1«

4#<

W'

■>

"w"

*,

*

J. V

1. /

** $

•"    *•••.-    '«J

#**■$ V.

~s&*~ .

^JP’vISf * ^

v SLr

<- v;Ä :* ' -■ *■*

* r •■; s^v 5** *

- ft-jM^'r ¹ *- • - M' ^

V!Wr*^v.'h <: /4”' *

'*

a **jf

4-.

*?**&*•

mr

J*

f Vr

*

■M

-.^S '

gJPTTgp® ’⁴

MT**'

vrrk

•.

**H4

'W

i *.

Hi rfJtr"Ä

n.

.v-

■**r >r

⁽- 'S»'

**

• * -> *4 vt :

***$£&&

F»T

>r

..f

t“

«ft

-■*

#*

j»

>*,

<:

?...

L>

* '-ft

#•

V44

4*

4»

•v>

' v < • <•'    .

^ St ^

&*'*

t.

rS**

!r

♦a*

/✓*•

■>

ft«*'

fc

r*

I, '^sSÖ

w?

&£*•

? >

■- 4 *

iv-* '

******

der

Öffentlich

Arbeiten

HÜ

4>~

Q-Q

rQ

SS**

GEWICHTE UND GÜNSTIGSTE ABMESSUNGEN DER DURCH PARALLELTRAGER VERSTEIFTEN KABELBRÜCKEN.

Von

Dr.-Ing. W. Hauffe.

3/

der

öfifctetlichen Arbeit** ?

Dresden-A.

Akademische Buchhandlung A. Dressei (Inh.: H. Focken) 1910.

^UOTiq* I KRAKÖW

im.XE.3

Akc. Nr.

5CU5J54

Inhaltsverzeichnis.

Seite

I.    Grundlegende Annahmen...................

II.    Ermittlung der theoretischen Hauptträgergewichte für die Bauart

mit einer Öffnung......................

1.    Gurtungen......................

a)    Herleitung der Gewichte aus den Momenten .....

b)    Darstellung der Momente und Momentenflächen ...

a) Verkehrslast..................

ß) Temperatur..................

c)    Gewichtsformeln.................

2.    Wandstäbe.....................

a)    Herleitung der Gewichte aus den Querkräften ....

b)    Darstellung der Querkräfte und Querkraftflächen ... 10

a) Verkehrslast..................

ß) Temperatur..................

c)    Gewichtsformeln..................

3.    Der Beiwert der Bogenkrafteinflußfläche ........

4.    Zahlenmäßige Ermittlung der theoretischen Hauptträgergewichte .......................

5.    Näherungsformeln...................

III.    Ermittlung der theoretischen Hauptträgergewichte für die Bauart

mit zwei Seitenöffnungen...................

1.    Der Beiwert der Bogenkrafteinflußfläche........

2.    Temperatureinfluß...................

3.    Zahlenmäßige Ermittlung der theoretischen Gewichte ... 29

4.    Näherungsformeln

5.    Einfluß einer Änderung der festgenommenen Werte ... 34

IV.    Theoretische Gewichte von

1.    Kabel...........

2.    Hängeseilen.........

V.    Günstige Pfeil- und Trägerhöhe . . .

VI.    Die wirklichen Gewichte (mit Beispiel)

VII. Schlußbemerkung.........

10

13

13

14

18

23

24

24

28

33

. 35

36

37

40

42

I. Grundlegende Annahmen.

Durch Parallelträger versteifte Kabelbrücken stehen im Hängebrückenbau an erster Stelle, gehören doch die bedeutendsten Hängebrücken, vor allem die drei Kabelbrücken über den Eastriver in New-York dieser Bauart an. Bei den zwei zuletzt gebauten, der Williamsburg und Manhattan-Brücke haben Kabel und Parallelversteifungsträger nach heftigem Kampfe über die Kettengirlandenträger den Sieg davon getragen; entscheidend waren die bedeutend höheren Kosten der Kette.¹) Bei der Elisabeth-Brücke in Ofen-Pest haben nur besondere Gründe zur Wahl der Kette geführt, die Kosten des Bauwerkes sind schließlich auch sehr bedeutend geworden.¹)

Die Kabel werden in Amerika, das im Hängebrückenbau Europa weit voraus ist, als Parallel drahtkabel nach dem Luftspinnverfahren hergestellt, und zwar seit dem Bau der Williams-burg-Brücke in völlig einwandfreier Weise. Die Verwendung von Spiral oder verschlossenen Seilen ist nicht gebräuchlich, bei den großen Werken wohl auch kaum anwendbar.

Zur Herstellung der Kabel werden Tiegelgußstahldrähte verwendet von 13—15 t/qcm Festigkeit; die Drähte (3>rd. 0,5 cm) der Manhattan-Brücke³) z. B. hatten eine Festigkeit von durchschnittlich 14,9 t/qcm, ihre Fließgrenze lag bei 9,7 t/qcm, als zulässige Beanspruchung waren rund 5 t/qcm zugelassen. Dieser Wert wurde auch bei den nachfolgenden Berechnungen angenommen.

Als neuer Baustoff für die Hauptträger weit gespannter Brücken tritt Nickelstahl auf; er wurde beim Bau der jüngsten Riesenbrücken, der Blackwell Island- und der Manhattan-Brücke verwendet. Die durch die höhere zulässige Beanspruchung erzielte Gewichtsersparnis macht sich besonders bei Hängebrücken bemerkbar, da sie sich hier auf die Kabel, Pilone und Wider-

9 Mehrtens, Vorlesungen über Ingenieur Wissenschaften, II: Brückenbau 1 S. 246 u. 724.

2. Okt.

²) Report by R. Modjeski, Chicago 1909; Engineering Record 1909,

lager fortpflanzt. Daß der Einfluß nicht gering ist, kann man daraus ermessen, daß das Gewicht der Hauptträger der Manhattan-Brücke 30 Hundertstel des Gesamtgewichtes (Kabel -f-Hängeseile -f- Hauptträger -f- Fahrbahn -j- Verbände) beträgt. Das bei der letztgenannten Brücke verwendete Material besaß eine Festigkeit von durchschnittlich 6,2 t/qcm, die Elastizitätsgrenze lag bei 4,15 t/qcm. Als zulässige Beanspruchung wurde für Zug 40000 lbs/squ. i (2,8 t/qcm), für Druck (40000 —150 1/r) lbs/sq. i (d. i. durchschnittlich 2,7 t/qcm) vorgeschrieben. Da in Zukunft die Verwendung von Nickelstahl beim Bau weit gespannter Hängebrücken — nur bei solchen ist dies System wirtschaftlich — mit Sicherheit anzunehmen ist, wurde dieser Baustoff den Ausmittelungen zugrunde gelegt. Die zulässige Beanspruchung wurde zu 2,5 t/qcm angenommen, da die Werte der Manhattan-Brücke reichlich hoch erscheinen. Unter III, 4 wurde der Einfluß von Abweichungen gegen obige Annahmen untersucht.

Ferner wurde angenommen, daß die Kabelachse eine Parabel ist. Dies erscheint zulässig, da die Abweichungen von der wirklichen Seillinie, z. B. bei der Manhattan-Brücke, nur 1 bis 2 Tausendstel betragen.

Bei den versteiften Kabelbrücken kann man zwei Hauptarten unterscheiden, solche mit einer Öffnung und Rückhaltkabeln (Abb. 1) — die Williamsburg-Brücke zeigt diese Gestalt —,

Abb. 1.

wobei Kabel und Rückhalt^abel an der Pilone denselben Winkel gegen die Wagerechte bilden. Die andere Art besteht aus einer Mittelöffnung und zwei halb so weiten Seitenöffnungen (Abb. 2) — wie z. B die Manhattan -1 Irücke. Damit an der

Abb. 2.

Pilonenspitze Gleichgewicht vorhanden ist, muß der Pfeil der Seitenöffnung gleich ein Viertel des Pfeiles der Hauptöffnung sein.

Für diese beiden Bauarten sind die theoretischen Gewichte, für die Hauptträger aus Einflußflächen, ermittelt worden, und zwar für das System II nur für die Mittelöffnung, da das

Moment der Bogenkraft in der Seitenöffnung gegen das Balkenmoment gering ist, die Versteifungsträger also nahezu das Gewicht von Balkenträgern haben. Die Spannkräfte in den Gurten infolge Wind sind nicht berücksichtigt worden, da in diesem Falle gewöhnlich höhere Beanspruchungen zugelassen werden. Ferner wurde die Annahme gemacht, daß das gesamte Eigengewicht vor Schluß der Versteifungsträger an das Kabel gehängt wird, der Träger also nur von der Verkehrslast Spannungen erfährt. Da Vollasten nur geringe Momente erzeugen, erschien diese Vereinfachung erlaubt. Man hat sie auch bei der Berechnung der New-Yorker Brücken gemacht, den Einfluß der nach Schluß der Träger aufgebrachten Eigenlasten später nachgerechnet.

Für verschiedene WTerte der Verhältnisse von Eigengewicht zur Verkehrslast, Stützweite zur Pfeil- und Trägerhöhe wurden die Ergebnisse zeichnerisch und tabellarisch dargestellt. Schließlich wurde eine Näherungsformel für die theoretischen Hauptträgergewichte gebildet und Untersuchungen über günstigste Pfeil-und Trägerhöhen angestellt.

II. Ermittlung der theoretischen Hauptträgergewichte für die Bauart mit einer Öflnung.¹)

1. Gurtungen.

a) Herleitung der Gewichte aus den Momenten. Wie man Gurtspannkräfte und -querschnitte aus den Momenten der äußeren Kräfte berechnet, so wird man die Gewichte der Gurtungen, da sie den Querschnitten proportional sind, ebenfalls aus den Momenten herleiten. Bedeuten

M Moment in bezug auf den Drehpunkt eines Gurtstabes ö₀ die zulässige Spannung eines Gurtstabes F₀ der Querschnitt eines Gurtstabes h die Höhe des Versteifungsträgers a Feldweite n Zahl der Felder y spezifisches Gewicht,

so wird das Gewicht eines Gurtes

Gg=n.₇2F-a

und mit

h • o

a« = ^2M-a

n^M'a darf man gleich dem Inhalt der Momentenfläche setzen, der Unterschied für Ober- und Untergurt ist von fast gleicher Größe und entgegengesetztem Vorzeichen. Das Gewicht beider Gurte wird dann dargestellt durch den Wert

Go + U_0. h

J Mdx

(1)

b) Darstellung der Momente und Momentflächen. Wie weiterhin (a) bewiesen wird, kommen zur Gewichtsbestimmung nur die positiven Größtmomente als die absolut größten in Betracht. Da die gesamte ständige Last unmittelbar an das Kabel übertragen wird, so ist

max M = max Mp -J- Mt.

Der Wert maxMp, der positive Grenzwert des Momentes aus der Verkehrslast, soll aus der Einflußlinie, Mt das Moment der Temperaturbogenkraft, analytisch abgeleitet werden.

Bevor dies geschieht, soll wiederholt (I) werden, daß die Kabelachse als Parabel der Gleichung

4fx .    ,

y = -pr 0 — x)

angenommen wird, wobei f der Pfeil des Kabels und 1 die Stützweite des Trägers ist.

(2)

(3)

a) Verkehrslast. Zunächst soll gezeigt werden, daß die positiven Momente die absoluten Größtwerte ergeben. Bezeichnet Mp das Moment für gleichförmige Vollast, so ist Mp = min Mp -)- max Mp

Bedeutet v den Bei wert der H-Fläche (so soll die Bogenkrafteinflußfläche von jetzt ab kurz bezeichnet werden), so ist mit

Mp =

x (1 — x) (1—v)

(4)

max Mp = — min Mp    x (1 — x) (1 — v)

(5)

Da v immer kleiner als 1 ist, so muß absolut genommen max Mp größer als minMp sein, womit Gl. (2) bewiesen ist.

Im folgenden soll aus der Einflußfläche ein analytischer Ausdruck für minMp hergeleitet werden. Abb. 3 stellt die Einflußlinie des Momentes in bezug auf den Punkt m des Versteifungsträgers dar. Um die Abbildung nicht undeutlich zu machen, wurden Träger und Richtungslinie RR zusammengelegt;

«o

K-

—*--*

%b₀

yc

Co

\b

a’

Fläche

*-

■R

b'

n’z

hi'

Vf

r»*n

Mp-

£i"

c,h

lb‘

a"¹

Abb. 3 u. 4.

letztere wird zum Festlegen der Lastscheiden benutzt, ihr Abstand von der Geraden a₀ b₀, der Verbindungslinie der Schnittpunkte der Kabelachse mit den Auflagerlotrechten ist 4f/3r. Solange m innerhalb c₂ c₁ liegt — ct und c₂ sind die Punkte, deren eine Lastscheide in die Auflagerlotrechte fällt —, sind 2 Lastscheiden vorhanden. Wir betrachten vorläufig nur den der Belastungsstrecke ^ entsprechenden, schraffierten Teil. Dessen Inhalt verhält sich zum Inhalt der ganzen Einflußfläche wie £x³ zu l³. Die Gleichung der parabelförmig angenommenen Einflußlinie lautet

(6)

3 x (1 — x)

Jh=4T

Von dem Beiwert v wird weiter unten (II, 3) die Rede sein. Die ganze Einflußfläche hat den Inhalt

¹ l²

⁼8f v’ o

dann wird, wenn die Strecke mit p für 1 lfd. m belastet istr

(7)

| 3

minMpl = — y-p-gj-jr.

Aus der Abb. 3 ergibt sich

oder

an₁:am=aa₀:(aa₀ — m m₀')

4f

(8>

(1 —£₁):x = ^:y.

Durch Einsetzen der Werte von y und £1? ermittelt aus den Gl. (3) und (8), in die Gl. (7) erhält man

• at    x[3p(1— x) — l]³

min pi — — P 54r2 (1 _ x)2    •

Stellt man minMPl zeichnerisch dar für x-Werte von 0 bis act, so erhält man (Abb. 4) eine Linie a" c₂"' c/'. Zeichnet man dann das Spiegelild der Kurve b"c₁'" c₂" und addiert ;die Ordinaten beider Linien innerhalb der Strecke c₂" c/', in der also 2 Lastscheiden vorhanden sind, bildet dabei

min MPl -f- min MP2 = min Mp ,

so erhält man die minMp-Linie a" c₂" c^" b". Der Inhalt der min Mp-Fläche ist (Abb. 4) gleich dem doppelten Inhalt der minMPl-Fläche a"c₂'" c"1} also aus Gl. (9)

a“ Ci“

(9)

a" cl"

min Mp - Fläche = 2 f min MPl = o

p ps[3v(l — x) — l]³

27p² J (1 —x)2 0

dx. (10)

Die Strecke a" ct" ist gleich der Strecke a q (Abb. 3). Aus der letzteren Abb. findet man

yc : 4f/3p = ac₁ : 1.

dl)

Als Parabelordinate ist

(12)

yc = 4f/¹²-bc₁-aci.

Aus Gl. (11) und (12) erhält man durch Aussonderung von yc

b cx = 1/3 v

und

(13)

a,f Cj" = act = 1 — bcx = 1 (1 — 1/3 p), die obere Grenze des Integrals der Gl. (7). Nun ist

1 (1 — 1/3 v)

min Mp-Fläche

x [3p (1 — x) —1]

(1 —x)

dx.

(14),

Nach Ausführung der Integration wird (etwas umgeformt) _J_ [4,5 p³ _ 1S 5v2 _ 56,7724v

-j- (9p -f- 1)ln 1000p — 2,9792] pl³.    (15)

Da die Werte maxMp in Frage kommen, so ist noch die Mp-Fläche zu ermitteln. Es war Gl. (4)

mp = |x(1 — x) (1 — v),

minMp-Fläche =

also

Mp-Fläche =

/Mp

o

IT>-

(16)

Gl. (15) und (16) geben zusammen max Mp-Fläche.

In der Abb. 5 ist die maxMp-Fläche als f(p) dargestellt. Beim Aufträgen im Maßstab der Abb. 5, ergibt sich eine flache Kurve, für die im Geltungsbereich für v eine Gerade gesetzt werden aonoo kann. Aus der späteren Berechnung von v ersieht man, daß für die Bauart I (1 Öffnung) bei Annahme gewöhnlicher

Verhältnisse von g/p und 1/h v zwischen 0,92 und 0,975, bei der Bauart II (mit 2 Seitenöffnungen) bei der dieselbe Gleichung für die H-Linie genommen wird, zwischen 0,85 und 0,92 schwankt. Für die angenäherten Geraden erhält man als Gleichung für die Bauart I

0,01900

O.o/.wo

(Xrn.wo

V- 0,8*

für die Bauart II

--Bauart

J1 —

—Bauart I-

----H

max

”p-

Fläch.’.

Multi plika tor pl ³

0.86

O.ss

0.90

0.92

0.9t

0.96

Abb. 5.

max Mp-Fläche = [—0,042 p + 0,05395] pl⁸

(17)

maxMp-Fläche = [—0,048p -j- 0,05945]pl³.

(18)

ß) Temperatur. Das Moment der Temperaturbogenkraft Ht ist

Es ist (die Ableitung wird für die Bauart II gegeben (III, 3)) Ht = -f- a Ekt Ft (1 — r),

(20)

hierbei ist

a Temperaturdehnungsmaß für 1°C + t Zahl der C° über oder unter der normalen Temperatur Ek Elastizitätszahl Fk Kabelquerschnitt.

Da wir zur Bildung von maxM ein positives Mt brauchen, so setzen wir t = — t, Ht also positiv. Der Kabelquerschnitt Fk berechnet sich aus dem Größtwert von H. Es ist

maxH = ^(g-|-pr) -f- aEktFk(l

v).

(21)

Die größte Kabelspannkraft Sk hat den Wert, wenn a₀ der Winkel der Kabelachse gegen die Wagerechte an der Pilone ist

maxH

Sk

sin a₀

max H f/l -(- 16 f²/l².

(22)

Mit Fk = Sk/ak, ak ist die zulässige Kabelspannung, erhält man aus den Gl. (21) und (22)

F k ⁼⁼ tt

___(g/p + ^Vl + lOf²/!²

8 f ök — a Ekt (1 — v) \/l + 16 f ²/l²

pl².

(23)

Setzt man diesen Wert in die Gl. (20) ein, so wird

g/P + *

Ht =

pl².

(24)

8f

a Ekt (1 — v) yi -f* 16 f²/l²

Die Mt-Fläche ist nach Gl. (19) ein Parabelabschnitt von der Höhe

Ht-f,

sein Inhalt also 2/3 Ht f l — und Ht aus Gl. (24) eingesetzt — ergiebt

Mt-Fläche

g/P + *

12

ök

pF. (25)

«Et(l — v)i/l +

In der Abb. 6 sind die Mt-Flächen zeichnerisch dargestellt für g/p = 1, 2, 3 und 1/f = 8, 10, 12. Es ergeben sich nahezu gerade Linien, die sich in einem Punkte 1; 0 schneiden. Deren Gleichung lautet für 1/f =10 — mit geringem Fehler auch für die Nachbarwerte gültig, da /Mt klein gegen /maxMp ist —

Mt-Fläche = (1 — v) (0,0185 g/p + 0,0170) pl³.

(26)

0,00400

%-m

O.oozoc

N\

Mt.

—Flächen-.

Mnh iplihat Trpl ³

Oftoooo

V- 0,30

0,92

0,9♦

0,06

O.os

1.00

Abb. 6.

c) Gewichtsformen. Die theoretischen Gurtgewichte’ erhält man durch Einsetzen der Werte /Mdx aus den Gl. (15),. (16) und (25) in die Gl. (1), welche lautete

G₀-f U

2y

ha

/Mdx.

Es war

M = max M = max Mp -j- Mt = — min Mp -f- Mp -f- Mt. Daraus folgt das Gewicht beider Gurte

G₀+u=

2^j2^r2[4,5v⁸-13>²-56,7724v+(9v+l)lnl000^—2,97916]

g/P + y

12

^pl².    (27)

12

aEkt(l—^/l-j-löf²/!²

2. Wandstäbe.

a) Herleitung der Gewichte aus den Querkräften. Da es sich um einen Parallel träger handelt, wird man die Gewichte oder zunächst die Stabkräfte aus den Querkräften ermitteln. Es ist

ohne Rücksicht auf das Vorzeichen (Abb.‘ 7).

D = Q/cos a; V = Q.

Wie bei den Momenten wird später (b) a gezeigt, daß maxQ die absoluten Größt- ! werte liefert. Das Gewicht einer Strebe ‘

y 20• a o₀ sin a o₀ sin 2 a

Q-a stellt genau genug den Inhalt der Querkraftfläche über einem Felde a dar; darnach ist das Gewicht aller Streben

f\

ist

(V =

Abb. 7.

„    9    ¹²

2— . /Qdx. o₀ sm 2oq

In der gleichen Weise erhält man das Gewicht eines Ständers mit

y

acota = — Q-a-cota

Gd =

(28)

Gy¹ =

y—

°0

°0

und sämtlicher Ständer

1/2

Gv = 2 — cot a /Q dx Go o

(29)

Gl. (28) und (29) geben zusammen das Gewicht der ganzen Wand

Gd+V= 2 —

°0

/ 2 \

(^+cota)/Qdx-

(30)

Der Klammerausdruck hat seinen Kleinstwert für a — 51° 20'; seine Größe ist dann 2,85; für a = 45°, welcher Wert den Ausmittlungen zugrunde gelegt wird, ist der Wert gleich 3, also

1/2

Gd + V= 2-3—/Qdx.

°0 0

(31)

(32)

b) Darstellung der Querkräfte und Querkraft-flächen. Für Q in Gl. (30) oder (31) ist einzusetzen Q = max Q = max Qp + Qt.

Ähnlich wie bei den Momenten ergibt sich aus

(33)

min Qp -|- max Qp = Qp = p (1 — v) — xj

daß maxQp als absolut größerer Wert der Rechnung zugrunde zu legen ist.

a) Verkehrslast. Allgemein läßt sich die Querkraft unseres Systems darstellen mit

(34)

Q = Qo — Htga.

Hierin ist Q₀ die Querkraft des Hauptsystems, a der Neigungswinkel des Kabels im betrachteten Felde, Htga also die lotrechte Komponente der Bogenkraft. Bei der Annahme unmittelbarer Lastübertragung, d. h. bei Vernachlässigung des Längsträgerauflagerdruckes im Felde, was bei der geringen Größe der Feld weite gegenüber der Stützweite zulässig erscheint, wird

(35)

Q == A — Htga.

Die Lastscheide n₂ liegt im Schnitt der Richtungslinie RR mit oiner zur Kabeltangente im betrachteten Felde Parallelen durch a₀.

2 Lastscheiden sind vorhanden, solange n₂ innerhalb ab liegt. In Abb. 8 ist die Einflußlinie der Querkraft für das Feld m, m -f-1 dargestellt, und zwar Balken- und Bogeneinfluß getrennt. Die mit p belastete Strecke nx n₂ = (£x — x) ruft max Qp hervor. Aus der Abb. 8 ergibt sich für den belasteten Teil (schraffiert) der A-Einflußlinie

A 9t

A m,m + l

!i— x[fx-l . (1 — x)-1

]+2l

JYr

x—x) (21—t-^—x). (36)

Ist nur 1 Lastscheide vorhanden, so wird mit £x = 1

A m, m-)-l:

Die Gl. (6) der H-Linie lautete

tt 3x(l — x)

H = P 4fl

(1 —X)²

21

(37)

L.---x __

_ ^j/7 r

__r_.

S,

* Htga.- Fläch e

m -tga

b‘

A-Fläche

a"

Abb. 8.

Der belastete Teil der H-Fläche hat dann den Inhalt

Sv ri

(|₁²-x²)-|(^-x³) ; (38)

H"=pln/x(1_x)dx=p

X

wenn nur 1 Lastscheide vorhanden ist mit £x = 1 w,_    3r/l³ lx² x³\

H P 4fl \6    2 + 3/‘

Aus Abb. 8 findet man den Multiplikator

4 f 1L2

(39)

tga

Biq ä

4f

3vA

(40)

Dann erhält man für £<;1 (2 Lastscheiden (Gl. (36) und (38))

4f

(1    3v TI    1

3v|x

maxQp=pLj(|₁-x) (21-^-x)-^ [-^-x²)- g^-x⁸)

= 6^ [<³¹- f.) ^ - (31 + a)x + 2x²] (£, - x). (41)

Nun ist ein Ausdruck für zu suchen. Aus der Parabelgleichung der Kabelachse

4fx

p- (1 — x)

findet man

tg« =

4f

l²

(1 — 2x).

(42)

Das gibt mit Gl. (40)

fi

l²

3v(l — 2x)'

Setzt man diesen Wert in die Gl. (41) ein, so erhält man maxQp"=^

(43)

Pl

2^ + «3, + l)(^_8,(f)⁸+4,(^

3v

(•-*?)

27 v²

(‘-»fr

. (44)

(45)

Bei 1 Lastscheide wird (Gl. (37) und (39))

maxQp’=^(4^)¹-8v(5)S+(l+3,)fc)-2(l-^+l-,

bis x = 1/2. Aus Gl. (43) findet man

S=i

Die halbe maxQp-Fläche erhält man durch Integration von maxQp" in den Grenzen von x = 0 bis x^₌₁ und von maxQp' in den Grenzen von x

X^⁼¹    2 (*    3 r) *

Nach Ausführung der Integration und Verdoppelung für den ganzen Träger wird

(46)

max Qp-Fläche

= ~ [0,15v³ -j- (—5,30916 -f ln lOOOr) v + 0,1111 — l,25r²] pl²!

In der Abb. 9 ist die max Qp-Fläche zeichnerisch dargestellt. Wie bei den maxMp-Flächen wurde die flache Kurve für die

0 noo

O,iioo

0.1OOO

V-

Ba u.art

n-

-- — - Bau

irt

max Q„— l1äch e Multii Wtat orpl ²

o.gff

Oßa

0,90

0,92

0,9t

0,96

Abb. 9.

beiden Bauarten I und II durch Gerade ersetzt, deren Gleichungen lauten: für die Bauart I

(47)

maxQp-Fläche = (—0,1193r -f- 0,2207) pl²,

für die Bauart II

(48)

maxQp-Fläche = (— 0,1295j> -f- 0,2301) pl².

(49)

ß) Temperatur. Aus der Gl. (34) folgt mit Q₀ = 0 Qt = Hftga.

Den Wert für tga aus (Gl. (42) eingesetzt, gibt

(50)

Q, = Ht— (1 — 2x).

Der Inhalt der aus 2 Dreiecken bestehenden Qt-Fläche ist, wenn man noch für Ht den Wert der Gl. (24) einsetzt

oder

1/2

2/Qfdx = 2Ht-0

tz>

/(.

— 2 x) d x = 2 Ht • f

Qt-Fläche =

g/P + y

pl². (51)

4 -*    -------- —1

aEk-t(l — r)|/l -j- 16 f²/l²

Diese Gleichung weist dieselbe Gestalt auf wie die Gl. (25) der Mt-Fläche; man erhält deshalb für die angenäherte Gl. entsprechend Gl. (26)

Qt-Fläche = 3 (1 — v) (0,0185g/p + 0,0170) pl².

(52)

c) Gewichtsformeln. Die theoretischen Wandgewichte

i/2

ergeben sich durch Einsetzen der 2 / Qdx, Gl. (46) und (51), in

o

Hauffe.

die Gl. (30). Es war

Q = max Q = max Qp -J- Qt

o    -i i/2

²^Sh^ + cotal/Qdx-

Gd. -)- v —

Dann ist das Gewicht der Wand Ga + v = ^(s^ + cotajji [0,15^+(-5,30916 + lal000v)v

_g/P + ^_

4-Gk, - ——i

aEkt(l-r) 1/1 + 16 f²/l²

2

——s--h cota = 3.

sin 2 a ¹

-j-0,11111 —l,25v²] +

Für a == 45° ist

(53)

pl².

3. Der Beiwert der Bogenkrafteinflußfläche.

Der Beiwert v der parabelförmigen H-Linie wird (die Ableitung wird bei der Bauart II gegeben) dargestellt durch die Gl.

(54)

15    h² so Eo Fo

16    f² 1 Ek Fk

Das Verhältnis E₀/Ek wird gleich 1 gesetzt.²) Unter den durch die Abb. 10 veranschaulichten Annahmen ist³)

!h

li

l|

■l INK —    ---xU

---

Abb. 10.

(55)

s₀/l = \J\ (1 + 8    + 2s'/lcos²a.

Bei diesen Ermittlungen, bei denen die Kabellänge vorkommt, soll zwischen der Pilonenentfernung und der Stützweite des Trägers unterschieden und entsprechend die Pfeilhöhen f und fx eingeführt werden. Für Ijl wird ein fester Wert 1,01 angenommen, fji ist dann 1,02.

Der in der Gl. (54) für v enthaltene Wert F₀/Fk (größter Gurt- durch Kabelquerschnitt), der weiterhin ermittelt wird, ist selbst wieder abhängig von v, so daß man eine Gleichung dritten Grades von v erhält. Da sich deren Wurzeln nicht einfach darstellen lassen, wurde die Größe 1/f, die in der 2. und 4. Potenz vorkommt, explizit entwickelt und somit v indirekt ermittelt. Da f/h nur in der 1. Potenz vorkommt, könnte man glauben, es wäre einfacher, diesen Wert explizit darzustellen. Man erhält jedoch weniger flache Kurven als für 1/f und müßte deshalb mehr Punkte ausrechnen.

Zunächst soll Gl. (55) auf eine einfachere Form gebracht werden. Aus der Abb. 10 ergibt sich

s' = 1,2^/sinao.

Aus der Parabelform des Kabels folgt

also

sina₀

cos a₀

Ix

2 s'

lcos²a₀

0,6^(l+16f iVVf⁷²-

(56)

Der Ausdruck (1 -)-16 f₁²/l₁²)³/² ist genau für l₁/f₁ = 10, von geringer Abweichung für die Nachbarwerte, die praktisch in Frage kommen, gleich 1 -f- 25,453 f₁²/l₁², so daß Gl. (55), wenn noch \Jl = 1,01 gesetzt wird, die Form erhält s₀/l= 1,616 (1 + 14,8f²/l²).

Der Gurtquerschnitt F₀ hat den Wert³)

F₀

3Ht-f

32ha₀

4h-ö₀

für Ht der Wert der Gl. (21) eingesetzt,

F₀

ÄflLiV + i J ₊

32ha„ vA 91 ^    '

3aEktFk (1—r)f

4h-a₀

Durch Division der Gleichungen (57) und (23) erhält man

. (57)

F₀^ 3f Fk 4ha₀

CO

Ok-a

Et(l-r)|/l+16f²/l²]

(58)

+ aEt(l—v)

(g/P -f- v) -|/1 -j-16 f²/l²

Setzt man nun in die v-Gleichung (59) die Werte für s₀/l Gl. (56) und F₀/Fk Gl. (58) ein, löst nach 1/f auf, so erhält man, wenn noch gesetzt wird j/i-j- 16f²/l² = 1 -f- 7,7 f²/l², — genau für

l/f=10, von geringer Abweichung für die Nachbarwerte —r

v*-t/

7,4N₁[ak-aEt(l-v)]+ll,25aElH3,85[0,88a₀f/hl/r+aEt(l-v)N₁

0,88 o₀ f/h 1 jv — a Et — Nx [ak — a Et (1 — v)]

Hierin bedeutet

114 q Et [1 — (1 — v) Nx]

0,88 o₀ f/hl/v — aEt — Nx [ok — aEt(l—r)]

(59)

N,

l/r²(v — 4/9)³+l — v (g/P+ ’')(! — v)

Von den 4 Wurzeln kommt nur eine in Betracht, zwei sind imaginär und eine negativ. In der Gleichung (59) kommen außer v die Größen vor: 1/f, f/h, g/p, a₀, ak, a, E, t, deren Bedeutung vorher angegeben und durch die Wahl üblicher Bezeichnung geläufig ist. Bei der zahlenmäßigen Ausmittlung werden außer a, E und t auch o₀ und ok konstant angenommen, da sonst di& Zahl der Kombinationen eine zu große wird. Es wird angenommen (s. I. Grundlegende Annahmen)

a = 0,000012

o₀ = 2,5t/qcm; ak = 5t/qcm; aEt=l E = 2150t/qcm.

t = 38,8° C

Ermittelt wurde v für die Werte:

1/f = 8; 9; 10; 11; 12; 13. f/h = 3; 4; 5; 6. g/'p = V₂; i;²;³-

Die indirekte Ermittlung von v wurde zeichnerisch so vorgenommen, daß Gl. (59) als eine Schar ebener Kurven 1/f = f (v) mit den Parametern f/h und g/p dargestellt wurde (Abb. 12). Da nur 1/f-Werte zwischen 8 und 13 in Betracht kommen, bei denen v nur wenig schwankt, wäre es schwierig bei der verwickelten Gestalt der Gl. (64) gewesen, passende Werte v zu nehmen (für bestimmte f/h und g/p). Da zeigte sich bei der Ausmittlung, daß der Nenner der Gl. (59) in den Grenzen von 0,5 und 1 schwankte, was eine wesentliche Erleichterung herbeiführte. Der Nenner der Gl. (59) lautete:

(60)

N = (0,88 o₀ f/h 1/v — a Et) — Nx [qk — a tE (1 — v) ] — (2,2 f/h 1/v — 1) — N₁ (4 —{— v);

In der Abb. 11 wurde die Ol. (60) durch 2 Kurven dargestellt, der 1/f = 10 entspre- >z chende Wert N wurde hervorgehoben. Die Abb. 11 kann benutzt werden, um den Ein- 10 fluß von Abweichungen der fest angenommenen Werte zu bestimmen (III, 4).

In der Abb. 12 ist die Ol. (59) zeichnerisch dargestellt, und zwar \/f = t(v) mit den Parametern g/p und f/h. Es wurde v näherungsweise der Abb. 11 entnommen und 3 Punkte der Kurven berechnet, z. B. für g/p = 2, f/h = 4, aus Abb. 11 v — 0,958

v = 0,957    1/f = 8,78

v = 0,958 1/f = 10,03 v = 0,959 1/f =11,98

Aus der Abb. 12 ersieht man, daß das Pfeilverhältnis die Bogenkraft wenig beeinflußt, dagegen wird diese bei wachsendem f/h und g/p größer, d. h. je kleiner die Höhe des Trägers, desto

typ* ft J 4p

9/p'ZVfpl-J

jpTt

Ar

%r3

-Ar ,

r-o,s>o

0.92

Ar,

ly

r.

0,9*

AV

O.ae

0.98

Abb. 11.

73

9/0 1=.    ~

17h -    3"

XiäL ~3\f

2    f*\ !    5zl 1    213 2 3

3    0 5~~ 3 m    5 4 6 5

7Z

10

V- 0.86

0,83

0,90

0.92

0.9*

0,96

0,98

Abb. 12.

größer die Bogenkraft, die ebenso wächst, wenn die ständige über die Verkehrslast überwiegt. Die Übersicht I gibt die in Abb. 12 ermitttelten v -Werte

Übersicht 1. v- Werte (10000 v). g/p = 7*

1/f = 8

9    10    11    12    13

8    9    10    11    12    13

Hs

"er

Ci CT 4— CO

Cp CD CO 00 DO O CT to -a ^ ct CT CD O ^

8598 8628 8650 8668 8680 9059 9074 9088 9098 9108 9295 9309 9319 9324 9329 9438 9450 9460 9468 9472

9011 9029 9043 9056 9096 9078 9313 9330 9342 9353 9360 9366 9480 9490 95C1 9509 9512 9516 9580 9590 9598 9602 9605 9608

g/P = 3

g/P = 2

1/f =    8

9    10    11    12    13

8    9    10    11    12    13

CO IO CO

9370 9385 9398 9408 9413 9420 9561 9571 9580 9586 9590 9592 9664 9671 9677 9630 9683 9684 9730 9735 9739 9741 9741 9743

9541 9551 9560 9565 9571 9576 9678 9684 9690 9694 9698 9700 9751 9757 9761 9765 9768 9769 9800 9805 9809 9810 9811 9812

9/p

.3

?\ i/i / Ja

7f7:

7/

1,00

0,08

0,96

0,9t

0,9Z

0,90

0,88

0,88

0,8t

0,82

'6

Um ein anschaulicheres Bild, als Abb. 12 bietet von der Veränderlichkeit von v zu geben, wurde in Abb. 13 y=f(g/p,f/h) axonometrisch dargestellt; 1/f wurde konstant zu 10 angenommen; die für die Nachbarwerte gezeichneten Flächen würden nur wenig abweichen.

Abb. 13.

4. Zahlenmäßige Ermittlung der theoretischen Hauptträgergewichte.

In vorstehendem sind für bestimmte Werte von g/p, 1/f und f/h die Größen des Beiwertes v der H-Fläche berechnet worden (Übersicht I). Mit deren Benutzung sind für dieselben Werte von g/p, 1/f und f/h die theoretischen Hauptträgergewichte, Gurte nach Gl. (27), die Wand nach Gl. (53), berechnet worden. Die Ergebnisse sind, Verkehr- und Temperatureinfluß getrennt, in den Übersichten 2 bis 10 angegeben.

zo

g/p = 7

8    9    10

Theoretische Hauptträgergewichte (Bauart I). Übersicht 2. Gurte.

8    9    10    11    12

Multiplikator y/o₀ pl².

8    9    10    11    12    13

ijh =

1/f =    11    12    13

1,1814 1,2817 1,3837 1,0274 1,1498 1,2718 1,3930 1,5156 1,6369 1,1994 1,3428 1,4860 1,6298 1,7748 1,3788 1,5454 1,7110 0,2221 0,2370 0,2526 0,1643 0,1774 0,1910 0,2045 0,2186 0,2325 0,1562 0,1680 0,1810 0.1931 0,2071 0,1503 0,1618 0,1732

P-1    -+3

CD CD

G |1,4035| 1,5187| 1,6363 11,191711,327211,462811,5975j 1,734211,8694 j 1,3556|1,5108|1,6670|1,8229|1,981911,5291|1,7072| 1,8842

Übersicht 3. Gurte.

g/P === 1

8    9    10

9    10    11    12

Multiplikator 7/<r₀pl².

8 | 9    10    11    12    18

f/h =

1/f =    11    12    13

1,054911,146711,2393 0,9498| 1,0632|0,1772| 1,290811,405211,5196 1,1303 1,2679| 1,404111,540911,6795 l,3167|l,4768|t,6367 I 0,2149 0,2290 0,2440 0,1607 0,1726 0,1854 0,1982 0,2119 0,2257 0,1528 0,1650 0,1766 0,1889 0,2028 0,1485 0,1596 0,1712

Ph >9

CD CD

G 11,269811,375711,4833 11,1105| 1,2358| 1,3626| 1,4890| 1,617111,7453 11,283111,4329| 1,580711,7298| 1,8823 11,4652|1,6364| 1,8079

Übersicht 4. Gurte.

g/P = 2

8    9    10

8 9 10 11 12

Multiplikator y/o₀ pl².

f/h =

89    10    11    12    13

l/f= 11    12    13

0,9528 1,0375 1,1218 0,8826 0,9901 1,0972 1,2047 1,3126 1,4211 1,0698 1,2011 1,3322 1,4640 1,5960 1,2587 1,4138 1,5690 0,2064 0,2211 0,2349 0,1563 0,1682 0,1800 0,1929 0,2064 0,2208 0,1497 0,1614 0,1733 0,1866 0,2003 0,1445 0,1562 0,1691

p->    -+J

CD CD

G 1,1587 1,2586 1,3567 1,0389 1,1583 1,2772 1,3976 1,5190) 1,6419 1,219511,362511,505511,650611,7963 11,4032|1,5700|1,7381

co

8    9    10

9    10    11    12

Übersicht 5. Gurte.

Multiplikator y/o₀ pl².

8    9    10    11    12    13

f/h =

1/f =    11    12    13

0,9092 0,9901 1,0709 0,8523 0,9568 1,0614 1,1663 1,2709 1,3760 1,0421 1,1702 1,2986 1,4267 1,5548 1,2319 1,3838 1,5358 0,2033 0,2167 0,2303 0,1535 0,1658 0,1778 0,1908 0,2035 0,2174 0,1484 0,1594 0,1715 0,1833 0,1955 0,1430 0,1536 0,1645

Ph -+J

cd cd

G |l,1125| 1,2068) 1,3012 11,005811,122611,239211,3571| 1,4744) 1,5934 11,1905) 1,3296) 1,4701 jl,6100) 1,7503 11,3749j 1,537411,7003

Übersicht 6. Wand.

01 6

g/P = Va

12

9    10    11

Multiplikator y/o₀ pl².

9    10    11    12    13    8

f/h =

8 I 81 ET II =J/I

0,3544 0,3537 0,3532 0,3391 0,3384 0,3378 0,3373 0,3369 0,3365 0,3304 0,3297 0,3291 0,3287 0,3285 0,3249 0,3244 0,3239 0,0303 0,0296 0,0291 0,02310,0222 0,0215 0,0209 0,0205 0,0201 0,0176 0,0168 0,0163 0,0158 0,0155 0,01410,0135 0,0130 0,3847 0,3833 0,3823 0,3622 0,3606 0,3593 0,3582 0,3574 0,3566 0,3479 0,3465;0,3454 0,3445 0,3440 0,3390 0,3379 0,3369

Übersicht 7. Wand.

O CD CD

10

0,3187

0,0128

|ü,3315

0,3190

0,0133

10,3323)

T = d/g

Multiplikator y/a₀pl².

f/h =

0,3193

0,0139

0,3332)

12

11

10

13

12

11

10

13

12

1/f =    11

0,3218

0,0152

|0,3370

0,3219

0,0155

|0,3374|

0,3221

0,0159

0,3226

0,0165

0,3229

0,0172

0,3270

0,0195

0,3272

0,0199

0,3275

0,0203

0,3279

0,0209

0,3283

0,0216

0,3289

0,0226

0,3377

0,0282

0,3380

0,0286

0,3385

0,0293

GP

Gt

jO,3380)

|0,3391

0,3401

10,3465

!0,3478|0,3471

|0,34881

|0,3499j

0,3515)

|0,3659

10,36661

|0,3678|

dg

T—i

10

0,3138

0,0127

0,3139

0,0130

|0,3269)0,3265

10

0,3113

0,0124

|0,3237

0,3115

0,0128

|0,3243|

9    10

g/P = 2

12

11

10

0,3141

0,0135

0,3157

0,0150

0,3158

0,0153

0,3159

0,0156

0,3161

0,0161

0,3276|

0.3307

|0,3311

|0,3315|

10,33221

g/P = 3

12

11

10

0,3117

0,0134

0,3127

0,0147

0,3128

0,0150

0,3130

0,0154

0,3131

0,0160

0,3251

|0,3274

|0,3278|

Übersicht 8. Wand.

13

12

II

10

0,3164

0,0163

0,3189

0,0191

0,3190

0,0194

0,3191

0,0197

10,338810,338410,3380 | 0,3332)

' Übersicht 9. Wand.

0,3133

0,0167

13

12

11

0,3151

0,0188

0,3152

0,0191

0,3153

0,0195

Multiplikator y/o₀ pl².

13

12

0,3193

0,0203

0,3196

0,0210

0,3200

0,0220

0,3251

0,0271

0,3253

0,0276

|0,3396|

0,3106)

0,3420)

|0,3522

|0,3529|

Multiplikator y/o₀ pl².

10

13

12

0,3155

0,0200

0,3157

0,0207

0,3158

0,0216

0,3194

0,0266

0,3196

0,0271

0,3355|0,3348|0,3343)0,3339 | 0,3300|0,3291|0,3284

Übersicht 10. Gurte -f- Wand.

|0,3364|

0,3374)

|0,3460

|0,3467|

Multiplikator y/o₀ pl².

9 I 10    11    12    8

>—i 05 1C5 ■«f cg co co cg «hoo cg' oi cg" cg"

LO 05 D- cg ^ CO 05 CO O 05 00 co cg' r-T i-T —T

oo oo —i o

CO 05 CO o GO C-t>

rH t-H r-H tH

9    10    11    12    13    8

CO 05 t- 00 M-hiMI-

co cg —^ o cg' cg' cg' cg'

t-1- cg oo CO CO 00 co I⁻¹1 O 05 05

cg" cg" -h' h

Cg 05 t— 05 —I r—I C0 05 O 05 00 t-

cg" —' -T -T t- cg io 05

L5 t— 05 lO G0 CO CO

C0 CO -H

o cg io cg

l> CO lO lO

T-H —H —^

co cg o t-cg 05 oo cg

0^3 ^0 05 05

cg' cg -h

1,822 1,956 2,092 1,711 1,837 1,964 1,617 1,736 1,857 1,575 1,692 1,809

00 CC 05 Ci

go oo Ci ia

COlflTt<

f/h =

1/f =    11

0,3255

0,0281

|0,3536|

GP

Gt

f/h =

1/f =    11

GP 0,3199 Gf 0,0277

|0,3476|

f/h =

l/f= 11    12    13    8

!N !-t CO kO CD GO TU LO CO CO

05 Ci CI t-

O CO t-„co cg —T —T —

cg cg cg rti

O *— IQ 35 l> CD lO

oo go cg o

C0 C0 — CO

C- CO lO

"i

—i cg co

_Oh

iß

Die in Übersicht 10 enthaltenen Gewichte sind in der Abb. 14 benutzt worden, um für die Werte 1/h von 35 bis 60 die Hauptträgergewichte zeichnerisch zu ermitteln.

T * Vi'-aOi,

9p-j

9p- 2

2,8

W,

Thm ■tisch ’Hau, itträgm/m :chJr iplikttorV/^p'?

1*5/

5 5,

Z.6

L'%‘ 60f

¹h\öOt

Zf

iz\

Mi

5151

501

Zz

35/

■

»51

10

rz

*0

*5/

9'

Zp

35)

w)

to\

1V

35)

1,8

8_

rv

id'

+ *zkz il^ + ^‘kp4l

¹

) Bezüglich der im folgenden angewendeten Formeln s. Müller-Breslau, Statik II. 1 S. 266 ff. Die dort tür Kettenbrücken aufgestellten Formeln wurden, soweit nötig, für Kabelbrücken abgeändert und entsprechende Formeln für das System II abgeleitet.

²

)    B o h ny, Theorie und Konstruktion versteifter Hängebrücken S. 84.

³

)    „ *    „    „    *    »    » S. 20.

id'

tn-3 '1    .5    6    7    »h-3    *    ,5    6    7    +sh-3    >1    .5    6    7    »h-3    *    .5    6*    7

Abb. 14.

Die in Abb. 14 erhaltenen Werte sind in den Übersichten 11—14 zusammengestellt.

Übersicht 11. Theoretische Hauptträgergewichte. Multiplikator y/o₀ pl².

'55

Cr

ST

-a

CO

co

CO

CO

00

CO

CO

CO

er

05 CT CT rfi. 02 O CT O Ol O CT

rH O O rH CQ CD.Ir-_Cq.05 O rj

H rH rH rH CQ CQ

Ir- CD CO CO C- 00 CO t> 00. C» Oh

rH rH rH rH CQ CQ

CQ rH rH rH CQ t> 00 05 O rH CQ rH H H cf CQ' cq'

J\2 JO JO JH . j-r

co h o co ccbo

-Q -Q ~Q -Q CO t-H

JO C0 DOMhh

02 "tO f-¹ O CO GO CO C0 02 ^ 05 CO

t> CO rH o 05 00 05 o rH CQ CQ CO h cf cf cf CQ cf

CQ CI CO IC5 CO CO iO CD C- 00 05 O

Mmmh

©'cd'qocn

HCOQ0-Q-l<l

rH »H rH CQ CO ’ct¹* coir-_cq.C5j3.HH rH r—I r-H rH CI CQ

cd co co c- oo co c^ cq 05 O,

r-H rH rH rH CQ Ol

DO DO CO >—*    j—*

k'h^'o'cD GO^I

DO m O O ^ CO

QO CD IO LO LO CD GO    ^

r-H i-H r-H CI (M D3

'5c

CQ

CO

■a

00

CO

C0

02

00

05

CO

CO

er

O CT O CT O CT

O OO^-Q 05 OlffH H CO 00 05 CT CT

CO 05 O rH CQ CO ■rf IO (h 00.05 O

hhhhh cf

HlMCO^lOt-

is co tr^oocs o

rH rH rH rH rH CQ

JO mmhhh

O CD 00 <1 05 CT CO 00 -Q 05 CT CT

JOJOj— H H H

O O CO -Q 05 CT C0 H O CD CO CO

CO CO CO r* IO CD CD l>^00 05 o H

rH H H rH Cf Cf

rH

s'sasse

lö CO t- 05 Q tH l£5 CO l> G0 O

rH rH H rH H CQ

Ir- 00 05 O rH CQ Ht^lO CO 00 05.0

rH »-H rH rH rH CQ

CO J—k HH-H

oboo^aoi

Qi CO DO O

SSSlgäSS

—i H -h i—i O] CQ

CDNCO^Oh LO CO l>- GO O ¹

Theoretische Bwiplträqery reichte für¹,T*tO, Multiplikator//^ pl?

l/h-60

In der Abb. 15 sind die theoretischen Hauptträgergewichte für 1/f = 10 als f (g/p, 1/h) axonometrisch dargestellt. Für die übrigen Werte 1/f würden sich wenig verschiedene Flächen ergeben. Die Werte wachsen mit 1/h, fallen mit g/p.

Z.Z

2,1

Z.o

1,9

i,ö

1,r

he

1,5

55

501

«■5 t

40

Mit:

’/Z 1

2    3 9p

Abb. 15.

39/p

/

/60

l/h

5. Näherungsformeln.

An Stelle der verwickelten Form der v-Gleichung (59) soll eine einfachere Näherungsgleichung gefunden werden. Die v-Werte nähern sich der Grenze 1 die Gleichung muß also die Asymptote 1 besitzen. Dieser Bedingung entspricht, innerhalb der Gebrauchswerte von v bis auf ein + Hundertstel genau, die Gleichung

V = 1----

0,1013 • (l/f)0,y»(i/h)b24(g/p)0,630

Setzt man diesen Wert in die angenäherten Gewichtsgleichungen (17), (26), (47) und (52) ein, so erhält man

0,0590+ 0,0185 g/p

0,1013(l/f)°489(i/h)i.24(g/p)0,63 ao

(61)

' V5?

-^pl² (62)

G0 + u=21/h 0,01195 +

n / 2    \L „1    0,1703+ 0,0555g/p

Gd+V“ (sin2ä+C0ta) [°’¹⁰¹^⁺0,1013 (1/f)⁰» ^(l/h)¹»"

für a = 45°, ist (g.-^ - + cotaj = 3.

Durch Addition der beiden Gl. (62) und (63) wird das theoretische Hauptträgergewicht

²⁴(g/p)⁰’⁶³ ö₀

^-pl²

(63)

G = 0,023901/h + 0,3042 21/h (0,0590 + 0,0185 g/p) + 3 (0,1703 + 0,0555 g/p)] y

0,1013 (l/f)°489(l/h)b24(g/p)0,63

öo

pl². (64)

III. Ermittlung der theoretischen Hauptträgergewichte für die Bauart mit zwei Seitenöffnungen.

Wie schon erwähnt (I), handelt es sich hier nur um die Hauptöffnung, da die Gewichte der Seitenöffnung nur wenig von Balkenträgergewichten gleicher Stützweite abweichen. Um die Ergebnisse der ersten Bauart benutzen zu können, wird für die H-Linie dieselbe Gl. (6) angenommen. Abb. 16 stellt die zweite, jetzt zu behandelnde Bauart dar. Die Stützweite der Seitenöffnungen ist halb so groß wie die der Mittelöffnung,

c~f

m-ym

| -    ~ Flcuhe

-t-

Abb. 16. u. 17.

die Pfeilhöhe ein Viertel. Da bei diesem System die Bogenkraft kleiner ist als bei dem zuerst behandelten, wird der Balkeneinfluß noch mehr überwiegen. Daraus folgt, daß hier ebenfalls die positiven Momente und Querkräfte der Rechnung zugrunde zu legen sind. Man erhält also für die Verkehrslast dieselben Gleichungen wie unter II. Neu zu ermitteln sind die Gleichung für den Beiwert v der H-Fläche und die Gleichungen, in denen die Temperaturbogenkraft enthalten ist.

1. Der Beiwert der Bogenkrafteinflußfläche.

Der allgemeine Ausdruck für die Bogenkraft lautet

Mw

(65)

H =

wobei Mw das Moment des mit den elastischen Kräften 2ydx (infolge H = — 1) belasteten Trägers ist, so daß mit Gl. (3)

4fx

y = -pr (! — x)

wird

Mw =

31²

(xl³ — 2 lx³ —|— x⁴).

(66)

Ferner ist

1    1/2

9* = ²/y²dx + 4 /(y/4)²dx-{

o    o

(67)

h²F₀

-FT⁸«'

Der zweite Summand bezieht sich auf die Seitenöffnungen, deren Kabelordinaten gleich ¹I± der entsprechenden Ordinaten der Mittelöffnung sind. Die beiden ersten Summanden ergeben

^-f²l.

1 1/2    ₇

2/yMx + 4/(y/4)²dx =

0 0    -LJ

Für s₀ erhält man

S<,=l[l+81²/l²]+2l[l+8|/|!+l,5^|?]=21[l+8P/l²](68),

und mit Berücksichtigung der verschiedenen Pilonenentfernung und Stützweite (s. II. 3)

Er ist also

s₀ = 2,021 [1 -f 8,2 f²/l²].

(69)

17

h²F₀

Fk

2,021(1-]-8,2 f²/l²).

(70)

Um die Ergebnisse der Ableitungen unter II für die Verkehrslast benutzen zu können, nehmen wir dieselbe Gl. (6) für die H-Linie an

H = I

Der Inhalt der H-Fläche ist

3 x (1 x)

fl

v.

/« = M-

Dieser Inhalt der parabelförmig angenommenen H-Fläche soll gleich dem Inhalt der wirklichen H-Fläche Gl. (71) sein.

fMw, _ i ht 8f J 91 9lJ

o    o

Setzt man in diese Gleichung für 91 den Wert aus Gl. (70) ein, so erhält man den Bei wert der H-Fläche

l² v

^ (xl³ — 21x³ -f- x⁴) dx =

2f l³

1591*

(71)

v 17 i 15 h²So Fo 16 ⁺ 16 f² 1 Fk worin s₀ den Wert der Gl. (69) darstellt.

Da der Wert F₀/Fk infolge des verschiedenen Ht sich gegen den unter II gefundenen unterscheidet, so muß Ht und F₀/Fk

gesucht werden. Der allgemeine Ausdruck für Ht lautet

2 Sazlst

Ht =

«EtFc2Sa-s

2Sa²s/EF

(72)

wobei entsprechend der Gl. (70) ist

17 f²l

91 = — — 4-15 h² ^

Fc-s₀

(73)

Für 2Sas im Zähler der Gl. (72) findet man bei Vernachlässigung des unwesentlichen Einflusses des Trägers und der Hängeseile und für \Jl = 1,01

2 Sas—t/sec²a dx= 1 |l-|--g- j -f⁻ ^    “i⁻

J =fr 2,021 [1 -j- 5,44 f²/l²]

16 (f/4)² f²

3 (1/2)2 + (1/2)

= 21 1 +

16 f²

3 1*

= s\

(74)

Durch Einsetzen der Werte der Gl. (73) und (74) in Gl. (72) wird

— aEtFk (l —

JPk< g^

Ht = aEtFc p- - s0 17/15 fn/h² + Fcs₀/Fk

(75)

wobei gesetzt wurde

s' _2,021 (1 -f- 5,44 f²/l²)_

s₀ 2,021 (1 -j- 8,2 f²/l²)    ¹ ’

was vor allem in Hinblick auf die Beweglichkeit von t zulässig erscheint (für 1/f = 10 ist — = 0,975).

s₀

Unter II war für die Bauart I gefunden worden Ht = aEtFk (1 — v).

In den unter II abgeleiteten Werten der Mt- und Qt-Flächen, F₀/Fk wird nur an Stelle von (1 —v) der Wert (1 — ¹⁷/i₆r) treten. Es ist also

3 pla

F₀ =

32ha₀

vAV 9

■)+i

3aEtFk (1 — ¹⁷/i₆v)f

4ha₀

(76)

Fk=e

(g/p+y) ak — aEt(l —

'[

(77)

F₀ 3 f Fk 4 ho₀

coj

+1— v

ak—aEt 1—

17

16

vWl+16f²/l²

(78)

(g/P + v)i/l + 16f ²/l²

faEt^l-^- vj

O ICO

Setzt man nun in die r-Gl. (71) für s₀/l und F₀/Fk die Werte der Gl. (69) und (78) ein, entwickelt nach 1/f, so erhält man:

-g Et(l—¹⁷/16v)] +7,95 aEt—3,85 [0,7 o₀f/h 1 jv+a Et(l —¹⁷/i₆r) NJ 0,7 o(t i/hl/v— a Et— [at— a Et(l— ¹⁷/i6 ^)]

+ 1/AH

64 a Et [1 — (1 —¹¹ / iß v) NJ

hierin ist

0,7 o₀ f/h 1/v — g Et — Nx [ak — g Et (1 — ¹⁷/i₆ v)]

(79)

l/r²(v —4/9)³+l —v (g/P+ ’')(! —¹¹M

Die Gleichung ist nicht viel von der unter II 12 ermittelten verschieden.

Wie dort kann hier der Nenner zur annähernden Bestimmung von v benutztwerden, seine Größe ist hier ungefähr 0,1; er ist in Abb. 18 dargestellt worden,wobeidiel/f=10 6 entsprechenden Werte herausgehoben wurden.

(Die strichpunktierte Linie bezieht sich auf die Untersuchungen unter III. 5).

Die nächste Abb. 19 gibt dann die wirklichen v-Werte, die .außerdem noch in der Übersicht 12 gegeben werden.

V/p-'si A ~

Up-ts

v-Osz

Al

Ar)

tr)

,'h(i

0,80

,V.

.v/

0.88

Abb. 18.

ITT

fh’3

O.s/o

II

0,78

0,80

0,82

0,8t

0,86

0.88

0,90

Abb. 19.

Übersicht 12. v- Werte (10000 v).

g/p =

1/f —    8    9    10    11    12    13    8    9    10    11    12    13

CO IQ CO

7574 7583 7590 7596 7602 7607 8165 8173 8180 8185 8188 8190 8190 8198 8205 8210 8215 8219 8566 8571 8575 8579 8581 8582 8501 8507 8511 8515 8518 8520 8770 8772 8773 8774 8775 8776 8690 8693 8695 8697 8699 8700 8897 8S99 8900 8901 8901 8902

g/P =

1/f =    8    9    10    11    12    13    8    9    10    11    12    13

co io cd

8641

8875

9002

9082

8648

8880

8654

8657

9005

9084

CO oo

8885

8659

9086

9008

9087

8887

8660

9009

9088

8888

8850

9010

9020

8856

9089

9111

9167

9024

8860

9114

9170

9026

8863

9116

9027

8865

9171

9117

9172

9028

8866

9118

9173

9029

9119

9174

2. Temperatur.

Wie unter III. 1 gezeigt wurde, ändern sich die für Bauart I gefundenen Mt und Qt-Flächen nur insofern, als an Stelle von (1—v) der Wert (1 — ¹⁷/i6 tritt. Man erhält also an Stelle der Gl. (25) und (51):

Mt-Fläche =

g/P + ^

pl³ (80>

12

Qt-Fläche =

a Et (1 — ¹⁷/iß v) j/1    16 f²/l²

_g/P + ^_

4 -°k    . ..    _ l

«Et (1 — ¹⁷/ie^)l/l + 16f²/l²

pl² (81)

In der Abb. 20 sind die Mt-Flächen für g/p = 1; 2; 3 und 1/f — 8; 10; 12 aufgetragen worden. Diese Linien sind annähernd

0, oo*oo

?/p fü-;|

Wl

SN

0,00200

Fläche.

MukiMihuIor

P'*

0,aa

0,30

0,32

0,31

Abb. 20.

Gerade, die sich im Punkte m/n = 0,9412; 0 schneiden. Dana ist angenähert

Mt-Fläche = (1 —¹⁷/mv) (0,0182 g/p -f 0,0161) pl3 Qt-Fläche = 3 (1 — ¹⁷/i6v) (0,0182 g/p -f- 0,0161) pl²

00 00

Für die maxM

ungen (16, 17, 50) wie unter II. Mit Berücksichtigung der Gl. (80) und (81) erhält man für die Gurt- und Wandgewichte

G0+u=21/h(l/27r² [4,5 v³-13,5p²-56,77*'+ (9v+1) ln 1000r-2,979]

. 1 — v

p~

und maxQp-Flächen gelten dieselben Gleich-

g/P + v

12

^pl² (84)

12 -°k/ .... ==—1

a Et (1 — ¹⁷/ie v) yi + 16 fa/la

(ilÄs + cot “)! 6^3[0,15 v3 + ⁽~⁵’³⁰⁹¹⁶ +lnl000»’)’’

y- pl² (85)

°0

Gd +v =

+ 0,1111-1,25v²] +

g/P + ^

4 —-—qy —i

aEt(l-¹⁷/i₆^) l/l+16f²/l²

(®W+cota)

für a — 45° wird

= 3.

a0

3. Zahlenmäßige Ermittlung (1er theoretischen Hauptträgergewichte.

(Bauart II.)

Wie bei der Bauart I werden für verschiedene Werte von g/p, 1/f und 1/h in den folgenden Übersichten und Abbildungen die theoretischen Hauptträgergewichte gegeben.

Vh'OOk

%>•

55i

Theo, vtisc lelfnitp/trä ^erge richte

Z,z

y/p-s

Multiplih

ator

Sii

lrh =bO

l/n

•60

Zp

ff

501

55/

5 5/

*s\

501

~5Ö)

1,8

10\

351 IV'

/7s.

1,6

-r

Tr

S-

IO

35f

^/.l\

1%

Li

tr

frV .5    6    7 tn-3 4    5    6    7 tn-3 4    5    6    7 Vti-3 4    5    6. 7

Abb. 21.

Hauffe.

co

g/p - Va

9 | 10    11    12    8    9    10

Übersicht 13. Gurte.

Multiplikator y/o₀ pl²

9    10    11    12    13    8

f/h =

1/f =    11    12    13    8

1,5622 1,7019 1,8418 1,2993 1,4687 1,6177 1,7773 1,9363 2,0955 1,4936 1,6775 1,8615 2,0451 2,2295 1,7004 1,9113 2,1228 0,3004 0,3195 0,3425 0,2103 0,2300 0,2501 0,2706 0,2912 0,3121 0,1990 0,2177 0,2370 0,2564 0,2761 0,1910 0,2095 0,2284

l,8626|2,0214|2,1838|l,5096|l,6887|l,8678|2,0479|2,2275|2,4076|l,6926|l,8952|2,0985|2,3015|2,5056|l,89l4|2,1208|2,3512

Übersicht 14. Gurte.

9    10

g/P = ¹

9    10    11    12    8

Multiplikator y/o₀ pl²

9    10    11    12    13    8

cD "cD

f/h =

1/f —    11    12    13    8

1,3418 1,4625 1,5836 1,1730 1,3177 1,4625 1,6069 1,7520 1,8976 1,3864 1,5589 1,7315 1,9041 2,0770 1,6059 1,8057 2,0057 0,2853 0,3076 0,3302 0,2031 0,2222 0,2418 0,2614 0,2819 0,3026 0,1937 0,2126 0,2321 0,2518 0,2717 0,1872 0,2053 0,2240

1,6271 1,7701 1,9138 1,3761 1,5399 1,7043 1,8683 2,0339,2,2002 1,5801 1,7715 1,9636 2,1559 2,3487 1,7931 2,0110 2,2297

Übersicht 15. Gurte.

co

05

Z = d/⁸

CO

ca

Multiplikator y/o₀ pl²

CD CD CD

IO

05

CO

CO

05

CO

CO

CO

S-

1,1789 1,2852 1,3917 1,0772 1,2102 1,3434 1,4770 1,6100 1,7438 1,2985 1,4597 1,6210 1,7824 1,9440 1,5226 1,7118 1,9008 0,2736 0,2949 0,3167 0,1989 0,2169 0,2358 0,2554 0,2748 0,2949 0,1901 0,2077 0,2260 0,2450 0,2641 0,1837 0,2011 0.2185

CD CD

1,4525)1 SöOl 11,708l| 1,276111,427111,5792| 1,7324) l,884S|2,0387|l,4886| 1,6674| 1,8470|2,0274|2,208111,7063| 1,9129|2,1193

10

1,8539

0,2171

[2,0710

1,6668

0,1994

1,8662)

g/p = 3

12

11

10

1,4852

0,1833

1,8829

0,2591

1,7266

0,2406

1,5701

0.2222

1,6685]

1,9672 2,1420|

g/p = v₈

Übersicht 16. Gurte.

13

12

11

10

1,6747 1,2577 1,4140 0,2904 0,1877 0,2046

1,5464

0,2707

1,4180

0,2512

1,2896

0,2318

1,5214| 1,6692| 1,817111,965111,4454| 1,6186| 1,7923| Übersicht 17. Wand.

9    10    11    12    8    9    10

11    12    13    8

Multiplikator yjo₀ pl²

13

12

1,1614

0,2130

1,0336

0,1955

1,3163

0,3103

1,2154

0,2892

1,3744|

1,2291

1,6266|

1,5046|

Multiplikator 7/cf₀pl²

9    10

f/h =

1/f =    11

1,1147

0,2686

Gr

Gt

1,3833]

f/h =

1/f =    11    12    13    8

0,3995 0,3992 0,3990 0,3732 0,3729 0,3726 0,3724 0,3722 0,3721 0,3604 0,3602 0,3600 0,3598 0,3597 0,3528 0,3527 0,3526 0,0410 0,0399 0,0395 0,0296 0,0283 0,0281 0,0277 0,0273 0,0270 0,0224 0,0218 0,0213 0,0210[0,0207 0,0179 0,0175 0,0171

|0,4405|0,439l|0,4385|0,4028|0,4017|0,4007|0,400l|0,3995|0,399l|0,3828|0,3820|0,3813|0,3808|0,3804|0,3707|0,3702|0,3697

Übersicht 18. Wand.

9    10

g/P = 1

Multiplikator y/o₀ pl²

9    10    11    12    13    8    9    10    11    12    8

P.-H

Ö iS

f/h =

1/f =    11    12    13    8

0,3735 0,3734 0,3733 0,3578 0,3576 0,3574 0,3572 0,3572 0,3571 0,3496 0,3495 0,3495 0,3495 0,3494 0,3446 0,3445 0,3445 0,0389 0,0385 0,0381 0,0286 0,0278 0,0272 0,0267 0,0264 0,0262 0,0218 0,0213 0,0209 0,0206 0,0204 0,0176 0,0171 0,0168

|0,4124|0,4119[0,4114|0,3864|0,3854|0,3846|0,3839|0,3836|0,3833|0,3714|0,3708|0,3704|0,3701 0,3698 0,3622|0,3616 0,3613

3*

co

LC

9    10    11    12    8    9    10

Übersicht 19. Wand.

Multiplikator //ö₀pl²

9    10    11    12    18    8

f/h =

1/f =    11    12    13    8

0,3541 0,3540 0,3510 0,3455 0,3453 0,3452 0,3451 0,3450 0,3150 0,3406 0,3405 0,3404 0,3404 0,3403 0,3376 0,3375 0,3374 0,0373 0,0369 0,0365 0.0280 0,0271 0,0265 0,0261 0,0258 0,0255 0,0214 0,0208 0,0203 0,0200 0,0198 0,0172 0,0163 0,0164

Oi+=

o o

0,3914|0,3909|0,3905j0,3735|0,3724|0,3717|0,3712|0,3708|0,3705|0,3620|0,3713!0,3607|0,3604|0,360l|0,3548|0,3543|0,3538

Übersicht 20. Wand.

g/p = 3

9 I 10 I 11    12    8    9    10

Multiplikator 7/o₀pl²

f/h =

9 I 10    11    12    13    8

1/f =    11 | 12    13    8

0,3459|o,3458 0,345810^3399 0,339s|o,3397 0,3397j0,3396 0,3396 0,3364 0,3363|o,3362 0,3362 0,3362 0,3343 0,3342 0,3342    1

o|o366 0,0361 0,0358 0,0275 0,0266 0.0261 0,0257:0,0254 0,0251 0,0211 0,0205|0,0200 0,0197 0,0194 0,0172 0,0166 0,0163

|0,382i

9    10

i—( C0 C0-CO 05 t- CO! C- IO Tl<

cf CO cf cf

1-H CO

05 t- CD 1—1 CO CO CO

cf cf cf cf

Übersicht 21. Gurte Wand.

Multiplikator y/o₀ pl²

f/h =

9 I 10    11    12    8

CI LQ —¹ O CO IO CD CO MhOO

cf cf cf cf

CD 05 00 CO GO CD 05 00 t- IO.TT

cf cf cf cf

CO CD 00 CO 00 CI 00 CO CD IO CO CO cf cf cf cf

O f 00 05 00 CO o ^ rH CO CO i-h.

cf cf cf cf

t- CO 05 ID C- Tt< CO c-CO CO.0,05.

cf cf cf 1-7

9 I 10 I 11    12    13    8

1/f =    11    12    13    8

ID CO 1—' CO

r- io uo o

O 05 00 CO

CO ---

l> 05 O O GO O CO 00 lO Tt⁴ CO

cf cf cf cf

C— 00 CD Cd CO t—⁴ HO 00

CDTj<C0-H

cf cf cf cf

00 CO LO tHiOOCO tP CO i-i O

cf cf cf cf

05 05 i—i I — CD CO UD GQ CO. O 05 00.

CO C I — —1

2,090

1,925

1,800

1,741

Cd CO O t— tO ifl o C5 t-^CD HO

i-H i-H —' H

CO 1-0 05 00 CO CO 05 O

CO CO o o cf cf cf cf

i—I Cd —1 CD CD t- 00 T-I 05 00:

cf cf t-T t-h

CO O CO O -f -r cd CO O 00 t-

cf cf —r -4"

~pr-H C0 CO

gp =

Die in der Übersicht 21 enthaltenen Werte sind in der Abb. 21 benutzt worden, um für 1/h = 35 ... 60 die Gewichte zu bestimmen.

Die Übersicht 22 gibt die in Abb. 21 gefundenen Werte.

Übersicht 22. Theoretische Hauptträgergewichte. Multiplikator y/o₀ pl².

x/₂

g/p =

1/f =    8    9    10    11    12    13    8    9    10    11    12    13

35

40

i/n_ 45 1/h— 50

55

60

CD CD CD t- 05 d wdCOrt-lOC-d' d' d' d~ d d~

f'* C— CO O CO CO OHdi-lOCD d' d" d" d’ d" d~

00 C5 .-( CO CD 05 05 0 d^ CO Tt^ LO i-4 d Cvf d" d" d

Od^t>oco

05 o —¹ d LO r-T d' d" d~ CQ d

CO LO CO ^ 00 OO OS_ © d^ CO Tp

1-4 1-4 d” d d' d

05 CO 05 t- C- C0 LO CO CD t- 00 05 d of d' d' d' d' '

LO —I C- CD t- 05 LO LO CD t- G0 d d~ O) d~ d' cvf

d 05 t- t~ CO O CO CO t^lO CD 00. d OJ d" d~ d

05 t— t— CO O d 1-41 d CO tJh CD tr-d d' d' oi d' d"

t— t— 00 C5 d LO O i—i d CO LO CD d' d~ d d~ C-f d'

D* 00 Ö5 rH lO O 05 O i-i CO TP CD r-T d' of oi d' d'

CD CO CD 00 d CO Tt< LO CD t-d~ d d' Ol d* d

g/P =

1/f =    8    9    10    11, 12    13    8    9    10    11    12    13

35

40

j /v,_ 45

i/h — 50

55

60

t-H CO LO 00 I TH 05

t-4 d d~ d d~ d

CD 00 O CO CD O GO C5 t-H <M CO lO i-T r-T d ffd' d d

r-H CO CD 05 d CD 00 Ol O CO i-T \-T oi d" cd

CD 05 03 IO GO d l> CC © 44 Cvl^ Tt t i—t d d d d

d t- O 00 d_co_

t—< '—H i-H d d d

r— o co t— —- io

cd^oo cs © d co

l—I    I 1—4 d d d

Hd^CDDd O T-H d CO CD

d~ cJ d d d' d~ LO CD 00 O CO t-r-T d' d' d d' d

05 i—l CO CD 05 d Cß O i—- d CO LO -H d' d~ d~ d d'

co io oo i—t r— 00 05 O d CO i-T r-T d' d d' d"

00 O CO CO 05 d t - 05    -    d

i—¹ i-t d d d CM

CO LO 00 rH LO 05 t- 00 05 t-i d CO

H    1-4 d d' d'

Ein Vergleich mit den Hauptträgergewichten der Bauart I, Übersicht 11, zeigt, daß die Gewichte des Systems mit 2 Seitenöffnungen rund 20 Hundertstel größer sind. Z. B. g/p — 2,

1/f = 10, 1/h = 50 :

2,21

1,84

1,2.

4. Näherungsformeln.

Wie bei der Bauart mit einer Öffnung, so wurden auch hier angenäherte Gleichungen für v und damit für die Hauptträgergewichte gefunden. Für v lautet die Gleichung — die Asymptote ist hier ¹⁶/₁₇ = 0,9412 —

(86)

0,0962 (l/f)°-15tj (1/h)¹-²¹ (g/p)⁰-⁶⁶'

5. Einfluß der Änderung der fest angenommenen Werte fft, a₀ und aEt.

Um die Zahl der Veränderlichen zu vermindern, waren bei der Ermittlung von v, dem Beiwert der H-Fläche, crk die zulässige Kabelspannung zu 5,0t/qcm, o₀ die zulässige Beanspruchung des Versteifungsträgers zu 2,5 t/qcm, a = 0,000012, E₀ = Ek = 2150 t/qcm, t = 38,8° C (a Et = 1) angenommen worden. Bei irgendeiner Abweichung dieser Werte wird sich die Größe von v ändern und damit auch das Gewicht.

Bei der unter VI als Beispiel gegebenen Manhattan-Brücke (Bauart II) ist g/p = 1,5, 1/f = 10 und 1/h == 60. Die zulässige Kabelspannung stimmt mit der von uns angenommenen überein. Dagegen sind von verschiedenem Werte

Oq = 2,7t/qcm; aEkt == 0,00001188-2150-30,6 = 0,78;

Ek

1,05.

Setzt man den angenäherten v-Wert der Gl. (86) in die angenäherten Gleichungen (18), (48), (80) und (81) ein, so erhält man

21/h [o,01427 +

Gd+v=(^^+c°ta)|o,1082+

0,0641 + 0,0182 g/p 0,0962 (1/f)⁰.¹.⁵⁶ (l/h)+i (g/p)⁰’⁶⁶ J a₀

0,1780 + 0,0546 g/p 0,0962 (l/f)°-is6 (i/h)i,2i (g/p)0.«Ja₀

für a = 45° wird: (g-^2a ~f" co^a) — 3.

Durch Addition beider Gleichungen wird das gesamte theoretische Hauptträgergewicht

G = [o,028541/h + 0,3246

21/h(0,0641+ 0,0182g/p) +3(0,1780+ 0,0546g/h)l y 0,0962 (1/f)⁰-¹⁵⁶ (1/h)¹’²¹ (g/p)⁰-⁶⁶

G₀ -j- u —

-^-pl² (87)

(88)

^pl²

pl². (89)

2150 E₀ ~~ 2040

Man erhält v am einfachsten aus der Darstellung des Nenners (Abb. 18) der v-Gleichung (79). Der Nenner lautete

N = (0,7 a₀f/hEk/E₀ 1/v — aEkt) — N± [ok — aEkt (1 —¹⁷/₁₆ v)] 1/v² (v — 4/9)³ +1 — v

(g/P + ^M¹— 'Vie»')

Die hyperbelförmige Kurve (Abb. 18) ändert sich nicht, der verschiedene Wert aEkt hat auf sie nur einen verschwindend kleinen Einfluß, da aEkt(l— ¹⁷/ier) gegen °k klein ist. Dagegen verschiebt sich die Gerade in die strichpunktierte Lage (Abb. 18). Es ergibt sich, die Nachrechnung durch Gl. (79) bestätigt es, v= 0,9075. Mit diesem Wert findet man aus den Gl. (86) und (87)

Go + u = 2,112 — pP

Gd + v = 0,353    „

= 2,465 y~ pl².

Die Übersicht 22 hätte für die Verhältnisse der Manhattan-Brücke gegeben

G = 2,520 — pl²,

welcher Wert also um rund 2 Hundertstel zu groß wäre. Wenn man berücksichtigt, daß der Ausführungsbeiwert nicht genau feststeht, so dürfte man bei nicht zu großen Abweichungen der bei der Ausmittlung fest angenommenen Größen die in den Übersichten gegebenen Werte als genau genug annehmen.

IV. Theoretische Gewichte von Kabel und Hängeseilen.

1. Kabel. Der Kabelquerschnitt war für die Bauart mit einer Öffnung nach Gl. (24)

Fk =

(g/P + y)|/l + 16f2/l² pH

ok — aEt(1 — v) y 1 _|_ 16f»/l* 8f

für die Bauart mit Seitenöffnungen nach Gl. (77)

Fk =

__(g/P + y)l/l + 16 f²/!²

ok —aEt(l —¹⁷/₁₆v)l/l + 16f²/l² 8f

Nimmt man v = 1, entspr. v — lö/₁₇, an — der Fehler beträgt weniger als ein Hundertstel, da «Et(l — v) f/l -j-16 f¹²/l² klein gegen ok ist —, so wird für beide Fälle

(g/p + ^i + ief²/!² pl2

Fk =

8f

Ok

(90)

Die Länge des parabelförmig angenommenen Kabels zwischen den Pilonen (wir betrachten wieder nur die Mittelöffnung) beträgt

L = 1 (1 —J— 8/3f¹/l¹),

dann wird sein Gewicht

Gk = Fk L • Y = 1/81/f (g/p + 1) y 1 + 16 f!/l¹ (1 + 8/3 f+la) ^ pl².

0k

Für \/1 -j- 16 f¹/'l¹ (1 —8/3 f ¹/l'¹) kann man, genau für 1/f = 10, auf 4 Stellen genau für die Nachbarwerte, setzen (1-f- 10,575f¹/l¹), so daß wird

g/P +¹

(1/f + 10,575 f/1) — pl¹.

0k

In der folgenden Übersicht sind für g/p = 1; 2; 3 und für 1/f = 8 bis 13 die Gewichte gegeben.

Gk

(91)

Übersicht 23. Theoretisches Kabelgewicht (zwischen den Pilonen). Multiplikator yjo^ pl¹

1/f

10

11

12

13

g/P — 2

rH CD CO 05 CO CO CD

cm' co

CK CO CO

OODCT com*. 00 05 ^

■cH CD CO CD Tl¹ CM C— t—I IC5 cm' Tjl US

CK CO COrf^CD 00 CD CD mCTO

O O CM CO -t1 CM 00 CO TjT CO~

Ci Ol 00 CD i—‘ »f» O OO CT -M O CO

V. Günstigste Verhältnisse von Pfeil- und Trägerhöhe.

1. P f e i 1 h ö h e. Beim Entwürfe einer Kabelbrücke mit Versteifungsträger kommen zwei Größen, die Pfeil- und die Trägerhöhe, in Betracht. Um das in bezug auf die Kosten günstigste Pfeilverhältnis zu erhalten, müßte die Summe der Kosten von Kabel, Hängestangen, Pilonen und Verankerung ihren Kleinstwert erreichen. Ohne Berücksichtigung der Verankerung gibt Häseler als günstigstes Pfeilverhältnis 1/6 an.³) Mel an leitet eine Formel ab, in der die Stützweite enthalten ist. In dem von ihm gegebenen Beispiel ist eine Stützweite von 100 m gewählt, das günstigste Pfeilverhältnis beträgt dann 1/9.⁴) Bei der Wahl einer dem Trägersystem zugehörigen Stützweite ergibt sich ein gleiches Ergebnis wie bei Häseler. Die von letzterem für ein System mit Rückhaltketten gegebene Berechnung soll auf ein solches mit Seitenöffnungen angewendet werden. Wir betrachten Kabel und Hängeseil gewicht der halben Mittelöffnung -f- Gewicht der halben Pilone, also ein Viertel der ganzen Brücke. Kabel- und Hängeseilgewicht wurde unter IV gegeben. Der halbe Auflagedruck auf die Pilone beträgt

S/2 = Htg a₀.

Mit

— wird

1    nl²    4 f

g (g/p + i) y" und tga =

ao

S/2 = ~ (g/p -f- 1) pl und das theoretische Gewicht mit der Höhe f l/2f/l(g/p + l)f pl»

Bedeuten

kk, kz, kp die Ausführungsbeiwerte von Kabel, Hängeseilen und Portal

%k, «z, die Kosten in M/t von Kabel, Hängeseilen und Portal,

so betragen die Kosten für ein Viertel der Brückenlänge unter Einsetzung der unter IV für Kabel und Hängeseile gefundenen Werte

Ki/₄ = (g/p + l)ypl²{*k.kk-l/16 (1/f + 10,575f/1)

¹

Hängeseile. Das Gewicht, welches die Hängeseile zu tragen haben, beträgt, wenn für 1 lfd. m g das Gesamtgewicht, gk das Kabelgewicht und p die Verkehrslast bedeuten,

(g — gk + pGl-

Man darf angenähert setzen gk = 0,3 g und v = 1, vor allem da das Gewicht der Hängeseile verhältnismäßig gering ist. Denkt man sich ferner die Seile aufgelöst zu einer Scheibe zwischen Kabel und Träger, die Ansichtsfläche derselben ist 1/3 fl, so wird das Gewicht der Hängeseile

i fl (0,7 g + p)i = 11 (0,7 g/p + l)i pl» (92)

das in der Übersicht 24 dargestellt wird.

²

Übersicht 24. Theoretisches Gewicht der Hängeseile. Multiplikator y/oz • pl¹

³

)    Häseler, Die eisernen Brücken 1908 S. 830.

⁴

)    Handb. d. Ing,-W. 1906 5. Abt. S. 12.

(93)

+ *zkz il^ + ^‘kp4l

Nimmt man an

%k — 2 %z — 2    ? k^ — i/ 4 kz — i/2,5 kp und

<Tk - 2 üz - 2 G₀ ,

differenziert Gl. (93) nach (f/1), so wird

dK

10,575

16 (f/1)

16

+12,5.1.2+1.42

f/1 =1/7.

oder

Der kleinere Wert als bei dem System mit 1 Öffnung kommt daher, daß hier die Kabellänge größer ist.

Die Ergebnisse dieser Ermittlungen sind jedoch nicht anwendbar, da derartig große Pfeilhöhen die Standsicherheit verringern und außerdem in ihrer Linienführung das Auge wenig befriedigen. Als obere Grenze kann man den Wert 1/8 bezeichnen; von den neueren großen Kabelbrücken weisen die Williamsburg-Brücke 1/9, die Manhattan-Brücke 1/10 Pfeilverhältnis auf. Der letztere Wert dürfte in praktischer als auch in ästhetischer Hinsicht entsprechen.

2. Träg er höhe. Die Höhe des Versteifungsträgers beeinflußt nicht nur sein eigenes Gewicht, sondern verändert auch das Gewicht der Quer- und Windverbände. Von der Wirkung verschiedener Felderteilung wird abgesehen, da für diese Untersuchung eine bestimmte Fahrbahn angenommen werden müßte, eine eingleisige Eisenbahnbrücke oder eine Straßenbrücke von 8 oder 10 m Breite. Das behandelte System jedoch, das nur bei großen Verhältnissen am Platze ist, dient dann auch zur Überführung verschiedener Verkehrswege.

Unter der günstigsten Trägerhöhe soll eine solche verstanden werden, welche das Gewicht des Versteifungsträgers (Hauptträger Verbände) zu einem Kleinstwert macht. Diese Höhe kann dagegen insofern ungünstig sein, als dann, wenn diese zu groß, der Träger einen großen Teil der Verkehrslast selbst trägt, während er nur zur gleichmäßigen Verteilung und Übertragung an das Kabel dienen soll. Bei zu geringer Höhe würde die Beweglichkeit in lotrechter Richtung zu groß werden.

Für das Gewicht der Querbände gibt Winkler¹) den Wert 0,0026 bh (t, m), worin b die Breite und h die Höhe der Brücke

bedeuten. Zu diesem Wert sollen 50 Hundertstel zugeschlagen werden als der Teil des Wi n d verbandes, der von der Trägerhöhe abhängig ist.

Da es sich bei dieser Untersuchung um die wirklichen Gewichte handelt, müssen die theoretischen Gewichte, für welche die Näherungsgleichungen genommen werden, mit einen Ausführungsbeiwert multipliziert werden, der für die Gurte konstant und zu 1,2, für die Wand jedoch als Funktion der Höhe angenommen wird. Bei wachsender Höhe werden Querschnittvergrößerungen wegen der Knicksicherheit und Hilfsstäbe bei der Wand notwendig. Dieser Beiwert wurde zu (h/7,5 + 1) gewählt; es ergibt sich also bei 7,5 m Höhe der Wert 2.

Für das System mit 1 Öffnung ergibt sich dann das Gewicht von Hauptträger + Verbände zu

G = l,2G0+n + (h/7,5 + l)Gd + v + 0,0039 bhl und mit den Gl. (67) und (68)

0,0590 +0,0185 g/p

0,1013 (l/f)°>¹⁸⁹ (1/h)¹’²⁴ (g/p)0,63

G = j 1,2 21/h [o,01195 +

0,1703+ 0,0555 g/p 1) y 0,1013 (1/f)⁰’¹⁸⁹ (l/b)¹-24(g/p)0,63 j ao P¹

+(^+¹)³[°’¹⁰¹⁴ +

+ 0,0039 bhl.

Setzt man p = p₀ b und differenziert nach 1/h, so erhält man

dG

= 0 == 0,02868 —

d (1/h)

0,576 (0,0590+0,0185 g/p) +

24,6 (1/h)²

3,72(0,1703+0,0555g/p) , 0,896(0,1703+0,0555g/p)

1/h

(1/h)'

0,0039 • ö₀

0,1013 (l/f)0,189 . (l/h)l,24 .(g/p)0,63

(94)

7 ■ Po (1/h)²

Für z. B. g/p = 1,5; 1/f = 10; o₀ — 25000t/qm; y = 7,9t/cbm; p₀ = 0,5 t/qm wird

0 = 0,02868 —

24,6 (1/h)²    0,202 (1/h)¹»²⁴

(o,0500

0,227

0,943

1/h

24,7

(95)

Für 1 = 300 m wird

(1/h)²

(1/h)²

für 1 = 600 m

1/h = 40, 1/h = 46.

Für das System mit Seitenöffnungen erhält man ähnliche Gleichungen

dG

0=0,03425-

4 (1/h)

0,504(0,0641+0,0182g/p) +

23,1 (1/h)²

3,63(0,1780+0,0546 g/p) 0,884(0,1780+0,0546g/p)

1/h

(1/h)²

0,0039 cr₀

0,0962 • (l/f)0,156₍l/h)l,21 . (g/p)0,66

(96)

7 ' Po ' (1/h)²

und mit denselben Werten wie vorher

0 = 0,03425 —

23,1 (1/h)²

0,0461 -f 0,943/1,/h -f 0,230/(l/h)²    24,7

(97)

Für 1 = 300 m wird

0,180 (1/h)¹»²¹

(1/h)²

für 1 = 600 m

1/h = 38

1/h = 44.

Die Ergebnisse für beide Bauarten weichen nur wenig voneinander ab, für die zweite ergibt sich eine größere Höhe als günstig, da das Trägergewicht größer ist. Der Mittelwert ist 1/42. Dieses Verhältnis wurde bei der Williamsburg-Brücke angewendet, während bei der Manhattan-Brücke 1/60 gewählt worden ist. Man dürfte als obere Grenze 1/40 und als untere 1/60 bezeichnen. Bohny⁴) bestimmt durch einen etwas willkürlichen Vergleich mit einem Balkenträger die Höhe zu 1/45 1. Schließlich haben diese Betrachtungen nur theoretisches Interesse, da für die Ausführung andere Gesichtspunkte, wie die bereits erwähnte Steifigkeit, oder die Lage zweier Fahrbahnen übereinander, wie bei der Manhattan-Brücke, in Frage kommen.

VI. Die wirklichen Gewichte.

Die wirklichen Gewichte, die bereits im vorigen Abschnitt benutzt wurden, erhält man durch Multiplikation der theoretischen Gewichte mit einem Ausführungsbeiwert k, der die GewichtsVermehrung durch Laschen, Knotenbleche, Vergitterung u. dgl. angibt und der sich für die Hauptträger zwischen 1,2 und 1,5 bewegt. Der Kabelbeiwert kann gleich 1,02 angenommen werden, der Beiwert der Hängeseile, wenn man die Schellen und sonstige Befestigungsteile dazu rechnet, zwischen 2,5 und 3,5.

Um die theoretischen Gewichte aus den Tabellen entnehmen zu können, muß man den Wert g/p haben, g setzt sich zusammen aus dem Gewicht von Kabel, Hängeseilen, Hauptträger, Fahrbahn und Verbänden. Das Fahrbahngewicht kann genau, das Gewicht der Verbände annähernd berechnet werden. Bedeuten

tk, Cz, th die Beiwerte* der theoretischen Gewichte von Kabel, Hängeseile, Hauptträger,

kk, kz, kh die Ausführungsbeiwerte von Kabel, Hängeseile, Hauptträger,

Ok, oz, o₀ die zulässigen Spannungen von Kabel, Hängeseile, Hauptträger,

gf Fahrbahn -j- Verbandgewicht für 1 Hauptträger und 1 lfd. m, so erhält man für das Gesamtgewicht (auf 1 Hauptträger)

(98)

g = kk-^k’^/ök pl 4~ kz-£* • y/oz pl -|- kh-Ch’^/^o pi 4~ gf oder mit

0k = 2az = 2öo; kk=l,02; kz = 3,0; kh=l,35

y — 7,9 t/cbm (durchschnittlich für Draht und Nickelstahl) o₀ — 25000 t/qm

g/p = [0,51    + 3,0 Cz + 1,35 Ch]

(99)

gf

3165 ' p

Nach Berechnung von gf, Entnahme der £-Werte für die gewählten Größen 1/f und 1/h und für den geschätzten Wert g/p, wird man nach höchsten zweimaligen Durchrechnens der Gl. (99) die richtige Größe von g/p finden und darauf die t-Werte nochmals den Übersichten entnehmen.

Als Beispiel soll die bereits erwähnte Manhattan - Brücke in NewYork gewählt werden.²) Das Bauwerk ist eine durch 4 Träger, die an 4 Seilen hängen, versteifte Paralleldrahtkabelbrücke. Die Stützweite des Trägers der Mittelöffnung beträgt 441 m (1446,68'), der Seitenöffnung 218 m (713,5'). Der Pfeil der Mittelöffnung, auf die Stützweite bezogen, ist 44,5 m (145,4'), die Trägerhöhe 7,3 m (24'), also 1/f 4= 10 und 1/h 4= 60. Der Rechnung zugrunde gelegt wurde g = 9,3 t/m (¹/₄ 25000 lbs/f) und p = 5,95 t/m (¹/₄ 16000 lbs/f), das gibt g/p 4= Die ausgeführten Gewichte betragen:

1,54 t/m    (1032 lbs/f)

1 Kabel

Hängeseile 1 Hauptträger

0,29 „    ( 198 „ )

2,56 „    (1717

1/4 (Fahrbahn-Verbände) 4,21 „    (2832

8,60 t/m    (5779 lbs/f)

Die zulässigen Beanspruchungen sind

ök = 48 000 t/qm (68 300 lbs/sq. i nicht zulässige, sondern

wirkliche Spannung)

oz = 21000 „    (30 000

o₀ = 27 000 „

Mittel

40000 37 000

für Zug \

„ Druck/.

Für die Hauptträger war wegen der Abweichungen der in der Rechnung fest angenommenen Werte unter III, 5 'Q = 2,465 (statt 2,52) gefunden worden. Für das Kabelgewicht gibt Übersicht 24 den Wert £k = 3,455, für die Hängeseile Übersicht 25 ■£z = 0,0684. Dann wird

gk = kk • £k • — pl = 1,02 • 3,455

7,9

tfk

48000

•5,95-448 = 1,54 t/m

7,9

ipi =

Oz

= k* • ft ■ pl = 1,35 • 2,465    • 5,95 • 441 = 2,56 t/m.

Die Werte stimmen mit den Gewichten überein. Trotzdem die Träger der Manhattan-Brücke nach der Theorie von Melan berechnet worden sind, nicht nach der der Ableitung zugrunde gelegten Methode, lassen sich die Ergebnisse der Ableitung auch hier verwenden.

gz — kz •    •

3 ■ 0,0684

48000

•5,95-441 = 0,29 t/m

gh

VII. Schlußbemerkung.

Die Näherungsgleichungen für die theoretischen Hauptträgergewichte (als Ausführungsbeiwert kann man 1,35 annehmen) sollen als Ergebnis der Arbeit wiederholt werden.

Für die Bauart mit 1 Öffnung ist Gl. (64)

[ 0,023901/h-f 0,3042

^-pl²,

öo

21/h (0,0590 + 0,0185 g/p) -f 3 (0,1703 + 0,0555 g/p)] y 0,1013 (l/f)⁰-¹?⁹ (1/h)¹»?⁴ (g/p)⁰-⁶³

Gz =

1/f

10

11

12

13

g/P = 2

0,0709

0,1000

0,1291

0,0630

0,0889

0,1150

0,0567

0.0800

0,1033

0,0515

0,0727

0,0940

0,0473

0,0666

0,0861

0,0436

0,0615

0,0795

für die Bauart mit Seitenöffnungen Gl. (89)

G = 0,028541/h-f 0,3246

21/h (0,0641 -f 0,0182 g/p) + 3 (0,1780 + 0,0546 g/p) y

^-pl². °o

Schließlich sei noch auf die Formeln für den Beiwert der H-Fläche hingewiesen, die für den ersten Rechnungsgang beim Entwerfen benutzt werden können. Für die Bauart I ist nach Gl. (61)

0,0962 (l/f)⁰’¹?⁶ (1/h)¹-?¹ (g/p)⁰'⁰⁶

v—1------

0,1013 (1/f)⁰-¹?⁹ (1/h)¹?⁴ (g/p)⁰-⁰³

für die Bauart II Gl. (86) v = 0,9412 —

0,0962 • (l/f)°>¹⁵⁶ (1/h)¹-?¹ (g/p)⁰-⁶⁶'

^ff.ehniS^

ITT,

y*

«4

■iJÜi ,.

<■

iv

WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GLÖWNA

W

,. inw.

32253

%

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

w»

4^

rn

w rv >

» 9

1

• 1

t'l

£

:}

r.”

rt

• *

v

*

*>4,

fr

*

i

. T

X M *

# *

t i ^

*

>*>►' v ■- X < h j v-*L,    & ••    \ V*

¹ #i

-V^ 'K />

*ci

Biblioteka Politechniki Kiakowskiei

.W«

*

100000299724

■ iMw. 1

MB»-

¹

) Winkler, Die Querkonstruktionen der eisernen Brücken S. 451.

²

) Die Werte verdanke ich Herrn L. Moisseiff, Engineer in Charge, Department of Bridges, City of NewYork.