Einheitliches Verfahren zur Bemessung einfach und doppelt bewehrter Platten und Rippen in Eisenbeton.

Von

Ingenieur Leopold Herzka,

Bauoberkommissär der k. k. Nordwestbahndirektion in Wien.

Wien 1912.

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Einheitliches Verfahren zur Bemessung einfach und doppelt bewehrter Platten und Rippen in Eisenbeton.

Tabelle X.

Einheitliches Verfahren zur Bemessung einfach und doppelt bewehrter Platten und Rippen in Eisenbeton.

Von

Ingenieur Leopold Herzka,

Bauoberkommissär der k. k. Nordwestbahndirektion in Wien.

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Wien 1912.

Sonderabdruck aus der „Österreichischen Wochenschrift für den öffentlichen Baudienst“, Heft 29 und 30, Jahrgang 1912.

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Akc.

ie vielfachen wirtschaftlichen Vorteile, welche die Verwendung des Eisenbetons in fast allen Zweigen dos Bauwesens zeitigte, die zahlreichen dem Ingenieur gebotenen Möglichkeiten, durch dessen Benützung die schwierigsten Aufgaben konstruktiver Natur in eleganter und bislang kaum gewagter Weise zu lösen, endlich die aus der Herstellungsart dieses Baustoffes unmittelbar entspringende Eignung desselben, den — in jüngster Zeit selbst bei Nutzbauten — gestellten Forderungen nach künstlerischer Durchbildung der Bauwerke ohne sonderlichen Kostenaufwand gerecht werden zu können, lassen es begreiflich erscheinen, wenn die vor ungefähr einem Jahrzehnt eingesetzte wissenschaftliche und versuchstechnische Arbeit, zum Zwecke der Erforschung und Klarstellung der bautechnischen und baumechanischen Eigenschaften des Eisenbetons, bis zum heutigen Tage nicht nur anhält, sondern mit unverminderter Kraft auch weiter geführt wird.

Die derart gewonnenen Ergebnisse, im Vereine mit den aus der Praxis geschöpften Erfahrungen, bilden in ihrer Gesamtheit die Grundlagen für die Abfassung der seitens der einzelnen Regierungen jeweils hinausgegebenen Vorschriften für die Berechnung, Durchbildung und für die Herstellung von in Eisenbeton auszuführenden Bauwerken. Man kann mit gutem Rechte behaupten, daß die ersten, nur unter dem Zwange der Verhältnisse erlassenen Vorschriften, deren Härte seitens der beteiligten Kreise oft unliebsam empfunden wurde, bereits durchwegs durch neuzeitliche ersetzt sind und daß in denselben der Fülle der auf dem Sondergebiete des Eisenbetons gesammelten Erfahrungen theoretischer, versuchstechnischer und praktischer Richtung in mehr oder weniger glücklicher Form Ausdruck geliehen wird.

weil

Die im Jahre 1911 erschienenen österreichischen Vorschriften über die Herstellung von Tragwerken aus Betoneisen oder Stampfbeton schaffen gegenüber den aus dem Jahre 1907 stammenden wesentliche Erleichterungen; die zulässigen Inanspruchnahmen des Betons auf Druck und des Eisens auf Zug (bei Biegung) sind jedoch für die Berechnung von Straßenbrücken beibehalten worden, während für Hochbauten gewisse, für die Praxis allerdings wenig belangreiche Erhöhungen der früheren Spannungswerte zugelassen werden. Inwieweit in diesem Belange den mehrfach geäußerten Wünschen der Fachwelt entsprochen wurde, mag hier außerhalb des Rahmens dieser Untersuchung gelegen — nicht weiter erörtert werden; jedenfalls läßt aber das Festhalten an den bezüglichen Bestimmungen der älteren Vorschrift vermuten, daß die Schöpfer der nunmehrigen Vorschrift das gegenwärtig zur Verfügung stehende Erfahrungsmaterial nicht als ausreichend befunden haben.

um daraus die Berechtigung für weitergehende Erleichterungen in den zulässigen Spannungswerten ableiten zu dürfen.

Wie dem auch sei, die Praxis sieht sich innerhalb weniger Jahre wieder bemüßigt, ihre auf bestimmte Spannungswerte abgestimmten Formeln entsprechend abzuändern, eine Tatsache, welche von den Konstrukteuren sicherlich nicht angenehm empfunden werden dürfte.

In der folgenden Untersuchung wird nun der Versuch gemacht, Dimensionierungsformeln mit unbeschränkter Gültigkeitsgrenze hinsichtlich der gestatteten oder gewünschten Inanspruchnahmen von Beton und Eisen aufzustellen und die gewonnenen Ergebnisse zum Zwecke der leichteren Anwendung zu tabellarisieren; hiedurch glaubt Verfasser ein den Bedürfnissen der Praxis in weitestem Maße entsprechendes Hilfsmittel geschaffen zu haben, dessen Brauchbarkeit auf absehbare Zeit hinaus verbürgt erscheint.

Die Grundlagen für die angestrebte Lösung wurden vom Verfasser bereits an anderer Stelle *) entwickelt; die Auswertung der Ergebnisse erfolgte jedoch nur in Anlehnung an die österreichischen Vorschriften vom Jahre 1907 für Zwecke des Hochbaues. Nachstehend soll daher ein weiterer Ausbau versucht und insbesondere

gezeigt werden, daß die gewonnenen Formeln tatsächlich geeignet sind, den weiter oben gestellten Bedingungen zu entsprechen.

Für die Berechnung einfach bewehrter Platten- und Rippenbalken bestehen folgende zwei Gleichungen [Gleichung d‘) und e‘) der letzterwähnten Veröffentlichung]:

100 m , 10 ß³

(Pez) =

10

(ß-S)²(ß + 2S)

h‘² sez

9 '(1-ß)

10 ß² - (1 — w) (ß — S)²

(1-ß)

• • 1),

(1 — ß)

2),

welche mit t: = 1 beziehungsweise § = ß in die nur für Platten gültigen Werte:

Pez

100 m . 10

(ä³

h<2 sez

9 ‘(1-ß)

10,

10

Pez ~ - •

3 (1 — ß)

übergehen; hierin bedeuten, soweit die Bezeichnungen nicht der Textfigur 1 zu entnehmen sind:

20

100 (fez)

bh‘

den auf die Fläche bh‘ bezogenen Bewehrungsgehalt, wobei die gesuchte Lösung immer an die gleichzeitige Befriedigung der obigen

M

Gleichungspaare gebunden ist; m ~ — das auf die Breiteneinheit des

0 „Beton und Eisen“, VIII. Jahrgang, Heft VII, „Dimensionierungsformeln für doppelt bewehrte Betonbalken“ und „Österr. Wochenschrift für den öffentlichen Baudienst“, 1910, Heft 9 und 10, „Dimensionierungsformeln für einfach und doppelt bewehrte Betonplattenbalken“.

Trägers reduzierte äußere Moment;

n Sbd

• . 3),

sez —{- nsbd

Ee

worin 11 = 15 = —- das Verhältnis der Elastizitätsziffern, sez und sbd Eb

die gestatteten oder gewünschten Inanspruchnahmen von Eisen und

Beton bedeuten; endlich ist 7: — —- und S = —.

b    h‘

Ein besonderer Vorteil der obigen Grundgleichungen besteht darin, daß deren Anwendung, wie am Schlüsse an Beispielen dargelegt werden wird, die vorherige Feststellung der Nullachse überflüssig macht¹).

•>

a'

V.

____

®—9_*L>

______Äs.

•*

Figur 1.

Der Gleichung für {p'ez) kommt eine besondere Bedeutung zu; dieselbe stellt fiir ein durch die Verhältnisse 7r und 8 gekennzeichnetes Profil den einem gegebenen oder angenommenen „ß“ zugeordneten „idealen Bewehrungsgehalt“ dar²); tatsächlich läßt sich die in dem mehrerwähnten Aufsatze [in der Fußnote x) an zweiter Stelle genannt] für den idealen Bewehrungsgehalt (jO abgeleitete Beziehung C;

( Pez)

x) Die Erbringung des Spannungsnachweises erfordert jedoch stets die vorherige Festlegung der Nullachse; wie dies in einfachster Weise erfolgen kann, wird weiter unten gezeigt. [Siehe Gleichung 26) und 26 a).]

²) Diese Bedeutung kommt auch der für Platten gültigen Gleichung

für p’’z zu.

Zum Unterschiede von den für Platten gewählten Bezeichnungen sollen dieselben, im Falle es sich um Bippenbalken handelt, in Klammer (.) gesetzt werden.

mit Einführung der den einzelnen Festwerten zukommenden Ausdrücke in Gleichung 2) überführen, so daß also ist:

(Pe'z) = Ob)-

Man ist demnach in der Lage, für ein bekanntes 7C und 8 und für ein beliebiges ß sofort (Vj anzugeben, ohne Rücksicht auf die erst zu ermittelnden wahren Abmessungen eines Profils. Gleichung 2) läßt auch eine einfache Deutung zu; denkt man sich das in Textfigur 2 dargestellte Grundprofil von der Breite 6 = 1

(Pes) (/«)

und der Höhe h‘ — 1 mit

a)    %■

_______...........

100 bhf

bewehrt, so ist es das

6)

^b!

£......wo......2

,__y.........

7-/?

facj) _(f*t)

MO Jy.hi

7-A-.

•/

*..........• »•

4-/4;    /

v-

V 7*4? s9.....ioo.

. £____

Si

Figur 2.

statische Moment dieser auf die Flächeneinheit bezogenen «-fachen Eisonbewehning, welches dem statischen Momente der Betondruckzone gleich ist. Mit n = 15 gilt nämlich:

(ß ~ *)

= 15 — (1 - ß), 100v r

woraus unmittelbar Gleichung 2) resultiert. Da nun wegen Gleichung 3) auch:

si,d

T3D

4),

«(1 — ß)

so folgt daraus, daß der Bewehrungsgehalt auch dann noch konstant bleibt, wenn bei gegebenem ß die Inanspruchnahmen von Eisen und Beton dem durch Gleichung 4) ausgedrückten linearen Gesetze folgen.

Um für ein gegebenes äußeres Moment die erforderlichen Quersclinittsahmessungen bestimmen zu können, muß Gleichung 1)

®ez

als weitere Bedingung herangezogen werden; wir schreiben dieselbe in der Form:

(pU)

100 m

h‘²

HA)

5).

Darin bedeutet:

10 ß3 9 'l - ß

10

9 ⁽¹“W)

(ß " S)² (ß + ^ $)

. . 5')

1-ß

und läßt sich dieser Ausdruck mit bezug auf Gleichung 2) beziehungsweise Gleichung 2') und wegen (p"z) = (_pe*z), welche Gleichung für Platten die Form p“z = plz annimmt, zu:

(A) = {plz) — + - &

— Pez •

vereinfachen; die gesuchte Lösung, welche in der Koexistenz der Gleichungen 2) und 5) gelegen ist, lautet endlich

100 m

(pL) =

und daraus

h‘² sez

-f(A)

100 m

Führt man noch den Wert aus Gleichung 6) ein, so resultiert 100 m h‘² sez

Die Gleichungen 2), 6) und 7') stellen in durchsichtigster Form den theoretischen Zusammenhang zwischen den Ausdrücken für Platten und Rippenbalken dar, da aus denselben für ß = o, beziehungsweise tu = 1 unmittelbar die nur für Platten gültigen Ausdrücke abgeleitet werden können; wir erhalten demnach (für Platten)

(A²) =

= (Pez) 1 —

(Pez) — (A).....7).

I + I s — (jpi)] . . T).

10 ß2 3"' 1 — ß

A = ®‘ |

Pez = -

2'),

6'),

100 m

-Pez 1

oQ-| CO

h'*Sez

Aus den einzelnen Gleichungen lassen sich einige für die Beurteilung der Querschnittsformen wichtige Sätze ableiten. Ein

i    i

Vergleich der Gleichungen 2) und 2') ergibt, daß pez > (pez), das heißt: Bei demselben Verhältnisse ß erfordert die Platte stets einen größeren Bewehrungsgehalt als der Rippenbalken. Bringt man Gleichung 7‘) auf die Form:

1 r »

100 ^Pe2

(K²)

Pez

ß'

2 (V

100 100

so erkennt man durch Gegenüberstellung dieser Gleichung mit Gleichung 7"):

K²

Pez

ß'

1UO 100

7"),

daß K² > (if²).

Nun stellen die rechten Seiten der letzten zwei Ausdrücke

die inneren Momente dar, welche von den bezüglichen Rippen-beziehungsweiso Plattengrundquerschnitten aufgenommen werden können, und kommt insbesondere dem zweiten Gliedo der Gleichung T“) die Bedeutung eines Reduktionsmomentes zu (Textfigur 2 b), welches das innere Moment der Platte [Gleichung 7")] in das der Rippe überführt; unter den gleichen Annahmen wie oben folgt demnach, daß das innere Moment eines Rippenbalkens stets kleiner ist als das einer Platte; die daraus resultierende Verminderung des Tragvermögens eines Rippenbalkens ist im Vergleiche zu demjenigen der Platte nur eine scheinbare und wird durch die Verringerung des Eigenlastmomentes nicht nur nicht ausgeglichen, sondern in den meisten Fällen sogar reichlich überholt. Dies läßt sich allgemein wie folgt beweisen:

Für das Moment aus Eigengewicht und Verkehrslast gelten mit Bezug auf Textfigur 2 folgende Gleichungen: für die Platte:

• • 8),

für die Rippe:

mr = l qr l' -f- | Y ^    ~ (1 ~    + a • • • 9)*

Darin bedeuten l die Spannweite, qp beziehungsweise qr die Verkehrslasten pro Längeneinheit, welche von den bezüglichen

Trägern aufgenommen werden können, a = — und v das spezifische

h

Gewicht des Trägermaterials; somit folgt, wenn A q = qr — qP gesetzt wird:

mr — Trip

=    —    {(1 - x) (1 -f- a — 8)} .    .    .10).

Die Gleichungen 7') und 7“) ergeben:

h' ² «ez

{pL — {plz)}

00 Ixe

. . 10').

Die Gleichstellung der letzten zwei Ausdrücke liefert nach kurzer Zwischenrechnung und nach Einführung der den plez und (p'ez) entsprechenden Festwerte, ferner unter Beachtung, daß

ä/2 sez

mr — mp = —

100

mp

100

IV

die Endgleichung:

A q — Y h‘ (i — x) (1 -|- a — in welcher zur Abkürzung

■fi--

..11),

8\²

to

CO

3 - ß.

(1 -j- a. — 8)

. . .12)

Sp

gesetzt wurde; daraus folgt, daß die Tragfähigkeit einer Eippe die der Platte überragt, beziehungsweise unterschreitet, je nachdem

1 -ß 1 —|— ot —J⁻

V h"

In einem gegebenen Falle kann also die gewünschte Entscheidung sofort getroffen werden. Über Ii wäre noch zu bemerken, daß dessen Wert für ß = 5 zu Null wird und A q somit seinen Größtwert erreicht; mit wachsendem ß und abnehmendem ft wächst R sehr rasch und ergibt sich z. B. für ft = 0‘05 und ß == 0'45, wenn a — 01 gesetzt wird, R= 0 723. Gleichung 11) könnte mit Vorteil auch dann Verwendung finden, wenn die Berechnung einer Platte für eine bestimmte Belastung qp, Stützweite l und statische Höhe h' bereits vorliegt und es sich um die Ermittlung der Tragfähigkeit mehrerer Rippenbalken von der gleichen Stützweite und statischen Höhe handelt.

Aus Gleichung 7') beziehungsweise 7") folgt ganz allgemein:

i;3).

7g = 1° i/jl

K \ sa

Bei Rippen muß jedoch nachgesehen werden, ob die als bekannt vorausgesetzte Plattendicke d wesentlich von der durch die Rechnung ermittelten Stärke d! — ft/*' abweicht; ist dies der Fall und die Abweichung nicht angezeigt, so muß die brauchbare Lösung, wie weiter unten an einem Beispiele gezeigt werden wird, auf dem Wege der Interpolation gesucht werden. Zum Zwecke der leichteren Anwendung der einzelnen Formeln wurden die Ausdrücke für K² und K für ß = 010, 015, 0*20, 0 25, 0 30, 035, 0‘40 und außerdem für jene häufig vorkommenden „ß“ Sonderwerte berechnet, welche den aus der nachstehenden Tabelle x) ersichtlichen, zusammengehörenden Spannungszahlen von shd und sez entsprechen.

sbd in kg/cm?

sez in kg/cm?

*eZ+¹⁵*& d

32-0

1000

33 3

1000

370

1000

400

1000

42 0

1000

500

1200

03243 03333 0 3569 03750 03865 0-3846

spre

0 Hie Berechnung sämtlicher Tabellen (mit Rechenmaschine) führte Herr Maximilian Ruziczka, Adjunkt der k. k. Nordwestbahndirektion durch, wofür ich ihm an dieser Stelle nochmals meinen besten Dank aüs-che.

10 —

Um den Gebrauch der Tabellen zu erleichtern, wurden dieselben gesondert für Platten und Rippen aufgestellt; insbesondere sind dieselben für Rippen derart ausführlich angelegt, daß damit wohl für alle vorkommenden Fälle das Auslangen gefunden werden dürfte; die Anordnung wurde ferner derart getroffen, daß für jedes der angenommenen Verhältnisse x (010, 015, 0'20, 0’25, 0‘30, 0'35 und 0'40) sämtliche der Gleichung 7) entsprechenden Festwerte für ft = 0’10, 015, 0'20, 0'25, 0⁻30 und 035 in eine eigene Tabelle zusammengefaßt wurden; für zwischenliegende ft genügt die (mit Rechenschieber durchzufiihrende) geradlinige Interpolation vollkommen; hingegen erübrigt sich jede Zwischenrechnung für andere als die berechneten x. Vielmehr wird man für ein vorliegendes x' immer den nächstgelegenen Tabellenwert benützen¹). Gleichung 13) läßt sich auch schreiben:

h⁴

10

• j/7ii = D |fm .

.    . 14).

*V*e.

Für gegebene Verhältnisse x, S und (ä und für ein vorgeschriebenes sez ist D ein Festwert; derselbe wurde für die wichtigsten ß und die entsprechenden sez gleichfalls berechnet und in eine besondere Tabelle der statischen Höhen aufgenommen; die für Platten ermittelten /)-Werte konnten unmittelbar in die bezügliche Tabelle für Platten eingetragen werden.

Ein brauchbares Hilfsmittel dürfte die getroffene Anordnung der Tabellen bei der Berechnung von Tragwerksteilen für Straßenbrücken bilden. Bekanntlich sind nach den bezüglichen österreichischen Vorschriften die zulässigen Beton- und Eiseninanspruchnahmen als Funktion der Stützweite l gegeben, wobei hinsichtlich der ersteren auch je nach dem gewählten Mischungsverhältnisse Unterschiede zu machen sind; allgemein gilt daher für die Stützweite l:

⁸bd = a —I⁻ b sez = c -f- d l.

a, b, c und d sind die durch die genannte Vorschrift genau

präzisierten Festwerte. Mit n

— folgt somit;

Eb

n (a -j- b l)

n ci

-^-c+ (<* + »&)/ ’ ’

. . . 15).

0 Wie aus der Gleichung für (p entnommen werden kann (Gleichung 2), beeinflußt das Glied mit -, welches das Stegrechteck zwischen Nullachse und Plattenunterkante berücksichtigt, das Endergebnis nur in sehr geringem Maße, weshalb auch bei den allgemein im Gebrauche stehenden Dimensionierungsformeln, der Einfachheit wegen, auf dessen Einführung in die Rechnung verzichtet wird; aus diesem Grunde genügt es, bei einem gegebenen mit dem nächstgelegenen « der Tabellen ohne weitere Interpolation zu rechnen, umsomehr, als die einzelnen «-Werte nur um A« = 0 05 auseinanderliegen.

Die Einführung der Verordnungswerte liefert daher, wenn für die Bewehrung Flußeisen in Betracht kommt:

495 + 3 l '

1295 + 6 l 435 + 3 l 1235 + 6 l 375 + 31

1175 -{- 6 l

wobei diese Formeln wegen der Einschränkung, daß Sezmax = 800 + 3 l = 900 lcg/cm? nur bis l =    = 333 m Geltung haben. Hinsichtlich der Beton

druckspannungen sind jedoch keine Höchstgrenzen fixiert; Gleichung 15) nimmt daher für l> 1+ die Form an:

n (d —j— 57)

900 —{— ii (o> “j⁻ 61)

die mit den Sonderwerten der Betonvorschrift übergeht in:

495 + 31

ßl : 3 '

15' *)

1:5 —

15 a),

■CD

OCL

1395 + 3 l 435 -j- 3 l

TSC

1335 + 3 l 375 + 3 l

15'a).

1275 + 3 l

Für einzelne Stützweiten wurden die entsprechenden ß-Werte in eine eigene Tabelle aufgenommen.

Für die Dimensionierung doppelt bewehrter Platten und Rippen gilt ganz allgemein (Gleichung H‘ des in der „Österr. Wochenschrift“ 1910 veröffentlichten Aufsatzes):

A TO

( Pez)

Ä'²

C\ +

(Ped)

A TO

IG).

h‘²

Darin bedeuten

100

(1 — O sez

C 1-ß ¹ ß — a'

• 17),

*) Die gewählte Bezeichnung der üblichen Mischungsverhältnisse ist der außer Kraft getretenen österreichischen Vorschrift aus dem Jahre 1907 entnommen und wurde hier der Einfachheit halber beibehalten; demnach entspricht dem Mischungsverhältnisse

1: 3 ein Gemenge von 1 m³ Sand und Steinmaterial und 470 % Portlandzement,

„ 350 hg    r

„ 280 kg

1 :4 „    „

1 : 5

(Siehe § 6 de

r neuen

» 1™S »

„ lm'S „    »    „

Beton Vorschrift.)

CN

a‘

worin a' = — ist (Textfigur 1); A m ist jener Momentenüberschuß,

der vom einfach und hinsichtlich eines gegebenen ß ideal bewehrten Profile nicht mehr aufgenommen werden kann; nach Gleichung 7) vermag dieses nur aufzunehmen:

(K²) V² sez 100

so daß, wenn ein Gesamtmoment Mx vorliegt, dem auf die Breiten-

M.

einheit reduziert ein m, = —- entspricht,

A b

A m =

Die Werte der letzten drei Gleichungen in Gleichung 16) eingeführt, liefern:

18),

19).

,    m,

(Pey) = Gl

(*!)

f (pL) .... 20),

1 — a'

(K²) ) 1 - ß 1 — a'J ß — a'

Mit Hilfe der Tabellen ist daher auch die Berechnung der doppelt bewehrten Querschnitte überaus einfach.

. . 21).

Beispiele¹).

I. Platten

1. Kin Balken habe auf eine Breite b = 100 cm ein Moment M = G2500 kgcm aufzunehmen; wie groß muß dessen statische Höhe li‘ und Bewehrung fe, sein, wenn sh(1 = 42 kg/cm2 und se, — 1000 kg/cm² (Mischungsverhältnis 1 : 3) eingehalten werden sollen?

Aus der Tabelle I entnimmt man der Reihe nach:

ß = 0 3865, pU = 0-81164 und £> = 03761 ; mit m wird daher:

100

625

und

h' D \fm — 0-3761 . 25 = 94 cm

ftz -

Pez-b. h'

100

= 7-63 cm².

*) Die Beispielsammlung umfaßt nur die wichtigsten, t ypischen Fälle, welche für die Praxis von Bedeutung sind; die Vorführung von Beispielen, welche nur theoretisches Interesse beanspruchen, wurde hier völlig unterlassen.

Es ist wohl selbstverständlich, daß die mit Hilfe der Tabellen ermittelten Abmessungen und Bewehrungen dann einer besonderen Überprüfung beziehungsweise Richtigstellung bedürfen, wenn es sich um die Berechnung von Tragwerken handelt, für welche die einschlägigen Bestimmungen d»r Betonvorschriften die Erbringung dec Nachweises über die Größe der auftretenden Betonzugspannungen ausdrücklich vorschrieben.

2. Aus konstruktiven Gründen werde angenommen, daß ein Balken bei einem Größtmoment von M = 45000Ö kgcm eine Breite von b = 90 cm und eine statische Höhe h‘ = 50 cm erhalte. Weiche Betondruckspannung sbd tritt im Balken auf, wenn die Ausnützung des Eisens mit se2 = 1000 kg/cm² gefordert wird ? Wie groß ist die notwendige Eisenbewehrung ?

— 5000 bestimmt man vorerst

Mit m —

450000

90

K² =

100 m

r‘sa

= 0’2.

Das berechnete K² liegt demnach zwischen den bezüglichen Ä²-Werten von 0 15556 und 0'25463. Durch geradlinige Interpolation findet man ß = 02224 und dementsprechend wieder durch Einschaltung p\z = 0 21644; somit endlich:

plz b h'

— = 9 74 cm *

und

fez =

100

sbd

'Cf'

. sez = 19 1 kg/cm².

15 (1 — ß)

3. Es liege ein Balken mit b = 20 cm, h‘ = 50 cm und bewehrt mit fez = i-52cm² (4 Rundeisen vom Durchmesser 12 mm) zur Überprüfung vor; das äußere Moment betrage M— 196000 kgcm. Welche Inanspruchnahmen treten im Beton und Eisen auf? (Span-nungsnachAveis.)

Es ist m =

196000

20

= 9800

Pez =

100/ez

b h‘

= 0452.

Das dem pez entsprechende ß liegt zwischen 0’3 und 0 35 und findet sich durch Interpolation mit ß === 0'3006; somit ist mit Gleichung 7"):

= 0407

und

sez

100 m

h‘² sez

963 kg/cm²,

sbd

15(1 - f*)

. sez = 27-7 kg/cm².

4. Ein Balken habe auf eine Breite b = 20 cm ein Moment

Mx — 200000 kgcm zu tragen; wie ist derselbe zu bewehren, wenn die statische Höhe h‘ = 35 cm nicht überschritten werden darf und wenn das Mischungsverhältnis 1: 5 (sM =32 kg/cm², sez = 1000kg/cm²) zur Anwendung kommen soll?

mi =

Da ß = 03243 ist, wird A)=0⁻4648; somit Avegcn ~ = 10.000 die für eine ideale Bewehrung notwendige

14

statische Höhe h[ — D ]/mx = 46’5 cm; es ist daher eine doppelte Bewehrung erforderlich. Für die Berechnung entnimmt man der Tabelle I: K² — 046274 und plez = 0'5l 882. Wird noch a'= 0 08 gewählt, so haben wir:

100

(1 — y.‘) sez

damit den Zwischenwert:

— C h'² ¹

0 1087 [Gleichung 17)].

K²

1 — a'

= 03843

und schließlich:

Ptz == 0-3843 -|— j»« = 0-9031 [Gleichung 20)], 0-3843 (1 — ß)

Pul -

sohin

(ß - <*')

= 1 063 [Gleichung 21)],

fes -

09031.20.35

1U0

= 6 .32 cto²,

1-063 . 20 . 35

7"44 cto².

5. Ein Balken von b = 60 cm unterliege einem Moment Mx = 6000000 kgcm; welche statische Höhe h‘ ist unter der Annahme gleich großer Zug- und Druckbewehrung erforderlich, wenn sM = 40 kg/cm² und sez — 1000 kg/cm². (a' = O'l) ?

Die Gleichsetzung der Gleichungen 20) und 21) liefert, wenn

Pez -Ped-Pah

fed

100

m.

Pzd^-j^-C,-

Daraus folgt

K²

1 — a'

i    [TO,

+ fc={i5<!~i

K²

1 -ß

— a' j ß — a‘

i mi

Pzd~Pez=^äCl

K²

1 — og’

weiters

Pzd — (.Pzd —

und schließlich

i, i—ß Pa) ß — a'

Pzcl-Pez

1 — 2 ß -f a' ' ’ ‘

Mit = 0 750 und ß = 0 375 findet man daher: Pzd = 1"339.

. . . 22)¹).

0 Nimmt man an, daß die Druckbewehrung ped einen aliquoten Teil der Zugbewehrung pez betrage, daß also:

Pul=*-Pez>

so liefert der angegebene Kechnungsgang:

___1-ß

Pez Pez x _ ß _ £ (ß _ a<) ’

welche Gleichung mit 5 = 1 in obige Beziehung 22) übergeht.

Ferner ist:

K² = 0-65625, C₁ =

Gleichung 20) liefert demnach:

ll< = \! ml

100

(1 — a') sez

= 0111,    »i, = 100.000.

= 9 1*8 cm.

Pzd Pez | ^

— x'

Die Größe der Eisenbewehrung ist also:

1-339.60. 9D8

fez -fed

100

= 73 8 cm².

6. Der Hauptträger einer Straßenbrücke habe eine Breite 5=30 cw; das äußere Moment betrage M = 2187000 kgcm. Wie groß ist bei einer Stützweite von l=10'0m die statische Höhe h‘ und die

das Mischungsverhältnis 1 : 1 vorge-

Eisenbewelirung ftz, wenn schrieben wird ?

Nach der Verordnung ist:

sbd= 29-j- 02.10 = 31 kg/cm², sez = 800 -j-    3.10 = 830 kg/cm².

Ferner aus der Tabelle X: ß = 0-3591; durch Interpolation

(Tabelle I) findet man:

K = 0-7684 und pn = 0'67078. Mit

und

m = 270 ergibt sich daher:

101/m

h‘

K[/sez

~ 122 cm

fez -

pez.b. h‘

100

— 24‘55 cm².

II. Kippenbalken.

— = 0*1, S = — = 0‘2 (wird etwa mit b    h!

7. Ein Unterzug ist einem Momente M= 5070000 kgcm ausgesetzt; ferner sei b = 300 cm, bQ = 2>0cm, d 10 cm, sba = 42 kg/cm² und sn = 1000 kgcm² (1:3). Ideale Bewehrung vorausgesetzt, sind die statische Höhe li‘ und die Bewehrung fez zu bestimmen.

Vor allem ist: t: =

Rücksicht auf konstruktive Forderungen angenommen), m = 16900, \1 m = 130.

Mit ß = 0’3865 findet man direkt aus der Tabelle II p/z =0 64155 und aus der Tabelle IX der statischen Höhen

h' = 0 415 \/m = 53 95 cm.

Dieser Höhe entspricht d = $ h‘ = 10"8 cm und

= 103-84 cm².

fez =

Pez b h‘

100

8. Die Rechnungsgrundlagen wie sub 7., nur muß an der Plattenstärke cl = 10 cm unbedingt festgehalten werden.

Die Lösung ergibt sieh wie folgt:

Für ß = 0 3865 und t: = 01 liefert die Tabelle IX der statischen Höhen für:

= 015 eine Höhe h[ = 0 449 ]/m = 58 35 cm und daher d₁ = ^₁h[ = 8'7Qcm;

\ = 0 20 eine Höhe li₂ =0 415 [/?« = 5395 cm und daher d₂ = ti₂ — 10‘79 cm.

Das einem d= 10 cm entsprechende h' findet man durch Interpolation mit h‘ = 55'66 cm, dem ein ^ == sjinF == 0'18 zukommt; endlich ermittelt sich der Bewehrungsgehalt mit (pez)⁼⁼0'6002, dem daher eine Eisenbewehrung von:

100'22cwi²

fez —

0 6002.55 66 . ?00

100

entspricht.

9. Handelt es sich um die Führung des Spannungsnachweises, so erscheint die Anwendung der Tabellen II bis VIII nur dann geboten, wenn die Verhältnisse tu und § den Tabellen direkt entnommen werden können; andernfalls empfiehlt sich die Benützung des allgemein üblichen Rechnungsganges. Derselbe läßt sich jedoch, wie nachstehend gezeigt wird, etwas vereinfachen.

Gegeben sind die Abmessungen und der Eisenquerschnitt des Rippenbalkens, ferner das äußere Moment; der Nullinienabstand ist durch ß = 5 -f- a festgelegt (Textfigur 2«). Die Berechnung als Rippenbalken hat wie bekannt nur dann zu erfolgen, wenn u. > 0.

Zur Bestimmung von a benützen wir Gleichung 2\ in welcher ß durch    —{— lil) ersetzt wird; geordnet lautet diese Gleichung:

23),

u.² -f- 2 Ä <j. = B

wenn:

i — O'l⁵ (*”) + *

. . . 24)

t:

ß 0'30(fe)[l-S]-4⁸

daher:

. . . 25).

Aus der Bedingung u > 0 folgt unmittelbar auch B > 0; mit den besonderen Werten der Gleichung 24) resultiert daher die Bestimmungsgleichung:

( i\ _    10

• 26),

welche nach Zurückführung auf die einzelnen Querschnittsgrößen die Form annimmt:

bd²

26a)¹).

feZ > 30 ‘ (h‘ — d)

So lange die obigen Ungleichungen erfüllt sind, hat die Berechnung als Rippenbalkon zu erfolgen; ist jedoch die linke Seite < als die rechte, dann gilt der Rechnungsgang für die gewöhnliche

Platte.

Ferner ist nach früherem:

100 m

(/o

= {pez) -- (A),

h‘² Sez

wobei (A) der Gleichung 5') zu entnehmen ist. Führt man die Substitution durch, so ergibt sich:

(k*) = (p;z) i-s

;x 20 8 ß2 3    'Y' 1-ß    '

ix

Wir wählen: M = 2025000 kgcm, b

150 cm, bQ = 30 cm, d = 10 cm, h‘ = 53 cm und fez = 49'28 cm². Wie groß sind die Inanspruchnahmen im Beton und Eisen²) ?

Gleichung 26a) ergibt:

49 28 >

IO².150

30.(53 — 10) ’

das heißt, die Nullachse schneidet den Steg; mit (p/z)

~ — 0 2 und S =

0

und a = 0192 ;

100/ez

-=0'62,

=0’1887 wird 4=1*409, B= 0 57.65³) 53

daher ß = (S -(- a) = 0'381; endlich ist

bh‘

0 Professor A. Cappilleri gibt in „Der Bautechniker“ 1912, Nr. 2 gleichfalls eine sehr einfache Beziehung an, aus welcher unmittelbar auf die Lage der Nullachse geschlossen werden kann; dieselbe lautet:

M _ w'_ ⁹ez *bd

b d* ~~ d1 > 30 ⁺ ~3~'

Solange diese Ungleichung besteht, geht die Nullachse durch den Steg. Ableiten läßt sich obige Beziehung aus der Gleichung 7"):

100 m _    ■

'i

HH'AH

wenn man für ß den Ausdruck aus Gleichung 3) einführt und bedenkt, daß für ß = o die Plattendicke d — 8 h‘ wird.

²)    Siehe Beispiel Seite 83 in „Die Berechnung der Tragwerke aus Eisenbeton oder Stampfbeton bei Hochbautep und Straßenbrücken“ von k. k. Ministerialrat C.Haber kalt und k. k. Baurat Dr. F. Po s t u v a n s c h i t z.

³)    Der Ausdruck für B (Gleichung 24) läßt noch eine Vereinfachung

04)-¹⁰

zu. Da

o²

* W)

3 ' 1 — 3

stets berechnet werden muß, sohin bekannt ist, nimmt der Ausdruck für B die sehr einfache Form an:

0-3(1 — 3)

T,

W) • • • •

■ 24 a).

(Ä'²) = 05616. Da

nun m =

sez

100 m

(ir²) h‘²

— = 13500, so folgt: = 855 kg/cm² und

sbd =

GO.

sez = 35 1 kg/cm².

15 (1 — ß)

10. Gegeben: M= 5070000kg/cm, b =300 cm, &₀ = 30cm, d = 10 cm, h'~ SO cm; wenn die Ausnützung des Eisens mit s,z = 1000 cm² gewünscht wird, wie groß ist sM und welche Eisenbewehrung ist erforderlich?

Vor allem ist mit

(A²)

100 m

-y = 16900 = 0-264.

h'² sez

Das entsprechende ß findet man durch Interpolation aus der

10

Tabelle für tv = 0*2 und für das Verhältnis S = —- = 0*125 mit

80

ß = 0 287; die Zwischenrechnung gestaltet sich wie folgt:

Für Sj = 01 entspricht dem (K²) = 0'264 ein ßt = 0'303,

„ S₂ = 015 „ S =0125    „

Den Bewehrungsgehalt bestimmt man einfacher durch Rech-

ö

nung aus:

somit endlich (.pL)bh'

ftz -

100

„ (ä”²) = 0"264 „ ß₂ = 0 271; daher „ (A²) = 0*264 „ ß = 0-287.

1-ß

- = 68"88 cm² und sbd

15 (1 - ß)

Sez— 2 6"8 kg/cm²

11. Ein Unterzug von 45 m Spannweite habe ein Moment von ü/j = 1500000 aufzunehmen, darf aber aus besonderen Gründen nur 35 cm hoch werden. Die Plattenstärke der anschließenden

Decke sei d = 7 5 cm ; ferner werde angenommen a = a' = s0 daß also a = a' = ^ — 5 cm und h' = 30 cm. Endlich ist gegeben : b = 150 cm, bQ = 30 cm, sbd = 40 kg’cm² und sez = 1000 kg/cm². Wie groß sind die Eisenbewehrungen ? (Doppelte Bewehrung.)

Wir haben der Reihe nach: $ = 0 25, 7t = 0’2, ß = 0 375

pL = 0-68333,    (A²) = 0-60903, C

100

(1 — O «es

mx — 10000; ferner berechnet man den Zwischen wert:

-=0-117,

mi

(A²)

so daß endlich:

und

/« =

°--T

(Pez) = 0-5895 -f 0-6833 = 1-2728 1 — ß

0-5895 --4 =

ß — oc

= 57-28 cm², fe(l =

Ä'²

— a'

= 0-5895,

(Pd) =

(Pez) b h‘

100

1-5870

(Ped) b bf

100

71-42 cm *

Anmerkung

M_ Moment in kgcm

b Balkenbreite in cm

Tabelle I.

Festwerte für die Dimensionierung von Platten.

Erforderliche statische Höhe h¹ =    ,\/m — I)\/m

04648

04500

04146 03904 03454 0 3761

se.z in kg/cm'2 H}„j *n kg/cm- |

32

1000

100 m

K² =

h‘**ez

K²

333

1000

37

40

50

42

1000

1000

1200

1000

0-1893

02895

0-3944

05046

06211

0-6803

07027

07449

07627

08101

08358

08409

0-8777

11785

003581

008382

015556

025463

038571

0-46274

0-49373

055491

0-58168

065625

069849

070708

0-77037

1-38889

7/oox

Bewehrungsgehalt 10    ß⁻²

3 ‘ 1 — ß ~ bh‘

003704 008823 016667 0-27778 042857 051882 055544 0 62820 0 66023 075000 080120 081164 088889 1-66667

Pez

ei

scz + 15 * J

O'IO

015

020

0-25

oe-o

03243

03333

0-35

0-3569

03750

03846

0-3865

040

og.o

(K)

03944 0-4968 05940 0-6406 06583 0 6907 0-7042 07397 07588 07626 07898 08938

07449 07626 0-8089 08335 0-8384 08732 1 0048

0Z0 = 2

(&)

0 15556

0 24680

035285

041038

043332

0-47703

049582

0 54723

057581

058157-

0 62370

0-79887

560 = 2

0 55491 0-58154 065433 0 69475 0 70291 076246 1 00956

Tabelle II¹).

Festwerte für die Dimensionierung- von Plattenbalken für * = 0*10.

(pL)

(*)

3 = 0 15

Ly)

(pL)

(Y)

( Pez)

cr>-

016667 0-26778 0-38571 0-44991 047549 052436 054539 060300 063508 064155 0-68889 088636

I COXNiOCH^iOCOOOWW I ^ ^ iC lO *X> X O N N CO

öööoooöooooöö

008382 014774 0 22197 0 30857 035560 0-37446 041030 0-42572 046793 049141 049615 053080 0-67500

008823 015729 023778 0 33214 038362 0-40425 0-44359 046054 0-50700 0 53290 053813 057639 073636

§^§r,SSSSS^S?.82 5 55« S § S 5S £ S 8 S 5 S £

ööoööooööööööo

003581 007603 012306 017813 0-24285 027809 0-29235 0 31933 0-33097 0 36283 0-38058 0 38416 041037 0-51978

0 03704 0 07941 012917 0 18778 0-25714 029514 031052 033974 0 35236 0-38700 040635 041026 0-43889 0 55909

SiS SS^

SÄ^SSSSSSSSSsSSSS

ööööööööoööboö

0 62820 066001 074700 0-79536 080512 087639 1 17273

0 6211 0-6787 07002 07396 0-7559 07988 08216 08261 08585 0 9815

060

0-25

038571 046061 0-49030 0 54703 057140 0 63803 067505 068251 0 73704 0 96341

042857 0 51589 055046 061667 064513 0-72300 0 76631 0-77505 0-83889 1-10454

05046 06147 06668 06864 07224 0 7373 07766 07976 08018 08316 09455

§Es§8SSSS§gg

;NCC-=J<-=*i£5insPCDC0;0C0

öocicöcoocö

0-27778 041786 049400 0 52424 0-58205 060692 067500 0-71288 0 72053 0-77639 100901

CO CO Oi O X lO ^ co co in co

OOOlOOWCOiOiOhCC'QOOlß Qa- t-H i—h o? oi co co CO CO co co co co -=^ -=^ 00600006600660

§>.5

(*)

0-3944 0-4972 05955 0-6429 0 6608 06938 07075 0-7438 0 7633 0-7672 0-7949 09014

cs <x> O xio *t< <-,    |    ,    ,    ,    ,    . CM CTS CO CO OT iO

■ 4<®OCOCONO '    1    1    '    ¹    '    ¹ NNCOCDQOQO9

ÖÖÖÖÖÖH

r4ä

.2

-g

0)

-4-»

8 = 0-20

0 15556 024723 035468 041327 0-43668 048136 050059 0-55328 058263 058855 063185 081243

Q8-0 = 2

0 55191 0-58155 065444 069497 0-70315 076289 101142

^1-0

Tabelle III¹).

Festwerte tiir die Dimensionierung- von Plattenbalken für r. = 0*15.

(P«)

(*)

016667 0-26833 0 38809 045372 047993 0-53013 055177 061117 064431 065100 070000 0-90530

lOOHCOCOCOCO^Cr'WN'JDQ Ji^COaiHNCDOiH(J)^NCO I XCOMOOH^iOCJOH^W

ööööööööööööö

0-62820 066002 074717 0 79569 080549 0-87708 1-17576

06211

06788

07004

07399

07563

07994

0-8224

0-8270

0-8596

Oi'838

8= 0-15

(p«)

Ly)

008382 014818 022378 031286 0-36154 038108 0 41834 043438 047839 0 50292 050787 054410 069546

008823 0-15781 024000 0-33750 0 39112 041265 045385 047163 052050 054781 0 55333 059375 076364

COiO^^CCOCi^WNH^OCO Ci *sT' CO N O N O 0 N »O H ^ *j: O

CONiflWOWiONCOHCOCOiO^

h ^ co ^ »c »o »o o jO cd «r> o o n öööööööööööööö

100 m

eo

r<?

i:

0-30

038571 0-46071 049049 054747 057197 0 63904 0 67635 068388 0-73889 0-96784

042857 051603 055073 0-61731 0-61597 072450 0-76825 077708 0 84167 111136

ooocor^i^i^coococ^ clH lO (>• N CO CO CC C cf ^ r. I I I O^OOD^cONaiCcO^ I I I iQ O CD CD N N ^ N CO CO

66666666666

r/j oot

bh‘

ß2-(l--₎₍ß-₅)2

1-3

S|«

•r*

010 = 9

003581 007646 012486 0-18238 025080 0-28833 030353 033243 0 34489 037913 0-39824 040210 043037 0 54885

025

025463 037826 044563 0-47245 0 52367 054572 060608 063967 0-64645 069600 090237

¹⁵ hä

\z + ¹⁵*i

003704 007990 013125 019278 0-26667 030755 0 32412 035577 0 36946 040717 0-42829 043256 0-46389 0-59621

027778

041845

049536

052597

0-58461

060988

067917

071779

0-72559

0-78264

1-02121

<D

TS

3iS SSSS    SS SS3S

S'SwSwmnTOnconMSf? ‘y5~ SSScmcoctscocococococoSüS« öööööööööööööö    660ÖÖ böööööööö

-s

T3

hi)

03944 04977 05971 06451 06634 06955 07109 0 7479 0-7677 0-7717 08000 09089

07449

07621!

08090

08338

0-8887

08737

10066

8 = 0-20

015556 024767 035651 041616 044003 0 48369 050536 055933 058944 059552 064000 082601

SRO

055491

058156

065454

069517

0-70338

076334

101329

Tabelle IV¹).

Festwerte für die Dimensionierung von Plattenbalken für r. = 0*20.

(P'z)

016667 026889 039048 045753 048437 0 53590 055815 061933 0 65353 0 66045 0 71111 0 92424

lOiOO^WNOOWWXOH . 05 10 lO 05 X W CO iO 05 N O CD O COXNCDOWiOCDOHW^^ * (NCO-^iOCDCDCDCDCDNNNX

062820 066003 074733 079601 0-8G585 087778 1 17879

06211

0-6788

07005

07402

0-7567

0-8000

0-8232

0-8278

08607

09865

8 = 015

010

(*²)

(pL)

008382 0 14861 022555 031715 0-36747 038771 042636 044305 0-48885 051442 051959 055741 071591

008823 015833 0-24222 034286 0-39861 042105 046410 0-48273 053400 056271 0 56852 0-61111 0-79091

COC0 05 0N^OXOC0 05 HHW

„_ 05NiOWXOHN05X^X^O

CT    XNiOCOO^CDX05W^^NO

HCJCO-^iOiOiOiOiOOOCDCDN

''    öööööööööööööö

(**)

003581 007689 0 12666 018663 025873 029857 0 31472 034551 035883 039542 041590 0 42004 045037 057793

080

0 25

038571 046081 049068 0 54791 0 57255 0 64005 067765 0-68525 074074 097327

0-42857 051618 055101 061795 064681 072600 0-77018 077912 084444 111818

O^C0C0 05 WC0O^05C0

I I I oSoooSSoooSS

1    1    1 lOO^ONt-NCOXCOOi

ööoöööööööö

025463 037873 044662 047370 0-52551 0 54783 060903 0 64312 065002 0 70037 091065

(pL)

003704 008039 0 13333 0 19778 0 27619 031996 033773 037179 038657 042733 045022 045486 0-48889 0 63333

027778

041905

049672

052770

058718

061284

068333

072269

073065

0-78889

103333

co.

CO CO    05 OOiO

co    ^ »O ^ CD

OOOiOOWCOiOiONCOXOiO

HH^WCOCOCOCOCOWCOCO^^

606Ö666Ö60Ö6Ö0

CO CO    050 CDiO

^ co    cr> io cd

OiOOiOOtNCOiOiO^XCOOiO

rHHW(^COCOCOCOCOCOCOCO^^

OOOÖÖÖÖÖOÖÖOÖÖ

(Z)

03944

04981

05986

06474

06659

07000

0-7142

0-7519

0-7722

07762

0-8051

09163

07449

07626

08091

08339

08388

08739

10045

8 = 0-20

015556

024810

0-35834

0-41905

044339

049001

051013

056539

059625

060250

0-64815

083958

8 = 0-35

055491

058156

065465

069537

070361

076377

100909

Moment in kgern b Plattenbreite in cm

Tabelle V *).

Festwerte für die Dimensionierung' von Plattenbalken für r. — 0*25.

(pD

(K)

016667 026944 039286 046134 0-48881 0 54167 0-56453 062750 0-66276 066991 0-72222 094318

iCHOCHO^^OWOiOH CiCDCDNiHCOOJCQCDiOGOiOGO XCONCDHWiONO(^(^OiO ¹ (>)CO-^iOCDCDCDCDNNNl>CO 0666666666666

8 = 015

(Pi) -

008382

014904

022740

0-32142

037340

039434

043440

045171

049931

052592

053131

057072

073636

008823

015885

024444

034821

040610

042945

047436

049382

054750

057761

058372

0-62847

0-81818

COH^as^NOOHONlOCOQOH

OCOXCDCDiOOXOHCOHiOJi

CONiOCOHißNOS^^OCDQON

rH(MCO-^iQiOiOlOCDCDCDCOCDN

ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ

062820

0 66004

0-74750

0-79633

080621

0-87847

1 17576

100 m

= Ly)

0-6211

0-6789

0-7006

0-7405

0-7570

08007

08240

08286

08617

0-9883

'*3 Ir«

co

080

038571

046091

049087

054834

057311

064106

067895

068661

0-74259

097671

042857 051632 055129 061859 064765 072750 077212 078115 0-84722 1 12500

*^)CX)HW!^OCOH^lOO .    ,    , ■^»OJiC^CDrH^^XOX

O H CD CO W ^ GO O O CO lO 1    1    ¹ OCDCDCDNNNQOCOCOai

O6666666666

, r.

b h‘

1-ß

<N

<Ü-

Sl«

.3

8 = 010

003581

007733

0-12848

019088

026666

030882

032590

035860

037275

041173

043355

043799

047037

060700

025

025463 037916 044760 047496 052735 054994 061198 064659 065358 070474 0 91893

15 *M

sez + 1:'> sbd

(pD

003704 0 08088 013542 020278 028571 033237 0-35133 038782 040367 044750 0-47215 047716 051389 0-67045

0-27778

0-41904

049808

052944

058974

061580

068750

072760

073571

079514

104545

CO CO    Ji O CD ui

CO    CD lO ^ CD

OiOOiOO(>»COiOiOMX)QOOiO

hhcn^cococococococow-^^

66606600666666

CO CO

co <co io ^ <co

OOOiOOWCOkOiflt^COQOOifl

HHCJWCOCOCOCOCOCOCOCO-^^

öooööoööoöööoo

x) In den Tabellen bedeuten : ß

(x)

0 3944 0 4985 0-6001 06496 06684 0-7031 07176 07559 0-7766 0-7807 0-8102 09237

I , . |    |    | ^ S o: S 5 S co

I I I I ! I SSSSSSg

OÖÖÖÖÖ’iH

3 = 0-20

0 15556 024854 036016 042194 044675 049433 051490 0-57146 060307 060946 0-65639 085316

0-35

0-55491

0-58157

0-65470

0-69559

0-70385

076421

1-01702

Tabelle VI ')•

Festwerte für die Dimensionierung von Plattenbalken für r, = 0*30.

(pL)

(x)

016667 027000 039524 046515 0 49326 0 54743 0 57091 063567 067199 067935 0 73343 0 96212

02895

0-3866

04788

05707

0-6159

06332

06652

06785

07140

07331

07369

07642

08642

062820 066005 0 74767 0-79666 0 80658 0-87917 1-18485

0-6211

0-6790

07007

07408

07574

0-8013

0-8248

08294

08629

09905

8 = 015

(K*)

(pD

ix)

008382 0 14948 022924 0 32571 037935 0 40090 0 44243 046038 050977 053743 054302 058402 074681

008823 015938 0 24668 035357 0 41360 0-43785 0 48401 050491 0 56100 059252 0 59891 0 64583 0 84545

SS;^3;gäSS$gS*Bg^

ÖOÖOOÖOOÖOOÖÖO

06 0

038571 046101 049107 0-54878 0 57368 064207 0-68025 068797 074454 0-98114

0 42857 051647 055157 0 61923 064848 0 72900 0-77406 078318 0-85010 113182

0 5046 06161 06698 0-6901 0-7275 0-7430 0-7842 0-806: 08107 0-8421 0-9629

3 = 010

003581 007776 0 13028 0 19513 0-27461 031905 033710 0 37153 0 38668 042803 045122 0 45593 049047 0 63609

0-25

0-25463

0-37961

044859

047620

0-52919

0-55206

0-61493

065004

065715

070912

092722

(P«)

0 03704 008137 0 13750 0-20778 0 29524 0-34477 0 36495 040369 042077 046767 049409 049946 053899 070758

027778 042024 049944 0-53117 059231 0-61876 069167 0-73250 0-74078 080139 1 05757

CO CO Ci    iß

^rf CO

O lO O iO o CM co iO »O !>• CO OO O iO 1-H (M o* CO CO co CO '.O CO CO CO J=t* -zp

66ÖÖ6666Ö6Ö666

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^ CO    O »O ZD

OOOiOOWCOiOiOJ^OOCOOifl

HrH^^^COCOCOCOCOCOCO^-^i

cöoöoööoöocööö

ür)

0-3944

04817

06017

06518

06709

07062

07209

07599

07809

07851

0-8151

09310

07449

07626

08092

08341

0:8391

0-8744

10094

OSO == 2

(*²)

015556 0 23207 036199 0-42484 0 45010 0 49866 051967 0-57751 060988 0-61644 0-66444 086673

3 = 035

055491

0-58158

0-65486

0-69579

0-70407

0-76465

101889

Tabelle VII¹),

Festwerte für die Dimensionierung von Platteubalken für 7c = 0*35.

(>)

(x)

016667 0-25365 0-39762 046897 0 49770 0 55320 0-57729 064383 068122 0-68880 074444 0 98106

0-2895 0 3872 04807 0 5745 06207 0-6384 06712 0 6849 0-7213 0 7409 0-7448 07729 0-8816

8 = 0-15

010

008382 0 14992 023104 0 33000 038528 040759 0-45046 0-46905 0-52024 0 54893 0 55475 0 59733 077728

8 = 030

(f&>

(*)

(P'ez)

008823 015990 0-24889 0-35893 0-42109 0-44625 049487 051601 0 57450 060743 0 61411 0 66319 087273

01893 0-2796 0-3634 0-4465 0 5316 0-5738 05901 06203 0-6330 06666 06847 06884 07144 08156

0-03581 0 07819 013208 019938 0-28254 032930 034829 0 38477 040060 044433 046889 0-47387 051037 0-66517

3 = 0-25

I IM I III:-

0-62820

066007

074783

0 79698

0 80693

087986

1 18788

100 m    M Moment in Tcqcm

Ä'² ft.e„ .    b Plattenbreite in e>u

ST

'iS I2s.

06211

06791

07009

07411

07578

61080

08256

80880

6898 0

09928

CO

0 38571 046112 049125 054922 057425 0 64309 0-68156 068934 0-74630 0 98557

042857 051662 055184 061987 0 64932 0 73050 0 77600 0-78522 085278 113864

«r>iOioo<4J«t<^.^coi><M ,    . ₁fi*;ß©rHlß*f'Cr>aO<N.s*<t'-

OHNaxMäjiaOHiffß' ißCTC£)?nNNt^XGO0Oa5

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V+ 15#w’

003704 008186 0 13958 021278 0-30476 035719 037855 041987 043787 0-48783 051603 052176 056389 074470

027778 042083 0-50081 0 53291 058974 062173 0-69583 073741 074584 080764 1-06970

010

0-15

020

025

080

0-3243

0-3333

035

03569

03750

03846

0-3865

0-40

0-45

010

015

OSO

025

030

03243

03333

0-35

03569

03750

03846

03865

040

045

J) In den Tabellen bedeuten: ß =

In den Tabellen bedeuten: ß

oooppopopoopoo

^^•OsDciobcöoboboioiiNbrNbi-^»-^ ÜtOGOCCMÜi^WtOOC^O^O j; ^ cn c co **■

Ot •. O •-£>    03 03

0-45

0-40

03569

03750

0-3846

03865

035

03243

03333

030

025

0-20

015

0 10

1-08182

68818*0

075090

0-74232

0-70000

062469

059744

Wt8Q*0

0 50217

042143

027778

003704

0-08235

0-14167

021778

031429

0-36959

039216

043590

045498

0-50800

053796

054405

0-58889

078182

(Pez)

tw*9I+w*

025463 0-38048 045057 0 47871 053287 055630 062083 065697 066428 071787 0 94379

0-25

003581 007862 013389 020363 029048 033953 035948 039787 041453 046063 048654 0 49180 0-53037 069424

(?.Y)

8 = 010

( <v 10 ßa

(pj = ~ö"

05046

06168

06712

06919

0-7300

0-7459

07879

08105

08150

08473

09715

0-1893

02804

03659

04513

0-5390

05827

05996

06308

06438

06787

06975

07013

07283

08332

(y)

d-i

1 14545

085555

078725

077794

073200

065016

0-62051

055212

051676

0-42857

0-08823 016042 0-25111 036429 0-42858 045465 0 50513 052710 058800 062233 062930 068055 0-90000

(pL)

(Z3/)00I

038571 046121 049144 054966 057483 064410 068286 0 69071 074814 0 99000

08-0

008382 015035 023285 0 33429 039121 041422 045851 047771 053070 056043 0-56646 061064 079773

(bY)

3 = 0 15

(s'/} ‘p~ ² tq

06211 06791 0-7010 07414 0-7582 0 8026 0 8263 08311 0 8650 09950

ppppppppoopop ab^j^j-^^ic^o^aicsdi^cctö i

OlMt3COCO^<J05Ü'COW^O C04=-0i^. CJ^lO^O^CJitOaiGOOt

(Y)

100 m

1-19091

088055

080730

0 79731

074800

«00990

0 62820

0 16677 027111 040000 047277 050214 0-55897 058367 065200 0 69045 069825 075555 100000

(Piz)

Tabelle VIII.

Festwerte für die Dimensionierung- von Plattenbalken für n = 0*40.

ui

M Moment in kgcm

b    Plattenbreite in cm"

0 55491 0 58159 0-65497 069600 070431 076509 1-02076

3 = 0-35

0 15556 024941 036381 042772 0-45346 0 50299 052444 058357 0 61670 0 62341 067259 088030

(bY)

3 = 020

HOOOOpO ÖQÖobcöcb^i^ii    |    |    |    |    »    |

M^05WOC5tf? I    I    I    I    I    I    I

O 4=- rf=- «ö tO hf?

03 -4 l>0 03 05 05 O

pppppppppppO

o:wcDCcajwo^mo?3^> I *

00O<^00n03rf^C003^03C£>rf=*

WK05WOWt3tf?Ot3^^

(y)

Tabelle IX.

Zusammenstellung der wichtigsten D-Werte für die Berechnung der statischen Höhen von Plattenbalken nach der Formel:

0-3865

42

1000

rH © © iß -5* CO äjt H 4( H O CO N

® io -:H co m w

öööööoö

© © ■=* Ol CO Ol t" © jfi j^i äji eo co co ©©<©©©<©©

o* co o o c* o* r>-

GO CO CO H 05 00

lO ^ ^ ^ co co CO

öööööoö

M (legem)

b (cm) *

(cm)

h* =-=

K\ sez

03846

50

1200

COCOOOOlHtC CO CO i-H CC © HO -=tl

»o io co eo co

ööcöööö

qnncohhcc

iß iß © l> © »05 -*H KO .=* CO CO CO CO

© © © © © © ©

^ CO CO GO C H GC CO ^ O N GO ifl üO ^ co co co co

©©©©©©©

10

D = Xfc

03750

03569

03333

03243

40

1000

OiOWNNOH CD Ol COM O 02 05

CO iß -b* «fl j* co co ÖÖÖ6ÖÖ6

GQ CO HO © iß rH 04 KO Ol © © © © iß ■=}< ■=* CO CO © © © © © © ©

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Tabelle X.

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Wien, im Februar 1912.

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Das Buch ist allen jenen Ingenieuren angelegentlichst zu empfehlen, die häufig in die Lage kommen, Deckenkonstruktionen in Eisen, Eisenbeton oder Holz zu entwerfen. („Der Eisenbau“, Leipzig, Februar 1910.)

Dimensionierungsformeln für einfach und

doppelt bewehrte Betonplattenbalken.

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(Sonderabdruck aus der „Österreichischen Wochenschrift für den öffentlichen Baudienst“,

Heft 9/10, Jahrgang 1910.)

Vierendeelträger mit parallelen Gurtungen.

Graphische Ermittlung der Einflußlinien mit Hilfe eines einzigen Seilpolygones, das ohne Rücksicht auf Spannweite und Felderanzahl für sämtliche Träger mit gleichem Verhältnis von Trägerhöhe zur Felderweite gilt.

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