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Die Berechnung

statisch unbestimmter Tragwerke nach der Methode des Viermomentensatzes

Von

Ing. Friedrich Bleich

Wien

Mit 108 Textfiguren

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Verlag vcra Julius Springer 1918

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Alle Rechte,

insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen Vorbehalten

Copyright 1918 by Julius Springer, Berlin

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Vorwort.

Inhaltsverzeichnis.

Einleitung.

I. Die Elastizitätsbedingungen der Methode des Viermomentensatzes.

II. Tragwerke aus geraden oder schwach gekrümmten Stäben mit unveränderlichem

4f

III. Beispiele für die Anwendung der Methode des Viermomentensatzes.

A + B=2K^.~^

+ 3H$lf = Ni + Nb,

Mk-1 ok'—M%-.1uk-\-2 [M°k {ok -\-ok+1) —Mk{uk-\-uk + J]

-efOf+W—j-2>‘

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1000 XQ = 0,068 «4 + 0,719 «fi ~f~ 5,567 a6 -f- 0,731 «7 + 0,095 «8 + o,009 «9 *)

Abb. 91.

1~2l)T(}-x)ix=Yo

VI. Tragwerke allgemeinster Form.

M“ = MÖ — Mc— (S1 — E3)h.

Anhang.

Vorwort.

Das in diesem Buche dargestellte Verfahren zur Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke soll als ein Versuch betrachtet werden, eine genügend allgemeine Methode für jene Fälle zur Verfügung zu stellen, wo die üblichen schulmäßigen Berechnungsweisen bei der Anwendung versagen oder zumindest einen Umweg bedeuten. Die Schwierigkeiten, die die Untersuchung von vielfach statisch unbestimmten Systemen nach den Methoden von Mohr und Castigliano, die auf den Begriff der Formänderungsarbeit aufgebaut sind, bieten, sind bekannt. Zahlreich und mannigfaltig sind daher die Bemühungen, derartige Tragwerke durch Betrachtung des geometrischen und elastischen Zusammenhanges der einzelnen Glieder — im Gegensätze zu den sich auf den Arbeitsbegriff stützenden gebräuchlichen Methoden — zu berechnen. Doch beschränken sich diese Arbeiten meist auf ein engbegrenztes Gebiet; die zurechtgelegten Verfahren sind in erster Linie auf den Sonderfall zugeschnitten und lassen sich nicht leicht auf andere Fälle übertragen. Aus diesem Bedürfnisse nach einer in jedem Falle verwendbaren Methode zur Ermittlung der statisch unbestimmbaren Größen, die die Mängel und die Weitläufigkeit der üblichen Berechnungsweisen vermeidet, ist diese Arbeit entstanden.

Viele Leser werden in diesem Buche Zusammenhänge und Berührungspunkte mit eigenen Arbeiten und den Veröffentlichungen anderer Forscher finden. Dies ist bei den vielfachen Bestrebungen der letzten Jahre, die Methoden der Baustatik auszubauen und für besonders schwierige Systeme handliche Formeln und Berechnungsverfahren aufzustellen, begreiflich. Hier sei nur Axel Bendixsens „Methode der «-Gleichungen zur Berechnung von Rahmenkonstruktionen“, Berlin 1914, erwähnt, da diese Abhandlung ähnliche Ziele verfolgt wie die vorliegende Veröffentlichung. Leider scheint diese bemerkenswerte Arbeit noch wenig bekannt geworden zu sein.

Die vorliegende Schrift enthält zunächst eine allgemeine Darstellung der Elastizitätsbedingungen der Methode des Viermomentensatzes, an die sich im folgenden Abschnitt die Aufstellung der besonderen Formen dieser Bedingungsgleichungen für Tragwerke geraden oder schwach gekrümmten Stäben unveränderlichen Querschnittes anschließt. In § 7 dieses Abschnittes wird gezeigt, wie u. U. noch eine weitere Vereinfachung des Rechnungsganges durch Einführung der Hifsgrößen JT erzielt werden kann. Die Ausführungen dieses Absatzes weisen aber auch auf jene Grenzen hin, die der zweckmäßigen Anwendung dieser Hilfsgrößen gezogen sind, oben erwähnte Buch von Bendixsen kennt, wird hier leicht den Berührungspunkt zwischen der Methode des Viermomentensatzes und dem Verfahren des genannten Verfassers herausfinden, aber auch die Grenzen erkennen, die diesem Verfahren bei der Anwendung steckt sind.

aus

Wer das

ge-

ich bemüht, die vielfachen Anwendungsmöglich

war

Bei der Auswahl der Beispiele, die den dritten umfangreichsten Abschnitt füllen,

an

neten

keiten der vorgeführten Methode zunächst an einfacheren, dann schwierigeren Beispielen zu zeigen. Ich habe es bewußt vermieden, gewisse Kunstgriffe, wie z. B. den der Zerlegung der Lastgruppen in symmetrische und spiegelsymmetrische Laststellungen, zu benützen, um nicht eine etwaige Einfachheit des Rechnungsganges vorzutäuschen, die nicht der Methode des Viermomentensatzes gut geschrieben werden kann. Bei der praktischen Anwendung wird man natürlich in geeig-Fällen eine weitere Kürzung der Untersuchung durch Benutzung derartiger Lastanordnungen gerne anstreben. Eine Reihe von Beispielen wurden auch zahlenmäßig durchgerechnet, da erst bei einer derartigen Behandlung die Zweckmäßigkeit des Verfahrens erprobt werden kann. Es war auch notwendig darzutun, daß die zur Bestimmung der Überzähligen dienenden Gleichungen, selbst bei großer Zahl und Beschränkung auf wenige Dezimalstellen in den Beiwerten, genügend genaue Ergebnisse liefern. Gerade in dieser Richtung liegt ja einer der hauptsächlichsten Mängel der gebräuchlichen Methoden.

Der folgende Abschnitt ist der Anwendung des neuen Verfahrens zur Darstellung von Biegelinien gewidmet. Die beiden letzten Abschnitte enthalten die Darstellung der Elastizitätsbedingungen für Tragwerke mit Stäben von stetig veränderlichem Querschnitt und endlich für Tragwerke von beliebiger Form und Querschnittsgestaltung. Auch hier wurden die allgemeinen Ergebnisse an Beispielen erläutert.

Im Anhänge wurden die wichtigsten Formeln und Tafel werte für den Gebrauch nochmals übersichtlich zusammengestellt.

Ich lege dieses Buch, das aus dem Bedürfnisse der Praxis heraus in erster Linie für den ausübenden Statiker geschrieben ist, den Fachgenossen mit dem Wunsche vor, es nicht nur zu lesen und als wissenschaftliche Studie zu betrachten, sondern gegebenen Falles auch einen Versuch zu wagen, das dargelegte Verfahren anzuwenden. Die verhältnismäßig geringe Mühe, die es kostet, sich mit dem Wesen der Methode vertraut zu machen, wird sicherlich ihren Lohn finden.

An der Ostfront, im Februar 1918.

Friedrich Bleich.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einleitung

I. Die Elastizitätsbedingungen der Methode des Viermomentensatzes.

§ i. Das Bildungsgesetz ebener Systeme..............

§ 2. Die Ermittlung der statisch unbestimmbaren Größen im einfachen

Grundsystem........................

§ 3. Anwendung auf beliebige statisch unbestimmte Tragsysteme . . .

11

18

II. Tragwerke mit geraden oder schwach gekrümmten Stäben von unveränderlichem Querschnitt.

§ 4. Der Viermomentensatz.....................

§    5. Die Berechnung der Längenänderungen A l in den Winkelgleichungen 39

§ 6. Darstellung der Einflußlinien der statisch nicht bestimmbaren Größen;

Zusammenfassung.....

§    7. Einführung der Hilfsgrößen r

26

43

47

III. Beispiele für die Anwendung der Methode des Viermomentensatzes.

54

68

§ 8. Tragwerke, die aus einem einfachen Grundsysteme abgeleitet werden § 9. Tragwerke, die aus mehrfachen Grundsystemen abgeleitet werden .

§10. Berechnung des Vierendeelträgers...............

§11. Die Berechnung der Nebenspannungen im Fachwerkträger ....    152

IV. Die Ermittlung der Formänderungen von Stabzügen und die Darstellung der Biegelinien nach der Methode des Viermomentensatzes.

V. Tragwerke aus geraden oder schwach gekrümmten Stäben mit innerhalb der Stabfelder stetig veränderlichem Trägheitsmoment.

Seite

165

§ 13. Die Viermomentengleichungen § 14. Die Ermittlung der Längenänderungen Al in den Winkelgleichungen 178

VI. Tragwerke allgemeinster Form.

186

195

209

§ 15. Die Viermomentengleichungen.................

§ 16. Berechnung der Dehnungen Al in den Winkelgleichungen; Einflußlinien; Zahlenbeispiel....................

Anhang.

Zusammenstellung der Formeln und Tafelwerte

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Einleitung.

die sogenannten Elastizitätsbedingungen —

Jede Art der Berechnung statisch unbestimmter Systeme fußt auf dem Grundgedanken, Beziehungen zwischen den elastischen Verschiebungen ausgezeichneter Punkte des Tragwerkes aufzustellen, um derart Bedingungsgleichungen zur Ermittlung der statisch nicht bestimmbaren Größen im Systeme zu erlangen. Diese Elastizitätsbedingungen werden in der Regel durch Anwendung des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten auf passend gewählte Belastungszustände des betrachteten Tragwerkes (Mohr) oder aus der Gleichung der Formänderungsarbeit mittels der Sätze von Castigliano und Fränkel erhalten. So schön diese Verfahren und so allgemein ihre Anwendungsmöglichkeiten auch sind, so ist doch nicht zu verkennen, daß insbesondere bei vielfach statisch unbestimmten Systemen meist die Übung und Geschicklichkeit des erfahrenen Statikers bei der Auswahl der statisch nicht bestimmbaren Größen notwendig sind, um die Lösung der gestellten Aufgabe ohne ein Übermaß an Rechenarbeit zu ermöglichen, falls nicht diese Methoden, was häufig genug vorkommt, praktisch ganz versagen, denn sie geben, und das muß als ihr Hauptnachteil bezeichnet werden, keine Anhaltspunkte für die zweckmäßige Auswahl der überzähligen Größen¹).

Bei Systemen mit biegungssteifen Elementen treten in den nach dem üblichen Verfahren gewonnenen Elastizitätsgleichungen Integralausdrücke auf, die in jedem Einzelfalle neu ausgewertet werden müs-

Man erinnere sich nur der zahlreichen Veröffentlichungen über die Berechnung vielfach statisch unbestimmter Systeme, wie Vierendeelträger, mehr-stielige Rahmen u. ä. Tragwerke, die alle, unter Vermeidung der Methode der Formänderungsarbeit, mittels Betrachtungen über den geometrischen Zusammenhang der einzelnen Teile des Systems, die gestellten Aufgaben zu lösen suchten. Die wenigen Ausnahmen hiervon lassen nur den Verdacht aufkommen, daß die Anwendung der Methode der Formänderungsarbeit erst möglich wurde, nachdem die Eigenschaften der behandelten Tragwerke durch vorangehende Arbeiten auf geometrischer Grundlage geklärt und erst hierdurch Anhaltspunkte für die zweckmäßige Wahl der statisch nicht bestimmbaren Größen gewonnen wurden.

B leich, Viermomentensatz.    ¹

gegen

Es steht daher die Methode in dieser Hinsicht sicher

sen.

jedes andere rechnerische Verfahren an Brauchbarkeit zurück, das die Integration der Elastizitätsgleichungen schon in ihrer allgemeinen Form erlaubt, so daß die Elastizitätsbedingungen in jedem Sonderfalle unmittelbar in Form gewöhnlicher Gleichungen angeschrieben werden können¹). Die Erkenntnis dieser Schwierigkeiten des üblichen Verfahrens hat wohl zu Versuchen geführt, durch zweckmäßige Deutung der Integralausdrücke in den Elastizitätsgleichungen die Berechnung zu vereinfachen. Doch ist es auf diesem Wege, von den Arbeitsgleichungen ausgehend, nicht gelungen, ein genügend allgemeines Verfahren, das nicht bloß auf eine bestimmte, oft engbegrenzte Systemgruppe beschränkt blieb, zu entwickeln.

Die Lösung der Aufgabe, die Berechnung der statisch nicht bestimmten Tragwerke mit biegungssteifen Stäben auf die Lösung eines Systems von Elastizitätsgleichungen zurückzuführen, ohne daß zu ihrer Aufstellung im Einzelfalle die Durchführung von Infinitesimaloperationen, die den Rechnungsgang erheblich verlängern, notwendig ist, d. h. die Lösung der Aufgabe einer allgemeinen Integration der Elastizitätsbedingungen mußte auf einem ganz anderen Wege gesucht werden.

Das Wesentliche des in diesem Buche dargestellten Berechnungsverfahrens besteht in folgendem: Für eine Reihe besonderer Punkte des Systems, der sogenannten ausgezeichneten Punkte, wird die Kontinuitätsbedingung, das ist die Bedingung der Unveränderlichkeit des Winkels, den zwei im ausgezeichneten Punkte zusammenstoßende und dort steif verbundene Stäbe oder Stabteile miteinander einschließen, aufgestellt. Diese Kontinuitätsbedingung erscheint in Form einer Gleichung zwischen Differentialquotienten, deren Beträge in allgemeiner Form berechnet werden können. Das Ergebnis dieser Integration der Kontinuitätsbedingung wird durch den Viermomentensatz dargestellt, so genannt, weil diese Gleichung eine Verknüpfung zwischen den vier Endmomenten der beiden im betrachteten Punkte steif angeschlossenen Stäbe oder Stabteile darstellt. Da die Zahl der Kontinuitätsbedingungen im allgemeinen nicht ausreicht, um sämtliche Unbekannten zu bestimmen, zu denen außer den statisch nicht bestimmbaren Größen auch die Verschiebungen der ausgezeichneten Punkte, die ebenfalls in die Viermomentengleichung ein treten, gehören, so werden auf Grund geometrischer Betrachtungen noch weitere Zusammenhänge zwischen diesen Verschiebungen

b Unter Integration ist die Ausrechnung der Differential- und Integral-ausdriicke der Elastizitätsbedingungen verstanden. So stellen z. B. die Cla-peyronschen Gleichungen die integrierten Elastizitätsbedingungen für den durchlaufenden Balken vor.

aufgestellt. Diese Zusammenhänge werden durch die Winkelgleichungen ausgedrückt. Viermomenten- und Winkelgleichungen bilden die Gesamtheit der Elastizitätsbedingungen fahrens. Nach Elimination der Verschiebungsgrößen und Ersatz der in den Viermomentengleichungen vorkommenden Kraftgrößen und Stablängenänderungen durch Ausdrücke, die nur die äußeren Kräfte und die überzähligen Größen enthalten, werden so viele lineare Gleichungen gewonnen, als statisch nicht bestimmbare Größen handen sind. Diese Gleichungen bilden das System der Bestim-mungsgleichungen. Wie man erkennt, ist das Verfahren im wesentlichen ein geometrisches, im Gegensätze zu den von Maxwell und Mohr gegebenen Methoden, die als mechanische Methoden gesprochen werden können¹).

unseres Ver-

vor-

an-

Die Vorzüge des hier dargestellten neuen Verfahrens, das wir die Methode des Viermomentensatzes nennen wollen, sind z. T. schon aus den vorangeführten knappen Darlegungen zu erkennen. Der Zusammenhang zwischen den Formänderungen einerseits und den angreifenden und widerstehenden Kräften andererseits, kurz, das sogenannte Kräftespiel, tritt in jedem Punkte der Rechnung deutlich zutage. Sind die statisch nicht bestimmbaren Größen einmal bekannt, so können, meist unter Zuhilfenahme der Zwischenergebnisse der Rechnung, Fragen nach den Formänderungen, deren Beantwortung unerläßlich ist, wenn das Kräftespiel im untersuchten Systeme klar erkannt werden soll, ohne viel Mühe erledigt werden. In dieser Hinsicht wird sich unser Verfahren der üblichen Methode an Anschaulichkeit überlegen erweisen.

Als Hauptvorzug aber muß der Umstand bezeichnet werden, daß die Auswahl der statisch nicht bestimmbaren Größen erst nach Aufstellung der Elastizitätsbedingungen erfolgt; sie kann daher so getroffen werden, daß die Rechenarbeit auf ein Kleinstmaß beschränkt wird, denn z. T. rein arithmetische Überlegungen zeigen, nachdem die Gleichungen bereits festgelegt sind, in jedem Einzelfalle den Weg, wie unter Wahrung weitgehender Arbeitsökonomie die Überzähligen auszuwählen sind. Die einfache und übersichtliche Form der Viermomenten- und Winkelgleichungen erleichtert in hohem Maße die Entscheidung über den weiteren Rechnungsgang. Vielfach weisen die Gleichungen selbst auf bestimmte Kraftgrößen hin, so daß im gewissen Sinne von einem selbsttätigen Auswählen der statisch nicht bestimmbaren Größen gesprochen werden kann. Im allgemeinen erweist sich

*) Maxwell faßt z. B. das Fachwerk als eine Maschine auf, mittels welcher eine treibende Kraft P (Last) einen Widerstand S (Stabkraft) überwindet. „On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames.“ Phil. Mag. 1864, Bd. 27, S. 294.

der ganze Rechnungsgang, wie aus den Beispielen ersichtlich werden wird, bedeutend kürzer als bei den üblichen Methoden. Dies tritt vornehmlich bei mehrfach statisch unbestimmten Systemen deutlich hervor, da in vielen Fällen bereits die angesetzten Viermomentengleichungen die Bestimmungsgleichungen für die Überzähligen vorstellen, oder diese durch einfache Umformungen daraus gewonnen werden können, was bei der gebräuchlichen Methode erst nach Durchführung von kürzeren oder längeren Integrationen, die bei unserem Verfahren ganz entfallen, möglich ist. Das hier erörterte Verfahren führt auch zu der bemerkenswerten Erkenntnis, daß die Einflußlinien der Überzähligen, unabhängig von der Art des Tragwerkes und dem Grade seiner Unbestimmtheit, aus wenigen unveränderlichen Stammlinien (Stammfunktionen) in einfacher Weise dargestellt werden können, wodurch die Ermittlung dieser Linien, insbesondere bei hochwertig statisch unbestimmten Systemen, bedeutend erleichtert wird.

I. Die Elastizitätsbedingungen der Methode des Viermomentensatzes.

§ 1. Das Bildungsgesetz ebener Systeme.

Jedes Tragwerk — auch das Fachwerk — kann als Steifrahmen aufgefaßt werden. In diesem Sinne sind die Erörterungen dieses Abschnittes als vollkommen allgemein gültig aufzufassen.

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Po

Abb. i.

Unter einem ebenen Steifrahmen verstehen wir ein Traggebilde, das aus geraden oder gekrümmten Stäben, die miteinander steif oder gelenkig verbunden sind, besteht. Die Zahl der Stäbe, deren Verbindungen untereinander, sowie die Lagerung des ganzen Systems müssen so beschaffen sein, daß ein in der Systemebene unverschiebliches Tragwerk entsteht, wenn von den elastischen Formänderungen abgesehen wird. Sind sämtliche Knotenpunkte als Ge- Q lenke ausgebildet gedacht, 1 dann geht das eigentliche Rahmentragwerk in ein Fachwerk über.

Das Grandsystem. Wir bezeichnen als einfaches Grundsystem einen aus beliebig vielen Elementen gebildeten ebenen, geschlossenen Rahmen mit überall steifen Ecken, dessen äußere Kräfte bekannt und untereinander im Gleichgewicht sind (Abb. i).

Unter Element verstehen wir dabei einen geraden oder gekrümmten Stab oder Stabteil, der zwischen zwei ausgezeichneten Punkten liegt.

Ausgezeichnete Punkte. Wir nennen ausgezeichnete Punkte eines Systems alle jene Punkte, in denen unter Wahrung des elastischen Zusammenhanges der dort zusammentreffenden Stäbe oder

Stabteile Unstetigkeiten auftreten. Hierher gehören: steife Ecken, Punkte, in denen mehr als zwei Stäbe Zusammenstößen, wobei wenigstens zwei derselben miteinander steif verbunden sein müssen, endlich jene Punkte, in denen das Trägheitsmoment eines sonst in seiner Achsenführung stetig verlaufenden Stabes eine plötzliche Änderung erfährt.

Gelenkpunkte gehören nicht zu den ausgezeichneten Punkten,

1.

Abb. 2.

da dort der elastische Zusammenhang gestört ist. In Abb. 2 sind: Punkt o und i ausgezeichnete Punkte der ersten Art, Punkt 2 und 5 ausgezeichnete Punkte der zweiten Art und die Punkte 3 und 4, in denen die Querschnitte plötzliche Änderungen erleiden, ausgezeichnete Punkte der dritten Art. Zurückführang der Tragwerke auf einfache Grundsysteme. Es läßt sich nun zeigen, daß jedes Tragwerk aus dem dreifach statisch unbestimmten einfachen Grundsystem abgeleitet werden kann:

1.    Durch Einschalten von Gelenken entsteht der zweifach, der einfach statisch unbestimmte und der statisch bestimmte Ring.

2.    Jeder offene einfache Rahmen kann in einen geschlossenen Rahmen verwandelt werden, wenn man die Auflager durch Stäbe verbindet, die gewisse Auflagerwiderstände in ihrer Wirkung ersetzen.

*)

a)

00

im

Abb. 3.

a)    Der in Abb. 3 a dargestellte geschlossene Rahmen mit dem in A und B steif angeschlossenen Stab AB, dem wir das Trägheitsmoment J= 00 zuschreiben, ersetzt, als Balken gelagert, den dreifach statisch unbestimmten eingespannten Rahmen der Abb. 3 b.

schlossen

fach statisch unbestimmte Tragwerk.

b)    Ist der Stab AB einerseits fest, anderseits gelenkig ange-(Abb. 4a), dann entsteht das in Abb. 4b dargestellte zwei

c) Wenn sowohl in A als auch in B Gelenke vorgesehen sind (Abb. 5a), im übrigen aber der Querschnitt des Stabes AB, F—co, so kann diesem geschlossenen Systeme der in Abb. 5b zur Dar-

a)

b)

i7 = oo

wm.

Abb. 4.

Stellung gebrachte Zweigelenkrahmen mit unverschieblichen Kämpfern zugeordnet werden. Ist der Stabquerschnitt F endlich, dann liegt der Zweigelenkrahmen mit Zugband vor.

OL)

b)

'A/yyy/A',

Abb. 5.

d) Sind zwei Schlußstäbe vorgesehen, von denen der eine steif angeschlossen, der zweite als Pendel wirkt (Abb. 6 a), so entspricht

a)

b)

'f=CO

W/.

Abb. 6.

diese Anordnung dem in Abb. 6b dargestellten Tragwerk. Ist bei A statt der steifen Ecke ein Gelenk vorhanden, dann geht der Rahmen in den frei aufliegenden Balken über.

Die in den Abb. 3 bis 6 verzeichneten Tragsysteme können weiter durch Einschalten von Gelenken in Systeme von niedrigerem Grade statischer Unbestimmtheit verwandelt werden. Im System der Abb. 3 dürfen ein, zwei oder drei Gelenke eingeschaltet werden. Das System der Abb. 4 gestattet die Anordnung von einem oder zwei Gelenken. Wird in Abb. 5 ein Knoten gelenkig gemacht, so entsteht der Dreigelenkbogen. Das System der Abb. 6 erlaubt noch die Anbringung eines Gelenkes.

a.)

i)

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Abb. 7.

a.)

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bw.

Abb. 8.

a)

*>)

l(/aOO

Abb. q.

*)

a-J

J= 00

Abb. 10.

3. Denkt man sich den Stab AB in den Abb. 3 bis 6 nach unten gekrümmt, dafür aber die Rahmenstäbe in der Verbindungslinie AB gerade gestreckt, so ersetzen diese Anordnungen der Reihe nach: den beiderseits eingespannten Balken (Abb. 7), den einerseits eingespannten, anderseits mit festem Gelenk versehenen Tragbalken (Abb. 8), den beiderseits mit festem Gelenk versehenen geraden Stab (Abb. 9) und* endlich den gewöhnlichen Balken (Abb. io).

Wir sehen somit, wie durch Einschaltung von Gelenken sowie durch passende Annahmen über die Steifigkeit und die Querschnittsbeschaffenheit einzelner Stäbe des Grundsystems sich sämtliche möglichen Tragsysteme, die aus einem einfachen Stabzug bestehen und in zwei Punkten gestützt sind, ableiten lassen.

4. Alle übrigen möglichen Tragwerke lassen sich aus Verbindungen von mehreren einfachen Grundsystemen entwickeln.

w9

Schließt man an das Grundsystem abcda (Abb. 11) einen zweiten Rahmen cefgd an, so entsteht ein zweifaches Grundsystem, das sechsfach statisch unbestimmt ist, und in die beiden einfachen Grundsysteme abcda und cefgdc, die die Seite cd gemeinsam haben, zerfällt. Wir setzen wie beim einfachen Grundsystem voraus, daß sämtliche äußeren Kräfte bekannt und untereinander im Gleichgewichte sind. In derselben Weise, wie das zweifache System, können auch drei- und mehrfache Grundsysteme geschaffen werden. Sind n einfache Grundsysteme zu einem Tragsysteme vereinigt, so sprechen wir von einem w-fachen Grundsystem, das 3w-fach statisch unbestimmt ist, wenn die äußeren Kräfte gegeben sind.

Abb. 11.

Sowie sich aus dem einfachen Grundsystem die Reihe der möglichen Tragwerke durch Einschalten von Gelenken und durch Wahl passender Querschnitte bestimmter Stäbe ableiten läßt, so lassen sich in der gleichen Weise auch aus dem allgemeinen n-fachen Grundsystem alle bei der gegebenen Stabzahl und Stabanordnung möglichen Tragsysteme entwickeln. Da wir hinsichtlich Stabzahl und Stabanordnung keine einschränkende Annahme gemacht haben, so folgt daraus, daß jedes nur denkbare Tragsystem sich auf ein ein- oder mehrfaches Grundsystem zurückführen läßt.

fachen

Abb. 12.

Abb. 12 stellt ein Beispiel eines vierfachen Grundsystems vor. Es zerfällt in die vier ein-Grundsysteme abcdea, aedfa, cdfghc und cdfic und ist 4X3 = 12 fach statisch unbestimmt. Es ist hierbei zu beachten, daß die Art der Zerlegung der Grundsysteme eine gewisse Willkür zuläßt; so können an Stelle der

ersten zwei eben genannten Grundsysteme auch die Systeme abcdfa und abcdea treten, da man sowohl f an das System abcdea als auch e an das System abcdfa anschließen kann. Einige Beispiele mögen das voranstehend Erörterte veranschaulichen.

CL)

/?

mb

'(T=-oo

II

HI

Abb. 13.

Abb. 13 a zeigt ein dreifaches Grundsystem, das in seiner Wirkungsweise dem in Abb. 13 b dargestellten dreifeldrigen Rahmen mit vier eingespannten Ständern entspricht.

{J

=00

w//,

a)

Abb. 14.

b)

Aus diesem Grundsystem kann durch Einschalten von vier Gelenken (Abb. 14 a) ein Abb. 14 b gleichwertiges System geschaffen werden. Es ist zu beachten, daß der Stab AB ohne Unterbrechung durch die Gelenke steif durchläuft.

a)

J= OO

Abb. 15.

Ein aus einem vierfachen Grundsystem entwickeltes Tragwerk zeigt Abb. 15 a. Es ist, wie leicht einzusehen, dem in Abb. 15 b gezeichneten vierfeldrigen durchlaufenden Balken gleichwertig. Ebenso leicht ersichtlich ist, daß die in den Abb. 16 a und b dargestellten Systeme einander ersetzen können.

Abb. 16 a ist aus einem dreifachen Grundsystem durch Einschalten von vier Gelenken entstanden. Daher 9 — 4 = 5fach statisch unbestimmt.

Der einfache geschlossene Rahmen der Abb. 17b, der äußerlich dreifach statisch unbestimmt ist, läßt sich auf ein zweifaches Grundsystem, das in Abb. 17 a zur Darstellung gebracht ist, zurückführen.

b)

a,)

,i/=oo

Abb. 16.

Jedes Fachwerk mit n Feldern kann aus einem w-fachen Grundsystem abgeleitet werden, wenn man in den Knoten Gelenke anordnet.

b)

a)

Abb. 17.

Es sei noch bemerkt, daß die in den Abb. 3 bis 17 gezeichneten geraden Stäbe auch durch gekrümmte Stäbe ersetzt werden können, da wir die Grundsysteme aus geraden oder gekrümmten Stäben zusammengesetzt erklärt haben.

§ 2. Die Ermittlung der statisch unbestimmbaren Größen im einfachen Grundsystem.

nung Systems hinaus.

Wie im vorangehenden Absätze gezeigt wurde, läßt sich jedes Tragsystem aus Grundsystemen ableiten. Gelingt es nun, die überzähligen Größen des einfachen Grundsystems zu berechnen, so ist damit auch ein allgemeines Verfahren gegeben, das bei wiederholter Anwendung auf mehrfache Grundsysteme oder auf aus solchen abgeleitete Tragwerke deren statisch nicht bestimmbaren Größen liefert. Unsere Aufgabe läuft also zunächst auf die Berech-des dreifach statisch unbestimmten einfachen Grund-

a) Die Kontinuitätsbedingung.

Für jeden ausgezeichneten Punkt kann eine Kontinuitätsbedingung aufgestellt werden. Diese Bedingung besagt, daß die Endtangenten beider in einem ausgezeichneten Punkte zusammentreffenden und dort steif verbundenen Stäbe oder Stabteile (Elemente)

vor und nach der Formänderung den gleichen Winkel miteinander einschließen.

Jc-1

Das in Abb. 18 dargestellte Grundsystem sei durch den Angriff einer im Gleichgewichte stehenden Lastgruppe verzerrt, wobei die Sehne des Stabes ab in ihrer Richtung festgehalten gedacht ist. Die Verzerrungsfigur ist in der Abbildung strich-liert angedeutet. Wir betrachten nun zwei benachbarte Elemente des Grundsystems, und zwar die Stäbe k — I, k und k, k -J-1 in ihrem elastischen Zusammenhänge vor und nach der Verzerrung. In Abb. 19 sind die beiden ins Auge gefaßten Stäbe in beiden Lagen herausgezeichnet.

\ x

fk-l’

k+1VI

k+1'

OLT'---

Abb, 18.

/

Ursprung/Jfafac

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y/

Ursprung/ Sfabac/ise/para/fc yers(;/7ot>en'    S

'a

Xx

X'-

\\>

N xx \

N X

versc/obene und verzerrfe SfaöacAse

Abb. 19.

Bezeichnet <p den Winkel, den die Tangenten der in k zusammenstoßenden Stabenden vor der Verformung miteinander einschließen, qf den Winkel nach derselben, so besagt die Kontinuitätsbedingung, daß cp = (p' sein muß. Aus Abb. 19 ist ohne weiteres ersichtlich, daß dann der Winkel A (pk, um den sich die Tangente im Punkte k des Stabes L bei der Verschiebung und Verzerrung dreht, gleich sein muß dem Tangentendreh winkel A <pk + ₁ des Stabes l Somit ist

fc+i •

A(Pk = A⁽p

fc+i •

Nun setzt sich jeder der beiden Winkel aus zwei Teilen zusammen. In Abb. 20 sind die einzelnen aufeinanderfolgend gedachten Verschiebungs- und Verzerrungszustände des Stabes k — X, k zur Darstellung gebracht. Denken wir uns nun den Stab unverzerrt parallel zu sich verschoben, bis k nach kf gelangt (strichlierte Stabachse in Abb. 20), dann um den Winkel # gedreht, bis die Stabsehne

>7

^ — V

ursprüng/ Stabac/7se\ para//e/ verschoben

Ursprung/ Stabacbse^ nach c/er S/abc/rehung

‘ursprüng/. S/oöacbse j

S/abacbse nach c/er 't y] /erc/rebung unc/ /erzerrung

»V

Abb. 20.

ihre endgültige Richtung erreicht (strichpunktierte Stabachse) und endlich verzerrt, so hat sich bei diesen schrittweisen Verschiebungen die Stabtangente in k bei der Drehung um den Winkel # zunächst ebenfalls um # gedreht, um schließlich bei der darauffolgenden Verzerrung nach einer weiteren Verdrehung um den Winkel A cp° ihre endgültige Lage zu erreichen.

Somit ist für jeden der beiden Stäbe

A cp = Acp° -f- $

und die oben angegebene Bedingung geht über in

fc+i •

A cp% -f-    = A 9?£₊₁ -f- $

Die Winkel und #fc+1, die die relative Lage, der verschobenen Knotenpunkte k — 1', k' und k 1' beschreiben, bezeichnen

wir als Stabdrehwinkel.

Betrachtet man die Stabsehnenrichtung als Abszissenachse und den linken Stabendpunkt als Koordinatenanfangspunkt, bezeichnet man weiter mit y den Winkel, den die Stabtangente in k im unverzerrten

sä»

Zustande mit der Abszissenachse bildet (Abb. 20), so bestehen für jeden Stab die Gleichungen:

tgy =

dy

und

tg (7 + J cp⁰) =

d(y-\- Ay)

dx

L

Unter y sind die Ordinaten der ursprünglichen Stabachse bezogen auf die Stabsehne, unter Ay die Verschiebungen der Stabpunkte in Richtung senkrecht zur gedrehten Stabsehne verstanden (siehe Abb. 20). x ist o oder l zu setzen, je nachdem die obigen Gleichungen auf den Stab l

Nach einer bekannten trigonometrischen Formel ist nun

fc + i

oder lk angewendet werden.

tg(y-\-A cp°) = -

tgy-f A(p°

— A cp° tg y

(tg y + A (p°) (i -4- A 0 tg y),

wobei wegen der Kleinheit des Winkels A(p°

tg A cp⁰ = A (p°

gesetzt wurde.

Nach Ausführung der Multiplikation und Vernachlässigung der kleinen Glieder zweiter Ordnung entsteht

tg (7 -f- Acp°) = tg y -)- A 9?°(l    tg²^).

Aus diesem Zusammenhänge folgt

A 9?⁰

tg(z + A(p⁰) — tgy

1 4- tg² 7

[tg (7 A 99°) — tg 7] cos² 7.

Nach Einführung der Differentialquotienten geht diese Gleichung über in

A(p° —

dAy~

. dx jx

cos² 7.

Wendet man diese Formel auf die oben ausgesprochene Be-

A<Plc = A(Pu + i

an, so erhält man die Kontinuitätsbedingung in der Form

d Ayk+1 dx _ x = 0

Die Zeiger k und k 4~ ¹ zeigen das Stabfeld an, auf welches sich das Gleichungsglied bezieht.

In dem Sonderfalle, in dem die Elemente gerade sind, ist der Winkel 7 = 0, daher cos² 7 = I (Abb. 21) und die Kontinuitätsbedingung nimmt die einfachere Gestalt an

~ dAy~|fc+i - dx _L

dingung

dAy k _ dx \x

cos² y tc —

dAy

_ dx x = 1

cos² yfc-f 14~    — 0 . 1)

Diese Gleichung gilt selbstverständlich auch dann, wenn die beiden steif vereinigten Stäbe in eine Gerade fallen (Abb. 22).

:rf

W'

Abb. 21.

Ist der ausgezeichnete Punkt dadurch gekennzeichnet, daß er den Grenzpunkt zwischen zwei Stababschnitten mit verschiedenen Trägheitsmomenten bildet, so haben die Winkel y der Grundgleichung 1) die aus Abb.

Abb. 22.

23 hervorgehende Bedeutung. Bei geraden Stäben ist wieder y = 0 und es gilt dann Gleichung i').

Die Gleichung 1) stellt die allgemeinste Form der Kontinuitätsbedingung dar, weshalb wir in der weiteren Entwicklung von dieser Gleichung ausgehen werden.

J,

i-n

Abb. 23.

Da die Kontinuitätsbedingung 1) eine Beziehung zwischen den Formänderungen zweier benachbarter Elemente darstellt, so ist sie eine Art Elastizitätsbedingung, die zur Bestimmung der statisch unbestimmbaren Größen im Systeme dienen kann. Es fragt sich nun: Wie groß ist die Zahl derartiger im einfachen Grundsystem aus n Stäben aufstellbaren Kontinuitätsbedingungen und reicht diese Zahl aus, um sämtliche überzähligen Größen und sonstigen Unbekannten im Grundsysteme zu berechnen?

Wir betrachten ein einfaches Grundsystem aus n Elementen, dessen eine Seite in ihrer Richtung festgehalten ist. Die Kontinuitätsbedingungen der Form i) enthalten die Differentialquotienten der Verschiebungen Ay und die Stabdrehwinkel. Diese Verschiebungen 'und somit auch ihre Differentialquotienten lassen sich als Funktionen der äußeren Kräfte und der drei Überzähligen des Grundsystems darstellen. Die Gesamtheit der Kontinuitätsbedingungen für das ins Auge gefaßte Grundsystem enthält demnach die äußeren Kräfte, die statisch nicht bestimmbaren Größen und n — I Drehwinkel, da ein Stab voraussetzungsgemäß als festgehalten den Drehwinkel Null hat. Da die äußeren Kräfte des Grundsystems als bekannt angenommen werden, so verbleiben in den Kontinuitätsbedingungen an Unbekannten:

3 statisch unbestimmbare Größen

n— i Stabdrehwinkel,

zusammen n-(-2 Unbekannte. Ihnen stehen bei n ausgezeichneten Punkten n Kontinuitätsbedingungen der Form i) gegenüber, so daß es notwendig erscheint, zwei weitere Beziehungen zwischen den Unbekannten aufzusuchen, um die gestellte Aufgabe lösen zu können.

b) Die Winkelgleichungen.

Die Kontinuitätsbedingungen beschreiben den elastischen Zusammenhang je zweier aufeinanderfolgender Elemente des Grundsystems. Nun ist es noch notwendig, die geometrische Unveränderlichkeit des ganzen Rahmengebildes, d. h. die Bedingung, daß der geschlossene Rahmen auch nach der Verzerrung ein geschlossener Rahmen bleibe, in Form von Elastizitätsgleichungen festzulegen.

f tP    °2

i*n>.

71-fd

-z

-7

1

Ut.

71

AT

Abb. 24.

Der geschlossene Stabzug 1, 2 . . . n der Abb. 24 gehe nach der Verzerrung in den strichliert gezeichneten Stabzug i\ 2r... n! über, wobei sich die Stabsehnen, und nur diese sind in der Abbildung dar-

Die Winkel a bzw a! sind am niedriger bezifferten Stabende, von der Richtung der positiven x-Achse ausgehend, entgegengesetzt dem Sinn der Uhrzeigerbewegung zu zählen, wie dies in Abb. 24 durch Pfeile angedeutet ist.

Wir führen nun l' = 1 Al und a' = a — # ein. Einem positiven Al entspricht somit eine Stabverlängerung, einem positiven $ eine Verkleinerung des Winkels er, der Stab dreht sich demnach bei positivem $ um sein niedriger beziffertes Ende im Sinne der Uhrzeigerbewegung. Diese Festsetzungen wollen wir fest-halten¹).

bür einen beliebigen Stab gilt demnach

V cos a! = (l -j- A l) cos (a — #) = {l -f- A l) (cos a -J- # sin a),

wobei, wegen der Kleinheit des Winkels $, cos#=i und sin$ = # gesetzt wurde. Nach Ausführung der angedeuteten Multiplikation folgt

l' cos a! — I cos cc-j-Al cos a-j-fi-l sin a,

hierbei wurde das Glied Al-$- sin a als klein von der zweiten Größenordnung vernachlässigt.

In derselben Weise findet man

oder

gestellt, um die Stabdrehwinkel    • &n-i drehen. Stab i

hierbei in seiner Richtung festgehalten gedacht, da es nur auf die Verdrehung der Stäbe gegeneinander und nicht auf eine Verdrehung des ganzen Gebildes ankommt. Wir projizieren nun die beiden Stabpolygone auf zwei aufeinander senkrecht stehende Achsen x und y. Die x-Achse falle mit der Stabsehne i — n zusammen, der Achsenursprung liege in i. Soll jeder der beiden Stabzüge eine geschlossene Figur bilden, so muß die Summe der Projektionen aller Vieleckseiten auf die beiden Achsen x und y Null sein. Demnach ist

für das unverzerrte Stabvieleck 21 cos a — 0

und für das verzerrte Stabvieleck 21! cos a! = o

n sei

und

und

21 sin cc = o,

^Ysina' = o.

l; sin a —(l-f-Al) sin (a — '&) — {l -\- Al) (sin a — # cos a)

l' sin «' = / sin a -j- A l sin a — &-1 cos a.

*) Wegen des Zusammenhanges der Winkelgleichungen mit den Kontinuitätsbedingungen, in denen ebenfalls die Drehwinkel $ auftreten, wurde einer Verkleinerung des Winkels a ein positives # zugeordnet.

Bleich, Viermomeutensatz.    2

21 cos a -J- 2A l cos a -j- 2$ ■ l sin a = o 21 sin a -(- 2A Isma — 2# • l cos a = o.

Nach Einsetzen in die eingangs aufgestellten Summengleichungen gewinnt man

Die ersten Glieder dieser beiden Gleichungen sind Null und die Formeln nehmen daher die einfache Gestalt an

²)

2Al COS a -f-    1 sin a = 0

2Als\na— ISrDZcos a = 0

Diese beiden Gleichungen werden als Winkelgleichungen bezeichnet. Die Summenzeichen erstrecken sich auf alle Stäbe des Systems, ob diese gelenkig oder steif angeschlossen sind. Das Vorzeichen der einzelnen Summenglieder hängt vom Vorzeichen der Winkelfunktion des Winkels a ab. Die Al bedeuten die Längenänderungen der Stabsehnen und sind Funktionen der Längskräfte, Temperaturänderungen und der verbiegenden Momente bei gekrümmten Stäben. Die Al und ■& werden als Unbekannte zunächst positiv angenommen.

In den vorstehenden Entwicklungen wurde die cc-Achse mit einer Rahmenseite zusammenfallend angenommen, und dieser Rahmenseite, als festgehalten, der Drehwinkel Null beigelegt. Dies muß keineswegs immer der Fall sein; man kann jede beliebige Richtung als Projektionslinie wählen, d. h. der Winkel a kann auf eine beliebig gewählte Gerade mit Richtungssinn bezogen werden, nur muß diese Gerade im Grundsysteme selbst, also gegen irgendeinen Stab desselben, festgelegt sein.

Die beiden Winkelgleichungen bilden die für die Berechnung des Grundsystems noch notwendigen Elastizitätsbedingungen. Damit ist auch die Aufgabe, die überzähligen Größen im einfachen Grundsysteme zu bestimmen, im Prinzipe gelöst. Kontinuitätsbedingungen und Winkelgleichungen stellen beim w-stäbigen einfachen Grundsystem die n —j— 2 Elastizitätsbedingungen vor, aus denen die n-(-2 Unbekannten (Stabdrehwinkel und Überzählige) ermittelt werden können. Sie gelten in der Form der Gleichungen i) und 2) unabhängig von der Stabform und der Querschnittsgestaltung, haben daher allgemeine Bedeutung.

§ 3. Anwendung auf beliebige statisch unbestimmte Tragsysteme.

Wir betrachten zunächst die aus einem einfachen Grundsystem abgeleiteten Träger. Durch Einschalten eines Gelenkes in einem ausgezeichneten Punkte fällt eine überzählige Größe, also eine Unbekannte, fort, ebenso entfällt aber auch eine Kontinuitätsbedingung, da

im Gelenkpunkte keine Kontinuität besteht. Bei zwei Gelenken fallen zwei Unbekannte und zwei Kontinuitätsbedingungen fortusw. Man erkennt somit, daß das Gleichgewicht zwischen der Zahl der Unbekannten und der Zahl der zu ihrer Berechnung dienenden Elastizitätsbedingungen in jedem Falle für alle nach den Regeln des § i aus dem einfachen Grundsysteme abgeleiteten Tragwerke ungestört bleibt, womit die Möglichkeit der Berechnung beliebiger Tragwerke dieser Gruppe mit Hilfe der Kontinuitätsbedingungen i) und der Winkelgleichungen 2) dargetan ist.

ff

a.

Abb. 25.

Liegt der Gelenkpunkt nicht in einem ausgezeichneten Punkte des Grundsystems, wie in Abb. 25, so bleibt die Zahl der Kontinuitätsbedingungen unverändert, aber die Zahl der Stabdrehwinkel $ wird um Eins vermehrt, da den Stabteilen ag und gb verschiedene Drehwinkel zukommen. Dafür entfällt aber eine Überzählige, wodurch das Gleichgewicht zwischen der Zahl der Unbekannten und der Zahl der Elastizitätsbedingungen wieder hergestellt ist.

Liegt ein mehrfaches Grundsystem vor, so sind zunächst zwei Fälle zu unterscheiden:

i.Fall. Zwei aneinandergeschlossene Grundsysteme haben nur einen Stab gemeinsam. Für jedes einfache Grundsystem können so viele Kontinuitätsbedingungen angesetzt werden als es ausgezeichnete Punkte besitzt, außerdem je zwei Winkelgleichungen. Haben die aneinandergeschlossenen Grundsysteme p, q, r . . . ausgezeichnete Punkte und sind insgesamt ß einfache Grundsysteme zu einem Tragwerk vereinigt, so beträgt die Gesamtzahl der Elastizitätsbedingungen

Denken wir uns nun vom ersten einfachen Grundsystem eine Seite festgehalten, ihren Stabdrehwinkel # also Null gesetzt, so beträgt die Zahl der unbekannten Stabdrehwinkel um 1 weniger als die Zahl der ausgezeichneten Punkte dieses Feldes. Auch die Zahl der Stabdrehwinkel der anschließenden Grundsysteme ist je um I kleiner als die Zahl der ausgezeichneten Punkte, da der Stabdrehwinkel der gemeinsamen Seite schon im vorangehenden Felde als Unbekannte gezählt wurde.

Es liegen demnach

(p —I) 4" (2 —I) (r —*) 4" • • • 3ß

Unbekannte vor, wenn wir beachten, daß ein /Maches Grundsystem 3/Mach statisch unbestimmt ist. Die Gesamtzahl der Unbekannten ist demnach gleich der Zahl der Elastizitätsbedingungen, d. i.

2. Fall. Sind zwei oder mehr Stäbe den beiden aneinandergereihten einfachen Grundsystemen gemeinsam, wie z. B. in Abb. 26, so zeigt eine einfache Überlegung, daß in solchen Fällen so viel Drehwinkel aus der Zahl der Unbekannten herausfallen als gemeinsame Stäbe vorhanden sind. Gleichzeitig vermindert sich aber auch die Zahl der Kontinuitätsbedingungen, da für die zwischen den Anschlußpunkten a

a,

JT

JT

Abb. 26.

und b liegenden ausgezeichneten Punkte nur einmal Kontinuitätsbedingungen angesetzt werden dürfen, und zwar entweder bei Betrachtung des Systems I oder II. Die betreffenden Kontinuitätsbedingungen sind in beiden Systemen identisch, zählen also nur einmal. Entfallen

v gemeinsame Stabdreh-1 Kontinuitätsbedingungen

winkel als Unbekannte, so können v weniger aufgestellt werden, so daß der Unterschied zwischen der Zahl der Kontinuitätsbedingungen und der Zahl der unbekannten Stabdrehwinkel, genau wie bei Fall 1, für jedes einfache Grundsystem Eins beträgt. Es ist demnach auch hier die Zahl der Unbekannten gleich

der Zahl der Elastizitätsbedingungen.

Beachtet man noch zum Schlüsse, daß hinsichtlich des Einflusses der Gelenke auf die Zahl der Unbekannten und die Zahl der Elastizitätsbedingungen das gleiche gilt wie beim einfachen Grundsysteme, so ist der Beweis erbracht, daß jedes beliebige statisch unbestimmte System mit Hilfe der Kontinuitätsbedingungen und der Winkelgleichungen berechnet werden kann.

Wir wollen noch einen Satz über mehrfache Grundsysteme beweisen, dessen Kenntnis für die praktische Anwendung des Verfahren» wichtig ist. Dieser Satz lautet:

Stoßen in einem Tragwerksknoten g Stäbe zusammen, die sämtlich steif angeschlossen sind, so lassen sich für diesen Knoten nur g — 1 voneinander unabhängige Kontinuitätsbedingungen aufstellen.

Da p Stäbe angeschlossen sind (Abb. 27), so kann jeder dieser q Stäbe, mit einem der übrigen vereinigt gedacht, eine Kontinuitäts-Die

bedingung liefern.

Zahl der so möglichen Bedingungen ist gleich der Zahl der Kombinationen zu

'P

zwei Elementen ohne Wiederholung, d. i.

„ _____ i) .

Abb. 27.

Wir greifen nun eine

beliebige Kontinuitätsbedingung heraus, z. B. die, welche sich auf Stab I und Stab v bezieht. Diese lautet:

~dAy_

_ dx jv

dAy . dx Ji

Weiter jene, die die Stäbe I und v -J- 1 umfaßt: dA y dx J]

cos²^

cos² yx —

'dAy

. dx

cos² yv -j- $₁ —    — o.

cos² +    1 = 0.

- V -f- 1

Subtrahiert man beide Gleichungen, so entsteht

cosV,

W it/ _| 7

dA y

. dx

COS ²7v +1 -j-    +1 = 0

V -\- 1

d. i. eine Kontinuitätsbedingung zwischen Stab v und v -|- 1, die aber schon in der Gesamtzahl der möglichen Bedingungen enthalten ist. Verbindet man einen beliebigen Stab der Reihe nach mit den übrigen q — 1 Stäben zu Kontinuitätsbedingungen, so erhält man q — 1 Gleichungen,- die voneinander unabhängig sind. Durch Subtrahieren von je zweien können Kontinuitätsbedingungen abgeleitet werden, deren Gesamtzahl der Zahl der Kombinationen aus {ja — 1) Elementen zu zwei Elementen ohne Wiederholung gleich ist. Diese Zahl / beträgt

(g —i)fe —2)

Da die Gesamtzahl aller Kontinuitätsbedingungen z ist, so ist die Zahl der überhaupt möglichen, voneinander unabhängigen Kontinuitätsbedingungen z — /, demnach

. j g(g— J) — (Q— i)(g— g)., T 2 ^

was zu beweisen war.

Es werde noch bemerkt, daß es im Grunde genommen gleichgültig ist, welche von den möglichen Kontinuitätsbedingungen eines Knotens angesetzt werden. Bedingung ist nur, daß sie voneinander unabhängig sind, wobei man sich bei der Auswahl der Kombinationen nur von Zweckmäßigkeitsgründen hinsichtlich der Vereinfachung der Berechnung leiten lassen wird.

Bei der Anwendung der Winkelgleichungen auf mehrfache Grundsysteme oder auf aus solchen abgeleitete Tragwerke wird man in Anwendung des am Schlüsse der Darstellung der Winkelgleichungen auf S. 18 Gesagten alle Einzelrahmen, in die das betrachtete System zerfällt, auf eine und dieselbe Projektionsgerade, die am zweckmäßigsten eine Auflagerverbindungslinie ist, beziehen. Doch steht es auch frei, für jeden einfachen Rahmen oder für eine Gruppe derselben je eine andere Bezugsgerade für den Winkel a zu wählen.

Einige Beispiele sollen die Zurückführung der Tragsysteme auf Grundsysteme und das Gleichgewicht zwischen der Zahl der Elastizitätsbedingungen und der Unbekannten zeigen.

1.    Der in Abb. 28 dargestellte Halbrahmen ist einfach statisch unbestimmt. Mit gerissenen Linien sind die Ergänzungsstäbe zum

1 '/T- 00

b)

a)

Tz£zA°——bß

Abb. 28.

geschlossenen Rahmen dargestellt. An Unbekannten zählen wir: eine statisch unbestimmbare Größe und drei Stabdrehwinkel, da vier Stäbe vorliegen, von denen der Stab AB in seiner Richtung festgehalten ist und daher keine Verdrehung erleiden kann. Insgesamt vier Unbekannte. Zu ihrer Ermittlung dienen zwei Kontinuitätsbedingungen für die ausgezeichneten Punkte A und G, sowie die beiden Winkelgleichungen. Somit vier Gleichungen.

2.    Eingespannter Bogen nach Abb. 29. Dieses Tragwerk ist dreifach statisch unbestimmt. Als Unbekannte kommen nur drei Überzählige in Betracht, weil A und B fest sind und daher sämtliche

verschwinden.

Stabdrehwinkel

Cb)

b)

A.

Abb. 29.

An Elastizitätsbedingungen liegen vor: zwei Kontinuitätsbedingungen für die ausgezeichneten Punkte A und B, sowie eine Winkelgleichung, da in der zweiten Winkelgleichung, wie man sich leicht überzeugt, sämtliche Glieder Null sind. Zusammen also drei Gleichungen.

3. Der Eingelenkrahmen der Abb. 30 ist zweifach statisch unbestimmt. Unbekannt sind: zwei Überzählige und vier Stabdrehwinkel, somit liegen sechs Unbekannte vor. Zu ihrer Berechnung dienen vier Kontinuitätsbedingungen für die Punkte A, B, E und F sowie zwei Winkelgleichungen, somit sechs Gleichungen.

ie/enf

*)

müh

Abb. 30.

4. Der Doppelrahmen nach Abb. 31 ist vierfach statisch unbestimmt. Den fünf wirklichen Systemstäben entsprechen fünf Stabdrehwinkel; Stab A CB hat den Drehwinkel & — o. Zusammen mit den vier Überzähligen sind neun Unbekannte zu ermitteln. An Bedingungsgleichungen liegen vor: fünf Kontinuitätsbedingungen, und zwar je eine für die Punkte D und F und je zwei für die Punkte E

a)

II

*Jr

Abb. 31.

OO

a \£L.

SB

und C, wo je drei Stäbe zusammenstoßen. Die beiden Gleichungen für Punkt C sind aber miteinander identisch, da beiden Stab CE gemeinsam ist und die von den Zusatzstäben AC und CB herrührenden Glieder, wegen J— 00, verschwinden. Die sechs möglichen Kontinuitätsbedingungen verringern sich somit auf fünf. Hierzu kommen für jedes Rahmenfeld zwei Winkelgleichungen. Insgesamt stehen daher zur Berechnung der neun Unbekannten 5 -j- 4 = 9 Gleichungen zur Verfügung.

5. Das in Abb. 32 dargestellte dreifeldrige Tragwerk ist dreifach statisch unbestimmt, da in den Außenfeldern je ein Gelenk angeordnet ist. Neben den drei Überzähligen zählen wir neun Stabdrehwinkel, also insgesamt zwölf Unbekannte. An Gleichungen liegen vor: für die Eckpunkte E und H je eine, für die Punkte F und G, wo drei

Stäbe Zusammenstößen, je zwei Kontinuitätsbedingungen, zusammen also sechs Kontinuitätsgleichungen. Dazu treten noch 3x2 = 6 Winkelgleichungen, daher insgesamt zwölf Gleichungen.

fl

a)

\c

__fl.

Abb. 32.

6.    In Abb. 33 ist ein Zweigelenkrahmen mit zwei gelenkig angeschlossenen Zwischenriegeln dargestellt. Dieses Traggebilde ist

dreifach statisch unbestimmt. Berücksichtigt man, daß neun Stabdrehwinkel in Betracht kommen, so sind insgesamt zwölf Unbekannte zu bestimmen. Dieser Zahl von Unbekann-ten stehen gegenüber:

L    sechs Kontinuitätsbedin-

I    gungen für die ausgezeich-

J^5>    neten Punkte C, D, E, F,

A,    Cr und H, und 3x2 = 6

Winkelgleichungen; zusammen zwölf Gleichungen.

7.    Der unterspannte Balken (Abb. 34) ist einfach statisch unbestimmt. Die Auszählung ergibt: an Unbekannten: eine Überzählige

und sieben Stabdrehwinkel, £    zusammen acht; an Glei

chungen: zwei Kontinuitätsbedingungen und sechs Winkelgleichungen, zusammen ebenfalls acht. Hierbei wurde der Stabdrehwinkel eines der acht Stäbe als gegeben angenommen, da ja ein Stab in seiner Richtung festzuhalten ist.

8.    Der einerseits eingespannte, anderseits beweglich gelagerte Balken AB sei mit dem Stabpaar CE und ED steif verbunden (Abb. 35). Das so entstandene Tragsystem ist vierfach statisch unbe-

C,

Aj

Wb

\D Ci

a)

A)

Abb. 33.

Abb. 34.

6,

fl

\£

*)

W,.

stimmt. Fügt man die Zahl der unbekannten Stabdrehwinkel für die fünf Stäbe des gegebenen Systems und für den fingierten Stab BF hinzu, so sind ingesamt zehn Unbekannte zu bestimmen. Zu ihrer

ff!

a)

*>)

Ci

Ci

77

iii

'c.7=00

7=00

Abb. 35.

Ermittlung dienen: sechs Kontinuitätsbedingungen, und zwar je eine für die Punkte A und E und je zwei für die Punkte G und D; dann 2X2=4 Winkelgleichungen für die beiden geschlossenen Figuren ABF und CDE; insgesamt zehn Gleichungen.

9. Der Vierendeelbalken (Abb. 36) ist bei n Feldern 3«-fach statisch unbestimmt. Die Zahl der Unbekannten beträgt demnach 3n

Abb. 36.

Überzählige, zu denen bei gn-f-¹ Stäben, 3« Stabdrehwinkel hinzukommen, also 6n. An Bestimmungsgleichungen stehen zur Verfügung: für jedes Rahmenfeld vier Kontinuitätsbedingungen und zwei Winkelgleichungen, insgesamt 6n Bedingungsgleichungen.

II. Tragwerke aus geraden oder schwach gekrümmten Stäben mit unveränderlichem

Querschnitt.

§ 4. Der Viermomentensatz.

Für die nachstehenden Entwicklungen gelten die folgenden einschränkenden Voraussetzungen:

1.    Die Querschnittsabmessungen der einzelnen Elemente des Tragwerks sind klein gegenüber den Stablängen, so daß es erlaubt ist, vom Einfluß der Querkräfte abzusehen und die inneren Kräfte und Formänderungen gekrümmter Stäbe in der gleichen Weise zu ermitteln wie bei geraden Stäben.

2.    Der Krümmungshalbmesser gekrümmter Stäbe ist an allen Stellen groß genug und der Wölbungspfeil zwischen zwei ausgezeichneten Punkten genügend klein, um die Neigung der Stabachse gegen die Stabsehne bei Ermittlung der Formänderung vernachlässigen oder durch einen Mittelwert ersetzen zu dürfen.

3.    Trägheitsmoment und Querschnittsfläche sind innerhalb eines Elementes unveränderlich.

K—a.

4---

xirr^

Abb. 37.

Wir betrachten einen aus einem Grundsystem herausgeschnittenen Stab r — l (Abb. 37). Die Mittelkraft aller links vom Punkterliegenden äußeren Kräfte werde mit R bezeichnet. Ihre Teilkräfte parallel und senkrecht zur Stabsehne r — l seien V und IT. Mit P kennzeichnen wir die äußeren Kräfte im herausgehobenen Stabfelde selbst. Auch diese Kräfte werden in ihren Angriffspunkten in die Teilkräfte Pv und Ph zerlegt. Für das Biegungsmoment Mx im Punkte m mit den Ordinaten x und y finden wir, wenn wir die Bezeichnungen der Abb. 37 beachten und die Momente wie üblich positiv zählen, falls sie am rechten festgehalten gedachten Stabteil angreifend im Sinne der Uhrzeigerbewegung drehen:

Mx-

= r(*o + X) + Hy — | P„(z - «) - 2 P,fy - V).

0 0

Da Vx₀ — Mr ist, wobei Mr das Moment von P, bezogen auf einen unendlich nahe rechts von r gelegenen Punkt bedeutet, so wird

M, = M' + VX + Hy-^Pv(x-ä)--i Ph(y-b).

0 0

Setzt man x — l, so geht M in Ml über, wobei der links von l gelegene unendlich nahe Punkt den Bezugspunkt für das Moment Ml darstellt. Es ist demnach

und daraus

Ml — Mr

entsteht

Führt man diesen Wert von V in die Gleichung für Mx ein, so

M=Mr4

X    I

Ml — Mr

x + Hy + jipv(l-a)-iPv(x-a) l 0    0

-j2Ph*-iph(v-b)-

l 0    0

l vor, wenn man

Die vier Summenausdrücke stellen das Moment des frei aufliegenden mit den Lasten P belasteten Balkens r sich das feste Lager in l angeordnet denkt. Wir bezeichnen dieses Moment mit 3)2    Die Gleichung für Mx nimmt daher nach Umord

nung die einfache Form an

3)

M=Mr

X

wobei H die in die Stabsehnenrichtung fallende Teilkraft von B ist. H wird positiv gezählt, wenn es den Stab auf Zug beansprucht, y ist positiv, wenn der Stab nach außen, negativ, wenn der Stab nach dem Rahmeninnern gekrümmt ist. Gleichung 3) gilt natürlich auch, wenn an Stelle der bisher vorausgesetzten Einzellasten zwischen r und l irgendeine andere Art der Belastung in Betracht kommt, da sich jede

Belastung letzten Endes mit genügender Annäherung auf ein System von Einzellasten zurückführen läßt. Die Momente Mr und Ml nennen wir die Anschlußmomente.

Unter den eingangs gemachten Voraussetzungen kann die Differentialgleichung der elastischen Linie eines Stabes (Elementes) in der Form geschrieben werden

EJcos³ 9o

d²Ay

dx²

Ay ist wie in § 2 die Änderung der Stabachsenordinate durch die Verzerrung, Mx das Biegungsmoment im Punkte m, E und JElastizitätsmaß und Trägheitsmoment des Stabes (Abb. 37). cp bedeutet eine mittlere Neigung der Stabelemente gegen die Stabsehne.

Die zweimalige Integration der Differentialgleichung ergibt

X

EJ'A y — —

wenn zunächst

/ f*adxCxx + C%, 0

f Mxdx = ux 0

eingeführt und Jcos³ cp = J' gesetzt wird.

Um die Festwerte Cx und C₂ zu bestimmen, setzen wir, da sich die Ordinaten y der Stabachse auf die Stabsehne beziehen,

Ay = o Ay = o

kir x = 0 für x = l

und finden

ixjx

C₂ = o.

Die Gleichung der elastischen Linie nimmt damit die Form an

lljx.

Um die Beträge der für die Kontinuitätsbedingungen notwendigen Differentialquotienten zu erhalten, differentiieren wir die voranstehende Lösung und finden

7 fpxdat — p,. 0

EJ'

dAy

dx

Durch partielle Integration gelangen wir zu der allgemein gültigen Verknüpfung

mithin ist

fixdx = xpie—jx

dx

dx — Xfxx —

Mxxdx;

i

lptt — f Mxxdx, o

j/XxdX

0

wenn pLx den Wert von jux für x = l bedeutet.

Mit diesem Ausdrucke für das bestimmte Integral geht die Gleichung des gesuchten Differentialquotienten über in

EJ'

dAy

dx

Mxxdx.

Beachtet man, daß /xt — fxx die durch Mx definierte Momenten-fläche von x bis l ist, weiter, daß das durch l geteilte Integral in der letzten Gleichung den rechten Auflagerdruck der ganzen Momenten-fläche vorstellt, so läßt sich die rechte Seite dieser Gleichung, als die zur Momentenfläche M als Belastung gehörende, negativ genommene Querkraft SfQ an der Stelle x deuten (Satz von Mohr). Sonach können wir auch schreiben

EJ'

dAy

dx

• 4)

Zwecks Verwendung dieses wichtigen Ergebnisses für die Kontinuitätsbedingung bestimmen wir die Sonderwerte des Differentialquotienten für x — l und x — o. Es ist offenbar

dAy

-dx_ % — i 'dAy _ dx_x = o

wenn mit 5t und $8 die von der Momentenfläche M herrührenden

CC

Auflagerkräfte im linken bzw. rechten Endpunkt bezeichnet werden.

Die Verknüpfung der Gleichungen 5) mit der Kontinuitätsbedingung i) liefert die Beziehung

cos2/fe EJk cos³ cpu

93

EJ’

51

5)

EJ’

cos‘n+x 3 icos3 <Pk+i

wobei sämtliche Glieder mit —- i multipliziert wurden. Setzt man für schwach gekrümmte Stäbe genau genug cos² y : cos³ cp — X, so entsteht

fc+1

fc + 1

= 0,

93fc , 51 EJ^EJ,

Jc + 1

7c+ 1

6)

Durch die Zeiger k und A —j— I wird die Zugehörigkeit der einzelnen Glieder zu den durch die Gleichung 6) in Verbindung gebrachten Stäben lk

und l

festgelegt. E wurde zeigerlos belassen, da wir das Elastizitätsmaß in allen Stäben gleich groß annehmen wollen.

Gleichung 6) stellt, unter den eingangs angeführten einschränkenden Bedingungen, die integrierte Kontinuitätsbedingung vor. Faßt man die Momentenflächen der durch 6) verknüpften Stäbe als Belastungen auf, so stellen und 21

Balkenwiderstände im Zusammenhangspunkte k vor.

fc + i

fc + i

die von dieser Belastung herrührenden

■4*.

Ml

y**¹

k-

Abb. 38.

dessen End-

Wir haben in Gleichung 3) einen Ausdruck für das Biegungsmoment Mx für den allgemeinsten Belastungsfall eines Elementes gefunden. An Stelle der Momente Mr und Ml führen wir für den Stab lk die Anschlußmomente Ml—1 und Ml entsprechend den beiden Endpunkten k — x und k ein, ebenso Ml und Ml-^i für den Stab l

f.

punkte k und k -j-1 sind (Abb. 38). Alle übrigen Kraftgrößen und Abmessungen, die sich auf die durch die Konti-

c)

-y-*

nuitätsbedingung in Zusammenhang gebrachten Stäbe lk und beziehen, werden durch

Ja

F/dcAe <$ I b

k +1

die Zeiger k und k -|- I unterschieden. Wir können daher

Abb. 39.

schreiben

für Stab L:

fc ■

Mx

— Ml— 1 ^1 —yj -j- Mi— -|- Hkyh -f- 50ll,

für Stab l

ft+i-

Mx = Mrk

—y) +-M*+i y + +t+i24+i +    •

Die durch M definierten Momentenflächen zerfallen sonach für

CC

jeden Stab in vier Teile; wir bestimmen deshalb die Auflagerkräfte und Slfc+1 zweckmäßigerweise für jeden Teil getrennt. Aus Abb. 39, in der die einzelnen Momentenflächen unter der Annahme, daß Mr, Ml und H Eins sind, dargestellt erscheinen, findet man leicht

für die Momentenfläche a) b = — l

uk 6 lk>

für die Momentenfläche b)

vk 3 flc’

für die Momentenfläche c)

flfc + l 6 ^k + 1’

ak + X = ®

Mji

fc +1

«ti

fc + 1

fc + 1

fc + 1

©jji— 1 und <S*+1 sind die statischen Momente der zwischen Stabachse und Stabsehne gelegenen Flächen bzw. 0 Zeiger stimmt mit dem Stabzeiger überein, der obere Zeiger gibt den Bezugspunkt an, durch den die Momentenachse geht.

Die Werte von Sßk und 2ffe

fc + 1 *

Der untere

infolge der zunächst nicht näher bestimmten Feldbelastung (Moment äßj bezeichnen wir mit und

«* + !•

Für das Gesamtmoment M gilt somit

7    7    (K* —¹

\-Ml —±±    ! TT

r1YJ-k+1 ß

^fc+1 = ^Jy⁺¹

damit geht Gleichung 6) über in

+ 33 ,

fc + 1

fc + 1

+ 2T*+i,

f »f] +

+*f+i -

Tf/AA1 = 0.

Wir multiplizieren nun mit 6EJC, wobei Jc ein beliebig gewähltes Trägheitsmoment bedeutet, lösen die Klammern auf, ordnen die Gleichung und führen

-®++i

— +- + #

+1

fc + i

ein. V heiße die reduzierte Länge des Stabes. Wir erhalten danach

Mjc—i lfe~f~ 2 ü/fc Vjc -f~ 2 Mk /fc-j-i -f- 3Ik-ui -f- 6 lf/c    ..j -f-

vk

6 JZ'Tciß'/c —    = 3T ... 7)

fc + 1

Mit N haben wir das von der Belastung abhängige Glied bezeichnet. Es ist

8)

Gleichung 7) tritt an Stelle der Kontinuitätsbedingung in die Gesamtheit der Elastizitätsbedingungen ein, sie enthält keine Differentialquotienten mehr, erscheint also als das Integral der Kontinuitätsbedingung 1). Da sie eine Funktion der vier Anschlußmomente der beiden zusammenhängenden Stäbe darstellt, so wollen wir Gleichung 7) in ihrer allgemeinsten Form als Viermomentensatz bezeichnen. Die nach diesem Satze im Sonderfalle aufgestellten Elastizitätsbedingungen heißen dann Viermomentengleichungen. Viermomenten- und Winkelgleichungen bilden somit das System der Elastizitätsbedingungen, aus denen, wie wir sehen werden, die Bestimmungsgleichungen für die Ermittlung der überzähligen Größen herausgelöst werden. Die Kontinuitätsbedingung 1) selbst hat für die hier betrachtete Tragwerkgruppe keine praktische Bedeutung mehr, an ihre Stelle ist der Viermomentensatz getreten. Das Belastungsglied N hängt nur von der Belastung der beiden durch die Viermomentengleichung verknüpften Stäbe ab und ist unabhängig von der Belastung der übrigen Elemente.

Kommen nur gerade Stäbe in Betracht, so fallen die Glieder mit H fort, da die Flächenmomente (g Null sind. Der Satz nimmt dann die einfachere Form an:

^r-lV + 2tf>'V + 2-K»rV+l

7')

Für den besonderen Fall, daß im Punkte k nur zwei gerade Stäbe zusammenstoßen, wie beim einfachen Grundsystem, geht die letzte Gleichung in den bekannten Dreimomentensatz über.

Mh-1

K + 2Mk (V + h!+1) + Mi

Man erkennt hier ohne weiteres die Clapeyronschen Gleichungen wieder, wenn man die Drehwinkel $ durch die Differenzen der Knoten Verschiebungen ersetzt.

In der vorangehenden Darstellung wurden jene Momente positiv gezählt, welche, an dem rechten festgehalten gedachten Stabteil angreifend, im Uhrzeigerbewegungssinne drehen. Diese Festsetzung muß noch mit Rücksicht auf zusammengesetzte Rahmenformen ergänzt werden. Wir denken uns jedes Rahmentragwerk zu einem einfachen oder mehrfachen geschlossenen Rahmen ergänzt und die ausgezeichneten Punkte jedes Einzelrahmens von einem beliebigen Punkte aus im Sinne der Uhrzeigerbewegung beziffert. Dann ist, um links und rechts festzulegen, der Beschauer so aufzustellen, daß er die niedrigere Ziffer zur linken Hand hat. Unsere Festsetzung besagt demnach, daß die Momente dann positiv gezählt werden, wenn sie den Stab gegen das Innere des Einzelrahmens, also gegen den im Innern stehenden Beschauer zu wölben trachten.*

Bezifferung

Die Viermomentengleichungen werden nun für jeden einzelnen Rahmen gemäß Satz 7 in der Reihenfolge, die durch die eben angegebene

sr

Abb. 40.

festgelegt ist, angeschrie- | ben. Sämtliche Anschlußmomente dieser Gleichungen werden mit einer Ausnahme positiv angenommen.

Diese Ausnahme bezieht sich auf die Endmomente jener Stäbe, die zwei benachbarten Einzelrahmen gemeinsam sind, wie z. B. Stab cd in Abb. 40. Dieser Stab wird als Glied des Rahmens ab cd bei Aufstellung der Viermomentengleichung im Sinne c—*d durchlaufen. Seine Endmomente werden hierbei positiv angenommen. Als Stab des Rahmens cefgd wird aber cd beim Ansatz der Momentengleichungen dieses Rahmens im umgekehrten Sinne von d nach c durchfahren; der Beschauer steht jetzt auf der anderen Seite des Stabes, so daß Punkt d als niedrigere Ziffer zu seiner linken Hand ist. Nun ist der Sinn der positiv drehenden Momente durch die angesetzten Gleichungen des Rahmens ab cd, soweit Stab cd in Betracht kommt, bereits festgelegt. Vom Rahmen cefgd gesehen sind diese Momente jetzt negativ drehend. Sie sind daher das zweitemal mit negativem Vorzeichen einzuführen. Wir erhalten daher folgende Vorzeichenregel: Sämtliche Anschlußmomente sind positiv in die Viermomentengleichungen einzuführen, mit Ausnahme der Anschlußmomente jener Stäbe, die zwei benachbarten Einzel-Bleich, Viermomentensatz.

rahmen gemeinsam sind. Diese sind einmal positiv, einmal negativ in die Viermomentengleichungen einzusetzen.

Die Sehnenkräfte H sind positiv, wenn sie den Stab zu verlängern trachten. Die Fläche 0 oder deren statische Momente © sind positiv zu zählen, wenn der gekrümmte Stab nach außen, negativ, wenn der Stab gegen das Rahmeninnere gewölbt ist. Bei krummen Stäben, die zwei benachbarten Feldern gemeinsam sind, wird deshalb 0 und © einmal positiv, einmal negativ in den Viermomentengleichungen erscheinen.

Berechnung des Belastungsgliedes JV,

Es bleibt noch übrig, die mit N bezeichnete rechte Seite der Viermomentengleichung 7) — das Belastungsglied — auf Grund der Formel 8) für einzelne praktisch wichtige Lastsysteme zu berechnen.

a) Belastung der Stäbe lk und lk+1 durch Einzellasten Pk und Pk + l, die senkrecht zur Stabsehne gerichtet sind. Abb. 41a.

fr

k-T**⁰

/b /7

L-cb

0)lx-/7ac/?e

bj

Abb. 41.

Die Momentenfläche SDP für eine Einzellast P im Abstande a

X

vom linken Auflager ist in Abb. 41b dargestellt. Die Auflagerkräfte 5fp und 58p sind leicht zu berechnen. Bezeichnet man das Moment in der Entfernung a mit Tla, so folgt zunächst

=^Q+*y>

nun ist

ma=p

a,

mit welchem Betrage sich

ergibt. Vertauscht man a mit (l — a), so erhält man auf kurzem Wege “$LP, und zwar

%p

Gleichung 8) geht mit diesen Werten, wenn man eine Gruppe paralleler Lasten ins Auge faßt, über in

tö

il

{i CT)fc-pi

Xi

. . . 9)

fc+i

Bezeichnet man die von den besonderen Systemabmessungen unabhängigen Teile in N mit fx und f, nämlich

. . 10)

so läßt sich Gleichung 9) in der Form schreiben

N— — lk 2JPkf* — ^+i4+i2Pj,4i/i. . . . 9O

\-e---^h-1

\kf7

te.

hi+i

^'ktl

-I

«i*

'k+1

Abb. 42.

d

fx und f₂ sind Funktionen der Verhältniszahlen ~ bzw.

und können ein für allemal in Tafeln vorberechnet werden. Derartige Tafeln der Funktionen fx und /j, die wir als Stammfunktionen bezeichnen, und die bei der Darstellung der Einflußlinien eine wichtige Rolle spielen werden, sind im Anhänge für y von 0,01 zu 0,01 steigend enthalten.

b) Die geraden Stäbe sind durch ein System paralleler Einzellasten belastet, deren Richtuug im allgemeinen gegen die Stabrichtungen geneigt ist. Abb. 42.

Wir bezeichnen die Winkel, die die Stäbe lu und lk+1 mit einer Geraden x — x₇ die senkrecht zur Lastrichtung steht, einschließen, mit ak und ak+1. Jede Last wird in zwei Teilkräfte senkrecht und parallel zur Stabrichtung zerlegt, wie dies Abb. 42 zeigt. Da bei geraden Stäben der Einfluß der Längskräfte auf die Momente Null ist, so bleibt für jeden Stab ein System von senkrecht zur Stabrichtung wirkenden Kräften zurück, für welche die Beziehung 9 oder 9' gilt.

Wir finden somit, wenn wir Gleichung 9' benutzen,

N— lk lk cos akEPkf 4+1 4 + i cos ak+i NPk+i fi

oder

fc + i

Xk und X

auf die Richtung x—x. fx und f₂ werden für die Verhältnisse oder

Je + l

4+i NPk+₁f₁ .... 11) sind die Projektionen der Stablängen lk und lk + ₁

— den vorerwähnten Tafeln entnommen. /

c) Belastung durch gleichförmig verteilte Streckenlasten pk bzw. pk+l in den Stabfeldern lk und lk

+i-

Abb. 43.

Abb. 43.

Setzt man in Gleichung 9) für P den Wert pdx und für das Summenzeichen das Integralzeichen, so erhält man

a°+2

<*0 +

ak²

Np—

“0_T

und nach Ausführung der Integrationen

4 a^ + Fl

2) ^ P/t+i 4+i a)

fc+i

(L_fOl±il,

x Jö    dx

l-k + l

4P

Je

pfc+i4' + i[(Z — a₀)ß]

4{l-a,Y_±^

fc + i

4P

- Je -j- 1

12)

d) Totale gleichförmig verteilte Belastung pk bzw. pk+L in den Stabfeldern lk und lk

+1 *

Führt man in Gleichung 12) ß = l und a₀ = — ein, so wird

ir™=—rPuUil--TP*+iil+ii

. . 13)

4 und 4

e) Belastung durch Drehmomente ph und pk+1 in den Feldern

+ i-

Abb. 44.

Das Moment p greife in m im Abstande a von der linken Stütze an. Abb. 44 a. Es wird positiv gezählt, wenn es vom Rah-meninnern gesehen, im Sinne der Uhrzeigerbewegung dreht.

Mit den Bezeichnungen der Abb. 44 b, die die Mo-mentenfläche 9D4 darstellt, findet man zunächst:

TPb >

cc)

CC

L_

l—(L

fr

>)

x-F/äche

9>p

Abb. 44.

_ i (" a¹ 2    . (I — aY f . I — a\

*=T[-^i'la+IA-nL\a+—

aV|

ferner 3tp aus dem Betrag von 93p, setzt und beachtet, daß %p negativ ist. Man erhält sonach

wenn man a

durch (l — a) er-

?lp= —

CM £

r    (l — a\

21

Mit diesen Werten nimmt Gleichung 8) die Form an

l — a

Nfi Pk h ¹    3

7 '

k + 1 lk + 1

fe + i

!4)

f) Belastung durch Einzellasten Ph parallel zur Stabsehne. Abb. 45. In Übereinstimmung mit den Annahmen bei der Aufstellung des vollständigen Ausdruckes für Mx (Gleichung 3 S. 2 J) fassen wir A als bewegliches, B als festes Lager des Balkens AB auf, so daß in den Endpunkten die senkrechten Auflagerwiderstände A und B und außerdem in B die wagerechte Last Ph zur Wirkung kommt. Abb. 45 a. a und b sind die Koordinaten des Angriffspunktes der Last Ph.

Die Momentenfläche läßt sich zweckmäßig in zwei Teile zerlegen: In das überschlagene Dreieck, Abb. 45 b, und in die krummlinig begrenzte schraffierte Momentenfläche mit den Ordinaten Phy, Abb. 45c.

--\

CN

^____

t.

-if

±_

OL

c)

Abb. 45.

Die erstgenannte Fläche stimmt mit der Momentenfläche unter e) überein, weshalb man unter Verwertung der oben gewonnenen Ergebnisse, wenn ju = Phb gesetzt wird, findet

l — a \²

m-

Bezeichnet man das statische Moment der schraffierten Momentenfläche der Abb. 45 c von a bis l, bezogen auf den rechten bzw. linken Endpunkt, mit und §A, so ist

<rl I~³

93p=—

-öl    ₆

<§B

%p =

und Gleichung 8) geht über in

und

A=- A* h'h h - 3 (y)].+A*⁺¹ K+1

l — a \²

fc + i

V.

V.

+6 A*Ää,*-i+6*y’+i|±Mt;

15)

Die Berechnung der Längenänderungen A l in den Winkelgleichungen. 39

¹ und    sind die statischen Momente der zwischen Stab

achse und Stabsehne gelegenen Fläche von a bis l des Stabes lk bzw. I

fe + i

bezogen auf k—I bzw. ä —j— 1.

§ 5. Die Berechnung der Längenänderungen Al in den Winkelgleichungen.

Wir fassen den einem Tragwerke entnommenen Stab r — l als Balken auf, der in r ein festes, in l ein in Sehnenrichtung bewegliches Lager besitzt, mit den Anschlußmomenten Mr und Ml, der Sehnenkraft H und der Feldbelastung P belastet ist, und berechnen die Verschiebung Al des Punktes l in der Richtung der Sehne infolge dieser Belastung. Abb. 46.

!p

H-

a/( Tz

A\

ß\

L-

Abb. 46.

Betrachtet man die stetig gekrümmte Stabachse als Stabeck mit unendlich vielen, unendlich kleinen Seiten, die sich bei der Belastung um die Drehwinkel $ drehen, so kann die Gleichung der elastischen Linie bei Vernachlässigung der Neigung der Stabelemente gegen die Stabsehne auch in der Form geschrieben werden:

EJ

dx

K-

# ist der Drehwinkel des Elementes ds und Mx das Biegungsmoment an der Stelle x. Aus dieser Verknüpfung zwischen # und M folgt nach dem in § 4 abgeleiteten Satze (Gleichung 4) die Beziehung

16)

9t ist die Querkraft an der Stelle x, wenn der Balken r — l mit der durch M beschriebenen Momentenfläche belastet ist.

X

Um nun einen Zusammenhang zwischen dem Winkel -&x und den Längenänderungen zu finden, wenden wir die erste Winkelgleichung auf unser Stabvieleck an. Mit Rücksicht auf die unendlich kleinen

Elemente von der Länge ds geben wir dieser Gleichung die Gestalt

i    i

JAds cos a-J- f &xds sin cc— Al = o. o    o

Wir setzen nun für den Bogen

Ads cos a

Nxds

EF

wobei F der Stabquerschnitt, at die Ausdehnungsziffer für i° Temperaturänderung, t die Temperaturschwankung ist. Nx bedeutet die Normalkraft im Elemente ds an der Stelle x. Im Einklänge mit der beim Ansätze der Differentialgleichung getroffenen Vereinfachung setzen wir Nx gleich der Sehnenkraft H und erhalten somit, wenn wir noch beachten, daß ds cos a = dx ist,

Adscos a

EF

dx -f- attdx .

Die Einführung dieses Ausdruckes in die Winkelgleichung ergibt, da ds sin a = dy geschrieben werden kann,

und daraus

i    i    i

^Lfj*dx -j- a₍tjdx -J- dy

0 0 0

l

attl~\-^xdy = o

o

EF

Al

Hl

FF

Benutzt man für # den Wert aus Gleichung 16), nämlich:

EJ’

so entsteht

Hl

EF

Al =

f ctttl

ftxdy.

Diese Gleichung läßt deutlich den im § 2 unter b) erwähnten dreifachen Ursprung der Sehnenlängenänderung A l erkennen. Wir heben den von der Biegung herrührenden Teil, den wir mit Alb bezeichnen wollen, heraus; setzen also

Alh~ EJ

Die Berechnung der Längenänderungen Al in den Winkelgleichungen. 41 Durch partielle Integration gelangt man zu der Beziehung

Mxydx;

y^dx = ^xy

somit nimmt Al,, da für x — 0 und x — l, y — O ist, den Wert an

Al,

Mxydx.

Nach Einbringen des vollständigen Ausdruckes für MX(G\. 3, Seite 27) wird

Al,

Mr

EJ L l

-x)dx-\-

Ml

l    l    l

jyx dx -f- ifj*y² dx -f jl 0    00

Wlxydx .

Nun bedeuten

1

$y(l — X)dx 0

l

und jyxdx = <Br 0

die gleichen Flächenmomente, denen wir bereits in der Viermomenten-gleichu'ng begegnet sind. & ist das Moment der zwischen Stabachse und Sehne gelegenen Fläche bezogen auf den rechten, ©r das statische Moment der gleichen Fläche bezogen auf den linken Stabendpunkt.

Ferner ist

Jy²dx = 2 J~y dx = 2 ©

0    0

wo das statische Moment der obenerwähnten Fläche bezogen auf die Stabsehne bedeutet.

Wir bezeichnen schließlich das Lastglied

M,!ldx = a 0

und erhalten den Gesamtbetrag der Längenänderung Al in der Form

Al =

Mr

©r

EJ L l

Das Vorzeichen der Kraftgrößen M, H und 9K, sowie der Ordi-naten y ist nach den in § 4 getroffenen Vereinbarungen festzusetzen. t ist für eine Temperaturzunahme positiv einzuführen. In Abb. 45 haben wir sämtliche Kraftgrößen positiv angenommen. Dieser Anordnung entspricht im einzelnen eine Zunahme der Sehnenlänge, welcher Zunahme wir im vorangehenden das positive Vorzeichen von Al

zugeordnet haben. Einem positiven Al entspricht somit eine Sehnenverlängerung, einem negativen eine Sehnenverkürzung.

Ist der Stab, was meistens der Fall sein wird, nach einer symmetrischen Achsenlinie geformt, deren Fläche wir mit 0 bezeichnen, so gewinnt Gleichung 17) etwas einfachere Gestalt, und zwar:

+    +    +    +    . 17')

Al

Hl

HF

worin o der Abstand des Schwerpunktes der Fläche 0 von der Stabsehne ist.

Für den Fall der Belastung mit einer Einzellast P= I läßt sich bei symmetrischen Stäben das Lastglied 6r in der Form

darstellen, wo g eine von der Stabform und dem Laststellungsverhältnis abhängige Funktion, f den Pfeil in Stabmitte bedeutet. Da wir es nur mit schwach gekrümmten Stäben zu tun haben, wird es angängig sein, die Achsenlinie stets durch eine Parabel zu ersetzen, wodurch die Möglichkeit gewonnen wird, die Funktion g im voraus zu berechnen.

Für eine Last 1 im Abstande a vom linken Auflager ist

für £c<>

sro„=

Die Gleichung der Achsenlinie lautet bei der Pfeilhöhe f

für x^>a

x,

4f

somit ist

4 f\l—

G=jwxydx=^-L (

0

— x) dx + jjx (l — xf ix

Damit ist die Funktion g gegeben durch

u

Im Anhänge ist g für verschiedene Werte von — in einer Tafel dargestellt.

Für parabelförmige Achsenlinien gilt ferner:

# = §Zf und ® = ff-

Mit diesen Werten findet man den Betrag von Al für die Belastung mit der Einzellast P

Al

Hl

|-K(« + ₁L[i(Ä'+^,)+Ä-fff + ri,z]. . 17")

g ist, der Stellung der Last P entsprechend, aus der Tafel zu entnehmen.

EF

§ 6. Die Darstellung der Einflußlinien der statisch nicht bestimmbaren Größen; Zusammenfassung.

Die Gesamtheit der Elastizitätsbedingungen besteht aus den Viermomenten- und Winkelgleichungen.

Die Viermomentengleichungen sind Funktionen der Knotenmomente M, der Sehnenkräfte H und der Stabdrehwinkel fl. Sie können schematisch in der Form

geschrieben werden.

Die Winkelgleichungen sind Funktionen der Sehnenlängenänderungen A l und der Stabdrehwinkel fl. Wir schreiben daher symbolisch

f(MHfl) = N

•i

4L.

q>(Alfl) = 0.

24M₂

'Tl-1

Es sei nun das Element i — i, i, und nur dieses, im Abstande a vom Punkte i — i mit der Last P = i belastet. Die Last sei senkrecht zur Stabsehne Nach

%-

Glei-

Abb. 47.

gerichtet. chung 9) nimmt das Lastglied N in den beiden zu den ausgezeichneten Punkten i — I und i gehörenden Viermomentengleichungen folgende Werte an:

(l-ay

= K>

Diese beiden Ausdrücke, die Funktionen dritten Grades von a sind, bezeichnen wir mit Fx und F₂. Da a mit (l— a) vertauscht werden kann, so stellt die F₁-Linie das Spiegelbild der F₂-Linie vor.

Nachdem die andern Felder unbelastet sind, werden alle übrigen jN-Werte Null. Das System der Viermomentengleichung hat daher die Form

fx (MHfr) = o f₂ (MHfr) = o

Eliminiert man mit Hilfe der Winkelgleichungen die Drehwinkel so erhält man ein neues System von Gleichungen, deren Zahl der Anzahl der Überzähligen entspricht und die die Form haben

0 (MHAl) = cxFx-f c₂F₂ .

Die Beiwerte cx und c₂ sind aus den Koeffizienten von M, H und Al entstanden und hängen somit nur mit den Abmessungen des Systems zusammen, sind also Festwerte.

Die Sehnenkräfte H, die Momente M und die Dehnungen Al stellen Funktionen der Belastung und somit Funktionen der veränderlichen Größe a, sowie der Überzähligen X vor. Wir wollen zunächst untersuchen, wie diese Abhängigkeiten von a beschaffen sind. Zu diesem Zwecke betrachten wir ein beliebiges einfaches Grundsystem, als dessen Überzählige wir die Momente Mx und Mn und die Stabkraft Hx ansehen. Abb. 47.

Für das Eckmoment Mv finden wir

Mv = Mx -f- Hxh -j- A a .

Da A linear abhängig ist von a, so ist auch Mv mit a durch lineare Beziehungen verbunden.

Für eine beliebige Sehnenkraft Hv gilt die Beziehung Hv = — A cos ß -J- Hx sin ß.

Durch A wird auch Hv eine lineare Funktion von a .

Soweit Al von den Endmomenten M und den Sehnenkräften H abhängt, ist auch für Al der lineare Zusammenhang mit a gewahrt. Nur die durch 30^ von der Belastung abhängige Funktion G in Al (bei gebogenen Stäben) kann verschiedene Formen annehmen, weshalb auch der damit zusammenhängende Teil von Al in verschiedenster

Weise mit a verknüpft sein kann. Wir bezeichnen die Funktion von a, die diesen Zusammenhang ausdrückt, mit G (a).

Al kann demnach geschrieben werden

A l — u" a -f- v" -(- G (a) .

Das, was für das einfache Grundsystem gilt, besteht auch für jedes andere System zu Recht, das aus einfachen Grundsystemen abgeleitet wird. Wir können daher die Momente M, die Kräfte H und die Dehnungen A l eines beliebigen Systems in der folgenden allgemeinen Form darstellen:

M=ctX₁    + . . . + ua + v

H=a'Xx-{-ß'X₂-\-. . .-f-wV + t/

Al = a?X₁+ß"Xa + . . . + v" + ö₁(«) + G[a(a) + • • ■ ,

wenn mit Xx, X₂ . . . die Überzähligen bezeichnet werden.

Die Koeffizienten a, ß, a, ß' ... u, v, u', v' usf. hängen von den Abmessungen des Systems ab. Setzt man die vorstehenden Ausdrücke in die Bestimmungsgleichungen ein, so wird man bei n Überzähligen ein System von n Gleichungen folgender Art erhalten:

mXx -j- nX₂ -|-pXs    = cxFx -\-c₂F₂~\- c'Gx(a) -f- c"G₂(a) -j- . . .

-J— d <x —J- 6 .

Die Auflösung dieses Gleichungssystems nach den Unbekannten Xx, X₂ ... liefert eine beliebige Unbekannte X als Funktion der Größen Fx, F₂, G(a) und a und zwar:

X= cxFx -}- e₂ F₂ -)- c'Gx (a) -|- c" G₂ (a) -j- . . .da-\~e.

In allen Unbekannten kehren die Funktionen Fx und Fn sowie G (a) immer wieder.

Fj und F₂ können wir unter Hinweis auf Formel 9') S. 35 die Form geben

Fx = — fjl' und F₂ = — f₂l l’,

wobei /j und f₂ die oben erwähnten Stammfunktionen sind.

Die Funktionen G (a), die nur dann auftreten, wenn im Tragwerk gekrümmte Stäbe vorhanden sind, hängen von der Stabachsenform ab und können, wie wir gesehen haben, in die Gestalt

G = gfl²

gebracht werden, f ist der Krümmungspfeil des Stabes.

da -j- e ist eine gerade Linie, die die Endordinaten des Einflußlinienzweiges festlegt, da die Funktionen fv und g für — = 0 und —

l    l

die Ordinaten Null aufweisen.

Da die Stabachsen bei geringer Krümmung als Parabeln angesehen werden können, so unterscheiden sich die Funktionen Gx, G₂ . . . nur durch einen konstanten Faktor voneinander. Ihre Summe kann daher geschrieben werden:

c'G₁ (a)-j- c"G₂ (a) -f- . . . =g(c'f₁l₁² -f- c"f₂l₂ -f- . . .) = Cg.

Somit entsteht unter Benutzung der Gleichungen für F und F2 X— Afx -j- Bf₂ -\- Cg -\-da-\- e.

A, B und C sind Festwerte, die nur mit den Abmessungen des Systems Zusammenhängen.

fx und f₂

Man erkennt somit, daß das vorgeführte Verfahren auch für die Darstellung der Einflußlinien der Überzähligen insofern Vorteile bietet, als es bei den hier betrachteten Systemen nicht mehr notwendig ist, Biegelinien zu berechnen und zu zeichnen. Aus zwei Grundlinien fx und f₂ und aus der gr-Linie lassen sich sämtliche Einflußlinien nach Auflösen der Bestimmungsgleichungen zusammensetzen. Man hat im allgemeinsten Falle, unabhängig vom Grade der statischen Unbestimmtheit, nur drei bekannte Linien zu addieren und von einer Geraden abzutragen. Besondere Vorteile bieten sich naturgemäß bei Tragwerken, die nur aus geraden Stäben bestehen. Dort stellt X nur eine lineare Verknüpfung der beiden Stammfunktionen vor.

Zusammenfassung. Am Schlüsse der allgemeinen Ausführungen über die Berechnung der statisch unbestimmbaren Größen in Systemen mit geraden oder schwach gekrümmten Stäben angelangt, möge eine kurze Zusammenfassung des Rechnungsganges gegeben werden.

1.    Nachdem das Tragwerk durch passende Zusatzstäbe zu einem einfachen oder mehrfachen geschlossenen Rahmen ergänzt ist, werden für jedes Rahmenfeld so viele Viermomentengleichungen angesetzt, als ausgezeichnete Punkte vorhanden sind, wobei man jeden einfachen Rahmen im Sinne der Uhrzeigerbewegung, von einem beliebigen Punkte beginnend, durchläuft. Die Anschlußmomente jener Stäbe, die zweien benachbarten Rahmen gemeinsam sind, werden in dem einen Felde positiv, im andern Felde negativ in Rechnung gestellt. Alle übrigen Anschlußmomente und die Sehnenkräfte H sind positiv einzuführen. Es ist, wenn verschiedene Belastungsmöglichkeiten in Betracht kommen, zweckmäßig, die Viermomentengleichungen ohne Rücksicht auf die Art der Belastung anzusetzen, d. h. also, die rechte Seite der Gleichungen mit N zu bezeichnen und mit diesem allgemeinen Werte einstweilen zu rechnen.

2.    Für jedes Rahmenfeld werden zwei Winkelgleichungen angeschrieben. Die Al und # sind zunächst positiv anzunehmen. Das

Vorzeichen der Winkelfunktionen wird durch die Neigungswinkel a der Stabsehnen gegen die Richtung der Projektionslinie x — x bestimmt, welche Winkel von der von links nach rechts gerichteten Parallelen zu x — x, die im niedriger bezifferten Stabendpunkte angesetzt wird, entgegengesetzt dem Sinne der Uhrzeigerbewegung zu zählen sind. Siehe die Pfeile in der Abb. 24 auf S. 16. Als Bezugslinie x — x für die Winkel a kann jede beliebige Gerade der Trägerebene, die zum Tragwerk festgelegt ist, gewählt werden.

3.    Die Stabdrehwinkel ft werden aus den Gleichungen eliminiert, worauf so viel Bestimmungsgleichungen gewonnen werden, als statisch nicht bestimmbare Größen vorhanden sind. Diese Bestimmungsgleichungen gelten für jede Art der Belastung, da sie nur die allgemeine Bezeichnung N enthalten.

4.    Wahl der Überzähligen X und Einführung der Ausdrücke für die Anschlußmomente JP, Sehnenkräfte H und Dehnungen Al, sowie Einführung der der Belastung entsprechenden Werte der N. Die M, H und Al sind hierbei als Funktionen der Belastung, Temperaturänderung und der Überzähligen X darzustellen. Bei der Aufstellung dieser statischen Beziehungen sind, in Hinsicht auf das Vorzeichen der Momente, die Stäbe von jenem Rahmen aus zu betrachten, in dessen Viermomentengleichungen sie positiv eingeführt wurden. Bei Ermittlung der Längenänderungen A l, soweit sie von bekannten oder in ihrer Richtung durch Annahmen festgelegten äußeren Kräften, wozu auch die Auflagerreaktionen gehören, herrühren, sind die Sehnenkräfte mit positivem Vorzeichen zu versehen, wenn sie den Stab zu verlängern, mit negativem Vorzeichen, wenn sie den Stab zu verkürzen trachten.

5.    Auflösung der so erhaltenen, endgültigen Bestimmungsgleichungen nach den Unbekannten X.

6.    Sind Einflußlinien aufzutragen, dann setze man nach der Aufstellung der Bestimmungsgleichungen für die rechten Gleichungsseiten die abgekürzten Bezeichnungen F₁ und F₂ und stelle nach Auflösung dieser Gleichungen die Einflußlinien mit Hilfe der Tabellen der Funktionen fx, und g im Anhänge zusammen. Wo dies zweckmäßig erscheint, kann von der eben angegebenen Reihenfolge abgewichen werden, wie dies auch aus einzelnen der nachfolgenden Beispiele er sehen werden kann.

§ 7. Einführung der Hilfsgrößen r.

Die Hauptschwierigkeit in der Berechnung hochwertig statisch unbestimmter Systeme liegt in dem Umstande, daß die Überzähligen aus einem Gleichungssysteme mit einer großen Zahl von Unbekannten berechnet werden müssen. Das vorgeführte Verfahren gibt nun ein Mittel an die Hand, durch Einführung neuer Hilfsgrößen unter Umständen die Zahl der Bestimmungsgleichungen und die Anzahl der Glieder in den Gleichungen zu verringern, wodurch die Berechnung derartiger Tragwerke in hohem Maße vereinfacht wird.

Wir betrachten ein f-fach statisch unbestimmtes Traggebilde aus geraden Stäben mit n Knotenpunkten und r Stäben. Jeder Knoten liefert v — I Viermomentengleichungen, wenn v die veränderliche Anzahl der in einem Knoten steif angeschlossenen Elemente bedeutet. Ferner stehen uns 2p Winkelgleichungen zur Verfügung, falls das System in p Einzelrahmen zerlegt werden kann. Durch die Gesamtheit dieser Gleichungen sind die Unbekannten der Rechnung, d. s. die Überzähligen und Drehwinkel, bestimmt.

Fassen wir zunächst die Winkelgleichungen für sich ins Auge. Ihre Anzahl kann kleiner, gleich oder größer sein als die Zahl der unbekannten Drehwinkel. Beträgt, wie oben festgesetzt, die Stabzahl r, so ist die Zahl der unbekannten Drehwinkel r — I, sonach

2p —

<

= T- I.

Wenn 2 p = r—X ist, so sind die Drehwinkel sämtlicher Stäbe bereits durch den geometrischen Zusammenhang der Stäbe festgelegt. Denkt man sich statt der steifen Knoten Gelenke angeordnet, so stellt die so entstehende „Ersatzfigur“ ein statisch bestimmtes unverschiebliches Fachwerk vor. Der Beweglichkeitsgrad oder der Fr ei-heitsgrad der Ersatzfigur ist Null.

In dem Falle, wo 2p<^r—i ist, reichen die Winkelgleichungen nicht aus, um sämtliche Drehwinkel zu berechnen. 2j?-Winkel können als Funktion der übrigen dargestellt werden, die schließlich mit Hilfe der durch die Momentengleichungen gegebenen, elastischen Zusammenhänge gleichzeitig mit den Überzähligen bestimmt werden. Die Ersatzfigur stellt keine unverschiebliche Stabverbindung mehr vor. Ihr Freiheitsgrad e beträgt

e — r— i — 2 p .

e Stäbe wären somit hinzuzufügen, um aus der Ersatzfigur ein unverschiebliches Fachwerk herzustellen.

Ist 2p^>r—I, dann stellt die Ersatzfigur ein statisch unbestimmtes Fachwerk vor. Die Winkelgleichungen gestatten die Berechnung der Überzähligen der Ersatzfigur. Der Freiheitsgrad ist, da keine Beweglichkeit vorhanden ist, Null.

Wir haben somit zwei Fälle zu unterscheiden:

1.    Der Freiheitsgrad der Ersatzfigur ist Null.

2.    Der Freiheitsgrad der Ersatzfigur ist von Null verschieden.

Wir besprechen zunächst Systeme der ersten Art. Die Anschlußmomente der Viermomentengleichungen wollen wir in etwas anderer Weise, als es bisher der Fall gewesen ist, bezeichnen. Sind a, ß ß die Knotenpunktsziffern des Sta-

bes laß, so werden seine Anschlußmomente MJ und Mßa genannt.

Der untere Zeiger weist

auf den Anschlußknoten hin, beide Zeiger bezeichnen den Stab, für welchen das Moment gilt. Ähnlich lauten die Anschluß-

O'

Abb. 48.

momente der übrigen in a zusammenstoßenden Stäbe, Abb. 48, Mj und Mya, Mj und Msa usw.

Für jeden Knotenpunkt werden die Viermomentengleichungen aufgestellt, indem jedesmal ein Stab der Reihe nach mit den andern in dem betreffenden Knoten fest angeschlossenen Stäben in einer Gleichung zusammengefaßt wird. Die Momentengleichungen für den Knoten a lauten, wenn die zwei benachbarten Gliedern gemeinsame reduzierte Länge herausgehoben und für 6 EJC = q geschrieben wird:

(Mßa -f 2 MJ) l'aß -j- (2 Ma y —[— MY“) lar—e(&aß — #ay) = (Mßa -f 2 Mj) l!aß -f (2 MJ -f- Mi*) lad Q (daß ~^aö) = Nj (Mßa + 2 MaP) l'aß + (2MJ -f M*) l'ae — Q (&aß — #a£) = NaS

Wir setzen nun ganz allgemein:

+    =    und (3f/+2 214^)    .    18)

2 ver-

Der untere Zeiger der Hilfsgröße r stimmt jeweilig mit dem unteren Zeiger jener Momentengröße überein, die mit dem Faktor sehen ist.

Aus den Definitionsgleichungen 18) folgen die Formeln

—(2 /;*-/»

Mtf

Die Viermomentengleichungen nehmen daher die Form an:

Faß + rar Q (ßaß #₀ Y) = Na¹

rj+rj — Q {&aß— &ad) =Na2 rj + ra‘ — ₆ (paß - #aE) = nj

Bleich, Yiermomentensatz.

Die Drehwinkel # sind, da der Freiheitsgrad der Ersatzfigur unserer Annahme gemäß Null ist, durch die Winkelgleichungen bestimmt und ebenso wie die Belastungsglieder N als gegebene Größen zu betrachten. Wir machen hierbei stillschweigend die weiter unten noch näher zu erörternde Voraussetzung, daß die in den Winkelgleichungen auftretenden Stablängenänderungen entweder Null oder ihrer Größe nach bekannt sind. Faßt man nun die Stabdrehwinkel-differenzen mit den rechten Gleichungsseiten in einen Zahlenwert B zusammen, so kann man schreiben:

rj‘+ra*=Ba*

rj+ra*=Bas

In allen diesen auf den Knoten a bezüglichen Gleichungen tritt die Größe rj auf. Wir bezeichnen sie als Hauptwert der Hilfsgrößen r für den Knoten a. Es lassen sich daher alle vom Knoten a abhängigen r-Werte (d. s. jene, welche mit dem unteren Zeiger a versehen sind) durch den Hauptwert TJ* ausdrücken. Sonach gilt

rar=Ba'-rj

20)

rj=Bj-rj

ra*=Bas-rj

In gleicher Weise lassen sich die jT-Werte der anderen Knotenpunkte durch die betreffenden Hauptwerte ausdrücken. Die Gesamtzahl der unbekannten Hauptwerte der /'-Größen beträgt daher n, wenn das Tragwerk n Knoten, in denen Stäbe steif angeschlossen sind, besitzt. Mit der Aufstellung der Beziehungen 20) zwischen den /'-Werten wurden sämtliche Verknüpfungen, die die Elastizitätsbedingungen liefern, ausgenützt. Sie ergeben höchst einfache Zusammenhänge zwischen den Unbekannten F, die verwendet werden können, um auf Grund der statischen Beziehungen, die zwischen den Hilfsgrößen F bestehen, die Bestimmungsgleichungen abzuleiten.

Wir stellen zu diesem Zwecke für jeden Knoten die Bedingungsgleichung

IM= o

auf. Die Zahl derartiger Gleichungen ist gleich der Knotenzahl n. Führt man mittels der Formeln 19) die Hilfsgrößen r ein und benutzt man ferner die Formeln 20), um sämtliche /'-Größen bis auf die n Hauptwerte zu eliminieren, so erhält man schließlich ein System von n Be-

Stimmungsgleichungen mit n Unbekannten, womit die Berechnung eines f-fach statisch unbestimmten Systems auf die Auflösung eines Systems linearer Gleichungen mit n Unbekannten zurückgeführt erscheint. Das Verfahren ist natürlich nur dann zweckmäßig, n <^ i ist, was häufig genug der Fall ist.

wenn

Um ein Urteil über die Anzahl der Glieder einer Bestimmungsgleichung zu erhalten, stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen für den Knoten a auf. Diese lautet:

Mj + Mar + Ma* + ...-f m = o,

falls nt ein etwa vorhandenes in a angreifendes Lastmoment bedeutet.

Drückt man nun    Mas. . . durch die Hilfsgrößen r mittels

der Formeln 19) aus, so treten die Größen rjFßa, raYrya,    . . .

in die Gleichgewichtsbedingung ein. Da v Knotenpunkte durch v Stäbe mit dem Punkte a verbunden sind, so lassen sich die Hilfsgrößen unserer Gleichung durch die v Hauptwerte der verbundenen Knoten und durch den Hauptwert des Knotens a ersetzen. Insgesamt zählt demnach eine Bestimmungsgleichung v-\-l Unbekannte. Die Zahl der Glieder einer Gleichung ist sonach beschränkt, was der Vereinfachung der Rechnung bei der Auflösung der Gleichungen zugute kommt.

Führt einer der Stäbe (Stützenstab) nach einem Lagerpunkt (bewegliches Lager, Gelenk, Einspannung), so zählt dieser Lagerpunkt nicht als Knoten, da keine Gleichgewichtsbedingung für ihn aufgestellt werden kann, dementsprechend fällt auch, wie man sich an einem Beispiel leicht überzeugen kann, ein Hauptwert der r~ Größen aus. In die Zahl n der Knoten sind daher nur jene Punkte aufzunehmen, von denen mindestens zwei Stäbe ausgehen, wobei höchstens der eine ein Stützenstab sein darf. Zusatzstäbe, die den Rahmen schließen, sind als Stützenstäbe anzusehen. Gehen daher von einem Knoten Stützenstäbe aus, so verringert sich die Zahl der Glieder der zu diesem Knoten gehörenden Bestimmungsgleichung um die Anzahl der Stützenstäbe. Sind die Auflagerpunkte durch einen Zusatzstabzug untereinander verbunden, so sind diese Stäbe bei der Bestimmung des Freiheitsgrades e als ein Stab zu zählen, da allen der gleiche Drehwinkel (Null) zukommt.

Liegt ein Tragwerk der zweiten Art vor, dessen Ersatzfigur Beweglichkeit besitzt — der Freiheitsgrad sei e —, so kann im wesentlichen der gleiche Berechnungsgang eingeschlagen werden.

Unter derselben Voraussetzung, daß die Stablängenänderungen Null sind oder, wenn von Null verschieden, zunächst als bekannt anzusehen sind, können mit Hilfe der Winkelgleichungen, deren Zahl jetzt um e kleiner ist als die Zahl der unbekannten Stabdrehwinkel, e von ihnen als Hauptwerte der Drehwinkel ausgewählt

und die übrigen durch diese Hauptwerte ausgedrückt werden. Die Viermomentengleichungen, aus denen wir die Hilfsgrößen T durch ihre Hauptwerte bestimmen, enthalten demnach noch e Hauptwerte der Drehwinkel. Somit treten diese n -f- e Hauptwerte (/"-Größen und Drehwinkel) in die n Gleichgewichtsbedingungen ein. Faßt man die Drehwinkelhauptwerte zunächst als bekannte Größen auf, so lassen sich die n Gleichungen wie oben auflösen und man erhält die n Hauptwerte der /"-Größen als lineare Funktionen der e Hauptwerte der Drehwinkel. Um endlich diese zu bestimmen, stellt man noch e passend gewählte Gleichgewichtsbeziehungen auf, in welchen man die Momente und Längskräfte durch die Hauptwerte der Hilfsgrößen r und der Drehwinkel # ersetzt. Die Berechnung läuft also auf die Auflösung zweier Systeme linearer Gleichungen mit n und e Unbekannten, oder auf die Lösung eines Systems mit n -f- e Unbekannten hinaus. Wie leicht einzusehen, ist das Verfahren nur dann zweckmäßig, wenn e eine kleine Zahl ist.

Wir haben in den voranstehenden Darlegungen die Voraussetzung gemacht, daß die Stablängenänderungen als bekannt anzusehen, oder mit andern Worten, daß sie unabhängig von den Unbekannten unserer Rechnung sind. Dies ist im allgemeinen nur dann der Fall, wenn die Längenänderungen von Wärmeschwankungen herrühren. Sollen auch die von den Stablängskräften hervorgerufenen Längenänderungen Berücksichtigung erfahren, weil ihre Vernachlässigung nicht statthaft ist, so ist deren Größe schätzungsweise einzuführen. Man geht dann so vor, daß man die Al zunächst Null setzt, mit den so bestimmten Werten der Unbekannten die Stablängenänderungen ermittelt und für eine zweite Berechnung benützt. Mit diesem Vorgänge ist gewöhnlich keine Mehrarbeit verbunden, da fast immer eine wiederholte Berechnung zwecks schrittweiser Anpassung der Querschnitte notwendig ist. Theoretisch läge wohl keine Schwierigkeit vor, die Berechnung auch in Hinsicht auf die Wirkung der Längskräfte genau durchzuführen, doch gingen damit meist jene Vorteile verloren, die wir durch Einführung der Hilfsgrößen r angestrebt haben.

Das in der Abb. 49a zur Darstellung gebrachte zweifeldrige Tragwerk ist 6 fach statisch unbestimmt. Die Ersatzfigur zeigt einfache Bewegungsmöglichkeit, da durch Anbringung eines Stabes, z. B. der strichliert gezeichneten Strebe in Abb. 49 c, ein unverschiebliches Fachwerk entsteht. Auch die Auszählung der Abb. 49 b, in der die Zusatzstäbe eingezeichnet sind, ergibt e = r—1 — 2p — I. Es ist nämlich r= 6, da 5 wirkliche Stäbe und die als ein Stab zu zählenden Zusatzstäbe vorhanden sind; weiter ist 2p — 4, also gilt: e = 5 — 4 = 1. Die Zahl n der Knoten mit mindestens zwei Stäben beträgt 3 (die unteren Knoten in Abb. 49b sind nicht zu zählen, da dort nur Stützen-

Stäbe Zusammentreffen), der Freiheitsgrad e ist i, sonach wird die Berechnung dieses 6 fach statisch unbestimmten Systems durch die Einführung der Hilfsgrößen r auf n -J- e — 4 Gleichungen zurückgeführt.

a,)

Würden die Stützen statt der

i)

W///.

c)

Abb. 49.

Einspannung gelenkige Auflagerung aufweisen, so sinkt der Grad der statischen Unbestimmtheit auf 3 herab. Bei Einführung der Hilfsgrößen r würde die Zahl der Bestimmungsgleichungen wie oben vier betragen, da sich weder n noch e geändert haben. In diesem Falle wäre die Anwendung des in diesem Abschnitte erörterten Verfahrens unzweckmäßig, da die Lösung der Aufgabe nach der früher dargestellten allgemeinen Methode auf bloß drei Bestimmungsgleichungen führt.

Wie man aus diesem Beispiele ersieht, ist es sehr einfach, von Fall zu Fall zu entscheiden, ob mit der Einführung der Hilfsgrößen jT Vorteile verbunden sind oder nicht. Beispiel 12 in § 8, sowie § II zeigen Anwendungen des Verfahrens mit den Hilfsgrößen jT.

III. Beispiele für die Anwendung der Methode des Viermomentensatzes.

§ 8. Tragwerke, die aus einem einfachen Grundsysteme abgeleitet

werden.

I. Beispiel. Der in Abb. 50 zur Darstellung gebrachte Zweigelenkrahmen ist einfach statisch unbestimmt. Über die Art der Belastung werden später Annahmen getroffen werden, nachdem der erste Teil der Berechnung ohne Rücksicht auf die Belastungsweise durchführbar ist und dabei einfachere Aufschreibungen gestattet.

fl/₇

b)

a)

Abb. 50.

Die Eckmomente bei G und D werden mit M₁ und M₂ bezeichnet. Wir beginnen mit der Aufstellung der Dreimomentengleichungen (da es sich um einen einfachen Rahmen handelt, geht die allgemeine Viermomentengleichung in die Dreimomentengleichung über), und zwar für die Stabpaare ACD und GDB, wobei zu beachten ist, daß die Momente in A und B Null sind. Wir beginnen die erste Gleichung bei Punkt A und gehen über G nach D. Die zweite Gleichung beginnen wir bei Punkt C und gehen über D nach B. Bei allen An-

Schreibungen halten wir die vorgeschriebene Pfeilrichtung, siehe Abb. 50 b, genauest ein.

Mit den Bezeichnungen der Abb. 50 nehmen die Dreimomentengleichungen 7") die Form an

2 Mx (V -f s') -f M₂ 5' — 6 EJßx — 0₉) = Nx,

M,s’+2M, (s‘ + V) - 6— 0„) = N, ,

hierbei wurde als JT das Trägheitsmoment J des Querriegels gewählt. Die gestrichenen Größen sind die reduzierten Längen.

Vernachlässigt man die Wirkung der Längskräfte, setzt also alle Al — o, so lauten die Winkelgleichungen

sin a = 0,

Führt man für den Riegel s sin a = h₂—hx und s cos a — l ein, beachtet man weiter die in der Abbildung durch Pfeile angedeutete Zählrichtung der Winkel a, so ist

K + (K — K) ^2 — K ^3 = ⁰ >

= o-

Das letzte Glied der ersten Winkelgleichung ist negativ, da für den Stab h2> aß>n, daher sin«<[o ist.

Aus den Winkelgleichungen folgt:

Nach Einführung in die Momentengleichungen erhält man

2Mx(hx + V) -f- M₂s' — 6EJkü₃ = Nx,

Mx V + 2 M₂ (s' + V)+ 6 EJÖZ = N₂ -

Multipliziert man die zweite Gleichung mit k und addiert sodann beide Gleichungen, so gewinnt man die Bestimmungsgleichung für die Berechnung der einen Überzähligen:

[² (V ~h s') ks'l -f-M₂ [V -f- 2 (h₂ -j- s) k] = Nx -\-kN₂ . a)

Damit ist die Aufgabe im Prinzipe gelöst. Wir haben eine Gleichung gefunden, die, neben den übrigen statischen Beziehungen angewendet, die Berechnung des gegebenen Systems ermöglicht.

Wir benutzen nun die Gleichung a), um für drei verschiedene Belastungsfälle die Überzählige zu ermitteln.

1. Wagerechte Last P im Abstande a vom Fußgelenk A. Abb. 51. Wir wählen als Überzählige den Horizontalschub PL und erhalten

Mx = Pa — H hx

M₂ = — Hh₂.

und

Abb. 52.

Fig. 5i-

Ferner ist (Gl. 9) S. 35)

Nx = — Pahx

somit geht Gleichung a) über in

(Pa — H\) [2(Ä/ + J) + kJ] —    [V + 2 (h₂' -f- J) h]

= — Ph₁'a( 1— **

a²

1 — —-T-

und    = o,

aus welcher Gleichung H in der Form

K'r

gewonnen wird, wo

²1+i+F+4+4A!

■ • b)

J* ’

ST==S-

•5

V-,

2_.

■S

<3

::__

Jf

£-

ß__

Da JVj = — Phxhjf% ist, so hätte man auch schreiben können:

H= —

p 7"⁴ + r[²(J7_ + I) + AJ

² I 4- k 4- Ä² -|

\y

wobei Kx und _5T₂ Festwerte sind, die nur von den Systemabmessungen abhängen, während f₉ der Tabelle der Stammfunktionen im Anhänge entnommen werden kann.

Es ist

M₂ = — HK •

2. Lotrechte Last P im Abstande a vom Eckpunkte C. Abb. 52. M == — Hh

Nt und N₂ sind durch Gleichung u) bestimmt und zwar

Nl = -Pls'fl = — Ps'(l — a)(l —

und

N,= -PU'f„ = -Ps'a( 1 — y)

Gleichung a) nimmt daher folgende Gestalt an:

— Hh, [2 (ft,' + s') + kJ] -    [s' + 2 (ft,' + J) ft]

— ka 1 —

a²\l

und daraus

T+k + k' + ^f + ^fk*

Benutzt man die Stammfunktionen, so kann man einfacher schreiben:

² i + i + ft» + ^

s’

3. Es soll auch der Fall untersucht werden, daß die Riegellast außerhalb der Stützweite A — B angreife. Last Px in Abb. 52.

Dieser Fall kann als Belastung des Ständers mit einem Moment ju. = — P₁c aufgefaßt werden. Die Lastglieder Nt und N„ nehmen jetzt gemäß Gleichung 14) folgende Werte an:

= — 2 P₁ch₁',

N₂ = o.

Ferner besteht

M₁= — P₁ c — H \ ,

M₂ = — Hh

somit geht die Bestimmungsgleichung a) über in — Ä 0 + Hft,)[2 (*/+«') + fts'] -Hh, [V + 2 (ft,'+s')ft] = - 2 P,«*,'. Daraus ermittelt man PL in der Form

H=

PlC

2 hx

• • d)

Zum Schlüsse mögen die Verschiebungen der Eckpunkte C und D für den Belastungsfall 1. ermittelt werden.

Aus den Winkelgleichungen wurde gefunden:

Aus der zweiten Momentengleichung folgt, da N₂ = o ist,

= o.

= - A-JKP»-BkJJ-nBh,(/ + *.-)]

und somit die wagrechte Verschiebung Ayß des Punktes D

Pa — H (\ -{- 2 \ -f- 2 -y- — j .

s\

6 EJ L

Die wagrechte Verschiebung des Punktes C ist dann

Ayc=

•SV*

somit muß sich der Stab CD parallel zu sich verschieben, siehe Abb. 53, was auch unmittelbar aus #₂ = o folgt.

Verfolgt man den oben angegebenen Rechnungsgang und vergleicht ihn mit der Berechnung nach dem üblichen Verfahren, so erkennt man deutlich die Vorteile der neuen Methode. Mit der schon nach weni-

Abb. 53.

gen Auf Schreibungen bestimmten Gleichung a) ist die Aufgabe für jede beliebige Belastung gelöst; ebenso können alle die Formänderungen betreffenden Fragen mit Hilfe

Zwischenergebnisse beantwortet werden.

dieser Gleichung und der ihr vorangehenden

Ist es notwendig, Einflußlinien aufzutragen oder eine größere Zahl von Jf-Werten zu berechnen, dann leisten die Tafeln der f -

und /₂-Werte, wie man leicht erkennen kann, ausgezeichnete Dienste.

a,-SP

■J

41.4

Abb. 54.

2. Beispiel. Der beiderseits eingespannte gerade Stab, Abb. 54, ist zweifach statisch unbestimmt. Um einen einfachen geschlossenen Rahmen zu er-

zielen, denken wir uns einen in A und B fest angeschlossenen Stab mit J=oo hinzugefügt. Abb. 54b.

Wenn man beachtet, daß der Drehwinkel # des Stabes AB Null ist, so lauten die beiden Dreimomentengleichungen für die ausgezeichneten Punkte A und B bei Belastung durch eine Einzellast P im Abstande a vom linken Stabende

2 Mll + M,l = - Pl(l - a) (1 —    ,

Aus diesen beiden Gleichungen folgt unmittelbar M₁ = — P oAy—af^

und M„ = — P

a² (l — a)

Z²

3. Beispiel. Der geschlossene, ringsum durch den Innendruck p belastete Rahmen — Abb. 55 — verlangt mit Rücksicht auf die Symmetrieverhältnisse bloß die Berechnung einer einzigen Überzähligen, da alle vier Eckmomente untereinander gleich sind. Die Dreimomentengleichung für eine beliebige Ecke lautet daher

Ma! -f 2 M(a' -J- 6') -j- Mb' = — \p a! a? — \p V ö².

Sämtliche Drehwinkel $ sind, da die Seitenwände bei der Formänderung keine Verdrehung erfahren,

Null. Aus der Dreimomentengleichung folgt

T~ß\

M=

p a'a² + Z/&²

12

a' + 6'    ‘

Setzt man

a,

a' —

so wird

a³ 4- bs

p

Ja

jb

Ja

12

Abb. 55.

4. Beispiel. Der beiderseits eingespannte, einmal geknickte, symmetrische Balken nach Abb. 56 sei durch eine im Scheitel G angreifende Einzelkraft P belastet. Die beiderseitige Einspannung denke man sich durch einen festgehaltenen Stab AB mit unendlich großem Trägheitsmoment hervorgerufen. Es liegen sonach drei ausgezeichnete Punkte A, B und C vor, für welche die Dreimomentengleichungen anzuschreiben sind. Es ist dabei zu beachten, daß die reduzierte Länge lf des Stabes AB Null ist, da sein Trägheitsmoment Junendlich groß ist. Die betreffenden Glieder fallen mithin in den Dreimomentengleichungen

\C.

-t

j|l' A

'7

V-~

W//A

Abb. 56.

fort. Beginnt man mit der Aufschreibung bei Punkt B und schreitet in der in Abb. 56 angegebenen Pfeilrichtung fort, so lauten die Momentengleichungen:

2 s' -f Jf₂ s' -f 6 E    = o,

+ 4    + M₃s’ — 6 EJ($X — tf₃) = o,

M^s' + 2Mas'—6EJ&2 = ⁰ •

Setzt man s' = s — — s und dividiert mit dieser Größe, so nehmen

J

die Gleichungen die einfache Form an:

2 Jfj-f Jf₃ = —

^ + 4Ä, + Jr, = e(^-^) • M, + 2Ms = eö*

a)

Hierbei wurde

6 EJ

q gesetzt.

Die Winkelgleichungen lauten, wenn mit As± die Dehnung des Stabes AG, mit As₂ die des Stabes BC bezeichet wird,

— {As₁ -(- Asa) -J- h ('&₁ — #₂) — o

b)

Würde man die Dehnungen As Null setzen, den Einfluß der Längskräfte also vernachlässigen, so wären gemäß den Gleichungen b) die Stabdrehwinkel und somit auch sämtliche Momente nach Gleichung a) Null. Die Scheitelkraft P würde die beiden Stäbe nur durch Längskräfte

Damit ist die Aufgabe allgemein gelöst.

Wir machen nun bezüglich der Richtung von P zwei Annahmen:

1. Last P senkrecht zur Stabsehne AB. Abb. 57.

Da Asx = As₂ = As ist, so folgt aus den Gleichungen b)

2 hs

As und

Mit Bezug auf Abb. 57 ist nun

l — Hh

beanspruchen, die Wirkung der Einspannung und der Einfluß des steifen Knotens Ckäme in diesem Falle gar nicht zum Ausdrucke.

Durch die beiden Gleichungen b) sind die Stabdrehwinkel ft bestimmt. Faßt man x' die Momente Mt, M₂ und Mz ( ' der angesetzten Momentenglei-chungen als Überzählige auf, so können aus den Gleichungen a) diese Überzähligen durch die Stabdrehwinkel ausgedrückt werden. Es wird

Z³

Mg

£-

1)

Abb. 57.

4

und darum

jj -^1    -^2

PI

4/1

Die Stabspannung S eines Schenkels ist

S= —

sin a — H cos a

M₁ — M₂ l

2s

2 \ s 4hs)

Die Stabdehnungen As betragen demnach

As

Ss

EF

2 h EF

Aus den Gleichungen c) folgt

M₁=MS = — o ß1 M₂    q ftj

M₁—M₂ =-2 Q ft

2 EF

{h+{h)- ■ ■ e)

f)

Fügt man den Wert für Mx — Jf₂ in die Gleichung e) ein, so erhält man Js als Funktion von welche Verknüpfung, in d) eingesetzt, eine Gleichung zur Bestimmung von ■&₁ liefert:

und daher

2hs

² Q&i

2hEF 2 EF

Ki)]

P EF hs

(*+£)

Is

4 EF

F h²s²

Ist ■&₁ bekannt, so sind auch die Momente aus den Gl. f) bestimmt:

h²s F ’

Mx — M₃ — —

M₂ = — Mx —

2 l . h?s F'

31 J

An das eben erhaltene Ergebnis wollen wir eine wichtige Bemerkung anschließen. In der Gleichung für ist das zweite Nennerglied sehr klein gegen das erste und kann praktisch immer vernachlässigt werden. Es beträgt, wenn der Scheitelwinkel nicht zu stumpf ist, meist weniger als x/₁₀₀ des ersten Gliedes. $₁ nimmt dann die einfachere Form an:

ls

4 EF h² ‘

Das ist aber der Wert, den man für # erhält, wenn man in den Eckpunkten Gelenke annimmt. Es war also die genaue Berechnung der Stabkraft S, die oben durchgeführt wurde, nicht notwendig, es hätte genügt, P in die beiden Stabkomponenten zu zerlegen, um dann rechnerisch oder zeichnerisch die Verschiebung des Scheitelpunktes unter Annahme von Gelenken in den Eckpunkten und somit auch den Drehwinkel &x zu finden. Sein so ermittelter Wert in die Gleichungen c) eingesetzt, hätte dann auf einfachste Weise die gesuchten Momente ergeben. An diesen Verhältnissen ändert sich auch nichts, wenn man sich an Stelle des unendlich steifen Zusatzstabes AB einen Stab mit endlichem Querschnitt gesetzt denkt. Von dieser wichtigen Eigenschaft der Stabdreiecke mit steifen Ecken werden wir bei der Anwendung unserer Methode auf die Berechnung der Nebenspannungen im Fachwerke Gebrauch machen.

P 2 M,

Damit können die Stabspannungen Sx und S₂ ermittelt werden. Wir finden:

^ sin a -}- (P — H) cos a

= P77+P

l_ P l ,MX — Ms h . 2M₂ l

h 2s

Mx —Mz h M₂l

hs

und

2. Last P parallel zur Stabsehne AB. Aus Abb. 58 entnehmen wir M₁—Ms l Pli

m₂=mx

- + (P-H)h

Hh

und somit

2/i,

/t

Da nun

K,+jfä

ist,

was aus den allgemein gültigen Gleichungen c) hervorgeht, so vereinfacht sich der Ausdruck für H und zwar wird

Fhfa-M,

Abb. 58.

Ph M₁—M.

- j sin a -f- H

cos a

h li P l M₁ — Mah

2 2S

—I— 2 s

XL l

h 2S.

-^4

Mx — M₈ h M₂V

hs .

daher

Sx = — S₂ und somit ist auch As₁ — — A s₂. Aus den Gleichungen b) geht dann unmittelbar hervor: #1 — $₂ = o,

2h

&₁=d₂ = ~As₁.

Is

Aus den Gleichungen c) folgt unter Benutzung dieser Zusammenhänge zwischen den Stabdrehwinkeln #

^ = -^3 = - fA

M₂ = o,

Weiter ist

Ps ,2 Mx h

Ps

Asx

Aus der Gleichung für gewinnt man mit diesem Werte von Asx 2h s [Ps

17 ef L~r

EF L l

EF L l

und daraus

6^-0,

sl s

hs

EF

Auch hier ist das zweite Nennerglied, wenn der Schenkelwinkel nicht zu spitz ist, verhältnismäßig klein gegen das erste. Wird es vernachlässigt, so geht ■&₁ über in

2 P hs

~ef~p~’

in den Wert des Drehwinkels für gelenkig aneinander geschlossene Stäbe. Auch hier gilt somit das unter I. Gesagte.

Zum Schlüsse berechnen wir noch die genauen Werte von Mx undif₃:

ä-

Mx =

Ph

hY , FP’

Ms

Ph

hV , FP '

5. Beispiel. Für den

beiderseits eingespannten, symmetrischen bogen, Abb. 59, sind die Einflußlinien der überzähligen Größen für Belastungen senkrecht zur Stabsehne zu entwickeln. Durch Einschalten eines unendlich steifen Stabes zwischen A und B, der in diesen Punkten steif an den Bogen angeschlossen ist, gewinnt man ein einfaches Grundsystem, aus dem die Dreimomentengleichungen für die beiden ausgezeichneten Punkte A und B abgeleitet

\<—cc-

Parabel-

Abb. 59.

-p)

Wz.

b)

werden können. Bezeichnet man mit Rücksicht auf die Belastung durch eine Einzellast die rechten Seiten gemäß den Ausführungen auf S. 43 und 47 mit —F₁ bzw. —F₂, so lauten die Momentengleichungen folgendermaßen:

V

-K.

2M₁l'-\-M₂l' + 6H®B^ = Mj+2M,r+6HeÄ~=—Fs.

Die Stabdrehwinkel der beiden das Grundsystem bildenden Stäbe sind Null, da A und B fest sind, weshalb die Glieder, die von # abhängen, in den vorstehenden Gleichungen entfallen.

Weiter ist l' — l cos* y, und weil es sich um eine symmetrische Parabellinie handelt, sind die statischen Momente der schraffierten Fläche 0 (Abb. 59 b) bezogen auf die Endpunkte A bzw. B.

Die Momentengleichungen nehmen daher nach Division mit ? die Form an:

2M₁+M₂ + 2Hf=-

a)

M₁-\-2M₂ + 2Hf= —

Da, wie schon oben erwähnt, der einzige in Betracht kommende

Al = 0.

Stabdrehwinkel Null ist, ebenso auch der Winkel a, den die Stabsehne mit der festgehaltenen Richtung AB einschließt, so liefern beide Winkelgleichungen, wie man sich leicht überzeugt, die einzige Beziehung

Aus Gleichung 17'), die für symmetrische Achsenlinien gilt, folgt dann:

Ul sr~iülY{-Mi + M*') + 2B'fG + G\±a‘tl = 0 ' ■ b)

EF

Mit den Beziehungen a) und b) sind die drei Bestimmungsgleichungen zur Ermittlung der drei Überzähligen gegeben. Wie ein Blick auf diese Gleichungen lehrt, ist es am besten, die darin vorkommenden Momente M₁ und M₂ und die Längskraft H. als Überzählige aufzufassen. Durch Addition der Gleichungen gewinnt man ohne weiteres

jj+j..

3r    '

Bleich, Viermomentensatz.

führt man diese Momentensumme in b) ein, so erhält man H in der Form

ö_£. A+ä

31'

j- EJ at 1l

j.i₊₂#a-±f0

Setzt man für

und

0 = §If und für    =

so wird

F₂ — f₂l l', G — g fl*, EJ att

ff —

g (fi + QzL

fl

——-I-*-L

F fl ^45 l

Damit ist die Einflußlinie für den Horizontalschub H des Bogens bestimmt. Für die Funktionen fx, f₂ und g kann man die im Anhänge berechnete Tabelle benutzen. Da fx spiegelsymmetrisch zu fa

ist, so ist /j -[- f₂ eine zu x = symmetrische Linie, und da auch g

symmetrisch ist, so zeigt die If-Linie in be'jug auf die durch x — —

2

gehende Vertikale Symmetrie.

Nach Subtraktion der Gleichungen a) erhält man

K—f,

mx-m₂

3l’

Ml+M₂ = -±Hf

Die zweite Gleichung wurde schon oben erhalten. Beide Beziehungen liefern

M,

F, — 2Fi

■ ■ d)

F₁ — 2F₂

Damit sind auch die Einflußlinien für M₁ und M₂ festgelegt. Es genügt die Ausrechnung einer der beiden Linien, da sie spiegelsymmetrisch sind.

Man bestimmt zunächst die Ff-Linie und mit ihrer Hilfe die Einflußlinien der Momente Mx und ikf,.

6. Beispiel. Der aus zwei eingespannten Ständern und gelenkig gelagertem Riegel bestehende einfache Rahmen der Abb. 6oa ist einfach statisch unbestimmt. Das Ersatzsystem zeigt Abb. 6ob. Als Elastizitätsbedingungen kommen zwei Momentengleichungen und zwei Winkelgleichungen in Betracht, welchen vier Gleichungen eine Überzählige und drei Stabdrehwinkel als Unbekannte gegenüberstehen.

~3r

AL

-4

a)

///'

V/.

Ä.

f-

Abb. 6o.

Die Momentengleichungen lauten, falls man bei der Aufstellung mit dem Stab AB beginnt, im Sinne der Pfeile fortschreitet und beachtet, daß die reduzierte Länge des Zusatzstabes AB Null ist,

a)

2 M₁ —}— 6 EJ =N1 2 Mah₂' — 6EJ&₃ = Na

Die Winkelgleichungen ergeben, wenn man die Stablängenänderungen unberücksichtigt läßt, die Beziehungen

+ #2 (K — hi) ~ &&K ~ ⁰ >

d,l = o,

somit ist

Die Beziehungen a) liefern somit

2M₁h₁, + 6EJ-?-'&

2 h₂ -— 6 EJ = N₂.

= N.

i>

und addiert beide

Multipliziert man die zweite Gleichung mit —

K

Gleichungen, so erhält man

2 M₁h₁'-\-2M₂h₂

als Bestimmungsgleichung für die Überzählige, welche Gleichung wir unter Einführung von

h₂ — h₂

in der Form schreiben wollen

Mxlh

Ji

K> H

.....b)

Wir wenden nun diese Formel auf den in Abb. 61 dargestellten Belastungsfall an.

Als überzählige Größe wählen wir die wagerechte Teilkraft der Riegelspannung Xseca. Es gilt dann, falls X als Druck angenommen wird¹),

M₁ — — Py -\- Xh — -f- X\

und

Abb. 61.

stimmungsgleichung über in:

W₂ = o.

Mit diesen Werten geht die Be

Daraus ergibt sich

2/

i³A'

J,

von

fx wird für verschiedene Werte hange entnommen.

V

— aus der Tabelle im An-

§ 9. Tragwerke, die aus mehrfachen Grundsystemen abgeleitet

werden.

Abb. 62. Dieser Träger ist bei n Feldern (w-f-i)-fach

7- Beispiel. Als einfachstes Beispiel mehrfeldriger Systeme wollen wir den an beiden Stabenden eingespannten durchlaufenden Balken betrachten.

*) Bei der Aufstellung der folgenden Gleichgewichtsbeziehungen ist jeder Stab so zu betrachten, wie bei der Aufstellung der Viermomentengleichungen. Siehe die gefiederten Betrachtungspfeile in Abb. 61.

statisch unbestimmt. Das geschlossene Ersatzsystem wird durch Hinzufügung eines beliebig geformten Stabes, der die Enden o und n verbindet und unendlich großes Trägheitsmoment besitzt, geschaffen.

</=~

2    k-1

hti

k+7

n-7

71

-7

Mn,-.7

%

''SQ----Q__Q_

-/io»

'A„

yT

'/“C»

c)

₇tJ=OQ

Abb. 62.

Da w -j-1 ausgezeichnete Punkte vorhanden sind, so können ebenso viele Dreimomentengleichungen angeschrieben werden, die zur Ermittlung der n-\-l statisch unbestimmten Größen ausreichen. Wir beginnen mit dem Zusatzstab und schreiten über Punkt o in der Richtung gegen I usw., wie es die Pfeile in Abb. 62b andeuten, fort. Das erste Glied der ersten Dreimomentengleichung, das sich auf den Zusatzstab bezieht, verschwindet, da dessen reduzierte Länge wegen des unendlich großen Trägheitsmomentes Null ist.

Die Momentengleichungen nehmen daher folgende Gestalt an:

214;/ + K, V + 6 EJC^ = N₀

M₀k' + 2Mx ft' + V) + M, V - 6EJ, (0, - #,) = Äi

+ 0 + 6JA-i>n) = A-1 v„ -, c ■+ ² V„ V - 6 E Jßn = ff...

Das sind die bekannten Clapeyronsehen Gleichungen. An Stelle der bei freigelagerten Enden auftretenden Bedingungen MQ — 0 und Mn = o treten die erste und letzte Momentengleichung, die die Einspannungsbedingungen aussprechen. Man kann diese Gleichungen auch so ableiten, daß man den Dreimomentensatz auf je ein weiteres hinzugefügte Endfeld von beliebiger Stützweite lQ bzw. I ₊₁

anwendet.

Das Trägheitsmoment der beiden Zusatzstäbe ist dann «7=00 anzunehmen. Abb. 62 c.

8. Beispiel. Das in Abb. 63 dargestellte symmetrische, dreifeldrige Tragwerk ist dreifach statisch unbestimmt. Die Einflußlinien der

passend auszuwählenden statisch unbestimmbaren Größen sind für lotrechte Belastung zu ermitteln. Die Berechnung erfolgt unter Vernachlässigung der Wirkung der Längskräfte auf dieFormänderungen.

Wir bezeichnen die Knotenmomente der in den Punkten I und 2 zusammenstoßenden Stäbe (siehe Abb. 63 b) mit Mxl, Mtr, Mxv bzw. M₂l, M/, M*.

Da zwei steife Knotenpunkte mit je drei zusammentreffenden Stäben vorhanden sind, so können 2 • (3 —1) = 4 Viermomentengleichungen aufgestellt werden. Das linke Feld liefert eine Momentengleichung, die das Stabpaar AiG₁ umfaßt, das Mittelfeld zwei Gleichungen für die Stabpaare C₁12 und 12 C₂ und das rechte Feld schließlich eine Gleichung für C₂ 2 B. Wir weichen aber hier von der Regel der feldweisen Aufstellung ab und wählen die Stabverbindungen AiG1} Atl2 , 1 2 B und C₂ 2 B . Die Momentengleichungen lauten demnach, wenn man die Vorzeichenregel der Momente beachtet, ohne Rücksicht auf die Art der Belastung:

2Mtl Z/ -j- 2M* h' — 6EJ($₁ — tf₂) = Nx 2 MS 1/ -f- 2 M/ IS + MS IS - 6 EJfc - 0₈) = N2 MS IS + 2 MS IS + 2 MS IS — 6 EJ(#₃ - 0₅) = N3 — 2 MS ti S~2M₁rlS — 6 EJ(&₄ — #₆) = x)

a.)

C,

C,

mSiMT

/■=

-Sf <0

mSz AfS

,4

---,--

Cf iTmoO

Abb. 63.

‘/so«

iiii

Hierin ist

ti = h,

x) Hätte man die Momentengleichungen nach der Regel feldweise aufgestellt, so wäre M%v bereits in der vorangehenden Gleichung aus dem Mittelfelde mit -j—Zeichen behaftet aufgetreten. Vom dritten Feld aus gesehen, ändert somit M^ sein Vorzeichen.

wobei das Trägheitsmoment J der Ständer als J gewählt wurde. Außer diesen vier Momentengleichungen können 3-2 = 6 Winkelgleichungen angesetzt werden. Diese lauten:

Ä0₄-f-Ä0e= O

= O .

-A#o + *0,

o

Es ist sonach

b)

und

= ^3 = ^5 = 0 *₀ = $₂ = ^4 = ^6 =

welches Ergebnis auch ohne Zuhilfenahme der Winkelgleichungen durch eine einfache Überlegung hätte gefunden werden können. Führt man die Werte b) in a) ein, so vereinfachen sich die Viermomentengleichungen und man erhält

2Mxl lx -f 2M* h -f 6EJft = Nx 2 MIH₁’ + 2 US V + MS l’ = N,

MS V + 2.W,' V + zM’ 1,' = N,

— 2 MJ' h 4- 2 M,r — 6 EJ i> = N,.

Addiert man die erste und letzte Gleichung, so fällt ■& aus dem Gleichungssystem heraus und man gewinnt drei Bestimmungsgleichungen zur Ermittlung der drei Überzähligen, und zwar:

2 MS IS + 2MSIS + MS k’ = N,

MS IS + 2MSIS+2M,'is=sr,    j

Wir betrachten nun zwei Belastungsfälle:

1.    Last 1* im ersten Felde im Abstande a von der linken Endstütze;

2.    Last V im Mittelfelde im Abstande a, vom Knotenpunkt 1. Um die rechten äußeren Einflußlinienzweige zu bestimmen, ist

es nicht notwendig, auch das dritte Feld zu belasten, da mit Rücksicht auf die Symmetrie der Anordnung die Berechnung der beiden Zweige 1 und 2 genügt. Allerdings setzt dies voraus, daß die ausgewählten Überzähligen ebenfalls symmetrische Anordnung zeigen.

Als Überzählige wählen wir die Auflagerkräfte A und B, sowie den Horizontalschub H.

Aus Abb. 64 folgt:

I. für Last il im Endfelde

Mxl = Alx M₁r=Al1 Mx* = Hh

1(7,

1 (7, — a)

a) — Hh

M₂l = Blx — Hh M₂r— Blx M₂v — — Hh.

Weiter ist:

N₁ = -F₂= — f,l₁l₁f,

2. für Last i< im Mittelfelde:

M₁i = Al1 M₁r = Al₁—Hh M₁v = Hh

MJ = BIX — Hh M₂r = Blx M₂v — — Hh.

ß-jL/me

7/

7/

Ferner gilt:

N₂ = -F₁ = -f₁lX>

Abb. 64.

//*///

■m;

C2

/^ITTTTliiw

N₃ = ~F₂ = -f₂l₂l₂f,

Nx= N₄ = o.

Nach Einführung dieser Werte gehen die Gleichungen c) über in:

I. Last i* im Endfelde

A + B + 2H^ = (

T+Bhlr7)-^r

f%_ h_

² h *^1

d)

1---

Hierbei wurden die Werte lx und l₂ durch die ausführlicheren Bezeichnungen ersetzt.

Addiert man die beiden letzten Gleichungen d), so erhält man

i)

wenn

e)

gesetzt wird.

Mit diesem Wert von A -f- B ergibt sich H aus der ersten Gleichung in der Form wobei Kx ein nur von den Abmessungen des Systems abhängiger, stets positiver Faktor ist. Die beiden Außenzweige der if-Linie lassen sich somit mittels der f₂-Linie in einfachster Weise bestimmen. Benutzt man nun die Gleichung von H, so kann man aus den Gleichungen d) A und B ermitteln, man erhält zunächst

A + B=2K^.~^

fg h ^2    7.

wobei

2 \JX ²’

S)

ist, und daraus

A= i —-

h)

i)

B= —

k)    Jj fi= — Kaf* ■

K2 und Ks sind, ebenso wie Kx, Festwerte, die nur mit den Systemabmessungen verknüpft sind. Der linke Außenzweig der A-Linie ergibt sich demnach durch Abtragen der K₂ f₂-Linie von der Geraden

i——, die durch den Punkt i geht und über A die Ordinate i hat.

Die Festwerte K₂ und Ks sind stets positiv. Den rechten Außenzweig

der A-Linie berechnet man als Spiegelbild der J5-Linie aus der Gleichung B— — Kz f₂. Siehe die Abb. 64.

2. Last i* im Mittelfelde.

Die drei Bestimmungsgleichungen lauten jetzt:

A+B+zl=0,

A (I_h

_AA

2

² ^

Der weitere Vorgang ist der gleiche wie oben; durch Addition der beiden letzten Gleichungen i) gewinnt man

₊5_3Hh

/ ¹ 2    2 l

+4+H)

A -j- -B — 3-ff y — — (/i “h /ä) y- ki •

hat die gleiche Bedeutung wie oben.

Die Einführung von A-\-B in die erste der drei Bestimmungsgleichungen liefert H, und zwar:

²tM⁺²t$

(fl + U) = *l'(fi+tt- • * k)

Weiter wird auf dem gleichen Wege wie früher gefunden

h² Jx

(/1 + /a) +

(fi^Q

b=- [k' £ j (fi+Q~ri j (fi - Q\

= - K (fi + fi) ~ x»'(fi - Ql

Damit sind sämtliche Einflußlinienzweige festgelegt. An einem Zahlenbeispiel soll noch die zahlenmäßige Auswertung der gewonnenen Formeln mit Hilfe der Tafel der /'-Werte im Anhänge gezeigt werden.

Zahlenbeispiel*).

Es sei:

= 10 m

Jx

Jl⁼²'

x) Mit dem Rechenschieber gerechnet.

Damit findet man die Festwerte kt und Jc₂ gemäß den Gleichungen e) und g) und zwar:

0,353,

a₊₂-

2 ¹ 15

= o,545 •

¹    1    ¹⁰

--L 2--

²    15

a) Außenzweige der Einflußlinien. [Gleichungen f) und h).]

£1

y 2.0,353

Z'J (²'7'² + ³‘°’³5³)

0,173,

— o,x73 • — -2 = 0,345,

4

) —0,173.—-2 = — 0,0184 • <    4

K,= ¹ (1 4-2.0,545

— -.2.0,545

In der folgenden Tabelle sind unter Benutzung der Tafel auf S. 211 die Ordinaten der Einflußlinien für die Außenöffnung zusammengestellt.

Tafel 1. Außenzweige der Einflußlinien.

A- Linie

’f\

H- Linie

H=-KJ,

= (--7

B -Linie

B — — £3/2

KJ,

0,1

0,2

0,3

0,4

o,5

0,6

o,7

0,8

o,9

0,099

0,192

0,273

0,336

0,375

0,384

o,357

0,288

0,171

—    0,0171

—    0,0332

—    0,0473

—    0,0581

—    0,0648

—    0,0664

—    0,0618

—    0,0499

—    0,0296

1,0

^ooooooooo

Sooooooooo

Soooooooooo

V. CT'00    lOTfrOM HH

0,0342 0,0662 0,0942 0,1158 0,1293

0,1325

0,1231

0,0994

0,0590

I ,oooo 0,8658 0,7338

0,6058

0,4842

0,3707

0,2675

0,1769

0,1006

0,0410

0,0018

0,0035

0,0050

0,0062

0,0069

0,0071

0,0066

0,0053

0,0032

b) Mittelzweige der Einflußlinien. [Gleichungen k) und 1).]

KJ

o,353

2-^(3-0,353 + 2-2-7)

0,173,

KJ — 0,173—-2 = 0,0865 4

¹⁵    ₌ o,204 .

4

76

rechnet.

tf-i 0

Beispiele für die Anwendung der Methode des Viermomentensatzes.

ln Tafel 2 sind die Ordinaten für die Mittelzweige der Einflußlinien be

Tafel 2. Mittelzweige der Einflußlinien.

Werte der Funktionen

fi+ft

fi — f*

H- Linie

A- Linie

und

J5-Linie

fi u

H=K₁\f₁ + f₂)

o o

0,1 0,171 0,099 0,270 0,20,2880,192 0,480 0,30.3570,273 0,630 0,40,3840,336 0,720

0,50,3750,375 0,750

0,60,3360,384 0,720 0,7 0,273 0,357 0,630 0,80,1920,288 0,480 —0,096 0,90,0990,171 0,270 —0,072 1,0 o o

0,072

0,096

0,084

0,048

—    0,048

—    0,084

0,0468

0,0830

0,1089

0,1245

0,1297

0,1245

0,1089

0,0830

0,0468

0,0233

0,0415

0,0545

0,0613

0,0649

0,0613

0,0545

0,0415

0,0233

—    0,0380 — 0,0086

—    0,0611 — 0,0219

—    0,0717 — 0,0373

—    0,0711 —0,0515

—    0,0649 — 0,0649

—    0,0098 —0,0515—0,0711

—    0,0172 — 0,0373 — 0,0717

—    0,0196 —0,0219—0,0611

—    0,0147 —0,0086 — 0,0380

0,0147

0,0196

0,0172

0,0098

In Abb. 64 ist der allgemeine Verlauf der Einflußlinien für H und A dar

gestellt.

9. Beispiel. Die dreischiffige Halle mit vier eingespannten Ständern und gelenkig aufgesetzten Bindern (Abb. 65 a) ist dreifach statisch un-

'H

a.)

jr

Zf

A.

I,

3a

Abb. 65.

bestimmt.. Das Ersatzsystem zeigt Abb. 65 b. Ausgezeichnete Punkte sind die Ständerfußpunkte, sowie die Knoten E und F, somit können sechs Momentengleichungen angesetzt werden¹). Fügt man die 3X2 = 6 Winkelgleichungen hinzu, so stehen zwölf Elastizitätsbedin-Verfügung. Unbekannt sind: Drei Überzählige und neun

gungen zur

Stabdrehwinkel, zusammen also zwölf Größen. Bei der Aufstellung der Momentengleichungen (nach dem Dreimomentensatz) beginne man mit dem linken Außenfeld, und zwar bei Punkt B und schreite

im Sinne der eingezeichneten Pfeile fort.

bei Punkt G, im dritten Fach bei Punkt D. Jene Glieder der

Im zweiten Fach beginne

man

Momentengleichungen, welche die reduzierte Länge des Zusatzstabes als Beiwert enthalten, entfallen, da die reduzierte Länge des Zusatzstabes wegen des unendlich großen Trägheitsmomentes Null ist.

Die sechs Dreimomentengleichungen lauten, wenn man als

Jc wählt:

Erstes Feld:

2 M₁h₁, + 6EJi&₁ = N₁.

Zweites Feld:

-2 M, V - Mh h,' + 6 EJ,0, = Na,

—    +    \    . . a)

2 M, (V + V) + Ma V - 6 EJs (#„ -»,) = K„

MX + 2Mahs’—6EJs#₇ = Nb.

Drittes Feld:

2 M₄ hy — 6 EJ₂ $₉ = N₆ .

Die Winkelgleichungen nehmen, wenn man die von den Längskräften herrührenden Formänderungen vernachlässigt, folgende einfache Gestalt an (siehe Abb. 65b):

Erstes Feld:

-j- Ti₁ -|- s sin a • #₂ — h₂ #₃ = o s cos a ■ $• — o.

Zweites Feld:

Drittes Feld:

+ Ms +    ~ KK — K&l = 0

^5    =    0.

• • b)

-(- h₂ $₇ — s sin cc •    — hx #₉ = o

s cos a • #₈ = o .

*) Die Punkte B und C liefern wohl vier Momentengleichungen, doch stimmen je zwei Gleichungen miteinander überein.

Aus den Winkelgleichungen folgt ohne weiteres:

#2 = #₅ = #8 = °>

#i==}A&s = k&

*1

*1

Mittels dieser Beziehungen kann man aus den beiden ersten und aus den beiden letzten Momentengleichungen je einen der Stabdrehwinkel eliminieren, z. B. und $₉, und so vier Gleichungen gewinnen, von denen die ersten zwei den Winkel #₃, die andern zwei den Winkel #₇ enthalten. Wir finden also, wenn wir 6 EJ₂ = q setzen,

-2 MX—MX+eK=x* und daraus nach Entfernung von #₃

2M₁h₁' + 2kM₂h₂'-\-kM₆h₂' = N₁ — kN₂.

In der gleichen Weise:

if₆V + 2ü/₃V-e^=^₅

2Mih₁, — Qk&₇=N9 und daraus, wenn man #₇ eliminiert,

— 2kMzh₂ -|- 2M₄h/ — JcM₆ h₂' = N₀—kNl>.

Aus der ersten und letzten der in Rede stehenden vier Gleichungen folgt aber auch

<?#. = -•f-JW+f-.

Die Einführung dieser Werte in die mittleren zwei Momentengleichungen der Gruppe a) und in die mittlere der Gleichungen b) liefert, wenn man noch die beiden oben erhaltenen winkelfreien Gleichungen hinzufügt, folgendes System von fünf Gleichungen:

— ² if₅ (h₂ -j- V) -f- ~j~ V    q ^4=^3 ~f~    »

² (V ~4~ V) ~f~ V + J~ V ~ Q    *

2Mtä/    2kM₂-j- kMh V = N₁ — kN.

2Mih₁' — kMeh₂ — 2k Ms h₂ =N₆ — kNt

— M₂ h₂

Ne

c)

• d)

Jf₆).

Addiert man die beiden ersten Gleichungen und entfernt die entstehende Winkeldifferenz mittels der letzten Gleichung, so erhält man das endgültige System der drei Bestimmungsgleichungen in der Form:

(Ms ’-M,) A₂ + 2 (Jf₆ - Mb) (A₂ + Ag) + J (M, + M₄) (i + i-) \

= •^8 + ^4 (J + ’jf) (-^l “1“ ^e)’

+ 2 k M, A₂ + * M, A₂ = A* - AA₂,

2 Aj

e)

Ji

2Mih₁

— k A₂ — 2 A_Mg ä₂ — A₆ — A A₅ ,

wobei für die reduzierten Längen die ausführlich geschriebenen ₍Werte

A₂' = A

\’=

eingeführt wurden.

Ag Ag

f*2

m₆

'f-%

*s

rx:

m₃

Abb. 66.

Als überzählige Größen wählen wir die wagerechten Teilkräfte der Riegeldrücke, Xlt X₂ und X₃, Abb. 66, und bestimmen für einige Belastungsfälle den Zusammenhang zwischen den Momentemüfj bis M6 und den vorerwähnten X-Kräften und der Belastung.

/. Belastungsfall: Die Riegel sind lotrecht belastet. Es gilt in diesem Falle, falls man die Kräfte X als Zugkräfte annimmt,

M₁= — X₁h₁,

Ms = — ^(A₂ -j-A₈)-j-X₃ A₂,

-^5 ⁼⁼ -Xj Ag ,

sämtliche A-Werte sind Null.

Da die Momente M± bis M₆ von P unabhängig, alle A-Werte aber Null sind, so verschwinden die rechten Seiten der Bestimmungs-

Xx A₂ — X₂ (A₂ -f- A₃),

=— Xs

-Mfl = X₂ Ag ,

gleichungen e). Sämtliche Zählerdeterminanten sind daher Null. Daraus folgt

und somit

X₁=X₂=X₈ = o

M₁=M₂ = M₃ = Mi = o.

2. Belastungsfall. Die Ständer hx und ha sind mit p*/m bzw. p'*/m gleichförmig über ihre ganze Länge belastet. Abb. 66. Es gilt, wenn man die Riegel als gedrückt ansieht,

M₁= —

h ²

PJ^~JrX\K>

M„ =

P h (\> +    + Xi K — Xa (K ~f K)>

%

ik/g = X^ (ä₂ -j- hf) Xs Ä₂,

— Ag Äj,

Ms=p'hf—X,h„

Mq = X% ha,

n₁ = — ~pK

4

-p'h

4

N₂ = N₄ = N₅ = N₆ = o.

Führt man diese Werte in das Gleichungssystem e) ein, so gelangt man zu den Bestimmungsgleichungen für die Überzähligen X von der Form:

Jl'

Jx\

x\ + ² (K + K) (K + ² K)

3    phi ( i ^2 i

4    Zc V ' V J₁"r

P'h₃

T~ (3Äg² -f- 4^₂² + 6 ä₂ä₃),

4

²iV+tv

- ^2 (² ^2 H 3 Ä₃) X₂

3rtA_/yi(4i| + 3yi

A-g = o.

yX₁—eX^ = Z^,

. Wir schreiben die Gleichungen in der vereinfachten Gestalt

aX₁-Jr ß X₂-\- aXa = Ziy

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt

und

Damit geht die erste Gleichung über in

X,

X₂,

somit wird

Xa-

X₂

und schließlich

Xx = — Y

rß+'T

X,=

eZ'~ 7*

' ß + *f

Zum Schlüsse möge noch die Berechnung der Knotenverschiebungen, die von der wagerechten Belastung p und p' herrühren, gezeigt werden. Aus den Gleichungen c) auf S. 78 folgt:

kg

Mit den Werten von Nx und g erhält man, da Ne Null ist,

6kEJ₁{2Mlhl+ 4

somit ist auch und #₉ bekannt, nämlich:

und

Die erste Winkelgleichung des Mittelfeldes liefert:

Bleich, Viermomentensatz.

und die dritte Gleichung des Gleichungssystems a) auf S. 77

ß4 = ^3 + TTTI

-M, Ä₂ -j-2l₅ (Ä₂ -j~ 4)--

H Tt-

/V ,

somit auch

CO \to

«3=

-O

6 EJ,

-Mo K -f- ² Mr> (h₂ -4- hs) —

eo

Mit den so berechneten Stabdrehwmkeln ergeben sich die wagerechten Verschiebungen der oberen Ständerpunkte (Abb. 65) wie folgt:

A K= \ -f h₃ , AL = d₇h₂ + #₆hs.

AG = ft₁h AH=&₉\,

AE— #3ä₂ ,

AF= &. h₂,

Diese Werte reichen in der Regel aus, um über die Steifigkeit des Tragsystems Aufschluß zu erhalten. Die Kenntnis der Formänderungen der Stäbe zwischen den Knotenpunkten ist meistens nicht notwendig; um ein ungefähres Bild zu erhalten, genügt es, aus dem Momenten verlauf die Vorzeichen der Momente und die Momenten-Nullpunkte (Inflexionspunkte der elastischen Linien) zu entnehmen und durch die verschobenen Endpunkte die elastischen Linien beiläufig einzuzeichnen.

10. Beispiel. Als ein Muster für die Ermittlung der Überzähligen in einem vielfach statisch unbestimmten Systeme möge die Berechnung der in Abb. 67 dargestellten dreischiffigen Halle, einer Tragwerksform, die im Eisenbetonbau häufig Anwendung findet, ausführlich behandelt werden. Das Tragwerk ist neunfach statisch unbestimmt; es gestattet, da acht einfache Knoten und zwei Knoten mit je drei Anschlußstäben vorliegen, die Aufstellung von 8-j-2 *2 = 12 Viermomentengleichungen und von 2-3 = 6 Winkelgleichungen. Diesen achtzehn Gleichungen stehen achtzehn Unbekannte gegenüber und zwar: neun Überzählige und neun Drehwinkel.

Die Belastung des Tragwerkes besteht aus dem Winddruck auf die Seitenwände und einer gleichförmig verteilten Belastung der Dachflächen, vom Eigengewicht oder Schneedruck herrührend, die in den Seitenhallen sich auf alle Fälle über die ganze Dachfläche, in der Mittelhalle aber unter Umständen nur über die eine Dachhälfte erstrecken soll. Es ist natürlich von Fall zu Fall jene Lastanordnung zu wählen, die für die zu berechnende Größe einen Höchstwert liefert. Die allgemeine Untersuchung führen wir für den in der Abb. 67 a dargestellten Belastungsfall durch, wobei wir den Winddruck für die Längeneinheit mit w, die lotrechte Belastung der Außenhalle mit p', die der Mittelhalle mit p" bezeichnen. Setzt man in den Endergebnissen alle

Belastungswerte bis auf einen Null, so erhält man den Einfluß dieser Belastung für sich allein.

7i.

U^J

k-

^Csi

//

T7=o-

S/t/Z ,

^7

iii

Abb. 67.

Unter Bezugnahme auf Abb. 67b, in der die Umlaufrichtungen durch Pfeile angegeben sind, lauten die Momentengleichungen:

erstes Feld:

2M₁h₁r -j- M₃ V + 6 E J 0, = JVX ,

-MiV-f 2if₃(Ä/-f /)|I₄/-6EJ{^ — 0₂) = N„ ,

M% J -f 2 M₄ s' - 2 M₆ V - M, h₂' - 6EJ(&₉ - 0₈) = Ns *); zweites Feld:

2i/₂ Ä₂' -f- Mb\’ -f 6EJi% = o,

M₂ h₂' -f 2 M₅ h₂' -j- 2 Jfa h₃ + M,.    — 6_E/(#₃ — 0₄) = N₄,

V + 2 ¥, (V + V) + ¥/ + 6 H@ £ - 6ä7(#₄ - #,) = X ,

*) Aus Gründen der Symmetrie wurden M₂ und , vom Mittelfelde aus gesehen, positiv angenommen. Diese Momente erscheinen demnach in dieser Gleichung mit negativem Vorzeichen.

M, l'+2K,%’ + O + Me'h,'+6H<Sfi - 6iäJ(0₅ - <V) = V,

3f,' V + 2 MtX'+ 2 4f₅' V -f M₂f h₂f — 6 £ J(0/ — 0,0 = o,

■^₅/ h₂ -j- 2 M₂ h₂ 6EJd'₃ = o; drittes Feld:

- M,’ V - 2 M; + 2 Ml s’ + M„’«’ - 6 S/ft' - <V) = o , u; s’+2 Ms’ (/ + />/) +1/,’ V — 6EJ (&/ — #,') = 0,

Jf₃' Ä/ -f 2 JW/ V — 6/äJi'V Als Jc wurde das Trägheitsmoment J des Mittelhallenbinders angenommen.

H bedeutet die Sehnenkraft in diesem Stabe, <3 das statische Moment der zwischen Sehne und Stabachse gelegenen Fläche, bezogen auf einen der Endpunkte.

Die Winkelgleichungen haben die Form¹):

erstes Feld:

A₂1 cos aJrh₁d‘₁-\- (h₂ — ht) #₂ — h₂ $₃ = o, Ax l -|- A₂1 sin a — As l — lx ft₂ — o ;

zweites Feld:

^ 4~ K 4“ K ^4 — \ K ^3 — ⁰ >

Aal-\- AJ — a;i — As'l —1^ = 0-,

drittes Feld:

A₂' l cos a -|- h₂ #₃' — (h₂ — hi) #₂' — \    = o,

Zig' l — A₂ l sin a — Ax l — lx #₂'

Der Einfluß der Längskräfte werde vernachlässigt, da er, wie wir uns später überzeugen werden, unerheblich ist. Da wir aber die Wirkung von Temperaturänderungen kennen lernen wollen, so dürfen die Dehnungen A l nicht ohne weiteres Null gesetzt werden. Es darf auch nicht übersehen werden, daß bei dem gebogenen Stab des Mittelfeldes die Änderung der Sehnenlänge infolge der Biegung berücksichtigt werden muß.

Nimmt man überall gleiche Temperaturänderung an, so gilt mit Hinsicht auf die Symmetrie des Tragwerkes

x) In den folgenden Gleichungen wurden die Stabdehnungen A l mit jenem Zeiger versehen, den der zu dem betreffenden Stab gehörende Drehwinkel # besitzt. Um Verwechslungen zu vermeiden, wurde der Zeiger unmittelbar nach dem Zeichen A gesetzt.

Ferner setzen wir

Ahl = Al

A₁l = A₁'l = Ah₁, Aal — As' 1 = A\,

A₂l = A₂ 1 = As, AJ = AJI = A\,

sin a

K~K

und

cos cc⁼⁼⁼ —”

mit welchen Werten die Winkelgleichungen folgende Gestalt annehmen:

^«7+^^+(K — K) — K a₃

A hx — Ah₂-\- A s —— ^

J ?₂ -f- K fts -f ^3^4 ^3    K ^₃ — ⁰ ’

h#6 = °>

As~JrhCi fts' — (h₂ — hx) ft₂ — h₁ft₁'=o,

— A\ + Alh — As    —1^’ =

Aus der zweiten, vierten und letzten Gleichung folgt:

K — K A s

= 0,

1^ = 0,

ft = —

”2

A\—Ahx

attJr

Ktt=0

Ah₂—Ahx h₂ — hxAs    h₂—ht

att

K—K

■ a)

att— 0,

— o.

at bedeutet die Ausdehnungsziffer für 1° Temperaturschwankung. Aus den drei übrigen Gleichungen ergeben sich damit:

• • b)

s hx

fti =

J^A₃-\- As y — =^#3'-}- att^~ = K^s H“ Nt>

Al₂

h₂ A l₂

KW—ft₃).

Zur Abkürzung wurde

und

Nt = att

kl~ hx’

gesetzt. Der ausführliche Wert fürzlZ₀ wird später eingeführt werden.

In den ersten zwei Viermomentengleichungen ersetzen wir nun d'₁ durch $₃ und bezeichnen

6 EJ=q.

Somit lauten die ersten vier Gleichungen:

2 JU. V + u, V+*1 e =n, + e >

Mt V + 2 M, (*,' + s') -f-Jlfjs'—k₁ßd₃ = Nz — ßNt,

M,S+2MtJ-2Msh,’-M,h,’ + e0, = N„

2 M₂ h₂' -f- M₅ h.2 -J- Q $₃ = O .

Ebenso ersetzen wir in den letzten zwei Gleichungen durch $₃' und gelangen zur folgenden Gleichungsgruppe:

jf₆V+2^₂'V-e*V=o,

— M₂'    — 2 M₆' h₂' + 2 Ml s' + Ml s' — Q = O,

V + 2Ml(V + hl) + Ml hl + klQ{>l = -()Nt,

Ml hl -f- 2Ml hl — klQ§l = QNt.

Um $₄ und $₄' zu eliminieren, addieren wir die fünfte und sechste Gleichung, sowie die siebente und achte und gewinnen hierdurch

M₂ K' -f- 2 M₆ h₂' -|- 3 Me hs' -)- M. (3 hl -J- 2 ll) -f- Ml l₂'

+ ⁶h®jt-Q»*=n* + n*’

Ml hl -f- 2 Ml hl -f- 3 Ml hl -f- Ml (3 hl -f- 2 ll) 4- M^ l₂f

+ 6 H@V + e#₃'=Ä„.

Wenn man endlich die mittleren zwei Gleichungen addiert und die entstehende Differenz ($₄' — $₄) durch die Differenz (#₃' — #₃) ausdrückt, so findet man noch die Beziehung

*2

M₆ hs' -j- M₁ (2 hl -(- 3 ll) -f- Ml (2 hl -f- 3 ll) + Ml hl -f- 12 -ff© 7V — @ &₂ OV — ^3) ~f" Q ~T~

Damit haben wir an Stelle der ursprünglichen achtzehn Gleichungen elf Gleichungen mit elf Unbekannten (neun Überzählige und zwei Drehwinkel) erhalten.

Nun beseitigen wir die Größen und #₃\

Aus der vierten und fünften Gleichung des reduzierten Gleichungssystems findet man

{? ^3    2 -^2 ^2    -^5 ^2 ’

e ^    -I- a J4'V.

Nach Durchführung der Rechnung erhält man folgende neun Bestimmungsgleichungen, wobei zur Vereinfachung an Stelle der zweiten Gleichung die Summe der ersten und zweiten, statt der siebenten Gleichung die Summe der siebenten und achten gesetzt wurde:

2MX ~2\MaX Msh₁' — ktMb\r = N₁-\-QNt,    '

3 M₁V -f Jf,(₃ V -f- 2 s') + M, / = N₁+N,,

-3M.₂h,' + M₃s’-\-2MtS'-₃Msh,' = Na,

— 3 M,' V + X,' s' + 2 M/ s' — 3 Mb' V= o,

3.Mj⁷ /tA⁷ -f- ilf₃⁷ (3 Äj⁷ -j- 2 6⁷) -j- Ml s' = 0 ,

2    Ml hl — 2 kx Ml Kf -f Ml hl — \ Ml hl = ßNt,

3    M, hl + 3 M₆ h₂' + 3 M₆ V + ^ (3 Kf + 2 ll) + M₇ ⁷ ll

• c)

+ 3H$lf = Ni + Nb,

3 Af₂⁷ Ä₂⁷ -j- 3 3f₅⁷ V -|- 3 Ml hl -f- Ml (3 h₃' -j- 2 Z₂⁷) -j- M₁ ll

ll

- 2Ä:₂(M₂ + Ml) hl - K(Mb + if₅⁷) V -f (M₆ + Ml) hl

+ (Ä,+^o(2V+3 V+X-)

+ I2H*(V₊it)=J7₅+J7₆

6a _ 1 ,

V⁺V‘ J

In den letzten Gleichungen wurde für

und für

zU

1 T0 .iE/ L 2

(ilf₇-f Jf₇⁷)4-2#0a-f G ±a<fZ₂¹)

eingeführt.

Wir wählen als statisch unbestimmbare Größen die Momente MxMl, MnMl, M₃M₃r, MiMi', sowie die Sehnenkraft H des Stabes Z2 im Mittelfelde.

Hl

*) Die Dehnung    wurde wie bei den übrigen Stäben vernachlässigt.

hjh

Mit Hilfe der Abb. 68 findet man folgende Gleichgewichtsbeziehungen¹):

MS=M, + H,h, = M, + ff», - (3f, — 34)*, + »*, (£•+*,), = K +    = Ut + M, + K\ - (Ms -M₁)k₁+w\{^ + *,)

K' (V‘a +^r)

34 = 34 + M„ + (Bi + Ä,) \ -

d)

34 —    M/ -f- -H 3, - (3f₃' — 34') *, ,

' = K + 34' = M/ + Jf,' + Hh, — (3fs' — 34') * / = 3£₁' + 34' + (H₁' + B₃')ä =34'+34'—(34' - 340 4 + B(\ + h.).

TU*

/y-

.VjJ*

— "TÜC

-//

m₅

-f

h₂=m-

M3-M7

h₇

mJ-m;

+7V

h₇

h₇

Abb. 68.

Nach Einführung dieser Werte in die Gleichungen c) erhält man das endgültige System der Bestimmungsgleichungen, und zwar zunächst die ersten sechs Gleichungen:

J) Bei der Aufstellung dieser Beziehungen beachte man die Bemerkung über das Vorzeichen der Momente in Punkt 4 der Zusammenfassung auf Seite 47.

Mt (2 V—VV) — 3 K -M, V++ V V)—K HK v = cck,K w —(— iVj —|— ^    ,

e)

e')

3^ V + Jf.(3 V + *0 + ^    >

-3^^ V — 6*;V + i^3(«' + 3^V) + ²^4*'- 3HK v

= 3 G Tt./ 30 —^3 )

3 Ä₄ 1^'V — 6 Jf₂' V-f Jf₃'(V-j- 3K K') 4~ ² Ml s’ — 3Hh₂ K = o; 3^/ V + M₈' (3 V + 2/) + Jf₄' «' = o,

m;(2/>/ — K² Kl—sKMv K+K(V+W) - *ih\ V

= QHr

Hierbei wurde zur Vereinfachung für

K 4“ ^s) — a

geschrieben.

Die nächsten beiden Gleichungen des Systems c) benutzen wir, um durch Addition und Subtraktion zwei neue Gleichungen abzuleiten, in denen schließlich mittels der Gleichungen d) alle Momente durch die Überzähligen ausgedrückt werden.

Man erhält mit den Substitutionen

to Lr¹

K 4~ k) 4~ ~ — ß K' + ² V 4~ h' — <Pi >

= 9V

K' 4~ ² K 4~

die Gleichungen

₃(V + «,' + ^)-V

+ MA cp, -f (if₂ + M₂') {cp, 4- V) - K (Ms 4- Ms’) cp,

+    4~{cp, — Kl + ²H \fptK-\-(V4~hlK~\-®j

— y (^4 ~b h₆ +    — wia (V 4~ Kl 4- ß (V 4~ V)] >

K - K) <p. 4- Ä - M*1 (% 4- V) - *1Ä - JO <p, 4-(3f₄-3f₄0(^-V)

⁼ 3 (-^4 4-^5 — -^«) — w a (V 4~ Kl 4- ß (v 4“ y-) »

K (K + Ml) (y, - k₂ h₂') + (M₂ + M₂') (y; - 3 K V)

- kx (Ms -f Mß (y ~ K V) + {M, + 20 V

2l₂

+ 2H \h₂(V — k₂h₂) -|- (h₂ -f- hs) (xp — V) -j-60^-

r+Qh Citt'

,(3

= ^5 +.#6 — w [« (;V—fc₂ V) + £ (■v — *»0] —

Die Gesamtheit der Bestimmungsgleichungen zerfällt in drei Gleichungsgruppen, wobei sich die Systeme e) und e') nur in den Beträgen der rechten Gleichungsseiten unterscheiden. Setzt man nun in den Gleichungen e) die Glieder, die M₄ und H enthalten, auf die rechten Seiten und bezeichnet diese zusammenfassend mit ax, a₂, aä, so erscheinen nach Einführung der Zahlenwerte auf den linken Seiten dieser drei Gleichungen und nach Auflösung derselben die Momente Mx, M₂ und Ms als lineare Funktionen von ax, a₂ und a₃ dargestellt. Diese Lösungen können auch ohne weiteres für die Gleichungen e') verwendet werden, da die Beiwerte der Unbekannten in beiden Gleichungsgruppen dieselben sind. Nun ersetzt man in den so berechneten sechs Lösungen die a-Werte durch ihre tatsächlichen Beträge, d. h. man bestimmt die Momente Mx, M₂, Ms und Mx, M₂, M₃ als Funktionen der übrigen drei Überzähligen Mx, M₄ und H und führt die so gewonnenen Ausdrücke in die Gruppe f) ein, wodurch man zu drei Gleichungen mit den drei Unbekannten M₄, M/ und H gelangt, die daraus bestimmt werden können. Damit sind auch alle andern Überzähligen gegeben. Die Berechnung des neunfach statisch unbestimmten Tragwerkes läuft somit auf die Auflösung zweier Gleichungsgruppen mit je drei Unbekannten hinaus.

Wir ermitteln schließlich noch die Beträge für die Belastungsglieder N. Es ist

^2

^4

= — \²,

= — \wK V — Ip's'i²

= - p’s'l,*,

\wll% Ä₃² ,

= — |whs'h₃-—■§iP'fl₂ l ²

• S)

Bei der Berechnung von N₅ und Ne wurde die Gleichung 12)

gesetzt.

auf S. 36 benutzt. Für a-Q wurde —, für ß, —

4    ²

y 4/■=12 m2.

Ferner gilt für den Mittelbogen

<£ =

Zahlenbeispiel:

Wir wählen folgende Tragwerksabmessungen, und nehmen an, daß der Mittelbogen nach einer Parabel gekrümmt ist.

f= i,5o m h₃ — 2 m,

4 = 8 m,

K = 5 m,

4 = ¹² m

= 6m,

tv

s — 8,06 m,

- = 3,

_+_J

J₃“ J₄“²’

somit ist:

- = 1,2,

4' == 4 cos2 y —

4³+i6 r

s' = s = 16,12 m

.7

h₁' = h₁-Y-= 15 m,

= 12 m,

ö — — f=o,6 m.

5

Mit diesen Zahlen findet man die Festwerte

9?j = 12 + 8 + 9,6 = 29,6 m

933=12 + 8 + 3,2 = 23,2 m

sowie

W= 3 (4 + 9,6 + 6) = 58,8 m,

und

ß — 29 m².

« = 27 m

Das von der Krümmung des Mittelhallenbinders herrührende Glied —-— ist

"a

nach Seite 41 durch die Gleichung gegeben

6 6r

worin ÜÜJ^. das statische Moment des nach Abb. 69 belasteten Balkens von 4=12 m Stützweite bedeutet.

Nun ist

für x < —

V"

fl

für x > —

V"

--£ = 72, OO7Tb

Abb. 69.

4*

für y setzen wir

4/¹

*) Bei der Parabel ist tg y =    , daher cos² 7

4²

4²+i6r‘

Somit folgt

Wlx ydx =

2 4²

p"\l

0

12

x¹ (i₂ — x) (31₂ — 4») dx j4 x (4 — x)*dx

demnach

30

6G _ p" f

^ = 259,2 p".

Wir berechnen ferner die von der Belastung abhängigen Größen N nach den Gleichungen g).

Nach Einführung der Zahlen werte erhält man:

N₁ = — 93,75 w,

Ns== — 257,92 /,

N₅ = — 4M- i94,4p">

Die Gleichungen e) lauten sonach

Na = — 93,75 w — 257,92p',

Nt = — 4 w,

= — 151,2 p".

45,00 34

Ihre Auflösung liefert

100 34 = 2,46490^ + 0,105 ⁶9 «2 — L47896 a₃,

IOO 34 = — 2,62609 «! + 0,952 5 I Oj + 0,208 37 «3 ,

10034 ==— ¹,43605 «1+ 1,23309 a₂ +0,861 64 a₃

Nun ist in den Gleichungen e)

«i = 86,40 £?+ 295,05 «; + ßNt,

«2 = — 16,¹2 34 — 187,50 w— 257,92 p', a₃ = 216,00 H— 32,24 3f₄ + 972,00 w — 257,92 p'.

Mit diesen Beträgen wird

^4 = 0,4598 34 — 1,0649.21— 7,2990«; + 3,5419 p' + 0,024 65 gNe,

M₂ — — 0,2207 A4 — 1,85001?— 7,61s¹    — 2,9941 p' — 0,02663 eNt,

34 = — 0,4765 A4 + 0,6200 ir+1,8243 to — 5,4023 p' — 0,01436 gN₍.

Die Lösungen der Gleichungen e') unterscheiden sich von den Lösungen h') nur dadurch, daß die von w und p' abhängigen Glieder Null sind. Sie haben sonach die Form

. . h)

h')

34' = o,4598 34'— 1,064912 + 0,02465 qN₍,

A4'= — 0,2207 A4'— 1,8500 H — 0,02663 qN(, A4' = — 0,4765 34' — 0,6200 H— 0,01436 pNt. ,

• • • h")

Die Gleichungen f) nehmen nach Ausrechnung der Beiwerte die Gestalt an

35,52 (44 + 44') + 41,60 (44 + 44') - 35,52 (44 + 440 + 17,60 (44 4-440

-(-428,80 E=— 829,07 10— 115,20 p" ,

27,84 (44 - 440 + 35,20 (44 - 440 - 27,84 (44 - 440 + 11,20 (44 - 440

= — 643,47 w— 14,40 p",

27,36 (44 + 440 - 49,20 (44 + 440 - 27,36 (44 -f 440 + 58,80 (44 + 440 + 593,60 E= — 729,20 10 — 604,80 p" — 3,75 9 44.

Aus den Gleichungen h') und h") bestimmt man nun die Momentensum-men bzw. -differenzen mit den Zeigern 1, 2 und 3 und führt die Werte in die vorstehenden Gleichungen ein. Als Ergebnis dieser Rechnung finden wir:

41,676 (44 + 440 + 155,185 H=

==— 188,222 10 — 193,143 p' — 115,2/' —0,5556 qN₍

29,498 (44 — 440 = — 121,426«; — 143,614/ — H,4P"

95,276 (44 + 440 + 683,442 fi =

= — 854,249 w — 392,023 p' — 604,8p" — 8,505 Q Nt

In den Gleichungen i) sind nurmehr die Unbekannten 44, 44' und E vertreten. Aus der mittleren Gleichung folgt unmittelbar:

(44 — 44') = — 4,1163 10 — 4,8687 p' — 0,4881 p".

Die beiden anderen Gleichungen, die nur (444-440 und E als Unbekannte enthalten, ergeben nach der Auflösung:

(444-440 = + 0,2866 10— 5,1953 p'+ 1,1041 p" + 0,06863 p Nt,

E= — 1,2899 w + 0,1507p' — 1,0389p" — 0,02200 q Nt-

Aus der Summe und aus der Differenz der Momente 44 und M/ findet man leicht 44 und 44' selbst. Mit diesen Momentenwerten und dem Betrage von E sind durch die Formeln hZ) und h") auch die anderen Unbekannten gegeben. Man findet so:

44 = — 6,805610+ i,oö77p'+ 1,2479 p" + 0,06386 q Nt

4f₂ —-4,8063 w — 2,1623p' + 1,8540p" + 0,00650 Q Nt

44 =+ 1,936810 — 2,9112p' — 0,7909p" — 0,04435 gNf 44 =— 1,9143 w— 5,0320p' + 0,3080p" + 0,03432 qN(

• • Y)

44' = + 2,385810 — 0,2355 / + 1,4723 /' + 0,06386 Q Nt 44' = + 1,8995 w — 0,2428p'+ 1,7463 p" + 0,00650 ß Nt 44' = — 1,8487 10+ 0,1712p'— 1,0234 p" — 0,0443 5 gNt 44' = + 2,2014 w — 0,1633p' + ⁰,7961 p" + 0,03432 Q Nt E=—1,289910 + 0,1507p'—1,0389p'' — 0,02200 g Nt . . . j")

Damit ist die Aufgabe im Grunde genommen gelöst. Für jede Stelle des Tragwerkes können Moment und Querkraft, sowie die Längskraft auf Grund der Gleichgewichtsbeziehungen festgestellt werden. Setzt man in den Lösungen p', p" und Nt Null, so erhält man die Unbekannten für den Winddruck 10 auf die Seitenwände. Nimmt man 10, p" und Nt Null an, so findet man den Einfluß einer Belastung p' des linken Seitenfeldes auf die Überzähligen. Vertauscht man die gestrichenen Momentengrößen mit den ungestrichenen, so liefern diese

Formeln auch den Einfluß einer Belastung des rechten Seitenfeldes. Ebenso geht man vor, um den Einfluß einer Totalbelastung der Mittelöffnung festzustellen. Wählt man w, p' und Nt Null, so geben die voranstehenden Formeln die Wirkung der Belastung der linken Hälfte des Mittelhallenbinders. Nach Vertauschung der gestrichenen und ungestrichenen Momente erhält man den Einfluß der Belastung der rechten Binderhälfte. Durch Summation der beiden Teileinflüsse kann die Wirkung der Gesamtbelastung erhalten werden. Auf ähnliche Weise lassen sich auch die Einflüsse aller anderen üblichen Lastanordnungen berechnen.

In Anwendung des eben Gesagten mögen einige Belastungsfälle eingehender behandelt werden.

t. Bleibende Belastung.

Das Eigengewicht nehmen wir in allen Feldern mit 0,33 t/qm an. Bei einer Binderentfernung von 6 m ergibt das p* —p" — 2,0 t/m.

81

V₅=t0,539

7,705

Abb. 70.

Wir berechnen auf Grund der Formeln j), f) und j"), in denen w und Nt Null gesetzt werden, die unserer Belastung entsprechenden Momentenwerte. Diese Zahlen finden sich in Tafel 3, Reihe 1 eingetragen. Vertauscht man nun M-l mit M/, M₂ mit M/ usw., so entsteht die Zahlenreihe 2, die die Momentenwerte für die Belastung der rechten Gebäudehälfte angibt. Die Wirkung der Totalbelastung weist die Ziffernreihe 3 aus, die die Summenbeträge aus 1 und 2 enthält. Aus diesen Werten berechnet man leicht auf Grund der Gleichgewichtsbeziehungen d) auf S. 88 die übrigen Anschlußmomente (siehe die untere Hälfte der Tafel 3), um den Verlauf der Momente Übersichtlieh darstellen zu können. Das Momentendiagramm ist in Abb. 70 ersichtlich gemacht¹).

2. Schneebelastung.

Diese Belastung sei ebenfalls über die ganze Dachfläche gleichförmig verteilt angenommen. Da s = 0,075 t/qui ist, so ergibt sich für die Berechnung p’ — p" = 6 • 0,075 = 0,45 t/m.

Man erhält die Zahlenwerte der Kolonne 4, wenn man die der Kolonne 3

0,225 multipliziert.

mit

o,45

3. Winddruck auf die Wände.

Der Berechnung wurde ein Winddruck von w — 0,150 t/qm zugrunde gelegt; dies liefert w — 6-0,150 == 0,900 t/m. Mit diesem Werte wurde auf Grund der Formeln j), j') und j"), in denen p', p" und Nt Null gesetzt wurden, die Reihe 5 in Tafel 3 berechnet und der Verlauf der Momente in Abb. 71 eingetragen.

Tafel 3. Momentenwerte in mt.

Bleibende Last p' —p" = 2 t/m

Moment

Belastung des linken Seitendaches und der linken Hälfte des Mitteldaches

Belastung des rechten Seitendaches und der rechten Hälfte des Mitteldaches

Gesamtbelastung (Summe i und 2)

Schneelast p’=p" = 0,45 t/m

Winddruck auf die Seitenwände (Wind von links) w = 0,9 t/m

Temperaturänderung t= + 20° C

mt

mt

mt

mt

mt

mt

MJ

■2f

Mx

M'

M,

Hillt

+ 4-631

-0,617 + 3,007

+ 2,474

+ 2,474

+ 3,007

+ 7,105 + 2,390 + 2,390 + 7,io5 -9,108 -8,182 — 8,182 -9,108 -3,552

+ L597 + 0,538 + 0,538

+ L597

-6,125

-4,326

+ i,7io

+ 2,147

+ L743

-    L723 + 1,981

-    1,664

-    1,161

± 2,299 ±0,234 ±o,²34 ±2,299

+ ¹,597

+ 1,236

± 1,236 ± L597 + 0,792

M.

M,

⁶,

+ o,534

—    7,648

-    14,752

-    14,752

—    7,648 + 0,534

+ 0,120

—    i,72i -3,3i9 -3,3i9

-    i,72i + 0,120

+ 3,566 + 1,843 + L32I

-    1,024 + 1,298

—    0,683

±0,157

± L393

±0,191

+ 0,191 ± i,39J ±0,157

4. Einfluß einer Temperaturänderung. Es ist:

*•) Beim Mittelbalken darf nicht der Einfluß der Sehnenkraft H auf die Momente übersehen werden. Für die Bogenmitte ist z. B.:

Mmine = M. + ¹Lp" U + Hf= — 14,752 + 36 — 5,328 = -f 15,920 mt.

Wir wählen EJ= 15000 tm² und t = 20°, dann wird mit xt = 1 :8oooo:

,T ,    8    20

oNt — 6-15000--= 36 .

5 80000 J

Die berechneten Momenten-werte sind in der Vertikalreihe 6 der Tafel 3 angeführt.

Den Schluß dieses Beispieles möge die Ermittlung der Knotenverschiebungen infolge Windbelastung der Wände (Wind von links) machen.

Wir haben auf S. 87 gefunden:

Q ^3 -    2 -3^2    -^5 ^2

q»₃'=

2 Mt'K+MJhJ. daraus ergibt sich unmittelbar:

Mit

Abb. 71.

h₂ = 12 m

£ = 6JEJ— 90000 tm²

erhält man unter Benutzung der Mo-mentenwerte der Reihe 5 in Tafel 3;

$₃ = -f- ⁰,⁰⁰°678

= + 0,000 365.

und

M,—V,326

V

ir

Damit ist auch und gegeben, und zwar:

^1 —^1^3 = -f- 0,000814,

*V — K = + 0,000438.

Weiter findet man aus den Momentengleichungen des Mittelfeldes (siehe die Gleichungen auf S. 83 u.84) :

6 EJ (tf₃ - 0₄) = Jlf₂ Ä.' + 2 Mb h./

+ 2M₀h₃' + M,h₃'-N₄,

■VI

•k

6 ^ j(#; - &/) = jf/v+² -&VV

-f 2ikf₅'V + ^/V-

Nach dem Einsetzen der Zahlenwerte der Momente aus Tafel 3, Reihe 5 erhält man:

6 E J (ßz — #₄) = + 5 7,30,

6EJ,') = +10,42 x)

somit unter Benutzung der oben errechneten Werte von #₃ und #₃':

#4 =#3 _ TiS⁼⁼ + °,000 041 ,

#₄' =    + ^7= + 0,000472.

Alle übrigen Stabdrehwinkel sind Null. Die Knotenpunkte erleiden sonach nur wagerechte Verschiebungen 8, die wir mit dem kleinsten Momenten-zeiger des betreffenden Knotens bezeichnen, und zwar:

<^ = ^^ = 0,000814-500 = 0,407 cm <5₄ —    — 0,000678-600 = 0,407 cm

d₇ = <S₄ -|- A₃#₄ = 0,407 -(-0,000041 -200 = 0,415 cm 8a' = h₁‘&₁' — 0,000438-500 = 0,219 cm <5₄' = ä₂#₃'= 0,000365 • 600 = 0,219 cm V == <5₄' -f Zt₃#₄' = 0,219 + 0,000472 • 200 = 0,313 cm.

Benutzt man diese Verschiebungswerte und die Anhaltspunkte, die das Momentdiagramm, Abb. 71, für die Lage der Inflexionspunkte (Momentennull-punkte) und für die Richtung der Verbiegung bietet, dann läßt sich ein anschauliches Bild von dem Verzerrungszustand des Tragwerkes hersteilen, ohne daß es notwendig wäre, die genaue Form der elastischen Linien zwischen zwei Knoten rechnerisch festzulegen. Abb. 72 zeigt die Verzerrungsfigur in 200-facher Übertreibung.

d^=o,rrs

II

\a

hfv-o,™?

C^=0,2M

’!m,.

'w/A.

"mt.

ml.

Abb. 72.

Die eben ermittelten Verschiebungswerte wollen wir benutzen, um die eingangs gemachte Voraussetzung, daß der Einfluß der Längskräfte auf die Formänderungen gering sei und daher vernachlässigt werden könne, zu überprüfen. Zu diesem Zwecke betrachten wir den Binderstab l₂ des Mittelschiffes. Seine Sehnenkraft wurde für Windbelastung mit:

H= — 1,161 t (Druck)

bestimmt. (Siehe Reihe 5 in Tafel 3.)

Das positive Vorzeichen der Drehwinkel ■& besagt, daß die Verdrehung derart erfolge, daß die Winkel a der Winkelgleichungen verkleinert werden.

Bleich, Viermomentensatz.

Nimmt man im Zusammenhänge mit dem oben gewählten EJ-Betrage EF — 300 000 t an, so ergibt sich die Zusammendrückung des Stabes Z₂> wenn man die Längskraft, genau genug, überall gleich H setzt.

Al

0,000047 m = 0,0047 cm.

1,161 • 12,00 300 000

Um diesen Betrag hat sich der Stab ab (Abb. 72) verkürzt. Denkt man sich die Wirkung dieser Verkürzung nur bei Punkt b zum Ausdruck kommend, welche Annahme die ungünstigste ist, die wir machen können, so ist die Verschiebung in Abb. 72 um den Betrag 0,0047 cm zu groß angegeben. Der Fehler beträgt in Hundertteilen

100-0,0047

o,3i3

1,50 v. H.

Der angegebene Verschiebungszustand des Systems ist demnach im Punkte b mit einem Fehler behaftet, dessen obere Grenze 1,5 v. H. beträgt.

fx — 0,67 v. H. und £,= 1,56 V. H.

Die Fehler der aus dem angenähert bestimmten Verschiebungszustand ermittelten statisch unbestimmbaren Größen werden sich in der gleichen Größenordnung bewegen.

Macht man eine ähnliche Berechnung für die beiden Binderstäbe der Außenfelder, so findet man die betreffenden Fehler (mit EF= 200000 t gerechnet) mit

II. Beispiel. Die Berechnung des bekannten Lohseträgers, dessen Überzähligen meist mittels Näherungsverfahren bestimmt werden, gestaltet sich selbst bei beliebiger Form und Querschnittsanordnung der beiden Gurtbogen verhältnismäßig einfach und übersichtlich. Das Tragsystem ist in Abb. 73 dargestellt. Die Berechnung wird hier für den Fall von n gleich breiten Feldern durchgeführt, unter der

Annahme, daß Lasten nur in den Knotenpunkten übertragen werden können¹).

Bei n Feldern ist das System n-fach statisch unbestimmt. Die

Momente in den Obergurtknotenpunkten werden mit M°, die in den Untergurtknoten mit Mu bezeichnet. Die Neigungswinkel der Obergurtstäbe gegen die Verbindungslinie 0—n nennen wir «, die des Untergurtes ß.

Da die Pfosten gelenkig angeschlossen sind, so kommen sie für die Momentengleichungen nicht in Betracht, wir denken sie uns bei der Aufstellung derselben weggehoben. Man hat es daher beim Ansatz der Momentengleichungen nur mit einem einfachen geschlossenen Rahmen aus 2 nStäben, der in 0 und n Gelenke hat, zu tun. Es sind somit 2 (n—1) ausgezeichnete Punkte vorhanden, denen 2 n—2 Dreimo-

9 Eine genaue Berechnung mittels der Arbeitsgleichungen bei unveränderlichem Querschnitt der Tragbalken wurde vom Verfasser in: „Vom Wettbewerb um den Umbau der Aspernbrücke über den Donaukanal in Wien,“ Eisenbau 1915, Heft 3—5, mitgeteilt.

mentengleichungen entsprechen. Wir beginnen bei Punkt o und schreiten im Obergurt nach rechts fort. Den Untergurt sollten wir dann der Regel gemäß von n gegen o durchschreiten. Da aber beide Hälften durch Gelenke getrennt und auch sonst keine gemeinsamen Stäbe vorhanden sind, das System der Dreimomentengleichungen des Obergurtes also vollständig unabhängig von dem des Untergurtes ist, so steht es frei, für den Untergurt eine andere Reihenfolge zu wählen. Wir werden demnach auch den Untergurt von links nach rechts durchschreiten. Für beide Gurte sind dann positive Momente solche, welche die Stäbe nach unten zu wölben trachten.

Kl

K-,

o.

)7l

a)

*■*

-71    —

z. ^*1 k+7

,-7

h/

*>)

k-7

Abb. 73.

Außer den 2 n — 2 Momentengleichungen können bei n Feldern 2n Winkelgleichungen aufgestellt werden, so daß zur Berechnung sämtlicher Unbekannten, d. s. n Überzählige und 3 n — 2 Stabdrehwinkel, 4 n — 2 Gleichungen zur Verfügung stehen.

Den Einfluß der Längenänderungen der Gurtstäbe infolge der Stablängskräfte und Temperaturänderungen wollen wir mit in Rechnung ziehen. Es ist nun nicht notwendig, sämtliche Dreimomenten- und Winkelgleichungen anzuschreiben, da sie gesetzmäßigen Bau haben und sich nur durch die aufeinanderfolgenden Zeiger ihrer Glieder unterscheiden.

Wir wählen einen beliebigen Punkt k aus und stellen für diesen Punkt die Momentengleichung des Ober- bzw. Untergurtes auf. Mit den Bezeichnungen der Abb. 73 finden wir:

für den Obergurt:

Mk-x °t! “b ²Ml (oß -j- oß₊    oß

für den Untergurt:

+1

-e(#*-#2₊i)==o

a)

Mk-x < + 2 M» {uß + uß₊₁) + Muk+1 uß Hierin ist

+1

q==6EJc,

wobei Jc ein beliebig gewähltes Trägheitsmoment bedeutet, mit dem die Werte 0' und u' in der bekannten Weise berechnet werden. Setzt man in den Gleichungen a) der Reihe nach k = i, 2 ... n — I, so erhält man die sämtlichen 2n—2 Dreimomentengleichungen.

Wir stellen nun die Winkelgleichungen für das k-te und k-\- i-ste Feld auf, wobei die Längenänderungen der Pfosten als unerheblich vernachlässigt werden. Die Gleichungen lauten für das fc-te Feld:

Aok cos ak — Aukcosßk-lr hk_± dvk_x + $k°ok sin ak —

+ V«fcSin^ = o

A ok sin ak -f A uk sin ßk — dk⁰ ok cos ak -j- tikuuk cos ßk = o und für das Ä-j-l-ste Feld:

Aok+1cos ak + ₁ — Auk+₁cosßk+₁+hk'&kv + &⁰k+₁ok¥lsi\n ak ^'k + l^k’+l    ^* + 1 Uk + 1 S^n ßk + l ~ ⁰

$]c + x ok ₊1 c°s <xk + x — o.

Aok+iSmak + ₁ + Auk+iSmß

-\~ $k + xulc + lC0S ß

fc + 1

Wir setzen nun:

0 cos a — u cos ß — X 0 sin a — X tg a und u sin ß = X tg ß

und erhalten, wenn wir die Gleichungen in etwas anderer Reihenfolge schreiben:

A ok cos ak Auk cos ßk (hk'ü'ß>    hjc-x ^k~ 1)

+* (<V tg «fc + ®k tg ßk) = 0 (^fe +1    1    Kflk)

+ l tg«fc + 1 ~{-#J + 1 tg ß

A°k + lCOS ak + l— Auk

COS ß

fc + 1

A ok sin ak + Auk sin ßk — X (?V — #*u) = ⁰

A°k +1 S*n + i "j“ Auk +1 S*n ßk + l    ^ (^* + 1    ‘^k + l)⁼⁼

.1

der ab

Tragwerke, die aus mehrfachen Grundsystemen abgeleitet werden. 101 Wir ziehen nun die beiden Momentengleichungen a) voneinan

Mk-1 ok'—M%-.₁uk-\-2 [M°k {ok -\-ok+1) —Mk{uk-\-uk + J]

+^+iö/+i-effi — #%)-he ffi + i — &t₊₁) = o.

Ebenso subtrahieren wir die Winkelgleichungen c) voneinander

—#*) +iKtl-«„) = o.

Die beiden letzten Glieder der so erhaltenen neuen Gleichungen sind, wenn man von den Faktoren X und q absieht, einander gleich, und wir gewinnen daher aus beiden Gleichungen die Beziehung

«-A'+^PflW+O- M“ W+V.,)]

.    . d)

₊₁    -^ä + i % + 1 ru — °>

wo

rk=

^[Aoksmak — Aok+₁smcck+₁-{-Auksmßk — Auk + ₁ sinßk + 1] d')

bedeutet.

Gleichung d) enthält keine Drehwinkel mehr, sie ist demnach eine Bestimmungsgleichung. Da für fc der Reihe nach i, 2 ... n — i gesetzt werden kann, so stehen n—i Gleichungen der Form d) zur Verfügung. Um die letzte noch fehlende Beziehung zu bestimmen, geht man folgendermaßen vor:

Aus der ersten der Winkelgleichungen c) berechnet man

=    — (J 0jcsinak-\-Auksinßß)

Nach Einführung dieses Ausdruckes für in die erste der Winkelgleichungen b) entsteht

(A okcosak—A ukcosßk) — [A oksinak-f A uk sinßk)tgßk

-M$*(tgafc-j-tg/?J—(K&1—K-i^k-i)⁼⁼⁰-

Derartige Gleichungen können in der Zahl n aufgestellt werden. Die erste enthält bloß h₁'&₁V, die zweite die Differenz f—    die dritte

h₃&l — h'z'd'z usf. Addiert man diese n Gleichungen, so heben sich sämtliche Glieder hd‘v weg und die Summengleichung erhält die Form

2J <cos —sin ak ßk) ~Auk (cos ßu+sin ßk ^ ßk)]

Jc=1

—2J^^(tgak-\-tgßk).

k = 1

x ist, so nimmt die obige sin/5 cosß

und auf gemeinsamem Nenner gebracht wird, folgende Gestalt an:

Da nun X (tg ak -f- tg ßk) = hk — h Gleichung, wenn noch auf der rechten Seite tgß durch

ic-

ersetzt

e)

wobei

t=

2j A°k

= 1 L

cos

(ak ~t~ ßk)

ist.

COS ßjc

COSß, J

e0

Wir multiplizieren jetzt die Momentengleichungen des Obergurtes in der Gruppe a) der Reihe nach mit hv \ ... h x und addieren sodann.

Man erhält:

°k +ll \

1 ok,-\-2Mk {ok -\-ok+1) + M°k

n — 1

Q]>j(K—d⁰k₊i)K=°-

* = i

Wir schreiben das zweite Summenglied, in seine Elemente zerlegt, in übersichtlicher Form an:

&\hx —

~f~ ^2 \ -$3 ^2

K_ iK-'—K-xK-i

+K-₁K-i—&nK-v

Nun ist, wenn man je zwei übereinander stehende Glieder zusammenfaßt,    •

&°(K — h₀) -f- #2 (K — hß) -j-    (h₃ — h₂) -f- • • • -f~ K _ i (K- i

+ K(K

wobei zur Vervollständigung des Zahlenbildes das erste und letzte Glied durch h₀ und hn, die beide Null sind, ergänzt wurden. Der so gewonnene Summenwert ist aber bereits durch Gleichung e) bestimmt und man gelangt somit zur letzten Elastizitätsbedingung:

⁰k+i)KJTQt— °-

Zu

Wir formen den linksstehenden Summenausdruck noch um. diesem Zwecke schreiben wir drei aufeinander folgende Glieder der Summe ausführlich an, nämlich

Mk-t 0fc'-1K-1 + ² M°k-1 (°k-1 + °k) K-i + M°k ok hk_ t 4“ ^k - i °k^k

k 4-1

+ 2 Ml (o₇; -j- ok'₊ x) hk -f-Ml ₊ J 0k+1 hlt -\-M⁰kok+1k

Somit treten immer drei Glieder von M° mit gemeinsamem Zeiger auf, der voranstehenden Gleichung kann daher folgende endgültige Form gegeben werden:

n — 1

k~ 1

Ä— 1

Es bleibt noch übrig, die in den Elastizitätsbedingungen d) und f) vorkommenden Momente M und Längenänderungen Al in den Ausdrücken r und t durch die n Überzähligen, die tunlichst zweckmäßig auszuwählen sind, zu ersetzen, um zu den Bestimmungsgleichungen zu gelangen. Mit Rücksicht auf die einfachen statischen Beziehungen, die zwischen Obergurt- und Untergurtknotenmomenten bestehen, wähle man die eine Hälfte dieser Momente, z. B. die Obergurtknotenmomente, als n—i Überzählige. In der Gleichung f) sind dann, wenn man zunächst vom Gliede gt absehen will, keine Änderungen mehr vorzunehmen. In den n—i Elastizitätsbedingungen d) ist der Ersatz des Mw durch das M° desselben Feldes sehr einfach, es wird auch hierdurch die Zahl der Glieder in den Gleichungen nicht vermehrt, was für die Auflösung der Gleichungen wichtig ist. Als letzte Überzählige wähle man die Horizontalkraft H, die in den Verbindungspunkten o und n vom Oberteil auf den Unterteil übertragen wird, weil sich durch diese Kraft alle Stablängskräfte und somit die in den Gliedern r und t enthaltenen Längenänderungen A o und A u einfach ausdrücken lassen. Der Vorteil, den unsere Methode durch Feststellung der Elastizitätsbedingungen vor der Wahl der Überzähligen bietet, ist hier, wo es sich um die Auflösung einer großen Zahl von Gleichungen handelt, besonders einleuchtend. Wollte man z. B. die Hängestangenkräfte als Überzählige benutzen, so würde man sofort nach Aufstellung der statischen Beziehungen erkennen, daß sich die Zahl der Gleichungsglieder bedeutend vermehren und hierdurch die Arbeit der Ermittlung der Unbekannten aus den Gleichungen vervielfachen würde.

Behufs Aufstellung der Gleichgewichtsbeziehungen betrachten wir Abb. 74, die die linke Hälfte des in einem beliebigen Felde knapp

neben den Knoten k entzwei geschnittenen Tragwerkes darstellt. Die im Ober- und Untergurt übertragenen .// Schnittkräfte sind die Momente Mk° und Mku, die Knotenmomente unserer Momentengleichungen, ferner die wagerechte Schubkraft H, welche im Oberund Untergurt gleich ist, nachdem wir nur lotrechte äußere Kräfte voraus-

setzen wollen, und schließlich die Querkräfte <c/l und Qk. Das Moment aller links vom Schnitte liegenden äußeren Kräfte, bezogen auf die unendlich nahe neben den Knoten geführte Schnittlinie s — s, sei dfcxfc = S!Jifc. Die einzige in Betracht kommende Gleichgewichtsbeziehung lautet daher,

Abb. 74.

■¹//

wenn sämtliche Momente auf den Obergurtschwerpunkt der Schnittstelle bezogen werden:

und daraus

S)

**=—Ml-Hht+mk

Es ist hierbei gleichgültig, wo die ä ßeren Kräfte angreifen, ob an dem Obergurt, Untergurt oder zwischen beiden Gurten an den Hängestangen. Führt man für sämtliche Mu den Wert nach Gleichung g) ein, so nehmen die Elastizitätsbedingungen d) und f) zunächst die Form an

Mk-i(⁰k~^uk)~\~²^k(⁰k~\~uk~\-⁰k+i~\~uk+i) ~f~ Mk +1 (°k +1 uk+1)

+h [uk (K -1+² K)+u\+i(²KJrK+J\    rk

b_i ⁼⁼®²-1 uk~\~2<^k(ukJrulc'₊₁)

2 [ok'(hk_₁-j-2 hk) -J-ofc'₊1 (²K~\~K +1)] +e¹ = °-<k=l

Da eine Verwechslung zwischen Obergurt und Untergurt nicht mehr möglich ist, so haben wir den oberen Zeiger 0 weggelassen, bemerken aber ausdrücklich, daß unter Mk das Moment im Knoten k des Obergurtes verstanden wird. Gleichung f), die wir hier nochmals eingestellt haben, ist unverändert geblieben.

Nun haben wir noch die Aufgabe, die Ausdrücke r und t zu berechnen. Zu diesem Behufe müssen die Längenänderungen Ao und A u durch die Überzähligen ausgedrückt werden. Da der Einfluß dieser Glieder auf die Unbekannten verhältnismäßig gering ist, so genügt es, die Stablängskräfte 0 und TJ durch die Gleichungen

0— — R cos cc,

zu beschreiben. Hierbei ist der Einfluß der Querkräfte des Irag-werkes auf die Stablängskräfte vernachlässigt. Mit Rücksicht auf die in Abb. 74 angenommenen Richtungen der Schnittkräfte H ergibt sich 0 als Druckspannung, U als Zugspannung, was wir durch Vorsetzen des--Zeichen vor 0 berücksichtigt haben. Es ist somit

ucosß EFU

U=R cos ß

Ao=—H

0 cos cc

EF° ’

Au—H

Da ocosa — ucosß = X ist, so wird

Ao — — H

EF°

und

Au = H

EFU'

Mit diesen Werten geht rk über in

™ sin“k+i

•**+1

r» =

6H[~]ysina^

Je

Je

Je

Sill& F»

sin/?

fc+ 1

h)

und gt in

’c~7 rJ. cos(«.-f- ßk

⁶HX2, d ^ ' -~

h-k

F%cosßk-'

Wie man erkennt, sind r und t nur von H abhängig und stellen Zusatzglieder der Koeffizienten dieser Unbekannten vor. Die Bestimmungsgleichungen für die statisch unbestimmbaren Größen Mv M₂ ... Mn _ x und H nehmen daher die folgende endgültige Gestalt an:

Mk -1 (°k + uk) 4~ 2 Mk {°k + uk + °k+1 4~ uk + i)JrMk+i (°k+1 4~ uk+1)

Qt = —

cos ßk

-f- H \^uß (hk _ ₁ -f- 2 hk) -f - uk'₊ ! (2 hk -f - hk₊J -j-

+ ⁶(^sin«*~

Jc

Je

sincck + ₁ — -±smßk^

=m

2X »»'(*

k-1

k-l

K₊₁

uk 4~² ^ (uu + uk+1) 4~    +1V+1

Fl

TTlW

*k +1

sinß

k)

k=1

4~ ² K) 4" °k+1 (² K 4~ K+1^

- ^cCOSK + ^) | Je 1 ['-Fl

— 6HX2j

cosßk

Fuk cosßk

Beachtet man, daß ~ als Quadrat eines Trägheitshalbmessers i

Jo

aufgefaßt werden kann, so erkennt man, daß das Zusatzglied im Beiwert von H in den Gleichungen k) klein gegen das Hauptglied ist und in der Regel vernachlässigt werden kann, da das Schlankheitsverhältnis der Gurtstäbe kaum kleiner als 20 sein wird. Man ist hierzu um so mehr berechtigt als sin et und sin ß meist kleine Brüche sind und außerdem nur die Differenzen zweier aufeinanderfolgenden Brüche zu berücksichtigen sind. Der von den Stabquerschnitten abhängige Beiwert von H in Gleichung 1) darf dagegen nicht vernachlässigt werden.

Die Berechnung des Lohseträgers ist somit auf ein System von n — 1 Dreimomentengleichungen mit H-Glied der Form k) und auf eine Gleichung 1), die alle Unbekannten enthält, zurückgeführt. Die Berechnung der Unbekannten erfolgt am zweckmäßigsten durch schrittweise Elimination. Da M₀ — 0 ist, so enthält die erste der Gleichungen k) nur die Unbekannten Mv M₂ und H. Drückt man M2 durch Mx und H aus und führt den Wert hiervon in die folgende Gleichung ein, so kann man aus dieser Ms durch Mx und H darstellen. Auf diese Weise kann man aus jeder Gleichung eine Unbekannte durch M₁ und H bestimmen, bis auf die n — i-te Gleichung, aus der dann Mx unmittelbar als Funktion von H hervorgeht. Mit dieser Beziehung zwischen Mx und H können die sämtlichen unbekannten Momente durch H definiert werden. Diese Werte in die Gleichung 1) eingesetzt, liefern endlich H und somit alle übrigen Unbekannten.

Da es sich fast immer um die Ermittlung der Einflußlinien der überzähligen Größen handelt, so empfiehlt sich die Einhaltung des folgenden Vorganges:

Man berechnet zunächst die Koeffizienten der Unbekannten nach den Vorschriften der Gleichungen k) und 1), am besten in Form einer Tafel, da sich aus einer solchen die Summenausdrücke leicht bestimmen lassen. Bei symmetrisch gebauten Tragwerken, die meistens vorliegen werden, genügt natürlich die Berechnung der Beiwerte für eine Trägerhälfte, nur ist etwas Vorsicht bei Ermittlung der Summenausdrücke geboten, damit kein Glied verloren gehe, oder zweimal berücksichtigt erscheine. Nun denkt man sich die Last I der Reihe nach in jedem Knoten angebracht und bestimmt rechnerisch oder durch Zeichnung die zugehörigen Momentendreiecke der SEft-Linien. In einer zweiten Tafel werden nun mit Hilfe der gerechneten oder der Zeichnung entnommenen 9JZ-Werte die dreigliedrigen Ausdrücke der rechten Seiten der Gleichungen k) zusammengestellt. Für jede Laststellung werden derartige n—I Zahlen in einer Tafel zusammengestellt.

Bei symmetrischen Trägern genügt es, nur die halbe Zahl der Laststellungen zu berücksichtigen, indem nur die Knoten der einen Trägerhälfte einschließlich eines bei gerader Felderzahl vorhandenen Mittelknotens der Reihe nach mit P=i belastet werden.

Bei der Auflösung der Gleichung geht man nun so vor, daß man für die Beiwerte der Unbekannten die berechneten Zahlenwerte einführt, die rechten Gleichungsseiten aber zunächst mit Buchstaben bezeichnet und diese Buchstaben während der Auflösung beibehält. Die Gleichungen sehen daher folgendermaßen aus:

ßi Mi ~b Yi + 8XH= ax

a2 Mx -j- $2 M₂ -f- y₂ Ms -j- ö₂ H= a.₂

a, ß . . . sind hierin Zahlenwerte. Man erhält nach Auflösung der Gleichungen die Unbekannten in der Form

M—fix ax + a₂ + j“3a3 “b • • • ~b ,un -ian-i

Nun erst setzt man für

. sind ebenfalls Zahlen.

av a₂ . . .

/*i,/V •

der Reihe nach die Zahlenreihen ein, die der Belastung der einzelnen

Knotenpunkte entsprechen und bestimmt in einer Tafel die Produkte und Summen. Aus den so errechneten Ordinaten lassen sich die

Einflußlinien der Unbekannten mit Hilfe des Satzes von der Gegenseitigkeit der Wirkungen einfach zusammenstellen.

kt7

k-7.

7Z-7

\Za

Zn

ff

ff

-1

>71

'ß

1-

Z71-I J7L 3

Abb. 75.

Die Auflösung der Gleichungen wird bedeutend erleichtert, wenn man die Elimination von zwei Seiten beginnt, das heißt von der ersten und n — I sten Gleichung aus und gegen die Mitte fortschreitet. Man gewinnt durch diesen Eliminationsvorgang schließlich zwei Gleichungen, die außer H noch zwei unbekannte Momente enthalten, die sich somit als Funktionen von H darstellen lassen. Der weitere Vorgang ist

genau der gleiche wie er oben beschrieben wurde. Ist das Tragwerk symmetrisch zur Mitte gebaut, dann genügt die zahlenmäßige Durchführung der Elimination in der einen Hälfte der Gleichungen. Man erhält die Ergebnisse für die zweite Hälfte, wenn man in den ersterrech-neten Resultaten Mx gegen Mn_x, M₂ gegen Mn_₂ usw., ebenso at gegen «    , a₂ gegen an_₂ usw. vertauscht. Im übrigen sei auf das

Zahlenbeispiel in § io hingewiesen.

Sind die statisch nicht bestimmbaren Größen einmal bekannt, dann lassen sich auf Grund einfacher statischer Beziehungen die Momente (Kernmomente) für einen beliebigen Gurtpunkt ableiten.

Um auch die Pfostenkräfte zu bestimmen, denken wir uns das

Tragwerk, wie dies in Abb. 75 dargestellt wurde, in zwei Hälften zerlegt und die Schnittkräfte angebracht. Für das Moment im Knoten k des Obergurtes gilt, wenn die äußeren Lasten am Untergurt wirkend angenommen werden,

Mk = mk — Hy°k.

Hier ist mh das Moment der Hängestangenkräfte links von k, bezogen auf den Punkt k.

Nun ist bei der Feldweite X

fc + 1

wenn Qkz die Mittelkraft aller links von &-|-i gelegenen Hängestangenkräfte, einschließlich der Schnittkraft Za, bezeichnet.

Es ist also

Ql =

und daher

— Zk = Ql — Qk-₁ =

™k + i — mk

mu — mk-1

Jc + l

=I<“

Drückt man zum Schluß die Hilfsmomente m durch die Überzähligen M und H gemäß der erstangeführten Gleichung aus, so entsteht

12. Beispiel. Ein bemerkenswertes Beispiel für die Vorteile, die das in diesem Buche dargestellte Berechnungsverfahren bei der Untersuchung vielfach statisch unbestimmter Systeme bietet, liefert der Fall des vielfeldrigen Rahmens mit eingespannten Ständern und steifen Ecken, wie er in Abb. 76 dargestellt ist. Die große Zahl der statisch nicht bestimmbaren Größen gestaltet die Untersuchung dieses Tragsystems nach der Methode der Formänderungsarbeit sehr schwierig,

weshalb vielfach Näherungsverfahren eingeschlagen wurden. Wir werden zeigen, daß sich bei zweckmäßiger Ausnutzung der durch die Methode des Viermomentensatzes gebotenen Hilfsmittel, insbesondere durch die Einführung der Hilfsgrößen r, die Berechnung derartiger Tragwerke verhältnismäßig einfach gestaltet. Da bei % Feldern n-f-I mehrstäbige Knoten vorhanden sind und die Ersatzfigur (siehe § 7) einfache Bewegungsmöglichkeit besitzt, so kann die Ermittlung der überzähligen Größen auf die Lösung von n -J- 2 Gleichungen zurückgeführt werden.

krr

k-i

n-7

■otf

VW//*

hi

hcTT

Abb. 76.

Folgende Bezeichnungsweise wird sich als zwecktunlich erweisen:

Die Riegelknoten werden von links nach rechts mit 0, 1, 2 . . . n beziffert. Der Zeiger des rechten Riegelendpunktes gibt den Zeiger für den Riegel ab. Es wird also der Stab k — 1 bis k, lk genannt. Die Stützen erhalten den Zeiger des oberen Anschlußpunktes. Ist dieser k, so heißt die Stütze hk. Die Momente in den Anschlußpunkten eines Riegels bezeichnen wir mit dem gleichen unteren Zeiger, wie die zugehörige Stablänge, und unterscheiden die beiden zu einem Stab gehörenden Anschlußmomente durch die oberen Zeiger r und l. Mkr ist demnach das Moment am rechten Stabende des Riegels lk, Mkl das Moment am linken Stabende des gleichen Riegels. Für das obere Anschlußmoment und das untere Einspannungsmoment der Stütze hk schreiben wir Mk° und    Der Stabdrehwinkel des Riegels

lk wird mit der der Stütze hk mit bezeichnet.

Für jeden Riegelknoten werden nun die Momentengleichungen angesetzt. Die Punkte o und n liefern je eine Gleichung, die Zwischenpunkte je zwei Gleichungen. Außerdem gibt jeder Stützenfußpunkt der Einspannung wegen je eine weitere Viermomentengleichung, wenn man sich die einzelnen Felder durch einen Schlußstab mit unendlich großem Querschnitt zu geschlossenen Rahmen ergänzt denkt.

Im ganzen verfügen wir über 3 n-\-i Viermomentengleichungen, zu denen noch 2 n Winkelgleichungen hinzukommen, so daß das System der Elastizitätsbedingungen, von dem wir ausgehen, aus 5w-|-i Gleichungen besteht, denen 3 n Überzählige und 2 n -j-1 Stabdrehwinkel als Unbekannte gegenüberstehen.

Die Momentengleichungen für den Riegelknoten k lauten:

a)

b)

(ul + 2 Ml) V + (2 Ml + Ml) V — q(»„— öl) = Nk‘ (Ml+2Ml)lk'+(2Ml₊₁+Ml₊₁)lh'+l-e(ök-öktl)=Mul+Nl und für den darunterliegenden Einspannungspunkt der Stütze lk (.Ml + 2Ml)hk'-eöl = o.......

Einige Erläuterung bedarf die Bezeichnungsweise der rechten Gleichungsseiten. Wir setzen nur die Riegelstäbe als belastet voraus, die Stützen aber, seien zwischen Kopf- und Fußpunkt unbelastet. Die rechte Seite jeder Viermomentengleichung besteht im allgemeinen aus zwei Teilen, von denen der erste den Einfluß der Belastung des linken Feldes, wenn man beim Anschreiben der Momentengleichung von links nach rechts fortschreitet, der zweite den Einfluß des folgenden rechts liegenden Feldes angibt. Wir bezeichnen hier jeden Teil mit N. Der Fußzeiger k gibt an, von welcher Feldbelastung das Glied herrührt, und der obere Zeiger l oder r, ob das betreffende Feld für diese Momentengleichung linkes oder rechtes Feld ist, da Nkl und Nkr im allgemeinen voneinander verschieden sind.

Wir fassen nun die in den Klammern stehenden Momentensum-men samt den Faktoren l' oder hf in Übereinstimmung mit den Darlegungen in § 7 als neue Unbekannten (Hilfsgrößen T⁻') auf und setzen

(Mk° + 2M«)hk'=Yk

(Mk‘+2M/)lk' = Xk'

(Mk'+2Mk‘)lk' = Xk‘

Der untere Zeiger von X und Y steht im Einklang mit dem unteren Zeiger der Momente, gibt also den Stab an, auf den sich diese Hilfsgrößen beziehen. Xk gilt somit für den &-ten Riegel, Yk für die k- te Stütze. Der obere Zeiger stimmt jeweils überein mit dem oberen Zeiger jenes Momentes, das mit dem Faktor 2 versehen ist. Die Anzahl der Hilfsgrößen X und Y ist gleich der Anzahl der in unseren Momentengleichungen vorkommenden Momente.

Nach Einführung der Größen X und Y in die Momentengleichungen a) und b) nehmen diese folgende Gestalt an:

Wie man erkennt, gewinnen die Elastizitätsbedingungen nach Einführung der Unbekannten X und Y sehr einfache und übersichtliche Form, die die Ausscheidung einzelner Unbekannten und eine hierdurch bewirkte Verringerung der Zahl der Bestimmungsgleichungen leicht ermöglicht. Zur Beseitigung der Drehwinkel aus den Gleichungen d) benützen wir die Winkelgleichungen, die für ein beliebiges Feld lauten:

°)

Alk-\-h

e)

— Ahk — lk0,

Wir setzen fest, daß die Stabdehnungen A l und A h nur dann berücksichtigt werden sollen, wenn sie von Temperaturänderungen herrühren; der Einfluß der Stablängenänderungen infolge der Normalkräfte soll als gering vernachlässigt werden. Sind die Stützen gleich hoch oder in der Länge nur wenig verschieden, so ist der Ausdehnungsunterschied Ahk_₁—Ahk Null oder doch sehr klein, weshalb er gleichfalls unberücksichtigt bleiben kann. Somit finden wir aus der zweiten Winkelgleichung

f)

#1 = #2 = • • • = • • • = K = ⁰

Die erste der Gleichungen e) liefert, da Alk, die Dehnung des Stabes infolge der Temperaturänderung, als gegebene Größe betrachtet wird, einen Zusammenhang zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stützendrehwinkeln; da bei n -f- I Stützen n derartige Gleichungen vorhanden sind, so können sämtliche Stützendrehwinkel durch einen von ihnen ausgedrückt werden. Wir wählen hierzu $₀V; es erscheinen daher diese Drehwinkel durch die folgenden Gleichungen mit $₀V verknüpft.

K \ Al,

h ft ¹

nk uk

= W+2^

i

g)

1

Die Gleichungen f) und g) gestatten die Elimination sämtlicher Stabdrehwinkel aus den Elastizitätsbedingungen d) bis auf den Winkel #₀®. Die Beziehungen d) nehmen mithin die Gestalt an

^r+4₊₁=AV + «

. . . h)

f2^

nk i

so daß die Gesamtzahl der Un-

Die Dehnungen Al wurden mit dem Zeiger t versehen, um anzudeuten, daß es sich um Längenänderungen der Riegel infolge Wärmeschwankungen handelt.

Die Zahl der Gleichungen h) beträgt, wie wir bereits oben festgestellt haben, 3 n -(-1. Die Zahl der in diesen Gleichungen auftretenden Unbekannten X und Y ist bei 2 n -j-1 Stäben, 4w-(-2; hierzu kommt noch der Drehwinkel #

Abb. 77.

bekannten 4 n -j- 3 beträgt. Da aber die Gleichungen h) die Gesamtheit der Elastizitätsbedingungen, die nach Verwendung der Winkelgleichungen übrigbleibt, darstellt, so müssen zwischen den Größen X und Y noch n -f- 2 statische Beziehungen bestehen, die wir zur weiteren Berechnung heranziehen und mit den Elastizitätsgleichungen in Verbindung bringen¹). Zur Erlangung dieser Beziehungen benützen wir folgende Gleich-ge wichtsbe dingunge n:

1.    Die Summe aller in einem Riegelknoten angreifenden Momente ist Null.

2.    Die Summe aller auf das Tragwerk wirkenden wagerechten äußeren Kräfte ist Null.

Bedingung 1 gibt bei n -f- 1 Riegelknoten n-f- 1 Gleichungen, Bedingung 2 eine Gleichung, womit die fehlenden w-j-2 Zusammenhänge aufgestellt erscheinen.

Aus I gewinnen wir unter Hinweis auf Abb. 77 Gleichungen

von

der Form

i)

Aus den Definitionsgleichungen c) folgt gleichzeitig

TT^X' — Xf) ^T&Xf — X/) ^7(2 Yf — Yf) Micu = -jji (² Yku — Yfc°).

Mi

Mr

•k)

Mko

in § 7-

*) Man erinnere sich der allgemeinen Ausführungen über diese Frage

Die Verknüpfung der Gleichungen i) mit den Formeln k) liefert die Gleichgewichtsbedingungen in der Form

nk

-r*“)+T

(² ^v+1 ^y+i)—°- o

k + 1

Nun ergeben die Gleichungen h) die folgenden einfachen Zusammenhänge :

¹

Die Momente Mk° und Mku sind in Abb. 74 gemäß den Festsetzungen

²

am Beginn dieses Beispiels positiv drehend angenommen.

-efOf+W—j-2>‘

,lk    nk l

nk - 1

k-1 nk-1    1

. . m)

nk    nk i

Sämtliche Unbekannten X und Y sind somit durch die Größen Y° und #₀® ausgedrückt. Wir führen die Beziehungen m) in die Gleichgewichtsbedingungen 1) ein, multiplizieren mit der beliebig gewählten reduzierten Länge Ij und gelangen zu nachstehendem Gleichungssystem :

l-^+2Tl(k+lt⁺ih)+n+ii,

' *» lA . K(₂ll-l^ + 2^

xi*hA i; h'⁺ i'

l'

iA-

k-fl

i'

(2AV₊₁-NAi)

i K ¹ K \ K K r L’

Für den p-fachen Drehwinkel wurde D gesetzt; demnach ist D—6 EJC#₀*.

An Stelle von Al¹ wurde attl eingeführt, somit wird

lk

-e«<4r

L'bc -

h!

l!

-1 vc

VI

7 '

k + 1 Lk +lJ

2 A lt — atf%l = attL₁₍. i    i

Lk bedeutet die Summe der Riegellängen von o bis zum Punkte k.

Das vollständige Gleichungssytem wird aus der für das Ä:-te Feld gültigen Gleichung n) erhalten, indem man k der Reihe nach

Aus den Gleichungen h) wird zunächst Xkl+i gefunden. Durch Verringerung die Zeigerziffern um r wird daraus X^¹ abgeleitet.

Bleich, Viermomentensatz.

o, i, 2,    n setzt. Für k — o und k = n denke man sich

einen o vorangehenden beziehungsweise n nachfolgenden Stab hinzu, setze aber alle auf diese Stäbe bezüglichen Glieder Null. Die zweite und vorletzte Gleichung ist bis auf den Klammerwert des Temperaturgliedes vollständig. In diesem Klammerwert entfällt bei der zweiten Gleichung das erste Glied, bei der vorletzten Gleichung das letzte Glied.

Die Gleichungen n) haben die Form von Dreimomentengleichungen, doch unterscheiden sie sich von diesen durch das von herrührende Zusatzglied. Sie können kurz in der Form geschrieben werden:

ak -1 “b ² ßk Yk° ~f~ ak+i Yk°₊₁ ~b 7k = Nfe -j- rk Qocft.

Nfc ist der von der Feldbelastung, rkgatt der von der Temperaturänderung der Riegel abhängige Teil der rechten Gleichungsseite. Die n -(- i Gleichungen n) enthalten n -f-1 Unbekannte Y° und den Stützendrehwinkel i}Qv.

Die noch fehlende Gleichung leiten wir aus der Gleichgewichtsbedingung 2 ab. Diese lautet:

H ist die wagerechte Auflagerkraft in den Stützenfußpunkten, Pkh die Summe aller in der Riegelachse des Zc-ten Feldes wirkenden wagerechten Kräfte.

Zwischen H und den Stützenmomenten besteht, wenn man die Abb. 78 beachtet, die Beziehung

Mithin ist

Hk =

-T~ (Mk° ~ Muu) >

nk

oder nach Einführung der Hilfsgrößen Y durch die Formeln k)

YS — ’rD — <teIr ■

K    *»J

Die Gleichgewichtsbedingung nimmt daher nach Multiplikation aller Glieder mit lik die Form an

Yhr^-DYvr

k = 0 h    k= 0 K

Nun ist

somit

Abb. 78.

Hk

K<

KYp"+a>t(>2T'

k-1    k=0 k

• • °)

Mit dieser Gleichung haben wir die letzte noch fehlende Bestimmungsgleichung zur Ermittlung der Größen Y° und des Drehwinkels &₀V gefunden. Unsere Aufgabe ist somit im Grunde genommen gelöst.

Die Gleichungen n) und o) weisen den gleichen Bau auf, wie die Bestimmungsgleichungen für den Lohseträger. Ihre Auflösung kann daher nach dem gleichen Eliminationsverfahren erfolgen, wie dort.

Einflußlinien der Größen Y° und dQv.

In der Mehrzahl der Fälle wird es notwendig sein, Einflußlinien zur Untersuchung des Tragwerkes heranzuziehen. Ihre Darstellung auf Grund der allgemeinen Lösungen der Bestimmungsgleichungen macht keine Schwierigkeiten.

Bezeichnet man die rechte Seite der Gleichungen n) mit a₀, ax, a₂, ... an, die der Gleichung o) mit ap und behält man diese allgemeinen Zahlen bei der Auflösung bei, während für die Beiwerte der Unbekannten die tatsächlichen Zahlenwerte eingeführt werden, so nehmen die allgemeinen Lösungen der Bestimmungsgleichungen n) und o) die Form an:

= Pok ao + fhk ai + • • • ~h /**-i ai -1 + ai + • • •

P)

+ Pn °n “1“ PD* aD

D = v0 a0 + V1 ai + • • • + vi-1 ai~ 1 + Viai + • • • + Vnan +    >

fi und v sind Zahlenwerte, die aus den Beiwerten der Gleichungen n) und o) entstehen.

Zwecks Ermittlung des Einflußlinienzweiges im f-ten Riegelfelde denken wir uns dieses Feld mit der Einzellast P= i an beliebiger Stelle belastet. Da die übrigen Felder unbelastet sind, so sind alle Werte unserer Gleichungen mit Ausnahme von N/ und N? Null. Für die Belastung mit P= i ist aber

W=-fxVi>

wenn fx und f₉ die Stammfunktionen sind. Nun ist

l!

ai- 1 =

und daher

ai-1—k(² fi fi) h ’ ai ~    (² /a fi) h ’

während alle anderen a-Werte einschließlich ap Null werden. Die Lösungen p) vereinfachen sich daher bedeutend und lauten jetzt:

pO

Yk°==/iiK₁ai_₁-\-/j-ikai D = v._₁ai_₁-\rviai

Mit den vorangehend dargestellten Werten von ai_₁ und a{ gehen die Gleichungen p') über in

V=h W-1 (2 fl - Q - ft* (* f, - a K,

D = h fo -! (■2 h - f,) - n <? f, - h)] K■

Wir setzen

2 fl—f* = &i Und ² f2~ fl = ^2 und erhalten die Gleichungen der Einflußlinien der Überzähligen in der endgültigen Form

r)

2’

S)

D — Vi-lüo ^1    Vi h K

Setzt man der Reihe nach k = o, I, 2, . . . n und bei festgehaltenem k jedesmal i — i,2,...n und wählt man aus den allgemeinen Lösungen, die den Zeigern k und i entsprechenden Zahlenwerte der [x aus, so können nach Formel r) alle Einflußlinenzweige sämtlicher Unbekannten Yk° berechnet werden. Gleichung s) liefert, wenn man der Reihe nach i—i,2,...n setzt, die Zweige der Z>-Linie, falls man die zugehörigen »»-Beträge den allgemeinen Lösungen entnimmt. Die Funktionen und </>₂ sind in allen Unbekannten und in allen Zweigen dieselben. Sie werden mittels der Tafelwerte von f± und für die ausgewählten Zwischenpunkte berechnet. Die Ermittlung sämtlicher Einflußlinienordinaten ist somit auf die Berechnung von Ausdrücken der Form A (£x -j- B zurückgeführt.

Mit Hilfe der Y°- und D-Linien können alle übrigen Einflußlinien leicht abgeleitet werden. Aus den Formeln k) und m) findet man

M>

oder

M„‘

^7 [(2 V-> + Yk°) + (iL +    D + (2 Nt’ -

. t)

und ebenso

KK

v)

Hierbei ist das Schlußglied    bezw. <P^j

nur beim fc-ten

Zweig der Einflußlinie hinzuzufügen. Ferner besteht

M,o

Mk =

und schließlich

— hD

WhD-Y*.

2*V>

u)

Rahmenträger mit Fußgelenken.

Die Gleichungen für Rahmenträger mit gelenkig aufgesetzten Stützen lassen sich an der Hand des voranstehend Dargelegten sehr einfach ableiten. Da die Momente Mku Null sind, so entfallen die Viermomentengleichungen b), außerdem gewinnt man aus den Definitionsformeln c) eine einfache Beziehung zwischen Yk° und Yku. Es ist nämlich, wenn man in c) Mku = 0 setzt,

2 Mk° K = Yk° und Mk° V = V

und daher

Im übrigen bleiben die Zusammenhänge zwischen den Größen X und Y und zwischen den Riegelmomenten unverändert.

Die Einführung von Yk° in die Gleichgewichtsbedingungen liefert jetzt folgende Bestimmungsgleichungen:

k +1

+ -D jrJt + 2 (₂at/₊₁-ä< J

l'    (V , 3 V

r-u7+2r4+^

h'

le +1

&+1+

ufc lk+l/    nk + l lk + 1J

k +1

~k-1

Qatt -

Lnk-

Lk(h'

h'₊J^h₊x V+1-*

n')

und da

² K K'

°0

ist, so folgt

*=0

Die Gleichungen n') enthalten nur in den Beiwerten der Unbekannten Yk° und D, sowie im Temperaturgliede unwesentliche Abweichungen gegenüber den Gleichungen n). Ihre Gestalt ist die gleiche geblieben. In o') entfallen im Vergleiche zu o) die von D und den Temperaturschwankungen abhängigen Glieder. Da in den Formeln n') die Lastglieder die gleichen sind wie in n), so erfahren auch die Formeln für die Einflußlinien der Y° und I) keine Änderungen. Ebenso unverändert bleiben die Gleichungen für die Mkl - und Mkr -Linien.

Für Mk° gilt jetzt

* ²V

und für Hk die bereits vorangehend angeführte Formel.

Zahlenbeispiel.

Das zu untersuchende Tragwerk ist in Abb. 79 Seite 123 ersichtlich gemacht. Es besitzt fünf Öffnungen mit den Stützweiten 15, 15, 20, 15, 15 m. Die Stützenhöhe beträgt durchwegs 8 m. Die Querschnittsmaße sind in der Skizze eingeschrieben.

Tafel 4. Beiwerte der Unbekannten Yk° und D.

f' + ³

nk

K K

k +1

1' ’

lk +1

O O O O

'bo'oo'b 'oo 00 | I «gH-f* 00 00 O 00 CO I I H ^

ßk

vO vO O v£)

1.889 2,778

3.889

3.889 2,778

1.889

N rO N N fO N VsO r^i\0 '-£> ro sD ko co o \o m o

►h -rj* tv, rj-

Die erste Aufgabe ist die Ermittlung der Beiwerte in den Bestimmungsgleichungen n). Sie wurde in Tafelform (Tafel 4, oben) durchgeführt. Die der Berechnung zugrunde gelegten reduzierten Längen sind:

V    = C = V = Z5/= 3-i5 = 45m la' — 1 • 20 == 20 m

V    = V = K = K = K = V = ti = 5 •⁸ = 40 rn.

Als wählen wir h' und finden damit die Verhältniszahlen

cn 1 O

~ 0,889

v    r

c c

V 40

V 20

°¹ ——=2

-4r=I.

Sämtliche Verhältnisse — sind 1.

Um die durch die Symmetrie des Tragwerks hervorgerufenen Gesetzmäßigkeiten im Bau der Bestimmungsgleichungen n) ausnützen zu können, vereinigen wir das Glied yvD mit der rechten Seite der Gleichung und setzen

*k=ak — YhI>>

so daß die Gleichungen die einfache Form annehmen

3,778 r„° +0.889 V = <

0,899 V -f- 5,556 YJ° -j- 0,889 ^2° ~ ax 0,889 7,° + 7,778 F₂° -f 2,000 r₃°= a2 2,000 r₂°-f- 7,778 r₃° + 0,889 ^°=<

0,889 r₃° + 5,556 r₄° -f 0,889 f₅°=<

= a.'

0,889 r₄° + 3,778 v₅°

Die Auflösung dieses symmetrischen Systems durch Elimination macht wenig Mühe¹), wir finden

F₀° =    0,25526 ct₀' — 0,04493 a/ -}- 0,00551 a₂' — 0,00144 ci₃

0,00024 a₄' — 0,00005 a/

Yj° = — 0,04493 a₀' -f- 0,19089 «/ — 0,02340 a₂ -f 0,00613 a₃'

r₂°

— 0,00102 a₄' -j- 0,00024 <V 0,00551 a₀' — 0,02340 «/ -f 0,14073 a₂ — 0,03689 a,J

-f- 0,00613 al — 0,00144 a₅'

Die weiteren Unbekannten F₃°, F₄° und Y₅° erhält man aus den vorstehenden Ausdrücken, indem man bei den Größen F° und 0! die Zeiger derart vertauscht, daß an Stelle von o, 1, 2, ... 5 die Zeiger 5, 4, 3, ... 0 treten.

n Man sehe darüber die ausführlichen Erörterungen auf S. 142 nach.

0,27526a₀ — 0,04493 a₁ -f- 0,00551 a₂ — 0,00144 a3 -j- 0,00024 ai — 0,00005 a₅ — 0,29622 B

Nun führen wir für ak' den Ausdruck ak — ykD wieder ein und erhalten nach Durchführung der Zahlenrechnung:

V =

3^° = — 0,04493 a₀ 0,19089 ax — 0,02340 a₂ -j- 0,00613 a3 — 0,00102 a₄ -(- 0,00024 a₅ — 0,61587 B

r₂° =

0,00551 a₀ — 0,02340 ax + 0,14073 a, — 0,03689 a3 -f- 0,00613 ai — 0,00144 a₅ — 0,72805 B

Ys° = — 0,00144 a₀ -f- 0,00613 a± — 0,03689 a₂ -f- 0,14073 a₃

—    0,02340 ai -f 0,00551 a₅ — 0,72805 B

0,00024 ao — 0,00102 a₁ -f- 0,00613 a₂ — 0,02340 a3 + 0,19089 a₄ — 0,04493 a₅ — 0,61587 B

r₆° = — 0,00005 a₀ -f- 0,00024 ai — 0,00144 a₂ -f- 0,00551 a₃

—    0,04493 a. + 0,27526 a. — 0,29622 B

2r*°=

i=0

0,23457 % + °^I279I «i + 0,09064 a₂ -j- 0,09064 a3 + 0,12791 ai -f 0,23457 a₅ — 3,28028 B

Die Bestimmungsgleichung o) lautet, wenn man

setzt,

liY°-ID = aD.

k = 0

Wir multiplizieren mit 5 und gewinnen die einfache Gleichung:

2 Yk° — 6 D = 5 cip-

Die Summe 2 Yk° wurde oben durch Addition der Lösungen Y°

k = 0

bestimmt.

Nach Einsetzen des Summenwertes gelangt man zur allgemeinen Lösung von B, nämlich:

B = 0,025277 a₀ -j- 0,013783 ax -f 0,009767 a₂ -}- 0,009767 as

-f- 0,013783 a₄ + 0,025277 % — 0,53878 «d . . . I)

Mit Hilfe dieser Gleichung kann man schließlich die allgemeinen Formeln für die Y° angeben, und zwar:

0,26778 a₀ — 0,04901 a₁ -j- 0,00262 a₂ — 0,00433 as

v=

—    0,00384 a₄ — 0,00753 a₅ -f- 0,15960 aD

Yx° = — 0,06050 a₀ -f- 0,18240 ax — 0,02941 a₂ -f- 0,00012 a₃

—    0,00951 a₄ — 0,01534 a₆ + 0,33182 aD

r₂° = — 0,01290 a₀ — 0,03344 «1 + 0,13362 a₂ — 0,04400 a₃

. .II)

—    0,00391 ay — 0,01985 a₅ -f- 0,39226 aD

Y₃° = — 0,01985 a₀ — 0,00391 ax — 0,04400 a₂ -J- 0,13362 a₃

—    0,03344 «4 — 0,01290 a₅ -f- 0,39226 aD

Y₄° = — 0,01534 a₀ — 0,00951 ax -j- 0,00012 a₂ — 0,02941 a3 + 0,18240 ay — 0,06050 a₅ -f- 0,33182 aD

Y₅° = — 0,00753 a₀ — 0,00384 ay — 0,00433 a₂ -f- 0,00262 a₃

—    0,04901 aA -f 0,26778 a₆ -f 0,15960 aD

In den allgemeinen Lösungen I) und II) liegen sämtliche Zahlen’ werte [x und v, die zur Darstellung der Einflußlinien nach den oben abgeleiteten Formeln benötigt werden, als Beiwerte der a-Größen vor.

Wir wollen die Ordinaten der Einflußlinien für je 9 Zwischenpunkte eines Feldes berechnen, weshalb es noch notwendig ist, die Werte der Funktionen <Py und <2>₂ für diese Zwischenpunkte zu ermitteln. Wir bedienen uns hierzu der Tafel der Stammfunktionen fx und f₂ im Anhänge und finden:

Tafel 5. Werte der Funktionen und <Z>₂.

0,2

o,3

°,4

o,5

0,6

o,7

0,8

o,9

1,0

o 0,243 o 0,027

0,384

0,096

0,441

0,189

o,432

0,288

o,375

o,375

0,288 0,189 °,43² o,44i

0,096

0,384

0,027

0,243

In der Tafel 6, S. 122 ist die Berechnung der Einflußlinie von D dargestellt. Da diese Linie spiegelsymmetrisch ist, so sind nur die Ordinaten bis zur Mitte des Mittelfeldes ausgewiesen. Die vollständige Linie zeigt Abb. 79 b).

In gleicher Weise berechnet man die Ordinaten der Einflußlinien für Yj,⁰, Yx°, Y₂°, aber weil diese Linien unsymmetrisch sind, für sämtliche fünf Felder. Y₃°, T₄°, Y₅° sind die Spiegelbilder dieser Linien.

Gleichung r) liefert unter Benutzung der Beiwerte ju aus den allgemeinen Lösungen folgende Formeln für die Einflußlinienzweige:

Tafel 6. Berechnung der Einflußlinie D. u^~vi-lhh>

B=viiiK-

Feld

*0°

160,68 (ßj -j- 29,40 02 — 29,40 <Z>X — 1,57 2,10 ^-j-3,46 #2

—    2,60    +- 2,30 <P₂

—    2,30 <l\ + 4,52 #₂

—    36,30 #1 — 109,44 #2 109,44 0x-f 17,64 #2

—    23,52 0t — 0,10 02

0,07 0X+ 5,71 #2 — 5,71 #1 + 9,20 0₂

—    7,74 #1 -f 20,04 0₂

- 20,04 #i - 80,16 0₂

106,88 0X +- 35,20 02 — 26,40 0X + 2,35

—    ²,35 #1+ ”,88 0₂

hlo'

Vi-X

Vi

0,1

0,2

o,3

600

0,02528    0,01378    15,168

8,268    .

o,4

o,5

0,6

o,7

0,8

o,9

+ 3,463 + 5,031

+ 5,126 + 4d7i + 2,588 + o,797

0+

0,2

°,3

600

0,01378

0,00977

8,268    5,862    ■

0,4

o,5

0,6

o,7

°,8

o,9

+ 1,851

+ 2,612

+ 2,538

+ 1,884 + 0,902

-0,151

8oo

0,00977    0,00977

7,816    7,8 i 6 •

+ 1,688

+ 2,251

+ 1,97° + 1,126

Die Y-Linien sind in Abb. 79c bis e) ersichtlich gemacht. Ein Vergleich der Ordinatenwerte der D- und Y°-Linien zeigt, daß die Werte von D verhältnismäßig klein gegenüber den Beträgen von Y° sind. Der Einfluß von D auf die Momente ist daher nicht groß. Bei ersten Annäherungen wird man sonach D und somit Null setzen können, wodurch die Rechnung einigermaßen vereinfacht wird. Bei einer genaueren Berechnung aber ist die Berücksichtigung von D meist unerläßlich, insbesondere dann, wenn einseitige Belastung eines Feldes in Frage kommen kann. Bei Totalbelastung der Felder ist die Wirkung von D klein, sie nimmt von den Enden gegen die Mitte rasch ab, was eine Betrachtung der Einflußlinie von D sofort lehrt.

.2

Hk

Hk

lD-Linie

c) +

%^ Linie

0-

'Y°~ Linie

4*

d) +

Yz°~ Linie

Mafistab der Ordinaten: i mm = 2 Einheiten.

Abb. 79.

Bei der praktischen Anwendung des hier dargelegten Rechnungsganges ist es nicht notwendig, die Y°-Linien abzutragen — es geschah hier nur, um den Einfluß von D zu veranschaulichen, — sondern man berechnet unmittelbar mit Hilfe der Zahlenformeln für die verschiedenen Y° auf S. 122 oben und mittels der Gleichungen t), u) und v) die Zahlenausdrücke für die Einflußlinienzweige der Momente und Auflagerkräfte H, die sich alle auf die Form    B bringen lassen.

Die allgemeinen Gleichungen n) und o) sollen noch verwendet werden, um die Größen D und Y° für den Fall zu bestimmen, daß die Riegel infolge einer Temperaturschwankung ihre Längen ändern. Wir wählen £ = +35°C.

Die rechte Seite der Gleichung o), die mit a# bezeichnet wurde, nimmt folgenden Wert an:

aD = cttte2ET*'

*=0

35

— 80000 40

(i5 + 30 + 50 + 65 -f 80) e

Für p setzen wir

und finden damit

35-240 — 80000- 40

0 = 6 EJC — 4 ■ io⁵ tm¹

aD =+1050 tm².

Die Werte a₀ bis a. [rechte Seite der Gleichungen n)] haben, falls nur die Wärmewirkung berücksichtigt wird, die Form:

ak = — Qatty-Nach Einsetzen der Zahlenwerte erhält man

^Ic + l

k -f 1

Da D = Q&₀V ist, so wird

--b

= +0,001774,

709,7 400000

mithin die Verschiebung des Punktes o in wagerechter Richtung

<5₀ = h₀ ft₀v — 800 • 0,001774 == 1,42 cm.

Das negative Vorzeichen von #₀® bedeutet, daß der Winkel, den die Stütze h₀ mit der Schlußlinie durch die Stützenfußpunkte einschließt, bei Temperaturerhöhung vergrößert wird, die Stütze bewegt sich sonach nach außen. Die große Verschiebung von 1,42 cm läßt natürlich bedeutende Momente in Stützen und Balken erwarten. Der Einfluß der Wärme Schwankungen ist bei derartigen Systemen bedeutend. Er wächst mit der Felderzahl.

§ 10. Berechnung des Vierendeelträgers.

Die Umrißlinie des Trägers sei beliebig gestaltet, nur die Querschnittsausbildung der Gurte sei an die einschränkende Bedingung geknüpft, daß in jedem Felde die reduzierte Länge des Obergurtstabes gleich der reduzierten Länge des Untergurtstabes sei. Im übrigen kann der Querschnitt der Gurtstäbe beliebig wechseln. Die Querschnittsgestaltung der Pfosten unterliege keiner Einschränkung.

Für die Gurtstäbe eines Feldes gilt demnach

o' — uf,

also

oder

d. h. die Trägheitsmomente der Gurtstäbe eines Feldes verhalten sich so wie die zugehörenden Stablängen. Längeren Stäben entspricht demnach ein größeres Trägheitsmoment; gleichlange Stäbe eines Feldes haben gleiches Trägheitsmoment. Diese Verhältnisse treffen bei ausgeführten Tragwerken der Vierendeelbauart in der Regel gut zu, falls nicht besondere Gründe für die stärkere Ausbildung eines Gurtes vorliegen.

Die in den Abb. 80 a, b, c dargestellten Tragwerkformen, die in jedem Felde gleiche Obergurt- und Untergurtlänge aufweisen, müssen unserer Voraussetzung gemäß auch im Ober- und Untergurt eines Feldes gleiches Trägheitsmoment besitzen. Bei den Tragwerken der

Abb. 81 a, b, c, die durch verschiedene Gurtlängen in einem Felde gekennzeichnet sind, sind nach Wahl der aufeinanderfolgenden Trägheitsmomente eines Gurtes die Trägheitsmomente des zweiten Gurtes durch die Forderung a) festgelegt. Für alle Stäbe gilt, daß der Querschnitt zwischen zwei Knotenpunkten unveränderlich sei.

a)

*)

cn

Abb. 81.

Abb. 80.

Da das w-feldrige Tragwerk aus n einfachen Grundsystemen entstanden ist, so ist es bei statisch bestimmter Lagerung, die wir zunächst voraussetzen wollen, 3 w-fach statisch unbestimmt. Wie bereits in § 3, S. 25 gezeigt wurde, können 6 n Elastizitätsbedingungen zur Ermittelung der 3 n Überzähligen und 3 n Drehwinkel aufgestellt werden. Den Einfluß der Längenänderungen der Gurtstäbe wollen wir, da er u. U. erheblich wird, in der nachfolgenden Rechnung berücksichtigen. Die Längenänderung der Pfosten kann in jedem Falle vernachlässigt werden. Die Belastung bestehe aus Einzellasten, die in den Knotenpunkten angreifen und in die Pfostenrichtung fallen.

Die aufeinanderfolgenden Pfosten werden von links nach rechts mit o, I, 2, ... n bezeichnet (Abb. 82). Die zwischen den Pfosten k — I und k gelegenen Gurtstäbe erhalten den Zeiger k.

Es bedeuten ferner:

Mkl und M-J die Gurtmomente unmittelbar links bzw. rechts vom Obergurtknoten k,

Ml und Ml die Gurtmomente unmittelbar links bzw. rechts vom Untergurtknoten k,

Ml und Ml die Momente im oberen bzw. unteren Anschlußpunkte des Pfostens k,

ok und uk die wahren Längen des Ober- bzw. Untergurtes zwischen den Pfosten k — I und k,

sk' die reduzierte Länge der Gurtstäbe dieses Feldes,

hk und hk die wahre und die reduzierte Länge des Pfostens k—k,

ak den Neigungswinkel des Obergurtstabes ok gegen die Auflagerverbindungslinie,

ßk den Neigungswinkel des Untergurtstabes uk gegen die Auflagerverbindungslinie,

A ok und A uk die Stablängenänderungen der Gurtstäbe ok und uk infolge der Längskräfte und Temperaturänderungen,

$k°,    &kv die Stabdrehwinkel der Stäbe ok, uk und hk.

k+1

Tl-1

TI

a)

-zs*

Abb. 82.

k-1

Da jedes Feld vier ausgezeichnete Punkte aufweist, so können je vier Momentengleichungen angesetzt werden. Es genügt, wenn die Aufschreibung für ein Feld, z. B. für das zwischen den Pfosten Ji und hk liegende, durchgeführt wird. Wir durchschreiten die Stäbe dieses Feldes, bei Punkt k — I des Untergurtes beginnend, im Sinne der Uhrzeigerbewegung und gewinnen folgende Viermomentengleichungen:

1 \ - 1    ²    1 x -J- 2 iWj.r_ x -j- Mkl sk

_ —s(V-i-V) = °‘)

• b)

K'-1V ■+ ² K <+² ar²' V + v/ V - e (<V - V) = 0 5’ V+^ 5’ ³' +²    + s²r-1 ²»'- e A'- V)=o

iffc² sk 4~2 Mk-1 sk — 2 Mkv-1V-1—Mk-1V-1

Hierbei wurde für

—eW-V-1)=°

⁶ EJc = Q

geschrieben. Die rechten Seiten sind Null, da wir nur Knotenbelastung vorausgesetzt haben. Addiert man je zwei Gleichungen des Systems b), die gleiche Pfostenmomente enthalten, also je die erste und vierte, und je die zweite und dritte, so erhält man zunächst zwei neue Gleichungen:

- 3 (²»•_ , + M²_ ,) V_ , + 2 (Mr_ , + U’_ ,) V +    V

+ejv-iv)=°

3 (M’+ Mf) V+ 2 (ltf + 3f»<) V + W-i + Ä²r- ,) V

-e(<V-A")=°-

Zur Beseitigung der Drehwinkel aus den vorstehenden Beziehungen benützen wir die Winkelgleichungen, die wir unverändert aus dem vorangehenden Beispiele des Lohseträgers übernehmen können, da das Stabnetz, geometrisch aufgefaßt, dasselbe ist. Die Gleichungen lauten für das Je-te Feld (siehe Gl. b) und c), S. ioo:

K-i ² V-i)

— (K

+x iK tg ak -h K tg ßk) =⁰ ■

A ok cos ak — Auk cos ßk

¹

— — 0,833ea<t = -{- 145,8t 2 a₁ = — 4,063 Qcctt =+ 711,0 a₂ =— 16,042 paft =IjI 2807,4 a₃ ——16,042 Qatt ==412807,4 „ a₄ = — 17,604 gatt =4:3080,7 „ ög    7,500 Qaft--j— i3-t2,5 „

Mit den ermittelten Werten von ak kann man unter Benutzung der allgemeinen Lösungen I) und II) S. 120 u. 121 die Beträge von D und Y° und somit auch die Werte der Momente und Auflagerkräfte infolge der Wärmeschwankungen berechnen.

Wir bestimmen hier nur D. Durch Einbringung der Zahlenwerte der a in I) berechnet man

_D = 4- 709,7tm-.

²

Die Pfostenmomente M/cv_₁ und M/₍v-₁ wurden negativ eingeführt, da

³

man sich das Vorzeichen dieser Momente durch die Momentengleichungen des links vorangehenden Feldes bei entgegengesetzter Durchschreitungsrichtung des Stabes    als positiv festgelegt denken muß.

• c)

A ok sin ak + A uk sin ßk — X ($k° — dku) = o.

Man könnte nun für die Differenz (#fc°—#fcM) in den obigen Momentengleichungen den Wert aus der zweiten Winkelgleichung einführen. Nun ist aber der Einfluß des Gliedes A ok sin«fc -j~ A uk sin/5fe, auf die Größe der Überzähligen praktisch so geringfügig, daß wir es, ohne nennenswerten Fehler zu begehen, vernachlässigen und

d)

setzen können. Gleichung d) ist für die in Abb. 8o a und b dargestellten Tragwerksformen bei lotrechter Belastung strenge richtig.

Um die Anzahl der Unbekannten zu verringern, berücksichtigen wir die statischen Beziehungen, die zwischen den drei Momenten eines Knotens bestehen. Aus der Bedingung, daß die Summe der Momente an einem herausgeschnittenen Knoten Null ist, folgt für jeden Obergurt- bzw. Untergurtknoten:

Mv=Ml — Mr und Mv = Ml— Mr, womit die voranstehenden Gleichungen übergehen in

- 3 W- ,+*,<_,) V- >+W-1 ±    ,) (3 V-, + 2 O

+Ä'+^)V=o

(M'_, + Mk'_ J + !Mk‘ + MJ) (3 K’ + ² O — 3 (Mi + Mh) K'=o.

Derartige Gleichungen können in der Zahl 2 n aufgestellt werden. Faßt man die in den Klammern stehenden Momentensummen als Unbekannte auf, so ist leicht zu erkennen, daß nur 2 n verschiedene Momentensummen möglich sind, daher können diese 2 n Größen aus den Gleichungen e) ermittelt werden. Ihre Berechnung ist sehr einfach. Da die rechten Seiten durchwegs Null sind, so verschwinden die Zählerdeterminanten sämtlicher Unbekannten und es folgt:

U’ + U’^o

und

Mkl -f- Mlcl = o

oder

und

f)

M/ = — Mkr

Wir gelangen damit zu 2 n sehr einfachen Beziehungen zwischen den Gurtmomenten. Die Gleichungen f) besagen, daß Ober- und Untergurtmomente eines Feldes paarweise der Größe nach geich sind und, vom Innern des Feldes gesehen, entgegengesetzten Drehsinn haben. Von den 3 n Bestimmungsgleichungen zur Ermittelung der Überzähligen haben wir somit 2 n in den Gleichungen f) gefunden. Es bleibt daher nur noch die Aufstellung von n weiteren Gleichungen übrig.

Wir gehen zu diesem Zwecke nochmals auf die Ausgangsgleichungen b) zurück, um durch eine neue Verbindung eine weitere Gruppe von winkelfreien Gleichungen zu gewinnen. Wir benutzen hierzu die ersten zwei Gleichungen, die mit hk_t und hk multipliziert und sodann addiert werden. Es entsteht:

1 + 2 Mk-1) V-1K -1 + (Mk +2 Mk) K K

+ i sk (² K -1 + h) + Mi! si'(K -1 +² K)

— q [— (K V — K -1 <V-1) + K {K — K - i)l = ⁰ •

Bleich, Viermomentensatz.

Die erste Winkelgleichung kann in der Form geschrieben werden:

—    1 <V-i) + K (K— K-i) = —(d ok cos ak—A uk cos ßk),

wenn man beachtet, daß nach Gleichung d)    ist, und daß die

Beziehung besteht:

^(tg«fc + tg^fc) = Äfc — K-i-

Aus Momenten- und Winkelgleichungen folgt die winkelfreie Beziehung:

- (*£-! + 2 M^i) K-1K -1 + (**’ + 2 Muv) V *fc

+    1V (² ** - i +    + Mkl sk (K -1 + ² K)

+ e (A ok cos ak — A uk cos ßk) = o.

Wir beseitigen noch die Pfostenmomente, indem wir sie wie oben durch die benachbarten Gurtmomente ersetzen, und erhalten:

-    (MtL, + 2 Mt‘_,) V-, V-, + Ä'-, + 2 Kr-,) K-1K -.

+ *4r- if,'A-.+ y + W+² *40 v + H4< V (\ _, + 2 y

g)

—    Ö4r + 2 Mt) K K +s(A \ cos «t “ A «t cos /3,j = o......

Da % derartige Gleichungen aufgestellt werden können, so haben wir in den Gleichungen f) und g) die 3 n Bestimmungsgleichungen gefunden, die die Ermittelung der Überzähligen ermöglichen.

k-1

Unsere Aufgabe ist es nun, die 4 n Gurtmomente ■~i    dieser Gleichungen durch die

äußeren Lasten und die zweckmäßig zu wählenden Über-^ ct) zähligen auszudrücken. Wir betrachten zu diesem Zwecke

77l

Abb. 83.

k-i

In der oberen Abbildung sind die Schnittkräfte für einen

~r*

?Th

k-1

k-1

r*

Abb. 83.

Schnitt unendlich nahe links vom Knoten Je eingetragen. Das Moment der äußeren Kräfte sei durch rfc = gegeben. Da zunächst nur ^    t>)    lotrechte in die Pfostenrich

tung fallende Knotenlasten und Auflagerkräfte vorausgesetzt werden, so ist die wagerechte Komponente der Schnittkraft im Obergurt gleich der wagerechten Komponente der

Schnittkraft im Untergurt desselben Feldes. Wir bezeichnen diese Teilkraft mit Xk. Tk° und Tk sind die lotrechten Komponenten der Schnittkräfte an den Schnittstellen beider Gurte. Die Gesamtkraft aus Xk und Tk nennen wir die Feldkraft im ftten Felde des Ober- bzw. Untergurtes. Sie ist nicht zu verwechseln mit der Längskraft des Ober-bzw. Untergurtes, da die Feldkraft keineswegs in die Gurtrichtung fällt.

Die Momentengleichung für den Obergurtknoten k lautet somit (Abb. 83 a):

-Mk‘ + Mt‘+ Wk-Xkh Unter Benutzung der Gleichungen f) erhält man daraus:

= 0.

h)

In derselben Weise findet man Mkr, wenn man einen Schnitt unendlich nahe rechts vom Knoten k in Betracht zieht (Abb. 83 b). Die Momentengleichung wird jetzt

und daraus bei Benutzung der vereinfachenden Beziehungen f):

Mk

Es ist also gelungen, die Obergurtmomente Ml und Mr durch die äußeren Momente 901 und durch die Feldkraftkomponenten X auszudrücken, somit sind auch die Untergurtmomente durch diese Größen bestimmbar und wir finden daher

fc+i K — ⁰

^/c+i \

h')

Mkl = — Mkl

_ 3li I ^7c + l \

2 ' 2

i)

Ebenso können die in der Gleichung g) vorkommenden Längenänderungen leicht durch die Größen X dargestellt werden, nämlich:

°fccos ak°k

EFk°

ukcosßk-uk ₌ Xkuk EFk    EFk

wobei + £ die Temperaturdifferenz des Obergurtes gegen den Untergurt bezeichnet. Somit ist

Q (A °k cos ak — Auk cos ßk) = — 6 xk °k

A ok cos ak

A uk cos ßk —

+ at t °k cos ak

XkOk

EFk

\ + attk

Je

Je

k ±⁶EJcattXk.

. ... k)

9*

Bei der Aufstellung der Ausdrücke für die Längenänderungen wurde stillschweigend vorausgesetzt, daß die Feldkraft gleich der Gurtlängskraft ist, was, wie schon oben bemerkt wurde, nicht richtig ist. Gewöhnlich ist aber die Neigung der Feldkraft gegen die Gurtrichtung nicht allzu groß, so daß es erlaubt erscheint, bei der Ermittlung des an sich nicht beträchtlichen Gliedes, das den Einfluß der Längenänderungen darstellt, die oben benutzte Vereinfachung einzuführen¹).

Sämtliche Momente und Längenänderungen der Bestimmungsgleichungen g) können daher als Funktionen der n Größen X, die wir aisüberzählige wählen wollen, dargestellt werden. Die Gleichungg) nimmt nach Einführung der Werte aus den Formeln h), i), k) die endgültige Form an:

k-1

-1V-1—Xk K- i V-i + 2 s\l (V-1+K - i K + V) + K llk

+ ¹²    + Uk

+ ^₊A'V

K

= — [sßfc-i sk (² K-i + K) 4~ sk (K-1    ² K)] +12    attK •

Hierbei ist k der Reihe nach i, 2, ... n zu setzen. Die rechten Seiten der ersten und letzten Gleichung des Systems 1) weichen etwas von der allgemeinen Form ab.

Die erste Gleichung lautet:

Fk

... — — [90?o (V h₀ -f- s/ (2 h₀ -f- hj) -f- s/ (h₀ -f- 2 hj] und die letzte Gleichung:

••• = —    -1sn (²K-iK)H⁻isn (²K4”K-44“KKl]-

Ist 9[k₀ und wie beim frei aufliegenden Balken mit lotrechter Belastung Null, dann fällt diese Unterscheidung fort.

Die n Gleichungen 1) reichen aus, um die Größen X und somit alle anderen Werte zu bestimmen. Die Ermittelung der Überzähligen ist damit auf die Auflösung eines Systems dreigliedriger Gleichungen der Form 1) zurückgeführt.

Wir hätten den Rechnungsgang insofern abkürzen können, als wir nach Feststellung der Gleichungen f) diese einfachen Zusammen-

x) Es steht natürlich nichts im Wege, die Berechnung dieses Einflusses genau durchzuführen. Für die Gurtkraft S ist dann zu setzen

S = X cos oc -f- T sin a ,

wenn a die Neigung des Gurtes gegen die Wagerechte bedeutet. T kann man ebenfalls durch X ausdrücken und erhält ein Zusatzglied im Beiwert von X„ wie oben, außerdem ein weiteres von 3JI abhängiges Glied auf der rechten Seite.

hänge zwischen Ober- und Untergurtmomenten in die beiden ersten Gleichungen b), die zur

Ableitung der dritten Gruppe der Bestim-

Die etwas

mungsgleichungen benutzt wurden, eingeführt hätten, längere Darstellung wurde gewählt, um den Eliminationsvorgang, der zu den 3 n Bestimmungsgleichungen führt, klarer zum Ausdruck zu bringen.

Für den Parallelträger nehmen die Gleichungen 1) besonders einfache Form an. Wirsetzen hk_₁ = hk = h und sk' = Xk, der reduzierten Feldweite, weiter Fk° = Fk — Fk und erhalten

\-i V-i- v, [v-, + 6v + v+

= -3f(mk_l + mk)+i2i:jcata,.....m)

Das Glied 24

ist gewöhnlich klein und kann wenigstens bei

*'² *1

vorläufigen Berechnungen vernachlässigt werden.

Der Vorgang der Auflösung des Gleichungssystems ist der gleiche wie bei der Auflösung der Gleichungen des Lohseträgers. Nur liegt hier die Sache insofern einfacher, als kein von H abhängiges Glied vorhanden ist. Wir enthalten uns

hier weiterer Erörterungen, da der Rechnungsgang an einem Zahlenbeispiel weiter unten ausführlich dargestellt werden wird.

In den vorangehenden Darlegungen wurden die äußeren Kräfte

Nun wollen wir noch unter-

2l

als lotrecht gerichtet vorausgesetzt, suchen, welche Änderungen die Bestimmungsgleichungen 1) erleiden, wenn in den Knotenpunkten wagerechte Kräfte angreifen.

Solange die äußeren Lasten in die Pfostenrich-

Abb. 84.

tung fallen, sind die wagerechten Teilkräfte X . der Feldkraft für Ober- und Untergurt gleich groß. Es ist in diesem Falle auch für die Größe des äußeren Momentes 9Jf gleichgültig, ob der Bezugspunkt k im Ober- oder Untergurt gelegen ist. All dies ist nicht mehr der Fall, wenn wagerechte äußere Kräfte hinzutreten.

Wir haben die Gleichungen h) und h') in der Weise bestimmt, daß wir die Momentensumme in Bezug auf den Obergurtknoten k

als Momentenpunkt gebildet haben. Die in diesen Gleichungen auftretenden X- Kräfte sind demnach die wagerechten Komponenten der Feldkräfte des Untergurtes. Halten wir das fest, dann ergibt sich unter Hinweis auf Abb. 84 die wagerechte Komponente der Obergurtfeldkraft im kten Felde mit

1

Da nun Xle° und Xku ihrem absoluten Werte nach nicht mehr gleich sind, so ändert sich hierdurch das unter dieser Voraussetzung abgeleitete, von den Gurtlängskräften herrührende Zusatzglied der Gleichung 1).

Es ist jetzt

A ok cos ak =

⁰lcCOSak-°k

+ at t ok cos ak —

(K

* — 1

-2i?K

1

EFk°

iz at ^ K ’

Auk cosßk = somit folgt

Uk cos ßk • uk Xk uk

EFk

FFk

Q (A °k cos an ~Auk cos ßk)

Je

Je

Je

Fk

Fku.

+ 6ok-%^H±6EJcatak . . . k') *k 1

Mit diesem Gliede nehmen die Bestimmungsgleichungen die

Form an:

xku_₁ K

-1

+ W +¹²

Fk°

1 sk (²K-i ~f~ K) 4~ sk (K-1 + ² K)“f"

~hI2°k

fc_4    ”|

-pT ^ -Sj -j-¹² FJcat tXk

1')

Die Gleichung 1') unterscheidet sich somit nur durch das von X H abhängige Glied auf der rechten Seite von der Gleichung 1). Durch den oberen Zeiger u wurde angedeutet, daß die aus dieser Gleichung errechneten Werte der Überzähligen X sich auf den Untergurt beziehen.

Vernachlässigt man, was unter Umständen erlaubt ist, die Wirkung der Gurtlängskräfte, dann fällt auf der rechten Seite das unterscheidende Zusatzglied weg und die Gleichung 1') geht in die Gleichung 1) über.

Einflußlinien der Überzähligen.

Nach der Auflösung der Bestimmungsgleichungen erhält man die Unbekannten X in der Gestalt

X— fxx ax -(- fi₂ a₂ -f- fis as -j- • • • -j~ f*k % -f- • • • f*n • • n)

jux fi₂ ... sind Zahlenwerte, die sich aus den Beiwerten der Unbekannten im Gleichungssysteme ergeben. Die a± a₂ ... sind die zunächst unbestimmt gelassenen rechten Seiten der Gleichungen 1).

Um nun die Einflußlinien der Überzähligen zu finden, belastet man der Reihe nach die einzelnen Knoten mit P= i, bestimmt hierfür die Werte a und mit Hilfe der Lösungen n) die Einzelwerte der Unbekannten X, aus denen dann die Einflußlinien zusammengestellt werden. Bei symmetrischen Trägern genügt natürlich die Berechnung für eine Trägerhälfte.

Aus der Tatsache, daß der Beiwert der mittleren Unbekannten

in den Gleichungen 1) bedeutend größer ist als die Beiwerte der rechts und links stehenden Gleichungsglieder, folgt, daß in dem Ausdrucke n) der Unbekannten Xk der Beiwert juk weitaus größer ist als alle übrigen Zahlenwerte. Die Beiwerte

nehmen vom Gliede

/U ak

beiden Seiten ab. In erster Annäherung kann daher auch

fi

rasch nach

hc ak

k-7 k

gesetzt werden. Für genaue Berechnungen genügt die Berücksichtigung je zweier Glieder vor und hinter /ih ak, alle anderen Glieder können Null gesetzt werden. Mit dieser Eigenschaft der Lösungen n) hängt in weiterer Folge auch die bemerkenswerte Form der Einflußlinien der Überzähligen X zu-

sammen. eine solche Einflußlinie dargestellt. Scharf betont sind nur die Punkte a und h, während die Knicke c und d nur wenig merklich sind. Die Teile o — c und

In Abb. 85 ist v

d.

a.

Abb. 85.

d — n weichen so wenig von der geraden Linie ab, daß selbst bei größerem Zeichnungsmaßstab die Krümmung dieser Zweige nicht zum Ausdruck kommt. Für Vorberechnungen genügt daher die Ermittelung der zwei Punkte a und b der Einflußlinie, die dann mit o und n geradlinig verbunden werden. Für genauere Berechnungen empfiehlt es sich, auch noch die Punkte c und d zu bestimmen.

Näherungsverfahren.

Obwohl die Auflösung des Gleichungssystems 1) selbst bei vielen Gliedern keine besonderen Schwierigkeiten macht, ist es doch zweckmäßig, für Vorberechnungen einfache Bestimmungsgleichungen für die Überzähligen X zur Hand zu haben. Diese können nach dem Vorbilde Engessers¹) in der Weise gewonnen werden, daß man den Einfluß der Verbiegung der Pfosten vernachlässigt, deren Trägheitsmoment also unendlich groß annimmt; dementsprechend werden die reduzierten Längen hk' Null und in den Gleichungen 1) verschwinden die Außenglieder. Die Gleichungen nehmen jetzt die einfache Form an:

und daraus

² (V-i + K-i K "h K²)

Die so berechneten Werte entsprechen den Stammwerten Engessers. Sie weichen allerdings manchmal nicht unerheblich von den genauen Werten ab, doch sind sie, wie man sieht, unabhängig von der Querschnittsgestaltung der aufeinanderfolgenden Gurtstäbe, weshalb sie für eine Vorberechnung, um vorläufige Anhaltspunkte für die Querschnittsgestaltung zu erhalten, sehr gut zu verwenden sind. Um die Einflußlinien zu bestimmen, genügt es, zwei Werte von Xk nach Formel o) zu berechnen, indem man die Last I im Knoten k — i und hierauf im Knoten k aufstellt und die zugehörigen -Werte ermittelt.

Bogenträger der Vierendeelbauart.

Es soll noch der Fall untersucht werden, daß das Vierendeeltragwerk statisch unbestimmt gelagert ist. Als Beispiel wählen wir

Abb. 86.

den Zweigelenksbogen (Abb. 86). Die Lasten greifen mittels Hängestangen am Untergurt an.

x) Prof. Dr.-Ing. Fr. Engesser, Die Berechnung der Rahmenträger. Berlin 1913.

Zu den 3 n Unbekannten des Balkenträgers tritt noch eine weitere Unbekannte, der Bogenschub H, hinzu. Dementsprechend benötigen wir auch eine weitere Elastizitätsbedingung. Die festen Kämpfergelenke denken wir uns durch einen Stab mit unendlich großem Querschnitt, der die Auflagerpunkte verbindet, ersetzt. Da kein neuer ausgezeichneter Punkt hinzutritt, so können auch keine weiteren Momentengleichungen aufgestellt werden. Dafür aber können zwei neue Winkelgleichungen, die sich über das Stabeck erstrecken, das vom Untergurt und dem Zusatzstab gebildet wird, angesetzt werden. Die eine Winkelgleichung bestimmt das unbekannte H, die zweite einen weiteren, neu hinzugekommenen Stabdrehwinkel, da durch Hinzutreten des Verbindungsstabes AB die Zahl der Stabdrehwinkel um Eins vermehrt wurde.

Die beiden Winkelgleichungen lauten mit Bezug auf Abb. 86:

P)

Da an Stelle des äußeren Momentes ARk das Moment — Hyk tritt, so kommt in jeder der n Bestimmungsgleichungen 1') ein von H abhängiges Glied, ähnlich wie beim Lohseträger, hinzu. Drückt man nun in den Gleichungen p) die durch die Unbekannten und äußeren Lasten aus, so erhält man eine weitere Gleichung zur Ermittlung von H.

Man kann nun unter Verwertung der Rechnungsergebnisse für den Balkenträger einen kürzeren Weg zur Bestimmung des Bogen-schubes H einschlagen. Wir denken uns zu diesem Zwecke das Balkenträgersystem einmal mit den gegebenen Lasten, das zweitemal mit der zunächst unbekannten Kraft H belastet. Diesen beiden Belastungszuständen entsprechen die Unbekannten Xkp und XkH; dann ist der tatsächliche Wert der Überzähligen im Bogenträger

Dementsprechend ist auch

oder

⁼ &kP + &kH

und ebenso

A uk — A ukp -|-HA ukH= 1,

wenn mit dßI = 1 der Drehwinkel des £ten Gurtstabes und mit A ukH= 1 die Längenänderung des Stabes 2^. für den Belastungszustand H— I

bezeichnet werden. Die erste der Gleichungen p) nimmt nun folgende Gestalt an:

woraus sich

bestimmt.

2 uk &kH=1 sin ßk -f 2 ^ uuH=[1 cos /? *=1 1

n

sinAH-2^fcpcos&

*=i

cos /?Ä = o,

H= —

Betrachten wir den Zähler näher.

Das Produkt uk $/cp sin ist gemäß Abb. 87 nichts anderes als die wagerechte Verschiebung des Punktes k infolge der Stabdrehung, wenn der Punkt k — 1 festgehalten ist; ebenso ist A ukp cos ßk die wagerechte Verschiebung des Punktes k infolge der Stablängenänderung. Somit wird

dPB

= 2 «fc    sin ßk -f 2 ^ ukp cos ßk

Jc=l    k = 1

die wagerechte Verschiebung des Punktes B des Balkentragwerkes unter der Wirkung der Lasten P, wenn A festgehalten wird.

Kommt nur eine einzige Knotenlast P=i, wie dies bei der Berechnung der Einflußlinien der Fall ist, in Frage, so kann man vom Satze über die Gegenseitigkeit der Verschiebungen Gebrauch machen und schließen: Die wagerechte Verschiebung    des

Abb. 87.

Punktes P durch die lotrechte Last 1 im Knoten ist gleich der Verschiebung des Punktes m im lotrechten Sinne, wenn der Träger mit if=i belastet wird. Der Zähler bedeutet also die Ordinate der Biegungslinie (für lotrechte Verschiebungen) im Punkte m, wenn auf das System die Last H—i wirkt. Damit ist auch die Einflußlinie für H gegeben; man braucht bloß die Ordinaten der Biegungslinie mit dem Nenner der Gleichung r) zu dividieren. Auch dieser Nenner kann, wie eine einfache Überlegung lehrt, als wagerechte Verschiebung des Punk-

tes B für den Lastzustand H—i gedeutet werden. Der Bogenschub H kann demnach geschrieben werden

1

eff — 1 OJB

Der Vorgang bei Berechnung des Bogenträgers nach Vierendeelbauart ist sonach folgender:

Man ermittelt die Einflußlinien der Größen X für den Balkenträger, wie dies oben beschrieben wurde, sowie die Werte der Größen X für den Lastzustand H— I . Die diesem Belastungszustande entsprechenden Werte der Überzähligen bezeichne man mit X. Nun bestimmt man noch die Drehwinkel    aus n—i Gleichungen

der Form

² Q fök    ^fc + l) ⁼    \Vk-l Sk ~T ² Vk iSk “f~ Sk +l)    Vk + 1 Sk +ll

-^-k Sk (K -1 4“ ² K) ^k +1 Sk +1 (² K H"~ \ +1) ’ * • * ’ S)

wo k der Reihe nach i, 2, ... n-—i zu setzen ist¹) und aus der bisher noch nicht benutzten zweiten Winkelgleichung p). Aus diesen insgesamt n Gleichungen können die n fraglichen Stabdrehwinkel berechnet werden. Sind einmal die Gurtdrehwinkel bekannt, so lassen sich nach dem weiter unten in § 12 gezeigten Verfahren die Biegungslinie und der Betrag des Nenners der Gleichung r') mittels eines Verschiebungsplanes unschwer ermitteln. Damit ist die U-Linie gefunden und somit sind auch die endgültigen X-Werte bzw. deren Einflußlinien durch die Beziehung

X=XP +HX

festgelegt.

Aus dem Umstande, daß die X-Werte bei Belastung mit der Bogenkraft H für Ober- und Untergurt verschieden sind, erkennen wir, daß beim Bogenträger wohl die Gurtmomente eines Feldes gleich, die Gurtlängskräfte aber verschieden sind. Sollen aber die Trägheits-

x) Die Gleichungen s) sind leicht gefunden. Man stellt für zwei aufeinanderfolgende Gurtstäbe die Viermomentengleichung auf; diese lautet:

Mkr_ x Sk’ + 2 Mj! 8k + 2 Mkr sk'+ x + Mi

+- i

Sk + i Q (ß’k    $k -f l) — ^ *

Nun ersetzt man die Obergurtmomente gemäß den Gleichungen h) und h') durch die äußeren Momente ÜDZ und die Überzähligen X. Das äußere Moment im Punkte k des Obergurtes ist nun

= — i • z/a ,

wobei yk die Ordinate des Obergurtpunktes k bedeutet (Abb. 86). Nach Durchführung der angegebenen Substitutionen und Einführung der Momentenwerte StR erhält man die Gleichung s). Bei n Gurtstäben können n — i derartige Gleichungen aufgestellt werden.

momente beider Gurtstäbe, bei gleichen Stablängen z. B., gleich sein, so muß der eine Gurt, der den größeren Stabquerschnitt erfordert, in der Trägerebene etwas gedrängter gebaut werden, was meist leicht zu erreichen ist, da der Unterschied gewöhnlich nicht sehr groß ist. Durch zweckmäßige bauliche Durchbildung kann daher eine Forderung erfüllt werden, die die Berechnung der hier in Rede stehenden Tragwerksart überaus vereinfacht.

Den gleichen Weg, den wir hier bei Bestimmung des Horizontalschubes H beschrieben haben, schlägt man auch ein, wenn der Vierendeelträger als durchlaufender Balken gelagert ist oder einem Hängegurt als Versteifungsträger dient. Man berechnet das 3%-fach statisch unbestimmte System unabhängig von den durch die Lagerung oder sonstigen Verbindungen gegebenen Überzähligen und legt das so bestimmte System der weiteren Berechnung als Hauptsystem zugrunde, ein Vorgang, wie er ja jedem Statiker geläufig ist. Auf die Identität der Gleichung r') mit der im gebräuchlichen Verfahren benutzten Beziehung braucht hier nicht ausdrücklich verwiesen zu werden.

Zahlenbeispiel.

Der in Abb. 88 dargestellte Bogenträger in Vierendeelbauweise habe 60 m Stützweite. Die Pfeilhöhe des Untergurtes betrage 9 m, die Trägerhöhe am Scheitel 2 m, die Pfostenhöhe am Auflager 6 m. Die Gurtknotenpunkte liegen auf Parabeln. In der Abbildung sind die auf Grund der vorstehenden Angaben berechneten Stablängen eingeschrieben. Wir nehmen ferner an, daß sämtliche Obergurtstäbe gleichen Querschnitt haben und wählen das Trägheitsmoment

5,00

40J>

5,oz

■Je

5,06

5,01

jv

V •• <ss

VT

U-

-72x5,00=-60,0070.

Abb. 88.

des Obergurtes als Je. Die reduzierten Längen s' der Obergurtstäbe sind somit gleich den wahren Längen s. Da nun Ober- und Untergurt, entsprechend den Voraussetzungen unserer Rechnung, in jedem Felde die gleiche reduzierte Länge haben sollen, so folgt, daß die reduzierte Länge eines Untergurtstabes gleich der wahren Länge des Obergurtstabes des gleichen Feldes ist. Für die Größen sk unserer Gleichungen sind daher die in Abb. 88 eingeschriebenen Ob er gurtlängen einzuführen.

Für die Pfosten gelten folgende Querschnittsannahmen:

Je Je

Je Je Je

Je

j₀v j?

JJ Js

J?

j: Jq

Tafel 7.

Berechnung der Beiwerte der Bestimmungsgleichungen 1).

Bk ⁼ K'~ 1 K²- 1 ~\~²⁸k vk~\~ hk V²,

4    ¹² {0jeFk°~^Uk Ff) ^

"k- i4

Sonach berechnen sich die reduzierten Längen der Pfosten wie folgt:

h'₃ = 6,00 m ,

h'₉= 7,56 m, h'₆ = 6,00 m .

h\ = 4,78 m ,

Ä'₆ = 6,33 m,

Wir untersuchen zunächst das Tragwerk als Balkenträger, ermitteln also die Überzähligen X, die die wagerechten Komponenten der Feldkräfte darstellen, aus den Bestimmungsgleichungen 1) Seite 132. In Tafel 7 sind die Beiwerte der Unbekannten in den Gleichungen 1) dargestellt. Wegen der Trägersymmetrie wurde die Berechnung nur für die linke Trägerhälfte durchgeführt.

h'₀ = 6,00 m h\ = 4,88 m

&k 4 Bk -f- Ak

m³

m²

m²

m³

m³

m³

6,00

4.78

3.78 3,0° 2,44 2,11 2,00

6,00

4,78

7,56

6,00

4,88

6,33 6 00

216,00

109,22

108,05

54*00

29,04

28,17

24,00

O hi O' O iü O

o^oo n

VCT cf C* rp

ro n m

28,68

18,07

n,34

7,32

5,15

4,22

87,53

55,21

34,63

22,27

15,55

12,67

5,23 5,¹5 5,09 5,05 5,02 5,0°

1240,78

785,91

514,56

307,97

213,33

178,87

J⁴ ^ ^ ^

Ln Ln Ln Ln Ln Ln

1248,28

793,4i

522,06

315.47

220,85

186,37

Die Bestimmungsgleichungen lauten somit, wenn man beide Seiten der Gleichungen mit — 1 multipliziert,

!) Da die Werte Ak klein gegenüber Bk sind und nur wenig voneinander abweichen, so setzen wir sie einander gleich und berechnen Ak für die mittelsten Gurtstäbe, deren Längenänderungen den größten Einfluß auf die Unbekannten X ausüben.

°k—

Bezeichnet Jc das Trägheitsmoment der mittelsten Gurtstäbe, so ist i der Trägheitsradius dieser Stäbe und wir finden daher für Ak, wenn — X eingeführt wird, wo X die Feldweite bedeutet,

Ak — 2^X i² oder Ak = 24 X³ ;

Wir er-

X

— ist das Schlankheitsverhältnis, das wir mit 20 annehmen wollen, mittein schließlich, wenn für X = 5 m eingeführt wird,

7,5 m³.

²4⁻5³

20a

+ 1248,3 Xx — 109,2 X₂

—    109,2 Xx + 793,4X3—108,0 X₃ = a₂

—    108,0 X₂ + 522,1 X₃ — 54,00 X₄ =as

—    29,04X3 +    3i5.5+> —    54,oo X₁₀ = a₉

—    54,00X₉ + 522,1 X₁₀— 108,0 Xn = a₁₀

—    108,0 X₁₀+ 793,4X^—109,2 X₁₂ = a₁₁

— ai2

—    109,2 X44+1248,3 X₁₂

Wir schreiben nun die ersten beiden Gleichungen nochmals an (S. 143), derart, daß die Glieder mit gleichen Unbekannten untereinander stehen, multiplizieren wechselweise mit den Beiwerten von Xt und addieren sodann. Die so entstehende neue Gleichung a) ist frei von Xx. Um nicht überflüssige Ziffern mitzuführen, wurden sämtliche Beiwerte der Gleichung a) mit 1000 dividiert. Es genügen, unbeschadet des angestrebten Genauigkeitsgrades, vier Stellen. Unter a) setzen wir nun die dritte Gleichung des voranstehenden Systems, multiplizieren wechselweise mit den Beiwerten von X₂ und addieren, wodurch X₂ aus der Gleichung b), die in der Aufschreibung ebenfalls mit 1000 dividiert erscheint, verschwindet. In dieser Weise schreiten wir bis Gleichung e) fort, die die Unbekannten X₆ und X₇ enthält.

Nun denken wir uns den gleichen Eliminationsvorgang von der letzten Gleichung ausgehend durchgeführt, derart, daß zunächst X₁₂, dalnn Xxl usw. ausgesondert werden. Da die zweite Hälfte der Gleichungen aus der ersten gewonnen wird, wenn man statt X4, X₁₂, statt X₂,X44 usw., ebenso statt alt a₁₂, statt a₂,an usw. setzt, so erhält man das Endresultat dieses Aussonderungsvorganges ohne jede Rechnung aus Gleichung e), wenn in dieser Gleichung X6 durch X, und umgekehrt ersetzt und für äx, a₁₂, für a₂,alt usw. geschrieben wird. Das Ergebnis ist Gleichung e'). Auch diese Gleichung enthält bloß die Unbekannten X₆ und X₇. Durch e) und e') sind diese beiden Überzähligen bestimmt.

Wir eliminieren aus e) und e') X₇ und gewinnen X₀ als lineare Funktion der Größen a. Benutzen wir diesen Wert der Unbekannten X₆ für Gleichung d), so erhalten wir X₅ und in der gleichen Weise weiter nach rückwärts schreitend alle übrigen Unbekannten bis X₁ als Funktionen der Größen a.

Schon aus den Gleichungen a) bis e) erkennt man, daß die Beiwerte der a, von einem bestimmten Gliede an, nach beiden Seiten rasch abnehmen. Es ist daher, nachdem X₆ bestimmt ist, nicht mehr notwendig, bei der schrittweisen Berechnung der übrigen Unbekannten alle Glieder mitzuführen. Im vorliegenden Falle genügen je drei Glieder vor und hinter dem maßgebenden größten Glied, da nur vier Stellen zu berücksichtigen sind. Das maßgebende Glied ist in der Rechnung durch fetteren Druck gekennzeichnet.

a)    . . . + 978,9 X₂ — 134,9X3 = 0,1092 «4 + 1,249 a₂ 108,0

978,9

—    108,o X₂ -f- 522,1 X₃ — 54,00 X₄ = «₃

b)    • • • + 496,5X3 — 52,86X4 = 0,01179 ^ + 0,1349 a₂-f-0,979803 54,00

496,5

+ 1248,3 X₄ — 109,2 Xa

109,2

— 109,2 Xx + 793,4 X₂ — Io8-° X₃ = a-2 I I248,3

= «1

—    54,oo X₃ + 315,5 X₄ - - 29,04 X₅ = o₄

c) • • • + i53,8X₄— 14,42 X₅ = 0,036367 o₁¹) + o,o₂7295 03 + 0,0528603

+ 0,4965 «4

29,04

— 29,04X4 + 220,8 X₅ — 28,17 X₆ = o₅

d) • • . + 33,54X₅ — 4,333 X₀ = o,o₄i849 ax +o,o₃2ii8 «₂ + o,o₂i535o₃

+ 0,0144204 +0,153805

153,8

28,17

— 28,17X5 + 186,4 X₆ —24,00 X₇ =o₆

e) . . . + 6,130X3 — 0,805 X₇ = o,o₆5209 «1 + 0,055966 03 + 0,04432403

+ 0,034062 o₄ + o,o₂4333 o₅ + 0,03354 o6 e')...— 0,805X0 + 6,130X7 + 0,03354 o₇ + o,o₂4333 o₈+0,034062 o₉

+ 0,044324 o₁₀+o,o₆59ö6 ou+ 0,035209 «₁₂

33,54

6,130

0,8050

39,93 X₆ = 0,0002651 o₃ + 0,002490 o₄ + 0,02656 a₅ + 0,2056 «₆

+ 0,02700 a₇ + 0,003488 «g + 0,0003270 «9 1000X3 = 0,0072 03 + 0,0675 «4 + 0,7192 «5 + 5,567 «₆ +0,7311 «₇

+ 0,0945 «₈ + 0,0089 «9

33,54 X₅ = 0,0002118 «₂ + 0,001566 «₃ + 0,01471 «₄ + 0,1569 «₅

+ 0,02412 a₆ + 0,003168 a₇ + 0,000410 ß8 1000 X₆ = 0,0065 «2 + 0,0468 «3 + 0,4368 «₄ + 4,678 a. +0,7192 «₆

+ 0,0945 «7 + 0,0122 «₈

153.8    X₄ = 0,0006367 «4 + 0,007389 «₂ + 0,05353 «3 + 0,5028 «₄

+ 0,06746 «₅ +0,01037 «3 + 0,00136 «7 1000 X₄ = 0,0042 «4 + 0,0480 a.₂ + 0,3480 «3 + 3,269 «₄ + 0,4386 a₅

+ 0,0675 «e + 0,0088 a₇

496,5 X₃ = 0,01201 «4 + 0,1374 «₂ + 0,9973 «j + 0,172 8 «4 + 0,02318 «5

+ 0,00356 «₆

1000 X₃ = 0,0242 «4 +0,2768 a, + 2,009 aA + 0,3480 «₄ + 0,0468 «₅

+ 0,0072 «g

978.9    X₂ = 0,1125 «4 + 1,287 «a + 0,271 o «3 + 0,04695 «4 + 0,00633 «5 1000 X₂ = 0,1149 «4 + 1,315 «₂ + 0,2768 «3 + 0,0480 a₄ +0,0065 05

1248,3X4= 1,013 «4 +0,14360.4 + 0,3023 «₃ + 0,0524 «4 1000 X4 = 0,8112    + 0,1149 «₂ + 0,0242 a₃ + 0,0042 «₄

Nachfolgend sind die Werte der Überzähligen X nochmals übersichtlich zusammengestellt, wobei für die weitere Rechnung eine Dezimalstelle abgeworfen

x) Der kürzeren Schreibweise wegen wurde z. B. statt 0,0006 . .., o,o₃6 . ..

gesetzt.

wird und dementsprechend auch das drittvorhergehende und drittfolgende Glied des maßgebenden Gliedes unterdrückt werden. Ein größerer Genauigkeitsgrad ist zwecklos, da beim Aufträgen und Übertragen der Einflußlinien in den üblichen Zeichnungsmaßstäben die vierte Stelle nicht mehr mit Sicherheit mitgeführt weiden kann. Die Werte der Unbekannten X, bis X₁₂ gewinnt man aus den oben berechneten Gleichungen, wenn man die Zeiger der Unbekannten und «-Größen durch die Zeiger der symmetrisch gelegenen Größen der rechten Trägerhälfte ersetzt.

IOOOl, =0,811«, -j-0,1 15 «₂ -j- 0,024 «3

iooolä = 0,115 «₁    + 1,315 a₂    -f-0,277 «₃    +0,0480.4

1000X, = 0,024 «x    +0,277 «2    + 2,009 as    + 0,348 «₄    + 0,047    «₅

1000 J₄ = 0,048 «2    + 0,348 «₃    + 3,269 a,    +0,439 a:>    + 0,068    «₆

1000 X₅ =0,0 47«s    +0,439 ®4    + 4,678 a₅    +o,7ig«ö    + 0,095    «₇ +0,012«+)

1000 XQ = 0,068 «₄    + 0,719 «fi    ~f~ 5,567 a₆    -f- 0,731 «₇ + 0,095 «₈    + o,⁰⁰9 «9 ¹)

1000 X₇ = 0,009 «₄    -f- 0,095 %    + o,73¹ «₆    + 5.567 a₇ +0,719 «₈    + 0,068 a₉

1000 X₈ =0,012 «₅    -I- 0.095 «0    +o,7i9 «7    + 4,678 a₈ + 0,439 «₉    + 0,047 «₁₀

1000 X₉ =0,068 «₇    +0,439 «₈    + 3,269 «₉    + 0,348 «₄₀ + 0,048 «₄₁

1000 X₁₀ = 0,047 a₈ + 0,348 «₉ + 2,009 a₁₀ +0,277 «₄₁ + 0,024 «₁₂

1000 X₁₄ — 0,048 «₉ -f- 0,277 «10+ l»3i5 «u+ 0,115 «12

1000 X₁₂ = 0,024 «₁₀ + 0,115 «n + 0,811 al2

Die nächste Aufgabe ist die Bestimmung der Größen ak für die verschiedenen Laststellungen. ak hat allgemein die Form:

ak—afc -1+ßk •

Tafel 8 enthält die Berechnung der Beiwerte <xk und ßk.

ßk — sk (K -1 + ² K) •

Tafel 8. Berechnung der Beiwerte ock und ßk. afc=V(2 hk-i + Äfc)

afc

ßk

m²

m²

5,23

5H5

5,09

5,05

5,02

5,00

5,oo

5,02

5,05

5,09

5U5

6,00

4.78

3.78 3,oo 2,44 2,11 2,00 2,11 2,44 3,oo

3.78

4.78

16,78

13,34

10.56

15,56

12,34

9.78

8,44

7,88

6,99 6,22 6,11 6,66

6,66

6,11

6,22

6,99

7,88

8,44

9,78

12,34

15,56

10,56

13,34

123,76 ²) 68,70

53.75

42,62

35.°9

31,10

3°, 55 33,43 39,79 49,78 63,55 8i,37

8i,37

63.55

49.78

39.79 33,43

30.55 3¹,10 35,09 42,62

53,75

68,70

123,76²)

In Tafel 9 S. 146 sind die Ordinatenwerte der Linien für die aufeinanderfolgenden Knotenbelastungen zus minengestellt und neben jeder 9D?fe-Reihe mittels der Werte afc und ßk das zugehörige berechnet. In den letzten Vertikalreihen finden wir die der Belastung mit H==— 1 entsprechenden und «-Werte sowie das von den Längskräften abhängige Zusaizglied (Gleichung 1') dargestellt. Die Momente 9Jlk sind hierbei auf den Obergurt bezogen.

Mit Hilfe der in Tafel 9 berechneten «fe-Werte können, unter Benutzung der oben zusammengestellten Formeln für die Unbekannten Xk, die Ordinären der Einflußlinien berechnet werden. Der Vorgang werde an der Berechnung von X₄ gezeigt.

Es ist 1000 X₄ = 0,048 «₂ -j- 0,348 «₃ -f- 3,269 «₄ -j- 0,439 a₅ -f- °,°68 «₆. Die Zahlenrechnung führt man wie folgt übersichilich durch:

Last in

0,048 a3 0,348 a;l 3,26<5 *1 o,439 a6 0,068 «₄

28

39

35

3'

27

i43

955

286 19 t 2

335

298

261

23

94

188

23

2807

282

3¹²7

2736

223

2346

34

376

45

394

337

57

58

1000 X₄

1231

2443

3553

3877 I 3475 I 2987

Man ermittle immer eine ganze Horizontalreihe der vorstehenden Tafel, da der eine Faktor hierbei unverändert bleibt, was beim Arbeiten mit dem Rechenschieber oder auf der Rechenmaschi e von Vorteil ist. Die erste Zeile erhält man, wenn die «&-Werte der zweiten Zeile (lc—2) der Tafel q mit 0,048 multipliziert werden. Die zweite Zeile wird durch Multiplika ion der dritten Zeile (Je— 3) der Tafel 9 mit 0,348 gewom en usf. Nach Summation findet man die aufeinanderfolgend" n Einflußlinienordinaten für die Punkte 1 bis 6 in der Schlußzeile nebeneil at der stehen, ln Abb. 89 d ist die Einflußlinie für X₄ aufgetragen. Die Äste der Linie links von 2 und rechts von 5 wurden di rch geradlinige Verbindung der abgetragenen Punkte 2 und 5 mit den Auflagerpunkten o und 12 gefunden. Demgemäß war die Berechnung der ersten und letzten Kolonne in der Darstellung von X₄ überflüssig. Wie man sich leicht überzeugt, weicht der unter 1 stehende Ordinatenwert nur wenig vom Halb wert der folgenden Ordinate ab. Punkt 1 liegt daher nahezu auf der Verbindungsgeraden o—2. Ähnliches gilt für 6 und die folgenden Pu kte. Bei der praktischen Durchführung der Rechnung ist es daher nicht notwendig, alle o^-Wer e zu bestimmen. Es genügt die Ermittelung der durch die stark gezeichneten Stufeniinien eingerahmten Werte der Tafe 9.

In der Abb. 89 sind die auf dem vorbeschriebenen Wege ermittelten Einflußlinien für die Überzäh igen Xt bis X₆ zur Darstellung gebracht. Die Beiechnung des gegebenen Tragwerkes als Balkenträger ist somt, soweit die Ermiitelung der statisch unbest mmb ren Größen in Frage kommt, vollendet. Da die X- Werte pos tiv sind, so besteht die bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbeziehungen getroffene Annahme zu Recht (Abb. 83 S. 130). Der Obergurt wird gedrückt, der Untergurt gezogen.

10

Die in der Abb. 89 gestrichelt eingt tragenen Einflußlinien entsprechen jenen Einflußwtrten, die bei Vernachlässig! ng der Gurtlängskräfte gefunden werden. Der Unterschied ist für die Stäbe in Trägermitte am größten und nimmt gegen die Auflager hin ab. Von X₃ an ist der Unterschied schon so klein, daß er in dem gewählten Darstellungsmaßstabe nicht mehr deutlich zum Ausdruck Bleich, Viermomentensatz.

Lastzustand H=— it

V+^fc

m³t

(iV

m³t

m³t

mt

00*9 —

—    1358,8

—    1078,9

—    960,7

—    834,4

—    733,i

—    677,5

—    677,5

—    733,i

—    834,4

—    960,7

—    1078,9

—    1358,8

Tafel 9. Berechnung der ak-Werte.

ak — aft -1 + ßk

Last it in 6

ak

m³t

mt

Last it in 5

Last it in 4

Last it in 3

Last it in 2

Last it in 1

ßk

ak

ak

ak

Wk

ak

Mk

ak

Mk

m³t

mt

mt [ m³t

m³t

mt

m³t

mt

m³t

mt

m²

m*

-3,8

—    3,8

—    3,8

—    3,8

—    729,3 — 3,8

—    673,7 —3,8

—    673,7 — 3,8

—    729,3 — 3,8

—    3,8 -3,8 -3,8

—    1355,0 — 3,8

mit dem Rechenschieber (50 cm lang) berechnet, die letzte Stelle ist daher unsicher.

—    i355,o

—    io75,i

—    956,9

—    830,6

—    830,6

—    956,9

—    1075,1

7,53

8,78

9,75

—    io,44

—    10,86

—    11,00

—    10,86

—    10,44

9,75

- 8,78

—    7,53

—    6,00

²°3,4

489,6

2,500

5,ooo

237,2

2,917

642,0

717,5

768,7

846,9

846,9

768,7

717,5

642,0

7,5oo

10,000

12,500

15,000

12,500

10,000

7,5oo

5,ooo

571.1 749,o 837,0

896.7

835.²

705.7

640.6

597.7

5,833 8,750 11,667

14,583

12,500

10,417

8,333

6,250

271,1

652.6 856,0

956.5

857.5 668,3

564.7

512.8

3.333 6,667

10,000

r 3,333 11,667 10,000

8.333 6,667

305,0

734.2 962,8

877.1

643.3

501.2 423,6

3.750

7.500 11,250 10,000

8.750

7.500 6,250

339,7

815.9

820.9 585,0 429,0 334,i

4,167

8,333

7,5oo

6,667

5,833

5,000

372,7

579,o

410,8

292.3

214.4

4,583

4,167

3,75o

3,333

2,917

|489,6

²°3,4

2,500

S‘691

o‘80-b

oises

4,167

2,083

478.6 428,0 326,3

135.6

5,ooo

3,333

1,667

384,4

358,7

321,1

244,9

101,7

5,00°

3,75°

2,500

1,250

282.2

256.2

239.1

214.1 163,0

67,7

4,167

3,333

2,500

1,667

0,833

167,2

141.1

128.1

"9,7

106,8

8i,5

⁰ I 34,2 Die ak- Werte wurden

2,500

2,083

1,667

1,250

0,833

0,417

Oft = 3,75 •

Je

8i,37

63.55

49.78

39.79 33,43

30.55 3i,io 35,09 42,62

53,75

68,70

123,76

12

123,76

68,70

53,75

42,62

35,09

3i,io

30.55 33,43 39,79 49,78

63.55 8i,37

>) 4 =

10

12

kommt. Im übrigen sei auf die Bemerkungen über die Vernachlässigung des Einflusses der Normalkräfte am Schlüsse dieses Paragraphen verwiesen.

*s

X*

L 6,932

pS7i

%30i

51-

vs

Xs

fc

<6

«K-

¥567

!

‘■tf

•o'

-S.

-s.

c)

A)

e)

Maßstab der Ordinaten i cm = 21

Abb. 89.

Mit Hilfe der Gleichungen h) und hf) findet man die Gurtmomente bzw. deren Einflußlinien für den Balkenträger mit

Mkl = i (9ftfc Xk hk),

Mkr=Hmt-xk+1hj

und für die Anschlußmomente der Pfosten

M„’= Mj - m; = (X,+, - Xi, -f.

10*

Die Gurtlängskräfte sind

für den Obergurt 0k = Xk ^cos ock -f    (tg ak — tg/9fc)J -f- j D* sin oc& ,

für den Untergurt Uk = Xk [cos ßk —    (tg <xk — tg /?k)j -j- Ofc sin 4 .

jQ,ft ist die Balkenquerkraft im A-ten Felde. Der Obergurt ist gedrückt, der Untergurt gezogen.

Die Pfostenlängskraft Vk ist durch die Formel gegeben

Pk ist die Knotenlast im Punkte k. Das -J—Zeichen gilt, wenn die Last am Obergurt, das --Zeichen, wenn die Last am Untergurt angreift. Ergibt sich Vk positiv, so sind die Pfosten gedrückt, andernfalls gezogen.

Bei der Einführung der Werte für die Winkelfunktionen sin und tg ist auf das Vorzeichen der Winkel a und ß zu achten. Die Vorzeichen dieser Funktionen in den vorstehenden Formeln gelten für Tragwerke von der Form Abb. 82, also für rechts steigende Obergurte und für rechts fallende Untergurte. Hat einer der Gurte entgegengesetzte Steigung, so ist das Vorzeichen vor den betreffenden Funktionen sin und tg umzukehren.

Wir benutzen die ak-Werte der letzten Vertikalreihe der Tafel 6, um noch die Größe der Überzähligen für den Lastzustand H= 1 zu finden.

Nach Einführung der ak in die Formeln von Xt bis X₆ auf Seite 144

findet man

XSH = — 1,250 t, X,“ = — 1,882 t, X₃“ = -2,586 t,

^₄“ =-3,482 t,

Z₅“ = — 4,402 t,

X“ = — 4,926 t.

Die Werte wurden mit dem oberen Zeiger u versehen, um anzudeuten, daß es sich um die wagerechten Komponenten der Feldkräfte des Untergurtes handelt, nachdem sich die in Rechnung gesetzten Momente 9)? infolge H=— 1 auf die Obergurtknoten beziehen.

Die Berechnung des Horizontalschubes H erfordert die Kenntnis der Stabdrehwinkel einer Gurtung bei Belastung durch H=—1. Wir benutzen zu ihrer Bestimmung die G eichungen s) auf S. 139 und die zweite Winkelgleichung p) von S. 137. Die Ordinaten yk der Gleichungen si beziehen sich auf die Obergurtpunkte; für die Überzähligen X sind die oben gefundenen Werte einzuführen. Die Berechnung ist in Tafel 10 durchgeführt.

Die Gleichungen s) liefern die 2p-fachen Differenzen der Drehwinkel, die wir in Kolonne 10 ausgewiesen finden. In der nächsten Vertikalreibe sind sämtliche Drehwinkel durch 4 ausgedrückt. Die Summe dieser Glieder wird nun in die Winkelgleichung eingeführt und liefert, wie wir sehen werden, den Wert von und somit auch den Wert aller anderen Drehwinkel.

Die Winkelgleichung zur Berechnung von 4 lautet:

2 4l uk sin 4 — 2 cos ßh = ⁰ • := 1    fc = l

Die erste Summe ist Null, da Auk in symmetrisch zur Mitte gelegenen Stäben gleich groß und sin ßk in der linken Träeerhälfte positiv, in der rechten negativ ist. Setzt man uk cosßk = % und multipliziert mit 2p, da unsere Tabelle

Berechnung der Stabdrehwinkel + und Längenänderungen Auk für den Belastungszustand H—

Yk Vk-1 sk ²Vk (sk + sk+ l) + Vk +1 sk + l

afc +1 — sk+1 (²    + hk + ,)

ßk — sk Qlk - x + ² ‘lie)

2 0 A Ufr **)

13

i‘₉-

S‘8-

6‘oi — 8‘£i — 6*91 —

S‘₈i-S‘8i —

6*91 — 8‘£i — 6‘oi — £‘8-i‘9 —

2Q&k

ßk*) afc+1") Xkßk xk+1 afe+1 2Q(&k—+₊₁)

Yk

Vk

ZI

11

10

CT'

00

vO

vr>

—    90,5 -88,4 -78,8

—    59,9

—    38,4 -13,8 + 13,8 + 38,4 + 59,9 + 78,8 4-88,4

+ 90,5

²e$ 1 2,14-25^ 11,7 + 20#,

30.6    + 2

52,1 + 2

76.7    4-2^+ 104,3-f² e#i 128,9 + 20 + 150,4 + 2 0+ 169,3+ 2ß + 178,9 + 20+

l8l,0 + 20 +

~ 2,1

—    9,6

—    18,9

—    2I,5

—    24,6

—    27,6

—    24,6

2I>5

—    18,9

—    9,6

—    2,1

Z‘101 — 9‘6i 1 — l‘8Zi — 8‘^i — z'Zbi — S'oSi — z‘£Si — S'-bSi — 9‘^i — o‘6£i — £‘621 —

— 101,7

63,55    68,70    —119,6

49.78    53,75    —128,7

39.79    42,62    __ i₃₇₎8

8i,37

— 147,2

—150,5 —153,2

35,09    33,43    —154,5

42,62 39,79 __ i47j6 53,75    49,78    —139,0

68,70 63,55 — 129,3

—    81,37    —

35,09

3i,io

30,55

33,43

30,55

3i,io

233,i    — I,²5o

8,78    268,2    — 1,882

9,75    295,2    —2,586

IO,44    313,8    —3,462

10,86

325,0    —4,402

11,00    328,6    —4,926

10,86    325,0    —4,926

io,44    313,8    —4,402

9,75    295,2    — 3,462

8,78    268,2    — 2,586

233,i    —1,882

— 1,250

1086,0-}- 24p+

**k sec ßk = 0,75 Xk“ uk sec ßk .

•<s>

Y « ) * Afc h

12 Xk'‘ T” Uk sec ß* ⁼

Xliusecßk-uk

Tafel io.

—    6,00

5,23    7,53

5,i5 5,09 5,o5 5,02 5,oo 5,oo 5,02 5,05

5,09

5,i5    7,53

5,²3    6,oo

N    i^oo O

*) Aus Tafel 8 entnommen.

**) 2gAuk = 12 EJC

EFkv

die 2 p-fachen Drehwinkelwerte aufweist, so entsteht die einfache Beziehung

2 2ptfft = o . k = l

Diese Summe haben wir in Kolonne n gefunden. Es ist somit 1086,0 -j- 24 g j9’i =0

und 2 pi?₁ = — 90,5. Mit diesem Werte wurde sodann aus Kolonne 11 die Wertreihe 12 berechnet.

In der letzten Vertikalreihe 13 sind die 2p-fachen Werte der Verkürzungen der Untergurtstäbe zusammengestellt, weil es notwendig ist, den Einfluß der Normalkräfte bei der Ermittlung der Biegungslinie infolge H— —- 1 zu berücksichtigen. Ihre Berechnung zeigt die Fußnote zu Tafel 10. Es wurden hierbei die gleichen Vereinfachungen benutzt wie bei der Aufstellung des von

wurde wie dort

den Längskräften herrührenden Zusatzgliedes in Tafel 7;

20 angenommen.

Die Darstellung der Biegungslinie und der Verschiebungsgröße des Punktes B aus den oben berechneten ■&- und dw-Werten wird in § 12 S. 156ff. gezeigt werden. Dort soll auch das vorliegende Zahlenbeispiel fortgeführt werden.

Den Schluß dieses Absatzes mögen einige Bemerkungen über die Größe der Fehler, die durch Vernachlässigung der Gurtlängenänderungen bei Berechnung der Überzähligen im Vierendeelträger entstehen, bilden.

Man findet in der Literatur des Vierendeelträgers vielfach die Anmerkung, daß der Einfluß der Formänderungen durch die Normalkräfte auf die Größe der Überzähligen unerheblich ist und ohne weiteres vernachlässigt werden kann. Dies ist, in so allgemeiner Fassung wenigstens, keineswegs richtig. Die Verhältnisse liegen vielmehr folgendermaßen:

Der Einfluß der Gurtdehnungen auf die statisch unbestimmbaren Größen und auf die daraus abgeleiteten Momentenwerte hängt von zwei Umständen ab: 1. Vom Schlankheitsgrad (Iji) der Gurtstäbe und zwar derart, daß mit abnehmendem Schlankheitsgrad der Einfluß der Normalkräfte größer wird. 2. Vom Verhältnis (h/X), d. i. das Verhältnis von Fachhöhe zur Fachbreite, derart, daß bei gleichem Schlankheitsgrad mit zunehmender Fachhöhe der Einfluß der Normalkräfte kleiner wird. Bei breitgebauten Gurtstäben und niedrigen Feldern wird der Einfluß der Normalkräfte auf den Wert der Überzähligen größer sein, als bei schlanken Stäben und hohen Feldern. Den Einfluß der Feldhöhe (bei gleicher Feldweite) erkennen wir deutlich in unserem Beispiel (Abb. 89). In der Trägermitte, wo die Trägerhöhe gering ist, beträgt der Unterschied zwischen dem genauen und dem Näherungswert von X₆ etwa 5 v. H. Bei Xb ist er, wie die Abbildung lehrt, geringer und wird bei X₃ unmerklich. Eine zahlenmäßige Grenze für die Notwendigkeit, den Einfluß der Längskräfte berücksichtigen zu müssen, läßt sich nicht gut angeben, da zwei Umstände vorhanden sind, die die Größe des Einflusses bestimmen. Es ist aber leicht, sich in jedem Sonderfalle über die beiläufige Höhe dieses Einflusses Rechenschaft zu geben. Hat man die Beiwerte Bk (Tafel 7), d. s. die Beiwerte der mittleren Glieder der Bestimmungsgleichungen, berechnet, so genügt eine überschlägige Bestimmung des Zusatzgliedes J (Tafel 7), um zunächst zu sehen, ob es unberücksichtigt bleiben kann oder nicht. Ist der Unterschied zwischen Bk und (Bk -\-Ak)n v. H., so ist auch der Unterschied zwischen dem genauen und dem angenäherten Wert von Xk beiläufig n v. H. Danach kann man seine Entschließungen richten.

Es sei aber bemerkt, daß die Einbeziehung der Gurtlängskräfte in die Rechnung so geringe Mühe macht, daß es empfehlenswert ist, bei allen genaueren Berechnungen darauf Rücksicht zu nehmen. Die gesamte Mehrarbeit erstreckt sich auf die Berechnung der einen Wertreihe Ak in Tafel 7. Diese Arbeit kann, meist ohne Schaden, noch dadurch verringert werden, daß man den Wert von Ak für alle Stäbe gleich annimmt und nach dem Schlankheitsgrad des niedrigsten Feldes bemißt, wie dies oben für die Trägermitte geschehen ist. In diesem Falle ist nur eine einzige Zahl auszurechnen.

Bei der Festsetzung der zulässigen Fehlergrenze der Unbekannten X darf nicht übersehen werden, daß eine Abweichung vom genauen Werte von X in erhöhtem Maße in die daraus berechneten Gurt- und

Pfostenmomente übertragen wird. Für das Gurtmoment Mkl haben wir gefunden

*»' = 1 (W„-Xtht).

Mk erscheint hier als Differenz zweier Zahlen. Ein Fehler in Xk wird sich daher in Mkl in erhöhter Weise bemerkbar machen.

Für eine in Trägermitte (Punkt 6) stehende Einzellast P = p ist S0⁽?₆ = i5rnt. Das zugehörige X₆ beträgt, wie wir aus Abb. 89 entnehmen, 6,014 L \ ist 2 m> somit

M₆l = § (15.000 — 2 • 6,014) = 1,486 mt.

Ist X₆ um 5 v. H. größer, d. i. X₆'= 6,314, so wird

TV = §(15,000 — 2-6,314)= 1,186 mt.

Das mit dem angenäherten Werte von X₆ ermittelte Jf * ist somit um 20 v. H. zu klein.

Diese Unterschiede können bei statisch unbestimmt gelagerten Systemen noch größer werden, da dort weitere mit Fehlern behaftete Glieder hinzutreten.

§ 11. Die Berechnung der Nebenspannungen im Fachwerkträger.

Ihre Be-

Das Fachwerk mit steifen (vernieteten) Knotenpunkten stellt einen vielgliedrigen Steifrahmen vor, dessen innere Kräfte sich nach der Methode des Viermomentensatzes genau bestimmen lassen, rechnung bietet ein ausgezeichnetes Beispiel für die Anwendung der in § 7 eingeführten Hilfsgrößen F. Für den Gang der Untersuchung ist es hierbei gleichgültig, ob das Fachwerk überzählige Stäbe besitzt oder nicht.

Hat das Fachwerk n Knotenpunkte, so beträgt, wie man leicht nachprüfen kann, die Gesamtzahl der Überzähligen, falls der Träger eine Dreieckskette darstellt, 3 n — 6. Für jeden überzähligen Stab treten die beiden Anschlußmomente und die Stablängskraft als weitere Unbekannte hinzu. Bei der Ermittlung der Nebenspannungen eines f- fach statisch unbestimmten Fachwerkes sind somit, wenn man von den Stabdrehwinkeln absieht, 3 (n -j- /) — 6 Unbekannte zu berechnen. Gelingt es, die Stabdrehwinkel unseres Rahmensystems unabhängig von der Ermittlung der Nebenspannungen genau genug darzustellen, so sind diese Winkel für unsere Berechnung als bekannt zu betrachten, womit die Voraussetzung für die Anwendung des in § 7 erörterten Verfahrens mit den Hilfsgrößen F gegeben ist. Da der Freiheitsgrad e der Ersatzfigur Null ist, so erscheint die Benutzung der Hilfsgrößen besonders zweckmäßig, wodurch die Berechnung der 3 (?j -j- f) — 6 Unbekannten auf die Auflösung von n Gleichungen zwischen den Größen 1 zurückgeführt wird.

Wir haben bei der Untersuchung des Stabdreieckes mit steifen Ecken (Beispiel 4, S. 59 ff.) gefunden, daß die Stablängskräfte und Drehwinkel bei beliebiger Knotenbelastung nur wenig von jenen Werten abweichen, die man erhält, wenn man in den Eckpunkten Gelenke anordnet. Was für das einzelne Dreieck gilt, gilt auch für die Dreieckskette. Wir können daher an Stelle der aus den Winkelgleichungen zu berechnenden Drehwinkel jene Stabdrehwinkel in die Viermomentengleichungen einführen, die unter der Voraussetzung gelenkiger Knotenverbindungen für die gleiche Belastung ermittelt wurden. Es scheiden demnach die Drehwinkel und die überzähligen Stablängskräfte als Unbekannte aus, da sie auf Grund der gegebenen Belastung nach den Lehren der Fachwerkstheorie berechnet oder zeichnerisch bestimmt werden können. Die Aufgabe läuft somit auf die Bestimmung der Biegungsmomente, die durch einen gegebenen Verschiebungszustand der Fachwerksknoten in den Stäben entstehen, heraus.

In der Regel werden die Lasten nur in den Knotenpunkten angreifen, die rechten Seiten der Viermomentengleichungen sind daher Null. Sitzen aber Lasten zwischen den Knotenpunkten oder ist der

Einfluß des Eigengewichtes langer Stäbe mit zu berücksichtigen, oder sind endlich einzelne Stäbe in den Knotenpunkten exzentrisch angeschlossen, so ist der der Feldbelastung entsprechende Wert von N (rechte Seite der Viermomentengleichung) einzuführen. Im übrigen kann die Rechnung in der gleichen Weise durchgeführt werden wie bei bloßer Knotenbelastung. Bei einseitigen Stabanschlüssen ist das hierdurch entstehende Biegungsmoment aus der bekannten Stabkraft (nach der Fachwerkstheorie berechnet) und der bekannten Exzentrizität zu ermitteln und der hiermit berechnete Wert (nach Formel 14) auf der rechten Seite der betreffenden Viermomentengleichungen einzuführen.

Fassen wir das bisher Gesagte kurz zusammen: Die Ermittlung der Nebenspannungen eines /‘-fach statisch unbestimmten Fachwerkes mit n Knotenpunkten läßt sich auf die Aufstellung von 3 (n -\- f) — 6 Viermomentengleichungen mit ebenso vielen Unbekannten zurückführen. Die Ermittlung der Unbekannten erfolgt nach Einführung der Hilfsgrößen F aus n Gleichungen, die zunächst die sogenannten Flaupt-werte liefern, womit alle anderen Unbekannten durch die einfachen Beziehungen zwischen ihnen und den Hauptwerten festgelegt sind.

Wir beziffern die aufeinanderfolgenden Knotenpunkte von links nach rechts mit 1, 2,    n, wie das in Abb. 90 für einige heraus

gegriffene Punkte gezeigt ist. Die Stäbe bezeichnen wir mit dem Zeiger jener Knoten, die sie verbinden, so daß saß die Länge des Stabes bedeutet, der die Knotenpunkte a und ß verbindet. Die Anschlußmomente des Stabes suß heißen Mßa und Mj. Beide Zeiger weisen auf den Stab hin, auf den sich die Momente beziehen, der untere Zeiger gibt den Momentenpunkt selbst an. M.J bedeutet demnach das Moment im Anschlußpunkte (Knoten) a des Stabes saß,

Mßa das Moment im Anschlußpunkt (Knoten) ß des gleichen Stabes.

Mit Bezug auf Abb. 90 bezeichnen somit Mkk~²,    Mkk~^\ M]ck+²

die Biegungsmomente der Stäbe sk-₂,k, s*-1,*, «*,*4-1, s*f*+s im Anschlußpunkte k. Mit ist der Drehwinkel des Stabes sttß benannt. Die vorgeschlagene Bezeichnungsweise hat den Vorteil, daß sie einfach ist und auch bei jeder anderen von der Dreieckskette abweichenden Fachwerksform angewendet werden kann.

k-Z

k-1

\\

Abb. 90.

ktf

ktü

Für jeden Knoten werden nun die Viermomentengleichungen aufgestellt. Für den Knoten k lauten diese Gleichungen, wenn wir den Stab Sk—2, a der Reihe nach mit den anderen in k angeschlossenen Stäben zusammenfassen:

(mJ_₂ + 2^-²)4

-2, k

(Mkk-2 + 2 Mk~²) 4

— 2, k

(3^-2

2 Mkk ~²) 4

+ (² Mk    ~b-^A —l) 4

— Q 04-2, k — $A -1, a) = ⁰

“f~ (² Mk :    1) 4, k + 1

-Q (*4 — 2, k ßk, A + l)= ⁰

(²    -j-    4, k-\-2

-£>('*4-2,* - &k,k^-2)—0 ,

— 1 ,k

• a)

In diesen Gleichungen bedeutet

S a/?-Saß

und

0 = 6 EJC,

Jccß

wenn Jc ein beliebig gewähltes Trägheitsmoment ist. Wir setzen nun allgemein

• b)

(Mj + 2 Mßa) Saß = rß“ 1 (Mßa + 2 Mj) Saß = IJ J *

Der obere Zeiger der neuen Unbekannten r stimmt jeweilig mit dem oberen Zeiger jenes Momentes überein, das mit dem Beiwert 2 versehen ist.

Aus b) leitet man die Transformationsformeln c) ab, nämlich:

>

Die Viermomentengleichungen a) nehmen dann die Form

c)

MJ

an

rkk-²+rj-'-Qj>k

-2, A —

<4-i, a) = ⁰

Fk 2 +    "¹ — Q 04 — 2, k ßk, k-\-l) = O ‘

pk-2 Jr rj+² — Q(^k

• • d)

-2, A— *4, A + 2) = O ,

Die Drehwinkeldifferenzen der Gleichungen d) sind uns der Größe nach bekannt. Wir schreiben daher kürzer für

usw.

Q 04-2, A — *4 — 1, a) = *-C>A-2

und drücken sämtliche Hilfsgrößen des Knotens A; durch 'den Hauptwert rk 2 aus. Somit finden wir

Gleichungen der Form e) können für jeden Knotenpunkt angeschrieben werden, wobei für die Größen D die Zahlenwerte einzuführen sind. Nun setzen wir für jeden Knoten die Gleichgewichtsbedingung

2M= o

an, wie dies § 7 lehrt, drücken die Momente mit Hilfe der Formeln c) durch die Hilfsgrößen F aus, eliminieren sodann sämtliche Hilfsgrößen bis auf die n Hauptwerte vermittels der Beziehungen e), wodurch die n Bestimmungsgleichungen der Hauptwerte der Hilfsgrößen F gefunden sind. Ihre Auflösung liefert diese Hauptwerte und somit auch die Beträge der übrigen Hilfsgrößen und Momente.

Bei Fachwerken nach Art der Abb. 90 (Dreiecksketten) sind die Gleichungen fünfgliedrig. Tritt in einem Knoten ein weiterer Stab hinzu, so vermehrt sich die Zahl der Gleichungsglieder für diesen Knoten um Eins.

Diejenigen Leser, die sich bereits mit dem Problem der Nebenspannungen beschäftigt haben, werden erkannt haben, daß der hier vorgeführte Berechnungsgang mit der von Engesser vorgeschlagenen Methode zur Berechnung der Nebenspannungen übereinstimmt und daß die Hauptwerte der Hilfsgrößen F mit den von Mohr in seiner damit verwandten Berechnungsmethode der Nebenspannungen benutzten Knotendrehwinkeln <p in sehr einfachem Zusammenhänge stehen.

Es ist nämlich

Wir sind nach Ansetzen der Viermomentengleichungen und nach Einführung der Hilfsgrößen r gewissermaßen zwangläufig zu jener Lösung gelangt, die in der Literatur der Nebenspannungen als die einfachste Methode erkannt wurde. Bei allen andern bisher bekannt gewordenen Verfahren ist die Zahl der zu lösenden Gleichungen größer.

IV. Die Ermittlung der Formänderungen von Stabzügen und die Darstellung der Biegelinien nach der Methode des Vier-momentensatzes.

§12.

Die Viermomentengleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen den inneren und äußeren Kräften einerseits und den Formänderungen anderseits, sie können daher unmittelbar zur Berechnung der Verschiebungen gewisser Punkte des Tragwerkes dienen. Für die Beurteilung der Formänderungen der aus steifen Stäben zusammengesetzten Tragsysteme kommt weniger das Verformungsbild des einzelnen Stabes, als vielmehr die Gestaltung der Verzerrungsfigur des ganzen Tragwerkes in Frage. Diese ist aber in erster Linie durch die Verschiebungen der ausgezeichneten Punkte und der Gelenkpunkte des Systems bedingt. Wo es notwendig erscheint, kann die Zahl der ausgezeichneten Punkte für die Berechnung der Formänderungen beliebig vermehrt werden, da jeder Punkt eines steifen Stabes als ausgezeichneter Punkt angesehen werden kann und eine weitere Elastizitätsbedingung liefert. Sind die Verschiebungen dieser Punkte einmal bekannt, so lassen sich, wenn dies unter Umständen notwendig ist, Verschiebungen von weiteren Zwischenpunkten mit Hilfe der Differentialgleichung der elastischen Linie leicht berechnen. Meist genügt aber die Kenntnis der Bewegung der ausgezeichneten Punkte und der Lage der mit den Momentennullpunkten übereinstimmenden Inflexionspunkte, um ein für die Zwecke der Praxis ausreichendes Ver-formungsbild herzustellen. Wir wollen daher die Aufgabe, die Formänderungen eines statisch bestimmten oder statisch unbestimmten Systems zu ermitteln, als erledigt betrachten, wenn es gelungen ist, die Verschiebungen der ausgezeichneten Punkte und Gelenkpunkte des Systems, unter Berücksichtigung der durch die Lagerung gegebenen Bedingungen, darzustellen.

In einzelnen Beispielen der §§ 8 und 9 wurde bereits gezeigt, wie in einfachen Fällen aus den Drehwinkeln deren Werte sich als Zwischenergebnisse der Berechnung vorfanden, die Verschiebungen bestimmt werden. Da es sich bei vielfeldrigen Rahmensystemen meist um die Darstellung der Verschiebungen der ausgezeichneten Punkte eines aus dem System herausgegriffenen zusammenhängenden Stabzuges handelt, so bleibt noch übrig, ein einfaches Verfahren anzugeben, wie aus den aus Momenten- und Winkelgleichungen gewonnenen Stabdrehwinkeln die Verschiebungen aller besonderen Punkte eines solchen Stabzuges bestimmt werden können. Vorher ist es aber notwendig, die Frage der Ermittlung der Drehwinkel für einen zusammenhängenden Stabzug kurz zu erörtern.

k-7

-r

ft-7

o.

m!

Wm

¹

Da die Beiwerte von «₈ und «₉ in Xö und Z₀ verhältnismäßig- groß sind, wurde bei diesen beiden Unbekannten ausnahmsweise noch ein weiteres Glied b< rücksichtigt.

²) Hier erscheinen noch die Glieder h₀h₀' und h₁₂h₁₂ = 36 hinzugefügt. Siehe die Bemerkung zu Gleichung 1) auf S. 132.

Abb. 91.

Wir betrachten zu diesem Zwecke einen aus irgendwelchem Tragwerk entnommenen Stabzug von n Stäben (Abb. 91), der in o gelenkig oder durch Einspannung festgehalten ist und in n entweder auf gegebener Bahn beweglich gelagert, oder ebenfalls gelenkig bzw. durch Einspannung festgehalten ist. Ebenso können auch andere Punkte des Stabzuges beliebig gestützt oder sonstwie mit den übrigen Teilen des Tragwerkes Zusammenhängen. Diese Lagerungen und Verbindungen kommen in der Größe der inneren und äußeren Kräfte zum Ausdruck, die wir uns sämtlich als gegeben vorstellen, insbesondere die Momente in bzw. unendlich nahe rechts und links von den ausgezeichneten Punkten des Stabzuges. Wir setzen nur voraus, daß der Stabbogen keine freischwebenden Gelenke aufweise.

Bei n Stäben sind n Drehwinkel zu bestimmen. Zu ihrer Ermittlung stehen nur n — I Momentengleichungen für die zwischen den Endauflagern liegenden n — I ausgezeichneten Punkte zur Verfügung. Durch diese Momentengleichungen ist die Lage der Stäbe zueinander festgelegt. Ein Winkel bleibt noch willkürlich, der so zu bestimmen ist, daß die Punkte o und n des Stabbogens in die festgehaltene Linie o — n fallen. Der Zusammenhang zwischen der Geraden o — n und dem Stabzug kann nun durch eine Winkelgleichung, die den ganzen Stabzug umfaßt, beschrieben werden.

Die Viermomentengleichungen weisen, wenn wir nur gerade Stäbe ins Auge fassen wollen, die Form auf

K'- 1 V + 2 Mk> V + 2 Ukr V₊ , + Mk‘₊ , «,'+ , - 6 £ J, (0, - &k + ,)

Daraus folgt

= »»•

6EJ

Nk ist das von der Feldbelastung abhängige Glied, es wird Null, wenn die Lasten nur in den Knotenpunkten angreifen. Da sämtliche Größen der rechten Seiten der Gleichungen 21) als bekannt vorausgesetzt werden, so lassen sich die Differenzen je zweier aufeinanderfolgender Drehwinkel in einer Tafel berechnen.

Die Winkelgleichung lautet

2 ^ Sfc Sin «fe — 2    COS «fc = ⁰ •

= 1    fc = l

Wird der Einfluß der Normalkräfte vernachlässigt, so fallen die ersten Summenausdrücke in den Winkelgleichungen fort. Aber selbst dort, wo dies nicht der Fall ist, kann der erste Teil der Winkelgleichung vernachlässigt werden, da er entweder genau Null oder nur wenig davon verschieden ist. Man kann nämlich die Summen immer in zwei im Werte gleiche oder wenig voneinander abweichende Teilsummen zerlegen, die wegen der Winkelfunktion sin cck mit verschiedenen Vorzeichen behaftet sind.

Den Bestimmungsgleichungen für die Drehwinkel # können wir daher nach dem Vorhergesagten die Gestalt

21')

— K + x=zk

und

22)

24A = o

fc=i

geben, wobei zk die bei der Ausrechnung der rechten Seite der Gleichung 21) gefundene Zahl ist und Xk die Projektion von sk auf die Gerade o — n darstellt.

Drückt man sämtliche Drehwinkel mittels 2i') durch aus, so entstehen Gleichungen von der Form

k’

worin, wie man sich leicht überzeugt,

k — 1

Nach Einführung dieser Beziehungen in Gleichung 22) erhält man

= 0,

mithin

«424-244

1 1=1

23)

fc=i

wenn

1/ die Entfernung der Punkte o und n bedeutet.

Mit -&₁ sind auch alle übrigen Drehwinkel gegeben.

Auf einen bemerkenswerten Zusammenhang der Gleichung 21) mit der Formel für die elastischen Gewichte eines Stabbogens sei hier verwiesen.

Setzt man für alle Punkte Mkl = Mkr — Mk, was beim einfachen Stabzug der Fall ist, und nimmt man nur Knotenbelastung, also Nk — 0 an, so stimmt die rechte Seite von Gleichung 21) mit der von Müller-Breslau angegebenen Gleichung der elastischen Gewichte eines Stabbogens genau überein¹). Das elastische Gewicht ist demnach gleich der Differenz zweier aufeinanderfolgender Stabdrehwinkel. Dieser Zusammenhang geht natürlich auch aus der Ableitung der Formeln für die elastischen Gewichte hervor. Man kann sich den Zusammenhang auch klarmachen, wenn man das Krafteck, das zur Darstellung der Biegungslinie dient, betrachtet. Der Winkel, den zwei aufeinanderfolgende Polstrahlen miteinander einschließen, stimmt mit der j'-fachen Differenz der Drehwinkel zweier benachbarter Stäbe überein, wenn v den Verzerrungsmaßstab der Zeichnung bedeutet. Der Einführung der Winkelgleichung in die Rechnung entspricht die Durchführung eines Polwechsels bei der Darstellung der Biegungslinie, um den Auflagerbedingungen zu genügen²). Der Einfluß der Normalkräfte erscheint in unseren Gleichungen, im Gegensätze zu dem von Müller-Breslau angegebenen vollständigen Ausdruck für die elastischen Gewichte, nicht berücksichtigt. Dieser Gegensatz ist nur scheinbar, die Wirkung der Normalkräfte wird, wie wir w. u. sehen werden, bei der Darstellung des Verschiebungsplanes nachträglich in Rücksicht gezogen werden.

Wir wollen noch den Fall eines frei schwebenden Zwischengelenkes im Stabbogen der Erörterung unterziehen. Abb. 92 stellt

r) Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. Dritte Auflage, Leipzig 1904, S. 174.

²) Im allgemeinsten Falle (verschiedene Momente rechts und links vom Knoten) würde die Gleichung für die elastischen Gewichte mit den Bezeichungen von Müller-Breslau lauten:

Kn - 1

J,n'+

s(* K + K-t-i)}

1 J

einen solchen Stabzug vor. Die Enden sind entweder, wie in der Zeichnung angenommen, gelenkig gelagert oder weisen eine andere Art der Lagerung auf.

Momentengleichungen aufgestellt werden.

Winkelgleichungen zu Hilfe genommen werden, um die n unbekannten

Stabdrehwinkel zu bestimmen. Da die Drehwinkel links vom Gelenk g und die Drehwinkel rechts vom g in den Momentengleichungen Th nicht Zusammenhängen, so kann man sämtliche Drehwinkel der linken Seite durch , die der rechten Seite durch $ ausdrücken. Führt man die so gewonnenen Werte der Stabdrehwinkel in die beiden Winkelgleichungen ein, so gelangt man zu zwei Gleichungen für dx und &n, welche Größen daraus berechnet werden können. Mithin sind auch alle anderen Stabdrehwinkel eindeutig festgelegt.

Wir gehen nun dazu über, die Verschiebungen aus den Stabdrehwinkeln und Stabdehnungen darzustellen.

Für den Stabzug o, I, 2, ... n in Abb. 93 a seien nach Ermittelung aller inneren und äußeren Kraftgrößen die Stabdrehwinkel &x, $₂, • • • sowie die Stabdehnungen Ax, zl₂, ... An bestimmt worden. Für die weitere Untersuchung werden wir daher $ und A eines jeden Stabes als gegebene Größen betrachten.

In Abb. 93 b sind die ersten zwei Stäbe in ihren Lagen und Längen vor und nach der Verzerrung vergrößert herausgezeichnet. Punkt o sei festgehalten. Infolge der Stabdehnung Ax gelangt der Punkt I nach 1' und nach der Stabdrehung um den Winkel -&1 nach 1", derart, daß die Verschiebung 1'—1" senkrecht zur Stabrichtung, die wir mit <5., bezeichnen wollen, der Bedingung dx = lx genügt. Faßt man Ax und dx als Vektoren auf, so ist die Gesamtverschiebung 1 — 1" durch die Vektorsumme

Bei n Stäben können nur mehr n — 2

Es müssen daher beide

Abb. 92.

TZ.— 7

Tb

gegeben.

Nun denken wir uns den Stab 1₂ bei unveränderter Länge parallel

zu seiner ursprünglichen Lage verschoben, so daß Punkt 2 nach 2 gelangt und hierbei den Weg aa zurücklegt. Wegen der Stabdehnung A₀ gelangt 2 nach 2' und infolge der Drehung endlich 2’ nach 2", wobei die Verschiebung d₂ = l₂&₂ beträgt. Die Gesamtverschiebung des Punktes 2 ist wieder die Vektorsumme der drei Verschiebungs-

vektoren ax, A₂ und <5

2>

so daß

°2 - ai + ^2 H“ ^2 •

Durch ähnliche Überlegungen finden wir

fl3 = fl2 + ^3    4

und allgemein

afc—“fc-i + ^fc + V

Man kann daher einen Verschiebungsplan folgender Art zeichnen (Abb. 93 c): Von einem Punkte 0 (Pol) ausgehend, trägt man in einem

a.J

'78

r\

7'

^A]2'

/"

.72'

72-7'

c)

vaÄ nJy; \ ^rL^/t TL

A.n-7^1

-*n

n-1' Mfdk

7t

7c.

Abb. 93.

beliebig gewählten Maßstab zunächst zi₁ seiner Richtung und Größe nach auf (0 — 1' in Abb. 93 c), fügt an dem Endpunkt 1' die Strecke <5X ihrer Richtung und Größe nach an. 0 — 1" ist mithin die Verschiebung ax des Punktes 1 unseres Tragwerkes. Nun setzt man an 1", A₂ an, an dessen Endpunkt 2! die Verschiebung <5₂ und gelangt so nach 2". 0—2" stellt die Verschiebung a₂ des Punktes 2 vor. Ebenso werden die Punkte 3", 4" usw. bestimmt. Ihre Lage zum Pol 0 gibt im Maßstabe der Zeichnung die Verschiebung des betreffenden Punktes nach Richtung und Größe an.

Da bei der Berechnung der $-Werte die Auflagerbedingungen bereits berücksichtigt wurden, so ergibt der Verschiebungsplan die tatsächlichen Verschiebungen der Punkte 1, 2, ... n.

Bleich, Viermomentensatz.

Mit der Aufzeichnung eines Verschiebungsplanes in der Art der Abb. 93 c ist die Aufgabe, die Verrückungen bestimmter Punkte des Tragwerkes zu finden, gelöst. Hierbei ist es gleichgültig, ob der betrachtete Stabzug Gelenke besitzt oder nicht, da ihre Wirkung, ebenso wie die der Lagerung oder sonstiger Verbindungen, schon bei der Berechnung der Drehwinkel zum Ausdruck kommt. Der Einfluß der Stablängskräfte wird durch Einträgen der Verschiebungsvektoren A in den Verschiebungsplan berücksichtigt.

Aus den Verrückungen lassen sich leicht Biegungslinien für bestimmte Richtungen darstellen, indem man die in dieser Richtung genommenen Verschiebungskomponenten in bekannter Weise von einer Geraden abträgt. (Siehe die Komponenten und rjk in Abb. 93 c).

Wir haben bisher die einzelnen Stababschnitte als Gerade be-

Es macht nun gar keine Schwierigkeiten, den gleichen

trachtet.

Rechnungsgang auch auf schwach gekrümmte Stäbe zu übertragen. In z (Gl. 21') tritt dann noch ein von der Sehnenkraft H abhängiges Glied hinzu. Außerdem ist bei der Berechnung der Größen A noch der Einfluß der Stabbiegung auf die Stabdehnung nach Formel 17) zu bestimmen.

Das dargestellte Verfahren wird nachstehend an einem Beispiele erprobt werden.

Beispiel (Fortsetzung des Zahlenbeispiels aus § 11).

Nachdem bereits in § 11 die 2 g-fachen Beträge der Gurtdrehwinkel und der Stabdehnungen Ak berechnet wurden, bleibt nur noch die Darstellung des Verschiebungsplanes übrig, um die Einflußlinie des Horizontalschubes H auftragen zu können.

Sämtliche für die Herstellung des Verschiebungsplanes notwendigen Werte sind in Tafel 11 übersichtlich zusammengestellt. Da sich der Horizontalschub H als Quotient zweier, aus dem gleichen Plane zu entnehmenden Verschiebungen darstellt, so fällt der Faktor 2g, mit dem die Grundwerte ■& und A multipliziert erscheinen, am Schlüsse fort, weshalb die Darstellung des Planes mit den in der Tabelle angegebenen 2q-fachen Verschiebungswerten durchgeführt wurde.

Tafel 11. Zusammenstellung der zg'&y und 2gAuk-Werte zum Verschiebungsplan Abb. 94.

12

10

90,5

-88,4

-78,8

-59,9

5,42

5,30

5T5

2Q&kSk

2Q Auk

-479

— 418

— 308

-8

— 11

- 14

-38,4 5,⁰⁶

-    i94

-    17

-13,8

5,oi

-69

- 19

+ 13,8 5P1 + 69 - 19

+38,4

+59,9

+78,8 +88,4

+90,5

5+6

5T5

5,3°

5,4²

5,7i

+ 194 + 3°8 -17 - 14

+ 418

+ 479

+ 5i7

— 11

-8

-6

In Abb. 94 a ist der Verschiebungsplan gezeichnet. Der Pol o entspricht dem linken festgehaltenen Kämpferpunkt A. Da die Berechnung der Dreh-

winkel die #-Werte für die linke Trägerhälfte mit negativem, für die rechte Hälfte mit positivem Vorzeichen liefert, so bedeutet das, daß durch die Stabverdrehung die Winkel ß in der rechten Hälfte vergrößert, in der linken

Ma/ssfab der2g> -Jachen Verschiebungen 200 Einheiten=t cm    ss

₆Jue

Th.

IC.

U‘

106

'^70S70j

--u₇

co)

IC,

7(2,

u.

ic.

“dU70

'^7rS77,

<2,.

77r.

jAic₁

'XUf,

’t

-^72 S72i

Ha⁻

<24.

²m

<2,.

<N>

ST

C$st

X_ lg/

Ur

²?dß

| %\ §

^

ft

7.023

»)

Majsstab der Ordinaten-■tcm=0,¥t

Abb. 94.

Wir tragen dement

verkleinert, die Knotenpunkte also gehoben werden, sprechend die Verschiebungen    nach aufwärts auf. Die Richtung dieser

Verschiebungen ist durch die Normalen zu den im Plane von einem beliebigen

Punkte P aus abgetragenen Stabrichtungen gegeben¹). Da der Untergurt bei H——i Druck erfährt, so sind die Verschiebungen Auk von rechts nach links abzutragen²). Die Vektoren oi, 02 usw. geben sodann die 2p-fachen Beträge der tatsächlichen Verschiebungen der Knotenpunkte 1, 2 usw. an.

Bestimmt man im Plane die Abstände der Punkte 1, 2, 3, ... von der cc-Achse, so erhält man die 2p-fachen Werte der lotrechten Verschiebungskomponenten dieser Punkte. Dividiert man die Beträge dieser Ordinaten mit dem Betrag der wagerechten Verschiebung 2göß des Punktes B, so gewinnt man die Ordinaten der if-Linie, die in der Abb. 94b zur Darstellung gebracht ist. Unsere Darstellung bietet somit den Vorteil, Zähler und Nenner der Gleichung für die Überzählige H aus einem Verschiebungsplan entnehmen zu können.

Bei Vernachlässigung der Stabdehnungen Au hätte sich, wie man sich aus dem Verschiebungsplan leicht überzeugt, H um rd. 10 v. H. zu groß ergeben.

J) Es ist viel zweckmäßiger, die Stabrichtungen in der Weise der Abb. 94 darzustellen, als den ganzen zusammenhängenden Stabzug, wie dies vielfach üblich ist, aufzutragen. Wählt man in letzterem Falle den Längenmaßstab zu klein, so sind die-Stabrichtungen nicht genau genug festgelegt, wählt man ihn größer, so macht das Ziehen der Parallelen Schwierigkeiten. •

²) In der Abb. 94a ist in der Beschriftung der Verschiebungen fts und Au der Faktor 2q weggelassen worden, um die Übersichtlichkeit der Zeichnung zu fördern.

V. Tragwerke aus geraden oder schwach gekrümmten Stäben mit innerhalb der Stabfelder stetig veränderlichem Trägheitsmoment.

§ 13. Die Viermomentengleichungen.

In § 4 haben wir die Integration der Kontinuitätsbedingung für den Fall von Stäben mit unveränderlichem Querschnitt durchgeführt. Wenn auch die Aufgabe, Systeme zu berechnen, deren Stäbe stetige oder unstetige Querschnittsänderungen aufweisen, zurückgeführt werden kann auf die Berechnung von Tragwerken mit Stäben konstanten Querschnitts, und zwar in der Weise, daß man sich die Stäbe in Teilfelder zerlegt denkt, innerhalb welcher der Querschnitt als unveränderlich angenommen werden kann, womit nur die Zahl der ausgezeichneten Punkte und somit die Zahl der Viermomentengleichungen erhöht wird, so ist doch nicht zu übersehen, daß durch diese Vermehrung der Elastizitätsbedingungen die Berechnung u. U. bedeutend erschwert wird. Da anderseits gerade der moderne Eisen- und Eisenbetonbau der Baustoffersparnis wegen oder aus Schönheitsrücksichten vielfach Stäbe mit veränderlichem Querschnitt benutzt, der Einfluß dieser Veränderlichkeit auf die Größe der Überzähligen aber nicht ohne weiteres vernachlässigt werden darf, so erscheint es notwendig, die Methode des Viermomentensatzes auch auf derartige Tragwerke auszudehnen, d. h. die Integration der Kontinuitätsbedingung für den Fall auszuführen, daß die Trägheitsmomente J der im ausgezeichneten Punkte zusammenhängenden Elemente stetig veränderlich sind.

Es ist nun klar, daß diese Integration nur dann durchführbar ist, wenn das Gesetz, nach welchem sich das Trägheitsmoment ändert, für jeden Stab von vorneherein festgelegt ist. Nun wäre eine allzuweit gehende, jedem möglichen Sonderfall angepaßte Verfolgung der tatsächlichen Querschnittsverhältnisse in der Baupraxis ohne besonderen Vorteil; wichtig ist nur, daß der Kleinst- und Größtwert des Trägheits-

Jo

Jo

Jo

Jo

momentes innerhalb eines Stabfeldes berücksichtigt erscheinen. Wir machen daher für unsere Untersuchung folgende Voraussetzungen:

1.    Das Gesetz, nach welchem sich die Trägheitsmomente ändern, sei gleichgültig, maßgebend bleibe nur das Verhältnis des kleinsten zum größten Trägheitsmoment.

2.    Die die tatsächliche Änderung der reziproken Werte der Trägheitsmomente beschreibende Funktion der Abzisse x (f-Linie) werde bei unsymmetrischen Stäben durch das Geradeliniengesetz, bei symmetrischen Stäben durch das Parabelgesetz vertreten.

Es werden demnach zwei Fälle der Betrachtung unterzogen werden:

a)    Stäbe mit unsymmetrischem Verlauf der J-Linie;

b)    Stäbe mit symmetrischem Verlauf der J- Linie.

In Abb. 95 a und b sind die beiden idealisierten Fälle dargestellt, wobei die Linie der reziproken Trägheitsmomente als f-Linie bezeichnet wurde.

r^Linie

'T-L/nie

1/2

a)

«4

Jm.

’i-Linie

*)

Jo

Jm

JL

Jo

Abb. 95.

J/2

Jo

a) Unsymmetrische Stäbe.

Für das Trägheitsmoment eines Zwischenquerschnittes gelte die einschränkende Bestimmung, daß er der Größe nach zwischen den

Trägheitsmomenten der Endquerschnitte liege; mit anderen Worten: die Linie der tatsächlichen Trägheitsmomente darf keine Maximumoder Minimumstellen aufweisen.

Bezeichnet man mit JQ und J' die tatsächlichen Trägheitsmomente des linken bzw. rechten Endquerschnittes, so ist, wenn die - -Werte

tT

nach einer geraden Linie verlaufen sollen, nach Abb. 96

Jm,

-x

t/2

1/2

Abb. 96.

somit

•4

2 Jp Jo

Jo+Jö’

24)

wobei Jm nicht das tatsächliche, sondern ein ideales Trägheitsmoment in Stabmitte bedeutet. Ferner ist nach Abb. 96

*An

oder

wobei

■    24')

bedeutet, a kann positiv oder negativ sein, je nachdem Jm JQ ist. Hierbei nimmt a alle Werte von -\- 1 bis —I an. a = o entspricht J₀ = J₀', d. i. der Stab mit unveränderlichem Querschnitt.

führen wir in die Differentialgleichung der

Biegungslinie des Stabes ein, indem wir beiderseits des Gleichheitszeichens mit Jm multiplieren und erhalten mit Jm = Jrmcos³<p:

FT' d*Ay

Das Verhältnis

'Ara

J.

?Mx,

demnach

EJL

d² A y

= — I I - j- a I — 2

ip.

oder

EJi,

d² A y

dx²

wenn man setzt.

Der Lösung dieser linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung kann die Form gegeben werden:

A V = A Vo + a A V’

worin Ay₀ und Ay die Teillösungen sind, falls die rechte Seite nur aus M oder Mj besteht. Demgemäß ist auch

d A y ^d A y₀ | ^ dAy dx dx ' dx

und die Kontipuitätsbedingung 1) lautet mithin

cosvT~-cosvf

dx    J]c L dx    —^x?*

dAy' a-

COS² 7

dx

cos ² 7

fc + 1

= o.

Ä+l

Der erste Teil dieser Gleichung in Verbindung mit dem Gliede stimmt mit der Kontinuitätsbedingung für Stäbe mit unveränderlichem Querschnitt überein, da Ay₀ zum Momente Mx gehört. Die Ausrechnung dieser zwei Glieder, nach Einführung des vollständigen Ausdruckes für Mx, ergibt somit die Viermomentengleichung 7) in § 4, nur ist an Stelle des unveränderlichen Trägheitsmomentes J, in Übereinstimmung mit der hier zugrunde gelegten Differentialgleichung, das durch Gleichung 24) definierte ideale Trägheitsmoment der Stabmitte Jm zu setzen. Die beiden letzten Glieder stellen einen Zusatz zu der Viermomentengleichung für Stäbe unveränderlichen Querschnittes vor, den wir nun bestimmen wollen.

Da die Differentialgleichung für A y den gleichen Bau zeigt wie die Ausgangsgleichung in § 4, so können sämtliche dort gewonnenen allgemeinen Ergebnisse der Integration für die Berechnung des Zusatzgliedes verwertet werden; nur ist an Stelle Mx, Mj zu setzen und J statt J einzuführen.

m

Insbesondere finden wir nach den Gleichungen 5)

ic + i

23'

[dAy' dx _ x = 1

~dA£

_ dx Ja; —0 EJmCOS* cp’

EJm cos³ cp ’

wo 21' und 58' die linken und rechten Auflagerdrücke der durch das Gesetz von Mj gegebenen Momentenfläche bedeuten.

Bezeichnen wir den ersten Teil der Kontinuitätsbedingung, den wir uns durch die mit — &EJC dividierte Viermomentengleichung 7) er-

setzt denken, kurz mit —

und nehmen darauf Bedacht, daß

die Verschiebungen der Endpunkte, die durch die Drehwinkel # in unseren Gleichungen zum Ausdruck kommen, bereits in V berücksichtigt erscheinen, so können wir unter Benutzung der oben angegebenen Aus-

a) Wir haben bei der Integration der Kontinuitätsbedingung in § 4 die multipliziert, was bei Einführung des Integrationsergebnisses in unsere Kontinuitätsbedingung wieder rückgängig gemacht werden muß.

Gleichungen mit

GE Jc

drücke für die Grenzwerte der Differentialquotienten die Kontinuitätsbedingung in die Form

ak

• ²5)

ST,.'

— ak+x

EJ fc+i

m

6EJe

bringen, wobei wie in § 4 cos² y : cos³ <p = 1 gesetzt wurde. Da

EJm

t)Mx

ist, so folgt nach Einführung des vollständigen Ausdruckes für Mx (Gleichung 3) in § 4

■t)t+4

Wir ermitteln nun der Reihe nach für die einzelnen Glieder die Auflagerdrucke ar und f/, und zwar

a) mx =

i--

a' = 4-

i--- -ajcZ# = o.

b)

o;

a' = —

(Z — x)dx = o,

b'⁼jS(I-²T>

~-xüx—--r- Z.

c)

Wir nennen

die reduzierte Achsenlinie, und bezeichnen die statischen Momente der zwischen der Linie y' und der Stabsehne gelegenen Fläche bezogen auf den rechten bzw. linken Endpunkt mit und ©'r, dann ist

a'

und

@'r

d) mx —

Da das Gesetz von 90?^ zunächst unbekannt ist, so benutzen wir für die Auflagerdrucke die allgemeinen Bezeichnungen

21'p

und

S3'p.

Die voranstehenden Werte der Auflagerdrucke ergeben

21 '

fe + 1

-'ifc+i ©ifc + l

fai+i-

fc + 1.

Der untere Zeiger der Flächenmomente ©' stimmt mit dem Stabzeiger überein, der obere Zeiger gibt den Bezugspunkt für das Moment an. Mit den Werten von 23?/ und 2lfc'₊₁ geht die Gleichung 25), nachdem alle Glieder noch mit —6EJC multipliziert wurden, über in

V + ⁶a*jj+

u m    L

fe +1

f «M-iJ

oder

v-«fe w+:^₊i^v₊i

+ 6afe + i ^fc + l ©* + 1¹T2il1

lk +1

Nach Einfügen des vollständigen Ausdruckes für V gemäß Gleichung 7) erhält der Viermomentensatz für unsymmetrische Stäbe schließlich die Gestalt

Kr-1 V + (2 - «J    V + (2 + ak +J ¥/ Z/+ x + Jfj

7 2 ‘fe

z,'

+ 6afe + i 2f^+i

sr'lssS"'

7'

fe +1 ‘•fe +1

+    + « S'*-¹]» + 62f,

Lk

-6EJc(#k-»k+1) = N', . . . .

z/

&+1

fe+i 7 2

tfe +1

[&+¹4- Ci&k + ¹]

fe + i

26)

"k +1

hierbei ist das Belastungsglied

= 6aXr!f -6a.₊₁

• • 27)

4 + 1    '

unter N das Lastglied der Viermomentengleichung 7) verstanden.

Die Viermomentengleichung 26) hat im wesentlichen den gleichen Bau wie die Gleichung 7), sie unterscheidet sich von dieser nur durch die geänderten Beiwerte einzelner Glieder. Sind diese Koeffizienten einmal festgelegt, so ist die weitere Rechnung in der gleichen Weise durchzuführen, wie bei den Systemen mit Elementen von unveränderlichem Querschnitt. Wichtig ist hierbei die Tatsache, daß der von den Drehwinkeln abhängige Teil der Gleichung 26) im Vergleich zu Formel 7) unverändert geblieben ist.

Es bleibt noch übrig, das Belastungsglied N' zu bestimmen. Wir führen die Berechnung nur für zwei Fälle durch. 1. Einzellasten senkrecht zur Stabsehne und 2. gleichförmig verteilte senkrecht zur Stabsehne gerichtete Vollbelastung.

1. Belastung der Felder lh und lu + i durch Einzellasten Pfc und senkrecht zur Stabsehne, im Abstande ah bzw. a&+i vom linken Stabende.

Für Mx gilt

wenn x <^a

„ x> a

mx'=

daher findet man für Wj wenn x <^a

1--

ferner die Auflager drücke %,p und Ü8'p der zu 9UlJ gehörenden Momentenfläche

%'P — P-:

• (l — x) d x

+f

(1 — ²y)(i~ y)-(* — x)dx = ^-pla(I—“

Mithin lautet Nf

ak +1 h + 1 ak +1 ( ¹

se>,p=p-

+ 'T

m-4ff

ak +1

k +1

Damit ergibt sich der Gesamtwert des Belastungsgliedes, wenn man N nach Gleichung 9) S. 35 einfügt und für ein System paralleler Lasten das Summenzeichen vorsetzt,

_ 7    7 '

lk +1 Lk + 1

aK + l

lc +1

OO

Den von abhängigen Teil der beiden Summenausdrücke fassen wir unter der Bezeichnung cpx und cpn zusammen, derart, daß ■

⁽Px = ~Y

i--

- 7+«

I---

. .    29)

9^2 — t ¹--r

ist. Mithin erhält Gleichung 28) die Gestalt

N' = -lklk'2'Pin-li+llt’+l2P,+lVl . . . 28')

Ist nur ein einzelnes Feld mit P=i belastet, dann geht N' über in Fx bzw. Fn', welche Funktionen nun die Werte

K = -<pJI'

annehmen.

Zur Erleichterung der Berechnung von cpx und cp₂, die sich auf die Form cpt = Ax -|- Bx a, cp₂ — A₂ — B₂ a bringen lassen, sind für

verschiedene Verhältnisse von die Beiwerte A und B im Anhänge

in Tafel III zusammengestellt.

2. Gleichförmig verteilte Vollbelastung pk und Pk+1 der Stäbe

Ije Und    •

Setzt man in Gleichung 28) für P, pda und an Stelle des Summenzeichens das Integralzeichen, so erhält man

da

Xp'=-PM’

Pk +1 4 + 1 4 + 1

■JM¹

J V(-1 N

0

ak +1

da.

fc + i

Wir berechnen daher

21

da — \ 1--

a\ l

5/ 4

und

da —

Jf(—f)[{—f)+-(—t)']

0

Somit finden wir

Pk+1/2

4 fc

7 '

+ 1 lk +1

(■++)

. 30)

b) Symmetrische Stäbe.

Unter der Voraussetzung, daß die Linie der reziproken Trägheitsmomente (i-Linie) durch eine Parabel zweiter Ordnung ersetzt werden kann, besteht unter Hinweis auf Abb. 97 folgende Beziehung:

a; W 1

oder

y = I + «(i

H IS

*4n*4>

). 31)

JL

JL

wobei wie früher

«4

'Parade/

Jo

• • • 31')

i-L/nie

<27

bedeutet, a ist positiv oder negativ, je nachdem J    ist.

t-

Abb. 97.

bedeutet. Auch hier hat die Lösung der Differentialgleichung die Form

Ay = Ay₀-\-aAy",

die den geänderten Werten

weshalb auch die Kontinuitätsbedingung die gleiche Gestalt wie oben annimmt; nur sind für und 51/c'+1 von Mj' entsprechenden Ausdrücke von S3fc" und    einzuführen.

Es ist nun

M" = Mr i — 2

+    t) 7 +H i¹ -²7)’»

Wie unter a) bestimmen wir auch hier für die einzelnen Glieder von Mx" der Reihe nach die Beträge der Auflagerdrucke a” und fj" der Teilmomentenflächen. Wir finden:

a) mx =

Führt man, wie oben, das Verhältnis ™ in die Differentialgleichung der elastischen Linie ein, so lautet diese Gleichung

EJm cos³ cp

d* Ay

dx²

oder

EJl,

d² Ay

dx¹*

wobei

‘-'TJM*

z\²

a" —4*

2

— x)dx = — l,

15

xV

x    I .

i--- -xdx — — l.

30

a" = 4-

¹~²l)T(}-x)ix=Yo

c) mx =

x\²X    2

i — 2— — -xax~ — l.

15

aA²

¹~²t) y:

Deutet man

aA²

y = y"

wieder als reduzierte Achsenlinie und nennt man die statischen Momente der Fläche zwischen y" und der Stabsehne, bezogen auf den rechten bzw. linken Stabendpunkt, <&"¹ und g>"r, so ist

a"

und

b"

&'r

d) mx =

ff»,:

Die von abhängigen Teile der Auflagerdrucke bezeichnen wir zunächst kurz mit

21" p

Hiermit ergeben sich die Auflagerdrücke und    der Kon

tinuitätsbedingung mit

und

sä

%T+i = Mkr + M]

15

1

k I5

+ #ft

4- K'p>

r~"k +1

©ft + 1

k 4- 1

30

k + 1

Somit gewinnen wir aus Gleichung 25) nach Einsetzen der Beträge für 5öfe" und    und nachdem wir alle Glieder mit —6EJc

multipliziert haben, die Beziehung

Je

V -f⁻ 6 ak k Mkr_ ₁ o

■+*i

i2lk

k 15

©ft

"ft-i

4~ ⁶ «ft

oder

*4

2/

+ «£+i

\~Mk+X

fc+i

f-Bi

= o.

* +1

L

v + |ä/-A'

+ 6ot B„ ©/' * -:A. + 6 «* ₊, ff, ₊, ®i+f:1    1

Lk    Lk +1

\ r    ^ tf p V

-f-6afc + 13Ix.₊₁-

15

30

ft + i

^■»W4

4 afc + l xr r / '

^ mk ‘'ft +1

«ft + 1

If l 1 ' mk+1 tft +1

Z'

z/

ft 4-1

ft 4-1

Führt man schließlich für V den vollständigen Betrag der Gleichung 7) ein, so lautet der Viermomentensatz für symmetrische Stäbe mit stetig veränderlichem Querschnitt:

Mkl₊₁1'₊ a + 6 Hk-\ [®*-i + «l]fc

+ 6Ä

fc + 1

k +1

Das Belastungsglied N" ist

N" = N—6cck%"r

z,/

N ist das Lastglied der Momentengleichung 7).

Nach Feststellung der Beiwerte auf Grund der Abmessungen der Stäbe lk und l wirklichen Achsenlinie y die reduzierte Achsenlinie y" tritt, erhält man Viermomentengleichungen von der gleichen Gestalt wie bei Systemen mit Stäben unveränderlichen Trägheitsmomentes, weshalb auch die weitere Untersuchung den gleichen Weg nehmen kann.

k + l>

wobei bei krummen Stäben an Stelle der

Ermittlung des Belastungsgliedes N".

1. Belastung der Stäbe lk und 1 durch Einzellasten und jPfc+i senkrecht zur Stabsehne, im Abstande bzw.    vorn

linken Stabende.

Es ist

•r)’ I-²jf■

damit folgen für die Auflagerdrücke und die Formeln

für x^>a

uf-r«-.) -f(

M”=Pa( i-y

l—

I-2yj ^1— — -j-(Z— x)dx

= —Pla (1—-

30

Wir finden somit N"

(Lr+*¥)

ak +1 p

5    *⁺¹

93"P = P

aA²

i — ~\-xdx

= —.PZafi—-?

Lv

30

Mb

I S5

31

i4

k + l

und schließlich nach Einführung des Wertes von N für eine Gruppe paralleler Einzellasten

(■+?)(

ai I R

2 a ( a\²"

5 \l

aVl)

2-3 T

afc + l

-z

i' y¹ p    afc+i f i

fc + l ^ + 1 J7k + 1 7 \X Lk + l v

2 a fl— a\²

21

34)

k + l

Bezeichnet man den von a~ abhängigen Teil der beiden Summen mit cp₂ und <p^, so daß

, a

*-y

und

2 a fl — a\²

7 — a\²

35)

ist, so lautet

N" =

k + l^k+1 ^i-^k + lPl ¹ ' * 34)

Setzt man in 9otf für l — a, a, so geht die Linie in tp₂ über; 99/ ist somit das Spiegelbild von <p₂.

Für den Fall, daß bloß ein Feld mit der Einzellast I belastet ist (Einflußlinien), geht N” in die Funktionen F” und F₂ über, und zwar:

F" — — <fi 11'

Zur Berechnung der Funktionen 90/ und cp₂, die die Form 9?' — A -[- Ba annehmen, dient die Tafel IV im Anhänge auf S. 2x7,

Bleich, Viermomentensatz.

und

2. Gleichförmig verteilte Vollbelastung^ und pk + ₁ der Stäbe lk und l

fc+i •

Aus Gleichung 34') leiten wir die Beziehung ab:

np=—pJuK

<P*da—pk+1 lk+₁lk+! da.

Die Ausrechnung der bestimmten Integrale auf Grund der Formeln 35) für 9?₁' und (p₂' liefert

7 '

k +1    +1

—- p» V K (J — s!)—¹

§ 14. Die Ermittlung der Längenänderungen JZ in den Winkelgleichungen ; Beispiele.

Wir schließen uns eng an den Gedankengang in § 5 an, der die Berechnung der Längenänderungen A l für Stäbe mit unveränderlichem Querschnitt zeigt, weshalb wir uns in den folgenden Darlegungen etwas kürzer fassen werden. Die Formeln für die Änderungen A l der Stabsehnen bei symmetrischen und unsymmetrischen Stäben können unter einem entwickelt werden, da beiden Fällen die gleiche Differentialgleichung zugrunde liegt. Der in § 13 benutzten Ausgangsgleichung geben wir jetzt die Form:

= — AI — a AI .

X    X

_

EJ —— m dx

Jm ist bei unsymmetrischen Stäben durch Gleichung 24) festgelegt, die eine Verknüpfung der beiden ungleichen Endquerschnitte J₀ und JQf darstellt. Bei symmetrisch gebauten Stäben ist J das tatsächliche Trägheitsmoment im Mittelquerschnitt. Unter ■&x wird, wie in § 5, der Drehwinkel eines unendlich kleinen Stabelementes d s mit der Abzisse x verstanden, a ist in beiden Fällen der durch Formel 24') erläuterte Zahlenwert.

Mx ist durch die Gleichungen gegeben: bei unsymmetrischen Stäben

bei symmetrischen Stäben

M=M"=( 1

X    X    \

— ²y) Mx = "ix)K•

Wir bezeichnen den von x abhängigen Beiwert in beiden Fällen mit 00(x)

Die Ermittlung der Längenänderungen Al in den Winkelgleichungen. 179

Aus der Differentialgleichung folgt unter Benutzung des in § 4 abgeleiteten Satzes über die Querkraft der Momentenfläche

EJm^x = — ^x~a^{x,

wo 91 zur Momentenfläche M und 9? zur Fläche M gehören.

X    XX    X ⁰

Aus § 5 entnehmen wir die aus der Winkelgleichung entwickelte Beziehung für die Längenänderung A l

Al

Hl

EF

r

r + uttl-f &xdy

m    J

0

Fm bedeutet eine passend gewählte mittlere Querschnittsfläche. Der von der Stabbiegung herrührende Teil von A l, d. i. A lb, nimmt nach Einführung des Betrages für ■&x den Wert an:

l

-1

0

dxdy =

EJ.

Kdy

Nun ist

1

EjJ

0

KdV-

f ^xdy= — f Mxydx 0    0

und ebenso

fmxdy = 0

— fMaa>(x)ydx,

0

a)(x)-y haben wir

wenn man für Mx den Betrag Mx co (x) setzt, im vorangehenden Abschnitt als reduzierte Achsenlinie y' bzw. y”

bezeichnet. Wir nennen sie jetzt in beiden Fällen y und erhalten

A lb EJm /

Mxy dxa jMxy dx . 0

Nach Einsetzen des ausführlichen Wertes von Mx nimmt diese Gleichung folgende endgültige Form an, falls man, wie vorher, die einzelnen Integralausdrücke als Flächenmomente deutet.

1 fMr

EJ .T

m

Ml

&, ©r, © und G haben die gleiche Bedeutung wie die Größen &, 6r, <BX und G (siehe S. 41), nur ist zu ihrer Bildung an Stelle der Stabachsenlinie y die reduzierte Achsenlinie y zu setzen.

Für unsymmetrische Stäbe gilt

V = i — 2— y,

für symmetrische Stäbe

xX*

y-

y=v--²~i

Der Gesamtwert A l beträgt somit

Mr

+ 2 H(®K + a®J+(Q + aQ) .

— Ml    —

{& -f-- cc &) -)—-— (<Br -j- a ©r) -\-

37)

Bei symmetrischen Stäben kann die Gleichung noch in die einfachere Form gebracht werden:

Al

Hl

EF

m

+ 2ir(g,+«gj+(s+«e) ....

37)

unter 0 und 0 die Flächen zwischen der Stabsehne und den Achsenlinien y bzw. y verstanden.

Bei geradachsigen Stäben ist der Klammerausdruck Null und A 1 beschränkt sich auf

Al

Hl

EFm

m

• • 37")

Beispiele.

i. Beispiel. Es ist die Einflußlinie des Stützenmomentes Mx des in Abb. 98 dargestellten durchlaufenden Balkens mit zwei gleichen Feldern darzustellen. Die Feldstützweite sei l, das Verhältnis der Endträfrheitsmomente eines Feldes

J₀f — 4 Jo-

-CL--

Vo

J₀

\4J₀

Abb. 98.

Nach Formel 24) (unsymmetrischer Stab) ist das ideale Trägheitsmoment J„, für die Feldmitte der linken Öffnung

Jm

5 Jo

daher

J₀

für die rechte Öffnung- ist sonach

welchen Wert man auch erhält, wenn man Jm nach Formel 24) berechnet und damit a bestimmt.

Die Momentengleichung lautet somit (Formel 26)

oder

(2 - */₆) M, V —j— (2    »/#) Mx l' = N')

somit

2,SMlV = N

Mx

IV

<Pz — °>357 <Pzl.

2,8 V

Mit Hilfe der Tafel auf S. 215 finden wir mit oc = 0,6 für den linken Zweig der Einflußlinie:

2,8 V

ah 0,1

0,2

o,3

o,4

°,5

0,6

o,7

o,8

°,9

0,0985    0,1882    0,2617    0,3130    0,3375    0,3322    0,2953    0,2266    0,1273

MJl 0,0352    0,0672    0,0934    0,1118    0,1205    0,1186    0,1055    0,0809    0,0455

In Abb. 99 ist die Einflußlinie dargestellt. Zum Vergleiche wurde die Einflußlinie für den Träger unveränderlichen Querschnitts strichliert eingezeichnet.

Abb. 99.

2. Beispiel. Die Anwendung der Formeln für den symmetrischen Stab soll an der Berechnung des in Abb. 100 dargestellten Brückenrahmens, dessen oberer Riegel gegen die Mitte abnehmendes Trägheitsmoment aufweist, gezeigt werden. Dieser Riegel, dessen Achse gekrümmt ist, soll zur Vereinfachung der Rechnung als gerade betrachtet werden. Die Abmessungen sind in Abb. 100 eingeschrieben. Die Belastung bestehe in einer wagerechten Einzellast W, die im linken oberen Eckpunkt angreift.

-Wir bezeichnen die 4 Ecken des als Balken gelagert gedachten Rahmens, von links unten beginnend, mit 1 bis 4 und geben

x) Eigentlich liegen Stäbe mit gekrümmter Stabachse vor; da aber H sehr klein ist, so unterdrücken wir die von den Sehnenkräften abhängigen Glieder.

den 4 Eckmomenten die gleichen Zeiger (Abb. 101). Die reduzierte Länge des Querträgers sei b', die des Riegels r und die der Pfosten hr. Die dazugehörenden Drehwinkel wurden mit # und -&hl bzw. #Är bezeichnet. $&, der Drehwinkel des Querträgers, ist voraussetzungsgemäß Null.

V    5^0,0032772?'

cf -0,0760m *

'tuSO

■zfe 0,0060771?

T—

HL

'77W77

10m

Abb. 100.

Abb. 101.

Wenn wir bei Punkt i beginnen und für den Ansatz Gleichung 32) benutzen, wobei bei den geraden .Stäben a = 0 zu setzen ist, so lauten die Momentengleichungen:

Jtf+iM, [v+(i+y)r'] + (i+!)jr,/-⁶^W

(i+^ju-y+2M. [(i+t)/+'*']+uy-bEj^r

-*,=<>>

—»2 =0,

Msh'-j- 2 Mi (b! -f b') -\-M₁ b' — 6E Jc$hr = o,

= o.

6' + 2 Jf, (&' -f h') -f- Jf₂ Ä' -f 6 E Jc $hl

Bei Vernachlässigung der Längenänderungen haben die Winkelgleichungen die einfache Gestalt:

b ftr = o,

4 = °-

somit

h ßhl — h &hr = o,

und

?V ⁼⁼ '^h —

Wir führen dieses Ergebnis in die Momentengleichungen ein, setzen zur Abkürzung

'+(■+¥)

Mx h' -f 2 M₂ x -f Ms X — q &h = o,

und erhalten

M₂ X -f- 2 Ms x -j- h' -(- q = o,

Msh' + 2 M^h' + b') + Mtb' — e#h = o,

Mib' + 2M₁(b' + h') + M₂h' + Q&h = o.

Da das System dreifach statisch unbestimmt ist, so reichen diese vier Gleichungen zur Berechnung der drei Überzähligen und des Stabdrehwinkels aus. Nach Addition der zwei ersten und zwei letzten

n

Gleichungen entsteht

(Ml + M₁)h' + (M₁ + Mit)(2X + X) = o,

(3f, + JO (3 V+ 2 h') + (M,+Ma)h’ = o.

Betrachtet man die Momentensummen als Unbekannte, so liegen zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten vor. Da die rechten Seiten Null sind, so ist

und

M₂ = — Ms

= —

Die Subtraktion innerhalb der Gleichungspaare liefert

a)

(Mt — M₄)k' + (M,— JQ(2* — 1) — 2Q»h = o,

0K — jy (/>'+ 2 h¹) + (M, - M₃) h! + 2 -g #„ = 0.

Nach Beseitigung von '&h durch Addieren dieser Gleichungen folgt (Mi—Mi)(b’ + 3t’) + (Mi — Ms)(2X-X + h') = o. . . b)

In a) und b) haben wir die drei winkelfreien Gleichungen gewonnen, aus denen die drei Überzähligen bestimmt werden können.

Nach Ausscheidung von Ms und MA aus b) mittels der Beziehungen a) findet man schließlich:

M₁(b,-\-3hr)-}~M₂(2x —X-\- ti) = o. c)

Gleichung c) enthält noch zwei Unbekannte, es ist daher noch notwendig, die statischen Beziehungen zwischen Mx und M₂ in Rechnung zu ziehen. Bei der Auswahl der Überzähligen lassen wir uns von den bisherigen Ergebnissen leiten. Da zwischen I und 4 sowie 2 und 3 keine Lasten angreifen, so ist die Momentenlinie im oberen und unteren Riegel eine Gerade. Aus den Bestimmungsgleichungen a) geht hervor, daß die Momen-tennullpunkte in Riegelmitte liegen. Schneidet

*y-r|

IV

WT

Abb. 102.

man den Rahmen an diesen Stellen durch, so entsteht die in Abb. 102 dargestellte Gleichgewichtsfigur. Nennt man die Querkraft im Mo-mentennullpunkt des oberen Riegels T, dann ist die Querkraft Q im Querträger

— T.

Nun ist

-Mt =

M„ = — Tb.

²    2

Gleichung c) geht damit über in

— (Wh — Tb) (b'-\-3ti)-{-Tb(2x — ij-f- ti) = 0

und mithin

T=W

b' + 3h'

b b' 4 h' 2 x — A ’

d)

womit die Aufgabe gelöst ist, da mit d) auch die Momente M₁ und Mz bestimmt sind.

Zahlenbeispiel.

Nach Abb. 100 ist, falls wir Jh — Jc wählen, H' = h= 15m,

r—o-= 10 •-——

0,0032

Jrm

ferner ist nach Gleichung 31')

_ *+ Jo

somit ist

Jo

3,33 m

= 25 m

0,0032 — 0,0160

0,0 Ib

0,8 ,

*=»'+(*++>•'=

7=(i+y)*' = (1—0,16). 25 =

i5-f(i —0,32)25 = 32 m

21 m .

Mit diesen Werten findet man

15

T=W~

3,33 + 45

¹⁰ 3,33 + 604-64 — 21

- — 0,682 W.

Bei gleichbleibendem Trägheitsmoment des Riegels lautet die Formel für T, wenn man in der Gleichung d) a = o setzt,

&'+3 h'

b b' + bh’ + i'‘

T' = wi

Führt man z. B. für Jr das arithmetische Mittel der Trägheitsmomente in der Mitte und am Ende ein, so erhält man:

0,0096 m⁴

0,0032 -j- 0,0160

und damit

r' = io*

0,0080

Somit

0,0096

8,33 m.

0,713 W.

r£t _ 3 jy 48,33

101,66

Der Unterschied beträgt beiläufig 5 v. H., ist also verhältnismäßig klein. Mit abnehmender Pfostenhöhe nimmt dieser Unterschied aber bedeutend zu.

VI. Tragwerke allgemeinster Form.

§ 15. Die Viermomentengleiehungen.

Die vorangehenden Untersuchungen erstreckten sich auf gerade oder schwach gekrümmte Stäbe, deren Trägheitsmomente entweder unveränderlich waren oder einfachen Gesetzen folgende stetige Änderungen aufwiesen. Nun gibt es eine große Gruppe von praktisch wichtigen Tragwerken, bei denen diese Voraussetzungen über Stabform und Querschnittsgestaltung nicht erfüllt sind. Ihre Berechnung nach der Methode des Viermomentensatzes könnte allerdings in der Weise erfolgen, daß man — wie schon einmal auseinandergesetzt wurde — die einzelnen irgendwie geformten und im Querschnitt beliebig wechselnden Stäbe durch Einschalten von zweckmäßig gewählten ausgezeichneten Punkten in Teilstäbe zerlegt, derart, daß innerhalb der Teilstücke die Voraussetzungen, auf welchen die vorangehenden Untersuchungen aufgebaut wurden, genügend genau erfüllt erscheinen. In vielen Fällen aber wird dieser Vorgang zu einer großen Zahl von Viermomentengleichungen führen, aus denen zunächst die den eingeschalteten ausgezeichneten Punkten zukommenden Momente, sowie die hinzugetretenen Stabdrehwinkel ausgesondert werden müssen, um die Zahl der Gleichungen zu verringern.

Es liegt der Gedanke nahe, diese Arbeit der Ausscheidung der Zwischenmomente und Zwischendrehwinkel, die nur Hilfsgrößen darstellen, nicht der Rechnung im Einzelfalle aufzubürden, sondern in allgemeinster Form ein für allemal zu erledigen. Nachdem es sich gezeigt hat, daß die durch den Viermomentensatz dargestellte Verknüpfung der Anschlußmomente, Sehnenkräfte und Stabdrehwinkel die Ermittlung der statisch unbestimmbaren Größen in hohem Maße erleichtert, so werden wir bestrebt sein, die Ausscheidung der Zwischenmomente und Zwischendrehwinkel so zu gestalten, daß das Ergebnis dieser Elimination, die sich auf die Gleichungen zweier elastisch zusammenhängender Stäbe erstrecken wird, einen Zusammenhang zwischen den vier Anschlußmomenten, Sehnenkräften und den beiden

Stabdrehwinkeln (Drehwinkel der Stabsehnen) bilde. Mit anderen Worten: Das Eliminationsergebnis soll in allgemeinster Form einen für beliebig geformte Stäbe gültigen Viermomentensatz darstellen. Da die in § 2 unter b) abgeleiteten Winkelgleichungen keinen einschränkenden Bedingungen hinsichtlich der Stabform oder Querschnittsausbildung unterliegen, so bleibt — falls es gelingt, den angestrebten Viermomentensatz abzuleiten — der Berechnungsgang der in diesem Absätze zu erörternden Systeme der gleiche wie bei den in Abschnitt II betrachteten Tragwerken, und alle Vorteile, welche sich aus dieser Methode im vorangehenden ergeben haben, kommen somit auch der Berechnung von Tragwerken allgemeinster Form zugute.

Wir untersuchen zwei aufeinanderfolgende Stäbe eines Tragwerks

k— i, k und k,k-\~i, die in k steif verbunden sind (Abb.103). In den Schnittstellen k — I und k -)-¹ werden die Anschlußmomente

sowie die Quer-

die Sehnenkräfte Hk und

k + l >

übertragen. Dem Zusammenhang des Punktes k

nung,

mit Mkl und Mkr verschieden annehmen und eine äußere Kraft Bk als Mittelkraft der Längs- und Querkräfte aller übrigen in k an

MJ-1 und Mk*+1> kräfte Qk^₁ und Q mit den übrigen Teilen des Systems tragen wir in der Weise Rech-daß wir die Momente unendlich nahe links und rechts von k

geschlossenen Stäbe hinzufügen.

l? «*-*•

IV-7

n~¹

fi'f

/£~⁷ &

71,-7

AS¹

k-,

r"

Abb. 103.

Die stetig gekrümmten Stäbe denken wir

: die zu den

uns durch Stabvielecke mit genügend großer Seitenzahl ersetzt, so daß jedes Element eines solchen Stabzuges als geradlinig und mit unveränderlichem Querschnitt behaftet angesehen werden kann. Die Lasten mögen nur in den Knickpunkten angreifen. Die Momente in den Punkten I, 2 ... i — I bezeichnen wir mit M₁, M₂ . .. M{ . . . Mn Stäben , s₂ ... st... sn gehörenden Drehwinkel mit    0n.

Wir stellen nun, bei Punkt i beginnend, die Viermomentengleichungen auf. Da der Stab lk n — i Zwischenpunkte aufweist, so können für diesen Stab n — I Momentengleichungen angesetzt werden. Ebenso können n — I Dreimomentengleichungen für den Stab l angeschrieben werden, wobei n in jeden der beiden Fälle eine andere Zahl bedeuten kann. Schließlich steht noch eine Viermomentengleichung für den Punkt k zur Verfügung. Die hier erwähnten drei Gruppen von Gleichungen bezeichnen wir mit a), b) und c). Sie lauten:

Stab lk

Q (#1 — #₂) == 0 S2 4“ 2ilf₂ (s₂' -f- ss') -(- Ms s₃ -Q (1% — #3) = ⁰

M/-, s' + 2U, (« ' + O + 3t <

> • a)

k +1

Mkr 2 Ifj (4/ -|- «/) -f- M₂ s₂'-Q (#± — #₂) = 0

sn'_ , + a Mn_x (sn'_ t + O + Mi s; Stab l

• b)

Mx V -)- 2 ilP₂ (s₂' -j- s₃') + M₃ s₃ -Q ($₂ -#₃) — o

K-,²    O+e    =⁰

Punkt k

* + l * + l

+    V-e(#„⁴-V+¹)=o . . c)

In der letzten Gleichung wurden die Glieder, je nach ihrer Zu-

durch den darüber gesetzen Zeiger k

fc + i ’

gehörigkeit zu Stab lk bzw. I oder k -(- I unterschieden.

Gleichung c) stellt bereits den gesuchten Zusammenhang zwischen den Anschlußmomenten der beiden Stäbe dar. Es ist nur noch

£+1

notwendig, Mn_₁ und Mx ebenso und    aus dieser Gleichung

zu entfernen und durch die vier Anschlußmomente der beiden betrachteten Stäbe, deren Sehnenkräfte und Stabdrehwinkel auszudrücken. Wir benutzen daher die Gruppe a), um # *, die Gruppe b), um

* + 1

# *+i zu bestimmen. Mn_₁ und Mx können ebenso wie alle übrigen Zwischenmomente in statische Beziehung zu den Anschlußmomenten und Sehnenkräften gebracht werden.

Nun reichen die n — 1 Gleichungen a) nicht aus, um daraus die n Drehwinkel zu bestimmen, es muß daher noch eine Winkelgleichung zu Hilfe genommen werden. Gleiches gilt auch für die Ermittlung der Drehwinkel aus dem Gleichungssystem b).

Den Winkelgleichungen geben wir die Form: für Stab L

K

i=l

2 A 5. sin «. — 2 4sicos «< + 4c h = ⁰ > »=i

für Stab l

== O .

2 /J ^ sin— 2 4 sicos «< 4" 4 + i *

i—1    i=1

rd'k und d

k + 1

winkel der Stäbe lk und l Setzt man

sind die Drehwinkel der Sehnen, also die Dreh-

fc+i •

S<*<

und

EF,

s{ cos ai = X

wobei S• die Längskraft im Stabe ist, so nehmen die Gleichungen folgende Gestalt an:

für Stab L

K

i>

.“■SU

S*n ai y,K 4 4~ 4 4 ⁰ >

für Stab l

^ti EFt

Wir multiplizieren nun die Gleichungen a) der Reihe nach mit den Abzissen x₁, x₂ ... xi... xn_t (siehe Abb. 103) und addieren sodann. Dies ergibt:

₁ x₁ -j- Mx [2 (sj -f- s₂) xt -f- s₂ x₂] -j- M„ [s₂ xJl -(- 2 (s₂ 4~ s₃ ) x₂ -)—

+ V ^3] 4~ • • • 4~ Mi lsi xi-iJr² (si 4~ si+i) xi 4“ sl+1 xi+1] 4“ • •    [St/-1 *«-S 4" ² (Sn-1 + O^n-l]

4-    *«' xn-i~Q [(4 — 4) xx 4- (4s — 44 *₂ 4- • • •

4-(4,-₁— 4>n-J = 0-

t=1

fe + 1

Nun ist

(4 — 4) *1 4- (4 — ^*)*8 4- • • • 4- (4,-1 — 4) Xn — 1 = K — K)) 44- (*2 — *1) 4+••• 4- (xn-i—4-*«-i 4, ⁼K 4 4" 4 4 4~ • • • 4~ K-i 4»-i — 4 4) 4»

n

= 2^4-^4-

i = 1

woraus der Betrag von —folgt:

— Q&nk= M*_x\p o + -MiV'i + --- + Mixpi -f... + Mn_₁y}n_₁ -f- Mkly>n

sin .

Aus der Winkelgleichung für den Stab lk folgt aber

Führt man diesen Zusammenhang oben ein und bezeichnet man die Beiwerte der Momente mit lky₀, lkWi> ..., I...Ikrp so entsteht die Gleichung:

lk [Mk-l Wo + Mx Wx + • • • + Wi + • • • +

sin a{.

n —1’

kWn¹)’

-1

Wn-i + MkiWn\

sin a{

•4

= o,

Um ^^₁ifc+¹ zu finden, multipliziert man die Gleichungen b) der Reihe nach mit xt', x₂'... x{... xn'_t, wenn allgemein x[= lk + 1 — x{ bedeutet (Abb. 103) und erhält nach der Addition:

Mu sx Xx + Mx [² 0i' + O */+ W] + M2 Wxi+ ² (%'+ ss) < +

s3 X3 .] ~f~ ' • •    [Ä* Xi-X~\~ ² (Si ~f~ Si +l) Xi ~\~ Si + 1 Xi +l]

Jr...-\-Mn_ 1 [st!_₁ xn'_₂ -}- 2(sn'_₁ -J-snf)#n'_J

+ Mk +1 Sn Xn — 1 — Q OA — XX + (#2 — K) **' + •••

+ (K-t ~ K)Xn-x\ = ⁰ *

Es ist jetzt

(ft - ft) < + ft - ft)<+•••+ft-, - ft) <-,

=*/ ft—ft' — ft) ft— ■ ■ • — ft'-1 — ft')) ft =(4₊»- « ft - ft ft - ■ • • - 4 ft

ft — 2 ft ft ■

i = 1

Aus der Winkelgleichung für Stab Zfc + 1 entnehmen wir

K + x+S 'EF.*inai’

*) Durch den Strich bei ykn_₁ und ipn soll hervorgehoben werden, daß diese beiden Beiwerte im Vergleich zum allgemeinen Gesetz von xp{ noch unvollständig sind. Es fehlt das den Faktor xn enthaltende Glied.

somit lautet die obenstehende Gleichung, wenn jetzt für die Beiwerte h+iVo’ k+iVi'¹)’ h+iVv •••» h+iVn geschrieben wird,

fc + 1

[Mk\ y,₀'+M₁y,₁’+...+Miy>i'+...+Mn_₁ y>n’._ x + M{ + eh+i ,&k+1 — Qh₊₁ö₁k+1+Q 21 §-^sinai

fe + 1

und mithin

sint^

gewinnen

Wir führen nun    und    in Gleichung c) ein und

W-1 Vo + Mi Vi + • • ■ + M„-1 V.-i + Mi v»\

+ [MJn' + MlVl'+... + Mn_₁ y,' , + M‘ . y,■']

k 4-1

j-*jt Sisi-prs[nai-\

1c i = 1    *

-6EJc('&k — dk+1) = o.

Durch die beiden ersten Glieder der Gleichung c) ist tpn_₁ und xpn vervollständigt worden, weshalb tpn_₁ und xpn geschrieben wurde. Gleiches gilt für y₀' und yj^, die durch das 3. und 4. Glied der Gleichung c) ergänzt wurden. Die Klammer- und Summenzeiger Je und Ä —(— 1 wurden hinzugefügt, um erkennen zu lassen, auf welchen Stab sich die Klammer- oder Summenausdrücke beziehen.

Wir beseitigen noch die Zwischenmomente, indem wir setzen:

für Stab lk

Xi = Mkr-1 + W T- + Hk yt + SR/,

für Stab l

k 4-1

=    i- + JC'+I r* ■+ Bk+1 V, + »!,*+■ ■

x) Die Werte yj₀' und xp/ sind unvollständig, weshalb sie durch einen Strich ausgezeichnet sind.

Hierdurch entsteht:

xi

Mk-1 Vo + Vi-r

Jr--- + wn-iX+

-i

hi -*7c

+ ^rk'+Vi'7^~ +■■■ + ¥„'-

L    lk + l

+Mkl    +    +

Xn-1

Xn-1

f v>

lL

¹ tt + J

+ ^₊l Vi'

X1

• • * + V’n -1

“f“    [^1 ?/l + % ^2 + • ' • + Wn-1 y«-riL

+ #*+1 0/ Vx + V'aVa + ' • • + Wn-i Vn-i\

Xn-1

V>n

7c+ 1

7c + l

//

sin a{

oder

— Ä ¥1 + ^2 ^2 4~ • • • ~b SK«-1 Vw-iL

- [sw, v' + sws < + ... +    v.'-A«

fl.

+^,2><7t+-Mir‘«2V/

£ — 0 *fc

n

+ Ht^ViVi + H₁

i=0    £ = 0

^    ^    j-    6    ^    Z"

£ *£* ^ jT sin «£ +    fc+£/ S< si # sin ai — 6 EJc (#* — ®k + 1)

n

=-A>iVj-

Mk-1 j£v>i

1 = 0

x!

7c + 1

k + 1 lc + 1

W₊x

bSViVi

fc+iSV/H“

.• — n “k + l

£ = 0

Gleichung 38) stellt die Viermomentengleichung für Tragwerke mit Stäben allgemeinster Form dar. Sie zeigt im wesentlichen den gleichen Aufbau wie der in § 4 entwickelte Viermomentensatz, nur treten an Stelle der einfachen Beiwerte der Gleichung 7) Summenausdrücke, in welchen sich die Elastizitätsverhältnisse der gekrümmten Stäbe, ihre Form und Querschnittsgestaltung ausprägen. Nach Ermittlung dieser Beiwerte kann die Rechnung in der gleichen Weise durchgeführt werden wie bei geraden oder schwach gekrümmten Stäben. Allerdings enthält Gleichung 38) noch zwei von den Längskräften S abhängige Glieder, die in Gleichung 7) fehlen; die Beträge dieser Glieder sind aber stets so klein, daß ihre Vernachlässigung ohne belangreichen Einfluß auf das Ergebnis ist.

. •    38)

Es ist somit gelungen, die Vorteile der Methode des Viermomenten-satzes auch auf die Berechnung beliebig geformter Systeme auszudehnen. Die Mehrarbeit, die hier zu leisten ist, besteht nur in der Berechnung der Beiwerte der Viermomentengleichungen. Für die leichte Elimination der Drehwinkel # ist es von Bedeutung, daß das Glied 6 EJc (ßk — #fc+1) unverändert geblieben ist.

Wir gehen nun dazu über, den Summenausdrücken der Gleichung 38) eine für die tafelmäßige Berechnung geeignete Form zu geben. Es ist ganz allgemein:

Vi ~ y~ [St xi-i    ² (si    si +1) xi + si +1 **+1]

⁼ y [⁵* (xt-1 ~f~2 xi) ~hst +1 (2 xi xi+i\’

Wi — y (J xi-1) ~\~ ² (si +1) (} xi) “I- si +1 Q xi+i)

~ 3(®i si +1)    yk {xi-1~\~2xi)~bsi +1 (2 xi“f⁻ *1+1)]

⁼ 3 (${ -j~    +1) Wi ■

Somit gelten für jedes Stabelement die Gleichungen:

j [⁵i (Xi-1 ^ 2xi)~\~ Si +1 (2 Xi ~“f~ xi + i)\

Vi =

3 (*/ + */+ 1) —W

• • 39)

In dieser Form lassen sich die yj-Werte in Tafelform leicht berechnen und Produkte und Summen daraus bilden.

Man bilde zunächst

2V< ‘

i = 0

und findet damit

. . 40)

ebenso berechne man zuerst und damit

41)

i = 0

Bleich, Viermomentensatz.

Zwecks Überprüfung beachte man die Beziehung:

n    ,

2>A

/ *,•

. . 42)

i= 0

Endlich berechne man mittels der xp{- und ^/-Reihe noch die Summenwerte

und

i=0

Wohl in der Mehrzahl der Fälle wird es möglich sein, die Zwischenpunkte 1, 2 ... n — I so zu wählen, daß die Sehnenabschnitte

X₁, A₂ ... Xn eines Stabes untereinander gleich werden. Die Berechnung von xp{ und xp! wird hierdurch wesentlich vereinfacht.

Da jetzt

ist, so erhält man

xi = iX

Wi =

• • 39')

und somit die Summenbeträge in der Form:

womit sich auch

Xi=LnZj<-

40')

i — 0

Ähnlich findet man die mit xp! zusammengesetzten Summen, wenn y>i = 3 (•?/ + «/+ i) — y>i ist, mit

ergibt.

und

,    n

txi _ V

. . ₄io

i = 0

Ist der Stab nach einer symmetrischen Linie geformt und sind die Querschnitte symmetrisch gelegener Punkte gleich, so ist die xp'-Linie das Spiegelbild der xp- Linie und es gelten die einfachen Zusammenhänge :

2    = 2 Vi xi>

1 = 0

n    n

2 vW = 2 v'/*:i = 2vj-2 vw

i-0

• • 43)

somit genügt die Berechnung einer xp-Reihe, woraus dann alle Summenwerte gefunden werden können.

Ferner gilt

n    n

44)

2 Wi Vi = 2 wl Vi

i = 0    i = 0

Für einen unsymmetrischen Stab sind somit drei mit x und zwei mit y gebildete Summen zu ermitteln. Für einen symmetrischen Stab sind zwei mit x zusammengesetzte Summen und eine mit gebildete Summe zu berechnen.

Das Lastglied N.

Das Lastglied hat die Form

45)

Es besteht aus zwei Teilen, die von den Belastungen der Stäbe herrühren. Kommen nur unverschiebliche Lasten in

lk und l

Frage, so ermittelt man rechnerisch oder zeichnerisch die Ordinaten der äkt-Linie und bestimmt tabellarisch die Produkte und Summenbeträge nach Gleichung 45). Über die Form der Lastglieder bei der Darstellung von Einflußlinien wird weiter unten noch gesprochen werden.

§ 16. Berechnung der Dehnungen Al in den Winkelgleichungen; Einflußlinien; Beispiel.

Da die Viermomentengleichungen nicht zur Ermittlung sämtlicher Unbekannten ausreichen, so sind, wie bei Systemen mit geraden Stäben, zwei Winkelgleichungen für jeden Einzelrahmen anzusetzen¹). Bei der Aufstellung der Winkelgleichungen kann man sich die krummen oder gebrochenen Stäbe durch ihre Sehnen ersetzt denken. Es erscheint nur notwendig, die in den Winkelgleichungen auftretenden Dehnungen Al für den besonderen Fall stark gekrümmter Stäbe darzustellen.

Wir gehen hierbei von der zweiten Winkelgleichung für das Stabeck aus, die eine wurde bereits auf S. 189 verwendet; sie lautet:

x) Diese Winkelgleichungen sind nicht mit den sich auf einen einzelnen Stab beziehenden Winkelgleichungen auf S. 189 zu verwechseln.

Führt man für A si den ausführlichen Betrag ein, wobei si cos gesetzt wird, so erhält man für Al die Gleichung

n q 2    n

d ¹ = SlH? attl (yi~ Vi-l)'

i-1    *    i=1

Hierin bedeutet S{ die Längskraft des f-ten Stabteiles, Fi sein Querschnitt. attl ist die Längenänderung der Stabsehne bei gleichmäßiger Erwärmung des Stabes um t°.

Aus den Gleichungen a) S. 188 läßt sich nun die Summe — Vi-x) berechnen. Man multipliziert zu diesem Zwecke die Gleichungen der Reihe nach mit den Stabordinaten yx, y₂---yn~i und addiert sodann. Dies liefert:

Mrs'yx -f- Mx [2    V\    ~h M* [siVi ~h² (V“f" ss) V<i JrsiVz]

[*/ 2/i-i + 2    */+1) Vi + si+i Vi+i\ + • • *

+ Mn-1 [Sn-lVn-2 "T ² (Sn -1 4“ *») Vn-l\ + Ml Sn Vn-1

— 6ejc [(#,—#2)2/1+ (#2—#₈) y*+• • •+(#» -1—K) yn - J=⁰ •

Nun ist

(#1—#2)2/1+(#₂—#3) 2/2+• • • + (ßn -1—# J Vn-1 ⁼⁼

n

{vi — y₀) #1 4- (2/ 2 — Vi) #2 + • • • + (yn -1 — 2/J #« = 2 #* (y* — y<-i)-

i = l

Damit ist die fragliche Summe in der Gleichung für A l gefunden. Sie erscheint durch die Anschlußmomente Mr und Ml und durch die Zwischenmomente ausgedrückt. Sondert man genau wie oben die Zwischenmomente aus, indem man die statischen Beziehungen von S. 191 unten benutzt, und führt man für die in eckigen Klammern stehenden Beiwerte der vorstehenden Gleichung die Bezeichnung Xi ein, s0 erhält man die Beziehung

■n    iv    f    iv    /»

⁶ejc2J ßi (y<—y<-1)⁼MrJS°r+Ml2Xi j + HUXi Vi +2J mi x< ■

i = 0

Es folgt somit für die Dehnung A l der Ausdruck

^EFi

i= 1

f «ttl

eh Mr2*<T + M'2x‘

c L* i = 0    i= 0

H^XiVt+ZWiXi ■ 46)

i-0

i = 0

Gleichung 46) weist den gleichen Bau auf wie Formel 17). Das von den Stabkräften S{ herrührende Summenglied kann, wenn nicht vernachlässigbar, mit einem Mittelwert von SijFi berechnet werden.

Für die Berechnung der Größen %. und der daraus abgeleiteten Summen kommen folgende Formeln in Betracht:

Xt — s/(2/i-i4~²^)“l_s/+i(²^i“i"^+i) • • • • 47) und die Summenbeziehungen \T X

2j Xi 1

₄8)

xf

1    = 0 n

2    XiT ⁼ 2Viyi-

i=0    i=0

Die Summenwerte 2 und JExp! yi sind bereits von der Ermittlung der Beiwerte der Viermomentengleichungen her bekannt.

Bei symmetrischen Stäben ist

y y * 2j Xi x

i= 0

xf

= • •

*=rO

Es sind also mit der Reihe nur die Summen

■ . 49

2 XiVi

und

neu zu bestimmen.

2»^

i= 0

Die Einflußlinien der Überzähligen.

Die Ermittlung der Einflußlinien erfolgt nach der Auflösung der Bestimmungsgleichungen in der Weise, daß man sich der Reihe nach die einzelnen Felder mit der wandernden Last P= 1 belastet denkt und die diesen Belastungen entsprechenden Beträge der Lastglieder in die Lösungen einsetzt. Alle Felder bis auf eines sind hierbei unbelastet, weshalb in den Viermomentengleichungen sämtliche Lastglieder bis auf zwei, in den Gleichungen für A l sämtliche Lastglieder bis auf eines Null sind. Die Gleichung eines Einflußlinienzweiges erscheint daher als Funktion von bloß 3 Lastgliedern. Bezeichnen wir diese Lastglieder, ähnlich wie dies in § 6 geschehen ist, mit F₁, F₂ und G, so gilt

i = 0

2 ©*< Wi > i = 0

6 =i%Zr

i—0

Da 9)^ eine Funktion der Lastabzisse a ist, so erscheinen auch Ft, F₂ und G als Funktionen der Lastabzissen a. Während aber bei geraden oder schwach gekrümmten Stäben unveränderlichen Querschnitts die Funktionen Ft und JF₀ für alle Einflußlinien die gleiche Gestalt haben (Stammfunktionen), wechseln in unserem Falle die Funktionen Fx und F₂, je nach der verschiedenen Gestaltung der miteinander verknüpften Stäbe, von Zweig zu Zweig ihre Form. Es sind daher für jeden Stab, vor Ermittlung der Einflußlinien, die Funktionen Fy , F₂ und G, die durch die Linienführung und Querschnittsgestaltung des Stabes gekennzeichnet sind, zu berechnen.

Linie

m£

Für eine im r-ten Punkte im Abstande vom linken Stabende stehende Einzellast P = i ist die Momentenlinie ein Dreieck mit der Spitze über r (Abb. 104).

Die Scheitelordinate der 9DL - Linie beträgt

r—xi—-¹

ChfT

r_

*r

Abb. 104.

und die Tangenten der Neigungswinkel der beiden Dreieckseiten ihrem absoluten Werte nach

ar

tga = I--A

ar

Somit finden wir

i = r-fl

Xi

■ . . 50)

i = r+1

Th    r    rv    f

i= r+l

G = 2 ^ Xi = (l — ar) 2J Xi -f- + ar 2 Xi-f ■

Die Produkte yjf ~ usw. sind von der Berechnung der Beiwerte

der Momentengleichungen bzw. Dehnungsgleichungen her bekannt. Man bildet damit für die aufeinanderfolgenden Werte von r= I, 2... die Teilsummen, entsprechend den Gleichungen 50), dann deren Produkte mit den zugehörigen Lastabständen ar bzw. (l — ar) und gewinnt so die aufeinanderfolgenden Ordinaten der Fx-, F₂- und G- Linien des ins Auge gefaßten Stabes.

Die Einflußlinien der Überzähligen selbst stellen sich in der Form X=mFx-\-nFtiJ\rpG

dar, wo m, n und p Zahlenwerte sind, die sich aus der allgemeinen Lösung der Bestimmungsgleichungen ergeben.

Bei symmetrisch gebauten Stäben vereinfacht sich die Berechnung insofern, als die yj'- Linie das Spiegelbild der ip-Linie wird, womit auch die F₂-Linie als Spiegelbild der Fx-Linie erscheint. Die G-Linie wird eine symmetrische Linie.

An einem Zahlenbeispiel soll die praktische Anwendung der aufgestellten Gleichungen gezeigt werden.

Zahlenbeispiel.

Die in Abb. 105 zur Darstellung gebrachte gewölbte Brücke mit Mittelpfeiler besitzt zwei gleiche Öffnungen von je 24 m Spannweite und 5 m Pfeilhöhe. Die Kämpferstärke beträgt 1,30 m, die Scheitelstärke 0,90 m. Der 10 m hohe Mittelpfeiler ist oben 2,00 m, unten 3,50 m breit. Die Achsenlinie der Gewölbe ist nach einer Parabel gekrümmt.

L=2Vwr

Tj=2Vmr

]>>

Abb. 105.

Die zunächst zu lösende Aufgabe ist die Berechnung der Beiwerte der Viermomentengleichungen und der Gleichungen für die Dehnungen A l. Den Bogen teilen wir für die Untersuchung in acht Teile mit je gleicher Horizontalprojektion, den Pfeiler in drei gleich lange Teile. Die der tafelmäßigen Berechnung der Beiwerte zugrunde gelegten Maße sind der Abb. 106 zu entnehmen. Als Trägheitsmoment eines Stababschnittes wurde das Trägheitsmoment des jeweiligen Mittelquerschnittes gewählt. Als Jc wurde das mittlere Trägheits-

Abb. 106.

von

Die Berechnung der Beiwerte der Viermomentengleichungen für einen Bogen zeigt Tafel 12, für den Pfeiler Tafel 13. Tafel 14 weist die Ermittlung der Beiwerte der Dehnungsgleichung für den Bogen auf. Da der Bogen symmetrisch ist, so genügt die Ermittlung

von

JZyjji und 2ip{yv um alle Beiwerte der Viermomentengleichungen berechnen zu können. Für die Darstellung der Längenänderung Al erweist sich die Berechnung einer Summe, d. i. 2‘^iyi, ausreichend. Der gegen oben verjüngte Pfeiler verlangt dagegen die Ausrechnung drei Summengrößen,    und Zxp-i. Da er geradachsig

ist, sind die mit yi und %. zusammengesetzten Beiwerte Null.

Tafel 12.

Berechnung der Beiwerte der Viermomentengleichungen für den

Bogen.

yji =

Tragwerke allgemeinster Form, moment des ersten Bogenabschnittes in die Rechnung eingeführt und hiermit die Verhältnisse ^ in den nachfolgenden Tafeln festgelegt.

200

Ji

%9S

3,33

A.

3,33

•'S

-400—ä-U- 4 00    4 ^7

-3,oo—

a,)

L-Ü

^—3,33-

~ 0/ (3 i — I) + s/₊₁ (3 i + 0] •

81

Je

Ji

Vi

Vti

Vi V>tVi

1,00

28

3,7i

69

4,33

5,3i

10

6,89

[i

13

69

6,89    14

5,3i    17

16

28

19

3,7i

1.00

4,33

20

22

3,7i    23

0,46

3,09

7,35

13,92

20.67

22.68 2i,57 21,03 10,67

3,09

14,70

41,76

82.68

113,40

129,42

147,21

85.36

W 4^ Di 4* OJ tO

O    ~ON "o    O

vO Ln O O vO Ln vO

27,55

65,28

103,35

106,37

80,89

46,05

121,44 617,62 436,16

Somit ist

617,62

2jVi 7

Wi 7 = I2I,44 — 77,20 = 44,24 , J[Vy = UViJ⁼ 44’² 4,

\ 7    #

2; Viy= 77,20,

2]ViVi = 2JVi yi ⁼ 43⁶'² •

77,20,

, er/

Tafel 13.

Berechnung der Beiwerte der Viermomentengleichunge n für den

Pf eil er.

VH = -

⁴-r«,'(3i-i) + s,'+I(3<+J)]

71

Wi — 3 (s/ 7 s/₊ 0 —    ,

Je

Ji

0,1714

0,0939

0,0569

o,57i

o,3i3

o,igo

^ O iS H

W 00 (7^1

cT O" cT cT

i,7i

2,65

i,5i

o,57

i,52

IDOO 00

O 00^ t-y

2,47    4,27

3,97    3,u

4,27

\"7 x

2^7 2^7

J7vVy = 3,97 — 1,04 = 2,93 .

Zwecks Überprüfung bestimmen wir noch xp! ~ nach der Formel

2JViJ = 2J Vi — 2 ViJ ⁼ 2’47 — M2 = 1,05 ,

in guter Übereinstimmung mit dem oben gefundenen Wert.

Die Berechnung der Tafel 14 liefert:

U%i^L== 2%i~y

J^ZiVi = 3621,03.

somit

r=I’⁴³’

x'

3,ii

1,04,

xl

436,167

0 Ans Tafel 13 entnommen.

Tafel 14.

Berechnung der Beiwerte für die Längenänderung dl des Bogens. Xi — »/ (Vi-1 + ² Vt) + s/+i (² yi~\~ Vi+i) •

Si

Vt

Xi

Xi Hi

3,7i    2,19

4,33    3,75

5,3i

4,69

6,89

6,89

5,3i

5,oo

4,69

4,33

3,7i

3,75

2,19

CO Ch fO O'vOO O CO O cOvO *—» VO CO • t—< v-h

rf co rf «rf cfOcT cf

H H W W

4* vp g> 4* 4* JO G> t-t    'hh '►h '"r—<

CO vO GJ vo OOvO GJ vo

8,12

51,45

106,69

168,80

202,43

168,80

106,69

51,45

8,12

112,68 400,09 791,67 1012,15

791.67 400,09

112.68

I 3621,03

In Abb. 107 ist das 6 fach statisch unbestimmte Tragwerk mit den Ergänzungsstäben dargestellt. Die Bezeichnungen der Momente und Sehnenkräfte sind dieser Abbildung zu entnehmen. Da vier ausgezeichnete Punkte A, B, C und D vorhanden sind, wovon Punkt C zwei Momentengleichungen liefert, so können insgesamt 5 Viermomentengleichungen aufgestellt werden. Wir verfügen ferner über 4 Winkelgleichungen, zusammen also über 9 Gleichungen, die zur Berechnung der 6 Überzähligen und 3 Drehwinkel genügen.

,zA£

/4

-z/j^

/~Az

M°- C f

oo

Abb. 107.

Bei der Aufschreibung der Viermomentengleichungen muß die Umfahrung der einzelnen Grundsysteme im Sinne der Uhrzeigerbewegung erfolgen, weil sämtliche Gleichungen unter der Voraussetzung abgeleitet wurden, daß die Abzissen x von links nach rechts gezählt werden und die Reihenfolge der Momente mit ihren Beiwerten in den Momentengleichungen durch diesen Fortschreitungssinn festgelegt ist.

Wir beginnen bei Punkt A und schreiten über G nach D im ersten Rahmen und von D beginnend über C nach B im zweiten Rahmen fort. Hierbei wird der Stab CD zweimal durchschritten. Außer dem Vorzeichenwechsel der Anschlußmomente des Stabes CD ist wegen der Unsymmetrie dieses Stabes noch zu beachten, daß beim zweiten Durchschreiten für x, x' und für y), yf zu setzen ist, da beim ersten Male die Abzissen x von oben nach unten, das zweitemal von unten nach oben zu zählen sind.

Die nach Gleichung 38) aufgestellten Viermomentengleichungen lauten daher, wenn die Lastglieder zunächst mit ax, a₂ ... bezeichnet werden:

77,20 Ma -f 44,24 Mc -f 436,2 H₁-\-Q&₁ = a₁,

44,24 Ma -f- 77,20 Mc + 2,93 M° -f 1,04 Mu -f- 436,2 Hx

Q (Ai ^3)== a2 >

1,04 M° -f-1,42 Mu — q — o,

— 1,04 Mu — 2,93 M° -f- 77,20 Mc + 44,24 Mb -f 436,2 H₂

Q (^3    ^2)== as >

44,24 Mc + 77,20 Mb + 436,2 IC₂ — o #₂ = ax.

Ferner gelten die Winkelgleichungen:

linkes Feld A sx — «?₃A = o,

— A h — l = o ,

Wir vernachlässigen den Einfluß der Normalkräfte, setzen daher A h, die Zusammendrückung des Pfeilers, Null. Aus den Winkelgleichungen folgt dann:

= $₂ = o ,

sowie die Gleichung

rechtes Feld

A s₂ —f— h — o, Ah -j- #₂1 = o .

d3=~i (A sx — A s*)

■ . 6)

A -1~ A s₂ — o .

Für die Beträge A sx und A s₂ finden wir nach Formel 46) unter Benutzung der Summenwerte aus den Tafeln 12 und 14

)■

Q A sx — 436,2 (Ma -{- Mc) -j- 3621,0 Hx -f- a₅,

Q A s₂ = 436,2 (Mc -f Mb) + 3621,0 H.₂ + a₆, wobei die Belastungsglieder mit ab und a₆ bezeichnet wurden.

Da die Gleichungen a) 6 Momente und 2 Sehnenkräfte enthalten, so beseitigen wir die Momente M° und Mu des Pfeilers durch die statischen Beziehungen:

d)

m°=m‘c — mZ,

M“ = MÖ — Mc— (S₁ — E₃)h.

Vor Einführung dieser Zusammenhänge in die Gleichungen a) addieren und subtrahieren wir je die erste und letzte, zweite und vorletzte Gleichung und gewinnen so folgende zwei Systeme:

Durch Addition:

77,20 (MA -(- Mb) -f- 44,²4 (Mc Mq) “j⁻ 436,2 (H₁ -j- H₂) — a₄-\- a₄, 44,²4 (MA -)- Mb) -j- 77,20 (Mq -j- Mq) -f- 436,2 {Hx -j- H₂) — a₂ -J- a₃,

A s₁ —)— A s₂ = o ,

wenn wir zu dieser Gruppe noch die letzte der Gleichungen b) hinzufügen.

Durch Subtraktion:

Mb) M 44’²4 (Mo — Ale) ~f~ 436,2 (Hy — H₂) — a₄ — a₄,

77,20 (MA

44,24 (Ma — Mb) -f- 77,20 {Mlc — Mrc) -f 5,86 M° + 2,08 Mu

~j⁻ 436,2 (H₁    Hn)) -f— 2 g t9g <X₂ flg ,

1,04 M° -J- D4² Mu — g #₃ = o .

Nach Einführung der Verknüpfungen b), c) und d) entstehen die Gleichungen:

' e)

77,²⁰ (MA-\-MB) 44,²4 {Mg ~|-Mq) -f- 436,2 (Hx -f- H₂) — a₄-\-a₄, 44,²4 (Ma4-Mb) -f- 77,²⁰ {Mq -)-Mq) -f~ 436,2 {H₄ -f-H₂) — a₂-\- a₃, 436,2 {Ma-\-Mb) -f- 436,2 {Mq -f-Mq) -f- 3621,0 (H.x-f-S₂)

77,2o(Ma— MB)r\- 44,24(Mb — il/c)+436,2 (jET* — H₂) = ax — a₄, 87,86(Ma—Mb)-\- 128,76^ — JK0+ 777,5 faS,)

f)

= a₂ a₃ jq (tt₅ a₆),

21,81(1^—1/b) + I9,36(i^ -il^)+i₉5,25{H₁~H₂)

Jedes der beiden Gleichungssysteme enthält bloß drei Unbekannte, falls man die in den Klammern stehenden Summen und Differenzen als solche auffaßt.

Die Auflösung von e) liefert:

Ma -j- Mß =    0,045756 {ci₄ -(- a₄) -f- 0,01 54i6 («a -{- as)

~h 0,007369 (a. 4“ aa),

Mq + Mq =    0,015416 (aj -j- a₄) -f- 0,045756 (a₂    #3)

-j- 0,007369 (a₅ -)- a₆),

Jffj -(- Ä> = — 0,007369 (a₄ 4- a₄) — 0,007369 («3 -f a₈)

— 0,002052 (a. -j- a(J),

und von f):

0,035144 (a.

a₄)— 0,000685 (a₂ — a₃) + 0,003858 (a₆ — ae),

0,000685 (a₄ — «J -f- 0,019376 (a₂ — aa) + 0,001845 («₆ — ae), — iZ, = — 0,003858 (flj — a₄) — 0,001845 («₂ — ag)

Mlc — Mc =

— 0,000870 («₅ — ae).

Daraus folgen die Beträge der Überzähligen mit:

==    0,040450 «x -f- 0,007366 «₂ -f- 0,008051 a₃ -}- 0,005306 a₄

4- 0,005614 «₅ -(-0,001-756 ae, 0,005306 «x -j- 0,008051 «₂ -f- 0,007366 a₃ -j- 0,040450 «₄

-f- 0,001756«₅ -j-0,005614afl,

Mc =    0,007366 «₄ -j- 0,032566 «₂ -f~ 0,013190 «₃ -f- o,008051 a₄

s)

-J- 0,004607«₅ -j- 0,002762 öö,

Mc —    0,008051 ax -j- 0,013190 «₂ -)- 0,032566^ -j- 0,007366«₄

-j- 0,002762 a. 0,004607 «₆,

Hx = — 0,005614 «₄ — 0,004607 «₂ — 0,002762 «₃ — 0,001756 «₄

—    0,001461 «. — 0,000591 «₆,

JZ₂ — — 0,001756 «₄ —0,002762 «₂ — 0,004607^ — 0,005614 a₄

—    0,000591 «₅ — 0,001461 «₆.

Mit der Feststellung der Gleichungen g) ist die Aufgabe der Ermittlung der statisch überzähligen Größen im untersuchten Tragwerke gelöst. Es bleibt nur noch die Bestimmung der «-Größen auf Grund der angenommenen Belastung übrig, womit dann durch die Formeln g) die Zahlenwerte der Unbekannten gegeben sind. Wir wollen diese Formeln benutzen, um die Einflußlinien der Überzähligen darzustellen.

Darstellung der Einflußlinien.

Den beiden Öffnungen entsprechend, besitzen die Einflußlinien zwei Zweige. Die zugehörenden Beträge der Belastungsgrößen « unserer Lösungen sind:

Linker Zweig der Einflußlinie

a₁=F₁,

«₂ ,

Rechter Zweig der Einflußlinie

«₃ = F j ,

«4 F„,

Die Fx- und F₂-Linien sind einander spiegelbildlich gleich, weshalb

«4=0,

«„ o,

«3=0,

«₄ = 0,

«5=&,

««== o •

«5    =    0,

a₀ = G.

. . h)

die Ermitdung der F₂-Linie und der G-Linie genügt, um alle Einflußlinien darstellen zu können. Die zahlenmäßige Berechnung zeigen die Tafeln 15 und 16.

Tafel 15.

Ermittlung der _Fa-Linie.

^ =    ar) 2 Wi i + ar 2 m (8 - i)] 1}.

i = 0    i = r + l

r

ar Vii*) 2^

0

(l—aJzVii

(J — 8)t(h

!+■*

(* — 8),<ÄS

(t —

u

— 8 F₂

CO i-O C4 OwO CO O

3,09    3,09

14,70 17,79 41,76    59,55

82,68 142,23 ! 113,40 255,63 1129,42 385,05 | 147,21 532,26 85,36 617,62

64,89

320,22

893,25

1706,76

2300,67

2310,30

1596,78

3,68

21,63

44,10

69,60

82,68

68,04

43A4

21,03

350,22

328,59

284,49

214,89

132,21

64,17

21,03

985,77

1706,94

1934,01

1586,52

962,55

378,54

1050,66

2027,16

2827,26

3293,28

3263,22

2688,84

1596,78

—131,33

—    253,39

—    353,41

—    411,66

—    407,90

—    336,io

—    199,60

und

*) Es ist nämlich in unserem Falle:

yj{ — = — yjii

a) Aus der Tafel 12 entnommen.

Tafel 16.

Ermittlung der 6r-Linie.

G = ±\(l-ar) 2 Xii+*r 2xi(8-i)l.

8 L    < = 0    i = r+l    J

i Xi¹)

Xi i 2 Xi i

i — O

Xi (8 — i)

i=r+l

«r2z<(8”^

i = r+l

00

55)

O 8,12: o

I 51,45

106,69 168,80 202,43 168,80 106,69

51,45

8,12

OO'vJ Os Ln 4^ 05 (4

64,96 3425,24

5E45    5i,45 2i 1080,45 360,153065,09

213,38 264,8318 4766,94 640,142424,95 506,40 771,231511568,45 844,001580,95 809,72 1580,95 12 18971,40 809,72 771,23 844,002424,95 921824,55 506,40 264,83 640,143065,09 618390,54 213,38    51,45

360,15 3425,24 3)10275,72    5i,45

69,963495,20 ol

24

00 Ln tO sO Os L*J O

21

24

9195,27

14549,70

14228,55

9254,76

3972,45

926,10

10275,721284,5 19316,64 2414,6 25797,00 3224,6 28226,16 3528,3 25797,00 3224,6 19316,64 2414,6 10275,721284,5

r) Der Tafel 14 entnommen.

Die Gleichungen der Einflußlinienzweige der drei Überzähligen Ma, Mc und Hx lauten mithin auf Grund der Formeln g) und h): linke Zweige Ma =

0,040450 Fx -j- 0,007366 F₂ -f- 0,005614 G,

0,007366 Fx -[-0,032566 F₂ -f- 0,004607 G, ' • • 0

Mlc =

Hx — — 0,005614 F — 0,004607 F — 0,001461 G;

Ma - L/n/e

& /£

vi

h-O,*29

-0,0*7

60,192

*0^07

ItO,*71

0,7*2

-7,830

'90e'L-

-1,000

7cm= 1 Afomentene/nL/e/t

ou'o

10,33%

110,3*3

-0,762

-0,1*7

*0,196

tßMK

11,002

*0,96*

10^23/

0,2*0

- L/n/e

>0

K*-

7cm=1 Momen1ene/n/?e/1

Li-, - L/n/e

—O, ott

-0,05*

~0,*S7

-0,225

-O, 220

-O, *36

-0,0*5

rst'o-

-0,793

-0,9*7

8*8‘o-

—Q,SS6

-OJ2-,

7 cm ^qsLLrqfte/'ni/e/ten

-0,0*0

-0,226

-0,627

-1,78*

-1,773

-7,88*

-1, *09

M°— L/n/e

dj

1cm - Z Momeniene/nL/e/Len

17,030

Hm

1S,7Q9

16,036

15,797

13,136,

‘0,691

/V - L/n/e

eJ

1cm - * Afomentene/nL/e/Len

Abb. 108.

rechte Zweige Ma =

0,008051 Fx + 0,005306 F₂ -J- 0,001756 G,

0,013190^ -|- 0,008051 F₂ -|- 0,002762 G, '

Mlc =

Hx — — 0,002762 Fx — 0,001756^ — 0,000591 G.

Die Berechnung der Einflußlinienordinaten nach den Formeln i) läßt sich mit dem Rechenschieber sehr schnell durchführen. Das Ergebnis ist in den Abb. 108 a bis c veranschaulicht, die die Einflußlinien der drei Kraftgrößen M^, Mq und Hx aufweisen. Die Jfß-Mq- und H₂- Linien sind die Spiegelbilder der drei dargestellten Kurven. Der Vollständigkeit halber wurden mit Hilfe der Formeln d) auf S. 203 die Einflußlinien der Pfeilermomente M° und Mu berechnet und in den Abb. 108 d und e zur Darstellung gebracht.

Anhang.

Zusammenstellung der Formeln und Tafelwerte.

(Die Formeln sind mit den gleichen Nummern wie im Text versehen. Die in Klammer gesetzte Zahl gibt die Textseite an, um die Gleichung dort rasch auffinden zu können.)

Kontinuitätsbedingung.

'dAy~|*+*

. (IX _ X —: 0

d Ay k

- dx . x=i

A y ist die Verschiebung eines Stabpunktes in der Richtung senkrecht zur Stabsehne infolge der Formänderung, wenn die Stabendpunkte festgehalten gedacht sind;

y der Winkel, den die Tangente an die Stabachse im Zusammenhangpunkte k der beiden Stäbe lk und l Bei geraden Stäben ist y — o;

# Stabdrehwinkel, jener Winkel, um den sich die verschobene Stabsehne gegenüber ihrer ursprünglichen Richtung gedreht hat.

cos² yk —

cos2 zfc+i4-A—0

1c + 1

. i) (S. 14)

fc+i

mit der Stabsehne bildet.

Winkelgleichungen.

. . 2) (S. 18)

2Al cos a'-j- JZ&l sin a — o,

2 Al sin a — 2^1 cos a = o.

Al sind die Längenänderungen der Stabsehnen;

# die Stabdrehwinkel (siehe unter Gl. 1);

k die Neigungswinkel der Stabsehnen gegen eine beliebig gewählte Richtung. Über die Zählrichtung der Winkel cc siehe S. 17.

Viermomentensatz für Tragwerke mit geraden oder schwach gekrümmten Stäben unveränderlichen Querschnittes.

*»*■-. K+² K+² V«+*4‘+i V+i+⁶    ©,*

+ 6Hl+l@ii\^-6EJl(#li-#k+l) = N . . 7) (S. 32)

Bleich, Viermomentensatz.

1 h!

JT

he

14

Jc

l — l —— cos ²y die reduzierte Stablänge;

J

Jc ein beliebig gewähltes Trägheitsmoment;

J das Trägheitsmoment des betreffenden Stabes; y siehe unter Gleichung i);

H die Sehnenkraft;

⁽Bkk^¹ das statische Moment der Fläche 0k, d. i. der zwischen Stabachse und Stabsehne gelegenen Fläche des Stabes lk, bezogen auf den linken Stabendpunkt k — I;

©jjlTi das statische Moment der Fläche 0k + 1 des Stabes lk + 1> bezogen auf den rechten Endpunkt k -j- I;

& die Stabdrehwinkel (siehe unter Gl. i);

N das Belastungsglied. Siehe die Formeln 8—15.

Stoßen im Punkte k nur zwei steif verbundene Stäbe zusammen, dann geht die Viermomentengleichung in die Dreimomentengleichung über:

4' +² K(V + 4'«) + ^4« 4'+i + ⁶ *4 ®,*-

j 2

Lk + 1

Bei geraden Stäben verschwinden in den Gleichungen 7) und 7') die Glieder mit H.

Belastungsglied N.

Die Stäbe lk und lk+1 sind mit senkrecht zur Stabsehne gerichteten Kräften belastet:

ihi

1²

Lk

+1

6 EJc('&k-dk+1) = N .... 7')

k+iK+iTj^

(l — a)

1 — aY

• . 9) (S. 35)

k + l

a ist der Abstand der Last P vom linken Stabende; V siehe unter Gl. 7)

oder

fx und f₂ sind die Stammfunktionen. Stammfunktionen.

k + Yk+l^^k + ifi • • 9) (S- 35)

Siehe Gl. 10).

a{    (l — a)²

- - ,

f)T j

Siehe die Tafel der Stammfunktionen auf S. 211.

ä-4-

• •    10) (S. 35)

I. Tafel der Stammfunktionen fx und f₂.

fl

fl u

0,76 0,22618 0,32102 o,77 0,21783 0,31347 0,78 0,20935 0,30545 0,79 0,20074 0,29696 0,80 0,19200 0,28800

0,81 0,18314 0,27856 0,82 0,17417 0,26863 0,83 0,16509 0,25821 0,840,155900,24730 0,85 0,14662 0,23588

0,86 0,13726 0,22394 0,87 0,12780 0,21150 0,88 0,11827 0,19853 0,89 0,10867 0,18503 0,90 0,09900 0,17100

0,91 0,08927 0,15643 0,92 0,07949 0,14131 0,93 0,06966 0,12564 o,94 0,05978 0,10942 o,95 0,04988 0,09262

0,96 0,03994 0,07526 o,97 0,02997 0,05733 0,98 0,01999 0,03881 0,99 0,01000 0,01970 1,00

0,010,019700,01000 0,260,334780,24242 0,510,372350,3773s 0,02 0,03881 0,01999 0,27 0,34098 0,25032 0,52 0,36941 0,37938 0,030,057330,02997 0,280,346750,25805 0,530,366180,38112 0,04 0,075260,03994 0,290,352090,26561 0,540,362660,38254 0,050,092620,04988 0,300,357000,27300 0,550,358880,38362

0,060,109420,05978 0,310,361490,28021 0,560,35482 0,070,125640,06966 0,320,365570,28723 0,570,35049 0,080,141310,07949 0,330,369240,29406 0,580,34591 0,09 0,156430,08927 0,340,372500,30070 0,590,34108 0,100,171000,09900 0,350,375380,30712 0,600,33600

0,110,185030,10867 0,360,377860,31334 0,610,33068 0,120,198530,11827 0,37 0,37995 0,31935 0,620,32513 0,130,211500,12780 0,380,381670,32513 0,630,31935 0,140,223940,13726 0,390,383020,33068 0,640,31334 0,150,235880,14662 0,400,384000,33600 0,650,30712

0,160,247300,15590 0,410,384620,34108 0,660,30070 0,170,258210,16509 0,420,384890,34591 0,670,29406 0,180,268630,17417 0,430,384810,35049 0,680,28723 0,19 0,278560,18314 0,440,384380,35482 0,690,28021 0,200,288000,19200 0,450,383620,35888 0,700,27300

0,26561

0,25805

0,25032

0,24242

0,23438

0,38438

0,38481

0,38489

0,38462

0,38400

0,38302

0,38167

o,37995

0,37786

0,37538

0,37250

0,36924

0,36557

0,36149

o,357oo

0,35209

0,34675

0,34098

0,33478

0,32812

0,21 0,296960,20074 0,460,382540,36266 0,71 o, 0,305450,20935 0,470,381120,36618 0,72 °,    0,313470,21783 0,480,379380,36941 0,73

o, 0,321020,22618 0,490,377350,37235 0,74 0,250,328120,23438 0,500,375000,37500 0,75

Die geraden Stäbe sind gegen die Lastrichtung geneigt:

s=-xki:2Pj,-ik+li;₊₁2Pi+j₁ . . 11) (s. 36)

A ist die Projektion der Stablänge l auf eine zur Lastrichtung senkrechte Gerade.

Gleichförmig verteilte Streckenlast pk bzw. pk + 1 der senkrecht zur Stabsehne gerichtet:

T 4    4~ ß²

Stäbe lk und l

k+l

NP = —14 h' [«0 ß\

4*²

j 4 (l — a₀f-\-ß²

12) (S. 36)

Pk + lh +1 [(J ao) ß] ß Belastungslänge; a₀ Abstand der Laststreckenmitte vom linken Stabende.

Totale gleichförmig verteilte Belastung pk bzw. pk + 1 der Stäbe lk und l

senkrecht zur Stabsehne gerichtet:

k + l

= - -TPk V K- -TPk + 1 h\i

. . 13) (s. 37)

14*

ju das Angriflfsmoment. Es wird positiv gezählt, wenn es, vom Rahmen-innern gesehen, im Sinne der Uhrzeigerbewegung dreht; a ist der Abstand des Ortes von /z vom linken Stabende (siehe Abb. 44 auf S. 37).

Belastung durch zur Stabsehne parallel gerichtete Einzellasten Phk und PhkJrl in den gekrümmten Stäben lf, und lk + 1:

21

+A*⁺¹V+i»

7c

l— a

U+l

15) (S. 38)

Belastung der Stäbe lk und l und

durch die Drehmomente

Pk +1:

f^k lk ¹

71+'

7 '

7« +1 ⁽'7c +1

i—3

(VT i₊₁i4) (s-³⁷⁾

+1

a ist der Abstand des Lastangriffspunktes vom linken Stabende; b der Abstand des Lastangriffspunktes von der Stabsehne;

¹ das statische Moment der zwischen Stabachse und Stabsehne gelegenen Fläche des Stabes Zft von ak bis lk, bezogen auf den Punkt k — 1;

das statische Moment der zwischen Stabachse und Stabsehne

bezogen auf

gelegenen Fläche des Stabes l den Punkt k -(- I.

7c +1

von

ak+i K

Längenänderung Al der Stabsehne.

Al

Hl

EF

attl

Mr

<5r

EJ L l

+ JlPT + 2H6, + ff • I7) (S. 41)

H ist die Sehnenkraft, positiv, wenn nach außen gerichtet;

F die Querschnittsfläche des Stabes;

at die Ausdehnungsziffer für i° Temperaturänderung;

Mr und Ml die Anschlußmomente in den Stabendpunkten r und l; und <Br die statischen Momente der zwischen Stabende und Stabachse gelegenen Fläche 0, bezogen auf die Stabendpunkte l und r; <BX das statische Moment der Fläche 0, bezogen auf die Stabsehne

G — J yRxydx,

0

wobei 3Jlx das von der Stabbelastung herrührende Balkenmoment, y die Ordinate der Stabachsenlinie, bezogen auf die Stabsehne als Abzissenachse, bedeuten.

Ist die Funktion y (Stabachsenlinie) symmetrisch zu x — —, so ist

Al =

Hl

EF

■ J7') (S. 42)

Bei geraden Stäben ist der Klammerausdruck Null.

G für Lasten

Bei parabelförmigen Stabachsenlinien läßt sich senkrecht zur Stabsehne in der Form darstellen:

G = ]P2Fg.

g ist eine von — abhängige Funktion; f der Pfeil der Parabel.

Siehe die nachstehende Tafel II.

II. Tafel der Funktion g für parabelförmige Stabachsenlinien.

<Cl

to

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,01659    0,03270

0,04792

0,06187    0,07422    0,08470

°,35

0,40

o,4S

0,50

o,55

0,60

0,65

0,09309

0,09920    0,10292    0,10417    0,10292    0,09920

0,09309

0,70

o,75

0,80

0,85

0,90

o,95

1,00

g 0,08470

0,07422    0,06187

0,04792

0,03270

0,01659 o

wenn

Ermittlung der Formänderungen.

Berechnung der Drehwinkel.

fök    ^Tc+l )~Zlc>

21') (S. 158)

GjEJ    Sk ~f~ 2 Sk “h ² Mkr sk +1 -j- AIkl₊₁ sk +1 Fk\ ■

Bedeutung der Bezeichnungen siehe unter Gl. 7).

23) (S. 159)

Ak die Projektion des Stabes sk auf die Verbindungslinie der Endpunkte des Stabzuges;

L die Länge der Projektion des ganzen Stabzuges auf diese Verbindungslinie;

Tragwerke mit Stäben stetig veränderlichen Trägheitsmomentes.

a) Unsymmetrische Stäbe.

Ideales mittleres Trägheitsmoment J .

² */o Jq

Jo Jo

24) (S. 167)

J₀ und J₀' sind die Trägheitsmomente des linken bzw. rechten Endquerschnittes.

Querschnittsziffer a.

Jo

a __ Jm ^0

24') (S. 167)

<x kann alle Werte von —1 bis -(-1 annehmen. Viermomentensatz.

Mk~ 1 h! + (² — 0») lk' + (2 -f- ak + 1) M/ lk +1 -j- Mkl₊₁ lk\₁

+ 6 rrL [©*-* + «    +

& +1

fc+1

lk

. . . . 26) (S. 170)

fc +1

& ¹ und ¹ sind die statischen Momente der zwischen Stabachse

bezogen

und Stabsehne gelegenen Fläche der Stäbe lk bzw. I auf Je ¹ x bzw. Je — |— 1;

<Bkk~¹ und &k+¹ die statischen Momente der zwischen Stabsehne und reduzierter Stabachsenlinie gelegenen Fläche der Stäbe lk bzw. I

k + t’

fc + i’

bezogen auf Je — 1 bzw. Je -)- 1.

Reduzierte Stabachsenlinie.

y Ordinate der Stabachse, bezogen auf die Stabsehne als Abzissenachse. Lastglied N'.

Belastung der Stäbe lk und l

durch Einzellasten P? senkrecht zur Stabsehne im Abstande ak bzw. ak+1

und Pk vom linken Stabende:

+1

29) (S. 172)

21

<Pi =T

oder

W’=-7 klt’2Pky,-l

N'=-—

, a

X-fT

_7    7 '

ik +1 lfc +1

7c +1

28) (S. 172) • ²^) (^* I7²)

III. Tafel zur Berechnung der Funktionen cpx und cp₂ für verschiedene Querschnittsziffern a.

9h r= -42 -®2 ^ •

9h

9h

9h

9h

-42

^2

4l

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0.30

o,35

0,40

o,45

0,50

0,09262

0,17100

0,23588

0,28800

0,32812

0,35700

0,37538

0,38400

0,38362

0,37500

0,04287

0,07290

0,09212

0,10240

0,10547

0,10290

0,09612

0,08640

0,07487

0,06250

0,04988

0,09900

0,14662

0,19200

0,23438

0,27300

0,30712

0,33600

0,35888

0,37500

0,00012

0,00090

0,00287

0,00640

0,01172

0,01890 0,02787 0,03840 0,05012 0,06250 j

0,55

0,60

0,65

OJO

o,75

0,80

0,85

0,90

o,95

1,00

0,35888

0,33600

0,30712

0,27300

0,23438

0,19200

0,14662

0,09900

0,04988

0,05012 0,03840 0,02787 0,01890 0,01172

0,00640

0,00287

0,00090

0,00012

0,38362

0,38400

0,37538

0,35700

0,32812

0,28800

0,23588

0,17100

0,09262

0,07487

0,08640

0,09612

0,10290

0,10547

0,10240

0,09212

0,07290

0,04287

Gleichförmig verteilte Vollbelastung p]; bzw. pk+1 der Stäbe lk und lk+l:

NJ= —

Pk

(V hi ^    J    ^    1*    1    1 iv 1 J.

(4 —    . 30) (S. 173)

b) Symmetrische Stäbe. Querschnittsziffer a.

Jm Jq

Jo

31') (S. 173)

Jm Trägheitsmoment in Stabmitte;

J₀ Trägheitsmoment an den Stabenden;

« kann alle Werte von —1 bis -}-oo annehmen.

Viermomentensatz.

(* + A) J4'-x V+ 2 (1 ■+²~f )Mk‘K + 2 (1 + ²~Y)M-'l^‘

+{i+Y)

Z,'

[©*+¹ + a©"*+¹] — 6EJc(ftk — &k+1) = N. . . 32)

(S. 176)

©* ¹ und ©fc+i sowie ©"*—¹ und ©"^d“¹ haben die gleiche Bedeutung wie unter a).

f 6 ff,

ft +1

ft + 1

Reduzierte Stabachsenlinie.

y-

y Ordinate der Stabachse, bezogen auf die Stabsehne als Abzissenachse.

Lastglied N".

Belastung der Stäbe lk und l

durch Einzellasten Pk senkrecht zur Stabsehne im Abstande ak bzw. ak + x

ft + i

und Pk vom linken Stabende:

2a a

aX-1

5 \l

2-3 T

ft

_7    7 '

lk +1 lk+1

2 a fl — a\²

ft + i

34) (s. 177)

oder

//

1 '

fc + 1 bc +1

fc + i 9^1 2 a fl— a\²

34') (S. 177)

2-3

’l-aY

2 a ( a\²

•2

<P-2

2-3

177)

IV. Tafel zur Berechnung der Funktionen 9?/ und cp₂ ftir verschiedene Querschnittsziffern a.

<Pi — A₁ -f- B₁ a,

9^2-2 + Bo OC ■

9b

<p₂

<Pi

<P*

A.

B₂

A,

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

o,35

0,40

o,45

0,50

o,55

0,60

0,65

0,70

o,75

0,80

0,85

0,90

o,95

1,00

0,09262

0,17100

0,23588

0,28800

0,32812

0,35700

0,37538

0,38400

0,38362

0,37500

0,03066

0,04674

0,05335

0,05432

0,05245

0,04958

0,04691

0,04500

0,04401

0,04375

0,04988

0,09900

0,14662

0,19200

0,23438

0,27300

0,30712

0,33600

0,35888

o,375oo

0,00988

0,01909

0,02711

0,03359

0,03838

0,04152

0,04323

0,04385

0,04386

0,04375

0,35888

0,33600

0,30712

0,27300

0,23438

0,19200

0,14662

0,09900

0,04988

0,04386 0,04385 0,04323 0,04152 0,03838

0,03359 0,02711 0,01909 0,00988

0,38362 0,38400 0,37538 0,35700 0,328 12

0,28800 0,23588 o, 17100 0,09262

0,04401

0,04500

0,04691

0,04958

0,05245

0,05432

0,05335

0,04674

0,03066

fc + i •

Gleichförmig verteilte Vollbelastung pr bzw. pk + 1 der Stäbe lk und l

Pk +1

7 2    7 '

bc +1 bc +1

■ 36) (S. 178)

Längenänderung Al der Stabsehne, für unsymmetrische Stäbe:

Al

Mr

Ml

Hl -    ,    1

+2H(@a;+«©;)+(<*+«<*') >    •

EF

m

EJmll

— (&+a ©'*) + — (©' -f a&r) +

• • 37) (S. 180)

' für symmetrische Stäbe:

Al

attl

Hl

EF

tn

+A

EJm

m

ft (a>+«<29 (v + .wo + ₂i(s,+«6.H(®+« <?')].

37') (S. 180)

Fm ist ein mittlerer Wert der Querschnittsfläche des Stabes;

H, Mr, Ml, at, t haben gleiche Bedeutung wie in Gl. 17);

& und ©r sowie ©'* und ©'r haben dieselbe Bedeutung wie in Gl. 17), wobei sich ©'* und ©'r auf die reduzierte Stabachse beziehen;

© und © ' sind die statischen Momente der zwischen Stabsehne

X    X

und Stabachsenlinie bzw. reduzierter Stabachsenlinie gelegenen Fläche 0 bzw. 0', bezogen auf die Stabsehne.

Reduzierte Stabachsenlinien: für unsymmetrische Stäbe:

V= i — 2-7- y;

für symmetrische Stäbe:

</=

Lastglieder G und Q':

i

a=fmx v dx ’

0

G'=jmxV'ix.

0

Tragwerke mit Stäben beliebiger Form- und Querschnittsgestaltung.

Viermomenten satz.

n    ,    n    n    ,

MJ

Mk-1 j- + Mi!    vvy + ,cT~

i — 0    fe    i = 0    «    i — O    + ;

H~ Hk Wi Vi +

i = 0

fc + 1

k+£ ViVi

—r£sisii sin«i

Lki=1 xi

*k

k + 12Jsi •# sin a< —    (^, — 0fc + J)

— ft+i i = o

£ ^ VV.....\ 38) (S- 192)

i=0

Die Bedeutung der Größen xv x[, y{, s{ ist aus der Abb. 103 S. 187 zu erkennen.

V>i = Sl

Xi-1

*xi)+y4²T+~r)-

39) (S. 193)

wl — 3 (s- + s/₊₁) — %pi.

Es bestehen noch die Beziehungen:

xi

. .    40) (S. 193)

n    ,

A’v’A

n ,

2VA

>xi

. .    41) (S. 193)

42) (S. 194)

Sind die Sehnenabschnitte gleich, also x- = i l, so ist

Vi =

und

2J y,ii-

« = 0

Bei symmetrischen Stäben ist

2y>iXi = 2y;X;,

und

2yfixi' = 2yri'xi. . . 43) (s- *94) 44) (S. 195)

Vi = Zwl Vi ■

Längenänderung Al der Stabsehne.

Jb *<7L==]£v’iVi

i = 0

n f n

i = 0

Bei symmetrischen Stäben:

n

2xij-⁼2xi

i-0

><

48) (S. 197)

49) (S. 197)

Einflußlinien.

(f— «r)^fv/j- + ar^V'/y-

r

F, = — (Z — ar)^^pi

5.

■ 50) (S. 198)

i = r+l

Ö = (l-*r)2Xi

Xi

i = r -f-1

Druck von Oscar Brandstetter in Leipzig.

*

Taschenbuch für Bauingenieure

Unter Mitwirkung von

Ing. Fr. Bl eich-Wien, Geheimrat Prof. Th. Böhm-Dresden, Geheimrat Prof. H. E n g e 1 s - Dresden, Prof Dr. jur. A. E s c h e -Dresden, Geheimrat Prof. M. F o erst er - Dresden, Prof. Dr.-Ing.W. Ge hl er -Dresden, Geheimrat Prof. E. Genzmer-Dresden, Stadtbaurat a. D. Th. Koehn-Berlin, Privatdozent Regierungsbaumeister Dr.-Ing. F. Kogler- Dresden, Geheimrat Prof. G. L u c a s - Dresden, Geheimrat Prof. G. Mehrtens-Dresden, Baurat Dr.-Ing. A. Sch reib er-Dresden, Königlicher Bauamtmann E. Wentzel-Dresden

herausgegeben von

Max Foerster

Geh. Hofrat, ord. Professor an der Technischen Hochschule in Dresden

Zweite, verbesserte und erweiterte Auflage

2094 Seiten auf bestem Dünndruckpapier — Mit 3054 Figuren In zwei Teilen

In einem Bande gebunden Preis M. 20,—; in zwei Bänden gebunden Preis M. 21,—

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Teuerungszuschlag auf geheftete Bücher 20°/₀, auf gebundene Bücher 30°/₀

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BIBLIOTEKA GLÖWNA

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PK 349/83 - 100 000 eg».