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der eonstruetiven Anordnung und statischen Berechnung der

Krücken- und Hochbau-Constructionen.

Lin Jeitrag zur

Begründung einer allgemeinen Theorie und Systemkunde der Bauconstructionen.

Von

Dr. Friedrich Heinzerling,

Ingenieur und ordentlichem Professor der Bau- und Ingenieurwissenschaften an der Universität Gießen, vormaligem Seetionsingenieur der Hessischen

Ludwigseisenbahngesellschaft.

Scparat-Abdruck aus dem Civilingenieur, Band XIV und XVI.

Mit acht lithographirten Tafeln.

Leipstg.

Verlag von Arthur Felix. 1870.

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Akc. Nr.

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Bei dem einseitig festgehaltenen Träger, s. Fig. 6

bp (ys + yp)

pfp = gz0 —j

Die nur zeitweise Belastung P trägt nur im günstig

Zweiter Abschnitt.

ÜlQtjj

Einleitung

Inhalt.

Spalte

spätte

38

Erste Abtheilung.

Die Ueberbauconftructtonen ber Brücken n Hochbauten 3

Erster Abschnitt.

Die statischen Gleichgewichtsbebingnngen ber Ueberbauconftructtonen.

A.    Erfüllung ber allgemeinen Gleichgewichtsbebingnngen.

1.    Träger mit n Oeffnungen nnb n -s-1 Stützpunkten . .    3

2.    Träger mit einer Oeffmtng nnb zwei Stützpunkten .    6

3.    Einseitig überbauter Träger .........

B.    Erfüllung ber Gleichgewichtsbebingnngen im Besonberen.

I.    Herstellung bes Gleichgewichtes ber Träger gegen lothrechtes

Fortschreiten.............

II.    Herstellung bes Gleichgewichtes ber Träger gegen waage

rechtes Fortschreiten.

1.    Herstellung bes Gleichgewichtes gegen Zerreißen nnb

Z erb rücken..............

a)    Die Systeme mit aufgehobenem Horizontalschnb . . 10

b)    Die Systeme mit nicht aufgehobenem Horizontalschnb 10

c)    Die einseitig überbauten Systeme.......

2.    Herstellung bes Gleichgewichtes ber balkenartigen Träger

gegen waagrechte Verschiebung im Inneren ... 18

III.    Herstellung bes Gleichgewichtes ber Träger gegen brehenbe

Bewegung.

1.    Bestimmung bes Wiberstanbsmomentes im Allgemeinen 21

2.    Bestimmung bes, beut größten Angriffsmoment ent-

sprechenben, Wiberstanbsmomentes......

3.    Bestimmung bes kleinsten, hinsichtlich bes Materiales

zulässigen, Wiberstanbsmomentes

Zweiter Abschnitt.

Die allgemeine Anorbnnng ber Träger mit n + l bis zu 2 Stützpunkten ober mit einseitiger Befestigung .... 32

Erstens. Die geschlossenen Systeme

A. Die auf bte ganze Trägerlänge geschloffenen Systeme .    .    33

I.    Die geschloffenen Systeme mit gegebener Hanptform nnb

gegebener Belastung...........

1 Systeme mit conftanter Quer schnittsf orm ober mit con-

ftanter Höhe . .'...... ... . ■ •

2. Systeme mit waagrechter oberer ober unterer nnb bzw. bogenförmiger unterer ober oberer Begrenzung.

II.    Die geschloffenen Systeme mit gegebener Belastung nnb

gesuchter Form...........

1. Träger mit concentrirter Belastung.

a)    Mit einseitiger Festhaltnng........

a) Bei conftanter Breite bes Trägers ....

ß) Bei conftanter Höhe bes Trägers.....

y) Bei ähnlichen, rechteckigen Querschnitten. . .

b)    Mit zwei Stützpunkten.........

2. Träger mit vertheilter Belastung........

a)    Mit einseitiger Festhaltnng.........

of) Bei conftanter Breite bes Trägers.....

ß) Bei conftanter Höhe bes Trägers......

7) Bei ähnlichen, rechteckigen Querschnitten. . . .

b)    Mit 2 Stützpunkten . *..........

a) Bei conftanter Breite bes Trägers.....

ß) Bei conftanter Höhe bes Trägers......

y) Bei ähnlichen, rechteckigen Querschnitten bes Trägers

III. Die geschlossenen Systeme von gegebener Form nnb gesuchter Belastung............

B. Die nicht auf bte ganze Trägerlänge geschloffenen Systeme 40

38

38

38

39

39

39

39

39

40

10

12

27

. 30

33

33

33

. 35

37

. 37

37

37

. 37

38

Zweitens. Die offengebauten Systeme.

A. Die einfachen offengebauten Systeme.

I.    Die offengebauten Systeme mit gegebener Form und ge

gebener Belastung.

1.    Die Träger mit conftanter Hohe ober die Parallelträger

a)    Die Parallelträger mit Stäben nach dem System des

rechtwinkligen Dreieckes..........

b)    Die Parallelträger mit Stäben nach dem System des

gleichschenkligen Dreieckes.........

2.    Die Träger mit theilweise conftanter, teilweise variabler

Höhe................

. 3. Die Träger mit gegebener variabler Höhe . . . .

II.    Die offen gebauten Systeme mit gegebener Belastung und

gesuchter Form............

1.    Die Träger mit concentrirter Belastung ober bie poly

gonalen Trägersysteme.

a)    Die Systeme mit aufgehobenem Horizontalsckmbe. .

a) Die versteiften polygonalen Systeme.....

ß) Die mehrfachen nnb versteiften trigonalen Systeme

b)    Die Systeme mit nicht aufgehobenem Horizontalschnbe

1)    Die Systeme mit gezogenen Hanptgliebern . . .

2)    Die Systeme mit gebrückten Hanptgliebern . . •

3)    Die Systeme mit gezogenen nnb gebrückten Hanptgliebern ...............

2.    Die Träger mit verteilter Belastung nnb Zwei Stütz

punkten, ober bte curoenförmigen Systeme . . .

a)    Die Träger mit gleichförmig vertheilter Belastung. a) Die Träger mit gleichförmig auf bte Projection

vertheilter Belastung.........

ß) Die Träger mit gleichförmig ans bte Länge theilter Belastung. .........

b)    Die Träger mit ungleichförmig vertheilter Belastung.

a) Die Träger mit nach beut Stützpunkte hin proportional znnehmenber Belastung    -    -

ß) Die Träger mit gerabe abgeglichener Belastung .

ver

4»    ^    ^    4*    '    ^

4=»    4*    4*4»“ l-t

4^

Ox

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IV

Lvalre

111. Die offengebauten Systeme mit gegebener Form und gesuchter Belastung.

1.    Die Träger, welche den Kreis oder einen Theil des

Kreises zur Systemform haben.

a)    Die Träger mit Halbkreis oder mit vollem Bogen . 57

b)    Die Träger mit kreisförmigem Segment- oder Stich-

bogen ...............

c)    Die Träger, welche eine aus Kreisstücken zusammen

gesetzte Systemform haben.

a) Die Träger mit der Form des deutsch-gothischen

Spitzbogens...... .......

ß) Die Träger mit der Form des englisch-gothischen

Spitzbogens.............

y) Die Träger mit der Form des aus mehreren Kreissegmenten zusammengesetzten Bogens oder des Korbbogens . . . .' . . . . . . .    . ...

2.    Die Träger, welche die Ellipse zur Systemform haben 62

B.    Die aus je zwei offenen Systemen zusammengesetzten Systeme 65

C.    Die aus geschlossenen und offenen Systemen zusammenge

setzten Systeme............

1.    Die aus geschlossenen und trigonalen Systemen zusam

mengesetzten Systeme..........

2.    Die aus geschlossenen und polygonalen Systemen zu

sammengesetzten Systeme.........

59

60

61

61

66

66

66

Zweite Abtheilung.

Die Aufbauconstructionen der Brücken und Hochbauten

. 67

Erster Abschnitt.

Die statischen Gleichgewichtsbedingnngen der Aufbauconstructionen.

A.    Erfüllung der allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen. . . 67

B.    Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen im Besondere.

I.    Herstellung des Gleichgewichtes der Stützen gegen loth

rechtes Fortschreiten.

1. Herstellung des Gleichgewichtes gegen Zerdrücken . . 69

II.    Herstellung des Gleichgewichtes der Stützen gegen waag

rechtes Fortschreiten

III.    Herstellung des Gleichgewichtes der Stützen gegen Drehung 70 1. Herstellung des Gleichgewichtes mit dem Unterbau verankerter Stützen gegen Drehung.

a)    Unter gleichzeitiger Einwirkung horizontaler und ver

tikaler Kräfte

b)    Unter alleiniger Einwirkung vertikaler Kräfte... 75

1)    Die Stütze mit festem unteren und freiem oberen

Ende................

2)    Die Stütze mit seitlich unverschieblichen, aber drehbaren Enden..............

3)    Die Stütze mit festem unteren und und unverschieblichem, aber drehbarem oberen Ende.....

4)    Die Stütze mit festem oberen und festem unteren

Ende................

69

70

76

78

78

79

spalte

1.    Die geschlossenen Stützen mit constanter Querschnittsform 81

2.    Die geschlossenen Stützen mit variabler Querschnittsform 82

a)    Die Stützen von gleichem Widerstände gegen Druck 82

1)    Mit quadratischem Querschnitt.......

2)    Mit rechteckigem Querschnitt und einer constanten

Seite................

3)    Mit rechteckigem Querschnitt von constantem Seitenverhältnis ..............

4)    Mit kreisförmigem Querschnitt.......

5)    Mit ringförmigem Querschnitt......

b)    Die Stützen mit, den Körpern von gleichem Wider

stände gegen Druck angenäherter, Form . . .    . 84

II. Auf Ausbiegung widerstehende Stützen......

1.    Die aus Ausbiegung widerstehenden Stützen mit con

stanter Querschnittsform........ . .

2.    Die auf Ausbiegung widerstehenden Stützen mit va

riabler Querschnittsform.........

a)    Die Stützen mit constanter Festigkeit gegen Ausbie-

gung bei constanter Dicke.........

b)    Die Stützen mit constanter Festigkeit gegen Ausbie

gung bei constanter Breite........

c)    Die Stützen mit constanter Festigkeit gegen Ausbie-

gung bei ähnlichen Querschnitten......

B. Die Stützen mit geneigt wirkender Belastung.....

I.    Die einem Erd- oder Wasserdrücke oder beiden zugleich

widerstehenden Stützen . . . . . ......

1.    Die Ufer-, Quai- und Futtermaueru ......

a)    Herstellung des Gleichgewichtes gegen lothrechtes Fort

schreiten ...............

b)    Herstellung des Gleichgewichtes gegen waagrechtes

Fortschreiten.............

c)    Herstellung des Gleichgewichtes gegen drehende Be

wegung ...............

2.    Die Bohlwerke.

tt) Mit unverstrebten Bohlwerkspfählen.

a)    Herstellung des Gleichgewichtes gegen lothrechtes

Fortschreiten.............

b)    Herstellung des Gleichgewichtes gegen waagrechtes

Fortschreiten.............

c)    Herstellung des Gleichgewichtes gegen drehende Bewegung ...............

ß) Mit verstrebten Bohlwerkspfählen......

y) Mit aufgesetzten Bohlwerkspfählen......

II.    Die einem Seitenschube der Ueberbauconstruction wider

stehenden Stützen............

1.    Die Ankerpfeiler .............

a)    Die Hängeträger auf Rollenstühlen......

b)    Die Hängeträger auf festen Lagern......

2.    Die Widerlagspfeiler

3.    Die Zwischenpfeiler

83

84

83

83

83

85

85

87

88

89

92

94

94

95

95

96

96

98

98

98

102

103

105

107

108

Zweiter Abschnitt. Die allgemeine Anordnung der Stützen . .

Erstens. Die geschlossenen Systeme . . A. Die Stützen mit lothrechter Belastung - I. Auf Druck widerstehende Stützen

. 79

80

80

81

Zweitens. Die offengebauten Systeme.....

A.    Die offengebauteu Systeme mit Kern und Mantel.

1.    Gleichgewicht gegen lothrechtes Fortschreiten . .

2.    Gleichgewicht gegen waagrechtes Fortschreiten .    . . • 108

3.    Gleichgewicht gegen Drehung . .

B.    Die offengebanten Systeme ohne Kern

108

109

111

Tritte Abtheilung.

Die littterbauconftructioneit der Brücken und Hochbauten .............. .

Spalte

Spalte

113

Erster Abschnitt.

Die statischen Gleichgewichtsbedingungen der Unterbauconstructionen.

A.    Die Erfüllung der allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen . 114

B.    Die Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen im Besonderen.

I.    Herstellung des Gleichgewichtes der Unterbauconstructionen

zur Vermeidung einer normal zur Gründungsbasis fortschreitenden Bewegung.

1.    Bei geneigtem Oberdrucke und geneigter Gründuugsbasis 116

2.    Bei geneigtem oder senkrechtem Oberdrucke und waag

rechter Gründungsbasis..........

II.    Herstellung des Gleichgewichtes der Unterbauconstructionen

zur Vermeidung einer zur Gründungsbasis parallel fortschreitenden Bewegung.........

III.    Herstellung des Gleichgewichtes der Unterbauconstructionen

zur Vermeidung einer Drehung . . .

Zweiter Abschnitt.

Die allgemeine Anordnung der Unterbauconstructionen zur Herstellung des statischen Gleichgewichtes.

I. Anordnung der Unterbauconstruction zur Vermeidung einer

seitlichen Verschiebung auf der Gründungsbasis.    . 119

1 Directe Verhinderung einer Verschiebung auf der Gründungsbasis ..............

2. Jndirecte Verhinderung einer Verschiebung auf der Gründungsbasis ..............

II Anordnung der Unterbauconstructionen zur Vermeidung einer Drehung

III. Anordnung der Unterbauconstructionen zur Vermeidung eines Einsinkens in den Baugrund.

1.    Bei festem Obergrunde............

2.    Bei festem Untergründe...........

3.    Bei unfestem Baugrunde...........

119

119

. 120

120

121

121

117

118

. . 118

Dritter Abschnitt.

Die Ausführung der Unterbauconstructionen.

1.    Die Gründungen auf Pfahlrost . . .

2.    Die Gründungen mit Senkbrunnen

a.    ohne Anwendung von Luftdruck . .

b.    mit Anwendung von Luftdruck . .

3.    Die Gründungen mit Senkröhren

a. ohne Anwendung von Luftdruck .    .

b)    mit Anwendung von verdünnter Luft

c)    mit Anwendung von verdichteter Luft

Vierter Abschnitt.

Die Erhaltung der Unterbauconstructionen .

125

125

126

127

129

129

130

Tafeln.

1 - 4. Die Grundsysteme der Ueberbauconstruct-ionen int Brücken- und Hochbau. 5—6 Die Grundsysteme der Aufbauconstructionen im Brücken- und Hochbau. 7-8. Die Grundsysteme der Unterbauconstructionen im Brücken- und Hochbau.

Druckfehler

Spalte 4. In Formel (8) lies + H statt H.

5. In Formel (ll) lies ± H statt — H.

5*. In Formel (16) sind vor Amx einige Puncte einzuschalten.

(1-8)

statt

6. In Formel (28) lies

6. In Formel (32) lies q: H statt H.

6. In Formel (35) lies ± H statt H.

9. Zeile 5 v. u. lies x statt x,.

10.    Zeile 14 v u. lies: und für x = 0 tn Gleichung (49) Gx = o, daher u. s. w.

11.    Zeile 18 v. u. lies Axx statt A,.

12.    In Formel (78) und (80) lies Axx statt A,.

13.    In Formel (86), (87) und (88) lies Axx statt A}.

14.    Zeile 4 v. u. streiche: spannungen.

17. In Formel (106) lies yp statt pp-

17.    In Formel (107) und (108) lies Axx statt Av

18.    In Formel (114) und (116) lies A,x statt Av

19.    Zeile 6 v. o. lies wenn statt da.

23. Zeile 13 v. u. streiche: daher.

23. In Formel (143) lies as statt az.

25. In Formel (152) lies AjX statt A,.

25.    Zeile 2 v. u. streiche: aus.

26.    Zeile i v. o. streiche: aus.

31. Zeile 11 v. u. lies U statt 2.

35. In Formel    (224a)    und (225a) lies h    statt    h².

41. Zeile    16 v.    o. lies    Parallelträger    statt    Parabelträger.

41.    Zeile    8 v. u. lies ys + yp statt yp    + yp-

42.    Zeile    10 v.    u. lies    Taf. 1. Fig. 18    statt    Fig.    32.

43.    In Formel (262) lies Vx“ statt Vx'.

44.    Zeile 10 v. o. lies (268) statt (267).

44.    In Formel (272) lies Vx statt Vx'.

45.    In Formel (275) lies xn statt xn.

46.    Zeile 2 v. o. lies gehn statt geht.

46.    Zeile    13    v.    o.    lies    Vm Vm-|-1 ~j~ Vn    statt    V    m Vm-j-i -st vm.

46.    Zeile    20    v.    o.    lies    xm—i statt X.

46. In Formel (280) lies . . . Vn statt . . . Vn.

46.    Zeile    9.    v.    u.    lies    yp, und ysx statt    y°₂    und    yu,.

51.    Zeile    14    v.    o.    lies    gegen statt rc.

51. Zeile 8 v. u. lies auch statt nicht.

55 u. 56. In Formel (346) und (347) ist die    erste    Klammer    vor    dem    dritten    -st    zu    schließen.

58.    Zeile 10 u. ll v. u. lies: Wird aus    Gleichung    (3 50)    der    Werth    für    -jjjr    u-    f- w.

59.    Im Nenner der Formel (359) lies g(r—y)³ statt g (r—y)2 59. Zeile 7 v. u. lies Stichbogen statt Stützbogen.

59.    Zeile 2 v. u. lies: Stützpunkt.

60.    Im Nenner der Formet (366) streiche g.

60. Zeile 17 v. u. lies y — r statt y ----- f.

61—62. In Formel (368) lies dreimal r-64. Zeile 2 v u. lies y' statt y.

„    107. Der Wurzelgröße in Formel (625) ist das Glied

,,    125. Zeile 32 v. o. lies welchen statt welcher.

(i-r)

statt

hinzuzufügen

Einleitung.

Die zahlreichen Theorieen, welche seit der Gründung wissenschaftlicher Bauschulen durch die aus ihnen hervorgegangenen theoretisch gebildeten Praktiker für die einzelnen Gattungen der Bauconstructionen aufgestellt worden sind, scheiden dieselben wegen der verschiedenen Structur und Widerstandsfähigkeit der anzuwendenden Baustoffe und der dadurch bedingten Verschiedenheit der constructiven Anordnung von vornherein nach dem Bau materiale. Innerhalb der auf diese Weise gesonderten drei Gebiete der Stein-, Eisen- und Holz-Constructionen theilt man die überbauten oder freitragenden Constructionen wieder in Balken- oder Barrenträger, Bogenträger und aufgehängte Träger, welche man häufig von vornherein wieder einer gesonderten Behandlung unterwirft und innerhalb dieser drei Hauptgattungen der Constructionen die Arten derselben meist ohne wissenschaftlichen Eintheilungs-grund, z. B. nach dem Namen der Erfinder oder der Länder, wo sie erfunden worden sind, classificirt und demgemäß wieder, ohne Rücksicht auf deren constructive Verwandtschaft, für jede derselben eine besondere Theorie aufstellt. Die Balkenträger har man nach der Zahl ihrer Stützpunkte vorzugsweise als continuirliche und nicht-continuirliche behandelt, während doch die meisten Bogen-und aufgehängten Träger über mehrere Oeffnungen ebenfalls ein Continuum bilden.

Auf diesem theoretisch-praktischen Wege ist zwar für die Möglichkeit der Berechnung und Ausführung der einzelnen Constructionsarten hinreichend gesorgt worden, aber bei dieser ausschließlichen Cultivirung der Einzelgebiete der Ueberblick über das Gesammtgebiet und eine diesem entsprechende gemeinsame Herleitung unter sich verwandter Constructionen und deren Theorieen aus den ihnen zu Grunde liegenden statischen Gesetzen mehr oder minder unbeachtet geblieben.

Und doch liegt allen Stein-, Eisen- und Holzconstruc-tionen ein gemeinsames Constructionsprincip zu Grunde, welches von dem Baumaterial unabhängig ist, während erst bei Auswahl des einzelnen Constructions-systems, sowie bei Bestimmung der Abmessungen und Verbindungen der Constructionstheile die Widerstandsfähigkeit des Materiales, mithin die Materialgattung in Betracht kommt.

Kann man nun schon hinsichtlich des zu verwendenden Baumateriales das Constructionsprincip über die Materialgattung stellen, so kann man dies umsomehr bei Behandlung der genannten drei Constructionsgattuugen, unter,welchen die Bogen- und ausgehängten Träger nur Theile oder eigentlich nur specielle Fälle gewisser Balkenträger sind. Leitet man die Theorie dieser letzteren unter der allgemeinen Annahme von u Feldern oder n + 1 Stützpunkten ab, so ergiebt sich auch der Bogen- und ausgehängte Träger mit n + 1 Stützpunkten als ein specieller Fall jenes continuirlichen Balkenträgers.

Was hier von der theoretischen Behandlung der freitragenden Constructionen gesagt worden ist, gilt hinsichtlich des Constructionsprincips auch von den ausgebauten oder stützenden und den unterbauten oder Grundbau-Constructionen. Auch hier steht das Constructions-princip zunächst über der Materialgattung und ist erst bei der Detailanordnung die Beschaffenheit des angewendeten Materiales von mehr oder weniger Einfluß.

Der nachfolgenden Abhandlung liegt die Absicht zu Grunde, die allgemeinen Constructionsprincipien der Bau-constructionen, insoweit sie von der Materialgattung, insbesondere von deren Widerstandsfähigkeit unabhängig - sind, mit wissenschaftlicher Strenge aus den allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichtes zu entwickeln und hieraus die wichtigsten Anordnungen der einzelnen Constructionssysteme mit Hinweis auf die ihnen beigegebenen systematisch geordneten Tabellen abzuleiten.

Es liegt in der Natur der Sache, daß aus den bekannten statischen Gesetzen neben neuen Gesichtspunkten und Systemen sich auch bekannte constructive Gesetze ergeben werden. Aus diesem Grunde legt der Verfasser ein besonderes Gewicht auf die Behandlungsweise dieses eben so weitschichtigen, als bis jetzt wissenschaftlich ungeordneten Materiales, aus welcher, zum Zweck einer klaren Uebersicht über und Einsicht in das Wesen des baulichen Construirens, wie er hofft, eine auf ausschließlich wissenschaftlichen Grundsätzen beruhende klare und deutliche, geordnete und möglichst vollständige, zusammenhängende und in sich einstimmige: „allgemeine Theorie der Bauconstructionen" sich allmälig entwickeln werde.

Die Mittheilung der, bei Anwendung der folgenden Sätze auf die Berechnung der einzelnen Bauconstructionen selbst erforderlichen, Weiterentwickelung der erhaltenen For-

mein, sowie die daraus abgeleitete statisch-numerische Berechnung dieser Constructionen würde über die, durch den Umfang einer Zeitschrift gesteckten, Grenzen hinausführen, ein Grund, welcher auch die Behandlung der Kuppelcon-structionen hier ausschloß, jedoch behält sich der Verfasser die Mittheilung einzelner Entwickelungen vor, welche theils an und für sich, theils zur Fortführung der nachfolgenden Theorie von allgemeinerem Interesse sind.

Die Construction der Brücken und Hochbauten zerfällt in diejenige

1.    der freitragenden Theile oder des UeberbaueS (Brückenträger, Dächer, Zwischendecken),

2.    der steigenden Theile oder des Aufbaues (Stützen, Pfeiler, Joche, Umfangs- und Zwischenwände),

3.    der Fundamente oder des Unterbaues (Grundbau).

Erste Abtheilung.

Die Ueberbauconstruetionen der Brücken und Hochbauten.

AxL + An (L—li) +... An(L—1i—ln—...ln-i)

— Gngn — 0.    .....

Aus den 2 Gleichungen (1) und (3) lassen sich bei unelastischen Trägern mit Hilfe der statischen Momente, bei elastischen Trägern mit Hilfe der Gleichung der elastischen Linie die n + 1 unbekannten Auflagerdrücke, aus Gleichung (2) die (n + 2) te unbekannte angreifende Kraft finden, nämlich: aus (1), (2) und (3) bzw.

Am+i = Grn — (A₁ +... Am + Am_j-2 + • •«An_j_i), (4) H' = H,

Arn —

Die Ueberbauconstruetionen der Brücken und Hochbauten sind solche mit je 2 oder mehr nebeneinander, oder je 2 übereinander liegenden Stützpunkten, und in diesen Fällen beziehungsweise abgesetzte (discontinuirliche), fortlaufende (continuirliche) und einseitig üb erbaute Träger.

Der statische Zweck dieser Träger ist die seitliche Uebertragung der freiwirkenden (veränderlichen und ständigen) Belastungen auf ihre Stützpunkte. Um diese Uebertragung zu bewirken, müssen die angreifenden (äußeren) und widerstehenden (inneren) Kräfte dieser Träger vermöge ihrer constructiven Anordnung in's Gleichgewicht gegen

a)    lothrecht fortschreitende Bewegung,

b)    waagrecht fortschreitende Bewegung,

c)    drehende Bewegung gesetzt werden.

(3)

(5)

(•

—)[0,

m—1 J

gn AXL

L—-lj—... 1 A j, f L 1| j    ... Am—i (L I [ . • • lm—2)

Erster Abschnitt.

Die statischen Gleichgewichtsbedingungen der Ueberbauconstruetionen.

A. Erfüllung der allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen.

1. Träger mit n Oe ff nungen und n + 1 Stützpunkten.

Die allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichtes der angreifenden Kräfte sind mit Rücksicht auf die Bezeichnungen der Figur 1, Taf. 1, bzw.:

Aj “j— An -j™ ... An+i — Grn ⁼⁼ 0, .

H —H' = 0,....... .

+Am+i (L — lj —... lm)

+An (L — lt—... ln—1)],

während die (n + 3) te unbekannte angreifende Kraft H vorläufig unbestimmt bleibt.

Die allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichtes der angreifenden und widerstehenden Kräfte sind mit Rücksicht auf die Figur 2, Taf. 1, bzw. :

- - (6)

• - (7)

Ax    An ~i*~ •. • Am — Grx — Vx ⁼⁼ 0, .

H + Hxp — Hxs = 0,......

Aj (li + ... lm—1 + x) + All (ln + . • • lm-1 + x)

+ ...Amx — Gxgx — Hxp.yp — Hxs.ys =0, (9)

(8)

d. h. 3 Gleichungen, woraus sich die 3 unbekannten widerstehenden Kräfte:

Vx — Aa + All + • • • Am — G Hxp = Hxs—H.....

- - (10)

und aus Gleichung (5)

(11)

H/ =

[Aj (lt + ...lm-i + x)

ys+yp

+ A₁₁ (ln + ... Im—i + x) + ... Am x + Hyp —Gxgx].......

(12)

ergeben, während auch hier die Horizontalwirkung H unbestimmt, mithin durch eine entsprechende Anordnung der Ileberbauconstruction zu bestimmen bleibt.

H' = Hxp.

Aus den Gleichungen (22) und (23) folgt, daß Hxp für alle Abseiften der Horizontalwirkung H oder H' gleich, mithin durch alle Oeffnungen des Systemes constant ist und mit dem Horizontalschub H oder H' ein Kräftepaar mit dem Hebelsarm yp bildet. Die Bedingung (21) verwandelt die Gleichung (9) in:

. . (23)

Erste Anordnung. Man hebt den Horizontalschub H auf, d. h. man macht

Hxp.yp — Ax (I₁ + ...lm_₁ + x)

+ Au(1,[ +...lm—i + x)+ Amx — Gxgx. (24)

H = 0,

(13)

In diesem Falle ergiebt sich aus Gleichung (5) auch H' = 0, . .

- - (14)

und aus Gleichung (11):

- - (15)

Hxp = H/.    .

Aus Gleichung (14) folgt, daß mit H auch der Horizontalschub H' verschwinvet, aus Gleichung (15), daß die Horizvntalwiderstände Hxp und Hxs ein Kräftepaar mit dem Hebelsarm ys+yp bilden, welches übrigens für verschiedene Abseiften x gleich oder verschieden sein kann. Wegen der Bedingung (13) geht Gleichung (12) über in:

2. Träger mit einer Oeffnung und zwer Stützpunkten.

Unter den Brückenträgern ist derjenige mit einer Oeffnung und zwei Stützpunkten der relativ wichtigste. Setzt man für den Träger mit n Oeffnnngen und u-s-1 Stützpunkten :

Aa ^11 Am—i Ain-|_2 ^-m-f-3 • ♦ • An-j-i 0,

n = , Gn = Gclr gn = gi und L = 1,

für den Träger mit 1 Oeffnung und 2

so ergeben

Stützpunkten, s. Fig. 3, aus den Formeln (1) bis (3) die allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichtes der angreifenden Kräfte:

Hxs (yp + ys) = Hxp (yp + y³)

— Ax (lx + ln + ... lm—1 + X)

+ Au (ln + .. -lm-i + x) + Amx — Gxgx. (16)

Ai 4- An — G-* = 0.....(25)

H—Hx == Ö, . .

A,l —Glgl = 0,    .

Zweite Anordnung. Man hebt den oberen Hori-zontalwiderstand auf, d. h. man macht

Hxp = 0. . . .

Alsdann ergiebt sich aus Gleichung (11)

H = H/ .    .    .

- - (26) . - (27)

also 3 Gleichungen, woraus sich von den 4 unbekannten angreifenden Kräften nachstehende 3, nämlich

(17)

(i—g)

- - (28)

(18)

und aus Gleichung (5)

H' = H, .

_ G-jgi

. - (29)

Ai =

(30)

(19)

H' = H/

Aus den Gleichungen (18) und (19) folgt, daß Hxs für alle Abseiften der Horizontalwirkung H oder H' gleich, mithin durch alle Oeffnungen des Systemes constant ist und mit der Horizontalwirkung H oder H' ein Kräfte- j paar mit dem Hebelsarm y³ bildet. Wegen der Bedingung (17) geht Gleichung (9) über in

Hxs.ys — Ax (l₁+...lm_₁ + x)

+ AX1 (In + • • • lm-i + x) + ...Amx—Gxgx. (20)

unmittelbar ergeben, während die vierte unbekannte angreifende Kraft H vorläufig unbestimmt bleibt.

Weiter folgen aus den Formeln (7) bis (9) die allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichtes der angreifenden und widerstehenden Kräfte, s. Fig. 4, Taf. 1:

- - (31)

Dritte Anordnung. Man hebt den unteren Hvri-zontalwiderstand aus, d. h. man macht:

Hxs ,= 0. . . .

Alsdann ergiebt sich aus Gleichung (11)

H = Hxp . . .

Ai-Gs-V* = 0,    .

H + Hxp—Hfs = 0,

Gxgx—AjX + HxPyP + H/y³ = 0, . (33) 3 Gleichungen, woraus sich die drei unbekannten widerstehenden Kräfte:

(32)

(21)

(22)

— Aj — Gx, Hxp = Hx³-H,

Vx

(34)

(35)

A)X + HyP — Gxg,

yp + ys

. . (36)

. . (38)

A — G = 0, . . H + H" —H' = 0

(43)

(44)

H" =

h' + h" / •

(46)

(47)

(49)

(50)

- - (51)

Hxp =

yp+ys

- - (54) . . (55)

(56)

- - (57)

Ai + An T" • - * Am — G

ergeben, während auch hier der Horizontalschub H vorläufig unbestimmt bleibt und durch eine der drei allgemein für den Träger mit n Oeffnungen und n-^-1 Stützpunkten entwickelten constructiven Anordnungen bestimmt wird. Man erhält für diese 3 Fälle alsdann die nachstehenden Formeln:

Erste Anordnung. Für diese Anordnung ist aus Gleichung (13) und (14):

h = h; = o,

und aus Gleichung (15):

Hxp = Hxs,

daher verwandelt sich Gleichung (36) in:

Hxs (ys+yp) = Hxp (yp + ys) — AjX —Gxgx. (37)

Zweite Anordnun g. Für diese Anordnung ist aus Gleichung (17):

Hxp = 0,

und aus Gleichung (18) und (19)

H = H' = Hxs,

daher verwandelt sich Gleichung (33) in:

Hxs • y³ = Aj x Grx gx.

Dritte A u o r d n u n g. Für diese Anordnung ist aus Gleichung (21):

Hx³ = 0,

und aus Gleichung (22) und (23)

H — H' = Hxp,

daher verwandelt sich Gleichung (33) in:

Hxp . yp — Atx — Gxgx. . . . (39)

3. Einseitig überbauter Träger.

Die allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichtes der angreifenden Kräfte sind mit Rücksicht auf die Bezeichnungen der Figur 5 bzw.:

(40) . - (41)

Gg — H'h' —H"h" = 0, . . . (42) drei Gleichungen, woraus wegen 8 — 0, die 3 unbekannten angreifenden Kräfte

A — G,

H' = H"

- - (45) gefunden werden.

Die allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichtes der angreifenden und widerstehenden Kräfte sind mit Rücksicht auf die Bezeichnungen der Figur 6 bzw.:

Gx + Vx—A = 0, Hxp — Hxs == 0,    .

Ax —G-x.gx —Hxp.yp—Hxs.ys = 0, .    (48)

drei Gleichungen, woraus sich die 3 unbekannten widerstehenden Kräfte:

V* = A-Gx,

Hxs = Hxp,

A x Grx • gx ergeben.

Ans den Gleichungen (44) und (50) folgt, daß die angreifenden Kräfte H und H' ein Kräftepaar mit dein Hebelsarm h'-j-h", und die widerstehenden Kräfte Hxs und Hxp ein Kräftepaar mit dem Hebelsarm y³ + yp bilden. Da beide Gleichungen gleichzeitig bestehen,, so ergiebt sich durch Subtraction:

H'—HZ = H" — Hxp ,    . . . (52)

woraus folgt, daß

Hx³ = H' und Hxp = H", . . . (53) daß beide Widerstände mithin zwei Constaute bilven, welche den angreifenden Kräften IT und H" bzw. gleich und entgegengesetzt sind.

B. Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungeu im Besonderen.

I. Herstellung des Gleichgewichtes der Träger gegen lothrechtes Fortschreiten.

Das durch die Gleichungen (1), (25) und (40) bedingte Gleichgewicht der angreifenden Kräfte der Träger wird constructiv bewirkt, wenn die Summen der lothrechten Auflagergegendrücke den Totalgewichten der Träger gleich, d. h. beziehungsweise

Aj T An + ... An+i — G

Ai T⁻ An —- Gi,

A = G, . . .

wenn ferner jeder einzelne Auflagergegendruck deui ihm zufallenden größten Druckantheil der Gesammtbelastnngen gewachsen ist. Für den Träger mit n + 1 Stützpunkten lind daher n + 1 Gegendrücke Aj, Au... A„₊₁ herzustellen, deren Größe für jeden besonderen Fall in der, bei Besprechung der Gleichungen (1) und (3) angegebenen, Weise zu bestimmen ist, während für den Träger mit 2 Stützpunkten Ai und Au sich bzw. aus den Gleichungen (28) und (30) ergeben. Für den einseitig üherbauten Träger ist diese Bedingung in Gleichung (56) schon inbegriffen. Die Entwickelung der erforderlichen Auflagergegendrücke ist durch die Anordnung der Aufbauconstructionen zu bewirken.

- Wird in Gleichung (10). für den Träger mit n + 1 Stützpunkten

- - (62)

. - (64)

- - (65)

(66)

• . (72)

so ergiebt sich der kleinste Werth des Verticalwiderstande-s Vx = VZm = 0, . .

. . (58)

worin

Vx = V* = 0, . .

und die Abseifst

(68)

(59)

x — lm

desjenigen lothrechten Schnittes aß der niten Oeffnung, welcher das Trägergewicht dieser Oeffnung in eine links auf den mtejt, s. FLg. 2, und in eine rechts aus den (ra-stl)ten Stützpunkt sich übertragende scheidet, in welchem mithin eine Nebertragung weder aus den inten, noch aus den (ni-stl)ten stattfindet. Dieser lothrechte, hinsichtlich der Uebertragungsrichtung sich neutral verhaltende Schnitt erscheint daher in dieser Beziehung als neutraler Ver-ticalschnitt.

Wird in Gleichung (10)

den Abstund des neutralen Verticalschnittes von dem Iten Auflager bezeichnet.

Für x = 0, in welchem Falle auch Grx Null wird, ergiebt sich aus Gleichung (34):

x = 0

und damit der Antheil GV von Gx dieser Strecke Null, so ergiebt sich der größte Werth' des Verticalwidkrstandes I zwischen den Abstissen lm und 0, nämlich

Vx V₀raax ⁼⁼⁼ A^ —{— An —j— ... Am —

— (Gx—Gx'), = Ax    An + •.. Am—Gx , (60)

. • (69)

= Av .

Nach Gleichung (34) ist daher für jede zwischen l und 0 gelegene Abseifst x der Verticalwiderstand gleich dem Gewichte des zwischen dem neutralen Perticalschnitt und dieser Abseifst gelegenen Trägerstückes.

Für den einseitig festgehaltenen Träger von der Länge 1 ergiebt sich aus Gleichung (49) für x — 1:

V₀

Vi = 0, .

. - (70)

und für x — 1 aus Gleichung (49) und (40) G\ — G — A, daher

V₀max — A

(71)

Die Entwickelllng der nöthigen Verticalwiderstände Vx gegen die ihnen gleichen und direct entgegengesetzten vertical abscheerenden Kräfte ist dagegen durch die Anordnung der '    *    (61) Ueberbauconstruction derart zu bewirken, daß für jeden Ver-

ticalschnitt der durch die Gleichungen (10), (34) und (49) Wird der Auflagerdruck Am des ruten Stützpunktes in | gegebene Werth Vx mindestens gleich sei der abscheerenden diejenigen Druckantheile Am und Am" zerlegt, welche bzw. von den auf ihn übertragenen Belastungen der (m—1) teil und uiten Oeffnung erzeugt werden, so zerfällt wegen

wenn kurz

gesetzt wird.

Gx-Gx' = Gx" .

Kraft, oder daß., wenn f die vermale Querschnittsfläche des Trägers für die Abseifst x, v die abscheerende Kraft für die Quadrateinheit des angewendeten Materiales be

Am - Am ~f“ Am

Gleichung (60) in zwei neue Gleichungen, nämlich:

Ai -f- An -j- ... Am —Gx — 0, .    . (63)

und

yomax — Am". .

Werden nun die Werthe Am' + Am" = Am und Gx + Gr/ — Gx in Gleichung (10) eingeführt, so läßt sich dieselbe auch

Vx — Al -st All "4"- • • • -A-m -f⁻ Am Gx Gx schreiben, woraus wegen Gleichung (63) folgt:

V — A "_G z

\ x - •

Der Verticalwiderstand ist daher gleich dem Gewichte des, zwischen dem neutralen Vertical-schnitt und der beliebigen, zwischen Xm nnd 0 gelegenen Abscisse xt, befindlichen Trägerstückes.

Wird in Gleichung (34) für den Träger mit 2 Stützpunkten

— Gr

so ergiebt sich der kleinste Werth des Verticalwiderftandes:

deutet :

Vx > f.v.

II. Herstellung des Gleichgewichtes der Träger gegen waagerechtes Fortschreiten.

1. Herstellung des Gleichgewichtes gegen Zerreißen und Zerdrücken.

Das Gleichgewicht der angreifenden Kräfte gegen waagerechtes Fortschreiten ist entweder gegeben durch die Gleichungen (13) und (14) der Systeme mit aufgehobenem Horizontalschub, oder durch die Gleichungen (18) und (19), (22) und (23) der Systeme mit nicht aufgehobenem Horizontalschnb, oder endlich durch die Gleichungen (53) der einseitig überbauten Systeme:

a.    Die Systeme mit aufgehobenem Horizontal- ,

schub üben auf ihre Stützen nur einen lothrechten Druck aus, welcher auf die unter B. I. [f. Gleichung (54) und (55)] angegebene Weist zu beseitigen ist.    .

b.    Die Systeme mit nicht aufgehobenem Horizontalschub üben auf die Endstützen einen Horizontatdruck

-    - (74) • - (75)

-    . (76)

und Null,

In dem durch Fig. 2, Taf. 1, dargestellten Fall ist ein rechtsdrehendes, Gxgx ein linksdrehendes Moment, daher dreht, weil das Widerstandsmoment dem Angriffs- üben aus ihre beiden übereinander liegenden Stützpunkte, Moment entgegen drehen mnß, das Moment von Bxs wie die Gleichung (44) lehrt, die 2 gleichen und entgegen* oder 8x-> im Falle (74) links, im Falle (75) rechts und ! gesetzten Horizontalwirkungen H' und H" aus, deren

Größe sich aus den Gleichungen (44) und (45) ergiebt, woraus folgt:

• - (77)

- - (78)

- - (79)

. . (80)

- - (82)

8' = 8"

H und H' aus, welcher durch Anordnung dieser Stützen aufzuheben und unter den Aufbauconstructionen zu besprechen ist. Die Horizontaldrücke auf Zwischenstützen der Systeme mit nicht aufgehobenem Horizontalschub und ir Oeff« nungen sind entweder gleich, wie bei symmetrischer Anordnung und Belastung der Träger, in welchem Falle auf jene Zwischenstützen nur ein lvthrechter Druck ausgeübt wird, oder ungleich, wie bei unsymmetrischer Anordnung und Belastung der Träger, in welchem Falle die auf jene Zwischenstützen wirkenden Horizontaldruckdifferenzen durch die Stabilität der Zwischenstützen selbst aufzuheben sind.

Die Richtung der Horizontaldrücke 8 und H' ergiebt sich allgemein aus der Gleichung (16), welche auch

H/ (y + yp) = Hxp (yp+y) = 2Mm- Gx gx (73)

geschrieben werden kann, wenn man die Momente der m Auslagerdrücke

A, (lj + ln + ... lm-l + x) + An (ln + ... l,n-l + x)

+ ...Amx = ZMm (73*) setzt. Das Moment von Bxs oder Bxp wird positiv, roentt ZMm>Gxg negativ,    ,, 2Mm Gx gx,

,, ^Min — 0" x gx.

im Falle (76) weder links noch rechts.

Führt man den Schnitt aß durch die erste Oeffnung, so ist -SMm = At. In der unmittelbaren Nähe des ersten Stützpunktes gilt wegen der Verschwindens von Gxgx offenbar die Relation (74), mithin dreht hier das Moment von HXS oder 8+ links.

In diesem Falle wirkt Hxp an dem Hebelsarm yp links und Hxs an dem Hebelsarm ys rechts, eine Wirkungsrichtung, welche sich für Hxs und Hxp nicht ändert, wenn bzw. Hxp und Bxs Null wird. Daher wirkt für Hxp = 0 wegen Gleichung (18) 8 links, d. h. von der Oeffnung weg, für Bx,s = 0 wegen Gleichung (22) 8 rechts, d. h. nach der Oeffnung hin. Dasselbe, hier allgemein bewiesen, gilt also auch für den Träger mit einer Oeffnung.

Wegen Gleichung (5) ist. alsdann 8' der Richtung nach 8 entgegengesetzt. Die Systeme mit Horizontalwirkung auf die Stützpunkte sind daher entweder solche, deren Stützpunkte von der Oeffnung weg, d. h. als Anker, wirken (aufgehängte Systeme), oder solche, deren Stützpunkte nach der Oeffnung hin, d. h. als Widerlager wirken (gestützte

Systeme), während die Systeme ohne Horizontalwirkung auf die Stützpunkte solche sind, deren Stützpunkte nur loth-recht, d. h. als Auflager wirken (balkenartige Systeme).

Die Größe der horizontalen Ankerkräfte der aufgehängten Systeme ergiebt sich wegen der Relationen (18) und (19), und wenn .2Mm die frühere Bedeutung hat, aus Gleichung (20):

■SMm — Gx.gx

eine Gleichung, welche für daö aufgehängte System mit einer Oeffnung übergeht in:

At —qxgx

ys

Die Größe der horizontalen Widerlagskräfte der gestützten Systeme ergiebt sich wegen der Relation (22) und (23) aus Gleichung (24):

-£Mm — Gxgx

yp

eine Gleichung, welche für das gestützte System mit einer Oeffnung übergeht in

a,—qxgx

yp

c. Die einseitig überbauten Systeme

8' (h'+h") = 8" (h'+h") = Gg. . (81)

In Fig. 5, Taf. 1, erscheint Gg rechtsdrehend, folglich das. Moment der Horizontalwirkungen 8' und 8 linksdrehend, daher das an dem Hebelsarm h, thätige 8' horizontal links, d. h. vom freien Raume weg als Anker und daö an dem Hebelsarm hn thätige 8" horizontal rechts, d. h. nach dem freien Raume hin als Widerlager wirkend. Die Größe dieser Ankerkräfte und Widerlagskräfte ergiebt sich aus der Gleichung (81):

Gg

— h' + h" •    '

Die Gleichgewichtsbedingungen der widerstehenden Kräfte der Systeme mit n + 1 Stützpunkten gegen waagrechtes Fortschreiten enthalten die Gleichungen (16), (20) und (24), aus welchen, wenn 2?Mm die frühere Bedeutung hat, bzw. für die balkenartigön, aufgehängten und gestützten Svsteme folgt:

die aufgehängten Systeme Systeme mit nicht aufgehobener, gegen die lichte Oeffnung hin ausgeübter Horizontalwirkung auf die Stützpunkte, deren Glieder nur ge-.    . (84) zogen (gespannt) werden, oder Systeme mit nach der

-£Mm — Gxgx

. . (83)

Hxs = Hxp =

ys+yp

■ZMm — Gxgx

Hx* =

2 Mm — Gx gx

- - (85)

Hxp =

yp

lichten Oeffnung hin gerichteter Horizontalwirkung auf die Stützpunkte und gespannten Gliedern, endlich sind

Die analogen Gleichungen für die Systeme mit 2 nebeneinanderliegenden Stützpunkten sind bzw.:

Ai Gx gx ys+yp ' ‘

. . (86)

Hx s = Hxp =

-5-1 Gx gx

. - (87)

die gestützten Systeme Systeme mit nicht aufgehobener, von der lichten Oeffnung weg ausgeübter Horizontal-wirknng auf die Stützpunkte, deren Glieder nur gedrückt (gepreßt) werden, oder Systeme mit von der lichten Oeffnung weg gekehrter Horizontalwirkung auf die Stützpunkte und gepreßten Gliedern.

Hx

ys

. . (88)

Hxp =

yp

Die Gleichungen (50) und (51) ergeben die inneren Widerstände des einseitig überbauten Trägers, nämlich:

Sieht man von anderen, bei der Wahl einer Cou-structivn in Betracht kommenden Bestiinmungsgründen ab, so hängt es von den Eigenschaften des anzuwendenden Materiales ab, welches dieser Construetionssysteme möglich oder vorzuziehen ist. So eignet sich

A x — Gx. gx

yp + ys

. . (89)

Hxs = Hxp =

das Eisen wegen seiner fast gleichen Widerstandsfähigkeit gegen Zug und Druck, sowie seiner festen und gleichförmigen Struetur wegen zur Anwendung aus balkenartige aufgehängte und gestützte Systeme fast gleich gut,

Aus einem Blick auf die Figuren 2, 4 und 6, Taf. 1, sowie aus den zu Gleichung (73) und (81) gegebenen Erklärungen folgt, daß die in den Gleichungen (83) bis (89) vorkommenden Horizontalwiderstände:

Hxs »oti dem Stützpunkt weg,

Hxp nach dem Stützpunkt hin

wirken, daher auf die zwischen ihnen und den Stützpunkten befindlichen Systeintheile bzw. einen Zug und einen Druck ausüben.

das Holz wegen seiner zwar gleichzeitig vorhandenen Widerstandsfähigkeit gegen Zug und Druck, aber ungleichförmige», nur theilweise festen Struetur zu gewissen balkenartigen und gestützten, aber nicht zu aufgehängten Systemen,

der Stein wegen der geringen Cohäsion seiner Theile, wegen seiner geringen Zugfestigkeit und großen Druckfestigkeit zwar noch für gewisse balkenartige Systeme mit geringen Spannweiten, aber vorzugsweise zu gestützten, dagegen gar nicht zu aufgehängten Systemen.

Das allgemeine Constructionspriucip mit seinen Modi-Hiernach erfahren die Glieder der durch die Gleichungen ; ficationen steht hiernach über dem Material    und    die Eigen-

(83) und (86) dargestellten balkenartigen Systeme, sowie    schäften des letzteren entscheiden nur über    die    Wahl der

des durch Gleichung (89) gegebenen einseitig festgehaltenen    einen oder anderen dieser Modifikationen.

Trägers theils eilte Spannung, theils eine Pres-    Die Horizontalwiderstände Hxs und Hxp der balken-

sung, während die Glieder der durch die Gleichungen (84)    artjgcn Träger erscheinen bzw. als eine    Summe von

und (87) dargestellten aufgehängten Systeme nur eine    Zugspannungen ks und Druckspannungen    k->,    welche in

Spannung, und der durch die Gleichungen (85) und (88)    6en entsprechenden Flächenelementen dfs und dfp statt*

dargestellten gestützten Systeme nur eine Pressung er-    finden, proportional mit ihren Abständen ys und yp von

leiden.

der ihrer Lage nach noch zu bestimmenden Drehare wachsen Nach dem Vorstehenden sind die balkenartigen Sy-    und daher, wenn s und p die Zug - und Druckspannungen

sie me Systeme mit aufgehobenem Horizontalschub, deren    spannungen in den äußersten Fasern, as und ap die Ab-

Theile oder Glieder zum Theil gezogen (gespannt), zum    stände der letzteren von der Drehare bedeuten:

ks —    . ys... (90a) und kP — .yp (90b)

Durch Summirung erhält man:

Theil gedrückt (gepreßt) sind, d. h. Systeme mit aufgehobenem Horizontalschub und theils gespannten, theils gepreßten Theilen oder Gliedern, ferner sind

Hx

Sind in den Gleichungen (91) und (93) längs des « — JL- jys.df⁸ — ~ ms und . (91a) ganzen Trägers die Grenzen

as

. . (97)

Hxp =

_P_

ap

p

— .mp

äp

worin as und a, ap und ß die Grenzen bezeichnen, zwischen denen jene Summen ms und mp zu nehmen sind, welche letzteren die statischen Momente bzw. des gezogenen Theiles fs und des gedrückten Theiles fp der ganzen Querschnittssläche f in Bezug afif die Drehungsare darstellen.

Innerhalb der Elasticitätsgrenzen der Materialien, welche bei Bauconstructionen nie überschritten werden dürfen, können die constanten Factoren

und jener Summen, welche bzw. die Zugspannung und Druckspannung in der Einheitsentfernung von der Drehare bezeichnen, gleich oder

8    _ p

so ist die Querschnittsfläche eine geschlossene, und die .    (91b) Trägersysteme mit einer geschlossenen Querschnittsfläche

oder vollen Wandung geschlossene Trägersysteme, die meist nur eine Wandung und eine undurchbrochene Querschnittsfläche besitzen. Die eonstructive Anordnung (97) findet jedoch auch dann noch statt, wenn n volle Wandungen, mithin n — 1 Hohlräume zwischen denselben vorhanden sind, in welchem Falle die geschlossenen Systeme mit durchbrochenem Querschnitt entstehen.

Sind die Grenzwerthe in Gleichung (97) nicht Null, mithin die Träger offen gebaut, so entstehen die offenen Systeme. Bezeichnen bs und bp die Abstände der Schwerpunkte der Flächentheile fs und fp von der neutralen Are, so sind fsbs und fpbp die statischen Momente dieser Flächentheile in Bezug zur neutralen Are und die Gleichungen (91) gehen in die folgenden über:

as

ap

- - (92)

Hxs = .fsbs .... (98a)

as

gesetzt' werden. In diesem Falle folgt wegen der Gleichungen (15) und (50) aus den Gleichungen (91):

und Hxp —

E-.fpbp, .... (98b)

ap

as

ap

J y.® dfs = j yp dfp.

Die statischen Momente der Flächentheile fs und fp sind mithin einander gleich, die Drehare geht durch die S ch we r l i n i e der Querschnittssläche f und bildet die neutrale Are für Zug und Druck.

Dieser Satz setzt uns in den Stand, die Lage der neutralen Are eines selbst zusammengesetzten und unregelmäßigen Querschnittes zu finden, sobald uns nur tue Inhalte seiner Theilflächen flf fn ... fn, die bezüglichen Abstände ihrer Schwerpunkte bu bu ... bn von einer gemeinschaftlichen, z. B. durch die Basis des Querschnittes gelegten Are AB, s. Fig. 7, Taf. 1, bekannt sind. Der Abstand der neutralen, von dieser durch die Basis gelegten Are beträgt alsdann allgemein:

fi bi + fnbu -j- ... fQbn ft + fn + • • • ^ und ap — h — as,

Während für symmetrische Querschnitte die Relation

i woraus folgt, daß die Horizontalwiderstände der Flächentheile fs und fp unter übrigens gleichen .    . (93) Umständen um so größer werden, je größer die Ab-

stände ihrer Schwerpunkte von der neutralen Faser sind, oder je mehr jene Flächentheile concentrirt und von der neutralen Are entfernt werden.

Wegen der Gleichungen (15) und (50) folgt aus (98):

—f bs = -4-

as

aP

. .    (99)

as —

Zfb

Zf

(94)

(95)

und hieraus wegen der Relation (92):

fsbs = fp bs, .    .

. . (100)

d. h. es verhalten sich die Flächentheile fs und fp u in gekehrt wie die Abstände ihrer Schwerpunkte von der neutralen Are.

Für den besonderen Fall, wo, wie beim Schmiedeeisen,

- - (101)

s = p .    .

folgt aus Gleichung (92) und wenn mit h die ganze Höhe des Trägers bezeichnet wird, unmittelbar

a⁵ = aP = -g-,    .

. . (102)

as = aP =

.    . (96)

stattfindet.

d. h. daß für diesen Fall die neutrale Are durch die Mitte deö Querschnittes geht. Unter der gemachten Voraussetzung ist alsdann auch

17

Heinzerling, Grundzüge der conftmct. Anordnung rc. der Brücken- u. Hochbau-Constructionen. f

fs = £p = -L

18

. . (103)

und wenn mit b der Abstand der Schwerpunkte bezeichnet

wird, aus Gleichung (100):

— b- — —

. . (104)

2 ’ •

Durch Gleichsetzung des Werthes (83) mit den Werthen (91) und (98) erhält man die Horizontalwiderstände der balkenartigen Systeme mit n +1 Stützpunkten, nämlich:

sind, den offen gebauten Systemen an, ja die Grenzen as und «,    ap    und ß liegen meist    so    nahe zusammen, daß

die Flächen    fs    und fp so niedrig    im    Vergleich zu den Abständen as    und bs, aP und b?    erscheinen, daß annäherungsweise    as    — bs und aP —    bp    gesetzt werden kann,

wodurch sich die Gleichungen (98) für ausgehängte oder gestützte Systeme mit niedrigen, von der Drehare weit abstehenden Querschnittsslächen annäherungsweise aus folgende reduciren:

a»

ap

ys d fs =    J yP d fp =

ß

und —fsbs — -5—fp bp —

a³

ys + yp

(105)

Hxs = sfs ... (112a) und Hxp — pfp, (112b) in welchen fs und fp stets die durch lothrechte Schnitte erhaltenen Querschnitlsflächen bezeichnen. —

Durch Gteichsetzung der Werthe (84) und (87) mit (98a) ergeben sich für die ausgehängten Systeme mit n + 1 und mit 2 Stützpunkten bzw. die Gleichungen

2?Mm — Gx gx

, (106)

ys + pP

wobei ys und yp die Abstände der Resultanten aller Zug-und Druckspannungen von der neutralen Are bezeichnen und Gleichung (105) für die geschlossen, Gleichung (106) für die offen gebauten Systeme dieser Gattung gelten kann. Durch Gleichsetzung der Werthe (86) mit den Werthen (91) und (98) erhält man die Horizontalwiderstände der balkenartigen Träger mit 2 Stützpunkten, nämlich:

as

aP

— .fsb³ ==

as

ys

- • (113)

und — . fs bs —

Ai Gx gx

as

ys

- - (114)

as

ap

worin ys den Abstand der Resultante aller Zugspannungen von der Drehare bezeichnet.

Durch Gleichsetzung der Werthe (85) und (88) mit (98b) ergeben sich für die gestützten Systeme mit n +1 und mit 2 Stützpunkten bzw. die Gleichungen:

^Mffi — G-x gx

■A-i Ox

J ys d f³

ot

—f=b=+ -£-fpbP =

aP

yP dfp =

ys + yp

• (107)

-P_fpbP =

. . (115)

yp

aP

A₁ — Gxgx

ys + yp '

. (108)

wobei ys und yp dieselbe Bedeutung haben und die Gleichung (107) für die geschlossenen, die Gleichung (108) für die offenen Systeme dieser Gattung gelten kann.

Für die einseitig festgehaltenen Träger ergeben sich die Horizontalwiderstände durch Gleichsetzung der Werthe (91) und (98) mit dem Werth (89), nämlich:

unb

as

aP

und -E-fp bp —

At Grx gx

as

ap

as

/ydf,=Jrj

OC    ß

yP d fp —

A x Grx . gx

yp + ys

(109)

, - (116)

worin yp den Abstand der Resultante aller Druckspannungen von der Drehare bezeichnet.

2. Herstellung des Gleichgewichtes der balkenartigen Träger gegen waagrechte Verschiebung im Innern.

Nimmt man die Integrale' der Gleichungen (91a) und (91b) bzw. zwischen den Grenzen as und ys, aP und yp, so ergeben sich die Horizontalwiderstände für Zug und Druck innerhalb jener Grenzen:

aP

yp

und -5-fsbs= -E—fp bp —

Ax — Gx.gx

as

, (HO)

yp + y³

wobei wieder yp und ys die obenangegebene Bedeutung haben und die Gleichungen (109) und (110) bzw. für die geschlossen und offen gebauten Systeme dieser Gattung gelten können.

Für die aufgehängten Trägersysteme gelten die Gleichungen (90 a) und (91a) oder (98a).

as

aP

Für die gestützten Trägersysteme gelten die Gleichungen (90b) unb (91b); oder (98b). Beide gehören, da für sie stets die Grenzwerthe

sydP . . . (117»)

ys

ap

unb Hxp = -^ j yPdfp, . . (117b) yp

und wenn für und aus Gleichung (142) ihre Werthe eingesührt werden,

Hxs =

WM

as

a > 0 und ß>0 .    .    .    .    (111)

J ys d fs .

ys

. . (118a)

ap

und Hxp —

wM r

-j=-J yPdfp. .    .    (118d)

yp

Bezeichnet man die auf Verschiebung der Fasern wirkende Horizontalkraft für die Längeneinheit mit HXT, so ist dieselbe für das Längenelement dx:

Hxvsdx — dHxs und Hxvpdx — dHxP,

(119)

mithin, da WM die einzige von x abhängige Function in Hxs und Hxp ist,

Hxv

d.Hxs

d.

WM

dx

as

dx

ys d f⁸ .    (120 a)

ys

WDie horizontalen Schubkräfte erreichen also ihren größten Werth am Auflager und in den der neutralen Are zunächst gelegenen Theilen, worin sie gleich werden, und welche letztere für die geschlossenen Systeme mit der neutralen Are zusammenfallen.

Die horizontalen Schubkräfte Hxvs und Hxvp erreichen ihr Minimum, wenn sowohl jene Verticalwider-stände die durch die Gleichungen (58) und (67) gegebenen, als auch jene statischen Momente die durch ys — as und yp = a? bestimmten Werthe annehmen, in welchem Falle

Xs min

— *° =

"V min

--.0

Hxv 8 min —

0 . . . (123 a)

wM

d . Hxp

und Hxvp=-1—

d x

ap

JyPdfp, (120») yp

fl wM

woraus, wenn für ^ aus Gleichung (177) oder (181)

sein Werth gesetzt wird, für den gezogenen und gedrückten Theil bzw.:

as

Hxt

Jydf ... (121*)

und Hxvp min —

Die horizontalen Schubkräfte erreichen also ihren kleinsten Werth Null im neutralen Verticalschnitt und zugleich in den der neutralen Are am fernsten gelegenen Theilen.

Werden die Integrale der Gleichungen (121) vollständig, d. h. im Sinne der Gleichungen (91) bzw. zwischen den Grenzen as und «, aP und ß genommen, so ergeben sich mit Berücksichtigung der Bezeichnung in den Gleichungen (91) als relativ größte Werthe

= 0.

. . (123b)

as

y«

ap

und Hxvp — -y-JyPdfp. . yp

. . (121b)

Die für eine beliebige Abseifte x und in dem beliebigen Abstande ys oder yp von der neutralen Faser in dem Brückenträger auf Verschiebung wirkende Horizontalkraft für die Längeneinheit ist daher gleich dem Quotienten aus dem Trägheitsmoment der ganzen Querschnittsfläche in das Product des Verticalwiderstandes mit dem statischen Moment des gezogenen oder gedrückten Theiles zwischen jenen Abständen ys und yp und den ihnen entsprechenden äußersten Fasern. —

Die horizontalen Schubkräfte Hxvs und Hxvp erreichen ihr Marimum, wenn sowohl diese Verticalwider-stände die durch die Gleichungen (64) und (69) gegebenen, als auch diese statischen Momente im Sinne der Gleichungen (91) die durch ys = a, yP = ß bestimmten Werthe, wobei für geschlossene Systeme die Relation (97) stattfindet, annehmen, oder es ist:

T"/rdf' =

a

ap

und K./P = JyPdfp

Hxv« =

Vx

Vx

und hieraus wegen Gleichung (157): Hxv« = Hjß =

. ms .

. mP .

Vx

. (124»)

. (124»)

. . (125)

as

Hxvs max —

V₀

und Hxv p max ==

Jysdf⁸ . . (122»)

Ct

ap

Xs max s*

°-—JyPdfp. . . (122 b)

ys + yp

eine Gleichung, in welcher für die offen gebauten Systeme die Bedingung (111) und für die geschloffenen Systeme die Bedingung (97) stattfindet.

Aus Relation (125) folgt, daß bei den beiden genannten Systemgattungen für eine beliebige Abseifte x die größte horizontale Schubkraft gleich ist dem Quotienten aus dem Hebelsarm der beiden Resultanten aller Spannungen und Pressungen in den Vertical-widerstand des betrachteten Querschnittes.

Aus den Gleichungen (121) bis (125) ergiebt fick die verschiebende Horizontalkraft für die Längeneinheit, es ist daher, wenn mit ds und dp die Dicken des Brückenträgers an den durch die Koordinaten x und ys = «, oder yv = ß bezeichneten Stellen und mit v die Festigkeit des betreffenden Materiales gegen Verschiebung im horizontalen Sinne bezeichnet wird, mit Rücksicht auf die Gleichungen (122):

Hxvsmax ^ d*v und H/^max ^ <?py,

(126

Das Widerstandsmopient ist eine Function der widerstehenden Horizontalkräfte H nach Zahl, Größe und Richtung, sowie ihrer lothrechten Vertheilung, daher allgemein «M = 9>(H,y)......(131)

Beziehungen, aus welchen sich bzw. die Abmessungen der Dicke

>-l.HxvPmax (127)

>1

— .Hxvsmax und ö?

ergeben.

Die widerstehenden Kräfte sind vermöge der Natur-III. Herstellung des Gleichgewichtes in den beschaffenheit der angewendeten Baumaterialien ihrer Größe Brückenträgern gegen drehende Bewegung.

1. Bestimmung des Widerstandsmomentes im Allgemeinen.

Nach den Gleichungen (16), (37) und (51) der ballen- ! artigen Träger mit (n-s-1) Stützpunkten, 2 Stützpunkten und einseitiger Befestigung muß jeder Träger ein Moment der widerstehenden Kräfte oder ein Widerstandsmoment ' WM= HXS (yS + yp) = Hxr (yS+yp) . (128)

nach gegeben, während deren Zahl, Richtung und Vertheilung von der Anordnung der Construction und deren Abmessungen abhängt.

WMX — aMx . .

- - (132)

stattfindet, so entstehen die Träger von gleichem Widerstand. Wird der Träger dagegen so angeordnet, daß die Relation (132) für nur eine oder für keine Abscisse x stattfindet, so gilt im letztern Fall allgemein die Relation:

WMX > »Mx . .

. . (133)

Da das Angriffsmoment gegeben und von der Ab-I fasse x abhängig ist, das Widerstandsmoment aber dem Angriffsmoment mindestens gleich sein muß, so folgt daraus, daß auch das Widerstandsmoment sich mit der Abfasse x ändern muß. Wird der Brückenträger so angeord-entwickeln, welches dem durch dieselben Gleichungen gege- | net, daß für jede Abfasse x die Relation: denen Moment der angreifenden Kräfte, oder dem An- ! grisssmoment aM mindestens gleich ist. Jeder Brücken- j träger erscheint daher für jeden beliebigen Schnitt «/-als ( ein Winkelhebel, dessen einer Arm von den angreifenden und deffen anderer Arm von den widerstehenden Kräften ergriffen wird.

mit deren Zugrundelegung die Träger von ungleichem Widerstand entstehen. Wo nicht besondere Gegengründe vorliegen, erfordert die Oekonomie der Construction die Herstellung von Trägern mit gleichem Widerstand.

Da das Widerstandsmoment eine Function sowohl von dem Horizontalwiderstanv H, als auch von dessen Hebelsarm y, also

Bei dem einseitig festgehaltenen Träger, s. Fig. 6,

Taf. 1, wo nur ein Arm von den Angriffskrästen ergriffen wird, erscheint derselbe als einfacher Winkelhebel, bei den Trägern mit einer Oeffnung und 2 Stützpunkten, s.

WM — Hy . .

. . (133»)

ist, so kann der Bedingung (132) in der dreifachen Weise genügt werden, daß entweder H = Hc con staut und y variabel, oder H variabel und y = yc konstant, oder H und y variabel, daß mithin

Fig. 4, wo zwei links und rechts von aß gelegene Arme von den angreifenden Kräften ergriffen werden, als zusammengesetzter und zwar doppelter Winkelhebel, bei den Trägern mit u Oeffnungen und n-s-l Stützpunkten, s. Fig. 2, wo für jede der n Oeffnungen zwei links und rechts von aß gelegene Arme von den angreifenden Kräften ergriffen werden, als ein zusammengesetzter 2n facher Winkelhebel.

. . (134) . . (135) . . (136)

entweder Hc.y = aMx, oder H.yc = »M oder H.y — »Mx ist. Im ersten Fall ergeben sich Träger von gleichem Widerstand mit constantem Querschnitt und variabler Höhe, im zweiten Fall Träger von gleichem Widerstand mit variablem Querschnitt und con-sianter Höhe, im dritten Fall Träger von gleichem Widerstand mit variablem Querschnitt und variabler Höhe. Je nachdem die Körper oder Wandungen dieser Systeme im Sinne des vorhergehenden Abschnittes geschlossen oder offen sind, ergeben sich ferner: die geschlossenen und offengebauten Träger von gleichem Widerstand mit constantem Querschnitt und variabler Höhe, mit variablem Querschnitt und konstanter Höhe, oder mit variablem Querschnitt und variabler Höhe.

Die Herstellung des Gleichgewichtes gegen Drehung in den Brückenträgern beruht daher auf einer solchen construc-tiven Anordnung jenes einfachen oder zusammengesetzten Winkelhebels, daß der Relation

»M . .

"M

. . (129)

Genüge geschieht.

Nach den Gleichungen (16), (37) und (51) ist das Angriffsmoment eine Function der angreifenden Kräfte K nach Zahl, Größe und Richtung, sowie ihrer waagrechten Vertheilung, daher allgemein:

»M = f (K, x).....(130)

Die angreifenden Kräfte sind theils veränderliche, wie die Verkehrsbelastungen, und diese hinsichtlich ihrer Zahl, Größe und Richtung dem Cvnstructeur gewöhnlich gegeben, theils ständige, wie das eigene Gewicht, daher von der Anordnung der Construction abhängig und behufs Bestimmung des Angriffsmomentes festzustellen.

2*

. . (137)

a⁸

as

WM = —— as L

. (139)

ap

j(r)

². d f⁵ = ts und

“Cb

as

+ az

. . (143) ;

(145)

ap

as

Besteht, wie für Schmiedeeisen, die Relation (101) und die daraus abgeleiteten Relationen (102), (103) und (104), so ergiebt sich:

WM — s

f b (ys+yp)

f b²

. (150)

WM — 8.

Aus den Gleichungen (16), (37) und (51) ergiebt sich wegen Gleichung (15), und wenn das Angriffsmoment aM gesetzt wird, das Widerstandsmoment:

WM — Hxs (ys + yp) = Hxp (ys + yp)

= Hxsys + Hxpyp = aM.

Hierin ist mit Berücksichtigung der Gleichungen (91):

WM — Hxs y⁸ + HxPyP

as    ap

J(ys)²-dfs+~r J(yp)²-dfp' (¹³⁸)

mithin wegen Gleichung (92): ap

J(ys)².dfs + J.(yrf .clfpj

Ct    ß

as    ap

£r[J(r)².df»+ _/.(yp)²-dfp]

und wenn die Trägheitsmomente der gezogenen und gedrückten Flächentheile bzw. ts und t? oder

J(yp)².dfp =tP (140)

gesetzt werden:

wM = -^-(ts+tP) = -^-(ts+tP), . (141)

ein Ausdruck, dessen Klammern das Trägheitsmoment t der ganzen Querschnittsfläche, bezogen auf deren neutrale Are, bezeichnen. Das Widerstandsmoment ist mithin

= -L.t = -£■ .t, . . . (142)

d. h. gleich DemProducte aus der Zug-oder Druckspannung in der Einheitsentfernung in das Trägheitsmoment.

Das Trägheitsmoment entsteht daher statt aus der eingeklammerten Summe der Gleichung (139) auch aus dem Integral:

t = Jy².df, . .

—ap

ein Ausdruck, welcher der Natur des Trägheitsmomentes gemäß aus die Form:

t = fd² — cfh² = cc'bh³ . . (144) gebracht werden kann, worin d="|Ach einen gewissen (/ctcn) Theil der Höhe h des Querschnittes und f— c'bh einen gewissen (c'ten) Theil des Produktes aus der Breite b in die Höhe b des Querschnittes bezeichnet.

Mit Benutzung der Gleichungen (98) geht Gleichung (137) über in:

WM = f⁸bs.ys +    . fp .bp .yP,

und wegen Gleichung (92) in:

wM = -^-(fsbsys+fpbpyp) = -^- (fsbsys+fpbpyP), (146)

ein Ausdruck, dessen Klammer ebenfalls das Trägheitsmoment t der ganzen Querschnittsfläche, bezogen auf die neutrale Are, bezeichnet und der mithin mit dem Werth (142) identisch ist.

Aus Gleichung (146) folgt, daß bei gleichen Flächen-theilen fs und fp das Widerstandsmoment desto größer wird, je größer nicht nur die Abstände bs und bp ihrer Schwerpunkte von der neutralen Are, sondern auch die Hebelsarme ys und yp der Resul-tanten aller Spannungen und Pressungen, bezogen auf dieselbe Are, sind, d. h. je mehr man jene Flächentheile des Querschnittes concentrirt und von der neutralen Are entfernt anordnet, ein Resultat, welches mit den Ergebnissen des vorigen Abschnittes in Uebereinstimmung steht.

Entsprechen in der Gleichung (139) die Grenzwerthe a und ß der Relation (97), so ergiebt sich das Widerstandsmoment der geschlossenen Systeme, bei welchen der Querschnitt im Sinne des vorhergehenden Abschnittes entweder voll oder durchbrochen sein kann, entsprechen sie dagegen den Relationen (111), so ergiebt sich das Widerstandsmoment der offenen Systeme.

Aus den Gleichungen (137) und (98) folgt:

wM — fsbs (ys-(-yP) = fp bp (ys +• yp), (147)

und wenn, wie dies bei denjenigen offengebauten Systemen der Fall ist, die im Verhältniß zu ihrer Höhe sehr niedrige Gurtungen haben, der Hebelsarm ys +pp der Resultanten aller Zug- und Druckspannungen mit dem Abstand bs + bp — b der Gurtungsschwerpunkte beinahe zusammenfällt, annäherungsweise:

WM — f³bsb = -£-fpbp .b. . (148)

₌„4.ME+r),(U9)

imt)N wenn unter der oben gemachten Voraussetzung der Abstand ys + yp der Spannungsresultanten mit dem Abstande b der Schwerpunkte der Gurtungsflächen verwechselt werden kann, der Näherungswerth f b* _

2 h — P 2 * h '

Sind außerdem die Gurtungen für sich so niedrig, daß theiles oder aus dem statischen Momente deS ge-der Abstand ihrer Schwerpunkte von der Entfernung ihrer drückten Flächentheiles in bas Trägheitsmoment äußersten Fasern so wenig abweicht, daß man ohne Nach- der gesammten Querschnittsfläche gleichkommt, theil für die Construclion b = h setzen kann, so ergiebt    Aus ben Gleichungen (137) und (145) ergiebt sich

sich als zweiter Näherungswerth:

f    f

•T-h = P-T-h-

WM — s

- - (151)

. . (152)

. - (153)

. . (155)

. (156)

. . (157)

mP

sä tjä yS

und yp —

yä ₌

fsbs

. (159)

fsb-sys+fpbpyp fsbsy⁵+fPbPyP

. (161)

fp bP

fsbs

von

. (162) . (163)

. (150»)

Die durch die Gleichungen (145), (146) und (147) gegebenen eracten Werthe, sowie die besonderen, durch die Gleichungen (148), (149), (150) und 150») gegebenen Näherungswerthe des Widerstandsmomentes gelten für die Träger mit n+1 Stützpunkten, wenn für sie nach Gleichung (16) und (73»):

WM = zMm—Gxg

für die Träger mit 2 Stützpunkten, wenn für sie nach Gleichung (37):

WM = Ax — Gx gx . .

und für die einseitig festgehaltenen Träger, wenn für sie nach Gleichung (51)

WM — Ax —<3rx.gx gesetzt wirb.

Aus den Gleichungen (138) und (140) ergiebt sich

H/.ys = -J-ts und Hxp.yP = -Jp.tP, (¹⁵⁴)

mithin, wenn aus den Gleichungen (91) der Werth von

Hxs und Hxp eingeführt wird:

ts    tp

ys —--und yp — —-

J    ms    "    mp

Aus den Gleichungen (137) und (142) folgt:

WM == Hx⁸ (ys + yp) — Hxp (ys + yp)

= At = ±t,

as    ap

mithin, wenn aus den Gleichungen (91) die Werthe von Hxs und Hxp eingeführt werden:

r + yp = -^

Die Gleichungen (155) besagen, daß der Hebelsarm der Resultante aller Zugspannungen, bezogen aus die neutrale Are, dem Quotienten aus dem statischen Momente in das Trägheitsmoment des gezogenen Flächentheiles, und daß der Hebelsarm der Resultante aller Druckspannungen, bezogen aus die neutrale Are, dem Quotienten aus dem statischen Momente in das Trägheitsmoment des gebrückren Flächentheiles gleich ist, und Gleichung (157) besagt, daß der Abstand der Angriffspunkte beider Resultanten dem Quotienten entweder aus dem statischen Momente des gezogenen Flächen-

Hxsys — fsbsy³ und HxPyP = —-fsbPyP, (158)

und wenn aus den Gleichungen (98) die Werthe von Hxs und Hxp eingeführt werden.

fp bP yp fp bp '

Aus den Gleichungen (137) und (146) folgt: Hxs(ys+yP) = Hxp(ys+yp)

—- -S— (fsbäys -f- fpfoPyP) -----(fsbsys+fpbpyp), (160)

daher, wenn aus den Gleichungen (98) die Werthe von Hxs und Hxp eingeführt werden:

ys + yp —

Die Gleichungen (159) lehren wieder, baß der Hebelsarm der Resultante aller Zug- und Druckspannungen, bezogen auf die neutrale Are, dem Quotienten aus dem Pro-ducte des gezogenen, bzw. gedrückten Flächentheiles mit dem Abstande feines Schwerpunktes von der neutralen Are (statisches Moment des gezogenen und bzw. gedrückten Flächentheiles) in das Product des gezogenen, bzw. gedrückten Flächentheiles mit dem Abstande feines Schwerpunktes von der neutralen Are und dem Hebelsarm der Resultante aller Zug-, bzw. Druckspannungen (Trägheitsmoment des gezogenen, resp. gedrückten Flächentheiles) gleich ist. Gleichung (161) besagt ferner, daß der Abstand der Angriffspunkte beider Resultanten in dem Quotienten entweder aus dem Producte des gezogenen Flächentheiles mit dem Abstande feines Schwerpunktes von der neutralen Are (statisches Moment des gezogenen Flächentheiles), oder aus dem Producte des gedrückten Flächentheiles mit dem Abstande feines Schwerpunktes von der neutralen Are (statisches Moment des gedrückten Flächentheiles) in die Summe der Producte des gezogenen und gedrückten Flächentheiles mit ben ihnen entsprechenden Abständen ihrer Schwerpunkte der neutralen Are und Hebelsarmen der Zug- und Druck-spannungsrefultanten (Trägheitsmoment des ganzen Querschnittes) besteht.

Das Widerstandsmoment der ausgehängten und gestützten Systeme mit n Oessnungen und n + 1 Stützpunkten ergiebt sich aus den Gleichungen (20) und (24) mit Berücksichtigung der Bezeichnung in (73»):

WM = Hxs. ys — -SMm — Gfxg WM — HxP.yP — .2Mm — Gxgx,

”M =

. (166)

• (167)

und wenn aus den Gleichungen (112) die unter den daselbst angegebenen Umständen erlaubten Näherungswerthe woraus das Differential von Hxs und Hxp gesetzt werden:

fpbPyP

- (170)

fpbP '

fs bs

Läßt man die Annäherungswerthe (112) für Hxs und Hxp gelten, so ergeben sich, wenn zugleich bs = ys und verwandelt fich das Augriffsnioment der Gleichungen (38)

und (39) des 2 fach unterstützten Trägers in

fpbP

fsbs

• (171)

yS ₌

fP '

ergiebt sich

- - (172)

Zerlegt man in den Gleichungen (16), (20) und (24) des n +1 fad) unterstützten Trägers das Gewicht Gx in j so verwandelt sich, wenn g der Abstand des Schwerpunktes

(173)

daM

= dGx".x + Vx +xdVx. (174)

(175)

. . (176)

daM

= dGx"x+Vx—dGx"x = Vx. (177)

= dGx.x + Vx +xdVx. (179)

. . (180)

daM

= dGx.x+Vx —dGx.x=Vx, (181)

woraus, wenn die eracten Werthe (98) für Hxs und Hxp eingeführt werden, folgt:

_JL fs jjsys uitb WM =    fpbpyP, (164)

und wenn aus den Gleichungen (112) die unter den dort angegebenen Umständen gestatteten Näherungswerthe für Hxs und Hxp gesetzt werden:

WM — sfsys und WM = pfpyp. . (165) Das Widerstandsmoment der aufgehängten und gestützten Systeme mit einer Oeffnung und 2 Stützpunkten ergiebt sich aus den Gleichungen (38) und (39), und den eracten Werthen (98) von Hxs und Hxp;

WM —    fs bs ys — A'x — Gxg

WM —    fpfopyp = A'x — Gxg

WM = sfsys — A'x—Gxgx, . . (168) »M = pfpyp = A'x—Gxgx. . . (169) Die Hebelsarme ys oder yp der Resultanten aller Spannungen oder Pressungen ergeben sich durch Einführung der Werthe (98) für Hxs und Hxp in die Gleichungen (162), (163) und (164) bzw. aus:

und yp — d. h. aus den Quotienten der statischen Momente in die Trägheitsmomente der bzw. gezogenen und gedrückten Flächen, bezogen auf die durch die Stützpunkte gelegte horizontale Are.

bp = yp gesetzt werden kann, aus den Gleichungen (162), (163) und (164) die Werthe von: und yP —

d. h. annäherungsweise gleich den Quotienten der bzw. gezogenen und gedrückten Flächen in die statischen Momente derselben, bezogen auf die durch die Stützpunkte gelegte Are.

2. Bestimmung des dem größten Angriffsmoment entsprechenden Widerstandsmomentes.

Das größte Widerstandsmoment WM aus dem größten Angriffsmoment durch die Relation

— aM

denjenigen Gewichtsantheil G', welcher den ersten m—1 Oeff-nungen zukommt mit dem Abstand g' seines Schwerpunktes von der inten Stütze, und in einen Gewichtsantheil Gx", welcher der Abscisse x entspricht und den Abstand gx" seines Schwerpunktes von der inten Stütze besitzt, so verwandelt sich, wenn der inte Stützpunkt als Drehpunkt gewählt wird und die übrigen Bezeichnungen der Figur 2 beibehalten werden, das Angriffsmoment dieser Gleichungen in: wM = *M = A₁(l₁+iii + -.lm-₁)

4~ Au(ln +...lm—i)+••• Am_!.lm_i —G'g'

+ Gx"gx" + Vx.x, ......

woraus sich durch Differentiation nach x ergiebt:

d"M _

dx    dx

In Folge der gedachten Zerlegung von Gx ergiebt sich aus Gleichung (10):

Vx = At + Au + ... Am— G' — Gx",

dVx — —dGz", . durch dessen Einführung in (174):

dwM _ _

dx    dx

Die erste Ableitung des Widerstandsmomentes oder Angriffsmomentes nach x ist mithin dem Verticalwiderstand für die in Betracht gezogene Abscisse gleich.

Da in Gleichung (177) nach (59) für x = Zm der Verticalwiderstand Vx = 0, so findet für diese Abscisse die Relation (172) statt, d. h. es erreicht das Widerstandsmoment und Angriffsmoment im neutralen Ver-ticalschnitt sein Marimum.

Bezieht man alle Momente auf den ersten Stützpunkt,

wM = aM = Gxgx' +Vx.x, . . (178) woraus durch Differentiation nach x:

dwM daM

dx    dx

Aus Gleichung (34) ergiebt sich dVx = -dG

mithin wie bei dem n + lfact) unterstützten Träger dwM

dx    dx

worin, wenn l die Bedeutung in Relation (68) hat, für x = l der Verticalwiderstand Vx = 0 wird und wM, sowie aM sein Marimum erreicht.

Bezieht man alle Mvmente auf die Befestigungsstelle,

von G von der Befestigungsstelle, das Angriffsmoment des einseitig festgehaltenen Trägers, Gleichung (öl), in:

"M = *M = Vx.x + Gxgx', ■ • (182)

Die Gleichungen (188) enthalten das Formengesetz der balkenartigen Systeme:

d (y⁸+yp) _ Vx

Vx

woraus durch Differentiation nach x: dwM

d»M

dx

dx

Vx+xdVx + dGx.x. (183)

Aus Gleichung (46) ergiebt sich dVx = —dG

- - (184)

und hieraus: d wM

d aM

dx

d— = Vx — x d Gx + x d Gx = V*, (185)

worin, nach Gleichung (70), für x —1, Vx —0, mithin wird für x — 1:

wM - aM

l’lmax -

= Gg. . . . (186)

- (194)

woraus sich durch Integration die Gleichung der Systemform ergiebt, nämlich:

r+r

Die Gleichungen (193) enthalten das Formengesetz der Gurtungen balkenartiger Systeme:

d.HxP__

dx ~~ ys+yp ' woraus sich durch Integration die Gleichung der Gurtungsform ergiebt:

dx

d.Hx

dx

“ Hxs — Hxp ' •

C Vxdx

J Hxp ‘

- (195)

Vx

. (196)

Stellt der Horizontalwiderstand Hxs oder Hxp der Gleichungen (16), (37) und (51) für die balkenartigen Systeme im Sinne der Relation (134) eine Konstante dar, so ergiebt sich für die genannten Gleichungen:

d(ys+yp)

Hxä = Hxp =

JV*

dx. . (197)

d^=H-

dx

= Hxp .

d(ys+yp)

dT-' <¹⁸⁷>

ys+yp

Die Gleichungen (191) enthalten das Formengesetz der aufgehängten und gestützten Systeme, nämlich: d y» _ _VX dx    Hx¹

(198») und

dyp _ Vx

Hxp ' (198b)

mithin wegen Gleichung (177) und (181):

d (ys+yp)

ha

dx

= Hxp.

d (ys + yp)

di =Vx' <¹⁸⁸>

woraus sich durch Integration die Gleichungen der Systemform ergeben, nämlich:

und für Gleichung (185):

4 (y³+yp)

Hx⁸.

dx

= Hxp.

d(ys+yp)

d^ = V- <¹⁸⁹>

Da in den Gleichungen (20) und (24), (38) und (39) Hx³ und Hxp Cvnstante bezeichnen, so ergiebt sich für dieselben:

dwM

= Hx--4Z- und dx

7hT = H-P'4yi- <¹⁹⁰>

dwM

mithin wegen analoger Folgerungen wie in Gleichung (177) und (181) für die Gleichungen (20) u. (38), (24) u. (39) bzw.:

⁷-i- = Vx und .

Hx

dys

dx

. . (191»)

dy,

= Vx. .

. . (191 f)

hV/v

3. Bestimmung des kleinsten, hinsichtlich des Materiales zn lässigen, Widerstandsmomentes.

In den Gleichungen (142) und (146) bezeichnet allgemein s und p die Zug - und Druckspannung in der bzw. am meisten gezogenen und gedrückten Faser.

Geht man zur Bestimmung des Widerstandsmomentes eines Brückenträgers von bestimmter Materialgattung über, deren Zugfestigkeit an der Elasticitätsgrenze mit z und deren Druckfestigkeit an der Elasticitätsgrenze mit d bezeichnet werde, so erreicht die Spannung s oder die Pressung p die Elasticitätsgrenze, wenn in den Gleichungen (142) und (146)

ys — H

und yp —

x d x . . . (199a)

x d x.

.    .    (199 b)

Hxp.-x— dx

Stellt der Hebelsarm ys + yp der Horizontalwiderstände Hx⁸ oder Hxp der Gleichungen (16), (37) und (51) für die balkenartigen Systeme im Sinne der Relation (135) eine Konstante Var, so ergiebt sich für die genannten Gleichungen: d"M ,    .    ,

mithin wegen Gleichung (177) und (181):

(r+r)=±£f=(r+r).^f

entweder s oder p = d, mithin

WM —

zt

entweder ——

. . (200»)

d.Hx

= (ys+yp)    (192)

Vx. (193)

dt

. . (200b)

gesetzt wird. Keiner dieser Werthe darf das Widerstandsmoment überschreiten, da dies vielmehr höchstens den kleineren derselben erreichen darf, so ist unter den Alternativwerthen (200) der durck die Grenzfestigkeiten z und d des Materiales und die Abstände az und % der äußersten

oder

ap

Fasern von der neutralen Faser bedingte kleinere zu wählen. Das kleinste zulässige Widerstandsmoment ergiebt sich daher

flrir<

z    d

für — > ——

ap

aus

WM“ — -5— .t,

2t

.    . (205 d)

oder d. -=—, . n

daher sind für symmetrische Querschnitte schon die Werthe z und d entscheidend und zwar so, daß

für z < d, wMmin -----

. (201) — .t,    .    (202)

az

2t

aus wMmiu —

d. h. zwei Ausdrücke, welche für Constructionen, bei welchen nur ein gewisser mtcr Theil jener Grenzwerthe z und d zu Grunde gelegt werden darf, für die angegebenen Ungleichungen bzw. übergehen in:

az

ap

ap

. (206)

Z'TT' •

9 t

für z > d,    . . (207)

w j^min -

. . (203)

Es wird daher in diesem Falle für Schmiedeeisen die Elasticitätsgrenze für Zug und Druck gleichzeitig erreicht, s. Fig. 11, und gilt sowohl Gleichung (206) als (207), während für Gußeisen zuerst die Elasticitätsgrenze für Zug, s. Fig. 12, für Holz zuerst diejenige für Druck, s. Fig. 13, erreicht wird, demnach für Gußeisen Formel (206), für Holz Formel (207) gilt.

wMmin —    .t,

ad

. . (204)

Im Durchschnitt kann für den Quadratcentimeter

Schmiedeeisen z — 1614 Kil., d =

Gußeisen

Holzmaterial z — 260 „ , d = s/₄z — 165 „ angenommen werden. Bezeichnet E den Elasticitätsmodul

und Az — ~ die Verlängerung J

— die Verkürzung )

unb Ad ³/₄A — 000 t

Hieraus ergeben sich für bte bret genannten Materialien bzw. bte graphischen Darstellungen ber Längenveränberungen an ber Elasticitätsgrenze, s. Fig. 8, 9 unb 10, Tafel 1, worin 0 bte Lage ber neutralen Are bes Querschnittes be- j zeichnet unb bte in beit Abmessungen az unb ad entwickelten Zug- unb Druckspannungen höchstens jene Längenveränberungen bewirken bürfen.

Bei symmetrischen Querschnitten, für welche

ist WM =

z ---- 1614 Kil., z = 650 „ , d ==3.z = 1950 „

Ad

Gußeisen

az — ad —

2t

entweder z . -=—, h

an der Elasticitätsgrenze,

1250 '

523 '

. . (205a)

Zweiter Abschnitt.

Die allgemeine Anordnung der Träger mit n+1 bis zn 2 Stützpunkten oder mit einseitiger Befestigung.

Werden die durch die Gleichungen (16), (20) und (24), (37), (38) und (39), sowie (51) gegebenen Angriffsmomente dieser Träger allgemein mit aM bezeichnet, so läßt sich deren Anordnung behufs Entwickelung des erforderlichen Widerstandsmomentes unter der Voraussetzung gemeinschaftlich behandeln, daß für aM die ihnen nach Maßgabe jener Gleichungen entsprechenden Angriffsmomente eingeführt werden. Die genannten 8 Trägergattungen können nach Gleichung (97) und (111) entweder geschlossen oder offen gebaute sein. Werden geschlossene Systeme in Verbindung mit offengebauten angewendet, so entstehen die aus geschlossenen und offenen Systemen zusammengesetzten Systeme.

Sowohl die geschlossenen, als offenen Systeme haben für den Zustand des Gleichgewichtes der Relation (132) zu entsprechen, worin das Widerstandsmoment im Sinne der Relation (133a) als das Product aus einem Horizontal-widerstaud in dessen Hebelsarm angesehen werden kann, wovon beide im Sinne der Relationen (134), (135) und (136) als Constante und als Functionen von x, oder als Variable angesehen werden können. In der aus Gleichung (132) und (133a) combinirten Gleichung

. . (268)

worin nach den Gleichungen (98) der Horizontalwiderstand

H das Product aus einer Spannung -^-b oder -^-b oder

allgemein k in eine Fläche fk ausdrückt, kann diese Fläche fk wieder als das Product aus einer Breitenbimension d in eine Höhendimension h angesehen, mithin fk = c d h... (209) gesetzt werden, worin c für einen bestimmten Querschnitt

Hy = aMx, .

eine gewisse konstante Größe bezeichnet. Werden diese Werthe, sowie der Werth (130) für das Angriffsmoment eingeführt, so erhält man aus Gleichung (208) allgemein für Zug und Druck:

aM

entweder — t, az

it, .

- - (211)

oder

äd

• - (212)

kfk.y == f (K,x).    .    .

- - (210)

In dieser Gleichung erscheinen fk und y als die Repräsentanten der Form des Systemes, welche dem von x abhängigen, veränderlichen Angriffsmoment zu genügen haben, und entweder beide, oder nur zu je einem variabel sind. Wo der Hebelsarm y, wie in den meisten Fällen, den relativ größten Werth unter ihnen hat, repräsentirt dieser die Hauptform des Systemes, während die Werthes die Einzelsorm desselben und beide Formen zusammengenommen die Gesammtform des Systemes bedingen.

Bei den Brückenträgern ist nun entweder

1)    das    Angriffsmoment,    d. h.    die    Größe und    Ver-

theilung der    Belastung, sowie    die Form    gegeben und    hier

durch die Abmessungen bedingt (Systeme mit gegebener Hauptform und gegebener Belastung);

2)    das    Angriffsmoment,    d. h.    die    Größe und    Ver-

theilung der    Belastung gegeben und    hiernach die Form zu

suchen (Systeme mit gegebener Belastung und gesuchter Form);

woraus, wenn aus Gleichung (144) für t sein Werth gesetzt wird:

entweder — .cc'bh³,

a ]y£max -

oder

- (213) — .cc'bh³, . (214)

ad

Da az oder ad einen gewissen Theil der Höhe h, also

. . (215)

az — c"h und ad — c„h gesetzt werden kann, so ergiebt sich

entweder

c"

bh² =

cc'z

,aM

. (216)

oder

C„

cc'd

. aM

. (217)

Für das Rechteck ist    —

c„

cc'    1

12

3) die Form gegeben und das Angriffsmoment, d. h. die Größe und Vertheilung der Belastung zu suchen (Systeme mit gegebener Form und gesuchter Belastung).

folglich gehen dafür die Gleichungen (216) und (217) über in:

— ,aM

i.„

entweder

bfi² =

. . (216*)

Die Bestimmung der Form der nZ-lsach oder 2fach unterstützten Brückenträger geschieht unter Annahme symmetrischer Belastungen, während die unsymmetrischen -(einseitigen) Belastungen besondere später zu berücksichtigende Modificationen, d. h. die Einschaltung von Hilfsgliedern oder gewisse Zusätze in den Abmessungen erfordern.

. . (217 a)

Wenn b = ah gesetzt wird, so ergeben die Gleichungen (216) und (217):

oder

entweder h —

<c"

a cc'z

,aM

. (218)

oder h — j/

.aM

. (219)

Erstens. Die geschlossenen Systeme.

(Tafel 3, Fig. 1 bis 48.)

A. Die auf die ganze Trägerlänge geschloffenen Systeme.

I. Die geschlossenen Sy steine mit gegebener Hauptsorm und gegebener Belastung.

1. Systeme mit constanter Querschnittsform oder mit constanter Höhe.

Die Form ist entweder so gegeben, daß die Querschnitts form constant und nur deren Abmessungen zu bestimmen sind. In den Gleichungen (200) ist alsdann t, mithin das Widerstandsmoment constant, daher findet wegen ; der Veränderlichkeit von aM bei diesen Systemen die Relation (133) und höchstens für den Querschnitt, in welchem aM sein Marimum erreicht, die Relation (132) statt, in welchem Falte man erhält:

a.c.c'. d

unter welchen Werthen für h der größere zu wählen ist. Zu den Trägern dieser Gattung gehören diejenigen mit eonstantem rechteckigem, k-, 1-, 8-, II- und vignoles-schienenförmigem Querschnitt rc., s. Tafel 3, Fig. 1 bis 22 und Fig. 25 bis 29 mit durchbrochenem Querschnitt.

Ist die Form des Systemes in der Weise gegeben, daß seine Höhe constant ist und die Abmessungen seiner Querschnittsform unter der Voraussetzung (132) zu bestimmen sind, so ist in Gleichung (144) t variabel und man ermittelt jene Abmessungen für eine genügende Anzahl von Querschnitten so, daß in jedem derselben der Relation:

entweder z.

cc'

aMx =

oder

d.

j entsprochen wird.

c"

c c'

c„

bh², . . (220)

bh² . . (221)

Im Falle die in den Gleichungen (148), (149), (150) oder (150a) gemachten Voraussetzungen zulässig sind, vereinfacht sich die Bestimmung der Abmessungen der Querschnitte von constanter Höhe und ergiebt sich aus Glen chung (150):

tralen Verticalschnitt höchstens in die Bedingung (132) übergeht,

entweder

aM

— .tx, .    .    (226)

&ZX

f

f entweder z .

aM =

woraus folgt:

fb² =

.tx, .    .    (227)

oder

ET CT¹

. . (222)

adx

d-T-

entweder 2. — .aM, . z

2.1p»M, . . (223«)

ober

oder

und aus Gleichung (150«):

entweder z.

. (222«)

und wenn im Sinne der Gleichungen (59) und (68) mit l die Abscisse des neutralen Verticalschnittes bezeichnet wird,

entweder

aM

azz

. U,

. (226a)

aM ==

toi »-+5

oder

.h, . . . (224) d.l-.h, . . . (225)

woraus folgt:

entweder 2.

.«M, . (224«)

zh²

. (227a)

Da sich bei vollständig gegebener Form für jede Abscisse x, also auch für die Abscisse z, die Werthe tx, azx und adx entwickeln lassen, so läßt sich die Widerstandsfähigkeit dieser Träger in allen diesen Querschnitten mit den ihnen zukommenden bekannten Angriffsmomenten vergleichen. Ist dagegen die Form dieser Träger nur hinsichtlich ihrer Höhe gegeben, so ergiebt sich, wenn man ans den Gleichungen (144) und (215) für t, az und ad ihre Werthe setzt:

oder

adz

.tz.

oder

²-waM'

. (225a)

, entweder z.

cc'

c"

. bh² . . (228)

Hinsichtlich der verticalen und waagrechten Scheerkräste ist den Bedingungen (72) und (127) zu entsprechen. Zu den Trägern dieser Gattung gehören die Blechwandbrücken mit constanter Höhe und variablen Gurtungsstärken.

2. Systeme mit waagrechter oberer oder unterer und bzw. bogenförmiger unterer oder oberer Begrenzung.

Bildet die Form des Systemes, wie dies bei älteren gußeisernen Brückenträgerconstructionen nicht selten der Fall war, und in besonderen Fällen auch heutzutage noch angeordnet wird, diejenige des kreissegmentsörmigen Bogenträgers mit waagrechter oberer Begrenzung, s. Tafel 3, Fig. 23, eine Form, welche zwar hinsichtlich des Widerstandes gegen Lothrechtes Abscheeren nicht unzweckmäßig, jedoch, hinsichtlich des Gleichgewichtes gegen Drehung, in ihrem neutralen Verticalschnitt, welcher den relativ kleinsten Querschnitt hat, während in ihm das Angriffsmoment sein Marimum erreicht, sehr unvortheikhaft ist. Bortheilhafter in dieser Hinsicht erscheint der Ln Fig. 24 dargestellte Träger mit waagrechter oberer und kreissegmentförmiger unterer Begrenzung.

Im Allgemeinen gilt für jeden Querschnitt dieser Träger mit veränderlichem Trägheitsmoment tx und veränderlichen Abständen azx und adx der bzw. gespanntesten und gepreßtesten Faser von der neutralen Are nach den Relationen (200) und (133), welche letztere für den neu

oder

d.

cc'

. bh², .    . (229)

woraus sich, da h bekannt ist, für eine hinreichende Anzahl von Querschnitten die variable Breite:

b>

entweder

oder

(228»)

c"

c„

M . (229a)

cc' ' dh²

ergiebt, von welchen beiden Werthen der größere zu wählen ist.

Aus den Gleichungen (228a) und (229a) ersieht man, daß b dem Quadrat der Höhe h umgekehrt proportional und wie unvortheilhaft es daher ist, an der Stelle, wo das Marimum des Angriffsmomentes stattfindet, wie es bei jenem Träger in Fig. 23 geschehen ist, die geringste Höhe anzuordnen.

Ist der Querschnitt durchbrochen, wie in den Figuren 30—32, so gelten für dieselben zwar die Gleichungen (226) bis (229), dieselben zeigen jedoch, da sie fast ausschließlich in Schmiedeeisen ausgeführt wurden, den Nachtheil der Unzugänglichkeit besonders in den engeren Hohlräumen, wodurch die Beaufsichtigung zum Zweck der Unterhaltung erschwert oder unmöglich gemacht und dadurch die Ory-dation des Eisens und mit ihr der Ruin des Trägers befördert wird.

II. Die geschlossenen Systeme mit gegebener Belastung und gesuchter Form.

Dieselben sind nach der Relation (132) daher als Träger von gleichem Widerstand zu bestimmen und solche mit ’n +1 Stützpunkten oder mit einseitiger Festhaltung. Die Belastung ist derart gegeben, daß sie entweder locali-sirt oder vertheilt ist und die Form derart zu suchen, daß entweder die Breite, oder die Höhe constant angenommen wird oder Breite und Höhe in einem gewissen Verhältniß zu einander stehen.

1. Träger m t t eoneentrirter Belastung. a) mit einseitiger Festhaltung.

Wählt man für diese Träger die rechteckige Quer-schnittssorm, so gilt mit Bezug auf die Gleichungen (216a) und (217a) und auf Tafel 1, Fig. 14, und wenn mit z die variable Breite bezeichnet wird, die Gleichung

z.y²

“6~‘

Wird für x —1, z = b und y = h, so ergiebt sich I I b h²

i I 6 ' '

Gr X —

.    . (230)

Cu N

. . (231)

woraus die Abmessungen b und h bestimmbar sind, mithin durch Division der gleichzeitig bestehenden Gleichungen (230)

und (231):

bh²

. . (232)

ec) Bei constanter Breite des Trägers ist in Gleichung (232) z — b zu setzen, mithin ergiebt sich

h²

. . (233)

y² .= ~i~ Xr .

d. h. als Begrenzungslinie in der Vertiealprojection die ge-meine Parabel, f. Taf. 3, Fig. 34. —

ß) Bei constanter Höhe des Trägers ist in Gleichung (232) y = h zu setzen, mithin ergiebt sich

. . (234)

z = TXf •

d. f>. als Begreiiznngslinie in der Horizontalprojection die gerade Linie, s. Taf. 3, Fig. 36.

y) Bei ähnlichen rechteckigen Querschnitten des Trägers

ist in Gleichung (232) ~    ju setzen, daher folgt:

.    . (235a)

h³

b³

.    .    (235 d)

und z³ — —j— x,

d. h. als Begrenzungslinie sowohl in der Vertical-, als Horizontalprojection die cubische Parabel, s. Tas. 3, Fig. 38.

b) mit 2 Stützpunkten.

Die beiden Theile A C und B C eines solchen in den Entfernungen 1' und 1" bzw. von dem linken und rechten Stützpunkte mit dem eoneentrirten Gewicht G belasteten Trägers, s. Taf. 1, Fig. 15, befinden sich, wenn man sich diesen Träger im Querschnitt C festgehalten und dann das System umgedreht denkt, in demselben Zustande, wie die unter a betrachteten einseitig festgehaltenen Träger. Die beiden genannten Theile nehmen daher unter den aus a), ß) und y) gemachten Voraussetzungen auch die entsprechenden Linien als Begrenzungen an, wobei in Gleichung (230) und (231)

G für den Theil AC und G ~ für den Theil BC

statt Gr, ferner in Gleichung (231) für beide Theile bzw. 1' und 1" statt 1 zu seyen ist, und ergeben sich für den Querschnitt 0 aus Gleichung (231) die gleichen Abmessungen:

Gr 4— . 1' = —

bh² =

G-l'

— .1". . (236)

Siehe die hier betrachteten Träger mit 2 Stützpunkten auf Tafel 3, Fig. 33, 35 und 37.

2. Träger mit vertheilter Belüftung. Nimmt man die Belastung gleichförmig vertheilt und zu v für die laufende Einheit, die Querschnitte als rechteckige an, so ergiebt sich mit Bezug auf die Gleichungen (216a), (217a) und Fig. 16, Taf. 1, für den Träger

a) mit einseitiger Festhaltung: vx²

I l-F-

Cu N

. . (237)

Wird für x —1 zugleich z = b und y = h, so ergiebt sich

bh²

' 6 '

vl²

. . (238)

mithin durch Division der gleichzeitig bestehenden Gleichungen x²    z y²

— _ W'    ' •

«) Bei constanter Breite des Trägers ist in Gleichung (239) z — b zu setzen, mithin erhält man

(237) und (238): -y

. . (239)

. . (240)

d. h. als Begrenzungslinie in der Vertiealprojection die gerade Linie. S. Tafel 3, Fig. 40.

ß) Bei konstanter Höhe des Trägers ist in Gleichung (239) y — b zu setzen, mithin ergiebt sich

b 2 1 ,X ' ’

d. h. als Begrenzungslinie in der Horizontalprojection die gemeine Parabel, deren Ursprung m x = 0 liegt und

. - (241)

deren Are auf der Abscissenare senkrecht steht. S. Taf. 3, projection die durch Gleichung (248*) und (248b) gegebenen

Curven gleicher Gattung. S. Tafel 3, Fig. 43.

Durch die vorstehenden Gleichungen (230) bis (248) ist dem Gleichgewicht gegen waagrechtes Fortschreiten und gegen Drehung genügt. Um auch der Bedingung des Gleichgewichtes gegen Lothrechtes Fortschreiten zu entsprechen^ muß für die einseitig festgehaltenen und zweifach unterstützten Träger der Gleichung (72) für den lothrechten Schnitt jeder beliebigen Abscisse x genügt werden. Findet sich der Inhalt der für diese Abscisse untersuchten Querschnittsfläche kleiner als f, so ist der erforderliche Inhalt dieser Querschnittsfläche f besonders herzustellen.

Zunächst ist durch die Gleichungen (34) und (49) der

Verticalwiderstand Vx für die einseitig festgehaltenen und

2fach unterstützten Träger bestimmt und für die vorstehend

angenommene tocalisirte und gleichförmig vertheilte Belastung

vom ersten Grade. Zwischen den aus (70) und (71) für

, ZyZ    den einseitig festgehaltenen und aus (67) und (69) für den

⁼ |    |    (243)    2fach unterstützten Träger folgenden bzw. kleinsten und

an’ ^ c" a , .. i u -l r £( größten Werthen von Vx — fv findet daher eine propor-Wlrd für x — 0 zugleich y = h und z = b, so folgt:    .    ,    ^    v

ö Nonale Zunahme von Vx und bzw. eure geradlinige Be-

™ = | \ |    (244) i grenzung von f statt. Für

Fig- 42.

y) Bei ähnlichen rechteckigen Querschnitten des Trägers

ist in Gleichung (239): --hält man:

zu setzen, folglich er-

h³

y³ = -p-

und z³ —

b³

. X²

. . (242a)

.    . (242 b)

_ -v-2

P    '    -

d. h. als Begrenzung sowohl in der Vertical-, als Hori-zontalprojection die durch die Gleichungen (242) bestimmten Curven gleicher Gattung. S. Tafel 3, Fig. 44.

b) mit 2 Stützpunkten,

mit Bezug auf die Gleichungen (216^), (217a) und Fig. 17, Tafel 1:

vi /1 \ v (4 x)"

2 \ 2 X) 2

vP

vP

CsJ nd

4    8    ~

mithin durch Division der gleichzeitig bestehenden Gleichungen (243) und (244):

a) die Träg er von konstanter Breite ist in Gleichung (72) { — y.b zu setzen, daher

Vx

.--x²

CT¹ tSJ

. . (245)

b. v '

ß) die Träger von conKanter Höhe ist in Gleichung (72) f = zh zu setzen, woraus:

. . (249)

cc) Bei konstanter Breite des Trägers

ist in Gleichung (245) z —b zu setzen, mithin erhält man

. . (250>

h²

. . (246) ;

y² — h² — 4 -j-₂— . x²,

d. h. als Begrenzungslinie in der Verticalprojection die Ellipse. S. Tafel 3, Fig. 39.

y) die Träger von ähnlichen rechteckigen Querschnitten ist in Gleichung (72) f = z.y entweder

ß) Bei c du ft a n t e r Höh e des Trägers ist in Gleichung (245) y = h zu setzen, mithin erhält man:

2 = b—4 ~ .x², .

d. h. als Begreuzungslinie in der Horizontalprojection die gemeine Parabel. S. Tafel 3, Fig. 41.

y². -j— oder f = z². — J h

. (251)

. . (247)

y) Bei ähnlichen rechteckigen Querschnitten des Trägers ist in Gleichung (245)    = $u setzen, daher ergeben sich:

— h³ —4 x'

4Ü

P

d. h. als Begrenzungölinien in der Vertical- und Horizontal-

y³

. . (248--)

und z³ — b³ —

.    . (248 b)

woraus

X-/-V

V'T

Vx

(252)

V- b

III. Die..geschlossenen Systeme von gegebener Form und gesuchter Belastung.

Die Systeme mit gegebener Form und gesuchter Belastung gewinnen eigentliche Bedeutung erst bei den offengebauten Systemen.

B. Die nicht auf die ganze Trägerlänge geschloffenen Systeme.

Diese Systeme, deren Wandungen an einigen Stellen der Bedingung (97) und an anderen Stellen der Bedingung

.    . (254a)

.    . (254 b)

und fp —

2h

2h

(ZMm—Gxgx), (255)

p b²

sb²

^-(JSMm-öxgO

ph

Axx —Grxgx

. . (256 a)

— bs (ys+ yp)

AlX — ,Grx gx

fP =

. . (256b)

. . (257)

s.b²

(A^x — Gxgx),

. . (258)

Sx =

' sin (re + ff) '

. . (259)

Px = Vx.

. . (258»)

(111) entsprechen, wie die in der Tafel 3, Fig. 45 — 48 dargestellten Träger, bilden die Vermittler zwischen den geschlossenen und offengebauten Systemen. Wenn wie bei den genannten Trägern Hauptform und Belastung gegeben ist, so haben sie für alle Querschnitte je nach den dabei giltigen Voraussetzungen den durch Gleichung (220) bis (225) festgestellten Bedingungen zu genügen, in welchen der dem jedesmaligen Angriffsmoment entsprechende volle oder unterbrochene Querschnitt zu substituiren ist.

Zweitens. Die offengebauten Systeme.

(Tafel 3 u. 4, Fig. 49 bis 200.)*

A. Die einfachen offengebauten Systeme.

I. Die o f f e n g e b a u t e n S y st e m e ' m i t gegebener Form und gegebener Belastung.

1. Die Träger mit constanter Höhe oder die Parabelträger.

Gewöhnlich ist die Form als Hauptform gegeben und die Einzelsorm des Querschnittes zu suchen. Unter den Hauptformen ist wieder die Form mit constanter Höhe oder der Parallelträger die gewöhnlichste, welche den Trägern mit parallelen Gurtungen und veränderlichen Gurtungsstärken entspricht. Die Ermittelung des Widerstandsmomentes kann unter den verschiedenen dort geltenden Voraussetzungen nach Gleichung (147) bis (150a) geschehen. Wird der eracte Werth von WM aus Gleichung (147) in die mit (16) identische Gleichung (73) für die Träger mit n-J-1 Stützpunkten eingeführt, so ergiebt sich:

"fsbs (ys+yp) =    (ys+yp)

= ZMm — Gxgx, . .    .    (253)

und man erhält den variablen Quadratinhalt der gespannten und gedrückten Gurtung bzw. aus:

£ -M-m Ox gx

^T.bs(ys+yp)

£    Gx

bp (ys + yp)

woraus die Einzeldimensionen der Gurtung mit Berücksichtigung der Größen as bs und yp + yp zu ermitteln sind. Läßt man für Schmiedeeisen, aus welchem die meisten Brücken dieser Gattung hergestellt werden, die in (101) bis (104) gemachten Voraussetzungen gelten, so erhält man für den Flächeninhalt beider Gurtungen aus Gleichung (150):

(ZMm-Gxgx)

und wenn, wie in Gleichung (150a): b = h gesetzt werden kann:

^-(ZMm-Gxgx). (255»)

Für die Träger mit 2 Stützpunkten ist alsdann nur der veränderte Werth des Angriffsmomcntes aus Gleichung (37) einzuführen, wodurch aus den Gleichungen (254) und (255) bzw. entsteht:

fs =

bp (ys + yp)

2h (Axx — Gxgx) 2h

p b²

und wenn auch b — h gesetzt werden kann:

-²h (A, x-Gxgx) =    (AjX—Gxgx). (257 »)

Für die einseitig überbauten Träger erhält man nach Gleichung (147) dieselben Formeln (256a), (256 b), (257) und (257a), in welche nur der veränderte Austagerdruck A statt A' einzuführen ist.

Auf diese Weise ist, abgesehen von der nothwendigen Verbindung beider Gurtungen, dem Gleichgewicht gegen waagrechtes Fortschreiten und gegen Drehung genügt und es handelt sich noch um die Übertragung der verticalen Kräfte Vx, deren Werthe für Träger mit n +1 und 2 Stützpunkten und mir einseitiger Festhaltung sich bzw. aus den Gleichungen (14), (34) und (49) ergeben, auf die Stützpunkte.

Für einen im inten Feld zwischen dem neutralen Ver-ticalschnitt (mit der Abseisse Am) und dem inten Auflager (mit der Abscisse 0) gelegenen Punkt mit der Abseisse x läßt sich Vx durch je 2 Stäbe übertragen, welche die Spannung Sx und Pressung Px erfahren und bzw. die Neigungs-Winkel a und n mit dem Horizonte bilden. Mit Bezug auf Fig. 32 ergiebt sich für jene Spannung und Pressung:

cos er

COS 7t

sin (n + o)

Beide Spannungen werden zum Minimum für sin    — 1 oder rc-\-a — 90°,

t). h. wenn sich beide unter einem rechten Winkel kreuzen, in welchem Falle die Gleichungen (258) und (259) bzw. übergehen in:

Sx = Vx.COSO, .

Px = Vx.costt.....(259»)

Nennt man W' und Vx" die vertikalen Seitenkräfte von Sx und Px, so ist:

/2

Sx =

Vx'

Px — —Vx/2 — dqp.

Am vortheilhaftesten erscheint es, die Druckftäbe, wenn sie zugleich aus Zerknicken in Anspruch genommen werden, möglichst kurz, d. h. lvthrecht anzuordnen, während die Zugstäbe geneigt sind, s. Tas. 1, Fig. 20. In diesem Falle verwandeln sich die Gleichungen (267) und (268) bzw. in:

Sx = Vx/2 =

P.X = -Vx =

Vx"

. . (268)

und Px.—

. (260)

sin n '

und wenn Gleichgewicht gegen waagrechtes Fortschreiten für den Punkt M bestehen soll, ferner zc und ln bzw. die Längen des gespannten und gepreßten Stabstückes zwischen M und der unteren horizontalen Gurtung bezeichnen:

ln cos n Aocosa

mithin, wenn die Werthe von Vx' und Vx" in die Gleichungen (260) eingeführt werden:

sin a

Vx'

Vx"

. . (261)

ItC

COS 7t

1g sin er cos er

= Vx"

1%

2 COS 7t

= Vx'

Px = Vx'

1<s

COS G ln sin tc cos TC'

= Vx'

1g 2 sin er cos er ln 2 cos 7t 1g * sin 2 er 2 cos er ln 2 sin 7t' cos 7t

, (262)

. . (269) . . (270)

Ans den Gleichungen (267) und (269) folgt, daß in de» betrachteten Fällen Px und Sx daS Doppelte der durch Gleichung (264) gegebenen Anstrengungen auszuhalten haben.

Erhalten die Stäbe die in Fig. 21, Taf. 1 dargestellte Anordnung, so ist:

qä, .

1g

_ Y >    2 cos CT    I ^li3 r'uv

~~    ’X⁻ • ^m27r- ⁽²⁶³) i Systeme:

. Zs

Vx

silier er = 60°,

und Px —

Vx

• (271)

sin tc '

wie bei dem Neville'schcn

Aus Gleichung (262) und (263) folgt, daß unter übn-gens gleichen Umständen Sx und Px ein Minimum wird I für bzw.:

Sx =

Vx

Tl/3

und Px —

Vx'

.    (272)

sin2cr — 1, 2g = 90° und er — 45°, sin 2 tc ===== 1, 2vr — 90° und tc = 45°,

oder für er =    == 45⁰.

In diesem Fall ist cos er — cos tc — sin er = sin tt =

4-, v,.

— Vx" — 1 und ln — /.ff, daher aus den Gleichungen (258 a) und (259a):

/2

Sx =

Vx

/2

und Px — —

Vx

. (264)

Werthe, welche sich, wenn Vx auf m lvthrecht übereinanderliegende Kreuzungspunkte M der Stäbe vertheilt wird, verwandeln in:

Sx =

Vx

Auf diese Weise entstehen:

a)    die Parallelträger mit Stäben nach dem System des rechtwinkligen Dreieckes, f. Tas. 4, Fig. 61 dis 72,

b)    die Parallelträger mit Stäben nach dem System des gleichschenkligen Dreieckes, s. Tafel 4, Fig. 19 bis 60.

2.    Träger mit theilweise constanter, theilweis.e

variabler Höhe.

Ist die Höhe nicht eonstant, oder nur theilweise eonstant (Schwedler's System), diese Höhe aber für alle Abscissen genau gegeben, so sind in den vorentwickelten Gleichungen (256) und (257) für Träger über eine Oeff-nung für asbs (ys + yp), oder h die jeder Abscisse entsprechenden Werthe dieser Höhe zu berücksichtigen, woraus sich die Querschnittsflächen fs, fp und f modificiren. Siehe Tafel 4, Fig. 73 und 74.

3.    Die Träger mit gegebener variabler Höhe. Hierher gehören die Träger mit unterer geradliniger

und oberer bogenförmiger Begrenzung, wie sie z. B. bei der im Bau begriffenen Brücke über den Leck bei Kuilen-burg und über die Waal bei Bommel angeordnet sind. S. Tafel 4, Fig. 75. Uebrigens gelten für deren con-structive Ausbildung die sub 2. gegebenen Andeutungen.

Vx

und Px — —

(265)

m Y2

Bezeichnet man mit qs und qp den Querschnitt des bzw. gespannten und gedrückten Stabes, so ist, wenn z und d die Bedeutung haben, wie in deit Gleichungen (200)

Sx =

Vx

m /2

zu setzen.

m 1^2

zqs und Px —

Vx

= dqp (266)

Werden statt der geneigten Zugstäbe lothrechte angenommen, während die Druckstäbe eine Neigung von 45° behalten, s. Taf. 1, Fig. 19, so ergiebt sich:

Sx = Vx = z q₃ .    .    .    .    (267) |

Hxpym — Axm Vx (xm Xi) V₂(xm x₂)

(^m Xm—2)    —1 (Xm Xm—1) , (273)

—y± (xm_i—x^ —

(xm_i x₂)    • • • Vm _ v (xm_i—xm_.2). (274)

Der Horizontalwiderstand ergiebt sich für die Mitte des Systemes, wofür yn bekannt oder anzunehmen ist, aus:

...V

Hxpym

yn

, (276 H

oder

Hx p

y—ym-i =

Xm    Xm—i

(X—Xm_i), (277)

ym-ip _ ymp _ ynp

ym-i

festgelegt sind. Gleichung (277) bezeichnet daher für beliebige Kräfte mit beliebiger Vertheilung die Form des Systemes bis zum nten Angriffspunkte, wobei es gleichgiltig ist, ob dieser letzte zugleich die Mitte des Systemes bildet m    _ | oder nicht.    Im letzteren Falle ergiebt sich die Neigung der

bildet man mit Bezug aus    die Fig.    22, Taf. 1,    für    Gurtungen    im (n + l)ten Feld aus Gleichung (276a),

btr lothrechten schnitte mit den    Abjcissen    xm und xin-i    die    indem man    darin Vm + Vm-n + Vm — 0 setzt, woraus

Momentengleichungen, so ergiebt    sich, da    die Hebelsarme y    ym-ym_₁    = ₀. In dem n+lten Felde oder Mittelfelde

der Horizontalwiderstände Hxf Hx= als variabel und : laufen mithin beide Gurtungsstücke parallel, und da als-diese als eonstant anzunehmen sind-    ' dann wegen Gleichung (278) auch

y»s

ym

. (279)

auch horizontal.

. x,    (280)

xi

yip + 7ia = 7i.

. . (282)

xi

II. D i e offen geb a u t e n S y st e m e in 11 g e g e b e n e r B e l a ft u n g und g e s u ch r e r F o r in.

Dieselben sind, wie die analogen geschlossenen Systeme, nach der Relation (132) daher als Träger vo n gleichem Widerstand zu bestimmen und entweder solche mit n -j- 1 Stützpunkten, oder solche mit einseitiger Festbaltung. Die Belastung ist entweder localisirt oder vertheilt.

1. Die Träger mit concentrirter Belastung oder die polygonalen Trägersysteme, a) Die Systeme mit aufgehobenem Horizontal-s ch u b.

m—2

= Axm

Hxp= ~ [Axn—V^Xn—Xi)—.. .Vn_₁(xn—-xn_!)]. (275)

Mit Hilfe dieses Werthes lassen sich die Werthe ym, ym-i, welche die. Form des Systemes bestimmen, ermitteln.

Durch Subtraction der Gleichungen (273) und (274) erhält man nämlich:

Hxp (ym ym—i) —¹ A (xm xm_j)    V₁ (xm xm_i)

^2 (Xm    Xm—l)    • • • Vm—2 (xm xm—l)

Vm—1 (Xra    Xm—2) ,

daher wegen A = V\ + V₂ + ... Vn:

Hx p (ym—ym—1) — (Vm+Vm-fi + • •• Vn)(xm—xm_i) (276) Jm —ym-l -₌

Xm    Xra—1

eine Gleichung, welche wegen Vm + Vm+1 + ... Vn = Vx/ und da

ym ym—1

Xm    Xm—1

die trigonometrische Tangente des Neigungswinkels der beiden Gurtungsftücke zu einander im mten Feld darstellt, das Gesetz in Gleichung (188) vollkommen bestätigt. Bezeichnen y und x die laufenden Koordinaten im inten Feld, so ergiebt sich:

(x — xm_j)

_ Vm -f- Vm+1 ~f~ • • • Vn

d. h. die Gleichung zweier gerader Linien, die durch die zwei Punkte (xm_i, ym-i) und (xm, ym) geht, welche letztere zu der Abscissenare durch die Ordinaten

ip~hym—is :r== ym—i und ymp +yms = ym, (278) für welche zugleich

. . (278a)

ymp — ym-1 P + yms — Vm-1

Für das erste, dem Auflager zunächst liegende Feld wird m — 1 und in Gleichung (277) X — 0. In diesem Punkte wird das Angriffsmoment und folglich auch das Widerstandsmoment Null. Da letzteres das Product aus dem konstanten Widerstand Hxp in den Hebelsarm ym-i, so kann nur der letztere Null, d. h. es muß ym_t = 0 sein. Werden die vorstehenden Werthe für m, xm_x und Jm-i eingeführt, so ergiebt sich aus Gleichung (276 a):

y = Zl. x - _Yi+yn + ---Vn

Hxp

d. h. die Gleichung zweier Geraden, welche durch den Stützpunkt (y — x — 0) und durch die Punkte y/ xx und y₁ux₁ gehen, für welche

. . (281)

Ist nur eine.angreifende Kraft V₁ vorhanden, mithin wieder m = 1 und ym_₁ = xm_₁ = 0, so geht Gleichung (277) über in: .

— Hxp X' • d. h. das System wird ebenfalls durch 2 grade Linien begrenzt, welche bzw. durch den Stützpunkt (y = x = 0) und durch die Punkte y/¹ xt und y₁° x, gehen, für welche die Relation (281) gilt.

Die durch Gleichung (277) gegebenen Systeme erscheinen unter polygonaler Form und sind solche mit indirecter Uebertragung der Lasten. S. Tafel 4, Fig. 76 bis 94. Die durch Gleichung (282) gegebenen Systeme zeigen trigonale Form und sind solche mit directer Uebertragung. S. die Tafel 4, Fig. 95 bis 107.

a) ynp — JV — ynk, b) ynp — o, c) yns — 0 und d) yBs = — >„s,

V<ynp, .

worin

(285)

(286)

. . (287) (288) !

Die trigonalen Systeme bedürfen, da sie aus je zwei, Wird aus (281) der Werth von yx in die Gleichung i jene Zerlegung bewirkenden Stäben bestehen, keiner Ver-(282) der direct übertragenden oder mgonalen Systeme j steisung, sind vielmehr an sich steif, so lange sie jene eine,

in Gleichung (282) mit V₁ bezeichnete Last zu übertragen Sind mehrere, das System angreifende Kräfte Vn • •. Vp vorhanden, so ist die Anwendung der trigo-

.    . (289) | haben.

und wenn successive die Werthe aus (284) substituirt werden, V die Gleichungen der wichtigsten Varianten der trigo- nalen Systeme nur derart möglich, daß man:

1) für jede angreifende Kraft ein besonderes trigonales System anordnet und die so erhaltenen Mehrfachen des trigonalen Systemes zu einem mehrfachen trigonalen Systeme vereinigt, wie deren die Figuren 108 bis 116 der Tafel 4 darstellen;

. . (290) . . (291) . . (292) Hxp (ytp—yi⁸), • • • (293)

Hxp.2yVs

V,x,=    • •

Gleichung (292) „

jene Kräfte zuführt und je zwei deren Zerlegung und Weiterleitung bewirken. Werden die polygonalen Systeme mir dieser erforderlichen Versteifung versehen, so erscheinen Gleichung (285) bezeichnet das zur Abscissenare sym-    sie als versteifte polygonale Systeme und nehmen

metrische System, s. Taf. 1, Fig. 23, Gleichung (286) die in den Figuren 76 bis 90 und Fig. 94 der Tafel 4 das System mit gerader oberer Gurtung, s. Fig. 24, angedeuteten Grundformen an.

Gleichung (287) das System mit gerader unterer Gurtung, s. Taf. 2, Fig. 25, und Gleichung (288) das System des sogenannten sichelförmigen Trägers, s. Fig. 26.

Wird in Gleichung (276) für ym — ym-i sein Werth aus Gleichung (278) gesetzt, so ergiebt sich:

Hxp (ymp — ym-i p + yms — ym-is)

— (Vm + Vm+i + ...yn)(xm—Xm_i).    . (283)

Die Bedingung (14) dieser Systeme ohne Horizontalschub wird nicht alterirt, wenn man den Hebelsarm des Kräftepaares verändert. Setzt man in der Proportion (278 a) successive:

. . (284)

so erhält man aus Gleichung (283) die Gleichungen der wichtigsten Varianten der polygonalen Systeme:

)Hxp (ymp —ym_ip), . .

( Hx p . (ymp — ym—1 P — (yms —'y,n-lS), worin Hxp — Hxs gesetzt werden kann.

gesetzt, so erhält man

Hxp (y? +yts) = Vi.x

nalen Systeme:

wobei wieder

Gleichung (290) das zur Abscissenare symmetrische System,

s. Taf. 2, Fig. 27,

Gleichung (291) das System mit gerader oberer Gurtung,

s. Fig. 28,

„ unterer Gurtung, s. Fig. 29,

Gleichung (293) das System m. aufwärts geknickter Gurtung,

s. Fig. 30, darstellt.

a) Die versteiften polygonalen Systeme.

Die allgemeine Formengleichung (277) der polygonalen Systeme stellt deren Gleichgewichtslinie nur so lange dar,

als deren Belastungen Vm, Vm+1 ... Vn nicht geändert werden. Da indeß sowohl bei den Brücken- als Hochbau-constructionen dieser Gattung ein Theil dieser Belastungen veränderlich ist, mithin unsymmetrische Betastungen und Spannungsrichtungen eintreten können, welche nicht mehr mit der Richtung der Systemglieder zusammenfallen, so erfordern dieselben Anordnungen, welche eine Deformation des Systemes verhindern. Jede zur Uebertragung bestimmte, von jener einseitigen Belastung herrührende Kraft, welche mit der Richtung der übertragenden Glieder nickt zusammenfällt, wird aber übertragen, sobald in dem Angriffspunkte jener Kraft ein weiterer Stab als Hilfsüberträger angeordnet wird, welcher jener Kraft die Zerlegung nach zwei Richtungen, mithin deren Uebertragung möglich macht. Nach dieser Anordnung, welche das System vor Formänderung bewahrt oder es versteift, müssen daher in jedem Knotenpunkte des Systemes mindestens je 3 Stäbe zusammentreffen, wovon je einer dem Knotenpunkt

ß) Die mehrfachen und versteiften trigonalen Systeme.

2)    in jedem weiteren Kraftangriffspunkte des trigonalen Systemes je zwei Hilfsüberträger einschaltet, welche die Versteifung dieses trigonalen Systemes in der bei Betrachtung der polygonalen Systeme angegebenen Weise bewirken, wie dies die Fig. 127 bis 151 der Taf. 4 zeigen oder

3)    in jedem weiteren Kraftangriffspunkte des trigonalen Systemes wieder ein analoges, nur kleineres trigonales System einschaltet, welches in analoger Weise fungirt und auf verschiedene, in den Figuren 117 bis 126 der Tafel 4 dargestellte Weise angeordnet werden kann.

Die trigonalen Systeme können hiernach ausgebildet werden zu:

. . (296)

.    . (297)

2Hxp

d. h. die Gleichung einer gemeinen Parabel. Für den Stützpunkt wird x — xn und y = y„, daher aus Gleichung (297):

. . (298)

x„², •    -

y-

Die Gleichungen (297) und (298) enthalten das Gesetz für die Längen

yn—y = ym .    •

a) mehrfachen trigonalen Systemen (Fig. 108 ! bis 116),

ß) versteiften trigonalen Systemen,

««) mit Hilfsüberträgern analoger Neigung oder mit eingeschalteten trigonalen Systemen (Fig. 117 bis 126),

/)/)) mit Hilfsüberträgern nicht analoger Neigung (Fig. 127 bis 151).

b) D i e S v st e in e mit nickt aufgehobenem Horizontalschube.

Nach den Relationen (17) und (21), wofür auch in der Proportion (278a) bzw. y„p = 0 und yns — 0 zu setzen, verwandelt sich Gleichung (283) für die aufgehängten Systeme in:

Hxs (yms—ym-is) = V m+ V m+i+• • -Vn) (xm—xm_i), (294) und für die gestützten Systeme in:

Hxp(ymp—ym—ip)=(Vm+Ym+1 +... V„) (xm—xm_i). (295) j

Die Gleichungen (294) und (295) dieser Systeme unterscheiden sich von den Gleichungen (286) und (287) der balkenartigen Systeme nur dadurch, daß in diesen letzteren wegen Gleichung (15) Hxp und Hxs gleichzeitig, mithin zwei Gurtungen vorhanden sind, wodurch eben der Horizontalschub vernichtet wird. Im Uebrigen erfahren die nicht waagrechten Gurtungen der durch Gleichung (286) und (287) gegebenen balkenartigen Systeme bzw. denselben Zug und Druck, wie die durch Gleichung (294) charakteri-sirten aufgehängten und die durch Gleichung (295) charak-terisirten gestützten Systeme. Wir können daher zusammenfassen :

1)    die SYstenie mit gezogenen Hauptgliedern

a)    ohne aufgehobenen Horizontalschub (ausgehängte Systeme im engeren Sinne),

b)    mit aufgehobenem Horizontalschub,

2)    die Systeme mit gedrückten Hauptgliedern

a)    ohne aufgehobenen Horizontalschub (gestützte Systeme im engeren Sinne),

b)    mit aufgehobenem Horizontalschub.

Die Systeme mit gezogenen und gedrückten Hauptgliedern zugleich üben keinen Seitenschub aus, so lange ihre Gurtungen im Stützpunkt zusammentreffen. Werden dagegen ihre Gliederreihen in den Scheiteln zusammengesetzt, während ihre Enden nicht zusammentreffen, s. Taf. 2, Fig. 31, so erscheinen sie als Combinationen eines aufgehängten und eines gestützten Systemes und üben aus die Widerlager dieselbe Wirkung aus, wie diese Systeme, aus welchen sie zusammengesetzt sind. Wir unterscheiden daher

3)    die Systeme mit gezogenen und gedrückten

Hauptgliedern

a)    ohne aufgehobenen Horizontalschub (theil-weise aufgehängte, theilweise gestützte Systeme),

b)    mit aufgehobenem Horizontalschub.

Die Systeme unter 1) und 2) sind hiernach besondere Fälle der Systeme unter 3) und die Systeme unter la und 2a sind daher besondere Fälle der Systeme lb und 2b.

Die versteiften Systeme fallen hier selbstverständlich weg, dafür können die mehrfachen trigonalen Systeme hier Anwendung finden.

2. Die Träger mit »ertheilter Belastung und 2 Stützpunkten, oder die curvenförmigen Systeme (Taf. 4, Fig. 152—175).

a) Die Träger mit gleichförmig »ertheilter Belastung.

o) Die Träger mit gleichförmig auf die Projection vertheilter Belastung (Taf. 4, Fig. 154—164).

In Gleichung (276a) bezeichnet innerhalb des mtett Feldes ym — ym_i die Zunahme des Hebelsarmes, resp. den Zuwachs der oberen und unteren Ordinate des Polygons für die Abscissen xm — xm_1; Vm + ... Vn die auf die Absciffe xn — xm, oder wenn man den Ursprung in die Mitte verlegt, d. h. x„ — xm mit xm vertauscht, auf die Absciffe x^ lvcalisirte, Belastung. Nimmt man nun die Belastung gleichförmig auf die Projection vertheilt an, so rücken die Knotenpunkte unendlich nahe zusammen und man erhält, wenn g jene Belastung für die laufende Einheit bezeichnet, aus Gleichung (276a):

dy _ gx dx — Hxp ' worin Hxp — Hxs gesetzt werden kann und hieraus durch Integration, wenn man die Jntegrativnsconstaute Null setzt, oder den Ursprung in den Scheitel verlegt, wo y und x Null werden, s. Tafel 2, Fig. 32,

y =

2 Hxp •

mithin durch Division der Gleichungen (297) und (298):

. . (299)

. .    (300)

der Hebelsarme, welches auch für die Längen yv yn-.-ym der Hebelsarme in Taf. 1, Fig. 22 giltig ist, sobald jene

4

. . (301)

2Hxp

und wenn für x = xn, ys + yp = yns + ynp wird, auch

. . (302)

.xn²,

yns + ynp =

(ynS + ynP)

. (302a)

X².. .

ys + yp =

. . (303)

. . (304)

= H**.2yk,

— Hxs. ys, ⁼⁼ Hxs. yp,

I Hxp . 2 yk gx² _ )HxP.ys

. . (305) . . (306) . . (307)

X ts£>

. (310)

(X — Xm_!>

y—ym-i =

_ gA (n —m)

■ Hxp

(x—xm_i). (312)

(n — m) g ;jAl y² + d x²

.dx

dy =

.dx = Jfy--dx, (313)

• ds — ^--./dy² + dx²

/M¥)

Belastungen V1; V₂...Vm einander gleich sind und sich in gleichen Abständen voneinander befinden, in welchem Falte man den polygonalen Parabelträger erhält.

Bezeichnet man die Länge yn—y der Hebelsarme mit yg + yp, so erhält man nach Gleichung (297) und mit Bezug auf Tafel 2, Fig. 33:

ys + yp =

2Hxp

mithin durch Division von Gleichung (301) und (302):

Xn²

Wenn man Gleichung (301) schreibt, wie folgt:

Hxp (ys+yp) — gx-~2~,

so ergiebt sich, daß sie Die Bedingung deS Gleichgewichtes u\ Drehung ausdrückt. Dies Gleichgewicht wird nicht gestört, wenn man den Hebelsarin ys+pp des Horizontalwiderstandes verändert, woraus sich die Varianten des cur-venförmigen Parabelträgers ergeben, wenn man successive die Bedingungen (284) einführt oder setzt: a) ys == yp = yk, b) yP =0, c) ys = 0 und d) ys — —yxs, worin

y? < ys- •

Hxp - yP

Hxp (yp — y?) = Hxs (yp—yts)-    (308)

Gleichung (301) ergiebt sich übrigens auch direct durch Integration der Gleichungen (188) und (189), in welchen vorher Vx — gx zu setzen ist.

Für die Systeme dieser Gattung mit nicht aufgehobenem Horizontalschub erhält man wegen der Bedingung (17) und (21) aus Gleichung (301) für die aufgehängten und gestützten Systeme bzw.:

g — = H-.r.....(309)

S~2~ = Hxp.yp, .    .

zwei Gleichungen, welche sich übrigens direct durch Integration der Gleichungen (191) ergeben, wenn darin vorher Vx = gx gesetzt worden ist.

Die Gleichungen (309) und (310) unterscheiden sich ! von den Gleichungen (306) und (307) der balkenartigen Systeme nur dadurch, daß in diesen letzten wegen Gleichung (15) Hxp und Hxs gleichzeitig, mithin stets 2 Gurtungen,

vorhanden sind, wodurch eben der Horizontalschub vernichtet wird. Wir können daher die vorstehenden Systeme hinsichtlich der Anspruchnahme ihrer Glieder und ihrer Hori-zontalwirkung auf die Stützpunkte ebenso eintheilen, wie dies bezüglich der polygonalen Systeme bereits geschehen ist. Eine praktische Bedeutung hat übrigens hauptsächlich das durch Gleichung (309) charakterisirte System der un-versteiften Hängebrücken, Tafel 4, Fig. 152, welches wegen der sehr nahezu gleichförmig vertheilten Belastung und der dicht zusammengerückten Hängestangen sehr nahe eine stetige Curve und zwar die gemeine Parabel als Gleichgewichtslinie verlangt.

ß) Die Träger mit gleichförmig aus die Länge vertheilter Belastung.

Für das einem Druck ausgesetzte Stäbepolygon aus n Stäben von gleicher Länge l, gleichem Gewicht g für die laufende Einheit, also gleichem Gewicht Gr = Äg pro Stab ist in die allgemeine Gleichung (277) Vra = Vm+l = ... Vn = G (n — m) zu setzen, woraus

Gr (n — m)

Hx»

(x—xm_,), . (311)

und wenn für l sein Werth gesetzt wird,

y—ym-i___

_(n—m) g / (ym—ym-i)²+(xm—Xm_,)²

Hxp

Eine praktische Bedeutung für das Bauwesen erhält dieses Polygon für freitragende, nur durch ihr eigenes Gewicht belastete Gewölbe von constanter Dicke, s. Tafel 4, Fig. 165, in welchem Falle die Längen der Stäbe unendlich klein werden und Gleichung (312) in die folgende übergeht:

Hxp

(n—m) g. d s

⁼ H^p

eine Gleichung, welche sich wegen Vx — gsx nicht direct aus (191b) ergiebt, und worin ds die Länge eines Bogenelementes, sx die Länge des Bogens für die beliebige, vom Scheitel als Ursprung an gerechnete, Abscisfe x, s. Taf. 2, Fig. 34, bedeutet. Durch Differentiation erhält man daraus t

d² y    g

d? “ IST"

__ g_

⁻ "Hxp

und wenn man sie auf die Form:

- - (314)

. dx,

H,r

• dx =

d²y

dx³

/i+c*)

‘2 '

- - (315)

trigonometrische Tangente des Winkels a bezeichnet, gesetzt wird:

gebracht hat, durch Integration, wobei für x — 0, mithin die Konstante Nult:

x — log. nat. (-

dy

dx

=0,

Hxp

und wenn man zu den Hummern übergeht, wobei e = 2,7182818 die Basis des natürlichen Logarithmensystemes bezeick)i>et:

Quadrirt man so ergiebt sich:

g.a

. . (323)

. x² d x,

und hieraus durch Integration wegen Const. = 0:

6.Hxp lX ' • d. h. die statische Gleichung einer cubischen Parabel.

dyp =

yP =

2Hxp

- - (324)

Wird für x — y = f, so erhält man:

(1/2)³.....(325)

ga l³

48_ • ~T'

ga

6.HXP

daher Hxp =

. .    (325»)

- (317)

diese Gleichung und löst nach dy auf, und hieraus, wenn Gleichung (324) und (325) dividirt

werden:

HXP *X

HXP ‘

) dx, . (318)

. . (326)

woraus durch abermalige Integration Hxp ^"hV*x

Hxp '

2g

j -(-Const. (319)

Da für x = y—0 die Constante = so erhält man

Hxp

wird,

Hxp

(e

HxP X

— r-f— . X

HXP

-2),    (320)

2g X

d. h. die Gleichung der gemeinen Kettenlinie als Gewölblinie, woraus sich, wenn für x — x„ = 1/2, y = y„p = f wird, die Gleichung

yP =

als geometri sche Gleichung der cubischen Parabel.

ß) Träger mit gerade abg e g lichener Belastung (s. Tasel 4, Fig. 167 bis 169).

Die Fahrbahn gewölbter Brücken ist gewöhnlich gerade und in diesem Falle entweder geneigt, oder horizontal abgeglichen. Auch die Neigung ist entweder eine nach dem Scheitel hin steigende oder sallende. Die innere Begrenzungslinie für diese 3 Fälle ergiebt sich aus Gleichung (191 ) wenn darin mit Bezug auf Tafel 2, Fig. 36:

Vx

= g J (y — ax) dx .

0

. . (327)

. . (328)

(e¹

2g V

HxP '

1/2

HXP •

1/2

-2 ,    (321)

und hieraus der Horizontalwiderstand Hxp ergiebt.

b) Die Träger in t t ungleichf ö r m i g vertheilter Belastung.

a) Träger mit nach dem Stützpunkt hin proportional zunehmender Belastung.

Diese Belastungsweise erhält eine baupraktische Bedeutung für flache Kuppeln, deren Flächenprojection nicht viel von dem Inhalt der Kuppelfläche selbst abweicht, s. - Tasel 4, Fig. 166.

Aus Gleichung (191b) ergiebt sich, wenn darin mit Bezug auf Tafel 2, Fig. 35:

.    und y — ax

gesetzt wird, worin g das Gewicht der cubischen Einheit und a die trigonometrische Tangente des Winkels a bezeichnet , nämlich:

dy

— ax) dx — g

j zdx. (329)

o

Wird Gleichung (328) zweimal differentiirt, so ergiebt sich zunächst:

und

dz

dx

— = z . .    . (330)

dz'

d³y _ d*z_ dx²    dx²    dx

x.ax

Vx = g-

worin g das Gewicht für die Quadrateinheit und a die

. . (322)

. . (331)

Differentiirt man nun Gleichung (329), so erhält man: d²y ‘ dx²

und wegen Gleichung (331) auch

= z".

Hxp

= gz,

. . (332)

4*

d²z

dx²

= Hxp . z" = gZ. (333)

dessen Integral:

r Tiy

Durch Division der Gleichung (330) in (331) er-

giebt sich

z" dz'

z'    dz '

.    . (334)

. log. nat. (z +/z² + C²) + er. (339)

Für x — 0 sei z = z₀ = y₀, weil im Scheitel die Belastungshöhe der Curvenvrdinate gleich ist, daher ist für diesen Punkt

und wenn aus Gleichung (334) für z" sein Werth eingeführt wird:

H p    _

• log. nat. (y₀ + /y₀² + G²) + C', (340)

HxP.z'dz' — gzdz. .    .    .    (335)

Wird diese Gleichung integrirt, so folgt

woraus sich die Constante C' und mithin durch deren Einsetzen in Gleichung (339):

Z²

. (336)

— -g—h Const, .

C²

-g- gesetzt und Die ganze

und wenn die Constante —

Gleichung mit 2 multiplicirt wird:

y Hxp.z'² = z² + C². .    . . (337)

Wird aus dieser Gleichung die Wurzel gezogen und aus Gleichung (330) für z' sein Werth gesetzt, so entsteht

z + / z² + C²

7o+yry»²+c²

und wenn man zu den Nummern übergeht:

ergiebt.

Hxp

. log. nat. (

/ Hxp

Für x — 0 ist

dy

z + / z² + C²

yo+/y₀²+c²'

. (342)

Hxp dz

- /z² + C²,

0 und z = z₀ = y₀, folglich aus Gleichung (330) z' = —a und aus Gleichung (337) :

dx

Q2 _ Hxp

mithin:

dx ==

r g

• y*r+c² ' ‘

(-a)²-y₀², . . . (343)

daher, wenn dieser Werth der Constanten in Gleichung . (338) : (³⁴²) eingeführt und für z aus Gleichung (328) sein I Werth gesetzt wird:

y—ax +

(y—ax)²-f-~^a²

—y«

Wird diese Gleichung quadrirt und nach y aufgelöst, so entspringt:

y<> —a

HXP

(344)

. . (345)

oder auch:

-./Hxp

y = ax+-|-    ' g

/¥ */H"'

(/

Hx p

HxP

— e

b. h. die Gleichung der inneren Begrenzungslinie für Ge- | gender Belastung (Anaklinoide). wölbe mit gerade abgeglichener, nach dem Scheitel st ei- | (346) a negativ, so erhält man

)■ •

. (346) Setzt man in Gleichung

~ax+y(

f-

Hxp

Hxp

HXP

/■¥

- - (347)

^ h. die Gleichung der inneren Begrenzungslinie für Gewölbe mit gerade abgeglichener, nach dem Scheitel fallender Belastung (Kataklinoide), s. Taf. 2, Fig. 37.

Setzt man in Gleichung (346) a Null, so ergiebt sich:

-.[ HxP

i(«y

/>*

)-

(348)

d. h. die Gleichung der inneren Begrenzungslinie für Ge- | lastung (Aklinoide), f. Taf. 2, Fig. 38. Die allgemeine wölbe mit gerade und horizontal abgeglichener Be- | Gleichung der Klinoiden ist hiernach:

HxP

y = + ax    [

worin das obere Vorzeichen der Anaklinoide, das untere Vorzeichen der Kataklinoide, und das Verschwinden der mit doppeltem Vorzeichen versehenen Glieder der Aklinoide entspricht. Verlegt man den

■i-fj

"ECp

. . (349)

Ursprung in den Scheitel der Curve, d. h. setzt man y statt y—y°, so ergeben sich aus Gleichung (348) die neuen Ordinären aus:

HxP

-2 h

(350)

eine Gleichung, welche für yy — ]/~~~~

in die Gleichung

(320) der gemeinen Kettenlinie übergeht.

Für x = -g- fei y = f, so geht Gleichung (349) in die folgende über:

al

*rr₊.

Hxp

— ~2

woraus sich der Horizontalwiderstand Hxp durch einige Versuche finden läßt. Ist der Horizontalwiderstand bekannt, so ergiebt sich die Querschnittsfläche des Schlußsteines eract aus der Gleichung (98b) und unter den daselbst gemachten Voraussetzungen annäherungsweise aus Gleichung (112b).

g.

²/

HxP

2/

HxP

- (351)

g zdx

dy    0

dx — Hxp ' ’

. . (353)

woraus durch Differentiation

III. Die offenge bauten SYste m e mit gegebener Form und gesuchter Belastung.

d2y _ g

dx² ~ Hxp

(354)

1. Träger, welche den Kreis oder einen Theil des Kreises zur Systemform haben.

a) Träger mit Halbkreis oder mit vollem Bogen, i des Krümmungshalbmessers (Tafel 4, Fig. 170.)

Da diese Träger fast ausschließlich als solche mit gedrückten Hauptgliedern entweder ohne aufgehobenen Horizontalschub wie die kreisförmigen Gewölbe, oder mit aufgehobenem Horizontalschub, wie bei den'nach der Halbkreislinie geformten Eisenconstructionen vorkommen, so gelten für dieselben im erstern Falle Gleichung (191 b), im letzteren Falle die Gleichungen (191a und b).

Werden aus den Gleichungen (353) und (354) die

d²y

und    dw allgemeine Gleichung

dy

Werthe für

eingeführt, so ergiebt sich:

d²y

dx²"

MS-O

gz

. . (356)

Aus Gleidmng (191b) und mit Bezug auf Tafel 2, Fig. 39 erhält man, da

Hxp

vx = g

J’zdx, .

0

. . (352)

worin g das Gewicht der cubifchen Einheit bezeichnet, wenn für Vx fein Werth gefetzt wird:

Die Scheitelgleichung des Kreises ist mit Bezug auf

Tafel 2, Fig. 39:    __

(r — y)² = r² — x² oder r—y = fA"²— X²,    (357)

woraus durch Differentiation:

_dy_ __x

dx

r—y

'\[r²—x²

. . (358)

Wird dieser Werth in Gleichung (356) eingeführt und der konstante Krümmungshalbmesser des Kreises q — r gesetzt, so erhält man die allgemeine Gleichung des Belastungsgesetzes kreisförmiger Träger:

* ₌ HXP r²

g Y(r² — x²)³

oder wenn man die Belastungshöhe z in dem Scheitel, für welchen x — y = 0, woraus

und

g 0—y)

. (359)

Hxp . r²

HxP.r²

g/(r² —C/2)²)³    g(r—f)³

. (364)

r³

r³

z<" Y^WY z° (r-f)³"'

(365)

Für den 60gravigen Segmentbogrii, für welchen I — r und f = 0,134r, ist:

Hxp

Hxp

zo =

Hxp

g.r

. . (360)

/Ff

70 h-h

(0,866)³gr

oder

in Gleichung (359) einführt:

zo

(0,866)³ g * *

. (366)

z = z₀.

r³

r³

fif—X*)³    z°‘ (r—y)³ '

. (361)

Aus Gleichung (360) folgt:

Hxp = g.z₀.r, d. h. der Horizontalwiderstand eines kreisförmigen Trägers ist constant und gleich dem Gewicht eines Paral-lelepipedums aus dem angewendeten Material von der Länge des Kreishalbmessers, der Breite der Belastnngshöhe im Scheitel und der Dicke 1.

Für Hxp ist aus der Gleichung (98b) oder annäherungsweise aus der Gleichung (112b) sein Werth einzusetzen. Erscheint die letztere Annahme, wie in den meisten Fällen, zulässig, so erhält man aus Gleichung (362):

pfp = g.z₀.r,

. . (362)

Der Horizontalwiderftaud ergiebt sich auch hier aus dem conftanten Werth in Gleichung (362).

0. Träger, welche eine aus Kreisstücken zusammengesetzte Systemform haben.

a) Träger mit der Form des deutsch-gothischen Spitzbogens. (Tafel 4, Fig. 172.)

Bezeichnet 1 die Spannweite, f die Pfeilhöhe des Spitzbogens, s. Tafel 2, Fig. 41, so gelten die Formeln (359) und (361) mit ihren Consequenzen

für die Abscissen x — r--- bis x — r und

. . (363)

woraus sich die Abmessungen des Trägers im Scheitel ermitteln lassen.

für die Ordinaten y = r— f bis y — k unter der Voraussetzung, daß zur Herstellung des Gleichgewichtes in dem Scheitel des Spitzbogens die concentrirte Belastung:

Aus den Gleichungen (359) und (361) ergiebt sich für x — y — r die Belastungshöhe z — 00 , woraus folgt, daß für den Halbkreis das Belastungsgesetz nie bis zum Stützpunkt erfüllt werden kann, es mithin statisch vortheil-baft erscheint, die Kreislinie als Trägerform nur bis zu dem Punkt x,y anzuwenden, bis zu welchem sich das Belastungsgesetz erfüllen läßt, oder doch bei Anwendung des vollen Halbkreises die Ueberbauconstruction an diesem Punkt als solche abzusetzen und den Rest des Halbkreises als Widerlager zu construiren, wie dies bei dem Bau halbkreisförmiger Gewölbe empirisch bisweilen geschieht.

2VX =

r--L

s*i

0

zdx

= 2Hxp

r²dx

]/"(r²—x²)³

²gzo

r³ dx

]s (r²—x²)³

(367)

ergiebt, welche dem Gewicht zweier, zwischen den Abscissen und x — 0 gelegener Stücke des Halbkreis-

b. Träger mit kreisförmigem Segmentbogen oder Stützbogen. (Tafel 4, Fig. 171).

bogens entspricht.

Die Belastungshöhe des Spitzbogens im Scheitel ist durch die Formeln (364) und (365) gegeben, wenn darin

Kreisftgmen^ f    40 "fo^üen^'¹gomel!    r-T fta,t T 111,6 r“f statt f gesetzt wirb. Für de,,

1 über das gleichseitige Dreieck construirten Spitzbogen ist alsdann in die Formeln für den Spitzbogen überall r statt

(359) und (361) für die Abscissen x = 0 bis x =

und für die Ordinaten y — 0 bis y = f. Für die letzteren * äu setzen. Grenzen ist alsdann die Belastungshöhe am Sützpunkt aus jenen Formeln bzw. :

Der Horizontalwiderstand ergiebt sich auch hier aus dem conftanten Werth (362).

ß) Träger mit der Form des englisch-gothischen Spitzbogens. (Tafel 4, Fig. 173.)

Bezeichnet 1 die Spannweite und f die Pfeilhöhe des Spitzbogens, s. Tafel 2, Fig. 42, 1—1' die Horizontal-projection und f die Verticalprojection des gekrümmten Theiles desselben, bezieht man ferner die Coordinatenaren auf den Scheitel des vervollständigten Kreisbogens, so

2 Vx = 2 g | zdx = 2 Hxp

gelten die Formeln (359) und (361) mit ihren Konsequenzen

i r

für die Abscissen x der Strecke ---und für die Ordi-

naten j = r — £' bis y = r wieder unter der Voraussetzung, daß zur Herstellung des Gleichgewichtes im Scheitel des Spitzbogens die concentrirte Last

(l + i)

Y (r² — x²):

— 2gz₀

r³ dx

Y (r² — x²)³

. . (368)

r

angebracht wird, während innerhalb der Strecke

weitere Belastung hinzutritt und der Horizontalwiderstand den durch Formel (362) gegebenen constanten Werth behält. Die durch die Formeln (368) und (362) gegebenen Kräfte erzeugen alsdann im Scheitel des Spitzbogens eine Resultante, welche längs des geraden Theiles desselben gerade bleibt und im Vereinigungspunkt des geraden und gekrümmten Theiles den letzteren tangirt, mithin den Gleichgewichtszustand nicht alterirt.

y) Träger mit der Form des aus mehreren Kreissegmenten zusammengesetzten Bogens, oder des Korbbogens. (Tafel 4, Fig. 174.)

Bezeichnet man mit Hxp den constanten Horizontalwiderstand, mit z₀, z₀', z₀" die Belastungshöhen in den Scheiteln der mit den Halbmessern r, r, r" beschriebenen Kreisbogen, s. Tafel 2, Fig. 43, so ergiebt sich mit Berücksichtigung der Gleichung (360):

HxP = z₀r = z₀Y — z₀"r", .    . (369)

woraus die Verhältnisse der Belastungshöhen im Scheitel:

zo ₌ _r\

r ’ z₀

Setzt man r' = ra, so ergeben sich aus Gleichung (361) folgende beide Gleichungen für die Belastungshöhen z des ersten und z' des zweiten Bogenstückes für den ersten Vereinigungspunkt mit den Koordinaten xlr yA:

keine

r"

__ %' z"

mithin allgemein für den inten Vereinigungspunkt:

Z₍,m

Aus Gleichung (375) folgt, daß für Korbbogen, deren halbe Spannweite ihre Pfeilhöhe übertrifft (liegende oder unterhöhte Korblinien), für welche also

t >f' •

mithin auch:

zm 1

zm

r' '

.    . (374)

. . (375)

.    .    (376)

. . (377)

jr»m—1    ^ rm

für die beiden Belastungshöhen im inten Vereinigungspunkt die Beziehung besteht:

. . (378)

r'

. . (370)

z = z₀ .

r³

r³

z' = z₀'

(]/r² — x/)' (czr)³

. 371)

Zm )> Z

Die Belastungscurve bildet mithin in den Vereinigungs-Punkten der einzelnen Bogen nach den Auflagern hin zunehmende Absätze, zm — zm_1, eine Form, welche der von dem Scheitel nach dem Stützpunkt der Korblinie hin zunehmenden Pressung vollkommen entspricht. Die liegende Korblinie erscheint daher als Systemsorm für alle diejenigen Gewölbe besonders geeignet, deren Baumaterial von constanter Form (wie der Ziegel) ist und deshalb eine absatzweise Zunahme erfordert.

Aus Gleichung (375) folgt dagegen, daß für Korbbogen, deren halbe Spannweite von ihrer Pfeilhöhe übertroffen wird (stehende oder überhöhte Ko rblinien), für welche

. . (379)

(a Y r2 “ xi²)³

(372)

daher auch

•m—1    pin

. .. (380)

woraus durch Division und wegen Gleichung (370):

zo

r'

.    . (373)

für die beiden Belastungshöhen im raten Vereinigungspunkt die Beziehung besteht:

z'~    z₀'

Setzt man r" = r‘ a‘, so ergeben sich analoge Gleichungen wie (371) und (372) und ans diesen

(381)

zm < z™-¹

Die Belastungscurve bildet mithin in den Vereinigungspunkten der einzelnen Bogen nach den Widerlagern hin

abnehmende Absätze zm— zm_i, eine Form, welche der von dem Scheitel nach dem Stützpunkt der Korblinie hin zunehmenden Pressung nicht entspricht.

Hieraus folgt, daß der liegenden Korblinie ein con-structiver Werth zukommt, welche der stehenden Korblinie abzusprechen ist.

Aus Gleichung (375) folgt:

Die Scheitelgleichnng der Ellipse heißt mit Bezug auf die Bezeichnungen der FLg. 44, Tafel 2:

y²,    .

. . (386)

z₀m — zom_1 "

m—1

. . (382)

woraus durch Differentiation:

_dy_ _ 2f]/2fy—y²

i (f—y)

Der Krümmungshalbmesser der Ellipse ist

dx

. . (387)

d. h. daß sich die Belastungshöhe im Scheitel des raten Bogenstückes aus derjenigen des (m — 1)ten Bogenstückes bestimmen laßt, sobald deren Radien bekannt sind, daß mithin auch die Gleichung besteht:

ji jW j»^    jiin—2    —1

= zo-~r* (383)

Die größte Belastungshöhe im raten Scheitelpunkt ist daher gleich dem Product der Belastungshöhe im Scheitel des Korbbogens mit dem Quotienten aus dem Radius des arten Bogenstückes in den Radius des 1. Bogenstückes, oder kürzer: die Belastungshöhen in den Scheiteln des arten und 1. Bogenstückes verhalten-sich umgekehrt wie die ihnen zugehörigen Radien.

Da sich aus Gleichung (361) die zwischen den Vereinigungspunkten liegenden Belastungshöhen ermitteln lassen, sobald die ihnen zukommenden Scheitelbelastungshöhen und die zugehörigen Radien bekannt sind, so verwandelt sich für die Belastungshöhen des arten Bogenstückes Gleichung (361) in:

z₀m = z₀

j*/    j»m—1 j»ni

¹(t)‘

Werden die Werthe

dy

. (388)

aus Gleichung (387) und

Q aus Gleichung (388) in Gleichung (385) eingeführt, so ergiebt sich

dx

Hxp

f⁴

. . (389)

r) (£~y)S

Aus Gleichung (385) erhält man für den Scheitel der Ellipse die Belastungshöhe:

z₀ =

Hxp

Qo

. . (390)

und wenn aus Gleichung (388) der Krümmungshalbmesser (384) im Scheitel

rm⁸

rm³

= zo-l(7

worin die Covrdiuaten auf den Scheitel des ergänzt gedachten raten Bogenstückes zu beziehen sind.

Unter den zu Gewölbeformen anzuwendenden Korblinien erfordern diejenigen die geringsten Differenzen der, nach Gleichung (375) von den zugehörigen Radien abhängigen Belastungshöhen in den Uebergangspnnkten, welche bei einem gewissen Gesetz (z. B. arithmetischer Progression), wonach die Centriwinkel und Halbmesser ihrer Kreisbogentheile wachsen, ein (z. B. constantes) Minimum der aufeinanderfolgenden Halbmesser zeigen, mithin in diesem Falle Korblinien mit constanter Minimaldifferenz der aufeinanderfolgenden Halbmesser sind.

Zm

/(rm²—x²):

Z°'"rm ’ (rm—y)

eingesetzt wird:

sich dann

Qo =

ßPL

. . (391)

z₀ -----

Hxp

.    . (392)

g~‘ (W •    •

Durch Einführung von z₀ in Gleichung (389) ergiebt

⁵⁵ = z« (7=7)*' •

.    . (393)

eine Gleichung, welche in diejenige (361) des Kreises übergeht, wenn darin f = r gesetzt wird.

Die Scheitelgleichung der Ellipse mit der horizontalen Halbare r ist

2. Träger, welche die Ellipse zur SVstemform haben. (Tafel 4, Fig. 175.)

Aus der allgemeinen Gleichung (356) ergiebt sich die Belastungshöhe:

. . (394)

Hxp

.    . (385)

f-y =

Die Scheitelgleichung des Kreises vom Radius r ist mit Bezug auf Fig. 44, Tafel 2:

r — y' = /r²— x², worin y die Ordinalen des Kreises, mithin für die gleichen Abscissen x durch Division der Gleichungen (394) in (395):

. . (395)

(396)

. (397)

f—y

und z —

(1/2)'

. . (401)

0/2/

. . (402)

f-y ₌ 1

r—y    r

Die Höhen des halben elliptischen Bogens verhalten sich mithin zu den Höhen des ihm umschriebenen oder eingeschriebenen Halbkreisbogens für gleiche Abscissen constant wie die Pfeilhöhen dieser Bogen.

Setzt man daher f = «r, so ist auch f—y = a(r—y'), mithin auch

«r

« (r—y) r—y' . (398)

Die Belastungshöhe des ellipsenförmigen Systemes stimmt daher für gleiche Abscissen mit der Belaftungshöhe eines kreisförmigen Systemes von gleicher Belastungshöhe im Scheitel überein, dessen Radius der waagrechten Halbare der Ellipse gleich ist.

Aus Gleichung (393) folgt, daß z mit der Zunahme von y stetig wächst, möge nun das Verhältniß

1    (399) oder -^< 1,    . (400)

d. h. die Ellipse eine überhöhte oder unterhöhte sein. Die Ellipse ist daher als Systemform der Korblinie sowohl bei allen überhöhten, als auch bei solchen Gewölben vorzuziehen, deren Baumaterial nicht in Folge seiner con-stanten Form (wie der Ziegel) und wegen der nach abwärts wachsenden Pressung im Bogen Absätze verlangt, sondern (wie der Hausteiu) in beliebigen, stetig zunehmenden Abmessungen geliefert werden kann.

Da für y = f auch hier z == co wird, so gelten auch für die Ellipse die bei den kreisförmigen Systemen gemachten Bemerkungen über die Verlegung des Stützpunktes in den Punkt, bis zu welchem man das Belastungsgesetz zu erfüllen im Stande ist.

Für den Horizontalwiderstand erhält man aus (392):

Hxp — gz₀.-j

und wenn für aus Gleichung (112b) sein Werth eingesetzt wird:

pfp = gz₀ —j

woraus sich die Abmessungen im Scheitel des elliptischen Systemes ermitteln lassen.

B. Die aus je zwei offenen Systemen zusammengesetzten Systeme. (Tafel 3, Fig. 176 bis 200.)

Entweder zur Unterstützung vermehrter Kraftangriffspunkte oder zur vermehrten Sicherheit der Unterstützung der in einem ersten Systeme bereits vorhandenen Knotenpunkte werden auch wohl je zwei offengebaute Systeme zusammengesetzt. Hierher gehören insbesondere

1)    die aus trigonalen und polygonalen Systemen (Taf. 3, Fig. 176 bis 182),

2)    die aus trigonalen und Parallelträgersystemen (Taf. 3, Fig. 183 bis 188),

3)    die aus polygonalen oder eurvenförmigen und Parallelträgersystemen (Tafel 3, Fig. 189 bis 200)

zusammengesetzten Systeme.    *

Diese zusammengesetzten Systeme können, wie die einfachen Systeme, aus welchen sie bestehen, entweder solche

a)    mit gezogenen Hauptgliedern,

b)    mit gedrückten Hauptgliedern, oder

c)    mit gezogenen und gedrückten Hauptgliedern sein und hinsichtlich der Lage und Neigung ihrer Belastungstafel wieder solche

->m» m I*" j    “'S™⁶™-

ß) mit in den Stützpunkten liegender Belastungstafel sein.

Die einfachen Systeme, woraus diese zusammengesetzten Systeme bestehen, für sich allein zu schwach, um die ihnen aufgebürdete Belastung zu übertragen, haben einen gewissen mten Theil dieser Belastung zu übernehmen, sind aber hinsichtlich ihrer constructiven Anordnung und statischen Berechnung nach denselben Grundsätzen zu behandeln, wie die nicht zur Zusammensetzung bestimmten Systeme ihrer Gattung.

C. Dir aus geschloffenen und offenen Systemen zusammengesetzten Systeme. (Tafel 3, Fig. 201 bis 215.)

Diese Systemcvmbinationen werden meist zur ein- oder mehrmaligen Unterstützung der, an und für sich nicht hinreichend tragsähigen, geschloffene» Träger angewendet und sind entweder

1)    die aus geschlossenen und trigonalen Systemen (Taf. 3, Fig. 201 bis 209),

2)    die aus geschloffenen und polygonalen Systemen (Tafel 3, Fig. 210-215)

zusammengesetzten Systeme.

Die geschloffenen Systeme sind sämmtlich balkenartige, dagegen können die den zweiten Bestandtheil derselben bildenden trigonalen und polyginalen Systeme, wie bei ihrer isolirten Verwendung, solche

a)    mit gezogenen Hauptgliedern,

b)    mit gedrückten Hauptgliedern,

c)    mit gezogenen und gedrückten Hauptgliedern und nach ihrer Unterstützungsweise entweder solche mit 2 und mehr nebeneinanderliegenden, oder solche mit 2 überein*

anderliegenden Stützpunkten (einseitig festgehaltene) Träger sein. —

Hinsichtlich ihrer constructiven Anordnung und statischen Berechnung sind sie bezüglich der ihnen zukommenden

Lastantheile nach denselben Grundsätzen zu behandeln, wie die zur selbständigen Verwendung bestimmten Systeme ihrer Gattung.

Zweite Abtheilung.

Die Aufbauconstructionen der Brücken und Hochbauten.

Die Aufbauconstructionen, wie die Endpfeiler (Landpfeiler) und Zwischenpfeiler der Brücken oder die Umfangswände, Zwischenwände und Einzelstützen (Säulen, Pfeiler, Pfosten) der Hochbauten, bilden die Träger der Ueberbaucon-structionen und sind entweder abgesetzte (discontinuirliche) oder fortlaufende (continuirliche), jedoch stets solche mit mindestens je zwei nebeneinanderliegenden Stützpunkten.

Der statische Zweck dieser Unterstützungen ist die abwärtsgehende Uebertragung der auf ihnen ruhenden (ständigen und veränderlichen) Belastungen und übrigen auf sie einwirkenden Kräfte auf ihre Stützpunkte, die Unter* bauconstructionen. Um diese Uebertragung zu bewirken, müssen die angreifenden (äußeren) und widerstehenden (inneren) Kräfte dieser Stützen in's Gleichgewicht gegen

a)    lothrecht fortschreitende Bewegung,

b)    waagrecht fortschreitende Bewegung und

c)    drehende Bewegung gesetzt werden.

Erster Abschnitt.

Die statischen Gleichgewichtsbedingungen der Aufbauconstructionen.

A. Erfüllung der allgemeinen Gteichgewichtsbedingungen.

Die allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichtes der angreifenden Kräfte, welche, abgesehen von der hier hinzutretenden Totalbelastung und Reaction der Unterbauconstruction, mit denjenigen des einseitig überbauten Trägers übereinstimmen, sind, wenn p der Hebelsarm von P, mit Rücksicht auf die Bezeichnungen der Fig. 1, Taf. 5 bzw.:

A— (P + G.) + A'—A" = 0, . . (403) welche, da Die Kräfte A' und A", wenn keine Drehung stattfindet, Null werden, also von der Tvtalbelastung PH-G, der Aufbauconstruction und dem Gegendrücke A der Unter* bauconstructivn unabhängig sind, sich zerlegen läßt in die beiden Gleichungen:

Aus vorstehenden 4 Gleichungen, von welchen (403b), (404) und für p = 0 (405) bzw. den Gleichungen (41), (40) und (4£) des einseitig überbauten Trägers analog 'sind, ergeben sich die 4 unbekannten äußeren Kräfte:

— P + Gri,    .    .

= a; ....

= H, ....

₌ Hh + Pp

a' + a" '    '

unter welchen, wie aus Gleichung (407) folgt, die Kräfte A' und A" ein Paar mit dem Hebelsarm a' + a" bilden.

Die allgemeinen Bedingungen beS Gleichgewichtes der angreifenden und widerstehenden Kräfte sind mit Rücksicht auf die Fig. 2, Tafel 5, für den beliebigen, im Abstand 1 — x von der Unterbauconstruction befindlichen Querschnitt

AX-(P + Gx) + A' - A" - (A/ - Ax") = 0; (410) eine Gleichung, welche wegen der Unabhängigkeit der Partialbelastung P + Gx und der Partialreaction Ax von den erst bei einer Drehung auftretenden Kräften A', A", Ax' und Ax" und in Folge der Gleichung (407) zerfällt in:

Ax—(P + Gx) = 0    . . . (410^)

. . (410b)

. (411)

c <Tto

. . (406)

(407)

. . (408)

. . (409)

und A'x — A"x — 0, . . ferner H' —Hx— Hi_x — 0 und A'a'+A" a" — (Ax' ax' + Ax" ax") + Pp — Hx (1—x)

— H(i_x) h(i_X) — 0,

oder wegen Relation (407) und (410 b):

A' (a + a'O - V (ax' + ax") ± Pp - Hx (1 -x) — Ha-*) • b(i_x) — 0. (412) Aus vorstehenden 4 Gleichungen ergeben sich die 4 unbekannten widerstehenden Kräfte:

Ax = P + Gx, .... (413) A"x = Ax'

Hx = H'—Hi_x .... (415)

(414)

und

A— (G + GO = 0 (403») und A'—A" = 0, (403b) H—H = 0, . .

A ' ₌ A'(a +a")±Pp-Hx(l-x)-H₍₁_x). hq_x,

. . (404)

A'a' + A"a"—Hh ± Pp = 0. . . (405)

, (416)

wovon wegen Relation (414) die Widerstände Ax' und Ax" ein Krästepaar mit dem Hebelöarme ax' ax" bilden.

ax -j- ax

. . (419)

. . (420)

(421)

.    . (422)

> JL+Gi

> P+ G,

und ax

. . (425)

und aus Gleichung (415), daß sich die einzelnen Schichten der Stütze nicht waagrecht übereinander verschieben können, wenn mit Berücksichtigung der Gleichung (408)

Hx >

Hx

werden muß.

Bezeichnet man mit qx wieder die Querschnittsfläche der Stütze für die Abscisse x, mit v den Verschiebungswiderstand auf dieser Fläche für die Quadrateinheit, so muß mithin

. . (428)

III. Herstellung des Gleichgewichtes der Stützen gegen Drehung.

Die Drehung der Stützen erfolgt unter Einwirkung drehender Kräfte von hinreichender Größe auf verschiedene Weise, je nachdem dieselben mit dem Unterbau verankert sind oder nicht. Im ersten Falle, und wenn die Stützen elastische sind, tritt eine Biegung ein, die wieder verschieden ist, je nachdem sie unter Einwirkung der waagrecht und lothrecht angreifenden ^Kräfte zugleich oder nur der letzteren erfolgt. Wir unterscheiden daher die Drehung der mit dem Unterbau verankerten Stützen, z. B. aus Holz und Eisen, und der mit demselben nichtverankerten Stützen, z. B. aus . . (423) Stein, und unter den verankerten Stützen wieder diejenigen, deren Drehung durch waagrecht und lothrecht angreifende Kräfte zugleich oder durch lothrecht wirkende Kräfte allein erfolgt.

1. Herstellung des Gleichgewichtes mit dem Unterbau verankerter Stützen gegen Drehung.

a) Unter gleichzeitiger Einwirkung horizontaler und verticaler Kräfte.

Nach Gleichung (412) hat im Allgemeinen jeder im Abstande 1—x von dem Stützpunkte befindliche Querschnitt der Stütze ein Widerstandsmoment

wM = Ax' (a/ + ax") . . . (429) zu entwickeln, welches dem Angriffsmoment ! aM — A'(a'+ a") ± Pp - Hx (I-x) - H„_x) h₍₁_x) (430)

B. Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen im Besonderen.

I. Herstellung des Gleichgewichtes der Stützen gegen lothrechtes Fortschreiten.

1. Herstellung des Gleichgewichtes gegen Zerdrücken.

Das durch die Gleichungen (406) und (413) bedingte Gleichgewicht der Stützen, s. Tafel 5, Fig. 3, gegen lothrechtes Fortschreiten erscheint cvnstructiv bewirkt, wenn der Unterbau den Gegendruck

A > P + G, . . . . . (417) und jeder Querschnitt der Stütze mindestens den Gegendruck Ax > P + Gx.....(418)

zu leisten im Stande ist. Bezeichnet man mit qx jenen Querschnitt im beliebigen Abstande x von dem Kopfe der Stütze, mit k die Widerstandsfähigkeit des angewendeten Materiales für die Quadrateinheit jenes Querschnittes, so ist

Ax — k qx,

mithin, wenn für Ax aus Gleichung (418) sein Werth gesetzt wird, für den Fall des Gleichgewichtes

P + Gx'

qx

Wird der Druck A und Ax einer Stütze vertheilt oder die Stütze aus n Theilstützen so zusammengesetzt, daß

na == A

n ax — Ax, .

worin a und ax die Querschnitte jener Theilstützen darstellen, so verwandeln sich die für die geschlossenen Stützensysteme geltenden Gleichungen (417) und (418) in die Gleichungen

. . (424)

welche nun für die offen ge bauten Systeme der Stützen gelten.

II. Herstellung des Gleichgewichtes der Stützen gegen waagrechtes Fortschreiten.

Aus Gleichung (408) folgt, daß eine horizontale Verschiebung der Stütze auf dem Unterbau vermieden wird, wenn

H' > H, .

. . (426)

ein Werth, welcher für x = 0 sein Minimum und für x = 1 sein Marimum erreicht, in welch letzterem Falle H]_x = 0, mithin

H.....(427)

Hxmax < qxv .    .

sein, wobei das Product qx v bei gegebenem Verschiebungs-widerstande z. B. durch die Reibung der Schichten aufeinander mittelst der entsprechenden Abmessung von qx, oder bei einer gegebenen Fläche qx durch die Erzeugung eines die Gleichung (428) erfüllenden Verschiebungswiderstandes, z. B. durch Anwendung von geeigneten Bindestoffen, von rauhen Lagerflächen, Dübeln oder sonstigen Bindemitteln constructiv erzeugt werden kann.

. . (431)

entsprechen muß.

Aus Gleichung (429) und (410b) folgt, daß:

WM = Ax' « + ax") = Ax" (ax" + axz). (432) Die Verticalwiderstände Ax' und Ax" erscheinen bzw. als eine Summe von Zugspannungen ks und Druckspannungen kp, welche in den entsprechenden Flächenelementen df⁸ und dfp des Horizontalquerschnittes qx stattfinden, proportional mit ihren Abständen ys und yp von der ihrer Lage nach noch zu bestimmenden Drehare wachsen und daher, wenn 8 und p die Zug- und Druckspannungen in den äußersten Fasern, as und ap die Abstände der letzteren von der Drehare bedeuten, durch die Relationen

as

. . (433)

und kp —    . yp .    .

ap J

ausgedrückt werden, welchewen früher gefundenen Relationen (90*) und (90b) analog sind, und aus welchen man durch Summirung, wenn der Verticalwiderstand Ax' gegen Zug mit Axs, der Verticalwiderstand Ax" gegen Druck mit Axp bezeichnet wird, erhält:

. . (434)

structionen, die zur verticalen Schwerebene stets ganz oder nahezu normal bleibt — mit der Richtung der seitlich angreifenden Horizontalkräfte ändert, unter welchen z. B. die Windstöße von allen Seiten wirken können. Es folgt hieraus zugleich, daß die Querschnittsflächen tum Stützen nicht wie diejenigen der Träger einseitig für Druck oder Zug construirt werden dürfen, sondern da, wo die Horizontalkräfte von allen Seiten auf sie einwirken können, überall gleichzeitig einem Drucke und einem Zuge widerstehen müssen.

Sind in den Gleichungen (435) und (436) im Sinne der Relation (97) die Grenzen

a — ß — Q,    .

so ist auch die Querschnittsfläche der Stütze eine geschlossene und die Stützensysteme mit einer geschlossenen Querschnittsfläche oder vollen Wandung geschlossene Stützensysteme; eine Eigenschaft, die auch dann noch stattsindet, wenn die Querschnittsfläche im Inneren durchbrochen ist und die Stütze einen geschlossenen Mantel besitzt.

Sind die Grenzwerthe a und ß n\(f)t Null, die Stützen mithin offengebaut, so entstehen die offenen Stützensysteme, für welche, wenn fs, fp und bs, bp die in den Gleichungen (98*) unb (98b) geltende Bedeutung haben, wieder die Relationen

. . (437)

Axs =

Ax⁸ = —

as

as

y⁸. d f⁸ —    m⁸,    . (435)

as

fs bs . . . . (438*)

as

fpbp .    .    .    .    (438b)

<ip

yp . dfp — mp, . (436)

ap

Relationen, welche den gleichfalls früher gefundenen Ausdrücken (91*) und (91b) vollkommen entsprechen und worin die Werthe «, ß, ms und mp die dort angegebene Bedeutung haben.

Aus der daselbst gezogenen Schlußfolgerung ergiebt sich, daß auch hier die Drehare durch die Schwerlinie der Querschnittsfläche geht und diese mithin die neutrale Are für Zug und Druck bildet; eine Lage der Drehare, welche sich übrigens — im Gegensatze zu derjenigen der Ueberbaucon- I

und Axp —

bestehen. Hieraus ergiebt sich auch für die Stützen, daß die Verticalwiderstände ihrer Flächentheile fs und fp unter übrigens gleichen Umständen um so größer werden, je größer die Abstände ihrer Schwerpunkte von der neutralen Faser sind, oder je mehr jene Flächentheile concentrirt und von der neutralen Are entfernt werden; ein Umstand, welcher, wenn mit möglichster Oekonomie verfahren werden soll, für die Anwendung von offen gebauten oder geschlossenen Stützen mit durchbrochenem Querschnitte spricht.

Werden die Werthe (435) und (436), (438*) u. (438b) in die Gleichung (416) eingeführt, so ergeben sich für jene Verticalwiderstände beziehungsweise die Relationen:

3>s

y. df, = -£- fi df, = A'(a' -Pp    x: H" "

i

ax' + ax"

. . (439)

und

s £S jjs __ P £p jj __ A' (a' + a“) ± Pp Hx(l x)    H(i—x>hg-X)

ax' + ax"

as

aB

. . (440)

AuS Gleichung (432) ergiebt sich, wenn die Bezeichnungen Ax= und Axp für Ax' und Ax" axs und axp für ax' und ax" eingeführt werden:

WM = Axa (axs + axP) = Axp (axP + ax=),

(441a)

oder, da Axs und Axp ein Kräftepaar mit den Hebelsarmen axs und axP bilden, auch

WM = Axs axs + Axp axP,    . . (441b)

und wenn die Werthe für Axs und Axp aus den Gleichungen (435) und (436) eingeführt, ferner unter y= und yp wie früher die veränderlichen Abstände der Flächenelemente dfs und dfp von der neutralen Are verstanden werden:

as

dp

WM —-

as

(yS)2dfs+-^

aP

(yP)² dfp, (442)

eine Gleichung, welche der in (138) gefundenen durchaus analog ist und wegen der dort gezogenen Schlußfolgerung in die folgende

WM == — t —    . . . (443)

übergeht, worin t das Trägheitsmoment des ganzen in Betracht kommenden Querschnittes, bezogen auf dessen jeweilige neutrale Are, bedeutet.

Bezeichnen bs und b? die Abstände der Schwerpunkte der Flächentheile f⁸ und fp, so sind

fs bs — ms und fpfop = mP .    .    (444)

die statischen Momente dieser Flächentheile zur neutralen Are und die Gleichung (442) geht mit Berücksichtigung der Gleichung (92) in die der Gleichung (146) analoge und mit Gleichung (443) identische Relation

as

ap

wM = — (f⁸ bs axs + fp bP axP) = (fp b? axP + f⁸ bs ax⁸)

a₈

ap

(445)

folgt, daß

über, aus welcher, wie für die Trägerconstructionen, auch für die Construction der Stützen folgt, daß bei gleichen Flächentheilen f⁸ und fp das Widerstandsmoment desto größer wird, je größer nicht nur die Abstände b⁸ und bp ihrer Schwerpunkte von der neutralen Are, sondern auch die Hebelsarme axs und axP der Re-

sultanten aller Spannungen und Pressungen, bezogen auf dieselbe Are sind, d. h. je mehr man wieder jene Flächentheile des Querschnittes concentrirt und von der neutralen Are entfernt anordnet.

Aus den Gleichungen (435), (436), (441a) und (444)

WM — — fsb⁸ (ax⁸ + axP) — -2- fp bP (axP + ax⁸),

as

ap

(446)

d. h. eine der Relation (147) ähnliche Gleichung, aus welcher unter den dort angegebenen Umständen analoge    i

Resultate erhalten werden, wie sie in Gleichung (148), Wl’n " ⁼ ^ " TT ^en ' un^

Vv—WM, . .

Hh = V.v, .    .

woraus entweder bei gegebenem Widerstande das Neigungsverhältniß

. . (447)

mithin

- - (451)

. . (452)

(149), (150) und (150») enthalten sind.

Wird aus den Gleichungen (441»), (441b), (442), (443) oder (445) der Werth von WM und aus Gleichung (430) der Werth von »M in Gleichung (431) eingeführt, so ergeben sich daraus alle Beziehungen zwischen den bei der Drehung der Stützen in Betracht kommenden Abmessungen, äußeren und inneren Kräften.

Ist der Querschnitt oder die Basis der Stütze nicht hinreichend, um das dem Angriffsmomente mindestens gleich-werthige Widerstandsmoment zu entwickeln, so werden con-structive Hilfsglieder zur Ergänzung des Widerstandsmomentes erforderlich. Diese Hilfsglieder erscheinen bei einseitiger Einwirkung der Horizontalkräfte entweder als Streben, s. Tafel 5, Fig. 4, oder als Anker, s. dieselbe Tafel, Fig. 5, bei zweiseitiger Einwirkung gleichzeitig als Streben und Anker.

Bei der Verstrebung hat man mit Bezug auf die Bezeichnungen der Figur für den Drehpunkt D

Hh — »M,    .

h'

. . (448) . . (449)

. . (450) oder bei gegebenem Neigungsverhältniß der Widerstand:

H —    .

gefunden wird.

Bezeichnet man den Winkel, welchen die Strebe mit der Stütze einschließt, mit «, s. Tafel 5, Fig. 4 und 5, so ist h — ]A(h²+v²).cos« mithin nach dem Früheren

H'h'

Y(h² + v²) cos«

und wenn die in der Strebe entwickelte Spannung mit 8 bezeichnet wird:

H'h'

2 H'h'

sina    /h² + v².cosa.sin«    }/h² ■+• v². sin 2 a

(453)

ein Werth, welcher für sin2a = 1 oder a = 45° ein Minimum wird. Die Verstrebung erhält daher, wenn unter übrigens gleichen Umständen die in der Strecke entwickelte Spannung oder der ihr zu gebende Querschnitt möglichst klein werden soll, im günstigsten Falle das Neigungsverhältniß

A = 1

(454)

Der in der Strebe entwickelte Widerstand beträgt

S = V.

]/ h² + v²

= H.

. . (455)

Wirkt H nach der Seite der Strebe, so erfährt diese eine Druckspannung, S = pq, welche der Stützpunkt D durch den gleichen Gegendruck zu vernichten hat, und per Stützpunkt E hat der vertical aufwärts wirkenden Zugkraft

V —(P + G,) = 8

y h² -f - v²

-(P+G,) = pq.

— (P+Gi)

. . (456)

yh*+v!

zu widerstehen. Wirkt H nach der unverstrebten Seite, so hat, und der Stützpunkt E hat der vertical abwärts wirerfährt die Strebe eine Zugspannung 8 — sq, welche der kenden Druckkraft Stützpunkt D durch den gleichen Gegenzug zu vernichten

V + P + G! =

8 ——.....

]/ h² + v²

f P + Gi = sq

]/h² +v²

- - (457)

zu widerstehen.

Wirkt H einmal nach der verstrebten, einmal nach der unverstrebten Seite, so hat die Hilfsconstruction bzw. ent-weder als Strebe oder als Anker zu wirken, während die bezeichneten Widerstände der Stützpunkte zwar quantitativ dieselben bleiben, aber die Richtungen ihrer Wirkung aus-zu tauschen haben.

Wirkt H successive nach beiden Richtungen und es sollen nur Streben oder Zuganker zur Anwendung kommen, so sind dieselben auf beiden Seiten, d. h. doppelt, wirkt H successive nach allen Richtungen, so sind jene Streben oder Anker nach allen jenen Richtungen, oder wenigstens nach einer genügenden Zahl derselben, doppelt anzubringen, s. Tafel 5, Fig. 6.

Werden statt einer Stütze zwei angewendet, so gelten für jede derselben die angeführten Regeln und würden bei nach zwei Seiten wirkenden Horizontalkrästen H jede derselben eine gleichzeitig auf Zug und Druck wirkende Strebe, zwei Streben oder zwei Anker, also beide zusammen vier Streben oder vier Anker erhalten müssen. Werden dieselben aber an dem Kopfe der Streben waagrecht verbunden, so genügen zwei Streben oder zwei Anker für beide, s. Tafel 5, Fig. 7 und Tafel 6, Fig. 25 und 26.

Hieraus ergiebt sich der Vortheil mehrerer einzelner, unter sich verbundener und verstrebter oder verankerter, sogenannter gekuppelter Stützen, und findet dieser Vortheil selbst dann noch, wenn auch in vermindertem Grade, statt, wenn der Fußpunkt der Streben nicht mit dem Fußpunkte der Stützen, sondern mit einem höher gelegenen Punkte derselben verbunden ist.

b) Unter alleiniger Einwirkung verticaler Kräfte.

Elastische Stützen erfahren unter alleiniger Einwirkung lothrechter Kräfte von hinreichender Größe eine Drehung

durch Ausbiegung, eine Biegung, als deren letztes Ergebniß ein Zerknicken der Stütze eintritt.

Jene Ausbiegung des Stabes ist verschieden, je nach

dem er

1)    an dem oberen Ende frei und am unteren Ende fest ist,

2)    an dem oberen und unteren Ende zwar gegen seitliche Bewegung, aber nicht gegen Drehung und lothrechte Bewegung fest ist,

3)    an dem unteren Ende fest und an dem oberen Ende zwar gegen seitliche Bewegung, aber nicht gegen Lothrechte Bewegung und Drehung fest ist,

4)    an dem oberen und unteren Ende zwar gegen Drehung fest ist, jedoch so, daß das obere Ende eine lothrechte Bewegung zuläßt.

1. Die Stütze mit festem unteren und freiem oberen Ende.

Tritt der erste Fall ein, so findet für einen beliebigen Punkt M der Are der Stütze, s. Tafel 5, Fig. 8, im Falle des Gleichgewichtes nach Gleichung (431) die Relation

aM — WM

statt, worin aM = Py und nach Gleichung (443)

WM = ~s-.t =    .t,

- • (458)

as

clp

ober da, wenn wie früher der Elasticitätsmodnl deS Materiales mit E und der Krümmungshalbmesser der Stabare mit q bezeichnet wird,

<ig

. . (459)

gesetzt werden kann,

t = Py, .

. . (460)

77

78

biegung der Werth q —

oder wenn P und 1 gegeben und die Querschnittsabmes-sungen der Stütze zu bestimmen sind:

d²y

dx²

4P

— ,r²E — 0,405

PP

- • (467)

Et.

d²y

dx2 —

-Py. . . . (461)

dy

Setzt man -™- = u, woraus und führt diesen Werth ein, so ergiebt sich

d²y du

dx²    dx

udu

dy

Et. udu — —Py dy und hieraus durch Integration:

u²

P y2

Et™' ~2~ Const-

d y

Für u —    — 0 wird y = f, daher Const. —

P f²

ET-~T' mitt>in

2. Die Stütze mit seitlich unverschieblichen, aber drehbaren Enden.

In diesem Falle verhält sich jede Halste der Stütze gerade so, wie die ganze Stütze im ersten Falle, es kann also, wenn mit 1 deren Länge bezeichnet wird, die Ausbiegung, bzw. Zerknickung, erfolgen durch die Last:

7t²    E t

TV“ . -

Et

. (468)

u² =

(4s-)* = Tr^-r)

3. Die Stütze mit festem unteren und unverschieblichem, aber drehbarem oberen Ende.

Im dritten Falle, wo die horizontale Kraft H, s. Tafel 5, Fig. 9, erfordert wird, um eine seitliche Ausweichung zu verhindern, ist

woraus, wenn die Wurzel ausgezogen wirb,

4^-    — lA-j* (p_yä)

dx r Et v y > •

. . (462)

aM — Py—H (1 — $), . . . (469)

das Widerstandsmoment wie in Gleichung (460) zu setzen, woraus sich

Man erhält hieraus

t — —Et.

d²y

dx²

= Py-H (1-x), (470)

dy

/f®—y²

und durch Integration

= dxPzi

oder

Et.

d²y

-Py-hH(l-x) . (471)

ergiebt. Dieser Differentialgleichung entspricht bekanntlich das Integral

dx²

(dn=i) = x/|r .

■ (463) . . (464)

21 wird y — 0, daher auch sin21 y4=— 0 und da dieser Fall nur für 21 j/-^—

arc

Für x —

oder -j- — sinx j/"—j^-.

ETy =

— 17t eintritt,

wobei i die Reihe 1, 2, 3 ... der natürlichen Zahlen bezeichnet, so erhält man

Cj.sinx y + Cn cosx \

H-(l—x).    (472)

— o

U' dx

⁺ Et

Ptt². Et

4P

. . (465)

Die kleinste Belastung, welche bei der geringsten Ausweichung eine Ausbiegung, bzw. ein Zerknicken, der Stütze herbeiführen kann, erhält man, wenn 1 — 1, in welchem Falle

Da für x — 0, y — 0, für und für x — 1, y — 0 wird, woraus sich die Bedingung

¹/'ET = tgl/w •

ergiebt, so ist das kleinste Gewicht, welches dieser Bedingung entspricht und die Zerknickung der Stütze herbeiführen kann,

. . (473)

Et

zr². Et n Et

4P - = 2,»s7 -pr,

P — 2,046 iP . - p—. . .

- - (474)

. . (466)

Et

= 4tf².

• (475)

l² '

l²

. . (476)

pi . pn . pni. piv —

•    (478)

2,046

TT²

toren

Et

P = m.

, . (480)

. (481)

71 — 3,14 ,    71 /2,046 — 4,49

und 2 Tr --- 6,28 . .

Quadrat c —

4. Die Stütze mit festem oberen und festem unteren Ende.

Im vierten Falle verhält sich der vierte Theil der Stütze gerade so wie die ganze Stütze im ersten Falle, es kann also, wenn mit I deren Länge bezeichnel wird, die Ausbiegung, bzw. Zerknickung erfolgen durch:

D _ TT² Et

woraus wieder ~ P‘ 4tt².E ' '

Es ergeben sich hieraus die Verhältnisse der in den vorbetrachteten vier Fällen erhaltenen Lasten P für Stützen von der gleichen Länge, dem gleichen Querschnitte und demselben Material, nämlich

: Tr² : 2,046 JT²: 4 st²

— 0,25 :1: 2,046 : 4 = 1 :4: 8,184 :16, (477)

und die Trägheitsmomente ihrer Querschnitte für dieselbe Belastung P

ti: tu : tiu - tjy —- 4:1:

Sowohl die Belastungen P als die Trägheitsmomente t der betrachteten vier Stützen unterscheiden sich durch con-stante Factoren. Bezeichnet man die in den Gleichungen (466), (468), (474) und (475) enthaltenen constanten Fac-

7T² , 2,046 -r² und 4tc² allgemein mit m, so

ergiebt sich als die größte zulässige Belastung der betrachteten Stützen allgemein

. . (479) und als deren Trägheitsmoment:

I²

t = P.

Zweiter Abschnitt.

Die allgemeine Anordnung der Stützen.

Sind in der Gleichung (437) die Grenzwerthe «=/9=0, so ergeben sich die geschlossenen oder massiven, sind dieselben >0, so ergeben sich die offenen oder gegliederten Stützen.

Erstens. Die geschlossenen Systeme.

Die Form und Abmessung der geschlossenen Stützen ist außer von der Widerstandsfähigkeit des Materiales abhängig von der Größe und Richtung der aus sie einwirkenden Kräfte und constructiv verschieden, je nachdem dieselben nur lothrechten, nur waagrechten oder lothrechten und waagrechten Kräften zugleich zu widerstehen haben.

A. Stützen mit lothrechter Belastung.

Die Stützen mit lothrechter Belastung sind der Gefahr einer Ausbiegung, bzw. Zerknickung ausgesetzt, wenn deren Länge ihre kleinste Querschnittsdimension um eine gewisse Grenze überschreitet, während sie innerhalb dieser Grenze nur aus Druck in Anspruch genommen werden. Setzt man, um diese Grenze zu finden, die durch Gleichung (419) gegebene größte zulässige Belastung Ax = qx k einer nur aus Druck in Anspruch genommenen Säule der durch Gleichung

E t

(479) gegebenen Belastung P = m. -p- , durch welche

die Säule der Gefahr einer Ausbiegung oder selbst Zerknickung ausgesetzt wird, gleich, so erhält man

kqx — m. -p- ,    .

und wenn für t aus Gleichung (144) sein Werth cqxh², worin h dessen kleinste Querschnittsdimension bedeutet, eingeführt und reducirt wird, so ergiebt sich, da k dem Druckwiderstande D des angewendeten Materiales an der Bruchgrenze für die Quadrateinheit des Querschnittes qx gleichkommt, das gesuchte Verhältniß

JL = /c.m    - - - (482)

worin für E der Elasticitätsmodul und für D die Zerdrückungsfestigkeit des angewendeten Materiales zu setzen ist.

Der Werth m hängt von der Beseftigungsweise und Länge der Stütze ab und beträgt für die vier oben betrach-

n²

teten Fälle nach dem Früheren bzw. -j-, rc², 2,046 n2 und 47t², mithin ist für /in beziehungsweise:

_£L ₌ 157 2 ' '

. . (483)

zu setzen. Der Werth c hängt von der Form des Querschnittes ab und beträgt z. B. für das Rechteck und das

für den Kreis und Kreisring c =

Führt man die Zahlenwerthe von E und D in Gleichung (482) ein, so ergiebt sich für:

15000

-=/ h r 50

W

1 s

Schmiedeeisen -g- = y ■

Holz

Gußeisen

125000

990

}/c.m — 17,32/cm (484), . /c m = 11,24/cm (485)

gesetzt wird, zu

qi =

. . (494)

250000

. /cm = 25,oo /cm. (486)

Würde man zu prüfen haben, ob eine runde, am Fußende befestigte und am Kopfende freie Stütze auf Druck oder Zerknicken zu berechnen sei, so ist

400

k—y 1

Für jeden Querschnitt in dem Abstande x von dem Kopfe der Stütze ergiebt sich

q* >

. . (495)

k — yx '

mithin in diesem Abstande ein Querschnittsüberschuß von

r- ,s 1 TT²

^cm = lT6 T

7t

— 8

zu setzen, woraus man für die genannten drei Materialien und für jenen ersten Befestigungssall ver Stütze aus

p (    1    1    \ ₌ p rfl-*)

Vk — y 1 k — y x /    ' (k—y 1) (k—y x)

(496)

und an dem Pfeilerkopfe selbst, für welchen x — 0 ist, ein größter von

y\

-g- — 17,32.    — 6,798,    (487)

TT ™~ 11,24 * ^

Schmiedeeisen ~ = 25 .

erhalt. Wird in Gleichung (482) das Verhältniß

ZF-/

Holz

Gußeisen

(488)

(489)

. . (490)

so ist die Stütze int ersten Falle auf Ausbiegung, bzw. Zerknicken, im letzteren Falle auf Druck zu berechnen. Wir unterscheiden hiernach Stützen, welche einem Drucke und Stützen, welche einer Ausbiegung zu widerstehen haben.

c.m,

I Aus Druck widerstehende Stützen.

Damit diese Stützen den Relationen (417) und (418) entsprechen können, beträgt nach Gleichung (420) deren Querschnitt für eine beliebige Ordinate

P" k(k — y\) ‘    ’

- . (497)

2. Die geschlossenen Stützen mit variabler Querschnittsform.

Um den durch Gleichung (496) dargestellten Querschnittsüberschuß ganz oder theilweise zu vermeiden, muß die Stütze entweder durchweg oder an mehreren Stellen der Relation (491) genügen. Im ersten Falle erhält man die Stützen von gleichem Widerstände, im letzten Falle die Stützen von theilweise gleichem Widerstände gegen Druck oder Stützen mit, dem Körper von gleichem Widerstände gegen Druck angenäherter, Form.

a) Die Stützen von gleichem Widerstände gegen Druck.

Soll die Form der Stütze diesen constanten Widerstand der Ouadrateinheit jeder ihrer Querschnittsflächen entwickeln, so muß auch für den int Abstande x + dx vom Kopfe der Stütze befindlichen Querschnitt qx+dqs

k (qx + dqx) = P + Grx + yqxdx . (498)

P + G*

. . (491)

mithin ergiebt sich für die ganze Länge der Stütze, für welche x — 1 ist, der größte Querschnitt

a - P + Gl

qi - —iT~

Die Stützen können diesen Bedingungen derart entsprechen, daß ihre Querschnitte für jede Ordinate entweder gleich oder ungleich sind.

q.x =

. . (492)

sein. Wird Zähler und Nenner des rechtsseitigen Bruches durch k dividirt, so ergiebt sich

P + Gx

qx + d qx —

.    ... P+ Grx

und wenn für -g-

gesetzt und reducirt wird,

H g" qx d x, . (499) aus Gleichung (491) sein Werth

dqx _

q*

. . - (500)

woraus durch Integration:

log. nat. qx + Const. =    x.- .

Da für x — 0 auch qx — q₀ wird, so ist Const. — Tafel 6, ein Beispiel enthält, ergiebt sich aus Gleichung (492), log. nat. q₀, mithin wenn dieser Werth in Gleichung (501)

eingesetzt wird,

1. Die geschlossenen Stützen mit constanter Querschnittsform.

Der Querschnitt dieser Stützen, wovon Fig. 1 u. 17,

wenn darin

. (501)

. . (502)

-f x

qx == q₀. e k ,    .    .

ein Werth, welcher in dem obersten Querschnitte, sür welchen logy = log--^ x — 0, in:

qx = q₀,.....(503a)

wie es sein muß, und sür den untersten Querschnitt, für constanten Seitenverhältniß — ist zu setzen: welchen x — 1, übergeht in:

.    . (503 b)

. . (504)

. . (505)

i/Jl r c '

. . (506)

. .. (508)

JLx

. . (509)

woraus y —

4«

4) Für den kreisförmigen Querschnitt ist zu setzen:

JLx

qx — n y² = q₀ • 6 k ,

y

Jl_ e k x

woraus y —

-Lx

So

. . (511)

y'

2n d

logy' — log.—

2nA

y2 = ir und y = /

log. nat.    X, .

und wenn man zu den Nummern übergeht, wobei e = 2,7182818 die Basis des natürlichen Logarithmensystems bezeichnet, sür jeden beliebigen Querschnitt einer Stütze von gleichem Widerstande

. . (503) q, = q₀ . e k 1.

Wird mit y die variable Abmessung des Querschnittes qx und mit C eine von dessen Form abhängige Conftante bezeichnet, so erhält man

qx = Cy², .    .

und wenn dieser Werth in Gleichung (503) eingeführt wird, die Gleichung der Begrenzungslinie der Stütze:

y jo.

' c

Für x — 0 wird y — +

„    X = 00

,,    X = — 00 „

Die der Gleichung (505) entsprechende Curve besitzt mithin zwei, zur Are X symmetrische Aeste, welche für negative Werthe von x die Are X zur Asymptote haben, für unendlich große positive Werthe von x aber sich in's Unendliche von ihr entfernen.

Für die Praris sind von besonderem Interesse der quadratische, rechteckige, kreisförmige und ringförmige Querschnitt.

1) Für den quadratischen Querschnitt ist zu setzen:

qx — (2y)² = q₀-e.

woraus:

.    . (507)

und wenn man zu den gemeinen oder Brigg'schen Logarithmen übergeht:

log y — y [log‘    + ’k x loge]

= Y [log.    + 0,434 x] .

2) Für den rechteckigen Querschnitt mit einer constanten Seite ist zu setzen:

o    -f*

qx = 2y.c = q₀. e k ,

q    JLX

woraus y —    . e k ,

und wenn man zu den Brigg'schen Logarithmen übergeht:

x.loge = log.-|2- + 0,434 x.

3) Für den rechteckigen Querschnitt mit dem

qx = 2y. 2ay = 4«y² = q₀.e k ,

und wenn man zu den Brigg'schen Logarithmen übergeht:

logy = \ [log

- - (510)

nnd wenn man zu den Brigg'schen Logarithmen übergeht: logy = -j- [log. + 0,434 -4 xj.

5) Für den ringförmigen Querschnitt ist zu setzen :

qx = n [(y + d)² -y²] — q₀.eT"x.

Nun ist wegen

(y + d)²—y² — d (2y + d) — 2d (y+ ^-) = 2d.y', worin y' den mittleren Halbmesser bezeichnet,

, d

= y + t ⁼

und wenn man zu den Brigg'schen Logarithmen übergeht:

+- 0,434 . -r- x. k

Für den kreisförmigen Querschnitt ist in Gleichung (504) 0, — n, daher, wenn q₀ = ™ = 1 gesetzt wird,

ex

3,u '

und für den quadratischen Querschnitt ist 0 — 4, daher y² = und y — V* /e*.

^1 t lll • • • Im f f

Setzt man x successive —4, —3, —2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, so ergiebt sich die graphische Darstellung der beiden Curven für den kreisförmigen und quadratischen Querschnitt auf Tafel 5, Fig. 10.

Die vorstehend betrachteten Stützen sind solche mit verbreiterter Basis und wenig eingezogener, fast gerader Leitlinie.

b) Die Stützen mit den Körpern von gleichem Widerstände gegen Druck angenäherter Form.

Die Annäherung an die soeben betrachtete Form von gleichem Widerstande kann bei den in der Praris erforderlichen Stutzen unter Beibehaltung der quantitativen Werthe q₀ und qi der obersten und untersten Querschnittsfläche für eine angenommene oder anzunehmende Querschnitts form, ohne Gefahr für die Widerstandsfähigkeit des angewendeten Materiales entweder durch die Anwendung einer stetigen geraden oder amtieren Leitlinie, s. Fig. 2 und 18, Tafel 6, oder durch die Annahme prismatischer oder cylindrischer Absätze, s. Fig. 3 und 19, Tafel 6, bewirkt werden.

Erhalten diese Absätze von oben nach unten successive die Querschnitte qx, qn... qm und die zugehörigen Längen 11, Tafel 5, so ist, wenn die Widerstandsfähigkeit des angewendeten Materiales für die Quadrateinheit der untersten Querschnittsflächen dieser Absätze gleich angenommen wird:

woraus:

P + Zgili _ P + yqili + rqnln _

P + yqi li •+■• - • y g,» lm

li

qn

qm

- - (512)

P + 7 qi jl + . • • q(m-l) l(m-l) k — lm. y

_ p + yqt *i

k-W '

Wird der Werth von q₁ in qllf von qx und qu in qm und zuletzt von q1; qu ... q^-i in qm substituirt, so findet man

q> =

k — hy'

qm —

. . (513)

qi =

Pk

k — hy

qm —

P k(m—^

(k-l₁y)(k-lny)'

Sind die Absätze einander gleich, also 1, = ln = ... lm, so ergiebt sich:

(k — lj y) (k — Iny)...(k —lmy) '

. (514)

qi =

k— ly

; qn —

Pk

(k 1 y)‘

qm —

Pk“-¹

(k — 1 y)m

(515

P = m.

(516)

II. Aus Ausbiegung widerstehende Stützen.

Die Stützen können der Ausbiegung in der zwiefachen Weise entsprechen, daß sie einen constaiiten oder einen variabeln und in letzterem Falle einen solchen Querschnitt erhalten, daß sie in allen Querschnitten gleich leicht brechen oder die größte Spannung in allen ihren Querschnitten eonstant sei. Im letzteren Falle ergeben sich die Stützen von constanter Festigkeit gegen Ausbiegung, bzw. Zerknicken.

Zerknickung erzeugen kann, darf in praxi nur ein durch Erfahrung bestimmter Antheil genommen oder es muß

p _ m Et

~ ir~p-gesetzt werden, wobei 4-

für Holz -4-, für Gußeisen für Schmiedeeisen * angenommen werden kann.

Wird der Werth des Elasticitätsmodul eingeführt und der erste Belastungssall angenommen, für welchen m =

4 ist, so erhält man das praktische Tragvermögen einer Stütze

von Holz

2,467.120000 t

von Gußeisen

Pi =

p ₌ 2,467.1010000

10

2,467.2020000

= 29600. 4 4 = 308000.4 4 = 822400 . -1,

(517)

. . (518)

.    von Schmiedeeisen P —

worin t für jede einzelne Stütze eonstant ist.

Für Stützen mit rechteckigem, rundem und ringförmigem Querschnitte ist das Trägheitsmoment bzw.:

6*

bh²

D³

. . (520)

. (521)

D,⁴ — d⁴ •

Ph

giebt sich

Ph

n⁴

ap

wenn darin

ap

d⁴z

und

d⁴z

sein Werth ge-

und wenn aus Gleichung (461) für setzt wird,

woraus

. . (525)

ap

(i)

d⁴

dx⁴

dt

p

--;=r x + Const.

und

. . (526)

j2~r worin b die größere und h die kleinere Seite des Rechtecks,

7t⁴

t =    D³, worin D den Durchmesser,

7t⁴

-gj- (Dx³— d³), worin Dx den äußeren und d den inneren Durchmesser bezeichnet, durch dessen Einführung man je eine Querschnittsabmessung der Stütze ermitteln kann.

Vergleicht man unter übrigens gleichen Umständen das Tragvermögen der beiden letzten Stützen, so ist, wenn man mit Pm das Tragvermögen der massiven, mit Ph das Tragvermögen der hohlen Stütze bezeichnet,

pm

Ph — Dx³ — d³ ' '

Sollen überdies die Querschnitte beider Stützen, bzw. deren Gewichte einander gleich sein, so muß

~ D⁴ = TL (Dj⁴—d⁴) oder D⁴ = D,⁴—d⁴

sein, für welchen Fall

Pm _ (D,⁴—d⁴)⁴ _ Dj⁴ -f- d⁴ Dx³— d³

Beträgt die Wandstärke der hohlen Säule so ist mithin D, = -~2- d- (522)

Wird dieser Werth quadrirt und eingeführt, so er

Pm

2--n+1

. . (523)

2 (n— 1)    ¹

ein Verhältniß, welches für n = 2 der Einheit, für n>2 einem ächten Bruche gleich wird, mithin zu Gunsten der hohlen Stütze spricht.

. . (524)

woraus

p t    p

y = -F-^-= P

t = z gesetzt wird. Durch zweimalige

Differentiation ergiebt sich, indem man z als eine Function der Abscisse x ansieht, successive

dy p dz

dx    P * dx

d⁴y _ _p_ _

dx⁴ P ’ dx⁴

Wird aus Gleichung (524) für P sein Werth gesetzt, so erhält man

d*y. _ yap _

dx⁴    t dx⁴ '

d⁴y dx⁴

d⁴z

~E~ — ap' "dx⁴”'

d⁴z dx⁴

a) Die Stützen mit coustanter Festigkeit gegen Ausbiegung bei constanter Dicke.

Wird die kleinste, in die Biegungsebene fallende Abmessung der Stütze, s. Tafel 5, Fig. 12, constant angenommen und die darauf senkrechte Dimension b gesucht, so ist, wenn in Gleichung (525) der Werth von z eingeführt wird,

P_ 1 E ¹ ap '

mithin, da in diesem Falle ap constant ist:

d⁴t

dx2 — E '

woraus

dx — E Für x= —■ ist = 0, mithin Const. —

dt _ P / 1    \

dx — E \2    V' '

woraus

. . (527)

weil für x — 0 auch t — 0 wird, mithin die Constante verschwindet.

Für den mittleren, stärksten Querschnitt ist 1 k . PP x = T unb *'/2 = E"-

und wenn dieser Werth in Gleichung (527) eingeführt wird:

= ⁴TT *(!-*) =

Verhalten sich die Breiten b wie die ihnen entsprechenden Trägheitsmomente t, ist mithin

. (528)

genommen, so ist, wenn in Gleichung (525) als eine t    a?

Function von z — — angesehen unb diese Disseren tial-ap

gleichung integrirt wird, bekanntlich

r_dz

J /c

2

J ap

. (532)

b'/2

V

so ergiebt sich durch Einsührung dieses Werthes in Gleichung (529):

worin C eine später zu bestimmende Constante bezeichnet. Werde» auch hier die Querschnitte proportional angenommen, so ist, wenn c und c, die variablen Dicken der Stütze an den Enden und in der Mitte bezeichnen.

b = 4b

. . (530)

c³

mithin eine parabvlische Begrenzungslinie der Stütze.

Ist der Werth t1/2 für jenen mittleren Querschnitt bestimmt, so ergiebt sich aus Gleichung (528)

Etl/2

und ferner

ti

Cs

. . (533)

P = 8.

. . (531)

Ist dagegen P und eine Abmessung, z. B. die constante Dicke c des dem Trägheitsmomente t,/2 entsprechenden Querschnittes der Stütze gegeben, so läßt sich aus der Gleichung (528) die andere Abmessung bi/2 jenes Querschnittes finden. Durch Einführung dieses Werthes in Gleichung (530) ergeben sich dann die übrigen Breiten b.

mithin

und

a'p

ap

aP

woraus durch Differentiation:

. . (534)

Ci

c.ap'

ti

ap'. c,²

-.<P, . . . (535)

b) Die Stützen mit konstanter Festigkeit gegen Ausbiegung bei constanter Breite.

Wird die senkrecht auf der Ausbiegungsebene stehende Breite b der Stütze, s. Tafel 5, Fig. 13, konstant an-

dz — 2.

ti

.cdc. . . . (536)

Werden die Werthe (535) u. (536) in Gleichung (532) eingeführt, so ergiebt sich

»p¹.

_ Je f ² V'

.cdc

sy.

cdc

cdc

PC

2E

ti

PV C

Et, C

l'Cj—Cu . c '

. (537)

ap'cs

wenn der Kürze halber:

PC

— C, und

Pc,³

6,—^

Et,

= C„ (538)

2E-A-,

aP . Cs

gesetzt wird. Führt man, um Gleichung (537) integriren zu können, den Hilfswerth

/C,—C„c ----- y ein, woraus sich c —

2ydy Cu

ergiebt, so erhält man durch Einsetzung dieser Werthe

und de — —

Cn

woraus durch Integration

f_Cu

j j/c^c

ü^(c,~‘3“)y+c,u

Ci—y² 2ydy

• C„

ii •

Ct—y²

C“

£rfi°

—y²) dy,

(539)

und wenn der Werth für y eingeführt wird:

3C„2 (2Ci + C,,c)/C,—C,c+C„i. (540).

Da das erste Glied dieser Gleichung eine Wurzelgröße als Factor enthält, mithin positiv und negativ werden kann, einem und demselben Werthe von c aber zwei verschiedene,

jedoch von der Mitte der Stütze gleichweit abstehende

Werthe von x entsprechen müssen, so folgt, daß C1U — -g-

sein muß. Wird dieser Werth in Gleichung (540) eingeführt, so ergiebt sich, wenn der Factor 2 Cx + Cnc unter das Wurzelzeichen gebracht und die Multiplication ausgeführt wird, nach einiger Redaction:

2    / 4C?

3    V Cn⁴

c³

30^

<V

.(541)

Cn

Da für x — 0 auch c = 0 werden muß, so ergiebt sich aus Gleichung (540)

3CU²

vw -- f

-i 64

91².CU⁴

. . (542)

und hieraus

Werben die Werthe von Cx und Cn aus Gleichung (542) u. (538) in Gleichung (541) eingesetzt, so ergiebt sich:

<M CO

~~ 2

'tV'

c³ Eti ‘ P 64 c³    E t,

974""c?⁻"Pir"

ci'

— 3 c²

i7 a. (

r 64 V

3    ?c ³ 7

4    i

Ettl

P.cx³

64 _Eti 9 ' PI²

(543)

Da in dieser Gleichung für x — die Dicke c = cx werden muß, so ergiebt sich hieraus sofort die Belastung

. . (544)

zu setzen ist, woraus alsdann

ci

64

Etj

-./.7

4P1²

. . (548)

P — _ir_

9 ' l² ' *

mithin, wenn dieser Werth in Gleichung (543) eingeführt wird,

gefunden wird.

woraus sich

f]-    «ö45>

2X)!    (546)

1.

c) Die Stützen mit constanter Festigkeit gegen Ausbiegung bei ähnlichen Querschnitten.

In diesem, auf Tafel 5, Fig. 14, dargestellten Falle, von welchem Fig. 4 auf Tafel 6 eine Anwendung zeigt, finden die Relationen

und ferner

. . (549)

c³ + 3c'.c² = 16-j- (l—-y-) Cj³

ergiebt. Hierans kann für eine gegebene Länge 1 und berechnete Dicke c, der. Stütze in deren Mitte die Dicke c für jeden beliebigen Werth von x — 0 bis x — I gefunden werben. Für x — 0 und x — 1 wird c = 0 und für

x — -g- wird c = cx, wie es sein muß.

ergiebt sich aus Gleichung (544), in welcher tx —

. (547)

Die Dicke cx bcta

12

und

c⁴

.    . (550)

statt, mithin ergiebt sich:

__ _t_ _ ti c³

ai ci³

Werden die Werthe (551) in das Integral (532) der Gleichung (525) eingeführt, so erhält man:

und dz —

3tt

ai c,:

c²dc. (551)

Ksy

3tx

ai ci

. c²dc

wenn der Kürze halber

CP

f E

— C, und

c² de

c²dc

(W

P Cl4 3E ' tx

, (552)

P.ct⁴

3Etj

. c²

— Cn gesetzt wird. . .

. . (553)

Heinzerling, Grundzüge der constrnct. Anordnung rc. der Brücken- u. Hochbau.Constructionen. Das Integral dieser Gleichung ist bekanntlich:

+

worin, weil für x —0 auch c = 0 wird, die (konstante verschwindet. Für x = 1 wird ebenfalls c = 0, aber auch

— 7t, folglich auch

c    21C n/Ö?

¹    7t

Setzt man überdies c — \ -^L-, so wird

r

arc (sin — 1) — ~,

mithin, wenn diese drei Werthe in Gleichung (554) eingeführt werden, x =    , woraus folgt, daß

93

94

2 Cn /Cn

arc

^sin = c y+ Const.,

. . (554)

arc

^sin

. , (555)

B. Stützen mit geneigt wirkender Betastung.

Hierzu gehören alle Stützen, welche außer ihrem eignen Gewichte und bisweilen einer besonderen lothrechten Belastung dem seitlichen'Drucke einer Erd- oder Wassermasse oder beider zugleich, sowie dem Seitenschube einer Ueberbau-construction, insbesondere demjenigen eines gestützten oder aufgehängten Trägers zu widerstehen haben.

Ci =

/A.

v cu '

I. Die einem Erd- oder Wasserdrücke oder beiden zugleich widerstehenden Stützen.

Hierher gehören die Ufer- und Quaimauern, sowie die Uferbohlwerke, welche zugleich einen Wasserlauf begrenzen und ein Ufer stützen, und wobei die Quaimauern Ufermauern von der Höhe des Ufers bilden, ferner die Futtermauern, die trocknen oder Landbohlwerke und Bassinmauern: Bauten, deren Stabilität nicht selten durch eine Verankerung oder Verstrebung noch befördert wird.

Bezeichnet P und Gh beziehungsweise die Belastung . (557) und das Gewicht eines der genannten Bauwerke für die laufende Einheit, A den dieser Gesammtlast entsprechenden Gegendruck A des Baugrundes, so stellt Gleichung (406) den Gleichgewichtszustand gegen Lothrechtes Fortschreiten dar.

Der in Gleichung (408) enthaltene Werth H setzt sich zusammen aus den waagrechten Componenten He und Hw der Resultanten des Erd-, beziehungsweise Wasserdruckes, welche nach entgegengesetzten Richtungen wirken, mithin ist (558) H = He — Hw und es besteht Gleichgewicht gegen waagrechtes Fortschreiten, wenn Gleichung (408) übergeht in

. - (561)

. . (556)

mithin, wenn dieser Werth in Gleichung (554) eingeführt wird,

~ j arc (sin

yi

cA / cx '

c²

Cf

Aus dem Werthe (556) entspringt, wenn zugleich der Werth (555) für Cx und (553) für Cn gesetzt wird,

c? —

⁻ Cu -woraus sich die Belastung

C, _ 21/Cu __ _21_c

TC ¹

r 3Etj

3 TT² E

4.1²

ergiebt. Bildet der Querschnitt dieser Stütze ein Quadrat, o ⁴

so ist tx =    woraus

-

V E

folgt. Bildet der Querschnitt dieser Stütze einen Kreis, so ist ti —    woraus sich

Ci —

. . (559)

H' = He —Hw. .

Bezeichnet Ha die Horizoiitalwirkung eines Erdankers, M ein später zu entwickelndes Stabilitäts- oder Biegungs-

moment für die laufende Einheit, ,

und ha bzw. m

Hw und Ha, so besteht mit Bezug

den Hebelsarm von H auf Tafel 5, Fig. 15, Gleichgewicht gegen drehende Bewegung um den Punkt D, wenn

^L+Ha.ha+M.

Der Erddruck, welcher bekanntlich an dem Hebelsarm — 4^- wirkt, ergiebt sich aus der Gleichung

^-■ye-tg² (45⁰ --1-)*),    . (563)

he

= 4./

P'.P

. . (560)

ergiebt. Wird dieser Werth von Gleichung (559) oder (560) in Gleichung (557) eingeführt, so läßt sich für eine mit der Last P beschwerte Stütze von der Länge 1 und mit beziehungsweise quadratischem oder rundem Querschnitte die entsprechende Form finden. •

Cl

3.7t⁶. E

He.

= Hw.

(562)

he

He =

*) Vergl. die graphische Erläuterung dieser Formel, sowie die Werthe von ye und q für die wichtigsten Erdarten in: Heinzerliug,

bw

arme -—

. . (564)

•/w,

A — wQ, .    .

worin hw die Druckhöhe und

yw das Gewicht der cubischen Einheit des Wassers 1 bedeutet, während der theoretisch nicht bestimmbare Wider- mithin wird von der tragenden Fläche ein genügender Verstand Ha des Erdankers durch besonders anzustellende Ver-    schiebungswiderstand geleistet, wenn für Ufer- und Futtersuche und das Moment M für die Futter-, Ufer- und    mauern bzw.

Quaimauern aus der Stabilitätstheorie, für die Bohlwerke auö der Biegungstheorie zu bestimmen ist.

. . (567)

. . (568)

(569)

M — Gig, . . so wird die Drehung verhindert, wenn mit oder ohne Anwendung des ErdankerS beziehungsweise ist:

(571»)

Gig —

hw

. . (571b)

Haha, . . (572»)

Heh,

Gig —

worin he die lothrechte Höhe,

ye bas Gewicht der cubischen Einheit und q den Reibungswinkel des hinterfüllten Bodens bezeichnet.

Der Wasserdruck, welcher bekanntlich an dem Hebels-

wirkt, ergiebt sich aus der Gleichung *)

TT __ K* w ~~ 2

1. DieUfer-, Quai-undFuttermauern, s. Taf. 6, Fig. 9 und Taf. 8, Fig. 3, 11, 12, 13.

a) Herstellung des Gleichgewichtes gegen loth-rechtes Fortschreiten.

Wird mit Q die laufende Einheit der belasteten oder tragenden Fläche des Baugrundes, mit w dessen kleinste Widerstandsfähigkeit für jene laufende Einheit bezeichnet, ist mithin

. . (565)

so leistet nach Gleichung (406) der Boden den genügenden Widerstand, wenn

wQ = P + G,,    . . . . (566)

welcher

a)    bei durchweg festem Baugrunde ohne künstliche Gründung,

b)    bei unfestem Ober- und festem Unter-Grunde durch

steinerne Grundpfeiler oder Rostpfähle, s. Tafel 8, Fig. 18 und 23.

c)    bei durchweg unfestem Baugrunde entweder durch

a) Verbesserung desselben, z. B. durch Ersatz mittels Sand und Kies, s. Tafel 8, Fig. 24, Com-presston mittels Füllpfählen und Steinsäulen, s. Tafel 8, Fig. 25 und 26, Entwässerung von Thon- und Lehm schichten, oder durch ß) ausgedehnte Verbreiterung der tragenden Fläche, z. B. durch Anwendung eines liegenden Rostes rc., s. Tafel 8, Fig. 27 bis 31, oder durch y) Erzeugung der genügenden Seitenreibung, z. B. durch Senkbrunnen, eingerammte Holzpfähle, Sandpfähle, s. Tafel 8, Fig. 32 — 34, oder durch

„Die angreifenden und widerstehenden Kräfte der Brücken- und Hoch-dauconstructionen Berlin 1867, S. 22.

*) Den Werth von yw s. a. a. O., S. 23.

6) Tieferlegen der tragenden Fläche bis zum Eintritte des Schwimmens in erweichter Bodenmasse erzeugt werden kann.

b) Herstellung des Gleichgewichtes gegen waagrechtes Fortschreiten.

Wird mit die Reibung der Mauer auf der tragenden Fläche bezeichnet, so ist, da die Belastung P eine nur zeitweise ist, also nicht immer zur Verhinderung einer Verschiebung beiträgt, im ungünstigsten Falle

jttGi = H,

/x Gr[ — Hg ■ Hw, .

/xGi = He, . . . wobei der Reibungswiderstand nöthigenfalls durch künstliche Unebenheiten der tragenden Fläche, z. B. Verzahnungen, s. Tafel 8, Fig. 14, und hervortretende Grundpfähle, s. Tafel 8, Fig. 8, oder durch die Neigung der tragenden Fläche gegen die Erdhinterfüllung, s. Tafel 8, Fig. 3 und 13 unterstützt werden kann.

c) Herstellung des Gleichgewichtes gegen drehende Bewegung.

¹

Die auf Ausbiegung widerstehenden Stützen mit constanter Querschnittsform.

Bon der durch Gleichung (479) gegebenen Belastung E t

dieser Stützen, welche die Ausbiegung, bzw.

²

Entsprechen die Stützen der Forderung, daß sie in allen

³

Querschnitten gleich leicht brechen oder die größte Spannung in allen ihren Querschnitten constant ist, so entstehen die Stützen von constanter Festigkeit gegen Ausbiegung, bzw. Zerknicken. Bleibt man bei der am oberen und unteren Ende zwar gegen seitliche Bewegung, aber nicht gegen Drehung festen Stütze stehen, so ist nach Gleichung (443) (459) und (460):

⁴

Die auf Ausbjegung widerstehenden Stützen mit variabler Querschnittsform.

Die nur zeitweise Belastung P trägt nur im günstigsten Falle zur Stabilität bei, muß daher auch hier außer Betracht bleiben. Bezeichnet man mit g den Hebelsarm, woran das Gewicht Gi der Mauer um den Punkt D dreht, ist mithin

. . (570)

He.A-Hw-^-Haha,

Gig = He

Bei Futtermauern, für welche Hw ■= 0, verwandeln sich beide Gleichungen beziehungsweise in:

Gig = He-|

.    .    (572 d)

Nimmt man eine Mauer mit senkrechter Hinterwand und dem beliebigen Anlaufe m der Stirnfläche an, so ist, wenn unter yn das Gewicht der cubischen Einheit des anzuwendenden Mauerwerkes verstanden wird, mit Rücksicht auf die Bezeichnungen der Figur 16 auf Tafel 5:

q _ (2x + mh)

•h.yn. .

- (573)

woraus

Ferner ist, wenn die statischen Momente der einzelnen Theile dem statischen Momente des ganzen Mauerquerschnittes in Bezug auf den Drehpunkt D gleichgesetzt werden: (2x + mh)

+4 +mKh)- <6,4>

2x + mh

Werden die Werthe von Gi und g in Gleichung (571°) eingeführt, so folgt:

h.mh 2nach , / x ,    ,\

2    ~~3 *"xh V2~+mh]'

.    / m²h² ^ x² ,    ,\ „he

hyii g--h ~2~ + mxhj = He -g-

worauö, wenn diese quadratische Gleichung für x aufgelöst wird, die obere Breite der Mauer:

ch.g =

hw

Ha ha f

hw

TT

w‘ 3

Ha ha)

m² h²

(575)

und wenn der Erdanker fortgelassen wird:

s-5--

Soll für den letzteren, gewöhnlicheren Fall die Ufermauer als Quaimauer dienen, b. h. he =h werden, so ergiebt sich:

m² h²

(576)

He - Hw

hw\ h )

m² h²

(577)

Soll für denselben Fall die Stirn der Ufermauer senkrecht, d. h. m = 0 werden, so erhält man aus Gleich. (576)

Soll zugleich he = h und m = 0 werden, so ist:

(Hehe-Hwhw).

. (578)

He-Hw

. (579)

Bei den Futtermauern, für welche Hw = 0, verwandelt sich Gleichung (576) in:

X=-mL + /^_.

Soll die Futtermauer bis zu ihrem Kopfe hinterfüllt, d. h. ch» — ch werden, so erhält man: '

m² h²

Hehe + ^~. (580)

2. Die Bohlwerke.

a) Mit unverstrebten Bohlwerkspfählen, s. Tafel 5, Fig. 17.

a. Herstellung des Gleichgewichtes gegen loth-rechtes Fortschreiten.

Der Bedingung (406) ist bei den genannten Bauwerken in praxi um so leichter zu genügen, als das Gewicht Gq der Bohlwerke verhältnißmäßig gering ist und der Gegendruck A des Baugrundes durch das Einrammen der Bohl-werkspfähle und die auf dieselben einwirkende Seitenreibung des umgebenden Bodens wesentlich gesteigert wird.

/—

*    3 yn

m² li²

He +    . (581)

Soll die Stirn der Futtermauer senkrecht, oder m = 0 werden, so ist

X = /Tn^r

Soll zugleich he = h und m = 0 werden, so ist

Hehe. . . . (582)

b. Herstellung des Gleichgewichtes gegen waagerechtes Fortschreiten.

Auch der Bedingung (561) wird hier um so leichter genügt, als die Bohlwerkspfähle jener Verschiebung durch ihre Abscheerungsfestigkeit einen weiteren bedeutenden Widerstand entgegensetzen.

c. Herstellung des Gleichgewichtes gegen drehende Bewegung.

Soll ein Erdanker angewendet werden, so sind aus Gleichung (575) die den Nummern (577) bis (583) analogen Gleichungen leicht abzuleiten.

.He. .

. . (583)

Bezeichnet man mit t das Trägheitsmoment,

s die zulässige Spannung) für ^ Quadrateinheit, p die zulässige Pressung > as den Abstand der gespanntesten) ap den Abstand der gepreßtesten i ö traten Are des PfahlquerschnitteS,

von der neu-

so ist in Gleichung (562)

entweder -. t

as

Alternativwerthe, unter welchen der kleinere zu wählen ist. Da die Bohlwerkspfähle entweder beschlagen, und in diesem Falle rechteckig oder quadratisch, oder unbeschlagen, d. h. rund angewendet werden, für welche Formen as = ap = a wird, ferner für Holzmaterial erfahrungsgemäß*) p < s,

mithin t <;-5—t ist, so ist zu setzen:

oder

ap

Ist das Bohlwerk ein trocknes, so ist in den Gleichungen (587), (588) und (589) der Wasserdruck Hw = 0 zu setzen. Sind keine Ankerpfähle vorhanden, so verwandelt sich:

a) für rechteckige Bohlwerkspfähle Gleichung (587) in:

ap

as

c = Y²'⁸ y (He.he—Hwhw), . . (590)

b)    für quadratische Bohlwerkspfähle Gleichung (588) in:

b = Y² y (Hehe-Hwhw), . . (591)

c)    für runde Bohlwerkspfähle Gleichung (589) in:

(584)

Wenn der Werth (584) in Gleichung (562) eingeführt und mit e die Entfernung der Bohlwerkspfähle von Mitte zu Mitte bezeichnet wird, so ergiebt sich

TT bw

w 3

und wenn ein Erdanker nicht zur Anwendung kommt,

fi='Ki

T‘ = «Kir

Haha). (585)

Bestimmung der Pfahlquerschnitte. Sind die Bohlwerkspfähle

a)    rechteckig mit dem für die Biegungsfestigkeit günstigsten Seitenverhältniß    , wobei die größte Seite

c zur Richtung deö Erddruckes parallel läuft, so wird 5

— — y . -g-, mithin, wenn dieser Werth in Gleichung

(585) eingeführt und in Bezug auf c aufgelöst wird, die größere Seite des Pfahlquerschnittes:

C = ³/s,4.y (h₆ .-^-HwJ^-Haha), (587)

woraus die kleinere zu b = gefunden wird,

b)    quadratisch mit der Seite b, so wird:

- — --g-, mithin für diesen Fall aus Gleichung (586)

=Y³'²y(Hehe-Hw.hw).

Ist das Bohlwerk ohne Ankerpfähle zugleich ein trocknes, so ist in den Gleichungen (590), (591) und (592) der Wasserdruck Hw = 0 zu setzen.

Die Frage, ob unter übrigens gleichen Umständen die rechteckigen, quadratischen oder runden Bohlwerkspfähle mit Bezug auf Holzersparniß die ökonomisch vortheilhafteren sind, beantwortet sich aus einer Vergleichung der zur Herstellung der rechteckigen und quadratischen Bohlwerkspfähle erforderlichen Stammdurchmesser

d' = c y"(5/7)² + s und d" = b ]A2 mit dem Stammdurchmesser d der runden Bohlwerkspfähle.

Entfernung der Bohlwerkspfähle. Sind Bohlwerkspfähle mit gegebenen Abmessungen zu verwenden, so ergiebt sich aus den Gleichungen (585) und (586) für Bohlwerke mit und ohne Ankerpfähle beziehungsweise die zweckmäßige Entfernung der Bohlwerkspfähle:

e___

— a(Hehe-Hw.hw-3Haha)

. (592)

. (593)

und

3 pt

. . (594)

¹> = K⁶t(h-t

hw

TT _

w 3

c) rund mit dem Durchmesser d, so wird —    d³, mithin aus Gleichung (585):

Haha), (588)

e_ a(He.he-Hw.hw) ' zwei Gleichungen, in welchen für rechteckige, quadratische und runde Bohlwerkspfähle wie oben bzw.

, und -|?r d3 6    32

zu setzen ist, Werthe, worin alsdann c, b oder d gegebene Größen sind.

_5_ c³

T T

b³

d = is§i(H-T

bw

Haha). (589)

*) Die Werthe von p und s finden fich a. a. £>., S. 56 und 57.

Stärke der Futterbohlen. Die waagrechten Futterbohlen der Bohlwerke erleiden einen Erddruck, welcher sich aus der Differenz der Pressung ergiebt, welche der bis zu ihrer unteren und der bis zu ihrer oberen Kante wirkende Erdkeil ausübt. Liegt jene untere Kante in der Tiefe u, s. Tafel 5, Fig. 18, jene obere Kante in der

Tiefe o unter der Oberfläche deS Füllgrundes, bezeichnen Heu und He° die denselben entsprechenden Erddrucke für die laufende Einheit, so beträgt jene Druckbifferenz von Bohlwerkspfahl zu Bohlwerkspfahl e (Heu — He°), welche als ein gleichförmig vertheilter Druck auf die Futterbohle wirkt. Da die Futterbvhlen an den Bohlwerkspfählen abwechselnd gestoßen, inithin als einerseits festgehaltene, andrerseits frei aufliegende Träger anzusehen sind, so beträgt das Angriffs-

(Heu—He°). Das Wider-

+V) Yi

momcnt*) jener Druckdifferenz

e²

i/lE

f    2p

worin, wenn, wie dies nicht selten der Fall ist, das Terrain völlig durchnäßt und erweicht werden kann, q = 0 zu setzen ist, woraus sich die größte Stärke der Futterbohlen:

6 -J 3 (hu

2 r    2p

‘ + ho') n

, (599)

. . (600)

ergiebt.

standsmoment**) der Futterbohle beträgt, wenn mit B = u— o deren Breite und mit ö deren Dicke bezeichnet wird, da die bei Bestimmung des Widerstandsmomentes der Bohlwerkspfähle gemachten Bemerkungen auch hier

ihre Geltung behalten,    ., Durch Gleichsetzung jenes

Allgriffs- und dieses Widerstandsmomentes der Futterbohle ergiebt sich:

e²

p. B. d²

. . (595)

und hieraus die gesuchte Dicke der Futterbohle:

— H.°)

. . (596)

p.B

Werden für He“ und He° nach Gleichung (563) ihre Werthe und u — o == B gesetzt, so wird:

He“-He° = (U² —O²) -J- tg² (45- -|-)

= (U Byttg² (45--|~) (597)

und wenn dieser Ausdruck in Gleichung (596) eingeführt wird, e tg (45    )

Y 3 (u^f-o)yi ,

. (598)

u—|— 0

worin. —£

die Tiefe der Schwerlinie der Bohle unter

dem Erdplanum bedeutet.

Da die Erddrucke He° und Heu, mithin auch deren Differenzen Heu —He° nach aufwärts abnehmen, so lassen sich, bei gleicher Biegungsfestigkeit, Futterbohlen von abnehmender Stärke anwenden. Sollen dieselben jedoch, wie dies zur Erleichterung der Ausführung in praxi meistens geschieht, eine durchweg gleiche Stärke erhalten, so ist für die Bestimmung von d offenbar der Druck maaßgebend, welchen die unterste Futterbohle erleidet. Bezeichnet man mit h„' und h₀' beziehungsweise die Tiefe ihrer Unter* und Oberkante unter dem Planum des Füllgrundes, so ergiebt sich als die für alle übrigen maaßgebende Stärke der untersten Futterbohlen

ß) mit verstrebten Bohlwerkspfählen.

Bei Bohlwerken, welche ein höheres, aufgefülltes gegen ein tiefer liegendes, gewachsenes Terrain zu stützen haben und deshalb durch Ankerpfähle nicht dauerhaft befestigt werden können, wird bei bedeutenderen Höhen mit den eingerammten Bohlwerkspfählen eine Verstrebung verbunden, welche bei Ermangelung des hierzu erforderlichen Raumes in den zu stützenden Erdkörper versteckt und andernfalls vor demselben angebracht wird, s. Tafel 5, Fig. 19 und 20. In beiden Fällen wird längs der Strebe ein Widerstand thätig, welcher von deren Querschnitt und Widerstandsfähigkeit für die Quadrateinheit des angewendeten Holzmateriales abhängt und durch den Erddruck hervorgerufen wird.

Bezeichnet man mit Ha die horizontale und mit V die vertikale Komponente dieses Widerstandes, welche in Bezug auf Drehpunkt D bzw. an den Hebelsarmen ha und v wirken, mit i — /ha² v² die Länge der Strebe, so verwandelt sich mit Bezug auf Fig. 19 und 20 die Momentengleichung (562) in die folgende:

eHe-^- = Hwhw + Vv + M,,

worin M wieder den durch Gleichung (584) gegebenen Werth annimmt. Nennt man ferner q den Querschnitt der Strebe und versteht unter w die zulässige Anstrengung für besten

Quadrateinheit, so ist Ha = wq.-r- und V = wq.-y-, mithin, wenn der Werth von i eingeführt wird:

+ '-T’

. (601)

V>la

e. He. -Tjjp- — 2wq. worin —, je nachdem die Bohlwerkspfähle rechteckig, quadratisch oder rund, wieder wie oben bzw.

. (602)

*) Vergl. die Formel Nr. VII. a. a. O., S. 60. **) Vergl. die Formel Nr. I. a. a. O., S. 63.

5cs _b*_ 7.6 '    6

und 4rd3 zu setzen ist. Da He und he bekannt ist, so

läßt sich aus Gleichung (602) entweder, wenn der Querschnitt der Bohlwerkspfähle angenommen oder gegeben ist, der Querschnitt q der Streben, oder, wenn dieser gegeben ist, der Querschnitt der Bohlwerkspfähle bestimmen. Im ersteren Falle ergiebt sich

7*

2 wvh.

im letzteren Falle :

H-t-'-t)' • («Oä)

)• • (604)

= f(eH-T

Ist die Verstrebungsconstruction, wie in Fig. 19, im erhöhten Erdkörper versteckt, so ist w = s eine Zugspannung der Strebe und der Stützpunkt E hat der vertikal aufwärts wirkenden Zugkraft

q-

2 wvha

weise mit der durch die Gleichungen (77) und (78) gegebenen Größe nach der Oeffnung hin und mit der durch die Gleichungen (79) und (80) gegebenen Größe von der Oeffnung weg gerichtet ist. Dieser Horizontalwirkung haben daher deren Stützen beziehungsweise als Anker und als Widerlager zu widerstehen. Wir unterscheiden mithin die Ankerpfeiler der aufgehängten und die Widerlagspfeiler der gestützten Systeme der Ueberbaucvnstructionen.

V = sq

ha

. . (605)

i ' •

ist die Verstrebungsconstruction, wie in Fig. 20, vor dem erhöhten Erdkörper angebracht, so ist w = p eine Druckspannung der Strebe und der Stützpunkt E hat der vertikal abwärts wirkenden Druckkraft

V = pq

ha

. . (606)

zu widerstehen.

Die Stärke der Futterbohlen ist auch hier, je nach den verschiedenen dort angegebenen Umständen, aus den Gleichungen (598), (599) oder (600) zu bestimmen.

1. Die Ankerpfeiler.

Die Ankerpfeiler kommen vorzugsweise bei Hängebrücken vor, deren Hängeträger sich als Spann- oder einhüftige Tragketten fortsetzen und in diesem Falle entweder wie in den bei weitem meisten Fällen auf Rollenstühlen liegen oder wie bei sehr geringen Spannweiten auf den Pfeilern befestigt sind.

a. Die Hängeträger auf Rollenstühlen.

Bezeichnet cp den Winkel, welchen die Haupttragkette und <p‘ den Winkel, welchen die Spannkette oder die Tangente der einhüftigen Tragkette mit dem Horizont einschließt,

— und S'==

s. Tafel 5, Fig. 22, S =

H'

y) mit ausgesetzten Bohlwerkspfählen.

Werden die Bohlwerkspfähle, um sie bei Reparaturen nicht immer ganz herausziehen zu müssen, unter Niedrigwasser abgeschnitten und ein alsdann leichter herauszunehmendes Bohlwerk aufgesetzt, s. Tafel 5, Fig. 21, so läßt sich deren Verbindungsstelle als Drehpunkt ansehen, in Bezug auf welchen nur noch das Moment des Erdankers, des Wasser- und Erddruckes in Betracht kommt, während das Biegungsmoment wegfällt. Man hat daher in Gleichung (562) M = 0 zu setzen und erhält mit Bezug auf die Bezeichnungen der Figur:

eEL.-^- = eH^-^ + Ha.h,,

woraus sich denn der von dem Erdanker zu leistende Widerstand

. (607)

Ha = -^-(Hehe-Hwhw) . . (608)

ergiebt. Die Stärke der Futterbohlen wird unter den jeweiligen Umständen nach Gleichung (598), (599) oder (600) bestimmt.

II. Die einem Seitenschube der Ueberbau-construction widerstehenden Stützen.

Nach den Gleichungen (13), (18) und (22), sowie (74), (75) und (76) äußern die balkenartigen Träger eine lothrechte, die aufgehängten und gestützten Träger eine horizontale Wirkung auf die Stützpunkte, welche beziehungs-

bzw.

cosgp'

die in denselben entwickelte Spannung, so erfordert das Gleichgewicht gegen waagrechtes Fortschreiten, baß

cos cp

S cos cp — ti' cos cp‘, j. .    .    (609)

in welchem Falle der Zug H aufgehoben, mithin die Wirkung der Träger auf einen lothrechten Druck und die Wirkung der Pfeiler auf einen lothrechten Gegendruck zurückgeführt erscheint.

b. Die Hängeträger auf festen Lagern. Behalten cp, cp‘, S und S' ihre Bedeutung, so stellt sich für diesen Fall in den Trägern die gleiche Spannung

.(610)

S' = s . . . .

her und der Pfeiler hat dem Horizvntalzug H—H' — 8 (cos cp—cos cp‘) zu widerstehen. In diesem Falle halbirt die Resultante R der beiden Spannungen 8 den Winkel 180 — (cp + cp‘), s. Tafel 5, Fig. 23, nimmt mithin den Werth:

R — 2 8 cos

= 2 8 sin

^ 180—(jp + ffQ j

. . (611)

an und schließt mit der Verticalen den Winkel

(£+£).sin(£=2) (613)

ß = 90 — (-

180 — (qp-f-qp')

(612)

ein, woraus sich der Horizontalschub H—H' = Rsin/9 = 2S.sin

(±pL)cm(j£pL) ₍₆₁₄₎

V> = <P'

(£+£')

V = 2 8 sin

±(H-H')L < (V + Gl) W'

übergehen.

Die Größe der von der Ueberbauconstruction aus Stein, Eisen oder Holz ausgeübten Seitenschube ergiebt sich bei Vorhandensein mehrerer Oeffnungen aus Gleichung (79), welche bei dem Vorhandensein von nur Einer Oeffnung in Gleichung (80) übergeht. Dieser Seitenschub wirkt in Bezug auf Drehpunkt D, wenn die Bezeichnungen der Tafel 5, Fig. 25 eingeführt werden, an dem Hebelsarm h' + h. Bezeichnet nun V die im Abstande v vom Widerlager wirkende Resultante des Gewichtes des auf das Widerlager wirkenden Theiles der Ueberbauconstruction, x den Abstand des Drehpunktes von der Innenkante des Widerlagers, wirkt ferner das eigne Gewicht G, des Widerlagers an dem Hebelsarme glf so besteht Gleichgewicht gegen Drehung, wenn

an-

. . (622) . . (623)

— 2 Vv

und der Verticaldruck V — Beos/? — 2 S. sin des Pfeilers ergiebt. Für

. . (615)

wird der Horizontalschub:

H —H' = 0 mithin H = H' . . (616)

und der Verticaldruck:

. - (617)

woraus die Zweckmäßigkeit jener Anordnung erhellt. Der Horizontalschub H—H' greift am Pfeilerkopfe, s. Tafel 5, Fig. 24, an und wirkt mithin an dem der Höhe 1 des Pfeileraufsatzes oder L des Pfeilers entsprechenden Hebelsarm. Es besteht mithin Gleichgewicht gegen Drehung, wenn sowohl

± (H—H') 1 < (V + Gi) V, . . (618)

als auch

- (619)

worin b₀' und bu' die Hebelsarme von V + Gi und V + Gl, bezogen auf die Drehpunkte D₀ und D„ bezeichnen, welche bei zur Verticalare symmetrischer Anordnung

des Pfeilers in b₀' — und ba'

Hat der Pfeiler, wie dies bei Anwendung von Spannketten der Fall ist, zugleich ein Ufer zu begrenzen, so wird der Untersatz überdies einem Erd- und Wasserdrücke ausgesetzt, deren Momente He he und Hwhw zu den Angriffs-Momenten in Gleichung (619) hinzutreten, woraus sich alsdann

Hehe-Hwhw ± (H—H') L ^ (V+Gl) K‘ (620)

ergiebt, worin die Werthe He, Hw, he und hw aus den Gleichungen (563) und (564) zu bestimmen sind.

2. Die Widerlagspfeiler, s. Tafel 6, Fig. 10, 13 u. 21 und Tafel 8, Fig. 4, 5, 6, 7 u. 10.

kommen sowohl im Brückenbau bei gestützten Brücken aus Stein, Eisen und Holz, als im Hochbau bei gestützten Decken und Dachconstructionen aus Stein, Eisen und Holz vor.

Die Widerlagspfeiler der gestützten Brücken haben entweder nur dem Seitenschube der Constructiou, oder diesem sammt dem Drucke der Erde und des Wassers zu widerstehen, werden aber, da beide Wirkungen sich theilweise aufheben, bei der Ausführung oder Unterhaltung der Brücke aber für sich allein auftreten können, am sichersten nach dem relativ größten dieser beiden Horizontaldrucke derart

bemessen, daß die Widerlagspfeiler einem jeden derselben für sich allein einen genügenden Widerstand entgegenzusetzen vermögen.

In Bezug auf Erd- und Wasserdruck allein sungiren aller die Widerlagspfeiler lediglich als Ufer- oder Futtermauern, wie sie sub B. I. statisch behandelt worden sind. *) In Bezug auf den Seitenschub der Ueberbauconstruction allein lassen sich aber die Widerlagspfeiler und Widerlagsmauern der genannten Brücken - und HochbauconÜructionen aus einem gemeinschaftlichen Gesichtspunkte betrachten.

H (h' + h) — V (v+ x) — G, gi = 0, . (621) woraus, da H, V, h' + h, v bekannte und Gi, gi bei Zugrundelegung einer bestimmten Grundform des Widerlagers in x und 1 auszudrückende Werthe sind.

Nimmt man das Widerlager rechteckig an und bezeichnet mit x die constante Breite, mit ym das Gewicht der cubischen Einheit desselben, so ist, da in diesem Falle genau oder sehr

nähernd gi = angenommen werden kann,

Gi — l.xym, .    .

mithin Gig, — 1.    ;■

und wenn dieser Werth in Gleichung (621) eingeführt wird:

/» l.-y- + V.x = H(h' + h)-Vv, woranS sich die Stärke:

V / 2H(b'+h)

1/m    '    1/m

des Widerlagers mit rechteckigem Querschnitte ergiebt.

Würde das Widerlager an der Rückseite einen Anlauf mit dem Neigungsverhältniß m erhalten, so wäre nach Gleichung (573) und (574)

*) Bergt, auch: Heinzerling, „Die Pfeilerstärken der gestützten Charnierbrücken." Civilingenieur, Bd. XIV, S. 263 ff.

n _ ,    / m²l²

+ -y- + mxlj,

gi - 1 /m ^ ß

mithin, wenn dieser Werth in Gleichung (621) eingeführt wird,

m² ls ym

?ml. y+(mrBP + V)x = H(h'+h)-Vv-

woraus sich die Stärke

mymI⁸ + V

1/m

/ 2H(h' + h) '    ly»

— 2Vv

+ (•

myml² + V

. . (625)

d — 0,762 + 0,1471.    .    .    (626)

des Widerlagers mit trapezförmigem Querschnitte ergiebt, welche für m = 0, wie es sein muß, wieder den durch Gleichung (624) gegebenen Werth annimmt.

Die Zusammenstellung der Widerlagsstärken ausgeführter gewölbter Brücken giebt die Stärke ihrer Widerlager im Mittel zu

Vs der Spannweite bei Halbkreisgewölben,

V₄ der Spannweite bei elliptischen und Korbbvgen,

V₃ bei flachen Segmentbogen.

Z. Die Zwischenpfeiler, s. Tafel 6, Fig. 12, 14, 17, 18, 19, 22.

Die Zwischenpfeiler der gestützten Systeme der Brücken-und Hochbaucvnstructionen haben einer Differenz 8—H' der von den beiden, auf ihnen ruhenden Ueberbauconstruc-iionen auf sie ausgeübten Horizontalwirkungen zu widerstehen, in welchem Falle sie als Widerlagspfeiler mit nur relativ geringerer Horizontalreaction zu betrachten und nach den für dieselben aufgestellten Gleichungen 621 bis 624 zu behandeln sind. Bei zu den Zwischenpfeilern symmetrischen und stets symmetrisch belasteten Constructivnen findet die Relation H—H' ----- 0

statt und die Zwischenpfeiler sind nur einem Berticaldrucke P = 2 V der beiden auf ihnen ruhenden Belastungsantheile jener Ueberbauconstructionen ausgesetzt, mithin ist deren Stärke nach den Gleichungen (420) oder (503) zu bemessen. Gehören die Zwischenpfeiler Strombrücken an, welche dem Stoße schwimmender Körper, z. B. abgehender Eismassen, zu widerstehen haben, so genügt die aus der Ver-ticalbelastung und Widerstandsfähigkeit des Materiales abgeleitete Stärke der Strompfeiler gewöhnlich nicht und nimmt man in Ermangelung theoretischer Anhaltspunkte zu der empirischen Formel

seine Zuflucht, worin d die Dicke der Strompseiler,

I die Höhe derselben,

L deren Abstand von Mittel zu Mittel bezeichnet und alle Abmessungen in Metern auszudrücken sind.

Die Zusammenstellung der Pfeilerstärken ausgeführter gewölbter Brücken giebt im Mittel die Stärke der Strom-

Pfeiler zu ¹/₆ bis ¹j ₁₀ der Spannweite, während man sie auch aus ästhetischen Gründen selten größer als y₆ und kleiner als y₉ der Spannweite annimmt.

Zweitens. Die offen gebauten Systeme.

Die gegliederten Stützen, s. Tafel 6, Fig. 27 bis 31, verdanken ihre Entstehung und Anwendung vorzugsweise dem Baue hoher und langer Eisenbahnviaducte, welche über tiefe und ausgedehnte Thalsenkungen führen, in welchen sie außer dem lothrechten oder geneigten Drucke der Ueberbauconstruction den Angriffen des Windes ausgesetzt sind. — Sie haben also sämmtlich der gleichzeitigen Wirkung von Horizontal- und Verticalkräften zu widerstehen und sind daher so zu construiren, daß sie sowohl jene lothrechten Kräfte auf ihre Substructionen übertragen, als auch der durch jene waagrechten Kräfte versuchten Drehung widerstehen. Werden jene Ueber« tragung und dieser Widerstand gegen Drehung durch voneinander getrennte Theile der Stützen bewirkt, so entstehen die gegliederten Stützen mit Kern und Mantel, werden dieselben dagegen durch dieselben Theile der Stützen bewirkt, so ergeben sich die gegliederten Stützen, welche keinen Kern, sondern nur einen, gleichzeitig auf Druck und Drehung widerstehenden, Mantel besitzen.

A. Die offengebauten Systeme mit Kern und Mantel.

1.    Gleichgewicht gegen lothrechtes Fortschreiten.

Die dem Kerne der offengebauten Stützen zufallende Uebertragung der Last auf den Unterbau wird bewirkt, wenn die durch Gleichung (406) und (413) ausgesprochenen Bedingungen erfüllt sind, wobei unter P der jeder Stütze zufallende Antheil an dem Gewichte der Ueberbauconstruction, unter Gi und Gx das Eigengewicht der Stütze beziehungsweise aus ihre ganze und ihre Länge x zu verstehen ist.

2.    Gleichgewicht gegen waagrechtes Fortschreiten.

Die waagrechte Verschiebung einer aus einzelnen Schichten zusammengesetzten Stütze wird verhindert, wenn den Gleichungen (408) und (415) in der im Ersten Abschnitte sub B. II. entwickelten Weise genügt ist. Der Widerstand

. . (633)

H', welcher einer Verschiebung der Stütze auf deren Unterbau entgegenzusetzen ist, muß, falls er wie in den meisten Fällen nicht schon durch die daselbst erzeugte Reibung aufgehoben wird, noch durch eine besondere, z. B. durch die Abscheerungssestigkeit von Fundamentankern widerstehende,

Verbindung verhindert werden. Im ersten Falle muß:

HP + Gi) > H'.....(627)

im letzteren Falle

,w(P + Gi) + qv ^ H' - • • (628)

sein, wenn f.i den Reibungscvesficienten des Materiales der Stütze und des Unterbaues, q den Querschnitt und v die Verschiebungsfestigkeit für die Quadrateinheit jener Ver-bindungöconstruction bezeichnet.

Die Verschiebung in jeder andern Schicht der Stütze wird verhindert, wenn im Sinne der Gleichung (426) entweder oder Ax' gegen Zug entwickeln zu können, müssen daher die einzelnen Schichten zusammengesetzter Stützen an dem ganzen Umfange, z. B. durch Bänder, Schienen, Schrauben oder Niete fest untereinander verbunden sein, während der negative Widerstand A' oder Ax' aus Druck für sich allein eine solche Verbindung nicht erfordern würde. Die Zahl und Abmessung der Bindestücke jener einzelnen Schichten ist daher lediglich nach jenen positiven Werthen von Ax und Ax' zu bemessen. Ebenso erfordert der Druck At der Stütze aus den Unterbau für sich keine Verbindung mit demselben, während der in der Stütze entwickelte Zug nur durch eine Verankerung aus den Unterbau übertragen wird, eine Verbindung, welche nur dann unterbleiben kann, wenn das Gewicht der Stütze die nöthige Stabilität gegen Drehung liefert.

Sind die Widerstände A* und Ax' gegeben, so lassen sich aus den Gleichungen (631) und (632) die Weiten a, + a- = Äh±Pp

^(P + G*) > Hx, . . . . (629)

oder, falls eine Verdübelung mit dem Querschnitte qt und der Verschiebungssestigkeit vorhanden ist, wenn

H (P + Gx) + qx vx ^ Hx.    . . (630)

und

ax'+ax"

_ H h ± P p—Hx (1—x)—H₍i_x) h(i_x)

Ax'

(634)

3. Gleichgewicht gegen Drehung.

Nimmt man an, daß die durch das eigne Gewicht des Mantels in ihm erzeugte Druckspannung gegen die Anspruchnahme durch Drehung verschwinde, so ergiebt sich die Anspruchnahme des Mantels an seinem Fuße nach Gleichung (409), wobei die Resultante des Winddruckes H von allen Selten angreifen, mithin deren Moment positiv und negativ werden kann, aus

A' = ±

Hh + Pp

a' + a" '

. . (631)

bestimmen.

Sind die Stützen außer ihrem eignen Gewichte und der Belastung ihres Kernes nur einem Winddrucke ausgesetzt und kann der letztere mit gleicher Intensität von allen Seiten wirken, so ist H, Hx und H₍₁_x) für dasselbe x constant, mithin hierfür auch a' + a" und ax'+ax" konstant, in welchem Falle aus statischen Gründen ein kreisförmiger Querschnitt des Mantels, s. Tafel 5, Fig. 26, anzunehmen ist.

Sind die Stützen außer den angegebenen Kräften einer, nach einer ganz bestimmten Richtung thätigen, an dem Hebelsarme ht wirkenden Horizontalwirkung H, der Träger ausgesetzt, so ergiebt sich, wenn deren Moment in Gleichung (633) eingeführt wird,

woraus, wenn a' + a", P und p, sowie die Höhe 1 der Stütze gegeben und daraus, sowie aus der Vertheilung des Wind-druckes h ermittelt ist, sich A₁ ergiebt. Wird dieser Werth in Gleichung (416) eingeführt, so erhält man aus den oben angeführten Gründen:

a< + a„₌ Hh + Pp + HA

. . (635)

Hh + Pp — Hx (1—x)—H₍i_X).h(i_X)

Ax'=±

Aus Gleichung (631) und (632) folgt, daß die Anspruchnahmen A' und Ax' um so kleiner werden, je größer a' + a" und ax' + ax" sind und wie Vortheilhast es ist, den Mantel der Stütze möglichst weit zu machen, ferner daß jede Stelle des Mantels sowohl aus Zug als Druck in Anspruch genommen werden kann, mithin in allen ihren Theilen sowohl den einen als den andern dieser Widerstände zu entwickeln hat. Um den positiven Widerstand A'

ax' + ax"

. (632)

und a'x + ax" —

Hh ±Pp+Htht — Hx (1—x)—H₍i_x) h₍₁_x)

Ax'

mithin größere Abstände der Mantelflächen als im ersteren Falle. Da nach Gleichung (635) und (636) die Anspruchnahmen Ai und Ax' um so kleiner, je größer die Abstände a' + a" und ax' + ax" werden, so erscheint in diesem Falle ein rechteckiger Querschnitt des Mantels, s. Tafel 5, Fig. 27, dessen größere Seite in der Richtung der von den Trägern ausgeübten Horizontalwirkung liegt und dessen kleinere, daraus senkrecht stehende Seite gemäß Gleichung (631) und (632) nur nach dem daraus wirkenden Winddrucke bemessen ist, als der zweckmäßigste.

> (636)

= Hh + Pp . . . . (637)

ak

. . (639)

32

d'

mithin

. . (640)

di

,(641)

7t

. . (642)

mithin

Cl

btCi³—bucu³

(643)

Hh+Pp+Htht—Hx(l—x)—H₍₁-x)h₍₁_x)

6.

beträgt und, wenn

jeder Druckpfosten mit der Lothrechten den Winkel a einschließt, die Pressung

. . (645)

, wenn die Diagonale des untersten

Wi =

Wii =

. . (648)

Si =

Wj — Pjtgasin/?, .    .

Werden aus Gleichung (443) für die Widerstandsmomente A' (a' + a") und Ax‘ (ax' +- ax") ihre Werthe gesetzt, so ergiebt sich aus Gleichung (631), wenn der Alternativwerth s oder p gleich k gesetzt wird,

— t.

und aus Gleichung (632)

= Hh±PP-Hx (1—x) - H₍₁_x) h₍₁_x). (638)

Für den ringförmigen Querschnitt ist t _ it_ (dt⁴ — dt⁴) ak

di⁴ — dii⁴ _ 32 Hh+Pp

7t und dlx⁴—dllx⁴ 32 Hh + Pp—Hx(l-x)—H(i_x)h(i_x)

di, worunter jedesmal der kleinere Werth s oder p für k zu wählen ist.

Für den rechteckigen Querschnitt ist t>iCi⁸ —bncn³

äk

₌ Hh + Pp + Htht k

und

bXx Qi,³ — bllx cllx³_

Cl,

, (644)

worunter wieder der kleinere Werth für k zu setzen ist. Aus diesen Gleichungen lassen sich die Querschnittsabmes-sungen der Stützen bestimmen.

Zu der Anspruchnahme k = s oder k=p des Stützenmantels kommt der von seinem eignen Gewichte herrührende Druck hinzu. Wird derselbe mit p* für die Quadrateinheit bezeichnet, so beträgt die Gesammtanspruchnahme des Materiales entweder p + px, oder s — pv welchen beiden Anspruchnahmen die Quabrateinheit der Mantelfläche zu genügen hat.

B. Die ossengebauten Systeme ohne Kern.

Bei diesen Stützensystemen, welche nur auS einem gegliederten Mantel bestehen, hat der letztere gleichzeitig die Uebertragung des Gewichtes der Ueberbaueonstruction und seiner selbst auf den Grundbau zu vermitteln und der Drehung durch Horizontalkräfte zu widerstehen. Da diese Stützen in der Längenrichtung der auf ihnen ruhenden Träger anderen Horizontalkräften ausgesetzt werden, als normal zu derselben, wo nur der Winddruck angreift, ferner die Auflagerung der Träger Lagerflächen von der Länge der Trägerbreite und von der durchgehends gleichen Breite der Lager verlangt, so erscheint nach den Gleichungen (635) u. (636) der rechteckige Querschnitt der angemessenste. Da wegen Gleichung (637) und (638) das Angriffsmoment des Winddruckes im Fuße der Stütze sein Marimum erreicht, mithin demselben das größte Widerstandsmoment zu entsprechen hat, was in constructl'ver Beziehung am einfachsten durch Vergrößerung der Hebelsarme der Widerstände, oder durch Annahme eines größeren Rechteckes am Fuße der Stütze geschieht, so erhält die Stütze die Form einer vierseitigen abgestutzten Pyramide, s. Tafel 5, Fig. 28 und 29, und es vertheilt sich die Last P der Träger auf vier, die Kanten dieser Pyramide bildende, Druckpfosten, welche unter sich durch Horizontalstangen zu verbinden und durch Diagonalstangen zu versteifen sind. Jedem dieser vier Druckpfosten fällt ein gewisser Antheil Pi, Pu, Pm oder PiV der Ge-sammtlast P zu, welcher bei voller Belastung der Träger

sein Marimum erreicht, mithin -^-ax

Pmax 4 cos«

in jedem Druckpfosten hervorruft, welche sich bis zu dessen Fuße fortpflanzt und dort durch den Unterbau aufgehoben wird. In jedem Fußpunkte derselben wirken daher außer der

Verticalkraft

Rechteckes mit einer Seite desselben den Winkel ß einschließt, die Horizontalkräfte

■5|2i-tg«.sin^,    .    .    .    (646)

^sp-tga.cos/9,    .    .    .    (647)

welche bei Stützen mit quadratischem Querschnitte einander gleich werden und den Fußpunkt jedes DruckpsostenS in der Richtung der anschließenden Rechtecksseite von dem Fußpunkte der benachbarten Druckpfosten zu entfernen streben, eine Tendenz, welche entweder durch den Unterbau selbst oder    durch    eine    waagrechte Verbindung der    Pfostenfüße

durch    Zugstangen    aufzuheben ist.

Am Kopfe des ersten Druckpfostens zerlegt sich der Antheil Pi von P in die Pressung

Pi

cos«

des DruckpsostenS und in die waagrechten Seitenkräfte

. . (649)

vx = Pttgacos/9. . . . . (650)

Wird in diesen Gleichungen successive Pn, Pm, Piv statt Pi gesetzt, so ergeben sich die durch diese Belastungsantheile erzeugten waagrechten Seltenkräfte der übrigen Druckpfosten. Die z. B. dem zweiten Druckpfosten entsprechenden Kräfte sind:

Sh =

Pu

. . (651)

. . (652) . . (653)

PiiiPiv und Piv Pi entsprechenden Ebenen der

cos« '

Wn — Putgasin/S, vn — Pn tg « cos ß.

Hiervon wirken sich die Kräfte wx und wn entgegen und bilden in der Ebene des ersten und zweiten Druckpfostens die Kräftedifferenz:

z/'w = + (wt—wn) — ± tgasin/9 (Px—Pu), (654) eine Differenz, welche sich auch in jenen, den Kräften PiiPiiu Stütze entwickelt.

Die auf die Stütze einwirkenden Horizontalkräfte sind:

a)    die am Kopfe thätige, zum Theil durch den auf den Ueberbau wirkenden Winddruck erzeugte, Seitenwirkung der Träger,

b)    der längs der Höhe der Stütze wirkende Winddruck.

Der Horizontaldruck der Träger muß in der Richtung jeder Seite des obersten Rechteckes wirkend und entweder positiv, oder negativ angenommen werden, f. Tafel 5, Fig. 30. Bezeichnet man denselben in der Ebene des ersten und zweiten Druckpfostens mit + W', so erhalten wir am Kopfe derselben als größte Kraft:

W = ± W' + z/w' = ± (W'-Mw'),    (655)

welcher ähnlich wie ein Auflagerdruck auf das Ende eines in der Mitte festgehaltenen waagrechten Trägers wirkt. Hierzu kommt die horizontale Belastung der betrachteten Stützenwand durch den Wind, s. Tafel 5, Fig. 31, welche in deren Ebene wirken und gleichfalls positiv und negativ werden kann. Die Spannungen der einzelnen Pfostentheile, Horizontal- und Diagonalstangen jeder Wandung der Stütze lassen sich daher finden, wenn man jene Träger überdies mit einer in jedem ihrer Knotenpunkte wirkenden, dem Winbdrucke entsprechenden Belastung beschwert denkt. Werben die hierdurch in den Pfosten entwickelten Druck- oder Zugspannungen den oben ermittelten Marimalpreffungen hinzugefügt oder von ihnen abgezogen, so ergiebt sich diejenige in denselben entwickelte größte Totalpressung, welche für deren Querschnitt maaßgebend ist.

Dritte Abtheilung.

Die Unterbauconstructionen der Brücken- und Hochbauten.

Einfluß üben, während das statische Ergebniß jeder Grün-dungömethode stets das der statischen Festigkeit und Dauer bleiben muß. Die statische Festigkeit der Grundbauconstruc-tionen erfordert mithin in allen Fällen eine construct h>e Anordnung, welche die Uebertragung der angreifenden Kräfte der Ueber- und Aufbauconstructionen auf den mehr oder minder widerstandsfähigen Baugrund mit möglichst vortheilhafter Benutzung seiner örtlichen Beschaffenheit bewirkt. Diese Kräfte müssen in's Gleichgewicht gegen:

a)    fortschreitende Bewegung in zwei zueinander senkrechten Richtungen und gegen

b)    drehende Bewegung gesetzt werden.

Die Unterbauconstructionen der Brücken und Hochbauten haben entweder einem lothrechten, oder einem ge** neigten Drucke zu widerstehen, welcher von den Aufbauconstructionen direct und von den Ueberbauconstructionen indirect auf dieselben ausgeübt wird. Dieser Widerstand kann nur durch den Gegendruck des Baugrundes geleistet werden und wechselt mit der Beschaffenheit des letzteren, welcher entweder fest oder unfest, und im ersteren Falle schon an der Oberfläche oder in geringer Tiefe unter derselben, oder erst in größerer Tiefe sest ist. Die Unterbauconstruc-tionen gestalten sich daher verschieden, je nachdem ein fester Obergrund bis zu etwa 3 Meter Tiefe, ein fester Untergrund bis zu etwa 3 bis 20 Meter Tiefe unter der Oberfläche, oder ein unfester Baugrund vorhanden ist, indem bei zunehmenden Gründungstiefen zugleich der Seitendruck der Erde und die dadurch veranlaßte Reibung des durchsetzten Baugrundes an den Seltenwandungen des Grundbaues eine immer wesentlichere Rolle spielt. Auch die größere oder geringere Schwierigkeit der Gründung bei Vorhandensein von tiefem und reißendem Wasser, fluctui-renden, große Gründungstiefen erfordernden Flußbetten kann auf die Aiiordiillng und Form der Unterbauconstruction

Erster Abschnitt.

Die statischen Gleichgewichtsbedingungen der Unterbauconstructionen.

A. Erfüllung der allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen.

Bezeicknet AB, f. Tafel 7, Fig. 1, die um den Winkel ß gegen den Horizont geneigte Berührungsfläche deS Fundamentes und des Baugrundes oder die Gründungs-

basis, B den Oberdruck oder die um den Winkel « zum Horizont geneigte Resultante der aus dem Gewichte P der Ueberbauconstruction, dem eignen Gewichte 8, der Aufbau-construction und dem eignen Gewichte Gu der Unterbau-construction zusammengesetzten Verticalkrast

Q ⁼⁼. P -(- Gi -f- G

. . (657)

Br —

= 0. . .

. . (659)

und in Glei

sin«

sin (« + /?)

W = Q

= ctg («+/?),    -    -

sin«

ver-

COSQ

. . (663)

(664)

cos (q+ß)'

. w — Qq — Hh . . . (665)

cosß '

(667)

CO CO

O CO

w — Qq— Hh .    .    . (671)

4, q = 0, mithin R sowohl auf der

.    .    (672)

. . (673) . . (674)

- - (675)

. (676)

cos (e + /S)''

W' = ^Fj.h

. . (656)

sowie der, aus der Differenz H sämmtlicher Horizontal-wirkungen entspringenden Horizontalkraft, W die zur Gründungsbasis normale Widerstandsfähigkeit des Baugrundes, Alles für die laufende Einbeit, zr den Reibungscoeffieienten zwischen dem Fundamente und dem Baugrunde, so besteht mit Bezug auf die Bezeichnungen der Fig. 1 Gleichgewicht gegen normal und parallel zur Gründungsbasts fortschreitende, sowie gegen drehende Bewegung um den in der Gründungs-basis gelegenen Drehpunkt A, wenn beziehungsweise

Bsin (« + ß) — W = 0;    .    .

Beos (« + /$) — jtt.B.sm (« + (?) — 0;    (658)

sin (a + ß) ‘ W

Wird in Gleichung (657) B =

chung (659) für das Moment der Resultante B daS Moment ihrer Componenten ober Br — Qq—Hh gesetzt, so ergiebt sich aus vorstehenden drei Gleichungen:

worin, da B im äußersten Falle um den Reibungswinkel q von der zur Gründungsbasis Normalen abweichen soll, höchstens «+/? = 90 — q oder « — 90—(^ + /7) werden darf. Für diesen Grenzzustand, s. Tafel 7, Fig. 2, wandeln sich obige Gleichungen in:

W = Q

IA, --- tgß,

COSQ

und, wenn die Richtung von B senkrecht zur Gründungsbasis ist, in welchem Falle q= 0 wird,

(666)

J“ =    0,

W.w = Qq —Hh. . . . (668)

Wirb die Gründungsbasis wie auf Tafel 7, Fig. 3 horizontal, mithin ß = 0, so verwandeln sich die Gleichungen (663), (664) und (665) in

i" cosg

und wenn zugleich, s. Tafel 7, auch 8 — 0 wird, in welchem Gründungsbastö normal, als auch vertical steht,

W = Q, . n = 0,

W w — Q q. .

Wird in den Gleichungen (665), (668) und (671) Qq-Hh = 0,    .

so geht die Resultante des Oberdruckes, sowie des Bodendruckes durch den Drehpunkt, es wird w = 0, und es findet keine Anspruchnahme deS Baugrundes auf Drehung mehr statt.

B. Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen im Besonderen.

I. Herstellung des Gleichgewichtes der Unter* bauconstructionen zur Vermeidung einer normal zur Gründungsbasis fortschreitenden Bewegung.

1. Bei geneigtem Oberdrucke und geneigter G r ü n d u n g s b a si s.

Der durch Gleichung (663) gegebene, dem Oberdrucke gleiche und entgegengesetzte Gegendruck W des Baugrundes besteht in dem directen Bodendrücke W' auf die Gründungsbasis und dem Reibungswiderstande W", welcher aus dem auf die Seitenwände des Fundamentes ausgeübten Drucke des Baugrundes entspringt. Man erhält mithin:

W' + W" = Q.

Das Fundament würde sich in Bezug auf den Bodendruck wie ein in eine Flüssigkeit von bestimmtem specifischen Gewichte eingetauchter Körper verhalten, wenn der Boden eine homogene, hinreichend lockere oder durchweichte Masse bildete. In diesem Falle würde, wenn Fx den Flächeninhalt der Gründungsbasts, Fn den Flächeninhalt der vom Boden gepreßten Seitenwandung des Fundamentes, Iq und hn beziehungsweise den Abstand ihres Schwerpunktes von der Bodenoberfläche, den Reibungscoefficienten des Bodens an der Fundamentwand und yL das Gewicht der cubischen Einheit der Bodenmasse bezeichnet, nach bekannten hydrostatischen Gesetzen sein:

.    . (677)

W" — yt. Fn. hn. fix,    . . . (678)

mithin die Beziehung stattfinden:

yiFihi + riFiihn/‘i = Q

cos Q

(679)

cos (Q + ß) '

cos Q

. (682)

cos(e + /?) '

cos<>

. . (683)

COS Q

. (684)

COS (Q + ß) '

COS ($ + /?) '

cosg

. . (685)

cos(e + /?) ‘

. . (686)

cos/? '

(687)

cos/? '

wiFi + WnFujUj ==

c) unfesten Baugrund

wiiFhMi =

. (688)

(689)

(691)

(693)

II. Herstellung des Gleichgewichtes der Unterbau con st ructionen ä u r Vermeidung einer zur Gründungsbasis parallel fortschreitenden Bewegung.

Die durch Gleichung (664) ausgedrückte Bedingung des statischen Gleichgewichtes gegen Gleiten des Fundamentes auf der Gründungsbasts wird in den gewöhnlichsten Fällen schon durch den zwischen denselben entwickelten Reibungswiderstand erfüllt, in welchem Falle

H ^ tgQ-

(695)

CD

In den allermeisten Fällen werden indeß diese Voraussetzungen nicht eintreten und der mittlere Widerstand w± des Bodens auf die Flächeneinheit der Gründungsbasis, sowie der mittlere Normaldruck wn der umgebenden Boden-masse auf die Flächeneinheit der Seitenwandung des Fundamentes durch Versuche oder durch Schätzung zu ermitteln sein. In diesem Falle ergiebt sich

W' = WjFi, .....(68 )

W" — wn Fn. fAi, .... (68 )

mithin aus Gleichung (676):

wi Fi + wu FlljWl == Q

Nach Maaßgabe dieser Gleichung hat bei festem Obergrunde der directe Gegendruck des Bodens, s. Tafel 7, Fig. 5 und 6,

bei festem Untergründe der directe Gegendruck und Seitendruck der Basis zugleich, s. Tafel 7, Fig. 7 und 8, bei unfestem Baugründe der Seitendruck des Bodens, s. Tafel 7, Fig. 9 und 10,

den Hanptwiderstand gegen ein Einsinken des Bauwerkes in den Baugrund zu entwickeln. Es ergiebt sich mithin für a) festen Obergrund

wi F j = Q b) festen Untergrund:

wi Fi +    .= Q

c) unfesten Baugrund:

wiiFn^i ⁼ Q

Erfolgt der Oberdruck normal zur Gründungsbasis, wird mithin q — 0, so ergiebt sich:

wiFi + w₁₁F₁₁^₁ —

mithin für a) festen Obergrund

wxFi =

b) festen Untergrund

cos ß '

COS/9

2. Bei geneigtem oder senkrechtem Oberdrucke und waagrechter Gründungsbasis.

Wird der durch Gleichung (669) und (672) gegebene Werth von W in seine beiden Bestandtheile (677) und (678) oder (680) u. (681) zerlegt, so ergiebt sich im letzteren Falle wiFx + w₁₁Fn^it = Q, . . . (690)

mithin für:

a)    festen Obergrund

WjFx = Q,

b)    festen Untergrund

wxFx + wuPuft = Q, . .    . (692)

c) unfesten Baugrund

wiifiii«i — Q

. . (694)

Wächst der Winkel g über diese Grenze hinaus, so muß zr auf künstliche Weise, s. Tafel 7, Fig. 11 und 12, z. B. durch staffelförmige Absätze, durch Verzahnungen oder durch hervorstehende Pfähle vermehrt werden, wird derselbe Null, so findet die Relation (673), mithin gar keine Tendenz zum Gleiten auf der Gründungsbasis statt. Um Verschiebungen auf der Gründungsbasis zu vermeiden, wird daher die letztere, falls dies durch andere Rücksichten nicht verhindert wird, am zweckmäßigsten zur Richtung des Oberdruckes normal angeordnet.

ITT. Herstellung des Gleichgewichtes der Unter-baucon st ructionen zur Vermeidung einer Drehung.

Um den Baugrund wo möglich nur gleichmäßig zu belasten, wird die Construction am zweckmäßigsten so angeordnet, daß derselbe auf Drehung möglichst wenig oder gar nicht in Anspruch genommen wird. In diesem Falle müssen die Gleichungen (665), (671), (674) 'in die Relation (675) übergehen, welcher letzteren durch die Anordnung der Construction in der Weise zu entsprechen ist, daß der Bedingung genügt wird:

Qq ^ Hh

Erscheinen Q und H, wie gewöhnlich, als gegebene Größen, so läßt sich diese Bedingung constructiv herstellen durch 1. die nöthige Vergrößerung q+z/q des Hebelarmes q oder durch die gehörige Verbreiterung der Gründungsbasis, s. Tafel 7, Fig. 13, in welchem Falle Gleichung (695) übergeht in

3. durch Hinzufügung eines zweiten Momentes Qt qv s. Tafel 7, Fig. 15, oder durch Erfüllung der Gleichung

Qq + Q'q' > Hh,

. w, und Ww aufge-

cos Q

an-

« + /S > 90° —e, . . . . (699)

worin q wieder den Reibungswinkel des Grundbaues auf dem Baugrunde bezeichnet, s. Tafel 8, Fig. 4. Wirb dagegen

ct + ß < 90 — q, .

cosg

. (701)

■ COS (Q + ß) '

wi (F* + -ckF,) —

2. die nöthige Verkleinerung h — z/h des Hebelarmes h oder durch eine derselben entsprechende Neigung der Gründungsbasis, s. Tafel 7, Fig. 14, in welchem Falle Gleichung (695) übergeht in

Qq > H(h-z/h),    . . . (697)

. . (698)

oder durch combinirte Anwendung dieser drei Fälle. Ein etwaiger Ueberschuß von Qq über Hh, z. B. bei zeitweise kleiner werdenden Horizontalkrästen H muß durch das in den Bedingungsgleichungen (665), (671) und (674) ent* baltene bezügliche Moment hoben werden.

Zweiter Abschnitt.

Die allgemeine Anordnung der Unterbauconstructionen zur Herstellung des statischen Gleichgewichtes.

I. Anordnung der Unterbauconstruction zur Vermeidung einer seitlichen Verschiebung auf der Gründungsbasis.

1.    Directe Verhinderung einer Verschiebung auf

der G r ü nd u n g s b a sis.

Ein Gleiten der Unterbauconstruction auf dem Baugrunde wird direct verhindert, wenn die Gründungsbasis normal zum Oberdrucke angeordnet wird. Für diesen Fall, in welchem q = 0 wird, findet nach Relation (667) u. (673) keine Tendenz zur Verschiebung, mithin die Nothwendigkeit, derselben einen Reibungswiderstand entgegenzusetzen, nicht statt. Ist, wie im letzteren einfachsten Falle, der Oberdruck senkrecht, so erhält die Gründungsbasis die horizontale Lage, s. Tafel 8, Fig. 1, ist wie im ersteren Falle der Oberdruck geneigt, so erhält die Gründungsbasis die zu dieser Neigu'ng normale, also ebenfalls eine geneigte Lage, s. Tafel 8, Fig. 2 und 3.

2.    Jndirecte Verhinderung einer Verschiebung

auf der Gründungsbasis.

Wird die Gründungsbasis nicht normal zum Ober-drucke, sondern unter einem Winkel a+ß zu demselben geordnet, so findet die Relation (664) ober (670) statt und es tritt auch jetzt noch keine Verschiebung des Fundamentes auf der Gründungsbasis ein, so lange

.    . (700)

so muß jene Reibung durch besondere Vorkehrungen, z. B. durch eine gebrochene Gründungsbasis, Verzahnungen und stufenförmige Absätze bei den Fundamenten gestützter Systeme, s. Tasel 8, Fig. 5, 6 und 7, oder z. B. durch hervortretende Pfähle und Schwellen bei den Fundamenten aufgehängter Systeme, s. Tafel 8, Fig. 8 und 9, derart vermehrt werden, daß den Relationen (664) und (670) mindestens Genüge geschieht.

H. Anordnung derUnterbauconstructionen zur Vermeidung einer Drehung.

Werden die im Ersten Abschnitte sub IH. erwähnten drei Anordnungen zur Vermeidung einer Drehung der Unterbauconstruction getroffen, so kann der Gleichung (696) entweder durch vorspringende Fundamentabsätze oder Betonfundamente, s. Tafel 8, Fig. 10 und 17, oder durch hervortretende liegende Roste, f. Tafel 8, Fig. 16, entsprochen werden.

Die durch Gleichung (697) bedingte Verkürzung des Hebelsarmes h wird durch eine angemessene Neigung der Gründungsbasis behufs Hebung des Drehpunktes, s. Tafel 8, Fig. 13, bewirkt.

Die Herstellung des zweiten, in Gleichung (698) enthaltenen Momentes Q'q' kann z. B. bei Gründung von Futtermauern zur Vermeidung ihrer Drehung durch Erv-anker auf deren Rückseite, f. Tafel 8, Fig. 11, oder durch Verstrebungen auf deren Vorderseite, s. Tafel 8, Fig. 12, bewirkt werben.

IH. AnordnungderUnterbauconstructionenzur Vermeidung eines Einsinkens in den Baugrund.

1. Bei festem Obergrunde.

Ist der Baugrund absolut fest, wie geschlossener Felsen, so wird den Bedingungen (683), (687) und (691) schon genügt, wenn die Fläche Ft der Gründungsbasis der Querschnittsfläche deS Aufbaues, wie auf Tafel 8, Fig. 14, gleichkommt. Ist der Baugrund relativ fest, wie Steingrund, Kies, geschloffener Sand, trockner Thon, trockner Lehm, so wird den genannten Bedingungen zur Vermehrung der Tragfähigkeit deS Baugrundes bis zu der nöthigen Sicherheit durch eine Vergrößerung z/t\ der Gründungsbasis über den erforderlichen Querschnitt der Aufbaucon-struction hinaus entsprochen, in welchem Falle Gleichung (683), (687) und (691) bzw. übergeht in:

wi (Fx + JFt) — Q

COS/? '

Wi (Fl + JFi) — Q. . , .

. . (702) . . (703)

COS Q

COS (Q-+-ß)

(704)

(705)

cos/5 '

Wi (Fj + z/Fj) + wn (Fn + z/Fn) zq — Q.

d²

. (707)

Wj .n7T

Diese Verbreiterung der Gründungsbcisis kann, wie Sand u. dgl., s. Tafel 8, Fig. 24, ein tragfähiger Bauauf Tafel 8, Fig. 15, 16 und 17, beziehungsweise durch gründ herstellen. Im letzteren Falle läßt sich ein unfester gemauerte Fundamentabsätze, einen vortretenden liegenden Baugrund entweder durch Dichtung oder Compresston hin-Rost oder durch vorspringende Betonlagen bewirkt werden, reichend tragfähig machen, indem man in denselben entweder

Füllpfähle oder Steinsäulen, s. Tafel 8, Fig. 25 und 26, letztere bis unter den niedrigsten Wasserstand eintreibt oder mehrere Lagen gerollter Steine übereinander so lange festrammt, s. Tafel 8, Fig. 27, bis der Boden die nöthige Widerstandsfähigkeit gewonnen hat. Bisweilen läßt sich die erforderliche Festigkeit des Bodens, z. B. nasse Thon- und Lehmschichten schon durch eine vollständige und dauernde Entwässerung oder bei lose aufgeschütteten Sandschichten durch eine vorsichtige und hinreichende Bewässerung erreichen. Ist die Widerstandsfähigkeit wq um Aw₁ für die Flächeneinheit gesteigert, so ergiebt sich ein künstlich hergestellter, hinreichend fester Obergrund, für welchen die Gleichungen (683), (688) nnd (691) übergehen in:

. (708)

cos (Q-rß) '

. . (709)

cos ß *

. (710)

(*_ X Wq

AF, ----- Fj

2. Bei festem Untergründe.

In diesem Falle, wo das Fundament einen minder festen Boden bis zu bedeutenderer Tiefe durchsetzt, tritt nach Maßgabe der Gleichungen (684), (688) und (692) zu dem Gegendrücke des Bodens gegen die Gründungsbasis noch die Seitenreibung des umgebenden Bodens an dem Fundamente hinzu. Eine Vermehrung jenes Gegendruckes kann wieder durch Vergrößerung der Gründungsbasis bei gemauerten Erd- oder Grundpfeilern durch Mauerabsätze, s. Tafel 8, Fig. 18, bei Mitchell'schen Schraubenpfählen durch die nöthige Ausdehnung der Spiralflanschen, s. Tafel 8, Fig. 20, bewirkt werden. Um jene Seitenreibung zu erhöhen, läßt sich aber schon von einer Vermehrung des Reibungscoefficienten durch Herstellung rauherer Oberflächen an dem Fundamente die Fläche Fn um z/Fn, mithin der auf dieselbe ausgeübte Bodendruck wnFu um (Fn + z/Fn) wn vergrößern, wie dies durch Anwendung mehrerer Senkbrunnen statt der geschlossenen Pfeiler, s. Tafel 8, Fig. 19, durch Anwendung mehrerer eiserner Senkröhren oder zahlreicher eiserner hohler Rostpfähle, s. Tafel 8, Fig. 21 und 22, oder durch Anwendung von hölzernen Rostpfählen bei Herstellung gewöhnlicher Pfahlroste, s. Tafel 8, Fig. 23, geschieht. Für diesen Fall verwandeln sich die genannten Gleichungen beziehungsweise in

wi(F FJ + wu (F n+z/Fn) /t₁ = Q.

w₁(Fj + ^F₁) + w₁₁(F₁₁ + z/F₁₁)ft₁

. (706)

Bei Anwendung eines einem senkrechten Drucke Q ausgesetzten Pfahlrostes mit n Pfählen von der Länge 1 und dem Durchmesser d würde sich Gleichung (692) in die folgende verwandeln:

4- + Wn-nTTdl/tj — Q.

3. Bei unfestem Baugrunde.

Bei unfestem Baugrunde, wie bei nassem Thone, nassem Lehme, Humus, Torf, aufgefülltem Grunde, Bauschutt, Moor u. dgl. kommt es zunächst darauf an, ob derselbe absolut untragfähig oder einer hinreichenden Verbesserung fähig ist. Im ersten Falle, wie bei Torf, Moor u. dgl. läßt sich bisweilen durch Beseitigung des unfesten Bodens und Ersatz durch festen Boden, wie durch Kies,

(Wj + z/Wj) Fx = Q (wj + ^/wJ Fx —

(Wi-f /Wj) F, ----- Q,

Wo eine Verbesserung des Bodens in der angegebenen Weise nicht statthaft oder nicht beabsichtigt ist, läßt sich die genügende Tragfähigkeit in manchen Fällen durch Herstellung einer Gründungsbasis von bedeutend größerem Flächeninhalte als der Querschnitt der Aufbauconstruction, z. B. durch Herstellung umgekehrter, zwischen die Basis von Pfeilern und Wänden eingespannter Gewölbe, s. Tafel 8, Fig. 28, durch Anwendung von liegenden oder Schwellrosten von genügender Ausdehnung, Fig. 29, sowie durch Sand- oder Steinschüttungen mit hinreichender Ausladung über die Baustelle, wie Fig. 30 und 31, erreichen. Für alle diese Fälle, wo man durch eine bedeutende Vergrößerung der Gründungsbasis eine so große Fläche des unfesten Baugrundes zur Wirkung bringt, daß er dadurch zu einem tragfähigen gemacht wird, gelten daher die für den festen Obergrund aufgestellten Formeln (701), (702) und (703) unter der Voraussetzung relativ größerer Werthe von AFX. Um die Ausladung AFX jener Gründungsbasts zu bestimmen, wenn q, das Gewicht der, z. B. einem senkrechten Drucke ausgesetzten Construction für die Quadrateinheit der Fläche Fx bezeichnet, ergiebt sich aus Gleichung (703), wenn darin Q = F₁q₁ gesetzt wird, zu:

l).    . . . (711)

Bildet z. B. die Fläche Fx ein Rechteck von der Länge 1 und Breite b, und die Ausladung soll die überall gleiche Breite x erhalten, so ergiebt sich:

(712)

W!

b 1 —I—(713)

COS Q

- (714)

COS (Q + ß) '

COS ß '

wn (Fu + 4 Fn) Mi = Q- •    •    •

woraus, wenn

_ Fi yn

. - (721)

2 (P + Gb)

(723)

Yi ÜMi

yi²U²^i²

. . (724)

. . (725)

(l+2x)(b + 2x) = F₁ + JF₁ = Fi-9-

und hieraus die Breite des erforderlichen Vorsprunges der Gründungsbasis

b +1

Wenn der unfeste Baugrund weder durch Verbesserung, noch durch selbst beträchtliche Verbreiterung der Gründungs-basis zu einem hinreichend tragfähigen gemacht werden kann, so bleibt man auf eine möglichst große Ausnutzung der zwischen den Wandungen und dem Baugrunde stattfindenden Seitenreibung hingewiesen, welche, abgesehen von einer Vermehrung von fiilf durch eine möglichste Vergrößerung von Fu, z. B. durch Anwendung mehrerer Senkbrunnen, s. Tafel 8, Fig. 32, sowie zahlreicher Rost- oder Sandpfähle, Fig. 33 und 34, bewirkt werden kann, wodurch die Gleichungen (685), (689) und (693) beziehungsweise Ln die folgenden übergehen:

wn (Fu -v^Fu) Mi = Q

- - (715) • - (716)

Bezeichnet man, um die zur Erzeugung der nothwendigen Seitenreibung erforderliche Tiefe y der Einsenkung eines einem senkrechten Drucke ausgesetzten prismatischen Pfeilers zu bestimmen, mit Fu + 4Flt — F die gesummte eingetauchte Oberfläche, mit U den gesummten Umfang, mit yn das Gewicht der cubischen Einheit des Pfeilers, so wird nach Gleichung (656) zunächst

q = P ₊ Gh + yFiyn. . . . (717) Der Erddruck auf die laufende Einheit der Seitenwandung des Pfeilers beträgt nach dem früheren

W“TT = IT *tg2 (⁴⁵ "2")'    • (718)

mithin verwandelt sich Gleichung (716), wenn die Werthe (717) und (718) eingeführt werden, in

f-tg² (45—|)uAtl = P+Gh + yFmi, (719)

der Kürze halber j^tg² (l5—|-) ^ = A gesetzt wird, die erforderliche Tiefe der Einsenkung

yiz+^₊(Zipi_y (720) gefunden wird.

Erfordert der Gegendruck w, Fx des unfesten Bodens eine Berücksichtigung, so ist dieser Werth der linken Seite der Gleichungen (714), (715) und (716) hinzuzufügen, oder es gelten alsdann die Gleichungen (684), (688) und (692) nur mit verschiedenen numerischen Werthen der aufwärts und seitwärts wirkenden Bodendrücke. Auch hierbei läßt sich die Wirkung des Bodendruckes von unten nach oben durch Vergrößerung der Fläche F± verstärken und ergiebt sich dann die durch die Gleichungen (704), (705) und (706) dargestellte combinirte Methode zur künstlichen Erzeugung einer hinreichenden Tragfähigkeit des an und für sich unfesten Baugrundes.

In einer von Wasser vollständig durchweichten Bodenmasse nähert sich die Stabilität der Bauconstruction dem Zustande des Schwimmens. Bleibt man z. B. bei dem durch Gleichung (706) ausgedrückten Gleichgewichte eines einem senkrechten Drucke unterworfenen Pfeilers mit der Querschnittsfläche F₁ stehen, so ist der Druck des Bodens gegen die Gründungsbasis proportional der Druckhöhe der erweichten Bodenmasse, welche der Tiefe y der Einsenkung entspricht, mithin in Gleichung (706)

wi (Fi + ^Ft) = nyFi zu setzen. Werden nun noch aus den Gleichungen (717) und (718) die Werthe für Q und wu (Fn + z/Fn) eingeführt, in deren letzterem q = o ju setzen ist, so ergiebt sich:

nyFi + y².-|L.TJ.^i = P + Gi-hyF,/!,, (722) woraus die erforderliche Tiefe der Einsenkung

Fi (ji—7n)

Fi»(yi —yii)»

gefunden wird.

Wird im ungünstigsten Falle die Reibung der durchweichten Masse so gering, daß ^ = 0 zu setzen ist, so tritt der Zustand des Schwimmens des Bauwerkes in der erweichten Bodenmasse ein und es verwandelt sich Gleichung (722) in

yFi (yi — yn) — P + Gri, woraus sich die erforderliche Tiefe der Einsenkung

P + Gi

Fi(/i—yii)

ergiebt. Hieraus folgt, daß y nur dann einen positiven Werth erhält, oder diese Anordnung überhaupt nur dann ausführbar wird, wenn sich das mittlere Gewicht der cubischen Einheit der Construclion unter dasjenige der umgebenden Bodenmasse, z. B. durch Anwendung von Hohlräumen in dem Pfeiler, wie bei Senkbrunnen, Senkröhren u. dgl. hinreichend herabmindern läßt.

gt² r— (M + m) 2 ⁻    M + m

i = vt

. (727)

. . (728)

und v =

M²

. (729)

. (730)

und da

2g

M²

Wird die Tiefe, bis zu welcher der Pfahl eingedrungen ist, genau beobachtet, so ergiebt sich hieraus dessen Tragfähigkeit

+ M, . . (731)

. (732)

⁺ T*

+ <⁷³³>

hM²

hM²

gefunden wird.

Um einen Senkbrunnen von dem äußeren und beziehungsweise inneren Durchmesser D und d, der Tiefe y der Eintauchung, der Gesammthöhe y + -cky und dem Ge-sammtgewichte P versenken zu können, geht die Bedingung (692) in die folgende über:

w₁Fr+    < P,

worin P —

WiFi + y².

Dritter Abschnitt.

Die Ausführung der Unterbauconstructionen.

Bei Ausführung der Unterbauconstructionen zur Herstellung ihrer im zweiten Abschnitte betrachteten statischen Widerstandsfähigkeit bieten die Gründungen auf festem Obergrund im Trocknen und selbst unter Wasser verhältniß-mäßig geringe Schwierigkeiten, während diese Schwierigkeiten mit der Zunahme der Gründungstiefen bei festem Untergründe oder bei unfestem Baugrunde im Trocknen und besonders unter Wasser erheblich wachsen. Dieselben bestehen theils in der Schwierigkeit des Niederbringens der Fundamente bis zu der erforderlichen Tiefe, theils bei einigen Methoden in der Entfernung des Wassers von gewissen Theilen der Baustelle.

Als die hauptsächlichsten, im zweiten Abschnitte betrachteten und auf Tafel 8, Fig. 19, 21, 22, 23, 32 und 33 dargestellten, Methoden der Gründung in größeren Tiefeil erscheinen die Gründungen

1)    auf Pfahlrost,

2)    auf Senkbrunnen

a)    ohne Anwendung von verdichteter Luft,

b)    mit Anwendung von verdichteter Luft;

3)    auf Senkröhren

a)    ohne Anwendung von Luftdruck,

b)    mit Anwendung von verdünnter Luft,

c)    mit Anwendung von verdichteter Luft.

1. Die Gründungen auf Pfahl rost.

Jeder der n Pfähle eines Pfahlrostes hat einen Theil der gesammten Baulast auf den Baugrund zu über-

tragen. Um schon aus dem Verhalten eines Pfahles beim Einrammen auf dessen Tragfähigkeit nach dem Einrammen schließen zu können, bezeichne r den Widerstand, welcher der Boden dem Einbringen des Pfahles entgegensetzt, M die Masse, V die Geschwindigkeit und k die Fallhöhe des Rammbärs, m die Masse des Rvstpfahles und v die Geschwindigkeit, womit derselbe eindringt, t die Zeit, in welcher der Rostpfahl bei einem Schlage die Tiefe i erreicht, so ist, da r—(M + m) die dem Eindringen des Pfahles entgegenwirkende Kraft bezeichnet, wenn die der Tragfähigkeit des Pfahles zu Gute kommende Reibung am Boden, sowie die Elasticität des Pfahles und Rammklotzes unberücksichtigt bleibt:

.    . (726)

Hierin ist g ' r—(M + m)

MV

M + m '

mithin, wenn diese Werthe in Gleichung (726) eingeführt werden,

V²

2g ' (r — M — m) (M + m) V²

= h ist, k" (r — M — m) (M + m)

hM²

m — i (M + m) und wenn man zur nöthigen Sicherheit mit Eytelwein nur den 4ten Theil dieser Last in Rechnung bringt, die Last, welche ein einer Ausbiegung nicht ausgesetzter Pfahl mit Sicherheit zu tragen im Stande ist,

hM²

4 i (M + m)

Diese Last bildet den ntctt Theil der Gesammtlast deS Gebäudes, mithin ist

r “ — 4i (M + m) woraus die je nach der örtlichen Beschaffenheit deS Baugrundes erforderliche Anzahl der Pfähle:

M- * <⁷³⁴>

4i (M + m) ^ 4 2. Die Gründungen mit Senkbrunnen a) ohne Anwendung von Luftdruck.

. (735)

(D² — d²) (y + z/y) zu setzen ist. Wird

für wn Fn nach Gleichung (709) sein Werth und hierin wieder U = itD gesetzt, so ergiebt sich:

-jjr tg² (45°--|rj TtD^

< -j- (D² — d²) (y + Jy) yu. (736)

Wird nun durch die Herstellung eines Brunnenkrciiizes mit schneidenförmigem Rande die untere Fläche Fx des Brunnens, ferner durch Ausbaggern des Bodens im Inneren des Brunnens mittels Handbaggern, durch Taucher rc. der Widerstand wx des Bodens derart reducirt, daß wx Ft == o gesetzt werden kann, so ergiebt sich für jede Tiefe y der Einsenkung die jedesmalige Höhe der zur Bewirkung einer Einsenkuug erforderlichen Ausmauerung des Brunnens über dem Baugrunde:

Wird der Druck der äußeren Wassersäule in Theilen dieser Wassersäule ausgedrückt und (t+y) v = na

gesetzt, so ergiebt sich:

. . (740)

TT D²

Pi = —4—a (1+n),    . . . (741)

mithin ein Druck

.    (737)

Hat der Brunnen die ganze Tiefe seiner Einsenkung erreicht, so wird durch Ausbetoniren des Bruunenfußes der lothrechte Widerstand auf

Pl = a(l+n) .... (742) auf die Ouadrateinhett. Wird eine Luftschleuse von dem Volumen angewendet, während das Volumen des Lustschachtes sammt der Arbeitskammer v beträgt, so vermindert sich nach dem Oeffnen der Verbindungsklappe jener Druck Pl im Innern der Arbeitskammer, des Luftschachtes und der Luftschleuse nach dem Ma riotte'schen Gesetz auf

. . (738)

gesteigert, um ein weiteres Einsinken des Brunnens zu verhindern und ihm so den nöthigen festen Stand zu verschaffen.

pn — a + an.

v + v'

• <⁷⁴³>

b) Mit Anwendung von Luftdruck.

Wo eine Ausbaggerung des Bodens im Inneren des Brunnens wegen zu bedeutender Wassertiefe, wegen zu fester oder zu ungleichartiger Beschaffenheit des Bodens schwierig oder gar nicht ohne Handarbeit im Trocknen, nach vorheriger Beseitigung des Wassers, zu bewirken ist, läßt sich das Wasser durch Anwendung von comprimirter Luft aus der in dem Innern und am unteren Theile des Brunnens angebrachten Arbeitskammer herauspressen, indem das Wasser bei durchlässigem Boden unter dem Rande jener Kammer durch diesen selbst, bei undurchlässigem Boden durch ein besonderes, im Inneren des Brunnens angebrachtes, über dem Spiegel des umgebenden Wassers mündendes Steigerohr entweicht.

mithin für den Boden der Arbeitskammer auf

p __

iu " ~4~

..........Y.....)

woraus folgt, daß es im Interesse der Wasserhaltung vor-theilhaft ist, den Jnnenraum v' der Luftschleuse gegen den Jnnenraum v des Luftschachtes und der Arbeitökammer relativ möglichst zu vermindern. Den größten Werth erreicht n für die ganze Tiefe y = h der Einsenkung, nämlich

ni =

(l + n

. (744)

_ (t + h) y

. - (745)

Bezeichnet d den Durchmesser der äußeren und inneren Verbindungsklappen der Luftschleuse, so hat die äußere der Marimaldruckdifferenz zwischen der in der Luftschleuse befindlichen inneren und der äußeren Luft

7t d²

7Z₁ —

. an;.

. . (746)

Bei durchlässigem Boden hat der im Inneren der Arbeitskammer erzeugte Luftdruck, außer dem Drucke der Atmosphäre, einer Wassersäule von der Tiefe t des umgebenden Wassers vermehrt um die Tiefe y der Eintauchung des unteren Brunnenrandes unter das Flußbett, s. Tafel 7, Fig. 16, das Gleichgewicht zu halten. Wird der Druck der Atmosphäre auf die Quadrateinheit mit a, mit y das Gewicht der Cubikeinheit Wasser bezeichnet, so beträgt der auf den Boden der Arbeitskammer vom Durchmesser D nothwendig auszuübende Druck

V + Vi

und die innere Verbindungsklappe der Marimaldruckdiffe-renz zwischen der in der Arbeitskammer und dem Luftschacht befindlichen inneren und der äußeren Luft

. ant .

. - (747)

zu widerstehen.

Die nach aufwärts gerichteten Luftdruckdifferenzen na

»und n.

wirken auf Hebung des Senkbrunnens

(a + (t+y) v),    - - (739)

worin a dem Drucke einer Wassersäule von durchschnittlich 10,33 Meter Höhe, also dem Werthe 10,33 y entspricht. Da der Cubikcentimeter Wasser 1 Gramm wiegt, so beträgt der Druck der Atmosphäre auf den Quadrattentimeter a ---- 1,033 Kilogr.

P -----

v + v l

und betragen, wenn den Durchmesser des Verbindungsbodens zwischen dem Lustschachte und der Luftschleuse, s. Tafel 7, Fig. 17, und dxl den, gewöhnlich größeren, Durchmesser des oberen Bodens der Luftschleuse bezeichnen, im Ganzen beziehungsweise

di²

.na — 7t.

4~(t+y)y    • (748)

und ft

A 2 all

4"

. na

V + Vi

A 2    v

= '"TT(,+y)>'-F+^r’

(749)

wovon verwandeln:

der größere maßgebend ist. Wäre dies beispielsweise der erstere, so würde Gleichung (737) sich in die folgende

Jj —

y s 2yntg² (45—

L Yn (d₂²—d^y    J

. . (750)

mithin die Belastung durch Ausmauerung mindestens um so viel zu vermehren sein, als jener Gegendruck der Luft beträgt.

Bei undurchlässigem Boden oder von derjenigen Tiefe der Eintauchung ab, wo derselbe undurchlässig wird, genügt ein einfaches Auspressen oder Auspumpen des in dem Brunnencylinder befindlichen Wassers.

3. Die Gründungen mit Senk röhren a) ohne Anwendung von Luftdruck.

Die Theorie dieser Versenkungsmethode entspricht derjenigen der Senkbrnnnen. Der in Gleichung (735) enthaltene Werth wxFj wird bei der dünnen Wandung der Röhre und dem schneidenförmigen Rande, in welche dieselbe unten endigt, ohnehin auf ein Minimum reducirt, dagegen wird die durch Gleichung (737) bestimmte, zur Bewirkung einer Einsenkung erforderliche Belastung, wo dieselbe durch Aufsetzen von Röhrentrommeln nicht erreicht wird, durch Auflegung besonderer Gewichte oder durch Belastung mit Wasser zu beschaffen sein.

b) Mit Anwendung von verdünnter Luft.

Bei Versenkung von Röhren mit Anwendung von verdünnter Luft beträgt die Druckdifferenz, welche auf das Niedergehen der Röhre von dem beziehungsweise äußeren und inneren Durchmesser D und d wirkt, wenn m den Grad der Luftverdünnung bezeichnet,

Pi ---

D²

7t. —j—. a — 4

d²

a.m =

-^-a(D²—md²), (751)

n 4

und der Druck, welcher bei wasserundurchlässigem Boden auf Hebung desselben wirkt,

Pu =

jrd²

Pi = -JaD», Pu = -^<Pa(l+n) und Pm —

werden: Werthe, welche die Entwickelung einer größeren Druckdifferenz als die einer Atmosphäre nicht gestatten und deshalb Anfangs behufs Erzielung einer kräftigeren Wirkung die Herstellung von besonderen Reservoirs erforderte, worin die Luft verdünnt und dann plötzlich mit dem Cylinderinneren in Verbindung gesetzt wurde, worauf sofort ein stoßweises Niedergehen des Cylinders und Heben des Bodens im Inneren des Cylinders erfolgte, später aber zum gänzlichen Verlassen dieses Gründungsverfahrens, insbesondere zu Gunsten dessen mit Anwendung von verdichteter Lust, führte.

c) Mit Anwendung von verdichteter Lust.

Das Senkverfahren von Röhren zu Fundamenten entspricht in theoretischer Beziehung vollkommen demjenigen der Senkbrunnen, unterscheidet sich dagegen praktisch von demselben nur dadurch, daß deren Umschließungswand aus Eisen statt aus Mauerwerk besteht und deren Belastung nach den ersten Stadien der Entwickelung, worin Gewichte am Kopfe der Röhre aufgelegt wurden, zwischen dem äußeren Röhrenmantel und den Luft- und Fahrschächten, s. Tafel 7, Fig. 18, angebracht wurde und anfangs durch Wasser, später durch Beton bewirkt ward. Indem hierdurch der Schwerpunkt der Röhre von vornherein möglichst tief zu liegen kam, wurde die Senkrechtführung der Röhren erleichtert, und indem die Röhre sofort mit Beton gefüllt wurde, durch die definitive Ausführung des Röhrenpfeilers zugleich die zu seiner Senkung erforderliche Belastung geliefert.

7t d²

4— a(l + n — m),    .

. (752)

wenn na wieder dem Drucke der äußeren Wassersäule von der Tiefe t entspricht. Bei wasserdurchlässigem Boden gleicht sich vor Verdünnung der Luft im Cylinder zunächst der Wasserstand in und außerhalb der Röhre aus, nach Herstellung einer Lustverdünnung bis zu einem Drucke von ma wirkt auf Hebung des Bodens und Wassers innerhalb der Röhren ein Druck

Pin =

7t d²

4- -a(l—m).

. . (753)

höchstens

Da im günstigsten Falle m = 0 wird, so können

Vierter Abschnitt.

Die Erhaltung der Unterbauconstructionen.

Die Angriffe, welchen die nach den vorentwickelten Grundsätzen den Bedingungen statischer Festigkeit entsprechend hergestellten Unterbauconstructionen besonders in strömendem Wasser ausgesetzt sind, erfordern weitere, theilweise constructive, Anordnungen zur Erhaltung jener Festigkeit oder möglichsten Erhöhung ihrer Dauer. Jene nachtheiligen Einwirkungen sind theils physikalische und erfolgen durch das Wasser im flüssigen und bewegten Zustande oder bei seinem Uebergange aus dem flüssigen in den festen Zustand,

theils chemische und arbeiten auf Verwitterung, Fäulniß oder Orydation durch die gleichzeitige Gegenwart von Wasser gehören die Anlage der Gründungsbasis in einer Tiefe von und Luft.

Zu den Schutzmitteln gegen jene physikalischen Einwirkungen, insbesondere gegen Unterspülung der Fundamente gehören Stein würfe, Spundwände aus Holz oder Eisen, in Nothfällen Faschinendeckwerke, Stein-pflasterung zwischen Aufbau und Spundwand, sowie vollkommene Sturzbetten zwischen den Fundamenten, s. Tafel 8, Fig. 35, 36, 37, 38, 39 und 40.

Zu den Schutzmitteln gegen jene chemischen Einflüsse

mindestens 0,75 Meter unter der Erdoberfläche als derjenigen Grenzregion, bis zu welcher der Frost in den gemäßigten Klimaten nicht mehr eindringt, also eine Zerbröckelung der Bodenbestandtheile nicht mehr veranlaßt, die Verwendung des Holzes zu dessen Schutze gegen Fäulniß nur unter dem niedrigsten Wasserstande zum Zweck des Abschlusses der Luft, sowie die Anstriche und Umhüllungen des ! Eisens zum Schutze desselben vor Orydation.

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Die ansäte ganze Tiiiyeddnye geschlossenen Systeme.

Ith yesddossmai Systeme mit,gegebnerEaupt/b/vn uycycbnerDelastunp. / ßicyesehibssmen Systime mit luu/nrchbrochmeni (hiemhidtt u. Mit gleichem (constantcml l/uersehnitt. vc. Mit ndttecldyem äiiersdimtt s. Fiy. / m. 2.

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S Mit doppelt T/o mag ein duersdwiD. ave. Aus’ einem Stück gewalzt s. Fiy. 7 u S.

$3. Aus Matten mittelst Meten uisam/ueu/pvetzt s. Fiy. ,9 in. 13 c. Aßt T/örmiyem. Üaierschnitt. aa.Aus einem Stück gegossen ,y. Fiy. // m Fl ßß. Aus dnen//Stück/gemalzt s.My. Io.

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Aus zwei Tynolessehiene/i m eimw doppelten Ts. Fiy. ZI u 22. b. Die yescldosscneji Systeme mit undiuelib/vebenem unydich ent

tmriablem / duembuiit.

cC.J/it wayrechter obrer u. om/xwboym/bnniycr untmßcymiziiig s.F23. fi.JJit mayreckter’ obrer u. coiweieboyeiförmiger* antra ßeip mzu ny x.F.24.

Z. ßityesddossaicns Systeme mit du/rhb/’oe/ui/enidi/erseh/dtO.

a.Iticycschiosseiiera Syste/riC'mit diirddm/dic/umytdehemleimstJtluersc/m, vc. Aßt dmekhrockeueue miitrckiyem, Ouierschni/t. am. Mit ein/ackent' rcehteddyene tiuersehni/t s.Fiy. 23.

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T/üyermzt stellenweise unrluvulalasneeutrutar, ioeidisi/tei/ßeiUistuny. a Aßt yTeiche/• (oonstanteriJjivite s.Fiy. 33 u. 3h ßenierlurng. Die unteren Dec/mizimyslinien dieser Triiyer sin d yemeine Ihm betn.

b. Aßt yleidier (co/utanteriMidie s. Fiy 33 u. 3F

Bemerkung. Die scitlidim Dey/euzuuysUnien dieser Frii ycr sind ymde ■ lüden .

Aßt ähnlichem reehteeßiyen/ Clucrschrälteu s.Fiy. J7u. 33. Deuieikung. Jße unterem und seitlichem Deymiziinysli uiem diesem Triiyer sind yleälizediy add sdielhrabelm

2 Triiyer mityldc/ißbmdy vertheiltei • Ddusttuiy.

aMitgleicher (constanter J Breite s. Fiy. 33 u 40.

BeinerAiuig/he untere ßeyrenxmuyslimv in Fiy. 33 ist eine Ellipse,

diFty. 43 eine ymdeTime .

l. A/it yleidier (eonstimlul Höhe s.Fiy. 4/u. 471. TBemeiiaiiig. Die seitlichem Biymi ramyslimen dieser Triiyer sind Zweige/gemißterTambelti

c.AFtt älmlieheim rechteckigen Oaiersduiittem s.Fiy. 43u.44. Bemerkung. Jße unteren u. seitlichem ß(grenzluiysli/ucm dieser Triiyer sind Heroen/ vom drittem (Bude .

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gg.Mitgebogner DeeiplaJte/ s.Fiy. ZF.

Aßt thalweise durchbrochenem doppelt Pfennige?n/Osu’rsc/ut. s.Fy.29. b ßicycsctdossmc/i Systeme mit durchbrochenem unylädiern

(variablem J ttueisehnät a. Aßt durdiZrrochenan rediieddyem duersdmitJ /zcc.Aßt eirsteheinTrelileekgenv Omersdudil s.My. 36.

ggjßt zusanunmyesctzteni raJiteddyent llmrsdinUt sFiy. 3/u, 32 .

Fig. 27.⁷

Fig. 28?

Fig 29⁹

Fig. 30.

Fig f3110 Fig.32¹¹

Zweitens.

ß.

I.

Die nicht alsdüzganzer Trüyerlänyc yesdiDissenew Systeme oder die t7teilweise geschlcssenenJ Systeme.

Die theil weisegeschlossenen/ Systeme mit: yeyebner ffanptßan und

gegebner Belastung.

27.

30.

V. Aßt imdui ’chl/rochenem flu er,schnitt.

a.    Aßt gleichem (luerscknztt

a . Aßt rcchtecletyau du erseh n itt s.My. 4es.

b.    Aßt ungleichem Iti/ersehnitt.

Fig 45:ta

Fig 46.

vcAlit doppelt T/armlyerm nach der Mitte zunehmendem tluersdm. s.F.46\ J ß.Aßt doppelt T/bimi/pm mich derAßttc abmliniendmt/Üuersdui s.liy. 17.

2. Aßt durdibmchenem/ tXuemZmitt. a. Aßt ylcicliem flueisduutt. a.Mit rechtedeiyerm IXuersdmilt s.My. 43.

Fig 47.

□□□□□□

Fig'. 48"

Die o ff eng eB ant e n Systeme (Fortsetzung y. Taf. 27 _ 28 ).

ZAz\ BysdiuAr.

Be z ei eh n uji g

der

System e.

Schemata der Broten/e mit gezogener IInuptgl/edei•//

Sehe in ata der Systeme mit gedrückten Bauptgliedern

mrt fieheneinanderTicyenden StUOgHinetem. wirbcreüumdilSäUzp. mit nebencinaudcrtieyenden Bditzpuiietem miiberemandrlStützg

Schemata der Systeme mit gezog. ir. geile: JHauptgliedemt

Die, zummmengesitzteny offenyebaatem dy steine.

ßie aus Dmede ITriyomdO iindFdede slolgyonal iSystemen zuscunmenycsetzteiedysteine Mit mayrechier Belasteuiystufet Aßt durch/ [die Bolde

des /Systemsgelegter Ddastuigstcylel sFigy. 176h 773.

den Bcheitei

Fig 476.

]illllillllli!Hlllllllllilllillllilillilil!i|ll![ll!lllllllllll|

Fig 177.

Fig. 173.

Aßt durch die dditxpunele des Systemsyel/y ter Belastung stagel s.Figg. 173_ 132 Alitgeiiciytcr Jleluslastzuiystufel s.Fiy. Hfl

Die aus Dreieck dry o //cd i uiidTamlle/düger Aiyssemeu / zusamntsngc?etzirii/AA/sferne. Aßt wayredrter durch [dunBolde/ ) dcsByshmsgeBytefMelnrtunyst s.Fgy. 7S3- 7AF

Fig. 179.

Fig 130.

Y Fig 131. li

denBdieitel)

Fig 183¹⁴

1 F'?'¹⁸⁺-

Aßt wayrcckter dmdi deeMutzpu/ute dcvBystemsydegtvmßdastunyst. s. Fgy. 136_ /dB.

Fig 185.

Fig 136.

M ■ MMM

Fig 13 7.

Fig 133.

ßie aus lideeh- (PolygonaleoderBoyeu/ tliirved, t undTmrallellrägcnßgsie

vnen zu

siinimengevctztem Systeme

Fig 189.

Fig. 190«

Fig. 191.

Fig 192.

..

Fig. 193.

Fig. 194.

Mit wag rechter durch ^ die Bolde    I d/sBydenisgedytei Jlelastunyst. s.Fiyy. 733__ 134.

I den Scheitel

________

iniimiiiiiHHiHimiiiiHnm

Mit loayimitcr durch die Btiiizpuiwtty disBysHmsydeytirDdastuigst.sTigy. l3jh 200.

Fig 1.95.

Fig. 196.

Fig 197.

Fig 198r*    1

Fig 199.

Fig 200.

Drittens. Die ans geschlossenen u. oftengehanten Systemen zusammengesetzten Syst

eine.

• s?

ßic aus ßnirch CTryyomzli undgeseldassmcn Systemen zusammengesetztem

Ay Sternes s.Fiyy 23M 233. tl.    Die, aus li riech (ßi/gye/ial l undgeschlossenem > Systemen zusammengesetzten

aSysteme s. Fiyy. 2/tJ__ 27a.

Fig. roi"

Fig %nv

liiiiiii!iiiiiiiiiiiiin'llllllllllllllllllllllllillllllllll]|

Fig. 203.

Fig. 204.

IlilllllillllillilllilllilllllllllllllllllllillllllfMM

F^-^5

ftTTMIIIIIilllllipillH

Fig. 206.

Fig. 207.

iiimi i ii i ii in i h niDiii i li 1111 ii i iiiinmi u in imq

Fig. 209.

jiiiliiimiin

ntmtHWüij

illllllllllllllllllllllllllllllllllllHlllllllllllllllllllllj

Tlliliiliiiiiiiiiiillllililiiiiiiitiitm

Fig. 210.¹⁷

Fig 211.

E Fig. 212.

Fig 213.

Fig 214.

Fig. 215.

. tumor/ai uff¹/. :

M/-0.    M/4-17.

Aitmafimigkn.M..u( Fy m TcyLMc M uhr&nsMmuu/U-Muj/avJeny v. llfnddSolbaamt,. S.acL Fü/. ISO. Fjl.J)ie ffi>ysaJurcrMi‘üdivÜteräm/Jfcp Mad.lty.lSl tyl. Die ffoh/nü,■/.■<■,,    Jku* UMclte Hier dae JßU-öveFMsO/uz/uuitF und- zder den Gmuetüutlä/3dZ*m-lldU

ßic Träger muH dem Fyslem Jl 'äymunn

Amteigmgen. Z W Fty. //. tyl. Die Friidie über dm,    der taSUd^maibalav. S. Dü ’iaüutd)/ Eismiahu Gvimdtc U44 TcfJT. Z. ad,ItyS. Uv, Alhtya-au, Drüdbdiau,,, inaA&uudidmv oder Jtujj/jert’aiau äuavluud S. ad Ityo. 17«,

M. Jnu,<T von FvenMZnduMr^ der JTc^^IudotydaJau 4. ad Ftyg. iS u, ZS. Jktyr der m*da1mdmdl*»e der JsaiuwvcFscheii- Fisadaiaieie d ad Ity. 23. Zhtya- v^Muu - 7H*,:Jtdu Siadudx,

«cülJ (i.ad.Fiff. 2;X Brüde M Ami™, tyl. Moli™ ftmnür Taf MT/s 7. ad.Fty. 27 Tntyc v<nr Fardauu x Süph^uon. 3. ad Ity. 123. tylTi* Dnide uier dm/AB* id.JM.mtvn/ S. adJty.2S. tyl. Dü Drude iOa- dnTtye dev C/upstcw v.£mud /S. ad. /ty. 3/ ia.ui.mpru/ke in. Iwajm.l non FaiFbaim,. ff. ad Fty. 32/ tyl. DU, DumdrokrentmSuu Hier dU Meerenge/ Maud lei Dargor von Sty.kmsou, 12. tylJHe üdemtrhuchm Tracjyeländerlnü&cn. . 13. tyl. Dü Dniüe über dU Meld« zu (hat.

‘ Verbindung der Aew Torh liulrml Fisenbeehn mit da*grossen Westbalw de Canada mm AJiobldg. in der ClusldmEiscnbalaal Thayer undTBrowm im den W/einigtcm Staaten/ uma Mord Amerika . 77ad Egg. 237, 711/2 und 213 Tyl

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Lith. Anst.v. .Steinmetz L Bornemann; Heissen

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IJ/r. System Jb:

B e z eich n irrig

der

HEINZERLING, DIE GRUNDSYSTEME DER ÜBERBAUC0NSTRUCTIONEN IM BRÜCKEN - UND HOCHBAU.

Zweitens. Die off eng ei) ante it Systeme.

Taf A

System e.

Schemata der Byhteure mit gezogenen Bauptgliedern

und riebeneinandertieigenden Stützpuncten

Schemata der /Systeme mit ge drückt eil Naiqjtglledern Schemata der Systeme mit gezog u. ge dr Haupt gliedern u.überebianderlStüixp. und- ncbeneüianderliegeiiden/ Stützpuncteii/. uübereuuindedStütsp. und nebeneinandedieg&idm /Stützpuncten. u.übereinanderlStütxp.

Die cm fachen offtengebaiden /Systeme.

Ute einsticken- offtngebautmSysteme /. Ute Trügen mit emstanter Höhe oder die Paradleltrüger.

a. Ute Jhmlldträgee mit dem Siahsgstene desgleidisehmkligen Dreiecks Mit dank \die Seide ^ des /Systems* gelegter Bdmsäiugsto fei s. Fgg. 34. \dereSdreitei\

Mt durch die StiUzgnmctc des Systems gelegter Bdastunggstuftel ti.Figg. .53_ 60. h. Die Tamtleltrdger mit dem rStübsystemc des reehtmüdlig&r Itmcrks.

M t du reit die Sohle | des Systemsgelegter- Belastung stuf ei, s-Függ. 6(_ M den Scheitel\

Mt durch dicStützgruuele des /Systems gelegter Bdaertungstufet s.Fgg. 67.L ZF.

mit gegebner Bauplfbr/n ugyebner»Beladung.

E£50.

Kg 51. Kgl 52

AZ

Fig 53

Fig 5 4

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I Fig 55Z Fig 56

Eg 61⁴    Eg. 61

Eg. 67. Eg. 68.

A A A A A es 57.

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M    ,    1

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Fig. 58.

Fig 59.³

Fig 60.

| Fig 63. Eg. 6‘

|Hg.65ö

Fig. 66.

iiiillliiiiiliiHllllilliilllllu

/ /T^NXA Eg. 69.    Eg 70.

TTiiiiiiiiiMiiliiiiii^    o    o

Hg. 71.

Fig. TL

Die Träger md gegebner, thedmise condauter, thdi/oeü-e variabler-Höhe> s.Figg. 73 u 74 Bie Träger* mit gegebne?) variabler Fähe s.Fig. 737

Hg. 73.

Fig. 74.⁶

ii.

Die ein sä dien vfftugchiuicnSysteme mit gegebnerBelasütng uJüemus abgeleiteter rSgstemfbnn Die Träger-mit(wicentiirten Belastungen nvideekiger (poygorruleriSgsterrftilVWdedwdPo^gomTK altie lideek BbtggorrallTräger mit rndir ahFinernAngnffsgnuul znnsihcn ftzrm Stütz/mmten uMt inder als zwei Stütxpunden/(Dü fortlaufenden (mrrhjiuiiDeheruimdMBlggoruJSgstO

Fig 76.

o

Fig 79.

Fig. 80.

Fig. 78ö

rFig7Z*

1 NM

Fig 84.

Fig. 85.

a Fig. 86.

ft Md xmd Stiitzpuncb'n (Dieabgesetzten tdiswidmmctid/euiVeiech (BrtggonalJSyste* Mt wo/gm-kter Belastnrugstafei.

^ fydmrsgelegte-Bdastueigstafel/ sFgg. 79_33.

Mit durdr die Stützgwude des Systemsgelegter (Belastungstufet s.Figg. 37_ DU Md geneigter Belastungstnfel s. Fgg DF D4.

Mt durch

me.

Fig 81

Eid 88"

Fig 82¹⁰

Jpig. 87.

Fig 90.

Eil:

Rg.92.

Fig 91. .

Fig 89¹*

ö

Fig. 94¹³ f

Fig: 93.

Fig. 95.

Eg. 97.

h Die Trüg, rn FAiiern Angriffs. zmsdurrgäZ Sädzgr u. dmüMgerttngonlS^sftlMIlmdKodBgmTbk¹ ^ u Mit mehr als ZStü/zpumten od.dfbrt/aufendmteantiruiirtJlDäedrdTngorLiSgstfsFug/lü-D/ ft Mit Z/Stir/xpunrten oder¹ die abgesetzten IdmMtBnurAichenlDrneckATrügoualtSysteme, Mil wag rechter ße/ashmgslafel

Afgsterm*gelegtzrßelastitngstufel/ s.Fgg. US -103.

Mit durdr die Stüägmnctc des Systemsgdegter Belastu/ysfaftl s.Figg. 134M03.

Md geneigter BdasOmgstufe/ s.Fig. 107. c Dic Bmeek - (Trigonal I/Si/Sterne mit mehr als Einern Angriff gründ, u. Die Mehrfachen der- iJrnerkiBig anal 0SgSterne (die rndirfDrxmh slrigonaZlSigstemc. Tt&tdurdu

die /Solde

jvzif /Systems gdigter- Belastiiirgstafel s.Figg./0S.

Mit durdr die StützgmncU des Systems gelegter* Belasämegsts Fgg. /ZA_ IIS

dm Scheitel

L 113.

Fig. 98.

Fig 99.

Fig 96.

FiglOl,

Fig 100.

Fig 102.

Eg 103.

Fig. 104.

Fig. 108.

o *

Fig.114¹⁴

m Fig 109.

~i ]

Fig. 105.

Fig. 107.

Fig. HO.

Fig 115.

^Fig.106.

Fig 111.

Fig 112.

Fig. 113.

ft Die versteiften Dreieck/- (TrugoualJ Systeme/. accTMteügesduiIteteriffülftträgern analoger Mügung. Mt rvagrechier Belastungstafel/:

Mit durdr

__•

Fig. 117.

Fig 118.

Eg. 120.

Eg 116. .

die Soh le

| des Systems gdigter Belastung stufet s.Figg. 117L_ /Z2 Mit durrlr die Stätzpunete des Systems gdeyterßdasfunystaftl s. Ftgg. 123_ IZZZ

\dm/Scheitel

Mit geneigter Belustangstaftel s. Fig. IZtr. ft/3. Mit ei/ujesdudteieri lliÜfthüberiräijmi v. nmduedmer Feiijuruj Mt wag rechter ‘ ßdastimgstaftd.

Mit durch    jdes /SgstmrsgeiegterrBelurturg.sleiftd s.Figg. IZ7_ 13Z .

Mit durch die Stidpuude des Systems gdigtrr Belastung stuftet/ z.Figg. 133M3D. Mitgeneigter ßela<stimgstuftet.

yy. Mit eingeschalteten Biilf siibertrdgerir v. theils rjleidrer’ theils uersehiedmerMigurre/.

Md rvagrediter Belastuiigstuftd.

Md durchs

Mit durch die /Ztrilzpunetr des Systems gelegter -Bdastungstaftl s. Fgg. t47 l7l Mit geneigter^Bdusturujstufte! s.Figg. 143- urul 1497 Ihr Irriger mit mtherlir/rDdasturnfen u. borfmförvngerkuJval/rJSgstmrftiDieBgerrMtirriralSi/etvtrie/. a.I)ieBogm/döm/al JTrdge7‘ mit gleichftärmig vertheilt er Belastung, ce v Iht r/iereiförmig auftdJhyectim pcrthälicrßelastg. (Jhe läraMtr odpambolmlPBgerdthvlJj/. y ccuJlä mehr als ZStützpundei? (Dieftrrtlf den IcmtiniurtirherhiParabdtJÜger/xiig. IdZii 133. <v ftft-Mit ZStidgnmden (Die' abgesetzten Idiswrdimärlichm lltmrbdtiiiger/&Figg.ltPLl64.

die Sohle den Scheitel

| gelegter Fdiistungstaftd s. Fgg. 137_ 744.

ft Mit (/leidiform, auf die länge verthedter Betastung llhcßogeriithmal t Träger- nadi der

Itetterdmie/ S.Fig. MT.

hlhe BogendärrvuldTräger mit wigleickformig vertheilterBelastung, cc Mil nach den StäApnnden län pnportiimal zjiriehmendei-Bdarüuu/(Die Bogen tticr

rrai (Träger dir cubisdren ParahelJ sFig. 166. ftdlTtt /erad olrgegticlcnerBdastung (Bogen (IhmdOTrägcr der - Mir widm l s. Figg. 167— (09. (Xvi.Mä iiudideru/SdmlelsteigaiderBdaiitun/(Bo/mdPuniaT7Fri(ger(/(7‘AnaJdUMiilelsFi(j:l67. ftftJM nach dau Sckätd/ediernlaßt lustung (Bogen ((u/val ldgu-dirBahtldimudels. Fig. 163. yy Mit rm/reekt ab/egliehnerBdastimg (Bogen (tiiroal JTräger- dtrAMmnule l s. Fig. 169. Jhe einst ul tat offengebautm Systememitygegebner Form undgesuchter-Seaiptbelastung.

Träger- mit (heilen eines Kreises ah- Systems amu (Die Kreis BogmtmgerJ.

(uTräger mit dem Halbkreis- oder vollem-Bo gen (EaMkrdsbogentrmger) s. Mg. 170.

Ir. Träya‘in dKrcissegmentbogeiL od.Sticbbogm (Seymmtbogenir’ä/er od./StiihbogenlnJsFig 17/.. e. Träger mit aus rndrmen Krdsthe/im (Krdsscgrnr/deu l zirsa/rurierrycsctrder'Sgstenifbrrre. ex. Mit der System ft des deutsch gai/usdren / Spitzbogens (Uadsdier Spilzbogeidri s Fug. 17Z. pH Dt derSgstemf. des englisch gothischen Spitzbogens (EngiisdierSpitzbogentrls Fig. 173. y.Mit der S/stemform derKorhluiie (Korbbogenträgerl s Fig. 174.

Träger mil der PdJipse als Systemsbrm/ (Englischer- Bogen Kino alt Träger s. Fig. 17/.

Ipiiiiiiiiiiiiiiiiiliiliimiiiiiiiiiiliiiiiiiiiimi

Eg 119.

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Hg. 122.

Hg 121.

Fig.123.

Fig 127.

Fig 133.

Fig 137    Flg.138

Fig. 145.

Fig. 146.

Tig.154.

FM 160.

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Hg 124.

Fig 126.

Fig. 125.

Fig 128.

Fig. 130.

Fig 132.

Fig 129.

Fig. 131.

Fig. 134.

Fig 136.

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Fig. 139.

Fig. 141.

Fig 142.

Fig. 144.

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Fig. 143.

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Fig 159.

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X Fig. 161.

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Fig 163.

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Fig. 171.

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Fig 173.

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ig 174. / m m Fig 175.    |

Anmerkungen, /.ad säg 4D liegt, die Brüche über dem Trent betTVenra/h. Z. ad Füg. 33/ Vgl den (hrrulrn liadud inSüd Wales. 3. arl Mg. 59 Vgl. die Bar ehr über die’ Bahr? bei laimsteiriBartror/’liMrroeil/rrugsbeu/tenelr hern.Eisenbahn BT.Taftld. 4. aZLFtg. 61 Vgl. die Bräche äh er- dm alten T/hem bä Briet hausen.. A.a O. I// Taf. D u /O. 3. ad Big. 63. Brücke über denFOrde/nsrebeiKrJuur. find Fig. 74. Vgl. die Brücken nadt denrSgsterrv Seknredler-. Briirhe über die Weser- bei/euroeig in der- Alterdrehere Bolzmindeuer EisenbaJur ZtsdrrfBaum. 1367 TaftZD— 3Z.,F/uthinudre über die Odin- tut Stettin and Strassen brriden der/Stadt Breslau ■ Tgl.Areb/t/ktcnmodrenid. 1367pag.Z3(J ff. /. ad Fig. 737 Vgl. dieBnidce über den leeh bei Kudenbargg and über dir Waal bei Bommel Vgl. Ardütehtcnmorhmlrl. 1367frag. 3/6 ff \ S. ad Fug. 77 Bergt. die gestütz te //rarrue/brädre über die /Spree in der Verbindungslndrn zu Berlin Ztsehr f. Bau m. 1366 pag. 237ff. *9. ad Fig. 73 igl. den Entwurf einer Brücke über den/Bosgdwms v.Buppert. Wiere 1367. 10. ad Fig. 32. Vgl. die Brücke über dm Ehern bei Poblmxe Ztsdir.ft Baum. /334pag. 47fft. //. ad Fug 33 Vgl. die Brüder Hier die Themse bei liindso/) über- die Urne bei tuen., über die Brake bei Izer-sh etc 12. ad Fig. 39 Vgl. die Brühen nach dem Sgstene (hub zBBrseydruhubniekr über den Bildn beiAEmz,Bismbahnb7Ücke über- dd Isar beiTBns&üidni, lutüßt/sudteeniSrilzbury. /3 ad Füg. 94 Vgl. den Baduduld der Cmtmibah/dwgsludie teil Birrniuglutm, od.Balodudte zu Amsterdam etc. 14. ad Fig. 1/4. Kgl die Fink schm u BoUitiimn sehen Träger, zB.Bnicke überden Wheehng in der-Birne/Badtimare = Ohio. Vgl Fink. Baugewerbe. JDawistadt /363pag. ,99.    13. ad Fig. 149“ Vgl. den emrnen iJadistuld des Facercie/hauses der*grossen (eiserne bd/ffarmover

Ift/Bitter Elementare Bereehtug. der Bdidien-u.BadtconstriuIionm Barinov. /3S3pag. 3ff.    13. adlig. /3Z7BängebrüekeTiber- die Themseiri/Iorrdorr /BTaemnersiruthbrüdie Alber die; Donau zwischen Ofen wBesthgüber* die-Moldau zre Bag de. 17. adlig. 133 Vgl. die Bülfsbrudre beim Bau der

Drücke Ft Karitas ti ba (anstauiine AIJg.Bztg. Wiens 1336 gmg. 197. 13. adFig. I3Z. Vgl. die BnmeVsehen/Träger zB. d. Bdiike^iiber- den Tamm- bei Saltash und- clic laues schm Träger-z.D. eiserneStrassenlrriielm in Bremen. 13. adlig. 163. Vgl. die Burtbogen der Kirche irt/Bulou-k. Hübsch. Bau werke (krsruhe 1333pag 32 fft ZU. adFig. 163. Vgl die fladren schrmedersernm Kupgjdn über Gasometer o. SeJmedler- Ztsehr. ft. Baum. 1333.    21. ad Fig. /37 u, 133. Koch neu n. nnimsg(führt ZZ^Audr-

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Verlag von Arthur Felix in Leipzig.

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7. Nr.

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HEWZEBLIM, DIE GRUipSYSTEME DER AUFBÄUCONSTRUCTiONEJf(PFEILER, JOCHE, WÄNDE, SÄULEN, PFOSTEN ) IM BRÜCKEN UND HOCHBAU.

Taf. 6

Bo z ei eint uug'

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fCindstoss, ütsstoss, FerCu-hrssUsse, CerUri/üffal/craft, JusdeluuMff der Feberbauron slructtin durch, die Wärme/ ist.

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Kräfte ( Sdiwere ,

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Die Dichtung dar angreifenden

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Boi Einwirkung

Bcc/sa 'Strömung um/ 7 hstoss.

43

Luft und Besser

d. Anordnn fig der Auj7) a ncon st nie Um &ur 'Herstellung des siaAischen GteEhr/ewic/Us.

7. .•Inordnung derdiifbaucmstruction zur Vermeidung lotlireelU fortschreitender .Bewegung.

a, Einordnung zur tenneidung aussehtUesvlieA lot/irecht fortschreitender .Bewegung durch Zerdrücken-. Anwendung druc/fsten Materials (Suite, Gusseisen, Schmtedeeiseg Holet . J An n a/eine ein es der Testegleeli des Materials en tsprechenden ßuerschmlts.

Consta/der kfarzmulgti ersc/initt Fi//. 7.

Nu eh unter/ zurief/rriencler Querschrätt.

Jlluuiluj yacue/uu etidcr Quersc/miil Ftg. 2.

Absatzweise ouinr/mier/der ßuersclmdt. Ftg. 3.

t>, Anordnung zur Ter meid urig las 1//echt und gier eit zeitig wagrec/it' fortsei ratender Bewegung durch Zerknicken . du Wendung eines (tuen- und Zäne/ensc/uidts von angemessener Form und Abmessung. Ftg. 1.

Vrbirulung m ehrerer Stützen unter sich .

Furch Ge/vötlebogeii. a I Ein/äche Gervölhebogen.Jig.3. d j Zd’h/ far/ie Gernölbehogen . Ftg. G.

Gegengervölbe. Mg. 7.

Furch 74ranker •trug. Zig. 3

ZZ. Anordnung der Aufbaiico/islruclion zu Jermeldicng / 0111/redet fortschreitender Fteivegung durch seitliche leischiebunc/. Furch Zuge und Jörne der Fuge .

Durch geneigte Ingens lächere. Z⁷tg. 9.

Durch gebrochene Fugenflächeev. Fig. ZG. und Ftg. ZI Furch angemessenen und hinreichend erhärteten Binclesloff.

Furch FindeslütJcr. x Steinerne ZJurchb ün der. Fig. 72, bei er.

Steinernes dertieretbin der. Fig. 13 und 73.

Jf isemr Dübel Fig. ZZ.

Eiserne Klammern. Fig. ZG.

kewtehl und Beibung der IZnstructeonstfleite des Aufbaues.

J7Z dn ordn teng dg/ Aufbaueonstruction tue lernn eidung drehendes * Bewegung.

Furch Annähme eines dem Frehiiugsrnoment entsprechender/ Guersdni/is.

Gonstanicr MaAniezlgruerscT/nitt. fig. Z7.

Nach unten Annehmender Querschnitt.

ADrndhlich /umef/mender fuerscJinitt. Hg. 13.

Absido/weise umnehmender Querschnitt. Fig. 79.

Furch Verstrebung.

Zlolzstreben. Fig. ZG.

Strebepfeiler. (Gontreforts J. Fig. 27 urui 22.

Eiserne Bin JE oder Freiecke. Fig. 23 und 23.

Furch Vrccr/keri/ng.

Mil dem JunAmcntso eh et^ durch Beizer/, Steinschrai/ben, dicker:

Mit isotirten Stutxpiuneten durSi Zugstcmgcu, Frcihte, ZCeitcn gSturrrvo/nEer J Furch Verstei/Ung.

Mittelst hölmrncr Versteifungskreuoi&. Fig. 23.

Mittelst eisemie? ' Terstefimgs7aem&e. Fig. 2G.

Furch Verbindung einzelner Stützen untei* steh.

Mittelst GeroolZebogen bei Stern/feilern. Zig. 3, H dT/ J3, IG Mittelst eiserner- (heerbänder bei eisernen Stützen. Fig. 3 und. 27.

Durch Bildung steifer eiserner Böhrenpfeiler. Zig. 27 Durch Bildung steifer diirAibrodienet¹ Fgrarniden.

Aus gissseisernefi Plattesc. Fig. 23.

Aus gusseisernen Bohren und sAirnredeisernen Zugstangen. Fig. 23.

Airs 7lots und scdtmiedciserneu Zugstangen. Fig. 3G.

Aus Bo I/s. Zytg. 37.

Furch Jsottrung desAifbaus von Mittelst Schiebeplatte/t. Fig. 3Z.

Mittelst ßollmstühien. Fig. 33 und 37.

Mittelst Pendeln. Fig. 33.

Durch Jsolirung ries Aufbaus non dem, den Verkehrsstössen oder anderen Erschütterungen aicsgeselAFuc Velerbarc. Mittelst elastischer ZcoisAienintttel f Ho 7/s, ZiF, Asphalt. J Mittelst loser ZmisAiermüttel sSand, Eies, Schotter /

Dürr// Dedi/eiion der Auflagestelle cuf eine stum/fe^ Schneide oder JZathnicihe. Fig. 37.

B. Anordnung der Acts baue on st nie f i o n nur Erhöhung ihrer /lauer.

I. Mittel me?' Sicherung der _Aifbui/covslruclion gegen plu/sihalische Einnnr/iiuigen Icrsc/iaa/ting oder i/Afoche. Fig. 33.

Fctunkencng der £uader in den untererm Schichten der Steinpfeiler.

Verschienung der 'ström aeefmäris gehehrten Sieiii/feile/seilen.

Zertheituug des Fis es dicrdc Eisbredier von TZoB oder Fis etc Fig. 3£ 43 und //

Fmgebimg des Aufbaus mit /fahlen bis oucr Jko chmass erhöhe,

71. Mittel ruft' Sicherung der Aufbauteonsirudien gegen chemische Einwirkungen.

Anstrich drr liölxrrtien und /Fernen Aifbaiiconstructioneii.

Co nsci virung des au dem Ais bau verwendeten Bolzes.

Anwendung weiter beständig er Steine für' steinerne> Aifbwuw>ensirunttoneri.

dem den Birkungen der Warme ausgesetzten Febcrb am.

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Fig. 31.

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Fig. 34.

Fig. 39.

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Fig. 40.

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./jiinrrkinigen < ad FYff.l. Z.B. Die Sii/OhDOieSu. rCOernaSi bei Trier. 2,ad. Fi,2. Z.B. Die SätrirrisduisU der Dorudm TeinpeL 3.,adM,J.Z.B. Die SaiCrmdui/U der Demanisckma. ßoOusehea^HOeru.Säulen. 4, ad fl,.4. ZS. (iwseiserae Stän, Brüelmjpd/e/i J.,ad IfyJ. ZB. ßodm’aduct belrCachea. &yad Figd.ÄB. ffiilBMhalriadact bei Mudunlaxlm Sadi-mi,. 7.,ad.Fi, 7. ZD. Ferspatmwi, Twher Vmfanysrruum-n in Venedig. S.,ad Fiyd.ZB.Säulenanker, debalkar/Ärn d. ad FicfJ, ZS. Englische.. Strandmerue/n. /C.ad IfydßZB.Stainecbriccke ü.d Themse in London. T/ad Fiff.FZ ZB. Vüiduct in der Män-Mser-Ealm über da, BosenOtal lei.Friedbo12.,ad Fi, // ZB.Vütcria* Fraducl dn- DurTuun-JiatcUon. -Sahn. 13. ad. Fl ff. 71 Z.B. Idaduct in B/.e„

die Strebepfeiler der Elisabeth ÄrrcTiC' tue Marburg. A7,ad Flg.22. Vgl.

Gor an

die Zf eil er des Aquaelucts vonBocpifJanour. die /fetter des Jiaduets über che Silier bei St. keilten.

tigheim 7f. ad. Ztg. ZG. ZB. /raduct bei Bie/felA. 73. ad.Fig. 29. ZB. Bei höteernen Brücke/pochen und FacTewerkswärideu /G/id. Zig27. kgl

Z3yad Zig.23.1 gl. u.a. die Böhrenpjeiler der Eisefiba/mbrüche über den AUier bei .Mentlins. 79ad. Fig. 27ZB. Eie Ff etter der Bangebrüske über die Bordogne bei lüteute. 2(?v ad-Fig. 23. Vgl.

2 7V ad. Fig. 23. Pfeiler des GruniUn lladiids in SüdAfflcs. 2fad. Fig. 33. ZB. Die Brücke in dnr Betersbicrg-MosrauA3ahn über den .Mstw. 23g d. Fig. 31. Vgl den St, Gemruuis-Fwduct in der Goruish -Bahn (SW Bumber A re cord qf l/t e wog ress of modern Engineering Bonden A333 p.43/ 24, ad. Feg. 32. ZB.Brücke dn der B7iduisc/ien-Ba/in über dieFa/ie bei Bingen . 23., ad Hg 33. ZB.Jfärtgebrücke bei CuEtac.' 2G.,ad, Mg. 3ö. I/ängetniic/e-c bet Seraing. 27, ad.Fig.3i.

• Z.73. Brüchen nach, dem Sgslern FJaudi. 23., ad. Zig.33. ZBFtteALeidienbachbrlicke über die Fsar irr Jsuncheir. 23./ad. Fig. 77. Zf b. die Bnidre über den Hemm bei Äoneno.

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Wring v. Aritiur Feiix in Leipzig

Lith. Anst.v:

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HEINZERLTNG, GRUNDSYSTEME DER UNTERBAU - C(INSTRUCTIONEN.

Taf. 7.

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Fig. 8.

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Fig.9.

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Fig. 13.

Fig. 14.

Tester Untergrund/. Fig. 15.

Fig.16.

Fig 17.

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IIEINZEPdllNC;, DIE (IRUNDSYSTEME DER UZTERBA1TC0NSTRtsCTIORER (GKÜNBBAUTEN, GRÜNDÜAGEN, irXDATIO.XENi IM BRÜCKEN

Begleitende Umstände. System Sh

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V. HOCHBAU.

Taf. 8.

G r un d h a n e o n s tr u c ti on e n .

Zug- oder BmrckvicJitung in dem Grundbau des Bauwerkes ist:

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A- Anordnung der Unterbotuconstruction I. Anordnung der 1/nierbatu onstructiori

Herstellung des statischen Gleichgewichts Vermeidung magreckt fortschreitender Bewegung. ai Anordnung der Untertanamst,ruciiom Kur directen Vermeidung wag recht fortschreitender Bewegung.

zur

Die Gründung sh asü ist zur Grundbau mit

Senhre eitler/ g eitrig t/

zur

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Fester Baugrund lFelsen, Steingrund, Fies, geschlossener Beend, trockner Thort/ trockn er BelnnJ in erreichbare!* Tiefe

Fester OB ergründ in einer Tiefe bis zu 3”ltr

Fe s t er Fn tergrün d in einer Tiefe vorn 3 bis 2072

B a ii g r ii ii d .

(Ha ss er Th o n, nasser Be lim, Hurn u s, Torf*, aufgefüllter Grund, Bauscliutt, Moor etc).

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Termeidung loaejrecht fortschreitender Beugung normal

zur Zug oder Dntckrichtung. wagreehter Gründungsbasis tu fehlendere Hwizoritcdkrüfiei/ (HorüurrOulschubmf. Mg. I.

Grundbau mit geneigter, Zur BriiekrieJitujig normaler Gründungsbasis. Fig. 2 und' 3.

k, Anordnung der Unterbaueoristmctiom zur mdiredeu Vermeidung magredit fortsch/rätender Bewegung Bie Gründungsbasis ist nicht normal/ zur Zug - oder* Dvuclaichtung

Grundbau mit höchstens um

cUrv ReUrungswinkeb von der zier Zug -- oder Bmckrichtung

Formalen/ abweichenden Gründungsbasis. Mg. 4.

Grundhau mit gegen Verschiebung durch Ihre Forme geschützter Gründung sbasis.

Uy mit gebrochener Gründiuigsbasis. Fig. 3. fv mit stufenförmiger* Giiindiuigsbasis Fig. G. V mit gezahnter• Gründung sh asis. Fig. 7, 3f 0.

U. Anordnung der' lüiteibauwnstrucium

Die/

zur Temieidzmg drehender* Bewegung.

Vergrößerung des StabilitätsmuTumts durch Verlängerung des Hebelsarms, der auf ftaMiteit mühenden Fräse verbreitert. Mg. 10.

Grürtdzutgsbasis ist zur*

Die Gründungsbasis ist weg ein Tänzugetretner Verankerung oder Verstreb urig der Aufbceucoristructiau nickt

verbiestert Mig. 1/ u. 12.

The Gründung sbasis ist

Verwilderung des Umstunxnzonierits durch Verkürzung des Hebetsanns der auf Umsturz/ wirkendem Fräste geneigt. Fig. 13.

zur

Hl Anordnung der Fnterluuironstriiction Gründungsbasis ohne Verbreitern/ig bet absolut festem/ Baugrund. Fig. 14-.

zur

Vermeidlag lothrecht fortschreitender Bewegung.

Gründungsbasis mit müßiger Verbreiterung Terhreilerurig der Gründungsbasis durch/ Jfauereil salze. Fig. ZF Verbreiterung der Gründung sbasis durch hegendem Rost. Fig. IG. Tärhmtenaig der Gründungsbasis durch Betonlage: Mg. 17.

zur

Vergrößerung der tragenden Fläche des Baugrundes.

Febertragung der ßanlast durch den unfesten/ Obergrund auf den fest Bürde steinerne/ Pfeiler (Fn/pfater, Grundpfeiler l Mg. 13.

Durch steinerne Pahren (ScnJTiruririemJ vom hölzernem/ Schling. Fig /9.

rgcsdi/tuthfe Ifü/i/r (PchmubenpfühM / Mg. 20.

Durch eisern e, ohne/ oder mit Hü lf e

twkle eiserrce RostpfahleJ. Mg. 27 m. 22 JJurcti/ hölzerne/ Pfdhlr (Pfalilrosty). Mg. 23.

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Fig. 22.¹*/

müdem/ oder rechteckigem Querschnitt mit eisernem oder

veidiumter oder zmrüeiitelee Fuß versenkte Röhren/ (Bmkröhieti,

Fig 25.

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Fig 24.

Fig. 26.

b.

Verbesserung des Dcatgrunds durch/

Mrsaiz des urfestem Baugrunds durdn festen/ Baugrund (Fies, fand J Mg. 24.

Dichtung (üziugression ) des unfesten/ Bangrunds nä/idst :

n.f Fullpfahlen/ (unter dem/ niedrigsten/ Wasserstund / Mig. 2iF

ß.y dteiusdiilen s über und unter dem niedrigsten/ Wasserstand). Mig. 20.

7/ dtemsehutUefi/, im mehren/ wagrcchim lagen/ festgerammt (Rol/sehulUem / Fig. 27. Hntmässemng des Baugrunds (x. B nasser Mion und LehnisckieJitezt J.

Bewässerung des Baugrunds (z, B. loset au/geschüttetem Randes / Ausgedehnte/ Verbreiieizuig der Gritndungsbasis mittelst:

Fmg Geehrter, zwischen/ die Dosis vom

SehrneUrosl. Fig. 22.

Rand oder Bteatsdüittungai Fig. 30 w. 31.

Wdnden/ und If eilenu eingespannter Gewölbe/. Fig. 23.

/:

Erzeugung hinlänglicher Seitenreibung durch/:

Senkbrurmem. Fig 32 .

Fuigeranurite Hohpseihte. Fig. 33.

Sccndpfühle: Fig. 34.

Tufbiym der Grundany/.duusw des debäud™ nt der meiCrn^ 1/jdmmasse bis zum, Tiuilntt des Schwimmens.

Fig: 27.^

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Fig 28.

Fig 30.¹⁶>

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Fig. 33

Fig. 29:JV

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Fig 35.

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Fig 36.

~v 0 ll:

Gegenwart

Wasser in flüssigenv und bewegtem Zustande

B. Anordnung der Fiiterbuucoristructiou Zur

Frfi öku Tig Ihrer Bauer. Sirhcmng da‘ Uu terbaucoiistructiori gegen> phi/sikalische Minmirfanigen/ Steümruf xzc/m Sdiutze ggen Fnterspülimg des (Iriuidbemrs. Fig. 3d.

Schutze/ gegen Untei'spülung des Grwndbanes. Fig. 30. Sdiiitze g<gem Fnterspühcng des Grundbaues. Fig. 37 Fasdünendeckwcjk/ Zum Schutze gegen Unterspulu/ig des Grundbaues. Fig 33. Stempßastet' z uns dien /feilen und / Spundwand Fig. 30.

I Mittel

zur* c

Hölzerne Spundwand/ zu/m

Eiserne Spundwand zum/

Sturzbett zur Bfestigung der* Flusssohle H. Dt Utes

am

den/ JfeiledfiiJidarnaite/i/ Mg. 40.

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Fig.37.¹⁹⁷^

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Fig 381°¹

Wässer alsBisbit der; Wasser Kluft.

zur Sicherung der* Uuterbauconslruciion gegen chemische Einenükun Besiegen der* Gründurgsbasis uw mindestens 0f VF^urUer' dze Frdobefläche.

In

HTa ssei'

und host.

gen/

Schutze gigen, Jermitterung. Fig.41

unter dem niedrigstem Wasserstände zum/ Schulze gegen/ MiuZnifs.

Schutz des Misens ggem Oocgdatürm durch gut unterhaltenen/ Anstrich

Verwendung des Holzes

nur

Schutz der• taickha Itketrtu gigen. Oggdatiern durch muss,

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Fig. 39.

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erdzActeu Abschüße du VuamkmaigsscluiAite/

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Fig.40MI

Arm erhingen, fad Fig. 2. Teryb. ma, De Cascadebrücke bei lanesborv auf der Fav -York-Frle Rahm: 2.y udFzg, 3. Z.D. Mrglisdu/ Fictterumd Iftalrrucue 3 Vogl. u.a. die Staüiesbräcke über die Themse. 3, ad Mg. 6. Vergl.

Fig. d Vergl.

3., a&Fü/. 4-, T/ryb.u.a,. die, lajidpseOa' der JVov-Imd/ms-lrLclye, über' die Themse/ ine Imuhm 4, ad F/yj. mZawt über dü Maas fi, adFiy. 7. leryl. u. a, üij>l\laide7iJimdBmöl-e in der Geest-We.trrn -Fajav baMMread 7,UFuj.;i Ys^.u,. w. die, C/uairnj-Gross

- .    ₇. „    ^r di, n^e. „rlondmu    7Ö, adFfy. ZO. Yen/l. u,. a,. die Fräcke am. Molo xu. Cmcrhmm, - Wexford. dl., ad Fia./Z. Yeryl u.a. die Brückte Hier die

l IT    "    anfl^ea ur der    und d/Briuikr, Hier d*n, GreatFee -Fee, in, den,- Ter. St. vMriUan*#*/. /₄ ad, Füj. Z3 Teryl. wo, die Frürke über die Feuu,

n,adty.Z7.rVlu «JhndoMXe.drJInU**    fff., adFry. 30. Grundbau von, Gcbäudeie in, FmjilavLch, uy Surinam. fZ ad MaM

leyl, ^    ^    zu, CuU.ouyy. /₄    ^ %/.. - &    urrJrsenUr,    yfy    Yayl. ie. a. densGrrujidiau, der Warfmüister u, (FidsSay -JSrüdze über dir 77umse, in.Londm. ,20., adFüy. ZS. Vergl ua den. (fidbau

unter der du*,udye,u Jhudee, uter di, Isar ^EnsOye,, M, adMy.30. FeryFu. * ..dm, SnvuUau, Vuuhuts ÜFer d^    Z2,,adFiy.OO. Veryl das Stwrzbetty der Brücke über daiy/LUzer dehJVhmliiu. Z2., D/MsenOieOe der Fundamente,

Idietseabrüdce im Zondoii/ z. D. wurden, vorher erwärmt/ und mit heißem, Theer^ überzogen/ 24y DüAulurschttehte de/- HiingbriLcke

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Verlag v. Arthur Felix in Leipzig.

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über deu SaeoteOetl bei/reibmy wurdet- auuyemazcert-, der PatUeUmwnsbriidte in. Mentbiury mit Wachs iaisyt/ullt.

Lith. Anst. Ar Steinmetz & BornemaniL Heissen.

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