkeit der Sätze 11 bis 14 von Nr. 105 im Bereiche der komplexen Zahlen hervorgeht.

Blicken wir nun auf Nr. 110 zurück und verstehen wir unter den dort auftretenden Größen u, v, w komplexe Zahlen, so folgt zunächst aus dem dort bewiesenen Satze 17, daß die Reihe mit dem allgemeinen Gliede

Kl Kl + Kl K-il + • • • + K-il kl + kl 1^1 unbedingt konvergiert und zur Summe das Produkt der beiden Reihen

kl + kl + --- + kl + *** un(i ki+k! + ••• + kl + • • •

hat. Wenn Sn, Sn', Sn" die in Nr. 110 angegebenen Bedeutungen haben, ergibt sich, daß der damals unter (1) entwickelte Ausdruck von SnSn' — Sn", sobald darin für die u und v ihre absoluten Beträge gesetzt werden, den Grenzwert Null hat. Der so hervorgehende Ausdruck ist nach Satz 2 von Nr. 356 und nach Satz 3 von Nr. 357 nicht kleiner als |SnSn' — S„'\. Folglich hat auch SnSn' — Sn" den Grenzwert Null. Die unbedingte Konvergenz der Reihe w₀, wx, ... wn, . . . wird gerade so wie damals bewiesen.

Wir können hiernach zusammenfassend sagen:

Satz 8: Die Sätze 3 bis 7 von Nr. 103, die Sätze 10 bis 14 von Nr. 105, Satz 16 in Nr. 109 und Satz 17 von Nr. 110 gelten auch für unendliche Reihen mit Jcomplexen Gliedern.

§ 3. Analytische Funktionen.

363. Potenzreihen. Eine unendliche Reihe von der Form

C0 "F + c2^² + • ' * + CnZn + • • •>

worin c₀, clt c₂, . . . cn, . . . irgendwelche komplexe Konstanten

[363, 363

seien, während z — x-\-iy eine komplexe Veränderliche bedeute, heißt eine Potenzreihe, genauer eine Potenzreihe nach steigenden ganzen positiven Potenzen von z. Sie konvergiert offenbar für z = 0.

Nehmen wir nun an, sie konvergiere für einen von Null verschiedenen Wert z — zx. Nach Satz 3 von Nr. 103 gibt es dann, wenn <? eine beliebig klein gewählte positive Zahl bedeutet, einen Index n derart, daß für jeden Index m^>n:

(i)

ist. Verstehen wir unter z₂ irgendeine Zahl, deren absoluter Betrag kleiner als der von zx ist, so daß

(2)

!a! ₌ e

einen positiven echten Bruch vorstellt, so folgt mit Rücksicht auf Satz 2 von Nr. 356:

I «■Al + I <Wi V⁺¹j + ••• + ! *„+„-1V+'“¹!

(3)

6ma — d’

vgl. das Beispiel in Nr. 101. Der Wert rechts hat für lim m = oo den Grenzwert Null. Nach der Schlußbemerkung in Nr. 104 und nach Satz 6 von Nr. 360 konvergiert mithin die Potenzreihe für z₂ unbedingt.

Wenn wir der Kürze halber die Bildpunkte von Zahlen z in der Zahlenebene einfach durch die Zahlen selbst bezeichnen, hat sich also, weil | #₂ | < | zx | vorausgesetzt wurde, folgendes ergeben:

Satz 9: Konvergiert eine Potenzreihe c₀-j-c₁z-1-----\-cnzn-\—

für einen Punkt z = zx, so konvergiert sie unbedingt für alle Punkte z%, die innerhalb desjenigen Kreises um den Nullpunkt liegen, der durch zx geht.

Wenn die Potenzreihe für z = #₂ divergiert, kann sie hiernach sicher nicht für einen Punkt z — zx außerhalb desjenigen Kreises mit dem Mittelpunkte O konvergieren, der durch z3 geht. Mithin:

Satz 10: Divergiert eine Potenzreihe c₀+ cxz -----\- enzn -\—

für einen Punkt z = z₂, so divergiert sie auch für alle Punkte zx, die außerhalb desjenigen Kreises um den Nullpunkt liegen, der durch z₂ geht.

Die Gesamtheit aller Kreise mit dem Mittelpunkte 0 zerfällt folglich in zwei Klassen, in solche, innerhalb derer die Reihe überall unbedingt konvergiert, und in solche, außerhalb derer die Reihe überall divergiert. Jeder Kreis der zweiten Art ist größer als jeder der ersten Art. Demnach zerfällt auch die Gesamtheit der Werte der Radien der Kreise in zwei Klassen, zwischen denen es nach Nr. 2 eine positive Zahl r als Grenze gibt. Es ist möglich, daß der ersten Klasse von Kreisen nur der vom Radius Null angehört oder daß sie alle Kreise mit endlichen Radien umfaßt. Also finden wir den

Satz 11: Liegt eine Potenzreihe c₀ cxz -\-----V cnzn-\----

vor, so gibt es eine positive Zahl r derart, daß die Leihe für alle Punkte z innerhalb des Kreises um den Nullpunkt mit dem Radius r unbedingt konvergiert und für alle Punkte z außerhalb dieses Kreises divergiert, so daß die Leihe für | z \ <?r unbedingt konvergiert und für \ z | > r divergiert. Die Zahl r kann jedoch unter Umständen gleich Null sein oder jeden endlichen Wert überschreiten.

Der erwähnte Kreis heißt der Konvergenzkreis und sein Radius r der Konvergenzradius der Potenzreihe. Satz 11 sagt nichts über das Verhalten der Potenzreihe in den Punkten des Konvergenzkreises selbst aus; die Reihe kann dort konvergieren oder divergieren.

Wir können dem Satze 11 sofort eine allgemeinere Form geben, indem wir die Potenzreihe

C0 + ci (* — #o) + ‘ ' ' + Cn(^ — ZoT + * • ‘

betrachten, in der z₀ eine bestimmte komplexe Zahl x₀ -f- iy0 bedeuten soll. Wenn wir nämlich z — z₀ = z setzen, kommen wir auf eine Reihe c₀ + ctz + • • • + cnzn + • • • zurück, die nach Satz 11 einen- gewissen Konvergenzradius r hat, so daß die Reihe unbedingt konvergiert oder divergiert, je nachdem | z | < r oder > r ist. Alle Punkte z, für die | z | < r, d. h. \ z — zQ '\ <.r ist, liegen nun nach Nr. 357 innerhalb des Kreises vom Radius r mit dem Mittelpunkte z₀. Daher ergibt sich

Satz 12: Eine Potenzreihe

co + ci (z ~ zo) + ‘' ’ + cn(z — ^o)w + ' • • konvergiert unbedingt für alle Punkte z innerhalb eines geivissen Kreises um den Punkt z₀ und divergiert für alle Punkte z außerhalb dieses Kreises. Der Kreisradius kann jedoch unter Umständen gleich Null sein oder jeden endlichen Wert überschreiten.

Wieder heißt der Kreis der Konvergenzkreis und sein Radius der Konvergenzradius.

(1)

364. Gleichmäßige Konvergenz. Die Potenzreike c„ + C,e + cszs H----4- c.,2” H----

möge einen von Null verschiedenen Konvergenzradius haben, und es bedeute zx eine irgendwo innerhalb des Konvergenzkreises bestimmt gewählte Stelle. An dieser Stelle zx konvergiert die Reihe unbedingt, so daß hier auch die Reihe der absoluten Beträge der Glieder konvergiert. Aus Satz 2, Nr. 102, schließen wir somit: Wird eine beliebig kleine positive Zahl 6 gewählt, so gibt es einen Indexwert n derart, daß für jedes ganze positive p:

+----h | Cn+p-1*1

I Cn**\ + ICk ₊ 1*1

Da alle Glieder der rechts stehenden Summe positiv

wird.

sind, ist um so mehr für jede ganze positive Zahl m'ftn und

für jedes ganze positive p:

| < <?•

+ • • • + \ Cm+p-1*1

Innerhalb desjenigen Kreises mit dem Mittelpunkte 0, der durch die Stelle zx geht und also mit dem Konvergenzkreise konzentrisch liegt, sei nun eine Stelle z beliebig gewählt, d. h. z sei irgendeine komplexe Zahl, deren absoluter Betrag kleiner als der von zx ist. Die Reihe (1) konvergiert für diese Stelle z unbedingt. Nach Satz 3, Nr. 357, und Satz 2, Nr. 356, ist nun:

(²) K*rl +

rn + 1

m+p-1

Mm + K+il l*lm+1 + --- + \cm+P-i\\e\m+p-\

daher wegen \z \ < \zx\ und mit Rücksicht auf (2):

zm+p~¹1 < a.

CmSm -t- Cm + 1*

m -fl

+p—'1

zm+p-\|

H----+ Cm

+ p—1

Bedeutet Bm(z) den Best der Reihe (1), der hervorgeht, wenn ihre m ersten Glieder gestrichen werden, ist also

= <>mzm + Cm+i* so liefert die letzte Ungleichung für limp = oo:

II < ö

und zwar für jeden Index mf>_n. Dabei ist der Index wert n immer derselbe, wie auch z unter der Bedingung | z \ < | zt \ gewählt sein mag.

Es macht keine Mühe, dies auf den Fall einer Potenzreihe von der Form

(3)

C0 + Cl(Z ~ ^o) + ' • • + cn(z ~~ zoY + * ' • zu übertragen, indem man z — zQ statt z und zt — z₀ statt zt setzt. Um das Ergebnis bequem als Satz formulieren zu können, schicken wir eine Definition voraus:

Definition der gleichmäßigen Konvergenz: Eine Potenzreihe (3) heißt innerhalb eines Bereiches der komplexen Veränderlichen z gleichmäßig konvergent, wenn es stets, wie klein auch eine positive Zahl a gewählt sein mag, einen Index n derart gibt, daß für jedes z innerhalb des Bereiches und für jeden Index m n der absolute Betrag des Bestes

K = cm(z - zor + cm+1(e - z₀)m+¹ H----

kleiner als 6 wird: Bm j < <?.

Das Wort: gleichmäßig bezieht sich darauf, daß für alle Stellen z des Bereiches derselbe Index n vorhanden sein soll derart, daß für m I> n überall im Bereiche j Bm j kleiner als eine und dieselbe vor geschriebene Zahl 6 wird.

Nun können wir sagen:

Satz 13: Eine Potenzreihe

co + ci (z — z₀) + • • • + cn(z — zf)n + • • •, deren Konvergenzradius nicht gleich Null ist, konvergiert gleichmäßig innerhalb eines jeden Bereiches von Stellen z, der vollständig im Innern des Konvergenzkreises liegt und nicht bis an den Konvergenzkreis heranreicht.

Denn um einen derartigen Bereich läßt sich stets ein zum Konvergenzkreise konzentrischer Kreis innerhalb des Konver-

37

Serret-Schefferg, Diff.-u.Integr.-Rechn. I. 6. u. T.Aufl.

[364

genzkreises beschreiben, und wenn zx auf dem konstruierten Kreise gewählt wird, steht die gleichmäßige Konvergenz für alle diejenigen Werte von z fest, die der Ungleichung

\e ~ *o I < ki — *o I

genügen, d. h. für alle Stellen z innerhalb dieses Kreises, demnach insbesondere für alle Stellen des angenommenen Bereiches.

Die gleichmäßige Konvergenz ist dagegen nicht nachgewiesen worden, falls der angenommene Bereich der Stellen z bis an den Konvergenzkreis herantritt. In der Tat ließe sich an Beispielen zeigen, daß der absolute Betrag des Restes über jeden Wert wachsen kann, wenn sich die Stelle z dem Konvergenzkreise beliebig stark nähert.

365. Funktionen, insbesondere analytische Funktionen. Indem wir den in Nr. 6 aufgestellten Funktionsbegriff auf den komplexen Bereich ausdehnen, nennen wir w = u + iv eine Funktion der n komplexen Veränderlichen zx = xx + iyx, z₂ = x₂ -f iy₂, ...zn = xn + iyn, wenn eine Vorschrift vorhanden ist, die jedem bestimmten Wertsystem zx, z₂, . . . zn, das innerhalb gewisser Variabilitätsbereiche von zXf z₂, ... zn liegt, einen bestimmten Wert der Veränderlichen w = u -p iv zuordnet. Erst im zweiten Bande werden wir diesen sehr allgemeinen Funktionsbegriff zweckmäßig einschränken. Diejenigen Funktionen, die wir im folgenden besprechen, ordnen sich, wie sich dann zeigen wird, auch dem später einzuführenden engeren Funktionsbegriffe unter.

Wenn eine Potenzreihe

w = c₀ + cx{z — z₀) -f-----b cn(z — z₀)n H----

vorliegt, wo c₀, clf . . . cn, . . . und z₀ komplexe Konstanten sind, während z eine komplexe Veränderliche bedeutet, wissen wir, daß die Reihe für jede Stelle z im Innern des Konvergenzkreises eine bestimmte Summe w = u + iv hat. Daher ist w eine Funktion von z, und zwar heißt eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion eine analytische Funktion von z. Der Variabilitätsbereich von z ist hier das Innere des Konvergenzkreises. Es gibt Mittel, den Variabilitätsbereich 364, 365]

von z unter Umständen noch über den Konvergenzkreis auszudehnen. Wir gehen jedoch in diesem Bande noch nicht darauf ein, beschränken uns vielmehr auf das Innere des Konvergenzkreises.

366. Grenzwert einer analytischen Funktion. Indem wir den in Nr. 15 aufgestellten Begriff des Grenzwertes einer Funktion sinngemäß verallgemeinern, sagen wir: Ein Funktion w = f(z) von z hat an einer Stelle z = c innerhalb des Variabilitätsbereiches einen Grenzwert G = A + iB, wenn es stets, wie klein man auch eine positive Zahl 6 wählen mag, eine positive Zahl h 4= 0 so gibt, daß für alle Werte von z, für die z — c | < h ist, auch J f(z) — C \ < 6 wird. Dies bedeutet bei der geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen: Wie klein auch <? gewählt sein mag, stets soll es einen Radius h derart geben, daß die Werte von f(z) — C\ an allen Stellen z im Innern des Kreises um die Stelle z = c und mit dem Radius ln kleiner als 6 werden.

Wir wollen insbesondere die Grenzwerte der analytischen Funktionen untersuchen. Dabei schicken wir einen einfachen Fall voraus, indem wir eine ganze rationale Funktion von z betrachten. Darunter verstehen wir entsprechend Nr. 6 eine Funktion von z, die aus z und Konstanten durch eine endliche Anzahl von Additionen und Multiplikationen gebildet worden ist und daher auf die Form

(1)

w = c₀ + H-----b cnzn

gebracht werden kann, also auf die Form einer endlichen Potenzreihe. Sie hat für jeden Wert von z einen bestimmten Wert. Ihr Variabilitätsbereich ist somit unbegrenzt. Wenn c₀ = ao + iK, c₁ = at + iblf . . . cn = an + ibn und e = x + iy gesetzt wird, kann man alle Multiplikationen und Additionen ausführen und den reellen Teil von dem rein imaginären sondern, so daß etwa kommt:

(2)

Augenscheinlich sind hier cp und ijj reelle ganze rationale Funktionen nten Grades von x und y. Nach Satz 17 von Nr. 23 sind sie für jedes reelle Wertepaar x, y stetig.

Wir behaupten nun, daß die ganze rationale Funktion w an der Stelle z = c gerade denjenigen Wert G als Grenzwert hat, der sich als Funktionswert von w aus (1) für z = c ergibt, d. h. den Grenzwert:

G = c₀ + cxc H----+ cncn.

Zum Beweise werde c = a •+ ib gesetzt. Dann ist nach (2):

(3)

G = <p(a, b) -f- iip(cL, b).

Bedeutet nun x eine bestimmt gewählte beliebig kleine positive Zahl, so gibt es, da cp und ip stetige Funktionen von x und y sind, eine positive Zahl h derart, daß für alle reellen x und y} die den Bedingungen

(4)

— h<x — a<ih, — h < y — b <.h

genügen, auch

— t < cp(x, y) — cp(a, b)< r, — x < ^(x, y) — b) < x wird. Also kommt nach den Schlußbemerkungen von Nr. 357:

(5)    \<p(x, y) + *>0, y) - [cp(a, b) + iip(a, fe)]| < r|/2, wo Y'2 positiv ist. Die Voraussetzungen (4) sind insbesondere erfüllt, wenn

| x + iy — (a -f- ib) < h, d. h. | z — c j < h

ist. Indem wir x ]/2 = 6 setzen, ergibt sich also unter dieser Voraussetzung aus (5) und (3):

| W — C | < <7.

Dies liefert den

Satz 14: Jede ganze rationale Funktion w von z hat an jeder Stelle z einen bestimmten endlichen Grenzwert; er ist gleich dem Funlctionswerte an der betreffenden Stelle.

Wir betrachten nun eine analytische Funktion

(6)

/X*) = G, + effz — *₀) + * * • + c«0 — *o)B d----

an irgendeiner Stelle z = c innerhalb ihres Konvergenzkreises, dessen Mittelpunkt die Stelle z₀ ist. Nach Satz 13 von Nr. 364 gibt es, sobald eine beliebig kleine positive Zahl x gewählt worden ist, stets einen Index n derart, daß der absolute Betrag des Restes Fn{z) für alle Stellen z im Innern des Konvergenzkreises kleiner als r wird. Verstehen wir nun unter F(z) die ganze rationale Funktion 366]

F(ß) = c₀ + cx {z *₀) + • • • + cn_t(g - z₀)n-\

so

wird f(z) = F(z) + Bn{z). Nach Satz 14 hat F(z) an der Stelle z = c den Grenzwert F(c)} d. h. es gibt eine positive Zahl h derart, daß für j 2 — c \ < h auch j F(z) — F(c) j kleiner als x wird. Da j Bn{z) j und | Rn(c) [ beide kleiner als t sind, ist folglich unter der Bedingung \z — c j < h mit Rücksicht auf Satz 3 von Nr. 357:

! m - fl<01 = I m - F(e) + *.0) - *.(«)

^ ! F(,) - F(c)! + ! B,(*) I + ! B,(e) < 3r.

Bezeichnen wir 3t mit O, so sehen wir, daß die an die Spitze dieser Nummer gestellte Definition des Grenzwertes au der Stelle 2 = c für die analytische Funktion f(z) erfüllt ist. Wir haben also bewiesen:

Satz 15: Eine analytische Funktion von 2

co +    -*„) + ••• + cn(z - z₀)n + • • •

hat an jeder Stelle innerhalb des Konvergenzkreises einen bestimmten endlichen Grenzwert; er ist gleich dem Funktionswerte an der betreffenden Stelle.

367. Stetigkeit, ist w = f(z) eine Funktion der komplexen Veränderlichen z, so sagen wir wie in Nr. 20, daß diese Funktion an einer Stelle z = c innerhalb des Variabilitätsbereiches stetig sei, wenn sie dort einen bestimmten endlichen Grenzwert hat und dieser Grenzwert mit dem Funktionswerte an der Stelle z = c übereinstimmt, in Formel:

lim f(z) = f{c).

z = c

Ganze rationale Funktionen w von z sind also nach Satz 14 der vorigen Nummer überall im komplexen Bereiche stetig, und aus dem Satze 15 der vorigen Nummer ergibt sich allgemeiner: Satz 16: Eine analytische Funktion von z

co + ci ~ *0) + • • • + cn iß ~ zoY + • ‘ ' ist an jeder Stelle innerhalb des Konvergenzkreises stetig. Außerdem ergibt sich wie in Nr. 21 der Satz 4:

Satz 17: Ist eine analytische Funktion f(z) an einer Stelle z — c innerhalb des Konvergenzkreises nicht gleich Null, so gibt

[366, 367

es stets einen Kreis um diese Stelle als Mitte derart, daß die Funktion nirgends innerhalb des Kreises gleich Null wird, und der Radius dieses Kreises ist nicht gleich Null.

368. Ableitung einer Funktion. Wir fassen eine Stelle z innerhalb des Variabilitätsbereiches einer Funktion w = f(z) ins Auge. Um diese Stelle als Mittelpunkt können wir einen Kreis mit einem Radius p so beschreiben, daß alle Stellen im Innern des Kreises ebenfalls dem Variabilitätsbereiche angeboren. Entsprechend wie in Nr. 27 sei eine derartige Stelle mit z + Az bezeichnet, also Az die Differenz des Wertes von z an dieser Stelle und des Wertes von z im Mittelpunkte, so daß \Az\<Cq vorausgesetzt wird. Wir betrachten alsdann den Bruch

f(z + dz) — f{z) dz

der eine Funktion von z und Az ist, und lassen p nach Null streben. Hat der Bruch für alle \ Az \ < p im Falle lim p = 0 einen und denselben bestimmten endlichen Grenzwert, so heißt dieser Grenzwert die Ableitung f (z) oder der Differentialquotient df:dz der Funktion f(z) an der betrachteten Stelle:

m-if

f{z + dz) — f(z)

dz

₇ — lim

dz Jz = 0

Betrachten wir, um diese Definition anzuwenden, zunächst die einfache ganze rationale Funktion

f(*) =    - *o)n>

deren Variabilitätsbereich unbeschränkt ist. Hier kommt:

f(z + dz)—f(z)

dz

Cn\j(2-*o)n~¹ +

n{n—1)

{z—z₀)n~²Az-\-----{-Az¹¹⁻¹^ •

Da rechts eine Summe mit einer endlichen Anzahl von Gliedern steht, ergibt sich für lim Az = 0 der Differentialquotient:

ftz + dz)—m

= ncn(z - z₀)n-\

dz

lim

dz = 0

Es bedarf wohl keiner ausführlichen Begründung dafür, eiaß die elementaren Regeln für die Differentiation einer Summe, einer Differenz, eines Produktes und eines Bruches auch im Bereiche der komplexen Zahlen gelten, da die Beweise im wesent-

367, 368]

liehen gerade so wie im reellen Bereiche zu führen sind, vgl. Nr. 34 bis 36.

Wir beabsichtigen nun zu beweisen, daß eine analytische

Funktion

co + <h0 - 0O) + c₂ {z - z₀y h— + cn(z - z₀y + • • •

an jeder Stelle z im Innern des Konvergenzkreises eine Ableitung hat, und daß diese Ableitung überdies diejenige Funktion ist, die durch gliedweise Differentiation der Reihe hervorgeht, nämlich die Funktion:

cx + 2c₂(z — 0O) + • • • + ncn{z - z₀)w~¹ H----.

Hierbei muß beachtet werden, daß der Satz 12 von Nr. 34 über die gliedweise Differentiation einer Summe nur im Falle einer endlichen Anzahl von Summanden bewiesen worden ist. Daher zerfällt der Beweis in zwei Teile: Zuerst wollen wir zeigen, daß die durch die letzte Reihe dargestellte analytische Funktion denselben Konvergenzkreis wie die gegebene hat, und dann, daß sie die Ableitung von ihr ist.

369. Konvergenzkreis der durch gliedweise Differentiation einer Fotenzreihe hervorgehenden Reihe. Wir betrachten eine Reihe

(1) c₀ + cx (0 - z₀) + C₂ (0 - zoy + • • • + C„ (z - z₀)n -\---- und wählen eine Stelle zx im Innern ihres Konvergenzkreises, dessen Mitte z₀ ist. Dann gibt es — vgl. (1) in Nr. 363 — zu jeder beliebig kleinen positiven Zahl 6 einen Index n derart, daß [ cm{zx — z₀)m ] < 6 für m <Ln ist. Ferner sei z im Innern des Kreises durch zx mit der Mitte zQ gewählt, so daß \z — z₀' die Form 6 \ zx — z₀ j hat, wo 6 ein positiver echter Bruch ist. Entsprechend der Formel (3) in Nr. 363 wird nun:

| + *-- + |(w+2>-l)cn

+ p-l

(z - z₀y+p

-2

i «„0,-Ar¹!+•••+(» +i>-1)    I <w,_i

-—T [n$—¹H-----b (n + p — 1) «*+»-*].

Z1 Z0 \

Nach (4) von Nr. 125 gilt aber, weil 6 einen positiven echten Bruch bedeutet, die konvergente Entwicklung:

(i _ 0j* ^ 1 + 2 6 -f- 3 0“ + • ■ • -j- n 0’¹ ~ ¹ + ■ • •.

[368, 369

Daher ist nach Satz 2 von Nr. 102:

lim \ndn~x + • • • + (n + p — 1) 6n + v 2] = 0.

n = co

Mithin lehrt die Ungleichung nach Satz 6 und 7 von Nr. 360 und 361, daß die Reihe

(2)

cx + 2cs 0 — z₀) H-----h ncn(e — z₀)n

an der Stelle z unbedingt konvergiert. Da z im Innern des Kreises um #₀ und durch zx und ferner zx irgendwo im Innern des Konvergenzkreises der Reihe (1) gewählt war, konvergiert also die Reihe (2) überall im Innern des Konvergenzkreises der Reihe (1) unbedingt.

Aber auch das Umgekehrte gilt: Wir wählen eine Stelle zi im Innern des Konvergenzkreises der Reihe (2), dessen Mitte ja auch z₀ ist. Alsdann gibt es zu jeder beliebig kleinen positiven Zahl <7 einen Index n derart, daß \mcm(z₁ — z₀)m~¹\ für jedes m^n kleiner als <? wird. Ferner liege z im Innern des Kreises durch zx mit der Mitte z₀, so daß \z — z₀ \ gleich 0\z₁—z₀\ ist, wo 6 einen positiven echten Bruch bedeutet. Dann kommt:

I Cn(Z ~ *o)" I +----H I Cn

+ P-1

< »" I «„(*, -«o)“ ! + ••• +    1

(z — z₀)n+P~¹\

Der Inhalt der letzten Klammer hat wegen der Konvergenz der Reihe 1 -f 6 + O² + • • • den Grenzwert Null für lim n = oo; also lassen sich dieselben Schlüsse wie oben machen.

Aus beiden Betrachtungen folgt der

Satz 18: Die leiden Potenzreihen

co + ci 0 - *₀) + c2 0 - *o)² + • • • + {z - z₀)n + ■ • •

und

cx + 2c₃(z — 0O) +----h nc„ (z — ^o)""¹ H----

haben denselben Konvergenzlcrcis.

Wiederholte Anwendung dieses Satzes lehrt, daß auch die Reihen, die fernerhin durch gliedweise Differentiation gewonnen werden können, denselben Konvergenzkreis haben.

369]

370. Ableitung einer analytischen Funktion. Wir

wählen z irgendwo im Innern des Konvergenzkreises der Reihe

(1) f(g) = C0 + C1 (* ~ Zo) + C2 (S ~    ' + Cn (,Z ~ *₀)" “1----

und nehmen \dlz\ so klein an, daß auch z ff- As im Innern des Konvergenzkreises liegt. Dann konvergiert auch die Reihe

f(e + 4s) = c₀+ cx{s -f As - s₀) + c₂ (s + Az — £₀)² + ••• + Cn {z -f- Az - s₀)n -4----

unbedingt. Dasselbe gilt nach Satz 18 der vorigen Nummer von der Reihe, die durch gliedweise Differentiation von (1) hervorgeht, nämlich von:

9(e) “ ci + ²% (* ~ *o) + * • • + ncn 0 ~    + * * *

Nach Satz 7 von Nr. 103 konvergiert daher auch die Reihe

(2)

dz

₈(, - *)]

■ + + • • •

unbedingt. Wird s — s₀ mit s bezeichnet, so hat das (n — l)te Glied dieser Reihe den Wert:

fnC«_-l)    ₊ n-_2 ^„-₃^ _j_

Zn~*Az* H-----h

(3)

(n — 2) (w—3)

(n — 2)--- 2-1 3 • 4 • • • n

Azn~²j.

Der absolute Betrag dieses Gliedes ist nach Satz 3 in Nr. 357 nicht größer als der Ausdruck, der sich ergibt, wenn darin alle Größen durch ihre absoluten Beträge ersetzt werden. Der so entstehende Ausdruck ist ferner kleiner als derjenige, der sich ergibt, wenn die Nenner 3, 3 • 4, • • • durch 1,1*2 usw. ersetzt werden. Dann aber wird der Inhalt der eckigen Klammer die (u — 2)te Potenz von \z\ + \As\. Der absolute Betrag des Ausdruckes (3) ist mithin kleiner als:

⁵4pi)H.I (kl +    I)—-

Wir können nun \As\ so klein wählen, daß \s\ -f \As\ oder also \s — zQ\ + \As\ einen Wert q hat, der kleiner als der Konvergenzradius der Reihe (1) ist. Alsdann sind also die

[370

586 Kap. XL Elementare Funktionen einer komplexen Veränderlichen

absoluten Beträge der Glieder der Reihe (2) kleiner als die entsprechenden Glieder der Reihe:

(4) 1 \Az | [2 •¹ jc₂| + 3 • 2 |c₃1 q + • • • + n (n — 1) |cj pw"² + • • •].

Nach der Schlußbemerkung der voriger Nummer konvergiert nun die Reihe, die durch zweimalige gliedweise Differentiation von (1) hervorgeht, innerhalb des Konvergenzkreises der Reihe (1) unbedingt. Daher konvergiert auch die Reihe

2 • 11c₂1 + 3 • 2 |c₃1 |*-*₀| +••• + w(n-l)|cj \z-z₀\n~² + • • •,

wenn \z — z₀\ kleiner als der Konvergenzradius ist. Da nun q kleiner als dieser Radius gewählt worden war, folgt, daß die in (4) in der eckigen Klammer stehende Reihe konvergiert. Ihre von Az unabhängige Summe, die positiv ist, sei gleich a.

Der absolute Betrag der Summe Sn_l der n — 1 ersten Glieder der Reihe (2) ist nach Satz 3 von Nr. 357 nicht größer als die Summe der absoluten Beträge dieser Glieder, daher kleiner als die Summe der n — 1 ersten Glieder der Reihe (4). Diese aber ist nicht größer als -\\Az\a. Also wird auch:

lim\Sn_₁\<\\Jz\a.

71 = CO

Aus (2) folgt somit:

f{z + Az) — f(z)

Az

und hieraus ergibt sich beim Grenzübergange limz/# = 0:

lim

f(z + Az) — f(z)

Az

— g(z) | = o.

Jz = 0

Die zwischen den Strichen stehende komplexe Zahl hat somit den absoluten Betrag Null und ist daher selbst gleich Null, d. h. es ist:

lim

dz =0

f[z -f Az)-f(z)

Az

= £<»•

Blicken wir auf die Bedeutung von g(z) zurück, so finden

wir den

Satz 19: Die Ableitung einer analytischen Funktion

f 0) = c₀ + cx{z - z₀) + c₂(z- z₀)² + • • • + cn(z-z₀)n + • •

370]

ist an jeder Stelle innerhalb des Konvergenzkreises diejenige Funktion, die durch gliediveise Differentiation der Reihe hervorgeht, nämlich die Funktion:

f <» =    + 2c₂(z - zQ) 4----+ ncn{z - z₀)n

/*(*).

Hiernach gibt wiederholte gliedweise Differentiation der Reihe ohne weiteres auch die Ableitungen höherer Ordnung von

371. Übereinstimmung zweier Potenzreihen. Wir

betrachten zunächst eine Potenzreihe, deren Konvergenzkreis den Nullpunkt 0 zur Mitte hat:

(1)

f(*) = c₀ + cxz + c₂z² + ■■ ■ + cnzn H----,

und nehmen an, daß erstens ihr Konvergenzradius nicht gleich Null sei und daß zweitens f(z) für alle innerhalb des Konvergenzkreises gelegenen reellen Stellen z den Wert Null habe. Da z = 0 zu diesen Stellen gehört, ist c₀ = 0. Nun hat die Reihe

(2)

~ = cx + c₂z H----+ cnzn~x H----

nach Satz 6 von Nr. 360 denselben Konvergenzkreis wie die Reihe (1) und stellt also nach Satz 16 von Nr. 367 eine Funktion dar, die überall innerhalb des Konvergenzkreises stetig ist. Diese Funktion ist ferner nach der gemachten Voraussetzung gleich Null für alle reellen Werte von z innerhalb des Konvergenzkreises, wenn zunächst von dem Werte z = 0 selbst abgesehen wird. Wäre sie nun für z = 0 nicht gleich Null, so dürfte sie es nach Satz 17 von Nr. 367 auch nicht für ein beliebig kleines reelles z sein. Da dies aber doch der Fall ist, muß die Funktion (2) für z = 0 ebenfalls den Wert Null haben. Mithin ist auch cx = 0. Wenn wir nun die Funktion f(z):z2 betrachten und entsprechend weiter schließen, finden wir ebenso c₂ = 0, usw.

Wird z durch z — z₀ ersetzt, so ergibt sich allgemeiner der Satz 20: Wenn der Konvergenzradius einer Potenzreihe

C0 + C\ (⁸ ~    + * • • + Cn ~~ Zo)n + * * ■

nicht gleich Null ist, die Reihe aber an allen denjenigen Stellen

[370, 371

z innerhalb des Konvergenzkreises, für die z — z₀ reell ist, den Wert Null hat, sind c₀, cx, . . . cn, ... sämtlich gleich Null.

Wenn nun zwei Potenzreihen nach ganzen positiven Potenzen von z — z₀ vorliegen, so daß ihre Konvergenzkreise denselben Mittelpunkt z₀ haben, hat die Differenz beider Reihen nach Satz 6 von Nr. 103 als Konvergenzkreis den kleineren der beiden Kreise, so daß aus dem Vorhergehenden leicht zu folgern ist:

Satz 21: Stimmen die Werte zweier Potenzreihen

co + ci0 “ z₀) -\---- und y₀ + yt(z - zQ) 4----,

deren Konvergenzkreise dieselbe Mitte z₀ haben und deren Konvergenzradien nicht gleich Null sind, in dem kleineren der beiden Konvergenzkreise an allen denjenigen Stellen z überein, für die z — z₀ reell ist, so sind sie überhaupt miteinander identisch.

372. Die Taylorsche Reihe. Eine analytische Funktion

f(*) = c₀ + cx(z-zQ) + c₂(z-z₀)s +- • • • + cn(z-z₀)n + •••

hat innerhalb des Konvergenzkreises nach Nr. 370 die Ableitungen:

f 0) = 1 • c₁ + 2 • c₂(> — z₀) + • • • + ncjz — z₀)n f"0) = 1 • 2 • c„ d-----b »(» — l)cn(z - z₀)n~² H----,

so daß

fißo) — c₀,

fOo) = ¹ • C1

also

co = f(ß o)>

wird.

kommt:

c2 ~ 2! f (^o) ’ ' ‘ ■

Setzt man diese Werte in die Reihe f(z) ein, so

/(²) — A²o) + “ n ” /'(²o) +

und dies ist nichts anderes als eine Taylorsche Reihe im Gebiete der komplexen Veränderlichen, vgl. Nr. 112. Im Falle z₀ = 0 geht insbesondere eine Maclaurinsche Reihe hervor.

371, 378J

§ 4. Einige besondere Funktionen.

Nach

373. Die Punktionen e~, sin z und cos z.

Nr. 117 ist die Funktion ez für jedes reelle z durch die unendliche Reihe

(1)

,    .    , Z ,    z'²' .    , zn ,

e'“¹ + TI + ä! + ---+S! + ---

definiert. Wir behalten diese Definition auch im Bereiche einer komplexen Veränderlichen bei. Es ist sofort einzusehen, daß die Reihe überall konvergiert; denn weil sie für jede reelle Zahl z konvergiert, ist die Behauptung eine unmittelbare Folge des Satzes 9 von Nr. 363. Ganz ebenso ergibt sich, daß die Reihen in Nr. 119:

(2)

COS 0=1 —

z* z* _ 2! ' 4!

auch für jeden komplexen Wert von z unbedingt konvergent sind. Wir können daher sin z und cos z für den Fall einer komplexen Zahl z durch diese Reihen definieren. Die so gewonnenen analytischen Funktionen e\ sin z und cos z stimmen, falls z reell ist, mit den reellen Funktionen, die wir früher betrachteten, überein.

Im Bereiche der reellen Veränderlichen bestehen zwischen diesen Funktionen gewisse Beziehungen wie z. B. e*¹. ez* =    ⁺ **,

und es fragt sich, ob sie auch im Bereiche der komplexen Veränderlichen gelten. Daß dies in der Tat der Fall ist, erkennt man so: Nach (1) bildet man die Reihen für eZi und und multipliziert sie nach Satz 17 von Nr. 110 miteinander; alsdann ergibt sich sofort, daß das (n -j- l)te Glied der Reihe, die das Produkt darstellt, nichts anderes als das (n -f l)te Glied derjenigen Reihe ist, die aus (1) hervorgeht, wenn darin z durch zx -f 0₂ ersetzt wird. Folglich ist stets:

(3)

esi .

ln entsprechender Weise zeigt man, daß im Bereiche der komplexen Veränderlichen auch die bekannten goniometrischen Formeln für die Funktionen (2) gelten, wie z. B.:

(4)

sin (zt -f- #₂) = ßin z\ cos z2 + cos zt sin 0₂, cos (zx 4- 2₂) = cos zi cos z2 ~ s'n zi ßin Z2

Setzt man hierin für zx und z₂ insbesondere z und 2n,

usw. so kommt:

sin (z + 2n) = sin z,    cos (z + 2jt) = cos z,

d. h. die Funktionen sin z und cos z haben auch im Bereiche der komplexen Veränderlichen die Periode 2%. Setzt man z₂ = — zlf so gibt die zweite Gleichung (4) sin²^ -f cos² zl = 1. Aus Satz 19 von Nr. 370 folgt ferner, daß ez, sin z und cos z auch im komplexen Bereiche die Ableitungen ez, cos z und — sin z haben.

Wenn wir z in (1) durch iz oder — iz ersetzen, kommt mit Rücksicht auf (2):

(&)

cos z i sin z = eiz, cos z — i sin z = e~il, woraus durch Addition und Subtraktion folgt:

(6)

sin z = ~ (e?z — e~iz).

Aus den Gleichungen (5) folgt übrigens leicht ein neuer Beweis der in Nr. £58 gefundenen Moivreschen Formel (1). Die erste Gleichung (5) zeigt ferner, daß gi(s + 2re) gleich dz ist. Ersetzen wir hierin z durch — iz, so kommt:

0)

gS + Hit __

d. h. ez hat die rein imaginäre Periode 2in.

Aus (2) in Nr. 355 und aus der ersten Formel (5) ergibt sich, daß diejenige komplexe Zahl, deren absoluter Betrag gleich q und deren Amplitude gleich co ist, in der Form Qei(a dargestellt werden kann.

Man kann leicht erkennen, für welche Werte von z die Funktionen sin z und cos z gleich Null sind. Zunächst ist nämlich:

sin {x -f iy) = sin x cos iy + cos x sin iy. Nach (6) kann hierin gesetzt werden:

(8)

cos iy = y (ey + e~y),    sin iy = y (ey — e~y).

Die Forderung sin {x + iy) — 0 kommt also auf diese hinaus: (ey + e~y) sin x + i (ey — e~y) cos x = 0.

Da x und y reell sein sollen, muß einzeln

373]

(ey    e~y) sin x = 0, (e²' — e⁻²²) cos # = 0

sein. Weil ey -f e~y reell ist und nie gleich Null wird, folgt sin # = 0 und ey = e~y, d. h. x = kic, wo k eine ganze Zahl bedeutet, und e3y = 1, d. h. y = 0. Mithin wird sin 0 wwr für die reellen Werte z = kn gleich Null. Ebenso ergibt sich, daß cos z nur für die reellen Werte z = (k + gleich Null wird.

Soll ez = 0 sein, so schreiben wir dafür ec + iy = 0, d. h. e* . dy = 0. Da e* reell ist und nie gleich Null wird, bleibt dy = 0. Nach der ersten Formel (5) muß also zugleich cos y = 0 und sin ?/ = 0 sein, was jedoch nie der Fall ist. Also wird ez nie gleich Null.

Da el für beliebige komplexe Werte von z definiert ist, sind auch die in Nr. 117 eingeführten hyperbolischen Funktionen ©in x und (£of x wohl definiert, falls x durch irgendeine komplexe Zahl z ersetzt wird. Es kommt:

(9)

sin z = K ©in iz.

(10)

©in z = ■§■ (e* — e~z), ßoj’ z = \ {ez + e~z), so daß sich statt (6) schreiben läßt: cos z = ßof iz,

374. Die Binomialreihe. Wir haben in Nr. 125 gesehen, daß die Binomialreihe

(i) i+jjM

m (m — 1)

2!

3!

für reelles z konvergiert, sobald | z | < 1 ist, und divergiert, sobald | z | > 1 ist. Aus Satz 9 und 10 von Nr. 363 folgt also sofort: Die Fotenzreihe (1) hat im Gebiete der komplexen Veränderlichen den Konvergenzradius Eins.

Wir wissen ferner, daß die Reihe, falls z reell und | z | < 1 ist, den Wert (1 + z)m hat. Was für eine Bedeutung aber (1 -f z)m hat, wenn z komplex gewählt wird, ist nur für ganzes positives m definiert. Dann nämlich bedeutet (1 -\- z)m das Produkt von m Faktoren 1 -f- z. Da hier die Binomialformel nach dem (m -f- l)ten Gliede abbricht, stellt sie auch im komplexen Gebiete (1 + z)m dar. Ist jedoch m irgendeine reelle Zahl, so definieren wir die Potenz (1 + z)m durch die Formel:

m (m — 1) ₂ , 2! '

*s + • • •

[373, 374

m (in — 1) (in — 2)

3!

unter der Annahme | # | < 1. Aber wir müssen dann noch beweisen, daß diese Funktion (1 + z)m in der Tat die Gesetze der Potenzrechnung erfüllt. Dies ist leicht darzutun. Bilden wir nämlich nach (2) auch (1 -f #)” und multiplizieren wir dann beide Potenzreihen miteinander nach Satz 17 von Nr. 110, so geht gerade diejenige Reihe hervor, die sich aus (2) für (1 + z)rn + n ergeben würde. Also kommt in der Tat:

(1 + #)OT (1 + #)ra = (1 + z)m+n.

Indem wir (1 -+- #)m gerade p-mal mit sich multiplizieren, wo p eine ganze positive Zahl bedeute, ergibt sich hieraus:

[(1 -f- z)rn]p = (1 + z)mP.

Also auch dieses Gesetz der Potenzrechnung gilt hier, sobald p eine ganze positive Zahl ist. Vorausgesetzt wird immer z j < 1.

Die Binomialreihe ist für den Fall komplexer Werte von z (und auch für den Fall komplexer Werte von m) zuerst von Abel exakt untersucht worden.

375. Tangens und Kotangens. Diese Funktionen definieren wir im Bereiche der komplexen Veränderlichen als die Brüche sin z : cos z und cos z : sin z, die zeigen, daß tg z und ctg z überall stetig sind, abgesehen von denjenigen Stellen, wo cos z bzw. sin z gleich Null ist.

Durch Anwendung der Regel für die Differentiation eines Bruches ergibt sich sofort, daß tg z und ctg z auch im komplexen Bereiche die Ableitungen 1 : cos¹# und — 1 : sin¹# haben.

Nach (6) in Nr. 373 ist:

1 eiz—e~

* e*z e~

Auch die in Nr. 117 eingeführte hyperbolische Funktion Xg x läßt sich auf den komplexen Bereich ausdehnen. Die Funktion

(1)

tg# =

ctg # = i

e‘z + e~

iz

eiz _ e-iz

ez — e~z

(2)

ßof z = cos iz

ist und cos z nur für die Werte (k +    verseil windet, wo k

eine ganze Zahl bedeutet, folgt, daß bei £g£ von den Stellen

z = i(k

abgesehen werden muß.

Nach (1) und (2) können wir schreiben:

(3)

tg z =    $£g iz oder £g z = — i tg iz.

376. Der Logarithmus. Nachdem wir ez in Nr. 373 auch im Bereiche der komplexen Veränderlichen definiert haben, können wir daraus durch Inversion wie in Nr. 11 die Definition des natürlichen Logarithmus von z gewinnen. Zur Unterscheidung vom Logarithmus im Falle einer reellen Veränderlichen wollen wir die Funktion mit Ln z bezeichnen, sobald z eine komplexe Größe ist, und wir definieren daher so:

Die Größe w = u -f iv soll der natürliche Logarithmus Lnz heißen, wenn ew = z ist.

Bedeutet p den absoluten Betrag und oo die Amplitude des Numerus z, so ist z = p (cos gj -f- i sin co). Da nach (5) in Nr. 373 für e'° der Wert cos v -\- i sin v gesetzt werden kann, wird also gefordert:

eu + io    _ eu (cog v _|_ i s[n v) — q (cos ei + i sin eo).

Weil u, v, q, gj reell sind und e“ und p positive Zahlen bedeuten, folgt einzeln:

¹

z____

®öf7 ~ e' + e~ *

ist überall stetig, abgesehen von denjenigen Stellen, an denen (£oj # verschwindet. Da nun nach (10) in Nr. 373:

374, 375]

sin v = sin to.

cos v = cos co,

e“= Q,

Demnach ist u — ln p und v = ca + 2kn, wo k eine ganze Zahl vorstellt. Also ist u -f- iv oder der natürliche Logarithmus von z definiert durch:

(i)

Ln z = ln p -f i (a -f- 2kjc),

wenn p den absoluten Betrag und o die Amplitude des Numerus z bedeutet. Die Funktion Ln z wird aber erst dann einwertig, wenn wir insbesondere k == 0 setzen und die Amplitude co des Numerus z, wie es ja geschehen darf, auf den Bereich von — 7t bis 7t beschränken. Der so hervorgehende Wert

Ln z = ln p -f- io

³⁸ [375,376

Serret-Sc hef f er s, Diff.- u. Integr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl.

heißt der Hauptwert des natürlichen Logarithmus. Ist der Numerus z reell und positiv, also gleich q selbst, während co = 0 ist, so stimmt der Hauptwert mit dem natürlichen Logarithmus in der alten Definition überein. Weil ln p eine stetige Funktion der positiven Zahl p ist, abgesehen von p = 0, wird auch der Hauptwert (2) des Logarithmus eine stetige Funktion für alle Stellen z, abgesehen von z = 0 und von den Stellen der negativen reellen Achse, weil die Amplitude co wegen der Beschränkung auf den Bereich von — % bis -j- % um 2 rt wächst oder abnimmt, sobald die Stelle z die negative reelle Achse überschreitet.

Sind px, p₂ und ra₁₅ ra₂ die absoluten Beträge und Amplituden zweier Zahlen zt und z₂, so ist nach (1):

Ln zx + Ln z% = ln (px p₂) + i [o^ + ra₂ "f" 2 (Jh 4“ ^2) n\ •

Andererseits hat ztza nach Nr. 356 den absoluten Betrag pxp2 und die Amplitude cox + o₂, so daß folgt:

(3)

Ln (z₁z₂) = Ln zt + Ln z₂ + 2*7/tc,

wo ¥ eine ganze Zahl ist. Die Formel für den Logarithmus eines Produktes gilt also auch jetzt, wenn man von den additiven ganzen Vielfachen von 2 iit absieht. Ebenso die Formel für den Logarithmus eines Bruches.

Wir wollen nun beweisen, daß Ln z eine bestimmte endliche Ableitung hat. Zu diesem Zwecke betrachten wir die Werte des Logarithmus für zwei Numeri z und z + Az und bilden nach Nr. 368 den Bruch:

Ln (z. -)- dz) — Lnz

Ln

dz

oder

(‘ + 9

dz

Da Az zur Grenze Null und der Zähler auch zur Grenze Null übergehen soll, nehmen wir bei der Definition der Logarithmen von z + Az und von z durch (1) beide Male dieselbe ganze Zahl 1c an, wodurch sie einwertig werden, so daß als Zähler des letzten Bruches der Hauptwert des Logarithmus zu benutzen ist. Setzen wir Az:z = l, so wird nun:

dz

lim Ln (z-\-dz) — Lnz ₌ £ lim Ln (1 + 0 #

dz = 0

" * c=o £

Bedeuten 6 und x die absoluten Beträge, dagegen cp und if> die Amplituden von g und 1 +• g, so kommt nach (2):

Ln (1 -j- g) = ln x -}- ixl>, wobei g = <? (cos cp -f- i sin cp)

ist. Da g zur Grenze Null übergeben soll, muß 6 auch zu Null werden. Folglich haben wir:

(lim —-T + i lim    •

\ff = 0 ö    ff = o ⁶)

(4) lim

J z = 0

Nun ist aber:

Ln(z-\- Az)— la\z

Z (cos qp -j- i sin qp)

Az

also:

x = ]/l 4- 2 ö cos cp + <?²,    ^ = arc tg

X COS lj> = 1 -f- 6 COS (p

x sin rjj = 6 sin cp,

ö sin qp 1 -b <r cos qp⁹

wo die Wurzel das Pluszeichen hat und zwischen — jr und -f 3t liegt. Nach Satz 25 von Nr. 129 ist folglich:

ln (1 -f- 2 6 cos qp -f- ö²)

ln x

lim

ff = 0 ö

lim

(7 = 0

= } lim

(7 = 0

= lim ¹ arc tg

ff = o ⁶

= cos cp

a sin qp

1 -J- o cos qp

== sin cp.

Mithin gibt (4):

Ln (Z -j- Az)—Ln z 1

Az

lim

Az = 0

Daher hat Ln z die Ableitung 1 : z. Hierbei wird jedoch z --4= 0 angenommen und vorausgesetzt, daß bei der Bildung des Differenzenquotienten für zwei benachbarte Stellen z und z + Az die beiden Amplituden ta -f- 2hn in (1) so gewählt seien, daß sie für lim Az = 0 zusammenfallen, d. h. daß man die Logarithmusfunktion zunächst einwertig gemacht hat.

377. Die zyklometrischen Funktionen. Diese Funktionen definieren wir wie in Nr. 12 auch im Bereiche der komplexen Veränderlichen als die inversen der goniometrischen Funktionen. Indem wir sie zur Unterscheidung von den früheren mit großem Anfangsbuchstaben schreiben, soll also z. B. Arc sin z eine komplexe Zahl w sein, für die sin w = z ist. Wie in Nr. 12 zeigt sich, daß die zyklometrischen Funktionen erst durch Einschränkung auf passende Bereiche einwertig gemacht werden. Wir wollen im einzelnen hierauf nicht eingehen und nur auf einen Zusammenhang zwischen dem

Insbesondere läßt sich hiernach der Arkustangens bzw. Logarithmus einer reellen Zahl z durch den Logarithmus bzw. Arkustangens einer komplexen Zahl darstellen.

378. Folgerungen aus dem Fundamentalsatze der Algebra. Ist f(z) eine ganze rationale Funktion nten Grades von z, also von der Form

(i)

Logarithmus und dem Arkustangens aufmerksam machen. Nach (1) in Nr. 375 ist:

1 -füg 2

eiiz =

Setzen wir tg z = iv, also z = Are tg iv, Logarithmieren:

1 — i tg z

so

ergibt sich durch

(1)

Are tg w — Ln *    •

Wenn wir hierin w = i( 1 — g) : (1 + z) einführen, kommt: Ln z = 2i Arctg

(2)

»' (t ~ *)

1 -J— z

/Tz) — C₀ + C,Z + CjZ² H-----h

so gilt nach Gauß der Satz, daß es wenigstens einen Wert von z gibt, für den die Funktion f{z) gleich Null wird, vorausgesetzt, daß n > 0 ist. Dieser Fundamentalsatz der Algebra soll erst im zweiten Bande gelegentlich bewiesen werden; wir sind aber genötigt, ihn schon vorher öfters anzuwenden.

Ist zx eine sogenannte Nullstelle von f(z), d. h. ein Wert von z, für den die Funktion verschwindet, so läßt sich ein einfacher Schluß ziehen: Da z = (z — zx) -f- zx ist, kann man f(z) durch Umrechnen auf die Form bringen:

f{*) = To + Y\ 0 - *x) + r₂ 0 - ZtT+ • • • + Yni* - *i)"-

Wegen f(zx) = 0 muß nun y₀ = 0 sein, so daß sich z — zx herausheben läßt:

/X*) = (* - zv) tri + Y% (* ~ zi) + • * * + 7n (* ~ StY'¹]-Man sieht also, daß, sobald f(zx) verschwindet, die Funktion als Produkt von z — zx mit einer ganzen rationalen Funktion (n — 1 )ten Grades darstellbar ist. Die ganze rationale Funktion (n — l)ton Grades hat nun, wenn n > 1 ist, nach dem Funda-mentalsatze ebenfalls mindestens eine Nulistelle z₂ und läßt 377, 378] sich folglich ebenso behandeln, usw. Schließlich ergibt sich, daß die ganze rationale Funktion ntcn Grades von z die allgemeine Form hat:

f(*) = cJs ~ *1) 0 ~ *a) • • • 0 ~ O-

Da ein Produkt nach Nr. 354 nur dann gleich Null ist, wenn einer der Faktoren verschwindet, hat f(z) gerade und nur die Nullstellen zXi z%) ... zn. Sie können aber teilweise oder sämtlich übereinstimmen. Ist z. B. zx = z% = • • • = zm, sind aber alle anderen Nullstellen von zx verschieden, so heißt zx eine m-fache Nullstelle der Funktion f(z) oder eine m-fache Wurzel der Gleichung f(z) = 0. Alsdann ist f(z) darstellbar in der Form:

M = .(* - h )mcp (*),

wo cp (z) eine ganze rationale Funktion (n — m)ten Grades bedeutet, die für z — zx nicht verschwindet. Hieraus folgt nach den Differentiationsregeln von Nr. 368:

f(z) = ni (z — zf)m ~¹ cp (z) -f (z — zx)m cp' [z)

= 0 - 0i)m~¹ [m ff 0) + (e — zx) cp' (*)].

Der Inhalt der eckigen Klammer wird für z — zx gleich mcp [zf) =4= 0. Also hat f (z) die gerade (m — 1)-fache Nullstelle zx. Ebenso folgt, daß zx für f\z) eine gerade (m — 2) fache Null-steile ist, usw.

Satz 22: Ist zx eine gerade m-fache Nidlstelle einer ganzen rationalen Funktion f(z), so ist zx eine gerade (m—-1)- fache Nidlstelle von f' (z), eine gerade (m — 2) -fache Nidlstelle von f'{z) usw. und eine einfache Nidlstelle von /'(»«—¹) (-^), dagegen keine Nullstelle von /’(m) (z).

Wenn insbesondere alle Koeffizienten c0f cx, cif ... cn der ganzen rationalen Funktion (1) reell sind, wollen wir darin z — x -j- iy einsetzen und alles ausmultiplizieren. Wenn dann die reellen Glieder von den rein imaginären Gliedern getrennt werden, möge sich ergeben:

(2)

f(x + iy) = tp(x, y) + iij>(x, y).

(3)

Da i² = — 1 ist, leuchtet sofort ein, daß auch die Formel f(x — iy) = <p (x, y) - if (x, y) gilt. Ist nun insbesondere zx = xx -f- iyx eine Nullstelle von

[378

so sind nach (2) einzeln <p(xx, yx) und i’(xx, yx) gleich Null. Demnach wird auch die rechte Seite von (3) gleich Null für x = xx und y =* yx, daher f(xx — iyx) = 0. Also ergibt sich der

M,

Satz 23: Sind die Koeffizienten c₀, cx, c₂, . . . cn einer ganzen rationalen Funktion

f(z) = c₀ + cxz + c₂z² -J-----b Cnzn

sämtlich reell und ist xx + iyx eine Nullstelle der Funktion, so ist auch die zu xx + iyx konjugiert komplexe Zahl xx — iyx eine Nullstelle der Funktion.

Dieser Satz gilt auch für mehrfache Nullstellen von f(z). Es sei nämlich xx -j- iyx eine gerade m-fache Nullstelle von f(z\ die Koeffizienten von f{z) seien wieder sämtlich reell. Nach dem Satze ist alsdann auch xx — iyx eine Nullstelle. Also muß f{z) durch das Produkt

(z — xx — i yx) (z — xx + iyf) oder (z — xxf + yx2 ohne Rest teilbar sein. Da dies Produkt reelle Koeffizienten hat, bleibt nach der Division eine ganze nationale Funktion mit reellen Koeffizienten übrig, deren Grad um zwei Einheiten kleiner als der von f{z) ist. Diese Funktion hat nach Voraussetzung die gerade (m — 1)- fache Nullstelle xx -f iyx. Dasselbe Beweisverfahren lehrt, daß sie folglich abermals durch (z — xx)² -f- yx teilbar ist, usw. So ergibt sich schließlich:

Satz 24: Sind die Koeffizienten einer ganzen rationalen Funktion von z reell und ist xx -f iyx eine gerade m-fache Nullstelle der Funktion, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl xx — iyx eine gerade m-fache Nullstelle der Funktion.

379. Gebrochene rationale Funktionen. Darunter werden, indem man den in Nr. 6 aufgestellten Begriff auf den komplexen Bereich ausdehnt, Quotienten F(z) : f(z) von ganzen rationalen Funktionen verstanden.

F(z) und f{z),

SO

Ist zx eine gemeinsame Nullstelle von läßt sich z — zx nach Nr. 378 sowohl vom Zähler als auch vom Nenner absondern und daher fortheben. Dies gilt bezüglich aller gemeinsamen Nullstellen. Fas Fortheben kann auch dann ausgeführt werden, wenn man die gemeinsamen Nullstellen nicht kennt. Denn wenn zunächst F von mindestens so 378, 379]

hohem Grade wie f ist, liefert die Partialdivision F: f eine ganze rationale Funktion \ und einen Rest:

Fif-K + fi'-f,

wo auch fl eine ganze ratiouale Funktion bedeutet. Ist F dagegen yon niedrigerem Grade als f, so gilt dieselbe Formel, wenn nur \ = 0 und fx=F gesetzt wird. In jedem Falle ist nun fx von niedrigerem Grade als f, so daß die Partialdivision des reziproken Bruches f: ft etwa liefert:

f: fi =    + /ä :/i>

wo \ und f₂ ganze rationale Funktionen sind und f₂ von niedrigerem Grade als fx ist. Wir dividieren nun fx mit f₂ usw. Da der Grad des Restes immer kleiner wird, muß die Division schließlich einmal aufgehen. Dies sei etwa bei der mten Partialdivision der Fall, so daß sie gibt:

fm — 2 • fm — 1    ‘

Multiplizieren wir diemFormeln bzw. mit f, fx, ... fm~v ⁸⁰ kommt:

' F=hJ+fu f=]hfl

(1)

fm — 3    — 1 fm—2 "f" fi

^fm — 2    ^mfrn — 1'

Ist nun zx eine Nullstelle von fm_1} so zeigt die letzte Formel, daß zx auch eine Nullstelle von fm_% ist, die vorletzte Formel also, daß zx auch eine Nullstelle von fm_s ist, usw. Schließlich ergibt sich, daß zx eine Nullstelle von f und F ist. Jede Nullstelle von fm_x ist mithin eine gemeinsame Nullstelle von f und F. Daher sind f und F durch fm_t ohne Rest teilbar. Es mögen sich durch die Teilung die ganzen rationalen Funktionen g und G ergeben, so daß F: f = G : g wird.

Schließlich

Wir behaupten, daß nunmehr G und g gar keine gemeinsame Nullstelle mehr haben. In der Tat, sonst müßten F und f einen gemeinsamen Faktor cp haben, der eine ganze Funktion von höherem Grade als fm_x wäre, aber fm_₁ als Faktor enthielte. Nach der ersten Formel (1) wäre cp auch ein Faktor von ft) nach der zweiten also ein Faktor von f₂, usw.

[3T9

würde sich ergehen, daß cp auch ein Faktor von fm_x wäre, während doch fm_x ein Faktor von cp sein sollte. Also muß cp notwendig dieselbe Funktion wie fm_x sein, höchstens noch mit einer unwesentlichen Konstante multipliziert. Demnach

gilt der

Satz 25: Jede gebrochene rationale Funläion läßt sich durch fortgesetzte Ausführung von Partialdivisionen auf eine Form bringen, in der Zähler und Nenner heine gemeinsame Nullstelle haben.

Alsdann sagt man, daß Zähler und Nenner relativ prim sind.

Wenn eine gebrochene rationale Funktion schon in einer Form F(z) : f(z) yorliegt, in der Zähler und Nenner relativ prime ganze rationale Funktionen sind, ist sie, da sich F und f überall stetig verhalten, überall mit Ausnahme der Nullstellen des Nenners stetig. Diese Nullstellen des Nenners sind ihre Unendlichkeitsstellen, dagegen die Nullstellen des Zählers ihre Nullstellen.

380. Entwicklung einer gebrochenen rationalen Funktion. Es sei F(z) : f(z) eine gebrochene rationale Funktion, ferner seien F und f relativ prim und zx, z₂, . . . zn alle Nullstellen des Nenners. Alsdann läßt sich die Funktion in der Form darstellen:

F(z)_

(1)

F(z)

a(z — zf) (z — zf) ■ ■ • {z — zn)

Sobald nun zx =)= 0 ist, können wir z : zx = t setzen und den Bruch 1: {z — zx) oder — 1: zx (1 — t) nach Potenzen von t entwickeln, denn für \t\ < 1 ist nach Satz 1 von Nr. 101:

also auch:

“⁻x(1 + r + r> + ")'

z — zt

mithin für j z : z{\ < 1:

z~zx

Da alle diese Reihen nach Satz 17 von

usw.

Ist auch \ z:z₂\<.l usw., so gilt eine entsprechende Entwicklung für 1: (z — zf)

Nr. 110 miteinander multipliziert werden dürfen, ergibt sich nach (1) eine Darstellung der gebrochenen Funktion in der Form:

379, 380]

— Fi?) {% + ai 2 + chz“ “I⁻ ' ' ')

F(z)

(2)

unter den Bedingungen \z : zß\ < 1, \z : z₂\ < 1 usw. Diese Bedingungen besagen, daß die Darstellung (2) innerhalb desjenigen Kreises um den Nullpunkt 0 gilt, der durch die nächstgelegene Nullstelle des Nenners geht. Da F{z) selbst eine ganze rationale Funktion ist, kann die rechte Seite von (2) ausmultipliziert werden, wodurch sich ergibt, daß die rationale gebrochene Funktion in der Form

(3)

?(<)

innerhalb des angegebenen Kreises als analytische Funktion von z darstellbar ist. Daß jener Kreis der Konvergenzkreis ist, die Reihe also darüber hinaus gewiß nicht die Funktion darstellen kann, folgt daraus, daß die gebrochene Funktion an der dem Nullpunkte am nächsten gelegenen Nullstelle des Nenners unendlich groß wird.

Die Darstellung (3) ist nach Nr. 372 nichts anderes als die Maclaurinsche Entwicklung der gebrochenen rationalen Funktion. Ihre Koeffizienten bestimmen sich also in der bekannten Weise; es ist nämlich, wenn wir F{z) : f{z) mit d>(z) bezeichnen:

h-

Wir sahen ausdrücklich von dem Falle ab, wo der Nenner den Nullpunkt selbst zur Nullstelle hat. Ist z = 0 eine m-fache Nullstelle des Nenners, so wird die mit zm multiplizierte gebrochene Funktion (h(z) frei von dieser Unendlichkeitsstelle. Also läßt sich zm<D(z) in der Form (3) entwickeln, so daß sich für    selbst eine Darstellung ergibt von der Form:

(5) wobei der Konvergenzkreis der Reihe wieder derjenige Kreis um den Nullpunkt ist, der durch die nächste, von z = 0 verschiedene Nullstelle des Nenners geht. Die Darstellung (5) gilt alsdann innerhalb de« angegebenen Kreises mit Ausnahme seines Mittelpunktes.

Zwölftes Kapitel.

Theorie (1er Partialbruchzerlegung.

§ 1. Existenz der Partialbruchzerlegung.

381.    Vorbemerkung. Die Zerlegung der gebrochenen rationalen Funktionen in gewisse Summen von einfacheren gebrochenen rationalen Funktionen ist für die Analysis von großer Bedeutung. Wir werden sie besonders in der Integralrechnung anzuwenden Gelegenheit haben. Daher soll ihre Theorie, die man die Theorie der Partialbruchzerlegung nennt, hier entwickelt werden.

Die unabhängige Veränderliche werden wir jetzt wieder mit x statt mit z bezeichnen; sie darf aber auch komplex sein. Nach Nr. 379 können wir annehmen, die vorgelegte gebrochene rationale Funktion F(x) : f(x) sei schon in einer Form gegeben, in der die beiden ganzen rationalen Funktionen F(x) und f(x) relativ prim sind.

Wir werden zuerst beweisen, daß sich F{x) : f(x) als eine Summe darstellen läßt, deren Summanden Brüche mit konstanten Zählern sind, während die Nenner ganze positive Potenzen von ganzen linearen Funktionen sind. Dazu tritt, falls F(x) von mindestens so hohem Grade wie f(x) ist, eine additive ganze Funktion. Wir wollen zeigen, daß es nur eine derartige Zerlegung gibt, und die Wege zur wirklichen zahlenmäßigen Berechnung der Zerlegung erörtern.

382.    Der grundlegende Satz. Der Satz, der die Grundlage für alles folgende bildet, lautet:

381, 382]

Satz 1: Sind f(x) und Fix) ganze rationale Funktionen und ist a eine gerade a-fache Nullstelle von fix), dagegen keine Nullstelle von Fix), so läßt sich die gebrochene rationale Funktion Fix) : fix) in dieser Art zerlegen:

F,{x)

F{x)

fix)

ix — a)a

Dabei ist A eine von Null verschiedene Konstante, während F₁ ix) eine ganze rationale Funktion bedeutet und fix) diejenige ganze rationale Funktion vorstellt, die durch die Division von fix) mit ix — a)a hervorgeht.

Gibt nämlich die Division fix) : ix — a)a die Funktion f ix), so daß fix) die Nullstelle a nicht liat, also f (a) 4= 0 ist, so besteht die Identität:

______________________________ F(x) — Af(x)

f(x) ix — af f\ ix) ix — a)a "T~ (x — a)“/i (x) ’ wie auch die Größe A gewählt sein mag. Wir wählen nun eine Konstante A so, daß Fix) — Af ix) die Nullstelle a bekommt, d. h. wir setzen:

(1)

Fix)

Fix)

(2)

Fia)

/i(«)

Wegen fia) 4= 0 ist A endlich; da Fix) die Nullstelle a nicht hat, ist auch jF(a) =}= 0, also A =4= 0. Weil jetzt Fix) — Afix) die Nullstelle a hat, geht die Division dieser Funktion mit x — a nach Nr. 378 auf. Sie ergebe Fx (#). Dann wird Fix) — Afix) gleich ix — a)Flix). Setzen wir diesen Wert in den letzten Bruch in (1) ein, so hebt sich der Faktor x — a einmal fort, und es geht die Formel des Satzes hervor.

383. Form der Partialbruchzerlegung'. Wir beweisen nun den

Satz 2: Bedeutet fix) die ganze rationale Funktion

fix) = ix — o)a ix — b)f ■ ■ • ix — iy

in der a, b, ... I voneinander verschiedene Konstanten und a, ß, ... X ganze positive Zahlen sind, und ist Fix) eine ganze rationale Funktion, die a, b, . . . I nicht zu Nullstellen hat, so läßt sich die gebrochene rationale Funktion Fix): fix) in folgender Weise zerlegen:

F(x)

A

x — a

B, .

_______|__¹___(_ . . . j______P ¹

(x — Vf (x — bf-1    x-~b

A-.+

(x — af

(x — af

-X

r,

Li

(x — l)

+ G(x).

..L,Lt,...Lx

Dabei bedeuten A, Ax,... A Konstanten, von denen A, B, . . . L sämtlich von Nidl verschieden sind, während G(x) eine ganze rationale Funktion vorstellt.

Setzen wir nämlich wie in voriger Nummer f(x) : (x — a)a gleich fx(x), so ist nach Satz 1:

F(x)

0)

F, (x)

(x — af fx (x)

(x — a)

{x — af~xfx(x)

(Ä H* 0).

Es kann nun sein, daß Fx{x) die Nullstelle a hat und a > 1 ist, so daß sich der Faktor x — a im letzten Bruche noch einmal oder mehrere Male heben läßt. Ist es zunächst nicht der Fall, so kommt nach Satz 1 abermals:

F₁(x)_________

(x—ay-'f\{x)

-i

FW

(x—a)a

(x — a)a

wo die Konstante ^ 4= 0 ist. Hat dagegen Fx{x) die Nullstelle a und ist a > 1, so ergibt das Fortheben von x — a aus dem letzten Bruche (1) dieselbe Formel, aber für ^=0. Dieselben Schlüsse wiederholen sich, so daß wir erhalten:

FAX)

(x — af Vi(«)

(x — a)a

-2

Fs jx)_

V,(«)

F (x)

a—

{x — a) f,(x)

fAA

Hier bedeuten Bl(x), F₂(x),... Fa(x) ganze rationale Funktionen. Addition aller Gleichungen liefert:

(2)

Fix)

At

,1

ix — af fx (x)

(,x — af

-i

4~ ■ ■ ■ 4~ n *4-

' x— a

Fa&

A(x)

(x — a)a

wobei A 4= 0 ist. Der letzte Summand stellt eine gebrochene rationale Funktion vor, deren Nenner fx{x) die Nullstelle a nicht mehr hat. Der Nenner hat aber nach Voraussetzung

383]

da f(x) = (x— a)afx(x) ist, die /3-fache Nullstelle b und läßt sich deshalb in der Form /j (x) = (x— byf₂ (x) darstellen. Daher können wir auf den letzten Summanden in (2), der die Form

F (x)

a N _

{x— lif t\ (x)

annimmt, dieselbe Betrachtung anwenden, weil Fu(x) gewiß nicht die Nullstelle b hat. Denn nach (2) ist:

F(x) =[A -MiO - «) 4-----b Aa_x(x—a)““¹] ft (x) + (x- a)a Fa (x).

Wäre nun Fa(x) gleich Null für x = b, so müßte, weil ja ft(x) für x = b verschwindet, gegen die Voraussetzung auch F{x) die Nullstelle b haben. Der Wiederholung der Betrachtungsweise steht demnach nichts im Wege, solange man noch nicht alle Nullstellen von f(x) berücksichtigt hat. Sind alle Nullstellen von f(x) aufgebraucht, so bleibt als Nenner des letzten Summanden eine Konstante übrig, so daß in der Tat die Formel, wie es im Satze 2 angegeben ist, mit einer ganzen Funktion G(x) endet.

Wegen der Anwendungen des Satzes 2 sei hervorgehoben, daß wir darin die Partialbruchzerlegung von F(x) : f(x) für den Fall ausgeführt haben, wo die höchste Potenz von x in f(x) gerade den Koeffizienten Eins hat. Diese Beschränkung läßt sich in jedem Falle leicht erreichen.

384. Nur eine Art der Partialtoruchzerlegung. Nehmen wir unter denselben Voraussetzungen an, daß es noch eine zweite Partialbruchzerlegung wie die in Satz 2 gebe, so wollen wir die in ihr auftretenden Konstanten von denen in der Formel des Satzes durch angefügte Akzente unterscheiden und G(x) durch H(oc) ersetzen. Dann muß, wenn wir nur das erste und letzte Glied andeuten, für alle Werte von x sein:

(1)

+ • • • + G(x) =

(x - a)a

Sind nun a und a verschieden, ist also etwa a > a, so setzen wir alle Glieder der Gleichung mit Ausnahme des ersten auf die rechte Seite und bringen alle Glieder rechts auf ihren gemeinsamen Hauptnenner. Da x — a links in nicht höherer als der aton Potenz auftritt und a < a ist, ergibt sich so eine Formel:

(x — a)

cp{x)

(,x — a) cp (x)

d. h. M =

y(x)

(x — a)a    (x—a)a V(«)’

worin (p(x) und ip(x) ganze Funktionen sind und 4>(x) nicht die Nullstelle a hat. Da aber A eine Konstante ist, folgt, wenn wir z. B. x = a annehmen, daß A = 0 sein muß. Nach Satz 2 in Nr. 383 ist jedoch M =j= 0. Die Voraussetzung cc > a war also falsch. Ebenso würde die Voraussetzung «'>« die falsche Folgerung A' = 0 ergeben. Mithin ist a = a. Wenn wir nun (1) mit (x — a)a multiplizieren und dann x = a setzen, kommt A = A'. In (1) sind also die ersten Glieder rechts und links einander gleich. Sie können folglich gestrichen werden. Weil nun A1} A₂, . . . und Af, A₂', . . . vielleicht gleich Null sein können, wird die übrig bleibende Gleichung die Form haben:

(x — a)

a—i

+ ... + Q(x)-

(oc — a)a

ZTj + • ' • + H(x),

Wir beweisen dann ebenso, daß

wo A. =4= 0 und Aj =f= 0 ist. a — i = a — j und At = Aj ist, usw. Also müssen in (1) alle mit x — a behafteten Glieder links und rechts überstimmen.

Dasselbe gilt von den mit x — b behafteten, usw. Schließlich bleibt G(x) = H(x) übrig. Somit ist bewiesen:

Satz 3: Wenn a, b, . . . I alle voneinander verschiedenen Nullstellen einer ganzen rationalen Funktion f(x) sind und F(x) eine ganze rationale Funktion ist, die a, b, ... I nicht zu Nullstellen hat, gibt es nur eine Partialbruchzerlegung von F(x): f(x) als Summe aus einer ganzen Funktion G(x) und solchen Brüchen, deren Zähler Konstanten und deren Nenner ganze positive Potenzen von x — a, x — b, .. . x — l sind.

Außerdem lehrt die Zerlegung in Satz 2 der vorigen

Nummer:

Satz 4: Die ganze Funktion G(x), die bei der in Satz 2 der Nr. 383 angegebenen Partialbruchzerlegnng von F(x) : f(x) übrig bleibt, ist dieselbe, die sich bei der Partialdivision von Fix) mit fix) als ganze Funktion, abgesehen von dem Beste, ergibt.

Sie ist insbesondere gleich Null, wenn F(x) von niedrigerem Grade als f(x) ist.

§ 2. Ausführung der Partialhruchzerlegung.

385. Zerlegung im Falle lauter einfacher Nullstellen des Nenners. Wir behalten die früheren Bezeichnungen hei, nehmen aber jetzt an, fix) habe nur einfache Nullstellen    so daß a = ß = ■ • • = l = 1 ist. Dann gibt

Satz 2 von Nr. 383 eine Zerlegung von der Form:

=    d-----h ——-y + G{x)

x — a ' x — b '    ¹ x — l v/

(i)

F(x)

wobei A, B, ... L von Null verschiedene Konstanten sind und G(x) eine ganze rationale Funktion bedeutet. Da G{x) durch Ausführung der Partialdivision F(x):f(x) gewonnen wird und insbesondere gleich Null ist, falls F(x) einen niedrigeren Grad als f(x) hat, handelt sich nur noch darum, zu zeigen, wie man die Konstanten A, B, ... L berechnet.

Nach (2) in Nr. 382 haben wir:

F{a)

/;(«) '

wenn

fi (x) = f{%) ' (% — a) ist. Da dann f(x) = (x — a) fx (x) wird, ergibt sich durch Differentiation:

also für x = a:

fix) = t\fc) + (x — a) ff(x)

f\a) ⁼ fi (a) ■

Mithin ist A = F(a) : f(a). So ergibt sich überhaupt:

t F(l)

■L~rwf

(2)

F(a)

F(b)

f («)’

f’Q>) ’ • •

Hiermit sind A, B, . . . L berechnet. Setzen wir diese Werte in (1) ein, so folgt für alle Werte von x:

F(x)

(3)

F(a)

F(b)

F(T)

f(x) f (o) (x— a)^ f (b) (x — b)

f G(x).

f'{l)(x-l)

Praktischer ist aber die folgende Art der Berechnung: Ist F(x) von mindestens ebenso hohem Grade wie f(x), so sondere man zunächst durch Ausführung der Partialdivision

F(x)

= G(x) +

${x)

die ganze rationale Funktion G(x) ab, so daß G>(x) eine ganze rationale Funktion von niedrigerem Grade als f(x) wird. Nun-

[385

mehr handelt es sich nur noch um die Bestimmung der Koeffizienten A, B, ... L der Zerlegung:

—    __L    _i_ . . . J__.

x — a x — b    ' x — l

Man multipliziert die Gleichung mit x — a, wodurch der in f(x) auftretende Faktor x — a fortfällt, und setzt alsdann x = a. Dadurch geht sofort der Wert von A hervor. Entsprechend ergeben sich die Werte von B, ... L.

386. Eine Folgerung. Wir bleiben hei den Annahmen der letzten Nummer und fügen die Annahme hinzu, daß die ganze Funktion F(x) die Form habe

F{x) = c₀xn~l + cxxn~²H-----b cn_₂x + cn_u

<I> (x)

f{x)

während f(x) vom nten Grade sei. Da F(x) dann vom niedrigerem Grade als fix) ist, wird G(x) in der Formel (3) von Nr. 385 gleich Null. Multiplizieren wir nun diese Formel mit f(x), wobei die Divisionen f{x):(x — a) usw. sämtlich aufgehen, weil a, b, . . . I die einfachen Nullstellen von f(x) sind finden wir durch Gleichsetzen der Koeffizienten von xn~x auf beiden Seiten:

so

^(0-1

(0-F

F{a) F(b)

f(«) ⁺f(6)

wobei y den Koeffizienten der höchsten Potenz von x in f{x), also den von xn bedeutet. Wenn nun c₀ == 0 ist, also der Grad von F(x) mindestens um zwei Einheiten niedriger als der von f(x) ist, ergibt sich der bei algebraischen Untersuchungen oft nützliche

Satz 5: Hat eine ganze rationale Funktion f(x) nur einfache Nullstellen a, b, . . .1, und bedeutet Fix) eine ganze rationale Funktion, deren Grad um mindestens zwei Einheiten niedriger als der von f(pc) ist und die keine der Stellen a,b,. . . I zu Nullstellen hat, so gilt die Gleichung:

H-----b

F(n) , F(b)

/•'(«) ¹ np)

SIS

= 0.

387. Erstes Verfahren zur Berechnung der Far> tialbrüche. Wir wenden uns wieder zu dem allgemeinsten, in Nr. 383 betrachteten Falle zurück. Der grundlegende Satz 1 von Nr. 382 enthält zugleich ein Verfahren zur Ausführung der

Zerlegung. Denn wenn wir wieder f(x) : (x — a)a = f\ (x) setzen, kommt:

(1)

F(x)

A4)

f\x) (x—d)a    {X — af -¹ f\ {x)

wobei, wie wir in Nr. 382 sahen,

F(a)

fi 4)

fi («)

Fix)

U («)

x — a

ist und der letzte Bruch mit x — a gekürzt 'werden kann. Wenden wir denselben Satz 1 weiter auf den zweiten Bruch rechts in (1) an, so finden wir ebenso die anderen Konstanten. Aber in dem Falle, wo f(x) nicht lauter einfache Nullstellen hat, ist dies Verfahren umständlich.

388. Zweites Verfahren zur Berechnung der Partialbrüche. Man kann auch die sogenannte Methode der unbestimmten Koeffizienten benutzen, d. h. die Konstanten durch Koeffizientenyergleichung auf beiden Seiten der Gleichung des Satzes 2 in Nr. 383 berechnen. Indem wir für ft(x) wieder f(x) :(x — a)a schreiben, ist nach (2) ebenda anzusetzen:

Fix)

A«)

{x — a)a

-    . . . _i__«-1 4.

¹ ^    ' x— a '

{x — d)a Fajx)

A*)

(x — a)a

Multiplizieren wir diese Gleichung mit f(x) und ersetzen wir x durch a 4 h, so kommt:

(1) F(a+h)=Af-^±3+A

ftfi + h)

¹ ha~

l I-----bM

a—1

f<?fV+h“F„(a+h)

Nun gibt die Taylorsche Formel:

(2)

F(a 4 h) = F(a) 4 ± F'(a) 4    + • • •,

f(a 4 h) = f(a) 4- — f (a) + f"(a) 4 • • ••

Diese Entwicklungen sind endlich, da F und f ganze rationale Funktionen von h sind. Weil a eine u-fache Nullstelle von f(x) bedeutet, ist außerdem f(a) — 0, f(a) = 0, . . . fia~ 0(a) = 0 nach Satz 22 von Nr. 378, so daß kommt:

ha

ha + 1

440!

Einsetzen der Werte (2) und (3) in (1) ergibt für jeden Wert von h:

ha~¹

F(a) + ^F’(a) + ^F''(a) + - +

+ J₁[A^)(a)+^p«)(a) + ...]

(«- 1)!

+ A-i /w(«) + ■■■{+ haFa(a + »).

Das letzte Glied enthält nur solche Potenzen von h, die yon höherem als (a — l)tem Grade sind. Die Vergleichung der Koeffizienten entsprechender Potenzen von h auf beiden Seiten bis ha~¹ liefert nun:

F(a) - ±/■<»>(«),

hF‘(-«) = WTTyf°^ + ^f^’

(«+!)!

F°+,,(a) +

(2a — 2)!

Pa-²)(a; 4----

Aus der ersten Gleichung geht der Wert von M, dann aus der zweiten der von A1} ferner aus der dritten der von A₂ usw., schließlich aus der letzten der von Aa_t hervor, denn der Koeffizient f^{a) ist nach Satz 22 in Nr. 378 von Null verschieden.

Man kann auch in der in Satz 2, Nr. 383, angegebenen Entwicklung zunächst die ganze Funktion G{pc) durch Partialdivision (vgl. Satz 4 von Nr. 384) ermitteln und darauf alle Nenner durch Multiplikation mit (x — a)a(x — l>y . . . (x — If entfernen. Schließlich vergleicht man dann die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x auf beiden Seiten, wodurch sich 388] sein. Ebenso bestimmt man die zu den Nullstellen ß, y, . . . X gehörigen Konstanten. Es wird jedoch einfacher sein, um diese Konstanten zu finden, das nämliche Verfahren auf die Brüche Fa(a -p h) :/j(a -p h) usw. anzuwenden.

390. Weitere Ausführung des dritten Verfahrens.

Das letzte Verfahren hat den Vorzug, für die Zähler der Partialbrüche zugleich ihren allgemeinen algebraischen Ausdruck zu liefern. Denn die Partialdivision von F(a -p h) mit f\(a -p h) gibt die Entwicklung des Bruches nach den steigenden Potenzen von h und kann also auch nach der Taylorschen Formel gefunden werden. Bezeichnen wir F(x)\f\{x) mit (p(x)? so wird:

F(a + h) fi(a + h)

9>(a) + JT⁽P\a) + • •

(o) -P hallu

lineare Gleichungen zur Bestimmung aller Konstanten A, Aly. .

ergeben.

389. Drittes Verfahren zur Berechnung der Par-tialbrüche. Endlich kann man die konstanten Zähler der Partialbrüche auch durch ein Verfahren gewinnen, das nur Partialdivisionen erfordert.

(x — a)“fi (pc) für f(x) und a-\-h für x, so gibt die Gleichung (1) der vorigen Nummer:

F(a -f- h)

MHFä) ⁼

Ordnen wir F (a + h) und ft (a -f h) nach steigenden Potenzen von h und dividieren wir daun F{a + h) mit ft(a -j- h), bis ein Rest vom mindestens aten Grade bleibt, so muß der bis dahin erhaltene Quotient gerade der Ausdruck

A + Axh -p A^h² -\- • • • -p Att_lha~¹

.. L, L

2-1

Setzen wir nämlich wieder

A -p Ax h -p h² -p • • • -p Aa_₁ha 1 -p

haFa(a + h)

ti*-¹

(« — 1)1

wo haB. den Rest bedeutet. Also wird:

y(«) A 1! >

₌ <p"(a)

• • -^a-i

(«-1)

(a-1)!

(a)

A = tp (a), Ax =

Dies liefert den

Satz 6: Jst f (x) = (x — a)a(x — by...(x — T)¹, wo a,b,.. .1 voneinander verschieden und a, ß, ... X positive ganze Zahlen

³⁹ * [388, 389, 390

sind, ist ferner Fix) eine ganze rationale Funktion, die keine der Stellen a, b, ... I zu Nullstellen hat, gibt überdies die Partialdivision von Fix) mit fix) die ganze rationale Funktion G(x) und wird endlich noch

cpix) = {x — a)

f{x).

i>(x) = (x—by

F(x)

f(x)

xF(x)

fG)

gesetzt, so ist:

F(x)

A*)

= G(x) +

qp(a)

qp'(a)

CP

(«-1)

(«)

(x — a)u

1! (a; — a)a

(a — 1)! (x — a)

(,x — b)ß    1! (a? — b)ß

i+- +

V^_1) (b)

(ß — 1)! (x b)

<o(l)

oj'(Z)

T H-----h

1 \{x — l)l~

391. Andere Darstellung der Fartialbruchzerlegung.

Man kann dies Ergebnis auf eine bemerkenswerte knappe Form bringen. Der bisher mit F(x) ‘.fix) bezeichnete Bruch sei nämlich mit d>(x) bezeichnet, so daß &(x) eine gebrochene rationale Funktion ist, deren Zähler und Nenner relativ prim sind. Die Nullstellen des Nenners wollen wir mit x1} xi} . . . # bezeichnen, und sie seien bzw. mrfach, m₂-fach, . . . m^₍-fach. Zur Abkürzung werde wie vorhin

(x — l)

(X — 1)! (x — l)

<p(x) — ix'— xf)miQ){x)

gesetzt. Dies ist der frühere Ausdruck F(x): fix), der also für x = xx einen endlichen und von Null verschiedenen Wert hat. Nach dem letzten Satze ist die Summe der zur Nullstelle xx gehörigen Partialbrüche diese:

(i)

mx—i

mJ Ti\{X — X,)m

1~*

worin    die Funktion g>{xf) selbst bedeutet und 0! = 1

ist. Diese Summe ergibt sich auch, wenn man in der Funktion

in,-1

qpw (pBj +1)

einer Hilfsgröße t für diese Größe t den Wert Null setzt.

390, 391]

Nach Satz 6 von Nr. 71 ist nun die (m₁ — l)t0 Ableitung der Funktion <p(xx t) . (x — xx — t) ~¹ nach t genau die soeben angegebene Summe, multipliziert mit (nix — 1)!. Die Summe wird mithin gleich:

d"h 1 [cp (#! -f -t):(x — Xx — <j]

dt™'-¹

K— 1)!

Nach (1) ist cp (xx -f- t) = tm' & (xt -f- t), so daß also, wenn überdies G(x) wie in Satz 6, Nr. 390, die bei der Partialbruchzerlegung übrig bleibende ganze Funktion bedeutet, die Formel dieses Satzes so lautet:

dmJ ¹[tmi <I> (Xj -f t):(x — Xj — t)]

(2) <t(x) = G(x) +

wobei sich die Summe über alle /r Nullstellen x1}xit...x erstreckt und der Index 0 beim Summenzeichen andeutet, daß schließlich für t der Wert Null gesetzt werden soll.

392. Ausdruck für die auftretende ganze Funktion. Die in der letzten Formel (2) auftretende ganze Funktion G{x) läßt sich ebenfalls durch ausdrücken. Nach Satz 4 von Nr. 384 ist G(oc) diejenige ganze Funktion, die sich bei der Partialdivision der gebrochenen Funktion Q(x) ergibt, so daß der Grad n von G{cc) gleich dem Überschuß des Grades des Zählers von G>(x) über den Grad des Nenners von &(x) ist. Wird nun in der letzten Formel x durch l:z ersetzt und die Gleichung mit zn multipliziert, so kommt:

d"'J -'[irWiXj+ty. {1 -(ayfi)* } ]

Da rechts in der Summe die Größe z nur in Nennern von Brüchen und zwar in den Potenzen von 1 — {ccj + t)z auftritt und diese Brüche nach ganzen positiven Potenzen von z entwickelt werden können, sieht-man: Wenn zn<I>(l:z) in eine Reihe nach wachsenden positiven Potenzen von z entwickelt wird, muß die Summe aller derjenigen Glieder, deren Grad in z nicht höher als der nt0 ist, gerade gleich znG(l:z) sein. Man beachte nämlich, daß G(l:z) eine ganze rationale Funktion nten Grades von 1: z bedeutet.

Kap. XII. Theorie der Partialbruchzerlegung Die Entwicklung von zn&(l:z) lautet aber so:

614

wobei der Index 0 die Substitution z = 0 andeuten soll. Statt z dürfen wir in den eckigen Klammern irgendein anderes Zeichen, z. B. t, benutzen. Folglich ist:

also, wenn wir wieder 1 :z = x einführen und die Summe mittels eines Summenzeichens knapper zusammenfassen:

(i)

'■‘Mt)}

dtn~k

Diese Formel läßt sich noch anders schreiben. Will man nämlich tn + kG>(l:t) nach ganzen positiven Potenzen von t entwickeln, so kann man zunächst tnG>(l:t) entwickeln und dann das Ergebnis mit tk multiplizieren. Deshalb muß der Koeffizient von tn~k in der Entwicklung von tn&(l:t) derselbe sein wie der Koeffizient von tn in der Entwicklung von t” + k 0(1 :t). Also ist:

~dn~k

i r'p⁺*#(T)}

dtn~k

was sich übrigens auch leicht geradezu nachweisen läßt. Die Formel (1) geht demnach über in:

(n — Jc)\

t=o

n\ _

dt"

dn

dtn

oder:

(2) G (x) - l,    f* ® (f) {1 + tx + Px' + • ■ ■ + <*x*) ] _ o•

Hier dürfen wir in der geschweiften Klammer, ohne den Wert des ganzen Ausdrucks zu ändern, beliebig hohe ganze Potenzen von tx addieren, deren Grade größer als n sind, denn der Ausdruck

(3)

tn+ixn + i

ist eine Funktion von t, deren Ableitung ntei Ordnung nach t für t = 0 verschwindet. Weil nämlich 0(1 :t) eine gebrochene Funktion von t ist, deren Nenner einen um n Einheiten höheren Grad als der Zähler hat, beginnt die Entwicklung der Funktion (3) nach t mit tn + i, die Entwicklung ihres n tialquotienten folglich mit t\ Sie ist also gleich Null für t — 0, sobald i = 1, 2, 3,. . . ist.

Differen

ten

Daher können wir (2) ersetzen durch

r a*

nl dtn

wo jetzt in der geschweiften Klammer eine unendliche Reihe steht, die nach Satz 1 von Nr. 101 die Summe 1: (1 — tx) hat, da ja [ tx | beliebig klein angenommen werden kann, weil schließlich t = 0 gesetzt werden soll. Folglich ergibt sich schließlich:

dtn 1 — tx

ew-,‘

393. Endgültige Darstellung der gesamten Partial-bruchzerlegung. Wenn wir den zuletzt gefundenen Wert von G(x) in die Formel (2) von Nr. 391 einsetzen, gelangen wir zu einer geschlossenen analytischen Darstellung der Partialbruchzerlegung der gebrochenen rationalen Funktion &(x) nämlich zu dem

Satz 7: Ist &(x) eine gebrochene rationale FunJction von x und sind xu x₂, . . . x die Nullstellen des Nenners, die bzw. niy-fach, m₂-fach, . . . mu-fach sind, während der Zähler keine dieser Stellen zu Nullstellen hat, so kann die Partialbruchzerlegung von 0(.F) in dieser Form dar gestellt werden:

tn$

\ 1 dn ~ Lni dn 1 —

{t )    l dmJ ~¹ tmJ $ &j + t)

tx ^    (mj — 1)! dtmJ ~¹ x — Xj —

Darin bedeutet n den Überschuß des Grades des Zählers von 4>(x) über den Grad des Nenners. Wenn der Grad des Zählers von 0(x) Meiner als der des Nenners ist, fällt das erste Glied in der eckigen Klammer fort.

[39a, 393

§ 3. Reelle Partialbruchzerlegung.

394. Vorbereitende Sätze. Die entwickelte Theorie gilt allgemein im Bereiche der komplexen Zahlen, bedarf aber, wenn man sich auf den Bereich der reellen Zahlen beschränken tvill, noch einer Ergänzung. Sind nämlich die Koeffizienten der gebrochenen rationalen Funktion sämtlich reell, so fordern wir dann eine Zerlegung der Funktion, worin überhaupt nur reelle Zahlen Vorkommen. Die Schwierigkeit liegt dabei darin, daß unter den Nullstellen des Nenners komplexe Zahlen vorhanden sein können.

Ist z. B. h -\-ik eine gerade m-fache Nullstelle des Nenners, so ist nach Satz 24 in Nr. 378 auch h — ik eine gerade m-fache Nullstelle des Nenners, der daher die Faktoren

(x — h — ik)m (x — h + ik)m = [(x — h)² + k²]m,

also die mte Potenz einer ganzen quadratischen Funktion enthält, die man auf eine Form x² -f- px + g mit reellen Koeffizienten p und q bringen kann. Nun gilt der

Satz 8: Liegt eine gebrochene rationale Funktion F(x) : f(x) mit reellen Koeffizienten vor, deren Zähler und Nenner relativ prim sind, ist ferner x² -f px + q das Produkt aus zwei konjugiert komplexen Faktoren des Nenners und tritt x² -\-px + q gerade in der mtcn Potenz auf, so daß der Nenner die Form f{x) = (x² 4- px 4- q)mf₁(x)

Px+Q

F,(x)

hat, wo fx(x) eine ganze rationale Funktion mit reellen Koeffizienten bedeutet, so läßt sich die gebrochene Funktion auf eine Form F{x)

(x'+px + qT

(x⁹- + px+ q)m 1f₁{x)

bringen, worin P und Q reelle Konstanten sind und F₁(x) eine ganze rationale Funktion mit reellen Koeffizienten ist.

Für jedes P und Q gilt nämlich die Identität:

Fix)

Fix)

(i)

_ _    ________________Px-\-Q F(x)-(PxFQ)f₁(x)

fix) {x^Ppx + qffdx) (x'-X-px+qf¹ {xl-\-px-\- q)mfl{x) ’ und man kann die reellen Konstanten P und Q so bestimmen, daß der Zähler des letzten Bruches mit x² + px + q teilbar wird, d h. daß er verschwindet, wenn man darin für x eine 394]

der beiden konjugiert komplexen Nullstellen h + ih von x² -{px -f- q setzt. Denn wir fordern:

F(h ± ih) - [P(h ± ih) + Q\ft(h ± ih) = 0, wobei überall entweder die oberen oder die unteren Vorzeichen gelten. Zerlegen wir nun die Brüche F(h + ih) : fx(h + ih) in ihre reellen und rein imaginären Teile, bringen wir sie also auf die Formen M+iN, so wird P(h + ih)-{ Q = MPiN, daher einzeln Ph + Q = M und Ph = N, so daß N: h und (MJc - Nh) : h die gesuchten Werte von P und Q sind. Da also bei dieser Annahme der letzte Zähler in (1) durch x² -+- px -f- q teilbar ist, bezeichnen wir das Ergebnis der Teilung mit P\ (x) und gelangen so zu der Formel des Satzes.

Indem wir denselben Satz auf den letzten Bruch anwenden, der in der Formel des Satzes auftritt, und dasselbe Verfahren so oft wiederholen, bis alle Faktoren x² -f- px + q aufgebraucht sind, gelangen wir zu dem

Satz 9: Liegt eine gebrochene rationale Funhtion F(x): f(x) mit reellen Koeffizienten vor, deren Zähler und Nenner relativ prim sind, ist ferner x² -f px -f q das Produht aus zwei honjugiert homplexen Faktoren des Nenners und tritt x²-\-px -fq gerade in der mten Potenz auf, so daß der Nenner die Form (x² -{-px-f q),nfl{x) hat, ivo f\ (x) eine ganze rationale Funhtion mit reellen Koeffizienten bedeutet, die den Faktor x² + px -f- q nicht enthält, so läßt sich die gebrochene Funhtion auf eine Form

Px+Q

Ptx+Qt (x²-{px-{q)m ' (x² -\-px -f q)m~

F(x)

x² -{px -f q

F (x)

m N

fi(x)

Qm

reelle Konstanten

bringen, in der P, Q, Px, Q1} ... P sind und Fm(x) eine ganze rationale Funhtion mit reellen Koeffizienten ist.

-1

395. Die allgemeine reelle Fartialbruchzerleguiig.

Verbindet man diesen Satz mit dem Satz 2 von Nr. 383, so gelangt man zu der folgenden allgemeinen reellen Zerlegung einer gebrochenen Funktion:

Satz 10: Ist F(x) : f(x) eine gebrochene rationale Funhtion mit reellen Koeffizienten, deren Zähler und Nenner relativ prim

sind, und ist der Nenner in seine verschiedenen linearen und quadratischen Faktoren mit reellen Koeffizienten zerlegt worden: fix) = (x — a)a • • • (x — iy(x² + + (?)m • • • (x² + + s)n, so gibt es eine reelle Zerlegung von der Form:

F(x)

= G{x) 4

(x — a)

(,x — a)a

-l

⁺ “' + x

a-l

— a

(x —

—. -|------J— ... —

+ - +

Pi a 4"

(a² 4-px + q)m ^ (x-^px±q)

P .x+Q ,

m—l    m—1

7/1— 1

x* px 4- q

x* rx-\- s ’

wobei G(x) eine ganze rationale Funktion mit reellen Koeffizienten bedeutet, die auch gleich Null sein kann, und die in den Zählern auftretenden Größen reelle Konstanten sind.

396. Nur eine Art der reellen Partialbruchzer-legung. Nach den Auseinandersetzungen in Nr. 384 können wir, um zu zeigen, daß es nur eine reelle Zerlegung gibt, annehmen, daß dies schon für die ganze Funktion G{x) sowie für diejenigen Partialbrüche bewiesen worden sei, die zu den linearen Faktoren x — a, . . . x — l gehören. Dasselbe zeigen wir nun auch für die übrigen Glieder der Entwicklung. Es möge also eine zweite Entwicklung wie die des Satzes 10 angenommen werden; wir bezeichnen in ihr die Konstanten mit denselben Buchstaben, aber mit Akzenten versehen, und setzen also statt m und n die Zeichen m und n. Wenn nun

P'x+Q’

(x² + px+q)

die Grlieder der beiden Entwicklungen sind, die im Nenner x² -f P^c 4- <7 in der höchsten Potenz enthalten, so sei etwa m > m. Alsdann multiplizieren wir die Gleichung, die sich ergibt, wenn die eine Entwicklung der anderen gleichgesetzt wird, mit der mten Potenz von x² -\- px + q. Dann verschwinden alle Nenner mit x²-fpx-\- q, aber alle Glieder enthalten 395, 396]

Bx-\-S

B, x -j- S,

(x² -f- rx 4~ s)n (x² 4- rx -]-«)"

ec

P# 4- Q

(x² -f px 4- q)m

und

m'

x² -f- px -f- q als Faktor, nur nickt das Glied Px -f Q. Da die Formel für alle Werte von x gelten soll, muß sie auch für die beiden Nullstellen x = h + ik von x² -|- px -f- q bestehen, für die alle Glieder mit Ausnahme von Px + Q verschwinden, so daß PQi + ik) + Q = 0, also Pli -f- Q = 0 und Pk = 0 sein muß, weil P und Q reell sind. Wegen k 4= 0 ist mithin P = 0 und Q = 0, was der Voraussetzung widerspricht. Folglich kann nicht m > m sein. Ebenso kann auch nicht m > m sein. Also muß m = m sein.

Wenn wir nun wieder die ganze Gleichung mit der mten Potenz von x²-\- px-\-q multiplizieren, enthalten alle Glieder

den Faktor x² -f- px -f- q, nur nicht die Glieder Px + Q und P'x + Q'. Wird wieder x = h Pik gesetzt, so bleibt also übrig:

PQi ± ik) + Q = P'(h± ik) f q, d. h. (P-P')h + (Q-Q') = 0, (P — P')k = 0, woraus P=F und Q = Q' folgt.

Hiernach können wir in der Formel, die durch Gleichsetzen der beiden Entwicklungen gewonnen wurde, die Glieder (1) auf beiden Seiten streichen. Dasselbe Verfahren lehrt dann, auf die übrig gebliebene Gleichung wiederholt angewandt, daß auch alle anderen Glieder rechts und links übereinstimmen.

Satz 11: Es gibt nur eine reelle Zerlegung einer gebrochenen rationalen Funktion mit reellen Koeffizienten in der in Satz 10 von Nr. 395 angegebenen Form.

397. Verfahren zur Berechnung. Um die reelle Zerlegung wirklich zahlenmäßig auszuführen, wird man die ganze Funktion G(x) und die zu den reellen Nullstellen des Nenners gehörigen Partialbrüche nach einem der in Nr. 385—393 angegebenen Verfahren ausrechnen. Die Brüche, die zu konjugiert komplexen Nullstellen des Nenners gehören, kann man dann nacheinander nach derjenigen Methode bestimmen, die beim Beweise des Satzes 8 in Nr. 394 angewandt wurde. Auch die Methode der unbestimmten Koeffizienten ist brauchbar.

Wenn insbesondere alle konjugiert komplexen Nullstellen des Nenners einfache Nullstellen sind, kann man die reelle Entwicklung auch so ableiten, daß man zuerst, ohne Rücksicht darauf, ob die Nullstellen reell oder komplex sind, die

allgemeine Entwicklung nach Nr. 385 aufstellt und dann jedesmal die beiden zu konjugiert komplexen Nullstellen gehörigen Brüche auf ihren gemeinsamen Nenner bringt. Sind nämlich h + ilc zwei einfache konjugiert komplexe Nullstellen des Nenners, so treten nach (3) in Nr. 385 in der Entwicklung die beiden Glieder auf:

F(h + ik)

f'(h + ik){x — h — ik)

F(h — ik)

f'(h — ik)(x — h+Tk)'

Sind in F(h -f- ilc) : f'(h -f ilc) die reellen Glieder von den rein imaginären getrennt worden, d. h. ist dieser Bruch auf die Form A + iB gebracht worden, so hat F(Ji — ilc) :f'(h— ilc) die Form A — iB. Also ist die Summe (1) gleich

A — iB 2Ax — 2(Ah + Bk)

-h + ik

und damit auf die verlangte reelle Form gebracht.

398. Die Einschaltungsformel von Lagrange. Als

Anhang erwähnen wir noch die Formel, mittels derer man die Aufgabe löst, diejenige ganze rationale Funktion von x vom höchstens nten Grade zu berechnen, die für n -f 1 verschiedene gegebene Werte x₀, x1} . . . xn von x gegebene Werte m₀, w,, . . . un hat. Gäbe es zwei verschiedene derartige Funktionen F(x) und Gr(x) vom höchstens ntea Grade, so wäre die Funktion F(x) — G(x) für x = x₀₎ x1} . . . xn gleich Null, also für n -f 1 verschiedene Stellen, während sie doch vom höchstens nton Grade ist und mithin nur n verschiedene Nullstellen haben

A + iB

ik x

(x — hy -f k²

kann. Demnach kann es höchstens eine Funktion von der verlangten Art geben.

Um zu zeigen, daß es eine gibt und welche Gestalt sie hat, bilden wir die ganze rationale Funktion nten Grades:

(i)

f(x) = (x - x„j    xn).

Alsdann kommt:

(²) f 0*) =    - ®o) • • •    - xk-1) (xk - xk+i) • • • 0* - «*)•

Wenn nun F(x) irgendeine ganze rationale Funktion vom höchstens ntm Grade bedeutet, gibt es nach (3) in Nr. 385 eine Entwicklung von der Form:

F(xq) _    1    , Ffa)_______

f(x) f\x₀) ' x — x₀ ^ f' (xy ' x —

F(x)

- X, ⁺ " ' +

F(xn)__1_

f'(xn) ' x — xn

vorausgesetzt, daß F(x) keine der Stellen x₀, x„ . . . xn als Nullstelle hat. Multiplikation mit f(x) gibt wegen (1) und (2), wenn noch

F{x₀) = u₀, Fix,) = %,••• F(xn) = un

gesetzt wird:

F(x)=u₀

(x₀—xl )(x₀—Xs) •■■(x₀ —xn)

----f“

(X — X₀) (X — Xx) • • • (X — «,_!) (*» — *o) (Xn —«!)••• («* — *»-l) ’

Hier liegt offenbar eine ganze rationale Funktion vom höchstens nten Grade vor, die für x — x₀, xlt ... xn die Werte m₀, ui} . . . un hat, und nach dem Vorhergehenden ist es die einzige ganze rationale Funktion, die für die n -\- 1 verschiedenen Werte xQ, xx, . . . xn von x die vorgeschriebenen Werte m₀, ux,...un hat. Die Funktion F(x) heißt die Einschaltung sformel von Lagrange.

Ihre Herleitung setzte voraus, daß F(x) keine der Stellen x₀, x,, . . . xn als Nullstellen hat, d. h. daß m₀, uX) ... un sämtlich von Null verschieden seien. Man sieht aber, daß die gefundene Funktion F(x) auch dann gilt, wenn einige der Werte m₀, m₁₇ ... un gleich Null sind. Allerdings geht gar keine Funktion F{x) von der gesuchten Art hervor, falls m₀, ux, . . . un sämtlich gleich Null sind. Aber in diesem Falle ist auch gar keine vorhanden. Denn wenn

F{x) = a₀ -f ax x + a₂x* -f • • • -f- anxn

für n -j- 1 verschiedene Werte x₀, xx, . . . xn gleich Null sein soll, bestehen die n + 1 in a0} ax, ... an linearen homogenen Gleichungen

a₀ + alxk + a₂xk² H----+ anx” = 0

(& = 0, 1, 2, ... w),

die das Verschwinden aller n + 1 Koeffizienten a₀, ax, ... an nach sich ziehen, weil ihre Determinante als Produkt aller Differenzen xk — x% darstellbar ist und deshalb nicht den Wert Null hat.

Geschichtliche Anmerkungen.

I.¹) Den Grundsatz von der Erhaltung der formalen Gesetze hat zuerst H. Hanlcel (1839—1873) in voller Klarheit als das Prinzip der Permanenz der formalen Gesetze ausgesprochen, siehe seine „Theorie der komplexen Zahlensysteme“, Leipzig 1867 (erster und einziger Teil der „Vorlesungen über die komplexen Zahlen und ihre Funktionen“), S. 11: „Wenn zwei in allgemeinen Zeichen der arithmetica universalis ausgedrückte Formen einander gleich sind, so sollen sie einander auch gleich bleiben, wenn die Zeichen aufhören, einfache Größen zu bezeichnen, und daher auch die Operationen einen irgendwelchen anderen Inhalt bekommen“. Fankel fügt aber auch sofort hinzu, daß das Prinzip in seiner Allgemeinheit nicht ohne weiteres und überall verwandt werden dürfe, vielmehr nur zur Definition der notwendigen und hinreichenden Pegeln. Er ist der erste unter den deutschen Mathematikern, der die drei formalen Gesetze deutlich unterschieden hat, ebenda S. 2 und 3. Seit 1840 seien die Bezeichnungen kommutativ, assoziativ und distributiv in England vollkommen eingebürgert, die erste und letzte seien von F. J. Servois (1767—1847) in den Annales de Mathem. 5. Bd. 1814, S. 93, eingeführt worden, assoziativ wahrscheinlich zuerst von W. P. Hamilton (1805—1865).

Für den logischen Aufbau der Arithmetik des rationalen Zahlenbereiches kommt außer dem genannten Werke von Hankel auch das „Lehrbuch der Arithmetik für höhere Lehranstalten“ von II. Graßmann (1809—1877), Berlin 1861, in Betracht (Bruchstücke daraus in den „Ges. math. u. phys. Werken“, 2. Bd. 1. Teil, Leipzig 1904, S. 295 u. f.).

Die Bezeichnungen plus und minus treten schon in einem Manuskripte von Leonardo Pisano (genannt Fibonaci) mit dem Titel „Liber abaci“, 1202 und vermutlich 1228 verbessert, auf, hrgg. vom Fürsten B. Boncompagni (1821—1894) in den „Scritti di Leonardo Pisano mate-matico del secolo decimoterzo“, Rom 1857—62, 1. Bd. 1. Teil, S. 319. Die Zeichen -(- und — kommen in einem Manuskripte von Lionardo da Vinci (1452—1519) und gedruckt in dem etwa um dieselbe Zeit erschienenen Buche „Behende und hübsche Rechnung auf allen Kau ff mannschafft“, Leipzig 1489, von J. Widmann von Eger vor, hier aber so, als ob sie schon damals nichts Neues gewesen wären. Ein Anklang an das Wort negativ (nämlich negatus) findet sich bei P. de la Pamee (latinisiert Petrus Pamus, 1515—1572) in seinem Buche „Scholae mathematicae“, 1567, 1569 und später. In einer Göttinger Handschrift von St. Brechtei (gestorben 1574) aus den Jahren 1545 bis 1548 werden die positiven und negativen Zahlen als numeri affirmativi und negativi bezeichnet. Das Gleichheitszeichen = führte B. Becorde (1510—1558) in seiner Algebra „The wetstone of ivitte“, 1556, mit der Begründung ein, keine zwei Dinge könnten einander mehr gleichen als zwei parallele Strichelchen. Klammern brauchte B. Bombelli in seinem Werke „L’algebra“, Venedig 1572 und Bologna 1579, in der Form eines L und seines Spiegelbildes, alsdann in ihrer jetzt gebräuchlichen Form A. Girard (gestorben 1632) in seiner „Invention nouvelle en l’algebre“, Amsterdam 1629 (Neudruck Leiden 1884). Als Ausdruck der Multiplikation dient bei Girard das einfache Nebeneinanderstellen der Faktoren und als Ausdruck der Division der Bruchstrich. Ferner rührt von G.W. Leibniz (1646—1716) der Punkt als Zeichen der Multiplikation und der Doppelpunkt als Zeichen der Division her, und zwar kommt der Punkt gelegentlich vor ohne besondere Erklärung, dagegen der Doppelpunkt mit ausdrücklicher Erklärung in seiner „Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genusActa Eruditorum, Leipzig 1684, S. 467 u. f., abgedruckt in „Leibnizens mathematischen Schriften“, hrgg. von C. J. Gerhardt (1816—1899) in 7 Bänden, Berlin und Halle 1849—63, 5. Bd. S. 209 u. f., Neudruck in der Festschrift der Realschule I. 0. zu Leipzig, 1884, von C. F. Giesel (1826 —1892), deutsch von G. Kowalewski in Nr. 162 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1908. Die Zeichen )> und < für größer als und kleiner als hat Th. Harriot (1560—1621) in seinem nachgelassenen und 1631 gedruckten Buche „Artis analyticae praxis“ eingeführt. Das Wort nulla für die Null tritt in der „Arithmetica“ von P. Borgi, 1484, auf. — Diese Angaben sind in der Hauptsache entnommen aus M. Cantors „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“ (Leipzig, 1. Bd. 3. Aufl. 1907,

2. Bd. 2. Aufl. 1900, 3. Bd. 2. Aufl. 1901, 4. Bd. unter Mitwirkung zahlreicher Mathematiker 1908) und beziehen sich auf das, soviel man weiß, erstmalige Auftreten der jetzt gebräuchlichen Bezeichnungen, wobei noch anzumerken ist, daß diese Zeichen keineswegs ohne weiteres immer sofort allgemeine Aufnahme fanden.

Was die Null und Eins als Moduln der Addition und Multiplikation betrifft, so definiert II. Hankel a. a. 0. S. 23 allgemein den Modulus einer direkten (von ihm thetisch genannten) Operation @(a, b) als ein Objekt n, das, mit irgendeinem Objekte a durch die Operation G(a, n) verknüpft, stets a gibt: © (a, n) — a.

Bationale und irrationale Größen wurden schon von Pythagoras (um 500 v. Chr.) und Euklid (um 300 v. Chr.) unterschieden. Irrationale Strecken wurden als unaussprechlich (alogisch) bezeichnet, siehe 10. Buch,

5. —7. Erklärung, in Euklids „Stoicheia“ oder „Elementen“ (z. B. „Euclidis opera omnia“, hrgg. von J. L. Heiberg und H. Menge in 12 Bänden, die Elemente in den 5 ersten Bänden, Leipzig 1883—86, insbes. 3. Bd., oder die deutsche Übersetzung „Euklids Elemente“ von J. F. Lorenz, Halle 1781,

6.    Aufl. 1840). Bis ins 18. Jahrhundert hinein nannte man die irrationalen Zahlen quantitates surdae (taube Größen). Aber auch die Bezeichnung irrational kam schon frühzeitig vor, nämlich nach M. Cantor a. a. O. 2. Bd., S. 117, vielleicht zuerst in einer lateinischen Übersetzung eines arabischen Kommentars zum 10. Buche von Euklids „Elementendie Gerhard von Cremona gegen das Ende des 12. Jahrhunderts herstellte, alsdann in einer in Rom befindlichen Handschrift von Th. de Bradwardina (eigentlich Bredivardin, 1290?—1349): „Geometria speculativa“ von 1365.

Das Rechnen mit Dezimalbrüchen wurde durch Joh. Müller aus Königsberg im Koburgischen (genannt Begiomontanus, 1436—1476) gebräuchlich, der im Jahre 1467 Tafeln der Tangenten der Winkel von Grad zu Grad in Dezimalbrüchen berechnete (vielleicht 1475 zuerst gedruckt, dann 1490 in Augsburg unter dem Titel „Opus tabularum directio-num profectionumque“ von E. Batdolt gedruckt).

Die Ausdrucksweise überall dicht rührt von G. Cantor her: „Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten“, Math. Annalen 15. Bd. 1879 S. 1 u. f., insbes. S. 7.

2.    B. Dedehind stellte in seiner Schrift „Stetigkeit und irrationale ZahlenBraunschweig 1872, 2. Aufl. 1892, die im Texte benutzte Definition der irrationalen Zahlen durch das Schnittverfahren auf. Sie ist unabhängig davon, wie man die Zahlen formal darstellen will. Anders bei G. Cantor (Math. Annal. 5. Bd. 1872, S. 123 u. f.), E. Heine (1821—1881, Journ. f. Mathem. 74. Bd. 1877, S. 174 u. f.), K. Weierstraß (1815—1897, Berliner Vorlesungen von 1864 an) und Ch. Meray (1835—1911, „Nouveau precis d’analyse infinitesimale“, Paris 1892). Die Dedekindsche Theorie ist in viele Lehrbücher übergegangen. Eine kritische Vergleichung gab G. Cantor in den Math. Annal. 21. Bd. 1883, S. 545 u. f., insbes. S. 565 u. f. (4. Fortsetzung der bei Nr. 1 erwähnten Abhandlung, auch unter dem Titel: „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“, Leipzig 1883, gesondert erschienen). P. du Bois-Beymond (1831—1889) bestritt in dem 1. (einzigen) Teile seines Buches „Die allgemeine Funktionentheorie“, Tübingen 1882, die Möglichkeit und Notwendigkeit, die Theorie der Zahlen getrennt von der Theorie der geometrisch meßbaren Größen zu entwickeln. Siehe die geschichtlich-kritische Darstellung bei A. Prings-heim: „Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse“, Enzyklopädie der math. Wiss. I A 3, Leipzig 1898, S. 47 u. f.

3.    G. Cantor hat es wohl zuerst deutlich ausgesprochen, daß die Behauptung, jeder irrationalen Zahl sei eine Strecke der Meßgeraden zugeordnet, ein Axiom sei, siehe Math. Annal. 5. Bd. 1872, S. 123 u. f., insbes. S. 128. Nach B. Dedekind in seiner bei Nr. 1 genannten Schrift gibt erst dies gegenseitige Entsprechen dem Begriffe der Stetigkeit der Geraden einen Inhalt.

4.    Der absolute Betrag einer Zahl, namentlich der einer komplexen Zahl (vgl. Nr. 355), wurde zuerst von J. B. Argand (1768—1822) in den Annales de Mathem. 5. Bd. 1814, S. 197 u. f., insbes. S. 208, der Modul der Zahl genannt. Die Bezeichnungen absoluter Betrag und | a | wurden durch K. Weierstraß’ Vorlesungen in Berlin gebräuchlich.

5.    Zuerst scheint B. Bombelli das Wort Potenz (potenza) für Quadrate in seinem bei Nr. 1 erwähnten Buche angewandt zu haben. S. Stevin (1548 —1620) benutzte in seiner Schrift „L’arithmetique contenant les computations des nombres arithmetiques ou vulgaires: aussi l’algebre avec les equations des cinq quantitez“²) im Anschlüsse an Bombelli das Woit potence ebenso und bezeichnete überdies die dritte Potenz als potence cubique. Den Ausdruck exponens gebrauchte zuerst M. Stifel (1486 oder

1487—1567) in seiner „Arithmetica Integra“, Nürnberg 1544, zur Bezeichnung der Glieder einer arithmetischen Progression, denen die Glieder einer geometrischen Progression entsprechen, wie z. B. 1, 2, 3, . . . zu a, a², as, ... gehören. Alsdann kam dasselbe Wort bei CI. Fr. M. Dechales (1621—1678) in seinem „Cursus seu mundus mathematicus“, 3 Bände Lyon 1674, 4 Bände Lyon 1690, vor. Statt a, a²,... schrieb Dechales al, a2,.... B. Descartes da Perron (latinisiert Cartesius, 1596—1650) führte durch sein Buch „La geometrie“, Leiden 1637 (Neudruck Paris 1886, deutsch von L. Schlesinger Berlin 1894), die jetzt gebräuchlichen Bezeichnungen as, a⁴, .. . ein, während er statt a² stets aa schrieb, was bis ins neunzehnte Jahrhundert beibehalten wurde. Des Namens radix für die Quadratwurzel bediente sich Leonardo Pisano (Fibonaci) in seinem bei Nr. 1 genannten „Liber dbaci“, und eine italienische Handschrift des vierzehnten Jahrhunderts verwendet die Namen radice, radice cubo, radice di radice und radice relata für die zweite bis fünfte Wurzel. Chr. Budolff hat 1525 in Straßburg eine „Coss“ (d. h. eine Algebra, indem das italienische cosa = Ding, insbes. Unbekannte, in dieser Form ins Deutsche übernommen wurde) erscheinen lassen, worin zuerst das Wurzelzeichen in der Form y vorkommt. Was die Potenzen mit gebrochenen Exponenten betrifft, so ist es bemerkenswert, daß S. Stevin a. a. 0. schon weiß, daß f zur Kubikwurzel eines Quadrates gehört.

Potenzen und Wurzeln mit beliebigen rationalen Exponenten treten in dem Briefe von J. Newton (1643—1727) an Leibniz vom 13. Juni 1676 auf, siehe „Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern“, hrsg. von G. J. Gerhardt, 1. Bd. Berlin 1899, S. 181, auch in „J. Newtoni Opuscula mathematica, pliilosophica et philologica“, gesammelt und zum Teil ins Lateinische übersetzt von J. de Castilion (eigentlich Salvemini aus Castiglione, 1708—1791), 3 Bände Lausanne und Genf 1744, 1. Bd. S. 309.

6. Wir üben den Brauch, die Unbekannten und die Veränderlichen mit den letzten Buchstaben des Alphabets zu bezeichnen, nach dem Vorgänge von B. Descartes in seinem bei Nr. 5 genannten Buche „La geometrie“. Folgerichtiger als wir wandte er im Falle einer einzigen Unbekannten den Buchstaben z statt x an. Veränderliche Größen hießen früher unbestimmte, so z. B. bei Descartes quantites indeterminees, während der Marquis G. F. de VHospital (1661—1704) in seiner „Analyse des infi-niment petits, pour VIntelligence des lignes courbes“, Paris 1696 (weitere Auflagen 1716, 1720 und 1768), die Bezeichnung quantites variables im Gegensätze zu quantites constantes gebrauchte.

Im Jahre 1692 scheint Leibniz zuerst das Wort Funktion im mathematischen Sinne gebraucht zu haben, aber nur zur Bezeichnung gewisser veränderlicher Strecken, und zwar in der Abhandlung: „De linea ex lineis numero infmitis ordinatim ductis inter se concurrentibus form ata easque omnes tangente“ in den Leipziger Acta Eruditorum S. 168 u. f., insbes. S. 170 (in „Leibnizens math. Schriften“ 5. Bd. S. 266 u. f.), alsdann auch im Jahre 1694 in der Abhandlung: „Nova calculi differentialis applicatio et usus ad multiplicem linearum constructionem ex data tangen-tium conditione“, Acta Erud. 1694 (in „Leibnizens mathem. Schriften“, 5. Bd.

S. 301 u. f.) und in einem Briefe aus dem Jahre 1694 (siehe „Der Briefwechsel usw.“, 1. Bd. S. 740). In demselben Jahre bediente sich Jakob Bernoulli (1654—1705) des Wortes Funktion in demselben Sinne (in den

40

Sorret-Scheffers,Diff.-u. Integr.-Bechn. I. 6.u.7.Aufl.

Acta Erud., siehe „Jacobi Bernoulli Basileensis Opera“, 2 Bände Genf 1744,

1. Bd. S. 618). In einem 1698 an Leibniz gerichteten Briefe (siehe „Leib-nizens math. Schriften“, 3. Bd. S. 507) sprach Johann Bernoulli (1667 bis 1748, Bruder von Jakob Bern.) allgemeiner von irgendwelchen Funktionen der Ordinaten, und Leibniz antwortete, daß er das Wort in demselben Sinne gebrauche (ebenda S. 525). In demselben Jahre schlug ferner Joh. Bernoulli vor, eine Funktion von x mit X oder £ zu bezeichnen (ebenda S. 531), was Jjeibniz (ebenda S. 537) billigte, wenn er sich auch selbst anderer Zeichen bediente. Weiterhin sprach Jak. Bernoulli in den Acta Erud. desselben Jahres von Funktionslinien in der Abhandlung „Demonstratio synthetica problematis de infinitis cycloidibus etc.“ (in „Joh. Bernoulli Opera omnia“, 4 Bände Lausanne und Genf 1742, 1. Bd. S. 253 u. f., insbes. S. 255). öffentlich gebraucht wurde das Wort Funktion im allgemeinen mathematischen Sinne erst von Joh. Bernoulli im Jahre 1706 in einer lateinisch geschriebenen Abhandlung, die schon 1701 verschlossen der Pariser Akademie übergeben worden war, aber erst 1706 in den Mem. de l’Acad. des Sciences S. 235 u. f. veröffentlicht wurde, übersetzt in Joh. Bernoullis „Opera omnia“, 1. Bd. S. 424 u. f., unter dem Titel „Solution du pröbleme propose par M. Jacques Bernoulli . . . sur les isoperi-metres“, wo die Worte „fonctions quelconques de ces appliquees, exprimees par d’autres appliquees“ ohne weitere Erläuterung Vorkommen. Dagegen gibt Joh. Bernoulli in einer Abhandlung „Remarques sur ce qu’on a donne jusqu’ ici de Solutions des problemes sur les isoperimetres etc“, Mem. de l’Acad. des Sciences de Paris 1718, S. 100 u. f., abgedruckt in seinen „Opera omnia“, 2. Bd. S. 235 u. f., die Definition (S. 241 in den „Opera“): „On appelle ici Fonction d’une grandeur variable, une quantite composee de quelque maniere que ce soit de cette grandeur variable et de constantes“. Zwölf Jahre später spricht er auch von algebraischen und transzendenten Funktionen, siehe „Methode pour trouver les tautochrones, dans les milieux resistans comme le carre des vitesses“, Mem. de l’Acad. de Paris 1730, S. 78 u. f., „Opera omnia“, 3. Bd. S. 173 u. f., hier insbes. S. 174, jedoch braucht er die Bezeichnung transzendente Funktionen hier nur für Integrale von algebraischen Funktionen.

Die erste zusammenhängende Lehre von den Funktionen gab L. Euler (1707—1783) in seiner „Introductio in analysin inflnitorum“, 2 Bände Lausanne 1748, worin ganz im Sinne Joh. Bernoullis definiert wird (S. 4 des 1. Bandes): „Functio quantitatis variabilis, est expressio analytica quomodocunque composita ex illa quantitate variabili, et numeris seu quantitatibus constantibus“. Ebenda (Seite 5 bis 7) werden die Funktionen in algebraische und transzendente, dann die algebraischen in rationale und irrationale, ferner die rationalen in ganze (integrae) und gebrochene (fractae) eingeteilt. Überdies tritt dort der Begriff der entwickelten und unentwickelten Funktionen (functiones explicitae und implicitae) und der ein- und mehnvertigen Funktionen (uni- und multiformes) auf.

Man muß beachten, daß den Mathematikern jener Zeit als selbstverständlich erschien, daß jede Funktion als ein analytischer Ausdruck, wie wir heute sagen, darstellbar sei. Zu der Auffassung, auf der die Definition in Nr. 6 beruht, hat man sich erst nach langen Kämpfen durchgerungen. Den Anstoß gab die Beschäftigung mit Problemen der mathematischen Physik. Die Untersuchungen von J. le Bond d’Alembert (1717—1783), L. Euler und Daniel Bernoulli (1700—1782, Sohn von

Joh. Bern) über das Problem der schwingenden Saite führten zu einem heftigen Streite darüber, ob willkürlich gezogene Kurven als Bilder von Funktionen zuzulassen seien. Einen Fortschritt erkennt man darin, daß L. Euler in seinen „Institutiones calculi integralis“, 3 Bände Petersburg 1768—1770, 3. Bd. S. 39, von derartigen irregulären Funktionen spricht. Der junge J. L. Lagrange (1736—1813) bewirkte durch seine Untersuchungen über die Fortpflanzung des Schalles (von 1759 an) ein neues Auf leben des Streites. Volle Klarheit wurde erst durch die Arbeiten des Barons J. B. de Fourier (1768—1830) über die Wärmeleitung und Darstellung willkürlicher Funktionen durch trigonometrische Reihen (von 1807 an) und von P. G. Lejeune Dirichlet (1805—1859) gewonnen.

In seiner Abhandlung „ Über die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Kosinusreihen“ (Repertorium der Physik 1. Bd. 1837, S. 152 u. f., siehe auch „Gesammelte Werke“ 1. Bd. Berlin 1889, S. 133 u. f., oder die Ausgabe von H. Liebmann in Ostwalds Klassikern, Nr. 116, Leipzig 1900) definiert Dirichlet in § 1: „Man denke sich unter a und b zwei feste Werte und unter x eine veränderliche Größe, welche nach und nach alle zwischen a und b liegenden Werte annehmen soll. Entspricht nun jedem x ein einziges endliches y und zwar so, daß, während x das Intervall von a bis b stetig durchläuft, y = fix) sich ebenfalls allmählich verändert, so heißt y eine stetige oder kontinuierliche Funktion von x für dieses Intervall. Es ist dabei gar nicht nötig, daß y in diesem ganzen Intervalle nach demselben Gesetze von x abhängig sei, ja man braucht nicht einmal an eine durch mathematische Operationen ausdrück-bare Abhängigkeit zu denken.“ Sehen wir von der Stetigkeit ab, die für den Funktionsbegriff an sich nicht in Betracht kommt, so haben wir hier die Definition der Funktion in Nr. 6.

Man vergleiche zur Entwicklung des Funktionsbegriffes die Habilitationsschrift „Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe“', 1854, von B.Riemann (1826—1866), abgedruckt im 13. Bd. d. Abh.d. Ges. d.Wiss. zu Göttingen 1867, S. 87 u. f., siehe auch „Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlaß“, 2. Aufl. Leipzig 1892, S. 227 u. f., ferner M. Cantor, „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 3. u. 4. Bd., an verschiedenen Stellen, und A. Pringsheim, „Grundlagen der allgemeinen Funktionenlehre“, Enzyklopädie der math. Wiss. Bd. II A 1, Leipzig 1899, S. 1 u. f.

Was das Funktionszeichen betrifft, so ist das Wesentliche daran, daß zum Zeichen die unabhängige Veränderliche hinzugefügt wird. Dies geschieht in der Abhandlung von A. CI. Clairaut (1713—1765): „Solution de plusieurs problemes, oü il s’agit de trouver des courbes dont la propriete consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimee par une equation donnee“ (Histoire de l’Acad. de Paris, annee 1734, S. 196 u. f.), wo TTw eine Funktion von u bezeichnet, ferner in L. Eulers Abhandlung von demselben Jahre, die aber erst 1740 herauskam: „Additamentum ad dissertationem de infinitis curvis ejusdem generis“ (Commentarii Acad. Petropolitanae ad annos 1734 et 1735, 7. Bd. S. 184 der zweiten Paginierung), wo der Buchstabe f mit dem in Klammern dahinter gesetzten Zeichen der Veränderlichen gebraucht wird. Auch tritt cp(z) als Funktion einer Veränderlichen z auf in d’Alemberts „Recherches sur differens points importans du Systeme du monde“, 3 Bände Paris 1754—56, 1. Bd. S. 50.

7. Spuren der Koordinaten sind schon bei den Alten zu finden, aber die methodische Anwendung — zunächst nur in der Ebene — findet sich erst bei Descartes in seinem bei Nr. 5 genännten Buche „La geo-metrie“ von 1637, dem ersten Werke über die heutzutage sogenannte analytische Geometrie, für besondere Fälle auch bei P. de Fermat (1601 bis 1665). Das Wort Abszisse tritt zuerst bei St. degli Angeli (1623 bis 1697) auf {„Le infinitis parabolis“, 1654, und „Miscellaneum hyperboli-cum et parabolicum“, 1659). Die Ordinaten heißen bei Descartes die appliquees par ordre, in der lateinischen Ausgabe „Geometria a Benato Descartes anno 1637 Gallice edita“ von Fr. van Schooten (1615—1660), Amsterdam 1649, mit vielen Zusätzen in zwei Bänden 1659, die ordina-tim applicatae. Die römischen Feldmesser des Altertums nannten Scharen von Parallelgeraden lineae ordinatae, und die Wortverbindung ordinatim applicatae kommt schon bei J. Kepler (1571—1630) im Jahre 1615 vor {„Joannis Kepleri astronomi Opera omnia“, hrsg. von Chr. Frisch, 8 Bände Frankfurt 1858—1872, 4. Bd. S. 598).

8.    Leibniz und Joh. Bernoulli haben in ihrem Briefwechsel seit 1694 über die Potenzen mit veränderlichen Exponenten verhandelt, siehe „Leib-nizens math. Schriften3. Bd. S. 139, 201, 323 u. später. Nachdem Joh. Bernoulli derartige Größen zunächst perlcurrent genannt hatte, nahm er in seiner Abhandlung „Principia calculi exponentialium, seu percurrentium“, Acta Erud. 1697, S. 125 u. f., „Opera omnia“, 1. Bd. S. 179 u. f., die von Leibniz herrührende Bezeichnung Exponentialgrößen an.

9.    Das Zeichen n wurde zwar von W. Jones (1675—1749) in seiner „Synopsis palmariorum matheseos“, 1706, S. 243, 263 u. f., benutzt, aber gebräuchlich wurde es doch erst durch L. Euler, siehe seine Abhandlung „Variae observationes circa series infmitas“, Comment. Acad. Petrop. ad annum 1737, 9.Bd. Petersburg 1744, S.160 u. f., insbes. S.161, sowie seine bei Nr. 6 genannte „Introductio“, 1. Bd. S. 93: „pro quo numero, brevi-tatis ergo, scribam it, ita ut sit n = semicircumferentiae circuli, cujus radius = 1, seu n erit longitudo arcus 180 graduum“.

¹

Die fetten Zahlen bezeichnen die Nummern des Textes,

²

Unter diesen Gleichungen mit fünf Größen sind die Gleichungen vierten Grades verstanden, die ja geordnet fünf Summanden enthalten.

Bezüglich des philogischen Ursprunges des Namens Sinus (auB dem Indischen oder Arabischen durch Übertragung in das Lateinische) verweisen wir auf M. Cantor, „ Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 1. Bd. S. 658 u. 737. Dem 2. Bande dieses Werkes, S. 603 u. f., entnehmen wir noch folgende Angaben: Der Name Kosinus (gleich complementi sinus) rührt von E. Gunter (1581—1626) her. Die Namen Tangens und Secans traten zuerst in der „Geometria rotundi“ von Th. Finde (1561 bis 1656), Basel 1583, auf. Das Wort Trigonometrie scheint von B. Pitiscus (1561 —1613) erfunden zu sein, der zu den „Sphaericoi-um libri tres“, Heidelberg 1695, von A. Scultetus (1566—1625) einen Anhang „Trigono-metria, sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspieuus“ lieferte (später zu einem selbständigen Werke, Augsburg 1600, erweitert).

Unsere kurzen Bezeichnungen für die trigonometrischen Funktionen sind im wesentlichen von Euler eingeführt worden, wie überhaupt für die Gestaltung unserer Trigonometrie seine „Principes de la trigonometrie spherique tires de la methode des plus grands et plus petits“, Mem. de l’Acad. des Sciences, annee 1753, 9. Bd. Berlin 1755, S. 223 u. f., und seine „Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata“, Acta Acad. Petrop. pro anno 1779, pars prior, Petersburg 1782, S. 72 u. f. (Verdeutschungen beider Abhandlungen durch

E. Hammer, Ostwalds Klassiker Nr. 73, Leipzig 1896), grundlegend sind.

Ferner gebührt Euler das Verdienst, zuerst die trigonometrischen Größen nicht mehr geometrisch als Strecken, sondern als Verhältnisse und zwar als Funktionen des Winkels oder Arkus (d. h. des zugehörigen Bogens des Kreises vom Radius Eins) aufgefaßt zu haben. Hierfür kommen namentlich seine Abhandlung „Methodus facilis computandi angulorum sinus ac tangentes tarn naturales quam artificiales“, Comment. Acad. Petrop. ad annum 1739, 11.Bd. Petersburg 1750, S. 194 u. f., und seine „Introductio in analysin infinitorum“, 1. Bd., in Betracht.

Die Sinuskurve wurde zwar zum Zwecke der Flächenberechnung bei der gemeinen Zykloide (siehe Nr. 233) von G. Personier (lat. Personerius, jedoch meistens nach seinem Geburtsorte Boberval genannt, 1602—1675) ersonnen (siehe: „De trochoide ejusque spatio“, verfaßt um 1636 herum, abgedruckt in den Mem. de l’Acad. 6. Bd., Paris 1730, S. 295 u. f ). Aber ihre Gestalt war schon seit dem Altertum wohlbekannt, da sie z. B. aus einem unter 45° zur Achse geneigten elliptischen Schnitte eines Rotationszylinders bei der Abwicklung hervorgeht (vgl. G. Loria, „Le scienze esatte nell’ antica Grecia“ Mem. dell’ Accad. di Modena, 2. Serie, 11. Bd. 1893, Lib. 2, No. 67, Nota). Die Tangenskurve kommt vor in den „Lectiones mathematicaeLondon 1670, von J. Barrow (1630—1677), siehe „The mathematical ivorks“, Cambridge 1860, S. 250.

10.    L. Euler in der „Introductio“, 1. Bd. S. 10: „Si fuerit y functio quaecunque ipsius z; tum vicissim z erit functio ipsius y.“

11.    Über die Geschichte der Logarithmen siehe die Bemerkungen

bei Nr. 47.

13. Die Ausgestaltung des Grenzbegriffes verdankt man besonders A. Cauchy (1789—1857), siehe seinen „Cours d'analyse de l'ecole royale polytechnique. Fre Partie. Analyse algebrique“, Paris 1821 (auch „(Euvres completes“, 2. Serie, 3. Bd. Paris 1897, deutsch von G. Itzigsohn, Berlin 1885).

15. B. Simson (1687 — 1768) hat in seinem Werkchen „De limitibus quantitatum et rationum fragmentum“, das von den Grafen Stanhope in Glasgow 1776 unter den „Opera reliqua“ Simsons neu herausgegeben wurde, den Limesbegriff so eingeführt, wie ihn alsdann S. L’Huilier (1750—1840) in seiner „Exposition elementaire des principcs des calculs superieurs“, Berlin 1786, aufs Neue definiert hat. Wir führen aus der lateinischen Ausgabe des Buches von L’Huilier: „Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris“, Tübingen 1795, insbesondere die Definition der Grenzen bei wachsenden Werten der Veränder

; sed ita augeri poterit, ut major fiat quacunque quantitate data,

: haec prima quantitas data,

lichen auf S. 1 an: „Si quantitas mutabilis semper minor fuerit quantitate data

quae minor est prima quantitate data dicitur limes quantitatis mutabilis crescentis“. Von S. 11 an wird alsdann das Limeszeichen in der Form lim. benutzt. Jedoch erst durch A. Cauchy (a. a. 0. in den „(Euvres completes“, S. 26 u. f.) wurde das rjimeszeichen allgemein gebräuchlich.

17. Die Definition des Unendlichgroßen bei A. Cauchy, a. a. 0. in den „(Euvres completes“, S. 19. Vgl. auch B. Bolzano (1781—1848), „Paradoxien des Unendlichen“, hrgg. von Fr. Prihonsky, Leipzig 1851, S.28 u. f. (auch Mayer und Müllers Wissenschaftliche Klassiker in Faksimiledrücken, 2. Bd. Berlin 1889).

20. Über die Stetigkeit hat sich Leibniz 1687 in den von P. Bayle (1647—1706) herausgegebenen „Nouvelles de la republique des lettresS. 744 (siehe auch „Leibnizens math. Schriften“, 4. ßd. S. 93, oder den Abdruck in dem „Apergu historique sur Vorigine et le developpement des methodes en geometrie“ von M.Chasles — 1793 bis 1880 — Paris 1875, 3. unveränderte Aufl. 1889, S. 357), so geäußert: „Lorsque la difference de deux cas peut ctre diminuee au-dessous de tonte grandeur donnee, in datis, ou dans ce qui est posc, il faut qu'elle se puisse trouver aussi diminuee au-dessous de toute grandeur donnee in quaesitis, ou dans ce qui en resulte; ou, pour parier plus familieremcnt, lorsque les cas (ou ce qui est donne) s’approchent conti nuellement et se perdent en/in Tun dans Vautre, il faut que les suites, ou evenements (ou ce qui est demande), le fassent aussi.“ Hiermit stimmt A. Cauchys Definition in dem hei Nr. 13 genannten „Cours d’analysc“ („Oeuvres“ a. a. 0. S. 43) überein. Die scharfe Definition findet sich jedoch erst in der Abhandlung von B. Bolzano: „Bein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen je zwei Werten, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege“, Abh. d. Ges. der Wiss. Prag 1817 (auch Mayer und Müllers Wissenschaftliche Klassiker in Faksimiledrücken, 8. Bd. Berlin 1894, sowie die Ausgabe von JPh. Jourdain in Nr. 153 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1905). Hier heißt es auf S. 11, 12: „Nach einer richtigen Erklärung nämlich versteht man unter der Redensart, daß eine Funktion f(x) für alle Werte von x, die innerhalb oder außerhalb geivisser Grenzen liegen, nach dem Gesetze der Stetigkeit sich ändere, nur so viel, daß, wenn x irgendein solcher Wert ist, der Unterschied fix -f- cd) — f(x) kleiner als jede gegebene Größe gemacht werden könne, wenn man a> so klein, als man nur will, annehmen kann.“ Natürlich ist hier immer stillschweigend von den absoluten Beträgen die Rede.

21.    Satz 5 ist das Hauptthema von B. Bolzanos soeben genannter Schrift. Der im Texte gegebene Beweis rührt her von A. Cauchy {„Cours d’analyse usw.“, in den „CEuvres“ a. a. 0. S. 378 u. f.). Satz 6 und seine Ausdehnung auf Funktionen von mehreren Yeränderlichen wurde wohl zuerst von K. Weierstraß in seinen Berliner Vorlesungen bewiesen, vgl. hierzu H. A. Schwarz in den Monatsber. der Berliner Akad. 1870, S. 767 u. f. (abgedruckt in seinen „Gesammelten Abhandlungen“, 2 Bände Berlin 1890, 2. Bd. S. 144 u. f., insbes. S. 147). Veröffentlicht wurde ein Beweis des Satzes 6 vieleicht zuerst von F. du Bois-Reymond in seiner bei Nr. 2 genannten „Funktionentheorie“, S. 253.

22.    Zur Geschichte der Entwicklung des GrenzbegrifFes und der Stetigkeit überhaupt sehe man A. Fringsheim in der bei Nr. 2 genannten Abhandlung von S. 63 an und in der bei Nr. 6 genannten Abhandlung. Hier sei noch erwähnt, daß die Grundlagen der Lehre von den Funktionen zuerst von K. Weierstraß in seinen Berliner Vorlesungen von 1861 an mit einer bis dahin unbekannten Strenge systematisch entwickelt worden sind. Außerdem verweisen wir auf das verdienstvolle und inhaltreiche Werk von A. Genocchi (1817—1889): „Calcolo differenzialc e principii di calcolo integrale“, hrgg. von G. Peano, Turin 1884, deutsch von G. Bohlmann und A. Schepp unter dem Titel „Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung“, Leipzig 1899.

24. Ein Teil der Rechenregeln für den Limes findet sich schon in S. L’Huiliers bei Nr. 15 genannten Werke (lat. Ausgabe von S. 4 an).

27. Die Bezeichnung Ableitung oder Derivierte (functio derivata) hat ihre Wurzel in dem Worte derivare, das Leibniz in einem an H. Oldenburg (ca. 1615—1677) gerichteten und für J. Newton bestimmten Briefe vom 21. Juni 1677 (siehe „Der Briefwechsel usw.“, 1. Bd. S. 240 u. f., insbos. S. 243) gebrauchte. Es heißt dort: „Aequationem differentialem voco talem qua valor ipsius dx exprimitur, quaeque ex alia derivata est, qua valor ipsius x exprimebatur“.

Die Bezeichnung der Ableitung von f(x) mit f'(x) wurde durch J. L. Lagranges „Theorie des fonctions analytiques“, Paris 1797, 2. Aufl. 1813 (hier S. 18 u. f.) gebräuchlich.

In betreff der in Nr. 27 aufgestellten Forderung 21 sei bemerkt: Alle Versuche, zu beweisen, daß eine in einem Intervalle stetige Funktion daselbst, abgesehen von einzelnen Stellen, eine bestimmte endliche Ableitung habe, mißglückten. In seiner 1854 eingereichten Habilitationsschrift (siehe die Anmerkungen zu Nr. 6) stellte B. Riemann eine stetige Funktion fix) auf, die für keinen rationalen Wert von x eine Ableitung hat, wohl aber für jeden irrationalen (,,Gesammelte Werlce usw.“, 2. Aufl. S. 242 u. f.). Alsdann bildete K. Weierstraß eine stetige Funktion, die sogar nirgends eine Ableitung hat (in seinen Berliner Vorlesungen 1861, zuerst veröffentlicht von P. du Bois-Reymond im Journ. f. Math. 79. Bd. 1875, S. 29 u. f., siehe auch „K. Weierstraß mathematische Werlce“, Berlin, seit 1894, 2. Bd. S. 71, und die geometrische Betrachtung der Weierstraß-schen Funktion durch Chr.Wiener, 1826—1896, im Journ. f. Math. 90. Bd. 1881, S. 221 u. f.). Jetzt kann man beliebig viele derartige Funktionen hersteilen. Insbesondere sei noch genannt: JET. A. Schwarz, „Beispiel einer stetigen nicht differenzierbaren Funktion“, Verh. d. schweizerischen Naturf. Ges. 1873, S. 252 u. f. („Ges. math. Abhandlungen“, 2. Bd. S. 269 u. f.), und H. von Koch, „Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction geometrique elementaire“, Arkiv för Matematik, Astr. och Fysik, l.Bd. 1904, S. 681 u. f.

28. Unter dem Namen des Rolleschen Theorems kennt man den von M. Rolle (1652—1719) in seinem „Traite d’algebre“, Paris 1690, S. 125 u. f., aufgestellten, wenn auch nicht bewiesenen Satz. Rolle bedient sich dabei einer der Anschauung entlehnten Sprache, während wir seinen Satz heutzutage so formulieren können: Wenn cp(x) eine rationale ganze Funktion von x ist, die an den Grenzen xQ und X eines Intervalles den Wert Null annimmt, gibt es mindestens eine Stelle im Innern des Intervalles, an der die Ableitung q>'(x) den Wert Null hat. Die Funktion cp(x) braucht aber nicht rational und ganz, sondern nur stetig zu sein. Der Mittelwertsatz ist demnach eine übrigens naheliegende Verallgemeinerung des Satzes von Rolle. Man findet ihn in Lagranges „Theorie des fonctions analytique“ (in der’2. Auflage auf S. 65 u. f.: „ce iheoremc nouveau et remarquable par sa simplicite et sa generalite“, zugleich mit der Verallgemeinerung, siehe Satz 19, Nr. 112).

31.    Satz 10 in A. Cauchys „Legons sur le calcul differentiel“, Paris 1829, S. 37.

32.    Man datiert die Erfindung der Differentialrechnung und Integralrechnung, die man unter dem Namen der Infinitesimalrechnung zusammenfaßt, von J. Newton (1643—1727) und G.W. Leibniz (1646—1716). Eigentlich aber bewegten sich viele Bestrebungen der Mathematiker schon seit Beginn des 17. Jahrhunderts in derselben Richtung, so daß als Vorläufer von Newton und Leibniz namentlich zu nennen sind (— geordnet nach den Geburtsjahren —): J. Kepler (1571 — 1630), Gregorio a St. Vincentio (1584—1667), B. Descartes (1596 —1650), B. Cavalieri (1591 oder 1598 bis 1647), P. de Fermat (1602—1665), G. Personier (gen. Boberval, 1602—1675),

F. Torricelli (1608—1647), J. Wallis (1616—1703), B. F. de Sluse (1622 bis 1685), Bl. Pascal (1623—1662), J. Hudde (1628—1704), Chr. Huygens (1629 bis 1690), J.Barrow (1630—1677) und J. Gregory (1638—1675). Insbesondere beschäftigte man sich mit den folgenden vier Problemen und zwar teils in engerer, teils in allgemeiner Auffassung: erstens mit den Maximis und Minimis, zweitens mit der Bestimmung der Tangenten, drittens mit der Ermittlung von Flächeninhalten, Volumen und Bogenlängen, viertens endlich mit dem sogenannten umgekehrten Tangentenproblem, nämlich mit der Aufgabe, aus einer als bekannt angenommenen Eigenschaft der Tangenten einer Kurve diese Kurve selbst zu ermitteln. Alles dies sind Aufgaben, deren systematische Lösung später durch die Methoden der Infinitesimalrechnung gegeben wurde; zum Teil sind sie bloß geometrische Einkleidungen der Grundaufgaben der Differential- und Integralrechnung.

Über den Anteil, den Newton und Leibniz an der Erfindung der Differential- und Integralrechnung haben, entstand noch bei Lebzeiten beider ein häßlicher Streit, der nicht frei von politischen Beeinflussungen war. Daß eine wenige Jahre vor Leibnizens Tode von der Londoner Royal Society aufgestellte Behauptung, wonach Leibniz als ein Plagiator erschien, irrig und auf nicht einwandfreiemWege durch die dafür bestellte Kommission zustande gekommen war, steht namentlich infolge der gründlichen Quellenforschungen von C. J. Gerhardt fest, siehe seine Schriften: „Die Entdeckung der Differentialrechnung durch Leibniz“, Halle 1848, und „Die Entdeckung der höheren Analysis“, Halle 1855. Ygl. auch die ausführliche Darstellung in M. Cantors „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 3. Bd. 2. Aufl. Wir teilen hieraus das Endurteil (S. 328) mit: „Es ist heute anerkannt, daß schon im siebzehnten Jahrhunderte die Infinitesimalrechnung so weit vorbereitet war, daß ihr hauptsächlich eine einheitliche Sprache und eine Schrift fehlte. Beides hat Leibniz ihr selbständig gegeben, so wenig es ihm einfiel, in Abrede zu stellen, daß er auf den Schultern von Vorgängern stand, daß diese sich ausgiebig und erfolgreich mit Infinitesimalaufgaben beschäftigt hatten. Daß Newton nicht minder selbständig Ähnliches besaß, früher besaß als Leibniz, wird ebensowenig geleugnet werden, aber sein Wort Fluxion kam erstmalig 1687 in den „Prinzipien“, seine Bezeichnung, in der er lange schwankte, erstmalig 1693 durch Wallis an die Öffentlichkeit, während Leibnizens Abhandlung von 1684 schon als Markstein in der Geschichte der Mathematik vorhanden war.“ Die Schriften, auf die hier angespielt wird, nennen wir nachher. Die Bezeichnung Fluxion von Newton bedeutet im wesentlichen dasselbe wie die Ableitung einer Funktion, die ihrerseits Fluente heißt. Die Bezeichnungen Differential und Differentialquotient gehen auf Leibniz zurück. Auch rühren von ihm die treffenden Bezeichnungen dx, dy usw. für die Differentiale her.

Die Einsicht in Recht und Unrecht bei dem Prioritätsstreite wurde dadurch erschwert, daß dabei zum Teil Handschriftliches in Betracht kam, das erst viel später im Drucke veröffentlicht wurde, aber doch schon kurz nach seiner Niederschrift mehr oder weniger allgemein bekannt geworden war.

Newton scheute vor Veröffentlichung seiner Entdeckungen zurück, obgleich er sich schon seit etwa 1665 mit der Fluxionenrechnung beschäftigte. In seinem berühmten Hauptwerke „Philosophiae naturalis principia mathematica“, Amsterdam 1687, hat er es vermieden, die neue Methode zu benutzen, obgleich die meisten Ergebnisse darin durch die Fluxionenrechnung gefunden waren. Nur in einem Zusatze (dem Scho-lion nach Lemma II des 2. Buches) spricht er davon (wir geben die Übersetzung nach M. Cantor a. a. 0. S. 203): „In Briefen, welche ich vor etwa zehn Jahren mit dem sehr gelehrten Mathematiker G. W. Leibniz wechselte, zeigte ich demselben an, daß ich mich im Besitze einer Methode befände, nach ivelcher man Maxima und Minima bestimmen, Tangenten ziehen und ähnliche Aufgaben lösen könne, und zwar lasse sich dieselbe ebensogut auf irrationale wie rationale Größen dnwenden. Indem ich die Buchstaben der Worte (wenn eine Gleichung mit beliebig vielen Fluenten gegeben ist, die Fluxionen zu finden, und umgekehrt), welche meine Meinung aussprachen, versetzte, verbarg ich dieselbe. Der berühmte Mann antwortete mir darauf, er sei auf eine Methode derselben Art verfallen, die er mir mitteilte, und welche von meiner kaum weiter abwich als in der Form der Worte und Zeichen.“ Der noch vorhandene Brief von Newton an Leibniz, an die Mittelsperson H. Oldenburg gerichtet und vom 24. Okt. 1676 datiert (siehe „Der Briefwechsel usiv.“, 1. Bd. S. 203 u. f.), enthält in der Tat ein Anagramm, das gewiß seinen Zweck, Neivtons Methode zu verbergen, vollkommen erfüllte. In der zweiten Auflage der „Principia“ von 1714 erschien die zitierte Bemerkung mit einem kleinen Zusatze wieder, während sie in der dritten nach Leibnizens Tode erschienenen Auflage von 1726 durch eine ganz andere Bemerkung ersetzt wurde, in der der Name Leibniz gar nicht mehr vorkam.

Im Gegensätze zu Newton teilte Leibniz jenem sein eigenes Verfahren der Tangentenbestimmung offen in seinem an ihn durch Vermittelung von Oldenburg gerichteten Briefe vom 21. Juni 1677 mit (siehe Nr. 27). Im übrigen kommen für die Streitfrage namentlich in Betracht: Zunächst Newtons Erstlingsschrift „De analysi per aequationes numero terminorum infinitas“, vor 1669 verfaßt, gedruckt nach Newtons Tode in „Newtoni Opuscula“ (bei Nr. 6 erwähnt), 1. Bd. S. 3 u. f. Ferner die Abhandlung „Methodus fluxionum et serierum infinitarum“, die 1671 als Anhang zu einem fremden Werke erscheinen sollte, aber ebenfalls erst nach Newtons Tode in einer (vielleicht abgeänderten oder ergänzten) englischen Übersetzung, London 1736, besorgt von J. Colson (1680—1760), herauskam und von de Castillon in den genannten „Opuscula“, 1. Bd. S. 31 u. f., ins Lateinische zurückübersetzt wurde. Alsdann die Abhandlung „De quadratura curvarum“, die 1704 erschien (in den „Opuscida“ 1. Bd. S. 203 u. f., deutsch von G. Kowalewski als Nr. 164 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1908). Die erste Kenntnis von Newtons Fluxionenrechnung erhielten seine Zeitgenossen 1693 durch Auszüge aus Briefen, die Newton am 27. Aug. und 17. Sept. 1692 an J. Wallis gerichtet hatte. Diese Auszüge wurden von Wallis in der Ausgabe seiner eigenen „Opera mathematica“, 2. Bd. Oxford 1693, S. 391 u. f. veröffentlicht (siehe auch Newtons „Opuscula“, 1. Bd. S. 359 u. f.).

Von Leibniz wären eigentlich zahlreiche kurze Schriften in den Leipziger Acta Eruditorum zu erwähnen. Die wichtigste „Nova methodus pro maximis et minimis etc.“ wurde schon bei Nr. 1 ausführlich angegeben.

Dies ist die erste Veröffentlichung über die Differentialrechnung überhaupt, und darin treten schon die Differentialzeichen dx, dy usw. auf. Auch der Name Differentialrechnung kommt hier zuerst vor: „Ex cognito hoc velut Algoritmo¹), ut ita dicam, calculi hujus, quem voco differentialem, ..Dagegen tritt das Integralzeichen f im Drucke zuerst in Leibnizens Abhandlung „De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum“, Acta Erud. 1686 („Leibnizens math. Schriften“, 5. Bd. S. 226 u. f.), auf. Aus Handschriften von Lcibniz sieht man, daß er schon am 29. Okt. 1675 die neuen Zeichen d und f hatte (siehe „Der Briefwechsel usw.“, 1. Bd. S. 151 u. f., insbes. S. 154, 155): „Utile erit scribi f pro omn., ut J'l pro omn. I, id est summa ipsorum l“, sowie: „Nempe ut ,/’ augebit, ita d minuet dimensiones. f autem significat summam, d diffe-rcntiam“. Überhaupt hatte Leibniz ein besonderes Verständnis dafür, von welcher Wichtigkeit zweckmäßige Bezeichnungen sind. So sagt er gelegentlich in einem Briefe von 1678 an W. v. Tschirnhaus (1651—1708, siehe „Der Briefivechsel usw“, 1. Bd. S. 375): „In signis spectanda est com-moditas ad inveniendum, quae maxima est, quoties rei naturam intimam paucis exprimunt et velut pingunt, ita enim mirifice imminuitur cogitandi labor“. In der Tat sind es die von Leibniz herrührenden, heutzutage allgemein gebräuchlichen Bezeichnungen, die, wie er hier mit Recht sagt, die innerste Natur der Begriffe mit wenigem ausdrücken und daher die Denkarbeit außerordentlich verringern. Dagegen werden die Newtonschen Bezeichnungen nirgends mehr angewandt. Von den Abhandlungen von Leibniz ist eine Auswahl in deutscher Sprache von G. Kowaleicslci im 162. Bande von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1908, herausgegeben worden.

Die Zweckmäßigkeit des Leibnizisehen Algorithmus zeigt sich auch darin, daß er die schnellste Verbreitung fand und insbesondere die vielen neuen Ergebnisse zutage förderte, die wir den Brüdern Jakob und Johann Bernoulli verdanken.

Als das erste Lehrbuch der Differentialrechnung ist die bei Nr. 6 erwähnte „Analyse des infmiment petits etc.“ des Marquis de VHospital zu bezeichnen. De l’Hospital war ein Schüler von Leibniz; sein Buch dürfte manches Johann Bernoulli verdanken. Es erschöpft den Gegenstand durchaus nicht. Das erste umfassende Lehrbuch sind L. Eiders „Institutiones calculi differentialis cum ejus usu in analysi infinitorum ac doctrina serierum“, Petersburg 1755. Wir zitieren daraus künftig nach der Übersetzung „Leonhard Eulers vollständige Anleitung zur Differentialrechnung“ von J. A. Chr. Michelsen (1749—1797), in 3 Bänden, Berlin und Libau 1790—1793. Im übrigen sei noch auf den Bericht von

G. Bohlmann verwiesen: „Übersicht über die wichtigsten Lehrbücher der Infinitesimalrechnung von Euler bis auf die heutige Zeit“, Jahresber. der Deutschen Mathem.-Vereinigg. 6. Bd. 1899, S. 93 u. f.

33. Die Differentiation einer Funktion von einer Funktion kommt schon gelegentlich in Neivtons „Methodus fluxionum“ vor, siehe die „Opuscüla“, 1. Bd. S. 57 u. 58.

34—36, 38. Siehe Lcibnizens „Nova methodus etc.“ von 1684, insbes. zu Nr. 38 auch den bei Nr. 27 erwähnten Brief von 1677, vgl. „Der Briefwechsel usw.“, S. 242.

41. Die Regel des Satzes 21 in Worten in Eulers „Vollständiger Anleitung zur Differentialrechnung“, 1. Band, S. 146 (§ 170), allerdings nur für algebraische Funktionen, alsdann allgemein S. 183 (§ 213) und weiterhin. Über das Zeichen d statt d Näheres bei Nr. 64.

45. Die Formel

1-2-3

/ 1 \m 1

““(1 + m) =‘+T

war Daniel Bernoulli 1728 bekannt, siehe „Correspondance mathem. et phys. de quelques celebres geometres du XVIlle siecle“, hrgg. von P. II. Fuß, 2 Bände Petersburg 1843, 1. Bd. S. 246. L. Euler machte sie zur Grundlage der Theorie der Exponential- und logarithmischen Funktionen, siehe insbes. seine „Introductio“, 1. Bd. S. 85 u. f. Allerdings genügen seine Betrachtungen unseren Anforderungen an Strenge nicht mehr. Exakt bewiesen wurde die Formel z. B. von J. A. Grunert (1797—1872) im Archiv f. Math. 1. Bd. 1841, S. 204 u. f.

Die Bezeichnung e rührt von Euler her, siehe seine bei Nr. 9 genannte Abhandlung „Variae observationes circa series infinitas“, insbes. S. 187: „posito e pro numero cujus logarithmus hyperbolicus est 1“, sowie die „Introductio“, 1. Bd. S. 90: „Bonamus autem brevitatis gratia pro numero hoc 2,718281828159 etc. constanter litteram e“.

47. Älter als der Logarithmenbegrilf ist die charakteristische Beziehung, die zwischen den Numeris und ihren Logarithmen besteht: Bilden die Numeri eine geometrische Progression, so bilden die Logarithmen eine arithmetische. Schon N. Chuquet ordnete in seinem 1484 zu Lyon geschriebenen und abschriftlich weit verbreiteten, aber damals nicht gedruckten Rechenwerke „Le triparty en la Science des nombres“ (veröffentlicht mit einer Einleitung von A. Marre im Bulletino di Biblio-grafia etc., 13. Bd. 1880, S. 585 u. f.) die Glieder zweier derartiger Progressionen einander zu, und M. Stifel hob in seiner „Arithmetica integra Nürnberg 1544, den Nutzen dieses Entsprechen hervor. Das Verdienst, das eigentliche logarithmische Rechnen eingeführt zu haben, müssen wir aber dem Lord J. Neper (auch Napier, Napeir, Napair genannt, lat. Neperus, 1550—1617) zuschreiben. Auch rührt von ihm der Name Logarithmen her. Die erste Logarithmentafel ist in seiner „Logarithmorum canonis mirifici descriptio“, Edinburg 1614, enthalten. Über die Art, wie diese Tafel zustande gekommen war, gibt die früher verfaßte, aber erst nach Nepers Tode erschienene „Constructio“ von 1619 Auskunft. Nepers Gedankengang ist in unserer Ausdrucksweise etwa dieser: Eine Strecke von der Länge 10 000 000 wird von einem Punkte so durchlaufen, daß er in jeder Zeiteinheit ein Zehnmilliontel des noch zu erledigenden Weges zurücklegt. Bezeichnet x den nach y Zeiteinheiten noch übriggebliebenen Weg, so ist:

x = io⁷

Die Zahlen y heißen die Logarithmen der Zahlen x. Man sieht: Während y die zunehmende arithmetische Progression 1, 2, 3,... durchläuft, nimmt

x die Werte in einer gewissen abnehmenden geometrischen Progression an. Setzen wir

a,

so kommt:

1₀7    ₁₀7 »

d. h. die mit Zehnmillionen dividierten Zahlen x und y sind diejenigen, die wir die Numeri und Logarithmen mit der Basis a nennen. Da 107 sehr groß ist, wird a nach Nr. 46 nahezu gleich

lim (l-A)” m = + 00 \ mj

10⁷

¹⁰ oder

lim (l ——)

m = + oo\    *»/

Die Basis der Neper sehen Logarithmen ist somit nahezu gleich 1: e. In dem der „Constructio“ hinzugefügten „Appendix“ wird über den Fall gesprochen, wo die Zahl Eins den Logarithmus Null und die Zahl 10 oder 1:10 den Logarithmus Eins hat. Es werden jedoch keine derartigen Logarithmen wirklich berechnet. Dieser „Appendix“ dürfte das gemeinsame Eigentum von Neper und H. Briggs (1556—1630) sein. Weil Briggs 1617 oder 1618 die von ihm selbst berechnete „Logarithmorum chilias prima“ mit der Basis 10 in acht Dezimalstellen herausgab, ist er als der Erfinder der gewöhnlichen Logarithmen zu bezeichnen. Siebon Jahre später ließ er eine „Ariihmetica logarithmica“ mit den vierzehnstelligen gewöhnlichen Logarithmen der Zahlen von 1 bis 20 000 und von 90 000 bis 100 000 erscheinen. Frühzeitig trat die irrtümliche und bis in die Neuzeit erhaltene Meinung auf, daß Neper die Logarithmen mit der Basis e (statt mit der Basis 1: e) berechnet habe, so schon bei E. Halley (1656 bis 1742) in einer Abhandlung über die Logarithmenberechnung in den Philosophical Transactions 19. Bd. 1695, S. 58 u. f.

Andererseits hatte in Deutschland J. Bürgi (auch Burgi und Byrgi geschrieben, 1552—1632 oder 1633) und zwar vermutlich im ersten Jahrzehnte des 17. Jahrhunderts ein Tafelwerk berechnet, das aber erst 1620 in Prag gedruckt wurde: „Arithmetische und Geometrische Progreßtabulen, sambt gründlichen vnterricht, wie solche nützlich in allerley Bechnungen zu gebrauchen vnd verstanden werden sol“. Dies Tafelwerk ist in zwei Farben gedruckt, die schwarzen Zahlen bilden eine geometrische, die roten eine arithmetische Progression, und nach den roten ist die Tafel geordnet. Die roten Zahlen beginnen mit 0, 10, 20 usw., die schwarzen mit

100 000 000,    100 010 000,    100 020 001 usw.,

d. h. 10 ist die konstante Differenz und 1,0001 der konstante Quotient der ersten bzw. zweiten Progression. Nennen wir die rote Zahl x und die zugehörige schwarze Zahl y, so haben wir hier:

/    1 \¹⁰ r/ 1 \¹⁰⁴-1¹⁰⁵.

(‘ + iöO = 10 [(* + 1Ö<) ]

y — io⁸

Da der Inhalt der eckigen Klammer nahezu gleich der Zahl e ist, kommt also angenäkert: d. h. die mit 100 000 dividierten roten Zahlen von Bürgt sind nahezu die natürlichen Logarithmen seiner mit 100 OOOOOO dividierten schwarzen Zahlen.

Über die weitere Entwicklung der Logarithmentafeln siehe M. Cantor, „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 2. Bd. 2. Aufl. 74. Kap.

Der für die Differentialrechnung höchst wichtige Satz 25, nach dem die Ableitung des natürlichen Logarithmus von x gleich 1 : x ist, hängt eng mit der Bestimmung der Fläche der Hyperbel y — 1: x zusammen (vgl. Nr. 221), über die man sich schon vor Newton und Leibniz im klaren war (vgl. die geschichtlichen Anmerkungen zu Nr. 407 im 2. Bande). Newton weiß in seiner bei Nr. 32 genannten Abhandlung „Le analysi per aeguationes etc.“ sehr wohl, daß 1 : x mit der Hyperbelfläche zusammenhängt (siehe „Newtoni Opuscula“, 1. Bd. S. 6), behilft sich aber dennoch (ebenda S. 15) zum Ausdrucke der Fläche der Hyperbel

y == ai-. 64x (a — konst.)

mit dem besonderen Zeichen

64 x

und erwähnt den hier vorkommenden Logarithmus überhaupt gar nicht. Dagegen war es Leibniz schon frühzeitig geläufig, daß der natürliche Logarithmus von x die Ableitung 1: x hat. Man sieht dies aus seiner wiederholten Lösung des Problems von de Beaune: In einem Briefe hatte Fl. de Beamte (1601—1652) spätestens 1639 dem Descartes die Aufgabe gestellt, die Kurve zu finden, bei der sich die Ordinate zur Subtangente verhält wie eine gegebene Strecke zur Differenz von Ordinate und Abszisse. Die Bedeutung dieser Aufgabe, der ersten Aufgabe aus dem Gebiete der sogenannten umgekehrten Tangentenprobleme (vgl. die Bemerkungen zu Nr. 32), an der Leibniz die Tragweite seines Algorithmus zeigen konnte, wußte Lescartes wohl zu würdigen, wenn er sie auch nicht zu lösen vermochte (siehe seine Briefe von 1639 und 1641 an de Beaune, „Benati Lescartes Epistolae“, Amsterdam, 3. Teil 1668, S. 260 und S. 295). In einem für Newton bestimmten und an Oldenburg gerichteten Briefe vom 27. Aug. 1676 (siehe „Ler Briefwechsel usw“, 1. Bd. S. 193 u. f., insbes. S. 200) sagt Leibniz, er habe die Aufgabe innerhalb einer Stunde gelöst. In der Tat ist ein Schriftstück von ihm, datiert vom Juli 1676, vorhanden (ebenda S. 201 u. f.), worin er die Aufgabe behandelt hat. Es zeigt deutlich (auf S. 203), daß Leibniz damals schon wußte, daß 1 : x die Ableitung des Logarithmus von x ist. Übrigens ist er in seiner berühmten Abhandlung „Nova methodus pro maximis et minimis etc.“ von 1684 (siehe Nr. 1) am Schlüsse auf das Problem von de Beaune zurückgekommen. Dort nämlich bestimmt er die Kurve, deren Subtangente einen konstanten Wert a hat, wobei er die Ordinate w nennt und aus der Gleichung

to —

y = 10⁸e

IO⁵

oder

io⁶

dw

adx

schließt, daß, wenn die Ordinaten tv Numeri sind, die Abszissen x Logagarithmen sein müssen. Nebenbei bemerkt: In der Tat ist diese Aufgabe, falls die Koordinaten schiefwinklig sind, identisch mit der von de Beaune. Die Kurven von de Bemme haben nämlich eine Asymptote, und wenn man sie als axAchse wählt, kommt ihnen eine auf dieser Asymptote gelegene konstante Subtangente zu, sobald die Ordinaten mit der Asymptote einen Winkel von 45° bilden. Auf diesen zur Klärung der Sachlage doch wohl notwendigen Umstand weist M. Cuntor in seinen „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, soviel wir sehen, nicht hin. Weiteres über die Kurve von de Beaune findet man bei G. Loria, „Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven“, deutsch von F. Schütte, Leipzig 1902, S. 516 u. f. Wie gesagt, spielt das Problem von de Beaune in der Geschichte der Mathematik eine besondere Rolle, weil es das erste umgekehrte Tangentenproblem ist, an dem sich die überlegene Tragweite des .Let&wmschen Algorithmus zeigte.

Daß die Ableitung des Logarithmus der reziproke Wert des Numerus ist, hat Joh. Bernoulli vermutlich von Leibniz gelernt, siehe seine Abhandlung „Additamentum effectionis omnium quadraturarum et rectifica-tionum curvarum per seriem quandam generalissimam“, Acta Erud. 1694 („Opera“. 1. Bd. S. 125 u. f., insbes. S. 126.).

48—50. Allgemein hat schon Leibniz die Funktion u(x)v^ in den Acta Erud. 1695 differenziert, siehe „Leibnizens mathematische Schriften“, 5. Bd. S. 325. Siehe auch die bei Nr. 8 genannte Abhandlung von Joh. Bernoulli aus dem Jahre 1697.

51. Die aus der geometrischen Natur der trigonometrischen Kurven bekannten Differentiationsregeln für die goniometrischen Funktionen brachte B. Cotes (1682—1716) in seiner „Aestimatio errorum in mixta mathesi per variationes partium trianguli plani et sphaerici“, Cambridge 1722 aus dem Nachlasse gedruckt, auf ihre knappe Form.

56—58. Der Name und die allgemeine Theorie d&x Funktionaldeterminante rühren von C. G. J. Jacobi (1804—1851) her: „De determinan-tibus functionalibus“, Journal f. Math. 22. Bd. 1841, S. 319 u. f. (auch „Gesammelte Werke“, 7 Bände und Supplement, Berlin 1881—91, 3. Bd. S. 393 u. f., sowie deutsch von P. Stäckel in Nr. 78 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1896).

59. Differentiale von höherer Ordnung treten schon in Leibnizens „Nova methodus etc.“ von 1684 (siehe die Anm. zu 1) auf.

64. Die partielle Differentiation wurde von L. Euler in seiner „Vollständigen Anleitung zur Differentialrechnung“ im 1. Bande von S. 180 an (von § 208 an) behandelt. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung einer Funktion V von x und y bezeichnete er dort mit P und Q, dagegen die von P nach y bzw. von Q nach x mit

und

(dQ\

\dx)’ siehe S. 197, 198 (§ 231). S. F. Lacroix (1765—1843) verbreitet sich in seinem „Tratte du calcul differentiel et du calcul integral“ (in 2 Bänden, Paris an Y, VI, d. h. 1797, 98, 2. Aufl. in 3 Bänden 1810—1819, hier insbes. 1. Bd. S. 243 u. f.) ausführlich über die von verschiedenen Mathematikern gebrauchten Bezeichnungsarten, wobei er bemerkt, daß Lagrange für die Ableitungen, die wir heutzutage mit

dz dz    dsz    dtz

d*z

dx' dy' dx¹' dy*’ dxdy

bezeichnen, zuerst die Symbole

diz

dz    dz d*z diz

dx’ dy’ dx*’ dy*’ dxdy

und dann die Symbole oder auch gebraucht habe, wogegen er (Lacroix) im Hinblicke auf partielle Ableitungen von noch höherer Ordnung einwendet: „De quelle quantite de parentheses tres-resserrees ne faudrait-il pas charger les calculs, en suivant cette manche? Les accens, dont le nombre devient bientöt assez difficile ä saisir, sont-ils aussi commodes que les exposans de la caracteristique d? Enfin, quand on veut representer plusieurs fonctions ä-la-fois, ne faut-il pas introduire d’autres signes que la lettre f? II parait que cette derniere consideration a engage M. Lagrangc ä modifier de nouveau sa notation, en affectant aux coefficiens differentiels du premier et du second ordre de la fonction Z, dependante des trois variables x, y et z, les signes suivans:

(§)■ (f)’ (f).

(£)• (fy (£)• Q- (£)• (B

. . . Mais il faut surtout remarquer, que la quatrieme notation de M. Lagrange presente pour chaque coefficient differentiel le meme nombre de signes que celle d’Euler et celle de Waring, le premier analyste qui ait transporte en Angleterre le calcul des differentielles partielles. Voici un exemple de ces trois notations placees dans Vordre de leurs dates:

(4)- (4?)

Dans la seconde, qui est celle de Waring, les points adoptes par Newton et par tous des Geometres anglais, ont pris la place des d, dont s’est servi Leibnitz, et tous les Geometres du continent, sortis de son ecole“ (S. 245, 246). Lacroix bezieht sich hier auf die „Meditationes analyticae“, Cambridge 1776 u. später, von E. Waring (1734—1798). Im Jahre 1786 hat A. M. Legendre (1752—1833) in der Abhandlung „Sur la maniere de distinguer les maxima des minima dans le calcul des variations“, Mem. de l’Acad., annee 1786, Paris 1788, S. 7 u. f. (deutsch von P. Stäckel in Nr. 47 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1894, S. 57 u. f.), bei den partiellen Ableitungen das runde d statt des geraden d benutzt. Er blieb ohne Nachahmer, und es wurde in Frankreich Brauch (noch bis zur letzten Hälfte des 19. Jahrhunderts), die partiellen Ableitungen gerade so wie die gewöhnlichen zu schreiben. In Deutschland dagegen bürgerte sich die von C. G. J. Jacobi 1841 in seiner Abhandlung „De determinantibus functio-nalibus“ (S. 320 des Originals, S. 396 in den „Ges. WerkenS. 5 der Übersetzung, vgl. Anm. zu Nr. 56—58) von neuem eingeführte Schreibweise mit dem runden d schnell ein. Siehe auch seine „Dilucidationes de aequationum differentialium vulgarium systematis earumque connexione cum aequationibus differentialibus partialibus linearibus primi ordinis“, Journal f. Math. 23. Bd. 1842, S. 1 u. f. {„Ges. Werke“ 4. Bd. S. 147 u. f., insbes. S. 152). Diese Schreibweise ist jetzt allgemein gebräuchlich. A. Cauchy bezeichnete die partielle Ableitung einer Funktion u nach einer Veränderlichen x mit l)x {u), siehe seine „Exercices d'analyse et de physique maihematique“, 4 Bände Paris 1840—1847, 3. Bd. S. 16.

65. Der durch fxy = fyx ausgedrückte Satz tritt zuerst in L. Eulers Abhandlung „De infmitis curvis ejusdem generis. Seu methodus inveniendi aequationes pro infinitis curvis ejusdem generis“ auf (Comment. Acad. Petrop. ad annos 1734 et 1735, 7. Bd. Petersburg 1740, S. 174 u. f., insbes. S. 177). Sein Beweis in der „Vollständigen Anleitung zur Differentialrechnung“, 1. Bd. S. 193 u. f. (§ 226 u. f.), ist wie alle älteren Beweise rein formal und daher nicht stichhaltig. Die Voraussetzungen, infolge deren die Reihenfolge der partiellen Differentiationen einerlei ist, wurden zuerst von H. A. Schwarz streng untersucht, siehe „Über ein vollständiges System voneinander unabhängiger Voraussetzungen zum Beweise des Satzes

(> (df{x,y)\ d (df{x,y)\“

\ dx ) dx\ dy ) ¹

dy

Verhandlungen der schweizerischen Naturf. Gesellsch. 56. Bd. 1873, S. 259 u. f. (s. a. „Ges. mathem. Abhandlungen“, 2. Bd. S. 275 u. f.). Insbesondere zeigte er, daß es genügt, die Stetigkeit von fx, fy und fXy allein vorauszusetzen. Alsdann hat J. Thomae in seiner „Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale“, Halle 1875, S. 22, bewiesen, daß es ausreicht, nur die Stetigkeit von fx und fXy zu fordern. Schließlich hat U. Dini die Voraussetzungen noch weiter eingeschränkt in seinen „Lczioni di analisi infinitesimale“, 2 Bände Pisa 1877—78, 1. Bd. S. 122 u. f. Ältere Literatur findet man bei H. A. Schwarz a. a. 0. und eine zusammenfassende Darstellung hei 0. Stolz (1842—1905) in seinen „Grundzügen der Differential- und Integralrechnung“, 3 Bände, Leipzig 1893—99, 1. Bd. S. 146 u. f. Einen einfacheren Beweis des Satzes von Thomae gab A. Timpe, Math. Ann. 65. Bd. 1908, S. 310 u. f. In dem bei Nr. 22 erwähnten Werke von A. Genocchi und G. Beano findet sich auf S. 161 der Übersetzung das Beispiel

x² — y*

f— xy

x* + y*

einer Funktion, die an der Stelle x — 0, y = 0 zwar stetig ist, für die aber dort fxy — — 1 und fyx= -j- 1 ist. Die durch diese Funktion dargestellte Fläche ist als Gipsmodell im Verlage von M. Schilling in Leipzig erschienen.

77—80. Eine wesentliche Ergänzung dieser Betrachtungen stellen die Nrn. 697—702 des 3. Bandes dar, wo die Existenzbeweise für unentwickelte Funktionen und ihre Ableitungen gegeben werden. Hier kommt dagegen zunächst die Abhandlung von C. G J. Jacobi: „De determinan-tibus functionalibus“ (1841) in Betracht, die bei Nr. 56—58 angeführt wurde. Zur Vorgeschichte der Funktionaldeterminante (siehe Nr. 80) verweisen wir auf die Ausführungen von P. Stäckel, S. 60 und 61 der deutschen Ausgabe in Nr. 78 von Ostwalds Klassikern.

81. Satz 5 des Textes bei Jacobi a. a. 0., S. 340 des Originals, (S. 31 der Klassikerausgabe), wo auf die Analogie mit der Formel

dz dy dz dy dx~dx

hingewiesen wird, und Satz 6 des Textes ebenda S. 337 (bzw. S. 27), wo auf die Analogie mit Satz 18, Nr. 37, hingewiesen wird. J. Bertrand (1822—1900) hat für die Analogien in dem „Memoire sur le determinant d’un Systeme de fonctions“, J. de Math. p. et appl. 16. Bd. 1851, S. 212 u. f., als inneren Grund einen Satz mitgeteilt, der in seinem „Traite du calcul differentiel“, Paris 1864, S. 63, wiederkehrt, jedoch nicht richtig ist. Vgl. dazu das bei Nr. 22 genannte Werk von Genocchi und Peano, S. 329 der Übersetzung. Um die Analogien besser hervortreten zu lassen, hat W. F. Donkin die Funktionaldeterminante von n Funktionen yx, yt,... yn von n Veränderlichen xx, x₂, ... xn mit

g(yi, yt,---yn) d{x₁,xi,...xn)

bezeichnet, siehe „On a dass of differential equations, including tliose which occur in dynamical problems“, Philosophical Transactions 144. Bd. 1854, 1. Teil S. 71 u. f., insbes. S. 72.

86—88. Siehe L. Eulers „Vollständige Anleitung zur Differentialrechnung“, 1. Bd. S. 250 u. f. (§ 289 u. f.). Der Name Differentialgleichung (aequatio differentialis) rührt von Leibniz her, siehe die bei Nr. 27 angegebene Stelle seines Briefes von 1677.

91. Der Name der homogenen Funktionen wurde von Joh. Bernoulli in der Abhandlung „De integrationibus aequationum differentialium, ubi traditur methodi alicujus specimen integrandi sine praevia separatione in-determinatarumu eingeführt (Comment. Acad. Petrop. ad annum 1726, 1. Bd. S. 167 u. f., siehe auch „Opera“ 3. Bd. S. 108 u. f.): „p et q de-signant functiones rationales et homogeneas indeterminatarum x et y ut-cunque inter se complicatarum atque permixtarum, modo indeterminatae in singulis terminis eandem habeant exponentium summam, propter quod functiones, quae ita sunt comparatae, . . . voco homogeneas“ (S. 115 u. f. der „Opera“). Hier handelte es sich um rationale Funtionen. Dann heißt es bei L. Euler in der „Introductio in analysin infmitorum“, 1. Bd. 1748,

S. 64: „Natura functionum homogenearum quoque ad expressiones irrationales extenditur.“ Von transzendenten homogenen Funktionen ist hier noch nicht die Rede. Wohl aber tritt auf S. 65 das allgemeine Kennzeichen auf: „Si fuerit V functio homogenea n dimensionum ipsarum y et z, in eaque ponatur ubique y — uz, functio V abibit in productum ex potestate zn in functionem quandam variabilis u.“ Der Satz 9 des Textes findet sich für den Fall von zwei Veränderlichen in Eulers „Vollständiger Anleitung zur Differentialrechnung“, 1. Bd. S. 190 (§ 222).

98. Das Wort Parameter benutzte Leibniz ursprünglich nur für Konstanten, die in einer Gleichung zwischen Veränderlichen Vorkommen (in einer geschriebenen Arbeit „Compendium quadraturae arithmeticae“, siehe „Leibnizens mathem. Schriften“, 5. Bd. S. 103: „Parameter est recta constans aequaiionem ingrediens“). Beim Problem der Einhüllenden einer Kurvenschar (siehe Nr. 210—212), mit dem sich Leibniz in der bei Nr. 6 genannten Abhandlung „De linea ex lineis numero infinitis etc.“ beschäf-

41

Serret-Scheffers, Diff.- u. Integr.-Bechn. I. 6. u. 7. Aufl.

tigte, traten alsdann Parameter auf, die von Kurve zu Kurve andere Werte hatten, also veränderlich waren. Heutzutage braucht man das Wort Parameter teils für willkürliche Konstanten, teils für Hilfsveränderliche.

Yon L. Euler wurden Hilfsveränderliche bei der Betrachtung verschiedener besonderer Kurven in der „Indroductio in analysin infinitorum“ (1748) benutzt. Die allgemeine Parameterdarstellung wie unter (1) des Textes dürfte sich zuerst bei den Raumkurven und erst später bei den Kurven in der Ebene eigebürgert haben.

100.    A. M. Legendre in dem „Memoire sur l’integration de quelques equations aux derivees partielles“, Mem. de l’Acad., Paris 1787, S 309 u. f., insbes. S. 317. Auf die Bedeutung der Legendreschen Transformation wird in Nr. 890 des dritten Bandes eingegangen.

101.    Der Kunstausdruck konvergent wurde von J. Gregory in dem Werke „Vera circuli et hyperbolae quadratura“, Padua 1667 (abgedruckt im 2. Bande der „Opera varia“ von Chr. Huygens, 4 Bände, Leiden 1724), eingeführt. Es handelte sich da um die endlose Folge der Flächeninhalte der einem Kreise umschriebenen oder eingeschriebenen regelmäßigen Vielecke mit wachsenden Seitenzahlen, und schon in der Vorrede heißt es, es entstehe eine „series polygonorum convergens, cujus terminatio est circulus“. Im 17. und 18. Jahrhundert beschäftigte man sich vielfach mit einzelnen unendlichen Reihen; ab und zu wurde dabei ihre Konvergenz durch besondere Schlüsse bewiesen, aber es fehlte eine Definition der Konvergenz, und man hatte keine deutliche Vorstellung davon, daß man mit divergenten Reihen nicht rechnen darf. Niklaus Bernoulli (1687—1759), ein Neffe von Jakob und Johann Bernoulli, spricht z. B. in einem Briefe an Leibniz von 1713 (siehe „Leibnizens mathem. Schriften“, 3. Bd. S. 982 u. f.) von der Divergenz einer Reihe, ohne zu sagen, was er darunter versteht. In seiner Antwort vom selben Jahre (ebenda S. 985) braucht dagegen Leibniz die Bezeichnung advergente Reihe statt konvergenter Reihe und drückt sich schon ziemlich klar aus, indem er sagt: „Illud certum est, quoties quantitas est impossibilis, seriem non posse esse advergentem, seu talem, quae tamdiu continuari possit, ut a quantitate aliqua finita possibili differat quantitate minore quam sit data: alioquin enim utique possibili illi finitae aequabitur. Etsi autem non possit pro certo dici, vice versa seriem non advergentem exprimere quantitatem fini-tam impossibilem, cum fortasse infinitam exprimere possit.“ Unter einer quantitas impossibilis wird dabei eine imaginäre Größe verstanden. Niki. Bernoulli hatte nämlich von der Reihe

1-3-5

2"-T-6

x² +

xs

---= 1 -f- — x -f-

yi — x    ²

gesprochen, deren linke Seite fiir x )> 1 doch offenbar imaginär ist. (Dies ist die Binomialreihe (4) in Nr. 125 für n — — ^.) Im wesentlichen wird Leibniz eine Art von Definition wie in Nr. 101 vorgeschwebt haben. Euler dagegen stand auf dem Standpunkte, daß man mit Reihen immer rechnen dürfe, gleichviel, ob sie konvergieren oder divergieren: „Summa cujusque seriei est valor expressionis illius finitae, ex cujus evolutione illa series oritur“, siehe Eulers Brief von 1745 an Chr. Goldbach (1690 bis 1764) in der bei Nr. 45 genannten „Correspondance mathematique et phy-sique etc.“, 1. Bd. S. 323 u. f. Zu dem Einwande von Niki. Bernoulli, daß man nach dieser Definition auf verschiedenen Wegen zu verschiede-

nen Summen divergenter Reihen kommen könnte, bemerkte Euler: „ich glaube aber gewiß zu seyn, daß nimmer eben dieselbe series aus der Evolution zweyer wirklich verschiedener expressionum finitarum entstehen könne“. Man hat hierbei zu beachten, daß es sich für Euler immer nur um solche Reihen handelte, die durch bestimmte Rechenoperationen aus vorgelegten Funktionen hervorgingen. In seiner Abhandlung „De seriebus divergentibus“ (Novi Comment. Acad. Petropol. ad annum 1754,55, 5. Bd. Petersburg 1760, S. 205 u. f.) erklärte er im ersten Paragraphen konvergente Reihen als solche, deren Glieder fortwährend abnehmen und schließlich verschwinden. Daß dies nicht genügt, zeigt das in Nr. 108 nach Satz 4 gegebene Beispiel. Euler kommt weiterhin in derselben Arbeit auf seine obenerwähnte Erklärung über die Summe einer konvergenten oder divergenten Reihe zurück. Dagegen spricht sich G. Cramer (1704—1752) in seiner „Introduction ä Vanalyse des lignes courbes algebriques“, Genf 1750, S. 174, im wesentlichen wie Leibniz aus. — Bei dieser Gelegenheit machen wir auf It. Reiffs wertvolle „Geschichte der unendlichen Reihen“, Tübingen 1889, aufmerksam.

Die endlose geometrische Progression wurde zuerst von N. Mercator (eigentlich Kaufmann, gest. 1687, nicht zu verwechseln mit dem Kartographen G. Mercator, der von 1512 bis 1594 lebte) in seiner „Logarithmo-technia sive methodus construendi logarithmos nova, accurata et facilis“, London 1668, durch fortgesetzte Partialdivision 1 : (1 -)- a) gewonnen. Niki. Bernoulli bemerkt in einem Briefe von 1743 an Euler (siehe „Gor-respondance etc.“ von P. II. Fuß, 2. Bd. S. 701 u. f.), es wäre nicht etwa

rhc-¹ + x+x,+"

-1-^—l + x+rc'H-----1-    “

sondern:

— x

Es ist wohl ziemlich klar, was er damit gemeint hat.

102. Allgemeinere Kennzeichen der Konvergenz wurden im 18. Jahrhundert überhaupt nicht aufgestellt, abgesehen von dem Satz 9, Nr. 104, für Reihen mit abwechselnd positiven und negativen Gliedern, der von Leibniz herrührt, siehe die Anm. zu Nr. 104. Der Satz 2 des Textes findet sich vielmehr erst bei B. Bolzano in seiner hei Nr. 20 erwähnten Abhandlung von 1817: „Rein analytischer Beiveis des Lehrsatzes usiv.“, S. 32 (in Nr. 153 von Ostwalds Klassikern S. 19, 20): „Unter diesen (nämlich Reihen) ist besonders merkwürdig die Klasse derjenigen Reihen, welche die Eigenschaft besitzen, daß die Veränderung (Zu- oder Abnahme), welche ihr Wert durch eine auch noch so iveit getriebene Fortsetzung ihrer Glieder erleidet, immer kleiner verbleibt als eine gewisse Größe, die wieder selbst so klein, als man nur immer will, angenommen werden kann, wenn man die Reihe schon vorher tveit genug fortgesetzt hat“, ferner auf S. 35 (bzw. S. 21): „Lehrsatz. Wenn eine Reihe von Größen

n + 1

Ex, Ex, Ex, .., Ex, ... Ex

von der Beschaffenheit ist, daß der Unterschied zwischen ihrem

n    n + r

nten Gliede Ex und jedem späteren Ex,

41

sei dieses von jenem auch noch so weit entfernt, Meiner als jede gegebene Größe verbleibt, wenn man n groß genug angenommen hat: so gibt es jedesmal eine gewisse beständige Größe, und zwar nur eine, der sich die Glieder dieser Reihe immer mehr nähern und der sie so nahe kommen können, als man nur will, wenn man die Reihe weit genug fortsetzt.“

n

Hierbei bedeutet Fx dasselbe wie Sn im Texte.

Da die Abhandlung von B. Bolzano seinerzeit kaum bekannt wurde, schrieb man sonst das Merkmal A. Cauchy zu, der es im wesentlichen in der Tat auch aufstellte, aber erst 1821 im „Cours d’analyse de l’ecole polytechnique“ (vgl. Nr. 13, im Original S. 125, in den „(Eueres completes“ a. a. 0. S. 116).

103. Daß die Summe der sogenannten harmonischen Reihe

x A JL _

’ 2 ’    3 ’    4 ’

jede Zahl übersteigt, zeigte Jakob Bernoulli 1689 wie im Texte, siehe die „Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis eorumque summa finita“ („Jacobi Bernotdli Basileensis Opera“, Genf 1744, 1. Bd. S. 373 u. f.), insbes. S. 392, übersetzt von G. Kowalewski in Nr. 171 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1909, S. 17 u. f.). Er bemerkte dabei, daß sein Bruder Johann zuerst bewiesen habe, daß die Summe unendlich groß sei (siehe „De seriebus varia“ in Joh. Bernoullis „Opera“, 4. Bd. S. 1 u. f., insbes. S. 8).

104.    Satz 8 wurde von A. Cauchy 1821 aufgestellt und bewiesen in dem bei Nr. 13 erwähnten „Cours d'analyse etc.“, S. 142 („(Eueres“ a. a. 0. S. 129), dagegen Satz 9 schon 1714 von Leibniz in einem Briefe an Joh. Bernoulli, siehe „Leibnizens mathem. Schriften“, 3. Bd. S. 926.

Der Ausdruck unbedingt konvergent stammt von K. Weierstraß, Journal f. Math. 51. Bd. 1856, S. 41, nach der Vermutung von A. Prings-heim, dessen bei Nr. 2 erwähnten Bericht „Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse“ wir auch hier anführen, weil er eine zusammenfassende Darstellung des gegenwärtigen Standes der Lehre von der Konvergenz enthält.

105.    Nach E. Nettos Aufsatz „Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Reihen, Imaginäres“ im 4. Bande von M. Cantors „ Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, S. 275, findet sich der Satz 11 des Textes im wesentlichen schon bei E. Waring in seinen bei Nr. 64 genannten „Meditationes analyticae“ in der Ausgabe von 1781, ebenso die Feststellung, wann die Reihe des Beispiels konvergiert oder divergiert. Im übrigen schreibt man die Sätze dieser Nummer hauptsächlich A. Cauchy zu (siehe wieder den „Cours d’analyse etc.“, 6. Kap. „(Eueres“ a. a. 0. S. 114 u. f.).

108.    Die am Schlüsse aufgestellte Behauptung bewies B. Riemann 1854 in seiner bei Nr. 6 erwähnten Habilitationsschrift (siehe „Ges. Werke usw.“ 2. Aufi. S. 235).

109.    Satz 16 wurde zuerst ausdrücklich bewiesen von W. Scheibner (1826—1908), „Über unendliche Reihen und deren Konvergenz“, Gratulationsschrift Leipzig 1860, S. 11.

110.    Satz 17 bei A. Cauchy, „Cours d’analyse etc.“, S. 147 („(Eueres“ a. a. 0. S. 132 u. f.).

112. Nach einem Ausspruche von S. L’Huilier in seiner bei Nr. 15 erwähnten Schrift (S. 48 der lateinischen Ausgabe: „Theoremate, quod Taylorianum dicitur, . . .“) scheint es, daß die Bezeichnung der Reihe (5) als Taylorscher Reihe gegen Ende des 18. Jahrhunderts gebräuchlich war. Die Reihe steht in dem Werke von Br. Taylor (1685—1731): „Methodus incrementorum directa et inversa“, London 1715 (2. Aufl. mit bloß neuem Titelblatte 1717), auf S. 23 in der Form:

¹

Das Wort Algorithmus, das zu jenen Zeiten längst als Bezeichnung für besondere Rechnungsarten gebräuchlich war, ist durch Verstümmelung des Namens Alchwarizmi eines arabischen Mathematikers des 9. Jahrhunderts entstanden. Siehe M. Cantors „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 1. Bd. 3. Auf!., S. 714.

v²    •.

1 - 2 - 3z³

etc.

x+xü+xrw‘+ai

(Im Original der Druckfehler zs statt zs.) Dies soll der Wert sein, den eine Funktion x von z annimmt, wenn z um v wächst. Die Newtonschen Fluxionssymbole

T'

sind in der Tat nichts anderes als die Ableitungen x, x \ x ",.. . von x nach z. Abgeleitet hat Taylor die Formel dadurch, daß er die Gleichung

n{n— 1)

f(z -\-ndz) = f(z) -f y df(z) -f

worin df{z), d^ffz), . . . dnf(z) die Differenzen erster, zweiter usw. bis nicr Ordnung von f(z) bei Annahme des Inkrementes dz von z bedeuten (vgl. Nr. 63), auf den Fall limM = oo ausdehnte, wobei \\vandz = v eine endliche Größe bleibt, indem dz nach Null strebt.

Anwendungen von der Reihe hat Taylor in seinem Werke nicht gemacht, und natürlich hat er auch keinerlei Bedenken gegen die Ausdehnung der Reihe bis ins Unendliche geäußert.

Im Grunde genommen steckt die Taylorsche 'Reihe schon in der Entwicklung, die Jöh. BernoulU 1694 in seinem bei Nr. 47 genannten „Additamentum etc.“ für ein Integral gegeben hat und die in Br. Taylors „Methodus incrementorum“ auf S. 38 mit einer allerdings etwas besseren Herleitung wiederkehrt. Auf den gegen ihn in den Acta Erud. 1721 gemachten Vorwurf („M. Johannis Burcardi, Basileensis, epistola ad virum clarissimum Brook Taylor“, S. 195 u. f., in Joh. Bernoullis „Opera“ 2. Bd., S. 483 u. f.), hier Joh. Bernoulli nicht genannt zu haben, hat Taylor in der Acta Erud. 1722 S. 45 (abgedruckt in Joh. Bernoullis „Opera“, 2. Bd. S. 516) nur kurz und ausweichend geantwortet.

Was das Restglied betrifft, so sei zunächst bemerkt, daß Euler es die Mantisse nennt (in seiner bei Nr. 101 genannten Abhandlung „Be seriebus divergentibus“), ferner, daß L. Lagrange, als er das Restglied in seiner „Theorie des fonctions analytiques“ (siehe die Anm. zu Nr. 27) aufstellte, es keineswegs zur Konvergenzuntersuchung (vgl. Satz 20) haben wollte, sondern nur, um eine Schranke für den Restbetrag zu bekommen: „Mais pour notre objet, il importe moins de connaitre les restes exacts de la serie developpee jusqu’ä un terme quelconque, que d’avoir des limites de ces restes pour pouvoir apprecier Vcrreur qu'on peilt commettre en ne tenant compte que de quelques-uns des premier termes“ (2. Auflage 1813, S. 63). In der Tat ist dies bei den praktischen Anwendungen zumeist der einzige Zweck der Betrachtung des Restgliedes. Darauf hat neuerdings wiederholt F. Klein hingewiesen, z. B. in „Anwendung der Biffe-rential- und Integralrechnung auf Geometrie, eine Revision der Prinzipien“, autograph. Vorlesung, ausgearb. von C. Müller, Leipzig 1902, S. 109 u. f. Das Restglied (4) steht bei Lagrange in der 2. Aufl. von 1813 auf S. 67 u. f. Er hat es auf anderem Wege als im Texte, nämlich mittels Integration gefunden, während A. M. Ampere (1755—1836) es in seinen „Legons sur le calcul des fonctions“ (Journal de l’ecole polytechnique cah. 12, 1806, S. 148 u. f.) als eine Folge der Mittelwertsätze erhielt.

113.    Siehe A. Cauchys „Resume des legons donnees ä l’ecole royale polytechnique sur le calcul infinitesimal“, 1. Bd. Paris 1823, S. 147 u. f. und „Exercices de mathematiques“, 5 Bände Paris 1826—1830, 1. Bd. S. 27.

114.    Vgl. hierzu die über Br. Taylors Verfahren bei Nr. 112 gemachten Bemerkungen.

115. Das Beispiel e

benutzte schon A. Cauchy in dem soeben genannten „Resume etc.“ S. 152, um zu zeigen, daß es nicht genügt, bloß die Konvergenz der Taylorschen Reihe festzustellen.

116.    C. Maclaurin (1698—1746) leitete in seinem Buche „A treatise of fluxions“, Edinburg 1742, S. 610 u. f., die nach ihm benannte Reihe einfach dadurch ab, daß er F{x) gleich einer nach steigenden ganzen positiven Potenzen von x fortschreitenden Reihe setzte, sie wiederholt differenzierte und alsdann mittels der Annahme x — 0 aus den gewonnenen Reihen die Koeffizientenwerte ermittelte. Er erklärte selbst, daß sich seine Reihe schon in Br. Taylors „Methodus incrementorum“, siehe Nr. 112, finde.

117.    Die Exponentialreihe wurde von J. Newton in der bei Nr. 32 genannten Abhandlung „De analysi per aequationes etc.“ Neivtoni Opuscula“, 1. Bd. S. 20 u. f.) aufgestellt. Daß sie für jedes x konvergiert, hob L. Euler in der Schrift „De la controverse entre Mrs. Leibnitz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres negatifs et imaginaires“ hervor (Mem. de l’Acad. de Berlin, annde 1749, 5. Bd. Berlin 1751, S. 139 u. f., insbes. S. 150).

Transzendenz von e und n“, Math. Ann. 43. Bd. 1893, S. 222 u. f.) 110. Auch die Reihen für sin x und cos x wurden von J. Newton in der Abhandlung „De analysi per aequationes etc.“, siehe „Newtoni Opuscula“, 1. Bd. S. 19, 20, gefunden.

120. Die Reihe für ln (1 -(- £c) findet sich zuerst in N. Mercators

118. Siehe J. Liouville (1809—1882) im Journal de mathem. 5. Bd. (1840), S. 192 u. f. Daß die Zahl e sogar transzendent, d. h. keine Wurzel einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist, bewies Ch. Hermite (1822—1901), siehe „Sur la fonction exponentielle“, Comptes Rendus 77. Bd. 1873, S. 18 u. f., 74 u. f., 226 u. f., 285 u. f. (auch als besondere Schrift Paris 1874). Daran anschließend bewies alsdann F. Lindemann die Transzendenz der Zahl je und damit auch die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises, siehe „Über die Zähl n“, Math. Ann. 20. Bd. 1882, S. 213 u. f. Weiterhin gab D. Hilbert Vereinfachungen in der Abhandlung „Über die Transzendenz der Zahlen e und n“, Göttinger Nachr. 1893, S. 113 u. f., auch Math. Ann. 43. Bd. 1893, S. 216 u. f. Ganz elementar wurden die Beweise schließlich gestaltet durch A. Hurwitz („Beweis der Transzendenz der Zahl e“, Göttinger Nachr. 1893, S. 153 u. f., auch Math. Ann. 43. Bd. 1893, S. 220 u. f.) und durch P. Gordan (1837 bis 1912

„Logarithmotechnia“ von 1668 (siehe die Bemerkungen zu Nr. 101), wo sie durch Integralbetrachtungen gewonnen wird, elementar abgeleitet dagegen von E. Halley in den Philosophical Transactions von 1695, siehe die Anm. zu Nr. 47.

122. Der Name Modul rührt von B. Cotes her, der ihn 1712 in einem Briefe an J. Newton benutzte (siehe J. Edleston, „Correspondence of Sir lsaac Neivton and Professor Cotes“, London 1850, S. 117) sowie in seiner „Logometria“ in den Philosophical Transactions 29. Bd. 1714, S. 5 u. f. Der Begriff des Moduls war allerdings damals schon nicht mehr neu.

125, 126. Die Binomialformet (a-\-b)m für ganzes positives m scheint schon M. Stifel 1544 bekannt gewesen zu sein, siehe M. Cantor, „Vorlesungen über Geschichte der Mathem.“ 2. Bd. 2. Auü. 1899, S. 433. Wenigstens kannte er schon die Binomialkoeffizienten („Arithmetica Integra“, Nürnberg 1544, fol. 44b), die er mit Hilfe einer Rekursionsformel ermittelte. Die unbegrenzte Binomialreihe für nicht ganzzahlige Exponenten gab zuerst Newton in der wiederholt genannten Abhandlung „De analysi per aequationes etc.“, vgl. auch seine bei Nr. 5 und 32 erwähnten Briefe an H. Oldenburg von 1676. Von Newton rührt auch die independente Darstellung der Binomialkoeffizienten (im 2. Briefe) her. Ohne Beweis wandte er die Reihe auch für beliebige reelle Exponenten an. Den ersten Beweis für die Binomialreihe gab Euler: „Demonstratio theorematis Newtoniani de evolutione potestatum binomii pro casibus quibus exponentes non sunt numeri integri“, Nov. Comment. Pe-trop. 19. Bd., ad annum 1774, Petersburg 1775, S. 103 u. f. Doch fehlte noch die vollständige Untersuchung der Gültigkeit der Reihe für (1 -\-x)m im Falle \x\ = 1. Erst N. H. Abel (1802—1829) bestimmte in seiner berühmten Abhandlung „Untersuchungen über die Beihe

m(m — 1)

x* 4-

m (in — 1) (in — 2)

xs -)----“

! + Ya3 +

im Journal f. Mathem. 1. Bd. 1826, S. 31 u. f. (siehe auch die Übersetzung in den „(Euvres completes“, 2 Bände, Christiania 1881, 1. Bd. S. 219 u. f., sowie Nr. 7t von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1895, hrsg. von A. Wangerin), die Summe der Reihe für alle diejenigen reellen und imaginären Werte von x und m, für die sie konvergiert.

129. Die Vorschrift zur Behandlung eines Bruches für solche Werte der Veränderlichen, für die Zähler und Nenner verschwinden, tritt öffentlich zuerst 1696 in der bei Nr. 6 genannten „Analyse des infiniment petits etc.“ von G. F. de l’Hospital auf, S. 145 u. f. Diese Vorschrift hat aber Joh. BernouTli im Jahre 1694 auf ausdrückliches Verlangen an de THospital mitgeteilt (siehe M. Cantor, „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“, 3. Bd., S. V des Vorwortes). Deshalb nahm auch Joh. Ber-noulli die Regel für sich in Anspruch, siehe „Joh. BernouTli perfectio re-gulae suae edita in libro Gail. Analyse des infiniment petits, Art. 163, pro determinando valore fractionis, cujus numerator et denominator certo casu evanescunt“, Acta Erud. 1704, S. 375 u. f. („Opera“, 1. Bd. S. 401 u. f., insbes. S. 403). Die Vorschrift wurde aus der geometrischen Betrachtung gewonnen.

136. Vgl. die Anmerkungen zu Nr. 45 und 117. Siehe auch A. Cauchy in dem bei Nr. 113 genannten „Bcsume etc.“, S. 2 u. f.

1-2-3

137. Die Verallgemeinerung der Taylor sehen Reihe für den Fall von mehreren Veränderlichen gab zuerst Gr. Fontana (1735—1803) in einem Zusatze zu den „Principj fondamentali del calcolo differenziale e integrale appoggiati alla dottrina de’ limitiPavia 1788, von A. L. Lotteri (1760 bis 1839).

140. Maximal- und Minimalaufgaben waren im Altertume nur spärlich behandelt worden, so von Euklid (um 300 vor Chr.), siehe die Bemerkung zu Nr. 141, von Apollonius von Pergae (etwa 250—190 vor Chr.), Zenodorus (zwischen 200 vor Chr. und 90 nach Chr.) und Pappus von Alexandria (etwa 300 nach Chr.), ebenso spärlich im Mittelalter, nämlich von Joh. Müller (Regiomontanus, vgl. Nr. 1), von N. Tartaglia (1500? bis 1557) und H. Cardano (1501—1576).

Daß eine Funktion f{x) nur für solche Werte von x einen Extremwert haben kann, für die f'{x) — 0 ist, dürfte schon J. Kepler in seiner „Stereometria doliorum“, Linz 1615, erkannt haben, wenn er natürlich auch noch nicht diesen Ausdruck dafür hatte. Er sagt (siehe „Opera omnia“, bei Nr. 7 genannt, 4. Bd. S. 634): „In iis vero articulis, in quibus a minori ad maximum iterumque ad minus fit mutatio, lege aliqua circuli, semper est aliquousque insensibilis illa differentia.“ In dem Buche Keplers wird der Nachweis geführt, daß die in Österreich gebräuchliche Gestalt des Weinfasses die zweckmäßigste ist, weil sie bei Verbrauch der geringsten Menge von Faßholz den größten Inhalt faßt. Dabei werden eine Menge von Betrachtungen über besondere Fälle des Maximums oder Minimums angestellt. Alsdann ist namentlich P. de Fermat zu nennen, der in einem 1638 an R. Descartes geschickten Schriftstücke, vermutlich „Methodus ad disquirendum maximum et minimum“ (aufgenommen in den „Varia opera mathematica D. Petri de Fermat“, Toulouse 1679, S. 63 u. f., siehe „GEuvres“, 3 Bände Paris 1891—96, 1. Bd. S. 133 u. f.), eine ausführliche Vorschrift zur Bestimmung derjenigen Stellen gab, wo eine Funktion ein Maximum oder Minimum haben kann. Diese Vorschrift ist im Grunde genommen nichts anderes als die Bestimmung derjenigen Werte der Veränderlichen, für die die Ableitung verschwindet. Aber Fermat gab keinen Beweis; ebensowenig war die Rede von der Frage, ob wirklich da, wo die Ableitung verschwindet, ein Maximum oder ein Minimum eintritt. Außerdem bezog sich die Vorschrift nur auf rationale Funktionen.

141.    Das erste Beispiel dieser Nummer ist die älteste bekannte Aufgabe über Extremiverte. Sie findet sich in geometrischer Einkleidung in Euklids „Elementen“ (Satz 27 des 6. Buches, siehe z. B. die bei Nr. 1 genannte Übersetzung von Lorenz, S. 125).

142.    War es nach dem bei Nr. 140 Gesagten schon bei der Erfindung der Differentialrechnung einigermaßen selbstverständlich, daß f'(x₀) = 0 eine erste notwendige Bedingung für ein Maximum oder Minimum der Funktion f(x) an der Stelle x₀ ist, so wurde auch die Untersuchung der drei möglichen Fälle, nämlich eines Maximums oder eines Minimums oder keines Extremwertes überhaupt, alsbald von Leibniz in seiner wiederholt erwähnten „Nova methodus etc.“ von 1684 gegeben (siehe die Klassiker-Ausgabe S. 4 u. 5). Die allgemeine Unterscheidungsregel in Satz 1 kommt zuerst in C. Maclaurins „Treatise of fluxions“ von 1742 (siehe Nr. 116) auf S. 226 u. S. 659 vor.

145. P. de Fermat wollte mit der geometrischen Lösung dieses

Problems, also durch das sogenannte Prinzip der schnellsten Ankunft, 1662 das von W. Snellius (1581?—1626) aufgestellte Lichtbrechungsgesetz begründen (siehe „B. Descartes Epistolae“, 3. Teil S. 147, und „Varia opera mathematica D. Petri de Fermat“, Toulouse 1679, S. 166 u. f.). Dieselbe geometrische Aufgabe erwähnte Leibniz in seiner in „Leibnizens matliem. Schriften“ fehlenden Abhandlung „Unicum opticae, catoptricae et dioptricae principium“, Acta Erud. 1682, S. 185 u. f. Hier ist die erste Stelle, wo sich Leibniz öffentlich auf ein in seinem Besitze befindliches Verfahren zur Bestimmung der Maxima und Minima beruft ex mea methodo de maximis et minimis“). In seiner „Nova methodus etc.“ von 1684 kehrt die Aufgabe wieder, hier zugleich mit ihrer Lösung mittels der Differentialrechnung (in der Klassikerausgabe S. 9 u. f.).

158. Das erste bekannte Beispiel für Maxima und Minima von Funktionen von «Veränderlichen findet sich in einer Notiz von Chr. Huy-gens („(Euvres completes“, 12 Bände, im Haag 1888—1910, 8. Bd. S. 80) aus dem Jahre 1675 über das größte «-Eck mit gegebenen Seitenlängen. Alsdann ist C. Maclaurin mit einem Briefe von 1729 (Philos. Transactions 36. Bd., 'S. 59 u. f.) zu nennen, worin es sich darum handelt, eine Größe in « Teile so zu zerlegen, daß das Produkt aller Teile am größten wird. Siehe ferner L. Euler, „Vollständige Anleitung zur Differentialrechnung“,

3. Bd. S. 69 u. f. (§ 286 u. f.).

154.    Die Umformung (9) des Restes zuerst bei L. Lagrange in den „Becherches sur la methode de maximis et minimisMiscellanea Taurinensia 1. Bd. 1759 (siehe auch „(Euvres completes“, 14 Bände Paris 1867—82, 1. Bd. S. 3 u. f., insbes. S. 7), ferner vgl. auch seine „Theorie des fonc-tions analytiques“, S. 263 u. f.

155.    Das Peanosche Beispiel findet sich in der Übersetzung von A. Genocchis bei Nr. 21 genannten Werke auf S. 332. Zur selben Zeit wie Peano hatte L. Scheeffer (1859—85) das Unzulängliche der bisherigen Theorien über Extremwerte von Funktionen von mehr als einer Veränderlichen erkannt. Siehe: „Über die Bedeutung der Begriffe Maximum und Minimum in der Variationsrechnung“, Leipziger Berichte 1885, S. 92 u. f., und „Theorie der Maxima und Minima einer Funktion von zivei Veränderlichen“, ebenda 1886, S. 102 (beide Abhandlungen abgedruckt in den Math. Ann. 26. Bd. 1885, S. 197 u. f., und 35. Bd. 1890, S. 541 u. f.). Die zweite durch A. Mayer (1839—1908) aus dem Nachlasse veröffentlichte Arbeit gab zum ersten Male eine erschöpfende Theorie im Falle von zwei Veränderlichen.

156.    157. Die Frage, wann eine quadratische homogene rationale Funktion definit, semidefinit oder indefinit sei, wurde von L. Lagrange (vgl. Nr. 154) und von A. Cauchy in seinem bei Nr. 113 erwähnten „Besume etc.“ auf S. 61 u. f. behandelt und von J. Sylvester (1814 bis 1897) im allgemeinen Falle beantwortet (Philos. Transactions 143. Bd. 1853, S. 481). Ferner sind zu nennen F. Bichelot (1808—1875) in den Astron. Nachrichten 48. Bd. 1858, S. 273, F. Brioschi (1824—1897) in den Annali di Matern. 1. Serie 2. Bd. 1859, S. 61, 0. Stolz, Wiener Sitzungsberichte 68. Bd. 1868, S. 1063, sowie L. Scheeffer, vgl. die vorhergehende Anm.

163. Diese Aufgabe zuerst in B. Cavalieris ,,Exercitationes geo-metricae sex“, Bologna 1647, S. 504 u. f.

165, 166.# Die Multiplikatoren    ... lr hat L. L^agrange ein

geführt, zunächst in der „Theorie des fonctions analytiques“ (bei Nr. 27 erwähnt) S. 267 u. f., wo auch die Theorie der Maxima und Minima unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen behandelt wird.

167.¹) In der Integralrechnung (im zweiten Bande) kommen häufig Linien in Betracht, die Bilder stetiger Funktionen sind, wobei es gleichgültig ist, ob diese Funktionen Ableitungen haben oder nicht (vgl. dazu die Anmerkungen zu Nr. 27). Dabei wird immer ausdrücklich darauf hingewiesen, wenn das Vorhandensein einer Ableitung nicht gefordert wird.

170. Den Namen Subtangente hat Chr. Huygens 1693 eingeführt, siehe z. B. „Der Briefwechsel von Leibniz usw.“, 1. Bd. S. 706 u. f., insbes. S. 709.

171.    Der Name Asymptote kommt zuerst bei Apollonius von Pergae vor. Siehe „Apollonii Pergaei quae Graece extant cum commentariis anti-quis“ von J. L. Heiberg, 2 Bände Leipzig 1890 u. 1893, 1. Bd. S. 194.

172.    Wende- oder Inflexionspunkte zuerst bei P. de Permat in der „Methodus ad disquirendum maximum et minimum“, die bei Nr. 140 genannt wurde (in den „GEuvres“ 1. Bd. S. 166). Daß im Falle eines Wendepunktes f"(x) — 0 sein muß, bemerkte Leibniz in der „Nova methodus etc.“ von 1684 (in der Klassikerausgabe auf S. 5).

175. Für die Einführung der homogenen Koordinaten kommen namentlich „Der baryzentrische Kalkül“, Leipzig 1827, von F. A. Möbius (1790—1868), 1. Bd. der „Gesammelten Werke“ in 4 Bänden Leipzig 1885—87, und die Werke von J. Plücker (1801—1868) in Betracht: „Analytisch-geometrische Entwicklungen“, 2 Bände Essen 1828—31, „System der analytischen Geometrie“, Berlin 1835; überdies Plückers Abhandlung im Journal f. Mathem. 5. Bd. 1830, S. 1 u. f. Zur allgemeinen Aufnahme der homogenen Koordinaten trug alsdann besonders O. Hesse (1811—1874) bei, vgl. seine verschiedenen „Vorlesungen über die analytische Geometrie“, die in Leipzig 1861 (3. Aufl. 1876), 1865 (4. Aufl. 1906) und 1874 erschienen.

178. Bezüglich der Hesseschen Determinante siehe die Abhandlungen von 0. Hesse im Journ. f. Math. 28. Bd. 1844, S. 68 u. f., 42. Bd. 1851, S. 117 u. f., und 56. Bd. 1859, S. 263 u. f. (in den „Gesammelten Werken“, München 1897, S. 89 u. f., S. 289 u. f., S. 481 u. f.).

203. In Jakob Bernoullis „Specimen calculi differentialis in dimen-sione parabolae helicoidis“, Acta Erud. 1691, S. 13 u. f. („Opera“, 1. Bd. S. 431 u. f.) traten schon Polarkoordinaten auf, wenn sie auch nicht so genannt wurden. Die Bezeichnung Polargleichung für die Gleichung einer Kurve in Polarkoordinaten kommt vielleicht zum ersten Male in Gr. Fon-tanas Abhandlung vor: „Sopra Vequazione d’una curva. Sopra la falsita di due famosi teoremi, e sopra la serie armoniche a termini infinitamente

piccoli“, Mem. di Matern, e Fis. della Soc. Italiana delle Scienze, Neapel und Rom, 2. Bd. 1784, S. 123 u. f.

210. Die erste Theorie der Einhüllenden, insbes. die in Nr. 210 entwickelte Vorschrift gab Leibniz in der bei Nr. 6 genannten Abhandlung „Be linea ex lineis etc.“

214. A. Cauchy, „Legons sur les applications du calcul infinitesimal ä la geometrie“, 2 Bände Paris 1826, 28, 1. Bd. S. 128 u. 367.

221. Die Bestimmung der Hyperbelfläche ist in der Geschichte der Integralrechnung von besonderer Bedeutung. Näheres darüber im 2. Bande.

251. Die wichtigsten älteren Arbeiten, in denen die Theorie der Raumkurven geschaffen wurde, sind die folgenden: A. CI. Clairaut, „Reellerches sur les courbes ä double courbure“, Paris 1731, Tinseau, „Solution de quelques problemes relatifs ä la theorie des surfaces et des courbes ä double courbure“, pres. en 1774, Mem. des savants etrangers 9. Bd. Paris 1780, S. 593 u. f., L. Euler, „Methodus facilis omnia symptomata linearum curvarum non in eodem plano sitarum investigandi“, Acta Acad. Petrop. 1782, 1. Teil Petersburg 1786, S. 19 u. f., G. Monge (1746—1818) in einer Reihe von Abhandlungen seit 1771, und in dem Werke: „Feuilles d’ana-lyse appliquee ä la geometrie“, Paris 1795, Paris l’an 3 (d. h. 1795), 2. Aufl. l’an 9 (1801), seit der 3. Aufl. (1807) unter dem Titel „Application de l'analyse ä la geometrie“, 5. Aufl. 1850 von J. Liouville besorgt und mit Zusätzen versehen, weiterhin: Lancret (1774—1807), „Memoire sur les courbes ä double courbure“, pres. en 1802, Mem. des savants etrangers 1. Bd. Paris 1806, S. 416 u. f., B. de Saint- Venant (1797—1886), „Memoire sur les lignes courbes non planes“, Journal de l’ecole polyt. 30. cah. 1845, S. 1 u. f.

272. Die grundlegenden Formeln dieser Nummer wurden fast gleichzeitig von F. Frenet in seiner These „Sur les courbes ä double courbure“, pres. ä la faculte des sc. de Toulouse 1847, veröffentlicht im Journ. de Mathem. 17. Bd. 1852, S. 437 u. f., und von J. A. Serret (1819 bis 1885) in seinem „Memoire sur quelques formules relatives ä la theorie des courbes ä double courbure“, ebenda 16. Bd. 1851, S. 193 u. f. aufgestellt.

278—280. Siehe G. Monges „Application del’analyse dla geometrie“, $[ie bei Nr. 251 genannt wurde, insbes. S. 29 u. f. der 5. Auflage.

308. Für die Krümmungstheorie der Flächen kommen von älteren Arbeiten namentlich in Betracht zunächst Eulers „Becherches sur la courbure des surfaces“, Mem. de l’Acad. de Berlin, annee 1760, 16. Bd., Berlin 1767, S. 119 u. f., ferner das „Memoire sur la courbure des surfaces“ von Ch. Meusnier (1754—1793), Mem. des savants etrangers, lu 1776, 10. Bd. Paris 1785, S. 477 u. f., alsdann die „Beveloppements de geometrie“, Paris 1813, von Ch. Bupin (1784—1873) und schließlich die „Bisquisitiones generales circa superficies curvas“, Commentationes socie-tatis Gottingensis recentiores, 6. Bd. ad. a. 1823—1827, Göttingen 1828, S. 99 u. f.. von C. F. Gauß (1777—1865). Diese Abhandlung wieder abgedruckt in G. Monges „Application etc.“ (siehe Nr. 251) in der 5. Aufl. von 1850, S. 505 u. f., und in „Carl Friedrich Gauß’ Werken“,

4. Bd. Göttingen 1873, S. 217 u. f., ferner ins Deutsche übersetzt von A. Wangerin in Nr. 5 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1889.

305. Siehe Ch. Meusnier a. a. 0. von S. 486 an.

310, 311. Siehe S. 12 u. f. von Bupins „Beveloppements etc.“

315. Die konjugierten Tangenten wurden ebenfalls von Dupin a. a. 0. S. 41 u. f. eingeführt.

318. Ygl. die bei Nr. 303 erwähnte Abhandlung von Gauß, Art. 8 (S. 17 der Übersetzung). Die Definition des Flächeninhaltes einer krummen Fläche findet man in Nr. 584 des zweiten Bandes; auch möge man Satz 13 von Nr. 585 heranziehen.

332. Satz 25 bei Ch. Dupin a. a. 0. S. 330.

334—337. Siehe G. Monges bei Nr. 251 genannte „Application etc.“, in der 5. Auflage auf S. 139 u. f.

351. Der Satz 36 wurde zuerst von 0. Bonnet (1819—1892) bewiesen, siehe „Recherche des surfaces que Von peut representer sur un plan“, Annali di Matern. 2. Serie 7. Bd. 1875, S. 61 u. f.

354. Imaginäre Größen traten zuerst bei den italienischen Alge-bristen in der Mitte des 16. Jahrhunderts auf, nämlich als Wurzeln algebraischer Gleichungen, zunächst solcher zweiten Grades. Man be-zeichnete sie als unmöglich, so z. B. H. Cardano in der „Practica arithmeticae generalis“ von 1539 (in seinen „Opera“, Lyon 1663, 4. Bd.

S. 14 u. f., insbes. S. 112). Immerhin wagte es Cardano aber doch schon, mit diesen Größen Rechenoperationen vorzunehmen. So z. B. multiplizierte er in seiner „Artis magnae sive de regulis algebraicis liher unus“, Nürnberg 1545 {„Opera“ 4. Bd. S. 221 u. f., insbes. S. 287) zwei konjugiert komplexe Größen miteinander, um ein reelles Produkt zu erhalten. Da A. Girard (bei Nr. 1 genannt) in seiner „Invention nouvelle en l’algebre“ zu der, wenn auch nicht genügend begründeten Einsicht gelangte, daß die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung gerade so groß wie ihr Grad sei, behielt er die komplexen Wurzeln als wesentlich zur Gültigkeit allgemeiner Sätze bei („On pourroit dire: ä quoy sert ces Solutions qui sont impossibles? Je reponds: pour trois choses, pour la certiiude de la reigle generale, et qu’il n’y a point d’autres Solutions, et pour son utilite“). Die Ausdrücke reell und imaginär finden sich zuerst in R. Descartes „Geometrie“ (siehe Nr. 5, insbes. Neudruck von 1886, S. 63): „Au reste, tant les vraies racines que les fausses (d. h. die negativen) ne sont pas toujours reelles, mais quelquefois seulement imaginaires, c’est-ä-dire qu’on peut bien toujours en imaginer autant que j’ai dit en chaque equation, mais qu'il n’y a quelquefois aucune quantite qui corre^ sponde ä celles qu’on imagine.“

Eine neue Art des Auftretens imaginärer Größen ergab sich bei dem Problem der Integralrechnung, diejenigen Funktionen zu ermitteln, deren Ableitungen rational gebrochen sind, einer Aufgabe, mit der sich namentlich Leibniz und Joh. Bernoulli beschäftigten. Sie gelangten dabei zu Funktionen mit Ableitungen von der Form 1 : (x -f- konst.), d. h. zu Logarithmen von der Form ln {x -j- konst.), wobei aber die Konstanten unter Umständen imaginär wurden; so z. B. heißt es in einem Briefe von Leibniz an Joh. Bernoulli aus dem Jahre 1702: „quadraturas rationales (d. h. die Bestimmung von Funktionen von der gekennzeichneten Art) reduxi ad logarithmos, vel veros, vel imaginarios“ (siehe „Leibnizens mathem. Schriften“, 3. Bd. S. 703 u. f.). Man sehe ferner die Abhandlung von Leibniz: „Specimen novum analyseos pro scientia infiniti circa summas et quadraturas“, Acta Erud. 1702, S. 210 u. f. {„Leibnizens mathem. Schriften“, 5. Bd. S. 350 u. f., deutsch von G. Kowaleivski in Nr. 162 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1908, S. 43 u. f.). Hierin wird (auf S. 52 der Übersetzung) bemerkt, daß jede imaginäre Wurzel einer Gleichung eine Gefährtin habe, weil ]/— 1 zweiwertig sei (vgl. Satz 23 von Nr. 378), so daß folglich in dem Problem, um das es sich handelt, die mit imaginären Größen behafteten Glieder paarweise auf-treten und ihre paarweise Zusammenfassung doch reelle Ergebnisse liefert (siehe 2. Bd., Nr. 432). Die Frage, ob man auf dem Wege einer rein formalen Anwendung des Imaginären zu richtigen reellen Schlußformeln kommt, wurde dabei gar nicht erörtert. An eine Fortsetzung jener Abhandlung schließt sich eine Note von Joh. Bernoulli: „Problema exhi-bitum a Jo. Bernoulli“, Acta Erud. 1703, S. 26 u. f., ein Auszug aus einer größeren Abhandlung „Solution d’un probleme concernant le calcul integral“, Mem. de l’Acad. pour l’annee 1702, Paris 1704 (S. 289 u. f., siehe auch „Opera omnia“ 1. Bd. S. 393 u. f.). In dieser Note sowie in der weiteren Abhandlung „Angulorum arcuumgue sectio indefinita“, Acta Erud. 1712, S. 274 u. f. (,,Opera omnia“ 1. Bd. S. 511 u. f.) kommen Formeln vor, die im wesentlichen dasselbe besagen wie die Formeln (1) und (2) von Nr. 377, d. h. es wurde darin der Zusammenhang zwischen den Arkusfunktionen und Logarithmen im imaginären Bereiche aufgedeckt. In den Jahren 1712 und 1713 beherrschte den Briefwechsel zwischen Joh. Bernoulli und Leibniz die Streitfrage, was unter Logarithmen negativer Zahlen zu verstehen sei, siehe „Leibnizens matliem. Schriften“, 3. Bd. S. 881 u. f., wobei Leibniz die richtige Ansicht vertrat, daß es notwendig imaginäre Größen sein müßten, während Bernoulli daraus, daß Ina; und ln (—x) dieselbe Ableitung 1: x haben, den Schluß ziehen zu dürfen glaubte, daß ln (— x) dasselbe wie ln x sei. Auch mit Euler führte Bernoulli in den Jahren 1727 bis 1729 eine briefliche Auseinandersetzung über eben diese Frage sowie über die Frage nach den Logarithmen imaginärer Größen. Diese Briefe findet man abgedruckt durch G. Eneström in der Bibi, mathem. 3. Reihe 4. Bd. 1903, S. 338 u. f, die wesentlichen Stellen übersetzt bei E. Lampe, „Zur Entstehung der Begriffe der Exponentialfunktion und der logar ithmischen Funktion eines komplexen Arguments“, Abhandlgn. zur Gesch. d. math. Wiss. 25. Bd. 1907, S. 119 u. f. (insbes. S. 121 u. f.). Die von Euler entwickelten Ansichten zeigen, daß er schon damals auf dem Wege war, den allgemeinen Logarithmenbegriff im komplexen Bereiche zu erkennen.

Hieran reiht sich die Entdeckung der sogenannten Moivreschen Formel, siehe (1) in Nr. 358, durch A. de Moivre (1667—1754). Wie zwei Notizen in den Philos. Transactions von 1707 und 1722 (25. Bd. S. 2368 u. f., und 32. Bd. S. 228 u. f.) zeigen, muß er diese Formel schon 1707 besessen haben. Siehe auch sein Buch „Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis“, London 1730, wo die Formel auf der ersten Seite benutzt wird, vgl. A. v. Braunmuhl (1853—1908) in der Biblioth. math. 1901, S. 97 u. f.

Ferner stellte d’Älembert im Jahre 1746 sowohl in seinen „Be-flexions sur la cause generale des vents“, Prix de Berlin pour l’annee 1746, Paris 1747, S. 141 u. f., als auch in seinen „Becherches sur le calcul integral. Premiere partie: Be l’Integration des fonctions rationelles“, Mem. de l’Acad., annee 1746, Berlin 1748, S. 182 u. f., die Behauptung auf, daß sich jeder analytische Ausdruck, in dem konstante oder veränderliche imaginäre Größen Vorkommen, auf die Form p -)- iq bringen lasse, wo p und q reell sind. Den Beweis für Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten konnte er leicht bringen, vgl. (1), (2) und (3) in Nr. 354, ebenso gelang ihm in der ersten der beiden Abhandlungen der Nachweis für die Potenz (oc -f- iy)a + ib dadurch, daß er zunächst das Differential ihres Logarithmus zerlegte (vgl. hierzu wie überhaupt zu dem Vorhergehenden P. Stäckel, „Integration durch imaginäres Gebiet“, Bibi, mathem. 3. Folge 1. Bd. 1900, S. 109 u. f., insbes. 112).

Der eigentliche Schöpfer der Theorie der elementaren Funktionen im komplexen Bereiche ist aber Euler. Außer den schon oben erwähnten Briefen kommen noch andere aus den Jahren 1740 und 1741 in Betracht (vgl. M. Cantor, „Vorlesungen über Geschichte der Math.“ 3. Bd. 2. Aull. S. 689), die zusammen mit seiner Abhandlung „De summis serierum reciprocarum ex potestatibus numerorum naturalium ortarum dissertatio altera: in qua eaedem summationes ex fonte maxime diverso derivantur“, Miscellanea Berolinensia 7. Bd. 1743, S. 172 u. f., zeigen, daß ihm die Ausdrücke des Sinus und Kosinus durch Exponen-tialgrößen und Imaginäres, vgl. (6) in Nr. 373, geläufig waren. Ferner lehrt sein Briefwechsel mit d'Alembert 1747 (übersetzt von E. Lampe, a. a. 0. S. 125 u. f.), daß er die Unendlich viel-Wertigkeit des Logarithmus im imaginären Bereiche erkannt hatte, vgl. (1) in Nr. 376. Außerdem ist das 8. Kap. seiner „Introductio in analysin infinitorum“, 1. Bd. zu nennen; diese „Introductio“ war nach seinem eigenen Zeugnisse (siehe E. Lampe a. a. 0. S. 134) schon etwa drei Jahre vor ihrem Erscheinungsjahre 1748 geschrieben worden. Ferner die bei Nr. 117 ausführlich genannte Abhandlung „De la controverse etc“, S. 139. Von

Euler rührt übrigens auch das Zeichen i für ]/— 1 her. Zwar kommt es in der „Introductio“ noch nicht in dieser Bedeutung vor (hier steht es vielmehr für oo, z. B. auf S. 103 des 1. Bandes), aber in dem nach seinem Tode in der 2. Aufl. hinzugekommenen 4. Bande seiner „Institutiones calculi integralis“, Petersburg 1792 — 94, findet sich auf S. 183 u. f. eine Abhandlung mit dem Titel: „De formulis diffe-rentialibus angularibus maxime irrationalibus, quas tarnen per logarithmos et arcus circulares integrare licet“, gelesen in der Petersburger Akad. 1777, worin es auf S. 184 heißt: „Quoniam mihi quidem alia adhuc via non patet istud praestandi, nisi per imaginaria procedendo, formulam ]/— 1

littera i in posterum designabo, ita ut sit ii — — i, ideoque v

— i“.

Dies ist die älteste bekannte Stelle, an der i für ]/— 1 gebraucht wird.

Über den Anteil, den weiterhin namentlich L. Euler, P. S. Laplace (1749—1827), S. D. Poisson (1781—1840), C. E. Gauß und A. Cauchy an der Entwicklung des Integralbegriffes im imaginären Gebiete haben, wird gelegentlich zu sprechen sein. Hier sei nur noch bemerkt, daß erst das gewichtige Eintreten von Gauß die Bedenken gegen die grundsätzliche Einführung der imaginären Größen zu heben vermochte, siehe insbesondere seine Selbstanzeige der „Theoria residuorum biquadraticorum, commutatio secunda“, Göttingische gelehrte Anzeigen 1831 („Werke“ 2. Bd. Göttingen 1863, S. 169 u. f.). Darin heißt es (auf S. 171 in den „Werken“): „Der Verf. nennt jede Größe a-\-bi, wo a und b reelle Größen bedeuten, und i der Kürze wegen statt ]/— 1 geschrieben ist, eine komplexe ganze Zahl, wenn zugleich a und b ganze Zahlen sind.“ Hierdurch wurde die Bezeichnung komplexe Zahl gebräuchlich. Auf S. 174—178 (des Abdruckes in den „ Werken“) setzte Gauß auseinander, warum die Erweiterung des Zahlenbegriffes auf das imaginäre Gebiet gestattet sei. Die Einführung der komplexen Größen auf rein arithmetischem Wege, ohne Einmischung transzendentaler Vorstellungen, hat schließlich W. R. Hamilton gegeben, siehe seine Abhandlung: „Theory of conjugate functions or algebraic couples; with a preliminary and elementary essay on algebra as the Science of pure time“, Transactions of the Irish Acad. 17. Bd. 2. Teil vom Jahre 1835, Dublin 1837, S. 293 u. f., sowie die Vorrede zu seinen „Lectures on quaternions“, Dublin 1853. Hierauf stützt sich die Darstellung in II. Hankeis bei Nr. 1 genanntem Werke, S. 67 u. f.

355, 350. Über verschiedene unvollkommene Versuche zur Ver-sinnlichung der komplexen Größen siehe H. Hankeis bei Nr. 1 genanntes Buch, S. 82. Im Jahre 1799 erschienen gleichzeitig zwei Abhandlungen, in denen die komplexen Größen in der jetzt gebräuchlichen Weise durch Punkte in der Ebene dargestellt wurden, nämlich die Dissertation von Gauß: „Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse“, Helmstädt 1799 („Werke“ 3. Bd. Göttingen 1866, S. 1 u. f., deutsch von E. Netto in Nr. 14 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1890, S. 3 u. f., aber ohne die Figurentafel) und die Arbeit von C. Wessel (1745—1818): „Om direktionens analytiske betegning“, Danske Selskabs Skrifter, N. Samml. V, Kopenhagen 1799 (eingereicht 1797, Neudruck Archiv for Math, og Naturv. 18. Bd. 1896, auch unter dem Titel „Essai sur la representation analytique de la direction“, Kopenhagen 1897, von H. Valentiner und N. Thiele übersetzt). Während Gauß zwar die Zahlen r (cos co -f- i sin co) als die Punkte mit dem Polarkoordinaten co und r darstellte (im 16. Art., S. 22 in den „Werken“), aber keine Operationen mit den Punkten vornahm, entwickelte Wessel sogleich auch die in Nr. 356 gegebene geometrische Darstellung der Grundoperationen mit komplexen Zahlen. Die Arbeit von Wessel wurde jedoch seinerzeit gar nicht beachtet, vielmehr erst fast hundert Jahre später ans Tageslicht gezogen. Auch die besondere Schrift von J. R. Argand: „Essai sur une maniere de representer les quantites imaginaires, dans les constructions geometriques“, Paris 1806, in der im wesentlichen dasselbe enthalten war, sowie die bei Nr. 4 genannte Abhandlung von Argand blieb seinerzeit unbeachtet. So kam es, daß man lange Zeit Gauß die geometrische Deutung der komplexen Zahlen in der Ebene und ihm oder verschiedenen Anderen die geometrische Deutung der Addition, Multiplikation usw. zuschrieb.

358.    Die dritten Einheitswurzeln sind wohl zuerst deutlich bei J. Colson in den Philosophical Transactions 25. Bd. 1707, S. 2353 u. f., angegeben. Zur Moivreschen Formel siehe die Bemerkung bei Nr. 354.

359,    360. Vgl. A. Cauchy, „Cours d’analyse etc.“ (bei Nr. 13 genannt), 9. Kap. § 1 (in den „(Euvres“, a. a. 0. S. 230 u. f.). Der Name Häufungsstelle rührt von K. Weierstraß her.

361.    Satz 7 bei Cauchy a. a. 0. in den „(Euvres“ S. 235, bei Gelegenheit des Beweises für einen speziellen Satz.

362.    Zur Multiplikation von Reihen mit komplexen Gliedern vgl. Cauchy ebenda, in den „tEuvres“ S. 237.

363.    Obgleich sich Cauchy a. a. 0. („CEuvres“ S. 240 u. f.) darüber ziemlich im Klaren war, daß eine Potenzreihe nur innerhalb eines Kreises konvergiert, tritt doch dort der Konvergenzkreis noch nicht auf. Wohl aber kennt Caucliy den Konvergenzradius in der „Note sur les modules des series“ (in den bei Nr. 64 genannten „Excercices“, 3. Bd. 1845, S. 388 u. f., insbes. S. 390), wo allerdings die geometrische Veranschaulichung nicht erwähnt wird. Der Satz 9 wurde in der sinngemäßen Beschränkung auf den reellen Fall von N. H. Abel in der bei Nr. 125, 126 genannten Arbeit von 1826 („GEuvres“ 1881, 1. Bd. insbes. auf S. 223) dargetan. Ein anderer Beweis findet sich bei P. F. Arndt, Archiv f. Math. 25. Bd., 1855, S. 211 u. f. Der allgemeine Satz wohl zuerst bei K. Weierstraß, vgl. S. Pincherle, Giornale di mat. 18. Bd. 1880, S. 328. In bezug auf den Konvergenzkreis siehe ferner Ch. Briot (1817—1882) und J. C. Bouquet (1819 bis 1885), „Theorie des fonctions doublement periodiques et, en particulier, des fonctions elliptiques“, Paris 1859, S. 13.

364.    In zwei von 1841—42 datierten, aber damals nicht veröffentlichten Aufsätzen von K. Weierstraß kommt schon die gleichmäßig bzw. gleichförmig genannte Konvergenz vor, siehe „Werke“, 1. Bd. S. 67, 70, 73 und 81. Die Grundlagen für den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz wurden in der veröffentlichten Literatur zuerst von G. Stokes (1819—1903), Transactions of the Cambridge Philos. Soc. 8. Bd. 1847, erschienen 1849, S. 533 u. f. {,, On the critical values of the sums of periodic series“), und von Ph. L. Seidel (1821—1896), Abh. d. math.-phys. Kl. d. bayr. Akad. 5. Bd. München 1847, S. 381 u. f. {„Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche diskontinuierliche Funktionen darstellen“, s. a. die Ausgabe von H. Liebmann in Nr. 116 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1900, S. 35 u. f.), geschaffen. Übrigens enthielt Abels bei voriger Nummer erwähnte Abhandlung schon implizite den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz für den Fall von Potenzreihen.

365.    Geschichtliche Nachweise hierzu im 2. Bande.

367. Satz 16 a. a. 0. bei Briot und Bouquet S. 14.

369.    Satz 18 in Cauchys bei Nr. 363 erwähnten „Note etc.“, S. 392.

370.    Bei Briot und Bouquet a. a. 0 S. 16 u. f.

373.    Die Formeln dieser Nummer hatte schon Euler, wie bei Nr. 354 erwähnt wurde.

374.    Siehe die Anmerkungen zu Nr. 125, 126.

376, 377. Siehe die Anmerkungen zu Nr. 354.

378. Vgl. bezüglich des Fundamentalsatzes der Algebra zunächst daB bei Nr. 354 über A. Girard Gesagte. Verschiedene Beweisversuche aus dem 18. Jahrhundert sind fehlerhaft oder Zirkelschlüsse. Den ersten wirklichen Beweis gab Gauß in seiner Dissertation von 1799 (siehe die Anm. zu Nr. 355, 56). Später gab er noch andere Beweise. Man findet sie in Nr. 14 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1890, hrsgg. von E. Netto. Zur Vorgeschichte siehe H. Fankels bei Nr. 1 genanntes Werk, S. 87 u. f. Infolge des Satzes 24 ist jede ganze rationale Funktion von einer Veränderlichen und mit reellen Koeffizienten ein Produkt von lauter linearen und quadratischen ganzen Funktionen mit ebenfalls reellen Koeffizienten. Dies bestritt seinerzeit Leibniz, veranlaßt durch eine irrtümliche Behandlung der Funktion x⁴ -f- a⁴, siehe sein „Specimen novum etc.“ von 1702, das bei Nr. 354 erwähnt wurde (in der Klassikerausgabe auf S. 55 u. f.).

381—397. In dem soeben genannten „Specimen novum etc.“ von Leibniz, ferner in der Fortsetzung „Continuatio analyseos quadraturarum

rationalium edi captae in his Actis m. Majo 1702“ Acta Erud. 1703, S. 19 u. f. („Leibnizens mathem. Schriften5. Bd. S. 361 u. f., deutsch von G. Kowalewski in Nr. 162 von Ostwalds Klassikern, Leipzig 1908, S. 58 u f.) sowie in Joh. Bernoullis „Solution d'un probleme concernant le calcul integral“ von 1702 (schon bei Nr. 354 genannt) kommen die ersten Partialbruch-Zerlegungen vor, und zwar auch für den Fall mehrfacher oder komplexer Nullstellen des Nenners. Unabhängig davon behandelte A. de Moivre dasselbe in den Philosophical Transactions 32. Bd, 1722, S. 162f. Bei Euler findet sich die Zerlegung in Partialbrüche sowohl in der „Introductio in analysin infinitorum“, 1. Bd. S. 23 u. f. und S. 161 u. f., als auch in den„Institutiones calculi integralis“, 1. Bd. S. 31 u.f., 2. Bd. S. 432 u. f., und in der „Vollständigen Anleitung zur Differentialrechnung“ im 18. Kap. des 3. Bandes. Das Verfahren, die Veränderliche x durch a -|- h zu ersetzen und dann nach Potenzen von h zu entwickeln, siehe Nr. 388, geht zurück auf Eulers Abhandlung „Nova methodus fractiones quascunque rationales in fractiones simplices resolvendi“, Acta Acad. Petrop. pro anno 1780, 1. Teil, Petersburg 1783, S. 32 u. f.

Die Zerlegung in Partialbrüche wird im 2. Bande zur Integration rationaler Funktionen benutzt werden, und die Anmerkungen beziehen sich auch auf diese Anwendung. Dasselbe gilt bezüglich der weiteren Ausbildung der Zerlegung, für die namentlich in Betracht kommen L. Lagrange, Nouv. Mein, de l’Acad. de Berlin, annees 1792 et 1793, Berlin 1795 („(Eueres5. Bd. S. 640), C. G. J. Jacobis Dissertation „Disquisitiones analyticae de fractionibus simplicibus“, Berlin 1825 („ Werke“ 3. Bd. S. 1 u. f.), A. L. Crelle (1780—1855), Journal f. Math. 9. Bd. 1832, S. 32 u. f., C. Duhamel (1797—1872), „Cours d’analyse“, 2. Aufl. Paris 1847, deutsch von H. Wagner, Braunschweig 1855, 1. Teil S. 192 (Nachweis der Einzigkeit der Partialbruch-Zerlegung, vgl. Nr. 384 u. 396) und Ch. Hermite, Nouv. Annales 11. Bd. 1872, S. 145 u f., Annales de l’ecole norm. sup. 2. Serie, 1. Bd. 1872, S. 214 u. f., „Cours d'analyse de l’ecole polytechnique“, 1. (einziger) Teil, Paris 1873, S. 265, B. Baltzer (1818 bis 1887), Leipziger Berichte 25. Bd. 1873, S. 523 u. f., insbes. S. 535.

398. L. Lagrange, „Memoire sur la methode d’interpölation“, Nouv. Mem. de l’Acad. de Berlin, annees 1792 et 93, Berlin 1795, S. 271 u. f. {,,(Eueres“ 5. Bd. S. 627 u. f.), ferner „Legons elementaires sur les mathe-matiques“, Paris 1795 („Oeuvres“ 7. Bd. S. 284 u. f.). Die Lagrange sehe Einschaltungsformel ist dieselbe Funktion wie die von Newton gegebene, die für die Praxis bequemer aufgebaut ist, siehe „Philosophiae naturalis principia mathematica“, in der Ausgabe von 1714 auf S. 446 (Lib. III, Lemma V).

Sachregister.

Die Zahlen bedeuten die Nummern des Textes. Abkürzungen: Fkt. = Funktion, 0. = Ordnung.

Achsen siehe Koordinatenachsen, Schrauben-

32.

A.

Abbildung einer Fläche auf die Ebene 282, 351.

Abhängige Veränderliche 6, neue 94, 95, 99, 100.

Abhängigkeit sieh e Unabhängigkeit.

Ableitungen von Fktn. von einer Veränderlichen 27, 368, überall gleich Null 29, positiv oder negativ 30, als Differentialquotienten 32, 63, als Grenzwerte der Differenzenquotienten 32, höherer 0. 59—61, 63, logarithmisch 35, 36, 47, einer analytischen Fkt. 370, ausgedrückt durch die Ableitungen nach Hilfsveränderlichen 93, bei Einführung neuer Veränderlicher 94—100, einer Fkt. der rechtwinkligen Koordinaten durch Ableitungen nach Polarkoordinaten ausgedrückt 94, 97, 98, der Koordinaten einer Kurve nach der Bogenlänge 194, 259, der Koordinaten einer ebenen Kurve nach dem Tangentenwinkel 213, der Bogenlänge 193, 257, der Fläche 192, 204, der Richtungskosinus des begleitenden Dreikants einer Raumkurve 272, der Richtungskosinus der Flächennormale 318,319, 322, homogener Fktn. 91, 139, 175, 256, der Krümmung einer ebenen Kurve 218, 2. Ordnung in dreifachem orthogonalen Flächensystem 331, siehe auch Differentialquotienten und partielle Ableitungen.

Abnehmen siehe Wachsen.

Absoluter Betrag 4, 355—357, 373, eines Produktes 4, 356, einer Summe 4, 357, des vorletzten Gliedes der Taylorschen Formel 115.

Absolut genommen 4.

Abszisse, Abszissenachse 7.

Abwickelbare Fläche 282, 315, 344, 351, der Normalen längs einer Krümmungskurve 321, insbesondere Schraubenfläche 295, siehe auch Tangentenfläche und Polarfläche.

Abwicklung eines Fadens 201, 291, der Tangentenfläche 282, 351, der Polarfläche 294, des Zylinders 293.

Krümmungsachse, achse, reell und imaginär 355, von Rotationsflächen 348.

Addition 1, 6, 354, 356, konvergenter Reihen 103, 362, von Vektoren 356.

Akzent als Differentiationszeichen

Algebraische Fktn. 6, 39, Gleichungen 378, Operationen 6, ebene Kurven 177—180, 187, 202, Flächen 256, Raumkurven 256.

Algebraisch rektifizierbare Kurven 202.

Amplitude 203, 355, 356, 373.

Analogien zwischen Differentialquotienten und Funktionaldeterminanten 81.

Analytische Fktn. 365—374,380, Geometrie 7.

Anfangspunkt 7, 203, 355.

Anordnung der Reihenglieder in verschiedener Art 107, 109.

Archimedische Spirale 245.

Arkusfnnktionen siehe zyklo-metrische Fktn.

Assoziation 1.

Astroide 238, 249.

Asymptoten 171, der Dupinschen Indikatrix 312, 316, siehe auch Haupttangenten.

Asymptotische Punkte 246, 247. Auflösung und Auflösbarkeit 54, 56, 58, 77—80.

Außenseite 253.

Axiom der Stetigkeit der Geraden 3, über den unendlich fernen Punkt der Geraden 175

Brechungsgesetz 145.

Breitenkreise 348.

Bruch 1, stetig 23, differenziert 36, 43, 75, 368, von der Form 0 : 0 oder oo : OO 129—133, von aufeinander folgenden Gliedern einer Reihe 105.

B.

C.

Basis von Logarithmen 11, 48, 49, von Potenzen 5.

Bedingte Konvergenz 104, 107,

108, 110.

Begleitendes Dreikant einer Kurve 262, 264, 272, einer Flächenkurve 323, als Achsenkreuz benutzt 273, 283.

Bereich der rationalen Zahlen 1, der reellen Zahlen 2, der komplexen Zahlen 354, der Veränderlichkeit 6, 365.

Berührung höherer Ordnung ebener Kurven und Geraden 172,

187, von ebenen Kurven 214—218, von Kurve und Fläche 266—268, von Raumkurven 298—300, von Flächen 301, 302.

Bezeichnung der Ableitungen 27,

32, 41, 64, 66, 178, der Fktn. 6, von Summen 99, von Veränderlichen 6.

Bild einer Fkt. 7, 167, der inversen Fkt. 10, einer reellen Zahl 3, einer komplexen Zahl 355, siehe auch Abbildung, ebene Kurven,

Flächen, sphärische Indikatrix und sphärische Abbildung von Flächen.

Binomialreihe 125, 126, 374.

Binormalen 262,264, 270, 273, der Gratlinie der Polarfläche 285.

Bogendifferential oder -ele-mentund Bogenlänge 193 bis 195, 197, 205, 257—260, 264,

265, 271, 273, 282, 283, 290 bis 292, der Evolute 200 — 202, der sphärischen Indikatrix der Binormalen 271, der sphärischen Indikatrix der Tangenten 260,

290, der Ellipse 222, 236, der Hyperbel 223, derlogarithmischen Spirale 247, der Parabel 224, der ‘ entwickelten algebraischen Fktn. gemeinen Zykloide 234, 236, der Epi- und Hypozykloide 240.

Bogenmaß der Winkel 9.

Bonnets Satz über den Schnitt zweier Flächen 325.

Charakteristiken einer Flächenschar 278—280, einer Kugelschar 352, einer Tangentenfläche 281, 315, einer Polarfläche 284. Cauchysche Restform 113, 116.

D.

Darstellung der Zahlen durch Strecken oder Punkte 3, 355.

Definites vollständiges Differential 2. 0. 157, 158.

Determinante der Ableitungen mehrerer Fktn. 275, der Richtungskosinus des begleitenden Dreikants 264, siehe auch Funktionaldeterminante.

Dezimalbrüche 1—3.

Differentiale 32, 60, 93, partiell 66, höherer Ordnung 60, 93, vollständig siehe vollständiges Differential.

Differentialgleichung siehe gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung, der Fallkurven 341, der Haupttangentenkurven 316, der Höhenkurven 340, der Krümmungskurven 319, der Krümmungskurven des Ellipsoids 377, der gemeinen Zykloiden 232.

Differentialquotienten 32, 66, 368, zusammengesetzter Fktn. 33, 41—44, 81, als Grenzwerte von Differenzenquotienten 32, 63, 67, analytischer Fktn. 368, 370, inverser Fktn. 37, unentwickelter Fktn. 54—58, höherer 0. 60, 61, 68—73, 76, höherer 0. von unentwickelten Fktn. 82—84, höherer 0. von zusammengesetzten Fktn. 68—73, bei Einführung neuer Veränderlicher 93—100, von

39, von Fktn. ganzer linearer Fktn. 70,73, von Brüchen 36,43,368, von Exponentialfktn. 48—50, 61, 373, von goniometrischen Fktn. 51, 61, 373,375, von hyperbolischen Fktn.

93

117, von Logarithmen 47, 49, 50, 52, 61, 376, von Potenzen 38, 47, 61, 368, von Produkten 35, 43, 71, 368, von Summen 29, 32, 34, 43, 368, von Wurzeln 38, 39, von zyklometrischen Fktn. 53, siehe auch Ableitungen, partielle Ableitungen und partielle Differentialquotienten.

Differentialrechnung 32.

Differentiation oder Differenzieren 32, gliedweise 368—370.

Differenzen 32, 65, ausgedrückt durch Differentiale 114,    137,

differenziert 29, 32, 34, 43, 74, 75, 368, höherer 0. 62, 63, 65, von Fktn. konstant 29, zwischen Kurvenbogen und Sehnen 265, partielle 67.

Differenzenquotient32,höherer 0. 63, partiell 67.

Differenzier bare Fktn. 167.

Dipolare Koordinaten 209.

Distribution 1.

Divergenz 101, 103—105, 107, 360, 363.

Division 1, 6, 354, 356, mit Null nicht statthaft 1, 354.

Doppelpunkt 183, 189.

DreifachesFlächensystem327, orthogonal 328—332, bestehend aus orthogonalen Flächen 2. 0. 333, 334, 338, 339.

Dreikant s. begleitendes Dreikant.

Dupins Indikatrizen 311—313, 315, 316, Satz über dreifache orthogonale Flächensysteme 332.

Durchschnittliche Krümmung eines Kurvenbogens 195,    260,

eines Flächenstückes 318.

dx, dy, Ax, Ay 32, d%, dy, dz usw. 41, 66.

¹

Mit dieser Nummer beginnen die Anwendungen der Differentialrechnung auf die Geometrie. Um die Anmerkungen nicht zu sehr anschwellen zu lassen, machen wir dazu nur wenige Angaben. Über die einzelnen ebenen Kurven findet man überaus zahlreiche Nachweise in dem bei Nr. 47 genannten Werke von G. Loria. Im übrigen verweisen wir auf die Artikel in der Enzyklopädie der mathem. Wissenschaften im 3. Bande. Eine Reihe von Nachweisen findet man außerdem in des Herausgebers „Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie2. Aufl. 2 Bände Leipzig 1910 und 1913.

E.

e 45, 46, 118.

Ebene als Fläche mit lauter Nabelpunkten 322, 340, als Träger der komplexen Zahlen 355.

Ebene Kurven 7, 27, 28, 32, 40, 167—250, 275, dargestellt mittels einer Hilfsveränderlichen 93, 168, 190, 191, dargestellt mittels der Bogenlänge 194, 208, in homogenen Koordinaten 175 bis 180, in Polarkoordinaten 203 bis 208, dargestellt mittels des

Tangentenwinkels 213, als Raumkurven 260, 275, als Einhüllende der Tangenten 213, algebraisch 177—180, 187, 202, 256, Hessesche 178—180, 187, zweiter 0. siehe Kegelschnitt, dritter 0.180, 217, von konstanter Krümmung 196, mit konstanter Subnormale 40, von der Krümmung Null 196, mit lauter Scheiteln 218, als Krümmungskurven 324, 325.

Ebenenbüschel 281.

Ebenenschar 281, 349.

Ecke 27, 182, 187.

Eigentlich er Scheitel 218,Wendepunkt 172, 174, 178.

Einfalls- und Brechungswinkel 145.

Einheit der Fläche 192, 221, der Länge 3, 7, des Winkels 9.

Einheitspunkt 3, 355.

Einheitswurzeln 358.

Einhüllende einer ebenen Kurvenschar 210—212, 249, 250, einer Ebenenschar siehe Tangentenfläche, der Tangentenebenen längs einer Flächenkurve 315, einer Flächenschar 278 — 280, einer Geradenschar in der Ebene 213, 250, einer Kugelschar 352, der Normalen einer ebenen Kurve 212, der Normalebenen Biehe Polarfläche , der Schmiegungsebenen siehe Tangentenfläche.

Einschaltung in Logarithmentafeln 124.

Einschaltnngsformel von La-grange 398.

Elementare Funktionen 44.

Elimination von willkürlichen Konstanten 86—88, von willkür- # liehen Fktn. 89, 90, 92.

Ellipse 55, 174, 209, 220, 222, 228, 312, 313, 315, 316, 334—336.

Ellipsoid 307, 333—337.

Elliptische Flächenpunkte 312, 316, Koordinaten 333.

Endpunkt 181, 187.

Entwickelte Fktn. 6, algebraische Fktn. differenziert 39.

Enveloppe siehe Einhüllende.

Epizykloide 237—244, 250.

Erhaltung der formalen Gesetze 1, 2, 354.

Erste Ableitung 59.

Erzeugende einer Linienfläche 343, 344.

Eulerscher Satz über homogene Fktn. 91, 139, über die Krümmungen der Normalschnitte 308.

Evolute 199—202, 212, 213, 218, 289, einer algebraischen Kurve 202, der Ellipse 228, der Epi- u. Hypozykloide 243, der gemeinen Zykloide 236, der Hyperbel 229, der logarithmischen Spirale 247, 248, der Parabel 230, siehe auch Filar- und Planevoluten.

Evolventen 199—201, 213, 218, des Kreises 244, 296, siehe auch Filar- und Planevolventen.

Explizite Fktn. 6.

Exponentialfunktionen 8, 23, 44, 48—50, 61, 117, 131, 136, 373, als Grenzen algebraischer Fktn. 136.

Extremwerte siehe Maxima und Minima.

F.

Fallkurven 341, 342, 352.

Fermatsches Problem 145.

Filarevoluten 291, 292, 321, von ebenen Kurven 293, von Krümmungskurven 291, bei Abwicklung der Polarfläche 294.

Filarevolventen 291.

Flächen im Raume 7, 162, 251, 253—256, 266, 267, 278—280, 301—321, 323—331, 340, 341, dargestellt mittels zweier Parameter 251, 282, in homogenen Koordinaten 256, abwickelbar 282, 351, algebraisch 256, mit Krümmung Null 350, mit lauter Nabelpunkten 322, zweiter O. 310, 333—342, siehe auch die Stichworte für besondere Flächen.

Flächeninhalt ebener Kurven 192,204, krummer Flächenstücke 318, der Ellipse 220, der Epi- u. Hypozykloide 241, der gemeinen Zykloide 233, 241, der Hyperbel 221, der logarithmischen Spirale 247, der Parabel 219.

Flächen kurve 253, 303—305,323, siehe auch Fall- und Höhenkurven, Haupttangentenkurven, Krümmungskurven usw.

Flächennormale 253, 318, 319, 322—324, 328, 348.

Flächenpunkt 304—318, 320.

Flächenschar 267, 278—280, 302.

Flächensystem siehe dreifaches Flächensystem.

Flächentangenten 253, konjugiert 315.

Folgen aus gegebenen Gleichungen 79.

Forderung % 27, 58 68, (£ 77.

Formale Gesetze 1, 2, 354.

Fortschr eitungssinn 169, 193, 195, 196, 200, 203, 252, 260, 270.

Frenetsche Formeln 272.

Fundamentalsatz der Algebra 378.

Funktionen 6, 365, graphisch dargestellt 7,167, definiert durch Gleichungen 54—58, 77, 78, 82 bis 85, unabhängig voneinander 77—81, stetig siehe Stetigkeit einer Fkt., von linearen Fktn. 70, 73, als Potenzreihen siehe Taylorsche und Maclaurinsche Reihe und 127, 128, 365—372, mit denselben Ableitungen oder vollständigen Differentialen 29,74, von konstanter Differenz 29, 74, wachsend oder abnehmend 23, 30, siehe auch die Stichworte für besondere Fktn.

Funktionaldeterminante56bis 58, 80, 81, 90, 100.

G.

Ganze rationale Funktionen 6, 23, zur Darstellung algebraischer Kurven und Flächen 177 bis 180, 187, 202, 256, im komplexen Bereiche 366, 378, mit reellen Koeffizienten 378, relativ prim 379, mit gegebenen Werten an gegebenen Stellen 398, bei der Partialbruchzerlegung 383, 384, 392, 396, 397.

Ganze Zahlen 1.

Gaußisches Krümmungsmaß 318, gleich Null 350.

Gebrochene rationale Funktionen 6, 23, im komplexen Bereiche 366, 379, 380, mit einfachen Nullstellen des Nenners 385, 386, mit reellen Koeffizienten 394 bis 397, siehe auch Partialbruchzerlegung.

Gebrochene Zahlen 1.

Gemeine Schraubenlinie 295, 297.

Gemeine Zykloide 231—236, 239, 241.

G ewöhnliche

gleichung 1. 0. 86, 87, höherer 0. 88, der gemeinen Zykloiden mit gleicher Basis und gleicher Höhe 232.

Gewöhnlicher Logarithmus 122—124.

Gleichm äßige Kon vergenz 364.

Gleichungen 6, 77—80, unabhängig voneinander 79, unverträglich 79, nten Grades 378, zur Definition unentwickelter Fktn. siehe diese.

Geometrische Addition von Strecken oder Vektoren 356.

Geometrische Progression 101, 104.

Gerade 32, als Charakteristik oder Erzeugende einer Tangentenfläche 281—285, 343, als Erzeugende einer Linienfläche 343—347, 353, in homogenen Koordinaten 175, als Hypozykloide 238, oskulierend 217, als Kurve mit lauter Scheiteln 218, als Kurve von der Krümmung Null 196, als Träger der reellen Zahlen 3, 355, siehe auch Normalen, Tangente usw.

Gewöhnliche Differentiale u. Differentialquotienten 66.

Differential-

Gliedweise Differentiation v. Potenzreihen 368—370.

Goniometrische Funktionen 9, 23, 26, 44, 51, 52, 373, 375.

Graphische Darstellung der Zahlen 3, 355, der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division 356, von Fktn. 7, der inversen Fktn. 10, der Stetigkeit 20.

Gratlinie 279, 280, der Fläche der Normalen längs einer Krümmungskurve 321, der Polarfläche 284—286, der Polarfläche als Planevolute 290, der Polarfläche einer Kurve konstanter Krümmung 288, der Tangentenfläche 281—283, 315.

Grenze zwischen zwei Zahlenklassen 2.

Grenzlage des Schnittpunktes benachbarter Normalen einer ebenen Kurve 198, der Schnittlinie benachbarter Normalebenen einer Raumkurve 263, der Ebene durch Kurventangente u. benachbarten Kurvenpunkt 269, des Schnittes benachbarter Flächen 278, des

Schnittes benachbarter Gratlinien 279, der Tangente 171.

Grenzmaxima und - minima 148, 168.

Grenzpunkte der Charakteristiken 279.

Grenzübergang fürdrei Werte des Parameters 277.

Grenzwert 13—22, 24, bei wachsendem a; 13, bei abnehmendem x 14, bei wachsendem und abnehmendem x 15, unendlich bei endlichem x 17, endlich bei unendlichem x 18, unendlich bei unendlichem x 19, d. Differenzenquotienten 32, 63, 67, zur Definition der Ableitung 27, 368, dem Funktionswerte gleich 20, 22, 367, einer Fkt. von mehrerenVeränderl. 16, einer analytischen Fkt. 366, einer stetigen Fkt. 20—23, einer Fkt. von Fktn. 24, durch Einengung bestimmt 25, einer Gliedersumme einer Reihe siehe Konvergenz, des allgem. Gliedes einer Reihe 103, 359, des Quotienten aus benachbarten Gliedern einer Reihe 105, der nten Wurzel aus dem «ten Gliede einer Reihe 105, Null und Unendlich und ihre Ordnung 127, eines Bruches 24, eines Bruches, Produktes oder einer Potenz von unbestimmter Form 129—136, eines Produktes 24, einer Summe 24, der mittleren Krümmung einer Kurve 195, des Verhältnisses von Bogen und Sehne 193, 257, 260, 271, des Quotienten aus einem Flächenstücke und seinem sphärischen Bilde 318, einer ganzen rationalen Fkt. im komplexen Bereiche 366, von sin x: x und tg x : x 26, 131, von (1 + 1: m)m 45, 46, von (1 +- x : m)m 136, von xx 135, siehe auch Ableitungen und Differentialquotienten.

Größte Werte siehe Maxima und Minima.

Größte ganze Zahl [#], in x enthalten, 13, 14.

Grundsatz von der Erhaltung der formalen Gesetze 1, 2, 354.

H.

Häufungsstelle 359. Hauptkrümmungen u. -krüm-

mungsradien 308—313, 315 bis 318, 321.

Hauptnormalen 261, 273, der Filarevolute 292, der Gratlinie der Polarfläche 285, der Krfim mungskurven 324, der gemeinen Schraubenlinie 295.

Hauptschnitte eines Flächenpunktes 306—309, 317, 320.

Haupttangenten 316, 320.

Haupttangentenkurven 316.

Hauptwert des natürlichen Logarithmus 376.

Hessesche Determinante und Kurve 178, 179, 187.

Hilfsveränderliche 93, 155,168, 251, 327.

Höhenkurven 340—342, 352.

Höhere Differentialquotienten und Ableitungen siehe Differentialquotienten.

Homogene Funktionen 91, 139, 175—180,256, ganz und rational 177—180, 256.

Homogene Koordinaten in der Ebene 175—180, im Raume 256.

Hyperbel 117, 209, 221, 223, 229, 312, 313, 315, 316, 334, 336.

Hyperbolische Flächenpunkte 312,316, Fktn. 117, 373, 375, Logarithmen 221, Spirale 246.

Hyperboloide in dreifachem orthogonalen Flächensystem 333.

Hypozykloide 237—243, 249.

I.

Imaginäre Achse 355, Einheit 354, Nullstellen einer ganzen rationalen Fkt. 378, 394, Zahlen 354—358, Zahlen konjugiert 355, 378, 394.

Implizite Funktionen siehe unentwickelte Fktn.

Index als Differentiationszeichen 64, 66, 178.

Indikatrix siehe Dupinsche und sphärische Indikatrix. Inflexionspunkt=Wendepunkt.

Interpolation == Einschaltung.

Intervall 7.

Inverse Fktn. 10, 37, 49, 53, 81, 327, Operationen 1.

Irrationale Zahlen 2, 3, Exponenten 5, 47.

Isolierte Punkte 185, 189, 190.

J.

Jacobische Determinante 80. Joachimsthalscher Satz 324.

K.

Kanal flächen mit ebener Leitlinie 352.

Kardioide 238.

Katakaustika 250.

Kegel 281, 287, 346, 2. O. in dreifachem orthogonalen Flächensystem 338.

Kegelschnitt 40, 86, 176, 180, 217, 218, 226, 227, 311—313, 315, 316, 333, 334, 342, siehe auch Ellipse, Hyperbel, Parabel.

Kettenlinie 225.

Kleinste Werte siehe Maxima und Minima.

Koeffizienten Vergleichung 388.

Kommutation 1.

Komplexe Zahlen 354—358,konjugiert 355.

Konfokale Kegelschnitte 86, 209, Flächen 2. 0. 333.

Konjugierte Durchmesser der Dupinschen Indikatrizen 315, Hyperbeln 313, komplexe Zahlen 355, 378, 394, 397, Tangenten 315.

Konkavität und Konvexität 173, 174, 187, 195, 282.

Konoide 347.

Konstante 6, als Funktion 23,29, Faktoren und Summanden 35.

Kontingenzwinkel ebener Kurven 195, von Raumkurven 260, 272, der Gratlinie der Polarfläche 286.

Konvergenz 101, 360, bedingt 104, 107, 108, Kennzeichen dafür 102—105, 362, durch Reihenvergleichung festgestellt 105, unbedingt 104, 105, 109, 110, 361, 362, gleichmäßig 364, von Potenzreihen 363, von Produkten von Reihen 110, von Reihen mit positiven Gliedern 104, von Reihen mit abwechselnd positiven und negativen Gliedern 104, von Summen von Reihen 103, der durch gliedweise Differentiation entstehenden Reihe 369, der Binomialreihe 125, 126, 374, der geometrischen Progression 101, 104, der Reihen für Exponentialfktn. 117,373, der Reihen für Logarithmen 120, der Reihen für Sinus und Kosinus 119, 373, der Taylorschen Reihe 115.

Konvergenzkreis und -radius 363—374, der durch gliedweise Differentiation gewonnenen Reihe 369, der Reihen für gebrochene rationale Fktn. 380.

Koordinaten 7, schiefwinklig 221, siehe auch dipolare, homogene, krummlinige und Polarkoordinaten.

Koordinatenachsen 7, als begleitendes Dreikant 273, 283, speziell für einen Flächenpunkt 306, 308, 310, 320, 321.

Kosinus 9, 23, 44, 51, 61, 119, 373, hyperbolisch 117, 373, 375.

Kosinuslinie 9.

Kotangens 9, 23, 44, 51, 375.

Kotangenslinie 9.

Kreis 40, 57, als Kurve konstanter Krümmung 196, als Krümmungskurve 348, 352, als Kurve mit lauter Scheiteln 218, als Dupin-sche Indikatrix 312, als Epizykloide 244.

Kreisevolvente 244, 295.

Kreisfunktionen 44, siehe auch goniometrische und zyklometri-sche Fktn.

Krummlinige Koordinaten327, 333.

Krümmung ebener Kurven 195, 260, von Flächen 318, von Flächen gleich Null 350, von Flächenkurven 304, der Gratlinie einer Polarfläche 286, zweite 275, der Normalschnitte eines Flächenpunktes 305—315, von Raumkurven 260, des Kreises und der Geraden 196, konstant 196, 288, 295, in Wendepunkten 195, siehe auch durchschnittliche und mittlere Krümmung.

KrümmungsachBe 263, 276, als Charakteristik der Polarfläche 284, 289, 292.

Krümmungskreis bei ebener Kurve 197, bei Raumkurven 263, 276, als oskulierender Kreis 218, 300, beim Kegelschnitt 226, 227, bei Epi- und Hypozykloiden 242, bei gemeinen Zykloiden 235, siehe auch Krümm ungsmittel-punkt und -radius.

Krümmungskurven 319—322, 324—326, als Schnittlinien von Flächen 325, 326, in dreifachem orthogonalen Flächensystem 332 bis 337, als Fallkurven 341, 352, als Höhenkurven 340, 352, von Tangentenflächen 325, eben 324, 325, 345, sphärisch 325, 346, 348, des Ellipsoids 334—337, der Kanalflächen mit ebenen Leitlinien 352, der Kegel 346, der Kugel und Ebene 322, der Rotationsflächen 348, der Zylinder 345.

Krümmungsmittelpunkt bei ebenen Kurven 197, 213, 218, als Grenzlage 198, sein geometrischer Ort 199, bei Raumkurven 263, 276, 288, 292, siehe auch Krümmung und Krümmungskreis.

Krümmungsradius von ebenen Kurven 197, 208, 282, von Flächenkurven 304—309, von Raumkurven 260, 265, 276, 282, 290, der Ellipse 222, der gemeinen Zykloide 235, der Epi- und Hypozykloide 242, der hyperbolischen Spirale 246, der Kegelschnitte 226, 227, der logarithmischen Spirale 247, der Spirale des Ar-chimedes 245, siehe auch Krümmung, Krümmungskreis und -mit-telpunkt sowie Hauptkrümmungen und -krümmungsradien.

Kugel als Fläche von Nabelpunkten 322, 340, in dreifachem orthogonalen Flächensystem 338, in Polarkoordinaten 251.

Kugelschar 352.

Kurven in der Ebene siehe ebene Kurven, doppelter Krümmung 275, siehe auch Raumkurve, auf Fläche siehe Flächenkurve, mit Tangenten parallel zu den Normalen einer Flächenkurve 323, siehe auch die besonderen Kurvenarten.

Kurvenschar in der Ebene 86, 210—212, 216, 249, 250, im Raume 299.

Kürzeste Linien 294.

Kürzeste und längste Entfernungen zwischen zwei Kurven 160, insbesondere Geraden 161, 344, zwischen Punkt und Kurve 146, 147, zwischen Punkt und Fläche 162.

Schmie-

L.

Lagrangesche Einschaltungsformel 398, Restform 112, 116, 137.

Lancretscher Satz 324.

Längeneinheit 3, 7.

Legendresche Transformation 100.

Leitgerade und -ebene eines Konoids 347.

Leitlinie einer Kanalfläche 352.

Lemniskate 55.

Limes 15, 24, siehe Grenzwert.

Lineare Fktn. 32, Gleichungen mit konstanten Koeffizienten zwischen mehreren Fktn. 275, partielle Differentialgleichung 1. O. 89, 90.

Linienflächen 343, 344, 353.

Linksgewundene Kurven 273.

ln 49, Ln 376, 377.

Logarithmische Ableitung35, 36, 47.

Logarithmus 11, 23, 44, 47, 49, 61, 120-124, 131, 376, ausgedrückt durch Arkustangens 377, als Grenze einer algebraischen Fkt. 136, gleich dem Numerus 50, siehe auch gewöhnlicher und natürlicher Logarithmus.

Logarithmentafeln 124.

Logarithmische Spirale 247, 248.

M.

Maclaurinsche Reihe (Satz) 116, 372, 380, für Fktn. von mehreren Veränderlichen 138.

Mäntel der Tangentenflächen 282, 283.

Maßstab 3.

Maxima und Minima von Fktn. einer V eränderlichen 21,140—152, mit Ungleichungen 148, von Fktn. mehrerer Veränderlicher 153 bis 155, 157, 159—166, im Falle von Nebenbedingungen 149—152,164 bis 166, der Entfernung eines Punktes von einer Kurve in der Ebene 146, der Entfernung eines Punktes von einer Raumkurve 147, der Entfernung eines Punktes von einer Fläche 162, der Entfernung zwischen zwei Geraden 161, der Entfernung zwischen zwei Kurven 160, der Summe der Entfernungen eines Punktes von drei Punkten 163, insbesondere Grenzmaxima und -minima 148, 163, der Krümmungen der Normalschnitte eines Flächenpunktes 306, 307, verschiedene Beispiele 141, 143—145, 148, 150, 155, 159, 166.

Mechanische Erzeugung der Evolventen 201, der Filarevolven-ten 291.

Mehrfache Nullstellen ganzer rationaler Fktn. 378.

Mehrfache Punkte siehe singuläre Punkte und Doppelpunkte.

Meridiane 348.

Methode der unbestimmten Koeffizienten 388.

Meusnierscher Satz 305.

Minima siehe Maxima und Minima.

Mittelpunkt der

gungskugel 276, bei Kurven konstanter Krümmung 288.

Mittelwertsatz 28, 31, verallgemeinert 63, 112, 137.

MittlereKrümmungeines ebenen Kurvenbogens 195, eines Raumkurvenbogens 260, in einem Flächenpunkte 308.

Mittlere Torsion eines Kurvenbogens 271.

Modul der Addition und Multiplikation 1, 355, der gewöhnlichen Logarithmen 122.

Moivresche Formel 358, 373.

Multiplikation 1, 6, 354, 356, einer unendlichen Reihe mit einer Zahl 103, zweier unendlicher Reihen 110, 362.

N.

Nabelpunkte 307, 312, an allen Stellen der Fläche 322, längs einer Flächenkurve 340, des Ellipsoids 307, 335, 336.

Natürlicher Logarithmus 47,

120,    131, 136, 221, 376, berechnet

121,    sein Hauptwert 376. Natürliches Winkelmaß 9. Neperscher Logarithmus 47. Neue Veränderliche 93—100,

insbesondere Polarkoordinaten 94, 97, mittels Differentialgleichung definiert 95, 100.

Normalen ebener Kurven 40, 169, 170, 198, 200, 213, von Flächen 253, 304, 305, längs Flächenkurven 323, längs Krümmungskurven 319, 324, von Raumkurven 252, siehe auch Bi- und Hauptnormalen.

Differentialglei-

Normalebene 252, 254, 284.

Normalenwinkel 169, 206.

Normalschnitte 305—309.

Null 1, 354.

Nullpunkt 3, 7, 203, 355.

Nullstellen von rationalen Fktn. 378, 379, 382—397, von sin z, cos 2, ez 373.

Null wer den und seine Ordnungszahl 127.

Numer u s zu berechnen 124, gleich dem Logarithmus 50.

0.

Obere und untere Grenze für eine stetige Fkt. 21.

Ordinate, Ordinatenachse 7.

Ordnung der Berührung siehe Berührung höherer 0., des Null-und Unendlichwerdens 127. 131.

Ort der Krümmungsmittelpunkte ebener Kurven siehe Evolute, der Krümmungsachsen einer Raumkurve siehe Polarfläche, der Krümmungsmittelpunkte einer Raumkurve 292, 294, der Mittelpunkte der Schmiegungskugeln siehe Gratlinie der Polarfläche.

Orthogonale Flächenscharen siehe dreifache Flächensysteme, Tra-jektorien der Tangenten siehe Evolventen und Filarevolventen, Trajektorien der Schmiegungsebenen siehe Planevolventen, von ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitten 342.

Orthogonalitäts-Bedingungen eines dreifachen Flächensystems 328, 330.

Oskulierende Ebenen 268, Flächen 267, 302, Flächen zweiter 0. 310, 311, Geraden 217, Kegelschnitte 217, Kreise 218, 300, Kugeln 276, Kurven in der Ebene 216—218, Kurven im Raume 299, 300.

P.

p, 2 85, 303.

Parabel 40, 86, 219, 224, 225,230, 312, 314.

Parabolische Flächenpunkte 312, 316.

Paraboloid 347, in dreifachem orthogonalen Flächensystem 339.

Parameter 93, 168,210, beim Kegelschnitte 226.

Partialbruchzerlegung 381 bis 397, Einzigkeit 384, allgemeine Darstellung 391—393, im Falle einfacher Nullstellen des Nenners 385, im reellen Bereiche siehe reelle Partialbruchzerlegung.

Partialdivision 379, 384, 388 bis 390, 392.

Partielle Ableitungen 04, 65, alspartielleDifferentialquotienten

66,    unabhängig von der Reihenfolge der Differentiationen 65, von homogenen Fktn. 91, siehe auch partielle Differentialquotienten.

Partielle Differentiale 66.

Partielle

chungen 1. 0. 89, 90, 92, 1. 0. für Kanalflächen mit ebenen Leitlinien 352, 1. 0. für Kegel 346, 1. 0. für Konoide 347, 1.0. für Rotationsflächen 348,    1. 0. für

Tangentenflächen 349, 1. 0. für Zylinder 345, 2. 0. für Flächen, deren Höhenkurven Krümmungskurven sind, 340, 2. 0. für Tangentenflächen 350, 3. 0. für Linienflächen 353, 3. 0. für eine Flächen schar eines dreifachen orthogonalen Systems 329.

Partielle Differenzen und Differenzenquotienten 67.

Partielle Differentialquotienten 66—73, 76, 84, als Grenzwerte von Differenzenquotienten

67,    bei Einführung neuer Veränderlicher 96—100, siehe auch partielle Ableitungen.

Perioden goniometrischer Fktn. 9, 373, von ez 373.

Periodische Dezimalbrüche 1.

Planevolventen und -evoluten 290.

Polarfläche 284—286, 292, abgewickelt 294, einer ebenen Kurve 289, 293, einer sphärischen Kurve 287.

Polarkoordinaten in der Ebene 72,81,94, 163, 203—208, 245 bis 248, im Raume 97, 98, 251, 258.

Polartangente,-normale,-sub-tangente, -subnormale 207.

Positiver echter Bruch 29.

Potenzen 5, 6, 8, 374, differenziert 38, 47, 61, 75, 368, von unbestimmter Form 134, 136.

Potenzreihen 117, 119—125, 127, 128, 132, 363—374, 380, glied-

Maclaurinsche

weise differenziert 369, siehe auch Maclaurinsche und Taylorsche Reihe und Binomialreihe.

Produkt differenziert 35, 43, 71, 75, 368, sein absoluter Betrag 4, 356, stetig 23, von unbestimmter Form 134, von Funktionaldeterminanten 81, von unendlichen Reihen 110.

Progression geometrisch 101,104.

Projektive Geometrie 175.

Q-

Quadratische Formen 156—158. Quotient siehe Bruch.

R.

r, s, t 85, 303.

Radius siehe Krümmungsradius, der Schmiegungskugel 276, insbesondere konstant 287.

Radiusvektor 203, 226.

Rationale Funktionen siehe ganze und gebrochene rationale Fktn.

Rationale Zahlen 1, 2.

Raumkurve 147, 160, 251, 252, 254, 256—276, 279,    282—300,

in homogenen Koordinaten 256, algebraisch 256, als Schnittlinie zweier Flächen 251, 254, 256, 325, 326, als Gratlinie einer Polarfläche aufgefaßt 290, konstanter Krümmung 288, konstanten Verhältnisses von Krümmung und Torsion 296, konstanter Krümmung und Torsion 295, 297, von der Torsion Null 275, sphärisch 287, 325, 346, deren Tangenten den Normalen längs einer Flächenkurve parallel sind, 323, siehe auch die besonderen Kurvenarten.

Rechenreg ein für den Lim es 24.

Rechtsgewundene Kurven 273.

Reelle Achse 355.

ReellePartialbruchzerlegung 394—397, Einzigkeit 396, Berechnung 397.

Reelle Zahlen 2, 3, 354, 355.

Reflexion am Kreise 250.

Reguläre Punkte ebener Kurven 187, 188, 191.

Reihe nach positiven und negativen Potenzen 127, 128, siehe auch Binomialreihe,

Reihe, Potenzreihen, Taylorsche Reihe, unendliche Reihen.

Reihenentwicklung an regulärer oder singulärer Stelle 188 bis 191, zur Bestimmung des Grenzwertes eines Bruches 132, 133.

Reihenfolge partieller Differentiationen 65.

Rein imaginäre Zahlen 354.

Rektifikation 202, 224, der Parabel 224, der Epi- und Hypozykloide 240, der gemeinen Zykloide 234, 236.

Relativ prim 379.

Rest der Reihe 45,112,113,116, 137, im komplexen Bereiche 364, ohne Einfluß aufs Vorzeichen 115, für ax und ex 117, für ln (1-j-#) 120, für sin# und cos# 119, für (1 -j- x)m 125, bei Untersuchung der Maxima und Minima 142, 154, 157.

ReziprokerWert des Differentialquotienten 37, der Funktioual-determinante 81.

Richtungskosinus 252, des begleitenden Dreikants einer Kurve 264, 272, 323, der Binormale 264, der Flächennormale 253, 318, 319, 322—324, der Hauptnormale 261, 264, der Kurventangente 252, 254, 259, 264.

Rollen von Kreis auf Gerade 231, von Kreis auf Kreis 237, 244, 250, von Parabel auf Gerade 225.

Rotationsflächen 348.

Rotationszylinder 295.

Rückkehrpunkt 190, siehe auch Spitze.

Rückkehrkurve siehe Gratlinie.

S.

Sattelförmiges Flächenstück 309.

Scheitel 200, 218, der Evolvente 218, der gemeinen Zykloide 232, der Kegelschnitte 227—230.

Schmiegungsebene 262, 273, als Grenzlage 269, als Tangentenebene der Tangentenfläche 281, als oskulierende Ebene 268.

Schmiegungskugel 276.

Schnabelspitze 186, 190.

Schnitt zweier Flächen 251, 254, 256, zweier Flächen in einer Krümmungskurve oder unter konstantem Winkel 325, 326, von

von

Fläche und Ebene 324, 325, von Fläche und Kugel 325, einer Tangentenfläche mit einer Ebene senkrecht zur Gratlinie 283, zweier Geraden im Raume 161.

Schnittkurven eines dreifachen Flächensystems 327, 328, 332, 334—336.

Schraubenachse 295.

Schraubenhöhe 295.

Schraubenlinie allgemein 293, 296, 324, gemein 295, 297.

Sektorfläche 204.

Semidefinit 157.

Senkrechte Richtungen 252.

2 99.

Singuläre Punkte ebener Kurven 187, 189—191, 200, 212, von Raumkurven 252, 261, von Flächen 253, 312, 314, von Evoluten 218.

Sinn des Fortschreitens auf einer Kurve 169, 193, 195, 196, 200, 203, 252, 260, 270.

Sinus 9, 23, 26, 44, 51, 61, 119, 373, hyperbolicus 117, 373.

Sinuslinie 9, 174.

Sphärische Abbildung Flächen 318.

Sphärische Indikatrix der Bi-normalen 270, 271, 273, 292, der Hauptnormalen 270, der Tangenten 260, 261, 270, 273.

S p h är i s c h e K u r v e 287, als Krümmungskurve 325, 346.

Spirale des Archimedes 245, hyperbolisch 246, logarithmisch 247, 248.

Spitze 184, 186,190,191, 232, 283, der Evolute 218, 228—230.

Stetigkeit der Geraden 3.

Stetigkeit einer Funktion von einer Veränderlichen 20, 21, 23, 27, 367, von mehreren Veränderlichen 22, 23, einer Fkt. von Fktn. 22, siehe auch die speziellen Fktn.

Strecke als Bild der Zahl 3, 355.

Subnormale 40,170, konstant40.

Subtangente 40, 170.

Subtraktion 1, 32, 354, 356.

Summe differenziert 29, 34, 43, 74, 75, 368, ihr absoluter Betrag 4, 357, stetig 23, einer unendlichen Reihe 101, 360, mehrerer unendlicher Reihen 103, der Quadrate der Richtungskosinus 252, von

unendlich vielen Summanden siehe unendliche Reihen. Summenzeichen 2 99.

Sjmmetriegerade 218.

System von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.0. 87.

T.

Tangens 9, 23, 26, 44, 51, 375, hyperbolicus 117, 373, 375, des Tangenten winkeis 27, 169, siehe auch Differentialquotienten.

Tangenslinie 9, 174.

Tangente einer ebenen Kurve 27, 32, 40, 167, 169, 170, 213, 215, in homogenen Koordinaten 17 5, 176, bei Polarkoordinaten 206, als oskulierende Gerade 217, von gegebenem Punkte aus 177, 255, 256, der Evolute 200, die Asymptote ist, 171.

Tangente einer Flächenkurve 253, konjugiert 315, einer Krümmungskurve 320, insbesondere Haupttangente 316, 320.

Tangente einer Raumkurve 252, 254, der Indikatrix der Bi-normalen 270.

Tangentenebene 253, 256.

Tangentenfläche 281—283, 325, 343,    349—351, gebildet von

Krümmungsachsen siehe Polarfläche, gebildet von Normalen einer Fläche 319.

Tangentenwinkel 27, 40, 169, 194, 206, als unabhängige Veränderliche 213, 290.

Tangentialkegel und-zylinder 255, 256.

Taylorsche Reihe (Satz) 111 bia 116, für Fktn. von mehreren Veränderlichen 137, im komplexen Bereiche 372, für Fktn., deren absolut genommene Ableitungen kleiner als eine Zahl sind, 115.

Teiler zweier ganzer rationaler Fktn. 379.

Torsion 271, 273, 274, als zweite Krümmung 275, konstant 295,, gleich Null in einem Punkte 276, überall gleich Null 275, der Gratlinie der Polarfläche 286.

Torsionsradius 271.

Torsionswinkel 271, 272, der Gratlinie der Polarfläche 286, der Krümmungskurven 324.

362, miteinander

Maclaurinsche

eines

Transformation vonLegendre

100.

Transzendente Funktionen 6, 136.

U.

Überall dicht 1, 2.

Überall einfach überdeckt 10.

Übereinstimmung zweier Potenzreihen 371.

Umgebung einer Stelle 41.

Unabhängige Veränderliche 6, neue 93—100.

Unabhängigkeit 77—80, von Gleichungen 79.

Unbedingte Konvergenz 104, 105, 109, 110, 361, 362.

Uneigentlicher Wendepunkt 172, 178.

Unendlich 17—19.

Unendliche Reihen 101—110, 112, 114—117,    119—123, 125,

126, 128, 360—362, zueinander addiert 103, multipliziert 110, 362, mit Zahlen multipliziert 103, 362, bedingt konvergent 104, 107, 108, gleichmäßig konvergent 364, unbedingt konvergent 104, 105, 109, 361, 362, miteinander verglichen 105, 362, bei verschiedener Anordnung der Glieder 107—109, 362, mit positiven Gliedern 104, mit abwechselnd positiven und negativen Gliedern 104, der absoluten Beträge 104, 361, für Exponen-tialfktn. 117, 373, für gebrochene rationale Fktn. 380, für e 46, für hyperbolische Fktn. 117, für Logarithmen 120, 121, 123, für den Modul der gewöhnlichen Logarithmen 122, für Sinus und Kosinus 119, 373, besonderer Art 101, 103, 105—107, siehe auch Binomialreihe,

Reihe, Potenzreihen und Taylor-sche Reihe.

Unendlich ferne(r) Punkt der Geraden 175, einer Kurve 171, Gerade der Ebene 180,

Unendlichkeitsstellen gebrochener rationaler Fktn. 379.

Unendlichwerden und seine Ordnungszahl 127, von ax, ln x, xnln x 131.

Unentwickelte Funktionen 6, 54—58, 77—85, 187—191.

Unverträgliche Gleichungen 79.

V.

Y ariabele — Veränderliche.

Variabilitätsbereich 6, 365.

Vektor 355, 356.

Veränderliche 6, neue 93—100.

Verschwinden und seine Ordnung 127.

Vertauschung von Abszisse und Ordinate 10, der Reihenfolge heim Bilden von Differenzen und Differentialen 63, der Reihenfolge partieller Differentiationen 65.

Vollständiges Differential 1. 0. 74, 1. 0. von zusammengesetzten Fktn. 75,    1. 0. einer

Summe 74, 75, 1. 0. gleich Null 74, 2. und höherer 0. 76, 2. 0. nie positiv oder nie negativ 156, 2. 0. definit 157, 158, 2. 0. semi-definit 157, unentwickelter Fktn. 85.

Vollständige Differentiation 82, 83.

Vorzeichen der Fkt. in der Umgebung einer Stelle 21, der Ableitung von arc sin* und arc cos x 53, des letzten Reihengliedes vor dem Reste 115, der Krümmung ebener Kurven 195—197, 260, der Krümmung von Flächenkurven 305, der Krümmung von Raumkurven 260, der Radienvektoren 203, der Torsion 271, 273, der Hauptkrümmungsradien Flächenpunktes 309.

W.

Wachsen und Abnehmen 23, 30, 32, 140.

Wälzungswinkel 231, 238.

Wendepunkte 172, 174,187, 195, 197, 273, algebraischer Kurven 178—180.

Wendetangente 197.

Wertsysteme 6.

Willkürliche Fktn. 89, 90, 92, Konstanten oder Parameter 86 bis 88, 210.

Winkel 9, im Raume 252, benachbarter Erzeugender von Linienflächen 344.

Winkeleinheit 9.

Wurzeln 5, 6, differenziert 38, 39, der Einheit 358, algebraischer Gleichungen 378.

Z.

Zahlen 1—4, 354—356, rational 1, irrational 2, reell 2, imaginär oder komplex 354, ihr absoluter Betrag 4, 357.

Zahlenebene 355.

Zeichen dx, dy, dx, dy 32, dx, dy, dz usw. 41, 66, e 45, f{x), F(x) usw. 6, lim 15, ln 49, Ln 376, p, q, r, s, t 85, 303, X 99, für veränderliche Größen 6.

Zunehmen siehe Wachsen und Abnehmen.

Zusammengesetzte Funktionen 22, 24, 41—44, 68—73, 75, 76, 81.

Zweite Krümmung 275.

Zykloiden siehe Epi- und Hypozykloide und gemeine Zykloide.

Zyklometrische Funktionen 12, 23, 44, 53, 377.

Zylinder 281, 345, errichtet auf der Evolute 289, 293, Rotationszylinder 295.

Berichtigungen.

Seite 49 streiche in Satz 10 die Worte: und außerdem F{X) von F(x₀) verschieden. Dies nämlich ist schon von selbst der Fall, denn nach Satz 2 von Nr. 28 hat man

F(X)-F(x₀) = (X-x₀)F'(g),

wobei £ zwischen x₀ und X liegt und von x₀ und X verschieden ist, so daß F'd) infolge der übrigen Voraussetzungen des Satzes 10 von Null verschieden ist und daher in der Tat F(X) =4= F(x₀) ausfällt.

Seite 401, Zeile 9 von unten lies: so statt: es.

Seite 457 lies als Überschrift von Nr. 278: Einhüllende einer Flächenschar.

Seite 499, Zeile 15 von unten lies: seien statt: seinen.

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