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Elastische Bogenträger

einschließlich der

Gewölbe, Eisenbetonbogen und

Bogenfachwerke.

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Ihre Theorie und Berechnung

mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben entsprechend den Bedürfnissen der Praxis von

Dr. Jakob J. Weyrauch

Professor an der Kgl. Technischen Hochschule in Stuttgart.

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Stuttgart

Verlag von Kojnra^d Wittwer

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Alle Rechte

besonders das Recht der Übersetzung in fremde Sprachen Vorbehalten.

Copyright 1911 by Konrad Wittwer Stuttgart, Germany.

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Druck von A. Bonz’ Erben in Stuttgart.

Aus dem Vorwort zur zweiten Auflage.

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Die Anwendung von Bogenträgern hat in neuerer Zeit außer- •' ordentlich zugenommen. Es rührt dies zum Teil daher, daß ästhetische Gesichtspunkte bei Ingenieurkonstruktionen überhaupt mehr Berüp^sich>* tigung finden. Sodann ist infolge der mannigfaltigeren Bedürfnisse hÖHT'*' Mannigfaltigkeit der Anordnungen entstanden, durch welche der Bogen, sei es allein, sei es in Verbindung mit dem Balken, sehr verschiedenen Verhältnissen angepaßt werden kann. Man braucht in dieser Beziehung nur an die Dourobrücken und ihre zahlreichen Nachahmungen, an neuere Brückenkonkurrenzen und an bedeutendere Bahnhofshallen zu erinnern. Daß der Materialverbrauch für Bogen im allgemeinen geringer als für Balken ist, hat ebenfalls mehr und mehr Beachtung gefunden.

Die Notwendigkeit, sich mit der Theorie elastischer Bogenträger zu befassen, tritt also heute an viele Ingenieure heran. Schon die üblichen Belastungsproben mit Berechnung von Einsenkungen setzen eine gewisse Kenntnis derselben voraus. Die Ausbildung der Gewölbe und ihre Verwendung bis zu immer größeren Spannweiten drängen auf deren Berechnung als elastische Bogenträger, nachdem auch die verdienstvollen Versuche des Österreichischen Ingenieur- und Architektenvereins (S. 233) zu dem Schlüsse geführt haben, daß die erprobten Gewölbe sich im allgemeinen wie elastische Bogenträger verhielten und daß es daher zutreffend sein werde, Gewölbe mit ähnlicher Gestalt und gleicher Ausführung wie die Versuchsgewölbe als elastische Bogenträger zu berechnen.

Die vorliegende zweite Auflage meiner elastischen Bogenträger dürfte demnach zu gelegener Zeit erscheinen. Allerdings mußte das Werk eine vollständige Neubearbeitung erfahren, da es in der ersten Auflage von 1879 zunächst nur auf die Durchführung einer genügend vollständigen Theorie ankam. Von Weiterbildungen derselben in dieser Ausgabe sei hier nur auf die genaueren Formeln für den Horizontalschub und die Endmomente, die Berücksichtigung von Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten, von Bogen mit Zugstange und kontinuierlichen Bogen, die Formeln für die Einsenkungen, die Beziehungen für künstliche Überhöhung der Bogen und die Deduktion der

Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur hingewiesen (erstmals ausgeführt bei der Cannstatter Neckarbrücke 1893, vergl. S. 497). Durch mühsame Kontrollrechnungen ist die Zulässigkeit vereinfachender Annahmen geprüft, wobei sich mitunter wesentliche Abweichungen gegen bisherige Meinungen ergaben.

Der Verfasser war bestrebt, durch geeignete Beispiele aus der Praxis die wichtigsten Berechnungen soweit zu zeigen, daß man auch ohne Verfolgung der allgemeinen Entwicklungen in ähnlichen Fällen danach vorgehen kann. Es genügt meist, den einschlagenden Paragraphen vorzunehmen, wo die häutigst gebrauchten Formeln, notwendige Verweisungen und für die Hauptfälle eine Anzahl Beispiele gegeben sind, während im übrigen das vollständige Inhaltsverzeichnis und die am Schlüsse des Werkes angefügten Wort- und Buchstabenregister die Orientierung erleichtern können. — Beziehungen, welche selten oder üur unter gewissen Voraussetzungen nötig werden, sind vielfach in Form von Aufgaben vorgeführt, die alsdann auch Gelegenheit zur Selbsttätigkeit bieten. ------

Stuttgart, im Dezember 1896.

Der Verfasser.

Vorwort zur dritten Auflage.

Die dritte Auflage der „Elastischen Bogenträger“ war schon vor einer Beihe von Jahren in Aussicht genommen, mußte aber mehrfach zurückgestellt werden. Inzwischen hat die Anwendung von Bogenträgern einschließlich der Gewölbe, Betonbogen und Bogenfachwerke immer weiter zugenommen und Eisenbetonbogen sind hinzugetreten. Auch mancherlei Versuche und gewollte wie ungewollte Erfahrungen waren zu verzeichnen und gaben Veranlassung, den betreffenden Anordnungen erhöhte Aufmerksamkeit zuzuwenden. Es braucht in dieser Hinsicht nur an die Versuche und Erfahrungen mit Gelenken erinnert zu werden (§ § 13 — 17, Beispiele 13 — 17, 20, 21, 23 — 25). Alle diese Verhältnisse haben in der dritten Auflage gebührende Berücksichtigung gefunden.

Angesichts der anerkannten Vorzüge der eisernen und steinernen Bogen wären dieselben wohl noch häufiger an Stelle weniger befriedigender Konstruktionen getreten, wenn nicht manche Ingenieure durch die vielbetonte Schwierigkeit und Umständlichkeit der Berechnung davon abgehalten würden. Es kommt hierbei allerdings sehr auf die Methode der Berechnung an. Ich bin deshalb mit den Beispielen viel weiter als in der zweiten Auflage gegangen und glaube nun für alle wichtigeren Fälle genügende Anleitung gegeben zu haben. Nicht nur die Beanspruchungen und sonstigen Grundlagen der Dimensionierung wurden ausführlich behandelt, auch der Formberechnung und den Formänderungen ist entsprechende Beachtung geschenkt. Die nötige Beschränkung wurde in erster Linie bei Bogenarten geübt, welche vorläufig höchstens von solchen Ingenieuren angewandt werden, die keiner Beispiele mehr bedürfen.

Die Kontrollrechnungen zur Beurteilung gebräuchlicher Vernachlässigungen, Begründung von Vereinfachungen usw. sind in der neuen Auflage weiter geführt und auf statisch unbestimmte Bogenfachwerke ausgedehnt worden. Man sehe §§ 51, 58 und die dort angeführten Stellen, sodann §§ 43, 47, VI R, die Vergleichstabellen S. 44, 45, 95, 156, 168, 244, 247, 248, 249, 252, 256, 440, 442, 466, 513, 514 und die Bemerkungen zu einer großen Anzahl von Beispielen.

Wenn der Umfang des Werkes durch den reicheren Inhalt fast verdoppelt erscheint, so rührt dies vorwiegend von den Beispielen und Aufgaben her, deren Anzahl von 60 auf 168 gestiegen ist, während die Paragraphenzahl der allgemeinen Entwicklungen nur von 35 auf 60 zugenommen hat. Es geht schon hieraus hervor, daß das Studium keineswegs im Verhältnisse des Umfanges erschwert, sondern in betreff vieler Dinge erheblich erleichtert worden ist. Auch wird selbstverständlich nicht alles Vorgeführte gleichzeitig interessieren, wie z. B. dem Studierenden für das, was er gewöhnlich in der Theorie elastischer Bogen-träger sucht, schon das Wesentliche der zwei ersten Abschnitte und etwa noch der erste Paragraph des vierten Abschnittes genügen kann. Um das Wesentliche von dem nicht immer gleichzeitig Notwendigen, also insbesondere die allgemeinen Entwicklungen von den Beispielen und Aufgaben zu unterscheiden, ist großer und kleiner Druck angewandt. Zu möglichst rascher Auffindung bestimmter Gegenstände oder der Einführung von Begriffen und Buchstabenbezeichnungen sollen die ausführlichen Verzeichnisse am Anfänge und Ende des Werkes dienen.

Das Ganze zerfällt nun in sechs Abschnitte. Der erste Abschnitt enthält die Beziehungen für beliebige stabförmige Bogenträger, für die Schnittkräfte, Schnittmomente, Kämpferdrücke, Biegungsverhältnisse, Normalspannungen und Schubspannungen, Stützlinien und Kernlinien, die verschiedenen Belastungsarten, Einflußlinien, Grenzwrerte uswr., wobei als neu die ausführliche Behandlung der Gelenke hervorzuheben ist (§§ 13 bis 17, Beispiele 13—17). Diese gilt natürlich nicht nur für Bogenträger.

Im zweiten Abschnitt folgen die gebräuchlichen Bogenarten mit und ohne Gelenke einschließlich der Bogen mit Zugstange, kontinuierlichen Bogen und Ketten. Hier sind neben zahlreichen anderen Beispielen bereits solche über Gewölbe gegeben, die für Dreigelenkbogen zum Teil mit Rücksicht auf den Bauunfall der äußeren Maximilianbrücke in München gewählt wurden (§ 14, Aufgabe 11, Beispiele 20, 21, 23 — 25).

In dem neuen dritten Abschnitt kommen die Besonderheiten der Gewölbe zum Vorträge, wobei außer der Dimensionsierung und Feststellung der Beanspruchungen wie den schon in der zweiten Auflage berechneten Wiener Versuchen auch die Querexzentrizität der Lasten und selbstverständlich die Eisenbetonbogen Berücksichtigung finden. Da behufs geeigneter Behandlung der letzteren die Beziehungen für Stäbe beliebig ungleich widerstehenden Materials aufzustellen waren, die leicht auch auf Eisenbetonsäulen und Eisenbetonbalken angewandt werden können, während diese häufig in Verbindung mit Eisenbetonbogen auftreten, so ist dem dritten Abschnitt ein Anhang über Eisenbetonsäulen und Eisenbetonbalken beigegeben. Man wird also das Wesentliche der Berechnung von Eisenbetonkonstruktionen vereinigt finden und auch hier die erwünschten Beispiele nicht vermissen (im ganzen 24).-

Der vierte Abschnitt enthält die Ableitung der statisch unbestimmten Reaktionen, Einsenkungen und sonstigen Formänderungen voll-wandiger Bogen, von welchen im zweiten Abschnitte bei Betrachtung der verschiedenen Bogenarten zur Erleichterung der Übersicht und praktischen Verwendung nur die wichtigsten Resultate angeführt wurden. Es ist demnach auf den vierten Abschnitt nicht nur dann zurückzugreifen, wenn man jene Ableitungen selbst verfolgen will, sondern auch wenn der Horizontalschub, die Endmomente, die vertikalen und horizontalen Verrük-kungen der Achspunkte stabförmiger Bogen für andere als die im zweiten und dritten Abschnitte angeführten Fälle interessieren. Die Beispiele geben Gelegenheit zu nützlichen Vergleichen und zur Begründung von Vereinfachungen.

Der neue fünfte Abschnitt ist den Bogenfachwerken gewidmet. Es werden wie bei den Vollwandbogen statisch bestimmte und statisch unbestimmte Arten, gegebene und ungünstigste Belastungen, Temperaturänderungen und Bewegungen der Stützpunkte berücksichtigt, und die Einsenkungen und sonstigen Verrückungen der Knotenpunkte festgestellt. Da behufs genügend genauer Berechnung statisch unbestimmter Bogenfachwerke die Stabquerschnitte bereits bekannt sein müssen, so kommt auch die vorläufige Berechnung der letzteren zur Sprache. Mitunter werden Bogenträger zum Teil aus Fachwerk, zum Teil mit voller Wand hergestellt, beispielsweise weil die Konstruktionshöhe nicht zur Durchführung des Fachwerks bis zur Mitte reicht; solchen Fällen ist ebenfalls Rechnung getragen.

Im sechsten Abschnitt endlich ist eine umfassende Berechnung der König-Karls-Brücke über den Neckar bei Cannstatt gegeben, deren Hauptträger vollwandige Zweigelenkbogen mit parabolischer Achse darstellen. Für die Genauigkeit mancher Ableitungen war die weitere Begründung vorausgegangener Vereinfachungen maßgebend (B, F, M). In der neuen Auflage sind mehreren Paragrajjhen Bemerkungen über abweichende Ermittelungen beigefügt; den Schluß des Werkes bildet jetzt ein Vergleich der Eisengewichte und Einsenkungen von Vollwandbogen und Bogenfachwerken.

Im Hinblicke auf die Schwierigkeiten der Herstellung kann ich nicht unterlassen, mit Dank der Sorgfalt und Liberalität zu gedenken, welche die Verlagsbuchhandlung dieser Auflage gewidmet hat. So wurden sämtliche Figuren, 323 gegen 167 der zweiten Auflage, in vorzüglicher Weise neu hergestellt. Die Schönheit des mathematischen Satzes und die Zweckmäßigkeit der Ausstattung tragen erheblich zur Annehmlichkeit des Studiums bei.

Den Leser ersuche ich, vor Benützung des Werkes die auf Seite 539 angeführten Fehler berichtigen zu wollen, eine kleine Mühe gegenüber dem zwecklosen Zeitaufwand, welchen unbekannte Fehler verursachen können.

Ich selbst habe keine Mühe gescheut, die Darstellung nach Möglichkeit zu verbessern, und so auf einem wichtigen Gebiete praktischer Berechnungen die erwünschte weitere Klärung und Erleichterung zu schaffen.

Stuttgart, im Juli 1910.

Weyrauch.

Einleitung

Inhaltsverzeichnis.

Seite

I. Abschnitt.

Allgemeine Beziehungen.

Vorbemerkungen...............

§    1. Schnittkräfte. Schnittmomente..........

Aufgabe 1. Schnittkräfte und Schnittmomente bei beliebigen Richtungen der angreifenden Kräfte........

§    2. Schnittlinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke .    .

Aufgabe 2. Kämpferdrucklinie des Halbkreisbogens mit zwei

Gelenken.................

Beispiel 1. Kämpferdrucklinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke eines Bogens ohne Gelenke von beliebiger Achsform und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe .................

Aufgabe B. Allgemeines über Schnittlinien und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke. Kämpferdrucklinie von Dreigelenkbogen für vertikale und horizontale Aktivkräfte.......

§    3.    Biegungsformeln...............

§    4.    Bemerkungen zu den abgeleiteten Biegungsformeln

§    5. Wiener Versuche mit einem eisernen Bogen......

§    6.    Trägheitsmoment und Krümmungsmoment. Vereinfachungen

Aufgabe 4 mit Beispiel 2. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment des Rechtecks und Quadrats........

Aufgabe 5 mit Beispiel 3. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment der Ellipse und des Kreises........

Aufgabe 6 mit Beispiel 4. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment von Figurendifferenzen (J-Querschnitt usw.) .

§    7.    Kleine Formänderungen. Naviersche Biegungsgleichung .

§    8.    Normalspannungen. Stützlinie. Kernlinien.Kernpunktsmomente

Beispiel 5. Prüfung der vereinfachten Formel für die Normalspannungen (Cannstatter Neckarbrücke).......

Beispiel 6. Normalspannungen bei gleichmäßig verteilter Last

(Cannstatter Neckarbrücke)...........

Aufgabe 7 mit Beispiel 7. Normalspannungen durch einen beliebigen Horizontalschub allein (Cannstatter Neckarbrücke) .

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Seite

§    9. Längsschubspannungen und Querschubspannungen .    .

Beispiel 8. Längsschubspannungen und Querschubspannunge (Cannstatter Neckarbrücke)..........

§ 10. Grenzwerte der Schnittkräfte und Schnittmomente .    .

Allgemeines................

Normalkraft Nx..............

Transversalkraft Tx.............

Moment Mx................

Kernpunktsmomente.............

§ 11. Grenzwerte der Normalspannungen und Schubspannungen

Schubspannungen x .............

Normalspannungen a.............

Vereinfachungen..............

§ 12. Einflußlinien. Bewegte Radlastzüge........

Beispiel 9. Einflußlinien und Grenzwerte......

Beispiel 10. Einflußlinien (Cannstatter Neckarbrücke)

Beispiel 11. Berechnung von Grenzwerten mit Hilfe von Ein

flußlinien (Cannstatter Neckarbrücke).......

Beispiel 12. Verwendung gleichmäßig verteilter und konzen trierter Eigengewichte (Cannstatter Neckarbrücke) .

Aufgabe 8. Ungünstigste Stellung von Radlastzügen .

§ 13. Berechnung der Berührungsgelenke........

Allgemeines................

Zylindrische Beriihrungsgelenke (Wälzgelenke) ....

Sphärische Berührungsgelenke.........

Zulässige Beanspruchungen..........

Beispiel 13. Zylindrisches Berührungsgelenk......

Beispiel 14. Sphärisches Berührungsgelenk (Konkurrenzprojek

zur Bonner Rheinbrücke)...........

Beispiel 15. Elastische Eindrtickungen .......

Bemerkungen betreffend Berührungsgelenke.....

Versuche mit Berührungsgelenken........

Beispiel 16. Versuche von Deslandres.......

Berechnung der Umschließungsgelenke.......

Allgemeines................

Zylindrische Umschließungsgelenke (Zapfengelenke) .    .

Sphärische Umschließungsgelenke (Kugelgelenke) .    .    .

Beispiel 17. Umschließungsgelenke (Cannstatter Neckarbrücke)

17.    Reibungsversuche mit Umschließungsgelenken ....

18.    Spezielle Belastungsarten...........

Allgemeines................

Gleichmäßig verteilte Last auf der ganzen Spannweite . Gleichmäßig verteilte Last und konzentrierte Lasten . . Verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten auf der ersten und zweiten Hälfte der Spannweite........

Aufgabe 9. Parabolisch begrenzte Belastung.....

§ 16-

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II. Abschnitt.

Besondere Bogenarten.

Seite

Vorbemerkungen...............

§ 19. Einfache Bogen mit drei Gelenken.........

Allgemeines.................

Verschiedene Formen.............

Verschiedene Belastungen............

Kämpferdrucklinie. Kernlinien..........

Grenzwerte bei bewegter Last..........

Formänderungen (Einsenkungen) .........

Beispiel 18. Gegebene symmetrische Belastung (Donaubrücke

bei Inzigkofen)...............

Beispiel 19. Gegebene beliebige Belastung (Donaubrücke bei

Inzigkofen)................

Aufgabe 10. Einflußlinien von Schnittkräften und Normalspannungen .................

Beispiel 20. Bestimmung der Einflußlinien von Schnittkräften und Normalspannungen (Donaubrücke bei Inzigkofen) . Beispiel 21. Einflußlinien und Grenzwerte von Gelenkkräften und Normalspannungen (Donaubrücke bei Inzigkofen) . Beispiel 22. Berechnung eines Bogens mit drei Gelenken (Verhältnisse des Gewölbes der Pruthbrücke bei Jaremcze) Aufgabe 11. Größe und Richtung der resultierenden Kämpferreaktion .................

Beispiel 23. Größte resultierende Kämpferreaktion bei bewegten

Radlastzügen (Donaubrücke bei Inzigkofen)......

Beispiel 24. Grenzrichtungen der resultierenden Kämpferreaktion bei gleichmäßig verteilter Verkehrslast (Pruthbrücke bei

Jaremcze).............

Beispiel 25. Grenzrichtungen der resultierenden Kämpferreaktion bei konzentrierten Verkehrslasten (Pruthbrücke bei Jaremcze) Aufgabe 12. Vorzeichen der Momente von Dreigelenkbogen bei

gleichmäßig verteilter Last...........

Aufgabe 13. Dreigelenkbogen mit parabolisch begrenzter Belastung. Steil und flach ansetzende Bogen.......

Beispiel 26. Zur vorigen Aufgabe..........

Beispiel 27. Einsenkungen eines Bogens mit drei Gelenken

(Donaubrücke bei Munderkingen).........

Aufgabe 14. Einsenkungen von Dreigelenkbogen durch Temperaturänderungen und Stützenbewegungen.......

Aufgabe 15. Über schätzungsweise Berechnung von Einsenkungen bei einfachen Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne Gelenk............

Beispiel 28. Berechnung von Bogenlängen.......

Aufgabe 16. Dreigelenkbogen bei beliebigen Richtungen der

angreifenden Kräfte.............

Ferner A 3, 22, 35, 36 und B 9, 49, 51.

§ 20. Einfache Bogen mit zwei Gelenken.........

Allgemeines.................

Verschiedene Formen.............

Verschiedene Belastungen............

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Seite

120

Kämpferdrucklinie. Kernlinien Grenzwerte bei bewegter Last Formänderungen (Einsenkungen)

Beispiel 29. Berechnung eines Bogens mit zwei Gelenken (ausführlichere Berechnung solcher Bogen siehe VI. Abschnitt) . Beispiel 80. Horizontalschub eines parabolischen Bogens (Koblenzer Brücke)...............

Beispiel 31. Einfluß von Temperaturänderungen (Koblenzer

Brücke) ................

Beispiel 32. Ausweichen eines Widerlagers (Koblenzer Brücke) Beispiel 33. Einflußlinien und Grenzwerte parabolischer Bogen

(Koblenzer Brücke)..............

Beispiel 34. Einsenkungen parabolischer Bogen (Koblenzer

Brücke).................

Aufgabe 17 mit Beispiel 35. Künstlicher Horizontalschub (Koblenzer Brücke)...............

Aufgabe 19 mit Beispiel 40. Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal) .

Ferner A 15, 21, 22, 31 und B 10—12, 49, 93—97 sowie VI. Abschnitt.

§ 21. Einfache Bogen ohne Gelenke..........

Allgemeines.................

Verschiedene Formen.............

Verschiedene Belastungen............

Kämpferdrucklinie. Umhüllungslinien. Kernlinien ....    146

Grenzwerte bei bewegter Last.........

Formänderungen (Einsenkungen)..........

Beispiel 41. Gegebene Belastung (siehe auch die Beispiele 44,

63—65, 98 etc.)...............

Beispiel 42. Stützenreaktionen und Stützenmomente eines parabolischen Bogens ohne Gelenke (Verhältnisse des Wiener

Bruchstein-Versuchsgewölbes)..........

Aufgabe 20. Einflußlinien der Stützenreaktionen und Stützenmomente ................

Beispiel 43. Kämpferdrucklinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke eines parabolischen Bogens ohne Gelenke (Verhält-

Beispiel 46. Einfluß von Temperaturänderungen (Koblenz. Brücke) 169 Aufgabe 21. Stützlinie für Temperaturänderungen bei Bogen

mit zwei Gelenken und ohne Gelenke........

Beispiel 47. Einsenkungen parabolischer Bogen (Kobl. Brücke) 171

. 121

122

124

128

. 129

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131

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142

143

144

148

148

150

.    152

.    157

170

Seite

Beispiel 48. Einsenkungen eines parabolischen Bogens (Verhältnisse des Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbes).....

Aufgabe 22. Einflußlinien der Einsenkungen parabolischer Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne Gelenke . Beispiel 49. Einflußlinien von Einsenkungen parabolischer Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne Gelenke . Ferner A 15 und B 1, 63—67, 98, 99.

§ 22. Bogen mit Zugstange.............

Allgemeines.................

Dreigelenkbogen mit Zugstange..........

Zweigelenkbogen mit Zugstange..........

Beispiel 50. Verschiedenheiten der Berechnungen von Bogen

mit und ohne Zugstange............

Aufgabe 23. Einsenkungen eines parabolischen Bogens mit zwei

Gelenken und Zugstange............

Aufgabe 24. Einsenkungen eines parabolischen Bogens mit drei

Gelenken und Zugstange............

Ferner A 32, 35.

§ 23. Weitere Bogenarten. Durchlaufende (kontinuierliche) Bogen Beispiel 51. Durchlaufender Bogen von statisch bestimmter Art Beispiel 52. Durchlaufender Bogen von statisch unbestimmter Art

Besonderer Fall durchlaufender Bogen.......

Allgemeines.................

Kämpferdrucklinie. Grenzwerte..........

Stützenreaktionen...............

Formänderungen (Einsenkungen)..........

Gleiche Öffnungen ..............

Aufgabe 25. Horizontalschub und Kämpferdrucklinie für einen

andern Fall................

Beispiel 53. Durchlaufender Bogen von statisch unbestimmter Art. Zur vorigen Aufgabe...........

§ 25. Ketten (Kabel, Stabketten)...........

Beispiel 54. Telephondraht über den Wallensee von Quinten

nach Murg................

Aufgabe 26 mit Beispiel 55. Grenzen der Spannweiten flach gespannter Ketten konstanten Querschnitts.......

Beispiel 56. Über Grenzen der Spannweiten von Hängebrücken

§ 26. Bemerkungen betreffend Blechbogen........

§ 24.

III. Abschnitt.

Gewölbe im besonderen. Betonbogen. Eisenbetonbogen.

Vorbemerkungen

§ 27. Allgemeines.................

Hierzu fast alle Beispiele und Aufgaben der § § 19, 21 sowie B 1, 63-67, 98, 99.

§ 28. Korrektur eines vorläufig angenommenen Gewölbes

Beispiel 57. Gewölbekorrektur entsprechend dem vorigen Paragraphen

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Beispiel 58. Untersuchung einer korrigierten Fuge auf Zugspannungen ................

§ 29. Zur Wahl der Gewölbemittellinie (Bogenachse).....

Beispiel 59. Stützlinie für Eigengewicht plus halbe Verkehrslast auf der ganzen Spannweite als Bogenachse (vergl. B 26)

§ 30. Berücksichtigung der Querexzentrizität der Lasten .    .    .

Beispiel 60. Spannungen bei querexzentrischer Belastung . Aufgabe 27. Deduktion querexzentrischer auf querzentrische

Schnittkräfte und Lasten............

Beispiel 61. Zur vorigen Aufgabe..........

Beispiel 62. Über Querexzentrizität bei Eisenbahnbrücken . Aufgabe 28. Über Querexzentrizität bei Straßenbrücken .

§ 31. Wiener Versuche mit Gewölben..........

Beispiel 63. Stützenreaktionen und Stützenmomente eines Bogens ohne Gelenke von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).....

Beispiel 64. Beanspruchungen eines Bogens ohne Gelenke

(Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe)........

Beispiel 65. Beanspruchungen bei Versuchen mit einem Bogen ohne Gelenke (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe)

Beispiel 66. Stützlinie eines Bogens ohne Gelenke (Wiener

Bruchstein-Versuchsgewölbe)..........

Beispiel 67. Änderungen derTemperatur und der Spannweite eines Bogens ohne Gelenke (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe)

§ 32. Über Eisenbetonkonstruktionen..........

§ 33. Stäbe aus beliebig ungleich widerstehendem Material .

Allgemeines.................

Wirkung einer Achsialkraft...........

Wirkung eines Momentes............

Zusammenwirken von Achsialkraft und Moment .    .    .    .

§ 34. Eisenbetonbogen...............

Allgemeines.................

Der ganze Querschnitt ist wirksam.........

Zugwiderstände des Betons vernachlässigt......

Berechnung der Schnittkräfte und Schnittmomente .    .    .

Beispiel 68. Druckspannungen allein.........

Beispiel 69. Zugspannungen zugelassen........

Beispiel 70. Zugwiderstände vernachlässigt.......

Aufgabe 29. Kernlinien von Eisenbetonbogen......

§ 35. Korrektur eines vorläufig angenommenen Eisenbetonbogens .

Beispiel 71. Bogenkorrektur entsprechend dem vorigen Paragraphen .................

Beispiel 72. Untersuchung eines korrigierten Querschnitts auf Zugspannungen ...............

§ 36. Längs- und Querschuhspannungen von Stäben beliebig ungleich widerstehenden Materials und speziell von Eisenbetonbogen. Gleitspannungen (Haftspannungen)......

Allgemeines.................

Eisenbetonbogen...............

Seite

220

222

223

224

228

229

230

231

232

233

Seite

Gleitspannungen...............

Beispiel 73. Längs- und Querschubspannungen bei einem bestimmten Bogenquerschnitt..........

, Anhang betreffend Eisenbetonsäulen und Eisenbetonbalken.

Vorbemerkungen...............

§ 37. Säulen beliebig ungleich widerstehenden Materials. Eisenbetonsäulen ...............

277

. 278

279

279

Allgemeines.................

Knickwirkungen...............

Beispiel 74. Säulenspannungen ohne Knickwirkungen .    .    .    .

Beispiel 75. Zulässige Säulenbelastung ohne und mit Knickwirkungen .................

Beispiel 76. Exzentrisch belastete Säule........

§ 38. Balken beliebig ungleich widerstehenden Materials. Eisenbetonbalken .................

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Allgemeines ................

Rechteckige Druckzone. Zugwiderstände des Betons vernachlässigt .................

Rechteckiger Querschnitt. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt ...............

Beispiel 77. Einfach armierter rechteckiger Balken Beispiel 78. Einfach armierter Plattenbalken. Neutrale Schicht

durch die Platte..............

Beispiel 79. Doppelt armierter rechteckiger Balken .... Beispiel 80. Doppelt armierter rechteckiger Balken. Wechsel von Zug und Druck (positive und negative Biegungsmomente) Aufgabe 30 mit Beispiel 81. Querschnittsbemessung einfach armierter rechteckiger Balken...........

Beispiel 82. Einfach armierter Plattenbalken. Neutrale Schicht

durch den Steg .............

Beispiel 88. Einfach armierter rechteckiger Balken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt.........

Beispiel 84. Doppelt armierter rechteckiger Balken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt.........292

Beispiel 85. Einfach armierter Plattenbalken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt...........

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§ 39. Schubspannungen und Gleitspannungen von Balken beliebig

ungleich widerstehenden Materials und von Eisenbetonbalken 294

Allgemeines.................

Rechteckige Druckzone. Zugwiderstände des Betons vernachlässigt .................

Rechteckiger Querschnitt. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt .................

Abbiegen von Einlagestäben...........

294

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Beispiel 86. Einfach armierter rechteckiger Balken Beispiel 87. Einfach armierter Plattenbalken. Neutrale Schicht

durch die Platte ..............298

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Beispiel 88. Doppelt armierter rechteckiger Balken .

Seite

Beispiel 89. Einfach armierter Plattenbalken. Neutrale Schicht durch den Steg. Abbiegen von Einlagestäben ....

Beispiel 90. Einfach armierter rechteckiger Balken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt........

Beispiel 91. Doppelt armierter rechteckiger Balken. Zugwiderstände des Balkens berücksichtigt.........302

Beispiel 92. Einfach armierter Plattenbalken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt...........

.    .    299

.    301

302

IV. Abschnitt.

Ableitung statisch unbestimmter Größen.

Weiteres über Bogen verschiedener Arten und Formen.

Vorbemerkungen..............

§ 40. Kleine Formänderungen im allgemeinen......

Allgemeines.......

Öffnungen mit zwei Gelenken .

Öffnungen ohne Gelenke Öffnungen mit drei Gelenken .

§ 41. Horizontalschub des symmetrischen Halbkreisbogens mit zwei

Gelenken..................

Aufgabe 31. Horizontalschub beliebiger symmetrischer Kreisbogen mit zwei Gelenken durch Temperaturänderungen und

Änderungen der Spannweite...........

Beispiel 93. Horizontalschub eines Kreisbogens mit zwei Gelenken (Verhältnisse der Koblenzer Brücke)......

Ferner §§ 20, 22; A 2, 12, 25; B 29, 50, 52, 53.

§ 42. Horizontalschub des symmetrischen Parabelbogens mit zwei

Gelenken..................

Hierzu §§ 20, 22, 24; A 17, 18; B 30, 33, 95; VI B.

43. Bemerkungen zu den Formeln des § 42.......

Horizontalschub und Endmomente des symmetrischen Parabelbogens ohne Gelenke ..........

Hierzu § 21 und B 41—46.

§ 45. Formänderungen symmetrischer Parabelbogen

Allgemeines..............

Öffnungen mit zwei Gelenken........

Öffnungen ohne Gelenke.........

Öffnungen mit drei Gelenken........

Hierzu §§ 19—21, 24; A 15, 23, 24; B 27, 34, 47—49, 97; VI M.

§ 46. Horizontalschub von Zweigelenkbogen mit beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten § 47. Horizontalschub vollständig symmetrischer Zweigelenkbogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten .    .

Beispiel 94. Horizontalschub eines symmetrischen Zweigelenkbogens mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal)...........

.    . 307

310

co co

co

Q/TJ C/7D

co

44.

316

.    . 319

320

320

co co

. . 322

. 324

Beispiel 95. Zur Anwendung- der Formeln für den Horizontalschub von Parabelbog-en bei andern Bogen (Dourobriicke in

Portugal)......•.........

Aufgabe 32. Bogen von beliebiger symmetrischer Achse unc

beliebigen Querschnitten mit Zugstange......

Ferner § 20, A 19 und B 37, 38.

§ 48. Formänderungen von Bogen mit beliebiger symmetrischei

Achse und beliebigen Querschnitten.......

Allgemeines................

Öffnungen ohne Gelenke...........

Öffnungen mit zwei Gelenken..........

Öffnungen mit drei Gelenken..........

Beispiel 96. Genauere Berechnung (vergl. Beispiel 39) der Einsenkungen eines Zweigelenkbogens von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Dourobriicke in Portugal)

Beispiel 97. Zur Anwendung der Formeln für die Einsenkung von Parabelbogen bei anderen Bogen (Dourobriicke in Portugal) Ferner B 39, 99.

§ 49. Horizontalschub und Endmomente des Bogens ohne Gelenke mit beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten ..................

Allgemeines.................

Verschiedene Belastungen............

Temperaturänderungen.......... .    .    .

Bewegungen der Kämpfer............

Hierzu B 63.

§ 50. Genauere Formeln zur Berechnung des Horizontalschubs und der Endmomente des Bogens ohne Gelenke mit beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten .    .

Allgemeines .    ................

Verschiedene Belastungen............

Temperaturänderungen.............

Bewegungen der Kämpfer............

Beispiel 98. Genauere Berechnung der Stützenreaktionen eines Bogens ohne Gelenke von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe, vergl.

Beispiel 63)................

Beispiel 99. Einsenkungen eines Bogens ohne Gelenke mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Yersuchsge wölbe) ............

§ 51. Einige Ergebnisse der berechneten Beispiele .....

Bogenlängen. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment Ausdruck der Normalspannungen. Schubspannungen .    .    .

Konzentrierte und gleichmäßig verteilte Lasten. Ungünstigste

Belastungen.................

Temperaturänderungen. Einsenkungen........

Bogenform. Parabolische Bogen..........

Bogen mit beliebiger Achse...........

Gewölbe..................

Seite

329

330

t—i    h    -^r    -rji    O

CO    CO    CO    CO    CO

co    co    co    co    co

>o 00 CO

co co

co

05    05    O    03    CO

CO    CO    Tfl

co    co    co    co    co

co    CO    CO    CD

^    ^    ^    -xH

co    co    co    co    co

co

-s3

CO VO CO CD iO iO lO lO

co co co co

I> I> 00 oc o iO iO iO iO co co co co co CO

Seite

V. Abschnitt.

Bogenfachwerke.

. 361

Vorbemerkungen........

§ 52. Statische Beziehungen......

Allgemeines..........

Knotenpunktsmethode ......

Schnittmethode.........

Momentenmethode (Bittersche Methode)

Beispiel 100. Einfaches Bogenfachwerk mit gegebener Belastung 365 Beispiel 101. Durchlaufendes Bogenfachwerk mit gegebener Belastung .................

§ 53. Bogenfachwerke mit Vertikalen (Ständerfachwerke) mit beliebig geformten Gurtungen........

Allgemeines..............

Öffnungen mit Endgelenken........

Horizontalschub............

Kämpferdrucklinie. Ungünstigste Belastungen Beispiel 102. Dachbinder mit gleichmäßig verteilter Last Beispiel 103. Dachbinder mit schiefem Winddruck .

Aufgabe 33. Besondere Ausdrücke für parabolische Sichelbogen 382 Beispiel 104. Zur vorigen Aufgabe.........

§ 54. Bogenfachwerke mit Vertikalen (Ständerfachwerke) und horizontalem Obergurt..............

Die X-Gurtung ist horizontal...........

Die X-Gurtung ist horizontal...........

Beispiel 105. Beliebige konzentrierte Lasten......

Aufgabe 34. Besondere Ausdrücke für Bogen mit einer horizontalen und einer parabolischen Gurtung.......

Beispiel 106. Zur vorigen Aufgabe.........

§ 55. Über Grenzwerte von Stabkräften und Beaktionskomponenten 392 Beispiel 107. Berechnung eines Bogenfachwerks mit drei Gelenken und Vertikalen (Verhältnisse der Theißbrücke bei Szegedin) . Bemerkungen betreffend weitere Beispiele über statisch bestimmte Bogenfachwerke .    .    .    .......

§ 56. Verschiebungsarbeit (Deformationsarbeit, Formänderungsarbeit). Prinzip der virtuellen Verrückungen .    .

Aufgabe 35. Einsenkungen für einfachste Fälle (andere Fälle

siehe Beispiele 120—123)............

Aufgabe 36. Einsenkungen durch Bewegungen der Stützpunkte 40o

§ 57. Beziehungen für statisch unbestimmte Stabkräfte und

Beaktionskomponenten............

Allgemeines................

Fachwerke mit überzähligen Beaktionskomponenten allein Fachwerke mit überzähligen Stabkräften allein .    .    .

Vereinfachungen durch Beziehungen für Stablängen .

362

. 362

362

363

364

367

369

369

. . 371

374

. . 375 . 378 . . 380

383

384

385

387

389

<X> CO

h-L O

396

. . 403

405

406

406

409

410

Beispiel 108. Zweigelenkbogenfachwerk. Ausdrücke für den

Horizontal schub...............

Beispiel 109. Zweigelenkbogenfachwerk. Gleichmäßig verteilte

Last (Eigengewicht).............

Beispiel 110. Zweigelenkbogenfachwerk. Horizontalschub durch beliebige Belastung der Fahrbahn. Einflußlinie des Horizontalschubs .................

Beispiel 111. Zweigelenkbogenfachwerk. Horizontalschub und Stabkräfte durch beliebige bestimmte Belastungen .    .    .    .

Beispiel 112. Zweigelenkbogenfachwerk. Kämpferdrucklinie Aufgabe 37. Zweigelenkbogenfachwerk. Betreffend die Kämpferdrucklinie ................

I

Beispiel 113. Zweigelenkbogenfachwerk. Einflußlinien der Stabkräfte ..................

Beispiel 114. Zweigelenkbogenfachwerk. Grenzwerte der Stützenreaktionen und Stabkräfte...........

Beispiel 115. Zweigelenkbogenfachwerk. Temperatureinflüsse.

Ausweichen der Widerlager...........

Aufgabe 38. Bogenfachwerke mit Zugstange......

Beispiel 116. Bogenfachwerk mit Zugstange......

Aufgabe 39. Durchlaufende (kontinuierliche) Bogenfachwerke

von einfach statisch unbestimmter Art.......

Beispiel 117. Durchlaufendes Bogenfachwerk......

§ 58. Vorläufige Berechnung statisch unbestimmter Bogenfachwerke ...................

Beispiel 118. Zweigelenkbogenfachwerk. Vorläufige Berechnung des Horizontalschubs nach Formeln für vollwandige Bogen . Beispiel 119. Zweigelenkbogenfachwerk. Vorläufige Berechnung des Horizontalschubs nach Fachwerkformeln......

§ 59. Einsenkungen und sonstige Verrückungen der Knotenpunkte von Fachwerken. Gegenseitigkeit der Verrückungen .

Aufgabe 40. Einsenkungen für einfachste Fälle.....

Aufgabe 41. Horizontale Verrückung eines Knotenpunktes . Aufgabe 42. Verrückungen von Knotenpunkten durch Bewegungen der Stützpunkte............

Beispiel 120. Zweigelenkbogenfachwerk. Einsenkungen, direkt

berechnet .................

Beispiel 121. Zweigelenkbogenfachwerk. Einsenkungen, mit Verwendung der Einflußlinie berechnet........

Aufgabe 43. Künstlicher Horizontalschub. Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur.....

Beispiel 122. Zweigelenkbogenfachwerk. Zur vorigen Aufgabe . Beispiel 123. Bogenfachwerk mit Zugstange. Einsenkungen .

§ 60. Träger aus Fachwerk und auf Biegung beanspruchten Stäben

Allgemeines.................

Verschiebungsarbeit. Prinzip der virtuellen Verrückungen . Beziehungen für statisch unbestimmte Größen.....

Aufgabe 44. Zweigelenkbogen aus Fachwerk und vollwandigem

Teil..................

Beispiel 124. Zur vorigen Aufgabe. Bogenfachwerkbrücke an Stelle der König-Karls-Brücke (Cannstatter Neckarbrücke) .

Seite

412

415

417

CM CD

427

427

429

432

433

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436

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450

450

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460

460

460

461

462

VI. Abschnitt.

Berechnung der König-Karls-Brücke über den Neckar

Seite

bei Cannstatt.

GO Ol CO CD 00 O f-H GD CO l> I'-    00 OO

>£*■

GO    GO    OO

CD 05    0>    K)

rH CO l> 0^00 H OO 05 Ol Ci O O O t—I vH    ^    lQiQiO lO

CD X 05 ■’-t Cd CO O iO

Vorbemerkungen..............

A.    Vorläufige Berechnung............

B.    Querschnittsverhältnisse. Horizontalschub.......

C.    Belastungsverhältnisse.............

D.    Momente und Normalkräfte durch das Eigengewicht allein .

E.    Künstlicher Horizontalschub...........

F.    Ungünstigste Belastungen. Kämpferdrucklinie. Kernlinien .

G.    Erste Grenzwerte der Normalspannungen durch die Verkehrslast allein.................

H.    Normalspannungen bei Vollbelastung und zweite Grenzwerte der Normalspannungen durch die Verkehrslast allein .

J.    Resultierende Normalspannungen. Einfluß von Änderungen

der Temperatur und der Spannweite........

K.    Bemerkungen zu den resultierenden Normalspannungen. Belastung’ durch die Straßenwalze. Knickwirkung. Winddruck .

L.    Kämpferdrücke. Auflager...........

M.    Einsenkungen ...............

N.    Reduktion der Normaltemperatur auf die Stuttgarter mittlere

Temperatur. Überhöhung der Bogen........

O.    Vertikalen der inneren Bogen..........

P.    Vertikalen der Stirnbogen...........

Q.    Weitere Berechnungen............

R. Vollwandbogen nncl Bogenfacbwerke. Vergleiche.....

Buchstab enb ezeichnungen Sachregister .    .    .    .

Fehlerverzeichnis .    .

Einleitung.

Als materielles System bezeichnet man die Gesamtheit beliebiger verbundener oder getrennter Teile der Materie, welche als Ganzes der Betrachtung unterworfen werden. Zwischen den Teilen des Systems unter sich können Kräfte wirken, sie heißen innere Kräfte; es können aber auch Kräfte zwischen Teilen des Systems und nicht zum letzteren gehörigen Ausgangspunkten wirken, diese werden äußere Kräfte genannt. Alle bei Untersuchung eines materiellen Systems auftretenden Kräfte sind also entweder innere Kräfte oder äußere Kräfte.

Jeder Teil s eines materiellen Systems S läßt sich als neues System betrachten, in welchem Falle alle Kräfte, welche von dem Reste S — s des ursprünglichen Systems auf das Teilsystem s wirken, in bezug auf dieses äußere Kräfte darstellen, während sie in Hinsicht Sinnere Kräfte waren.

S-S

Fig. 1.

In Fig. 1 sind für das ganze System S die im Schnitte angedeuteten Kräfte innere Kräfte (sie wirken zwischen Teilen des Systems), alle sonst angedeuteten äußere Kräfte. Für das Teilsystem s sind die durchkreuzten und für das Teilsystem 8 — s die nichtdurchkreuzten Kräfte als äußere Kräfte anzusehen.

Fig. 2.

Ist ein materielles System in sich und hinsichtlich seiner Umgebung in Ruhe, so müssen die in jedem Systempunkte angreifenden äußeren und inneren Kräfte (Fig. 2) im Gleichgewichte sein, und in jedem beliebig geformten Schnitte durch das System irgendwelchen von einer Seite her angreifenden Kräften von der andern Seite her genau gleich große Kräfte von entgegengesetzten Richtungen widerstehen (Fig. 1). Zu voller Bestimmtheit der Schnittkräfte muß also stets feststehen, von welcher Seite des Schnittes her dieselben wirken, auf welche der beiden im Schnitte zusammenhängenden Flächen sie bezogen sind. Sodann müssen im Falle der Ruhe die am ganzen Systeme oder irgend einem Teilsysteme angreifenden äußeren Kräfte

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

für sich im Gleichgewichte sein. Dies folgt daraus, daß beim Ansätze der Bedingungsgleichungen für alle äußeren und inneren Kräfte des fraglichen Systems die inneren Kräfte wegen doppelten Auftretens in entgegengesetzten Richtungen (Fig. 1) ausfallen.

Ein Träger ist ein materielles System, welches zur Übertragung von Lasten und anderen äußeren Kräften auf außerhalb des Systems gelegene Stützen dient. Unter dem Einflüsse jener zunächst angreifenden Kräfte, die wir Aktivkräfte nennen, und andrer Ursachen, zu welchen insbesondere die Wärme gehören kann, entstehen bei allen Trägern innere Kräfte und als weitere äußere Kräfte Stützenreaktionen. Die Beanspruchungen pro Flächeneinheit durch die inneren Kräfte werden Spannungen genannt. Da man sich jede auf ein Flächenelement oder eine ebene Fläche wirkende Kraft in eine Normalkraft (normal der

Fig. 3.

Fläche) und eine Tangentialkraft (tangential der Fläche) zerlegt denken kann (Fig. 3), so pflegt auch von Normalspannungen und Tangentialspannungen die Bede zu sein, nämlich von den Normalkräften und Tangentialkräften pro Flächeneinheit. Die Normalkräfte suchen die im Schnitte zusammenhängenden Flächen auseinander zu ziehen oder gegen einander zu drücken (Fig. 3) und werden deshalb in Zugkräfte und Druckkräfte unterschieden; die Tangentialkräfte suchen die erwähnten Flächen längs einander zu verschieben (Fig. 3) und werden daher auch Schubkräfte genannt. Pro Flächeneinheit haben wir Zugspannungen, Druckspannungen und Schubspannungen.

Ein ebener Träger ist dadurch charakterisiert, daß alle äußeren Kräfte und die mit ihnen ins Gleichgewicht tretenden Resultanten der inneren Kräfte (z. B. die Stabkräfte eines Fachwerkes) beständig in einer Ebene wirken. Alle Untersuchungen lassen sich dann auf diese Trägerebene beschränken, welche bei Auftreten von Lasten unter den äußeren Kräften, also z. B. schon bei Berücksichtigung des Eigengewichtes, nur eine Vertikalebene sein kann. In diesem Falle heißen die Horizontalabstände zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgenden Stützpunkten Spannweiten (bei manchen Stützweiten) oder Öffnungen, die Zwischenstützen Pfeiler, die Endstützen Widerlager. Der Träger ist ein einfacher Träger, wenn er nur eine Öffnung besitzt, er ist ein durchlaufender Träger (kontinuierlicher Träger), wenn er sich ununterbrochen über mehr als eine Öffnung erstreckt.

Balkenträger oder kurz Balken nennt man solche ebene Träger, bei welchen durch Lasten und andere vertikale Aktivkräfte nur vertikale Stützenreaktionen entstehen; bei Bogenträgern oder kurz Bogen kommen im gleichen Falle auch horizontale Stützenreaktionen, hinzu. Einfache Balken und einfache Bogen haben nur eine Öffnung, durchlaufende Balken und durchlaufende Bogen erstrecken sich ohne Unterbrechung über zwei oder mehr Öffnungen, Die Endauflager eines Bogens heißen Kämpfer und ihre Reaktionen Kämpferreaktionen. Diese Gegendrücke der Kämpfer sind von gleichen Größen aber entgegengesetzten Richtungen wie die Drücke des Bogens auf die Kämpfer, die Kämpferdrücke. Je nachdem die Horizontalkomponenten der Kämpferreaktionen bei Einwirkung von Lasten allein nach innen oder nach außen gerichtet sind (Fig.

4 u. 5), je nachdem sie die Bogenenden zu nähern oder zu entfernen suchen, hat man es mit einem Sprengbogen oder mit einem Hängebogen zu tun.

Fig. 4 u. 5.

Häufig werden an den Bogenenden Gelenke angeordnet, sodaß die Enden, abgesehen von der Reibung, frei drehbar sind. Man bezweckt durch solche Kämpfergelenke, die Kämpferdrücke an möglichst unveränderlichen Stellen auf die Kämpfer zu übertragen, die Berechnung dadurch einfacher und zuverlässiger zu gestalten, sowie günstigere Beanspruchungen oder Materialersparnis zu erreichen. Nicht selten werden im Interesse jener Zuverlässigkeit und zur Fernhaltung gewisser zusätzlicher Beanspruchungen (durch Temperaturänderungen und kleine Änderungen der Spannweite) auch Gelenke in den Öffnungsmitten eingeschaltet (Zwischengelenke, Scheitelgelenke). Wir können also bereits einfache Bogen ohne Gelenke, mit zwei Gelenken und mit drei Gelenken unterscheiden. Mitunter hat man auch einfache Bogen mit einem Gelenk (einem Zwischengelenk ohne Kämpfergelenke) in Betracht gezogen. Die vollkommene Kette ist als ein Bogen mit stetig aufeinander folgenden Gelenken aufzufassen, wonach die Gleichungen beliebiger Kettenlinien aus den allgemeinen Formeln für stabförmige Bogen zu erhalten sein müssen.

Als elastische Bogenträger bezeichnete man früher solche Bogenträger, deren Stützenreaktionen oder deren innere Kräfte mittelst der technischen Biegungstheorie, welche einen Teil der Elastizitätslehre bildet, abgeleitet wurden. Es gehören hierher in erster Linie die stabförmigen Sprengbogen mit voller Wand, doch wurden meist auch die Stützenreaktionen von Fachwerkbogen und Gitterbogen mit ausgesprochener Achse bis zu den Stützpunkten auf Grund so entstandener Formeln berechnet. Gegenwärtig hat man zur Berechnung der Bogenfachwerke genauere Methoden, die wir ebenfalls berücksichtigen. Die Bezeichnung elastische Bogenträger aber ist mehr und mehr auf alle Bogenträger ausgedehnt worden, bei deren Berechnung die Elastizitätslehre Anwendung findet. Dem soll auch im folgenden Rechnung getragen werden.

I. Abschnitt.

Allgemeine Beziehungen.

Äx-

Querschnitt

Fig. 6.

Die in diesem Abschnitte abzuleitenden Formeln betreffen beliebige stabförmige Bogenträger, deren Achse immer in einer vertikalen Ebene, der Trägerebene, bleibt, während diese zugleich Symmetrieebene des Bogens ist (vergl. § 4). Als Stabachse wird bei Stäben gleichartigen Materials diejenige Linie bezeichnet, welche im spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur die Schwerpunkte aller senkrecht zu ihr gedachten ebenen Schnitte durch den Bogen, d. h. aller Querschnitte, enthält. Bezüglich der Achse von Stäben ungleichartigen Materials kann die Definition bis zur Behandlung der Eisenbetonkonstruktionen Vorbehalten bleiben (§ 33). Die Trägerebene wird auch Bogenebene oder, weil die Biegungen der Bogenachse in ihr erfolgen, Biegungsebene genannt. Eine Easerschicht durch die Achse senkrecht zur Biegungsebene heißt Achsschicht. Als Trägerlänge oder Bogenlänge zwischen zwei Querschnitten gilt die Achslänge zwischen denselben (Fig. 6). Die Formänderungen werden so klein vorausgesetzt, daß die Änderungen der Stababmessungen gegen deren anfängliche, dem spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur entsprechende Werte vernachlässigt werden dürfen.

§ 1. Schnittkräfte. Sehnittmomente.

§ 4. Bemerkungen zu den abgeleiteten Biegungsformeln.

0 F W

! —1,2

§ 15. Versuche mit Berührung’sg’elenken.

§ 19. Einfache Bog-en mit drei Gelenken.

a) Feste Last allein. Vertikalreaktionen der Kämpf

16 f

+ aS^f

1000,92 25643 ! 34066 1714494

48^ [J P(l — 2 af — ip(Z — a) (l2 — 5 la + 4 a2) — Hfl*] 49

und für den zweiten Fall:

11

T=%1,

ul2 1 /1 , ij-Y7r+

§ 30. Berücksichtigung der Querexzentrizität der Lasten.

Nach Einsetzen der Werte von l — 2 in, f, r folgen

X,

= 4,86 cm ,

E‘ J Eb Jb -f- Ee Je —- Eb (Jb “j- n Je ) t

§ 39. Schubspannungen und Gleitspannungen von Balken beliebig ungleich widerstehenden Materials und von Eisenbetonbalken.

§ 41. Horizontalschub des symmetrischen Halbkreisbogens mit

1 rm

§ 48. Formänderungen von Bogen mit beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten.

§ 50. Genauere Formeln zur Berechnung- des Horizontalschubs und der Endmomente des Bog-ens ohne Gelenke mit beliebig-er symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten.

§ 51. Einige Ergebnisse der berechneten Beispiele.

x~ = + v*-jt

X3 = — 68,88 t F3 = — 15,94 „

D = S^, + SasjSdz, die virtuelle Verschiebungsarbeit:

P= 1 bei a = 12 und 18 m. Nach den Ausdrücken unte

als für den Zweigelenkbogen ohne Zugstange, beispi

§ 59. Einsenkungen und sonstige Verrückungen der Knotenpunkte von Fachwerken. Gegenseitigkeit der Verrückungen.

§ 60. Träger aus Fachwerk und auf Biegung* beanspruchten Stäben.

(1+‘2^Sr) = 862 t|!

Dieser Horizontalschub wie nach 2 auf S. 481 die d

c — 1,45 cm .

Beanspruchungen, zulässige (§§ 4,

37024

§ 1. Schnittkräfte. Sehnittmomente.

Wir betrachten einen Stababschnitt zwischen zwei aufeinander folgenden Stützpunkten, welcher bei einfachen Bogen den ganzen Stab darstellt. Ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit horizontaler a>Achse und vertikaler ^/-Achse sei in der Trägerebene in fester Lage gegen die dem spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur entsprechende Gruppierung der Stabpunkte angenommen. Ursprung der Koordinaten im Achspunkte des einen Endquerschnittes; die Querschnitte werden nach den anfänglichen Abszissen x ihrer Achspunkte bezeichnet. Für den Achspunkt des zweiten Endquerschnittes seien x = l, y=h\ Zheißt die Spannweite. Bei gleicher Höhenlage der Endquerschnitte, also

insbesondere in dem gewöhnlichen Falle, daß der Träger zur Vertikalen durch die Mitte der Spannweite symmetrisch angeordnet ist, wäre 1c = 0. (p bezeichne den Winkel der Stabachse bei x mit der positiven Richtung der a?-Achse.

V'

Fig. 7.

Der Stab werde in der Trägerebene beliebig belastet und durchWärme beeinflusst. Der Gesamtbelastung wird nur durch die Gegendrücke R, Pi der R/

Stützen und etwa angrenzender Stababschnitte (im Falle durchlaufender Bogen) das Gleichgewicht gehalten (Fig. 7). Wir wollen der Kürze halber R, R' hier allgemein als Kämpferreaktionen bezeichnen, die Horizontalreaktion eines Kämpfers heißt der Horizontalschub daselbst. Lage, Größe und Richtung der Kämpferreaktionen sind zunächst unbekannt. Denkt man sich jedoch im Schwerpunkt des Querschnittes 0 parallel der Kämpferreaktion R deren Größe zweimal, in entgegengesetzten Richtungen, angetragen, wodurch am Gleichgewichte nichts geändert wird, so erkennt man, daß sich R immer ersetzen läßt durch eine im Achspunkte 0 angreifende Horizontalkraft H, eine ebendaselbst angreifende Vertikalkraft V, und ein Moment M (durchkreuztes Kräftepaar in Fig. 7) in Hinsicht des Achspunktes 0. Ebenso läßt sich die Kämpferreaktion R' ersetzen durch eine im Achspunkte l angreifende Horizontalkraft H', eine ebendaselbst angreifende Vertikalkraft Kund ein Moment—M' in Hinsicht des Achspunktes l.

*-

M'

a₂, • • •

T~

Mt

Tt

Fig. 8.

Zwischen den Querschnitten 0 und x mögen bei Abszissen ax beliebige Lasten P₁, P₂, • • • auf den Träger kommen (Fig. 8), wobei die P und Differenzen der a auch unendlich klein sein dürfen (stetig verteilte Lasten, vergl. § 18). Die resultierende Kraft, mit welcher der Trägerteil links des Querschnittes x auf den Trägerteil rechts von x wirkt, sei Rx. Dieselbe kann man in eine Normalkraft Nx (normal dem anfänglichen Querschnitt bei x) und eine Transversal kraft Tx (transversal der anfänglichen Achse bei x) oder auch in eine Horizontalkraft Hx und eine Vertikalkraft Vx zerlegen. Die Formänderungen werden so klein vorausgesetzt, daß Nx, Tx auch nach denselben als normal dem Querschnitt und der Achse gelten können (§ 7). Denken wir uns parallel der resultierenden Schnittkraft Rx deren Größe zweimal, und entgegengesetzt im Achspunkte x ange-

tragen (Fig. 9), so zeigt sich, daß man Rx ersetzen kann durch ein Moment Mx in Hinsicht des Achspunktes und zwei in letzterem angreifende Kräfte Hx, Vx oder Nx, Tx, wobei die längs der Achse wirkende Kraft Nx auch Achsialkraft genannt wird. Die positiven Dichtungen von x, y, cp, H, H', V, V', Mx, Hx, Vx, Nx, Tx sind in Fig. 7 angedeutet. Die von der Fläche rechts von x her wirkenden Kräfte sind von gleichen Größen, aber entgegengesetzten Dichtungen wie die angeführten Schnittkräfte, sodaß z. B. für x — l,Vt = — V', H, = H',    =

Vx\tx

Da Hx gleich der Summe aller äußeren Horizontalkräfte, Vx gleich der Summe aller äußeren Yertikalkräfte und Mx gleich der Summe der Momente aller äußeren Kräfte

Fig. 9.

des Trägers links vom Querschnitte x sein muß (letztere in Hinsicht des Achspunktes x), so ergeben sich folgende Gleichungen:

HX = H,

Vr = V—2P,

x    ₀

Mx±=M+Vx—Hy — 2P{x—a) = M-\-Vxx-Hy + 2Pa. 3

Kach 1 ist die resultierende Horizontalkraft für alle Querschnitte einer beliebig belasteten Öffnung von gleichem Wert, nämlich gleich dem Horizontalschube H. Man hat also auch Hx = PP = H. Gleichung 3 lautet für x = /:

M' = M+Vl — Hk — 2P(l-a),

woraus die Yertikalreaktion bei 0:

V—

M’-M+Hk-{-2P(l-a) =V₀.

Substituiert man diesen Wert in 2, so folgt mit x=l wegen Vx —— F' die Yertikalreaktion bei l:

V' =

= — F,.

M— M' — Hh-\-2Pa |

Die Addition der beiden letzten Ausdrücke liefert:

r+F'=jp=v₀-rl,

welche Gleichung besagt, daß die Summe der Vertikalreaktionen gegen einen Bogenabschnitt gleich der Belastungen derselben ist. Mit 4 ergeben sich aus 2, 3:

M+Hk

Mx =

ip«4-ip (i — a) ^[jf+JPa]+ j[M'+2P(l-a)]-[y- jx)h

Fig. 10.

wonach für mathematische Maxima und Minima von Mx:

yx—h tg cp,

Durch Zerlegen von Vx und Hx — H in Komponenten parallel und senkrecht der Stabachse (Fig. 9) folgen:

Nx = Vx sin cp -(- H cos cp ,

TX = VX cos cp — H sin cp .

Für die Richtungswinkel -ip, d der resultierenden Schnittkraft Rx mit der positiven Richtung der #-Achse und der Stabachse (oder Normalen zum Querschnitt) hat man:

tg</>= 4, t^ö=^t= tgo—P»>

und den Absolutwert von Rx bestimmt:

R, = ]/W+ r; = yäf+ Tl .

10

11

12

Denken wir uns vom Querschnitte x um die Achslänge ds entfernt, vor dem folgenden P, einen zweiten Querschnitt x + dx geführt, so verlangt das Gleichgewicht (Fig. 10):

Mx + Txds = MxJrdMx,

d Mx

woraus:

ds

13

und wegen dx cliung 10:

ds cos cp mit Rücksicht auf Glei-

d Mx

=yx—h tg cp,

14

Tx = 0,

es wirkt an den betreffenden Stellen die resultierende Schnittkraft Rx normal dem Querschnitt oder parallel der Stabachse.

In 2 bis 8 bedeuten die Grenzen der Summen 2 Querschnitte nicht Abszissen von Achspunkten), zwischen welchen die Lasten P auf den Träger kommen; nur bei Yertikalschnitten ist es gleichgültig, ob man die Querschnitte oder Abszissen darunter versteht. Uber spezielle Ausdrücke der Summenwerte N für gleichmäßig verteilte Lasten siehe § 18. Alle abgeleiteten Gleichungen gelten auch für Balken, in welchem Falle darin H— 0 zu setzen ist.

Aufgabe 1. Schnittkräfte und Schnittmomente bei beliebigen Richtungen der angreifenden Kräfte.

Die in § 1 ausgedrückten Größen für den Fall abzuleiten, daß nicht nur Lasten (vertikale Aktivkräfte), sondern in der Trägerebene beliebig gerichtete Aktivkräfte am Träger wirken.

Die äußeren Aktivkräfte Rx, R₂,..., deren wirklichen, nicht notwendig in der Stabachse liegenden Angriffspunkten die Abszissen ax, </₂, ... und die Ordinaten b2: ... entsprechen, mögen Yertikalkomponenten t\, P₂, ... und Horizontalkomponenten Qx, Q₂, ... besitzen. Positive Richtungen dieser Komponenten denjenigen der Reaktionen V, H entgegengesetzt (Fig. 11). Ganz wie in § 1 ergeben sich die Horizontalkraft, Vertikalkraft und das Moment in einen beliebigen Querschnitt x:

<■

Vx= V- 2 P,

./•

b),

Mx = M + Vx - Hy - 2 P (x - a) + 2 Q (y

o

wobei die Grenzen der Summen 2 wieder Querschnitte, nicht Achspunkte oder Abszissen bedeuten.

Gleichung 3 liefert für x = l:

i

M‘ = M + V l — Hk — 2 P (l

woraus die Vertikalreaktion bei 0:

V = ] f M‘- M+ II k + 1 P (i - «) - i Q (k - 6)1 =

' L    o    o    J

«) + 2 Q (k b),

v₀.

Durch Substitution dieses Ausdruckes in 2 folgt mit x V‘ = — Vf heil:

— I die Yertikalreaktion

v‘

H Ä' -j- 2 P ci -j- 2 Q (Je 0    o

Die Addition der beiden letzten Gleichungen liefert:

■«]-

- vi ■

v+ v = 2 p= v₀ — rt,

0

wonach, wie selbstverständlich, die Summe der Yertikalreaktionen gegen einen Trägerabschnitt gleich der Summe der vertikalen Aktivkräfte an demselben ist. Gleichung 1 ergibt mit x = l wegen 11' = H: analog 6:

Pi'

Hl■

M'

ff'

Fig. 11.

Durch Zerlegen von Vx und Hx in Komponenten parallel und senkrecht der Stabachse bei x folgen die Normalkraft und Transversalkraft daselbst (Fig. 9):

Nx =Vx sin <p + Hx cos <p ,

Tx = Vx COS cp

Hx sin cp

während die Richtungswinkel ö der resultierenden Schnittkraft Bx mit der po sitiven Richtung der x-Achse und der Stabachse sowie der Absolutwert von Hx bestimmt sind durch:

Vx

Hx ’

tg ö =

Tx

Nx

tg (xf> — cp),

10

Hx = yHx² + Vx- — \NX2 + Tx².

Schließlich erhält man wie in § 1 durch Betrachtung eines Trägerstücks bei x von der Achslänge ds zwischen zwei aufeinander folgenden Aktivkräften Ii:

d Mx

1J

d Mx

AA ⁼    “ Hr tg Cf

wonach für mathematische Maxima und Minima von Mr :

Tx = o

Die resultierende Schnittkraft Bx wirkt an solchen Stellen normal dem Querschnitt oder parallel der Stabachse.

ds

= Tx,

12

Tx = Hx tg cp.

§ 2. Schnittlinie und Umhüllung-slinie der Kämpferdrücke.

Auf einen beliebigen einfachen Bogen träger (über durchlaufende Bogenträger siehe § 23) wirke eine Einzellast P. Hierdurch werden gewisse Reaktionen JR, Jl‘ der Kämpfer hervorgerufen, welche sich mit

P ins Gleichgewicht setzen, sodaß P, P, P' durch einen Punkt S gehen (Fig. 12). Die Abszisse a des Schnittpunkts S ist diejenige des Angriffspunkts von P, die Ordinate b findet sich wie folgt. In Bezug auf S ist das Moment von R gleich 0. Da aber R durch R, V und M ersetzt wird (§ 1), so hat man:

31 + Va — Hb = 0, woraus:

sh

---

M,

TV'

-M'

"o,>

70

M + Va

Fig. 12.

Mit der Abszisse a der Last P ändert sich auch die Lage des Schnittpunktes S. Läßt man P nach einander alle Lagen von a = 0 bis a = l einnehmen, so beschreibt der Punkt S eine Linie S, welche Schnittlinie der Kämpferdrücke oder Kämpferdrucklinie heißt.

Die Ordinaten derjenigen Punkte, in welchen die von der Einzellast P herrührenden Kämpferdrücke R, R‘ die Vertikalen bei 0 und l schneiden, seien iv, iv‘ (Fig. 12).    Da in Bezug auf den ersten dieser

Schnittpunkte das Moment von R, in Bezug auf den zweiten das Moment R‘ gleich 0 ist, während R durch H, F, M und Ri durch H‘ = H, V\ — M* ersetzt werden (§ 1), so folgen:

M—Eiv = 0

von

M + H(w‘ — Je) = 0

und hieraus:

iv‘.= Je +

M'

Für den Winkel, welchen die resultierende Schnittkraft Rx bei beliebigem x mit der positiven Richtung der x- Achse einschließt, gilt § 1, 11):

tg *P =

Demnach hat man in unserem Falle für die entsprechenden Winkel bei 0 und l mit V₀ = F, Vt = — Vl:

Vx

Die zweite Gleichung gilt auch für den Winkel der Eichtung von R‘ mit der negativen Richtung der a:-Achse.

Mit der Änderung des Angriffspunktes der Last P ändert nicht nur der Schnittpunkt S seinen Ort, sondern es geraten auch die Richtungslinien der Kämpferreaktionen R, R‘ in andere Lagen. Läßt man von irgend einer Lage a aus die Abszisse a und da wachsen, so ändern auch die erwähnten Richtungslinien ihre Lagen nur um unendlich wenig, wobei sich aber doch die vorige P-Linie und die neue P-Linie in einem Punkte schneiden (Fig. 13), und ebenso die vorige P'-Linie und die neue

Gehen wir wieder um da weiter, so

u, v

P'-Linie in einem Punkte u‘, v‘.

wird die zweite P-Linie von der dritten P-Linie, die zweite P'-Linie von der dritten P'-Linie geschnitten. Fährt man so fort, dann entsteht in der Verbindungslinie der Schnittpunkte aller aufeinander folgenden Jf-Linien eine Umhüllungslinie der Kämpferdrücke P. Ebenso erhält man als Verbindungslinie der Schnittpunkte aller aufeinander folgenden P'-Linien eine Umhüllungslinie der Kämpferdrücke P'.

Wir wollen die erste dieser Linien auch kurz Linie U, die zweite Linie U‘, die Kämpferdrucklinie Linie S nennen. Für Träger, welche zur Vertikalen durch ihre Mitte symmetrisch angeordnet sind, liegen auch diese Linien symmetrisch zu jener Vertikalen, sodaß es dann genügt, die Linie U zu bestimmen.

Es sollen nun für eine beliebige Lage a der Last R die Koordinaten des Schnittpunktes der zwei unendlich benachbarten P-Linien abgeleitet werden. Sind uv v₁ die laufenden Koordinaten der P-Linie für jene Lage (Fig. 12), so ist die Gleichung dieser Linie:

i\ = w + ux tg ipQ .

Gehen wir nun mit P um da weiter, so ändern sich iv um dw, tg ip0 um d tg xpQ, und die Gleichung der neuen P-Linie lautet, wenn w₂, v2 ihre laufenden Koordinaten:

da\da

IL

in

Fig. 13.

R’

Für den Durchschnitt beider Linien hat man u₁ = u₂ — u, i\ = v₂ = v, sodaß durch Subtraktion:

0 = d w + u d tg xp

woraus:

d iv

und damit nach der Gleichung für vx:

v = IV — tg xpQ

d tg ip₀

Substituiert man in die beiden letzten Formeln die Ausdrücke 2, 3 von w, tg ip₀ und

dlV

HdM— Md H

H°-

so folgen:

d tg ip0 HdM—Md H

HdV— V dH

Hl

V dH — HdV

VdM-MdV V dH—HdV

worin H, V, M einer bei a angreifenden Einzellast P entsprechen und die Differentiale sich auf ein veränderliches a beziehen.

Sind die Ausdrücke von H, V, M, bekannt, so kann man sie nach a differentieren und aus 4, 5 die Koordinaten des Schnittpunktes je zweier aufeinander folgenden P-Linien erhalten. Wird dann mittelst einer der beiden Gleichungen a aus der andern eliminiert, so erhält man in der entstehenden Beziehung zwischen v und u die Gleichung der Umhüllungslinie U in gewöhnlicher Form (vergl. § 21). Es lassen sich jedoch II, V, M erst dann entsprechend ausdrücken, wenn Näheres über die Anordnung des Trägers bekannt ist.

Zur Ableitung der selten nötigen Beziehungen für die Umhüllungslinie U‘ haben wir die Gleichung der B'-Linie für den Angriffspunkt a der Last, bei Beachtung, daß in Fig. 9 Winkel ip für x = l, d.li. iph einen negativen Wert erlangt:

*i = v>‘ — (i — Wj) tg tpi ,

und für den Angriffspunkt a-\-da:

V₂ = w‘ + dw‘ — {l — t<₂) (tg rpi + d tg ).

Für den Durchschnitt beider Linien erhält man wegen ux — u₂ = u‘ und vl — v₂ = v‘ durch Subtraktion:

woraus und womit:

0 = dtv' — (l — u‘) dtgtyi,

l — u‘ =

v‘ = iv‘ — tg ipi

dw‘

d tg tpi ’ dw‘ dtg

Substituiert man in diese Gleichungen w\ tg nach 2, 3 und

H dV' — V' dH

HdM' — M‘ dH

d tg 1=

so ergeben sich die Koordinaten des Durchschnitts der zwei benachbarten R‘-Linien für die Lage « der Last, d. h. die Koordinaten des entsprechenden Punktes der Umhüllungslinie TP:

die‘ —

u‘ = 1 —

HdM¹ — M‘ dH

V‘ dH — HdV‘ ’

V'dM' — M'dV'

V' dH — HdV' ’

worin sich wieder H, V‘, M‘ auf eine bei a angreifende Einzellast P und die Differentiale auf ein veränderliches a beziehen. Bezüglich der Elimination von a und der damit entstehenden Beziehung zwischen u‘, v‘ als Gleichung der Umhüllungslinie V gilt Analoges wie für die Umhüllungslinie U.

Sind für einen Bogen die Linien S, U, U‘ bestimmt, so ist es leicht, die von einer Last P an beliebiger Stelle a herrührenden Reaktionen JR,

U‘, V, V' H graphisch zu ermitteln, wie dies in Fig. 14 angedeutet ist. Die entspre- ^ chenden M, M! ergeben sich / aus 2.

'TT

ir

CL

r'

7T

Fig. 14.

Je

Es mag schon hier erwähnt werden, daß für frei drehbare Bogenenden (Bogen mit Kämpfergelenken in der Achse bei Vernachlässigung der Reibung) wegen M = M'‘ — 0, dM= dM‘ = 0 nach 4—7 u — 0,

v = 0, u' = l, v‘ = lc, die Umhüllungslinien der Kümpferdrücke sind dann Punkte, die Kämpferdrücke R, R‘ gehen stets durch die Grelenkmittelpunkte bei 0 und l.

Aufgabe 2. Kämpferdrucklinie des Halbkreisbogens mit zwei Gelenken. Für einen Halbkreisbogenträger konstanten Querschnitts mit Kämpfergelenken in gleicher Höhe hat man bei beliebiger Belastung die Vertikalreaktion bei 0 und den Horizontalschub (§ 41):

= 4- i’ p (7 - a)

4 l

2 Pa {l nl- o

«)•

OtWiZ\ i

/\ '

Die Schnittlinie S der Kämpferdrücke zu bestimmen.

Da im vorliegenden Falle M — 0 und für eine Einzellast P bei a nach 1:

l — a

r— p

4 P nV-

ct (7 - a)

R'

so liefert § 2, 1 die Gleichung der Kämpferdrucklinie S:

Fig. 15.

l = 0,7854 7.

Die Kämpf er drucklinie ist also eine in der Höhe b über den Gelenkmittelpunkten liegende Horizontale, während die Umhüllungslinien der Kämpferdrücke, wie immer bei Bogen mit Kämpfergelenken, die Gelenkmittelpunkte sind (S. 12). Weitere Anwendungen obiger Beziehungen siehe u. a. §§ 19 bis 21.

Beispiel 1. Kämpferdrucklinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke eines Bogens ohne Gelenke von beliebiger Achsform und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).

Für das in den Beispielen 63 bis 67 behandelte symmetrische Versuchsgewölbe des Österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins von l — 23,758 m Spannweite und f= 4,502 m Pfeil der Achse erzeugten Einzellasten Pan Stellen der in unten folgender Tabelle angeführten Abszissen a die in den Kolumnen 2 — 5 beigesetzten Werte des Horizontalschubs H, der Vertikalreaktion V bei 0 und der Endmomente M, M‘ (Beispiel 63). Die Schnittlinie und Umhüllungslinie der Kämpferdrücke zu bestimmen.

Für die Schnittlinie S der Kämpferdrücke ist nach § 2, 1 die Ordinate b bei Abszisse a:

l __ M + Va

worin M, V, H einer bei a angreifenden Einzellast P entsprechen. Wir erhalten demnach mit den in der Tabelle gegebenen Werten für a — 0,629 m:

— 0,5789 + 0,9988.0,629 0,0092

In gleicher Weise sind die übrigen unten angeführten b berechnet. Da die Linie S symmetrisch zur Trägermitte liegt, so genügt ihre Berechnung für die erste Trägerhälfte.

Um die Umhüllungslinie U der Kämpferdrücke R verzeichnen zu können, genügt es, eine Anzahl R für geeignete Lagen der Einzellast P aufzutragen. Einen Punkt jedes dieser R hat man in dem Durchschnitt der betreffenden Last P mit der Schnittlinie S, man braucht also nur noch je einen zweiten Punkt der R zu ermitteln. Nach § 2, 2 ist die Ordinate des Durchschnitts von R mit der Ordinatenachse bei 0:

= 5,364 m .

also beispielsweise für a = 0,629 m:

0,5789 _ 0.0092 —

— 62,924 rn,

und für l — a — 0,629 m oder a = 23,129 m:

2.402 m .

_ 0,0221 " ~ 0,0092

ln gleicher Weise sind die übrigen angeführten w berechnet.

Man sieht, daß für kleine a die iv so große negative Werte annehmen können, daß die Durchschnittspunkte der R mit der Ordinatenachse nicht mehr auf den Zeichenbogen fallen. Für solche Fälle kann man berücksichtigen, daß für die Abszisse 0 des Durchschnitts von R mit der Abszissenachse die Beziehung besteht (analog Gleichung 2 in § 2): M-j-Vz = 0, woraus:

Beispielsweise erhalten wir für ci — 0,629 m:

0,580 m .

_ 0,5789 __

2 _ ~Ö,9988

In gleicher Weise sind die übrigen z der folgenden Tabelle berechnet.

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle I.

für

für

in m

in m

in m

in m

in m

in m

l — a

in m

in m

|    0,629 I 0,0092    0,9988

2,879    0,1818    0,9734

5,129    0,5242    0,9101

7,379    0,9322    0,8052

9,629    1,2652    0,6634

11,879    1,3956    0,5000

0,5789 i 0,0221 0,4131 1,0952 1,0391 i 1,7116 0,2450 ; 1,8768 1,3629 ¹ 1,3629

—    1,8346

—    1,8990

5,364

5,322

5,282

5,259

5,243

5,232

—    62,924

—    10,093

—    3,623

—    1,115 0,194 0,977

0,580

1,885

2,087

1,290

—    0,369

—    2,726

Die Kämpferdrucklinie S konnte hiernach in Fig. 16 verzeichnet werden und ebenso genügend genau die Umhüllungslinie U, soweit sie interessiert (der Teil nach etwa dem ersten Viertel kommt nicht zur Verwendung, weil daselbst keine R berühren), während die Umhüllungslinie U‘ bezüglich einer Vertikalen

An

0$9 i/j2,879    SJ29 7,379 9,629 11,879 lty29 16,379 18,629 20,879\23,i?9

Fig. 16.

Linie U liegt. Die Linien S, U, U wei-

durch die Trägermitte symmetrisch zur chen im vorliegenden Falle nicht bedeutend von den für den parabolischen Bogenträger ohne Gelenke gütigen ab. So wäre S für letzteren eine horizontale

Gerade, deren Ordinate genügend genau b = J f = 5,402 m (§21), während die obigen b zwischen 5,364 und 5,232 m variieren.

Aufgabe 3. Allgemeines über Schnittlinien und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke. Kämpferdrucklinie von Dreigelenkbogen für vertikale und horizontale Aktivkräfte.

Es sollen für beliebige Dreigelenkbogen die Kämpferdrucklinien für vertikale und horizontale Aktivkräfte abgeleitet werden.

Bei allen Ableitungen betreffend Schnittlinien und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke ist folgendes zu beachten. Wirkt auf den Bogenträger eine beliebig gerichtete Aktivkraft A, so setzt sich diese ins Gleichgewicht mit den durch sie erzeugten Kämpferreaktionen A, A', so daß die Kräfte A, R, R' durch einen Punkt S gehen (Fig. 17). Bezeichnen a, b die Koordinaten des letzteren für ein rechtwinkliges Koordinatensystem durch den beliebigen Punkt 0 des einen Endquerschnitts, so ergibt sich ganz wie zu Beginn des § 2 (dort für vertikale Aktivkräfte):

M + Va

II

unter H, V: M die Horizontalkomponente, Vertikalkomponente und das Moment um den Punkt 0 der Kämpferreaktion R verstanden. Handelt es sich um einen Bogenträger mit Kämpfergelenken in den beliebigen Punkten 0 und l der Endquerschnitte, so gehen die Reaktionen R, R' stets durch die Mittelpunkte dieser Gelenke (Fig. 18), womit aus 1 wegen M = 0 wird:

b==ATa-

Auch in jedem anderen Querschnitt x, der ein Gelenk enthält, geht die resultierende Schnittkraft Rx durch den Mittelpunkt desselben, da sonst eine Drehung des sie erzeugenden Bogenteils um das Gelenk eintreten müßte.

/A

S,

/A

R,

a.

¹ \R'

Fig. 18.

Fig. 17.

Läßt man die Aktivkraft A parallel mit sich selbst nacheinander alle möglichen Lagen einnehmen, so beschreibt der Punkt S eine Linie S, welche die Schnittlinie der Kämpferdrücke oder Kämpferdrucklinie für Aktivkräfte der angenommenen Richtung heißt. Ihre Gleichung ist durch 1 oder 2 bestimmt. Gleichzeitig entstehen als Verbindungslinie U der Schnittpunkte je zweier aufeinander folgender R-Linien eine Umhüllungslinie der Kämpferdrücke R und als Verbindungslinie V der Schnittpunkte je zweier aufeinander folgender A'-Linien eine Umhüllungslinie der Kämpferdrücke R'. Die Linien S, ü, TJ‘ lassen sich durch sinngemäße Verwendung des in Beispiel 1 vorgeführten Verfahrens auch ohne Kenntnis ihrer Gleichungen erhalten.

ersten Gelenken Rx

Dreig’elenkbogen. Es handle sich zunächst um die Kämpferdrucklinie für vertikale Aktivkräfte (Lasten). Wirkt eine Last P zwischen den zwei letzten Gelenken (Fig. 19), so ist für alle Querschnitte zwischen den zwei R, so daß der Schnittpunkt S in der Geraden durch die zwei ersten Gelenke liegen muß (Fig. 19). Beim Fortschreiten der Last P vom Zwischengelenk zum Endgelenk beschreibt der Punkt S die Gerade bc. Wirkt dagegen die Last. P zwischen den zwei ersten Gelenken (Fig. 20), dann hat man für alle Querschnitte zwischen den zwei letzten Gelenken Rx — R‘ (nämlich gleich der Resultante von R und P), wonach der Schnittpunkt S nun in der Geraden durch die zwei letzten Gelenke liegen muß (Fig. 20). Beim Fortschreiten der Last P vom Zwischengelenk zum Anfangsgelenk beschreibt der Punkt S die Gerade ba. Die Kämpferdrucklinie für vertikale Aktivkräfte besteht also aus den beiden in Fig. 21 ausgezogenen geraden Strecken.

Fig. 23.

Gehen wir nun zur Kämpferdrucklinie für horizontale Aktivkräfte über. Wirkt eine solche Kraft Q zwischen den zwei letzten Gelenken (Fig. 22), so ist für alle Querschnitte zwischen den zwei ersten Gelenken Rx = -ß, so daß der Schnittpunkt S in der Geraden durch die zwei ersten

a P

sS

R.

\R' R,

Fig. 19.

Fig. 20.

Fig. 21.

Gelenke liegen muß (Fig. 22). Beim Fortschreiten der Kraft Q von der höchsten zur tiefsten Lage beschreibt der Punkt S den entsprechenden Teil der Geraden IIII. Wirkt dagegen die Kraft Q zwischen den zwei ersten Gelenken (Fig. 23), dann hat man für alle Querschnitte zwischen den zwei letzten Gelenken Rx — R‘ (nämlich gleich der Resultante von R und Q), wonach der Schnitt S jetzt in der Geraden durch die zwei letzten Gelenke liegen muß

■e

R.

yE

R‘

Fig. 22.

(Fig. 23). Beim Fortschreiten der Kraft Q von ihrer höchsten zu ihrer tiefsten Lage beschreibt der Punkt S den entsprechenden Teil der Geraden II. Pie Kämpferdrucklinie für horizontale Aktivkräfte besteht also aus den beiden in Fig. 21 strichpunktierten geraden Strecken, derart, daß II für die Kräfte Q zwischen den zwei ersten, IIII für die Kräfte Q zwischen den zwei letzten Gelenken zu verwenden ist.

§ 3. Biegrmg-sformeln.

In den bisherigen Gleichungen kommen als Horizontalschub H und Endmomente M, M‘ drei Größen vor, welche im allgemeinen weder unmittelbar gegeben, noch in allen Fällen aus den gegebenen Größen allein auf rein statische Weise bestimmbar sind. Ihre Werte hängen alsdann von den Eigenschaften des Materials ab und müssen auf Grund von Anschauungen und Erfahrungen der Elastizitätslehre ermittelt werden. Aber auch wenn sämtliche in jenen Formeln auftretenden Größen gegeben oder durch die gegebenen Verhältnisse statisch bestimmt sind, ist es nötig, auf die Eigenschaften des Materials Rücksicht zu nehmen, sofern die Beanspruchungen des Stabes in den verschiedenen Elementen der Querschnitte und sonstigen Schnitte durch den Träger in Frage kommen.

Ein Stab mit einfach gekrümmter Achse werde durch irgendwelche Kräfte und Temperaturänderungen so deformiert, daß die Stabachse in einer Ebene bleibt, welche zugleich Symmetrieebene der Querschnitte ist, daß ferner für die folgende Betrachtung in jeder Senkrechten zu dieser Biegungsebene überall gleiche Biegungs- und Beanspruchungsverhält-

nisse bestehen, sodaß es genügt, die Untersuchung derselben in der Ebene der Stabacbse durcbzufübren. Von den Annahmen und Bezeichnungen der §§ 1, 2 wird zunächst abgesehen. Wir gehen von folgenden in der technischen Biegungstheorie üblichen Voraussetzungen aus, durch welche die Gültigkeit der entstehenden Beziehungen gewisse Beschränkungen erleidet (betreffend Eisenbetonbogen s. §§ 32, 33, 34):

a) Die Elächenelemente, welche vor der Biegung auf einem ebenen Querschnitte lagen, bilden auch nach der Biegung eine Ebene.

b)    Für die Biegung kommen nur die Längenänderungen der zur Achse parallelen Fasern und für diese neben Temperaturänderungen nur die Zug- und Druckkräfte an den Querschnittselementen in Betracht.

c)    Die Elastizitätsmoduln für Zug und Druck sind innerhalb der Biegungsgrenzen für alle unter b) erwähnten Fasern als gleich und konstant anzusehen.

Wir denken uns im spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur zwei Querschnitte geführt, den einen, welcher x heißen soll, um die Achslänge s von einem gewählten Ausgangspunkte entfernt, an der Stelle, wo r den Krümmungsradius der Stab- f achse und <p den Winkel derselben mit einer von der Achs-//y-d? schiebt aus auf Seiten des

Krümmungsmittelpunktes /' gegebenen Richtung bedeuten (Fig. 24 und 25), den andern um die Achslänge ds weiter. Dann hat man:

ds = r (— d(p)

und die Länge der Fasern parallel der Stabachse in Entfernung v von der letzteren, wobei die v nach der dem Krümmungszentrum entgegengesetzten Seite als positiv gelten:

dsv = ds -f- v (— d(p)

C/O

Fig. 24.

ds

dep ’

Jx

tx/

Fig. 25.

Wirken nun äußere Kräfte ein und finden Temperaturveränderungen statt, so ändern sich s, cp, sv um ds, Acp, Asv und wir haben nach dem Taylorschen Lehrsätze mit As = f(s) die Änderung der Entfernung s + ds des zweiten Querschnitts von dem gewählten Ausgangspunkte:

d A s

d^As ds2 ds² 1-2

oder bei Vernachlässigung unendlich kleiner Größen zweiter und höherer Ordnung gegen solche erster Ordnung:

f (s —|— ds) = As    dAs .

f(s -f- ds) = As -j-

ds

d s —I⁻

Die schließliche Länge der Fasern in der Achsschicht zwischen den angenommenen Querschnitten ist also:

s —j— d s —|— A s —|— d A s — ('s —|— A s) = d (5 —j— A 5).

In ganz analoger Weise ergibt sich die schließliche Faserlänge bei v (anstatt der anfänglichen Faserlänge dsv):

d (sv ^ sv) ’

und die schließliche Differenz der Richtungswinkel cp bei den zwei Querschnitten (anstatt der anfänglichen Differenz dcp):

d {cp -f- A cp).

Da aber die Querschnitte zufolge der Voraussetzung a) auch nach der Biegung als Ebenen gelten sollen, so hat man analog dem Ausdrucke 2:

d (sv + ^ sv) = d(s As) — (v -(- A v) d (cp -j- A cp) ,

und durch Subtraktion jenes Ausdruckes unter Vernachlässigung von AvdA(p:

dAsv = dAs — vdAcp — Avdcp.

Änderungen Av wurden früher überhaupt nicht in Betracht gezogen, doch können sich alsdann bei steilen Bogen (Halbkreisbogen etc.) Ungereimtheiten bezüglich des Einflusses der Temperaturveränderungen ergeben. Berücksichtigen wir letztere mit Müller-Breslau, indem wir unter Vernachlässigung sonstiger Änderungen von v setzen, Av=axv, worin a den linearen Ausdehnungskoeffizienten, t die Temperaturänderung bedeuten, so wird aus der letzten Gleichung:

dAsv = dAs — vdAcp — axvdcp .

Wenn die Längenänderungen der Fasern bei v nur von Spannungen g parallel der Stabachse herrührten, und diese, wie bei Bogenträgern zweckmäßig, als positiv angesehen werden, wenn sie Druck bedeuten, so hätte man die Längenänderungen pro Längeneinheit oder spezifischen Längen änderungen:

d Asv dsv

unter JE den Elastizitätsmodul verstanden. Wenn dagegen nur eine Temperaturänderung x eingetreten wäre, so würde sein:

cl Asv d sv

Beim Zusammenwirken beider Einflüsse haben wir:

= Ci x —

und nach Einsetzen von 2, 4:

t-, / d A cp d As ,    \ r

O — E \ V    ------\-ax)—r-- •

\ ds    ds ¹    J r -\- v

Dies ist die Normalspannung bei v im Querschnitt x, das heißt auch die Zug- oder Druckkraft längs einer Faser vom Querschnitt 1 parallel

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

der Stabachse bei x, v. Einer Faser vom Querschnitt dF entspricht eine dF-mal so große Kraft, und für sämtliche Fasern, welche im Querschnitt x von der Größe F endigen, hat man die Resultante aller dieser Kräfte, das heißt die ganze Normalkraft im Querschnitte x:

d As

N,=fadF

d Acp r ds J

rv

dF —

ds

- CIX

)f-4.

dF

r + v

wobei angenommen ist, daß wie F auch das Produkt ax aus Ausdehnungskoeffizient und Temperaturänderung bei allen Elementen des Querschnitts als gleich gelten soll.

Jede auf ein Flächenelement dF wirkende Kraft odF erzeugt hinsichtlich der Achsschicht ein Moment odF-v, und da die in der Ebene des Querschnittes wirkenden Kräfte kein Moment in Bezug auf die Achsschicht des letzteren erzeugen, so ist das resultierende Angriffsmoment bei x:

Mx = j odF • v

d Acp r ds J

dF—

d As

ds

OCX

)f

rv

dF . 8

r v

Dasselbe ist hier als positiv angenommen, wenn es die ursprüngliche Krümmung zu vermindern strebt (Fig. 24 und 25).

Die drei letzten Gleichungen wollen wir etwas umformen. Man hat:

rv

r -f- v

V —|— v

und damit nach 7, 8: Nx dAS

t>²

dF)-(

ds

₌ dA(P r I E ds J

Setzen wir hierin zur Abkürzung

K =

dF —

ds

)( f*F-Tf'dF+-rf

)(fv<lF-f

dF).

dF\

v2

dF

r —r r Fv

und berücksichtigen weiter:

f dF=F,

(letztere Beziehung das Moment des Querschnitts in Hinsicht einer Achse durch seinen Schwerpunkt ausdrückend), so folgen:

Nx__d A (p K _

j vdF — 0

'd A s

!■:

ds

)F+F)

10

M£=dFtK+{

11

Wir erhalten hieraus:

ds

d A cp_

Mx _j_ / ist _l —*) _+

EK '    r ) EFr

12

13

§ 4. Bemerkungen zu den abgeleiteten Biegungsformeln.

19

und durch Substitution dieser Ausdrücke in 6:

Ae | Itf-E T Fr

(7 =

Mx rv K r + v '

14

Vereinfachungen dieser Formeln siehe § 6.

§ 4. Bemerkungen zu den abgeleiteten Biegungsformeln.

Die im vorigen Paragraphen angeführten Voraussetzungen der technischen Biegungstheorie nebst den darauf beruhenden Beziehungen haben sich in gewissen Fällen auch nach der allgemeinen Elastizitätstheorie isotroper fester Körper als annähernd zutreffend erwiesen (Saint-Venant, Kirchlioff, Pochhammer), und mancherlei Versuche und Beobachtungen wie jahrzehntelange Erfahrungen mit den auf Grund jener Beziehungen berechneten Trägern konnten für ihre Zulässigkeit bei zahlreichen Ermittelungen über Balken und Bogen von rationeller Anordnung sprechen. In manchen Fällen jedoch genügte die gewöhnliche Biegungstheorie nicht. So wurden bei gebogenen Gußeisenstäben wesentliche Abweichungen gegen dieselbe festgestellt, was begreiflich ist, da für Gußeisen die Voraussetzung c), gleiche und konstante Elastizitätsmoduln für Zug und Druck, auch nicht annähernd erfüllt zu sein pflegt. Bei gewissen Ableitungen, z. B. bei Bestimmung des Elastizitätsmoduls aus Biegungsversuchen mit eisernen Balken, mußte der Einfluß der Schubkräfte in den Querschnittselementen auf die Biegung berücksichtigt werden, welcher im vorigen Paragraphen durch die Voraussetzung b) ausgeschlossen war, usw.³. Indessen werden elastische Bogen-träger nicht aus Gußeisen, sondern in erster Linie aus Schweißeisen, Flußeisen oder Stahl hergestellt (über Gewölbe, Betonbogen und Eisenbetonbogen s. §§ 27, Bl und §§ B2—34), und es kommt bei ihnen fast ausschließlich der Elastizitätsmodul für Druck in Betracht, während die Schubkräfte im allgemeinen weit kleiner als bei horizontalen Balkenträgern, ja in manchen Fällen gleich Null sind, (Beispiel 8, § 19), so daß sie bei der praktischen Berechnung vollwandiger Bogen gewöhnlich überhaupt nicht berücksichtigt wurden.

zur

Auch bezüglich der Biegungsfestigkeit scheinen die Verhältnisse für Bogenträger nicht ungünstiger als für Balkenträger zu liegen. Auf Biegung beanspruchte vollwandige Balken brachen bei den sorgfältigsten der bisherigen Versuche meist infolge Nachgebens auf der Zugseite, oder sie verloren ihre Tragfähigkeit durch Strecken und Ausbiegen², wobei die gewöhnlichen Biegungsgleichungen schon wegen Überschreitung der Elastizitätsgrenze nicht mehr zu gelten brauchen. Setzt man gleichwohl die größte aus diesen Formeln folgende Normalspannung a im Augenblicke des Nachgebens o = ßz, unter z die durch Zerreißversuche ermittelte Zugfestigkeit des Gurtmaterials verstanden, so läßt sich vorläufig etwa setzen³: für gewalzte Balken aus Schweißeisen oder Flußeisen ß = 1, für genietete Blechbalken aus Schweißeisen ß = 0,9, für ebensolche aus weichem Flußeisen ß = 0,8, wobei selbstverständlich nur bestes Material und entsprechende Arbeit in Betracht gezogen sind. Bei Berechnung der a, aus welchen vorstehende nicht zu günstige ß entnommen wurden, kam das Trägheitsmoment oder Widerstandsmoment mit Rücksicht auf Nietverschwächung Verwendung. Dem Nachgeben der Balken auf der Zugseite gegenüber könnte es als günstig erscheinen, daß bei Bogen keine oder nur geringe Zugspannungen o aufzutreten pflegen. Doch hat man dann um so mehr für gehörige Sicherheit gegen Einknickungen und seitliche Ausbiegungen zu sorgen, wie ja eine Reihe ungünstiger Erfahrungen bei eisernen Brücken auf mangelhafte .Druckglieder und ungenügende Querversteifungen zurückzuführen waren.

In § 3 wurde vorausgesetzt, dass in jeder Senkrechten zur Trägerebene gleiche Biegungs- und Beanspruchungsverhältnisse bestehen. Für den dabei an-

¹    Näheres über die hier angedeuteten Fragen nebst entsprechender Literatur siehe Lueger, Lexikon der gesamten Technik, Artikel Biegung, Biegungselastizität, Biegungsfestigkeit, Blechträger, Elastizitätsmodul.

²    Vergl. z. B. Tetmajers Mitteilungen, Heft IV, Zürich 1890, S. 82, 220.

³    Näheres s. Luegers Lexikon, Artikel Biegungsfestigkeit.: Tetmaj er, Die angewandte Elasti-zitäts- und Festigkeitslehre, Leipzig und Wien 3904, S. 438.

genommenen und soweit möglich zu realisierenden Fall, daß alle äußeren Kräfte in der Trägerebene wirken, folgt hieraus eine Bedingung für die Anordnung der Querschnitte. Da das Moment sämtlicher Normalkräfte eines Querschnitts in Hinsicht der Trägerebene gleich Null sein muß, so hat man (Fig. 26):

f odF . n — o,

unter u die positive oder negative Entfernung eines Querschnittselements d F von der Trägerebene verstanden. Durch Substitution des Ausdrucks § 3, 14) folgt

dF = o,

oder weil in Hinsicht der v-Achse als Schwerlinie des Querschnitts das statische Moment / udF = 0:

= o.

ryth

UV

r -f- v

Ar-Y%

h schickt „ \ic u

f—j— dF

Dieser Bedingung wird z. B. genügt, wenn der Querschnitt symmetrisch zur Trägerebene angeordnet ist (Fig. 26), wie zu Beginn des I. Abschnitts und speziell des § 3 vorausgesetzt wurde. Werden alle v gegen r vernachlässigt, so liefert 1:

f uvdF=0,

das Zentrifugalmoment des Querschnitts hinsichtlich der Achsen u, v muß verschwinden , diese müssen also die Hauptträgheitsachsen des Querschnitts sein, was ebenfalls zutrifft, wenn die r-Achse eine Symmetrieachse desselben ist. Selbstverständlich wird man den Querschnitt stets symmetrisch anordnen und danach trachten, daß auch die Schwerlinien anschließender Glieder in der Symmetrieebene liegen (Vertikalen, Füllungsstäbe) oder darin zum Schnitte kommen (horizontale und vertikale Querverbände), entsprechend der allgemeinen Konstruktionsregel, daß sich die Schwerlinien zusammentreffender Stäbe in einem Punkte schneiden sollen, eine Regel, welche z. B. bei der eingestürzten Mönchen-steiner Brücke bezüglich der Gurtungen und Füllungsglieder unberücksichtigt geblieben war.

■;?

<.

Fig. 2G.

§ 5. Wiener Versuche mit einem eisernen Bogen.

In neuerer Zeit wurden von einem durch den Österreichischen Ingenieur-und Architekten-Verein zur Prüfung von Gewölben gewählten Ausschuß (vergl. § 31) Versuche mit einem Bogen aus Martinflußeisen angestellt¹. Das Eisen zeigte bei Zugversuchen mit 6 Probestäben aus Winkeleisen, Stehblechen und Gurtlamellen (je 2) folgende Eigenschaften: Elastizitätsmodul 2080000 bis 2200 000, im Mittel 2145 000 kg pro Quadratzentimeter; Proportionalitätsgrenze 1720 bis 1840, im Mittel 1770 kg; Zugfestigkeit 3760 bis 4210, im Mittel 4040 kg; Bruchdehnung 19,5 bis 27,0, im Mittel 24,2 °/o; Kontraktion 0,51 bis 0,60, im Mittel 0,55%. Der Bogen bestand aus zwei Trägern mit Kämpfergelenken, ohne Scheitelgelenk, von l = 23 m Spannweite und f = 4,556 m Pfeil der Achse, in Entfernung von 1,8 m, welche durch kräftige Querverbindungen vereinigt waren. Die Bogenachse war einer Parabel eingeschrieben, und zwar so, daß die auf einer Bogenhälfte angeordneten Vertikalen (ohne Diagonalen) bei der Mitte beginnend, in Entfernungen von 2,25 m auf Bogenecken trafen. Bogenhöhe nur 0,36 m. Als Belastung neben dem Eigengewicht von etwa g = 270 kg pro Meter Träger wurden über jenen Vertikalen Eisenbahnschienen bis zur Bogenmitte aufgebracht. Die Querschnitte beider Bogenträger bestanden aus einer Vertikalplatte von 30/1 cm, vier Winkeleisen von 8/8/1 cm und für jede Gurtung 1 bis 3 Horizontalplatten von 20/0,8 cm, derart, daß bei einer einseitigen 'Verkehrslast von p = 1500 kg pro Meter Träger, einschließlich der Vertikalen etc., rechnungsmäßige Normalspannungen von ca. 750 kg pro Quadratzentimeter entstanden und die Träger beim Aufbringen der verfügbaren Schienen von 2 p = 18 000 kg pro Meter sicher zerstört werden sollten.

¹ Bericht des Gewölbeausschusses, Wien 1895, S. 1, 17, 37, 43, 70, 89, 98.

§ 5. Wiener Versuche etc. § 6. Trägheitsmoment etc.

21

Die Versuche ergaben:

Proportionalitätsgrenze p = 4350,

entsprechend größten Normalspannungen nach der üblichen Berechnung, jedoch ohne den Beitrag des verhältnismäßig geringen Eigengewichts und ohne Rücksicht auf Nietverschwächungen: a = 1730,

für

Stauchgrenze

6410,

seitliches Ausknicken

7640 kg pro Meter,

3030 kg pro qcm,

wobei Zugspannungen bis zu ⁴/s der Druckspannungen auftraten. Die genauen Erhebungen ergaben, daß der Bogen an keiner Stelle gerissen und keine Niete abgescheert waren. Man würde also etwa wie in § 4 für Balken aus weichem Flußeisen ß = 0,8 setzen können.

Da nur die ganzen Formänderungen (elastische plus bleibende) gemessen wurden, so konnte der Elastizitätsmodul nicht berechnet werden. Bei Anwendung von Formeln für elastische Formänderungen auf die innerhalb der Proportionalitätsgrenze erhaltenen ganzen Formänderungen ergaben die vertikalen Verschiebungen E — 1860000 kg, die horizontalen E — 1793 000 kg, beide zusammen im Mittel E = 1826 500 kg pro Quadratzentimeter. Nach dem Berichte waren die bleibenden Verschiebungen groß genug, um die Differenz dieses Wertes gegen den durch Zugversuche erhaltenen Elastizitätsmodul E — 2 145 000 zu erklären.

2550,

Die Schlußfolgerungen aus den Versuchen faßt Professor Brick, einer der Berichterstatter, wie folgt zusammen:

„1. Die durch immittelbare Messungen erhobenen Verschiebungen einzelner Punkte der Bogenachse erwiesen für die ersten Belastungsstufen die Gültigkeit des Proportionalitätsgesetzes zwischen Belastung und Verschiebung und bestätigen die auf Grund der Theorie des „elastischen Bogenträgers mit Kämpfergelenken“ berechneten diesbezüglichen Ergebnisse.

2.    Die aus den Diagrammen der Verschiebungen entnommenen Belastungen für die Proportionalitätsgrenze ergaben für die berechneten größten Randspannungen in den gefährlichen Querschnitten Werte, welche mit den Ergebnissen der Festigkeitsuntersuchung an Probestäben aus dem Materiale der Träger in guter Übereinstimmung stehen.

3.    Das Widerstandsvermögen der Versuchsträger wurde durch eine Belastung erschöpft, für welche die berechneten größten Randspannungen der gefährlichen Querschnitte rund 3000 kg pro Quadratzentimeter betrugen. Hiebei gaben die Untergurte der unbelasteten Seite durch seitliches Ausknicken nach; die Gurtlamellen daselbst zeigten insbesondere zwischen den Nieten an den einspringenden Polygonecken, zunächst dem gefährlichen Querschnitte, starke Faltenbildung.

Durch diese Ergebnisse finden die auf Grund der Theorie des „elastischen Bogenträgers mit Kämpfergelenken“ berechneten Resultate eine praktische Bestätigung, womit der beabsichtigte Zweck des Versuches erreicht worden ist.“

§ 6. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment. Vereinfachungen.

Wir bleiben bei den Bezeichnungen des § 3. Das Trägheitsmoment des Querschnittes in Bezug auf die Achsschicht, bekanntlich definiert durch

J=fv²dF,

ist lediglich vom Querschnitte selbst abhängig, während die durch § 3, 9) eingeführte Größe

t;⁹-

dF

r -f- v

auch vom Krümmungsradius der Stabachse beim fraglichen Querschnitte abhängt und deshalb kurz Krümmungsmoment heißen soll. Für

gerade Stäbe ist wegen r = co das Krümmungsmoment gleich dem Trägheitsmoment.

Mit Rücksicht auf die Reihe:

V. = 1 —

!+ ~

können wir nach 2 das Krümmungsmoment auch ausdrücken:

+ dF,

v2

h\%

j.2    j.3

* und speziell für den bei Bogenträgern gewöhnlichen Fall zur Achsschicht symmetrischer Querschnitte, weil die v auf beiden \Ti Seiten der Achsschicht von verschiedenen Vorzeichen sind:

Fig. 27.

Setzen wir allgemein

K= g) J

und bezeichnen in der folgenden Zusammenstellung mit h die ganze Höhe eines Querschnittes (Fig. 27), so ergeben sich beispielsweise die folgenden (p (siehe die Berechnung in Aufgabe 4—6):

Kreis und Ellipse 1,1452 1,0325 1,0141 1,0079 1,0050 1,0035 1,0026 1,0020 1,0015 1,0012 1,0006 1,0003 1,0000

I-Querschnitt (Fig. 27) mit b₁ = 0,9 b, /?], = 0,9 h 1,2614 1,0541 1,0233 1,0129 1,0082 1,0057 1,0042 1,0032 1,0025 1,0021 1,0009 1,0005 1,0001

Bei Bogenträgern für eiserne Brücken und Dächer pflegt r: h noch größer als 50 zu sein (S. 32), sodaß dann jedenfalls J an Stelle von Kgesetzt werden kann. Damit vernachlässigt man in 2 alle v gegen r. Geschieht dies auch in Gleichung 14 des § 3, so treten an Stelle der dortigen Gleichungen 12—14 die folgenden:

für

H H lO

ds

dA cp_

ds

Quadrat

und

Rechteck

1,1833

1,0393

1,0170

1,0095

1,0060

1,0042

1,0031

1,0023

1,0018

1,0015

1.0007

1,0004

1,0001

Vk I NX | Vc „ Fr i- J > ■

§ 6. Trägheitsmoment etc. Aufgabe 4 mit Beispiel 2.

Vielfach werden in diesen Gleichungen noch die Glieder mit r im Nenner gegen die übrigen vernachlässigt, womit entstehen:

d A ff

23

Y=

ds

= ax

EF ’

EJ ’

+ “/ V’

doch beabsichtigen wir von den beiden ersten Formeln im folgenden keinen Gebrauch zu machen, während die Zulässigkeit der letzten mit Rücksicht auf praktische Fälle zu beurteilen ist (vergl. Beispiel 5).

Aufgabe 4 mit Beispiel 2. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment des Rechtecks und Quadrats.

Es sollen J, K und das Verhältnis K: J für den rechteckigen Querschnitt der Seiten &, h berechnet werden, wenn die Achsschicht parallel der Seite b liegt.

Wählen wir dF — bdv (Fig. 28), so hat man nach § 6, 1), 2) mit e = F das Trägheitsmoment:

und das Krümmungsmoment:

— b J'v- d v

~fr~

dn

/•2

r v2 K=br / —

J r + v

Die Ausführung der Integrationen ergibt:

b Iß

Fig. 28.

12

K=-

rv2    i

I ~ — r v -j-- r- logn (v -(->•) I ,

¥)■

K = Ir³ j^logn -

Mit Rücksicht auf die bekannte Reihe

i + -

logn

1---

kann man auch schreiben:

so daß wegen 1:

f-‘ +

CO O

CD ! CO

oder auch mit e = ~:

-- p V°₊ . . .

13312 \ r ) ^

IC

K₌₁+±(Y)

J ^20 \r)

Nach dieser Gleichung erhalten wir z. B. für - = 3:

-- = 1 + 0,016667 + 0,000331 + 0,000007 = 1,01700 .

Die Glieder vom fünften an haben hier keinen Einfluß mehr auf die ersten fünf Dezimalen. In gleicher Weise sind die übrigen in § 6 für das Quadrat und Rechteck gegebenen K : J berechnet.

Nach diesen Ausdrücken ist:

-HT    3 «2    3-5 «⁴ , 3-5-7 ««

TT - ¹ + A T² + 6^8 T⁴ + 6^8710 7* + * - • •

oder mit a —

Is-

Aufgabe 5 mit Beispiel 3. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment der Ellipse und des Kreises.

Es sollen J, K und das Verhältnis K: J für den elliptischen Querschnitt der Halbachsen «, b berechnet werden, wenn die Achsschicht durch die Achse 2 b geht.

Bei den in Fig. 29 ersichtlichen Bezeichnungen ist die Mittelpunktsgleichung der Ellipse:

«2 y- -f- Tß v² = a² b- ,

wonach:

2/ =

P-

und der Inhalt des schraffierten Flächenelements:

2 y dv — V« ² — t>² v² dv . a

Die Gleichungen 1 und 4 des § 6 liefern damit:

Fig. 29.

- »² t>²

( v2 (1 + ^ +

TT

de.

— a

Da für die zu integrierende Funktion in beiden Fällen f (— v) = f (v) ist, so können wir anstatt des Integrals von —a bis a das Doppelte des Integrals von 0 bis a setzen. Für beliebige gerade m hat man:

1-3-5 • • • (m — 1) n >» + 2 ~ (m + 2) ~2a

f'f

0

«² — v- vm d v =

2-4-6 •

Es ergeben sich damit:

«⁴,

das heißt:

1 s .

K = 2 — ---a⁴

a 2-4 2

(1 +

3 «2 6 r²

3-5 a⁴

3-5-7 a6 6-8•10

3 «2

6~ r ²

3-5 a⁴

⁺ 6^Vi

3-5-7 a6 6-8-10 »•»

__ (AV+ AL_ ( M⁶+

256 V r )    2048 \ r ) _r 327(

Diese Gleichung liefert z. B. für -^ = 5:

K

— = 1 + 0,00500 + 0,00003 = 1,00503.

Die Glieder in 4 vom vierten an haben für dieses und für alle größeren r : h keinen Einfluß auf die fünf ersten Dezimalen von K: J. In gleicher Weise wie hier sind die übrigen in § 6 für den Kreis und die Ellipse angeführten K: J berechnet.

Aufgabe 6 mit Beispiel 4. Trägheitsmoment und Krümmungsmoment von Figurendifferenzen (I-Querschnitt usw.).

Es sollen J, K und das Verhältnis K: J für Querschnitte ausgedrückt werden, welche wie der I-Querschnitt, Bingquerschnitte und Blechträgerquerschnitte der Differenz verschiedener Figuren entsprechen.

Es seien Jn Kv das Trägheitsmoment und Krümmungsmoment der vollen

25

§ 6. Aufgabe 5 mit Beispiel 3. Aufgabe 6 mit Beispiel 4.

Figur, Jh, Kh diejenigen des Hohlraums, durch dessen Abzug von der vollen Figur der gegebene Querschnitt entsteht (Fig. 30). Dann hat man das Trägheitsmoment und Krümmungsmoment des letzteren:

J ==z J D J}i j

und wenn gesetzt werden:

Kv = <p

das verlangte Verhältnis:

4+

K = Kv — Kh ,

Kh = ■>!’ Jh

.1

Jy Jh

Haben wir beispielsweise einen I-Querschnitt, L-Quer-schnitt oder rechteckigen Ringquerschnitt (Fig. 31 bis 33), für welche bl = mb, hx = nli gesetzt werden mögen, dann gelten nach A4, 1:

Jv =

b Iß

12 ’

Jji = m n³

biß

12

Fig. 30.

und damit zufolge 3:

(p — 1p m rß

1 — m iß

worin nach A4, 5:

(p = 1 + 20

112

k ii¹

bi

hi

ht

\a

\&

b\b,

Fig. 31.

Fig. 32.

Fig. 33.

Fig. 34.

Fig. 35.

einen kreisförmigen oder elliptischen Ring-

na. so

Handelt es sich dagegen um querschnitt (Fig. 34, 35), für welchen gesetzt werden \ = mb, oq = gelten nach A5, 1

nb aß

n b

Jv =    -

und damit zufolge 3 wieder Gleichung 4, worin jedoch jetzt nach A5, 3:

1 /«\2,    5    /«V,    7

9P — 1+    2 \V)⁺ 16 (r) ⁺ 32

« \² , 5 m⁴

rj ⁺ 16

Bei konstanter Dicke des Ringes würden freilich innerer und äußerer Umfang nicht gleichzeitig genaue Ellipsen sein können , doch genügen die Formeln im allgemeinen auch für den genau elliptischen Ring.

Es soll nun z. B. das Verhältnis K : J für einen I-Querschnitt von \ = 0,9 b,

}q = 0,9 h berechnet werden. Mit

^ = 1+ 2

— n — 0,9 erhält man für ' = 4nach 5 und 6:

und nach 4:

<p =Z 1 + 0,009375 + 0,000105 == 1,00948 if> = t + 0,007 594 + 0,000068 = 1,007 66

1,009 48 —^1,007 66 • 0,9⁴

= 1,0129.

In gleicher Weise sind die übrigen in § 6 für den I-Querschnitt gegebenen K: J berechnet.

1    0.9'

§ 7. Kleine Formänderungen. Naviersehe Biegungsgleiehung.

Die in §§ 3, 6 abgeleiteten Gleichungen gelten unter den dortigen Voraussetzungen für beliebig große elastische Deformationen. Es handle sich nun aber, wie schon in §§ 1, 2 und in der Folge immer, um so kleine Formänderungen, daß die Änderungen der Stababmessungen gegen deren anfängliche, dem spannungslosen Zustande bei normaler Temperatur entsprechende Werte vernachlässigt werden dürfen. Wir wählen in der Trägerebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem in fester Lage gegen die anfängliche Gruppierung der Stabpunkte und verstehen unter den Koordinaten x, y eines Querschnitts die anfänglichen Koordinaten seines in der Stabachse gelegenen Schwerpunktes, unter cp den anfänglichen

Winkel der Stabachse mit der positiven Richtung der Abszissenachse bei x (Fig. 36).

Entsprechend der Ableitung in § 3 seien im anfänglichen Zustande zwei Querschnitte geführt, der eine bei x, y, um die Achslänge s von einem beliebigen Ausgangspunkte entfernt, ^ der andere bei x + dx, y + dy, um die Achslänge ds weiter. Bezeichnen Ax, Ay, As, Acp die mit der Deformation verbundenen Änderungen von x, y, s, cp, so sind die Änderungen von x + dx, ydy, Js + ds nach dem Taylorschen Lehrsätze (vergl. S. 16):

d (y + Ay),

X+&X

Fig. 36.

d (x + Ax),

und man hat (Fig. 36):

d (s 4- As),

d (x + Ax) = d (s + A s) cos (cp + A cp), d (y + Ay) = d (s + A s) sin (<p + A cp).

= 1,

Werden die Deformationen so klein vorausgesetzt, daß cosd<jp sin Acp = Acp gesetzt werden dürfen, so liefern vorstehende Gleichungen mit

cos (cp + A cp) = cos cp cos Acp — sin cp sin A cp =

—SH*

sin (cp + A cp) nach Reduktion:

sin cp cos A cp + cos cp sin A cp

dx

ds

A cp

d As

Acp dy -f-    d x —

d As

ds

dy Acp

dy^yydx-Acp.

Wegen der Kleinheit von Acp verschwinden die letzten Glieder dieser Gleichungen gegen die vorhergehenden, wir erhalten:

d Ax — — A cp dy -j-    - d x,

d Ay

A cp dx-\-

ds

d Ay — A cp d x-{-

ds

dy

d A cp ds ⁼

= Y,

worin, wenn die zwischen x und x + dx eintretenden Zunahmen dAcp, dAs von A cp, As nur von den Spannungen und Temperaturänderungen zwischen jenen Querschnitten herrühren: dAs

ds

unter Y, Z die Ausdrücke § 3, 12), 13) verstanden, welche in § 6 vereinfacht wurden.

Naviersehe Biegungsgleiehung. Es handle sich um einen anfänglich geraden Stab. Wird die Abszissenachse parallel oder so nahe einer Parallelen zur Stabachse angenommen, daß ds = dx gesetzt werden darf, dann folgt aus § 3, 18) wegen r = cd, K — J:

dAjp ₌ mx

EJ

Werden die y im vorliegenden Falle auf die scliließliche Stabachse bezogen (vor der Deformation wären bei einer der Stabachse parallelen Abszissenachse alle y gleich groß), dann hat man für die betrachteten kleinen Formänderungen:

4 cp = tg A cp = —    ,

0/ 3C

und damit nach 4:

<i~!/    jrx

d x²    E J

Dies ist die Naviersehe Biegungsgleichung, welche besonders in der Theorie der horizontalen Balkenträger eine Bolle spielt. Obige Ableitung zeigt, daß sie auch bei Auftreten von Axialkräften und Temperaturänderungen gültig bleibt, vorausgesetzt, daß letztere für je einen ganzen Querschnitt gleich groß sind¹. In dieser Schrift werden wir von 5 keinen Gebrauch machen.

§ 8. Normalspannung’en. Stützlinie. Kernlinien. Kernpunktsmomente.

Die Gleichungen der §§ 3, 6 gelten unter den angeführten Voraussetzungen für beliebige Stäbe einfacher Krümmung, im folgenden setzen wir die hier in erster Linie interessierenden Sprengbogen mit Krümmung nach oben voraus.

Die Resultante aller Normalkräfte odF für die einzelnen Flächenelemente dF eines Querschnittes x wurde durch Nx bezeichnet.

Da nun die odF in Hinsicht der Achsschicht das Moment Mx liefern, so muß Nx hinsichtlich derselben das gleiche Moment ergeben; man hat, wenn c die Entfernung des Angriffspunktes der Kraft Nx von der Achsschicht bedeutet (Fig. 37):

Mx = cNx,

c ist positiv, d. h. der Angriffspunkt von Nx liegt oberhalb der Achs-

¹ Erweiterung mit Rücksicht auf ungleichmäßige Temperaturänderungen und den Einfluß der Tränsversalkräfte siehe Lueger, Lexikon der gesamten Technik, Artikel Biegung, I.

Mx

Nx '

Rx

OL

'ßo

\TX

Fig. 37.

Schicht, wenn Mx und Nx von gleichen Vorzeichen sind; c ist negativ und der Angriffspunkt von Nx liegt unterhalb der Achsschicht, wenn Mt und Nx von verschiedenen Vorzeichen sind. Denkt man sich die Angriffspunkte der Nx für alle Querschnitte ermittelt, so hat man in ihrer Gesamtheit eine Linie, welche die Stützlinie genannt wird. Da Mx, Nx von der Belastung abhängen, so ändert sich mit der Belastung eines Bogens im allgemeinen auch seine Stützlinie.

Die Normalspannung bei x, v ist nach § 6, 7):

Ae I Ae F ' Fr

Sie ändert sich also proportional der Entfernung v von der Achsschicht, welche nach oben positiv, nach unten negativ gerechnet wurde. Die äußersten Werte in jedem Querschnitt ergeben sich im obersten und untersten Querschnittselement, für welche mit v = e₀ und v — — eu:

a — N* \

°o— F ^

f    +‘r + */*)■

Ae

Fr

Ae

_X I

F ' Fr J oder wenn Mx = cNx und zur Abkürzung

<*« =

en 1

Feu — ~

Fe₀ +

gesetzt werden:

<Ju =

ko ) '

Die Punkte, welche um v = k₀ und v — — 1cu von der Bogenachse entfernt in der Trägerehene liegen, heißen die Kernpunkte des Querschnitts; in der Gesamtheit der Kernpunkte aller Querschnitte erhalten wir zwei Linien, welche die obere und untere Kernlinie des Bogens

heißen (Fig. 38). Dieselben sind nach 5 nur von den Abmessungen des Bogens, nicht von den Belastungsverhältnissen abhängig.

Sind die Grenzwerte a₀, o„ von einerlei Vorzeichen, so gilt das Gleiche für alle dazwischen liegenden a, sämtliche Normalspannungen haben dann das gleiche Vorzeichen wie die resultierende Normalkraft A

60

-kv,

Fig. 38.

X*

Es ist

aber nach 6

o₀ mit Nx von einerlei Vorzeichen, wenn c — fcu,

wir können aussprechen: Sämtliche Normalspannungen eines Querschnittes haben unter sich und mit der Normalkraft Nx einerlei Vorzeichen (die neutrale Schicht liegt außerhalb des Querschnitts), wenn bei diesem Querschnitte die Stützlinie zwischen den

Kernlinien liegt. Andernfalls sind die Vorzeichen der .Normalspannungen verschieden (die neutrale Schicht liegt innerhalb des Querschnitts) und hat für c <P — liu die Normalspannung a₀, für c P> Jc₀ die Normalspannung on das entgegengesetzte Vorzeichen wie die No r malkraft Nx.

Für die Zwecke, welchen die Kernlinien elastischer Bogenträger dienen (§ 11), können in 5 stets die Ausdrücke mit r im Nenner vernachlässigt werden (vergl. Beispiel 5), womit in 6:

K=-

Geschieht dies, wie üblich und im allgemeinen zulässig, auch in 2—4, so folgen:

Fe₀-

VbV- Vh-V-:.

*« = ~f —

und für den gewöhnlichen Fall, daß der Querschnitt zur Achsschicht symmetrisch ist, mit e₀ — e = e und der Bezeichnung

einfacher:

W=

.T

10

a» =

Nx I Mx

F "T" W ’

Nx M

11

12

w

K=K=%-

Der Quotient W aus Trägheitsmoment J und Entfernung e der äußersten Faser von der Achsschicht heißt bekanntlich das Widerstandsmoment des Querschnitts; es ist wie das Trägheitsmoment nur vom Querschnitt abhängig. Im folgenden sollen auf Grund der Formeln 7—9 noch einige weitere Beziehungen abgeleitet werden.

Nach 8 ist derjenige Teil der Normalspannung a, welcher vom

M

Moment Mc herrührt, gleich v, er liefert für ein Flächenelement dF M    ^

die Normalkraft * vdF, und die Summe aller dieser Kräfte für einen ganzen Querschnitt ist

MffvdF= 0,

re

pf

weil das Integral als statisches Moment des Querschnitts inbezug auf eine Achse durch seinen Schwerpunkt den Wert 0 hat. Denkt man sich alle oberhalb, beziehungsweise alle unterhalb der Achsschicht wirkenden Normalkräfte der erwähnten Herkunft zu einer Resultante vereinigt (Fig. 39), so hat man für die erstere:

18

19

bh    h

bh

nach 12 die Entfernungen der Kernpunkte von der Bogenachse:

20

und nach 14 16 die Kraftresultanten Q und ihrer Entfernung:

21

<J =

oder, mit der Bezeichnung

£o

S₀ = J v d F = j' vdF,

einfacher:

So

14

Die Resultante unterhalb der Achsscliicht ist numerisch gleich Q, aber von entgegengesetztem Vorzeichen, wobei für Nx wie bisher Druck als positiv gilt. Sind die Angriffspunkte dieser Resultanten um q von einander entfernt, so gilt:

woraus mit Q nach 14:

M, = Qa

in

<i =

16

Da J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts, S₀ das statische Moment des auf einer Seite der Achsschnitt gelegenen Querschnittsteils in Hinsicht der letzteren, so ist auch q nur vom Querschnitt abhängig.

Speziell für rechteckige Querschnitte (Gewölbe etc.) der Breite b und Höhe h hat man in obigen Gleichungen F = bh, J =

und damit nach 8 die Normal-

bh³

C 2 ’ Spannungen bei v:

a —

12

bh?

S₀ =

bh²

12 Mx

- F nj

h²

sowie nach 11 bei Beachtung von 1 die Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement:

—~(n

bh X *

17

² 7

sh-

Bei Bogen mit durchbrochenen Wandungen (Gitterbogen, Fachwerkbogen), wie in anderen Fällen hat man sich oft unter Vernachlässigung der Füllung den ganzen Bogenquerschnitt F nur aus zwei getrennten Teilen, den Querschnitten fo und fu des Obergurts und Untergurts zusammengesetzt gedacht. Die Schwerpunkte dieser Teile mögen um h von einander entfernt sein (Fig. 40). Da in solchen Fällen alle Elemente eines Gurtungsquerschnitts als gleich beansprucht zu gelten pflegen, so nimmt 15 die Form an:

(im allgemeinen ist q<^h), während die ganzen Beanspruchungen 0, U des Obergurts und Untergurts bestimmt sind durch die Gleichungen:

0 cos a —

fo

23

JJ COS ß =

fn

Nx-Q

tu

K.

24

worin a, ß die Winkel der Gurtungsachsen mit der Stabachse bei x bezeichnen, wrelche bei parallel der Stabachse liegenden Gurtungen gleich 0 wären. Bedeuten ferner dann ho, hu die Entfernungen der Gurtungsschwerpunkte von der Achsschicht, so hat man :

FK = f₀h,

und nach § 6, 1) annähernd:

J=foK+fuK,

oder mit Rücksicht auf die erste der darüber stehenden Beziehungen

J= foK (*, 4- K) = fuK (K + K) =UK* =    •

foK = fuK

Fh₀ = fuh

Fig. 40.

Setzt man nun, da alle Elemente eines Gurtungsquerschnitts als gleich beansprucht gelten (abgesehen von Nebenspannungen), die Entfernungen der durch a₀, au beanspruchten Querschnittselemente von der Achsschicht e₀ = h₀, eu — hu, so folgen aus 7 :

foKh

FK

■} _fuKh

Fh₀

Bei Bogen mit durchbrochenen Wandungen fallen die Kernlinien annähernd mit den Gurtungsschwerlinien zusammen.

f₀h

Kr

Kernpunktsmomente. In obigen Gleichungen bedeutet Mx das Moment der äußeren Kräfte des Trägers links des Querschnitts x in bezug auf den Achs-punkt von x. In bezug auf den oberen und unteren Kernpunkt des Querschnitts x hat man die Momente jener Kräfte (Fig. 41):

Aro -— -Ar Ar ko — Ar

Ar« — Ar -f- Ar %u — Ar F Ar

25

womit nach 9:

-F e₀

\4 ^cscfächt

Sh'

„ _ Ar , A vi

eo Ar

F eo

Mx

Ar _Ar o

eu Ar

F en

oder :

°o =

<*u = ~

Ar o J “ >

26

Fig. 41.

und für zur Achsschicht symmetrische Querschnitte mit e₀ — eu — e bei Berechnung von 10:

Avu

w ’

worin speziell für rechteckige Querschnitte W =

a₀ =

Cu = -

ATO

27

bh²

Die Ausdrücke 26, 27 der Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement werden mitunter anstatt 9, 11 angewandt, wobei man natürlich die Kernpunktsmomente Mvo, Mxu der äußeren Kräfte links der Querschnitte in bezug auf deren oberen und unteren Kernpunkt anstatt nach 25 auch direkt berechnen und so die Ermittelung der Normalkräfte Nx vermeiden kann. Da aber dann immerhin für jeden Querschnitt anstatt Mx , Nx zwei Momente zu bestimmen sind (wozu bei analytischer Berechnung vollwandiger Bogen nebenbei die Feststellung der sonst nicht nötigen Kernpunktskoordinaten gehört) und man Nx ohnehin mitunter braucht, so wird durch die Einführung der Kernpunktsmomente bei vollwandigen Bogen im allgemeinen keine Vereinfachung erreicht. Wir ziehen vor, für a?, an die Ausdrücke 9, 11 zu verwenden, werden aber in § 10 auch die ungünstigsten Belastungen für die Kernpunktsmomente anführen.

MX01 M

XU

Beispiel 5. Prüfung der vereinfachten Formel für die Normalspannung (Cannstatter Neckarbrücke).

Aus der Formel § 6, 7) oder § 8, 2) für die Normalspannung bei x, v:

Nx

Mx

v

entsteht durch Yernachlässigung des mittleren Gliedes die gewöhnlich verwendete Formel:

Nr , -F "¹" J

Wir wollen deren Zulässigkeit für den Fall der neuen Cannstatter Neckarbrücke (VI. Abschnitt) prüfen.

Die vorläufige Berechnung einer Öffnung von 48 m Spannweite und 4,505 m Pfeil ergab bei den ungünstigsten Belastungen und normaler Temperatur die Beanspruchungen pro Quadratzentimeter im obersten und untersten Querschnittselement auf Grund von 2:

bei x —    0

a₀ = 776 ff« = 776

Den betreffenden Belastungen entsprachen für a₀ und au, d. h. in 2 für v = e₀

und v — — eu:

"11

9,6    12,0    14,4    16,8    19,2    21,6    24,0 m

907    803    859    747    914    859    kg

913    890    881    800    740    880    858 „

891

+ Mx = 0 21200 37400 48600 54700 54400 52100 43800 34100 26200 22800 mkg

während die vorläufigen Querschnitte waren:

F = 295,0 295,0 371,0 369,8 368,6 367,4 365,0 362,6 360,2 281,8 280,6 qcm

Da nun für die parabolische Bogenachse die Krümmungsradien nach mit l — 48 m, f = 4,505 m sich ergeben:

= 77,906 75,179 72,767 70,661 68,853 67,334 66,100 65,146 64,467    64,061 63,929 m,

so folgen weiter:

Fr = 22982 22178 26997 26130 25379    25106 24126 23662 23 221    18006 17 938 qcm.m

Fr

0,956    1,385    1,860    2,155    2,167    2,159    1,851    1,468    1,455    1,271 kg,

oder in Prozenten der durch Zufügen dieser Werte zu obigen a₀, au entstehenden genaueren Werte der letzteren:

von a₀ 0 » au 0

0,12    0,19    0,22    0,24    0,24    0,27    0,22    0,20    0,16    0,15 %

0,11    0,18    0,21    0,24    0,24    0,25    0,23    0,20    0,17    0,15 %

Das sind keine Differenzen, welche bei den Beanspruchungen in Betracht kommen, so daß die Verwendung von 2 in Fällen wie dem vorliegenden berechtigt ist. Man hat zu beachten, daß 1, 2 Schlußresultate liefern, also eine etwaige Fortpflanzung der Abweichungen in vergrößertem Maße ausgeschlossen ist.

Beispiel 6. Normalspannungen bei gleichmäßig verteilter Last (Cann-statter Neckarbrücke).

Für einen symmetrischen parabolischen Bogen mit Kämpfergelenken von l — 48 m Spannweite und symmetrisch zur Achsschicht angeordneten Querschnitten sind die Normalkraft und das Moment durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von g pro Meter ausgedrückt (vergl. Abschnitt VI unter D):

g cos 9o ,

tg cp + 63,093

Mx — 0,00654 x (l — x) g .

Die Normalspannungen a₀, an zu berechnen:    1. bei der Trägermitte, wo

F = 373,0 qcm, W = 11594 ccm; 2. bei x = 5,190 m, wo F = 386,2 qcm, W = 13 481 ccm und tg cp = 0,29423, cos cp = 0,95934.

Für beliebige Querschnitte gelten die Gleichungen § 8, 11):

a₀ = N-x- +    ,

⁰ F    W

mit a und b. Bei der Trägermitte liefern a, b wegen x cos cp = 1:

24 m , tg rp = 0,

Nx = 63,093 g ,

und damit 1 pro Quadratzentimeter:

₌ ⁶³>⁰⁹³ , .

373,0    ¹

63,093

u 373,0 J

Für x — 5,190 m ergeben a, b mit tg cp = 0,29423, cos <p

Nx — 65,837 g,

wonach pro Quadratzentimeter:

Mx == 3,76704 g ,

ao

0,95934:

Mx = 1,45308 ff,

_ 65,837    145,308

“ 386,2 9 +    9

65,837 386,2 ⁹

= 0,181252 (/ ,

13481

msb ⁹ = ⁰⁾¹⁵⁹⁶⁹⁵ -,/'

Die angegebenen Verhältnisse entsprechen den Bogen von Öffnung IV der Cann-statter Neckarbrücke (VI. Abschnitt), deren Eigengewicht ohne die sonstige feste Last g = 340 kg beträgt. Bei alleiniger Wirksamkeit desselben wären also in der Trägermitte:

a₀ = 68,6 kg ,

au — 46,4 kg,

und bei x = 5,190 m:

o₀ = 61,6 kg ,

aH — 54,3 kg .

Aufgabe 7 mit Beispiel 7. Normalspannungen durch einen beliebigen Horizontalschub allein (Cannstatter Neckarbrücke).

Für beliebige symmetrisch zur Achsschicht liegende Querschnitte diejenigen Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement auszudrücken, welche ein beliebiger und auf beliebige Weise entstandener Horizontalschub allein (ohne Endmomente) erzeugt.

Die Normalkraft und das Moment durch den beliebigen Horizontalschub H allein sind nach § 1, 9). 3):

Nx = H cos <p ,

-Vc = — HV,

womit nach § 8, 11) die gesuchten Normalspannungen in beliebigen Querschnitten:

cos cp

- -Z-) h,

w)    ’

H.

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

In den Bogenmitten von Öffnung IV der Cannstatter Neckarbrücke (VI. Abschnitt) hat man mit y = 4,505 m, cos 9p = 1, F — 373,0 qcm, W — 11594 ccm

= 0,002 681,

COS 9p

373,0

y _ 450,5 _

_ — 11594 _

so daß daselbst durch ein beliebiges H pro Quadratzentimeter:

ir

0,038856,

a₀ = — 0,036175 H,

Hiernach erzeugen insbesondere der zur Überhöhung der Bogen angewandte künstliche Horizontalschub von H = 1950 kg (VI E):

a₀~ — 70,5 kg

au = 0,041537 H.

au = 81,0 kg ,

der den angenommenen Temperaturänderungen um r — + 25° entsprechende Horizontalschub von H — + 2888 kg (VI J):

au = + 120,0 kg,

o₀ = + 104,5 kg,

und der einer etwaigen Änderung der Spannweite (Ausweichen der Widerlager) um Al — + 1 cm entsprechende Horizontalschub von II — + 2093 kg (VI J):

°o = + 75,7 kg ,

an = + 86,9 kg.

§ 9. Längssehubspannung’en und Querschubspannungen.

Wir bemerken von vornherein, daß die Schubspannungen bei elastischen Bogenträgern von geringerer Bedeutung als bei horizontalen Balkenträgern sind (vergl. Beispiel 8), sodaß sie bei der Dimensionierung vollwandiger Bogen gewöhnlich gar nicht berücksichtigt werden. Bür symmetrische parabolische Bogen mit drei Gelenken, welche nur unter Einwirkung einer auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilten Last stehen, ergeben sich sogar mit Mx— 0, Tx = 0 (§19) die im folgenden abzuleitenden Schubspannungen t, | gleich Null. Je nach Umständen kann also dieser § zunächst übergangen werden.

Es seien Normalkraft und Angriffsmoment für einen beliebigen Querschnitt s x wie bisher durch Nx, Mx und für einen um die Achslänge ds von x entfernten Querschnitt vorübergehend durch N, M bezeichnet. Da nach § 3, 14) die Normalspannung bei x, v:

brdsa

-dg>\

vA

|\

"f+cLf

Nx

Mx

Mx

rv

^.....

Fig. 42.

F ¹ Fr ¹ Kr+v'

so folgt die Besultante sämtlicher Nor-X malkräfte des von v bis e₀ gelegenen Querschnittsteils bei x (Big. 42):

dF,

und mit den Bezeichnungen:

!o

?0

t,2

§ 9. Längsschubspannungen und Querschubspannungen.

35

?0

8V= fvdF,

wenn Fv die Querschnittsfläche von v bis eo vertritt:

S.=

^F    A- ^ L

F v “ Fr v' K Die Resultante sämtlicher Normalkräfte für den entsprechenden Teil des zweiten Querschnitts ist

S=jrF.+ ^Fv+^L.

Wäre nun genau S — Sx, so würde das in Fig. 42 schraffierte Trägerelement von v bis e₀ durch die S, Sx lediglich gedrückt oder gezogen, ein Bestreben desselben, sich längs des darunter liegenden Trägerteils fortzuhewegen, bestünde nicht. Da jedoch durch Subtraktion mit Rücksicht auf N — Nx = dNc und M — Mr — dMx:

S-Sx = ^dNx + {-

Fv

Fr

i-i)m

welcher Wert im allgemeinen von 0 verschieden ist, so sucht sich das erwähnte Trägerelement mit dieser Kraft in der Richtung von S längs der darunter liegenden Fläche wegzubewegen, und es muß in dieser, weil Gleichgewicht herrscht, eine numerisch gleiche Kraft entgegenwirken. Wir bezeichnen diese im unteren Flächenelement hei x, v wirkende Kraft durch xbdsv, unter b die Trägerbreite daselbst, unter dsv die Länge des Flächenelements verstanden, sodaß x sich auf die Flächeneinheit bezieht. x soll die Längsschubspannung bei x, v heißen und als positiv gelten, wenn sie von der Richtung von Nr ist. Wenn nun die beiden Querschnitte zwischen zwei aufeinander folgenden Lasten P liegen und tx den auf den Querschnittsteil von v bis eu wirkenden Teil der Transversalkraft Tv bedeutet, so drückt sich die Gleichgewichtsbedingung „Summe aller äußeren Kräfte parallel Sr gleich Null“ für das in Fig. 42 schraffierte Trägerstück aus:

x b d sv —j— Sx — S cos d cp -f- tx sin d cp = 0 , oder mit cos d(p — 1, sin dcp = dcp und dem in § 3 (S. 16) erhaltenen Ausdrucke <^ = ^5^1 —f-    ^ :

xbds = S — Sx — txdcp ,

und nach Einsetzen des oben ermittelten S — Sx:

Fv dNx F ds

d cp

_L (J-L_i_    dM* t

' \Fr ^ KJ ds x

Nach § 3, 1) und § 1, 13), 9), 10), 2) haben wir:

dM

d cp

Nx — sin (p-\- H cos cp,

— T

ds    x ’

Tx = V cos cp — H sin (p

rx = r-2P,

wonach weiter folgt:

dNx—Vx cos cp d (p -f- sin cp d Vx — PL sin (p d <p= Tx d (p — sin (p dSP

⁰

oder, weil von x bis x + dx kein P liegen soll:

dNx_

ds

Wir erhalten damit aus 3 für die Längsschubspannung z:

r -f- v

bx =

7⁷ _|_Al

X 1 y

Werden in 4 entsprechend dem Vorgehen in § 6 die Entfernungen v der Querschnittselemente von der Achsschicht gegen den Krümmungsradius r der Achse vernachlässigt, so folgt mit K= J (vergl. § 6) und dem aus 1 entstehenden Ausdruck

>

jv^dF

v

bz =— T -4- —

J X \ r

und wenn auch hier, wie in § 6 als gebräuchlich erwähnt, die Glieder mit r im Nenner gegen die übrigen vernachlässigt werden,

L = SV-

i—

für die Längsschubspannung z:

Sv

Jb

Diese Gleichung ist um so genauer, je größer r, für gerade Stäbe stimmt sie wegen r = cc , L = Sv, K= J vollständig mit 4 und 6 überein. In vorstehenden Gleichungen bedeutet J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts in Hinsicht der Achsschicht, 8V das statische Moment des Querschnittsteils von v bis e₀ in Hinsicht derselben.

Nach 7 wie nach 6 und 4 ändert sich bz sowohl mit dem Querschnitt x als mit der Entfernung v von der Achsschicht. Eür einen bestimmten Querschnitt ergibt 7 den Wert von bz am größten in der Achsschicht, nämlich mit q nach § 8, 16):

bz —

für v — 0

So

am kleinsten im obersten und untersten Querschnittselement, nämlich wegen Sv = 0

für v = e₀ und — eu

Bei konstantem Sv : J ändert sich bz proportional Tx, sodaß mit den Grenzwerten von Tx auch diejenigen von bz entstehen. Die Bedingung 9 ist selbstverständlich auch nach 6 und 4 erfüllt.

Es erübrigt uns noch, die Verteilung der Transversalkraft oder Querkraft Tr auf die Querschnittselemente festzustellen. Als Querschubspannung £ bei x, v bezeichnen wir die Schubkraft pro Flächeneinheit der Querschnittselemente daselbst, wobei die positive Richtung der £ mit derjenigen von T übereinstimmt. In dem durch die eben an-

§ 9. Längsschubspannungen etc. Beispiel 8.

37

genommenen Querschnitte zwischen zwei aufeinander folgenden P begrenzten Raum werde ein Körperelement der Dimensionen dv, dsv, 1 ins Auge gefaßt (Fig. 43). Dasselbe ist nach dem bisherigen, abgesehen von unendlich kleinen Größen zweiter Ordnung, durch die in Fig. 43 angedeuteten paarweise gleichen Kräfte ergriffen. Das Gleichgewicht gegen Drehung verlangt:

r,dv

tdsv

Zdv

£ dv • dsv = xdsv • dv ,

io

Fig. 43.

An jeder Stelle x, v ist die Querschubspannung gleich der Längsschubspannung.

Es genügt also für beide die Bezeichnung x.

Nachdem die Normalspannungen a für die Flächenelemente senkrecht der Achsschicht und die Schubspannungen x für solche senkrecht und parallel derselben bestimmt sind, könnte man noch die Normalspannungen N und Schubspannungen 8 für Flächenelemente ableiten, welche beliebige Winkel mit der Achsschicht einschließen. Es genügt indessen anzuführen, daß die Maxima und Minima dieser Spannungen an beliebiger Stelle x, v ganz wie für horizontale Balkenträger ausgedrückt sind:

y±fr + **

s= +

11

und für die Winkel a der durch sie ergriffenen Flächenelemente mit der positiven Richtung der Achsschicht gelten:

tg 2 a =

°    a

tg 2 a = — a

2t

12

wobei nun drückende a und die a, v nach oben als positiv anzusehen sind.

Die Gleichung 8 liefert die größte Längsschubspannung und Querschubspannung, welche in der Achsschicht, bei v = 0, eintritt, beispielsweise für rechteckige Querschnitte (Gewölbe etc.) der Breite & und Höhe h mit

bh³

S„ =

bh²

13

3 T T~2~bh ±x

sowie für elliptische und kreisförmige Querschnitte (vergl. Aufgabe 5) der horizontalen und vertikalen Halbachse c, a (Höhe 2a) mit

n c a³

So

2 ca²,

3    ‘

14

—— T .

3 71 ci c x

Beispiel 8. Längsschubspannungen und Querschubspannungen (Cannstatter Neckarbrücke).

Wird für einen Bogen die Belastung wenigstens von 0 bis x als gleichmäßig verteilt angenommen, so ist nach § 1, 10), 2) die Transversalkraft bei x:

TX — (V — n x — H tg <p) cos 9o,

unter u jene Belastung pro Längeneinheit verstanden. Diese Gleichung drückt sich für die ersten Bogenhälften der im VI. Abschnitte berechneten Cannstatter Neckarbrücke bei normaler Temperatur aus:

a)    für Vollbelastung des ganzen Bogens

Tx = (82 320 — 3430 x — 218359 tg cp) cos <p,

b)    für Verkehrsbelastung von 0 bis m (erste Bogenhälfte)

Tx = (73980 — 3430 x — 174509 tg cp) cos ge,

c)    für Verkehrsbelastung von m bis l (zweite Bogenhälfte)

Tx = (57 300 — 2040 x — 174509 tg cp) cos cp.

Es sollen die größten Längsschubspannungen und Querschubspannungen x in den unten angeführten Querschnitten x (bezeichnet durch ihre Abszissen) für die fraglichen Belastungen berechnet werden.

Die größten Längsschubspannungen und Querschubspannungen treten in der Achsschicht ein und sind nach § 9, 8):

so T Jb Jx

worin J das Trägheitsmoment des Querschnitts x in Hinsicht der Achsschicht, S₀ das statische Moment des oberhalb der letzteren gelegenen Querschnittsteils in bezug auf dieselbe, b die Breite der Achsschicht (Dicke der Vertikalplatte). Die Achs- und Querschnittsverhältnisse einschließlich der Werte J sind im VI. Abschnitte in der Tabelle unter B gegeben. Man hat danach z. B. bei x = 2,682 m:

46,4

Sq — 38 • 46,4    ₂

45    43 8    36

— 18,8 • 45    — 2-7,8 >43,8 —j--2-1,2.36 -- = 5352,21 ccm,

5352,21

und bei x = 5,190 m:

So == 38 -47,6 ⁴'g,(!

440150-1,2

Tx =

Tx

98,684 ’

45

- 18,8-45 —

— 2-7,8-43,8

43,8

₂-- 2-1,2-36 ₉ = 7495,41 ccm,

7495,41

641 690-1,2

Tx =

Tx

102,733

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der zweiten und dritten Kolumne nachstehender Tabelle berechnet.

Weiter erhalten wir mit Rücksicht auf die im VI. Abschnitt unter B gegebene Tabelle bei x = 2,682 m im Belastungsfalle a):

Tx — (82 320 — 3430-2,682 — 218 359-0,33346) 0,94865 = 290 kg ,

290

im Belastungsfalle b):

98,684

= 3 kg,

Tx — (82 320 — 3430-2,682 — 174 509-0,33346) 0,94865 = 6251 kg,

6251

im Belastungsfalle c):

98,684

= 63 kg,

Tx = (57 300 — 2040 • 2,682 — 174 509 • 0,33346) 0,94865 = — 6036 kg ,

= — 61 kg;

6036

98,684

ferner bei x = 5,190 m im Belastungsfalle a):

Tx = (82 320 — 3430-5,190 — 218 359-0,29423) 0,95934 = 269 kg

269

im Belastungsfalle b):

102,733

- = 3 kg

Tx = (73 980 — 3430-5,190 — 174 509-0,29423) 0,95934 = 4636 kg

= 45 kg,

4636

102,733

§ 9. Beispiel 8. § 10. Grenzwerte der Schnittkräfte etc.

39

und im Belastungsfalle c)

4445 kg,

Tx = (57 300 — 2040-5,190 — 174 509-0,29423) 0,95934 =

4445 102,733

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der sechs letzten Kolumnen der folgenden Tabelle berechnet. Die Tx bedeuten kg, die r kg pro Quadratzentimeter.

= — 43 kg.

in m

in ccm

jb Tx

Vollbelastung

Verkehrslast 0 bis m

Verkehrslast m bis l

Sq

Tx

Tx

Tx

98,684 102,733 101,628 100,579 99,473 97,324 95,148 92,986 90,791

Bemerkungen. Für Belastung durch das Eigengewicht allein ist bei der Neckarbrücke (infolge eines künstlichen Horizontalschubes, vergl. VI E) in allen Querschnitten nahezu Mx — 0 und damit nach § 1, 13) auch nahezu Tx = 0, t — 0. Aus letzterem Grunde müssen die Tx, r in den Belastungsfällen b) und c) zusammen nahezu gleich den Werten im Belastungsfalle a) sein.

5352,21 7495,41 7399,00 7302,89 7207,13 15,222    7016,36

6826,84 20,238    !    6638,52

22,746    !    6451,40

2,682

5,190

7,698

10,206

12,714

17,'30

290

269

227

195

159

124

89

53

17

6251

4636

2981

1290

430

2173

—    3931

—    5696 7461

63

45

29

13

— 22

—    41 61

—    82

1148

587

2264

3996

5735

7473

61

43

28

11

23

42

62

82

§ 10. Grenzwerte der Schnittkräfte und Schnittmomente.

Tn jedem Querschnitte x kann man sich 2 Flächen zusammenhängend denken. Suchen die Kräfte und Momente links von x die Fläche daselbst von derjenigen rechts von x zu trennen, so müssen von dieser aus solche Kräfte und Momente widerstehen, welche den ersteren numerisch gleich aber von entgegengesetzten Richtungen sind. Um nun bezüglich der Vorzeichen konsequent zu verfahren, werden wir wie in § 1 unter den Kräften und Momenten im Querschnitt x stets die von der Fläche links von x (Seite des Koordinatenursprungs) her wirkenden verstehen. Wir werden ferner für Sprengbogen die Normalkraft Nx dann als positiv bezeichnen, wenn sie Druck bedeutet, also gegen den Querschnitt gerichtet ist, die Transversalkraft Tx, wenn sie von unterhalb nach oberhalb der Achs-schicht wirkt, und das Moment Mx, wenn es w⁷ie der Zeiger der Uhr rechts um den Bezugspunkt dreht. Hält man hieran fest, so bietet es keine Schwierigkeit, die ungünstigsten Belastungen zunächst soweit festzustellen, als ohne bestimmte Annahmen über Art und Form des Bogens möglich ist. Für die Berechnung mit gleichmäßig verteilter Verkehrslast genügen diese Feststellungen, bezüglich der Berechnung für bewegte Radlastzüge wird auf § 12 verwiesen.

Auf einen beliebigen Bogenträger wirke eine Einzellast P an beliebiger Stelle a. Derselben halten das Gleichgewicht gewisse Kämpferreaktionen B, B\ deren Lagen und Richtungen durch die Tangenten vom Durchschnittspunkte 8 von P mit der Kämpferdrucklinie an die Umhüllungslinien U, TJ‘ bestimmt sind. Letztere stimmen bei Bogen mit Kämpfergelenken mit den Mittelpunkten der Gelenke überein (§ 2). Als Schnitt X bezeichnen wir einen Schnitt durch den Bogen, welcher den Querschnitt x enthält und von dessen äußersten Elementen senkrecht nach oben und unten geht. Dann ist die von der Last P herrührende resultierende Schnittkraft:

45) RX = R‘ .

für P nach X (Fig. 44) Rx = P, „ P vor X ( „

Der Beitrag einer Last P zu Nx würde gleich Null (Fig. 44, 45):

Die Angriffspunkte von Nx, Tr ergeben sich durch Zerlegen von Rx in Komponenten senkrecht und parallel der Querschnittsebene (Fig. 35, 36): Normalkraft N

1.    für P nach X, wenn die Tangente von Punkt S an Linie TJ parallel der Querschnittsebene stünde;

Zu

ir

2.    für P vor X, wenn die Tangente von Punkt S an Linie TJ‘ parallel der Querschnittsebene stünde.

Beide Fälle kommen aber praktisch gar nicht vor. Daher fragen alle Lasten auf dem Träger in gleichem Sinne zu Nx bei, es wird Nx am größten, und zwar positiv und Druck, bei möglichst starker Belastung (Vollbelastung) des ganzen Trägers, am kleinsten bei möglichst schwacher Belastung desselben (Eigengewicht allein).

Transversalkraft Tx. Der Beitrag einer Last P zu Tx wird gleich Null (Fig. 44, 45):

1.    für P nach X, wenn die Tangente von Punkt S an Linie f senkrecht zur Querschnittsebene steht;

2.    für P vor X, wenn die Tangente von Punkt S an Linie Zj‘ senkrecht zur Querschnittsebene steht;

3.    wenn der Angriffspunkt von P im Schnitt X liegt, weil mit dem Übergang von Fig. 44 zu Fig. 45 der Beitrag sein Vorzeichen wechselt. Für die zwischenliegenden Angriffspunkte lassen sich die Richtungen

oder Vorzeichen von Tr nach Fig. 44, 45 beurteilen, wonach sich die Belastungen für die Grenzwerte Avie folgt ergeben (Fig. 46, 47):

Fig. 44.

Rx

Tx

P\X

V-

oW i /a x

R(

'u

Fig. 45.

s,

'\N/

R'

ir

Man ziehe senkrecht zur Querschnittsebene eine Tangente an diejenige der Linien JJ, U‘, an welche eine solche möglich ist, bis zum Durchschnitt mit der Kämpferdrucklinie S; es ist einmal zwischen diesem Schnittpunkt und dem obersten Querschnittspunkt (bei unten liegender Fahrbahn dem untersten), das andre Mal auf den übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten.

Die erste Belastung liefert den positiven oder negativen Grenzwert von Tx, je nachdem die Tangente an U oder U‘ gezogen wurde. — In Fig. 46, 47 bedeuten hiernach fette Striche Vollbelastung, feine Striche Eigengewicht allein, was auch in der Folge gelten soll.

max.pos. Tx max.neg. Tx

rC

zr

zr

Fig. 46.

Moment Mx.

Wie für eine Gesamtbelastung, so hat man nach § 8, 1) auch für eine Einzellast P:

max.pos. Tx max.neg.Tx

's

S,

— c Nx,

worin Nx immer positiv (siehe oben) und c die Entfernung des Angriffspunkts von Rx von der Achsschicht, gemessen in der Querschnittsebene. Es ist also Mx positiv oder negativ, je nachdem c positiv oder negativ, d. li. je nachdem Rx oberhalb oder unterhalb der Achsschicht angreift. Greift Rx in der Achsschicht an, so ist Mx = 0. Für die Grenzwerte von Mx ergibt sich hernach folgendes (Fig.48):

Man ziehe durch den Achspunkt des Querschnitts Tangenten an die Linien U, U‘ bis zu den Durchschnitten mit der Linie S; für max. pos. Mx ist zwischen diesen Schnittpunkten für max. neg. Mx auf den übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten.

Häufig treten einzelne der hier und im nächsten § erwähnten Durchschnitte mit der Linie S nicht innerhalb der Spannweite ein; diese liefern also auch keine wirklichen Verkehrslastgrenzen, womit jedoch an der Allgemeinheit der angeführten Konstruktionen nichts geändert wird.

zr

ZT

Fig. 47.

Fig. 48.

zr'

ZT'

max.pos. Mx max.neg. Mx

Kommen neben Lasten noch andere unabhängig davon wirkende Einflüsse in Betracht, wie Temperaturänderungen, Winddruck usw., so sind die durch letztere allein erzeugten Grenzwrerte mit den von der Belastung herrührenden Grenzwerten so zu kombinieren, daß möglichst ungünstige (möglichst weit auseinander gelegene) Grenzwerte im Ganzen entstehen.

Kernpunktsmomente. Wir werden bei vollwandigen Trägern von den Kernpunktsmomenten (§ 8) keinen Gebrauch machen, wollen aber nicht unerwähnt lassen, daß die Belastungen für die Grenzwerte des Kernpunktsmoments Mxu und des Kernpunktsmoments Mx0 mit den im nächsten Paragraphen abzuleitenden Belastungen für die Grenzwerte der Normalspannung a₀, beziehungsweise der Normalspannung au ühereinstimmen. Dies folgt ohne weiteres aus den Gleichungen § 8, 27), läßt sich aber auch, wie oben die Belastungen für die Grenzwerte des Moments Mx, aus Fig. 44 und 45 entnehmen. Beachtet man, daß der Beitrag einer Last P zu einem Kernpunktsmoment gleich Null wird (sein Vorzeichen wechselt), wenn Rx durch den betreffenden Kernpunkt geht, so ergeben sich für Mxu und Mx0 unmittelbar die in § 11 für o₀ und au angeführten Belastungen.

§ 11. Grenzwerte der Normalspannung-en und Schubspannungen.

Es handelt sich darum, die Belastungen für die Grenzwerte soweit anzugeben, wie dies im vorigen § bezüglich der Nx, Tx, Mx geschehen ist.

Schubspannungen %. Da nach § 9, 7) die Längsschubspannungen und Querschubspannungen % proportional der Transversalkraft Tx sind, so gelten die Belastungen für die Grenzwerte von Tx in einem Querschnitte x auch für die Grenzwerte der % in diesem Querschnitte.

Normalspannungen er. Diejenigen Werte der Normalspannungen o eines Querschnitts x, zwischen welchen alle andern in diesem Querschnitte auftretenden o liegen, treten als o₀ und au im obersten und untersten Querschnittselement ein. Es genügt also bei der Dimensionierung des Trägers, die Grenzwerte dieser a₀, on zu kennen. Nun wissen wir aus § 8, daß nur solange a₀ mit Nx von einerlei Vorzeichen ist, als JRX oberhalb des unteren Kernpunktes angreift, und nur solange on mit iVr das gleiche Vorzeichen besitzt, als JR,P unterhalb des oberen Kernpunktes angreift. Nx aber ist immer positiv. Wir erhalten daher folgende Kegeln:

Grenzwerte von a₀ (Eig. 49): Man ziehe durch den unteren Kernpunkt des Querschnitts Tangenten an die Linien U, U' bis zu den Durchschnitten mit der Linie S‘, für max. druck a0 ist zwischen diesen Schnittpunkten, für min. druck a₀ oder max. zug. g₀ auf den übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten.

Grenzwerte von au (Eig. 50): Man ziehe durch den oberen Kernpunkt des Querschnitts Tangenten an die Linien II, U‘ bis zu den Durchschnitten mit der Linie S\ für min. druck o/( oder max. zug. oH ist zwischen diesen Schnittpunkten, für max. druck. au auf den übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten.

Vereinfachungen. Je geringer die Entfernungen der Kernlinien von der Stabachse unter sonst gleichen Verhältnissen, umsomehr nähern sich (Fig. 48—50) die angeführten Belastungsgrenzen für max. druck max. pos. M min. druck gu

<*o

max. druck min. druck d₀

sowie für

min. druck max. neg. M max. druck

Da nun der Einfluß der Lasten in der Nähe jener Belastungsgrenzen überhaupt verhältnismäßig klein ist (an den Grenzen selbst sind die Beiträge 0), so wird es in vielen Fällen genügen, die ungünstigsten Belastungen für die Mx auch als solche für die g₀, an zu verwenden , also die Kernlinien ganz aus dem Spiele zu lassen.

Man erspart hierdurch nicht nur die Ermittelung der letzteren, sondern, was mehr ins Gewicht fällt, man braucht nur etwa halb soviel Belastungsfälle, als bei der genaueren Berechnung.

Auf der Tafel am Schlüsse des Werkes sind die nach obigem Verfahren ermittelten Belastungen für die Grenzwerte max. druck a₀, max. pos. Mx und min. druck aa einer Öffnung der neuen Cannstatter Neckarbrücke zusammengestellt (vergl. VI. Abschnitt unter F). Um die Belastungen für min. druck a₀, max. neg. Mx, max. druck ou zu erhalten, hat man sich nur fette Striche (Vollbelastung) und feine Striche (Eigengewicht allein) vertauscht zu denken. Man sieht, daß die Belastungen für die genauere und die angenäherte Berechnung der a₀, ou mehrfach nicht unwesentlich voneinander abweichen. Um zu zeigen, in wieweit die Resultate der Berechnungen übereinstimmen, stellen wir in der folgenden Tabelle die auf beiden Wegen erhaltenen Grenzwerte von o₀, au zusammen (Druck positiv), sowohl für Verkehrslast allein, als auch beim Zusammenwirken der verschiedenen Einflüsse (Eigengewicht, Verkehrslast, Temperaturänderungen, künstlicher Horizontalschub). Von wesentlicher Bedeutung sind indessen nur die Grenzwerte max. druck g₀ und max. druck aa. Die abgekürzte Berechnung muß die Grenzwerte im allgemeinen etwas zu günstig ergeben, da sie meist nicht genau die ungünstigsten Belastungen verwendet. Jedoch treffen die größten Abweichungen gerade an diejenigen Stellen des Bogens (gegen die Mitte

zr

zr

Fig. 49.

Fig. 50.

v«.

V'

max. druck min.druck <s£

und Enden), wo ohnehin die Querschnitte nicht genau der Berechnung angepaßt zu werden pflegen.

Werden bei Bogen mit durchbrochenen Wandungen die Gurtungsschwerlinien als Kernlinien verwendet (S. 31), dann gelten die Grenzwerte von g₀ und ou für die ganze obere und untere Gurtung. — Bezüglich der Berücksichtigung von Nebeneinflüssen wie Temperaturänderungen, Winddruck usw. gilt das am Schlüsse des vorigen § Gesagte. Vergl. im

VI. Abschnitt unter J und K.

5‘ Querschnitt

max. druck o₀

min. druck oo

Verkelirslast

allein

genau abgek. | ^(ch. kg/qcm kg/qcm j OL

Gesamt

spannungen

genau abgek.

kg/qcm kg/qcm

Ab

weich.

°/o

Verkehrslast

allein

Gesamt

spannungen

genau j abgek. kg/qcm j kg/qcm

genau

abgek.

kg/qcm kg/qcm

WCihcDCDOiOhcd rf cT r-T 1-T O o r-T of of

61

30

32

79

Mittel

3,4 |j

1,6 |

§ 12. Einflußlinien. Bewegte Radlastzüge.

Die in §§ 10, 11 gezeigten Ermittelungen der Belastungen für die Grenzwerte interessierender Größen genügen nicht, wenn die Berechnung für bewegte Züge konzentrierter Lasten in festen Entfernungen durchgeführt werden soll, die wir Badlastzüge nennen wollen. Es können alsdann bei Bogenträgern alle diejenigen Methoden zur Verwendung kommen, die im gleichen Falle auch bei anderen Trägern gebräuchlich sind (vergl. § 55).¹ Wir wollen jedoch hier nur die Berechnung mit Anwendung von Einflußlinien² andeuten.

Als Einflußlinie (Influenzlinie) einer Größe B bezeichnet man diejenige Linie, welche entsteht, wenn an jeder Stelle a

die Ordinate b gleich dem Beitrag gemacht wird, welchen eine hei a angreifende Last P= 1 zu B liefert. Ist also der Ausdruck von B für beliebige P bei beliebigen a gegeben, so erhält man die Gleichung der Einflußlinie von B, wenn man bei jeder Abszisse a die Ordinate b gleich dem Faktor macht, mit welchem P für diese Stelle a im Ausdruck von B multipliziert ist. Wir wollen dies beispielsweise für einige Größen betreffend den häutigst vorkommenden Fall symmetrischer Bogen mit Kämpfergelenken (ohne Zwischengelenk) zeigen.

max. druck au

min. druck

<*u

Verkehrslast

allein

Gesamt

spannungen

Verkehrslast

allein

Gesamt

spannungen

genau abgek.

Ab

weich.

genau abgek.

Ab

weich.

genau abgek.

genau abgek.

kg/qcm kg/qcm

°/o

kg/qcm kg/qcm

°/o

kg/qcm kg/qcm

kg/qcm kg/qcm

5’ Querschnitt

477.3    | 462,0 450,8 429,7 515,1 j 504,3

537.4    537,4 526,7 517,5 j

485.6    467,0

412.4    412,4

341.7    329,3 313,6 305,9

-1,7 — 3,8

0,0

—    3,6

—    2,5

982

848

926

960

960

930

866

805

783

967

827

915

; 960

951

911

866

-G

-G CO CD to

-1,5

— 2,5

I —1,2

0,0

—    0,9

—    2,0

0,0

-1,6

! —0,9

—    176,5 230,9

—    304,2 j

— 161,2

za jlü    jlü    j-i    ^    oo    co

Li    'yi 'ci    'cß    'm    '©    V    'cp

252

78

2,682 5,190 7,698 10,206 eo 12,714 26    15,222

i6 17,730 20,238 22,746

268

99

13    — 2

—59    — 59

69

— 44

16

77

89

99

106

¹

   Vergl. Weyrauch, Theorie und Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887, §12. Luegers Lexikon der gesamten Technik, Artikel Grenzwerte.

²

   Die Methode der Einflußlinien zur Bestimmung von Grenzwerten wie der Name Einflußlinie (Influenzlinie) wurden eingeführt in den Schriften: Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S.166 (s. auch S. 50, 54,58, 62,101); Derselbe, Die Maximalmomente einfacher Träger bei festen und bewegten Lastsystemen, Zeitschr. des Arch.- und Ing.-Vereins zu Hannover 1875, S. 467.

-2,4

! —1,2

Für Bogen mit Kämpfergelenken, welche zur Vertikalen durch die Mitte der Spannweite symmetrisch sind (womit in § 1 M = M‘ — 0, Je — 0 werden), hat man die Vertikalreaktion bei 0 allgemein:

I’ P (l — a) , l o

wonach die Gleichung der Einflußlinie von V:

l — a

V= -

(L

.1

Fig. 51.

Die Linie ist in Fig. 51 verzeichnet. Der von einer beliebigen Belastung herrührende Horizontalschub läßt sich in wichtigen Fällen ausdrücken (§§ 19, 20, 22):

~ 2 Pf (a) ,

O 0

worin C unabhängig von a. Die Gleichung der Einflußlinie von H folgt daraus:

H _ f(«)

J P (x — a) ,

Für das Moment und die Normalkraft gelten bei beliebiger Belastung die Ausdrücke (§§ 1, 20):

Mx=Vx - Hy -

0

(V — 2 F) sin <jp cos (f . o

Mit Rücksicht auf die durch 1, 2 bestimmten Werte von V, H für P = halten wir die Gleichungen der Einflußlinien von Mv und Nx für a x:

l-_cLx_na) l    c

- - sin <p +

C

sin cp + cos cp , f(«)

X--- V .

c •"

a .    f{a)

— sm cp    cos cp .

1 er-

oder auch für a x:

während für n > x\

Mx — — -

Mx ■—

A* = -

Mx =

Ae —

— (x — a),

cos cp,

Setzt man in den allgemeinen Ausdrücken der Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement symmetrisch zur Achsschicht angeordneter Querschnitte § 8, 11):

<r₀ = '3l +

⁰ F ~ W ’

„ _ Ar _ Mx u F W

für Mx, Nr die aus 8 und 4 folgenden Werte, so liefern diese Gleichungen 5 die Ordinaten der Einflußlinien für a₀, au. Für unsymmetrische Querschnitte würden nur § 8, 9) an Stelle von 5 treten.

In ähnlicher Weise wie hier für die Größen V, H, Mx, Nx, a₀, können die Einflußlinien auch für andere Größen B ermittelt werden.

Wird die Belastung nur in bestimmten Knotenpunkten auf den betrachteten Träger übertragen, so verläuft die Einflußlinie zwischen je zwei aufeinander folgenden dieser Knotenpunkte geradlinig. Denn von einer bei a zwischen solchen Knotenpunkten der Abszissen c und d liegenden Last P kommen unter der hier üblichen Voraussetzung frei drehbarer Zwischenträgerenden bei c und

d auf den Träger (Fig. 52):

CI ~r\    -|    d

- P bezw. -j c    d

c a,

~d

P.

d —

Ist nun m der Beitrag einer Last P = 1 bei c, und n der Beitrag einer Last P = 1 bei d, so folgt der Beitrag der an beliebiger Stelle a zwischen c und d wirkenden Last P = 1:

Fig. 52.

und dies ist bei veränderlichem a die Gleichung einer geraden Linie. Es folgt hieraus auch, daß die Einflußlinie einer bestimmten Größe B je nach der Ubertragungsart der in Frage kommenden Lasten etwas verschieden ausfallen kann. Gewöhnlich interessiert jedoch nur die Einflußlinie der Verkehrslast, welche eindeutig bestimmt ist.

Da eine bei a angreifende Last P= 1 zur Größe B den Beitrag b liefert, unter b die Ordinate der Einflußlinie bei a verstanden, so trägt eine beliebige Last P bei Pb, und für den Beitrag einer Lastenfolge von v bis w hat man:

B = UPb .

iv

V

Ist die Belastung von v bis w stetig verteilt und bezeichnet p == cp (a) die Belastung pro Längeneinheit hei a, so folgt aus 6) mit P = pda:

W

B — Jpda ’b .

V

Speziell wenn die Belastung gleichmäßig verteilt ist, erhält man wegen des alsdann konstanten p:

G—pfbda=pF,

V

worin F die Einfluß fläche von v bis w bezeichnet (Fig. 53). einer gleichmäßig verteilten Last p auf der ganzen Spannweite herrührende Wert der obigen Vertikalreaktion V beispielsweise wäre also (vergl. Fig. 51):

Der von

da

v a i 70

+.

Fig. 53.

Der Beitrag einer Last und die Einflußfläche bei a sind jiositiv oder negativ, je nachdem die Einflußlinie daselbst auf der positiven oder negativen Seite der Abszissenachse liegt (wo b positiv oder negativ). Die Durcbscbnittspunkte der Einflußlinie mit der Abszissenacbse bilden die Grenzpunkte der positiven und negativen Beitragsstrecken. Auf jeder Beitragsstrecke einerlei Sinns beißt derjenige Punkt i, bei welchem die Ordinate b und damit der Beitrag einer Last P größer als an allen andern Orten jener Strecke ist, der Einflußpunkt für die betreffende Strecke. Ihm bat man in praktischen Fällen die Lasten von den Streckengrenzen aus zu nähern, wenn ihre Beiträge zu P wachsen sollen. Im obigen Falle von V beispielsweise würde es der Punkt 0 sein,

tc

für H ist in allen später betrachteten Fällen ? = ¹.

Ist die Einflußlinie einer Größe B verzeichnet, so kann man mit Rücksicht auf obige Eigenschaften der Einflußlinien die Belastungen für die Grenzwerte von B sehr leicht angeben und diese selbst ohne weitere Formeln berechnen.¹ Man hat bei Berechnung jedes der beiden Grenzwerte die Beitragsstrecken des betreffenden Sinnes möglichst stark und zwar derart zu belasten, daß alle Lasten, besonders die größten darunter, möglichst nahe an den Einflußpunkten ihrer Strecken liegen, während die Beitragsstrecken entgegengesetzten Sinnes von Lasten möglichst frei zu lassen sind. Verkehrslasten, welche trotzdem auf diese gelangen, kann man einfach unberücksichtigt lassen, womit in immer zulässiger

¹ Näheres und zahlreiche Anwendungen, auch zur Ableitung von Formeln für die Grenzwerte enthalten die Schriften: Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887; Derselbe, Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1888; vergl. auch Luegers Lexikon der gesamten Technik, Artikel: Einflußlinien, Grenzwerte.

Weise etwas zu ungünstig gerechnet wird. Liegt die Einflußlinie einer Größe ganz auf einer Seite der Abszissenachse, dann tritt der obere Grenzwert bei möglichst starker Belastung des ganzen Trägers (besonders in der Nähe des Einflußpunktes), der untere für Eigengewicht allein aus.

In vielen Fällen lassen schon die allgemeinen Formeln für B auf die Grenzpunkte der Beitragsstrecken, sowie auf die ungünstigsten Zusammensetzungen und Richtungen der Lastsysteme schließen. Nach der oben angeschriebenen Formel für V beispielsweise erhält man den größten Wert von V hei Belastung durch Eisenbahnfahrzeuge, wenn ein Zug schwerster Lokomotiven mit den Schloten vorn von l nach 0 fahrend mit dem Vorderrade der ersten Lokomotive bei a = 0 angelangt ist, den kleinsten Wert von V für Eigengewicht allein. Für ein gleichmäßig verteiltes Eigengewicht von g und eine ebensolche Verkehrslast von p pro Längeneinheit wären nach dem bisher Gesagten mit Rücksicht auf Fig. 51 und q = g + p die Grenzwerte von V:

ql

r=^

Dieselben Grenzwerte durch gleichmäßig verteilte Lasten g, p ergeben sich für die Vertikalreaktionen V, V‘ in vielen später betrachteten Fällen. Auch die Grenzwerte des Horizontalschubs H treten für gleichmäßig verteilte Lasten g, p ein, wenn die ganze Spannweite einmal mitq = g-t~p das andre Mal nur mit g belastet ist.

Beispiel 9. Einflußlinien und Grenzwerte.

Für die symmetrischen Bogen mit drei Gelenken einer eingeleisigen Eisenbahnbrücke sei die Spannweite l — 24 m, der Pfeil der Achse f — 3 m, die gleichmäßig verteilt gedachte feste Last (Eigengewicht der Konstruktion) g = 700 kg pro Meter Spannweite. Zu bestimmen: a) die Einflußlinien für die Vertikalreaktionen V, V‘ der Kämpfer und den Horizontalschub, welch letzterer

für beliebige Belastung mit m = ~ durch

s = A[i’p« + ipp-«)]

ausgedrückt ist (§ 19); b) die Grenzwerte von V, V', H, welche beim Befahren der Brücke durch Züge von Lokomotiven der in Fig. 54 angedeuteten Radanordnung entstehen.

2    1,3 1,3 1,2    3    2,2m-

(IXDODd) (ft

a) Die Einflußlinie von V wurde bereits in § 12 festgestellt, diejenige von V liegt bezüglich der Trägermitte symmetrisch zu ihr (Fig. 55). Nach 1 hat man zufolge § 12 die Gleichung der Einflußlinie von H:

für a < m

a

H= - —,

Fig. 54.

für a > m

Die Linie liegt symmetrisch zur Trägermitte, hat bei a = 0 und l die Ordi-naten 0, und da die Gleichungen 2 für « =

Falle also H =    = 2, so ist die Einflußlinie für H durch Fig. 56 dargestellt.

b) Da die drei Einflußlinien vollständig auf einer Seite der Abszissenachse liegen, so treten die unteren Grenzwerte von V, V, H für die feste Last allein ein. Ihre Werte sind nach § 12, 8):

ro

liefern H =

in unserem

24'1

V = V — 700 —-— = 8400 kg 24-2

H= 700

= 16800 kg .

Der obere Grenzwert von V ergibt sich bei der in Fig. 55 angedeuteten Belastung aus § 12, 6):

V = 8400 +    ^6000 (24 + 22,7 + 21,4 + 13 + 11,7 + 10,4 + 2 + 0,7) +

4000 (20,2 + 9,2) + 5 (17,2 + 6,2)J = 44 650 kg.

6 6 6t

für V

-----

j 24m,

~kT'

Fig. 55.

Fig. 56.

Derselbe Grenzwert tritt für F ein, wenn der Zug¹ m entgegengesetzter Richtung mit dem Vorderrad bei l steht. Den oberen Grenzwert von H erhält man bei der in Fig. 56 angedeuteten Belastung:

16800 + -g £6000 (12 + 10,7 + 2,3 + 1 + 10,7 + 6,7 + 5,4 + 4,1) +

4000 (9,5 + 2,9) + 5000-6,5j = 83380 kg .

Beispiel 10. Einflußlinien (Cannstatter Neckarbrücke).

Für einen symmetrischen parabolischen Bogen mit Kämpfergelenken von l — 48 m Spannweite und f — 4,505 m Pfeil der Achse ist der von einer Last P an beliebiger Stelle a herrührende Horizontalschub für Meter als Längeneinheit

TT    PGg)

806754

Die Verkehrslast wird durch Vertikalen in Abständen von 2,508 m bei den unten angegebenen Abszissen n, welchen die beigesetzten f(a) entsprechen, auf die Bogen übertragen. Es sind die Einflußlinien für Mx, Nx, aQ, aH in der Trägermitte festzustellen, wo der Querschnitt F = 373 qcm und das Widerstandsmoment W = 11 594 ccm ist.

Die Gleichungen der Einflußlinien von Mx, Nx für beliebige Querschnitte x sind nach § 12, 3), 4) mit l — 48 m, C = 806 754, wenn die Abszisse a < x:

v f(a)

806754 ’

ausgedrückt:

Mx =

48

und wenn die Abszisse a )> x:

Nx - (⁻ ätg v +

f(ß)

806 754

cos <p ,

806 754 ’

, l — a Mx =    48    *

= (1^± tgy + f(a) )

\ 48    8 w ^ 806 754)

Mit diesen Werten von Mx, Nx sind die Gleichungen der Einflußlinien von a₀, au für beliebige Querschnitte durch § 12, 5) bestimmt.

Für x = 24 m liegen die fraglichen Einflußlinien symmetrisch zur Trägermitte, so dass es genügt, die ersten Hälften zu ermitteln. Man erhält für dieselben mit l — x = 24 ra, y = f = 4,505 m, tg cp = 0, cos (p = 1 nach b):

Nr

COS (f .

f («)

Mx = ir

und damit nach § 12, 5) pro qcm:

100 Mx Tl 594 ’

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

179 980 ’

Nr =

f(a)

806 754

•Nr

373

°ti =

100 Mx 373    11594

Nr

Diese Gleichungen liefern beispielsweise für «= 0,174 m mit /’(«) — 19212:

£8m

Mx = 0,087 —

19 212

179 080

= — 0,0203,

Nx ■—

19 212

806 754

= 0,0238,

*5'

25i 27.

äjl

238 22,

sr

0,0238

2,03    _    0,1113

11594 ~ “ ~

0,0238    2,03

373    ⁺ 11594 _

und für a — 2,682 m mit f(a) — 294406:

a₀ =

ou =

373

1000 ’

0,2389

lööo“ ’

294 406 179 089

Mx = 1,341 -

294 406 Nx “ 806 754 “ 0,3649 3

0,3649    30,3

373    11594 ~

(7₀ =

°u =

0,3649

30,3

= — 0,3030,

1,6351 1000 '

373

11594

3,5917

1000

*«2*

In gleicher Weise sind die übrigen Ordinaten S b der Einflußlinien für ^x i °0 > ®u    nach

stehender Zusammenstellung berechnet.

Für

fifl)

Mx

Nx

°o

°u

1000 b

0,174

2,682

5,190

7,698

10,206

12,714

15,222

17,730

20,238

22,746

19212

294406

560538

810037

1036264

1233463

1396910

1522804

1608352

1651601

—    0,0203

—    0,3030

—    0,5351

—    0,6743

—    0,6836

—    0,5308

—    0,1895 0,3615 1,1378 2,1503

1000 b

—    0,1113

—    1,6351

—    2,7526

—    3,1239

—    2,4525

—    0,4793 3,0076 8,1786

15,1585 — 4,4689 24,0351 — 13,0581

0,2389

3,5917

6,4780

8,5079

9,3399

8,6671

6,2766

1,9426

0,0238 0,3649 0,6948 1,0041 1,2845 1,5289 1,7315 1,8876 1,9936 2,0472

Zwischen je zwei aufeinanderfolgenden a verlaufen die Einflußlinien geradlinig (S. 46). Die Einflußlinie für Nx ist gleichzeitig die Einflußlinie

des Horizontalschubs H (bei x = -L- symmetrischer

Bogen). In Fig. 57 sind die ermittelten Einflußlinien verzeichnet.

Beispiel 11. Berechnung von Grenzwerten mit Hilfe von Einflußlinien (Cannstatter Neckarbrücke).

Die Ordinaten b der symmetrisch zur Trägermitte liegenden Einflußlinien für die Normalspannungen cr₀, au in der Mitte eines Bogens mit Kämpfergelenken

sind wie am Schlüsse von Beispiel 10 ermittelt (Fig. 57). Man soll mit Hilfe dieser Einflußlinien bestimmen:

a) Die Werte von a₀, on für gleiche ------    4264 kg bei allen Knotenpunkten a, mit Ausnahme der beiden zunächst

den Kämpfern gelegenen, wo nur y P angreifen;

Lasten P =

5m

b)    die ungünstigsten von einer Straßenwalze der in Fig. 58 ersichtlichen Lastanordnung allein herrührenden cr?, au, wenn die einzelnen parallelen Bogen in Abständen von 3,2 m liegen;

c)    den größten von zwei der erwähnten Straßenwalzen allein herrührenden Druck au im gleichen Falle;

d)    den größten durch die Yerkehrslast erzeugten Druck o"₀, wenn außer der nach b) gewählten Belastung durch die Straßenwalze noch bei a — 15,222 m, 17,730 m und den symmetrisch dazu gelegenen Knotenpunkten Lasten P — 3486 kg durch Menschengedränge kommen;

e)    den größten durch die Verkehrslast erzeugten Druck au, wenn außer der nach c) gewählten Belastung durch Straßenwalzen noch bei a — 2,682 m, 5,190 m, 15,222 m, 17,730 m Lasten P — 3486 kg, sowie bei a = 0,174 m zwei Drittel soviel durch Menschengedränge kommen und Analoges für die symmetrisch dazu liegenden Punkte gilt.

a) Für die unter a) angeführte Belastung hat man bei beliebigen P nach § 12, 6):

2ßm

Fig. 58.

v %s

0,6

it__.it 1,6ni

6<-

0,1113 y — 1,6351 — 2,7526 — • • • + 24,0351 j = 0,0797244 P ,

0,2389 y + 3,5917 + 6,4780 + • • • — 13,0581j = 0,0550314 P ,

also speziell für P = 4264 kg, entsprechend dem konzentrierten Eigengewicht der Konstruktion (bezüglich des gleichmäßig verteilten Eigengewichts der Bogen selbst siehe Beispiel 6, S. 33) :

<J₀ = 339,9 kg

b) Da die einzelnen Bogen um 3,2 m voneinander entfernt liegen, so können von der 20 t schweren Straßenwalze höchstens folgende Lasten auf einen Bogen kommen (Fig. 59):

ao = ~.

1000

1000

au = 234,7 kg .

2-6

2-4

2,9

3,2

7,25 t.

Steht nun die Last von 9 t bei a — 25,254 m, wo ihr Beitrag zu a₀, au am größten ist (Fig. 67), dann kommen auf die beiden vorhergehenden Knotenpunkte (Fig. 60):

bei a — 22,746 m

P = 7,25

bei a = 20,238 m

P= 7,25

2,116 _ ”2(508 ~ 0,392 _ 2,508 ~

6,117 t

1,183 t .

16.

6t

7,25

9t

2,9 m

3,2

3,2m

2,508    2,508m

20,238    22,756    25,255    27,762m,

Fig. 59.

Fig. 60.

Mit Rücksicht hierauf erhält man nach § 12, 6) die numerisch größten durch die Straßenwalze erzeugten Normalspannungen genügend genau:

1,133 • 15,1585 + (6,117 + 9) 24,0351 =    380,5 kg ,

a₀ =

au = — 1,133 • 4,4689 — (6,117 + 9) 13,0581 = — 202,5 kg .

Die Berechnung der P bei den Knotenpunkten war übrigens nicht nötig, da wir nach § 12, 6) mit den Lasten von 7,25 und 9 t und den unmittelbar darunter liegenden Ordinaten b direkt rechnen konnten, doch braucht man bei dem jetzt angewandten Verfahren (wie auch bei numerischer Interpolation der b unter 7,25 und 9 t) die Einflußlinie nicht zu verzeichnen. Bei einer größeren Anzahl von Radlasten ist es natürlich bequemer, mit letzteren und den zugehörigen (abgegriffenen) b selbst zu rechnen.

c) Zur Erzielung eines möglichst großen Drucks an genügt es nach Fig. 57 zwei Straßenwalzen symmetrisch zur Trägermitte so zu stellen, daß die Lasten von 7,25 und 9 t gleich weit vom Punkt 10,206 m abstehen, die Last von 9 t nach der Trägermitte hin. Man hat dann:

1,45

P=7’²⁵v^r = ⁴’192t’

bei a = 7,698 m

bei a = 10,206 m

P= (7,25 + 9)

6,855 t,

bei a = 12,714 m

= 5,203 t,

P =

und für diese Belastung nach § 12, 6):

au = 2 (4,192 • 8,5079 + 6,855 • 9,3399 + 5,203 • 8,6671) = 289,6 kg .

Auch hier gilt das am Schlüsse von b) Gesagte.

d) Werden zur Erzeugung eines möglichst großen Druckes a₀ die oben unter d) erwähnten Verkehrslasten angenommen, so ergibt sich der Beitrag der Verkehrslast zu a₀ mit Rücksicht auf das Resultat unter b):

Oq = 380,5 + 2 • 3,486 (3,0076 -f 8,1786) = 458,5 kg .

e) Werden ferner zur Erzielung eines möglichst großen Druckes au die oben unter e) angeführten Verkehrslasten angenommen, so folgt der Beitrag der Verkehrslast zu au mit Rücksicht auf das Resultat unter c):

ou = 289,6 + 2 *3,486 (0,2389    + 3,5917 + 6,4780 + 6,2766 + 1,9426) = 4l8,2 kg .

Bemerkungen. Die angegebenen Verhältnisse entsprechen der Cann-statter Neckarbrücke (VI. Abschnitt). Beim Zusammenwirken des bei derselben angewandten künstlichen Horizontalschubes (Beispiel 7), des gesamten Eigengewichts (Beispiel 6 und oben a) und der unter d) und e) angenommenen Verkehrslasten werden die größten Drücke bei normaler Temperatur:

a₀ = — 70,5 + 68,6 + 339,9 + 458,5 = 796,5 kg,

81,0 + 46,4 + 234,7 + 418,2 = 780,3 kg,

°u =

und bei Berücksichtigung der in Betracht gezogenen Temperaturveränderungen von r — + 25° (Beispiel 7):

a₀ = 796,5 + 104,5 = 901 kg, au = 780,3 -f 120,0 = 900 kg .

Mit den unter b) und c) erwähnten Verkehrslasten (ohne Menschengedränge) hätten sich an = 823 kg, au — 771 kg ergeben.

Beispiel 12. Verwendung gleichmäßig verteilter und konzentrierter Eigengewichte (Cannstatter Neckarbrücke).

Bei der Cannstatter Neckarbrücke (VI. Abschnitt) kann das Eigengewicht der Bogen selbst mit g = 340 kg pro Meter als gleichmäßig verteilt auf die Spannweite von 48 m gelten, während die in Abständen von 2,508 m liegenden Vertikalen je P= 4264 kg konzentriert übertragen (die Endvertikalen nur ²/ä soviel). Es sollen mit den von dieser Belastung herrührenden Normalspannungen a₀, au im Scheitelquerschnitt diejenigen Werte der letzteren verglichen werden, welche erhält, wenn das ganze Eigengewicht der Konstruktion entweder gleichmäßig verteilt oder bei den Vertikalen konzentriert angenommen wird.

Die fraglichen Normalspannungen durch das wirkliche Eigengewicht sind nach Beispiel 6 und Beispiel 11a):

man

Go — 68,6 + 339,9 = 408,5 kg, aH = 46,4 + 234,7 = 281,1 kg .

a₀ = 0,079 7244-5117 = 407,9 kg aw = 0,055 0314-5117 = 281,6 kg

d. i. weniger 0,15 %, „ mehr 0,18 % .

Hätten wir das ganze Eigengewicht als gleichmäßig verteilt angenommen, so würden sich mit g = 340 -f-

4264

27508

= 2040 kg nach Beispiel 6 ergehen haben:

a₀ = 0,201 641-2040 = 411,3 kg au = 0,136 659 • 2040 = 278,8 kg

d.i.

mehr 0,69%, weniger 0,82 %.

Hätten wir dagegen das ganze Eigengewicht bei den Vertikalen konzentriert angenommen, so würde man mit F — 4264 -j- 340 • 2,508 spiel 11a) erhalten haben:

5117 kg nach Bei-

Bemerkungen. Die Beiträge 68,6 und 46,4 kg des gleichmäßig verteilten Eigengewichts zu a₀, au wurden in Beispiel 6 mittelst der genauen Formeln berechnet. Annähernd können dieselben auch mit Hilfe der in Beispiel 10 festgestellten Einflußlinien erhalten werden, welche nur durch die geradlinige Verbindung aufeinanderfolgender Knotenpunkte von den jenem Eigengewichte entsprechenden ab weichen. Bezeichnen b₀, blt b₂,- ■b₁₀, bn die Ordinaten der Einflußlinien bei a = 0, bei den am Schlüsse von Beispiel 10 angeführten a und bei a = 24m, dann hat man den Inhalt der ganzen Einflußflächen:

& 2+ &3

F=2(^±h

°’¹⁷⁴ + 2

2,508 +    ₂

2,508 +

&10 + kn

1,254 J ,

oder auch

F = [ 0,174 b₀ + 2,682    + 5,016 (% + h + . . + &₉) + 3,762 b₁₀ + 1,254 bu ] ,

wonach speziell für die Einflußflächen von a₀, au mit den am Schlüsse von Beispiel 10 gegebenen b:

1000 F₀ = [— 2,682-0,1113 + 5,016 (— 1,6351 — • • + 15,1585) + (3,762 + 1,254) 24,0351) = 200,022,

1000 Fu = [ 2,682.0,2389 + 5,016 ( 3,5917 + • • — 4,4689) — (3,762 + 1,254) 13,0581] = 137,461 .

Die Normalspannungen durch ein gleichmäßig verteiltes Eigengewicht von g pro Meter Spannweite ergeben sich damit zufolge § 12, 8):

au = 0,137467 g,

d. i. um 0,80 % kleiner, bezw. um 0,59 °/o größer als in Beispiel 6, wo wir

a₀ = 0,201641 g

a₀ = 0,200022 g,

Gu = 0,136659 g

erhalten hatten.

Aufgabe 8. Ungünstigste Stellung von Radlastzügen.

Eür eine Größe G, deren Einflußlinie nach Art von Fig. 61 auf einer Strecke v w aus zwei Geraden mit dem Einflußpunkt i zwischen v und iv besteht, die ungünstigste Stellung eines Radlastzugs (ohne sonstige bewegte Lasten) auf dieser Strecke möglichst genau festzustellen.

Die Einflußlinie läßt erkennen, daß zur Erzeugung des größten G ein Lastzug zu wählen ist, welcher möglichst schwere Lasten möglichst dicht um ein schwerstes Rad O enthält. Mit diesem Rad über dem Einflußpunkt i wäre der Lastzug zunächst auf die fragliche Strecke zu bringen, und zwar so, daß die ungünstigste Zugseite von O aus auf die längste der beiden Teilstrecken von i aus kommt. Es handelt sich nun darum, die Laststellung, für welche das Maximum von G eintritt, vollkommen genau zu bestimmen. Hierzu genügt es, die entsprechende Bedingung für irgend eine Größe festzustellen, deren Einflußlinie den gegebenen Verlauf hat. Eine solche Größe ist das Moment im beliebigen Querschnitt x eines einfachen, beiderseits frei drehbaren Balkenträgers, das heißt nach § 1, 8) mit H — 0, M = M‘ = 0:

₌    2Fa + ^-2P(l-a) .

I o    Ix

Denn man hat als Gleichung seiner Einflußlinie (vergl. § 12):

l — X

Mx

von a = 0 bis x

von a — x bis l

b = (l — a) ,

(A__Ajp_ PL    da= |'|p_ i-ip'f cla .¹

sodaß diese Linie wie in Fig. 61 oben angedeutet verläuft. Bewegt sich der Lastzug auf dem Träger, so ändern sich mit jeder unendlich kleinen Verrückung die Abszissen a aller Lasten P um das gleiche da, der Wert von Mx ändert sich um

ci jyisjQ —

Für das Maximum von Mx jedoch besteht die Bedingung²:

x    t    l

2P= — 2r o    ^    o

Ganz analog hat man für die Stellung eines bestimmten Lastzugs auf der Strecke v w, bei welcher die Größe G ihr Maximum erreicht (Fig. 61):

V    IV — V v

Das Maximum tritt ein, wenn dasjenige Rad über den Einflußpunkt i gelangt, mit welchem die Summe links den Wert rechts durchschreitet.

Für den Horizontalschub des Dreigelenkbogens beispielsweise ist die Einflußlinie in Fig. 56 (S. 49) verzeichnet. Die Bedingung für sein Maximum lautet

also nach 3 mit v — 0, i = m = -o, iv = l:

m

2 P = -L- 2 P, o 2 o

wie wir auch durch Differentiation des Ausdrucks 1 in Beispiel 9 und Nullsetzen des ersten Differentialquotienten erhalten hätten.³ Die Bedingung 4 ist für die

in Fig. 56 angedeutete Laststellung erfüllt, da 2 P = 61 t, während mit dem Übertritt des Rads über der Mitte von der zweiten auf die erste Trägerhälfte

der Wert der Summe AP von 27 auf 33 steigt, also den Wert ⁶, durchschreitet.

0

Auch in andern Fällen wird die Bedingung 3 meist schon dadurch erfüllt, daß man die Stellung des geeigneten Lastzugs in bekannter Weise auf Grund der Einflußlinie wählt.

x\-

70

AM% ₌ o

oder

Fig. 61.

2P =

y\

§ 13. Berechnung’ der Berührung’Sg’elenke.

Bei Bogenträgern kommen Berührungsgelenke (Tangentialgelenke, Wälzgelenke) und Umschließungsgelenke mit kreiszylindrischen und kugelförmigen Druckstücken vor. Wir wollen zunächst Berührungsgelenke ins Auge fassen. Die sie betreffende Aufgabe ist auf Grund der allgemeinen Elastizitätslehre zuerst von Hertz⁴ in Angriff genommen und teilweise gelöst worden. Da hier nicht die Grundgesetze der allgemeinen Elastizitätslehre behandelt werden können, so müssen wir uns auf die Vorführung der wichtigsten, bei Bogen in Betracht kommenden Resultate beschränken. Für die zwei in Berührung befind-

¹    Die Differentiation der Summe 2 erfolgt einfach hinter den Summenzeichen. Näheres enthält die in der Fußnote S. 69 erwähnte Literatur.

²    Weyrauch, Die Maximalmomente einfacher Träger bei festen und mobilen Lastsystemen, Zeitschr. d. Arch.- und Ing.-Vereins zu Hannover 1875, S. 467.

⁴ Hertz, Über die Berührung fester elastischer Körper, Journal für reine und angewandte Mathematik 1882, S. 156 (auch Verhandlungen d. Vereins f. d. Beförderung d. Gewerbefleißes 1882, S. 449).

³    Ähnliche Ableitungen ungünstigster Stellungen für Dreigelenkbogen auch bei Fachwerksgliederung s. Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887, S. 240.

1    71 El 1

E,

liehen Körper, welche homogen und isotrop vorausgesetzt werden, seien Ev E₂ die Elastizitätsmoduln, /li₂ die Elastizitätsquotienten, das heißt die Quotienten aus Querzusammenziehung und Längsdehnung gezogener Prismen. Die Molekulartheorie der Elastizität ergibt    für homo

genes, isotropes Material gleich ¹ U, während durch Versuche mit Fluß-eisen, Stahl und Gußeisen meist Werte zwischen J/⁴ nnd Vs, für Steine aber auch stark veränderliche Werte erhalten wurden.¹ Wir führen weiter ein:

£ a-rf)

und schließlich mögen r1; r₂ die Kadien der Berührungsflächen beider Körper im spannungslosen Zustande bedeuten (Fig. 62). Wenn beide Krümmungen konvex wären, das heißt beide Krümmungsmittelpunkte auf verschiedenen Seiten der Berührungsfläche lägen (innerhalb der betreffenden Körper), dann hätte man in den folgenden Gleichungen — r₂ an Stelle von r₂ zu setzen, doch kommt dieser Fall hei Bogen nicht vor.

Zylindrische Berührungsgelenke (Wälzgelenke). Für zwei kreiszylindrische Druckstücke, die sich im spannungslosen Zustande längs einer Erzeugungslinie berühren, hat man nach Hertz die Breite (senkrecht zur Zylinderachse) der durch einen Normaldruck R auf die wirksame Zylinderlänge l erzeugten rechteckigen Berührungsfläche:

*i =

Ei

e2 —

6-^ —£?2 E

ri

r2

und den größten Druck pro Flächeneinheit, welcher unmittelbar unter R ein tritt:

_ 4_ R

S Ti bl

Der größte Druck pro Flächeneinheit ist also 4!7i mal so groß als bei gleichmäßiger Verteilung des Gesamtdruckes R auf die Projektion bl der Berührungsfläche. Mit 2 liefert 3:

E₁ J¹!

\rl

Ez

fr

ö-

Fig. 62.

H + e2 ⁷¹¹

Bei gleichem Material der beiden Körper folgen aus 2, 4 mit ex = e₂ =

(i -^²);

;P

»'2

77 ER

Fig. 63.

5² =

Ist die Berührungsfläche eines der beiden Körper eben (Fig. 63), so er-

1 — ft.² 2 nl ’

hält man mit rx = r, r₂ = co bei verschiedenem Material der Körper aus 2, 4:

tg l

S²

1    4 -B

-f- e₂ tg r l ’

und bei gleichem Material der zwei Körper aus 5, 6:

4|/(1

2r R

— fl²)

1 ER 1 — fi² 2 tg rl

Natürlich gilt stets auch die allgemeine Gleichung 3. Man kann beispielsweise B in Tonnen, E, s in Tonnen pro qcm, l, r in cm einsetzen.

Sphärische Berührungsgelenke. Für zwei kugelförmige Druckstücke, die sich im spannungslosen Zustande in einem Punkte berühren, liefert die Ableitung von Hertz den Durchmesser der durch einen Normaldruck B erzeugten kreisförmigen Berührungsfläche:

iVX±ÄlM

TG El

s²

10

11

rl

»⁻2

und den größten Druck pro Flächeneinheit, der unmittelbar unter B eintritt:

6R

tg a²

12

Dieser Druck ist also 3/2mal so groß als bei gleichmäßiger Verteilung des Gesamtdruckes B auf die Projektion n ® der Berührungsfläche. Mit 11 folgt aus 12:

s³ =

rg j 96 R

el + e2

TT³

13

Bei gleichem Material der beiden Körper ergeben 11, 13 mit ex — e₂ —

~ (1 — fi²):

,7 1 — fi²_ 12 R

14

r₂ E ) SR

15

s³ =

Ist die Berührungsfläche eines der beiden Körper eben (Fig. 63), so erhält man mit rx = r, r₂ — oo bei verschiedenem Material der Körper aus 11, 13:

1 - fl² TG

2 TG

« = ]/(% + *a) ^»

16

s³

96 R

(ex + e₂)²r²TG³ ’

und bei gleichem Material der zwei Körper aus 14, 15:

17

o \ 12 rR

r“

18

,s³ =

2 3-ß

19

(l-A²)

Selbstverständlich gilt stets auch die allgemeine Gleichung 12. Man kann beispielsweise R in Tonnen, E, s in Tonnen pro qcm, r in cm einsetzen.

rn

Zulässige Beanspruchungen. Bei Verwendung obiger Formeln zur Berechnung von Gelenken und Auflagern ist für s keineswegs die zulässige Druckbeanspruchung pro Flächeneinheit im gewöhnlichen Sinne maßgebend, schon deshalb nicht, weil die Druckstücke nur auf kleinen Teilen ihrer Oberflächen Druck erleiden, in welchem Falle bedeutend größere Kräfte als bei Beanspruchung der ganzen Querschnitte ausgehalten werden, und je nach dem Material die Zerstörung auch durch Zugspannungen erfolgen kann.¹ Da aber letztere bis jetzt nicht bekannt sind, so bleibt nichts übrig als von solchen bekannten Druckkräften oder Formänderungen auszugehen, bei welchen erfahrungsgemäß auch die Zugwiderstände nicht erschöpft wurden. Diesen Weg hat der Verfasser 1894 eingeschlagen, indem er angesichts des damaligen Fehlens direkter Versuche durch Vergleich der Hertzschen Formeln mit den bei ausgeführten Konstruktionen angewandten Kegeln feststellte, welche Druckbeanspruchungen s bei letzteren ohne bekannte Nachteile zugelassen waren.² Inzwischen sind Versuche mit Stein und Kugelstahl (§ 15), aber keine mit Eisen und Stahl, wTie sie bei Auflagern und Gelenken von Eisenkonstruktionen verwendet werden, hinzugekommen. Vorläufig kann man unter selbstverständlicher Voraussetzung besten Materials etwa verwenden für Gußeisen 5 — 3 — 4 t, für Schweißeisen 5 = 4 — 5 t, für Gußstahl 5 — 7 t pro qcm. Bei der Abstufung ist zu beachten, daß sphärische Gelenke bezüglich des Zutreffens der angenommenen Druckverteilung günstiger erscheinen als zylindrische Gelenke von erheblicher Länge l.

]lEe _ VlOOO

Ein Hauptvorzug des Stahls gegenüber dem Gußeisen besteht darin, daß er neben großen Druckbeanspruchungen auch große Zugbeanspruchungen aushält, da der Bruch bei Versuchen mit Steingelenkquadern durch Zugspannungen herbeigeführt wurde (§ 15). Sodann ist wegen der geringeren Formänderungen die Beweglichkeit größer, was allerdings noch mehr bei Rollenlagern als bei Bogengelenken in Betracht kommt. Nach 5 und 14 stehen die Breiten der elastischen Eindriickungen für Gußstahl vom Elastizitätsmodul Es = 22001 und Gußeisen vom Elastizitätsmodul Ee — 1000 t pro qcm unter sonst gleichen Bedingungen im Verhältnis:

1,5

V2200

Über die Absolutwerte der Eindrückungen siehe Beispiel 15.

¹    Vergl. Luegers Lexikon, Artikel Druckfestigkeit und Festigkeitsbedingung.

zu

²    Weyrauch, Über die Berechnung der Brückenauflager, Zeitschr. d. Arch.- und Ing.-Vereins Hannover 1894, S. 131, 571; Luegers Lexikon, Artikel Auflager.

EL

Im Falle s = 4 t unter sonst gleichen Verhältnissen hätten wir erhalten

50

und mit rx = 50 cm r₂ = ---- = 63 cm. Hätten wir beide

r2

1 — 0,004156 rx

Halbmesser rt, r₂ von vornherein angenommen, so würde sich die größte Druckbeanspruchung unmittelbar aus § 13, 6) ergeben haben.

Beispiel 14. Sphärisches Berührungsgelenk.

Bei dem Konkurrenzprojekt „Elastischer Bogen“ zur Bonner Rheinbrücke vonRieppel und Thiersch³ waren die Kämpfergelenke der Bogenträger durch

2150 t„ der zulässige

Beispiel 13. Zylindrisches Berührungsgelenk.

Für eiserne Bogenträger mit Kämpfergelenken sollen letztere als Tangentiallager mit zylindrischen Druckstücken hergestellt werden (Fig. 64). Wirksame Länge l — 118cm, Elastizitätsmodul 2?=2150t, zulässiger Druck s = 5,5t pro qcm. Wenn nun der größte Kämpferdruck R — 1180 t beträgt und der Halbmesser des unteren Druckstücks »q = 50 cm gewählt ist, den höchstens zulässigen Halbmesser r₂ des oberen Druckstücks zu bestimmen.

Nach § 13, 6) hat man:

r₃ =

rj

1 — r₁ s² (1 — fi²)

ER

Diese Gleichung liefert mit den gegebenen l, E, s, R und ^ = 1/3:

__n

1 — 0,007858 rx ’

r2 “

rl

1 — rx • 5,5²

8 - 2.3,1416 • 118

9-2150.1180

und wenn rx — 50 cm gewählt wird:

r₂ =

50

0,6071

= 82 cm .

stählerne Druckstücke mit sich berührenden Kugelflächen verschiedener Radien gebildet (Fig. 64). Wenn nun der größte Kämpferdruck R = 1180 t betrug und der Elastizitätsmodul E

Druck s = 6 t pro qcm gesetzt werden, welchen Halbmesser r₂ darf das obere Druckstück höchstens bei r\ = 300 cm Halbmesser des unteren Druckstücks erhalten ?

Aus § 13, 15) folgt:

r₂ =

71 S

Fig. 64.

(A, = 1/3:

und hieraus mit den gegebenen E, s, R und

r2 =

El

ri

i-n

8 - 3,1416.6

2-3,1416.6

1 — 0,0008042 rx

9.2150

3•1180

Diese Gleichung liefert für rx — 300 cm:

300

n> =

0,75874

= 395 cm .

Im Falle s = 4,5 t unter sonst gleichen Verhältnissen hätten wir erhalten

= 356 cm. Hätte man beide

300

und mit rx

300 cm r₂ =

**2 =

Halbmesser rx, r₂ von vornherein angenommen, so würde sich die größte Druckbeanspruchung s unmittelbar aus § 13, 15) ergeben haben.

1 — 0,0005224 rx

0,84329

Beispiel 15. Elastische Eindrückungen.

Es sollen unter den Voraussetzungen der zwei letzten Beispiele die Breiten der elastischen Berührungsflächen nach Einwirkung des Druckes R = 1180 t berechnet werden, wenn anstatt der berechneten Halbmesser die nach unten abgerundeten r₂ = 80 cm beziehungsweise r₂ = 390 cm gewählt werden.

Man erhält im Falle des Beispiels 13 nach § 13, 5):

b = 4 |/-

= 2,37 cm

8.50-80.2.1180 9-30.3,1416-2150.118

und im Falle des Beispiels 14 nach § 13, 14):

»=f

8.300.390.12.1180

9*90.2150

= 19,67 cm .

Hätten wir die berechneten rl5 r.₂ gewählt, so würden sich b, a noch bequemer aus § 13, 3) und 12) ergeben haben.

e\ + <?2

Bemerkungen. Hertz hat auch die Annäherung c der Mittelpunkte beider Druckstücke zu bestimmen gesucht. Während c für zylindrische Druckstücke nicht nur von den Vorgängen an der Berührungsstelle, sondern auch wesentlich von der Form der ganzen Körper abhängig ist, und deshalb nicht weiter verfolgt wurde, ergab sich für sphärische Druckstücke mit den Bezeichnungen des § 13:

also speziell bei gleichem Material der beiden Druckstücke wegen ex = e₂ =

BR

c = ^~^aE

Dies ergibt im Falle des Beispiels 14:

= 0,074 cm

8-3.1180 9.19,67.2150

dabei handelt es sich um einen eisernen Brückenbogen von 166 m Spannweite und 22 m Pfeil der Achse.

§ 14. Bemerkungen betreffend Berührungsgelenke.

Die Tangentiallager, zu welchen im weiteren Sinne auch die Rollenlager und Pendellager gehören, werden bekanntlich hei Balkenträgern sehr häufig angewandt. Bei Bogenträgern spielen sie erst seit Anwendung von Steinbogen mit Gelenken eine Rolle. Es ist dann des nicht vertikalen Auflagerdrucks wegen auf Sicherheit gegen Gleitung Bedacht zu nehmen, worauf besonders neuere Erfahrungen hinwei-sen. So trat während des Baues der äußeren Maximilianbrücke in München (Gewölbe mit drei Gelenken) an demjenigen Auflager (Eig. 65), bei welchem zur betreffenden Zeit der Richtungswinkel ö des resultierenden Kämpferdruckes mit der Normalen zur anfänglichen Berührungsebene am größten war und die dem Abgleiten des angrenzenden Gewölbeteils widerstehende Transversalkraft T₀ am stärksten in Anspruch genommen wurde, Abgleiten in der Richtung gegen T₀ ein. Bemerkt sei, daß das untere Druck-

12cm

rf

y' 30ati

No,

Fig. 65.

stück eben (Fig. 65), die Reibung durch Schmieren mit Stearin stark herabgesetzt und keine Sicherheit gegen Gleiten geschaffen war. Diese hätte z. B. durch Dollen entsprechend Fig. 66 herbeigeführt werden können. Für den Augenblick des Gleitens ergab eine Berechnung von Dietz ⁴ N₀ (Normalkraft Nx für x — 0) = 117,80 t, T₀ =

3,544 t, tg ö = ~ = 0,030084, d = 1° 43' 24". Demgegen-

Fig. 66.

über muß auf die Versuche von Foeppl⁵ hingewiesen werden, welche bei hohen Drücken eine derartige Verringerung der Reibung durch gewisse Schmiermittel, z. B. Stearin, gezeigt haben (§ 17), daß auf Sicherheit gegen Gleiten im vorliegenden Falle nicht mehr zu rechnen war.

Es kommt aber noch ein anderer Gesichtsjmnkt in Betracht. Ein ebenes Druckstück reagiert, abgesehen von der Reibung, nur senkrecht zur Druckebene; die Richtung des Kämpferdruckes aber ist unabhängig hiervon und ändert sich mit der Belastung. Ein Bogen mit ebenem Druckstück ohne besondere Vorrichtung gegen Gleiten kann also nur infolge der Reibung widerstehen, was schon an sich nicht empfehlenswert ist. Berücksichtigt man ferner, daß die Reibung zur Erzielung einer guten Gelenkwirkung so klein als möglich, zur Sicherung gegen Gleitung aber so groß als möglich sein sollte, so muß eine derartige Anordnung als gänzlich unrationell bezeichnet werden. Bei gekrümmten Druckstücken (Fig. 64) der üblichen Radien ist die Sache meist nicht viel besser, sodaß auch hier Vorsicht am Platze und eventuell eine Vorrichtung gegen Gleiten anzubringen ist. In dem Münchener Falle scheint nur die Gelenkwirkung in Betracht gekommen zu sein, wie aus dem Schmieren mit Stearin trotz fehlender Sicherung gegen Gleiten zu schließen ist. Allerdings waren die einschlagenden Fragen damals noch wenig behandelt, da bei den älteren eisernen Bogen nur Umschließungsgelenke (Zapfengelenke, Kugelgelenke) verwendet wurden.

Bei reibungslosen Gelenken würde die Berührungsstelle stets vom Mittelpunkt des unteren Druckstücks aus in der Richtung der resultierenden Kämpferreaktion R für die augenblickliche Belastung liegen. Wenn also R seine Richtung um d ändert und r den Radius des unteren Druckstücks bedeutet, so würde sich der Berührungspunkt um rö bewegen. Setzen wir zunächst den gewöhnlichen Fall voraus, daß die Berührungsebene beider Druckstücke entsprechend der theoretischen Kämpferfuge senkrecht zur Bogenachse am Kämpfer liegt. Die Sicherheit gegen Gleiten (beim Fehlen von Dollen) ist dann nach dem Verhältnis des

Koeffizienten für gleitende Reibung zu tg d =

Dollen sind durch die Transversalkraft T₀ auf Abscheerung beansprucht. Die Richtung des resultierenden Kämpferdrucks R ist in dem ange-

zu beurteilen. Die

nommenen Falle ty =    + ö, unter (p den Winkel der Bogenachse mit

der Horizontalen bei 0 verstanden, während man allgemein hat tg ip = ~-

(§ 1). Man kann also die Berührungsebene beider Druckstücke auch unabhängig von der Bogenachse wählen, beispielsweise senkrecht zur Kämpferreaktion R für Eigengewicht allein oder senkrecht zur Mittellinie zwischen den beiden Grenzrichtungen von R. Zimmermann wählt die Abmessungen so, daß diese Mittellinie mit der Bichtung der Bogenachse bei 0 übereinstimmt. Mit Rücksicht auf alle diese Verhältnisse werden wir in der Folge nicht nur, wie üblich, die Grenzwerte von V, II, sondern auch diejenigen von R, T₀, N₀, d, ip bestimmen (Aufgaben 10, 11, Beispiele 20—25).

¹

Näheres und Literatur über E, ^ siehe Luegers Lexikon der gesamten Technik, Artikel

²

Elastizitätsmodul, Elastizitätsquotient.

³

Z s c h e t z s c li e, Der Wettbewerb um eine feste Rheinbrücke zwischen Bonn und Beuel, Zeitschr. d. Vereines deutsch. Ingenieure 1895, S. 794 (speziell S. 797).

⁴

   Dietz, Der Bauunfall der äußeren Maximilianbrücke in München, Zeitschr. des Vereines deutsch. Ingenieure 1904, S. 1407.

⁵

   Siehe die Fußnote zu § 17.

§ 15. Versuche mit Berührung’sg’elenken.

/T

Früher wurden die Gelenke und Auflagervorrichtungen der Brückenträger nach sehr verschiedenen Formeln berechnet, die sämtlich weder genügend theoretisch begründet noch durch Versuche gestützt, ja teilweise sogar im Widerspruch miteinander waren. Als der Verfasser in dem S. 57 angeführten Aufsätze ihre Berechnung auf Grund der Hertz sehen Formeln empfahl, fügte er gleich zu Beginn hinzu, „daß zur Bestimmung der in diesen Formeln auftretenden Beanspruchungen Versuche dringend erwünscht wären“ (der Weg, den er einstweilen einschlug, ist S. 57 angedeutet). Hertz hatte eine Anzahl Experimente mit einer Glaslinse gegen eine Glasplatte angestellt, deren Ergebnisse mit den Formeln im Einklang standen; Versuche mit einer Stahllinse gegen ebene Flächen verschiedener Metalle führten zu Beobachtungsschwierigkeiten. Demgegenüber wurde auf die Notwendigkeit weiterer Versuche hingewiesen, „insbesondere mit Material, Abmessungen und Beanspruchungen, wie sie bei Brückenauflagern Vorkommen“.

Fig. 67.

Solche sind inzwischen mit Steinquadern, die bei Gelenken von Gewölben, Betonbogen und Eisenbetonbogen Verwendung finden , zur Ausführung gelangt. Über ihre wichtigsten Ergebnisse soll im folgenden zunächst berichtet werden. Zu beachten ist, daß die Hertzschen Formeln für elastische Deformationen homogenen, isotropen Materials von konstantem Elastizitätsmodul E und konstantem Elastizitätsquoten abgeleitet sind, so daß sie für Steine keineswegs genau und am wenigsten bis zum Bruche zu gelten brauchen.

Die ersten Versuche sind von Bach¹ mit Granit aus Wunsiedel in Bayern von etwa 1,2—1,6 t pro qcm Druckfestigkeit angestellt worden. Die Versuchsstücke entsprachen Fig. 67 mit annähernd a = 30 cm, l = 20 cm, h = 35 u. 50 cm, sowie den Radien r = 25, 35, 100 und 375 cm. Bei verschiedenen Belastungen R, die von meist anfänglich 10 t bis zum Eintritt von Rissen gesteigert wurden, fand Feststellung der Berührungsbreiten b statt. Nach dem Ausdruck § 13, 9)

& = 4 |/

2 rR n El

(1 — fl!)

sollen sich die b' bei bestimmten r, l wie die Quadratwurzeln aus den Belastungen R verhalten, was die Versuche genügend bestätigten. Die Risse traten bei folgenden Belastungen R ein, während die Gleichung § 13, 10)

ER

1 — ^t³ 2 n r l

für diese R mit den Mittelwerten E = 326 t pro Quadratzentimeter, p — A die beigesetzten größten Druckspannungen s ergaben.

¹ Bach, Versuche mit Granitcjuadern zu Brückengeleuken, Zeitschr. d. Vereines deutsch. Ingenieure 1903, S. 1439.

25    25    25    35    35    100    100    100    375    375    375    cm

Für

und

I = 20,05. 20,10 20,00 20,10 20,05    20,10    20,10    20,05    20,05

R =

20,00    20,10 cm:

100    92,5    94,8    95    95    100    120    130    150    152,8    160    t,

nach 2) s =    3,41    3,28    3,33    2,81    2,81    1,70    1,87    1,94    1,08    1,09    1,11    t pro qcm.

Die Bruchbelastungen E waren hiernach nicht proportional den Krümmungshalbmessern r, wie es sein müßte, wenn 2 mit konstanten E, p bis zum Bruche gelten sollte und eine bestimmte Druckspannung s für den Bruch maßgebend wäre; es wurden im allgemeinen bei kleineren r höhere s als bei großen ausgehalten (Fig. 68). Werden die Bruchbelastungen E als Ordinaten bei den entsprechenden Radien r als Abszissen angetragen, so entspricht in Fig. 69 die obere Kurve im großen und ganzen den Versuchsergebnissen, die strichpunktierte Linie der Gleichung 2 mit bestimmten E, /*, l, s. Die Beobachtung der Risse führte zu dem Schlüsse, daß der Bruch nicht durch Druckspannungen, sondern durch Zugspannungen herbeigeführt wurde.

enP

2Ä7

1,81

2535    100

11,09 t vproqcm

—i-r

375cm

2530 100

375cm

Fig. 69.

Fig. 68.

Weitere Versuche hat Bach¹ mit Heilbronner Keuper Sandstein von etwa 0,54—0,62 t pro qcm Druckfestigkeit und 0,23—0,32 t pro qcm Zugfestigkeit ausgeführt. Die Versuchsstücke entsprachen wieder Fig⁻. 67 mit annähernd n — 10,15, 20 cm, l — 15 cm, h = 15 cm und den Radien r — 10, 20, 40, 100, 375 und oo cm, sie wurden, beginnend mit E — 5 oder 10 t, bis zum Eintritt von Rissen belastet. Die den verschiedenen Belastungen E entsprechenden Berührungsbreiten b ergaben sich durch Messung, worauf s aus § 13, 3),

S n bl

berechnet, die s als Ordinaten bei den zugehörigen E als Abszissen aufgetragen (Fig. 70) und durch Verlängerung der entstehenden Kurven die den E beim Eintritt von Rissen entsprechenden s erhalten wurden. Diese größten Druckspannungen s waren im Mittel von je zwei bis drei Versuchen

r —    10

s = 1,312    1,037    0,772    0,616    0,619

iioot Die graphische Darstellung Fig. 71 l³⁷⁶\f>ro ycm zeigt, daß die Bruchdruckspannungen s von etwa r = 100 cm an nur noch wenig veränderlich waren. Für r = oo muß s gleich der Druckfestigkeit d sein, die Kurve der s legt sich daselbst asymptotisch an die Horizontale d = 0,5385 t. Bach schloß aus diesen Ergebnissen : „Der Genauigkeitsgrad, der technischen Rechnungen dieser Art innewohnt, gestattet deshalb in den meisten Fällen bei Annahme von s — unter Schätzung der zu erwartenden Abweichungen — von der Würfelfestigkeit auszugehen, wenn es sich um Beurtei-

¹ Bach, Versuche mit Sandsteinquadern zu Brückengelenken, Mitteilungen über Forschungsarbeiten, herausgeg. v. Vereine deutsch. Ingenieure, Heft 20, Berlin 1904; Resultate auch Zeitschr. des Ver. deutsch. Ingenieure 1905, S. 1915.

für

20

40

100

375

oo cm:

0,5385 t pro qcm.

1%***

'0,957

0,571

10

15

20 22t Eisse

Fig. 70.

und nach § 13, 19) für eine Kugel und eine ebene Platte gleichen Materials, die Kugel vom Halbmesser r:

r _/(i — ,u-)y 2 n³ s³

~ \ E /

woneben beidemal die Gleichung § 13, 12) gilt:

6 R n a² '

In jedem der beiden Fälle sollen also die bestimmten Druckspannungen s entsprechenden -,.j für beliebige Kugelhalbmesser r von gleichem Werte sein. Dies

fand Stribeck¹ bei Versuchen mit Kugeln aus gehärtetem Gußstahl von 0,95 bis 2,86 cm Durchmesser und Platten aus gleichem Material für s gleich der Elastizitätsgrenze in beiden Fällen bestätigt. Für die gleichen Kugeln und Platten wurde die mit der Deformation verbundene Bewegung der beiden Körper gegeneinander gemessen, wobei sich selbst bis weit über die Elastizitätsgrenze hinaus nur g-eringe Abweichungen gegen entsprechende Formeln von Hertz ergaben (vergl. S. 59).

Gemäß 4 und 5 drückte Stribeck die zulässige Belastung in den obigen

Fällen aus:

lung der Widerstandsfähigkeit von würfelförmigen Gelenkquadern in dem hier zur Erörterung stehenden Sinne handelt, wenn also nicht die örtlichen Formänderungen an der Berührungsstelle maßgebend sind.“ Auch aus den Versuchen mit Sandstein war zu schließen, daß die Risse durch Zugspannungen herbeigeführt wurden. Durch Verkleinerung oder Vergrößerung von a (Fig. 67) ohne Änderung von l und h wurde die Widerstandsfähigkeit erniedrigt oder erhöht.

Erwähnung verdienen hier auch die Versuche von Stribeck mit Kugeln aus gehärtetem Gußstahl (Kugelstahl) zu gewissen Lagern des Maschinenbaues. Denn wenn es sich hierbei auch um ein Material und um Verhältnisse handelt, wie sie im Brük-kenbau nicht vorliegen, so bestätigen die Versuche doch die Zuverlässigkeit der Hertz-schen Formeln und die vom Verfasser aus andern Erfahrungen entnommene Berechtigung, die Druckspannung s bei Tangentiallagern aus Eisen und Stahl weit höher als bei Konstruktionsteilen, die in gewöhnlicher Weise auf Druck beansprucht sind, zu wählen (§ 18).

Nach § 13, 15) hat man für zwei Kugeln gleichen Materials von Halbmesser r mit rx — r — — r₂:

1/037

0.616

0,6191/

pro naw

0 1020 49

100

315 cm

Fig. 71.

r-

(1 — fi-) (³ U³ S³

R = er²,

worin c auf Grund von Versuchen oder sonstigen Erfahrungen bestimmt werden soll. Für den von ihm untersuchten gehärteten Gußstahl (Kugelstahl) wurden ermittelt der Elastizitätsmodul E = 2120 t und die Elastizitätsgrenze bei gewöhnlichem Druck von Zylindern 9000 kg pro qcm, womit sich für die wirkliche Beanspruchungsart nach der Mariotte-Ponceletschen Reduktion auf lediglich gedrückte Prismen² eine Elastizitätsgrenze von 9 • 1,92 = 17,28 t pro qcm ergab. Setzt man nun mit Stribeck ^ — 0,3, so liefert 5 beim Drucke von Kugel gegen Platte:

0,91² • 2 • 3,1416³. s³

s³

2120²•3

262560

Stribeck, Kugellager für beliebige Belastungen, Mitteilungen aus der Zentralstelle für wis-ich-teehnische Untersuchungen, Heft 1, Neubabelsberg 1900; auch Zeitsclir. d. Vereins deutsch.

Ingenieure 1901, S. 73, 332.

² Luegers Lexikon der gesamten Technik, Artikel Festigkeitsbedingung.

worin r in cm, s in t pro qcm einzusetzen. Speziell an Elastizitätsgrenze er-

gibt dies mit s — 17,28 t:

r = 0,02 >•- t.

Stribeck bemerkt hierzu: „Wollte man jedoch die zulässige Beanspruchung gehärteter Stahlkugeln so niedrig wählen, daß die Elastizitätsgrenze nicht überschritten wird, so käme dies einem Verzicht auf Kugellager für größere Belastungen gleich.“ Mit Rücksicht auf Versuche über die Reibung bei Bewegung der Kugeln in Rinnen wählte er bei ebenen, kegelförmigen und zylindrischen Laufflächen R — 0,12 r² bis 0,20 r² t, worin r in cm einzusetzen, was nach dem

letzten Ausdrucke von 7 Druckspannungen von s = 81,58 bis 37,45 t pro qcm

entspricht. Kugellager, welche die Deutschen Waffen- und Munitionsfabriken in Berlin nach diesen Annahmen hersteilen ließen, haben sich bewährt.

Auch neuere Versuche von Stribeck² mit gehärteten Stahlkugeln von 0,82 bis 5,71 cm Durchmesser gegeneinander und ebensolcher Stahlkugeln von 0,5 bis 1,59 cm Durchmesser gegen ebene Stahlplatten ergaben, daß sich selbst bis weit über die Elastizitätsgrenze die elastischen und bleibenden Zusammendrückungen nach den Hertz sehen Formeln beurteilen ließen. Die Formel § 13, 15) für Krümmungszentren auf beiden Seiten der Berührungsfläche (also mit — r₂ an Stelle von r₂, vergl. § 13); das heißt:

ns .s;!

genügte bis etwa

= 0,8

(für R in t, rt, r₂ in cm)

und einer mittleren Beanspruchung der Berührungsfläche von p = 73 s — 39 t pro qcm, während die Elastizitätsgrenze schon bei sehr viel geringerer Belastung erreicht war. Für die noch größeren Belastungen von Kugeln gegen Kugeln

It

12

16

24

32    48

wurden ermittelt

p = 48,5

57

6G

71

74

78,5

81

84 t pro qcm .

P-

130

120

W'

110

100

90

80

70

71

76

73-

.78,6

76

81

Sit

Hatte.

60

60

57t

60

30

20

JO

6    8 12 16 20 26 28 32 36 60 0<t 68

Fig. 72.

Für Kugeln gegen ebene Platten ergaben sich zu Werten R + 7)"

)> 0,8 etwas kleinere mittlere Beanspruchungen p. In Fig. 72 sind die Werte der^> — ²/3 s nach der Hertz-schen Gleichung und den Versuchen dargestellt, die Abweichungen liegen oberhalb der Elastizitätsgrenze. Die gewöhnliche Druckfestigkeit des verwendeten Materials war rund 50 t pro qcm, woraus schon hervorgeht, daß es sich um ein Material handelte, wie es im Brückenbau überhaupt nicht vorkommt.

Brückenbau nie mit Berührungsgelenken von so kleinen Radien wie die verwendeten zu tun, während bei denVersuchen von Bach mit Granit und Sandstein bei kleinen Radien erheblich größere Druckspannungen s als bei großen ausgehalten wurden (vergl. Fig. 68, 71). Und schließlich pflegt man bei Brückenkonstruktionen ,

unbeschränkte Dauer beansprucht wird, nicht über die Elastizitätsgrenze hinauszugehen.

Auch hat man es im

t pro tpcm

von welchen

§ 15. Beispiel 16. § 16. Berechnung der Umschließungsgelenke.

65

Beispiel 16. Versuche von Deslandres.

Für Gußstahlzylinder gegen Gußeisenplatten wurde von Deslandres1 auf Grund seiner Versuche über bleibende Formänderungen empfohlen:

x

—j- — 0,036 t pro qcm .

Welche zulässige Druckspannung s des Gußeisens würde hieraus folgen?

Nach § 13, 8) und 1) haben wir mit ^ — <m₂ =    :

S2 ₌

— + —

El E₂

woraus mit dem gegebenen Wert, wenn daneben Ex = 2200 t, E₂ = 1000 t pro qcm gesetzt werden:

2200.1000-9.0,036

3200.8.3,1416

= 3,0 t .

§16. Berechnung- der Umschließung-sg-elenke.

Für Umschließungsgelenke ist eine Ableitung der Druck- und Deformationsverhältnisse auf Grund der allgemeinen Elastizitätslehre bis jetzt nicht gelungen. Man geht daher, die Reibung vernachlässigend, von der Annahme aus, daß für die in Frage kommenden Körper und elastischen Formänderungen die Zusammendrückungen normal den ursprünglichen Berührungsflächen proportional den sie erzeugenden Normalspannungen gesetzt werden dürfen.

43»,

—--C-—\ \

\\

//

Die beiden Körper von zunächst beliebiger Berührungsfläche seien durch eine äussere Kraft R normal der Berührungsfläche bei ihrem Angriffspunkte gegeneinander gedrückt (Fig. 73). An beliebiger Stelle wo z₂ die normalen Eindrückungen der zwei Körper, hat man nach obiger Annahme die Normalspannung:

Rf— Ü —

Fig. 73.

unter a, ß vom Material abhängige Konstante verstanden. Bezeichnet a den Weg, um welchen die Körper bei der Deformation in der Richtungslinie von R gegeneinander rücken, und cp den Winkel der Normalen zur Berührungsfläche bei N mit der Richtung von R, so hat man (Fig. 73):

8₁ -j- #₂ — a cos (p,

und nach Einsetzen von 8V z₂ nach 1:

N=

a cos cp

<* + ß

Die Normalspannung ist also am größten unmittelbar bei R, wo cp = 0, und bezeichnet man sie daselbst mit s, so ist nach 2 allgemein

N= s cos cp .

¹ Deslandres, Experiences sur chaussees 1893, I, p. 1160.

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

la resistance des rouleaux metalliques, Annales des ponts et

Der Normaldruck auf ein Flächenelement dF bei N ist NdF, und die parallel B wirkende Komponente desselben:

dB = NdF ■ cos cp — s cos² cp • dF,

B — sJcos² cp dF.

Die Integration ist auf die ganze Berührungsfläche zu erstrecken.

Bezeichnet n den Hebelarm der Normalspannung N bezüglich des Angriffspunktes von B, so verlangt das Gleichgewicht gegen Drehung

JNdF • n = sjcos cp ndF = 0 Für eine ebene Berührungsfläche lautet diese Bedingung wegen cp — 0

J ndF =0

B muß also dann im Schwerpunkte der Berührungsfläche angreifen.

woraus

Zylindrische Umschließungsgelenke (Zapfengelenke). Für die anfänglich kreiszylindrische Berührungsfläche sei r der Badius, l die wirksame Länge. Wir wählen dF=lrdcp (Fig. 74) und haben dann nach 4:

B = srlJcos² cp d cp ,

und wenn die Berührungsfläche auf der ganzen Länge l von cp = — mn bis cp — mn reicht :

B = srl (mn -j- sin mn cos mn)

Avoraus bei einer zulässigen Druckbeanspruchung s des wenigst widerstandsfähigen der beiden Körper eine der Größen r, l berechnet werden kann, wenn neben B die andere gegeben ist. Gleichung 5 ist wegen n — r sin cp ebenfalls erfüllt.

Für den gewöhnlichen Fall, daß genügend angenähert mn = n würde aus 6 folgen:

\t/r

-S77UC

räy>

Fig. 74.

i:

2ü

71 S l

Da jedoch auf eine Berührung längs der ganzen Fläche nicht allgemein zu rechnen ist, so kann man der Sicherheit Avegen etwa setzen mn =    ,

womit abgerundet:

r =

Dieser Halbmesser ist mindestens zu wählen, wenn s nicht überschritten werden soll. Wenn beispielsweise B in t, l in cm, s in t pro qcm eingesetzt werden, so ergibt sich r in cm. Die Druckspannung s wird man unter den hier vorliegenden Verhältnissen vorläufig etwa wählen können: für Gußeisen 0,9 bis 1,2 t, für Gußstahl 1,5 bis 2 t.

Sphärische Umschließungsgelenke (Kugelgelenke). Für die anfänglich kugelförmige Berührungsfläche sei r der Radius. Wir wählen dF entsprechend einer Kugelzone, welche in der Richtung von B die Höhe

dz hat (Fig. 75), erhalten dann mit dF = 2nrdz, cos cp =    — aus 4:

5 sl

§ 16. Beispiel 17. § 17. Reibungsversuche mit Umschließungsgelenken.

67

und hieraus, wenn die Berührungsfläche von z = 0 bis z = h reicht:

n s r² 1 —

\ r )

Wenn neben dem Drucke R und der zulässigen Druckspannung s des wenigst widerstandsfähigen der beiden Körper noch eine der Größen r, h gegeben ist, kann die andere aus 8 berechnet werden.

Für den gewöhnlichen Fall, daß genügend angenähert h würde aus 9 folgen:

CM CO

r — Ji\³

r ist,

r = |/-

2 ns

10

Da jedoch auf eine Berührung längs der ganzen Fläche nicht allgemein zu rechnen ist, so kann

man der Sicherheit wegen setzen Ji = * , womit abgerundet:

*l

*k?

'} K .

5 f s

11

Fig. 75.

Dieser Halbmesser ist mindestens zu wählen, wenn die Beanspruchung s nicht überschritten werden soll. Werden beispielsweise R in t, s in t pro qcm eingesetzt, so ergibt sich r in cm. Für s gilt das oben bei zylindrischen Umschließungsgelenken Gesagte.

Beispiel 17. Umschließungsgelenke (Cannstatter Neckarbrücke).

Für die eisernen Bogen einer Öffnung der neuen Cannstatter Neckarbrücke (VI. Abschnitt) beträgt der resultierende Kämpferdruck im Maximum 235 970 kg, im Minimum 136 780 kg, für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur (10°) 139 470 kg. Die zylindrischen G-elenkstücke der Kämpfergelenke von r = 6 cm Halbmesser und l = 24 cm wirksamer Länge wie die sie umschließenden Teile des Lagerstuhls bestehen aus hartem Martinstahl. Die größte Druckspannung s und die mittlere Druckbeanspruchung sm pro qcm Längsschnitt des Gelenkstücks zu berechnen.

Man hat nach § 15, 8) und unmittelbar:

2 rl ’

wonach mit den gegebenen Zahlen im Maximum: 4-235 970

im Minimum:

5.6-24

= 1311 kg ,

sm —

235 970 12 • 24

= 819 kg,

4-136780

5.6-24

= 760 kg

•sm —

136 780 12 • 24

= 475 kg,

für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur:

4.139470

5-6.24

= 775 kg,

sm —

139470

12.24"

= 484 kg pro qcm .

§ 17. Reibung-sversuehe mit Umschließung’sg'elenken.

Versuche über die Reibung unter hohen Drücken hat in neuerer Zeit Foeppl vorgenommen, wobei sich ergab, daß der Reibungskoeffizient durch gewisse Schmiermittel wie Wachs, Talg, Stearin, Paraffin ganz bedeutend herabgesetzt werden kann, während andere, bei geringeren Drücken im Maschinenbau gebräuchliche Schmiermittel sich als unwirksam erwiesen.

Die meisten Versuche wurden mit einem gewöhnlichen Zapfengelenk nach der Andeutung in Fig. 76 ausgeführt¹. Der Zapfen, von 5 cm Durchmesser und 20 cm wirksamer Länge, war aus Stahl, die Lagerschalen bestanden aus Gußeisen. Die Schalen wurden durch Kräfte bis B — 60000 kg gegen den Zapfen gedrückt. Mit einem der Köpfe des letzteren war ein Hebel (Schraubenschlüssel) verbunden, dessen freies Ende solange belastet wurde, bis sich der Zapfen drehte. Bezeichnen r den Zapfenradius, l die Hebellänge, P die Belastung am Hebelende, einschließlich eines Zuschlags für das Eigengewicht des Hebels, so wirkt am Zapfenumfang eine drehende Kraft:

r/

Q=z--

r

^ Die Reibung jeder Lagerschale im Augenblicke des Nachgebens ist halb so groß, wonach der Reibungskoeffizient:

Fig. 76.

f=-

Pi

2 rR

Im folgenden sind die wesentlichen Resultate angeführt.

R = 5000    10000    20000    30000    40000 50 000 60000 kg

Die harten Schmiermittel Talg, Stearin, Paraffin waren erwärmt mit einem Pinsel aufgetragen worden. Mit zunehmendem Drucke floß ein Teil an den Rändern aus, so daß bei B — 60 000 kg von der 0,8 mm dicken Talgschicht nur noch unter 0,1 mm, von der 0,9 mm dicken Stearinschicht noch etwa 0,25 mm und von der 1,4 mm dicken Talg- und Stearinschicht etwa 0,1 mm blieb. Die Paraffinschicht verhielt sich wie die Talg-und Stearinschicht.

Die erhebliche Abnahme des Reibungskoeffizienten ge-P schmierter Flächen mit wachsendem Drucke zeigte sich auch bei Versuchen über gleitende Reibung². Foeppl brachte einen Steinwürfel von 50 qcm Druckfläche, geschmiert mit einer Stearin-Talgmischung 75 : 25, zwischen die Druckflächen einer Festigkeitsmaschine und maß die Kräfte P zum Verschieben bei verschiedenen Drücken. Es ergab sich folgendes:

10 000 kg

Druck

Ungeschmiert

Mit Maschinenöl geschmiert Mit Maschinenfett geschmiert Mit Talg geschmiert Mit Stearin geschmiert Mit 1 Talg und 3 Stearin geschmiert Mit Paraffin geschmiert

\R

Fig. 77.

Druck

R = 2000

4000

6000

6830

8000

pro qcm

50

40

80

120

136,6

160

200

Kraft zum Verschieben

160

210

250

200

210

250

für eine Fläche

— = 80

105

125

100

105

125

Reibungskoeffizient

f=~.

2B = °’⁰⁴°

0,026

0,021

0,0146

0,0131

0,0125 .

¹    Foeppl, Reibung in Brückengelenken, Zentralblatt der Bauverwaltung 1901, S. 197.

²    Foeppl, Mitteilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium der Technischen Hochschule zu München, Heft 27, 1900, S. 20, 33.

Das Ausfließen des Schmiermittels begann bei R — 6830 kg, unter den höheren Drucken floß noch nach.

Zu beachten ist selbstverständlich, daß die Wirksamkeit auch der haltbarsten Schmiermittel, wie Paraffin, nicht von unbeschränkter Dauer sein wird.

§ 18. Spezielle Belastung-sarten.

Die bis jetzt abgeleiteten Gleichungen gelten für ganz beliebige Belastungen.³ Alle Gleichungen können in der jetzigen Form auch für stetig verteilte Lasten verwendet werden, wenn man sich diese in einer Anzahl Punkte konzentriert denkt, wie die graphische Statik gewöhnlich verfährt. Man kann jedoch auch spezielle Formeln für stetig verteilte Lasten erhalten. Je nach der Belastung ändern sich dann in unseren allgemeinen Gleichungen nur diejenigen Ausdrücke, welche eben die Lasten enthalten, das heißt die Summen A

Dabei ist zu beachten, daß eine stetig verteilte Last von

u = f(a)

pro Längeneinheit für die Strecke da eine unendlich kleine konzentrierte Last ergibt (Fig. 78):

P = u d a = f(a) d a ,

und eine Summe solcher unendlich kleiner Summanden als Integral bezeichnet wird. Wir haben hiernach z. B. für die Last u von 0 bis x:

x    X    X

AP = Ju d a = Jf(a) d a ,

⁰ 0 0

und speziell für eine gleichmäßig verteilte Last wegen konstantem u:

X

u Jda = ux ,

0

X

a Ja da

0

2P(pc — a) = uj(x — a) da = UJ

⁰ 0

AP (l — a) = u f (l — a) da

x    X

sowie für gleichmäßig verteilte Lasten u, u‘ von 0 bis z bzw. 2 bis x:

X

ujda=ux

0

wenn x<^z

AP =

2Pa =

AP =

da

w\

Fig. 78.

HP=u I da-\-u'J da —uz -\-u‘ (x— z) usw.

wenn x^> z

In analoger Weise können andre gesetzmäßig verteilte Lasten behandelt werden.

Da die Verkehrslast hei Bogen entweder aus konzentrierten Lasten besteht (durch Vertikalständer übertragen) oder meist am einfachsten durch eine Anzahl konzentrierter Lasten ersetzt wird, so sollen im folgenden die erwähnten Summenwerte nur für eine über die ganze Spannweite l gleichmäßig verteilte Last und für zwei verschiedene auf je eine Trägerhälfte gleichmäßig verteilte Lasten angegeben werden. Der erste Fall wird häufig für das Eigengewicht der Konstruktion allein und Vollbelastung des ganzen Trägers als zutreffend angenommen (vergl. Beispiel 12), der zweite pflegt besonders bei vorläufigen und sonstigen näherungsweisen Berechnungen in Betracht zu kommen.

A. Grleichmäßig verteilte Last auf der ganzen Spannweite l. Dieselbe sei innerhalb der Summengrenzen u pro Längeneinheit Träger, sodaß für die Strecke da bei konstantem u (Fig. 79):

da-

P = uda .

Wir erhalten damit:

ux-

HP(x-a) = — 0 ^

HP(l — a)

Fig. 79.

HPa = ~

0 ^

wonach beispielsweise für x = l und x = m =

u (l — x)²

ul²

ul²

u l²

HPa —

0

Weiter ergeben sich:

^    v 7^

2Pa (l— a) = a

o    b

2Pa(l—ay

0

2Pa(l-aY=y

m

HPa(l — a)

0 m

HPa³ (l — a)

0

HPa (3l² — 4a²) = 0

HP(l-a) =■ ' 0 ^

HP(l — a) =

ul²

u Z⁴

12

u Z³

12

3u Z5 320

2Pa-(l-aY = ^X

2Pa'(l-a) = 2PaHl-a) = -£

m

HPa.² (I — a)² —

0

m

2 Pa (*—)•= ₈₂₀

m    li

HPa² (31 — 4a)=^L

o    lo

u Z⁵

60

13 ulb

22 Pa (l — a)

2Pa(l — a) (21—a)

0

SPa(l—a) (Z² + Za —    =

0    ö

SPa(l — a)² (6 a — 21) = 0

0

22Pa² (l — a) (3Z — 5a) = 0

0

iPa (Z — a) (Z² + Za — a²-ßl²) = l 1 —

0 \

22Pa (l—a)²pa — 2l—12£l) = — EuP

0

22Pa²(l— a) (3?— 5a — 12eZ) =

0

Oft kann die Berechnung einer Summe durch Zerfällung in einfachere Ausdrücke umgangen oder abgekürzt werden. So hat man:

22 Pa (l — a) (Z+a + 3£Z) = SPa (l—a) (l -f a) + 3 £1 SPa (l — a) =

0 0

Pi%-~

ul⁴

5/?

— £ «Z⁵.

Auch manche der obigen Summen hätten sich so auswerten lassen.

01a₁a₂---

Iz

Fig. 80.

B. Gleichmäßig verteilte Last und konzentrierte Lasten. Es sei innerhalb der Summengrenzen g die gleichmäßig verteilte Last pro Längeneinheit (gewöhnlich das Eigengewicht). Die von ihr herrührenden Teile der Summen S lassen sich aus A entnehmen. Beziehen sich im folgenden die Summen rechts nur noch auf die konzentrierten Lasten, während diejenigen links alle Lasten umfassen, so hat man:

£Y- + 2p(x — o),

f SP (l — a)

22P = gx-\-SP,

0 0

SPa

SP(x—a) 0

~ + J Pa,    SP (l—a)-.

4    0    X

gx¹

g (l — x)²

USW.

USW.

C. Verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten auf der ersten und zweiten Hälfte der Spannweite l. Dieselben mögen pro Längeneinheit betragen:

u von a = 0 bis a = m — —

Dann hat man auf der Strecke da (Fig. 81, 82):

P = uda von a = 0 bis m, P = u‘ da von a = m bis l.

u‘ von a = m — — bis a — l. 2

Die in Drage kommenden Summenausdrücke nehmen damit folgende Werte an:    _

IC

\2C

u'

Für x m:

(I 771-1    &

Fig. 81.

TT 771 = L TL Fig. 82.

2P=ux

U X-

2Pcl = ~-~

0 ^

für x m:

2P=u'x+^Zu< 0 *

X

2 Pa

2P{x — a)=-0 ^

2P{l — a)

X

U (l — X)²

u-l²,

u‘ X¹

u •— u‘

2 P(x — a) 0

2P{l — a)~-

u‘ x²

u — u‘

u' (l — xf

Hiernach sind beispielsweise u -j— 8 v!

2 Pa

0

Weiter erhalten wir:

2Pa(l — a) =

0

2Pa(l — a)² —

0

2Pa{l — «)³ =

0

m

2P(l — 2a)* = ~

0

2P{1 — a) =

0

2P(l — a) =

u'P

l²

H —f“ ti

2Pa² (l — a)² —

0

2Pa²(l— a) =

0

lb 2Pa³ (l — a) =

0

m

2P(l— 2 a)³ =

0

2Pa (l — a) (i+a) = ⁷“-^— ^

0

2 Pa(l — a) {21 — a) =

2Pa(l — a) (Z²-fZa —a²) = ^^Z⁵

2P {l— a) {l² — 8Za + 4a²)

0

2F(l — a) (l² — bla + 4a²) = ^U‘ 2Pa (l — a)² (c>a — 2l) = ^^lb 2Pa²(l — a) (3Z —5a) = -g2

12

60

lb

192

320

uP

— u'

192

320

lb

3 u —|— 5 u'

lb

Z⁴

§ 18. Spezielle Belastungsarten. Aufgabe 9.

73

2Pci (l — a) (l⁴-\-la - a⁴ — ßl²) = (l

0    V

2 Pa (l — a)⁴(ba — 21—12 eI)

10

u‘—

32

- lb

16

slb

2Pa⁴{l — a) {31 —ba—12 El) = P-^~lb

o    o2

7 tc ~4“ 9 M'

5 u 11 u*

16

El⁵

ii —J~* Xi

64

**-+    4

Auch hier läßt sich die Berechnung der Summen häufig in der am Schlüsse von A erwähnten Weise vereinfachen. In praktischen Fällen pflegt u — u‘ — Pp zu sein, unterp die Yerkehrslast pro Längeneinheit Träger verstanden. Selbstverständlich kann auch eine der Größen u, u‘ gleich Null sein.

Aufgabe 9. Parabolisch begrenzte Belastung.

Die Werte der Summen

Pa

2 P {l — a)

2 P (x — a)

I)

zu berechnen: a) wenn die Last u pro Längeneinheit von 0 bis l entsprechend Fig. 83 durch die Parabelgleichung ausgedrückt ist:

u    (l — a) a ,

worin b den Wert von u in der Mitte von l bedeutet; b) wenn die Last u pro Längeneinheit von 0 bis l entsprechend Fig. 84 durch die Gleichung ausgedrückt ist:

mit

e - -p (! - «) «

wobei e und s = e c — b = e — n die Werte von u an den Enden und in der Mitte von l bedeuten.

Erster Fall (Fig. 83). Wir haben bei a auf die Länge da:

~w

P — u da —

(l — a) ad a ,

und erhalten damit:

x

2P =

— a) ci d a =

2 b

JJ2 x2 (3 ¹ _ 2 ■T) ’

Fig. 83.

--- ,r³ (2 l — x),

2 P (x — a) = I—J(x 0

— a) (l — a) a d a = -

i    4 b r

2P(l-a) = T2f(l X

Diese Ausdrücke gelten selbstverständlich auch für x — o, m, l und liefern bei-

m    l

2 Pa = 2 P (l — a) =

spielsweise:

2 bl

— a)⁴ ad a =

11

5 bl⁴ 48    ’

bl⁴

2 Pa = 2P (l — a) = — 00

Zweiter Fall (Fig. 84). Die Werte der verlangten Summen für eine gleichmäßig verteilte Last von e pro Längeneinheit Spannweite lassen sich aus § 18 A entnehmen. Mit Rücksicht hierauf und die obigen Ausdrücke 3 bis 8 erhalten wir:

2 n „ ,

P = e x — -g-p- x^ (3 l — 2 x) ,

2P(x — a)=e^~ —    x* (2 l — x),

— Yß x*(il — 3 a) ,

10

e x2 Pa = —

11

2 P(l — a) =

e (l — x)²

jßV-x)³ (l + 3 x),

12

und beispielsweise:

m

2 P =

el

CO

Pa

eP 5 n P i • 48    '

13

2 P = el —

2 nl

2Pa= 2 P(l — a) = — oo    ²

eP

14

c. s

7/1 = 1

Fig. 84.

a = 7

Fig. 85.

irn

77!

Fig. 86.

Spezielle Fälle der vorliegenden Belastung haben wir mit s = e, c = b, n (Fig. 79), mit s — e — b,c — 0,n = b (Fig. 85) und mit s = e + c, b — c (Fig. 86). Anwendungen siehe Aufgabe 13 und Beispiel 26.

■P O

II. Abschnitt.

Besondere Bogenarten.

Besondere Arten von Bogenträgern unterscheiden wir je nach der Anzahl und Anordnung der Auflager und Zwischengelenke (einfache Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne Gelenk, durchlaufende Bogen, Bogen mit Zugstange usw.), besondere Formen je nach den Gesetzen der Bogenachse und äußeren Begrenzung (Parabelbogen, Kreisbogen, Sichelbogen usw.), besondere Systeme je nach der Gliederung der Füllung (Blechbogen, Fachwerkbogen einfachen und mehrfachen Systems usw.). Die Voraussetzungen des I. Abschnitts werden aufrecht erhalten. Obwohl die abgeleiteten Formeln auch für Balken gelten, und für nicht horizontale Balken unter Umständen zur Anwendung kommen müssen, so beschränken wir uns doch, dem Zwecke dieser Schrift entsprechend, im folgenden auf Bogenträger.¹ Um die praktische Verwendung des Gegebenen nicht unnötig zu erschweren, führen wir auf Grund der zur Ermittelung statisch unbestimmter Größen (Horizontalschub H, Endmomente M, M\ Einsenkungen e) nötigen Integrationen zunächst nur die einfacheren Resultate an, und verweisen die Ableitungen selbst in den IV. Abschnitt, wo man sie, wenn Zeit und Lust dazu ausreichen oder ein Bedürfnis dafür eintritt, verfolgen kann. Zu empfehlen ist wenigstens die Durchsicht von § 40. Wir berücksichtigen beliebige feste und bewegte Lasten, beliebige für den ganzen Bogen gleichmäßige Temperaturänderungen und beliebige kleine Bewegungen der Widerlager und Pfeiler. Zwar sollen solche Bewegungen möglichst ausgeschlossen sein, und die erste Berechnung der Bogen wird auch dementsprechend durchgeführt, doch ist es gut, sich vom Einflüsse unbeabsichtigter Ausweichungen der Stützpunkte von vornherein Rechenschaft zu geben. Auch kann dem Ingenieur die Frage gestellt -werden, welchen Einfluß auf die Beanspruchungen eine tatsächlich eingetretene Bewegung eines Pfeilers oder Widerlagers ausgeübt hat. Aus diesen Gründen wurde der fragliche, nur bei statisch unbestimmten Bogenarten auftretende Einfluß erstmals in der ersten Auflage dieser Schrift in Betracht gezogen. Entsprechende Ableitungen für Bogenfachwerke s. V. Abschnitt.

¹ Über die Behandlung von Balken auf Grund der vorausgegangenen Formeln siehe Weyrauch, Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, S. 86—158 (insbesondere die Aufgaben 54, 58).

¹

³ =

²

tribeck, Prüfverfahren für gehärteten Stahl unter Berücksichtigung der Kugelform, Zeit-schr. d. Vereines deutsch. Ingenieure 1907. S. 1445, 1500, 1542.

³

Derartige Theorien der Träger für beliebige Belastung mit Behandlung stetig verteilter Lasten als spezielle Fälle konzentrierter Lasten wurden zuerst vom Verfasser gegeben, um nicht für jede Belastung besondere Formeln ableiten zu müssen und die ungünstigsten Belastungen auf einfache Weise zu erhalten. Es wird dann nötig, Summen 2 wie die in diesem § auftretenden auch differen-tieren und integrieren zu können und zwar bei veränderlichem x (beliebige Querschnitte) wie bei veränderlichem a (bewegte Radlastzüge). Näheres hierüber siehe Luegers Lexikon der gesamten Technik, Artikel Belastung der Träger, oder in den dort erwähnten Schriften: Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 70,167; Zeitschr. f. Math, und Physik 1873, S. 396, und 1874, S. 547; Theorie der elastischen Bogenträger, Zeit-schr. f. Baukunde 1878, S. 31, 367, 549; Theorie der statisch bestimmten Träger f. Brücken und Dächer, Leipzig 1887, §§ 4, 5, 6 usw.

⁴

P a —    J(l — «) a⁴ d a = -A_ *3 (4 1 _ 3 f

§ 19. Einfache Bog-en mit drei Gelenken.

Der Bogen besitze in der Achse zwei Kämpfergelenke von gleicher Höhenlage¹ und ein Zwischengelenk bei x = m —

Alsdann hat man in den Gleichungen des § 1:

lc = 0.

Für das Moment und die Vertikalkraft in einem beliebigen Querschnitt x liefern die Ausdrücke § 1, 3) 8) und 2) 7):

M = M‘ = M = 0

Mx = Vx — Hy — 2 P(x — a) — VX = V-2P=-

-2Pa + ^2P(l—a) — Hy

0    ^ X

2Pci-\-~2P(l—a).

I X

Die Vertikalreaktionen der Kämpfer sind nach § 1, 4) 5):

V=\ 2PQ—a) l 0

F'=4 JPa,

l 0

während der Horizontalschub aus 2) mit x = m, y = f folgt:

H=

2Pa + 2P(l-a) ■

* / L o    m

Für die Normalkraft im Querschnitt x gilt ohne Änderung: Nx = Vx sin cp -f H cos cp ,

auch für die Transversalkraft Tx, die resultierende Schnittkraft Rx, die Normalspannungen a, a₀,au, die Schubspannungen t usw. bleiben die in §§ 1, 8, 9 abgeleiteten Formeln bestehen. Demnach hat man z. B. die Normalspannungen vollwandiger Bogen von symmetrisch zur Achsschicht angeordneten Querschnitten im obersten und untersten Querschnittselement:

Nr | Nr F *•" w

unter F den nutzbaren Querschnitt, unter W das nutzbare Widerstandsmoment verstanden. Die Werte aller übrigen o eines Querschnittes liegen zwischen diesen Werten a₀, au (§ 8).

Fj I>2

\y Y

E o,, <Lj, a₂--- x ⁷⁷¹

Fig. 87.

<*o =

au ~

N.

X _ _ix_

rr

Verschiedene Formen.

Obige Gleichungen gelten für beliebig geformte Bogen mit gleich

¹ Nachdem im ersten Abschnitt die allgemeinsten Beziehungen gegeben wurden, hat es selbstverständlich keinen Zweck, hier noch einmal Formeln für Fälle anzuführen, welche den meisten Konstrukteuren niemals Vorkommen. Sollten beispielsweise einmal die Schnittkräfte und Schnittmomente von Dreigelenkbogen mit ungleich hohen Kämpfergelenken nötig sein, so würden sie aus § 1 ganz wie die hier gegebenen, nur ohne die Substitution Je = 0, hervorgehen. Über Dreigelenkbogen mit beliebig gerichteten (nicht nur vertikalen) Aktivkräften siehe die Aufgaben 1 und 16. Die Kämpferdrucklinien für beide Fälle wurden schon in Aufgabe 3 behandelt.

§ 19. Einfache Bogen mit drei Gelenken.

77

hohen Kämpfergelenken und in der Mitte liegendem Zwischengelenk. Die Ausdrücke für die Ordinate y und den Neigungswinkel cp der Bogenachse hängen jedoch von der Form der letzteren ab. So hat man bei einer Spannweite l und dem Pfeile/¹ für den Parabelbogen (Fig. 88):

y = ^trx(l~x)

tg q>

m=2 Fig. 88.

Fig. 89.

71

für den Kreisbogen (Fig. 89):

y ~j(x f)² + x (l — x) — (r — /’)

sin cp

wobei der Radius

COS (p

r~f+y

10

+ Y¹

11

Für den Halbkreisbogen (Fig. 90) ergeben sich wegen f — r —

12

y = yjx (l — x) ,

sin cp

cos cp =

-i

13

P'\

m=| Fig. 90.

0.......X

& m = | Fig. 91.

ar

während für den Halbellipsenbogen (Fig. 91) gelten:

y = ²f ix (J — x),

2 f² l — 2 x _ f l — 2 x

l² y

tg <P =

\)x (l — x)

Für geradlinige Bogen (Fig. 92) hätte man auf der ersten Hälfte:

2 f

y = -rx

t g<P =

14

15

16

auf der zweiten Hälfte:

(l-x)

2f

17

Mit tg cp sind bekanntlich bei allen Formen auch sin cp und

Vi + t g²<p

bestimmt, doch genügen stets sin cp, cos cp oder tg cp, cos cp, da man z. B. Nx anstatt durch 6 ausdrücken kann:

Nx = (HJrVx tg <p) cos V •

Die Gleichungen 8—18 gelten auch für Bogen mit zwei Gelenken, ohne Gelenke etc.

Häufig hat man der Bogenachse aus statischen, ästhetischen oder anderen Gründen eine Form gegeben, welche sich durch kein einheitliches Gesetz ausdrücken läßt. Bei der älteren Koblenzer Brücke beispielsweise ist die Bogenachse zwar von der Mitte bis 2,85 m horizontaler Entfernung von den Kämpfergelenken kreisförmig, von hier an jedoch folgt sie tangential anschließenden Geraden. Bei den sichelförmigen Bogen der Maria-Pia-Brücke über den Douro in Portugal wollte man die Gurtungen Parabeln einschreiben (womit auch die Achse parabolisch geworden wäre), es ergaben sich jedoch hierbei gegen die Enden hin zu geringe Höhen für die auftretenden Momente, und so änderte man die Form durch einen freien Linienzug mit Rücksicht auf gefälliges Aussehen

Fig. 92.

ab. Bei Bogenträgern für Bahnhofshallen hat man sich durch Ansprüche an Raumentwicklung und monumentales Aussehen leiten lassen, bei Gewölbebogen ist möglichste Vermeidung von Zugspannungen von Bedeutung, usw.

Verschiedene Belastungen.

Die bisherigen Gleichungen gelten für beliebige Belastung. Bezüglich stetig verteilter Lasten ist nach der Anleitung in § 18 zu verfahren. Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit ergeben sich:

V = V‘=

ul²

19

damit für beliebige Querschnitte x:

Mx=x{l — x) —

yP

20

21

und speziell bei parabolischen Bogen wegen 8 und § 1, 13):

K = o

Beträgt dagegen die gleichmäßig verteilte Last pro Längeneinheit u auf der ersten, u‘ auf der zweiten Hälfte der Spannweite, so erhält 3 u —j— v/

T =0.

X

22

man:

V‘

u -f 3»'

23

l,

u -j- u‘ 16 f

womit für beliebige Querschnitte x zwischen 0 und m:

rx = v~ux,

25

26

Mx = Vx — Hy —

also speziell bei Parabelbogen wegen 8:

27

u —• u‘

4 X U Xl '

Für Querschnitte x von m bis l lassen sich ähnliche Formeln angeben, welche aber der Symmetrie wegen im allgemeinen nicht zur Yerwendung kommen. Selbstverständlich kann auch eine der Lasten u, u‘ gleich 0 werden. Bei praktischen Berechnungen pflegt u — u‘ = + p zu sein, unter p die Yerkehrslast pro Längeneinheit verstanden.

Für eine beliebige symmetrische Belastung entsprechen je zwei symmetrisch zur Trägermitte bei a, a‘ gelegenen Lasten P, P' (Fig. 91):

P' = P,

a‘ — l — a ,

sodaß beispielsweise:

P<7 —a) + P' (l — a‘) = PI,

2P(l-a) = l2P.

0 0

Wir erhalten also für symmetrische Belastungen nach 4, 5:

m

V=V' = 2P,

i m

¹ 2Pa .

28

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrierte Last, so ist dem Begriffe

m

der Symmetrie gemäß nur die Hälfte derselben in 2P aufzunehmen. Für eine Einzellast P bei m folgen also:

Kämpferdrucklinie. Kernlinien.

Die Umhüllungslinien U, TJ‘ der Kämpferdrücke sind bei allen Bogen mit Kämpfergelenken Punkte, sie fallen mit den Mittelpunkten der Kämpfergelenke zusammen (§ 2). Die Schnittlinie S der Kämpferdrücke für Dreigelenkbogen wurde schon in Aufgabe 3 festgestellt, wir wollen sie jedoch hier auf anderem Wege ableiten. Nach § 2, 1) hat man als Gleichung der Kämpferdrucklinie S für beliebige Bogen mit Kämpfergelenken in der Achse wegen M = 0:

V

ll a ’

worin V, H einer bei a angreifenden Einzellast P entsprechen. Für Dreigelenkbogen mit gleich hohen Kämpfergelenken und Zwischengelenk in der Mitte liefern 4, 5:

H=P

29

30

'S

Fig. 93.

von a — 0 bis a — m

V=P

H — P~

V=P

von a = m bis a — l Daher sind die Ordinaten der Schnittlinie S:

H=P

von a — 0 bis m

J = ² fr-

Die Linie und ihre graphische Ermittelung sind in Fig. 93 angedeutet.

Die Kernlinien bleiben durch § 8 bestimmt, wonach z. B. bei symmetrisch zur Achsschicht liegenden Querschnitt die Entfernungen des oberen und unteren Kernpunktes von der Achse:

w

während die Kernlinien bei Bogen mit durchbrochenen Wandungen (Gitterbogen, Bogenfachwerke) oder bei vernachlässigter Füllung mit den Gurtungsschwerlinien zusammenfallen.

Grenzwerte bei bewegter Last.

Will man bei Belastung durch bewegte Badlastzüge möglichst genau rechnen, so ist nach § 12 zu verfahren (Beispiele 9, 11 etc.). In anderen Fällen, insbesondere bei gleichmäßig verteilter, bewegter Last finden die in §§ 10, 11 vorgeführten Methoden Verwendung. Die ungünstigsten Belastungen ergeben sich danach beispielsweise für die Normalspannungen in den obersten und untersten Querschnittselementen, welche bei der Dimensionierung meist allein in Betracht kommen wie folgt:

Grenzwerte von o₀ (Fig. 94). Man ziehe aus beiden Kämpfergelenken Gerade durch den unteren Kernpunkt des Querschnitts bis zu den Durchschnitten mit der Linie S; für max. druck o₀ ist zwischen diesen Schnittpunkten, für min. druck a₀ auf den übrigen Strek-ken der Spannweite möglichst stark zu belasten.

Grenzwerte von au (Fig.95). Man ziehe aus beiden Kämpfergelenken Gerade durch den oberen Kernpunkt des Querschnitts bis zu den Durchschnitten mit der Linie S; für min. druck au ist zwischen diesen Schnittpunkten, für max. druck au auf den übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten.

von a~m bis l

32

nwx.druck min. druck cr₀

Fig. 94.

Fig. 95.

s.

max. druck min. druck

Vereinfachung (Fig. 96). Will man von der in § 11 besprochenen Vereinfachung Gebrauch machen, durch welche die Bestimmung der Kernlinien vermieden und die Anzahl zu berücksichtigender Belastungsfälle auf etwa die Hälfte reduziert wird, so ist wie folgt vorzugehen: Man ziehe aus beiden Kämpfergelenken Gerade durch den Achspunkt des Querschnitts bis zu den Durchschnitten mit der Linie S] für max. druck a₀

min. druck &£ rrwx.driuk du

max. druck % min. druck

.-4

•X\

Fig. 96.

und min. druck ou ist zwischen diesen Schnittpunkten (wie für max. pos. Mx), für min. druck a₀ und max. druck au auf den übrigen Strecken der Spannweite möglichst stark zu belasten (wie für max. neg. Mx).

Für die Querschnitte unmittelbar bei den Gelenken treten die Grenzwerte von er₀, aH stets (auch nach der genaueren Bestimmung der ungünstigsten Belastungen) bei möglichst starker Belastung der ganzen Spannweite und für die feste Last allein ein.

Formänderungen.

zu

Alle bis jetzt für den Bogen mit drei Gelenken erhaltenen Beziehungen ergaben sich rein statisch, ohne Rücksicht auf die elastischen Formänderungen. Es haben demnach auch bei jenen Bogen, im Gegensätze zu Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk (vergl. §§ 20, 21), für je einen ganzen Querschnitt gleichmäßige Temperaturänderungen, wie sie in § 3 zugelassen waren, und kleine Bewegungen der Widerlager keinen in Betracht kommenden Einfluß auf die Beanspruchungen. Da die angeführten Beziehungen für die Dimensionierung genügen, so braucht man bei Bogen mit drei Gelenken nur dann auf die Formänderungen Rücksicht nehmen, wenn die letzteren selbst interessieren. Dies trifft am ehesten bezüglich der Einsenkung e in der Trägermitte zu.

Für symmetrische Parabelbogen von konstantem (mittlerem) c = J cos cp ist nach der Ableitung in § 45 die von beliebiger Belastung herrührende Einsenkung in der Trägermitte (über s siehe unten):

48 Ec

~ 2Pa(l — a)³ + ^ 0

JP{l — 2af-l²2P{l—a) -f

0 0

33

7 + 32^ Hß₂y

Speziell für eine zur Trägermitte symmetrische Belastung hat man:

34

3 — 32 e

40

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrierte Last, so ist dem Begriffe

m

der Symmetrie entsprechend nur die Hälfte derselben in F aufzunehmen,

⁰

wonach z. B. für eine Einzellast P in der Trägermitte:

35

480

1 + 16« PP Ec '

Von 34 kann auch bei unsymmetrischer Belastung Gebrauch gemacht werden, wenn man berücksichtigt, daß die Einsenkung in der Mitte durch eine beliebige Belastung halb so groß ist als durch eine mittelst Verdoppelung dieser Belastung (Übertragung symmetrisch zur Trägermitte) hergestellte symmetrische Belastung.

Die Werte der Summenausdrücke N für stetig verteilte Lasten sind aus § 18 zu entnehmen. Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit folgt dann aus 34:

36

Ec 60 ’

und für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte aus Gleichung 33:

e u + u'

Ec

120

37

Diese Formel führt mit u‘ = u wieder auf 36, wie man auch umgekehrt von 36 auf 37 hätte schließen können.

Eine Temperaturänderung % gegen die Normaltemperatur (bei Zunahme x positiv) bewirkt:

«*(/'++)

38

während einer Änderung A l der Spannweite (für Zunahme A l positiv) und einer Änderung A h der ursprünglich gleichen Höhenlage der Stützpunkte (bei höherer Stütze l ist A k positiv) entsprechen würde:

Ak

39

l A l

e -----

gedrückt:

In 33 — 37 wie auch stets in der Folge ist mit r nach 11 aus-

15}' (r — f\²

Hierin bedeutet

rf

40

J cos cp

41

V=Jc

das Verhältnis der Mittelwerte c, h von J cos cp und F cos cp, wofür jedoch mit kaum geringerer Genauigkeit auch der Mittelwert von J: F gesetzt werden kann (§ 42). Ist der Bogen sehr flach, dann ergibt 40 unter Vernachlässigung von f gegen r als Näherungswert:

15 7 _ 15 J

8 f* ~ 8 Ff² •

In 40, 42 wäre als y zu verwenden beispielsweise für Bogen recht-

F cos cp

42

eckiger Querschnitte der Breiten b und Höhen h, wegen J =    , F=

b h, der Mittelwert von

h-

43

12 ‘

Bür Gitterbogen, Blechbogen etc. könnte unter Vernachlässigung der Füllung mit h Entfernung der Gurtungsschwerpunkte annähernd J = Fh²

gesetzt und demgemäß als y verwendet werden der Mittelwert von

h²

y=-r-

44

Speziell für genügend flache Bogen ergibt sich dann aus 42 mit einem Mittelwert von h~ für rechteckige Bogen (Gewölbe, Betonbogen, Eisenbetonbogen):

und für Gitterbogen, Blechbogen:

£    32 f²

45

15 h2 32 f² '

Berücksichtigt man, daß überdies bei ersteren h kleiner als bei letzteren zu sein pflegt, so lassen schon die Ausdrücke 45, 46 erkennen, daß die e bei Gewölben, Betonbogen und Eisenbetonbogen im allgemeinen wesentlich kleiner als bei Eisenbogen sein werden.

Weiteres über die Formänderungen parabolischer Bogen von konstantem J cos cp enthält § 45. Bezüglich der letzteren Annahme siehe § 42. Über die Formänderungen von Bogen mit beliebiger Achsform und beliebigen Querschnitten geben die §§ 40, 48 Aufschluß. Die Gleichungen 38, 39 gelten für beliebige symmetrische Bogen mit drei Gelenken, einschließlich der Gewölbe und Bogenfachwerke (Aufgabe 14). Vergl. § 48.

46

kofen).

Beispiel 18. Gegebene symmetrische Belastung (Donaubrücke bei Inzig-

Für die in Fig. 97 angedeutete Betonbrücke der Donaubrücke bei Inzig-kofen in Hohenzollern¹ betrage das Eigengewicht der Brücke pro Meter Breite

bei a == 0,9    2,6    4,3    6,0    7,8    9,6    11,5    13,5    15,5    17,5    19,5    21 m

P = 10,2    9,6    9,7    9,2    8,6    8,1    7,9    7,4    6,4    5,7    5,3    2,4 t.

Die Lasten auf der zweiten Bogenhälfte liegen bezüglich der Vertikalen durch die Bogenmitte symmetrisch zu den angeführten. Es sollen die von dieser Belastung allein (ohne Verkehrslast) herrührenden Stützenreaktionen F, V‘, H sowie die Normalspannungen a₀, an im obersten und untersten Querschnittselement des Kämpferquerschnitts x = 0, wo y = 0, p = 17° 6', des Querschnitts x — 10,5 m, wo y = 3,4m, <p

—    12⁰ 24' (als Beispiel einer Zwischenfuge) und des Scheitelquerschnitts x = m = 21,5, wo y = f

—    4,468 m, cp — 0, berechnet werden. Fugenstärken bei 0, x, l beziehungsweise h — 0,70 m , 1,1m und 0,78 m.

s 2,st

H-

<?A

9,5

i f* 4,468 m

-i-..........

m-C -21,5 m

JTl

Fig. 97.

iLflibbrand, Betonbrücke mit offenen Gelenken über die Donau bei Inzigkofen, Monatsschrift d. Württ. Vereins f. Baukunde 1896, S. 65, 73; Zeitscbr. f. Bauwesen 1896, S. 279.

Stützenreaktionen. Nach § 19, 23), 29) haben wir bei symmetrischer Belastung die Vertikalreaktionen der Kämpfer und den Horizontalschub:

r=v‘= S r,

11 =

2 Pa .

Diese Ausdrücke liefern für unseren Fall:

v =V‘ = 10,2 + 9,6 + • • • • 4-5,3 + 2,4 = 90,500 t,

• • + 5,3 • 19,5 + 2,4 • 21) = 183,827 t .

4j4g₈ (10,2.0,9 4 9,6-2,6 4 • •

Beanspruchungen. Es gelten die Ausdrücke des § 19 für beliebige Belastung, wie sie im nächsten Beispiel zusammengestellt sind. Wir erhalten darnach für den Kämpferquerschnitt x = 0 mit Vx = V, Mx — 0:

Nx = 90,500-0,2940 4 183,827-0,9558 = 202,309 t,

202 309

Nx

a° “ ° u ~ Th

100.70

— 28,90 kg/qcm,

für den Querschnitt x — 10,5 m:

rx = 90,50 — 10,2 — 9,6 — 9,7 — 9,2 — 8,6 — 8,1 = 35,100 t, Nx = 85,100 • 0,2147 4 183,827 • 0,9767 = 187,080 t,

Mx = 90,500 • 10,5 — 183,827 • 3,4 — 10,2 • 9,6 — 9,6 • 7,9 — 9,7 • 6,2 — 9,2 • 4,5 — 8,6 • 2,7 — 8,1 • 0,9 = 19,428 mt,

<4 =

iüoTÜÖ (m0S0+    »“)=«■« kg,

100 • 110

187080 —

— 19428) = 7,37 kg,

5 II

= 23,57 kg .

und für den Scheitelquerschnitt x =

°o = au =

— 21,5 m, mit Nx = H, Mx — 0:

183827 1ÖÖ • 78

Bemerkungen. Im Hinblick auf ein späteres Beispiel (21) fügen wir noch die Transversalkräfte bei. Die Gleichung § 1, 10):

Tx = VX cos <f — H sin <p

Tx = 90,500 • 0,9558 —183,827 • 0,2940 = 32,455 t,

Tx = 35,100 • 0,9767 — 183,827 ■ 0,2147 = — 5,186 t,

Tx — 0, weil sin cp — 0 und bei symmetrischer

liefert

für x = 0 „ x = 10,5 m „ x = m = 21,5 m Belastung Vx = 0.

Beispiel 19. Gegebene beliebige Belastung (Donaubrücke bei Inzigkofen).

Der im vorigen Beispiel behandelte Betonbogen der Donaubrücke bei Inzigkofen sei auf die Breite von 1 m wie in Fig. 97 angedeutet durch Menschengedränge von 0,46 t pro m und Räder einer Straßenwalze belastet. Es sollen die von dieser Verkehrslast allein (ohne das Eigengewicht) herrührenden Stützenreaktionen V, V\ H sowie die Normalspannungen o₀, au im obersten und untersten Element des Kämpferquerschnitts x — 0, des Querschnitts x— 10,5m (als Beispiel einer Zwischenfuge) und des Scheitelquerschnitts x — m — 21,5 m berechnet werden.

Stützenreaktionen. Momente der äußeren Kräfte am ganzen Träger in Hinsicht der Gelenke l und 0:

V‘= 2,893 t

r-43 — 0,46 (9,5-38,25 4 2,5-27,45) — 2,5 (2-32,5 4 29,7) = 0, woraus V= 10,127 t — V‘>43 4 0,46 (9,5-4,75 4 2,5-15.55) 4 2,5 (2-10,5 4 13,3) = 0,

0,46 • 12 4 7,5 = 13,020 t .

Moment der äußeren Kräfte rechts des Scheitelgelenks in Hinsicht des letzteren:

jr=²’89S^ife

Selbstverständlich hätten wir die Vertikalreaktionen V, V auch bestimmen können aus den Gleichungen § 19, 4):

— H-4,468 4r'-21,5 = 0,

woraus

= 13,921 t.

i i

i m

— 2 P (l — a) ,

¹ o

in welchen die Summen 2 ebenfalls die oben angeschriebenen Momente aller Lasten in Hinsicht der Gelenke l und 0 ausdrücken, und den Horizontalschub auch aus der Gleichung § 19, 5):

r=

V‘ =

PSPa

*=M +

worin die Summen 2 das Moment der Lasten zwischen den zwei ersten Gelenken in Hinsicht des Punktes 0 und das Moment der Lasten zwischen den zwei letzten Gelenken in Hinsicht des Punktes l bedeuten.

Beanspruchungen. Nach § 8, 17), 18) hat man für rechteckige Querschnitte der Breite b und Höhe h:

a₀ =

bh \Nx + T Mx) ’

ff« = -r

(Nx ~ h Mx) ’

worin nach § 19 die Yertikalkraft, die Normalkraft und das Moment daselbst:

rx =r-2p,

05 cn

Nx = VX sin cp + H cos cp,

X

2P(x

0

Die Summe 2 in 4 bedeutet die Gesamtlast von 0 bis x, diejenige in 6 das Moment dieser Gesamtlast in Bezug auf den Achspunkt des Querschnitts x.

Wir erhalten nun für den Kämpferquerschnitt x — 0 mit Vx — V, Mx — 0:

Mx=Vx-Hy -

«) .

Nx = 10,127 *0,2940 + 13,921-0,9558 = 16,283 t 16 283

Nx

„₀ = au = ₁JL

100•70

= 2,33 kg/qcm

für den Querschnitt x = 10,5 cm:

Vx = 10,127 — 0,46 • 9,5 = 5,757 t,

Nx = 5,757-0,2147 + 13,921-0,9767 = 14,832 t,

Mx = 10,127 • 10,5 — 13,921 • 3,4 — 0,46 • 9,5 • 5,75 = 33,875 mt,

^14832 + yy 33 875^j = 18,15 kg ,

ffo =

100-110

ff« =

14 832 --

100•110

und für den Scheitelquerschnitt x = 21,5 m:

,1

— 15,45 kg

ff₀ —. au — -

it

13 921

100•78

= 1,78 kg .

Aufgabe 10. Einflußlinien von Schnittkräften und Normalspannungen.

Für symmetrische Dreigelenkbogen die Einflußlinien des Moments Mx, der Normalkraft Nm der Transversalkraft Tx und der Normalspannungen o₀, ou im obersten und untersten Querschnittselement beliebiger Querschnitte der ersten Bogenhälfte abzuleiten.

Nach § 12 entsteht die Einflußlinie einer Größe B, wenn an jeder Stelle a als Ordinate b der Beitrag angetragen wird, den eine Last P — 1 an dieser Stelle a zu B liefert. Ist der Ausdruck von B für beliebige Lasten P auf dem ganzen Träger bekannt, so ergibt sich die Gleichung der Einflußlinie von I?, wenn zu jeder Abszisse a die Ordinate b gleich dem Faktor gemacht wird, mit welchem P für diese Stelle a in jenem Ausdruck von B multipliziert ist. Hiernach wurden bereits für Dreigelenkbogen in § 12 die Einflußlinien der Vertikalreaktionen der Kämpfer auf Grund der Ausdrücke:

1 ¹

V‘ = — 2 P a , l o

und in Beispiel 9 die Einflußlinie des Horizontalschubs auf Grund des Ausdrucks

] ¹

V — — 2 P (l — a),

H = -JJ [f p a + \ p (* - «)]

erhalten; sie sind in Fig. 98 verzeichnet. Bezüglich der resultierenden Kämpferreaktion U siehe Aufgabe 11.

Für das Moment M„ die Normalkraft Nx und die Transversalkraft Tx gelten nach § 19, 2), 6) und § 1, 10) bei beliebiger Belastung:

X

2P(x o

X

Nx — (V— 2 P) sin cp -f- H cos <p o

Tx = (V— 2 P) cos <p — H sin cp . o

Diese Gleichungen liefern mit Rücksicht auf 1, 2 für eine Einzellast P— 1 bei a, wenn a <fx\

x ~ Tf y ~⁽'x~ a) ’

Fr =V x — Hy —

:>

X¥r'

Fig. 98.

Fr —

Nx =

- 3 j sin 90 + A cos <p ,

1 j cos 90 — Py sin 9o,

welche Ausdrücke sich etwas zusammenziehen lassen, während die nachstehenden für a > x unmittelbar aus 3 bis 5 mit 1, 2 folgen.

Wir haben als Gleichungen der Einflußlinien, wenn deren Ordinaten b hier zur Unterscheidung wie die zugehörigen Größen selbst bezeichnet werden:

Für Fr

wo ci < x

„ .r < « < in

Tx =

Mx

( l — X ⁼ °(—

Fr = —

2fJ ’

x-----y .

2 fJ ’

Mx {l a) (y-T₂y)

für Fr

wo a < x

Nx — a

cos

tp

sin <p\

l ) ’

Fr =

a .    a

— sin 90 + - -

cos 9o,

für Tx

wo a < a:

= <'-?>( 1 +

»(cr+%?)-

-U sin 90,

cos 9p'

Ar = -

Ar =

cos 9p —

Ar — (Z — «)

'cos 9p

sin 90 \

2 f J ‘

Die Einflußlinien von AT^,, Nx, Tx bestehen hiernach im allgemeinen (für beliebige x) aus je drei geraden Strecken (von 0 bis x, x bis m und m bis l), sodaß es genügt, die Ordinaten an den Enden dieser Strecken festzustellen. Es zeigt sich dann, wie schon obige Ausdrücke entnehmen lassen, daß man bei x zwei verschiedene Ordinaten der Einflußlinen von Nx, Tx erhält, wonach daselbst Unstetigkeiten dieser Einflußlinien auftreten. In vorstehenden Gleichungen hat man beispielsweise für den Kämpferquerschnitt x — 0, y = 0, für den

Scheitelquerschnitt x —

m = y — ft sin gp = 0, cos cp = f womit bedeutende

Vereinfachungen entstehen. Das Moment Mx ist in diesen Querschnitten immer gleich Null.

Für die Normalspannungen im obersten und untersten Element symmetrisch zur Achsschicht angeordneter Querschnitte hat man bei beliebiger Belastung nach § 8, 11):

<*0

Kr

a =    —

* jF TF '

W ’

und beispielsweise für rechteckige Querschnitte der Breite b und Höhe h nach § 8, 17), 18):

°° ~ t h (y* + f ■l,*j >

10

während für unsymmetrisch zur Achsschicht angeordnete Querschnitte die Formeln § 8, 9) gelten würden. Diese Ausdrücke bilden auch die Gleichungen der Einflußlinien von a₀, am wenn für Mm Nx die Werte 6, 7 eingesetzt werden. Auch die Einflußlinien von a₀, au bestehen also im allgemeinen (bei beliebigen x) aus je drei geraden Strecken (von 0 bis x, x bis m, m bis l) und sie enthalten wie diejenigen von Nx, Tx bei x Unstetigkeiten.

Spezielle Fälle der hier behandelten Einflußlinien sind im nächsten Beispiel berechnet und in Fig. 99 und 100 verzeichnet.

Beispiel 20. Bestimmungen der Einflußlinien von Schnittkräften und Normalspannungen (Donaubrücke bei Inzigkofen).

Für den in den Beispielen 18 und 19 behandelten Dreigelenkbogen der Inzig-kofener Brücke von l = 43 m Spannweite und f = 4,468 m Pfeil der Achse (also

= 2,406) die Einflußlinien folgender Größen zu bestimmen: a) der Normalkraft Nx und Transversalkraft Tx für den Kämpferquerschnitt x = 0 und den Scheitelquerschnitt x = m; b) der Normalkraft Nx, des Moments Mx und der Normalspannungen a₀, au im obersten und untersten Element des Querschnitts x — 10,5 m.

a) Nach den Gleichungen 7 und 8 der letzten Aufgabe hat man für x — 0 allgemein und in unserem Falle mit cp = cp₀ = 17° 6' die Ordinaten der Einflußlinie von Nx = N₀ :

bei a = 0

N₀ = sin <p₀ — 0,2940,

a = nt =

•2

= ginyo + 2 ~

ros cp _ 0,2940

+ 2,406 -0,9558 = 2,4466,

N) = o,

und die Ordinaten der Einflußlinie von Tx — T₀:

bei ci = 0

T₀ = cos <jp₀ = 0,9558, l sin cp₀

IC

2’o

_cos <p₀

0,9558

-- 2,406 • 0,2940 = — 0,2295 ,

T₀ = 0 .

Für x — m ist wegen cp = 0 stets Nx — H, daher die Einflußlinie von Nx = Nm gleich der in der vorigen Aufgabe erwähnten und in Fig. 98 verzeichneten Einflußlinie von //. Aus den Gleichungen 8 der vorigen Aufgabe folgen die Ordinaten der Einflußlinie von Tx = Tm allgemein:

Tm — 0 ,

bei a = 0

Tm =

¹    A ¹

— nnd -

Tm = 0 .

„ a = l

Die vier Linien sind in Fig. 99 verzeichnet.

b) Aus den Formeln 6, 7 der vorigen Aufgabe ergeben sich die Gleichungen der Einflußlinien von Mx, Nx bei x = 10,5 m, wo y — 3,4 cm, cp — 12° 24':

für a <( 10,5 m

_ (³²>5 “ ( 43

3,4    )

• 4,468 )

= 0,3753 a ,

Ar =

0,2147 \ 43 J

a(

V 2-4,468

= 0,1043 « ;

für 10,5 < a < m

Mx = 10,5

10,5

—— a

3,4

2-4,468

a = 10,5 — 0,6247 a ,

= 0,2147 + 0,1043 ci .

Nx = 0,2147 -

0,2147    , 0,9767

- (I —-— CI

43    ’ 2-4,468

Die Gleichungen 10 der vorigen Aufgabe ergeben als Einflußlinien der Normal-

Spannungen a₀, au pro qcm bei x — 10,5 m, wo /f = 110cm, wenn die Lasten bei Er-

-2,931

Tm

-i

-1,857

\-l,834

-1,230

Lx

-0,229 T₀

0,2941

0,956

*0    : /    *m

2,447

1=43tji

Oi

x_

m,=21,5TJi

rx \ ¹⁶>²⁵H7i0

l=43m-

2,073

WS.

lOOOß-

[MX 2,457

3,341

Fig. 99.

Fig. 100.

mittlung der wirklichen a₀, au auf die Breite b — 100 cm bezogen werden

°0 =

au

11 000 * 1,1 Mx) ‘

Hierin sind Mx, Nx wie oben ausgedrückt. Setzt man sie ein (was zur Aufzeichnung der Einflußlinien nicht allgemein erforderlich wäre), so lauten die Gleichungen der Einflußlinien:

1000 <J₀ —    0,1956 ci,

für a < 10,5 m

für 10,5 < a < m

1000 au = — 0,1766 a ;

1000 oq =

5,2261 — 0,3003 a , 1000 oH — — 5,1871 + 0,3193 « .

Nach den Gleichungen unter b) erhält man

die Ordinaten der Einflußlinien für bei a = 0

unmittelbar vor a = x — 10,5 m nach a = x = 10,5 „

Mx

1000 a₀

1000 au

bei a — m — 21,5 m während bei a = l — 43 m

1,095

1,310

2,457

3,941 3,941 — 2,931

2,054 2,073 — 1,230

—    1,854

—    1,834 1,677,

Die vier Linien sind in Fig. 100 verzeichnet.

Beispiel 21. Einflußlinien und Grenzwerte von Gelenkkräften und Normalspannungen (Donaubrücke bei Inzigkofen).

Die in den Beispielen 18, 19, 20 behandelte Donaubrücke bei Inzigkofen werde pro Meter Breite auf beliebige Strecken der Spannweite durch die in Fig. 97 angedeuteten Radlasten einer Straßenwalze und um 1 m davon beginnendes Menschengedränge von 0,46 t pro m belastet. Unter Verwendung der Einflußlinien des vorigen Beispiels zu berechnen: a) die von dieser Verkehrslast allein herrührenden Grenzwerte der Vertikalreaktionen V der Kämpfer, des Horizontalschubs H sowie der Normalkraft N* und Transversalkraft Tx im Kämpferquerschnitt und Scheitelquerschnitt; b) die von der gleichen Verkehrslast allein herrührenden Grenzwerte der Normalspannungen a im Kämpferquerschnitt, im Scheitelquerschnitt und im beliebigen Querschnitt x = 10,5 m; c) die Grenzwerte der unter a) und b) erwähnten Größen durch die obige Verkehrslast und das in Beispiel 18 angenommene Eigengewicht der Brücke.

Für jede der verlangten Größen ist der Beitrag beliebiger Lasten P an Stellen, wo b die Ordinaten ihrer Einflußlinien:

B — S Pb,

und der Beitrag einer gleichmäßig verteilten Last von p pro Längeneinheit auf Strecken, zu welchen die Einflußfläche F gehört:

B =p f .

Die b, F können aus der Figur entnommen oder berechnet werden. Da das erste Verfahren nach dem in § 12 Gesagten keiner Erklärung weiter bedarf, so wollen wir das zweite wählen, bei dem man ohne eine genaue Figur aus-

kommen kann. Die Laststellungen sind selbstverständlich mit Rücksicht auf den Verlauf der Einflußlinie zu wählen (§ 12).

a) Kräfte durch die Verkehrslast. Größte Vertikalreaktion des Kämpfers 0 bei Belastung von 0 bis l, schwerstes Rad bei 0, das andere nach 0:

39,2 2 2-43

40 2

V = 5 + 2,5    —h 0,46

kleinster Wert V = 0. Größter Horizontalschub bei Belastung von 0 bis l, schwerstes Rad bei m, das andere vor oder nach m:

2,406 2 • 21,5

H = 2,406 (ö + 2,5    + 0,46 -

= 15,556 t,

(l7,7 ² + 20,5 ²) = 36,142 t,

kleinster Wert H— 0.

Größte Normalkraft im Kämpferquerschnitt 0 bei Belastung von 0 bis l, schwerstes Rad bei m, das andere vor m:

N₀ = 2,447 ^5 + 2,5

21,69

24,49

+0,46 ^0,294*17,7 + 2,153

17,7 ²

2 * 21,5

+ 2,447

20,5²

2 • 21,5

= 38,264 t,

kleinster Wert Ar₀ — 0. Größte positive Transversalkraft im Kämpferquerschnitt 0 (von unten nach oben wirkend, bei Berührungsgelenken entgegen der auf Ab-gleiten von oben nach unten wirkenden Kraft, § 14) bei Belastung von 0 bis 17,34 m, schwerstes Rad bei 0, das andere nach 0:

13,54 2 2*17,34

Größte negative Transversalkraft im Kämpferquerschnitt 0 (von oben nach unten wirkend, bei Berührungsgelenken eventuell entgegen der auf Abgleiten von unten nach oben wirkenden Kraft, § 14) bei Belastung von 17,34 m bis l, schwerstes Rad bei m, das andere nach m:

Tq — — 0,229 (ö + 2,5 Ift-j — 0,46• 0,229

T₀ = 0,956

+ 0,46*0,956

— 9,109 t .

17,7 ²

3,16 2 2 • 1.16

Die Normalkraft im Scheitelquerschnitt ist stets Nm — H. Größte positive Transversalkraft im Scheitelquerschnitt bei Belastung von m bis l, schwerstes Rad bei »>, das andere nach m:

2 • 21,5

= — 2,537 t .

17,7 2 2* 21,5

Größte negative Transversalkraft im Scheitelquerschnitt bei Belastung von 0 bis m, schwerstes Rad bei »?, das andere vor m:

Tm = — 5,263 t .

b) Normalspannungen durch die Verkehrslast. Auf den Kämpferquerschnitt und Scheitelquerschnitt sind die Normalkräfte stets gleichmäßig verteilt (die Gelenke in der Bogenachse vorausgesetzt). Wir erhalten mit den Grenzwerten der letzteren die Grenzwerte der Normalspannungen im Kämpferquerschnitt:

38 264 100*70

Tm

N₀

a°-au-Tn

im Scheitelquerschnitt:

ao — au — “T"

36 142

+ 0,46*0,5

-    5,263 t .

= 5,47 kg pro qcm ,

°o — °u — 0,

— 4,63 kg pro qcm

a₀ — au — 0 .

100 • 78

Für den beliebigen Querschnitt x — 10,5 m ergeben sich die Grenzwerte der Normalspannungen cr₀, oH im obersten und untersten Querschnittselement wie folgt. Größtes positives <r₀ bei Belastung von 0 bis 17,40 m, schwerstes Rad bei x das andere vor x:

.. = 2,054(5 + 2,5^)

5,9 ²

)-

^2,054

6,7 2 2*10,5

18,46 kg .

Größtes negatives an bei Belastung von 17,40 m bis l, schwerstes Rad bei tn, das andere nach m\

+ 0,46

, + 2,073

2*6,9

ao

= = tao(5+M^-)

— 0,46 • 1 ?30

3,10 ²

2*4,10

17,7 ² \ = 2 • 21,5 )

— 13,61 kg .

Größtes positives ou bei Belastung von 16,25 m bis l, schwerstes Rad bei m das andere nach m:

= 1,677 (5 + 2,5    + 0,46-1,677

4,25 2 2 • 5,25

17,7 2 2-21,5

= 18,98 kg .

Größtes negatives a/( bei Belastung von 0 bis 16,25 m, schwerstes Rad bei x, das andere vor x :

1T + -.

«. = - 1,854 (5 + 2,5^1-)

0,46 ^1,854

6,7 2 2 • 10,5

+ 1,834

4,75 2 2-5,75

■)"

— 16,15 kg .

c) Grenzwerte durch Eigengewicht und Verkehrs last. Diese ergeben sich durch Addition der obigen Grenzwerte durch die Verkehrslast allein und der in Beispiel 18 berechneten Werte durch das Eigengewicht allein. Man erhält für die Vertikalreaktionen der Kämpfer und den Horizontalschub:

V == 90,50 t,

S = 183,83 t,

für die Normalkraft und Transversalkraft im Kämpferquerschnitt:

JV₀ = 202,309 + 38,264 = 240,57 t,

T₀ = 32,455 + 9,109 = 41,56 t,

für die Transversalkraft im Scheitelquerschnitt:

Tm = 5,26 t,

V — 90,500 + 15,556 = 106,06 t, H = 183,827 + 36,142 = 219,97 t,

N₀ = 202,31 t,

T₀ — 32,455 — 2,537 = 29,92 t,

Tm — — 5,26 t .

Ferner für die Normalspannungen im Kämpf er querschnitt:

a₀ = au = 28,90 + 5,47 = 34,37 kg,

°o = au = 28,90 kg,

im Scheitelquerschnitt:

a₀ = au = 23,57 + 4,63 = 28,20 kg,

im beliebigen Querschnitt x = 10,5 m:

a₀ = 26,44 + 18,46 = 44,90 kg, au = 7,37 + 18,98 = 26,35 kg,

Die erhebliche Zugbeanspruchung bei x — 10,5 m läßt erkennen, daß man gerade bei Bogen aus Beton und Stein allen Grund hat, die Grenzwerte der Normalspannungen möglichst genau oder eher zu ungünstig zu berechnen, da sonst leicht größere Zugspannungen auftreten können, als man zulassen wollte. Im vorliegenden Falle werden die berechneten Zugspannungen nicht ganz erreicht, weil die Belastung durch Menschengedränge im Einklänge mit der ursprünglichen Berechnung nach oben abgerundet und für dieses erste Beispiel eine konstante Bogenbreite von 3,6 m vorausgesetzt wurde (im Gegensätze zu Beispiel 22), während die Breite in Wirklichkeit von 3,6 m im Scheitel bis 4,6 m bei den Kämpfern zunimmt.

oo — G — 23,57 kg,

lä,83 kg,

G₀ = 26,44 — 13,61 = au = 7,37 — 16,15 = — 8,78 kg .

Beispiel 22. Berechnung eines Bogens mit drei Gelenken (Verhältnisse des Gewölbes der Pruthbrücke bei Jaremcze).

Für das Gewölbe der Pruthbrücke bei Jaremcze (§ 27) beträgt die Spannweite l = 67,62 m, der Pfeil der Bogenachse f= 18,1215 m (Lichtweite 65 m, Pfeil der Gewölbelaibung 17,9 m). Gewölbestärke im Scheitel 2,1 m, bei den Kämpfern 3,1 m, die Lagerfugen können als senkrecht zur Bogenachse gelten. Brückenbreite im Bahnplanum 4,5 m, Anlauf der Stirnmauern beiderseits V20, sodaß nach unten zunehmende Breiten der Lagerfugen entstehen. Radius der Gewölbelaibung 38,454 m, des Gewölberückens 42,792 m. Bei der Berechnung wurden die Bogenachse ebenfalls kreisförmig und die in den Kolumnen 6 und 8 der Tabelle des Beispiels 44 angeführten festen Lasten angenommen.¹ Es sollen unter diesen Voraussetzungen, jedoch für den Fall, daß an den Kämpfern und im Scheitel Gelenke angebracht wären, die Kämpferreaktionen und Beanspruchungen u₀, <jh in den obersten und untersten Querschnittselementen berechnet werden: a) für die feste Last allein; b) für Verkehrsbelastung des

¹ Hinsichtlich obiger Angaben siehe Kulka, Über die Berechnung großer gewölbter Brücken, Zeitschr. d. Öster. Ing.- und Arch.-Vereins 1894, S. 365, 377.

ganzen Bogens; c) für Verkehrsbelastung der ersten Bogenhälfte; d) für Verkehrsbelastung der zweiten Bogenhälfte; e) für die ungünstigsten Belastungen.

Bezeichnen li, b die Höhe und Breite der Lagerfuge x, so hat man unter Voraussetzung genügender Widerstandsfähigkeit derselben gegen die auftretenden Normalspannungen die Werte der letzteren im obersten und untersten Fugenelement nach § 8, 18), 19):

a°~Tn (Xx + T Mx) ’

Oh= -7

Vh iNx _ t ■

Hierin sind nun nach § 19 für beliebige Belastung mit

X

V — 2 P

Vx =

die Normalkraft und das Moment bei x:

Nx =VX sin cp + H cos cp,

X

2 P(x o

Die Vertikalreaktionen F, V' der Kämpfer und der Horizontalschub H sind durch §19, 4), 5), 28) bestimmt.

Da die Bogenachse kreisförmig und die Lagerfugen senkrecht zu derselben angenommen sind, so hat man nach § 19, 9), 10) mit m —

Mx = Vx — Hy —

«) =Vxx

Hy + 2Pa .

sin cp =-----

r

worin nach § 19, 11) der Badius der Bogenachse:

i* , f

t ‘ —--⁻f- •

8 f 2

Mit den gegebenen l, f liefern diese Gleichungen r = 40,6010 m und

y = y505,3279 + X (l — x) — 22,4795 m ,

cos 9o -----

sin <p =

33,81 — x

40,601

cos (p ---

22,4795 — y

40,601

Die Berechnung ist für alle Lagerfugen im wesentlichen die gleiche. Es genügt also, dieselbe für die Kämpferfuge, die Scheitelfuge und eine Zwischenfuge zu zeigen. Durch Berücksichtigung einiger weiterer Fugen könnte jedem Bedürfnis genügt werden. Nach vorstehenden Gleichungen hat man:

38,81 m = y 18,1215 m

für

20,81

15,9840

0,3202

0,9474

y =

sin cp = 0,8327 cos cp = 0,5537 ■

während der Veröffentlichung über die Brücke entnommen wurden:

6,60

4,95

womit

= 3,1

bh= 20,460

2,24

11,088

4,75 m 2,1 m , 9,975 qm.

Bei der weiteren Berechnung machen wir von den in den Kolumnen 4, 5, 8, 9 der Tabelle des Beispiels 44 gegebenen Zahlen Gebrauch und nehmen auf die Symmetrie des Bogens Rücksicht. Die a₀, au werden in kg pro qcm gegeben.

V — V‘ = 2216,9 t,

a) Feste Last allein. Vertikalreaktionen der Kämpfer und Horizontalschub nach § 19, 28):

= 1701,63 t.

30 836,14

18,1215

Entsprechend dem oben Gesagten ergeben sich für die Kämpferfuge mit Vx =

y,

0:

Nx — 2216.9 *0,8327 + 1701,63 • 0,5537 — 2788,20 t,

a₀ — ou —

2788,20

für die Fuge x

201,6

= 13,628 kg,

20,81 m:

Vx — 2216,9 — (114,8 + • • • + 101,9) = 562,00 t,

Nx = 562-0,3202 + 1701,63-0,9474 = 1792,08 t .

Mx = 562 • 20,81 — 1701,63 • 15,9840 + (243,66 + • • • + 2037,75) = 465,17 mt,

iissr<¹⁷⁸²-⁰⁸ + w ⁴“J7> = 274M ke-

a₀ =

"•“TiKsT'¹⁷⁸²'⁰⁸

und für die Scheitelfuge mit Nx

„- 465,17)= 4,925 kg,

2,24

H, Mx

1702,63 99,75

b) Vollbelastung. Für die Verkehrslast allein hat man nach den unter a) angewandten Formeln die Kämpferreaktionen:

r=r‘— 1801,

°o — °u —

3175,419

18,1215

0:

= 17,059 kg .

= 175,23 t .

Damit folgen für die Kämpferfuge wegen Vx —V, Mx

Nx = 180-0,8327 + 175,23-0,5537 = 246,91 t, = 1,207 kg,

ao — au —

246,91

0:

für die Fuge x — 20,81 m:

204,6

Yx = 180 — 108 = 72 t,

Nx = 72 • 0,3202 + 175,23 • 0,9474 = 189,07 t,

Mx = 72 • 20,81 — 175,23 • 15,9840 + (101,181 + • • • + 179,997) = — 93,45 mt,

~~ 93,45) = - 0,552 kg ,

-- 93,45) =

a₀ =

110,88

°u = -T,

110,88

für die Scheitelfuge mit Nx

(189,07 —

(189,07 +

II, Mx

a₀ — au —

2,24

0:

175,23

99,75

= 1,757 kg .

3,963 kg ,

Beim Zusammenwirken der festen Last und Verkehrslast erhalten wir:

V=V‘= 2216,9 + 180 = 2396,9 t,

H= 1701,63 + 175,23 = 1876,86 t,

20,81 26,85 8,89

und bei

33.81    m

18.82    kg,

18,82 kg .

c) Verkehrslast von 0 bis m. Die Verkehrslast allein erzeugt nach § 19, 4), 5) die Kämpferreaktionen:

x =    0

<J₀ — 14,83 ou = 14,83

V‘ = —

3175,419

67,62

= 46,96 t,

V = 180 — 46,96 = 133,04 t,

3175,419

= 87,61 t .

Damit ergeben sich für die Kämpferfuge wegen Vx

Nx — 133,04 • 0,8327 + 87,61 • 0,5537 = 159,29 t, _ 159,25

°o ~~ °u ~ ”2Ö4F"

2 • 18,1215

y,

0:

= 0,779 kg,

für die Fuge x = 20,81 m:

Vx = 133,04 — 108 = 25,04 t,

Nx = 25,04 • 0,3202 + 87,61 • 0,9474 = 91,02 t,

Mx = 25,04 • 20,81 — 87,61 • 15,9840 + (101,182 +■•••+ 179,977) = 329,83 int,

°o =

110,88

(91,02 + ^ 329,83) =

( 91,02

°u 110,88

für die Scheitelfuge mit Nx = 77, Mx — 0:

8,789 kg, ₂®- 329,83) =- 7,147 kg,

87,61 99,75

Beim Zusammenwirken von fester Last und Yerkehrslast erhält man:

V = 2216,9 + 133,04 = 2349,94 t,

V‘ = 2216,9 + 46,96 = 2263,86 t,

H = 1701,63 + 87,61 = 1789,24 t,

20,81 36,19 — 2,22

ao — au —

= 0,878 kg .

und bei

°o — 14,41 *«=14,41

33,81 m, 17,94 kg, 17,94 kg.

d) Yerk ehrslast von m bis?. Mit Rücksicht auf die unter c) gefundenen Kämpferreaktionen sind im vorliegenden Falle:

V‘ = 133,04 t,

Hiermit folgen für die Kämpferfuge, wo Vx = V, Mx = 0:

Nx = 46,96 • 0,8327 + 87,61 • 0,5537 = 87,61 t,

_    _ 87,61

°° — °H —    ₂₀^(i

V = 46,96 t,

= 0,428 kg,

JB— 87,61 t .

für die Fuge x = 20,81 m:

rx = 46,96 — 0 = 46,96 t,

Nx = 46,96 • 0,3202 + 87,61 • 0,9474 = 98,04 t,

Mx = 46,96 • 20,81 — 87,61 • 15,9840 = — 423,12 mt, ~ 423,12 ) = - 9,337 kg ,

( 98,04 + ~ 423,12 ) =

aO=~7

110,88

( 98,04

110,88

und für die Scheitelfuge mit Nx = 77, Mx

11,106 kg,

0:

ao — au —

87,61

99,75

= 0,878 kg.

Da die unter c) und d) verwendeten Verkehrslasten zusammen die Verkehrslast des ganzen Bogens ausmachen, so müssen die von der Verkehrslast allein herrührenden V, V', 77, Vx, Nx, Mx, a₀, au in den Fällen c) und d) zusammen gleich den entsprechenden Werten unter b) sein, was zur Abkürzung oder Kontrolle der Rechnung dienen kann.

Beim Zusammenwirken der festen Last und Verkehrslast hat man mit Rücksicht auf die Werte unter cj oder unmittelbar:

V — 2263,86 t,

V‘ = 2349,49 t,

20,81 18,06 16,03

e) Grenzwerte (ungünstigste Belastungen). Die Grenzwerte von V, V\

H sowie der Beanspruchungen o-₀, au in den Fugen unmittelbar bei den Gelenken treten in den Belastungsfällen b) und a) ein. Für die a₀, au in Fuge < x — 20,81 m entstehen nach dem auf Seite 81 erwähnten einfacheren Verfahren die Grenzwerte, wenn einmal die 9 ersten Verkehrslasten, das andre Mal

und bei

a₀ = 14,06 au = 14,06

H— 1789,24 t,

33,81 m, 17,94 kg, 17,94 kg.

ii

V-"

alle übrigen Verkehrslasten, auf den Bogen kommen (Fig. 101). Wir erhalten nach § 19, 4), 5) mit Rücksicht auf die Tabelle des Beispiels 44 und 253,102 + • • • + 296,977 erste dieser Belastungen:

H =

1100,158 für die

3175,419 — 1100,158

■sf

X - 20,81 TK

36,243

= 57,26 t,

Fig. 101.

V‘ =

3175,419 — 1100,158 67,62

V = 144 — 30,69 = 113,31 t,

= 30,69 t,

Vx = 113,31 — 108 = 5,31 t,

Nx = 5,31 • 0,3202 + 57,26 • 0,9474 = 55,95 t,

Mx = 5,31 • 20,81 — 57,26 • 15,9840 + (101,182 + • • • + 179,977) = 404,36 mt,

a₀ =

110,88

( 55,95 + -₂⁶₂₄ 404,36 ) =

au —

110,88

und für die zweite derselben:

( 55,95

10,273 kg, 404,36) = - 9,264 kg,

3175,419 + 1100,158

36,243

= 117,97 t

V = 30,69 + 4- 9 = 66,69 t,

V = 216 — 66,69 = 149,31 t,

Vx = 66,69 — 0 = 66,69 t,

Nx = 66,69-0,3202 + 117,97-0,9474 = 133,12 t,

Mx = 66,69 • 20,81 — 117,97 • 15,9840 = — 497,81 mt,

₂-₂- 497,81) = - 10,825 kg ,

110,88

( 133,12

( 133,12 -|-    497,81) =

13,226 kg .

°u 110,88

Auch für die jetzt betrachteten beiden Belastungsfälle müssen die der Verkehrslast entsprechenden V, V, //, Vx, Nx, Mx, a₀, au zusammen gerade so groß, wie im Falle b) sein.

Beim Zusammenwirken von fester Last und Verkehrslast sind die Grenz-

a₀ = 27,400 + 10,273 =    37,67 kg,

a₀ = 27,400 — 10,825 =    16,57 kg,

aH -    4,925 — 9,264 = — 4,34 kg,

au = 4,925 -f 13,226 =    18,15 t .

Hätten wir die ungünstigsten Belastungen nach dem genaueren Verfahren auf Seite 80 bestimmt, was bei Gewölben selten geschehen wird, so würden sich für die Grenzwerte von au dieselben Belastungen wie nach dem einfacheren Verfahren ergeben haben, womit auch die berechneten Grenzwerte selbst gültig bleiben. Für die Grenzwerte von a₀ würden einmal die 10 ersten Verkehrslasten (anstatt wie oben die 9 ersten), das andremal alle übrigen Verkehrslasten auf dem Bogen wirksam anzunehmen sein. Man erhält in ganz gleicher Weise wie oben vorgehend für den ersten Fall: H— 64,24 t, V = 34,43 t, V = 118,57 t, Vx = 10,57 t, Nx = 64.25 t, Mx = 402,25 mt,

werte:

a₀ =

110,88

( ⁶⁴'²⁵ + V24 402/25 ) =

10,297 kg,

und für den zweiten Fall: H = 110,99 t, V — 61,43 t, V = 145,57 t, Vx = 61,43 t, Nx — 124,82 t, Mx = — 495,71 mt,

110,88

( 124,82 —    495,71 ) = — 10,849 kg ,

womit die Grenzwerte für feste Last und Verkehrslast zusammen werden:

a₀ = 27,400 — 10,849 = 16,55 kg,

a₀ = 27,400 + 10,279 = 37,70 kg ,

anstatt wie oben 37,67 und 16,57 kg.

Bemerkungen.

Es haben sich die in der folgenden Tabelle eingetragenen Gesamtwerte ergeben, wobei wie oben die Kämpferreaktionen V, V, H in Tonnen, die Normalspannungen cr₀, ou in Kilogramm pro Quadratzentimeter ausgedrückt sind. Das einfachere Verfahren zur Bestimmung der Grenzwerte von a₀, au würde in den letzten zwei Kolumnen nur 87,67 und 16,57 kg an Stelle von 37,70 und 16,35 kg geliefert haben; es kann auchhiernach ohne weiteres angewandt werden (vergl. § 11 und Beispiel 44).

Größen

°u =

a)

b)

c)

d)

e)

feste Last allein

Voll

belastung

Verkehrslast 0 bis m

Verkehrslast m bis l

Grenzwerte

(Ungünstigste Belastungen)

x= 20,81

2216,90

2216,90

1701,63

13,63

13,63

27,40

2396,90

2396,90

1876,86

14,83

14,83

26,85

4,92

8,89

x—

ffo

17,06

17,06

18,82

18,82

2349,94 2263,86 1789,24 14,41 14,41 36,19 — 2,22 17,94 17,94

2263,86

2349,94

1789,24

14,06

14,06

18,06

16,03

17,94

17,94

2396,90

2396,90

1876,86

14,83

14,83

37,70

18,15

18,82

18,82

2216,90

2216,90

1701,63

13,63

13,63

16,55

— 4,34 17,06 17,06

Werden die ungünstigsten Belastungen für cr₀, au wie oben unter e) bestimmt, so brauchen die Belastungsfälle c) und d) nicht behandelt zu werden. Sie wurden hier berücksichtigt, weil bei Gewölben häufig nicht die ungünstigsten Belastungen, sondern nur einige im voraus gewählte Belastungsfälle betrachtet wurden, und um die hierbei möglichen Abweichungen zu zeigen. Zu beachten ist, daß die Fugen x = 0 und x = m nur zweimal beziehungsweise einmal auf-treten, Avährend die Fuge x — 20,81 m als Repräsentantin aller übrigen angeführt ist, und daß bei Bogen ohne Gelenk die Verhältnisse auch bei 0 und m ungünstiger liegen. So tritt in dem Beispiel 44 der größte Druck, 44,32 kg, im Scheitel, der größte Zug, 10,63 kg, bei den Kämpfern ein.

Die Stützlinie (Verbindungslinie der Angriffspunkte von Ex oder Nx in allen Fugen, § 8) braucht bei der obigen Berechnungsweise nicht verzeichnet zu werden, da sich die Beanspruchungen ohne sie ergeben. Entsteht in irgend einer Lagerfuge Zug (u negativ, siehe in obiger Tabelle au in den Fällen c), e) so tritt die Stützlinie in dem betreffenden Belastungsfall daselbst aus dem mittleren Drittel (§ 8). Übrigens genügen die obigen Ermittelungen auch zur Verzeichnung der Stützlinien. Da ihr Durchgangspunkt in Fuge x nach § 8, 1) um

Ar

von der Bogenachse entfernt ist, wobei die c nach oben positiv, nach unten negativ zu rechnen sind, so geht die Stützlinie für alle Belastungsfälle durch die Gelenke, während z. B. bei x = 20,81 m

in den Fällen

a)

b)

c)

d)

0,187

0,260

Die Stützlinie ist also im Falle c) um

0,422

0,022 m.

2,24

0,422 --= 0,049 m

o

aus dem mittleren Bogendrittel getreten. In den Fällen a) und b) liegt die Stützlinie symmetrisch zur Bogenmitte, für den Fall c) gibt der Fall d) die

Stützlinie auf der zweiten Bogenhälfte und umgekehrt (durch Umklappen um die Vertikale bei x = m).

Auch der Winkel <5 der resultierenden Fugenkraft Rx gegen die Normale zur Fuge kann aus

«X

mit

Tx —Vx cos cp — H sin cp

10

leicht ermittelt werden. So hat man für die Gesamtbelastung im Falle c) H= 1701,63 + 87,61 = 1789,24 t, Vx = 562 + 25,04 = 587,04 t, Nx = 1792,08 + 91,02 = 1883,10 t,

Tx = 587,04 • 0,9474 — 1789,24 • 0,3202 = — 16,753 t,

16,753

6 = — 0° 31' ,

tg ä — —

was weit unter den gebräuchlichen Reibungskoeffizienten und entsprechenden Reibungswinkeln von Steinen liegt. Bezüglich der Gelenke siehe §§ 14, 17, Aufgabe 11 und Beispiele 24, 25. Die größten Schubspannungen in den Fugen können wie in Beispiel 8 und noch einfacher nach der Formel § 9, 13)

1883,10

= — 0,008 896,

Tx

11

2 bh

berechnet werden (vergl. die Beispiele 64 und 65). Die Bestimmung ihrer Grenzwerte nach § 11 ist für praktische Zwecke jedenfalls überflüssig, abgesehen eventuell von den Gelenken, bezüglich welcher auf § 14 und Beispiele 20, 21 zu verweisen ist.

Aufgabe 11. Größe und Richtung der resultierenden Kämpferreaktion. Für Dreigelenkbogen soll Anleitung gegeben werden: a) Zur Ermittlung der Grenzwerte des resultierenden Kämpferdruckes R; b) zur Bestimmung der Grenzwerte des Winkels ö, welchen R mit der Bogenachse oder mit der Normalen zum Kämpferquerschnitt einschließt.

Für beliebige Belastung hat man nach § 19, 4), 5) die Vertikalreaktion, Horizontalreaktion und resultierende Kämpferreaktion bei 0:

l ¹

V—~2P(l — a),

i[’fr„ ₊ W-4

i? = yV² + #2,

und nach § 1, 11), 9), 10) bei 0 für den Winkel (5 von R mit der Bogenachse oder der Normalen zum Kämpferquerschnitt sowie den Winkel if> von R mit der horizontalen Abszissenachse:

tg 6 = tgw - cp) = -?5> ₌ Jcos v-¹¹ sin y.

S    o r r)    y gm ,jp _j_ cog

V

'R

Fig. 102.

worin gp den Winkel der Bogenachse bei 0 mit der Abszissenachse bedeutet.

a) Größe der Kämpferreaktion. Da nach 1, 2 oder den Einflußlinien von V, H (Fig. 98) die Grenzwerte dieser Größen bei möglichst starker Belastung des ganzen Trägers und Eigengewicht allein eintreten, so gilt nach 3 das gleiche für die resultierende Kämpferreaktion R. Für gleichmäßig verteilte Verkehrslast ist der Fall damit erledigt. Da ferner zu V Lasten von 0 bis m größere Beiträge liefern als solche von m bis l, während zu H Lasten von 0 bis m und von m bis l gleich stark beitragen, so sind bei Belastung durch Radlastzüge zur Erzielung der größten Kämpferreaktion R besonders auf der ersten Trägerhälfte möglichst große Lasten anzunehmen.

Zu weiterer Übersicht kann man den Beitrag einer Einzellast P = 1 zu R an beliebigen Stellen a des Trägers feststellen. Da für P = 1 nach 1 allgemein

und wenn a <^m H — ~~., wenn a m H =

—, so liefert 3:

für a <( rn

2 12 Tf2' ’

-|/i+

„    a^> m

Die Differentiation von R² nach 6 ergibt:

l — a

4 f¹ '

d a —{“ 2 ——

wonach — 0 ist und der Beitrag zu R ein Minimum erreicht bei nachstehendem a = u während das Minimum selbst den aus 6 folgenden beigesetzten Wert hat.

2 Rd r = —

4 r¹

a = jtt =

72 ’

2 f V1 +

Die Linie der Beiträge von Lasten P = 1 zu R für das anschließende Beispiel 23 ist in Fig. 103 verzeichnet, für beliebige P sind die Beiträge P mal so groß. Zu beachten ist jedoch, daß die Beiträge der einzeln P sich nicht einfach addieren, da sie nicht von gleicher Richtung sind. Es kann also für eine Gesamtbelastung die Linie der Beiträge R nur dann wie eine gewöhnliche Einflußlinie zu unmittelbarer Berechnung von R verwendet werden, wenn man nichts dagegen hat, R etwas zu groß zu erhalten. Wohl aber läßt sich stets auf Grund jener Linie die ungünstigste Stellung eines Radlastzugs genügend genau beurteilen, worauf der entsprechende Wert von R aus der für beliebige Belastung gültigen Gleichung 3 mit F, H nach 1, 2 folgt (Beispiel 23).

Richtung der Kämpferreaktion. Da in Gleichung 4 <p konstant ist, so treten die Grenzwerte von 5 zugleich mit den Grenzwerten von ty ein. Gehen wir von irgend einer Belastung aus, der die Werte Va, Ha von V, H entsprechen mögen. Kommt dann an beliebiger Stelle a eine Last P hinzu, welche für sich Werte Vp, Hp von F, H erzeugen würde, so hat man nach 5:

zu Anfang tg if>a =

Va

zu Ende tg =

Ha ’

so daß die Änderung von tg durch die Last P:

Ba VP - JIP Va Ha(Ha + HP) '

A — tg ip — tg tya =

Für eine Einzellast P bei a ergibt sich also: A und die Änderung von ö positiv,

wenn

L,. + vp

Ha + BP ’

1)

<5 gleich Null,

'II

?>

(5 negativ,

A II V

rH

Da nun nach 1, 2:

für a m

rp

Hp

13

VP

14

für a^> m

so lassen sich nach 10 bis 12 die Belastungen für die Grenzwerte von <S, feststellen, worauf diese selbst aus 4, 5 folgen.

In praktischen Fällen kann man jedoch weit einfacher verfahren. Für

= oo, so daß Lasten in der Nähe von 0 zufolge 10 positive

Hp

a — 0 ist nach 13

VP

Sp

Beiträge zu (5, ip liefern. Lasten zwischen m und l dagegen pflegen negative Beiträge zu erzeugen, wie schon daraus hervorgeht, daß für eine beliebige auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last gemäß § 19, 19):

Vq _ 4 f

Ha

und für eine wie in Aufgabe 13 parabolisch begrenzte Last

Vq ₌ e + 2s 8 f Ha e -f- 5 s l ’

Vp

während -==- nur den Wert 14 hat. Wir brauchen also obiges Verfahren jeden-

falls nur auf der ersten Trägerhälfte, und zwar von a — 0 bis zu demjenigen Angriffspunkt a anzuwenden, bei welchem die Bedingung 10 erfüllt zu sein aufhört (vergl. Bemerkungen zum Beispiel 25).

Ist der Beitrag des Eigengewichts zu stark überwiegend (Gewölbe,

Betonbogen, Eisenbetonbogen, chaussierte Eisenbrücken), so darf man in 11 die vom Eigengewicht allein herrührenden Werte Ve, He von V, H an Stelle von V„, Ha setzen und erhält mit 13:

l — a 2 f _ re

He ’

woraus der Grenzpunkt der positiven und negativen Beitragsstrecken für <S, ip\

15

1+-1ÜL*

T 2 f He

Für ein auf die Spannweite gleichmäßig verteiltes Eigengewicht wäre wegen = -y- der Grenzpunkt bei v — während in Wirklichkeit v kleiner zu sein pflegt (Beispiele 24, 25).

Beispiel 23. Größte resultierende Kämpferreaktion bei bewegten Rad-lastzügen (Donaubrücke bei Inzigkofen).

Für die in den Beispielen 18, 19, 20, 21 behandelte Donaubrücke bei Inzigkofen sollen ermittelt werden: a) Die Linie der Beiträge einer Last P — 1 an beliebigen Stellen n zur resultierenden Kämpferreaktion E; b) der größte Wert von E pro m Breite beim Befahren durch die in Fig. 97 angedeuteten Radlasten und um 1 m von diesen beginnendes Menschengedränge von 0,46 t pro m, wenn die Vertikalreaktion des Kämpfers und der Horizontalschub durch das Eigengewicht allein V = 90,50 t, H = 183,83 t betragen (Beispiel 18).

a) Linie der E für P— 1. Da im vorliegenden Falle

43 ²

4 /-    4 • 4,468 ²

so sind nach den Gleichungen 6, 7 der Aufgabe 11 die Ordinaten der Linie E:

bei a = 0

= 23,155 ,

GO

23,155

tV>+ »

9

5 ₁/~7

¥V¹⁺    25

= 1,062

23,155

- = 1,418

23,155 • 9

- = 1.910

2,457

B =

Zwischen m und l verläuft die Linie gerade. Die Gleichungen 8 der Aufgabe 11 ergeben den Ort und Wert des Minimums zwischen 0 und m:

24,155

- = 1,780 m

17,7

43

2,5 5t

./kk-

20,5m,

= 0,979 .

...............

2*4,468 y 24,155

Die Linie ist in Fig. 103 verzeichnet.

1,418

1,910

2,457

b) Größter Wert von R. Nach dem in der vorigen Aufgabe unter a) Gesagten tritt das größte R bei der in Fig. 103 ange-    Flg' ¹⁰³’

deuteten Verkehrsbelastung ein. Da alsdann für die Verkehrslast allein:

V• 43 — 0,46 (17,7 • 34,15 + 20,5 • 10,25) — 2,5 • 24,3 — 5 • 21,5 = 0, 12,63 • 21,5 — H-4,468 — 0,46 • 17,7 • 12,65 — 2,5 • 2,8 = 0,

so bat man für die Gesamtlast:

V = 90,500 + 12,627 = 103,13 t ,

V = 12,627 t H = 36,142 t

H — 183,827 + 36,142 = 219,97 t ,

R = y 103,13 ² + 219,97 ² = 242,95 t .

Der zweite Grenzwert von R tritt für Eigengewicht allein ein:

R = y 9Ö,50² + 183,8# = 204,90 t.

Bemerkungen. Bei gleichmäßig verteilter Verkehrslast tritt der Maximalwert von R zugleich mit den Maximalwerten von V, H ein. Bei bewegten Radlastzügen trifft dies im allgemeinen nicht zu. Man würde dann R aus den Maximalwerten von V, H etwas zu groß, das heißt zu ungünstig erhalten, was jedoch meist zulässig ist. Im vorliegenden Falle hätte sich mit Rücksicht auf Beispiel 21 ergeben:

R = yi06,06 ² + 219,97 ² = 244,20 t,

anstatt wie oben R = 242,96 t. — Auch der Maximalwert der Normalkraft N0 (Nx für x — 0) ist nur wenig von dem Maximalwert von R verschieden, aber etwas kleiner. Für den vorliegenden Fall wurde er in Beispiel 21 festgestellt N₀ = 240,57 t.

Beispiel 24. Grenzrichtungen der resultierenden Kämpferreaktion bei gleichmäßig verteilter Verkehrslast (Pruthbrücke bei Jaremcze).

Für den in Beispiel 22 behandelten Dreigelenkbogen (an Stelle der Pruthbrücke bei Jaremcze) ergaben sich die Vertikalreaktionen der Kämpfer und der Horizontalschub durch das Eigengewicht allein:

Ve — 2216,90 t,

Es sind die Grenzwerte des Winkels ö der resultierenden Kämpferreaktion R mit der Bogenachse oder der Normalen zum Kämpferquerschnitt bei 0 für den Fall zu berechnen, daß die Verkehrslast pro m der ergriffenen Strecke 6 t beträgt.

Für den Grenzpunkt der positiven und negativen Beitragsstrecke gilt des überwiegenden Eigengewichts wegen ohne weiteres Gleichung 15 der vorigen Aufgabe. Sie liefert:

67,62

67,62    2216,90

36,243 T701,63

He = 1701,63 t .

v- m-i 2

Fig. 104.

Da die statischen Momente einer gleichmäßig verteilten Verkehrslast von jo pro Längeneinheit auf der Strecke 0 bis v in Hinsicht der Gelenke l und 0 (Fig. 104):

sp{i~a)=Pv{i-~y

- = 19,71 m .

■i

so folgen aus § 19, 4), 5) die Vertikalreaktion bei 0 und der Horizontalschub durch die Verkehrslast von 0 bis v allein:

r=pv i —

11 =

2 l) ’

Mit diesen Ausdrücken und den für gleichmäßig verteilte Last von 0 bis l

geltenden § 19, 19) erhält man die Vertikalreaktion bei 0 und den Horizontalschub durch die Verkehrslast von v bis l allein:

v = — (i — D²,

2 1.

Im vorliegenden Falle ergeben diese Gleichungen für die erste Belastung:

19,n 2 • 67,62

F = 6-19,71 1 —

II —

P (7² - 2 ?>²) .

= 101,02 t,

= 32,16 t,

_    6 • 19.71²

71 — 4-18,1215

und für die zweite Belastung:

6 - 47,912 2-67.62

- = 101,83 t,

if =

67,62 ²

6

2 • 19,71²

= 157,08 t.

8 • 18,1215

Einschließlich der Beiträge des Eigengewichts hat man für die erste Belastung:

V    = 2216,90 + 101,02 = 2317,92 t,

und für die zweite Belastung:

V    = 2216,90 + 101,83 = 2318,73 t,

H = 1701,63 + 32,16 = 1733,79 t,

H = 1701,63 + 157,08 = 1858,71 t.

Mit diesen Werten erhält man nach Gleichung 4 der vorigen Aufgabe für den größten positiven (oder kleinsten negativen) Winkel <5:

tg ö =

2317,92-0,5537 — 1733,79-0,8327

2317,92-0,8327 + 1733,79-0,5537

= — 0,05546 ,

6 = — 3° 10'

und für den größten negativen (oder kleinsten positiven) Winkel <5:

tg 6 =

2318,73-0,5537 — 1858,71-0,8327

2318,73-0,8327 + 1858,71-0,5537

= — 0,08915 ,

<5 = — 5° 6'.

Da der Winkel der Bogenachse mit der Horizontalen = 56° 23', so sind die Grenzwerte des Winkels y — cp ö der resultierenden Kämpferreaktion mit der Horizontalen:

= 51° 17'.

i/> = 53° 13' ,

— 3° 10' und — 5° 6' 5° 12' ergeben

Bemerkung. Will man mit gleichmäßig verteilten Verkehrslasten anstatt tatsächlich wirkender konzentrierter Lasten rechnen, so sind natürlich die Lastäquivalente p eher zu groß als zu klein zu wählen. Dabei ist zu beachten, daß ein Äquivalent, welches für einen Grenzwert genügt, für einen andern zu klein sein kann. So wären für den Fall des nächsten Beispiels die Lastäquivalente von V und H im ersten Belastungsfall 5,9 und 5,3 t, im zweiten Falle 5,0 und 5,6 t, während für (5 kaum p — 6 t genügt, da wir oben 3 erhielten, während sich im nächsten Beispiel 3 = — 3° 9' und werden.

Beispiel 25. Grenzrichtungen der resultierenden Kämpferreaktionen bei konzentrierten Verkehrslasten (Pruthbrücke bei Jaremcze).

Für den in den Beispielen 22, 24 behandelten Dreigelenkbogen (an Stelle der Pruthbrücke bei Jaremcze) ergaben sich die Vertikalreaktionen der Kämpfer und der Horizontalschub durch das Eigengewicht allein (Beispiel 22):

He = 1701,63 t .

Ve = 2216,90 t,

Es sind die Grenzwerte des Winkels S der resultierenden Kämpferreaktion R mit der Bogenachse oder der Normalen zum Kämpferquerschnitt bei 0 für den Fall zu berechnen, daß

Verkehrslasten

bei

P= 27

a = 3,7475    8,6225    16,4975    18,3725    19,9975 m „

27

27

18

usw.

auf den Träger wirken können.

Es kommen die Beziehungen der Aufgabe 11 zur Verwendung. Für den Grenzpunkt der positiven und negativen Beitragsstrecke ergibt sich wie im vorigen Beispiel:

Im Hinblick auf die gegebenen Angriffspunkte der Yerkehrslasten P tragen also die Lasten von a = 0 bis 18,3725 m in positivem Sinne, die Lasten von a = 19,9975 m bis l in negativem Sinne zu ö bei. Die Gleichungen 1, 2 der Aufgabe 11 (S. 96) mit Werten der Tabelle des Beispiels 44 liefern für die Verkehrslast allein im ersten dieser Belastungsfälle:

₆-¹-— ( 1724,557 + 1592,932 + 14(31,307 + 886,435 ) — 98,57 t,

H = -^1— ( 101,182 + 232,807 -f 364,432 + 330,705 ) = 28,40 t,

und im zweiten derselben:

- — 28,40 = 146,83 t .

V = 180 — 98,57 = 81,43 t, 3175,419 184215

Einschließlich der Beiträge des Eigengewichts hat man im ersten Belastungsfall:

V    = 2216,90 + 98,57 = 2315,47 t,

und im zweiten Belastungsfall:

V    = 2216,90 + 81,43 = 2298,33 t,

H = 1701,63 + 28,40 = 1730,03 t,

II = 1701,63 + 146,83 = 1848,46 t.

Mit diesen Werten erhält man nach Gleichung 4 der Aufgabe 11 für den größten positiven (oder kleinsten negativen) Winkel (S:

2315,47-0,5537    1730,03-0,8327

2315,47 -0,8327 + 1730,03-0,5537

und für den größten negativen (oder kleinsten positiven) Winkel S: tg <5 =

tg ö =

= — 0,05493,

<5 = — 30 9',

2298.33- 0,5537 — 1848,46-0,8327

2298.33- 0,8327 + 1848,46 • 0,5537

= — 0,09108,

ö = — 5° 12'.

Da der Winkel der Bogenachse mit der Horizontalen cp — 56° 23', so sind die Grenzwerte des Winkels ip — cp -f- 6 der resultierenden Kämpferreaktion mit der Horizontalen:

ip = 53° 14',

Bemerkungen. Hätte man den Grenzpunkt v der positiven und negativen Beitragsstrecke nicht, mit Rücksicht auf das Überwiegen des Eigengewichts, wie im vorigen Beispiel berechnen können, so wäre das andere in Aufgabe 11 gegebene Verfahren zu verwenden gewesen. Hach diesem hat man, entsprechend den Gleichungen 10 bis 13, mit Berücksichtigung der Tabelle des Beispiels 44 für a = 3,7475 m :

= 51° 11'.

£ II

Ve _ 2216,90 II,. ~ 1701,63

= 1,30,

1724,557    .36,24.3

67,62    101,18V

25,51

2,79>1'30;

für a = 8,6225 m :

2216,90 + 25,51

1701,03 + 2,79

2242.41

1704.42

= 1,32 ,

1592,932    36,243

67,62    "232,807

23,56

6,42

> 1,32;

für a — 13,4975 m :

2242,41 + 23,56

1704,42 -(- 6,42

2265,97

1710,84

= 1,32 ;

1461,307    36,243

67,62    364,432

für a

21,61

10,05

> 1,32 ,

18,3725 m:

2265,97 + 21,61 _ 2287,58 1710,84 + 10,05 ~ 1720,89

= 1,33 ,

886,435    36,243

67.62    330,703

13,11

9,12

- > 1,33 ;

für a = 19,9975 m:

Va _ 2287,58 + 13,11    2300,69

Ha ~    1720,89 + 9,12    “ 1730,01

428,602    36,243 _    6,34

67,62 ~    179,977 _ ~ 4,97

Hiernach tragen die Lasten bis einschließlich a — 18,3775 m in positivem Sinne, die Lasten von a — 19,9975 m an in negativem Sinne zum Winkel <S bei. Man sieht, daß sich Va : Hn nur wenig geändert hat, so daß man ohne weiteres den Anfangswert Ve:He hätte beibehalten können, worauf die Gleichung 15 der Aufgabe 11 beruht.

= 1,33 ,

= 1,28 < 1,33 .

Aufgabe 12. Vorzeichen der Momente von Dreigelenkbogen bei gleichmäßig verteilter Last.

Zu beweisen, daß für symmetrische Dreigelenkbogen von kreissegmentförmiger oder halbellipsenförmiger Achse, einschließlich der Halbkreisbogen, bei beliebiger auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilter Last nur negative

Momente Mx auftreten, deren numerischer Maximalwert bei;/ — liegt¹. Auch

sind diese Maximalwerte selbst anzugeben.

Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit hat man nach § 19, 21) bei Dreigelenkbogen von beliebiger Achse:

mx — y 0 — *)

yV\

if\’

und mit § 19, 8) bei solchen von parabolischer Achse:

yi² _

X (l — x),

Für andere als parabolische Bogen wird demnach Mx positiv oder negativ, die resultierende Schnittkraft Rx greift oberhalb oder unterhalb der Achsschicht an, je nachdem bei x die Ordinate y kleiner oder größer als für den Parabelbogen von gleichen l, f ist (in den Gelenken x = 0, m, l gilt stets Mx = 0). Die Achse des geradlinigen Bogens Fig. 92 beispielsweise liegt vollständig unter derjenigen des parabolischen Bogens von gleichen l, f, so daß für ihn nur positive Momente entstehen. Die Achsen der kreissegmentförmigen und halbellipsenförmigen Bogen dagegen liegen vollständig Mber der Achse des parabolischen Bogens von gleichen l, f, wonach für diese nur negative Momente auftreten (immer mit den Grenzwerten Mx = 0 in den Gelenken).

Das numerische Maximum von Mx entsteht nach 1 an der Stelle, wo

oder

31 x = 0 .

d Mx

dy

= tg gp — (/ — 2 x)

4/-

Diese Bedingung ist erfüllt für geradlinige Bogen wegen § 19, 16) bei x =

l    f

—, für Kreissegmentbogen wegen § 19, 10), 11) bei y = für Halbellipsenbogen

wegen § 19, 15) bei y = -y, also in allen drei Fällen bei y = --Maximum selbst ergibt sich nach 1 für geradlinige Bogen

' 2

für Kreissegmentbogen wegen § 19, 9), 11)

y = L

J ₂

Das numerische

mit

mit

x (l — x) =

Iß

für Halbellipsenbogen wegen § 19, 14):

i²

X (l — x) = —

H.r =

H /²

32 ’

Mx = -

f

Für Halbkreisbogen stimmen natürlich die Werte 4 und 5 überein (^mit f =    ).

mit

16 ’

Hl ²

Mx - ~    32

Aufgabe 13. Dreigelenkbogen mit parabolisch begrenzter Belastung. Steil und flach ansetzende Bogen.

Für symmetrische Dreigelenkbogen zu berechnen: a) Die Vertikalreaktionen ¹ Briefliche Bemerkung des Herrn Dipl.-Ing. Paul Tezner in Budapest.

V der Kämpfer, den Horizontalschub H, sowie die Vertikalkraft Vx und das Moment Mx in beliebigen Querschnitten x durch eine beliebige parabolisch begrenzte Belastung (Fig. 105); b) die Bogenachse für den Fall, daß sie mit der Stützlinie für eine solche parabolisch begrenzte Belastung zusammenfallen soll.

a) Die Werte der Summenausdrücke 2 in den allgemeinen Gleichungen für die angeführte Belastung wurden in Aufgabe 9 festgestellt. Wir erhalten damit unter Beibehaltung der Bezeichnung

n = e — s == b — c

nach § 19, 4), 5), 8), 2) die verlangten Größen:

11 =

72

77t - ~

Fig. 105.

48 f ’

Vx = V-ex + ~r, x² (3 7    2 .r) ,

e x² , n „

AT + aü* (2l_jr)-

Hiermit sind nach § 19 auch Nx, Tx und alle anderen Beanspruchungen für die in Frage stehende Belastung bestimmt.

b) In den Gleichungen 4, 5 sind die Koordinaten x, y auf die Bogenachse bezogen (§ 1), die aber beliebig geformt sein kann. Verlangen wir nun, daß sie mit der Stützlinie für obige Belastung zusammenfällt, so folgt aus 5 mit Mx — 0 (§ 8) die Gleichung der Bogenachse:

Mx = Vx — Hy —

o.

'l

771

Fig. 106.

‘2

und die Tangente ihres Neigungswinkels bei x:

d y

tl X

In diesen Gleichungen sind F, II durch 2, 3 bestimmt; sie liefern beispielsweise:

lg 9p =

Vx —

=Mr

2 11

X 2 (37 — 2 ,r)j =    .

für

(Kämpfer)

(nahe d. Bruchfuge)

(Scheitel)

y ==

25 e + 71 s 7

e -j- 5 s

16

tg <P =

und speziell wenn -- = 0 (Grenzfall):

y —

e + 11 s

e -j- 5 s

15

16

lg SP

>•

wenn

121

87

256

112

tg SP =

32 f

171 f 56 l

13

wenn

1 (Grenzfall):

0'

■FS

—is.

4/-

tg 9»=

Die den drei Fällen ^ —0, *, 1 entsprechenden Bogenachsen sind in Fig. 106 für einen Bogen angedeutet. Die Winkel cp lassen sich leicht mittels ihrer gegebenen Tangenten auftragen.

Ist es also zulässig, bei Dreigelenkbogen aus Stein, Beton etc. das Material und die Anordnung (insbesondere des Aufbaues) so zu wählen, daß für die maßgebende Belastung eine geeignete Stützlinie entsteht, die als Bogenachse dienen soll, so lassen sich durch Wahl parabolisch begrenzter Belastung von kleinerem oder größerem Verhältnis s : e mehr oder weniger steil ansetzende Bogen erhalten. Dies kann z. B. aus ästhetischen Gründen oder mit Kücksicht auf das nötige Durchflußprofil erwünscht sein. Bekanntlich stimmt nach Tolkmitt und Färber die am wenigsten Material bedingende Achse eines Dreigelenkbogens aus Stein, Beton etc. häufig genügend genau mit der Stützlinie für Eigengewicht plus halbe gleichmäßig verteilte Verkehrslast auf der ganzen Spannweite überein. Wenn es auf etwas Material nicht ankommt, kann man auch die Stützlinie für Eigengewicht allein als Bogenachse wählen, womit in diesem am längsten annähernd zutreffenden Belastungsfall alle Querschnitte (Fugen) gleichmäßig beansprucht sind.

Bemerkungen. Soll die Bogenachse mit der Stützlinie für eine beliebige gegebene Belastung übereinstimmen, so hat man nach § 19, 2):

X

2 P (x -

>/ = -

V.x —

«)]

tgy

Vx

worin V, H derselben Belastung entsprechen und durch § 19, 4), 5) bestimmt sind. Über die Werte der Summenausdrücke 2 für besondere Belastungsarten siehe § 18.

Nachdem die Bogenachse bekannt ist, können die Schnittkräfte Nx, Tx, Rx und Schnittmomente Mx, sowie bei bekannten Querschnitten die Normalspannungen a₀, u« und alle sonstigen Beanspruchungen auch für jede andere Belastung berechnet werden. Das gleiche gilt für die Grenzwerte der Schnittkräfte, Schnittmomente und sonstigen Beanspruchungen bei bewegter Last. Sind die Querschnittsabmessungen teilweise unbekannt, so lassen sie sich je nach den gegebenen Größen auf Grund der Schnittkräfte und Schnittmomente oder ihrer Grenzwerte erhalten, beispielsweise die Gurtungsquerschnitte bei gegebener Entfernung der Gurtungsschwerpunkte (§ 8), oder die Fugenstärken von Bogen aus Stein und Beton, wenn Zugspannungen nicht auftreten sollen (§ 28).

Beispiel 26. Zur vorigen Aufgabe.

Für einen Dreigelenkbogen aus Beton von l = 48 m Spannweite und f — 6 m Pfeil der Achse soll letztere der Stützlinie für parabolisch begrenzte Belastung durch Eigengewicht plus halbe gleichmäßig verteilte Verkehrslast auf der ganzen Spannweite entsprechen. Hierzu seien gegeben: Eigengewicht im Scheitel 1 m Betonhöhe gleich 2,3 t pro qm, ganze Verkehrslast p = 0,6 t pro qm. Die Belastung e pro qm bei den Kämpfern und die Bogenachse zu bestimmen, wenn die Ordinate der letzteren um ¹/s der Spannweite von den Kämpfergelenken entfernt y = 3 m betragen soll.

Wir fassen 1 m Bogenbreite ins Auge. Für die Berechnung der Bogenachse beträgt die Belastung pro m im Scheitel:

s = 2,3 +    = 2,6 t .

die Ordinate der Bogenachse y — 3 m sein soll, so liefert die Zusammenstellung der vorigen Aufgabe S. 103:

7 - o 256 ’

Da nun bei x =

25 g + 71 ♦ 2,6

<? + 5 • 2,6

7,61

= 3,31 m Beton-

Hiervon kommen auf das Eigengewicht 7,61 t pro m oder 2 3 höhe. Weiter hat man nach der gleichen Zusammenstellung die Ordinate der

Bogenachse bei x = ~ :

5 • 7,91 + 19-2,6 3-6

7,91 + 5-2,6

16= 4d9m,

und für den Winkel der Bogenachse bei den Kämpfern mit der Horizontalen:

7,91 + 2 • 2,(! 8 • 6 7,91 +5-2,6 Ts

= 0,6270 ,

cp = 32° 5' .

0 und für x = ~ U — f, tg cp = o, so könnte die Bogenachse

Da für x = 0 y

hiernach mitunter schon genügend genau verzeichnet werden. Auch liefert die Zusammenstellung S. 103 noch tg cp bei x = ^ und ^.

Um jedoch die Bogenachse möglichst genau zu erhalten, setzen wir für die maßgebende Belastung nach 1, 2, 3 der vorigen Aufgabe:

n = 7,91 — 2,6 = 5,31 t ,

n _    5,31

TA — "T-48²

= 0,000 768 2 ,

48

V = (7,91 + 2 - 2,6) - ° = 104>88 t, H = (7,91 + 5 • 2,6)

48²

48-6

= 167,28 t,

womit nach Formel 6 der vorigen Aufgabe die Gleichung der Bogenachse:

'    [104,88 .r

3,955 x³ + 0,000 768 2 x³ (96 — x)] ,

167,28

und nach 7 die Tangente ihres Neigungswinkels bei x:

llrW [¹⁰⁴’88 — 7’91 x + 0,003 0728 x² (72 — x)\ .

Den letzten Ausdruck hätten wir auch durch Differentiation des vorhergehenden erhalten können.

tg sp =

Beispiel 27. Einsenkungen eines Bogens mit drei Gelenken (Donau-briicke bei Munderkingen).

Für die Betonbogen der Donaubrücke bei Munderkingen¹ ist die Spannweite l = 50,6 m, der Pfeil der Achse f = 5,04 m (Lichtweite 50 m, Pfeil der Gewölbelaibung 5 m). Unter Voraussetzung voller Wirksamkeit der an den Kämpfern und im Scheitel angebrachten Gelenke zu berechnen:

a)    die Scheitelsenkung durch Temperaturänderungen um z = + 25° C, wenn der Ausdehnungskoeffizient des Betons wie bei der ursprünglichen Berechnung a — 0,0000088 gesetzt wird;

b)    die Scheitelsenkung durch eine Änderung der Spannweite um Al = 0,0027 m und eine Senkung des Kämpfergelenkes l gegen das Kämpfergelenk 0 um 0,0009 d. h. für Ale — — 0,0009 m, wie auf Grund der Drücke in den Widerlagern angenommen wurde;

c)    die Scheitelsenkung durch eine gleichmäßig verteilte Last von 6400 kg auf den Quadratmeter Horizontalprojektion des Gewölbes (wie sie die feste Last bei dem vorausgesetzten Gewichte des Betons von 2300 kg pro Kubikmeter im Mittel ergeben würde), wenn der Bogen parabolisch und der mittlere Elastizitätsmodul für die angenommene Belastung pro qcm E= 220000 kg wären.

a) Nach § 19, 38) ist die Scheitelsenkung durch eine Temperaturänderung

um z ⁰:

50,6 2 4 • 5,04

•)-

(f+ -fy'j = — 0,0000088 z ^ 5,04 +

25° e — — 29 mm (Hebung),

— 25° e.

b) Für die angeführten Lagenänderungen der Kämpfergelenke hat man nach § 19, 39):

— 0,001162 r m = — 1,162 r mm,

also speziell für z = „ * =

29 mm (Senkung).

IM Ak 50,6-2,7    ,    0,9

—-----= 7,2 mm .

4-5,04    ^    2

c) Die elastische Scheitelsenkung durch irgend eine Belastung eines parabolischen Gewölbes von konstantem (mittleren) J cos cp wäre nach derjenigen der Formeln § 19, 33)—37) zu berechnen, welche der fraglichen Belastung ent-

¹ v. Leibbrand, Betonbriicke über die Donau bei Munderkingen, Stuttgart 1894 (aueb Zeitschrift f. Bauwesen 1894).

spricht (vergl. die Beispiele 34, 47, 48, 49, 97 und VI M). Bei beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten hätten die Formeln des § 48 zur Verwendung zu kommen (vergl. Beispiele 39, 96, 99). Im vorliegenden Falle läßt sich nach A 15, 18) (S. 109) näherungsweise setzen:

ul⁴

32 Ebhf² *

Nun beträgt die angenommene gleichmäßig verteilte Last pro qm = 6400 kg.

Da ferner die mittlere Höhe des Bogens genügend genau h = 1,2 m ist (bei einer Veränderlichkeit zwischen 1 und 1,4 m), so erhalten wir als Näherungswert für jene Belastung bei parabolischer Achse:

G400 • 50,6 ⁴

32 • 220 000 • 100 ² • 1,2 • 5,04 ²

= 0,0221 m = 22,1 mm .

Aufgabe 14. Einsenkungen von Dreigelenkbogen durch Temperaturänderungen und Stützenbewegungen.

Die Einsenkungen des Zwischengelenks beliebig geformter und gegliederter Dreigelenkbogen mit gleich hohen Kämpfergelenken und Zwischengelenk in der Mitte durch gleichmäßige Temperaturänderungen t, kleine Änderungen A l der Spannweite und Änderungen A k der Stützhöhen zu ermitteln.

Bezeichnen I, f, L die Spannweite, Höhe des Zwischengelenks über den Kämpfergelenken und Entfernung des ersteren von letzteren im anfänglichen

Zustande, so hat man (Fig. 107):

P

f² = V- T-

■-« Tritt eine unendlich kleine Änderung von L bei konstantem l ein, so liefert 1:

ly

■l

a~—~

Ir

Fig. 107.

2fdf=2LclL.

Diese Gleichung gilt auch noch für genügend kleine endliche Änderungen A f. A L, wofür also:

Einer Temperaturänderung t entspricht A L — az L, und da die Einsenkung-e = — Af\ so folgt:

e = — cc t

iß

= — a v f f

Eine unendlich kleine Änderung der Spannweite bei konstantem L ergibt nach 1:

2 Idl

2fdf=-

wonach bei genügend kleiner endlicher Änderung Al mit e= — Af:

lAl

Daß eine Änderung der Stützhöhen um A k, d. h. eine Erhöhung der Stütze l gegen die Stütze 0 um A k oder eine Senkung der Stütze 0 gegen die Stütze l um A k für das Mittelgelenk die Einsenkung

Ak

liefert, ist unmittelbar ersichtlich.

Die vorstehenden Resultate müssen sich natürlich auch speziell für parabolische Dreigelenkbogen von konstantem J cos cp und für stabförmige Dreigelenkbogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten sowie für Dreigelenkbogenfachwerke ergeben (vergl. §§ 45, 48 und Aufgabe 36).

Aufgabe 15. Über schätzungsweise Berechnungen von Einsenkungen.

Es sollen diejenigen Einsenkungen in der Mitte symmetrischer Bogen bestimmt werden, welche lediglich durch eine gleichmäßige Längenänderung der Bogenachse (abgesehen von sonstigen Formänderungen) bei gleichbleibender Spannweite bedingt wären, wenn die Achslänge vor wie nach der Einsenkung

s-*(1 + 1Tü)

gesetzt werden kann (vergl. Beispiel 28). Auch ist für letzteren Fall die Einsenkung durch eine Änderung A l der Spannweite ohne Änderung der Achs-länge 8 oder sonstige Einwirkungen anzugeben. Sodann sind möglichst einfache brauchbare Formeln für die Einsenkung von Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne Gelenk anzugeben.

_ 16 f -

Gebräuchliche unrichtige Formeln. Aus a folgt durch Differentiation bei konstantem l

df.

Diese Beziehung müßte unter obigen Voraussetzungen a auch für genügend kleine endliche Änderungen von s gelten. Setzen wir demgemäß As und Af = — f an Stelle von ds und df, so ergibt sich die zuerst verlangte Einsenkung:

16 f

Man hat diese Gleichung mitunter angewandt, um die Einsenkung durch Temperaturänderungen und gewisse Belastungen zu berechnen. So hätte man im Falle der Gültigkeit von b) für eine Temperaturänderung r mit As = axs:

r_

S CI % = CI X

2 ⁺ TffJ ’

und für eine gleiche und gleichmäßige Druckbeanspruchung aller Bogenquerschnitte von ff pro Flächeneinheit mit A s =--- s:

16 f

16 f E

Gleichung c ist schon deshalb nicht richtig, weil mit Temperaturänderungen bei Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenke auch Biegungsmomente Mx verbunden sind, die bekanntlich auch ohne Achsialkraft (Balkenträger) erhebliche Einsenkungen zur Folge haben können, während für Bogen mit drei Gelenken die obige Bestimmung von ds durch Differentiation wegen der Winkelbildung beim Zwischengelenk nicht zulässig ist. Gleichung d hat auch wenig Wert, weil eine Belastung, welche gleiche Normalspannungen in allen Querschnittelementen des ganzen Bogens erzeugt, nicht leicht vorkommt. Man pflegt bei dieser Annahme an symmetrische Parabelbogen mit gleichmäßig auf die ganze Spannweite verteilter Last zu denken und nur eine Schätzung der Einsenkung zu beanspruchen. Allein, ohne künstliche Überhöhung der Bogen (Aufgabe 17) treten auch bei jener Belastung Biegungsmomente auf (abgesehen vom Dreigelenkbogen).

Zur Ableitung der unter a weiter verlangten Formel differentiieren wir Gleichung a bei konstantem s und erhalten:

all

ec. CO

oder

0 = dl +

16 f

8 fn-

dl,

df, dl treten:

und wenn A f = — e und Al an

Al.

.16 f 21

Auch diese dem obigen unrichtigen Vorgehen entsprechende Formel ist deshalb praktisch kaum zu verwerten, weil mit Änderungen A l der Spannweite bei Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk auch Änderungen der H, Nx, Mx, ff usw. eintreten, während für Bogen mit drei Gelenken wieder die Äbleitung der Formel durch Differentiation unzulässig ist.

Neuere richtige Formeln¹. Die Scheitelsenkungen für beliebige symmetrische Belastungen von Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne

Gelenk sind aus §§ 19, 20, 21, 45, 48 zu entnehmen (Beispiele 27, 34, 39, 47, 48, 49, 96, 97, 99 und IV M)\ hier handelt es sich nur um Formeln für möglichst einfache Berechnungen, soweit die Beziehungen für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos <p verwendbar sind¹.

Durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit hat man (über c, s siehe am Schlüsse des § 19):

u i*

60~e7 ’

bei 3 Gelenken

e = £ -----

5 ti

1 + £    384: Ec ’

_    u Ü

g ~ 1 + 6 e 7617c '

Durch eine in der Trägermitte wirkende Einzellast P entstehen:

1 + 16 e pp

480 E c ’

3 + 128 £

e —----

1 + E

_ 1 + 96 E PJ3 C ~~ 1 + 6 £ 3072 Ec

Für schätzungsweise Berechnungen kann in 1—6 bei flachen Bogen e nach § 19, 42)—46) und c gleich einem mittleren Trägheitsmomente J gesetzt und oft noch s im Nenner vernachlässigt werden (s. auch unten). Besonders für Gewölbe pflegt e klein zu sein, so für die in Beispiel 27 behandelte Munderkinger Brücke 0,0088, für das in Beispiel 63 angenommene Wiener Bruchsteinversuchsgewölbe 0,00259, für die Beispiel 22 zugrunde gelegte Pruthbrücke bei Jaremcze 0,00102. Mit Rücksicht auf die Kleinheit von e erkennt man nach 1—6, daß sowohl durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last als durch eine in der Trägermitte wirkende Einzellast die Einsenkung e bei Bogen mit drei Gelenken am größten ist. Für Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk ist sie

im ersten Falle etwa ^ und mal so groß, im zweitenJFalle etwa undmal

so groß als unter sonst gleichen Verhältnissen bei Bogen mit drei Gelenken. Vergl. die Einflußlinien Fig. 136.

Eine Temperaturänderung r (fürZunahme r positiv) erzeugt die Einsenkungen: bei 3 Gelenken

bei 3 Gelenken

PI 3

6144 E c ’

) ’

G ,    25    ?3 \

1287 lTe)’

V 64 f 1 + 6e) ’

„ o

Vielfach kann hierin e vernachlässigt werden.

Durch eine Änderung Al der Spannweite (für Zunahme Al positiv) und eine Änderung der ursprünglich gleichen Höhenlage der Stützpunkte um A k (bei höherem Stützpunkt l ist A Ic positiv) ergeben sich

bei 3 Gelenken

Al-

2 ’

251 Al Ak

e ~ 1287 r+"5⁻ vr

_ 15 7 Al Ak

if

10

11

64 f 1 -f- 6 £

12

worin ebenfalls häufig e vernachlässigt werden darf. Die Einsenkung durch eine

¹ Die Einsenkungen sind wesentlich dnrch die Momente Mx bedingt, welche ihrerseits stark von der Acbsform abhängen. Siehe die Bemerkungen am Schlüsse des Beispiels 42 und die Vergleiche in oben zitierten Beispielen, sowie in § 51.

Änderung Al der Spannweite wächst in allen drei Fällen mity-, so daß bei flachen

Bogen verhältnismäßig große e durch A l bewirkt werden können.

Da bei Bogen vom Pfeile f = 0 durch eine Änderung der Achslänge oder eine Achsialkraft Nx keine Einsenkung entsteht, so müssen die für Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk gültigen Ausdrücke von e für f — 0 (womit s = co ², vergl. § 19, 40) in die entsprechenden Gleichungen für einfache Balken mit beiderseits frei drehbaren bzw. festgespannten Enden übergehen. Dies trifft für unsere vorstehenden und in §§ 20, 21 gegebenen Formeln zu, nicht aber für obige Ausdrücke b bis e.

In manchen Fällen lassen sich die erhaltenen Gleichungen noch weiter spezialisieren. So kann man für genügend flache Bogen rechteckigen Querschnitts (Gewölbe etc.) entsprechend § 19, 45) näherungsweise setzen:

5 iß

13

biß

C = J COS 9D =

12 ’

32 f² ’

unter b, h Mittelwerte der Breite und Höhe des Querschnittes verstanden. Damit gehen die Gleichungen 1—3 in die folgenden über:

bei 3 Gelenken

U i*

32 Ebhp ’

14

25

1 + £ 1024 E b h f²

15

15

uß

16

*    1 + 6e 512 Ebhf* '

Ferner kann man für genügend flache Gitterbogen und Blechbogen, unter Vernachlässigung des Beitrags der Füllung, mit § 19, 46) näherungsweise setzen:

_ 15 iß 8 _ 32 f²" '

worin F, h Mittelwerte der Summe beider Gurtungsquerschnitte und ihrer Schwerpunktsentfernung bedeuten. Damit folgen aus 1—3:

f iß

C — J COS Cp — —-g—

17

bei 3 Gelenken

ul4.

32 F. Ff¹

18

19

25

l + e 1024 EFf * ’

20

15

⁸    1 + 6e 512 EFf²

Selbstverständlich lassen sich gerade in diesen für Schätzungsrechnungen bestimmten Gleichungen meist die s in den Nennern vernachlässigen.

Für die in der Folge mehrfach behandelten Bogen der älteren Koblenzer Brücke beispielsweise liefert 19 mit l — 11 f — 98,0775 m, F = 2 ■ 0,08455 = 0,1691 qm bei Vernachlässigung von e:

= 0,007 415 u mm ,

25 w • 11² • 98,0775 ²

---m

1024 • 2 000 000 • 100 ² • 0,1691

während eine genauere Berechnung in Beispiel 34 ergeben wird e = 0,007203« mm. Für Vollbelastung mit « = 7169 kg erhalten wir nach diesen Ausdrücken 53 mm und 52 mm.

Beispiel 28. Berechnung von Bogenlängen.

Es sollen die Längen symmetrischer Parabelbogen und Kreisbogen von der Spannweite l und dem Pfeile f verglichen werden für -- = -J0~,    ₂ - Sodann

sind die Bogenlängen der älteren Koblenzer Brücke, für welche l — lif— 98,0775 m ist, für beide Fälle zu berechnen.

Genau genommen hat man (Fig. 108) für den Parabelbogen:

y*²+i6f²+4/-

.9 =

IV“+W«+ Wr

logn

■j/z² + 16 f² — 4f

und für den Kreisbogen: mit

s = 2rcp₀

sin (p₀ — --

r-

+f )

Für genügend flache Bogen kann man in beiden Fällen setzen:

2 >■ ’

S,

8 f²

s = ? + ^r-

Pfeilverhältnis    —

den Parabelbogen:

V 1,16 + 0,4

y 1,16 - 0,4

für den Kreisbogen mit r — 1,3 l und sin cp₀ =

Fig. 108.

io '

Man erhält für

= { Vbl6+ -₈L1ogn

= 1.02606 7,

2,6 •

<p₀ = 22° 37' 12“ =

22,62 • 3,14159

180

= 0,394 793,

ff = 2 • 1,3 • 0,394 793 7 = 1,02646 7,

während nach 3 näherungsweise:

1,02667 7.

Es liefern hiernach beispielsweise

für

Gleichung 1)

2)

3)

1= 25    50    100    200    m:

s = 25,65    51,31    102,61    205,21    „    (Parabel)

s = 25,66    51,32    102,65    205,29    „    (Kreis)

s = 25,67    51,33    102,67    205,33    „    .

Pfeilverhältnis { =

5-

Es ergeben sich für den Parabelbogen:

y 1,64 + 0,8 |/ 1,64 — 0,8

für den Kreisbogen mit r — 0,725 7, sin «po = y^r:

„ •    „    43,6028 • 3,14169

cp₀ = 430 36' 10" =    ’

s = 2 • 0,725 • 0,761012 1 = 1,10347 7,

l „/- ,    57 ,

S = -₂-yi,64+ i^logn

= 1,098 23 7,

180

= 0,761 012,

und näherungsweise:

1,10667 7.

Es liefern demnach beispielsweise

l = 25 s = 27,46 s = 27,59 ■ s = 27,67

für

50

100

Gleichung 1)

2)

3)

54,91

55,17

55,33

200 m:

109,82    219,65    „    (Parabel)

110,35    220,69    „    (Kreis)

110,67    221,33    „    .

Pfeilverhältnis — =

Wir erhalten für den Parabelbogen:

ys+2

y 5—2

= 1.47894 7,

für den Kreisbogen mit r = 0,5 l, sin cp₀ — 1 (Halbkreis):

cp₀ = 90° =

s = 2 • 0,5    1,57090 l = 1,57096 l,

1,06667 l.

während 3 liefert:

Es ergeben danach beispielsweise: für

90 • 3,141592

180

= 1,57096,

s-?(1 + iy) ⁼

1= 25 a = 36,97 s = 39,27 s = 41,67

50 .    100

73,95 78,55 83,33

Koblenzer Brücke: Es folgen mit f= l/ll = 8,91614 m aus Gleichung 1:

Gleichung 1)

2)

3)

200 m:

147,89    295,79    „    (Parabel)

157,10    314,19    „    (Kreis)

166,67    333,33    „    .

= 4,45807 y 137 + -\]r 98,0775 logn

Y 137 + 4

— 100,198 m,

137 — 4

und aus den Gleichungen 2:

(VH)

8,91614 = 139,314 m,

sin <p₀ = -c

98,0775 2    139,314

(p₀ = 20° 36' 35" =

20,6097 3,1416

180

= 0,359 71,

während 3 liefert:

s = 2‘ 139,314 • 0,359 71 = 100,225 m, s = 98,0775 0 + -*,j \ = 100,239 m,

das ist 0,041% mehr als im ersten und 0,014% mehr als im zweiten Falle.

Es stimmen

Häufig liegt y in der Nähe von Ä und fast immer unter 1-.

dann die Resultate der Formeln 1, 2, 3 genügend überein, um in vielen praktischen Fällen eine an Stelle der andern verwenden zu können.

den Kräfte.

Aufgabe 16. Dreigelenkbogen bei beliebigen Richtungen der angreifen

Die Vertikalreaktionen V, V‘ und Horizontalreaktionen iT, H‘ der Kämpfer symmetrischer Bogen mit drei Gelenken für den Fall anzugeben, daß nicht nur Lasten, sondern beliebig gerichtete äußere Aktivkräfte in der Trägerebene wirken.

Für die Stützenreaktionen, Schnittkräfte und Schnittmomente gelten die

Gleichungen der Aufgabe 1 (S. 7), worin nun wie in § 19:

h — 0,

so daß die Vertikalreaktionen der Stützen (Fig. 109):

V =^-\2P(l-a) + 2Qb],    2

l Lo    o J

i?H, 3 0 .1

während ohne Änderung bleiben :

1 r l

V‘= \2Pa

i Lo

M = M‘ = 0,

0,

x o \y

M/\ii t>2 j

Jf    dj a? ■ • ■ X

M'

E'

Fig. 109.

V+ V‘ = 2 P, H — H‘ = 2 Q. 4 o    o

Gleichung 3 der Aufgabe 1 liefert für x = ~ = m, wo y = f:

woraus die Horizontalreaktion bei 0:

H= — \vi 2 f L

2a) + 22Q(f-b)],

1 *

V‘ =    2 Pa,

l o

H‘ =

H — 1P —

P(l

— «)

i r m    l    m    -i

2P« + 2P(l-a) + 22Q(f-b)\ 2 T L o    m    o    J

und wenn auch die P symmetrisch zur Trägermitte liegen, wegen 2Pa = 2 P{l-a)

_    Om

(vergl. S. 79):

o Ms

10

v — v‘ — P,

i rm    m    -i

= j[2jPa + 2Q(f-b) J

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrierte Last, so ist dem Begriffe der Sym-

m

metrie entsprechend nur die Hälfte derselben in die Summen 2 P von 10, 11 aufzunehmen.

Es wirke nur auf eine Trägerhälfte ein nach der Mitte gerichteter Horizontaldruck von v pro Höhen ein heit von f, während Hp den von der Vertikalbelastung allein herrührenden Teil der Horizontalreaktionen darstellt. Dann hat man nach 2, 3, 6, 7 bei Wirkung der v auf die zweite Trägerhälfte (vergl. § 18):

II = H‘

11

f

= ’ß

o

bdb =

r f²

2Q(2f- l)

und damit:

=,yW

0

-»«»ne.

V‘ =

21

3 fv

cC

rH rH

PC — PP — v f.

Wenn dagegen der Horizontaldruck auf die erste Trägerhälfte, also im Sinne der Aufgabe 1 in negativer Richtung wirkt, so erhält man:

l    m

2 Qb = 2

Qb = —

bdb =

fl

Q(2f-b) = -

f

rf(2f

0

— b) d b = —

3 vf²

und mit diesen Werten:

-- 2 P (l - a) -I 0    2 l

V‘ = —

V

r« + -TT’

15

H = sP~IiL

B‘ = Hp+±f-

16

H - H' = - v f.

In den Gleichungen 13, 16 hat man nach 6, 7 bei beliebiger Belastung:

und speziell bei symmetrischer Belastung:

17

18

19

ferner mit Rücksicht auf § 19 für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit:

HP =

20

und für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u' pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Hälfte der Spannweite:

w + «' p

21

np =

Da nun Mx, Nx, Tx nach Aufgabe 1 berechnet werden können, so lassen sich nach §§ 8, 9 auch alle Normalspannungen und Schubspannungen erhalten. Die Kämpferdrucklinien für vertikale und horizontale Aktivkräfte wurden in Aufgabe 3 abgeleitet. Für Vertikalkräfte, die unabhängig von Horizontalkräften sind (Lasten), bleiben selbstverständlich die ungünstigsten Belastungen wie in § 19 bestimmt.

16 f

§ 20. Einfache Bogen mit zwei Gelenken.

Der Bogen habe nun zwar Kämpfergelenke in gleicher Höhe, aber kein Zwischengelenk (Fig. 110). In diesem Falle gelten in § 1:

Tc = 0.

Die Vertikalreaktionen der Kämpfer werden nach § 1, 4), 5) wie bei Bogen mit drei Gelenken:

V=\2P{l—a),

während der Horizontalschub H durch die statischen Gleichungen des § 1 nicht bestimmt ist, sondern aus Beziehungen für die elastischen Deformationen ermittelt werden muß. Er zeigt sich dann von der Form der Bogenachse und der Veränderlichkeit des Querschnitts abhängig.

Das Moment und die Vertikalkraft in einem beliebigen Querschnitt x lassen sich nach § 1, 3), 8) und 2), 7) wie bei Bogen mit drei Gelenken ausdrücken:

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

F'= ,2 Pa,

Toi

a,x a: --- x

TW-i

ll

y'

Fig. 110.

-2Pa + ~ 2P(l-a) — Hy, 3

:o    L x

Vx=V—2P= — \2Pa + \-2P(l-a),

o    ^ o    ^ x

und für die Normalkraft bei x gilt wie immer:

Nx = Vx sin (p -\- H cos cp.

Auch für die in §§ 1, 8, 9 gegebenen Ausdrücke der Transversal kraft T resultierenden Schnittkraft Px, Normalspannungen a, a₀, ou, Schubspannungen t usw. treten keine Änderungen ein. Man hat also z. B. bei vollwandigen Trägern mit symmetrisch zur Achsschicht angeordneten Querschnitten die Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement (zwischen welchen die Werte aller übrigen o des Querschnitts liegen):

W _ M

F W

Mx ----- Vx — Hy — 2P(x — a) 0

°o

Mx

<*u =

x'*

W ’

unter F den nutzbaren Querschnitt, unter TT⁷ das Widerstandsmoment desselben verstanden.

Verschiedene Formen.

Bezüglich der Gleichungen der Bogenachse und ihrer Bichtungs-winkel wird auf das im vorigen Paragraphen Gesagte verwiesen (S. 77). Wir fassen hier nur symmetrische Parabelbogen mit konstantem (mittlerem) J cos cp («/Trägheitsmoment, cp Winkel der Bogenachse mit der Horizontalen) symmetrische Halbkreisbogen von konstantem / und Bogen mit beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten spezieller ins Auge. Inwiefern diese Fälle genügen, ist in § 43 besprochen, während die Ableitungen der gegebenen H in §§ 41, 42, 47 zu finden sind. Über Kreisbogen siehe auch Aufgabe 31.

Für symmetrische parabolische Bogen vom Mittelwerte c des Ausdrucks /cos cp hat man nach § 42, 18) den durch eine beliebige Belastung erzeugten Horizontalschub:

2Pa(l — a) (l² -f la — a² — ß l²)

(l + *)8 fl³ o

während eine beliebige Temperaturänderung % bewirkt (für Zunahme t positiv):

15 Ec (1 + e)8f²

und eine Änderung der Spannweite um Al bedingen würde (für Zunahme A l positiv):

11 =

15 E c    Al

(1 + e) 8/

In diesen Ausdrücken wie in der Folge gilt für e die Gleichung § 19, 40), während mit r nach § 19, 11)

3 y r — f

ß=

r²

10

Man hat beispielsweise für die ältere Koblenzer Brücke von l = 98,0775 m, f = 8,91614 m,

y²— (Beispiel 30):

£ = 0,045633,

ß — 0,004992,

für Öffnung IV der Cannstatter Neckarbrücke von l — 48 m, f = 4,505 m, ~ (Abscbnit VI, B):

£ = 0,012063,

10,3

ß = 0,001411,

für die Maria-Pia-Briicke über den Douro in Portugal von l — 160 m

/ = 42,65 m

(Beispiel 95):

0)/0

£ = 0,004287,

ß = 0,005447

für das Gewölbe der Pruthbrücke bei Jaremcze von l = 67,62 m, /’= 18,1215 m,

(Beispiel 44):

3,73

£ = 0,00102,

ß = 0,00132

und für das Wiener Bruchsteinversuchsgewölbe von l = 23,758 m f= 4,502 m,

ß = 0,001390.

5728 (BeisPiel 63): t = 0,002590,

Schon hieraus läßt sich schließen, daß ßl² in 7 fast immer vernachlässigt werden kann, womit für beliebige Belastung:

11

(l + .WP ffa (* - °) (⁽² + la ~ a*> '

Bei vorläufigen, überschlägigen und die Widerlager betreffenden Berechnungen darf in 7—9 neben ß meist auch e vernachlässigt werden, womit aus 7 oder 11 entsteht:

H =    2 P a (l - a) (P + la- <P) ■

Hierin ist

¹⁹

Wird statt der letzteren, nicht sehr veränderlichen Größe deren durch die Methode der kleinsten Quadrate bestimmter Mittelwert:

— «-) d a = -- P 6

in a eingeführt, so folgt die Näherungsformel:

QX l

TjTTir 2 P a (l «) •

4 ofl o

Für symmetrische Halbkreisbogen vom Mittelwerte J des Trägheitsmoments liefert § 41 durch beliebige Belastung:

P + la —    = P

k;

— !>

16

P.

l

L J\p + ia

12

H=-^r2Pa(² — d),

durch eine Temjieraturänderung x allein:

16 E J

71 l²

und durch eine Änderung der Spannweite um A l:

16 EJ

n P

Uber andere Kreisbogen siehe Aufgabe 31.

Bogen mit beliebiger Achsform und beliebiger Veränderlichkeit des Querschnitts denken wir uns durch Querschnitte oder sonst

11=

13

H= —

Al.

14

nach Lissabon

nach Porto

S7.37S

-x-

SSjO

awar.

-*

/5,135

Tg

35/85

*2/133

Tris&OJC

6Z,>h

Vergleichung#-

:1 M\y    f f f f ? i|Ä

j®___

Fig. 111.

geeignete Schnitte in eine genügende Anzahl gleich oder verschieden langer Felder geteilt, welche z. B. bei der in Fig. 111 angedeuteten Maria-Pia-Brücke über den Douro in Portugal natürlich mit den Fachwerkfeldern übereinstimmen würden. Die Achslänge o und die Mittelwerte von x, ?/, J für die einzelnen Felder (z. B. die Werte in den Feldermitten) mögen wie in Fig. 112 angedeutet bezeichnet sein. Beziehen sich dann in den folgenden Gleichungen die Summen 2 auf alle Felder zwischen den angesetzten Summengrenzen, so haben wir unter üblichen, aber nicht immer zulässigen Vernachlässigungen den von einer beliebigen Belastung herrührenden Horizontalschub:

7 <*y

ir~o$

771

Fig. 112.

11=

— (V«; — 2

tv V    o

s\ mit Se = iP(x — a)

1 ' 0

15

den Beitrag einer beliebigen Temperaturänderung x

H= ¹ Ea x,

IV

und den Einfluß einer Änderung der Spannweite um A l:

16

H= —

AL

17

In diesen Gleichungen sind nur von der Achsform und den Querschnitten abhängig, also für alle Belastungen usw. gleichbleibend:

L 0X1)

0 J

wenn jedoch, wie gewöhnlich, die Pelderteilung und Querschnitte zur Trägermitte symmetrisch angeordnet sind, auch:

18

w = 22-°^-,

0 •'

In §§ 46, 47 sind genauere Formeln für den Horizontalschub der Zweigelenkbogen von beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten abgeleitet. Die in § 47 vorgenommene Vergleichung der betreffenden Resultate für die Maria-Pia-Brücke mit den Resultaten der obigen einfacheren Formeln ergab Abweichungen von 0,5 bis 1 °/o. Bei flacheren Bogen können größere Differenzen entstehen. Auch geben die Abweichungen beim Horizontalschub keinen zuverlässigen Maßstab für die entsprechenden Abweichungen aller von ihm abhängigen Größen (vergl. die Beispiele 39 und 96).

v=l2

19

Verschiedene Belastungen.

Die bis jetzt angeführten Gleichungen gelten für beliebige Belastung. Eine Spezialisierung derselben für stetig verteilte Lasten kann nach der Anleitung in § 18 erfolgen, wo die Werte der Summenausdrücke 2 für wichtigste Fälle gegeben sind.

Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit erhält man:

V‘ = -

2

20

r*= u\i

Mx =~x(l — x) — Hy ,

worin für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos (p:

21

22

~ß

u i²

23

1 + *    8f'

für symmetrische Halbkreisbogen von konstantem J:

24

II =

und für Bogen von beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten :

l V — z —r-U .

2 w

In 23 kann ß fast immer, £ jedoch im allgemeinen nur für vorläufige, überschlägige und die Widerlager betreffende Berechnungen vernach-

11 =

25

lässigt werden (§ 43). In 25 sind unter den Voraussetzungen der Formel 15 w, v durch 19 oder 18 bestimmt und

26

4t oyx¹

z = 2 -

bei symmetrischer Felderteilung und symmetrischen Querschnitten hat man jedoch auch unmittelbar:

lv — z

= 12

ff x y

ay x'¹

27

und daneben w nach 19.

Wirken auf der ersten und zweiten Trägerhälfte verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit, dann ergeben sich:

3 u —j- u‘

28

V‘ =

und für Querschnitte x auf der ersten Trägerhälfte (die Berechnung dieser genügt für praktische Zwecke):

29

Vx — V — u x,

30

Mx=Vx — Hy — -

Hierin gelten für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos cp:

U -f- u' ₇₂

ist ¹

31

l +£

für symmetrische Halbkreisbogen von konstantem J:

H=

l,

32

und für vollständig symmetrische Bogen mit beliebiger Achsform und beliebigen Querschnitten :

33

H=

Bezüglich der Vernachlässigung von ß, e und der Werte von w, v, z gilt das oben nach 25 Gesagte.

Für eine beliebige zur Trägermitte symmetrische Belastung erhalten wir aus 1 wie in § 19 (S. 79):

///

34

V=V' = 2P,

und speziell für den symmetrischen Parabelbogen von konstantem J cos (p nach 11 auf dem S. 79 gezeigten Wege:

(! + .)«)(* + »<»—■).

für den symmetrischen Halbkreisbogen von konstantem J nach 12:

H=

35

11=

nt

7t l- Z

2Pa (! — a).

36

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrierte Last, so ist dem Begriffe

in

der Symmetrie entsprechend nur die Hälfte derselben in A aufzunehmen.

Der Beitrag einer Einzellast P an beliebiger Stelle a zum Horizontalschub PL ergibt sich für den Parabelbogen von konstantem J cos cp und den Halbkreisbogen von konstantem J, wenn man einfach in 7, 11 beziehungsweise 12 das Summenzeichen A wegläßt. Für Bogen von beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten hat man:

a(l — x) y

11 =

(i

a nx 11    ¹

a)2^- + a2

0    a

.)

37

Ist die Anordnung der Querschnitte und Felder symmetrisch zur Trägermitte, dann wird bequemer:

38

also insbesondere:

für a<-₂

+•??)

39

ii & ßp

Alle drei Gleichungen liefern:

für a =

11 =

/ v axy

\ o

40

Z o_xy .. J '

H =

Für eine beliebige symmetrische Belastung ist bei Parabelbogen

l    tu

in 7, 11 und für Halbkreisbogen in 12 A=2A, während alsdann bei

0 0

vollständig symmetrischen Bogen von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten nach § 47, 4) (wie oben Glieder mit F vernachlässigt):

JO

41

11 =

2 ay iv o

(xV-Sx) =

FA

a xy

ay

Sx

42

und in beiden Fällen gemäß § 49, 1), 5), 17) gesetzt werden können:

V= AP

43

bei a = x angreifende Last P nur in einer der Summen A und A berücksichtigt werden darf.

Falls die Bogenachse wirklich parabolisch ist, nicht nur so annähernd, daß man die für parabolische Bogen gültigen Ausdrücke des Horizontalschubes verwendet, so folgt aus 22 mit 23 und § 19, 8) für eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit auf der ganzen Spannweite:

Mx =

₂x(l — x)

44

und aus 30 mit 28, 31 und § 19, 8) für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Hälfte der Spannweite:

1 + e

Bei Vernachlässigung von ß, e liefert die Gleichung 44:

--X .

45

Mx = 0

und die Gleichung 45:

U 11'

" 4 X l 2

wonach die Stützlinie (§ 8) im ersten Falle nahe der Stabachse liegt und im zweiten die letztere annähernd in der Trägermitte scheidet.

Mx =

Kämpferdrucklinie. Kernlinien.

Die Umhüllungslinien U, U‘ der Kämpferdrücke sind Punkte, sie fallen mit den Mittelpunkten der Kämpfergelenke zusammen (§ 2). Für die Schnittlinie S der Kämpferdrücke ist nach § 2, 1) mit M — 0 die Ordinate b bei Abszisse a:

46

worin V, H die durch eine Einzellast P bei a erzeugten Werte der Vertikalreaktion bei 0 und des Horizontalschubes bedeuten.

Für symmetrische Parabelbogen von konstantem J cos cp hat man nach 2, 7:

V— P

5 Pa (l — a) (p -f-1 a — «² — ß l²)

(1 + 0 8/P

Die Gleichung der Schnittlinie S wird damit:

(1 + e) fl²

5 J² + Za — a² — ßl²

worin ßl² jedenfalls wegbleiben darf (S. 115). Für die Zwecke, welchen die Kämpferdrucklinie dient (§§ 10, 11), kann jedoch meist auch s vernachlässigt werden, so daß dann:

47

fl²

48

und beispielsweise (Fig. 113): für a= 0

3l

4-

1,600    1,442    1,347    1,296    1,280.

H = -~-₂- Pa (I — a)

V= P

Bei Berücksichtigung von e wären diese Werte mit 1 -j- e zu multiplizieren. Für symmetrische Halbkreisbogen von konstantem J ergeben 2, 12 l — o

§ 20. Einfache Bogen mit zwei Gelenken, und damit 46 als Gleichung der Kämpferdrucklinie:

49

? = 0,7854 I.

Die Kämpferdrucklinie ist eine in der Höhe 0,7854 l über den Gelenkmittelpunkten liegende Gerade (Fig. 114), wie _

schon in Aufgabe 2 festgestellt ^ wurde.

l,6f

V,28f

l,6f\

Ttl

V'

Für Bogen von beliebiger symmetrischer Achsform und beliebigen Querschnitten hat man in 46 V wie im vorigen Falle und H durch 37—40 bestimmt, wonach allgemein¹: wa (l — ä)

Fig. 113.    '

(l — a) 2 GXy 0 J

' a (l — x) y

50

0,785il

und, wenn die Felder und Querschnitte zur Mitte symmetrisch angeordnet sind, auf der ersten Trägerhälfte:

iv

51

a (7 — a)

¹

ie die übrigen Formeln betreffend die Einsenkungen von Bogenträgern bereits in der zweiten Auflage dieser Schrift und zum Teil in der ersten Auflage von Luegers Lexikon (Artikel Einsenkung) gegeben.

²

ür

v axv

Fig. 114.

+ aS^f

a

Selbstverständlich verläuft die Kämpferdrucklinie im letzteren Falle symmetrisch zur Vertikalen durch die Trägermitte. Die Gleichungen 50, 51 der Kämpferdrucklinie genügen auch dann, wenn der Horizontalschub anstatt nach 15—17 nach den genaueren Gleichungen der §§ 46, 47 berechnet wird.

Für die Kernlinie gilt das in § 8 Gesagte. Man hat also z. B. bei symmetrisch zur Achsschiclit liegenden Querschnitten die Entfernungen des oberen und unteren Kernpunktes von der Stabachse:

52

während die Kernlinien bei vernachlässigter Füllung (Gitterbogen etc.) mit den Gurtungsschwerlinien zusammenfallen.

Grenzwerte bei bewegter Last.

Es gilt ohne Änderung das im vorigen § für Bogen mit drei Gelenken Gesagte. Da jedoch jetzt die Kämpferdrucklinie S einen andern Verlauf hat, so gewinnen die angeführten Konstruktionen der ungünstigsten Belastungen ein etwas andres Aussehen, Fig. 115 —117 treten an Stelle von Fig. 94—96.

¹ Formel 50 wie andre den Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten betreffende wurde erstmals publiziert und angewandt in dem Aufsätze: Weyrauch, Über die Berechnung der Dourobrücke, Zeitsehr. f. Baukunde 1879, S. 421.

Bei Bogen mit Kämpfergelenken allein haben nun aber auch die Temperaturänderungen einen Einfluß auf den Horizontalscbub H und

damit auf die Beanspruchungen

.    max.drurk oa -n a]ien Querschnitten. Es

-i--nun.dnuk er₀ ..

pflegen Abweichungen gegen die

Normaltemperatur bis etwa % = + 30° C berücksichtigt zu werden. Ein beliebiger Horizontalschub allein erzeugt nach 3, 5 bei x ein Moment und eine Normalkraft:

Fig. 115.

max. druck min. druck,

Mx — — Hy,

JSlx = Hcos (p.

Die entsprechenden Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement sind in dem gewöhnlichen Falle symmetrisch zur Achsschicht liegender Querschnitte nach 6:

53

&IO

Fig. 116.

cos cp

’iv)H

l COS cp , JJ \

{ F ~r W)

54

H.

Go =

Die Grenzwerte derselben entstehen also mit den Grenzwerten von H, d. h. für Temperaturänderungen mit H nach 8, 13, 16 oder entsprechenden

Formeln und den Grenzwerten von bei obiger Annahme mit % = 30° und % = — 30°. Diese Grenzwerte von o₀, ou sind mit den von der Belastung herrührenden Grenzwerten von o₀, au so zu kombinieren, daß möglichst ungünstige (möglichst weit auseinander gelegene) Grenzwerte im ganzen entstehen.

Durch 53, 54 sind auch die durch eine Änderung A l der Spannweite (Ausweichen der Widerlager) bewirkten Änderungen der Beanspruchungen bestimmt, wobei H aus 9, 14, 17 oder analogen Formeln folgt.

min. druck mcac.druck 0^

.'.y

Fig. 117.

<*» —

max. druck min, druck

Formänderungen.

Wir führen wie bei Bogen mit drei Gelenken nur die Einsenkung parabolischer Bogen von konstantem Jcos9) in der Trägermitte hier an, und verweisen bezüglich der sonstigen Formänderungen parabolischer Bogen auf § 45, bezüglich der Formänderungen von Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten auf §§ 40, 48.

48 Ec

Für symmetrische Parabelbogen von konstantem c — Jcos cp ist nach der Ableitung in § 45 unter Vernachlässigung von ß die von einer beliebigen Belastung herrührende Einsenkung in der Mitte:

pP(Z — 2 a)³ — 2P(l — a) (l² — 8 la -+ 4 a²) — 5 H fl* I , 55

worin H durch 11 bestimmt. Speziell für eine zur Trägermitte symmetrische Belastung hat man mit H nach 35:

56

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrierte Last, so ist dem Begriffe

m

der Symmetrie entsprechend nur die Hälfte derselben in 2 aufzunehmen.

°

Für eine Einzellast P in der Trägermitte folgt hiernach beispielsweise:

57

3 + 128« PI3 1 + e 6144 Ec '

Von 56 kann auch hei unsymmetrischer Belastung Gebrauch gemacht werden, wenn man berücksichtigt, daß die Einsenkung in der Mitte durch eine beliebige Belastung halb so groß ist als diejenige durch eine mittels Verdoppelung dieser Belastung hergestellte symmetrische Belastung.

Die Werte der Summenausdrücke 2 für stetig verteilte Lasten sind aus § 18 zu entnehmen. Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit folgt dann aus 56 mit 23:

58

s    5 uP

1 + e ”384 Ec ’

und für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte nach 55 mit 31:

59

£    u —|— u' hP

1+e    768 Ec ’

Selbstverständlich war auch in diesen Fällen ß zu vernachlässigen. Gleichung 59 führt mit u‘ = u wieder auf 58 und hätte umgekehrt aus 58 erhalten werden können.

Gleichung 56 liefert für H = 0 und Gleichung 57 sowie 58 für f= 0, £ = oo ², c = J bekannte Ausdrücke für einfache Balken mit frei drehbaren Enden¹. Bei Vernachlässigung von e würde diese notwendige Übereinstimmung wegfallen und z. B. bei beliebiger auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilter Last überhaupt keine Einsenkung sich ergeben (vergl. auch § 21 und S. 109).

Eine Temperaturänderung x (bei Zunahme x positiv) erzeugt die Einsenkung:

5 fP

60

H — axf,

¹ Vergl. Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 78, 80; Lueger, Lexikon der gesamten Technik, 2. Auflage, Bd. I, S. 520; Bd. III, S. 247.

mit H nach 8. Durch Einsetzen des letzteren Ausdrucks folgt:

(, ,25 l² \

aTV+ 128 fT+j)

Durch eine Änderung Al der Spannweite (bei Zunahme Al positiv) und eine Änderung Ah der anfänglich gleichen Höhenlage der Stützen (hei höherer Stütze l ist Ah positiv) würde entstehen:

hfl2 48 Ec

2 '

Hierin ist H durch 9 ausgedrückt, so daß auch:

62

25 7 Al 128 f 1 + e

Für Näherungsrechnungen kann £ in 61, 63 häufig vernachlässigt werden.

63

Beispiel 29. Berechnung eines Bogens mit zwei Gelenken (ausführlichere Berechnung solcher Bogen siehe VI. Abschnitt).

Die flußeisernen Binder einer Halle sind als halbkreisförmige Blechbogen mit Kämpfergelenken von l — 36 m Spannweite, F = 190 qcm nutzbarem Querschnitt symmetrisch zur Achsschicht, W = 4938 cm³ nutzbarem Widerstandsmoment und J— 226430 cm⁴ Trägheitsmoment ohne Nietabzug angeordnet (s. Bemerkungen am Schluß). Feste Last pro Meter Spannweite g = 700 kg, durch Schnee- und Winddruck können beliebige Strecken der Spannweite mit p = 500 kg pro Meter belastet werden. Es sind die Grenzwerte der vertikalen, horizontalen und resultierenden Kämpferreaktionen F, II, R, sowie der Normalspannungen o₍₎, au im obersten und untersten Element des Kämpferquerschnitts x = 0, des Scheitelquerschnitts x = m = 18 m und des in der Mitte zwischen diesen gelegenen Querschnitts x = 5,272 m (als Beispiel eines der übrigen Querschnitte, s. Bemerkungen) berechnet worden. Schließlich ist noch der Einfluß gleichmäßiger Temperaturänderungen x = + 30° gegen die Normaltemperatur auf die erwähnten Grenzwerte festzustellen.

f-\p

\7>

Ai

7n*r

Fig. 118.

NN

Y'

Allgemeines. Für einen Halbkreisbogen konstanten Querschnitts mit zwei Gelenken hat man durch beliebige Belastung nach § 20, 2), 12):

4    ¹

und durch eine beliebige Temperaturänderung r, sowie durch eine Änderung A I der Spannweite neben F=0 nach § 20, 15), 14):

JT mej

H nP

Die Gleichungen 1 liefern für eine beliebige gleichmäßig verteilte Last pro Längeneinheit auf der ganzen Spannweite nach § 20, 20), 24):

h =

l ¹

V= — 2P(l — a),

ui.

H— —

16JEJ 7t P

Al.

von u

u 1.

2 1!

V=~2 ’

und für eine gleichmäßig verteilte Last von p Pro Längeneinheit von 0 bis z (s. Bemerkungen):

Für die Normalspannungen im obersten und untersten Element eines beliebigen Querschnitts x hat man nach § 20, 6):

a₀ =

-V*'

Fe

Nx

au — -F

Fr

worin durch beliebige Belastung die Normalkraft:

mit

Nx — Vx sin <p -f- H cos cp

rx =

X

V-SP,

und das Moment:

Sp(*

0

Die Summe 2 in 6 bedeutet alle Lasten von 0 bis x, diejenige in 7 das statische Moment dieser Lasten in bezug auf den Achspunkt des Querschnitts x.

Die Kämpferdrucklinie S liegt nach § 20, 49) über den Gelenkmittelpunkten in der Höhe:

Mx = Vx — Hy —

- a) ■

— l = 0,7854 l .

Im vorliegenden Falle ist

b = 0,7854-36 = 28,274 m .

Zur Bestimmung der Belastungen für die Grenzwerte von a₀, au wählen wir das auf S. 81 erwähnte einfachere Verfahren.

Grenzwerte durch Belastungen. Die Grenzwerte von V, H, 1? treten für Vollbelastung (Eigengewicht plus Verkehrslast) auf der ganzen Spannweite und Eigengewicht allein. Wir erhalten nach 3:

V = 1200-18 = 21600 kg 2-1200-36 3-3.1116

H--

= 9167 kg

und damit:

V— 700-18 = I260O kg 9167 - L- = 5347 kg

R = y~ 21600³ + 916T³ = 23465 kg,

R = y 12 600² + 5347² = 13 688 kg .

Im Kämpferquerschnitt x = 0 ist bei Bogen mit Kämpfergelenken Mx — 0. Daher folgen aus 5 mit 6 in unserem Falle die Grenzwerte der Normalspannungen pro qcm:    _

ao — au —

Nx _ 21600 F ~    190

= 114 kg,

a₀ — ou — —

12 600

190

= 66 kg .

Im Querschnitt x = 5,272 m treten die Grenzwerte von a , an ein (Fig. 119), wenn die Verkehrslast einmal von 0 bis z, das andere Mal von z bis l wirkt, wobei z graphisch wie in Fig. 119 und analytisch wie folgt bestimmt ist:

5,272 12,728

Kur den ersten dieser Belastungsfälle ergeben sich mit Rücksicht auf 4:

11,711 2-36

(3 • 36 — 2 • 11,711) = 5347 + 950 = 6297 kg ,

1/    :i5\

o x....."z

-5,272

= 28,274

11,711 m .

Fig. 119.

V = 12 600 + 500 • 11,711 1 —

= 12 600 + 4903 = 17 503 kg ,

H — 5347 +

2-500-11,711^

3-3,1416-36²

und aus 6, 7 wegen sin q> = cos <p = -y = 0,7071:

Nx — (17 503 — 1200-5,272 + 6297) 0,7071 = 12 356 kg,

Mx = 17 503 • 5,272 — 6297 • 12,728 — 1200 ----- = — 6549 mkg,

womit nach 5:

ao =

12 356 _ 454900 4938

au = 65,0 + 92,1 = 157 kg .

190

— = 65,0 — 92,1 = — 27 kg,

Für den zweiten Belastungsfall erhalten wir:

V = 21600 — 4903 = 16 697 kg ,

II = 9167 — 950 = 8 217 „ ,

Nx = (16697 — 700• 5,272 + 8217) 0,7071 = 15007 kg,

= - 26287 mkg

Mx = 16 697 • 5,272 — 8217 • 12,728 — 700

und damit nach 5:

_ 15007 °° ~    190

2 628 700

4938

= 79,0 — 532,3 = — 453 kg

au = 79,0 + 532,3 = 611 kg .

Im Scheitelquerschnitt x — m = 18 m ist Nx = H. Die Grenzwerte von a₀, au bei unserem Halbkreisbogen treten ein (Fig. 120), wenn die Verkehrslast einmal von 0 bis l — b — 7,726 m und von b = 28,274 m bis l, das andere Mal von l — b = 7,726 m bis b = 28,274 m wirkt. Für die erste dieser symmetrischen Belastungen ergeben sich (bezüglich II mit Rücksicht auf 4):

V = 12 600 + 500 • 7,726 = 12 600 + 3863 = 16 463 kg ,

(3 • 36 — 2 • 7,726) = 5347 + 905 = 6252 kg,

f-\r

H = 5347 + 2

2 • 500 • 7,726²

3 • 3,1416 • 36²

o'i-b

bl

Mx = 16463 • 18 — 6252-18 — 700*18-9 — 500• 7,726• 14,137 = 15 787 mkg, 1578 700

Fig. 120.

°o =

6252

190

4938

= 32,9 + 319,7 — 353 kg,

au = 32,9 — 319,7 = — 287 kg .

Für die zweite Belastung erhält man:

F = 21600 — 3863 = 17 737 kg H= 9167 — 905 = 8262 „

Mx = 17 737»18 — 8262-18 — 700-18-9 — 500 3076100

10,274-

= 30 761 mkg

8262 , ; G° ~~ 190

4938

= 43,5 + 622,9 = 666 kg

au = 43,5 — 622,9 = — 579 kg .

Temperaturänderungen. Der Horizontalschub durch Temperaturänderungen ist nach 2 bei einem Elastizitätsmodul pro qcm von E— 2150000 kg

16-2150000-226430

3,1416 • 3600'-

a% — 191309 ct t kg .

Mit dem Ausdehnungskoeffizienten a = 0,0000115 folgt II — 2,200 t und für r = ± 30°:

H = ± 66 kg .

Auf die Vertikalreaktionen haben Temperaturänderungen keinen Einfluß. Dagegen sind mit Berücksichtigung der letzteren die Grenzwerte des Horizontal-schubs:

H = 5347 — 66 = 5281 kg ,

H = 9167 + 66 = 9233 kg ,

und die Grenzwerte der resultierenden Kämpferreaktionen:

B =y 12 600² + 5281² = 13 662 kg .

Für x = 0 haben die Temperaturänderungen nach 5 wegen Nx = V = 0, Mx = 0 keinen Einfluß auf die Normalspannungen. Dagegen erhält man mit r = 30° bei x = 5,272 m nach 6, 7, 5:

B = y 21600² + 92332 — 23491 kg

Nx = 66 • 0,7071 = 46,7 kg,

_ 46,7    84 000

Mx = — 66 • 12,728 = — 840.0 mkg ,

°o

190

— 0,2 — 17,0 = — 17 kg

4938

°u — 0,2 + 17,0 = 17 kg,

und bei x = m — 18 m :

Nx = H— 66 kg,

a₀ =

66

190

118800

4938

Mx = — 66 • 18 = — 1188 mkg, - = 0,3 — 24,1 = — 24 kg ,

au = 0,3 + 24,1 = 24 kg .

Die Normalspannungen für r = —-30° sind von gleichen Zahlenwerten und entgegengesetzten Vorzeichen wie für r = 30°.

Mit Berücksichtigung der Temperaturänderungen ergeben sich nun die ganzen Grenzwerte der Normalspannungen (negative bedeuten Zug) bei x — 0:

O₀ — au = 66 kg ;

«o — aw = kg ,

bei x = 5,272 m:

a₀ = — 453 — 17 = — 470 kg , au ⁼⁼

und bei x — m ■= 18 m:

611 + 17 =    628 „ ,

o₀ = — 27 + 17 = — 10 kg , 140 „ ;

au =

157 — 17 =

666 + 24 =    690 kg ,

353 — 24 =    329 kg ,

V=

au = — 579 — 24 = — 603 „ ,

a₀ =

au = — 287 + 24 = — 263 „ .

Bemerkungen. Man sieht, daß der Einfluß der Temperaturänderungen auf die Beanspruchungen verhältnismäßig gering ist, was an dem verhältnismäßig geringen Horizontalschub liegt. Gleiches gilt für etwaige kleine Bewegungen der Widerlager. Im vorliegenden Falle hätten wir durch eine Änderung der Spannweite um Al cm nach 2 mit dem schon oben berechneten Bruche gehabt:

Jl = —

191309

3600

also für Al — 1 cm H

— 30°.

— 53 kg, noch kleiner als für r Die Werte y, sin cos <p für den Halbkreisbogen sind nach § 19, 12), 13)

i    [ J 8/8/1,2cjti

mit r=- bestimmt durch die Gleichungen:

y — y X (Z — x) ,

CD 00

V

cos W = — . r

Für den behandelten mittleren Querschnitt zwischen IvämpferquerschnittundScheitelquerschnitt waren hiernach

x = 18 (1 — 0,7071) = 5,272 m

Die verwendeten Werte von F, W, J entsprechen dem in Fig. 121 angedeuteten Querschnitt, für welchen ohne Nietabzug mit dem aus dem deutschen Normalprofilbuch entnommenen Winkeleisenquerschnitt von 17,9 qcm:

sin cp =

y — 18 • 0,7071 = 12,728 m .

80cni

8 • 38,8³ — 13,6-37,6³ — 2,4-30,8³) = 226430 cm⁴

F= 77,6-1 + 17,9-4 + 2-25-1,2 = 209,2 qcm J— ² (25-40³ —

3 .

und mit Verschwächung durch die angedeuteten vier zweizölligen Niete :

F = 209,2 — 4 • 2 • 2,4 = 190,0 qcm

J= 226 430 — 4 • 2 • 2,4 • 38,8² = 197 526 cm⁴, 197 526

ir =

40

= 4938 cm³.

25cm Fig. 121.

Von den Formeln 4 hat sich die erste aus der Gleichgewichtsbedingung

VI — pz

die zweite in bekannter Weise (§ 18) aus 1 mit P — pda und

— ff) = V J'a 0 — «) da = ~ z¹ (3 l — 2 z)

ergeben.

Wir haben oben bei Bestimmung der Belastungen für die Grenzwerte von a₀, aH das einfachere Verfahren gewählt. Genauer wäre die Gerade zur Bestimmung der Lastgrenze z zu ziehen für a₀ durch den unteren, für au durch den oberen Kernpunkt des Querschnitts. Diese liegen im vorliegenden Falle

— = 26,0 cm

Je = —

4938

/•’

!ün

unterhalb und oberhalb des Achspunkts in der Querschnittsebene.

Beispiel 30. Horizontalschub eines parabolischen Bogens (Koblenzer

Brücke).

Bei Berechnung der älteren Koblenzer Brücke wurden für die symmetrischen Bogen mit Kämpfergelenken von l — 98,0775 m Spannweite und f = --- = 8,91614 m

Pfeil der Achse die letztere parabolisch, die Entfernung der Gurtungsschwerpunkte konstant h = 2,97214 m, und das Trägheitsmoment des veränderlichen Bogen querschnitts F unter Vernachlässigung der Fachwerkfüllung

v\

r'

Fig. 122.

J —F

ifl

depJ

Unter Aufrecht-

Mittel wert t/W

| M | H

I

0,35362

0,37615

0,37515

038950

0,39667

ss-

026820

^Mittelwert J-0,37366

0,36799

080920

0,36666

--126£2 V

033233

0,35656

0,36022

mis'o

0,38756

0,39028

0,38566

0,36580

0,36067

0,36621

0,33927

0    0,1    0,2    0,3    0,0    0,5 0,6    0,7 0,6    0,0    1,0

Fig. 123.

_ J _ 2,97214² _ ⁷ F “

angenommen, erhaltung dieser Annahmen, den Horizontalschub für beliebige Belastung und speziell für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last u wie auch für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Trägerhälfte auszudrücken. — Schließlich ist der Horizontalschub für beliebige Temperaturänderungen i und für kleine Änderungen A l der Spannweite anzugeben, wobei der Elastizitätsmodul £'= 2000000 kg pro qcm, der Ausdehnungskoeffizent a = 0,000012 und der Mittelwert von Jcos cp für Meter als Längeneinheit c = 0,36497 (vergl. Fig. 123) einzuführen sind¹.

Unter obigen Annahmen erhält man für Meter als Längeneinheit nach § 19, 41):

2,20840, nu

während mit l: f— 11 nach § 19, 11):

8f~ 2

Nun liefern die Gleichungen § 19, 40) und § 20, 10):

15 7

8 { rf J

125

— - l = 139,314 m .

15 >2,2084

130,398

139,314 >8,91614

= 0,045 63 ,

^=5

womit weiter folgt:

f    8 >8,91614 >0,045 63

5 • 130,398

= 0,004992,

5 • 11

6,57498

1,045 63 • 8 • l⁴

¹ Letztere Angabe gilt für die mittleren (ein Geleise tragenden) Bogen, während für die ihnen parallelen äußeren Bogen (auf welche nur je eine halbe Geleiselast gerechnet wurde) c geringer ist.

"(1 + e)8 fP

und nach § 20, 7) der Horizontalschub durch beliebige Belastung:

⁶’⁵'⁵⁰ 2 Pa {l — a) (0,995 I- + la — a') ,

¹ o

Für eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit hat man nach § 20, 23):

05 üt

__Ul2

1 + *' " Sf

_ 0,99584 11-98,0775 _ 1,045 63 S “ ’

II = 128,436 u ,

und für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten w, u' auf der ersten und zweiten Trägerhälfte nach § 20, 31):

II —

1 + b 16 f

H = 64,218 (u + u‘) .

128,436 U+₂W

Wie schon in § 20 erwähnt, läßt sich fast immer ß vernachlässigen (vergl. § 43). Dies trifft auch im vorliegenden Falle zu. Es treten dann in a, b, c die Zahlen 1 bzw. 128,973 und 64,486 an Stelle von 0,995 bzw. 128,436 und 64,218.

Zur Ermittelung der Beiträge von r und Al nach § 20, 8), 9) haben wir:

15 Ec

(i + B) 8 f*

womit der Horizontalschub durch eine Temperaturänderung x:

H = 164 648 000 • 0,000 012 • x = 1975,78 t kg ,

und der Horizontalschub durch eine Änderung A l der Spannweite:

164648000 98,0775

In b c sind w, u‘ pro Meter, in e ist Al in Metern einzusetzen.

15 • 2 000 000 • 100² • 0,364 97

1,045 63 • 8 • 8,916 11-

= 164648000

11= —

A l = — 1678 754 A l kg .

Bemerkungen. Unter Voraussetzung eines Kreisbogens von konstantem Querschnitt hätten wir anstatt d und e erhalten (Beispiel 93):

II = 1984,21 t ,

ff= — 1685960 A l ,

d. i. 0,43 % größer als oben für den Parabelbogen von konstantem J cos cp gefunden wurde.

Wenn wir dagegen die Formeln § 20, 8), 9) mit der gebräuchlichen Annahme e — 0 verwendet hätten, so würden sich ergeben haben:

H = 2065,93 x ,

d. h. um 4,56% größer als oben.

H = — 1721609 A l,

Beispiel 31. Einfluß von Temperaturänderungen (Koblenzer Brücke).

Für die Koblenzer Brücke (vergl. Beispiel 30) seien angenommen: Normaltemperatur 10° C, größte Abweichungen von derselben r = + 30°. Den Einfluß der Temperaturänderungen auf die Momente Mx, Normalkräfte Nx, Transversalkräfte Tx und Gurtungsbeanspruchungen O, U der mittleren (ein Geleise tragenden, s. die Fußnote S. 128) Bogen festzustellen und speziell für den Scheitelquerschnitt zahlenmäßig anzugeben.

Nach Formel d des vorigen Beispiels ist der Horizontalschub durch die Temperaturänderung r = +30°:

H = 1975,78 % = ± 59 273 kg ,

während die Vertikalreaktionen der Kämpfer durch r keine Änderung erleiden.

Nach § 20, 3)—5) und § 1, 10) entstehen durch einen beliebigen Horizontalschub H und speziell für r = 30° folgende weitere Änderungen:

= — 59273 y Hcos (p =    59273 cos <p kg,

AIx — H Nr =

Tx = — H sin 90 = — 59 273 sin 5p kg .

mkg,

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

Von den Kämpfern an bis zum Scheitel hin nimmt also Mx proportional y von 0 bis — 59258 f numerisch zu, Nx wächst von 59278 cos <p₀ bis 59273 kg, während Tx von — 59273 sin<p₀ bis 0 numerisch abnimmt.

Bei Berechnung der Gurtungsbeanspruchungen für die Koblenzer Brücke wurden die Gurtungsquerschnitte unterVernachlässigung der Füllung (Gitter) gesetzt

fo — fu — Da man alsdann zufolge § 8, 23), 24) für Bogen mit durchbrochenen

Wandungen von konstanter Höhe h hat:

_ Ae _ Ar

77

7/

Ae i -Ae 2    _l_ h ’

so folgen mit obigen allgemeinen Ausdrücken die von einem beliebigen Horizontalschub II allein herrührenden Gurtungskräfte:

B,

77 =

( cos cp y\

B,

und in unserm Falle mit h = 2,97214 m, x — 30 ⁰:

O — 29 636 cos cp — 19 943 y kg,

77 = 29 636 cos cp -(- 19 943 y kg.

Die größte Gurtungsbeanspruchung durch Temperaturänderungen tritt hiernach im Scheitel für den Untergurt ein. Man hat im Scheitel mit cp — 0, V — f — 8,91614 m:

O = — 148179 kg,

77= 207451 kg,

und da die Gurtungsquerschnitte daselbst f₀ = fu = 768,13 qcm, so sind die entsprechenden Beanspruchungen pro qcm:

148179 768,13 207451 768,13

Für x — — 30° wechseln mit H (siehe oben) alle weiter genannten Beanspruchungen einfach ihr Vorzeichen.

im Obergurt

im Untergurt

= — 192,9 kg (Zug),

=    270,1 „ (Druck).

Beispiel 32. Ausweichen eines Widerlagers oder Pfeilers (Koblenzer Brücke).

Infolge Nachgebens eines Widerlagers oder Pfeilers der älteren Koblenzer Brücke (vergl. Beispiel 30) möge die Spannweite l = 98,0775 m eines der mittleren (ein Geleise tragenden) Bogen um 0,02 m zugenommen haben. Es sind die hierdurch eingetretenen Änderungen der Momente, Normalkräfte, Transversalkräfte und Gurtungsbeanspruchungen festzustellen und speziell für den Scheitelquerschnitt und die Kämpferquerschnitte zahlenmäßig anzugeben.

Durch das Nachgeben des Widerlagers um Al — 0,02 m tritt nach der Gleichung e des Beispiels 30 eine Änderung des Horizontalschubs um

H = — 1678754 M = — 33575 kg

ein, während die Vertikalreaktionen der Kämpfer ungeändert bleiben. Die Änderungen der Momente, Normalkräfte, Transversalkräfte und Gurtungsbeanspruchungen beliebiger Querschnitte sind (vergl. Beispiel 30):

33575 g,

Mx=- Hy

Nx = H cos cp = — 33 575 cos cp kg ,

Tx = — H sin cp —    33 575 sin cp „ ,

O =    — — ¹⁶ 788 cos cp + 11297 y kg ,

= — 16 788 cos cp — 11297 y „ .

.r    AX    MX

¹ ~ 2    h

Speziell für den Scheitelquerschnitt hat man wegen y = f = 8,91614 m, cp = 0:

tx = o,

Mx — 299 359 mkg , O = 83938 kg,

Nx = — 33575 kg

77= — 117 514 kg,

und, mit den Gurtungsquerschnitten f₀ = fu = 768,13 qcm, pro qcm:

117514

768,13

83 938 768,13

= 109 kg,

= — 153 kg .

Bei den Kämpfern ist y — 0 und damit Mx — 0. Wird der Bogen, wie bei Berechnung der Koblenzer Brücke, parabolisch vorausgesetzt, so hat man mit Rücksicht auf § 19, 8) für x = 0:

cp = 190 58' 59" ,

cos (p = 0,939 79 , Tx = 11474 kg,

, -    4 f 4

tg 9» =

sin <p = 0,34174 ,

Nx = — 31553 kg,

und für x = 1:

cp = — 190 58' 59";

cos cp = 0,93979 , Tx = — 11474 kg,

*** = -    7    -

sin $p = — 0,34174 , Nx = — 31553 kg ,

also an beiden Kämpfern:

O — — tr= — 16788-0,93979 = — 15777 kg,

und mit den Gurtungsquerschnitten f₀ = fu — 800,624 qcm pro qcm:

= — 20 kg .

15 777 8000,624

Beispiel 33. Einflußlinien und Grenzwerte parabolischer Bogen (Koblenzer Brücke).

Für die Bogen der Koblenzer Brücke (vergl. Beispiel 30) die Einflußlinien der Stützenreaktionen F, F', H anzugeben und die Grenzwerte dieser Größen festzustellen, wenn eine gleichmäßig verteilte feste Last von g — 3983 kg, eine ebensolche Verkehrslast von p = 3186 kg pro Meter (Annahmen bei der ursprünglichen Berechnung) und daneben Temperaturänderungen bis r = + 30° C gegen die Normaltemperatur sowie eine Änderung der Spannweite Al — 0,02 m infolge Nachgebens eines Widerlagers in Betracht gezogen werden.

Die Einflußlinie von F wurde bereits in § 12 ermittelt, diejenige von V‘ liegt bezüglich der Trägermitte symmetrisch zu ihr (Fig. 124). Da die Einflußflächen in beiden Fällen den Inhalt-⁷, haben und ganz auf einer Seite der

Abszissenachse liegen, so sind zufolge § 12 die Grenzwerte beider Vertikalreaktionen mit q — g -j- p = 7169 kg:

V =    = 3584,5-98,0775 = 351559 kg

V‘ =

ffl

-y- = 1991,5 *98,0775 = 195321 „ .

Der allgemeine Ausdruck des Horizontalschubs für die fraglichen Bogen ist nach den Formeln a, d, e des Beispiels 30:

6,5'⁵ 1 Pa (l — a) (ß + l a — a²) + 1888,68 t — l o

1678 754 Al .

Die Gleichung der Einflußlinie von H folgt daraus nach § 12:

a (l — «) (l² -j- l a — ci?) ,

oder mit a = gl:

b = 6,575 g (1

g) (i + g — g-),

wonach bei « = o die Ordinate t> = o

3/

J\

fäpY \

\2,05SA

Fig. 124.

0,798    1,464    1,902    2,055 .

Die Linie ist in Fig. 124 dargestellt, sie zeigt (wie schon der Ausdruck von H), daß die Grenzwerte von H für Vollbelastung der ganzen Spannweite und Eigengewicht allein eintreten. Da für eine beliebige auf die Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit mit Rücksicht auf § 18 der Beitrag der Belastung zu H nach obiger Formel:

6,575 u f>

— = 128,972 u , 5

H = 128,972 • 7169 + 1975,78*30 — 1G78 754*0,02 = 950299 kg,

so ergeben sich mit Berücksichtigung von r, Al die Grenzwerte von H im ganzen:

H = 128,972 • 3983 — 1975,78 *30 — 1 678 754 * 0,02 = 420 847 „ .

Über Einflußlinien und Grenzwerte parabolischer Zweigelenkbogen siehe auch die Beispiele 10, 11, 49.

Beispiel 34. Einsenkungen parabolischer Bogen (Koblenzer Brücke).

Für die Bogen der Koblenzer Brücke (vergl. Beispiel 30) wurden pro Meter Spannweite angenommen: Feste Last g — 3988 kg, Yerkehrslast p = 3186 kg, also Gesamtlast q — g + p = 7169 kg. Es sind die Einsenkungen in der Trägermitte zu berechnen: a) für die feste Last allein; b) für Vollbelastung des ganzen Trägers; c) für feste Last auf der ersten oder zweiten, Vollbelastung auf der zweiten oder ersten Bogenhälfte; d) für eine Temperaturänderung'r und speziell für r = + 30°; e) für eine Änderung Al der Spannweite und speziell für Al — 0,02 m.

Für eine beliebige auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit ist nach § 20, 58) die Einsenkung in der Trägermitte:

e ---

5 u P

1 + £ 384£Y

also im vorliegenden Falle mit l = 98,0775 m, c = 0,36497 für Meter als Längeneinheit, e — 0,04563, E — 2000000 kg pro qcm:

0,04563

5 -w 98,0775⁴

1,045 63 384 • 2 000 000 • 100~² • 0,364 97

= 0,000 007 202 8«m = 0,000 720 28 u cm.

Hieraus folgt für die feste Last (Eigengewicht der Brücke) allein mit u — 3983 kg:

e = 2,869 cm ,

und für Vollbelastung des ganzen Bogens mit u = 7169 kg:

e = 5,164 cm .

Für Belastung der ersten Trägerhälfte mit u, der zweiten mit u' pro Längeneinheit hat man nach § 20, 59):

also in unserem Falle c):

u + u‘ 5 l*

1 + £    768 ~Ec '

e = 0,000 72028

3983 + 7169

= 4,016 cm ,

das ist das Mittel der Werte a und b.

Durch eine Temperaturänderung t entsteht nach § 20, 61):

(f ■    25 __

V ' 128 f 1 + £ )’

und mit l = 11 f— 11 • 8,91614 m, a = 0,000012 in Meter:

e = — 0,000012*8,91614 %

_ 25012_ _\

128 • 1,045 63 ) ’

e = — 0,2525 t cm ,

also beispielsweise für r = +30°:

e = Tji 7,575 cm .

Eine Änderung der Spannweite um Al hat nach § 20, 63) zur Folge:

251 Al ⁶ ~ 128 f 1 + £ ’

und im vorliegenden Falle:

= 2,0547 A l,

25*11 M 128    1,045 63

wonach für Al — 0,02 m = 2 cm :

e = 2,0547 • 2 = 4,109 cm .

Über die Einsenkung parabolischer Zweigelenkbogen siehe auch die Aufgaben 15, 22 und die Beispiele 49, 97, VI M, N.

Aufgabe 17 mit Beispiel 35. Künstlicher Horizontalschub (Koblenzer Brücke).

Für einen symmetrischen Parabelbogen mit Kämpfergelenken soll durch Erzeugung eines künstlichen Horizontalschubs bewirkt werden, daß bei normaler Temperatur und Belastung durch eine gleichmäßig verteilte Last allein keine Momente entstehen, also die resultierenden Schnittkräfte in der Achse angreifen, und alle Querschnittselemente gleiche und möglichst kleine Normalspannungen erleiden.

Für beliebige symmetrische Bogen mit Kämpfergelenken hat man nach § 20, 22) bei gleichmäßig verteilter Last von u pro Längeneinheit Spannweite das Moment bei x:

mx = y «(z — x) — Hy,

also speziell für symmetrische Parabelbogen vom Pfeile f wegen § 19, 8):

MX = y*(*-*) (l-S*).

Wäre nun der von der angenommenen Belastung herrührende Horizontalschub

u 7² 8f

(wie man ihn bei Vernachlässigung von ß, e annimmt), so würde ohne künstliche Mittel bei normaler Temperatur nach 2:

mx = o.

Genauer ist jedoch nach § 20, 23):

C5 ÜT

u Z²

welcher Wert etwas unter dem Horizontalschub 3 liegt, sodaß nach 2 Momente entstehen. Sollen diese durch einen künstlichen Horizontalschub K aufgehoben werden, so ist K so zu bemessen, daß der Horizontalschub 4 auf den Wert 3 ergänzt wird, d. h. wir müssen wählen :

Nach 5 ist der künstliche Horizontalschub proportional u. Es wäre also ein andrer Wert von K zu wählen, wenn die Momente Mx bei Vollbelastung des ganzen Trägers aufgehoben werden sollten, als wenn dies für Eigengewicht allein beabsichtigt ist. Da die wirkliche Belastung die längste Zeit der Belastung durch Eigengewicht allein nahe kommt, so ist letzteres vorzuziehen, also u = y zu setzen. Über den künstlichen Horizontalschub bei nicht gleichmäßig verteilter Last siehe Abschnitt VI unter E.

Für die in Beispiel 30—34 betrachteten Bogen der Koblenzer Brücke erhält man nach 5 mit l — 98,0775 m = 11 f, e — 0,04563, ß = 0,004992, y = 3983 kg:

Bei Vernachlässigung von ß hätte man K = 23440 kg oder um 8,36 % kleiner erhalten (vergl. VI E). Der Einfluß von ß pflegt hier bei praktischen Berechnungen größer als sonst zu sein. Bezüglich der zur Erzeugung des künstlichen Horizontalschubs durch Anziehen von Keilen oder auf andere Weise (VI A) zu bewirkenden Verringerung v der Spannweite siehe die nächste Aufgabe. Im vorliegenden Falle hätte man nach der dortigen Gleichung 7 und den angeschlossenen Zahlen:

98,0775

164648000

25577 m = 1,524 cm.

Ein künstlicher Horizontalschub kann auch aus anderen Gründen und mit anderm Werte als oben angewandt werden. Bei der 1893 dem Verkehr übergebenen Stuttgart—Cannstatter Neckarbrücke war er vorgeschrieben, um ein

Durchhängen der Träger bei niedriger Temperatur zu verhüten (VI E). Ist der künstliche Horizontalschub einmal hergestellt, so tritt er für alle Belastungs- und Temperaturfälle zu den von diesen herrührenden Werten des Horizontalschubs. Der Einfluß des künstlichen Horizontalschubs auf die Beanspruchungen läßt sich ganz wie derjenige des Horizontalschubs durch Temperaturänderungen und Änderungen der Spannweite ermitteln (Aufg. 7, Beispiele 7, 31, 32).

Aufgabe 18 mit Beispiel 36. Reduktion der Normaltemperatur parabolischer Bogen auf die mittlere Ortstemperatur (Koblenzer Brücke).

Es soll bei Herstellung eines künstlichen Horizontalschubes (vergl. Aufgabe 17) die Normaltemperatur parabolischer Bogen auf die mittlere Orts-temperatur (oder einen sonst gewünschten Wert) gebracht werden. Normaltemperatur ist diejenige Temperatur anzusehen, für welche bei fehlender Belastung der spannungslose Zustand eintreten würde.

Für einen parabolischen Bogen von konstantem J cos cp entsteht nach § 20, 7), 8), 9) durch beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderung x und eine Änderung der Spannweite um A l (für Zunahmen r, A l positiv) ein Horizontalschub :

Als

S=lX+Wljy-ji-A»»-«><>= + <»

— »2 — ß IS) +

15 Ec

Al

a z--

-)•

(1 + O 8 f

Die zur Erzeugung eines beliebigen künstlichen Horizontalschubs K nötige Verminderung (— Al) der Spannweite folgt hieraus:

(1+ Q8F/*

15 Ec

Die Temperatur tx bei Herstellung von K differiere um d° von der gewünschten Normaltemperatur tn (d — tx — <„), welche im allgemeinen die mittlere Ortstemperatur sein wird. Behufs der verlangten Reduktion fügen wir dann vorstehender Verringerung die weitere bei:

v — ald,

so daß die ganze (z. B. durch Anziehen von Keilen oder entsprechend VI A) herzustellende Verringerung der Spannweite beträgt:

(i + «)8 if*

V = -•—

15 Ec

K -J“ cc l cl •

d hat einen positiven oder negativen Wert, je nachdem die Montierungstemperatur tx (bei Herstellung von K, v) über oder unter der gewünschten Normaltemperatur (mittleren Ortstemperatur) lliegt.

Sind nun in der Folge xx die Abweichung der wirklichen Temperatur t gegen die Montierungstemperatur. tx (Fig. 125) und A l eine etwaige weitere Änderung der Spannweite, dann hat man nach 1 den ganzen von der Temperaturänderung und den Längenände-

Fig. 125.

Ei.

rungen Al, — v herrührenden Horizontalschub:

15 Ec

oder mit v nach 2:

(1 + e) 87²

cit₁ —

15Ec

(d -j- Ti)--+ K.

(1 + 08 ft

Bezeichnet x — t — tn die Abweichung der wirklichen Temperatur t gegen die gewählte Normaltemperatur, so ist in vorstehendem Ausdrucke (Fig. 1251:

T —    —j- Tj

und wir erhalten bei Hinzukommen einer beliebigen Belastung, d. h. im allgemeinsten Falle:

15 Ec

Al

cc x--— + K .

2 Pa (l — a) (p + l a — cfl — ßP) +

(1 + 0 8 ft

Der Horizontalschub und alle Spannungen hängen außer von der Belastung und dem festgesetzten künstlichen Horizontalschub K nur noch von der Temperatur-

(1 + 0 8/-Z³ o

änderungr gegen die gewählte Normaltemperatur und etwaigen Änderungen Al der Spannweite nach Erzeugung von K, v ab.

Der künstliche Horizontalschub, welcher bei seiner Herstellung durch Verringerung der Spannweite um v nach 1 mit A l = — v und 2 den Wert

V

- = K +

*t =

15 Ec

15 Ec

(1 + e) 8 f- l

(l + £)8 f»

hatte, erreicht nach 4 bei normaler Temperatur den vorausbestimmten Wert 1<, da sich ohne Belastung mit x — 0 und Al = 0 FI — K ergibt.

Will man die Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur ohne eine sonstige Überhöhung des Bogens vornehmen, so hat man mit K — 0 nach 2, 5:

v = cc l d ,

*1 =

15 Ec

(1 + 8) 8/-»

Will man dagegen einen künstlichen Horizontalschub K ohne Reduktion der Normaltemperatur erzeugen, d. h. die Montierungstemperatur als Normaltemperatur belassen, so liefern mit d — 0 dieselben Gleichungen :

Kx = K.

(1+8)8*/«

15 Ec ’

Angenommen für die Koblenzer Brücke sei ein künstlicher Horizontalschub K = 25577 kg herzustellen gewesen (vergl. S. 137), während die gewünschte Normaltemperatur 10° und die Montierungstemperatur 25° betrugen. Dann ist d — 25 — 10 = 15°, und da nach Beispiel 30 für Meter als Längeneinheit:

15 Ec

(1 + 8)8 f*

so ergeben 2, 5 mit l — 98,0775 m, a — 0,000012:

25 577

= 164648000,

+ 0,000012 • 15j 98,0775 m = 3,289 cm , = 25 57 7 + 164 648 000 • 0,000 012 • 15 = 55 214 kg .

-(•

164 648000

Für K = 0 hätten wir erhalten :

v — 1,765 cm,

K\ — 29637 kg .

Die Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur wurde zum erstenmal 1893 bei der König-Karlsbrücke über den Neckar zwischen Stuttgart und Cannstatt ausgeführt (Näheres s. Abschnitt VI unter N).

Beispiel 37. Horizontalschub eines Bogens mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal).

Für den Bogen der Maria-Pia-Brücke !über den Douro, welchem die in Fig. 126 und Tabelle S. 137 ersichtlichen Verhältnisse entsprechen, ist der Horizontalschub H zu berechnen: a) für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Meter; b) für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Trägerhälfte; c) für beliebige Einzellasten P bei « = 23,75 m, 26,75 m, 54 m, 64,4 m, 74,8 m, 80 m; d) für gleichzeitig wirkende Lasten von 63400 kg, 63400 kg, 62400 kg, 47000 kg, 40500 kg an Punkten der fünf ersterwähnten" Abszissen a und den symmetrisch dazu gelegenen Stellen (der Verkehrslast bei Vollbelastung entsprechend); e) für eine beliebige Temperaturänderung r; f) für eine Änderung der Spannweite um Al.

Mit Rücksicht auf die in der Tabelle S. 137 für den halben Bogen gegebenen Werte und l — 160 m erhält man nach § 20, 19), 27):

v — l 2    = 160 • 1000,92 = 160147,

0 J

2-25 643 = 51286,

O!/²

iv = 2    ——— =

160-34066 — 1714494 = 3 736066 .

co

~Z

CD

ui

P-

CD

pm

Nach Porto

>!

3 §525

pro Längeneinheit ag

oT

■x-

von u

32,395

¥-

28J5_

bis&O.K

28,95

X-

52j0

28,95_

9.8,75

A"

37,375

¥•

yf\

37j3J5_

•x-

Nach Lissabon

,36,625

3 736066

M ~    51~286 U ~ ⁷2>®^® u >

derselbe durch verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Trägerhälfte nach § 20, 33):

3 736066 2-51286

beliebiger Stelle a<L, drückt sich nach § 20, 39) aus:

Weiter folgen der Horizontalschub durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last nach § 20, 25):

mmr ftffil.

C /I    _____

62,7-

Jfocfcrvasser _

■!$>    -5»

1-1

tm

Fig. 126.

2 iv

o + u‘) = 36,424 (/( -f u‘).

= 0,36012 P,

= 0,392 81 r

Iv — z u + U

tv

an

K> \ o .r

35,985

15,135

H=-

1/2,935

1,11

Yergleichungs -

Der Horizontalschub durch eine Einzellast P

Wir erhalten darnach, mit Rücksicht auf die Tabellenwerte S. 137:

H== "öiW (4758 + 23,75-577,32) ßlfsT ⁽⁵⁷⁰¹ + 26,75 • 539,98)

23,75 m

für

für a = 26,75 m

Feld

°>ß

2,80

3,00

8,40

9,00

14,10

20,40

25,25

31,00

39,75

49,15

59,20

69,60

80,00

14,55

20,42

24,20

28,30

32,75

36,85

40,35

42,25

42,65

bC

omraoooiooiooio ’l. ’l ^    ^ Tf

ooad'oo'adcd'oi'cTo'ö'oio

rH rH t—H r—I •

CD QO CO GO CO CO ^GO>O^O0COiO(MOD C^iO^rH GO^tP GC^t^I^O^CD^CD ö'cTT-HT-H'oiofco'cd'^-^Tf'

C5 CD o 05 ®

98,77

124,74

102,85

97.24 37,34 96,87 94,42

101,98

102,79

96.24 2-47,68

296

276

773

TP

H r—f

CO CD CO Ol O GO

904

2741

3092

3758

4147

4066

2-2034

1048

1450

1984

943

3003

3753

5012

6085

6698

2-3814

8803

20445

40474

23811

93093

149182

246340

360232

466181

2-305160

Für eine Bogenhälfte¹ 93,75

1000,92    25643    ! 34066    1714494

für a — 54 m

für a — 64,4 m

für a = 74,8 m

-1(17 4G9 + 54 • 246,71) = 0,60038 P, H =    ^    (23 554 -f 64,4 • 143,92) = 0,639 99 P,

5lls6 ⁽³⁰²³² + ⁷⁴>⁸ • ⁴⁷>⁶⁸) = °;⁶³⁹⁴¹

für a = 80 m

34066

= 0,66424 P .

51286

Im vorliegenden Falle kann übrigens bei a — 80 m keine konzentrierte Last angreifen, weil sieb daselbst kein Knotenpunkt befindet. Auch die unter b) erwähnte Belastung kann nicht wohl eintreten, weil der über den fünf mittleren Feldern liegende kontinuierliche Balken (Fig. 126) die Belastung einer Brückenhälfte über die Brückenmitte hinaus verteilt. Für die Belastung d) ist der Horizontalschub mit Rücksicht auf die zuletzt berechneten //:

H = 2 (0,36012 • 63 400 + 0,392 81 • 63 400 + 0,600 38 • 62 400 + 0,639 99 • 47 000 + 0,659 41-40 500) = 283 969 kg

Für eine beliebige Temperaturänderung x wird nach § 20, 16):

H = — E ax —

160

Eax —

320,537 ’

und für eine Änderung der Spannweite um Al nach § 20, 17):

EAl 51286 ’

51286

2 000 000 -100² 3- 0,000 012 320.537

Wenn beispielsweise E— 2000000 kg pro qcm, a = 0,000012, dann liefert die erste Gleichung:

= 748,744 t kg ,

2 000000-1002

und die zweite:

Al= — 389970 Al kg,

51286

H = —

wrorin A l in Meter einzusetzen.

Über die Genauigkeit vorstehender Berechnung siehe § 47 und Beispiel 94. Sie ist genügend und weit genauer als die Berechnung nach den Formeln für Parabelbogen von konstantem J cos <p. Vergl. Beispiel 95. Allerdings schwankt beim Dourobrückenbogen in den einzeln Feldern J zwischen 0,246 und 4,696 cm4 oder 1 und 19 und J cos <p zwischen 0,170 und 4,652 cm⁴ oder 1 und 27.

Beispiel 38. Kämpferdrucklinie eines Bogens von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal).

Die Kämpferdrucklinie der in Beispiel 23 betrachteten Dourobrücke fest

zustellen.

Nach § 20, 51) hat man bei vollständig symmetrischen Bogen auf der ersten Bogenhälfte für beliebige Abszissen a die Ordinaten der Kämpferdrucklinie /S:

a (l — a)

S^JL + a2^-

o J    a J

also mit l — 160 m und dem im vorigen Beispiel berechneten w — 51286 wegen

51286

160

— = 320,537

speziell für den Dourobogen:

a (160 — «)

0 J

Diese Gleichung liefert mit Kticksicht auf die in der Tabelle S. 137 gegebenen Werte:

- 320,537 .

bei a = 0 m

0-160

320,537 = 51,239 m

0 + 0 • 1000,62 20 • 140

2774 + 20-674,56 40•120

b = ——— -320,537 = 58,269 m

12 457 +40-348,69    ’    ’

60-100

& = 23554+löTISP2 ³²⁰’⁵³⁷ = ⁵⁹’747 m 80-80 34 066 + 8(P

Da sich alle Ordinaten symmetrisch „    übertragen lassen, so konnte die Linie

Parabel\-Bogai    verzeichnet werden (Fig. 127).

bei a — 20 m

bei a =40m

bei a = 60 m

bei a = 80 m

f=\i2,6Sm

Z -160 m, Fig. 127.

320,537 = 55,179 m ,

o— 320,537 = 66,219 m .

Mitte

Bemerkungen. Für einen symmetrischen Parabelbogen von konstantem Jcos cp hat man nach § 20, 47):

(1 +P fi'¹

5 fl + l a - a2 - ß 7» ’

und mit den dem Dourobogen entsprechenden Werten l — 160 m, e = 0,004287, ß — 0,005447 (vergl. Beispiel 95):

41135,6

25 460 + a (160 — a)

Wir stellen die hieraus folgenden Werte mit den oben erhaltenen zusammen.

80 m:

Für

20

40

60

= 0

= 1,201    1,294    1,366    1,401    1,412

beim    Dourobogen

„    Parabelbogen    j = 1,616    1,455    1,359    1,308    1,291.

Die Kämpferdrucklinie ist also im ersten Falle etwas konkav, im zweiten etwas konvex gegen die Verbindungsgerade der Stützpunkte. In Fig. 127 ist die Linie S für den Parabelbogen ebenfalls angedeutet.

Beispiel 39. Einsenkungen eines Bogens von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal).

Die Einsenkungen in der Mitte des Bogens der in Beispiel 37 betrachteten Dourobrücke sollen versuchsweise nach möglichst einfachen Formeln (unter Ver-

nachlässigung der Glieder mit F oder W in § 48) berechnet werden: a) für eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Meter auf der ganzen Spannweite, und speziell für u = 4800 kg; b) für die in Beispiel 37 unter d) erwähnte Verkehrslast; c) für eine Temperaturänderung r und speziell für r = + 30°; d) für eine Änderung A l der Spannweite und speziell für A l = 0,02 m. (Siehe Bemerkungen am Schluß.

a) Für eine beliebige auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit hat man nach § 48, 23):

e = JL.(l2^.

2E V o J

ni

O X⁸

also im vorliegenden Falle mit l = 160 m, E — 2000000 kg pro qcm, H nach Beispiel 37 und den aus der Tabelle des Beispiels 94 zu entnehmenden Summenwerten 2:

e = AL. (80 • 47 251 — 1287244 — 72,848 • 34066) =    m = 0,0000560 u cm,

E v    2 000 000 • 100²    ’    ’

wonach beispielsweise für u = 4800 kg :

e = 0,269 cm .

b) Für die in Beispiel 37 unter d) erwähnte symmetrische Verkehrsbelastung hat man

bei

54

64,4

a = 23,75    26,75

P = 63400    63400    62400    47000

74,8 m 40500 kg.

Die hierdurch erzeugten Vertikalreaktionen der Kämpfer sind:

V= 2-63400 + 62 400 + 47000 + 40500 = 276700 kg,

während der entsprechende Horizontalschub in Beispiel 36 berechnet wurde:

11= 283969 kg.

Die Einsenkung in der Trägermitte durch eine beliebige symmetrische Belastung ist nach § 48, 11):

Mx,

e = i2 -°Ä_

E Q J

worin nach § 20, 3):

Mx = Vx — Hy —

m

2 P (x - ci),

und im vorliegenden Falle für die Felder 1 bis 11 mit den aus der Tabelle S. 137 zu entnehmenden Koordinaten x, y in mkg:

77147

Mx = 276700 • 2,80— 283969- 3,00

276700- 8,40-283969- 9,00 = — 231441 276700 • 14,10 — 283969 • 14,55 = — 230279 276700 • 20,40 — 283969 • 20,42 = — 153967 276700 • 25,25 — 283969 • 24,20 — 63400 • 150 = 19525 276700 • 31,00 — 283969 • 28,30    —    63400 ( 7,25 + 4,25)    =    — 187723

276700 • 39,75 — 283969 • 32,75    —    63400 (16,00 + 13,00)    =    — 139760

105021

276700 • 49,15 — 283969 • 36,85    —    63400 (25,40 + 22,40)    =

276700 • 59,20 — 283969 • 40,35    —    63400 (35,45 + 32,45)    —    62400 • 5,2 = 293151

276700 • 69,60 — 283969 • 42,25    —    63400 (45,85 + 42,85)    —    62400 • 15,6    —

47000-5,2 = 419210

276700 • 80,00 — 283969 • 42,65 — 63400 (56,25 + 53,25) — 62400 • 26,0 —

47000 • 15,6 — 40500 • 5,2 = 516222.

Weiter erhalten wir nun mit Rücksicht auf die Tabelle des Beispiels 94 für Feld 1 bis 11 :

2±Mv = — 92,20- 77147 =— 7112953

—    116,43-231441 = — 26946676

—    99,66 • 230279 = — 22949605

—    97,14 • 153967 = — 14956354

--M =

J lux

38,96- 19525 =

—    106,11-187723 =— 19919288

—    114,60 • 139760 = — 16016496 136,00 • 105027 = 150,78-293151 = 158,55-419210 =

89,44-516222 =

m ax

2~Mx =

0 J x

also nach 2 die Einsenkung durch die fragliche Belastung:

63980944    „ oon

--- m = 0,320 cm .

2 000 000 • 100²

760694

14283672

44201308

66465746

46170896

63980944.

§ 48, 24):

c) Die Einsenkung durch eine beliebige Temperaturänderung t liefert

Wir erhalten mit H nach Beispiel 37 und f = 42,65 m:

also für « = 0,000012:

320,537

34066 — 42,65 a T- — 148,928 a t ,

e — — 0,001787 r m = — 0,1787 t cm

und beispielsweise für r = + 30°:

e = -f- 5,361 cm .

d) Die durch eine Änderung der Spannweite um A l bewirkte Einsenkung ist nach § 48, 25):

D axy 0 j ’

wonach m unserm Fall bei Beachtung von Beispiel 37:

34066 = 0,6642 4 1 ,

51286

und speziell für Al — 2cm:

e — 1,328 cm .

Bemerkungen. Wir haben im Falle nach obigem Verfahren    e —

während sich bei genauerem Vorgehen ergeben nach Beispiel 96

a)

b)

c)

d)

Man sieht, daß das obige Verfahren bei Bogen von den Verhältnissen der Dourobrücke nicht zulässig wäre zur Berechnung der Einsenkungen durch Belastungen (Fälle a und b), wohl aber zur Berechnung der Einsenkungen durch Temperaturänderungen und Bewegungen der Widerlager (Fälle c und d). Aus letzterem Grunde wäre das Verfahren auch für Berechnungen wie die in der nächsten Aufgabe verwendbar. Die Formeln für Parabelbogen von konstantem J cos cp hätten noch weniger befriedigende Resultate ergeben. Allerdings schwankt J cos cp beim Dourobrückenbogen in den einzeln Feldern zwischen 0,170 und 4,652 cm⁴ das heißt zwischen 1 und 27.

nach Beispiel 97

Aufgabe 19 mit Beispiel 40. Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal).

Die in Aufgabe 18 verlangte Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur soll nun für symmetrische Bogen von beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten vorgenommen werden.

Wir gehen wie in Aufgabe 18 vor und ziehen wieder die gleichzeitige Erzeugung eines beliebigen künstlichen Horizontalschubs in Betracht (vergl. am Schlüsse von Aufgabe 17, S. 133).

Durch eine Temperaturänderung z und eine Änderung A l der Spannweite entsteht nach § 20, 16), 17) ein Horizontalschub:

II =

atl — Al

Zur Erzeugung eines künstlichen Horizontalschubs K ist also eine Verringerung der Spannweite nötig um

Wir fügen derselben bei v — ald, unter d =tx — tn die Differenz der Montierungstemperatur tx und gewünschten Normaltemperatur tn verstanden, womit die ganze vorzunehmende Verminderung der Spannweite beträgt:

w

v = — K -J- a l d .

Ist dann in der Folge zx = t — tx die Abweichung der wirklichen Temperatur t gegen die Montierungstemperatur tx (vergl. Fig. 125), und A l eine etwaige weitere Änderung der Spannweite, dann liefert 1 den ganzen von der Temperaturänderung und den Längenänderungen A l, — v herrührenden Horizontalschub :

II =

— G¹ — D E

IV oder mit 2, wenn wieder

T = t — tfi — d -{-

die Abweichung der wirklichen Temperatur t gegen die gewählte Normaltemperatur tn bezeichnet (Fig. 125):

ii —

a t l — Al

E+ K,

wozu in jedem Falle noch der Horizontalschub durch die Belastung kommt, für welchen die Formeln § 20, 15), 25), 33) u. a. gelten. Es hängt also H außer von der Belastung und dem festgesetzten künstlichen Horizontalschub K (vergl. S. 133) nur von der Temperaturänderung z gegen die gewünschte Normaltemperatur und etwaigen Änderungen Al der Spannweite nach Erzeugung von A, v ab.

Der künstliche Horizontalschub, welcher bei Herstellung der Überhöhung nach 1 mit Rücksicht auf 2 den Wert:

ÜTj = — e = k +

ald

>r

hatte, erreicht nach 4 für z = 0, Al = 0 den verlangten Wert K. Mit Verschwinden der Verringerung v würde auch K wegfallen.

Will man die Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur ohne sonstige Überhöhung des Bogens vornehmen, so hat man mit K = 0 nach 2, 5 :

v = al d ,

Kl =

E.

Will man dagegen einen künstlichen Horizontalschub K ohne Reduktion der Normaltemperatur erzeugen, so liefern jene Gleichungen mit d — 0:

Kx — K.

T'.

Dem Bogen der Dourobriicke von l — 160 m entspricht nach Beispiel 37 für Meter als Längeneinheit w = 51286. Ist nun die gewünschte Normaltemperatur 10°, die Montierungstemperatur tx = 25°, so hat man d = 25 — 10 = 15° und mit E— 20000000 kg pro qcm, a = 0,000012:

ald = 0,000012• 160• 15 — 0,02880 m,

<5 I

2 000 000 • 100³

51286

= 386970

so daß wir nach 2, 5 erhalten:

+ 0,0288 m ,

Für K = 0 würden:

389970 A'j = K + 11231 kg .

v = 2,88 cm ,

Kx = 11231 kg .

§ 21. Einfache Bogen ohne Gelenke.

Der Bogen besitze keine Gelenke, doch liegen die Achspunkte der Endquerschnitte in gleicher Höhe, sodaß lt = 0 ist (Fig. 128, 129). Wir haben dann nach § 1, 4)—6) für die Vertikalreaktionen der Kämpfer:

r = i\M‘

— M-\-2P(l — a)

0

-M⁴-\-2Pa],

0

F+ V‘ = 2P

p/²"|

&2 * * * cP

771

11

31'

V'

während der Horizontalschub IIund die Endmomente M, M‘ durch die Statik allein nicht bestimmt sind und mit Rück-P sicht auf die Formänderungen ermittelt werden müssen. Sie werden damit von der Form

Fig. 128.

änderlichkeit des Querschnittes abhängig (s. unten).

Das Moment und die Vertikalkraft in einem beliebigen Querschnitt x sind nach § 1, 3), 8) und 2), 7):

der Bogenachse und der Ver-

Mx — M-\- Vx — Hy — 2P(cc — a)

0

— [lf + JPa] + y [M‘ 4- 2P(l — a)

\M‘ — M— 2 Pa + 2 P(l — a)

L    O    X

-Hy,

während die Normalkraft bei x wie immer ausgedrückt ist:

Nx = Vr sin <p -j- Hcos cp . 6

Auch die in §§ 1,8,9 gegebenen Ausdrücke der Transversalkraft Tx, resultierenden Schnittkraft Rx, Normalspannungen o, o₀, au, Schubspannungen % usw. bleiben ungeändert. Man hat also z. B. bei vollwandigen Bogen mit symmetrisch zur Achsschicht angeordneten Querschnitten die Normalspannungen im obersten und untersten

~r

Fig. 129.

Querschnittselement (zwischen welchen die Werte aller übrigen a des Querschnitts liegen):

Mx

<*o =

■^x I ^X

F ' W

unter F den nutzbaren Querschnitt bei x, unter W dessen Widerstandsmoment verstanden.

Verschiedene Formen.

Bezüglich der Gleichungen und Richtungswinkel der Bogenachse in den wichtigsten Fällen wird wieder auf § 19 (S. 77) verwiesen. Da bei Bogen ohne Gelenke eine so weitgehende Veränderlichkeit des Querschnitts wie bei Bogen mit Kämpfergelenken nicht vorkommt (Sichelbogen sind ausgeschlossen), und dieselben, abgesehen von Gewölben (V. Abschnitt), überhaupt seltener ausgeführt werden, so geben wir in diesem § die speziellen Formeln nur für symmetrische Parabelbogen von konstantem (mittleren) Jcoscp (J Trägheitsmoment, cp Winkel der Bogenachse mit der Horizontalen). Die betreffenden Ableitungen sind in §§ 44, 45 zu finden. Über entsprechende Beziehungen für Bogen ohne Gelenke von beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten siehe §§ 48, 49, 50.

Für symmetrische Parabelbogen vom Mittelwerte c des Ausdrucks J cos cp hat man nach § 44, 27)—29) die durch eine beliebige Belastung erzeugten Werte von H, M, M‘:

M‘ =

H=

(l + 6e)2/⁸ o

ö+OT-ip«-(*-«)■,

-r- 2 Pa (l— a)² (5 a — 21— 12 sl) ---2Pa²(l — a) (3? — 5 a

12 £ l) .

(1 + 6*)2Z³ o

An Stelle der beiden letzten Formeln kann man auch setzen:

10

M =11

2 Fa (l— a)²,

0

11

2f    b 2 Pa² (l— a)

^ 0

12

während sich nach 1, 2 die Vertikalreaktionen der Kämpfer mit 11, 12 auch ausdriicken lassen:

±2P(l+2 a) (1 — aY

±2P(3l — 2a) a².

Eine beliebige Temperaturänderung t bewirkt (für Zunahme t positiv):

Ec 45 T-f- 6 e 4 /'2 Ec 15 1 + 6* 2fa%

V‘ =

H=

13

14

15

Durch kleine Verrückungen und Verdrehungen der Bogenenden, mit welchen jedoch kein Abheben der Endquerschnitte von den Kämpfern verbunden sein darf, würden entstehen:

15 Ec

(1 + 6e)2^'

3Ec

5 Al 2 Ah

(l + 6e)Z L 2 f

3Ec

5Al . 2Ak

("27- + AcPo — A(Pi) ’

-\-3Acp₀ —Acp— Ae(~¹—2A(p₀—, 18 -3Acpl+A<p₀+AE(^-2A<p-A<p₀)]. 19

17

(l + 6e)4 2f

Wenn jedoch nur eine Änderung Al der Spannweite (bei Zunahme Al positiv) oder doch sonstige Bewegungen der Stützen nur derart stattgefunden haben, daß A <p₀ = A cp,

§ 40, 21)), so werden einfacher:

ist (vergl. Bemerkungen

zu

Er, 45 A l 1 + (5 * 4 f¹ l ’

JE_c__ 15 Al l + (»£ 2/' l

In vorstehenden Gleichungen wie im weiteren gilt für e das am Schlüsse von § 19 Gesagte, während die in § 20 noch berücksichtigte, aber auch dort fast immer zu vernachlässigende Größe ß angesichts der bei Bogen ohne Gelenke geringeren erreichbaren Genauigkeit weggeblieben ist. Zur Berücksichtigung derselben wären die Gleichungen § 44, 24) bis 26) anstatt der vorstehenden zu verwenden. Mit f = 0 wird e — co H = 0 und gehen alle obigen Gleichungen in die für horizontale Balken mit eingespannten Enden gültigen über.

Nach 15 und § 20, 8) ist der von einer Temperaturänderung x herrührende Horizontalschub bei Bogen ohne Gelenke im allgemeinen etwa sechsmal so groß als bei Bogen mit Kämpfergelenken allein, während bei Dreigelenkbogen überhaupt kein Horizontalschub durch Temperaturänderungen entsteht. Analoges gilt nach 20 und § 20, 9) für eine Änderung Al der Spannweite.

H=

20

M = M‘ = —

21

Verschiedene Belastungen.

Die bis jetzt abgeleiteten Formeln gelten bei beliebiger Belastung. Eine Spezialisierung derselben für stetig verteilte Lasten kann mit Rücksicht auf § 18 erfolgen.

Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit erhält man:

V=V‘ = —

22

K = n(i~x)

23

worin speziell für Parabelbogen von konstantem Jcos :

1    11l²

1 + 6e Tr ’

H=

25

M= M‘ —

4 efH.

2G

1 “I⁻ 6 £ 2

Wirken dagegen auf die erste und zweite Trägerhälfte verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit, so gelten für Querschnitte x auf der ersten Trägerhälfte (die Behandlung dieser genügt für praktische Berechnungen):

Vx=V—ux Mx = M-\- Vx — H y

U X²

und hierin für Parabelbogen von konstantem Jcos cp:

13u    3 u‘

V-

32

V‘

3 u-\- 13 u‘

32

27

28

29

H=

u + u‘ l²

1 + 67 TÜ7

30

u‘ — u •—• 2 s (11 n + 5 «') l²

1 + 6«

64 ’

31

11 — u‘ — 2 e (5 u + 11 u‘)    l²

32

64 '

Für eine beliebige zur Trägermitte symmetrische Belastung erhält man aus 1, 2 mit M = M‘ und 8, 11, 12 auf dem in § 19 (S. 79) gezeigten AVege:

in

r= v‘ = zp

33

15

m

2Pa²(l—a)²,

9 f    1 m

H~---y- 2, Pa (l — a).

O    ^0

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrierte Last, so ist dem Begriffe

m

der Symmetrie zufolge nur die Hälfte derselben in 2 aufzunehmen.

0

Ist die Bogenachse wirklich parabolisch, nicht nur so annähernd, daß man die für parabolische Bogen gültigen Ausdrücke von II, M, M‘ verwendet, dann folgt aus 24 mit 25, 26 und § 19, 8) für eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit auf der ganzen Spannweite:

3eii 1 + 6 s

¹¹    6+602+7

M=M‘ =

l²

x (1‘ x) g ,

34

35

36

und aus 28 mit 29—32 und § 19, 8) für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte:

u* — u — 12 £U

(1 + 6 e) 64

(l—2x) (l — 8a;)

(5? — 18 a;),    37

AV eyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl,

10

worin die Brüche konstante, für alle x gültige Werte haben. Bei Vernachlässigung von e würde aus 36:

K=0,

und aus 37 auf der ersten Trägerhälfte:

so daß die Stützlinie (§ 8) im ersten Falle der Stabachse naheliegt und

Y schneidet.

Mx

im zweiten Falle die letztere nahe bei x =

00

und

Kämpferdrucklinie. Umhüllungslinien. Kernlinien.

Die Gleichung der Kämpferdrucklinie S ist nach § 2, 1) allgemein:

M+Va

38

worin H, M, V einer bei a angreifenden Einzellast P entsprechen. Für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos cp hat man nach 8, 9, 13:

15P

(1 + 6e) 4/T

a² (l — a)²,

a(l — a)² (5 a — 21 — 12eV) ,

r=~(i+2a)(i-uy.

Durch Substitution dieser Ausdrücke in 38 ergibt sich die Gleichung der Kämpferdrucklinie S für den erwähnten Parabelbogen:

3 + 8e

31

(l + 6e)2P

39

Die Linie ist also dann eine horizontale Gerade, welche für die gewöhnlichen kleinen e nur wenig höher als über dem Scheitel der Bogenachse hinläuft.

Für die Abszisse u und Ordinate v eines Punktes der Ümhüllungs-linie TJ der Kämpferdrücke U hat man nach § 2, 4), 5):

HdM — MdB VdH—HdV ’

VdM—MdV VdH — HdV ’

worin wieder H, 31, V einer bei a angreifenden Einzellast P entsprechen und die Differentiale sich auf ein variables a beziehen. Für symmetrische Parabelbogen von konstantem J cos cp sind die Ausdrücke von H, 31, 311 oben vor 39 angeschrieben, sie liefern:

15P

(1 + 60 2 fP

dH

40

d31 =

(1 — 6 e) P

a(i — a) (l — 2a) da ,

(i — a) [l² — 81a -J- 10 a² -f- 6 e l (7 — 3 a)] da a(l — a) da .

dV— —

Wir erhalten damit aus 40 für den der Lastlage a entsprechenden Berührungspunkt der Umhüllungslinie U (vergl. Fig. 13 auf S. 10):

u==T+a 2 ’

.(1 + 6U*² — Ba« + o) 2f

41

a (l + a)

15 *

42

Eliminiert man mittels der ersten dieser Gleichungen a aus der zweiten, so ergibt sich die Gleichung der Umhüllungslinie U in gewöhnlicher Form, als Beziehung zwischen den beiden Koordinaten:

1 + 6* f

15 lu

(Z —2m)².

43

Die Linie ist eine Hyperbel, und da nach 43:

dv

so erhält man:

i + 6* f(^_A

15 l \ u¹ ) ’

44

für

V = — co

3    2 * /■

5    '

CM CO

3 — 2*

— = oo

1 +6f 4f

l + 6f f

du

~ gebraucht, da nach 41

Indessen wird die Linie nur von u = 0 bis u — der Berührungspunkt des Kämpferdrucks U für a — 0 bei u = 0 und für a = l bei u =

liegt bezüglich der Vertikalen durch die Trägermitte symmetrisch zur Umhüllungslinie U, mit horizontaler Tangente in dieselbe übergehend (Fig. 130).

Mit Rücksicht auf den Zweck der Linien S, U, U‘ und den geringen Einfluß der Lasten in der Nähe der Grenzpunkte positiver und negativer Beitragsstrecken könnte, falls die Berechnung damit erleichtert wird, häufig e in 39—44 vernachlässigt werden. Für f man nach § 19, 40) e = co ² und damit:

b = co ,

die Stützenreaktionen sind vertikal (vergl. Fig. 13, S. 10).

Bezüglich der Kernlinien gilt das in § 8 Gesagte, so daß z. B. bei symmetrisch zur Achsschicht liegenden Querschnitten die Entfernungen des oberen und unteren Kernpunktes von der Achse:

w

K = K=-r>

während die Kernlinien bei vernachlässigter Füllung (Gitterbogen etc.) mit den Gurtungsschwerlinien zusammenfallen.

l— liegt. Die Umhüllungslinie U‘ der Kämpferdrücke IV

V = — co ,

i sr

IC

Fig. 130.

du

----- CO

0 jedoch hat

45

Grenzwerte bei bewegter Last.

Es gilt das in § 19 (S. 80) Gesagte, nur daß entsj)rechend § 11 an Stelle der Geraden aus beiden Kämpfergelenken Tangenten an die Umhüllungslinien U, TJ‘ und an Stelle der Fig. 94—96 die Fig. 49, 50, 48 treten. Bezüglich des Einflusses der Temperaturänderungen ist wie in § 20 zu verfahren, doch hat man zu berücksichtigen, daß jetzt durch Temperaturänderungen neben einem Horizontalschub H auch Endmomente M, M‘ entstehen.

Durch beliebige H, M, M‘ allein werden nach 4, 6 bei x erzeugt:

MX = M-Hy

46

Nx = Hcos cp .

Die entsprechenden Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement sind in dem gewöhnlichen Falle symmetrisch zur Achs-schicht liegender Querschnitte nach 7:

<*0 =

I COS Cp

\F~

M\

47

<*u =

I cos \ F

M\

y-H)

w /

H.

48

Bei Ermittelung des Einflusses der Temperaturänderungen ist hierin nach M

16 und § 49, 37)von H unabhängig, so daß die Grenzwerte von o₀, aH

zugleich mit den Grenzwerten von H, d. h. nach 15 und § 49, 36) zugleich mit den Grenzwerten von t eintreten.

Die Gleichungen 46—48 bestimmen auch die durch Lagenänderungen der Trägerenden bedingten Beanspruchungen. Treten nur eine Änderung A l der Spannweite und eine Änderung A k der ursprünglich gleichen Höhenlage der Stützen ein, keine sonstige Drehung der Endquerschnitte (und kein Abheben derselben von denWiderlagern), dann sind nach 21 und

M

§ 49, 42) wiederkonstant und a₀, olt proportional H und Al.

Formänderungen.

Wie bei Bogen mit zwei Gelenken führen wir nur die Einsenkungen parabolischer Bogen von konstantem J cos cp in der Trägermitte an und verweisen hinsichtlich der sonstigen Formänderungen parabolischer Bogen auf § 45, bezüglich der Formänderungen von Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten auf die §§ 40, 48.

Für symmetrische Parabelbogen von konstantem c — Jcos (p erhält man nach der Ableitung in § 45 mit Beachtung von 11 und 12 die von einer beliebigen Belastung herrührende Einsenkung in der Mitte:

¹

Alle Zahlen gelten für Meter als Längeneinheit. Weiteres über die Verhältnisse des Douro-

²

bogens enthält die Tabelle in Beispiel 94, doch genügt das hier Gegebene für die Berechnung nach

³

den Formeln für H in § 20.

₄₈^ [J P(l — 2 af — ip(Z — a) (l² — 5 la + 4 a²) — Hfl*] 49

worin H durch 8 bestimmt. Speziell für eine zur Trägerraitte symmetrische Belastung hat man:

pPa²(3Z — 4a) — \-Hfl² .

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrierte Last, dann ist dem Begriffe

m

der Symmetrie entsprechend nur die Hälfte derselben in 2 aufzunehmen,

⁰

wonach z. B. für eine Einzellast P in der Trägermitte:

1 -ff 9 6 e PP 1 -ff 6 e 3072 Pc '

Von 50 kann auch bei unsymmetrischer Belastung Gebrauch gemacht Averden, wenn man berücksichtigt, daß die Einsenkung in der Mitte durch eine beliebige Belastung halb so groß ist als diejenige durch eine mittels Verdoppelung dieser Belastung hergestellte symmetrische Belastung.

Die Werte der Summenausdrücke 2 für stetig verteilte Lasten sind aus § 18 zu entnehmen. Wir erhalten dann für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit aus 50 mit Rücksicht auf 25:

24 Ec

50

51

1 + 6e 64Ec ’

52

und für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte aus 49 mit Rücksicht auf 30:

u u‘ P

l"+6£    128 Ec ’

53

\Arelche Gleichung mit u‘ = u wieder auf 52 führt und auch aus dieser Gleichung hätte erhalten werden können.

Formel 50 liefert für H — 0 und Formel 51 sowie 52 für f — 0, co², c = tf bekannte Ausdrücke für Balken mit eingespannten Enden (Zitat S. 123). Bei Vernachlässigung von e würde diese notwendige Übereinstimmung wegfallen und z. B. in den Fällen 52, 53 e = 0 werden.

Eine Temperaturänderung x (bei Zunahme t positiv) erzeugt die Einsenkung:

mit H, M nach 15, 16. Durch Einsetzen dieser Ausdrücke folgt:

54

aT(f+WTTsi)'

Durch irgendwelche Verrückungen und Verdrehungen der Bogenenden (ohne Abheben von den Kämpfern) würde entstehen:

mit H, M, M‘ nach 17—19. Wenn jedoch nur eine Änderung Al der Spannweite (bei Zunahme Al positiv) und eine Änderung Aii der ur-

Ale

55

56

sprünglich gleichen Höhenlage der Stützen stattgefunden hat (bei höherer Stütze l ist Ah positiv), so folgt mit 20, 21:

151 Al ⁶ ~ 64/ 1 + 6e

Für Näherungsrechnungen kann in 54—57 vielfach e vernachlässigt werden. Vergl. Aufgabe 15, S. 106.

Ak

57

Beispiel 41. Gegebene Belastung (siehe auch die Beispiele 44, 63, 98 etc.). Zur Vornahme von Versuchen mit einem b — 2 m breiten Betonbogen ohne Gelenke der Spannweite l — 8 m und des Pfeiles f-0,9m sei die in Fig. 151

skizzierte Anordnung getroffen. Es sind folgende durch die Last Gt— 6000 kg allein (ohne das Eigengewicht) entstehenden Größen zu berechnen: a) Der Horizontalschub H und die Kämpfermomente 4/, M' nach den Formeln für parabolische Bogen mit e = 0,008 (s. Bemerkungen am Schluß), sowie die Vertikalreaktionen V, V der Kämpfer; b) das Angriffsmoment ' M Normalkraft Nx und die Transversalkraft Tx in den Querschnitten

4 m,

0,9 m

L\(>iSm

x~2m 77i * 4m

4,5m

,...................

Fig. 181.

die

X =

v =

tgcp = COS <jP —

Querschnittshöhe h —

0,45

0,9119

0,25

0,675

0,225

0,9756

0,20

0,15 m.

wo

au im obersten und im untersten Querschnitts-

c) Die Normalspannungen a0 element und die größte Quer- und Längsschubspannung r bei denselben Querschnitten.

Wir bestimmen zunächst die bei a₁ = 1 m und a₂ = 6 m auf den Träger kommenden Lasten Plt P₂:

Px = 300 t kg, = 5700 „ „ .

Px-5 - 6000-0,25 = 0,

— P₂-ö + 6000-4,75 = 0,

a) Für die unter a) verlangten Größen gelten nach § 21, 8), 11), 12), 1), 2) folgende Gleichungen:

11 =

15

i,

2 Pcfi (l - «)S ,

(1 + 6 e) 4 f l* o

M    = H 'lf---4-    i Pa {t _

6    l-    o

M‘    = II 2 f - - ~    2 Pcfl (l - a)

ö    l-    o

V = y j^iir' —M + 2 P (l — a) j

V‘ = -y    — M ‘ + 2 P a j .

Wir erhalten daraus den Horizontalschub:

«)²

15

1,048-4-0,9-8³

(300 • l² - 7² + 5700 • 6²• 2²) = 6488 kg,

die Kämpfermomente:

M = 6488 • 0,6 —

1526 mkg,

(300-1-7² + 5700-6-2²) = V (300 • l²- 7 + 5700-6²-3) =

8²

M‘ = 6488-0,6 —

8²

- 2552    „ ,

und die Vertikalreaktionen der Kämpfer:

~ (— 2552 — 1526 + 300•7 + 5700 • 2) = 1178 kg,

V' = j (    1526 + 2552 + 300 • 1 + 5700 • 6) = 4822 „ .

Selbstverständlich muß V -f- V' == 6000 kg sein.

b) Für beliebige Querschnitte x hat man nach § 21, 4) das Moment:

X

Mx - M + Vx — H i, —

2 P (oc — a)

0 und nach § 1, 2), 9), 10) mit der Yertikalkraft

rx = v-die Normalkraft und Transversalkraft:

Tx ~ (Le — Htgcp) cos cp .

Nx — (ff + Vx tg cp) cos cp ,

0:

Diese Ausdrücke liefern für x

für X

Mx = M — 1526 mkg ,

Nx — (6488 + 1178 • 0,45) 0,9119 =    6400 kg ,

Tx= (1178 — 6488 -0,45) 0,9119 = — 1588 „ ,

Mx = 1526 + 1178-2 — 6488-0,675 — 300-1 = — 797 mkg,

Vx = 1178 — 300 = 878 kg,

Xx = (6488 + 878 • 0,225) 0,9756 =    6522 kg ,

Tx = ( 878 — 6488 • 0,225) 0,9756 = — 568 „ ,

Mx = 1526 + 1178-4 — 6488-0,9 - 300-3 = - 501 mkg,

Nx = H= 6488 kg ,

Tx = Vx — 1178 — 300 = 878 kg .

c) Für beliebige rechteckige Querschnitte x der Breite b und Höhe li sind nach § 8, 18), 19) die Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement :

und für x = 4 m :

a₀ =

Th {Xx + 1 2Jx) ’

<*u =

Nx-

I J/'r) ’

und nach § 9, 13) die größte Quer- und Längsschubspannung, die bei der Achs-schicht eintritt:

10

2 bh Tx'

Es folgen hieraus mit den unter b) berechneten Mx, Nx, Tx pro qcm fiirx = 0:

°o =

200 • 25

(⁶¹⁰°⁺w ¹⁵²⁶) =

8,60 kg ,

200 • 25

6400 —

0,25

1526 = — 6,04 „ ,

für x — 2 m:

3 -1588 2 • 200-25

= -0,48 kg,

a₀ =

200 • 20

6522 —

0,20

- 797

— 4,33 kg,

¹¹ 200 • 20

(^ä2:!+ö;2^!S,)

7,61 „ ,

und für x = 4 m :

3-568

2-200-20

= -0,21 kg,

°o =

200 ■ 15

6488 — -

0,15

- 501

- 4,52 kg,

200-15

H+A⁵⁰¹)"

8,84 „ ,

_3-878 _

2-200-Ö45

= 0,44 kg .

Da durch das Eigengewicht allein zweifellos drückende o₀, on eintreten, so werden beim Zusammenwirken des Eigengewichts mit der oben angenommenen Belastung die für letztere allein berechneten Zugspannungen (negative a₀, an) ganz oder teilweise aufgehoben. Die z durch das Eigengewicht sind sehr gering und zeigt sich also auch hier wieder, daß die Schubspannungen bei Bogenträgern meist unberücksichtigt bleiben können (vergl. Beispiel 8).

Bemerkungen. Die y, tg cp, cos cp wurden in der Aufgabe gegeben, weil vorstehende Berechnung, abgesehen von den Formeln für II, M, M', bei beliebiger symmetrischer Achsform gilt, die Ausdrücke 1, 2, 3 aber mitunter auch für andere als symmetrische Parabelbogen von konstantem (mittleren) J cos cp verwendet werden. Man sehe hierüber jedoch Beispiel 45 und § 51 und über die Berechnung von H, M, M‘ für beliebige Achse und beliebige Querschnitte die Beispiele 63, 98. Im vorliegenden Falle wurden y, tg cp, cos cp aus § 19, 8), 18) mit ( = 8m, f=0,9m berechnet.

Der Wert von s wurde hier nur überschlägig ermittelt, da es für die beispielsweisen Berechnungen nicht auf besondere Genauigkeit ankam (bezüglich genauerer Feststellung s. die Beispiele 30, 63, 95). Für flache Bogen rechteckiger Querschnitte hat man nach § 19, 45) mit einem Mittelwert ton 7/²:

e ~ li2 f - '

Setzt man hierin f = 0,9m und den Werten für x = 0, 2, 4 m entsprechend:

h* =

= 0,04125

0,25² + 2 • 0,20² + 0,15²

so ergibt sich das verwendete e = 0,008.

Bei Vernachlässigung von e hätten wir erhalten II = 6799 kg, M = 1712 mkg, Aß = — 2366 mkg (Abweichungen gegen die obigen genaueren Werte 4,8 °/o bezw. 12,2 % und 7,3 °/o) und damit

bei

9,55

4 m

-    5,67 kg

-    4,52 „

10,20 „

8,84 „

—    4,45

—    4,35 7,86 7,61

Es kommt in Betracht, daß bei Gewölben und Betonbogen e verhältnismäßig klein ist (S. 83, 115).

anstatt

anst alt:

8,60

-• 6,88

— 6,04

Beispiel 42. Stützenreaktionen und Stützenmomente eines parabolischen Bogens ohne Gelenke (Verhältnisse des Wiener Bruchsteinversuchsgewölbes).

Für einen parabolischen Bogen ohne Gelenke seien die Spannweite l = 23,758 m, der Pfeil der Achse f= 4,502 m und in den Formeln für den Horizontalschub II und die Endmomente M, M' e= 0,002590, sowie für Meter als Längeneinheit der Mittelwert von J cos cp c— 0,035 780. Es sind H, M, M‘ und die Vertikalreaktionen V, V‘ der Kämpfer zu ermitteln: a) für das Eigengewicht des Bogens allein, welchem die in der folgenden Tabelle I eingetragenen Lasten P bei den angeschriebenen Abszissen a und symmetrisch zu diesen Stellen (bezüglich einer Vertikalen durch die Trägermitte) entsprechen; b) durch beliebige Lasten P bei Abszissen a = 0,629 m, 2,879 m, 5,129 m, 7,379 m, 9,629 m, 11,879 m,

c) durch beliebige Verkehrsbelastungen, zusammengesetzt aus Einzellasten an den unter b) angeführten und symmetrisch dazu gelegenen Stellen; d) durch eine beliebige Temperaturänderung r; e) für eine Änderung A l der Spannweite ohne sonstige Bewegungen der Kämpfer, oder doch nur solche, für wrelche

Acp₀= Acpj= ^ ist.

a) Eigengewicht. Für eine beliebige zur Mitte symmetrische Belastuug hat man nach § 21, 34), 35), 33):

H =

15

(1+68)2^3 ₀

m

Z Pan- (l - «)²,

worin im vorliegenden Falle:

15

1,01554 • 2 • 4,502 • 23,758    14,4828 '

ff — ±-EPa (l- «),

d + 6e) 2 fl

Mit Rücksicht auf die in der folgenden Tabelle I angeführten Werte ergeben sich also durch das Eigengewicht allein:

ff =-

14,4828

897048 —

2-7 712459

23,758

77 710843 \ __ 23,758² ) ~

25882 kg,

M = M‘ = 25882

2 • 4,502

-- 121464 +

897048

“23,758

= — 6026 mkg,

V = V‘ = 24095 kg .

Parabolischer Bogen ohne Gelenke. Tabelle I. Eigengewicht.

« in m

P in kg

P a-

Pa³

I—¹ h-*

P P    P P

'o 'cd 'Öo "bt) 'qi 'qz 'h-¹ 'bo

h to ^

2117

3839

2898

2571

2296

2081

1923

1818

1739

1676

1637

665’

209

66

21

3 980 6 715 8 849

4 744 15 559 30 458 47 890 67 422 89 364 114 675 142 968 174100 209 659

5 655 36 050 104 836 ' 218 714 383 766 609 194 910 749 1 296 291

1    744 427

2    372 711

6 741 83 528 360 846 998 867 2 184 396 4 152 875 7 233 169 11 753 470 18 084 960 26 851 970

7 712 459

77 710 843

24 095

121 464

897 048

5) Beliebige Einzellasten. Nach § 21, 8), 11), 12), 1), 3) gelten für eine Einzellast P an beliebiger Stelle «:

ff

15

P (1 + 6 e) 4 fl³

ff² (1 — ff)² ,

/*

₌ Ä_²/__ ¹ «(.-ff)²,

i — tu

)■

V‘

~p ’

worin in unserm Falle:

15

(1 -j- 6 e) 4 f l³ 14,8428 • 23,758-’ lß 349

Mit Rücksicht auf die in der nachstehenden Tabelle II zusammengestellten Werte erhalten wir für a

0,629 m:

ff _ 211,84 ~P _ 16349

= 0,012 96 ,

= 0,012 96

2 • 4,502

= 0,01296

2-4,502

0,022 67,

9,16

23,758 ²

V‘

23,129 + 0,579 90

23,758

= 0,9979,

= 0,0021.

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der Kolumnen 8 bis 12 von Tabelle II berechnet.

= 1 — 0,9979

Parabolischer Bogen ohne Gelenke. . Tabelle II. Einzellasten.

l — a in m in m

(l — a)² a (l — a)² a- (l — a) a- (l - a)²

0,629

2,879

5,129

7,379

9,629

11,879

23.129

20.879 18,629 16,379

14.129

11.879

O    05    O    CC    r-i

OTi    GO    O    »O    t—I    rH

CO    (M    M    i    H

o    co    co    rti    w    h

(M    »O    Oi

9,16    211,84    0,0130 —0,5572

3613,45 0,2210 —1,5602 9129,58    0,5584 —1,4775

534,951    336,48

435,933    1255,05    173,07

347,040    1779,97    490,07

268,272    1979,58    891,84    14 607,41    0,8935    —0,8255

199,629    1922,23    1310,01    18 509,20    1,1321    —0,0077

141,111    1676,26    1676,26    19 912,31    1,2179    —0,6857

0,0227

0,3567

0,8078

1,1015

1,0770

0,6857

10

03    lO    CO    lO    i    O

05    o    o    o    o

05    O    CO    I>    t)I    O    1—'

03    03    CO    l'*    CO    i-i

ö'    o    o    o    cT    ö

0,0021

0,0405

0,1197

0,2295

0,3596

0.5000

12

Für die zu den in Tabelle II berücksichtigten Lastangriffspunkten a der Lasten P bezüglich der Trägermitte m = 11,879 m symmetrisch gelegenen Lastangriffspunkte ergeben sich die verlangten Größen nun ohne Rechnung:

28,129 m 0,0092 0,0227 — 0,5572 0,0021 0,9979.

Werden die in den fünf letzten Kolumnen der Tabelle II angeführten und vorstehende Werte von //, M, M', V, V' für P — 1 bei allen 23,758m, jetzt berücksichtigten a als Ordinaten aufgetragen, so ergeben sich die in Fig. 132 verzeichneten Einflußlinien von //, M, M', F, V\ aus denen die Beiträge beliebiger P zu jenen Größen auch für zwischenliegende a entnommen und mittels welcher ihre Werte und Gegenwerte für beliebige Lasten berechnet werden können (§ 12).

c) Beliebige Yerkehrsbelastungen. Um die H, M, M', V, V' für irgendwelche gleichzeitig wirkende Lasten P zu erhalten, braucht man nur deren Werte für die einzeln P zu addieren. Wirken z. B. auf der ersten Träger-

p

hälfte bei a = 0,629 m und a = 11,879 m gleiche Lasten y, bei den übrigen in

Tabelle II angeführten a gleiche Lasten P, so erhält man aus Kolumne 8 der Tabelle:

für

14,129

1,2652 1,0770 M‘: P = — 0,0077 V : P —

V‘: P

0,3596

0,6404

16,379 0,9322 1,1015 — 0,8255 0,2295 0,7705

18,629 0,5242 0,8078 — 1,4775 0,1197 0,8803

20,879 0,1818 0,3567 — 1,5602 0,0405 0,9595

WA

ä-

0! ß828M7fi \5,J29 7,3M\?629H879m

mrv

fürE Fig. 132.

tf=p(^³⁰

+ 0,2210 + 0,5584 + 0,8935 + 1,1321 +

und in analoger Weise aus den Kolumnen 9 bis 12:

31 = _ 3,8067 P,

3,9996 P,

1,2179

3,4204 P,

31 ‘ — 3,6972 P, V = 1,0004 P,

also beispielsweise für P= 3430 kg:

JT= 11732 kg,

31 = — 13057 mkg,

M‘ = 12 681 mkg,

V = 13 719 kg,

Liegen die besprochenen Lasten, symmetrisch zur Trägermitte übertragen, auf der zweiten Trägerhälfte, so gelten:

H = 3,4204 P,

V‘ = 3431 kg .

M‘ = — 3,8067 P,

3,9996 P,

und wirken die erwähnten Lasten gleichzeitig auf beiden Bogenhälften, womit auch die Last in der Bogenmitte den Wert P erlangt, dann folgen:

H = 2 • 3,4204 P = 6,8408 P,

31 = 31 ‘ = — 3,8067 P + 3,6972 P = — 0,1095 P,

V = V‘ — 3,9996 P + 1,0004 P=5P.

31 = 3,6972 P, V= 1,0004 P,

V‘ =

Sind die betrachteten Größen für die angenommenen Verkehrsbelastungen und das Eigengewicht zusammen zu bestimmen, so hat man den jetzt berechneten Werten die unter a) erhaltenen zu addieren.

Anstatt wie hier aus den Beiträgen der Einzellasten hätte man die 7/, M, M\ V V' auch wie unter a) sofort für die ganze angenommene Belastung ermitteln können, wobei im Falle symmetrischer Belastung wieder die Formeln 1)—3), im Falle unsymmetrischer Belastung aber die Formeln § 21, 8), 9), 10), 1), 3) zu verwenden gewesen wären. Wenn es sich jedoch um Berechnung von Grenzwerten auf Grund der ungünstigsten Belastungen handelt (§§ 10, 11), so ist das obige Vorgehen oft bequem, weil eben die Beiträge aller für die verschiedenen Grenzwerte maßgebenden Belastungen aus den Beiträgen der einzeln P rasch erhalten werden können. Vergl. auch das Vorgehen im VI. Abschnitt. Über die Ermittelung der Schnittlinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke s. Beispiel 43.

d) Temperaturänderungen. Für eine beliebige Temperaturänderung r hat man neben V= V' = 0 nach § 21, 15) 16):

45 c

(1 + 6«) 4/'S

woraus in vorliegendem Falle:

45-0,035 78

1,01554-4-4,502 2

51,135 '

M = M‘ = 3,0013 H =

E ax 17,037 '

und beispielsweise mit K — 175000 kg pro qcm, a = 0,0000118 (Bruchsteingewölbe), da alsdann für Meter als Längeneinheit Ea — 175000 • 100² • 0,00001118 = 20650:

M = M' = 1212 t mkg .

H ---- 404 t kg ,

Für z — + 25° werden H = + 10100 kg, M = M' = + 30 000 mkg.

e) Bewegungen der Kämpfer. Durch eine Änderung der Spannweite um A l ohne andere als die in der Aufgabe zugelassene Bewegung der Kämpfer entsteht nach § 21, 20):

_    EM

~ (1 + 6 e)if* ~l '

während iV, M‘ wieder durch 8 bestimmt und V== V — 0 sind. In unserm Falle ergeben sich mit Rücksicht auf die Berechnung unter d):

eM

45 e

EM

51,135 • 23,758

1214,86 ’

.1/ = M‘ = 3,0013 H = —

EM

404,77

und beispielsweise mit E — 175000 • 100² kg pro qm, wenn A l in cm eingesetzt werden soll, in welchem Falle nach Einsetzen des vorstehenden E noch mit 100 zu dividieren ist:

M = M‘ — — 43 234 A l mkg .

H = — 14405 Al kg,

Für Al = 1cm werden II — — 14405 kg, M = M — — 43234 mkg.

Für andere als die oben angenommenen Bewegungen der Kämpfer wären anstatt § 21, 20) 21) die Formeln § 21, 17), 18), 19) anzuwenden gewesen, wobei nach § 21, 1) 2) im allgemeinen auch V, V' beeinflußt werden.

Bemerkungen.

Wir haben oben die Werte e, c als gegeben angenommen, weil ihre Berechnung je nach Umständen verschieden erfolgen kann, während vorstehendes Beispiel für beliebige parabolische Bogen ohne Gelenke gelten soll. In Wirklichkeit entsprechen die gegebenen e, c dem in den Beispielen 63 bis 67 be-

Parabolischer Bogen ohne Gelenke. Tabelle III. Vergleiche.

Für

Größe

Mit £ = 0 berechnet

Mit £ = 0,002590 genauer berechnet

Abweichung in %

Eigengewicht

allein

II

V= V

26284 — 4819 24095

25882 — 6026 24095

1,55

20,03

Verkehrsbelastung der ersten Bogenhälfte allein

3,4736 — 3,6472 3,8566 3,9996

3,4204 — 3,8067 3,6972 3,9996

1,55

4,19

4,31

1,0004

1,0004

ii

Verkehrsbelastung

beider

Bogenhälften

6,9472

0,2094

6,8408 — 0,1095

1,55

291,23

eine Temperatur-änderung um r

Eat

E KT

50,352

51,135

M‘

E KT

v-

16,776

17,037

eine Änderung der Spannweite um A l

ii

1196,27

1214,86

1,55

SA! EAl

V = V‘

398,58

404,77

1,55

handelten Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe und ihre Berechnung ist am Schlüsse des Beispiels 63 gegeben. Auch die übrige Berechnung hängt etwas von dem System des in Frage stehenden Bogens ab, bietet aber nach Ermittelung der Kämpferdrucklinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke (Beispiel 43

und 1) gegenüber der Berechnung von Bogen mit Kämpfergelenken nichts Neues. Über die Berechnung parabolischer Gewölbe ohne Gelenke siehe auch Beispiel 44.

Hätten wir in obigen Gleichungen e = 0 gesetzt, was der üblichen Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft und der Glieder mit r im Nenner (S. 23) oder der Vernachlässigung von X₂, Y₂, Z₂ in § 44 entspricht, so würden sich die Werte ergeben haben, welche mit den oben berechneten in der Tabelle III S. 156 zusammengestellt sind.

Die Abweichungen können hiernach für die Momente schon bei dem kleinen e = 0,00259 erheblich werden. Nun pflegen aber für eiserne Bogen wesentlich größere s als für Gewölbe einzutreten, z. B. für die Dourobrücke 0,004287, für die Öffnung IV der Cannstatter Brücke 0,012063, für die Koblenzer Brücke 0,045 63 und da sich der Horizontalschub bei Vernachlässigung von e allgemein 1 + 6 e mal so groß als nach den genaueren Formeln ergibt (bei Bogen mit Kämpfergelenken nur 1 -|- e mal so groß), so erhielte man alsdann ihn in den letzterwähnten Fällen um 2,57 °/o bezw. 7,24 % und 27,38 % zu groß, während für die Momente noch weit größere Differenzen entstünden.

Da für eine Einzellast P bei a nach § 21, 9):

(1 + 6«) 2ls

a (l — a)² (5 a — 21 — 12 Bl) ,

oder mit der Bezeichnung p :

M

__ = fl (1 -

5,u — 2 — 12 e

so folgen z. B.

2 (1 + 6 £)

für

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

mit s = 0,015

mit s = 0 Abweichungen in °/o

= — 0,062 42    — 0,06928    — 0,045 85

p 7 = — 0,060 75    — 0,064 00    — 0,036 75

19,85

2,68

7,62

— 0,01189    0,018 34

0,031 25 70,39;

100

für

0,6

0,7

0,8

0,9

mit e — 0,015

jü = 0,03611

-Jü = 0,04800 32,93

0,02672

0,00958

0,03815

0,04725 23,85

Ähnliche Abweichungen können für die übrigen Momente Mx entstehen. Wenn sich dieselben nun auch nicht in gleichem Maße auf die Normalspannungen . durch die Gesamtbelastung fortzupflanzen brauchen (vergl. am Schlüsse des Beispiels 65), so erkennt man doch, daß gerade bei Bogen ohne Gelenke e im allgemeinen nicht vernachlässigt wTerden darf. Bezüglich der Einsenkungen ergibt sich dies schon daraus, daß mit e = 0 für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last bei Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne Gelenke die Einsenkung in der Mitte e = 0 folgen würde. Vergl. Aufgabe 15 oder S. 82, 123, 149.

Bezüglich der in Tabelle III enthaltenen Größen für Bogen von anderer Achsform und anderen Querschnitten unter sonst gleichen Verhältnissen s. in Beispiel 63 die Tabelle VI.

mit e = 0

Abweichungen in %

0,03200

19,76

0,01125 17,43 .

Aufgabe 20. Einflußlinien für die Stützenreaktionen und Stützenmomente.

Es sollen die Gleichungen der Einflußlinien für die Vertikalreaktionen V, V‘ und Horizontalreaktionen H der Kämpfer, sowie für die Kämpfermomente M, M' parabolischer Bogen von konstantem Jcos (p festgestellt werden.

Wie sich die Einflußlinien der fraglichen Größen mit anderen Größen zahlenmäßig ermitteln lassen, wurde im vorigen Beispiel unter b) gezeigt. Hier handelt es sich darum, ihre Gleichungen abzuleiten, wonach jede Linie für sich verzeichnet werden kann. Es genügt, die Gleichungen für V, H, M anzugeben, da die Einflußlinien von V‘. M' bezüglich der Vertikalen durch die Trägermitte

symmetrisch zu den Einflußlinien von V, M liegen. Nach § 21, 13), 8), 9), 11) haben wir für eine Einzellast P— 1 bei a

r=~(i + 2a) (i - «)2 h =

15 d- \l — «)²

4 fß (1 + 6e) a (l — «)² (5 a — 21 — 12 e l)

⁼    3    ft'"“)³'

Dies sind bereits die Gleichungen der Einflußlinien von F, //, ilf, wobei die Ordinaten b für beliebige Abszissen a zur Unterscheidung wie jene Größen selbst

bezeichnet wurden. Setzt man y = und das Pfeilverhältnis y = <p, so folgen:

(1 + 2/f) (i -A>²,

15/t² (i —/02 ly(l + 6fij— ’    -

/t (1 — /f)³ (5/t — 2 — 12e) Z    2f

1 + 6£

(l + 6 e) 2 fl

ii =

:>

3---(1 — j«)² •

Bezüglich des Verlaufes der Linien s. beispielsweise Fig. 132, S. 154.

Die obigen Beziehungen genügen gewöhnlich zur Verzeichnung der Einflußlinien, doch können diese natürlich auch genauer untersucht werden. So

hat die Einflußlinie von V nach 1) für a — 0, y, l die Ordinaten V — 1,    , 0, so-

^a)

bei a — 0 und l horizontale Tangenten und bei a — ~ einen Wendepunkt. Gleichung 2) läßt erkennen, daß die Einflußlinie von H bei a = 0 und l die Ordinaten 0 und bei ~ ein Maximum besitzt. Aus 3) ersehen wir ohne weiteres, daß die Einflußlinie von M nicht nur bei 0 und l, sondern auch bei

wie nach

ar

die Abszissenachse durchschneidet, usw.

Beispiel 43. Kämpferdrucklinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke eines parabolischen Bogens ohne Gelenke.

Für den im vorigen Beispiel betrachteten Bogen die Schnittlinie S und die Umhüllungslinien U, U‘ der Kämpferdrücke zu bestimmen.

Nach § 21, 39) hat man als Gleichung der Kämpferdrucklinie S:

h =    f,

5

wonach in unserm Falle:

3 + 8 • 0,00259

2 • 4,502 = 5,440 m .

Die Kämpferdrucklinie ist eine in der Höhe 5,440 m über den Aclispunkten der Auflager liegende Gerade. Bei Vernachlässigung von s hätten wir b — 5,402 m erhalten. Vergl. S. 146.

Die Gleichung der Umhüllungslinie U ist nach § 21, 43) {u Abszisse,

_ 2 f 1 + 6 e 4 f 15 u

und im vorliegenden Falle mit l — 23,758 m, f == 4,502 m, e = 0,00259:

(11,879 — w)²

v Ordinate):

(t-)'

v = 1,0013 —

19,4868 u

wonach beispielsweise:

für u =    0    0,629    2,879    5,129    7,379    9,629    11,879 m:

9,324    — 0,468    0,545    0,860    0,974    1,001 m,

9,166    —0,420    0,552    0,863    0,975    1,001 m.

Die Werte der letzten Zeile hätten sich bei Vernachlässigung von e ergeben.

00

00

Da die Linie nur bis u = ~ gebraucht wird (S. 147), so genügt ihre Verzeichnung bis

u = ~ — 11,879 m. Die Umhüllungslinie V liegt bezüglich der Trägermitte

symmetrisch zur Umhüllungslinie V und wird nur im letzten Viertel der Spannweite gebraucht.

Bemerkungen. Die oben nach Beispiel 42 angenommenen Verhältnisse entsprechen dem Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe (§ 31, Beispiele 63 bis 67), welches in Wirklichkeit nicht parabolisch ist und dessen Linien S, U, U' mit der den Resultaten des Beispiels 63 entsprechenden Annäherung im Beispiel 1 ermittelt wurden (S. 12).

Für den im nächsten Beispiel behandelten Bogen entsprechend der Pruth-brücke bei Jaremcze hätten wir mit l = 67,62 m, f= 18,1215 m, e — 0,00102 in gleicher Weise wie oben erhalten die Gleichung der Kämpferdrucklinie:

b = 21,805 m,

und für die Umhüllungslinie U der Kämpferdrücke:

bei

=    0    1,81    3,81    7,81    13,81    21,81    33,81 m

— — qo    — 28,597    — 4,904    5,858    9,998    11,606    12,081 m.

Beispiel 44. Berechnung eines Bogens ohne Gelenke (entsprechend dem Gewölbe der Pruthbrücke bei Jaremcze).

Für das Gewölbe der Pruthbrücke bei Jaremcze (Fig. 164, vergl. Beispiel 22) beträgt die Spannweite der Bogenachse l — 67,62 m, der Pfeil der letzteren f— 18,1215 m, die Lagerfugen können als senkrecht der Bogenachse gelten (als Querschnitte). Es sollen für die bei der ursprünglichen Berechnung angenommenen, in Kolumne 4 und 8 der folgenden Tabelle eingetragenen Lasten, jedoch unter der Voraussetzung, daß es sich um einen parabolischen Bogen von konstantem Jcos cp handelte (siehe hierzu Beispiel 45), die Kämpferreaktionen und die Beanspruchungen a₀, au in den obersten und untersten Querschnittselementen berechnet werden: a) für die feste Last allein; b) für Verkehrsbelastung des ganzen Bogens; c) für Verkehrsbelastung der ersten Bogenhälfte; d) für Verkehrsbelastung der zweiten Bogenhälfte.

Die Normalspannungen im obersten und untersten Element der Lagerfuge x von der Höhe h und der Breite b sind unter Voraussetzung genügender Widerstandsfähigkeit der Fuge (eventuell auch gegen Zug) nach § 8, 18) 19):

<k> = —

worin nach § 21, 6), 4) für beliebige Belastung, mit

HW ©

rx = r- p,

die Normalkraft und das Moment bei x:

NX = (B+ Vx tg cp) cos <p,

Hy + 2Pct.

Mx = M + Vx x —

Für parabolische Achse hat man nach § 19, 8):

CO TP

v = -p- x(l — x),

und für beliebige Achse:

COS cp =

yi+tg² <p

Die Gleichungen 5 liefern mit den gegebenen f für beliebige x:

x (67,62 — x)

33,81 — x

tg (p =

Bezüglich der entsprechenden Ermittelungen bei kreisförmiger Achse s. Beispiel 22, S. 91.

Da die Berechnung für alle Lagerfugen im wesentlichen gleich ist, so zeigen wir dieselbe wie in Beispiel 22 nur für die Kämpferfuge, die Scheitelfuge

63,0807

31,5403

CT.'

II. Besondere Bogenarten.

¹ Die Längen a, l sind in Metern, die Lasten P in Tonnen gegeben.

10

11

12

13

14

Für das halbe Gewölbe 2216,9 30836,14 1475487 1223009092 180 3175,419 8996,149 143043,5 3029869:6642 733 131093893

C7iÜtC^Ü»O^CtO'CnCnütCnOTCn0¹tO^Ü'CtÜtÜtO^

"co

65.4975

63.8725

62.2475

60.6225

58.9975

57.3725

55.7475

54.1225

52.4975

50.8725

49.2475

47.6225

45.9975

44.3725

42.7475

41.1225

39.4975

37.8725

36.2475

34.6225

1031,55

1063,24

1089,64

1110,77

1126,61

1137,17

1142,46

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OJ^^OWOCO^OQCOOHOOI^H^GOCD

OOtK)COHCDQO^COMO^MQCO<ICD^C^

(J5LOOOOCOOOi<IK)OMOCOOGOOOJ005CD

2218620 22235587 9864052 14072318 75177164 22674899 26414833 119 913397 33025824 35205931 120916567 92416008 89916994 86510941 83994897 80974417 78963529 77424019 75908372 75180723

OCOOOOOOOCD

330,705    836,435    16286,4

179.977    - 428,602    8571,0

194,602    413,977

209,227    399,352

223,852    384,727

238,477    374,102    |    9806,8

253,102    355,477

267,727    340,852    j 10139,5

282,352    326,227    10234,6

296.977    311,602    10282,1

9996,9

8 951,2 9283,9 9569,2

299222 j 802064    14735935

171399; 408172    8162420

193547; 411733    8902684

215827    411950    9576807

238010    409059    10174356

259856    403280    10685882

281138    394853    11104257

301625    384008: 11423262

321085; 370979    11638480

339284    355992    11746888

Pa

pO — 2) s»J (» — 2) ® .r

Feste Last

CO

CO

IO

364,432 I 1461,307 ; 19724,0

232,807 1592,932    13735,2

101,182 ! 1724,557

6462,7

266225 j 1067512 ; 14408776

118432 | 810342

6987234

24219    412 789    1546912

Pa

Pruthbrticke bei Jaremcze¹.

P (l — a)

Pa Cl — a) | P«2 Q—a) J Pa (l— a* Pa? (I — a)²

Verkehrslast

und eine Zwischenfuge der ersten Bogenhälfte. Nach vorstehenden Gleichungen ergeben sich:

für

x —    0

y —    0

tggp = 1,0720 cos cp — 0,6821

während nach Beispiel 22:

h= 3,1 bh = 20,460

20,81

15,4424

0,4122

0,9245

38,81 m =    :

18,1215 m

fM

O rH

2,24 11,088

Zur Ermittelung der Vertikalreaktionen V, V‘ und der statisch unbestimmten Größen H, M, M‘ haben die in § 21 gegebenen Formeln zu dienen. Der Mittelwert von h² sei 7. Dann setzen wir den Mittelwert y:

2,1 m, 9,975 qm.

.i

ifi

und erhalten mit

V F 12    12 '

8 f ' 2

40,6010 m

nach § 19, 40) in jenen Gleichungen:

15*7

8*12

22,4795

40,601*18,1215

= 0,00102 ,

1 + 6e = 1,00612,

15

(1 + 6e)2fl3

Die weitere Berechnung hat auf Grund der in der Tabelle S. 160 gegebenen Zahlen zu erfolgen. Die a₀, au drücken wir pro qcm aus.

751637

a) Feste Last allein. Vertikalreaktionen der Kämpfer und Horizontalschub nach § 21, 33) 34):

V = V‘ — 2216,9 t, 1223009092

Endmomente nach § 21, 35):

751637

= 1627,13 t,

M — M‘ = 1627,13 • 12,081 —

1475487

67,62

= — 2162,19 mt .

0 hätten sich anstatt der beiden letzten Werte 1637,09 und 2042,59 ergeben (vergl. S. 152, 156, 157, auch S. 144, 147, 149).

Wir erhalten nun entsprechend dem oben Gesagten für die Kämpferfuge F, Mx = M:

Für s

mit Vx

Nx — (1627,13 + 2216,9 • 1,0720) 0,6821 = 2730,89 t,

20TV (²⁷³⁰’⁸⁹ -    2162,19^ = - 7,106 kg,

2öbr (^,S0'8!,+V2M2J9) = 3S-⁸⁰¹ • -

o-₀ =

für die Fuge x — 20,81 m:

Vx = 2216,9 — (114,8 + • • • + 101,9) = 562,00 t,

Nx = (1627,13 + 562 *0,4122) 0,9245 = 1718,45 t,

Mx = — 2162,19 — 562*2081 — 1627,13*15,4424 + (243,66 + • ■ • + 2037,75) = 375,04 mt,

°o =

-- ( 1718,45

110,88 V

375,04) = 24,558 kg ,

110,88

und für die Scheitelfuge mit Vx

^1718,45 +

2,24

375,04 = 6,438 „ ,

0, Nx

Mx = — 2162,19 — 1627,13*18,1215 + 30836,14 = — 812,09 mt,

^rä(I62,JS + W⁸¹²-⁰⁹)= 39,678 *■

a₀ =

Weyranch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

H:

812,09^ = — 6,949 kg,

11

b) Vollbelastung. Durch die Verkehrslast allein ergeben sich nach den unter a) angewandten Formeln die Kämpferreaktionen:

F=F' = 180t,

131093893

und die Endmomente:

751637

= 171,41 t,

143043,5 67,62    —

Damit folgen weiter für die Kämpferfuge wegen Vx — V, Mx — M:

Nx — (174,41 + 180-1,0720) 0,6821 = 250,58 t,

M=M‘ — 174,41 • 12,081 —

— 8,36 mt.

ao = ~^

br H⁵⁸

Ir⁸'³⁶)

°u =

für die Fuge x

20,81 m:

= 1,146 kg, i_(₂⁵„,5₈₊J_8,S6)=l,304

Vx = 180 — 108 = 72 t,

Nx = (174,41 + 72-0,4122) 0,9245 = 188,68 t,

Mx = — 8,36 + 72-20,81 — 174,41-15,4424 + (101,182 + - - - + 179,977) = 5,75 mt,

a₀ =

nb> (¹⁸⁸'e8 + -i⁵',s) =

1,841 kg,

U^fiS (188,68

und für die Scheitelfuge mit Vx = 0, Nx — 11:

Mx = — 8,36 — 174,41 • 18,1215 + 3175,419 = 6,49 mt,

au —

■öi⁵',5) =

1,563 „ ,

^174,41 +    6,49) = 1,934 kg ,

»k(1I4'⁴¹-irM9)-I'66s ••

Beim Zusammenwirken der festen Last und Verkehrslast erhalten wir:

V — V — 2216,9 + 180 = 2396,9 t,

H = 1627,13 + 174,41 = 1801,54 t,

M M' = — 2162,19 — 8,36 = — 2170,55 mt,

20,81

26,399

8,001

c) Verkehrslast von 0 bis m. Die Verkehrslast allein erzeugt nach §21, 8), 11), 12) den Horizontalschub und die Endmomente:

131093 893 2-751631

und bei

a₀ =

99,75

Cu = -

II o

o₀ — — 5,960 35,105

33,81 m: - 5,015 kg, 14,136 „ .

II =

== 87,211,

M = 87,21 • 12,081 —

6642 733 _ 6 7,62 ²    ”

3 029869 _ 67,62 -    —

— 399,19 mt

M‘— 87,21-12,081 —

womit nach §21, 2), 3) die Vertikalreaktionen der Kämpfer:

390,95 „ ,

(— 399,19 — 390,95 + 3175,419) = 35,27 t,

V = 180 — 35,27 = 144,73 t .

Wir erhalten nun für die Kämpferfuge wegen Vx — V, Mx — M:

Nx = (87,21 + 144,73-1,0720) 0,6821 = 165,31 t,

— 2,968 kg,

V‘ =

67,62

a₀ =

a„ =

w(¹⁶⁶-⁸¹“Xr3W9) = w(I65’“-Tr⁸H =

4,584 „ ,

für die Fuge x

20,81 m:

Vx = 144,73 — 108 = 36,73 t,

Nx = (87,21 + 36,73-0,4122) 0,9245 = 94,62 t,

Mx ----- - 399,19 + 36,73-20,81 - 87,21 -15,4424 + (101,182 + - - • + 179,977) = 227,53 mt,

o₀ =

110,88

G/i —

110,88

und für die Scheitelfuge mit Nx

(94,62+ ^ 227,53) =

⁹⁴'⁶²~W ²²⁷’⁵³) =

6,350 kg,

— 4,643 „ ,

— 35,27 t

Vx = 144,73 — 180 Mx = — 399,19 — 35,28 • 33,81 — 87,21 • 18,1215 + 3175,419 = 3,37 mt,

Jj5 (»’.²¹ + ^r^)=0,9®kg.

( 87,21--^8,87) =0,784 „ .

a₀ =

a“ 99,75

Beim Zusammenwirken der festen Last und Verkehrslast ergeben sich:

2216,9 + 144,73 =    2361,63 t,

V =    2216,9 + 35,27 =    2252,17 „ j

1627,13 + 87,21 =    1714,34 „ ,

M = — 2162,19 — 399,19 = — 2561,38 mt,

und bei

a₀ = — 10,074

°u =

M‘= — 2162,19 + 390,95 = — 1771,24 „ 20,81 30,908 1,795

38,385

33,81 m: — 5,988 kg, 40,360 „ .

d) Verkehrslast von m bis l. Mit Rücksicht auf die im vorigen Falle gefundenen Werte hat man, von der Verkehrslast allein herrührend:

H = 87,21 t,

M‘ = — 399,19 mt,

Damit folgen für die Kämpferfuge wegen Vx

Nx = (87.21 + 35,27 • 1,0720) 0,6821 =    85,28 t,

di# (⁸⁶-28 +    S90’⁹⁵) = ⁴-»⁶

(85,28 —    390,95) = — 3,282 „ ,

M = 390,95 mt,

V = 35,27 t,

V — 144,73 t.

V, Mx

M:

a₀ =

204,6

für die Fuge x

20,81 m:

Vx = 35,27 — 0 = 35,27 t,

Nx = (87,21 + 35,27-0,4122) 0,9245 = 94,07 t,

Mx = 390,95 + 35,27 • 20,81 — 87,21 -15,4424 = — 221,81 mt,

noV(M>0;

221,8l) =-4,510 kg,

11<M⁹⁴'0?+W22I’⁸¹) ⁼

und für die Scheitelfuge mit Nx

<*u =

11:

6.207 „

Vx — 35,27 — 0 = 35,27 t,

Mx = 390,95 + 35,27 • 33,81 — 87,21 • 18,1215 = 3,05 mt,

a₀ ------

y (s,-2i+-ö- s>05)=°<962k«,

ou =

k(s:'²¹

--ST 3,05 = 0,787 „ .

2,1

Beim Zusammenwirken der festen Last und Verkehrslast hat man direkt oder mit Rücksicht auf die unter c) berechneten Werte:

M= — 1771,24 mt,

V = 2252,17 t,

V = 2361,62 t,

H= 1714,34 t,

M‘ = — 2561,38 mt,

und bei

20,81

20,048

12,645

33,81 m: - 5,987 kg, 40,360

x =

o₀ — — 2,991 30,519

Da die unter c) und d) verwendeten Verkehrslasten zusammen die Verkehrslast unter b) ausmachen, so müssen die von der Verkehrslast allein herrührenden V, V', II, M, M\ Vx, JSIX, Mx, u₀, au in den Fällen c) und d) zusammen gleich den entsprechenden Werten unter b) sein (abgesehen vom Einfluß vernachlässigter Dezimalen), was zur Abkürzung der Rechnung oder, wie hier, zur Kontrolle dienen kann. Analoges gilt bezüglich der Verkehrslast für je zwei der unter e) zusammen betrachteten Belastungen, welche vereinigt die ganze Verkehrslast des Trägers ergeben würden.

4 5 6 78 910

f-\ IS,12157K

X - 20, Mm, m • 33,8177t

r'

Fig. 133.

e) Grenzwerte (ungünstigste Belastungen). Die Grenzwerte der Reaktionen V, V, H treten in den Belastungsfällen b) und a) ein. Diejenigen der Normalspannungen o₀, aH im Kämpferquerschnitt x — o entstehen nach dem auf S. 43 erwähnten einfacheren Verfahren, wenn einmal die 10 ersten, das andere Mal alle übrigen Verkehrslasten auf den Träger kommen (Fig. 133). Wir erhalten nach § 21, 8), 11), 12), 1) mit Rücksicht auf die Tabelle S. 160 und die daraus entnommenen Werte

11 423 262 +    11 638 480    + 11 746 888 =    34 808 630

384 008 +    370 979    +    335 992 =    1    110 979

301 625 +    321 085    +    339 284 =    961 994

340,852 +    326,227    +    311,602 =    978,681

für den ersten dieser Belastungsfälle:

131093893 — 34808630

2 • 751637

= 64,05 t,

M = 64,05 • 12,081 —

6642 733 — 1110979

67,62 ²

= — 436,01 mt,

3029869 — 961994 67,62 ²

- (321,54 + 436,01 + 8996,149 — 978,681) = 129,77 t ,

67,62

womit nach den oben angeführten Gleichungen mit Vx = V, Mx — M:

Nx = (64,05 + 129,77 • 1,0720) 0,6821 = 138,58 t,

~ 436,01) = - 3,447 kg,

₂oiW(i88'⁵⁸+Aiswj= 4'⁸⁰² --

Für den zweiten jener Belastungsfälle ergeben sich:

= 110,36 t,

M‘ = 64,05 • 12,081 —

321,54 „ ,

ao —

2ob»(¹’⁸-⁵‘

131093893 + 34808630

2 • 751637

31= 110,36*12,081

3029869 + 1110979

67,62 ²

= 427,65 mt,

6642 733 + 961994 67762-’

V = -r¹-— (— 329,90 — 427.65 + 3175,419 + 978,681) = 50,23 t,

67,62

und nach den obigen Gleichungen weiter:

Nx = (110,36 + 50,23 • 1,0720) 0,6821 = 112,00 t, a° ~ 2öbi0 (¹¹⁹'⁰⁰ + 77 427,65) ⁼    4,593 kg .

2oI» (¹¹²'M " W ⁴²⁷'⁶⁵) = “ ³⁴⁹⁸ * '

Beim Zusammenwirken von fester Last und Verkehrslast entstehen die Grenzwerte der Momente und Normalspannungen:

M = M‘ = — 2162,19 — 436,01 = — 2598,20 mt,

M = M‘ — — 2162,19 + 427,65 = — 1734,54 „ , a₀ = — 7,106 — 3,447 = — 10,55 kg, a₀ = — 7,106 + 4,593 = — 2,51 „ ,

,    au —    33,801 + 4,802 =    38,60 „ ,

33,801 — 3,498 =    30,30 „ .

Verwenden wir jetzt im Kämpferquerschnitt x = 0 das genauere Verfahren zur Bestimmung der ungünstigsten Belastungen für o-₀, au (Tangenten an U, V durch den unteren bezw. oberen Kernpunkt anstatt durch den Achs-punkt des Querschnitts, vergl. S. 42), dann ergeben sich für au dieselben Belastungen wie oben und damit auch dieselben Grenzwerte, während für o₀ einmal die 9 ersten Verkehrslasten (oben 10), das andere Mal die übrigen Verkehrslasten wirkend anzunehmen sind. Wir erhalten, ganz wie oben vorgehend, jedoch mit den Tabellenwerten

M‘ = 110,36-12,081 —

= — 329,90 mt,

au =

°u =

10 685 882 + •    •    • + 11 746 888 =    45 912 887

394 853 + •    •    • +    355 992 =    1 505 832

281 138 + •    •    • +    339 284 —    339 284

355,477 + •    •    • +    311,602 =    1 334158,

für den ersten dieser Belastungsfälle: H = 56,661, M — — 438,93 mt, M‘ = 293,75 mt, V = 124,15 t, Nx = 129,43 t,

°o =

204» (12M3 “ iV 4!MS) = - M2° tg ;

und für den zweiten Fall: H = 117,50t, M = 430,58 mt, M‘ — — 302,11 mt, V = 55,85 t, Nx = 121,15 t,

204» (12U5+ »j-⁴³⁰'⁵⁸)⁼⁴-“5kg'

Beim Zusammenwirken von fester Last und Verkehrslast folgen die Grenzwerte:

a₀ — — 7,106 + 4,665 = — 2,44 kg, gegen beim einfacheren Verfahren erhaltene — 10,55 und — 2,51 kg.

Im Querschnitt x — 20,81 m ergeben sich die Grenzwerte von am au nach dem einfacheren Verfahren, wenn einmal die 10 ersten Verkehrslasten, das andere Mal die übrigen Verkehrslasten auf den Träger kommen (Fig. 133). Die gleichen Belastungen lieferte das einfachere Verfahren für jetzt auch die gleichen H, M, M‘ V wie hierfür berechnet gelten. Damit erhalten wir nach den oben angeführten Gleichungen mit Rücksicht auf die Tabelle S. 160 im ersterwähnten Belastungsfall:

c₀ = — 7,106 — 3,520 — — 10,63 kg,

0, so daß

rx = 129,77 — 108 = 21,77 t,

Nx = (64,05 + 21,77 *0,4122) 0,9245 = 67,51 t,

Mx = — 436,01 + 21,77 • 20,81 - 64,05 • 15,4424 + (101,182 + • • • + 179,977) = 237,04 mt,

G° 110^88

(⁶⁷’⁵¹ + V24-²³⁷’⁰⁴) ⁼

au =

-- ( 67,51

110,88 V ’

6,334 kg, 2,24‘²³⁷’°4) = -⁵,¹¹6 - 5

und für den zweiten Fall:

VX = V = 50,23 t

Nx — (110,36 + 50,23 *0,4122) 0,9245 = 121,17 t, Mx = 427,65 + 50,23 • 20,81 — 110,36 • 15,4424 = — 231,29 mt,

¹-| 121,17

110,88 V    2,24

Go —

231,29j = — 4,495 kg ,

<**==

6,680 „ ,

Beim Zusammenwirken von fester Last und Verkehrslast entstehen die Grenzwerte :

a₀ = 24,588 + 6,334 = 30,89 kg , a₀ = 24,588 — 4,495 = 20,06 „ , au = 6,438 — 5,116 = 1,32 „ , au = 6,438 + 6,680 = 13,12 „ .

Daß das einfachere Verfahren zur Bestimmung der ungünstigsten a₀, ou im allgemeinen nicht vollständig genau ist, zeigt sich im vorliegenden Falle daran, daß wir danach die Grenzwerte von o₀ noch etwas günstiger erhielten als die Werte von a₀ in den Belastungsfällen c) und d) (30,89 und 20,06 kg gegen 30,91 und 20,05 kg). Verwenden wir nun bei x = 20,81 m das genauere Verfahren, so ergeben sich für au dieselben Belastungen wie oben und damit auch dieselben Gegenwerte. Für a₀ sind einmal die 11 ersten Verkehrslasten (oben 10), das andere Mal alle übrigen Verkehrslasten wirkend anzunehmen. Man erhält dann wie in den zwei ersten Belastungsfällen unter e) vorgehend, jedoch mit den Tabellenwerten

116 384 480 + 11 746 888 = 23 385 368 370 979 +    335 992 =    726 971

321 085 +    329 284 =    660 369

326,227 +    311,802 =    637,829,

für den ersten der erwähnten Belastungsfälle: H = 71,65 t, M — — 428,18 mt, M‘ = 347,39 mt, V = 135,08 t, Nx = 76,56 t, Mx = 238,01 mt,

a₀ =

lj» (,8>66 +    23S'⁰¹) “ 6,440 k8

und für den zweiten Fall: H = 102,76 t, 11=419,82 mt, M‘ = — 355,75 mt, V —Vx — 44,92 t, Nx = 112,12 t, Mx = — 232,26 mt,

= i (m'¹² - 2,“r “'2B) = - i60°•

Beim Zusammenwirken von fester Last und Verkehrslast sind die Grenzwerte:

a₀ = 24,558 — 4,600 = 19,96 kg,

oq = 24,558 + 6,440 = 31,00 kg ,

während wir oben 30,89 und 20,06 kg erhalten haben.

Im Scheitelquerschnitt x = 33,81 m ergeben sich die Grenzwerte von o₀, au nach dem einfacheren Verfahren, wenn einmal die 10 mittleren Verkehrslasten, das andere Mal die übrigen Verkehrslasten auf den Träger kommen (Fig. 133). In beiden Fällen haben wir zur Trägermitte symmetrische Belastungen. Man erhält nach § 21, 34), 35) mit Rücksicht auf die Tabelle S. 160 und die daraus entnommenen Werte

für den ersten Fall:

10 685 882 + • • • + 11 746 888 = 56 598 769 9 806,8    + • • • + 10 282,1 = 50 459,9

H= —

56598 769 751637

—- = 75,30 t,

M—M‘ = 75,30*12,081 —

50459,9 _ ~67)62

163,47 mt,

Mx = 163,47 — 75,30* 18,1215 + (238,477 + • • • + 296,977) = 137,56 mt,

womit nach den oben angeführten Gleichungen bei Beachtung von Vx = 0, Nx = H:

°°    99,75

°u =

^75,30 + ~ 137,56) =

k(,5’S0--ö'18W) =

4,695 kg

— 3,185 „ .

Für den zweiten Belastungsfall folgen:

II =

131093 893 — 56598 769

751637

— 99,11 t,

M = M' = 99,11 • 12,081 —

143043,5 — 50459,9

67,62

= — 171,83 mt,

und nach den obigen Gleichungen weiter:

Mx = — 171,83 — 99,10*18,1215 + (101,182 + * • • + 223,852) = — 131,07 mt, ¹    (99,11 — ~ 131,07) = - 2,761 kg,

₉9k(⁹⁹-11 + Tcr1S1'⁰⁷

a₀ =

au =

99,75

4,748 „ .

Beim Zusammenwirken von fester Last und Yerkehrslast erhalten wir die Grenzwerte:

% =

<*u =

Wenden wir nun auch auf den Scheitelquerschnitt x — 33,81 m das genauere Verfahren an, so ergeben sich wieder die Belastungen für die Grenzwerte von au und damit diese selbst wie beim einfacheren Verfahren. Für a0 sind einmal die 12 mittleren Verkehrslasten (oben 10), das andere Mal die übrigen Verkehrslasten wirkend anzunehmen. Wir erhalten wie beim einfacheren Verfahren vorgehend, jedoch mit den Tabellenwerten

10 174 356 + • • • + 11 746 888 = 66 743 125 9 569,2    + * * • + 10 282,1    = 60 029,1,

im ersten der erwähnten Belastungsfälle: H = 88,84 t, M — M' — 185,53 mt, Mx — 138,10 mt,

4,846 kg ,

= -7,;,

k(⁸⁸-⁸*+Vi38',o) =

und im zweiten Fall: H= 85,57 t, M— M‘ = — 193,89 mt, Mx — — 131,61 mt,

~ (ss,57 -    131,61) = - 2,912 kg .

Beim Zusammenwirken von fester Last und Verkehrslast entstehen die Grenzwerte :

a₀ = — 6,949 + 4,846 = — 2,10 kg,

gegen oben erhaltene — 2,254 und — 9,710 kg.

— 6,949 — 2,912 = — 9,86 kg,

Bemerkungen.

Es haben sich die in der folgenden Tabelle angeführten Gesamtwerte ergeben, wobei wie oben die Kämpferreaktionen V, V', H in Tonnen, die Kämpfermomente M, M' in Metertonnen, die Normalspannungen crp, an in Kilogramm pro Quadratzentimeter ausgedrückt sind. Die für a₀, an in den beiden letzten Kolumnen unterstrichenen Zahlen entsprechen der genaueren Bestimmung der ungünstigsten Belastungen, die darunter stehenden Zahlen dem einfacheren Verfahren (S. 43). Man sieht, daß das letztere vollständig genügt hätte, wie es sich schon für das Gewölbe mit drei Gelenken des Beispiels 22 und den Eisenbogen mit zwei Gelenken der Tabelle S. 44, 45 ergeben hat.

Größen

V' = H = M = M' =

<*H =

a)

b)

c)

d)

e)

feste Last allein

Voll

belastung

Verkehrslast von 0 bis m

Verkehrslast von m bis l

Grenzwerte

(ungünstigste Belastungen)

2216,90

2216,90

1627,13

—    2162,92

—    2162,92 -7,11

2396,90

2396,90

1801,54

—    2170,55

—    2170,55 — 5,96

2361,63

2252,17

1714,34

—    2561,38

—    1771,24 — 10,07

33,80

35,10

38,38

2252,17    2396,90

2361,63 !    2396,90

1714,34    1801,54

—    1771,24 — 2598,20

—    2561,38 — 2598,20

— 2,99    — 10,63

— 10,55 38,60

2216,90

2216,90

1627,13

—    1734,54

—    1734,54

30,52

24,56

26,40

30,91

20,05

38,60

31,00

—    2,44

—    2,51 30,30 30,30 19,96

20,81 m

°u~

6,44

8,00

1,79

12,64

— 6,95

— 5,01

— 5,99

— 5,99

33,81 m

°n =

39,57

41,14

40,36

40,36

30,89

13,12

13,12

—    9,86

—    9,71 44,32 44,32

20,06

1,32

1,32

— 2,10

— 2,25 36,39 36,39

Werden die ungünstigsten Belastungen wie unter e) bestimmt, so brauchen die Belastungsfälle c) und d) natürlich nicht behandelt zu werden. Sie wurden hier, wie schon in Beispiel 22, berücksichtigt, weil für Gewölbe häufig nur einige im voraus gewählte Belastungsfälle in Betracht gezogen wurden, und um die hierbei entstehenden Abweichungen beurteilen zu lassen. Im vorliegenden Falle hätten wir, soweit die Berechnung reicht, mittels der Belastungsfälle a) bis d) die Beanspruchungen 41,14 und — 10,07 kg anstatt der genaueren Grenzbeanspruchungen des Bogens 44,32 und — 10,63 kg, im Scheitel aber nur die Zugbeanspruchung — 6,95 anstatt — 9,86 kg erhalten. Doch wurden oft noch weniger Belastungsfälle als oben berücksichtigt, und ist zu beachten, daß hier das Verhältnis des Eigengewichts zur Verkehrslast größer als in vielen anderen Fällen war (g : p = 12,3:1), bei kleinerem Werte dieses Verhältnisses aber größere Abweichungen entstehen können.

Das am Schlüsse des Beispiels 22 bezüglich der Stützlinie, des Winkels <5 der resultierenden Schnittkraft gegen die Normale zum Querschnitt und die größten Quer- und Längsschubspannungen r Gesagte läßt sich in analoger Weise auf das vorliegende Beispiel anwenden.

Beispiel 45. Anwendung der Formeln für parabolische Bogen bei andern Bogen (Pruthbrücke bei Jaremcze).

Es ist die Frage gestellt, ob die kreisförmigen Bogen der Pruthbrücke bei Jaremcze als parabolische Bogen hätten berechnet werden dürfen.

Verwenden wir die im vorigen Beispiel für den Parabelbogen von gleichen l, f wie die Pruthbrücke gefundenen M, H, indem wir der Berechnung im übrigen die in Beispiel 22 ermittelte kreisförmige Achse zugrunde legen, so ergeben sich für den Belastungsfall a) die Vx wie im vorigen Beispiel und in der Lagerfuge x — 20,81 m mit Vx — 562 t:

Nx — 592-0,3202 + 1627,13-0,9474 = 1721,50 t,

Mx = — 2162,19 + 562 • 20,81 — 1627,13 • 15,9840 + (243,66 + • • • + 2037,75) = — 506,22 mt,

= 3,39 0/o

881,26 • 100

1627,13 • 15,984

die ganze Änderung wieder rückgängig gemacht hätte, so erkennt man, daß die Berechnung stets auf Grund der wirklichen Achsform durchzuführen ist, was nach den in §§ 49, 50 gegebenen Formeln für beliebige Querschnitte und beliebige Achse keine Schwierigkeiten bietet (Beispiele 63—67, und 1, 98, 99). Selbst für sehr flache Bogen sollten höchstens die statisch unbestimmten Größen H, M, M‘ nach den Formeln für Parabelbogen berechnet, für y, cp aber die der wirklichen Achse entsprechenden Werte angeführt werden. Für Gewölbe kommt dabei besonders in Betracht, daß man die Druckverteilung behufs Vermeidung größerer Zugspannungen genügend genau kennen muß. Nachdem die Achs-verhältnisse und Größen H, M, M‘ bekannt sind, kann die übrige Berechnung natürlich ganz wie im letzten Beispiel durchgeführt werden. Die für Parabelbogen gültigen Schnittlinien und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke lassen sich häufig auch bei etwas anderer Achsform verwenden, da die Lasten in der Nähe der Belastungsgrenzen nur wenig beitragen, kleine Änderungen der letzteren also ohne wesentlichen Einfluß sind. Bezüglich der Ermittelung jener Linien für Bogen von beliebiger Achsform und beliebigen Querschnitten s. Beispiel 1.

Beispiel 46. Einfluß von Temperaturänderungen (Koblenzer Brücke). Den Einfluß von Temperaturänderungen bis r = + 30⁰ auf die in Beispiel 30 betrachteten Bogen der Koblenzer Brücke unter der Annahme zu ermitteln, daß bei gleichen Dimensionen und parabolischer Achse anstatt der Kämpfergelenke festgespannte Enden angeordnet wären.

Unter den erwähnten Voraussetzungen hat man nach §21, 16):

,    E e    lo

M = M‘^T+e71Tf

Im vorliegenden Falle ergeben sich mit 1 = 98,0775 m, f— 8,91614 m, c = 0,36497 m⁴, e = 0,045 63, E = 2000000 kg pro qcm,

(c r

(l721,50 —    506,22j = 3,297 kg ,

nssr(I721'⁶⁰+2ST⁵⁰⁶>²²) =

während für den parabolischen Bogen erhalten wurden: Nx — 1718,45 t, Mx = 375,04 mt, a₀ = 24,558 kg, au = 6,438 kg. Die Abweichung von Nx beträgt hiernach nur 0,18%, dagegen ist infolge des um 15,9840 — 15,4424 = 0,5416 m größeren y eine Änderung des Moments um — 1627,73-0,5416 = —881,26 mt eingetreten, der Angriffspunkt von Nx liegt zufolge § 8, 1) im ersten Falle um

375,04 1718,75~

506,22 1721,50

der Bogenachse, wodurch sich die Verteilung von Nx auf die Fuge vollständig geändert hat.

Nun sind aber auch die verwendeten M, H für den Kreisbogen nicht genau, und da eine Verkleinerung von H um

im zweiten um

110,88

au —

27.755 „

== 0,218 m oberhalb.

= 0,294 m unterhalb

0,000012 (Beispiel 30):

2 000 000 -100²- 0,364 97 -15 -0,000 012 _    1313892

1,273 78-2 *8,91614

_ 57 844,01*3 ~    8,91614 • 2 T

22,7144

c — 57 844,01 c mkg ,

= 9731,33 t kg,

und für r = + 30°:

H=± 291940 kg .

M=± 1735320 mkg,

Bei Vernachlässigung von e hätten sich M, II 1,27378 mal so groß wie hier, das heißt um 27,38 % zu groß ergeben.

Nach § 21, 1), 2), 16) ist die Temperaturänderung auf die Vertikalreaktionen

der Kämpfer ohne Einfluß, wogegen nach § 21, 4), 6) und § 1, 10) allgemein und speziell für r = 30⁰ mit vorstehendem M, H:

Mx — M — H ij — 1735 320 — 291940 y mkg,

Nx = H cos <p = 291940 cos 5p kg,

Tx = — H sin <p = — 291940 sin <p kg.

Das Moment Mx ändert sich also von M — 1735320 mkg an den Kämpfern bis 1 735320 —191940 • f = — 867658 mkg im Scheitel, während auf der gleichen Strecke Nx von 291940 cos <p₀ bis 291940 kg wächst und Tx von — 291940 sin 9o₀ numerisch bis 0 abnimmt.

Für die Beanspruchungen des Obergurts und Untergurts durch Temperaturänderungen gelten wie in Beispiel 30:

Ar

also in unserm Falle für r —30° mit obigen Ausdrücken von Nx, Mx und h — 2,97214 m :

O = 145 970 cos <p + 583 862 — 98226 y kg,

V = 145 970 cos (f — 583862 + 98226 2/ „ .

Man erhält z. B. im Scheitel mit (p = 0, y — f = 8,91614 m:

U = 437 605 kg ,

O = — 145965 kg,

und, weil die Gurtungsquerschnitte daselbst f₀ = fu — 768,13 qcm sind, pro qcm: im Obergurt

145965

im Untergurt

768,13 437 605

— 190,0 kg (Zug),

=    569,7 „ (Druck).

768,13

Bei x — 0 hat man y = 0 und nach § 19, 8):

cp₀ = 190 58' 59«

tg5Po = - J cos = 0,939 71

sin <p₀ = 0,34193,

womit die ganzen Beanspruchungen des Obergurts und Untergurts an den Kämpfern:

0 = 721031 kg,

und wegen f₀ — fu — 800,624 qcm pro qcm:

U = — 446693 kg,

721031 '800,624 446693 800,624"

Für t = —30° wechseln alle Beanspruchungen ihr Vorzeichen.

Da bei der Berechnung der Koblenzer Brücke die höchste zugelassene Beanspruchung pro qcm (für Zusammenwirken von Lasten und Temperaturänderungen) nicht über 783 kg betrug, so würden die jetzigen Querschnitte der Koblenzer Brücke bei eingespannten Enden nicht einmal überall zur Übertragung der von den Temperaturänderungen bis r = + 30° allein (ohne jede Belastung) herrührenden Beanspruchungen mit der vorgeschrieben gewesenen Sicherheit genügen.

im Obergurt

im Untergurt

==    900,6 kg (Druck),

= “ 557,9 „ (Zug).

Aufgabe 21. Stützlinie für Temperaturänderungen bei Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenke.

Es sind die dem Einflüsse der Temperaturänderungen allein entsprechenden Stützlinien zu ermitteln: a) für den symmetrischen Bogen mit Kämpfergelenken; b) für den symmetrischen Bogen ohne Gelenke.

Die Stützlinie ist die Verbindungslinie der Angriffspunkte der resultierenden Schnittkräfte Rx, und damit auch der Normalkräfte Nr und Transversalkräfte Tx in allen Querschnitten. Man hat nach § 8, 1) für die Entfernung dieses

Angriffspunktes vom Achspunkte im Querschnitt x, gemessen in der Querschnittsebene:

Ar ’

wobei die c nach oben positiv, nach unten negativ gerechnet werden.

a) Bogen mit zwei Gelenken. Für diesen Fall hat man (vergl. Beispiel 30) von der Temperaturänderung allein herrührend:

Mx=-Hy,

so daß nach 1:

Nx = H cos <p ,

Ol CO

COS Cp

Dieses Resultat war vorauszusehen, da durch Temperaturänderung bei Bogen mit zwei Gelenken nur ein in den letzteren angreifender Horizontalschub, keine

E_

-a*

f\ StüizÜnie

f\ \

x m

Stütztiru:e

"m

Fig. 135.

Fig. 134.

Vertikalreaktionen und keine Endmomente entstehen, so daß nach § 1, 11), 12) mit Vx — 0 für den Richtungswinkel und die Größe der resultierenden Schnittkraft bei x:

tg if> = o,

SX = B.

Die Stützlinie ist nach 3 die horizontale Verbindungsgerade der Gelenkpunkte (Fig. 134).

b) Bogen ohne Gelenke. Für solche sind die Momente und Normalkräfte durch die Temperaturänderung ausgedrückt (vergl. Beispiel 46):

Nx = JET cos 9d ,

MX=M-Sy,

wonach Gleichung 1 mit der Bezeichnung v — ^ für die Stützlinien liefert:

V — 1J

c =-

cos cp

Die Stützlinie ist hier eine in der Höhe v über den Achspunkten der Endquerschnitte hinlaufende Gerade (Fig. 135). Für Parabelbogen von konstantem Jcos cp

hat man nach § 21, 16) v = -- f, für symmetrische Bogen von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten nach § 49, 37) v = B : A. Die Gleichungen 4 gelten auch für Bogen ohne Gelenke.

Beispiel 47. Einsenkungen parabolischer Bogen (Koblenzer Brücke).

Die in Beispiel 34 (S. 132) verlangten Einsenkungen für den Fall zu berechnen, daß anstatt der Kämpfergelenke festgespannte Enden angeordnet wären.

Eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit erzeugt nach § 21, 52) die Einsenkung:

1 + 6 £ 64 E c

also im vorliegenden Falle mit l — 98,0775 m, c = 0,36497 m⁴, e = 0,04568, E — 2000000 kg pro qcm:

_ 0,045 63 _____

e ~~ 1,273 78    64 • 2 000 000 • 100² • 0,364 97

beispielsweise für die feste Last von u

u • 98,0775⁴

= 0,000007 007 5 «m = 0,000 700 75 w cm

3983 kg:

e = 2,791 cm ,

und für Vollbelastung des ganzen Bogens mit u = 7169 kg:

e --= 5,024 cm ,

während sich für den gleichen Bogen bei Anwendung von Kämpfergelenken 2,869 und 5,164 cm ergeben haben.

Durch Belastung der ersten Trägerhälfte mit u, der zweiten mit u‘ entsteht nach § 21, 53):

wonach in unserm Falle:

u + tl‘ I?

1 + 6 e 128 Ec ’

3983 + 7169

e = 0,000 70075

wie auch aus a und b zu entnehmen war (Mittel).

Eine Temperaturänderung r liefert nach § 21, 55):

(f+———i

V 64f 1 + 6s J

und mit l = 11 f = 11- 8,91614 m, a = 0,000 012 in Meter:

15-112    \

63 • 1,273 78 ) ’

= 3,906 cm ,

€ = — Ct X

e = — 0,000 012 • 8,91614 %

(1 +

und speziell für r = + 30°:

e = — 0,2489 t cm,

e = + 7,467 cm,

gegen + 7,575 cm bei zwei Gelenken.

Eine Änderung der Spannweite um A l ohne sonstige Bewegung der Bogenenden hätte nach § 21, 57) zur Folge:

151 M

64 f l + 6s

also mit den jetzt geltenden Zahlen:

15-11 Al 64    ij273 78

— = 2,0240 A l,

und beispielsweise für Al = 2 cm:

e = 4,048 cm ,

gegen 4,109 cm bei zwei Gelenken.

Während also für gleiche Dimensionen und Einwirkungen die Beanspruchungen ohne Gelenke bedeutend größer als bei zwei Gelenken werden können, (Beispiel 46), sind die Einsenkungen in der Mitte bei Bogen ohne Gelenke zwar etwas geringer, aber nicht so bedeutend, daß darin ein ausschlaggebender Grund für die Vermeidung von Kämpfergelenken läge (vergl. Beispiel 49).

Beispiel 48. Einsenkungen eines parabolischen Bogens ohne Gelenke (Verhältnisse des Wiener Bruchsteinversuchsgewölbes).

Für den in Beispiel 42 behandelten Bogen ohne Gelenke die Einsenkungen in der Mitte durch das Eigengewicht allein, durch die dort angenommenen Verkehrsbelastungen, durch eine Temperaturänderung r und durch die in Beispiel 42 erwähnten Änderungen der Spannweite und Stützhöhen zu berechnen.

a) Für'eine beliebige symmetrische Belastung hat man nach § 21, 50):

--Vs Pa? (31

24: Ec Lo

woraus in unserm Falle mit Biicksicht auf die Tabelle I in Beispiel 42 (S. 153) und den dort berechneten Horizontalschub H für Eigengewicht allein:

234 870

— 4 a) —

-V].

(3-23,758-897 048 - 4-7 712459 — 25582• 2,251 • 23,758²) =

24 • 0,035 78 E

und mit E— 175000 pro qcm (Bruchsteingewölbe):

234870

175 000 • 100-' m

b) Gleichung 1 läßt sich auch schreiben:

= 0,013 cm .

Für die in Beispiel 42 unter c) behandelte symmetrische Verkehrsbelastung hat man mit Rücksicht auf die dortige Tabelle II (S. 154):

2 P cP (l — «) = P    + 173,07 + 490,07 + 891,84 -f 1310,01 +

o    V ^

1676,26 \

-₂—J = 3707,70 ,

2PcP=P (0,396

141,111

+ 8,289 + 26,307 + 54,450 + 92,718 +

= 252,517,

und mit dem dort berechneten II:

Kl

(4 • 3707,70 — 23,758 • 252,517 - 6,8408 • 2,251 • 23,758 ²) = 162,894

24 • 0,035 78 E

also beispielsweise für P — 3430 kg, E = 175000 • 100² kg pro qm:

= 0,032 cm .

162,894-3430 175000 -100 2 m

c)    Da bei symmetrisch zur Trägermitte liegender Belastung die Belastungen beider Trägerhälften gleichviel zur Einsenkung in der Trägermitte beitragen, so liefert die in Beispiel 42, S. 154 unter c) erwähnte einseitige Belastung:

0,032

-— = 0,016 cm .

(- ,15 Z² \

e = — az \f A—--------,

V ‘ 64f 1 + 6e J '

d)    Die Einsenkung in der Trägermitte durch eine beliebige Temperaturänderung z ist nach § 21, 55):

also im vorliegenden Falle:

e = — ci % ^4,502 -\-

15-23,758 ²

und für a = 0,0000118:

64-4,502-1,01554

= — 34,437 a t ,

e = — 0,000406 i m = — 0,0406 z cm ,

beispielsweise für r = + 25°: e — + 1,015 cm.

e) Durch die in Beispiel 42 angenommenen Änderungen Al, Ah der Spannweite und Stützhöhen ergibt sich nach §21, 57):

_ 15 Z M

e 647 1 + 6e 2 '

Ah

also in unserm Falle:

15 • 23,758 A l 64-4,502    1,01554

A lc

— = 1,218 Al — 0,5 Ak,

und beispielsweise für Al = 1 cm, Ah — 0: e = 1,218 cm.

Bezüglich der Einsenkung von Bogen mit anderer Achsform und anderen Querschnitten unter sonst gleichen Verhältnissen s. Beispiel 99.

Aufgabe 22. Einflußlinien der Einsenkungen parabolischer Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne Gelenk.

Die Gleichungen der Einflußlinien für die Einsenkungen e in der Mitte parabolischer Bogen vom Mittelwert c des Ausdrucks Jcos (p und die Tangenten der Neigungswinkel dieser Linien für beliebige Abszissen « festzustellen.

Da die fraglichen drei Einflußlinien symmetrisch zur Vertikalen durch die Trägermitte sind, so genügt es, ihren Verlauf auf der ersten Trägerhälfte zu kennen. Nach § 19, 34), § 20, 56) und § 21, 50) hat man die Einsenkung in der Mitte durch eine beliebige symmetrische Belastung für Bogen mit drei Gelenken:

6Ecl Lo    ⁴⁰ o J

für Bogen mit zwei Gelenken (H nach § 20, 35):

für Bogen ohne Gelenke (H nach § 21, 34):

24 Ec

rm    j    -l

ySPcP (31 — 4a) — — Hfl²J .

Da die Einsenkung in der Mitte durch eine Einzellast P bei a halb so groß ist als die Einsenkung durch diese und eine gleich große zu ihr symmetrisch gelegene Last, so folgen aus 1 bis 3 mit P=1 die Gleichung der Einflußlinie auf der ersten Trägerhälfte für Bogen mit drei Gelenken:

-— r «2 (i

12 Ecl L

— a) —

³-™±is],

40 J ’

für Bogen mit zwei Gelenken:

b=—“—r

48Ec L

3 P — 4 a- —

25

(1 + £) 81

(l — «) (P + 1 ff — ff²)J ,

für Bogen ohne Gelenke:

, o² r

b =- 31

48Ec L

— 4 ft —

15

(l - ff)²] .

(1 + 6£) 4Z

Durch Differentiation dieser Ausdrücke nach a ergeben sich die Tangenten der Neigungswinkel unserer Einflußlinien an beliebigen Stellen a der ersten Trägerhälfte für Bogen mit drei Gelenken:

db

=    13 lefi

\2Ecl L

— 4 ff³----

für Bogen mit zwei Gelenken:

db

=—i— \p

1 6Ec L

— 4 ff² —

25

(1 + s) 241

(ß — 6Zff² + 4ffS)j ,

für Bogen ohne Gelenk:

(/-’ — 3 / « + 2 ff²)] .

Nach 4 bis 6 beginnen alle drei Einflußlinien bei a — 0 mit b — Weiter ergeben unsere Gleichungen:

db

d ff

^r₂z

16Ec L

— 4« —

(1 + Ge) 21

05

ohne Gelenk

bei drei Gelenken bei zwei Gelenken

für a = 0

db

3 — 32 £ p

1 — 24 £

d ff

480 Ec

l + e 384 E c

für a — m

7 + 32 £ P

d ci

480

1 + 96 £ P 1 + 6e 3Ö72~Ec ’

Die Einflußlinie besitzt also für Bogen mit zwei Gelenken in der Mitte, für Bogen ohne Gelenk in der Mitte und an beiden Kämpfern horizontale Tangenten, während die Einflußlinie für Bogen mit drei Gelenken in der Mitte eine Ecke aufweist (vergl. Fig. 186).

Für die zahlenmäßige Berechnung kann mitunter bequem sein, zu setzen a — /a,1 (Aufgabe 20, Beispiel 33) oder l = nA, a = md (Beispiel 119). Bezüglich des Verlaufes der Linien s. beispielsweise Fig. 136.

für a = vi

1 + 16 £    ß

480 ~Ec

3 + 128 £    7³

l+ £    G144 Er

Beispiel 49. Einflußlinien von Einsenkungen parabolischer Bogen mit drei Gelenken, zwei Gelenken und ohne Gelenk.

Für einen parabolischen Bogen von l — 28,758 m Spannweite, c — 0,035780 Mittelwert von Jcos <p für Meter als Längeneinheit, £ = 0,002590 und E—1750000 t pro qm (entsprechend dem in den Beispielen 63—67 behandelten Wiener Bruchsteinversuchsgewölbe) sollen die Einflußlinien der Einsenkung e in der Bogenmitte für die drei Fälle verzeichnet werden, daß der Bogen drei Gelenke, zwei Gelenke oder kein Gelenk erhielte.

In den Gleichungen 4 bis 6 der vorigen Aufgabe hat man mit den gegebenen Zahlen, wenn Meter als Längeneinheit und Tonnen als Lasteinheit gelten:

Ec = 1750 000 «0,035 78 = 62615,

48 Ec = 48• 62615 = 3005520,

12 Ecl= 12.62 615*23,758 = 17851286,

3 7² = 3 • 23,758 ² = 1693,33 , 3 — 32 e

31 = 3-23,758 = 71,274,

3 — 32 • 0,002 59

40

40

23,758 ³ = 977,96

25

25

(1 + s) 8 7    1,002 59 -8 • 23,758

= 0,131195,

_²⁵_,2

(1 + e) 8 7

= 0,131195 • 23,758 = 74,052

15

15

= 0,155426 .

(1 + 6«) 4 7    1,01554-4-23,758

Die Gleichungen bestehen damit für die Einsenkungen in Meter. Sollen diese in Zentimeter ausgedrückt werden, so haben wir rechts mit 100 zu multiplizieren und erhalten als Gleichungen der Einflußlinien von e für Bogen mit drei Gelenken:

178 513

[«² (7 — ff) — 977,96],

für Bogen mit zwei Gelenken:

30055

für Bogen ohne Gelenke:

[1693,33 — 4 «² — 74,052 (7 - d) — 0,131195 a (7 — ff)²] ,

ff²

30055

[71,274 — 4 n — 0,155426 (7 — «)²] .

Diese Gleichungen liefern mit Rücksicht auf Tabelle II des Beispiels 42 (S. 154) für a — 0,629 m:

0,629

178513

(9,16 — 977,96) = — 0,00341 ,

0,629

30055

(1693,33 — 4 • 0,396 — 74,052 • 23,129 — 0,131195 • 336,48) = — 0,00136 ,

0,396

30055

(71,274 — 4-0,629 — 0,155426-534,951) = — 0,00019 .

In gleicher Weise sind die übrigen Ordinaten b der Einflußlinien von ein nachstehender Zusammenstellung berechnet.

Für

0,629

2,879

7,379    9,629    11,879 m

5,129

bei 3 Gelenken b = —0,00341 —0,01298 -0,01402 —0,00356 0,01791 0,04647 bei 2 Gelenken b = —0,00136 —0,00485 —0,00426 ohne Gelenke 6 ——0,00019 —0,00221 —0,00278

0,00010 0,00768 0,01158 0,00011 0,00534 0,00857.

Die drei Linien sind in Fig. 136 verzeichnet.

Man erhält beispielsweise die Einsenkung in der Mitte des Bogens ohne Gelenke durch beliebige gleiche Lasten P in allen Punkten der vorstehenden Abszissen a mit Ausnahme der

o.

Mt

Einflußlinüvis für die Einsenfauu/ in den Mitte

beiden äußersten, wo nur 9 wirken:

0,00019

— 0,00221 — 0,002 78

0,008 57 \ _

2 J

0,004 65 P,

+ 0,00011 + 0,00534 +

und speziell für P — 3,43 t:

<? = 0,004 65 • 3,43 = 0,016 cm ,

in Übereinstimmung mit der anderen Berechnung in Beispiel 48.

Fig. 136.

§ 22. Bogen mit Zugstange.

Es sind dies Bogen mit Endgelenken, deren Horizontalschub H nicht durch die Widerlager, sondern durch eine horizontale oder gesprengte Zugstange aufgenommen wird (Fig. 137—140, 275—278) b Der aus Bogen und Zugstange zusammengesetzte Träger erhält ein festes und ein horizontal verschiebbares Gelenkauflager, so daß bei beliebiger Belastung nur vertikale Stützenreaktionen entstehen (womit der kombinierte Träger als Balken wirkt, S. 2), was für die Stabilität der Stützen und die Beanspruchung des Eundamentbodens günstig ist. Da dies aber auch durch gewöhnliche Balkenträger, z. B. Balkenfachwerke von Segmentform oder Sichelform, erreicht werden kann, so pflegen für die Anwendung solcher Träger noch ästhetische, konstruktive oder sonstige Gesichtspunkte in Betracht zu kommen. Bei Brücken mit untenliegender Fahrbahn beispielsweise sollte eine Störung der Aussicht oder des Querverkehrs durch schiefe Füllungsglieder vermieden werden, auch wollte man mitunter die Unterstützungen der Zwischenträger näher als bei entsprechenden einteiligen Balkenfachwerken bringen. Der Bogen mit Zugstange kann als vollwandiger Bogen oder Bogenfachwerk angeordnet werden, hier haben wir es nur mit dem ersten Fall zu tun (über Bogenfachwerke mit Zugstange s. Aufgabe 38).

Während die Stabkraft in einer horizontalen Zugstange überall gleich dem Horizontalschub H ist, ergibt sie sich bei gesprengter Zugstange für jeden Abschnitt der Länge £ und Horizontalprojektion X zwischen zwei aufeinander folgenden Knotenpunkten aus der Gleichgewichtsbedingung

gegen horizontale Verschiebung für einen anliegenden Knotenpunkt H-. Man hat also die Zugkraft:

r    C

bei horizontaler Zugstange Z = H, bei gesprengter Zugstange Z —    1

wonach Z im zweiten Falle mit £ : X am größten in den Endfeldern wird. Zu beachten ist, daß die Zugstange neben den Normalspannungen durch Z auch Biegungsspannungen erleidet, schon infolge des eigenen Gewichts, die sich aber durch Zwischenaufhängung vermindern lassen (Fig. 137—140).

Ist die Zugstange vom Querschnitt Fz, Elastizitätsmodul E und Ausdehnungskoeffizienten a horizontal, dann erzeugen der Horizontalschub H und eine Temperaturänderung xz der Stange die Längenänderung:

Al={-m+a^L

Hierbei ist vorausgesetzt, daß keine Änderung der Spannweite durch Einsenkung der Zugstange in Betracht kommt, was eventuell durch die Zwischenaufhängung erreicht wird. Ist dagegen die Zugstange gesprengt, dann folgt die Längenänderung des Stangenabschnittes der anfänglichen Länge £ und Beanspruchung Z in einem beliebigen Feld:

( EFg- ⁰⁵ u) ^

¹ Bezüglich anderer Bogenarten mit Zugstange siehe § 23.

und die Änderung seiner Horizontalprojektion:

O'f

oder bei Beachtung von 1:

EF°

Als Summe aller dieser Änderungen folgt, wenn z die anfängliche Gesamtlänge der gesprengten Zugstange bezeichnet:

Al

f axzl

Hz

EFZ

welcher Ausdruck für z =1 (horizontale Zugstange) in 2 übergeht.

Für eine starre Zugstange würden die Gleichungen 1, 2 wegen E = oo, a = 0 selbstverständlich die Änderung A l = 0 ergeben, woraus schon folgt, daß ein Bogen mit starrer Zugstange sich wie ein Bogen ohne Zugstange mit unnachgiebigen Widerlagern verhielte. Wir wollen jedoch im folgenden für Bogen und Zugstange Material gleicher E, a voraussetzen, während die Temperaturänderungen t, tz beider Teile verschieden zugelassen werden. Da die Zugstange vor unmittelbarer Einwirkung geschützt oder in einem geheizten Baume liegen kann, so sind solche Verschiedenheiten nicht ausgeschlossen.

Dreigelenkbogen mit Zugstange. Erhält der betrachtete Bogen außer den Endgelenken noch ein Zwischengelenk (Fig. 137, 138), so entsteht eine statisch bestimmte Trägerart. Der Horizontalschub H wie

OTT

0\

T

\V'

Fig. 138.

Fig. 137.

sämtliche Schnittkräfte und sonstigen Beanspruchungen können dann ganz wie bei Dreigelenkbogen ohne Zugstange (§ 19) berechnet werden, auch die Kämpferdrucklinie hat den gleichen Verlauf. Die Einsenkungen folgen aus den allgemeinen Beziehungen für die Formänderungen von Dreigelenkbogen (§§ 40, 45, 48) mit Rücksicht auf obige Al (vergl. Aufgabe 24), doch dürften sie nur selten von Interesse sein.

Zweigelenkbogen mit Zugstange. Für diese ergeben sich gegenüber Zweigelenkbogen ohne Zugstange (§ 20) nur insofern Änderungen

0\

V\

Ir

Fig. 140.

Fig. 139.

der Schnittkräfte und sonstigen Beanspruchungen, als der Horizontalschub R anders ausgedrückt ist. Es genügt also, diese Ausdrücke und die

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

i Pa (l-a)(l² + la-er — ß l²) der von einer beliebigen symmetrischen Belastung herrührende Hori-

11 =

zontalschub mit m = — (vergl. S. 79):

L—

a)(P + la-a² — ßl²)

und der von beliebten Temperaturänderungen t, t₂ des Bogens und der Zugstange herrührende Horizontalschub:

II

davon abhängige Gleichung der Kämpferdrucklinie anzuführen, während im übrigen auf § 20 verwiesen werden kann, dessen Bezeichnungen im folgenden beibehalten werden. Die Einsenkungen lassen sich unter Verwendung obiger A l aus den allgemeinen Beziehungen für die Formänderungen von Zweigelenkbogen entnehmen (§§ 40, 45, 48, vergl. Aufgabe 23).

Für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos cp (Mittelwert c) hat man nach § 42, 18) im allgemeinsten Falle:

15 Ec

11 =

(l+£)8^³ o

2Pa (J— a) (l² -\-la — a² — ß l²) -j

(l + *)8f²

Ct T

Al

worin wie in den folgenden Ausdrücken bezüglich ß, s und ihrer Vernachlässigung das in §§ 20, 43 Gesagte gilt. Führen wir Al nach 2, 3 ein und setzen zur Abkürzung:

bei horizontaler Zugstange

15y^

Fz ’

15c 2

so ergeben sich in beiden Fällen der von einer beliebigen Belastung herrührende Horizontalschub:

ä = (1 + £)8/-² +

„ gesprengter

A = (l + e)8/"4

Gleichung 6 liefert mit Rücksicht auf § 18 für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit:

11=

und für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte:

U-\-u‘ ,₇2 2 h ’

11=

('-Iß)

10

während für die Stützenreaktionen V, V, die Vertikalkraft Vx und das Moment Mx im ersten Falle die Gleichungen § 20, 20)—22), im zweiten Falle die Gleichungen § 20, 28)—30) gelten.

H=    a) (P + la — a² — ßl²)

V=P

Für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a hat man nach § 20, 2) und obigem Ausdruck 6: l — a

womit bei Vernachlässigung von ß nach § 20, 46) die Gleichung der Kämpferdrucklinie:

5 f l² -\- la — «2 der Vergleich mit § 20, 47) daß alle Ordinaten

11

mal so groß

li

(i + *)sr²

sind als bei parabolischen Zweigelenkbogen ohne Zugstange.

16 EJ

{ail — Al),

Wir wollen hier nur noch den Halbkreisbogen mit konstantem Trägheitsmoment (Mittelwert J) behandeln, indem wir bezüglich des Bogens mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten auf Aufgabe 32 verweisen (über Bogenfachwerke mit Zugstange siehe Aufgabe 38). Für den Halbkreisbogen hat man nach § 41 im allgemeinsten Falle:

n lA

worin wieder Al durch 2, 3 bestimmt ist. Setzen wir zur Abkürzung:

bei horizontaler Zugstange

16 J

FZV

12

13

„ gesprengter

so folgt in beiden Fällen der von einer beliebigen Belastung herrührende Horizontalschub:

der von einer beliebigen symmetrischen Belastung herrührende Hori-.zontalschub:

11=

14

APa (l — a)

15

7t ftl² ₀

und der von beliebigen Temperaturänderungen t, %z des Bogens und der Zugstange herrührende Horizontalschub:

16 J

7t ft, l²

Gleichung 14 liefert mit Rücksicht auf § 18 für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit:

2    ul

3    7t fl

und für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte:

Ea{t — Tz).

16

II

17

_(¹¹ ~l~ u

3 7t ft ’

18

während bezüglich der Stützenreaktionen V, V‘ der Vertikalkraft Vx und •des Moments Mx das nach 10 Gesagte gilt.

Für eine Einzellast P bei a hat man nach § 20, 2) und obiger Gleichung 14:

7-^PaQ — a)

71 (il¹

womit nach § 20, 46) die Gleichung der Kämpferdrucklinie:

6 = -^    0,7854^ Z.

Die Kämpferdrucklinie ist eine horizontale Gerade, deren Höhe über den Gelenkmittelpunkten fi mal so groß wie ohne Zugstange ist.

Liegt gerade in der Mitte des Bogens eine konzentrierte Last, so ist dem Begriffe der Symmetrie entsprechend nur die Hälfte derselben

m

in die Summen 2 von 7, 15 aufzunehmen. Für z — zz ergeben 8, 16

0

den Horizontalschub durch Temperaturänderungen H = 0, wonach durch diese auch keine Spannungen entstehen. Der Horizontalschub durch Belastung des Bogens mit Zugstange ist unter sonst gleichen Verhältnissen kleiner als beim Bogen ohne Zugstange mit unnachgiebigen Widerlagern, was an dem elastischen Nachgehen der Zugstange liegt. Er entfernt sich von dem VTerte für den letzteren Bogen um so mehr, je kleiner der Querschnitt Fz der Zugstange gewählt wird. Für Fz — co wären der Horizontalschub durch Belastung und die Berechnung des Bogens mit Zugstange genau wie für den Bogen ohne Zugstange mit unnachgiebigen Widerlagern, während der zweite Grenzfall Fz = 0 mit fi = oo dem gewöhnlichen Balken mit frei drehbaren Enden entspricht.

Beispiel 50. Verschiedenheit der Berechnungen von Bogen mit und ohne

Zugstange.

Behufs Klarstellung der vorerwähnten Verschiedenheiten zu bestimmen für

den Fall, daß der in Beispiel 29 behandelte Halbkreisbogen zwischen den Endgelenken eine Zugstange mit Aufhängung in Entfernungen 2 = 4m auf einem Kreisbogen vom Pfeile f=6m erhielte (Fig. 141):

a) Einen geeigneten Querschnitt Fz der Zugstange, wenn deren Beanspruchung \    nicht über a — 700 kg pro qcm hinaus-

\ ₇    gehen soll; b) den Horizontalschub H durch

Fig. 141.

beliebige Belastung, durch die in Beispiel 29 behandelten Belastungen und durch Tem-V' peraturdifferenzen r — rz = + 15° vom Bogen und Zugstange; c) die Kämpferdrucklinie des Bogens.

Nach den Formeln des vorigen Paragraphen haben wir für beliebige Belastung die ganze Beanspruchung der Zugstange in einem beliebigen Feld: und den Horizontalschub des Bogens:

4    ¹

--5- 2 Pa (l — a),

worin

ji fil² 0

. , 16 Jz

während für den Bogen ohne Zugstange = 1 wäre. Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit hat man:

2    ul '

3    n fl ’

und für eine gleichmäßig verteilte Last von p pro Längeneinheit von 0 bis zu einem beliebigen z entsprechend Beispiel 29:

_ 2 p z² 3 l — 2 z

— 3 71 P    '

Durch Temperaturänderungen t, tz von Bogen und Zugstange gegen die dem spannungslosen Zustande entsprechende Normaltemperatur entsteht:

16.7

n pp

das ist T ~^z- mal so groß als beim Bogen ohne Zugstange. Gleichung der Kämpferdrucklinie

E a { t — Tg)

b = 0,7854 p i.

Die übrigen bei vollständiger Berechnung des Bogens nötigen Formeln bleiben wie in Beispiel 29 unter „Allgemeines“ angeführt.

a) Zur Bestimmung des Querschnitts der Zugstange setzen wir den größten Horizontalschub, der bei Vollbelastung des ganzen Bogens eintritt, nach 4 zunächst mit fi — 1 (unnachgiebiger Stange entsprechend):

= 9167 kg,

2 • 1200 • 36 3.3,1416

womit die größte Zugkraft in der Stange bei einer Stangenlange f = 4,735 m in den Endfeldern (siehe Bemerkungen am Schluß):

^ = 9167 -~⁷³⁵ = 10851 kg ,

4

und der nötige Querschnitt, soweit keine Biegungsspannungen in Betracht kommen:

10851

700

= 15,5 qcm.

Wir wählen zwei Platten von 10/1,2 cm, womit

Fz = 2 • 10 • 1,2 = 24 qcm ,

und der Querschnitt auch abzüglich der Verschwächung an den Verbindungsstellen ausreicht (etwa bei doppelschnittigen Bolzen von 3,5 cm Stärke, womit nutzbar bleibt 24 — 2,4 • 8,5 = 15,6 qcm).

Das Widerstandsmoment dieses Querschnittes folgt:

= 40 cm ³ .

2,4 *io²

Gewicht der Zugstange pro cm Länge bei einem Einheitsgewicht von 7850 kg pro cbm:

24 • 0,007 850 = 0,1884 kg,

das ist pro cm Spannweite in den Endfeldern:

q — 0,1884    = 0,2230 kg.

Größtes Biegungsmoment in letzteren:

0,2230.400²

q?fl

= 4460 cmkg .

Die größte Biegungsspannung pro qcm Zugstangenquerschnitt ergibt sich hieraus:

4460

40    = 111,5 k® ’

und da am Orte derselben, inmitten der Endfelder, keine Verschwächung des Querschnitts stattfindet, so wird die ganze Beanspruchung pro qcm daselbst:

a = ~¹°24°"¹ + m'⁵ = 564 ks •

Es wird also auch hier die zulässige Beanspruchung von a = 700 kg pro qcm nicht überschritten.

c) Die Kämpferdrucklinie ist eine in der Höhe

b = 0,7854 • 1,003 97 • 36 = 28,387 m

über den Gelenkmittelpunkten liegende Gerade, während sie beim Bogen ohne Zugstange in der Höhe 28,274 m lag. Damit erleiden auch die Belastungen für die Grenzwerte der Schnittkräfte und Spannungen sowie diese selbst dem Bogen ohne Zugstange gegenüber nur geringe Änderungen. Sie würden noch kleiner ausfallen, wenn unter sonst gleichen Verhältnissen die „Zugstange“ wie häufig bei Brücken auch Verkehrslast aufzunehmen hätte und damit des größeren Fz wegen p noch näher an den dem Halbkreisbogen ohne Zugstange entsprechenden Wert 1 käme.

Bemerkungen. Die Längen z, f der Zugstange und ihres Abschnitts in den Endfeldern wurden oben als bekannt vorausgesetzt; sie haben sich wie folgt ergeben. Für den Kreisbogen, welchem die Axe der Zugstange eingeschrieben ist, hat man nach § 19, 11), 9) mit Z = 36m, f=6m:

8-6

= 30 m,

y = y576 + x (36 — x) — 24,

und hieraus für

12

16 m

= 2,533    4,284    5,394    5,993 „.

Damit folgen die Längen der Zugstangenabschnitte von den Enden an:

yi6 + 2,5332 =: 4,735 m yi6 + 1,751² = 4,366 „ yi6 + 1,110² = 4,151 „ y 16 + 0,599²= 4,045 „

s = 38,594 m .

b) In den obigen Gleichungen ist nun nach 3 mit der Zugstangenlänge z = 38,594 m (s. Bemerkungen unten):

l* — i +

Damit lassen sich alle erforderlichen Werte des Horizontalschubs berechnen, sie sind 1/1,003 97 mal so groß als bei gleicher Belastung in Beispiel 29. So wird der größte vorkommende Horizontalschub:

s =

16 • 226430 • 3859,4

3,1416 • 24* 3600 ³

= 1,00397 .

9167

1,003 97

= 9131 kg .

Bei dieser geringen Änderung gegen 9167 kg hat es keinen Zweck, die Zugstange mit dem neuen Wert von H noch einmal zu berechnen, sie behält den gewählten Querschnitt. Durch Temperaturdifferenzen r — tz von Bogen und Zugstange entsteht :

16-226 430 • 2150 000 • 0,000 0115 1,003 97 • 3,1416 • 3600^

und für r —    = + 15° H— + 33 kg, das ist 3₀.₃¹q₀₃₉₇ mal so groß als den Tem

peraturänderungen r = + 30° des Bogens ohne Zugstange entsprechen würde.

(t — Tg) = 2,191 (r — Tg),

— — 2 (Fig. 141) = 17,297 m ,

Die Berechnung der Zugstangenlänge nach der Näherungsformel für flache Parabelbogen

8f2_

= 1 + _81 8 • 62 .3 • 36

Aufgabe 23. Einsenkungen eines parabolischen Bogens mit zwei Gelenken und Zugstange.

Es sollen die Einsenkungen e in der Mitte eines parabolischen Bogens von konstantem Jcos<p (Mittelwert c) mit Endgelenken und horizontaler oder ge

habte ergeben:

s = 36 +

= 38,667 m.

Wir gehen von den bereits in § 20 verwendeten Beziehungen des § 45 aus, worin nun der Horizontalschub H wie im vorigen Paragraph ausgedrückt ist. Bei Vernachlässigung von ß hat man durch beliebige Belastung:

sprengter Zugstange durch Belastung und Temperaturänderungen festgestellt werden.

e nach § 20, 55)

mit

11 nach § 22, 6),

durch beliebige symmetrische Belastung:

mit

e nach § 20, 56)

H nach § 22, 7),

25 fl²

und durch beliebige Temperaturänderungen r, tz von Bogen und Zugstange nach § 20, 60) mit § 22, 8):

167t

e = — ax f — a (x — rz)

wonach die Einsenkung durch Temperaturänderungen für tz = t wäre e — — arf. In den angeführten Ausdrücken von II hat man natürlich ebenfalls ß = 0 zu setzen. Aus 2 folgen speziell für eine Einzellast P in der Bogenmitte mit

j Pi³

und für eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit auf der ganzen Spannweite mit Rücksicht auf § 18 und H nach § 22, 9):

ott 7⁴

II = UlP:

16 7t

125 f²

16 h

48 Ec

384 Ec

u -f- u‘    5 w 7⁴

Da zum letzten Wert die Belastungen beider Trägerhälften gleichviel beitragen, so folgt für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten auf der ersten und zweiten Trägerhälfte:

768

Ec '

Für Zweigelenkbogen mit Zugstange von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten wären die Einsenkungen bei analogem Vorgehen wie oben aus §48 zu entnehmen. Obige Formeln führen mit f— 0, c — J selbstverständlich auf die bekannten Einsenkungen für gewöhnliche einfache Balken mit frei drehbaren Enden.

Aufgabe 24. Einsenkungen eines parabolischen Bogens mit drei Gelenken und Zugstange.

Es sollen die Einsenkungen e in der Mitte eines parabolischen Bogens von konstantem J cos cp (Mittelwert c) mit drei Gelenken und horizontaler oder gesprengter Zugstange durch Belastung und Temperaturänderungen festgestellt werden.

Wir gehen von den bereits in § 19 verwendeten Beziehungen des § 45 aus, worin auch der Horizontalschub H wie in § 19 ausgedrückt ist, während für die Änderung A l der Spannweite die Gleichungen § 22, 2), 3) bestehen. Die Einsenkung durch eine beliebige Änderung A l ist damit nach § 19, 39) allgemein

+ cctz

EFzl

wrorin z die ganze Länge der Zugstange bedeutet, so daß auch in den folgenden Gleichungen bei horizontaler Zugstange z = l zu setzen ist. Mit Rücksicht auf vorstehenden Beitrag von A l erhält man die ganzen Einsenkungen durch beliebige Belastung:

Elz iE Fzf

durch beliebige symmetrische Belastung:

-^tra

iEFzf² o

e — co +

e — e₀ +

mit

e₀ nach § 19, 33),

mit

e₀ nach § 19, 34) ,

und für eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit auf der ganzen Spannweite:

Ec 60

und durch beliebige Temperaturänderungen r, rz von Bogen und Zugstange mit

(    p \    \2    12

[f + Tf)+areTf⁼~<x‘cf~a{T-Tg)Tf

§ 19, 38):

e = — cc x

wonach die Einsenkung durch Temperaturänderungen für tz = T wie im gleichen Falle bei Zweigelenkbogen mit Zugstange e = — ar f wäre.

Mit Rücksicht auf die besonderen Ausdrücke § 19, 35), 36) von e₀ und § 18 erhält man nach 2 speziell für eine Einzellast P in der Bogenmitte:

l + 16e Pß

pß

480

Ec

16 f² EFZ ’

EFZ 32 f²

Da zum letzten Wert die Belastungen beider Trägerbälften gleichviel beitragen, so folgt für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte:

s u -(- u‘

Ec 120

Für Dreigelenkbogen mit Zugstange von beliebiger Axe und beliebigen Querschnitten wären die Einsenkungen bei analogem Vorgehen wie oben aus § 48 zu entnehmen.

§ 23. Weitere Bogenarten. Durchlaufende Bogen.

Neben den bereits behandelten Bogenarten und den im nächsten Paragraphen zu besprechenden „Ketten“ sind noch andere Bogenarten denkbar und teilweise vereinzelt zur Ausführung gekommen. Wir bleiben zunächst bei den Bogen mit einer Öffnung (den einfachen Bogen).

Grleich den Bogen mit drei Gelenken, mit zwTei Gelenken und ohne Gelenk bietet sich zunächst dar der Bogen mit einem Gelenk (Fig. 142, 143). Diese Bogenart ist zweifach statisch unbestimmt, da dem dreifach

Fl

V'

V\

Y'

Fig. 142.

Fig. 143.

statisch unbestimmten Bogen ohne Gelenk gegenüber nur eine statische Gleichung hinzukommt, die Bedingung: Summe der Momente aller äußeren Kräfte auf einer Seite des Gelenks in Bezug auf den Gelenkmittelpunkt gleich Null. Nach Bohny, der dem Einzelgelenkbogen bessere Materialverteilung und damit leichtere Herstellung als den Drei- und Zwrei-gelenkbogen nachrühmt, hat derselbe zwar nicht bei Brücken, wohl aber bei Dächern bereits Anwendung gefunden. Es wäre leicht, ihn auf Grund der allgemeinen Beziehungen des I. und IV. Abschnitts in ähnlicher Weise zu behandeln, wie dies mit den Bogen der §§ 19—22 geschehen ist, wobei die Endmomente 31, 31‘ als statisch unbestimmte Größen gewählt würden. Allein bei der Fülle wichtigerer Aufgaben müssen wir hierauf verzichten, um so mehr als auf andere einschlagende Arbeiten verwiesen werden kann h

Bei Betrachtung des Zweigelenkbogens mit Zugstange in § 22 wurde angenommen, daß der aus Bogen und Zugstange kombinierte Träger ein festes und ein horizontal frei verschiebbares Gelenkauflager erhält, so daß die Zugstange den ganzen Horizontalschub des Bogens aufzunehmen hat. Es lassen sich jedoch auch Bogen mit zwei festen Gelenkauflagern und einem Zugband in beliebiger Höhe herstellen, bei welchen dann die Zugstange nur einen Teil des Horizontalschubs aufnimmt, während ein anderer Teil auf die Widerlager kommt. Derartige Bogen mit Zugstange können besonders in Betracht kommen, wenn der Bogen zum Teil oberhalb der Fahrbahn liegen soll, wobei die Zugstange zugleich dem Zwecke des Windverbandes dienen kann. Sie sind in bezug auf die äußeren Kräfte des Bogens einfach, zweifach oder dreifach statisch unbestimmt, je nachdem es sich um einen Dreigelenkbogen mit Zugstange, einen Zweigelenkbogen mit Zugstange² oder einen Eingelenkbogen mit Zugstange⁸ handelt, da dem gewöhnlichen Dreigelenkbogen, Zweigelenkbogen oder Eingelenkbogen gegenüber noch die Beanspruchung der Zugstange hinzukommt. Alle diese Träger kommen wohl nur als Fachwerke in Frage, weshalb bezüglich ihrer Berechnung auf den V. Abschnitt zu verweisen ist.

Weiter können, entsprechend dem Hinweise von Foeppl, alle Bogen anstatt gewöhnlicher reeller Gelenke auch sogenannte imaginäre Gelenke erhalten. In Fig. 144, 145 sind beispielsweise Bogen mit reellen

v\

V'

Fig. 145.

Fig. 144.

Kämpfergelenken und einem imaginären Zwischengelenk angedeutet. Als imaginäres Gelenk ist dabei der Schnittpunkt i der Kichtungslinien zweier gerader Stäbe bezeichnet, durch welche sich ein Schnitt J so führen läßt, daß kein anderer Teil des Trägers getroffen wird und letzterer in zwei Teile zerlegt erscheint (Fig. 144, 145). Die beiden das imaginäre Gelenk bildenden Stäbe dürfen sich auch kreuzen, so daß z. B. Fig. 146 einen Eingelenkbogen mit imagärem Gelenk darstellt. Da die äußeren Kräfte links oder rechts des Schnittes J mit den Stabkräften der beiden Gelenkstäbe im Gleichgewicht sein müssen,

¹    Bohny, Der Eingelenkbogen, Zeitschrift f. Architektur und Ingenieurwesen 1898, S. 147-

Mü 11er - Br eslau , Neuere Methoden der Festigkeitslehre, Leipzig 1904, S. 158. Ritter, Anwendungen der graphischen Statik, IV. Der Bogen, Zürich 1906, S 165.    ......

²    Bohny, Der Zweigelenkbogen mit Zugband in beliebiger Höhe, Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure 1907, S. 695, 776. Landsberg, Der Zweigelenkbogen mit Zugband, ebenda 1909, S. 901.

3    Bohny, Der Eingelenkbogen mit Zugband, Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen 1908, S. 329.

so geht ihre Resultante stets durch deren Schnittpunkt i. Mit anderen Worten: Die Summe der Momente aller äußeren Kräfte auf einer Seite

des Schnittes J in bezug auf das imaginäre Gelenk i ist gleich Null. Die statische Bestimmteinheit oder der Grad der statischen Unbestimmtheit einer Bogenart wird also infolge des Ersatzes von reellen Gelenken durch imaginäre Gelenke nicht geändert. Auch bezüglich der Bogen mit imaginären Gelenken, die überhaupt noch nicht ausgeführt wurden, genügt der Hinweis auf bereits vorhandene Schriften¹.

Von größerer Bedeutung sind die durchlaufenden oder kontinuierlichen Bogen, das heißt die Bogen, welche ungetrennt über mehr als eine Öffnung reichen. Sie können von verschiedener Anordnung sein, doch werden die Auflager über den Zwischenstützen meist horizontal frei verschiebbar angenommen, wrnnach deren Reaktionen für die Berechnung vertikal und der Horizontalschub bei nur vertikalen Aktivkräften in allen Öffnungen gleich groß sind. Infolge der vertikalen Drücke auf die Stützen können diese, wie bei Balken, schlanker als die Widerlager einfacher Bogen gehalten werden und auch der Eundamentboden ist günstiger beansprucht. Im Falle der Fig. 147 sind von den angedeuteten Reaktionskomponenten, welche alle Stützenreaktionen bestimmen,

ebenso viele mit Hilfe der Elastizitätslehre zu ermitteln als der Bogen Öffnungen besitzt. Für die Trägerart Fig. 148,

149    wäre bei beliebig vielen Öffnungen nur eine

Reaktionskomponente, der Horizontalschub, statisch unbestimmt, während die Trägerart Fig.

150    statisch bestimmt ist. Durch Einschalten eines

Zwischengelenks läßt sich auch die Trägerart Fig. 148, 149 in eine statisch bestimmte Trägerart verwandeln (Fig. 151, 152). Die Trägerart Fig. 153 ist dreifach statisch unbestimmt, durch Einschalten eines Zwischengelenks in der Mitte ließe sich daraus eine

Fig. 14fi.

Fig. 147.

Fig. 148.

Fig. 149.

V'

¹ Foeppl, Theorie des Fachwerks, Leipzig 1880, S. 115, 123. Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887, S. 297. Weyrauch, Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1888, S. 471.

zweifach statisch unbestimmte Trägerart hersteilen, wie sie hei der Mirabeaubrücke¹ in Paris zur Anwendung kam. Dagegen ist die Trägerart Fig. 154 wieder statisch bestimmt, ihr entspricht die Viaurbrücke² der Eisenbahn Carmaux—Rodez in Frankreich mit der größten Bogenspannweite in Europa (220 m).

Fig. 150.

Bogen der Anordnungen Fig. 147,150,153,

VW77

Fig. 151.

154 kommen nur als Fachwerke in Betracht (Y. Abschnitt) , dagegen sind Bogen nach Fig. 149, 152 e >' auch mit voller Wand oder Gitterwerk ausführbar, mitunter kann zum Teil volle Wand, zum Teil Fachwerk Verwendung fin-den (Beispiele 51—53).

Fig. 152.

Fig. 153.

TZ

Meist werden kontinuierliche Bogen am zweckmäßigsten nicht nach allgemeinen Formeln für die betreffenden Bogenarten, sondern mit Rücksicht auf die vorliegenden besonderen Verhältnisse berechnet (Beispiele 51, 52, 101,

Fig. 154.

117). Hierzu sind diegeeig-netenBeziehungen für volle Wand im I. und IV. Abschnitt oder schon in §§ 19 bis 21, für Fachwerke im V. Abschnitt gegeben. Der statisch bestimmte Bogen Fig. 151, 152 bedarf überhaupt keiner weiteren Erläuterung, da die Öffnung mit Zwischengelenk ganz wie ein gewöhnlicher Dreigelenkbogen wirkt, und für die übrigen Öffnungen einfachen Balken gegenüber nur der durch die Verhältnisse in der Dreigelenköffnung allein bestimmte Horizontalschub H hinzukommt (Beispiel 51, 101). Als Fachwerk ist er überdies vom Verfasser an anderer Stelle ausführlich behandelt worden³. Dagegen wird es zur Klärung beitragen, wenn wir den wichtigsten Fall statisch unbestimmter kontinuierlicher Bogenarten auch allgemein behandeln (§ 24).

¹    Die Mirabeaubrücke in Paris, Zentralblatt der Bauverwaltung 1897, S. 241, 257.

²    Thery, Notes sur la construction du viaduc du Viaur, Annales des ponts et chaussees 1898,

I, S. 215, und II, S. 329; 1899, I, S. 57, und IV, S. 79; 1901, III, S. 244.

³    Weyrauch, Statisch bestimmte Träger, S. 272- 288; Beispiele und Aufgaben hierzu, S. 412—464.

Beispiel 51. Durchlaufender Bogen von statisch bestimmter Art.

Für den in Fig. 155 skizzierten Hallenbinder ist der Dreigelenkbogen von l = 30 m Spannweite, F — 190 qcm nutzbarem Querschnitt symmetrisch zur Achs-schicht und W = 4938 cm³ nutzbarem Widerstandsmoment halbkreisförmig, während die Obergurten der Segmentträger Parabeln eingeschrieben sind. Die feste Last beträgt pro Meter Spannweite in der Mittelöffnung 700 kg, in den Seitenöffnungen 600 kg, woneben durch Schnee- und Winddruck beliebige Strecken aller Spannweiten mit 500 kg pro Meter belastet werden können. Von den 600 kg Eigengewicht pro Meter der Seitenöfifnungen kommen 450 kg auf die

/! \s

2£m

W!

l-Z

18m

j / y=\12.728 \ \

'/ y |    ; iSf\

y-------J________J......i_____'■

X=5,272ni X,

18m

36m

Fig. 155.

NN

\>

vV

MV

1,75 3 3,75 im 3 3 3 *

2im

Knotenpunkte der Obergurten und 150kg auf diejenigen der Untergurten. Es sind die Grenzwerte der Stützenreaktionen, der Normalspannungen im obersten und untersten Element des Kämpferquerschnitts x = 0, des Querschnitts x — 5,272 m und des Scheitelquerschnitts x = m = 18 m sowie sämtlicher Stabkräfte der Parabelträger zu berechnen.

Stützenreaktionen. Die oberen Grenzwerte aller Stützenreaktionen treten für Vollbelastung des ganzen Binders ein und ergeben sich wie folgt:

C — T> = 1200-18 = 21600 kg,

H= 10800 „ ,

A—B = E=F= 1100 • 12 = 13 200 kg,

— H-18 + 21600 • 18 — 1200 •18-9 = 0,

resultierende Reaktionen der Zwischenstützen und Endstützen:

R = y'l3200a + 10800³ = 17055 kg.

Die unteren Grenzwerte der Stützenreaktionen entstehen durch die feste Last allein. Sie finden sich bei gleichem Vorgehen wie oben:

A = B = E= F= 600*12 = 7200 kg,

— H‘ 18 + 12 600 • 18 — 700 • 18 • 9 = 0 ,

resultierende Reaktionen der Zwischenstützen und Endstützen:

R = y7200² + 6300² = 9567 kg.

Bogenspannungen. Für die Normalspannungen im obersten und untersten Elemente eines beliebigen symmetrisch zur Achsschicht angeordneten Querschnitts x hat man:

B + C = D + E= 34800 kg,

C = D = 700 • 18 = 12 600 kg, H= 6300 „ ,

B + C = D + E= 19800 kg ,

a₀ =

worin bei beliebiger Belastung die Normalkraft:

mit

Nx = Vx sin <p + H cos cp

das Moment:

und bei den in Fig. 155 gewählten Bezeichnungen V = C. Die Summe 2 in 2 bedeutet alle Lasten von 0 bis x, diejenige in 3 das statische Moment dieser Lasten in Bezug auf den Achspunkt des Querschnitts x.

Im Kämpferquerschnitt x — 0 hat man des Gelenkes wegen Mx = 0 und in unserem Falle Nx— C, womit nach 1 die Grenzwerte derNormalspannungen pro qcm:

= 6G kg.

a₀ — ou —

21600

190

= 114 kg ,

a₀ •— an — -

12 600

190

Im Querschnitt x — 5,272 m treten die Grenzwerte nach dem einfacheren Verfahren S. 81 ein, wenn die Verkehrslast einmal von 0 bis z, das andere Mal von 2 bis l wirkt, wobei z graphisch wie in Fig. 155 und analytisch für den Halbkreisbogen mit drei Gelenken wie folgt bestimmt ist:

36

12,728

= 10,544 m .

5,272

Für den ersten dieser Belastungsfälle ergeben sich:

C • 36 - 700 • 36 • 18 — 500 • 10,544 • 30,728 = 0,

17 100-18 — H-18 — 700-18-9 — 500 • 10,544 • 12,728 = 0 , Vx = 17 100 — 1200 • 5,272 = 10 744 kg ,

C = 17100 t,

H= 7072 kg ,

Nx = UO 744 + 7072) 0,7071 = 12 619 kg , 1200-5,272 ²

Mx = 17100-5 272 — 7072-12,278 —

= — 16538 mkg,

und damit die ersten Grenzwerte der Normalspannungen:

12 619

a₀ =

1653 800

190

4938

= — 268 kg,

12 619    ,

G ■]/ —- —

u ₁₉₀ r

1653800

4938

401 „ .

Für den zweiten der erwähnten Belastungsfälle erhalten wir:

C= 17128 kg,

H = 10056 kg,

C • 36 — 700 • 36 • 18 — 500 • 25,456 • 12,728 = 0, 17128-18 — H -18 — 700-18-9 — 500-7,456-3,728 = 0,

Vx = 17128 — 700-5,272 = 13 438 kg, Nx — (13 438 + 10056) 0,7071 = 16 613 kg, 500-5,272 ²

Mx= 17128-5,272 — 10056-12,728 —

= — 47 422 mkg

. und hiermit die zweiten Grenzwerte der Normalspannungen:

16 613    4 742 200

190

4938

= — 873 kg,

16 613

4 742200

190

4938

=    1048 „ .

Im Scheitelquerschnitt x = m = 18 m sind Mx = 0, Nx = H und also die Grenzwerte der Normalspannungen:

= 57 kg,

Parabelträger. Diese unterscheiden sich von gewöhnlichen Balkenfachwerken nur dadurch, daß der Horizontalschub hinzukommt, der aber nur auf die Beanspruchungen des Untergurts einen Einfluß ausübt (bei horizontalem Untergurt). Es mögen bezeichnen l, f Spannweite und Pfeil des Parabelbogens, n, A Felderzahl und Feldlänge, xm, dm Längen des Obergurtstabes und der Diagonale im m-ten Felde, g, p, q — g-j-p Eigengewicht, Verkehrslast und Gesamtlast pro Längeneinheit Träger, gz denjenigen Teil von g, der auf die Knotenpunkte des

10800

a₀ — ou —•

190

ao — °u —

6300

190

= 33 kg .

Untergurts kommt. Dann hat man¹ auf der ersten Trägerhälfte, die der Symmetrie wegen allein zu berechnen ist, die Grenzbeanspruchungen des Obergurts:

Xm =

_

die Grenzbeanspruchungen des Untergurts:

~H₀,

q l²

unter Hm H₀ den unteren und oberen Grenzwert des Horizontalschubs verstanden, die Grenzbeanspruchungen der Diagonalen:

Dm —

pl

dm,

n + 1 8 f

und die Grenzbeanspruchungen der Vertikalen:

Vm =    — (m — 1) (n — m + 1)

D'm — — Dm ,

2 (n + 1) '

Vm =    + (»I — 1) (n — m + 1)

2 0 + 1)'

worin 36^ und <?ßm = gz Ä vom Eigengewicht allein herrühren.

Mit den in der Aufgabe und in Fig. 155 gegebenen Zahlen liefern diese Gleichungen für den Obergurt:

xm = -

1100-24

8-4

XL = — 6600 • 3,473 = — 22 922 kg X₂ = — 6600 • 3,250 = — 21450 „ X₃ = — 6600-3,092 = — 20407 „ X₄ = — 6600 • 3,010 = — 19 866 „

600

jYqq" -Um —    3600 xm ,

Xi = — 3600-3,473 = — 12503 kg X₂ = — 3600 • 3,250 = — 11700 „

X₃ = — 3600 • 3,092 = — 11131 „

X₄ = — 3600 • 3,010 = — 10836

Xm —

für den Untergurt:

1100 • 24'-’

8-4

-- 6300 — 19800 — 6300 = 13500 kg

z= —

600 • 24²

8-4

— 10800 = 10800 — 10800 = 0,

für die Diagonalen:

Dm =

8-500-24

9-8-4

dm — —g    dm,

D‘m — T)m,

3473

^ = -3

= 1158 kg

D‘₂ = — 1158 kg

4243

= 1414 „

Z>₃ =--

³ 6

_ «03

Di~~r

und für die Vertikalen mit    150 • 3 = 450 kg, -

= 1601 „

D‘₃ = — 1414 „

— 1601 „ ,

500-3

2 (n + 1)

2-9

83,3 kg:

=    450 kg

r₂ = 450 — 1 • 7 • 83,3 = — 133 „ r₃ = 450 — 2 • 6 • 83,3 = — 550 „ r₄ = 450 — 3-5-83,3 = — 800 „

450 kg

r₂ = 450 + 1 • 7 • 83,3 = 1033 „ V₃ = 450 + 2-6-83,3 = 1450 „ r₄ == 450 + 3-5-83,3 = 1700 „ .

Hierbei sind die Grenzwerte von lr₄ zu ungünstig gerechnet, da mit n = 2 a und A Längendifferenz der mittleren und vorhergehenden Vertikale schon etwas zu ungünstig wären²:

10

Vo^o-pl+Yf*’

woraus im vorliegenden Falle folgen :

F₄ = 450 — 500 • 3 + r₄ = 450 +

yrauch, Statisch bestimmte Träger, Leipzig 1887, S. 133; Beispiele und Aufgaben hierzu, S. 239.

² Weyrauch, Beispiele und Aufgaben, Leipzig 1888, S. 108.

1 We Leipzig 1888,

6-500-3

4-4

500 • 24

2-4

0,25 = — 675 kg,

0,25 = 591 kg .

Doch würden die Vertikalen im vorliegenden Falle ohnehin stärker als theoretisch nötig dimensioniert werden.

Bemerkungen. Wir haben oben absichtlich wenig Formeln verwendet, sonst hätten wir ähnlich wie in Beispiel 29 Vorgehen können, wozu C wie dort V und der Horizontalschub durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit sowie für eine gleichmäßig verteilte Last von p pro Längeneinheit von 0 bis z auf der ersten Trägerhälfte bestimmt sind:

p z²

11

ir = AiL

Bezüglich der Berechnung von y, sin <p, cos cp für den Halbkreisbogen, der oben verwendeten Werte von F, W und der Kernpunkte zur genaueren Bestimmung der ungünstigsten Belastungen gilt das in den Bemerkungen zu Beispiel 29 Gesagte. Die Normalspannungen haben für den obigen Dreigelenkbogen erheblich größere Werte erreicht als für den Zweigelenkbogen von gleichen Dimensionen und gleicher Belastung (Maximum 1048 kg gegen 666 kg pro qcm).

Beispiel 52. Durchlaufender Bogen von statisch unbestimmter Art. Dieselbe Berechnung wie im vorigen Beispiel für den Fall durchzuführen, daß die Mittelöffnung zwar Endgelenke aber kein Zwischengelenk erhält (Fig. 156) und bei Bestimmung des Horizontalschubs H zunächst von Temperatureinflüssen und Änderungen der Spannweiten abgesehen wird (Berücksichtigung derselben mit Vergleichen s. Beispiel 53).

Stützenreaktionen. Die Grenzwerte der Vertikalreaktionen bleiben sämtlich wie im vorigen Beispiel, während man die Grenzwerte des Horizontalschubs wie beim Bogen des Beispiels 29 hat:

H = 5347 kg,

H = 9167 kg ,

und damit die Grenzwerte der Stützenreaktionen an den Trägerenden:

R = y 7200² + 5347² = 8968 kg .

R = y 13 200² + 9167² = 16071 kg ,

Bogensp annungen. Für die durch die Belastung erzeugten Grenzwerte der Normalspannungen gilt die Berechnung des Beispiels 29. Die Belastung der Seitenöffnungen hat keinen Einfluß, weil die durch sie bedingte Änderung der Spannweite nach der Aufgabe hier außer Betracht bleiben soll.

Parabelträger. Gegenüber dem vorigen Beispiel treten nur Änderungen infolge des etwas anderen Horizontalschubs ein. Da dieser aber einen Einfluß nur auf die Beanspruchungen des Untergurts ausübt, so bleiben die Grenzbeanspruchungen des Obergurts und der Füllungsglieder wie im vorigen Beispiel, während die Grenzbeanspruchungen des Untergurts nach den dortigen Gleichungen 6:

^ = 10800 — 9167 — 1633 kg .

^= 19800 — 5347 = 14453 kg,

§ 24. Besonderer Fall durchlaufender Bogen.

Wir betrachten den Bogen Fig. 149 mit beliebig vielen Öffnungen und gleichholien Stützpunkten. In jeder Öffnung l hat man:

M= M' = 0,

Tc = 0,

womit nach § 1 für die Schnittkräfte und Schnittmomente dieselben Ausdrücke wie bei einfachen Bogen mit gleichhohen Kämpfergelenken entstehen und beispielsweise die Gleichungen § 20, 1) —6) gelten. Der in allen Öffnungen gleiche Horizontalschub H ist statisch unbestimmt und mit Rücksicht darauf zu ermitteln, daß durch Belastung und Temperaturänderungen zwar die einzelnen Spannweiten l kleine Änderungen Al erleiden können, die Summe aller Spannweiten

L = 2l

aber konstant bleiben soll. Wir werden indessen, wie bei einfachen Bogen, unbeabsichtigte Änderungen AL von L berücksichtigen.

Bei Ableitung von H setzen wir in den einzelnen Öffnungen symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcoscp (Mittelwert c) voraus. Für Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten könnte in ganz analoger Weise auf Grund von § 46 verfahren werden, doch dürfte die Parabelform, da nur eiserne Bogen in Betracht kommen, meist zu empfehlen sein. Die in § 20 verwendeten Bezeichnungen werden beibehalten und auch das in §§ 19, 20, 43 über ß, s und ihre Vernachlässigung Gesagte bleibt in Gültigkeit.

Nach § 42, 15) mit den dortigen Bezeichnungen 16, 17 hat man für eine beliebige Öffnung l im allgemeinsten Falle:

Al

3 Jäcl* o

2Pa(l-a)(l² + la — a² — ßl²)-{-atl — H( 1 + Q^fiö 3

n    IO Joj C

wofür wir mit den abkürzenden Bezeichnungen

(l — a) {l² -f-la — a² — ß l²)

c L ₀

T=%1,

auch schreiben können:

A=(l + <0-V

Al

15 E '

Hiernach gelten in den Öffnungen lx, l₂, ... ln, wenn gleiche H, cc (gleiches Trägermaterial) in denselben vorausgesetzt werden:

Alx =

Q\

+ aTx — II

(?2

AI* = Tk + aT*-H + «T-H

8h₂

15 E

Al,=

Qn

8h n

15 E '

Die Addition dieser n Gleichungen ergibt:

AL = -E2Q + a2T

15E

2h,

woraus der gesuchte Horizontalschub im allgemeinsten Falle:

H=

5 2Q -\-8 Ea2 T— SEAL

2h

Die Summen 2 sind auf sämtliche Öffnungen zu erstrecken. Ist hiernach H bestimmt, so kann aus 3 oder 7 auch die Änderung A l jeder einzelnen Spannweite ermittelt werden, "was jedoch für die Dimensionenfeststellung ohne Interesse ist. Nach 9 ist der Einfluß beliebiger Belastung aller

Wie bei einfachen Bogen (§ 20), so kann auch im vorliegenden Falle ß fast immer vernachlässigt werden. Für vorläufige Berechnungen darf häufig auch e in 6 unberücksichtigt bleiben und mitunter in 4 an Stelle

von l²-\-la— a² der Mittelwert — l² gesetzt werden.

Für stetig verteilte Lasten können die allgemeinen Formeln mit Rücksicht auf § 18 spezialisiert werden. So gelten in einer Öffnung, welche mit u pro Längeneinheit überall gleichmäßig belastet ist:

e=(i

11

Co

Öffnungen, beliebiger Temperaturänderungen der letzteren und einer Änderung der Gesamtlänge AL je allein:

15Ea2T

52Q

8 2h ’

15EAL

8 2h

10

ufl³

5c

und die Gleichungen § 20, 20)—22); in einer Öffnung mit verschiedenen gleichmäßig verteilten Lasten u, u‘ auf der ersten und zweiten Hälfte:

e = (i

IO CD

\ u + u' fl3 w 10 c

12

und die Gleichungen § 20, 28)—30).

Kämpferdrucklinie. Grenzwerte. Bezüglich der Umhüllungslinien U, U‘ der Kämpferdrlicke und der Kernlinien in jeder betrachteten Öffnung l bleibt es bei dem in § 20 für einfache Bogen mit zwei Gelenken Gesagten (S. 120, 121). Um die Schnittlinie S der Kämpferdrücke zu erhalten, berücksichtigen wir, daß für eine bei a in l angreifende Einzellast P nach § 20, 2) und obigen Gleichungen 4, 9:

l — a

H=-^-EPa(l-a)(P + la-a*-ßP),

womit nach § 20, 46) die Gleichung der Kämpferdrucklinie S in der Öffnung l:

r=p

81

c 2h

5f l² + la — a² — lß² ’

Der Vergleich mit § 20, 47) zeigt, daß alle Ordinaten b

13

mal

lf² 1 + »

so groß sind, als wenn der betrachtete Trägerabschnitt einen einfachen Bogen mit Kämpfergelenken bildete. Für einen solchen geht 13 mit yjJi = li und 6 in § 20, 47) über.

Bei bewegter Last sind die Grenzwerte der Beanspruchungen in jeder bestimmten Öffnung l durch die Belastung der letzteren ganz so zu berechnen, als wenn der Trägerabschnitt dieser Öffnung ein einfacher Bogen mit zwei Gelenken wäre (§ 20), selbstverständlich unter Verwendung der nun gültigen Kämpferdrucklinie 13. Mit diesen Grenzwerten sind die durch jlie Belastung außerhalb l und die Temperaturänderungen er-

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

13

zeugten Grenzwerte, welche durch die Gleichungen § 20, 54) mit den betreffenden Grenzwerten von H nach 10 ausgedrückt sind, so zu kombinieren, daß möglichst ungünstige (möglichst weit auseinander gelegene) Grenzwerte im Ganzen entstehen.

Stützenreaktionen. Als Vertikalreaktionen der Endstützen hat man natürlich das V der ersten und das V‘ der letzten Öffnung, entsprechend § 20, 2), 20) etc. deren Grenzwerte auch für bewegte Radlast-züge stets leicht anzugeben sind (§ 12). Dagegen ist die Vertikalreaktion einer Zwischenstütze gleich dem F' der vorhergehenden, plus dem V der folgenden Öffnung, d. h. nach § 20, 2) im allgemeinsten Falle:

14

2Pa + ~2P(l — a)

t'n n

worin die Summen 2, 2 sich auf alle Lasten in der vorhergehenden und

T„

Fig. 156.

nachfolgenden Öffnung beziehen. Die Einflußlinie von R (vergl. § 12) verläuft hiernach wie in Eig. 154. Der untere Grenzwert tritt stets bei Belastung durch das Eigengewicht der Konstruktion allein ein, er hat für ein gleichmäßig verteiltes Eigengewicht von g pro Längeneinheit nach 14 mit Rücksicht auf § 18 oder nach § 12 mit Rücksicht auf Fig. 155 den Wert:

15

Di = (lv + ln)

■«=9i+a+yf.

16

Der obere Grenzwert entsteht, wenn die beiden anliegenden Öffnungen möglichst stark belastet sind, wobei jedoch die einzelnen Lasten um so mehr beitragen, je mehr sie sich der betreffenden Stütze selbst nähern. Man erhält ihn bei gleichmäßig verteilter Verkehrslast von p pro Längeneinheit:

und bei bewegten Radlastzügen, wenn ein Zug mit möglichst großen Lasten möglicht dicht um ein Rad 0, mit diesem Rade über der fraglichen Stütze, beide anliegenden Spannweiten belastet:

17

R =    + f 2P(l — a),

v    n

worin sich nun die Summen 2 nur noch auf die Radlasten beziehen.

Der größte Horizontalschub R entsteht bei Vollbelastung (Eigengewicht plus Verkehrslast) aller Öffnungen und höchster Temperatur, wobei im Falle bewegter Radlastzüge die größten Lasten den Öffnungsmitten möglichst zu nähern sind, der kleinste Horizontalschub tritt für Eigengewicht allein und niederste Temperatur ein.

Formänderungen. Für die Formänderungen in jeder Öffnung l gelten die in § 45 für Öffnungen mit zwei Gelenken abgeleiteten Gleichungen, worin jedoch jetzt H durch 9 bestimmt ist. Die Einsenkungen in der

Mitte einer Öffnung l durch beliebige Belastung und beliebige Temperaturänderungen aller Öffnungen, sowie durch symmetrische Belastung der betrachteten Öffnung bei beliebiger Belastung der übrigen Öffnungen, bleiben demnach durch § 20, 55) 60) 56) mit H nach obigen Gleichungen 10 bestimmt, wobei ß in Q zu vernachlässigen ist, wie es bei Angabe der Einsenkungen in § 20 geschah. Man erhält also z. B. für eine Einzellast P in der Mitte von l nach § 20, 56):

18

Pl — bHf

48 Ec

für eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit auf der ganzen Spannweite nach § 20, 56) mit Rücksicht auf § 18:

nV — SHf

384 Ec

öl²,

19

für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u' pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Hälfte der Spannweite nach § 20, 55) mit Rücksicht auf § 18:

(u + u‘) P — 16 Hf

768-Ec

Öl².

20

Hierbei können die anderen Öffnungen noch ganz beliebig belastet sein. Soll jedoch auch H nur von der angeführten Belastung herrühren, so hat man nach 10, 4 im Falle von 18:

H=

25 Pfl2 128 c 2h ’

ufl³

im Falle von 19:

8c2h ’

und im Falle von 20:

jr_ W -f- u' fl³

16 cPT *

Eine Temperaturänderung t in der betrachteten Öffnung l (für Zunahme t positiv) erzeugt nach § 20, 60) mit II nacli 10, 5:

14

25 l³

128 c2h ) ’

21

und eine Änderung AL der Gesamtlänge aller Öffnungen (für Zunahme AL positiv) nach § 20, 62) mit 10:

22

25 fP AL 128 c A9T ’

während eine Änderung der relativen Höhenlage der Stützen, welche die Öffnung l begrenzen (bei höherem Stützpunkt l ist Ah positiv) ergibt:

Ah

23

Sonstige Höhenänderungen der Stützen sind ohne Einfluß auf e.

Gleiche Öffnungen. Werden die Trägerabschnitte in allen Öffnungen mit gleichen l, f und gleichen Dimensionen (Querschnitte etc.) hergestellt, dann erhält man mit der Bezeichnung

B = 2Pa(l — a) (7² + la — a² — ßl²) = $

0

cP

24

nach 4 — 12 den Horizontalschub durch beliebige Belastung aller Öffnungen:

2B

25

(l + c)8/7³ n ’

und speziell für beliebige gleichmäßig verteilte Lasten von u pro Längeneinheit in den einzelnen Öffnungen:

¹~'Jß P 2 u

1 + e 8 f n

Der Horizontalschub durch beliebige Temperaturänderungen t in den einzelnen Öffnungen ist:

26

cE 15 a 2t l-\-s 8f² n ’

und der Horizontalschub durch eine Änderung AL ihrer Gesamtlänge L:

c E 15 AL 1 -f- e 8 f² n l

Diese Ausdrücke ergeben bei Belastung und Temperaturänderung nur einer Öffnung sowie für eine bestimmte Längenänderung AL gerade 1 jn so große Werte als bei gleicher Belastung, Temperaturänderung und Längenänderung eines einfachen Bogens mit Endgelenken von den Verhältnissen der Trägerabschnitte in den einzelnen Öffnungen. Sind jedoch die Belastungen und Temperaturänderungen in allen Öffnungen dieselben, dann hat man in 25—28:

II

27

28

2B

B,

ii

AL

Al,

(die letzte Gleichung mit Rücksicht auf 3), womit die Gleichungen 25 — 28 vollständig mit den entsprechenden Formeln für den einfachen Bogen mit zwei Gelenken übereinstimmen.

Aufgabe 25. Horizontalschub und Kämpferdrucklinie für einen andern Fall.

Für den in Beispiel 52 und 58 behandelten Bogen, wenn die Mittelöffnung entsprechend Fig. 156 einen Halbkreisbogen mit zwei Gelenken darstellt, den Horizontalschub H durch beliebige Belastung, beliebige gleiche Temperaturänderungen t aller drei Öffnungen und beliebige kleine Änderungen A L der Gesamtlänge L = l-\-2l‘ zu bestimmen. Auch ist die Kämpferdrucklinie der Mittelöffnung festzustellen. Die Untergurten der Segmentträger seien vom Querschnitt F und abgesehen vom Horizontalschub, d. h. als einfache Balkenfachwerke, im Ganzen durch U beansprucht (F und U eventuell Mittelwerte, für V Zug positiv).

Nach § 41 hat man die Längenänderung der mittleren Spannweite l bei konstantem Trägheitsmoment J des Halbkreisbogens (eventuell Mittelwert):

2 VF

die Längenänderung der beiden äußeren Spannweiten ist unmittelbar:

2 Al' — 2azl‘+ I —2 V .

E F

§ 24. Aufgabe 25. Beispiel 53.

197

Durch Addition folgt die Längenänderung aller drei Spannweiten bei Beachtung von l —2 r:

i ¹

AL — CCTL + —— 2 Pall —

• AEJ o

und hieraus mit der abkürzenden Bezeichnung

a) —

Hnß

16EJ

+    2 V ,

EF

32 Jl‘

fl — 1 -f-

der Horizontalschub im allgemeinsten Falle:

den Beitrag der Belastung der Seitenöffnungen:

32 Jl‘ u

71 /Al³ F ’

die Beiträge beliebiger gleicher Temperaturänderungen r und kleiner Änderungen A L der Gesamtlänge aller drei Öffnungen:

71 Fl³

a) +

16EJ

TV [Al³

2 UV

EF

— AL

)•

II =

16EJ

TV fl ß

Bt L ,

16EJ

TV fl ß

al .

Gleichung 6 ergibt mit Rücksicht auf § 18 beispielsweise für eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit auf der ganzen Spannweite l:

2 ul 3 TV fl ’

und für eine gleichmäßig verteilte Last von p pro Längeneinheit von 0 bis 0:

11 =

2p z² 31 —2z

37Vß fl

10

Da ferner nach 6 und § 20, 2) für eine Einzellast P bei a:

r= p

—Pa (l — a),

TV fl ß

so folgt aus § 20, 46) die Gleichung der Kämpferdrucklinie:

11

-Ä fl 1 = 0,7854 fl l .

Die Kämpferdrucklinie ist eine horizontale Gerade, die wegen p > 1 etwas über derjenigen für den einfachen Halbkreisbogen mit Kämpfergelenken liegt (vergl. S. 121).

Für F = co würden wegen p — 1 der Horizontalschub durch Belastung und die Kämpferdrucklinie genau wie für den einfachen Halbkreisbogen mit unnachgiebigen Widerlagern, während der zweite Grenzfall F = 0 mit p = 00 dem Balken entspricht. Die erste Annahme p = 1 empfiehlt sich beispielsweise bei der vorläufigen Berechnung dör Querschnitte (Beispiel 52). Im nächsten Beispiel wird sich ergeben ^= 1,00371.

Beispiel 53. Durchlaufender Bogen von statisch unbestimmter Art. Zur vorigen Aufgabe.

Dieselbe Berechnung wie in Beispiel 51 für den Fall durchzuführen, daß der Halbkreisbogen zwar Endgelenke aber kein Zwischengelenk erhält (Fig. 157) und bei Bestimmung des Horizontalschubs H im Gegensätze zu Beispiel 52 auch Temperaturänderungen und Änderungen der einzelnen Spannweiten berücksichtigt werden. Trägheitsmoment des Halbkreisbogens J= 226430 cm⁴, Untergurtquerschnitt der Segmentträger F —32 qcm.

ff

Stützenreaktionen. Die Vertikalreaktionen der Stützen bleiben wieder sämtlich wie in Beispiel 51 bestimmt. Zur Berechnung des Horizontalschubs hat man nach der letzten Aufgabe:

(i ■— 1 +

10EJ

'//

32 • 226 430 • 2400 ²

3,1416 *32 »3600 3 16 »2150 000 >226 430

= 1,003 71,

1,003 71 • 3,1416-3600 ³

i y-\12,728    \

&*f\

= 52,945 .

SS

18 m

x=5,272m

18m

"kff

24m

•c

V'

36 m

-D

-x-

24m

Fig. 157.

Damit liefert 9 die Grenzwerte des Horizontalschubs durch Belastung der Mittel-

2    • 1200 • 36

3    • 3,1416 • [A

H =

Öffnung:

9167

= 9133 kg,

1,00371

9133    = 5328 kg,

während nach 7 die Grenzbeiträge durch Belastung der Seitenöffnungen mit U— 19800 kg und 10800 kg (Beispiel 51):

52,945.2-19 800 • 2400

2150000-32

= 73 kg,

= 40 kg,

10800 19800

und die Grenzbeiträge durch Temperaturänderungen bis r = + 30:

H=± 52,945• 0,0000115• 30• 8400 = ± 153 kg .

Die Grenzwerte des Horizontalschubs im ganzen sind also:

H = 9133 + 73 + 153 — 9359 kg,

und die Grenzwerte der resultierenden Endreaktionen:

H = 5328 + 40 — 153 = 5215 kg,

.R = y 132002+ 9359 ² = 16181 kg,

R = }j 10 800 ² + 5215 ² = 8890 kg,

11= — 52,945 A L, also beispielsweise für AL— lcm H— — 53kg.

gegen 77=9167 und 5347 kg sowie B = 16 071 und 8968 kg nach der einfacheren Berechnung in Beispiel 52. Für eine Änderung A L der Summe aller Spannweiten würde nach 8 gelten:

Bogenspannungen. Das Vorgehen entspricht ganz der Berechnung in Beispiel 29, nur daß der Horizontalschub und die Kämpferdrucklinie jetzt durch die letzte Aufgabe bestimmt sind. Die Kämpferdrucklinie ist danach eine Horizontale in der Höhe

b = 0,7854 • 1,003 71 • 36 = 28,379 m

über den Mittelpunkten der Gelenke, während sie bei dem einfachen Bogen des Beispiels 29 in der Höhe 28,274 m lag.

Wir berücksichtigen zunächst den Einfluß der Belastung in der Mittelöffnung. Im Querschnitt x = 0 hat man die Grenzwerte der Normalspannungen pro qcm wie in Beispiel 29:

Im Querschnitt x — 5,272 m treten die Grenzwerte von <J₀, au ein, wenn die Verkehrslast einmal von 0 bis z, das anderemal von z bis l wirkt, wobei z nach Fig. 119 (S. 125) bestimmt ist:

7 x

z — b-

— = 28.379

y

5,272

12,728

= 11,755 m .

Für den ersten dieser Belastungsfälle hat man:

V = 12 600 + 500*11,755 ^1

11,755

2*36

^ = 12 600 + 4918 = 17 518 kg

H — 5328 +

2 * 500 • 11,755 ²    3*36 — 2*11,755

3 *3,1416 *36 ²

1,003 71

= 5328 + 952 = 6280 kg,

Nx = (17 518 — 1200 • 5,272 + 6280) 0,7071 = 12 354 kg,

Mx = 17 518*5,272 — 6280*12,728 — 1200

5,272 ²

= — 4253 mkg,

und die Grenzwerte:

(7₀ = -

12 354    425 300

19-1

4938

= 65,0 — 86,1 = — 21 kg

au = 65,0 + 86,1 = 151 kg .

Für den zweiten Belastungsfall erhalten wir:

V = 21600 — 4918 = 16 682 kg ,

H = 9133 — 952 = 8181 kg,

Nx = (16682 — 700*5,272 + 8181) 0,7071 = 14971 kg,

Mx — 16 682 • 5,272 — 8181 • 12,728 - 700 ⁵’²™². = _ 25 908 mkg,

und die Grenzwerte:

a₀ —

14 971    2590800

190

4938

= 78,8 — 524,7 = — 446 kg

au = 78,8 + 524,7 = — 604 kg .

Im Scheitelquerschnitt x — m — 18 m ist Nx — H. Die Grenzwerte von a₀, aH treten entsprechend Fig. 120 (S. 126) ein, wenn die Verkehrslast einmal von 0 bis l — b — 7,621 m und von b — 28,379 m bis l, das anderemal von l — b = 7,621 m bis b — 28,379 m reicht. Für die erste dieser symmetrischen Belastungen ergeben sich (bezüglich H nach Gleichung 10 der letzten Aufgabe):

r = 12 600 + 500 • 7,621 = 12 600 + 3810 = 16 410 kg,

= 5328 + 879 = 6207 kg ,

11= 5328 + 2

2*500*7,621² 3*36 — 2*7,621

3 *3,1416 *36 ²

1,003 71

Mx = 16 410 • 18 — 6207 *18 — 700*18*9 — 500 • 7,621 • 14,190 = 16183 mkg,

und die Grenzwerte:

6207    ,

a°-~19Ö~ ⁺

1618300

4938

= 32,7 + 327,7 = 360 kg ,

au = 32,7 — 327,7 = — 295 kg .

Für den zweiten Belastungsfall erhält man:

V = 21600 — 3810 = 17 790 kg, H = 9133 — 879 = 8254 kg,

und die Grenzwerte:

Mx = 17790*18 — 8254*18 — 700*18*9 — 500    ₌ 31317mkg,

3131700

- = 43,4 + 634,2 = 678 kg , au = 43,4 — 634,2 = — 591 kg .

Die Belastungen der äußeren Öffnungen und die Temperaturänderungen haben auf die Beanspruchungen der Mittelöffnung nur infolge der durch sie bewirkten Änderungen des Horizontalschubs Einfluß. Die Grenzwerte dieser Änderungen sind nach dem oben unter „Stützenreaktionen“ Gesagten:

ir = 73 + 153 = 226 kg,

4938

H = 40 — 153 = - 113 kg .

Für x — 0 sind wegen Nx—V= 0, Mx — 0 die Einflüsse auf a₀, au gleich Null. Dagegen erhält man für x — 5,272 m mit #=226 kg:

Mx — — 226 • 12,728 = — 2876 mkg,

Nx = 226 • 0,7071 = 160 kg,

°o =

160    287 600

4938

= 0,8 — 58,3 = — 57 kg

und mit H — — 113 kg:

Nx = — 113 • 0,7071 = — 79,9 kg,

au = 0,8 + 58,3 = 59 kg,

Mx — 113 • 12,728 = 1438 mkg,

a₀ = -

79,9

143800

190

4938

= — 0,4 + 29,1 = 29 kg,

au — — 0,4 — 29,1 = — 29 kg .

Für x = m=18m haben wir mit H — 226 kg:

Mx = — 226 • 18 = — 4068 mkg,

Nx- 3 = 226 kg,

°o —

226

406800

190

4938

= 1,2 — 82,4 = — 81 kg,

und mit II — — 113 kg:

au = 1,2 + 82,4 = 84 kg ,

= 3 = — 113 kg,

Mx = 113 • 18 = 2034 mkg ,

a₀ = -

113

203400

190

4938

= — 0,6 + 41,2 = 41 kg

au = — 0,6 — 41,2 = — 42 kg .

Mit Berücksichtigung der Belastung der äußeren Öffnungen und der Temperaturänderungen sind nun die Grenzwerte der Normalspannungen (negative bedeuten Zug) bei x — 0:

ao = ati = 114 kg (114 kg) ,

ao = au = 66 kg (66 kg) ,

bei x — 5,272 m:

a₀ = — 446 — 57 = — 503 kg (— 453 kg), 604 + 59 =    663 „ (    611 „ ),

und bei x= 18 m:

a₀ = — 21 + 29 =    8 kg (— 27 kg),

151 — 29 = 122 „ (    157 „ ) ,

360 — 81 =    279 kg (    353 kg)

°o =

ao —

cu = — 295 + 84 = — 211 „ (— 287 „ ) .

678 + 41 =    719 kg (    666 kg),

au = — 591 — 42 = — 633 „ (— 579 „ ),

Die in Klammer beigesetzten Zahlen haben sich bei der einfacheren Berechnung im vorigen Beispiel ergeben, welche hiernach zur vorläufigen Bestimmung der Querschnitte (behufs nachfolgender genauerer Berechnung, bei der J, F nötig sind) genügt hätte. Noch näher wTären wir den genaueren Werten gekommen, wenn wir entsprechend Beispiel 29 auch die Temperaturänderungen der Mittelöffnung berücksichtigt hätten (vergl. die dortigen Endwerte).

Parabelträger. Wie in Beispiel 52 treten gegenüber der Berechnung in Beispiel 51 nur Änderungen der Grenzbeanspruchungen des Untergurts ein. Infolge der neuen Grenzwerte des Horizontalschubs sind jetzt nach Formel 6 in Beispiel 51 die Grenzbeanspruchungen des Untergurts:

Z = 10800 — 9359 = 1441 kg,

^ — 19 800 — 5215 = 14 585 kg ,

gegen 14 453 kg und 1633 kg im vorigen Beispiel.

§ 25. Ketten (Kabel, Stabketten).

Auch die Ketten sind zu den Bogenträgern zu rechnen. Eine vollkommene Kette ist ein Bogen mit stetig aufeinanderfolgenden (reibungslosen) Gelenken. Wir haben also für dieselben nach § 8, 1) in allen Querschnitten:

Mx = cNx = 0

d Mx

und damit nach § 1, 13):

ds

das heißt auch nach § 1, 10) 11):

Vx cos cp — H sin cp — 0,

tg?>= u

= tgy.

-i-

VS

Sa

Fig. 158.

Die Transversalkräfte sind gleich Null, die resultierenden Schnittkräfte greifen in der Achse an und wirken tangential der letzteren oder normal den Querschnitten. In allen Beziehungen für Ketten wollen wir die Ordinaten y nach unten, den Horizontalschub H nach außen und ziehende Normalkräfte Nx als positiv ansehen (Fig. 158), was nach § 1 ohne Änderung der dortigen Formeln zulässig ist.

Wie für alle Querschnitte so sind auch bei den Stützen die Momente gleich Null. Mit M=M‘ = 0 hat man in jeder Öffnung nach § 1, 4), 5) die Vertikalreaktionen der Stützen:

V=

2P(l — a)-\-R*

J    <-

nach § 1, 2), 7) die Vertikalkraft in einem beliebigen Querschnitt x:

Vx=V—2P=\-\Hk — 2Pa — 2P(l — a)

und nach § 1, 12) die resultierende Schnittkraft im Querschnitt x:

Bx=iH’ + ri = Hil + tg'<p

oder nach § 1, 12), 9):

Vxsin cp+ Hcos cp .

In jeder Öffnung und bei jeder Belastung tritt nach 6 die größte Beanspruchung der Kette beim größten Neigungswinkel cp der Achse, das heißt in praktischen Fällen beim höchsten Stützpunkt auf. Man hat dafür, wenn der Ursprung der Koordinaten im höchsten Stützpunkt liegt:

B =    F² = SVl + tg² cp₀.

Je nach der Belastung kann die Kettenachse sehr verschiedene Formen annehmen. Alle so entstehenden Linien heißen Kettenlinien. Die allgemeinste Gleichung der Kettenlinien, das heißt ihre Gleichung für beliebige Belastung, ist mit M’ — M — M‘ — 0 nach § 1, 3):

11

Y= y — Tx,

womit Y die vertikale Abweichung der Kettenlinie gegen die Verbindungsgerade der Stützpunkte bedeutet (Fig. 158):

— x)2Pa + x2P(l — a) .

l L    0    X

12

Für gleiche Stützhöhen sind h = 0, Y = y.

Kennt man für irgend einen Punkt x der Kettenlinie, abgesehen von den Stützpunkten, die Ordinate y oder den Wert Y, so liefern vorstehende Gleichungen auch den Horizontalschub H. Wird beispielsweise

für x = m = ~ gesetzt Y=f, so folgt aus 12:

r m    l    -l

\2Pa+2P(l — a) .

Auch wenn für irgend einen Kettenpunkt, abgesehen vom Scheitel, der Neigungswinkel cp bekannt wäre, würde sich H berechnen lassen.

Für stetig verteilte Lasten können die obigen allgemeinen Beziehungen mit Rücksicht auf § 18 spezialisiert werden. Ist beispielsweise die Belastung mit u pro Längeneinheit auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilt, so liefert § 18:

11 =

2f

13

YPa

ux²

und speziell:

7.

YPa

ul²

2P(!-a)=±(l-zy ,

x    *

2P(l — a)

0

ul²

i—*

10

y=

oder auch nach § 1, 8):

k , l

y=Tx+in

und wenn gesetzt wird:

[vx — YP(x— a)j ,

(l—x) YPci -f- xYPil—a) ,

0    X

womit nach 4, 5:

ul ■ k TJ

T + T-³’

V' =

14

und nach 12, 11 die Gleichung der Kettenlinie:

Y=X(l-x)^B

15

16

y — Tx.

Wir haben in diesem Falle die parabolische Kettenlinie. Die Tangente ihres Neigungswinkels bei x folgt aus 3 mit 15:

wie sich auch durch Differentiation von 16 nach x ergeben hätte. Wird wieder für x = m gesetzt Y=f (Fig. 159), so drückt sich zufolge 16 der Horizontalschub aus:

18

19

20

II =-

womit wir nach 16, 17 auch schreiben können:

y = X(l — X)~~ = y-jX,

tg (p — y -j“ ü — ^ x)

Wie hier die Formeln für die parabolische Kettenlinie, so können auch die Gleichungen für andere Kettenlinien aus 1—13 erhalten werden. Die häufig in der höheren Analysis behandelte gemeine Kettenlinie

3:1.

f y'

Fig. 159.

entsteht, wenn die Belastung nicht wie bei der parabolischen Ketten-linie auf die Horizontalprojektion der Kette, sondern auf die Kettenlänge gleichmäßig verteilt ist. Dies trifft z. B. zu bei homogenen Ketten konstanten Querschnitts, welche nur ihr eigenes Gewicht tragen. Ihre Form nähert sich der parabolischen Kettenlinie um so mehr, je flacher gespannt die Kette, je kleiner das Pfeilverhältnis — ist. Übrigens ist die gemeine Kettenlinie praktisch von geringer Bedeutung. Die Kabel der Hängebrücken beispielsweise pflegen gegenwärtig parabolische Form zu erhalten, was voraussetzt, daß ihre „Normalbelastung“ auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilt ist. Es gilt dann als Aufgabe der sogenannten Versteifungsträger alle weiter hinzukommenden Lasten so auf die Ketten zu verteilen, daß diese ihre Form nicht zu ändern brauchen, das heißt, daß die Belastung pro Längeneinheit Spannweite konstant bleibt. Hierauf beruht die Berechnung der Versteifungsträger. Da alles dies jedoch in der Theorie der Hängebrücken eine besondere Behandlung findet¹, so haben wir keinen Grund, hier näher darauf einzugehen.

Hätten wir neben beliebigen konzentrierten Lasten eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit, so erhielte man nach den obigen allgemeinen Beziehungen durch Ausscheiden der gleichmäßig verteilten Last aus den Summen 2 oder einfacher durch Addition der gegebenen Ausdrücke für gleichmäßig verteilte und beliebige konzentrierte Lasten:

r‘ = ^ + ±-2Pa — H~,

ft-

21

22

¹ Schwend, Über Berechnung und Konstruktion von Hängebrücken, Leipzig 1887. Müller-Breslau, Die graphische Statik der Baukonstruktionen, Band 1, Leipzig 1901, S. 104; Band 2, 1. Abteilung, Leipzig 1903, S. 167, 265, 289, 418, 433; Band 2, 2. Abteilung, Leipzig 1908, S. 393. Bohny, Theorie und Konstruktion versteifter Hängebrücken, Leipzig 1905. Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Band 2, 5. Abteilung; Eiserne Bogenbrücken und Hängebrücken, Leipzig 1906. Luegers Lexikon der gesamten Technik, Artikel Hängebrücken (daselbst auch weitere Literatur).

Vx — Htg(p = V—ux—YP= -

-(l—‘2x) +

HJc—YPa-\-2P(l — a)

o    x

23

H=if ~ + 2Pa + 2P(l-u) ■

Je flacher gespannt die Kette ist, desto eher kann ihr Eigengewicht als gleichmäßig verteilt auf die Spannweite angesehen wrerden.

Während Drahtseile (Kabel) als vollkommene Ketten berechnet werden pflegen, kommen bei Hängebrücken auch Ketten vor, welche aus gelenkartig verbundenen geraden Stäben von endlichen Längen bestehen (Stabketten, Fig. 160). Für solche ist nur in den betreffenden Gelenkpunkten Mx = 0, so daß auch die abgeleiteten Ausdrücke von y, Y, tg cp genau genommen nur für diese gel- "*~g    %

ten. Die übrigen Gleichungen bleiben für praktische Zwecke ohne weiteres anwendbar.

Die Ketten sind diejenigen Träger, durch welche die größten Spannweiten bewältigt werden können. Dies ist sowohl durch die hervorragenden Festigkeitseigenschaften des für sie erhältlichen Trägermaterials wie durch dessen vorteilhafte Ausnutzung bedingt. Während bisher für Balkenbrücken und Bogenbrücken meist Schweißeisen und Flußeisen von 3500 bis 4500 kg pro qcm Zugfestigkeit zur Verwendung kamen, wird jetzt ein zu Brückenkabeln geeigneter Gußstahldraht mit Festigkeiten von 12000 bis 15000 kg pro qcm hergestellt. Hierzu kommt, daß die Schnittkräfte, weil in der Achse angreifend (s. oben), sich gleichmäßig auf die Querschnitte verteilen, die Widerstandsfähigkeit also nicht wie bei Balkenträgern und gewöhnlichen Bogenträgern nur an gewissen Stellen ausgenutzt werden kann. Auch treten nur Zugkräfte auf, so daß keine Knickwirkungen in Betracht kommen. Selbstverständlich sind auch für Ketten um so größere Spannweiten erreichbar, je weniger fremde Last sie aufzunehmen haben, bei einer Fußgängerbrücke beispielsweise erheblich größere als bei Eisenbahnbrücken. Die größten überhaupt möglichen Spannweiten von Trägern würden sich ergeben für Ketten, die nur ihr eigenes Gewicht zu tragen hätten (Beispiel 55).

Beispiel 54. Telephondraht über den Wallensee von Quinten nach Murg¹.

Der bezeichnete Telephondraht besaß bei 2 mm Dicke und 140 kg pro qmm Zugfestigkeit eine Spannweite l — 2400 m, eine Differenz der Stützhöhen & = 230 m und den Pfeil /=180 m (Fig. 161). Wenn nun der Draht parabolisch

Y=

Fig. 160.

25

zu

V'

¹ Wreyrauch, Über die Zunahme der Brückenspannweiten im neunzehnten Jahrhundert, Zeitschrift für Bauwesen 1901, S. 465, 617 (speziell 631).

und frei von Biegungswiderständen vorausgesetzt wird, welche größte Beanspruchung desselben entstand bei ruhender Belastung durch das Eigengewicht allein von 0,027 kg pro Meter Drahtlänge, welche Sicherheit bestand hierfür und welche Vertikaldrücke hätte der Draht auf die Stützen ausgeübt diesen aus annähernd horizontal weiter geführt gewesen wäre?

Bei parabolischem Draht ohne Biegungswiderstände ist die Belastung auf die Spannweite gleichmäßig verteilt. Da nun die Länge flacher Parabelbogen der Spannweite l, Stützhöhendifferenz Je und des Pfeiles f genügend genau:

. = ,+ »l + i£i,

21    31

wenn er von

in unserem Falle:

s = 2400 +

230 ²

8•180 ²

..........*—

3•2400

= 2447 m ,

2*2400

so hat man als Belastung pro Meter Spannweite zu rechnen:

\f

V'

Fig. 161.

u — 0,027

2447

2400

= 0,027 528 8 kg .

Es ergeben sich hiermit nach § 25, 18), 14), 8) der Horizontalschub

2400 2 8*180

die Vertikaldrücke auf die Stützen (da die horizontalen Drahtstücke außerhalb der Spannweite l nichts beitragen):

V = 0,027 5288*1200 +

JS= 0,0275388

= 110,115 kg,

230

2400

110,115 = 43,59 kg,

230

V‘ = 0,027 528 8 *1200 —

und die größte resultierende Beanspruchung des Drahts (bei der höchsten Stütze):

J? = y 110,115 ² + 43,59² = 118,43 kg,

oder bei 2 mm Drahtdurchmesser pro qmm Querschnitt:

118,43

Da nun die Festigkeit pro qmm 140 kg betrug, so war die Sicherheit gegen ruhende Belastung durch das Eigengewicht allein:

= 3,71 .

Bemerkungen. Hätten wir als Belastung pro Meter Spannweite das Eigengewicht pro Meter Draht angenommen, also u = 0,027 kg, dann würden sich in ganz gleicherweise wie oben ergeben haben: H= 108,000 kg, V = 42,75 kg, V = 22,05 kg, B = 116,15 kg und mit der Beanspruchung 36,97 kg pro qmm die Sicherheit 3,79.

Wäre anstatt des Pfeiles f die Drahtlänge s zwischen den Stützpunkten bekannt gewesen, so hätte man aus obigem Ausdruck von s erst f berechnen und dann ganz wie oben verfahren können. Angenommen beispielsweise, es sei gegeben s— 2425 m, dann würden folgen:

8’f2 3*2400 ’

und damit wie oben: u — 0,0272812 kg, H — 175,113 kg, V= 49,52 kg, V — 15,96 kg, B — 181,98 kg, Beanspruchung pro qmm 57,93 kg, Sicherheit 2,42.

Zu der oben berücksichtigten Belastung durch das Eigengewicht allein kommt die Belastung durch Winddruck, Eis- und Schneedruck, sodaß schon bei ruhender Belastung erheblich größere Beanspruchungen als oben berechnet entstehen konnten. In Wirklichkeit ging die Leitung nach Mitteilungen des Er-stellers, Herrn von Schöpfer, durch Mitwirkung lebendiger Kraft zu Grunde.

2400

110,115 = 22,48 „ ,

= 37,70 kg .

140

37,70

⁹30 ²

2425 = 2400 + ^553- +

f— 112,17 m,

Bei den in jener Gegend häufig auftretenden Stürmen wird der Draht vom Winde gehoben und wieder fallen gelassen. Dies veranlaßt gegen die Enden Zwicke, wie wenn mit der Peitsche geknallt wird, womit sehr starke Beanspruchungen verbunden sind. Die Leitung wurde dreimal hergestellt, zweimal mit dem oben erwähnten Stahldraht von 2 mm Dicke und 440 kg Gesamtfestigkeit, das andere Mal mit einem Drahtseil aus drei Stahldrähten von 2 mm Dicke und 1650 kg Seilfestigkeit. Sie bestand vom April 1895 bis Mai 1898.

Aufgabe 26 mit Beispiel 55. Grenzen der Spannweiten flachgespannter Ketten konstanten Querschnitts.

Die größtmögliche Spannweite l von Ketten konstanten Querschnitts F mit gleichhohen Stützpunkten zu berechnen, wenn das Pfeilverhältnis fß — cp sein und die Beanspruchung nicht über a pro Querschnittseinheit hinausgehen soll.

Die größte Spannweite erhält man, wenn die Kette nur ihr eigenes Gewicht trägt. Dies ist bei Ketten konstanten Querschnitts gleichmäßig auf die Kettenlänge s verteilt und damit bei den üblichen kleinen Pfeilverhältnissen cp auch annähernd gleichmäßig verteilt auf die Spannweite. Die Kette wird also nach § 25 annähernd parabolisch und die größte Beanspruchung des ganzen Querschnitts nach § 25, 8), 14), 18) mit & = 0:

it =

1 + “/*.

^ 12 •

Berücksichtigt man hierin neben B = Fo und fß—cp, daß die durchschnittliche Belastung pro Längeneinheit Spannweite, wenn y das Gewicht der Volumeneinheit Kettenmaterial bezeichnet:

(*+4£)-

u - Fy— = F y

so folgt die gesuchte Grenzspannweite:

8 cp a

V (l + J- S»²) V 1 + 16 <P²

Es sei z. B. pro Kubikmeter y = 7850 kg und soll die größte Spannweite für das Pfeilverhältnis cp — ¹/io berechnet werden. Dann liefert 3, wenn a in kg pro qcm eingesetzt werden soll:

7850

8 • 0,1 • 10 000 ff

(1 + köö) V1 + W

= 0,9216 a

und für

a = 1000 1= 922

2000

4000

8000

1843

3686

7373

16000 kg 14 746 m.

In gleicher Weise ergeben sich im Falle und für

<p —1/8 :

a = 1000 l = 1094

2000

4000

l = 1,0938 a

8000

8750

16000 kg 17501 m.

Bemerkungen. Die Resultate wären etwas genauer geworden, wenn wir als Belastung von 0 bis x nicht ux sondern richtig Fy sx, dabei aber die Kettenlänge sx von 0 bis x einer flachen Parabel entsprechend eingeführt hätten:

⁼ *[i ⁺ 'm^ (⁸*²-⁸** + ⁴**j] •

Es würden sich anstatt 1, 3 ergeben haben:

y ?2 F F—

2188

4375

sx

85P er

Beispiel 56. Über Grenzen der Spannweiten von Hängebrücken.

Eine anläßlich der Frage einer Überbrückung des Hudson (North-River) in New-York vom Kriegsminister der Vereinigten Staaten eingesetzte Kommission zur Ermittelung der größten praktisch erreichbaren Spannweite von Hängebrücken¹ kam unter Voraussetzung einer sechsgeleisigen Eisenbahnbrücke, deren 16 parabolische Kabel mit gleichen Stützhöhen vom Pfeilverhältnis ¹/s aus je 6000 Gußstahldrähten mit 2039 qcm Metallquerschnitt beständen und mit x/3 der Zugfestigkeit von 12654 kg pro qcm beansprucht werden sollten, zu einer Gesamtbelastung pro Meter der Spännweite l:

+ 46913 + 15,8640 l + 0,008 8645 l² + 0,0000001583 ß kg .

12593940

¹

Report of board of Engineer officers as to maximum span practicable for Suspension bridges,

²

Washington 1894. Weyrauch, Über die Zunahme der Brückenspannweiten im neunzehnten Jahr

Die größte alsdann mögliche Spannweite zu berechnen.

Nach § 25 hat man wie im vorigen Beispiel die größte Beanspruchung der parabolischen Kabel:

16 f¹ ul

und wie oben vorgehend speziell

<p = 1/10:

wenn z. B. für mit cp = 1/10 „ cpl— 1/8

I = 0,9320 ff, a = 1000 7= 932

l — 1112

wenn

2000

4000

<p = 1/8: 8000

1864

3728

7456

2223

4446

8893

l — l,lH6/ff ,

16000 kg 14912 m 17786 m.

ul² 1 /1 , ij-Y7r+

wonach bei einer Beanspruchung von a pro qcm des Querschnitts F mit R = Fer:

ul =

8 F ff

Da hiernach in unserem Falle:

j/l6 +

Z2

72-

ul =

8•16•2039*4218

Vl6 + 82

= 123 079936

so folgt mit dem gegebenen u die Bedingungsgleichung für die gesuchte Spannweite l:

woraus:

0,000000 1583 14 + 0,0088645 1* + 15,8640 l² + 46913 l — 110485996 = 0 , l = 1320 m .

Für diese Spannweite liefert der gegebene Ausdruck von u die größte Belastung der sechsgeleisigen Brücke pro Meter Spannweite « — 93204 kg.

Bemerkungen. Die berechnete Spannweite gilt selbstverständlich nur unter einer Reihe spezieller Voraussetzungen, über welche die angeführten Schriften Aufschluß geben. Der Kriegsminister hatte eigentlich die größte erreichbare Spannweite für den Fall gewünscht, daß der Verkehr mit Wahrscheinlichkeit hinreiche, die Kosten zu decken. Es wurde jedoch die Kostenfrage zunächst ausgeschieden, sodaß bei obigen Angaben nur technische Gesichtspunkte berücksichtigt sind. Bezüglich der Kosten und ihrer Deckung durch den Verkehr konnte die Kommission nicht zu allgemeinen Schlüssen gelangen, weshalb sie vorzog, die Frage unter örtlichen Beschränkungen zu prüfen. Das Ergebnis v⁷ar, daß eine sechsgeleisige Eisenbahnbrücke über den Hudson in New-York von etwa 975 m erforderlicher Spannweite sehr wohl ausgeführt und ihre Kosten durch den Verkehr eingebracht werden könnten. Die Anlagekosten v⁷aren von der Kommission auf mindestens 92 Millionen Mark, vom New-Yorker Bauausschuß bei leichter jedoch reichlich genügender Konstruktion auf 123 Millionen, von einem durch den Präsidenten der Vereinigten Staaten eingesetzten Ausschuß auf 140 Millionen geschätzt worden.

§ 26. Bemerkungen betreffend Bleehbogen.

Bei Blechbogen lassen sich die Querschnitte im allgemeinen noch weniger als bei Blechbalken den wirkenden Kräften genau anpassen. Die Dimensionierung erfolgt gewöhnlich allein auf Grund der Normalspannungen g in den Querschnittselementen, da die Schubspannungen t bei Bogen meist nur geringe Werte erlangen (Beispiel 8). Für symmetrisch zur Achsschicht angeordnete Querschnitte pflegen die Grenzwerte der Normalspannungen o₀, ou im obersten und untersten Querschnittselement (welche die Werte aller andern a des Querschnitts einschließen) nicht gleich groß und auch ihre Veränderlichkeit von der Mitte nach den Auflagern keine einfache zu sein. Wollte man aber die Querschnitte den Beanspruchungen entsprechend unsymmetrisch hersteilen, so würde die Stabachse nicht mehr die vorausgesetzte regelmäßige Form haben und die Konstruktion an Einfachheit verlieren, ohne daß die Einhaltung der vorausgesetzten Beanspruchungen gesichert erschiene. Durch geeignete Wahl der Trägerhöhen und Gurtungsquerschnitte läßt sich übrigens stets erreichen, daß auch bei symmetrischen Querschnitten keine übermäßige Verschiedenheit der Beanspruchungen entsteht.

Für die Blechbogen mit zwei Gelenken der im VI. Abschnitt behandelten Neckarbrücke bei Cannstatt beispielsweise sind die Spannweite und der Pfeil der Achse in den Öffnungen

At

2e i 7i

LJ

j'' 9/3/1,2cm.

)l,2cm

1,2cm

38cm.

Fig. 162.

ylr4cm

II

III

IV

V:

45,61m, 3,695 „ .

48

l = 45,51 f = 4,375

Die Fahrbahnlast wird durch sechs parallele Bogen aus Martinflußeisen getragen (Fig. 162) bestehend aus je vier Winkeleisen von 9/9/1,2 cm, zwei durchgehenden Horizontalplatten von 38/1,4 cm, zwei horizontalen Verstärkungsplatten von 38/1,2 cm, die über dem Scheitel weggehend etwa 4 m von den Auflagern endigen, und einer Vertikalplatte von 1,2 cm Dicke, deren Höhe h vom Scheitel nach den Auflagern so zunimmt, daß

48

4,735

50,48

4,855

4,505

75 cm 86 „ .

Bei dieser einfachen Anordnung ergaben sich die größten Normalspannungen einschließlich des Einflusses der Temperaturänderungen, wenn als Verkehrslast nur Menschengedränge angenommen wurde, z. B. für Öffnung IV in den Entfernungen von den Gelenken:

min h =    75

max h —    86

79

90

<X> GO

rf- 03

79

90

x =2,682    5,190    7,698    10,206    12,714    15,222    17,730    20,238    22,746 m:

797 kg/qcm,

ff₀= 836    764    854    902    934    937    895    844

<r„= 967    827    915    960    951    911    866    792    776 „

Bei Berücksichtigung der Straßenwalze wurden die Grenzwerte in der Nähe der Bogenmitte etwas größer, in der Mitte selbst ao = 901 kg, ou = 900 kg. Zu diesen Werten hat ein künstlicher Horizontalschub (vergl. die Aufgaben 17, 19,43 sowie VI E, N) von 1950 kg insofern beigetragen, als dadurch die o₀ um —13 bis —70 kg, die oH um 26 bis 81 kg geändert wurden. Für Belastung durch das Eigengewicht allein, der die wirkliche Belastung während der längsten Zeit nahe bleibt, wurde fast vollständige Gleichheit der größten a₀, au erreicht.

Die Querschnitte können vorläufig auf Grund der folgenden Gleichungen entweder lediglich versuchsweise oder nach einem der angeschlossenen Verfahren ermittelt werden. Auf etwaige Festsetzungen bezüglich der Trägerhöhe ist dabei Bücksicht zu nehmen. Die Dicke der Vertikalplatte pflegt von vornherein gewählt zu werden (unter gewöhnlichen Verhältnissen meist 1 bis 1,2 cm), da nicht nur die Kräfte in der Trägerebene, sondern auch die Quersteifigkeit, mögliche Verschwächung durch Bost usw. in Betracht kommen. Den Winkeleisen gibt man gerne innerhalb einer Öffnung konstanten Querschnitt, so daß die Änderung der Trägerquerschnitte nur durchZugeben oder Weglassen von Horizontalplatten erfolgt. Eventuell kann schon durch Änderung der Schenkeldicken weiter reguliert werden. Der Einfluß der Temperaturänderungen braucht bei der vorläufigen Berechnung nicht genau festgestellt zu werden, es genügt, ihn schätzungsweise zu berücksichtigen oder die zulässigen o₀i er, entsprechend kleiner als bei Einrechnung desselben zu wählen. Ähnlich läßt sich je nach Umständen mit anderen Einflüssen verfahren. Bezeichnen beim Querschnitt x wie bisher Mx, Nx das Angriffsmoment und die Normalkraft, e₀, eu die Entfernungen des obersten und untersten Querschnittselementes von der Achsschicht, dann sind nach § 8 die Normalspannungen in diesen Entfernungen:

.1/

x_

e₀1

<*»

<*0 =

x__|_ -Vc

F ' J

und für symmetrisch zur Achsschicht angeordnete Querschnitte:

Mx

ff₀

Nx

w ’

Einfachstes Verfahren. Man bestimmt für eine genügende Anzahl Querschnitte unter Verwendung zulässig einfacher Formeln für statisch unbestimmte Größen die Mx, Nx bei Belastung durch Eigengewicht allein, bei Vollbelastung des ganzen Trägers und bei einseitigen Belastungen bis zur Trägermitte, womit für jeden Querschnitt vier Werte von Mx, Nx bekannt sind, darunter diejenigen, welche für die Näherungswerte der Normalspannungen durch Belastung gelten sollen. Indem man zusammen-

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

gehörige Werte von Mx, Nx in 1, 2 verwendet und mit den größten Druckwerten oo, au den noch ungünstigeren Belastungen und oben berührten Nebeneinflüssen entsprechend unter dem zulässigen Grenzdrucke bleibt, läßt sich der vorläufige Bogenquerschnitt durch einiges Probieren ermitteln. Näheres siehe VI. Abschnitt unter A.

Genaueres Verfahren. Man bestimmt für eine genügende Anzahl Querschnitte unter Verwendung zulässig einfacher Formeln für statisch unbestimmte Größen die Mx, Nx bei denjenigen Belastungen, welche die Grenzwerte der Mx und damit nach dem in § 11 gegebenen üblichen Näherungsverfahren (S. 43, 81, 121) auch die Grenzwerte der a₀, ou liefern. Indem man mit diesen Spannungen den in Betracht kommenden Nebeneinflüssen entsprechend unter dem zulässigen Grenzdrucke bleibt (eher weniger als im vorigen Fall, da die ungünstigsten Belastungen besser berücksichtigt sind), läßt sich der vorläufige Bogenquerschnitt durch einiges Probieren bestimmen.

Endgültige Querschnitte. Nachdem die vorläufigen Querschnitte ermittelt sind, findet eine Revision, Berichtigung und Ausgleichung des Bogens nach ästhetischen, konstruktiven und statischen Gesichtspunkten statt. Alsdann erfolgt die endgültige Berechnung, wobei sämtliche Querschnitte bekannt sind, so daß auch die genauesten Formeln Verwendung finden können. Es handelt sich auch hier in erster Linie um die Grenzwerte von a₀, au beim Zusammenwirken von Belastung, Temperaturänderungen und sonst in Betracht kommenden Einflüssen. Festzustellen ist auch, daß genügende Sicherheit gegen seitliches Einknicken durch die Achsialkraft Nx besteht (vergl. IV. Abschnitt unter K). Sollten sich bei der genaueren Berechnung einzelne Änderungen als angebracht ergeben (meist auf Dicke, Länge oder Breite der Horizontalplatten beziehbar), so können diese in der Pegel vorgenommen werden, ohne daß die Berechnung wiederholt zu werden braucht, da der Einfluß auf die Mr, Nx gering zu sein pflegt und vielfach kaum merklich ist, so daß es genügt, die betreffenden a₀, au nach 1, 2 entsprechend den neuen F und J oder W zu korrigieren.

Bei Bestimmung der theoretischen Nietteilung t (Entfernung der Niete voneinander) zur Verbindung der Winkeleisen mit der Vertikalplatte werden gewöhnlich Längsschubspannungen von % etwa ⁴/s der zulässigen Normalspannung a und doppelt so große Drücke als letztere auf die Flächeneinheit Projektion der Nietlochlaibung angenommen. Es ergibt sich dann als genügend genau, wenn Tx die größte Transversalkraft, d die Dicke der Vertikalplatte, d den Nietdurchmesser und h die Entfernung der Gurtungsschwerpunkte bedeuten¹:

2 a d dJi

Tx

¹ Weyrauch, Die Festigkeitseigenschaften und Methoden der Dimensionenbereehnung von Eisen- und Stahlkonstruktionen. Leipzig 1889, S. 149; Luegers Lexikon der gesamten Technik, Artikel Blechträger.

doch pflegt diese Formel zu große t zu liefern, da man aus konstruktiven Gründen (Dichtigkeit der Fuge usw.) nicht leicht über 6 d bis 8 d hinausgehen wird. Die Niete zum Anschluß der Horizontalplatten an die Winkeleisen werden selbstverständlich in die Mitten der Entfernungen zwischen den soeben besprochenen Nieten gesetzt, was mehr als ausreichend geringe Entfernungen voneinander ergibt. Für die nötige Nietzahl zum Stoß der Vertikalplatte auf jeder Steite der Stoßfuge kann man bei den stets angewandten doppelten Laschen setzen:

n=2t’

unter hn die nutzbare Höhe der Vertikalplatte (bei der äußersten Nietreihe nach der Fuge hin) verstanden. Zweckmäßige Anordnung ist natürlich vorausgesetzt, worauf näher einzugehen hier zu weit führen würde.

Beispiele zu diesen Paragraphen siehe VI. Abschnitt, sowie in diesem Abschnitt die Beispiele 29 und 50 — 53.

III. Abschnitt.

Gewölbe im besonderen. Betonbogen. Eisenbetonbogen.

Wir haben es nur mit solchen Gewölben zu tun, deren Berechnung mit der Theorie elastischer Bogenträger in Beziehung steht, also nur mit Tonnengewölben. Auch diese wurden früher nicht als elastische Bogenträger beurteilt. Da sich aber zeigte, daß die gesuchten Beanspruchungen mittels der Statik allein nicht bestimmt werden konnten, so wurde man zu willkürlichen Annahmen geführt, deren Unzulänglichkeit mit der Zeit erkannt werden mußte. Auf diesen Umstand und die zur Vorsicht mahnenden Erfahrungen bei der Ausführung größerer Gewölbe in erster Linie ist das geringe Eortschreiten des Gewölbebaues während der ge-’ waltigsten Entwicklung des Eisenbaues zurückzuführen; es tritt darin hervor, daß Spannweiten von Gewölben wie die der 1370—77 erbauten Addabrücke bei Trezzo in Italien, über 72 m, erst in neuester Zeit wieder erreicht wurden.

Je mehr die Theorie elastischer Bogenträger ausgehildet und angewandt wurde, um so allgemeiner mußte sich die Erkenntnis verbreiten, daß auch die Gewölbe als elastische Bogenträger aufzufassen seien. Die wertvollste Bestätigung fand sie durch die umfassenden Versuche des Österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins (§ 31), welche Bisse durch Zugspannungen an Stellen ergaben, wo nach der früheren Berechnungsweise gar keine Zugspannungen auftraten (Beispiel 65), während die Gesamtheit der Ergebnisse mit der Theorie elastischer Bogenträger vollständig im Einklang stand. Wenn hiernach die Berechnung der Gewölbe der Hauptsache nach bereits durch das bisher Vorgetragene festgelegt ist und schon eine Reihe von Beispielen über Gewölbe zur Darstellung kam, Beispiele 1, 18—27, 41—45, 48, 49, so erfordern diese doch nach mancher Richtung eine speziellere Behandlung, die im folgenden innerhalb der durch den Zweck unserer Schrift gezogenen Grenzen gegeben werden soll.

§ 27. Allgemeines.

Schon vor Anwendung der Theorie elastischer Bogenträger auf Gewölbe wurde für letztere das gleiche (Naviersche) Verteilungsgesetz

der Normalkraft Nx auf die Lagerfugen angenommen, welches jene Theorie für die Querschnitte der Bogenträger ergibt (§§ 6, 8):

Nx . M F ‘ J u'

Wird hierin entsprechend § 8, 1) gesetzt:

Mx = cNx,

unter c die Entfernung des Angriffspunktes der Kraft Nx von der Bogenachse verstanden (positiv nach oben, negativ nach unten), so folgt:

g —

v/-

Fig. 163.

Diese Ausdrücke der Normalspannungen g an beliebigen Stellen x, v wurden für Gewölbe aus einzelnen Steinen nur insofern anders aufgefaßt, als die Lagerfugen x an Stelle der Querschnitte x traten, so daß Nx, Tx die Komponenten der resultierenden Fugenkraft JRx senkrecht und längs der Fugen x und Mx das Moment von Hx oder Nx in Hinsicht des der Bogenachse angehörenden Punktes x, y der Fuge bezeichneten (Fig. 163). Die abgeleiteten rein statischen Beziehungen § 1, 1)—10) bleiben ebenfalls gültig, wenn die Grenzen der Summen 2 Lagerfugen anstatt Querschnitte und cp den Winkel der Normalen zur Lagerfuge mit der horizontalen .T-Achse bedeuten, als Bogenachse aber die Verbindungslinie der Schwerpunkte aller Lagerfugen angesehen wird. Für Gewölbe mit Lagerfugen senk- Fx recht zur Bogenachse und sogenannte homogene \j Gewölbe (Betonbogen) bestand bezüglich der erwähnten Beziehungen überhaupt kein Unterschied.

Die Grenzwerte der Normalspannungen einer Lagerfuge treten nach 1, 2 im obersten und untersten Fugenelemente ein. Sie sind durch § 8, 9) ausgedrückt und für den wichtigen Fall zur Achsschicht symmetrischer Fuge nach § 8, 11):

Mx

Nx . M

w ’

Diese Gleichungen liefern für die bei Gewölben fast allein vorkommenden Fälle rechteckiger oder nahezu rechteckiger Fugen der Breite b und Höhe

bh²

li mit F=bh und W= - bei Beachtung von 2:

Sollen g₀, gu von gleichen Vorzeichen wie Nx sein, also Druck bedeuten (§ 8), so muß c bei rechteckigen Fugen nach 5, 6 zwischen — ~ und — liegen, das heißt, die Stützlinie (Linie der Angriffspunkte von Rx, Nx

aller Lagerfugen) muß im mittleren Drittel des Gewölbebogens bleiben. Bei beliebigen Fugenformen hätte die Stützlinie zwischen den Kern-linien zu bleiben (§ 8), welche eben in jenem Falle mit den Grenzlinien des mittleren Drittels übereinstimmen.

Jedes Gewölbe ist selbstversändlich so anzuordnen, daß auch bei den ungünstigsten Belastungen und sonstigen Einwirkungen die Randspannungen g₀i oH nicht über die zulässigen Grenzen hinausgehen. Wenn man sich im Hinblick auf das Uberwiegen des Eigengewichts häufig darauf beschränkt hat, die a₀, ou nur für wenige im voraus gewählte Belastungsfälle zu berechnen und von sonstigen Einwirkungen eventuell den Erddruck, Wasserdruck und Auftrieb des Wassers zu berücksichtigen, so läßt sich leicht zeigen, daß ein solches Verfahren für Brückengewölbe nicht ausreicht (vergl. die Beispiele 22 und 44, insbesondere S. 95, 168). Diese sind ebenso genau wie eiserne Bogen zu berechnen, schon weil sonst leicht erhebliche Zugspannungen auftreten können, die bei losen Gewölbesteinen ein Klaffen der Fugen zur Folge hätten und auch sonst mit Rücksicht auf die Widerstandsfähigkeit der Steine und Bindemittel ausgeschlossen zu werden pflegen.

Vor Anwendung der Theorie elastischer Bogen träger auf Gewölbe wurde gewöhnlich weiter verlangt, daß der. Transversalkraft Tx durch die Reibung in der Lagerfuge allein widerstanden werden könne, also

Tx

tgd =

unter dem Reibungskoeffizienten von Mauer auf Mauer oder ö unter dem Reibungswinkel bleibe; nur ausnahmsweise sollte auf die Schubfestigkeit des Bindemittels Rücksicht genommen werden. Da aber in Gewölbebogen bei Einhalten der zulässigen Grenzen von o₀, ou die Bedingung für ö fast immer erfüllt ist (vergl. die Bemerkungen zu Beispiel 22), so werden bei ihrer Berechnung meist nur die Normalspannungen in Betracht gezogen. Man kann zwar nach § 9 leicht auch die Längsschubspannungen und Querschubspannungen erhalten, insbesondere ihre in der Achsschicht auftretenden Größtwerte für beliebige und rechteckige Fugen

aus

So

bzw.

3 rri

Jb

2 bk

allein auch diese sind im allgemeinen so klein (Beispiele 41, 65), daß sie nur selten festgestellt werden.

Es handelt sich nun um die Berechnung der Mx, Nx, Tx in obigen Gleichungen. Damit wird nach 2 auch die Stützlinie bekannt, doch ist diese zur Ermittelung der o₀, au und sonstigen Beanspruchungen bei Gewölben ebensowenig nötig wie bei eisernen Bogen. Die Beziehungen des § 1 für die Schnittkräfte und Schnittmomente enthalten drei Größen, zu deren Berechnung die Gesetze der reinen Statik zunächst nicht ausreichen, den Horizontalschub H und die Endmomente M, M‘. Um dieser statischen Unbestimmtheit zu begegnen, machten alle älteren Gewölbetheorien willkürliche Annahmen über die Lage der Stützlinie. Brauchbare Begründungen wurden zwar versucht, aber nicht gefunden. Gewöhnlich ging man davon aus, daß ein Gewölbe genügende Sicherheit böte, wenn irgend eine statisch mögliche Stützlinie ohne Überschreiten der zulässigen Beanspruchungen eingezeichnet werden könne. Culmann 1 hat dies Vorgehen durch ein Raisonnement zu stützen versucht, nach welchem von allen statisch möglichen Stützlinien diejenige die richtige sein sollte, für welche der Druck in der stärkstgedrückten Fugenkante ein Minimum erreicht, so daß jede den statischen Bedingungen entsprechende Stützlinie entweder die richtige oder eine ungünstigere wäre. Allein das Raisonnement gipfelte in der Annahme: wenn nur eine Stützlinie ohne Überschreiten der augenblicklichen Widerstandsfähigkeit möglich sei, so müsse diese auch verwirklicht werden, durch Zunahme der Widerstandsfähigkeit aber (etwa infolge Erhärtung zunächst weich gedachten Materials) trete keine Änderung der Stützlinie ein; es setzte also gerade das voraus, was bewiesen werden sollte.

Bei der üblich gewesenen Feststellung der Stützlinie wurden drei Punkte derselben frei gewählt, und zwar meist die Durchgangspunkte in der Scheitelfuge und den Kämpferfugen, womit drei neue Bedingungen gegeben waren, welche die Größen H, M, M‘ bestimmten. Wählte man die Durchgangspunkte in der Bogenachse, so waren ganz wie bei eisernen Bogen die Endmomente M = M‘ = 0 und der Horizontalschub H durch die Bedingung Mx = 0 für die Scheitelfuge bestimmt. Die Berechnung hätte sich dann einfach nach § 19 durchführen lassen (wie in Beispiel 22).

Die bloße Annahme ist jedoch noch keine Rechtfertigung. Wie verschieden die Beanspruchungen je nach den Lagen jener Durchgangspunkte selbst bei sehr starkem Überwiegen der festen Last ausfallen können, zeigen schon die Beispiele 22 und 44. Danach würden für die Belastungsverhältnisse der Pruthbrücke bei Jaremcze von 65 m Lichtweite im Falle des Durchganges der Stützlinie durch die Mitten der Scheitelfuge und Kämpferfugen im Scheitel bei beliebiger Bogenachse Druckspannungsn von 18,8 kg, ohne solche Festlegung bei parabolischer Achse aber Druckspannungen von 44,3 kg entstehen. An den Kämpfern sänken im ersten Fall die Druckspannungen nicht unter 13,6 kg, während im zweiten selbst Zugspannungen bis 10,6 kg möglich wären.

Unter solchen Umständen ist es begreiflich, daß man bei Brücken von größeren Spannweiten, insbesondere wenn genügende Erfahrungen nicht Vorlagen (z. B. bei Betonbrücken), den üblichen Annahmen durch die Wirklichkeit zu entsprechen suchte. Auf diese Weise sind die Gewölbe mit drei Gelenken entstanden, deren Einschalten die weiteren Vorteile mit sich bringt, daß zulässiges Setzen, sowie Temperaturänderungen und

¹ Culmann, Die graphische Statik, Zürich 1866, S. 444. Culmann spricht von der Drucklinie; aber die Drucklinie und Stützlinie, welche das Druckminimum ergeben, bedingen einander. Culmann bezeichnet wie wir als Stützlinie (Mittellinie des Drucks) die Verbindungslinie der Druck-mittelpunkte, als Drucklinie (Richtungslinie des Drucks) das Seilpolygon aus Horizontalschub und Lasten oder sonstigen Aktivkräften. Manche wählen die Bezeichnungen umgekehrt. Unter gewissen Voraussetzungen stimmen beide Linien überein.

kleine Bewegungen der Widerlager keine in Betracht kommende Änderung der Beanspruchungen zur Böige haben. Besondere Nachteile sind bis jetzt nicht hervorgetreten. Der Unfall während des Baues der äußeren Maximilianbrücke in München war auf ungeeignete Anordnung der Gelenke zurückzuführen (S. 59). Uber die Berechnung und sonstigen Verhältnisse der Gelenke siehe §§ 13 —17 und Beispiele 13 —17, 20, 21, 23 —25.

Je mehr die Theorie elastischer Bogenträger auf Gewölbe angewandt wurde, um so mehr suchte man diese den Voraussetzungen jener Theorie anzupassen. Man hatte also besonders darauf zu achten, daß das Gewölbe bis zu den Kämpfern einen Bogen von angebbarer Achse mit Lagerfugen annähernd senkrecht zu dieser darstellt; daß es infolge geeigneter Wahl des Materials und sorgfältiger Behandlung der Fugen als Ganzes wirkt und mit Sicherheit auch auftretenden Zugspannungen widerstehen kann; daß es bis zum Ausrüsten möglichst spannungslos bleibt oder auf sonstige Weise möglichste Übereinstimmung des spannungslosen mit dem belastungslosen Zustand bei normaler Temperatur erreicht wird; daß die Übertragung der Lasten auf den Bogen eine feststehende oder doch nicht ungünstigere als die für die Berechnung angenommene

\17, 9771

65771

Fig. 164. Prutlibrücke bei Jaremcze.

ist und unnötige Belastungen vermieden werden. Diese Forderungen führten dazu, die Gewölbe auch im Äußeren den eisernen Bogenträgern näher zu bringen, wovon schon die 1894 erstellte Pruthbrücke bei Jaremcze¹, Fig. 164, ein Beispiel liefert, während die in armiertem Beton ausgeführte, 1908 vollendete Gmiindertobelbrücke im Kanton Appenzell² in der Skizze Fig. 165 kaum noch von eisernen Bogen zu unterscheiden ist.

In neuester Zeit hat man auch der Formgebung der Gewölbe vom Standpunkte möglichst gleichmäßiger Ausnutzung der Materialwiderstände und entsprechender Herabsetzung des Materialverbrauchs größere Aufmerksamkeit geschenkt³, wie dies in anderen Fällen schon früher geschehen war (Körper von gleichem Widerstande, Lavessche Träger, Pau-

¹    Haß, Die großen gewölbten Brücken der K. K. Staatsbabn Stanislau-Woronienka, Zeitschr. d. Öst. Ing.- u. Arch.-Veremes 1893, S. 545, und 1894, S. 533.

²    Mörscb, Die Gmündertobeibrücke bei Teufen im Kanton Appenzell, Schweizerische Bauzeitung 1909, LIII, S. 81, 95, 114, 122.

³    Mörsch, Bestimmung der Stärke von Brückengewölben mit drei Gelenken, Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen 1900. S. 175; Färber, Dreigelenkbogenbrücken und verwandte Ingenieurbauten, Stuttgart 1908; Zimmermann, Der Dreigelenkbogen inStein, Beton oder Eisenbeton, Stuttgart 1909.

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von Teufen

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lische Träger, Staumauern, Eiffelturm usw.). Es handelte sich dabei in erster Linie um Gewölbe mit drei Gelenken, und in den ausführlichen Arbeiten von Färber und Zimmermann nicht nur um die hei gegebenen äußeren Kräften rationelle Form und Stärke, sondern auch um geeignete Wahl dieser Kräfte, wobei davon Gebrauch gemacht ist, daß die feste Last durch das Material und die Anordnung der Konstruktion zwischen Bogen und Fahrbahn innerhalb weiter Grenzen reguliert werden kann. Färber hat noch die mit

Bticksicht auf den Verbrauch an Bogenmaterial zweckmäßigste Lage der Seitengelenke bestimmt, allerdings nur für Fälle, in denen eine Beeinflussung des Verbrauches für die Widerlager durchVerschiebung jener Gelenke nicht in Betracht kommt. Selbstverständlich ist die zweckmäßigste Form der Bogen nicht immer allein vom Standpunkte der Materialausnutzung bestimmt, es können auch ästhetische Bücksichten (Zusammenstimmen mit der Umgebung usw), das geeignete Durchflußprofil und gar manche andere Umstände mitsprechen. Bei einer Verlegung der Seitengelenke in den eigentlichen Bogen (nicht auf vorgekragte Kämpfer) wird man die Sicherheit haben müssen, daß durch die gewollten Bewegungen dreier Gelenke innerhalb des Bogens nicht für diesen mit der Zeit schädliche Wirkungen entstehen. Von besonderem Interesse ist noch die erstmalige Berücksichtigung der Querexzentrizität der Belastung durch Färber, auf welche wir im folgen-

gjv

Ift

Hk

Fig. 165.

Gmündertobel brücke

im Kanton Appenzell.

->j 8f

•s

SITTEKFLTTSS

V;

PW

Jf

den ebenfalls eingehen werden (§ 30, Aufgaben 27, 28, Beispiele 60, 61, 62). Bezüglich der Betrachtung von Tonnengewölben als räumliche Systeme mag es genügen, auf einen Aufsatz von Engesser¹ hinzuweisen.

Uber Gewölbe wurden bereits in den bisherigen Abschnitten die Beispiele 1, 18—27, 41—45, 48, 49 gegeben und werden außer den Beispielen in diesem Abschnitte noch folgen die Beispiele 98, 99.

§ 28. Korrektur eines vorläufig angenommenen Gewölbes.

Eiir eine rechteckige Lagerfuge der Breite b von bestimmter Neigung seien N₀, Nu die Normalkräfte bei den Belastungen, durch welche die größten Druckspannungen im obersten und untersten Eugenelement erzeugt wrerden, a der Abstand dieser Kräfte voneinander (Fig. 166). Wir legen uns die Frage vor, welche Fugenhöhe h nötig ist und wo die Bogenachse durch die Fuge gehen muß, wenn die größte Druckspannung in beiden Bandelementen od betragen soll, eine Änderung der Belastung und von _ZV₀, Nu nach Größe und Angriffspunkten durch die Korrektur nicht in Betracht kommt (vergl. Bemerkungen zu Beispiel 58) und Bedingungen bezüglich etwaiger Zugspannungen zunächst nicht gestellt werden (nachträgliche Kontrolle s. Beispiel 58).

Für eine beliebige rechteckige Lagerfuge x hat man nach § 27, 5), 6) bei beliebiger Belastung die Normalspannungen im obersten und untersten Fugenelement:

<*u

Nx

<L =

unter c die Entfernung des Angriffspunktes der Normalkraft Nx von der Bogenachse verstanden (positiv nach oben, negativ nach unten, § 8). Bezeichnen c₀, cu die Werte von c bei den obenerwähnten Belastungen für die Grenzwerte a₀ = au=acV so folgen:

baa

haa

6 co

ifi ’

bh

und durch Addition:

b°ä

bad _

Nu

2__|_ n C₀ Cu

Beachten wir (Fig. 166):

und setzen zur Abkürzung:

m =

a = Co—Cu

n₀nh

baa

bod iV₀ + Na »

so ergibt sich:

N„

² f"jjr ⁰⁽^er    — mh — 3 m a = 0,

woraus die gesuchte Fugenhöhe (in der Ebene der Fuge gemessen):

¹ Engesser, Das elastische Tonnengewölbe als räumliches System betrachtet, Zeitschrift für Bauwesen 1909, S. 107.

₇ m , m 1/ i ,

12«

*=t+tV x +

Die zwei auf 1 zunächst folgenden Gleichungen aber liefern:

L,= —

(V-²)

wodurch der Schnitt der Bogenachse mit der Fuge bestimmt ist (Fig. 166).

XA³

Fig. 166.

Durch vorstehende zuerst von Färber² abgeleiteten Beziehungen kann ein vorläufig angenommenes Gewölbe korrigiert werden im Sinne der Annäherung an die Bogenform möglichster Ausnutzung des zulässigen Drucks. Das Verfahren wäre nötigenfalls mit den N₀, Nu, a der verbesserten Form zu wiederholen, doch genügt die einmalige. Anwendung, wenn die Belastung durch die Korrektur keine erhebliche Änderung erleidet. Diese kann zwar durch das Material und die Anordnung der Konstruktion zwischen Bogen und Fahrbahntafel reguliert wrnrden, doch ist vorzuziehen, daß schon das anfängliche Gewölbe dem angestrebten nahe kommt. Nun wissen wir bereits, daß bei gleichmäßig auf die ganze Spannweite verteilter Last eine parabolische Bogenform diesem Zwecke entspräche (§§ 78, 119, 145), und daß die Bogenacbse von den Kämpfern aus um so steiler beginnen und um so mehr über der Parabel durch ihre Kämpferpunkte und den Scheitel bleiben muß, jemehr die Belastung vom Scheitel aus gegen die Kämpfer hin zunimmt (Aufgabe 13). Einen weiteren wichtigen Anhaltspunkt wird der folgende § liefern.

Bei Gewölben ohne Gelenke ist zu beachten, daß mit der Änderung der Bogenachse die Normalkräfte N₀, Nu selbst ohne Änderung der Belastung Änderungen erleiden, weil Nx — F^sm (p -f- jffcos cp vom Horizontalschub II und durch Vx auch von den Kämpfermomenten M, M* abhängt, deren Werte je nach der Form der Achse verschieden sind (§ 21). Wenn hiernach obiges Verfahren bei Gewölben ohne Gelenke weniger genau als bei solchen mit drei Gelenken erscheint, so kann es doch auch für

sie zweckmäßige Verwendung finden. Man wird nur eher veranlaßt sem, eine zweite Berechnung vorzunehmen, und kann dann eventuell H, M, M‘ bei der ersten Berechnung nach den einfachen Formeln für parabolische Bogen (§ 21), bei der zweiten nach den Formeln für Bogen mit beliebiger Achse bestimmen (§§ 49, 50, Beispiele 1, 63—67, 98, 99).

Beispiel 57. Gewölbekorrektur entsprechend dem vorigen Paragraphen.

Für eine Lagerfuge der Breite b = 495 cm haben sich entsprechend der vorläufigen Gewölbeanordnung ergeben (s. unten) bei Eintritt des größten Drucks in der Oberkante:

N₀ — 1856,33 t

M₀

c°~lvö

867,42

1856,33

100 = 46,73 cm,

bei Eintritt des größten Drucks in der Unterkante:

Nu = 1925,20 t,

c

Nu

32,64

1925,20

- 100 = — 1,70 cm,

womit der Abstand der Normalkräfte N₀, Nu:

a = 46,73 + 1,70 = 48,43 cm .

Die nötige Höhe h der Lagerfuge und den Durchschnitt der Bogenachse mit ihr zu bestimmen, wenn die größte Druckspannung in Oberkante und Unterkante od = 40 kg pro qcm betragen soll.

Gleichung 3 des § 27 liefert:

= 95,46 cm ,

495*40    495-40

1856330 ⁺ 1925 200

und hiermit Gleichung 4 die Fugenhöhe:

1^:

während nach 5 mit bh = 495 • 174,8 = 86526 qcm die neuen Entfernungen der Kräfte N₀, Nn von der Bogenachse (positiv nach oben, negativ nach unten) bestimmt sind:

12 • 48,43 95,46

— = 174,8 cm,

40-86526

174,8

1856330

25,19 cm,

Cu = —

40 • 86526

1925 200

---1

—    23,24 „ ,

womit natürlich wieder

« = c₀ — cu =

48.43 cm .

Bemerkungen. Selbstverständlich ergeben die Gleichungen § 27, 1) mit den berechneten h, c die größten Druckspannungen:

1856 330 8652(T

6-25,19

174,8

= 40 kg

1925200

(* +

0 • 23,24

= 40 „    .

Bezüglich der unteren Grenzspannungen siehe das nächste Beispiel¹.

Für welche äußeren Kräfte die gegebenen N₀, NH, a abzuleiten waren, und wie sie erhalten wurden, ist für obige Berechnung gleichgültig. Im vorliegenden Falle entsprechen sie der Fuge x = 20,81 m des in Beispiel 22 angenommenen Gewölbes und sie konnten dort unter a) und e) entnommen werden. Beim Zusammenwirken des Eigengewichts mit den für die größten Druckwerte von (T₀, au nach dem genaueren Verfahren maßgebenden Belastungen hat man:

M₀ = 465,17 + 402,25 =    867,42 mt,

Mn = 465,17 — 497,81 = — 32,64 „ ,

womit a wie zu Anfang gezeigt folgt. Die erwähnte Fuge hatte bei der Berechnung des Beispiels 22 entsprechend der Pruthbriicke bei Jaremcze eine Höhe von 2,24 m, wobei die größten Druckbeanspruchungen crrt = 37,70 kg, <ru = 18,15 kg pro qcm waren. In der erheblichen Verminderung der Fugenliöhe auf 1,75 m tritt der Vorteil der obigen Korrektur hervor. Daneben werden Zugbeanspruchungen vermieden (Beispiel 58).

86526

174,8

N₀ = 1792,08 + 64,25 = 1856,33 t, Ku = 1792,08 + 133,12 = 1925,20

Beispiel 58. Untersuchung einer korrigierten Fuge auf Zugspannungen.

Es sollen die zweiten Grenzwerte der Randspannungen <r₀, au für die korrigierte Fuge des vorigen Beispiels berechnet und damit festgestellt wrerden, ob unzulässige Zugspannungen auftreten können.

Während die Bogenachse für das anfängliche Gewölbe in der Fugenebene um c₀ = 46,73 cm unter dem Angriffspunkt von N₀ lag, ist der Abstand nach der vorgenommenen Korrektur nur noch c₀ = 25,19 cm, sodaß die Bogenachse in der Fugenebene um

46,73 — 25,19 = 21,54 cm

JLf

nach oben gerückt wurde. Damit ändern sich aber die Abstände c — ~ der Angriffspunkte von Nx auch für alle andern Belastungen um 21,54 cm.

Im folgenden mögen (im Gegensatz zu § 27 und dem vorigen Beispiel) c für die Belastung, welche den kleinsten Druckwert oder größten Zugwert der oberen Randspannung a₀ erzeugt, durch N₀, c₀, und für die Belastung, welche den kleinsten Druckwert oder größten Zugwert der unteren Randspannung au, erzeugt, durch Nu, cu bezeichnet sein. Dann haben wir mit Rücksicht auf die in Beispiel 22 unter a) und e) für das anfängliche Gewölbe ermittelten Werte für die neue Anordnung:

N₀ = 1792,08 + 124,82 = 1916,90 t,

— 21,54 = — 23,13 cm ,

die N

.r •

c₀ = —

3054

1916,90

Nu = 1792,08 + 55,95 = 1848,03 t,

— 21,54 = 25,51 cm ,

86953

1848,03

und damit nach § 27, 1) mit Beachtung von bh — 495 • 174,8 = 86526 qcm die gesuchten unteren Grenzwerte der Randspannungen:

a₀ =

1916900

86 526

f 6-2343\ V    174,8 J

4,56 kg,

6-25,51 174,8

Während also die anfängliche Fuge von h = 2,24 m Höhe nach Beispiel 22 an der Unterkante Zugspannungen von 4,34 kg pro qcm erleiden konnte, kommen jetzt längs der ganzen Fuge nur Druckspannungen vor, deren unterer Grenzwert an der Unterkante 2,66 kg beträgt.

Hätte sich eine unzulässige Zugbeanspruchung ergeben, so würde entweder auf vollständige Ausnutzung der zugelassenen Druckbeanspruchung zu verzichten oder eine weitergreifende Änderung des Gewölbes vorzunehmen gewesen sein. Es ist dies jedoch nicht zu erwarten, wenn schon das anfängliche Gewölbe dem gewünschten nahekommt (vergl. § 29), was in unserem Beispiel nicht einmal der Fall war.

1848030 86 526

2,66 „ ..

Bemerkungen. Die oben verlangte Feststellung kann noch auf andere, allerdings weniger einfache Weise erfolgen, die wir jedoch zeigen wollen, weil sie das Wesen der in § 27 vorgetragenen Korrektur scharf hervortreten läßt. Durch diese tritt nach ihren Voraus*

Setzungen keine in Betracht kommende Änderung der Normalkräfte Nx ein, und eine Änderung der Momente Mx nur insofern, als der Momentendrehpunkt mit der Bogenachse verlegt wird. Die Änderungen der Koordinaten des Momentendrehpunkts (des Achspunktes der Fuge) mögen durch Ax, Ay bezeichnet sein (Fig. 167), dann hat man nach §1,3) die Änderungen der Momente Mv (bei Gewölben ohne Gelenke nur bei ungeändert angenommenen

Amx=vxAx — H Ay,

H, M, M'f:

worin in unserem Falle:

AT.

Fig. 167.

Ax = 21,54 sin cp = 21,54-0.3202 = — 6,90 cm ,

Ay — 21,54 cos cp = 21,54• 0,9474 =    20,41 „ .

Wir entnehmen nun der vorläufigen Berechnung in Beispiel 22 für den Belastungsfall, welchem bereits das obige = N₀ entspricht:

Mx = 465,17 — 495,71 = — 30,54 mt,

Vx = 562,00 + 61,43 = 623,43 t,

H= 1701,63 + 110,99 = 1812,62 t,

A Mx = — 623,43 • 0,0690 — 1812,62 • 0,2041 = — 412,97 mt,

und nach Gleichung 1 des Beispiels 22 für die neue Anordnung:

1916 900 —

womit

ao =

86 526

„ 30540 + 412970 V .    ,

6--)=4,5dk₈.

Weiter entnehmen wir der vorläufigen Berechnung des Beispiels 22 für den Belastungsfall, welchem bereits das obige Nx = Nu entspricht:

Mx = 465,17 + 404,36 = 869,53 mt,

Vx — 562,00 + 5,31 = 567,31 t,

H — 1701,63 + 55,95 = 1757,58 t,

A Mx = — 567,31 • 0,0690 — 1757,58 = — 397,87 mt,

und nach Gleichung 1 des Beispiels 22 für die neue Anordnung:

1848030 —

Die unteren Grenzwerte haben sich also genau wie oben ergeben.

womit

°u —

86 526 \

„ 869530 — 397,87 \    „ „„ ,

⁶ -1/748-)= ²>66kS-

§ 29. Zur Wahl der Gewölbemittellinie (Bog-enachse).

Einige Gesichtspunkte betreffend die Wahl der Bogenachse wurden schon am Schlüsse des vorigen Paragraphen berührt. Es hat nun aber Tolkmitt¹ zu begründen versucht, daß als Bogenachse zweckmäßig die Stützlinie für Eigengewicht plus halbe Verkehrslast auf der ganzen Spannweite zu wählen sei. Ein schärferer Beweis, mit Hilfe einer eigenartigen Rückführung der Belastungen für die Grenzwerte der Randspannungen o₀, ou auf jene Grundbelastung, wurde von Färber2 gegeben. Von dieser Rückführung soll auch im folgenden Gebrauch gemacht werden. Wir ändern jedoch den Beweis insofern ab, als wir für den Fall der erwähnten Bogenachse die Maximaldruckwerte a₀, ou selbst ausdrücken und so unmittelbar hervortreten lassen, daß diese nur wenig voneinander verschieden sind.

Bei beliebiger Bogenachse ergeben sich die Belastungen für die Grenzdrücke a₀, au bekanntlich genügend genau in der aus Fig. 168 ersichtlichen Weise, wobei oben feine Striche Eigengewicht allein, fette Striche Eigengewicht plus Verkehrslast bedeuten, die beide beliebig verteilt oder konzentriert sein können (S. 43, 81). Für Bogen mit Kämpfergelenken sind die Umhüllungslinien U, TJ‘ zu den Gelenkmittelpunkten zusammengeschrumpft (S. 12). Die Grenzdrucke selbst sind nach § 27, 5), 6) ausgedrückt:

ao J)h

<*« =

6 cu

worin No, c₀ und Nu, cu die Werte der Normalkraft Nx und ihrer Ent-]\I

fernung c = (positiv nach oben, negativ nach unten, § 8) für die

den Grenzdrücken o₀, au entsprechenden Belastungen bedeuten. Die Entfernung der Kräfte N₀, Nu voneinander ist (Fig. 166):

« = co —    •.

Es werde nun ein Gewölbe vorausgesetzt, dessen Mittellinie die Stützlinie für Eigengewicht plus halbe Verkehrslast auf der ganzen Spann-

1902, S. 21.

¹ Tolkmitt, Leitfaden für das Entwerfen und die Berechnung gewölbter Brücken, Berlin Färber, Dreigelenkbogenbrücken, Stuttgart 1908, S. 25.

weite bildet. Für eine beliebige Lagerfuge x seien die von dieser Grundbelastung herrübrenden Werte von Nx, Mx durch Ng, Mg — 0, die von halber Verkehrslast nach der Lastscheide S (Fig. 168) und zugleich negativer (nach oben wirkender) halber Verkehrslast vor der Lastscheide S herrührenden durch n, — m bezeichnet. Dann entsprechen dem Grenzdrucke o₀ (Fig. 168):

N₀ = Ng-n,

und dem Grenzdrucke au (Fig. 168):

Nu = Ng+n,

womit folgen (der zweite Ausdruck bei Beachtung von 2):

M₀ = m = N₀ c₀

Mu = — m = Nucu

C₀

Np ’

Berücksichtigt man diese Beziehungen in 1, so folgen:

Nu

6 c₀

bh ¹ bh*

und die Grenzdrücke im obersten und untersten Fugenelement:

Ng -f- n |    6 c₀

Ng — n i _6fo_ J- n) bh ^ bh* K g '    } ’

oder, für unseren Zweck geeigneter:

V> =

<*n =

bh

bh²

{Ng~

<*0 =

(!+t)

n.. (l ⁶M

bh \    h )

6 c₀

(i+wj+fH¹

Die Beiträge der Grund-

min. druck 3^-

belastung zu o₀₎ ou (Glie-der mit dem Faktor Ng) sind hiernach gleich, und da diese auch das bei Ge-

max. druck (T0 müi. druck d,.

<r₀.

TT

Fig. 168.

wölben weit überwiegende Eigengewicht enthält, so können die hinzukommenden Beiträge von Teilen der Verkehrslast (Glieder mit dem Faktor ri), keine wesentliche Verschiedenheit der ganzen Grenzdrücke bedingen, um so weniger je kleiner das Verhältnis der Verkehrslast zum Eigengewicht ist (Beispiel 59).

Stützlinie für Eigengewicht plus halbe Verkehrslast auf

Beispiel 59.

der ganzen Spannweite als Bogenachse.

Das Ergebnis des vorigen Paragraphen an dem Fall zu erproben, daß das Gewölbe des Beispiels 22 als Bogenachse die Stützlinie für die dortige Grundbelastung erhalten hätte.

Wir fassen die Lagerfuge x — 20,81 m ins Auge und können dann in Beispiel 22 unter a), b) und c) entnehmen:

Ng = 1792,08 +    = 1886,61 1.

133,12    55|5 = 3859t)

womit nach § 29, 3), 4):

N₀ = 1886,61 — 38,59 = 1848,02 „ ,

Nu = 1886,61 + 38,59 = 1925,20 „ .

Wenn auch die in Beispiel 22 gewählte Bogenachse jetzt nicht gilt, so können wir doch aus den ihr entsprechenden Werten

Co =

465,17 + 404,36

1848,02

100 = 47,05 cm

100 = — 1,70 „

cn —

465,17 — 497.81 1925,20

den Abstand der Kräfte N₀, Nu voneinander feststellen¹:

a = 47,05 + 1,70 = 48,75 cm .

Für die jetzt maßgebende Bogenachse liefert § 29, 5):

c₀ =

48,75

= 24,87 cm ,

1848,02 1925,20

während die Ausdrücke § 29, 6), 7) mit den in Beispiel 22 angenommenen Werten2 b = 495 cm, h — 224 cm als größte Druckspannungen pro qcm im obersten und untersten Fugenelement ergeben:

188661 495-224

38590 ( _

495-224 V1 % = 28,35 + 1,16 = 29,5 kg .

Die von der Grundbelastung herrührenden Beiträge, 28,85 kg, sind also hier bei weitem überwiegend, die hinzukommenden Beiträge von + 1,16 kg machen nur 4% derselben aus. Allerdings ist das Verhältnis der Verkehrslast zum Eigengewicht bei der behandelten Brücke (entsprechend der Pruthbrücke bei Jaremcze) besonders klein, 1:12,3.

ao =

('+

6 - 24,87

6 - 24,87

224

224

28,35 — 1,16 = 27,2 kg ,

¹

hundert, Zeitschrift für Bauwesen 1901, S. 465, 617 (speziell 633).

²

Färber, Dreigelenkbogenbrücken, Stuttgart 1908, S. 22. Ähnliche Fugenformeln auch für

³

andere Bedingungen s. Zimmermann, Der Dreigelenkbogen, Stuttgart 1909, S. 70.

§ 30. Berücksichtigung der Querexzentrizität der Lasten.

Es kommt bei Gewölben häufig vor, daß die Verkehrslasten unsymmetrisch zur Längsmittelebene wirken. Man hat jedoch auch in solchen Fällen bei der Berechnung bisher stets die Beanspruchungen auf der ganzen Breite des Gewölbes oder eines Gewölbestreifens überall gleich angenommen; das Naviersche Verteilungsgesetz der Normalspannungen g, wonach diese proportional den Ordinaten einer geraden Linie variieren sollen (vergl. § 8), ließ man nur nach der Höhenrichtung der Lagerfugen gelten. Demgegenüber hat neuerdings Färber³ bei Festsetzung der größten Druckspannungen o(l in den Lagerfugen die Querexzentrizität der Lasten in der Weise berücksichtigt, daß er das Naviersche Verteilungsgesetz auch nach der Querrichtung des Gewölbes als zutreffend annahm. Wenn auch gegen diese Annahme bei der langgestreckten Form der Lagerfugen gewisse Bedenken bestehen können, so führt sie doch zweifellos zu einer konsequenteren und zuverlässigeren Beurteilung der Be-

ere

¹ Dieser Abstand ergibt sich hier etwas verschieden von dem in Beispiel 57 berechneten (48,43 cm), weil dort die genaueren, mittels der Kernpunkte erhaltenen Belastungsgrenzen für o₀, ou gewählt wurden, während hier entsprechend § 29 das am Schlüsse des § 11 (S. 43) erwähnte einfach Verfahren maßgebend ist.

²    Wir könnten natürlich bei der jetzt gleichmäßigeren Beanspruchung der Fuge die Höhe h kleiner als in Beispiel 22 wählen. Vergl. Beispiel 57.

³    Färber, Dreigelenkbogenbrücken, Stuttgart 1908, S. 5.

anspruckungen als die bisherigen willkürlichen Auskunftsmittel. Wir wollen deshalb auf ihrer Grundlage im folgenden die Normalspannungen allgemein ableiten.

Für eine rechteckige Lagerfuge der Breite b und Höhe h seien bei beliebiger Belastung Nx die Normalkraft und e, c die Koordinaten ihres Angriffspunktes in bezug auf Achsen durch den Mittelpunkt der Fuge parallel den Seiten b, h (Fig. 169). Die positive Richtung von u ist so

M

gewählt, daß e einen positiven Wert hat, während die v und c = wie

X

bisher nach oben positiv, nach unten negativ gerechnet werden (§§ 3, 8). Unter der Voraussetzung, daß die Normalspannungen für beliebige Lagerfugenelemente sich ausdrücken lassen:

g — a-\-ßu-\-yv

mit konstanten a, ß, y (Naviersches Verteilungsgesetz), sollen bestimmt werden: a) die Normalspannungen er für beliebige u, v und diejenigen Band Spannungen Gd, oz der betrachteten Fuge, zwischen welchen die Werte aller andern a dieser Fuge liegen; b) die

Lage der neu- ^ tralen Achse a    —

= 0; c) der k Reduktions- ^ faktor q in

a = q o\ 2

worin o‘ den Wert von o für e = 0, das heißt bei querzentrischer Wirkung der in Frage stehenden Belastung, bedeutet.

a) Unter den angeführten Voraussetzungen hat man die Normalkraft für ein Flächenelement du dv bei u, v (in Fig. 169 schraffiert):

o du dv = (a -f- ßu -f- yv) du dv , . also für einen Streifen der Höhe dv parallel der«-Achse:

-hL

12 e

du

o.Xx

c\ V

\c

ic

~Jb

Fig. 170 (c negativ).

Fig. 169.

"dv / a du = dv / (o£ —{— ßu -j- yv) du = (a -f- yv) b dv

und für einen Streifen der Breite du parallel der v-Achse:

du / a dv — du / (« -f- ßu -f- yv) dv = (a -(- ßu) h du . ./ *    J *

Mit Rücksicht auf diese Ausdrücke ergeben sich für die ganze Fuge die Normalkraft:

b / (a-\-yv)dv ,

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

15

und die Momente in Hinsicht der v -Achse und u-Achse:

Nxe = h I (a —J— ßii) u du

Nx c — b / (a -f- yv) vdv = Mx

woraus nach Ausführen der Integrationen:

eNx

M

¹²w-

y = 12

X

bh’

Mit diesen Werten der Konstanten liefert 1 die Normalspannungen für beliebige Fugenelemente der Koordinaten u, v:

h b³

b h³

Nx (A I 12c    ,12«    \

° — Tk v¹ “J" v ~W u)

worin das dritte Glied von der Querexzentrizität e von Nx herrührt.

Die Randspannungen ad, az (Druck positiv, Zug negativ), zwischen welchen die Werte aller andern Normalspannungen liegen, folgen aus 4

u = h- (Oberkante, Seite von Nx):

i¹+¥+¥)>

bei positiven Mx, c mit v =

bh

°a

und mit v = —

(Unterkante, entgegen der Seite von Nx):

Nx

°z bh

6 c_6e

h b

bei negativen Mx, c mit v = —

u — — (Unterkante, Seite von Nj:

und mit v =

<*d

6 c . 6 c\

T + Tb

j (Oberkante, entgegen der Seite von Nx):

<*» =

6 e'

b)'

Für Gelenkfugen ist in allen diesen Ausdrücken c = 0. b) Die Gleichung der neutralen Achse ist nach 4:

bh

12 c -    12 e A

JTV +“j2-^ = ⁰'

Da hiernach für u = 0

12 c

Z>²

12 c ’

so kann die neutrale Achse leicht verzeichnet werden (Fig. 169).

§ 30. Berücksichtigung der Querexzentrizität der Lasten, c) Für e — 0 hat man nach 4 bei beliebigem u, v (vergl. § 8):

-^2.(1 -J- ~v\ bli \    ‘    7i²    )

bh

10

Mit diesem Wert und 4 liefert 2 den Reduktionsfaktor:

12 e u

11

l + ~w*v)h²

Man sieht, daß q nicht nur von b, h, e, c, sondern auch von u, v, das heißt nicht nur von der Lagerfuge und Belastung, sondern auch von der Lage des durch o beanspruchten Flächenelements abhängt¹.

Insbesondere erhält man in den Ausdrücken für die Randspan-

°d ⁼ Qd°d 1

bei positiven Mx, c mit v —

nungen

12

~ (Oberkante, Seite von Nx): Qa ~ 1 ~f~

6e

13

und mit v — —

CM

(Unterkante, entgegen der Seite von Nx):

°'z =

14

bei negativen Mx, c mit v — —

a', =

W I i 6c\

bh V¹    h )

Qe = ¹ —

, u = — (Unterkante, Seite von Nx): Qa— ¹ +

6e

15

und mit v =

Y (Oberkante, entgegen der Seite von Nx) :

Qz = ¹ —

16

Diese Gleichungen gehen speziell für Gelenkfugen -wegen c = 0 in die folgenden über:

=

6 e

P. = ¹ - T

wonach die Querexzentrizität auf die Gelenkfugen am ungünstigsten wirkt; für e y sind ihre Reduktionsfaktoren qz, az negativ.

Da nach 11 und 13 bis 17 der Faktor q in 2, 12 in gewissen Fällen größer als 1, in anderen kleiner als 0 werden kann, so ergeben sich bei Berücksichtigung der Querexzentrizität nicht nur größere Druckspannungen als ohne ihre Berücksichtigung, sondern bei genügend großer Exzentrizität selbst Zugbeiträge an Stelle von Druckbeiträgen. Wenn dies auch im allgemeinen nur die Beiträge der Verkehrslast betrifft, da die feste

bh ’

17

¹ Der Reduktionsfaktor o von Färber entspricht dem folgenden Qd .

Last querzentrisch zu wirken pflegt, so können doch schon dann merkliche Zugbeanspruchungen im ganzen entstehen, wenn ohne Berücksichtigung der Querexzentrizität die untere Grenze der Normalspannungen gleich Null gewählt wird (d. h. für dz = 0 kann az <^0 folgen). Auch wird sich zeigen, daß bei mehrgeleisigen Eisenbahnbrücken durch Belastung einzelner Geleise ungünstigere Druckspannungen entstehen können als durch Belastung aller Geleise (Beispiel 62), und bei Straßenbrücken durch Belastung gewisser Breitenteile ungünstigere Druckspannungen als durch Belastung der ganzen Breite (Aufgabe 28).

Die Ausdrücke von ad, a₂, Qd, qz sind oben für beliebige Belastungen mit positiven und negativen Mx, c gegeben. Man hat sie damit auch für die Belastungen, welche gemäß dem Verfahren am Schlüsse des § 11 die Grenzwerte von od, u. bei veränderlicher Belastung erzeugen, da diese Belastungen mit denjenigen für die positiven und negativen Grenzwerte der Momente Mx übereinstimmen.

— 3,9 kg (Zug) an den Kämpfern bis 0,7 kg (Druck) im Scheitel, auf der andern Seite gleich große Normalspannungen mit entgegengesetzten Vorzeichen. Die Schubspannungen erreichten Werte von x — 1,0 kg an den Kämpfern bis 0 im Scheitel.

Die Verschiedenheit der Beanspruchungen an beiden Stirnflächen eines Gewölbes kann erhöht werden durch Temperaturunterschiede derselben und infolge von Winddruck auf eine der Flächen¹. Für einen Betonbogen mit drei Gelenken von 62 m Spannweite und 6,2 m Pfeil der Achse, dessen zulässige Druckbeanspruchung durch Eigengewicht und ungünstigste Verkehrslasten 33 kg pro qcm angenommen war, konnten durch eine Temperaturdifferenz A t Normalspannungen von a — 0,69 At an den Kämpfern bis 1,10 A t im Scheitel entstehen, Zug auf der wärmeren, Druck auf der kälteren Seite, und an anderen Stellen Schubspannungen von x = 0,76 A t an den Kämpfern bis 0 im Scheitel. Für A t = 5° würden hiernach Werte bis o = 5,5 kg, % = 3,8 kg pro qcm auftreten können. Durch einen Winddruck von 200 kg pro qcm auf eine der Stirnflächen ergaben sich auf der Windseite Normalspannungen von g

Beispiel 60. Spannungen bei querexzentrischer Belastung. Bei einem Yersuchsgewölbe der Breite b = 2 m seien für die Lagerfugen die Höhen

und durch eine bestimmte Belastung die Normalkräfte

li —

25

20

4 m 15 cm,

Nx =

6400

6522

6488 kg,

die Abstände

Mx

*x

— 12,22

— 7,72 cm

23,84

(vergl. Beispiel 41, S. 150). Wenn nun die Belastung und damit auch Nx um e = 50 cm querexzentrisch wirkt, die Randspannungen ad, a₂ (§ 30) in den drei Fugen zu berechnen.

Nach den Gleichungen 5 bis 8 des vorigen Paragraphen hat man bei Beachtung der Vorzeichen von c für die Fuge x — O:

6400

⁰⁽¹    200 • 25

(    , jp23,84

V ⁺    25

6-50

200

) =    10,52 kg

(oben),

6400

6 • 23,84    6 • 50

200 • 25

25

200

= — 7,96 „

(unten);

für die Fuge x = 2 m:

ad =

6522

200*20

/ 6-12.22 V ‘1_    20

6-50

200

=    10,05 kg

(unten) ,

6522

az =

6-12,22    6-50

200 • 20

20

200

= — 6,79 „

(oben);

und für die Fuge x = 4 m:

ad =

6488

6-7,72

6-50

200 • 15

15

200

=    12,09 kg

(unten) ,

6-50

6-7,72

6488

(oben).

Von der Längsmittelebene des Gewölbes aus wirken alle Grenzwerte od auf der Lastseite, alle Grenzwerte az entgegengesetzt derselben.

<*e =

200 • 15

15

200

= — 7,76 „

Bemerkungen. Bei querzentrischer Belastung hätten sich anstatt obiger Normalspannungen mit e = ü in gleicher Weise ergeben, wie schon in Beispiel 41 festgestellt wurde:

für die Fugen

4 m

8,84 und — 4,52 kg 1,368    „    1,717 .

x —

a' = 8,60 und — 6,04 a'

Q —    ⁼ 1,223 „

Diese q sind in § 30 durch die Gleichungen 13 bis 16 ausgedrückt, sie zeigen bereits, daß der Einfluß der Querexzentrizität bedeutend werden kann.

Natürlich hätte man auch die Normalspannungen zunächst wie in Beispiel 41 für querzentrische Belastung berechnen und die obigen ad, as entsprechend den Ausdrücken 12 des vorigen Paragraphen durch Multiplikation mit den nach den dortigen Gleichungen 13 bis 16 ermittelten Faktoren Qd, qz (vergl. Beispiel 61) erhalten können.

wonach

1,318

7,61 und — 4,33 1,321 „    1,568

Aufgabe 27. Reduktion querexzentrischer auf querzentrische Schnittkräfte

und Lasten.

Unter den Voraussetzungen des letzten Paragraphen zu bestimmen: a) Diejenigen auf die Fugenbreite b querzentrisch (d. h. in der Längsmittelebene) wirkenden Normalkräfte oder Lasten

p’ = qp,

-Ae’ — P Ae ,

■welche gleiche Normalspannungen a erzeugen wie die auf die Breite b um e exzentrisch wirkenden Normalkräfte Nx oder Lasten P; b) die pro Meter Gewölbebreite querzentrisch wirkenden Normalkräfte und Lasten, welche gleiche Normalspannungen a ergeben wie die auf die Breite b um e exzentrisch wirkenden Normalkräfte Nx und Lasten P.

a) Für diejenigen querzentrisch wirkenden Kräfte Nx, P\ welche gleiche Normalspannungen a liefern wie die auf die gleiche Breite b um e exzentrisch wirkenden Kräfte Nx, P hat man nach § 30, 4) mit P'x nach obigem Ausdruck 1):

12 e

12 c

und hieraus in Übereinstimmung mit § 30, 11):

12 e u

Es ist also der Reduktionsfaktor q in 1 gerade so ausgedrückt wie der Reduktionsfaktor in Gleichung 2 des § 30, was dann natürlich auch für die den Randspannungen <?d, oz entsprechenden N'x, P‘ gilt, deren Reduktionsfaktoren durch die Gleichungen 13 bis 16 des § 30 bestimmt sind.

b Nx>

b) Soll die Berechnung für 1 m Gewölbebreite durchgeführt werden, wie dies häufig geschieht, während Nx, P sich auf die Fugenbreite b beziehen, so sind anstatt 1) mit den oben festgestellten Faktoren q als reduzierte querzentrische Normalkräfte und Lasten zu verwenden:

_9_

P' = P.

Um also die Normalkraft K'x oder Last P' pro Meter Gewölbebreite zu erhalten, mit welchen das gewöhnliche Verfahren für zentrische Belastung dieselbe Normalspannung a ergibt wie die Berücksichtigung der Querexzentrizität in § 30, hat man die auf die ganze Fugenbreite b wirkende Normalkraft Nx oder

Last P durch zu dividieren. Aus diesem Grunde bezeichnete Färber —Meter

i    Q

oder — 100 Zentimeter als ideelle Verteilungsbreite (speziell — m oder ~ 100 cm als solche in Hinsicht arl).

i'd

Beispiel 61. Zur vorigen Aufgabe.

Für das in Beispiel 41 behandelte Versuchsgewölbe sei die aufgebrachte Verkehrslast P= 6000 kg. Wenn nun diese Belastung um e — 50 cm exzentrisch wirkt, mit welcher Last

P' = qP

hätte man die Berechnung für zentrische Belastung durchzuführen, um in den unten angeführten Lagerfugen die gleichen Druckspannungen od wie durch die exzentrische Last zu erhalten.

Für die Fugen

ro

der Höhen

ergab sich durch die gegebene Belastung :

25

15 cm

_ Mx_ ° Nx

23,84

— 12,22

— 7,72 cm,

damit folgen gemäß Aufgabe 27 für x — 0 nach § 30, 13):

P’ = 1,223-6000 =4 7338 kg,

= 1,223 ,

6-50

200

für x = 2 m nach § 30, 15):

6-50

= 1,321,

P' = 1,321-6000 = 7926 „

200

und für x = 4 m nach derselben Gleichung: 6-50

9=1 +

= 1,367

P’= 1,367-6000 = 8202 „ .

200

Bemerkungen. In gleicher Weise, nur mit q nach den Ausdrücken 14, 16 des § 30 hätte man die Lasten P' erhalten können, mit welchen die Berechnung für zentrische Belastung gleiche Zugspannungen az wie die exzentrische Belastung geliefert hätte. Da die fraglichen Reduktionsfaktoren q bereits am Ende des Beispiels 60 gefunden wurden, so folgen ohne weiteres:

für

P' = 1,318 • 6000 = 7908 kg ,

P’ = 1,568-6000 = 9408 „

P’ — 1,717 • 6000 = 10302 „ .

Für etwaige Gelenkfugen an beliebigen Stellen der wirksamen Breite b — 200 cm hätte man nach den Gleichungen 17 des § 30 zur Berechnung von ad:

6-50

= 2,5

200

P' =    2,5• 6000 = 15000 kg,

und zur Berechnung von crz:

c) Für die dreigeleisige Brücke (Fig. 173) folgen bei Belastung aller Geleise mit P= 3 0, 6 = 12m, e = 0 (keine Querexzentrizität):

Qd = Qz = ¹ >

0 = i-

6-50

P’ — — 0,5 • 6000 = — 3000 kg,

= — 0,5 ,

welche Werte bestätigen, daß die Querexzentrizität besonders ungünstig auf die Gelenkfugen wirkt (S. 227).

Beispiel 62. Über Querexzentrizität bei Eisenbahnbrücken.

Für symmetrisch zur Längsmittelebene angeordnete Gewölbe diejenigen pro Meter Gewölbebreite querzentrisch wirkenden Lasten Pd, Pz zu bestimmen, welche in Gelenkfugen gleiche Bandspannungen ad, az wie die wirklichen Belastungen von 0 pro Geleise ergeben: a) Bei eingeleisiger Brücke von 4 m Gewölbebreite; b) bei zweigeleisiger Brücke von 8 m Gewölbebreite; c) bei dreigeleisiger Brücke von 12 m Gewölbebreite; d) bei viergeleisiger Brücke von 16 m Gewölbebreite. Die Resultanten der Geleisbelastungen treffen auf die Mitten der Teilbreiten von 4 m (Fig. 171—174), die wirksamen Breiten b der Gelenkfugen für die in Betracht kommenden Gesamtbelastungen (Eigengewicht plus Yerkehrslast) stimmen mit den gegebenen Gewölbebreiten überein.

Wir haben nach Gleichung 8 der Aufgabe 27 zur Berechnung der Randspannungen od, <jz mit den Ausdrücken 17 des § 30:

200

„    P /    , 6e\ P

Jaa = ea-y=(¹ + -T-)

wobei die Druckspannung ad durch eine exzentrische Last auf der Seite ihrer Exzentrizität e von der Längsmittelebene liegt.

a) Für die eingeleisige Brücke (Fig. 171) ergeben sich nach 1 mit P = 0, b — 4 m, e = 0 (es besteht keine Querexzentrizität):

Pd = Pz =

Qd — Qz — 1 ,

entsprechend dem gewöhnlichen Verfahren.

b) Für die zweigeleisige Brücke (Fig. 172) erhält man bei Belastung der beiden Geleise mit P — 2 0, ö = 8 m, e — 0 (keine Querexzentrizität):

Qd = Qz = 1 >

dagegen bei Belastung nur eines Geleises mit P — 0, J = 8m, e = 2m:

Qd = 2,5)

also Pd um 0/16 größer als bei Belastung beider Geleise.

Qz = ~ 0,5

Pd =

*-Q,

16

Pz =--Q i

z ₁₆ V,

±_

Li

i,.

im.

im

Fig. 171.

Fig. 172.

Fig. 173.

Pd — Fz =

bei Belastung zweier Geleise mit P—2 Q, b — 12 m, e — 2 m:

Qd = 2,

Qz — 0

Pd = ~e

bei Belastung eines Geleises mit P — 0, b = 12 m, e = 4 m:

Pz= 0,

Qz = — 1>

Pd =

Pz = -

Qd — 5

also Pd bei Belastung zweier Geleise um 0/12 größer, bei Belastung eines Geleises trotz nur V3 so großer wirklicher Last P ebensogroß als bei Belastung aller drei Geleise.

k-

Fig. 174.

Aufgabe 28. Über Querexzentrizität bei Straßenbrücken².

Für eine Straßenbrücke des Geländerabstandes V kann die Yerkehrslast von p pro qm auf beliebige Breiten ß b' von einem Geländer aus wirken (Menschengedränge). Zu berechnen: a) Die querzentrische Belastung pd pro Meter der ergriffenen Strecke der Spannweite auf 1 m Gewölbebreite, welche in einer beliebigen Lagerfuge der Breite b die gleiche Druckspannung ad wie jene Yerkehrslast auf die Breite ßb‘ ergibt; b) den Wert von ß, für welchen die Maxima von^, ad eintreten und das Maximum von pd selbst; c) die unter a) und b) verlangten Größen speziell für beliebige Gelenkfugen der wirksamen Breite b.

a) Die wirkliche Yerkehrslast pro Meter der ergriffenen Strecke und deren Querexzentrizität sind für die ganze Fugenbreite b:

e = (1 — ß)

d) Für die viergeleisige Brücke (Fig. 174) erhalten wir bei Belastung aller Geleise mit P = 40, 6 = 16 m, e — 0 (keine Querexzentrizität):

Q

p<i - Pz — -jg- — -g

bei Belastung dreier Geleise nebeneinander mit P = 3 0, b = 16 m, e — 2 m :

7    21

Prf —64P — eS Q>

Qd = Qz = 1,

Qd — V⁵

Qz — 0,25,

P, = — P = — O ,

64    64

bei Belastung zweier Geleise auf gleicher Seite mit P = 2 0, & = 16 m, e — 4m:

i-p—i-«,

32    16    ’

Pd 32 P 16

bei Belastung eines äußeren Geleises mit P — 0, 6= 16 m, e = 6 m:

13 „

64    ’

also Pd bei Belastung dreier Geleise um — Q größer, bei Belastung zweier Ge-Q größer als bei Belastung aller vier Geleise.

leise um

Qz = ~ 0,5,

Pz = ~

10

Qd — 3,25,

Qz = ~ 1,25

Pd =

11

SK

p = P ßb',

Gleichung 3 der Aufgabe 27 liefert mit diesen Ausdrücken und £ = Qd nach § 30, 13), 15) die verlangte querzentrische Belastung pro Meter Gewölbebreite bei beliebigem ß:

Pd =

3 V (1 — ß) -

La

ßP

worin das -j- Zeichen und — Zeichen vor c positivem und negativem c oder Mx entsprechen, so daß mit der Bezeichnung

cc = l + —

— h

immer a A 1 und speziell für beliebige Gelenkfugen wegen c = 0 stets a — 1 ist. Mit 2 läßt sich 1 schreiben:

Pd

= (l + 3

Da a nach 2 seinen Wert mit c — das heißt mit der Fuge und Belastung

ändert, so wären nach 3 für verschiedene Fugen und Belastungen verschiedener Strecken der Spannweite auch verschiedene reduzierte Lasten pd maßgebend.

b) Die Maxima von^, acl bei veränderlichem ß treten nach 3 ein zugleich mit dem Maximum von ß + 3    , das heißt für 1 + 3 -y    = 0 oder

Mit diesem ß liefert 3 das Maximum der reduzierten Last pro Meter Gewölbebreite :

6 b'J 2 b P '

Auch dieser Wert ist wegen 2 von der Fuge und belasteten Strecke abhängig,

c) Für beliebige Gelenkfugen hat man in vorstehenden Gleichungen:

c — 0,

a = 1

womit pd nach 3 bei bestimmtem ß seinen größten Wert annimmt (allgemein ist « ^ 1). Dieser Wert ist beispielsweise für l>h

Pd = (⁴ — 3 ß) ß P ,

während nach 4, 5 im Falle

^ = 4-

= 1 für die Maxima von pd, ad:

Pa = T p *

Bei einem Geländerabstand b. gleich der Fugenbreite b entsteht hiernach die größte Druckspannung ad in den Gelenkfugen, wenn nur ²/a der Breite b‘ belastet ist; die Druckspannung wird dann ⁴/3 so groß als bei Belastung der ganzen Fugenbreite.

lenkfugen :

Nach 4, 5 mit a = 1 erhält man für die Maxima von pd, ad beliebiger Ge

wenn

b‘

0,8

0,9

1,1

0,708

0,936i?

0,685 1,141 p

0,667 1,333 p

0,652 1,541 p

1,2 : 0,639 , 1,763 p.

§ 31. Wiener Versuche mit Gewölben.

Im letzten Jahrzehnt des vorigen Jahrhunderts hat der Österreichische Ingenieur- und Architekten-Verein durch einen Ausschuß von geeigneter Zusammensetzung umfassende Versuche über die Formänderungen und Widerstandsfähigkeit von Gewölben anstellen lassen³. Neben je 7 Hochbaugewölben von 1,35 und 2,70 m Lichtweite, 3 solchen von 4,05 m Weite und 2 IJnterb äuge wölben von 10 m Weite wurden 4 größere Objekte von 23 m Lichtweite, 4,6 m Pfeil der Laibung und 2 m Breite erprobt, nämlich:

a)    Ein Bruchsteinmauerwerkgewölbe mit kreisbogenförmiger Laibung, Stärke im Scheitel 0,60 m, an den Kämpfern 1,10 m. Versuche mit dem verwendeten Sandstein ergaben: Gewicht pro cbm 2580 bis 2620 kg, im Mittel 2590 kg; Elastizitätsmodul für Druck 137000 bis 271000, im Mittel 174000 kg pro qcm; Druckfestigkeit 610 bis 920 im Mittel 770 kg. Für Mörtelwürfel aus dem abgebrochenen Mauerwerk wurde das Gewicht pro cbm von 1790 bis 2030, im Mittel 1950 kg, die Druckfestigkeit von 56 bis 132, im Mittel 80 kg, gefunden. Inhalt des Gewölbemauerwerks 45 cbm (Beispiele 63 bis 67).

b)    Ein Ziegelmauerwerkgewölbe mit kreisbogenförmiger Laibung, Stärke im Scheitel 0,60 m, an den Kämpfern 1,10 m. Für die verwendeten Ziegel wurden festgestellt: Gewicht des cbm 1420 bis 1700, im Mittel 1580 kg; Elastizitätsmodul für Druck 45000 bis 162000 kg, im Mittel 111000 kg pro qcm; Druckfestigkeit 100 bis 290, im Mittel 200 kg. Das Mischungsverhältnis des Mörtels war dasselbe wie im vorigen Falle: ein Raumteil langsam bindender Kirchdörfer Portlandzement auf ca. 2,6 Raumteile Sand. Inhalt des Gewölbemauerwerks 45 cbm.

c) Ein Stampfbetongewölbe mit kreisbogenförmiger Laibung und konstanter Stärke von 0,70 m. Für Betonkörper der drei verwendeten Mischungsverhältnisse wurden folgende Zahlen ermittelt:

1 Portland- 1 Portland- 1 Portlandzement 2 Sand

5 Schotter 3 Schotter

zement 3 Sand

zement 1 Sand 1 Schotter 2220 kg 264000 „ 156 „ 250000 „ 18 „ .

Gewicht pro cbm

Der Kern des Gewölbes war aus Beton von 1:3:5 gebildet, die Mischungsverhältnisse 1:2:3 und 1:1:1 kamen an denjenigen Stellen des Rückens bezw. der Laibung zur Verwendung, an welchen infolge der einseitigen Belastung Zugspannungen zu erwarten waren. Mittelbindender Radotiner Portlandzement. Inhalt des Gewölbemauerwerks 38 cbm.

2170

2100

74100

107

260

98000

280000

25

d) Ein Moniergewölbe mit parabolischer Laibung, Stärke im Scheitel 0,35 m, an den Kämpfern 0,60 m. Betonkörper desselben, aus einem Raumteil mittelbindendem Podoler Portlandzement auf 3 Teile Sand, ergaben folgende Eigenschaften im Mittel: Gewicht pro cbm 2310 kg, Elastizitätsmodul für Druck 364000 kg pro qcm, Druckfestigkeit 200 kg, Elastizitätsmodul für Zug 400000 kg, Zugfestigkeit 17 kg. Die beiden Einlegegitter bestanden aus Rundeisenstäben von 28,2 m Länge, 1,4 cm Dicke in der Längsrichtung und 2 m Länge, 0,7 cm Dicke in der Querrichtung. Die Verbindung der Stäbe erfolgte mit doppeltem Draht, Maschenweite 6,5 cm. Inhalt des Gewölbemauerwerks 38 cbm.

Aus den von Professor Brik, einem der Berichterstatter, auf Grund des gesamten Versuchsmaterials gezogenen wichtigen Schlußfolgerungen sei folgendes hervorgehoben:

I.    Die Formänderungen der Bogenachse der Versuchsgewölbe während der ersten Belastungsstufen wuchsen nahezu proportional der Belastung.

II.    Nach Überschreiten gewisser Belastungsgrenzen, hier „kritische Belastungen“ genannt, entstanden, meist an mehreren Orten der Gewölbe, Risse, welche bei den mit Fugen gemauerten Gewölben durch Überwinden des Adhäsionswiderstandes der Mörtelbänder, bei dem Betonbogen und Monierbogen durch Überwinden der Zugfestigkeit des Betons hervorgebracht worden sind (vergl. die folgende Tabelle). Es ist also im Einklänge mit den bisherigen Anschauungen ratsam, die Querschnittsabmessungen so zu treffen, daß bei den mit Fugen gemauerten Gewölben Zugspannungen überhaupt nicht oder nur in geringem Maße auftreten.

III.    Das Entstehen der ersten Risse erfolgte unmerklich und ohne Begleitung von plötzlichen Formänderungen der Bogenachse. Die Diagramme der Verschiebungen zeigen vor und nach den ersten Rissebildungen in der Regel keine Unterbrechung ihres stetigen Verlaufes. Die Risse in den mit Fugen gemauerten Gewölben folgten dem Verlaufe der Lagerfugen und bildeten wirkliche „Bruchfugen“. In dem Betonbogen und Monierbogen war die Gestalt und Lage der Risse unregelmäßig und lief in Verästelungen aus. Nach Entlastung der Gewölbe schlossen sich die Risse mehr oder weniger vollständig; nach erneuter Belastung kamen dieselben jedoch sogleich wieder zum Vorschein, erweiterten sich, auch kamen neue hinzu.

IV.    Die Orte der Rissebildungen befanden sich in den Strecken zwischen ¹/i und ¹/3 bezw. ²/3 und ³/4 der Stützweite und an den Kämpfern. Sie entsprachen im allgemeinen den Orten der durch theoretische Untersuchungen ermittelten „gefährlichen“ Querschnitte. Nachstehende Tabelle enthält die von den Professoren Melan und Neumann auf Grund der Theorie elastischer Bogenträger berechneten Randspannungen in den Kämpferquerschnitten und gefährlichen Querschnitten (negative Werte bedeuten Zug). Hierbei wurden für den Monierbogen ein ideelles gleichmäßiges Material vorausgesetzt, für den Betonbogen

Bruch

Sq ui d g‘n Sun^supg 8.§i^i9suig;

74022

unbelastete

Seite

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Kritische Belastung

belastete

Seite

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— 9,4    20,8

21,4 — 6,7

© ©^ CC t-'

31,5 —15,4 —17,0    28,4

78,0 —52,0 — 63,8    68,4

■3 5

pq *-<

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g

CO

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— 5,8

13,8

-41,7

58,6

uiob ojd J§q ui ugSanuundspuny;

Wiener Versuche mit Gewölben.

ao = °u =

b°bs

b°bf

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Proportionalitäts-Grenze

unbelastete

Seite

belastete

Seite

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FP.S

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42 h*

<D t-H

CZJ

_c

— 5,4    14,2 — 3,4    11,2    56511*

15,6 — 2,3    15,8 — 2,7

15,8 — 2,5    9,1    42200

— 5,6    11,0 — 3,0

63250

28,8 —13,6 — 15,0    26,2

58,4 —37,0    36,8    78525

— 45,5    49,8 — 27,7

b£

o

PQ

s|

<c

-

n (3

a> a>

Xi =3

3=2 3 to

g 3

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a₀ =

<*u =

35075*

35075

OQ

— 30,3

43,4

!i

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j5£

a>

cq

s-s

■«Ja

ao

au

°0

°n

56907

56693

's S

P T3 8 « S°

"=3

gl

31

Gewölbe

Bruchstein

gewölbe

Ziegel

gewölbe

Beton

bogen

Monier

bogen

* Aii

nachträglich etwas

aber, welcher mit ebenen Flächen auf Asphaltplatten zwischen Bogenenden und Kämpferquadern ruhte, die arithmetischen Mittel der mit und ohne Kämpfergelenke erhaltenen Werte angegeben.

Y. Durch das Entstehen der ersten Risse war jedoch der Widerstand der Gewölbe noch nicht erschöpft. Wie die Tabelle zeigt, lag die Bruchbelastung höher als die kritische Belastung: beim Bruchsteingewölbe um 30%, beim Ziegelgewölbe um 59%, beim Betonbogen um 31%, beim Monierbogen um 86%. Nach Überwindung des Zugwiderstandes gelangt nämlich im zusammenhängenden Teile des Gewölbes der weit größere Druckwiderstand allein zur Geltung. Diese Eigenschaft der Gewölbe, bei gefährlichen Anlässen die schwächste Seite ihres Widerstands aufzugeben und dafür ihren größten Widerstand in Wirksamkeit treten zu lassen, ist von hervorragender Bedeutung für den Bestand der Gewölbe.

VI.    Bei weiteren Erhöhungen der Belastung wachsen die Deformationen rascher und die Stützlinie nähert sich mehr und mehr den gedrückten Kanten, wodurch die spezifischen Pressungen daselbst immer mehr gesteigert werden, bis der Druck- oder Schubwiderstand des Mauerwerks erschöpft ist und infolge der dadurch bewirkten örtlichen Zerstörungen der Zusammenbruch des ganzen Gewölbes eintritt. Die zulässige Beanspruchung auf Druck ist naturgemäß sowohl von der Qualität der Wölbesteine als von derjenigen des Mörtels abhängig. Zuverlässige Anhaltspunkte können jedoch nur Druckversuche mit gemauerten Versuchskörpern von der Zusammensetzung und Beschaffenheit der auszuführenden Gewölbe bieten.

VII.    Aus den vertikalen Verschiebungen von Punkten der Bogenachsen wurden als Näherungswerte der entsprechenden mittleren „Elastizitätsmoduln“ E pro qcm berechnet (vergl. S. 21): für das Bruchsteingewölbe 60400 kg, für das Ziegelgewölbe 27800 kg, für den Betonbogen 246000 kg, für den Monierbogen 333800 kg. Inwiefern durch diese Zahlen auch das Gesetz des elastischen Verhaltens dieser Gewölbe zum Ausdruck kommt, entzieht sich der Beurteilung, weil nur die totalen Verschiebungen erhoben und in Rechnung gezogen wurden. Die Anwendung jener Elastizitätsmoduln auf näherungsweise Berechnung der Verdrehungswinkel der Scheitelquerschnitte aller Versuchsgewölbe für ein und dasselbe Belastungsintervall ergab befriedigende Übereinstimmung mit den gemessenen Ausschlagwinkeln.

VIII.    Alle Ergebnisse, insbesondere jedoch das nachgewiesene Gesetz der Proportionalität von Belastung und Formänderung, führen zu dem Schlüsse, daß die erprobten Gewölbe sich im allgemeinen wie elastische Bogenträger verhalten haben⁴. Es wird daher zutreffend sein, Gewölbe mit ähnlicher Gestalt und gleicher Ausführung wie die Versuchsgewölbe auf Grund der Theorie elastischer Bogenträger ohne Gelenke zu berechnen⁵.

Beispiel 63. Stützenreaktionen eines Bogens ohne Gelenke von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).

Für das vom Gewölbeausschuß des Österreichischen Ingenieur- und Architektenvereins erprobte Bruchsteingewölbe⁶ betrugen die Spannweite 1 = 2 m = 23,758 m, die konstante Breite 2 m, der Pfeil der Bogenachse f— 4,502 m (Lichtweite 23 m, Pfeil der Laibung 4,6 m). Gewölbestärke im Scheitel 0,6 m, an den Kämpfern 1,1 m. Die senkrecht zur Laibung gerichteten Lagerfugen können für die Berechnung als senkrecht zur Bogenachse gelten. Es sollen zunächst nach den einfacheren Formeln für symmetrische Bogen ohne Gelenke von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (s. Bemerkungen am Schlüsse) der Horizontalschub H, die Endmomente M, M' und die Vertikalreaktionen V, V berechnet werden, welche durch folgende Einwirkungen entstehen: a) Durch das Eigengewicht des Gewölbebogens, b) durch beliebige Lasten P bei Abzissen n = 0,629 m, 2,879 m, 5,129 m, 7,379 m, 9,629 m, 11,879 m (wo weitere Versuchslasten angebracht waren (Fig. 175) und symmetrisch zu diesen Punkten, c) durch beliebige

Verkehrsbelastungen, zusammengesetzt aus Einzellasten an den unter b) angeführten Stellen d) durch eine gleichmäßige Temperaturänderung r, e) durch eine Änderung Al der Spannweite ohne Änderungen der relativen Höhenlage der Kämpfer und ohne Verdrehungen der Endquerschnitte, oder doch nur solche,

ist.

für welche Acp(] — Acpl~AK

Wir haben den Bogen zunächst in eine genügende Anzahl Felder zu teilen. Die Feldergrenzen mögen im vorliegenden Falle Lagerfugen durch die Punkte der Bogenachse unter den oben erwähnten P und mitten zwischen denselben sein (Fig. 175). Die Abszissen x, Ordinaten y und Gewölbestärken h in den Mitten dieser Felder sind in den Kolumnen 2, 3, 4 der Tabelle II (s. unten) für die erste Bogenhälfte angeführt, während Kolumne 5 die Längen a der Bogenachse in den fraglichen Feldern enthält (s. Bemerkungen am Schlüsse). Die entsprechenden

El

00,629 2,879    5,729    7,379    9,82.9    11,879

23,728m

1,758

>-

4,006    6,254    8,504 20,754

pW

..-i~

;a~..

f=4,502m

'2X7 ^4567    6817 ‘ 0067 11377

S192 3,442 5,692    7,942 11,192

iE'

EM'

Fig. 175.

Größen für die zweite Bogenhälfte sind damit der Symmetrie halber ebenfalls bestimmt. Wir führen die Berechnung für die Gewölbebreite b — 1 m durch, dann folgen aus den h der Kolumne 5 unserer Tabelle II die Trägheitsmomente

J = - ^ der rechteckigen Lagerfugen in Kolumne 6. Die in den übrigen Kolumnen

angeführten Werte ergeben sich ohne weiteres aus den vorausgegangenen. Alle gelten für Meter als Längeneinheit. Mit A — 407,60, B — 1464,16, C — 5718,93 erhalten wir nach § 49, 8):

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle II.⁷ Achs- und Querschnittsverhältnisse.

Feld

in m in m in m in m 12

to Ih,

«y

o_tr_

a xy

./

9    !    10,192

10    11,317

0,272

0,967

1,738

2,392

2,943

3,400

3,772

4,064

4,280

4,422

4,493

1,071

0,992

0,910

0,838

0,775

0,722

0,683

0,656

0,635

0,618

0,605

0,10237

0,08135

0,06280

0,04904

0,03879

0,03136

0,02655

0,02353

0,02134

0,01967

0,01845

8,06

2,53

0,79

2,19

0,60

0,69

17,25

21.13 26,06 31,79 38,23

44.14 49,04 53,42 57,40 61,08

20,56 48,96 . 89^70 145,18 217,61 300,90 389,48 484,36 585,02 691,24

24,50

113,44

308,75

663,04

1238,64

2051.24

3093.25 4391,69 5962,52 7822,76

16,68

36,72

62,34

93,56

129,98

166,50

199,30

228,64

253.42

274.43

16,13

63,82

149,12

275,35

441,93

628,04

809,96

978,58

1122,39

1233,01

19,88

85,09

214,56

427,26

739,87

1134,99

1582,85

2073,06

2586,96

3105,74

Summe: 12,987

407,60 = A

2975,54

25670,62

1464,16 = B

5718,93    11970,95

10

11

12

I) = 407,60 • 23,758² — 2 • 23,758 • 2975,54 + 2 • 25670,62 = 140022,45 ,

und weiter:

AC — B² = 187 271 ,

— D — Al = 2102,63 .

a) Eigengewicht.

Die Abszissen a der Angriffspunkte und die Werte P des Eigengewichts in den einzelnen Feldern sind in den Kolumnen 1 und 2 der Tabelle II (S. 237) eingetragen, womit auch die Pa in der dritten Kolumne folgen. Da nun nach § 49, 15) 16) für beliebige symmetrische Belastung:

s=

A C — B*

worin nach § 49, 17) gesetzt werden kann:

-^-S — Sx = 2Pa + x2P,

so wurden in Kolumne 5 bis 7 der Tabelle III zunächst diese Summen für die in Kolumne 4 angeführten x der einzelnen Felder (vergl. Tab. II) gegeben. Eine ge-

x    m

rade bei x angreifende Last P kann entweder in 2 Pa oder in x 2 P eingerech-

O    X

net werden (jedoch nicht in beide Ausdrücke). Wir nehmen in die erste Summe die in der Tabelle III in den Zeilen oberhalb x stehenden P und erhalten so beispielsweise:

für x = 0,314:

— 24095 — 0 = 24 094 kg

— S — Sx= 0 + 0,314• 24095 = 7566 mkg ,

für x = 1,192 m:

2 Pa = 665 ,

2 P= 24 095 — 2117 = 21 978 kg ,

x- S — Sx = 665 + 1,192 • 21978 = 26 863 mkg ,

für x = 2,314 m:

2 Pa = 665 -f 3980 = 4645 ,

2 P = 21978 — 3339 = 18639 kg ,

— S — Sx = 4645 + 2,314 • 18 639 = 47 832 mkg

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle III. Eigengewicht.

in m in kg

Pa

in m

X

2 Pa

H big

I«

<a

I«

Oa

«i

I»

0,314

1,192

2,317

3,442

4,567

5,692

6,817

7,942

9,067

10,192

11,317

2117

1637    18526    11,317    102 938

3339

2898

2571

2296

665

4 645

24095 21978 18639 15 741 13170 10874 8 793 6870 5 052 3 313 1 637

7 566 26863 47 832 65541 80356 92 590 102 482 110211 115894 119 622 121464

60980 463 390 1010690

1    707 800

2    554520

3    539 720

4    523 560

5    404 750

6    191060

6    866300

7    419020

16590 448190 1756580 4085060 7 517950 12035050 17 062 870 21964900 26497 740 30362 780 33 333 660

19142 552303 2 341855 5879028 11666084 20148510 30836834 42 924980 56134418 69981262 83 960775

Summe: ; 24 095 121464

39 741 790

155081280

324445191

10

2 P = 18 639 — 2898 = 15 741 kg , x

2 P a — 4645 + 6715 = 11360 ,

S — 8X — 11360 + 3,442 • 15 741 = 65 541 mkg ,

und in gleicher Weise die übrigen Werte. Die in Kolumne 8 und 9 der Tabelle III eingetragenen Zahlen ergaben sich dann durch Multiplikation mit den

in Tabelle II für die betreffenden x gegebenen °j und der so entstehenden Werte mit den y der Tabelle II. Die Werte der letzten Kolumne in Tabelle III, welche wir durch Multiplikation der Zahlen in Kolumne 7 mit den in Tabelle II erhielten, wurden im Hinblick auf ein späteres Beispiel beigesetzt.

Mit Rücksicht auf die Summen der Kolumnen 8 und 9 von Tabelle III folgen aus 1 und 2 der Horizontalschub und die Endmomente durch das Eigengewicht allein:

= 26821 kg ,

für x = 3,442 m:

407,60 • 155 081 280 — 1464,16 • 39 741790

187 271

M = M‘ s

1464,16-155 081280 — 5718,93-39 741790

= — 1157 mkg ,

während mit Rücksicht auf Kolumne 2 unmittelbar oder nach § 21, 33) die entsprechenden Yertikalreaktionen der Kämpfer:

m

V = V‘ = 2 P = 24095 kg .

187 271

Anstatt wie hier für das gesamte Eigengewicht gleichzeitig hätte man H, M, M\ V, V‘ auch wie unter b) c) aus den Beiträgen der einzeln P oder aus den unter b) bestimmten Einflußlinien (Fig. 176) erhalten können.

Stelle a:

b) Beliebige Einzellasten.

Nach § 49, 28) — 30) hat man für eine beliebige Einzellast P an beliebiger

H = ±-

-    -5- l a (b2 ° -A2-

2 AC-B* L \ o

— -- r a (c 2

AC-B* [ V o

’JL)

0 J )

-32^-0 J

+ Asa-XM, 0 J J

- C2-^+B2 0 J

— Pa,

2 PI

ID — AP

.!

v a x    ,    v 0x2 1

— m2 —--1- 2 ——

0 J 0 J J

— Pa,

während § 21, 2) 3) liefern:

v = p — r‘.

V‘ = — (P a + M — M‘) ,

Für a = m können auch die Gleichungen § 49, 34), 35) Verwendung finden.

In nachstehender Tabelle IV sind zunächst gegeben die den Einzellasten Pentsprechenden Abszissen a und sodann die nach Tabelle II erhaltenen Werte der

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle IV. Einzellasten.

Längeneinheit.

in m

0,629

2,879

5,129

7,379

9,629

11,879

8,06

2,53

G X²

0,79

2,19

./

0,69 | —0,5568 —0,6010 72,05    138,73    55,59    105,66 —1,4215    —2,2477

306,93    1110,52    211,49    747,48 j-0,8039    —2,9942

825.44    4400,40    507,97    2622,34 0,6725    —2,7507

2,1219 —1,6318 2,7259    0

46,44 104,92 186,66

289,12    1699,28 11885,34 j 935,91    6278,25

407,60    2775,54 25670,62 j 1464,16 11970,95

0,0092

0,1818

0,5242

0,9322

1,2652

1,3956

—0,5789 0,0221 —1,8346    0,4131

—1,8990    1,0952

—1,0391    1,7116

0,2450    1,8768

1,3629    1,3629

0,9988    0,0012

0,9734    0,0266

0,9101    0,0899

0,8052    0,1948

0,6634    0,3366

0,5000    0,5000

10

11

12

13

Summen 2 in 4 — 6 für die Felder von 0 bis a (d. h. für die Felder, deren x kleiner als das jeweilige a sind, vergl. Fig. 175), beispielsweise:

für ö = 0,629 m

2-

- = ■8,06 ,

a a

2 — = 8,06 + 17,25 + 21,13 = o J

0 j

Damit folgen nach 4—7 für a = 0,629 m:

-i— [0,629 (1464,16*8,06 — 407,60*2,19) — 1464,16*2,53 + 407,60 • 0,69] = 0,0092 P,

374 o42

n — 2,879 m

a — 5,129 m

46,44 ,

= 46,44 + 26,09 + 31,79 = 104,29 .

—— [0,629 (5718,93*8,06 — 1464,16*2,19) — 5718,93*2,53 + 1464,16*0,69] — 0,629 P ¹⁸⁷²⁷¹    = - 0,5568 P,

[0,629 (11,879*8,06 — 2,53) — 11,879*2,53 + 0,79] — 0,629 P= — 0,6010 P,

2102,63

M— — 0,5789 P,

M‘ = 0,0221 P,

v' =

23,758

(0,629 — 0,6010) = 0,0012 P,

V = P — 0,0012 P = 0,9988 P .

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der Kolumnen 7 bis 13 in Tabelle IV berechnet.

Für die zu den obigen Angriffspunkten a der Lasten P hinsichtlich der Bogenmitte symmetrisch gelegenen Lastangriffspunkte ergeben sich die verlangten Größen nun ohne Rechnung, nämlich

für

16,379 0,9322 1,7116 — 1,0391 0,1948 0,8052

23,129 m: 0,0092 0,0221 — 0,5789 0,0012 0,9988    .

a = 14,129 H: P — 1,2652 M: P — 1,8768 M':P= 0,2450 V:P= 0,3366 V':P= 0,6634

Indem die Werte II, M, M', V, V' für P— 1 bei allen jetzt berücksichtigten a in Fig. 176 als Ordinaten aufgetragen wurden, entstunden die verzeichneten Einflußlinien dieser Größen (§ 12), aus welchen die Beiträge zu letzteren auch für zwischenliegende ci entnommen werden können.

c) Beliebige Verkehrsbelastungen.

Um die Größen H, M, M', V, V‘ für irgendwelche bei beliebigen a gleichzeitig wirkende Lasten P zu erhalten, hat man ihre Werte für die einzelnen P einfach zu addieren. Wirken z. B. auf der ersten Trägerhälfte bei a — 0,629

J>

und a — 11,879 m gleiche Lasten y, bei den übrigen in Tabelle IV angeführten a

gleiche Lasten P, wie dies bei den Wiener Versuchen der Fall war, dann erhält man aus Kolumne 9 der Tabelle IV:

18,629 0,5242 1,0952 — 1,8990 0,0899 0,9101

20,879 0,1818 0,4131 — 1,8346 0,0266 0,9734

p / 0,0092

+ 0,1818 + 0,5242 + 0,9322 + 1,2652 +

1,3956

= 3,6058 P,

und in gleicher Weise aus den Kolumnen 10 bis 13:

M - — 4,1357 P,

4,1015 P,

M‘ = 5,7892 P, V‘= 0,8985 P,

also beispielsweise für P= 3430 kg (Proportionalitätsgrenze, vergl. S. 235):

S— 12 368 kg ,

M‘ — 19857 mkg, V‘ — 3 082 kg.

M = — 14185 mkg,

14 068 kg ,

Liegen die angeführten Lasten, symmetrisch zur Mitte übertragen, auf der zweiten Trägerhälfte, so hat man:

3 = 3,6058 P,

M‘ — — 4,1357 P, V‘= — 4,1015 P,

M = 5,7892 P,

V = 0,8985 P,

und wirken die Lasten gleichzeitig auf beiden Bogenhälften, wobei also auch die Last in der Bogenmitte den Wert P erlangt, dann folgen:

3 = 2 • 3,6058 P — 7,2112 P,

M = M‘ = — 4,1357 P + 5,7892 P = 1,6535 P,

4,1015 P + 0,8985 P = 5 P .

Wären die berechneten Größen für die jetzt berücksichtigten Belastungen und das Eigengewicht zusammen zu bestimmen, so hätte man den vorstehenden Werten die unter a) erhaltenen zu addieren.

Anstatt wie hier aus den Beiträgen der Einzellasten hätte man die H, M, M\ V, V' auch sofort für die ganze angenommene Verkehrsbelastung berechnen können. Es wären die Formeln § 49, 12)—14) zu verwenden gewesen, wozu sich die Sx enthaltenden Summen 2 wie in Beisp. 98 gefunden hätten. Doch ist die Bestimmung der Beiträge der Einzelverkehrslasten besonders dann vorzuziehen, wenn man behufs Ermittelung der ungünstigsten Belastungen auch die Schnittlinien und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke erhalten will (Beisp. 1), ohne hierbei von den in § 21 gegebenen Gleichungen für Parabelbogen Gebrauch zu machen.

v = v‘ =

CSS.

0lÖ;,629 2}m 5}J29 7j379 \9,629 11.87911129/ 16},379 18;£20 20;M9 23J&\1

für V

furV'

/&r7X2\

Fig. 176.

d) Temperaturänderungen.

Für eine beliebige Temperaturänderung r gelten neben F = V — 0 nach § 49, 36) 37):

AC — B2 M = M' == —

m E ce r ,

also im vorliegenden Falle:

407,60 • 11,879

187 271

E ar =

Bat 38,677 ’ Bat 10,767 ’

1464,16 407,60    “

und beispielsweise für E — 175000 kg pro qcm, a — 0,0000118, mit Ea — 175000 • 100² • 0,0000118 = 20650 pro qm:

3 = 534 t kg,

W eyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Anfl.

3,5921 3 =

M—M‘ = 1918 Tmkg .

16

242

III. Gewölbe im besonderen. Betonbogen. Eisenbetonbogen, e) Bewegungen der Kämpfer.

Für eine Änderung der Spannweite um A l, ohne andre als die in der Aufgabestellung zugelassenen Bewegungen der Kämpfer, hat man nach § 49, 41),

EM

42) neben V = V‘ — 0:

H= —

AC — B2

10

M = M¹ =

11

also im vorliegenden Falle:

407,60 EAl 187 271    2

EM

918,90 ’

EM 255,81 ’

und beispielsweise mit E = 175000 ■ 100'² kg pro qm, wenn A l in Zentimeter eingesetzt werden soll, in welchem Falle nach Substitution vorstehenden Wertes von E in unsere für Meter als Längeneinheit geltenden Gleichungen noch mit 100 zu dividieren ist:

M = M‘ = 3,5921 H- —

M — M' = — 68410 A l mkg .

JET = — 19045 M kg ,

Für andere als die oben angenommenen Bewegungen der Kämpfer würden anstatt 10, 11 die Formeln § 49, 38)—40) anzuwenden sein, wobei nach § 21, 1) 2) im allgemeinen auch die V, V‘ beeinflußt werden.

Bemerkungen betreffend die Herleitung verwendeter Größen.

Wir haben oben die Werte der y, Ji, a als gegeben angenommen, da die Anwendung von Formeln für beliebige Achsform und beliebige Querschnitte gezeigt werden sollte. In Wirklichkeit war jedoch die Gewölbelaibung nach einem Kreisbogen von der Sehne 23 m und dem Pfeile 4,6 m gekrümmt, während der Gewölberücken einem Kreisbogen durch die Enden der zur Laibung senkrechten Lagerfugen an den Kämpfern und im Scheitel entsprach (Gewölbestärken daselbst 1,1 und 0,6 m), und die Bogenachse als ein Kreisbogen durch die Mitten dieser Lagerfugen betrachtet wurde.

Nach § 19, 11) hat man für die Radien dieser Kreisbogen

JL ₊ L

8 f '    2 ’

woraus für die Laibung mit l — 23 m, f = 4,6 m folgt: r — 16,675 m. ferner nach § 19, 10) für letztere

sin 9°o = ;r

Da

12,075 1.6,675 !

also für die Horizontalprojektion und Vertikalprojektion der Kämpferfugen der Stärken h₀ unter Voraussetzung von Lagerfugen senkrecht zur Laibung:

11,5

2 r 16,675 ’

cos gc₀ =

r-f

h₀ sin $Po = 1,1

11,5

16,675

12,075

= - 0,758 m ,

= 0,796 m ,

7*o cos 9o₀ = 1,1

so folgen für den Gewölberücken l — 0,796 = 4,404 m, r — 19,261 m. Der Bogenachse aber, auf welche wir in der Folge die Bezeichnungen l, f, r allein beziehen, entsprechen:

l — 23 + 0,758 = 23,758 m ,

16,675

23 + 2 • 0,758 = 25,516 m, f = 4,6 + 0,6

die Spannweite der Pfeil

der Radius

f = 4,6 + 0,3 — 0,398 = 4,502 m , 4,502

23,758²

8 • 4,502

= 17,923 m .

Für beliebige Abszissen x der Bogenachse sind nach § 19, 9) die Ordinaten:

y = \{r — f)* + x (7 — x) — (c — f) ,

während nach § 19, 10) dem Neigungswinkel <p bei x entsprechen:

r — f + y

sin (p =

cos <p =

¹

Mörsch, Nebenspannungen in Briickengewölben mit drei Gelenken, Zeitschr. f, Architektur und Ingenieurwesen 1900, S. 193.

²

Vergl. Färber, Dreigelenkbogenbrücken, Stuttgart 1908, S. 9.

³

Bericht des Gewölbeausschusses, Wien 3895.

⁴

Vergl. unser Beispiel 65.

⁵

- Bezüglich weiterer Versuche mit Gewölben sehe man: v. Emperger, Handbuch für Eisern betonhau, I, Berlin 1908, S. 302 (Spitzer, Versuche mit Gewölben).

⁶

Bericht des Gewölbeausschusses, Wien 1895, S. 1, 13, 20, 26, 42, 46, 82.

⁷

Eine Tabelle für dieses Gewölbe ist bereits S. 13 gegeben. Alle Werte gelten für Meter als

Nach Einsetzen der Werte von l — 2 in, f, r folgen:

y = y 13,4212 a? + (23,758 — x) — 13,421 m ,

sin 9v =

11,879 — a;

17,923

cos cp =

13,421 + y

17,923

Diese Formeln haben sowohl die y der Feldermitten in Tabelle II als die y, sin cp, cos cp und cp der Feldergrenzen in Tabelle V geliefert.

Nachdem der Gewölbebogen auf Grund der angeführten l, f, r in großem Maßstabe verzeichnet und die Einteilung in Felder vorgenommen war, ließen sich die Gewölbestärken h in den Mitten wie an den Enden der letzteren am einfachsten aus dieser Darstellung entnehmen (Tabellen II, Y). Auch die Achs-längen o in den einzelnen Feldern hätten sich bei der geringen Krümmung der Achse in denselben graphisch ermitteln lassen. Indessen wurden sie aus

a — r (cp — cp‘)

berechnet, worin r den Radius der Bogenachse und cp, cp‘ die Neigungswinkel der letzteren am Anfänge und Ende des betreffenden Feldes in Bogenlängen bezeichnen. So ergab sich z. B. für Feld 1 (vergl. Tabelle V):

a — 17,923 (0,724603 — 0,678595) = 0,825 .

Die Aclislänge für den halben Bogen findet sich:

Y= rVo

= 17,923 • 0,724603 = 12,987 m,

sie muß natürlich mit der Summe der a für denselben übereinstimmen.

Das Gewicht des Gewölbemauerwerks betrug 2400 kg pro cbm. Es wurden demgemäß die Belastungen durch das Eigengewicht des Gewölbes in den einzelnen Feldern für die Breite 1 gesetzt:

— 600 o (lia 2 h —f- lie) ?

unter ha, h, he die Gewölbestärken am Anfang, in der Mitte und am Ende des betreffenden Feldes verstanden. Doch hätte es auch genügt, einfacher anzunehmen:

P = 2400 a

ha + 2 li + hc

P = 2400 o h .

So erhält man nach beiden Gleichungen für das erste Feld:

P = 600 • 0,825 (1,1 + 2 • 1,071 + 1,035) = 2117 kg ,

P = 2400 • 0,825 • 1,071 = 2121 kg ,

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle V. Feldergrenzen.

in m

in m

sin cp

cos cp

cp°

in m

0,629

1,754

2,879

4,004

5*129

6,254

7,379

8,504

9,629

10,754

11,879

0,531

1,368

2,077

2,679

3,182

3,596

3,928

4,181

4,360

4,467

4,502

0,6628

0,6277

0,5649

0*5023

0,4394

0,3766

0,3138

0,2511

0,1883

0,1255

0,0628

0,7488

0,7784

0,8251

0,8647

0.8983

0.9264

0.9495

0,9680

0,9821

0,9921

0,9980

41.5167

38,8806

34*3953

30,1522

26,0656

22,1233

18,2883

14,5425

10,8536

7,2097

3*6006

0,724603

0,678595

0,600311

0,526255

0,454931

0,386125

0,319191

0,253815

0,189431

0,125833

0,062842

1,100

III. Gewölbe im besonderen. Betonbogen. Eisenbetonbogen, und für das letzte Feld der ersten Bogenhälfte:

244

P == 600 • 1,127 (0,611 + 2 • 0,605 + 0,600) = 1637 kg ,

P = 2400 • 1,127 • 0,605 = 1636 kg .

Bemerkungen betreffend die Genauigkeit berechneter Größen.

Die in § 49 abgeleiteten Formeln zur unmittelbaren Berechnung von H, M, M\ welche oben verwendet wurden, beruhen auf den gewöhnlichen Vernachlässigungen des Einflusses der Achsialkraft Nx und der Glieder mit r im Nenner (d. h. auch der Ausdrücke X₂, V₂, Z₂ in § 40, entsprechend der Vernachlässigung von e, ß bei Parabelbogen). Sie liefern also für Bogen von beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten diejenigen Werte, welche man sonst auf umständlichere Weise zu berechnen pflegt. Daß jene Vernachlässigungen für Bogen mit zwei Gelenken zulässig sein können, ist in § 47 bewiesen und geht auch daraus hervor, daß der fragliche Einfluß für Halbkreisbogen mit zwei Gelenken verschwindet (wegen f — r, vergl. § 46, Gl. 8). Inwieweit die Vernachlässigung bei Bogen ohne Gelenke gestattet ist, können nur Proberechnungen lehren. Wir haben in § 50 auch genauere Formeln für Bogen von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten abgeleitet, und nach diesen in Beispiel 98 die wichtigsten der oben verlangten Größen ermittelt. Die Resultate beider Berechnungen sind in der folgenden Tabelle VI zusammengestellt.

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle VI. Vergleiche.

Für

Größe

oben

berechnet

in Beisp. 98 genauer berechnet

Abweichung in o/o

Eigengewicht

allein

26821 kg — 1157 mkg 24095 kg

25796 kg 4902 mkg 24095 kg

3,97

76,40

V erkehrsb elastung der ersten Bogenhälfte allein

3,6058 — 4,1357 5,7892 4,1015 0,8985

3,4714

3,87

— 4,6540

11,14

5,3240

4,1038

0,8962

8,74

0,06

0,26

Verkehrsbelastung

beider

Bogenhälften

7,2116

6,9428

3,87

1,6535

0,6700

146,79

eine Temperaturänderung um t°

Ea i

38,677

39,993

3,40

M‘

Ear

10,767

11,140

3,46

V= V‘

eine Änderung der Spannweite um A l

EM

918,90

950,16

EM EAl

255,81

264,68

V'

O CD *«£•>*© ca ca

Hiernach können, besonders bezüglich der Momente durch Belastung, bedeutende Abweichungen gegen die genaueren Werte eintreten. Wie die Beanspruchungen pro qcm durch jene Vernachlässigungen beeinflußt werden, muß die Fortsetzung vergleichender Berechnungen ergeben, weshalb in den Tabellen der folgenden Beispiele den mit den genaueren H, M, M', V, V‘ berechneten Normal-spannungen o₀, au und Schubspannungen r, die mit den obigen in ganz gleicher Weise erhaltenen in kleinem Drucke beigesetzt sind. Die wichtigsten Resultate enthält die Tabelle des Beisp. 65 (S. 252), welche zeigt, daß die von der Belastung herrührenden Spannungen o₀,otn r sehr erheblich durch die fraglichen Vernachlässigungen beeinflußt werden können. Vergl. auch die entsprechenden Stützlinien in Beisp. 66 und die Berechnung der Einsenkungen in Beisp. 99.

Man könnte noch fragen, ob in Fällen wie dem vorliegenden die einfacheren Formeln für parabolische Bogen von konstantem (mittlerem) J cos cp zur Berechnung von H, M, M‘, V, V‘ verwendet werden dürfen. Wir haben deshalb in Beisp. 42 alle oben verlangten Größen nach diesen Formeln berechnet und die wichtigsten Resultate in einer der Tabelle VI (S. 244) ganz entsprechenden Tabelle zusammengestellt (S. 156). Der Vergleich zeigt, daß die Berechnung nach jenen Formeln nicht genügend gewesen wäre. Die in Beisp. 42 verwendeten Werte von c, e ergaben sich wie folgt. Nach § 19 oder §§ 42, 44 sind Mittelwerte für den Bogen:

j

V = -F’

c — J cos cp ,

während

_ 15 y

mit r =

* , f 87 ⁺ ¥*

j    ip

Da nun für rechteckige Querschnitte f — ^ so hat man bei beliebigen Feldlängen    ... die Mittelwerte

2 m

c — — 2 X J cos cp .

Verwendet man hierin die in Tabelle II (S. 237) gegebenen h, J für die Feldermitten und mit den dortigen y

cos cp =

13,421 + y

so folgen:

17,923

[0,629 *1,071² + 1,125 (0,992 ² + • • • + 0,605 ²)] = 0,049922 ,

11,879

6 • 23,758

[0,629*0,10237*0,7640 + 1,125 (0,08135*0,8028 + • • • + 0,01845*0,9995)] = 0,035 780 ,

15*0,049922

17,923 - 4.502 \2 _

17,923*4,502

0,002 590.

Anstatt wie hier hätten wir c, y auch wie in Beispiel 95 berechnen können.

Beispiel 64. Beanspruchungen eines Bogens ohne Gelenke (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).

Für das im vorigen Beispiel behandelte Versuchsgewölbe des österreichischen Ingenieur- und Architektenvereins sollen die Momente Mx, Normalkräfte Nx, Transversalkräfte Tx, nebst den davon herrührenden Normalspannungen a und Schubspannungen r in den unten angeführten Querschnitten x (Lagerfugen, s. Tabelle V und Fig. 175) bestimmt werden: a) für Belastung durch das Eigengewicht des Gewölbebogens allein; b) für beliebige gleiche Lasten P bei a —

2.879    m, 5,129 m, 7,379 m, 9,629 m und halb so große Lasten bei a = 0,629 m,

11.879    m, — wie solche bei den Versuchen wirksam waren.

Nach § 21 hat man die Vertikalkraft, das Moment, die Normalkraft und die Transversalkraft bei x:

rx = r-2p, .r

2 Pa = 665 mkg ,

Nx — Vx Bin <p H cos cp , Tx — Vx cos <p — H sin 90 .

Speziell für symmetrische Belastung gilt:

und für x < m

r= 2 p,

rx = 2 p.

Die y, sin cp, cos cp zu den in Frage kommenden x (Feldgrenzen) sind in Tabelle Y des Beispiels 63 (S. 243) gegeben.

Werden vorstehende Größen wie im vorigen Beispiel auf die Gewölbebreite J = lm= 100 cm bezogen, so hat man nach § 27, 5) 6) die Normalspannungen o₀, au im obersten und untersten Querschnittselement, welche alle übrigen a ein-schliessen, pro qcm:

a₀ =

°u =

io bWh\Nx+^Mx) 10000 h — T Mx)

und nach § 27, 8) die numerisch größte Schubspannung, welche in der Achs-schicht auftritt, pro qcm:

T ==

1,5 Tx

10000 h

In diesen Formeln ist, wie schon im vorigen Beispiel, h in Metern auszudrücken.

Bei den folgenden Angaben bezüglich des Gangs der Berechnung verwenden wir die in den Schlußbemerkungen zum vorigen Beispiel angeführten genaueren H, M, V, während in den Tabellen die in ganz gleicher Weise mit den im vorigen Beispiel erhaltenen H, M, V berechneten Werte in kleinerem Drucke beigefügt sind. — Wie schon anderwärts erwähnt (§ 9 mit Beisp. 8) braucht man die Schubspannungen x bei vollwandigen Bogen gewöhnlich nicht zu berücksichtigen, was durch die hier beabsichtigte Berechnung und die sich anschließende des Beispiels 65 insbesondere für Gewölbe bestätigt werden soll.

a) Eigengewicht.

Die Werte a, P, Pa sind entsprechend den Angaben des Beispiels 63 (S. 238) in der folgenden Tabelle YII angeführt. Mit V = 24095 kg, 11= 25796 kg, M=— 4902 mkg erhalten wir für x = 0:

Vx = F= 24 095 kg

Nx = 24095 • 0,6628 + 25 796 • 0,7488 = 35 286 kg ,

Tx = 24 095*0,7488 — 25 796*0,6628 =

35286 — yh_4902^ = 0,77 kg,

"“=w^+A¹⁹⁰²)“⁵-“ *’

_ 1,5 • 945 T _ 11000

Mx — M = — 4902 mkg ,

945 „ ,

a₀ =

11000

= 0,13 kg;

bei x = 0,629 m:

Vx = 24095 — 2117 = 21978 kg

Mx = — 4902 — 25 796 • 0,531 + 21978 • 0,629 + 655 = -r- 4110 mkg , Nx = 21978*0,6277 + 25 796*0,7784 = 33875 kg,

Tx= 21978*0,7784 — 25 796*0,6277 =    916 „ ,

a₀ =

-— (

10 350 \

33 875 —

1,035

4110

) = 0,97 kg

°u =

-— (33875 H---

10350 V    '    1,03

4110

5,57 „

1,5 • 916

bei x = 1,754 m:

10350

= 0,13 kg ;

Mx = — 4902 — 25 796 • 1,368 + 18 639 • 1,754 + 4645 = — 2853 mkg , Nx = 18 639 • 0,5649 + 25 769 • 0,8251 = 31813 kg ,

Tx = 18 639 • 0,8251 — 25 796 • 0,5649 =    807 „ ,

9489

31813 -

0,948

2853

= 1,45 kg ,

2853

5,26 „ ,

1,5-807

= 0,13 kg .

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der Tabelle YII berechnet, b) Einseitige Belastung.

Die Abszissen a der Lastangriffspunkte sind in der ersten Kolumne der nachstehenden Tabelle VIII eingetragen |(vergl. Fig. 175). Aus den Schlußbemerkungen des Beisp. 63 entnehmen wir V = 4,1038 P, H — 3,4714 P, M— — 4,6540 P. Es folgen damit nach 1—8 bei Beachtung der Tabelle VIII für x — 0:

2 Pa = o,

9480

rx = V — 4,1038 P,

Mx — M= — 4,6540 P,

— 4,1038-0,6628 + 3,4714-0,7488 = 5,3194 ,

Tx

= 4,1038 • 0,7488 — 3,4714 • 0,6628 = 0,7721 , 10000 a₀

10000 <JU

= ¹ ^5,3194 -    4,6540j = — 18,242 ,

=    ^5,3194 + ~ 4,6540j =    27,914 ,

_ 1,5-0,7721 _

eh e|

10000 t

1,053 ;

für x — 0,629 m, wobei zu beachten, daß die erste, bei a = 0,629 m wirkende Last nach dem Querschnitt x angreift (vergl. Fig. 297):

bi

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle VII. Eigengewicht.

in m in kg

Pa

in m

V*

Mx

Nx

Tx

an

11,317 1637 18526 10,754 11.879

24095    0

4902 35286

1157

86054

0,77

2,70

21978

665

4110 33875

910

34673

0,97

2,83

18639    4645 —

15741    11360 —

13170    20209 —

10874 30695 — 8793 42540— 6870 55649

5052    70088

3313    85856

1637 102938

0    121464

2853 31813

510 j

32659

1,45

3,10

3,79

0,04

1802 30212

166    31099

1068 28828

69

517

34

133

74

29748

27992

28942

27252

28226 | —

114 26696

167

27688

295 26286

243

385

340

410

424

27292

26008

27025

25847

26872

51

2,04

3,46

2,59

3,63

3,19

3,83

3,73

3,94

4,15

3,92

4,50

3,88

4,74

3,79

4,89

3,72

4,89    0,11

3,68

0,02

4,57

0,09

3,76

0,01

4,30

0,07

3,91

4,06

4,12

3,84

4,37

3,65

4,58

3,56

4,83

3,57

5,08

— 0,01

0,06

— 0,01

0,04

— 0,02

0,02

_ 0,02

0,01

— 0,02

0,00

_ 0,01

428 25796

463

2Ö&21

5,01

3,59

3,73

5,21

Vx= V= 4,1038 P,

2Pa =0,

— — 4,6540 — 3,4714-0,531 + 4,1038-0,629 = — 3,9160

Nx

- - - = 4,1038-0,6277 + 3,4714-0,7784 = 5,2781

Tx

-y- — 4,1038-0,7784 — 3,4714-0,6277 = 1,0154 ,

10000 o₀

10000 au

= -ü55r(⁶'2,M-

=1S-(S® +

1,035

10000 %

3,9160 j = — 16,834 , 3,9160^j =    27,033 ,

= 1,472 ;

für x

1,754 m, da vor x bei a

1,035 _ 1,5 ■ 1,0154 —    1,035

p

0,629 m eine Last y angreift:

Vx = 4,1038 P--— = 3,6038 ,

Mx

2 Pa —

~2~

0,629 = 0,3145 ,

= — 4,6540 — 3,4714-1,368 + 3,6038 • 1,754 + 0,3145 = — 2,7673 ,

= 3,6038-0,5649 + 3,4714-0,8251 = 4,9000

= 3,6038-0,8251 — 3,4714-0,5649 = 1,0125

10 000 o₀

10 000 au

“ ftST (⁴’90M “ «S8'(⁴’⁹⁰⁰⁰+ Ö5JT ²'?67S) =

o,sr²’¹⁸⁷³) =- ¹³>³».

23,670 ,

1,5 • 1,0125 ~ 0,948

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der Tabelle VIII berechnet.

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle VIII. Einseitige Verkehrslast.

Belastete Seite.

in m

Last

V*

10000 r

:    1,599 .

2 Pa M

Tx

10 000 a₀ 10 000 au

10 000 t

in m

0,629

[NOj l-Q

2,879 P

5,129 p

7,379 P

9,629 P

11,879

0,629 1,754 2,879 4,004 5,129 6,254 7,379 8,504 9,629 10,754 — 11,879 —

§ I i I !l l! !l !l !l !l !l !l l!! !

Tt<TfleCCO<N(N-—IrHOOO ®~

o —4,6540

5,3194

0,7721

4,1357

5,4185

0,0813

0    —3,9160

5,2781

1,0154

3,4700

5,3813

0,9290

0,3145 —2,7673

4,9000

1,0125

2,4309

5,0090

0,9347

0,3145 —1,1743

4,8119

1,3725

0,9417

4,9209

1,3030

3,1935 —0,3348

4,2625

0,8137

0,1857

4,3822

0,7525

3,1935    0,8484

„    0,9272

8,3225    1,2155

Ti    1,2361

8,3225    1,8673

„    1,8407

15,7015    1,6683

„    .1,6052

15,7015    1,7262

„    1,0363

25,3305    0,9090

„    0,8022

25,3305    0,3418

4,1965

1,1048

4,3201

1,0521

3,7994

0,4335

3,9263

0,3891

3,7630

0,6808

3,8925

0,6449

3,5230

3,0550

3,5198

3,0528

—0,0607

0,0883

0,1634

0,1442

3,4396 —0,6134

3,5736

0,6241

3,4714

0,3962

11,482    0,089 —0,990

9,805

1,346

1,479

Zur unbelasteten Bogenhälfte übergehend, die wir nun als erste Bogenhälfte ansehen, entnehmen wir den Schlußbemerkungen des Beispiels 63 V — 0,8962 P, H = 3,4714 P, M = 5,3240 P, und haben dann für alle Querschnitte

X

(Lagerfugen) Vx = V, U Pa = 0, während die Hy, H sin cp, H cos cp wie bei der

0

Berechnung der belasteten Bogenhälfte bleiben und demgemäß vorgemerkt wurden. Wir erhalten damit bei x — 0, wo Mx = M:

-y = 0,8962 • 0,6628 + 3,4714 • 0,7488 =    3,1934 ,

= 0,8962 • 0,7188 — 3,4714-0,6628 = — 1,6566 ,

10000 a₀

10000 au

= —y- (3,1934 + -y^y 5,3240) =    29,303

1,1

10000 t

3,1934--yy 5,3240j = — 23,497,

= — 2,259 ,

1,5 • 1,6566

und bei x — 0,639 m:

1,1

-y- = 5;3240 — 3,4714-0,531 + 0,8962-0,629 = 4,0444 , Nt

-y — 0,8962-0,6277 + 3,4714*0,7784 =

3,2647

Tx

10000 a₀

10000 au

yy = 0,8962-0,7784 — 3,4714*0,6277 = — 1,4814,

4,0444^j =    25,807 ,

JäT⁴⁰⁴⁴⁴)“⁻¹⁹'⁴⁹⁹'

= — 2,147 .

= w(s'²⁶⁴⁷ + t|

10 000 t

1,5 • 1,4814 1,035

In derselben Weise sind die übrigen Werte der Tabelle IX berechnet.

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle IX. Einseitige Verkehrslast.

Unbelastete Seite.

N.

Tx

10 000 <J₀

10 000 au

10000 r

in m

5,3240

3,1934

— 1,6566

5,7892

3,2955

1,7171

0,629    4,0444

4,4307

1,754    2,1471

2,4325

2,879    0,6941

0,8868

4,004    — 0,3875

—    0,2731

5,129    — 1,1254

_    1,0761

6,254    — 1,5543

_    1,5581

7,379    — 1,6986

—    1,7444

8,504    —1,5686

—    1,6458

9,629    — 1,1818

10,754    - 0,5450

11,879    0,3418

3,2647

3,3708

3,3705

3,4827

3,4519

3,5692

3,5121

3,6339

3,5534

3,6788

3,5773

3,7050

3,5854

3,7160

3,5780

3,7105

3,5564

1,2804

0,6554

0,2292

3,8901

3,5207

3,6550

3,4714

3,6058

— 1,4814

29,303

31,703

25,807

—    23,497

—    25,711

1,5642

28,124

— 19,499

_ 21,610

— 1,2215

17,890

1,2955

19,914

—    10,779

—    12,566

— 0,9687

9,436

— 1,518

1,0343

11,091

2,904

— 0,7203

0,7773

- 0,4771

0,5255

— 0,2384

0,2784

— 0,0041

0,775

1,986

—    7,318 _ 6,822

—    13,922

—    13,785

— 17,472

7,951

7,043

16,819

16,458

24,143

24,372

28.207

0,0357

17,893

29)018

0,2265

0,2034

0,4535

0,4389

0,6764

0,6703

0,8962

0,8985

— 17,075

_    17,983

—    12,365

—    13,856

— 2,968

4,552

11,482

9,830

28,170

29,489

23.709

25)427

14,521

10,516

0,089

2,190

— 0,009 0,080 0,527

0,473

1,085

1,050 1,661 1,645 2,260

2,246

In der Trägermitte müssen sich auf der belasteten und unbelasteten Bogenhälfte die gleichen Mx, Nx, a₀, au ergeben, was bei der genaueren Berechnung vollständig (Tabellen VIII und IX große Zahlen), bei der einfacheren Berechnung (dieselben Tabellen, kleine Zahlen), soweit bei Vernachlässigung von Dezimalen zu erwarten, zutrifft.

Beispiel 65. Beanspruchungen bei Versuchen mit einem Bogen ohne Gelenke (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).

Bei den Gewölbeversuchen des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins wurde das in Beisp. 63, 64 behandelte Bruchsteingewölbe durch sein Eigengewicht und einseitige Belastung bis zur Bogenmitte, bestehend aus gleichen Lasten P bei a = 2,879 m, 5,129 m, 7,379 m, 9,629 m und halb so große Lasten bei cc = 0,629 m, 11,879 m zum Bruche gebracht (§ 31). Bis P = 3430 kg wuchsen die Formänderungen der Bogenachse nahezu proportional der Belastung durch die P (Proportionalitätsgrenze), während bei P = 5574 kg die ersten Risse in einer der Stirnflächen konstatiert wurden (kritische Belastung, vergl. Fig. 177 bis 179), und für P = 7402 kg der Bruch eintrat' (Bruchbelastung)¹. Die ungünstigsten Normalspannungen a und größten Schubspannungen r in de*n unten angeführten Querschnitten x (Lagerfugen, s. Fig. 175, S. 237 und Tabelle Y, S. 243) für die zwei ersterwähnten Belastungsstufen zu berechnen.

In Beispiel 64 haben wir bereits die a₀, aw r durch das Eigengewicht allein erhalten, und für eine einseitige Belastung durch beliebige P allein die Werter

10000 ffp

10000 au

= Zu

10000 x

= Z₀,

Hierbei bedeuten am au die Normalspannungen im oberen und unteren Querschnittselement, wo die Grenzwerte der Normalspannungen eines Querschnitts eintreten, und x die Querschubspannung und Längsschubspannung bei der Achs-schicht, wo diese Schubspannungen ihre größten Zahlenwerte erreichen. Demnach erhalten wir als Beiträge der einseitigen Belastung für P — 3430 kg:

o₀ = 0,3430 Zq j

und für P— 0,5574 kg:

a₀ — 0,5574 Z₀ ,

Gji — 0,3430 Z!t,

G)i — 0,5574 Z^ ,

t = 0,3430 Z kg pro qcm ,

x = 0,5574 Z kg pro qcm .

•Sa

■Sj

i*--.

??.•

X.

XN

I!

81

11,878m

Fig. 177.

Die Zahlen Zm Zv Z sind obigen Ausdrücken zufolge für die belastete Bogenhälfte aus den drei letzten Kolumnen der Tabelle VIII, für die unbelastete Bogenhälfte aus den drei letzten Kolumnen der Tabelle IX zu entnehmen, während die <7₀, t durch das Eigengewicht allein nach den drei letzten Kolumnen der Tabelle VII in der folgenden Tabelle X, S. 252, wiederholt sind.

Wir erhalten nun die Gesamtspannungen durch Eigengewicht und einseitige Belastung im Falle P = 3430 kg z. B. für x = 0 auf der belasteten Seite:

15,21 „ , 0,49 „ ;

a₀ = 0,77 — 0,3430 • 18,242 = — 5,49 kg , ou = 5,64 + 0,3430-27,914 = x = 0,13 + 0,3430 • 1,053 =

auf der unbelasteten Seite:

a₀ = 0,77 + 0,3430 • 29,303 =

10,82 kg ,

au = 5,64 — 0,3430 • 23,497 = — 2,42 „ , t = 0,13 — 0,3430 • 2,259 = — 0,64 „ .

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der Tabelle X für P = 3430 kg berechnet. Für P = 5574 kg tritt in vorstehenden und den übrigen Ansätzen nur 0,5574 an Stelle von 0,3430. Den Fall P = 7402 kg (Bruchbelastung) in gleicher Weise zu verfolgen, bietet kein Interesse, weil infolge der eingetretenen Risse und des Aufhörens der entsprechenden Zugwiderstände die angewandten Formeln nicht mehr zutreffend sind, auch abgesehen davon, daß ihre Voraussetzungen überhaupt nie bis zum Bruche Gültigkeit behalten.

Wir haben oben die Spannungen bis zu den ersten Rissebildungen auf Grund der Elastizitätslehre berechnet, wobei man sich einen mittleren Elastizitätsmodul eingeführt zu denken hat, welcher jedoch aus den Formeln für den Einfluß der Belastung wegfällt, also hierfür nicht gewählt zu werden braucht. Unter Voraussetzung der Zulässigkeit dieses Vorgehens und abgesehen von Einflüssen der Temperatur und Widerlagerbewegungen (s. über diese Beisp. 67) zeigt sich nun zunächst im Einklänge mit § 9, daß die Schubspannungen t für das Eintreten von Rissen nicht in Betracht kommen, da sie auch an den ungünstigsten Stellen (bei der Achsschicht, vergl. § 9) nicht über 1,43 kg pro qcm hinausgehen. Die durch

tg <3 = -~~

bestimmten Winkel <5 der resultierenden Kräfte Rx in den Querschnitten (Lagerfugen) mit den Normalen zu letzteren bleiben weit unter dem Reibungswinkel von Mauer auf Mauer (s. die Nx, Tx in Tabelle VII, VIII, IX), so daß die Reibung allein, ohne jedes Bindemittel, genügt hätte, den Transversalkräften Tx zu widerstehen. Auch die berechneten Druckspannungen erklären nicht den Eintritt von Trennungen, da sie noch nicht 23 kg pro qcm erreichen, während Würfel aus dem verwendeten Sandstein und Mörtel Druckfestigkeiten von etwa 850 kg bezw. 78 kg auswiesen².

Die ersten Risse entstanden denn auch an denjenigen Stellen, an welchen sich für P = 5574 kg die größten Zugspannungen ergaben (vergl. Tabelle X und Fig. 177). Wenn diese feinen Haarrisse zunächst nur an einer Stirnfläche beobachtet wurden, so läßt sich dies durch Ungleichmäßigkeiten des Materials und der Druckübertragung genügend erklären, vollständig radiale Bruchflächen von einer Stirnfläche bis zur andern wird hier niemand erwarten. Von diesem Standpunkte aus sehen wir auch die sonst schwer erklärlichen Längsrisse nächst dem Gewölberücken beim Kämpfer der unbelasteten Seite (Fig. 177, 179) als sekundäre Erscheinungen an, hervorgerufen durch Risse von der unteren Laibung aus und dementsprechende Konzentration des Druckes im oberen Teil der Fugen, da letzterwähnte Risse bis zum Bruche auch an den Stirnflächen aufs kräftigste hervortraten (Fig. 179), für die andern Versuchsgewölbe schon bei der kritischen Belastung. Über alle Risse in der Nähe der Kämpfer (Fig. 178, 179) kann die ältere Berechnungsweise der Gewölbe keinen Aufschluß geben, da sie die Stützlinie durch das mittlere Drittel der Kämpferfugen gehen läßt und damit Zugspannungen bei letzteren willkürlich ausschließt. Die verdienstvolle Feststellung des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins, daß auch bei den Kämpfern erhebliche Zugspannungen auftreten können, welche mit den übrigen Zugspannungen allein für den Beginn der Zerstörung maßgebend sind, und nur durch die Theorie der elastischen Bogenträger rechnerisch nachgewiesen werden können, hätte längst dahin führen sollen, alle wichtigeren Gewölbe als elastische Bogenträger zu berechnen. Selbstverständlich sind dann auch die Voraussetzungen der Theorie elastischer Bogenträger soweit erreichbar zu erfüllen, und durch sorgfältige Formgebung und geeignete Ausführung Zugspannungen möglichst zu vermeiden.

Die in Tabelle X klein gedruckten Zahlen haben sich in gleicher Weise wie die darüber stehenden mit den in den Tabellen VII, VIII, IX klein gedruckten a₀, aui T ergeben, sie entsprechen also den am Schlüsse des Beispiels 63 er-

qcm

o.

bi

#c

bi

J3

<U

ca

><

X5

SO

a>

bi

CO

•C

'3

to

43

ca

<5

10,754    11,879

Scheitel

8,504    9,629

7,379

6,254

5,129

4,004

2,879

1,754

0,629

Kämpfer

in m

S -ua^og

Belastungs

stufe

qS§rL 1o” eoT"

©.§ ©_£ CO_ra

acf ^ coT" ©"°

§3§|fSs

00 CO ^ O ⁰

11,41

os'o

co"

0,44

^i5i8o g4|l|l 5* 12* 5|5

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I    I

Ss®g*s wT3 co"'" cT⁰    o"⁰ r-T2 ©r°

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^"«”0° pH

§SfflSqS pjh TO crTv © ⁰

22,55

21,29    20,96

3,24

1,18

11,66

14,29

860

- ,w.

0/91

20/90

— 8,00

5/84

0.23

2 St2 g 3 s cm' ro©~ So'c

te'or

20/96

-7,02 |—6,72

u's

Risse

-0,07

— 0,13

— 5,02

6,14

0/18

680

4»

— 5,59

Risse

- 4,03

19,35

SO'IS

0.31

-

0,24

so'o

19,56

fS'OS

800

0,02

3,74

17,52

17,70

— 0.34

_ 0,84

618

3,83

4.30

3,91

0.07

—-    0,01

8.23

1 -9,22

018

2,48

0.83

0,74

890

>v' 1,50

10,07

9S‘0

— 0.26

5

— 0,37

11,39

12,59

2,36

1,59

08 I

1,17

— 0,89

0/14

13,67

13/08

- 0,46

0/60

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o|«|^g ! i>!« = § | S

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sm S M 3 ® 8 o'c'    ©~⁰~

0,05

2,47

13,13

10,97

1.43

1,27

3,02

7,30

4,74

9,00

7/69

— 0,66

— 0,80

9,84

4,04

2,04

— 0.82

— 0,97

0.77    0.97    1.45

7

3,10

2,83

2,70

5.57    5.26

' 1

3,79

3,86

810 810

' ? — 0,04

o’,04

5.64

7

3,85

0.13

0,04

— 5,49 |-4,80 —3,11

— 2,05    — 0,67

2,64

15,21    | 14,84    13,37

12,31    11,18

89 0    89 0

0,55

0,50

9.82    7.59

5

9,93

—

12,48

12,57

0.49

o’,36

10.82

? — 13,57

2,42 1—1,12 1    1.56

— 3,55

— 0,52

—    0,64    —0,61 1—0.53

—    0,70    — 0,74

9ö‘0 —

— 9,40 |— 8,41 — 5,97

Risse

3,02

5,11

5,99

20,64    18,44

21,20

15,80

17,59

18,03

0.95    1.02

0,80

0,79

ZL0

1 ’ "

0,56

15,35    11,42

17,10

14/20

18/51

iS'05

-5,30-0,75

3/21

8/19

— 7,46

(Risse)

— 1,07 — 0,95

_ 1,22    _ 1,10

10/48

— 1,13 1/26

b° bs *

b° tf *

°o

°u

ao

<*u

<*0

au

0pi9g

9^s^[9q

9q9qs,B[9qnn

eqoqs'Bpq

0;9;s'B^8qnn

P= 0.

Eigengewicht

allein

P = 3430 kg. Proportionalitätsgrenze

P = 5574 kg. Erste Risse

wähnten häufig zugelassenen Vernachlässigungen. Man sieht, daß das genauere Verfahren empfohlen werden muß, welches auch die Einsenkung in guter Übereinstimmung mit der Beobachtung liefert (für Eigengewicht und die Lasten P = 3430 kg in der Trägermitte: berechnet e = 0,172 cm, beobachtet e = 0,165 cm, Beispiel 99). Aber selbst die Berechnung mit jenen Vernachlässigungen ist dem ganz willkürlichen älteren Verfahren bei weitem vorzuziehen.

Bei den obigen Ermittelungen kam die Lage der Stützlinie des Gewölbes überhaupt nicht zur Sprache, da ihre Feststellung für die Beurteilung der Standsicherheit desselben überflüssig ist. Das gewöhnliche Verfahren, die Beanspruchungen nur an den Stellen zu berechnen, wo die Stützlinie den Gewölbegrenzen am nächsten kommt (Bruchfugen), ist nebenbei insofern nur annähernd richtig, als die Beanspruchungen auch von den ganzen Höhen der Lagerfugen und den Werten der Vormalkräfte Nx abhäng-en, welche im allgemeinen von Fuge zu Fuge veränderlich sind. Will man jedoch aus irgend einem Grund, z. B. der Anschaulichkeit halber, die Stützlinie auftragen, so kann diese auf Grund der für obige Berechnung ermittelten Größen sofort erhalten werden (Beisp. 66).

¹

Bericht des Gewölbeausschusses, Wien 1895, S. 87, 88. Bezüglich der Zahlen 3430 und 5574 kg siehe die zweite Fußnote auf S. 48 des Berichts.

²

Bericht des Gewölbeausschusses, Wien 1895, S. 42.

X,

S.

Fig. 178.

Fig. 179.

Beispiel 66. Stützlinie eines Bogens ohne Gelenke (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).

Für das in den Beispielen 63, 64, 65 behandelte Versuchsgewölbe des Österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins die Stützlinie durch diejenige Belastung zu ermitteln, bei welcher die ersten Risse beobachtet wurden (einseitige Verkehrsbelastung bis P — 5574 kg). Vorausgesetzt sei, daß die Beziehungen der Theorie elastischer Bogenträger bis dahin als näherungsweise gültig angesehen werden dürfen.

Nach § 8, 1) hat man die Entfernung der Stützlinie von der Bogenachse beim Querschnitt x, gemessen in der Ebene des letzteren:

_

~ Nx ’

nun von

wobei die c nach oben positiv, nach unten negativ zu rechnen sind. Wir machen den Resultaten des Beispiels 64 Gebrauch.

Bezeichnen Me, Ne die Werte von Mx, Nx durch das Eigengewicht allein (Tabelle VII), Mx = m P, Nx — nP ihre Werte durch die einseitige Verkehrslast allein (Tabellen VIII und IX), so erhalten wir beim Zusammenwirken von Eigengewicht und beliebigen Werten der F:

Me -f- mP Ne + nP

Speziell für die obenerwähnte Belastung mit P — 5574 kg wird auf der belasteten Seite bei x = 0:

= — 0,475 m

— 4902 — 4,6540-5574

35 286 4- 5,3194-5574 auf der unbelasteten Seite bei x — 0:

0,504 m ,

— 4902 + 5,3240 - 5574

35 286 + 3,1934-5574

— 4110 + 4,0444-5574

bei x = 0,629 m:

33 875 + 3,2647-5574

bei x — 0,629 m:

— 4110 — 3,9160-5574

33 875 + 5,2781-5574

= — 0,410 m ;

0,354 m .

In gleicher Weise sind die übrigen c der Tabelle XI (S. 256) berechnet. Die entsprechende Stützlinie ist in Fig. 177 (S. 250) eingetragen.

Die in Tabelle XI klein gedruckten Werte von c haben sich in gleicher Weise wie die darüber stehenden mit den in den Tabellen VII, VIII, IX, klein gedruckten Mx, Nx ergeben, sie entsprechen also den am Schlüsse des Beispiels 63 erwähnten Vernachlässigungen und bestätigen das am Schlüsse des vorigen Beispiels bezüglich der letzteren Gesagte.

Dm die Stützlinie für P = 3430 kg (Proportionalitätsgrenze, vergl. S. 234, 250) zu erhalten, hätte man nur in obigen Ansätzen auf Grund von 2 die Zahl 3430 an Stelle von 5574 zu setzen. Die Stützlinie für Eigengewicht allein würde sich unmittelbar nach 1 mit den in Tabelle VII angeführten Werten von Mx, Nx ergeben.

Beispiel 67. Änderungen der Temperatur und der Spannweite eines Bogens ohne Gelenke (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).

Für das in den Beispielen 63—66 behandelte Versuchsgewölbe des Österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins den Einfluß gleichmäßiger Temperaturänderungen t des Bogens und kleiner Änderungen Al, Ah der Spannweite und Stützhöhen (ohne sonstige Verdrehung der Endquerschnitte) auf die Normalspannungen a₀, on in den obersten und untersten Elementen der Querschnitte (Lagerfugen, vergl. Beisp. 63) festzustellen.

Für die Normalspannungen a₀, au durch einen beliebigen Horizontalschub H und beliebige Endmomente M, M‘ hat man nach § 21, 47) 48):

.1/

ao =

cos cp

TT

ou =

y---

cos 9p ,    H

F ' W

und im vorliegenden Falle für den rechteckigen Querschnitt der Breite b — 1 m und Höhe h m mit F — h

₆ pro qm:

cos cp--

T h

Hierin ist unter obigen Voraussetzungen nach der genaueren Berechnung in Beispiel 98 M: H— 3,5899 (S. 244), während die Berechnung in Beispiel 63 M: H — 3,5921 ergab. Wir erhalten mit den genaueren Werten bei Beachtung der Tabelle V des Beispiels 63, wenn die a₀, ow auf qcm bezogen werden, für x = Q:

0 — 3,5899

10000 a₀ = [0,7488 — 6

1.1

-)xr=

10000 aH — 0,7488 + 6

0 — 3,5899

und für x = 0,629 m:

1,1

1,1

= — 17,12 H,

10000 a₀ = 0,7784 —

0,531 — 3,5899 \ II

1,035    ) 1,035 _

17,89 H,

10000 au = 0,7784 + 6

1,035

0,531 — 3,5899

1,035

= — 16,38 H .

In gleicher Weise sind die übrigen    der folgenden Tabelle XII berechnet.

Nach der Zusammenstellung am Schlüsse des Beispiels 63 hat man mit dem Elastizitätsmodul E = 175000 • 100'² kg pro qm und dem Ausdehnungskoeffizienten x — 0,000 0118 den Horizontalschub durch eine Temperaturänderung z:

Ea r 39,99:!

und den Horizontalschub durch die vorausgesetzten A l, Ak wenn A l in cm eingesetzt werden soll:

ff =

= 516 i kg

ff = —

EM

95 016

= — 18418 M kg ,

während die weniger genaue Berechnung des Beispiels 63 bezw. 534 z und — 19045 Al ergeben hatte.

Will man nun die Einflüsse der Kämpferbewegungen weiter verfolgen, so fehlen die entsprechenden Messungen. Bei den übrigen erprobten Gewölben waren z. B. für die Belastungsstufe P = 3430 kg A l = 0,075 cm (Ziegelgewölbe), 0,065 cm (Stampfbetongewölbe), — 0,035 cm (Moniergewölbe). Dem Mittelwerte 0,035 dieser Zahlen würde entsprechen H = — 184i.8- 0,035 = — 645 kg. Nun können aber auch Verdrehungen der Endquerschnitte stattgefunden haben, welche H, M, AP beeinflussen würden (§§ 21, 49, 50) und ebenfalls nicht bekannt sind.

Unter diesen Umständen kann auch die Berücksichtigung des Einflusses von Temperaturänderungen kaum neue Aufklärung bringen, um so weniger, als die wirksame Temperaturänderung nicht angebbar ist. Die Temperatur der Luft betrug am 26. 9. 91 vor der Ausschalung 19° R, am 28. 9. 91 nach der Ausschalung 18° R, am 12. 10. 91 bei der kritischen (Belastung (P = 5574 kg, erste Rissebildungen) 14,1° R. Daß aber die Differenz von 4,9° R = 6,125° C als Temperaturänderung gegen die dem spannungslosen Zustande entsprechende Normaltemperatur gelten kann, läßt sich nicht behaupten, da weder der Spannungszustand des Gewölbes vor der Ausschalung noch die Temperaturen des Ge-wölbeinnern am Anfang und Ende des Versuchs genau bekannt sind. Setzen wir jedoch beispielsweise r = — 6,125°, so folgen

ff = — 516 • 6,125 = — 3160 kg ,

nnd aus den in Tabelle XII für beliebige H gegebenen Ausdrücken die entsprechenden Normalspannungen bei x = 0:

a₀ — — 18,48 • 0,316 = — 5,84 kg

also einschließlich der in Tabelle X gegebenen Normalspannungen durch die kritische Belastung auf der belasteten Seite:

<J₀ — — 5,84 — 9,40 = — 15,24 kg ,

auf der unbelasteten Seite:

a₀ = — 5,84 + 17,10 =    11,26 kg ,

In gleicher Weise sind die übrigen a₀, au der folgenden Tabelle XII berechnet.

Mit Rücksicht auf das oben Gesagte läßt sich nicht behaupten, daß diese Werte den wirklichen Normalspannungen bei der kritischen Belastung näher kommen, als die für letztere allein in Tabelle X eingetragenen. Die Normalspannungen durch die kritische Belastung allein geben eine eher noch bessere Erklärung der eingetretenen Risse (vergl. die Tabellen X und XII), wie auch die durch das Eigengewicht und die Lasten P = 3430 kg allein berechnete Einsenkung in der Bogenmitte e — 0,172 cm (Beispiel 99) in guter Übereinstimmung mit der beobachteten Einsenkung⁻ e = 0,165 cm steht. Die Berücksichtigung von Temperaturänderungen und Stützenbewegungen bei Gewölben wird auch infolge des Zusammenhangs von Bogen und Widerlager immer an größerer Unsicherheit als bei eisernen Bogen leiden, womit aber der Nachweis seinen Wert nicht verliert, daß ein berechnetes Gewölbe auch derartigen Einflüssen gegenüber genügende Sicherheit bietet.

au = 17,12 • 0,316 =

5,41 kg ,

au = 5,41 + 21,20 =    26,61 kg ,

au = 5,41 — 7,46 = — 2,05 kg .

lO

co

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle XI. Stützlinie (Fig. 177).

5,129    6,254    7,379    8,504    9,629    10,754    11,879 m

1“ ooi'o

0,102

0,104

0,107

m'o

itl'O

0,125

0,122 ! 0,052 m

0,087    ¹

0.018 m

— 0,058 0,052 m

0,018 m

0,086

11,879 m Scheitel

13,53

16,87

4,28

— 5,33

15,69 — 1,69

15,69 — 1,69

0,137 | 0,221 | 0,209 ] 0,219

0,183

Risse I unten

98C0

0,204

0,136

0,629    1,754    2,879    4,004

0,134

0,14*

0,158

0,172

E8C0

—    0,475 —0,410 — 0,309 —0,146 —0,056    0,082

—    0,365    _    0,313 | —    0,233 | _ 0,092

Risse oben

0,007

oso'o

0,042    — 0,067 | — 0,142 ] — 0,186 | — 0,200 j - 0,183 | — 0,135

IST'0

0,196

-    0,204

Risse oben

0)179

0,122

0,504    0,354    0,180

0,572

(Risse I unten)

0,251

0,446

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle XII. Temperaturänderungen etc.

10,754

2,879    4,004    5,129    6,254    7,379    8,504    9,629

0629    1,754

Kämpfer

- 12,46 15,73

- 3,10 —7,00 - 10,17 6,00    10,05    13,34

qo co <N

9,55    5,61

— 7,32 — 3,14

18,48    17,89    15,70    12,93

— 17,12 - 16,38 - 13,96 — 10,95

no 00001

⁼~^o

10000

3 94

— 4,97

20,11

— 6,41

CO CS r—I SC t'-'so'

0,98    2,21    3,21

— 1,90 —3,18 —4 22

-    0,40

-    0,45

- 3,02 - 1.77 2,31    0,99

- 5,84    - 5,65 - 4,96 - 4,09

5,41    5,18    4,41    3,46

ao = au =

22.27    23,17    25,76

— 8,92 —9,90 — 12,22 Risse unten

SO SD O IO hN~

14,65

— 1,66

<M U5 sqcc_ afco

— 2,66 - 4,43 — 4,61 — 2,81 14,66    17,07    17,66    16,17

Risse oben

cs so r- IO

o" i—r

— 15 24 - 14,06 — 10,93 - 4,14 26,61    25,82    22,85    16,59

Risse oben

ff0 = au =

O H

o_ eo_ O i“■i

r-l O

cor-"'

so so

'StHSO^

so" co

11,26    9,70

— 2,05    — 0,12

(Risse unten)

Für die Fuge x —

'/

WO

c ■=

nawisq

-uaSog

epiaq

apiaq

aijajsxqaq

a^aiscjaq

-un

Belastete

Bogenhälfte

Unbelastete

Bogenhälfte

Für

beliebige t, A l

— 6,125° oder H = — 3160 kg

die kritische Belastung und

t= — 6,125°

§ 32. Über Eisenbetonkonstruktionen.

Bei Trägern und anderen Konstruktionen aus Stein oder Beton ist man Eisenkonstruktionen gegenüber dadurch in der Anwendung beschränkt, daß jene Baustoffe nur geringe Zugbeanspruchungen aushalten. Man hat deshalb bekanntlich in den letzten Jahrzehnten Konstruktionen aus Beton und Eisen eingeführt, in welchen die Eigenschaften beider Stoffe zweckmäßig Zusammenwirken sollen, wonach das Eisen hauptsächlich da zu verwenden ist, wo erhebliche Zugwiderstände zu leisten sind, während der Beton im wesentlichen den Druck aufzunehmen hat. Da bei Bogen aus Stein und Beton größere Zugspannungen möglichst vermieden werden, so erklärt es sich, daß die Armierung mit Eisen bei Bogen bis jetzt weniger Verbreitung als bei Balken gefunden hat. Sie wird jedoch mit der Zunahme der Spannweiten wachsen. So hat Mörsch bei der Gmündertobelbrücke Eig. 165 (S. 217) von 79 m Lichtweite und 79,64 m Spannweite zwischen den Kämpfermitten Eiseneinlagen angewandt, obwohl sich für Beton allein rechnungsmäßig keine Zugspannungen ergaben, „denn es war nicht ausgeschlossen, daß durch geringes Nachgeben der Fundamente, ungenaue Ausführung der theoretisch ermittelten Form und namentlich infolge Schwindens des Betons Zugspannungen auftreten würden.“ Auch für die Betonbogen der projektierten Hudson-Gedächtnisbrücke bei Manhattan, New-York, von 215 m Lichtweite und 221 m Spannweite zwischen den Kämpfermitten sind Eiseneinlagen vorgesehen, die rechnungsmäßig nicht nötig wären. Es kommt weiter in Betracht, daß durch die Eiseneinlagen bei Bogen bedeutend an Mauerwerk gespart werden kann (Beispiel 71), und die Kernlinien näher an die Laibungen gelangen (Aufgabe 29), womit weniger leicht Zugspannungen im Beton entstehen. Schließlich kann infolge Aufnahme der Zugspannungen durch das Eisen bei der Formgebung mit größerer Freiheit auch ästhetischen Anforderungen Bechnung getragen werden.

Wir können an dieser Stelle nicht auf alle Unterlagen der Berechnung von Eisenbetonkonstruktionen eingehen, die dem, der sich mit Eisenbeton bogen beschäftigt, bekannt sein sollen, und müssen insbesondere bezüglich der Festigkeitseigenschaften und Versuchsergebnisse auf die Spezialwerke verweisen h Im folgenden seien nur einige Punkte in Erinnerung gebracht. Die Möglichkeit der Verbindung von Eisen und Beton zu brauchbaren Konstruktionen war zunächst dadurch gegeben, daß Portlandzementbeton von geeignetem Mischungsverhältnis und Eisen sehr gut aneinander haften, beide nahezu den gleichen Ausdehnungskoeffizienten haben (0,0000135 bezw. 0,0000115 bis 0,0000125) und die Umhüllung mit Beton für Eisen erfahrungsgemäß ein ausgezeichnetes Rostschutzmittel bildet. Das Anwendungsgebiet wurde jedoch erheblich erweitert, als man erkannte, daß mit Eisen armierter Beton ohne Eintritt merkbarer Risse

¹ Mörsch, Der Eisenbetonbau, seine Theorie und Anwendung, Stuttgart 1908; v. Emperger, Handbuch für Eisenbetonbau, I. Entwicklungsgeschichte und Theorie des Eisenbetons, Berlin 1908; Förster, Das Material und die statische Berechnung der Eisenbetonbauten, Leipzig 1907; usw.

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

erheblich größere rechnungsmäßige Zugspannungen zuließ als Beton ohne Eiseneinlagen, so daß man dem Eisen in Eisenbetonbauten etwa die gleichen Beanspruchungen zumuten zu dürfen glaubte wie in den älteren Eisenkonstruktionen, wenn nicht die geringere Zuverlässigkeit der Berechnung zur Vorsicht mahnte.

Die Hauptschwierigkeit der Berechnung von Eisenbetonkonstruktionen liegt in der Verschiedenheit des elastischen Verhaltens von Eisen und Beton. Während die Elastizitätsmoduln von Elußeisen und Schweißeisen etwa 2150000 kg und 2000000 kg pro qcm betragen und bei den zugelassenen Beanspruchungen nahezu konstant sind, gelten für Beton weit geringere Werte, die aber von der Zusammensetzung, dem Wasserzusatz, dem Alter und der Beanspruchungsart (Zug oder Druck) abhängen und mit dem Wachsen der Beanspruchungen meist erheblich abnehmen. Man rechnet vielfach mit Elastizitätsmoduln des Betons von 300000 bis 150000 kg pro qcm und oft wurde das Verhältnis der Elastizitätsmoduln von Eisen und Beton,

Eb ’

gleich 15 gesetzt. Die Leitsätze des Verbandes deutscher Architekten-und Ingenieurvereine ¹ wählten diese Zahl, um den Verhältnissen in der Nähe des Bruches Rechnung zu tragen, die Bestimmungen des Preußischen Arbeitsministeriums für Hochbauten² von 1907 verlangen ihre Verwendung, wenn nicht ein anderes Verhältnis nachgewiesen wird, und auch die Vorschriften des Österreichischen Ministeriums des Innern³ von 1907 führen mit Ee = 2 100000 kg, Eb = 140000 kg zu dem gleichen Wert. Dagegen ist beispielsweise nach den Schweizerischen Vorschriften⁴ von 1909 für Zug n — 20, für Druck n = 10, und nach den Bestimmungen der Eisenbahndirektion Berlin (Hütte I, 1908, S. 402) für Straßen- und Eisenhahnbrücken n = 10 anzunehmen. Die letzte Zahl ist bei den Berechnungen sehr bequem und erscheint häufig angemessen, besonders wenn man beachtet, daß Eb mit dem Alter wächst, so daß z. B. Bach⁵ mit 6 Jahre 8 Monate alten Probekörpern bei o = 0,18 bis 20,25 kg Eb = 560 000 kg und bei <7 = 0,18 bis 101,87 kg Eb = 527 000 kg erhielt. Die in Zürich ermittelten Werte von n variieren zwischen 4,3 und 29,2 (Schweiz. Bauzeitung 1909, LIV, S. 287).

Die Grundlage aller Berechnungsverfahren von Eisenbetonkonstruktionen bildet wie für Eisenkonstruktionen und Steinkonstruktionen die

¹    Vorläufige Leitsätze für die Vorbereitung, Ausführung und Prüfung von Eisenbetonbauten, Deutsche ßauzeitung 1904, Mitteilungen über Zement usw., S. 13.

²    Bestimmungen über die Ausführung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten, Zentralblatt d. Bauverwaltung 1907, S. 301.

⁸ Vorschriften des K, K. Ministeriums des Innern betreffend die Bauweise mit Stampfbeton oder Betoneisen, Zeitschr. d. Österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins 1908, S. 157.

⁴ Vorschriften über Bauten in armiertem Beton, aufgestellt von der Schweizerischen Kommission des armierten Beton am 30. April 1909, Schweizerische Bauzeitung 1909, LIV, S. 185; Erläuterungen von Schüle S. 270, 287.

“Bach, Mitteilungen über die Druckelastizität und Druckfestigkeit von Betonkörpern mit verschiedenem Wasserzusatz, III. Teil, Stuttgart 1909, S. 4 (Zeitschr. d. Vereins deutscher Ingenieure 1909, S. 828).

Annahme, daß die Stabquerschnitte auch nach der Formänderung eben bleiben. Demgemäß müssen für Eisenfasern und Betonfasern zwischen zwei Querschnitten an der gleichen Stelle gleiche Längenänderungen entstehen. Wenn also daselbst für Eisen und Beton die Längenänderungen pro Längeneinheit (die spezifischen Längenänderungen oder Dehnungen) durch Ae, Xb, die Längskräfte pro Querschnittseinheit (die Normalspannungen des Querschnitts) durch ae, ob bezeichnet sind, so hat man:

oder

ae _ g6

Ee ~ Eh ’

woraus mit Rücksicht auf 1 für die Normalspannungen an der gleichen Stelle:

oe = nob.

Wollte man nun dem Beton in Eisenbetonkonstruktionen nur diejenigen Zugspannungen zumuten, welche für Betonkonstruktionen ohne Eiseneinlagen gebräuchlich sind, so würde die zulässige Zugbeanspruchung pro qcm des Eisens betragen: für ob = 4 kg, n = 10 nur oe = 40 kg, und selbst für ab = 8 kg, n = 20 erst ae — 160 kg. Das wäre natürlich keine befriedigende Ausnutzung der Festigkeit des Eisens. Durch die obenerwähnte Erkenntnis ist man über diese Beschränkung hinausgekommen.

Wenn nun aber auch das Eisen in Eisenbetonkonstruktionen angemessen beansprucht werden kann, so ist damit doch nicht gesagt, daß der Beton allgemein die 3 entsprechenden Zugspannungen erleidet und aushält (für oe = 600 kg und n = 15 beispielsweise würde ob = 40 kg), da bleibende Formänderungen seine Mitwirkung bei der Kraftübertragung vermindern können und feine Risse angesichts der geringen Zugfestigkeit von meist nur 10 bis 20 kg pro qcm nicht ausgeschlossen sind. Aus diesem Grunde und zu größerer Sicherheit gegenüber den sonstigen Mängeln der Berechnung werden die Zugwiderstände des Betons hei der Dimensionierung von Eisenbetonkonstruktionen gegenwärtig gewöhnlich unberücksichtigt gelassen. Insbesondere ist dies nach den zu 1 erwähnten deutschen, österreichischen und schweizerischen Bestimmungen der Fall. Da aber der rechnungsmäßige Wert der Zugspannungen in gewissen Fällen nachzuweisen ist (nach den österreichischen Bestimmungen bei Biegung immer), so werden wir die nötigen Beziehungen so ableiten, daß Zugwiderstände des Betons vernachlässigt oder berücksichtigt werden können.

§ 33. Stäbe aus beliebig- ungleich widerstehendem Material.

Während als Achse eines Stabes gleich widerstehenden Materials gewöhnlich diejenige Linie gilt, welche im spannungslosen Zustande hei normaler Temperatur die Schwerpunkte aller senkrecht zu ihr gedachten ebenen Schnitte, der Stabquerschnitte, enthält (S. 4), pflegt der Begriff der Stabachse für Stäbe beliebigen Materials nicht allgemein festgestellt zu werden. Er läßt sich jedoch ohne willkürliche Annahmen nicht entbehren, da z. B. bei Bogenträgern die Momente JMJX auf eine im voraus bekannte und immer gleichbleibende Achsschicht bezogen werden (§ 1). Sodann wird stets, ausdrücklich oder stillschweigend, vorausgesetzt, daß jede in der Achse normal dem Querschnitt wirkende Kraft Nx für alle Elemente gleich widerstehenden Materials eines Querschnitts gleiche Beanspruchungen zur Folge habe. Demgemäß bezeichnen wir als Achse eines Stabes beliebig widerstehenden Materials diejenige Linie, in welcher angreifend, Kräfte normal den Querschnitten daselbst gleiche spezifische Längenänderungen aller Fasern parallel der Achse erzeugen. Von Knickwirkungen wird hierbei abgesehen. Diese Stabachse setzen wir wie bisher von einfacher Krümmung und mit der Belastung des Stabes in einer Symmetrieebene des letzteren voraus (S. 4, 5). Die durch die Stabachse gehende Faserschicht senkrecht zu dieser Biegungsebene heißt Achsschicht.

Soll sich die Achsialkraft Nx so auf den Querschnitt x verteilen, daß durch sie gleiche spezifische Längenänderungen aller Fasern daselbst entstehen, so hat man diese Längenänderungen pro Längeneinheit für Fasern beliebiger Elastizitätsmoduln E in Entfernungen v von der Achsschicht und für Fasern bestimmten Elastizitätsmoduls JE' in Entfernung 1 von derselben :

a‘

E E‘ ’

unter o, o‘ die Beanspruchungen pro Querschnittseinheit jener Fasern verstanden (Normalspannungen des Querschnitts x), während E, E‘ Mittelwerte von 0 bis o, o‘ bedeuten. Die Normalkraft für ein Querschnittselement d F vom Elastizitätsmodul E bei v ist o d F und für die ganze Normalkraft des Querschnitts gilt:

Vp = J aäF—-J₇Je äF,

worin die Integrale auf den ganzen Querschnitt zu erstrecken sind. Da Nx in der Achsschicht wirkt, so müssen hinsichtlich dieser auch sämtliche von Nx herrührenden a d F das Moment 0 ergeben, das heißt wir haben:

a‘

Jg dF’V

E‘

fFvdF= 0,

und damit als Bedingung für die Stabachse und die Achsschicht:

jFvdF= 0.

Bei gleichem Elastizitätsmodul E aller Fasern folgt hieraus:

JvdF — 0 ,

welche Gleichung besagt, daß die Stabachse alsdann durch die Schwerpunkte aller Querschnitte geht.

§ 33. Stäbe aus beliebig ungleich widerstehendem Material, a) Wirkung einer Achsialkraft Nx. Mit der Bezeichnung

E‘ F‘=fEdF

bei Erstreckung des Integrals auf den ganzen Querschnitt x liefert der obige Ausdruck von Nx:

ff'

N.

' X

E' E‘ F‘ ’

und hiermit die erste der obigen Gleichungen die von Nx herrührende JNTormalspannung bei x, v und dem Elastizitätsmodul E:

G =

wonach Querschnittselemente gleichen Materials durch Nx gleiche Beanspruchungen erleiden.

Bei gleichem Elastizitätsmodul E aller Fasern erhält man aus 2 E‘ F‘ = E F und damit aus 3, gleichmäßiger Verteilung von Nx auf den ganzen Querschnitt entsprechend:

E‘ F‘ ’

Nx

b) Wirkung eines Momentes Mx. Der Stab soll zunächst als gerade, d. h. von gerader Achse, gelten. Wir denken uns durch ihn vor Einwirkung von Spannungen zwei Querschnitte gelegt, von welchen der eine x heißen soll, während der andere x unendlich nahe liegt. Diese

anfänglich parallelen Querschnitte bilden nach der Biegung konvergierende Ebenen. Es verhalten sich also die Längenänderungen der zwischenliegenden Faserabschnitte wie ihre positiven oder negativen Abstände v von derjenigen Schicht senkrecht zur Biegungsebene, für welche die Entfernung der Querschnittsebenen un-geändert geblieben ist.

Man nennt sie bekanntlich die neutrale Schicht und ihre Durchschnittslinie mit der Querschnittsebene die neutrale Achse.

Es mögen bei Wirkung des Moment Mx allein (ohne Achsialkraft Nx) Fasern beliebiger Elastizitätsmoduln E in Entfernungen v von der neutralen Schicht und Fasern bestimmten Elastizitätsmoduls E‘ in Entfernung 1 von derselben Druck- oder Zugkräfte pro Querschnittseinheit (j, o‘ entsprechen (Hormalspannungen des Querschnitts x). Dann hat man wegen des Ebenbleibens der Querschnitte :

Tr

w'

Ae' \

Mx

dx

Fig. 180.

ff

ff'

ff'

Neiztr.

tr'

IE

iE'

ds =

Fig. 181.

ScTricfö

dx

E ' E‘

E‘

Die Normalkraft für ein Querschnittselement dF vom Elastizitätsmodul E bei v ist o cl F, und da die Summe dieser vom Moment allein kerrührenden Normalkräfte für den ganzen Querschnitt gleich 0 ist, so hat man auf den ganzen wirksamen Querschnitt erstreckt:

JodF=~fEvdF=0

f Ev dF= 0 .

oder

Durch Gleichung 4 ist die einem Momente Mx allein entsprechende neutrale Schicht bestimmt, sie fällt bei Wirksamkeit des ganzen Querschnitts mit der durch 1 bestimmten Achsschicht zusammen. Da dieser Fall bei Bogenträgern gewöhnlich vorliegt, so sei er zunächst vorausgesetzt, v bedeutet dann in 1 und 4 die Entfernung von der Achsschicht.

Jede Normalkraft a dF erzeugt hinsichtlich des Durchschnitts von Achsschicht und Querschicht ein Moment o dF - v, und da die längs des Querschnitts wirkenden Kräfte in Bezug auf diesen Durchschnitt kein Moment liefern, so ist das Gesamtmoment der im Querschnitt x wirkenden Kräfte in Hinsicht der Achsschicht:

Mx = Jg dF• v

Mit der Bezeichnung

E‘ J'=fEv² dF

bei Erstreckung des Intregals auf den ganzen wirksamen Querschnitt, und obigem Ausdruck von o folgt:

woraus die von Mx herrührende Normalspannung bei x, v und dem Elastizitätsmodul E:

-M* E v •

E‘ J'

J — jv² dF

das Trägheitsmoment des Querschnitts hinsichtlich der Achsschicht verstanden, womit aus 6 der bekannte Ausdruck folgt:

Bei gleichem und konstantem Elastizitätsmodul E aller Fasern ergibt 5 E‘ J‘ = E J, unter

Mx

g = -j~v*

c) Zusammenwirken von Achsialkraft Nx und Moment Mv. Für diesen Fall bei Wirksamkeit des ganzen Querschnitts folgt durch Addition von 3 und 6 die Normalspannung bei x, v und dem Elastizitätsmodul : worin E‘F‘ und E‘J‘ durch 2 und 5 bestimmt sind. Als Bedingung für die neutrale Schicht hat man mit (r = 0:

J‘JSr- + F‘vMa = 0,

worin J‘,v,Mx sich auf die durch 1 bestimmte Achsschicht beziehen. Bei. gleichem Elastizitätsmodul E aller Fasern geht 7 mit E‘ F‘ = E F und E‘J‘ = EJh\ den bekannten Ausdruck über:

I

-4--—V

F 'J

Wir haben oben bei Einwirkung des Momentes Mx vorläufig angenommen, daß die Stabachse vor der Deformation eine Gerade war. Wird diese Beschränkung fallen gelassen, während die Stabachse eine Linie einfacher Krümmung bleibt, so tritt bei Stäben gleich widerstehenden Materials an Stelle des letzten Ausdrucks die Formel § 6, 7):

Nx

Fr

unter r den anfänglichen Krümmungsradius der Stabachse verstanden. Wie aber bei gebogenen Trägern gleich widerstehenden Materials unter Vernachlässigung des von der Krümmung herrührenden mittleren Gliedes der vorletzte Ausdruck von o verwendet zu werden pflegt, so dürfen auch bei gebogenen Trägern beliebig widerstehenden Materials unter Vernachlässigung des Einflusses der Krümmung die Normalspannungen a nach der zunächst für gerade Stäbe abgeleiteten Formel 7 berechnet werden.

Bemerkungen. Es wurde oben (S. 262) zunächst vorausgesetzt, daß Nx und Mx gegenüber der ganze Querschnitt wirksam ist oder daß doch der Normalkraft Nx und dem Moment Mx der gleiche Querschnitt als widerstehend gilt. Nur unter dieser Voraussetzung stimmt die Bedingung 4 für die neutrale Schicht bei Wirkung eines Momentes allein (ohne Normalkraft) mit der Bedingung 1 für die Achsschicht überein und bedeutet in 7 und 8 v die Entfernung des Querschnittselements d F von der durch 1 bestimmten Achsschicht. Dies kann bei gleichzeitigem Auftreten von Nx und Mx, also insbesondere bei Bogen (für achsial beanspruchte Säulen ist Mx = 0, für horizontale Balken Nx = 0) dann zu beachten sein, wenn nicht immer die ganzen Querschnitte als widerstehend angenommen werden, wie dies unter Vernachlässigung der Zugspannungen des Betons auch bei Eisenbetonbogen vorkommt (vergl. in § 34 unter b).

Die abgeleiteten Beziehungen gelten nicht nur für Stäbe verschiedenen Materials (§ 34), sondern auch für Stäbe gleichartigen Materials, deren Elastizitätsmodul mit der Spannung nach irgend einem Gesetze veränderlich ist¹. Doch haben wir jetzt keine Veranlassung, näher hierauf einzugehen. Ferner gelten die Gleichungen 4—6 auch für horizontale Balkenträger mit ganz oder teilweise widerstehenden Querschnitten, wobei die v Entfernungen von der neutralen Schicht bedeuten, welche dann durch die auf die wirksamen Querschnitte bezogene Bedingung 4 bestimmt ist.

§ 34. Eisenbetonbogen².

Wir fassen nun speziell Stäbe aus Beton und Eisen ins Auge und setzen zunächst Wirksamkeit der ganzen Querschnitte voraus. Beim Querschnitt x mögen für die Betonteile und Eisenteile bezeichnen Fb, Fe die Querschnitte, Sb, Se deren statische Momente hinsichtlich der Achsschicht,

¹    Verg]. Luegers Lexikon der gesamten Technik, 2. Auflage, Artikel Elastizitätsgesetz.

²    Leser, welche auch die Beziehungen für Säulen und Balken aus Eisenbeton verfolgen wollen, werden vor diesem Paragraphen zweckmäßig §§ 37 und 38 vornehmen.

nNx

n v Mx

Jb-{~ nJe

Eb + nFe

Jb,Je ihre Trägheitsmomente in Hinsicht derselben und Eb,Ee die mittleren Elastizitätsmoduln von 0 bis zu den in Frage stehenden Beanspruchungen. Wie in § 32 werde gesetzt:

11

Ee

Eh ■

Dann hat man zur Bestimmung der Achsschicht nach § 33, 1):

oder

5> + n5, = 0

EtSh + E.S,= 0 während aus § 33, 2), 5) folgen:

E‘ F‘ = EhFh-\~E, F, = Eb (Fh + nF.),

E‘J' =EbJt+EeJ, =Et +    ■

Mit diesen Ausdrücken liefert § 33, 7) die Normalspannungen von Querschnittselementen der Elastizitätsmoduln E bei x, v:

CO

ENX

E v Mx

EbFb + EeFe EhJh + EeJe ’

also bei Beachtung von 1 speziell für Betonquerschnittselemente bei x, v mit E = Eb:

ab =

vMx

•h + n Je

Fb + nFe

und für Eisenquerschnittselemente bei x, v mit E = Ee:

<*e =

Als allgemeine Bedingung für die neutrale Schicht folgt aus 5 mit a = 0:

(Jt + nJ')Nx + {Ft + nFjnvMa = 0, worin sich Jb, Je, v, Mx auf die durch 2 bestimmte Achsschicht beziehen.

Vorstehende Formeln gelten nicht nur für Bogenträger bei Wirksamkeit der ganzen Querschnitte, sondern auch für horizontale Balkenträger ohne diese Beschränkung (mit Nx = 0 und v Entfernung von der neutralen Schicht, die dann durch die für den wirksamen Querschnitt bestehende Bedingung 2 bestimmt ist, auf welche sich in diesem Falle nun auch die Trägheitsmomente Jb) Je beziehen, vergl. S. 263), deren ohne und mit Rücksicht auf Zugwiderstände des Betons gebräuchliche Beziehungen leicht durch Spezialisierung daraus erhalten werden können. Sie finden ferner unmittelbare Verwendung auf achsial und exzentrisch belastete Säulen (in ersterem Falle mit Mx — 0), soweit keine.Knickwirkungen in Betracht kommen. Da wir jedoch hier speziell Eisenbetonbogen zu behandeln haben, so sollen im folgenden rechteckige Querschnitte vorausgesetzt werden. Es interessieren folgende zwei Fälle, der erste häufiger als der zweite.

a) Der ganze Querschnitt ist wirksam. Diesen Fall hat man stets, wenn alle Normalspannungen o Druck bedeuten (vergl. Aufgabe 29) oder doch den auftretenden Zugspannungen des Betons von diesem

widerstanden gedacht wird. Dann sind die obigen Gleichungen unmittelbar verwendbar, doch wollen wir einige spezielle Ausdrücke beifügen.

Der rechteckige Querschnitt von der Breite b und Höbe h besitze in Entfernungen e, e‘ von der Unterkante (Fig. 182, 183) Eiseneinlagen der Gesamtquerschnitte fe, f‘e. Dann bat man nach 2 zur Bestimmung der Entfernung d der Achsscliicht von der Unterkante: b (h — d)²

bd²

In 6 und 7 gelten:

^-Jrnfe(e — d) — nfe(d — eT= 0,

+ » (« fe + e' f‘)

bh + n{fe+fTT’

1) 7(2

woraus

JhArnJe — b

Fb + nFe = bh + n(fe + Q, d? + (h — df

f n/; 0 — d)² 4- n f‘e ((d— e‘f.

10

11

fe

, A..>

fe

l AxASchicht

TT

A-

Ax-\Sc^zcht

’ i

A^

Fig. 183. Mx, c negativ.

Fig. 182. Mx, c positiv.

Hiermit ergeben sich aus 6 die Beanspruchungen des Betons in der Oberkante und Unterkante:

oh mit v = h — d,

und aus 7 die Beanspruchungen des Eisens in den Entfernungen e, e‘ von der Unterkante:

ob mit v = — d

12

oe mit v = e — d,

13

o‘e mit v = e‘ — d.

Es sind ob, ae oder o‘w ae die größeren "Werte, je nachdem Mx positiv oder negativ ist, je nachdem Nx oberhalb oder unterhalb der Stabachse angreift (Fig. 182, 183).

Selbstverständlich kann in 9—11 der Querschnitt einer der beiden Eiseneinlagen auch gleich Hüll sein, was jedoch bei Bogen nicht leicht vorkommt. Sind, wie häufig, beide Einlagen von gleichem Querschnitt und in gleichen Entfernungen von beiden Breitekanten, dann folgen aus 9—11 mit f‘e — fe, e‘ — h — e:

Fh + nF. = bh + 2nf. bh3 , „    / Ä\a

12 Ufe V 2 J *

Wir haben beim Ansätze von Sb, Fb, Jb für den rechteckigen Querschnitt, wie üblich, die durch Eisen ausgefüllten Teile der Betonrecht-

Jb-\rnJe

14

15

ecke nicht in Abzug gebracht. Sollte es geschehen, so würde in 9, 10, 11, 14, 15 rechts überall n — 1 an Stelle von n zu setzen sein. Das Unterlassen des Abzugs läuft also darauf hinaus, das ohnehin nicht zuverlässig angebbare n um 1 größer zu wählen. Wir werden auch im folgenden so verfahren.

b) Zugwiderstände des Betons vernachlässigt. Dieser Fall wird z. B. dann eintreten, wenn sich nach den unter a) verwendeten Beziehungen größere Zugspannungen des Betons ergeben, als letzterer mit genügender Sicherheit auszuhalten vermag. Wollte man die Momente Mx dann auf diejenige Achse beziehen, welche sich bei Anwendung der Bedingung 2 auf die gedrückten Querschnittsteile allein ergibt, so würde die Stabachse je nach der Belastung verschieden ausfallen, während die Mx hinsichtlich einer im voraus bekannten Achse zu berechnen sind (§ 1). Da nun die Zugbeanspruchungen bei Eisenbetonbogen klein zu sein pflegen und mit ihrer Yernachlässigung ohnehin auf einen genauen An-

//

==?

Ax-f j o?Schicht\e Neutrale\£ TSchicht \

fe\

X.

Neutrale Schicht

----------

Ax - I o\ Schicht ---—-----

u\ =5.

^d\    -►.

Fig. 184. Mx, c positiv.

Fig. 185. Mx. c negativ.

Schluß an die Wirklichkeit verzichtet wird, so hat man der Achse von Eisenhetonbogen ohne und mit vernachlässigten Zugspannungen des Betons immer die gleiche Lage zugeschrieben. Für uns ist sie damit durch die auf den ganzen Querschnitt, einschließlich des gezogenen Teils, angewandte Bedingung 2 und speziell beim rechteckigen Querschnitt durch die Gleichung 9 bestimmt.

Es mögen nun für den rechteckigen Querschnitt x der Breite b und Höhe h gelten: bei positivem Mx und c —

mx

die Beziehungen Fig. 184 und a — h — d — c, 16 Fig. 185 „ a — d + c,

unter d die durch 9 bestimmte Entfernung der Achsschicht von der Unterkante verstanden, während u die Höhe des gedrückten Querschnittsteils bedeutet. Werden die Normalspannungen wie in 5—7 algebraisch eingeführt (Druck positiv, Zug negativ), so hat man die Normalkraft:

„ negativem Mx „ c — Vx

nx ”

17

Oefe + Vefe

18

°b 2

und das Moment in Hinsicht der neutralen Schicht in den Fällen Fig. 184 und 185:

fe 0 — Jl + e) 4- o‘e f‘ Qi — u — e‘).

zb (u — a) — + <Jb Wegen des Ebenbleibens der Querschnitte bestehen die Beziehungen:

ge .

Ee ‘

__< .

Ee •

woraus die Beanspruchungen der Eisenstäbe:

e + u — 7/

= (ä — 7« — e'): u

oe

n oh

19

h—u — e

n ob,

20

Mit diesen Ausdrücken liefert 18:

~ + l\fe(e + u-h)-f'(h-u-e')l

21

und die darauf folgende Gleichung:

(u — o) Nx

⁶    (* + “ “    + /3 (* - n - e')²] '

Durch Gleichsetzen dieser beiden Ausdrücke erhalten wir zur Bestimmung von u und damit,der neutralen Schicht:

[fe (e + a — h) — f‘ (h — a — e‘)] u

+ [fe (* — e)(e-\-a — h)—f‘e (h — e‘) (h — a — e‘)] = 0 .

Auch im vorliegenden Falle kann der Querschnitt einer der beiden Eiseneinlagen gleich Null werden, womit sich vorstehende Gleichungen vereinfachen. Sind beide Eiseneinlagen von gleichem Querschnitt und in gleichen Entfernungen von den nächsten Breitekanten, so folgen mit

fe = fe und e‘ = h — e aus 9 wieder d = y und aus 22, 20, 21:

ffs{h-2a)u-^fAh(h-a)-2e(h-e)] = 0,    23

e — 11

--n °b »

u    ⁰

während 19 ungeändert bleibt.

c) Berechnung der Schnittkräfte und Schnittmomente. In obigen Gleichungen wurden die Normalkraft Nx und das Moment Mx als bekannt vorausgesetzt. Für diese wie für alle anderen Schnittkräfte und Schnittmomente gelten dieselben statischen Beziehungen wie bei Bogen aus gleichartigem Material (§§ 1, 2, 10). In ihnen kommen jedoch als Horizontalschub H und Endmomente M, M‘ noch Größen vor, welche nicht allgemein gegeben oder durch die gegebenen Größen statisch bestimmt sind. Während also für einfache Dreigelenkbogen und andere

u³ — 3 a u²

u³ — 3 a u² -f

<r‘e

vb =

22

24

statisch bestimmte Bogen aus Eisenbeton dem Gesagten nichts hinzuzufugen ist, fragt es sich, wie bei statisch unbestimmten Eisenbetonbogen die fehlenden Größen zu ermitteln sind. Dies pflegt gegenwärtig nach denselben Formeln wie für Bogen aus gleichartigem Material zu geschehen, nur daß auch hierbei wie oben bei der Berechnung der Normalspannungen an Stelle von EF und EJ die Werte von E‘E‘ und E‘J‘ nach 3, 4 zu verwenden sind. Spitzer¹ fand, daß dieses Verfahren für das in § 31 erwähnte Monierversuchsgewölbe mit den Versuchsergebnissen im Einklang stand. Analoges ergaben Versuche mit kontinuierlichen Balkenträgern², für die sich das Verfahren auch leicht theoretisch begründen läßt³. Da also die bisherigen Beispiele der Berechnung von Nx, Mx auch für Eisenbetonbogen gelten, so genügt es hier noch einige Beispiele bezüglich der Normalspannungen beizufügen.

Beispiel 68. Druckspannungen allein.

Beim Querschnitt x der Höhe h = 20 cm eines Eisenbetonbogens kommen auf die Breite b — 20 cm zwei Eiseneinlagen von je fe — 20 qcm in Abständen e — 18 cm von den entfernteren Breitekanten (Fig. 186). Wenn nun gesetzt wird

b=20cm

Ee = io,

die Beanspruchungen des Betons und Eisens zu berechnen: a) für einen Belastungsfall, dem entsprechen Nx — 18000 kg, Mx= biOOO cmkg; b) für einen Belastungsfall, dem Nx — 18000kg, Mx — — 54000 cmkg entsprechen.

Der Symmetrie halber liegt die Achsschicht in der Mitte zwischen den zwei Breitekanten in Entfernung d = 10 cm von der Unterkante. Nehmen wir zunächst den ganzen Querschnitt wirksam an, so folgen aus § 34, 14), 15):

Ax-

18cm

■4+-

fe-20qcm j

—r-------T-|--------

d\-10cm | \h~20an

ScküM

Fig. 186.

Fb -f- n Fe = 20 • 20 + 2 • 10 • 20 = 800 qcm 20•20®

Jb + n Je —    ₁₂

+ 2*10*20*8² = 38 933 cm⁴,

und damit aus § 34, 6), 7) die Normalspannungen des Betons und Eisens an beliebigen Stellen:

Ar

IIX 3893,3

Ar

V iö/p

38 933 ’

a) Im Falle Nx — 18000 kg; Mx — 54000 cmkg (Fig. 182) liefern vorstehende Gleichungen pro qcm bei beliebigen v:

Ob ~ 22,5    1,39 v ,

ob =

miii

so

also für den Beton an der Oberkante mit v —    10 cm

„    „ Unterkante „ v — — 10 „

und für das Eisen

ae = 225 + 13,9 v ,

ffj = 22,5 + 1,39 ■ 10 = 36,4 kg , ab = 22,5 — 1,39 • 10 = 8,6 „ ;

der oberen Einlage mit v — „ unteren

8 cm v = —8 „

ae = 225 + 13,9*8 = 336 kg , o'e = 225 — 13,9*8 = 114 „ .

Da alle Normalspannungen positiv sind, so bedeuten sie alle Druck und ist der ganze Querschnitt wirksam.

b) Im Falle Nx — 18000 kg, Mx = — 54000 cmkg (Fig. 183) ergeben dieselben Gleichungen pro qcm bei beliebigem v:

¹    Spitzer, Berechnung der Moniergewölbe, Zeitschr. d. Öster. Ing.-u. Arch.-Vereins 1896, S. 305. Uber weitere Versuche mit Eisenbetonbogen siehe: v. Emperger, Handbuch für Eisenbetonbau, I, Berlin 1908, S. 302.

²    Mörsch, Der Eisenbetonbau, Stuttgart 1908, S. 210.

³    Luegers Lexikon der gesamten Technik, 2. Auflage, Band 1, S. 745.

Da im zweiten Falle Nx von gleichem Werte wie im ersten und Mx nur von entgegengesetztem Vorzeichen war, so sind gegenüber dem ersten Fall die Beanspruchungen des Betons an der Oberkante und Unterkante und die Beanspruchungen des Eisens der oberen und unteren Einlage einfach vertauscht.

Bemerkungen. Daß unter den Voraussetzungen obigen Beispiels nur Druckspannungen entstehen würden, konnten wir schon daraus schließen, daß der Angriffspunkt der Normalkraft Nx in den Fällen a) und b) um

= 4; 3 cm

Nx

wonach für den Beton an der Oberkante mit =

„    „ Unterkante „    = -

und für das Eisen der oberen Einlage mit v = „ unteren

10 cm

10 „

ab = 22,5 — 1,39 • 10 = 8,6 kg , c4 = 22,5 + 1,39 • 10 = 36,4 „ ;

8 cm -8 „

oe - 225 — 13,9-8 = 114 kg, Gg — 225 + 13,9 -8 = 336 „ .

Gb = 22,5 — 1,39 v ,

ae = 225 — 13,9 v ,

54 000 18000

von der Achsschicht entfernt liegt, also beidemal im mittleren Drittel der Querschnittshöhe von 20 cm. Die Kernpunkte, zwischen denen Nx angreifen muß, wenn nur Druckspannungen entstehen sollen, und die bei homogenen Bogen rechteckigen Querschnitts an den Grenzen des mittleren Drittels liegen (§ 8), gelangen nämlich durch die Eiseneinlagen mehr nach außen, in unserem Falle von + 3,33 cm nach + 4,86 cm von der Achsschicht (Aufgabe 29, S. 271).

Beispiel 69. Zugspannungen zugelassen.

Beim Querschnitt x des vorigen Beispiels (Fig. 186) die Beanspruchungen des Betons und Eisens zu berechnen: a) für einen Belastungsfall, dem entsprechen Nx = 12000 kg, 4/^ = 60000 cmkg; b) für einen Belastungsfall, dem Nx — 12 000 kg, Mx = — 60000 cmkg entsprechen.

Wird zunächst der ganze Querschnitt als wirksam angenommen, so ergeben sich wie im vorigen Beispiel die Normalspannungen des Betons und Eisens an beliebigen Stellen:

V j\Tx

3893,3 '

a) Im Falle Nx = 12000 kg, Mx = 60000 cmkg (Fig. 182) erhält man aus vorstehenden Gleichungen pro qcm bei beliebigem v:

800

38 933

Ge

80

Oft = 15,0 + 1,54 v ,

ae = 150 + 15,4 v ,

also für den Beton an der Oberkante mit v =    10 cm

„ „ Unterkante „ v = — 10 „ und für das Eisen der oberen Einlage mit v =

„ unteren

oh = 15,0 + 1,54 • 10 =    30,4 kg,

1,54.10 = — 0,4 „ ;

G}t = 15,0

8 cm v = —8 „

Gg .= 150 + 15,4 • 8 = 273 kg , a’e = 150 — 15,4-8 = 27    „ .

Die Zugspannung von 0,4 kg pro qcm hält der Beton natürlich aus, so daß zu weiteren Berechnungen keine Veranlassung vorliegt. Hätte sich eine Zugbeanspruchung ergeben, welche dem Beton nicht zugemutet werden soll, so würde wie im nächsten Beispiel zu rechnen sein.

b) Im Falle N„ = 12000 kg, Mx = — 60000 cmkg (Fig. 183) ergeben die oben verwendeten Gleichungen pro qcm bei beliebigen v:

Gl, = 15,0 — 1,54 v,

Ge = 150 — 15,4 v ,

wonach für den Beton an der Oberkante mit v =    10 cm

„    „ Unterkante „ v — — 10 „

und für das Eisen der oberen Einlage mit v =

„ unteren

ab = 15,0 — 1,54 • io = — 0,4 kg , o’b = 15,0 4- 1,54 • 10 =    30,4 „ ;

8 cm

V = — 8    „

Ge = 150 — 15,4 • 8 = 27 kg, a'g = 150 4- 15,4 -8 = 273 „ .

Da im zweiten Falle Nx von gleichem Werte wie im ersten und Mx nur von entgegengesetztem Vorzeichen war, so sind gegenüber dem ersten Fall die Beanspruchungen des Betons an der Oberkante und Unterkante und die Beanspruchungen des Eisens der oberen und unteren Einlage einfach vertauscht.

Beispiel 70. Zugwiderstände vernachlässigt.

Beim Querschnitt x des vorletzten Beispiels (Fig. 186) die Beanspruchungen des Betons und Eisens zu berechnen: a) für einen Belastungsfall, dem entsprechen Nx = 6000 kg, Mx = 108000 cmkg; b) für einen Belastungsfall, dem Nx = 6000 kg, Mx — — 108000 kg entsprechen.

Da Mx: Nx fast doppelt so groß als die halbe Querschnittshöhe 10 cm ist, so erkennt man auch ohne Anwendung des in den beiden letzten Beispielen gezeigten Verfahrens, daß sich nach diesem erhebliche Zugwiderstände ergeben (vergl. Aufgabe 29). Wir wollen nun voraussetzen, daß die Zugwiderstände des Betons vernachlässigt werden sollen.

a) Im Falle Nx = 6000 kg, Mx — 108000 cmkg hat man bei den Bezeichnungen der Fig. 184 nach § 34, 16):

= 18 cm ,

und nach § 34, 23) für die Höhe u der Druckzone:

?e3 + 3 • 8 iß +    20 (20 + 2 • 8) u — ~ 20 (20 • 28 — 2 • 18 • 2) = 0 ,

iß + 24 u² + 2160 u — 29280 = 0 , u = 11,4 cm .

Damit folgen nach § 34, 24) die Beanspruchung pro qcm des Betons an der Oberkante (an der Unterkante ist sie gleich Null, Fig. 184):

6000

10-20

108 000 6000

ab =

10 • 11,4 +

11,4

a = 20 — 10 — 18 = — 8 cm

= 36,8 kg ,

woraus

und nach § 34, 19), 24) die Beanspruchungen pro qcm der oberen und unteren Eiseneinlage:

oe =

¹⁸ +iM-10.36,8 = 303 kg ,

11,4

o'e — —

18 — 11,4

11,4

10 • 36,8 = — 213 kg .

Probe:

A* = 36,8^P

b) Im Falle Nx = 6000 kg, Mx = — 108000 cmkg hat man bei den Bezeichnungen der Fig. 185 nach § 34, 17):

108000

+ 20 (303 — 213) = 6 000 kg .

a = 10 — 18 = — 8 cm .

= — 18 cm ,

Damit ergeben sich bei genau den gleichen Ansätzen wie oben die Höhe der Druckzone:

6000

u — 11,4 cm ,

die Beanspruchung pro qcm des Betons an der Unterkante (an der Oberkante ist sie gleich Null, Fig. 185):

ab = 36,8 kg ,

und die Beanspruchungen pro qcm der unteren und oberen Eiseneinlage:

a'e — — 213 kg .

ae = 303 kg ,

Da im zweiten Falle Nx von gleichem Werte wie im ersten und Mx numerisch gleich und von entgegengesetztem Vorzeichen war, so sind gegenüber dem ersten Falle die Beanspruchungen des Betons an der Oberkante und Unterkante und die Beanspruchungen des Eisens der oberen und unteren Einlage einfach vertauscht.

Aufgabe 29. Kernlinien von Eisenbetonbogen.

Es sollen diejenigen in der Trägerebene gelegenen Punkte (Kernpunkte) des Querschnitts x bestimmt werden, zwischen welchen die resultierende Schnittkraft Rx oder Normalkraft Nx angreifen muß, damit alle Querschnittselemente Druck erleiden und deren Verbindungslinien für alle Querschnitte (Kernlinien) die in § 11 besprochene Verwendung finden können.

Wir gehen wie bei Bogen gleichartigen Materials in § 8 vor und beachten, daß für Druckspannungen allein der ganze Querschnitt wirksam ist. Nach § 34, 6) mit Mx — cNx hat man die Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement, bei v = e₀ und v — — eu:

a₀ -

Fb + n Fe

Ff} -f- n Ff>

Jb “t n Je

au =

N'* , fl

Fb ~r n Fe \

Fb ~t n Fe

Jb “t n Je

eu c ,

oder mit den Bezeichnungen

, _ Jb ~t~ n Je ⁰ (Fb + nFe)eu’

*u =

Jb “r n Je

einfacher:

(Fb + n Fe) e₀

a₀ =

Ffx

Nx

au =

Fj, + n Fe Q k₀

Es ist hiernach a₀ mit Nx von einerlei Vorzeichen wenn c — ku,

„    c<k₀.

Da nun Nx immer Druck bedeutet (§ 10), so sind der obere und untere Kernpunkt des Querschnitts um k₀ und — ku von der Stabachse entfernt. Für die hierdurch bestimmten Kernlinien gilt der in § 8 abgeleitete Satz und das in § 11 bezüglich der Belastungen für die Grenzwerte von a₀, ou Gesagte. Bei symmetrisch zur Achsschicht angeordneten Querschnitten der Höhe h hat man wegen

h

eo — eu ~ V*

Fb + n Fe

Jb + n Je 2 Fb + n Fe h '

Für den in Beispiel 68 behandelten rechteckigen Querschnitt der Höhe h = 20 cm beispielsweise hat man nach 5 mit h = 20 cm, Fb -|- nFe = 800 qcm und Jb -j- n Je = 38 933 cm ³:

k₀ — ku —

800 • 10

= 4,86 cm ,

während bei gleichartigem Material wären:

k₀ = ku = —

Die Stützlinie hat also beim Eisenbetonbogen etwas mehr Spielraum, ohne daß Zug im Querschnitt entsteht, als wenn die Eiseneinlagen wegblieben. Allgemein sind Fh-{-nFh und Jh-^nJß für rechteckige Querschnitte durch § 34, 10), 11), 14), 15) ausgedrückt.

Für Bogen des in § 33 angenommenen beliebig widerstehenden Materials ergeben sich bei den dortigen Bezeichnungen in analoger Weise wie oben:

u —

= 3.33 cm .

Jc₀-

J‘

J‘

F‘ eu ’

F‘ e₀ ’

Die Ausdrücke 3 bilden spezielle Fälle dieser Gleichungen.

§ 35. Korrektur eines vorläufigen Eisenbetonbogens.

Für einen rechteckigen Querschnitt der Breite b von bestimmter Neigung seien N₀, Nu die Normalkräfte bei den Belastungen, durch welche die größten Druckspannungen im obersten und untersten Querschnittselement entstehen, a der Abstand dieser Kräfte voneinander (Fig. 166). Wie in § 28 legen wir uns die Frage vor, welche Querschnittshöhe h nötig ist und wo die Bogenachse den Querschnitt schneiden muß, wenn die größte Druckspannung in beiden Bandelementen ad betragen soll, eine Änderung der Belastung und von N₀, Nu durch die Korrektur nicht in Betracht kommt und Bedingungen bezüglich etwaiger Zugspannungen zunächst nicht gestellt werden (nachträgliche Kontrolle siehe Beispiel 72), der ganze Querschnitt aber als widerstehend gilt. Es seien zwei gleiche Eiseneinlagen vom Gesamtquerschnitt 2 fe — abh in Entfernungen ß h von der Höhenmitte (Achsschicht) vorausgesetzt.

Eür einen beliebigen Querschnitt hat man nach § 34, 6) bei beliebiger Belastung die Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement mit Mx — c Nx, v = e₀ und v = — eu:

Ar

(² +

c)

Fh-\-n Fe Jh -f- n Je

A ~4~ ¹¹ A

euc)-

Fb + nFe

Unserem rechteckigen Querschnitt entsprechen hierin (ohne Abzug des Eisenquerschnitts beim Ansätze von Fb, Jb, andernfalls wären in 3, 4, 5 n — 1 an Stelle von n zu setzen, vergl. S. 265 unten):

Jb -f- n Je

Fh-\-nFe = (l+n a)bh

b h³

[-₂- -\-naß²b h³ = (1 + 12 na ß²)    ,

wonach mit den abkürzenden Bezeichnungen fi = 1 -{-na

bei beliebiger Belastung:

A» Jrn A

CO

1 -f- 12 naß²

1 -\-n a

ao —

°u

-A®_ l\

fibh \

6c

fi bh

In 1, 2, 6 bedeutet c die Entfernung des Angriffspunktes der Normalkraft Nx von der Bogenachse, es ist positiv nach oben, negativ nach unten. Bezeichnen c₀, cu die Werte von c hei den oben erwähnten Belastungen für die Grenzwerte o₀ = ou = ad, so folgen aus 6:

fi b ad

A

und durch Addition:

6 c₀

coh² ’

f*bard _j_ (*bad

\7    l“ \T

Cj)

co h

6CH_

coh² ’

Nu

w/i² '

Berücksichtigen wir: und setzen zur Abkürzung m =

a = Co-Cu 1

so ergibt sich:

N₀

Nu

f¹ b <}a A + A

co 1,²

oder

h² — mh

3 ma

co

woraus die gesuchte Querschnittshöhe:

12 a co m

Die zwei auf 6 zunächst folgenden Gleichungen aber liefern:

10

Co~

Cn= —

wodurch der Schnitt der Bogenachse mit dem Querschnitt bestimmt ist. Im übrigen kann bezüglich des Verfahrens auf die beiden letzten Absätze des § 28 verwiesen werden.

Nach § 34, 7) lassen sich auch die Beanspruchungen der Eiseneinlagen berechnen. Da diese jedoch selbst an der Oberkante und Unterkante nur Normalspannungen

°e = nod

erreichen würden, so gehen die wirklichen Beanspruchungen jedenfalls nicht über die zulässigen hinaus.

Beispiel 71. Bogenkorrektur entsprechend dem vorigen Paragraphen.

Unter den Voraussetzungen des Beispiels 57, S. 219, die nötige Querschnittshöhe h und den Durchschnitt der Bogenachse mit dem Querschnitt zu bestimmen, wenn der Querschnitt der beiden gleichen Eiseneinlagen zusammen a = 0,01 des ganzen Querschnitts beträgt, die Einlagen in ß = 0,45 der Höhe entfernt von der Höhenmitte liegen und n = Ee: Eb — 15 gesetzt wird.

Unter den Voraussetzungen des § 35 hat man nach den dortigen Gleichungen 5), 8):

(i = 1 + 15 • 0,01 = 1,15

1 + 12 • 15 • 0,01 • 0,45 ²

1,15

= 1,18,

1,15-495-40

1856330

1,15-495-40

1925200

= 83,01 cm ,

und hiermit nach 9) die Querschnittshöhe:

83,01

12 • 48,43

1,18*83,01

= 150,8 cm ,

während ohne Eiseneinlagen h = 174,8 und vor der Korrektur h = 224,0 cm war (Beispiel 57, S. 220). Unter Verwendung von

/tbh = 1,15*495• 150,8 = 85843 qcm

folgen aus 10) die neuen Entfernungen der Kräfte N₀, Nu von der Bogenachse:

1,18*150,8

co

- (■

40*85843

1856 330

25,19 cm ,

40*85843

1925 200

\ 1,18*150,8 _

) 6

— 23,24 „ ,

womit wieder

a — Cq cu —

48,43 cm .

Die neue Achse ist wie die korrigierte Achse ohne Eiseneinlagen geblieben (Beispiel 57), was bei der symmetrischen Anordnung der Einlagen zu erwarten war.

Bemerkungen. Selbstverständlich ergeben die Gleichungen § 35, 6) mit vorstehenden c₀, cu die größten Druckspannungen;

ao —

1856 330

6 * 25,19

85843

1,18 • 150,8

= 40 kg

<*u =

1925 200

6*23,24

85843

1,18 • 150,8

j = 40 „ ,

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

18

wie vorgeschrieben war. Bezüglich der unteren Grenzwerte von a₀, au siehe das nächste Beispiel. Die Beanspruchungen beider Eiseneinlagen bleiben stets unter

ae — 15 • 40 = 600 kg .

Beispiel 72. Untersuchung eines korrigierten Querschnitts auf Zugspan

nungen.

Es sollen die unteren Grenzwerte der Randspannungen a₀, au für den korrigierten Querschnitt des vorigen Beispiels berechnet und damit festgestellt werden, ob und welche Zugspannungen im Querschnitt auftreten.

Während die Bogenachse nach der anfänglichen Anordnung des Bogens in der Querschnittsebene um c₀ = 46,73 cm unter dem Angriffspunkt von N₀ lag (Beispiel 57), ist der Abstand nach der im letzten Beispiel vorgenommenen Korrektur nur c₀ — 25,19 cm, so daß die Bogenachse in der Querschnittsebene um

46,73 — 25,19 = 21,54 cm

nach oben gerückt ist. Damit ändern sich die Abstände c = punkte von Nx für alle Belastungen.

Es mögen nun (im Gegensätze zu § 35 und dem vorigen Beispiel) die Nx, c für die Belastung, welche den kleinsten Druckwert oder größten Zugwert der Randspannung- a₀ erzeugt, durch N₀, c₀, und für die Belastung, welche den kleinsten Druckwert oder größten Zugwert der Randspannung on erzeugt, durch Nu, cu bezeichnet sein. Dann hat man wTie in Beispiel 58, S. 221:

N₀ = 1916,90 t,

Nu = 1848,03 „ ,

Mx

der Angriffs-

c₀ = — 23,13 cm ,

25,51 „ ,

und damit nach § 35, 6) bei Verwendung der im vorigen Beispiel berechneten h, pbh, oo die gesuchten unteren Grenzwerte der Randspannungen:

6-23.13

Cu =

G₀ =    :

1916900

85843

1,18 • 150,8

= 4,91 kg ,

gu =

1848030

6 • 25,51

85843

1,18 • 150,8

■)"

3,01 „ .

Es treten also im behandelten Querschnitt bei keiner Belastung Zugspannungen auf. Die Eiseneinlagen dienen jedoch zur Sicherheit gegen außer Rechnung gebliebene Einflüsse, woneben infolge ihrer Mitwirkung erheblich an Mauerwerk gespart wird, da die Querschnittshöhe durch Eiseneinlagen von 1 °/₀ des Gesamtquerschnitts von 174,8 cm auf 150,8 cm herabgegangen ist, durch die Eiseneinlagen und Korrektur von 224,0 cm auf 150,8 cm (Beispiel 57, S. 220).

§ 36. Längs- und Querschubspannungen von Stäben beliebig ungleich widerstehenden Materials und speziell von Eisenbetonbogen.

Gleitspannungen (Haftspannungen).

Wie bereits mehrfach erwähnt, sind die Längsschubspannungen und Querschubspannungen bei Bogenträgern meist so gering, daß sie gewöhnlich unberücksichtigt bleiben (vergl. die Beispiele 8, 41, 64, 65). Wir wollen sie trotzdem auch für Stäbe ungleich widerstehenden Materials ableiten, uns aber bei Bogen auf den für sie wichtigsten Fall beschränken, daß der ganze Querschnitt als wirksam gilt. Sodann werde von dem Ergebnis der Ableitung für gleich widerstehendes Material in § 9 Gebrauch gemacht, daß von der Krümmung abgesehen werden darf und alsdann nur die von den Biegungsmomenten herrührenden Normalspannungen der Querschnitte zu den Längsschubspannungen und Querschubspannungen beitragen. Im übrigen kann ähnlich wie in § 9 vorgegangen werden.

Für die Resultante aller im Querschnitt x -j- dx von v bis r widerstehenden Normalkräfte hat man:

__o__

Neutrale ‘ ds =

dx Schickt

Für ein Querschnittselement dF bei x, v und dem Elastizitätsmodul E beträgt nach § 33, 6) die vom Biegungsmoment Mx herrührende Normalkraft :

7»

D\

-j^f.EvdF.

Die Resultante aller dieser im Querschnitt x von einer beliebigen Stelle v bis zum obersten Element bei v = r angreifenden Kräfte ist:

rrbds

Mx

Ev clF.

tM

dx

Mx -f- d Mx

Fig. 187.

E‘ J‘

EvdF.

Fig. 188.

Da sich das in Fig. 187, 188 schraffierte Trägerstück mit der Differenz dieser beiden Kräfte längs der darunter liegenden Fläche fortzubewegen sucht, so muß in letzterer eine gleich große Kraft entgegenwirken. Wir bezeichnen sie mit x bds, unter b die Trägerbreite bei v verstanden, so daß sich t unter der erwähnten Vernachlässigung der Stabkrümmung auf die Flächeneinheit bezieht und deshalb wie in § 9 Längsschubspannung bei x, v heißt. Führen wir noch ein:

Z₀=\ EvdF,

also

Z₀= EvdF

so ergibt die Subtraktion der beiden vorhergehenden Ausdrücke:

d Mx E‘ J‘

t bds

und mit Rücksicht auf § 1, 13) die gesuchte Schubspannung bei x, v:

Zv

b E‘ J'

Wie in § 33 hat man:

E'J'=fEv*dF

fEvdF= 0

worin die Integrale auf den ganzen wirksamen Querschnitt zu erstrecken sind. Mit Rücksicht auf die erste dieser Gleichungen dürfen die Integrale 1 auf den Querschnittsteil von v bis zur obersten oder untersten Faser bezogen werden; sie sind dann als Absolutwerte aufzufassen.

Ganz wie in § 9 ergibt sich, daß an jeder Stelle x, v die Quer-

Schubspannung gleich der Längsschubspannung, so daß die Bezeichnung x für beide gilt. Auch ändert sich nach 2 wieder bx sowohl mit dem Querschnitt x als mit der Entfernung v. In jedem Querschnitt ist nach 2 bx am größten:

für v = 0

am kleinsten bei der obersten und untersten Faser: bx — 0. Schließlich bleibt das in § 9 betreffs der schiefen Spannungen JSF, S Gesagte bestehen.

Die vorstehenden Beziehungen gelten sowohl für Bogenträger als für Balkenträger, für horizontale Balkenträger mit beliebiger vertikaler Belastung (in § 1 Nv = H = 0, Tx — Vx) auch wenn nicht der ganze Querschnitt wirksam ist. Es bedeuten dann die v Entfernungen von der neutralen Schicht und diese ist durch die erste Gleichung 3 bestimmt, während beide Gleichungen 3 sich auf den wirksamen Querschnitt beziehen (§ 33). Bei Wirksamkeit des ganzen Querschnitts fällt für horizontale Balkenträger mit vertikaler Belastung die neutrale Schicht mit der Achsschicht zusammen (S. 262).

Eisenbetonbog-en. Für diese setzen wir, wie oben erwähnt (S. 274), die Wirksamkeit des ganzen Querschnitts voraus. Man hat dann nach 1, wenn Svi, Sve die Absolutwerte der statischen Momente des Betonquerschnittsteils und Eisenquerschnittsteils von v bis zur obersten oder untersten Faser in Hinsicht der durch § 34, 2) bestimmten Achsschicht bedeuten:

Z, = EbS9b + E₀S₉=i:b(S.t + nS₉J.

Da nun nach § 34, 4) oder der zweiten obigen Gleichung 3:

JE ‘' J‘ = Eh Jh + Ee Je = Eb (Jb + n Je),

unter Jb, Je die Trägheitsmomente des ganzen Betonquerschnitts und Eisenquerschnitts x hinsichtlich jener Achsschicht verstanden, so folgt aus 2 die Längsschubspannung und Querschubspannung bei x, v:

Jb-\-nJe b

Haben wir speziell einen rechteckigen Querschnitt der Breite b und Höhe h, bei welchem sich in Entfernungen e, e‘ von der Unterkante Eiseneinlagen der Querschnitte fe, f‘c befinden (Fig. 182, 183), so liefert 5 für die Achsschicht und die Höhe der oberen und unteren Eiseneinlage:

Z^E^ + nfM-<?)),

Ebbe[d--^ j    Eef',(d — e‘),

Z, = E„b e‘(ä - -0 + E,f; (d - e‘),

womit aus 2 bei Beachtung von 6 die Längs- und Querschub Spannungen in den Höhen der Achsschicht und beider Eiseneinlagen:

bd* + 2nf'e(d-e‘) Tx

bei v = 0

Jj) T" n Je

b e (2 d — e) —(— 2 nf'e(d — e‘) Tx

2b

n Je

„ v = e‘ — d

b e‘ (2 d — g') 4- 2 nf'(d — e‘) Tx

10

worin d, Jb + nJe durch § 34, 9), 11) bestimmt; doch pflegen diese Größen bei der Berechnung der Schubspannungen schon bekannt zu sein. In 8 hätten wir als Zähler des ersten Bruches auch setzen können (h — d)² + 2 nfe(e — d).

Wäre nur eine Eiseneinlage vorhanden, was jedoch bei Bogen nicht leicht vorkommt, so hätte man den Querschnitt der anderen gleich Null zu setzen. In dem bei Bogen gewöhnlichen Falle, daß beide Eiseneinlagen gleiche Querschnitte besitzen und in gleichen Entfernungen von den nächsten Breitekanten liegen, folgen aus 8—10 mit f‘c=.fe, h — 2.d, e‘ = h — e bei der Achsschicht:

blfi 4 n fe(2e — h) Tx

Jb~\~ n Je

8b

11 .

und bei den zwei Eiseneinlagen:

b e (h — e) -f- n fe (2 e — 11)    Tx

2b ’

12

worin Jb-\-nJc durch § 34, 15) bestimmt.

Gleitspannung’en. Wenn, wie oben für Bogen angenommen, der ganze Querschnitt widersteht, dann könnte die Längsschubkraft pro Längeneinheit, bei einer Eiseneinlage eine Trennung am ehesten längs einer Fläche bewirken, deren Spur in Fig. 189 bei v ausgezogen ist. Auf Gleiten längs der entsprechenden E i s e n Oberfläche wirken Spannungen, welche durchschnittlich etwas kleiner als. die oben ausgedrückten Schubspannungen x bei v sind, weil für diese eine Yerteilungsbreite b von xb vorausgesetzt wurde, während nach Fig. 189 auf die Trägerbreite b eine etwas größere Yerteilungsbreite kommt. Man rechnet also bei vollständig wirksamen Querschnitten eher etwas zu ungünstig, wenn man die auf Gleiten längs einer    \

Eiseneinlage wirkende Spannung, die Bach des-    \

Fig. 189.

halb Gleitspannung nannte (in verschiedenen Werken und Yorschriften heißt sie Haftspannung), einfach gleich der Längs- und Querschubspannung x an der betreffenden Stelle setzt.

Anders, wenn ein Teil des Stabquerschnitts auf Zug beansprucht wird und die Zugwiderstände des Betons vernachlässigt werden, mit welchem Falle man es bei Eisenbetonbalken fast immer zu tun hat. Wie zu Beginn dieses Paragraphen festgestellt, steht die Längsschubkraft xbds bei v zwischen zwei um ds voneinander entfernten Querschnitten im Gleichgewicht mit der Differenz der Normalkräfte von v bis zur obersten oder untersten Faser auf jene beiden Querschnitte (Fig. 187, 188). Wenn nun als solche Normalkräfte oberhalb oder unterhalb der Fasern bei v infolge Vernachlässigung der Zugwiderstände des Betons nur die Zugkräfte einer Eiseneinlage gelten, so kann deren Differenz der Längsschubkraft %bds nur an der Oberfläche dieser Einlage das Gleichgewicht halten. Man hat also, wenn die Beanspruchung pro Flächeneinheit Oberfläche vom Umfang U bedeutet:

xxTJds = bds, woraus die Gleitspannung (Haftspannung):

13

Wenn diese Formel mitunter selbst dann Verwendung fand, wenn die Zugwiderstände des Betons in Rechnung gezogen werden sollten (wie in den Beispielen 3 und 4 zu den preußischen Bestimmungen von 1907), so setzt dies voraus, daß die zum Vergleiche dienende rechnungsmäßige Gleitfestigkeit (Haftfestigkeit) durch Biegungsversuche auf Grund von 13 bestimmt oder entsprechend geschätzt wurde. Solche Versuche hat insbesondere Bach vorgenommen¹, neben anderen, bei welchen sich die Gleitfestigkeit als Widerstand pro Einheit Eisenoberfläche gegen das Herausziehen oder Herausdrücken der Eisen ergab².

Mehrfach hat man den Eisenstäben zur Verhinderung des Gleitens andere als prismatische Formen gegeben, so in Amerika durch Anschwellungen bei gleichbleibendem Querschnitt (Tachereisen), durch spiralförmige Windungen bei quadratischem Querschnitt (Ransomeisen), durch zahnartige Auswüchse an den Seitenflächen (Johnsoneisen). Doch kommt bei Einlagen in der Nähe der Trägeraußenflächen die aufsprengende Wirkung der Knoten in Betracht, so daß sich bei Versuchen von Bach mit Tachereisen in Balken die Widerstandsfähigkeit der letzteren nur wenig größer als bei Einlagen gewöhnlicher Eisen ergab. Über Abbiegungen der Einlageeisen wie über Bügel und Haken siehe § 39.

Beispiel 73. Längs- und Querschubspannungen in einem bestimmten Bogen

querschnitt.

Ein Brückenbogen enthalte bei einem Querschnitt der Breite b = 495 cm und Höhe h = 150,8 cm Eiseneinlagen von je fe — 373 qcm Querschnitt in 7,5 cm Entfernung vom oberen und unteren Rande (vergl. Beispiel 71). Die Längs- und Querschubspannungen r bei der Achsschicht und den beiden Eiseneinlagen zu berechnen, wenn die Transversalkraft Tx = 20000 kg beträgt, n = 15 gesetzt wird und der ganze Querschnitt wirksam ist.

Wir haben im vorliegenden Falle e = 150,8 — 7,5 = 148,3 cm (Fig. 182, 183) und nach § 34, 15):

JbJrnJe~

495*150,8³

12

+ 30*373 (143,3 — 75.4)2 = 193048390 cm⁴ .

Damit ergeben sich nach § 36, 11), 12) die Schubspannungen bei der Achsschicht:

— 0,37 kg ,

495 • 150.8 ² + 60 • 373 (286,6 — 150,8)    20000

2-495

193048 390

und bei den zwei Eiseneinlagen:

= 0,14 kg .

2*495

495 • 143,3 • 7,5 + 15 • 373 (286,6 — 150,8) 20 000 193048390

Über letzterem Wert würde auch Gleitspannung an den Eiseneinlagen nicht zu erwarten sein (§ 36).

Anhang

betreffend Eisenbetonsäulen und Eisenbetonbalken.¹

Säulen und Balken in Eisenbeton kommen häufig in Yerbindung mit Eisenbetonbogen vor. Es ist deshalb erwünscht, sie auf Grund der abgeleiteten allgemeinen Beziehungen behandeln zu können, und so bei einheitlichem Vorgehen Anschluß an die gebräuchlichen Darstellungen und Vorschriften² zu erlangen, die vorwiegend Säulen und Balken im Auge haben. Dem soll im folgenden Rechnung getragen werden. Selbstverständlich müssen wir uns dabei beschränken, so daß auf Einzelheiten der Ausführung nicht eingegangen werden kann. "Wie bisher sei gesetzt:

Ee

n~-~E^’

unter Ee, Eh den Elastizitätsmodul des Eisens für Zug und Druck und des Betons für Druck verstanden.

§ 37. Säulen beliebig’ ungleich widerstehenden Materials.

Eisenbetonsäulen.

Bezüglich exzentrisch belasteter Säulen ohne Knickwirkung bleibt es bei den Beziehungen der §§ 33, 34. Im folgenden setzen wir achsial belastete Säulen voraus; dann genügt die Ableitung § 33, a).

EP

Wirkt in der Säulenachse eine beliebige Last Nx — P, so sind nach § 33, 3) die Normalspannungen für Querschnittselemente von beliebigem Elastizitätsmodul E:

⁰ E‘ F‘ ’

während nach § 33, 1), 2) die Säulenachse und E‘E‘ bestimmt sind durch die Gleichungen:

J Ev dE— 0,

E‘ F‘ =J E dF,

worin bezüglich jeder in Betracht gezogenen Achsschicht die v positive oder negative Entfernungen der Querschnittselemente bedeuten und die Integrale auf die ganzen Querschnitte zu erstrecken sind. Bei Quer-

¹    Vergh die zweite Fußnote auf Seite 263.

²    v. Emperger, Handbuch für Eisenbetonbau, Bd. IV, 3. Teil: Bestimmungen für die Ausführung von Eisenbetonbauten. Bauunfälle. Berlin 1909. — Siehe auch die Fußnoten S. 258.

schnitten mit zwei Symmetrieachsen der Figur und des Materials trifft natürlich die Säuienachse den Durchschnitt dieser Symmetrieachsen.

Für Säulen aus Beton und Eisen hat man nach 2 zur eventuellen Bestimmung der Achsschicht, wenn Sb, Se die statischen Momente des Betonquerschnitts und Eisenquerschnitts in Hinsicht derselben bedeuten:

Eb Sb “f⁻ Ee Se — 0

Sb-\-nSe = 0

oder

welche Bedingung speziell für rechteckige Querschnitte auf § 34, 9) führt. Weiter liefert 2:

JE' F‘ = Eh Fb -f Ee Fe = Eb (Fh -f n Fe),

unter Fb, Fe den Betonquerschnitt und Eisenquerschnitt verstanden, womit nach 1 für alle Betonquerschnittselemente wegen E = Fh:

Gh Fb + nFe ’

und für alle Eisenquerschnittselemente wegen E — Ee:

n Ob.

Oe

Fh -)- n Fe

Soll der Eisenquerschnitt bei gegebenen Fh, ob oder der Betonquerschnitt bei gegebenen Fe, oe berechnet werden, so entnimmt man aus 5, 6:

11 Fe.

F.

Fh

n ob

Fb

ae

Knickwirkung’en kommen bei Eisenbetonsäulen seltener als bei Eisensäulen in Betracht. Die Bestimmungen des Preußischen Arbeitsministeriums von 1907 beispielsweise betrachten sie als ausgeschlossen, wenn die Säulenhöhe unter dem 18 fachen der kleinsten Querdimension bleibt. Hierzu ist vorgeschrieben, daß Querverbindungen, welche geeignet sind, die Eisenstäbe unveränderlich gegeneinander festzulegen, in Abständen annähernd gleich der kleinsten Säulendimension, aber nicht über dem 30 fachen der Eisenstabstärke angeordnet sein müssen. Die Berechnung auf Knickung hat in besonderer, an einem Beispiel gezeigter "Weise (Beispiel 9 daselbst) auf Grund der E ul ersehen Formel zu erfolgen.

71²

K=Fk

Vielfach wird für die Knickfestigkeit lc (mittlere Beanspruchung pro Flächeneinheit Querschnitt Einknicken) von Eisenbetonsäulen die Schwarzsche Formel verwendet, mit folgender Begründung nach Bitter¹. Die Euler sehe Knickformel

j2~F J,

welche für homogenes Material unter Voraussetzung der Proportionalität zwischen Spannungen o und Dehnungen X dem Beginn des Einknickens entspricht, hat sich bei Versuchen von Tetmajer mit Eisenstäben von genügend kleinem J:l² gut bewährt. Für Stäbe von größeren J:P konnte sie deshalb nicht zutreffen, weil bei diesen der Beginn des Einknickens über der Proportionalitätsgrenze liegt, so daß an Stelle des konstanten

Elastizitätsmoduls E der allgemeinere Ausdruck des letzteren E —

¹ Ritter, Die Bauweise Hennebique, Schweiz. Bauztg. 1899, XXXIII, S. 41, 49, 59 (Säulen S. 60).

dÄ

treten muß. Für Beton glaubte nun Ritter mit genügender Annäherung

g = b (l — e

unter b eine Konstante, unter e die Basis der natürlichen Logarithmen verstanden. Mit dem hieraus folgenden Werte!

— 1000 X

setzen zu können:

— 1000 X

dÄ

= b •1000 e

= 1000 (6 —ff)

und o — h lautet die Eulersche Formel 8:

FJc = -

-1000 (b — h)J,

woraus

le =

FP

1000 iP J

Setzt man hierin rund n² = 10, so ergibt sich die von Ritter für Betonsäulen angenommene Schwarz sehe Knickformel¹:

Je

F 1 + 0,0001 ~

Für Eisenbetonsäulen soll man darin im Einklang mit §§ 34, 38 setzen:

F — Fb -f- n F₍

unter Jb, Je die Trägheitsmomente des Betonquerschnitts und Eisenquerschnitts in Hinsicht der Achsschicht senkrecht zur Ebene der Ausbiegung verstanden. Formel 9 ist z. B. in die neuen schweizerischen Vorschriften von 1909 übergegangen.

Wie in andern Fällen wird auch in obigen Formeln häufig für Fh der ganze Querschnitt (ohne Abzug des Eisenquerschnitts), für Jb das Trägheitsmoment desselben verwendet, was wegen

F=Fb + F. + (n—l)Ft

darauf hinausläuft, n um 1 kleiner als bei Verwendung der genaueren Fb, Jb zu wählen.

Beispiel 74. Säulenspannungen ohne Knickwirkungen. *

Eine mit P= 40000 kg achsial belastete Eisenbeton- i Säule sei entsprechend Fig. 190 mit 8 Rundeisen von je 2 cm i armiert. Die Beanspruchungen des Betons und Eisens zu be- 30\ ® rechnen, wenn Knickwirkungen nicht in Betracht kommen j und n = 10 gesetzt wird.

Ganzer Querschnitt Eis enquer schnitt Betonquerschnitt

Nach § 37, 5), 6) erhält man die Beanspruchungen pro qcm des Betons und Eisens:

40000

862,4 + 251,3

Hätten Avir als Betonquerschnitt den ganzen Querschnitt Fb = 887,5 qcm eingeführt, so würden sich ergeben haben: ab = 35,1 kg, ae — 351 kg, welche Beanspruchungen n = 9 entsprechen.

¹ Vergl. Luegers Lexikon der gesamten Technik, 2. Auflage, Bd. 5, Artikel Knickfestigkeit.

J- Jb~-1) Je

30² — 2 • 2,52 = 887,5 qcm , Fe = 8 • l² n = 25,13 »    ,

Fh = 887,5 — 25,1 = 862,4 „    .

30cm, Fig. 190.

ab =

= 37,1 kg,

ae = 10 • 37,1 = 371 kg .

10

2,5

Ts US

Beispiel 75. Zulässige Säulenbelastung ohne und mit Knickwirkungen. Eine Eisenbetonsäule von 25/25 cm Querschnitt enthält der Andeutung in Fig. 191 entsprechend 4 Rundeisen von 2,2 cm Durchmesser. Zu berechnen: a) den zulässigen Säulendruck P und den zulässigen mittleren Druck pro qm Querschnitt, wenn keine Knickwirkung in Betracht kommt und ah — 30 kg, n = 15 gewählt sind; b) die Knickfestigkeit und den zulässigen Säulendruck bei 4 m Säulenlänge, wenn b = 250 kg, n = 15 angenommen werden.

a) Man hat den ganzen Querschnitt 25² = 625 qcm, den Eisenquerschnitt Fe — 4 • 1,1² 7t — 15,2 qcm und den Betonquerschnitt Fh = 625 — 15,2 = 609,8 qcm, womit nach § 37, 5) der zulässige Säulendruck:

P,= 30 (609,8 + 15*15,2) = 25134 kg,

und der mittlere Druck pro qcm Querschnitt:

= 40 kg .

25134

25

625

b) Die auf Beton reduzierten Werte des Querschnitts und Trägheitsmoments sind nach § 37, 10):

F — 25² + 14 • 15,2 = 838 qcm ,

952

— + 14 • 15,2 • 9,5² = 51757 cm⁴ .

Wollte man nun die freie Knicklänge möglichst ungünstig gleich der ganzen Säulenlänge setzen l = 400 cm, so hätte man nach § 37, 9) die Knickfestigkeit pro qcm Säulenquerschnitt:

<•

25071 Fig. 191.

■*-

250

1 + 0,0001

838•400²

= 198 kg .

51757

Wenn jedoch die Säule mit den Endquerschnitten flach aufsitzt, so pflegt nicht zu günstig zu sein l = 0,75 *400 = 300 cm, womit in gleicher Weise folgt:

k = 218 kg .

Bei achtfacher Sicherheit wäre alsdann der zulässige Säulendruck:

= 17 030 kg,

und pro qcm Säulenquerschnitt a =    = 27 kg.

218 • 625

Beispiel 76. Exzentrisch belastete Säule.

Eine Eisenbetonsäule von 25/25 cm Querschnitt, armiert mit vier Eisenstäben von 2 cm Durchmesser in 3 cm Abstand von den Seiten, werde in einer Symmetrieebene mit P — 5000 kg belastet (Fig. 192). Knickwirkungen kommen nicht in Betracht. Es sind für n — 15 die Normalspannungen des Betons und Eisens zu berechnen: a) wenn die Last P um a = 9,5 cm von einer Seite angreift; b) wenn die Last um a = 2,5 cm von einer Seite angreift.

Bei den gegebenen Exzentrizitäten besteht kein Zweifel, daß die neutrale Schicht im Falle a) außerhalb, im Falle b) innerhalb des Querschnitts liegt (vergl. Aufgabe 29), sodaß im Falle a) die Formeln § 34, a), im Falle b) bei Vernachlässigung der Zugwiderstände des Betons die Formeln des § 34, b) zur Verwendung kommen. Hätten wir dies nicht von vornherein erkannt oder aus der Lage der Kernpunkte geschlossen (Aufgabe 29), und in beiden Fällen zunächst nach § 34, a) gerechnet, so würden wir im zweiten Falle durch die erhaltenen Zugspannungen auf § 34, b) verwiesen worden sein. Querschnitt der Eiseneinlage auf jeder Seite der Achsschicht:

ft..

Schicht

t-'-V

f.

Kmtm/e

4|

fe = 2 • l² 7t = 6,28 qcm .

a) Nach § 34, 14), 15) hat man:

25⁴

Jb+nJe =    + 30 • 6,28 (22 — 12,5)² = 49555 cm⁴,

und damit wegen Nx — P — 5000 kg, Mx = 5000 • 4 = 20000 cmkg nach § 34, 6), 7) die Normalspannungen des Betons und Eisens an beliebigen Stellen pro qcm:

5000 ,20 000

ff* ⁼ lÜ3 ⁺ 49555-* = 6’¹⁵ + °’⁴²’’kg' ae = 15 (6,15 + 0,42 v) = 92,2 + 6,3 v kg .

Diese Gleichungen liefern die Beanspruchungen des Betons: an der Kante zunächst P mit v =    12,5 cm

„    „    „    gegenüber „ v — — 12,5 cm

und die Beanspruchungen des Eisens: für die Einlage zunächst P mit v —    9,5 cm

„    „    „    gegenüber „ v — — 9,5 cm

ab — 6,15 + 0,42 • 12,5 = 12,4 kg , 0-' = 6,15 — 0,42 • 12,5 = 0,9 kg ,

ae = 92,2 + 6,3 • 9,5 = 152 kg , a'g = 92,2 — 6,3 • 9,5 = 32 kg .

b) Für die Entfernung u der neutralen Schicht (Fig. 192) von der nächst P gelegenen Druckkante der Querschnitte haben wir nach § 34, 23):

90    90

«3 — 3 • 2,5 ifl + — 6,28 •20 u — 2^ ⁶>²⁸ (2Ö' 22,5 — 2 • 22 • 3) = 0 ,

«3 — 7,5 u² + 452,16 u — 9733 = 0, u — 16,3 cm .

Die größte Beanspruchung des Betons folgt aus § 34, 24):

oder

woraus

ab =

5000

12,5‘16,3 +

³²’⁶~²⁵ 15.6,28

= 20,2 kg ,

16,3

womit aus § 34, 19), 24) die Beanspruchungen der Eiseneinlagen auf der Druckseite und Zugseite:

= -²²-⁺¹g- ²⁵ 15.20,2 = 247 kg,

ae=~

22 — 16,3

16,3

15*20,2 = — 106 kg .

§ 38. Balken beliebig ungleich widerstehenden Materials. Eisenbetonbalken.

Bezüglich geneigter und schief belasteter Balken bleibt es bei den Beziehungen der §§ 33, 34. Im folgenden setzen wir horizontale Balken mit beliebiger vertikaler Belastung voraus (in den Gleichungen des § 1 Nx = H— 0, Tx—V^). Dann genügt die Ableitung § 33, b).

Nach § 33, 4), 5), 6) hat man für jeden Querschnitt x die Normalspannungen von Querschnittselementen beliebiger Elastizitätsmoduln JE in Entfernungen v von der neutralen Schicht:

EMr

-wtv'

während die neutrale Schicht und E‘ J‘ bestimmt sind durch die Gleichungen:

Je v dF = o,

E'J'=fjEv*dF, worin die Integrale die ganzen wirksamen Querschnitte umfassen (für

die übrigen Querschnittselemente kann E — 0 gelten). In diesen wie in allen folgenden Gleichungen sind wie in §§ 33, 34 drückende a und die v nach oben als positiv anzusehen (Fig. 193).

Für Balken aus Eisen und Beton hat man nach 2 zur Bestimmung der neutralen Schicht, wenn Sb *, Se die statischen Momente des wirksamen Betonquerschnitts und Eisenquerschnitts in Hinsicht der letzteren bedeuten:

Ei Sb -f- Ee Se — 0 Die zweite Gleichung 2 liefert:

oder

Sb + nSe = 0.

¹

   Bach, Versuche mit Eisenbetonbalken, Mitteilungen über Forschungsarbeiten, herausgegeben vom Vereine deutscher Ingenieure, Heft 39, 1907, S. 18, 43; Heft 45—47,1907, S. 16,148; Heft 72—74, 1909, S. 17 und Zusammenstellungen 40, 43. (Einfluß des Wasserzusatzes, Sandes, Mischungsverhältnisses usw.).

²

   Bach, Versuche über den Gleitwiderstand einbetonierten Eisens, Mitteilungen über For

³

schungsarbeiten, Heft 22, 1905, S. 1, 9, 39 usw.

E‘ J Eb Jb -f- Ee Je —- Eb (Jb “j- n Je ) t

unter Jh, Je die Trägheitsmomente des wirksamen Betonquerschnitts und Eisenquerschnitts hinsichtlich der neutralen Schicht verstanden. Mit 4 folgt aus 1 für Betonquerschnittselemente an beliebigen Stellen x, v wegen E = Eh:

Fezdrale

Schicht

oh =

Mx

JE

Jb + nJeV ’

und für Eisenquerschnittselemente an beliebigen Stellen x, v wegen E = E :

Fig. 193.

Oe =

n M

-—— v

Jb + nJe ’

Diese Gleichungen lassen sich leicht unmittelbar verwenden (Beispiele 82, und 85); wir wollen sie jedoch für die wichtigsten Fälle noch spezialisieren, womit zugleich ihre Anwendung erleichtert wird.

Rechteckige Druckzone. Zugwiderstände des Betons vernachlässigt. Der gedrückte Querschnittsteil sei ein Rechteck der Breite b und Höhe d (Fig. 202, 203, 205); Mxa bezeichne den Absolutwert des Biegungsmomentes Mx.

Einfache Armierung (Fig. 194, 195).

d\

T""T

Feu/r.

JIx

i ⁰ Schickt

JJjr/ e\

Neutp    o_Schzch£

fe

Befindet sich nur auf der Zugseite eine Eiseneinlage des Querschnitts fe in Entfernung e von der Druckkante, so lautet die Bedingung 3 für die neutrale Schicht:

b(d

Fig. 194. Mx positiv.

Fig. 195. Mx negativ.

---nfe (e — d) = 0

woraus deren Entfernung von der Druckkante:

"fH + fi+W)-

In 5, 6 hat man:

Jb -j- n Je.= -g—[- n fe (e — d)²

§ 38. Balken beliebig ungleich widerstehenden Materials etc. oder mit Rücksicht auf die letzte Gleichung vor 7:

+    =    = nf.(e-d)(e- fj-

Bei Verwendung von 9 erhalten wir aus 5 die größte Druckspannung des Betons mit v = d (Fig. 194) oder v = — d (Fig. 195):

10

<*b =

und aus 6 die Zugspannung des Eisens mit v

e — d

°e — d n ^=-

bd ab

2 fe ’

11

worin od durch 10 bestimmt. Bei den umfassenden Versuchen von Bach1 mit einfach armierten Eisenbetonbalken hat sich ergeben, daß man hei Berechnung von ab, oe nach 10, 11 mit n = 15 die Beanspruchungen des Betons und besonders des Eisens eher zu ungünstig als zu günstig annimmt, was mit der Vernachlässigung der Zugwiderstände des Betons im Einklang steht.

<%

,@e.

fe

MX/

Nahe.

⁰ Schickt

Nahe. /    ; o Schickt;

-------T-T—----------

fe

l£l

Fig. 196. Mx positiv.

Fig. 197. Mx negativ.

Doppelte Armierung (Fig. 196, 197). Befinden sich auf der Zugseite und Druckseite Eiseneinlagen der Querschnitte fe, fe in Entfernungen e, e‘ von der Druckkante, so lautet die Bedingung 3 für die neutrale Schicht:

bd²

n fe (e — d) -\- n fe\d — e') = 0,

woraus deren Entfernung von der Druckkante:

d =

In 5, 6 haben wir:

n    (- 1 +    + *± ‘Jhr tf.

ife+fef)'

12

Jh -f- n Je = h~ + n fe {e — d)² -f n f' (d — e')2 oder mit Rücksicht auf die letzte Gleichung vor 12:

13

14

Jh -f- nJe = nfe (e — d) (e

¹ Bach, Versuche mit Eisenbetonbalken, Mitteilungen über Forschungsarbeiten, Heft 45—47, 1907, S. 150, 151.

Mit Jb-\- n Je nach 13 oder 14 gilt nach 5 für die größte Druckspannung des Betons wegen v = -f- d (Fig. 196, 197):

°b

Jb-\-nJe

15

wahrend nach 6 die Beanspruchungen der Eiseneinlagen auf der Zugseite und Druckseite mit v — (e — d) und v = + (d — e‘):

, d — e‘

< = ~ir

n ab

n Ob,

16

worin ob durch 15 bestimmt.

Die wichtigen Formeln 7, 10, 11, 12, 16, dem Inhalte nach auch 15, sind auf anderem Wege zuerst von Mörsch¹ abgeleitet worden und in verschiedene Vorschriften betreffend die Berechnung von Eisenbetonkonstruktionen übergegangen.

Rechteckiger Querschnitt. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt.

In manchen Vorschriften ist verlangt, daß unter gewissen Verhältnissen auch der Nachweis genügender Zug widerstände des Betons zu führen sei, wobei für Zug und Druck der gleiche Elastizitätsmodul des Betons zugelassen zu werden pflegt. Die Berücksichtigung dieser Zugwiderstände kann überdies bei Beurteilung von Versuchsergebnissen für die ersten Belastungsstadien erforderlich sein. Es soll

&bd

Jt-

Neuip.

Wzf k Neuir T T i ⁰ i Sckidut

d\

fe

&bx

Fig. 198. Mx positiv.

&bd

Fig. 199. Mx negativ.

deshalb im folgenden darauf eingegangen werden (s. auch § 39 und die Beispiele 83—85, 90—92), wTobei wir den Elastizitätsmodul Eb für Zug und Druck geich setzen. Auf Grund von 1, 2 und § 39, 1), 2), wie schon auf Grund von §§ 33, 36, könnten auch verschiedene Werte berücksichtigt werden.

Der Querschnitt sei ein Rechteck der Breite b und Höhe h. Es bezeichne wieder d den Abstand der neutralen Schicht von der Druckkante und den Absolutwert des Biegungsmomentes Mx. Der Querschnitt gilt nun vollständig als wirksam, so daß die neutrale Schicht mit der Achsschicht übereinstimmt (§ 33), wovon wir jedoch keinen Gebrauch machen.

Einfache Armierung (Fig. 198, 199). Befindet sich nur auf der Zugseite eine Eiseneinlage vom Querschnitt fe in Entfernung e von der Druckkante, so liefert 3 zur Bestimmung der neutralen Schicht:

— n fe (e — d) = 0 ,

woraus deren Entfernung von der Druckkante:

b cP    b (h — d)²

b h-

—2    r nefe ■

bh + n fe

17

S. 83, 85.

§ 88. Balken beliebig ungleich widerstehenden Materials etc.

287

In 5, 6 hat man:

Jb + tiJg —

ds + (h — d) 3 0 -:-

+ nfe (e — d'p,

18

womit aus 5 die größte Druckspannung des Betons wegen v = d (Fig. 198) oder v — — d (Fig. 199):

abd =

Mxa d

19

sowie aus 5, 6 die größte Zugspannung_des Betons wegen v =    (li — d) und

die Zugspannung des Eisens wegen v — -f- (e — d):

h — d

abz = —

abd’

e — d

ae =--^— nabd'

20

Doppelte Armierung (Fig. 200, 201). Befinden sich auf der Zugseite und Druckseite Eiseneinlagen der Querschnitte fe, fe in Entfernungen e, e‘ von der Druckkante, so liefert 3 als Bedingung für die neutrale Schicht:

bd'* b(h — d)2

— nfe(e — d) + n f' (d — e‘) = 0 ,

woraus deren Entfernung von der Druckkante:

blfi

2 +n{efe + e‘ f'e)

In 5, 6 hat man:

bh + n (fe + f'g)

21

Jb + nJe —

, d^ + (h — d)3 b -:-

+ nfe(e — d)² + n f' (d — e‘)²,

22

\d

MJ

Nentr.

_± i £_; SduzkC

' "Vl°

M\ *= i

~Neote.

j

e i Schic/ü

■%=

te

j lg

^bd

Fig. 200. 3/^; positiv.

Fig. 201. 3fa- negativ.

womit aus 5 die größte ^Druckspannung und größte Zugspannung des Betons wegen v = + d und v = + (h — d) (Fig. 200, 201)

abd =

3/j.nd

h — d

Hz —--^— Hd

23

und aus 6 die Beanspruchungen der Eiseneinlagen auf der Zugseite und Druckseite wegen v — + (e — d) und v — + (d — e‘):

e — d

°e⁼ d~

Selbstverständlich führen die Gleichungen 21—24 für f‘e— 0 wieder auf 17—20. Wären zwei Eiseneinlagen gleicher Querschnitte und in gleichen Entfernungen von den Breitekanten angeordnet, was jedoch bei Balken nicht leicht vorkommt, so hätte man nach 21, 22:

a = A

nabd>

— e‘

nabd .

24

b Ji³    (    \

Jb + nJe =    --h 2 « fe(e— J

Bei Berücksichtigung des betonfreien Teils der Querschnitte beim Ansätze von Sb, Jh würden in 12—14 (n — 1) fe an Stelle von nfe und in 17, 18, 21, 22, 25 überall n — 1 an Stelle von n zu setzen sein.

25

Beispiel 77. Einfach armierter rechteckiger Balken.

Eine als frei aufliegend angenommene Deckenplatte von l = 3 m Spannweite und h = 20 cm Höhe enthalte auf b = 100 cm Breite zwölf Eundeisen von 1,2 cm Stärke in e = 18 cm Entfernung von der Oberkante. Die Lage der neutralen Schicht und die Normalspannungen ab, ae des Betons und Eisens zu berechnen, wenn die Belastung pro Quadratmeter 1600 kg beträgt und n — 15 gesetzt wird (Fig. 194).

Querschnitt der Eiseneinlage auf b — 100 cm Breite:

fe = 12• 3,1416• 0,6² = 13,57 qcm,

Entfernung der neutralen Schicht von der Oberkante nach §38, 7):

15 • 13,57

200 • 18

100

15 • 13,57

= 6,28 cm .

Da nun für jene Breite bei einer Belastung von q = 1600 kg pro m oder q — 16 kg pro cm Träger das größte Biegungsmoment (in der Trägermitte):

= 180000 cmkg,

Mx = -V-

16-900²

so folgen aus § 38, 10), 11) die größten Beanspruchungen pro qcm des Betons und Eisens:

ab =

2-180000

18 —

f)

100 • 6,28

= 36,0 kg

(Druck),

11,72

6,28

15 • 36,0 = — 1008 kg

(Zug) .

Bezüglich der Längs- und Querschubspannungen sowie der Gleitspannungen siehe Beispiel 86. Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons in den Beispielen 83 und 90.

Beispiel 78. Einfach armierter Plattenbalken. Neutrale Schicht durch

die Platte.

Bei einem Eisenbetonbalken vom Querschnitt Fig. 202 kommen auf die Breite b = 216 cm der Druckzone Eisenstäbe vom Gesamtquerschnitt fe = 56,94 qcm

* Schielt I * d

in Entfernung e = 61 cm von der äußersten Druckfaser. Das größte Biegungsmoment beträgt M₇ — 2721000 cmkg. Die Lage der neutralen Schicht und die Normalspannungen ab, ae des Betons und Eisens zu berechnen, wenn n = 10 gesetzt wird (Fig. 194).

Fig. 202.

Die Entfernung der neutralen Schicht von der äußersten Druckfaser ist nach § 38, 7):

569,4

216

(■

2•216 • 61

569,4

= 15,49 cm .

Damit erhalten w⁷ir aus § 38, 10, 11 die größten Beanspruchungen pro qcm des Betons und Eisens:

ab =

2 721000

(“

r)

29,1 kg,

216-15,49

ae = -

2 721000

(⁶‘

¥*■)

56,94

= — 856 kg .

Mit n — 15 hätten wir erhalten: d = 18,36 cm. Die neutrale Schicht ginge dann durch den Steg, die Druckzone wäre nicht mehr rechteckig und die Berechnung entsprechend Beispiel 82 durchzuführen. Bezüglich der Längs- und Querschubspannungen, sowie der Gleitspannungen siehe Beispiel 87.

Beispiel 79. Doppelt armierter rechteckiger Balken.

Ein Eisenbetonbalken rechteckigen Querschnitts (Fig. 203) von b = 20 cm Breite und h = 36 cm Höhe enthalte in e = 33 cm Abstand von der Druckkante 4 Rundeisen von 1,2 cm Durchmesser und fe = 4,52 qcm

3 cm Abstand von der Druck-

Gesamtquerschnitt, in e‘ kante 3 Rundeisen von 0,8 cm Durchmesser und f'e — 1,51 qcm Gesamtquerschnitt. Das größte Biegungsmoment beträgt Mx = 120000 cmkg (Fig. 196). Die Lage der neutralen Schicht und die Normalspannungen ab, ae des Betons und Eisens für den Fall zu berechnen, daß n — 15 gesetzt wird.

e'tt

Feuimfe

Schicht

fe

Die Entfernung der neutralen Schicht von der äußersten Druckfaser ist nach § 38, 12):

Fig. 203.

... « ^52 + 1,51 ( „ , j/, , 40 33-4,52 + 3-1,51 d 15    20    V 1 + 1 1 + 15    (4,52 + 1,51)»

Damit folgen aus § 38, 15) mit 14) die größte Beanspruchung pro qcm des Betons:

11,32

°&= ——

= 11,32 cm .

120 000

15    /

4,52-21,68 I 33

11,32

+ 1,51-8,32

11,32

= 31,5 kg ,

und aus § 38, 16 die Beanspruchungen pro qcm des Eisens der Zugeinlage und Druckeinlage:

21,68

11,32

15 • 31,5 — — 905 kg ,

er' =

8,32

15-31,5 =    347 kg.

11,32

In Beispiel 4 der preußischen Bestimmungen sind unter Berücksichtigung des betonfreien Teils beim Ansätze von Sb, Jb für den vorliegenden Fall ermittelt: d = 11,35 cm, crb = 31,7 kg, ae=— 908 kg, o'e = 350 kg. Bezüglich der Längs- und Querschubspannungen t sowie der Gleitspannungen siehe Beispiel 88. Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons in den Beispielen 84 und 91.

Beispiel 80. Doppelt armierter rechteckiger Balken. Wechsel von Druck und Zug (positive und negative Biegungsmomente, Fig. 196, 197).

In den die Träger einer Brückenfahrbahn kontinuierlich verbindenden Betonplatten von 2,16 m Spannweite und 18 cm Höhe (Fig. 204) kommen auf die Breite von 1 m im mittleren Querschnitt 6 Rundeisen von 1,2 cm und 6 Rundeisen von 1 cm Stärke 2 cm von der Unterkante und 6 Rundeisen von 0,7 cm Stärke 2 cm von der Oberkante. Die Grenzwerte des Biegungsmoments im Querschnitt sind zu 103 000 cmkg und — 76 000 cmkg ermittelt. Die größten Druckspannungen des Betons in Oberkante und Unterkante und die Grenz-

216 cm,

Spannungen der beiden Eiseneinlagen zu berechnen,

wenn n — 10 gesetzt wird.    *—*

•18071

LT

Querschnitt der unteren Eiseneinlage

Fig. 204. (1,2² + l²) = 11,50 qcm ,

6 7t

— °’⁷²

6 71

Querschnitt der oberen Eiseneinlage beide gültig für die Breite b — 100 cm.

Für das positive Grenzmoment Mx = 103000 cmkg liegt die Druckzone oben (Fig. 196), so daß fe — 11,50 qcm, e = 16 cm, f'e = 2,31 qcm, e‘ — 2 cm und damit nach § 38, 12) die Entfernung der neutralen Schicht von der Oberkante:

,    _ 11,50 + 2,31

d = 10 ----

16-11,50 + 2-2,31

= 2,31 qcm ,

= 4,91 cm .

Weiter folgen nach § 38, 15), 16) mit 13) pro qcm die Beanspruchungen des Betons und Eisens:

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

(11,50 + 2,31)²

ab =

100

103 000-4,91

— 4,913 + 115 • 11,09² + 23,1 • 2,912 276 = — 623 kg

= 27,6 kg an der Oberkante,

11.09

4,91

unten

2,91

oben.

164 kg

Für das negative Grenzmoment Mx = — 26000 cmkg liegt die Druckzone unten (Fig. 197), so daß fe = 2,81 qcm, e = 16 cm, fe = 11,50 qcm, e' = 2 cm und hiermit nach § 38, 12) die Entfernung der neutralen Schicht von der Unterkante:

ff' ⁼

4,91

276 =

d ---

“S££a!L(-‘+v

1 + Uö“

200    16-2,31 + 2-11,50

(2,31 + 11,50)³

= 2,35 cm .

Weiter ergeben sich nach § 88, 15), 16) mit 13) pro qcm die Beanspruchungen des Betons und Eisens:

ab =

26 000 • 2,35

100

= 12,9 kg an der Unterkante

-j- 2,35³ + 23,1 • 13,653    ₁₁₅.₀,35²

13,65

2,35

129 = — 749 kg

oben

0,35

unten.

129 —    19 kg

Die größte Beanspruchung des Betons ist also an der Oberkante 27,6 kg, an der Unterkante 12,9 kg pro qcm. Die Beanspruchung der unteren Eiseneinlage schwankt zwischen 623 kg Zug und 19 kg Druck pro qcm, die der oberen Eiseneinlage zwischen 749 kg Zug und 164 kg Druck pro qcm.

2,35

Aufgabe 30 und Beispiel 81. Querschnittsbemessung einfach armierter rechteckiger Balken.

Für einen einfach armierten Balken rechteckigen Querschnitts der Breite b sollen der Querschnitt fe der Eiseneinlage und die Entfernung e letzterer von der äußersten Druckfaser berechnet werden (Fig. 194, 195), wenn das Biegungsmoment vom Absolutwert M zulässigen Beanspruchungen pro qcm des Betons auf Druck ah und des Eisens auf Zug aea gegeben sind (durch Addition von 1,5 bis 2,5 cm zu e erhält man die nötige Balkenhöhe).

Ha/trale Schicht

fe

Fig. 205.

xa

und die

Mit ae — — aea liefert der erste Ausdruck § 38, 11) die Entfernung der neutralen Schicht von der äußersten Druckfaser:

en Oh

ae a "b n ab

b e n fffc²

2 oea    2 aea (oea -j- n o^)

woraus mit fe nach dem zweiten Ausdruck § 38, 11):

damit der dritte Ausdruck:

b d ff/,

^_Opa n °b l/

°b \

6 xn

b 11 (3 oea -\- 2 ff/,)

ab = 45 kg:

Diese Gleichungen ergeben beispielsweise für n = 15, aea = 1100 kg,

1100 + 15-45

45

6-15 (3-1100 + 2-45)

= 0,366

-i /_Mxa_

\ ’

e-15-45

1100 + 15-45

fe =

6- 0,380 e-45

und in gleicher Weise:

2•1100

= 0,380 e ,

= 0,002 84 |/b Mx n

für n = 15 und

°b

kg/qcm

°e a kg/qcm

fe

cm

cm

30

800

0,459

0,360 e

35

900

0,420

■*/ a

\ b

0,368 e

40

1000

0,390 j/—^

0,375 e

45

1100

0,366

■t j    Mxa

\ b

0,380 e

qcm

0,00309 |/bMxa 0,003 02 y'bMxa 0,002 93 y b Mx a 0,00284 yjb Mx a

0,002 77 \bMxa

worin b in cm, Mxa für die Breite b in cmkg einzusetzen. Eine größere Tabelle solcher Ausdrücke enthalten die Bestimmungen des Preußischen Arbeitsministeriums von 1907 unter III. Selbstverständlich kann man nach Ermittelung von e, d den Eisenquerschnitt fe auch aus dem ersten Ausdruck 2 oder aus § 38,11) mit <Je — — <Jea erhalten.

Es handle sich beispielsweise um eine frei aufliegende Decke, für welche auf b — 100 cm Breite ein Biegungsmoment Mx = 144400 cmkg kommt, während n — 15 Qb — 35 kg, aea — 900 kg gewählt sind. Dann erhalten wir:

50

1200

0,385 e

e — 0,0420 y'144 400 = 15,96 cm , d = 0,368 • 15,96 = 5,87 cm , fe — 0,0302 |/144400 = 11,4 qcm,

587-35

——-— = 11,4 qcm .

2-900    ¹

Wir geben der Decke eine Stärke von 18 cm und legen auf je 1 m Breite 12 Rundeisen von 1,1 cm Durchmesser ein, womit /‘e= 12 • 3,1416 • 0,55= 11,4 qcm.

oder nach 2:

fe =

Beispiel 82. Einfach armierter Plattenbalken. Neutrale Schicht durch

den Steg.

Ein frei aufliegender Plattenbalken von l = 7,5 m Spannweite und dem in Fig. 206 angedeuteten Querschnitt mit /< = 50 cm, n = 30 cm, b = 150 cm und c — 10 cm enthalte in Entfernung e = 47 cm von der Oberkante 5 Rundeisen von 2,5 cm Stärke. Die neutrale Schicht und die Normalspannungen des Betons und Eisens zu berechnen, wenn die Belastung pro m Spannweite q = 1300 kg beträgt und n — 15 gesetzt wird (Fig. 194).

Die Bedingung § 38, 3 liefert zur Bestimmung der Entfernung d der neutralen Schicht von der Oberkante:

<■

eil

Fadrale

k

Schickt

<'7z>

Fig. 206.

b cP (b — a) (d — c)²

-nfe(e-d) = 0

oder

a d² [2 c (b — a) + 2 n fe] — (b — a) c² — 2 e n fe = 0 .

Hierin gelten im vorliegenden Falle

fe = 5 • 3,1416 • 1.25² = 24,54 qcm

und die oben gegebenen Zahlen, so daß wir erhalten:

30 (7² + (20 • 120 + 30 • 24,54) d — 120 • 100 — 2 • 47 • 15 • 24,54 = 0 , d — 13,19 m .

Weiter haben wir:

Jb + n.Te =

r <    7    bd3

Jb + n Je — ~ip

150-13,19²    120-3,193

(b — a) (d — c)³

+ n fe (e ~~    >

+ 15 • 24,54 • 33,81² = 534320 cm* .

Da nun das größte Biegungsmoment (in der Trägermitte):

q Z² 13 • 750²

= 914062 cmkg ,

so ergibt § 38, 5) die Normalspannung pro qcm des Betons mit v — d:

ab =

914 062

534220

13,19 = 22,6 kg ,

und § 38, 6) die Normalspannung pro qcm des Eisens mit v — — (e — d):

914 062

15 • 33,81 = — 868 kg .

= -

Bezüglich der Längs- und Querschubspannungen t und der Gleitspannungen siehe Beispiel 89. Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons in den Beispielen 85 und 92.

534 220

Beispiel 83. Einfach armierter rechteckiger Balken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt.

Die in Beispiel 77 verlangte Berechnung für den Fall durchzuführen, daß Zugwiderstände des Betons berücksichtigt werden sollen (Fig. 198).

Entfernung der neutralen Schicht von der Oberkante nach § 38, 17:

50 • 20³ + 15-18-13,57

Da nun nach § 38, 18):

100 • 20 + 15 • 13,57

= 10,74 m .

1(10

Jb + n Je = —— (10,743 _|_ 9,263) 4- 15.13,57.7,26² = 78 490 cm¹,

so folgen aus § 38, 19), 20) die größten Beanspruchungen pro qcm des Betons und Eisens:

abd —

180000* 10,74

78490

= 24,9 kg ,

9,26

24,9 = — 21,5 kg ,

ae = -

7,26

— 15 • 24,9 = — 252 kg .

10,74

Bezüglich der Längs- und Querschubspannungen siehe Beispiel 90. In Beispiel 77 ergaben sich ohne Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons d = 6,28 cm, Oha = 36,0 kg, ae = — 1008 kg.

Eine Zugbeanspruchung des Betons von 21,5 kg pro qcm wäre z. B. nach §§ 15, 16 der Bestimmungen des Preußischen Arbeitsministeriums von 1907 nur zulässig, wenn die durch Versuche nachgewiesene Zugfestigkeit 21,5 • 1,5 = 32,2 kg oder die Druckfestigkeit 21,5-10 = 215 kg betrüge. Wenn also nach § 15 jener Bestimmungen „bei Bauten oder Bauteilen, die der Witterung, der Nässe, den Rauchgasen und ähnlichen schädlichen Einflüssen ausgesetzt sind“, die Zugwiderstände des Betons berücksichtigt werden sollen, so wird hierdurch die Anwendung des Eisenbetons für solche Fälle bedeutend erschwert.

10,74

Beispiel 84. Doppelt armierter rechteckiger Balken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt.

Die in Beispiel 79 verlangte Berechnung für den Fall durchzuführen, daß Zugwiderstände des Betons berücksichtigt werden sollen (Fig. 200).

Entfernung der neutralen Schicht von der Oberkante nach § 38, 21):

= 18,84 cm .

10 • 36² + 15 (33•4,52 + 3 • 1,51)

20 -36 + 15 (4,52 + 1,51)

Da nun nach § 38, 22):

20

Jb-\-nJe — ~ (18,843 + 17,163) + 15 • 4,52 • 14,16² + 15 • 1,51 • 15,84² = 98 622 cm* ,

so ergeben sich aus § 38, 23), 24) pro qcm die größte Zugbeanspruchung und Druckbeanspruchung des Betons:

120000-18,84

1746

18,81

= 22,9 kg ,

22,9 = — 20,7 kg ,

abz = —

abd =

und die Beanspruchungen des Eisens der Zugeinlage und Druckeinlage:

14,16 ;

18,81

Bezüglich der Längs- und Querschubspannungen siehe Beispiel 91. In Beispiel 79 ergaben sich ohne Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons d = 11,32 cm, abd = 31,5 kg, <Je = — 905 kg, a'e — 347 kg.

98 622

ae =

15 • 22,9 = — 258 kg ,

a'e =

15,84

18,84

15-22,9 = 289 kg .

Beispiel 85. Einfach armierter Plattenbalken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt.

Die in Beispiel 82 verlangte Berechnung für den Fall durchzuführen, daß die Zugwiderstände des Betons berücksichtigt werden sollen (Fig. 198).

Wenn die neutrale Schicht durch den Steg geht (den anderen Fall s. unten), so liefert § 38, 3) auf Grund von Fig. 206 als Bedingung für die Entfernung der neutralen Schicht von der Oberkante:

b d² (b — a) (d — c)² a (h — d)²

- n fe (e — d) = 0 ,

woraus

woneben unmittelbar: •

1 (b — ci) c² -f- a h² -f- 2 e n f* (b — a) c -f- a h + n fe

Zahlen:

Jb -|- n Je = — [6 d³ — (6 — a) (d — c)³ + a (li — d)³\ + n fe (e — d)² .

Im vorliegenden Falle ergeben sich mit den aus Beispiel 82 bekannten

60 -10² + 15 - 50-¹ + 47 • 15 • 24,54

= 19,82 cm ,

Jb + 11 Je — y [150 • 19,823 — 120 • 9,823    ₃₀.30,18³J + 15 • 24,54 • 27,18² = 848 321 cm⁴ .

Da nun das größte Biegungsmoment Mx = 914062 cmkg, so folgen aus § 38. 5), 6) mit

120 • 10 + 30 • 50 + 15 • 24,54

914062

848321

— = 1,0775

+ n Je

pro qcm die größte Druckspannung und Zugspannung des Betons: bei v = d

„ v — cl — h — — 30,18 „ und die größte Normalspannung des Eisens: bei v — d — e — — 27,18 m

Bezüglich der horizontalen und vertikalen Schubspannungen siehe Beispiel 92. In Beispiel 82 ergaben sich ohne Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons d — 13,19 cm, ohd = 22,6 kg, oe— — 868 kg. Vergl. Bemerkung zu Beispiel 83.

19.82 cm

1,0775-19,82 =    21,3 kg,

abd —

ahz = — 1,0775-30,18 = -- 32,5 „ ,

ae = — 1,0775 • 15 • 27,18 = — 439 kg .

Bemerkungen. Bei Ableitung von 1, 2 wurde zunächst vorausgesetzt, daß die neutrale Schicht durch den Steg gehe, wie dies bei Berücksichtigung der Zugspannungen des Betons gewöhnlich der Fall ist. Ginge die neutrale Schicht durch die Platte, so erhielte man auf Grund von Fig. 202:

(b — a) (c — d)²

bd²

a (h — d)²

- n fe(e - d) = 0 ,

Jb + nJe = j [b d³ + {b — «) 0 -d)³ + a (h - d)3] + n fe (e - d)² ,

wonach die Gleichungen 1, 2 gültig bleiben. Für a — b oder c selben natürlich quf die für rechteckige Querschnitte abgeleiteten Formeln § 38, 17), 18).

h führen die-

¹

Wayß und Frey tag, Der Betoneiseubau, seine Anwendung und Theorie, Stuttgart 1902,

§ 39. Schubspannungen und Gleitspannungen von Balken beliebig ungleich widerstehenden Materials und von Eisenbetonbalken.

Bezüglich geneigter und schief belasteter Balken bleibt es bei den Beziehungen des § 36. Im folgenden setzen wir wie in § 38 horizontale Balkenträger mit beliebiger vertikaler Belastung voraus, womit in allen Querschnitten die Transversalkraft gleich der Vertikalkraft, Tx = Vx, und in den Gleichungen des § 1 Nv = II = 0 sind.

Bei horizontalen Balken beliebig ungleich widerstehenden Materials ist nach § 36, 2) die horizontale und vertikale Schubspannung beim Querschnitt x in Entfernung v von der neutralen Schicht (positiv nach oben), wo b die Trägerbreite:

b E' J'

und hierin, wenn v = r dem obersten Querschnittselement entspricht, nach § 36, 1), 3):

Zv = / EvdF

E‘ Jl= / Ev²dF.

Das erste Intregal ist auf den wirksamen Querschnittsteil von v bis r, das zweite auf den ganzen wirksamen Querschnitt zu erstrecken. Wie bei Trägern gleich widerstehenden Materials (§ 9) ist nach 1 x am größten in der neutralen Schicht, wo v = 0, am kleinsten in der obersten und untersten Faser: x = 0. Sodann nimmt x vom Punkte Vx = 0 aus mit wachsendem Vx, das heißt nach den Stützen hin zu, so daß in praktischen Fällen sein größter Wert stets bei einer Stütze in der neutralen Schicht eintritt. Das in § 9 bezüglich der schiefen Spannungen N, S Gesagte bleibt bestehen.

Für Eisenbetonbalken hat man nach 2:

E‘ J‘ — Eb {Jb -j- n Je),

Zv = E^ (Svi —j— n Sve),

unter Svb, Sve die Absolutwerte der statischen Momente des wirksamen Betonquerschnittsteils und Eisenquerschnittsteils von v bis zum obersten oder untersten Querschnittselement in Hinsicht der neutralen Schicht verstanden (vergl. S. 276), während Jh, Je wie im vorigen Paragraphen die Trägheitsmomente des ganzen wirksamen Betonquerschnitts und Eisenquerschnitts hinsichtlich dieser Schicht bedeuten. Damit liefert 1 die horizontale und vertikale Schubspannung an beliebiger Stelle x, v:

Vx

x =

Wenn bei einfacher oder doppelter Armierung die Zugwiderstände des Betons unberücksichtigt bleiben, so hat man von der neutralen Schicht bis zur Eiseneinlage vom Querschnitt fe auf der Zugseite in Entfernung e von der äußersten Druckfaser: Svb — 0, Sve = fe (e — d), worin d die

Höhe der Druckzone bedeutet (Fig. 194—197). Damit liefert 4 für diese ge-Avöhnliche Vernachlässigung die Schubspannungen von der neutralen Schicht bis zur Zugeinlage:

11 fe (e — d) Vx

Jb —f" VI Je

Bezüglich der längs der Eiseneinlagen wirkenden Gleitspannungen (vielfach Haftspannungen genannt) kann auf § 36, S. 277, 278 verwiesen werden.

Die vorstehenden Gleichungen sind leicht unmittelbar zu verwenden (Beispiele 89, 92). Wir wollen sie jedoch wie die entsprechenden des vorigen Paragraphen für zwei einfache Fälle spezialisieren, wobei von den dortigen Bezeichnungen Gebrauch gemacht wird.

Rechteckige Druckzone. Zugwiderstände des Betons vernachlässigt. Bei einfacher Armierung (vom Querschnitt fe auf der Zugseite in Entfernung e von der Druckkante, Fig. 194, 195) gelten vorstehende Gleichungen mit § 38, 7), 8), 9). Insbesondere folgt aus 5 für die größte Schubspannung t, welche von der neutralen Schicht bis zur Eiseneinlage wirkt:

%b

V*

e--—

worin d durch § 38, 7) bestimmt. Diese Gleichung ist bekanntlich in den Bestimmungen des Preußischen Arbeitsministeriums von 1907 und andere Vorschriften betreffend Berechnung von Eisenbetonkonstruktionen angewandt.

Bei doppelter Armierung (Einlagen auf der Zugseite und Druckseite von Querschnitten fe, f‘e in Entfernungen e, e‘ von der Druckkante, Fig. 196, 197) bestehen obige Gleichungen mit § 38, 12), 13), 14). Wir erhalten aus 5 für die größte Schubspannung t, welche Avieder von der neutralen Schicht bis zur Eiseneinlage auf der Zugseite wirkt:

fe d -

fe

'S CO

Bei der Eiseneinlage auf der Druckseite gilt 4 mit

Hd — e‘f

Syl) I fl $ve

n fe (e — d) — wonach daselbst auch gesetzt werden kann:

e‘

unter t₀ hier den durch 7 ausgedrückten Wert in der neutralen Schicht verstanden. In 7, 8 ist d durch § 38, 12) bestimmt.

Rechteckiger Querschnitt. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt.

Bei einfacher Armierung (vom Querschnitt fe auf der Zugseite in Entfernung e von der Druckkante, Fig. 198, 199) gilt Gleichung 4 mit § 88, 17) 18). Wir haben weiter darin insbesondere für die neutrale Schicht:

„    & cP

b d- n e 2    ’

und in der Höhe der Eiseneinlage:

b “b n e ip

womit die horizontalen und vertikalen Schubspannungen: in der neutralen Schicht

b d² h (e — d)²

~be (d ~t) ’

Vx

Jb + n Je ² ’ e(2d-e) Vx '

Jb~\- n Je 2

Hierin sind d, Jb -f- nJe durch § 38, 17) 18) bestimmt, aber bei Berechnung der Schubspannungen gewöhnlich schon bekannt, so daß gleich ihre Zahlenwerte eingesetzt werden können.

Bei doppelter Armierung (Einlagen auf der Zugseite und Druckseite von Querschnitten fe, f'„ in Entfernungen e, e‘ von der Druckkante, Fig. 200, 201), gilt Gleichung 4 mit § 38, 21) 22). Wir haben darin beispielsweise für die neutrale Schicht:

bei der Eiseneinlage

10

b (P

Sv b ~b n e 2 n fe (A G ) j

in der Höhe der Eiseneinlage auf der Zugseite:

b ~f" n e

und in der Höhe der Eiseneinlage auf der Druckseite:

+ n f‘e (d — e‘) ,

= be

+ n f‘e (d — <?')

Svb + nSve=be‘

(-4)

womit die horizontalen und vertikalen Schubspannungen: in der neutralen Schicht

b d² + 2n fl (d — e‘) Vx

Jb + n Je

2b ’

11

bei der Zugeinlage

b e (2 d — e) + 2 n f‘e (d — e‘) Vx

Jb + n Je

bei der Druckeinlage

b e‘ (2 d — <?') + 2 n fl (d — e‘) Vx

Jb n Je

CM    CO

rH    t—I

worin d, Jb -\~ nJe durch § 38, 21) 22) bestimmt.

Für fe — 0 führen die Formeln 11, 12 natürlich wieder auf 9, 10. Wären zwei Eiseneinlagen gleicher Querschnitte in gleichen Entfernungen von den beiden Breitekanten angeordnet, was jedoch bei Balken nicht leicht vorkommt, so erhielte man aus 11—13 mit fe — fe, e‘ — h — e, h = 2 d:

in der neutralen Schicht

b h² + 4 n fe (2 e — h) Vx

Jb + n Je

b e (h — e) n fe (2e — h) Vx

Jb + n Je

bei den zwei Eiseneinlagen worin Jb-\- nJ durch § 38, 25) bestimmt.

Abbiegen von Einlagestäben. Da die Schubspannungen % bei konstantem Trägerquerschnitt (nach Fläche und Material) gegen die Enden der Öffnungen hin zunehmen, so sind zu große % am ehesten in der Nähe der Stützen zu erwarten. Zu ihrer Verringerung können besondere Eiseneinlagen verwendet oder vorhandene Einlagestäbe in geeigneter Weise abgebogen werden. Bei gewöhnlichen einfachen Balken (mit beiderseits frei drehbaren Enden) nehmen die Biegungsmomente gegen die Auflager hin ab, so daß parallel der Stabachse bleibende Eisenstäbe auf der Zugseite nur um die Mitte der Öffnung ihre größten Beanspruchungen erreichen. Es pflegen daher diese Stäbe teilweise nach der Druckseite hin abgebogen und erst dort verankert zu werden (Fig. 207). Nach den Ausdrücken

a = 45°,

§ 9, 11), 12) für die schiefen Zugspannungen N hat man für diese in der neutralen Schicht wegen <7 = 0 den Absolutwerten nach:

tg 2 a = oo ,

N=x,

sie sind dort gleich den Längs- und Querschubspannungen x und um 45° gegen die neutrale Schicht geneigt. Bei Vernachlässigung der horizontalen Zugwiderstände des Betons gilt dies bis zu den Eisenstäben auf der Zugseite. Die Abbiegung erfolgt deshalb meist genau oder annähernd unter 45°. Den Beginn des Abbiegens und die Beanspruchungen der abgebogenen Stäbe berechnen manche (z. B. die preußischen Bestimmungen von 1907 in Beispiel 6) aus der Bedingung, daß die Längsund Querschubspannung x nicht über die vorgeschriebene Grenze hinausgehen soll, andere (z. B. das S. 257 zitierte Werk von Mörsch S. 148,169) aus der Bedingung, daß die schiefe Zugspannung N = x ganz von jenen Stäben aufgenommen werden soll, wenn sie über eine für Beton festgesetzte Grenze hinausgeht. Das Vorgehen ist am einfachsten an Beispielen zu zeigen (Beispiel 89). Da keine Berechnungsweise theoretisch vollständig befriedigt, so ist die Feststellung um so wichtiger, daß bei den Versuchen von Mörsch und Bach die Tragfähigkeit der Balken durch das Aufbiegen der Eisen erheblich erhöht wurde.

Fig. 208.

Fig. 207.

Als vorteilhaft haben sich auch die Bügel erwiesen, welche die Einlageeisen umfassen und festhalten (Fig. 208). Sie bestehen aus Flacheisen oder Rundeisen von geringer Stärke, sind meist vertikal, oft auch schief (annähernd in den Richtungen der größten Zugspannungen in der neutralen Schicht) und durch Draht mit den Einlagestäben verbunden. Sie können einen Teil der schiefen Spannungen wie der Längs- und Querschubspannungen aufnehmen und überhaupt zur Wirksamkeit des Trägers als Ganzes beitragen. Versuche von Bach ergaben zwar die ersten Risse für Balken mit Bügeln bei geringeren Belastungen als für Balken ohne Bügel, und sie entstanden fast immer an Stellen, wo Bügel einbetoniert waren. Der Gleitwiderstand und die Höchstlast jedoch wurden durch die Bügel bedeutend vergrößert.

Die Enden der Einlagestäbe werden zur Erhöhung der Widerstandsfähigkeit mit Haken versehen. Früher geschah dies einfach durch rechtwinkliges Umbiegen. Bei Versuchen von Bach wurde der Beginn des Gleitens durch solche rechtwinklige Haken nicht erheblich verzögert. Nach Überwindung des Gleitwiderstandes aber verhinderten die Haken das völlige Nachgeben des Balkens solange, bis mit steigender Belastung

die Haken sich aufbogen und eventuell den entgegenwirkenden Beton absprengten. Neuerdings bat Considere Haken nach einem Halbkreis geformt (Fig. 209), die sieb bei seinen Versuchen bewährt und seither Eingang gefunden haben.

Fig. 209.

Beispiel 86. Einfach armierter rechteckiger Balken.

Für die in Beispiel 77 behandelte Deckenplatte die größte horizontale und vertikale Schubspannung x sowie die größte Gleitspannung xx zu berechnen, wenn sämtliche Eisenstäbe bis zu den Auflagern horizontal bleiben.

Die größte Vertikalkraft tritt bei den Auflagern ein und hat den Wert:

16 • 300

ql

= 2400 kg .

F- = 1r

Damit liefert § 39, 6) die horizontale und vertikale Schubspannung pro qcm von der neutralen Schicht bis zur Eiseneinlage:

2400

6,28

= 3,51 kg ,

und § 36, 13 die Gleitspannung pro qcm:

1,51 • 100

= 3,34 kg .

Beide liegen unter den zulässigen Werten. Schubspannungen r bei Berücksichtigung der Zugwiderstände a des Betons s. Beispiel 90.

12 -3,1416 -1,2

Beispiel 87. Einfach armierter Plattenbalken. Neutrale Schicht durch

die Platte.

Für den in Beispiel 78 behandelten Plattenbalken die größte Längs- und Querschubspannung x sowie die größte Gleitspannung x₁ pro qcm zu berechnen, wenn sämtliche Eisenstäbe vom Umfang U = 59,69 cm bis zu den Auflagern horizontal bleiben und die Vertikalkraft daselbst Vx = V — 19800 kg beträgt. Wir erhalten nach § 39, 6) die Längs- und Querschubspannung:

19800

216 61 —

15,49

= 1,64 kg

und nach § 36, 13) die Gleitspannung:

1,64-216

= 5,93 kg .

Wenn diese Gleitspannung zu groß wäre (die Bestimmungen des Preußischen Arbeitsministeriums von 1907 beispielsweise lassen Schubspannungen bis x = 4,5 kg-oder Vs der nachgewiesenen Schubfestigkeit und keine größere Gleitspannung xx als die zulässige Schubspannung zu), so könnte entsprechend Beispiel 89 verfahren werden. Obige Werte haben wir mit n — 10 erhalten, mit n — 15 hätten sich ergeben x = 1,67 kg, xx = 6,04 kg. Schubspannungen x bei Berücksichtigung der Zugwiderstände o- des Betons s. Beispiel 92.

Beispiel 88. Doppelt armierter rechteckiger Balken.

Für den in Beispiel 79 behandelten Balken die horizontalen und vertikalen Schubspannungen r, sowie die Gleitspannungen xx pro qcm zu berechnen, wenn sämtliche Eisenstäbe bis zu den Auflagern horizontal bleiben und die Vertikalkraft daselbst Vx — V — 1200 kg ermittelt ist.

Nach § 39, 7) haben wir die horizontale und vertikale Schubspannung von der neutralen Schicht bis zur Eiseneinlage:

59,69

1200

3₃-iMi +

3    ¹

1,51    8,32

4,52 21,68

³)

= 2,05 kg ,

und nach § 36, 13) die Gleitspannung:

2,05 • 20

4 *3,1416 -1,2

= 2,72 kg .

Bei der Eiseneinlage auf der Druckseite ist die Schubspannung nach § 38, 8:

2,05 = 1,08 kg .

20-8,32 2 30 • 4,52 • 21,68

Bezüglich der Gleitspannung daselbst siehe S. 277. Schubspannungen z bei Berücksichtigung der Zugwiderstände ct des Betons s. Beispiel 91.

Beispiel 89. Einfach armierter Plattenbalken. Neutrale Schicht durch den Steg. Abbiegen von Einlagestäben.

Für den Plattenbalken des Beispiels 82 die größte horizontale und vertikale Schubspannung r, die größte Gleitspannung rx, sowie eventuell die Beanspruchungen abzubiegender Eisenstäbe zu berechnen.

Der angenommene Plattenbalken von l — 7,5 m Spannweite und den Querschnittsdimensionen h = 50 cm, a = 30 cm, b = 150 cm, c = 10 cm (Fig. 206) enthält in e — 47 cm Entfernung von der Oberkante 5 Rundeisen der Stärke 1,2 cm von zusammen fe = 24,54 qcm Querschnitt, wobei sich mit dem gewählten n = 15 der Abstand der neutralen Schicht von der Oberkante cl — 13,19 cm und Jb-\-nJe = 534220 cm⁴ ergaben. Wir erhalten nun, soweit alle Eisen horizontal bleiben, nach § 39, 5) die horizontale und vertikale Schubspannung pro qcm von der neutralen Schicht bis zur Eiseneinlage:

15»24,54 • 33,81 Vx

Fr

534220

30

1287,5 *

Die größte Yertikalkraft, welche bei den Auflagern eintritt, beträgt im vor-

13•750

liegenden Falle:

ql

rx=v=~

womit nach a die Schubspannung:

= 4875 kg

4875

1287,5

und nach § 36, 13) die Gleitspannung:

= 3,79 kg

3,79 • 30

5 • 3,14 • 2,5

= 2,90 kg .

Beide sind zulässig, so daß Abbiegungen nicht erforderlich wären.

Abbiegungen. Um auch die üblichen Verfahren bei Abbiegungen vorzuführen, nehmen wir im folgenden an, die Belastung pro cm Träger sei q — 18 kg anstatt wie oben 13 kg. Dann hat man bei den Stützpunkten:

1^ = 6750 kg,

Fr =

und damit ohne Abbiegungen nach a:

= 5,24 kg

6750

T — —————

1287,5

während z. B. nach den preußischen Bestimmungen von 1907 nur 4,5 kg, nach den neuen Schweizerischen Vorschriften von 1909 nur 4 kg gestattet sind.

I. Verfahren wir nun zunächst nach den preußischen Bestimmungen. Bei gleichmäßiger Belastung des ganzen Balkens mit q pro Längeneinheit ist die Vertikalkraft in Entfernung x von den Stützpunkten: ¹

Für die Stelle, bei welcher die Grenze xx = 4,5 kg erreicht wird, folgt damit aus a:

xx — 4,5 —-

18 (375 — x)

1287,5

x — 53 cm .

Erfolgt die Abbiegung unter 45°, so wachsen nach der im vorigen Paragraphen zuerst erwähnten Anschauung die durch die abgebogenen Eisen aufzunehmen-

Zu beachten kann ferner sein, daß bei wechselnder Verkehrslast der oben nach Beispiel 6 der preußischen Bestimmungen verwendete Ausdruck 1 nicht die größte Vertikalkraft bei x liefert. Diese ist bei gleichmäßig verteiltem Eigengewicht und ebensolcher Verkehrslast von g, p pro Längeneinheit Träger:

r* = ff(j~x)+TT(l-X)2-

Hätten wir beispielsweise <7 = 8 kg, p = 10 kg pro cm, so würde damit an Stelle der obigen Bedingung b für x treten:

8 (375 - *) +    (750 - *)*

x = 54 cm ,

ix — 4,5 —

1287,5

gegen ^ = 53 cm oben, sodaß im vorliegenden Falle keine erhebliche Änderung entsteht. Da für eine gegebene Grenze tx nach a der Grenzwert von Vx:

F* = 1287,5 rx,

so läßt sich auf Grund der für die verschiedenen Querschnitte ermittelten Maximalschubkräfte der Punkt x auch bei konzentrierten Lasten leicht bestimmen.

II. Wollte man durch die Abbiegungen erreichen, daß im Beton keine schiefen Zugspannungen von beispielsweise über 2 kg entstehen, so wäre (weil in der neutralen Schicht diese Zugspannung N gleich der Schubspannung t ist) der Punkt x mit tx — 2 kg ganz wie oben zu berechnen. Man erhielte anstatt b:

18 (375 — x)

1287,5

den Zugspannungen von x nach den Stützen hin von 0 bis r — tx. Da diese Spannungen für eine Fläche a# cos 45° aufzunehmen sind (Fig. 210), so kommt auf die abgebogenen Eisen im ganzen die Zugkraft:

* - rx

a x cos 45° = 0,3535 a x (r — rx) ,

ol

das heißt in unserem Falle:

= 0,3535 • 30 • 53 (5,24 — 4,5) = 416 kg .

Es genügt also, das mittlere der fünf Eisen aufzubiegen, welches dann bei 4,91 qcm Querschnitt pro qcm mit

Fig. 210.

416

ff = i^r = 85kg

beansprucht würde. Damit die Anordnung der Berechnung möglichst entspräche, müßte das Eisen in die strichpunktierte Schwerlinie der in Fig. 210 schraffierten Fläche gelegt werden (Beispiel 6 der preußischen Bestimmungen scheint ihn nach der beigegebenen Figur in ihre Parallele durch x zu legen), was jedoch wie die folgenden analogen Angaben nicht immer in konstruktiv geeigneter Weise durchführbar ist.

Bezüglich der Gleitspannungen ist in «den preußischen Bestimmungen so gerechnet, als ob die bis zu den Balkenenden horizontal durchlaufenden Eisen dieselbe Horizontalkraft aufzunehmen hätten, welche ohne Abbiegungen auf sämtliche Eisen gekommen wäre. Dies ergäbe in unserem Falle:

30 • 5,24

= 5,01 kg .

r' ⁼ -rr

Es entspräche wohl eher der gewählten Anschauung zu setzen:

30 • 4,5 4»2,5*3,lT

doch ist zu beachten, daß mit dem Abbiegen auch die verwendeten d, Jp + nJe nicht mehr gelten. Bei Versuchen von Bach ergab sich genügende Übereinstimmung mit der Wirklichkeit, wenn so gerechnet wurde, als wenn alle Eisen bis zu den Auflagern gerade geblieben wären, wonach wir hätten:

30 • 5,24 5-2,5-3,14

T _ aTx __ h - —v~ -

= 4,30 kg

= 4,01 kg .

x = 232 cm .

Sollten nun die abgebogenen Stäbe nur die Differenzen r — r der Zugspannungen aufnehmen, was wir für genügend halten, weil ja auch für Querschnitte nach 232 cm Zugspannungen des Betons bis xx — 2 kg zugelassen sind, so würde nach 2 die auf sie kommende Zugkraft:

= 0,3535 • 30 • 232 (5,24 — 2) = 7972 kg ,

also beispielsweise bei zwei abgebogenen Stäben durchschnittlich pro qcm:

7972

4,91 • 2

= 812 kg .

of

Damit dieser Durchschnitt möglichst wenig überschritten würde, wären die Stäbe in die strichpunktierten Schwerlinien der in Fig. 211 verschieden schraffierten Flächen gleichen Inhalts zu legen.

ec

Fig. 211.

Hätten wir für Vx wieder 3 mit g — 8 kg, p = 10 kg anstatt 1 mit q — 18 kg verwendet, so würden sich ergeben haben:

8 (375 — x) +

TX=2 =

ilw⁽⁷⁵⁰ -^

x = 256 cm .

1287,5

und damit, ganz wie zuletzt vorgehend, Z — 8796 kg, a = 896 kg.

III. Sollten jedoch die abgebogenen Stäbe nicht nur die Mehrbeträge r — tx der schiefen Zugspannungen über beispielsweise xx — 2 kg hinaus, sondern (wie bei Mörsch a. a. O. S. 169) die ganzen schiefen Zugspannungen aufnehmen, wenn diese jenen Wert xx überschreiten, so hätte man entsprechend Fig. 212 die ganze auf sie kommende Zugkraft:

a x cos 45 ⁰ = 0,3535 a x (r -j- rx) . 4

■gJT

fff-

Mit xx — 2 kg und dem unter II auf Grund von 1 erhaltenen x = 232 cm folgt:

2T = 0,3535 • 30 • 232 (5,24 + 2) = 17 813 kg ,

und bei vier abgebogenen Stäben durchschnittlich pro qcm:

= 907 kg .

17 813

a =--

4,91-4

Fig. 212.

Damit dieser Durchschnitt möglichst wenig überschritten und zu diesem Zwecke auch die von der Biegungstheorie vorausgesetzte Symmetrie zur Trägerebene eingehalten würde, wären je zwei äußere Stäbe in die strichpunktierten Schwerlinien der in Fig. 212 verschieden schraffierten Flächen gleichen Inhalts zu legen.

Hätten wir Vx entsprechend bewegter Verkehrslast wie am Schlüsse von II nach 3 anstatt nach 1 eingeführt, so würden wir mit dem dort ermittelten x = 256 cm, ganz wie soeben vorgehend, erhalten haben: Z —19 658 kg, a = 1000 kg.

Die von den abgebogenen Stäben aufzunehmenden Zugkräfte Z ergeben sich am kleinsten bei dem Verfahren I, erheblich größer beim Verfahren II, am größten beim Verfahren III. Im vorliegenden Falle waren demgemäß bei den drei Verfahren 1, 2, 4 Stäbe nach oben abzubiegen, während 4, 3, 1 Stäbe horizontal bis zu den Auflagern durchzugehen hatten. — Schubspannungen x bei Berücksichtigung der Zugwiderstände o des Betons s. Beispiel 92.

Beispiel 90. Einfach armierter rechteckiger Balken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt. *

Für den in den Beispielen 77 und 83 behandelten Balken die horizontalen und vertikalen Schubspannungen x pro qcm zu berechnen, wenn sämtliche Eisenstäbe bis zu den Auflagern horizontal bleiben und im Gegensätze zu Beispiel 86 die Zugwiderstände des Betons berücksichtigt werden sollen (Fig. 198).

Mit der größten Vertikalkraft und den in Beispiel 83 bestimmten d, Jh nJe liefern § 39, 9), 10) in der neutralen Schicht:

10,742 78400

1200 = 1,76 kg

und bei der Eiseneinlage:

1200 = 0,96 kg .

ql

Vx~ r== 2

16 • 300

— 2400 kg

18-3,48 78400

In Beispiel 86 hat sich ohne Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons von der neutralen Schicht bis zur Eiseneinlage r = 1,51 kg ergeben.

Beispiel 91. Doppelt armierter rechteckiger Balken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt.

Für den in den Beispielen 79 und 84 behandelten Balken die horizontalen und vertikalen Schubspannungen r pro qcm zu berechnen, wenn sämtliche Eisenstäbe bis zu den Auflagern horizontal bleiben, die Yertikalkraft daselbst Vx = V = 1200 kg ist, aber im Gegensätze zu Beispiel 88 die Zugwiderstände des Betons berücksichtigt werden sollen (Fig. 200).

Mit den in Beispiel 84 berechneten d, Jh-\-nJe und

= 30 kg ,

Vx

1200

2 6 2-20

2 n f'e (d — O = 2 • 15 • 1,51 • 15,84 = 717,55 cinS

ergeben sich aus § 39, 11)—13) in der neutralen Schicht:

20 • 18,84² + 717,55 98622

bei der Eiseneinlage auf der Zugseite:

= 2,38 kg,

20,33'oa⁶fo^ ⁷¹⁷’⁵⁵- 30 = 1,16 kg ,

98 622    ’

und bei der Einlage auf der Druckseite:

20-3-34,68 + 717,55 98 622

In Beispiel 88 haben sich ohne Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons von der neutralen Schicht bis zur Eiseneinlage auf der Zugseite t = 2,05 kg, bei der Einlage auf der Druckseite t = 1,08 kg ergeben.

= 0,85 kg .

Beispiel 92. Einfach armierter Plattenbalken. Zugwiderstände des Betons berücksichtigt.

Für den in den Beispielen 82 und 85 behandelten Plattenbalken die horizontalen und vertikalen Schubspannungen r bei einem beliebigen Querschnitt x auszudrücken und speziell für den Fall anzugeben, daß alle Einlagestäbe bis zu den Auflagern horizontal bleiben, wenn im Gegensätze zu Beispiel 89 die Zugwiderstände des Betons berücksichtigt werden sollen (Fig. 198).

Wenn die neutrale Schicht durch den Steg geht (den anderen Fall s. unten), dann haben wir in § 39, 4) auf Grund von Fig. 206 bei der neutralen Schicht:

(6 — a) (d — e)²

6 r/²

und bei der Eiseneinlage:

bä² (b — a) (d — c,²

^vb n e g

Damit ergeben sich (da in § 39, 4) b die Trägerbreite bei v bedeutet) die horizontale und vertikale Schubspannung bei der neutralen Schicht:

5 (P - (5 — a) (d — c)² Vx

oder

2«

(6 — a) (2 d — c) c + a d² Vx

und bei der Eiseneinlage:

b <Z² — (b — d) (d — e)² — a (e — d)² Vx

Jb + n Je

oder

(6 — a) (2 d — c) c -{• a e (2 d — e) Vx

Jb + n Je

worin d, Jb -)- nJe durch die Gleichungen 1, 2 des Beispiels 85 ausgedrückt sind, aber bei Berechnung der Schubspannungen schon bekannt zu sein pflegen.

Für den vorliegenden Fall liefern 1, 3 mit den in Beispiel 85 erhaltenen Werten bei der neutralen Schicht:

150 • 19,82² — 120 • 9,822 rx

Vx

und bei der Eiseneinlage:

848 321

60    1074,9 ’

150 • 19,82² — 120 • 9,82² — 30 • 27,18²

Vx

Vx

60" 2020,6 '

Da an den Auflagern nach Beispiel 89 die größte Yertikalkraft Vx = 4875 kg, so erhielte man nach vorstehenden Ausdrücken, wenn alle Einlagestäbe bis zu den Auflagern horizontal blieben, die größten Schubspannungen x bei der neutralen Schicht und der Eiseneinlage:

848321

x = 4,53 kg ,

bezw.

x = 2,41 kg .

Wenn diese nicht zulässig und Abbiegungen von Einlagestäben anzuordnen wären, könnte auf Grund der jetzt gültigen Ausdrücke a, b wie in Beispiel 89 vorgegangen werden. Dort, ergab sich ohne Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons von der neutralen Schicht bis zur Eiseneinlage x = 3,79 kg.

Bemerkungen. Es wurde bei Ableitung von 1 bis 4 zunächst vorausgesetzt, daß die neutrale Schicht durch den Steg geht, wie sich bei Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons gewöhnlich ergibt. Geht sie durch die Platte (Fig. 202), so hat man in § 39, 4) bei der neutralen Schicht:

bd²

b * n e 2    *

bei Beginn des Stegs:

und bei der Eiseneinlage:

b fi²

(5 — a) (c — <?)²

a (e — d)²

b “b tl' e “    2

Damit erhalten wir die horizontale und vertikale Schubspannung bei der neutralen Schicht:

d²

Vx

H“ w Je 2

bei Beginn des Stegs (wo sie bei der jetzigen Lage der neutralen Schicht wegen der hier kleineren Trägerbreite am größten ist):

^_ (2 d — c) b c Vx

Jb T n Je 2a’

während r bei der Eiseneinlage durch 3, 4 bestimmt bleibt und für d, Jb-\- nJe wieder die Ausdrücke 1, 2 des Beispiels 85 gelten. Gleichung 6 besteht auch, wenn die neutrale Schicht durch den Steg geht, bietet aber dann kein Interesse. Für ci = b liefern 1 bis 5 selbstverständlich die für den rechteckigen Querschnitt abgeleiteten Formeln § 39, 9), 10).

IV. Abschnitt.

Ableitung statisch unbestimmter Größen.

Weiteres über Bogen verschiedener Arten und Formen.

Es handelt sich in diesem Abschnitte in erster Linie um die Ableitung derjenigen Formeln, auf welche im Eingang zum II. Abschnitt hingewiesen wurde. Die wichtigsten derselben sind bereits bei den betrachteten Trägern angeführt und in bisherigen Beispielen verwendet; doch muß ihre Begründung zur Beurteilung ihrer Zuverlässigkeit und des Gültigkeitsbereichs eingesehen werden können. Andere Beziehungen betreffend die Formänderungen und daraus folgende Größen werden erst jetzt gegeben, weil sie weniger oft zur Verwendung kommen. Im ganzen beschränken wir uns auch hier auf das praktisch Kotige oder zur Aufklärung des Bedürfnisses Dienende. Soweit zweckmäßig, werden wie bisher Aufgaben und Beispiele zur Erläuterung dienen.

§ 40. Kleine Formänderungen im allgemeinen.

Wir haben in § 7 in der Trägerebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem von fester Lage gegen die anfängliche, dem spannungslosen

Zustande bei normaler Tem-

peratur entsprechende Gruppierung der Stabpunkte angenommen (Fig. 213), und unter den Koordinaten x, y eines Querschnitts die anfänglichen Koordinaten seines in der Stabachse liegenden Schwerpunktes, unter <p den anfänglichen Winkel der Stabachse hei x mit der positiven Richtung der Abszissenachse verstanden. Die den betrachteten Formänderungen entsprechenden Änderungen von x, y, cp, s wurden durch Ax, Ay, A<p, As bezeichnet. Nach § 7, 1) 2) hat man für kleine Formänderungen:

d A s

y F

p/²

-fr"

M'

M/

E'

Fig. 213.

d Ax = — A(p dy-\

dx,

Die zuletzt erwähnte Voraussetzung trifft in den hier in Betracht kommenden Fällen nur dann nicht zu, wenn sich Zwischengelenke innerhalb einer Spannweite befinden, in welchem Falle die Änderungen A cp unmittelbar nach und vor dem Gelenke um einen

endlichen Wert cd = Acpn— Acp₀ verschieden sein    .......

Fig. 214.

wenn

dAy— Acpdx

d A s

-rrdy’

die Zunahmen dAs, dAcp von x bis x-\-dx nur von den

worin

in den §§ 3, 4, 6 betrachteten Spannungen und Temperaturänderungen herrühren, nach § 6, 5), 6):

dAs

Y—ax —

EF ’

d A cp

z=

i+rzv i

EJ'K*' r ) EFr

können. Denn selbst wenn die Tangente an die Bogenachse beim Zwischengelenke anfänglich horizontal war, wird sie im allgemeinen nach der Deformation einen endlichen Winkel cd überschlagen (Fig. 214). Wir wollen jedoch diese Ausnahme unten bei Bogen mit drei Gelenken behandeln und setzen zunächst auch die Gleichungen 3, 4 als gültig voraus.

Mit Rücksicht auf die Ausdrücke der Differentiale von Produkten

d{y A cp) = Acpdy-\-ydAcp, d(xAcp) = Acpdx-\-xdAcp,

und die Bezeichnung 4 können wir in den Gleichungen 1, 2 setzen: Acp dy — d{yA cp) — y Z ds,

A cp dx— d(x A cp) — xZds,

womit dieselben bei Beachtung von 3 folgende Formen annehmen: dAx = — d(yAcp)-\-yZds-\- Ydx, d Ay= d(xA cp) — x Zds-\- Yd y.

Da hierin nach § 3, 1):

ds = — r dcp ,

so erhalten wir durch Substitution von 3, 4:

d Ax = —

dAy = d(xA cp)

ä<3>A<p) + jj*ryäs-[N, + l±) d*+«dV

M

~xds—

dA<p = ^dS+(Nx+^)

EF

axdx

KJ

_j_ j dy — xdcp

EF

f-axdy,    9

EFr '

10

Bei der Integration dieser Gleichungen treten bestimmte Integrale auf, welche wir im allgemeinen wie folgt bezeichnen:

20

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

r₂ =

Zi =

~Wjds'

z₂ =

Mx\ clx-\-yd cp

EF

dy — x d cp

EF

12

E Fr

13

während ihre Werte speziell für x = l in der Folge durch die entsprechenden Buchstaben des großen deutschen Alphabets mit gleichen Indices bezeichnet werden sollen.

Es mögen nun die Voraussetzungen und Bezeichnungen des § 1 gelten. Für alle bisher betrachteten Bogen hat man bei beliebiger Belastung und beliebiger Temperaturänderung das Moment und die Normalkraft im Querschnitt x nach § 1, 3), 9):

MX = M+ Vx—Hy — JE P(x— a),

0

Nx — Vx sin cp -j- Hcos cp ,

worin nach § 1, 4), 2) die Vertikalkraft bei 0 und x:

f \m‘ — M+Hk-\- 2P(l — a)

^ L    o

Vx — V—IIP.

0

In dem gewöhnlichen Falle gleich hoher Stützpunkte, welche stets in der Stahachse zu denken sind, ist bei x = l die Ordinate y = 1c = 0.

Die Gleichungen 8—10 haben sowohl zur Ableitung der Formänderungen seihst, wie zur Bestimmung derjenigen in 14—17 auftretenden Größen zu dienen, welche nicht aus rein statischen Gleichungen folgen, also beispielsweise bei einfachen Bogen mit zwei Gelenken des Horizontalschubs H, bei einfachen Bogen ohne Gelenke des Horizontalschubs H und der Endmomente M, M‘. Die Integrale 11 — 13 sind jedoch erst ausführbar, wenn die Form der Bogenachse und die Veränderlichkeit des Querschnitts gegeben sind. Damit werden auch jene statisch unbestimmten Größen und durch diese alle Beanspruchungen von der Bogenachse und den Querschnitten des Bogens, sowie nach 8, 9 von der Temperaturänderung und, wie sich zeigen wird, von etwaigen Bewegungen der Stützpunkte abhängig.

Wir ziehen nun die im zweiten Abschnitte betrachteten Bogenarten in Betracht. cp₀, cpl mögen die Winkel cp für x — 0 und x=l bedeuten. JE und ci% sollen für je eine betrachtete Öffnung als gleich gelten.

V=

14

15

16

17

Öffnungen mit zwei Gelenken.

Für Öffnungen mit Entlgelenken allein sind M = M! = 0, ff aus den Formänderungen zu berechnen. Da der Ursprung der Koordinaten immer im Schwerpunkt eines Endquerschnitts bleibt, also für x — 0 Ax = 0, Ay =0 sind, so liefern die Gleichungen 8—10 mit 11—13 für beliebige x\

18

A x = — y A(p -f- X₁ — X₂-\- axx, xAcp — Y₁ — Y₂ —f- a t y,

Acp =

A ^0~\~ %1    ^2 5

wonach für x—l zur Bestimmung von Ff, Acp₀, Acpi bei unveränderlicher Lage der Endgelenke:

Al = 0 = — kAcpi -b    — ff₂ -)- a x l ,

lA <pi —    a

A fo ~b ,81 ~f~ $2 •

19

Al =0 =

Acp,=

Wenn jedoch wie bei den in §§ 22—24 betrachteten Bogen mit Zugstange und kontinuierlichen Bogen, und unbeabsichtigt auch bei gewöhnlichen einfachen Bogen mit Kämpfergelenken, Änderungen A l von l oder Al von l eintreten, dann sind in 19 deren Werte an Stelle von 0 zu setzen, was durch die Vorausstellung an gedeutet ist. Bei Öffnungen mit gleich hohen Endgelenken genügt wegen 1 = 0 die erste Gleichung 19 allein zur Bestimmung von ff, wonach A cpi aus der zweiten und schließlich A <jp₀ aus der dritten folgen. Damit werden auch die Gleichungen 18 für beliebige x verwendbar.

Öffnungen ohne Gelenke.

Für solche sind ff, M, M‘ mit Rücksicht auf die Formänderungen zu bestimmen. Bei unveränderlich fest gespannten Endquerschnitten liefern die Gleichungen 8—10 mit 11—13 für beliebige x\

A x = — y A cp -\-Xx — X₂-\- arx, x A cp — Yx — Y₂ -j- a % y,

A cpo~\~ Yx -j— Z₂ mit A cp^ = 0,, wonach für x — l zur Bestimmung von ff, ilf, M‘:

-j- a t l mit Acpi= 0 , lAcpi—tyy — g)a-|-aTÄ „ Acpi= 0,

^ <P0 4“ $1 + $2

Treten Verrückungen und Verdrehungen der Endquerschnitte, jedoch ohne Abheben von den Kämpfern, ein, so sind die betreffenden Al, Al, Acpo, Acpi in 21 an die Stelle der 0 zu setzen, was durch den gewählten Ausdruck der Gleichungen angedeutet ist. Da für eine Änderung Al

A cp

Al = 0 = — lA cpi -)-Al =0 =

A cp, = 0 =

„ Acp₀ = 0.

20

21

der relativen Höhenlage der Stützen ohne andere als die hierdurch bei senkrecht zur Achse bleibenden Querschnitten bedingten Verdrehungen der Endquerschnitte:

A rp₀ = A(pl==

so fallen dann Ali, Acp₀, Acpi aus den Gleichungen 21, wonach eine solche Bewegung der Stützen keinen Einfluß auf H, M, M‘ ausübt. Wohl aber würde Ah allein, d. h. mit Acp₀ = Acpi = 0, Änderungen von H, M, M‘ bedingen, wie dies auch stets für Al gilt. Nach Ermittelung von II, M, M‘ werden auch die Gleichungen 20 für beliebige x anwendbar.

Öffnungen mit drei Gelenken.

Für Öffnungen mit Endgelenken und einem an beliebiger Stelle x = m, y — f der Bogenachse liegenden Zwischengelenke sind M — M‘ = 0, H wegen Mm = 0 aus 14, 16 oder §1,8) mit x = m statisch bestimmt:

22

(l — m) SPa-\- m2P(l — a)

0    m

If — mk

so daß man auf die Formänderungen nur Rücksicht zu nehmen hat, wenn letztere selbst interessieren. Formel 22 führt für m — l/2 auf § 19, 5).

Es wurde bereits darauf hingewiesen, daß bei x = m eine Unstetigkeit der Winkeländerung Acp eintreten kann (S. 305). Zwischen 0 und m wie zwischen m und l hat jedoch auch hier dAcp den durch 4 ausgedrückten unendlich kleinen Wert. Demgemäß haben wir von x = 0 bei x = m ganz wie bei Öffnungen mit zwei Gelenken:

A x — — y A cp -J-Xl — X₂ -j-axx,

23

A y = xA cp — Yx — Y₂-\- a t y,

A cp =

während zwischen x = m und x — l zunächst nach 1, 2 mit 3, 5, 6 gesetzt werden kann:

Ax= —

Ay =

-J[d{y A cp) — y Zds]    (v^ *P) — y Zds] -J-j^Ydx

— xZds]-\-\Ydyr

wozu nach 4 kommt, wenn Acpv, Acpn die Werte von Acp unendlich wenig vor und nach m bezeichnen:

A cp — A cpo —|— / Z d s —J— A cpn — A cpv —)— / Z d s.

§ 40. Kleine Formänderungen im allgemeinen. Diese Gleichungen können wir auch wie folgt schreiben:

Ax = —f A cpv—

Ay

yA cp-\-f A (pn-\-jyZds-\-JYdx,

0 0

x    x

- jxZds -{-J^Ydy,

o    o

m A cpv-\- x A cp — m A cp n —

wonach, wenn

A (p = Acp₀-\- Acpn — Acpv-\-j^Z d s,

o

94

0) = A(pn — A(pv

den Sprungwert von A cp beim Gelenk bedeutet (Fig. 214), nach Einsetzen der Ausdrücke 3, 4 mit den Bezeichnungen 11—13 von x=m bis x=l:

A x = — y A cp —|— Xx — A ₂ —J⁻ cc x x —|— co f .

A y — x A cp — Yx — Y₂ -j- a xy — com Acp —

und speziell für x—l zur Bestimmung von co, Acp₀> Acpt bei unveränderlicher Lage der Endgelenke:

A (po+ Zx-\- Z₂-\- co

Al =0 = — Je A cpi -f-    — dc₂Jra%l-\-cof

Ale =0 =

A cp,=

25

26

l A cpi — Dj. —    — com,

A <Po + ^1 “h 82 ~h 0J ■

Wenn jedoch Änderungen Al, Ale von l, k eintreten, dann sind in 26 deren Werte an Stelle von 0 zu setzen, was durch die Vorausstellung angedeutet ist. Die Gleichungen 25, 26 unterscheiden sich von den Gleichungen 18, 19 für Öffnungen ohne Zwischengelenk nur dadurch, daß in letzteren co = 0 ist. Bei Öffnungen mit gleich hohen Endgelenken genügt wegen Je = 0 zur Bestimmung von co die erste Gleichung 26, worauf die zweite Acp{ und schließlich die dritte Acpo liefert. Die Gleichungen 23, 25 für beliebige x werden dann ebenfalls verwendbar.

Durch die vorgeführten Beziehungen ist das die Ermittelung der statisch unbestimmten Größen H, 31, M‘ und der Formänderungen betreffende Problem vom Standpunkte der Mechanik aus als gelöst zu betrachten. Die Ausführung der Integrale bietet für den Ingenieur im allgemeinen nur insofern Interesse, als die dabei gemachten Voraussetzungen und zugelassenen Vernachlässigungen die Gültigkeitsgrenzen und Genauigkeit der Besultate beeinflussen. Wir werden im folgenden die praktisch wichtigsten Fälle behandeln. Diese betreffen Halbkreisbogen, Parabel-

bogen lind Bogen mit beliebiger Achse. Andere Kreisbogen werden im allgemeinen am zweckmäßigsten nach den Formeln für Bogen mit beliebiger Achse berechnet (siehe jedoch Aufgabe 31 und Beispiel 93).

¹

* = a(T“*) '

§ 41. Horizontalschub des symmetrischen Halbkreisbogens mit

zwei Gelenken.

Al — .1, —.S2    ce z l,

Als einfachsten Fall einer Ableitung statisch unbestimmter Größen aus den Gleichungen des vorigen Paragraphen wollen wir zunächst den Horizontalschub H des Halbkreisbogens mit gleich hohen Endgelenken durch beliebige Belastung, eine beliebige gleichmäßige Temperaturänderung z und eine beliebige kleine Änderung A l der Spannweite l berechnen. Der Querschnitt werde konstant vorausgesetzt, bei veränderlichem Querschnitt bedeuten F, J Mittelwerte des Querschnitts und Trägheitsmoments. Nach § 40, 19) haben wir zur Bestimmung von H:

worin 3£lf 3£₂ die durch § 40,11) ausgedrückten Größen X₁, X₂ für x = l bedeuten so daß bei konstanten F, J, E, az:

*i =

b fMx ydSr

o

ab = -J-ß- fbx + b) ^;c + yd (e ■ 0

Hierin gelten für den Halbkreisbogen vom Radius r der Achse (Fig. 215):

y — r cos cp , d y — — r sin 90 d <p ,

d jc y d <p — 0 ,

x = r (1 — sin cp), d x = — r cos cp d cp d x

dcp — —

r cos cp

oder

womit £2 = 0 und

y d s = — y r d cp = r d x ,

1

⁼ br fMx dx + azl-

0

Da nun für Öffnungen mit Endgelenken wegen M=M‘ == 0 nach §1,3) allgemein:

Mx=Vx — Hy — 2 p (x — «),

0

und bei gleichen Höhen der Gelenke:

1 ¹

V= — 2 P(l — a),

1 0

so folgt durch Integration (s. die Fußnote S.69):

\0,28Sil

jr

f\r \°'sl

;r

Ni

TW

JMx d x = V---\- H r² jcos² cp d Cp — 2 P J(x

0    Ort

— a) d x

Fig. 215.

und damit nach 4:

iip(Z-a)2 * 0

1    ^    71 r²

72

= v±--h

n r²

— P rt (l — a) — H Tz ;-2l + a t l . ® J L o    J

Hieraus ergibt sich bei Beachtung von 2 r — l der gesuchte Horizontalschub im allgemeinsten Falle:

rt) +

16 EJ

{axl — Al).

Die Formeln für Parabelbogen sind also für Halb kr eisbogen nicht verwendbar.

Aufgabe 31. Horizontalschub beliebiger symmetrischer Kreisbogen mit zwei Gelenken durch Temperaturänderungen und Änderungen der Spannweite.

Den von einer Temperaturänderung r und einer Änderung A l der Spannweite herrührenden Horizontalschub des Bogens mit kreisförmiger Achse und gleich hohen Endgelenken unter Voraussetzung konstanten Querschnitts zu berechnen (F, J eventuell Mittelwerte).

Es gelten die Gleichungen 1—3 des vorigen Paragraphen. Da hierin für den Einfluß von z, Al allein nach § 20, 3), 5) oder § 1, 3), 9):

Nx = H cos cp ,

Man hat hiernach durch beliebige Belastung allein:

üVfPa(?-

durch eine beliebige Temperaturänderung z allein:

16 E J

a) ,

£T =

10

a x j

und durch eine Änderung der Spannweite um Al allein:

- Al .

Die Gleichung 9 mit Rücksicht auf § 18 liefert beispielsweise für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit

16 E J

11

12

und für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Hälfte der Spannweite:

u -f- «' ^

13

Über die Kämpferdrucklinie s. Aufgabe 2 (S. 12).

Bemerkungen. Für den Parabelbogen von konstantem Jcos cp (Mittelwert c) hat man in dem Falle 2 f—l wegen e = ß = 0 (vergl. § 42) anstatt 12, 13:

U 4- w‘

H = —— i

11 =

und anstatt 10, 11:

15 Ec

15 Ec

Mx = — B y ,

und neben ds — — rdcp (S. 16) speziell beim Kreisbogen mit Rücksicht auf Fig. 216:

x = r (sin <p₀ — sin cp) , d x = — r cos cp d cp ,

y = r (cos <p — cos p₀), d x y d <p — — r cos p₀ d p ,

so erhalten wir:

Kr 3

i

-J(cos cp 0

— cos 9Pq)² d (p

:\

*1

xmd bei Beachtung von <pl= — cp₀:

K r³

r-

(3 sin p₀ cos p₀ — 2 p₀ cos² p₀ — p₀) .

Wegen

AIx

Nx +    = II cos p₀

folgt weiter

ar₂ = --—

EF

i

cos² Pq Jd p = 0

EF 2 Po cos² po .

Fig. 216.

Die Substitution der gefundenen äq* 3E₂ in § 41, 1) ergibt:

EJ{3 sin <p₀ cos 9D₀ — 2 SP₀ cos² <p₀ — cp₀) —

Sr3

woraus der gesuchte Horizontalschub:

a t l — Al

EJ

<Po -

Da hierin nach Fig. 216:

2 r cp₀ = s ,

so können wir auch schreiben:

/ J \    r³ '

3 sin <jp₀ cos SP₀ + 11 + I 2 <p₀ cos² <p₀

cos <p₀ =

a t l — Al

2EJ.

3 l r (r — f) + 2 s (r — ff

Um den Einfluß von t oder A l allein zu erhalten, hat man A l bezw. r gleich 0 zu setzen. Bezüglich der Berechnung von s siehe auch Beisp. 28.

Speziell für den Halbkreisbogen wird aus 4 mit f—r =

a 11 — Al s r²

in Übereinstimmung mit § 41, 8).

Die Ausdrücke des Horizontalschubs durch beliebige Belastung, welche sich für den Kreisbogen ergeben, sind bei genügender Genauigkeit zu umständlich für praktische Zwecke, abgesehen vom Halbkreisbogen (s. § 41), weshalb wir anstatt ihrer eventuell die Formeln für Bogen von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten verwenden (Beisp. 37, 94, ohne Gelenke 63, 98).

2EJ =

ail — Al

16 E J

Beispiel 93. Horizontalschub eines Kreisbogens mit zwei Gelenken (Koblenzer Brücke).

Für die in Beisp. 30 betrachteten Bogen der Koblenzer Brücke den Horizontalschub durch Temperaturänderungen und kleine Änderungen der Spannweite nach den Formeln für Kreisbogen konstanten Querschnitts mit Kämpfergelenken zu berechnen. Mittelwerte des Querschnitts und Trägheitsmoments F = 0,16910 qm, J — 0,37344 m⁴.

Nach Gleichung 4 der vorigen Aufgabe hat man:

a x l — Al

f) + 2s(r- ff (l +

worin mit l — 98,0775 m, f— 8,91614 m, r= 139,314 m, s = 100,225 m (Beisp. 28):

S r² = 100,225 • 139,314² = 1945 206 ,

2lr(r — f) = 3> 98,0775 • 139,314 • 130,398 = 5 345106 ,

= 0,000114 ,

2 s (r — f)~ (l + ^7^) =2*100,225» 130,398².1,000114 = 3 408855,

s r² — 3 l r (r —

0,37344

FF 0,1691 -139,3142

2 EJ,

und wenn wieder E= 2000000 kg pro qcm, x — 0,000012 gesetzt werden:

2 *2000000* 100²*0,37344

H = (0,000012-98,0775 i — Al)

8860

H = (0,0011769 t — Al) 1685 960 kg .

Diese Gleichung liefert für eine Temperaturänderung r allein:

II = 1984,21 r kg ,

und beispielsweise für z — + 30°:

H=± 59526 kg;

ferner für eine Änderung der Spannweite um Al allein:

H= — 1685960 Al kg ,

und beispielsweise für Al = 0,02 m:

H= — 33719 kg .

Vergl. Bemerk, zu Beisp. 30, S. 128.

Hätten wir -^ = 0,000114 gegen 1 vernachlässigt (Einfluß vomI₂ in Aufgabe 31), so würde sich

H = (0,0011769 t — A l) 1763173 kg

oder 4,58 °/o größer als oben gefunden haben. Dieser verhältnismäßig große Einfluß eines so kleinen Gliedes zeigt, daß bei Anwendung von 1 Genauigkeit erforderlich ist. Bezüglich parabolischer Achse s. Beisp. 30 (S. 128).

§ 42. Horizontalschub des symmetrischen Parabelbogens mit

zwei Gelenken.

Nach § 40, 18) haben wir die Änderung der Abszisse eines beliebigen Querschnitts x:

Ax = — y Atp + Xj — X₂ + a t x ,

worin nach § 40, 11) wenn d x = d s cos 90 berücksichtigt und ein konstanter Mittelwert

eingeführt wird:

c — J cos <p

xi = J~Mxydx.

0

Handelt es sich nun um einen zur Trägermitte symmetrischen Parabelbogen von der Spannweite l und dem Pfeile f mit gleich hohen Endgelenken, so hat man:

4 f

y = -jj x(i — x).

Mit diesem Werte und dem allgemeinen Ausdrucke des Momentes bei x,

Mx = M + Vx — H y — 2 P {x — ci) ,

liefert die Integration von 3¹:

xl =

-—- |2 M x¹ (3 l — 2 x) +Fx3(4 l — 3x) —    (10 l¹ — 15 Ix + 6 x¹) —

ö Mj C C *    1_    o l

M= 0,

speziell bei x — l, wo wie in § 40 die Werte von X mit deutschen Buchstaben bezeichnet werden:

n 8 lf¹

15 Ec

Bei Ausführung des Integrals

£l = -

3 Ecl¹ o

2 Pa {l — a) (iZ + la — a*).

X₂

EF

welches häufig vernachlässigt wird, gestatten wir uns anstatt des Parabelbogens einen Kreisbogen von gleichen l, f (Eig. 217), also dem ^ Radius    o

Fig. 217.

¹ Bezüglich der Integration von Summen 2 siehe Luegers Lexikon der gesamten Technik, Bd. 1, Artikel Belastung der Träger, oder die in der Fußnote S. 69 erwähnten Schriften.

JL + L

8f 2

zugrunde zu legen. Dies ist um so mehr berechtigt, als in jenem Ausdrucke der Beitrag von Nx bei weitem überwiegt, gerade Nx aber durch die Vertauschung, selbst bei steilen Bogen ohne Gelenke, nur wenig beeinflußt wird (vergl. z. B. Bemerk, zu Beisp. 45, S. 168). Da für den Kreisbogen (Fig. 216)

sin cp —

cos cp =

x = r (sin <p₀ — sin 9p) , l — 2 x

y = r (cos cp — cos Cp₀) , f — f+ V

so erhalten wir :

<lx — — r cos <p d<p ,

V — f

d x -f- y dcp = — r cos cp^dcp = cos <p₀ d s =- d s ,

und wenn wieder d x = ds cos cp gesetzt und ein konstanter Mittelwert

k = jFcos cp    ,

eingeführt wird:

10

x₂ =

11

worin nun r den durch 9 bestimmten konstanten Wert hat. Da nach § 1, 9), 2) in unserm Falle

so folgt:

Nx =VX sin cp -j- H cos cp =    — 2 P j

r

+ H-

jNxdx = 0

a r

-J ydx, 0

während mit 5:

a2

Mx+V —

H j'y d x

0

Wir erhalten demnach aus 11 allgemein:

r — f

2 Ekt2

j^2 Mx +VI

— f) — 2 P (x — d) (l — 2 «)! ,

o    J

und für Öffnungen mit Endgelenken wegen 7 speziell bei x = l:

«,->[*'<r

Nach Gleichung 1 hat man für x = l wegen \j — 0:

A i = ^ — a-₂ + et x l,

Xo =

x -[■ 2 Hx (r

a {l —

12

13

14

worin bei unveränderlicher Spannweite (Horizontalentfernung der Endgelenke) Al = o wäre. Werden die Ausdrücke 8,13 eingesetzt, so folgt für symmetrische Parabelbogen von konstantem J cos <p — c:

jr 8 lf2 IbEc

r₁₊2^A(A-n²i +_t _

L ^ 8 k V rf ) J ¹ 3Ecl² ₀

Hieraus ergibt sich mit den abkürzenden Bezeichnungen:

2 P a (l — d) (l² + l a — a²) —

15

_    _ J cos cp

y k F cos cp ’

16

15 y

17

P=7

als Ausdruck des gesuchten Horizontalschubes im allgemeinsten Falle (für beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderung r und beliebige kleine Änderung A l der Spannweite):

?*2 *

(1 + e) 8 fl² o

2 Pa {l — d) (l² + lci — ct² — ß l²) +

15 Ec

(1 + e) 8 f²

cc r

)•

18

315

§ 43. Bemerkungen zu den Formeln des § 42.

Für 7 nach 16 kann man entweder wie bei der obigen Ableitung von H den Quotienten der Mittelwerte von c und h oder aber den Mittelwert von y verwenden, da wir in 11 auch

F cos cp

J dx F J cos cp

setzen und neben dem Mittelwert c = J cos cp einen zweiten, 7 = y, einführen

durften. Theoretisch erscheint die erste Annahme deshalb etwas genauer, weil mit ihr in X₂ nur ein Mittelwert zur Verwendung kommt. In praktischen Fällen führen beide Annahmen im allgemeinen zu kaum voneinander abweichenden Resultaten. So erhielten wir für die Öffnungen I—V der im VI. Abschnitt betrachteten Cannstatter Neckarbrücke nach der ersten bezw. zweiten Annahme (vergl. VI B):

1363,86

1365,28

1504,42

1504,31

1637,92

1637,25

1504,74

1504,31

1365,06,

1365,28.

§ 43. Bemerkungen zu den Formeln des § 42.

Die in den Gleichungen des vorigen Paragraphen auftretenden Größen £, ß sind mit 7 nach § 42, 16) und r nach § 42, 9), wie folgt, ausgedrückt:

15 y ( r — f \2_ 15 y / l² — 4 f 2 \2

“8“ \~7TJ ~ Sf²    ) ’

r — f

ß=3y

wonach dieselben in der Beziehung stehen:

fr²

= 24 7

O² + 4 f²)² ’

«3.1 iu

üi| 00

64

f²

'S

Bei den Formänderungen und Parabelbogen ohne Gelenk kommt hinzu:

^ = 7 (-72^473-)“•

Es fragt sich, welche dieser Größen vernachlässigt werden können. Da für ^=0 mit r = 00, cos cp — 1, 7 = —:

64 J /•' I²

24 .7 Fl² ’

so ist klar, daß £ nicht bis zu beliebig flachen Bogen unberücksichtigt bleiben darf. Zur weiteren Beurteilung müssen praktische Fälle herangezogen werden. Für die ältere Koblenzer Brücke von l — 98,0775 m = 11 f hat man (Beisp. 30, S.128):

02,

s = 0,045 633 ,

|3 = 0,004992,

£ = 0,000114,

und für die im VI. Abschnitt behandelte Neckarbrücke zwischen Stuttgart und Cannstatt (vergl. VI B, M): in Öffnung mit und

II

III

IV

1=    45,51

f =    4,375

£ = 0,011 523 ß — 0,001415 £ = 0,000 036

Hiernach kann £ wohl in allen praktischen Fällen und ß meist ebenfalls vernachlässigt werden, während £ im allgemeinen zu berücksichtigen ist. In letzterer Hinsicht kommt in Betracht, daß eine geringe Änderung des Horizontalschubs wesentliche Änderungen der Momente und Beanspruchungen hervorbringen kann (vergl. Beisp. 45 u. Bemerk, zu Beisp. 42). Für H selbst würden z. B. bei der Koblenzer Brücke durch Vernachlässigung von s Differenzen von etwa 4,56% (Beispiel 30), ohne Vorhandensein der Kämpfergelenke aber solche von 27,38% entstehen (Bemerk, zu Beisp. 42). Für die Momente und Normalspannungen könnten noch größere Abweichungen eintreten (Beisp. 45 und Bemerk, zu Beisp. 42).

48

4,735 0,010767 0,001395 0,000038

50,48

4,855

0,010464

0,001287

0,000033

48

4,505

0,012063

0,001411

0,000034

45,51 m 3,695 m 0,016870 0,001462 0,000026.

Die Unzulässigkeit einer allgemeinen Vernachlässigung von e zeigt sich auch in den Konsequenzen derselben. So würde danach bei Belastung der ganzen Spannweite durch eine beliebig große gleichmäßig verteilte Last keine Einsenkung e entstehen (§§ 19, 20, 21 und Aufgabe 15), während doch z. B. für f — 0 bei Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk dieselben Einsenkungen entstehen müssen, wie bei Balken mit beiderseits frei drehbaren und beiderseits festgespannten Enden, da für f — 0 ein Horizontalschub keinen Einfluß auf die Einsenkungen haben könnte. Nebenbei ergibt die Annahme e= 0 im Falle f= 0 für Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk H—ao anstatt H = 0, womit bei letzteren auch ganz unrichtige M, M‘ verbunden sind (vergl. S. 144).

Man könnte es auffallend finden, daß im allgemeinen zwar ß, aber nicht e vernachlässigt werden soll, während doch nach 3

’*h

cg

ist. Allein bei so steilen Bogen ergibt sich nicht etwa ß so groß, daß es wie e berücksichtigt werden muß, sondern umgekehrt e so klein, daß es wie ß vernachlässigt werden kann. Für die Bogen der Dourobrücke (S. 136) von l— 160 m, 42,65 m beispielsweise hat man (Beisp. 95):

3 = 0,004287,

während für f = r nach lund 2 s und ß gleich 0 werden. Übrigens würden wir für den Bogen der Dourobrücke die Formeln für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos <p nicht zur Verwendung bringen (vergl. Beisp. 95).

Die Annahme eines konstanten (mittleren) Jcos cp bei der Berechnung statisch unbestimmter Größen parabolischer Bogenträger entspricht der Annahme eines konstanten J bei Ermittelung entsprechender Größen von Balkenträgern, sie erscheint oft berechtigter als diese. Während der Verfasser durch vergleichende Berechnungen nachweisen konnte¹, daß bei einem kontinuierlichen Balken von den Öffnungen 52, 65, 65, 52 m und einer Veränderlichkeit von J zwischen 1 und 2,17 die Annahme eines konstanten J bei den Vertikalkräften Vx kaum merkliche, bei den Momenten Mx im allgemeinen unter 3% bleibende Abweichungen ergab (jedoch an einer Stelle 6°/o), schwankt Jcos cp z. B. bei der älteren Koblenzer Brücke zwischen 1 und 1,19, bei der obenerwähnten Neckarbrücke in der ungünstigsten Öffnung zwischen 1 und 1,50, die Mx aber sind bei Bogen weit kleiner als bei Balken unter sonst gleichen Verhältnissen.

Es gibt jedoch Fälle, in welchen die Annahme eines konstanten Jcos cp nicht ohne weiteres zulässig ist. Hierher gehören insbesondere die steilen Sichelbogen nach Art des Bogens der Dourobrücke (S. 136), wie sie in neuerer Zeit mehrfach ausgeführt wurden. Bei diesen nehmen von den Kämpfern bis zum Scheitel gleichzeitig J und cos <p sehr bedeutend zu, sodaß z. B. beim Douro-bogen in den Feldermitten J zwischen 1 und 19,09, J cos cp sogar zwischen 1 und 27,62 schwankt (Beisp. 94,95). Mit Rücksicht auf solche Fälle und auf nicht parabolische Bogenachse sind in §§ 46, 47 auch Formeln für symmetrische Zweigelenkbogen von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten abgeleitet ( Vergleich der Resultate mit denjenigen für den Parabelbogen s. Beisp. 95, 97). Übrigens ist für die gewöhnlichen flachen Brückenbogen die Parabelform meist auch abgesehen von der einfachen Berechnung zu empfehlen, weil für sie bei gleichmäßig auf die ganze Spannweite verteilter Last (annähernd für Eigengewicht allein und Vollbelastung) die günstigsten Beanspruchungen erreicht werden können (vergl. Aufg. 17 und Abschnitt VI unter E).

/'

ß = 0,005447 ,

l = 0,001442 ,

§ 44. Horizontalschub und Endmomente des symmetrischen Parabel-

bog-ens ohne Gelenke.

Wir betrachten symmetrische Bogen ohne Gelenke von parabolischer Achse der Gleichung

i We Leipzig 1873,

4 f

y — -pj- x(i — x)

y rauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Träger, S. 129.

unter den in § 42 gemachten Voraussetzungen. Demgemäß wird ein konstanter Mittelwert

c = J cos $p

eingeführt, und bei Ausführung der durch § 40, 11)—13) ausgedrückten, gewöhnlich vernachlässigten Integrale X₂, Y₂, Z₂ neben einem Mittelwert

Tc = F cos cp

anstatt des Parabelbogens ein Kreisbogen von gleichen l, f wie der Parabelbogen, also dem Radius

2L + JL

8f~2

zugrunde gelegt. Über die Zulässigkeit dieses Vorgehens s. S. 313, 316.

Die Werte der Integrale Xx, X₂ in den Gleichungen § 40, 20) für die Formänderungen von Bogen ohne Gelenke wurden bereits in § 42 unter vorstehenden Voraussetzungen abgeleitet. Die betreffenden Ausdrücke § 42, 6), 12) liefern im vorliegenden Falle mit dem durch § 21, 1) bestimmten

V = y | M‘ — M 4- S P (l — a) j ,

= 3ih [x+M‘-H ¥■+-kip“«-

+ M‘ + 2 if (r — f) + y 2 Pa(l — a)j •

Jetzt werden auch die übrigen Integrale § 40, 11)—13) nötig. Für die Ermittelung von H, M, M‘ würde es allerdings genügen, diese Integrale speziell für x = l abzuleiten, da wir jedoch zur Berechnung der Formänderungen ihre Werte auch für andere x brauchen, so sollen die Ausdrücke, wie im vorigen Paragraphen, zunächst allgemein gegeben werden.

Nach § 40, 12), 13) haben wir mit Rücksicht auf dx = ds cos 90 bei Einführung des Mittelwerts 2:

speziell für x

l:

X₂ =

(r - f) 1

2 E ]c r ²

ri =

f Mxxdx , 0

Diese Gleichungen liefern mit

und 1 für beliebige x:

«³)j,

Zl _ Jmx d x . 0

Mx == M + Vx — Hy — 2 P (x — a) ,

[3 Mx"- +2 Vx* — H -²tr xZ U l - 3 x) — 2 F (x — a'j² (2 x + «)] 6 E c L    Z"    o    J

*2 (3 i — 2 x) — 2 P (x — a)2] ,

0    J

Zi — - [2 M x + Vx* — H

¹    2Ec L

4f_

3 l-

10

11

wonach für x = l:

[v + ² M‘ - ² Hf + Pa (l - a) 0 + «)] ,

+ f •

Wird in § 40, 12), 13) dem Kreisbogen vom Radius 4 entsprechend gesetzt (vergl. § 42, S. 314):

2h =

di =

12

13

dy — xd cp = — r sin <p₀ d cp = sin <jp₀ ^ s = g— cl s,

auch dx — ds cos <p berücksichtigt, und der Mittelwert 3 eingeführt, so erhält man

r₂

2jkvfiNx+*rC) 0

1-X)

oder wegen § 42, 11):

r₂ =

das heißt zufolge § 42, 12) für beliebige x:

x₂

.z₂ =

A>

r — f’

[2 Mx -\-Vlx + 2 Hx (r — f) — 2 P (x — a) (l — 2 a)j ,

₂ ^, [2 Mx +Vlx + 2 Hx (r - f) - 2P (x - a) (l - 2 «)J ,

und speziell für x — l nach Einsetzen von 5 oder einfacher nach 15 mit 7:

T^?\M+M‘ + 2H{r-f) +

+ M‘ + 2 H (r — f) + y 2 Pa (l — a)j .

Nach § 40, 21) hat man für Öffnungen ohne Gelenke, wenn k = 0:

Ai = ßi! + X₁-J8l Ah —lA<pi—^x — ^₂,

A,pi= A<p₀ + 3i + 82 >

worin bei unveränderlich festliegenden Endquerschnitten A l, Ah, Acp₀, Acpl gleich Null wären. Durch Substitution der Ausdrücke 6, 7, 12, 13, 18, 19 mit den Bezeichnungen § 43, 1), 2), 4) nehmen die Gleichungen 20 folgende Formen an:

8 l f2 IÄ Ec

U> =

Z₂ =

& Ehr²

9s =

32 =

2 Ehr²

Al = a r l + {M + M‘)

M)

±f_

3 Ec

o    t-

r-H    r-H

io

«)J ,

00    o

1-H    r—<

20

— H(l + e)

3 E cl² o

2 P a (l — a) (P + l a — a² — ß P) ,

21

*0-4) ¥57

1 ¹

— - 2 P a (l - a) {l + a + 3 5 I),

v mj C o

22

A <pi — A cp₀ + (M + M‘) (1 + £)

2 Ec

l + 2g j

2 Ec o

2 P a (l — a) .

23

Aus diesen drei Gleichungen können die drei Unbekannten H, M, M‘ für parabolische Bogen ohne Gelenke berechnet werden. Gleichung 21 würde mit M = M‘ — 0 wieder auf den Horizontalschub des symmetrischen Parabelbogens mit zwei Gelenken führen (§ 42).

Nun wurde aber in § 43 nachgewiesen, daß f für elastische Bogen wohl stets verschwindend klein ist. Vernachlässigen wir es, so gehen die Gleichungen 21 bis 23 in die folgenden über:

ccxl + (M + M‘) ² ß ß- - H (1 + e) l

2 P a {l — d) (P + l a — «2 _ ß fl),

8 i f2 15 Ec

24

3 Ec P o

A h = lA <f{ — (M+ 2 M‘) —---f H ² ~ ^    —

v 1    ' GEc ¹    6 Ec

A<fi = A<p₀-\- (M + M‘)

g 2-ß If

25

26

2 P a (l — a) .

3 Ec o

Aus diesen Gleichungen wären II, M, M' zu bestimmen, wenn man ß berücksichtigen wollte.

Aber auch ß pflegt in praktischen Fällen so klein zu sein, daß man es im allgemeinen vernachlässigen kann (§ 43). Alsdann ergeben sich aus 24—26 für parabolische Bogen ohne Gelenke im allgemeinsten Falle:

Ec

15

(1 + 66)4/-^ o

2 P a² (l — a)² +

15 Ec

a x l — Al

(1 + 6 t) 2 l f

27

§ 45. Formänderungen symmetrischer Parabelbogen.

319

3 Ec

ax l — Al

(.1 + 6 s) 2 P 0 2 Ah

2 P a (l — »)² (5 « —2 l - 12 £ l) +

(1 + 6 e) l

— 3 A<p₀ + Acpi + 4e

( ³~T" - ² 4>o — 4 9P;jj ,

28

AP =

(1 + 66)223    ₀

2 P cP (l — «) (3 l — 5 a — 12 s l) +

3 Ec

a x l — Al

5--

2 Ah

+ 34 9P; — A(p₀ — 4 e

(-³y— -2A<pl-A 9P₀^ j .

(1 + 6 c) l

Der Einfluß der Belastung allein ist durch die Glieder mit 2 ausgedrückt.

29

§ 4o. Formänderungen symmetrischer Paralbelbogen.

Nach § 40 mit den in §§ 42, 44 berechneten Ausdrücken der Integrale § 42, 11)—13), also mit 6), 12) in § 42 und 10), 11), 16), 17) in § 44 können die Änderungen Ax, Ay, A(p von x, y, (f> für jede Stelle des Bogens berechnet werden. Am häufigsten interessiert die Änderung A y in der Bogenmitte, welche wir deshalb hier spezieller ins Auge fassen wollen. Wird bei x = m — ~ gesetzt Ay —

Af= — e, so bedeutet e die Einsenkung (Durchbiegung) in der Bogenmitte. Neben dem allgemeinen Ausdrucke derselben werden wir ihren Wert für beliebige zur Bogenmitte symmetrische Belastungen ableiten, da die betreffenden Formeln einfacher sind und selbst bei Ableitung von Einsenkungen für unsymmetrische Belastungen Verwendung finden können, während auch das Eigengewicht im allgemeinen eine symmetrische Belastung darstellt.

Die Einsenkung in der Trägermitte ist nach § 40, 18), 20), 23) im allgemeinsten Falle:

e= D + r₂- atf —

to

4 9om,

worin nach denselben Gleichungsgruppen die Änderung des Winkels cpm in der Bogenmitte (bei Öffnungen mit drei Gelenken unmittelbar vor dem Scheitelgelenk):

4 <pm =    -\- Zn Cp₀ ,

und alle Y, Z für x = m gelten. Wir haben also bei Berücksichtigung von

v — y j m‘ — M+ 2 P(l — .)]

k f l    i m    1

H -A- + 2 P (i — «) - -- 2 P (l - 2 c*)2 (l + a) ] ,

8W [M+M‘ + *B(r-f) + 2P(l-«)-{f PH - 2 ff)*] ,

nach § 44, 10), 16):

Y1 =

V>- r

----- 2 M + M —

24 Ec L

und nach § 44, 11), 17):

-— [33/+ M‘ — H ⁸— 4- 2 P {l — a) — — 2 P (l — 2 a)²l ,

8Ec L    3^0    1 0    J

7 r    ?    1 m    1

Z₂ ⁼ 4 Ekr* [M+M‘ + *H(r-f) + 2PQ — a)- — 2P(l-2 «)²J ,

Durch Substitution dieser Ausdrücke in 1, 2 ergeben sich mit den Bezeichnungen § 43, 1), 2), 4):

(1 + 3 ?) 2 P (l - «) -

aVT [<2 + s 0 Jf ■+ (i + 2 S) JT - (i - +) B +

2 P {l - 2 «)² —

2 P a (l

1Y 0

\i c [(3 + 2 ?) M + (1 + 2 g) M‘ - (l -1 + 2? ™

- 2 «)²]

⁸L

to

4 5Vm ,

(1 + 2?)ÜP(!-«)-

Ul    -I

2 P (l — 2 a)² + A <p₀ ,

0    J

und durch Verwendung des letzten Ausdrucks im vorletzten:

i .

-arf — -^A(Po-

48 Ec

(-V)

«) -

u^7[-wVa(Sl2-iaZ) + ~^^Pa(l-

(2 + 3 M + (1 + 3 g) 3f'] - « i    A <pm ■

Im folgenden denken wir uns das für elastische Bogenträger gegen 1 wohl immer verschwindend kleine £ vernachlässigt (vergl. § 43 und VI M).

Öffnungen mit zwei Gelenken.

Für Öffnungen mit Endgelenken haben wir M — M' — 0 und nach § 44, 25):

6 Ec

A Je

A(Pi = —

wTomit nach § 44, 26):

4gc-₀ =

A Je

2 P a (l — a) (l + a),

6

Die Einsenkung in der Bogenmitte durch beliebige Belastung, eine Temperaturänderung z und kleine Bewegungen der Stützpunkte folgt nun aus 4:

Ec

2 Pa (l — a) (2 1 — a) .

i r m    l

«S7 (f ² ”>S-fP«-«'<*-

worin 11 durch § 42, 18) bestimmt. Speziell für symmetrische Belastung erhält man in der S. 79 erwähnten Weise:

8 l a + 4 ci²) — (5 —

iß)HfJ*\

— a t f---

2 P (l — a) (?2 _ 8 l a + 4 <fi) = — l 2 P (P — 12 l a + 12 a2)

und damit einfacher:

¹

P (x — a)¹ (4 Ix — 3 x¹ -{- 2 la — 2 x a — a¹) 1 ,

o    J

und für Öffnungen mit Endgelenken in gleicher Höhe wegen

l ¹

V= — 2P(l— a) ,

A Je

1 rm

- \2 P a (3 ?2 _ 4 (<2) _

24 Ec Lo

wie wir auch aus 5 entnehmen konnten, da bei symmetrischer Belastung A <pm

Ah .

nur von A k abhängt imd gleich — ist.

Öffnungen ohne Gelenke. Für diesen Fall erhalten wir aus § 44, 25):

A Je

ehlf<* + *>»

2-ß fl

10

A<pi =

und hiermit nach § 44, 26):

A h

4 epo = —t--(M‘ + 2 M)

Durch Substitution des letzten Ausdrucks in 4 ergibt sich die Einsenkung in der Bogenmitte durch beliebige Belastung, eine Temperaturänderung r und kleine Bewegungen der Stützen:

1 r”¹    ^    -i    aj.

. o-VT- U? P (l - 2 o)3 — 2 P (1 — a) (l 2 — 8 l a + 4 a 2) — (5 — 4 ß) S f 12 + (M + M‘) 3 12 — a % f--- , 12

48 E C L 0    0    J    2

worin H, M, W durch § 44, 24)—26) und bei Vernachlässigung von ß durch § 44,

+ (M+ 2 AI‘)

6 Ec

6Ec

6 Ec

1 ¹

^ n =-r 2 Pa(l — a) (21 — a) . Ec 6 Ec l o

11

§ 45. Formänderungen symmetrischer Parabelbogen.

321

27) —29) bestimmt sind. Speziell bei symmetrischer Belastung folgt aus 12 mit dem über 9 angeschriebenen Summenwert:

13

1 r)W    Ft _ Aß    Alf

24^7    Hfl* + (M+ M‘) —

und beispielsweise durch die Belastung allein bei Vernachlässigung von ß:

<? =

1

„ — Ur«² (31

24: Ec Lo

— 4 ci) —

14

Mit M — M' — 0 gehen die Gleichungen 10—13 in 6 — 9 über.

Öffnungen mit drei Gelenken.

Nach § 40, 26) hat man zur Berechnung von Acp₀, A cpr und des Sprungwerts co = A<pn— A cp₀ von Acp beim Zwischengelenk wegen h — 0:

A l = ct t Z —i — 36 2 H“ f *

Ak = lA <P{ — Vi — W₂ — v y ’

Acfi = A cpQ -f- 3i + 82 + w •

Diese Beziehungen, abgesehen von den mit co behafteten Gliedern, wurden für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos 90 durch § 44, 24)—26) ausgedrückt. Denken wir uns den rechten Seiten letzterer Formeln cof bezw. — co [ lind co beigefügt, So liefert bei Beachtung von M — M‘ — 0 die erste derselben:

« + H(1+.₎jün

f ^ v ^ J 15 Ec

3 Ecl² 2 P a (l — a) {l² -f- l a — a²) -(-

3 Ec 0

2 P a (l — a) —

all

damit die zweite:

. Ak , Al ⁴ 9Pz = -T + -„-3-

2f

GEcl² 0

2 Pa* (l — a) +

2 P a (l — a) —

a z l ~2f’

16

und hiermit die dritte:

A<p₀ =

"-AL+b-

If fl—4 e

Ec

15

I)

2 Pa (l — a)3 —

axl

17

2 P« (Z — a) -f-

GEcl² 0

Substituieren wir den letzten Ausdruck in 5 so folgt die Einsenkung in der Bogenmitte durch beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderung z und beliebige kleine Bewegungen der Stützpunkte:

6Ec 0

1

— \ 2 P (l 48 Ec Lo

4 l    l

a) -f- —- 2 Pa (l — a)³ + 4 ß l 2 Pa (l — a) -f-t o

— 2 a)3 — l² 2 P(l —

(7+_32® + 4^ Sfl2j _«T (V + -~r)

worin H durch § 19, 5) bestimmt und also nur von der Belastung abhängig ist. Speziell bei symmetrischer Belastung erhält man in der S. 79 erwähnten Weise:

lAl Ak

18

2 P(l — a) = l 2 P

2 P ci (l — a) = 2 2 P ci {l — a) ,

2 Pci(l — ci)* = 2 Pct(l* — 3 1* a + 4 i a2 _ 2 «3);

womit bei gleichzeitiger Verwendung von § 19, 28) aus 18) die einfachere Gleichung entsteht:

lAl Ak

m    m

1*2 Pa + ß 1*2 Pa {l —

Liegt gerade in der Mitte eine konzentrierte Last, so ist in den Summen

2 von 9, 13, 19 dem Begriffe der Symmetrie entsprechend nur die Hälfte der-

0

selben aufzunehmen.

Die nunmehr mit Berücksichtigung von e, ß erhaltenen Gleichungen lassen

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

GEcl

i.i

if

19

21

im Hinblicke auf § 43 erkennen, daß bei der praktischen Berechnung der Formänderungen elastischer Bogenträger im allgemeinen ß = 0 gesetzt werden darf, was bei Anführung obiger Gleichungen im zweiten Abschnitte geschehen ist.

§ 46. Horizontalschub von Zweigelenkbogen mit beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten.

Entsprechend dem auf S. 316 Gesagten drücken wir nun den Horizontalschub von Bogen mit gleich hohen Endgelenken ohne Zwischengelenk für beliebige Querschnitte und beliebige symmetrische Achse aus. Den Ausgangspunkt bildet die erste Gleichung 19 des § 40 mit k — 0 und § 40, 11):

-f

0

~EJ ydS~

EF

atl,

worin bei unveränderlicher Spannweite Al = 0 ist. Bei Ausführen des häufig vernachlässigten zweiten Integrals denken wir uns anstatt der wirklichen Bogenachse einen Kreisbogen von gleicher Spannweite l und gleichem Pfeile f wie jene, also vom Radius

JL + L

8 f '    2

zugrunde gelegt (über die Zulässigkeit dieses Verfahrens siehe S. 314 oben), womit wie im analogen Falle des § 42:

v — f

dx + y d<p =-—

r

und bei konstanten E und a z für den ganzen Bogen Gleichung 1 zunächst in folgende übergeht:

EA l

-yds —

-J- + El st .

J₃

' //?

u₂

°A

vA

m-L

2

Fig. 218.

Wird nun der Bogen in eine genügende Anzahl gleich oder verschieden langer Felder geteilt (z. B. durch Querschnitte oder Vertikalebenen), für welche die Achslänge c, deren horizontale und vertikale Projektion A, ij, und die Mittelwerte von x, y, F, J (z. B. die Werte in den Feldermitten) wie in Fig. 218 bezeich-- net sind, und beziehen sich die Summen ^ 2 in den folgenden Gleichungen auf alle Felder zwischen den angesetzten Summengrenzen, so liefert 3 zunächst:

0 J    r

Nach § 20, 3)—5) hat man in jedem Felde:

EAl =

atx

---1- El ct z .

F

Mx — Vx — Hy — 2 P (x — a) ,

womit aus 4):

-M'H

E Al =

aj- |Vx — Hy — 2 P (x — «)j — -

-~J. J - - f Vx — Hy — 2 P (x — a)l + E l a t . r2 0 L    0    1

Durch Auflösen dieser Gleichung nach H ergibt sich mit den abkürzenden Bezeichnungen

§ 46. Horizontalschub von Zweigelenkbogen mit beliebiger Achse.

^ oxy r — f ^ r\ r — f ox

~jL jl_

o F r² o F ’

323

to =

A] o

o y² , r -J ' r

r~f

2 P=PX, o

der gesuchte Horizontalschub bei beliebiger Belastung beliebiger Temperaturänderung t und beliebiger kleiner Änderung Al der Spannweite:

/s-+-

Wie ersichtlich, sind v, w nur von der Bogenform und den Querschnitten abhängig, so daß sie nur einmal berechnet zu werden brauchen, während in V, Px, Px die Lasten auftreten. Es bedeuten

2 P (x — a) = Sx

H = — I Vv —

w L

Al o

VLoJFFxJr^rfTSx + Elax

— em \ .

r= ±-2p<j -«) = -£,

die Vertikalreaktion bei 0, Px die angenommene Gesamtlast von 0 bis x, Sx das statische Moment dieser Gesamtlast in bezug auf den Punkt x.

Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit hat man nach § 18:

ul

Px = U X ,

und damit nach 8 den von dieser Belastung allein herrührenden Horizontalschub:

2 tv

10

worin nur von der Achsform und den Querschnitten abhängt:

r — f ^ rj x ---f ^ a cr²

””    o ~F~‘

J ayx²

11

Für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a allein hat man in 8:

Px = 0,

F = p>

x — 0 bis x = a x — a „ x — l womit zunächst folgt:

von

Sx — 0,

Sx = P (x a),

II =

[GM'

Al o

a xy

r — f __r — f

r² ö

r~J~ jr (*-«>].

Oy

— (x — a) +

und mit Eücksicht auf 2 —

2 2:

o a

p L, ..Gv °xy r-f “ v r-f ox\ ,

B= ~wi[{l~a)\o    ---~f) +

(l a(l — F)y , r — f l ^ r — flo(l — x)\'\

“Io-J- ⁺ “T“    ) J •

O MS

12

Im nächsten Paragraphen wird gezeigt, daß vielfach bei hier m Frage stehenden Bogenträgern alle Summen 2, welche F im Nenner enthalten, vernachlässigt werden dürfen (S. 326), womit nach 8 im allgemeinsten Falle:

Vv

Sx-\- Elax — EAl\

13

mit

Speziell für eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit auf der ganzen Spannweite gilt nach wie vor Gleichung 10, jedoch jetzt mit

Cf y x²

15

während für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a nach 12:

P r    2 cs x y

H = --\(l — a) 2

w l L    0

Aus diesen Gleichungen sind alle Glieder, bei deren Berechnung die Bogenachse kreisförmig angenommen wurde (S. 322), weggefallen.

a (z — x) y i

J J'

16

§ 47. Horizontalsehub vollständig- symmetrischer Zweig-elenkbog-en mit beliebig-er Achse und beliebig-en Querschnitten.

Wir wollen zunächst die Beziehungen des vorigen Paragraphen für den Fall spezialisieren, daß die Anordnung des Trägers einschließlich der Felderteilung vollständig symmetrisch zur Vertikalen durch die Trägermitte ist.

Man hat dann für je zwei symmetrisch zur Mitte liegende Felder (Fig. 219) gleiche Feldlängen A und gleiche Achslängen a, numerisch gleiche aber dem Vorzeichen nach verschiedene Vertikalprojektionen y a sin (p der letzteren, gleiche Ordinaten y l und gleiche Entfernungen x, l — x von den nächstgelegenen Stützpunkten. Mit Eiicksicht hierauf ergibt sich:

o J

if

■if

0<— —.....*

x

m"z

Fig. 219.

a xjy_ _

./

₌ ^Oxy_

0 j 0

./

während unmittelbar oder in analoger Weise weiter folgen im Ausdrucke § 46, 5) von v:

0 F

im Ausdrucke § 46, 6) von w:

= 12

1    o y²    a iß

2    -—— = 22 —— . o J

und im Ausdrucke § 46, 11) von z:

d y x²

.1

l :    m j

2—= 2 2—, o F    o F

2^-=2 2-HL,

0 F

₂S^L-2 i2-^JL+ß2^-

2= 2 2±* o F    o F

Damit lassen sich bei gerader oder ungerader Felderzahl aus den Verhältnissen der ersten Trägerhälfte allein berechnen:

v    O y r — f

~ 0 J r2

hH; CJ

w _ a iß

2 ° y ..... r~f (i 2 V    2

o J    r V o F

Mit diesen Ausdrücken von v, w, Iv—c gelten also jetzt die Gleichungen 8, 10 des vorigen Paragraphen.

= 12

vvj _ r-JL (i 2I1

F J >2 V 0 F

§ 47. Horizontalschub vollständig symmetrischer Zweigelenkbogen.

325

Speziell bei beliebiger symmetrischer Belastung hat man für 2 symmetrisch zur Trägermitte bei x, x' gelegene Felder nach §§ 49, 50:

+ Si = 2 Sx + S---— S,

und damit nach § 46, 8) durch jene Belastung allein:

s = ^\2^(^s-sx)-^2^Qx-^2^^S-sx)\,

P‘X-PX=2 2P,

u>

■J

worin Sx, Px, S durch § 46, 7), 9) bestimmt und auch gesetzt werden kann:

CI + x Qx

mit qx = 2p,

doch ist dann zu beachten, daß eine etwa gerade hei a = x angreifende Last P nur in einer der beiden Summen von 0 bis x und von x bis m aufgenommen werden darf. Gleichung 4 hätte sich auch aus § 50, 15), 17) mit M — 0 ergeben.

Hätten wir auf der ersten Trägerhälfte eine gleichmäßig verteilte Last von u, auf der zweiten eine solche von u‘ pro Längeneinheit, so würde nach § 18 aus § 46, 9)

3 ii -|- v,*

8

und für x zwischen 0 und m bezw. zwischen m und l aus § 46, 7):

Px —u X .

_

x 2    ’

(2 x — V) ,

Sx — ——- (4 x — V) +

(2 x — Z)² ,

Px-—^- +

Durch Substitution dieser Ausdrücke in §46, 8) unter Beachtung von 2 — 2    2

0    0 m

und des oben einleitend Gesagten erhält man den Horizontalschub durch die erwähnte Belastung:

l v — z u + u*

Diese Gleichung führt mit v! = u wieder auf § 46, 10), wie man aus letzterer Formel umgekehrt bei der jetzt vollständig symmetrischen Anordnung des Trägers auf 6 hätte schließen können.

worin jetzt:

Für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a gilt die Gleichung § 46, 12),

22 o(l — x)y _

o (l — x) y

./

SN o

o (l — x) y

_ v a (t — *)y

./

./

₌ isUL-is^. + 2^L, 0 J 0 J 0 J

nF o F o F

2< a 0 — x) _ J 0(1 — x) _ ® o (l — x)

o (l — x)

so daß wir erhalten:

m    a „ a a „

=>12---12— + 2 — ,

0 F o F

P r o x y

H= — \    ---

w L j

SN o

yl

St ©

r-f g o r* 0 F

326

IV. Ableitung statisch unbestimmter Größen, Formänderungen etc. und beispielswiese für a = m:

Es handelt sich nun darum, zu entscheiden, welche Glieder in den oben und in § 46 gegebenen Gleichungen unter Umständen (für steile Bogen etc.) vernachlässigt werden dürfen. Dies kann mit Zuverlässigkeit nur durch vergleichende Berechnungen geschehen. Hierzu eignet sich beispielsweise die mehrerwähnte Dourobrücke (Fig. 220), weil für sie alle in Betracht kommenden Größen nach Angaben von Seyrig¹ sehr genau berechnet werden können. Seyrig hat für die durch Vertikalen begrenzten Felder des Dourobogens die Längen X und unter Berücksichtigung der Achskriimmung in den einzelnen Feldern die Achs-längen a wie auch die ar, y in den Feldermitten und die F, J der wirklichen Querschnitte daselbst einschließlich der Beiträge der Füllungsglieder angegeben. Sie sind in den Kolumnen 2 — 8 der Tabelle S. 328, 329 mit den ebenfalls aus Seyrigs Aufsatz entnommenen Vertikalprojektionen 17 von a zusammengestellt, während die in den übrigen Kolumnen angeführten Größen aus denjenigen der Kolumnen 2—8 berechnet wurden. Alle Größen betreffen die zwei parallelen Bogen zusammen. Daß sie in Wirklichkeit für Fachwerk gelten, ist hier gleichgültig, da Voll wandbogen die gleichen Werte entsprechen könnten.

Man erhält nun nach § 46, 8), 10), 12) und obigen Gleichungen (Beisp. 94) beziehungsweise bei Vernachlässigung sämtlicher Glieder mit F im Nenner (Beispiel 42) folgende Werte des Horizontalschubs H und die Entsprechenden Differenzen im zweiten gegenüber dem ersten Falle.

Beisp. 94

72,111«

durch eine gleichmäßig verteilte Last von « pro Meter Spannweite durch verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von «, u' pro Meter auf der ersten und zweiten Bogenhälfte durch eine Einzellast P bei

Beisp. 37 72,848 «

Differenz

1,02%

36,056 (u + «') 36,424 (« + «')

1,02 „

a — 0

a — 23,75 m n = 26,75 „ o = 54    „

a = 64,4 „ a = 74,8 ,, « = 80 „

0,35656 P 0,38888 P 0,59425 P 0,63342 P 0,65263 P 0,65742 P Ea x

0,36012 P 0,39281 P 0,60038 P 0,63999 P 0,65941 P 0,66424 P Ear

1,00 „ 1,01 „ 1,03 „ 1,04 „ 1,04 „ 1,04 „

durch eine Temperaturänderung x des Bogens

durch ein Ausweichen der Widerlager um Al

Wir fügen diesen Werten bei die in analoger Weise berechneten Größen:

322,125

EAl

320,537

0,50 ,,

51540

EAl

51286

0,50 ,, .

Iv — z

159787

51540

18132662

3716629

160147

51286

18151388

3736066

0,22 % 0,49 „ 0,10 „

0,52 ,, .

Bei der Dourobrücke kommen nur an den in vorstehendem berücksichtigten Stellen o, mit Ausnahme von a = 0 und 80 m, Verkehrslasten auf den Bogen (Fig. 220, S. 327).    ,    .    „    .    .

Nach allen diesen Resultaten können in obigen Gleichungen und denjenigen des § 46 die Glieder mit F im Nenner für steile Bogen (vergl. S. 316) vielfach vernachlässigt werden. Wir haben demgemäß im vorigen Paragraphen die ein-

le Douro. Memoires et Compte rendu des travaux de la societe des

¹ Seyrig, I.e pont ingenieurs civils 1878, p. 741.

sur

Nach Porto TJ-

36Y>25

X-

fe&ixixjxlxixl:

I!

§!

fächeren Gleichungen 18 bis 16 gegeben und können nun beifügen, daß sich nach denselben für Bogen, welche zur Trägermitte yollständig symmetrisch angeordnet sind, zufolge 1 bis 8 aus den Verhältnissen der ersten Trägerhälfte allein berechnen lassen:

31,375

v = l 2j —— ,

o J

a y a.2

10

%-

28,75

X“

3 Xgf

l

i 0J'6lr - %

62,1

li

28,75

|j

i|!

X—

600'K--^ ^1 m'9s-—^

52,0

,ssa's

iii ! f ns !

X~

m's

iSis'e

,92l'C

Oft'8

28,75

^ \t

J* I

I II

'S- 1!

£$} li

li

Fig. 220. Maria-Pia-Brücke über den Douro.

Diese Werte sind natürlich auch in § 46, 10) und obiger Gleichung 6 zu verwenden, während aus 7 für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a folgt:

P f m o x y H = — -S--—

» Lo J

11

x-

Ifl

I I

<-

-sonn

37,375

MS35

x-

g M*axixlXIXiXlx

PI

I m

iii

<-

-S Nach Lissabon

37,315

35,365

-1!

1,1t _

*-

k-

15,135

v = 160

und aus 4 durch eine beliebige symmetrische Belastung:

2 a y f x

Beispiel 94. Horizontalschub eines symmetrischen Zweigelenkbogens mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal).

Für den Bogen mit Kämpfergelenken der Maria-Pia-Brücke über den Douro, welchem die in Fig. 220 und der unten folgenden Tabelle ersichtlichen Verhältnisse entsprechen, ist der Horizontalschub nach den in §§ 46, 47 gegebenen möglichst genauen Formeln zu berechnen: a) Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit; b) für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u' pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Bogenhälfte; c) für beliebige Einzellasten P bei a = 23,75 m, 26,75 m, 54 m, 64,4 m, 74,8 m, 80 m; d) für eine beliebige Temperaturänderung t; e) für eine beliebige kleine Änderung der Spannweite um A 1.

Mit l = 160 m und f — 42,65 m erhält man nach § 46, 2) r — 96,354 m, also r — f — 53,704 m, worauf mit Rücksicht auf die für den halben Bogen summierten Werte der nachstehenden Tabelle aus § 47,1), 2), 3) weiter folgen:

53,704 96,3542”

^1000,92

w = 2*25 643 +

53,704

06,354

- 2 • 335,59 -

389,07j = 159 787 ,

2 • 10369,3 = 51540,

53,704

96,3542

= 160 • 34 066 — 1 714 494 —

53,704

96,3542

12

(160*170,83 — 2*4663,87) —

(160*15135,3 — 796 257) = 3 716629 .

Maria-Pia-Brücke über den

Douro in Portugal.¹

Feld

-s

to jfe,

Hl

Oy

ff X

a.»2

(7.r³

Oy

ff?/²

Oy x

Oy ,t²

FA*

JA?

ooo^iosontf^ostoi—i

b-J b-J

H-* O

hP.rf5.^.05 05fcOtOfcOh—-JO tO 0051000^0^5005 05 fco 05 GO - I 05 *10 + bl ö o ÜtOlOiOlOlOOfcOOlOO

ort005050ooo5C5üTCnon

-H

CD bO IO IO io    CO*' C<f I—T cT

to

•    I—¹ b-J b—¹ h—i

p p poo p 05 00 00 GO 00 to o; -a'+'o oo'oo oo4-j4-i4—■ OlOOiOOlOOOClOlO

lalllllSlIl

o o ö'ö' o o" cTö" ö o" o"

^■rf5.ffi.05 05fcOfc5HHOO Oi CD OQOOiCOCOQOCOQOCi

fco

8 & pwopppjo B 2 00 05 C5 05 1^. OO + io'b, fco 4-* J—!J—? + tOtf-HOCOrtiOSH

S 2 £ SS 32 § S Sfg'2

fcO

«SSoSgSfeSSgg

r- o o io i—T th'i®'af cc"'«T

C^C^COCOr—

H~ OSVjOO-JCSfcOrfüOSI—1

O oj© pojojo 4) p 2 05 3 p po Aotooio +'+'+ GO GO o l—I w H H GC o W

fco

I—¹ 05 Ins fco I—I l—I G0tOG0 05-JtO05-Jrfi.fc0 if-OüiOMOocooon(-<i jop p joppp p 05 co

i— i— o -a    4+o+os'bo'+

217

2098

6392

14474

10009

39909

70580

113178

168957

223075

2-147368

CD'cD"CO"cd bO fcO "CD

296    276

773

2883    114 60    4555    181074    94,42    3092    3753    149182

2767    136,00    6684    328533    101.98    3758    5012    246340

2547    150,78    8926    528436    102,79    4147    6085    360232

2,278    158,55    11035    768036    96.24    4066    6698    466181

2 1,118 2-89,44    2-7155 2-572416 2-47,68    2-2034 2 3814 2 305160

8803

i—i

hOSMIOhhOhhmh

'05—i

05 os C5+-

fcO ^    05 tO In»

to+pocp ppprjop» 4—> ö + o+i oo 'cc io 'o'fco'eo ©ooaotirowtDHtooi

i> H CO 05 GO ^

r-H i> qo o <N

I—I 05 rfi- 5©

Für den halben Bogen

80

42,65

93,75

335,59 170,83 389,07

4663,87

15135,3

796257

10369,3 75,177 1119,87 47251 2574488 1000,92 25643

34066

1714494

16,509 221,01

9    10

11

12

13

14

15

16    17    18

19

20 21

22

23

24    25

Damit liefert § 46, 10) für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last:

3 716629 51540

und.§ 47, 6) für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten auf der ersten und zweiten Trägerhälfte:

u = 72,111 u ,

Aus § 46, 8) folgt für eine Temperaturänderung r:

E CC T 322,125 '

FL —

160

E cc % —

3 716629

2-51540

(m + «') = 36,056 O + ?«') .

51540

und für eine Änderung Al der Spannweite:

e A i 51540" ‘

Die Gleichung § 47, 7) können wir für a <C_

—T.f JA___r.~f |

o F r²

TI =

ff x

s-p-+« o J*

m auch wie folgt schreiben:

a Mg

Sie liefert mit den betreffenden Tabellenwerten für eine Einzellast P bei a — 23,75 m:

n —

51540 [

4758 —

53,704

96,354

85,09 —

53,704

96,3542

1472,0 + 23,75 (577,32

V    96

53,704 ä \1 -₄₂-266,04

0,35656 P,

bei a — 26,75 m:

5lSrl57M-bei a — 54 m:

53,704

96,354

94,39 —

53,704

96,3542

1868,4 + 26,75

^539,98

53,704

96,3542

250,34^ j =

0,38888 P,

pr= —

In a) b) sind u, u' pro Meter, in d), e) ist E pro Quadratmeter einzusetzen, Vergleiche mit den Resultaten der einfacheren Formeln siehe S. 326.

Beispiel 95. Zur Anwendung der Formeln für den Horizontalschub von Parabelbogen bei andern Bogen (Dourobriicke in Portugal).

Für den im vorigen Beispiel betrachteten Bogen der Dourobrücke sollen die dort verlangten Werte des Horizontalschubs nach den Formeln für symmetrische Parabelbogen von konstantem Jcos cp berechnet werden.

Mit Rücksicht auf die in der obigen Tabelle gegebenen Werte sind die Mittelwerte von J cos cp und F cos cp ausgedrückt:

±2j±

±2r±

— A, o

— I

51540 L

bei a = 64,4 m:

II =

17 469 --:

53,704

96,354

152,53

H=-

*.[*3554 -

51540 L    96,354

164,91--

- üS ,234'>+⁵⁴ (•*» - S “•")] -

10088,1 + 64,4 ^143,92

53,704

96,3542

53,704

96.3542

69,08

0,59425 P,

)]-

0,63342 P,

— X,

G

wonach mit den in Kolumne 25 und 24 für den halben Bogen gegebenen Summen:

221,01

80

= 2,762 65 ml,

16,509

= 0,206 36 qm ,

bei a = 74,8 m:

51540 L bei a — 80 m:

30252 --

53,704

96,354

169,95 —

53,704

96,3542

13 293,2 + 74,8 (47,68 -    23,03 jj = 0,65263 P,

⁴⁼⁴ = srrar [840ec “ HHr ¹⁷⁰'8S -

°³ 542 ¹⁵¹³⁵’³] ⁼ °’⁶⁵⁷⁴² P •

96,3

Im vorliegenden Falle kann übrigens bei a = 80 m keine konzentrierte Last angreifen, weil sich daselbst kein Knotenpunkt befindet.

221,01 16,509

Weiter erhalten wir nun nach den bereits in Beisp. 30 verwendeten Formeln:

160    42,65

8-42,65 ⁺    2

15 • 13,3872 f 53,704

96,354-42,65

= 1,270 67 8 = 0,005 447 ,

= 13,3872 qm .

= 96;354 m ,

8 =r

-)!=

0,004287 ,

8 • 42,65 5-53,704 *

i Alle Zahlen der Tabelle sind für Meter als Längeneinheit gegeben.

also für eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit:

_ 0,995461 ___

~ 1,004 287    8-42,65

und für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von w, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte:

M -f- u‘

1602

= 74,370 u ,

74,370 = 37,165 (u + u‘) ,

in beiden Fällen 3,13% größer als die im vorigen Beispiel berechneten möglichst genauen Werte.

Durch beliebige Belastung ergibt sich mit

5-160

1,004287 - 8- 42,65 • ft

(1 + e) 8 f l*

2,334 66

der Horizontalschub:

2,33466 i

2 Pa(l — d) (0,99455 l² + l a — a²),

worin im allgemeinen l² anstatt 0,994 55 l² gesetzt werden kann. Ohne diese Vernachlässigung von ß ergeben sich für Einzellasten

H = 0,330 80 P,

H = 0,368 56 P,

H = 0,635 89 P,

H = 0,693 44 P,

H = 0,722 72 P,

H — 0,72640 P,

P bei a = 23,75 m a = 26,75 „ a = 54 a — 64,4 „ a = 74,8 „ a — 80    „

Da ferner

gegen Beisp. 94 — 7,22 % - 5,23 „ 7,01 „ 9,48 „ 10,74 „ 10,49 „ .

15-2,76265

(1 + s) 8 f² _ 1,004287-8-42,652 — 352,670

so liefert § 20, 8) für eine Temperaturänderung z:

E a t 352,670'

und § 20, 90 für eine Änderung der Spannweite um Al:

15 c

11= —

EA l

EM

56427 ’

352,670-160

in beiden Fällen 8,66% kleiner als im vorigen Beispiel.

Die hier und in Beispiel 38 nachgewiesenen Differenzen sind für definitive Berechnungen zu groß (vergl. Beispiel 45, S. 168), weshalb man in ähnlichen Fällen, wenn es auf Einfachheit ankommt, zweckmäßiger wie in Beispiel 37 rechnen wird. Siehe die Vergleiche S. 326.

Aufgabe 32. Bogen von beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten mit Zugstange.

Den Horizontalschub H des bezeichneten Bogens zu berechnen (Weiteres über Bogen mit Zugstange siehe § 22, Beispiele 50, 116 Aufgabe 23 24, 38).

Für Zweigelenkbogen von beliebiger symmetrischer Achse hat man nach dem möglichst genauen Ausdrucke § 46, 8) im allgemeinsten Falle:

H= — (

IV \

Vv —

lc

•»J =>

Sx + El a T — EAlj,

worin v, w, Px, Sx, V durch § 46, 5), 6), 7), 9) bestimmt sind. A l aber ist bei horizontaler Zugstange durch § 22, 2), bei gesprengter Zugstange durch § 22, 3) ausgedrückt. Setzen wir nun

bei horizontaler Zugstange (Fig. 139) bei gesprengter Zugstange (Fig. 140)

i

<“ = ! + —

s

/* = H--;

w Fz ’

unter s, Fz Gesamtlänge und Querschnitt der Zugstange verstanden, so liefert der obige Ausdruck von H in beiden Fällen durch beliebige Belastung:

o^j~Sx +    + —r/~ f "F ’

und durch beliebige Temperaturänderungen r, xz von Bogen und Zugstange:

ie .

CC(X- TZ) .

Durch gleiche Temperaturänderungen von Bogen und Zugstange entsteht also kein Horizontalschub. Gleichung 8 ergibt mit den S. 323 angeführten Werten von V} Px, Sx für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit:

’

und mit den S. 325 angeführten V, Px, Sx für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Bogenhälfte:

l V — z u + u'

f*

4, iv

worin z durch § 46, 11) bestimmt.

Für den Fall, daß die Glieder mit F im Nenner gegen die übrigen vernachlässigt werden sollen (vergl. S. 326), tritt an Stelle von 3:

während hierin wie in 4—6 alsdann v, w, z gemäß § 46, 14), 15) bestimmt sind:

v °.'/ x2

z = 2j--— .

o y²

J ’

(Siehe auch S. 327 oben). Alle Formeln gehen mit {u — 1 (Fg = oo entsprechend) in die für den Zweigelenkbogen mit unnachgiebigen Widerlagern geltenden über.

§ 48. Formänderungen von Bogen mit beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten.

Das Allgemeine über die Berechnung der Formänderungen von Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten ist in § 40 gegeben. Im folgenden denken wir uns wie in §§ 46, 47 den Bogen in eine genügende Anzahl Felder geteilt, für welche die Mittelwerte von x, y, J, F, Mx, Nx in Rechnung gezogen werden. Der Fall, daß ein Zwischengelenk vorhanden ist (Bogen mit drei Gelenken), bleibe zunächst ausgeschlossen, er wird unten seine Erledigung finden.

In den Gleichungen 18), 20) des § 40 können nach § 47 für gewisse Fälle

die Werte

0

-/(*+4)

0

-/(»+*)

0

d x + y d <p

EF

d y — x d cp

EF

vernachlässigt werden. Wir wollen zunächst keinen Gebrauch hiervon machen, jedoch wie in §§ 42—47 der Berechnung dieser Integrale auch dann einen Kreisbogen vom Radius zugrunde legen, wenn der Bogen nicht kreisförmig ist (vergl. S. 814 oben). Alsdann hat man § 42 in obigen Ausdrücken:

d y — x d <p — — d s ,

r — f

d x + y d (p =-

r

und demgemäß nach § 40, 18), 20) mit § 40, 11)—18) und der Bezeichnung

wx

die Änderungen von x, y, cp allgemein:

Atx

Ay =

1 x G 11 .    1 X O X

x A<p--— 2 ——- Mx —

Xj o J

1 x G

Die hierin auftretende Änderung A <p₀ des Winkels <p₀ (Winkel cp bei x = 0) ergibt sich aus 5 mit x = 1, nachdem die Änderung A cpr des Winkels cpi (Winkel cp bei x = l) aus 4 mit x = l bestimmt ist. Die Ausdrücke lauten, wenn

gesetzt wird:

(nx +

A<pi =

A k 1 i, o (l — x)

—n f-

I ~ l E o J    2r E

■I

AIx

2rE ’

Jedoch ist A cp₀ für einfache Bogen nur dann zu berechnen, wenn Kämpfergelenke vorhanden sind, da für Bogen ohne Gelenke unter Voraussetzung vollkommen festliegender Endquerschnitte A <p₀, Acpt den Wert Null haben, und ohne jene Voraussetzung die angenommenen A q>₀, Acp₍ einzusetzen wären. Wenn die Stützen in gleicher Höhe bleiben, ist natürlich für Bogen mit und ohne Gelenke A k = 0.

Wir wollen wie in § 40 noch besonders die Einsenkung in der Bogenmitte, d. h. e — — Ay bei x — ~ — m ausdrücken. Nach 4 hat man für dieselbe:

if VT^⁺2rj;

worin nach 5 die Änderung von cp bei m:

x* + T*Wm’

1 m a

./

^ cprn — A <p₀ -(- —-2 — e o

sodaß man auch schreiben kann:

i ”* o(2 x — n „ i .

e = YJS₀-T—**-ta*°-

Hierin ist für Bogen ohne Gelenke bei vollkommen festsitzenden Endquerschnitten A <p₀ = 0, während allgemein A cp₀ durch 7 ausgedrückt ist, womit bei

Beachtung von 2— 2 -)- 2 folgt:

oo m

1 r”* ax ¹

•”«[f ~M-⁺i

A Je

10

--a t f .

Setzen wir den gewöhnlichen Fall voraus, daß nicht nur die Bogenachse, sondern die ganze Anordnung des Trägers einschließlich der Felderteilung zur Trägermitte symmetrisch ist. Dann sind in 10 die

von m bis l gleich den °y der symmetrisch dazu liegenden Felder von 0 bis m,

Ar E

o (l-x)

für die Felder

womit sich die Berechnung besonders dann vereinfacht, wenn symmetrisch zur Trägermitte auch gleiche Momente Mx auftreten. So erhält man aus 10 die Einsenkung durch eine beliebige symmetrisch zur Mitte liegende Belastung allein:

¹    y ax    Ir ,

e —    - 2-4--,

E o J    irE ’

11

was, weil in diesem Falle A cpm — 0 und

II'

-₂- = TK'w

12

auch unmittelbar aus 4 zu entnehmen war. Berücksichtigt man, daß nach §1,3) allgemein:

Mx = M + Vx — Hy — Sx mit Sx = 2 P (x — a)

13

so läßt sich anstatt 11 setzen:

-1 (X%UL

E V 0 J

tn

--HS

° MS

14

welche Formel mitunter für die Anwendung bequemer ist.

Die Gleichungen 11, 14 können auch bei unsymmetrischer Belastung zur Verwendung kommen, wenn berücksichtigt wird, daß die Einsenkung in der Mitte durch eine beliebige Belastung halb so groß ist als die durch eine mittels Verdoppelung dieser Belastung (Übertragung symmetrisch zur Trägermitte) her-gestellte symmetrische Belastung. Formel 12 drückt W bei symmetrischem Träger immer dann aus, wenn die Mx, Nx zur Mitte symmetrisch liegen, also beispielsweise auch bei Berechnung des Einflusses von r oder A l allein, doch sind in § 50 noch andere Ausdrücke von W gegeben.

Da die Glieder mit W, Wx in obigen Gleichungen durch Berücksichtigung von X₂, F₂, Z₂ in § 40, 18), 20) entstanden sind, so hat man sie selbstverständlich gleich Null zu setzen, wenn bei Berechnung von H für Bogen mit zwei Gelenken bezw. von H, M, M' für Bogen ohne Gelenk die X₂ bezw. X₂, F₂, X₂ vernachlässigt werden (vergl. §§ 47, 49).

Es ist nun noch festzustellen, welche Abweichungen gegen vorstehende Formeln eintreten, wenn sich bei x = m = 1/2 ein Zwischengelenk befindet. Alsdann bleiben mit den Bezeichnungen 1, 2 die Ausdrücke 3 bis 5 zwar für x zwischen 0 und m ungeändert, für x zwischen m und l dagegen wären zufolge § 40, 25) den rechten Seiten von 3—5 bezw. cof,— com, co beizufügen, womit anstatt 7, 8 folgen:

A Tc

15

AV°=~l

A 7c

worin der Sprungwert co = Acpn — A cpv der Winkeländerung A cp bei in nach 3 mit x — l unter Berücksichtigung von co f:

17

6) = —

l Al ATc

--a t

("fr

18

4 fE

Bei vollständig symmetrischer Anordnung des Trägers sind hierin wieder die

auf der ersten Trägerhälfte, so daß dann

die Einsenkung des Dreigelenkbogens durch eine beliebige zur Trägermitte symmetrische Belastung allein anstatt durch 11 ausgedrückt ist:

—auf der zweiten gleich den

4 fE ’

e=X- \2ax-»x__¹-2^-Mx]

E Lo J    2f o J J

worin W durch 12 oder § 50 bestimmt. Durch Einsetzen von AIX nach 13 kann auch die 14 entsprechende Gleichung gebildet werden. Beide Ausdrücke sind in der zu 13, 14 angegebenen Weise auch bei unsymmetrischer Belastung verwendbar.

Im folgenden sollen noch einige speziellere Formeln angeführt werden. Bei Vernachlässigung des Einflusses von X₂, V₂, Z₂ wäre auch in diesen W— 0 zu setzen.

Öffnungen ohne Gelenke.

Es gelten die Gleichungen 1 bis 14. Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit sind

V == —

_ HX* x 2 ’

so daß man nach 14 die Einsenkung durch eine solche ausdriicken kann:

°M§

2H”' axy u o J

irE

20

Hierin sind M, H, W durch § 50, 19)—21) und wenn W vernachlässigt wird M, H auch durch § 49, 18)—21) bestimmt. Eine Temperaturänderung r allein bewirkt nach 10 mit Mx — AL — Hy:

m ™ o_x_ _ h £ axy E o J

i ir

-I--— CC T f

¹ 4:rE    '

21

worin M, H, W durch § 50, 32)—34) und bei Vernachlässigung von W, M, H auch durch § 49, 36), 37) bestimmt. Durch Änderungen Al, Ak der Spannweite und Stützhöhen ohne sonstige Verdrehung der Endquerschnitte folgt ebenfalls nach 10 mit Mx = M— Hy:

IW Ah irE 2~ ’

_ H % axJL

E o

worin AI, H, W durch § 50, 39), 40), 34) und bei Vernachlässigung von W die AI, H durch § 49, 41), 42) bestimmt. Bei beliebigen A go₀, A<pl würde Mx für symmetrisch zur Trägermitte liegende Querschnitte nicht gleich sein, so daß alsdann 10 mit Mx = AL — Hy und AI, H, W nach § 50, 35)—38) bezw. § 49, 38)—40) zu verwenden wären.

22

Öffnungen mit zwei Gelenken.

Es gelten die Gleichungen 1 bis 14 und für gleichmäßig verteilte Last auf der ganzen Spannweite, eine Temperaturänderung t und beliebige kleine Bewegungen der Stützen die Gleichungen 20 bis 22, sämtlich mit AI — 0, wie auch in den aus § 50 angeführten Ausdrücken von W die Stützenmomente AI = AL' — 0 zu setzen wären. Wenn jedoch, wie für Bogen mit zwei Gelenken bei Berechnung von fl oft zulässig, die Wenthaltenden Glieder auch bei Ermittelung von e vernachlässigt werden (Glieder mit F im Nenner, vergl. 326), dann folgen durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von ti pro Längeneinheit allein:

u ( ™ daß 2 H e = --    ■    12 —----

2E \ o

./

23

mit H nach § 20, 25), ferner durch eine Temperaturänderung r allein:

H ™ axy

--2 -— — arf,

E o J

mit H nach § 20, 16), und für kleine Bewegungen der Kämpfer, durch welche die Spannweite um Al vergrößert (bei Verkleinerung Al negativ) und der Stützpunkt l gegen den Stützpunkt 0 um A k erhöht wird (bei Erniedrigung A k negativ):

24

H V} a x y Ah e =--— 2,

25

mit II nach § 20, 17). Inwiefern die erwähnten Vernachlässigungen berechtigt sind, müssen Proberechnungen zeigen (Beispiele 39 u. 96).

Öffnungen mit drei Gelenken.

Die allgemeinen Gleichungen sind S. 333 nach Formel 14 gegeben. Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit liefert 19 mit Mx nach § 19, 21).

./

ff acß

_ß_ ff axv\

4f o J )

’f)

26

ifE

4 f o

worin W durch § 50, 21) mit M— 0, H = " -bestimmt (§ 19). Speziell bei parabolischer Achse wäre nach § 19, 22) Mx = 0 und damit nach 19:

IW ifE '

Durch eine Temperaturänderung r allein entsteht nach 18 wegen Mx — 0, W — 0:

27

/ , P

und durch kleine Bewegungen der Stützpunkte allein, welchen die zu 25 erwähnten Änderungen Al, Ak entsprechen:

lAl Ak

28

Beispiel 96. Genauere Berechnung (vergl. Beisp. 39) der Einsenkungen eines Zweigelenkbogens von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Dourobrücke in Portugal).

a) Durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit hat man nach § 48, 20) mit M— 0:

Für den Bogen der in Beisp. 94 behandelten Dourobrücke die Einsenkung e in der Mitte möglichst genau zu berechnen: a) für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit; b) für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u' pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte; c) für eine zur Mitte symmetrische Belastung, welcher bei den Abszissen a = 23,75 m, 26,75 m, 54 m, 64,4 m, 74,8 m die Lasten P= 63400 kg, 63400 kg, 62400 kg, 47000 kg, 40500 kg entsprechen; d) für eine einseitige Belastung gleich der im Falle c) auf einer Trägerhälfte angenommenen; e) für eine Temperaturänderung r = + 30°; f) für eine Änderung der Spannweite um Al — 0,01 m und eine Senkung des Stützpunktes 0 gegen den Stützpunkt l um Ak = 0,01 m.

ii

ff er .r²

1 2j -———

worin nach § 50, 21):

ff ax 3 o    =

/ ir

Bei den in Beisp. 39 zugelassenen Vernachlässigungen (von V₂, F₂, Z₂ in § 40) hätte 1 mit H— 72,848 u und W — 0 wie in Beisp. 39 ergeben e = 0,269 cm, um 82,59 % zu klein.

b) Da bei gleichmäßig verteilter Last auf der ganzen Spannweite die Belastungen beider Trägerhälften gleichviel zur Einsenkung in der Trägermitte beitragen, so hat man für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u' pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte mit Rücksicht auf das Resultat unter a)\

e = 32 184

c) Für die unter c) vorgeschriebene symmetrische Belastung hat man nach § 48, 14) mit M = 0:

e = ±(v2 — - HS axy-E \ o J

SxJ +

IW

4 rE ’

worin nach § 50, 17), 18):

-=hsa_

0 *

z2UL + 2JLrx + ±2JL(

r o F o F    r o F \

Im vorliegenden Falle sind die Vertikalreaktionen der Kämpfer:

V = 2-63400 + 62 400 + 47 000 + 40500 = 276 700 kg,

und der Horizontalschub nach Beisp. 94:

H = 2 (0,356 56 • 63 400 + 0,388 88 • 63 400 + 0,59425 • 62 400 + 0,633 42 • 47 000 + 0,652 63 • 40 500) = 281089 kg

während die Gleichungen

rx = v — 2 p,

xV—Sx .

Sx = 2P(v- a)

für die einzelnen Felder liefern:

bei x — 2,80 m 8,40 14,10 20,40 25,25 31,00 39,75 49,15 59,20

Vx = 276 700 kg 276 700 276 700 276 700 213300 149 900 149 900 149 900 87500

S* = 0

69,60

40500

80

63400.1,5 = 95100 mkg 63 400 ( 7,25+ 4,25)= 729100 mkg 63400 (16,00 + 13,00) = 1 838 600 63 400 (25,40 + 22,40) = 3 030 520 63 400 (35,45 + 32,45) + 62 400.5,2 = 4 629 340 mkg 63 400 (45,85 + 42,85) + 62400.15,6 + 47 000.5,2 = 6 841 420 mkg 63 400 (56,25 + 53,25) + 62 400.26,0 + 47 000.15,6 + 40 500.5,2 = 9 508 500 mkg.

Mit Rücksicht auf die Tabelle S. 328, 329 erhalten wir weiter:

| Vx = 5675 117

5    724923 5910312

6    234051

1493070 30279 523 82130 262 141 979 862 223180 481 315 047 391 218 980 755

3 705 096 77 364801 210 703560 412150 720 698011885 1 084707141 850440240

1    983 690 3 284309

2    858 593 2572 284 1 083 250

204120

Summe

35 510 649

1013 091344

3 337 083 443

ff r) (m — x) u ff a x (l — x)

^^--r s—    -—-.

2 r o

— 72,111 u ^335,59 —    + u ^80-170,83 —4663,87 +

80 • 15 135,3 _ 96,354

u (24200 — 7833 + 13666 — 4664 + 12566 — 4132) = 33 803 u ,

und bei Beachtung der Tabelle S. 328, 329 Gleichung 1:

A- (80 • 47 251 — 1287 244 — 72,111 • 34 066) +

e = 36 303 A- + 28066 A- = 64369 —

E    E    E

als beispielsweise für « = 4800 kg, Z?= 2000000 kg pro qcm:

64369-4800 2 000 000 • 100³ 4

796257

2 • 96,354

80-33 803

96,354 E ⁵

= 0,015 45 m = 1,545 cm .

Aus 4 ergibt sich nun:

~ == 281089 ^335,59

10369,3

96,354

— 35510649 + —

276700 96.354

15135,3 —

1013091344

96,354

= 64054530 + 35510639 + 43464075 — 10514264 = 132 514 990 ,

und damit nach 3:

(276 700 • 47 251 - 281089 • 34066 — 3337083 443) +

80*132514990

96,354

161690383

110023447    271713830

also mit E =2 000 000 kg pro qcm :

271713 830*100

2 000 000 • 100²

cm = 1,359 cm .

Bei den in Beispiel 39 zugelassenen Vernachlässigungen hätten wir aus 3 mit H = 283969 kg und W = 0 erhalten e = 0,318 cm (in Beisp. 39 ergab sich bei anderem Vorgehen 0,320 cm), um 76,60% weniger.

d) Da bei symmetrisch zur Trägermitte liegender Belastung die Belastungen beider Trägerhälften gleichviel zur Einsenkung in der Trägermitte beitragen, so hat man für die unter d) erwähnte einseitige Belastung:

135 856915

e) Durch eine beliebige Temperaturänderung z entsteht nach § 48, 21) mit M = 0 die Einsenkung:

2 JLJ0.1L + 0 j

tq tl!

worin nach § 50, 34):

r-*H

Mit Rücksicht auf die Tabelle S. 328, 329 und den in Beispiel 94 berechneten Horizontalschub II

also nach 6:

322,125 W _ E a % ~2~    322,125

ergibt sich:

335,59 —

10369,3

96,354

E CC T

— "44130" '

a t • 34066

80 cc t

322,125

und mit a = 0,000 012, r = + 30°:

96,354 • 1,4130

— 42,65 cc t = — 147,816 a t

e =    5,321 cm .

Bei den in Beisp. 39 zugelassenen Vernachlässigungen hätten wir nach 6 und W — 0 wie in Beispiel 39 erhalten e — + 5,361 cm, um

E a t 320,537

0,75% mehr.

mit II —

_Ä_I

E o

l W _

IrE 2    ’

f) Durch eine Änderung der Spannweite um A l und eine Erhöhung des Stützpunktes l gegen den Stützpunkt 0 um Ah hat man nach § 48, 22) mit M = o:

worin nach § 50, 38) W durch 7 bestimmt. Da nach Beisp. 94 durch Al entsteht 11 = —

EAl

51540

während A k keinen Horizontalschub erzeugt, so folgt:

und nach 8:

E Al 2 ~ _ "51540

(^335,59

10369,3

96,354

E Al

226,079 ’

A 7*34066

80*4 l

51540

96,354 • 226,079 e — 0,6573 A l — 0,5 A fc,

und speziell für Al = 2 cm e — 1,3146 cm.

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3, Aufl.

mit II = zu groß.

Bei den in Beisp. 89 zugelassenen Vernachlässigungen hätten wir nach 8 , W = 0 wie in Beispiel 39 erhalten e — 1,8284 cm, um 1,05%

ea i

51286

Die obigen Vergleiche zeigen, daß die in Beisp. 39 zugelassenen Vernachlässigungen zwar bei Berechnung der Einsenkungen durch Temperaturänderungen und Stützenbewegungen, nicht aber bei Ermittelung der Einsenkungen durch Belastung berechtigt waren (vergl. die Bemerkungen zu Beispiel 39). Ebensowenig sind die Formeln zur Berechnung der Einsenkung von Parabelbogen mit konstantem Jcosq> für den Dourobogen genügend (vergl. Beisp. 97).

Beispiel 97. Zur Anwendung der Formeln für die Einsenkungen von Parabelbogen bei andern Bogen (Dourobrücke in Portugal).

Die in Beisp. 39, 96 verlangten Einsenkungen, welche dort nach den Gleichungen des § 48 berechnet wurden, für den Fall festzustellen, daß die Formeln für Parabelbogen von konstantem Jcos<p zur Verwendung kommen sollten.

a) Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit wäre die Einsenkung in der Trägermitte nach § 20, 58):

5 u lA

⁶ = 1 + £    384 E c ’

wonach im vorliegenden Falle mit l = 160 m, c = 2,762 65 m⁴, £ = 0,004287 (Beisp. 95):

5 u 160⁴

_ 0,004 287

C — 1,004287" 884 • 2,762 65 E

= 13185 - -

13185 u

E ~~ "2000 000 "lOO2 m

= 0,000 065 9 u cm

und für u = 4800 kg:

e — 0,316 cm ,

d. i. 17,47% größer als in Beisp. 39, aber 78,55% kleiner als in Beisp. 96.

b) Durch eine beliebige symmetrische Belastung entstände nach § 20, 56): l rm

„ - 2? P a (3 l⁶ — 4 «⁶)

24Ec Lo

worin zufolge § 20, 35):

25

und in unserm Falle:

(1 + e) 8 l o

2 P a (l — a) (l⁶ l a — er⁶)

51,4195 o

66,3036 E o

Da nun angenommen sind: a = 23,375 63400

so liefert die letzte Gleichung:

bei

2 P a 3 l⁶ — 4 «⁶ —

26,375

63400

(l — «) (l⁶ + a (l — a))

51,4195

54

64,4

62400

47000

74,8 m 40500 kg ,

(— 63 400 • 23,75 • 1865 — 63 400 • 26,75 • 1639 + 62 400 • 54 • 562 +

59870000 ’

— 2 000 000 • 1002 m

66,3036 E

47 000 • 64,4 • 11,69 + 40500 • 74,8 • 1442) =

59870000

e = 0,299 cm ,

6,56°/o kleiner als in Beisp. 39, aber 78,00% kleiner als in Beisp. 96.

§ 20, 61):

c) Die Einsenkung durch eine beliebige Temperaturänderung r wäre nach

woraus mit f — 42,65 m :

f ,25 l⁶ \

— a t \f-\---

V 128 f 1 + e )

e = — cc z

^42,65 +

25* IGO²

128 -42,65 -1,004 287

■)-

— 159,383 a z ,

und mit a = 0,000012:

e — — 0,001913 z m = — 0,1913 z cm , e = + 5,739 cm ,

beispielsweise für r = + 30°:

7,02% größer als in Beisp. 25 und 7,83% größer als in Beisp. 96.

d) Durch eine Änderung der Spannweite um Al ergäbe sich nach § 20, 63):

25 l A l e ~~ 128 f 1 + £ ’

also in unserm Falle:

25 • 160

128 *42,65    1,004287

= 0,7296 A l,

und beispielsweise für Al — 2 cm:

e — 1,459 cm ,

9,86% größer als in Beisp. 39 und 11,00% größer als in Beisp. 96. Vergl. die Bemerkungen zu Beisp. 39, S. 140.

§ 49. Horizontalschub und Endmomente des Bog-ens ohne Gelenke mit beliebiger symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten.

Nach § 46, .3) —5) hat man für x — l mit Rücksicht auf y — k = 0 bei Vernachlässigung von Wx (siehe am Schlüsse dieses Paragraphen, S. 343):

0 J

und durch Substitution von

A<n = A <Po+ ~

MX = M+Vx — Hy'— 2 P(x — a) o

mit der schon in § 46 angewandten Bezeichnung:

X

Sx — 2 P (x — a)

im allgemeinsten Falle (für beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderung und beliebige Bewegungen der Stützen):

= E l et r + M 2    + V 2 ° X y

0 j o J

J- a x

,    a y

---2 — - Sx ,

o •>

auch M‘ bestimmt ist. Für M — M‘ genügen die beiden ersten Gleichungen. Dies trifft insbesondere für den Einfluß symmetrischer Belastung, einer Temperaturänderung t und einer Änderung Al der Spannweite zu. Wenn die Endquerschnitte als unwandelbar festliegend gelten, dann hat man in 2—4:

A(pi — o.

Soll jedoch der Einfluß irgendwelcher Änderungen von l, k, go₀, ^berücksichtigt werden, dann sind die betreffenden Werte derselben einzusetzen (§ 40).

EA l

a .t²

Al = 0 ,

Ak — 0,

- H2

A <p₀ — 0 ,

Im weiteren wollen wir voraussetzen, daß nicht nur die Bogenachse, sondern die ganze Anordnung des Bogens einschließlich der Felderteilung zur Mitte symmetrisch ist. Dann treten die zu Beginn des § 47 erwähnten Vereinfachungen ein, so daß

sSfUL = liillL, 0 J

0 J

lax

2-

./

= 12

Setzen wir zur Abkürzung:

«Ms

C=2^,

o J

oJL

J ’ m a r

212-^- + 22 0 J 0

welche Werte nur von den Querschnitten und der Achsform abhängen, während Sxt S nach 1, 5 Funktionen der Belastung sind, so gehen die Gleichungen 2 und 4 in die folgenden über:

l a

D = 2 —— = Al 2 -

"f a x?

./

E Al = {M + M‘ +S)B-2HC-2 ° Sx + Elaz,

0 J

l G

E A(fi = (M + M' + S) A — 2 H B — 2 — Sx + E A gp₀ ,

0 J

10

während durch Addition der mit l multiplizierten Gleichung 4 zu der mit 2 multiplizierten Gleichung 3 folgt:

11

(2 x — l) Sx .

l E (2 A k — IA <p₀ — lA <fi) = p/' — M + S) (A f- — 2 D) + l 2

0

Aus diesen drei Gleichungen können H, M, M‘ berechnet werden. Wir wollen daraus einige direkt verwendbare Spezialformeln ableiten.

Verschiedene Belastungen.

Für eine beliebige Belastung allein erhält man mit r — 0, Al= Ak = 0,

Acp₀= Acpi = 0:

-j- sx (B — A >j) >

Sx(C-Btj), 2 1) — A V- f J Sx ('¹ ~

2 AC — -B²

M + .1/' + S =

A C — B''

2 x) .

12

13

14

Die Summen auf der rechten Seite können nach Bedürfnis zerfällt werden, so daß z. B.

Sx (-B — -A y)

1 G

= B2~ Sx o J

-A2-”- Sx .

0 J

Für eine beliebige symmetrische Belastung genügt zur Bestimmung der Momente M=M‘ die Gleichung 13 allein. Da jedoch

Sx = 2 P(x — ci) = x2 P — 2 Pa

2 Pa — 2Pa\

x 1

— 2 P (l — a) — (l — x) 2 P + (l — x) 2 P — 2 P (l — a) ,

0    0    X    X

so hat man alsdann für je zwei symmetrisch zur Mitte bei x und x‘ liegende Felder wegen

x‘ = l — X ,

l — x‘ = x ,

S = 2 P (l — a) = 1 2 P

(vergl. S. 79):

= SX + S — — 'S+2P(x — a) i o

⁼ 2 Sx + 8--— S,

und damit aus 12, 13 bei Beachtung von 7 für beliebige symmetrische Belastung:

AC — P²

(Ay-B),

15

2'

AC — B² o

6d

H⁶⁰

02

In diesen Gleichungen kann man auch setzen:

17

— 8 — Sx = 2 Pa + x 2 P,

doch ist zu beachten, daß eine etwa gerade bei a — x liegende Last P nur in einer (beliebigen) der beiden Summen rechts aufgenommen werden darf. Aus 15, 16 ergeben sich beispielsweise für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit mit

Sx =

(§ 16) der Horizontalschub und die Endmomente:

m a

2    - x (7 — x) (By — C)

n J

18

3f — 31¹ =

11

2(AC-B²) o

wofür man, die Summen 2 zerfallend, auch setzen kann:

rr    »    (    ™ ff X(l — X) IJ

2UC-B^)YAS₀

-B2

™ a x (7 — x) 1

J J’

19

20

M = M' =

ff x (l — x) y

Sr ff a? (Z — .r)

21

2 (P C— £²)

Für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a hat man in 12—14 nach 5 S = P(l— a), und nach 1:

(J

Sx = 0,

sx — P(x — a),

von x — 0 bis x — a „ x = a „ x = l womit wir zunächst erhalten:

JT = -

2 AC—B2 w

2 q — q)

./

(B-Ay),

22

3/ + 3P' -+- P (7 — (?) =

AC—B2„

./

(C — By),

23

3/ — M‘ — P (l — (?) =

P7

^ (T (x — (?)

(7 - 2 «) .

21

Hierfür können wir auch schreiben:

2 AC —B²

'S

a tM-=>

'S

KO

(M

3/ + M‘ + P (7 — a) =

AC — B-

26

M — M‘ — P (7 — (?)

PI

\i°‘

in

j (f- 2x)

(l-

2a-)J .

27

342

IV. Ableitung statisch unbestimmter Größen, Formänderungen etc. Weiter ergeben sich bei beliebigem a in 25:

a J

m G T

2 —JP (p — A y) -j- 2 off    o

Wff    m ₀y

l B 2 — l A 2 —~

0 ff    off

Ay) = 2

G X

— Ay) — 2 —— (B — Ay) = o J

(B — Ay) — 2 — -- (B — A y) = o

^ G X

Z^(B —Ay) =-2—-(B-Ay) t off    off

ff .K

- (B o ff

ff (2 — a-)

/ff    7

S—(B -Ay) = 2 -«ff    o

<a

(B-A y) -

y O

^ ~y

o ff

(B-Ay)

)» a    a

= 22 —— (B — A y) — 2 off    o

=1

(B — A y) =

ro

bo

K>

O Lvjg

(«--ly,

und in analoger Weise m 26:

2 --L (C — B y) = l (A C — P²) — 2 ° X «ff    0

(C-By),

= 2(AC — B*) — 2

(C-By),

sowie in 27:

1 G TC

2 —f- (? — 2 ^) = Z3 « ff

te

— 2 — (2 — 2x) .

Die Gleichungen 25—27 für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a nehmen damit folgende Formen an:

H-i-

28

M+M‘ + Pa =

A C — B²

[•

= M5

ff    .    " ax

-(C-By)-2-

••

(C-

B y)\,

PI

- 2 x)-2    (2 — 2 i)l .

30

Die Summen 2 in den Klammern kann man wieder nach Bedürfnis zerfallen oder vereinigen. In letzterem Falle erhält man:

if

2 IC- B-

ff (« — a:)

31

AC — B² o

J ff (« — a:)

(C - B y),

32

M — M‘ + P « —

PI

2D — AP

° Ms

ff (ft — x)

(2 — 2 a;).

Die Gleichungen 22—33 ergeben natürlich für a = 0 und a = l H — 0, M = M* — 0, und beispielsweise für eine in der Trägermitte angreifende Last P mit a — lj2— m bei Beachtung von 7, 8:

2{A C — B²)

-B2^\,

o ff y

34

35

2 (P C — P²)

Temperaturänderungen.

Für eine beliebige Temperaturänderung r (bei Zunahme r positiv) des Bogens ergeben die Gleichungen 9, 10 mit S— Sx — 0, Al= Ak — 0, A q)₀ = A <p{ — 0:

ABI

AC — B² 2

36

B Bl

A C — B² 2

37

B Al+ C(Acp₀-ÄCpi) A C — B²

39

§ 50. Genauere Formeln zur Berechnung des Horizontalschubs etc. Bewegungen der Kämpfer.

Für irgendwelche kleine Bewegungen der Bogenenden ohne Abheben der Endquerschnitte von den Kämpfern folgen aus 9—11 mit S = Sx = 0 und t = 0:

H= —

A A l + B (A — A <pi) E_

A C — H-

38

M — AI' =

2 Ak — l(A (p₀ + A cpi)

El .

40

Wenn jedoch nur eine Änderung Al der Spannweite (für Zunahme Al positiv), keine Höhenänderung der Stützen und keine Verdrehungen der Endquerschnitte stattgefunden haben, oder doch nur solche, für welche (vergl. S. 308 oben):

A <p₀ — A <pi —

dann sind einfacher ausgedrückt:

H = —

AC — B- “    2

41

M = M‘ = —

E Al

42

A C — B'⁷

Die in diesem Paragraphen zugelassene Vernachlässigung von Wx, d. h. von X₂, Y₂, Z₂ in § 40, welche sich in § 47 für die Berechnung des Horizontalschubs U gewisser Zweigelenkbogen als zulässig erwiesen hat, entspricht der Vernachlässigung von e bei Parabelbogen (vergl. §§ 43, 51). — Hierzu Beisp. 63.

,i

¹

l _ i aJL M | r~f w .

Ef o J x+ rfE

Gleichung 9 gilt auch für Bogen mit Zwischengelenk, während mit 15, 17 aus 9 an Stelle von 10 folgt:

rm g t    ^

\Z — Mx +2

L o    m

²

ff ay

³

— 2j ——--h- u 2j

⁴

0 F

⁵

Mit Rücksicht auf r = 96,354 m, die Tabelle S. 328, 329 und den in Beisp. 79 erhaltenen Horizontalschub H — 72,111 u liefert 2:

⁶

P a (l — a) (l⁶ l a — a⁶) .

Wir können damit schreiben:

⁷

h —lAfi S- Mx

E Q J

§ 50. Genauere Formeln zur Berechnung- des Horizontalschubs und der Endmomente des Bog-ens ohne Gelenke mit beliebig-er symmetrischer Achse und beliebigen Querschnitten.

Im folgenden soll von den im vorigen Paragraphen zugelassenen Vernachlässigungen abgesehen werden. Nach § 48, 3)—5) hat man für x = l mit y — k — 0:

w ———,

)• E ’

1    ¹ a //

= cc % l + — 2 —£■ Mx -

o J

w—-,

2 r E

A(fi — A cpo + -rßr Al — Mx + W

E o J

rE ’

worin:

Substituieren wir in diese Gleichungen entsprechend § 21, 4), 5), 6) und Fig. 218:

Mx = M -f V x — H y — -2 P (x — a) ,

= Vx sin 5P + M cos (p

JL

— + H— , a    a

so folgen mit den bereits in § 46 angewandten Bezeichnungen

Px = % P ,

Sx — 2 P (x — a)

für beliebige Belastungen, eine beliebige Temperaturänderung r und beliebige kleine Bewegungen der Stützen (selbstverständlich ohne Abheben der Endquerschnitte von den Kämpfern):

E A l — E l a T -f M 2 ÄA + r 2 - x y..

0 J 0 J

— HS

\oy^__^Sx_w

o J

mit

+ Bs^- + s^fsx-

0 J 0 J

^    1 O X    ¹* O V    ^ G    1

EA(fi = EA<p₀ + M2 - - + V 2 —--H 2 —— 2 —- Sx + TT—,

0    0 J    o J o j    T

E A k = E l A <pi — MS Äi*L —VS o J

M-2- -~s^Lpx-

o    o F

W= VS^- + ^—S — + H S o F v q F    o

Die Gleichungen 2—4 liefern II, V, M, womit wegen

S)

auch M‘ bestimmt ist. Für M‘ = M, also beispielsweise für den Einfluß symmetrischer Belastungen, einer Temperaturänderung x und einer Änderung A l der Spannweite genügen die Gleichungen 2, 3. Wenn die Endquerschnitte unwandelbar festliegen, hat man in 2—4:

mit S = S P (l — a)

* =>

A <fi = 0 ,

Soll jedoch der Einfluß irgendwelcher Änderungen von l, k, qp₀, cp, ermittelt werden, dann sind die betreffenden Werte von Al, A k, A <p₀, A q>{ einzusetzen (§ 40).

Im weiteren wollen wir wieder voraussetzen, daß nicht nur die Bogenachse, sondern die ganze Anordnung des Bogens einschließlich der Felderteilung zur Bogenmitte symmetrisch ist. Dann treten die zu Beginn des §47 erwähnten Vereinfachungen ein, wonach wir mit den Bezeichnungen § 49, 7), 8) und

m + m• + s ™ a

r    o F

m 7

W—2HS —--

o F

aus 2, 4 erhalten:

Ale — 0,

S^ + o F

E Al = (M + M‘ + S) B— 2 H C—

4 <Po = 0 .

— s^~ sx

0 F x

¹ Oy    W

JS*~ — (r-f) + Elccr,

o ly

1 a    W

— -£ ——    H---\- E A cp₀ ,

o J    r

während durch Addition der mit l multiplizierten Gleichung 4 zu der mit 2 multiplizierten Gleichung 3 folgt:

^ a

l E (2 A k — l A <p₀ — l A (pi) = (M — M‘ — S) (2 Z> — Al²) — l S —— (l — 2 x) Sx .

o J

E A = (M + M‘ + S) A — 2 H B

10

11

Aus den Gleichungen 9—11 können H, M, M' für alle Fälle berechnet werden, während für M‘ = M die Gleichungen 9, 10 genügen.

Wenn außer einer Änderung A l der Spannweite keine Bewegungen der Stützen oder doch nur solche eintreten, für welche

Acp₀ = A<pl = —j-

ist, dann fallen Ah, Aq>l aus den Gleichungen 10, 11, wonach die erwähnten Änderungen keinen Einfluß auf H, M, M‘ ausüben, wie sich dies schon beim Parabelbogen ergab (S. 144, vergl. S. 308 oben).

Verschiedene Belastungen.

Aus 9—11 ergeben sich für eine beliebige Belastung allein mit x — 0, Al — Ak = 0? A cp₀ = A (!)l = 0:

-S^rSx + ~

0 J

1 S —

0 J

worin W durch 8 bestimmt. Speziell für eine beliebige symmetrische Belastung

(M -f M‘ + S) B — 2 H C —

(M + M‘ + S) A — 2 H B

(M — M' — S) (2 D — A ?2) _

(I — 2x) Sx = 0,

12

13

14

ergeben sich bei Beachtung von M‘ = M und des im vorigen Paragraphen (S. 340) bezüglich der Sx Gesagten, sowie der Bezeichnungen § 49, 7):

MB

- Ä ° + f TT (T S -    ~ fr

^(t *-*») + Y7

-f) = 0,

15

16

worin nach 8, da für zwei symmetrisch zur Mitte bei x, x‘ gelegene Felder

m

rf — — und Px — Px — 2 2 P = 2 Vx ist:

_ H_ J* Ojy M 0 F r o

a m n    1 m

— + 2 4-r~ + —2

” o F x ^ r o

*»1

17

Wie im vorigen Paragraphen bei symmetrischer Belastung kann in 15—17 gesetzt werden:

18

— S — Sx = 2 Pa + xVx mit Vx = 2 P .

Aus 15, 16 ergeben sich beispielsweise für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit mit den im vorigen Paragraphen (S. 341) für diesen Fall verwendeten S, Sx:

« 2 o x(l —x)y 2 0

MB— HC +

./

CD

JLs a x (7 ~ 4 + -— = o

2 o    J    2 r

M A — H B +

worin nach 17 mit Vx = u[m—x):

+    +    -v fr .-*> +

q F v. q F v o F o F    2 r o

Die Werte von &*., Px für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Trägerhälfte sind in § 47 angeführt (S. 325).

Für eine Einzellast P an beliebiger Stelle a hat man in 12—14 und 8—11 neben S — P (l — a):

2 o x (l — .r)

21

von x — 0 bis x — a „ x — a „ x — l womit nach 12—14 für die von P allein herrührenden H, M, M‘:

Sx= 0,

Sx — P(x - o),

Px = 0,

p* = p,

(jf + M‘ +P(;-«)j B — 2 HC — (m + M‘ + P (l — </) j

'(TT¹

W ist nach 8 bestimmt durch

/ m

Wr = 2 H ( r2 \ o

worin im Falle a^> m:

) -    (»■ - G = °»

- a S -y) + -Tf- = 0 , a J J r

4 a(2x — T)

<7

ff .r

— 2 HB — P    2——

)+<

<T (2 .r — ?)

Öl

22

23

= 0.

24

*» a u \    m

-2 -JL) + (M+M‘)S o F )    o

ff) 2

ff

0

25

-Q-a)2-y a p

Die Gleichungen 22—25 gelten zwar für beliebige a, würden aber besonders für zu verwenden sein, während sich für a <m wie folgt bequemere Formeln ableiten lassen.

Hi a

(i — «)²

0 P

26

Mit Rücksicht auf die vollständige Symmetrie des Trägers und die Bezeichnungen § 49, 7), 8) hat man in 22—25:

J <*xy _ v axy _

./

,/

= M8

,/

^ a — x)v _ J q-r y ./

“ ojcy_

Ö¹ ^ ’

./

und in analoger Weise (vergl. auch § 49, S. 342):

= Al —2——,

0 J

S t/

— J— ,

0 j

a (2 x — l) _

o x (2 x — V)

o (2 x — l)

a F

l a    m

2 - =2 2 a F

./

* ~W

CI X

Mit diesen Ausdrücken folgen aus 22—24 für die H, M, M' durch eine Einzellast P:

/ a

(M + M‘ + Fa) B — 2 H C + P [2 \o

27

(Jf + itf' + Pa) .4 —

f q a x

2 HB + P \ 2 —--a

VO -T

= 0,

28

(JW — Jtf'+ Pa)

und zur Bestimmung von W nach 25:

/ w

Wr — 2H\r2 -—

\ o F

---4 /

a x {l — 2 x)

<= M5

o(i-2x)y ₀

29

m a \    w

+(Jtf+Jf')«S

0 X J    ü

Diese ebenfalls für beliebige a geltenden Gleichungen sind für a<^m bequemer als 22—25 und man hat für a < m in 30:

«= ife.

W+ a

— - « 2 —) . o fj

30

tu

s 1-4 g

31

Temperaturänderungen.

Für eine beliebige Temperaturänderung x folgen aus 9, 10 mit S = Sx — 0, Al = A k — 0, A <p₀ = A (f! = 0 zur Bestimmung von H und M = M‘:

w

MB — HC — - — {r — f) + Emaz = 0,

W

MA — HBA--= 0,

2 r

32

33

worin nach 8:

W-=H2X

•ff %vy , m

o F'r

34

Bewegungen der Kämpfer.

Für beliebige kleine Bewegungen der Kämpfer, bei welchen jedoch die Endquerschnitte vollständig mit den Kämpfern in Berührung bleiben müssen, hat man aus 9—11 mit S — Sx — 0 zur Berechnung von H, M, M‘:

w

E Al= (M + M⁴) B — 2 H C--(»• — f) ,

r

W

E(A<pi — A <p₀) = (M + M‘) A — 2 HB + — ,

35

36

worin nach 8:

m X

W= 2 H 2 — -o F

2S“(I»    m + m¹

~r~    r

Wenn jedoch nur eine Änderung AI der Spannweite, keine Änderung der Stützhöhen und keine Verdrehungen der Endquerschnitte entstanden sind, oder doch nur solche, für welche

38

A <Po = A rpi = — ,

dann hat man zur Bestimmung von H und M = A1‘ nach 35, 36:

39

w ,    FM ■

MB-HC-— (/■ -f)---— =0,

,¥i

w

— HB + —

2 t-

= 0,

40

worin TF durch 34 ausgedrückt.

Beispiel 98. Genauere Berechnung der Stützenreaktionen eines Bogens ohne Gelenke von beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe, vergl. Beisp. 63. und die Zusammenstellung S. 244).

Für das vom Gewölbeausschuß des Österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins erprobte Bruchsteingewölbe von l — 2 m = 23,758 m Spannweite und f— 4,502 m Pfeil der Achse (vergl. S. 233 — 256) sollen der Horizontalschub H und die Endmomente M, M‘ nach den genaueren Formeln für symmetrische Bogen ohne Gelenke mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten

00,629 2,879    5,729    7,379    9,629    11,879

23,728m,

1,756

6,006    6,256    8,506 10,756

'rZ.5

..4-

pi.rj

PrJ

.*■

p..

/'■■r6,502m

El

2J1 7    6567 ^ 6, 817"'"" 9067 ""Em

%(92 3,662    5,692    7,962 11,192

\K'

/M'

Fig. 221.

(§ 50) berechnet und auch die Vertikalreaktionen F, V' der Kämpfer beigefügt werden: a) für das Eigengewicht des Gewölbebogens; b) für eine einseitige Belastung bis zur Bogenmitte durch beliebige Lasten P bei a = 2,879 m, 5,129 m 7,379 m, 9,629 m und halb so große Lasten bei a = 0,629 m, 11,879 m, wie sie bei der Probebelastung angebracht waren; c) für eine bezüglich der Bogenmitte symmetrisch hierzu gelegene Belastung auf der zweiten Bogenhälfte und für diejenige symmetrische Belastung, welche durch Zusammenwirken der beiden letzterwähnten Belastungen entsteht; d) für eine Temperaturänderung r; e) für eine Änderung Al der Spannweite ohne Änderung der relativen Höhenlage der Kämpfer und ohne Verdrehungen der Endquerschnitte, oder doch nur solche, für Ah ,

welche A cp₀ = A ipl — — - ist. Die Berechnung soll für die Gewölbebreite b = 1 m erfolgen.

für Feld 0

fj = 0,531 m,

fj = 1,368 — 0,531 = 0,837 m, 17 = 2,077 — 1,368 = 0,709 m,

Wir verfahren zunächst ganz wie einleitend zu Beisp. 63 angegeben, doch kommen jetzt für die Berechnung der H, M, M‘ anstatt der Formeln des § 49 diejenigen des § 50 zur Verwendung. In Tabelle XIII sind aus den in Tabelle V jenes Beispiels (S. 243) gegebenen x, y an den Feldergrenzen der ersten Trägerhälfte zunächst die Horizontalprojektionen Ä und Vertikalprojektionen r\ der Achs-längen a jener Felder angeführt, also beispielsweise X = 0,629 m,

X = 1,754 — 0,629 = 1,125 m,

X = 2,879 — 1,754 = 1,125 m,

wonach sich mit Hilfe der aus Tabelle II desselben Beispiels (S. 237) entnommenen

Querschnitte F = h und Koordination x, y in den Feldermitten die Werte der Kolumnen 6—11 ergaben, für welche Meter als Längeneinheit gelten.

a) Eigengewicht.

Für eine beliebige symmetrische Belastung hat man nach § 50, 15), 16) :

MB

f) = 0

(J /

~HK + f^{ir s

\ W

S*) + lTr = ⁰’

M A

worin nach § 50, 17):

2    o F roF roF oFx'roF\l    x)

Vx und ^ 5—Sx für Eigengewicht sind bereits in Beisp. 63 ermittelt und in der

dortigen Tabelle III eingetragen. Damit folgen die Werte in Kolumne 12 und 13 der untenstehenden Tabelle. Die Gleichungen 1, 2 ergeben mit Rücksicht auf die Tabellen II und III des Beispiels 63 und r = 17,923 m (s. Bemerk. S. 242):

1464,16 M — 5718,93 H + 155081280 — -~₂y 13,421 = 0 ,

W

407,60 M — 1464,16 H + 39 741790 +

Bei Vernachlässigung von W würden diese Gleichungen die in Beisp. 63 unter a) gefundenen Werte von H, M liefern. Nach 3 ist

H ⁵⁵>⁸03 H 17,923

= 0.

1 516 679 17,923

17,366 17,»23

Damit gehen die beiden vorhergehenden Gleichungen über in die folgenden:

1463,43 M — 5728,67 H + 154 957 821 = 0,

407,65 M — 1463,43 H + 39 750 986 = 0

— = 16,122 —

- + 80118 +

= 164 740 + 13,009 H + 0,969 M .

woraus:

H = 25 796 kg,

M = — 4902 mkg .

V = V' = 2 P = 24095 kg .

Die in Beisp. 63 erhaltenen Werte 26821 und — 1157 weichen gegen vorstehende genauere um 3,97% und 76,40% ab. Wie in Beisp. 63 sind die Vertikalreaktionen der Kämpfer:

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe. Tabelle XIII.

Feld

kl

•*ll

^1-«

ay

Yj x rj

7F T

r,

jOCOO><IÄ>Crc^CifcOl—' o

0,629

1,125

1,125

1,125

1,125

1,125

1,125

1,125

1,125

1,125

1,125

HN©(McoTti(NCO©NlO

COCO©©©r-8C01Cl^©CO

lOGOt'COIO^COtMHH©

0,825

1,403

1,327

1,278

1,233

1,199

1,172

1,154

1,140

1.129

lil27

jOjOjOjO O OjOjO © JD j-*

© ©'© © '© VjVj'oo"co~© OhWÜiOOIOMWhO^I CO U) Ol 00 © to l—¹

© IO GO io

0,587 0,496: 0,770 1.134 0,844 1,414 1,236 0,779 1,458 1.342 0,718 1,525 1,452 0,649 1,578 1,558 0,573 1,661 1,647 0,486 1,716 1,715 0,386 1,759 1,7720,282 1,795 1,820 0,173 1,827 1,859 0,058 1,863

jO vl Ol CO H O

IO 00

11.698

13,970

16,275

18.621

21,084

0,209    0,158    11951    5826

1,367    1,006    18549    37984

69739 99950 126802 153792 175859 193861 208030 218549 95    226287

2,534 1,805 14520 3.648 2,471 11302 4,644 2,964 8547 5,647 3 262 6231 6,473 3,313 4273 7,149 3,066 2652 7,683 2,557 1425 8.079 1,763    573

8,370 0,656

Sa. 11,879 4,502 12,987    16,122 5,444

17,366 108,863 55,803 23,021 80118    1516679

13

10 11 12

b) Einseitige Belastung von 0 bis m.

Nach § 50, 12)—14) hat man für eine beliebige Belastung zur Bestimmung von //, M, W:

Sx~

^ {r - f) = 0

(M + M‘+ S)A — 2HB

*)(t

ot-iJ

S* + ^

— (m — x)Sx = 0,

= 0,

worin nach § 50, 8):

W 7    o ir Wl re

W= 2 HS - - — -S ZJL + o -F

und nach § 50, 1), 6):

Sx = 2 P (x — a) = x Px — 2 P a ,

■<

S = 2 P(l — a) = Z P; - 2 Pa.

Mit Rücksicht auf die in den zwei ersten Kolumnen der folgenden Tabelle XIV angeführten a, P und der Abszissen x der Feldermitten in Kolumne 4 ergeben sich nach 8 für Feld 1 mit x — 1,192 m:

Px =

X    p

SPa = —

— 0,629 = 0,3145 P, Sx = 1,192 — — 0,3145 P = 0,2815 P;

für Feld 2 mit x = 2,317 m:

Pa = 0,3145 P,

8X =

für Feld 3 mit x = 3,442 m:

2,317 y — 0,3145 P = 0,8440 P ;

Pa — 0,3145 P + 2,879 P = 3,1935 P,

Sx = 3,442    ₂-- 3,1935 P= 1,9695 P;

für Feld 4 mit a? — 4,567 m:

2 Pa = 3,1935 P,

Sa, = 4,567 y-- 3,1935 P= 3,6570 P;

für Feld 5 mit a? = 5,692:

2 Pa = 3,1935 P + 5,129 P = 8,3225 P ,

= 5,692 ---- 8,3225 P = 5,9075 P.

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der Kolumnen 5 bis 8 von Tabelle XIV (S.350) berechnet, worauf sich diejenigen der Kolumne 9 durch Multiplikation der Werte in Kolumne 8 mit den in Tabelle II (S. 237) des Beispiels 63 angeführten

y, die Werte der Kolumnen 10 und 11 durch Multiplikation der Werte in

Kolumne 9 mit den x, y derselben Tabelle des Beisp. 63, diejenigen in Kolumne 12 durch Multiplikation der Werte in Kolumne 9 mit m—x, und diejenigen der Kolumnen 13 und 14 durch Multiplikation der Werte in Kolumne 5 und 8 mit den

aus obiger Tabelle XIII (S. 348) entnommenen ~, y ergaben.

toli,

0,398

1,231

3,003

5,771

9,812

14,092

21,276

28,779

37,515

47,313

169,190

tl

0,422

0,389

1,077

0,973

1,423

1,215

1,351

0,987

0,778

0,261

8,876

13

o (m—x) Sx

51,94

170,49

433,07

850,09

1397.27 1948,36

2335.27 2408,42 1988,33

878,63

12461,87

12

Tabelle XIV.

ay Sx J P

ax J P

4,70

5,79

30,99

122,78

342,15

767,86

1451,84

2410,60

3665,73

5211,86

7024,36

41,31

176,68

530,96

1285,48

2623,86

4710,88

7765,70

12012,50

17693,00

21032,87

46846,16

11

10

<ü

■Q

tO

AL L

*S O

4,86

<L>

tt

17,83

51,33

116,26

225,84

384,90

593,16

856,48

1178,62

1563,40

4992,68

42

Cfl

.5

_0J

Jg

ß<

u

fc.

sp\l o

t-H

CO

<U

ß?|*

0,5960    0,3145    0,2815

1,1585    0,3145    0,8440

5,1630    3,1935    1,9695

6,8505    3,1935    3,6570

14,2300    8,3225    5,9075

17,0425    8,3225    8,7200

27,7970    15,7015    12,0955

31,7345    15,7015    16,0330

45,8640    25,3305    20,5335

50,9265    25,3305    25,5960

31,2700 5 x-31,27

Summe:

x IJ

e?h

wj(Nw!(MCOj(MM|c^OjG<lo]crJI>j!Mt>|(N05jcN05j(M

IC

in m

0,314

1,192

2,317

3,442

4,567

5,692

6,817

7,942

9,067

10,192

11,317

12,442

bis

23,444

Feld

.(NCOT^iOOr^OO©

cq

in m

0,629

2,879

5,129

7,379

9,629

11,879

Man hätte für alle Felder des ganzen Trägers wie zuletzt angegeben verfahren und alsdann die in 4—7 auftretenden Summen 2 mit Sx, Px einfach durch Addition erhalten können. Da aber die zweite Bogenhälfte unbelastet ist, und für alle Felder derselben

i

Sx — xPx — SPa = bPx — 31,27 P,

PX = SP=5P,

0 0

so kann man berücksichtigen, daß den .r, y, er, rj, J, F eines Feldes auf der zweiten Trägerhälfte die l — x, y, a, — ij, J, F des symmetrisch dazu gelegenen Feldes auf der ersten Trägerhälfte gleich sind, wonach mit Rücksicht auf die obenerwähnten Tabellen II, XIII, XIV (S. 237, 348, 350):

h«

S af~ Sx + 5 PS ß X y--31,27 P S a'’-

0 J    m J    m J

m o(I — x) d

^ G y

2 SX + 5P2

■1

— 31,27 PS 0y

21032,87 P + 5 P (23,758 • 1464,16 — 11970,95) — 31,27 P* 1464,16 = 89321,39 P,

ff (m — x)

^ P*sl O

o *>

^ c

— 31,27 PS — = m J

x)

— 31,27 FS

••

4992,68 P + 5 P (23,758 • 407,60 — 2975,54) — 31,27 • 407,60 = 25 788,13 P,

( ff (m — x)

™ ff (nt — x)

Sx + 5 P S m

( ff (m — x) x

ff (»i — ar)

.!

Sx—b PS

— 31,27 PS m

ff (m² — 3 m x -f- x²)

+ 31,27 P 2

ff (»w — ic)

12 461,87 P — 5 P (2 • 11,8792.407,60 — 3 • 11,879 • 2975,54 + 25 670,62) + 31,27 P (11,879 -407,60 — 2975,54) = — 102 501,13 P,

• T fy    nt fj    T

2~r8a, = 2—Sa>+6P2

0 x    m *

m G    m G (j __

2 -ySx + S PS-^r

0 Jf

i a

— 31,27 PS — = m I

™ ff

— 31,27 PS — = o P

169,19 P + 5 P (23,758 *17,366 — 108,863) — 31,27P* 17,366 = 1144,75 P,

ff x

*)

= 8,876 P — 5 P* 5,444 = — 18,344 P.

S n P -'s n P Jr-bPS ⁷¹ -S ^ V b PS V

fTp*-;7Px + 5Pfj-flrP*"5Pf >

Mit diesen Werten und dem aus 9 folgenden

S = 23,758 • 5 P — 31,27 P = 87,520 P

nehmen die Gleichungen 4—6 folgende Formen an (bezüglich 2102,63 s. S. 238):

(71/“+ M‘ + 87,52 P) 1464,16 — 2*5718,93 II — 89 321,39 P —

17,923

13,421 = 0 ,

(M + M‘ + 87,52 P) 407,60 — 2 • 1464,16 H — 25788,13 P + —-

17,923

= 0,

(Ttf — TIP — 87,52 P)

Bei Vernachlässigung von W würden diese Gleichungen die für dieselbe Belastung in Beisp. 63 unter c) gefundenen H, M, M‘ liefern. Setzen wir jedoch nach 7:

W= 2 TT* 16,122 — 2 H

55,803

17,923

M + M‘ + 87,52 P

17,923

17,366 + 18,344 P —

1144,75

17,923

26,017 H + (M" + M‘)

so erhalten wir zunächst:

17,366

17,923

+ 39,274 P,

(711 + M‘) 1463,43 — 11457,34 H + 38 792,48 P = 0 , (M + M‘) 407,65 - 2926,87 H + 9887,21 P= 0, (M — M‘) 1051,31 + 10490,04 P = 0 ,

13

H — 3,4714 P,

gegen welche Werte die weniger genauen in Beispiel 63 erhaltenen 3,6058 P, — 4,1357 P, 5,7892 P abweichen um 3,87%, 11,14% und 8,74%.

Für die Vertikalreaktionen der Kämpfer hat man nach § 21, 2), 3):

woraus:

M — — 4,6540 P

M‘ = 5,3240 P,

V‘

r=2p- v‘.

10

Hierin ist nach den beiden ersten Kolumnen von Tabelle XIV (S. 350):

S Pa — P    + 2,879 + 5,129 + 7,379 + 9,629 + --’g ⁷⁹ j = 31,270 P,

31,270 — 4,6540 — 5,3240 p

23,758    ~

V = 5 P — 0,8962 P

womit:

V‘ =

0,8962 P

= 4,1038 P,

während sich bei der weniger genauen Berechnung in Beispiel 63 0,8985 P und 4,1015 P, also um 0,26% und 0,06% abweichende Werte ergaben.

Anstatt wie hier sofort für die ganze angenommene Verkehrsbelastung hätte man die HM, M‘, V, V auch wie in Beispiel 63 aus den Beiträgen der einzeln P berechnen können, wobei die Gleichungen § 50, 27)—31) nebst vorstehenden Formeln 10 mit Weglassen der Summenzeichen 2 zu verwenden gewesen wären. Dieser Weg ist besonders dann am Platze, wenn man die ungünstigsten Belastungen entsprechend §§ 10, 11 möglichst genau feststellen und zu diesem Zwecke auch die Schnittlinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke genauer als nach den Formeln für Parabelbogen oder nach § 49 bestimmen will, was ganz wie in Beisp. 1 (S. 12) zu geschehen hätte.

c) Weitere Verkehrsbelastungen.

Ist die zweite Bogenhälfte so belastet, wie unter b) für die erste angenommen wurde, so ergeben sich mit Rücksicht auf die dort erhaltenen Werte:

H= 3,47X4 p,

M = 5,3240 P , V — 0,8962 P,

M‘ = — 4,6540 P, V‘ =    4,1038 P.

Wirken gleichzeitig die soeben und die unter b) angenommenen Lasten, so gelten für die resultierende symmetrische Belastung:

H = 2 • 3,4714 P = 6,9428 P ,

M = M‘ = — 4,6540 P + 5,3240 P = 0,6700 P,

V = V‘ =

4,103S P + 0,8962 P = 5 P ,

gegen welche Werte die in Beispiel 63 für die gleiche Belastung erhaltenen 7,2116 P, 1,6535 P und 5 P um 3,87%, 146,79 % und 0% abweichen.

d) Temperaturänderungen.

Für eine beliebige Temperaturänderung r hat man neben V— V = 0 nach § 50, 32), 33):

M B — HC-

w

■— (r — f) + »i E ci t = 0 ,

ll

W

— HB + -- = 0

12

worin zufolge § 50, 34):

w m

- = HS

Mit Rücksicht auf die bereits mehrfach verwendeten Werte nehmen 11, 12 die Formen an:

1464,16 M — 5718,93 H —

——- 13,421 + 11,879 Fa r = 0,

17,923

Bei Vernachlässigung von W liefern diese Gleichungen die in Beisp. 63 unter d) erhaltenen H, während sie jetzt mit w

v=ff-16,122 — ff

55,803 17,923

zunächst in die folgenden übergehen:

17,366

17,923

= 13,009 ff + 0,969 M

1463,43 M — 5728,67 ff + 11,879 E a % = 0 , 407,65 M — 1463,43 ff = 0 ,

woraus:

E ci %

31 — 31' = 3,5899 ff = -E — ~ .

11,140

ff = —    ,

39,993 ’

Die in Beispiel 63 gefundenen weniger genauen Werte, mit 38,677 und 10,767 in den Nennern, sind um 3,40% und 3,46 % größer.

e) Bewegungen der Kämpfer.

Für eine beliebige kleine Änderung A l der Spannweite, ohne andere als

man

die in der Aufgabenstellung zugelassenen Bewegungen der Kämpfer hat nach § 50, 39), 40) neben V = V = 0:

w    E

MB-HC- — (r-f)- — Al =

31A — HB+ —

2 r

= o,

14

15

worin W durch 13 ausgedrückt ist. Da in 14, 15 gegenüber 11, 12 lediglich A l an Stelle von. 2 maz getreten ist, so erhalten wir nach Einsetzen von W:

1463,43 31 — 5728,67 ff — E- A l =

407,65 31 — 1463,43 II = 0 ,

0,

und hieraus:

E A 1 264,68 ’

Die in Beisp. 63 bei Vernachlässigung von W erhaltenen Werte, mit 918,90 und 255,81 in den Nennern, weichen um 3,40% und 3,46% von den vorstehenden genaueren Werten ab.

Beispiel 99. Einsenkungen eines Bogens ohne Gelenke mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten (Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe).

Die Einsenkungen in der Mitte des in den Beispielen 63 und 98 behandelten Bruchsteingewölbes nach den bei beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten gültigen Formeln des § 48 zu berechnen: a) Für das Eigengewicht des Gewölbebogens allein; b) für eine einseitige Belastung durch beliebige gleiche Lasten P bei a = 2,879 m, 5,129 m, 7,379 m, 9,629 m und halb so große Lasten bei a == 0,629 m und 11,879 m; c) durch eine Temperaturänderung t; d) durch eine Änderung A l der Spannweite und eine Senkung A 1c des Kämpfers 0 gegen den Kämpfer l ohne sonstige Verdrehung der Endquerschnitte.

a) Für eine beliebige zur Trägermitte symmetrische Belastung hat man nach § 48, 14) mit S = VI (gemäß § 49, 5) wegen M=M'):

E o J    o ■' o J

Die in der Klammer auftretenden Summen 2 wurden bereits in Beisp. 63 berechnet (S. 237,238), während nach dem vorigen Beispiel für Eigengewicht allein:

iT = 25 796 kg ,

w

~~ = 164 740 + 13,009 H + 0,969 M = 495 570 ,

so daß die Einsenkung durch das letztere:

e = — (— 4902 • 2975,54 — 25 796 • 11970,95 + 324 445191) +

1 384 922

ff = —

950,i 6 ’

31 = — 4902 mkg ,

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

31 = 31‘ = 3,5899 ff = —

(t »-*)]

Ar E

23,758-495570 2 • 17,923 E ’

/'

23

und beispielsweise für E = 175000 kg pro qcm:

1384922    „„„„

-— m = 0,079 cm .

175000 • 100²

Bei der gebräuchlichen Vernachlässigung des Einflusses von X₂, Y₂, Z₂ hätten wir mit M = — 1157 mkg, H — 26821 kg (Beisp. 63), W = 0 erhalten:

70359

b) Wäre die zweite Bogenhälfte ebenso belastet wie in der Aufgabe unter b) für die erste verlangt, so hätten wir eine symmetrische Belastung und würde Formel 1 oder auch nach § 43, 14) gelten:

/ ir

--HS

Da aber alsdann die Belastungen beider Bogenhälften der Symmetrie halber gleichviel zur Einsenkung in der Bogenmitte beitragen, so ist die wirkliche Einsenkung bei der unter b) verlangten Belastung halb so groß. Nun ergaben sich für die angeführte symmetrische Belastung im vorigen Beispiel:

H = 6,9428 P

M= 0,6700 P,

v = — = 5 p,

womit nach der dortigen Gleichung 3 und den dortigen Tabellen XIII, XIV

wegen Vx= V — 2 P = V — Px und r = 17,923 m:

0

— 6.W28 P-16,122 —

6,9428 P

17,923

55,803 +

0,6700 P

17,923

17,366 + 5 P- 5,444 — 8,876 P +

= 130,238 P.

5 P* 108,863 - 169.190 P

17,923

Demgemäß erhalten wir nach 2 die Einsenkung durch die verlangte einseitige Verkehrsbelastung allein:

23,758 • 130,238 P

e = --- (0,6700-2975,54 + 5-25670,62 - 6,9428-11970,95 — 46846,16) +    ₍ ,„noo _

2 E    4 • 1 /,y23 • E

e = 474,959 ™

E

und beispielsweise für P= 3430 kg und E— 175000 kg pro qcm:

474.959 • 3430

-3— m = 0,093 cm •

175000 • 100²

Bei Vernachlässigung des Einflusses von X₂, F₂, Z₂ (§ 40) hätten wir mit M = 1,6535 P, E — 7,2116 P (Beisp. 63) und W — 0 erhalten: e — 97,292 ~ .

c) Durch eine beliebige Temperaturänderung r entsteht nach § 48, 21):

M ™ a x    jK ™ o x y

./

E o J

worin im vorliegenden Falle nach Beispiel 98 (S. 353):

E a r 39,993 ’

E a x 11,140 ’

W

= 13,009 H + 0,969 M,

so daß wir erhalten:

e=ct t ^

2975.54 _ 11970,95 11,140    39,993 ,

23,758    /13,009

2 • 17,923 V 39,993 e = — 36,451 a x ,

0,969

11,140

— cc x • 4,502 ,

und beispielsweise für a — 0,000 011 8:

e — — 0,000 430 x m = — 0,0430 x cm .

— 37,656 a t.

Mit den in Beispiel 63 unter Vernachlässigung von X₂, Y₂, Z₂ berechneten M, H und W — 0 hätte sich ergeben: e

d) Die unter d) angenommene Bewegung der Stützen bewirkt nach § 48, 22):

E o J

Da hierin nach Beispiel 98 in unserm Falle (S. 358):

950,16 ’

e A i 264,68 ’

g- = 13,009 H + 0,969 Jf,

so erhalten wir:

e = Ali

11970,95

950,16

23,758 2 • 17,923 e — 1,345 Al - 0,5 Ak .

Mit den in Beisp. 63 unter Vernachlässigung von X₂, Y₂, Z₂ berechneten M, H und W — 0 hätte sich ergeben: e = 1,396 Al— 0,5 Ak.

2975,54

261,68

13,009    0,969

950,16    264,68

Bemerkungen. Die obigen Resultate zeigen, daß die durch Belastung bewirkten Einsenkungen in der Trägermitte sehr gering sind und durch Einflüsse von Temperaturänderungen und kleinen Bewegungen der Kämpfer leicht aufgewogen werden können. Bei den angenommenen E, a würde die rechnungsmäßige Einsenkung durch das Eigengewicht und einseitige Belastung bis P = 3430 kg (Proportionalitätsgrenze, s. S. 235, 250) e — 0,079 + 0,093 = 0,172 cm, dagegen die Einsenkung durch eine Temperaturdifferenz x — — 6,625° O, wie sie die Luft bei P — 3430 kg gegen den Anfang des Versuchs aufwies (13,7° R am 12. 10. 91 gegen 19° R am 26. 9. 91x) e Schlüsse des Versuchs bis P— 3430 kg gemessene Einsenkung betrug 0,165 cm, in guter Übereinstimmung mit dem berechneten Werte e = 0,172 cm.

Beim Zusammenwirken der oben in Betracht gezogenen Einflüsse, zu welchen beliebige Verdrehungen A <p₀, A(pt der Kämpferquerschnitte nicht gehören, wäre in Zentimetern ausgedrückt:

13849,22 — 4,74959 P

0,043 • 6,625 = 0,285 cm. Die am

— 3645,1 « x + 1,345 A l — 0,5 A k ,

worin auch Al, Ak in cm, P in kg, E in kg pro qcm einzusetzen sind. Aus dieser Gleichung ließe sich beispielsweise der Elastizitätsmodul E bei bekannten Werten aller übrigen Größen berechnen. Indessen werden die Vertikalbewegungen der Bogenmitte durch die Belastung meist zu klein, um zuverlässige Werte von E daraus ableiten zu können. Nach obigen Vergleichen mit den bei Vernachlässigung der V₂, Y₂, Z₂ ermittelten Werten (s. insbesondere am Schlüsse von a) b)) können auch Vernachlässigungen bei der Berechnung die Resultate vollständig ändern. Weitergehende Schlüsse lassen sich also aus solchen Einsenkungsmessungen nicht ziehen. Die erwähnten Vernachlässigungen aber sind bei Berechnung der Einsenkungen unzulässig.

Die Einsenkungen, welche sich für das betrachtete Gewölbe durch die oben angenommenen Einwirkungen ergeben würden, wenn die Achse parabolisch und J cos <p konstant wären, sind in Beisp. 48 berechnet. Sie bestätigen, daß die Berechnung nach den einfacheren Formeln für Parabelbogen von konstantem J cos cp in Fällen wie dem vorliegenden, wenigstens für die Einsenkungen durch die Belastung, ebenfalls durchaus unzulässig ist.

§ 51. Einige Ergebnisse der berechneten Beispiele.

Bezüglich verschiedener Punkte, welche bei der Berechnung elastischer Bogenträger in Betracht kommen, lassen sich nur durch numerische Berechnungen unter praktisch vorkommenden Verhältnissen genügende Aufschlüsse erlangen. Bei der Umständlichkeit mancher dieser Berechnungen und den durch die Mängel der Theorie sowie ungenügende

¹ Bericht des Gewölbeausschusses, Wien 1895, S. 27.

tatsächliche Unterlagen bedingten Schwierigkeiten waren jene Feststellungen bisher durchaus unzureichend, und auch für die Folge bleiben vergleichende Berechnungen zur Anbahnung von Vereinfachungen und Begründung von Verbesserungen sehr wünschenswert. Es zeigt sich, daß manche gebräuchliche Vernachlässigungen keineswegs allgemein zulässig sind, während andrerseits gewisse Erschwerungen entbehrt werden können. Die folgenden Schlüsse stützen sich auf die in vorliegender Schrift berechneten Beispiele, sie können also, soweit sie nicht Bekanntes bestätigen, zunächst nur unter ähnlichen Verhältnissen Gültigkeit beanspruchen. In erster Linie haben wir Brücken- und Dachkonstruktionen im Auge. Bei den angefügten Hinweisen werden Aufgaben und Beispiele durch A und B bezeichnet. Die Verweise auf VI beziehen sich auf den VI. Abschnitt.

Bogenlängen. Diese können für die gewöhnlichen Pfeilverhältnisse f]l (l Spannweite, /'Pfeil) mitunter zweckmäßig nach der Näherungsformel für Parabelbogen erhalten werden; doch bietet auch die genauere Berechnung keine Schwierigkeit. Vergl. S. 77 und B 28. Über s — J2o siehe S. 137, 237, 243.

Trägheitsmoment und Krümmungsmoment. Die bei elastischen Bogenträgern übliche Verwendung des Trägheitsmoments anstatt des Krümmungsmoments, d. h. von

anstatt

K=rf

J=fv²dF

clF

r —(- v

ist berechtigt. Vergl. § 6 und A 4, 5, 6 mit B 2, 3, 4.

Ausdruck der Normalspannungen. Die Verwendung der einfachen Formel für die Normalspannungen der Querschnitte:

Nx , Mx

«= V+~fv

anstatt der theoretisch genaueren:

Ae I Ve I F ' Fr '

er =

J~V

(S. 23) ist bei Berechnung der Materialbeanspruchungen zulässig. Vergl. B 5. Zur Ableitung der statisch unbestimmten Größen FL, M, M‘ und der Formänderungen empfiehlt sich dieVerwendung des genaueren Ausdrucks, entsprechend dem Vorgehen im IV. Abschnitt. Vergl. B 45, 99.

Schubspannungen. Die Querschubspannungen und Längsschubspannungen (§ 9), welche bei der Dimensionierung vollwandiger Bogen gewöhnlich unberücksichtigt bleiben, ergeben sich sowohl bei eisernen Bogen als bei Gewölben so gering, daß sich gegen die übliche Dimensionierung auf Grund der Normalspannungen a allein gegenwärtig nichts einwenden läßt. B 8, 41, 64, 65, 73. Doch ist bei Wahl der zulässigen Beanspruchungen auf die aus Biegungsversuchen unter ähnlichen Verhältnissen erhaltenen o Rücksicht zu nehmen. §§ 4, 5, 31, VIA; B 65, 67. Bezüglich der mitunter bei verschiedenen gleichzeitigen Ein

Wirkungen in Rechnung gezogenen „reduzierten Hauptspannungen“ siehe Luegers Lexikon der gesamten Technik, Art. Festigkeitsbedingung.

Konzentrierte und gleichmäßig verteilte Lasten. Zur Vereinfachung mancher Berechnungen kann an Stelle einer Anzahl in gleichen Abständen angreifender gleichgroßer konzentrierter Lasten eine entsprechende gleichmäßig verteilte Last (§ 18) eingeführt werden; in andern Fällen kann das Umgekehrte vorzuziehen und zulässig sein. B 12. Bei Berechnungen, für welche sich der Einfluß solcher Vereinfachungen nicht genügend übersehen läßt, rechnet man am besten mit den wirklichen Lasten (VI. Abschnitt). Vergl. Bemerkungen zu B 24 (S. 100).

Ungünstigste Belastungen. Die Verwendung der Bogenachse anstatt der Kernlinien bei Bestimmung der Belastungen für die Grenzwerte der Normalspannungen a (S. 43, 81, 122, 148), durch welche die Anzahl zu berücksichtigender Belastungsfälle auf etwa die Hälfte reduziert wird, ergibt in vielen Fällen hinreichend genaue Resultate. Vergl. B 22 (S. 94), B 44 (S. 165) und die Tabelle S. 44, 45 auf Grund der einfacheren Berechnung im VI. Abschnitt und der genaueren: Weyrauch, Berechnung der'neuen Bogenbrücke über den Neckar zwischen Stuttgart und Cannstatt, Allgemeine Bauzeitung (Wien) 1895. Möglichste Genauigkeit läßt sich stets durch das Verfahren mittels Einflußlinien erreichen. § 12; A 8, 10; B 9—11, 20, 21, 23; VI M etc.

Temperaturänderungen. Die Berücksichtigung gleicher Temperaturänderungen nach oben und unten, z. B. t = + 30°, gegen eine dem spannungslosen Zustande entsprechende Normaltemperatur ist willkürlich, wenn letztere gleich der Montierungstemperatur angenommen wird. So wären für t = -j- 30° bei 0° Montierungstemperatur Temperaturen von — 30° bis 30°, bei 30° Montierungstemperatur jedoch solche von 0 bis 60° berücksichtigt (siehe auch VI N). Diese Willkür läßt sich vermeiden durch Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur, wie sie erstmals bei der König-Karls-Brücke bei Cannstatt in Verbindung mit der ohnehin beabsichtigten Überhöhung der Bogen (VI E, vergl. A 17) ohne jede Mehrarbeit vorgenommen worden ist. A 18, 19 mit B 36, 40; VI N.

Die Beanspruchungen durch Temperaturänderungen und demgemäß auch durch kleine Stützenbewegungen können bei flachen eisernen Bogen ohne Gelenke so groß ausfallen, daß dieser Umstand bei der Wahl der Bogenart besonders in Betracht zu ziehen ist. B 46. Jedenfalls sollten für die Vermeidung von Kämpfergelenken bei flachen eisernen Bogen Gründe angeführt werden können, welche jenen Nachteil aufwiegen. Auch bei Gewölben ohne Gelenke kann der Einfluß von Temperaturänderungen und Stützenbewegungen auf die Beanspruchungen und Einsenkungen erheblich werden. B 67, 99.

Einsenkungen. Die mitunter vorgenommene Berechnung der Einsenkungen von Bogen auf Grund einer vorausgesetzten gleichmäßigen

Längenänderung der Bogenachse (A 15) entbehrt einer brauchbaren Grundlage und kann zu ganz falschen Resultaten führen. Sie ist um so weniger zulässig, als die Einsenkungen schon durch geringe Änderungen der Bogenachse, Lastverteilung usw. stark beeinflußt werden können. Siehe A 15, 22 und B 39, 47, 49, 96, 97, 99.

Bogenform. Die Berechnung parabolischer Bogen von konstantem (mittlerem) Jcos cp mit zwei Gelenken und ohne Gelenk ist bei gleicher Genauigkeit wesentlich einfacher als die Berechnung anders geformter Bogen dieser Arten. Vergl. B 30 mit 37 und 94, 42 mit 63 und 98, 48 mit 99, 95 mit 94, 97 mit 96 etc. Eine Ausnahme macht nur der Halbkreisbogen mit Kämpfergelenken (§ 41, A 2, 25, B 29, 50, 51, 52, 53), während für andere Kreisbogen mit Kämpfergelenken zwar der Horizontalschub durch Temperaturänderungen und Stützenbewegungen verhältnismäßig einfach ausgedrückt ist (A 31, B 93), die der Belastung entsprechenden Ausdrücke aber so unbequem ausfallen, daß auch für flache Kreisbogen im allgemeinen die Formeln für beliebige Achse vorzuziehen sind (B 63 — 67, 98, 99), um so mehr als diese auch der Veränderlichkeit des Querschnittes Rechnung tragen. Da sich zudem die Beanspruchungen parabolischer Bogen nicht ungünstiger, sondern in wichtigen Fällen günstiger als für andere Bogen ergeben (weil bei gleichmäßig auf die Spannweite verteilter Last annähernd Mx = 0 und damit die Querschnitte annähernd gleichmäßig beansprucht sind; vergl. S. 78, 120, 146 und A 17, 18 mit B 35, 36, VI E), so wird man bei eisernen Bogen häufig zur Parabelform greifen. Selbstverständlich können andere Gründe gegen diese Wahl den Ausschlag geben (S. 78, 217, 222).

Die Anwendung der Formeln für parabolische Bogen auf andere Bogen ist nur dann zulässig, wenn sich ihre Tragweite übersehen läßt. Wenn auch die Abweichungen gegen die genaueren Werte für manche Größen wie die Stützenreaktionen H, V, V‘, die Vertikalkräfte Vx und die Normalkräfte Nx mitunter gering oder gleich Null sind, so können sie doch für andere Größen wie die Momente Mx, die Normalspannungen g und die Einsenkungen e so groß ausfallen, daß die ganze Berechnung damit unbrauchbar wird. Siehe die Bemerkungen zu B 38, 39, 45, 63, 96, § 43, sowie die Vergleiche in B 95, 97, die Verschiedenheit der Resultate von B 48 und 99 usw.

Parabolische Bogen. Bei der Berechnung parabolischer Bogen von konstantem (mittlerem) Jcoscp mit zwei Gelenken darf in dem abgeleiteten möglichst genauen Ausdrucke des Horizontalschubs

2Pa(l — a) (Z²-f la — a² — /H²)-f

Al

15 Ec

(l 4~ £) 8f²

und den daraus folgenden Spezialformeln zwar fast immer ß, aber im allgemeinen nur für vorläufige Berechnungen e vernachlässigt werden.

§§ 20, 43, A 15, 17, B 30, 34. Mit e = 0 würde für f — 0 der Horizontalschub H = ce, während in diesem Falle wegen e = cc ² (S. 315) wie für Balken H = 0 ist. Der Einfluß von e ist jedoch um so geringer, je steiler der Bogen und für f — Z/2 hat man e = 0 (S. 315).

Noch weniger darf in den Formeln für den Horizontalschub H und die Endmomente M, M! parabolischer Bogen ohne Gelenke (S. 143) die übliche Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft etc. (der Integrale X₂, Y₂, Z₂ auf S. 306) und damit des hier mit 6 multiplizierten e vorgenommen werden. ¹B 41, 42 (Bemerk. S. 152,157) und 46. In dem Grenzfalle f = 0 würde auch hier H = oo, während sich mit dem richtigen Werte H= 0 (S. 144) selbstverständlich die Endmomente wie beim beiderseits eingespannten Balken ergeben (S. 144). Doch nimmt wieder e mit der Steilheit des Bogens ab und ist für f = Z/2 e — 0 (S. 315). Ferner pflegt e für Gewölbe wesentlich kleiner als für eiserne Bogen zu sein (S. 83, 115, 152, 161, 245).

Bei Berechnung der Formänderungen parabolischer Bogen würde die Vernachlässigung von e im allgemeinen zu unbrauchbaren Besultaten . führen, so z. B-für. beliebig große gleichmäßig verteilte Last zu einer Einsenkung in der Trägermitte gleich Null (S. 82, 123, 149), während sich im Grenzfalle f = 0 für einfache Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk dieselben Einsenkungen wie für den beiderseits frei drehbaren bezw. beiderseits festgespannten Balken ergeben müssen, was bei Berücksichtigung von e zutrifft (S. 123, 149). Vergl.A.15, 22, B 34, 47, 48, 49, 97.

Bogen mit beliebiger Achse. Für so steile Bogen mit zwei Gelenken, wie sie nach dem Vorgänge der Dourobrücke (Fig. 220) in neuerer Zeit vielfach zur Anwendung kamen, darf bei Ermittelung des Horizontalschubs H nach den Formeln für beliebige symmetrische Achse und beliebig veränderlichen Querschnitt mitunter von dem Beitrag der Achsialkraft etc. (dem Beitrag der Integrale X₂, X₂, Z₂ S. 306, welcher hei Parabelbogen von konstantem Jcos<p durch s, ß berücksichtigt ist) abgesehen und also nach S 20, 15)—19), 25)—27), 33), 37)—43), 50), 51) gerechnet werden § 47 (S. 326), B 37, 94, auch 38, 40.

Für Bogen ohne Gelenke kann der Einfluß der Vernachlässigung jenes Beitrags in den Ausdrücken von H, M, M‘ bei beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten bedeutend werden, selbst in dem günstigsten Falle rechteckigen Querschnitts (Gewölbe) B 63 (S. 244), 64, 65, 66, 98.

Auch wenn bei Berechnung der Stützenreaktionen und Beanspruchungen von Bogen mit beliebiger Achse die einfachen Formeln der §§ 20, 49 zur Verwendung kommen, sind die Einsenkungen, wenn verlangt, möglichst genau zu berechnen, da diese durch Vernachlässigungen

¹ Nach der Korrektur dieses Paragraphen ging mir die Schrift zu: Binder, Über den Einfluß der Vernachlässigung der Achsialkraft bei Berechnung von Bogenbrücken mit eingespannten Kämpfern, Wien 1910 (nach der Allgemeinen Bauzeitung 1910), auf welche hier nur noch hingewiesen werden kann. Es wird darin die bezeichnete Vernachlässigung unter vielfacher Bezugnahme auf die zweite Auflage meiner „Bogenträger“ ausführlich behandelt. Der auf S. 24 der Binderschen Darstellung erwähnte Fehler in einem Beispiel ist in der neuen Auflage der „Bogenträger“ berichtigt. Zur Änderung der allgemeinen Schlüsse ergab sich hierbei keine Veranlassung.

selbst dann bis zur Unbrauchbarkeit beeinflußt werden können, wenn die erhaltenen Beanspruchungen für praktische Zwecke noch genügend genau sind. Siehe die Vergleiche in B 39, 96, 99.

Gewölbe. Die durch die Wiener Versuche (§ 31) als zutreffend bewiesene Berechnung von Tonnengewölben als elastische Bogenträger bestätigt zugleich die Willkür der früheren Berechnung. Die freie Wahl gewisser Durchgangspunkte der Stützlinie in einzelnen Fugen kommt auf die Annahme von Gelenken in den betreffenden Punkten hinaus, während bei eisernen Bogen niemand Gelenke annimmt, wo keine sind, und auch bei Gewölben, je nachdem Gelenke angewandt werden oder nicht, ganz verschiedene Beanspruchungen entstehen können. Vergl. die Resultate der Beispiele 22, 44 und die Bemerkungen S. 215. Gewölbe sind nicht weniger genau zu berechnen als eiserne Bogen, da für sie die Vermeidung größerer Zugspannungen von Wichtigkeit ist (§ 31). Man hat also entweder wirklich Gelenke anzuordnen (§ 27), oder die Gewölbe bei entsprechender Ausführung als elastische Bogen ohne Gelenk zu berechnen. Bl, 41—45, 48, 49, 63—67, 98, 99 etc. Abgesehen ist hierbei von solchen Gewölben (insbesondere des Hochbaus), für welche auf Grund genügender Erfahrungen das bisherige Vorgehen mit den üblichen geringen rechnungsmäßigen Beanspruchungen als empirische Methode gelten kann.

Während die Berechnung von Gewölben mit drei Gelenken nach § 19 erfolgen kann (B 18—27) und nur bezüglich der Einsenkungen bei nicht parabolischer Achse auf § 48 zu verweisen ist, wären Gewölbe ohne Gelenke nach § 21 zu berechnen (B 41—45, 48, 49, 63—67), wozu sich bei nicht parabolischer Achse die H, M, M‘ am einfachsten nach § 49 (B 63), am genauesten aus § 50 ergeben. (B 98). Die Ermittelung der H, M, M‘ nach den unter Vernachlässigung der Achsialkraft etc. entstandenen Formeln des § 49 (B 63) ist jedoch keineswegs allgemein genügend (S. 244). Für das Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe gestatten die Tabellen der Beispiele 65, 67, (S. 252, 256), in welchen die großen Zahlen die genaueren, die kleinen die weniger genauen Werte bedeuten, Vergleiche der schließlichen Bechnungsergebnisse ohne und mit jenen Vernachlässigungen. Auch die kleinen Zahlen stehen mit den Versuchsresultaten noch genügend im Einklang, während das frühere Verfahren über dieselben überhaupt keinen Aufschluß geben kann (S. 251). Die Einsenkungen nicht parabolischer Gewölbe ohne Gelenke sind nach § 48 zu berechnen (B 99).

Das besonders bei Gewölben nicht seltene Vorgehen, der Berechnung nur einzelne im voraus gewählte Belastungsfälle zugrunde zu legen, ist für Brücken im allgemeinen nicht genügend. B 22, 44 (S. 95, 168). Dagegen ist die Verzeichnung der Stützlinie zur Berechnung von Gewölben ebensowenig nötig wie bei eisernen Bogen. Sie kann eventuell behufs größerer Anschaulichkeit für einzelne Belastungsfälle beigefügt werden. Vergl. § 8, S. 95, und B 65.

V. Abschnitt.

Bogenfachwerke.

Bogenfachwerke sind als Fachwerke gegliederte Bogen. Man kann also einfache und durchlaufende (kontinuierliche) Bogenfachwerke, ohne und mit Gelenken, verschiedener Formen und Systeme unterscheiden (S. 75). Wir setzen das auf Fachwerke im allgemeinen Bezügliche als bekannt voraus, wollen jedoch die wichtigsten Beziehungen und Methoden in Erinnerung bringen, soweit sie in der Folge Verwendung finden. Sie betreffen den Zustand des Gleichgewichts nach Einwirkung äußerer Aktivkräfte (Lasten etc.), deren Gesamtheit wir auch dann als Belastung bezeichnen, wenn nicht nur vertikale Aktivkräfte wirken. Temperaturänderungen und kleine Bewegungen der Stützpunkte werden, wie bisher, ebenfalls in Betracht gezogen.

2 Je    s -f- r>

2 k    s -J- r,

Es handelt sich bei Bogenfachwerken stets um stabile Fach-werke, das heißt um Fachwerke, welche Formänderungen nur durch Überwindung von inneren Kräften (Stabkräften) zulassen abgesehen von solchen durch Temperaturänderungen und Bewegungen der Stützpunkte. Das Fachwerk kann dabei statisch bestimmt oder statisch unbestimmt sein, d. h. die Statik allein kann zur Bestimmung aller Stabkräfte und Stützreaktionen bei bekannten äußeren Aktivkräften ausreichen oder nicht. In letzterem Falle muß die Elastizitätslehre zu Hilfe genommen werden. Für die Theorie der Bogenfachwerke werden alle Stabachsen und äußeren Kräfte in einer Ebene vorausgesetzt. Sind die Stützenreaktionen eines solchen ebenen Fachwerks von k Knotenpunkten und s gleichzeitig wirksamen Stäben durch r von einander unabhängigen Komponenten bestimmt, so muß sein: für stabile Fachwerke für statisch bestimmte Fachwerke

also

für stabile und statisch bestimmte Fachwerke 2k = s r.

Vorstehende Bedingungen betreffen die Anzahl der Stäbe und Reaktionskomponenten, es kommt jedoch auch auf die Anordnung derselben an. In dieser Beziehung gilt der Satz: Ein ebenes Fachwerk, welches bei Ti Knotenpunkten s + r = 2Tc gleichzeitig wirksame Stäbe und Reaktionskomponenten besitzt, die sich für die vorkommenden Belastungen aus statischen Bedingungsgleichungen allein bestimmen lassen, ist für diese Belastungen statisch bestimmt und stabil. Ein statisch unbestimmtes stabiles Fachwerk aber enthält die zur statischen Bestimmtheit und

Stabilität notwendigen Stäbe und Reaktionskomponenten und daneben noch überzählige Stäbe oder Reaktionskomponenten. Das aus den notwendigen Stäben und Reaktionskomponenten allein gebildete Fachwerk heißt Hauptsystem, wie jene auch Hauptstäbe und Hauptreaktionen genannt werden. Das Hauptsystem läßt sich oft verschieden wählen, man wird dann die Wahl in der Regel so treffen, wie es für die beabsichtigte Berechnung am günstigsten ist.

§ 52. Statische Beziehungen.

Die folgenden Beziehungen gelten für statisch bestimmte und statisch unbestimmte ebene Fachwerke. Sie reichen jedoch zur Berechnung aller Stabkräfte und Stützenreaktionen nur bei statisch bestimmten Fachwerken aus, während bei statisch unbestimmten Fachwerken auch die besonderen Eigenschaften des Materials in Betracht kommen und demgemäß Beziehungen der Elastizitätslehre hinzutreten müssen (§§ 56, 57). Abgesehen ist hierbei von dem bekannten Verfahren zur Berechnung statisch

unbestimmter Fachwerke mehrfachen Systems auf Grund der Zerlegung in einfache Systeme¹, welches jedoch, weil zunächst willkürlich, durch genauere Berechnungen als zulässig zu erweisen ist.

Das betrachtete Fachwerk sei nach Einwirkung beliebiger äußerer Aktivkräfte (Lasten etc.) zum Gleichgewicht gelangt. Temperaturänderungen und Bewegungen der Stützpunkte sind zu-~x gelassen. Alle Verrückungen werden den anfänglichen Abmessungen gegenüber verschwindend klein vorausgesetzt.

Knotenpunktsmethode. Bezüglich eines rechtwinkligen Koordinatensystems in der Trägerebene in fester Lage gegen die anfängliche Gruppierung der Knotenpunkte seien xm, ym die anfänglichen Koordinaten eines Knotenpunktes m und xn, yn diejenigen eines Knotenpunktes n, welcher mit m durch einen Stab der anfänglichen Länge s und schließ-lichen Stabkraft S verbunden ist (Fig. 222). Xm, Ym mögen die resultierenden Komponenten der in m angreifenden äußeren Kräfte in den Richtungen x, y bezeichnen. Dann bestehen fürs Gleichgewicht am Knotenpunkt m die Bedingungsgleichungen:

T.1

!/m

}/n

Xm Xn.

Fig. 222.

Xtn + 2SXn~Xm

m    s

worin die Summen 2 auf sämtliche in m eintreffenden Stäbe zu erstrecken.

- m

¹ Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887, VIII. Abschnitt; Beispiele und Aufgaben hierzu, Leipzig 1888, VIII. Abschnitt; Luegers Lexikon der gesamten Technik, 2. Auflage, Artikel Fachwerke mehrfachen Systems.

0,

= 0,

Die S sind wie Zugkräfte von m weggerichtet einzuführen und bedeuten dann Zug oder Druck, je nachdem sie sich positiv oder negativ ergeben.

Bei k Knotenpunkten liefert die Statik 2 k Gleichungen der Formen 1, welche durch die darin auftretenden Größen erfüllt sein müssen und also zur Bestimmung von Unbekannten dienen können. Unbekannt sind aber die Stabkräfte und die von einander unabhängigen Reaktionskomponenten, welche Größe und Richtung sämtlicher Stützenreaktionen bestimmen. Ist die Anzahl dieser Größen bei geeigneter Anordnung der Stäbe und Auflager gerade 2 k, so reichen die statischen Gleichungen zur Bestimmung aller Stabkräfte und Stützenreaktionen gerade aus, das Fachwerk ist statisch bestimmt (S. 361), während bei größerer Anzahl der Stabkräfte und unabhängigen Reaktionskomponenten das Fachwerk statisch unbestimmt sein muß. Da in obigen Gleichungen die Temperaturänderungen und Verrückungen der Knotenpunkte nicht Vorkommen, so sind bei statisch bestimmten Fachwerken Temperaturänderungen und kleine Bewegungen der Stützpunkte ohne Einfluß auf die Stabkräfte und Stützenreaktionen, was einen Vorzug derselben bildet.

V,

70

Fig. 223.

Schnittmethode. Man denke sich durch den Träger einen beliebig geformten Schnitt so gelegt, daß der Träger in zwei Teile I und II zerlegt erscheint (Fig. 223). Für diejenigen äußeren Kräfte des Trägers, welche am Trägerteil I wirken, seien Hs die resultierende Horizontalkraft, Ys die resultierende Vertikalkraft, Ms das resultierende Moment, letzteres in Hinsicht eines beliebig gewählten Drehpunktes in der Trägerebene. Mit HS,VS, Ms müssen diejenigen Kräfte im Gleichgewicht sein, welche als Stabkräfte vom Trägerteil II her auf den Teil I wirken, also für I ebenfalls zu den äußeren Kräften gehören (S. 1). Wir denken uns dieselben stets zunächst wie Zugkräfte vom betrachteten Trägerteil I weggerichtet, so daß sie Zug oder Druck bedeuten, je nachdem sie sich positiv oder negativ ergeben.

Ein rechtwinkliges Koordinatensystem in der Trägerebene werde in fester Lage gegen die anfängliche Gruppierung der Knotenpunkte so angenommen, daß die positiven Richtungen der Koordinatenachsen mit den positiven Richtungen von Hs, Vs übereinstimmen. Das Moment Ms soll als positiv gelten, wenn es wie der Zeiger der Uhr rechts um den gewählten Drehpunkt wirkt, dessen Koordinaten durch u, w bezeichnet sein mögen. Bedeuten dann für die vom Schnitte s getroffenen Stäbe X, Y, Z, • • • die Stabkräfte, £, r\, £, • • • die Winkel ihrer Richtungen mit der positiven Richtung der Abszissenachse, x, y, z, • • ■ ihre Hebelarme in

Hinsicht des Drehpunktes w, w, so lauten die Bedingungen fürs Gleichgewicht am Trägerteil I:

Hs -J- X cos £ -f- Y cos r\ -|- Zcos £ -J----=0,

Fs + Xsinf-f Y sin 77 -f- Z sin £ -|----= 0,

Ma + Xx± Yy±Zs±--- = 0.

Die Momente Xx, Yy, Zz, ••• erhalten das positive oder negative Vorzeichen, je nachdem die vom Trägerteil I weggerichteten X, Y, Z, • • • (Fig. 223) auf Drehung rechts oder links um den Punkt u, w wirken.

Aus vorstehenden Gleichungen für einen Schnitt s lassen sich im allgemeinen drei unbekannte Größen berechnen. Man hat also nach Ermittelung der Stützenreaktionen, womit hei gegebenen Aktivkräften (Lasten etc.) die Hs, Vs, Ms bestimmt sind, die Schnitte s wenn möglich so zu legen, daß durch jeden Schnitt nicht mehr als drei Stäbe mit unbekannten Stabkräften getroffen werden, die Stabkräfte der etwa weiter getroffenen Stäbe also durch Gleichungen für vorhergehende Schnitte bestimmt sind. Die Vs, Ms kann man unmittelbar numerisch berechnen oder aus geeigneten Formeln erhalten¹.

Momentenmethode (Bittersche Methode).

Die Bestimmung

einer Stabkraft statisch bestimmter Fachwerke aus 2 bis 4 erfordert im allgemeinen die Auflösung dreier Gleichungen. Dies ist häufig unbequem, insbesondere dann, wenn für eine angenommene Belastung nur eine Stabkraft interessiert (wie bei der Berechnung von Grenzwerten). Zur Ermittelung dieser würde auch eine Gleichung genügen, vorausgesetzt daß sie von unbekannten Stabkräften nur die gesuchte enthält. Dies ist aber bei bekanntem Ms stets erreichbar, wenn sich die Achsen der übrigen vom Schnitte s getroffenen Stäbe mit unbekannten Stabkräften in einem Punkte schneiden, also beispielsweise, wenn s nur drei Stäbe mit unbekannten Stabkräften trifft (wie auch zur Berechnung aus 2 bis 4 nötig). Da nämlich die Wahl des Momentendrehpunkts freisteht, so legt man ihn nach dem Vorgänge von August Bitter jeweils in den Durchschnitt der nicht gesuchten unbekannten Stabkräfte. Bezeichnen Bx, By, Bz die Momente der etwa vom Schnitte s getroffenen bekannten Stabkräfte bezüglich der Drehpunkte für die unbekannten X, Y, Z, so folgen aus 4 zur Berechnung von X, Drehpunkt im Durchschnitt von Ir, Z:

Ms±Xx+Bx = 0,

zur Berechnung von Y, Drehpunkt im Durchschnitt von Z, X:

Ma±Yy + B„ = 0,

zur Berechnung von Z, Drehpunkt im Durchschnitt von X, Y:

Ms±Zz + B,= 0.

Bei den meisten statisch bestimmten Fachwerksystemen lassen sich die

¹ Bezüglich solcher Formeln, siehe: Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger etc., Leipzig 1887, §§ 7, 8, 10; Luegers Lexikon der gesamten Technik, Artikel Schnittkräfte.

Schnitte s so legen, daß die B gleich Null und damit die Stabkräfte proportional den zugehörigen Momenten Ms werden.

Trifft Schnitt s, wie häufig an Trägerenden, nur zwei Stäbe mit unbekannten Stabkräften, so darf man bei Berechnung der einen den Drehpunkt in einen beliebigen Punkt der andern legen. Die Momente Ms können wie bei der Schnittmethode unmittelbar numerisch berechnet oder aus Formeln erhalten werden¹.

Beispiel 100. Einfaches Bogenfach werk mit gegebener Belastung.

Für den skizzierten Bogendachbinder mit drei Gelenken sind durch einseitigen Winddruck die angedeuteten vertikalen und horizontalen Knotenpunktskräfte entstanden. Es sollen die Reaktionen V, H, V, H‘ der Kämpfer und alle Stabkräfte berechnet werden.

Reaktionen. Für sämtliche äußeren Kräfte und für diejenigen vor dem Mittelgelenk bestehen hinsichtlich des Kämpfergelenks rechts und des Mittelgelenks folgende Momentengleichungen:

r-32 - 0,4    + 12 + 8 + 4) - 0,1    + 9 + 8 + 7) - 1,8 • 6 = 0 ,

V• 16 — H‘8 = 0 ,

3 = 1,66 t .

V = 0,83 t.

Die Gleichgewichtsbedingungen „Summe aller äußeren Vertikalkräfte gleich Null“ und „Summe aller äußeren Horizontalkräfte gleich Null“ in Anwendung auf den ganzen Träger lauten:

V+ V‘ — 0,4*4 + o,

woraus mit obigen V, H:

v‘ = 0,77 t,

woraus

3 — 3‘ — 0,1*4 — 1,75 *2 = 0 ,

3‘ — — 2,24 t .

0,20t

3?

n,, iji KJ*

mf'M

jio

0,40

kfi

kfl \

AB

S.m

6m

Et. ' 47S> */ ^ ^

■0,10

0,40

Ot

0,10

0,20t

0,05 t

1,75

V,\

\4

Z,

4m

K.....

•*./

1,75t

167/1

H'

\W

Y\

Fig. 224.

V'

Stabkräfte der ersten Binderhälfte. Für die äußeren Kräfte des Trägerteils links der Schnitte s, welche nach der Anleitung zur Momenten-methode (S. 364) behufs Berechnung der Stabkräfte in üblicher Weise geführt sind, ergeben sich folgende Momentengleichungen. Die daraus folgenden Stabkräfte sind beigesetzt.

0,83 • 4 — 1,66 • 2 -f- Xj • 4,83

0,83* 8 — 1,66• 4 -(- X₂• 4,83•

0,83 • 12 — 1,66 • 6 + X₃ • 4,83 •

Uo CO j »O Ol j lO

X₂ = 0

X₃ = 0

X₄ = 0 ,

0,83*16 — 1,66*8 + X₄ • 4,83 •

¹ Spezielle Ausdrücke von Ms und seinen Grenzwerten für einfache Bogenfachwerke mit drei Gelenken s. Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger, Leipzig 1887, §§ 66—68.

0,83* 0 — 1,66*6 — .2+5,36

0,83* 4 — 1,66*7 — ^2*5,36* ⁵

0,83* 8 — 1,66*8 - -2+5,36* „

6 Q

0,83*12 — 1,66*9 + Zi • 5,36 * — = 0

Zx = — 1 86 t

Z₂ = — 1,86 „

X₃ == — 1,86 „

2T₄ = - 1,86„ ,

£>! = 0 Do = 0 Da = 0

D 4 = 0,

0,83 • 24 — 1,66*12 + T₀*24 = 0 0,83 • 24 — 1,66 • 12 + Vx • 20 = 0 0,83.24 — 1,66*12 + T+16 = 0 0,83*24 — 1,66*12 + F₃*12 = 0

^+X^=°

Die letzte Gleichung drückt ausnahmsweise die Bedingung „Summe aller Vertikalkräfte gleich Null“ für den höchsten Knotenpunkt des Obergurts aus (Knotenpunktsmethode, S. 362).

Stabkräfte der zweiten Binderhälfte. Für die äußeren Kräfte des Trägerteils rechts der Schnitte s, welche nach der Anleitung zur Momenten-methode (S. 364) behufs Berechnung der Stabkräfte geführt werden, ergeben sich bei Beachtung von H' + 1,75 = — 2,24 -j- 1,75 = — 0,49 t folgende Momentengleichungen.

r₀ = o D = o r₂ = o r₃ = o

r₄ = o.

— 0,77* 4 + 0,2*4 — 0,49*2 — 1,8*4 — 0,*4,83 = 0

—    0,77* 8 + 0,4 (4 + 4) — 0,49*4 — 1,8*2 — 0,1*3 — 0₂*4,83*

—    0,77*12 + 0,4 (4 + 8 + 6) — 0,49*6 — 1,8*0 — 0,1 (2 + 1) — 0₃• 4,83•-?-

5

—    0,77 • 16 + 0,4 (4 + 8 + 12 + 8) — 0,49• 8 + 1,8• 2 — 0,1 (1 + 0 — 1) — 0₄*4,83• ~ — 0

— 0,77 • 0 — 0,49 • 6 + Ux • 5,36 = 0

—    0,77 • 4 + 0,2*4 — 0,49*7 + 1,8*1 + C+5,36*

—    0,77* 8 + 0,4 (4 + 4) — 0,49*8 + 1,8*2 + 0,1 • 1 + 1+5,36*

—    0,77 • 12 + 0,4 (4 + 8 + 6) — 0,49 • 9 + 1,83 • 3 + 0,1 (1 + 2) + F₄ • 5,36 • -- = 0

b

Tj- ICO

—    0,77*24 +    0,2*24    — 0,49*12 + 1,8*6 + £+21,21 =    0

—    0,77*24 +    0,4 (12    + 20) — 0,49*12 + 1,8 • 6 + 0,1 • 5    +    £+16,00 = 0

—    0,77 • 24 +    0,4 (12    + 20 + 16) — 0,49 »12 + 1,8 • 6 +    0,1    (5 + 4) + E₃ • 10,73 =    0

—    0,77*24 +    0,4 (12    + 20 + 16 + 12) — 0,49*12 + 1,8• 6    + 0,1 \b + 4 +    3)    +    £+5,82 — 0 ,

—    0,77*24 — 0,49*12 — 11+24 = 0

—    0,77 • 24 + 0,2 • 24 — 0,49 • 12 + 1,8 • 6 — Wx • 20 = 0

—    0,77 • 24 + 0,4 (12 + 20) — 0,49 • 12 + 1,8 • 6 + 0,1 • 5 — Tfo • 16 = 0

—    0,77*24 + 0,4 (12 + 20 + 16) — 0,49*12 + 1,8*6 + 0,1 (5 + 4) — U+12 = 0

ir₄ + 0,2 + o₄

4,12

Die letzte Gleichung drückt wieder ausnahmsweise die Bedingung „Summe aller Vertikalkräfte gleich Null“ für den höchsten Knotenpunkt des Obergurts aus.

'nT

li

3m.\

21771

24m

62771

Ja.

21m

Vorstehende Gleichungen, in denen je nur eine Unbekannte vorkommt, liefern die folgenden Stabkräfte :

0₁ = — 2,17 t 0₂ — — 2,28 „

L\ — 0,55 t

U₂ = 0,88 „

0,41 t

0,01 „

0₈ = - 1,82 „    . U₃= 0,89 jf

04 =

0,08 „    1/4 = 0,28

G = e₂ =

E₃ = — 0,61 „

Ei = — 2,00 „

w₀ = —1,01 t

TTj = — 0,44 „

ir₂ = — 0,02 „ w₃ =

0,54 „ ir₄ = — 0,22 „

Beispiel 101. Durchlaufendes Bogenfach werk mit gegebener Belastung.

Für das in Fig. 225 angedeutete kontinuierliche Bogenfachwerk betrage das Eigengewicht der äußeren Öffnungen 0,6 t, der Mittelöffnung 0,7 t pro Meter Träger. Hiervon kommen in allen Öffnungen 0,4 t auf die Knotenpunkte des Obergurts, in welchen die Fahrhahnlast angreift, der Rest auf diejenigen des Untergurts Es sind sämtliche Stützenreaktionen des Trägers sowie die Stabkräfte der ersten Trägerhälfte für den Fall zu berechnen, daß auf die zweite Trägerhälfte neben dem Eigengewicht eine Verkehrslast von 2,8 t pro Meter wirkt.

Stützenreaktionen. Der Belastung jeder Öffnung wirken gleich große Teile der vertikalen Stützenreaktionen entgegen. Es bestehen folgende Momentengleichungen, aus welchen sich die beigesetzten Reaktionen ergeben; für die äußeren Kräfte der beiden Seiten Öffnungen:

^•21 — 0,6-21-10,5 = 0 — X-21 + 3,4-21-10,5 = 0

A = B = 6,3 t F = E — 35,7 „ ,

für die äußeren Kräfte der Mittelöflfnung:

C-24 — 0,7-12-18 — 3,5-12-6 = 0

—    D-24 + 3,5-12-18 + 0,7-12-6 = 0

und für die äußeren Kräfte am ersten Bogenschenkel der Mittelöffnung:

—    H-4 + 16,8-12 — 0,7-12-6 = 0

•Sf

C = 16,8 t D = 33,6 „ ,

H = 37,8 t .

Hiernach sind die ganzen Vertikalreaktionen der vier Stützen:

A= 6,3 t B + C = 23,1 „ D + E = 69,3 „ F— 35,7 „

Probe

(0,6 + 3,4) 21 + (0,7 + 3,5) 12 = 134,6 t .

Stabkräfte der ersten Öffnung. An Last entfällt auf einen Knotenpunkt des Obergurts 0,4 • 8 — 1,2 t, des Untergurts 0,2 • 3 = 0,6 t. Ausnahmen bilden die Knotenpunkte der Endvertikalen, auf welche nur halb soviel kommt. Die Methoden des vorigen Paragraphen liefern folgende Gleichungen, in welchen die Knotenpunktslasten über A mit dessen Wert zusammen berücksichtigt sind. Für den Obergurt (Momentenmethode):

5.4-    3+'Xi-4,5 = 0

5.4-    6 — 1,8-3 + X₂-4,5 = 0

5,4• 9 — 1,8 (6 + 3) + X₈-4,5 = 0

5.4- 12 - 1,8 (9 + 6 + 3; + X₄-4,5 = 0

Xt = — 3,6 t X₂ = — 6,0 „ X₃ = - 7,2 , X₄ = - 7,2 „ ,

für den Untergurt (Momentenmethode):

—    (37,8 + Zy) 4,5 = 0

—    (37,8 + Z₂) 4,5 + 5,4» 3 = 0

—    (37,8 + Z₃) 4,5 -f 5,4 • 6 — 1,8 • 3 = 0

—    (37,8 + Zt) 4,5 + 5,4 • 9 — 1,8 (6 + 3) = 0

für die Diagonalen (Schnittmethode):

⁵’⁴“-Dl mV = 0

5,4 - 1,8 - D₂ —

Zy — — 37,8 t Z₂ = — 34,2 „ Z₂ — — 31,8 „ Zy= — 30,6 „ ,

Dy = 6,49 t

5,41

Z>₂ = 4,33 „

5,4 — 1,8-2 - D₃

4,5

5,41

D₃ = 2,16 „

5,4 — 8,1-3 — D₄

4,5

5,41

D₄ = 0

und für die Vertikalen (Schnittmethode):

F₀ = — 6,0 t U = - 4,8 „ F, = - 3,0 „

r₃ = - 1,2 , .

6 + F₀ = 0 6 — 1,2 + Vy — 0 6 — 3,0 + V₂ — 0 6 - 4,8 + Fg = 0

Die übrigen Stabkräfte der ersten Öffnung sind damit ebenfalls bestimmt, da je zwei zur Mitte dieser Öffnung symmetrisch liegende Stäbe gleiche Beanspruchungen erleiden.

Stabkräfte der zweiten Öffnung. Von den äußeren Kräften der ersten Öffnung kommt für die Stabkräfte der zweiten Öffnung nur der Horizontalschub    H =    37,8 t in Betracht. An Last wirkt auf    der    ersten    Öffnungshälfte    in

den Knotenpunkten des Obergurts je 0,4 • 3 = 1,2 t,    des    Untergurts 0,3 -3 = 0,9    t.

Ausnahmen bilden die Knotenpunkte in den beiden Endvertikalen dieser Öffnungshälfte, auf welche halb soviel kommt. In den folgenden Gleichungen sind die Knotenpunktslasten über C mit dessen Wert zusammen berücksichtigt. Man hat für den Obergurt (Momentenmethode):

Xy = 8,73 t X₂ = 19,87 „ X₃ = 26,93 „ X₄ = 0    „

15.75-    3 — 37,8-1,86 + Xy2,64 = 0 15,75 • 6 — 37,8 • 3,08 — 2,1 • 3 + X₂ • 1,42 = 0 15,75 • 9 — 37,8 • 3,77 — 2,1 (6 + 3) + X₃ • 0,73 = 0

15.75- 12 — 37,8-4    — 2,1 (9 + 6 + 3) + X₄-0,5 =    0

für den Untergurt (Momentenmethode), wenn z den Hebelarm der Stabkraft bezeichnet, da beispielsweise für Zy (Fig. 226) z : 4,5 = 3 : 3,53, z

3-4,5

_ 3-4,5,

3,53 ¹

\z

i,5m \

3^

Zy = — 44,48 t Z₂ = — 50,26 „

Z₃ = — 59,21 „

Z₄ = — 64,94 „ .

Vertikalen (Momentenmethode). Es bezeichne e diejenige Entfernung von der zu berechnenden Vertikale, in welcher sich die Richtungslinien des auf letztere zunächst folgenden Untergurtstabs und des Obergurts schneiden. Dann hat man beispielsweise für F₀ (Fig. 226) e : 2,64 = e + 3 : 4,5 und wir erhalten für V₀ :

— 37,8-4,5 — Zj -

15,75-3 — 37,8-4,5 — Z₂

3.53

3 • 2,64

3,24

15,75 • 6 — 37,8 • 4,5 — 2,1 • 3 — Z₃

3 • 1,42

3,08

15,75-9 — 37,8-4,5 — 2,1 (6 + 3) — Z₄

3-0,73

3,01

‘ V/

:d

Fig. 226.

3 • 2,64

16,35-7,26 — 37,8-4,5 + F₀-7,26 = 0

4,5 — 2,64

= 4,26 m

für Vy:

3-1,42

7,08 t

15,75 • 9,49 — 37,8 • 4,5 — 0,9 • 6,49 + Vy • 6,49 = 0

2,64 — 1,42

= 3,49 m

4,08 , ,

für F₂

3^0,73

1,42 — 0,73

= 3,17 m

15,75 • 12,17 — 37,8 • 4,5 — 2,1 • 9,17 — 0,9 • 6,17 + F₂ • 6,17 = 0

F* =

0,52 t ,

für r₃

e ==

3-0.5

0,73 — 0,5

15,75-18,52 — 37,8-4,5 — 2,1- (15,52 + 12,52.) — 0,9-9,52 + TV 9,52 = 0

für Vi ausnahmsweise nach der Knotenpunktsmethode:

0,6 + f₄ = o

= 6,52 m

F₃ = - 5,69 „

V₄ = — 0,60 „ .

Diagonalen (Knotenpunktsmethode). Es ergeben sich unmittelbar:

2,64

0,6 + f₀ + dx —-

1,2 + Fi + D₂

Dt = — 11,64 t

1.42

3,32

Z>₂ = — 12,34 „

1,2 + r₂ + d₃

0,73

3,09

Da = — 7,28 „

1,2 + F₃ + D₄

0,5

3,04

ü₄ =

27,30 „ .

Bemerkungen. Von den Reaktionen hätten sich noch einfacher als oben erhalten lassen:

0,6 • 21

= 6,3 t

E= F = -

3,4-21

= 35,7 t

D = (0,7 + 3,5) 12 — C = 33,6 t.

Auch die Stabkräfte lassen sich auf verschiedene Weise berechnen. Für die Diagonalen der zweiten Öffnung beispielsweise liefert die Momentenmethode folgende Gleichungen, wobei zu beachten, daß der Hebelarm d der Stabkraft

für D₁ (Fig. 226) aus d : e -)- 3 = 2,64 : 4 mit e -(- 3 : 4,5 = e : 2,64 folgt d = e und sich analog für die übrigen Diagonalen ausdrückt.

15,75 • 7,26 — 37,8 • 4,5 —    • 4.26    = 0

15,75 • 9,49 — 37,8 • 4,5 — 2,1 • 6,49 — D₂ • 3,49    = 0

1,42

15,75 • 12,17 — 37,8 • 4,5 — 2,1 (9,17 + 6,17) — Z>₃ - 3,17    ■ = 0

15,75 • 18,52 — 37,8 • 4,5 — 2,1 (15,52 + 12,52 + 9,52) — D₄ • 6,52

0,73

Es ergeben sich:

= — 11,63 t,

3,04

D₄ = 27,28 t .

I)₃ = — 7,30 t ,

Die kleinen Differenzen gegen die oben erhaltenen Werte erklären sich aus der Vernachlässigung von Dezimalen.

Die Berechnung der Grenzbeanspruchungen des hier behandelten Trägers mittelst Formeln für gleichmäßig verteilte bewegte Last und bewegte Radlastzüge siehe: Weyrauch, Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1888, Beispiele 101 und 102 (entsprechende Berechnung des Dreigelenkbogens der Mittelöffnung daselbst Beispiele 87 und 88).

-Do = — 12,35 t

§ 53. Bog-enfachwerke mit Vertikalen (Ständerfaehwerke) und beliebig- g-eformten Gurtung-en.

Die Methoden des vorigen Paragraphen lassen sich nicht nur bei Zahlenrechnungen sondern auch zur Ableitung von Formeln verwenden. Solche Formeln bieten erhebliche Vorteile, wenn die betreffenden Träger häufig Vorkommen. Die weitaus am meisten vorkommenden Bogenfach-

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Anfl.

werke sind Ständerfachwerke (Felderteilung durch Vertikalen) einfachen Systems. Für diese sollen die wichtigsten Formeln im folgenden angeführt werden, während bezüglich der Einzelheiten ihrer Ableitung auf die Theorie der Fachwerke verwiesen werden muß ¹, wo auch andere Systeme berücksichtigt sind. Erwähnt seien hier nur noch die Strebenfachwerke (Felderteilung ohne Vertikalen).

Der Träger sei zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stützpunkten durch Vertikalen in n Felder von gleichen Längen l geteilt; Spannweite also l = nl. In jedem Felde befindet sich eine wirksame Diagonale, die aber zweierlei Stellungen einnehmen kann (Fig. 227 und 228). Es werden die in Fig. 227, 228 ersichtlichen Bezeichnungen eingeführt, wonach die Stabkräfte derjenigen Gurtung durch Xm bezeichnet sind, welche man der Diagonale nach links hin folgend trifft, die Stabkräfte der andern Gurtung durch Zm. Die beiden Gurtungen sollen dementsprechend kurz

Az

m+1

n-l

Az

/Do

771+1

n-l

Fig. 227. Obere Vorzeichen.

Fig. 228. Untere Vorzeichen.

X-Gurtung und A-Gurtung heißen. xm, zm, dm, hm seien die Längen der Stäbe, welche durch Xm, Zm, Dm, Vm beansprucht sind. Schließlich mögen für ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem Ursprung der Koordinaten im Auflager links und horizontaler Abszissenachse , ■$,„ die Ordinaten der Knotenpunkte m (d. h. auch der Knotenpunkte von Abszissen ml) in A-Gurtung und A-Gurtung bedeuten. Dann gelten in allen folgenden Gleichungen die oberen Vorzeichen bei obenliegender A-Gurtung (Fig. 227) die unteren Vorzeichen bei untenliegender A-Gurtung (Fig. 228).

Bei beliebig gerichteten Aktivkräften in der Trägerebene (Lasten, Winddruck usw.) ergibt die in § 52 vorgeführte Momentenmethode folgende Ausdrücke der Stabkräfte, denen wir die Koordinaten u, w der Drehpunkte für die Schnittmomente Ms beifügen:

x~ = + v*-jt

mit u — ml

W - m i

Zm

Zm — + Ms

mit u = (m — 1)1

¹1. Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887; II. Weyrauch, Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1888. Wir wei den diese beiden Werke in §§ 53, 54 durch I und II bezeichnen und daneben Aufgaben durch A, Beispiele durch B.

mit u = (m — v) X

y,n = 4: -Ms

-£>«    ^ (fm.    Jm— l)

Hierin bezieht sich Ms für X„n Dm, Zm auf einen Schnitt s durch die Stäbe xm, d,„, zm (Fig. 227, 228), für Vm auf einen Schnitt s durch die Stäbe xm, hm, zm + i und sind allgemein:

hm

Dm--1~ Ms —

dm

^ hm — 1

mit u = (m — e) X wd — i,n — e (ym — lm-i) = %m — £ (Im — ä»-i)

I³

hm hm — 1

Um 8 m

Speziell bei horizontaler X-Gurtung hat man:

xm — X ,

hm

Im = Wa = Wv = h

und bei horizontaler Z-Gurtung:

v — e,

Z' m '— X

fym W rt Wv fl

unter h₀ die Länge der Vertikale beim Auflager 0 verstanden.

Die Formeln für Xm, Zm) Dm gelten auch, wenn die Stellung der Diagonalen wechselt (die A-Gurtung also einmal oben und einmal unten liegt), die Formeln für Vm dagegen sind an die Bedingung geknüpft, daß sich zu beiden Seiten der Vertikale m Felder mit Diagonalen gleicher Stellung befinden (Fig. 227, 258), wobei jedoch eine Diagonale mit einem Gurtungsstabe zusammenfallen darf (Fig. 229, 230). Trifft dies nicht zu, so führen meist die Gleichgewichtsbedingungen für die äußeren Kräfte und Stabkräfte an einem der begreD-zenden Knotenpunkte rasch zum Ziel.

Vergl. S. 373 und II, A 39, 42.

Näheres über vorstehende Gleichungen siehe I, §§ 16, 17. Bezüglich darin vorkommender statisch unbestimmter Größen wird das Nötige unten und in § 57 gegeben werden.

Fig. 229.

Zj,

Fig. 230.

Öffnungen mit Endgelenken.

Wir wollen nun speziell solche einfache und durchlaufende Bogenfachwerke der angenommenen Systeme ins Auge fassen, welche an den Enden der betrachteten Öffnung l Gelenke in gleicher Höhe besitzen und nur durch vertikale Aktivkräfte (Lasten) ergriffen sind. Bezeichnen dann S, S‘ die statischen Momente der Knotenpunktslasten von Auflager 0 bis Schnitt s (Fig. 227, 228) in Hinsicht des Auflagers 0 und von Schnitt s bis Auflager l in Hinsicht des Auflagers 1, so folgen aus 1 bis 4:

Dm = -j- (n — m -)- e) S -j- (m — e) S‘— H n wd

£ l hin -1

Xm — —(-

(n — m) S fl— vn S‘ — H n

xm

lhm ’

Zm = + (w — ni fl- 1) S fl- (m — 1) S‘ — Hn jcm-

zm

¹ lh ’

,bm -1

V l

Für einen beliebigen Horizontalschub H allein, also z. B. auch für die Beiträge von Temperaturänderungen und kleinen Änderungen der Spannweite (bei statisch unbestimmten Bogenarten) sowie der Belastung angrenzender Öffnungen (bei durchlaufenden Bogen) ergeben sich aus 9:

Xm = JrH

im

Zm--)— H

Dm = ±H

dm

10

v A

Ebenso lassen sich aus 9 die Beiträge der Belastung der betrachteten Öffnung l ohne den Einfluß des Horizontalschubs entnehmen (mit H = 0), welche bei der Berechnung statisch unbestimmter Bogen auch für sich in Betracht kommen (als die A im Ausdruck 23).

Für eine auf die ganze Spannweite l gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit, wovon ux auf die Knotenpunkte der X-Gurtung und uz auf diejenigen der X-Gurtung kommen, liefern die Gleichungen 9:

^ im    H

hm 2    ’

Xm = -j- m (n — m) — H

Zm = fl- (tn — 1) (« — m fl-1) — H Dm = -j- m (n — m) — e (n — 2 m fl-1) — H²[lfr -Vm = -fl m (n — m) — v(ii — 2 m -j- Ux ^ Uz j —H

11

uA* J hm_₁ 2

dm u A²\ £ Jim _ 1 2

2 wv 1 1 u A

XÄÄ JVAT ’

worinHden Horizontalschub durch die angeführte Belastung allein bedeutet.

Für beliebige Lasten Pv P₂, . . ., welche in der betrachteten Öffnung l bei Abszissen av a₂, . • . auf die Fahrbahn kommen, folgen aus 9, wenn die Fahrbahnträger wie gewöhnlich nur je ein Feld überspannen (Beispiel eines anderen Falles siehe Fig. 220, S. 327):

= -f- (n — m) 2Pa-\-m2P(l — a) — Hn~~ ,

L    o    m    J ‘■"'m

n

{m — e) 2 P(l — a) — Hn wd

tn

Xm

12

n e fl- s) a j fl-

dm

£ l hm

Diese Ausdrücke gelten allgemein. Ferner hat man, wenn die Fahrbahnlast im Knotenpunkt m der X-Gurtung angreift:

15

16

V l

In 12 bis 16 bedeuten die Grenzen der Summen 2 Vertikalennummern (Fig. 227, 228), der Horizontalschub H rührt von den Lasten P allein her. Eine Last, welche gerade an der Grenze zweier Summen 2 liegt, kann nach Belieben in der einen oder andern aufgenommen werden, da z. B. in 12 mit a = m,l bei Beachtung von l— nX folgt (n — m) a — m (1—a) und entsprechende Gleichheiten für 13—16 bestehen. Unmittelbar lassen es die Einflußlinien der Stabkräfte erkennen (Fig. 274).

Für die Endvertikalen gelten ausnahmsweise:

im Falle von Fig. 231 ii ii ii 232 und für die Mittelvertikale beispielsweise bei zur Mitte symmetrischen Fachwerken ohne Zwischengelenk mit n = 2 a, A =    — %o — i-

r₀ = zu-r+H~*

-K

V₀

3l_

im Falle von Fig. 233

Va = -K₀-Xa

Va =

19

Ku -f- Xff ,

20

n ii ii 234

worin Ku, K₀ die in den erwähnten Figuren angedeuteten Knotenpunktslasten bezeichnen. — Wenn sich die beiden Gurtungen in den End-

K₀

Ko

w£

-JT

Fig. 231.

Fig. 232.

Fig. 233.

Fig. 234.

gelenken treffen, so ergeben die Gleichungen 9, 10, 11, 13 für m = 1 wegen h₀ = 0, £₀ = 0 den unbestimmten Ausdruck Zx — 0 : 0. Da jedoch alsdann fürs Gleichgewicht gegen horizontale Verschiebung des Knotenpunkts 1 im X-Gurt (Fig. 227, 228) die Bedingung besteht

Zx — = Z₂ —, so gilt allgemein:

zi    H

für h₀ — 0

Zx — Z%

21

Obige Gleichungen lassen sich zum Teil für besondere Gurtungsformen vereinfachen, indem man die betreffenden speziellen Werte von £, v, hm, £m, Im einsetzt, wobei sich auch besondere Eigenschaften der betreffenden Träger ergeben. Siehe z. B. die Aufgaben 33, 34 sowie I, §§ 72, 75. Ausdehnung der Gleichungen auf Öffnungen mit ungleichen Höhen der Endgelenke und ohne Endgelenke in I, §§ 18, 19.

Horizontalsehub H. In allen obigen Gleichungen ist der Horizontalschub H von der Trägerart, d. h. hier von der Anordnung der Auflager und etwaiger Zwischengelenke abhängig. Für Öffnungen mit gleich hohen Endgelenken und einem Zwischengelenk in der Mitte beispielsweise ist H durch § 19, 5) bestimmt.

Handelt es sich um Bogenfachwerke von einer Öffnung mit Kämpfergelenken allein (Fig. 235, 242, 248), so mögen für irgend einen Stab bezeichnen s die Länge, F den Querschnitt, q die Beanspruchung durch einen Horizontalschub H — 1 allein, und A diejenige Beanspruchung, welche durch die in Frage stehende Belastung im Falle H = 0 erzeugt würde (d. h. für ein Balkenfachwerk der geAvählten Anordnung). Dann hat man nach § 57, 27) mit

22

durch eine beliebige Belastung allein:

23

jj_    2 c q A

¹¹ ~ 2F(F

durch eine beliebige Temperaturänderung z allein (bei Zunahme z positiv):

24

Eaxl .

2 C Q

und durch eine Änderung der Spannweite um A l allein (bei Zunahme

Al positiv):

25

E Al 2 c o² ‘

26

S = A -f Hq ,

worin A, q die oben erwähnten Werte für diesen Stab bedeuten. Bei Ermittelung der Beiträge von z, A l ist A = 0. — Während die Gleichungen 22 bis 26 für beliebige einfache Bogenfachwerke mit Kämpfergelenken allein ohne überzählige Stäbe gelten, sind für das in diesem

In diesen Gleichungen sind die Summen N auf alle Stäbe zu erstrecken. Der Nenner ist nur von der Anordnung des Fachwerks und den s, F seiner Stäbe abhängig, bleibt also für alle Belastungen, Temperaturänderungen und Längenänderungen A l derselbe. Ist das Fachwerk, wie gewöhnlich, vollständig symmetrisch zur Trägermitte, dann sind die c, q symmetrisch liegender Stäbe gleich groß, so daß sich Ncp² aus den Verhältnissen der ersten Trägerhälfte berechnen läßt. Nachdem der Horizontalschub bekannt ist, erhält man die ganze Beanspruchung eines beliebigen Stabes:

Paragraphen betrachtete einfache System mit Vertikalen die q durch 10 mit H — 1, die A durch 9, 11 oder 12—16 mit H = 0 bestimmt. Abgesehen ist hierbei von den Ausnahmefällen, für welche die Gleichungen 17 bis 21 bestehen und also für H — 1 allein beziehungsweise für die gegebene Belastung mit H = 0 auch die q, A liefern.

Durchlaufende Bogenfachwerke werden meist am einfachsten unter Berücksichtigung der besonderen Verhältnisse des einzelnen Falles berechnet (vergl. die Beispiele 101, 117). Doch gelten auch für sie neben den Gleichungen 1 bis 21, wenn kein Zwischengelenk vorhanden ist, die Ausdrücke 22 bis 26, worin sich dann nur im allgemeinen die Summen 2 auf die Stäbe aller Öffnungen beziehen und L, AL an Stelle von l, Al zu setzen sind, unter L die Summe aller Spannweiten verstanden (§ 57).

Kämpferdrueklinie. Ungünstigste Belastungen. Die Kämpferdrucklinie für Öffnungen mit drei Gelenken ist wie in § 19 oder Aufgabe 3 (S. 14) bestimmt. Mittels derselben können die ungünstigsten Belastungen in gleicher Weise ermittelt werden, wie dies unten für Öffnungen mit zwei Gelenken angegeben ist. Doch lassen sich für einfache Bogenfachwerke mit drei Gelenken und statisch bestimmte durchlaufende Bogenfachwerke der hier betrachteten Systeme leicht auch direkt verwendbare Formeln für die Grenzwerte der Stabkräfte selbst ableiten. Da wir dies an anderer Stelle gezeigt und auf Grund der erhaltenen Formeln eine ganze Reihe statisch bestimmter Bogenfachwerke berechnet haben (I, §§ 66-75, 78-81; II, B 84-91, 93-104, .4 41-43), diese auch nicht allgemein zu den elastischen Bogenträgern gerechnet werden, so wollen wir uns nur auf ein Beispiel solcher Berechnungen beschränken unter anschließendem Hinweis auf entsprechende weitere Beispiele (Beisp. 107).

Bei statisch unbestimmten Bogenfachwerken handelt es sich in erster Linie um Regeln für die ungünstigsten Belastungen, ähnlich wie sie in §§ 10, 11 für vollwandige Bogen gegeben wurden, neben denen das in § 12 über Einflußlinien und Radlastzüge Gesagte gültig bleibt. Für Öffnungen mit Endgelenken ist die Gleichung der Kämpferdrucklinie nach § 2, 1):

21

a (l — a)

ßi

R=R

RS = R‘.

worin ß der Wert von H durch eine bei a angreifende Einzellast P = 1 allein. Näheres s. Beispiel 112 und Aufgabe 37. Bei Feststellung der ungünstigsten Belastungen in der betrachteten Öffnung ist das in § 10 bezüglich der Kämpferdrucke R, R‘ durch eine Einzellast P Gesagte zu beachten, wonach jetzt die von P herrührende resultierende Schnittkraft in unserem beliebig geformten Schnitte s (Fig. 227, 228): für P nach Schnitt s „ P vor

Die P bedeuten am Träger selbst angreifende Lasten, das heißt hier Knotenpunktslasten. Man hat ferner zu beachten, daß Ms in 1—4 das

Moment dieser vom Trägerteil I (Fig. 223) her wirkenden Schnittkraft Rs und positiv oder negativ ist, je nachdem es rechts oder links um den betreffenden Momentdrehpunkt wirkt, während positive Stabkräfte Zug, negative Druck bedeuten. So ergeben sich zunächst für einfache Bogenfachwerke mit Endgelenken und Vertikalen bei gleich oder verschieden langen Feldern die folgenden Regeln, welche leicht auch auf Fachwerke ohne Vertikalen übertragen werden können. In Fig. 235 — 238 deuten wie früher fette Striche möglichst starke Belastung (Eigengewicht plus Verkehrslast), feine Striche möglichst schwache Belastung (Eigengewicht allein) der Knotenpunkte auf den betreffenden Strecken an.

Gurtungen (Fig. 235, 236, 244, 245, 271). Bei Berechnung eines beliebigen Gurtungsstabes ziehe man aus den Endgelenken 0 und l Gerade

max.xuff Xm 7ruuz>. druck Xm

Fig. 235.

max. xiaj Zm jnax. druck

"...

Zm

durch den Schnittpunkt der beiden übrigen Stäbe des gleichen Feldes bis zu den Durchschnitten mit der Kämpferdrucklinie S. Für die eine Grenzbeanspruchung sind die Knotenpunkte zwischen diesen Durchschnitten , für die andere die übrigen Knotenpunkte möglichst stark zu belasten. Im Falle beide Gurtungen in den Endgelenken Zusammentreffen, gelten für die Grenzwerte von Zx dieselben Belastungen wie für die Grenzwerte von (s* S. 373 unten).

Fig. 236.

Diagonalen (Fig. 237, 246, 251, 271). Bei Berechnung einer Diagonale dm ziehe man aus den Endgelenken 0 und l Gerade R, R‘ durch den Schnittpunkt der beiden Gurtungsstäbe xm, zm des Feldes von dm bis zu den Durchschnitten mit der Kämpferdrucklinie S. Es sind dann Belastungsgrenzen:    1. Der Durchschnitt von S, R‘, wenn er

zwischen 0 und Vertikale lnm-x liegt; 2. der Durchschnitt von S, R, wenn er zwischen Vertikale hm und l liegt; 3. der Schnitt s durch das Feld m selbst, wenn eine Kraft vom Gelenk 0 in der Richtung auf den Durchschnitt von S, hm (Fig. 237) in andrem Sinne um den Schnittpunkt von %m, zm dreht, als eine Kraft vom Durchschnitt der Linien S, hm _ x in der Richtung auf das Gelenk l (Fig. 237).

Vertikalen (Fig. 238, 247, 252, 271). Bei Berechnung einer Vertikale hm ziehe man aus den Endgelenken 0 und l Gerade R, R' durch den Schnittpunkt der Gurtungsstäbe xm, + i in den anliegenden Feldern bis zu den Durchschnitten mit der Kämpferdrucklinie S. Es sind dann Belastungsgrenzen: 1. Der Durchschnitt von S, B¹, wenn er zwischen 0 und dem letzten Angriffspunkte der Verkehrslast (Fahrbahnlast) vor dem Schnitte s durch xm, hm, zm + \ liegt; 2. der Durchschnitt von S, B, wenn er zwischen dem ersten Angriffspunkte der Verkehrslast nach jenem Schnitte s und l liegt; und der Schnitt s selbst, wenn eine Kraft vom Gelenk 0 in der Richtung auf den Punkt von S senkrecht über dem ersten Angriffspunkt der Verkehrlast nach s in anderem Sinne um den Schnittpunkt der Gurtungsstäbe xm, zm + x dreht, als eine Kraft von dem Punkte senkrecht über dem letzten Angriffspunkte der Verkehrslast vor s in der Richtung auf das Gelenk l. — Für die Kämpfervertikale 0 trifft der Schnitt s nur die Stäbe Ji₀, zx und tritt dann im Falle von Fig.

T7ULX. XUy -Dm,

Tnax. druck-Dm,

TM

Dm-l •

'V.

... 1

R’

Fig. 237.

max.xugT%t max. druck Rn,

■■-V

o\

R":*l

Fig. 238.

oi

231 der Knotenpunkt 1 des Untergurts an Stelle des Schnittpunktes von x während im Falle von Fig. 232 die Grenzbe-anspruchungen zufolge 18 bei möglichst großem und möglichst kleinem K₀ entstehen. Wenn bei Mittelvertikalen symmetrischer Bogenfach-werke A — xa — xa = 0 ist (horizontale Ai-Gurtung), dann führen R' nach 19, 20 im Falle von Fig. 233 die Grenz-werte von K₀, im Falle von Fig. 234 die Grenzwerte von Ku zu den Grenzbeanspruchungen V„. Ist A von 0 verschieden, so kann man die Grenzbeanspruchungen Va (eventuell etwas zu ungünstig) aus 19, 20 mit den Grenzwerten von K Xa, bezw. Ku, Xc ohne Rücksicht auf gleichzeitiges Eintreten dieser Grenzwerte berechnen (genaueres Vorgehen s. II, A 28).

Durch vorstehende Regeln sind für jeden Stab zwei Belastungen bestimmt, welche die Grenzbeanspruchungen desselben liefern. Welche der beiden Belastungen den größten Druck (oder kleinsten Zug) und den größten Zug (oder kleinsten Druck) bedingt, ergibt sich natürlich bei der Berechnung von selbst, es kann jedoch auch aus den S. 376 erwähnten allgemeinen Gesichtspunkten im voraus festgestellt werden (Fig. 235-238). Hierbei genügt es, den Sinn des Beitrags einer Last P auf irgend einer der Beitragsstrecken zu ermitteln, da bei allen Grenzpunkten der letzteren Zeichenwecksel des Beitrags stattfinden. Die Grenzwerte der Stützenreaktionen treten wrie bei vollwandigen Bogen bei möglichst starker Belastung des Bogens ein. Mit den von der Belastung herrührenden Grenzwerten sind, wie in anderen Fällen, die durch andere Einwirkungen (Temperaturänderungen etc.) bedingten Grenzbeiträge so zu kombinieren, daß möglichst ungünstige, d. h. möglichst weit auseinander gelegene Grenzwerte im ganzen entstehen. Siehe Beispiel 114.

Für durchlaufende Bogenfachwerke der Art Fig. 148, 149 nach dem angenommenen Fachwerksystem liefern obige Regeln die von der Belastung innerhalb der betrachteten Öffnung l herrührenden Grenzwerte der Stabkräfte, mit welchen die von der Belastung außerhalb l wie die durch Temperaturänderungen erzeugten Grenzbeiträge (ausgedrückt durch 10 mit den betreffenden Grenzwerten von H) wieder so zu kombinieren sind, daß möglichst ungünstige (möglichst weit auseinander gelegene) Grenzwerte im ganzen entstehen. Bezüglich der Stützenreaktionen bleibt es bei dem in § 24 (S. 194) Gesagten.

Uber vorläufige Berechnung statisch unbestimmter Bogenfachwerke behufs Wahl der für die genauere Berechnung erforderlichen Stabquerschnitte siehe § 58.

Beispiel 102. Dachbinder mit gleichmäßig verteilter Last.

Für den in Fig. 239 angedeuteten Bogendachbinder mit drei Gelenken seien gegeben: Spannweite l = 8 A = 32 m, Pfeil des einem Kreisbogen eingeschriebenen Untergurts /'—8 m, Länge der Kämpfervertikale /i₀ = 6m, Länge der Scheitelvertikale /t₄ = 2 m. Es sind die Stabkräfte und Stützenreaktionen durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u = 1,06 t pro Meter zu berechnen, von welcher 0,25 t auf die Knotenpunkte des Untergurts kommen.

x.

ff

Fig. 239.

Formb erechnung. Werden der Ursprung⁻ der Koordinaten in das Kämpfer-gelenk links und die Abszissenachse horizontal gelegt, so ist die Gleichung des Kreisbogens, der die Form des Untergurts bestimmt, mit

r- , f 322    ₈

f* — - —- — - —I— -

8 f '    2    8 • 8 ~ 2

= 20 m

nach § 19, 9):

Sie liefert für

y — y (r — f)² + a; (l — x) — (>■ x = 0

y = o

f) = y 144 + a- (32 — x) — 12 .

16 m 8 „ •

6,33

Bezeichnen nun    die Ordinaten der Knotenpunkte m in X-Gurtung

und X-Gurtung, so hat man nach § 53:

für

Ew = im = y = hm — Um — hm =

10 m

CO co^ CO t-T

7,60

1,40

— y*+(jw—3'» - i)a— dm = y + (Sm — Em - i)² =

5,66

4,47

4,63

4,20

4,02 „

4,06

4,02

4,12 „

hm

hm hm — l

— 1,25

— 5,18

3,33 „

hm

Em + ä»t Em - l 5m + l wtl ⁼ Em — fi (Em — Em - l) = ¹⁰v — Em v (Em Em - i ) ==

— 2,25

— 6,18

9,25

9,25

2,33

14,18

6,67

6,67 „

14,18

während die Länge aller Stäbe des Obergurts xm = }' 4² + l² = 4,12 m ist.

Beanspruchungen. Bezeichnen ux, uz diejenigen Teile von u, welche auf die Knotenpunkte der X-Gurtung und X-Gurtung kommen, so hat man nach § 53, 11) mit § 19, 19) und 1 — nA für die Stabkräfte:

xm — — £»* (» — m) —

= J (m — 1) (n — m + 1) —- Im -

= — | m (n — m) — e (n — 2 m + 1) u’d

Dm

Vm

H²

xm

u A,

nl

■]

zm

hm — i 2

ifl

dm

u A,

= | m (n — m) — v {^n — 2 m +    j    wv j

Die letzte Gleichung setzt voraus, daß der Vertikale m beiderseits Felder mit Diagonalen gleicher Stellung anliegen, sie gilt also im allgemeinen nicht für Kämpfervertikalen und Scheitelvertikalen. Mit n — 8, l = 4m, f = 8 m, xm = 4,12 m, u = 1,06 t, ux = 0,81 t, uz = 0,25 t nehmen vorstehende Gleichungen die folgenden Formen an:

8,734 hm ’

Xm = — | m (8 — in) — 2 = j^(m — 1) (9 — m) —

= — £m (8 — m) — 8 (9 Vm — | m (8 — m + 2 v) — 2    — 18,08 ,

und es ergeben sich hieraus mit m = 1 bis 4 nachstehende Stabkräfte in Tonnen:

D₁ = — 3,16 Do = — 0,57 ^3 = 2,11 D₄ =    1,25

Für die Vertikalreaktionen der Kämpfer und den Horizontalschub hat man nach § 19, 19):

X, = 2,91 X₂ = 3,49 X₃ = 1,25 X₄ = 0

Xu

Dm

X = — 23,99 Z₂ = — 22,90 X = — 21,33

x = — 18,26

2,12 Zm

hm — i

— 2 m) — 2 iv^ j

2,12 d)H

8 hm - i

Fi = — 3,00 F₂ = — 3,99 F₃ = — 3,85

u l

— = 1,06-16 — 16,96 t , _ l,06-32² _

ul*

16 96 „ .

Die Bedingung „Summe aller Vertikalkräfte gleich Null“ in Anwendung auf die Knotenpunkte 0 des Untergurts und 4 des Obergurts ergibt:

8-8

V₀+r+Z₁-^- — 0,25.2 = 0, r₄+ Xi-~ +0,81-2 = 0 ,

woraus mit den bereits berechneten V, Zlx die noch fehlenden Stabkräfte:

r₄ = —1,621.

r₀ = o,501,

Die Berechnung- des hier behandelten Dachbinders für wechselnde Belastung einschließlich des im nächsten Beispiel behandelten schiefen Winddrucks siehe 'Weyrauch, Beispiele und Aufgaben etc., Leipzig 1888, S. 362.

Beispiel 103. Dachbinder mit schiefem Winddruck.

0,40' t,

0,10 t,

in den beiden äußeren Knotenpunkten halb soviel; für die vertikale Fläche in jedem der beiden Knotenpunkte

ein Horizontaldruck von

Für den im vorigen Beispiel behandelten Bogendachbinder Fig. 239 die Beiträge des Winddrucks zu den Stabkräften und Stützenreaktionen zu berechnen, wenn auf die vom Winde getroffene Binderhälfte kommen für die schiefe Dachfläche in jedem der drei inneren Knotenpunkte ein Yertikaldruck von ein Horizontaldruck von

1,75 t.

Es ist einmal die erste, einmal die zweite Binderhälfte vom Winde getroffen anzunehmen.

.ü

"J*

>•

I*

ix

iß

ff

___9S____

--f-

16

16 ~fTL-

Fig. 240.

Greifen zwischen 0 und einem beliebigen Schnitte s durch den Träger beliebige Vertikalkräfte K bei Abszissen e und beliebige Horizontalkräfte L bei Ordinaten c an (Fig. 240), wobei die K von oben nach unten, die L von links nach rechts als positiv gelten, so hat man das Moment der äußeren Kräfte des Trägers links von s in Hinsicht eines beliebigen Drehpunktes der Koordinaten u, w in der Trägerebene:

Ms = V u — Hw — 2 K (u — e) — 2 L (w — c) •

Wird Schnitt s zur Berechnung von Xm, Zm, Dm durch das m-te Feld, zur Berechnung von Vm durch die Stäbe der Längen xm, hm, zm + 1 gelegt, so hat man nach § 53, 1)—4):

xm

mit

V» = Ms

zm

dm

£ Ilm —

ii

ii = (m — 1) /L,

A« — Ms

51

1t = (in — t) 2 ,

w = Wd ,

V,n =

Ms

55

u = (in — v) /L ,

w = wv .

Die Werte xm, zm, dm, hm, y,n, gm, e, v, wAl wv sind schon im vorigen Beispiel bestimmt. Wie dort gilt auch hier die Gleichung für Vm nicht für die Kämpfervertikale und Scheitelvertikale.

Nach 1 bis 5 erhält man bei beliebigen K, L (Fig. 240) die Beanspruchungen des Obergurts:

4,12

Xt= — (4 F — 4H— 4X₀ — 4X + 2A₀)

4*3

X₂ = — (8 F — 6,33 H — 8 K₀ — 4 Kx — 6,33 L — 0,33 L₀ + 0,67 Lx)

4,12

4-1,67 ’

X₃ = — (12 F — 7,6 H— 12 K₀ — 8 Kt — 4 K₂ — 7,6 L — 1,6 i₀ — 0,6 Lx + 0,4 A₂)

4,12

4 • 1,4    ’

X₄ . - — (16 V — 8 H — 16 K₀ — 12 Kx — 8 K₂ — 4 X₃ — 8 L — 2 £₀ — 1 U — 0 i₂ + 1 A3)

die Beanspruchungen des Untergurts:

4,12

4-2 ’

Z1 = (0r-6ff-6X)

5,66

4-6 ’

X₂ — (4 F — 7 H — 4 X₀ — 7 £ — 1 Z₀)

4,63

4-3

Z₃ = (8 F— 8 H — 8 K₀ — 4 Fi — 8 L — 2i₀ — 1 L{)

4,2

4-1,67

if₄ = (12 F — 9 if — 12 X₀ — 8 Xi —4 X₂ — 9 i — 3 i₀ — 2ii — 1 i₂)

die Beanspruchungen der Diagonalen:

Z>! = (10 F — 8 ff — 10 K₀ — 8 i — 2 i₀)

4,47

1-24 ’

Z>₂ = (13 F— 9,25 IT — 13 K₀ — 9 Kx — 9,25 L — 3,25 i₀ — 2,25 Lx)

4,02

4-1,4 ’

4,06

1,25 • 12

D₃ = (32,72 F — 14,18 S — 32,72 JT₀ — 28,72 Kx — 24,72 X₂ —

14,18 i — 8,18 i₀ — 1,18 ix — 6,18 i₂) i₄ = — (2,68 F — 6,67 H — 2,68 A₀ + 1,32 A\ + 5,32 K₂ + 9,32 K₃ —

6,67 i — 0,67 i₀ + 0,33 Lx + 1,33 i₂ + 2,33 i₃)

4,02

5,18-6,68 ’

4,12

3,33-5,6 '

und die Beanspruchungen der Vertikalen:

Fi = — (13 F— 9,25 B — 13 K₀ — 9,25 i — 3,25 i₀) —

F₂ = — (32,72 F — 14,18 H — 32,72 A'₀ — 28,72 Kt — 14,18 i — 8,18 i₀ — 7,18 Aj) ¹

6,18-4 ’

F₃ = (2,68 F — 6,67 H— 2,68 K₀ + 1,32 Kx + 5,32 A'₂ — 6,67 i — 0,67 A₀ + 0,33 Lx + 1,33 i₂)    '

Die Bedingung „Summe aller Vertikalkräfte gleich Null“ in Anwendung auf die Knotenpunkte 0 des Untergurts und 4 des Obergurts liefert zur Bestimmung von V₀ und Vi die Gleichungen

f₀+f+z,-4

r* + K* + ^lk = °-

Wegen vollständiger Symmetrie des Trägers genügt es, eine Trägerhälfte zu berechnen, was beim Balkendachbinder, angesichts der verschiedenen Auflager, für schiefen Winddruck nicht der Fall ist.

Dachfläche beim Auflager l getroffen. Für die äußeren Kräfte vor dem letzten und mittleren Gelenk bestehen hinsichtlich dieser Gelenke folgende Momentengleichungen :

5,66

= o,

F-32 —0,4

(f- + 12 + 8 + 4)-0,l(^+9 + 8 + 7 + 4) F-16 —#-8 = 0,

— 1,75-6 = 0,

woraus die Stützenreaktionen bei 0

F= 0,83 t,

H = 1,66 t .

Mit diesen Werten und verschwindenden K, L liefern obige Gleichungen folgende Stabkräfte in Tonnen.

= 1,14 X₂ = 2,39 X₃ = 1,95 X₄ = 0

X₄ = — 2,35 Z₂ = — 3,20 X₃ = —4,17 F₄ = — 3,58

— 0,93 D₂ = — 1,24

Dx

0,42

1,70

n=

r₂ = — 0,15

Fs = —0,57

n =

1,71

J>3 =

Z>₄ =

Dachfläche beim Auflager 0 getroffen. Für die äußeren Kräfte vor dem letzten und mittleren Gelenke bestehen hinsichtlich dieser Gelenke folgende Momentengleichungen:

(f- + 28 + 24 + 20 + ^+0,1    + 7 + 8 + 9 + -^-)

°+(-f+ 12 + 8 + 4) —0,1 (    + 1 + 0 — 1— y) — 1,75(8 + 2) = 0,

F* 32 —0,4

F-16 — H'8 —

®>

1,95

+ 1,75-6 = 0

woraus die Stützenreaktionen bei 0:

H = — 2,25 tn .

V— 0,77 tn ,

Mit diesen Werten und 2 K₀ = Kx — K₂ — K₃ = 2    — 0,4, L = 1,75, L₀ = 1,75 -f-

0,05 = 1,8, Lt — L₂ = Lä — 2 Li — 0,1 liefern obige Gleichungen folgende Stabkräfte in Tonnen:

F₀ = — 1,27 Ft = — 0,69

y?=

n =

F₄ - — 0,21 .

Yl —    2,71

X₂ = ■—- 3,45 X₃ = —2,16 X₄ =

Bezüglich der Berechnung des hier behandelten Dachbinders für wechselnde Belastung und schiefen Winddruck siehe den Hinweis am Ende des vorigen Beispiels.

0,04

Zx = 0,71 Z₂ — 1,54 ir₃ = 2,05 X₄ = 0,75

1,14

D₂ —    0,64

D₃ = — 1,35 — 2,19

0 05

0,70

Aufgabe 33. Besondere Ausdrücke für parabolische Sichelbogen.

Es sollen für parabolische Sichelbogen (Fig. 235—238, 241) mit Endgelenken ermittelt werden: a) Die speziellen Ausdrücke von jm, hm, e, v, ivd, wv in den Gleichungen des § 53; b) die Beiträge eines beliebigen Horizontalschubs H zu den Stabkräften; c) die nicht vom Horizontalschub herrührenden Anteile der Stabkräfte speziell durch eine beliebige auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last.

a) Es seien fx, fz die Pfeile der Parabelbogen, welchen die Achsen der X-Gurtung und Z-Gurtung eingeschrieben sind. Dann hat man nach § 19, 8) mit x — m A, 1 — nA die Ordinaten der Knotenpunkte m beider Gurtungen:

±f*

hn = m(n — m)

.    , 4 fx

Im — >» (« — m) -■ ₂ - ,

woraus, wenn f den Absolutwert der Pfeildifferenz beider Parabelbogen bezeichnet, wegen    = + h,H, fx — fg = + f die Längen der Vertikalen:

■if

hm — m (n — m)

Da hiernach

Ihn - 1 = (m — 1) (n — »» + 1)

*r_

„2 >

so liefert § 53, 5):

m (w — m) n — 2 m + 1

In analoger Weise folgt aus § 53, 6) mit Bücksicht auf 1:

m (n — m)

n — 2 m + o)

fx + fg

wobei zur Abkürzung gesetzt ist:

fx fg

§ 53. Aufgabe 33. Beispiel 104. Mit 1, 3 und 5 erhalten wir aus § 53, 3), 4):

w^ — 0,

m (n — ni)

Wv n — 2m+<o fx — fz «²

fxfz

Ist h die größte Vertikalenlänge (Trägerhöhe), welche bei gerader Felderzahl n — 2o und ungerader Felderzalil n = 2 a -f- 1 für m— a eintritt, so hat man nach 2:

f=h,

bei geradem n

bei ungeradem n

I⁷-

b) Die Beiträge eines beliebigen Horizontalschubs H zu den Stabkräften ergeben sich aus § 53, 10) mit vorstehenden Ausdrücken bei Beachtung von

fx~ fz = ± f-

Xm = ±^rHxm,

fx

fX

8 fx fz jj-nl f

Der letzte Ausdruck gilt auch für die mittlere Vertikale (Fig. 233, 234), wie sich zeigt, wenn man in die für den mittleren Knotenpunkt der X-Gurtung gültige Gleichung

ya± 2    —

xa

£<j, yCT-i> XCT nach 1 und 8 einsetzt. Bei parabolischen Sichelbogen liefert also ein beliebiger Horizontalschub zu den Beanspruchungen der Diagonalen überhaupt keine Beiträge, zu den Beanspruchungen der Vertikalen gleich große Beiträge, während die Beiträge zu den Beanspruchungen jeder Gurtung proportional den Längen der b e-treffenden Stäbe sind. Die Ausdrücke 8, 9 gelten auch für die Beiträge durch Temperaturänderungen und Änderungen der Spannweite.

c) Die nicht vom Horizontalschub herrührenden Anteile der Stabkräfte speziell durch eine beliebige auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u — ux -f- uz pro Längeneinheit ergeben sich aus § 53, 11) mit H — 0 und obigen Ausdrücken 1 bis 5 bei Beachtung von fx — fz = + f:

⁼ i

= (Ux fz 4" wz fx) ~jr •

Der letzte Ausdruck gilt auch für die mittlere Vertikale, wie sich ergibt, wenn in die für den mittleren Knotenpunkt der X-Gurtung gültigen Gleichung

,    ,    , la

Vg -\- X ux 2. Xa

fc;    xo nach 1 und 10 eingesetzt werden. Es sind also auch die jetzt be

trachteten Anteile der Stabkräfte für die Diagonalen gleich Null, für alle Vertikalen gleich groß, und für jede Gurtung proportional den Stablängen, alle aber von entgegengesetzten Vorzeichen wie die Beiträge des Horizontalschubs. Mit Rücksicht auf den unter b) ausgesprochenen Satz sind damit auch die ganzen Stabkräfte eines parabolischen Sichelbogens durch eine beliebige auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last für die Diagonalen gleich Null, für alle Vertikalen gleich groß und für jede Gurtung proportional den Längen der betreffenden Stäbe.

Beispiel 104. Zur vorigen Aufgabe.

Für den in Fig. 241 angedeuteten Sichelbogen von 1 = 20 m Spannweite und n = 10 Feldern sind die beiden Gurtungen Parabeln der Pfeile fx = 4 m, fz = 2,5 m eingeschrieben, wobei sich die rechts eingetragenen Längen ergaben. Zu berechnen: a) Die Beiträge eines beliebigen Horizontalschubs H zu den Stabkräften; b) die Stabkräfte durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u — 1,6 t pro m ohne die Beiträge des entsprechenden Horizontalschubs, wenn von dieser Last ux — 1,2 t auf die Knotenpunkte des Ober-

xm = +

D-m — 0

uni

xm >

U 11 l

10

Vm

11

— Ecr-i

xa

gurts und uz — 0,4 t auf diejenigen des Untergurts kommen (bezüglich der Berechnung des Horizontalschubs siehe die Beispiele 108, 109).

a) Für die Beiträge eines beliebigen Horizontalschubs H zu den Stabkräften hat man nach den Gleichungen 8, 9 der letzten Aufgabe:

x - ':

-A-m —

Dm — 0 ,

2,5

1,5*2

II : - 0,8333 H ,vm ,

j g #2 ^ Zm —    1,3333 H zm ,

8 *4 *2,5

"lÖUiönjr ~    0,2667 H .

Hieraus folgen mit den in Fig. 241 gegebenen xm, zm:

Z₁= — 1,3333 H*2,19 Z₂ = -

z₃ = —

= -z*, = —

Diese Ausdrücke gelten auch für die Beiträge der Temperaturänderungen und kleiner Änderungen der Spannweite.

Zm — —

Vm = —

X, = 0,8333 II• 2.46 = 2,060 H „ 2,29 — 1,908 H „ 2,15 = 1,792 H „ 2,06 = 1,717 H „ 2,01 = 1,675 H,

*2 = n

„

*4=    ,

-*6= ,

— 2,920 H „ 2,12 = — 2,827 H „ 2,06 = — 2,747 H „ 2,02 = — 2,693 H „ 2,00 = — 2,667 H .

J2

->

³ w-h

*2    *2    *2    * 2    *2 X H

10m.

Fig. 241.

V'

b) Für die Stabkräfte durch die gegebene gleichmäßig verteilte Last ohne die Beiträge des entsprechenden Horizontalschubs liefern die Formeln 10, 11 der vorigen Aufgabe:

Dm = 0 ,

Xm —

1,6*10*20

8*1,5

^m —-    26,667 //i,

Zm =

26,667 zm , Vm — (3,2*2,5 + 0,4*4)    = 6,133 t,

1,5

und mit den aus Fig. 241 entnommenen xm zm in Tonnen:

X, = — 26,667 • 2,46 = — 65,601 2,29 = — 61,067 2,15 = — 57,334 2.06 = — 54,934 2,01 = — 53,601 ,

26,667*2.19 = 58,401 2.32 = 56,534 2,06 = 54,934 2,02 = 53,867 2,00 = 53,334 .

X₂ = —

X₃ = -

x₄ = -X> = -

Zu diesen Beanspruchungen wären also die Beiträge des betreffenden Horizontalschubs zu addieren.

§ 54. Bogenfachwerke mit Vertikalen (Ständerfachwerke) und horizontalem Obergurt.

Wir fassen nun Bogenfachwerke des im vorigen Paragraphen betrachteten Fachwerksystems mit Endgelenken in gleicher Höhe und horizontalem Obergurt ins Auge. Die Anordnung möge zur Mitte symmetrisch sein, so daß es genügt, die erste Bogenhälfte zu berechnen, auf welche

sich die folgenden Formeln beziehen. Selbstverständlich bleiben die für beliebige Gurtungsformen gegebenen Gleichungen des vorigen Paragraphen bestehen, also für beliebig gerichtete Aktivkräfte die Gleichungen § 53, 1)—4), für beliebige vertikale Aktivkräfte die Gleichungen § 53, 9) usw. Wir führen im folgenden nur die am meisten

zur

Verwendung kommenden Beziehungen in speziellerer Form an.

-A A

Al.

Die X-Gurtung ist horizontal

(Fig. 242, 248).

In diesem gewöhnlichen Fall gelten in den Gleichungen des § 53 die oberen Vorzeichen und gemäß § 53, 7), 5):

xm — Ä,

d\^7

<v.

P A1JL2

h₀

Fig. 242.

ixix]

Fig. 243.

Xm — Wd= Wv = h

hm

hm+l hm

hm — h

Wir erhalten nach § 53, 10) die Beiträge eines beliebigen Horizontalschubs H (also auch des bei statisch unbestimmten Bogenarten von Temperaturänderungen oder Bewegungen der Stützpunkte herrührenden Wertes von H) zu den Stabkräften:

Xm = H-äs-,

Ki

Zm — — H

*0 zm

Ahm-i ’

Dm = H

//'

Vm — — H

h £ hm _ x

Für eine auf die ganze Spannweite l gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit, wovon ux auf die Knotenpunkte des Obergurts und uz auf diejenigen des Untergurts kommen, liefern die Gleichungen § 53, 11):

TT 2 3 m    A__

u A² hm 2

Xm = — m (n — m)

Zm =

D,n =

2 ]>o ]    _

uÄ²\ hm_₁ 2    ’

(n — m) — s(n — 2m -f 1) —

11A

Vm =

m (n — m) — v [n — 2m-f- ----- j — II

Ki

2 Äq 1 m ^ u A² v 2

-1

worin H den Horizontalschub durch die erwähnte gleichmäßig verteilte Last allein bedeutet.

Bei Bogenfachwerken mit Horizontalgurt werden fast immer die Fahrbahnlasten bei allen Vertikalen auf die Bogen übertragen (Fahrbahnträger von Feldlänge). Alsdann hat man für beliebige Lasten P1} P₂, . .

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

•5

welche bei Abszissen av a₂, ... auf die Fahrbahn kommen, nach § 53, 12)—15):

H-m -

— (n — m) 2 Pa -f- m 2 P (l — a) — IIn

+ s) 2Pa 2P\(

o    m — l \

n

(m — e) 2 P (l — a) — Hn Ji₀

Dm = — (n — m

-m.

n hm

zm

l hm

m — 1) e l -j- (n — m — n e -\- e) a)j-\-

max.zuy Xm max.druckXm

Zm

Fig. 244.

Fig. 245.

max.tiu/ Zm max. druck Zn

viax. zug Dm

jnax. druck Dm

worin die Grenzen der Summen 2 Vertikalennummern bedeuten.

Für die Kämpfervertikale und Scheitelvertikale gelten obige Ausdrücke 3, 4, 8 von Vm im allgemeinen nicht, sondern nach § 53, 17), 19):

K..-V+HJL ,

V₀=—K so daß beispielsweise durch einen beliebigen Horizontalschub II allein:

V₀

"R

's

Fig. 246.

max. xia/ max, druck

......

:-:y

/-

..r

"R

<1

F₀ = n-|, vc= o. io

Bezüglich des Horizontalschubs H bleibt es bei dem in § 53 Gesagten. Bei • einfachen Bogenfachwerken ohne Zwischengelenk sind in den Ausdrücken § 53, 23) bis 26) die q durch 3, 10 mit H — 1, die A durch 4 bis 9 mit H= 0 bestimmt. Auch die Belastungen für die Grenzwerte der Stabkräfte ergeben sich nach den in § 53 angeführten

Regeln (Fig. 244 bis 247, 271), oder mittels der Einflußlinien nach § 12. Die Grenzbeanspruchungen der Scheitelvertikale treten nach 9 zugleich mit den Grenzwerten der darüber liegenden Knotenpunktslast ein.

Die Z-Gurtung ist horizontal (Fig. 248).

Der Fall ist weniger wichtig als der vorige. Es gelten in den Gleichungen des § 53 die unteren Vorzeichen und zufolge § 53, 8), 5):

Zö1

11

L/'x.i ■jSi Zz

H of'JTA 2

Ki

. 12

r'

Fig. 248.

Nach den Geichungen § 53, 10) hat man die Beiträge eines beliebigen Horizontalschubs H zu den Stabkräften:

K xm

Xm =-H

Zm = H

V,m -1

13

-Dm

’m

Vm — - H

A ehm

Für eine auf die ganze Spannweite l gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit, wovon uz auf die Knotenpunkte des Obergurts und ux auf diejenigen des Untergurts kommen, folgen aus § 53, 11):

m (n -— m) — H

2    - l__

u A² \ hm_₁ 2 ’ m (n — m) — e{n — 2m-\-l) — H    —<^L~

U„ = — m (n — m)—e(n — 2m-f- -~~-s) — H

worin H den Horizontalschub durch die angeführte gleichmäßig verteilte Last allein bedeutet.

Wird die Fahrbahnlast bei allen Vertikalen auf den Bogen übertragen (Fahrbahnträger von Feldlänge), dann ergeben die Gleichungen § 53, 12) bis 14) und 16) für beliebige Lasten Pv P₂, . .

Abszissen a1; a₂, ... auf die Fahrbahn kommen:

Zm = — (m — 1) (n — m -f-1) — H

Dm =

e hm_₁ 2

2 h₀ ] 1 u A u A² e 2

•5

(n — m) XPa -f- mZP (l — a) — Ilnh₀ j ,

o    m    J ^ ^ m

(n — m -f- e) 2 Pa -(- 2 P\ im — 1) e l -(- (n

o    m -1 V

n

(m — e) 2 P(l — a) — Hn h₀

m

Xm =

Dm =

14

welche bei

nhm-l

15

16

H E —J— s) aj —|—

Vm= -

m    m -ri /

(n — m -f- e) XPa -f- X P ((e -j- 1) ml — (ne

0    m \

n

(m — e) XP (l — a) — Hnh₀

e -f- m) aj -f-

m+ l

El

18

worin wieder die Grenzen der Summen X Yertikalennummern bedeuten.

Für die Kämpfervertikale und Scheitelvertikale gelten obige Ausdrücke 13, 14, 18 im allgemeinen nicht, sondern nach § 53, 18), 20) beispielsweise ohne Zwischengelenk (Fig. 248):

Va = Ku + 2

wonach durch einen beliebigen Horizontalschub H allein mit Xa aus 13:

y __ _2 h₀ ha_ i ha

max. xzrgJjn max. druck Jm

V₀ = -K

V₀ = 0

xa

19

20

'S

Fig. 249.

•l

max. ziqj Zm max. druck Zm

Fig. 250.

aiax. xug J)n Tnax.drurkDjn,

fS'r

Fig. 251.

max.xza/Pm max. druck F^

Bezüglich des Horizontalschubs H bleibt es bei dem in § 53 Gesagten. Bei einfachen Bogenfachwerken ohne Zwischengelenk sind in den Ausdrücken § 53, 23) bis 26) die q durch 13    20 m

H = 1, die A urch 1 bis 19 mit H — 0 bestimmt. Auch die Belastungen für die Grenzwerte der Stabkräfte ergeben sich nach den in § 53 angeführten Regeln (Fig. 249 bis 252) oder mittels der Einflußlinien nach § 12 (vergl. Beispiel Grenzbeanspruchungen der Kämpfervertikalen treten nach 19 zugleich mit den Grenzwerten der darüber liegenden Knotenpunktslast ein, diejenigen der Scheitelvertikalen im Falle von Fig. 248 zugleich mit den Grenzwerten von X„, weil Kn immer den gleichen Wert hat.

114). Die

Beispiel 105. Beliebige konzentrierte Lasten.

Für die in Fig. 253, 269 angedeuteten Bogenfachwerke mit drei oder zwei Gelenken die Vertikalreaktionen V, V' und die Stabkräfte X₃, Z₃, D₃, V₃, F₀, V5 durch die angedeuteten Radlasten des deutschen Normalzugs für Brückenberechnungen von Hauptbahnen auszudrücken und ihre Werte speziell für den Dreigelenkbogen in Zahlen anzugeben.

a) Für die Vertikalreaktionen hat man nach § 19, 4) und § 20,

2) mit und ohne Zwischengelenk:

8,5 8,5 8,5 8,5 8,5

65 6,5 6,5 t *-V. Iß., 1,5, JA, ...ßß...... JA. JA. JAjn.

2\ Vj *3

7,09

.......yn,8lm

'S"":............

5J5

H oT~ 3

15m.

F 5,25 m

Vm

Fig. 253.

V =-~ ^8,5-5-21 + 6,5-3-12 j = 37,55 t , r‘ = ~^ («.Ö-Ö* 9 + 6,5.3.18^ =

24,45 „ ,

8,5-5 + 6,5-3 = 62,00 t.

V'

Der Horizontalschub ist bei Bogen mit zwei Gelenken auch von den Stabquerschnitten abhängig und kann also zunächst nicht angegeben werden.

Zur Berechnung von D₃, V₃ sind e, v für m — 3 erforderlich. Sie folgen

aus § 54, 2):

1,89

1,89

= — 3,94 .

= — 2,36 ,

Wir erhalten nun nach § 54, 5)—8):

X₃ = — |^7-8,5 (9 + 7,5 + 6) + 3-8,5 (19,5 + 18) +3-6,5 (13,5 + 12 + 10,5)

X₃ =    ^2-8,5 (24 + 22,5 + 21 + 19,5 + 18) + 2 • 6,5 (13,5 + 12 + 10,5) — 10 • 5,25 hJ

D₃ =    J4,64-8,5 • 6 + 8,5 (— 2 -2,36-30 + 7 • 7,5 + 9• 2,36 • 7,5) + 5,36 • 8,5 (21 + 19,5 + 18) +

5,36-6,5 (13,5 + 12 + 10,5) — 10 • 5,25 -tfj

F₃ = — ^3,06-8,5-6 + 8,5 (— 2-3,94-30 + 7-7,5 + 9-3,94-7,5) + 6,94-8,5 (21 + 19,5 + 18) +

6,94 - 6,5 (13,5 + 12 + 10,5) — 10 ■ 5,25 h] ^ ^ ,

1,89 — 2,69

1,41 — 1,89

“•³'sHtöÄäT-

3,10

30-2,69 ’

3,55

2,36-30-2,69 ’

oder nach Reduktion:

X₃ = — 158,571 + 1,778 H t, 86,554 — 2,017 H „ , 88,590 — 0,978 S „ ,

^₃ =

1>3 =

V₃ = — 50,155 + 0,444 11 „ .

Weiter hat man nach § 54, 9):

F₀

— 37,55 + H = 0,48 H — 37,55 t,

Fs = — 3,25 t , Fs =

und bei zwei Gelenken (Fig. 269):

„ drei

Die vorstehenden Gleichungen gelten auch für ein Balkenfachwerk der skizzierten Anordnung, für welchen Fall 11 = 0 wäre. Sie würden für den Zweigelenkbogen liefern zu den Ausdrücken § 58, 23)—26) die Werte der A durch die angenommene Belastung mitH=0, und die Werte der q mitH=l allein (ohne alle Lasten, vergl. die Beispiele 110, 108).

b) Handelt es sich um einen Dreigelenkbogen, so liefert § 19, 5) den Hori-

(Fig. 253):

zontalschub :

(8,5 • 5 - 9 + 6,5 • 3 • 21) = 77,06 t .

X₃ = — 68,88 t F₃ = — 15,94 „

Damit ergeben die vorstehenden Gleichungen:

X₃ — — 21,56 t 13,22 „

F₀ = — 0,56 „

I)₃ =

n-

Als Probe kann dienen die Gleichgewichtsbedingung für die äußeren Horizontalkräfte am Trägerteil links des dritten Feldes:

H+Xg + üg-^ + Fg —

oder die Bedingung für die äußeren Vertikalkräfte an demselben:

2*»-= o.

V— 8,5 • 1,5 —1)₃

1,89

3,55

+ z₃

3,10

Beide treffen zu.

Bemerkungen. Bei der obigen Berechnung der Stabkräfte kam es darauf an, die Anwendung der Formeln des § 54 zu zeigen. Sonst hätten wir nach Ermittelung von V und der nötigen Längen auch unmittelbar nach den Methoden des § 52 Vorgehen können. Man erhält beispielsweise:

37,550-3 — JT- 1,44 + F₀-3=:0,

37,550 • 9 — H- 3,36 — 8,5 • 1,5 • 3 + X₃ • 1,89 = 0 ,

37,550 • 6 — H-5,25 — Z₃ • 2,60 = 0 ,

37,550 • 16,09 — J?• 5,25 — 8,5 • 1,5 • 10,09 — Z>₃ • 5,37 = 0 ,

37,550 »20,81 — Zf-5,25 — 8,5 • 1,5 • 14,81 + F₃-11,81 = 0 ,

6,5-0,5 + F₅ = 0,

V₀ — — 37,550 + 0,480 II, X₃ = — 158,571 + 1,778 H , 86,654 — 2,017 H , 88,553 — 0,978 H,

Xg =

-Z>3 =

Fg = — 50,177 + 0,445 fr, V₃ — —    3,25 t .

Die kleinen Differenzen gegen die oben erhaltenen Werte sind darauf zurückzuführen, daß alle Längen nur auf zwei Dezimalen (auf cm) genau eingeführt wurden.

Kommt für die Stäbe eine ganze Reihe von Belastungsfällen in Frage, so empfiehlt es sich, die betreffenden Ausdrücke zunächst soweit in Zahlen auszurechnen, als diese für alle Belastungsfälle gelten (Beispiele 110, 111).

Aufgabe 34. Besondere Ausdrücke für Bogen mit einer horizontalen und einer parabolischen Gurtung.

Für den angeführten Fall von Bogen mit Endgelenken (Fig. 242, 248) zu bestimmen: a) Die speziellen Ausdrücke von ym, j$,H, hm, e, v, tvd, w„ in den Formeln der §§ 53, 54; b) bei Dreigelenkbogen die Stabkräfte durch eine beliebige auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last.

a) Es bezeichne f den Pfeil des Parabelbogens, welchem die Achse des Untergurts eingeschrieben ist. Dann setzen wir zur Abkürzung: .

_ «² »0

Bei horizontaler X-Gurtung (Fig. 242) gelten neben den Ausdrücken § 54, 1) nach § 19, 8) mit x = m A, l — n X:

,    , 4 f

hn — m (n — m) >

hm — ho — jm ,

und zufolge § 54, 2):

hm hm — i

hm + l hm

m (n — m) — ß n — 2 m + 1    ’

m (u — m) — ß n — 2 m — 1

Bei horizontaler Z-Gurtung (Fig. 248) ergeben sich neben § 54, 11) in analoger Weise:

Im — m (» — »») —r ,

hm — h₃ ,

und hiermit nach § 54, 12):

hm

hm — hm - i

m in — m) — ß n — 2 m + 1

b) Für Dreigelenkbogen mit dem Zwischengelenk in der Achse des Untergurts hat man bei gleichmäßig verteilter Last von u pro Längeneinheit auf der ganzen Spannweite, wovon ux auf die Knotenpunkte der X-Gurtung und uz auf diejenigen der Z-Gurtung kommen, nach § 19, 19):

u p

w

Mit 1 bis 7 folgen aus § 54, 4) bei Beachtung von § 54, 1) für horizontale X-Gurtung (Fig. 242):

xm — o ,

Um — t n xm >

8f

Um — ux ^

und aus § 54, 14) bei Beachtung von § 54, 11) für horizontale X-Gurtung (Fig. 248):

Um 0 ,

Um = uz " •

Bezeichnen für den Obergurt und Untergurt Om, Um die Stabkräfte, A, um die Stablängen, u₀, uu die Anteile an der Last u, so können 8, 9 und 10, 11 wie folgt zusammengefaßt werden:

om = o,

-U» — 0 ,

10

11

Um = —

12

13

V1YI- Hq ,

Die Ausdrücke 9, 11, 13 von Vm gelten nicht für die Kämpfervertikale und Scheitelvertikale, für welche man hat:

U>= ra= —

Dm — 0 ,

14

Beispiel 106. Zur vorigen Aufgabe.

Für den in Beispiel 105 behandelten Dreigelenkbogen Fig. 253 ist der Untergurt einer Parabel vom Pfeil f— 4 m eingeschrieben. Zu berechnen: a) die Stützenreaktionen und sämtliche Stabkräfte durch ein gleichmäßig verteiltes Eigengewicht von 1,25 t pro Meter Spannweite, von welchem c/x = 0,6 t auf die Knotenpunkte des Obergurts kommen; b) die Stützenreaktionen V, H und die Stabkräfte X₃, Z₃, U₃, U₃, V₀, V₅ beim Zusammenwirken dieses Eigengewichts und der in Beispiel 105 angenommenen Radbelastung.

a) Für das Eigengewicht allein hat man nach§ 19, 19) die Stützenreaktionen:

y=JY = 1,25 • 15 = 18,75 t,

n- gl* — ¹’25,3°²

8-4

35,16 t,

und nach den Gleichungen 8, 9 der vorigen Aufgabe die Stabkräfte:

Dm = 0 ,

Um — — 9x^ — — 0,60 • 3 = — 1,80 t,

1,25 • 30

also speziell:

8*4

10 zm

— 11,719 zm ,

11,719 • 3,33 = — 39,02 t 3,20 = — 37,50 „

3,10 = — 36,33 „

3,04 = — 35,63 „

3,00 = — 35,16 „ .

Ausnahmsweise sind nach Gleichung 14 der letzten Aufgabe:

— = — 0,60 • 1,5 = — 0,90 t.

U = — u = — u=— u=-—

u»= u

b) Beim Zusammenwirken des Eigengewichts und der in Beispiel 105 angenommenen Radbelastung hat man mit den dort erhaltenen Werten:

V = 18,75 + 37,55 = 56,30 t H= 35,16 + 77,06 = 112,22 „

13,18 „

X₈ = — 21,57 t

Z>3 =

V₀ = — 0,90 — 0,56 =— 1,46 t

Zg = — 36,33 — 68,86 = — 105,19 t V₈=— 1,80— 15,92 =— 17,72 „ F₅=—    0,90 „ .

§ 55. Über Grenzwerte von Stabkräften und Reaktionskomponenten.

Als Grenzwerte einer Stabkraft oder .Reaktionskomponente bei veränderlichen Einwirkungen (Belastung usw.) bezeichnet man bekanntlich diejenigen beiden Werte derselben, zwischen welchen alle sonst vorkommenden eingeschlossen sind. Diese Grenzwerte und daneben etwa der Wert durch das Eigengewicht allein sind für die Dimensionierung von besonderer Bedeutung, am meisten interessiert der numerisch größte Grenzwert.

zu

Eür die Feststellung der Grenzwerte sind in erster Linie die vorausgesetzten (vertikalen) Lasten maßgebend. Kommen weitere Einwirkungen hinzu (Temperaturänderungen, Winddruck etc.), so sind deren Grenzbeiträge mit den von der Belastung herrührenden Grenzwerten so zu kombinieren, daß möglichst ungünstige, d. h. möglichst weit auseinandergelegene Grenzwerte im ganzen entstehen. Dies pflegt nachträglich geschehen und bietet keine Schwierigkeit, da die Bedingungen für jene Grenzbeiträge meist ohne weiteres angegeben werden können (größte Temperaturänderung in positivem und negativem Sinne, stärkster Winddruck von der einen und der andern Seite etc.). Um die von der Belastung herrührenden Grenzwerte zu erhalten, sind verschiedene Methoden im Gebrauch, von welchen wir hier diejenigen erwähnen wollen, die bei Bogenfachwerken in erster Linie in Betracht kommen h

Am schnellsten gelangt man zum Ziel, wenn die Grenzwerte selbst durch Formeln ausgedrückt sind, so daß sie durch Einsetzen bekannter Zahlenwerte ohne weitere Ableitungen erhalten werden können.

Fig. 254.

Die betreffenden Formeln sind allerdings für Bogen im allgemeinen weniger einfach als für Balken. Wir wollen hier einen wichtigen Fall als Beispiel anführen und auf andere Fälle unten hinweisen.

Es handle sich um ein Dreigelenkbogenfachwerk mit Vertikalen (Ständerfachwerk), horizontalem Obergurt und parabolischem Untergurt, nach der Anordnung Fig. 254, in welcher auch die Bezeichnungen der Stabkräfte eingetragen sind;, positive Werte bedeuten Zug, negative Druck. Die Spannweite l ist durch Vertikalen in n = 2 a Felder von gleichen Längen A geteilt, so daß l = nA = 2al.

¹ Weiteres s. Luegers Lexikon der gesamten Technik, 2. Auflage, Artikel Grenzwerte.

Weiter seien zm dm, hm die Längen der durch Zm, Dm, Vm beanspruchten Stäbe und

_hm_

+1 hm

Eigengewicht pro Längeneinheit Spannweite g, wovon gx auf die Knotenpunkte des Obergurts und gz auf diejenigen des Untergurts kommen. Yerkehrslast pro Längeneinheit der ergriffenen Strecke p, Gesamtlast q = g + p. Dann hat man die Stabkräfte durch das Eigengewicht allein, die wir zur Unterscheidung mit deutschen Buchstaben bezeichnen:

hm

hm hm _ i

Cd -

n Jiq

8m — n n zm i

nur für die Kämpfervertikalen und Scheitelvertikalen sind ausnahmsweise:

®o =»* = —

Yertikalreaktionen und Horizontalreaktionen der Kämpfer durch das Eigengewicht allein:

Im folgenden werden bei Angabe der zweiten Grenzbeanspruchungen die Werte der ersten durch eine Klammer ausgezeichnet. Es sind die Grenzbeanspruchungen des Obergurts:

Xm — —

m (g — m) (n — m) p X2 2 hm

Xm — — (Xm)

und diejenigen des Untergurts:

Xm — 8m 77

— m + 1 co zm p l co —|— m —— 1 }i fji — i 4

Zm =

8 m (.Zm) •

Nur in dem praktisch kaum vorkommenden Falle, daß -—”■ ■— würden an Stelle von 6 treten:

Z/n — 8m + j^(M* — 1) (n — *» + 1) — a    ^ ^g

Für die Grenzbeanspruchungen der Diagonalen hat man:

Dm — (Dm) >

für jede Diagonale sind sie numerisch gleich und von verschiedenen Vorzeichen. Zur Ermittelung ihrer Absolutwerte berechne man zunächst die Hilfsgrößen:

n — m - j- e

f <i\ wäre,

Zm — 8m •

cp =

f-

Man hat dann, wenn h₀ sowohl zwischen % und als auch zwischen ip und <p liegt:

Dm —

[ (n — m) (m — e) — m a>]²

dm

10

Cd — 8 (h — 1)

6) -j- m — e 2 hm

wenn h₀ zwischen % und ty, aber nicht zwischen tp und <p liegt:

tt — m —

Dm —

(n — m — co + e) (m — 1)² dm n — m — cd — 8 (» — 1)

hm — l

11

und wenn h₀ nicht zwischen % und wohl aber zwischen tp und cp liegt:

(O cl fti p l

⁸ hm — i 4

Ein vierter Fall, für den Dm = 0 wäre (h₀ = f), kommt praktisch nicht vor. Zur Berechnung der Vertikalen bestimme man zunächst die Hilfsgrößen:

n — m 4- v

Dm —

Cd -j- m 8

12

<P =

cp =-

m

13

Man hat dann die eine Grenzbeanspruchung, wenn h₀ sowohl zwischen % und xp als auch zwischen xp und q> liegt:

\(n — m) (m — v) — m w] ²

n — m — (0 — v (n — 1)

O) + m — v 2    ’

wenn h₀ zwischen / und xp, aber nicht zwischen xp und cp liegt:

(n — m — 6) -f- v) (m — l)² p Z n — m — 6) — v (n — 1)    2    ’

wenn Ji₀ nicht zwischen % und xp, wohl aber zwischen xp und cp liegt:

=    _ ±-.m.+v — £i.

CO -j- 771 — V V 4

Die zweite Grenzbeanspruchung ist in allen drei Fällen:

V,n = -(Vm)-(p + 2gx)X .

vm —

14

15

16

17

Ausnahmen bilden wieder die Kämpfervertikalen und Scheitelvertikalen. Grenzbeanspruchungen der Kämpfervertikalen:

r₀ = »o -

pi

3 ff— 1    4 ’

und der Scheitelvertikalen:

n — 2 pl 3 ff — i ~r ’

18

V<y = %a-

va = «ff •

19

Grenzwerte der Stützenreaktionen:

ql

ql²

r=

Die Ableitung dieser Ausdrücke und entsprechender Beziehungen für andere statisch bestimmte Bogenfachwerke siehe Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887. Da wir hier auf jene statisch bestimmten Fachwerke, welche häufig nicht zu den elastischen Bogenträgern gerechnet werden, wegen nötiger Raumersparnis und zur Vermeidung von Wiederholungen nicht allzuweit eingehen können, so sollen wenigstens genügende Angaben folgen, an welchen Stellen des erwähnten Werkes die etwa interessierenden Formeln nebst ihren Ableitungen zu finden sind:

§ 69. Dreigelenkbogenfachwerk mit Vertikalen und beliebig geformten Gurtungen. Allgemeines.

§ 70. Dreigelenkbogenfach werk mit Vertikalen und beliebig geformten Gurtungen. Gleichmäßig verteilte bewegte Last.

§ 71. Dreigelenkbogenfachwerk mit Vertikalen und beliebig geformten Gurtungen. Bewegte Radlastzüge.

§ 72. Dreigelenkbogenfachwerk mit Vertikalen und horizontalem Obergurt, Untergurt nach zwei Geraden. Allgemeines.

§ 73. Dreigelenkbogenfachwerk mit Vertikalen und horizontalem Obergurt, Untergurt nach zwei Geraden. Gleichmäßig verteilte bewegte Last.

§ 74. Dreigelenkbogenfachwerk mit Vertikalen und horizontalem Obergurt, Untergurt nach zwei Geraden. Bewegte Radlastzüge.

§ 75. Dreigelenkbogenfachwerk mit Vertikalen, horizontalem Obergurt, und parabolischem Untergurt.

§ 79. Durchlaufendes Bogenfachwerk nach Art von Fig. 151, 152 mit Vertikalen und beliebigen (auch geraden oder parabolischen) Gurtungen.

Hierzu insbesondere das unten gegebene Beispiel 107 und die im Anschlüsse daran erwähnten Beispiele.

Um für weniger häufig vorkommende und deshalb zunächst unbestimmt gelassene Fachwerksysteme (bei Bogen z. B. Strebenfachwerke) eine rasche Berechnung der Grenzbeanspruchungen vorzubereiten, kann man diejenigen Momente Ms und ihre Grenzwerte ausdrücken,

8f

H= $ .

20

welchen die Stabkräfte bei einfachem Fachwerksystem proportional zu sein pflegen (vergl. S. 364, 370, 371).

Hierher gehören folgende Paragraphen des angeführten Werkes:

§ 66. Beliebige Belastung von Dreigelenkbogenfachwerken.

§ 67. Gleichmäßig verteilte bewegte Last bei Dreigelenkbogenfachwerken. § 68. Bewegte Radlastzüge bei Dreigelenkbogenfachwerken.

§ 78. Beliebige Belastung bei durchlaufenden Bogenfachwerken nach Art von Fig. 151, 152, S. 187.

§ 80. Gleichmäßig verteilte bewegte Last bei durchlaufenden Bogenfachwerken (Fig. 151, 152).

151, 152).

§ 81. Bewegte Radlastzüge bei durchlaufenden Bogenfachwerken (Fig.

Wenn die Formeln für die Grenzwerte der Stabkräfte und Stützenreaktionen oder ihre Herleitungen zu umständlich werden, so kann es sich empfehlen, wenigstens die Belastungen für die Grenzwerte, die un-günstigten Belastungen, im voraus zu bestimmen, für welche dann die bei beliebiger Belastung gültigen Ausdrücke der betreffenden Größen oder sonstige allgemeine Beziehungen die Grenzweate liefern. In dieser Weise ist in §§ 53, 54 für Bogenfachwerke mit zwei Gelenken verfahren und ähnlich kann in andern Fällen vorgegangen werden.

Bei den letzterwähnten Anwendungen werden nur die Strecken bestimmt, auf welchen die Lasten in positivem oder negativem Sinne zu der gesuchten Größe beitragen. Dies genügt bei gleichmäßig verteilter Verkehrslast, während bei bewegten Radlastzügen auch die Stellung der Züge auf jenen Beitragsstrecken von Einfluß ist. Soll dies berücksichtigt werden, oder sind weder die Grenzwerte selbst noch die Belastungen für sie festgestellt, dann ist am genauesten die Berechnung mit Hilfe von Einflußlinien. Diese ist in § 12 und den angeschlossenen Beispielen zur Darstellung gebracht, auf welche hiermit verwiesen wird. Siehe auch die Aufgaben 10, 11, 20, 22, 23, 33 und Beispiele 20, 21, 33, 42, 49,114.

Bei statisch unbestimmten Bogenfachwerken wird auch häufig die Berechnung auf Grund einzelner Knotenpunktslasten durchgeführt. Man berechnet den von einer Last P = 1 in jedem verkehrsbelasteten Knotenpunkte herrührenden Beitrag c zur gesuchten Größe X und kann dann auch den Wert von X für beliebige Kombinationen der P, sowie durch Berücksichtigung aller Beiträge von positivem oder negativem Einfluß allein die Grenzwerte von X erhalten. Für beliebige P hat man:

21

X — X cP ,

und für die Grenzwerte:

X± = I^XcP,

22

£ + 2 cP

2

worin den Beitrag des Eigengewichts der Konstruktion bedeutet und

die Summen X, X alle Beiträge der einen und andern Summe der Ver-

1 2

kehrslasten P bei möglichst großen Werten der letzteren umfassen.

Ist die Ableitung genauer Grenzwerte zu umständlich oder für den

augenblicklichen Zweck nicht nötig, so wird nicht selten eine Berechnung für vorausgewählte Belastungsfälle vorgenommen. Je nach der Anzahl und Auswahl berücksichtigter Belastungsfälle läßt sich meist genügende Annäherung erreichen, doch werden mitunter zu wenig Fälle behandelt. Als Grenzwerte einer Größe X gelten diejenigen berechneten X, zwischen welchen alle sonst erhaltenen liegen. Bei Berechnung der älteren Koblenzer Rheinbrücke beispielsweise teilte man die ganze Spannweite von 98,0775 m der Bogenachwerke mit zwei Gelenken in zwanzig gleiche Teile und ließ die gleichmäßig verteilt gedachte Verkehrslast von einem Ende aus je um einen solchen Teil vorrücken, so daß 21 Belastungsfälle behandelt wurden. Für die Bogenfachwerke mit zwei Gelenken von 160 m Spannweite der Maria-Pia-Brücke über den Douro in Portugal (Fig. 220) wurden 4 Belastungsfälle berücksichtigt: Eigengewicht allein, Vollbelastung des ganzen Bogens, einseitige Belastung bis zur Bogenmitte und Belastung der mittleren Strecke von 80 m Länge. Entsprechend der geringeren Genauigkeit wurden auch die rechnungsmäßigen Beanspruchungen geringer gewählt (nicht über 620 kg pro bcm). Diese beiden Brücken dienen Eisenbahnen. Bei den Bogenfachwerken ohne Gelenk von 31,5 — 36,75 m Spannweite der Neue-Mainzerstraße-Briicke über den Main zu Frankfurt beschränkte man die Berechnung auf 2 Belastungsfälle: Vollbelastung des ganzen Bogens und einseitige Belastung bis zur Bogenmitte, indem man sich auf den überwiegenden Einfluß des Eigengewichts bei Straßenbrücken berief (es war g : p — 3,25 : 1). Für das große Gewölbe ohne Gelenke von 65 m Lichtweite der Prutlibrücke bei Jaremcze (Fig. 164) zog man sogar nur einen Belastungsfall in Betracht: einseitige Belastung bis zur Bogenmitte. Wenn allerdings bei Gewölben das Eigengewicht besonders stark zu überwiegen pflegt (bei der Pruthbrücke durchschnittlich g : p = 12,3 : 1), so läßt sich doch nachweisen, daß die Behandlung nur eines Belastungsfalls bei Brückengewölben durchaus ungenügend ist (S. 95. 168).

Beispiel 107. Berechnung eines Bogenfachwerks mit drei Gelenken und Vertikalen. (Verhältnisse der Theißbrücke bei Szegedin).

Für die Bogenfachwerkträger mit drei Gelenken einer Brücke seien bei allgemeiner Anordnung entsprechend Fig. 255 folgende Voraussetzungen gemacht. Spannweite 1 = 40 m, Felderzahl n — 2 o = 20, Höhe des Obergurts über den Kämpfergelenken \ = 5,5 m, Pfeil des parabolischen Untergurts f= 5 m, ferner pro laufenden Meter Träger Eigengewicht g — 1,2 t, Verkehrslast p = 2 t. Vom Eigengewichte kommen gx — 0,6 t auf die Knotenpunkte des Obergurts, in welchen die Fahrbahnlast angreift, und gx = 0,6 t auf diejenigen des Untergurts. Die Grenzwerte der Stabkräfte und Stützenreaktionen zu berechnen.

Formberechnung. Ordinate des Knotenpunkts m im Untergurte und Länge der anstoßenden Vertikale nach § 19, 8):

4 f

= m (n — m) —= 0,05 m (20 — m) , n-

hm — ho — 3/» •— 5,5 — ,

Länge des Untergurtstabes und der Diagonale im Felde m:

zm — V + (hm -1 — hm)² ,

dm — V + hm- .

Diese Gleichungen liefern mit m — 1 bis m — 10 folgende Werte in Metern: \ = 4,55 h₂ = 3,70 Äg = 2,95 hi = 2,30 h = 1,75 Ä₆ = 1,30 h₇ = 0,95 h₈ = 0,70 }h = o,55 hw = 0,50

Weiter hat man nach § 55, 1)

31    = 0,95

32    : 1)80 3a ⁼ 2,55 34 = 3,20 3s = 3,75 3e = 4,20

3₇    = 4,55

38    — 4,80 3o = 4,95 3io ⁼ 5,00

«i = 2,214 z₂ = 2,173 z₃ = 2,136 z₄ = 2,103 z₅ = 2,074 Zq = 2,050 z₇ = 2,030

Zg = 2,016

z₉ — 2,006 z₁₀ — 2,001

d₁ = 4,970 d₂ = 4,206 d₃ = 3,564 di = 3,048 d-₀ = 2,658 d₆ — 2,385 d₇ = 2,214 d₈ = 2,119 d₉ = 2,074 d₁₀ = 2,062 .

co =

2f

10 -—jr— — 11 • 5

X,

X3

Xs

xs>

m-

zs

ir

zs

\f

Fig. 255.

Eigengewicht allein. Nach § 55, 2) gelten für die X-Gurtung und Diagonalen in allen Feldern:

= 0 ,

Die Eigengewichtsbeanspruchungen der Vertikalen sind:

⁼⁼    3.    =    1,2 t ,

®h» = 0 .

jedoch bilden Ausnahmen und folgen aus § 55, 3):

^ ffX _

®o = »io = -    ₂

— 0,6 t .

Für die X-Gurtung hat man nach § 55, 2):

gl

QM —    ₀ _ n Z)U ⁼    24 zm

woraus mit den oben erhaltenen zm in Tonnen: — 53,14

32    — — 52,15

33    — ~ 51,26

34    = - 50,47 3s = - 49,78

3i

3e= - 49,20 3₇ = - 48,72 3s = - 48,38 3₉ = — 48,14 3io = - 48,02 .

Die Vertikalreaktion und Horizontalreaktion der Kämpfer sind nach § 55, 4j:

= 24 t

ffi²

= 48 t .

*-1

Grenzwerte. Nach § 55, 5) sind die beiden Grenzbeanspruchungen der Obergurtstäbe gleich groß und von verschiedenen Vorzeichen. Für den Absolutwert hat man:

Xm =

in (a — m) (n — m) p W

4 m (10 -— m) (20 — m)

(3 G m) hm

(30 — m) hm

also mit m — 1 bis m — 10 in Tonnen:

Xx = 5,19 X₂ = 11,12 X₃ = 17,93 X₄ = 25,69 X₅ = 34,29

Die Grenzbeanspruchungen des Untergurts sind nach § 55, 6), wenn im Ausdrucke der zweiten Grenzbeanspruchung (Zm) den Wert der ersten bedeutet:

X₆ = 43,08 X₇ = 49,98 X₈ = 49,87 X₉ = 34,20 X₁₀= 0.

(O

zm — 3m ..

— m + 1 co zm    jü l

CO -|- m — 1 Jlytl — 1

12 — m zni

10 m hm — i

220,

Zm —

3m (zm) •—

3in — (zm) i

worin q

g + V- Diese Gleichungen liefern in Tonnen:

—    141,70

—    139,71

—    139,19

—    140,09

—    142,36

—    145,84

—    149,76

—    152,13

—    147,69

—    128,06

^4

^8

%in

—    53,14 Z₂ = — 51,51

—    48,02.

^4

^8

^10

Werden für die Diagonalen entsprechend § 55, 1), 9) gesetzt:

h tn

5P =

11

2 f = 10 —

ip =

n — in m — b

20 — m m — b

so ergeben sich für m = 1

cp

7,11

—    2,800 — 3,667 —10,000

2,89 3,18 3,47 3,77 4,09 4,44 4,85 5,40 6,33 10,00

Nach § 55, 8) sind die zwei Grenzbeanspruchungen jeder Diagonale gleich groß und von verschiedenen Vorzeichen. Eine Grenzbeanspruchung ist ausgedrückt: für die Diagonalen 1 bis 6, weil Ji₀ — 5,5 nicht zwischen % und ip, wohl aber zwischen ip und cp liegt, nach § 55, 12):

6,82

6,53

6,23

5,91

5,56

5,14

4,60

54,99

28,59

19,64

15,08

12,27

10,37

9,02

10

3,67

8,10

7,74

10,00.

co — m -f- £ co -J- m — £    £ hm — i

für die Diagonalen 7 und 8, weil h₀ sowohl zwischen % und als zwischen und <p liegt, nach § 55, 10):

(o dm

11 — m + £

11 —f- m — b b hm — i

dm

220

Dm =

[(« — m) (m — b) — m 6)]2

dm

n — m — o) — e (n — 1)

co -J- 7)1 — £    2 hm

[(10 — m) (in — e) — 11 mf dm (9 — m — 19 b) (11 + m — e) hm '

für die Diagonalen 9 und 10, weil h₀ zwischen % und -ip, aber nicht zwischen -ip und cp liegt, nach § 55, 11):

Dm —

(n — m — 0) + e) (m — l)²

d»i

(9 — m + e) (m — l)²

—d™— 2 . hm — l

Demgemäß erhalten wir die Absolutwerte beider Grenzbeanspruchungen der Diagonalen in Tonnen;

n — m — o) — e (n — 1)

hm _ i 2

9 — m — 19 e

Di —

5,211*4,970*220

16,789*4,789*5,5

= 12,88

Dq —

Z>₂ =

4,646 • 4,202 • 220 17,354*4,355*4,55

= 12,50

Dj =

2,111 • 2,385 • 220 19,889 • 2,889 • 1,75 (13-9,714 —11*7)2 2,124*2 (2 + 19*2,714) 20,714 *0+5

= 11,01

D₃ =

4,067*3,564* 220

17,933 • 3,933 »3,7

= 12,22

(12*10,8 — 11 »8)² *2,119 *2

(1 + 19*2,8) 21,8*0,70

= 9,29

Di =

3,462 • 3,048 • 220

18,538*3,538*2,95

= 12,00

3,667*64*2,074*2

19*3,667*0,70

= 19,96

D₅ =

2,818*2,658*220

11 *81*2,062*2

= 35,35.

= 11,74

Dio —

Werden für die Vertikalen entsprechend § 55, 1), 13) gesetzt:

19,182 • 3,182 • 2,3

189*0,55

hm,

hin + l — hm n — m + v

<P =

yn — v

2 f = 10 —

20 — m m — v

yn

so ergeben sich m —

für

<P

3,18

6,82

—    11,000

Als Ausdruck einer Grenzbeanspruchung haben wir: für die Vertikalen 1 bis 5, weil h₀ — 5,5 nicht zwischen % und ip, aber zwischen t/» und cp liegt, nach § 55, 16):

CO p l

CO -}- 7YI — V V 4

= SS,» —

3,47

3,77

6,53

4,09

6,23

4,44

4,86

5,40

6,33

10.00

= - 1,2 —

5,91

5,56

5,14

4,60

3,67

11 — m + v 220

11 + m — v v

60,34

31,19

21.36

16.36

13.33

11.33

10,03

9,50

12,22 .

für die Vertikalen 6 und 7, weil h₀ sowohl zwischen % und tp als zwischen und cp liegt, nach § 55, 14):

Trm —    + -

[ (n'— m) (m — v) — m co]²

co — v (n — 1)

o) m — v

[ (20 — m) (m — v) — 11 m]² (1 — v) ^

(9 — m — 19 v) (11 + m — v) v    “ ’

für die Vertikalen 8 und 9, weil h₀ zwischen % und ip, aber nicht zwischen 1p und cp liegt, nach § 55, 15):

n — yn —

— 1,2 +

(9 — m + v) (m — l)² ^

9 — m — 19 v

Die zweite Grenzbeanspruchung ist nach § 55, 17) in allen drei Fällen, wenn (F,„) die erste bezeichnet,

rm =    —

(n —■ m — <a + v) m — l)² p l

n — m — co — v (n — 1)

= - 1,2 -

vm=- (Vm) - Cp + 2 gx) X = — (Fm) - 6,4 .

Diese Gleichungen liefern folgende Grenzwerte in Tonnen:

Vl = - 1,2 +

4,646*220

17,354*5,354

= 9,81

Vi — — 16,21

r₂ = -1,2 +

4,067 • 220

17,933*4,933

= 8,94

V — — 15,34

D> = - 1.2 +

3,462 • 220

18,538-4,538

7,85

V₃ = — 14,25

D = — 1,2 +

2,818 • 220

19,182 • 4,182

6,53

Vi — — 12,93

D = - 1,2 +

2,111-220

19,889 • 3,889

4,80

D = - 11,20

D> = — 1,2 -

69,996² - 4,714 • 2

73,566 • 20,714 • 3,714

= — 9,35

2,95

D = — 1,2 -

63,4² -4,8 - 2

74,2-21,8-3,8

-- — 7,48

1,08

D = — 1,2 +

3,667-49-2

89,673

2,80

Fg = — 9,20

D, = — 1,2 +

11 • 64

209

5,54

D> = - 11,91 •

± 5, 79    ±n,iz ±17.03    + Z5.60 *31,.3 9    tiS,08 i iS, 98 tiff.S? - Si, 20

'*«?

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ad

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-1X8,06

-‘’S, OS

Sf

Fig. 256.

6!i

Die Grenzbeanspruchungen der Kämpfervertikalen sind nach § 55, 18):

D, = »o -

pi

= — 14,39 t,

n — 2 pl in — 2    2

F₀ = i8o+ V

und diejenigen der Scheitel vertikale nach § 55, 19):

= — 2,6 t,

11,19 t,

Do = »io - ~

Do = »io = - 0,6 t.

Für die oberen Grenzwerte der Vertikalreaktion und Horizontalreaktion der Stützen schließlich hat man nach § 55, 20), mit q= g -\- p — 3,2 t

H=«ll

ql

— 128 t,

F=1r = 64t,

während die unteren Grenzwerte für Eigengewicht allein eintreten. Damit sind sämtliche verlangte Grenzwerte bestimmt. Dieselben wurden in Fig. 256 für eine Trägerhälfte bei ihren Stäben eingeschrieben.

Bemerkungen betreffend weitere Beispiele über statisch bestimmte Bogenfachwerke.

Entsprechend dem S. 894 Gesagten geben wir keine weiteren Beispiele über die Grenzbeanspruchungen statisch bestimmter Bogenfachwerke, sondern verweisen auf die im folgenden genau bezeichneten Beispiele des Werkes: Weyrauch, Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1888. Es sind dort ähnliche Formeln wie im vorigen Beispiel verwendet. Bezüglich der Gelenkdrücke bleibt es bei dem in §§ 13—17, 19 und den zugehörigen Beispielen Vorgetragenen.

Beispiel 85. Dreigelenkbogendachbinder mit beliebig geformten Gurtungen (Fig.239). Grenzbeanspruchungen durch Belastung und schiefen Winddruck.

Bemerkungen betr. weitere statisch bestimmte Bogenfachwerke.

401

Beispiel 87. Dreigelenkbogenfachwerk mit beliebig geformten Gurtungen (Fig. 254). Berechnung für gleichmäßig verteilte bewegte Last.

Beispiel 88. Dreigelenkbogenfachwerk mit beliebig geformten Gurtungen (Fig. 254). Berechnung für bewegte Radlastzüge.

Beispiel 89. Dreigelenkbogenfachwerk mit zwei geradlinigen Gurtungen (Fig. 257). Berechnung für gleichmäßig verteilte bewegte Last.

Beispiel 90. Dreigelenkbogenfachwerk mit zwei geradlinigen Gurtungen (Fig. 257). Berechnung für bewegte Radlastzüge.

Aufgabe 89. Kämpfervertikalen und Scheitelvertikalen von Dreigelenkbogenfachwerken.

Aufgabe 40. Dreigelenkbogenfachwerk mit Vertikalen und beliebig geformten Gurtungen. Maximalbedingungen für die Stabkräfte beim Befahren durch bewegte Radlastzüge.

Beispiel 93. Durchlaufendes Bogenfach werk mit zwei geradlinigen Gurtungen (feste Hängebrücke mit einer Fachwerköffnung und Rückhaltgliedern). Berechnung für gleichmäßig verteilte bewegte Last.

Beispiel 94. Durchlaufendes Bogenfachwerk mit zwei geradlinigen Gurtungen (feste Hängebrücke oder Sprengbriicke, Fig. 258, 259). Berechnung für gleichmäßig verteilte bewegte Last.

V.

x,

^Z A3_V

3m

d;

«X*

Fig. 257.

Beispiel 95. Durchlaufendes Bogenfachwerk mit zwei geradlinigen Gurtungen (feste Hängebrücke oder Sprengbriicke, Fig. 258, 259). Berechnung für bewegte Radlastzüge.

Beispiel 96. Durchlaufendes Bogenfachwerk mit einer horizontalen und einer parabolischen Gurtung (feste Hängebrücke mit einer Fach werk Öffnung und Rückhaltgliedern). Berechnung für gleichmäßig verteilte bewegte Last.

Beispiel 97. Durchlaufendes Bogenfachwerk mit einer horizontalen und einer parabolischen Gurtung (feste Hängebrücke oder Sprengbriicke ähnlich Fig. 260, 261 mit größeren Spannweiten und mehr Feldern). Berechnung für gleichmäßig verteilte bewegte Last.

Beispiel 98. Durchlaufendes Bogenfachwerk mit einer horizontalen und einer beliebig geformten Gurtung (feste Hängebrücke mit einer Fachwerköffnung und Riickhaltgliedern). Berechnung für gleichmäßig verteilte bewegteLast.

Beispiel 99. Durchlaufendes Bogenfachwerk mit einer horizontalen und einer beliebig geformten Gurtung (feste Hängebrücke oder Sprengbriicke, Fig. 260, 261). Berechnung für gleichmäßig verteilte bewegte Last.

Beispiel 100. Durchlaufendes Bogenfachwerk mit einer horizontalen und einer beliebig geformten Gurtung (feste Hängebrücke oder Sprengbriicke, Fig. 260, 261). Berechnung für bewegte Radlastzüge.

Beispiel 101. Durchlaufendes Bogenfachwerk mit einer horizontalen und einer beliebig geformten Gurtung (Fig. 225). Berechnung für gleichmäßig verteilte bewegte Last.

Beispiel 102. Durchlaufendes Bogenfachwerk mit einer horizontalen und einer beliebig geformten Gurtung (Fig. 225). Berechnung für bewegte Radlastzüge.

Beispiel 103. Durchlaufender Bogendachbinder mit beliebig geformten Gurtungen (Fig. 262). Berechnung für gleichmäßig verteilte bewegte Last.

Aufgabe 42. Pfeilervertikalen und Widerlagervertikalen durchlaufender Bogenfachwerke.

26

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

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Fig. 258.

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Fig. 259.

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I

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Fig. 2ß0.

I*

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Fig. 2ßl.

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V

^ V

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X~

X

M

2,

2

§ 56. Verschiebung’sarbeit. Prinzip der virtuellen Verrückung-en.

Die zur Überwindung der inneren Kräfte notwendige Arbeit während irgendwelcher Verrük-kungen der Knotenpunkte eines Faclrwerks (oder der Punkte eines sonstigen Körpers) heißt Verschiebungsarbeit D, vielfach auch Deformationsarbeit oder Formänderungsarbeit, während die Arbeit, welche die Überwindung der inneren Kräfte erfordern würde, wenn diese konstant wie am Ende der Verrückungen wären, virtuelle Verschiebungsarbeit © (virtuelle Deformationsarbeit oder virtuelle Formänderungsarbeit) genannt wird. Für ein beliebiges System von Knotenpunkten (oder sonstigen Körperpunkten), zwischen welche nur Kräfte S in den Verbindungsgeraden wirken (für Zug S positiv), hat man "während irgendwelcher Längenänderungen ff s der letzteren (für Verlängerungen ff s positiv), welche gegen deren anfängliche Längen s verschwindend klein sind, die Verschiebungsarbeit und virtuelle Verschiebungsarbeit :

et

txT

->SS

Fig. 262.

I) =

ufSds

0

2) = US As .

Hierin sind die Summen U auf alle inneren Kräfte S, also bei Faclrwerken auf alle Stabkräfte zu erstrecken¹.

Die Arbeit 51 der äußeren Kräfte, wenn diese konstant wie am Ende der Verrückungen wären, soll virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte heißen. Wirken nun am Ende der Verrückungen beliebige Lasten oder sonstige äußere Aktivkräfte Q, beliebige Reaktionen oder Reaktionskomponenten R, und bezeichnen q, r die Verrückungen der durch die Q, R ergriffenen Punkte in den Richtungslinien der Q, R (positiv, wenn in den Richtungen der Q, R selbst, negativ, wenn entgegengesetzt denselben), so ist die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte ausgedrückt:

% — U Qq    URr,

wTorin die Summen U auf alle durch äußere Kräfte ergriffenen Systempunkte (Knotenpunkte des Facli-

¹ Ableitungen dieser und der folgenden Gleichungen siehe "Weyrauch, Über statisch unbestimmte Fachwerke und den Begriff der Deformationsarbeit, Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen, 1908, S. 91, wo auch weitere Literatur gegeben ist.

werks oder Punkte des sonstigen Körpers) zu erstrecken sind. Doch dürfen auch außerhalb des Systems gelegene, bezüglich dessen Anfangslage feste Punkte darin aufgenommen werden, weil deren Verrückungen q, r gleich Null sind, so daß die Summen und damit der Wert 2 un-geändert bleiben.

Fürs Gleichgewicht nach beliebigen genügend kleinen Verrückungen besteht das Prinzip der virtuellen Verrückungen: Die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte ist gleich der virtuellen Arbeit zur Überwindung der inneren Kräfte, das heißt gleich der virtuellen Verschiebungsarbeit. Man hat also mit obigen Bezeichnungen:

21 = 2Qq + 2 Rr = 2SAs = 3) .

Dieses Gesetz gilt nicht nur für die wirklichen Verrückungen (aktuellen Verrückungen), sondern für alle kleinen Verrückungen, welche nach den geometrischen und statischen Bedingungen des betrachteten Systems (einschließlich fester Punkte, vorgeschriebener Bahnen, Temperaturänderungen), zwar eintreten könnten, ohne daß sie jedoch unter den vorliegenden besonderen Umständen (Gesetze der Stabkräfte S, statisch unbestimmte Größen usw.) einzutreten brauchen (virtuelle Verrückungen).

Während die bisherigen Gleichungen für stabile Fachwerke immer bestehen, welche Werte auch die kleinen Verrückungen der Knotenpunkte annehmen und welche Beziehungen zwischen den Stabkräften S und Längenänderungen fis bestehen mögen, so drückt sich für einen anfangs spannungslosen Stab der anfänglichen Länge s und des anfänglichen Querschnitts F bei konstantem Elastizitätsmodul E und konstantem Ausdehnungskoeffizienten a die Beziehung zwischen der Stab kraft S, der Temperaturänderung t und der Längenänderung A s aus:

As =

s = ef(~-

— 05 X I .

Da hiernach

(ls =

so folgen für ein anfangs spannungsloses Fachwerk von konstanten E, a nach 1, 4 die Verschiebungsarbeit:

D = S^, + SasjSdz, die virtuelle Verschiebungsarbeit:

s S2 EF

-f- 2asSt ,

3) =2

und als Ausdruck des Prinzips der virtuellen Verrückungen:

21 = ^2 + 2Rr = 2(-^ + ax)sS

= 3).

Die letzte Gleichung ergibt speziell für t = 0, dx = 0

21 = 35 = 2

sS2 EF

— 21).

Bei konstanter Temperatur ist nach Eintritt des Gleichgewichts die Arbeit §1 der mit ihren Endwerten konstant gedachten äußeren Kräfte gleich dem doppelten der Verschiebungsarbeit D. Diese spezielle Beziehung wird mitunter das Clapeyronsche Theorem¹ genannt.

Aufgabe 35. Einsenkungen für einfachste Fälle.

Die Einsenkungen e des Mittelgelenks für den Dreigelenkbogen Fig. 263 und den Dreigelenkbogen mit Zugstange Fig. 264 durch eine beliebige Last P bei beliebigen gleichen Temperaturänderungen r aller Stäbe zu ermitteln. Die Bezeichnungen der Querschnitte, Stabkräfte und Längen sind in den Figuren angedeutet.

~² {~7f+cct) s’

Wir gehen aus vom Prinzip der virtuellen Verrückungen in der Form § 56, 7), worin in beiden vorliegenden Fällen die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte 21 = P e, so daß

Pe

und die Summe 2 alle Stäbe umfaßt.

Für den Fall Fig. 263 verlangt das Gleichgewicht am Mittelgelenk:

Ps

P+2S-

womit nach 1:

Pe

= ²(

— Ps

4-«t) s

} 2h

— Ps

sodaß die gesuchte Einsenkung:

-(■

Ps

ih E F

— Cl T

ir-

\P

\P

F,

S \h,S

s.

s •, s •fi

Fu.

TJ

Fig. 264.

Fig. 263.

Für den Fall Fig. 264 verlangt das Gleichgewicht am Mittelgelenk und ersten Gelenk:

?+2sh

= 0,

woraus die Stabkräfte:

2s

Ps

PI

und mit diesen nach 1:

Pe

= ²(

— Ps 2h E F

— Ps

( P!

4 h E Fu

,    \ , PI

+ aV¹7h'

also die Finsenkung:

p /s⁸ P \ 2 E h? VF- + 8 Fu )

Aufgabe 36. Einsenkung durch Bewegungen der Stützpunkte.

Im ersten Fall der vorigen Aufgabe soll eine Änderung Al der Spannweite und eine Erhöhung der Endstütze gegen die Anfangsstütze (Senkung der Anfangsstütze gegen die Endstütze) um Ah berücksichtigt werden.

S. 80, 83, 86.

Man hat dann in § 56, 7) die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte 2t = Pe —

jp

HAl-\- —Ak, während die rechte Seite jener Gleichung und der Ausdruck der Stabkräfte S ungeändert bleiben. Da ferner

i

b+ s —

H= —

pi

2 s 4 7»’

so liefert § 56, 7):

Pe — -^-Al+PAk= (-4 7»    '    2    \

Ps

2 7» E F

— st

Pss

woraus die Einsenkung:

Ps

2 7» E F

— az

)- + — ) 7» ^ 4 7»

Al---

Die Stützenbewegungen allein haben also zur Folge:

4 7»

wie schon in Aufgabe 14 (S. 106) auf ganz anderem Wege erhalten wurde. Auch der Einfluß der Temperaturänderung wurde dort bereits festgestellt.

§ 57. Beziehungen für statisch unbestimmte Stabkräfte und Reaktionskomponenten.

Das anfangs spannungslose Fachwerk sei wieder nach Einwirkung beliebiger Lasten oder sonstiger äußerer Aktivkräfte und gleichmäßiger Temperaturänderungen x der einzelnen Stäbe zum Gleichgewicht gelangt. Auch kleine Verrückungen der Stützpunkte sind zugelassen. Wäre nur das aus den zur statischen Bestimmtheit und Stabilität notwendigen Stäben und Reaktionskomponenten bestehende Hauptsystem vorhanden, so würden alle Stabkräfte und Stützenreaktionen aus den statischen Methoden und Beziehungen der Paragraphen 52—54 allein bestimmbar sein. Durch jede hinzukommende überzählige Stab kraft oder Reaktionskomponente können aber auch die notwendigen Stabkräfte und Reaktionskomponenten Änderungen erleiden, so daß für diese die überzähligen Größen als Unabhängigveränderliche anzusehen sind. Daß die überzähligen Größen oft verschieden gewählt werden können, wurde bereits in der Einleitung zu diesem Abschnitt erwähnt. So ließen sich in den Fällen Fig. 265, 266 sowohl die bezeichneten Reaktionskomponenten als die durchstrichenen Stäbe wählen, doch würde hier schon im Interesse möglichst einfacher Berechnung des verbleibenden Hauptsystems die erste Wahl vorzuziehen sein.

Es sei X eine gesuchte überzählige Stabkraft oder Reaktionskomponente und mögen für die betrachteten Verrückungen weiter bezeichnen: U die Arbeit der mit ihren Endwerten konstant gedachten überzähligen und von überzähligen abhängigen Größen notwendigen Reaktionskomponenten, öS die Änderung einer Stabkraft S durch irgend eine mit den geometrischen und statischen Bedingungen des Fachwerks verträgliche Änderung dX, und d'VL die entsprechende Änderung von U, letztere jedoch bei konstanten Verrückungen (deshalb mit d‘Xl bezeichnet). Dann hat man zur Bestimmung von X bei beliebigen Gesetzen der Stabkräfte:

0 ergibt, so tragen zu den Summen

In diesen Gleichungen² sind die Summen X zunächst auf sämtliche Stäbe zu erstrecken. Da jedoch die Differentiation einer überzähligen Stabkraft S nach einer anderen überzähligen Größe X (das heißt nach einer

anderen Unabhängigvariabein)

öS

dX

XAs

öS

d‘ U

dX dX ’

und speziell für Fachwerke aus prismatischen Stäben von konstanten Elastizitätsmoduln E und konstanten Ausdehnungskoeffizienten a mit § 56, 4):

f « v)s

öS

d'ü

dx ex '

X nur bei: wenn X eine überzählige Reaktionskomponente bedeutet, die notwendigen Stabkräfte; wenn X eine überzählige Stabkraft bedeutet,

d S

diese mit = 1 und die notwendigen Stabkräfte.

Es können ebensoviele Gleichungen der Form 1 oder 2 angesetzt werden, als überzählige Größen X vorhanden sind, wonach diese sämtlich sich berechnen lassen. Man könnte, wenn nicht im einzelnen Falle andere Methoden sich als zweckmäßiger erweisen, beispielsweise wie folgt Vorgehen: a) Auswahl der überzähligen Stabkräfte und Reaktionskom-ponenten X; b) Bildung der Ausdrücke sämtlicher notwendiger Stabkräfte S in dem vollständigen Fachwerk (mit Einschluß der X) für den gegebenen Belastungsfall (S. 361,408) und eventuell der Arbeit 11 sämtlicher überzähliger und von überzähligen Größen abhängiger Reaktionen für die angenommenen Verrückungen der Stützpunkte; c) auf Grund dieser Ausdrücke Bildung der Differentialquotienten in 1 oder 2 nach jeder der überzähligen Größen X und Einsetzen in letztere Gleichungen; d) Berechnung der Größen X aus den so entstandenen Gleichungen; e) Berechnung der wirklichen Werte der notwendigen Stabkräfte aus den unter b) erwähnten Ausdrücken, wonach die etwa noch fehlenden verlangten Stützenreaktionen aus rein statischen Gleichungen, z. B. aus solchen der Formen § 52, 1), folgen.

Nach § 52, 1) stehen alle Stabkräfte und Reaktionskomponenten in linearen Beziehungen zueinander, so daß für jede notwendige Stabkraft S und jede notwendige Reaktionskomponente K:

dS

q konstant,

q konstant,

d'U

wobei natürlich auch q = 0 werden kann. Bezeichnet X eine überzählige Reaktionskomponente und e = — Al die Verrückung des durch sie ergriffenen Knotenpunktes in der Richtungslinie von X (positiv, wenn in der Richtung von X selbst, negativ, wenn entgegengesetzt derselben), so hat man:

: —e — — Al.

Bezeichnet dagegen X eine überzählige Stabkraft, qX ihren Beitrag zu einer notwendigen Reaktionskomponente K, und e — — Al wieder die Verrückung des durch K ergriffenen Knotenpunktes in der Richtungslinie von K, dann gilt:

d'U

— q e — — q Al.

Al bedeutet die Änderung der Entfernung l des durch X beziehungsweise K ergriffenen Knotenpunktes nach einem von ihm aus in der Richtung von X oder K gelegenen, bezüglich der anfänglichen Lagen der Knotenpunkte festen Punkte.

Es mögen für einen beliebigen gegebenen Belastungsfall (im allgemeinsten Sinne verstanden, eventuell auch nicht vertikale Aktivkräfte, Temperaturänderungen und Verrückungen der Stützpunkte einschließend) der Wert einer notwendigen Stabkraft S oder einer notwendigen Reaktionskomponente K, wenn nur das Hauptsystem wirkte, durch A bezeichnet sein. Kommen nun beliebige überzählige Stabkräfte und Reaktionskomponenten Xlf Xn, . . . hinzu, so ist der ganze (wirkliche) Wert der Stabkraft S oder Reaktionskomponente K:

S = A -)- @i X₁ -f- (>ii Xn K— A -j- Qi X₁ -j- Qn Xn

unter qx, qu, . . . die obenerwähnten Konstanten verstanden. Diese bedeuten nach vorstehenden Gleichungen die Werte von S oder K, wenn an dem statisch bestimmten Hauptsystem von äußeren Aktivkräften allein wirkten Xx = 1 beziehungsweise Xu — 1 usw. Alle A, q ergeben sich also aus rein statischen Gleichungen.

Sind bei Eachwerken aus prismatischen Stäben von konstanten Elastizitätsmoduln E alle Temperaturänderungen t = 0 und daneben die virtuelle Arbeit der überzähligen und von überzähligen Größen abhängigen notwendigen Reaktionskomponenten XI = 0, oder doch für eine zu be-

= 0, dann hat man nach 2:

stimmende überzählige Größe X X1 sS öS

~öx

während nach § 56, 8) mit Rücksicht auf die erste obige Gleichung 3 weiter folgt:

d*I)

dX

0 d. h. nach § 56, 8)

dD

dX

2a

d X²

Der erste Differentialquotient der Verschiebungsarbeit D ist gleich Null, der zweite positiv. Die überzählige Größe X ist also in dem angeführten Falle so bestimmt, daß die Verschiebungsarbeit ein Minimum wird (und damit, weil in jenem Falle ® = 2D, auch die virtuelle Verschiebungsarbeit ©). Dies Ergebnis hat man mitunter als Prinzip der kleinsten Verschiebungsarbeit bezeichnet, was jedoch angesichts seiner beschränkten Gültigkeit nicht zweckmäßig erscheint. Allgemeiner sind die statisch unbestimmten Größen X durch 1 oder 2 bestimmt.

Zur Erläuterung und weiteren Vorbereitung häufig vorkommender Berechnungen mögen noch zwei besondere Fälle von Fachwerken aus prismatischen Stäben gleicher und konstanter E, a ins Auge gefaßt werden. Wir setzen zur Abkürzung:

Faehwerke mit überzähligen Reaktionskomponenten allein. Dieser Fall kommt bei Bogenfachwerken am meisten vor. Es seien Ax, A₂, • ■ ■ die Stabkräfte der Stäbe von anfänglichen Längen s₂, • • •, welche für den gegebenen Belastungszustand eintreten würden, wenn keine überzähligen Reaktionen vorhanden wären. Hierzu kommen die Beanspruchungen infolge der überzähligen Reaktionskomponenten Xl5 Xn, • • •. Erhalten die Beanspruchungen q der Stäbe s₁, s₂, • • •, welche äußeren Aktivkräften Xi = 1, X„ = 1, • • • allein entsprächen, den Index des betreffenden X neben demjenigen ihres Stabes, so hat man nach 6 die ganzen Beanspruchungen der Stäbe:

£>i    - a^ -j- Xi eii⁻!⁻ xn qh i -|- • • •

$2 ⁼ Ag H⁻ Xi £>I 2 "b Xu (>II 2 + • • ’

®3 = A₃ + Xi (>I 3 -f- XII (>II 3 + • • •

womit nach 2 bei Beachtung von 3, 4, 8 zur Berechnung der überzähligen Reaktionskomponenten :

E — — JE 4    — E ct 2 x s Qi 2 c A Qi -j⁻ Xj 2 c Qi Qj -j⁻ Xjj 2 c Qu Q i • • •

10

E #jj — — E A ?jj = E ct 2 x s Qu “f⁻ 2 c A -j- -Xj 2 c Qi Qu XTjj 2 c    -1~ • • •

E em = — E A lnl = E cc 2 r s (>iii 2 c A (>Ilr + Xx 2 c e, (*nl + Xlr 2 c (>ii Qra + • ' *

Die Summen ^sind auf alle Stäbe zu erstrecken. Man hat soviel Gleichungen der Form 9 als Stäbe und soviel Gleichungen der Form 10 als überzählige Reaktionskomponenten.

X=K

Häufig sind eine, zwei oder __

drei überzählige Reaktionskom- H ponenten vorhanden. Für eine überzählige Reaktionskomponente X (beispielsweise Fig. 265 und 148, 235, 242, 248) hat man aus 10 im allgemeinsten Falle (beliebige Belastung und sonstige

Aktivkräfte, Temperaturände- ->

rungen, Verrückungen der Stütz- H punkte):

Fig. 265.

V'

Xj-K

2cQA-\-Ea2xsQ — Ee

Fig. 266.

• 11

Für zwei überzählige Reaktionskomponenten XIt Xn (beispielsweise Fig. 266 und 143, 146) liefert 10 mit den Bezeichnungen

a = 2 c Qj²

2 c Q-*

im allgemeinsten Falle:

e — 2 c Qt Qu ,

XJ = 2 c A Ql E cc 2 r s Qi — E et, V = 2 c A qu-\- E a 2 t s Qu — E eu

0= 2c Qn² ,

12

13

Xi =

XJ o — V e

e2 — a0 ’

x„ =

Va— Ee

e² — a o

14

Für drei überzählige Reaktionen Xr, Xn, Im (beispielsweise Fig. 267 und 147) folgen aus 10 mit den Bezeichnungen 12, 13 und

m = 2 c Qi ftn ,

n = 2 cQn pnI,

TV = 2 c A Qm E ct 2 x s — E €m

X — 2 c Qm²

15

im allgemeinsten Falle:

-Xi =-

u (o r — n²) + V (nt n — e r) + W (e it — nt o)

a (o r — n²) + e (m n — e r) + m (e n — m o)

Xu =-

tj (nt n — e r) -f v (a r — nt²) + w (e m — a n) e (m n — e r) + o (a r — m²) + n (e m — an) ’

r(en — m o) + V (e m — a n) + w (a o — e²)

m (e n - m o) + n (e m — a n) + r (a o — e²)

Mitunter lassen sich diese Formeln mit Rücksicht auf die Symmetrie der betreffenden Fachwerke vereinfachen. So hätte man bei symmetrisch zur Vertikalen durch die Trägermitte angeordneten Stäben im Falle von Fig. 267 wegen r = a, n = e:

Xu= —

(u + W) t — V (a 4- nt)

2 e² — o (a + nt)

18

Die Berechnung eines Fachwerkes mit überzähligen Reaktionskomponenten für einen beliebigen Belastungsfall könnte nun beispielsweise wie folgt vor sich gehen: a) Auswahl der überzähligen Reaktionskomponenten Xx, Xn, • • •, gewöhnlich mit Rücksicht auf möglichst bequeme Berechnung des nach Entfernung derselben verbleibenden statisch bestimmten stabilen Hauptsystems; b) unter Voraussetzung der Wirksamkeit des letzteren allein

Berechnung der Stabkräfte von herrührend von äußeren Kräften Xi = 1

?>    n    v    »    ¹ ■ 1

«I

S2

S3

Qu

?I2

(Üli

Pu 2

c) Bildung der nur von den c, q allein (nicht von den A, r, e) abhängigen Summen 2, wie 12, 15, in den Ausdrücken für die überzähligen Reaktionskomponenten; d) Berechnung der Stabkräfte A₁, A₂, • • •, welche in den Stäben , s₂, • • • für den gegebenen Belastungsfall eintreten würden, wenn keine überzähligen Reaktionen vorhanden wären; e) Berechnung der überzähligen Reaktionskomponenten nach 10 oder den spezielleren Ausdrücken 11, 14, 17, 18; f) Berechnung der wirklichen Stabkräfte für den gegebenen Belastungsfall nach 9). — Kommen, wie gewöhnlich, verschiedene Belastungsfälle zur Behandlung, so sind nur die Berechnungen d) bis f) zu wiederholen; bei Feststellung des Einflusses von Temperaturänderungen und Stützenbewegungen allein fällt auch d) weg.

Faehwerke mit überzähligen Stabkräften allein. Wir betrachten hier im Gegensätze zu dem Bisherigen nur noch Fach werke, deren sämtliche Reaktionen durch die Statik allein bestimmt und also auch unabhängig von den überzähligen Stabkräften sind (Fig. 268, 275, 276, 277).

Es seien sl5 s₂, • • • die anfänglichen Längen der notwendigen Stäbe, S'i, S₂, ■ • ■ ihre wirklichen Beanspruchungen (in dem vollständigen Fach werk), ferner sr, s„, • • • die anfänglichen Längen der überzähligen Stäbe, Sj, Su,

• • ■ deren wirkliche Beanspruchungen. Die Beanspruchungen der notwendigen Stäbe, welche in dem gegebenen Belastungsfall eintreten würden, wenn keine überzähligen Stäbe vorhanden wären, bezeichnen wir wieder durch Ax, A₂, ■ ■ • Zu diesen kommen nun Beanspruchungen infolge der Kräfte S₁, Su, • • ■ in den

-jt

Y-

Jf Öl

X^-Y Xn-H X^-Z

Fig. 2G7.

Fig. 268.

v'

überzähligen Stäben. Erhalten die Beanspruchungen q der Hauptstäbe .«q, s₂, • ■ •, welche Kräften £j = 1, Sn = 1, • • • allein entsprächen, den Index des betreffenden überzähligen Stabes neben demjenigen ihres Hauptstabes, so sind nach 6 die ganzen Beanspruchungen der Hauptstäbe:

Sj —    -j- Si Qi x -}-* Sn (>11 i -f- • • •

S% = A₂ -f- Si Qi 2 + Sn pn 2 + • • •

£3 ⁼⁼ ^3 + Si (*i 3 + Sn ?n 3 + • • •

19

womit nach 2 bei Beachtung des zu dieser Gleichung Gesagten, sowie von 3, 8 und U = 0 zur Berechnung der überzähligen Stabkräfte Sj, Su,    • •    • :

<Sj c\ ~{— E cc Tj Sj — — E cc 2 x s Qj — 2 c A    Qi — Si 2 c Qi    Qj — /Sjj 2 c Qu Qi    — • • •

Su    ^    ^ii &ii —    ' E cc 2 x s Qu 2 c A    Qu ■ ■ >Sj 2 c Qi    Qu — Äjj 2 c    Qu    — • • •

^iii cm -\- E a tu1 Sju = E cc 2 r s Qm 2 c A    pln SY2 c Ql    (>ju Su 2 c    (>xxx — • • •

20

Die Summen 2 sind auf alle notwendigen Stabkräfte zu erstrecken. Man hat soviel Gleichungen der Form 19 als notwendige Stabkräfte und soviel Gleichungen der Form 20 als überzählige Stabkräfte³.

Ist nur eine überzählige Stabkraft vorhanden, so folgt diese im allgemeinsten Falle⁻ aus 20:

2cQAJrEcc2zsQ-\-Eazs

2 c Q⁴ + c

21

worin sich Eazs und c ohne 2 auf den überzähligen Stab beziehen. Bei zwei überzähligen Stabkräften liefern die Gleichungen 20 mit den Bezeichnungen

Y = 2 c A Qi E cc 2 x s Qi + E cc xY Sj A — 2 c A Qu ~{— E cc 2 x s Qu ~{- E cc Tjj Sjj

12 und

22

im allgemeinsten Falle:

Si =

Zt-Y( o + cu)

0 + *x) 0 + *11) — e⁴ ’

Ye-Z(a + Cj)

23

(a + <?j) (0 + en) — e⁴

Die Berechnung eines Fachwerks mit überzähligen Stabkräften für einen beliebigen Belastungsfall könnte nun beispielsweise wie folgt vor sich gehen: a) Auswahl der überzähligen Stabkräfte Si, Sn, • • •, gewöhnlich mit Rücksicht auf möglichst bequeme Berechnung des nach Entfernung derselben verbleibenden statisch bestimmten stabilen Hauptsystems; b) unter Voraussetzung der Wirksamkeit des letzteren allein

Berechnung der Stabkräfte von herrührend von äußeren Kräften Sj — 1

»    J>    5)    V    C?II - 1

S1

S2

Gl

G2

Gu

Gi 2

wobei die Kräfte Sj = 1, Sn — l, • . • an den durch den betreffenden Stab verbundenen Knotenpunkten auf Annäherung der letzteren wirken; c) Bildung der von den c, q allein (nicht von den Ä, z) abhängigen Summen 2, wie 12, in den Ausdrücken für die überzähligen Stabkräfte; d) Berechnung der Stabkräfte J1} A₂, ■ ■ • welche in den notwendigen Stäben sl5 a₂, ■ ■ ■ für den gegebenen Belastungsfall eintreten würden, wenn keine überzähligen Stabkräfte vorhanden wären; e) Berechnung der wirklichen Beanspruchungen der überzähligen Stäbe nach 20 oder den spezielleren Ausdrücken 21, 23; f) Berechnung der wirklichen Beanspruchungen der notwendigen Stäbe nach 19. — Kommen wie gewöhnlich verschiedene Belastungsfälle zur Behandlung, so sind nur die Berechnungen d) bis f) zu wiederholen; bei Feststellung des Einflusses von Temperaturänderungen fällt auch d) weg.

Vereinfachungen durch Beziehungen für Stablängen. Es sei A" eine überzählige Reaktionskomponente, welche in der Verbindungsgeraden AB = l eines Knotenpunktes und eines bezüglich der Anfangslage des Fachwerkes festen Punktes wirkt. Dann hat man nach 1 mit 3 und 4 stets:

2As*j)= — Al

worin nach dem zu 2 Gesagten die Summe 2 nur die notwendigen Stäbe umfaßt (für die überzähligen sind die q gleich Null). Für den Fall nun, daß durch gleiche spezifische Längenänderungen aller notwendigen Stäbe (Längenänderungen pro Längeneinheit) auch AB — l sich im gleichen Verhältnisse ändern müßte (wie z. B. im Falle Fig. 265, aber nicht im Falle Fig. 268), folgt durch

Multiplikation mit dem betreffenden =    (s. die Fußnote S. 411):

2 S Q = — l ,

womit manchmal Vereinfachungen ermöglicht werden, besonders bezüglich des Einflusses der Temperaturänderungen.

So hat man beispielsweise bei Bogenfachwerken mit zwei Gelenken, deren einzige statisch unbestimmte Größe der Horizontalschub H darstellt, bei gleichem Material aller Stäbe nach 11, 4 mit X — H, e — — Al im allgemeinsten Falle:

ii = —

24

25

2 c q²

26

Da nun für gleiche spezifische Längenänderungen aller Stäbe auch die Spannweite l sich im gleichen Verhältnis ändern müßte (bei drei Gelenken wäre dies nicht der Fall), so gilt 25 und wir erhalten bei gleichen Temperaturänderungen x aller Stäbe:

27

H= —

Wenn X eine überzählige Stabkraft bedeutet, so läßt sich aus 1 mit 3 und 5 eine ähnliche Beziehung wie 25 ableiten, die wir nur für den zweiten oben behandelten Spezialfall anschreiben wollen, daß alle Reaktionen statisch bestimmt sind. Alsdann isj; die rechte Seite von 1 gleich Null und wir erhalten mit 3 bei Beachtung des zu 2 Gesagten allgemein:

2 A s • Q — — A s ,

worin die Summe links die notwendigen Stäbe umfaßt und ds rechts dem durch X = S beanspruchten überzähligen Stabe entspricht. Für den Fall nun, daß durch gleiche spezifische Längenänderungen aller notwendigen Stäbe auch dieser überzählige Stab seine Länge im gleichen Verhältnis ändern müßte, folgt

aus 28 durch Multiplikation mit dem betreffenden

2 s p = — s .

2 c Q²

As

28

29

Beispiel 108. Zweigelenkbogenfachwerk. Ausdrücke für den Horizontalschub.

8,5 8.5 8,5 8,5 8,5

6.5 6.5 6,5 t

Für das in Fig. 269 angedeutete Bogenfachwerk mit zwei Gelenken von l = 30 m Spannweite , f — 4 m Pfeil des Untergurts, n = 10 ⁵⁰/# soaan Feldern und h₀ = 5,25 m q Länge der Endvertikalen sind die Stabquerschnitte auf der zweiten Hälfte in Quadratzentimetern eingeschrieben. Es sind die Ausdrücke des Horizontalschubs H für beliebige Belastung, beliebige Temperaturänderungen r der einzelnen Stäbe und eine Änderung A l der Spannweite festzustellen. Bei den Ermittelungen betreffend die x und A l sollen Flußeisen entsprechend der Elastizitätsmodul E — 2150000 kg pro qcm, der Ausdehnungskoeffizient a = 0,0000115, also Ea = 24,725 gesetzt werden.

1,5 1.5 1.5 1J

!i, 5 m 1,5

1,5

0 X, 1 X₂ 2, Xj 3 X4 4 X5 5 200    175    150    125 lOOqcnt

n#»

cmH'336 i 39k \M0cnt

■. . ■ y    /.*?.?.'.....x......— jj;......._______X-

B O* 300    300    300    300    300

°o

1500 cm.

Fig. 269.

V'

Nach § 57, 25), 26) hat man mit c — ~ durch beliebige Belastung:

durch beliebige gleiche oder durch beliebige verschiedene Temperaturänderungen aller Stäbe:

11 =

Earl

bezw.

2 C

und durch eine Änderung Al der Spannweite:

H= — Eci

2 cp* ’

e A i

worin die @ Werte der Stabkräfte durch II — 1 allein und A ihre Werte durch die gegebene Belastung bei H = 0 bedeuten.

Formverhältnisse. Bei den Bezeichnungen der § 53, 54 erhalten wir:

für

mit

im —

hm ⁼ im —

144

256

336

384

525

381

269

189

141

400 cm 125 „

zm = y 4² + (Jhj — im -1)² = dm ⁼⁼ y + hm* —

333

320

310

304

485

403

355

331

300 „ 325 „

hm

hm — hm — i hm

— 2,65    — 2,40

2,36    — 2,94    — 7,81

— 3,40

— 3,36    — 3,94    — 8,81 .

hm + 1 — htn

Die Längen s aller Stäbe sind in Kolumne 2 der folgenden Tabelle 1 neben den wie ihre Beanspruchungen bezeichneten Stäben eingetragen.

5,25

1,750:

Werte der q. Die durch einen Horizontalschub -H — 1 allein entstehenden Stabkräfte q, welche wir zunächst zur Unterscheidung wie die ganzen Stabkräfte bezeichnen, hat man nach § 54, 3) mit -y-

2m —

h)n

Zm — —

*0 zw

4 hln _

==- 1,750 -^-, hm -1

Dm —

hp dm

= 1,750

dm

Vm = -

ho_

1,750

⁸ hm -1

jedoch ausnahmsweise für die Kämpfervertikale und Scheitelvertikale nach § 54, 9):

V₀ =

144

rs = o.

= 0,480 ,

Es ergeben sich mit den angeführten $m, hm, zm, dm, e, v für die Gurtungen: x₁₌=¹⁴⁴

300

381

= 0,378

Zx= — 1,75

333

525

= — 1,110

X2 = -26P = °>⁹⁵²

320

2T₂ = - 1,75 — = - 1,470

X₃ =

336

189

- = 1,778

X₃ = - 1,75

310

269

= — 2,017

3M

X₄ = — = 2,723

Mn

^4 = - 1,75 w = - 2,815

400

125

= 3,200

Z§ —    1,75    = - 3,723 ,

und für die Püllungsglieder:

1,75 *485

2,65 • 525

= — 0,610

1,75

3,40

= 0,515

1,75-403

2,40 • 381

= — 0,771

0,521

1,75 - 325 7,81-141

-D₅ = -

= — 0,516

D₃ = -

1,75-355

2,36 • 269

= — 0,978

l₃ =

1,75

3,94

= 0,444

2>₄=-

1,75.331

2,94 • 189

= — 1,042

_ 1,75 _ _ 8,81" ~

0,199 .

Alle diese ^ sind in Kolumne 5 der folgenden Tabelle eingetragen.

Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 269. Tabelle I. Horizontalschub.

Stab, Stab kraft

Länge s in cm

Querschnitt F in qcm

Ci

-'S Ol

CO

GO

Ci

IO

SSIlgllSillilslüiiü

ggggggsggSoiüiiiSiig

3.000

2,400

2,000

1,714

1,500

1,665

1,600

1,550

1,520

1.500 8,083 5,757 4.437 3,678 3,250

10,500

7,620

5,380

3,980

2,820

2.500

0,378

0,952

1,778

2,723

3,200

— 1,110

—    0,516 0,480 0,515 0,521 0,444 0,199 0,000

1,134

2,285

3,556

4,667

4,800

—    1,677 5.040 3,924 2,803 1,767 0,561 0,000

0,429

2,175

6,323

12,708

15,360

2,051

3,457

6.305

12,045

20,789

3,008

3,422

4,244

3,993

0,865

2,419

2,021

1,460

0,785

0,112

0,000

113.4 285,6

533.4 816,9 960,0

—    167,7 252,0 196,2 140,1

83,9

28,1

0,0

103,971

81,642

Für den halben Bogen.......

Für den halben Bogen ohne die Füllungsglieder

2 c Q A 103,97 • 2 '

Horizontalschub. Aus den in vorstehender Tabelle angeführten Stablängen s und Stabquerschnitten F ergeben sich zunächst die in Kolumne 4 der Tabelle eingetragenen Werte c = s : F. Durch Multiplikation der c mit den daneben stehenden, oben berechneten q folgen die in Kolumne 6 und 7 enthaltenen cq und cq². Die angedeutete Summierung der letzteren für den halben Bogen liefert für den ganzen Bogen 2 c q ² = 103,97 • 2. Wir erhalten damit nach 1—3 durch beliebige Belastung:

H = —

durch gleiche oder verschiedene Temperaturänderungen r aller Stäbe:

bezw.

Earl

2 .9 Q T

103,97 • 2

und durch eine Änderung Al der Spannweite:

103,97 • 2 '

zr = —

EM

103,97-2 *

Speziell für Flußeisen vom Elastizitätsmodul E — 2150000 kg pro qcm und Ausdehnungskoeffizienten a = 0,0000115 folgen aus 7, 8 mit Ea = 24,725 und Eal — 24.725 • 3000 = 74175:

S = 356,71 r kg

bezw.

H = — 10340 4 7 kg,

worin A l in Zentimetern einzusetzen ist.

H = — 0,11890 2 s e r kg ,

10

Bemerkungen. Die Achse des Untergurts ist einem Parabelbogen mit vertikaler Achse eingeschrieben, was aber für obige Berechnung ohne Einfluß war. Es kam in Betracht bei Feststellung der Knotenpunktsordinaten des Untergurts. Für diese hat man nach § 19, 8) mit l— 10/i, f—400 cm bei x=mA:

4-400

hm —    ^ 0 A) —

woraus sich die angeführten ergaben.

Bei Vernachlässigung des Einflusses der Füllungsglieder in 1—3 wäre in 6—8 81,64 an Stelle von 103,97 getreten, womit sich beispielsweise die Werte von H durch gleiche Temperaturänderungen z aller Stäbe und durch eine Änderung

A l der Spannweite

zu groß ergeben hätten. Hierbei kommt in Betracht, daß bei Ableitung der ersten Gleichung 2 aus der zweiten durch die Gleichsetzung 2s q — — l (S. 412) der Beitrag der Füllungsglieder im Zähler berücksichtigt ist. Hätten wir jedoch die zweite Gleichung 2, 7 mit Vernachlässigung der Füllungsglieder auch im Zähler verwendet, so würde sich mit Rücksicht auf die sq in Tabelle I durch die Temperaturänderungen ergeben haben:

TT = — 24,725

103,97

8l)64

10²

m (10 — m) = 16 m (10 — m) cm ,

= 1,2735 mal so groß wie oben, das heißt um 27,35%

2709,3 — 3438,0

81,64

= 220,69 t,

220,69 356,71

38,13% zu klein.

Beispiel 109. Zweigelenkbogenfachwerk. Gleichmäßig verteilte Last (Eigengewicht).

Für das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk Fig. 269 die Stützenreaktionen und Stabkräfte durch das gleichmäßig verteilt gedachte Eigengewicht von g — 1250 kg pro m Spannweite zu berechnen, wovon. gx — 600 kg auf die Knotenpunkte des Obergurts und gz — 650 kg auf diejenigen des Untergurts kommen.

also nur

= 0,6187 mal so groß als der rechnungsmäßig genaue Wert, um

Stützenreaktionen. Die Vertikalreaktionen der Stützen sind wie bei vollwandigen Bogen:

= 625 - 30 = 18 750 kg .

Der Horizontalschub durch beliebige Belastung ist nach Gleichung 6 des vorigen

2 c Q A 103,97    ’

worin die Summe 2 sich auf alle Stäbe bezieht und die A die Werte der Stabkräfte für die gegebene Belastung bei H — 0 bedeuten. Bezeichnen wir diese hier zur Unterscheidung wie die ganzen Stabkräfte, so gelten für sie nach § 54, 4):

Beispiels:

71 = —

9 W

xm = — *» (n — m) , ^ fltn

Zm —

(ni — 1) (n — m 1)

z>n

= — |^m (n — m) —

e (n — 2 m

+ »]

8 h ,n _ i

Vm

=    | m(n — m) — v [n — 2 m -j- AL*L--j

jedoch ausnahmsweise für die Kämpfervertikalen und Scheitelvertikale nach § 54, 9):

T ff — 9x ^ •

Mit der Felderzahl n = 10, der Feldlänge Ä = 3 m und den gegebenen

Belastungen g = 1250 kg, gx — 600 kg, gz = 650 kg nehmen die Gleichungen 3 folgende Formen an:

Xm = — m (10 — m)

5625 hm ’

1875 Z/)j hm — l

(m — 1) (11 — m)

= — j m (10 — m) — s (11 —

=    | m (10 — m) —

Wir erhalten mit den in Beispiel 108 gegebenen hm, dm, e, v für die Gurtungen:

Xj = —    0625 = — 13 287 kg

2 m)j

1875 dm

v (9,96 —

Z₁ = 0

X« = — —— 5625 = — 33 457 „

2,69

Z₂ — 1 • 9 • 1875

3,20

3,81

= 14173 kg

3-7

X₈ = - — 5625 = - 62 500 „

Z₃ = 2 • 8 • 1875

3,10^ _

2,69

34572 „

X₄ = — —— 5625 = — 95 745 „ 1,41

-Z* = 3 • 7 • 1875

3,04

1,89

= 63 333 „

X₅ = -

5*5

1,25

5625 = — 112500 „

■Z₅ = 4 • 6 • 1875

3,00

1,41

= 98936 „ ,

und für die Füllungsglieder:

= (1 • 9 + 2,65 • 9)

1875-4.85 2,65 • 5,25

= 21472 kg

i>₂ = (2.8 ₊ 2,40-7^⁵-⁴'⁰³

2,40-3,81

= 27105 „

D ₃ = (3-7 + 2,36-5)

Di = (4-6 + 2,94-3)

Dä = (5-5 + 7,81-1)

1875 • 3,55 2,36 • 2,69 1875-3,3! _ 2,94-1,89 ~ 1875 • 3,25 _ 7,81-1,41 ~

= 34391 „

36 657 „

18156 „ ,

325-3 — 18 750

Fd —

Vt — — (1 - 9 + 3,40 • 7,96)

1875

3,40

= — 17 775 kg = — 19888 „

F, = — (2-8 + 3,36-5,96)

1875

3,36

= — 20104 „

V₃ = — (3 • 7 + 3,94 • 3,96)

1875

3,94

= — 17419 „

r₄ = — (4-6 4- 8,81-1,96) -Vh — — 600 • 3

1875

8,81

8 783 „

1800 „ •

Alle diese A sind in Kolumne 2 der unten folgenden Tabelle II eingetragen.

Durch Multiplikation der A mit den in Tabelle I (S. 414) gegebenen cq folgen die in Kolumne 3 der Tabelle II angeführten cg A, deren Summe für den halben Bogen beigefügt ist. Damit liefert der obige Ausdruck 2 den Horizontalschub durch das Eigengewicht:

s =

3071499-2

= 29542 kg,

103,97-2

während die resultierenden Stützenreaktionen durch dasselbe werden:

JR = y 18 750² + 29 5 42² = 34 990 kg .

Stabkräfte. Für alle Stabkräfte hat man nach § 53, 26) oder § 57, 9):

S = A + H Q = A + 29542 9 kg.

Tabellen zeigt die Berechnung derselben, wozu die A aus Kolumne 2, die g aus der Tabelle I (S. 414) entnommen sind.

Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 269. Tabelle II. Eigengewicht.

Stabkräfte Werte für II —0 (vergl.

Fig. 269)

hg

—    112500

—    15067

—    76449

—    222250

—    446842

—    540000

Wirkliche Stabkräfte

hg

—    13287 + 29542 • 0,378

—    33457 +

—    62500 +

—    95745 +

—    112500 +

14173

34572

63333

98936

21472

27105

34391

36657

18156

8783

1800

—    33335

—    108072

—    271002

—    552459

—    105878

—    120319

—    149223

—    140470

0,952 1,778

2.723 3,200

0 — 29542 • 1,110 1,470 2,017 2,815

3.723

14173 —

34572 —

63333 —

QQQQß _

—    8783 +

—    1800 +

0,515

0,521

0,444

0,199

0,000

— 2120

3451

4328

5499

5874

2912

— 2265476

Für den halben Bogen —3071499 Für diesen ohne die Beiträge der Füllungsglieder

Bemerkungen. Hätten wir, wie häufig geschieht, den Einfluß der Füllungsglieder auf den Horizontalschub vernachlässigt, so würde sich ergeben haben:

„    2265476

H=-8i76r- = 27750 kg'

das ist 6,07% kleiner als der oben erhaltene genauere Wert. Bezüglich der üblichen Einführung eines konstanten Verhältnisses ß der Querschnitte des Untergurts und Obergurts für vorläufige Berechnungen, um H ohne Kenntnis der einzelnen Querschnitte ermitteln zu können, siehe § 58 und Beispiel 119.

Wir haben oben zur Wahrung der Allgemeinheit des Beispiels keinen Gebrauch davon gemacht, daß der Untergurt einem Parabelbogen eingeschrieben ist (vergl. Bemerkungen zum vorigen Beispiel). Es würde sich indessen bei Berücksichtigung dieses Umstandes eine kleine Vereinfachung der Berechnung nur für die Diagonalen ergeben haben. Mit dem nach Gleichung 3 der Aufgabe 34 alsdann gültigen Ausdruck von e folgt nämlich aus 3:

dm

Dm —

g n l

e hm -1

Beispiel 110. Zweigelenkbogenfachwerk. Horizontalschub durch beliebige Belastung der Fahrbahn. Einflußlinie des Horizontalschubs.

Für das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk Fig. 269 sind behufs Berechnung des Horizontalschubs und der Stabkräfte durch beliebige Belastung festzustellen: a) Die Stabkräfte A für U= 0 durch beliebige Belastung; b) die Stabkräfte A für H — 0 durch je zwei gleiche symmetrisch zur Bogenmitte gelegene Lasten; c) der Horizontalschub H durch einzelne Knotenpunktslasten und beliebige Belastung der Fahrbahn nebst der Einflußlinie von H.

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

Nach Beispiel 108 haben wir durch beliebige Belastung:

2 c Q A ”207,94 '

worin die Summe 2 alle Stäbe umfaßt, die ct q, c q in Beispiel 108 berechnet und in Tabelle I (S. 414) eingetragen sind, die A aber die Werte der Stabkräfte für die in Frage stehende Belastung bei H — 0 bedeuten. Die ganzen Stabkräfte für jene Belastung folgen dann:

ii= —

S = A + Hq .

a) Stabkräfte A (bei H = 0) durch beliebige Belastung der Fahrbahn. Wir bezeichnen die A hier zur Unterscheidung wie die ganzen Stabkräfte und haben dann nach § 54, 5)—8):

Xm

= — [\n

«)1 —\— > J n hm

jedoch ausnahmsweise für die Kämpfervertikale 0 und Scheitelvertikale a:

ra = — K₀,

unter K₀ die Belastung des mittleren Knotenpunktes im Obergurt verstanden. Die Grenzen der Summen 2 bedeuten Vertikalennummern (Fig. 269). Eine Last P, welche gerade an der Grenze zweier 2 liegt, kann in der einen oder andern derselben aufgenommen werden (S. 373).

Handelte es sich nun nur um einen Belastungsfall, so würde man vorstehende Gleichungen am einfachsten unmittelbar auf diesen anwenden (vergl. Beispiel 105). Da jedoch verschiedene Belastungen in Betracht kommen sollen, so empfiehlt es sich, die Ausdrücke für die einzelnen Stabkräfte zunächst soweit zu spezialisieren, als dies für beliebige Belastung möglich ist. Mit l = 30 m, n = 10 und den in Beispiel 108 gegebenen z^, d,m e, v erhalten wir, wenn a, l — a in Metern eingesetzt werden sollen, für die Obergurtstäbe:

— [⁹fP"⁺¹fP('-“jT53ö-

Z>n

= [(.

Dm

Vm

r₀ = —v,

x₄

dm

e l lim — l

1) v l -j- (n — m

12,50

für die Untergurtstäbe:

zi = 0 ,

^ = [⁹fp« + Ifp(,-“)]w=

r 2    io    -i i

Z₃ = \Z 2 P a + Z 2 P (l-a)\-—

L o    2    J 26..C

— 1,067 X,

für die Diagonalen:

-»1 =

und für die Vertikalen:

^ = [⁷|P“ + »IP<'-")]T8^-

Z>₅ = — 2,81 2PS + 11P (75,29 a — 937,20) + 12,81 2 P(l — a)\ —- -L    o    4    5    J    101,35

1 ¹⁰

= — 1,013 Xj

— 1,000 X₄,

86,06

D> = —r = -

r    1    10    ii

39,60 2 Pa + 4,40 2 P (l - a) —

L    0    1    J 102,00

= —

Damit können nun Einzellasten (z. B. in den Knotenpunkten) wie beliebige Belastungen der Fahrbahn berücksichtigt werden. Bezüglich des Eigengewichts siehe Beispiel 109.

b) Stabkräfte A (bei H — 0) durch je zwei Knotenpunktslasten. Zwei gleiche, zur Bogenmitte symmetrisch gelegene Lasten tragen gleichviel zum Horizontalschub H bei und erzeugen symmetrisch zur Mitte gleiche Stabkräfte A. Wir können daher die H für beliebige einzelne Knotenpunktslasten P erhalten, wenn wir je zwei solche Lasten behandeln, wobei die A nur für die erste Bogenhälfte zu berechnen und in 1 zu verwenden sind.

P — 1 bei a = 0 und 30 m. Nach den Ausdrücken unter a) hat man:

Dj = — l,

während sich alle übrigen Stabkräfte gleich Null ergeben.

P = 1 bei a — 3 und 27 m. Die Ausdrücke unter a) liefern:

r₂

rs =

*i= -

10*3

X₂= -

38,10 10 »3 26)90’

= — 0,787

= — 1,115

x₂ =

10 • 3

X₃= -

X₄= -

10-3 18,90 ~ 10*3

- 1,587

X₃ = -

35,72

10*3

= 0,840

*5= -

14,10

10*3

=• — 2,128

= — 2,400,

X₄ =

26,03

10-3

18,65

10*3

= 1,153

= 1,609

= 2,128 ,

1 bei a

fr fr £ fr fr

II

D₂ =

Z>3 =

Z>₄ =

^>5

36,5 • 3 _ ”8M6    ~

10*3 ”68,07 10*3

1,272

= 0,441

53,65

10*3

50,63

10*3

= 0,559

- = 0,593

= 0,295

D> =

44,0*3

r₂ = -

r* = -

102,00

10*3

= — 1,294

100,80

10*3

118,20

10*3

264,30

■= — 0,298

= — 0,254

= — 0,113

101,65

= 6 und 24 m. Die Ausdrücke unter a) ergeben:

10*3

38,10

10*6

26.90 10*6

18.90 10*6

14,10

10*6

12,50

36,5*3

86,06

44,0 • 3

68,07

10*6

53,65

10*6

50,63

10*6

101,65

— 0,787

— 2,230

— 3,175

— 4,255

— 4,800

— 1,272

= 1,939

- s= 1,118

= 1,185

= 0,590

^3 =

^5 =

10*3

35,72

10*6

26,03

10*6

18,65

10*6

14,10

44,0*3

102,00

53,6 * 3

100,80

10*6

118,20

10*6

264,30

= 0,840

= 2,305

= 3,217

= 4,255,

= — 1,294

= — 1,595

= — 0,508

= — 0,227

P = 1 bei a = 9 und 21 m. Nach den Ausdrücken unter a) erhält man:

fr fr fr fr fr

10*3

38,10

10*6

26,90

10*9

18,90

10*9

14,10

10*9

12,50

36,5*3

86.06 44,0 • 3

68,07

53,6 • 3

53,65

10*9

50,63

10*9

101,65

= — 0,787

= - 2,230

: — 4,762

= — 6,383

= - 7,200,

= 1,272

-    1,939

= 2,997

= 1,778

= 0,885

*1 =

^2 =

10*3

35,72

10*6

26,03

10*9

18,65

10*9

14,10

44,0 • 3

102,00

53,6*3

100,80 69,4«3

118,20

10*9

264,30

= 0,840

= 2,305

= 4,826

6,383

s= — 1,294

= - 1,595

= — 1,761

= — 0,341

¹

Lame, Lesons sur la theorie mathematique de 1’elasticite des corps solides, Paris 1866,

²

Bezüglich ihrer Ableitung siehe den S. 403 zitierten Aufsatz oder Wey rau ch, Aufgaben zur Theorie elastischer Körper, Leipzig 1885, S. 233, 263.

³

Die Gleichungen 20 wurden zuerst von Mohr gegeben, der sie unter Einführung fingierter

⁴

Stäbe auch auf Faehwerke mit überzähligen Reaktionen anwandte. Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerkes, Zeitschr. des Architekten- und Ingenieurvereines zu Hannover 1874, S. 509, und 1875, S. 17.

P= 1 bei a = 12 und 18 m. Nach den Ausdrücken unter a) ergeben sich:

10-3

38,10

10*6

26,90

10*9

— 0,787

— = — 2,230

18,90

10-12

14,10

10-12

— 4,762

.IO • 3 Ü5,72 . 10-6 "³    26,03

0,840

2,305

— 8,511

10-9

18,65

4,826

12,50

— 9,600 ,

10*12

14,10

8,511,

2>i =

36,5-3

86,06

= 1,272

44,0 ■ 3

102,00

— 1,294

Z>₂ —

44,0 - 3

68,07

= 1,939

53,6 * 3

100,80

— 1,595

l>a = —

53,6 • 3 53,65

= 2,997

r₃=-

69,4-3

118,20

- 1,761

2>4 =

69,4-3

50,63

= 4,112

128,1 • 3

206,30

= — 1,454

10-12

= 1,181,

2 bei a

101,65

15 m. Nach den

r₆ =

Ausdrücken unter a) erhalten wir:

1*30

38,10

2*30

— 0,787

*1 =

26,90

3*30

— 2,230

^2 =

1-30

18,90

4*30

— 4,762

35,72

2-30

0,840

14,10

5-30

— 8,511

26,03

3-30

— 2,305

12,50

— 12,00,

^5 =

18,65

4-30

= 4,826

14,10

= 8,511 ,

Z>1 =

3,65-30

86,06

= 1,272

4,40 • 30

102,00

= — 1,294

D» =

4,40-30

68,07

— 1,939

5,36-30 100,80 —

— 1,595

5,36 • 30

53,65

= 2,997 •

6,94-30

118,20

— - 1,761

6,94-30

50,63

= 4,112

12,81-30

264.30

= — 1,454

A> =

= 3,781,

12,81-30

101,65

c) Horizontalschub H. Einflußlinie desselben. Die berechneten A durch je zwei Knotenpunktslasten 1 sind in Tabelle III mit den aus Tabelle I (S. 414) entnommenen cq zusammengestellt. Durch Multiplikation der beiden Werte folgen die neben den A eingetragenen Produkte cqA, deren Summen für den halben Bogen ebenfalls angeführt sind. Mit Rücksicht auf diese Summen erhalten wir aus 1:

Für P—l bei a= 0 oder 30 m

ff —

5,040

207,94

= 0,0242

ff =

80,324

207,94

= 0,3863

Durch Aufträgen dieser II als Ordinaten b bei den zugehörigen a erhält man die Einflußlinie des Horizontalschubs H (§ 12), sie ist in Fig. 270 (S. 424) verzeichnet. Die bereits bekannten Einflußlinien der Yertikalreaktionen V, V' der Kämpfer (S. 45) sind beigefügt.

Durch beliebige Belastung der Fahrbahn ergibt sich nun, wenn P₀, Px, P₂ • • • P₁₀ die entsprechenden Knotenpunktslasten bei den Vertikalen 0, 1, • • -10 bedeuten:

3 = 0,0242 (P₀ + P₁₀) + 0,3863 (P₁ + P₉) + 0,7106 (P₂ + F) + 0,9946 (P₃ + P₇) +

1,2033 (P₄ + P₆) + 1,2941 P₃ ,

während mit Hilfe der Einflußlinie oder durch Interpolation bekanntlich auch

3=2 Pb

ohne Bestimmung der Knotenpunktslasten erhalten werden kann, und für eine auf beliebiger Strecke der Fahrbahn gleichmäßig verteilte Last von p pro Längeneinheit gilt:

3 = p F,

unter F die Einflußfläche auf dieser Strecke verstanden (§ 12).

Für P = 1 bei a = 6 oder 24 m

147,757

207,94

= 0,7106

„ P= 1 »

9    „    21 „

206,817

207,94

= 0,9946

„ P = 1 „ a = 12 „ 18 „

zr =

250,217

207,94

= 1,2033

„ P = 1 „ « = 15 m

_ 269,097 ~ 207,94

= 1,2941 .

10

Bemerkungen. Hätten wir, wie häufig geschieht, die Beiträge der Füllungsglieder zum Horizontalschub vernachlässigt, so würde nach den Bemerkungen zu Beispiel 108 an Stelle obiger Gleichung 1 getreten sein:

2 c q A " 163,28    '

Diese Formel würde mit Rücksicht auf Tabelle III anstatt der oben berechneten H durch einzelne Knotenpunktslasten geliefert haben:

Für P = 1 bei a = 0 oder 30 m

„ P= 1 „

3    „    27 „

54,882

163,28

= 0,3361 d. i. — 13,00 %

„ P= 1 „

6    „    24 „

106,883

163,28

- 0,6546

7,88 „

,, P= 1 „

152,745

163,28

= 0,9355

5,94 „

„ P= 1 „

a = 12    „

18 „

186,079

163,28

= 1,1396    — 5,29 „

200,599

„ P= 1 „

und durch beliebige Belastung der Fahrbahn anstatt 8:

3 = 0,3361 (Px + P₉) + 0,6546 (P₂ + P₈) + 0,9355 (P₃ + P₇) + 1,1396 (P₄ -f P₆) + 1,2286 P₅ .

a — 15 m

163,28

= 1,2286

5,06 „

Beispiel 111. Zweigelenkbogenfachwerk. Horizontalschub und Stabkräfte durch beliebige bestimmte Belastungen.

Für das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk zu ermitteln den Horizontalschub H und die Stabkräfte X₃, Z₃, Z>₃, V₃, F₀, V₅: a) durch die in Fig. 269 ang^edeuteten Radlasten des deutschen Normalzugs für Berechnung von Hauptbahnbrücken; b) durch gleiche Lasten P in allen Knotenpunkten der Fahrbahn mit Ausnahme der beiden äußersten, auf welche halb soviel kommt; c) durch eine auf die ganze Fahrbahn gleichmäßig verteilte Last von p pro Meter und speziell für p — 1250 kg.

Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 269. Tabelle III. Zwei gleiche Einzellasten symmetrisch zur Mitte.

2P=2 bei a — 15 m

CQ A

—    0,892

—    5,096

—    19,934

—    39,721

—    57,600

—    0,787

—    2,230

—    4,762

—    8,511

—    12,000

—    1,976

—    7,205

—    20,650

—    47,525

—    6.272

—    8,607

—    13.004

—    15,757

—    6,341

—    5,040

—    5,078

—    4,471

—    3,112

—    0,816 — 0

- 269,097

200,599

0,840

2,305

4,826

8,511

1,272

1,939

2,997

4,112

3,781

— 1,000

—    1,294

—    1,595

—    1,761

—    1,454

P— 1 bei a = 12 und 18 m

P= 1 bei a — 9 und 21 m

P= 1 bei a — 6 und 24 m

P= 1 bei « = 3 und 27 m

P — 1 bei a — 0 und 30 m

CQ A

CQ A

c qA

cqA

—    0,892

—    5,096 —16,934 —39,721 —46,080

—    0,787 2,230

—    4,762

—    8,511

—    9,600

—    0,892 -r 5.096

—    16,934 —29,789 —34,560

—    0,787

—    2,230

—    4,762

—    6,383

—    7,200

—    0,892

—    5,096

—    11,290

—    19,858 —23,040

—    0,787

—    2,230

—    3,175

—    4,255

—    4,800

—    0,892

—    2,548

—    5,643

—    9,931

—    11,520

—    0,787

—    1,115

—    1,587

—    2,128 — 2,400

-    1,976

—    7,205 —20,650 —47,525

—    6,272

—    8,607 —13,004 —15,757

—    1,981

—    5,040

—    5,078

—    4,471

—    3,112

—    0,816

-250,217

-186,079

0,840

2,305

4,826

8,511

1,272

1,939

2,997

4,112

1,181

— 1,000

—    1,294

—    1,595

—    1,761

—    1,454

—    1,976

—    7,205 —20,650 —35,643

—    6,272

—    8,607

—    13,004

—    6,813

—    1,484

—    5,040

—    5,078

—    4,471

—    3,112

—    0,191

-206,817

-152,745

0,840

2,305

4,826

6,383

1,272

1,939

2,997

1,778

0,885

— 1,000

—    1,294

—    1,595

—    1,761

—    0,341

—    1,976

—    7,205 —13,766 —23,760

—    6,272

—    8,607

—    4,851

—    4,541

—    0,989

—    5,040

—    5,078

—    4,471

—    0,898

—    0,127

-147,757

-106,883

0,840

2,305

3,217

4,255

1,272

1,939

1,118

1,185

0,590

— 1,000

—    1,294 —. 1,595

—    0,508

—    0,227

—    1,976

—    3,604

—    6,885

—    11,883

—    6,272

—    1,958

—    2,426

—    2,272

—    0,495

—    5,040

—    5,078

—    0,885

—    0,449

—    0,063

- 80,324

54,882

0,840

1,153

1,609

2,128

1,272

0,441

0,559

0,593

0,295

— 1,000

—    1,294

—    0,298

—    0,254

—    0,113

1,134

2,285

3,556

4,667

4,800

—    1,848

—    2,352

—    3,126

—    4,279

—    5,584

—    4,931

—    4,439

—    4,339

—    3,832

—    1,677

5,040    — 1,000 — 5,040

3,924

2,803

1,767

0,561

0,000

®wwws    33334 ££££££

Für den halben Bogen — 5,040 Für diesen ohne die Beiträge der Füllungsglieder .    .    — 0,000

Horizontalschub. Wir stellen zunächst die Horizontalschübe durch die zu behandelnden Belastungen fest. Für die unter a) erwähnte Belastung liefert Gleichung 8 des vorigen Beispiels:

H= 0,7106 • 12 750 + 0,9946 (17000 + 3250) + 1,2033 (12 750 + 13000) + 1,2941 • 3250 = 64391 kg,

während die der Einflußlinie entsprechende Gleichung 9 mit Rücksicht auf Fig. 270 ergibt:

H= 8500 (0,7106 + 0,8526 + 0,9946 + 1,0989 + 1,2033) + 6500 (1,2487 + 1,2033 + 1,0989) = 64391 kg .

S = P [0,0242 + 2 (0,3863 + 0,7106 + 0,9946 + 1,2033) + 1,2941] = 7,9079 P

Für die unter b) erwähnte Belastung folgt aus Gleichung 8 oder 9 des vorigen Beispiels:

&5 8.5 8.5 8.5 85

6.5 6.5 6.5 t

15

1.5

1,5

1,5

4,5m.

15

1.5

\j0,3863 •

.£_5

JL

—'A0.O242

welcher Ausdruck mit P = 3 p für die unter c) erwähnte Belastung ergibt:

¹⁰⁷¹⁰⁶ '05946

0,7106 j

05946

■1,2033

H = 23,724 p ,

und speziell für p — 1250 kg:

1,2033

H = 29655 kg .

Im vorletzten Beispiel haben wir für ein gleichmäßig verteiltes Eigengewicht von 1250 kg pro Meter Träger erhalten H— 29542 kg. Der Unterschied rührt daher, daß das Eigengewicht im Gegensätze zur obigen Belastung zum Teil (mit 650 kg von 1250 kg) auf die Knotenpunkte des Untergurts wirkte.

für

15941

Fig. 270.

Stabkräfte. Erstes Verfahren. Sind alle verlangten Stabkräfte für die gleiche Belastung zu bestimmen, so kann man die betreffenden Formeln oder Methoden unmittelbar auf diese anwenden, wie dies schon in den Beispielen 105 und 109 geschehen ist. Man erhält im vorliegenden Falle a) nach § 54, 5)—9) die in Beispiel 105 unter a) gegebenen Ausdrücke und nach diesen mit H = 64391 kg:

X₃ = — 158571 + 1,778 • 64391 = — 44084kg,

86 554 — 2,017 • 64 391 = — 43323 „

88590 — 0,978 • 64 391 =    25 616 „

V₃ = — 50155 + 0,444 • 64 391 = — 21565 „ r₀ = — 37 550 + 0,480 • 64 391 = — 6642 kg,

^3 = #3 =

F₅ = — 3250 kg .

Da man jedoch meist verschiedene Belastungen zu berücksichtigen hat, so wird das folgende Vorgehen im allgemeinen schneller zum Ziele führen.

Stabkräfte. Zweites Verfahren. Man drückt vor der Berechnung des Horizontalschubs H die Stabkräfte für H= 0 durch beliebige Belastung aus, wie dies in Beispiel 110 geschehen ist. Diese Ausdrücke dienen wie dort zur Bestimmung der A im Ausdrucke für den Horizontalschub, wenn dieser zunächst für einzelne Knotenpunktslasten bestimmt wird. Sie liefern aber auch für beliebige Belastung die Werte der A in den Ausdrücken der wirklichen Stabkräfte

S= A -t-Hq,

worin q den bei Berechnung des Horizontalschubs nötigen Wert von S durch H — 1 allein bedeutet.

Im vorliegenden Falle a) erhalten wir nach den S. 418, 419 gegebenen Ausdrücken die Werte der A für die verlangten Stabkräfte:

X₃ = — ^7 • 8500 (6 + 7,5 + 9) + 3 (8500 • 19,5 + 8500 • 18 + 19500 • 12)j ■    = — 158 571 kg,

2 (42500 • 21 + 19500 • 12)    = 86554 kg

26,03

X₃ =

D₃ = [ 1,64 • 8500 • 6 + 8500 (28,24 • 7,5 — 141,60) + 5,36 (25 500 • 19,5 + 19500 • 12)1 ¹--~ = 88 590 kg,

J 5o,6o

T₃ = —    06 • 8500• 6 + 8500 (42,46-7,5 — 236.40) + 6,94 (25500-19,5 + 19500-12)J —=

V₀ = — ~ (42500 • 21 + 19500 • 12) = — 37550 kg,

— 50155 kg ,

rb = — Y 6500 • 1,5 = — 3250 kg,

und mit H = 64391 kg und den aus Tabelle I (S. 414) entnommenen q nach 1 dieselben Ansätze und Werte wie beim ersten Verfahren (abgesehen von kleinen Differenzen durch Vernachlässigung von Dezimalen).

Stabkräfte. Drittes Verfahren. Hat man für Einzellasten P = 1 in allen Knotenpunkten, auf welche die Fahrbahnlast wirkt, die Werte a der Stabkräfte A (H = 0 entsprechend) und die Werte ß des Horizontalschubs H berechnet, so läßt sich ein drittes Verfahren verwenden. Es gelten für beliebige Belastung der Fahrbahn:

und damit nach 1:

H= 2 pß,

S=2Pa + HQe=2P(a + ßQ),

worin die Summen 2 sich auf alle belasteten Knotenpunkte beziehen. Bei Verwendung des ersten Ausdrucks 3 ist für den in Frage stehenden Belastungsfall zunächst 11 zu berechnen. Dieser Ausdruck empfiehlt sich, wenn für eine bestimmte Belastung eine Reihe von Stabkräften zu ermitteln sind, für die dann der gleiche Wert H einzusetzen ist.

Sind wie im vorigen Beispiel nur die Werte a der Stabkräfte A (H — 0 entsprechend) für je zwei gleiche und zur Mitte symmetrisch liegende Knotenpunktslasten P = 1 ermittelt, so lassen sich die vorstehenden Formeln ohne Vorausberechnung der fehlenden a nur auf beliebige symmetrische Belastungen anwenden, wobei die Summen 2 auf eine Bogenhälfte zu erstrecken sind. So erhalten wir für die unter b) erwähnte Belastung mit den a nach Tabelle III (S. 423), dem oben berechneten 11 = 7,9079 P und den g nach Tabelle I (S. 414):

X₃ = — P ^1,587 + 3,175 + 4,762 + 4,762 +    j    + 1,778 • 7,9079    P =    — 2,607 P,

P ^1,153 + 2,305 + 2,305 + 2,305 + ~°-

P ^0,559 + 1,118 + 2,997 + 2,997 +    )    ~ 0,978 ' ⁷>9079    p =    ¹436 p

r₃ = — P ^0,254 + 0,508 + 1,761 + 1,761 +    j    + 0,444 • 7,9079    P =    — 1,653 P

r°=- p (v+¹ +¹ +¹ +¹ + i)

Für die unter c) angenommene, auf die ganze Fahrbahn gleichmäßig verteilte Last von p pro Meter ergeben vorstehende Ausdrücke mit P—3p:

X₃ = — 7,821 p r₃=- 4,962 p

und speziell für p — 1250 kg:

X₃ = — 9776 kg V₃ = — 6202 „

Diese Werte weichen zum Teil erheblich von den in Beispiel 109 für ein gleichmäßig auf den Träger verteiltes Eigengewicht von g — 1250 kg pro Meter ab. Dies rührt daher, daß letzteres zum Teil auf die Knotenpunkte des Untergurts kam {gz = 650 kg von 1250 kg), was die X₃, Z₃, X>₃, U₃, F₀ durch das geänderte H (s. oben) und U₃, U₀, F₆ überdies unmittelbar beeinflußte, indem bei nur auf die Knotenpunkte des Obergurts wirkender Belastung gx = g — 1250 kg, gz — 0 zu setzen gewesen wären.

Bemerkungen. Außer nach den bis jetzt angeführten Verfahren kann die Berechnung der Stabkräfte durch beliebige Belastungen mit Hilfe der Einflußlinien erfolgen (§ 12), die wir für das vorliegende Bogenfachwerk in Beispiel 113 ableiten und in Beispiel 114 verwenden werden. Für gleichmäßig

i?3 =

— 2,017 • 7,9079 P — — 6,730 P,

+ 0,480 • 7,9079 P = — 1,204 P

X₃ = — 20,190 p V₀=- 3,612 p

Z₃ = — 25237 kg V₀ = — 4515 „

1)3 = 4,811 p n = - 3 p

Vb = P.

5389 kg

verteilte Last auf der ganzen Spannweite können auch die in Beispiel 109 benutzten besonderen Ausdrücke der A zur Verwendung kommen.

Selbstverständlich hätten wir die bei Besprechung des dritten Verfahrens ermittelten Stabkräfte ebenso leicht nach dem zweiten Verfahren berechnen können. Es würden sich ergeben haben:

[7 • 3 (1 + 2 + 3) + 3 - 3 (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)] + 1,778 •

2g03 |^8,3(l + 2) + 2'3(7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)J

[4,64.3 (1 + 2) + 5,36-3 (7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)J

lSW [³>⁰⁶*³ (4 + 2) + 6,94-3 (7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)] + 0,444-7,9079 P =- 1,654 P, V₀ = — 5 P + 0,480 • 7,9079 P = — 1,204 P,    V₅ = — P ..

X₃ = -

^3 =

Z>₃ =

7,9079 P— — 2,607 P,

— 2,017 • 7,9079 P= — 6,730 P,

— 0,978 - 7,9079 P =    1,437 P,

Beispiel 112. Zweigelenkbogenfachwerk. Kämpferdrucklinie.

Für das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk Fig. 271 die Kämpferdrucklinie zu bestimmen.

Die Gleichung der

-. max.zug X₃ Kämpf erdrucklinie S

-\jnax.drußcX₃ ist nach § 20, 46):

-\max.zuff Z₃

' imax. druck Z₃

_i TMLX.ZUff T):s

-; macc. druck D₃

_i mcuc.zug- V₃

-; maxÄruck V/

«...

X-,

.***

worin V, II einer bei a angreifenden Einzellast P entsprechen. Wird für P — 1 gesetzt H = ß, während nach § 20, 2) alsdann V = auch:

j- , so hat man

a (l — a)

ßi ’

liot

Fig. 271.

‘>1 H

V’

DieseGleichung liefert mit den in Beispiel 110 unter c) bestimmten ß:

für a = 15 m

15-15

0 = 12

1,2941 - 30 12-18

= 5,80 m

•n

1,2033-30

9-21

0,9946 • 30 6-24

= 5,98 „

= 6,33 „

0,7106-30

3-27

= 6,75 „

„ ci — 1,5 „

0,3863 • 30 1,5 * 28,5

— 6,99 „

„ a = 0,75 „

0,2052 • 30 0,75 - 29,25

= 6,94 „

,, d 0,3 „

0,1147-30

0,3-29,7

= 6,38 „

0,0604 • 30

= 4,92 „

„ d 0,1    „

„ 0 = 0

Die Linie ist in Fig. 271 verzeichnet,

0,1-29,9

0,0363 • 30

= 2,75 „

0-30

0,0242 • 30

Mit Hilfe der Kämpferdrucklinie können gemäß § 53 die Belastungen für die Grenzwerte der Stabkräfte bei gleichmäßig verteilter bewegter Last bestimmt werden, wie dies in Fig. 271 für X₃, X₃, D₃, V₃ geschehen ist. Für bewegte Radlastzüge erhält man zwar auf diesem Wege ebenfalls die positiven und negativen Beitragsstrecken, doch ist damit noch nicht bestimmt, wohin die schwersten Räder zu stellen wären; zu möglichst genauer Berechnung dienen hier die Ein* flußlinien (Beispiele 113, 114). Nach Feststellung der Belastungen für die Grenzwerte lassen sich diese selbst natürlich auch nach den Methoden des vorigen Beispiels erhalten.

15

12

Bemerkungen. Wäre der Horizontalschub ohne Berücksichtigung des-Einflusses der Füllungsglieder berechnet worden, so würden sich (mit den in den Bemerkungen zu Beispiel 110 bestimmten/?) anstatt der obigen Ordinaten b ergeben haben: bei —

=    6,10    6,32    6,73    7,33    8,03 „

und nach Formel 2 der folgenden Aufgabe mit ß₁ gleich ß für a — A:

bei a — 0

= 8,93 m .

0,3361

Die Linie verläuft nach Aufgabe 37 in den beiden äußersten Feldern geradlinig, sie ist in Fig. 270 oberhalb der genaueren Kämpferdrucklinie angedeutet.

linie.

Aufgabe 37. Zweigelenkbogenfachwerk. Betreffend die Kämpferdruck

Für den Fall, daß bei a = 0 und l angreifende Verkehrslasten an diesen Stellen auf die Stützpunkte übertragen werden, aber durch eine Last P bei a — O oder l der Horizontalschub H = 0 entsteht (s. unten) den Verlauf der Kämpferdrucklinie an den Trägerenden festzustellen.

Es sei nach a = 0 der erste Knotenpunkt mit Verkehrslast bei a = A₁, und diesem P — 1 entsprechend H— ßu dann hat man den Beitrag der Last P— 1 zu H für beliebige Lagen a zwischen 0 und Ax:

/i-i

und damit nach Gleichung 2 des vorigen Beispiels die Gleichung der Kämpferdrucklinie von 0 bis A₁:

ßx

bei a — 0

Die Kämpferdrucklinie verläuft hiernach zwischen 0 und Ax geradlinig und man hat:

ßx

Meist ist wie im vorigen Beispiel A₁ — A. Analoges gilt bei Stütze l.

Der in der Aufgabe angenommene Fall trifft zu bei Fachwerken ohne Endvertikalen, weil dann für Lasten P bei a — 0 in den Ausdrücken § 53, 23) die Bogenstabkräfte A gleich Null sind; ferner für Fachwerke mit Endvertikalen nach der Anordnung Fig. 228, 248, weil dann durch Lasten P bei a = 0 nach § 53, 12)—16) und 18), 20), nur die Vertikale 0 beansprucht wird, für diese aber nach § 53, 18) und § 54, 20) die Beanspruchung durch einen Horizontalschub H = 1 allein q — 0 ist; schließlich auch bei Fachwerken mit Endvertikalen nach der Anordnung Fig. 227, 242 bei Vernachlässigung des Einflusses der Füllungsglieder, weil dann durch Lasten P bei a = 0 nach § 53, 12)—17) und 19) nur die Vertikale 0 beansprucht, ihr Beitrag zum Ausdrucke § 53, 23) aber nicht berücksichtigt wird.

Beispiel 113. Zweigelenkbogenfachwerk. Einflußlinien der Stabkräfte.

Für das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk Fig. 269 die Einflußlinien der Stabkräfte X₃, Z₃, I>₃, V₃, F₀, F- festzustellen.

Für jede Stabkraft hat man durch beliebige Belastung:

s= a + h$ ,

worin A ihren Wert durch diese Belastung für H= 0 und (> den Wert durch

11 = 1 allein bedeuten. Bezeichnen a, ß die A, H durch eine Einzellast P = 1 bei a, so folgt gemäß § 12 die Ordinate der Einflußlinie von S zur Abszisse a:

b = a -j- ß Q .

Für unseren Fall sind die ß bereits in Beispiel 110 unter c), die q in Tabelle I (S. 414) gegeben. Da jedoch nach § 54 oder den in Beispiel 110 unter a) angeführten speziellen Ausdrücken der A die Einflußlinien dieser Anteile der Stabkräfte für Fq durch eine Gerade, für X₃, Z₃, V₅ durch zwei Gerade und für Z>3 V₃ durch drei Gerade dargestellt sind und die Einflußlinien von Hq symmetrisch zur Bogenmitte verlaufen, so empfiehlt es sich, zunächst die Einflußlinien der A durch Aufträgen der wenigen erforderlichen Ordinaten a festzulegen und von ihnen aus die Beiträge ß q von Hq zu den Ordinaten b anzutragen. Wir bestimmen also im folgenden die a und ß q je für sich, wobei wir diese zur Unterscheidung wie die ganzen Stabkräfte bezeichnen.

Werte a (Einflußlinien der A). Nach den in Beispiel 110 unter a) gegebenen Ausdrücken der A oder unmittelbar nach § 54, a) hat man:

XZ — Zz — ^3 —    — 0

Ab = zz = dz =r₃ = o

*5 = 0,

x₃ = -

für a— 0 m

a = 30 „ a — 12 und 18 m

ferner für » = 9m

18,90

für a = 15 m

U = - 1 ,

*o =

n = - * .

= — 3,333

Ab =

8-6

I>₃ =

Z>₃ =

*3 = -

26,03 _4,64-6 53,65    —

5,36-21 53,65    ~

3,06 • 6 118,20

1,844

0,519

2,098

= — 0,155

r₃ = -

6,94-21

118,20

= — 1,233 .

Diesen Ordinaten a entsprechen die in Fig. 274 punktierten Linien, für V₅ jedoch die ausgezogene, weil für diese Stabkraft der Beitrag Hq = 0 ist.

Werte der ßq (Einflußlinien der Hq). Mit den zu Gleichung 2 erwähnten ß, q erhalten wir:

für a = 0 oder 30 m

Ab =

0,0242-1,778 =    0,043

für a = 3 oder 27 m

rz= — 0,0242-0,978 = — 0,024 0,0242-0,480 =    0,012

0,3863-1,778 =    0,687

Zz = — 0,0242 • 2,017 = — 0,049 0,0242-0,444 =    0,011

u =

x₃ =

für a = 6 oder 24 m

Dz~ — 0,3863 • 0,978 = — 0,378 0,3863-0,480 =    0,185

0,7106-1,778 =    1,263

n =

Zz = — 0,3863-2,017 = — 0,779 0,3863 • 0,444 ='

1,172

n =

X₃ =

Dz = — 0,7106 • 0,978 = — 0,695

Zz = — 0,7106-2,017 = — 1,433 0,7106-0,444 =    0,316

für a = 9 oder 21 m

0,7106-0,480 = 0,341 0,9946-1,778 = 1,768

x₃ =

Dz = — 0,9946-0,978 = — 0,973 0,9946-0,480 =    0,477

n= o

Zz — — 0,9946-2,017 = — 2,006 0,9946-0,444 =    0,442

für a = 12 oder, 18 m

r₀ = x₃ =

Dz = — 1,2033 • 0,978 = — 1,177

1,2033-1,778 =    2,139

Zz = — 1,2033 2,017 = — 2,427 1,2033 • 0,444 =    0,534

für a = 15 m

1,2033 ■ 0,480 = 0,578 1,2941 • 1,778 = 2,301

r₀ =

X₃ =

Dz = — 1,2941 ■ 0,978 = — 1,266

u$ =

r₅= o

Zz — — 1,2941 • 2,017 = — 2,617 1,2941-0,444 =

1,2941 0,480 =    0,621

U =

*5 =

0,575

Durch Aufträgen dieser ßg von den Enden der Ordinaten a aus sind die in Fig. 274 ausgezogenen Einflußlinien der hier berücksichtigten sechs Stabkräfte entstanden. Für die übrigen Stabkräfte wäre ganz wie für X₃, Z₃, D₃, V₃ zu verfahren;

Zu bemerken ist, daß die Linien ganz nahe bei den Stützen nicht deutlich verzeichnet werden konnten. Um dies zu erreichen, hätte der Maßstab größer gewählt werden müssen, wovon hier schon deshalb abgesehen werden konnte, weil wir die Einflußlinien nur zur Ermittelung der ungünstigsten Laststellungen brauchen (Beispiel 114). Bei Vernachlässigung des Einflusses der Füllungsglieder auf H würden übrigens die Ordinaten der Einflußlinien von X₃, Z₃, D₃, V₃ an den Trägerenden gleich Null geworden sein, wie dies bei Trägern ohne Endvertikalen (beide Gurtungen an den Trägerenden zusammentreffend) auch sonst der Fall ist (S. 427).

Beispiel 114. Zweigelenkbogenfachwerk. Grenzwerte der Stützenreaktionen und Stabkräfte.

Für das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk Fig. 269 zu berechnen: a) Die Grenzwerte der Stützenreaktionen F, H und der Stabkräfte X₃, Z₃, D3y V₃, F₀, F₅ beim Befahren durch Lokomotiven der Radanordnung Fig. 272 ohne sonstige Beiträge; b) die Grenzwerte der Reaktionen V, H, E und derselben Stabkräfte beim Hinzutreten der Beiträge des Eigengewichts von g — 1250 kg

6,5 6,5 6,5t

U tA. k?.    ..ft'H.T:... }•$. h§.

83 8,5 85 85 85

6.5 6.5 6,5

8,5 8,5 8.5 8,5 8,5t

8.5 8,5 8.5 8,5 8,5 t

t-

15

15

4,5

1,5

15

15

15

6m

1.5

15

1.5

15

0.0242r-

ll

2_

4-3

_±_

.5    6    -7

:£

Fig. 272.

10,3863

0,02^2

OM

0,7106 [0.9946

0,9946

0,7106

i1.2033

-3.3

33fX₃

129hl

-porü

■838.5 8.5 8.5 8.5 1,5 1,5 15 1,5

Z-

8,5 85 8.5 8.5 8.51    6.5 6,5 6.5    6.51

6 m 15 1,5 15 1,5    4,5    15 1,5 3 m.

Fig 273.

pro Meter Träger, wovon gx = 600 kg auf die Knotenpunkte des Obergurts und gz = 650 kg auf diejenigen des Untergurts ₀ kommen, und gleichmäßiger Temperaturänderungen aller Stäbe von r = + 80°.

a) Wir machen von den in Fig. 273 verzeichneten Einflußlinien der Reaktionen V, H und den in Fig. 274 verzeichneten Einflußlinien der Stabkräfte X₃, Z₃, D₃, V₃, F₀, V₅ Gebrauch, letzteren jedoch nur zur Bestimmung der ungünstigsten Belastungen, um die Einflußlinien nicht genauer, mit Angabe der Ordinaten, auftragen zu müssen. Weiter berücksichtigen wir, daß jede Stabkraft bei jeder Belastung:

o*

14

(3

0,519 )

y3/

Vs,

v3

'3

Vs

"K

X₃

098

.Fig. 274.

von

S = Ä. -f- 3 Q ,

und entnehmen die H — 0 entsprechenden Werte A aus Beispiel 110 unter a),

die Werte H aus Gleichung 9 des Beispiels 110, die Werte q durch H=1 allein aus der Tabelle I (S, 414).

Die größte Yertikalreaktion V entsteht, wenn ein Zug von drei Lokomotiven, die erste rückwärts, die zweite vorwärts, die dritte rückwärts von l nach 0 fahrend, mit dem ersten Rad von 8,5 t bei 0 anlangt (Fig. 273 unten):

V = 8500 (1 + 0,95 + 0,9 + 0,85 + 0,8 + 0,6 + 0,55 + 0,5 + 0,45 + 0,4) +

6500 (0,25 + 0,2 + 0,15 + 0,05) = 63 725 kg .

Ohne die dritte Lokomotive, welche nur 6500 • 0,05 = 325 kg beiträgt, hätten wir erhalten 63400 kg, und wenn beim Fahren aller Lokomotiven mit den Schloten vorn das erste Rad von 8,5 t bei 0 angekommen wäre, V — 63025 kg. — Der größte Horizontalschub H entsteht, wenn zwei Lokomotiven mit den Schloten gegeneinander in beliebiger Richtung fahren und das Vorderrad einer Lokomotive bei der Trägermitte anlangt (Fig. 273 oben):

H = 8500 (1,2941 + 1,2487 + 1,2033 + 1,09895 + 0,9946 + 0,9946 + 0,8526 + 0,7106 + 0,548 45 + 0,3863) + 6500 (0,54845 + 0,3863 + 0,205 25) — 86 734 kg .

Hätten wir beide Lokomotiven symmetrisch zur Trägermitte gestellt, so würden •sich ergeben haben 85604 kg, die zum größten V erwähnte Belastung (Fig. 273 unten) liefert 83837 kg und die zur größten Einsenkung in der Mitte führende Belastung (Fig. 290) 80135 kg. Die unteren Grenzwerte der Stützenreaktionen •durch die Verkehrslast allein sind gleich Null.

Größtes negatives X₃. Eine Lokomotive, von l nach 0 fahrend¹, mit dem •dritten Rade von 8,5 t über Vertikale 3 angelangt:

x₃ = -

18,90

7 • 8500 (9 + 7,5 + 6) + 7 • 6500 (1,5 + 0) + 3 • 8500 (19,5 + 18) J

8500 (0,9946 + 0,8526 + 0,7106 + 1,0989 + 1,2033) + 6500 (0,2052 + 0,0242)J 1,778 = — 125040 + 75821 = — 49219 kg .

Größtes positives X₃. Eine Lokomotive, von l nach 0 fahrend, mit dem dritten Rade von 8,5 t über Vertikale 7 angelangt:

X₃ =

- 3-8500 (12 + 10,5 + 9 + 7,5 + 6) + 3-6500 (1,5 + 0)j    +

8500 (1,2033 + 1,0989 + 0,9946 + 0,8526 + 0,7106) + 6500 (0,2052 + 0,0242)j 1,778 = — 62 262 + 75821 = 13559 kg .

Größtes negatives Z₃. Eine Lokomotive, von l nach 0 fahrend, mit dem fünften Rade von 8,5 t über Vertikale 6, eine zweite Lokomotive rückwärts anschließend:

^3 = 2 - 8500 (18 + 16,5 + 15 + 13,5 + 12) + 2 - 6500 (7,5 + 6 + 4,5) j —+

8500 (1,2033 + 1,2487 + 1,2941 + 1,2487 + 1,2033) + 6500 (0,8526 + 0,7106 + 0,5484)J 2,017 = 58 721 — 136 638 = — 77 917 kg .

Mit dem fünften Rade von 8,5 t über Vertikale 7 hätten wir erhalten Z₃ = 43680 — 115062 = — 72382 kg. — Größtes positives Z₃. Eine Lokomotive, von 0 nach l fahrend, mit dem zweiten Rade von 8,5 t über Vertikale 2:

Zs= |^8 • 8500 (6 + 4,5 + 3 + 1,5) + 2 • 8500 • 22,5 j —^--

8500 (0,8526 + 0,7106 + 0,5484 + 0,3683 + 0,2052) 2,017 = 53880 — 46343 = 7537 kg .

Größtes positives D₃. Eine Lokomotive ohne Tender, von l nach 0 fahrend, mit dem zweiten Rade von 8,5 t über Vertikale 3:

-»3

= ^8500(28,24-

7,5 —

53,65

8500 (0,8526 + 0,9946 -f 1,0989 + 1,2033 + 1,2487) 0,978    74813 — 44874 = 29 939 kg .

141,60) + 5,36-8500 (21 + 19,5 + 18 + 16,5) J

Größtes negatives D₃. Eine Lokomotive, von 0 nach l fahrend, mit dem Vorderrad von 8,5 t über Vertikale 2 und eine Lokomotive, von l nach 0 fahrend, mit dem Vorderrad von 8,5 t über Vertikale 7:

= I 4,64-8500 (6 + 4,5 + 3 + 1,5 + 0) + 5,36-8500 (9 + 7,5 + 6 + 4,5 + 3)1 —--

L    J 53,65

8500 (0,0242 + 0,2052 + 0,3863 + 0,5484 + 0,7106 + 0,9946 + 0,8526 -f 0,7106 +

0,5484 + 0,3863) 0,978 = 36 503 — 44617 = — 8114 kg .

Größtes negatives V₃. Eine Lokomotive, von l nach 0 fahrend, mit dem zweiten Rade von 8,5 t bei Vertikale 3:

Vs= — ^8500 (42,46 • 7,5 — 236,40) + 6,94.8500 (21 + 19,5 + 18 + 16,5 + 4,5 + 3 + 1,5 + 0) +

6,94-6500 (12 + 10,5 + 9] ~ *    + | 8500 (0,8526 + 0,9946 + 1,0989 + 1,2033 +

J 118,20    |_

1,2487 + 0,5484 + 0,3863 + 0,2052 + 0,0242) + 6500 (1,2033 + 1,0989 + 0,9946)] 0,444 = — 59 844 + 34280 = — 25564 kg .

Größtes positives V₃. Eine Lokomotive, von 0 nach l fahrend, mit dem Vorderrad von 8,5 t bei Vertikale 2:

r₃ = — 3,06 • 8500 (6 + 4,5 + 3 + 1,5 + 0) ^    ■ + 8500 (0,7106 + 0,5484 + 0,3863 + 0,2052 +

0,0242) 0,444 = — 3301 + 7075 = 3774 kg .

Größtes negatives F₀. Eine Lokomotive, von l nach 0 fahrend, mit dem Vorderrad von 8,5 t bei Vertikale 0;

Vo =

— 8500 (30 + 28,5 + 27 + 25,5 + 24) + 6500 (19,5 + 18 + 16,5)1 -jj— +

J 30

8500 (0,0242 + 0,2052 + 0,3863 + 0,5484 + 0,7106) + 6500 (1,0989 + 1,2033 + 1,2487) j 0,480 = — 49950 + 18 728 = — 31222 kg .

Größtes positives V₀. Eine Lokomotive, von l nach 0 fahrend, mit dem fünften Rade von 8,5 t bei Vertikale 7:

v>=-

8500 (15 + 13,5 + 12 + 10,5 + 9) + 6500 (45 + 3 + 1,5)] ~ +

8500 (1,2941 + 1,2487 + 1,2033 + 1,0989 + 0,9946) + 6500 (0,5484 + 0,3863 + 0,2052)] 0,480 = — 18 950 + 27 382 = 8432 kg .

Mit dem fünften Rade von 8,5 t bei Vertikale 8 hätte sich ergeben F₀ = — 13400 + 20545 = 7145 kg.

Größtes negatives V₅. Eine Lokomotive, von 0 nach l oder von l nach 0 fahrend, mit dem zweiten, dritten oder vierten Rade von 8,5 t über Vertikale 5:

r₅ = — 8500-2 = — 17000 kg .

Der zweite Grenzwert durch die Verkehrslast allein ist F₅ = 0.

b) Die Beiträge des Eigengewichts zu den Stützenreaktionen und Stabkräften wuirden in Beispiel 109 bestimmt, diejenigen der Temperaturänderungen sind aus dem nächsten Beispiel unter a) zu entnehmen. Wir erhalten damit die Grenzwerte der Vertikalreaktionen:

V= 18 750 kg ,

r = 63 725 + 18 750 = 82475 kg ,

die Grenzwerte des Horizontalschubs:

E = 29542 — 8918 = 20 624 kg

E = 86 734 + 29 542 + 8918 = 125194 kg ,

und die Grenzwerte der resultierenden Stützenreaktionen, die oberen in dem Belastungsfall Fig. 273, unten, mit H — 83837 + 29542 + 8918 = 122297 kg:

R = y 18750² + 206242 _ 27873 kg .

R = y 824752+ 122 297² = 147508 kg

Für den Belastungsfall Fig. 273, oben, wäre R = 143581 kg.

Die verlangten Grenzwerte der Stabkräfte ergeben sich:

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der folgenden Zusammenstellung für r = 25° berechnet. Die Stabkräfte durch x = — 25° haben nach 1 gleiche Zahlenwerte mit entgegengesetzten Vorzeichen.

V₀ = 4281 kg r, = 4593 „ Vo = 4646 „ Vs = 3960 B V₄ = 1775 ,

n =

Xj = 3371 kg X, = 8490 „ X₃ = 15856 „ X₄ = 24 284 ^ X₅ = 28538 ff

X₄=— 9899 kg X₂ = — 13109 ff Zs = — 17 988 ff Zi = — 25104 „ Zb = — 33 202 ff

A'₃ = — 49 219 — 9974 — 15856 = — 75049 kg 13559— 9974 + 15856 =

19441 „

X₃ =

Z₃ = — 77 917 — 25014 — 17 988 = —- 120919 „

7 537 — 25 014 + 17 988 =    511 „

29939 + 5499 + 8 722 =    44160 „

*3 = i>3 =

Z>₃ = — 8114 + 5499— 8 722 =— 11337 »

F₃ = — 25564— 4302— 3960 =— 33826 „ 3 774 — 4302 + 3960 =

F₀ = —31222 — 3595— 4281 = — 39098 „ 8432 — 3595 + 4 281 =

3432 „

9118 „

V-₀ = — 1800 kg .

In gleicher Weise wären natürlich die Grenzwerte der übrigen Stabkräfte zu berechnen.

^o =

Vb = — 17000 — 1800 = — 18800 kg

Beispiel 115. Zweigelenkbogenfachwerk. Temperatureinflüsse. Ausweichen der Widerlager.

Für das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk die Beiträge zum Horizontalschub und sämtlichen Stabkräften festzustellen: a) Durch eine gleichmäßige Temperaturänderung aller Stäbe um r = + 25°; b) durch Temperaturänderungen des Obergurtes um.30°, der Füllungsglieder um 25° und des Untergurtes um 20°; c) durch eine Änderung der Spannweite um Al cm und 1 cm. Der Elastizitätsmodul und Ausdehnungskoeffizient sind zu E — 2150000 kg pro qcm, a — 0,0000115 anzunehmen (Flußeisen).

Wir bezeichnen im folgenden die verlangten Beiträge wie die ganzen Größen. Für die Vertikalreaktionen der Kämpfer sind sie nach § 20, 2) gleich Null; für die Stabkräfte entstehen sie nur infolge der Änderungen des Horizontalschubs }J, und da die Stabkraft S durch H = 1 allein mit p bezeichnet wurde, so liefern beliebige H allein:

S=Sq .

Die q können in unserem Falle aus Tabelle I (S. 414) entnommen werden.

a) Gleiche Temperaturänderungen. Nach der ersten Gleichung 9 des Beispiels 108 ist der von einer Temperaturänderung r herrührende Horizontalschub :

H = 356,71 t kg,

also für x — + 25°:

H = + 356,71 ■ 25 = + 8918 kg .

Mit H — 8918 kg und den aus Tabelle I entnommenen q erhält man nach 1 beispielsweise:

8918 - 1,778 =    15856 kg

D₃ = — 8918 • 0,978 = — 8 722 „

8918 • 0,480 =    4281 B

Z₃ = — 8918 • 2,017 = — 17 988 kg Fä —

r₅ =

8918 • 0,444=    3960 „

0 „ •

8918 • 0

X>₄ = — 5440 kg />₂ = — 6876 ff D₃ = — 8722 „

Di — — 9293 ,

Ds = — 4602 ff

b) Verschiedene Temperaturänderungen. Nach der zweiten Gleichung 9 des Beispiels 108 ist der von beliebigen Temperaturänderungen r der einzelnen Stäbe herrührende Horizontalschub:

Nun liefert die Tabelle I (S. 414): für die Stäbe des Obergurts „    „    Füllungsglieder

„    „    Stäbe des Untergurts

Damit erhalten wir für die unter b) gegebenen r:

3 = — 0,11890 • 2 (30 • 2709,3 — 25 • 766,0 — 20 • 3438,0) = 1577 kg .

Die durch diesen Horizontalschub erzeugten Stabkräfte ergeben sich nach 1 in ganz gleicher Weise wie diejenigen unter a), und da sie alle

mal so groß sind, so verzichten wir darauf, sie einzeln anzuführen. Man sieht aber, daß in praktischen Fällen, wenn der Obergurt mehr als der vor unmittelbarer Einwirkung der Sonne geschützte Untergurt erwärmt wird, dies einer dem mittleren r entsprechenden gleichen Temperaturänderung aller Stäbe gegenüber günstig auf die Beiträge der Temperaturänderungen zu dem Horizontalschub und den Stabkräften wirkt.

c) Ausweichen der Widerlager. Durch eine positive oder negative Änderung der Spannweite um Al cm entsteht nach Gleichung 10 des Beispiels 108 ein Horizontalschub:

also speziell durch Al= 1 cm:

2709,3-2, 2sq = — 766,0-2, 2 s q = — 3438,0 • 2 .

1577

8918

- 0,17683

3 = — 10340 Al kg ,

3 = — 10 340 kg.

Die hierdurch bedingten Änderungen der Stabkräfte ergeben sich aus 1 ganz wie diejenigen unter a), und da sie sämtlich

— 10 340 A l

1,1595 Al beziehungsweise — 1,1595 mal so groß sind, so verzichten wir darauf, sie einzeln anzuführen.

Wenn mit einer Temperaturerhöhung der Stäbe infolge des wachsenden Horizontalschubs eine geringe Zunahme der Spannweite erfolgen sollte, so wirkt dieser Einfluß nach a) und c) auf den Horizontalschub und alle Stabkräfte dem Einflüsse der Temperaturerhöhung entgegengesetzt.

8918

Aufgabe 38. Bogenfachwerke mit Zugstange.

Allgemeines über Bogen mit Zugstange wurde in § 22 gegeben.

Von Bogen fach werken mit Zug-stange interessieren hier nur Zwei- T gelenkbogen, da für Drei gelenkbogen (die überdies bisher als Fach- V werke nicht ausgeführt wurden) der Horizontalschub und die Stabkräfte ganz wie für die entsprechenden Dreigelenkbogen ohne Zugstange bestimmt sind. Die Berechnung von Zwei-    f

gelenkbogen mit Zugstange unterscheidet sich von derjenigen gewöhnlicher Zweigelenkbogen von sonst    o V

gleicher Anordnung nur durch den    /.

Ausdruck des Horizontalschubs H. Es V soll dieser Ausdruck für Zweigelenkbogen mit Zugstange ohne überzählige Bogenstäbe durch beliebige    ^

Belastung, sowie durch gleiche Temperaturänderungen x aller Bogenstäbe bei einer beliebigen Temperaturände- ₀, rung xz der horizontalen oder gespreng- JT ten Zugstange (womit im allgemeinen auch Änderungen der Spannweite ver- v bunden sind) bestimmt werden.

Für beliebige Bogenfachwerke mit zwei Gelenken in gleicher Höhe ohne

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

Fig. 275.

Fig. 276.

Fig. 277.

28

V'

Y*

überzählige Bogenstäbe hat man nach § 57, 26) durch beliebige Belastung, gleiche Temperaturänderungen r aller Bogenstäbe und eine Änderung Al der Spannweite:

JET = —

E c Q A — lEaz-\-EAl

Da nun nach § 22, 3), wenn z die Länge und Fz den Querschnitt der horizontalen oder gesprengten Zugstange bedeuten:

Hz

+ 1« *z>

EFZ

so ergibt sich durch Einsetzen und Auflösen der entstehenden Gleichung nach H unter Voraussetzung gleichen Materials von Bogen und Zugstange:

E c q A — l E a (t —- rz)

Fz

Wir haben also speziell durch beliebige Belastung:

E c q A

und durch Temperaturänderungen r, xz von Bogen und Zugstange:

l E a (t — rz)

EcQ^ + ~

worin die Summen 2 sich nur auf den Bogen, nicht auf die Zugstange, beziehen.

Der Ausdruck 2 für beliebige Belastungen unterscheidet sich von dem entsprechenden Ausdruck für den gewöhnlichen Zweigelenkbogen nur dadurch,

daß im Nenner zu 2c q² getreten ist. Der Horizontalschub ist also bei gleicher Stabanordnung und gleichen Stabquerschnitten jetzt kleiner,

E c

2cQ2 + lt

als für den Bogen ohne Zugstange. Weit erheblicher vermindert sich der Horizontalschub durch Temperaturänderungen, er würde für zz Die q, A bleiben wie für den gewöhnlichen Zweigelenkbogen gleicher Stabanordnung bestimmt, und bei gleichen Stabquerschnitten F haben auch die c = ~ die gleichen Werte.

Beispiel 116. Bogenfachwerk mit Zugstange.

Das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk Fig. 269 soll ohne Änderung der gegebenen Querschnitte anstatt mit festen Endgelenken als Bogen mit Zugstange entsprechend Fig. 278 hergestellt werden, wobei die Länge der gesprengten Zugstange z = 30,350 m ist. Die Zugstange soll nicht über 1000 kg pro qcm

beansprucht werden. Den Querschnitt Fz der Zugstange festzustellen und die Ausdrücke des Horizontalschubs H durch beliebige Belastung und durch gleiche Temperaturänderung z der Bogenstäbe bei einer beliebigen Temperaturänderung zz der Zugstange soweit möglich in Zahlen anzugeben. Bei der Ermittelung des Querschnitts der Zugstange kann der größte Horizontalschub näherungsweise eingeführt werden, beispielsweise wie bei der vorläufigen Berechnung des Zwreigelenkbogens ohne Zugstange (§ 58, Beispiel

117), also eventuell selbst nach der einfachsten Gleichung H =

ff -jr p die Vollbelastung pro Längeneinheit Träger bedeutet. Da sich in Beispiel 114 als größter Horizontalschub durch Belastung des Bogens ohne Zugstange ergab:    h = 29542 + 86734 = 116 276 vg,

h= —

nämlich

mal so groß

gleich Null sein.

frTL

fßfiS5TrL

z =30,350m,

Fig. 278.

z v-

V'

, wenn q —

während durch die Zugstange eine erhebliche Verringerung eintritt und die Vergrößerung durch Temperaturänderungen weit kleiner als beim Bogen ohne Zugstange ist, so wollen wir von vorstehendem Werte ausgehen. Die größte Beanspruchung der Zugstange ergibt sich damit in den Endfeldern, wo bei A — 3 m Feldlänge die Stangenlänge £ = 3,085 m, nach § 22, 1):

116 276    — 119570 kg .

*1

Der Querschnitt der Zugstange wäre hiernach nicht über

sei geeigneter Anordnung entsprechend gewählt Fz = 112 qcm. Wir haben nun in den Formeln der vorigen Aufgabe:

119570

tooo

zu erwarten, er

3035

= 27,10

und mit dem schon in Beispiel 108 berechneten Werte 2 c q² = 207,94:

2 c Q* + -r§- — 207,94 + 27,10 = 235,04 .

Demgemäß ergeben sich nach der vorigen Aufgabe durch beliebige Belastung:

2 c Q A 235,04    '

und durch Temperaturänderungen r, tz, von Bogen und Zugstange, wenn wieder Ea = 2150000 • 0,0000115 = 24,725 gesetzt wird (Flußeisen):

H =

Fz

112

3000 • 24,725

0 — **) = 315,58 (t - Te) .

Die c, & bleiben wie in Beispiel 108, die A wie in den Beispielen 109, 110 bestimmt. Der Horizontalschub durch beliebige Belastungen ist also jetzt

mal so groß

235,04

207,94

235,04

= 0,8847

¹

Wenn nichts anderes gesagt ist, fährt die Lokomotive vorwärts (mit dem Schlote vorn.)

als für den Zweigelenkbogen ohne Zugstange, beispielsweise durch das Eigengewicht allein mit Rücksicht auf Beispiel 109:

H = 29542 • 0,8847 = 26136 kg

und durch beliebige Belastung der Fahrbahn, wenn P₀, Pt, P₂, • • • Pw die entsprechenden Knotenpunktslasten bei den Vertikalen 0, 1, 2, • • • 10 bedeuten, mit Rücksicht auf die Formel 8 des Beispiels 110:

H = 0,0214 (P₀ + Pio) + 0,3418 (Pt + P₉) + 0,6287 (P₂ + P₈) +

0,8799 (P₃ + P₇) + 1,0646 (P₄ + P₆) + 1,1449 P₅ .

Auch die Ordinaten der Einflußlinie für H sind sämtlich 0,8847 mal so groß als in Beispiel 110 oder Fig. 270 (S. 424).

Nehmen wir an, daß die größte Temperaturdifferenz zwischen Bogen und Zugstange t — tz = 10°, so folgt der größte Horizontalschub überhaupt:

H = 116 276 • 0,8847 + 3155,8 = 106 025 kg

und die größte Beanspruchung der Zugstange:

3,085

106025

= 109029 kg

109029

973 kg, während bis 1000 kg erlaubt waren. Wollte man

oder pro qcm

diesem Werte noch näher kommen, so wäre die Berechnung mit vorstehendem Z wie oben noch einmal vorzunehmen. Bezüglich der Berücksichtigung von Biegungsspannungen s. Beispiel 50.

112

Bemerkungen. Die Längen 0 der Zugstange und ihrer Abschnitte £ in den Endfeldern wurden oben nicht berechnet, um die Allgemeinheit des Vorgehens zu wahren. Sie haben sich im vorliegenden Falle wie folgt ergeben. Die Knotenpunkte der Zugstange liegen auf einer Parabel, sodaß ihre Höhen über der Verbindungsgeraden der Gelenke nach § 19, 8) mit ! = nA = 10yl, x =

m A, f — 2 m:

4 f    4 f    t    8

y = -y₂ " x(l — x)~ g- m (n — m) = --- m (10 — m) ,

das heißt für

0,72    1,28    1,68    1,92

Damit folgen die Längen der Zugstangenabschnitte von den Endfeldern an:

y 32 + 0,722 ₌ 3,085 m

y 3² + 0,56² ₌ 3,052 „ y 3² + 0,40" = 3,027 „ y 32 + 0,242 = 3,010 „ y 32 + 0,08-’ = 3,001 „

z : 15,175 • 2 = 30,350 m .

Für unsern Zweck hätte es natürlich genügt, die Zugstangenlänge nach der Näherungsformel für flache Parabelbogen (S. 110)

8-22

-«+4?

zu berechnen: z = 30 -j-

3*30

30,356 m .

Aufgabe 39. Durchlaufende (kontinuierliche) Bogenfachwerke von einfach statisch unbestimmter Art.

Für durchlaufende Bogenfachwerke von beliebig vielen Öffnungen, bestehend aus Zweigelenkbogen (vergl. § 24), ohne überzählige Stäbe den Horizontalschub H durch beliebige Belastung, durch beliebige Temperaturänderungen t aller Stäbe und durch eine Änderung AL der Summe aller Spannweiten L — lx + 4 + • • • + 4« festzustellen.

Die Trägerart ist einfach statisch unbestimmt, da durch Entfernung des Horizontalschubs n statisch bestimmte Balkenfachwerke entstünden. Man hat

daher nach § 57, 11) durch beliebige Belastung:

jsr =

_ ZcQ A

2 c Q²    ’

durch beliebige Temperaturänderungen x aller Stäbe:

Fig. 279.

H = — Ea

2 s Q r

~2V^r

und durch eine Änderung A L der Summe aller Spannweiten :

H= —

Fig. 280.

E AL 2 c Q²

In diesen Gleichungen beziehen sich die Summen 2 auf die Stäbe aller Öffnungen, während die Stabkräfte q durch H = 1 allein und die Stabkräfte A durch die gegebene Belastung bei H = 0 die gleichen Werte wie für die einfachen Zweigelenkbogen ihrer Öffnungen haben.

Sind die Temperaturänderungen für alle Stäbe je einer Öffnung 4, 4> ‘ * ln von gleichem Werte rx, r₂, • - ■ xw so ergibt 2 mit Rücksicht auf § 57, 25):

h Zi + Tg + •    •    • + ln

H = E a

und, wenn alle Temperaturänderungen den gleichen Wert z haben:

L E a x 2 c Q 2

Nach 1 und 2 tragen die Belastungen und Temperaturänderungen aller Öffnungen zum Horizontalschub bei, doch sind die Beiträge jeder bestimmten Öffnung, weil 2c q'¹ nun alle Öffnungen umfaßt, bedeutend kleiner, als wenn der

Zweigelenkbogen dieser Öffnung allein vorhanden wäre, bei lauter gleichen Öffnungen mit gleicher Anordnung ihrer Stäbe wären sie 1/n so groß. In letzterem Falle würden durch gleiche Belastungen wie durch gleiche Temperaturänderungen aller Öffnungen die gleichen Werte des Horizontalschubs wie beim einfachen Zweigelenkbogen entstehen (weil sowohl die Zähler als die Nenner in 1 und 2 n-mal so groß wären). Dagegen ergibt 8 den Horizontalschub durch Ausweichen eines Widerlagers um einen bestimmten Betrag AL bedeutend kleiner als bei einfachen Zweigelenkbogen der vorhandenen Anordnungen, bei lauter gleichen Öffnungen mit gleicher Anordnung ihrer Stäbe 1/« so groß (vergl. am Schlüsse des § 24, S. 196).

Beispiel 117. Durchlaufendes Bogenfachwerk.

Für ein durchlaufendes Bogenfachwerk Fig. 281, bestehend aus drei gleichen Zweigelenkbogen der in Beispiel 108 gewählten Stabanordnung und Stabquerschnitte Fig. 269, zu bestimmen: a) Den Horizontalschub II durch beliebige Belastung aller Öffnungen, speziell auch durch das Eigengewicht von g — 1250 kg pro Meter, wovon gx = 600 kg auf die Knotenpunkte des Obergurtes und gz — 650 kg auf diejenigen des Untergurtes kommen; b) die Einflußlinien des Horizontalschubs und der Vertikalreaktionen der Stützpunkte; c) die Horizontalschübe durch gleiche Temperaturänderungen r aller Stäbe, sowie durch verschiedene Temperaturänderungen rx, z₂, r₃ in den drei Öffnungen lx, /₂, l₃; d) den Horizontalschub durch eine Änderung der Spannweitensumme L um A L.

jj-

.1

Fig. 281.

II

H

Einflusslinmt Fig. 282.

Da nach Beispiel 108 für jede der drei Öffnungen 2 c g² = 207,94, so hat man für den ganzen durchlaufenden Bogen:

2 cQ2 = 207,94 • 3 = 622,82 .

Öffnungen:

a) Gleichung 1 der vorigen Aufgabe liefert für beliebige Belastung aller

2 c Q A ~~ 207,94 ^3 '

worin die c q, A jeder Öffnung in den Beispielen 108, 109, 110 bestimmt sind. Für das Eigengewicht allein hat man nach Beispiel 109 in jeder Öffnung 2 c q A = — 3071499-2, womit der Horizontalschub durch das Eigengewicht allein:

Ä — 29 542 kg,

3~

3071499 • 2 •

207,94 -3

3 3 = [o,0242 (P₀ + P₁₀) + 0,3863 (P, + P₉) + 0,7106 (Pa + P₈) +

0,9946 (P₃ + P₇) + 1,2033 (P₄ + P₈) + 1,2941 P₃j^ ,

worin die Grenzen der Klammer andeuten, daß der Klammerausdruck für alle drei Öffnungen anzusetzen ist, und i'₀, I\, ■ ■ ■ Pw die Knotenpunktslasten der Fahrbahn bei den Vertikalen 0, 1, • • • 10 dieser Öffnungen bezeichnen.

wie beim einfachen Zweigelenkbogen des Beispiels 108, was nach der vorigen Aufgabe im voraus bekannt war. Da sich die Formel 1 von dem entsprechenden Ausdruck für jenen einfachen Zweigelenkbogen nur dadurch unterscheidet, daß im Nenner 207,94 • 3 an Stelle von 207,94 getreten ist, so haben wir durch beliebige Belastung der Fahrbahn mit Rücksicht auf die Gleichung 8 des Beispiels 110:

b)    Nach Formel 2 oder dem zuvor Gesagten sind die Werte von H für P — 1 an bestimmten Stellen der Fahrbahn, d. h. die Ordinaten b der Einflußlinie des Horizontalschubs für die betreffenden Abszissen a, ein Drittel so groß wie bei den entsprechenden einfachen Zweigelenkbogen (Maßstab beliebig). Wir haben in jeder Öffnung: für a = 0 oder 30 m 3 b = 0,0242

für a = 9 oder 21 m 3b — 0,9946 „ a = 12 „ 18 „ 3 b = 1,2033 „ a = 15

„    3 b = 1,2941.

„ 27 „ 3 b = 0,3863 „ 24 „ 3 b = 0,7106 Die Einflußlinie der Yertikalreaktion einer Stütze ergibt sich nach § 24 (S. 194), wenn man bei diesem Stützpunkt die Ordinate b = 1 anträgt und vom Endpunkt derselben gerade Linien nach den Punkten der Abszissenachse bei den links und rechts zunächst folgenden Stützpunkten zieht. Die verlangten Einflußlinien sind hiernach in Fig. 282 verzeichnet.

c)    Durch gleiche Temperaturänderungen r aller Stäbe hat man nach Gleichung 5 der vorigen Aufgabe mit L = 31

□3

l JE a t

207,94    ’

wie für den einfachen Zweigelenkbogen des Beispiels 108, was wir wieder im voraus wissen konnten. Beliebige Temperaturänderungen rlt r₂, H in den Öffnungen llf /₂, l?> ergeben nach Gleichung 4 der vorigen Aufgabe:

t2 ~t~ t3

207,94 • 3

Setzen wir wie bei den einfachen Zweigelenkbogen lEa — 3000-2150000* 0,0000115 = 74175, so liefern 3 und 4:

bezw.

H = 118,90 (Tj +    + ^3) kg •

H = 356,71 1 ksr

d) Durch eine Änderung der Spannweitensumme um A L cm entsteht nach Gleichung 3 der vorigen Aufgabe ein Horizontalschub:

E AL

207,94 • 3 ’ H = — 3447 A L ,

also mit .£'=2150000 kg:

¹ls soviel wie für ein gleiches AL beim einfachen Zweigelenkbogen des Beispiels 108.    .    .

§ 58. Vorläufige Berechnung statisch unbestimmter Bogenfachwerke.

In den abgeleiteten Formeln für die überzähligen Größen statisch unbestimmter Bogenfachwerke treten die Stabquerschnitte auf (§ 57). Diese müssen also, wenn sie sich nicht auf Grund von Erfahrungen annähernd angeben lassen, zunächst durch eine vorläufige Berechnung testgestellt werden. Hierbei sind verschiedene Wege möglich.

Einmal kann man von Beziehungen für vollwandige Bogen ausgehen, die früher allgemein selbst für endgültige Berechnungen von Bogenfachwerken verwendet wurden, wenn diese eine ausgesprochene Achse bis zu den Stützen besaßen. Die letztere Voraussetzung pflegt bei Bogenfachwerken ohne Gelenke zuzutreffen, und kämen dann für den Horizontalschub H und die Endmomente M, M‘ in erster Linie die in §21 für parabolische Bogen gegebenen Ausdrücke in Frage, und zwar, unter Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft, mit e = 0 (oder mit geschätztem e). Für Bogenfachwerke mit zwei Gelenken in der Achse sind neben 31 = 31‘ == 0 nach § 20 die entsprechenden Ausdrücke des Horizontalschubs durch beliebige Belastung:

-2Pa(l — a) (p + ia — a²)

H=

JJ-_ u -j- u‘ Z²

¹¹ ~ “Tö J ’

durch eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit auf der ganzen Spannweite und durch verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Hälfte der Spannweite:

8 f ’

durch eine gleichmäßige Temperaturänderung x des ganzen Bogens und durch eine Änderung Al der Spannweite:

15 cE

11=

15 c E Al 8f² ~T ’

Anstatt mit 1 könnte man versuchen, mit der in § 20 erwähnten einfacheren Näherungsformel auszukommen:

35

48 fl ~

JE Pci (l — d)

wonach gemäß § 18 an Stelle von 2 treten würden:

35 (u -)- W) l²

35 m/2 2887 " ’

Nun besitzt aber gerade das gewöhnlichste Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 242, 248 keine ausgesprochene Achse bis zu den Stützpunkten, so daß für dieses die Verwendbarkeit vorstehender Formeln auch für vorläufige Berechnungen stets als ausgeschlossen oder zweifelhaft galt.

Die zweite, gegenwärtig meist empfohlene Methode der vorläufigen Berechnung von Bogenfachwerken geht von den Beziehungen für die überzähligen Größen der Fachwerke selbst aus. Man vernachlässigt den Einfluß der Füllungsglieder, führt konstante Querschnitte f₀, fu des Obergurts und Untergurts ein, und erreicht damit, daß die einzelnen Stabquerschnitte aus den Formeln für die überzähligen Größen wegfallen. So liefern die Ausdrücke § 57, 27), 8) mit

fo

tu

für Zweigelenkbogenfachwerke durch beliebige Belastung:

2sQÄ-\-ß2sQA ~ ZSQZ + ßHsQ² ’

0    u

durch eine gleichmäßige Temperaturänderung x aller Stäbe¹:

H=

11=

lf₀Eax

¹ Genauer als die gebräuchliche Formel 6 könnte, abgesehen von dem schon am Schlüsse des Beispiels 108 Gesagten, erscheinen:

3= —

f₀Ear.

2 S Q² ß 2 S Q2 0    u

Diese Formel erweist sich jedoch z. B. für das den folgenden Vergleichen zugrunde liegende Fachwerk Fig. 269 als unbrauchbar (s. Schlußbemerkungen zu Beispiel 119).

440

CKJ

CD

S⁴

durch eine Änderung der Spannweite um Al cm

Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 269. Tabelle IV. Horizontalscbub. Vergleiche.

durch eine Temperaturänderung um t°

durch eine Einzellast P— 1 hei

a = 12    Z

oder 18 m    ₂

a = 9 oder 21 m

a = 6 oder 24 m

a = 3 oder 27 m

0,3863    0,7106    0,9946    1,2033    1,2941    356,71 x kg - 10340 A l kg

0,3361    0,6546    0,9355    1,1396    1,2286    454,27 r kg |— 13168 A l kg

— 13,00%    — 7,88%    - 5,94%    — 5,29%    — 5,06%    + 27,35%

— 27,35%

478,86 x kg |-    13880 Al kg    §

—    34,24%    g

419,62 r kg [—    12163 Al kg    §*

—    17,63%

9751 Al kg ⁹

+ 5,70%

1,1268    1,2011

—    6,36%    — 7,19% |    + 34,24%

1,1706    1,2575

—    2,72%    — 2,83% I + 17,64%

0,6406    0,9196

—    9,85%    — 7,54%

0,6604    0,9509

—    7,06%    — 4,93%

0,3152

—    18,41%

0,3224

—    16,54%

0,9950    1,2322    1,3367    336,39 r kg

+ 0,04%    + 2,40%    + 3,29%    — 5,70%

1,1351    1,1824

— 5,67%    — 8,63%

338,64 z kg \    9815 Al kg

+ 5,08%

— 5,07%

0,6882

— 3,15%

0,3325

— 13,93%

0,7568    0,9932

+ 6,50%    — 0,14%

0,7524    1,0301    1,2065    1,2669

+ 5,88%    + 3,57%    + 0,27%    — 2,10%

0,4257 + 10,20%

0,3978

+ 2,98%

durch das Eigengew.

a = 0

1250 kg/m oder 30 m

von g —

• • 29542 kg 0,0242

Horizontalschub H

1.    Möglichst genaue Werte (Beispiele

108, 109, 110) .    .

2.    Bei Vernachlässigung des Einflusses der iüllungsglieder (Bemerk, zu den Beispielen 108, 109, 110) .... 27 7 50 kg

— 6,07%

3. Bei Vernachlässigung des Einflusses der Füllungsglieder und Einführung eines konstanten Verhältnisses ß =

der Gurtungsquerschnitte (Bei-

fll

spiel 119), nämlich: wie in den zwei Mittelfeldern ß = 1,

fo = 200 qcm 27 347 kg

— 7,43%

wie im Mittel ß = 0,75, f₀ = 150 qcm 28 318 kg

— 4,14% ‘

wie in den zwei Endfeldern

ß = 0,5, f₀ — 100 qcm 29670 kg + 0,43%

4. Nach obigen Formeln a und b (Bemerk. zu Beisp. 118) mit f = 4,625 m, dieser Pfeil dem Schwerpunkt des Scheitelquerschnittes entsprechend j 29561kg

'+ 0,06%

30 405 kg

+ 2,92%

5. Nach obigen Formeln 1 und 2 (Beispiel 118) mit f= 4,625 m (dies f dem Schwerpunkt d. Scheitelquerschnitts entsprechend), die Beiträge von z, Al nach 3 mit c gleich dem Trägheitsmoment des Scheitelquerschnittes, 1562 500 cm⁴........

und durch eine Änderung Al der Spannweite:

11=

f₀EAl

o    u

worin die Summen 2, 2 alle Stäbe des Obergurts und Untergurts um-

O U

fassen. Das Verhältnis ß liegt meist zwischen 0,5 und 1, bei Bogenfachwerken mit ausgesprochener Achse bis zu den Stützpunkten nahe bei 1.

Welche der beiden vorläufigen Berechnungen am zuverlässigsten ist, läßt sich im einzelnen Falle durch Vergleiche mit den genauesten Resultaten feststellen. Man könnte geneigt sein, der ersten für Bogenfachwerke mit ausgesprochener Achse bis zu den Stützen, der zweiten in andern Fällen den Vorzug zu geben, wobei in Betracht kommt, daß beim zweiten Verfahren die nötige Schätzung von ß unbequem ist. Die Zusammenstellung S. 440 von Ergebnissen unserer zahlenmäßig (nicht graphisch) berechneten Beispiele zeigt jedoch, daß für das Bogenfachwerk mit horizontalem Obergurt Fig. 269 (S. 412) die Formeln 1 bis 3 erheblich genauere Werte des Horizontalschubs H lieferten als 5 bis 7 und auch als die ursprünglichen Ausdrücke § 57, 26), 27) bei Vernachlässigung des Einflusses der Füllungsglieder, ohne Einführung mittlerer Gurtungs-querschnitte. Nebenbei zeigt sich, daß man die Resultate der Formeln für vollwandige Bogen nicht mit den Ergebnissen der Formeln für Fachwerkbogen unter Vernachlässigung des Einflusses der Füllungsglieder vergleichen darf, wenn man ihre Anwendbarkeit bei Fachwerkbogen kontrollieren will, da die letzteren Formeln bedeutend ungenauer als die ersteren sein können.

Da die Stabkräfte von Bogenfachwerken mit zwei Gelenken sich ausdrücken lassen:

S=A + Hq,

worin A von H unabhängig ist und von entgegengesetztem Vorzeichen wie H zu sein pflegt, so erkennt man, daß die Fehler im Werte des Horizontalschubs sich in erhöhtem Maße auf die Werte der Stabkräfte fortpflanzen können. Für die Beiträge der Temperaturänderungen % und etwaiger Änderungen Al der Spannweite hat man A — 0, so daß nach 8 die Fehler dieser Beiträge zu den Stabkräften proportional den Fehlern der zugehörigen Werte des Horizontalschubs werden. Die folgende Tabelle V, welche sich wie Tabelle IV auf das Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 269 bezieht, zeigt im Einklang mit diesen Schlüssen, daß sich die vorläufige Berechnung auf Grund der Fachwerkformeln 5 bis 7 gegenüber derjenigen auf Grund der Vollwandformeln 1 bis 2 bezüglich der Stabkräfte noch weit ungünstiger als bezüglich des Horizontalschubs darstellt. Da die Vollwandformeln überdies viel einfacher zu verwenden sind (vergl. die Beispiele 118 und 119), so würden wir sie für die vorläufige Berechnung in vielen Fällen vorziehen. Jedenfalls aber ist für die endgültige Berechnung das genaueste Verfahren zu verwenden.

Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 269. Tabelle V. Stabkräfte. Vergleiche.

Stabkräfte S— A-1- Hq

in kg

d₃

von

durch das Eigengewicht g = 1250 kg pro m allein

möglichst genau mit H = 29542 kg (Beispiel 109)

— 3595    — 9974 — 25014    5499    - 4302 -1800

mit H — 27 347 kg (- 7,43 %) entsprechend der Fachwerkformel 5 für ß = 1

_ 4648 —13877

— 29,3%    — 39,1%

— 20587    7646    — 5277

+ 17,7%    + 39,9%    — 22,7%

1800

0%

mit ff = 30405 kg (+ 2,92 %) entsprechend der Vollwandformel 2 für f = 4,625 m

— 3181    — 8440

26 755    4655    — 3919

1800

+ 11,5%

15,4%

— 7,0%

— 15,3%

+ 8,9%

0%

durch die Verkehrslast Fig. 269 allein

möglichst genau mit H = 64391 kg (Beispiel 111)

mit ff = 59 708 kg 4 '(— 7,27 %) entsprechend der Fachwerkformel 5 für ß = 1

mit ff = 65 637 kgl (+ 1,94%) entsprechend der Ypllwandformel 1 für f — 4,625 m

— 6642

— 8890

— 33,8%

— 6044

+ 9,0%

—48084 — 43323

25616    —21565

3250

— 52410

— 33877

30196

— 23645

3250

— 9,0%

+ 21,8%

+ 17,9%

- 9,6%

o%

— 41868

+ 12,9%

— 45836    24397

— 5,8%

— 4,8%

21012

+ 2,6%

3250

0%

durch das Eigengewicht von g — 1250 kg pro m und die Verkehrslast Fig. 269

möglichst genau mit ff^ 93 933 kg (Beispiele 109, 111)

mit ff = 8.7 055 kg (- 7,32 %) entsprechend der Fachwerkformel 5 für ß = 1

mit ff = 96042 kg (+ 2 24%) entsprechend den Vollwandformeln 1, 2 für f = 4,625 m

— 10237

—58058

— 68337

31115

— 25867

5050

— 13538 —66287

- 32,2%    — 14,2%

— 9225 —50308

+ 9,9%    + 13,3%

— 54464

+ 20,3%

— 72591

- 6,2%

37842

+ 21,6%

— 28922

- 11,8%

29052    —24931

— 6,6%    +3,6%

5050

o%

5050

o%

durch eine Temperatur-

änderung z allein

möglichst genau mit ff = 356,71 % kg (Beispiel 115)

mit ff = 478,86 z kg (+ 34,24%) entsprechend der Fachwerkformel 6 mit ß =1, f₀ — 200 qcm

mit ff = 338,64 kg (—5,07%) entsprechend der Vollwandformel 3 mit f = 4,625 m, c = 1562 500 cm⁴

171,22 r 634,23 x -719,48 x

-348,86 z 158,38 x

229,85 x 851,41 r

965,86 r 468,33 x

212,61 x

34,2%

34,2%

34,2%

34,2%

34,2%

162,55 r 602,10 r -683,04 x -331,19 r 150,36 x

5,1%

5,1%

5,1%

5,1%

5,1%

¹ Diese Werte ergeben sich mit Rücksicht auf die durch Tabelle IV bestimmten Ordinaten der Einflußlinien wie in Beispiel 111:

ff = 0,6406 • 12 750 + 0,9196 (17 000 + 3250) + 1,1268 (12 750 + 13 000) + 1,2011 • 3250 = 59 708 kg, ff = 0,7524 • 12 750 + 1,0301 (17 000 + 3250) + 1,2065 (12 750 + 13 000) + 1,2669 • 3250 = 65 637 kg .

Es wäre indessen voreilig, aus den in Tabelle IV und V zusammengestellten Ergebnissen schließen zu wollen, daß die vorläufige Berechnung auf Grund von Formeln für vollwandige Bogen ganz allgemein den Vorzug vor derjenigen auf Grund von Fach werkformein verdient. In Beispiel 124 sind die Resultate der beiden Berechnungen für den Zweigelenkbogen Eig. 293 angeführt (bei welchem in der Mitte wegen zu geringer Konstruktionshöhe ein vollwandiges Stück eingeschaltet ist). Der Vergleich der Werte des Horizontalschubs H in den Kolumnen 2, 3 und 5 der dortigen zweiten Tabelle zeigt, daß für diesen Fall die obigen Formeln für vollwandige Bogen erheblich weniger genaue Werte von II durch Belastung als die Fachwerkformeln lieferten. Die Formel a) ergab dort wie hier weit schlechtere Resultate wie 1, während die ihr entsprechenden Ausdrücke b) für gleichmäßig verteilte Lasten auf die ganze oder halbe Spannweite in beiden Beispielen zu fast vollständig genauen Werten führte.

Neuerdings ist die Frage nach dem Einfluß von Vernachlässigungen und Fehlern bei der Berechnung statisch unbestimmter Träger auch vom Standpunkte der mathematischen Fehlertheorie in Angriff genommen worden¹. Ein vorläufiges Ergebnis war: „Uber die Vernachlässigung der Formänderungen der Füllungsstäbe bei Fachwerkträgern läßt sich nur sagen, daß der Einfluß dieser Fehlerquelle sich mit der Systemart und Belastungsart ändert, weshalb allgemeine Angaben über die Zulässigkeit oder Unzulässigkeit dieser Vernachlässigung nicht möglich sind. — Der Grund, weshalb erfahrungsgemäß ihr Einfluß vielfach so gering ist, liegt in gewissen Systemeigenschaften begründet, durch die bei der Quotientenform der X der Fehler gering bleibt, wie es z. B. in besonderem Maße bei hohen Sichelträgern der Fall ist.“ Ähnlich war das Ergebnis bezüglich der Einführung ungenauer Querschnitte, also beispielsweise eines konstanten Verhältnisses ß = f₀ : fu.

Beispiel 118. Zweigelenkbogenfachwerk. Vorläufige Berechnung des Horizontalschubs nach Formeln für vollwandige Bogen.

Die im nächsten Beispiel verlangten Größen nach den in § 58 angeführten Formeln 1 bis 3 zu berechnen, wenn der Pfeil f dem Schwerpunkt des Scheitelquerschnitts entsprechend gewählt wird f = 4,625 m.

Durch ein gleichmäßig verteiltes Eigengewicht von g — 1250 kg pro m Träger erhält man nach § 58, 2):

1250 • 30²

8 • 4,625

Eine Einzellast P bei a liefert nach § 58, 1):

= 30405 kg .

II —

35    .

-P a (l — a) ,

48 fl    v    -und mit l = n A, a = m A an Stelle von 2:

48 f n

P m (n -— m) ,

also speziell in unserem Falle mit A — 3 m, n = 10, f — 4,625 m für P= 1:

3 = y'— m (10 — m) ,

EU §

444

V. Bogenfachwerke, und speziell in unserem Falle mit A = 3 m, n = 10, f = 4,625 m für P — 1:

(10 — w) (100 + 10    — m²),

7400

woraus für

Ii =

0    0,3978    0,7524    1,0301    1,2065    1,2669.

Setzen wir den in den Formeln § 58, 2), 3) für vollwandige Träger auftretenden Mittelwert c von J cos cp im vorliegenden Falle, dem Scheitelquerschnitt F vom Schwerpunktsabstand h der Gurtungsquerschnitte entsprechend, näherungsweise (wie vor Anordnung des Querschnitts bestimmbar):

400 • 125²

h²

= 1562 500 cm⁴,

so ergeben sich durch eine gleichmäßige Temperaturänderung i aller Stäbe:

15 • 1562500 • 24,725    ₀₀₀    ,

-₈ , 462|5,    « = 338,64, kg,

und durch eine Änderung der Spannweite um Al:

15 • 1562 500 • 2150000 8 • 462,5 ²-3000

Al = — 9815 Alk g .

Bemerkungen. Nach den Formeln § 58, a), b) hätten wir erhalten durch das Eigengewicht:

35 • 1250 • 30²

n...... 35 gl² _

288 f

durch eine Einzellast P bei a an Stelle von 1:

288 - 4,625

= 29561 kg,

woraus für

=    0,4257    0,7568    0,9932    1,1351    1,1824.

Vergleiche aller hier ermittelten Werte mit den Ergebnissen der genauen Berechnung siehe Tabelle IV (S. 440).

Beispiel 119. Zweigelenkbogenfachwerk. Vorläufige Berechnung des Horizontalschubs nach Fachwerkformeln.

Für das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk nach den Formeln 5 bis 7 des vorigen Paragraphen den Horizontalschub H zu berechnen: a) Durch das auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Eigengewicht von g = 1250 kg pro Meter; b) durch Einzellasten P — 1 in allen Knotenpunkten der Fahrbahn;

c) durch gleiche Temperaturänderungen t aller Stäbe und durch eine Änderung A l der Spannweite, wobei zu setzen sind: E— 2150000 kg pro qcm. a = 0,0000115 (Flußeisen), also Ea = 21500000 • 0,0000115 = 24,725, l Ea = 3000 • 24,725=74175. In den Formeln sollen probeweise verwendet werden: ß = 1, f₀ = 200 qcm wie in den zwei Mittelfeldern, ß = 0,75, f₀ = 150 qcm wie im dritten und achten Feld und im Mittel, ß = 0,5, f₀ = 100 qcm wie in den zwei Endfeldern.

Die Stabkräfte q durch einen Horizontalschub H = 1 allein wurden bereits in Beispiel 108 berechnet; sie sind in nachstehender Tabelle VI für die Gurtungsstäbe mit deren Längen s zusammengestellt. Durch Multiplikation ergeben sich die beigesetzten s p und s p², worauf letztere für den Obergurt und Untergurt addiert wurden (siehe Tabelle VI S. 446).

P m (n — m) (rfi -)- n m — m²),

Wir haben damit nach § 58, 5) —7) durch beliebige Belastung:

o_u

6560 • 2 + 8930 • 2 ß ’

durch gleiche Temperaturänderungen z aller Stäbe:

H=.

und durch eine Änderung Al der Spannweite:

H = —

74 175 f₀ r

6560 ■ 2 + 8930 • 2 ß

2150000 f₀ A l

6560 • 2 + 8930 - 2 ß

kg,

kg .

a)    Eigengewicht. Die diesem entsprechenden Stabkräfte A für H = 0

wurden bereits in Beispiel 109 berechnet; sie sind für die Gurtungsstäbe in der folgenden Tabelle VII angeführt und daneben die durch Multiplikation mit obigen sq erhaltenen    Mit Rücksicht auf die ebenfalls angegebenen Summen der

letzteren erhalten wir durch das Eigengewicht allein:

230 613 655 + 192 986850 ß 6560 + 8930 ß

0,75 28318

während der genaue Wert nach Beispiel 109 ist H = 29542 kg. Siehe auch die Vergleiche in Tabelle IV (S. 440).

b)    Einzellasten. Die Stabkräfte A für 11 = 0, welche je zwei symmetrisch zur Bogenmitte gelegenen Knotenpunktslasten P = 1 entsprechen, wurden bereits in Beispiel 110 berechnet; sie sind in der folgenden Tabelle VII eingetragen und daneben die durch Multiplikation mit den s p der Tabelle VI erhaltenen spi. Die a = 0 und 30 m entsprechenden A konnten wegbleiben, da sie für alle Gurtungsstäbe gleich Null sind (siehe. Tabelle III S. 423).

Mit Rücksicht hierauf ergeben sich nach 1: für a = 0 oder 30 m

und speziell für

11 =

27347

29670 kg,

H = 0,

4896 + 4870 ß 13120 + 17 860 ß ’ 10503 + 9342 ß 13120 + 17 860|J    '

15392 + 13 096 ß 13120 + 17 860 ß ’ 19435 + 15472 ß 13120 + 17 860 ß ' 21739 + 15 472 ß 13120 + 17 860 ß '

Diese Ausdrücke liefern durch eine Einzellast P = 1:

wenn

» a= 3

„ a— 6

„ a = 12

„ n = 15

27 „

24 „

21 „

18 „

ii =

für a = 3 oder 27 m

» a = 6

»o=9 ,, a = 12 „ a = 15

0,5

0,75

0,3152

0,6406

0,9196

1,1268

1,2011

0,3325 0,6882 0,9950 1,2322 1,3367.

Vergleiche mit den Ergebnissen der genaueren Berechnung siehe in Tabelle IV.

H = 11 = H =

H = 11 =

0,3224

0,6604

0,9509

1,1706

1,2575

c) Temperatureinflüsse. Ausweichen der Widerlager. Die Gleichungen 2, 3 liefern für

ß = 1, fo — 200 qcm durch Temperaturänderungen z:

11 =

durch Änderungen Al der Spannweite: 13880 Al

ß = 0,75, f₀ = 150 qcm

ß = 0,5, f₀ = 100 qcm

478,86 t

419,62 r

336,39 z

12163 Al

9751 A l.

H =

Vergleiche mit den genaueren Ergebnissen enthält auch hierzu die Tabelle IV.

Q/

co

cq^io^o^r-^c^ O tH i-H Ci G0 HG2CDOIO CO (M TjH 1-H HM ^

8930,3

—    369,6

—    470,4

—    625,3

—    855,8

—    1116,9

— 3438,0

P = 2 bei a = 15 m

89,2

—    636,9

—    2540,1

—    6952,6

—    11520,0

-21739

—    395,1

—    1441,3

—    4130,1

—    9505,9

— 15472

—    0,787

—    2,230

—    4,762

—    8,511

-12,000

O »O ffl H Hl O <M rH 00 C0 00 io O Ö'<N H 00

Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 269. Tabelle VI. Zur vorläufigen Berechnung.

Stablängen s in cm

Stab-

kräfte

b(5 s

Stablängen s in cm

Stab

kräfte

— 1,110

—1,470

—    2,017

—    2,815

—    3,723

CCOO-f o

COOJHOO CO CO CO CO CO

. rH . <M .CO .    .1-0

CS3 Csj Csj Csj

c7 cc tjT cf

CM C5 (M O <M CO

H^CD-H 0^0^ cd~ ic? ceT ccf cT i—( oo co <—I CD HcqiOGoa

00 (M 00 CO O N IO l>(M O-CO 05    OJ

o⁻© H'ofco'

o o o o o o o o o o CO CO CO CO CO

Für den halben Bogen

6559,6

2709,3

Für den halben Bogen

Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 269. Tabelle VII. Eigengewicht und Einzellasten.

P=1 bei a = 12 und 18 m

P= 1 bei a = 9 und 21 m

P = 1 bei « = 6 und 24 m

P = 1 bei a = 3 und 27 m

Eigengewicht

89,2 —0,787 |—    89,2

636,9 —2,230

636,9

—    2540,1    —4,762    —    2540,1

—    5214,3    —8,511    —    6952,6

—    6912,0    —9,600    —    9216,0

89,2 —0,787

—    2,230 — 636,9 —2,230

—    3,175 -1693,5 —4,762

—    4,255 -3475,9 —6,383

—    4,800 —4608,0 —7,200

— 0,787

89,2

—    318,4

—    846,5

—    1738.4

—    2304,0

1506746 —0,787 9555319 — 1,115

—    62500 — 33337500 — 1,587

—    95745 — 78214090 —2,128

—    112500 —108000000 —2,400

—    13287

—    33457

, H. 04. CO    lO -

owmws i< ^    ^ ><;

— 19435

— 15392

-10503

968 k-

-230613655

Für den halben Bogen

0,840 —    395,1

2,305 — 1441,3 4,826 — 4130,1 8,511 — 9505,9

—    395,1

—    1441,3

—    4130,1

—    7129,2

o *o co co

^O(MG0 00 CO GO CO O © <N ©

—    395,1

—    1441,3

—    2753,1 -4752,4

CICNO

rt^OHLO

°OCO<NC*

oowwTf

—    395,1

—    721,0 -1377,0 —2376,8

O CO Ci GO ^lOOM GO rH O p-H

O O i"H i“H d

—    6666979

—    21617872

—    54200381 —110501618

14173

34572

63333

98936

[sTtsfCsfCSJ

— 15472

— 13096

— 9342

— 4870

— 192986850

Für den halben Bogen

Bemerkungen. Da für eine auf die ganze Fahrbahn gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit nach § 12, 8):

H = F u ,

unter F den Inhalt der ganzen Einflußfläche für H verstanden, welcher durch obige Werte von H für Einzellasten P — 1 bestimmt ist, so hätten wir den Horizontalschub durch das gleichmäßig verteilte Eigengewicht (welches allerdings nicht nur in den Knotenpunkten des Obergurts angreift), angesichts der hier erreichbaren geringen Genauigkeit auch ohne die unter a) vorausgesetzte Berechnung der Werte A ermitteln können. Für ß — 1 beispielsweise ergeben sich:

F= 2 •

„ l 0,3152

³l—T~

0,3152 + 0,6406

0,6406 + 0,9196

0,9196 + 1,1268

1,1268 + 1,2011

6 (0,3152 + 0,6406 + 0,9196 + 1,1268 + 0,60055) = 21,6165 ,

H — 21,6165 u ,

und mit u — 1250 kg H = 27002 kg, um 1,2% kleiner als der oben für ß = 1 erhaltene Wert H= 27347 kg.

Den Beitrag der Temperaturänderungen hätte die in der Fußnote S. 439 angeführte Formel geliefert:

H = —

2709 — 3438 6560 + 8930%

und speziell für die obigen ß, f₀:

H = 232,72 t

gegenüber dem genauen Werte 356,71 t:

— 34,76%

Sie wäre also im vorliegenden Falle ganz unbrauchbar. Es liegt dies nicht etwa an der Einführung mittlerer Gurtungsquerschnitte, denn mit den genauen Querschnitten hat sich am Schlüsse des Beispiels 108 eine ähnliche Abweichung ergeben.

24,725 T=.

18024,5 f₀ % 6560 + 8930 ß ’

203,93 T

163,48 r,

— 42,83%

— 54,17%.

¹

p-3- Pa(l — a)(l^+la—a^,

oder, wenn A die Feldlänge, n die Felderzahl bedeuten, mit l — nA, a — mA:

²

8 fn

¹ Pirlet, Fehleruntersuchungen bei der Berechnung mehrfach statisch unbestimmter Systeme, Aachen 1909 (Dissertation). Siehe auch Hertwig, Beziehungen zwischen Symmetrie und Determinanten in einigen Aufgaben der Fachwerktheorie, Wüllner-Festschrift, Leipzig 1905.

§ 59. Einsenkungen und sonstige Verrückungen der Knotenpunkte von Fachwerken. Gegenseitigkeit der Verrückungen.

'k

Es handle sich um die Verrückung eines beliebigen Knotenpunktes K in beliebiger Richtung e für einen beliebigen Belastungsfall (Lasten oder sonstige äußere Aktivkräfte, Temperaturänderungen, Bewegungen der Stützpunkte), welchem Längenänderungen As der notwendigen Stäbe entsprechen. Für den Fall, daß die notwendigen Stäbe und Reaktionskomponenten (das Hauptsystem) allein vorhanden wären und nur eine äußere Kraft Q — 1 an K in der Richtung e wirkte, mögen die Beanspruchungen der notwendigen Stäbe durch co und die virtuelle Arbeit (S. 403) der notwendigen Reaktionen durch a bezeichnet sein. Dann hat man die Verrückung des Knotenpunktes K in der Richtung e, bei vertikal nach unten gerichteten e also die Einsenkung von K:

e — 2o) As — a.

Fig. 283.

¹ Erste Ableitung auf Grund des Prinzips der virtuellen Verrückungen § 56, 3): Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks, Zeitschrift des Architekten- und lngenieurvereines zu Hannover 1874, S. 509. Bezüglich a siehe Luegers Lexikon der gesamten Technik, zweite Auflage, Band 3, S. 554, Artikel Fachwerke, statisch unbestimmte.

Diese Gleichung¹ liefert für den gewöhnlichen Fall prismatischer Stäbe von konstanten E, a mit § 56, 4):

c=^b^+aT)Sft>-a’

oder mit der bereits durch § 57, 8) eingeführten Bezeichnung c = ~:

e = F-^o)S-\-Faxsa) — a,

worin die Summen F sich auf die notwendigen Stabkräfte beziehen und S, x die wirklichen Stabkräfte und Temperaturänderungen derselben in dem vollständigen Fachwerk für den gegebenen Belastungsfall bedeuten. Meist hat man in 1 bis 3 a — 0. Dies gilt insbesondere dann, wenn alle Stützpunkte mit Hauptreaktionen festliegen oder wenn das Hauptsystem ein Balkenfachwerk darstellt, weil dann die Knotenpunkte mit Hauptreaktionen gar nicht oder nur senkrecht zu den letzteren verschiebbar sind. Sind dann die Elastizitätsmoduln E und Ausdehnungskoeffizienten a für alle Stäbe gleich groß (gleiches Material), so folgt aus 3:

“ Fc o) 5-j- aFx sco.

Die Berechnung der Einsenkungen und sonstigen Verrückungen beliebiger Knotenpunkte K in beliebigen Bichtungen e könnte nun, abgesehen von vereinfachenden Besonderheiten des einzelnen Falles, beispielsweise wie folgt vor sich gehen, a) Auswahl der notwendigen Stäbe von Längen %, s₂₎ . . ., dieselben mögen in dem vollständigen Fachwerk durch die gegebenen äußeren Aktivkräfte (Lasten usw.) und Temperaturänderungen x₁, x₂, ■ • ■ Beanspruchungen Sx, S₂, • ■ • erleiden (bei statisch bestimmten Fachwerken oder solchen mit überzähligen Beaktionskompo-nenten allein sind dies alle Stabkräfte), b) Berechnung der Beanspruchungen (ox, co₂, • • • der notwendigen Stäbe sx, s₂, ■ ■ ■, wenn allein am Knotenpunkte K eine äußere Kraft Q = 1 in der Bichtung e wirkt, alle überzähligen Stäbe und Beaktionskomponenten aber wegbleiben, c) Sind dann Fx, F₂, . . . die Querschnitte, Ft, E₂, . . . die Elastizitätsmoduln, alf a₂,    ■ die Ausdehnungskoeffizienten der notwendigen Stäbe sx, s₂, ■ ■

so folgt die gesuchte Verrückung e in der Bichtung e aus obigen Gleichungen. Ergibt sich e negativ, so hat die Verrückung entgegengesetzt der angenommenen Bichtung e stattgefunden.

Nach 3 hat man im Falle a — 0 für die Verrückung eines beliebigen Knotenpunktes Kx in beliebiger Richtung ex:

6-^ — 2    & -}— 2 cc t s y

e2x

Fig. 284.

und für die Verrückung eines beliebigen Knotenpunktes K₂ in beliebiger Richtung e₂:

e₂ — 2    (o₂ S + 2 a t s a₂ .

Diese Gleichungen gelten für alle Belastungen und Tem-1    peraturänderungen. Es folgt daraus beispielsweise der

eJ    Wert von ex durch eine Kraft Q — 1 an A'₂ in der Richtung

e₂ allein mit S = to₂:

et —

V c

² -gT w2 , und der Wert von e₂ durch eine Kraft Q = 1 an iq in der Richtung ex allein

„ e

— 2 —g- "2 ’

wonach e₂ = ex oder in Worten: Durch eine an dem beliebigen Knotenpunkte Kx in beliebiger Richtung ex wirkende Kraft Q — 1 erleidet ein beliebiger Knotenpunkt K₂ in beliebiger Richtung e₂ die gleiche Verrückung, welche eine am Knotenpunkte K₂ in der Richtung e₂ wirkende Kraft Q = 1 für den Knotenpunkt Kx in der Richtung ex zur Folge hat.

1 erleiden zwei

/h

Fig. 285.

Dieser Satz von der Gegenseitigkeit der Verrückungen wurde zuerst 1864 von Maxwell ausgesprochen¹; er kann manche Ableitungen erheblich vereinfachen, die Berechnung der Einsenkungen insbesondere dann, wenn diese für verschiedene Knotenpunkte interessieren. Denn es ist danach die Einsenkung eines Knotenpunktes Kx durch eine Last 1 in K₂ gerade so groß als die Einsenkung des Knotenpunktes fif₂ durch eine Last 1 in Kx. Auch läßt der Satz verschiedene Erweiterungen zu². So erhält man bei analogem Vorgehen wie oben: Durch zwei an beliebigen Knotenpunkten Kx, kx in deren Verbindungsgeraden einander entgegenwirkende Kräfte Q beliebige Knotenpunkte K₂, k₂ die gleiche Entfernungsänderung, welche zwei an den Knotenpunkten K₂, k₂ in deren Verbindungsgeraden einander entgegenwirkende Kräfte Q = 1 für die Entfernungsänderung der Knotenpunkte Kx, kx zur Folge haben.

Aufgabe 40. Einsenkungen für einfachste Fälle.

Für die in Aufgabe 35 behandelten Fälle Fig. 286 (Bogen mit drei Gelenken) und 287 (Dreigelenkbogen mit Zugstange) die Einsenkungen e des oberen Knotenpunktes durch eine beliebige Last P und gleiche Temperaturänderungen r der Stäbe nach dem Verfahren des § 59 zu bestimmen.

\F

s.

7b S

F,

Fit

TT

Fig. 287.

Fig. 286.

Im Falle Fig. 286 verlangt das Gleichgewicht am oberen Knotenpunkt:

p+2 s —

Ps 2 h ’

wonach durch eine Kraft Q = P= 1 allein für beide Stäbe:

= o,

(0 =

2h ’

Durch Substitution dieser S, a> und a = 0 in § 59, 2) folgt:

oder

--CC X

Im Falle Fig. 287 sind Bedingungen fürs Gleichgewicht am oberen Knotenpunkt und am Auflager rechts:

P+ 2 S —

= 0,

■woraus

¹    Maxwell, On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames, PhilosopFical Magazine 1864, XXVII, S. 294. Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerkes, iTeitschr. d. Architekten-und Ingenier-Vereins zu Hannover, 1875, S. 17.

²    Müller-Breslau, Neuere Methoden der Festigkeitslehre, Leipzig 1904, S. 58, 181, 241. Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

Ps

pi

2 h ’

und durch eine Kraft Q

P — 1 allein:

0) = —

Durch Substitution dieser S, co und a = 0 in § 59, 2) folgt:

„ / —Ps C~~ \2hEF

oder, bei Beachtung von s² —

pi

4 h E Fu

-f- ccrj l

4/i ’

'S. TH

P ( s¹ 7¹ \ 2 Elfi (VF ⁺ 8 Fu )

Dieselben Werte haben sich in Aufgabe 35 ergeben (S. 405).

Aufgabe 41. Horizontale “Verrückung eines Knotenpunktes.

Für den Fall Fig. 287 der vorigen Aufgabe die horizontale Verrückung des oberen Knotenpunktes durch eine beliebige Last P und gleiche Temperaturänderungen t der drei Stäbe zu berechnen.

Durch eine horizontale Kraft Q — 1 am oberen Knotenpunkt in der Dichtung von 0 nach l allein erhält man (Fig. 288):

VI+ 1 • h — 0 ,

V = —

Die Bedingung „Summe aller Vertikalkräfte gleich Null“ für diese Kraft Q = 1 allein in Anwendung auf die beiden unteren Knotenpunkte lautet:

v‘ + «₂ -

f+ r' = o,

woraus

Q-i

= 0,

>-

>•

= 0,

a>i ':h cvi>

woraus mit den darüber stehenden Werten von F, V‘:

~ü

®₁ = T

co₂ = —

Fig. 288.

während das Gleichgewicht am Auflager rechts erfordert:

wk + w2 — 0 >

Mit diesen co und den bereits in der vorigen Aufgabe erhaltenen Stabkräften S sowie a = 0 liefert § 59, 2) die horizontale Verrückung des oberen Knotenpunktes in der Richtung von 0 nach l:

— Ps

2h E F

A s (— — —) + (—?-L— + Et)

) V l l \ihEFu^ )

T’

Der Ursprung der Koordinaten liege im Auflager 0. Nach § 59, 2) ist die Verrückung eines Knotenpunktes K in bestimmter Richtung durch Bewegungen der Stützpunkte e = — a, unter a die Arbeit der notwendigen Reaktionskomponenten durch eine Kraft Q — 1 an K in jener Richtung während der fraglichen Verrückungen verstanden. Die Arbeit einer Kraft ist positiv oder negativ je nachdem die Bewegung ihres Angriffspunktes in der Richtung der Kraft oder entgegengesetzt derselben stattfindet (S. 403).

a) Beim Stabsystem Fig. 286 entstehen durch eine Vertikalkraft Q = P= l am oberen Knotenpunkt ein Horizontalschub -Ä- und die Vertikalreaktionen y, wonach die verlangte Einsenkung:

-Al--

4 h    2

b) Beim Stabsystem Fig. 287 entstehen durch die Vertikalkraft Q — P — 1 am oberen Knotenpunkt nur Vertikalreaktionen y, so daß die verlangte Einsenkung ;

e = — a =

c) Beim Stabsystem Fig. 287 entsteht durch eine Horizontalkraft Q — 1 am oberen Knotenpunkt in der Richtung von 0 nach l am Auflager l eine Ver-

h

tikalreaktion y (Aufgabe 41), womit die verlangte Verrückung jenes Knoten-

punktes in dieser Richtung:

~TAk'

Diese Werte wären also bei Berücksichtigung von Bewegungen der Stützpunkte den Ausdrücken 1, 2, 3 der Aufgaben 40, 41 zu addieren. Die Einsenkung 4 haben wir auf anderen Wegen bereits in den Aufgaben 14 und 36 erhalten, während sich 5 unmittelbar angeben läßt.

Beispiel 120. Zweigelenkbogenfachwerk. Einsenkungen, direkt berechnet.

Für das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk Fig. 269, 289 zu berechnen die Einsenkungen e des mittleren Knotenpunkts im Untergurt: a) Durch das Eigengewicht von g = 1,25 t pro m, wovon 0,60 t auf die Knotenpunkte des Obergurts und 0,65 t auf diejenigen des Untergurts kommen; b) durch gleiche T emp er aturänderungen t aller Stäbe; c) durch einen beliebigen Horizontalschub Pf allein; d) durch eine Änderung    ..

der Spannweite um A l.    ?5S f3G f⁸* \

Der Elastizitätsmodul jj bXjöo 'söö'^'äöö .......*'

und Ausdehnungskoeffizient sind zu setzen: E

525cm

x, Xt

300    300

525cm-

WO cm.

1500cm.

V'

Fig. 289.

= 2150 t pro qcm, a =

0,0000115 (Flußeisen).

— 2 c u S cc 2 s o) r

Da für unser Zweigelenkbogenfachwerk nach § 53, 26):

S — A + Hq,

worin A den Wert der Stabkraft S in dem angenommenen Belastungs- und Temperaturfall für H = 0 und q ihren Wert durch H — 1 allein bedeuten, so können wir auch schreiben:

mit

Handelt es sich um beliebige Belastung und beliebige Temperaturänderungen r der einzelnen Stäbe des Fachwerks, welchen die Stabkräfte S entsprechen, während durch eine an einem bestimmten Knotenpunkte vertikal nach unten wirkende Kraft 1 allein für H = 0 die Stabkräfte co entstünden, so hat man nach § 59, 4) die Einsenkung dieses Knotenpunktes in jenem Belastungs- und Temperaturfall:

c = -y'

2c(dQ + a2sa> t.

Die Einsenkungen lassen sich nun wie folgt direkt nach diesen Ausdrücken, oder, sofern es sich um Belastungen der Fahrbahn handelt, wie im nächsten Beispiel mit Hilfe der Einflußlinie berechnen.

Für das vorliegende Bogenfachwerk wurden die Stablängen s und Werte c in Beispiel 108 gegeben; sie sind in der folgenden Tabelle VIII wieder angeführt. Die Stabkräfte co durch eine Last P = 1 am mittleren Knotenpunkte des Untergurts für 77=0 sind statisch bestimmt und also nach bekannten statischen Methoden leicht zu berechnen. Für unseren Fall wurden die Stabkräfte 2 co (P=2 entsprechend) schon in Beispiel 110 unter b) erhalten, nur für V₅ ist zu beachten, daß dort P im mittleren Knotenpunkte des Obergurts angriff, während beim Wirken im mittleren Knotenpunkte des Untergurts das V₅ entsprechende co gleich Null ist. Auch die co konnten hiernach in der folgenden Tabelle eingetragen werden. Durch Multiplikation mit s, c ergaben sich die beigesetzten sco, cco und durch Addition der sco für den halben Bogen — 207,9.

Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 269. Tabelle VIII. Einsenkungen betreffend.

Stabkräfte

Stablängen s in cm

cV

s co

C (O

Durch das Eigengewicht

Durch 1

S in t

c co S

C CO Q

320    1,600    0,4200

310    1,550    1,1525

304    1,520    2,4130

300    1.500    4,2555

485    8,083    0,6360

403    5,757    0,9695

355    4,437    1,4985

331    3,678    2,0560

325    3,250    1,8905

118,0

334,5

714,3

1276,6

1800,0

134.4 357,3

733.6 1276,7

308.5

390.7

Ci Ol

614.4

262.5

246.6

214.6 166,4

102.6

— 1,180 —

—    2,676 —

—    4,762 —

—    7,294 —

—    9,000 —

0,672 — 1,786 — 3,668 — 6,383 — 5,141 5,581 6,649 7,562 6,144

—    5,250 —

_4,930 —

—    4,291 -

—    3,504 —

—    2,050 —

2,120

5,333

9,974

15.302 17,966 32,792 29.254 25.014 19,828 11,049

3,451

4,328

5,499

5,874

2,912

3.595

4,674

4,713

4.302 2,904 1.800

2,502

—    19,659 —

—    44,675 —

—    72,729 —

—    70,526 — 17,742 — 24,155 — 36,563 — 44,419 — 17,891 — 18,874 23,043 20,223 15,074

5,953

0,378 — 0,446 0,952 — 2,548 1,778 — 8,467

2.723    — 19,862 3,200 — 28,800 1,110 — 0 1,470 2,017 — 3,602 2,815 — 10,325

3.723    —23,764 0,610 — 3,136 0,771 — 4,303 0,978 1,042 — 7,880 0,516 — 3,170 0,480 — 2,520 0,515!— 2,539 0,521 — 2,236 0,444 — 1,556 0,199 — 0,408

0,988

6,503

Für den halben Bogen

207,9

353,924

-133,053

a) Eigengewicht. Die Stabkräfte S durch das Eigengewicht wurden in Beispiel 109 berechnet, sie sind in unserer Tabelle VIII angeführt und ebenso die entsprechenden durch Multiplikation mit cco erhaltenen ccoS. Mit Rücksicht auf deren beigefügte Summe für den halben Bogen liefert 1 die Einsenkung durch das Eigengewicht:

353,924 • 2

2150

= 0,329 cm .

Selbstverständlich hätten wir unter Verwendung der in Beispiel 109 bestimmten A, H auch nach 3 rechnen können, und ebenso würde diese Gleichung mit den in Beispiel 110 bestimmten A, H für beliebige Belastung verwendbar sein.

b) Horizontalschub allein. Wir könnten natürlich wieder zunächst die Stabkräfte berechnen, die nach 2 mit .1 = 0 jetzt S = Hg wären, und die

Einsenkung damit aus 1 erhalten, doch führt 3 schneller zum Ziel. Die Stabkräfte q durch H — 1 allein wurden in Beispiel 108 ermittelt; sie sind in der vorletzten Kolumne der Tabelle VIII eingetragen. Durch Multiplikation mit den bereits bekannten coj ergeben sich die in der letzten Kolumne angeführten cca g. Mit ihrer Summe liefert 3 die Einsenkung durch einen beliebigen Horizontalschub H allein:

133,053    _

—_____XZ “

— 0,123 77 H cm ,

2150

wobei H in Tonnen einzusetzen.

c) Temperaturänderungen. Durch gleiche Temperaturänderungen z aller Stäbe ensteht nach Beispiel 108 ein Horizontalschub H — 0,35671 z Tonnen, und damit nach 3 bei Berücksichtigung von Tabelle YHI eine Einsenkung:

e — — 0,123 77 • 0,35671 z — 0,0000115 z • 207,9 • 2 = — 0,048 93 z cm ,

also beispielsweise für z = + 25°:

e — + 1,223 cm .

d) Ausweichen der Widerlager. Durch eine Änderung der Spannweite um A l cm entsteht nach Beispiel 108 ein Horizontalschub H = — 10,340 A l Tonnen, und damit nach b) oder unmittelbar nach 3 eine Einsenkung:

e — 0,123 77 • 10,340 A l — 1,280 Al cm ,

also beispielsweise für A l = + 1 cm:

e = ± 1,280 cm .

Käme eine (positive oder negative) Senkung des Stützpunktes 0 gegen den Stützpunkt l hinzu, so hätte man natürlich:

e — 1,280 Al — 0,5 ü .

Bemerkungen. Für parabolische Yollwandbogen von konstantem J cos cp hätte man nach § 20 bei Yernachlässigung von e gegen 1 durch eine Temperaturänderung z:

25 12 128 f

durch eine Änderung der Spannweite um A l und eine Senkung, des Stützpunktes 0 gegen den Stützpunkt l:

e= — at[f +

25 l

A Je

Diese Gleichungen liefern im vorliegenden Palle mit dem auf den Schwerpunkt des Scheitelquerschnitts bezogenen Pfeil f = 462,5 cm:

25 • 30002 128 • 462,5

— 0,049 03 t cm ,

e — — 0,0000115 t (462,5 +

(für t = + 25° e — + 1,226 cm) und

A Je

A l —    = 1,267 Al — 0,5 A Je cm

25 • 3000 128 • 462,5

gegen oben erhaltene e = 0,04893 z (für z — + 25° e = + 1,223 cm) und e — 1,280 Al — 0,5 Ak, also nahezu richtig.

Ganz anders steht es mit den Einsenkungen durch Belastungen, wie schon ein Vergleich der Einflußlinien Fig. 136 und 290 erwarten läßt. So ergibt die für flache Parabelbogen aus Gleichung 19 der Aufgabe 15 bei Vernachlässigung von e entstehende Näherungsformel für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit

1024 E Ff 2

durch das Eigengewicht unseres Bogens von 12,5 kg pro cm:

25 • 12,5 • 3000*

1024 • 2150000 • 400 • 462,52

= 0,134 cm

während oben e = 0,329 cm erhalten wurde.

Beispiel 121. Zweigelenkbogenfachwerk. Einsenkungen mit Verwendung ihrer Einflußlinie berechnet.

Für das in Beispiel 108 und im vorigen Beispiel behandelte Bogenfachwerk zu bestimmen: a) die Einflußlinie der Einsenkung e des mittleren Knotenpunkts im Untergurt; b) diese Einsenkung durch die in Fig. 269 angedeutete Verkehrslast und die Grenzwerte der Einsenkung; c) die Einsenkung durch beliebige Lasten P in allen Knotenpunkten des Obergurts mit Ausnahme der beiden

äußersten, in welchen — wirken,; d) die Einsenkung durch eine auf die Fahrbahn gleichmäßig verteilte Last von p und speziell von p = 1,25 t pro Meter.

a) Die Einflußlinie der Einsenkung e hat zu jeder Abszisse a als Ordinate b den Beitrag der Last P= 1 bei a zu e (§ 12). Die Einsenkung in der Mitte durch eine bei a gelegene Last P — 1 ist halb so groß als die Einsenkung daselbst durch zwei um a von beiden Stützpunkten entfernte Lasten P — 1. Für solche wurden die Stabkräfte A für H — 0 bereits in Beispiel 110 berechnet, wir haben sie in der folgenden Tabelle IX wieder angeführt und daneben die durch Multiplikation mit den c co des vorigen Beispiels erhaltenen ctoA. Mit Rücksicht auf die beigefügten Summen der letzteren, den schon im vorigen Beispiel verwendeten Wert

133,053*2

2150

= — 0,123 77

pi

Längenänderung

4 h Fu E

und die in Beispiel 110 bestimmten Horizontalschübe H durch Knotenpunktslasten P = 1 ergeben sich nach Gleichung 3 des vorigen Beispiels die Ordinaten der Einflußlinie von e:

für a— 0 oder 30 m

5,25

2150

— 0,123 77 • 0,0242 = 0,002 442 — 0,002 995 = — 0,000 55

11

27 „

103,743

2150

— 0,123 77 • 0,3863 = 0,048 253 — 0,047 812 =

0,00044

» «= ⁶

24 „

197,993

2150

— 0,123 77*0,7106 = 0,092090 — 0,087 951 =

0,00414

11

21 „

285,570

2150

— 0,123 77 • 0,9946 = 0,132 823 — 0,123102 =

0,009 72

„ « — 12

ii

18 „

358,025

2150

— 0,123 77*1,2033 = 0,166523 — 0,148932 =

0,01759

„ « = 15

ii

395,599

2150

— 0,123 77 *1,2941 = 0,184000 — 0,160171 =

0,02382 .

Die Linie ist in Fig. 290 verzeichnet, bei ihrer Verwendung sind die Lasten in Tonnen einzusetzen. Vorstehende Ansätze zeigen, daß ohne die subtraktiven Glieder, das heißt ohne den Horizontalschub, die Einsenkungen ganz bedeutend größer wurden.

Wir haben nun durch beliebige Belastung der Fahrbahn, wenn P₀, Pi, ., . Pio die entsprechenden Knotenpunktslasten bei den Vertikalen 0, 1, ... 10 bedeuten:

e = — 0,00055 (P₀ + Ao) + 0,00044 (Pj + A>) + 0,00414 (P₉ + P₈) +

0.009 72 (P₃ + P₇) + 0,01759 (P₄ + P₆) + 0,02382 P₅ cm ,

worin die P in Tonnen einzusetzen sind, während mittels der Einflußlinie

e = 2 Pb

6,56,56,5    6,56,56,56,56,5    6,56,56,5t

l,s\l,5    4,5    \l5 1,5 1,5 1,5    4,5    1,5 1,5 m

-0,00055

\0,oom

0,00044

0,00952

0,00972

O,oou6..

g io

-0,00055

0,01759 : 0,01759 < 0,02362 >

0,00044

Fig. 290.

unter F die Einflußfläche auf dieser Strecke verstanden (§ 12).

auch ohne Bestimmung der Knotenpunktslasten erhalten werden kann. Speziell für eine auf eine beliebige Strecke der Fahrbahn gleichmäßig verteilte Last von p pro Längeneinheit hat man:

<? =p f ,

a = lo m

co) A

Ol t' M35 O (N tO l> t' O © 05 CO © ©

o ©"

IN « 00 CH © O

rH

^MNSONMOOOffl-ülHH

OHOiMniNNOMlOb^t'W

W, H, ^ W. ‘‘J ®. ®« O.'N N„ W ® H, ®,

“ IO O ® O N O

t' ^ O O Ol H M I—I ©    1—I H 05 CH

395,599

P = 2 bei

—    0,787

—    2,230

—    4,762

—    8,511

—    12,000

0,840

2,305

4,826

8,511

1,272

1,939

2,997

4,112

3,781

1,000

1,294

1,595

1,761

1,454

12

Zweigelenkbogenfachwerk Fig. 269. Tabelle IX. Einsenkungen betreffend.

t = <r

UI

CO) A

OH CH © CH © 00

^bNOOlNMOfflOOlftlHH

©rH©eH©CHCH©©©Cr-rtlCrCO

© rH C^ © ©_ GO © © CH CH^ © 00 rH ©^ " l> r# co'¹ o¹ oT H rH IO    rH rH ©

tr io co co cd cn ©

358,025

und

c co A

—    0,787

—    2,230

—    4,762

—    8,511

—    9,600

CH © Tt< CH H ©

0,840

2,305

4,826

8,511

1,272

1,939

2,997

4,112

1,181

— 1,000

—    1,294

—    1,595

—    1,761

—    1,454

HHCrCH©©CHCr©Cr©©'rHrH© ©H©rd©CHCHHt(©OCrrt<Cr© l°. H. ^ C; >0 M O Tf -# IN ©^ * H O

"'©©©©©©'cocdcocT©

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O O TH

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rH rH

1285,570

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TfOiNOOt'MOlt'XOOlffltOTlI

00©00©CH©©CrOO©CH©Cr©

UI

co) A

cm A

und

30 m

co) A

C <o

cT ©

lOHMOO^HC-rH © r^    © CH

O    CH    eo    rjf    rtf ©

IC *“H rH

—    0,787

—    1,115

—    1,587

—    2,128 — 2,400

^Ht^OOCiCICO»—ilCOCiH^OlC OHOOCO(MCCO(MOh^COO

" CO O 1> oo“ « io ® CO* H o" O

0,840

2,305

3,217

4,255

1,272

1,939

1,118

1,185

0,590

- 1,000

—    1,294

—    1,595

—    0,508

—    0,227

^C5WMC5HN^(M005050(N OlOOCOCOCHQOHlONNOiCO io O Q O io ^ ^ ^ GO^ W CO (N GO^ (N

o o d d « d d w ^ h d d h o o o

0,840

1,153

1,609

2,128

1,272

0,441

0,559

0,593

0,295

— 1,000

—    1,294

—    0,298

—    0,254

—    0,113

—    0

5,250

197,993

103,743

5,250

0,672

1,786

3,668

6,383

5,141

5,581

6,649

7,562

6,144

—    5,250

—    4,930

—    4,291

—    3,504

—    2,050

halben Bogen

b) Durch die in Fig. 290 angedeutete Verkehrslast entsteht eine Einsenkung:

e = 8,5 (0,02382 + 0,207 05*2 + 0,01759*2; + 6,5 (0,00693 + 0,00414 + 0,002;29) 2 — 1,027 cm .

Es ist dies die größte Einsenkung durch den deutschen Normalzug für Berechnung von Hauptbahnbrücken. Beispielsweise hätte man mit einer rechts Schlot an Schlot anschließenden Lokomotive ohne Verrückung der linksstehenden erhalten e = 0,999 cm. Mit Einschluß der im vorigen Beispiel bestimmten Beiträge des Eigengewichts und der Temperaturänderungen ergeben sich nun die Grenzwerte der Einsenkung, durch Belastung entsprechend Fig. 290 und t— — 25°:

e = 1,027 + 0,329 + 1,223 = 2,579 cm ,

durch Eigengewicht allein und r = 25°:

e =

0,329 — 1,223 = — 0,894 cm .

Bezüglich der durch Änderungen der Spannweite bedingten Beiträge ist auf das vorige Beispiel zu verweisen.

c) Durch beliebige gleiche Lasten P in allen Knotenpunkten des Obergurts

P

mit Ausnahme der beiden äußersten, in welchen — wirken, entsteht nach 1 eine Einsenkung:

e — P [— 0,000 55 + 2 (0,000 44 + 0,00414 + 0,009 72 + 0,017 59) + 0,023 82] = 0,087 05 P cm ,

worin P in Tonnen einzusetzen.

d) Für eine auf die Fahrbahn gleichmäßig verteilte Last von p t pro m hat man in der letzten Gleichung P=3p und damit:

e = 0,26115 p cm .

Speziell für p = 1,25 t folgt hieraus:

e = 0,326 cm .

Im vorigen Beispiel haben wir durch ein auf die Spannweite gleichmäßig verteiltes Eigengewicht von 1,25 t pro m erhalten e = 0,329 cm. Der geringe Unterschied rührt daher, daß das Eigengewicht zum Teil auf die Knotenpunkte des Untergurts wirkte (mit 0,65 t von 1,25 t), womit der Horizontalschub 29,542 t anstatt 29,655 t (Beispiele 109 und 111) und die Beanspruchungen der Vertikalen auch direkt beeinflußt wurden.

Aufgabe 43. ^weigelenkbogenfachwerk. Künstlicher Horizontalschub. Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur.

Wie bei vollwandigen Bogen (Aufgaben 17—19 mit Beispielen 35, 36, 40, VIN), so kann auch bei Bogenfachwerken ein künstlicher Horizontalschub K zu gewissen Zwecken angewandt werden, z. B. um eine bestimmte Einsenkung aufzuheben. Der nötige Wert von H wird natürlich von diesen Zwecken abhängen. Es soll nun für den Fall, daß die Montierungstemperatur tx um rf Grad von der gewünschten Normaltemperatur abweicht (der bei fehlender Belastung und normaler Spannweite der spannungslose Zustand zu entsprechen hat), diese durch die Wahl von K zugleich auf einen gewünschten Wert, gewöhnlich die mittlere Ortstemperatur, gebracht werden.

Wir gehen wie in Aufgabe 18 vor. Für ein Zweigelenkbogenfachwerk entsteht nach § 57, 27) durch beliebige Belastung, gleiche Temperaturänderungen t aller Stäbe und eine Änderung Al der Spannweite ein Horizontalschub:

ScQA — lEai-\-EAl

h= —

Die zur Erzeugung eines beliebigen künstlichen Horizontalschubs K nötige Verminderung der Spannweite folgt hieraus:

E

Behufs der verlangten Reduktion der Normaltemperatur verringern wir weiter um lad, so daß die ganze durch Anziehen von Keilen oder auf sonstige Weise (vergl. Äbschnitt VI unter N) herbeizuführende Verminderung der Spannweite:

2 c Q²

Hierin hat d einen positiven oder negativen Wert, je nachdem die Montierungstemperatur über oder unter der gewünschten Normaltemperatur liegt.

Ist nun in der Folge tx die Abweichung der wirklichen Temperatur t des Bogens gegen seine Montierungstemperatur tx (Fig. 291) und A l eine etwaige neue Änderung der Spannweite, so hat man nach 1 den ganzen von der Temperaturänderung tx und der Spannweiteänderung Al — v herrührenden Horizontalschub :

11 =

2 CQ²

oder mit v nach 2:

irz

l E a (d -f Tj) — E A l

2 CQ²

+ K.

Fig. 291.

Bezeichnet r die Abweichung der wirklichen Temperatur t gegen die gewählte Normaltemperatur, so ist in vorstehendem Ausdruck (Fig. 291):

T = d- “j“ Tj y

und wir erhalten beim Hinzukommen einer beliebigen Belastung, der für H— 0 die Stabkräfte A entsprechen würden, mit Rücksicht auf 1:

+ K.

Der wirkliche Horizontalschub H und damit alle Stabkräfte hängen also im allgemeinsten Falle außer von dem ein für allemal erzeugten künstlichen Horizontalschub K nur von der Belastung, der Temperaturänderung r gegen die gewählte Normaltemperatur und etwaigen Änderungen Al der Spannweite nach Erzeugung von K ab.

Der künstliche Horizontalschub, welcher bei seiner Herstellung durch Verringerung der Spannweite um v nach 1 mit Al — — v den Wert hatte:

1    E a d

2    c Q² ’

Kl =

2 c Q²

erreicht nach 4 bei normaler Temperatur den vorausgesetzten Wert A, da sich für A = 0, r = 0 und Al = 0 ergibt H = K.

Will man die Reduktion der Normaltemperatur auf den gewünschten Wert ohne einen sonstigen künstlichen Horizontalschub vornehmen, so hat man nach 2, 5 mit K — 0:

*1 =

Will man dagegen einen künstlichen Horizontalschub K ohne Reduktion der Normaltemperatur erzeugen, das heißt die Montierungstemperatur als Normaltemperatur beibehalten, so liefern dieselben Gleichungen mit d = 0:

² c P² K

E J

Beispiel 122. Zweigelenkbogenfachwerk. Zur vorigen Aufgabe.

Für das in Beispiel 108 behandelte Bogenfachwerk 269, 289 zu berechnen: a) Den nötigen künstlichen Horizontalschub K und die vorzunehmende Verringerung v der Spannweite, wenn die durch das Eigengewicht erzeugte Einsenkung der Untergurtmitte aufgehoben werden soll; b) die entsprechenden Werte Kx, v bei einer Montierungstemperatur tx — 25°, wenn gleichzeitig die Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur von 10° gebracht werden soll.

a) Nach Beispiel 120 ist die Einsenkung des mittleren Knotenpunktes im Untergurt durch das Eigengewicht allein:

e = 0,329 cm

und diejenige durch einen beliebigen Horizontalschub H allein:

e = — 0,123 7? Hem ,

worin H in Tonnen einzusetzen. Soll nun die dem Eigengewicht allein ent-

2cq² '

Kx = K.

während er bei der Normaltemperatur 10° auf K = 2,658 t zurückgeht.

Bemerkungen. Selbstverständlich tritt der bei normaler Temperatur wirkende künstliche Horizontalschub K = 2,658 t in allen Fällen zu den von andern Einwirkungen herrührenden Werten von H, so daß z. B. die Grenzwerte des Horizontalschubs, anstatt wie in Beispiel 114 berechnet 125,194 t und 20,624 t, nun werden:

ZT= 125,194 + 2,658 = 127,852 t,

H= 20,624 + 2,658 = 23,282 t.

Ebenso treten die durch den künstlichen Horizontalschub erzeugten Stabkräfte K q = 2,658 q stets zu den von sonstigen Einwirkungen herrührenden Stabkräften, so daß z. B. anstatt der in Beispiel 114 erhaltenen Grenzwerte X₃ = — 75,049 t und 19,4411, mit Rücksicht auf S. 452 angeführten q nun die Grenzwerte folgen:

X₃ = — 75,049 + 2,658 • 1.778 = — 70,323 t,

X₃ =

24,167 t .

sprechende Einsenkung durch einen künstlichen Horizontalschub II — K gerade aufgehoben werden, so muß sein:

0.329 — 0,123 77 K— 0,

Die zur Erzeugung von K nötige Verringerung der Spannweite ist nach dem Ausdruck 10 des Beispiels 108 oder nach Formel 7 der vorigen Aufgabe mit E — 2150 t pro qcm und dem in Beispiel 108 berechneten Werte 2 c q² = 207,91:

2,658 10,340

b) Wenn bei Erzeugung des künstlichen Horizontalschubs gleichzeitig die Normaltemperatur von der Montierungstemperatur tx — 25° auf die mittlere Ortstemperatur von 10° reduziert werden soll, so hat man nach Gleichung 2j;der vorigen Aufgabe mit d = 25— 10 = 15° die vorzunehmende Verringerung der Spannweite:

Der künstliche Horizontalschub hat dann bei seiner Erzeugung (bei der Temperatur tx = 25°) nach Gleichung 5 der vorigen Aufgabe den Wert:

JsT, = 2,658 +

= 0,257 cm .

0,329

0,123 77

= 2,658 t .

v = 0,257 + 3000-0,0000115 *15 = 0,775 cm .

3000-2150 • 0,0000115 • 15

207,94

- 8,009 t,

19,441 + 2,658 • 1,778 =

Die Grenzwerte der Einsenkung in der Mitte des Untergurts sind nun anstatt der in Beispiel 121 (S. 465) berechneten 2,579 cm und — 0,894 cm:

e = 1,027 + 1,223 = 2,250 cm (= 2,579 — 0,329 cm) ,

— 1,223 cm (= — 0,894 — 0,329 cm) .

Beispiel 123. Bogenfachwerk mit Zugstange. Einsenkungen.

Für den mittleren Knotenpunkt im Bogenuntergurt des in Beispiel 116 behandelten Bogenfachwerks mit Zugstange Fig. 278 zu bestimmen: a) Die Einsenkung durch das Eigengewicht von g = 1,25 t pro Meter Träger, wovon 0,60 t auf die Knotenpunkte des Obergurts und 0,65 t auf diejenigen des Untergurts kommen; b) die Einsenkung durch die in Fig. 290 angedeutete Verkehrslast und die Grenzwerte der Einsenkungen durch Eigengewicht und Lokomotivbelastung; c) die Einsenkung durch gleiche Temperaturänderungen t aller Bogenstäbe und eine Temperaturänderung tz der Zugstange.

Es gelten die Gleichungen 1 bis 3 des Beispiels 120 und die Berechnung könnte nach diesen ganz wie für den Zweigelenkbogen ohne Zugstange in den Beispielen 120 und 121 durchgeführt werden, wobei auch die s, cd, p, A und der übereinstimmenden Querschnitte der Bogenstäbe wegen die c wie dort bleiben, wogegen die Werte des Horizontalschubes H nun wie in Beispiel 116 bestimmt wären. Da diese Berechnung also nichts wesentlich Neues bietet, während erwünscht ist, die Einsenkungen em, e₀ von Bogenfachwerken mit und ohne Zugstange unter sonst gleichen Verhältnissen miteinander vergleichen zu können, so wollen wir die gestellte Aufgabe im Hinblick auf die bereits durchgeführten Berechnungen für das Bogenfachwerk ohne Zugstange in den Beispielen 120, 121

behandeln. Von vornherein ist klar, daß die em durch Belastung (des Nachgehens der Zugstange wegen) größer sind als die entsprechenden e₀, während andererseits keine Beiträge zu em durch etwaiges Ausweichen der Widerlager entstünden, wie ja auch auf letztere kein Horizontalschub ausgeübt wird.

Bezeichnen für irgend einen Belastungs- oder Temperaturfall IIm, H₀ die Werte des Horizontalschubs bei den Bogen mit und ohne Zugstange, so unterscheiden sich die Einsenkungen em, e₀ nach der Gleichung 3 des Beispiels 120 nur dadurch, daß im ersten Falle im zweiten H₀ für 11 zu setzen ist. Wir haben also in jedem Belastungs- und Temperaturfall:

■S C (O Q

em — eo 4“ {Hm — H₀)

und speziell für unseren Bogen mit dem bereits in Beispiel 120 (S. 453) ermittelten Werte des Bruches, wenn Hm, H₀ in Tonnen eingesetzt werden:

e,n = e₀ + 0,123 77 (H₀ — Hm) .

Durch beliebige Belastungen ergab sich in Beispiel 116 Hm = 0,8847 H₀, womit für solche:

0,014 27 H₀ .

a)    Durch das Eigengewicht allein erhielten wir in den Beispielen 120, 109 e₀ — 0,329 cm, H₀ — 29,542 t, womit nach 3:

em = 0,329 + 0,01127 «29,542 = 0,751 cm ,

gegen 0,329 cm beim entsprechenden Bogenfachwerk ohne Zugstange.

b)    Durch die in Fig. 290 angedeutete Verkehrslast entstehen nach Beispiel 121 ea = 1,027 cm und nach Gleichung 8 des Beispiels 110 oder der Einflußlinie Fig. 270:

H₀ = (0,3863 *3.25 + 0,7106*13 + 0,9946*3,25 + 1,2033*12,75) 2 + 1,2941*17 = 80,135 t,

womit nach 3:

em = 1,027 + 0,01427 *80,135 = 2,171 cm .

Die Grenzwerte durch Belastung sind nun:

em = 0,751 + 2,171 = 2,922 cm ,

gegen 1,356 cm und 0,329 cm beim Bogenfachwerk ohne Zugstange (Beispiel 121).

c) Durch gleiche Temperaturänderungen r aller Bogenstäbe und eine Temperaturänderung zz der Zugstange fanden sich in den Beispielen 120, 108, 116 e₀ = — 0,04893 z cm, H₀ = 0,35671 r t, Hm = 0,31558 (r — rz) t, womit nach 2:

em = — 0,043 84 t + 0,039 06 rz .

Beispielsweise erhält man für x — + 25°, xz = + 20°:

em — + 0,315 cm .

Mit diesen Beiträgen würden die Grenzwerte von em im ganzen (durch Belastungen und Temperaturänderungen):

e„, = 2,922 + 0,315 = 3,237 cm ,

em - 0,751 cm

em = 0,751 — 0,315 = 0,436 cm ,

gegen 2,579 cm und — 0,894 cm beim Bogenfachwerk ohne Zugstange (Beispiel 121).

Bemerkungen. Es kann auch die Einsenkung ey des mittleren Knotenpunktes der Zugstange interessieren. Der Hängestange in der Mitte mögen die Länge y, der Querschnitt Fy, die Stabkraft Y und die Temperaturänderung xy entsprechen. Dann hat man:

Bezeichnen ferner G die Belastung des mittleren Knotenpunktes der Zugstange und 4 dessen Höhe über den beiderseits in horizontalen Entfernungen A zunächst folgenden Knotenpunkten der Zugstange, so folgt aus der Gleichgewichtsbedingung G -\- 2 Z

6y — Cm

= 0 mit Z=H±- (S. 176):

Y= G -f 2 H

bei horizontaler Zugstange

Y= G,

¹

lfi

8 h E Fu

Dies läßt sich auch auf andere Weise feststellen. Da die beiden oberen Stäbe symmetrisch zur Mitte liegen und bei gleichen E, a, F gleiche S, x erleiden, so wird der obere Knotenpunkt über der Mitte des unteren Stabes bleiben.

Durch die Stabkraft “ und die Temperaturänderung x erfährt dieser eine

+ a t l,

deren Hälfte 3 entspricht.

Aufgabe 42. Verrückungen von Knotenpunkten durch Bewegungen der Stützpunkte.

Für eine Änderung A l der Spannweite (bei Abnahme A l negativ) und eine Hebung Ah des Auflagers l gegen das Auflager 0 (bei Senkung Ah negativ) sollen festgestellt werden: a) Die Einsenkung des oberen Knotenpunktes im Stabsystem Fig. 286; b) die Einsenkung des oberen Knotenpunktes im Stabsystem Fig. 287; c) die horizontale Verrückung des oberen Knotenpunktes im Stabsystem Fig. 287.

§ 60. Träger aus Fachwerk und auf Biegung* beanspruchten Stäben.

Der Träger bestehe aus beliebig vielen achsial beanspruchten geraden Stäben, für welche s, F, S, t, E, a Länge, Querschnitt, Stabkraft, Temperaturänderung, Elastizitätsmodul und Ausdehnungskoeffizient bedeuten, und beliebig vielen auf Biegung beanspruchten geraden oder einfach gekrümmten Stäben, für welche F, J, Mx, Nx, Tx, %, E, G, Je, a, ds Querschnitt, Trägheitsmoment, Angriffsmoment, Normalkraft, Transversalkraft, Temperaturänderung, Elastizitätsmodul, Schubelastizitätsmodul, Koeffizient der Schubwirkung, Ausdehnungskoeffizient und Achsdifferential beim Querschnitt x bezeichnen. Die Nx sollen wie die S positiv für Zug gelten, während im übrigen die früher für achsial und auf Biegung beanspruchte Stäbe eingeführten Voraussetzungen und Bezeichnungen beibehalten werden. Wir setzen E, G, Je, a konstant voraus (eventuell Mittelwerte). Der Koeffizient der Schubwirkung ist für rechteckige Querschnitte Je — 6/5, für Kreisquerschnitte Je = 10/9, für Blechträgerquer-

F

schnitte genügend genau Je = unter F, Ji, ö Flächeninhalt, Höhe

Die Summen E und E in

x'

und Stehblechdicke verstanden. Wird, wie besonders bei Bogen üblich, der Einfluß der Schubkräfte auf die Biegung vernachlässigt, so ist im folgenden Tx — 0 zu setzen, womit auch G, Je nicht zur Verwendung kommen. Für horizontale Stäbe hat man Tx — V

den folgenden Gleichungen mögen sich auf alle achsial beanspruchten beziehungsweise auf Biegung beanspruchten Stäbe beziehen.

Verschiebungsarbeit. Prinzip der virtuellen Verrückungen.

Als Verschiebungsarbeit (Deformationsarbeit, Formänderungsarbeit) D während irgendwelcher Verrückungen der Punkte eines Körpers wurde in § 56 die Arbeit zur Überwindung der inneren Kräfte während dieser Verrückungen bezeichnet. Virtuelle Verschiebungsarbeit ® heißt die Arbeit zur Überwindung der inneren Kräfte, wenn diese konstant wie am Ende der Verrückungen wären, und virtuelle Arbeit 2t der äußeren Kräfte die Arbeit der letzteren bei konstanten Werten wie am Ende der Verrückungen. Nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen (§'56) ist die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte gleich der virtuellen Arbeit zur Überwindung der inneren Kräfte oder virtuellen V erschiebungsarbeit:

Für den jetzt vorliegenden Fall bleibt 2t wie in § 56 ausgedrückt, während die virtuelle Verschiebungsarbeit:

W²

EJ

hTl ]

ds, 2

und die wirkliche Verschiebungsarbeit:

s S²

f Vr²

2 EJ

f" ~2 Yf + a I Nx d x -}

JcTJ 1 2 GF

ds, 3

worin sich die Integrale von 0 bis l auf je einen ganzen auf Biegung beanspruchten Stab beziehen. Nach 1 mit 2, 3 gilt

speziell für x = 0, d x = 0

+f

' Fr² i Ne² I kT*-EJ "1“ EF ' EF

(1,9 = 22)

eine Beziehung, welche mitunter als Clapeyronsches Theorem bezeichnet wird (§ 56).

Beziehungen für statisch unbestimmte Größen. Es seien X eine statisch unbestimmte Größe (Reaktionskomponente, Stabkraft, Moment etc.), U die Arbeit der mit ihren Endwerten konstant gedachten überzähligen und von überzähligen Größen abhängigen notwendigen Reaktionskomponenten, OS, dMx, dNx, dTx die Änderungen von S, Mx, Nx, Tx durch irgendwelche mit den geometrischen und statischen Bedingungen des Trägers verträgliche Änderung dX von X, und d‘M die entsprechende Änderung von U, diese jedoch bei konstanten Verrückungen wie am Ende der Deformation. Dann hat man als Bedingung für die Größe X:

f(A+Hs

(A+<-)

öS

- Mx dM EJ dX

x_

dXx ■ kTx dTx-dX ' G F dX

ds =

ö'U

dX ‘

Da ebensoviele Gleichungen der Form 5 angesetzt werden können, als überzählige Größen vorhanden sind, so lassen sich diese sämtlich berechnen.

Nach 5 hat man für x = 0, U = 0 oder doch x = 0, d'lt = 0:

2-ix.

a EF

s S öS

r Mx d M

x_

X. d X

KJ d X

EF d X

kTx d Tx GF d X

ds — 0 d. h.

= 0. 5a

Die Größe X ist in diesem speziellen Falle so bestimmt, daß die Verschiebungsarbeit ein Minimum wird (§ 56).

Die angeführten Gleichungen gelten auch, wenn nur achsial oder nur auf Biegung beanspruchte Stäbe vorhanden sind und damit X oder X

wegfällt. Ferner kann für Stäbe, die in X berücksichtigt werden, Mx = 0,

Tx = 0 sein, wie bei vollkommenen Ketten (§ 25), oder Nx = ß, wie bei horizontalen Balken mit nur vertikalen Aktivkräften. Bei Ableitung der Gleichungen ist der Ausdruck § 6, 7) der Normalspannungen a ver-

wendet. Entsprechende Beziehungen für beliebige isotrope Körper siehe Weyrauch, Arbeitsbedingungen für statisch unbestimmte Systeme, Wochenschrift für Architekten und Ingenieure 1884, S. 290; Luegers Lexikon der gesamten Technik, 2. Auflage, Artikel Verschiebungsarbeit, wo auch weitere Literatur zu finden ist.

Aufgabe 44. Zweigelenkbogen aus Fachwerk und vollwandigem Teil. Bei Bogenfachwerken mit Kämpfergelenken der in Fig. 292 angedeuteten Form reicht mitunter die Konstruktionshöhe nicht aus, um das Fachwerk bis zur

Mitte durchzuführen, so daß ein vollwandiges Stück eingeschaltet werden muß. Den Horizontalschub H für den Fall dieser Anordnung auszudrücken.

Nach § 60, 5) hat man zur Berechnung der statisch unbestimmten Größe X = H:

k Tx d Tx G F dH

Fig. 292.

V'

*GA+«')

I

+ /[

0

Nx _

HF

<X T

ÖNX

-J d s =

<?'U

dH ’    ¹

worin S für Zug, Nx für Druck und IX dann positiv, wenn die Yerrückung des Auflagers l bezüglich des Auflagers 0 in der Richtung von II stattfindet (S. 403), und die Vorzeichen von H, Mx, Tx wie durch § 1 bestimmt bleiben. Es gelten dann für das Fachwerk und den vollwandigen Teil auch im übrigen die bisherigen Gleichungen.

Bezeichnen A, Äx die Werte von S, Mx in dem gegebenen Belastungsfall (S. 361,408) für H— 0 und q den Wert von s durch eine Kraft II — 1 allein, so können wir in 1 setzen

S= A + H Q , d S

Th ~ e ’

und bei der Kleinheit von cp neben ds — dx nach § 1, 9), 10):

nx = h, snx

d H ’

Die Bedingungsgleichung für II lautet damit:

AIX — -‘G Hy,

dMx

d‘ U

~d~H

— Al,

Tx = Vx

d Tx

).?+/[

o

Hy Ax

(A—)]

₂ ( i + g?

V HF

oder, wenn lv vorübergehend die Länge des vollwandigen Trägerteils bedeutet:

d x = — Al,

l

e + üf

0

fSTT,* + sf *F 0    o

HF JrX2^c + 2ats

und für gleiche E, a des ganzen Trägers mit der bisherigen Bezeichnung c = ScQA-\-H2cQ^-\-Ea2T

*Lax-

;--cnlv= — Al

0 + sfJ7

0

Da für gleiche relative Längenänderungen aller Fachwerkstäbe und des vollwandigen Trägerteils der ganze Träger sich ähnlich bleiben würde, so hat man nach § 57, 25):

2 sq = — (1 — I v) ,

und bei Verwendung dieses Ausdruckes aus 3 den Horizontalschub durch beliebige Belastung, eine gleichmäßige Temperaturänderung r des Trägers und eine Änderung Al der Spannweite (für Zunahmen t, Al positiv):

JV Jdx~ScQA + Ecirl —EM o

+ 2 c Q²

Die Einzelbeiträge der Belastung, Temperaturänderung und einer etwaigen Änderung der Spannweite lassen sich daraus leicht entnehmen.

In allen vorstehenden Gleichungen beziehen sich die Integrale nur auf den vollwandigen Trägerteil, sie lassen sich beispielsweise mittels der Simsonschen Regel berechnen. Denkt man sich jedoch den Trägerteil in eine genügende Anzahl Felder der Längen Aly Ä₂, ■ • • geteilt, welchen die Mittelwerte xu x₂, ■ ■ ■ und y₁, y₂, • • • von x, y, sowie J₂, • • • und FlJ F₂, • • • von J, F und ebenso Mittelwerte von Ax entsprechen (vergl. S. 116, 322), so tritt an Stelle von 4:

l p t/

2 Ax — 2 c Q A + E atl — E A t

Nach § 20, 3), 22) gilt für beliebige Belastung:

Ax= V x — 2 P(x — a) =

¹ y~ 2 Pa + -2 P(l — a) mit

7-0    7 X

o:

und beispielsweise für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit:

Ax—Vx —

U X² _

2 ⁼ ~2

während spezielle Ausdrücke für andere Belastungen nach § 18 erhalten werden können. Das vom Querschnitt x unabhängige V kann natürlich, wenn erwünscht, in 2—5 vor die betreffenden Summenzeichen 2 gesetzt werden.

Bei der vorläufigen Berechnung (§ 58) von Bogen der hier besprochenen Anordnung hat man das Fachwerk bis zur Mitte fortgesetzt gedacht und für das so vervollständigte Bogenfachwerk das in § 58 erwähnte Verfahren auf Grund von Fachwerkformeln zur Anwendung gebracht. Man könnte natürlich auch das dort angeführte Verfahren auf Grund von Formeln für vollwandige Bogen zu verwenden versuchen (Beispiel 124).

“ - x (i — x) mit v =

2~ ’

Beispiel 124. Zur vorigen Aufgabe. Bogenfachwerk an Stelle der König-Karlsbrücke (Cannstatter Neckarbrücke).

Für den in Fig. 293 angedeuteten Zweigelenkbogen an Stelle von Öffnung IV der neuen Cannstatter Neckarbrücke (vergl. im VI. Abschnitt unter R) ergab eine Berechnung von Mörsch in dem von ihm auf Grund der Mohrschen Gleichung § 59, 4) abgeleiteten Ausdruck 4 der vorigen Aufgabe für cm als Längeneinheit:

Den Beitrag der Obergurtstäbe    zu    2 c q¹

186,0012

135,1796

133,1700

17,2188.

zusammen 2 c q* = 471,5696;

ferner für den vollwandigen Teil mittels der Simsonschen Regel

cl x = 800,0000

2,5309

wonach der Nenner im Ausdruck 4 war:

1274,1005

und der Horizontalschub durch beliebige Belastung, eine gleichmäßige Temperaturänderung r und eine Änderung Al der Spannweite:

i ( 04 74,1 \ J J o

d x — 2jcQA-\-Earl — E A .

Die hierin von der Belastung abhängigen Glieder erlangten für je zwei symmetrisch zur Trägermitte in Abständen a = m A — in m von den Auflagern wirkende Lasten P= 1 die folgenden Werte.

j' y -Ax

0

dx

dx— 2cqA

5,2900 I— 295,4220

—    578,6926

—    851,9176

—    1113,9052

—    1355,0464

—    1562,6240

—    1715,8308

11

11

11

11

438,2385

876,4770

1314,7155

1752,9540

2191,1925

2629,4310

3067,6692

3279,3395

3451,3468

3595,8512

3674,8065

3714,3010

5,2900

733,6605

1455,1696

2166,6331

2866,8592

3546,2389

4192,0550

4783,5000

4995,1703

5167,1776

5311,6820

5390,6373

5430,1318

0    12    3    4    5    6    7

6    9    10 n 12    13    14    15    16    17    18    19

4,805m,

4,505m

4,805m

48m

floi

Fig. 293.

Zu bestimmen: a) Die Werte des Horizontalschubs H durch eine Last P= 1 an jeder der angeführten Stellen behufs Verzeichnung der Einflußlinie von H;

b) den Wert von H durch eine gleichmäßig verteilte Last auf der Fahrbahn von u pro Meter auf der ganzen Spannweite und durch verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten auf der Fahrbahn von u, u‘ pro Meter auf der ersten und zweiten Trägerhälfte; c) die Werte von H durch eine gleichmäßige Temperaturänderung t des Bogens und durch eine Änderung Al der Spannweite; d) die unter b) verlangten Werte bei der vorläufigen Berechnung mittels Fachwerkformeln (§ 58, Beispiel 119), wenn letztere nach Mörsch die in Kolumne 3 der folgenden Tabelle (S. 466) eingetragenen H durch Einzellasten P = 1 ergeben hat, und die unter c) verlangten Werte von // bei dieser vorläufigen Berechnung, wenn dabei dem Obergurt und Untergurt zusammen 2 s q¹ = 252 600 + 190400 = 442700 entsprachen, und zur Ermittelung der Beiträge von r, Al neben ß — 1 gesetzt wurde f₀= 290 qcm; e) die unter a), b), c) verlangten Werte von H nach der vorläufigen Berechnung auf Grund von Formeln für vollwan-dige Bogen (§ 58, Beispiel 118).

In gleicher Weise sind die übrigen Werte in Kolumne 2 der folgenden Tabelle berechnet. Die Einflußlinie von H konnte hiernach in Fig. 294 verzeichnet werden. Wir haben die bekannten Einflußlinien der Vertikalreaktionen V, V' der Kämpfer beigefügt (vergl. S. 45).

b) Bezeichnet F den Inhalt der ganzen Einflußfläche des Horizontalschubs B, so hat man durch eine gleichmäßig verteilte Last von u pro Meter auf der ganzen Spannweite und durch verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u‘ pro Meter auf der ersten und zweiten Trägerhälfte (§ 12):

bzw.

H = Fu

F u + «' _

Nun ergibt sich mit den soeben berechneten Ordinaten in Kolumne 2 der folgenden Tabelle:

IS

1,6451 + 1,8772

a) Von je zwei symmetrisch zur Mitte gelegenen Lasten P = 1 trägt jede die Hälfte zum Horizontalschub H bei. Wir erhalten also nach 1 mit den Zahlen der letzten Kolumne der Tabelle S. 464 für eine Last P = 1

bei a =    0

5,2900

1274,1-2

= 0,0021

733,6605

1274,1 • 2

= 0,2879

1455,1696

1274,1-2

= 0,5711 .

0,0021 + 0,2879

19

48

womit nach 2:

19-2

(■

1,8772 + 1,9603

2,1155 + 2,1310 j ₂

: : 60,1614

H = 60,1614 u

bezw.

H = 30,0807 (u + u‘) .

Beispielsweise erhält man durch eine gleichmäßig verteilte Verkehrslast von u — 1390 kg pro m auf der ganzen Spannweite H — 60,1614 • 1390 — 83624 kg.

Emfhcsslimm

0    1    2    3 i 5    6    7    8    9    10    11    12    13 li 15 ME? AS 19

\2,m

für V

ffirtt Fig. 294.

c) Setzt man in 1, Elußeisen entsprechend (die Cannstatter Brücke ist in Martinflußeisen ausgeführt), £'=2150000 kg pro qcm, a — 0,0000115, Ea = 24,725, so folgen durch eine Temperaturänderung r:

z = 93,148 z kg,

24,725-4800

1274,1

und durch eine Änderung Al der Spannweite:

2150000 1274,1

worin Al in cm einzusetzen. Wir erhalten beispielsweise für r = Hh25° H= + 2329 kg und für M = + 1 cm H = + 1687 kg.

d) Die in Kolumne 3 der nachstehenden Tabelle angeführten Werte von H durch Einzellasten P— 1 bestimmen den Inhalt der Einflußfläche von H für die vorläufige Berechnung:

48 / 0,277 19 \    2

11= —

0,277 + 0,554

Al = — 1687,5 Al kg ,

H----

2.097 + 2,232

2,232 + 2,232

2-2

2 = 60,561 ,

womit die unter b) verlangten Werte des Horizontalschubs nach 2:

bzw.

H = 60,561 u Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

H = 30,2805 (n + u‘) .

Nach den Formeln für voll-wandige Bogen § 58, 1) —3) mit f = 4,655 m (dem Schwerpunkt der vorläufigen Gurtungs-

+ 17,19% + 16,28% + 14,17% + H,03% + 7,20% +    2,93%

—    1,53%

—    2,69%

—    3,64%

—    4,67%

—    5,11%

—    5,49%

+ 2,84%

12,70%

0,3374

0,6641

0,9708

1,2492

1,4920

1,6933

1,8485

1,9076

1,9540

1,9872

2,0073

2,0140

61,8690 u

81,322 x kg

— 1473,2 Al kg j + 12,70%

Zweigelenkbogen Fig. 293. Vergleiche.

Nach den Formeln für voll-wandige Bogen § 58, a), h) mit f= 4,655 m (dem Schwerpunkt der vorläufigen Gurtungsquerschnitte entsprechend)

Unter Vernachlässigung des Einflusses der Füllung nach den Fach werkform ein § 58, 4)—7) mit ß= 1°-

fu

+ 30,22% + 23,81% + 17,57% + H,07% + 4,76%

—    1,25%

—    6,80%

—    8,36%

—    9,62%

—    10,82% — 11,39% ~ 11,79%

Cir-Ht^t^CSCDlC-^OOOlOt^

Tfl>®®t>^®C(MO0Tf©

t^ocs^icciT^cacoiot^ir^

cor^c»C9T6©r-~t'-GCoo<x>oo

—    3,79%

—    2,99%

—    2,39%

—    1,96%

—    1,34%

—    0,55% + 0,36%

- 0,02%

60,1504 u

+ 3,41%

+ 5,51%

+ 0,66%

Ol

60,561 u

77,744 % kg ~ -16,54%

Möglichst

genau

^-cs^-eo — i>.!-<Ncoooiotß©

OOOhinNffi'tl>ffl«30F-CO

o in 10 co r. w ffl 05 » o o r. r.

®©©©,-r,-ri-r,-r,-rc'r<NC'r©r

60,1614 u

93,148 x kg

— 1687,5 Al kg | — 1408,4 Al~kg +16,54%

Horizontalschub

«q IC IC O H (N M ^ uo !D b > 00 cc ’ ffl o

Durch P

bei a

ls

r.'

mit m

Durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro m

Durch eine Temperaturänderung um x°, mit f₀ — 290 qcm

Durch eine Änderung der Spannweite um Al cm, mit f₀ = 290 qcm

Unter den Voraussetzungen d) ergeben sich als vorläufige Werte des Horizontalschubs durch eine Temperaturänderung r nach § 58, 6):

= 77,744 t kg ,

4800*290*24,725 442700    T

und durch eine Änderung der Spannweite um Al nach § 58, 7):

Al = — 1404,4 Al kg .

290*2150000

442 700

Alle diese Werte wie die weiter folgenden sind in nebenstehender Tabelle eingetragen.

e) Wie in Beispiel 118 hat man nach § 58, 1) für eine Einzellast P bei a — m Ä mit l = n Ä:

— P m (n — m) (n- -)- n m — nfi) ,

8 fn

und speziell mit A — ^ m, n = 19, f — 4,655 m, P — 1:

m (19 — m) (361 -f- 19 m — nfi)

H =

woraus für m — 1 bis 9,5 die in Kolumne 5 der nebenstehenden Tabelle eingetragenen Werte folgen. Die 3 entsprechenden Formeln § 58, 2) liefern mit =

— 61,8690 für die unter b) erwähnten gleichmäßig verteilten Lasten:

bezw.

und durch eine Änderung Al der Spannweite:

15*380110*2150000

20221,5

48³

8*4,655

H = 61,8690 u

H = 30,9345 (u + «') .

= 81,322 r kg ,

8 *465,5²*4800

Al = — 1472,2 Al kg ,

worin Al in cm einzusetzen.

P m (n — m) ,

Bemerkungen. Hätten wir unter e) anstatt der Gleichung § 58, 1) die Näherungsformel § 58, a) verwendet, so würde wie in Beispiel 118 an Stelle von 3 getreten sein:

iS fn

und mit /l =

m, f — 4,655 m, n — 19, P = 1:

m (19 — m)

48,0130

Diese Gleichung mit m — 1 bis 9,5 hat die Werte in der vierten Kolumne obiger Tabelle geliefert. Die entsprechenden Ausdrücke § 58, b) ergeben mit l = 48 m, f — 4,655 m für die unter b) erwähnten Lasten:

bezw.

H = 60,1504 v

H = 30,0752 (u + u‘) .

Der Vergleich der in der letzten Tabelle zusammengestellten Ergebnisse unserer Berechnung zeigt, daß im vorliegenden Falle im Gegensätze zu den Beispielen 118, 119 (vergl. die Tabelle S. 440) die Fachwerkformel § 58, 5) erheblich bessere Werte des Horizontalschubs durch Belastungen lieferte als die Formeln für vollwandige Bogen § 58, 1), 2), und daß die Formel § 58, a) wieder die wenigst brauchbaren Resultate für Einzellasten ergibt. Wohl aber führten die ihr entsprechenden Formeln § 58, b) wieder zu sehr guten Werten für gleichmäßig verteilte Lasten auf der ganzen oder halben Spannweite.

VI. Abschnitt.

Berechnung der König=KarIs=Brücke über den Neckar bei Cannstatt.

Die im Jahre 1893 dem Verkehr übergebene Straßenbrücke über den Neckar zwischen Stuttgart und Cannstatt ist 1891—93 durch die Württembergische Ministerialabteilung für den Straßen- und Wasserbau unter Präsident von Leibbrand erbaut worden. Bezüglich eingehenden Studiums aller Verhältnisse der Brücke wird auf dessen Schrift „Die König-Karlsbrücke“, Berlin 1895, verwiesen.

Die Lieferung der Eisenkonstruktion aus basischem Martinflußeisen, Nieten aus Schweißeisen, wurde infolge engeren Wettbewerbs der Eßlinger Maschinenfabrik übertragen. Die Konstruktion zeichnet sich durch Einfachheit, Übersichtlichkeit und bequeme Zugänglichkeit aus. Die Brückenbahn von 18 m Breite (Fahrbahn 11 m, Fußwege je 3,5 m) wird in jeder Öffnung durch sechs parabolische Blechbogen mit Kämpfergelenken, ohne Scheitelgelenk, in Abständen von 3,2 m getragen. Infolge der Bedingungen für das Längenprofil, die Lichtweiten, Höhenlage der Kämpfergelenke usw. ergaben sich folgende Spannweiten und Pfeilhöhen der Bogenachsen in der Öffnungsfolge von Stuttgart nach Cannstatt:

Für Öffnung

l =

II

III

IV

50,48 4,855

Es sind also nicht zwei Öffnungen vollständig übereinstimmend.

Die erste Berechnung einer Öffnung wurde durch Oberingenieur Kübler von der Eßlinger Maschinenfabrik vorgenommen und den Plänen der Fabrik beigefügt. Ihr allgemeiner Gang ist aus der oben zitierten Schrift ersichtlich, wenn auch die Durchführung für letztere nachträglich auf Grund der definitiven Querschnitte wiederholt und in einzelnen Punkten modifiziert wurde. Unter Beiziehung jener Berechnung fand eine Prüfung der Pläne an der Hand der Lieferungsbedingungen statt, worauf im Einvernehmen der Bauverwaltung, der Eßlinger Maschinenfabrik und des Verfassers vorliegenden Werks eine Anzahl Änderungen beschlossen wurde (Verstärkung der Stirnbogen und der Horizontalplatten aller Bogen, Wegfall der Unterbrechung der zweiten Horizontalplatten um die Bogenmitten, Ergänzung der Windkreuzverbände, Verstärkung der Vertikalständer und des Zoreseisenbelags). Auf Grund der so erhaltenen Querschnitte und Gewichte wurde die definitive Berechnung durch den Verfasser entsprechend den Bauvorschriften für alle fünf Öffnungen getrennt durchgeführt. Diese vollständige Berechnung ist in der Wiener „Allgemeinen Bauzeitung“ 1895 veröffentlicht¹. Sie gestattet interessante Vergleiche und insbesondere auch Schlüsse darüber, inwieweit man in ähnlichen Fällen von vollständiger Berechnung der verschiedenen Öffnungen absehen kann. Selbstverständlich ist jedoch der Gang der Berechnung für alle Öffnungen derselbe.

Im folgenden geben wir als Beispiel einer umfassenderen Bogenberechnung die Berechnung von Öffnung IV mit folgenden Änderungen: 1. Entsprechend

45,51

4,375

48

48

4,735

4,505

45,51 m, 3,695 „.

¹ Weyrauch, Berechnung der neuen Bogenbrücke über den Neckar zwischen Stuttgart und Cannstatt, Allgemeine Bauzeitung 1895, S. 49, 57, 73, 85.

dem Zwecke dieses Buches ist eine vorläufige Berechnung zur Ermittelung der Querschnitte beigefügt; 2. anstatt des genaueren Verfahrens zur Bestimmung der Grenzwerte der Normalspannungen ist das in § 11 erwähnte einfachere Verfahren (S. 43, 121) verwendet, da letzteres in der Praxis meist vorgezogen wird, ersteres aber in dem erwähnten Aufsatze verfolgt werden kann (vergl. S. 485);

3. der Einfluß der Temperaturänderungen ist etwas anders als in diesem Aufsätze berücksichtigt (vergl. S. 17), Übereinstimmung würde erreicht, wenn in letzterem A — 1 gesetzt würde, während mit ^ = 0,953021 gerechnet ist; 4. an einigen Stellen sind Bemerkungen betreffend andere Berechnungsweisen beigefügt und am Schlüsse ist ein Vergleich zwischen Bogenfachwerken und voll-wandigen Bogen gegeben. — Bei der eingehaltenen Genauigkeit der Berechnung kommt es uns keineswegs immer auf den Wert der berücksichtigten Dezimalen für die Schlußresultate an, so wenig wie dem Kaufmann, welcher seine Bücher auf den Pfennig genau führt, dieser Betrag von Bedeutung ist. Rechnet man aber bei verwickelteren Ableitungen, wie sie besonders statisch unbestimmte Konstruktionen erfordern, zu ungenau, so wird nach und nach jede Kontrolle unmöglich, es entstehen Widersprüche, von welchen nicht mehr gesagt werden kann, ob sie in Fehlern oder in Vernachlässigungen ihren Grund haben. Eine allgemeine Empfehlung gewisser Vernachlässigungen (z. B. der Dezimalen) kann nur auf Unkenntnis dieser Verhältnisse beruhen.

Bemerkt sei noch, daß in der folgenden Darstellung manche Berechnungen Vorkommen, welche häufig wegfallen (künstlicher Horizontalschub, Reduktion der Normaltemperatur usw.). Sodann rechnen wir mitunter deshalb genauer als unbedingt nötig wäre, um die Zulässigkeit gewisser Vereinfachungen (Vernachlässigung von ß, Zusammenfassung des Eigengewichts usw.) wie in früheren Beispielen hervortreten zu lassen. Auch soll auf gewisse Modifikationen der Berechnung hingewiesen werden. Die praktische Berechnung einer Bogenbrücke wird also oft wesentlich kürzer als hier ausfallen. Wollte man sich gar unter Verzicht auf die Bestimmung der ungünstigsten Belastungen auf die Durchrechnung einiger im voraus gewählter Belastungsfälle beschränken (vergl. in Beispiel 22 und 44 unter a bis d), wie früher sehr häufig geschah, so wäre nach der vorläufigen Berechnung unter A für die Bogen selbst meist nicht viel mehr erforderlich, als eine nochmalige Behandlung der gleichen Belastungsfälle mit Verwendung der in VI B, C erhaltenen genaueren Werte, und Feststellung der entsprechenden a₀, atl. Der Einfluß der Temperaturänderungen könnte wie in J nachträglich berücksichtigt werden.

A. Vorläufige Berechnung.

y = ■— x(l — x) = 0,00782118 * (48 — *) ,

Da es sich um parabolische Bogen von l = 48 m Spannweite und f — 4,505 m Pfeil der Achse handelt, so hat man nach § 19, 8), 18) an jeder Stelle x der Bogenachse:

tg 90 = (Z — 2ar) = 0,01564236 (24 — x) , cos (p =

y 1 + tg² 90

Die Vertikalen, welche nach dem Bauprogramm ohne Diagonalen in Abständen von 2,5 m anzunehmen waren, gelangten mit Rücksicht auf die Anordnungen der Bogenenden, Fahrbahn, Geländer usw. an die in Fig. 295 ersichtlichen Stellen symmetrisch zur Trägermitte. Obige Gleichungen ergeben auf der ersten Träger-häfte unter den Achsen der Vertikalen sowie am Kämpfer und Scheitel die in Kolumne 2—4 der Tabelle II (S. 474) eingetragenen Werte.

Als Verkehrslast waren (abgesehen von Fahrzeugen, vergl. unter VI K) 400 kg pro qm Fahrbahn und 560 kg pro qm Fußwege vorgeschrieben, also für jeden der sechs Bogen durchschnittlich pro m Spannweite:

= 1387 kg,

wofür hier rund 1400 kg gesetzt wird. Das Eigengewicht der Brücke sei auf Grund von Erfahrungen, empirischen Formeln oder überschlägigen Ermittelungen

400-11 + 560-7

zu 2100 kg pro m angenommen, wonach als größte Gesamtlast 3500 kg pro m Spannweite in Rechnung zu stellen ist.

Für die vorläufige Berechnung der Bogen ziehen wir nur gleichmäßig verteilte Lasten in Betracht und zwar: a) Vollbelastung des ganzen Bogens; b) Verkehrsbelastung der ersten Bogenhälfte; c) Verkehrsbelastung der zweiten Bogenhälfte. In den für diese Belastungen beim Parabelbogen von konstantem (mitt-

0123656789

10    11    12    13    16    15    16    17    18    19

3,5088^,9026 i iis?s\il3m

6,505

0,176 2,682 fylSO 7,698 'lO,20612,716 15^222 J^73Ö'2Ö,238 22/46~^'"

.....*2,508.....

68m,

Fig. 295.

lerem) J cos cp gültigen Formeln des § 20 könnte vorläufig neben ß = 0 auch e = 0 gesetzt werden. Da wir jedoch übersehen, daß die mittlere Entfernung der Gurtungsschwerpunkte etwa h — 0,8 m betragen wird, so läßt sich entsprechend § 19, 44) setzen:

7*2

y = —j— = 0,16 qm ,

und mit

66,181 m ,

nach § 19, 40):

15 y

15*0,16

56,676

= 0,012 .

Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von u pro Längeneinheit hat man nach § 20, 44), 5) mit § 20, 23) und ß = 0:

iTi"T-0—>*

61,181*4,505

Mx =

Xx = [(t~ x) “tg 50 + TTT 7p]

cos <p,

während für verschiedene gleichmäßig verteilte Lasten von u, u' pro Längeneinheit auf der ersten und zweiten Bogenhälfte nach § 20, 28), 31; mit ß = 0:

3 w + «' ,

8 ’

und unter Verwendung dieser Werte nach § 20, 30), 5), 29) auf der ersten Bogen-

Mx=    —

Nx — [(F — u x) tg cp -j- 44] cos <p .

Da l = 48 m, f— 4,505 m, £ = 0,012, so erhalten wir für Vollbelastung,

Mx = 20,25 x (48 — x),

Nx = [(84000 — 3500 x) tg <p + 245938] cos <p ,

für Verkehrslast von 0 bis w, mit u = 3500 kg, u' = 2100 kg, wegen V= 75600 kg,

Mx = 75 600 X — 176878 y — 1750 x"- ,

Nx = [ (75 600 — 3500 x) tg cp + 176 878] cos cp ,

für Verkehrslast von m bis l, mit u = 2100 kg, u' = 3500 kg, wegen V = 58800 kg,

= 58800 x — 176878 y — 1050 a;3 Nx = [(58800 — 2100 x) tg <p -f- 176878] cos cp .

Mit Rücksicht auf die.y, tg cp, cos 90 in Tabelle II (S. 474) ergeben sich z. B. bei x = 12,714 m, wo y = 3,5088 m, tg cp — 0,17654, cos cp = 0,98477,

im Falle a): im Falle b): im Falle c):

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der folgenden Tabelle I berechnet.

hälfte:

mit u = 3500 kg:

H= 176878 kg:

II = 176878 kg:

Vr =

9 309 mkg ,

57 668 mkg , Mx = — 42 775 mkg ,

-Fr —

72

II =-:--

1 + e 16 f

Nx = 249060 kg,

Nx — 179592 kg, Nx = 179 765 kg .

Tabelle I.

Quer

schnitt

Vollbelastung

Verkehrslast von 0 bis m

Verkehrslast von m bis l

Mx

Nx

Mx

Mx

Nx

mkg

kg

mkg

kg

mkg

kg

2,682

5,190

7,698

10,206

12,714

15,222

17,730

20,238

22,746

2522

4610

6437

8004

9309

10358

11136

11658

11919

256911

254522

252410

250587

249060

247831

246904

246286

245977

22031

37865

49049

55668

57668

55043

47825

35978

19521

188741

185898

183416

181310

179592

178270

177354

176853

176765

445

184618

183207

181928

180780

179765

178884

178316

177529

177060

Bei Belastung durch Eigengewicht allein stehen alle Mx, Nx im Verhältnis

3

= -r zu den in dieser Tabelle unter a) angeführten Werten.

Auf Grund vorstehender Tabelle hat nun die vorläufige Bestimmung der Querschnitte zu erfolgen. Einige Anhaltspunkte pflegen von vornherein gegeben zu sein. Bei Wahl der Höhe kommt neben statischen Gesichtspunkten7(je höher die Vertikalplatte, desto kleiner die Gurtungsquerschnitte) das Aussehen in Betracht. Vielfach wurde die Höhe konstant angenommen. Für die Cannstatter Brücke wrar, wie ebenfalls häufig der Fall, eine Zunahme der Höhe nach den Kämpfern vorgeschrieben; die Veränderlichkeit der Vertikalplattenhöhe wird dann nach Ermittelung der statischen Bedürfnisse für einige Querschnitte, am besten graphisch, festgestellt. Die Querschnitte der Cannstatter Brücke wurden symmetrisch zur Achsschicht und die Dicke der Vertikalplatte gleich 1,2 cm gewählt (vergl. S. 208).

Bei den weiteren Ermittelungen können Profiltabellen, graphische Darstellungen und anderes Erfahrungsmaterial gute Dienste leisten. Wird z. B. bei x = 12,714 m ein Profil vom Querschnitt F — 382,6 qcm und Widerstandsmoment W = 12959 ccm angenommen, so liefern die nach § 8, 11) bei symmetrischem Querschnitt gültigen Formeln

„ *x ,

⁰ F W

2100

3500

Xx

Mx

au — --g,--w

die Normalspannungen fürs oberste und unterste Querschnittselement pro qcm im Belastungsfalle a):

249060

382,6

9309•100

12 959

= 723 kg,

<*u =

249060    9309•100

im Belastungsfalle b):

382,6

12959

= 580 kg,

a₀ =

179592

5 766800

382,6

12 959

= 914 kg,

179592

5 766800

im Belastungsfalle c):

382,6

12 959

= 24 kg,

°o =

179765

4277 500

382,6

12959

= 140 kg

179 765

C;/ = -

u 382,6

Bei Beurteilung dieser Zahlen kommt es in erster Linie darauf an, welche Beanspruchungen unter den gegebenen Verhältnissen (Material etc.) zugelassen

4277 500

12959

= 800 kg.

werden sollen. Für die Cannstatter Brücke (Martinflußeisen) waren Beanspruchungen durch Belastung bis 800 (l +

Zurechnung der Temperatureinflüsse die Grenze von 1000 kg nicht überschritten werden. Hiernach wäre die Normalspannung a₀ = 914 kg zu hoch, da wir nicht genau die ungünstigsten Belastungen berücksichtigt haben, während nach obigen Zahlen die Normalspannung im obersten Querschnittselement nicht über

min ff

2 max ff

) gestattet, doch durfte unter Hin-

¹

in den Fach wer kfeldern durch die Obergurtstäbe als Längsträger auf die Felderenden übertragen wurden.

800

(¹⁺‘2^Sr) = 862 t|!

betragen sollte. Für die hinzukommenden Temperaturänderungen bliebe auch bei 914 kg genügend Spielraum. Im vorliegenden Falle ist jedoch zu beachten, daß ein künstlicher Horizontalschub (vergl. Aufgabe 17, S. 183) vorgesehen war, durch welchen der Druck im Obergurt vermindert wird. Da nun das Eigengewicht für die vorläufige Berechnung absichtlich etwas hoch gewählt wurde, und bei Zweigelenkbogen von wenig veränderlicher Höhe die Normalspannungen erfahrungsgemäß um die Grenzen der äußersten Viertel am ungünstigsten ausfallen, so kann der angenommene Querschnitt vorläufig belassen und zu andern Stellen übergegangen werden.

Im allgemeinen ist bei diesen vorläufigen Ermittelungen folgendes im Auge zu behalten: 1. Die größten zugelassenen Beanspruchungen lassen sich nicht für alle Teile vollständig ausnützen. Auf besondere Umstände und rechnerisch nicht verfolgbare Einflüsse kann schon bei der vorläufigen Berechnung Rücksicht genommen werden. 2. Die Querschnitte lassen sich nicht überall gleichmäßig den Beanspruchungen anpassen, besonders dann nicht, wenn die Winkeleisen in gleicher Stärke durchlaufen und die Veränderlichkeit der Querschnitte nur durch die Höhe der Vertikalplatte und Auflegen von Horizontalplatten bewirkt wird, was meist zu empfehlen ist. 3. Der ungünstigere Einfluß konzentrierter Lasten (Straßenwalze usw.) gegenüber der Belastung durch Menschengedränge macht sich besonders um die Bogenmitte und’ an den Bogenenden geltend (VI K und Beisp. 11). Es ist also gut, die Beanspruchungen durch Menschengedränge allein hier nicht bis zur zulässigen Grenze gelangen zu lassen. 4. Der Einfluß der Temperaturänderungen nimmt bei Zweigelenkbogen von den Kämpfern nach der Mitte hin zu, sodaß ohne Berücksichtigung der Temperaturänderungen besonders nach der Mitte hin genügend Spielraum für ein Anwachsen der Beanspruchungen bleiben muß. Übrigens können die Temperaturspannungen (bei Parabelbogen unter Einführung eines Schätzungswertes von c, vergl. Beispiel 30) schon bei der vorläufigen Berechnung berücksichtigt werden. 5. Auch der Einfluß eines künstlichen Horizontalschubs läßt sich übersehen (Aufgabe 7) und in dem Falle, daß er die Momente durch eine gleichmäßig verteilte Last (Eigengewicht) aufheben soll, im voraus annähernd berechnen (Aufgabe 7, 17). 6. Etwaige Bewegungen der Widerlager üben von den Kämpfern nach dem Scheitel hin wachsende Einflüsse aus (Beispiel 32).

Nachdem die vorläufige Ermittelung der Querschnitte in der angedeuteten Weise beendigt ist, findet eine Revision, Ausgleichung und Berichtigung der Bogen nach statischen, konstruktiven und ästhetischen Gesichtspunkten statt. Das Endergebnis war für die Cannstatter Brücke, daß sämtliche Bogenquerschnitte entsprechend Fig. 296 durch eine Vertikalplatte von 1,2 cm Dicke und wechselnder Höhe h, vier Winkeleisen von 9/9/1,2 cm und zwei Horizontalplatten von 38/1,4 cm gebildet sind, wozu von den Mitten zwischen den zweiten und dritten Vertikalen noch horizontale Verstärkungsplatten von 38/1,2 cm kommen. Die entsprechenden h und halben Querschnittshöhen e (Entfernungen der äußersten Fasern von der Achsschicht) sind in Kolumne 5 und 6 der Tabelle II (S. 474) eingetragen.

Bemerkungen. Man hätte beabsichtigen können, die Gurtungsquerschnitte nach den Formeln § 8, 23), 24) zu berechnen, welche mit einer vorläufigen zulässigen Beanspruchung o und 0 — af₀, ü = afu unter Vernachlässigung der Füllung liefern:

- _ 1 (*x_ _ Xx\

ff V 2 h ) ’

doch pflegen diese Formeln für Blechträger des vernachlässigten Widerstands

der Vertikalplatte wegen zu große Werte zu liefern. So würden sich oben bei x = 12,714 m mit a = 900 kg ergeben haben im Belastungsfalle b):

57 668

179592

im Belastungsfalle c):

0,87

173 qcm ,

_ 1    / 179765

~ 900 V 2

42 775

154 qcm ,

während man tatsächlich mit f₀ = fu = 139 qcm ausreichte. Bei Verwendung der Formeln 7 wäre also hierauf Rücksicht zu nehmen.

Bezüglich der zulässigen Beanspruchungen von Bogen ist zu beachten, daß bei den meisten praktischen Ausführungen eine Nietverschwächung nicht gerechnet wurde, wie dies für gedrückte Teile bei vollkommener Ausfüllung der Nietlöcher theoretisch berechtigt wäre. Eine solche Ausfüllung ist aber bei warmer Nietung wegen des Zusammenziehens der Niete mit der Erkaltung nicht anzunehmen. Wird nun beim Ausschreiben eines Bauwerkes mit elastischen Bogenträgern eine gewisse zulässige Beanspruchung vorgeschrieben, so rechnet entweder keiner der Bewerber eine Nietverschwächung, oder diejenigen, welche eine solche rechnen, befinden sich den übrigen gegenüber im Nachteil. Dies gilt auch, wenn die Nietverschwächungen für das Bauwerk im allgemeinen in Rechnung zu ziehen sind, da man eben für die Bogen keine annehmen zu müssen glaubt. Berücksichtigt man nun, daß das Maß der tatsächlichen Schwächung allerdings zweifelhaft ist und jedenfalls von der Güte der Arbeit abhängt, so empfiehlt es sich, bei Ausschreibung von Bogenträgern entweder genau anzugeben, welche Nietverschwäch-■j) 1,2cm, ung zu rechnen ist (wie bei gezogenen Teilen, halb soviel usw.), oder die zulässige Beanspruchung für den Bogen so festzusetzen, daß eine Nietverschwächung überhaupt nicht mehr gerechnet zu werden braucht. Letzteres Vorgehen hat den Vorteil, daß alsdann bei Berechnung der Beanspruchungen und der Formänderungen die gleichen F, J, W verwendet werden können, während andernfalls für die Beanspruchungen die verschwächten, für die Formänderung und daraus folgende statisch unbestimmte Größen (H, M, W usw.) die unverschwächten Querschnitte in Betracht zu ziehen sind. Im folgenden gelten die erwähnten zulässigen Beanspruchungen ohne besondere Berücksichtigung von Nietverschwächungen.

1,2 cm,

2e \h

2cm

B. Querschnittsverhältnisse. Horizontalschub.

Die Bogenquerschnitte sind wie am Schlüsse von VI A angegeben bestimmt (S. 472, Fig. 296).

Da die vier Winkeleisen und zwei durchgehenden Horizontalplatten zusammen den Querschnitt

2 • 16,8 • 1,2 + 2 • 38 • 1,4 = 187,04 qcm

und die zwei Verstärkungsplatten den Querschnitt

2-38*1,2 = 91,2 qcm

haben, während das Trägheitsmoment eines Rechtecks der Seiten a, b in Hinsicht einer der Seiten a durch ausgedrückt ist, so ergeben sich der ganze

Bogenquerschnitt und das Trägheitsmoment desselben hinsichtlich der Achs-schicht bei x — 0,174 m, wo h — 90 cm, e = 46,4 cm (Tab. II, S. 474):

F = 90 • 1,2 + 187,04 = 295,0 qcm ,

— (38-46,43 — 18,8-453 — 15,6-43,83 _ 2,4-36³) = 440150 cm⁴ ,

und bei x = 22,746 m, wo h — 79 cm, e — 42,1 cm:

F = 79 • 1,2 + 187,04 + 91,2 = 373,0 qcm , g- (38 • 42,13 _ 18,8 • 39,53 _ i5;ß - 38,3» - 2,4 • 30,5³) =

iE

UL

1)1,4cm

<-

38cm, Fig. 296.

488110 cm⁴ .

In gleicher Weise sind die übrigen J, F der Tabelle II berechnet, worauf auch die in Kolumne 9 eingetragenen W — J: e und mit den cos cp der Kolumne 4 die in Kolumne 10 und 11 enthaltenen F cos cp und J cos cp folgen.

Tabelle II.

3 <=s

tg cp

COS Cp

cm

qcm

cm ⁴

W    F cos cp Jcos cp Tr

cm³ qcm cm⁴

cm

0,37542 0,174 | 0,0651 j 0,37269 2,682 0,9506 0,33346 5,190 1,7377 0,29423 7,698 2,4264 0,25500 10,206 I 3.0169 0,21577 12,714'3,5088 0,17654 15,222 3,9024 0,13731 0,99070 17,730 4,1975 0,09808 0,99522 20,238 4,3943 0,05885 0,99827 22,746 4,4927 0,01962 0,99981 24,000 4,5050 0

0,93620

0,93688

0,94865

0,95934

0,96899

0,97750

0,98477

46,4 295,0 46,4 295,0 46,4 295,0

42.1    373,0 42,1 373,0

440150 440150 440150 641690 626620 612100 597430 569050 541300 514410 488110 488110

SO CO CD

COCOCO<NC<IC<IHHH

HHHHHHHHH

iiesiiisin

276,18

276,38

279,85

370,50

373,06

375,16

376,77

376,66

375,99

374,75

372,93

373,00

412068 32,16 412368 32,16 417548 32,16 615599 34,91 607189 34,56 598328 34,22 588331 33,87 563 758 33,19 538713 32,49 513 520 31,79 488017 31,08 488110 31,08

Mittel M

358,75 539827

Je

10 11

12

Wenn z₀, z1} z₂, . . zn die in einer der Kolumnen 2 bis 10 dieser Tabelle

dann hat man die ent-

für x = 0 bis x= angeführten Zahlen bezeichnen sprechenden Mittelwerte für den ganzen Bogen:

M = (FL±F1- 0,174 + Zl + *² 2,508 +■••• +

M = (0,087 Zq -\- 1,341 «j + 2,508 (z-2 -)-••• + 29) + 1,881 sqo + 0,627 «n) —— .

Dieser Ausdruck wurde für die der Tabelle II beigefügten c, Je verwendet (auch die am Schlüsse von § 42 erwähnten Mittelwerte von J: F sind in analoger Weise berechnet).

Nach § 20, 7) hat man den Horizontalschub durch beliebige Belastung:

oder auch:

+ »10

2,508 +

(l + e)8fJ³ fPf(a)

f (a) — a (l — a) (l- -\- l a — «² — ß l²)

und nach § 20, 23) speziell durch eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von g pro Längeneinheit:

mit

1 + s

Durch eine beliebige Temperaturänderung r entsteht nach § 20, 8):

s= 15 c (1 + e) 8 f²

während eine Änderung Al der Spannweite nach § 20, 9) zur Folge hätte:

e A i

15 c

U +*)8f²

und mit den Tabelle II entnommenen Werten c = 539 827 cm⁴, k = 358,75 qcm

~ — 1504,74 qcm ,

wonach mit Biicksicht auf § 19, 40) und § 20, 10) weiter folgen:

= 0,012 063 ,

In diesen Ausdrücken gelten mit l = 48 m, f = 4,505 m:

⁸ flS = 797 138 m⁴, 5

&

— = 63,929 m

15 —

11,4164 qm ,

Ä!_ + L ₌

8f'2

66,181 m ,

= 23,388 qm ,

15 • 1504,74

8 *233 880

3*1504,74*61,676

6618,1²*4,505

= 0,001411 ,

l — — ß

6J_ _ 0,998824 _ — 1,012063 —

1 + «

1 + «    8 f

(1 + e) 8 fia

1--

0,986 92

= 0,98692*63,929 = 63,093 m ,

= 1,012 063 • 797138 = 806 754 m⁴ ,

539827

(l + £)8f2 — 1,012 063*114164

Wir erhalten damit nach 1—5 den Horizontalschub durch beliebige Belastung:

15 c

= 4,6722 qcm .

2 Pf (fl) 806 754

durch eine gleichmäßig verteilte Last von g pro Längeneinheit:

H = 63,093 g ,

durch eine beliebige Temperaturänderung r:

H = 4,6722 E a x ,

und durch eine Änderung der Spannweite um A l:

H = — 4,6722 E

worin E pro qcm in den Einheiten von P, H einzusetzen ist; wir werden dieselben in kg ausdrücken.

Bei Vernachlässigung von ß — 0,001411 wären in b mit 2 l² anstelle von (1 — ß) l'¹ = 0,998589 l'¹ und in c 63,167 an Stelle von 63,093 getreten, was im letzteren Falle eine Abweichung von 0,12°/o gegen den genaueren Wert ausmacht. In den Ausdrücken von H für t, Al kommt ß überhaupt nicht vor.

Wird wie bei der Cannstatter Brücke ein künstlicher Horizontalschub K angewandt, so tritt dieser den aus andern Einflüssen herrührenden Werten von H bei jeder Belastung hinzu.

Bemerkungen. Bei der vorgeführten Berechnung der Cannstatter Brücke war die Einflußlinie des Horizontalschubs nicht nötig; sie möge jedoch hier festgestellt werden. Ihre Gleichung ergibt sich bei Anwendung von b) auf eine Einzellast P = 1 bei a:

f («)

806 754

worin f(a) für m als Längeneinheit einzusetzen ist. Mit den in Tabelle III (S. 477) gegebenen Werten von f(a) erhalten wir

bei a = 0,174 2,682 5,190 7,698 10,206 12,714 15,222 17,730 20,238 22,746 m b = 0,0238 0,3649 0,6948 1,0041 1,2845 1,5289 1,7315 1,8867 1,9936 2,0472 , .

Da die Einflußlinie des Horizontalschubs symmetrisch zur Trägermitte liegt und (für die Verkehrslast) zwischen je zwei Vertikalen geradlinig verläuft (§ 12), so kann die Linie nun verzeichnet werden; es ist bereits in Fig. 57, S. 50, geschehen. Der Horizontalschub läßt sich mit ihrer Hilfe wie schon mittels ihrer vorstehenden Ordinaten in bekannter Weise für beliebige Belastungen feststellen (§ 12). Bezüglich der Einflußlinien für die Vertikalreaktionen V, V' siehe S. 45 und Fig. 124.

C. Belastungsverhältnisse.

Die Verteilung der Fahrbahnlast auf die einzelnen Bogenträger läßt sich mit Rücksicht auf die Kontinuität der Querträger (welche alternierend über alle 6 Tragwände bezw. nur über die 4 inneren weglaufen, Fig. 314, 315) und andere Umstände nicht genau ermitteln, es wurden die feste Last und die größte Verkehrslast für die 6 Bogen jeder Öffnung als gleich groß angenommen. Auf Grund der vorgeschriebenen Belastungen durch Menschengedränge (400 kg pro qm Fahrbahn, 560 kg pro qm Fußwege) und die Anordnung der Konstruktion würden allerdings die Stirnbogen etwas mehr als die mittlere Verkehrslast neben etwas weniger als der mittleren festen Last erhalten, da aber auch jene Vorschriften einer gewissen unvermeidlichen Willkür nicht entbehren, so konnte man sich mit der angenommenen Verteilungsweise um so mehr zufrieden geben, als damit die Berechnung vereinfacht wurde und alle 6 Bogen gleiche Querschnitte erhielten.

gelten:

1000 kg,

2200 2500 7850 „ .

Mit Rücksicht hierauf und die Anordnung der Brückenbahn setzte sich das Eigengewicht pro Meter der letzteren, einschließlich der zum Belage verwendeten Zoreseisen wie folgt zusammen.

Nach dem Bauprogramm sollten als Eigengewicht von 1 cbm Material für Holz „ Asphalt „ Beton „ Flußeisen

Fahrbahn.

41 Zoreseisen von 1 m Länge und 24,2 qm Querschnitt (D N P Nr. 11) Betonierung auf 11,4m Breite und 0,15 m Höhe, abzüglich des Raums

für die Zoreseisen 11 qm Holzpflaster von0,15mHöhe Fußwege.

8 Zoreseisen von 3,35 m Länge und 10,1 qcm Querschnitt Betonierung auf 2 • 3,35 m Breite und 0,11 m Höhe, abzüglich des

Raums der Zoreseisen Asphaltierung auf 2 • 3,35 m Breite und 0,03 m Höhe 2 Randsteine von 124 kg pro m 2 Geländer von 150 kg pro m

41 0,00242-7850= 777 kg

(ll,4 - 0,15 — 41 • 0,11

-) 2500 = 2567 „ 11-0,15 1000 = 1650 „

0,24 + 0,063

8-3,35-0,00101-7850= 212 „

6,7 (0,11 -4-0,06

0,16 4- 0,042

-) 2500 = 1436 „

6,7 • 0,03 • 2200 = 442 „ 2-124= 248 „ _2-150= 300 „

zusammen pro m 7632 kg.

777 + 212

165 auf die Zoreseisen kommen.

Das Fahrbahngewicht pro m beträgt also für jeden der 6 Bogen nach oben abgerundet 1280 kg, wovon

Das Eisengewicht in der hier betrachteten Brückenöffnung ohne Zoreseisen und Auflager ergab sich auf Grund der vorläufigen Berechnung und Konstruktion mit Berücksichtigung der nachträglich vorgenommenen Änderungen (vergl. S. 468) pro Meter Bogen 756 kg. Da jedoch die Vertikalplatten in der mittleren Öffnung 0,04 m höher, also bei 1,2 cm Dicke pro m um 0,04 • 0,012 • 7850 = 4 kg schwerer

für das Eisengewicht einschließlich der Zoreseisen, ohne sonstige Fahrbahnteile und Geländer:

sind, so wurde das fragliche Eisengewicht pro m für alle Bogen der Brücke gleich 760 kg gesetzt, wovon 340 kg auf das Eigengewicht der Bogen selbst entfallen.

Als Yerkehrslast war für die Berechnung der Bogen Menschengedränge anzunehmen (über die Belastung durch eine Straßenwalze siehe VI K), und zwar nach dem Bauprogramm 400 kg pro qm der lim breiten Fahrbahn und 560 kg pro qm der zwei 8,5 m breiten Fußwege. Bei gleichmäßiger Verteilung auf

400.11 + 560-7

alle 6 Bogen macht dies pro m Bogen endgültige Berechnung auf 1390 kg abgerundet wurde.

Für jeden Bogen kamen also pro m Spannweite in Rechnung: Eigengewicht der Brücke G =- 1280 -j- 760 — 2040 kg,

Eigengewicht des Bogens allein g = ~

Eigengewicht ohne Bogen Verkehrslast

Das Eigengewicht der Bogen selbst kann als gleichmäßig verteilt auf diese gelten, (g pro m Spannweite), während das übrige Eigengewicht der Brücke und die Verkehrslast durch die Vertikalständer konzentriert auf die Bogen übertragen werden. Da die Entfernungen der Vertikalständer 2,508 m betragen, so sind die übertragenen Lasten für das Eigengewicht:

= 1387 kg, was für die

= 340

1700

p = 1390 „ .

für die Verkehrslast:

p = 1700 • 2,508 - 4264 kg , P = 1390 - 2,508 = 3486 kg ,

P = (760 — 340 + 165) 2,508 = 1467 kg .

Die Vertikalständer bei den Kämpfern erhalten zwar mit Rücksicht auf die Anordnung der Fahrbahnauflager über den Pfeilern usw. nur ²/3 dieser Lasten, doch kann man mit lauter gleichen P rechnen, wenn bei den Kämpfervertikalen der jeweilige Faktor von P nur mit ²/s seines Wertes in Rechnung gezogen wird.

Die Abszissen a der Vertikalständer und damit der Angriffspunkte konzentrierter Lasten am Bogen nebst einigen davon abhängigen Größen sind in Tabelle III zusammengestellt. Da wegen l — 48 m, ß = 0,001411:

P + l a — «² — ß P = a (l — a) + 2 300,75 ,

so war die letzte Zahl zu den Werten der vierten Kolumne zu addieren, um diejenigen der fünften zu erhalten. Bei Vernachlässigung von ß wäre 2304 an Stelle von 2300,75 getreten, was keine nennenswerten Unterschiede bedingt hätte

Tabelle III.

Knoten

punkte

l — a a (l — ä)

P + la-

CL~ — ß l~

f O)

b 3l²—4 a²

a (3l²— 4 a²)

qm

qm

m¹

qm

cm²

r 12808

294406

560538

810037

1036264

1233463

1396910

1522804

1608352

1651610

f 5,55    2309,1

121,54    2422,3

222,18    2522.9

310,24    2611,0

385,73    2686,5

448,63    2749,4

498,95    2799,7

536,69    2837,4

561,85    2862,6

574,43    2875,2

5654,60    100256

5273,68    106729

4842,48    110147

Summe: i 349,418 > 3665,79

10127183

660149

(abgesehen etwa von der Berechnung eines künstlichen Horizontalschubs, vergl. Aufgabe 17 und VI E). Durch Multiplikation der Zahlen in der vierten und

fünften Kolumne ergaben sich zufolge VIB 2) die f(a) in der sechsten. Die a(l — a), l²-\-la— a²— ßl², f(a) haben für je zwei symmetrisch zur Mitte liegende Lastangriffspunkte gleiche Werte, so daß die in der Tabelle angeführten Werte nicht nur für die danebenstehenden a, l — a, sondern auch bei deren Vertauschung gelten. Entsprechend dem oben Gesagten sind die l—a, a(l — «), f(a) und <i(3l²— 4a²) der Kämpfervertikale in zwei Faktoren eingesetzt, deren erster ³/2 ist, während der zweite ²/3 des ganzen Wertes beträgt. Bei der Addition sind nur die zweiten Faktoren berücksichtigt.

Mit Rücksicht auf die S. 475 gegebenen Formeln c, b und § 20, 20), 34) hat man den Horizontalschub und die Vertikalreaktionen der Kämpfer durch die feste Last allein:

2-10127183

= 21439 + 107 052 = 128491 kg , V = 340-24 + 4264 ^    + 9^ = 8160 +41219 = 49379 kg

und durch die Verkehrslast allein bei Vollbelastung des Bogens:

1390

107 052 WoF = 87 531 kg’

H = 63,093 • 340 + 4264

806754

03 CO

V = 41219

1390

1700

= 33 703 kg .

D. Momente und Normalkräfte durch das Eigengewicht allein.

Für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von g pro Längeneinheit hat man nach § 20, 22). 23), 5), 21) mit § 19, 8):

-ii)

l + s )

Mx = (l

— X (l — x),

Nx = [(y — x) tg SP +

i-4*

wonach mit den unter VI B festgestellten Werten der Brüche für das gleichmäßig verteilte Eigengewicht der Bogen allein von g = 340 kg:

Mx = 2,2236 x{l — x),

Nx = [ (24 — x) tg cp + 63,093] 340 cos <f .

Durch beliebige Belastung entstehen nach § 20, 3)—5):

Grenze

<fo

JP

Mx I

für

""M#

Mx = V x — H ij — 2 P (x — a) ,

Nx

cos cp,

wonach für das konzentrierte (durch die Vertikalen übertragene) Eigengewicht mit den am Schlüsse von VI C bestimmten V, H:

.V

Mx — 4:1 219 a: — 107 052 y — 2 P (x — a) ,

2 p'j tg <p + 107 052j cos <p .

Ll=X Fig. 297.

Liegt eine konzentrierte Last P gerade bei n — x (Fig. 297), so ist es bei Be-

X

rechnung von Mx nach 3) gleichgültig, ob man dieselbe in 2 P (x—a) berück-

⁰

sichtigt oder nicht, da sich auch im ersteren Falle wegen x — a — 0 ihr Beitrag zu dieser Summe gleich Null ergibt. Dagegen kann es sich bei der Berechnung

X

von Nx fragen, ob eine solche Last in 2 P aufzunehmen ist. Die Frage ist für

⁰

die allein nötige Berechnung der ersten Trägerhälfte zu verneinen, da die

*, = [(

41219 —

D. Momente und Normalkräfte durch das Eigengewicht allein.

479

Summengrenzen von 2 P genau genommen nicht Punkte oder Abszissen, son-

0

dern Querschnitte bedeuten (S. 7) und auf der ersten Trägerhälfte eine Last P bei Abszisse a = x nach dem Querschnitt x auf den Träger kommt (Fig. 297).

Die Werte der y, tg 90, cos cp für die in der folgenden Tabelle IV angeführten Querschnitte x sind in Tabelle II gegeben, die x (l—x) stimmen mit den in Tabelle III enthaltenen a (l—a) überein, bezüglich der durch die Vertikalen übertragenen Lasten P wurde in VI C das Nötige festgestellt. Wir erhalten z. B. bei x — 2,682 m für das gleichmäßig verteilte Eigengewicht:

Mx -    2,2236*121,54 = 270 mkg ,

Nx = (21,318*0,33346 + 63,093) 340*0,94865 = 22643 kg ,

für das konzentrierte Eigengewicht:

Mx = 41219* 2,682 — 107 052 • 0,9506 — 4264 • 2,508 • |

Nx = (38376*0,33346 + 107052) 0,94865 = 113 695 kg

= 1656 mkg ,

also für das gesamte Eigengewicht:

270 +    1656 =    1926 mkg ,

Mx =

Nx = 22643 + 113 695 = 136338 kg ;

ferner bei x = 5,190 m für das gleichmäßig verteilte Eigengewicht:

Mx = 2,2236 • 222,18 = 494 mkg ,

Nx = (18,810*0,29423 + 63,093) 340*0,95934 = 22 384 kg ,

für das konzentrierte Eigengewicht:

Mx = 41219* 5,190 — 107 052 • 1,7377 — 4264 • 2,508

Nx = (34112*0,29423 + 107052) 0,95934 = 112328 kg

2950 mkg ,

und für das gesamte Eigengewicht:

494 +    2 950 =    3 444 mkg ,

Mx =

Nx = 22 384 + 112 328 = 134 712 kg .

In gleicher Weise sind die übrigen Mx, Nx der Tabelle IV berechnet.

Tabelle IV.

bei x

durch das gleichmäßig verteilte Eigengewicht

durch das konzentrierte Eigengewicht

durch das gesamte Eigengewicht

Mx

Mx

*x

Mx

mkg

kg

mkg

kg

mkg

kg

kg pro qcm

kg pro qcm

2,682

5,190

7,698

10,206

12,714

15,222

17,730

20,238

22,746

270

494

690

858

998

1110

1193

1249

1277

22643

22384

22156

21959

21792

21658

21557

21490

21456

1656

2950

4083

5034

5846

6488

6980

7301

7462

113695 112328 111107 110039 109128 108377 107789 107368 107116

1926

3444

4773

5892

6844

7598

8173

8550

8739

136338

134712

133263

132098

130920

130035

129346

128858

128572

482.9 374,3

382.1

389.1 395,0

402.2 409,0

414.9 420,1

441,5

323.3

310.3

299.3

289.4 281,8 275,8

' 271,7 269.3

Mit den gegebenen Mx, Nx durch das gesamte Eigengewicht und den aus Tabelle II (S. 474) zu entnehmenden F, W erhält man aus

Mx

°U — -y

die entsprechenden Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement pro qcm bei x = 2,682 m :

_ Kx i Mx

a° — ~W~⁺ ~W ’

ao =

136338

192 600

295,0

136338

9486

192 600

= 482,9 kg,

und bei x = 5,190 m:

295,0

9486

= 441,5 „

134 712    ,    344400

O Q —---j—

⁰    386,2 T

134712 386,2

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der beiden letzten Kolumnen der Tabelle IV berechnet.

13481

= 374,3 kg ,

<*u =

344400 13 481

= 323,3 „ .

Bemerkungen. Hätten wir das ganze Eigengewicht als gleichmäßig verteilt angenommen, so würde unter Wegfall der Berechnungen nach 3, 4 die Nx,

ff₀, csn durch das gesamte Eigengewicht nach 1, 2, 5

oben durch das gleichmäßig verteilte Eigengewicht. Hätten wir dagegen das Eigengewicht der Bogen in die konzentrierten Lasten eingeschlossen, so würden unter Wegfall der Berechnungen nach 1, 2 die Mx, Nx, a₀, o nach 3, 4, 5

= 1,2 mal so groß, als ^oben durch das konzentrierte Eigengewicht (vergl. Beisp. 12).

201O

340

6 mal so groß als

2040

1700

E. Künstlicher Horizontalschub.

Während sich bei Vernachlässigung von ß, e im Ausdrucke des Horizontalschubs für beliebige auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Lasten in allen Querschnitten Mx — 0 ergäbe, haben wir in IV D durch das Eigengewicht allein Momente erhalten, welche keineswegs ohne weiteres zu vernachlässigen sind. Seitens der Eßlinger Maschinenfabrik war die Beseitigung der vom Eigengewicht herrührenden Momente durch künstliche Überhöhung der Bogen vorgeschlagen worden.

Nach den „besonderen Bestimmungen“ für die Lieferung der Eisenkonstruktion sollte eine Überhöhung der Bogen derart stattfinden, daß auch bei der größten Kälte kein Einschlagen der Längsträger (Obergurten der Tragwände) unter eine Gerade stattfinden könne. Die Überhöhung hat durch einen künstlichen Horizontalschub zu erfolgen, welcher bei vollständig gleichmäßig verteilter Last so gewählt werden kann, daß alle durch die letzteren erzeugten Momente Mx aufgehoben werden (Aufgabe 17). Damit würde für die betreffende Belastung die resultierende Schnittkraft gleich der Normalkraft Nx und in der Achse angreifen, so daß die kleinstmöglichen Spannungen a₀, au entstünden. In unserm Falle läßt sich dies zwar wegen des teilweise konzentrierten Eigengewichts nicht für alle Querschnitte vollständig, aber doch genügend annähernd erreichen (siehe die Tabelle S. 486).

Die Momente Mx durch das gesamte Eigengewicht allein sind positiv. Durch einen beliebigen Horizontalschub H allein dagegen wird nach § 20, 53):

Mx = — Hy .

Dividiert man also die in Tabelle IV (S. 479) zuletzt angeführten Mx durch die in Tabelle II (S. 474) gegebenen y der zugehörigen Querschnitte, so erhält; man diejenigen H, durch wrelche jene Momente aufgehoben werden könnten. Beispielsweise folgen für x = 2,682 m und 5,190 m:

1926

0,9506

— 2026 kg ,

3444

= 1982 kg .

1,7377

Die so berechneten Werte sind in Kolumne 2 der Tabelle V (S. 481) eingetragen. Mit Rücksicht auf diese Werte wurde der künstliche Horizontalschub gewählt:

K = 1950 kg,

womit die Momente gerade da fast vollständig beseitigt werden, wo ohnehin die größten Beanspruchungen entstehen (Tabelle S. 486).

Ein beliebiger Horizontalschub H allein erzeugt nach § 20, 54) die Normalspannungen :

F. Ungünstige Belastungen. Kämpferdrucklinie. Kernlinien.

481

B,

cos cp y \

wj

Die Werte y, cos cp, F, W sind aus Tabelle II (S. 474) zu entnehmen. Wir erhalten als Beitrag des künstlichen Horizontalschubs allein bei x — 2,682 m:

ff = — 0,006805• 1950 = — 13,3 kg ,

0,94865    95,06

295,0

9486

= ('

0,94865

95,06

und bei x — 5,190 m:

295,0

9486

0,013237 • 1950 =    25,8 „

O.)

0,95934    173,77

386,2

13481

^ ff = — 0,010 406 • I960 = — 20,3 kg ,

-jff =    0,015 374 • 1950 =    30,0 „ .

In gleicher Weise sind die übrigen o₀, au der folgenden Tabelle V berechnet.

Die Werte der Klammerausdrücke wurden in den beiden letzten Kolumnen vorgemerkt, weil sie auch bei Ermittelung der Einflüsse von Änderungen der Temperatur und der Spannweiten zur Verwendung kommen.

°it —

0,95934

173,77

386,2

13481

Tabelle V.

-Er

durch K allein

cos <p _ y

kg

ffo

kg pro qcm

kg pro qcm

2.682 5,190 7,698 10,206 12,714 15,222 17,730 20,238 ' 22,746

2226

1982

1967

1953

1950

1947

1947

1946

1945

— 70,3

25,8

30,0

40,5

49,8

57,8

65,4

71,8

77,0

80,8

—    0,006805

—    0,010406

—    0,015721

—    0,020421

—    0,024502

—    0,028324

—    0,031564

—    0,034159

—    0.036070

0,013237

0,015374

0,020755

0,025515

0,029650

0,033536

0.036832

0,039477

0,041430

Bemerkungen. Bei vollständig gleichmäßig verteiltem Eigengewicht wäre nach Formel 5 der Aufgabe 17 mit Rücksicht auf VI B (S. 475) und u = 2040 kg der künstliche Horizontalschub K — 1705 kg oder 14,5% kleiner als oben geworden. Unter Vernachlässigung von ß wüirde sich im gleichen Falle K = 1554 kg oder 25,5% kleiner als oben ergeben haben. Wenn keine künstliche Überhöhung stattfinden soll, so fällt natürlich die ganze K betreffende Berechnung weg. Die Berücksichtigung von ß kann dann um so eher unterbleiben.

F. Ungünstige Belastungen. Kämpferdrucklinie. Kernlinien.

Zur Bestimmung der Belastungen für die Grenzwerte der Normalspannungen a₀, alt in beliebigen Querschnitten x haben wir in §§ 19, 20 (S. 80, 81, 121) ein genaueres und ein einfacheres Verfahren angeführt. Beide erfordern die Ermittelung der Kämpferdrucklinie.

Die Gleichung der letzteren ist nach § 20, 47):

8 fP

t+e

P + la — cP — ßt* 5

und in unserm Falle mit Rücksicht auf VI B (S. 475):

16808

V* + l a — al — ß l¹ ’

worin l — 48 m, Z² — ßl'² — 2300,75 qm (S. 477). Hieraus folgen z. B.

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

oberhalb und unterhalb der Bogenachse. Diese Werte k sind bereits in Kolumne 12 der Tabelle II (S. 474) angeführt. Die Kernlinien wurden darnach auf der am Schlüsse des Werkes gegebenen Tafel durch die punktierten Linien oberhalb und unterhalb der ausgezogenen Bogenachse dargestellt.

Auf der gleichen Tafel sind die Belastungen für die Grenzwerte max. druck fl₀, max. pos. Mx, min. druck au in den Querschnitten unter den Achsen der Vertikalen zusammengestellt. Um die Belastungen für min. druck o₀, max. neg. Mx, max. druck au zu erhalten, hat man nur feine Striche (Eigengewicht allein) und fette Striche (Vollbelastung) vertauscht zu denken. Bei der genaueren Berechnung der Grenzwerte von a₀, au ist die Ermittelung der Belastungen für die Grenzwerte von Mx, bei der einfacheren Berechnung die Ermittelung der übrigen Belastungen überflüssig. Über die Resultate beider Verfahren siehe am Schlüsse von § 11 (S. 43).

Wir haben bereits S. 469 erwähnt, daß die genauere Berechnung der a₀, au in der „Allgemeinen Bauzeitung“ von 1895 mitgeteilt ist, während hier das einfachere Verfahren vorgeführt werden soll. Bei diesem sind für max. druck a0 und min. druck au die Belastungen für max. pos. Mx, für max. druck ctu und min. druck ff₀ die Belastungen für max. neg. Mx zu verwenden.

Bezüglich der Einflußlinien zu möglichst genauer Berechnung von Mx, Nx, a₀, au, die bei der vorgeführten Berechnung der Cannstatter Brücke nicht gebraucht wurden, siehe § 12 und Beispiel 10.

G. Erste Grenzwerte der Normalspannungen durch die Verkehrslast allein.

Diejenigen Knotenpunkte (vergl. Fig. 295, S. 470), welche sich durch die am Schlüsse von VI F erwähnte Konstruktion für die max. druck cr₀ und min. druck au als vollbelastet ergaben (s. Tafel), sind in der zweiten Kolumne von Tabelle VI (S. 484) bei den betreffenden Querschnitten angeführt. Im folgenden ist bezüglich der Kämpfervertikalen, welche nur zwei Drittel so große Lasten wie die übrigen Vertikalen übertragen, das unter VI 0 Gesagte (S. 477) zu beachten.

Da im Falle beliebig vieler gleicher Lasten P die Vertikalreaktion des Kämpfers 0 und der Horizontalschub zufolge § 20, 2) und S. 475):

P ¹

y= Ts-² (*-«).

48 o

und speziell für die Verkehrslasten P= 3486 kg:

806 754 o

2f(a)

2 f(a)

V = 72,625 2 (l — a),

b = 7,306 m. b = 5,843

während die übrigen Ordinaten b bereits in Tabelle III (S. 477) eingetragen sind. Die Kämpferdrucklinie konnte hiernach auf der Tafel am Schlüsse des Werkes verzeichnet werden. Selbstverständlich hätten wir ß und selbst e in 1 vernachlässigen können.

Die Kernlinien sind nur für die genaueren Bestimmungen der ungünstigsten Belastungen nötig. Sie liegen im Falle symmetrisch zur Achsschicht angeordneter Querschnitte zufolge § 20, 52) um

für

ci = 0 fl = 24 m

Je —

231,425 ’

so wurden zunächst die hierin auftretenden Summen für die in Frage kommenden Belastungsfälle auf Grund von Tabelle III berechnet. Man erhält für x — 2,682 m:

i

2(1 —a) = 31,884 + 45,318 + 42,810 -f 40,302 + 37,794 + 35.286 + 32,778 — 266,172 m ³

G. Erste Grenzwerte der Normalspannungen durch die Verkehrslast.

483

für x

12,714 m:

2(1 — a) — 296,442 + 27,762 = 324,204,

2 f (a) = 6 867 230 + 1608 352 = 8 475 582 ,

für x — 15,222 m, x

17,730 m:

2(1 —a) — 324,204 + 25,254 = 349,458

für x — 20,238 m:

2 f O) = 8 475 582 + 1651601 — 10127 183

2(1 —a) — 40,302 + 37,794 + 35,286 + 32,778 + 30,270 + 27,762 + 25,254 + 22,746 = 252,192

2f(a) = 810037 + 1036264 + 1233 463 + 1396910 + 1522804 + 1608 352 + 1651601-2 = 10911032 ,

und für x = 22,746 m:

2(1 — a) = 32,778 + 30,270 + 27,762 + 25,254 + 22,746 + 20,238 = 159,048,

■i

2 f (a)= 1396910 + 1522804 + 1608352-2 + 1651601-2 = 9439620 .

■■

Mit diesen Summen, welche in der dritten und vierten Kolumne von Tabelle VI (S. 484) aufgeführt sind, ergaben sich nach b) die in der fünften und sechsten Kolumne eingesetzten V, H.

Für die gleichen Belastungsfälle erhalten wir bei den neun in der Tabelle angeführten Querschnitten x der Reihe nach:

X    9

V — 2 P = 19331 — 3486• —■ = 17007 kg 0    ³

5

„    21529 — 3486* — = 15719 „

„    21529 — 3486 • — = 12 233 „

21529 — 3486-

Vx =

11

-T= ⁸⁷⁴⁷ »

— = 7277 „ 3    ”

-^-= 5626 „

O

20

T= ²¹⁴⁰ •

18315 — 3486- 5 = 885 „ 11551 — 3486- 3 = 1093 „

23545 — 3486-

25 380 — 3486 •

25 380 — 3486 •

und ebenso: £

2 P (x — a) = 3486 • 2,508 •

Ol JO

- 5829 mkg

3486

•2,508 ^-³- 2 + lj = 20400 mkg

3486 • 2,508 ^ J- 3 + 2 + lj = 43 714 mkg 3486 • 2,508    4    +    3    +    2 + 1 j =    75 772 mkg

3486 • 2,508

^J-5 + 4 + 3 + 2 + lj = 116572 mkg 3486-2,508    6    +    5    +    4 + 3 + 2    + lj= 166115    mkg

3486 • 2,508 (J“ ⁷ + 6 + 5 + 4 + 3    + 2 + lj =    224401    mkg

3486 ■ 2,508 (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 131143 mkg 3486-2,508 (3 + 2 + 1) = 52457 mkg .

Tabelle VI.

Belastete

Knoten

punkte

bl

2(1—a)    2 f(a)

o    o

m⁴

2,682

5,190

7,698

10,206

12,714

15,222

17,730

20,238

22,746

owooooooo

* rH

CDM>MX)C500

i-H r-H

266,172

296,442

296,442

296,442

324,204

349,458

349,458

252,192

159,048

5344426

6867230

6867230

6867230

8475582

10127183

10127183

10911032

9439620

19331

21529

21529

21529

23545

25380

25380

18315

11551

23094

29674

29674

29674

36623

43760

43760

47147

40789

17007

15719

12233

8747

7277

5626

2140

885

1093

nach

Mit den nun bekannten, m Tabelle VI zusammengestellten Werten folgen

Mx = V x — Hy — 2 P (x — a) ,

0

Nx = (Vx tg qp + B) cos 0o

unter Verwendung der m Tabelle II (S. 474) gegebenen y, tg <jp, cos <p, für die von der Verkehrslast allein herrührenden max. druck a₀ und min. druck au die Momente:

Mx — 19331 • 2,682-23094-0,9506—    5829 = 24064 mkg

„    21529- 5,190-29674-1,7377— 20400 = 39771

„    21529- 7,698-29674-2,4264— 43714 = 50015

„    21529 10,206 —29674-3,0169— 75772 = 54430

„    23545 • 12,714 — 36623 • 3,5088 — 116572 = 54276

„    25380 15,222-43760-3,9024 — 166115 = 49450

„    25380-17,730 — 43760-4,1975 — 224401 = 41903

„ 18315 20,238 — 47147 4,3943 — 131143 = 32338 „ 11551 22,746 — 40789 • 4,4927 — 52457 = 27029

und die Normalkräfte:

wonach sich aus

Nx = (17007 • 0,33346 + 23094) 0,94865 = 27288 kg „    (15719 0,29423 + 29 674) 0,959 34 = 32 904

__ Nx _ Mx W ’■

o₀ =

nx

Nx

au

F W ’

mit den in Tabelle II (S. 474) angeführten F, W auch die betreffenden Grenzwerte selbst ergeben. Beispielsweise erhält man in kg pro qcm bei x = 2,682 m:

/•’

Nx

27 288

= 92,5 ,

295,0

a₀ — 92,5 + 253,7 = 346,2 ,

Mx _ 2406400

9486

= 253,7,

au — 92,5 — 253,7 = — 161,2 ,

und bei x — 5,190 m:

= 85,2,

= 295,0

32904

386,2

o₀ = 85,2 + 295,0 = 380,2 ,

Mx 3977100

13 481

au = 85,2 — 295,0 = — 209,8 .

Tabelle VI.

2P{x—a)

o

Mx

Nx

mkg

mkg

kg

kg

kg pro qcm

kg pro qcm

5829

20400

43714

75772

116572

166115

224401

131143

52457

27288

32904

31776

30851

37331

24064 39771 50015 54430 54276 49450    44119

hf*-CaQ0005h(i.OTl\SCJi

i-H pH

?rr r ® ^ p ?< w

HO^OOOifOOO

346.2

380.2

458.4

494.4

516.4 507,9

457.2

396.5

342.5

— 161,2

—    145,5 —123,7

10

11

12

13

14

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der Kolumnen 11 bis 14 der Tabelle VI berechnet.

Bemerkungen. Hätten wir das genauere Verfahren zur Bestimmung der ungünstigsten Belastungen gewählt (S. 80, 121), so würden zwei Tabellen wie die vorstehende zu berechnen gewesen sein¹, indem dann die Belastungen für max. druck a₀ (bei deren Ermittelung die untere Kernlinie anstatt der Bogenachse zu verwenden ist) mit den Belastungen für min. druck au (bei deren Ermittelung die obere Kernlinie an Stelle der Bogenachse tritt) nicht mehr übereinstimmen. Die weiter folgenden Ermittelungen würden jedoch keinerlei Änderung erfahren.

H. Normalspannungen bei Vollbelastung und zweite Grenzwerte der Normalspannungen durch die Verkehrslast allein.

1390

Die Mx, Nx, ff₀, au durch die Verkehrslast bei Vollbelastung der ganzen Öffnung stehen zu den entsprechenden Werten durch das konzentrierte Eigengewicht im Verhältnis

—— = 0,817 65 1700

vergl. S. 477). Mit Rücksicht auf Tabelle IV (S. 479) und II (S. 474) erhält man also bei Vollbelastung für x = 2,682 m pro qcm:

165600

°o = f-

113 695

295,0

113695

9486

165600

■)

0,817 65 = 329,4 kg ,

und für x — 5,190 m:

295,0

9486

0,817 65 = 300,8 „ ,

0,817 65 = 255,8 kg

295000

112328 386,2 112328 386,2 ~

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der zweiten und dritten Kolumne nachstehender Tabelle VII berechnet.

Die Beiträge der Verkehrslast allein zu den ersten Grenzwerten der Normalspannungen u₀, ou, nämlich zu max. druck und min. druck au, wurden in Tabelle VI (oben) gegeben. Subtrahiert man diese Werte von den soeben erwähnten Normalspannungen durch die Verkehrslast allein bei Vollbelastung, so ergeben sich die Beiträge der Verkehrslast zu den zweiten Grenzwerten der Normalspannungen <r₀, au, nämlich zu min. druck a₀ und max. druck ou. Man erhält z. B. bei x = 2,682 m:

o₀ = 329,4 — 346,2 = — 16,8 kg ,

¹ Siehe dieselben „Allgemeine Bauzeitung“ 1895, S. 76 (Tab. XV).

°o =

13481

°u = (-

295000

13481

0,817 65 = 219,9 „ .

au — 300,8 + 161,2 =462,0 kg

und bei x = 5,190 m:

ou = 219,9 + 209,8 = 429,7 kg .

o₀ — 255,8 — 380,2 = — 124,4 kg ,

In dieser Weise wurden auch die übrigen Werte der beiden letzten Kolumnen von Tabelle VII berechnet.

Tabelle VII.

Grenzwerte

bei Vollbelastung

°0

°u

°0

<*u

kg pro qcm kg pro qcm kg pro qcm

kg pro qcm

2,682

5,190

7,698

10,206

12,714

15.222

17,730

20,238

22,746

329.4 255,8 261,1

265.7

270.1

275.1

279.8

283.9

287.5

300.8

219.9

210.9 203,4 196,3

191.1 186,8 183,8

182.2

16,8

OtOMOlHOSOM® Ol    -4 hfk CD 03

OJ it». © Üt V CO <1 ©

J. Resultierende Normalspannungen. Einfluß von Änderungen der Temperatur

und der Spannweite.

Die durch das gesamte Eigengewicht allein erzeugten Normalspannungen sind in Tabelle IV (S. 479) zusammengestellt. Zugleich mit dem Eigengewicht, wie mit jeder Belastung, wirkt im vorliegenden Falle der künstliche Horizontalschub, dessen Beiträge zu <r₀, ou in Tabelle V (S. 481) gegeben sind. Mit Rücksicht hierauf erhalten wir die ganzen Normalspannungen bei Belastung durch das Eigengewicht allein für x = 2,682 m:

ou — 441,5 + 25,8 = 467 kg

Oq — 482,9 — 13,3 = 470 kg ,

und für x — 5,190 m:

Oq = 374,3 — 20,3 = 354 kg ,

ou — 323,3 + 30,0 = 353 kg .

Auf gleiche Weise sind die übrigen Werte der zweiten und dritten Kolumne von Tabelle VIII (S. 488) berechnet worden.

Man sieht an der Gleichheit der a₀, au, daß infolge der getroffenen Wahl des künstlichen Horizontalschubs fast auf der ganzen Länge des Bogens gleichmäßige Verteilung der Beanspruchungen auf die Querschnitte erreicht ist.

In Tabelle VII wurden die Normalspannungen durch die Verkehrslast allein bei Vollbelastung der ganzen Öffnung gegeben. Addiert man zu diesen Werten die Normalspannungen bei Belastung durch das Eigengewicht allein, einschließlich der Beiträge des künstlichen Horizontalschubs, so ergeben sich die ganzen Normalspannungen bei Vollbelastung. Wir erhalten für x — 2,682 m:

ou = 301 + 467 = 768 kg,

Oq — 329 + 470 = 799 kg ,

und für x = 5,190 m:

ou = 220 + 353 = 573 kg .

o₀ ------ 256 + 354 = 610 kg

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der Kolumnen 4 und 5 von Tabelle VIII (S. 488) berechnet.

Die Grenzwerte der Normalspannungen bei normaler Temperatur im ganzen finden sich, wenn man zu den in Tabelle VI und und VII (S. 485, 486) gegebenen Grenzwerten durch die Verkehrslast allein die in Kolumne 2 und 3 der Tabelle VIII enthaltenen Normalspannungen für Eigengewicht allein addiert. Es folgen so bei x = 2,682 m:

Oq = 4'0 - 17 — 453 kg , ou = 467 + 462 = 929 kg

Oq — 470 + 346 = 816 kg , ou = 467 — 161 = 306 kg ,

und bei x = 5,190 m:

a₀ = 734 + 30 = 766 kg ,

und bei x = 5,190 m:

Oq = 354 — 124 = 230 kg , au = 353 + 430 = 783 kg .

a₀ — 354 + 380 = 734 kg, au = 353 — 210 = 143 kg ,

In derselben Weise sind die übrigen Werte der Kolumnen 6 bis 9 nachstehender Tabelle VIII berechnet.

Der von einer Temperaturänderung um r° gegen die Normaltemperatur herrührende Horizontalschub ist nach Formel d) auf S. 475:

H — 4,6722 Eax .

Elastizitätsmodul und Ausdehnungskoeffizient des verwendeten Flußeisens (welches in Längs- und Querrichtung mindestens 3700 kg und höchstens 4400 kg pro qcm Zugfestigkeit bei mindestens 20% Dehnung auf weisen mußte) wurden nicht besonders festgestellt. Indem man auf Grund sonstiger Erfahrungen annahm :

E = 2150000 kg pro qcm ,

ergab sich mit Ea = 24,725:

a = 0,0000115 für Grad C ,

S— 115,520 v .

Nach dem Bauprogramm waren als Grenzen der Temperaturänderungen r = + 25° anzunehmen, für die in den Brückenstirnen gelegenen Bogen jedoch + 5° mehr. Die Berechnung wurde jedoch für alle Bogen mit r = + 25° durchgeführt, wonach zunächst für die sechs Bogen jeder Öffnung gleiche Querschnitte resultierten (vergl. S. 476). Dem für die Stirnbogen um % größeren Einfluß der Temperaturänderungen ist durch aufgenietete Winkeleisen von 10/10/1 cm, welche zur Befestigung der Vertikalständer an den Stirnbogen dienen, mehr als genügend Rechnung getragen.

Mit r = -j- 25° liefert die letzte Gleichung

11 = + 2888 kg,

während die entsprechenden Normalspannungen aus den auf S. 481 angeführten Formeln 2 folgen. Da die Klammerausdrücke dieser Formeln in Tabelle V (S. 481) vorgemerkt wurden, so erhalten wir z. B. bei x — 2,682 m:

o₀ — + 0,006805 *2888 =    20 kg ,

au = ± 0,013 237 • 2888 = ± 38 „ a₀ = + 0,010406 • 2888 = V 30 kg , au = ± 0,015374*2888 = ± 44 „ .

und bei x — 5,190 m:

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der Kolumnen 12 und 13 von Tabelle VIII berechnet.

Fügt man den in Kolumne 6 und 8 der Tabelle VIII gegebenen größten Grenzwerten der Normalspannungen bei normaler Temperatur die Normalspannungen gleichen Sinnes durch eine Temperaturänderung r = + 25° bei, so ergeben sich die größten Gesamtspannungen. Wir erhalten bei x = 2,682 m:

a₀ — 816 + 20 = 836 kg ,

<ru — 929 + 38 = 967 kg

an = 783+ 44 = 827 kg .

In derselben Weise sind die übrigen Werte der Kolumnen 14 und 15 der Tabelle VIII berechnet.

Die unteren Grenzwerte der Gesamtspannungen pflegen selten zu interessieren, sie würden sich ergeben, wenn man zu den in Kolumne 7 und 9 der Tabelle VIII enthaltenen unteren Grenzspannungen bei normaler Temperatur die in Kolumne 12 und 13 gegebenen negativen Beiträge der Temperaturänderungen addierte. Die betreffenden Werte sind übrigens in den Kolumnen 11 und 21 der Tabelle des § 11 (S. 44, 45) eingestellt.

Änderungen der Spannweite sollen natürlich möglichst vermieden werden. Indessen erschien es doch zweckmäßig, über den eventuellen Einfluß derselben Rechenschaft zu geben (vergl. S. 512). Der durch eine Änderung A l der Spannweite l bewirkte Horizontalschub ist nachder auf S. 475 erhaltenen Formel e):

11 =

Al

— 4,6722 E —— .

Quer

schnitt

2,682

5,190

7,698

10,206

12,714

15,222

17,730

20,238

22,746

18

Resultierende Normalspannungen in kg pro qcm (Einfluß der Straßenwalze siehe S. 489).

für eine Änderung der Spannweite um + 1 cm

größte

Gesamt

spari

nungen

für eine Temperaturänderung um + 25°

800 (l +

für

°o

au

°o

<*u

ao

+ 28 + 32 + 43 + 53 + 62 + 70 + 77 + 83 + 87

836 [ 967    + 14

764    827    + 22

854    915    + 33

902    960    +43

934    951    + 51

937    911    +59

895    866    + 66

844    792    +71

797    776    + 75

+ 38 + 44 ± 60 + 74 ± 86 ± 97 ±106 +114 + 120

+ 20 + 30 + 45 + 59 + 71 + 82 + 91 + 99 +104

932

1022

306

873

827

807

812

835

864

920

938

925

876

857

847

853

885

CO o cm

05    05

143

58

15

26

71

122

203

226

17

14    15    16

13

12

11

bei normaler Temperatur

Grenzwerte

(Druck)

für Voll-

belastung

929

453

783

230

855

886

865

814

760

678

656

154

120

101

114

170

235

295

<*0

816

768

734

573

809

562

843

863

855

804

745

693

552

543

538

535

533

532

°0

799

610

612

615

617

622

627

632

637

Tabelle VIII.

für Eigengewicht allein

467

470

353

354

351

349

347

347

348

349

350

351

349

347

347

347

348

350

Quer

schnitt

Ul

2,682

5,190

7,698

10,206

12,714

15,222

17,730

20,238

22,746

¹

2,682    “ 45,318

5,190    42,810

7,698    40,302

10,206    37,794

12,714    35,286

15,222    32,778

17,730    30,270

20,238    27,762

22,746    25,254

²

,174    -f 31,884

³

f(a) = 12808 + 294406 + 560538 + 810037 + 1036264 + 1233463 + 1396910 = 5344426 m⁴, 0

für x — 5,190 m, x — 7,698 m, x — 10,206 m:

2(1 — a) = 266,172 + 30,270 = 296,442

2 f (a) = 5 344426 + 1522 804 = 6 867 230,

Dieser Horizontalschub wie nach 2 auf S. 481 die davon herrührenden Normalspannungen sind also innerhalb der Gültigkeitsgrenzen unsrer Formeln proportional Al und wir wollen sie für Al — + l cm ausdrücken. Mit E — 2150000 kg pro qcm und l — 4800 cm wird für Al cm:

H —    2093 4 / kg,

c₀—± 0,006805 • 2093 = ± 14 kg ffu — T 0,013 237 • 2093 = 4 28 „

wonach für Al = 1 cm bei Beachtung von Tabelle Y (S. 481) im Querschnitt x — 2,682 m:

und im Querschnitt x — 5,190 m:

a₀ — -j- 0,010406 • 2093 = + 22 kg , au = qp 0,015 374 • 2093 — q: 32 „ .

In gleicher Weise sind die übrigen Werte der Kolumnen 16 und 17 von Tabelle VIII berechnet.

K. Bemerkungen zu den resultierenden Normalspannungen. Belastung durch die Straßenwalze. Knickwirkung. Winddruck.

Die wichtigsten Ergebnisse betreffend die resultierenden Normalspannungen sind in Tabelle VIII (S. 488) zusammengestellt.

Nach dem Bauprogramme sollte die Dimensionierung der Eisenkonstruktion auf Grund einer zulässigen Beanspruchung von

b = 800 ^1 + -    — 800 + 400 rf> kg

453

800 + 400 — = 1022 kg ,

pro qcm mit der oberen Grenze 1000 kg erfolgen (ip Verhältnis der numerisch kleineren zur numerisch größeren Grenzspannung mit Berücksichtigung der Vorzeichen). Aus diesem Grunde sind den Grenzspannungen bei normaler Temperatur in den Kolumnen 10 und 11 die entsprechenden 800^1 + y) beigesetzt, also z. B. bei x = 2,682 m: für a₀

800 + 400 w = 932 » •

Man sieht, daß die Grenzspannungen nur an wenigen Stellen etwas größer als 800 (l -f- y) sind. Die ebenfalls in der Tabelle angeführten größten Gesamtspannungen, mit Einschluß des Beitrags der Temperaturänderungen überschreiten den vorgeschriebenen Maximalwert von 1000 kg an keiner Stelle. Die vereinbarten, unserer Berechnung zugrunde gelegten Dimensionen (vergl. S. 468) wurden demnach in der hier betrachteten Öffnung beibehalten.

Nach dem Bauprogramm war für die Berechnung der Eisenkonstruktion „als größte Einzellast eine Dampfwalze mit 20 Tonnen Dienstgewicht“ entsprechend Fig. 298 anzunehmen, wenn durch dieselbe eine größere Beanspruchung als durch die vorgeschriebenen Belastungen durch Menschengedränge erzeugt werden sollte. Bei der vorläufigen Berechnung wurden die Fahrbahnteile und Vertikalständer für Belastung durch die Straßenwalze, die Bogen für Belastung durch Menschengedränge berechnet. Für die definitive Berechnung bedarf letzteres Verfahren einer Begründung.

Nach der Lastverteilung der Straßenwalze und der Entfernung der Hauptträger von 3,2 m können durch erstere ungünstigstenfalls 2 Lasten von 9 und 7,25 t in Entfernung von 2,9 m auf einen Bogen kommen (Beisp. 11). Die der

5m

2,3m

Fig. 298.

’ £Oa

0.5 'Ö,6

U it

16m

Berechnung zu Grunde gelegte Yerkehrslast durch Menschengedränge beträgt. 1390 kg pro m. Die Belastung eines Bogens durch die Straßenwalze entspricht

16250

zirka 12 m Belastung

1390

also, abgesehen von der Konzentration der Lasten

durch Menschengedränge. Da die Belastungsstrecken für die Grenzspannungen meist weit größer sind (vergl. die Tafel am Schlüsse des Werkes), so konnte die übliche Berechnung der Hauptträger für Menschengedränge im allgemeinen beibehalten werden. Nur für die a₀, au an den Träger enden und besonders um die Trägermitte kommen kleinere Belastungsstrecken vor, welche gleichwohl noch eine Straßenwalze aufnehmen können. Hier wurden aber auch die Querschnitte auf Grund der vorläufigen Berechnung so gewählt, daß die größten Gesamtspannungen wesentlich unter der zulässigen Grenze von 1000 kg bleiben. Die Berechnung der größten Gesamtspannungen in der Trägermitte ergab (Beispiel 11) für die Straßenwalze ohne Menschengedränge a₀ — 823 kg, ou — 771 kg, für die Straßenwalze mit Menschengedränge (soweit der Raum reicht) a₀ = 901 kg, au — 900 kg. Da auch kleine Änderungen der Spannweite in der Mitte am meisten zur Geltung kommen, so erkennt man, daß die ursprünglich beabsichtigt gewesene Unterbrechung der horizontalen Verstärkungsplatten auf eine Strecke von 6,6 m um die Bogenmitten (S. 468) nicht berechtigt gewesen wäre (in Öffnung V können selbst mit diesen Platten größte Gesamtspannungen bis 1000 kg in der Mitte entstehen).

Dem Bauprogramm zufolge waren die Querschnitte von Stäben mit achsialem Druck entsprechend der Schwarz sehen Knickformel¹ aus

F={\+^)Fd

zu berechnen, worin Fd = —. der dem Maximaldrucke D bei einer zulässigen

f r-

Beanspruchung ohne Rücksicht auf Knickwirkung von d pro Flächeneinheit entsprechenden Querschnitt und

mit l Stablänge, J Trägheitsmoment, v = 24000. Bei Brückenbogen wird allerdings gewöhnlich eine Zerknickungsgefahr nicht angenommen. Da jedoch die Achsialkraft Nx bedeutende Werte annehmen kann, so wurde (schon bei der ursprünglichen Berechnung) ein seitliches Einknicken in Betracht gezogen.

Nach S. 491 sind die größte Horizontalreaktion und Vertikalreaktion:

V— 83 082 kg ,

damit wird im ersten Felde die größte Vertikalkraft (vergl. S. 477 und Fig. 299):

2 • 2,508

H= 235 970 kg ,

Vx = 83 082 — (2040 -f 1390)

während nach

₃    = 77347 kg,

Nx = (Vx tg <p + H) cos cp

235970kg

5735hg

• "2'508m, 83082kg

\0'885ni

die größte Achsialkraft:

0,885 2,508

Für reinen Druck wäre mit dem hier maßgebenden Grenzwert d= 1000 kg (vergl. S. 489):

248219

Nx

77 347

*    \ 2508

+ ^0)^ = 248219 kg.

Fig. 299.

- 248,219 qcm .

Fd =

Weiter hat man nach S. 473:

F — 295 qcm ,

J= (2-1,4-193 + 2*1,2*9,6³ + 2*7,8-1,8³ + 72-0,6³) = 14290 cm*, 295 • 266²

1000

/* =

14290*24000

0,06086

sodaß der verlangte wirkliche Querschnitt:

_ F — 1,060 86 • 248,219 = 263,33 qcm

¹ Luegers Lexikon der gesamten Technik, 2. Auflage, Artikel Knickfestigkeit. Andere Berücksichtigung der Knickspannungen siehe VI O, P.

während der tatsächliche Querschnitt mindestens 295 qcm, durchschnittlich aber wegen der nach den Auflagern hin angebrachten Verstärkungen noch größer ist.

Man könnte noch fragen, ob nicht durch die Transversalkraft Tx übermäßige Beanspruchungen entstehen. Dies pflegt für Bogenträger nicht der Fall zu sein, weshalb man Tx hier gewöhnlich unberücksichtigt läßt. Wollte man sich jedoch durch Rechnung davon überzeugen, so würde die Untersuchung einzelner geeigneter Belastungsfälle genügen. In Beispiel 8 sind die größten Längsund Querschubspannungen z der König-Karls-Brücke berechnet a) für Vollbelastung des ganzen Bogens, b) für Verkehrslast auf der ersten Bogenhälfte, c) für Verkehrslast auf der zweiten Bogenhälfte. Die erhaltenen z (in der Achsschicht) schwanken zwischen 0 und + 82 kg pro qcm (Tabelle S. 39).

Fig. 300.

Der Winddruck, welcher nach dem Bauprogramm zu 150 kg pro qm getroffener Fläche anzunehmen war, blieb bei Berechnung der Bogen außer Betracht. Da zwei Horizontalverbände der in Fig. 300 angedeuteten Art in Höhe der Fahrbahn und des Obergurts der Bogen die sechs Tragwände verbinden, und der Zoreseisenbelag der Brücke einen dritten Horizontalverband bildet, so sind die Beanspruchungen der einzelnen Bogen durch den Winddruck gering. Am ehesten kommen sie für die Stirnbogen in Betracht, welche aber durch die Winkeleisen von 10/10/1 cm zur Befestigung der Vertikalen (S. 487) eine bei Berechnung der obigen Normalspannungen nicht berücksichtigte Verstärkung erhalten haben. Auch dürften stärkste Winddruckfälle kaum jemals mit ungünstigsten Belastungsfällen und Temperaturfällen Zusammentreffen.

L. Kämpferdrücke. Auflager.

In VI C (S. 478) ergaben sich die Vertikalreaktionen und Horizontalreaktionen der Kämpfer durch die gesamte feste Last:

S= 128491 kg

V    = 49379 kg ,

und durch die Verkehrslast allein bei Vollbelastung des Bogens:

H — 87 531 kg .

V    = 33 703 kg ,

Nach S. 480 beträgt der künstliche Horizontalschub K = 1950 kg und nach S. 487 können durch die in Betracht gezogenen Temperaturänderungen bis + 25° Horizontalschübe von H— + 2888 kg entstehen.

Demnach erhalten wir die größte Vertikalreaktion durch Belastung, bei Voll-

belastung:

V = 49 379 + 33 703 = 83 082 kg ,

die kleinste Vertikalreaktion durch Belastung, für Eigengewicht allein:

V — 49379 kg,

H — 128491 -f- 87531 + 1950 + 2888 = 220860 kg

den größten Horizontalschub, bei Vollbelastung und Temperaturänderung um 25°:

den kleinsten Horizontalschub, für Eigengewicht allein und Temperaturänderung um z = — 25 ⁰:

H = 128 491 4- 1950 — 2888 = 127 553 kg ,

und den Horizontalschub für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur:

H= 128491 4- 1950 = 130441 kg ;

ferner die größte resultierende Kämpferreaktion, bei Vollbelastung und Temperaturänderung um z — 25°:

R — y 83082² 4- 220 860² = 235970 kg ,

die kleinste resultierende Kämpferreaktion, für Eigengewicht allein und Temperaturänderung um z = — 25 ⁰:

R = y 49 379² 4- 127 553² = 136 780 kg

R = y¹ 49 379¹ + 130 441¹ = 139470 kg .

und die resultierende Kämpferreaktion für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur:

Die Auflager sind entsprechend Fig. 301, 302 angeordnet. Gelenkstück, Keile und oberer Teil des Lagerstuhls bestehen aus hartem Martinstahl, der untere Teil des letzteren aus Gußeisen. Die Gelenkstücke haben l = 24 cm wirksame Länge und 12 cm Durchmesser. Mit Rücksicht auf die soeben berechneten Kämpferdrücke R erhält man die mittlere Beanspruchung pro qcm

Längsschnitt des Gelenkstückes aus

/.■

im Maximum:

235970

12-24

— = 819 kg

im Minimum:

Sm

136780

288

= 475 kg

w,

5.1

vtJ)

S5:'orts

für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur:

139470

— 484 kg .

Die Beanspruchung sm bleibt unter der größten Beanspruchung des Gelenkstücks. Diese tritt in der Richtungslinie von R ein und läßt sich unter

Sm —

288

den Voraussetzungen des § 16 nach § 16, 8 setzen:

wonach ermittelt wurden als Maximum:

4-235970

5-6-24

= 1311 kg,

,\ Xv \A\'\\ '''

\ \\\

Fig. 301.

als Minimum:

136 780

180

— = 760 kg ,

für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur:

'•y

139470

= 775 kg.

Da die Richtung der größten resultierenden Kämpferreaktion fast genau mit der Richtung der Bogenachse beim Kämpfer zusammenfällt (Tangenten der Richtungswinkel gegen die Horizontale 0,3764 und 0,3754), so erscheint bei der geringen Höhe des Auflagers in unserm Falle (von Gelenkmittelpunkt bis Grundfläche etwa 30 cm) die übliche Annahme gleichmässiger Verteilung des größten Kämpferdrucks auf die getroffene Fläche des Auflagersteins gerechtfertigt. Das gleiche gilt für den kleinsten Kämpferdruck, und da sich übersehen läßt, daß auch bei andern Belastungen keine ungünstigere Beanspruchung des Auflager-

180

18    5 21cm S 18

---------X- -- x-..................X - - -X........

steins entstellt, so erhalten wir bei 90/70 cm Grundfläche des Lagerstuhls (Fig. 302) den Druck pro qcm Auflagerstein

235970

im Maximum:

31,5

6300

= 37,5 kg ,

136 780

i im Minimum:

für Eigengewicht allein hei normaler ^1,5 Temperatur:

! 12 cm

6300

139470

63C0

= 21,7 kg ,

= 22,1 kg .

M. Einsenkungen.

Zur Berechnung der Einsenkungen symmetrischer Parabelbogen mit Kämpfergelenken reichen im allgemeinen die 3i>⁵ entsprechenden Formeln des § 20 aus (vergl. Beispiel 34, 49, 97), für welche im Gegensätze zu den dort gegebenen Ausdrücken des Horizontalschubs H die Größen ß, £ (§ 43) vernachlässigt wurden. Wir lg' ³⁰ ’    wollen jedoch hier mit möglichster Ge

nauigkeit Vorgehen. Die Zulässigkeit jener Vernachlässigungen für die meisten Fälle (§ 43) wird dabei um so klarer hervortreten.

Sollte zwar nicht ß, aber doch £ vernachlässigt werden, so wäre von den Formeln § 45, 8), 9) auszugehen. Wir werden jedoch auch £ berücksichtigen, und demgemäß die Gleichungen § 45, 4), 5) zur Verwendung bringen, in welchen für Bogen mit Kämpfergelenken M = M‘ = 0 ist.

Nach § 45, 5) ist die von einer beliebigen zur Trägermitte symmetrischen Belastung herrührende Einsenkung des Bogenscheitels wegen A <pm = 0:

r m    m

\2 P a (3 72 _ 4 t<2) _|_ 12 l 1 2 P a (Z L 0    0

worin H durch § 20, 7) bestimmt. Speziell für eine auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilte Last von g pro Längeneinheit hat man nach § 18 in 1:

2 P a (3 *2 _ 4 «3) = AlL?i

0

so daß wir auch schreiben können:

24 Ec

— a) —

2 P a (l — a)

384 E c

(1 _ ±L\m

\    5 ) 48 £c ’

während H durch § 20, 23) ausgedrückt ist.

Weiter liefert § 45, 5) für eine beliebige Temperaturänderung r allein:

48 .Ec

mit H nach § 20, 8), und für einen beliebigen Horizontalschub H allein:

(*

V)

— Cl % f

e=-(₁-±L\±ÜLB.

\    5 ) 48Ec

Diese Gleichung gilt also beispielsweise auch für den künstlichen Horizontalschub H — K, sowie für den durch eine Änderung der Spannweite um Al bedingten Horizontalschub, welcher durch § 20, 9) bestimmt ist.

Da im vorliegenden Falle nach VI B (S. 475) ß — 0,001411 und mit y = 1504,74 qcm, r = 6618,1 cm:

£ =    = 1504,74- = 0,000034

“ r* 6618,l² ’

so erkennt man schon, daß in ähnlichen Fällen ß und ganz besonders £ ver-

nachlässigt werden dürfen. Weiter erhalten wir für cm als Längeneinheit und kg als Gewichtseinheit (vergl. VI B, J):

24 E c = 24 • 2150 000 • 539 827 = 278 551 • 10⁸ ,

12 *1504,74-4800

6618,l³* 278551*108 — 140763*10⁸ ’

0,00093051 ,

5 l

2 Ec

(₁^AL\^JLlL ₌

V    5 ) 48 Ec

0,99887*5*450,5*4800

48*2150000*539827

5 7*

73

4800³

--— = 9216*108 .

12

= — 4800* = 1658 880 • 108 16

Mit diesen Werten folgt aus 1 die Einsenkung durch eine beliebige symmetrische Belastung:

16

12

2 Pa (3 7² — 4 a²)

2 Paff — a)

, 0

-1--

— 0,00093051 EL.

278551 • 10⁸

Für lauter gleiche Lasten Pbei den Vertikalen (bei den Kämpfervertikalen % P, vergl. S. 477) ist mit Rücksicht auf Tabelle III (S. 477) zufolge der S. 475 erhaltenen Formeln b der Horizontalschub:

140763-10⁸

11 =

und die Einsenkung:

P 36,6579 P 278551    100    '    140 763    100

660149

— 0,00093051 • 25,1060 P,

e = (2,369 94 + 0,000 26 — 2,33614)

100

= 0,03406 -

Beispielsweise erhält man durch das konzentrierte Eigengewicht mit P = 4264 kg:

e = 0,03406*42,64 = 1,452 cm

und durch die Verkehrslast bei Vollbelastung des ganzen Bogens mit P = 3486 kg:

e = 0,03406*34,86 = 1,187 cm .

Eine beliebige gleichmäßig verteilte Last von g pro Meter, oder

ff

100

pro

Zentimeter Spannweite erzeugt nach 1, 2 mit Rücksicht auf die Formel c auf S. 475:

1658880

278551    100 ^

92,16 g 140763 100

e = (5,955 39 + 0,00065 — 5,87087)    = 0,08517 -f

— 0,00093051*63,093 g ,

100 ’

also beispielsweise das Eigengewicht von g = 340 kg der Bogen allein:

e = 0,08517 • 3,4 = 0,290 cm .

Bei Vernachlässigung von f = 0,000034 wären in den vorstehenden Klammerausdrücken für konzentrierte und gleichmäßig verteilte Lasten die Summanden 0,00026 und 0,00065 weggefallen, womit sich in beiden Fällen e um 0,76 % kleiner ergeben hätte. In den Ausdrücken von e durch Temperaturänderungen und einen beliebigen Horizontalschub, also auch durch Änderungen der Spannweite, kommt £ überhaupt nicht vor. Im Falle der Vernachlässigung von ß = 0,001411 wären in a und den folgenden Gleichungen d, e, f 0,00093156 an Stelle von 0,00093051 getreten, was in d, e, f Abweichungen von 0,11% gegen die genaueren e ergeben hätte.

Für eine beliebige Temperaturänderung allein erhält man nach 4 mit Rücksicht auf S. 487:

e = — 0,00093051*115,520 t — 0,000 0115*450,5 t = — 0,11267 r , e = + 2,817 cm .

woraus für x = + 25°:

Durch einen beliebigen Horizontalschub H entsteht:

<* = — 0,00093051 h ,

also beispielsweise durch den künstlichen Horizontalschub H = K — 1950 kg:

e = — 1,814 cm

und durch eine Änderung der Spannweite um Al wegen Formel e auf S. 475:

/I l = 1,9473 A l

<? = 0,000 930 51 -4,6722

2150000

4800

das heißt für jeden Millimeter Vergrößerung oder Verkleinerung der Spannweite (Al positiv oder negativ) 1,947 mm Einsenkung oder Erhebung des Bogenscheitels. Dieser verhältnismäßig große Einfluß kleiner Änderungen der Spannweite erklärt die Empfindungen des Schwankens, welche auf manchen Bogenbrücken mit mehreren Öffnungen beim Überfahren von Lasten für den Fußgänger eintreten (vergl. S. 512). Die Bewegungen e für bestimmte A l wachsen mit dem Verhältnis l: f, sind also um so größer, je flacher der Bogen, während die Größe der Trägheitsmomente bei Bogen mit drei Gelenken gar keinen, bei Bogen mit zwei Gelenken einen unwesentlichen, bei Bogen ohne Gelenk einen etwas größeren Einfluß auf Verringerung der e ausübt (vergl. die Formeln 10—12 der Aufgabe 15, S. 108, in welchen die Trägheitsmomente zufolge § 19, 40)—42) durch e zur Geltung kommen). Über den Einfluß von Al auf die Beanspruchungen in unserm Falle siehe S. 488, 489.

Die resultierende Einsenkung ist für Belastung durch das Eigengewicht der Konstruktion allein bei normaler Temperatur:

e = 1,452 + 0,290 — 1,814 = — 0,072 cm ,

für Eigengewicht allein bei x = — 25°:

<? = — 0,072 + 2,817 = 2,74 cm ;

sie erreicht für Eigengewicht allein bei r = 25°:

e = — 0,072 — 2,817 = — 2,89 cm ,

für Vollbelastung bei x — — 25° :

e = — 0,072 -f 1,187 + 2,817 — 3,93 cm .

Bei Beurteilung dieser resultierenden Einsenkungen ist zu beachten, daß Vollbelastung einer Öffnung (größte Verkehrslast auf der ganzen Länge) nur selten vorkommt, und kaum jemals zugleich mit der niedrigsten Temperatur, daß ferner jede Verkehrslast nur vorübergehend wirkt. Von wesentlichem Interesse dagegen sind die Scheitelbewegungen für Eigengewicht allein, da die wirklichen Belastungen meist nicht viel von letzterem abweichen. Infolge des gewählten künstlichen Horizontalschubes liegt der Bogenscheitel für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur nur um 0,072 über der dem spannungslosen Zustande entsprechenden Bogenachse (für geringe Verkehrsbelastungen etwa in derselben) und er bewegt sich bei höherer und niederer Temperatur um nahezu gleichviel nach oben und unten gegen diese Lage.

Ohne künstlichen Horizontalschub wäre dessen Beitrag e = — 1,814 cm weggefallen, und damit für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur e = 1,742 cm, bei x — — 25° e = 4,56 cm, bei x = 25° e — — 1,07 cm, die Bogenachse wäre also fast immer unter ihrer normalen Lage geblieben. Bei Vollbelastung und x — — 25⁰ hätten wir e = 5,75 cm erhalten. Die Anwendung eines künstlichen Horizontalschubs ist also sowohl für die Beanspruchungen (vergl. VI E, J) als für die Einsenkungen günstig gewesen.

Bemerkungen. Es wurden oben nicht genau die Grenzwerte der Einsenkung e ermittelt. Um diese zu erhalten, empfiehlt es sich, zunächst die Einflußlinie von e festzustellen. Da zwei zur Mitte symmetrische Lasten gleichviel zur Einsenkung in der Mitte beitragen, so liefert Gleichung a) mit P = 1 für cm als Längeneinheit und kg als Gewichtseinheit die Gleichung der Einflußlinie von e auf der ersten Trägerhälfte:

a (3 ff — 4 «²)

2 *278 551-10⁸

ei (l — «)

2 • 140 763 • 10s

— 0,00093051 H,

worin auch H einer bei a angreifenden Einzellast P = 1 entspricht, also nach VIB:

f(«)

806 754 '

welche Werte aber schon in den Bemerkungen zu VI B gegeben sind (S. 475).

Die Zähler vorstehender Brüche lassen sich aus der Tabelle III, S. 477, entnehmen. Wir erhalten damit für a = 0 b = 0 und für a = 0,174 m:

100 b —

1203•io⁶

8.32 • io⁴

557102*108

für a = 2,682 m:

18461

281526 *10«

— 0,093051 *0,0238 = 0,002159 + 0,000000 — 0,002 215 = — 0,000056 ,

100 b =

121,54

557102 für a — 5,190 m:

35314

100 b —

557102

für n — 7,698 m:

51384

100 5 =

557102 für a = 10,206 m: 66 292 557102

für a = 12,714 m:

79658 5571Ö2~

für a — 15,222 m:

91106 557102

für a = 17,780 m: 100256 557102

für a = 20,238 m:

106 729 557102

für a — 22,746 m:

110147

100 b —

100 b =

100 b =

100 b :

100 b =

100 b —

557102

28152600

222,18

28152 600

310,24

28152 600

385.73

28152 600

448,63

28152 600

498,95

28152 600

536,69

28152 600

561,85

28152600

— 0,093 051 • 0,3649 = 0,033138 + 0,000 004 — 0,033 954 = — 0,000 812 ,

— 0,093 051 • 0,6948 = 0,063 389 -j- 0,000 008 — 0,064 652 =_ — 0,001255 ,

— 0,093051 • 1,0041 = 0,062 234 + 0,000011 — 0,093433 = — 0,001188 ,

— 0,093051*1,2845 = 0,118994 + 0,000014 — 0,119524 = — 0,000516 ,

— 0,093051*1,5289 = 0,142986 + 0,000016 — 0,142 266 = 0,000 736 ,

— 0,093 051 • 1,7315 = 0,163 535 + 0,000 018 — 0,161118 = 0,002 435,

— 0,093051 • 1,8876 = 0,179960 + 0,000019 — 0,175 643 = 0,004336 ,

—--0,093051 *1,9936 = 0,191579 + 0,000020 — 0,185506 = 0,006093 ,

574,43

28152600

— 0,093051*2,0472 = 0,197 714 + 0,000020 — 0.190494 = 0,007 240 .

Die Ansätze bestätigen, daß der Beitrag des zweiten Summanden in Gleichung a), d. h. der Beitrag der Glieder mit f hätte vernachlässigt werden dürfen, wie dies in § 20 geschehen ist.

Bei Vernachlässigung von ß wäre in den Ansätzen 0,093156 an Stelle von 0,093051 getreten bei nur geringer Änderung der damit multiplizierten Werte von H (S. 475), so daß sich die Werte von 100 b um 0,000105*0,0238 = 0,000002

- 0,001255

-0,001255

Mitte

01    2 3    i\5 ]0 \7 \S 9 .10 11 12 ''1315/15 16 12 18 10

0007210

Fig. 303.

bis 0,000105-2,0472 =0,000215 geändert hätten. Auch ß wurde bei Angabe der Einsenkungen e in § 20 vernachlässigt.

Da die betrachtete Einflußlinie symmetrisch zur Trägermitte liegt und zwischen zwei aufeinander folgenden Knotenpunkten, in welchen Verkehrslast auf den Träger kommt, geradlinig verläuft (§ 12), so konnte die Linie nun in Fig. 303 verzeichnet werden. Die Einsenkungen lassen sich mittels derselben in bekannter Weise

für beliebige Verkehrsbelastungen bestimmen (§ 12).

Wir wollen im folgenden die Grenzwerte von e -0,ooo5ie durch gleichmäßig verteilte Verkehrslasten von p pro    —

Längeneinheit Träger berechnen. Die Entfernung x des Durchschnittspunktes der Einflußlinie von e mit der Abszissenachse von der Vertikale 4 (« = 10,206 m) folgt aus

2,508m.

••

0,000730

Fig. 304.

x : (2,508 — x) — 0,000516 : 0,000 736

= 1,034 m .

Man erhält nun für die negative Einflußfläche Fn der ganzen Spannweite:

0,000812 + 0,001225

(-

0.000056 + 0,000 812

0,000056

₂    + 2-250,8

0,001225 + 0,001188    0,001188 + 0,000516

— 100 Fn = 2 • 17,4

+ 2 • 103,4

0,000516

— = 1,8154,

für die positive Einflußfläche Fp der ganzen Spannweite:

0,000736

100 Fp — 2 -147,4

0,004 336 + 0,006093

+ 2 • 250,8 0,006093 + 0,007 240

0,000 736 + 0,002435

0,002435 + 0,004336

+ 250,8-0,007 240 = 10,3772

und für die resultierende Einflußfläche F der ganzen Spannweite:

100 F = 10,3772 — 1,8154 = 8 5618 .

Damit ergehen sich bei einer gleichmäßig verteilten Verkehrslast von p = 13,90 kg pro cm Träger der größte negative Beitrag der Verkehrslast:

e = p Fn = — 13,90 • 0,018154 = — 0,252 cm ,

der größte positive Beitrag der Verkehrslast:

13,90 • 0,103 772 =    1,442 cm

e — p Fp —

und der Beitrag der Verkehrslast auf der ganzen Spannweite:

e—pF =    13,90• 0,085618 =    1,190 cm :

Die kleine Differenz gegen den oben für letzteren Fall erhaltenen Wert 1,187 cm rührt daher, daß wir dort die Verkehrslast auf Vertikale 0 (welche negativ bei-

trägt) etwas zu groß — 3486 kg gesetzt haben.

Die äußersten Grenzwerte der Einsenkung beim Zusammenwirken von Eigengewicht, Verkehrslast, Temperaturänderungen und künstlichem Horizontalschub sind nun

e = 1,742 — 0,252 — 2,817 — 1,814 = — 3,14 cm , e = 1,742 + 1,442 + 2,817 — 1,814 =    4,19 cm ,

während wir ohne den künstlichen Horizontalschub — 1,33 cm und 6,00 cm erhalten hätten. Bezüglich der Einsenkungen siehe auch unter VI R.

N. Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur.

Überhöhung der Bogen.

Die Bogen wurden an Ort und Stelle in möglichst spannungslosem Zustande montiert, wobei alle Teile gehörig unterstützt und die Keile unter den Gelenkstücken der Auflager leicht angezogen waren. Es sollte dann die künstliche Überhöhung der Bogen entsprechend dem gewählten künstlichen Horizontalschub K (vergl. VI E) durch weiteres Antreiben der Keile stattfinden. Die zur Erzeugung eines künstlichen Horizontalschubs K nötige Verminderung v — — Al der Spannweite ist nach Aufgabe 18 (S. 134):

(l + e)8 if*

15 Ec

Hätte man sich nun hiermit begnügt, so würde die Temperatur bei Erzeugung des künstlichen Horizontalschubs als Normaltemperatur der Bogen zu betrachten gewesen sein, wie ja früher immer die Montierungstemperatur der Bogen als Normaltemperatur derselben gegolten hat. Als späteste Aufstellungszeiten waren vorgeschrieben:

für die Öffnungen Beginn Beendigung

1. 10. 92 1. 11. 92

IV

III

II

1. 11. 92 1. 12. 92

1. 3. 93 1. 4. 93

1. 4. 93 1. 5. 93

1. 5. 93 1. 6. 93

¹ Die Eisenkonstruktion sollte ursprünglich unter Verwendung des gleichen Gerüstes für alle Öffnungen aufgestellt werden. Wegen der alsdann, nötigen Vorkehrungen gegen die einseitigen Horizontalschübe auf die Pfeiler wurden jedoch alle Öffnungen vor Beginn der Aufstellung eingerüstet, womit auch die obigen Aufstellungszeiten im einzelnen nicht mehr eingehalten zu werden brauchten. Die Horizontalschübe aller Bogen ließ man möglichst gleichzeitig zur Wirkung kommen. Siehe S. 499.

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

32

Angenommen demgemäß, man hätte als Temperaturen bei Herstellung des künstlichen Horizontalschubs K gehabt

5°

0°

5°

15°

25° C,

so würden durch die vorgenommene Berechnung für Temperaturänderungen bis r = + 25° die Temperatureinflüsse berücksichtigt gewesen sein:

— 20°    —25°    —20°    —10°

von

0° C

bis

+ 80°

+ 25°    4-30°

+ 40°    + 50°„.

Um solche für die wirklichen Beanspruchungen ungünstige Zufälligkeiten zu vermeiden, wurde nach dem Vorschläge des Verfassers bei der ohnehin vorgeschriebenen Überhöhung der Bogen (VI E) die Normaltemperatur der letzteren in allen Öffnungen auf die Stuttgarter mittlere Temperatur reduziert, welche nach Mitteilung der meteorologischen Zentralstation in Stuttgart auf Grund fünfzigjähriger Beobachtungen rund 10° gesetzt werden kann.

Die für die fragliche Reduktion nötigen Beziehungen sind für symmetrische Parabelbogen von konstantem J cos <p in Aufgabe 18, S. 184, abgeleitet. Die Temperatur f^, bei Erzeugung des künstlichen Horizontalschubs differiere um d° von der gewünschten Normaltemperatur (für welche ohne künstlichen Horizontalschub und ohne Belastung, d. h. auch bei normaler Spannweite ohne Belastung der spannungslose Zustand eintreten würde). Anstatt der Verringerung 1 der Spannweite ist dann eine solche    (i £) 8 t fi

15 Ec

K + a Id

J{.

Fig. 305.

vorzunehmen, womit nach S. 185 zwar der künstliche Horizontalschub bei Herstellung der Überhöhung den Wert

*1 = K +

15 c

JE a d

(1 + *0 8 fn-

besizt, bei normaler Temperatur aber den vorausbestimmten Wert K erlangt.

In unserm Falle erhält man mit Rücksicht auf K = 1950 kg und die schon in VI E und M verwendeten Werte nach 2:

+ 0,000 0115 • 4800 d ,

4800 • 1950

4,6722-2150000

v — 0,932 + 0,0552 d cm .

Während dieser Verringerung der Spannweite entsteht nach 3 ein künstlicher Horizontalschub:

= 1950 + 4,6722 • 24,725 d ~ 1950 + 115,520 d kg .

Derselbe bewirkt nach S. 494 eine negative Einsenkung, d. h. Hebung, des Bogenscheitels:

e' = — 0,00093051 (1950 + 115,520 d) = — 1,814 — 0,1075 d cm .

Diese Einsenkung tritt zu derjenigen durch das Eigengewicht der Konstruktion, welches mit dem Abheben der Bogen von den Unterstützungsflächen wirksam zu werden beginnt. Bezeichnet P das alsdann durch eine Vertikale auf den Bogen übertragene Eigengewicht, so hat man nach den hier und S. 494 erhaltenen Werten die resultierende Einsenkung bei Herstellung der Überhöhung:

e = 0,290 + 0,0003406 P— 1,814 — 0,1075 d cm .

Im vorliegenden Falle war während der letzteren das Eigengewicht der Konstruktion mit Belag durch Zoreseisen, aber ohne die übrigen Teile der Fahrbahn wirksam, also nach S. 477 P— 1467 kg, womit wir erhalten:

II

e = — 1,024 — 0,1075 d cm .

d =    — 10° C

Vor Herstellung der Überhöhung war die Eisenkonstruktion in möglichst spannungslosem Zustande soweit zu montieren, daß ein seitliches Ausweichen der Bogen nicht mehr stattfinden konnte, und andrerseits unkontrollierbare Spannungen in den Vertikalen und Obergurten der Tragwände durch die Überhöhung nicht in Betracht kamen. Sollte nun die Überhöhung für eine Öffnung vorgenommen werden, so war zunächst die augenblickliche Temperatur tx und deren Differenz

gegen die Stuttgarter mittlere Temperatur festzustellen. Die d sind positiv oder negativ, je nachdem tx über oder unter der mittleren Temperatur liegt.

Die Überhöhungen hatten alsdann für alle Bogen einer Öffnung möglichst gleichzeitig bis zu denjenigen Verringerungen der Spannweiten und Erhebungen (negative Einsenkungen) der Bogenscheitel zu erfolgen, welche durch die Gleichungen I, II und entsprechende Gleichungen für die übrigen Öffnungen im voraus bestimmt waren. Für d = 15⁰ beispielsweise liefern die obigen Gleichungen:

v — 1,760 cm ,

e = — 2,636 cm ,

Ky = 3683 kg .

Bei Differenzen d bis 20° waren Verringerungen v bis etwa 2 cm zu erwarten, was bei Anordnung der Auflager von Interesse sein kann, da der Anlauf der Keile mit Rücksicht auf Erleichterung des Anziehens und Erschwerung des Zurückgehens nicht größer als nötig sein soll. Es empfiehlt sich, die Keile zu gradieren und im voraus zu ermitteln, welche Verringerung der Spannweite dem Vordringen der Keile um einen der betreffenden Grade entspricht, auch den schließlichen Sitz der Keile zu markieren, so daß deren richtiger Sitz jederzeit kontrolliert und eventuell wiederhergestellt werden kann.

Die Herstellung der Überhöhung erfolgte für alle Bogen im Sommer 189B unter Leitung des Oberingenieurs Kübler von der Eßlinger Maschinenfabrik, und zwar durch die Arbeit der Sonnenwärme. Wenn sich in der wärmsten Tageszeit (nachmittags) die Bogen infolge der Temperaturerhöhung von den als Unterlagen dienenden Holzkeilen abgehoben hatten, wurden die letzteren angezogen. Nachdem durch die Kühlung der Nacht eine Verkürzung der Bogen eingetreten war, wurden die Stahlkeile an den Auflagern nachgeschoben. Diese Prozedur war so oft zu wiederholen, bis alle Bogen die den augenblicklichen tv d entsprechenden v, e erreicht hatten, was bezüglich v durch Feststellung der Verschiebung der Stahlkeile, bezüglich e durch genaue Nivellements und Entnahme der entsprechenden e' in geeigneten Zeitabschnitten kontrolliert wurde. Da der Anlauf der Keile ¹/i2 betrug, so war für jede Verringerung der Spannweite

um 1 cm ein Eintreiben der Keile an beiden Auflagern um J 12 = 6 cm nötig.

e — e‘ = — 1,024 + 1,814 = 0,79 cm .

Die Beobachtung ergab 0,6 cm. Diese Abweichung ist am einfachsten dadurch zu erklären, daß das Eigengewicht zum Teil schon vor dem Ablassen gewirkt hatte. Man ersieht daraus, daß die genaue Kontrolle der Verringerungen v der Spannweite wichtiger als diejenige der Scheitelsenkungen ist. — Die erzeugte Überhöhung war auch nach dem Ablassen der Bogen in der Flucht der Zores-eisen deutlich sichtbar.

Das Ablassen der Bogen aller Öffnungen erfolgte am 5. und 7. August 1893, wobei die Holzkeile unter den sechs Bogen einer Öffnung von den Kämpfern gegen den Scheitel fortschreitend gelöst wurden, was ohne besondere Schwierigkeiten vor sich ging. Die Senkung des Bogenscheitels während des Ablassens hätte nach obigen Gleichungen bei konstanter Temperatur für Öffnung IV betragen sollen:

Bemerkungen. Die von Kübler erdachte Verwendung der Sonnenwärme zur Herstellung der Überhöhung dürfte auch in Zukunft zu empfehlen sein. Unter Umständen (kleine Bogen, ungünstige Jahreszeit usw.) kann in Frage kommen, die Überhöhung lediglich durch Antreiben der Auflagerkeile herzustellen. Der hierbei zu überwindende Kämpferdruck ist um so größer, je grösser das bereits wirksame Eigengewicht. Sein Wert pro Bogen würde für die oben betrachtete Öffnung zu Beginn des Anziehens wegen

= 22 341 kg,

V — 8160+ 41219

1467

4264

H — 21439 + 107 052 -

1407

4261

- = 58 270 „ ,

(vergl. S. 477, 478) betragen haben:

R = y 22 341² + 58 270² = 62 403 kg .

Mit dem Vorrücken der Keile wäre der zu überwindende Kämpferdruck um etwas

weniger als den entstehenden künstlichen Horizontalschub I\x gewachsen, im Falle d— 15° beispielsweise, mit H = 58270 -f- K₁ — 61953 kg, auf

R — y 22 3412 _|_ ₆₁9532 ₌ 65 858 kg .

— 1,024 — 0,1075 d — 0,007416 cm

Angesichts der bedeutenden Kräfte zum Eintreiben der Keile könnte man das letzterwähnte Verfahren durch Mitwirkung hydraulicher Pressen zu erleichtern suchen wollen, die in den Bogenmitten einen Druck D von unten nach oben ausübten, doch gäbe dann die Möglichkeit lokaler Schwächungen zu Bedenken Anlaß. Wir bemerken deshalb nur, daß die Änderung keinen Einfluß auf die oben festgestellten Verringerungen v der Spannweiten und Einsenkungen e der Bogenscheitel nach dem Absetzen der Pressen hätte, daß aber die Einsenkungen während des Wirkens von D um den diesem Drucke allein entsprechenden (negativen) Wert der Einsenkung geändert würden, während die Kämpferdrücke abnähmen, womit das Eintreiben der Keile erleichert würde. Für den oben betrachteten Fall ergab eine Berechnung die Scheitelsenkung unter Mitwirkung von D:

100

und die Auflagerreaktionen bei Beginn des Anziehens in kg

S= 58270 — 2,0539 T) ,

V — 22 341 —

T’

wonach zur vollständigen Aufhebung von H nötig wäre:

= 28370 kg

58270

2,0539

und alsdann zu überwinden bliebe:

V = 22 341 — -⁸j*⁷°- :    8156 kg .

O. Vertikalen der inneren Bogen.

Zu den wichtigsten Konstruktionsteilen der Brücke gehören die Vertikalen (Vertikalständer), welche die Fahrbahnlast auf die Bogen übertragen. Die Vertikalen der Stirnbogen sollen im nächsten Paragraphen behandelt werden, während wir uns hier mit den Vertikalen der 4 inneren Bogen beschäftigen.

Die ungünstigste Belastung einer solchen Vertikale tritt ein, wenn eines der beiden Hinterräder der Straßenwalze (Fig. 298, S. 489) gerade über die Vertikale gelangt. Der Druck durch die Straßenwalze ist alsdann, bei 3,2 m Entfernung der Tragwände:

3,2

6000 + 6000 y* = 9000 kg .

Da vom Eigengewicht der Brücke auf eine Vertikale im allgemeinen 4264 kg, für die Kämpfervertikalen jedoch ² 3/3 soviel kommt (S. 477), so beträgt die größte Gesamtbelastung für eine Kämpf er vertikale:

9000 + ~ 4264 = 11842 kg ,

für eine der übrigen Vertikalen:

9000 + 4264 = 13 264 kg .

Indem jedoch diese Belastungen nur ganz ausnahmsweise und allmählich ein-treten, konnte die sonst vorgeschrieben gewesene (S. 472) Berücksichtigung der Spannungswechsel in diesem Falle unterbleiben.

Die Berechnung erfolgte auf Grund der Versuchsresultate von Tetmaj er, wozu bemerkt sei, daß die Dimensionen auch nach der unter VI K erwähnten Berücksichtigung der Zerknickungsgefahr reichlich genügen. Die Tetmaj ersehen Versuche führten für Flußeisenstäbe von etwa 4150 kg Zugfestigkeit (vorgeschrieben war im Mittel 4050 kg, vergl. S. 487) zu folgenden Formeln für die Knickfestigkeitx, abgerundet:

h = 3200 —

T < 105

, -r > ¹⁰⁵

worin l die „freie Knicklänge“ und

wenn

11,6 — kg pro qcm ,

k = 22 200000

kg pro qcm ,

der kleinste in Betracht kommende Trägheitsradius für Achsen durch den Schwerpunkt des Querschnitts

Ci

mMmm.

Längs-

bedeuten. Unter — — 20,4 traten

überhaupt keine Knickerscheinungen ein. Gleichung 2 entspricht der Eulersehen Knickformel.

Die Vertikalen der 4 inneren Tragwände bestehen je aus zwei angeordnet nach

\3cnirichbino

der

10 cm

Brücke

Fig. 306.

Winkeleisen

Fig. 306, welche nach der Querrichtung der Brücke durch vernietige Zwischenplatten in Abständen von 76,5 cm verbunden sind (Entfernung zwischen den äußersten Nieten 66,5 cm, lichte Entfernung 58,5 cm). Die Verbindung mit den Obergurten der Tragwände bewirken je 4 Nieten in Anschlußblechen nach der Längsrichtung der Brücke (Fig. 307), wozu unten noch je 6 Nieten in den

O 73 IflllllQl CU o

Od

fco

Fig. 307.

a'v

/'O

oc

\ÖVi.....

\o] o

Wo/

;o/

Fig. 308.

)0

.......

boio t

)Q Io o

oc

)ö7S?.Zj

Anschlußblechen der vertikalen Querkonstruktionen kommen (Fig. 308). Auch sitzen die Vertikalen beiderseits auf. Für diese Endenhaltung wurde die freie Knicklänge, welche bei frei drehbaren Enden gleich der Stablänge, bei vollkommen festgespannten Enden gleich der halben lichten Länge des Stabes wäre, gleich 0,75 der Gesamtlänge zwischen den anschließenden Gurtungsplatten, gemessen in der Vertikalenachse, gesetzt, was mindestens 0,83 der Entfernung zwischen den äußersten Anschlußnieten und mindestens 0,85 der Entfernung

zwischen den äußersten Kanten der Anschlußbleche ausmacht. Zur Bildung der Vertikalen sind 4 Winkeleisensorten verwendet und zwar (vergl. Fig. 295, S. 470)

für die Vertikale

Gesamtlänge

429.6    m

339.6 258,1

Winkeleisen 10/10/1,4 cm 10/10/1,2 10/10/1,0 9/ 9/1,0 9/ 9/1,0 10/10/1,0 10/10/1,2 .

Alle übrigen Vertikalen bestehen aus Winkeleisen von 9/9/1 cm. Die größten

Gesamtlängen für die verschiedenen Querschnitte sind aus dieser Zusammenstellung zu entnehmen.

Bezeichnen für eine beliebige ebene Figur Jx, Jy die Trägheitsmomente in Hinsicht zweier zueinander senkrechter Achsen x, y in ihrer Ebene, und L das Zentrifugalmoment in Hinsicht dieser .... j Achsen, so ergeben sich bekanntlich die Winkel i'-iW⁻”* und <p + 90° der entsprechenden Hauptträgheitsachsen mit der ar-Achse aus

187,1

17

18

19

210,9

286,3

370,2

Ü1

\n

tg 2 <f = —

und mit

JX Jy

cos 2 Cp — L sin 2 cp

die Werte der Hauptträgheitsmomente:

JX 4“ Jy

Jo =----D .

¹ 2

Für den in Fig. 309 angedeuteten Querschnitt sind hinsichtlich der Achsen x, y:

Fig. 309.

Jx 4“ Jy

4-D

⁼i[(?“i)(a + 'r)* + a 0⁺"^) ~l^j) ]* Jy⁼l[a_,5)(d + '^)8 + a0⁺'^) ”*(t) ]’

Jx

speziell für b = d:

l — ——    4- J) fl 4- b) 4- 0 4- b) fl 4- d) —y    4-b) fl 4- <0 j >

ö 4~ \

21 J

und für b = d — 6 :

L = l <5 (<5 4- d) ^ 4- d L = 2lö

10

11

Selbstverständlich muß, wenn der Querschnitt in der angenommenen Weise als Ganzes wirken soll, für entsprechende Verbindung der zwei Winkeleisen gesorgt sein.

Man erhält nach vorstehenden Formeln mit d — 3 cm, b = 1 cm (Fig. 306) beispielsweise für die Vertikalen aus Winkeleisen von 10/10/1,4 cm:

Y (8,6*2,93 4- 1,4*11,53 — 10*1,53) = 1537 cm«, Jy = Y ⁽⁸>6,1’⁹³ + M »10,53 — 10*0,53) = 1119 cm⁴,

₌ 10*1,4

Jx =

JX — Jy

(13*2,4 + 11*4,4 —0,14 *2,4 *4,4) = 547 cm⁴, Jx 4” Jy

= 209 cm⁴,

= 1328 cm⁴,

547

2 <p — — 69° 5' 20",

tg29D-~W'

D — 209 cos 2 <p — 547 sin 2 cp = 586 cm⁴,

Hauptträgheitsmomente für die Richtungen cp und <p -f- 90°:

J₂ = 1328 =- 586 — 742 cm⁴ .

Jj = 1328 + 586 = 1914 cm⁴ ,

Weiter folgen nun der Querschnitt:

F = 2 • 1,4 • 18,6 = 52,08 qcm ,

der kleinste Trägheitsradius:

r=]

/    742

52,08

= 3,77 cm

und mit der freien Knicklänge 0,75-429,6 das maßgebende Verhältnis l:r:

= 85,4 .

3*429,6 4*3,77

Die Knickfestigkeit (mittlere Tragkraft pro qcm mit Rücksicht auf Zerknickungs-

gefahr) liefert 1:

k — 3200 — 11,6*85,4 = 2209 kg .

Da nun die wirkliche mittlere Beanspruchung pro qcm höchstens

11842

52,08

= 227 kg ,

so ist der Sicherheitsgrad:

2209

227

- = 9,7.

In gleicher Weise wie hier sind die übrigen Zahlen der folgenden Zusammenstellung berechnet, wobei jedoch als Belastung der Vertikalen 13264 kg anstatt 11842 kg anzunehmen war (siehe S. 500).

10/10/1,4 429,6 52,08

Vertikalen aus Winkeleisen von Maßgebende Länge Querschnitt Trägheitsmoment Trägheitsradius Maßgebendes l: r Knickfestigkeit pro qcm Mittl. Beanspruchung pro qcm Sicherheit

10/10/1,2

339,6

45,12

10/10/1

286,3

38

cd'

656

562

3,81

3,85

9/9/1 cm 210,9 cm 34 qcm 403 cm4 3,44 cm

=    85,4

= 2209

66,8

55,8

46

2425

2553

2666

kg

227

294

349

9,7

8,2

7,3

m —

Für die Endvertikalen 19 (Fig. 295) aus Winkeleisen von 10/10/1,2 cm ist zwar die Länge größer als 339,6 cm, nämlich 370,2 cm, womit -- — 72,9, k = 2354 kg;

allein da die Belastung derselben nur 11842 kg erreicht (S. 500), so werden die mittlere Beanspruchung und Sicherheit noch etwas günstiger als 294 kg und 8,2, nämlich 262 kg und 9,0. Durch die große Sicherheit der Endvertikalen ist auch den Erschütterungen beim Übertritt konzentrierter Lasten von den Pfeilern auf die Eisenkonstruktion Rechnung getragen, welche allerdings bei chaussierten Straßenbrücken weit geringer als bei Eisenbahnbrücken sind.

Bemerkungen. Nach Versuchen Tetmajers⁴ mit Kreuzstreben ähnlich den hier verwendeten konnte die Annahme des Zusammenwirkens der beiden Winkeleisen in Verbindung mit der getroffenen Wahl der freien Knicklänge als angemessen gelten⁵. Wenn die Winkeleisen ganz für sich wirkten, wie dies

Diese Formeln liefern für die Vertikalen der vier Querschnitte mit den berechneten — die Knickfestigkeit pro qcm die Sicherheit

k =    2126 2338 2464 2576 kg,

9,4    8,0    7,1    6,6    ,

also nur wenig anders wie oben. Dagegen hätte die für exzentrische und zentrische Knickung bestimmte Formel P, 9) mit den angeführten, auf Tetmajers Versuche begründeten Konstanten von Ostenfeld und c — 0 ergeben

die Knickfestigkeit pro qcm die Sicherheit

ohne Verbindung durch Zwischenplatten zuträfe, wäre ein Einknicken senkrecht zu den Achsen für die kleinsten Trägheitsmomente der einzelnen Winkeleisen zu berücksichtigen (Fig. 810). Aber selbst in diesem hier jedenfalls nicht maßgebenden Falle würden, wie ebenfalls rechnungsmäßig festgestellt wurde, für die vier oben behandelten Vertikalen noch Sicherheiten von 3,6 — 4,3 — 5,4 — 5,6 bestehen, ein Einknicken also nicht zu befürchten sein.

Tetmajer hat später auf Grund seines gesamten Versuchsmaterials für Flußeisen der Zugfestigkeit z </ 4500 kg anstatt 1, 2 gesetzt⁶ 7 8:

wenn 10 < — < 105 „    ~ > 105

k = 3100 —

11,4 — kg pro qcm , r

k = 21220000

(-y-)“ kg pro qcm .

12

13

k =    1454    1865    2155    2435 kg,

6,4    6,3    6,2    6,2    .

Für b — d wäre bei gleichschenkligen Winkeleisen das kleinste Hauptträgheitsmoment J des Gesamtquerschnitts gleich dem Doppelten des größten Hauptträgheitsmoments jedes der beiden Winkeleisen (Fig. 311). Wir hätten in

diesem Falle

für l — 10 cm und

>:v

\s

6 = 1,4    1,2    1,0 cm

nach dem deutschen Normalprofilbuch:

560 cm⁹,

■A

Fig. 310.

Fig. 311.

J = 744

während sich oben im Falle d — 3 cm, b = 1 cm ergaben:

J= 742

656

562 cm⁹.

In vielen Fällen wird man sich also die Ableitung der Hauptträgheitsmomente auch bei verschiedenen d, b ersparen können.

656

P. Vertikalen der Stirnbogen.

Die Vertikalen der Stirnbogen bestehen aus einer von außen allein sichtbaren Vertikalplatte von 30/1 cm und einem Winkeleisen von 12/8/1 cm, welche entsprechend Fig. 312 angeordnet.und durch Niete in Abständen von 15,5 cm miteinander verbunden sind, so daß sie jedenfalls als Ganzes wirken. Die Befestigung erfolgt unten an Anschlußblechen in Quer- und Längsrichtung, oben an Anschlußblechen in der Querrichtung und den längslaufenden Obergurten der Tragwände derart, daß die Einspannung unten etwa ebenso günstig, oben etwas günstiger als bei den inneren Bogen ist. Indessen soll die freie Knicklänge nur gleich 0,75 der Gesamtlänge bis zum Ende der Einspannung in der Querrichtung gesetzt werden, was mindestens 0,85 der Entfernung zwischen den äußersten Nieten oder 0,86 der Entfernung zwischen den nächstgelegenen Kanten der Anschlußbleche ausmacht.

Wird das auf die Vertikalen kommende Eigengewicht für die Stirnbogen ebenso groß wie für die inneren Bogen und die Verkehrslast entsprechend Menschengedränge von 560 kg pro qm auf die ganze Breite vom Brückengeländer

bis zur Mitte zwischen den zwei äußersten Bogen angenommen (vergl. S. 477), so kommt auf eine Vertikale im ganzen:

4264 + 560 • 2,508 • 2,7 = 8056 kg ,

auf die Kämpfervertikalen jedoch (vergl. S. 477):

J- 8056 = 5370 kg.

Für reinen Druck würde bei Wechseln zwischen 4264 kg und 8056 kg die Beanspruchung 800 (l + y) größer als 1000 kg, so daß letztere Zahl die zulässige

Grenze wäre (S. 472) und die Spannungswechsel bei Berechnung der Vertikalen außer Betracht bleiben können, wie sie ja auch bei Belastung durch Menschengedränge nur langsam vor sich gehen.

Der Nachweis genügender Querschnitte wurde auf Grund Tetmaj erscher Versuche über exzentrische Druckbelastung von Stäben aus schmiedbarem Eisen durchgeführt. Auf Grund derselben setzte Tetmaj er für exzentrischen Druck¹⁰ die zulässige mittlere Beanspruchung pro Querschnittseinheit:

Irr’

ce

°k_

JA

w\

___X

j*

12cm,

vTy

worin ak die zulässige mittlere Beanspruchung für zentrischen Druck mit Rücksicht auf Zerknickungsgefahr. Bezeichnen c die anfängliche Exzentrizität der parallel der Stabachse wirkenden Druckkräfte P, l die freie Knicklänge, F den Stabquerschnitt, e die Entfernung des am weitesten nach innen (auf der Seite der P) gelegenen Querschnittselements von der Stabachse, *7 das Trägheitsmoment des Querschnitts hinsichtlich der zur Biegungsebene senkrechten Achse durch den Schwerpunkt, und E den Elastizitätsmodul, dann hat man in 1:

mit

li —

cos —-

Fig. 312.

Fe ’

f ist ein Erfahrungskoeffizient, welchen Tetmaj er für schmiedbares Konstruktionseisen ausdrückte:

~ < H2 » f > H2

worin wie bei zentrischer Knickung

wenn

5 = 0,877 — 0,0028 — , r

£ = 7158

/ v \2    r

( —I + 5,87 — - 0,058 ,

Je

der kleinste in Betracht kommende Trägheitsradius für Achsen durch den Schwerpunkt ist (S. 501). Wird gegen zentrische Knickung und exzentrischen Druck die gleiche Sicherheit m gewählt, so entspricht zufolge 1 der zentrischen Knickfestigkeit k — m ok eine rechnungsmäßige mittlere Festigkeit gegen exzentrischen Druck:

de = m Ge =

Im vorliegenden Falle (Fig. 312) hat man den Gesamtquerschnitt F = 49 qcm. Entfernung e des Schwerpunkts von der 12 cm-Kante des Winkeleisens

— ³⁷>⁵ _

aus

Fe = 30*0 + 8*4 + 11*0,5 = 37,5 ccm : e

49

0,77 cm .

Jx = 2424 — 49 • 0,772 ₌ 2395 cm⁴ ,

Trägheitsmomente für Achsen, parallel den soeben verwendeten, jedoch durch den Schwerpunkt:

Entfernung e des Schwerpunktes von der 8 cm-Kante des Winkeleisens

= 1,23 cm .

49

Trägheitsmomente des Gesamtquerschnitts in Hinsicht dieser Kanten als Achsen:

₂ W5i + i^ + iia|.

3    3    3

aus

Fe= 7*0,5 + 12*6 — 30*0,5 = 60,5 ccm:

60,5

= 2424 cm⁴ ,

= 588 „    ,

JtJ = 588 — 49*1,232 = 514    „    ,

Zentrifugalmoment hinsichtlich dieser letzten Achsen, mit Rücksicht auf den Ausdruck desselben für ein Rechteck (Fig. 313):

jfo²-*!²) 0/2² - Vi³):

L —.+ [(10,77² — 1,232) (0,232 — 0,772) _|_ (₀₎23² — 1,23²) (7,232 _ ₀,232) +

4

(1,232 _ 2,232) (14.232— 15,772)] = 5,448 .

Für die Richtungen der Hauptträgheitsachsen nach Formel 4 auf S. 502:

tg 2 (p = —

2*5,448 2395 — 5Ü4~ '

2 <p = — 0° 20' 16" ,

wonach dieselben (wie vorauszusehen war) fast genau mit den zuletzt angenommenen Achsen durch den Schwerpunkt zusammenfallen und «/y=614 cm⁴ als kleinstes Trägheitsmoment gelten kann (die Berechnung bestätigt diese Zahl). Wir erhalten damit nach 6 den x kleinsten Trägheitsradius:

r=l/™r

\    49

.T,j

x₂

— -    3,24 cm .

Der Mittelpunkt der Druckbelastung wurde der konstruktiven Anordnung entsprechend in der Ecke zwischen Winkeleisen und Platte angenommen (Fig. 312), inmitten der letzteren, d. h. in Entfernung ,

Fig. 313.

|/ 1,232 + 0,772 = 1,45 cm

vom Schwerpunkt des Gesamtquerschnitts. Die Verbindungsgerade der beiden Punkte fällt nicht mit der Richtung des kleinsten Trägheitsradius r zusammen, so daß eine einfache Biegung in der Vertikalebene durch letzteren nicht zu erwarten ist. Wir rechnen jedoch jedenfalls zu ungünstig, wenn wir unter Zugrundelegung einer solchen die anfängliche Exzentrizität setzen:

¹

rl ’

²

Tetmaj er, Mitteilungen der Anstalt zur Prüfung von Baumaterialien am eidgenös. Poly

³

technikum, 4. Heft, Zürich 1890, S. 167. Vergl. Bemerkungen unten.

⁴

   Tetmajer, Die Knickfestigkeit der mittleren Streben und der Gütewert des Materials der Mönchensteiner Brücke. Schweizerische Bauzeitung 1893 I, S. 99.

⁵

   Beim Vergleiche mit den Resultaten Tetmajers ist zu beachten, daß derselbe die freie Knicklänge bei günstigster Endenhaltung (kreuzweise Anschlußbleche, Vernietung der Vertikalen auch mit den Anschlußwinkeln dieser Bleche) gleich der halben Stablänge zwischen den äußersten Nieten setzte, bei ungünstiger Endenhaltung (einfache Anschlußbleche, keine Vernietung mit den Anschlußwinkeln der letzteren) gleich der halben Stablänge zwischen jenen Nieten. Die Zwischenplatten folgten bei Tetmajer kreuzweise in Entfernungen von 110 cm (hier gleichgerichtet in Entfernungen von 76,5 cm), Gesamtlänge bei Tetmajer 744 cm (hier bis 430 cm), Winkeleisen bei Tetmajer 10/10/1,4 cm (hier 10/10/1,4 cm bis 9/9/1 cm), bei Tetmajer <2 = b = 1 cm (hier <2 = 3 cm, b = l cm).

⁶

v. Tetmajer, Die Gesetze der Knickungs- und der zusammengesetzten Druckfestigkeit,

⁷

Leipzig und Wien 1903, S. 138; Derselbe, Die angewandte Elastizitäts- und Festigkeitslehre, Leipzig

⁸

und Wien 1904, S. 441. Über die hier gegebenen und andere Formeln siehe auch Luegers Lexikon

⁹

der gesamten Technik, Artikel Knickfestigkeit und Druck, exzentrischer.

¹⁰

Tetmaj er, Mitteilungen etc., 4. Heft, Zürich 1890, S. 179. Siehe indessen Bemerkungen unten.

c — 1,45 cm .

514

49*2,23

Nach 3 haben wir:

= 4,70 cm .

Im weiteren sind der verschiedenen Längen und Belastungen wegen die Kämpfervertikalen von den übrigen Vertikalen getrennt zu behandeln.

Kämpfervertikalen. Die längste Kämpfervertikale hat 460 cm Länge. Freie Knicklänge l = 0,75 • 460 = 345 cm. Maßgebendes Verhältnis l/r:

= 106,5,

Knickfestigkeit pro qcm nach Formel 2 auf S. 501:

22200000 106,52

Tc = —

345

3,24

= 1957 kg .

P. Vertikalen der Stirnbogen. Aus 4, 2 folgen, mit P — 5370 kg (vergl. S. 505 oben):

S = 0,877 — 0,0028 • 106,5 = 0,579 ,

a = j/-

2150000-514

5370

= 453,6,

COS —— = cos

345

2-453,6

= cos

345    108°

907,2

-- = 0,9286 ,

71

1,45

= 1,56 cm .

Die rechnungsmäßige mittlere Druckfestigkeit pro qcm gegen exzentrischen Druck ist nach 7:

0,9286

de =

1957

1 + 0,579

1,56

= 1642 kg .

4,70

Da nun die wirkliche mittlere Druckbeanspruchung pro qcm:

= 110 kg,

P _ 5370 _    49

so folgt die Sicherheit:

1642

110

— 14,9 .

Zwischenvertikalen. Größte Länge 370 cm. Maßgebendes Verhältnis l/r bei l = 0,75 • 370 = 277,5 cm freier Knicklänge:

= 85,6 .

277,5

3,24

Knickfestigkeit pro qcm nach Formel 1 auf S. 501:

k = 3200 — 11,6-85,6 = 2207 kg .

Weiter folgen aus 4, 2, mit P — 8056 kg (vergl. S. 505 oben):

g = 0,877 — 0,0028-85,6 = 0,637 kg ,

« = j/

' 2150000-514

8056

= 370,4 ,

cos —— = cos

277,5

2 • 370,4

— cos

277,5    180°

740,8

-= 0,9307 ,

n

= 1,56 cm .

1,45

0,9307

Rechnungsmäßige mittlere Festigkeit gegen exzentrischen Druck nach 7 pro qcm:

de =

2207

1 + 0,637

1,56

— 1822 kg .

4,70

Wirkliche mittlere Druckbeanspruchung pro qcm:

- 164 kg ,

P _ 8056 F ~    49

Sicherheit

1822

164

- = n,i.

Bemerkungen. Während sich oben die Sicherheit der Kämpfervertikale gegen exzentrische Knickung m = 14,9 ergab, würden wir erhalten haben bei

1957

= 17,8, und unter Annahme einer

Berechnung auf zentrische Knickung m =

Druckfestigkeit von 4050 kg (gleich der vorgeschrieben gewesenen mittleren Zugfestigkeit, S. 487) bei Berechnung auf exzentrischen Druck mit Biegung ohne Knickung¹ m = 27,6, auf exzentrischen Druck ohne Biegung¹ m = 28,1, auf

110

reinen zentrischen Druck m =

4050

= 36,8. Für die Zwischenvertikale fanden wir oben die Sicherheit gegen exzentrische Knickung m = 11,1, während sich ergeben

110

2207

hätte bei Berechnung auf zentrische Knickung m    — 13,5, auf exzentrischen

O'.Vl

= 24,7. Es genügt

n;i

Druck mit Biegung ohne Knickung m — 18,6, auf exzentrischen Druck ohne Biegung m — 18,8, auf reinen zentrischen Druck m —

also nicht, solche Stäbe auf exzentrischen Druck zu berechnen, viel wichtiger ist die Berücksichtigung der Knickwirkung.

de =

Tetmajer hat sein Verfahren für exzentrischen Druck später modifiziert², ohne damit eine Vereinfachung zu erreichen. Nach v. Emperger und Ostenfeld³ wird die mittlere Beanspruchung pro Querschnittseinheit beim Bruche gesetzt:

l+^ +

w

worin Ostenfeld auf Grund der Versuche Tetmajers für Flußeisen wählt « = 0,00018 und pro qcm ah = 3863 kg. Die Bezeichnungen stimmen mit den oben verwendeten überein, so daß in unserem Falle:

1,45

W = ⁰’³⁰⁸⁵ *

Wir erhalten nach diesem neueren Verfahren für die Kämpfervertikale:

49•345³

Fl²

514

= 11347 ,

de =

3363

1,3085 + 0,00018 • 11347

für die Zwischen vertikale:

= 1004 kg ,

1004

110

= »,1,

Fl2 _ 49-277,52

514

= 7341

de —

3363

= 1279 kg ,

1279

= 7,8,

1,3085 + 0,00018 • 7341

während oben nach dem ersten Verfahren von Tetmajer erhalten wurden m — 14,9 und 11,1.

164

Q. Weitere Berechnungen.

Neben den bis jetzt mitgeteilten Berechnungen waren noch manche andere vorzunehmen, wrelche jedoch auch bei andern Konstruktionen Vorkommen, so daß

wir sie hier übergehen können. Nur bezüglich — der Querträger und der Obergurten der Haupt-tragwände sei noch einiges beigefügt.

Fig. 314.

Für die Abschnitte dieser Obergurten zwischen zwei benachbarten Vertikalen (Fig. 314) ist in der Mitte eine durch einen Querträger über-tragene feste Last von 2000 kg und ungünstig-stenfalls eine Verkehrslast durch die Dampfwalze von 9000 kg anzunehmen (S. 500). Da die Obergurten durchlaufen und mit den Vertikalen, Querverbänden und Querträgern vernietet sind, so können sie nicht als frei aufliegend, aber auch nicht als vollkommen festgespannt gelten; die Wahrheit liegt zwischen diesen Extremen.

In dem ungünstigsten Falle freier Auflagerung würde, abgesehen von dem geringen Eigengewicht der fraglichen Gurten selbst, das größte Biegungsmoment:

pi

11000-2,5

= 6875 mkg ,

während dasselbe bei vollkommener Festspannung halb so groß wäre. Da nun für den gewählten Gurtungsquerschnitt (Fig. 315] das Trägheitsmoment:

■J- (16-153 _ 13.143 — 2-7,53) — 2-2-3-112 — ₁₀204 cm4 10 204

——— = 680 cm³ , lo

und das Widerstandsmoment:

16cm,

*\

so würde die größte Beanspruchung pro qcm bei freier Auflagerung:

ft

.1/

6875-100

ii

680

= 1011 kg,'

15

bei absoluter Festspannung

1011

₂    = 505 kg

—-----x-■

und in Wirklichkeit angesichts der guten Einspannung wohl eher kleiner als

15

I \lan

11\ X

1011 + 505

⁾²,15/7.5/1

= 758 kg ,

während nach dem Bauprogramm zugelassen waren (S. 472):

800 + 400

Die Obergurten sind hiernach reichlich stark dimensioniert.

Eine weitergehende Berechnung wäre zwar möglich, aber schon der Art der Einspannung wegen kaum zuverlässiger gewesen. Will man in Zweifelsfällen ganz sicher gehen, so braucht man nur die Querschnitte und Verbindungen dem jeweils ungünstigsten der beiden Extreme anzupassen, besonders wenn aus andern Gründen ohnehin etwas kräftiger als nötig dimensioniert werden soll (siehe den folgenden Fall).

Die Querträger liegen auf den soeben betrachteten Gurtungen und laufen alternierend über 4 und 6 Hauptträger weg (Fig. 316, 317), sind also kontinuierliche Balken mit nicht ganz festliegenden Stützen und weder vollkommen fest-

Fig. 315.

2000

11000

= 873 kg .

sVs

Nj

*♦4-

3,2 m.

Fig. 316 und 317.

MH

3,2

3,2

3,2

3,2

3,2 m.

gespannten noch vollständig frei drehbaren Enden. Die Trägerhöhe wechselt zwischen den vier innern Bogen von 25 bis 41 cm, entsprechend der Wölbung der Fahrbahn.

Die Abschnitte zwischen zwei Hauptträgern wurden als einfache Balken behandelt, auf denen zwei Räder der Straßenwalze (S. 489) Platz finden. Das größte positive Biegungsmoment durch das Eigengewicht und zwei gleiche Lasten P in Entfernung d voneinander ergibt sich unter Voraussetzung frei aufliegender Enden, wTenn die erste Last bei

“    2    4P+ gl

steht¹ (Fig. 318) und es hat den Wert:

M=(4P+gl)~.

°r

Fig. 318.

Weyrauch, Die Maximalmomente einfacher Träger hei festen und mobilen Lastsystemen, Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereines zu Hannover 1875, S. 467; Luegers Lexikon der gesamten Technik, Artikel Balken, einfache.

Diese Gleichungen liefern für die zwei Hinterräder der Straßenwalze mit P = 6000 kg, d — 1,6 m:

a — 1,6 —

6000 • 1,6

4-6000 + 570-3,2

= 1,228 m ,

M= (4-6000 + 570-3,2)

= 6085 mkg

1,2282 2-3,2

während für die zwei Vorderräder von P — 4000 kg im Abstand d — 0,6 m folgen: a = 1,465 m, M = 5977 mkg. Mit letzteren zwei Rädern in der durch Fig. 319 angedeuteten Stellung symmetrisch zur Mitte hätte sich das größte positive Moment bei dieser ergeben, und zwar für frei aufliegende Enden If—5930 mkg, für vollkommen festgespannte Enden M = 2356 mkg. Durch das Eigengewicht allein entsteht beim frei aufliegenden Träger für a — 1,228 m:

M = ~ a (l — a) = 285-1,228-1,972 = 690 mkg .

Das größte negative Moment durch das Eigengewicht und die zwei gleichen Lasten P entsteht an den Enden des betrachteten Abschnitts; es hat für frei aufliegende Enden den Wert Null, für vollkommen festgespannte Enden ohne

Änderung der Stützhöhen, wenn die erste Last bei

iOOO WOOkg

«=-^47 — 3ä — y 4 7² — 9 <7² J

steht (Fig. 318), den Wert:

~--[a (7 — «)² + (« + d) (7 — a — <7)²J .

Diese Gleichungen liefern für die zwei Hinterräder der Straßenwalze (S. 489):

a =    (4• 3,2 — 3 • 1,6 — y 4-3,2² — 9-l,6²j = 0,628 m

~32^ ^0,628• 2,572² + 2,228• 0,972²j = — 486 — 3668 = — 4154 mkg ,

während die beiden Vorderräder von P— 4000 kg im Abstand d = 0,6 m ergeben hätten: a = 0,810 m, M = — 4058 mkg.

Nun besteht der Trägerquerschnitt aus 4 Winkeleisen von 7,5/7,5/0,8 cm und einer Vertikalplatte, welche in der Mitte der betrachteten Trägerabschnitte mindestens die Höhe 35 cm hat. Daher entspricht den größten positiven Biegungsmomenten, mit Rücksicht auf die Verschwäcliung durch zwei Nieten von 2 cm Durchmesser ein Trägheitsmoment:

J- (15,8 • 17,53 — 13,4 • 16,73 — 1,6 • IO³) — 2 • 2 - 2,4 • 14² = 12 531 cm⁴ ,

r 1,3    " 0,6    1,3m

Fig. 319.

Jlf— —

570-3,2²

12

./ =

und ein Widerstandsmoment

12531

= 716 ccm ,

17,5

wonach die größte Normalspannung pro qcm, selbst unter Voraussetzung frei auf liegender Enden, also jedenfalls zu ungünstig:

608500

716

= 850 kg ,

während nach dem Bauprogramm alsdann zulässig wären (S. 472):

800 + 400

690

6085

- 845 kg .

Gegenüber den negativen Momenten wären im angenommenen Falle die schwächsten Stellen über den zwei inneren Bogen zunächst den Stirnbogen (Fig. 316, 317), wo die Querträgerhöhe nur 27 cm beträgt. Hier ergibt sich jedoch das Trägheitsmoment:

.7= ~ (15,8 • 13,53 _ 13 4.12 7³ — 1,6 • 6³) — 2 • 2 • 2,4 • 10² - 6427 cm⁴ .

und das Widerstandsmoment:

TV —    = 476 ccm ,

13,5

womit die größte Normalspannung pro qcm, selbst unter Voraussetzung vollkommen festgespannter Enden, also jedenfalls zu ungünstig:

415400

ö = -l76~ = 873 kg’

I U-ZiOO ;

ic₂=570    .

iOOO iOOOtyi    ! U&JOTO j us‘1000/y j

während alsdann zulässig wären (S. 472):

800 + 400

486

V—-x-

0f92 0,

6m

“i

3,2

3,2

3,2 m, 1

4154

= 847 kg .

Fig. 320.

Die vorstehende Berechnung liefert ungünstigere Werte, als wenn man die Querträger als gewöhnliche kontinuierliche Balken mit 5 Öffnungen und festen Stützen berechnet hätte. Für solche würde die schwächste Stelle über dem zweiten Bogen liegen, und das numerisch größte Moment daselbst bei der in Fig. 320 angedeuteten Belastung eintretenJ, unter den u gleichmäßig verteilte Lasten pro m Träger verstanden. Es ergibt sich dann²

M = — 735 — 1988 = — 2723 mkg

und hiermit die größte Normalspannung pro qcm nur

272300

SS

476

= 572 kg .

Für die Endabschnitte der Querträger (Fig. 317) von 25 cm Höhe sind die gewählten Querschnitte, selbst unter Voraussetzung frei aufliegen-der Enden, mehr als ausreichend. Man erhält mit der nicht erreichten Belastung pro m von

q = 2,5 (400 + 560) = 2400 kg

T=d:W3

(vergl. S. 477) das Maximalmoment:

2400 • 3.22

JL

Fig. 321.

— 3072 mkg ,

während J — 5324 cm⁴, W — 426 ccm und die entsprechende Normalspannung:

307 200

426

= 720 kg .

Für die überragenden Enden (Fig. 316, 321) der kürzeren Querträger ergibt sich, selbst wenn man sich die ganze Belastung von

1,25 (400 + 560) 1,6 = 1920 kg

unter dem L — Eisen konzentriert denkt, das größte Moment

M= — Pl = — 1920-0,9 = — 1728 mkg

und damit die größte Normalspannung a = 363 kg.

R. Vollwandbogen und Bogenfachwerke. Vergleiche.

Für die fünf Öffnungen der Cannstatter Brücke waren ’V ollwand-bogen (Vermeidung von Schrägstäben) vorgeschrieben. Nach Eröffnung der Brücke trat mehrfach die Frage auf, ob nicht bei Verwendung von Bogenfach werken die Vertikalbewegungen, welche der Fußgänger um die Öffnungsmitten beim Überfahren von Lasten empfindet,

¹    Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Träger, Leipzig 1873, S. 40.

²    Siehe die Formeln für : Luegers Lexikon der gesamten Technik, 2. Auf!., Artikel Balken, durchlaufende Gleichungen 29, 33.

geringer geworden wären. Solche Bewegungen machen sich insbesondere dann geltend, wenn die Lasten nicht auf der gleichen Öffnung mit dem Fußgänger, sondern auf einer benachbarten Öffnung fahren. Dies rührt daher, daß jedes, wenn auch noch so geringe Ausweichen der Pfeilerköpfe dieser Öffnungen Verminderungen ihrer Spannweiten und damit Scheitelbewegungen der angrenzenden Öffnungen verursachen, die mit dem Weiterfahren der Lasten Änderungen erleiden, während der Mensch für Bewegungen des Bodens, auf dem er steht oder geht, sehr empfindlich ist. Bei der Vorausberechnung der Brücke war auf die möglichen Änderungen der Spannweiten ausdrücklich hingewiesen und ihr Einfluß auf die Beanspruchungen berücksichtigt worden¹.

Der Verfasser bezweifelte von vornherein, daß durch Anwendung von Bogenfachwerken, deren Untergurten, wie leicht zu übersehen war, bedeutend schwächer als die Vollwandbogen ausfallen, die Scheitelbewegungen kleiner als für diese geworden wären. Um jedoch die Frage endgültig zu entscheiden, benützte er zwei Gelegenheiten, unter Einhaltung des Bauprogrammes der ausgeführten Brücke Projekte für den Ersatz der Vollwandbogen Fig. 295 durch Bogenfachwerke nach der Anordnung Fig. 322 ausarbeiten zu lassen. Die erste Gelegenheit bot sich bei einer

(>

2    3    4    5    6    7    6    9    10    11    12    13    14 IS 16    17    13    19

4,805m

4,565m

4,205m.

48m

Tie

V*

Fig. 322.

der alljährlichen Preisbewerbungen an der Stuttgarter Hochschule, wobei jedoch von allen Ermittelungen, welche zur Bestimmung der Querschnitte und Scheitelbewegungen der Hauptträger nicht nötig waren, abgesehen werden mußte; sie führte innerhalb dieses Rahmens zu einer durchaus gelungenen Lösung des gegenwärtigen Regierungsbaumeisters Dr. ing. Wilhelm Frank in Stuttgart. Die zweite Gelegenheit lieferte die Stellung der großen Aufgabe für die zweite Staatsprüfung des gegenwärtigen Direktors der Firma Wayß und Frey tag, Professors Emil Mörsch in Neustadt a. H., wobei von vornherein auf die besondere Leistungsfähigkeit dieses Ingenieurs Rücksicht genommen werden konnte. Es wurde ein vollständig durchgearbeitetes Projekt der ganzen Brücke verlangt und eine in jeder Hinsicht hervorragende Lösung erhalten. Einige Angaben über die Hauptträger enthält unser Beispiel 124 (S. 463).

Von Interesse ist zunächst ein Vergleich der Eisengewichte bei Anwendung von Vollwandbogen und Bogenfachwerken. Es ergaben sich für die in diesem Abschnitte behandelte Öffnung IV der Cannstatter Brücke von 48 m Spannweite und 4,505 m Pfeil der Bogenachse hezw. Untergurtachse folgende Werte:

¹ Siehe in dem S. 468 zitierten Aufsatz §§ 1, 23 und die Tabellen XX bis XXIV.

Sechs parallele Hauptträger

Querverbände

Oberer Horizontalverband

Unterer Horizontalverband

Auflager

Querträger

Belageisen

Zuschlag für Nietköpfe, Stoßplatten etc. wie bei der ausgeführten Brücke

zusammen rund

Vollwandbogen

(ausgeführt)

122857 kg 29109 „ 3398 „ 3084 „ 8040 „ 36188 „ 48185 „

Bogenfachwerke

(Projekt Mörsch)

134794 kg 17448 „ 5927 „ 4375 „ 5266 „ 36188 „ 48185 „

13539 „

13539 „

264400 kg

Das Eisengewicht pro Meter jedes der sechs Bogen folgt hieraus für die Vollwandbogen:

264 400 - 8040

265700 kg . ohne die Auflager

für die Bogenfachwerke:

48-6

890 kg

265 700 — 5266

904 kg

48 ■ 6

während für beide Fälle 2040—1280 -(- 165 = 925 kg in Rechnung gezogen worden waren (S. 476, 477).

Die Berechnungen der Ein Senkungen lieferten folgende Vertikalbewegungen der Bogenscheitel, wobei positive Werte Senkungen, negative Werte Hebungen bedeuten.

Vollwand

bogen

(ansgeführt)

Einzelbeiträge

1.    Durch das Eigengewicht der Brücke

2.    Durch gleichmäßig verteilte Ver-kehrslast auf der ganzen Spannweite

3.    Durch eine Temperaturänderung t = —f— 2 5®

4.    Durch eine Änderung der Spannweite Al= 1 cm

5.    Durch den künstlichen Horizontalschub (so bemessen, daß durch seine Mitwirkung der Bogenscheitel für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur 0,07 cm über der planmäßigen Lage im spannungslosen Zustande liegt, vergl. VI E, M) — 1,81 „

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

Bogenfach

werke

(Projekt Frank)

Bogenfach

werke

(ProjektMörsch)

1,74 cm

2,86 cm

2,75 cm

149 „

1,91 „

1,87 „

+ 2,82 „

+ 3,17 „

+ 3,07 „

+ 1,95 „

+ 2,14 „

-2,93 „

+ 2,13 „

-2,82 „.

Gesamtwerte

(einschließlich des Beitrags des beständig wirkenden künstlichen Hori- (ausgeführt) zontalschubs)

I. Für Eigengewicht allein bei normaler Temperatur II. Für Eigengewicht allein bei x = 25°

III. Für Vollbelastung der ganzen Spannweite und x = — 25°

Ohne den künstlichen Horizontal-scbub wären allen diesen Werten I, II, III zuzufügen womit an Stelle von III getreten wären

Vollwand

bogen

Bogenfach

werke

(Proj ekt Frank)

Bogenfach

werke

(Projekt Mörscb)

— 0,07 cm

-2,89 „

3,94 „

1,81 „

5,75 „

— 0,07 cm — 0,07 cm

-3,24 „

-3,14 „

5,01 „

2,93 „

7,94 „

4,87 „

2,82 „

7,69

Die Zahlen II, III bedeuten die negativen und positiven Grenzwerte der Einsenkungen aus den S. 513 berücksichtigten Einzelbeiträgen. Da jedoch die Lasten auf gewissen Strecken der Spannweite negative Beiträge liefern (Fig. 136 und 303), so ergeben sich die genauen Grenzwerte, wenn die Verkehrslast einmal nur die ganzen negativen Beitragsstrecken, das andere Mal nur die ganzen positiven Beitragsstrecken belastet. So sind die folgenden Einsenkungen erhalten (vergl. Bemerkungen zu VI M).

Grenzwerte

Vollwandbogen

(ausgeführt)

Bogenfachwerke

(Projekt Mörsch)

6. Durch gleichmäßig verteilte Verkehrslast allein IV. Durch Eigengewicht, Verkehrslast, Temperaturänderungen und den künstlichen Horizontalschub

Ohne den künstlichen Horizontalschub wäre den Werten IV zuzufügen

womit an Stelle dieser Grenzwerte getreten wären

0,25 cm u. 1,44 cm    0,05 cm u. 1,92 cm

-3,14 „

1,81 „

4,19 „ -3,19 „    4,92 „

1,81 „ 2,82 „

2,82 „

1,33 „    6,00 „ -0,37 „    7,74 „.

Die gegebenen Zahlen nach Frank und Mörsch zeigen zunächst, daß die Einsenkungen der beiden Brücken mit Bogenfachwerken, die auf Grund des gleichen Bauprogrammes zu verschiedenen Zeiten unter verschiedenen Verhältnissen ganz unabhängig voneinander projektiert vuirden, in recht gutem Einklang miteinander stehen. Der Vergleich dieser Zahlen mit den entsprechenden der Vollwandbogen aber zeigt, daß die Scheitel-bew⁷egungen der Bogenfachwrerke erheblich größer als diejenigen der ausgeführten Vollwandbogen geworden wären, womit die obenerwrähnte Frage entschieden war.

Mörsch hat die Einsenkungen der ausgeführten Brücke nach den unter VI M vorbereiteten Ausdrücken auch für die dem Betriebe vorausgegangenen Probebelastungen berechnet. Er fand die Ergebnisse in Berücksichtigung aller Umstände befriedigend mit den Beobachtungen übereinstimmen. Es war insbesondere zu beachten, daß die jeweilige Verkehrslast (Straßenwalzen) sich in unbestimmter Weise auf alle sechs parallelen Hauptträger verteilte, wonach z. B. die Summe der sechs Scheitelsenkungen durch eine Straßenwalze gleich der Scheitelsenkung eines Hauptträgers sein sollte, wenn dieser allein die Straßenwalze aufzunehmen gehabt hätte.

Buchstabenbezeichnungen.

Die Seitenzahlen beziehen sich vorwiegend auf das erste Auftreten der Bezeichnungen mit der angeführten Bedeutung. Bezeichnungen, welche nur in einem Paragraphen, einer Aufgabe oder einem Beispiele Vorkommen, sind im allgemeinen weggelassen.

Seite

a Abszisse des Angriffspunktes • einer Last P

a Abszissen der Kämpferdrucklinie (Schnittlinie S der Kämpferdrücke) ......................

a Abszissen von Einflußlinien..............

a Durchmesser der deformierten Berührungsfläche bei sphärischen

Berührungsgelenken.............j. .    . .

a Abstand der Normalkraft Nx eines rechteckigen Querschnitts x von der benachbarten Breitekante bei Eisenbetonkonstruktionen 226 a Abstand derjenigen Normalkräfte X₀, Nft eines Querschnitts x von einander, welche den größten Druckspannungen a₀, au im obersten und untersten Querschnittselement entsprechen .    .    .    218, 271

a Arbeit der Reaktionen des Hauptsystemes eines Fachwerkes durch eine Kraft Q = 1, wenn die Reaktionen konstant wie am Ende der entsprechenden Deformation wären c, b oder a, c Halbachsen einer Ellipse ....

«, b, c Querschnittsdimensionen eines Plattenbalkens bei Eisenbetonkonstruktionen

fl₁, or₂, • • • Abszissen der Angriffspunkte von Lasten P₁, P₂, . . . . 5, 7, 372 b Ordinate des Angriffspunktes einer Last P b Ordinaten der Kämpferdrucklinie .    .    .

b Ordinaten von Einflußlinien......

b Breite eines Rechteckes........

b Breite eines Querschnittes in Entfernung v von der Achsschicht 22,35,275 b Breite der deformierten Berührungsfläche bei zylindrischen Berührungsgelenken

b Bezeichnung bei parabolisch begrenzter Belastung .... 73, 103

b, a Halbachsen einer Ellipse...............

&, c, a Querschnittsdimensionen eines Plattenbalkens bei Eisenbetonkonstruktionen .................

bu b₂, ... Ordinaten der Angriffspunkte von Lasten P,, P₂, . . .    .

5, 7, 9

IO    CD

TjH    IO

447

24, 37

288, 291

45

23, 30

55

24

288, 291

Seite

c Entfernung des Angriffspunktes der resultierenden Schnittkraft Rx eines Querschnittes x und ihrer Komponenten Nx, Tx, also auch der Stützlinie, von der Achsschicht (nach oben positiv), gemessen in der Querschnittsebene c Bezeichnung bei parabolisch begrenzter Belastung . . . .73, 103 c Mittelwert von J cos cp bei parabolischen Bogen. (J Trägheitsmoment des Querschnittes, (p Winkel der Stabachse mit der horizontalen av Achse) c = s: F Quotient aus Länge und Querschnitt von Fachwerkstäben .    374, 419

c₀, cu Entfernungen c der Angriffspunkte derjenigen Normalkräfte N₀,

Nu eines Querschnittes x von der Achsschicht, welche den größten Druckspannungen <r₀, au im obersten und untersten Querschnittselement entsprechen

d=t₁ — tn Differenz der Montierungstemperatur tx und der gewünschten Normaltemperatur tn

d Entfernung der Achsschicht von der Unterkante bei Eisenbetonbogen ....................

d Entfernung der neutralen Schicht von der Druckkante (Höhe

der Druckzone) bei Eisenbetonbalken..........

dm Länge der Diagonale im m-ten Felde eines Ständerfachwerkes

(Fig. 227, 228)....................

e Entfernung des obersten und untersten Querschnittselementes von der Achsschicht bei symmetrisch zu letzterer angeordneten Querschnitten

e Belastung pro Längeneinheit an den Enden einer Öffnung bei

. 27, 225

81, 313

218, 272

134, 141

265

284

370

23, 29

parabolisch begrenzter Belastung e Einsenkung der Bogenachse in der Mitte einer Öffnung 81, 319, 332 e Entfernung des Angriffspunktes der resultierenden Schnittkraft Rx eines Querschnittes x und ihrer Komponenten Nx, Tx von der Längsmittelebene eines Gewölbes (Querexzentrizität) .... 225 e — — Al Verrückung eines durch eine überzählige JEteaktionskomponente ergriffenen Fachwerkknotenpunktes in der Richtungslinie jener Komponente

e Verrückung eines Fachwerkknotenpunktes in beliebiger Richtung e.......................

e, e‘ Entfernungen von Eiseneinlagen der Querschnitte fe, fe von der

Unterkante bei Eisenbetonbogen............

e, e‘ Entfernungen von Eiseneinlagen der Querschnitte fe, f'e von der Druckkante bei Eisenbetonbalken

73, 103

407, 408

447

265

•    284, 285

e₂ Abkürzende Bezeichnungen bei Berührungsgelenken.....

eu, . . . Verrückungene der durch überzählige Reaktionskomponenten Xx, Xn, . . . ergriffenen Fachwerkknotenpunkte in den Richtungslinien jener Komponenten

e₀, eu Entfernungen des obersten und untersten Querschnittselementes von der Achsschicht, für symmetrisch zu dieser angeordnete

Querschnitte e₀ = eM = e................

f Pfeil der Achse eines Bogens, bei symmetrisch zur Mitte angeordneten Bogen und bei Ketten Ordinate y für x — m — — 20, 32,48, 202

76, 308

f Ordinate, eines Zwischengelenkes

55

407, 409

28

f₀, f„ Querschnitte des Obergurtes und Untergurtes eines Bogens . .    31

fei fe Querschnitte der Eiseneinlagen in Entfernungen e, e‘ von der

265

Unterkante eines Eisenbetonbogens...........

284, 285

45, 474

20, 391

fei fe Querschnitte der Eiseneinlagen in Entfernungen e, e‘ von der Druckkante eines Eisenbetonbalkens f (a) Abkürzende Bezeichnung (Funktion von a) beim Ausdrucke des Horizontalschubes in gewissen Fällen g Gleichmäßig verteiltes Eigengewicht pro Längeneinheit der Spannweite eines Trägers 9xi 9z Diejenigen Teile von g, welche bei Ständerfaclrwerken auf die

Knotenpunkte der A-Gurtung und A-Gurtung kommen . . 391, 393 h Ganze Höhe eines Querschnittes, z. B. eines Rechteckes . . 22, 265

30

h Entfernung der Gurtungsschwerpunkte voneinander.....

178, 192

h Abkürzende Bezeichnungen bei Bogen mit Zugstange und bei durchlaufenden Bogen

hm Länge der Vertikale eines Ständerfachwerkes am Ende des m-ten

370

Feldes (Fig. 227, 228).....:...........

*o Länge der Vertikale eines Ständerfachwerkes beim Auflager 0

371

Q>m für m — 0)....................

hg, hu Entfernungen der Schwerpunkte des Obergurtes und Untergurtes

31

von der Achsschicht.................

i Allgemeine Bezeichnung eines Einflußpunktes und seiner Abszisse 47 Je Ordinate des Endpunktes der Bogenachse einer Öffnung, für

x = l ist y = Je (l Spannweite).............

Je Mittelwert von F cos cp bei parabolischen Bogen (F Stabquerquerschnitt, cp Winkel der Stabachse mit der horizontalen

. 82, 314 280, 501

a'-Aclise)........

Je Knickfestigkeit.....

460

Je Koeffizient der Schubwirkung

28, 29, 271

Je₀, Jeu Entfernungen des oberen und unteren Kernpunktes eines Querschnittes von der Achsschicht, für symmetrisch zu dieser angeordnete Querschnitte Jc₀ — Jeu — Je

4, 370

l Spannweite, Abszisse des Endpunktes der Bogenachse einer Öffnung, für x — l ist y = & l Wirksame Länge eines zylindrischen Berührungsgelenkes (Wälzgelenkes) oder Umschließungsgelenkes (Zapfengelenkes) .    . 55, 66

501, 505

l Freie Knicklänge hi h> • • • hi Spannweiten eines durchlaufenden Bogens ....    192, 436

76, 308

370

m = 1/2 Abszisse der Bogenmitte symmetrischer Bogen und von Ketten 71, 202 m Abszisse eines Zwischengelenkes m Abkürzende Bezeichnung bei Gewölben und Eisenbetonbogen 218, 272 m Index eines beliebigen Feldes eines Ständerfachwerkes und damit auch der entsprechenden Stablängen xm, zm, cJm, hm und Stabkräfte Xnt, Zn,,    I m .

503, 505

m Sicherheitsgrad ....

w, n Moment — Mx und Normalkraft Fx eines Querschnittes x durch die halbe Verkehrslast vor und die negative halbe Verkehrslast nach dem Grenzpunkte S der Beitragsstrecken verschiedenen Sinnes ......................

Seite

258

n Abkürzende Bezeichnung bei parabolisch begrenzter Belastung 73, 103 n—Ee:Eh Verhältnis der Elastizitätsmoduln von Eisen und Beton bei Eisenbetonkonstruktionen .................

n Anzahl der Felder in einer Öffnung eines Ständerfachwerkes,

370

Spannweite l = n A mit A Feldlänge...........

n Anzahl der Öffnungen eines durchlaufenden Bogens . .    .    192, 436

47, 73, 393

p Gleichmäßig verteilte Verkehrslast pro Längeneinheit der Spannweite

30

q Entfernung der Resultanten aller vom Momente Mx allein her-rithrenden positiven und negativen Normalkräfte eines Querschnittes ......................

48, 393

16, 77, 310

q = g-\-p Gleichmäßig verteilte Gesamtlast (Eigengewicht plus Verkehrslast) pro Längeneinheit der Spannweite r Krümmungshalbmesser der Stabachse an beliebiger Stelle x, bei kreisförmiger Achse Radius derselben .    .

66

r Halbmesser eines zylindrischen oder sphärischen Umschließungsgelenkes ......................

r Abkürzende Bezeichnung, Halbmesser eines Kreisbogens von gleichen l, f wie die wirkliche Bogenachse ...    77, 82, 313, 322

501, 505

r Trägheitsradius

55, 56

r, i\, r₂ Halbmesser der Berührungsflächen zylindrischer oder sphärischer Berührungsgelenke

s Achslänge eines Bogens oder Bogenabschnittes.....7, 16, 26

73, 103

, 67, 492 134, 141 134, 141

s Größter Normaldruck pro Flächeneinheit auf ein Gelenk . 55, 56, 66 s Belastung pro Längeneinheit in der Mitte einer Öffnung bei parabolisch begrenzter Belastung s Allgm. Bezeichnung der Länge eines Fachwerkstabes 362, 374, 403, 460 s1} s₂, . . . Längen der notwendigen Stäbe eines Fachwerkes . . 409, 410 Si, sir, • • • Längen der überzähligen Stäbe eines Fachwerkes .... 410 sm Mittlerer Druck pro Flächeneinheit Längsschnitt des Gelenkstückes ...........

t Temperatur nach Celsius .... tt Montierungstemperatur eines Bogens

134, 141

20, 225

tn Normaltemperatur eines Bogens (bei welcher ohne Belastung keine Beanspruchungen eintreten würden) u Entfernung eines Querschnittselementes von der Längsmittelebene des Bogens

69, 372

u Stetig verteilte Last pro Längeneinheit der Spannweite an beliebiger Stelle a

u Höhe des gedrückten Querschnittsteiles in gewissen Fällen bei

266

Eisenbetonkonstruktionen...............

u, u' Abszissen der Kämpferdruckumhüllungslinien U, V.....

u, u' Gleichmäßig verteilte Lasten pro Längeneinheit Spannweite und

speziell auf der ersten und zweiten Hälfte derselben .    .    . 69, 71

363, 370

u, iv Abszisse und Ordinate des Drehpunktes für das Moment Ms im Schnitte s durch ein Fachwerk ux, tiz Diejenigen Teile der gleichmäßig verteilten Last von u pro Längeneinheit Spannweite, welche bei Ständerfachwerken auf die Knotenpunkte der X-Gurtung und Z-Gurtung kommen . . 372

v Entfernung eines Querschnittselementes von der Achsschicht (nach oben positiv) v Verminderung der Spannweite bei künstlicher Überhöhung der Bogen und bei Beduktion ihrer Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur v Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und

beliebigen Querschnitten..........

v, v' Ordinaten der Kämpferdruckumhüllungslinien U, U‘ v, w Grenzpunkte einer Beitragsstrecke und Abszissen dieser Grenzpunkte

w Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten iv, w‘ Ordinaten der Schnittpunkte der Kämpferreaktionen R, R' mit den Vertikalen bei 0 und l..............

.    16, 21, 225, 260

134, 141

117, 323, 324

47, 54

117, 323, 324

wd, wv Ordinaten w des Drehpunkts für das Moment Ms im Schnitte s zur Berechnung der Diagonalen und Vertikalen von Ständerfachwerken

371, 385, 387

x Abszisse des Achspunktes eines Querschnittes, Bezeichnung des letzteren

4, 26, 304

xx, x₂, ... Mittelwerte der Abszissen x in den Feldern 1, 2, ... von

Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten 116, 322 xm Länge des Stabes der X-Gurtung von Ständerfaclrwerken im

w-ten Felde (Fig. 227, 228)..........

y Ordinate des Achspunktes eines Querschnittes .    .

yx, y₂, ... Mittelwerte der Ordinaten y in den Feldern 1, 2, ... von

Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten 116, 322 z Abszisse des Grenzpunktes einer gleichmäßig verteilten

69, 124, 189

z Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten

z Länge der Zugstange bei Bogen mit Zugstange, für eine horizontale Zugstange z — l

zm Länge des Stabes der Z-Gurtung von Ständerfachwerken im w-ten Felde (Fig. 227, 228)...............

Last

370

. . 4, 26, 304

118, 323, 324

176, 434

370

A Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten A Stabkräfte eines Ständerfachwerkes mit Endgelenken ohne überzählige Stäbe, wenn der Horizontalschub H gleich Null wäre . 374 A Wert einer notwendigen Stab kraft oder einer notwendigen Reaktionskomponente, wenn nur das aus den notwendigen Stäben und Reaktionskomponenten gebildete Hauptsystem wirkte .    . 408

A, B, ... R Bezeichnungen der Paragraphen im VI. Abschnitt . .    . 469

B Bezeichnung einer beliebigen Größe, um deren Einflußlinie es

sich handelt....................

B Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten

C Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten

237, 340

44

237, 340

Seite

C Abkürzende Bezeichnung beim Ausdrucke des Horizontalschubes

in gewissen Fällen ..................

D Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten D Verschiebungsarbeit (Deformationsarbeit,Formänderungsarbeit) 403,460 D Abkürzende Bezeichnung bei Berechnung von Trägheitsmomenten 502 Dm Stabkraft der Diagonale im wj-ten Felde eines Ständerfachwerkes (Fig. 227, 228)

45

238, 340

370

E Elastizitätsmodul E' Elastizitätsmodul bestimmten Materials in Entfernung 1 von der Achsschicht bei Stäben beliebig ungleich widerstehenden Materials 260 Eb, Ee Elastizitätsmoduln von Beton und Eisen bei Eisenbetonkonstruktionen

17, 55, 260, 404, 460

258, 264

F Querschnitt eines Bogens oder sonstigen Stabes .    18, 261, 280, 460

F Einflußfläche........

F Querschnitt eines Fachwerkstabes

F‘ Reduzierter Querschnitt bei Bogen und sonstigen Stäben beliebig ungleich widerstehenden Materials Fi, F₂, . . . Mittelwerte der Querschnitte in den Feldern 1, 2, . . . von

Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten .    . 322

Fb, Fe Betonquerschnitt und Eisenquerschnitt (des Querschnittes x) eines Eisenbetonbogens oder einer Eisenbetonsäule Fz Querschnitt der Zugstange bei Bogen mit Zugstange . .    176, 434

G Schubelastizitätsmodul

47

374, 404, 460

261, 279

263, 280

460

H Horizontalschub, eventuell auch nur von einer Einzellast P herrührend

5, 6, 9, 372

H, H‘ Horizontalreaktionen bei 0 und l (Horizontalkomponenten der Kämpferreaktionen B, E'), wenn nur vertikale Aktivkräfte wirken H‘ = H

5, 8, 14

Hs Resultierende Horizontalkraft im Schnitte s durch ein Fachwerk 363 Hx Horizontalkraft im Querschnitt x, d. h. Horizontalkomponente der resultierenden Schnittkraft Rx-, wenn nur vertikale Aktivkräfte wirken IE — II

5, 6, 8

H₀, Ht Werte von Hx für x = 0 und /.....

J Trägheitsmoment eines Querschnittes . . .

J' Reduziertes Trägheitsmoment bei Bogen und sonstigen Stäben beliebig ungleich widerstehenden Materials

5, 8

.    . 21, 262, 280, 460

262, 283

502

Jx, J”₂ Hauptträgheitsmoment eines Querschnittes........

J1: i7₂, . . . Mittelwerte der Trägheitsmomente in den Feldern 1, 2, ...

von Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten 116, 322 Jb, Je Trägheitsmomente des Betonquerschnittes und Eisenquerschnittes

eines Eisenbetonbogens oder einer Eisenbetonsäule .    . .    264, 281

Jb, Je Trägheitsmomente des wirksamen Betonquerschnittes und Eisenquerschnittes von Eisenbetonbalken...........

Jx, Jxj Trägheitsmomente einer ebenen Figur in Hinsicht der .r-Achse und «/-Achse in ihrer Ebene K Krümmungsmoment . .    .

K Künstlicher Horizontalschub

284

502

. 18, 21 133, 141

Kx Künstlicher Horizontalschub bei Herstellung desselben im Falle einer Reduktion der Normaltemperatur des Bogens auf die mittlere Ortstemperatur

135, 141, 498

K₀, Ku Belastung eines Knotenpunktes im Obergurt und Untergurt von Ständerfachwerken

373, 386, 388

L — lx + 4 H⁻ •••+*» Summe der Spannweiten durchlaufender Bogen 192, 436 L Zentrifugalmoment einer ebenen Figur in Hinsicht rechtwinkliger

Achsen x, y in ihrer Ebene..............

M, M‘ Endmomente in einer Öffnung, Werte von Mx für x = 0 und l

502

5, 6, 143, 339

6, 8, 18, 460

Mm Mu Momente Mx bei den Belastungen, welchen die größten Druckspannungen c₀, ou im obersten und untersten Elemente des Querschnittes x entsprechen (und damit auch Nm Nu und c₀, cu) 219, 220 Ms Moment im Schnitte s durch ein Fachwerk . . . 363, 364, 370, 380 Mx Angriffsmoment im Querschnitt x, Moment der resultierenden Schnittkraft Rx oder Normalkraft Nx in Hinsicht der Achs-schicht

31

Mxn Absolutwert des Momentes Mx bei Eisenbetonbalken .... 284 Mxo, Mxu Kernpunktsmomente bezüglich des oberen und unteren Kernpunktes eines Querschnittes x.............

37, 297

N Größte Zug- oder Druckspannung beim Querschnitt x in Entfernung v von der Achsschicht Nff Normalkraft Nx für Eigengewicht plus halbe Verkehrslast auf

der ganzen Spannweite (Grundbelastung von Gewölben) .    .    . 223

N₀, Nu Normalkräfte Nx bei den Belastungen, welchen die größten Druckspannungen o₀, ou im obersten und untersten Elemente des Querschnittes x entsprechen (und damit auch M₀, Mu und c₀, cu) 218, 271 Nx Normalkraft im Querschnitte x, d. h. Komponente der resultierenden Schnittkraft Rx senkrecht dem Querschnitt x .    . 5, 6, 8, 18, 460

Nx Querzentrische Normalkraft, welche die gleiche Normalspannung a erzeugt, wie die querexzentrisch wirkende Normalkraft

229, 230

Nx (bei Gewölben)................

31

0 Ganze Beanspruchung des Obergurts beim Querschnitt x .

5, 8, 69

F Einzellast, konzentrierte Last............

P‘ Querzentrische Last, welche dieselbe Normalspannung o erzeugt,

wie die querexzentrisch wirkende Last P (bei Gewölben) .    229, 230

5, 372

Pu P₂, . . . Folge beliebiger konzentrierter Lasten P1} P₂, . ■ . Yertikalkomponenten beliebig gerichteter Aktivkräfte

> -®2 ........................

Pd, Pz Werte von P‘ für a = ad und a = oz, wenn ad die größte drückende, az die größte ziehende Normalspannung im Querschnitt x

231

29

bedeutet ......................

.    323, 325, 343

Px Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten Q Vom Momente Mx allein herrührender Teil der Gurtungsbeanspruchungen in einem Querschnitt x ..........

Qi Q\i Qi, • • • Abkürzende Bezeichnungen bei durchlaufenden Bogen in einem besonderen Fall................

Seite

Q1? Q₂, ... Horizontalkomponenten beliebig gerichteter Aktivkräfte

-^1) ^2)........................

Qx Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten ....

R Resultierender Druck auf ein Gelenk

325

R, R' Kämpferreaktionen bei 0 und l, eventuell auch nur von einer Einzellast P herrührend

55, 56, 65

5, 8, 14, 39, 375

R₁, i?₂) • • • Beliebig gerichtete Aktivkräfte...........

Rx Resultierende Schnittkraft im Querschnitt x........

S Bezeichnung der Kämpferdrucklinie (Schnittlinie der Kämpferdrücke P, R‘)...................

S Größte Schubspannung beim Querschnitt x in Entfernung v von der Achsschicht...................

5,

9, 14

37

S Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten S Allgem. Bezeichnung einer Stabkraft bei Fachwerken 362, 374, 404, 460 S₀ Statisches Moment des oberhalb der Achsschicht gelegenen Querschnittsteils in Bezug auf die Achsschicht Su S₂, . . . Stabkräfte der notwendigen Stäbe eines Pachwerkes . 409, 410 Su Su, . . . Stabkräfte der überzähligen Stäbe eines Pachwerkes . . . 410 Sh, Se Statische Momente des Betonquerschnitts und Eisenquerschnitts (eines Querschnittes x) in bezug auf die Achsschicht bei Eisenbetonbogen

Sv Statisches Moment des Querschnittsteiles von v bis e₀ (äußerste Faser) in Hinsicht der Achsschicht

Svh, Sve Absolutwerte der statischen Momente des Betonquerschnittsteiles und Eisenquerschnittsteiles von v bis zur obersten oder untersten Faser in Bezug auf die Achsschicht Sx Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten

T, Tj, T₂ Abkürzende Bezeichnungen bei durchlaufenden Bogen in einem besonderen Fall...................

323, 339, 344

. 30, 36

. 263

35, 36

276, 294

116, 323, 339

192

Tx Transversalkraft im Querschnitt x, d. h. Komponente der resultierenden Schnittkraft Rx längs des Querschnittes . . 5, 6, 8, 36, 460 U Ganze Beanspruchung des Untergurtes beim Querschnitt x 31, 405 U Umfang einer Eiseneinlage bei Eisenbetonkonstruktionen . .    . 278

U,    V Bezeichnungen der Kämpferdruckumhüllungslinien (Umhüllungs

linien der Kämpferdrücke R, R‘)............

V,    V‘ Vertikalreaktionen bei 0 und l (Vertikalkomponenten der Kämpfer

reaktionen R, R‘), eventuell auch nur von einer Einzellast P herrührend)

10

5, 8, 9, 14

F₀, Vl Werte von Vx für x — 0 und l.............

ko, Va Stabkräfte der Kämpfervertikale 0 und Scheitelvertikale er bei Ständerfachwerken

6, 8

373, 386, 388

Vm Stabkraft der Vertikale eines Ständerfachwerkes am Ende des w-ten Feldes (Fig. 227, 228)

Vs Resultierende Vertikalkraft im Schnitte s durch ein Fachwerk . 363 Vx Vertikalkraft im Querschnitte x, d. h. Vertikalkomponente der resultierenden Schnittkraft R~

370

W Widerstandsmoment eines Querschnittes.........

W Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten, Wert von Wx für x — l 332, 333, 343—347 Wm Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und

beliebigen Querschnitten, Wert von Wx für x = m = l\2    .    332, 333

Wx Abkürzende Bezeichnung bei Bogen mit beliebiger Achse und

beliebigen Querschnitten...............

X Allgemeine Bezeichnung einer überzähligen Stabkraft oder einer überzähligen Reaktionskomponente bei Fachwerken 406, 461

Xx, X₂ Abkürzende Bezeichnungen bei Ermittelung statisch unbestimmter Größen (spezielle Ausdrücke für Kreisbogen und parabolische Bogen in §§ 41, 42 und A 31)..........

XI; Xn, . . . Verschiedene überzählige Stabkräfte und Reaktionkomponenten ......................

Xm Stabkraft der X-Gurtung im m-ten Felde eines Ständerfachwerkes (Fig. 227, 228)................

Y    Abkürzende Bezeichnung bei den Biegungsformeln . .    .18, 22, 23

Y    Vertikale Abweichung eines Kettenpunktes bei x von der Verbindungsgeraden der Stützpunkte, bei gleich hohen Stützpunkten

Y=y........................

Fx, Y₂ Abkürzende Bezeichnungen bei Ermittelung statisch unbestimmter

Größen (spezielle Ausdrücke für parabolische Bogen in § 44) . 306 Z Abkürzende Bezeichnungen bei den Biegungsformeln .    . 18, 22, 23

Z Stabkraft der Zugstange bei Bogen mit Zugstange, für eine horizontale Zugstange Z — H Z₀ Wert von Zv für v = 0 .

Zu Z₂ Abkürzende Bezeichnungen bei Ermittelung statisch unbestimmter

Größen (spezielle Ausdrücke für parabolische Bogen in § 44)    . 306

Zm Stabkraft der X-Gurtung im m-ten Felde eines Ständerfachwerkes (Fig. 227, 228) .    ................

Zv Abkürzende Bezeichnung bei Stäben beliebig ungleich widerstehenden Materials und bei Eisenbetonstäben .    .    .    275, 276, 294

29

332

306

408

370

202

.    176, 435

275, 276, 294

370

Ordinate des Knotenpunktes m der X-Gurtung von Ständerfachwerken (Fig. 227, 228).................

Ordinate des Knotenpunktes m der X-Gurtung von Ständerfachwerken (Fig. 227, 228).................

370

370

21 Virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte

$ Virtuelle Verschiebungsarbeit (virtuelle Deformationsarbeit oder Formänderungsarbeit)

©m Wert der Stab kraft Dm durch das Eigengewicht allein .... 393

§ Horizontalschub H durch das Eigengewicht allein......

U Arbeit der mit ihren Endwerten konstant gedachten überzähligen Reaktionskomponenten und von überzähligen Größen abhängigen notwendigen Reaktionskomponenten (bezügl. d' 11 siehe S. 406) 406, 461 23 Vertikalreaktion V durch das Eigengewicht allein 23m, 23₀,23a Stabkräfte Vm, V₀, Va durch das Eigengewicht allein .... 393

403, 460

403, 460

393

393

Seite

3cm Stabkraft Xm durch das Eigengewicht allein........

3E1? 3C₂ Abkürzende Bezeichnungen bei Ermittelung statisch unbestimmter Größen, Werte von Xv X₂ für x — l (spezielle Ausdrücke für Kreisbogen und parabolische Bogen in §§ 41, 42, 44 und A 31) 306 3)i, 3)₂ Abkürzende Bezeichnungen bei Ermittelung statisch unbestimmter Größen, Werte von Fx, U₂ für x — l (spezielle Ausdrücke für

parabolische Bogen in § 44)..............

3i, 32 Abkürzende Bezeichnungen bei Ermittelung statisch unbestimmter Größen, Werte von Z₂ für x — l (spezielle Ausdrücke für parabolische Bogen in § 44)..............

393

306

306

a Ausdehnungskoeffizient (linearer).....

a Winkel der Obergurtachse mit der Bogenachse a Winkel der durch die größten Zug- oder Druckspannungen N und der durch die größten Schubspannungen Vergriffenen Flächenelemente mit der positiven Richtung der Stabachse . . . .37, 297 a Verhältnis des Querschnittes der Eiseneinlagen zum Gesamtquerschnitt bei Eisenbetonbogen..............

a Wert der H— 0 entsprechenden Stabkräfte A (s. bei A) durch eine Einzellast P = 1

17, 374, 404, 460

31

272

425, 428

ß Verhältnis der Biegungsfestigkeit zur gewöhnlichen Zugfestigkeit 19 ß Winkel der Untergurtachse mit der Bogenachse .    .

ß Abkürzende Bezeichnung bei parabolischen Bogen .    114, 178, 315

ß Verhältnis der Entfernung der Eiseneinlagen von der Achsschicht zur Querschnittshöhe bei Eisenbetonbogen ß Horizontalschub H durch eine Eisenlast P — 1

31

272

375, 425

ß — fo' fu Verhältnis der Querschnitte des Obergurtes und Untergurtes

bei Bogenfachwerken.................

y Abkürzende Bezeichnung bei parabolischen Bogen .    .    .    . 82, 314

<5 Winkel der resultierenden Schnittkraft mit der Normalen zum

439

Querschnitt...............

e Abkürzende Bezeichnung bei parabolischen Bogen e Abkürzende Bezeichnung bei Ständerfachwerken . .    371, 385, 387

£ Abkürzende Bezeichnung bei parabolischen Bogen ... 315, 319 £ Länge der Zugstange in einem Felde der Länge A bei Bogen mit Zugstange

%,    • • • Vertikalprojektionen der Achslängen ax, ff₂, . . . in den Feldern

1, 2, ... von Bogen mit beliebiger Achse A Feldlänge eines Ständerfachwerkes, Spannweite l = n A . . . 370 Alf A₂, ... Horizontalprojektionen der Achslängen o-j, ct₂, . ■ . in den Feldern 1, 2, . .. von Bogen mit beliebiger Achse.......

. . . .    7, 96

82, 115, 178, 315

176, 435

. 322

322

272

v Abkürzende Bezeichnung bei Ständerfachwerken .    .    371, 385, 387

q Reduktionsfaktor bei Reduktion querexzentrischer auf querzentrische Lasten

q Stabkraft eines Bogenfachwerkes ohne überzählige Stäbe durch

einen Horizontalschub H — 1 allein...........

q Wert einer notwendigen Stabkraft oder Reaktionskomponente durch eine überzählige Stabkraft oder Reaktionskomponente

X = 1 allein....................

Qi, Qu, ■ . . Werte dieser q durch verschiedene überzählige Größen

Xi = 1, Xu = 1,....................

Qd, qz Werte des Reduktionsfaktors q bei Berücksichtigung der Querexzentrizität der Lasten für die Randspannungen ad, oz .    227, 231

o Normalspannung bei x, v, das heißt beim Querschnitt x in Entfernung v von der Achsschicht . .

a = n/\2 mit n Felderzahl der Öffnung 1 — nA eines Ständerfachwerkes,

Index der mittleren Vertikale a Wert der Normalspannung a für die Querexzentrizität e = 0 der in Frage stehenden Belastung bei Berücksichtigung der Querexzentrizität (q in o = q ff' der Reduktionsfaktor) ....    225, 227

a Normalspannung für Fasern bestimmten Elastizitätsmoduls Er in Entfernung 1 von der Achsschicht bei Stäben beliebig ungleich widerstehenden Materials

225, 227, 229

374

407

408

.    .    17, 19, 23, 260, 264, 283

373, 386, 388

260

o⁻!, cr₂ ••• Achslängen in den Feldern 1, 2, • ■ • eines Bogens mit beliebiger Achse

ab Allgemeine Bezeichnung der Normalspannungen des Betons bei Eisenbetonkonstruktionen

116, 322

.    259, 264, 284

vb, ab Normalspannungen des Betons in Oberkante und Unterkante von

Eisenbetonbogen, wenn der ganze Querschnitt als wirksam gilt 265 ab d, abz Größte Druckspannung und größte Zugspannung des Betons von Eisenbetonbalken bei Berücksichtigung der Zugwiderstände des Betons

286, 287

ad Größte zugelassene Druckspannung in den beiden Randelementen eines Querschnittes von Gewölben und Eisenbetonbogen 218, 224, 272 ad, az Randspannung eines querexzentrisch beanspruchten Gewölbequerschnittes, zwischen welchen die Werte aller anderen Normalspannungen a desselben liegen

o'd, az Werte der Randspannungen ad, az für die Querexzentrizität e — 0 der in Frage stehenden Belastung bei Berücksichtigung der Querexzentrizität (Qd, qz in <?d — Qdod, oz = q az die Reduktionsfaktoren) ....................

226, 227

227

cre Allgemeine Bezeichnung der Normalspannungen des Eisens bei Eisenb etonkonstruktionen

259, 264, 284

a , a'e Normalspannungen von Eiseneinlagen der Querschnitte fe, f'e in Entfernungen e, e von der Bezugskante bei Eisenbetonbogen und Eisenbetonbalken

265, 266, 284, 285

a₀, au Normalspannungen im obersten und untersten Querschnittselement

28, 29, 31

t Temperaturänderung ohne Belastung gegen die dem spannungslosen Zustande entsprechende Normaltemperatur 17, 305, 374, 404, 460

%•

Seite

r Längsschubspannung und Querschubspannung bei x, v, das heißt beim Querschnitt x in Entfernung v von der Achsschicht 85,37,275,276,294 tj Abweichung der wirklichen Temperatur gegen die Montierungstemperatur

134, 141, 498

Gleitspannung (Haftspannung) zwischen Beton und Eisen .    .    278

*i, r2» ’ ■ - Tn Temperaturänderungen der Öffnungen ?l5 /₂, • • - ln eines durchlaufenden Bogens

192, 436

Ti,

• • • Temperaturänderungen der überzähligen Stäbe eines statisch unbestimmten Fachwerkes.........

411

cp

tz Temperaturänderung der Zugstange bei Bogen mit Zugstange 176, 433 cp Winkel der Bogenachse an beliebiger Stelle mit der positiven Richtung der a>Achse

cp Winkel der Bogenachse mit einer von der Achsschicht aus auf Seiten des Krümmungsmittelpunktes der Achse gegebenen

Richtung .....................

cp Verhältnis des Krümmungsmomentes K zum Trägheitsmoment J 22 fll Pfeilverhältnis

cp Winkel der Hauptträgheitsachsen eines Querschnittes mit der Abszissenachse...................

5, 26, 304

16

158, 206

502

cp, x, ip Hülfsgrößen bei der Berechnung von Ständerfachwerken .    . . 393

cp₀, <pt Winkel cp der Bogenachse mit der positiven Richtung der x-Achse bei x = 0 und x — l

306

cpm Winkel cp der Bogenachse mit der positiven Richtung der x-Achse bei x = m (für Öffnungen mit drei Gelenken unmittelbar vor dem Zwischengelenk)

Vvi Tn Winkel cp der Bogenachse mit der positiven Richtung der x-

Achse unmittelbar vor und nach einem Zwischengelenk .    305, 308

ip Winkel der resultierenden Schnittkraft Ex (eventuell auch von einer Einzellast P herrührend) mit der positiven Richtung der :r-Achse

319, 332

7, 8, 96

V'o» tyi Wert des Winkels ^ für x = 0 und l..........

co Abkürzende Bezeichnung bei Eisenbetonbogen.......

ca — A cpn — Acpv Sprungwert der Winkeländerung beim Zwischengelenk in Öffnungen mit drei Gelenken co Abkürzende Bezeichnung bei Ständerfach werken .... 382, 393 co Stabkraft eines notwendigen Stabes eines Fachwerkes durch eine an dem beliebigen Knotenpunkte K in beliebiger Richtung

e wirkende Kraft Q = 1 allein.............

• • Werte dieser co für verschiedene Stäbe oder für verschie-

272

305, 309

447

co 1, w2)

dene K, e

448, 449

A x, Ay, AA cp, Al, ■ • • Änderungen von x, y, s, cp, l ■ • ■, bei unendlich kleinen Änderungen Ax = dx, Ay = dy, ■ • •

2 Summenzeichen (die unten und oben beigesetzten Größen deuten meist an, zwischen welchen Grenzen die Summen zu nehmen sind), bei unendlich kleinen Summanden 2 = f .    .    .

2, 2 Bei Bogenfachwerken auf den Obergurt und Untergurt bezüg-

u liehe Summen ................. 439, 441

.    16, 26, 403, 408

Sachregister.

Die Seitenzahlen beziehen sich im allgemeinen auf das erste Auftreten der Bezeichnungen. §, A, B sind Abkürzungen für Paragraph, Aufgabe, Beispiel, VI mit einem Buchstaben entspricht dem durch diesen Buchstaben be-zeichneten Teile des VI. Abschnittes.

Seite

Seite

Abbiegen von Einlagestäben bei Eisenbetonkonstruktionen (§ 39;

B 89)

Achse eines Stabes (gleich widerstehenden Materiales)

Achse eines Stabes ungleich widerstehenden Materiales Achse, neutrale (§§ 30, 33, 34, 38)

.225 , 261, 264

Achsialkraft (§§ 1, 3 , 33, 34, 37 ;

B 74—76 etc.; bezüglich der Vernachlässigung ihres Einflusses auf die statisch unbestimmten

296

4, 259

260

neren Kräfte s. Verschiebungsarbeit und Verschiebungsarbeit, virtuelle

Art, Form und System von Bogen und sonstigen Trägern, s. auch Bogenarten, Bogenformen, Bogen-| Systeme i Aufbiegen von Einlagestäben bei Eisenbetonkonstruktionen (§ 39; B 89)

Auflager (VI L), s. auch Gelenke, Stützenreaktionen

403, 460

75, 184, 361

296

492

17, 257, 487

Größen vergl. § 51), s. auch Normalkraft Nx

Achslänge (B 28; über s — 2 a siehe S. 137, 237, 243)

Achsschicht

Ausdehnungskoeffizient Ausweichen der Widerlager siehe

4, 260 4, 260

Addabrücke bei Trezzo in Italien 212

Stützenbewegungen Äußere Kräfte

Äußere Kräfte, virtuelle Arbeiten

75

21, U, a derselben (§§ 56, 57, 60; A 35, 36, 44)

403, 406, 447, 460

Aktivkräfte, siehe auch Belastung, Winddruck

Aktivkräfte, beliebig gerichtete (§§ 52,53,55-60; .41,3,16;

B 100, 103)

Aktivkräfte, horizontale (fl 1, 3, 16;

B 100, 103), s. auch Winddruck 7 Aktuelle Verrückungen Arbeit der äußeren Kräfte siehe Äußere Kräfte, virtuelle Arbeiten derselben Arbeit der Sonnen wärme Arbeit zur Überwindung der in-

2, 361 Balken, Balkenträger (§§ 38, 39;

B 77—89 , VI Q), s. auch Eisenbetonbalken, Plattenbalken

2, 7

404

2, 7, 75, 189

Balken beliebig ungleich widerstehenden Materials (§§ 33, 36, 38, 39)

Balken

durchlaufende oder kon-

tinuierliche (B 80, VI Q)

403, 460 Balken, einfache (B 77—79, 81—89, 499

VI Q), s. auch Plattenbalken Balken, genietete und gewalzte

283

3, 316

¹

Vergl. Luegers Lexikon der gesamten Technik, Artikel Druck, exzentrischer.

²

. Tetmajer, Die Gesetze der Knickungs- und der zusammengesetzten Druckfestigkeit der technisch wichtigsten Baustoffe, Leipzig und Wien 1903, S. 19, 186; Derselbe, Die angewandte Elastizi-täts- und Festigkeitslehre, Leipzig und Wien 1904, S. 349, 357, 362, 369.

³

v. Emperger, Die Bruchlasten und die zulässigen Beanspruchungen gußeiserner Säulen, Zeitschrift des Vereines deutsch. Ingenieure 1898, S. 1114; Ostenfeld, Exzentrische und zentrische Knickfestigkeit mit besonderer Berücksichtigung der für schmiedbares Material vorliegenden Versuchsergebnisse, ebenda 1898, S. 1462; Ostenfeld, Einige Bemerkungen über die Bestimmung der Abmessungen exzentrisch und zentrisch beanspruchter Säulen, ebenda 1902, S. 1858.

Seite

69, 361

395

69

54

361, 408

(§§ 13-15;

213, 234

44

4, 15, 260

19

27

19

19, 75

75, 208

3, 186

77

75, 77

Seite

77

184

185

77, 78

3, 76

176, 185

3, 113

3, 142

parabolische

B 26)

30, 75, 361

Beanspruchungen, zulässige (§§ 4,

5, 13, 15, 31, 32; B 16, 65, 75) vergl. Knickfestigkeit 57 , 259, 472 Beitragsstrecken, Grenzpunkte der positiven und negativen s. Einflußlinien (auch §§ 10, 11, 53;

■All] B 24, 25, 112, S. 189, 199) 47 Belastung (§ 18) s. gleichmäßig verteilte Last, stetig verteilte Last, parabolisch begrenzte Belastung, konzentrierte Lasten, Radlastzüge, Winddruck Belastung, kritische bei Gewölben

234, 235, 250

Belastungen, ungünstigste, siehe Grenzwerte

Belastungsarten

Belastungsfall, Belastungszustand

Berührungsgelenke B 13—16)

Betonbogen (B 18—21, 26, 27, 41)

Bewegte Radlastzüge siehe Radlastzüge Biegungsebene Biegungsfestigkeit Biegungsformeln (§§ 3, 4, 6, 7, 40)    15

Biegungsgleichung , N a v i e r sehe

(§ 7)

Biegungsversuche (§§ 4, 5, 31) Blechbalken (VI Q)

Blechbogen (§§ 5, 26; B 29, 50 bis 53, VI)

Bogen, Bogenträger Bogen beliebig ungleich widerstehenden Materiales (§§ 33, 36) 259 Bogen, durchlaufende oder kontinuierliche (§§ 23 , 24; A 25; B 51 bis 53), s. auch Bogenfachwerke, durchlaufende Bogen, einfache, s. Bogen mit drei Gelenken, mit zwei Gelenken, mit einem Gelenk, ohne Gelenk, mit Zugstange, Ketten, Gewölbe 2 Bogen, elliptische (A 12)

Bogen, geradlinige (§ 19; A 14, 35,

36, 40; s. auch B 100)

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

Bogen, kreisförmige (§§ 19, 20, 22, 31,41; A 2, 12,25,31; B 28,29, 50—53, 93, s. auch S. 129, 242, 358), vergl. die Bemerkung Seite 310 oben

Bogen mit beliebiger Achse (§§ 20, 46—51 sowie I. Abschnitt und §§ 19, 21—23, 26—28, 30, 32—36, 40; A 19, 32, auch 1, 3, 8, 10, 11, 14, 16 etc.; B 1, 37—40, 63—67, 94—99, auch 7, 8, 18—25, 31, 32 usw.)

Bogen mit drei Gelenken (§§ 19, 22, 27,40,45,48; A 3,10-16,22,24, 35,36,40,41; B 9, 18—27, 49, 51), s. auch Bogenfachwerke mit drei Gelenken

Bogen mit einem Gelenk Bogen mit imaginären Gelenken Bogen mit Zugstange (§§ 22, 23; A 23, 24, 32, 35; B 50), s. auch Bogenfachwerk mit Zugstange

Bogen mit zwei Gelenken (§§ 5, 12, 20, 22, 40—43, 45—48, 51; A 2, 3, 15, 17-19, 21-23, 31, 32; B 29 bis 40, 49, 93^97, VI; auch A 3, B 5—8, 10—12 usw.), siehe auch Bogenfachwerke mit zwei Gelenken

Bogen ohne Gelenke (§§ 21, 27, 31, 40, 44, 45. 48—51; A 3, 15, 20—22; B 1, 41—49, 63—67, 98, 99), siehe auch Bogenfachwerke ohne Gelenke

Bogen, parabolische (§§ 5, 19—22,

24, 25, 42-45, 51; A 15, 17, 18,

20, 22-24, 26; B 27, 28, 30, 33 bis 36, 41—49, 54—56, 95, 97, 118;

VI. Abschn.; auch B 5—8, 10—12 usw.), s. auch Bogenfachwerke,

77, 81, 114, 143 Bogenachse (§§ 19, 29, 34; A 13;

4, 77, 260 Bogenarten (II. u. V. Abschn.) 75, 361 Bogenebene

Bogenfachwerke (§§ 52—60; A 33 bis 44; B 100—124, auch 51—53), s. auch Fachwerke

Seite

361

361

401)

185

Bogenfachwerke mit Zugstange (§23; A 35, 38, 40, 41; B 116, 123) 433 Bogenfachwerke mit zwei Gelenken (§§ 53, 54, 57, 58; A 33,

34, 37, 43, 44; B 104, 105, 108 bis 115, 118—122, 124)

Bogenachse

75, 361

B 65—67)

233

19

468

128

124

405, 461

bungsarbeit Diagonalen bei Ständerfachwerken (§§ 53, 54, Fig. 227, 228, 242, 248; A 33, 34; B 100—110 etc.) Donaubrücke bei Inzigkofen (B 18 bis 21, 23)

Donaubrücke bei Munderkingen

105

135

204

3, 76

185

505, 508

215

81

3, 186

Bogenfachwerke, durchlaufende oder kontinuierliche (§§ 23, 53,

54, 57; A 33, 34, 39; B 101, 117, auch 51—53, 104, 105 und Seite 401, 402)

Bogenfachwerke, einfache, siehe Bogenfachwerke mit drei Gelenken, mit zwei Gelenken, mit einem Gelenk, ohne Gelenk, mit Zugstange

Bogenfachwerke mit drei Gelenken (§ 55; A 34-36, 40-42; B 100,

102, 103 , 105—107, auch S. 400,

361, 371, 384 Bogenfachwerke mit einem Gelenk 184 Bogenfacbiwerke mit imaginären Gelenken

361, 371, 374, 38 Bogenfachwerke ohne Gelenk 41 Bogenfachwerke, parabolische (§ 55; A 33, 34; B 104, 106, 107, auch S. 415, 417, 435) 382, 390, 392 Bogenformen, s auch Bogen, geradlinige, parabolische, kreisförmige, elliptische, mit beliebiger Achse,

75, 77, 361 Bogenlänge (B 28 ; über s = 2 a s.

S 137, 237, 243)

Bogensysteme (§§ 25—27, 34, V. Abschnitt)

Bogenträger, Bogen Bogenträger, elastische (über Gewölbe als solche S. 212, 216, 236,

251, 360)

Bruchbelastung und kritische Belastung von Gewölben (§31;

234, 235, 236 Bruchstein -Versuchsgewölbe, Wiener (§31; Al, 42, 43, 48, 49, 63 bis 67, 98, 99, auch S. 115) Bruchversuche (§§ 4, 5, 15, 31;

B 65—67)

Bügel b. Eisenbetonkonstruktionen 297

Cannstatter Neckarbrücke (B 5—8, 10—12, 17; YI. Abschnitt; auch

S. 43-45, 115, 157, 208, 315) Clapeyrons Theorem Coblenzer Brücke siehe Koblenzer Rheinbrücke

Dachbinder (B 29, 50-53, 100, 102, 103; auch A 25, 33, 38, B 104; Fig. 262)

Deformationsarbeit siehe Verschie-403, 460

370 83

(B 27)

Dourobriicke in Portugal (Fig. 111, 126, 220; B 37—40, 94—97, auch S. 115, 116, 316, 326, 396) Drahtseile, Kabel (§25; A 26; B 54, 56)

Dreigelenkbogen s. Bogen mit drei Gelenken und Bogenfachwerke mit drei Gelenken

Dreigelenkbogen mit imaginärem Zwischengelenk

Dreigelenkbogen mit Zugstange (§§ 22, 23; J. 24, 40, 41; S. 433) 177 Druck, exzentrischer (YI P)

Drucklinie (vergi. Stützlinie) Druckspannungen siehe Normalspannungen

Durchbiegung siehe Einsenkung Durchlaufende oder kontinuierliche Balken (B 80, YI Q, S. 316) Durchlaufende oder kontinuierliche Bogen (§§ 23, 24; A 25; B 51 bis 53), siehe auch Bogenfachwerke, durchlaufende

Durchlaufende oder kontinuierliche Träger

Ebene Träger

Eigengewicht (§ 31; B 18, 44, 63 etc.; VI C, R), siehe auch Lasten

47

44

47

184

185

185

296

der Bogen

279, 283

257, 263

257

279

20

16, 17

77

Seite

373, 386, 388 280, 501

30, 75, 361

Seite

Einfache Balken s. Balken, einfache    2

Einfache Bogen s. Bogen, einfache, und Bogenfachwerke, einfache 2, 361 Einflußfläche s. Einflußlinie Einflußlinie (§ 12; Fig. 55—57, 98 bis 100, 103, 124, 132, 136, 156,

176, 270, 273, 274, 282, 290, 294,

303; A 8, 10, 11,20, 22; B 9—12,

20, 21, 23, 33, 49, 110, 111, 113,

114, 117, 121, 124; VI B, M; auch S. 154, 194, 240, 395)

Einflußpunkt s. Einflußlinie Eingelenkbogen

Eingelenkbogen mit imaginärem Gelenk

Eingelenkbogen mit Zugstange Einlagestäbe bei Eisenbetonkonstruktionen, Abbiegen derselben (§39 -B 89)

Einsenkungen (§§ 19—21, 24, 40,

45, 48, 51, 59; A 14, 15, 22-24,

35, 36, 40, 42; B 27, 34, 39, 47—49, 96, 97, 99, 120, 121, 123;

VI M, N, R), s. auch Überhöhung

81, 319, 332 Eisenbetonbalken (§§ 32, 38, 39;

A 30; B 77—92; auch S. 263, 264,

276, 277)

Eisenbetonbogen (§§ 31, 32, 34—36;

A 29; B 68—73)

Eisenbetonkonstruktionen (§§ 31 bis 39; A 29, 30; B 68—92) Eisenbetonkonstruktionen , Abbiegen von Einlagestäben (§39; Ü89) 296 Eisenbetonkonstruktionen, Bügel 297 , Eisenbetonkonstruktionen, Haken 297 Eisenbetonsäulen (§37, auch 34, 36;

B 74—76)

Elastische Bogenträger (über Gewölbe als solche S. 212, 216, 236,

251, 360)

Elastizitätsgrenze s. Proportionalitätsgrenze

Elastizitätsmodul (§§ 5, 31,32, auch S. 355, 412, 487 etc.)

Ellipsenbogen (A 12)

Endmomente (§§ 21, 40, 44, 49—51 S. 267; A 20; B 41, 42, 44, 46 63, 98, auch VI Q)

Endvertikalen von Ständerfachwerken (§§ 53—55; A 34; B 102, 103, 105—111, 114)

Euler sehe Knickformel

Fachwerkbogen siehe Bogenfachwerke

Fachwerke, ebene Fachwerke, Knotenpunktsmethode (§ 52; S. 369)

Fachwerke, Momentmethode (§ 52; B 100, 101)

Fachwerke, Schnittmethode (§ 52; S. 368)

Fachwerke, stabile Fachwerke, statisch bestimmte (§§ 52—54; A 34—36, 40—42; B 100—103, 105—107, S. 400) Fachwerke, statisch unbestimmte (§§ 52—60; A 33, 37—39, 43, 44; B 108—124)

Festigkeitsbedingung Form, System und Art von Bogen und sonstigen Trägern, s. auch Bogenformen Bogenarten Formänderungen (§§ 3, 5, 7, 31, 40, 45, 48, 56, 59; A 41), s. auch Einsenkungen, Knotenpunktsverrückungen Formänderungsarbeit s. Verschiebungsarbeit

Frankfurter Neue - Mainzerstraße-Brücke

Fugenkorrektur siehe Gewölbekorrektur

Gegenseitigkeit der Verrückungen (§ 59)

Gelenke (§§ 13—17; B 13—17, VIL, auch A 11, B 21, 23—25), vergl. Berührungsgelenke, Umschließungsgelenke Gelenke, imaginäre Gewichte (VI C, R)

Gewölbe (§§ 27—36; A 27, 28; B 57—73, auch B 1, 18—27, 41 bis 45, 48, 49, 98, 99), vergl. Betonbogen, Eisenbetonbogen,

361

362

364

363

361

361

361

357

Bogensysteme,

75, 184, 361

15,* 403

403

396

218, 271

449

185

476

Seite

212

224

222

215

bis 45, 48, 49, 98, 99) Gewölbekorrektur (§§ 28, 35; B57,

58, 71, 72)

Gewölbemittellinie (§ 29; B 26, 59),

77, 78, 222

233

277

3, 30

69, 70

216, 257

222

31

203, 204 401, 402

77, 310

362, 406

357

B 100, 103), s. auch Winddruck Horizontalkraft Hs in einem Schnitte s durch ein Fach werk

Bogen mit drei Gelenken, Bogen ohne Gelenk

Gewölbe, Berücksichtigung der Querexzentrizität derLasten (§ 30;

A 27, 48; B 60—62)

Gewölbe, Grundbelastung (§ 29;

B 26, 59)

Gewölbe, homogene, s. Betonbogen 213 Gewölbe, kritische Belastung und Bruchbelastung (§31; B 65—67)

234, 235, 236

Gewölbe mit drei Gelenken (§§ 19, 27-30, 32-36; A 27, 28; B 57 bis 73 sowie 18—27, 49), s. auch Bogen mit drei Gelenken Gewölbe ohne Gelenk (§§ 21,27—36;

A 27, 28; B 57—73 sowie 1, 41 212 218, 271

s. auch Bogenachse Gewölbeversuche (§ 31; B 41, 63 bis 67)

Gitterbogen

Gleichmäßig verteilte Last (§§ 12 18—22,24, 25, 41,46—51, 53—55 58; A 12, 15, 16, 23—26, 28, 32 bis 34; B 6, 8, 12, 18, 19, 21, 23, 24, 27, 29, 30,33,34, 37, 39,47, 50, 51, 54-56, 94-97, 101, 102, 104, 106, 109,111, 117—121,123, 124; VI A, B, D)

Gleitspannungen oder Haftspannungen bei Eisenbetonkonstruktionen (§§36, 39; B 86—89, auch 73, 90—92)

Gmündertobelbrücke im Kanton

Appenzell (Fig. 165)

Grenzpunkte der positiven und negativen Beitragsstrecken siehe Einflußlinien (auch §§10, 11, 53,

A 11, B 24, 25, 112, S. 189, 199) 47 Grenzwerte bei veränderlicher Belastung (§§ 10—12, 19—21, 24, 53-55; A 8, 11; B 9, 11, 17, 21 bis 25, 29, 44, 50, 51,53, 58,72,

107, 114, 121, 123; VI F, G, H,

J, K, L, M, O, P, Q) 39, 42, 44, 392

Grundbelastung von Gewölben (§ 29;

B 26, 59)

Gurtungen, X-Gurtung und X-Gur-tung von Ständerfachwerken (§§ 53, 54, Fig. 227, 228, 242,

248; A 33, 34; B 102—110 etc.) 370 Gurtungsbeanspruchungen {B 31,

32, 46, 51, 100, 101), siehe auch Gurtungen

Haken b. Eisenbetonkonstruktionen 297 Hängebogen (§25; A 26; B 54, 56) 3, 203 Hängebrücken (§25; B 56) Hängebrücken, feste Hängebrücken, Versteifungsträger 203 Haftspannungen oder Gleitspannungen bei Eisenbetonkonstruktionen (§§ 36, 39; B 86—89, auch 73, 90—92)    2

Halbellipsenbogen (A 12) Halbkreisbogen (§§ 19, 20, 22, 41;

A 2, 31; B 29, 50-53) Hauptreaktionen eines Fachwerkes

Hauptspannungen, reduzierte Hauptstäbe eines Fachwerkes 362, 406 Hauptsystem eines Fachwerkes 362, 406 Homogene Gewölbe s. Betonbogen 213 Horizontale Aktivkräfte {A 1, 3, 16;

363

Horizontalkraft Hx in einem Querschnitte x (§ 1; A 1, 16), s, auch Horizontalreaktionen, Horizontalschub

Horizontalreaktionen der Kämpfer (§1; Al, 16), s. auch Horizontalschub

Horizontalschub (§§ 1,2,12, 19—22, 24, 25, 40-44, 46, 47, 49-51, 53, 57, 58; A 7, 13, 16, 20, 25, 31, 32, 33, 38, 39, 44; B 7, 9, 10, 18, 19, 21-25, 29, 30,37,41, 42, 44, 46, 50, 51, 53, 54, 63, 93—95, 98, 100—103, 105, 108 bis 111, 114—120, 124; VI A, B, G, J, L, M, N)

514)

Horizontalverbände

185

44

83

278

403, 460

204

9, 14

10, 14

resultierende

Seite

28

28

3, 200

201

203

202

280, 281, 501

362

447

128

77

B 65—67)

21

Seite

Horizontalschub, künstlicher (A 7, 17-19, 43; B 7, 35, 36, 40, 122;

YI E, J, M, N, auch S. 209, 513,

133, 134, 498 491

Imaginäre Gelenke Influenzlinie, Influenzfläche, Influenzpunkt s. Einflußlinie, Einflußfläche, Einflußpunkt Innere Kräfte, s. auch Stabkräfte Innere Kräfte, Arbeit D und virtuelle Arbeit S) derselben, siehe Yer s chi ebungs arb eit Inzigkofener Donaubrücke (B 18 bis 21, 23)

Johnson eisen bei Eisenbetonkonstruktionen

Kabel, Drahtseile (§25; A 26; B 54

56)

Kämpfer

Kämpf erdrücke, s. auch Kämpferreaktionen

Kämpferdrucklinie S oder Schnittlinie der Kämpferdrücke (§§ 2,10, 11,19-22,24,53; Fig. 15,16,21, 101, 127, 130, 133, 271; A 2, 3, 25,

37; B 1, 22, 38, 43, 50, 53, 112;

YI F, auch S. 177, 223) Kämpferdruckumhüllungslinien U,

U' (§§ 2, 10, 11, 21; Fig. 16,130, 133; A 3; B 1, 43)

Kämpfergelenke (§§ 19, 20, 22—25, 40-42, 45-48, 53-55, 57, 58; Aufgaben und Beispiele s. Bogen und Bogenfachwerke mit drei Gelenken, mit zwei Gelenken und ohne Gelenk, Bogen und Bogenfachwerke, durchlaufende und mit Zugstange), vergl. Gelenke, Berührungsgelenke, Umschließungsgelenke

Kämpfermomente s. Endmomente Kämpferreaktionen s. Horizontalreaktionen, Horizontalschub, Y er-tikalreaktionen,

Stützenreaktionen, Endmomente 2, 5 Kämpfervertikalen s. Endvertikalen von Ständerfachwerken 373, 386, 388

Kernlinien (§ 8, 11; A 29; YI F und Tafel am Schlüsse des Werkes; vergl. S. 80, 120, 128, 147, 193,

214)

Kernpunkte s. Kernlinien Kernpunktsmomente (§§ 8, 10)    31, 42

Ketten (§ 25; A 26; B 54—56)    3, 200

Ketten aus Stäben (Stabketten) 204 Ketten, vollkommene Kettenlinien (§ 25)

Kettenlinien, gemeine Kettenlinien, parabolische Knickfestigkeit, Knickwirkungen (§ 37; B 75; YI K, O, P), s. auch Druck, exzentrischer Knotenpunktsmethode bei Fachwerken (§ 52; S. 369) Knotenpunktsverrückungen (§ 59;

A 40—42; B 120, 121, 123) Konzentrierte Lasten (§§ 1, 12, 18 bis 22, 24, 41, 42, 44—51, 53, 54 etc.; A 1, 16, 24, 25, 27, 32, 35;

B 9, 11, 12, 18, 19, 21—23, 25,

30, 37, 39, 41, 42, 48, 61-64, 74—76, 94—100, 103, 105, 108,

110, 114, 118, 119, 121, 123, VI D, auch 65, 116, 117 usw.) 5, 69 Koblenzer Kheinbrücke (B 30—36,

46, 47, 93, auch S. 109, 111, 115,

315, 396)

König-Karls-Brücke s. Cannstatter Neckarbrücke

Kontinuierliche Balken s. Balken, durchlaufende

Kontinuierliche Bogen s. Bogen, durchlaufende

Kontinuierliche od. durchlaufende Träger

Kräfte, äußere Kräfte, innere

Kreisförmige Bogen siehe Bogen, kreisförmige

Kritische Belastung und Bruchbelastung von Gewölben (§ 31;

234, 235, 236 Krümmungsmoment (§§ 5, 6; A 4—6 mit B 2—4)

Künstliche Überhöhung der Bogen, s. auch Horizontalschub, künstl. 480

Seite

133, 134, 480

66

17

213. 216

100

73

69

69, 70

5, 69

10, 14

10, 14

59, 216

Mirabeaubrücke in Paris

102—111, 114)

6, 8

364

234

212, 224, 225

468

225, 261, 264

210

54, 65

VI A, D, G)

lenken usw.

37, 297

derselben

Parabelträger (B 51—53) Parabolisch begrenzte Belastung (A 9, 13; B 26)

Parabolische Bogen s. Bogen, parabolische

382, 390, 392

382

7, 201

158, 203

Künstlicher Horizontalschub siehe

Horizontalschub, künstlicher

Kugelgelenke (§ 16)

Lagerfugen

Längenänderungen, spezifische Längsschubspannungen (§§ 9, 11, 36,39; B 8, 41, 64, 65, 73, 86 bis 92, auch S. 96, 214, 356, 491) 35, 275

Lastäquivalente

Lasten, gleichmäßig verteilte, s.

Gleichmäßig verteilte Last Lasten, konzentrierte, s. konzentrierte Lasten Lasten, parabolisch begrenzte (A 9, 13; B 26)

Lasten, stetig verteilte, siehe auch Gleichmäßig verteilte Last und Parabolisch begrenzte Last Linie S s. Kämpferdrucklinie Linien U, U' siehe Kämpferdruckumhüllungslinien

Maria-Pia-Brücke s. Dourobrücke in Portugal Materielles System Maximilianbrücke, äußere, in München

Menschengedränge (B 11, 19, 21; VI A, C, K etc.)

Mittelvertikale bei Ständerfachwerken (§ 53—55; A 33, 34; B 51,

373, 386, 388 Moment Mx in einem Querschnitt x (§§ 1, 3, 8, 10, 12, 19-21, 29, 33;

A 1, 8, 10, 12, 13; B 10, 18—20, 22,

29, 31, 32, 41, 44, 45, 51, 53, 64 usw.), s. auch Endmomente Momentenmethode bei Fachwerken (§52; B 100, 101)

Moniergewölbe (§ 31, S. 255), siehe auch Eisenbetonbogen Munderkinger Donaubrücke (B 27) 105

Na vierscheBiegungsgleichung(§7) 27 NavierschesVerteilungsgesetz der N orraalsp annungen

¹ Neckarbrücke bei Cannstatt siehe Cannstatter Neckarbrücke Neutrale Achse, neutrale Schicht (§§ 30, 33, 34, 38)

Nietteilung Nietverschwächung 19, 127, 473, 509 Normaldrücke bei Gelenken (§§ 13,

15, 16; B 16, 17)

Normalkraft Nx in einem Querschnitt x (§§ 1, 3, 8, 10, 12, 19 bis 21, 25, 28, 29, 33, 34 etc.; A 10.

27; B 18—22, 29, 31, 32, 41, 44'

45, 51, 53, 54, 57-59, 64, 71, 72;

2, 5, 7, 8 Normalspannungen (§§ 3, 4, 8, 11, 12, 19-21, 27-35, 37, 38 ; A 7, 10, 27-29; B 5-7, 10-12, 18-22,

29, 41, 44, 45, 51, 53, 54, 57—62,

64, 67-72, 74, 76-80, 82-85;

VI A, D, G, H, J, K, L, Q), s. auch Gurtungen, Diagonalen,Vertikalen, Normaldrücke bei Ge-

2, 17, 27, 262 Normalspannungen, größte in einem Punkte (§9)

Normaltemperatur, siehe Reduktion

4, 137, 357 Notwendige Stäbe und Reaktionskomponenten eines Fachwerkes 362

Öffnungen

188 73

77, 81, 114, 143 Parabolische Bogenfachwerke (§ 55;

A 33, 34; B 104, 106, 107, auch S. 415, 417, 435)

Parabolische Fachwerksichelbogen (A 33; B 104)

Pfeil f Pfeiler

Pfeilverhältnis

Plattenbalken (B 78, 82, 85, 87, 89, 92)

Prinzip der kleinsten Verschiebungsarbeit (§§ 57, 60)

288

408, 461

Prinzip der virtuellen Verrückungen (§§ 56, 60; A 35, 36) Proportionalitätsgrenze (§§ 5, 31; B 65)

Pruthbrücke bei Jaremcze (Fig. 164; B 22, 24, 25, 44, 45, auch S. 115, 159, 215, 216, 396)

Seite

404, 460

Ransomeisen bei Eisenbetonkonstruktionen

Seite

278

21, 235

159

Querexzentrizität der Lasten bei Gewölben (§ 30; A 27, 28; B 60 bis 62)

Querkraft oder Transversalkraft Tx in einem Querschnitt x (§§ 1, 9,

10, 25, 36, 39; A 1, 10; £8, 18, 20,21,31,32, 41, 64 und S. 491), s. auch Vertikalkraft Vx bei horizontalen Balkenträgern

Querschnitte

Querschnitte, Bedingung für dieselben

Querschnitte, elliptische und kreisförmige (A 5 mit B 3, auch S. 22, 37)

Querschnitte, rechteckige und quadratische (A 4 mit B 2, auch S. 22,

30, 37, 213, 214), s. auch Gewölbe, Betonbogen, Eisenbetonbogen, Eisenbetonbalken, Eisenbetonsäulen

Querschnitte, ringförmige (A 6)

Querschnitte, U-förmige (A 6)

Querschnitte, T-förmige, s. Plattenbalken

Querschnitte, I-förmige (A 6 mit B 4, auch S. 22)

Querschnitte von Blechträgern (§ 26; A 6; B 29; VI A, B, Q, auch S. 20)

Querschubspannungen gleich den Längsschubspannungen, s. diese 37

Querträger (VI Q)

224

5, 8

4, 16, 259

20

24

23

24

25

288

25

25

509

Reaktionskomponenten,notwendige

362, 406

Reaktionskomponenten, überzählige (§§ 57, 58, 60; A 38, 39, 43, 44; B 108—111, 114—119, 122, 124)

362, 406

Reduktion der Normaltemperatur auf die mittlere Ortstemperatur (A 18, 19, 43 mit ß 36, 40, 122,

VI N, auch S.357)

Reduktion querexzentrischer auf querzentrische Lasten bei Gewölben (§ 30; A 27, 28; B 61,62) 224 Reduktionsfaktor bei der soeben erwähnten Reduktion (s. die be-zeichneten Stellen)

Reibungsversuche mit Umschließungsgelenken (§ 17)

Resultierende Schnittkraft Rx in einem Querschnitt x (§§ 1, 2, 25;

A 1; B 54—56), s. auch Resultierende Stützenreaktionen Resultierende Stützenreaktionen (§§ 1, 2, 10, 13, 16, 24; .4 3, 11;

B 23-25, 51, 53, 114; VI L, N) 5 Rheinbrücke bei Koblenz s. Koblenzer Rheinbrücke Rittersche Methode bei Fachwerken (Momentmethode, §52,

B 100, 101)

134, 497

225, 229

67

128

364

Radlastzüge (§12; A 8; B 9, 11, 19, 21,23, 105, 111, 114, 121, 123, auch S. 489)

Randspannungen bei Berücksichtigung der Querexzentrizität von Lasten auf Gewölben (§ 30; B 60, 62)

44

Säulen beliebig ungleich widerstehenden Materials (§ 37) Scheitelgelenke siehe Zwischengelenke

Schnittkräfte bei Fach werken siehe Horizontalkraft Hs, Vertikalkraft Vs, Moment Ms

Schnittkräfte bei vollwandigen Trägern s. Horizontalkraft Hx) Vertikalkraft Vx, Normalkraft Nx, Querkraft Tx, Moment Mm Resultierende Schnittkraft Rx Schnittkräfte und Schnittmomente bei Eisenbetonkonstruktionen Schnittlinie der Kämpferdrücke s. Kämpferdrucklinie

279

363

5, 8

267

Seite

363

363. 370

5, 6, 8

2, 356

37, 297

376, 382

499

357

37, 297

2, 4

204

56)

17

56

66

4, 259

204

kalen

Stab querschnitte

362, 406

369

234

370

69

51, 489

75

5, 361

75, 134, 361

396

278

54

Tangentialkraft, s. auch Querkraft 2 Tangentialspannungen, s. a. Längs-Querschub

I-¹ 10

Schnittmethode bei Fachwerken (§ 52; S. 368)

Schnittmomente Ms bei Fachwerken (§ 52, 53; B 103)

Schnittmomente Mx bei vollwan-digen Bogen s. Moment Mx, Endmomente

Schubkräfte, s. auch Querkraft oder Transversalkraft Tx

Schubspannungen, s. auch Längsschubspannungen und Querschubspannungen

Schubspannungen, größte, in einem Punkte (§ 9)

Schwarz sehe Knickformel    281, 490

Sichelbogen (§ 53; A 33; B 104), s. auch Dourobrücke

Sonnenwärme, Anwendung derselben

Spannungen s. Normalspannungen, Längsschubspannungen, Querschubspannungen, sowie Normalspannungen u. Schubspannungen, größte, in einem Punkte

Spannungen, reduzierte

Spannungen, schiefe

Spannweite

Spannweiten, größte (A 26; B 55,

Spezifische Längenänderungen Sphärische Berührungsgelenke (§§ 13-15; B 14, 15)

Sphärische Umschließungsgelenke

(§ 16)

Sprengbogen Stabachse Stabketten

Stabkräfte (§§ 37, 52—58, 60; A 33,

34; B 51, 53, 74—76, 100—107,

111, 113—115; VI O, P), s. auch Gurtungen, Diagonalen, Verti-

361, 362, 404 4, 259

Stäbe, Stabkräfte, notwendige 362, 406 Stäbe, Stabkräfte, überzählige (§§ 57, 60)

Ständerfachwerke (§§ 53, 54; A 33 34; B 100—124)

Stampfbetongewölbe (§ 31)

Statisch unbestimmte Größen (Y. Abschnitt; §§ 57, 60), s. auch Horizontalschub, Endmomente, Fachwerke, statisch unbestimmte

15, 267, 361

Stellungen der Diagonalen eines Ständerfachwerkes, siehe auch Diagonalen

Stetig verteilte Lasten (§ 18; i9,

13; B 26), s. auch Gleichmäßig verteilte Last und Parabolisch begrenzte Belastung Straßenwalze (B 11, 19, 21; VI K,

O, P, Q)

Stützenbewegungen (§§ 20, 21, 24, 40—42, 44—50, 53, 56—60; A 7,

14, 15, 25, 31, 36, 39, 42-44;

B 27, 30, 32—34, 37, 39, 42, 48,

63, 69, 93- 99, 108, 115-120, 124;

YI B, J, M, R)

Stützenmomente s. Endmomente Stützenreaktionen s. Horizontalschub, Horizontalreaktionen, Vertikalreaktionen , Resultierende Stützenreaktionen, Endmomente, auch Kämpferdrucklinie und Kämpferdruckumhüllungslinien, Reaktionskomponenten, notwendige und überzählige Stützweite = Spannweite System, materielles System, Art und Form eines Bogens oder sonstigen Trägers, siehe auch Bogensysteme, Bogenarten, Bogenformen Szegedin, Theißbrücke bei

Tachereisen bei Eisenbetonkonstruktionen

Tangentialgelenke s. Berührungsgelenke

Schubspannungen,

Spannungen, Schubspannungen, größte, in einem Punkte Teilsystem

Telephondraht über denWallensee von Quinten nach Murg (B 54)    204

Seite

396

2, 4, 20

21

501

5, 36

480, 499

362, 406

10, 14

54

Seite

447

404

404

403, 460

Verschiebungsarbeit, Prinzip der kleinsten (§§ 57, 60) Verschiebungsarbeit, virtuelle (§§ 56, 57, 60; A 35, 36)

20

370

363

500, 504

187

36, 44)

Temperaturänderungen (§§ 20—22,

24, 40—42, 44—51, 53, 56 — 60;

A 7, 14, 15, 21, 24, 31, 32, 35, 38 bis 41, 44; B 27, 29—31, 33, 34,

37, 39, 42, 46, 48, 50, 53, 63, 67, 93—99, 108, 115, 117 — 120, 123,

124; YIB, J,M,R); s. auch Reduktion der Normaltemperatur 17, 75 Temperaturunterschiede zwischen den Stirnflächen eines Gewölbes 228 Theißbrücke bei Szegedin Tonnengewölbe, s. auch Gewölbe 212 Träger, s. auch Balken, Bogen, Gewölbe, Ketten usw.

Träger, durchlaufende oder kontinuierliche, siehe auch Balken, Bogen und Bogenfachwerke, durchlaufende Träger, ebener

Träger, einfacher, s. auch Balken, Bogen und Bogenfachwerke, einfache, Gewölbe, Ketten Trägerebene

Trägerlänge, s. auch Achslänge Trägheitsmoment (§§ 6, 8; A4—6 mit B 2—4; VI B, O, P, Q; auch S. 83, 127, 356 usw.)

Trägheitsradius (VI O, P) Transversalkraft s. Querkraft Transversalspannungen oder Querschubspannungen gleich den LängsschubSpannungen, s. diese 37

Überhöhung der Bogen (IV E, N), s. auch Horizontalschub, künstlicher , und Reduktion der Normaltemperatur Überzählige Stäbe oder Stabkräfte u. Reaktionskomponenten (§§ 57, 58, 60; A 38, 39, 43, 44; B 108 bis 111, 114—119, 122, 124) Umhüllungslinien der Kämpferdrücke siehe Kämpferdruckumhüllungslinien

Umschließungsgelenke (§§ 16, 17;

B 17, VI L)

Ungünstigste Belastungen, s. Grenzwerte

Verrückungen eines Fachwerkknotenpunktes (§ 59; A 35, 36. 40—42; B 120, 121, 123) Verrückungen, aktuelle Verrückungen, virtuelle Verrückungen,virtuelle,Prinzip derselben (§§ 56, 60; A 35, 36) 404, 460

Verschiebungsarbeit, Deformationsarbeit, Formänderungsarbeit (§§ 56, 57, 60)

408, 461 403, 460

Versteifungsträgerb.Hängebrücken 203

Versuche (§§ 4, 5, 15, 17, 31; B 16,

41, 65—67, auch S. 57, 258, 268,

278, 297, 500, 505, 515 usw.)

Verteilungsbreite, ideelle, bei Berücksichtigung der Querexzentri-zität der Lasten auf Gewölben 228

Vertikalen bei Ständerfachwerken (§§ 53, 54, Fig. 227, 228, 242, 248; A 33, 34; B 100—110 usw.), s. auch Endvertikalen, Mittelvertikalen

Vertikalen bei Vollwandbogen (VI O, P)

Vertikalkraft Vs in einem Schnitte s durch ein Fachwerk

Vertikalkraft Vx in einem Querschnitt x (§§ 1, 19—21; A 1, 13;

B 18, 19, 22, 41, 44, 45, 51, 64 usw.) 5 Vertikalplatte bei Blechbogen und Blechbalken (§ 26 ; B 29; VI A, Q) 208 Vertikalreaktionen (§§ 1, 2, 12, 19 bis 21, 24; A 1, 13, 16, 20; B 18,

19, 21-25, 29, 33, 41, 42, 44, 51,

53, 54, 63; VI A, G, L, N) Viaurbrücke in Frankreich Virtuelle Arbeiten % U, a der äußeren Kräfte (§§ 56, 57, 60; A 35,

403, 406, 447, 460 Virtuelle Arbeit ® der inneren Kräfte oder virtuelle Verschie-

bungsarbeit (§§ 56, 57, 60; A 35

Seite

404

X-Gurtung bei Ständerfachwerken (§§ 53, 54, Fig. 227, 228, 242,

248; B 102-110 usw.)

209, 438    Zapfengelenke (§§ 16,17; -B17, VIL) 54

Zugstange siehe Bogen mit Zugstange

Zweigelenkbogen siehe Bogen mit zwei Gelenken u. Bogenfach werke mit zwei Gelenken 3, 133, 361, 409 Zweigelenkbogen mit Zugstange (§§ 22, 23; A 23, 32, 35, 38; B 50,

116,123), vergl. Bogen und Bogenfachwerke mit Zugstange 177,185, 433 Zwischengelenke (§§ 19, 22, 23, 40,

45, 48, 55; A 3, 10-16, 22, 24, 34—36, 40, 41; B 9, 18-28, 49,

51, 100-103, 105—107), s. auch Gelenke

Zylin d ris che    B erührungsgelenke,

Wälzgelenke, (§§ 13—15; B 13;

15, 16)

Zylindrische Umschließungsgelenke, Zapfengelenke, (§§16, 17; B 17, Zentrifugalmoment (VI O, P) 502 , 506 ' VI L)

Virtuelle Verrückungen Vorläufige Berechnungen (§§ 26,58;

B 118,119, 124, VIA; auch S. 181,

463 usw.)

Wälzgelenke (§§ 13—15; J513,15,16) 55 Widerlager

Widerlager, Ausweichen derselben, s. Stützenbewegungen Widerstandsmoment (§8; VI B, Q) 29 Wiener

75

Bruchstein - Versuchsge-wölbe (§ 31; fil, 42, 43, 48, 49, 63-67, 98, 99, auch S. 115)

Wiener Gewölbeversuche (§ 31) Wiener Versuchs-Eisenbogen (§ 5) 20 Winddruck (B 100, 103, auch S. 228,

42, 228, 491

392)

Windverband (VI K)

X-Gurtung bei Ständerfachwerken (§§ 53, 54, Fig. 227, 228, 242, 248; B 102-110 usw.)

370

176, 185, 433

233

233

491

370

55

66

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4°

Fehlerverzeichnis.

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Zeile 21 von oben

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¹⁰ » „ Formel 8 Fig. 57, links „    57, rechts

Fig. 69

„    72

„    85

Zeile 17 von oben Formel 24 Zeile 20 von unten

dAS

d Acp

dF

r r

r + v

Brick

Angriffspunkt

Fig. 35, 36

für A für A

(^ ⁺ ^)

angedeutete Betonbrücke

r v2

rJ r + v

Brik

dF

Angriffspunkte und Richtungen Fig. 44, 45

für V für V'

(— + —y

\ rl »V

angedeuteten Betonbogen

85

Erste Formel

123

130

131

131

150

189

189

266

282

287

395

405

475

480

Formel 56 Zeile 10 von unten 14    „    oben

14    „    unten

Fig. 131 Zeile 14 von oben „    14    „    unten

Zeile 9 von unten '•*. Fig. 192, links Fig. 201

Zeile 15 von unten Formel 3

Zeile 1 von unten Zeile 3 u. 16 von unten

48

24

mkg

t, 8000,03k 1888,68 '•% 0,65

L'%<'(p »■

- Beziehungen

' ^Bieitspi^g voben 10, 11,’20," 22, 23, 33

'?■

800,624

1975,74

0,675

kg

700

Bezeichnungen

Pfeilspitze unten

10, 11, 20, 22

1,8867

1,8876

486

488

Weitere selbständig erschienene Schriften des Verfassers:

Grundriß der Wärmetlieorie. Mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. Nach Vorträgen an der Kgl. Technischen Hochschule in Stuttgart. Stuttgart, Verlag von Konrad Wittwer. Erste Hälfte, 324 S. gr. 8° mit 107 Textfiguren 1905, zweite Hälfte, 412 S. gr. 8° mit 128 Textfiguren 1907.

Die 3Iechanik der Wärme, in gesammelten Schriften von Robert Mayer. Dritte ergänzte und mit historisch-literarischen Mitteilungen versehene Auflage, herausgegeben von Weyrauch. Stuttgart, Verlag der J. G. Cottaschen Buchhandlung Nachfolger, 1893. — 464 S. gr. 8° mit einem Facsimile und zwei Bildnissen.

Kleinere Schriften und Briefe von Robert Mayer, nebst Mitteilungen aus seinem Leben, herausgegeben von Weyrauch. Stuttgart, Verlag der J. G. Cottaschen Buchhandlung Nachfolger, 1893. — 503 S. gr. 8° mit zwei Bildnissen.

Robert Mayer, der Entdecker des Prinzips von der Erhaltung- der Energie. Aus Anlaß der Enthüllung seines Stuttgarter Denkmals. Stuttgart, Verlag von Konrad Wittwer, 1890. — 75 S. gr. 8° mit dem Bildnisse Bobert Mayers.

Die Festigkeitseigenschaften und Methoden der Dimensionenberechnung von Eisen- und Stahlkonstruktionen. Zweite vollständig neu bearbeitete Auflage. Leipzig, Verlag von B. G. Teubner, 1888. — 223 S. gr. 8° mit 4 Figurentafeln.

Theorie der statisch bestimmten Träger fiir Brücken und Dächer. Nach Vorträgen an der Technischen Hochschule zu Stuttgart. Leipzig, Verlag von B. G. Teubner, 1887. — 366 S. gr. 8° mit 20 Figurentafeln.

Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger

für Brücken und Dächer. Leipzig, Verlag von B. G. Teubner, 1888. — 532 S. gr. 8° mit 20 Figurentafeln.

Das Prinzip von der Erhaltung der Energie seit Robert Mayer. Zur Orientierung. Leipzig, Verlag von B. G. Teubner, 1885. — 48 S. gr. 8°.

Theorie elastischer Körper. Eine Einleitung zur mathematischen Physik und technischen Mechanik. Leipzig, Verlag von B. G. Teubner, 1884. — 279 S. gr. 8° mit 42 Textfiguren.

Aufgaben zur Theorie elastischer Körper. Leipzig, Verlag von B. G. Teubner, 1885. — 350 S. gr. 8° mit 110 Textfiguren.

Theorie des Erddrucks auf Grund der neueren Anschauungen. Wien, R. v. Waldheim, 1881. — 52 S. gr. 8° mit 34 Textfiguren.

Über die graphische Statik. Zur Orientierung. Leipzig, Verlag von B. G. Teubner, 1874. — 36 S. gr. 8° mit Literaturverzeichnis.

Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Träger. Für den akademischen Unterricht und zum Gebrauch der Ingenieure. Leipzig, Verlag von B. G. Teubner, 1873. — 176 S. gr. 8° mit 4 Figurentafeln.

Der Escher-Lintli- Kanal. Historisch-technische Studie. Zürich, Verlag von Orell, Füßli & Comp., 1868. — 131 S. gr. 8° mit 2 Figurentafeln.

Luegers Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften. Bearbeitung der Wärmetheorie, Elastizitätstheorie, Festigkeitslehre und Statik der Baukonstruktionen von Weyrauch. Zweite vollständig neu bearbeitete Auflage. Stuttgart und Leipzig, Deutsche Verlagsanstalt, 1904—1909.

Berechnung der König-Karls-Brücke über den Neckar bei Cannstatt.

Graphische Bestimmung der Belastungsstrecken für die Grenzwerte der Normalspannungen.

m/ix.Druek, &J0 mjvr.Fos.Mjc min. Druck &k

X — 2,682 T7L

max.Druck cf, rruix.Fos.Mx ttu/c.Druck (Du,

max.Druck F0 max.Fos.Mx ttzüi. Druck

x =5,190

X *7,6.98

max.Driuk X0 T7iax.Fos.Mx Tniv.Djvck <fw

X =10,206

max.Druck cf0 7nax.Fos.Mx min. Druck <5k

■V

x =12,7m

max.Druck (F0 max. Fos. Mx ttütl. Druck

-----1.

X =15,222

TTiax. Druck (Fa 771ax.F0s.Mx 771271. Druck 6k;

X =17,730

77UIX. Dncck ö'g max. Fos. Mx min.Druck (ow

X = 20,238

77iax. Druck <V0 max Fos.Mx mm . Druck &k

+—

x =22,71670

a=0

qm.2,682 5,100    1698 10,206 12,711 15,222 17,730 20,238 22.716 25,252 27,762 30,270 32,778 35,286 37,791 10,302 52,810 55,318 57,826

FümpfcrDucidiTug—

58771

Ml

ggggggä

Öffnung IV

.........

Jiömpfergcleukpuvkf X' 0

j.

2,682    5,190    7,698    10,206 12,716 15,222 17,730 20,238 22,716m

58m.

KämpferyelcTikpnvkl

jiinlfllil I

längenmaßsiab 1: 300

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19

15

20m

Weyrauch, Elastische Bogenträger. 3. Aufl.

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