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H. F. B. MÜLLER-BRESLAü

GRAPHISCHE STATIK DER

BAÜKMSTRUKTIONEN.

DIE

GRAPHISCHE STATIK

DER

BAUKONSTRUKTIONEN

VON

HEINRICH P. B. MÜLLER-BRESLAU,

GEH. BEGIERUNGSRATH UND BROEESSOR AN DEB KGL. TECHNISCHEN HOCHSCHULE

IN BERLIN.

Dritte wesentlich vermehrte Auflage.

Band I.

Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte in der Ebene. — Trägheitsmomente und Centrifugalmomente ebener Querschnitte; Spannungen in geraden Stäben. — Theorie der statisch bestimmten Träger mit Ausschluss der Untersuchung der Formänderungen.

Mit 541 Textfiguren und 7 lithograph. Tafeln.

LEIPZIG,

Baumgärtner’s Buchhandlung.

1901.

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KRAKOW

Akc. Nr. ...

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Vorwort.

Die vorige Auflage dieses ersten Bandes meiner Graphischen Statik der Baukonstruktionen erschien 1887; sie war inzwischen durch zwei unvei’änderte Neudrucke ergänzt worden und hatte schliesslich länger als ein Jahr auf dem Büchermärkte ganz gefehlt, weil die Umarbeitung einiger Abschnitte mehr Zeit in Anspruch genommen hat, als sich vorher übersehen liess.

In der neuen, dritten Auflage ist der erste, die wichtigsten Sätze über das Kräftepolygon und das Seilpolygon enthaltende Abschnitt un-geändert geblieben, die Abschnitte II und III, die von den Trägheitsmomenten und Centrifugalmomenten und den Normalspannungen a in geraden Stäben handeln, sind wesentlich erweitert worden. Besonderer Werth wurde auf Gewinnung einfacher Formeln gelegt, welche die Berechnung der Spannungen a und die Bestimmung des Kerns ohne Zuhilfenahme der Hauptachsen und Hauptträgheitsmomente gestatten. Ueber die Schubspannungen in Folge einer durch den Schwerpunkt des Querschnitts gehenden Querkraft ist nur das nöthigste mitgetheilt worden; auf die Drehungsfestigkeit wurde gar nicht eingegangen. In beiden Fällen liegen Aufgaben der Festigkeitslehre vor, die auf eine Integration partieller Differentialgleichungen mit meistens ausserordentlich schwierigen Grenzbedingungen führen und deshalb nicht in den Bahmen dieses Buches passen.

Den Hauptinhalt des vorliegenden Bandes bildet die Theorie der statisch bestimmten ebenen Träger, bei deren Ausarbeitung die grösste Vollständigkeit und grösste Einfachheit angestrebt worden ist. Von der vorigen Auflage bin ich insofern abgewichen, als ich diesmal die allgemeine Theorie des Fachwerks an den Schluss gestellt habe. So einfach die Aufgaben dieser Theorie auch immer sein mögen, sie bieten erfahrungsgemäss dem Anfänger — und an solche wendet sich dieser erste Band — stets Schwierigkeiten, und da schliesslich das Endziel dieser allgemeinen Untersuchungen die planmässige Zurückführung schwierigerer Fälle auf leichtere ist, so erschien es mir am zweck-mässigsten, mit den einfacheren Aufgaben zu beginnen und die umfangreiche, die Mehrzahl der Anwendungen umfassende Theorie des Dreiecksystems voranzustellen.

Hinsichtlich der Aufgaben über die Berechnung von Eisenbahnbrücken verweise ich besonders auf die während der Drucklegung dieses Buches erschienenen und im Nachtrage mitgetheilten neuen Belastungsvorschläge und auf das auf Seite 121 gesagte. Auch bemerke ich zu den aus der vorigen Auflage übernommenen Beispielen, dass die ausführliche Theorie der Brückenträger mit Gegendiagonalen noch nicht entbehrt werden kann, trotzdem neuerdings Träger mit steifen Diagonalen bevorzugt werden; allein die Umrechnung der älteren Brücken für die erheblich gestiegene Verkehrsbelastung verlangt ein Eingehen auf die Wirkungsweise der Gegendiagonalen.

Grunewald bei Berlin, den 15. März 1901.

H. Müller-Breslau.

Inhalt.

Seite

Einleitung

I. Abschnitt.

Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften. Statische Momente.

§ 1. Zusammensetzung der Kräfte in der Ebene. Gleichgewichtsbedingungen . . .

§    2. Zerlegung der Kräfte in der Ebene..................

§ 3. Von den statischen Momenten der Kräfte...............

§ 4. Zusammensetzung der Kräfte im Baume................

II. Abschnitt.

Höhere Momente paralleler, in derselben Ebene wirkender Kräfte. Trägheitsmomente und Centrifugalmomente ebener Querschnitte.

§ 5. Höhere Momente paralleler Kräfte...................

§ 6. Trägheitsmomente und Centrifugalmomente ebener Querschnitte.......

§ 7. Beziehungen zwischen den Trägheitsmomenten und Centrifugalmomenten für Achsen,

welche durch einen und denselben Punkt gehen..............

§ 8. Die Trägheitsellipse.........................

23

26

44

53

III. Abschnitt.

Spannungen in geraden Stäben.

§ 9. Die Normalspannungen...................

§ 10. Der Kern des Querschnittes.................

§ 11. Drackbelastung ausserhalb des Kerns bei Ausschluss von Zugfestigkeit § 12. Schubspannungen und Hauptspannungen............

IV. Abschnitt.

Einleitung in die Theorie der ebenen Träger.

§ 13. Allgemeines über die äusseren Kräfte.............

§ 14. Allgemeines über Einflusslinien................

OOO-lQt

^CDCOV

109

115

Y. Abschnitt.

Querkräfte und Angriffsmomente für den einfachen Balken.

CO «O    OO    co    r-

<M <M    <M    CO    »o

vH vH    vH    vH    vH

§ 15. Ständige, unmittelbar wirkende Belastung................

§ 16. Ständige mittelbare Belastung.....................

§ 17. Einflusslinien. Grenzwerthe von Q und M bei gleichförmiger ständiger und beweglicher Belastung...........................

§ 18. Die veränderliche Belastung besteht aus einem verschiebbaren Systeme von Einzellasten .....................•..........

§ 19. Yerwerthung der Einflusslinien des einfachen Balkens............

VI. Abschnitt.

Querkräfte und Momente für den Gerber’schen Balken.

159

§ 20. Beliebige ständige Belastung........ .............

172

§ 21. Einflusslinien. Belastung durch ein verschiebbares System von Einzellasten . . . 164 § 22. G-leichmässige Belastung

VII. Abschnitt.

Der vollwandige Bogen mit drei Gelenken.

176

§ 23. Belastung durch beliebig gerichtete Kräfte.........

§ 24. Belastung durch senkrechte Kräfte............

VIII. Abschnitt.

Einleitung in'die Theorie des ebenen Fachwerks.

§ 25. Erklärungen und Voraussetzungen...................

§ 26. Bestimmung der Spannkräfte im Dreiecknetze nach den Verfahren von Culmann

und Bitter.............................

§ 27. Die Kräftepläne Cremona’s ......................

§ 28. Einfluss von Kräften, welche nicht in den Knotenpunkten angreifen......

§ 29. Kräftepläne für Polonceau-Träger, in Verbindung mit einigen allgemeineren Untersuchungen .............................

Seite

208

210

213

222

227

IX. Abschnitt.

Der einfache Fachwerkbalken.

§ 30. Die ungünstige Belastungsweise. Einflusslinien...............

§31. Spannkräfte in den Gurtungen....................

§ 32. Spannkräfte in den Eüllungsstäben..................

§ 33. Das Zimmermann’sche Verfahren...................

§ 34. Fachwerkträger mit Gegendiagonalen.................

§ 35. Gleichmässig belastete Parabelträger mit Gegendiagonalen..... ...    .

§ 36. Kräfteplan für einen Parallelträger (Eisenbahnbrücke)...........

§ 37. Kräfteplan für einen Fischbauchträger (Eisenbahnbrücke)..........

§ 38. Kräfteplan für einen Halbparabelträger (Eisenbahnbrücke) und Entwickelung einiger

allgemeiner Formeln.......................

§ 39. Ueber die Berechnung von Dachbindern................

234

243

248

2)1

273

291

300

305

301

329

X. Abschnitt.

Der Gerber’sche Fachwerkbalken.

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M“r9

Einflusslinien..................

Kräfteplan für eine Eisenbahnbrücke mit Gerber’schen Balken Gerber’scher Fachwerkbalken mit Gelenkvierecken .... Gerber’scher Balken mit Hängegurtung .........

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XI.    Abschnitt.

Der Fachwerkbogen mit drei Gelenken.

Anwendung der Verfahren von Culmann und Ritter .    .    . ........

Belastung durch senkrecht gerichtete Kräfte.............

Zahlenbeispiel. Einflusslinien für einen Bogenträger von 30 m Stützweite .    .    .    383

XII.    Abschnitt.

Statisch bestimmte Hängebrücken nnd Gelenkbögen, versteift durch Balken.

. 366

371

§ 47. Hängebrücken, deren Hauptträger aus einfachen Dreiecknetzen bestehen ....    389

§ 48. Kette, versteift durch einen Baiken................

§ 49. Gelenkbogen, versteift durch einen Balken.............

§ 50. Verwerthung der Kettenlinie zur Linienführung der Gurtungen......

XIII. Abschnitt.

Allgemeine Theorie des statisch bestimmten ebenen Fachwerks.

§51. Analytische Untersuchung....................

§ 52. Kinematische Theorie des Fachwerks...............

§ 53. Aufgaben über mehrtheilige Fachwerkbalken.............

404

422

427

OÔ kO iH COiOO

Nachtrag.

I. Neue Belastungsvorschläge für Eisenbahnbrücken.....

II. Neue Belastungsvorschriften für die preussischen Staatsbahnen

III.    Zahlenbeispiele für die Benutzung der Tabellen......

IV.    Zusammenstellung verschiedener Gewichtsvertheilungen für Lokomotiven und Tender 550

536

538

542

Literatur.

Literatur zu den Abschnitten I, II und III.................

Literatur zu den Abschnitten IV bis XIII, enthaltend die Theorie der statisch bestimmten ebenen Träger ..........................

552

Einleitung.

Die graphische Statik lehrt die Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte auf geometrischem Wege und entwickelt in gleicher Art die Bedingungen, unter denen sich die auf einen Körper wirkenden Kräfte im Gleichgewichte befinden. Auch führt sie andere Aufgaben, z. B. die Ermittelung von Schwerpunkten und Trägheitsmomenten, die Bestimmung der Formänderungen fester Körper, auf Aufgaben über Kräfte zurück, wobei sie vielfach an analytische Untersuchungen anknüpft und diese auf zeichnerischem Wege zu Ende führt oder deren Ergebnisse geometrisch deutet.

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Fig. 1 u. 2.

Die Grösse und Lage einer Kraft wird in der graphischen Statik durch die Länge und Lage einer geraden Linie dargestellt. Eine Kraft ist der Lage nach bekannt, sobald ihre Richtung und ein Punkt, durch welchen diese Richtung geht, gegeben ist; ihre unzweideutige Bestimmung erfordert ferner die Hervorhebung des Sinnes, in welchem sie in der angegebenen Richtung wirkt. Dies geschieht am übersichtlichsten durch einen Pfeil, oder, falls die Kraft bei der Beschreibung einer Figur mittels der Zeichen ihres Anfangspunktes und Endpunktes angedeutet werden soll, durch die Aufeinanderfolge dieser Zeichen im Sinne der Kraft. Man sagt: Die Kraft P in Fig. 1 wird durch die Strecke ab dargestellt, weil sie von a nach b wfirkt, und die Kraft P in Fig. 2 durch die Strecke ba, weil sie von b nach a wirkt.

Die graphische Darstellung der an einem Körper angreifenden Kräfte nennt man einen Kräfteplan. Die Aufzeichnung eines solchen setzt die Bildung eines Kräftemaassstabes voraus. In der Regel werden

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

wir festsetzen, dass einer Strecke von 1

mm

Kraft von m Kilogrammen

1000

z. B. in einem im Maassstabe 10 plane durch eine Strecke von 62 gestellt wird.

Länge die Grösse einer m

Tonnen gleichwerthig ist, so dass

= 2000h = 2* gezeichneten Kräfte-Länge eine Kraft von 12,4* dar-

mm

mm

I. Abschnitt.

Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften. Statische Momente.

§ i.

Zusammensetzung- der Kräfte in der Ebene. Gfleicligewiclitsbedingungen.

1. Zusammensetzung von zwei Kräften. Greifen an einem Punkte a zwei Kräfte P, und P₂ an, deren Richtungen und Grössen durch die Richtungen und die Längen der Strecken ab und ad dargestellt sind (Fig. 3 a), so ist bekanntlich ihre Mittelkraft R gleich der Diagonale ac des über ihnen beschriebenen Parallélogrammes abcd. Man erhält aber auch R, indem man die beiden gegebenen Kräfte P₄ und P₂ nach Grösse, Richtung und Sinn aneinander setzt, entweder in der Reihenfolge P₂, P₁ (Fig- 3 b) oder in der Reihenfolge Plf P₂ (Fig. 3 c), und

cv

a>

Cts

fp

Fig. 3 a, b u. c.

den Anfangspunkt a des so erhaltenen Kräftezuges mit dessen End-punkte c durch die Gerade ac verbindet. Die Dreiecke ade und abc nennt man Kräftedreiecke.

Umgekehrt lässt sich eine Kraft R mit Hilfe des Kräfteparallelogrammes (bez. eines Kräftedreiecks) in zwei Seitenkräfte P₁ und P₂, deren Richtungen gegeben sind, und -welche R in demselben Punkte a schneiden, eindeutig zerlegen.

einer Mittelkraft R vereinigt

2. Zusammensetzung beliebiger Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkte. Fig. 4 a und b. Sollen mehrere an demselben Punkte a angreifende Kräfte Plt P₂, P₃, P₄ zu werden, so setzt man (am zweckmässigsten in einer besonderen Figur)

Px und P₂^mittels des Kräftedreiecks abc zu der Mittelkraft R sammen, hierauf R zur R

1-2

zu-

1—2

1-4

= R.

mit P₃ zur Rx_₃ und diese schliesslich mit P₄

b,

»X /

.-><2

■p

a kr

1-a

R.

Kg. 4 a u. b.

Zu demselben Ergebnisse gelangt man, wenn man P₄, P₂, P₃, P4 nach Grösse, Richtung und Sinn zu dem Kräftezuge abc de aneinander reiht und hierauf den Anfangspunkt a und den Endpunkt e desselben durch die Gerade ae = R verbindet.

Man sagt auch: Die Mittelkraft ae = R unterspannt den aus den Kräften Plf P₂, P₃, P₄ gebildeten Kräftezug abc de.

Die Reihenfolge, in welcher die Kräfte P miteinander zusammengesetzt werden, ist gleichgültig ; denn es wurde vorhin gezeigt, dass man die Mittelkraft zweier Kräfte P₁ und P₂ durch Unterspannen sowohl des Kräftezuges P₂ Px (Fig. 3 b) als auch des Zuges P₄ P₂ (Fig. 3 c) erhalten kann. Durch wiederholte Vertauschung von zwei aufeinander folgenden Kräften lässt sich aber aus dei; einen Reihenfolge beliebiger Kräfte jede andere Reihenfolge ableiten.

3. Gleichgewicht von Kräften mit gemeinsamem Angriffspunkte. Lassen sich Kräfte Px, P₂, P₃, P₄, P₅, welche an demselben

Kg. 5 a u. b.

Punkte a angreifen (Fig. 5 a) nach Grösse, Richtung und Sinn zu einem geschlossenen Kräftepolygone (Fig. 5b) aneinanderreihen, so ist ihre

Mittelkraft = 0. Es sind dann die Kräfte P mit einander im Gleichgewicht. Projicirt man das Kräftepolygon auf irgend eine Gerade LL und denkt jede der Kräfte P in eine Seitenkraft parallel zu LL und eine lothrecht zu LL zerlegt, so findet man, dass die Summe der nach der Richtung LL gebildeten Seitenkräfte, d. i. die Summe der Projektionen der Kräfte P auf die Gerade LL gleich Null ist.

Hervorzuheben ist, dass ein Kräftepolygon nur dann geschlossen heisst, wenn sich in demselben nie zwei Pfeile begegnen, wenn man also das Polygon, den Pfeilen folgend, ohne Unterbrechung umfahren kann.

Man sagt auch: Das Kräftepolygon in Fig. 5b besitzt einen stetigen Umfahrungssinn, während das Kräftepolygon in Fig. 4 b durch den Pfeil der Kraft R unstetig wird.

Kehrt man in einem geschlossenen Kräftepolygone den Sinn irgend einer Kraft um, so wird diese Kraft zur Mittelkraft aus allen übrigen.

4. Zusammensetzung von Kräften mit beliebigen Angriffspunkten. Wird die Mittelkraft R von Kräften P₁₍ P₂, P₃, P₄.....

zusammen. Hier-

-2

gesucht, welche nicht an demselben Punkte angreifen, so denke man Px und P₂ in ihren Richtungen so weit verschoben, dass ihr Schnittpunkt gemeinsamer Angriffspunkt wird, und setze sie dann zur Kraft Pi

\A

mit P₃ zur R₁

-2

-3 ’

auf vereinige man in gleicherweise Pi

diese letztere Kraft mit P₄ zur

Pi-4 u- s- £

fi

Dabei empfiehlt es sich, die Grössen und Richtungen der Kräfte P in einer besonderen Figur zu bestimmen.

In Fig. 6 ist die Zusammensetzung der Kräfte P₁, P₂, P₃,

>D

/R

P₄, P₅ auf die beschriebene Weise ausgeführt worden. Nach Aneinanderreihung derselben zu dem stetigen Kräftezuge ahcdef ergaben sich (nach Grösse und Richtung) die Mittelkräfte ac = P₄—2 »    ⁼⁼ Pi—3 î

Fig. 6.

a<? = Pi_₄; af = R₁_₅ — R.

Nun wurde durch den Schnittpunkt A von Pj und P₂ eine Parallele zur Pi_₂ gezogen, welche P3 in B schneidet, von hier aus eine Parallele zur Pj_₃ bis zu ihrem

Schnittpunkt C mit P₄, sodann von C aus eine Parallele zur Pj_₄, welche P₅ in D trifft, und schliesslich die Gerade DE||P₁_₅. Es liegt dann die Bl_₂ in der Geraden AB, die P₄_₃ in der BC, die Pj_₄ in der CD und die P₄_₅ in der Geraden DE. Das Polygon ABCDE heisst ein Mittelkraftspolygon der Kräfte I\, P₂, P₃, P4; P₅. Da man die Ordnung, in der die gegebenen Kräfte miteinander zu-zammengesetzt werden, verschiedenartig wählen kann, ist man im Stande, verschiedene Mittelkraftspolygone zu zeichnen. Die letzten Seiten aller dieser Polygone decken sich, denn die Lage von Rj_₅ ist unabhängig von der Wahl jener Ordnung.

Um dies zu beweisen, genügt es, darzuthun, dass die Aenderung der Reihenfolge von zwei Kräften P„ und P„₊₁ ohne Einfluss auf die Lage von R ist, weil durch die Wiederholung einer solchen Aenderung aus der einen Reihenfolge jede andere abgeleitet werden kann.

Wird die Mittelkraft R' der Kräfte P₁ bis P„_! zuerst mit P„ zur Kraft Q' (Fig. 7) und hierauf mit P„₊₁ zur R" zusammengesetzt, so

ergiebt sich das Mittelkraftspolygon ABE, in welchem AB de ist. Vereinigt man hingegen R' zuerst mit zur Q" und hierauf Q" mit P„ zur R", so muss man die Kraft R' soweit verlängern, bis sie P„+1 in C schneidet, von C aus eine Parallele zur Q" ziehen, welche P„ in D trifft und schliesslich von D aus eine Parallele zur R". Diese fällt aber mit der vorhin gefundenen R" zusammen, weil in den beiden Vierecken AB CD und ab cd fünf entsprechende Seiten einander parallel sind, nämlich AB\\dc, BC\\lc DA da, AC ac, un

R’

Ir"

Fig. 7.

Pn

+i

o, -

CD ba

in

dessen auch DB db ist.

Schneiden sich die Kräfte unter sehr spitzen Winkeln, womöglich ausserhalb des Zeichenblattes, so ist das beschriebene Verfahren zur Bestimmung von R unzweckmässig; dasselbe wird unbrauchbar, sobald sämmtliche Kräfte parallel sind. Es soll deshalb noch ein zweites allgemeineres Verfahren entwickelt und zunächst die Aufgabe gelöst werden:

Gegeben sind die Kräfte P₁, P₂, P₃, P₄ (Fig. 8 a), welche nicht an demselben Punkte angreifen und auch parallel sein können; gesucht ist die Grösse und die Lage derjenigen Kraft R, die zur Herstellung des Gleichgewichts hinzugefügt werden muss.

Zuerst werden die Kräfte Px, P₂, P3; P₄ zu dem Kräftezuge abcde (Fig. 8b) aneinandergereiht und dieser durch die Gerade ea geschlossen. Es ist dann ea nach Grösse, Richtung und Sinn = E. Um die Lage von E in Fig. 8 a zu bestimmen, wird die Kraft P₄ durch zwei beliebig gerichtete Kräfte I und II, deren Angriffspunkt A in der Richtung von P₄ willkürlich gewählt werden darf, aufgehoben. Die Grössen von I und II werden im Kräfteplane (Fig. 8 b) durch Ziehen

II

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ja

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Fig. 8 a u. b.

der Parallelen aO und bO zu den angenommenen Richtungen von I und II erhalten. Ihren Sinn findet man, indem man die Seiten des Kräftedreiecks abO so mit Pfeilen versieht, dass der durch den Pfeil der Kraft Pl vorgeschriebene Umfahrungssinn desselben ein stetiger ist. Man erhält: Kraft 1 = Strecke Oa und Kraft II = Strecke bO.

Im Schnittpunkte B der beiden Kräfte II und P₂ wird erstere durch eine entgegengesetzt gerichtete, gleich grosse Kraft aufgehoben, worauf durch Hinzufügen der durch die Linie cO des Kräfteplanes nach Grösse, Richtung und Sinn gegebenen Kraft III am Punkte B Gleichgewicht hergestellt wird. Ebenso wird am Punkte C nach Aufheben von III durch Hinzufügen von IV = dO und am Punkte D nach Aufheben von IV durch Hinzufügen von V = e 0 Gleichgewicht erzielt.

Nachdem schliesslich noch im Schnittpunkte E von I und V diese Kräfte durch gleich grosse und entgegengesetzt gerichtete Kräfte getilgt worden sind, wird durch die Kraft E = ea das Gleichgewicht auch an dem Punkte E hergestellt.

Da nun an jedem der Punkte A, B, C, D, E drei im Gleichgewichte befindliche Kräfte angreifen und die Kräfte /, II, III, IV und V sich paarweise aufheben, ist E mit den Kräften P₁, P₂, P₃ und P4 im Gleichgewichte.

Das Polygon ABCDEA kann man als die Mittellinie eines Seiles betrachten, an welchem die Kräfte Px, P₂, P₃, P₄ und R angreifen, und in dessen Seiten die Spannkräfte (Seilkräfte) I, 11, 111, IV, V entstehen. Deshalb nennt man ABCDEA ein Seüpolygon oder auch ein Gelenkpolygon. Die erste gebräuchlichere Bezeichnung ist allerdings weniger zutreffend, da, falls die in Fig. 8a angenommenen Kräfte Px, P₂, P₃, P₄ und R sämmtlich umgekehrt werden, in den Polygonseiten Drücke entstehen, und an Stelle des Seiles ein aus druckwiderstands-fähigen Stäben bestehendes Polygon zu denken ist. Die Linien Oa, Ob ... im Kräfteplane Fig, 8 b heissen Seilstrahlen. Den Punkt 0 nennt man den Pol und das Loth vom Pole auf irgend eine Kraft die Pol-iveite dieser Kraft.

Im Anschluss an diese Benennungen ergiebt sich für die Bestimmung der Kraft R die Regel:

Nach Aufzeichnung des Kräftepolygons abcdea, welches die Grösse und die Richtung der Kraft R liefert, wähle man einen beliebigen Pol 0, ziehe die Seilstrahlen I, II, III . . . und zeichne durch einen beliebigen Punkt (z. B. den Punkt A der Kraft Px) ein Seilpolygon. Die Seiten desselben sind parallel den Seilstrahlen, und es müssen sich zwei Seilpolygonseiten stets mit derjenigen Kraft P in einem Punkte schneiden, welche mit den zugeordneten Seilstrahlen ein Dreieck bildet. Durch den Schnittpunkt der ersten und letzten Polygonseite geht die Kraft R.

Die erste und letzte Seilpolygonseite nennen wir in der Folge die äussersten Seiten für die fragliche Gruppe von Kräften. So sind z. B. II und IV die beiden äussersten Seiten für die Gruppe (P₂, P₃).

Ist die Aufgabe gestellt, die Kräfte Px, P₂, P₃ und P₄ zu einer Mittelkraft zu vereinigen, so hat man nur nöthig, die das Gleichgewicht herstellende Kraft R durch eine gleich grosse, entgegengesetzt wirkende zu ersetzen.

Zur Fig. 6 bemerken wir nachträglich, dass das Mittelkraftspolygon ABC DE als ein Seilpolygon anzusehen ist, dessen Pol mit dem Anfangspunkte a des Kräftezuges abcdef zusammenfällt. Den Begriff Mittelkraftspolygon aber erweitern wir noch, indem wir ihn auf jedes Seilpolygon ausdehnen, dessen Pol irgend ein Eckpunkt des Kräftepolygons ist. Die vom Pole aus gezogenen Strahlen sind in diesem Falle Seiten des Kräftepolygons oder die Mittelkräfte der durch sie unterspannten gegebenen Kräfte.

5. Beziehung zwischen zwei Seilpolygonen, die aus verschiedenen Polen zu denselben Kräften gezeichnet werden.

Fig. 9 a u. 9 b. Sind I, II, .. . die vom Pole 0 aus gezogenen Seilstrahlen und I', II, ... die zum Pole 0' gehörigen, und bringt man die entsprechenden Seilpolygonseiten, nämlich I und T, ferner II und II' u. s. w. mit einander zum Schnitt, so liegen alle diese Schnittpunkte auf einer Geraden, welche der Verbindungslinie 00' der beiden Pole parallel ist. Denn in den beiden Vierecken AB00' und&abcd sind 5 entsprechende Seiten einander parallel, nämlich ad || AO', bc || BO, de [| AB, ac || AO und db || O B. Es Ebenso folgt, dass be || 0'0 und ia || 0 0 ist, dass also die Punkte iabe auf einer zur 00' parallelen Geraden liegen.

mithin auch ab || 0 0 sein.

muss

Ein zweiter Beweis ist der folgende. Die Kraft P₂ (Fig- 9 b) ist sowohl im Gleichgewichte mit den beiden Kräften O'A = II und

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Fig. 9 a u. b.

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BO' — IIÏ, als auch mit den beiden Kräften OA = Il und BO = III, und es müssen sich daher die 4 Kräfte O'A, BO', —OAj== AO, — BO = 0B das Gleichgewicht halten. Die Mittelkraft aus O A = II und ÄLÖ = II geht in Fig. 9a durch den Schnittpunkt a der Seil-polygonseiten II und II, und die Mittelkraft aus O B —¹ III und B 0' = IIl' geht durch den Punkt b. Beide Mittelkräfte sind parallel Geraden 00 -, sie müssen sich gegenseitig tilgen, und dies ist nur möglich, wenn die Gerade ab || 00' ist. In gleicher Weise kann schliessen, dass ia ]| 00 und be [| 00 sein muss.

6. Eine unendlich ferne, unendlich kleine Kraft als Mittelkraft endlicher Kräfte. Das Kräftepaar. Entspricht den Kräften P1? P₂, P₃ und P₄ (Fig. 10) ein geschlossenes Kräftepolygon, so ist die Mittelkraft gleich Null. Das mit dem Pole 0 gezeichnete Seilpolygon AB CD wird sich im Allgemeinen nicht schliessen. Denkt man dann in den Punkten A, B; C, D die Seilkräfte thätig, so wird Gleichgewicht herrschen, da an jedem dieser Punkte drei miteinander im Gleichgewichte befindliche Kräfte angreifen. Nun heben sich aber von den Seilkräften nur die II, III, IV paarweise auf, so dass die Kräfte Plt P₂, P₃, P₄ nicht für sich allein, sondern mit den beiden Kräften I im

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Kg. 10 a u. b.

Gleichgewichte sind. Diese beiden Kräfte schneiden sich auf der unendlich fernen Geraden der Ebene; ihre Mittelkraft ist unendlich klein; ersetzt man diese durch eine gleich grosse, aber entgegengesetzte Kraft, so erhält man die unendlich ferne; unendlich kleine Mittelkraft der Kräfte

Pt, P%, Pt, Pf

Die Kräfte I in Fig. 10 a bilden ein Kräftepaar • ihren gegenseitigen Abstand h nennt man den Arm und das Produkt

M —I-h

aus Kraft und Arm das Moment des Kräftepaares ; dasselbe ist unabhängig von der Lage des Pôles und wird deshalb als das Maass des Kräftepaares, beziehungsweise der diesem gleich zu achtenden unendlich fernen, unendlich kleinen Kraft angesehen.

Der Beweis für diesen Satz ist folgender. Ist 0' ein neuer Pol (Fig. 11), so ist die Gerade, welche den Schnittpunkt E der einander entsprechenden ersten Seilpolygonseiten I und Ï mit dem Schnittpunkte F der einander entsprechenden letzten Seiten I und 1' verbindet, parallel

zur Verbindungslinie 00' der beiden Pole. Hiernach ist bei angenommener Lage der ersten Seite T des neuen Seilpolygons die Lage der

/M \P

ir

'i

TB

TA

UL

aili q'

Fig. Ilau.b.

letzten Seite Ï gegeben und mithin auch das Moment M = T • ti des Paares (i' Ï), dessen Arm gleich ti sein möge. Verlängert man die erste Seite Ï bis zu ihrem Schnittpunkte G mit der letzten Seite I, so erhält man das Dreieck GEF, welches dem Dreiecke a00' ähnlich ist. Bedeuten für das letztere Dreieck: s und s' die Längen der Lothe, welche beziehungsweise aus den Ecken 0' und 0 auf die Seiten I und Ï gefällt wei'den, so ergiebt sich

ti~ s •

Nun ist aber der doppelte Inhalt des Dreiecks aOO' = I • s = Ï • s ,

mithin —t = ——, s I

Y~ und hieraus I-h = Ï • h",

h

und es folgt deshalb -jy

was zu beweisen war.

Kehrt man in Fig. 11a den Sinn der beiden Kräfte Ï um, so gelangt man zu einem Kräftepaare {!' Ï), welches mit dem Kräftepaare (/ I) im Gleichgewichte ist; die Momente beider Paai'e sind entgegengesetzt gleich.

7. Gleichgewichtsbedingungen. Verschiebt man in Fig. 10a die Kraft P₄ parallel mit sich selbst, bis sie durch den Schnittpunkt H der Seilpolygonseiten I und IV geht, so schliesst sich das Seilpolygon. Die beiden Seilkräfte I tilgen sich, und die Kräfte Px, P₂, P₃, P₄ sind miteinander im Gleichgewichte. Das von der Lage des Pôles unabhängige Moment I • h wird in Folge der Verlegung von P₄ gleich Null, und mit ihm verschwindet auch die unendlich ferne, unendlich kleine Kraft, welche vorher zur Herstellung des Gleichgewichtes hinzugefügt werden musste. Man darf aussprechen:

Für das Gleichgewicht von Kräften, die in derselben Ebene an verschiedenen Punkten angreifen, ist erforderlich und ausreichend, dass diesen Kräften ein geschlossenes Kräftepolygon und ein geschlossenes Seilpolygon entsprechen oder, was dasselbe heisst, dass sie keine Mittelkraft besitzen.

Bei der zweiten Fassung der Gleichgewichtsbedingung ist zu beachten, dass die Kräfte auch keine unendlich ferne, unendlich kleine Mittelkraft haben dürfen.

8. Parallele Kräfte. Bestimmung des Schwerpunktes einer Fläche. Die Anwendung des Seilpolygons erweist sich namentlich als vorteilhaft, wenn die Mittelkraft paralleler Kräfte 1\, P₂, P₃, P4 (Fig. 12 b) bestimmt werden soll. Der Kräftezug ist hier eine Gerade (Fig. 12 a) 0 ist der beliebig gewählte Pol. Durch den Schnittpunkt

/P

\r L

tp

LT

’c &

V,

Fig. 12a u. b.

der beiden äussersten Seilpolygonseiten 1 und V geht

e = pl + p₂ + p, + r₄ = s p.

l

Es kann auch das Seilpolygon zur graphischen Bestimmung des Schwerpunktes einer Fläche, welche sich in einzelne Theile mit gegebenen Schwerpunkten zerlegen lässt, benutzt werden.

Um z. B. den Schwerpunkt der in Figur 13 dargestellten Fläche (welche etwa den Querschnitt eines gusseisernen Trägers bedeuten möge) zu finden, fasse man die Inhalte Fx, F₂, F₃ der 3 Rechtecke, aus denen die Fläche besteht, als parallele Kräfte auf, welche einmal in der Richtung AB, dann in der Richtung ÂB' wirken, Hierauf bestimme man für diese beiden Fälle die Lage der Mittelkraft 1SF.

Man findet auf diese Weise zwei Schwerachsen S und S', deren Schnittpunkt der gesuchte Schwerpunkt ist. Die Richtungen AB und A'B' sind willkürlich.

il

h-

Fig. 13.

Da beim Zeichnen der Kräftezüge in Fig. 13 die Flächeninhalte der Rechtecke durch Linien dargestellt werden, welche sieh zu einander verhalten wie F₁ : F₂ : F₃, so empfiehlt es sich, die drei Rechtecke in solche von gleicher, beliebig gewählter Grundlinie zu verwandeln, deren Höhen dann den Inhalten Fx, F₂, F₃ proportional sind.

-+

Um z. B. das Rechteck AB CD, Fig. 14, in ein anderes zu verwandeln, dessen eine Seite — DE ist, zieht man die Gerade CE und hierauf AG\\EC. Es ist dann DG die zweite Seite des Rechtecks, weil ED : CD — AD : GD, mithin ED .GD — CD . AD.

Wird der Schwerpunkt einer krummlinigen Figur gesucht, so ist diese in Streifen zu zerlegen,

Avelche, wenn möglich, gleiche Breite erhalten und so schmal sein müssen, dass sie mit genügender Genauigkeit als Rechtecke, Trapeze oder Dreiecke betrachtet werden dürfen.

Fig. 14.

<ZOO

2.

Zerlegung' der Kräfte in der Ebene.

9. Die Zerlegung einer Kraft K — ac. (Fig. 3 a) in zwei Seitenkräfte, deren gegebene Richtungen die B in demselben Punkte a schneiden, erfolgt mit Hilfe des Parallelogramms der Kräfte. Vergl. Ko. 1.

Die eindeutige Zerlegung von B in mehr als zwei, die Kraft B in demselben Punkte treffende Seitenkräfte ist nicht möglich, vielmehr lässt diese Aufgabe unendlich viele Lösungen zu.

10. Um P in zwei ihm parallele Seitenkräfte A und B (Fig. 15) zu zerlegen, verbinde man die drei Kräfte durch ein beliebiges Seilpolygon, dessen Seiten I, II und III sein mögen. Hierauf ziehe man

Pi

!A

Fig. 15 a u. b.

durch die Endpunkte der Kraft P Parallelen zu I und //, um im Schnittpunkte 0 derselben den Pol zu finden. Eine durch 0 zur Seilpolygonseite III gezogene Parallele zerlegt P in A und B. Den Beweis zu führen, vereinige man A und B mit Hilfe des dem Pole 0 entsprechenden Seilpolygons zu einer Mittelkraft. Man findet dann, dass diese = A-\- B = P ist und durch den Schnittpunkt der beiden äussersten Seilpolygonseiten I und II geht. Vergl. No. 8.

11. In gleicher Weise lässt sich jetzt die für die Folge wichtige Aufgabe lösen, zwei der Lage nach gegebene parallele Kräfte A und B (Fig. 16) zu finden, welche den ihnen parallelen Kräften P₁, P₂, P3 und P₄ das Gleichgewicht halten.

Die Kräfte P werden in Fig. 16a aneinander gereiht; hierauf wird der Pol 0 gewählt und ein Seilpolygon gezeichnet, dessen äusserste Seiten I und V (durch deren Schnittpunkt die Mittelkraft B = 2 P geht)

’A

f n je

tB\M

a<

W-

\l i

irc

SP

Jx= FC

+ly

Jy — JXy cotg a„

Fig. 80.

T° 45

e Jé. «1,11,£L5-> 4,_ il_> _ Jé-

Da nun im Allgemeinen y3 und y4 bei verschiedenen

§ 20.

Q positiv, sobald es von der bohlen nach der erhab

Häufig wird es sich allerdings nicht vermeiden las

J>g

Zu einer anderen, sehr wichtigen Eigenschaft der E

A.

§ 34.

AL_i

M

Jim COS ß ni

§ 40.

Seilpolygons, welches wir jetzt das C-Polygon nenn

03 zu erhalten, ist der Träger rechts von E zu ent

§ 46.

Wir gehen nun zur Bestimmung der Spannkräfte 0 für

§ 49-

(2)

wl 0 -1

(HP

T)

, (

Nach Berechnung von St findet man

Literatur zu den Abschnitten I, II und III.

iê‘Ô§5&ii|l^iip!lH^ÂS!iB

SP

Fig. 16 a u. b.

die Richtungen von A und B beziehungsweise in a und b schneiden. Nachdem das Seilpolygon durch die Verbindungslinie s der Punkte a und b geschlossen worden ist, wird durch den Pol 0 zu s eine Parallele

gezogen. Diese zerlegt die Kraft R = 2 P in A und B. Der obere Theil ist gleich A; denn diese Kraft ist im Punkte a mit den Seilkräften I und s im Gleichgewichte, muss also mit den Seilstrahlen I und s ein Dreieck bilden, und ebenso folgt, dass B mit den Strahlen s und V ein Dreieck bildet.

12. Sollen (Fig. 17) drei nicht durch denselben Punkt gehende, der Lage nach bekannte Kräfte X, Y und Z gefunden werden, welche

XY

,-L

—£

Uv-'

/xt

a Zi——

Fig. 17 a u. b.

einer gegebenen Kraft R das Gleichgewicht halten, so bringe man nach Belieben je zwei der vier Kräfte R, X, Y und Z miteinander zum Schnitt, z. B. R und Z, ferner X und Y, und addire, mit der Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte zusammenfallend, zwei sich aufhebende Kräfte L. Nun bestimme man L und Z aus der Bedingung, dass sich die Kräfte R, L und Z am Schnittpunkte \RZ\ das Gleichgewicht halten, dass ihnen also ein geschlossenes Dreieck abca Fig. 17b entsprechen muss und hierauf X und Y aus der Bedingung, dass diese beiden Kräfte am Punkte [XI] mit der nunmehr gegebenen L im Gleichgewichte sind.

Ist die Aufgabe gestellt, eine gegebene Kraft R in drei der Lage nach bekannte Kräfte X, Y und Z, welche nicht durch denselben Punkt gehen, zu zerlegen, so hat man nur nöthig, die vorhin (Fig. 17 b) gefundenen Kräfte X, Y, Z durch gleich grosse aber entgegengesetzt wirkende zu ersetzen.

Die eindeutige Zerlegung einer Kraft nach vier oder mehr Richtungen, die mit ihr in derselben Ebene liegen, ist unmöglich. Es besitzt diese Aufgabe unendlich viele Lösungen.

'/JZ

3.

Yon den statischen Momenten cler Kräfte.

M = Pe.

13. Begriffe. Unter dem statischen Momente M einer Kraft P in Bezug auf den Drehpunkt (Momentenpunkt oder Momentenpol) C versteht man das aus P und seinem Abstande e von C gebildete Produkt; es ist also

Geometrisch erklärt ist das Moment M gleich dem doppelten Inhalte des Dreiecks ABC, Fig. 18, dessen Grundlinie die Kraft P, und dessen Spitze der Drehpunkt C ist. Der Sinn dieses Dreiecks wird durch den Sinn der Kraft P bestimmt. Die Momente der Kräfte P und P' in Fig. 18 haben also entgegengesetzten Sinn. PC Das Moment M = Pe heisst ein rechts drehen-des (d. i. im Sinne des Uhrzeigers drehendes); es wird positiv angenommen, und im Gegen-— satze hierzu ist der analytische Ausdruck für das Moment von P'

B/ \e

P'

Fig. 18.

Mf = — P' e.

14. Lehrsatz: Die Summe der Momente beliebig vieler in derselben Ebene gelegener Kräfte, bezogen auf irgend einen Punkt dieser Ebene, ist gleich dem Momente ihrer Mittelkraft in Bezug auf denselben Punkt. Um diesen Satz zu beweisen, betrachten wir zunächst die beiden

R sein möge, verbinden den Punkt A, in welchem sie sich schneiden, mit dem Drehpunkte C durch eine Gerade und projiciren die Kräfte P₁,P₂, R auf die zur A C Senkrechte CF. Sind die Projektionen jener Kräfte beziehungsweise : CE — P\ ; ËF — P\ ; CF=R', so ist das Moment der Kraft Px

M=2- k ABC = ÄC-P'

Kräfte Px und P₂ (Fig. 19), deren Mittelkraft

PI /p

Alt

IM

y ia

Fig. 19.

das Moment von P₂

M₂ = AC• P'₂

und dasjenige von R

M = AC • Pf.

Da nun Rf — P\ -f- P\ ist, so folgt

M=M₁ + M₂, w. z. b. w.

Um den Satz für zerstreut in der Ebene wirkende Kräfte, z. B. P1; P₂, P₃, P₄ Fig. 20¹) zu beweisen, setze man dieselben mittels eines Seilpolygones zu ihrer Mittelkraft R zusammen und denke in den Endpunkten des Seilpolygons die sich paarweise aufhebenden Seilkräfte

Mp = Mpx -f Mp, + Mp₃ -f Mpv

was zu beweisen war.

Ganz ebenso kann der Beweis für beliebig viele Kräfte geführt

werden.

thätig; dieselben wurden in Fig. 20 mit I, 1 , II, II', III, IIÏ bezeichnet, wobei I = T ; II — IÏ ; III = III'

Da nun am Punkte A die drei Kräfte II, T und Px miteinander im Gleichgewichte sind, so ist die der Kraft II entgegengesetzt gleiche II' die Mittelkraft aus den Kräften i' und P₁, und ihr Moment ist deshalb gleich der Summe der Momente von l' und P₁. Bezeichnet man also ganz allgemein das Moment einer Kraft Q mit Mç, so erhält man Mm — Mi’ —}- Mp1 und ebenso ergiebt sich

Mm' — Mm —j— Mp,,

Mm’ ⁼⁼ Mm’ “h Mp3 M v’ = Mm' -(- Mp₄ = Mp -j- MPy -J— Mp₂ -f- Mps -j- MPi.

Da nun E die Mittelkraft aus V' und I ist, so folgt noch MB= Mi-\- Mr> d. i.

Mb = Mi -f- Mp -j- MPl -\- Mp₂ -|- Mp₃ -j- Mpv und in der letzten Gleichung tilgen sich auf der rechten Seite die entgegengesetzt gleichen Momente der entgegengesetzt gleichen Kräfte I und Ï. Es ist deshalb

u. s. w.

V'

e/JL

TX'j

(D

Tl

Fig. 20.

15. Bestimmung des statischen Momentes beliebig vieler in derselben Ebene wirkender Kräfte. Um das Moment der Kräfte Px, P₂, P₃ und P₄ in Bezug auf den Drehpunkt C zu ermitteln, wird man (Fig. 21) zunächst die Mittelkraft E aufsuchen, indem man den aus Px, P₂, P3 und P₄ gebildeten Kräftezug durch die Linie LN — E unterspannt und diese Linie mit einem Pfeile versieht, welcher den Umfahrungssinn des Kräftepolygons unstetig macht. Nun wählt man den beliebigen Pol 0, zeichnet das Seilpolygon und findet in dem Schnittpunkte E der beiden äussersten Seilpolygonseiten einen Punkt der Kraft E. Jetzt kann man M=Er berechnen oder auch konstruiren. Dazu schreibt

man M =

Er

— und fasst M als vierte Proportionale zu den Grössen

E, r und 1 auf.

Der Werth M lässt sich aber noch in einer anderen, für die Folge sehr vortheilhaften Form darstellen. Zieht man durch den Drehpunkt C

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

zu B eine Parallele, welche die Seilpolygonseiten I und V in J und F schneidet, und setzt FJ = y, so folgt aus der Aehnlichkeit der beiden

0-f

fl?

Cd ta.

T*

fiö

-V7

Fig. 21 a u. b.

Dreiecke EF J und OLN (deren Seiten beziehungsweise parallel sind)

r : y = H : R,

wobei H die Pol weite der Kraft B bedeutet. Es ist also Hy — Br, mithin

M — Hy,

und es ergiebt sieh der Satz:

Das statische Moment beliebig vieler Kräfte in der Ebene ist gleich dem Produkte aus der Polweite ihrer Mittelkraft B und aus der Strecke, welche von den äussersten Seilpolygonseiten auf einer durch den Drehpunkt C zu B gezogenen Parallelen abgeschnitten ivird.

Ueber das Vorzeichen des Momentes entscheidet sein Drehungssinn. Das Moment der Kraft B in Pig. 21a ist rechtsdrehend, also positiv. Je näher C an B rückt, desto kleiner wird y und desto kleiner auch M. Fällt C mit B zusammen, so wird y = 0. Liegt C oberhalb B, so ist y negativ zu nehmen; man erhält dann ein negatives M.

Die letztbeschriebene Darstellungsweise des Momentes ist deshalb vortheilhaft, weil der Pol, dessen Lage willkürlich angenommen werden darf, so gewählt werden kann, dass die Polweite H durch eine runde Zahl ausgedrückt wird. Nimmt man H — 1, so folgt

M=y.

In dem Produkte Br ist die Grösse B in Kräfteeinheiten (z. B. in Kilogrammen) und r in Längeneinheiten (z. B. in Metern) auszudrücken. Hingegen ist es bei der Berechnung von Hy gleichgiltig, ob H mit dem Kräftemaassstabe und y mit dem Längenmaassstabe gemessen wird, oder umgekehrt.

Wir werden in der Folge unter H (falls nicht das Gegentheil besonders hervorgehoben wird) eine Kraft verstehen.

ausgesprochene Satz findet namentlich Anwendung, wenn es sich um die Bestimmung des Momentes paralleler Kräfte handelt.

16. Parallele Kräfte in der Ebene. Der in No. 15

Ist z. B. das Moment der parallelen Kräfte A, Px und P₂ (Fig. 22) für den Drehpunkt C gesucht, so werden die Kräfte in der Reihenfolge A, Px, P₂ aneinandergesetzt und von dem beliebig gewählten Pole aus die Strahlen s, I, II, III gezogen. Der Strahl s geht nach dem Anfangspunkte und der Strahl III nach dem Endpunkte des Kräftezuges; mithin sind in Figur 22 a, in welcher das Seilpolygon dargestellt

P,

P₂

P,

■y

M.

Er

?o

H-

Fig. 22 a u. b.

ist, die Seiten s und III die äussersten; dieselben schneiden auf der durch C zur Mittelkraft A — P, — P₂ parallel gezogenen Geraden die Strecke y ab, welche mit der Polweite jener Kraft, d. i. mit dem vom Pole auf den Kräftezug gefällten Lothe H, multiplicirt das Moment liefert.

Das Moment M= Hy ist positiv, denn es wirkt, wegen A^>P₁-\-P₂, die Mittelkraft R = A — Px — P₂ in demselben Sinne wie A, also aufwärts, und es liegt ausserdem R links vom Drehpunkte C, weil es durch den Schnittpunkt der nach links konvergirenden Seilpolygonseiten III und s geht. Daraus folgt aber, dass das Moment von R ein rechts drehendes ist.

17. Eine andere für die Folge sehr wichtige Aufgabe lautet: Gegeben sind die parallelen Kräfte Px, P₂, P₃, P₄, P₅, P₆, gesucht wird das Moment M derselben für den Drehpunkt C, ferner das Moment M' der Kräfte Px, P₂, P₃ für den Drehpunkt C'. Fig. 23.

Es werden die Kräfte in der Reihenfolge P₆, P₅ . . . P₁ (Fig. 23 b) aneinandergesetzt, und der Pol in beliebiger Weite H vom Kräftezuge so gewählt, dass der Seilstrahl I senkrecht zur Richtung der Kräfte P

ist. Hierauf wird (Fig. 23 a) das Seilpolygon gezeichnet und die Seite /

desselben verlängert. Zieht man jetzt durch C eine Parallele zur Mittel-6

kraft 2P, und misst die Strecke y, welche auf jener Parallelen durch l

die äussersten Polygonseiten I und VII abgeschnitten wird, so erhält

JT

Ps

Pa

Ps Ps

*c

!>

P²

VT,

ML

P-l

}y

Ps

P²

i )y

-lfr

-----

^-----------------ff-------

Fig. 23 a u. b.

man Mc = — Hy. Dieses Moment ist negativ, weil alle Kräfte links um C drehen. Ebenso findet man für den Drehpunkt C' das Moment der Kräfte P1? P₂, P₃,

MC’ = Hy,

denn I und IV sind die äussersten Seilpolygonseiten in Bezug auf die Gruppe Pj, P₂, P₃. Man kann hiernach aussprechen:

Irgend eine Ordinate des Seilpolygons paralleler Kräfte in Fig. 23a, bezogen auf die zur Kraftrichtung senkrechte Polygonseite I als Äbscissenaxe, ist dem Momente proportional, ivelches die vor der Ordinate gelegenen Kräfte in Bezug auf irgend einen auf der Ordinate angenommenen Drehpunkt ausüben.

Zusammensetzung- der Kräfte im Raume.²)

18. Statische Momente und Mittelkraft paralleler Kräfte.

durch eine zu ihrer

Werden parallele Kräfte Plt P₂, P3 Richtung senkrechte Ebene E in den Punkten Ax, A₂, J₃

(Fig. 24) geschnitten, und sind xm, ym (wo m eine beliebige Ordnungsziffer) die Koordinaten von Am bezüglich eines in der Ebene E an

UP

>Krs

■n.--;

\ y »' **■---■«■'T

f¹ '?»-.lg

0\ \

M—+OC

Ws

Sf-¹-

Ar

s\\ rA*

■M»

A,

9~\

⁺y

•4#-jr-\ ^

-----v—.-

'\ \

UP

*h

<1%

P.

Po

UP

Fis. 24.

genommenen, im Allgemeinen schiefwinkligen Achsenkreuzes, so nennt man die Produkte Pmxm und Pmym die statischen Momente der Kraft Pm in Bezug auf die Achsen y und x.

Sind weiter | und 7] die Koordinaten des Punktes S, in welchem die Ebene E von der Mittelkraft i? = P₁-f-P₂ -J- ... = UPgeschnitten wird, so lässt sich nachweisen, dass

(1)    Pt) = Plyl -f P₂y₂ + P₃tj₃ + .. . = UPy und

(2)    Rb> = P₁xl -\-P₂x₂ +P₃a;₃ -J- ... = UPx

ist, dass also, bezogen auf irgend eine Achse, das Moment der Mittelkraft R gleich ist der Summe der Momente aller Kräfte P.

Vereinigt man nämlich P₁ und P₂ in einer durch diese beiden

so ist nach No. 14 in Bezug auf den Punkt B, in welchem die Ebene E' die x- Achse schneidet, gleich der Summe der auf denselben Drehpunkt bezogenen Momente der Kräfte P₁ und P₂. Trifft also 2 die Ebene E im Punkte C, so ist

i?!_₂ (JB = P, A₁B -f P₂A₂B,

Kräfte gelegten Ebene E' zur Mittelkraft P,

das Moment von R

1-2

-2*

und hieraus folgt, wenn die Ordinate von C mit    bezeichnet wird,

■^1—2⁷)i—2 ~ PiVi    PzVzi

denn es verhält sich

v)i-2 : Hi : ïh = CB : AyB : A₂B.

^1 — 3

Indem man jetzt mit P₄ zur Pj_₄ u. s. f. findet man

mit P₃ zur Px_₃ zusammensetzt, sodann

Rl — 3rl\ -3

^1 —2⁷ll-2 ~b ^3XJ3

Pi V i ~h P2Î/2 ~f“ P3 V 3 »

Pl-i'Hl-i ~ P\Vi 4~ -^2^2 “f" ^3^3 4“ PiVii

zur

und gelangt schliesslich zur Gleichung (1) und auf demselben Wege Gleichung (2).

Aus (1) und (2) ergeben sich für die Koordinaten des Punktes 8 die Werthe

'SP y

(3) V)=2p

und £ —

2Px

Um die Lage des Punktes S auf graphischem Wege zu finden, nehme man die Kräfte P in der Ebene E wirkend an, zuerst parallel zur x-Achse, hierauf parallel zur «/-Achse und bestimme mit Hilfe von Seilpolygonen (nach No. 8) die Lagen ihrer Mittelkräfte 2P. Der Schnittpunkt derselben ist der gesuchte Punkt S.

Beim Zeichnen der Kräftezüge ist auf das Vorzeichen der P zu achten. Es empfiehlt sich, die positiven P im Sinne der positiven Koordinatenachsen aufzutragen. Ist also beispielsweise für den in Fig. 24 dargestellten Fall die Ebene E wagerecht und die Kraftrichtung im Sinne der Schwere die positive, so ist die im Sinne von (—x) bezieh. (—y) gezeichnete Kraft P₅ von unten nach oben wirkend.

19. Allgemeine Zusammensetzung der Kräfte im Räume. Um beliebig gerichtete, im Raume zerstreute Kräfte zusammenzusetzen, bestimme man den Durchschnittspunkt A jeder Kraft P mit einer willkürlich angenommenen Ebene E, verschiebe die Kraft P in ihrer Richtung bis zum Punkte A und zerlege sie dort in zwei Seitenkräfte, deren eine in der Ebene E liegt, während die andere senkrecht hierzu ist. Sodann vereinige man alle zur E senkrechten Kräfte mit Hilfe des in No. 18 gelehrten Verfahrens zu ihrer Mittelkraft N und alle in der Ebene E gelegenen Kräfte nach § 1 zu ihrer Mittelkraft Q.

Schneiden sich N und Q, so können sie zu einer Kraft R vereinigt werden; im Gegenfalle aber lassen sie sich nicht weiter zusammensetzen, und es ist dann, wegen der willkürlichen Lage der angenommenen Ebene E, möglich, die gegebenen Kräfte auf unendlich viele verschiedene Weisen durch zwei Kräfte zu ersetzen.

Soll eine zur Ebene E parallele Kraft P auf die angegebene Art und ohne Benutzung der unendlich fernen Geraden jener Ebene zerlegt werden, so füge man zwei sich aufhebende, zur Ebene E senkrechte Kräfte P', welche P schneiden, hinzu, setze P mit der einen derselben zur Mittelkraft P" zusammen, bringe die P" mit der Ebene E zum Schnitt und zerlege sie dort wieder in P und P'. Fig. 25.

P'

/•LP

*P E

Fig. 25.

II. Abschnitt.

Höhere Momente paralleler, in derselben Ebene wirkender Kräfte. Trägheitsmomente nnd Centrifug*almomente ebener Querschnitte.

ccn>

Höhere Momente paralleler Kräfte.

20. Bestimmung höherer Momente mit Hilfe des Cul-mann’schen Verfahrens. Sind P₁, P₂, P₃ . . . . (Fig. 26) parallele, in ein und derselben Ebene (E) gelegene Kräfte und xlt x₂, x₃ ... . die in irgend einer Richtung gemessenen Abstände derselben von einer ebenfalls in der Ebene E gelegenen Geraden LL, so nennt man die Summe

P, Xnx + P₂xn₂ + P₃xn3 + ....= 2Txn das Moment nUr Ordnung der Kräfte P in Bezug auf die Achse LL.

Im Falle n = 1 heisst dieses Moment auch das statische Moment der Kräfte P (vergl. § 3) und im Falle n = 2 das Trägheitsmoment ; das letztere werden wir in der Regel mit J bezeichnen.

Kennt man für irgend eine Kraft P den Werth Pxn~¹, so findet man Pxn — (Px”_1) x als das Moment erster Ordnung der Grösse PxH~¹ in Bezug auf die Achse LL, und es leuchtet ein, dass man, um 2Pxn zu finden, nur nöthig hat, der Reihe nach die statischen Momente

2iPx, Px)x, 2(Px²)x

2(Px"-')x

darzustellen.

Ist nun in Fig. 26: F Pf das Kräftepolygon und ABC . . . das aus dem beliebigen Pole 0 gezeichnete Seilpolygon, dessen Seiten die Achse LL in den Punkten 1, 2, 3, 4, 5, 6 schneiden mögen, so sind die Dreiecke

1A2, 2B3, 3C4.....,

welche die Achse LL mit je zwei aufeinander folgenden Seiten des

LJ<-----e₇—f->jLo

/    Lh"t~*¥

El

:B

Kl

'L.

i p₅

l\

¹¹ xKm

k""L \ /

IL-

~l~h

J---A

lift

V.

Fig. 26.

Seilpolygons bildet, den ihnen entsprechenden Kräftedreiecken FOG, GOJ, JOK.....

ähnlich, und es folgt, wenn H die in der Richtung x gemessene Polweite ist,

x₁ : 12 = ff: P₁; x₂ : 23 = ff: P₂, u. s. w.

und hieraus

P₁x₁ = H12; P₂x₂ — H2‘6 u. s. w.

mithin

wobei die einzelnen Strecken: 12, 23, 34 Vorzeichen, welche bei im gleichen (positiven) Sinne wirkenden Kräften mit den Vorzeichen der entsprechenden x übereinstimmen, zu addiren sind.

Schneiden nun die äussersten Seiten des Seilpolygons auf der Achse LL die Strecke 16 = w ab, so ist, ohne Vorzeichen,

^ Px = Hu.

Für den in Fig. 26 dargestellten Fall, in welchem die x rechts von LL positiv angenommen wurden, ergiebt sich 2Px positiv, weil die Summe der positiven Abschnitte 34, 45, 56 grösser ist als die Summe der negativen Abschnitte 12, 23,

mit Berücksichtigung ihrer

Betrachtet man jetzt die Abschnitte 12, 23, 34

als Kräfte,

die in den Kichtungslinien der Kräfte Px, P₂, P₃ .... wirken, zeichnet zu ihnen aus dem beliebig gewählten Pole 0' das Seilpolygon ï IÏ III'. . . , dessen Seiten die Achse LL in den Punkten T 2' 3'

schneiden,

und setzt die der Richtung der x parallele zweite Polweite — a, so

findet man, auf gleiche Weise wie vorhin

xx : 1' 2,= a : 12; x₂ : 2'3'= a : 2 3 ;

P% x%

u. s. w.

\\xx

hieraus ^ wegen 12 = ^

Pxx\ = Ha 12'; P₂x\ = Ha 2' 3'; u. s. w.

23 =

und schliesslich

J=2Px² = Ha (TT-f- 2'3'T 3'4⁷-f ....) = Ilav, wo v die Strecke bedeutet, welche die äussersten Seiten des zweiten Seilpolygons auf der Achse LL abschneiden und welche stets positiv ist, sobald alle Kräfte im gleichen (positiven) Sinne wirken. Wenn H mit dem Kräftemassstabe gemessen wird, stellen a und v Längen vor.

Es ist nun leicht einzusehen, wie man ein Moment beliebiger Ordnung zu bestimmen vermag. Wird H£Px³ gesucht, so fasst man die Abschnitte lT, 2'3', 3' 4 ... (mit Berücksichtigung ihrer Vorzeichen) als parallele an die Stelle der entsprechenden P tretende Kräfte auf, zeichnet zu ihnen mit der Polweite b ein Seilpolygon und bestimmt

die Strecke w, welche dessen äusserte Seiten auf der LL abschneiden. Man findet (ohne Vorzeichen)

2iPx³ — Ilabw.

Um ~2tPxn zu finden, sind n Seilpolygone zu zeichnen. Alle Polweiten sind in der Richtung der x zu messen.

21. Bestimmung von «,T nach dem Verfahren von Mohr. Die Statik der Bauwerke hat es ausser mit statischen Momenten hauptsächlich mit Trägheitsmomenten zu thun. Die Ermittelung derselben lässt sich auch mit Hilfe des ersten Seilpolygons (1, II, III .. . .) vornehmen (Fig. 26). Der Inhalt % der von diesem Polygone, von dessen

äussersten Seiten (1 und VI) und von der Achse LL eingeschlossenen Fläche (1 AB CD Eßl) ist nämlich

g = AlM2 + A2P3 + A3C4 +.....

= - sin a (xt 1 2 -j- x₂ 2 3 -j- x₃ 3 4 -j- . . .)

sin a

2H

(P₁%i -f~ I\x\ -f- P₃x3

sin a

2H

2 Fa;²,

wo a den Winkel bedeutet, welchen die Eichtungen der P und x miteinander einschliessen und es folgt mithin

sin a *

22. Beziehungen zwischen zwei auf parallele Achsen be

(1) J=2Px²

Haben die Kräfte PX) P₂, P₃

zogenen Trägheitsmomenten.

(Fig. 26) von der mit ihrer Mittelkraft 2P zusammenfallenden, also durch den Schnittpunkt der äussersten Seilpolygonseiten I und VI gehenden Achse L₀ L₀ die in der Eichtung der x gemessenen Abstände x x x'₃ ...., so ist ihr Trägheitsmoment J₀, bezogen auf die Achse

A> ^0 1

J₀ = 2 Px²

und ihr statisches Moment in Bezug auf L₀ L₀

2 Pa/ = 0.

Bezeichnet man nun mit e den in der Eichtung der x gemessenen Abstand der Achse LL von der L₀La und setzt x=x -f- e, so erhält man

J=2Px²—2P(x + e)² = 2Px²-\- 2e2Pxe²2P und hieraus ergiebt sich

LXL

J = J₀ + e»SP.

In gleicher Weise erhält man für eine zur L₀ L₀ parallele Achse welche von der L₀L₀ den Abstand e₁ hat Jy = Jo + e\ 2P,

(2)

und es folgt deshalb das Gesetz

0)

Jl - /=(«?-«²)2P,

§ 6.

Trägheitsmomente und Centrifugalmomente eibener Querschnitte.

23. Erklärungen. Die Theorie der Momente zweiter Ordnung findet namentlich Anwendung bei der Untersuchung von geraden Stäben, welche auf Biegungsfestigkeit beansprucht werden. Bezieht man den Querschnitt eines solchen Stabes auf ein (in der Eegel rechtwinklig angenommenes) Achsenkreuz x, y (Fig. 27), und bezeichnet mit dF den

Inhalt eines unendlich kleinen Theilchens des Querschnittes, so nennt man die über den ganzen Querschnitt auszudehnenden Integrale Jx = J' y²dF; Jy = J' x²dF; Jxy = JxydF die Querschnittsmomente zweiter Ordnung. Es heisst auch

Jx das auf die x-Achse bezogene Trägheitsmoment,

„ y- »

Jy j >    > >

JX)J das Centrifugalmoment.

Da die Biegungsspannungen in geraden Stäben als Funktionen der 3 Integrale Jx, Jy, Jxy dargestellt werden können, so ist eine eingehende Untersuchung derselben für die Statik der Bauwerke von besonderer Wichtigkeit. Zunächst wollen wir uns nur mit den Trägheitsmomenten beschäftigen.

24. Bestimmung des Trägheitsmomentes einer unregelmässigen Figur nach dem Verfahren von Culmann. Das Trägheitsmoment Jx= J y²dF ist unabhängig von den Abscissen x der Querschnittstheilchen, und es darf mithin unter dF der Inhalt eines der x-Achse parallelen, unendlich schmalen Streifens verstanden werden. (Vergl. Fig. 31 und 32.)

deren Inhalte und yt, y₂, y$ . . • •

Bei der graphischen Bestimmung von J muss man nun diese unendlich schmalen Streifen durch solche von endlicher Breite ersetzen (Fig. 27). Sind Flt F₂, F3 die Abstände ihrer Schwerpunkte von der x-Achse, so ist angenähert

j,= Fi* +

i⁵.....>;

A Zf Z2

ïï

>■

C/J=rt₂

-Ml v~.. ••

n||r'V “Mlllr

**-    5l/6 '1/7378

a'W M’j \

JX

» .-'F⁷

M-S

JB7

■ HT’

■P

jznj

JK>

AF- x.

• -    V -i*“

VT

Fig. 27.

Verwandelt man sämmtlicbe Streifen, die im allgemeinen verschieden grosse Breiten d₁, d₂, d₃ . . . . erhalten werden, in Rechtecke

von der gleichen Grundlinie a und bezeichnet mit zlt z₂, z₃ ... . die Höhen dieser Rechtecke, so ist

F₁ = az₁ ; F₂ = az₂ ; F₃ = az₃.....

und man erhält

Jx — z.

Fasst man jetzt die Höhen 0 als Kräfte auf, die, in den Schwerpunkten der Streifen angreifend, parallel zur a;-Achse wirken, bestimmt nach dem in No. 20 gelehrten Verfahren das Moment zweiter Ordnung dieser Kräfte in Bezug auf die Achse x (welche in Fig. 27 die Schwerpunktsachse des Querschnittes ist) und bezeichnet hierbei

mit at die Polweite für das erste Seilpolygon (III. . .) ,,    ,, zweite

an'...)

5 * a2 » >

„ n die Strecke, welche die äussersten Seiten des zweiten

>>

»>

so erhält man zunächst

Seilpolygons auf der x-Achse abschneiden

'2iiy²z = a₁a₂n

und hierauf

Jx = aaxa₂n.

Die Strecken a, ax, a₂, n, sind mit dem Längenmassstabe zu messen. Für a, at, a₂ sind Längen zu wählen, die durch runde Zahlen ausgedrückt werden.

Die einzelnen Streifen, in welche der Querschnitt zerlegt wurde, dürfen als Trapeze betrachtet werden. Ist die mittlere Höhe eines Trapezes = h, die Breite = d, so ist sein Inhalt: F=hd: und es folgt aus F=az

hd

hi \

Ji

Diese Länge z kann durch Zeichnung bestimmt werden (Fig. 29). Um den Trapezschwerpunkt S zu finden (Fig. 28), trage man auf den Verlängerungen der einander parallelen Seiten h\ h" die Strecken ab DE= CF=ÄB = h’ BG=ÄH= CI) = h"

und verbinde G mit F und E mit H durch gerade Linien; diese schneiden sich in S. Zerlegt man nämlich das Trapez in zwei Dreiecke

mit den Inhalten — ~ und , so findet man 2 2 ’

das statische Moment des Trapezes in Bezug auf die Seite li

fc.E

l\

<L

ID

z_

M = -~

h’d d . h"d 2d V 4- 2h" ₇, —    d-

—d—>-

Fig. 28 u. 29.

während sich andererseits, wenn c' die Länge des von S auf li gefällten Lothes ist,

M = K+h"

de’

ergiebt. Hieraus folgt aber

nnd schliesslich

V + 2Ä"

d ~ 3 (h'+h'y

ebenso

h" + 2 h' d —3(A' + Ä")’

e' _ li -f- 2 h"

h"+2K ’

welcher Bedingung die in Fig. 28 gefundene Lage des Punktes S genügt. Eine dritte leicht erhältliche Schwerlinie ist die Verbindungslinie der Mittelpunkte der Seiten AB und CD.

25. Trägheitshalbmesser. Die durch die Gleichung

cl« *

Ctsv ) ^

(in welcher F den Inhalt des Querschnittes bedeutet) erklärte Länge ix nennt man den auf die x-Achse bezogenen Trägheitshalbmesser des Querschnittes. Hat man mit Hilfe des in No. 24 entwickelten Verfahrens Jx in der Form aaxa₂n dargestellt, und setzt man F—a^z, so erhält man

il =

Jx

F’

i.

a₁a₂n

£ =

Um diesen Werth zu finden, trage man zwischen die äussersten Seilstrahlen I und X des ersten Kräfteplanes, parallel zur AB — ~2tz (Fig. 27), die Gerade CD — a₂ ein, ziehe E0₁F\_CD, mache OlF = n und errichte in Ox auf der FF ein Loth, welches den über FF beschriebenen Halbkreis in D schneidet. Es ist dann

Cl<2

Ox E = a₁

OxD* = OxE .OxF =

ax a₂ n

2s

und man erhält: OxD = ix.*)

20. Bestimmung von J für einen Querschnitt, welcher aus Theilen besteht, deren Trägheitshalbmesser bekannt sind. Es

sei in Fig. 30 : ss die Schwerachse eines Querschnittes vom Inhalte F, xx eine zur ss im Abstande e gezogene Parallele und J₃ das Trägheitsmoment des Querschnitts, bezogen auf ss. Dann ist s nach Gleich. 2 in No. 22, bezogen auf xx (1) JX=J,+Fe* und, wenn Js— Fi] gesetzt wird,

J*= F(i\ + «*).

Trägt man auf der Geraden ss von irgend

x-

]c

A—x

Fig. 30.

*) Wird nur ix gesucht (nicht Jx), so nehme man ax

Es er-

giebt sich dann ix = J/ ~^~n a^s mittlere Proportionale zu —— a., und n.

einem Punkte A aus die Strecke AB — is auf, zieht AC _j_xx und verbindet C mit B durch eine Gerade, so hat diese die Länge

(2) i,= y il + e\

und es darf somit gesetzt werden

¹

Vergl. auch Fig. 21.

²

Eine eingehendere Theorie der Kräfte im Baume findet sich im dritten Bande dieses Buches.

Jx= FC

Es lässt sich also Jx deuten als das auf die Achse xx bezogene Moment 2ter Ordnung einer Kraft F, welche im Abstande ix von der xx und parallel zur xx wirkt.

4 ist der Trägheitshalbmesser des Querschnittes F in Bezug auf die Achse xx.

Gelingt es nun, einen Querschnitt, dessen Trägheitsmoment Jx gesucht wird, in Theile F zu zerlegen, deren Trägheitshalbmesser ia bekannt sind, so ist man im Stande, auch die Trägheitshalbmesser ix jener Theile zu bestimmen und erhält dann Jx in der Form

Jx= 2 FC

Will man also den Fehler, welcher bei der in Fig. 27 vorgenommenen Ermittelung von Jx durch die Zerlegung des Querschnittes in Streifen von endlicher Breite entstanden ist, beseitigen (was aber nur bei verhältnissmässig breiten Streifen nöthig ist), so muss man die Schwerpunktsabstände y1} y₂, . . . . der einzelnen Streifen durch deren auf die Achse xx bezogene Trägheitshalbmesser ix ersetzen.

Geradlinig begrenzte Figuren lassen sich stets in Parallelogramme und Dreiecke zerlegen, deren eine Seite der Achse parallel ist, auf welche das Trägheitsmoment bezogen werden soll, und krummlinig begrenzte Figuren darf man immer mit genügender Genauigkeit durch geradlinige mit kurzen Seiten ersetzen. Es genügt also, die Trägheitshalbmesser is für das Parallelogramm und das Dreieck, bezogen auf deren der einen Seite parallele Schwerachse anzugeben.

a. Das Parallelogramm. Bedeutet b die Grundlinie und h die

\pi h»

Fig. 31.

Höhe (Fig. 31), so erhält man in Bezug auf die zu b parallele Schwerachse :

b. Das Dreieck. Fig. 32. eine durch die Spitze und parallel zur Grundlinie b gelegte Achse

Man findet zunächst in Bezug auf

J=jy!dF=J,/bjd,J =

WÊÊKÊTT¹ T

i.

.t.

Fig. 32.

und hieraus (mittels Gleich. 2 in No. 22) in Bezug auf die zu b parallele Schwerachse

co

+è¹

J,=Jy¹dF=2fy¹bdy

bh3¹)

12

und

-i¹

i² =

vs

bh 12

woraus : is =

co

Es ist also is die mittlere Proportionale zu wurde in Fig. 31 auf bekannte Weise mittels eines über der Strecke

und

dieselbe

——— errichteten Halbkreises bestimmt.

bh³    bh 4Ä⁸_bh³

4    2 9 _ 36"’

weshalb il =

Js 2 J, h²

F bh 18

und is =

1/

i co

Es ist also die is die mittlere Proportionale zu

oo

und

Von den vorstehenden Entwickelungen wird man namentlich bei der Bestimmung der Trägheitsmomente geradlinig begrenzter Figuren Gebrauch machen.

27. Das Mohr’sclie Verfahren. Um das auf die Achse xx bezogene Trägheitsmoment J des in der Fig. 27 dargestellten Querschnittes mit Hilfe des ersten Seilpolygons (I, 11, III. . .) zu bestimmen, wird der Inhalt $ der Fläche ermittelt, welche von dem Seilpolygone und den äussersten Seiten desselben eingeschlossen wird. Sodann ergiebt sich (nach No. 21)

~2zy²= 2^«1²) und, angenähert, J = '2azy²= 2aal%.

Je kleiner nun die Breiten der Streifen sind, in welche der Querschnitt zerlegt worden ist, desto genauer wird J erhalten. Bei unendlich schmalen Streifen geht das Seilpolygon in eine krumme Linie, die Seillinie, über, welche das für Flächenstreifen von endlicher Breite gezeichnete Seilpolygon in dessen Durchschnittspunkten mit den die Streifen trennenden Geraden berührt. Denn, werden in den Punkten A, D, E, B (Fig. 33), in denen die Seillinie von zur x-Achse parallelen Querschnitts sehnen geschnitten wird, Tangenten an jene Linie gelegt, so sind je

[M

/J/r

rnrnrnm,

•jB

Fig. 33.

zwei aufeinander folgende dieser Tangenten für den zwischen ihren Berührungspunkten gelegenen Flächenstreifen äusserste Seilpolygonseiten; sie müssen sich daher auf der zur x-Achse parallelen Schwerlinie jenes Streifens schneiden und bilden ein der Seillinie umschriebenes Seilpolygon,

Meistens genügt bereits eine geringe Anzahl von Tangenten und Berührungspunkten zur hinreichend scharfen Aufzeichnung der Seillinie, so dass die Breite der Streifen, in welche der Querschnitt zu zerlegen ist, bei der Anwendung des Mohr’schen Verfahrens grösser gewählt werden darf, als bei der Behandlungsweise nach Culmann. Auch bringt der von Mohr zur Bestimmung von J eingeschlagene Weg den Fehler gut zur Anschauung, der durch die Annahme von Querschnittsstreifen endlicher Breite begangen wird und der mit dem Inhalte der Fläche zwischen Seilpolygon und Seillinie wächst.

Die Ermittellung des in die Gleichung J = 2aax% einzuführenden Flächeninhaltes 3 geschieht am schärfsten mit Hilfe der Simpson'sehen Formel. Zu diesem Zwecke zerlegt man die Fläche ABC (Fig. 34), welche die Seillinie AB und deren äusserste Tangenten AC und BC einschliessen, in eine gerade Anzahl (m) gleichbreiter Streifen, deren Trennungslinien zu der einen Tangente (z. B. zur AC) parallel sind und die Längen y₁, y₂, y₃ ... . haben mögen, und erhält, wenn man die Streifenbreite (senkrecht zu den Ordinaten y, mit e bezeichnet und A C = y₀ setzt

3 = y (i/o + ⁴.(/l + ²//2 4* ⁴//3 4~ • ‘ • • 4~ ⁴ Vm-i )•

.A

(7

7//t

Fig. 34.

Soll das Trägheitsmoment J' des Querschnittes in Bezug auf eine zur xx parallele Achse x x bestimmt werden (Fig. 33), so ist zu dem oben ermittelten Flächeninhalte 3 noch der Inhalt eines Dreiecks CFG zu fügen, welches von der Geraden x x und den äussersten Tangenten an die Seillinie begrenzt wird.

x, y.

28. Das Centrifugalmoment. Wir nehmen zunächst an, es sei das Centrifugalmoment Jxlvl einer Fläche F in Bezug auf zwei sich rechtwinklig schneidende Schwerachsen xlf yx, gegeben, und suchen das Centrifugalmoment von F, bezogen auf die zu. xt, yx parallelen Achsen Der Schwerpunkt von F habe die Koordinaten B, und 7], Fig. 35.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

b h¹

Es ist

=    +0(yi+’i) äF

— \xilh dF -f- %jyidFT] I XidF i]%F,

worin zu setzen: JyxdF

0, JxxdF

= 0, als statische Momente der

+x

Fläche F, bezogen auf deren Schwerachsen, und es folgt mithin das Gesetz (3) Jxy — Jx\y\ -f- Fr\h,.

Ist Jx\y\ — 0, ein Fall der z. B. vorliegt, sobald eine der beiden Achsen xx oder yl

eine Symmetrieachse des Querschnitts ist, so ergiebt sich

⁺7/<

Fig. 35.

(4) JV=F^.

Mit Hilfe dieser Gleichung lässt sich nun das Centrifugalmoment eines Querschnitts ermitteln, der aus Rechtecken besteht, dessen

Seiten den Achsen x, y parallel laufen. Figur 36 stellt einen solchen Querschnitt dar. Entsprechen den Schwerpunkten Sx, S₂, S₃ der drei Rechtecke die Koordinaten (-{-'*]₁,

(—^2 —£*)> (—Vs, + £3)* so ergiebt sich:

J*y = Fl Si + F₂ 7]₂ £₂ — F₃ 7]s £3.

7,

Xzr

jjl aju: 1/

nt

mm

m

■1

4X

J'/

‘m

. V w'

...1:

0S

Vs'

sf/

|+W.'

4i

4r

Fig. 36.

Um dieses Moment durch Zeichnung zu bestimmen, verwandeln wir die drei Rechtecke in solche von der gleichen Breite a, fassen die

FFF

Höhen zx — ~, z₂ = —!-, z₃ = ^ der neuen Rechtecke als Kräfte auf,

welche parallel zu der »-Achse wirken, und zeichnen aus dem beliebigen Pole Ox das Seilpolygon I II III IV, dessen Seiten auf der »-Achse die Abschnitte 12, 23, 34 bestimmen. Es ist dann, wenn ax die Polweite bedeutet,

12 =

zirli

«i

; 23 =

_Z2 Tl2

«i

; 34

Z3

ax

Jetzt betrachten wir diese Abschnitte als Kräfte, die in den Punkten Sx, S₂, S₃ angreifen und parallel zur y-Achse gerichtet sind, und zeichnen mit der Pol weite a₂ das Seilpolygon ï' II" III" IV", dessen Seiten senkrecht zu den Strahlen ï IÏ III' IV' sind, die von 0₂ aus nach den Endpunkten der auf der »-Achse bestimmten Abschnitte 12, 23, 34 gezogen sind.³) Das Produkt aus der zweiten Polweite und aus der Strecke m, welche die äussersten Seiten (I" u. IV") dieses Polygons auf der y-Achse abschneiden, ist gleich dem statischen Momente der Kräfte

12, 23, 34 in Bezug auf die y-Achse. Es folgt mithin

23 £₂ + 34 £3 z2 % ^2

a₂ m = 12    -

1

z3 ^3 ^3

ax

ax

ax

und hieraus ergiebt sich, da in Fig. 36 die Strecke m positiv ist,

— ax a₂ m.

0_

-t-or

Hik

k-----

+ .jc'

\V

Fig. 37

*W

Fig. 38.

Nun ist aber Jxy — iSJïhrjç; = aüSzY]?, und es folgt deshalb

Jxy - (l(lx Ug iW«

Es leuchtet ein, dass das beschriebene Verfahren zur Bestimmung der Centrifugalmomente beliebiger Querschnitte benutzt werden kann. Im Allgemeinen muss der Querschnitt in Streifen zerlegt werden, welche einer der beiden Koordinatenachsen parallel laufen und so schmal sein müssen, dass sie als Rechtecke aufgefasst werden dürfen.

Besonders wichtig ist der in Fig. 37 dargestellte Sonderfall. Die Mittelpunkte der zur a>Achse parallelen Querschnittssehnen liegen in einer Geraden, welche die rr-Achse unter dem Winkel a und im Abstande a vom Ursprung 0 schneidet. Man erhält

Jxy

JxydF = J (a -f- ij cotg a) ydF

a JydF-j- cotg a j y²dF,

oder, wenn man mit vj die Ordinate des Querschnitts-Schwerpunktes bezeichnet,

(5)

Jxy — Fatj -f- Jx cotg a. Für das Dreieck (Fig. 38) ergiebt sich z. B.

bh³

bk³

Jxy = -j- cotg a und    cotg a.

Der in Fig. 39 abgebildete Querschnitt (Parabel ab schnitt) sei durch die Gleichung bestimmt:

’=i,Vh-

He-------^

-+OC

-+oc‘

Fig. 39.

Der Flächeninhalt ist

=J zdy = ~bh

und das statische Moment des Querschnitts in Bezug auf die #-Achse

Jzydy=

5

3

Der Schwerpunkt S liegt also im Abstande — h von der x-Achse. Weiter ist

zy²dy — — bhz

2    2

— bh*.

— bhs —

175

7    o

Das Centrifugalmoment für das Achsenkreuz x y ist also

(6)

Jx'y' -

175

bhs cotg a.

29. Das polare Trägheitsmoment des Querschnitts in Bezug

auf einen in der Ebene des Querschnitts gelegenen Punkt 0 ist durch die Gleichung erklärt

J,=J r*dF,

wo r den Abstand des Quer-schnittstheilchens dF vom Punkte 0 bedeutet. Für recht

winklige Koordinaten ist(Fig. 40) r² = x² + y²,

mithin

(8)

jp    jy | J'X*

In Bezug auf einen in der a;-Achse im Abstande e von 0 gelegenen Punkt 0' erhält man das polare Trägheitsmoment

j P    j y | JX .

jc

<r---C

es ist also

J p Jp | J y Jy Ist die «/-Achse eine Schwerachse, so besteht zwischen j'y und Jy die Beziehung

Fig. 40.

P' -hOC

+y'

man erhält dann

(9)

j'p = Jp-\-Fe².

30. Einführung schiefwinkliger Koordinaten. Ist ein Querschnitt anfänglich auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz x, y bezogen, und dreht man die #-Achse, bei festliegender «/-Achse, um den Winkel 90° — ß in die Lage x (Fig. 41), so ergeben sich die schiefwinkligen Koordinaten: y =y — x cotg ß und x = x cosec ß.

0__x

(+yj

Fig. 41.

_+x

Aus den für rechtwinklige Koordinaten bestimmten Querschnitts

momenten

Jx—Jy²dF; Jy—Jx²dF; Jxy=jxydF

findet man demnach die auf schiefwinklige Koordinaten bezogenen:

(10)    Jy'=jx²dF

(11)    Jx'y’=jyxdF

= cosec

= cosec

ßjx²dF=Jy cosSc²ß

ß    — cotg ßjx²dFJ

= cosec

Die letzte Gleichung führt zu dem wichtigen Gesetze: Bestimmt man ß mittels der Formel

(12) cotg ß

Jy\

so ist das auf die schiefwinkligen Achsen y, x bezogene Centrifugal-

moment gleich Null.

+Xj

+xt

(-—A

+y*

⁺y

⁺yi

Fig. 42.

31. Entwickelung einiger wichtiger Formeln. Ein Querschnitt bestehe aus zwei Theilen mit den Inhalten Fy, F2 und den Schwerpunkten Sy, S₂. Fig. 42. Beide Theile seien auf rechtwinklige Schwerachsen Xy, yx und x₂, y₂ bezogen. Gegeben seien die Querschnittsmomente Jxi, Jyv Jxiyi des Theiles Fx, ferner JXVt Jy2, J*™? des Theiles F₂, und gesucht seien die Werthe Jx, Jy, Jxy für den ganzen Querschnitt in Bezug auf dessen Schwerachsen x, y, wobei die Richtungen x, xx, x₂ einander parallel sein mögen, desgl. die Richtungen y, yu y₂. Mit den aus der Fig. 42 ersichtlichen Bezeichnungen ergiebt sich ('nach Gleich. 1 Seite 29):

also

Jx — Jxi +    + F% ‘'Ir

Nun ist aber Fyï)j = F₂f\₂ und ï)i + iQs = a,

F₂a

■*li =

Fy+F,

imd rj₂

weshalb

Fylfy -f- F₂f]₂ -

Fy F₂ a (*]t + ris)

Fy + F₂

F y + F₂ ’ und schliesslich:

(13) Jx= Jx2~\~ Auf dieselbe Weise findet man

(14) Jy—Jy\ + Jy* 4

FyF₂ a¹

F y —j— F₂ •

FyF₂b*

Fy + F%

und (aus der Gleich.: JXy — JGm + J*2yi + Fyt\y^y -f- F₂rl2i,):

(15) Jxy- Jxiyi + Jx2y-> ~f

Fl F₂ a b

fx+f₂ •

Sind die Achsen xxyx und x₂y₂ Hauptachsen der Theile Fx bezieh. F₂, so ergiebt sich Jxxyl = 0, Jxj y₂ — 0, und man erhält:

FXF₂ ab Fx + F₂'

Mit Hilfe der Gleich. (13) bis (16) kann man J*, Jyi Jxy finden, ohne die Lage des Schwerpunktes S zu kennen. Es bieten aber diese Formeln auch bei gegebener Lage von S zuweilen Vorteile, weil die in dieselben einzuführenden Zahlen meistens abgerundeter sind als die Zahlenwerte für -q und Jj.

(16) Jxy

Ist die Lage von S bekannt, und sind gleich Null, so kann man

Jx\ i/i und Jx aus der Gleichung

Jxy- -f,lï)l ?1 "t" F₂Y]₂^a

mit Hilfe der Beziehungen : Fxi,x = F₂ £₂ ; Fxr\x = F₃rj₂ auch ableiten:

(17) J*y ⁼⁼ Fi êi a ⁼⁼ F₂ êï a —- Fx"qx b = F,t]₂b.

■9<S

Zahlenbeispiel. Für den in Fig. 43 dar-gestellten Winkeleisen - Querschnitt sollen die Werthe Jx, Jy, Jxy in Bezug auf die den Schenkeln parallelen Schwerachsen berechnet werden.

Ohne erst die Lage der Schwerachsen zu bestimmen, findet man, nach Zerlegung des Querschnittes in zwei Bechtecke mit den Inhalten Fx = 6 8² und F₂ = 9 8² :

+x

jL

St,

...........•>

+Jf

Fig. 43.

Jx==n ⁽⁶'¹³ + ¹‘⁹³⁾⁵H

Jy —    (1 • 6³ -f- 9 • l³) 8⁴ -j

6-9

6-9

5²8⁴ = 151,25 S⁻⁴

2,5²8⁴ = 41,25 8⁴

• 5 • 2,5S⁴ = 458⁴.

Jxy

6-9

6 + 9

Muss man die Lage des Schwerpunktes aus irgend welchen Gründen haben (z. B. bei der Berechnung von auf Biegung beanspruchten Stäben), so bestimme man t)x u. Zx oder -q₂ u. + Hierzu stehen die folgenden Gleichungen zur Auswahl (vergl. Fig. 42);

F₂a

(18)

Fi + F.2 Fxa Fx + F₂

; ?1 =

; I.

F₂b

Fi + F₂ 5 Fxb

Fi + F t ;

S"|b* Ä"|s*

®'|»

Im vorliegenden Falle findet man z. B.

38 und = yjx — = t), -i- = 1,58.

â    ù

98* -58

*)l =

(6 + 9)8²

Durch diese beiden Werthe ist die Lage von S bekannt, und es ergiebt

sich jetzt:

Jxy = Fx a — 6 • 1,5 • 5 S⁴ — 4 5 §⁴.

Dass bei einem so einfachen Querschnitte wie der in Fig. 43 dargestellte die Eechnung schneller zum Ziele führt wie die Zeichnung, braucht kaum hervorgehoben zu werden.

32. Aufgaben.

1. Berechnung der Trägheitsmomente des Kreisquerschnitts.

Mit Hilfe der auf Seite 31 für das Dreieck abgeleiteten Formel J = — bh* findet

4

man für das polare Trägheitsmoment des Kreises, Fig. 44, den Werth

2 71

Jp —

— rdcp. r3 4

Nun ist aber

r⁴ / ,    Ti r

= T/<*9 = -2 0

mithin ergiebt sich

Jp-Jx "j~ J y

Jx -Jy - ^

T ÊMcLf

J .r

-h.y

+ JC

Fig. 44.

Fig. 45.

2. Für den Quadranten. Fig. 45, erhält man

Jx=Jy— -^r

j _77 r⁴

:y=J ydx^x = ^-J x(r² — x²) dx —    .

Das statische Moment dieses Querschnitts in Bezug auf die æ-Aclise ist

Sx

r3

Der Abstand des Schwerpunktes des Querschnitts von der x- Achse ist

Sx

4r

377

3. Für den in Fig. 46 dargestellten Querschnitt (Unterschiedeines Quadrats und eines Quadranten) ist*)

—)

16 /

1-

⁰⁰ 1

Co

(^t)-

?!

k—- üjj----H

7>

Fig. 46.

Die Ordinate des Schwerpunktes ist

8»

0,776632 r.

3 (4 — rc)

Die auf die Schwerachsen s,s bezogenen Querschnittsmomente sind

J, = JX — FP = JX — SXZ Jss = Jxy - FS,² — JXy - SxS>-

Das Trägheitsmoment für die zur rr-Achse parallele Achse a ist

Ja — Js + F (g + e)² = Js + F¥ + 2 FS e + Fe2 Ja = Jx + 2 Sxe + Fe²

Ja~{\

r² e².

*) Yergl. für das Quadrat die Fussnote auf Seite 31.

r²ec.

Das Centrifugalmoment für das Achsenkreuz ab ist Jal = Jss + F{l + e) (g + c)

= J« + F& + Fl (e + c) + Fee — Jxy ~(~ Sx (e -f- c) -f- Fe c

£(‘+‘>4-1)

Jab

4. Berechnung der Querschnittsmomente für das in Fig. 47 abgebildete Z-Eisen (Normalprofil No. 14 für Schiifbauzwecke). Der Querschnitt ist auf rechtwinklige Schwerachsen bezogen, die y-Achse ist parallel zum Steg. “Wird die Abrundung der Ecken C und E vernachlässigt, so erhält man

Jx =    (8 • 14³ — 7 • 11,6®) = 918,811 rund = 919 cm⁴

X u

339 „

= 430,080 „    430 „ .

Jy — -y (1,2 • 15³ + 12,8 • l⁸) = 338,567 „

Jxy = 2 • 1,2 • 7 • 6,4 • 4,0

k----S------>|

-H

II

14 cm

12,8

+ JC

.j

~T

7/

fi

k-

...Y-

Jl

JS

jr^û

>t

%0

jL.a

k-

*ÿ

Fig. 47.

Fig. 48.

Infolge der Abrundung der Ecken E und C durch. Yiertelkreise mit den Halbmessern r und rx (Fig. 48) ändern sich diese TVerthe um A Jx, A«7y, AJX

r²c²

in

wo

TC

16

r* —

« CO

[(I

tOj M»

A Jxy — —

r⁴

y (« — c) + ( 1 — y ) r*ec

[- T + T (e‘_ 0t) + (¹ “ T )r’ e‘ “■]•

Für den Flächenstreifen zdy erhält man, bezogen auf das schiefe Achsenkreuz x y':

dJy' = d y sin ß lx' J dx — sin ß d y .

Da nun d y = dz

(«i — a.y)

so folgt

J’f

sin ß t

«i

12(0! — a₂)

z³ dz =

sin ß t (a\ — a\) 48 (tfj — a₂)

Der Flächeninhalt ist

F _ h(a x _+ %)•

Es ergiebt sich also schliesslich

J’/

F(a\ + al)

24

Beziehungen zwischen den Trägheitsmomenten und Centri-fugalmonienten für Achsen, welche durch einen und denselben

Punkt gehen.

33. Analytische Beziehungen. Dreht man das rechtwinklige Achsenkreuz (x} y), auf welches der Querschnitt bezogen ist, um den

CC ! f

>o_

y--

+y

*y

Fig. 50.

Winkel a in die Lage x, y (Fig. 50), so sind die neuen Koordinaten: y = y cos a — a: sin a x = y sin a -j- x cos a,

Da nun rx — — r ist, so wird AJx = -\- 0,2568    r³ ( e + y «i ) + 0,4292 r² (

A Jy = + 0,2568 r⁴ — y r³ ( c + ~cx ) -f 0,4292 r² (

A Jxy = — 0,2344 r⁴ — y r³ ( e — c +    -¹- ) + 0,4292 r² ( ec — y txcx).

Die Einsetzung von r — d — 1CT", c = 1,5c"‘, cx = 7COT, e = 4,8C,M, = 6,3em

AJX — 9,612, AJ„ = — 5,619, AJXIJ = — 2,547. die genauen Querschnittsmomente J -f- A J sind daher

Jx = 928,423 J",, = 332,948 Jxy = 427,133.⁴)

Sind v], § die Schwerpunkts-Koordinaten des bei E infolge der Abrundung hinzukommenden Querschnittstheilchen A F und ■»h, die Schwerpunkts-Koordinaten des bei C fortfallenden

Theilchens \ A F⁷, so darf man

auch genügend genau setzen

C'~TC‘)

liefert

K—%---->1

■+jc‘

+JC

tdy

A Jx = 2 A F

r<-

->i

AJxy = 2 A F

*3f‘

Der Flächeninhalt des Querschnitts ist

Fig. 49.

F = 30,6 (ohne Rücksicht auf die Abrundungen)

F = 31,1 (mit

5. Berechnung der Querschnittsmomente des Trapezes, [bezogen auf die schiefen Achsen x y. (Fig. 49). Die y- Achse fallet mit der Transversalen zusammen; es ist dann «7xy = 0.

Zerlegt man das Trapez in zwei Dreiecke, so erhält man nach Gleichung 13, Seite 38, in Bezug auf das rechtwinklige Achsenkreuz xy den Werth

ax h a» h

’    2/kV

11

11

)•

axh³a₂h³ 2 36    36 axh a.₂h\3

⁺ '_sT

Nach No. 30 ist nun

Jx' = Jx cosec² ß = Jx —-, mithin

h²

Jx'

ht²

36

lind es ergeben sich für die Querschnittsmomente: Jy = f y'²dF• Jy = J x'²dF; Jxy = Jx y dF in Bezug auf die Achsen x und y des neuen Kooi’dinatensystems die Ausdrücke:

Jy — cos² aJy²dF -f sin² ajc J,y = sin² ixJy²dF -f- cos² <xjx²dF-j-

n',/dF—fx‘dF^+(

Jyy = sin a cos a

Werth en

x²d F — 2 sin a cos a j x

2 sin a cos a

cos² a —

sin² a) J xydF.

Es bestehen also zwischen den auf die Achsen x, y bezogenen

Jx=jy²dF; Jy =fx²dF; Jxy=jxydF

und den Werthen Jy, Jy,Jxy die Beziehungen

Jy — Jx cos² a -j- Jy sin² a — Jxy sin 2 a, Jy— Jx sin² a -f- Jy cos² a -f- Jxy sin 2 a,

(1)

Jxy

~ (Jx—Jy) sin 2 a -(- Jxl/ cos 2 a.

u

Addirt man die beiden ersten dieser Gleichungen , so erhält man das wichtige Gesetz

Jx’ I Jy    J x I Jy)

nach welchem die Summe der Trägheitsmomente, bezogen auf irgend zwei durch einen und denselben Punkt gehende, rechtwinklige Achsen konstant ist.*)

Aus der ersten der Gleichungen (1) ergiebt sich für eine unter 45° gegen die ;r-Achse geneigte, in der Fig. 50 mit 0 bezeichnete Achse das Trägheitsmoment

(2)

Jz    (Jx ~h J,j) - Jxy

und hieraus folgt die Formel

(3)    Jxy - “ {Jx -j⁻ Jy) Jzf

welche mitunter zur Berechnung des Centrifugalmomentes aus drei Trägheitsmomenten benutzt wird.

Setzt man

cos² a =

so geht Jy über in

1 -f- cos 2 a

, sin² a =

1 — cos 2 a

(4) Jx’ =

JxlJ sin 2 a.

*) Dies folgt auch nach Seite 37 aus Jp = Jx + Jy = Jx + Jy.

Dieser Werth wird ein Maximum bezw. Minimum sobald

Jxy cos 2 a = 0

Y ( Jx — Jy) sin 2 a —

ist, woraus

(5) tg 2 a

__- Jxy

jX    jy

Dieser Gleichung genügen zwei Winkel a, die sich von einander um 90° unterscheiden. Die beiden Achsen, für welche J ein Maximum oder Minimum ist, stehen also aufeinander senkrecht; sie führen den Namen Hauptachsen. Die Trägheitsmomente in Bezug auf die Hauptachsen heissen Hauptträgheitsmomente, sie sollen mit Jx und J2 bezeichnet werden. Aus den Gleichungen (4) und (5) folgt

tg 2 aj

Jx — ~y (Jx 4~ Jy) 4“ ~2'(JX — Jy) cos ^

~Y (Jx~\~ Jy) 4" y («4 — Jy) cos 2 a (1 —f- tg² 2 a)

-^-(«Tr+ Jy) -j g” («Î* Jy) ]/¹ 4" tg²

2 Jxy

Jx Jy

2 a.

Man erhält also für die beiden Hauptträgheitsmomente die Werthe

(6)

■h = y (J*+    +y V(J- —    + ⁴ ^

Jmax

Jmin •

Aus der dritten der Gleichungen (1) und aus Gleichung (5) folgt schliesslich noch, dass das Centrifugalmoment für die Hauptachsen = 0 ist. Jede Symmetrieachse ist zugleich eine Hauptachse.

34. Geometrische Beziehungen (nach Mohr). Durch einen beliebigen Punkt 0 eines Querschnitts (Fig, 51) seien zwei Achsen x und y gelegt, die miteinander irgend einen Winkel einschliessen. Die lothrechten Abstände des Querschnittstheilchens dF von diesen Achsen seien als dessen Koordinaten eingeführt, p sei der Abstand des Theil-chens dF von 0 und a und ß seien die Winkel, welche der von 0 nach dF führende Fahrstrahl mit den Achsen x und y bildet. Das

Centrifugalmoment des Theilchens dF in Bezug auf die Achsen x und y ist dann

dJxy = dF • p² sin a sin ß.

Legt man nun durch 0 einen beliebigen Kreis, dessen Radius r ist, und bringt man die Achsen x, y und den Fahrstrahl p mit dem Kreise in A, B und C zum Schnitt, so ist /BAC = ß und Sehne A C = 2 r sin a, mithin ist der Abstand des Punktes C von der Kreissehne A B gleich 2 r sin a sin ß. Legt man also dem Punkte C eine Masse von der Grösse

dFg²

Oy

'y

oc

oc

7/

7T

¹

Bezogen auf eine mit b zusammenfallende Achse erhält man J = ~o

²

In Gleich. (1), Seite 26, ist a = 90° und II = ax zu setzen.

³

Zu demselben Ergebnisse gelangt man, wenn man jene Abschnitte, und mit ihnen den Strahlenbüschel T II’ III' IV', um 90° nach links dreht und hierauf I" |] /', II" [j II’ u. s. w. zieht.

⁴

Das Normalprofilbuch giebt an Jx= 928,4, Jy = 332,9; die wichtigen Centrifugalmomente sind in diesem Buche leider nicht aufgeführt.

+ly

Fig. 51.

bei, so ist das statische Moment dieser Masse in Bezug auf die Kreissehne AB gleich dem Centrifugalmoment dJxy.

Denkt man sich nun zu jedem dF den zugehörigen Kreispunkt und die diesem Punkte beizulegende Masse bestimmt und schliesslich den Schwerpunkt T aller dieser Massenpunkte ermittelt, so erhält man, wenn T von der Sehne AB den Abstand hxy hat:

dFg² _ hxyJv

wo Jp das polare Trägheitsmoment des Querschnitts in Bezug auf den Punkt 0 bedeutet.

Fallen die beiden Achsen x und y zusammen, so wird aus dem Centrifugalmoment ein Trägheitsmoment und aus der Kreissehne AB

eine Tangente. Bezeichnen also hx und h,, die Abstände des Punktes T von den in A und B an den Kreis gelegten Tangenten, so ist

Jx hx

Jy =

* Je-.

y 2 r

Sind nun drei Querschnittsmomente: Jx, Jy, Jxy auf die im vorigen Paragraphen gezeigte Weise ermittelt worden, so kann man die Lage von T auf Grund der Bedingung bestimmen, dass sich die Abstände hx, hy, hxy zu einander verhalten müssen wie Jx : Jy : JX)J und hierauf ist man imstande, die Trägheitsmomente und Centrifugalmomente für alle durch den Punkt 0 gehenden Achsen sehr rasch anzugeben. An die Stelle von Jxy kann natürlich auch ein drittes Trägheitsmoment Jz als Bestimmungsstück treten, während sich andererseits die Lage von T auch mit Hilfe von drei Centrifugalmomenten oder mit Hilfe eines Trägheitsmomentes und zweier Centrifugalmomente bestimmen lässt.

0,

xi

y*

XX'

'/\T~

!/i

Fig. 52.

Führt man als Koordinaten von dF nicht die loth-

Geht die Kreissehne AB durch den Punkt T so ist das Centri-fugalmoment Jxy = 0; die beiden Achsen x und y heissen dann zugeordnete oder conjugirte Achsen. In Fig. 52 ist eine Schaar zugeordneter Achsen x₁yl, x₂y₂, %₃y₃, .... dargestellt worden; sie bilden einen involutorischen Strahlenbüschel; das Centrum der Involution ist der Punkt T.

rechten Achsenabstände x und y ein, sondern die schrägen Abstände

ly

£ und rt (Pig. 53), deren Richtungen aber mit den Achsen cc und y die von der Lage von dF unabhängigen also festen Winkel 7 und e einschliessen, so ist

J&j —

flr{dF

sin y sin e

j xydF,

Ist also Jxy — 0 so, ist auch Jty = 0.

In der Folge werden wir meistens rechtwinklige Koordinaten einführen und den bislang willkürlich gelassenen Kreisdureb-messer

2r — Jp — Jx-\r Jy

wählen. Als drittes Bestimmungsstück werden wir in der Regel ein Centrifugalmoment benutzen. Sind dann für irgend ein Achsenkreuz Jx, Jy, Jxv gegeben, so bestimmen wir T nach Fig. 54 oder Fig. 55. In der ersten Figur ist durch 0 ein beliebiger Kreis vom Durchmesser Jx -f- Jtj gelegt worden, in der zweiten wurde

()

PC

PC

\£,

'y

PC

/dF

'/

fig. 53.

>y

■JC

pc

PClj

—ot

PC,//

Pig. 54 und 55.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

die Æ-Achse zur Kreistangente gemacht. Beim Aufträgen von Jxy ist auf das Vorzeichen zu achten.

Fig. 56 zeigt die Ermittlung der Hauptachsen und Hauptträgheitsmomente. Es wurde ein die a>Achse berührender Kreis benutzt. Der durch T gelegte Durchmesser bestimmt die Hauptachsen OA und OB;

i.

T"

"I

JL.

'£/

■7

7/

,2

7/

Fig. 56.

die Strecken TA und TB stellen die Hauptträgheitsmomente dar, es ist

TA = Jl = J„

TB = J, = Jmin.

Aus der Pig. 56 lassen sich auch leicht die in No. 33 abgeleiteten Formeln herauslesen. Es ist nämlich

tax

MT=-

Ji J%

ME

Jx Jy

Jl    J2    Jx Jy

sec 2 ß

Jl Ji — Jx + Jy

folglich

2 (J* 4" Jy) + 2 ^-4/) sec 2 ß

J%    2 I J y )    2    '4) s®*- — ß*

Der Winkel ß ist bestimmt durch

(7) tg 2 ß =

ET

2 Jxy

ME

Jx Jy

Macht man MH = MT, so ist / ETH=$, und man findet EH= 0H— ÖY= AT— ÖY=J₁ — JX = JXI, tg ß, so dass man auch erhält:

(8)

\ Jy = Jx -j- Jxy tg ß

\    = Jy JXy tg ß-

Besitzt ein Querschnitt eine Symmetrieachse, so bezieht man ihn zweckmässig gleich von vornherein auf Hauptachsen. Dieser Fall ist in Fig. 57 dargestellt worden. Es ist OT=J₁ und TA = J₂. Die

o.

.T,

'Ir

je

'4//

Fig. 57.

Figur zeigt die Ermittlung von Jx, J'u, Jxy für ein beliebiges, durch 0 gelegtes Achsenkreuz. Rechnerisch findet man aus den Hauptträgheitsmomenten

(9) Jx = Jx cos² a -\~ J₂ sin² a

(10)    Jy = Jx sin² a -f- J₂ cos² v. — Jx J₂ — Jr

(11)    Jxy = J (Ji — Ja) sin 2 a-

funden :

Zahlenbeispiel. Für das auf Seite 42 untersuchte Z-Eisen wurden ge

Jx = 928,423 Jy — 332,948 Jxy = 427,133. Die Lage der Hauptachsen ist bestimmt durch

2/Jxy _ 854,266 Jx -— Jy    595,475

ß = 27° 33'38" tgß = 0,52191.

Für die Hauptträgheitsmomente ergeben sich die Werthe

Jx = Jx -j- JXy tg ß — Jx + 222,925 — 1151,35 cm4 J₂ = Jy — 222,925 = 110,02 „

35. Wichtige Beziehung zwischen zwei zugeordneten Richtungen. Gegeben seien für rechtwinklige Koordinaten xy die Querschnittsmomente Jx, Ju, Jxy, gesucht eine Beziehung zwischen den Winkeln gl und gl", welche zwei zugeordnete Richtungen mit der x-Achse bilden, Fig. 58. Sind y und y" die Lothe von irgend einem Querschnittspunkte auf die beiden zugeordneten Achsen, so muss

/U.“

lei'

Fig. 58.

sein. Nun ist aber

mithin

JC

-+JC

(yy"dF=o

y — y cos gl — x sin gl y" = x sin gl"— y cos gl

cos gl sin gl" j yx dF — sin gl sin gl' j

-j- sin gl cos gl" I xydF = 0

x² dF— cos gl' cos gl" / y² dF

und hieraus ergiebt sich die Beziehung

(tg a' + tg gl') = JxJr Jy tggl tggl'.

(12)

Ist gl gegeben, so findet man

(13)

n

tga =

Jx    Jxy tg

Jxy    Jy tg GL

Jx COtg GL — Jxy Jxy ^Otg ^ Jy

Für gl' = 0 erhält man tg gl" =

Jx

Jxy

,, GL •    ■ Ô0 ,,    ,, tg GL

Jxy

Jy

Sind die Achsen x und y Hauptachsen, so wird Jxy — 0 und Jx -f Jtj tg <x tg <x" — 0.

(VA

8.

Die Träglieitsellipse.

36. Annahme rechtwinkliger Koordinaten. Ein Querschnitt sei auf die

irgend einem Punkte O entsprechenden Hauptachsen (1) und (2) bezogen.

seien gegeben.

Die Haupt-Trägheitshalbmesser i₂ — J/'-^L und i₂ — j/" ^ _

J₂

Dann findet man für den Trägheitshalbmesser ix in Bezug auf eine unter dem "Winkel a gegen die Hauptachse (1) durch den Punkt 0 gelegte «-Achse die Gleichung

(1)    = i\ cos² a -f- i|sin² a (nach Gleich. 9 auf Seite 51).

Trägt man auf der zur «-Achse senkrechten y-Achse die Strecke OA — ir ab (Fig. 59), legt durch den Punkt A eine Parallele zur «-Achse und wiederholt dies für alle möglichen Lagen der «-Achse, so umhüllen jene Parallelen

'±

U)

ÄV

....

r.A

i-\/c

Xx

/D

frs) c

Fig. 59.

eine Ellipse, welche die Trägheitsellipse für den Punkt 0 heisst und den besonderen Namen Centralellipse führt, sobald 0 der Schwerpunkt des Querschnittes ist. Die Halbachsen der Trägheitsellipse fallen mit den Querschnitts-Hauptsachen zusammen und sind — il (senkrecht zur Achse 2) und — i.₂ (senkrecht zur Achse 1).

Der Beweis für den vorstehenden Satz ist der folgende. Die Gleichung einer Ellipse lautet, bezogen auf ihre Hauptachsen ix und i₂ als Koordinatenachsen, und wenn die Koordinaten irgend eines Punktes B der Ellipse mit xx und yx bezeichnet werden (wobei yx |! /, sein möge):

⁽²⁾ ir+T⁼

aus derselben folgt durch Differentiiren :

j-    — o oder xx =

Vidyx

i;

i\ dtji i\ dxx ’

und es müssen daher die Koordinaten des Ellipsenpunktes B. dem eine unter oc gegen die Achse (1) geneigte Tangente entsprechen soll, ausser der Gleich. (2) noch der Gleichung genügen:

il

il

— lh

(3) xx = —y i

i\

tga.

Kim folgt aus (2) und (3) mit Beachtung von (1):

i\ cos² a

y\

i\ cos² a

also :

cos² a -f- i\ sm²a cos a

!/i =

und hierauf xx

i\ sin a

ix

und es ist deshalb das Loth von 0 auf die in B an die Ellipse gelegte Tangente

i\ cos² a + i\ sin² a

OA =■ yx cos a -{- xx sin a

was zu beweisen war.

ix

'Ixt

Für die mit c bezeichnete Entfernung des Punktes A vom Berührungspunkte B ergiebt sich:

c — tjx sin a — xx cos a

(fi — *jj) sin a cos a

(Jj — J.,) sin 2 a,

2 ix F

und aus dieser Gleichung folgt mit Beachtung von Gleich. (11) auf Seite 51:

'Ix

(4) c

JXI

alSO Axy - 6* ix B*

ix F

so dass man im Stande ist, mit Hilfe der Trägheitsellipse die Querschnittsmomente Jx, Jy, Jxy für beliebige (zunächst rechtwinklige) Koordinatenachsen zu bestimmen.

Für die Anwendung viel bequemer ist natürlich der im § 7 benutzte

Kreis.

Ist CI) die der y-Achse parallele Tangente an die Trägheitsellipse und I) ihr Berührungspunkt, so ist OC — i,, und DC —

Axy

ï7*"

also, wenn DC = e

gesetzt wird, Jxy — eivF.

Die Richtungen OB und OC sind konjugirte Richtungen bezüglich der Trägheitsellipse, desgleichen OJJ und OA.

Einführung schiefwinkliger Koordinaten. Dreht man die a?-Achse, bei liegen bleibender «/-Achse um den Winkel 90° — ß in die Lage x' (Fig. 59 und 41), so erhält man (nach Ko. 30) in Bezug auf die schiefwinkligen Achsen y, x’:

Jy’ — Jy cosec² ß und Jxy = cosec ß [Jxy — Jy cotg ß), woraus, mit J,y = Fil’; Jy = Fi\; Jxy = eiyF, sich ergiebt:

i,y — iy cosec ß und «7*y = iy cosec ß (e — iy cotg- ß) F.

Bezeichnet man den Schnittpunkt der x- Achse und der Ellipsentangente DC mit E. so ist OE — iy.; DE—e— iy cotg ß, und es folgt daher:

Jy' —— F * ÔË*\ J x'y’ — F • OE ■ ËD.

Erhält die x -Achse die der i/-Achse konjugirte Bichtung OI). so wird Jx-y — 0, und es ergiebt sich der Satz :

Das auf konjugirte Durchmesser der Trägheitsellipse bezogene Centri-fngalmoment des Querschnittes ist — 0.

Der Winkel ß',. welchen die einander konjugirten Bichtungen OD und

OA einschliessen, ist bestimmt durch die Gleichung: cotg ß' =

sich dies sowohl aus dem am Schluss von No. 30 ausgesprochenen Gesetze, als auch aus Fig. 59; hier findet man

Jxij

Jj ‘

Es ergiebt

cotg ß'

DC

Jxu

iy Ay

Hat die x - Achse die Lage OD, so ist der Trägheitshalbmesser iy gleich dem Ellipsenhalbmesser OD.

Kennt man Jx, Jy, Jxy für irgend ein Achsenkreuz, so ist man im Staude, in jedem Ellipsenquadranten eine Tangente und deren Berührungspunkt anzugeben (in Fig. 59 die Punkte B, D, Tangenten AB, DC, sowie die entsprechenden 2 Punkte und 2 Tangenten auf der anderen Seite der ^-Achse). Die Ellipse ist also durch 8 Stücke gegeben, mithin überbestimmt, da bereits 5 Stücke zur Bestimmung eines Kegelschnittes genügen.

OC

III. Abschnitt.

Spannungen in geraden Stäben.

l)ie Norinalspannimgeii.

Diesen Gleichgewichtszustand wollen wir unter der Voraus-

37. Gleichgewichtsbedingungen. Ein von irgend welchen endlichen Kräften ergriffener gerader, elastischer Stab wird bei genügender Festigkeit seine ursprüngliche Form so lange ändern, bis die in seinem Inneren hervorgerufenen Kräfte den äusseren Kräften das Gleichgewicht halten.

Setzung betrachten, dass die entstandene Formänderung sehr gering ist und ihr Einfluss auf die Lage der Angriffspunkte und die Richtungen der Kräfte vernachlässigt werden darf; wir denken uns also bei Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen alle Kräfte in denjenigen Lagen, welche sie im Falle eines vollkommen starren Stabes einnehmen würden.

Durch einen zur Stabachse AB (Fig. 60) senkrechten Querschnitt F zerlegen wir den Stab in zwei Theile und vereinigen alle an dem

z. B. an dem linken, angreifenden äusseren Kräfte Pn P₂, P₃ .... (mittels des in No. 19 beschriebenen Verfahrens) zu zwei Kräften N und Q, deren erste senkrecht zum Querschnitte ist, während die andere in der Ebene des Querschnittes wirkt.

einen der beiden Theile

N heisst die Längskraft für den Querschnitt P; sie möge positiv angenommen werden, sobald sie das Bestreben hat, den linken Stabtheil von dem festgehalten gedachten rechten Theile zu entfernen. Die Kraft Q wird die Querkraft für den Querschnitt F genannt; ihr Vorzeichen ist vorläufig gleichgiltig.

A-m

\'

F'F

% P₃

+ ßrdF

Fig. 60.

Neben den äusseren Kräften greifen an dem betrachteten linken Stabstücke noch die vom rechten Stabstücke auf den Querschnitt F ausgeübten inneren Kräfte an. Die auf ein unendlich kleines Quer-schnittstheilchen dF wirkende Kraft setzen wir gleichmässig über dF vertheilt voraus; wir zerlegen sie in die Seitenkräfte odF und zdF, erstere rechtwinklig zur Querschnittsebene gerichtet, letztere mit dieser Ebene zusammenfallend. Hierbei bedeuten G und t die auf die Einheit von dF wirkenden Kräfte; sie werden Spannungen genannt, und zwar heisst G eine Formalspannung und T eine Schubspannung, G wird in der Regel als Zugspannung positiv und als Druckspannung (Pressung) negativ angenommen.

Sollen die inneren und äusseren Kräfte mit einander im Gleichgewicht sein, so muss

1)    die Mittelkraft t / cdF aller zur Querschnittsebene senkrechten Kräfte cdF der Längskraft N entgegengesetzt gleich sein und mit N zusammenfallen,

2)    die Mittelkraft Q' aller in der Querschnittsebene wirkenden Kräfte zd F der Querkraft Q entgegengesetzt gleich sein und mit Q zusammenfallen.

38. Ermittlung der Normalspannungen a. Wir beschäftigen uns zunächst nur mit den Spannungen G, beziehen den Querschnitt auf ein schiefwinkliges Achsenkreuz §, ?) und bezeichnen die Koordinaten des Angriffspunktes K der Längskraft i\r mit ■*)*. Dann lauten die Gleichgewichtsbedingungen, denen die Spannungen a genügen müssen

(1)

I cdF

X =

(2)    N%k=l%cdF

(3)    Nt] k = I rtcd F,

sie sollen in diesem Bande unseres Buches nur für den Fall aufgelöst werden, dass G eine lineare Funktion der Koordinaten £ und t] ist, dass also

(4) g = a -j- b% + cr{

gesetzt werden darf, wo a, b, c für den betrachteten Querschnitt feste Werthe bedeuten. Trägt man dann in jedem Punkte die daselbst

~Fn    iw

V' !

'mm

Mn

Fig. 61.

herrschende Spannung rechtwinklig zum Querschnitt als Ordinate auf, so liegen die Endpunkte der Strecke c in einer Ebene, welche den Querschnitt in einer Geraden nn, der sogenannten Nulllinie schneidet. In den Punkten einer zur Nulllinie parallelen Geraden herrschen gleich grosse Spannungen; die grösste Spannung entsteht in dem von der Nulllinie am weitesten abgelegenen Querschnittspunkte.

Man erkennt, dass sich für den Fall der Proportionalität zwischen Spannungen und Formänderungen — also für den Fall der Gültigkeit des Hooke’sehen Gesetzes — die Einführung der Gleichung (4) mit der in der Festigkeitslehre üblichen Voraussetzung deckt, dass bei der Berechnung der Spannungen G die ursprünglich ebenen Querschnitte auch nach der Biegung des Stabes als Ebenen betrachtet werden dürfen und dass sowohl die Krümmung der materiellen Linien, welche entsprechende Punkte zweier benachbarten Querschnitte verbinden, als auch die Querkontraktion vernachlässigbar ist. Die Brauchbarkeit dieser Annahme

ist für gerade Stäbe mit im Verhältniss zur Stablänge kleinen Querschnitts-Abmessungen durch eine Reihe schärferer Untersuchungen nachgewiesen worden, so von Be Saint-Venant in Liouville’s Journal, 1856, von Kirchhof in Crelle’s Journal, 1859, von Pochhammer in dessen Werke über das Gleichgewicht des elastischen Stabes (Kiel, 1879).

In erster Linie dürfen also die auf Grund der linearen Spannungs-vertheilung gewonnenen Formeln für Stäbe aus Flusseisen, Schweiss-eisen und Stahl benutzt werden, solange die Beanspruchung innerhalb der für diese Stoffe nachgewiesenen Proportionalitätsgrenze liegt. Aber auch bei der Berechnung der Querschnitts-Abmessungen von Holz- und Steinbauten (bei letzteren vorzugsweise im Falle des Ueberwiegens von Druckspannungen) hat sich jenes überaus einfache Spannungsgesetz recht gut bewährt.

Damit sich nun für die mittels der 3 Gleichgewichtsbedingungen

I (a -J- bh, + er,) dF I (a + &£ + ctj) %dF Krih = f (a-j-b%-f crf) r{dF

zu berechnenden Werthe a, b, c möglichst übersichtliche Ausdrücke ergeben, wählen wir zu Koordinatenachsen zwei einander zugeordnete Schwerachsen (vergl. Seite 48); es wird dann

l&F= 0, jt\dF

= 0,

J +\dF = 0

und die Gleichgewichtsbedingungen gehen über in

N = a F

At, == b I ç²dF = b Jr, Xr[h = c ! rl²dF=cJl

Setzt man die hieraus berechneten Werthe a, b, c in die Gleichung (4) ein, so erhält man für die gesuchte Spannung den Ausdruck

... ,

(0) c = 7+^ +

Die Nulllinie n hat die Gleichung

(6) 0 = 4+ 7 + —

tTrv

ojLP

Jn

sie schneidet auf den Koordinatenachsen die Strecken

Jr,

(V

Tin = —

•*1*

Fr\k

ah, ihre Lage ist unabhängig von der Grösse der Kraft N.

Die durch den Angriffspunkt K und den Schwerpunkt 0 gelegte Gerade führt den Namen Kraftlinie. Ihre Neigung ist durch das Verhältnis •/]*:£* gegeben, und die Neigung der Nulllinie durch die Zahl 7j„ :    Zwischen beiden Verhältnisszahlen besteht die Beziehung

(8)

fu ■»]*, _

{ 2 %n

LL Jn

Aus den Gleichungen (7) und (8) folgt: Zu jedem Angriffspunkte K gehört eine bestimmte Nulllinie n und zu jeder Kraftlinien-Richtung eine bestimmte Nulllinien-Richtung.

Liegt K im Schwerpunkte, so liegt die Nulllinie im Unendlichen; liegt K im Unendlichen, so geht die Nulllinie durch den Schwerpunkt. 1 m zweiten Falle muss N = 0 sein ; der Querschnitt wird durch eine unendlich ferne, unendlich kleine Längskraft (d. i. ein Kräftepaar) beansprucht.

Wichtige Schlüsse lassen sich auch aus dem Umstande ziehen, dass in den Gleichungen (5) und (6) die Koordinaten nur in den Produkten und %'*], deren Faktoren miteinander vertauscht werden dürfen, auftreten.

Betrachtet man in Gleich. (6) und kj* als die laufenden Koordinaten eines Angriffsgunktes K, der sich in einer durch diese Gleichung bestimmten Geraden n bewegt, so sind h, und r\ die festen Koordinaten desjenigen Punktes K', durch den sämmtliche zu den Punkten K gehörenden Nulllinien n gehen. Wird der Punkt K' Angriffspunkt, so wird die Gerade n Nulllinie. Hieraus folgt der wichtige Satz:

Bewegt sich der Angriffspunkt K auf einer Geraden nn, so beschreibt seine Nulllinie nn einen Strahlen-

zur Nulllinie nn gehörige Angriffs-punkt ist.

Aus der Gleichung (5) aber folgt der Satz:

Die Spannung G, welche eine im Punkte Ç;,7jfc angreifende Längskraft N im Punkte ç vj erzeugt, ist ebenso gross wie die Spannung, ivelche die im Punkte C’q angreifende Kraft N im Punkte Çic'Uc hervorbringt.

Beschreibt eine Nulllinie nn einen Strahlenbüschel, dessen Mittelpunkt K' isty so bewegt sich ihr Angriffspunkt K auf der dem Punkte K' büschel, dessen Mittelpunkt K der entsprechenden Nulllinie n n.

Wir werden diesen Satz in der Folge durch die kurze Gleichung

Gab ⁼ Gba

ausdrücken, in welcher aAB die Spannung bedeutet, welche im Punkte A durch eine in B angreifende Last von der Grösse 1 erzeugt wird. Ganz ebenso ist aBA zu lesen.

39. Einführung des Biegungsmomentes. Das Produkt aus der Längskraft N und ihrer Entfernung f vom Schwerpunkte S nennt man das Biegungsmoment (auch das Angriffsmoment oder kurz das Moment) für den fraglichen Querschnitt ; es möge mit M bezeichnet werden. Die Produkte

= M? und Nçk = Mn

wollen wir die auf die Achsen £ und t] bezogenen Seitenmomente von

(9) M = Nf

nennen. Wir erhalten dann

, .    N , M„ * , Mt

(io)    + i-

Ist N=0, sind also beispielsweise sämmtliche äusseren Kräfte senkrecht zur Stabachse gerichtet, so wird der Querschnitt nur durch ein Moment M beansprucht, und es ergiebt sich

Mi

Jn

Es ist dies der Pelastungsfall, den wir vorhin als Beanspruchung des Querschnitts durch eine unendlich kleine, unendlich ferne Längskraft bezeichneten. Die Nulllinie n geht durch den Schwerpunkt; sie ist parallel zu einer Geraden, die auf den Koordinatenachsen Strecken 7]„ und abschneidet, welche die Bedingung

**1h

(12)

_<!_* Mj,

L *y ' M;

erfüllen. Die eine der beiden Strecken darf beliebig gross gewählt werden.

Für

40. Einführung rechtwinkliger Koordinaten. Sollen die in No. 38 und No. 39 abgeleiteten Gleichungen für rechtwinklige Koordinaten gelten, so muss der Querschnitt auf Hauptachsen bezogen werden, denn diese sind die einzigen sich rechtwinklig schneidenden konjugirten Achsen. Besitzt der Querschnitt eine Symmetrieachse, so ist die Lage der Hauptachsen von vornherein bekannt, denn jede Symmetrieachse ist eine Hauptachse. Die Hauptachsen und Hauptträgheitsmomente der Walzeisen-Profile findet man in dem bekannten Normalprofilbuche und in vielen Taschenbüchern; hier lassen sich also die bisher gewonnenen Formeln ebenfalls sofort verwerthen. andere Fälle aber empfiehlt es sich, wenn rechtwinklige Koordinaten

wk

und es ergiebt sich

A =

h sdF

'J

Ju

sin*aJ

sini öl

eingeführt werden sollen, diese Gleichungen umzuformen. Zu diesem Zwecke vereinfachen wir die für schiefwinklige Koordinaten entwickelten Gleichungen zunächt dadurch, dass wir die Kraftlinie zur 7] = Achse machen. Es wird dann £k = 0, Mf. = 0, M: — M und es ergiebt sich

Ar rlk 7]

Ari

Jl

F J~r

ih

!3

--

& I

ft

«ç

(T

+1/

■L,

Fig. 62.

Die Kulilinie wird parallel zur ç-Achse und schneidet die Tj-Achse im Abstande

(14)    7j„ =

J-

F rik

Schwerpunkte. Wir erkennen jetzt, dass die Richtungen von Null-linie und Kraftlinie einander zu geordnet sind, eine Eigenschaft, die sich auch, allerdings weniger einfach, aus den in Ko. 38 aufgestellten Gleichungen hätte folgern lassen.

Nun beziehen wir den Querschnitt auf das rechtwinklige Achsen-

vom

kreuz u, v und wählen die der Kraftlinie zugeordnete Achse (d. i. bisherige Achse) zur u- Achse. Bezeichnet a den von den

unsere

Achsen £ und vj eingeschlossenen Winkel, so bestehen zwischen den bisher benutzten und den neuen Koordinaten die Gleichungen

vk

sin a ’

sin a

mithin ist

(18) G₀ =

an der Stelle v = 0. Es kann sich aber auch als zweckmässig erweisen, G für zwei Punkte, deren Abstände v durch runde Zahlen ausgedrückt sind, und die auch ausserhalb des Querschnittes angenommen werden dürfen, zu berechnen.

4L Weitere Umformungen für rechtwinklige Koordinaten.

Meistens ist es am zweckmässigsten, den Querschnitt auf solche rechtwinklige Schwerachsen xy zu beziehen, welche zu einer möglichst einfachen Berechnung von Jx, Jy, Jxy führen. Bildet dann die Kraftlinie mit der a;-Achse den Winkel a.k (Pig. 63), so'ist der Neigungswinkel a„ der zur Nulllinie parallelen u- Achse durch die auf Seite 52 abgeleitete Gleichung

Jv    J*y f o -Y- Jx COtg 0Ck    Jnj

Jxy Jy tg afc    Jxy COtg 0Ck Jy

bestimmt. Für das in die Formel (15) einzusetzende Trägheitsmoment Ju findet man nach Gleich. (1), Seite 45 den Werth

Der für G gefundene Ausdruck geht also über in

Nvkv

M„v

Ju '

wo Mu — M sin a das auf die w-Achse bezogene Seitenmoment ist, und die Lage der Nulllinie ist bestimmt durch

(15) G =

Ju

(16) vn

Ju

iu²

Fvk

Die für rechtwinklige Koordinaten gültigen Gleichungen (15) und (16) haben also dieselbe Form, wie die für schiefwinklige Koox*dinaten gefundenen Ausdrücke (13) und (14).

In Fig. 62 haben wir noch einen Ueberblick über die Spannungs-vertheilung gegeben, indem wir die Abstände v als Abscissen und die zugehörigen G als Ordinaten auftrugen. Dieses Spannungsbild ist durch zwei Werthe G bestimmt, beispielsweise durch eine der beiden für die äussersten Querschnittspunkte Lt und L₂ berechneten Spannungen

Nvlcel N . Mue₁

v,:

(17)

Ju

F~

Ju

Ff    Nvhe₂

Mup₂

Ju

Ju

und durch die Sjxannung

(19) tg a„ =

Ju = Jx cos ²a„ Jy sin ²an — 2 Jxy sin a„ cos a„

= cos a„ (Jx cos a„ — Jxy sin a„) — sin a„ (Jxy cos a„ — Jy sin a„)

und dieser geht wegen der aus der Gleich. (19) folgenden Beziehung

Jxy cos a„ — J y sin a„

Jx cos a„ — JXi) sin a„

= cotg a.k =

cos <xk

sin <xk

über in

Ju = (Jx cos a„ — Jxy sin a„) cos a„ sin <xk — sin a„ cos <xk

sin <xk

= (./, cos a„ — sin a„)

sin (a* — a„)

sin <xk

er

.y«

Fig. 63.

Setzt man diesen Werth in die Gleichung

N . Muv F , d/sin (a*.—a„)v

F Ju F

Ju

ein und bezeichnet man das auf die x-Achse bezogene Seitenmoment mit Mx,

(20) Mx = M sin ak> so erhält man den einfachen Ausdruck

(21) c =

Mxv

Jx cos a„ — Jx,j sin a„

Drückt man noch v durch x und y aus,

v = y cos aH — x sin a„,

so findet man für die Spannung an der Stelle x y den Werth

(22) a —

— so tg a„

Jx    Jxy tg Sf-n

In derselben Weise lässt sich auch die Formel ableiten

(23) ff =

— y cotg q„

Jy — JXy cotg a„

Beide Formeln sind nöthig. Ist <x.k = 0, also auch Mx = 0, so ist die Richtung der Nulllinie durch

(24) tg a„ =

Jx

Jxy

gegeben, und das zweite Glied der Gleich. (22) nimmt den unbestimmten Werth 0:0 an. Wird My = 0, so versagt die zweite Formel;

es wird dann tg a„ =

Setzt man ff = ö und Mx= Nyk, so erhält man aus Formel (22) die Gleichung der Nulllinie

Jx

J,

l    !/ — xtg0LH

(2o)    »₊

während aus Formel (23) für dieselbe Linie die Gleichung

. x — y cotg aM

+ xh-=-f-

Jy -Jxy cotg a„

folgt. Diese Linie schneidet auf der //-Achse die Strecke

Jx Jxy lg

(26) 0 =

(27)

!U = —

F'Jk

ab und auf der a>Achse die Strecke

(28) x„ —

Jy — Jxy COtg «„

Fxk

Kennt man den einen der beiden Werthe y„, x„, so findet man den anderen auch mittels der Gleichung

Un

xn

= — tg

42. Zeichnerisches Verfahren. Wir setzen den in No. 41 behandelten Fall voraus, beziehen also den Querschnitt auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz xy, das eine möglichst einfache Ermittlung von «7X, Jy, Jxy gestattet. Hierauf benutzen wir zur Bestimmung der zur Kraftlinie k gehörigen Nulllinien-Richtung den von Mohr eingeführten Kreis, vergl. No. 34. Wir tragen auf der ?/-Achse die Strecken

OE — Jx und EC = Jy auf, und setzen von E aus rechtwinklig zur y-Achse die Strecke E T = -{- Jxy ab. Ist Jxy negativ, so liegt der Punkt T im zweiten Quadranten. Nun wird die Kraftlinie mit dem durch den Durchmesser OC bestimmten Kreise in A zum Schnitt gebracht und mittels der Sehne A TB die Richtung der u-Achse festgelegt. Der

HII

CVN

r_

JS

oc

-&T

'k

Fig. 64.

Abstand des Punktes T von der in B an den Kreis gezogenen Tangente stellt das Trägheitsmoment Ju dar, weshalb die Strecke TB

angiebt. Dieser Ausdruck soll in der Folge mit Jß

den Werth

Ju

sin ß

bezeichnet werden. Nun ist nach Gleich. (15), wegen Mu = Msin ß,

wo M = Nf,

N    Msin ßv

Ju

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

und man erhält daher

(29) er

N . Mv

F Jß

Für die äussersten Querschnittspunkte ergiebt sich

N . Mex

(30)

N Me ₂

F

In den Punkten der w-Achse herrscht

Co = VT

Durch irgend zwei Werthe a ist das Spannungsbild in Fig. 64 bestimmt.

43. Einführung des Begriffs „Widerstandsmoment des Querschnitts“. Die Spannungen ax und a₂ in den beiden äussersten Punkten Lx und L₂ des Querschnitts (Fig. 61—64) haben stets die Form

N , M

(31)

F W₂

e*

-ttr

f'

Je

Kg. 65.

Wl =

Ju*x

wo Wl und W₂ Werthe bedeuten, die unabhängig von der Grösse des Momentes M sind und durch die Richtung der Kraftlinie bestimmt sind. Man nennt Wi und W₂ die zu der fraglichen Kraftlinie gehörigen Widerstandsmomente des Querschnitts.

Spannungen beispielsweise nach den Gleichungen (17) auf Seite 62, so findet man

Erfolgt die Berechnung der

sin ß

und W,

sin ß

Wird das zeichnerische Verfahren gewählt, so ergiebt sich

W,=

ei

, r, = *.

e2

Fällt die Kraftlinie mit einer Hauptachse zusammen, Fig. 65, so ist

(32)

Ju

Wx = -

Ju

t

el

Wa = —

e₂

Für die Eisen und Q- Eisen sind die auf Hauptachsen bezogenen Widerstandsmomente W im Normalprofilbuche und in vielen Hilfsbüchem zu finden.

Es wäre aber zu wünschen, dass auch für die mit den Hauptachsen nicht zu-sammenfallenden Kraftlinien die Werthe W berechnet werden möchten, etwa in der Weise, wie dies für die Schiffbau-⁻j_-Eisen von Herrn Ingenieur Me y er ho f in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Jahrgang 1899, Seite 607—614 geschehen ist.

44. Zahlenbeispiele. 1. Aufgabe. Ein an beiden Enden frei aufliegendes 400 cm langes Winkeleisen (Flusseisen) ist gleichmässig mit P = 200* belastet, Fig. 66 und 67; es sollen die Spannungen und a2 berechnet werden, erstens für den Fall, dass die zum längeren Schenkel parallele Schwerachse Kraftlinie ist, zweitens für eine um 30° gegen den kürzeren Schenkel geneigte Kraftlinie.

Es ist

JP

K-

)< — ^-->1 --------------M------>j

Fig. 66.

\iP

PI P l _ PI

2 * ¥    ¥ ’ T ~ ~8~

200 • 400

=10000 kcm.

x^

V)

iJS

W/

w----\ 68---V>i

Fig. 67.

Die Querschnittsmomente für das Achsenkreuz xy sind (vergi.

Seite 39):

Jx== 151,25 5⁴

Jÿ = 41,25 5⁴

Jx, = 45 Ô⁴.

Fällt die Kraftlinie mit der «/-Achse zusammen, so ist (xk =90° und

tg a„

Jxy

45

Jy

1,09.

41,25

Die Koordinaten der äussersten Querschnittspunkte A und B sind

xA = — 1,56 xB = — 0,5 6.

Man erhält also nach der Formel (vergl. Seite 64)

yA — -|- 3,5 5 Vb = — 6,5 6

a — Mx

y — x tg a„

Jx ’^xy tg Ot »

worin Mx = M zu setzen ist, für 6=1"” die Spannungen M 3,5+1,5-1,09

Ga =

19,9 Ô³

= + 503 V

6³    151,25 - 45-1,09

M -6,5 + 0,5-1,09 W 151,25 -45- 1,09 Bildet die Kraftlinie mit der x-Achse den Winkel 30° so ist

O# -

17,2 6³

— 582

tg Ctk = 0,577 mithin

tg a„

Jx JXy tg <Xh

125,285

21,2

5,91.

Jxy Jy t g &-k

Die äussersten Querschnittspunkte sind nunmehr A und C. yc~ 2,5 6 xc = 4,5 6

(S A = 0,5

Mx = M sin a* = 0,5 M 3,5 + 1,5 • 5,91

Cc — 0,5

6³    151,25 - 45-5,91

2,5 — 4,5 • 5,91

18,6 6³

538 V

Ô³ 151,25 - 45-5,91

+ 1053 V-

9,5 6³

Die Widerstandsmomente des Querschnitts sind für die senk-

rechte Kraftlinie

Wx = 19,9 6³

für die um 30° geneigte Kraftlinie Wt = 9,5 6³

W₂ =17,2 Ô³

W₂ = 18,6 6³.

2. Aufgabe. Der in Fig. 68 abgebildete Querschnitt eines gemauerten Pfeilers wird im Punkte K mit N = 60000h gedrückt. Gesucht ist die Lage der Nulllinie und die grösste Spannung <3.

Wir beziehen den Querschnitt zunächst auf das mit zwei Seiten zusammenfallende Achsenkreuz x y und zerlegen ihn in drei Rechtecke, deren Abmessungen und Schwerpunkts-Abeissen ! = 0,25m, i =0,77"*,

et = 0,125”*, c₂ = 0,51”*, c₃ = 0,90”*

!”*, b₃ =0,26”* m, b₃ = 0,25'“

sind. Dann erhalten wir

F=2bh= 0,5227 tn

Sx' — —    = 0,1499 m³ (statisches Moment)

= 0,0624 m⁴

O

Jjy' — —= 0,0511m⁴

und auf ähnliche Weise

8/— 0,2178 m Jy’ = 0,1820 m⁴.

Vir

K-

770*1

•>!

TI-»

\:

*?\

1-

■7.X'

j-fr

70-3 cm---

------>j

+!/

Fig. 68.

Die Koordinaten des Schwerpunktes sind nun V s —~= 0,287 m;

S,

0,417 m

und die Querschnittsmomente, bezogen auf die Schwerachsen

J. = J*' — Fy's² = J*' — Sxys

Jx = 0,0624 — 0,1499 • 0,287 = 0,0194 w4 Jy = 0,1320 — 0,2178 • 0,417 — 0,0412 „

J = 0,0511 — 0,1499 -0,417 = — 0,0114 m⁴.

Die Koordinaten des Angriffspunktes K seien y'k = Q,2Qbm und xk — 0,335*”.

Dann erhält man

yk = 0,287 — 0,265 = 0,022 xk = 0,417 — 0,385 = 0,082

tg a*

y*

11

41

= 0,268

tg a„

Jx ' Jxy tg a.k

' fry    jy tg 0C*

0,836.

0,0194 + 0 0114 • 0,268

— 0,0114 — 0,0412 • 0,268 Die Nulllinie schneidet auf den Schweracbsen die Strecken ah:

V« —

Jx    Jxy tg

0,0194 — 0,0114*0,836

Fyk

0,5227 • 0,022

= — 0,858’“

xn = —

y«

— 1,026”’,

tga„

sie liegt vollständig ausserhalb des Querschnitts, und es haben deshalb alle Spannungen ö dasselbe Vorzeichen. £>er Querschnitt wird nur auf Druck beansprucht. Die grösste Spannung herrscht im Punkte A. Man findet hier    ,

— x tg a„

Jx Jxy 0Cn

jg tg «„A

Vn    '

0,287 -j- 0,417 • 0,836

1,74 N

0,858

1,74 • 60000

= —207

VenlftAi    ¹    tc. / Okj

Klinkermauerwerk in. Cementmörtel iist das beim Auftreten solcher

qcw

Pressungen angezeigte Material.

3. Aufgabe. Der trapezförmige Querschnitt eines gemauerten Pfeilers habe die Abmessungen (Fig. 69)

a₁ = 2₁6m, a₂ = l,4m, t = 6m (Transversale), h = 5,1’".

Im Eckpunkte A greife senkrecht zur Querschnittsebene der Druck 1* an. Verlangt wird die Darstellung der Spannungsver-

theilung.

Wir beziehen den Querschnitt auf die schiefwinkligen Schwerachsen £, 7] und erhalten (nach Seite 43)

(«i + a₂ -j-

«L I <X>

! CO

2«j a₂

weshalb

Jn =

5,1 • 6²

36

24

(2,6 +1,4+

2 • 2,6 • 1,4

2,6+ 1,4

, wo F = —

h (ax + <i₂)

10,2 (2,6² + 1,4²)

24

= 29,682 m⁴

= 5,1 • 2,0 = 10,2

= 3,706 m⁴.

5,1m.

1ysm

/!

k-y--

771--/--

/-y

■7

71

s s?

Kl

i'

Fig. 69.

Die Koordinaten des Angriffspunktes A sind

ï* =¹-⁸’

rik = t

al + 2fl2

3 («i + av)

2,6+ 2,8

es schneidet also die Nulllinie auf den Achsen die Strecken ab (vergl. Seite 59):

■¹]« = —

™ tpre

3,706 10,2 • l)3 29,682

= — 0,279’”

10,2 • 2,7

1,07 8”

Ff\k

und es ergiebt sich für die Druckspannung in irgend einem Punkte Ç, ï) des Querschnitts (nach Gleich. 5, Seite 58) der Werth

N . NU , Nw

Jrj

derselbe wird zweckmässig umgeformt in

F,

-)

■¹]« /

und nun wird das Spannungsbild mit Hilfe des für die Stelle ttj = 0 und £ =— 10£„=2,79m berechneten Werthes

11 • 1

1,087,»¹)

11 N

10,2

bestimmt.

Dieses Spannungsbild gestattet jetzt mit Hilfe des auf Seite 59 bewiesenen Satzes

Gab — Gba

so erhält man für die in A entstehende

die Berechnung der Kantenpressung an der Stelle A infolge beliebiger Belastungen des Pfeilers. Ist nämlich a die einem Punkte B entsprechende Ordinate der Spannungslinie gg, so erzeugt ein in A angreifender Druck N = 1 an der Stelle B die Spannung a', und es ruft deshalb ein in B angreifender Druck N — 1 in A ebenfalls die Spannung 0 hervor. Wirken also auf den Pfeiler eine Reihe von Drücken Nlt N₂, N₃,    ,

Druckspannung den Werth

a = 2Na.

Man nennt die Linie gg auch die Finflusslinie für die Spannung c im Punkte A.

Wird der Einfluss eines Momentes M gesucht, welches in einer Ebene liegt, die den Querschnitt in der Geraden ll schneidet und zum Querschnitte rechtwinklig ist, so ersetze man dasselbe durch ein Kräftepaar Na mit beliebig grossem Arme a und lege den Angriffspunkt der einen der beiden, zum Querschnitte rechtwinkligen Gegenkräfte N in den Schnittpunkt der Geraden ll und nn. Man findet dann für aA den Werth

Mg"

ga = Nc"

§ io.

Der Kern des Querschnitts.

45. Erklärungen. Bestimmung des Kerns für einen beliebigen Querschnitt. Schneidet die Nulllinie nn den Querschnitt, so besitzen die Spannungen G in den durch die nn getrennten Theilen des Querschnitts verschiedene Vorzeichen. In demjenigen Theile, welcher den Angriffspunkt K enthält, herrschen Zug- oder Druckspannungen, je nachdem die in K wirksame Längskraft N positiv oder negativ ist.

Nähert sich der Angriffspunkt dem Schwerpunkte S des Querschnitts, so entfernt sich die Nulllinie von S. Von dem Augenblicke an, in welchem die Nulllinie bei dieser Bewegung den Querschnitt berührt, ohne ihn zu schneiden, besitzen die Spannungen G in allen Punkten des Querschnitts dasselbe Vorzeichen wie die Längskraft N.

71

/J

»111^

Fig. 70.

Betrachtet man nun alle möglichen den Querschnitt berührenden, aber nicht schneidenden Geraden der Reihe nach als Nulllinien und bestimmt die zugehörigen Angriffspunkte, so begrenzt der Ort dieser Punkte denjenigen Theil des Quei’schnitts, innerhalb dessen der Angriffspunkt K einer Längskraft N liegen muss, wenn alle durch diese Kraft in dem Querschnitte hervorgerufenen Spannungen dasselbe Vorzeichen haben sollen wie N. Dieser Theil des Querschnitts heisst der Kern, und die von jenen den Querschnitt berührenden aber nicht schneidenden Geraden eingehüllte Linie wollen wir die Umhüllungslinie des Querschnittes nennen.

Der Kern ist u. A. von Bedeutung für die Beurtheilung der Steinbauten. Soll z. B. der durch einen Druck N beanspruchte Querschnitt eines gemauerten Pfeilers nur Druckspannimgen erfahren, so muss der Angriffspunkt von N innerhalb des Kerns liegen.

Wird der Kern eines von geraden Linien begrenzten Querschnitts (Fig. 71) gesucht, so genügt es, die Seiten AB, BC, CD, DE, EA der Umhüllungslinie AB CDE A der Reihe nach als Nulllinien anzu-

sehen und die ihnen entsprechenden Angriffspunkte (ab), (bc), (cd), (de), (ea) zu bestimmen. Die Verbindungslinien a, b, c, d, e dieser Punkte umschliessen den Kern. Denn, während sich die auf dem

Umfange des Querschnittes rollende Nulllinie aus der Lage AB um den Eckpunkt B in die Lage BC dreht, beschreibt der Angriffspunkt die Verbindungslinie b der Punkte (ab) und (bc)’, dreht sie sich aus der Lage BC um den Punkt C in die Lage CD, so beschreibt der Angriffspunkt die Gerade c u. s. w.

Nun wurde aber früher bewiesen, dass sich bei der Drehung einer Nulllinie um einen festen Punkt der zugehörige Angriffspunkt auf der jenem Drehpunkte entsprechenden Nulllinie bewegt, und hieraus folgt, dass man den Kern auch durch Bestimmung der den Endpunkten A, B, C, D, E entspi’echenden Nulllinien a, b, c, d, e finden kann.

Es gilt die vorstehende Betrachtung auch für von krummen Linien eingeschlossene Querschnitte, da diese als von unendlich kurzen Geraden begrenzt angesehen werden dürfen, und man darf deshalb ganz allgemein den Kern durch den folgenden Doppelsatz erklären:

Rollt die Nulllinie auf der Umhüllungslinie des Querschnitts, so beschreibt der Angriffspunkt den Umfang des Kerns.

Hiermit ist die Aufgabe, den Kern eines Querschnitts zu bestimmen, auf die im vorigen § behandelte Aufgabe zurückgeführt, die einem gegebenen Angriffspunkte K entsprechende Nulllinie zu ermitteln oder umgekehrt zu einer gegebenen Nulllinie den Angriffpunkt zu suchen.

Ist z. B. der Querschnitt auf seine Haupt-Schwerachsen (1) und (2) bezogen, Fig. 72, und sind i₁ und i₂ die Haupt-Trägheitshalbmesser

Qe) «

(ea)4

Abc)

(ab)

nn

Fig. 71.

Beschreibt der Angriffspunkt die Umhüllungslinie des Querschnitts, so rollt die Nulllvnie auf dem Umfange des Kerns.

ls — J/

J₂

sind ferner vx und ux die Koordinaten des Angriffspunktes K und schneidet die Nulllinie auf den Hauptachsen die Strecken

SV' = v„ und SÜ' = un

ab, so ist nach Gleich. (7) Seite 59

v₁v„ = — i₁²

»V;

uxun =

es ist also

i₁ die mittlere Proportionale zu v₁ und v„

*2 n

und es ergiebt sieh das folgende zeichnerische Yerfahi’en:

Man trage auf den Hauptachsen (1) und (2) die Strecken £.4 == il und SB = i₂ auf (gleichgültig, auf welcher Seite von S), verbinde die Fusspunkte V und TJ der Koordinaten und vx des Angriffspunktes K mit A bezieh. B und errichte in A und B auf den Geraden VA und UB Lothe, welche die Hauptachsen in den Punkten V' und U' schneiden.

Dann ist

i₁ = SA die mittlere Proportionale SV und KV'

«₂ — SB die mittlere Proportionale zu SU und S U'

und hieraus folgt, dass U' und V'

Punkte der gesuchten Nulllinie sind.

Bei grosser Entfernung des Angriffspunktes K vom Schwerpunkte S ist das beschriebene Verfahren unbequem. Man bestimme dann zu irgend einem auf der Geraden SK und näher an S gelegenen Punkte K' die Nulllinie rin (Fig. 73) und beachte, dass die zu K gehörige nn parallel zur riri ist, und dass sich verhält: SL : &z7 = SK' :SK, wobei L und L' die Punkte sind, in denen die Kraftlinie SK von den Nulllinien nn und ri ri geschnitten sind. Liegt K im Unendlichen, so geht die nn durch den Schwerpunkt S; sie bleibt aber parallel zur ri ri.

Dieser Fall liegt vor, sobald K=0 ist und der Querschnitt nur durch ein Biegungsmoment M beansprucht wird.

Wie man nun die umgekehrte Aufgabe löst, zu einer gegebenen Nulllinie nn den Angriffspunkt K zu suchen, bedarf keiner Erläuterung.

zu

V7 S

«*•

(?)

7?

30° \

Fig. 72.

l/n'

.AU (7)

Xic.

TV.

TV

Zzk

(2)

Fig. 73.

,n

ill

46. Bestimmung der Nulllinie mit Hilfe der Polaren-Theorie. Legt durch den Schwerpunkt S des Querschnittes eine Parallele tiu zu der

man

irgend einem Angriffspunkte K entsprechenden Nulllinie    Fig. 74, so ist

nach Seite 61 das auf die Achsen SK und u u bezogene Centrifugalmoment des Querschnittes = 0, und hieraus folgt nach No. 36, dass die Richtungen SK und u u bezüglich der Centralellipse einander konjugirt sind.

Die in den Schnittpunkten A und B von Kraftlinie und Centralellipse an die letztere gelegten Tangenten sind also parallel zur nn.

Bestimmt man

Der mit der Kraftlinie zusammenfallende Ellipsenhalbmesser SA = SB ist gleich dem auf die «'-Achse bezogenen Trägheitshalbmesser i des Querschnittes, und die Ordinate der Nulllinie ist: SD

nun auf der Kraftlinie einen bezüglich des Schwerpunktes S symmetrisch zu

K gelegenen Punkt K\ so werden die Punkte A und B durch die Punkte K' und D har

-ul

Xd

i']

monisch getrennt, und hieraus folgt, dass die n durch den unendlich fernen Punkt der in A und B an die Centralellipse gelegten Tangenten gehende Nulllinie die Polare des Punktes K in Bezug auf die Centralellipse ist. Demi die Polare eines Punktes bezüglich einer Kurve zweiter Ordnung ist durch den Satz

+ U¹

er^ä ^:

Legt man von irgend einem Punkte K' aus beliebig viele Sekanten durch eine Kurve zweiter Ordnung und bestimmt auf jeder Sekante den Punkt D, welcher von K' durch die beiden Kurvenpunkte A und B harmonisch getrennt ist, so liegen alle Punkte D auf einer Geraden, welche die Polare des Punktes K' in Bezug auf jene Kurve zweiter Ordnung genannt wird, und welche den Schnittpunkt der in den Punkten A und B einer beliebigen Sekante an die Kurve gelegten Tangenten enthält.

Aus dem Hauptsatze der Polarentheorie, nämlich:

Fig. 74.

+v>

Die Pole sämmtlicher Strahlen eines

Punktes

Die Polaren sämmtlicher Punkte einer Geraden gehen durch den Pol jener Punktes liegen auf der Polaren dieses Geraden

folgt unmittelbar der in No. 45 bewiesene Doppelsatz.

Man nennt auch die Nulllinie die Gegenpolare des Angriffspunktes und umgekehrt den Angriffspunkt den Gegenpol der Nulllinie.

Die Bestimmung der Gegenpolare n n ist eine Aufgabe ersten Grades, deren einfachste Lösung in der Festlegung der Nulllinie mittels der in ihr liegenden Gegenpole U' und V' zweier Geraden K U und K V besteht, die durch den Angriffspunkt K gehen und zu irgend zwei in Bezug auf die Centralellipse einander konjugirten Richtungen (beispielsweise zu den Schwerpunkts-Hauptachsen) parallel sind.

47. Rechnerische Bestimmung des Kerns. Ist der Querschnitt auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz x, y bezogen, und sind xk, yk die Koordinaten des Angriffspunktes K, so lautet die Gleichung der zugehörigen Nulllinie (Seite 64)

o — JL _i_ y~x te a» ™ "hyfc J. — J^tgo.

oder

F Jy — Jxy cotg a„

Ferner besteht, da Kraftlinie und Nulllinie zugeordnete Achsen sind, die Bezeichnung

xk

(1)    — = tg

Jx    JTIJ tg &«1

Jxy - Jy tg an

Jx cotg a„ — Jx

Jxy cotg an — Jy

Mit Hilfe dieser Gleichungen findet man zu einer gegebenen Nulllinie die folgenden Angriffspunkts-Koordinaten:

\h = —

(2)

xk — —

1 jx Jxy tg F y — x tg a„

l JXy - jy tg <X„

F y — x tg a.„

oder

y>c= —

1 Jxy Jx COtg 0Ln

(8)

xk

F x — y cotg a„

1 Jy Jxy cotg a„

F x — y cotg oc„

In diese Formeln sind für x und y die Koordinaten irgend eines Punktes der Nulllinie einzusetzen. Beide Formelgruppen liefern dasselbe Er-gebniss. Ist a„ gleich oder nahezu 90°, so wende man die Formeln (3) an; ist a„ gleich oder nahezu Null, so muss man die Formeln (2) benutzen.

Für an = 0 erhält man

\n/

7t

(4) yk — —

Jx

Fy

xk =—

Jx\

Fy

für a„ = 90° wird

(5) yk =

JXI

Fx

Jy,

Fig. 75.

Fx

Rollt die Nulllinie über einen Kreisbogen vom Halbmesser r und sind xm, y,n die Koordinaten des Mittelpunktes, Fig. 75, so ist

y — y » — r cos aM x = xm -}- r sin a„

und man erhält

Mit Hilfe dieser Formeln lassen sich bei der Berechnung der Kernfiguren der Normalprofile der Walzeisen die Abrundungen der Ecken berücksichtigen.

48. Benutzung des Kerns zur Ermittelung der Spannungen a.

Bezieht man den in irgend einem Punkte K durch eine Längskraft N beanspruchten Querschnitt auf die Kraftlinie SK und die zur Nulllinie parallele Schwerachse u als Koordinatenachsen, so findet man die Spannungen und a₂ in den von der Achse u entferntesten Punkten Lx und L₂ des Querschnitts (nach Gleich. 13, Seite 61):

Ji

— Fyh =

(6)

— Fxh =

Jx cos a„ — Jxy sin a„ ym cos a„ — xm sin a„ — r Jxy cos a„ — Jy sin cc„

«/m cos a„ — sin a„ — r

ll

u,'

£S

Fig. 76.

N Nfe

N Nfe"

(O

Die auf der Kraftlinie liegenden Kernpunkte Kl und K₂ entsprechen beziehungsweise den durch L₂ und parallel zur Geraden ii gedachten Nulllinien als Angriffspunkte, und es gelten deshalb für die zugehörigen Kernhalbmesser k₁ und k₂ die Formeln:

Ju'

Jj

Ju'

(²) k2 — Fe> ;

Ju'

Fe"

Ju'

FK;

Ju'

— Fkx.

woraus dann folgt:

Führt man diese Werthe in die Gleichungen (1) ein, so gehen diese über in:

rr

(3)

Xf+k₂

Nf-k,

F k₂

und hierfür kann man schreiben:

F kx ’

F V

wobei fx und f₂ die Abstände des Angriffspunktes K von den auf der Kraftlinie liegenden Kernpunkten Kx und K₂ bedeuten.

Ist also der Kern eines Querschnittes gegeben, so ist man mit Hilfe der Gleichungen (4) im Stande, die Spannungen Gx und a₂ auf eine sehr einfache Weise zu bestimmen, ohne dass man nöthig hat, die Richtung der Null-Linie und die äussersten Querschnittspunkte Lx und L₂ aufzusuchen. Will man Gx und a₂ nach Berechnung

(4)

der im Schwerpunkte 8 herrschenden Spannung a₀ = —- durch Zeich-

nung finden, so trage man auf irgend einer von S ausgehenden Geraden die Spannung a₀ = SR auf,

Fig. 77, lege durch K zur SR eine Parallele und ziehe von R aus durch die Kernpunkte Kx und K₂ gerade Linien, welche diese Parallele in Tx und T₂ schneiden. Man findet: Gx — KT2 und C₂ = KTx.

Zuweilen sind die auf die Kernpunkte Kx und K₂ bezogenen Angrilfs- F morn ente Mx = Nfx und M₂ = Nf₂ bekannt, ohne dass JST, fx, f₂ einzeln gegeben sind. Dann findet man die Spannungen <y,, a₂ (am besten durch Rechnung) mittels der Formeln

(5) tsx =

m₂

Fk₂

Jt,

'S

Fig. 77.

Mx

Fkx ’

welche namentlich für die Theorie der Bogenbrücken von grossem Werthe sind.

Die Benutzung des Kerns bietet bei der Berechnung der Spannungen a gegenüber den im § 9 mitgetheilten Verfahren nur dann Vortheile, wenn sich der Kern schnell zeichnen lässt, oder wenn die grössten Spannungen ax bezieh. <?₂ für verschiedene Lagen des Angriffspunktes mit einander zu vergleichen sind.

Wird z. B. der Querschnitt bei wechselnder Lage des Angriffspunktes durch eine unveränderliche Längskraft N und ein unveränderliches Moment M, welche beide positiv sein mögen, beansprucht, so

Fk₂

nimmt die Spannring a y

den grössten oder den kleinsten

Werth an, je nachdem die Kraftlinie mit dem kleinsten oder grössten Kernhalbmesser zusammenfällt.

49. Die TF-Fläche. Die Produkte Fk₂ und Fky sind nach No. 43 gleich den der fraglichen Kraftlinie entsprechenden Widerstandsmomenten Wy und W₂. Man kann also auch den Kern in der Weise bestimmen, dass man nach dem im § 9 gezeigten Verfahren die Widerstandsmomente für hinreichend viele Kraftlinien berechnet. Für einen von Geraden begrenzten Querschnitt genügt es, die Rechnung für die durch die Eckpunkte des Umfanges gehenden Kraftlinien auszuführen.

Sehr oft erweist es sich als zweckmässig, nicht die Strecken k sondern Strecken W — Fk aufzutragen ; an Stelle des Kerns entsteht dann die JF-Fläche.

50. Zahlenbeispiel. Rechnerische Bestimmung der W-Fläche und des Kerns für das in Fig. 78 dargestellte Z-Eisen.

Auf Seite 42 erhielten wir für diesen Querschnitt

Jx — 928,423, Jy — 332,948, Jxy = 427,133.

Wir weisen nun der Nulllinie der Reihe nach die Lagen (1) (2) (3) zu und berechnen mit Hilfe der in No. 47 abgeleiteten Formeln die Koordinaten y == Fyk-, x = Fxk der Eckpunkte 1, 2, 3 der JF-Fläche und die Längen der vom Schwerpunkte nach diesen Punkten führenden Fahrstrahlen Fky, Fk₂, Fk₃.

a„ = 0

Nulllinie (1)

;J~ — 7,0

cm

y y = Fykl = —

J²

928,423

7,0

132,632 cm®

Xy — FXky — —

Jxy _ ,

y ~~r

928,423

427,133

7,0

61,019 „

427,133 Fyky sin aj

Nulllinie (2) a„ = 90° x= — 7,5"

Xy

Wy — Fky =

y-i — F y²2

x₂ — F Xk>₂ •——

Jy

a,= 65⁰ 17'40''

= 146,00 cm³

427,133

7,5

332,948

— 56,951

tc

427,133

7,5

44,393 „

ol₂— 52°3'50"

332,948 ’

Fykj sin a₂

Nulllinie (3) tg a„ = 1,88220, «„ — 62° 1' 7", y = -f 7,0 x — — 0,5²)

x₂

W,, = F Ly

72,21 cm₃

Jx Jxy tg H»

y*—F y

y — x tg a„

= — 15,675 cm

928,423 — 427,133 • 1,88220

7,0 -j- 0,5 • 1,88220

te)

k)

H-------

»!

#'<

V"

- sorrmi

_____ÔL

â¹

4A T \

<*3

2L

+ oc

lUUl WA

TT

y '\

+ «i = 65° 17'40” + «₂ = 52° 3'50” — «s = 31° 57'20” + «! = 77° 36'35” + «h = 75° 8' 40” -f«m = 53° 37'30” Wi = 146,00 cm3 W₂= 72,21 „ W₃ = 29,62 „

'X."

\ ^ \\

h)

Fig. 78. (100 cm? — 50 mm)

= F Xlcs =

Jxy    Jy tg rJ-n

y — a? tg a» Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

427,133 — 332,948 • 1,88220 7,0 + 0,5 • 1,88220

= + 25,128 cm³

tg a₃ — - y-'

— 15,675

x₃

25,128

a₃ = — 31° 57' 20"

Fyk₃

W₃ = Fk₃

sin (— a₃)

29,62 cm³.

Dreht sich die Nulllinie aus der Lage (1) um die Querschnittsecke in die Lage (2), so beschreibt der zugehörige Angriffspunkt die Gerade 1—2. Beim XJebergang aus Lage (2) in Lage (3) rollt die Nulllinie über einen Kreisbogen, dessen Centriwinkel gleich 90° — 62° 1' 7" = 27° 58' 53" ist. Der zugeordnete Angriffspunkt bewegt sich auf einer ganz flachen Kurve, deren Ordinaten sich leicht mit Hilfe der Formeln 6 auf Seite 78 berechnen lassen. Man findet

11

80°

75°

70°

65°

+ 40,275 „ + 37,481 + 33.799 + 28,993

- - r:

Es ist stets zulässig, die durch diese Punkte bestimmte Kurve durch die Gerade 2—3 zu ersetzen.

3—1'

2—3

Nach Auftragung der die W- Fläche begrenzenden 6 Geraden kann man die zu den verschiedenen Kraftlinien gehörigen Widerstandsmomente mit dem Cirkel abgreifen. Will man rechnen, so bestimme man mit Hilfe der oben angegebenen Koordinaten der Angriffsspunkte 1, 2, 3 die Neigungswinkel der drei Geraden 1-2

a/=77°36'35', am = 75⁰ 8' 40", am = 53° 37' 30".

Der Sinussatz liefert dann für die diese drei Geraden schneidenden Kraftlinien die Werthe

W= Wi

sin (ai — aQ

sin (oli — a)

W= W₂

sin (an — «a)

sin (aji — a)

W— W₃

sin (a in — «₈) sin (oliii — a),

wo a den veränderlichen Neigungswinkel der Kraftlinie bedeutet. In der folgenden Tabelle sind die Werthe für die Winkel+ 90° bis — 90°, immer um 5° fortschreitend, angegeben.

Bei der sehr wünschenswerthen Ausführung dieser Arbeit für die deutschen Normal-Profile wird man den Zwischenraum dort, wo die Werthe sich mit <x schnell ändern (besonders in der Hube der Spitze 1), wohl etwas enger wählen. Man vergl. die schon einmal erwähnte, von Herrn Meyerhoff berechnete Tabelle für Schiffbau Eisen in der Zeitschrift des Yereins deutscher Ingenieure, 1899, Seite 607, mit deren Zahlen die von uns berechneten gut übereinstimmen.

Dividirt man die Widerstandsmomente Wx, W>. W₃ durch F= 31,1, so erhält man die Kernradien &₁ = 4,70cm, ks = 2,32 cm, k₃ = 0,95 cm. Der Kern ist in Fig. 78 schraffirt worden.

Die vorstehenden Rechnungen enthalten reichlich viel Decimalstellen; es soll deshalb noch gezeigt werden, dass man vollkommen brauchbare Ergebnisse auch dann erhält, wenn man auf die Abrundung der Ecken des Querschnitts keine Rücksicht nimmt und die ganze Zahlenrechnung so einrichtet, dass man immer nur zwei- oder dreistellige Zahlen zu multipliciren oder zu dividiren hat. Man kann dann die ganze Arbeit sehr schnell mit Hilfe einer Rechentafel ausführen. ³)

Auf Seite 42 erhielten wir für den nicht abgerundeten Querschnitt: Jx — 919, J y — 339, Jxy — 430.

Nun ergiebt sich für die Nulllinie (1):

yx = Fy^ — —=. 131 cm³

919

7,0

oc

++ + + +

S H CO OO O

O Ol O Ol o

o o o o o

49.79

56,72

66,48

81,02

104,74

+ 65⁴17 40    146,00 = W₁

+ 30° + 25° + 20° + 15° + 10° + 5°

0°

Oi 05 05 Oi O Oi o o o

142,64

102.93

81.00

5°

+ 52° 3'50"    72,21 = W,

CO ^ ^ Ol

Ol O Ol o

o o o o

66,22

56,37

49,18

43,91

— 10°

39,93

36,88

34,50

32.64

31.20

30,10

29,29

28,73

28.41 28,31

28.42 28,76 29,33

TFmin

29,54

29.59

29,87

30,38

31,16

32,23

33.64

35.64 37,80

40.79 44,66

49.79

— 31° 57' 20"

29,62 = W₃

xx = FxhX —    = 61

919

430

= 2,14,

Wx = /l31² + 61² = 145 cm³ (anstatt 146,00),

für die Nulllinie (2):

!h = Fijki

430

7,5

57 cm³

n    ³³⁹

7,5

x., = Fxk-2 = ~ = 45    „

430

— 1,27, a₂ = 51° 50'

W₂ — Y57- + 45' = 73 cm³ (anstatt 72,21),

tg a₂ =

339

für die Nulllinie (3): tg a„

12,8

7,0

1,82

y$ — -F yk₃ —

919 — 430.1,82

136

a?₃ = Fxk

7,0 -j- 0,5.1,82 430 —339.1,82

7,91

187

17 cm³

7,0 + 0,5.1,82

7,91

= + 24 „

136

= — 0.72, a₃ = 35° 50'

W₃ = Y17² + 24² = 29 cm³ (anstatt 29,62).

Die Ergebnisse dieser kurzen Rechnung sind genau so viel werth, wie der zuerst angestellten genaueren Untersuchung. Man darf nie ausser Acht lassen, dass die hier vorgetragene Lehre von der Biegungsfestigkeit auf der Voraussetzung einer linearen Spannungsvertheilung beruht und — ganz besonders bei der vorliegenden Querschnittsform — nur als Annäherungsrechnung angesehen werden darf. Dazu kommt, dass die vonyWalz'werken gelieferten Profile nie genau mit den im Profilbuch beschriebenen übereinstimmen — nach den Erfahrungen des Verfassers fallen sie stets etwas stärker aus — und dass schliesslich eine scharfe Bestimmung der Richtung der Kraftlinie in Wirklichkeit nie möglich ist. Aus diesem letzten Grunde wird man, um sicher zu gehen, die Kraftlinie stets um einige Grade nach der Seite hin gedreht denken, nach -welcher das Widerstandsmoment abnimmt.

51. Analytische Bestimmung des Kerns für einige häufiger vorkommende Querschnitte.

1. Das Dreieck. Fig. 79. Um den Kern zu ermitteln, genügt es, die eine Seite, z. B. b, als Nulllinie zu betrachten und den zugehörigen Angriffs-

tg «s = —

187

mm.

■s

___±

iß

K----------b

+ V-

—*i

Fig. 79.

punkt B zu bestimmen. Derselbe liegt auf der zur Seite b gehörigen Transversale RT—a, weil das Centrifugalmoment des Querschnitts in Bezug auf diese Transversale und die zu b parallele Schwerachse ss des Dreiecks als Koordinatenachsen == 0 ist. Der Abstand des Punktes B vom Schwerpunkte 3 J'

S ist SB =

Ï²

, wobei J' das für schiefwinklige Koordinaten auf die Achse ss bezogene Trägheitsmoment ist. Für rechtwinklige Koordinaten wurde in

Fa

Bezug auf die Achse ss auf Seite 31 gefunden: J

bh³ &a³sin³ß

36

aus folgt (nach Gleich. 10 auf Seite 38): b a³ sin ß

36

, undhier-

bet sin ß-    SB —

2 6 Bestimmt man auf die gleiche Weise die den übrigen Dreieckseiten entsprechenden Kernpunkte, so findet man, dass der Kern ein Dreieck ist, dessen Seiten parallel zu den Querschnitts-Seiten sind, und dessen Schwerpunkt mit dem Querschnitts-Schwerpunkte zusammenfällt.

2. Das Parallelogramm. Fig. 80. Die zu den Seiten b und a parallelen Schwerachsen werden zu Koordinatenachsen gewählt; es entspricht ihnen das Centrifugalmoment. Z = 0. Macht man b zur Nulllinie, so liegt der Angriffs-

Jr'=Jrcosec²ß

36

Wegen F

i'²    2 J'

punkt B auf der Mittellinie R T im Abstande SB — -—

\ a Fa

vom Schwer

punkte S. Nun ist, nach Seite 31, für die Achse ss und für rechtwinklige bh³ 7;a³sin³ß

Koordinaten: J

b a³ sin ß

12

, mithin J' = J cosec² ß =

Weiter

ist F = bk = b a sin â, also SB — Ebenso lassen sich die den übrigen Seiten

des Parallelogramms entsprechenden Kernpunkte bestimmen. Der Kern ist ein Parallelogramm, dessen Ecken auf den gewählten Koordinaten-Achsen liegen,

und dessen Diagonalen die Längen ~a und -^-6 haben.

"    3    3

■—j—

VÄ

K-

.z?

-r.

h 7i

h,*-

■s

xc

11

X.

Vb

±.

y P \T

4-

¹

1 ya» = 0,1 %

²

Koordinaten eines beliebigen Punktes der Nulllinie; wir haben den unteren linken Eckpunkt des Querschnittes gewählt. Die Berechnung von tgot„ ist oben nicht weiter ausgeführt, sie bereitet keine Schwierigkeit. an ist Neigungswinkel einer Kreistangente.

³

"Wir empfehlen hierzu die Rechentafel von Dr. Zimmermann, Berlin, Verlag von W. Ernst & Sohn, oder die grosse Rechentafel von Cr eile, Berlin, Verlag von G. Reimer.

⁴

Genau wird W ein Minimum für a = 90° — 75° 8' 40" = 14° 51° 20°.

Fig. 80.

Fig 81.

3. Der X⁻ Querschnitt. Für die den Querschnittsseiten parallelen, in Fig. 81 mit x und y bezeichneten Schwerachsen, welche gleichzeitig Hauptachsen sind, findet man mit den angegebenen Bezeichnungen:

J* = Y2{h h% - MÎ) ; Jy = J2(2Sl1)3 + hl 8?)-

Der Inhalt des Querschnitts ist: F—bh—bxkv Der Kern ist ein Parai-

§ H.

Druckbelastung ausserhalb des Kerns bei Ausschluss von

Zugfestigkeit.

52. Lage der Nulllinie. Bisher wurden die Spannungen c für den Fall einer den Querschnitt schneidenden Nulllinie unter der Voraussetzung bestimmt, dass der Längskraft N sowohl durch Druckspannungen als auch durch Zugspannungen das Gleichgewicht gehalten wird. Es kommt aber auch vor, dass Zugspannungen nicht entstehen können, beispielsweise dann, wenn sich ein Stab mit seinem Endquerschnitte gegen ein ebenes Widerlager stützt, ohne mit diesem irgendwie verbunden zu sein. Liegt hierbei der Angriffspunkt K des auf den Querschnitt vom Widerlager ausgeübten Druckes N ausserhalb des Kerns, so trennt die Nulllinie nn den Querschnitt in zwei Theile, von denen der eine, den Punkt K enthaltende, durch Druckspannnngen (Pressungen) beansprucht wird, während der andere spannungslos ist.

Der gleiche Fall liegt vor, wenn bei der Vertheilung eines Druckes N über einen von der Nulllinie geschnittenen Querschnitt eines gemauerten Pfeilers die Annahme fehlender Zugfestigkeit gemacht wird, die zwar mit der Wirklichkeit nicht im Einklänge steht, trotzdem aber bei der Beurtheilung der Druckfestigkeit des Pfeilers erlaubt ist, weil sie für die Druckspannungen höhere Werthe als die thatsächlich entstehenden liefert.

Bezeichnen wir nun den Abstand des Angriffspunktes K von der Nulllinie nn mit f, Fig. 82, die Entfernung eines zur nn parallelen, unendlich schmalen Querschnittsstreifens dF von der fin mit x und die in allen Punkten dieses Streifens gleich grosse Druckspannung (welche wir in diesem § positiv annehmen) mit a, so lauten die beiden Gleichungen, welche bei fehlender Zugfestigkeit ausdrücken, dass

1)    die Summe der Kräfte adF gleich dem Drucke N ist,

2)    die Summe der Momente der Kräfte adF, bezogen auf die nn

gleich dem Momente Nf des Druckes N ist:

(i) W

adF und

Jelogramm, dessen Ecken aui den Hauptachsen liegen, und dessen halbe Diagonalen die Längen haben

kx —

2 Jx

Fh

und ky =

2 Jy

Fb'

Nf — J xadF,

wobei sich die Integrale nur über denjenigen Theil des Querschnittes erstrecken, welcher mit dem Angriffspunkte K auf derselben Seite der Nulllinie liegt.

Die Pressung a folgt dem Gesetze: a — Cx, wo C eine Konstante ist, welche sich aus der Gleichung (1) ergiebt.

Man erhält : X =

cjxdF, mithin:

(2) C =

also a =

Xx

xdF

xdF

»13-

•r-2

an

o'

J!

-*4⁻; W/f

. KF/ !. • \ \\D

W/7^⁷

—■*4-

«~~dr=CDl

ié

Xk

-fe

,y

Qt

"A

#77/ I \\

A>

tsi

Fig. 82.

und hierauf, aus der zweiten der Gleichungen (1):

Cx²dF

(3) f

j x²dF

xdF

Zähler und Nenner des für f gefundenen Bruches stellen beziehungsweise das Trägheitsmoment und das statische Moment des gedrückten Querschnittstheiles für die Achse nn vor; sie lassen sich mit Hilfe eines Seilpolygons bestimmen. Hierzu zerlege man den ganzen Querschnitt in schmale, zur Nulllinie parallele Streifen, fasse die Inhalte derselben als Kräfte auf, welche in der Richtung nn wirken, zeichne zu ihnen mit der willkürlichen Polweite H (die eine Fläche vorstellt) das Seilpolygon AG CB und bestimme die von diesem und der ersten Polygon-

Seite AD auf der nn abgeschnittene Strecke CD = r¹). Man findet dann (nach No. 15 bis 17) das gesuchte statische Moment = Hr und (nach Gleichung 1 auf Seite 26) das gesuchte Trägheitsmoment = 2H$, unter % den Inhalt der Fläche AGCDA verstanden, welche von dem Seilpolygon und den Geraden CD und DA eingeschlossen wird. Die

fr

Gleichung (3) geht jetzt über in f——und hieraus folgt

V    u

d. h.:

(4) t^ECD = g,

wobei E der Schnittpunkt einer durch K parallel zur nn gezogenen Geraden mit der ersten Seite des Seilpolygons ist. Aus der Gleich. (4) folgt, dass die Inhalte der beiden in Fig. 82 schraffirten Flächen AEG und G SC gleich gross sind, und es lässt sich daher die zu einem gegebenen Angriffspunkte K gehörige Nulllinie, deren Dichtung allerdings gegeben sein muss, leicht finden, indem man nach Aufzeichnung des Seilpolygons und nach Bestimmung des Punktes E die Gerade EC so einträgt, dass jene Fläch en-Gleichheit entsteht. Es kann dies durch Probiren oder kürzer dadurch erreicht werden, dass man eine Gerade EC' nach Augenmaass zieht und hierauf den Punkt C so bestimmt, dass A ECfC= Fläche C'SG' — Fläche G'EA ist. Denn formt man diese Gleichung um in:

G'EA = C'SG' — A EC'C

und fügt auf beiden Seiten die Fläche G'GE hinzu, so erhält man in der That:

Fläche GE A = Fläche G SC.

Hat man die Nulllinie auf die beschriebene Weise bestimmt, so

liegt der Angriffspunkt der Mittelkraft j adF sämmtlicher Querschnitts

belastungen adF, welche in den Schwerpunkten der entsprechenden Streifen dF angreifen, in der Geraden KE; er muss aber, damit

zwischen den Kräften jadF und N Gleichgewicht besteht, mit dem An

griffspunkte K zusammenfallen, und hierzu ist nöthig,

dass die Mittelkraft [cdF der in der Querschnittsebene nach irgend einer Dichtung angenommenen Kräfte adF die Gerade KE im Punkte K schneiden muss.

Ist dies nicht der Fall, so muss eine andere Richtung für die Null-Linie gewählt und das ganze Verfahren wiederholt werden.

Bei Aufsuchung jener Mittekraft dürfen die Drücke adF=- CxdF

oo ci F

dui’ch die ihnen proportionalen Strecken dargestellt werden, welche

H

die Seiten des Seilpolygons AG SC (nach No. 20) auf der Geraden nn abschneiden. Wählt man also den Pol 0', zieht die Strahlen ï, IÏ IIÏ . . . ., denkt sich hierauf den Kräftezug CD sammt dem Strahlenbüschel 0' so gedreht, dass CD parallel der angenommenen Richtung der Drücke adF ist und zeichnet das zugehörige Seilpolygon T IÏ, III'. . . so ist der Schnittpunkt der äussersten Seiten {ï u. IX') desselben ein Punkt der verlangten Mittelkraft. In der Figur 82 wurde die Drehung des Kräftezuges umgangen. Es wurden die Kräfte adF unter 45° gegen die Gerade CD gerichtet angenommen und hierauf die Seilpolygonseiten ï, IÏ, I1Ï .... (von denen, um die Figur nicht mit Linien zu überladen, nur Î u. IX' angegeben sind) unter 45° gegen die entsprechenden Seilstrahlen gezogen. Der Schnittpunkt Ii der Mittelkraft j adF mit der Geraden KE fällt so dicht an den Punkt K, dass man mit hinreichender Genauigkeit die Gerade nn als die dem Angriffspunkte K entsprechende Null-Linie ansehen darf.

Es bleibt jetzt noch zu erörtern, wie die Richtung der Nulllinie nn gewählt werden muss. Im allgemeinen ist man auf den Weg des Versuches angewiesen, und deshalb ist es wichtig, nach Annahme einer beliebigen Richtung der nn, schnell entscheiden zu können, ob überhaupt die Möglichkeit vorhanden ist, dass der gegebene Angriffspunkt K mit dem Punkte R zusammenfällt. Verbindet man zu diesem Zwecke die Schwerpunkte der gedrückten Querschnittsstreifen durch ein (in der Fig. 82 strichpunktirtes) Polygon, welches keinen einspringenden Winkel besitzt, mithin alle nicht auf ihm liegenden Schwerpunkte einschliesst, so liegt der Mittelpunkt R aller Querschnitts-Belastungen adF innerhalb dieses Polygons, und es muss deshalb auch der gegebene Punkt K innerhalb dieses Polygons liegen, wenn ein Zusammenfallen desselben mit R möglich sein soll. Bei der in Fig. 82 gewählten Richtung der nn ist diese Bedingung erfüllt, und an diesem Ergebnisse wird nichts geändert, wenn auch die Nulllinie, deren Lage ja zunächst unbekannt ist, da die Wahl der Richtung der nn der Aufzeichnung des Seilpolygons voranzugehen hat, parallel mit sich selbst verschoben wird.

grenzen

Man kann aber den Theil des Querschnitts in Fig. 82, innerhalb dessen der Punkt K liegen muss, auf einfache Weise noch enger be-indem man die auf die Flächenstreifen 1 und 2 wirkenden

Belastungen cdF, welche wir mit Px und P₂ bezeichnen wollen, zu einer Mittelkraft vereinigt, deren Angriffspunkt a auf der Geraden 12 liegt und diese so theilt, dass sich verhält : 1 a : 2 a — P₂ : Px. Belastungen Px und P₂ sind den auf die Achse nn bezogenen statischen Momenten der entsprechenden Streifen proportional, also die Abstände der Schwerpunkte 1 und 2 von der nn mit x₁ und x2 und verwandelt die Streifen 1 und 2 in Rechtecke, welche bei gleicher,

Die

Bezeichnet man

beliebiger Grundlinie die Höhen z₁, z₂ haben, so folgt P₂:P₁ = X—~² : Xl---.

wo c eine willkürlich zu wählende Strecke bedeutet.

Die Strecken

x₂z₂

und

^ lassen sich leicht durch Zeichnung

finden, worauf die Lage des Punktes a bestimmt werden kann. Ist dies geschehen, so ersetzt man die Seiten 41, 12, 27 des in der Fig. 82 gezeichneten strichpunktirten Polygons durch die Seiten 4 a und a 7 und erhält dann eine wesentlich kleinere Fläche, innerhalb welcher der Punkt K liegen muss, wenn sein Zusammenfallen mit E möglich sein soll.

Ergiebt sich nun, trotz aller Sorgfalt bei der Wahl der Richtung der nn, nachträglich eine unbefriedigende Uebereinstimmung der Lagen von K und R, so muss die Nulllinie in eine neue Lage nn (Fig. 88) gedreht werden, und hierbei empfiehlt es sich, den von der nn abgegrenzten Querschnittstheil, dessen Inhalt =F sei und der kurz als Fläche F bezeichnet werden soll, zunächst unverändert beizubehalten und in der Nähe der Nulllinie, innerhalb der in der Fig. 88 schraffirten Fläche, Zugspannungen anzunehmen. Man bestimme den Schwerpunkt S der Fläche F (wobei zu beachten ist, dass die zur Geraden KE parallele Schwerlinie mit Hilfe des bereits in der Fig. 82 vorhandenen Seilpolygons AG CB ermittelt werden kann) und verbinde die Punkte R und S durch eine Gerade; dieselbe stellt die zur Nulllinie nn gehörige Kraftlinie vor. Wird die Fläche F auf ein schiefwinkliges Achsenkreuz (u, v) bezogen, dessen durch S gehende u-Achse parallel zur nn ist, und dessen w-Achse mit der Geraden RS zusammenfällt,

Centrifugalmoment juvdF — 0, und es folgt nach S. 59,

so ist das

dass bei einer Bewegung des Angriffspunktes R in die vorgeschriebene Lage K sich die Nulllinie um ihren Schnittpunkt T mit der Kraftlinie RS in eine solche Lage nn dreht, dass sie auf der w-Achse die

_    il    _

Strecke SU = ue= — abschneidet, wobei u< = RK ist. Das auf

«x

die fl-Achse bezogene Trägheitsmoment Jc —Fi²v wird am zweck-massigsten mittels des AfoAr’schen Verfahrens bestimmt. Man zerlege

die Fläche F durch zur v-Achse parallele Sehnen in Theile, betrachte deren Inhalte als Kräfte, welche parallel zur n-Achse wirken, zeichne mit der in der Richtung der u-Achse gemessenen Polweite H', welche

eine Seillinie NQV und bestimme

passend = — F genommen wird,

T,

•n’

mm

JL

TV

s.

\a

n’-

jl/Lk

H’

jV

Fig. 83.

den Inhalt ^ der von dieser Linie und ihren äussersten Tangenten N W und V W eingeschlossenen Fläche. Man findet dann, nach Seite 26,

und hieraus i\

jv

2 H'ft

F%'

sin a

sin a ’

sin a

wo a den Winkel bedeutet, den die Achsen u und v miteinander bilden. Bringt man in der auf Seite 33—35 gezeigten Weise den Inhalt auf die Form : 2$' — a₂n und wählt die willkürliche Strecke a₂ = tu₁ sin a, wobei s eine beliebige Zahl vorstellen möge, so erhält man

s

schliesslich uc — —- n.

2

Nach Festlegung der Geraden riri ist die in der Fig. 82 dargestellte Konstruktion mit der verbesserten Richtung der Nulllinie zu wiederholen.

Zuweilen kann man die genaue Richtung der Nulllinie sofort angeben. Besitzt nämlich der zu untersuchende Querschnitt eine Symmetrieachse ss, Fig. 84, und enthält diese den Angriffspunkt K, so ist die Nulllinie senkrecht zur ss. Die Schwerpunkte sämmtlicher zur nn parallelen Querschnittssehnen liegen auf der Geraden ss.

Ebenso leuchtet ein, dass einem auf der einen Diagonale eines

Rechtecks liegenden Angriffspunkte eine zur anderen Diagonale parallele Nulllinie entsprechen muss, Fig. 85.

53. Ermittelung der Druckspannung a. Die auf Seite 87

abgeleitete Gleichung (2) liefert, wegen jxiF=Hr (wobei r

= Strecke

CD in Fig. 82), für die Druckspannung c den Ausdruck

(5) o =

N x

Fig. 85.

Fig. 84.

und hiernach ergiebt sich im Abstande x = r von der Nulllinie:

a - --

Durch diesen Werth ist die Gerade MT in Fig. 82 be-

deren Ordinaten, bezogen auf eine zur Nulllinie senkrechte

stimmt

if-Achse gleich den Pressungen 6 sind, und man ist nun im Stande, den Werth Gmax für den äussersten Punkt L des Querschnitts anzugeben. Die willkürliche Polweite H wird man so wählen, dass sich der Ausdruck —r bequem berechnen lässt.

H

Sind

54. Das Rechteck, beansprucht durch einen Druck N, dessen Angriffspunkt auf einer Symmetrieachse liegt.

die Längen der Seiten des Rechtecks = b und = h, und liegt der Angriffspunkt auf der zur Seite h parallelen Mittelachse, so ist die Nulllinie parallel zur Seite b. Bedeutet £ den Abstand des Angriffspunktes K von der Seite LL (vergl. Fig. 86), so hat die nn von dieser Seite den Abstand 8^, weil, wegen der gleichen Breite der zur nn parallelen Querschnittsstreifen (bdx), eine durch K zur nn gezogene Parallele durch den Schwerpunkt S des Dreiecks MTZ gehen muss. Multiplicirt

man den Inhalt

dieses Dreiecks mit der Streifenbreite b, so

55. Untersuchung der Standsicherheit eines gemauerten runden Schornsteins.

Zu den wichtigsten Anwendungen der in No. 52 und 53 abgeleiteten Gesetze gehört die Berechnung der durch Winddruck in den Querschnitten gemauerter Schornsteine hervorgerufenen Pressungen. Ist

G das Gewicht des Schaftes oberhalb des zu untersuchenden

Querschnitts AB (Fig. 87),

H der wagerecht angenommene Winddruck,

M das Moment von H in Bezug auf AB, so schneidet die Mittelkraft D aus G und H den Querschnitt AB im Abstande

(7)

vom Schwerpunkte. Liegt der Angriffspunkt K innerhalb des Kerns, so treten im Querschnitt nur Druckspannungen auf; der grösste Werth derselben ist

(8)

f-O+f)

wo k = —— den Kernhalbmesser bedeutet.

so entstehen auf der Windseite

erhält man die Summe aller auf die gedrückte Querschnittsfläche wirkenden Kräfte adF.

Summe muss aber gleich N sein,

und es folgt daher:

. 3fo&

Diese

n-----j.

woraus sich die Formel ergiebt:

2N 3W’

welche für die Berechnung von Gewölben, Pfeilern und Stützmauern besonders wichtig ist.

(6) ffj =

k-----

è-----

Fig. 86.

[ö:

3'&

ö, \ *

-&—Y

Liegt K ausserhalb des Kerns Zugspannungen, die aber zweckmässig vernachlässigt werden, weil auf ihre Mitwirkung nicht immer mit Sicherheit zu rechnen ist. Bedeutet dann, bezogen auf die Nulllinie nn,

Jn das Trägheitsmoment der gedrückten Querschnitts-Fläche,

Sn das statische Moment „ f den Abstand der nn vom Angriffspunkte K, z den Abstand des stärkst gedrückten Querschnittstheilchens von

der nn,

so ist die grösste Druckspannung nach Gleichung (2)

(9)

Gz

Sn

und der Abstand f, nach Gleichung (3),

~K----j

(10) f —

J»

Sn •

ii

7i

I //

I)

;;

-B

72

Erfährt die Einheit einer vom Winde rechtwinklig getroffenen Fläche den Druck w, so darf man für den Normaldruck w₁ auf die Einheit einer Fläche, welche mit der Windrichtung den Winkel oc bildet, den Werth

(11) wx = w sin² a

Es ergiebt sich dann der Winddruck auf einen Kreiscylinder vom Halbmesser R und der Höhe h, dessen Achse senkrecht zur Windrichtung ist, Fig. 88,

annehmen.

H= 2 iv Rh

rY

/ sin³ a da. ' o

-m-ö-

K\

(12) H—~w 2Rh=^-tv%, 6 6

77

7*—

U--B-l<----z -w--->

->j

-->4

JT

Fig. 87.

wo 5 die Projektion der Cy-linderfläche senkrecht zur Windrichtung bedeutet.

Für den auf dem Querschnitt AB ruhenden Theil des Schornsteins findet man, wenn R₀ und R die äusseren Halbmesser des Mündungsquerschnitts und des Querschnitts

AB bezeichnen, genügend genau

(13)    H=~w(R₀+B)h.

Das statische Moment dieser Belastung in Bezug auf AB ist

(14)

2

— wh\2R₀-\-R).

Im deutschen Binnenlande genügt es in der Kegel, iv = I25kj = 0,1257g» anzunehmen, während an der freien Meeresküste mindestens mit w — 0,1507a», gerechnet werden sollte. Im zweiten Falle hält der Verfasser sogar die Annahme von w = 0,200*iqm für rathsam, empfiehlt aber für diesen Ausnahmefall die Zulassung hoher Pressungen.

Besondere Vorsicht erheischt die Berechnung kleinerer und mittelgrosser Schornsteine. In Folge des geringen Gewichtes 6r kann es hier Vorkommen, dass selbst bei einer recht kleinen gedrückten Fläche die Beanspruchung ff für den angenommenen Winddruck noch unterhalb der zulässigen Grenze bleibt, dass aber eine ganz geringe Steigerung dieser Windstärke genügt, um die Pressung weit über das zulässige Maass zu erhöhen. Ein solcher Schornstein bietet gewiss nicht die gewünschte Sicherheit.

Man erhält nun ein recht anschauliches Bild von dem Sicherheitsgrade, wenn man die Pressungen ö für verschiedene Windstärken w berechnet, die Werthe w als Abscissen und die zugehörigen ff als Ordi-naten aufträgt und auf diese Weise das Gesetz, nach welchem die c mit den w zunehmen, durch eine Kurve darstellt, (Fig. 91). Die Ermittelung dieser o-Linie gestaltet sich am einfachsten, wenn die Werthe-paare ff, io für solche Nulllinien-Lagen bestimmt werden, denen möglichst einfache Ausdrücke der Grössen Jn, Sn und c entsprechen.

Solange die Nulllinie ausserhalb des Querschnitts bleibt, ist die c-Linie eine Gerade ; sie ist bestimmt durch die im Falle w = 0 auftretende Pressung

I qm

v/ sût- '*ct

:JFt—->i(----j----

uX

cc\

Fig. 88.

n/siR'hc

«V.

(15)

=-rr

und durch die Pressung

(16)

G/ =

welche zu der den Querschnitt berührenden Nulllinie I (Fig. 87) gehört. Die Windstärke wIf welche Ci hervorbringt, wird aus der Gleichung

gefunden. Für den Kernhalbmesser k ergiebt sich aus den Formeln F= TZ (R² — r²)

■j- (R* — r⁴) = F

(R² + r²)

W- —

der Werth

(17)

W_ R² -j- r²

Dringt die Nulllinie in den Querschnitt ein, so ist c nicht mehr proportional w\ die Steigung der C-Linie nimmt stetig zu. äusserste Grenzlage der Nulllinie sollte man stets die durch den Schwerpunkt gehende Lage III (Fig. 87) ansehen, d. h. man sollte stets fordern, dass mindestens die Hälfte des Querschnitts zur Wirkung gelangt. Für diese Lage ist

Als

Jn =

~ J und Sn —    (R³— r³) (vergl. Seite 40)

2    3

r⁴

(18)

J»

3 TZ

A⁴

Sn

2 Sn 16

R³

GR

Sn

Setzt man

G = c₀F

CtF

— und Sn

FkR FR Cl

2 cin

so erhält man die übersichtliche Formel

2 cUI

Cm

Cm Wiii

Ci

Ci

Wj

und erkennt, dass die Endpunkte der Ordinaten Oj und oin der tf-Linie in einer durch den Ursprung gehenden Geraden liegen (Abb. 91). Drückt man C!=k und cIU mit Hilfe von 17 und 18 aus, so findet man

Sn

— YR² — r² ist,

l²

h}

JH — J -{-Fr²—

'{•¥

U— 'r'f —> i

------—(----->

Fig. 89.

r²) r² —

16&³/

3-5-7

i}

Sn =

y²dx

= 7T (R²

r²) r -f

4g²/

3-5

K Vf '

-Ç---f--    --

Je

(20)

ciii —

'S

-²)

am

Wui

Ciii

co ,

rH

Oi

U’i

Ci

rH

fcöl

und hierfür darf man genügend genau setzen Gin

(19)

wnj

ciii

Wj

Ein guter Näherungsausdruek für cIn ist auch

Zwischen den Nulllinien I und III nehme man noch die den inneren Kreis auf der Windseite berührende Nulllinie II an, Fig. 89. Den spannungslosen Querschnitts-theil betrachte man als Parabelabschnitt, setze also mit den aus Fig. 90 ersichtlichen Bezeichnungen

s (l² -— 4 a;²)

Man findet dann, da —

<² o

Ö (Ä -f r)

S„

{R -f r) F

Sn

0+ï)

und erhält für

(¹ + y) + Tw(1_^)V//

Rÿ

0,5    0,6    0,7    0,8    0,9

2,73³) 2,52    2,36    2,22    2,10

während c für alle im Schornsteinhau vorkommenden Mauerstärken nur sehr wenig von

(21)

* = t")

abweicht. Zur Berechnung von a für die Nulllinie II darf stets die einfache Formel

(22)

a    r

— = 3,45 — 1,5 ao

benutzt werden; sie liefert für die oben angegebenen Werthe von r : R die Spannungsverhältnisse

2,7 2,55    2,4    2,25    2,10.

Zahlenbeispiel. Der Schaft eines Schornsteines bestehe aus 6 Trommeln von 5m Höhe (Fig. 90), deren Wandstärken (s)

0,16"³’    0,21'»    0,26’"    0,31’“    0,36“    0,41'"

und deren mittlere Durchmesser (d)

1,26”³    1,41”³    1,56”³    1,71“    1,86’"    2,01’"

sind. Die Stärken s nehmen um das gleiche Maass A s= 0,05m zu, die Durchmesser d um A d = 0,15’".

r²'

CJ

TI 1 - —-

R³

lSin<p(² + ^) + ^(^

v . v    a    v

wo cos 9 — — • Für — = 0,5 erhält man — = 2,71. Je grösser — ist, desto R    R    <T₀    R

kleiner^ ist der Fehler, der durch die Einführung der Parabelordinaten begangen wird.

**) Für ~ =0,5 ergiebt sich c = 0,499 R oder 0,488 R je nachdem y nach der R

Parabel- oder Kreisgleichuug berechnet wird. Je grösser — ist, desto genauer

R

ist der Näherungswerth c = 0,5 R.

Das Gewicht des Schaftes, der aus dichten, schweren Lochsteinen in verlängertem Cementmörtel bestehen möge (einem Baustoff, der 1,9*/<*»* wiegt) beträgt

G — 1,9 -TC - 5,0 [0,16 • 1,26 + 0,21 • 1,41 + 0,26 • 1,56 + 0,31 • 1,71 + 0,36 • 1,86 + 0,41 -2,01] = 87,4*. *)

Der unterste Querschnitt hat den Inhalt

F—TZ {R¹ — r²)

= tc (1,26* - 0,85²) — 2,72 qm, er erfährt in Folge von G die Pressung G _ 87,4

°d— F — 2 72

= 3,2%

Der Winddruck erzeugt für den untersten Querschnitt das Moment

\ wh* (2 B₀ + R)

= YW 302 (2 • 0,66 + 1,26)

M = 516 ic und diesem entspricht

M 516 w

3 2 * ! qm

cm•

>~j<016⁷⁷²

■&v

87,4

Zu einem bestimmten Abstande c gehört also die Windstärke w — 0,17 c.

Hat die Nulllinie die Lage /, so ist JB» + r*_ l,26» + 0,85* ei = l' = ~TB~-    4-"W6“

0,26

■0,31    3,0

= 0,458 w ;

die zugehörige Windstärke beträgt Wi = 0,17 • 0,458 = 0,078*/*»

= 76 %,„

und die bei diesem Winddruck ent-

>—Vo,36

stehende Pressung

oi = 2 ct₀ = 6,4

Für die Nulilinien-Lage II erhält 0,85

■X-

\i

-13

man

T

mit —

B 1.26

0,675

/'

Y R — °'63m

wit = 0,17 • 0,63 = 0,107V*» = 107%,,

cn —

Oh

— °o ( 3,45    1,5

! *)

K-----.--->1

Honen 1-300 Breiten- looo

Fig. 90.

o,umse

= 3,2 (3,45 -1,5-0,675) - 7,8*/qcm

*) Sind die Trommeln gleich hoch und nehmen die Wandstärken um das gleiche Maass As zu, so findet man für das Gewicht G leicht den Ausdruck

7*

und für die Lage III

Olli Will

Ol

— 2,5--- = 2,5 — 0,675 = 1,825

Jt

Oni = 6,4 • 1,825 = 11,7%, wm = 78 • 1,825 = 142%»,.

ICI

107

1‘r2 %'qm +Uf

X.

Ve

'•>

+<y

Fig. 91.

Der Yerlauf der c-Linie, Fig. 91, ist zufriedenstellend, als ausreichend zu erachtenden Winddruck von 125%m zu nennende Pressung von a = 9,5 %<•„, und selbst bei einem Winddruck von rund 140%», entsteht nur eine Beanspruchung von 12*/ schnitten des Schaftes nehmen (im vorliegenden Falle) die Pressungen ab.

An der Hand der gefundenen Zahlenwerthe möge noch die einfache von II ü pp ne r aufgestellte hyperbolische Annäherungsformel

Für den in der Kegel ergiebt sich die massig

qcm'

In den oberen Quer-

iss So

geprüft werden. Dieser Ausdruck ist so gebildet, dass sich für c = k die Pressung a = 2o₀ ergiebt und für c = R der Werth a=oo. Im Falle c = R

G = yttsi (R -|- r₀) h -f- -j- yn A sh (m — 1) j^3 r₀ -(- (R — R₀) — As (m — 0,5)J

2m -j- 0,5

wo m die Anzahl der Trommeln bedeutet, die Stärke der obersten Trommel h die Höhe des Schaftes

r₀ den inneren Halbmesser des obersten Querschnitts R₀ „ äusseren

R „    „    „    „ untersten „

y das Gewicht des Mauerwerks f. d. Raumeinheit.

55

55

55

wird bei fehlender Zugfestigkeit die wirksame Querschnittsfläche unendlich klein — ein Ergebniss das natürlich nur so zu deuten ist, dass die a-Linie ausserhalb ihres Geltungsbereiches eine Asymptote besitzt; denn bereits für Werthe von c, die in der Nähe von R liegen, hat die Vernachlässigung der Zugfestigkeit keinen Sinn mehr. Hält man aber daran fest, dass die durch den Schwerpunkt gehende Nulllinie III die äusserste zu gestattende ist, so liefert die sehr übersichtliche Hüppner’sche Formel brauchbare Werthe. Im vorliegenden Falle wird

1,26 — 0,458 1,26 — c

Für c = Cu = 0,63’" ergiebt sich au — 8,1%

,, c — cm= 0,84”’

<1. s. Zahlen, die von den oben gefundenen fast gar nicht abweichen.

Für den Abstand z der Nulllinie von dem am stärksten gedrückten Quer-schnittstheilchen giebt Hüppner den Werth

z = 2R

Jx m

a — 2 • 3,2

5,133

1,26 — c

cm

,, ÜZ7Z- 12,0 ^/qcm*

-derselbe wird gleich Null für c = R und gleich 2 R für c = k. Den Abständen cu — 0.63“ und cm— 0,84m entsprechen die Strecken

zu— 1,98'” und zui — l,32m

welche von unseren Werthen

zu = R-\-r = 2,llm und zm=R — 1,26'”

schon etwas mehr abweichen.

Hinsichtlich der zulässigen Pressungen a werde noch hervorgehoben, dass die für Schomsteinbauten besonders geeigneten, schweren dichten Lochsteine, desgleichen gute Hartbrandsteine, beide in verlängertem Cementmörtel (Mischung: 1 Raumtheil Portlandcement, 1 bis 2l/a Raumtheile Kalk und 4 bis 9 Raumtheile reiner scharfer Sand) mit 12 bis 30%«« belastet werden dürfen. Je grösser der Cementzusatz und je länger die Bauzeit ist, desto höher darf die Beanspruchung gewählt werden. Wird ein Schornstein in wenigen Tagen bei ungenügendem Ce-mentzusatz in die Höhe getrieben, so schwebt er vor Erhärtung des Mörtels natürlich in Gefahr, von einem bald nach seiner Vollendung einsetzenden schweren Sturme umgeworfen zu werden; es wäre aber zu bedauern, wenn die Aufsichtsbehörden im Hinblick auf diese Möglichkeit an alle Schornsteine denselben Maassstab anlegen und auch bei sorgfältigster Ausführung und besonders für sehr hohe Schornsteine, die längere Zeit zu ihrer Errichtung bedürfen und deren Mörtel in den tieferen Schichten unter höherem Druck erhärtet und deshalb fester wird, nur die niedrigeren Werthe a gestatten wollten.

§ 12.

Schubspannungen und Hauptspannungen.

56. Schubspannungen. Auf die Ermittlung der durch die Querkraft Q hervorgerufenen Schubspannungen t (vergl. Seite 56) soll in diesem Buche nur ganz kurz und für einen bestimmten Belastungszustand eingegangen werden, weil es sich hier um Untersuchungen handelt, welche der zeichnerischen Behandlung wenig zugänglich sind. Dies gilt besonders von dem Falle einer nicht durch den Schwerpunkt des Querschnitts gehenden, den Stab somit auf Drehungsfestigkeit beanspruchenden Kraft Q.

Wir beschränken uns deshalb darauf, an der Hand bekannter Gesetze der Festigkeitslehre, die Schubspannungen in einem prismatischen Stabe darzustellen, welcher durch äussere Kräfte beansprucht wird, die in ein und derselben, durch die Stabachse gehenden, den Stab in zwei symmetrische Hälften trennenden Ebene liegen. Die Kraftlinie ist dann eine Symmetrieachse des Stabes ; sie sei zur r-Achse gewählt und eine auf ihr senkrechte Schwerlinie zur &<-Achse. Fig. 92. Die Schubspannung x in irgend einem Punkte («, v) des Querschnitts werde in die Seitenspannungen xv J_ v und x„ _[_ « zerlegt.

Wird die Annahme gemacht, das xu für alle Punkte einer zur «-Achse parallelen Sehne AB gleich gross ist und wird vorausgesetzt, dass am Umfange des Stabes keine äusseren Kräfte in der Richtung der Stabachse auftreten, dass also die Schubspannungen^für alle Punkte der Oberfläche (des Mantels) gleich Null sind, so folgen xu und xv den Gesetzen :

QS

(1) T«

2 zJ

, u

= tg'9 —

z

te

JL

-T-

jj

-J

<z*

zzcUr.

- Li ?

Jt

sJJ

JC

■v r

Fig. 92.

wobei 2z die Länge der Sehne AB,

S das auf die «-Achse bezogene statische Moment des einen der beiden durch die Sehne AB begrenzten Querschnitts-theile (z. B. des Theils ALB)

J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts in Bezug auf die «-Achse und

9 den Winkel bedeutet, welchen die in B an den Querschnitt gelegte Tangente mit der v-Achse bildet,

Die zweite der Gleichungen (1) sagt aus, dass die Spannungen x für sämmtliche Punkte der Sehne AB durch den auf der v-Achse gelegenen Schnittpunkt R der in Hu. B an den Querschnitt gezogenenTangenten gehen.

Denkt man den Querschnitt in unendlich schmale, zur p-Aehse senkrechte Streifen zerlegt, betrachtet deren Inhalte dF=2zdv als Kräfte, welche in der Eichtung der «-Achse wirken, und zeichnet mit der beliebigen Polweite H die Seillinie CFE jener Kräfte, so kann man das statische Moment S ermitteln, indem man an die Seillinie in ihrem Schnittpunkte P mit der Sehne AB eine Tangente PD legt und die Strecke DG = r bestimmt, die auf der «-Achse von der Geraden PD und den in der w-Achse sich treffenden äussersten Tangenten an die Seillinie abgeschnitten wird. Es ergiebt sich dann S = Hr, ferner (nach No. 21) J= 2 H$, wo den Inhalt der von der Seillinie CFE und den äussersten Tangenten EG und CG begrenzten Fläche bedeutet. Mit der Bezeichnung:

¹

Obgleich die Querschnittsstreifen von endlicher Breite sind, werden wir doch in der Folge für deren Inhalte die Bezeichnung dF beibehalten. Auch Unterhessen wir es, um die Fig. 82 nicht undeutlich zu machen, das Seilpolygon durch die einbeschriebene Seil-Linie zu ersetzen.

²

Auf die Näherungsformel für c hat bereits Professor Lang in seinem Buche Der Schornsteinbau aufmerksam gemacht.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

³

Setzt man oben für y die Ordinaten der Kreislinie ein. an Stelle der Parabelordinaten, so findet man

T° 45

ergiebt sich

X°T’

ein Werth, welcher sich nach Berechnung von T₀ leicht darstellen lässt. Kennt man xu, so kann man auch x angeben, da die Eichtung dieser Spannung gegeben ist. Es genügt, für jede Sehne AB den grössten Werth x zu bestimmen, nämlich den in A oder B herrschenden. Zu diesem Zwecke ziehe man zur v-Achse in der Entfernung x₀ eine Parallele KK, errichte in B auf der Sehne AB das Loth BN—r, verbinde N mit dem Mittelpunkte M der AB und ziehe durch den Schnittpunkt <S der beiden Geraden MN und KK eine Parallele zur «-Achse; dieselbe schneidet dann auf der Tangente BR die im Punkte B herrschende Schubspannung BT = xB ab.

In dieser Weise wurden in der Fig. 92 die Schubspannungen xB für sämmtliche Punkte des Querschnittsumfanges bestimmt und hierauf, von einer zur v-Achse parallelen Geraden WV aus, in den Verlängerungen der entsprechenden Sehnen AB als Ordinaten aufgetragen.

Die Annahme gleicher Spannungen xu für alle Punkte einer zur «-Achse parallelen Sehne ist um so zutreffender, je kürzer jene Sehne im Verhältniss zur Ausdehnung des Querschnitts in der Eichtung von Q ist. Sie liefert also u. A. zuverlässige Ergebnisse, wenn es sich um die Schubspannungen x im Stege des in der Fig. 93 dargestellten J-Querschnitts handelt, darf aber nicht auf die Flanschen dieses Querschnitts ausgedehnt werden. Da nämlich in allen Punkten des Umfanges des Querschnitts die Schubspannungen tangential an den Umfang gerichtet sind, so ergiebt sich für sämmtliche Punkte der Geraden CD und EF in Fig. 98 die zur «-Achse senkrechte Spannung tm = 0, und hieraus erkennt man ohne Weiteres die Unmöglichkeit, dass in allen Punkten einer zur «-Achse parallelen und der Geraden CF unendlich nahen Sehne eine der ersten der Gleich. (1) genügende Schubspannung t„ auftreten kann.¹) Das Gleiche gilt für alle Querschnitte mit seitlichen, in der Richtung der v-Achse schmalen Ansätzen.

Aus diesem Grunde hat Winkler vorgeschlagen, bei der Berechnung der Spannungen t in den Flanschen der J-Querschnitte (und in ähnlichen Fällen) von der Annahme konstanter Spannungen zv für alle Punkte einer zur «-Achse senkrechten Sehne AB auszugehen, welche Voraussetzung zu der Formel

QS'

T,<

XI

T-rx

II-P

zt^M~

** B\

Fig 93.

Fig. 94.

führt, unter S' das auf die u-Achse bezogene statische Moment des einen der beiden durch die Sehne AB begrenzten Querschnittstheile (z. B. des Theiles ABGC) verstanden und unter z die Länge der Sehne AB. Es genügt aber, bei der Untersuchung der J-Querschnitte (und ähnlicher Querschnitte) die Spannungen t im Stege zu ermitteln.

57. Hauptspannungen. Wir denken uns aus dem Stabe einen

Spannung <J.

unendlich kleinen Würfel von den Kantenlängen a, b, c herausgetrennt. Fig. 94. Die eine Seitenfläche ac liege in der Ebene des zur Stabachse senkrechten Querschnitts und an der Stelle u, v. Die Kante a sei parallel zur Schubspannung t, folglich Kante b parallel zur Normal-Aendern sich die Spannungen stetig mit der Lage der

beanspruchten Fläche, so unterscheiden sie sich in 2 einander gegenüberliegenden Seitenflächen des Würfels nur um unendlich kleine Grössen, welche in der folgenden Untersuchung vernachlässigt werden dürfen. Bei unstetigen Spannungen aber muss der Stab vorerst in einzelne Theile zerlegt werden, innerhalb welcher sowohl a als auch t stetig sind, und es muss dann der betrachtete Würfel vollständig innerhalb eines dieser Theile liegen.

Die in den beiden Flächen ac wirksamen Schubkräfte xac bilden ein Kräftepaar mit dem Arme b und dem Momente xacb. Soll der Würfel im Gleichgewichte sein, so müssen in den Seitenflächen bc Schubkräfte xjic auftreten, welche (ein Paar mit dem Arme a bildend) das Moment tacb aufheben. Dazu ist nöthig, dass Tjbca — zacb also vl — x ist, und dass die beiden Momente entgegengesetzten Drehungssinn haben.

Es soll nun untersucht werden, wie gross die Spannungen in den Seitenflächen eines Würfels (a, b', c) sind, der in den Würfel (a, b, c) so einbeschrieben ist, dass seine Kanten a und b' mit a, bezieh, b den Winkel a bilden, während c || c ist, und zwar möge diese Aufgabe in etwas allgemeinerer Form gelöst werden, insofern nämlich angenommen werden soll, dass auch in den Seitenflächen bc des Würfels (abc) Normalspannungen auftreten. Fig. 95.

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coscl

Tcosa

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6'

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tfCOKtt

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’Tcestt

Fig. 95.

Wir bezeichnen die Spannungen für den Würfel (abc) mit <5X Gy t und für den Würfel (ab' c) mit a' o" t' ; die letzteren ergeben sich aus den als bekannt angenommenen Spannungen ax, Gv, t durch Aufstellung

der Gleichgewichts-Bedingungen für die an den dreiseitigen Prismen (Pj) und (P₂) angreifenden Kräfte.

Wir betrachten zuerst das Prisma (Pj), setzen den Inhalt der in der Pig. 95 mit EF bezeichneten Seitenfläche desselben = 1 und erhalten dann, da die Inhalte der anderen Seitenflächen = 1 sin a und = 1 cos a sind, durch Multiplikation der Spannungen mit den Flächen die Belastungen a, x, ax cos a, x cos a, Gy sin a, x sin a dieser Flächen.

Es liessen sich nun G und x leicht in der Weise bestimmen, dass die bekannten Kräfte Gx cos a, x cos a, Gy sin a, x sin a zu einem stetigen Zuge aneinander gesetzt werden, dessen Schlusslinie die das Gleichgewicht herstellende, auf die Fläche EF wirkende Mittelkraft p der Belastungen G und x angiebt. Durch Zerlegung von p würde man G und x finden. Wir ziehen es aber vor, um auf eine bemerkens-werthe Aehnlichkeit der vorliegenden Aufgabe mit einer früher gelösten schneller hinweisen zu können, die analytischen Ausdrücke für o und x anzugeben. Indem wir sämmtliche Kräfte nach den Richtungen von G und x zerlegen und die Summen der nach den gleichen Richtungen wirkenden Seitenkräfte =0 setzen, erhalten wir:

a — (gx cos a — x sin a) cos a — (cy sin a — x cos a) sin a = 0 x — (gx cos a — x sin a) sin a -f~ (ay sin a — x cos a) cos a = 0 und hieraus folgt dann

g — Gx cos² <x -f- G.y sin² a — x sin 2 a

Gy) sin 2 a -j- x cos 2 a.

In derselben Weise ergiebt sieh aus der Betrachtung des Prismas (P₂)

g" — gx sin² a -j- Gy cos² a -f- x sin 2 a.

Vergleicht man diese Ausdrücke mit den auf Seite 45 für die Querschnittsmomente abgeleiteten Formeln (1), so erkennt man, dass zwischen den Spannungen G, g", x und Gx, Gy, x dieselben Beziehungen bestehen, wie zwischen den Querschnittsmomenten Jx-, Jy>, Jx>y- und Jx, Jy, Jxy. Aus den für die Hauptträgheitsmomente Jmax und J^Pauf Seite 46 erhaltenen Gleichungen (6) ergeben sich mithin für die Hauptspannungen Gx und Gn die Werthe

Gx =

-(6, + ff,) +—V(ff,- ff,)² + 4 T 2 H“ Gy)

und die Lage der von diesen Spannungen beanspruchten Flächen I und II ist bestimmt durch es ist also auch

(4)

2 (ff/ ff//)>

und zwar entstehen die grössten Schubspannungen in Flächen, die mit den Flächen I und II Winkel von 45° bilden.

Wir betrachten jetzt einen unendlich kleinen Würfel, dessen Seitenflächen durch die Hauptspannungen 0/ und cu beansprucht werden, und bezeichnen die Längen der zu diesen Spannungen parallelen Kanten

desselben mit h und ln. Infolge von 0/ wird h um A7z = h ver-

längert {E = Elasticitätsmodul) und infolge von on um A"h —

ff/A mE

verkürzt, wo m einen Erfahrungswerth bedeutet. Die gesammte Längenänderung ist

fcsiS'*

tg 2 a —

ff* —

den Flächen I und II ist r = 0.

der Fig. 56, Seite 50,

max Jxy — TM = — (J₁ — ,/₂ ) ;

ff/---ff//

und ebenso ergiebt sich

A hi —

hi

ff// —

ff/)-

Diejenige allein und im Sinne h wirkende Spannung kIf welche dieselbe Aenderung AZr erzeugt, wie die beiden Spannungen ffj und an zusammen, ist

(5) kj = 0/

ff//

(ff* + ff^) +

m - j- 1

l^(ff*—ff^)²+4 T²,

und ebenso findet man

(6) ku—ou

ff/:

- («. + «,) -    V(«. -

Man erklärt den Stab für hinreichend fest, wenn kz und kn an keiner Stelle gewisse, durch die Erfahrung als zulässig befundene Werthe überschreiten, muss dann aber bei der Beurtheilung dieser Grenzwerthe

^^) darauf achten, dass es nicht gleichgiltig

A l'j A Z/j

ist, durch welche Ursachen die Verlängerungsverhältnisse —— und ——

Çki

Mz

— E —— und kn = E

hi

hi

hervorgerufen werden. Die allgemeine Anwendung solcher Zahlenwerthe Je, die nur aus der Beobachtung von auf reine Zug- oder Druckfestigkeit beanspruchten Stäben abgeleitet werden, kann beim Auftreten von Schubspannungen zu Ergebnissen führen, die mit der Erfahrung nicht im Einklänge sind; sie sind höchstens zulässig, wenn die Spannungen x eine so untergeordnete Bedeutung haben, wie bei den auf Biegungsfestigkeit beanspruchten, verhältnissmässig dünnen und langen Stäben.

Die Ziffer m ergiebt sich nach der Molekulartheorie — 4, ist aber in Wirklichkeit für die verschiedenen Stoffe verschieden. Beispielsweise ist für Metalle nahezu m = 3. Für den in Fig. 94 dargestellten Fall (gx — 0) erhält man dann

4 x².

kj —

(6)

¹¹    3 G

Hiernach lassen sich die Inanspruchnahmen und kn leicht durch Zeichnung finden, nachdem die Spannungen c nach den in den §§ 9—10 entwickelten Verfahren mittels einer Geraden dargestellt worden sind. Der Werth y cs -f 4 x² ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und 2 x.

In der Figur 92, welche eine durch den Schwerpunkt gehende Nulllinie der Spannungen G voraussetzt, geben die der u-Achse parallelen, von der Geraden VW aus gemessenen Ordinaten der Linien I und II, die den Punkten des Querschnitts-Umfangs entsprechenden Werthe und kn an. Die Schubspannung x₀ wurde verhältnissmässig gross angenommen, und es entspricht deshalb die grösste Inanspruchnahme nicht denjenigen Querschnittspunkten L, für welche G am grössten ist. Meistens jedoch ist kmax = Cmax oder doch nur so wenig grösser als cmax, dass bei der Beurtheilung der Festigkeit des Stabes von dem Einflüsse der Schubspannungen x abgesehen werden darf.

IV. Abschnitt.

Einleitung in die Theorie der ebenen Träger.

§ 13.

Allgemeines über die äusseren Kräfte.

Die auf einen Träger wirkenden äusseren Kräfte sind theils gegeben und sollen dann Lasten heissen, theils bestehen sie aus den zu suchenden, an den Auflagerstellen angreifenden Stützenwiderständen.

58. Die Lasten. Eine Last heisst eine ständige (bleibende, ruhende) oder eine veränderliche (bewegliche), je nachdem sie stets oder nur zeitweise am Träger angreift. So bildet für einen Brückenträger sein Eigengewicht und das Gewicht von Fahrbahn und Querversteifung die ständige Belastung, während ein Eisenbahnzug, eine Schaar von Lastwagen oder Menschengedränge als eine veränderliche Belastung zu betrachten ist."')

Eine endliche, in einem Punkte angreifende Last wird Einzellast (auch koncentrirte Last) genannt, im Gegensätze zu der auf eine Linie oder eine Fläche vertheilten stetigen Last.

In dem besonders häufigen Falle einer gleichmässig auf eine Linie vertheilten Belastung bezeichnen wir

die ständige Belastung der Längeneinheit der Linie mit g,

,, veränderliche ,,

und deuten bei der Bestimmung einer von der Belastung abhängigen Grösse (z. B. eines Stützenwiderstandes, eines Momentes) durch einen Zeiger g oder p an, dass es sich nur um den Einfluss der ständigen oder der veränderlichen Belastung handelt.

Kann die Belastung in jedem beliebigen Punkte des Trägers angreifen, so nennen wir sie eine unmittelbare Belastung; wirkt sie hingegen in Folge der Anordnung von Zwischenträgern (Fig. 96) auf bestimmte Punkte (Knotenpunkte) des fraglichen Trägers, so ist sie eine mittelbar wirkende. Die in den Knotenpunkten angreifenden Lasten heissen Knotenlasten

*) Angaben über die Belastungen von Brücken und Hochbauten finden

sich 4m- Anhänge. <um ÎAJLl** ÏT.

r=F

Fig. 96.

tmd ein zwischen zwei benachbarten Knotenpunkten gelegenes Trägerstück nennt man ein Feld des Trägers.

59. Auflager. Stützenwiderstände. Mittelgelenk. Ist es möglich, die durch die Lasten hervorgerufenen Stützen widerstände ausschliesslich mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen zu finden, so wird der Träger ein äusserlich statisch bestimmter Träger genannt; im Gegenfalle ist er äusserlich statisch unbestimmt. Um diese Frage für einige der wichtigsten Trägerarten, vorbehaltlich einer späteren allgemeineren Untersuchung, zu entscheiden, betrachten wir zunächst die verschiedenen Arten der Auflagerung. Hierbei setzen wir voraus, dass alle äusseren Kräfte in ein und derselben Ebene, der Kraftebene, liegen und dass es bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen zulässig ist, die durch jene Kräfte und durch Temperaturänderungen erzeugten Formänderungen der Träger und der dieselben stützenden Körper zu vernachlässigen. Es dürfen dann alle Kräfte in denjenigen Lagen gedacht werden, welche sie im Falle vollkommen starrer Träger und Stützen einnehmen würden.

In den folgenden Untersuchungen wollen wir den Träger als aus einer oder mehreren starren Scheiben bestehend denken (vergl. die Figuren 97—104) und es dahingestellt sein lassen, ob er vollwandig oder gegliedei t (d. h. aus Stäben zusammengesetzt) ist, oder ob er sowohl vollwandige als auch gegliederte Tbeile enthält. Bedingung ist nur, dass die gegliederten Scheiben ebenfalls starr sind, w-elcher Forderung beispielsweise durch die in den folgenden Figuren angenommenen Dreiecksysteme auch dann genügt wird, wenn die Stäbe an ihren Enden durch reibungslose Gelenke mit einander verbunden sind. In mehreren dieser Figuren sind gleichartig gestützte Träger aus vollen und gegliederten Scheiben einander gegenübelgestellt worden.

Wird eine Scheibe in einem Punkte festgehalten, so nennen wir diesen Punkt ein festes Auflagergelenk, wobei das Wort Gelenk andeuten soll, dass sich die Scheibe bei einer etwa eintretenden Bewegung derselben um jenen Punkt drehen kann.

Erfolgt die Stützung der Scheibe in einem Punkte, welcher sich auf einer gegebenen Geraden verschieben kann, diese Gerade aber nicht verlässt, so entsteht ein bewegliches Auf lag er gelenk. Der an dem letzteren angreifende Stützenwiderstand wirkt, wenn keine Reibung stattfindet, senkrecht zur Bahn des Gelenkes (vergl. Auflager A in Fig. 98); man braucht nur die Grösse jenes Widerstandes anzugeben, während an einem festen Auflagergelenke zwei Unbekannte auftreten, nämlich Grösse und Richtung des Stützen Widerstandes.

Wenn die Scheibe in einer Linie festgehalten wird, so ist ausser der Grösse und der Richtung des Stützenwiderstandes auch der Angriffspunkt desselben unbekannt. Wir bezeichnen eine derartige Auflagerung kurz als feste Einspannung.

Erfolgt hingegen die Stützung längs einer Linie, welche auf einer anderen widerstandslos gleiten kann, (z. B. B in Fig. 98) so liegt eine bewegliche Einspannung vor; der Stützen widerstand wirkt rechtwinklig zur Auflagerbahn; er ist bestimmt, sobald seine Grösse und sein Angriffspunkt gefunden sind.

Hängen zwei Scheiben in einem Punkte G zusammen, um welchen sie sich beim Eintreten einer Bewegung widerstandslos drehen können (Fig. 104), so nennen wir sie gelenkartig mit einander befestigt. G heisst ein Mittelgelenk, es wird in Wirklichkeit, ebenso wie die Auflagergelenke, mittels cylindrischer oder kugelförmiger Zapfen oder mit Hilfe von zwei auf einander sich abwälzenden runden Theilen hergestellt, deren Reibungswiderstände in der Folge vernachlässigt werden sollen.

60. Stützung eines aus einer Scheibe gebildeten Trägers.

Besteht der Träger aus einer Scheibe, und soll er äusserlich statisch bestimmt sein, so muss er in einer der folgenden Arten gestützt werden.

1. Der Träger wird an einer Stelle fest eingespannt. Fig. 97. Der Stützenwiderstand hat dann gleiche Grösse aber entgegengesetzten Sinn wie die Mittelkraft R der Lasten und fällt mit R in dieselbe Gerade.

/i

re

fei

tu

jt

Fig. 98.

In

tu

Fig. 97.

an

die drei Kräfte A, B, R miteinander im Gleich-

2. Der Träger besitzt ein bewegliches Auf lag er gelenk (A) und ist einer Stelle beweglich eingespannt. Fig. 98. Die Stützenwiderstände sind senkrecht zu den Auflagerbahnen; ihre Richtungen sind somit bekannt. Von dem Widerstande A kennt man auch den Angriffspunkt, und es ist deshalb der Schnittpunkt C der Kräfte A und R gegeben. Sollen nun gewichte sein, so müssen sie sich in einem Punkte treffen, und hieraus

folgt, dass das Loth von C auf die Bahn des Lagers B die Richtung des Widerstandes B angiebt. Die Unbekannten A und B können jetzt mittels eines Kräftedreiecks bestimmt werden.

3. Der Träger erhält ein festes und ein bewegliches Auf lag er gelenk, an denen beziehungsweise die Widerstände B und A angreifen. Fig. 99.

\v

-_______________

jt

Von B kennt man den Angriffspunkt, von A Angriffspunkt und Richtung; letztere ist senkrecht zur Auflagerbahn und schneidet die Last R im Punkte C. Die Gerade BC giebt die Richtung des Widerstandes B an, und es können nun A und B mittels eines Kräftedreiecks gefunden werden.

Fig. 99.

4. Der Träger erhält drei bewegliche Auflager gelenke, deren zu den Auflagerbahnen senkrechte Widerstände A, B, C sich nicht in einem Punkte treffen. Fig. 100. Ihre Ermittlung erfordert die (in der Fig. 100 ausgeführte) Lösung der in No. 12 auf Seite 15 behandelten Aufgabe: drei der

/b

VT

aM

Ü?

Fig. 100.

Lage nach bekannte Kräfte A, B, C zu bestimmen, welche einer gegebenen Kraft R das Gleichgewicht halten.

Am wichtigsten ist die dritte der angegebenen Stützungsarten. Ist bei dieser die Bahn des beweglichen Auflagergelenkes eine wagerechte Gerade, so rufen senkrechte Lasten nur senkrechte Stützenwiderstände hervor. Man nennt diesen Träger einen Balken. Fig. 101.

Die Anzahl der an den Auflagern auftretenden Unbekannten (nämlich Angriffspunkt, Richtung und Grösse eines jeden Stützenwiderstandes)

ist für sämmtliche oben angegebenen Stützungsarten einer Scheibe = 3 ; sie ist ebenso gross wie die Anzahl der allgemeinen Gleiehgewichts-bedingungen, welche für ein an einem starren Körper wirkendes ebenes Kräftesystem in der VVeise aufgestellt werden können, dass die Kraftebene

__

Lä

Fig. 101.

auf ein beliebiges Achsenkreuz (x, y) bezogen und jede Kraft nach den Richtungen der beiden Achsen zerlegt wird, worauf dann jede der folgenden drei Summen gleich Null gesetzt wird:

a)    die Summe aller nach der Richtung der cc-Achse wirkenden Seitenkräfte ,

b)    die Summe aller nach der Richtung der y-Aehse wirkenden Seitenkräfte ,

c)    die Summe der auf irgend einen Drehpunkt bezogenen Momente sämmtlicher Kräfte.

Treten an den Auflagern eines aus einer Scheibe bestehenden Trägers mehr als drei Unbekannte auf, so lassen sich die Stützenwiderstände nicht mehr mit Hilfe der Gleicbgewichtsbedingungen allein bestimmen; es entsteht ein äusserlich statisch unbestimmter Träger. Ein solcher ist z. B. der in Pig. 102 dargestellte durchlaufende (kontinuirliche) Balken,

mm

\G

Fig. 102.

welcher ein festes und mehrere (mindestens 2) bewegliche Auflagergelenke besitzt; am ersteren treten zwei Unbekannte auf (nämlich Richtung und Grösse des Stützenwiderstandes) und an jedem der letzteren eine Unbekannte (die Grösse des Stützenwiderstandes). Im Ganzen sind bei n Auflagern (n -f- 1) Unbekannte zu bestimmen, und es fehlen, da diesen nur 3 Gleichgewichtsbedingungen gegenüberstehen, n—2 Bedingungen, welche sich, wie wir später zeigen werden, aus der Be-

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

trachtung der Formänderung des Balkens ergeben. Der Träger ist also hinsichtlich der äusseren Kräfte (n — 2)-facb statisch unbestimmt.

61. Gelenkträger. Ein aus mehreren gelenkartig mit einander verbundenen Scheiben bestehender Träger kann auch bei beliebig vielen Stützen äusserlich statisch bestimmt sein. So kann z. B. der vorhin behandelte durchgehende Balken durch die Anbringung von (n —- 2) Mittelgelenken, von denen aber ein zwischen zwei Auflagern liegender Trägerabschnitt höchstens 2 enthalten darf, statisch bestimmt gemacht werden. Die an den Auflagern auftretenden n -f- 1 Unbekannten können

* I Oi

\A JR/

wmm

W/m

,jr \D

m Lr<NNWi/f4 nfc

b r* e

Fig. 103.

jetzt mittels der 3 allgemeinen und der n — 2 in Folge der Gelenke hinzutretenden besonderen Gleichgewiehtsbedingungen ermittelt werden.

So ist z. B. der in Fig. 103 dargestellte Träger nur dann im Gleichgewicht, wenn die Mittelkraft aus dem Stützen widerstände A und der Belastung der Scheibe I durch das Gelenk Gt geht, weil sich sonst diese Scheibe um Gt drehen würde. Ebenso muss auch die Mittelkraft aus RUI und D durch das Gelenk G₂ gehen. Der Träger ist also äusserlich statisch bestimmt.

/ tr.

/IRX r

A.

mi

A4\r

Af

Fig. 104.

Ein zweites Beispiel für einen statisch bestimmten Gelenkträger ist der in Fig. 104 dargestellte. Derselbe besteht aus zwei Scheiben,

welche bei A und B feste Auflagergelenke haben und durch ein Mittelgelenk G mit einander verbunden sind; man nennt ihn den Bogen mit drei Gelenken. Eine auf die linke Scheibe wirkende Last P ruft bei unbelasteter rechter Scheibe (welche jetzt gewichtslos zu denken ist) am rechten Auflager einen Stützenwiderstand B hervor, der durch das Scheitelgelenk gehen muss, weil sich im Gegenfalle die unbelastete rechte Scheibe um G drehen würde. Der linksseitige Stützenwiderstand geht durch den Schnittpunkt C der Kräfte JR und B, ist also ebenfalls der Lage nach bekannt, weshalb sich A und B mittels eines Kräftedreiecks bestimmen lassen.

In gleicher Weise werden die von einer Belastung der rechten Scheibe herrührenden Kräfte A und B ermittelt.

§ 14.

Allgemeines über Einflusslinien.

62. Voraussetzungen und Erklärungen. Zu den wichtigsten der in den folgenden Abschnitten zu lösenden Aufgaben gehört die Untersuchung des Einflusses beweglicher, paralleler Lasten auf irgend eine derjenigen Unbekannten Z, um deren Ermittlung es sich bei der Berechnung eines Trägers handelt, und deren Art wir vorläufig unbestimmt lassen. Es sei also zunächst dahingestellt, ob Z einen Stützenwiderstand (wie beispielsweise in Fig. 105), oder ein Biegungsmoment, oder eine Querkraft u. s. w. bedeutet, hingegen werde voi-ausgesetzt:

1)    dass der durch irgend eine Last P hervorgerufene Werth Z dieser Last proportional ist, mithin die Form Z — Pr\ annimmt, wo rt einen von P unabhängigen Koefficienten bedeutet,

2)    dass der durch irgend ein Lastensystem erzeugte Werth Z gleich der Summe der von den einzelnen Lasten herrührenden Werthe Zist. Entsprechen dann den einzeln aufgebrachten Lasten Plf P₂, P₃ . . . .

in irgend welchen Lagen beziehungsweise die Werthe Z — P, 7)₁ ; Z = P₂ r\₂ ; Z = P₃ t)₃ . . . , so erzeugen die gleichzeitig in jenen Lagen wirkenden Lasten zusammen:

(0 Z= P1% -f- P₂T]₂ -J- P₃r\₃ -j- . • • •

Um Z zu bestimmen, empfiehlt es sich, den Einfluss Yj einer über den Träger wandernden Last P = 1 für alle möglichen Lagen dieser Last zu ermitteln und in der Richtungslinie der Last, von einer Geraden AB aus, als Ordinate aufzutragen (Fig. 105).

Die Endpunkte dieser Ordinaten bilden dann die Einflusslinie für Z; die von dieser Linie und jener Geraden begrenzte Fläche heisst die Einflussfläche für Z.

Ist die Einflusslinie gegeben, so ist man im Stande, den durch irgend ein Lastensystem hervorgerufenen Werth Z zu finden. Man hat

nur nöthig, die den einzelnen Lasten P₁, P₂, P₃ ... . entsprechenden Or-dinaten Yj₂, ^3 • • • • der Einflusslinie zu messen, und hierauf die Gleichung (1) anzuwenden.

In der Folge wollen wir uns, der kürzeren Ausdrucksweise wegen, die Gerade AB wagerecht und die Lasten senkrecht denk n.

63. Mittelbare Belastung. Meistens handelt es sich um Lasten, welche durch einfache Zwischenträger auf die Knotenpunkte des in Frage stehenden Trägers vertheilt werden. Liegt dann zwischen zwei Knotenpunkten (m— 1) und m eine Last P im Abstande x von m (Fig. 106), so erhält man für die Knotenlasten Pm-x und Pm die Ausdrücke:

(2) Pm_₁ =Pyund Pm

wobei X die Feldweite bedeutet. Besitzt nun die für irgend einen Werth Z gezeichnete Einflusslinie unter (m — 1) und m beziehungsweise die Ordinaten ■*],„_ x und und unter der Last P die Ordinate y], so muss offenbar sein:

Pt P i'j Fi

Fig. 105.

\P

FMf

m-i\_fin

k--X —

Vm

Z<r

P'<] =Pm- 1    1 +

und hieraus folgt mit Rücksicht auf Gleich. (2) :

x . X — x

T"*"’’¹" x '

(3) ri = rlm_

Da dieser Ausdruck in Bezug auf die Veränderliche x vom ersten Grade ist, so ist die Einflusslinie zwischen je zwei Knotenpunkten eine gerade Linie.

64. Einfluss einer gleichmässigen Belastung. Wird das Trägerstück (x₂ —xx) gleichmässig mit^? für die Längeneinheit belastet (Fig. 107) und bezeichnet die an der Stelle x gemessene Ordinate der für irgend einen Werth Z gezeichneten Einflusslinie, so ist der Einfluss des Lasttheilchens pdx gleich pdx • Y]x und derjenige der gesammten gleichmässigen Belastung:

Fig. 106.

X₂

(4)

Z — p f rjxdx

— p8,

unter # den Inhalt des zur Strecke (x₂ —) gehörigen, in der Pig. 107 schraffirten Theiles der Einflussfläche verstanden.

Im_Allgemeinen werden die Ordinaten yj verschiedene Vorzeichen haben; man nennt dann die Punkte, in denen die Einflusslinie die Achse AB schneidet, Belastungsscheiden oder Nullpunkte; sie zerlegen

Ztrmx

Jf

Zmin

—

Fig. 107.

Fig. 108.

die AB in positive und negative Beitragsstrecken; den Punkten der ersteren entsprechen positive Ordinaten Yj, denjenigen der letzteren negative yj. Vergl. Fig. 108, in welcher AC eine positive und CB eine negative Beitragsstrecke ist.

Besteht nun die gleich massige Belastung aus einer ständigen Last (g für . die Längeneinheit) und einer veränderlichen Bast (p für die Längeneinheit), so erhält man den grössten positiven Werth Z (d. i. Zmax)_oder den grössten negativen Werth Z (d. i. Zmin), je nachdem man die veränderliche Belastung nur innerhalb der positiven Beitragsstrecken oder nur innerhalb der negativen Beitragsstrecken aufbringt, Pig. 10$. Im ersten Palle ergiebt sich, wenn

5+ den Inhalt des positiven Theils der Einflussfläche,*)

,, negativen „    ,,    ,,

bedeutet, und wenn p -f- g — q gesetzt wird,

und im zweiten Falle folgt:

(5) . . . . Zmax= q%+ — g%-

(6)

Zmin — g%+ —

Man nennt Zmax und Zmin die Grenzwerthe von Z.*¥)

Bei mittelbarer Belastung und im Falle einer konstanten Feldweite a, Fig. 109, ist häufig ein Näherungs verfahren zu empfehlen, welches darin besteht, dass bei der Berechnung von Zmax jeder Knotenpunkt, welchem ein positives yj entspricht, mit q\ belastet wird und jeder Knotenpunkt einer negativen Beitragsstrecke mit g\, während bei der Ermittelung von Zm{„ die Lasten q\ ersetzt werden durch Lasten g\

*) Die an % gesetzten Zeichen -J- und — sind keine Vorzeichen sondern nur Zeiger, die g sind absolute Werthe.

**) Wird Zmax negativ, so stellt es den kleinsten negativen Werth von Z vor; ein positives Zm,n bedeutet den kleinsten positiven Werth von Z.

und umgekehrt. Für den in Fig. 109 dargestellten Fall ergiebt sich z. B.:

Zmax = #X (^l + ^2 “f" %) 9^ (^4 + ^5 + ^6 + fy)

%min — gX ('iQi + % + ^3) — ?X (v}₄ -j- ^5 +    + Tn)>

¥■ M

w*

I*- —A —

Fig. 109.

wobei ïjj, 7jg .... die den Knotenpunkten 1, 2, 3 ... . entsprechenden Ordinaten der Einflusslinie bedeuten. In der Folge bezeichnen wir mit

die Summe aller positiven, unter den Knotenpunkten gemessenen 7], mit desgl. die Summe aller negativen v), und erhalten die Formeln:

(7)

Z’max    9^^+    9^ ^ —

Zmin    9 ^    X 2

aa

welche für Zmax und Zmin grössere Werthe liefern als die in Wirklichkeit entstehenden. Denn belastet man z. B. in Fig. 109 die positive Beitragsstrecke mit q für die Längeneinheit und die negative mit g, so ergiebt sich die Belastung (P₃) des Knotenpunktes 3 kleiner als q\ und diejenige (P₄) vom Knotenpunkt 4 grösser als g\. Eine Verkleinerung von P₃ und eine Vergrösserung von P₄ haben aber eine Verkleinerung von Z zur Folge, so dass der aus Gleich. (7) gefundene Werth Z„ sich grösser ergeben muss als der genaue Werth aus Gleich. (5), und auf dieselbe Weise überzeugt man sich, dass der in Gleich. (7) für (— Zmin) angegebene Klammerausdruck grösser ist als der entsprechende Werth in Gleich. (6).

Der nur von der ständigen Last abhängige Theil von Z ist:

(8)

und, bei gleich langen Feldern:

Z, = g( S₊ —S_)

überein.

Z, = g\(2₊ — 2J).

Die aus (8) und (9) berechneten Werthe stimmen genau miteinander

(9)

65. Einfluss verschiebbarer Einzellasten. Werden die Wert he Z und Zmin für den Fall gesucht, dass sich über den Träger eine Schaar von Einzellasten bewegt, beispielsweise ein Eisenbahnzug, so gelangt man im Allgemeinen am schnellsten durch Probiren zum Ziele, indem man die für verschiedene Stellungen des Belastungszuges bestimmten Werthe Z miteinander vergleicht. Dabei wird man thunlichst nur die positiven oder nur die negativen Beitragsstrecken belasten, je nachdem es sich um die Ermittlung von Zmax oder Zmin handelt. Den Belastungszug zeichne man auf einen Papierstreifen, um ihn bequem gegen die Einflusslinie verschieben zu können.

max

Ist die Einflusslinie ein Polygon mit nicht zu grosser Seitenzahl, so findet man die gefährlichste Stellung des Belastungszuges auch ziemlich schnell mit Hilfe der folgenden Untersuchung.

Es seien, Fig. .^10, 0^, a₂, a₃ . . . . die Neigungswinkel der den Strecken AC, CD, CE .... entsprechenden Seiten des Einflusspolygons und Rt, f?₂, i?₃ .... die Mittelkräfte der auf jenen Strecken liegenden Lasten. Wird der Lastenzug um b, nach rechts verschoben, so zwar, dass die Lasten, welche vor der Verschiebung einer bestimmten Strecke

tu

fcc

io-

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R,f R,

kl

JL

rpn-r¹

—

s;

Fig. 110.

angehören, auch nach der Verschiebung innerhalb dieser Strecke angreifen, so wächst die Ordinate

für jede Last der Strecke A C um b, tg 04

5?

5)

CD „ b, tg a₂, u. s. w.

und es nimmt mithin der Werth Z zu um

(10)

A Z= (7?! tg otj + i?₂ tg a₂ + f?₃ tg a₃ -f . . ..) t Will man den vorstehenden Klammerausdruck durch Zeichnung finden, so reihe man die Kräfte Rlf J?₂, i?₃, . . . . auf einer Wage-

rechten ab aneinander, mache also ac — L\, cd — P₂, de = h\, . . . . und trage vom Punkte a aus ein Polygon auf, dessen Seiten I, II, III. . . . den gleichbezeichneten Seiten des Einflusspolygons parallel sind, und dessen Ecken auf den in den Punkten c, d, e ... . errichteten Lothen cc, dd', ee .... liegen. Es schneidet dann dieses Polygon, welches wir einen Parallelenzug nennen wollen, auf dem Lothe in b die Strecke _ bb' =    tg 04 + i?₂ tg a₂ + 1?₃ tg a₃ + . . . .

ab. Ist bb' positiv, d. h. liegt b' oberhalb b, so wird in Folge der vorgenommenen Verschiebung des Lastenzuges der Werth Z vergrössert, und es beweist dies dann, dass die zuerst angenommene Stellung dieses Zuges nicht die gefährlichste war.

Auf gleiche Weise findet man, dass der Werth Z in Folge einer Verschiebung des Zuges nach links vergrössert oder verkleinert wird, je nachdem der Endpunkt d eines durch b gelegten Parallelenzuges oberhalb oder unterhalb a liegt.

In der Fig. 110 wurde eine Last, nämlich P₅, unter einer Ecke des Einfiusspolygons angenommen; dieselbe muss dann der Strecke EF oder der Strecke DE zugewiesen werden, jenachdem der Lastenzug nach rechts oder nach links verschoben wird. Bei der ersten Verschiebung ergab sich b' unterhalb b, bei der zweiten d unterhalb a; mithin ist die gezeichnete Stellung des Lastenzuges die gefährlichste.

Man muss bei der Wahl der Zugstellung natürlich auch darauf achten, dass die schwersten Lasten in der Nähe der grössten Ordinaten 7] liegen ; denn es lassen sich im Allgemeinen für verschiedene Zugstellungen Parallelenztige zeichnen, welche der Bedingung: b' unterhalb b und d unterhalb a genügen. Ferner leuchtet ein, dass bei der gefährlichsten Stellung des Zuges. stets eine Last bei einer Ecke der Einflusslinie liegen muss. Denn, ist dies nicht der Fall, so sind die Mittelkräfte R bei einer Verschiebung des Zuges nach rechts dieselben, wie bei der Verschiebung nach links, und es unterscheiden sich dann die Werthe A Z für zwei entgegengesetzte Bewegungen nur durch das Vorzeichen; der einen Verschiebung muss also ein positives A Z entsprechen.

06. Verkehrsbelastung der Eisenbahnbrücken. Die Einflusslinien sind besonders wichtig für die Berechnung der Eisenbahnbrücken. Als regelmässige Betriebsbelastung ist ein Zug aus zwei Lokomotiven in ungünstigster Stellung, bald vorwärts- bald rückwärtsfahrend (Fig. 111 bis 114) mit einer unbeschränkten Anzahl einseitig angehängter Güterwagen anzusehen, wobei man nicht nöthig hat, sich streng an die genauen Radstände und Achsbelastungen der schwersten auf der Bahnlinie verkehrenden Fahrzeuge zu halten, weil die in Rechnung gestellten Belastungen sich stets auf die still stehende Lokomotive beziehen,

während sie bei der fahrenden Maschine veränderlich sind und einem ziemlich verwickelten Gesetze folgen, dessen Berücksichtigung bei statischen Untersuchungen ausgeschlossen ist. Für die Annahme gut abgerundeter Werthe spricht aber auch die Vielheit der vorkommenden Abmessungen und Gewichtsvertheilungen von Lokomotiven schwerster Bauart und der Umstand, dass Radstand und Achslast Werthe sind, die sich bei Neubeschaffungen ändern.

Tender

Güterwagen

Lokomotive

------2,5—

13    13    13

-1,5-^-1,5-^p------3,0—^<--1,5*1 Me (er

Tonnen

Fig. 111.

Die in Fig. 111 angegebenen Radstände und Achsbelastungen entsprachen bei der Drucklegung der vorigen Auflage dieses Buches (1887) den damals an eiserne Brücken zu stellenden Anforderungen; sie ergaben sich durch Abrundung der zu jener Zeit für die preussischen Staatsbahnen angenommenen Normal-Güterzuglokomotive und wurden allen Zahlenbeispielen dieses Buches zu Grunde gelegt. Dabei wurde, abweichend von dem jetzt herrschenden Gebrauch, mit drei Lokomotiven gerechnet und, für den Fall voller Belastung der Brücke, zu beiden Seiten der Lokomotiven eine Reihe von Güterwagen aufgestellt. Eine Umrechnung dieser Zahlenbeispiele für die neue Auflage hielt der Verfasser für überflüssig, weil die Zahlenbeispiele nur dazu dienen sollen, die Anwendung des vorgetragenen Lehrstoffes zu erläutern und das Verständniss der allgemeinen Gesetze zu fördern; die Zeichnung neuer Tafeln und Figuren hätte dem Verleger nur unnöthige Kosten verursacht und das Erscheinen der neuen Auflage nur verzögert. Für alle neu hinzugetretenen Zahlenbeispiele sind dagegen Belastungen gewählt worden, die den gesteigerten Ansprüchen der Neuzeit genügen.

Die Achsbelastungen sind so erheblich gestiegen, die Radstände dabei kleiner geworden, dass selbst Brücken, die nur wenige Jahrzehnte im Betrieb sind, heute bereits umgerechnet und verstärkt werden müssen.

Die vom preussischen Minister der öffentlichen Arbeiten durch Erlass vom 15. September 1895 für die Berechnung der Brücken erlassenen Vorschriften nehmen die in Fig. 112 angegebenen Achsbelastungen und Radstände an.

Rundet man diese Werthe ab und führt man für die einzelnen Fahrzeuge eine möglichst gleichförmige Gewichtsvertheilung ein, so

gelangt man zu den in Fig. 113 dargestellten Lasten, welche in ihrer Wirkung auf die Brücke den in der preussischen Verordnung vorge-

Lokomotive

Tender

Güterwagen

¹

Die thörichte Annahme, es gelte Gleichung (1) auch für den Flansch, trifft man immer noch in einzelnen Büchern und Abhandlungen, wobei dann für die Sehne D E zwei Werthe xH herausgerechnet werden, weil sich dort die Breite 2z sprungweise ändert!

e Jé. «1,11,£L⁵->    ₄,_ il_> _ Jé-

16    13    13    13

12

12

12

12

Tonnen*

r*

1Ç22 m

■M

Fig. II2.

sehenen Lasten gleichwerthig sind und dabei die Zahlenrechnungen erheblich vereinfachen. Auch die Benutzung der Einflusslinien dürfte durch die Annahme des Ersatzzuges, Fig. 113, wesentlich erleichtert werden.

Lokomotive

Tender

Güterwagen

Üf.

Meier

ft ft ft

12 12 12

12

12

12

12 Tonne

Fig. 113.

Noch besser aber ist es, die Belastung der Lokomotivachse auf 16< zu erhöhen, den Eadstand auf 1,2 herabzusetzen und den in Fig. 114 angegebenen Belastungszug der Berechnung eiserner Brücken zu Grunde zu legen. Nur dann dürfte man gegen die Ansprüche der nächsten Zukunft genügend gedeckt sein. In unserem Buche wollen wir mit dieser Belastungsvorschrift bei allen neu hinzutretenden Zahlenbeispielen rechnen.

Lokomotive

Tender

Güterwagen

30    ?    2,0___^ Mrf^r

1 V

iß 16    16    16

12 12 12

12

12 Tonnen-

Fig. 114.

V. Abschnitt.

Querkräfte und Angriffsmomente für den einfachen Balken.

§ 15.

Ständige, nnmittellbar wirkende Belastung.

a. Einzeilasten.

67.    Stützenwiderstände. Auf einen an den Enden gestützten wagerechten Balken AB, Fig. 115, wirken die senkrechten Lasten Pj, P₂, P₃, P₄. Die Widerstände A und B der Stützen sind senkrecht gerichtet. Um dieselben zu bestimmen, reihe man die Lasten P auf einer Geraden DE aneinander, ziehe von einem beliebigen Pole 0 aus die Seilstrahlen I, II, III, IV, V und zeichne nach den bekannten Regeln das Seilpolygon. Dasselbe schneidet die Auflagersenkrechten in den Punkten a und b, welche durch die Schlusslinie s verbunden werden. Eine vom Pole zu der Linie s gezogene Parallele zerlegt die Lastensumme Px -f- P₂ -j- P₃ -f- P₄ in die aufwärts gerichteten Auflagerkräfte A und B. Der Beweis ist in No. 11 (Seite 14) nachzusehen.

68.    Querkräfte. Der Balken werde durch einen an irgend einer Stelle C (Fig. 115) geführten senkrechten Schnitt in zwei Theile zerlegt.

r-

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A?    h¹

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I

Fig. 115.

Die Mittelkraft aus den am linken Theile angreifenden Kräften A, I\ und P₂ ist, wenn die Richtung nach oben positiv angenommen wird:

Q — A    Pl    P₂ ;

sie heisst Querkraft für den Querschnitt C (auch Vertikalkraft oder Transversalkraft) und sucht das linke Balkenstück gegen das festgehalten gedachte rechte Stück in senkrechter Richtung zu verschieben, welche Bewegung durch die im Querschnitte G hervorgerufenen Schubspannungen verhindert wird. Yergl. Seite 101.

Im Kräfteplane wird Q als die auf dem Kräftezuge zwischen den Seilstrahlen s und III gelegene Strecke gewonnen, und zwar ist Q negativ, d. h. nach unten gerichtet, wenn Pt P₂ A, d. h. wenn beim hängenden Seilpolygone (wie in Fig. 115) der Strahl III unterhalb s liegt. Man beachte auch, dass die Strahlen s und III den Seilpolygonseiten entsprechen, welche der bei C geführte Schnitt trifft, und dass Strahl III im Kräfteplane unterhalb s liegt, sobald sich die entsprechenden Seilpolygonseiten in einem rechts von C gelegenen Punkte i schneiden. Durch diesen Punkt i geht die Kraft Q; sie ist gleich gross für alle Schnitte zwischen P₂ und P₃.

Für die Schnitte zwischen P₁ und P₂ ergiebt sich die Querkraft: Q' = A — Pa ; dieselbe ist positiv, weil sich die Seilpolygonseiten s und II links vom Querschnitte schneiden.

Bezeichnet man die Strecke, welche Seilpolygon und Schlusslinie auf der Senkrechten durch den fraglichen Querschnitt abschneiden, mit y, so darf man den Satz aussprechen:

Die Querkräfte sind positiv, so lange die Strecken y wachsen, dagegen negativ hei abnehmenden y.

Man nennt y die auf die Schlusslinie bezogene Ordinate des Seil

polygons.

Will man Q als die Summe der auf das rechte Balkenstück wirkenden Kräfte auffassen, so hat man Folgendes zu beachten.

Da vorhin die Querkraft Q für den Querschnitt C durch die

Gleichung

Q = A — Pj - I\

erklärt wurde und sich aus der Bedingung

A + B = P, + P.+PS +p,

die Gleichung ergiebt, so muss man jetzt setzen:

A—Pl—Pt= — B + Pt+Pt.

<> = — b + p₃ +p₄,

d. h. man muss am rechten Balkenstücke die Richtung nach unten als die positive einführen.

69. Momente.

Das Moment der am Theile A C angreifenden Kräfte A, P1? P₂ in Bezug auf den Schwerpunkt des Querschnittes C nennt man das Angriffsmoment (auch Biegungsmoment oder kurz das

Moment) für den Querschnitt C; dasselbe sei positiv angenommen, sobald es im Sinne des Uhrzeigers di’eht ; es ist, nach No. 15 auf Seite 18, gleich dem Produkte aus der Pol weite H und der Ordinate y des Seilpolygons und ergiebt sich für sämmtliche Querschnitte positiv, sobald, wie in Fig. 115, alle Lasten nach unten gerichtet sind. Liegt nämlich die Mittelkraft Q aus A, Px und P₂ rechts von C, so ist sie nach den früheren Ausführungen abwärts gerichtet, also rechts um C drehend; liegt sie links von C, so ist sie aufwärts gerichtet und dreht dann ebenfalls rechts um C.

Man sagt auch: das Moment M ist positiv, sobald die elastische Linie, d. i. die Linie, welche die Achse des belasteten Balkens bildet, nach oben hohl ist (w). Bei einem an den Enden unterstützten, nur durch abwärts gerichtete Lasten beanspruchten Balken ist dies an allen Stellen der Fall, es ist also hier durchweg

M= -j- Hy.

Betrachtet man M als das auf C bezogene Moment der am rechten Balkenstücke angreifenden Kräfte, so muss man die Drehung im Sinne des Uhrzeigers negativ annehmen; denn die Mittelkraft der am Theile B C wirksamen Kräfte ist der Mittelkraft aus den Kräften links von G entgegengesetzt gleich.

Die Bestimmung der Momente M mit Hilfe des Seilpolygons hat zuerst Culmann gezeigt. Daher nennt man auch die vom Seilpolygone und von der Schlusslinie begrenzte (in Fig. 115 schraffirte) Fläche die Cul-mann’sche Momenten fläche.

Zahlenbeispiel. Der Balken habe die Länge ÄB = bm (vergl. Fig. 115) und werde durch die Angriffspunkte der Lasten in Theile von den Längen:

JF= 0,8«*; FG = 1,2”*; GK — 0,9”’; KL — 1,4”*; LB = 0,7m zerlegt. Die Lasten seien: P₁ = 2000*; P₂ = 2500*; P₃ = 800*; P₄ — 1200*. Wählt man dann die (willkürliche) Polweite: H— 2000*, so erhält man ymax — 2,48”* (unter LastP₂), und es wird das grösste Biegungsmoment: M — Hymax — 2000 • 2,48 == 4960*”. Besitzt der Balken einen konstanten Querschnitt, so sind die grössten Beanspruchungen desselben nach Seite 60 (mit Vernachlässigung des Einflusses der Querkräfte) :

Me.2,

Mel

; s₂ = —

Die Stützenwiderstände sind A = 3680*; B = 2820*. Dem Leser wird empfohlen, die Zeichnung auszuführen.

b. Stetige Belastung.

70. Wenn die Lasten in unendlich kleinen Abständen von einander wirken, so geht das Seilpolygon in eine krumme Linie über. Es ist dies der Fall bei einer stetigen Belastung (Fig. 116) ; denn eine solche

besteht aus unendlich vielen unendlich kleinen Einzellasten, die einander unendlich nahe sind. Um nun die Seillinie zu ermitteln, ersetze man die stetige Belastung durch eine Reihe von in endlichen Entfernungen wirkenden Einzellasten, zeichne zu diesen ein Seilpolygon und beschreibe in dieses eine Kurve.

So wurde in Figur 116 die gleichförmig vertheilte Last P durch die drei Einzellasten — P ersetzt, indem die Belastungsfläche durch

ja

li

CU

'9

iP

fP

ff

■*>>

3p %!>

Fig. 116.

senkrechte Schnitte in drei Streifen zerlegt wurde. Für einen an der Grenze zweier Streifen befindlichen Querschnitt liefert das Seilpolygon die genaue Momentenordinate cd = y, denn, wenn man beispielsweise das Moment der links von C wirkenden Kräfte in Bezug auf C bildet,

so darf man die stetige Belastung — P im Schwerpunkte vereinigen.

3

Es folgt hieraus:

Die senkrechten Schnitte, welche die Belastungsfläche in Streifen zerlegen, treffen das Seilpolygon in den Berührungspunkten der in das Seilpolygon einzubeschreibenden Kurve. Vergl. auch Seite 32.

§ 16.

Ständige mittelbare Belastung.

71. Beliebige Belastung. Werden die Lasten Px, P₂, P₃ ... -durch einfache Zwischenträger auf den Balken AB übertragen, Fig. 117, so entstehen Auflagerkräfte A und B, welche, falls die äussersten Querträger über den Stützen liegen, ebensogross sind, als wenn die Lasten unmittelbar auf den Balken wirken. Denn es ist z. B. A-—, wobei Mb die Summe der statischen Momente sämmtlicher Lasten P in Bezug auf den Drehpunkt B bedeutet, und man erhält für MB denselben Werth, wenn man einmal die Lasten P und ein zweitesmal die in den Knotenpunkten, angreifenden Seitenkräfte derselben einführt, weil das Moment einer Mittelkraft stets gleich der Summe der Momente ihrer Seitenkräfte ist.

Mb

Aus dem gleichen Grunde ist das Moment der links von irgend einem Knotenpunkte angreifenden Kräfte, bezogen auf diesen Knotenpunkt, unabhängig von der Art der Vertheilung der Lasten durch die Zwischenträger, und es folgt daher der Satz:

Für alle durch Knotenpunkte gelegten Querschnitte stimmen die Momente für unmittelbare und für mittelbare Belastung überein.

g 13

Ri

rr

■Fi

Piï

///>"

li

Fig. 117.

Hiernach ist man im Stande, die Momentflächen für eine mittelbare Belastung zu finden, ohne erst die in den Knotenpunkten angreifenden Lasten zu bestimmen. Man zeichne das Seilpolygon für die unmittelbare Belastung und beschreibe in dieses ein Polygon, dessen Ecken senkrecht unter den Knotenpunkten liegen, und welches dann mit der Schlusslinie die gesuchte Momentenfläehe einschliesst.

72. Querkräfte für einen gänzlich und gleiehmässig belasteten Balken. Wir lösen an dieser Stelle noch die für die Folge wichtige Aufgabe, die Querkräfte für die Querschnitte eines nach Fig. 118 gleiehmässig mit g für die Längeneinheit belasteten Balkens zu bestimmen.

*r/i

Die Angriffspunkte der Querträger seien mit 0, 1, 2 .... (m— 1), . . . bezeichnet, xm und x m seien die Abstände des Punktes m von

den Auflagern A und B, Am die Länge des mten Feldes, x"m der Abstand der Mitte des Feldes von der Mitte des Balkens. Um die Querkraft für einen durch das mÏQ Feld geführten Schnitt zu finden, beachte man, dass die Belastung g\„, dieses Feldes zur Hälfte auf den Punkt (m — 1) und zur Hälfte auf den Punkt m

—xm~-

Fig. 118.

/\

-------1

übertragen wird, dass also am linken Balkenstücke die Kraft A = — gl

nach aufwärts und die Lasten gxm_x, sowie —-g\m nach abwärts wir-ken. Daher ist

(i)

9l

-1

gx"m,

und zwar gilt dieser Werth für jeden durch das mte Feld geführten Schnitt. Zieht man eine Gerade, deren Ordinaten für x = 0 und x — l

beziehungsweise (-)—gl) und (----gl) sind, so erhält man Q als

ù    u

die unter der Feldmitte gemessene Ordinate dieser Geraden. Für die rechte Balkenhälfte wird Q negativ. Innerhalb eines Feldes ist Q konstant.

§ 17.

Einflusslinien. Orenzwerthe von Q und M bei gleichförmiger ständiger und beweglicher Belastung.

a. Querkräfte für unmittelbare Belastung.

73. Einflusslinie. Es sei C ein beliebiger Querschnitt des Balkens AB; links von demselben wirke an irgend einer Stelle die Last Pi, rechts die Last P₂. Fig. 119. Die Momentengleichung für den Stütz-

punkt B als Drehpunkt lautet mit den aus der Fig. 119 ersichtlichen Bezeichnungen :

Al — P₂b — Pj (l — a) = 0; sie liefert für den Stützenwiderstand A den Ausdruck:

F—......f !

! IC !

P,

------—J)-

kB

......>

2L

HP

-X-

-l-

X¹

Fig. 119.

und es ergiebt sich deshalb für die dem Querschnitte C entsprechende Querkraft der Werth:

(2)

b    a

Q ⁼ A Pj == P₂ —--PlT derselbe besitzt die Form:

(3) und es lässt sich mithin auf die Ermittlung von Q die im § 14 beschriebene Methode der Einflusslinien anwenden.

Zieht man eine Wagerechte, welche die Senkrechten durch die Auflager in Â und B' schneidet, trägt auf diesen Senkrechten die Strecken ÂJ — 1 und B' K = 1 auf, und zieht die Geraden A K und B J, welche die Senkrechte durch C in Lx und L2 schneiden, so erhält man in der in Fig. 119 schraffirten Fläche die Einflussfläche für die dem Querschnitte C entsprechende Querkraft Q, und der Linienzug ÂLx L₂ B' stellt die Einflusslinie für Q vor. In der That ist die unter P₂ gemessene Ordinate dieser Linie:

—,— b    b    a

ri2 = A «7— = 1 —r und die unter Px gemessene, y]₁ =--—• Jede

ll    i

Last rechts von C erzeugt für diesen Querschnitt eine positive Querkraft Q und jede Last links von C eine negative.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

Wir wollen nun die Einflusslinie A'L₁L₂ B' benutzen, um im

Anschluss an die Untersuchungen im § 15 diejenigen Grenzwerthe und

max

min

Q zu bestimmen, welche in Folge einer gleichmässigen Belastung entstehen. Der Einfluss beweglicher Einzellasten soll später auf anderem Wege (d. h. ohne die Benutzung der Einflusslinie) ermittelt werden.

74. Bestimmung von

Q und

Belastung. Yergl. Fig. 119 u. 120.

max

Q bei gleichförmiger

Wir setzen voraus:

min

eine ständige Belastung = g für die Längeneinheit von A B,

„ bewegliche „ und bezeichnen mit

„ AB,

l die Stützweite,

x den Abstand des Querschnitts C vom Auflager A

0 „

C von der Balkenmitte,

x

und erhalten dann

^wegen NL₂ =

A'J

f)i

1) den Inhalt des positiven Theiles der Einflussfläche:

3. = A B'NL₂ = NL₂ — = —,

2) den Inhalt des negativen Theiles der Einflussfläche:

&=A ÄNLX= r

.....iiBSilllillilllliy

J)

------------...............

D»

nt

m%

- «X*- - - -

A"

-------dO- -

>i ,

.....>

.1

■*<

■>

Fig. 120.

Wir untersuchen getrennt den Einfluss Qp der beweglichen Last und den Einfluss Qg der ständigen Last.

Qp entsteht, wenn nur die positive Beitragsstrecke x mit p belastet wird, Fig. 119. Man erhält (nach Gleich. 4 auf Seite 116):

Der Werth

(4)

m§x

Qp=P% 2 =

px²

21

Cf

9l

gestellt, welche für x" = + — beziehungsweise die Ordinaten + — be-

Li    U

sitzt. Die positiven Ordinaten dieser Geraden wurden in der Fig. 120 unterhalb der A B' aufgetragen, damit die Werthe Qp und Qg bequem addirt werden konnten. Es sind bei dieser Anordnung der Zeichnung die senkrechten Abstände der Geraden A'B" von der Parabel DJB' gleich den Kräften

max

und kann diesen Werth durch die Ordinate C'J einer Parabel BOJE darstellen, welche für x = 0 und x = l beziehungsweise die Ordinaten 0

und

— pl besitzt, und deren Scheitel bei B' liegt. Man mache auf

der linken Auflager-Senkrechten: ÄD — —pl, ziehe B I), ferner durch

den Schnittpunkt E dieser Geraden mit der Senkrechten durch C die Wagerechte EF und bringe die Gerade B F mit der Senkrechten durch C in J zum Schnitt. Es ist dann J ein Punkt der Parabel, weil

px2 21 ’

Der Einfluss der ständigen Last ist nach Gleich. (8) auf Seite 118:

(5) Qp — gföi — Si) = g

Dieser Werth wird durch die Ordinate einer Geraden A" B" dar-

C' E — A' D -y-; C'J= A'F°y = ÄD

i    i

{x — x) (x -j- x)

21

gx .

Q maxQp j

Für den Balkenquerschnitt senkrecht über 0 ist maxQ — 0; für die Querschnitte rechts hiervon ist maxQ negativ.

Betrachtet man jetzt das Spiegelbild der Fig. 120, so wird der Balken nur links vom Querschnitte C eine bewegliche Belastung aufweisen. Da nun diesem Belastungszustande die Querkraft minQ entspricht, so folgt, dass der Werth minQ für den Querschnitt C gleich ist dem im Abstande x vom Auflager B gemessenen senkrechten Abstande der Parabel B JD von der Geraden A" B". Man muss jedoch das Vorzeichen ändern, da vorhin Q als Mittelkraft des nur mit g belasteten linken Balkenstückes (AC) dargestellt worden ist und bei der Betrachtung des Spiegelbildes dieses nur mit g belastete Stück rechts von C liegt. Vergl. Seite 124. Es folgt hieraus, dass minQ positiv ist für x <i £ und negativ für x

b. Querkräfte für mittelbare Belastung.

75. Einflusslinie. Es sei C ein beliebiger Querschnitt des Balkenfeldes F₁F₂, Fig. 121. Links von Fx wirke auf den Balken an irgend einer Stelle eine Last P1? rechts von F₂ eine Last P₂. Die Stützenwiderstände A und B sind dieselben wie bei unmittelbarer Belastung (vergl § 16), und es ergiebt sich deshalb wie in No. 73 die Querkraft für den Querschnitt C:

wo r₍₁ =--t|₂ = —-

Ausserhalb des Feldes FXF2 B stimmt die Einflusslinie für Q mit der in No. 73 unter Voraussetzung einer unmittelbaren K Belastung gefundenen überein, und innerhalb jenes Feldes ist sie nach Seite 116 eine Gerade, s' welche durch die beiden senkrecht unter F₁ und F₂ gelegenen Punkte Lx und L₂ bestimmt ist. Mithin ist die in der Fig. 121 schraffirte Fläche die gesuchte Einflussfläche für Q; wir werden dieselbe wieder benutzen, um den Einfluss einer gleichförmigen Belastung festzustellen.

76. Bestimmung von maxQ und minQ für gleichförmige Belastung. Der Inhalt $₂ des positiven Theiles der Einflussfläche ist mit den aus der Fig. 121 ersichtlichen Bezeichnungen (und wegen:

B₂L₂ - ~ÄJ

i ’i

f-ï

F CF

*    X

wiiiiiiitfkiY

Fig. 121.

■■

1-

I.;

-x'-

-H

g₂ = A nl₂b'=r₂l₂

are

21 ’

und man erhält deshalb die durch die bewegliche Belastung allein hervorgerufene grösste positive Querkraft:

(6)

max

Q=jP%2z=Y’

pl x %

dieselbe entsteht, sobald nur die positive Beitragsstrecke B'N mit p belastet wird und lässt sich leicht durch Zeichnung finden.

Zu diesem Zwecke bestimmt man, Fig. 122, mit Hilfe von zwei beliebigen Parallelen AK und BJ den Nullpunkt N des fraglichen Feldes und legt durch N und durch F₂ die Senkrechten I und II. Nun trägt man, von einer Wagerechten AB' aus, auf der Senkrechten A'A die

Kraft p~ — A'D auf, bringt die Gerade B D mit II in E zum Schnitt, zieht die Wagerechte EF und bestimmt den Schnittpunkt H der Geraden FB' mit der Senkrechten I. Man erhält:

C' H — A’F    — E'E — = A'D

2 11’

x_ i l l

also G'H=maxQp.

tu

IN

VT*

■7

"fl

S3

Qp ist noch die von der ständigen Last herrührende Querkraft Qg zu fügen. Dazu macht man (nach No. 71)

Zu dem Werthe

max

À A" = B' B" = — gl und zieht die Gerade Ä'B", welche die das

u

betrachtete Feld begrenzenden Senkrechten in a und b' schneidet. Die Ordinate des Halbirungspunktes c' der Strecke ab' ist dann gleich Qg, sie ist positiv, sobald sie unterhalb A B' liegt, Nun findet man:

max

(/    maxQp !    Qff*

Auf die gleiche Weise wei'den die

Q für sämtliche Felder ermittelt. Innerhalb eines Feldes ist Q konstant. Auf der rechten Hälfte des Balkens ist Qg negativ; es kann dann (wie im Felde Tx T₂ in Fig. 122) Q negativ werden.

Um die Querkraft minQ zu bestimmen, welche in dem betrachteten

Felde entsteht, sobald nur die Strecke AN mitp belastet ist, wird das Spiegelbild des Balkens in derselben Weise wie eben untersucht, und schliesslich wird das Vorzeichen der so gewonnenen Kraft Q umgekehrt. Vergl. den Schluss von No. 74. Ist der Balken symmetrisch in Bezug auf die Mitte, so genügt es natürlich, für sämmtliche Felder die Kräfte Q zu ermitteln, aus denen dann die mi„Q durch Umkehrung der Vorzeichen gefolgert werden können. Zur Erläuterung diene das folgende

Zahlenbeispiel. Für den in Fig. 122 gezeichneten Balken wurde 1 = 18W, X i= 3m , g= 1,2* und p = 4.8' für das Meter angenommen. Es ist dann

Yd

= — = 43,2*, ÄA" = B'B" = ^ = 10,8*, welche Werthe im Maassstabe: 2 2

aufgetragen wurden. Nach Ausführung der oben beschriebenen Kon-

20* = 10

struktion ergab sich für das lte Feld:

0₃ = + 14,76*

04 = + 3,96*

und aus diesen Werthen folgt, da der Balken in Bezug auf eine Senkrechte durch seine Mitte symmetrisch ist: minQi — + 9,00* r»i»02 = 4“ 3,96*

Es sind also im l>en und 2ten Felde die Querkräfte nur positiv, im 5ten und 6ten nur negativ, während sich für die beiden Mittelfelder je nach dem Belastungszustande positive oder negative Werthe 0 ergeben.

MH

: ax

Q₁ = -f- 45,00* 0₂ = + 28,44*

minQi — - 3,96*

»»»04 = — 14,76*

niax

max

Qö — — 3,96* 06 = — 9,00*,

„,iB0₅ = — 28,44* minQi =- 45,00*.

c. Momente für unmittelbare Belastung.

77. Einflusslinie.

Wirken auf den Balken AB die Lasten Px und P₂, so ist das Moment für irgend einen zwischen ihnen gelegenen Querschnitt C (mit den Bezeichnungen in Fig. 123):

M — Ax

P₁ (x — a)

b

und wegen A = P₂ —

P1-Ê + P1:

(7)

ax'

bx

M—Px ——f- P₂ —•

Es besitzt also M die Form

4V=P₁vj1    2

ax'

bx

wobei vj x

und v]₂ =

Trägt man auf der linken Auflager-senkrechten, von einer Wagerechten A B' aus, die Strecke A J = x auf, zieht die Gerade JB', welche die Senkrechte durch C in C' schneidet und verbindet A' mit C', so ist der Linienzug A' C' B' die Einflusslinie für M, denn er besitzt unter P₂

die Ordinate 7j₂ = x — und (da die Gerade A'C' auf der Senkrechten durch B die Strecke B'K == x bestimmt)

, a

unter Pj die Ordinate % = x — •

kB

—b—>•

p—- 0C —-------

K-

Fig. 123.

78. Moment maxJ\L in Folge gleichmässiger Belastung. Das

grösste Moment für irgend einen Balkenquerschnitt C entsteht bei gänzlicher Belastung des Balkens durch p -f- g — q für die Längeneinheit.

xx

Der Inhalt der Einflussfläche ist (vergl. Fig. 123): $ = C'C" ~ und wegen C'C" — Ä J —

xx'

Man erhält somit:

(8)

niax

M=q%

qxx'

und kann hiernach das Moment Querschnitt durch die Ordinate CJ einer Parabel AJSB (Fig. 124) dar-

max

M für den an der Stelle x gelegenen

stellen, welche für x — x——-l die Ordinate NS =— ql² besitzt.

2 8

Zieht man nach Aufträgen von NS die Gerade SA, welche das in C auf der AB errichtete Loth in E schneidet, hierauf ^* die Wagerechte EF bis zur linken Auflagersenkrechten und ¹    *

verbindet F mit S durch eine Gerade, so bestimmt diese auf der CE den Parabelpunkt J. Denn es ist:

x: — l also ~CE= qlX 2    4

— I — x

Fig. 124.

CE: NS =

, ferner

JE — FA

— CE

also

JC = EC -f JE = Ec( 1 -f

l — 2x

qxx

d. Momente für mittelbare Belastung.

79. Einfiusslinie. Fig. 125. Liegt der fragliche Querschnitt C zwischen zwei Querträgern Fx und F₂, so bestimme man zunächst die Einflussfläche A'C'B' für das Moment M unter der Voraussetzung unmittelbarer Belastung und stumpfe dieses Dreieck durch eine Gerade L₁ Lt

ab, deren Endpunkte senkrecht unter den Querträgern Ft und F% liegen. So lange nämlich die über den Balken wandernde Einzellast links von Fx

HF : t, \c Î.

B'

oder rechts von F₂ liegt, stimmen die dem Querschnitte C entsprechenden Momente für mittelbare und für unmittelbare Belastung überein; zwischen Fx und F₂ aber muss die Einflusslinie eine Gerade sein.

C’

Fig. 125.

80. Momente maxM. für gleich-massige Belastung. Die Momenten-K kurve für mittelbare gleichmässige Belastung ist nach § 16 ein Polygon, welches in die für die unmittelbare Belastung gefundene Parabel ASB (Fig. 124) so einbeschrieben wird, dass seine Ecken in den Senkrechten durch die Knotenpunkte liegen. Es genügt also, die den Knotenpunkten entsprechenden Parabelpunkte zu bestimmen und diese durch gerade Linien zu verbinden.

§ 18.

Die veränderliche Belastung besteht aus einem verschiebbaren Systeme von Einzellasten.

a. Mittelbare Belastung.

(Fig. 126, 128, 129, 130 auf Tafel I.)

Die Ermittlung der durch ein verschiebbares System von Einzellasten hervorgerufenen Momente und Querkräfte kann mit Hilfe der im §17 gefundenen Einflusslinie nach dem im § 14 mitgetheilten allgemeinen Verfahren erfolgen, jedoch ist es zweckmässiger, einen anderen Weg einzuschlagen, der hier an der Hand eines Zahlenbeispiels beschrieben werden soll.

Es handele sich um eine zweigleisige Eisenbahnbrücke mit zwei Hauptbalken. Die Stützweite sei Z=36mund die Feld weite a = 3,6’“, Fig. 126. Die veränderliche Belastung bestehe aus einem von drei Lokomotiven geführten Güterzuge (Anordnung Fig. 111). Jeder der beiden Balken trägt die Belastung eines Gleises, hat also die Achsen

belastungen aufzunehmen. Die ständige Belastung sei mit Hilfe der Erfahrungsformel

g — 27,51 -f- 750 = 27,5 • 36 -f 750 = 1740* = 1,74* f. d. Meter Balkenlänge gefunden. *)

81. Querkräfte. In No. 75 auf Seite 132 (vergl. auch Fig. 121) wurde nachgewiesen, dass in einem Balkenfelde die grösste positive Querkraft Q entsteht, sobald nur Lasten rechts von der im fraglichen Felde gelegenen Belastungsscheide wirken. Fährt nun von B aus ein Güterzug vor, mit drei vorwärtsgehenden Lokomotiven an der Spitze, so erhält man in den meisten Fällen maxQ, wenn die erste Last bei dem das fragliche Feld rechts begrenzenden Querträger liegt. Diese Laststellung wollen wir in der Folge die Grundstellung nennen. Handelt es sich nun beispielsweise um das 5te Balkenfeld (Fig. 126), so ist der Eisenbahnzug zunächst von B aus bis zum Querträger 5 vorzuschieben. Links von dem durch dieses Feld an irgend einer Stelle geführten Schnitte ss greift nur der linke Stützen widerstand A₅ an, und es er-giebt sich maa.Qp5 = A₅, wobei der Zeiger p daran erinnern soll, dass bis jetzt nur der Einfluss der Vevkehrslast berücksichtigt worden ist. Aus der Momentengleichung für den Stützpunkt B folgt (mit den aus der Fig. 126 ersichtlichen Bezeichnungen, und da rechts vom Schnitte ss 9 Lasten auf den Balken wirken):

2 Pb,

Asl — 2Pb = 0; A₅ =

und dieser Werth A₅ lässt sich auf eine sehr einfache Weise durch Zeichnung bestimmen. Dazu trägt man den Eisenbahnzug in der Richtung von A nach B fahrend und mit der ersten Achse bei B stehend auf und reiht die Lasten Px, P₂ .... in der in Fig. 126 angegebenen Weise auf der Senkrechten durch den linken Stützpunkt aneinander. Nun wählt man im Abstande l von dem Kräftezuge den Pol 0 und zeichnet zu den Lasten ein Seilpolygon, dessen Seiten I und II mit den Seilstrahlen I und II zusammenfallen. Es ist dann nach No 17 auf Seite 20 das Produkt l • ab aus der Pol weite l und der beim Querträger 5 gemessenen Ordinate ab des Seilpolygons gleich dem auf die Achse ab bezogenen Momente der rechts von ab gelegenen Lasten

P₉ des von A nach B vorgerückten Zuges. Bezeichnet

-f*2 »

*) Würde jedes Gleis durch zwei, bezüglich der Gleismitte symmetrisch liegende Balken gestützt, so kämen auf jeden Balken nur die Raddrücke der

Fahrzeuge und die ständige Last g —

i * 1,74 = 0,87*.

man also die Entfernung dieser Lasten von der ab mit b b'₂ ... . so erhält man lab — îùPb' und (wegen b\ —b₁; b'₂ = b₂

■):

ab = — 2 Pb = A₅. I 1

Wir iverden mit Am stets denjenigen Widerstand bezeichnen, welcher am Imken Auflager durch die von B aus bis zum Querträger m vorgeschobene Verkehrslast    hervor gerufen wird,

max

und erhalten dann, Qv bei der Grundstellung entsteht, ganz allgemein für das

falls

mte Feld:

max

Qpm -- Am.

Das Seilpolygon in Fig. 126, dessen bei den Querträgern gemessene Ordinaten gleich den Stützen widerständen Am sind, nennen wir das A-Polygon.

Liegt die zweite Achse des von B vorrückenden Zuges beim Querträger 5, und bezeichnet man mit ex den ersten Radstand, so übt die

e,

erste Last Pt auf den Querträger 4 den Druck Pa — aus, und es wird

À

die Querkraft für das 5te Balkenfeld : Q' — A — P*

A durch die bei der Last Pl gemessene Ordinate a'b' des M-Polygons

dargestellt; von derselben ist die Strecke P'

lung ohne Weiteres aus der Fig. 126 zu ersehen ist, abzuziehen. Ist Q' A₅, so ergiebt sich Felde Q ein Maximum, sobald die zweite Achse über dem Querträger 1 liegt.

Dabei wird

Pj e₁

deren Ermitt-

max

Qp 5    ■ Q •

So wird z. B. im ersten

Stellt man die dritte Achse des Zuges über den Querträger m,

ei JTe2

X,

Fig. 127, so erfährt der Querträger (m—1) die Belastung P₁

p

-f-P₂—und es entsteht für sämmtliche Querschnitte des wten Feldes

Am

die Querkraft:

Q" = A — Pl

e2

XOT

el + e2

Xm

e₂

—__— und a gleich der unter P₁ gemessenen

ei r e2

Ordinate des A- Polygons. Die Ermittlung der Kräfte P und Q" ist aus der Fig. 127 zu ersehen. Ist Q" > Q'^> A., so ist nwxQpm = Q".

Ein noch weiteres Vorschieben des Zuges in das fragliche Feld ist überflüssig; schon der Fall, dass die dritte Achse über m stehen muss, ist sehr selten; er tritt nur ein bei verhält-nissmässig grosser Feldweite.

Um ein einfaches analytisches Kennzeichen für die gefährlichste Laststellung hinsichtlich maxQpm zu finden, bezeichnen wir d/e Summe aller auf dem Balken sich befindenden Lasten mit SP und die Summe der im fraglichen Felde liegenden (einschliesslich der über m)

mit 2P. Haben dann die im mten Felde liegenden Lasten von m die Ab-

1    1 i

-^UPb — P-'ZPc.

wobei P— Pj -j- P₂

p, % %

)A

\Am

ei

rn-i    m

|<---%-----

l    nt !

Fi g. 127.

stände c₁₅ c.₂ . . . , so ergiebt sich Qm =

Xi»

Verschiebt man

den Zug um die unendlich kleine Strecke £ nach links, so geht über: b in b -j- £

¹ ipl-

und -c in c -J- £ ; es wächst also Qm um d Qm

Hieraus folgt aber, dass Qm in Folge der Verschiebung vergrössert wird, falls ^-SP>-¹-i:P, d. h.

Xm

X»,

0)

^p

2P

A nl

ist. Die Grundstellung ist also die gefährlichste, sobald

ISP

Pi

ist. Im

2P

Px + P, ^ X»

ist; wird auch diese Ungleichung nicht erfüllt, so stellt man die Last P3 über m u. s. w.

Gegenfalle stellt man die 2te Last über m und sieht nach, ob

yp

Für das 5te Feld ist bei der Grundstellung 2P= 105*, mithin ——

Pi

1(,'⁾ < --- = 10; es ist also diese Stellung die gefährlichste.

J    À

13

Man könnte auch den Werth Q,„ = -j- 12 Pb —

— SPc ermitteln,

Am

indem

~kpc in ähnlicher AVeise mit Hilfe eines Seilpolygons

(Polweite X,„) bestimmt, wie den Ausdruck A — — 2 Pb. Das oben gezeigte Verfahren führt aber schneller zum Ziele, namentlich bei verschieden langen

man den Ausdruck

Xi»

ti + ß2

unabhängig von

Feldern, da die vorhin eingeführte Kraft P— P, -f- P₂

der Feldweite ist, mithin nur einmal bestimmt zu werden braucht. Wie sich dieses Verfahren für den Fall erweitern lässt, dass mehr als 2 Lasten im Felde \m liegen, bedarf keiner näheren Auseinandersetzung.

Die von der ständigen Belastung herrührenden Querkräfte Qg können mit Hilfe des in No. 72 Seite 105 beschriebenen Verfahrens bestimmt

Qi> H“ Qg ergiebt. Es wurde, um die

max

ma e

werden, worauf sich Fig. 126 möglichst übersichtlich zu halten, von der vollständigen Darstellung der Querkräfte abgesehen. Man findet eine solche auf Tafel III, wo sie zur Ermittlung der Spannkräfte in den Wandgliedern eines Balkens mit parallelen Gurtungen benutzt wird. Dafür sind dort alle Hilfslinien für die Konstruktion des Seilpolygons fortgelassen worden.

82. Momente. Als veränderliche Belastung sollen Güterzuglokomotiven angenommen werden, von denen zwei mit ihren Vorder-theilen gegeneinander gekehrt sind; vor und hinter dieselben werden Lastwagen gestellt.¹)

Um zunächst die Momente M₂, M₃ .... für die den Querträgern 1, 2, B . . . . entsprechenden Querschnitte zu bestimmen, wurde in Fig. 128 auf Tafel I für einen Zug, der länger als die Stützweite 36m ist, ein Seilpolygon gezeichnet. Die von links nach rechts bezifferten 22 Lasten wurden in der Reihenfolge 22, 21, 20, auf einer Senkrechten aneinander gesetzt und zwar im Maassstabe 2f = lmm; die Polweite H wurde = 4X = 4-3,6 = 14,4’“ gewählt, so dass also, da der Längenmaassstab 1”‘ = 4’"’“ lautet, H = 4 • 14,4 = 5 7,6””“ ist. Fasst man H als eine Kraft auf, so ist H= 57,6 • 2 = 115,2¹.²)

Um das für den Querschnitt 1 durch die veränderliche Belastung hervorgerufene Moment Mpl zu erhalten, wurde der Balken AB so über den Lastenzug gestellt, dass eine schwere Last (hier die 7te) bei dem fraglichen Querschnitte liegt. Hierauf wurden die Auflagersenkrechten in a und b mit dem Seilpolygone zum Schnitt gebracht und die Punkte a und b durch die Schlusslinie Sj verbunden. Die auf der Senkrechten durch 1 von dem Seilpolygone und der Geraden s, abgeschnittene Strecke ypl giebt mit H multiplicirt das Moment Mpl. Man überzeugt sich leicht, dass dieses Moment verkleinert wird, sobald man den Träger nach links oder nach rechts gegen den Zug verschiebt, dass also das gewonnene Moment das grösste ist, welches für den Querschnitt 1 entsteht. Wenn man nämlich die Lasten links von irgend einem Querschnitte C zur Mittelkraft Pa vereinigt, Fig. 129, und die Lasten rechts von C zur Mittelkraft Pb, während man mit P' die in C angreifende. Last bezeichnet, so erzeugt Pa an der rechten Stütze

den Widerstand Pa~j und daher für C das Moment Pa~r ähnlich

v

so dass

b    ,    xx

Pb das Moment Pb — x und P das Moment P' ¹ —

M= ^ Pbb-\-~Paa-\

P'

XX

wird. Verschiebt man nun den Zug um die unendlich kleine Strecke £ nach links, so geht M über in

M+dM=XrPb{b + l)-\-

Pa(a~ Ê)+-r-P' (* — S)

Pj>b

Paa -f-

XX

p' -l- — pb —

%x'

(Pa + P')

= M + — [xPb — x (Pa -j- P')]

und es muss, wenn der Zuwachs dM des Momentes negativ sein soll,

xPb < x (Pa + P')

werden, d. h.

Pb

p. + p'

<—

Ebenso folgt, dass einer Verschiebung rach rechts

x'

(3)

Pb + P'

Pa

entsprechen muss. Ist nun (Fig. 128) EE' gleich der Summe der auf dem Träger AB befindlichen Lasten (d. i. hier gleich der Summe der Lasten 6 bis 20) und zieht man EF—l— 36OT, macht auf dieser Geraden EJ = x — 32,4”³), verbindet F mit E' und zieht ^-ZV JJ FE', so muss JN die über dem fraglichen Querschnitte liegende Last P' treffen. Es ist nämlich dann EG = Pb, GK—P', KE' — Pa und es folgt:

*) Am einfachsten verfährt man, statt die nachfolgende Betrachtung anzustellen, dem Träger verschiedene Lagen gegen den Zug zuzuweisen, für diese Lagen yp₁ zu ermitteln und die Ergebnisse zu vergleichen.

In derselben Weise überzeugt man sieb, dass das grösste Moment

entsteht

EK

NE'

also

EG

d. h.

Pa + P'

GE

<—und

<_

x

und

EK

KE

r>~

'    X

Pb + P'

Po

>—

für Querschnitt 2, wenn Last No. 7 über 2 steht, q

»    Y>    U 5 W

»    n    4, „

«    1 ®    ^ n

In Figur 128 wurden, um die Zeichnung nicht undeutlich zu machen, nur die Schlusslinien slf s₂ und s₅, sowie die Ordinaten ypi, yp2 und yp5 eingetragen. Die anderen yp wurden ähnlich ermittelt und in Figur 130 als Ordinaten des Momentenpolygons aufgetragen.

Zu den Werthen yp sind die der ständigen Belastung (g) entsprechenden Ordinaten yg zu fügen. Nach Seite 134 u. 135 sind die,Morn ente Mg gleich den Ordinaten einer Parabel vom Pfeile—-gl². Wird

H = 115,2* gesetzt, so ist

1 gl²

1,74 • 36²

8 II

= 2,45’” der Pfeil der

8 • 115,2

die yg liefernden Parabel. Diese ist in Fig. 130 dargestellt worden. Für die Ordinaten

y₅ =    9,46’"

Verbindet man die Endpunkte der Ordinaten y durch gerade Linien und sieht davon ab, dass ein Theil der ständigen Belastung, nämlich das Eigengewicht des Balkens, unmittelbar wirkend ist, so erhält man für alle zwischen den Querträgern gelegenen Querschnitte etwas zu grosse Momente. Für den Querschnitt C (Fig. 130) zwischen 3 und 4 ist z. B.

M₁ — 115,2-3,53 = 407*m M₂ = 115,2-6,09 === 702*"' Mä = 115,2 • 7,97 = 918*m Ma = 115,2 • 9,03 ==’ 1040*’" M₅ = 115,2 • 9,46 = 1090*m.

r % f

y = Vs + 0/4 — Vs) y ~ V* yÿ*

¹

Wir beschränken uns hier auf diesen Fall. Zuweilen kommt es vor, dass drei vorwärtsgehende Maschinen etwas grössere Momente erzeugen, so dass es im Allgemeinen nötliig ist, die folgenden Untersuchungen zweimal durchzuführen.

²

Im Allgemeinen empfiehlt es sich, für PL eine bequeme Zahl zu wählen, doch werden wir später auch Aufgaben zu lösen haben, bei denen es besser ist, H als ein Vielfaches der Feldweite anzunehmen. Um dann Tafel I benutzen zu können, wurde die obige Wahl getroffen.

³

In Fig. 128 wurde EF = ^rl und EJ=^-x' gemacht.

3    3

Da nun im Allgemeinen y₃ und y₄ bei verschiedenen Laststellungen Maxima werden, so wird durch gleichzeitiges Einführen von maxy₃ und y₄ in die vorstehende Gleichung der Werth y zu gross gefunden. Der hierbei begangene Fehler ist aber stets unbedeutend, er wird auch

durch den von der Vernachlässigung der unmittelbaren Wirkung des Trägergewichtes herrührenden Fehler verkleinert.

Will man für einen zwischen zwei Querträgern (m — 1) und (m) gelegenen Balkenquerschnitt C die grösste Ordinate yv genauer bestimmen, Fig. 131, so muss man den Balken so unter den Lastenzug stellen, dass eine der schwersten Lasten über (m—1) oder über (m) liegt. Ausser der Schlusslinie s ist noch die dem Feld X entsprechende Schlusslinie s' einzutragen, worauf yp als die Strecke gefunden wird, welche die Geraden s und s' auf der Senkrechten durch C abschneiden. Es folgt dies aus dem früher bewiesenen Gesetze, dass das Momentenpolygon für mittelbare Belastung ein dem Seilpolygone für unmittelbare Belastung einbeschriebenes Polygon ist; seine Ecken liegen senkrecht unter den Querträgern. Die gefährlichste Stellung des Lastenzuges findet man am schnellsten durch Probiren. Der Träger wii’d gegen den Zug verschoben, und die Ergebnisse für verschiedene Stellungen werden mit einander verglichen.

Di-i

jn

~k

Fig. 131.

b. Unmittelbare Belastung.

83. Querkräfte. Entsteht für irgend einen Querschnitt die grösste positive Querkraft, sobald die erste Last des vom rechten Auflager aus vorrückenden Lastenzuges am fraglichen Querschnitte (und zwar unmittelbar rechts von demselben) liegt, so ist maxQp gleich dem linken Stützenwûderstande A, also z. B. für den Querschnitt 5 in Fig. 126:

Qp — A₆. Rückt die zweite Last bis an diesen Querschnitt, so entsteht bei unmittelbarer Belastung: Qp = A — Px, wobei A die bei Px gemessene Ordinate (ab) des Al-Polygons bedeutet. Ist A — P₁ A₅, so ist maxQp — A — Plf vorausgesetzt, dass der Zug nicht noch weiter nach A hin verschoben werden muss.

., r,

Der Fall einer unmittelbaren Belastung kommt nur bei verhältniss-mässig kurzen Trägern vor, und es ergiebt sich dann bei denjenigen Belastungen, für welche Eisenbahn- und Strassenbrücken berechnet zu werden pflegen, stets maxQ gleich der unter dem fraglichen Querschnitte gemessenen Ordinate des ^-Polygons.

84. Momente für bestimmte Querschnitte. Grösstes Maximal-

M für bestimmte Quer

moment. Die Ermittlung der Momente

max

schnitte wurde bereits in No. 82 erledigt (vergl. die Berechnung von

.). Wird aber das grösste aller Maximalmomente gesucht,

Mx, m₂

so muss ein anderer Weg eingeschlagen werden, da die Lage des Querschnitts, welchem dieses Moment entspricht, zunächst unbekannt ist, und weil ferner die veränderliche und die ständige Last nicht mehr getrennt behandelt werden dürfen.

In Fig. 132 haben wir, der grösseren Deutlichkeit wegen, angenommen, dass es sich um einen kurzen Träger mit verhältnissmässig grosser ständiger (gleichförmiger) Belastung g handelt, und dass nur zwei verschiebbare Einzellasten Px und P₂ in Betracht kommen. CD ist grösser als die Stützweite AB des Trägers. Die gleichförmige Be-

/D'

Af

’K

Yma*.

Fig. 132.

lastung wurde durch senkrechte, mit den Einzellasten zusammenfallende Schnitte in drei Streifen zerlegt, deren Gewichte Glt G₂, G₃ sein mögen; sodann wurde zu den Einzellasten Glf Plt G₂, P₂, f?glrlnit der beliebigen Pol weite H das Seilpolygon C' G Dy gezeichnet. Rundet man die Ecken

fr

C'EF, FGJ, JKD' desselben durch Parabelbögen ab, welche die jene Ecken bildenden Seilpolygonseiten in den Punkten C', F, J, D' berühren, so bilden diese Bögen (vergl. Seite 34) das Seilpolygon für die aus der gleich-massigen Belastung und den Einzellasten zusammengesetzte Belastung. Die Parabelbögen bestimmt man am zweckmässigsten mit Hilfe von Tangenten nach dem in der Eig. 133 dargestellten Verfahren. Die Seiten FF und F G der abzurundenden Ecke wurden in gleiche Theile zerlegt

und die gleichbezeichneten Theilpunkte durch gerade Linien verbunden. Diese Geraden sind Tangenten an die gesuchte Parabel.

Nach Aufzeichnung des Seilpolygons giebt man dem zu untersuchenden Balken verschiedene Stellungen gegen das Lastensystem und bestimmt die zugehörigen Schlusslinien sowie die von diesen umhüllte Linie U. Ist dann ymax der grösste senkrechte Abstand der Linie U vom Seilpolygon, so erhält man das grösste Maximalmoment:

M = Hymax.

c. Berechnung der Stutzenwiderstände und Momente in Folge der Belastung durch

einen Eisenbahnzug mit Hilfe von Tabellen.

85. Sttitzenwiderstand Am. Es sei ein Eisenbahnzug vom Auflager B aus bis zu irgend einem Querschnitte (Knotenpunkte) m vorgerückt (Fig. 134). Die Lasten seien mit Px, P₂, . . . . P„ bezeichnet, ihre Abstände von B mit bu b₂ . . . . b» und die Abstände der Lasten von der letzten Last mit cx, c₂ . . . . Der 'Widerstand der linken Stütze wird:

-CS'

v!tr

Hs---*-

4 «s >!

Fig. 134.

Am —

f₁*>₁ + P₂&₂ + . ■ .. + Pnln

2 Pb 2P(6« + c)

= ffS,fp+fpc)

und mit der kurzen Bezeichnung:

2P=$„, 2Pc = ©„: 1

Am —

Die Werthe und ©„ können für einen bestimmten Lastenzug ein für allemal berechnet werden. Dazu beachte man, dass zwischen den statischen Momenten ©» und ©„ +1 die Beziehung

©»+1 =<Bn+^nen

besteht, wobei en den Abstand der Last P» von der Last P» +1 bedeutet.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

Für den von uns angenommenen Güterzug Fig. 114 ergeben sich, je nach der Stellung der beiden den Zug führenden Lokomotiven die in den Tabellen I, II und III aufgeführten Werthe. Die erste Spalte giebt die Anzahl n der Lasten an und die zweite den Abstand cx der Last I\ von der Last P„, das ist die Zuglänge.

Die Ansätze für die Berechnixng der ersten Zahlenwerthe S lassen wir hier folgen. Es ist

fr = 16*

fr = 32* fr = 48* fr = 64e fr = 76*

@, = 0

@₂ = 0 + 16- 1,2 = 19,2*"

©3 = 19,2 + 32- 1,2 = 57,6*"*

©₄ = 57,6 + 48 • 1,2 = 115,2*"» ©₅ = 115,2 + 64 ■ 4,0 = 371,2*'".

Beispiel. Die Stützweite des Balkens AB sei 52,2’”. Ein von zwei vorwärtsfahrenden Lokomotiven geführter Güterzug (Tabelle I) rückt von B aus um 47,7"’ vor. Es ergiebt sich dann cx = 46,2", bn = 47,7 — 46,2 = 1,5"*, fr = 284*, @„= 7650,4*”'

AZ = 284- 1,5 + 7650,4 = 8076,4*"* A _ 8076,4

155*.

52,2

86. Momente. Steht die r*'-Achse eines von B aus vorrückenden Eisenbahnzuges über dem Knotenpunkte m, Fig. 135, so ist das Angriffsmoment für den durch m gelegten Querschnitt

wo

59+ = A xm — ©r

2P5

Verschiebt man den Zug um die unendlich kleine Strecke db nach links, so

H

wächst A um SP-di und 59+ um

-"[■ I

und es muss daher, wenn 59+ abnehmen soll, wenn also die angenommene Zugstellung die gefährlichste sein soll,

d5D+

Xm

2P-^<2P

sein, d. h.

fr

(I) fr

--

Xm

Ebenso findet man, dass 59+ in Folge einer kleinen Verschiebung des Eisenbahnzuges nach rechts abnimmt, sobald

— (H)

fr-i

Xm

ist. Die beiden Ungleichungen (I) und (II) müssen also erfüllt sein, wenn die Zugstellung den grössten "Werth 59+ hervorbringen soll. Es lassen sich im allgemeinen verschiedene Zugstellungen angeben, welche die Bedingungen I u. II befriedigen, doch weichen dann die Ergebnisse 501» nur wenig von einander ab.

Beispiel. Ein Balken von 80”* Stützweite wird durch die Knotenpunkte in 16 gleichlange Felder zerlegt. Für den mittelsten Knotenpunkt m = 8 erhält man, entsprechend der in Fig. 135 angegebenen Zugstellung mit Hilfe von Tabelle HI:

r = 13

n — 26

TH (M

89- 89- 89-

⁼⁼T8Ï<~ = 2’°

184 x₈

344

^12

168

>2,0

b„ = 1,8”*, @₂₆ = 12121,6'”*, ©₁₃ = 2124,8'”*

m₈ = -- (344 • 1,8 + 12121,6) — 2124,8 = 4246'”*.

r = 12

Für den Knotenpunkt 7 findet man, Fig. 136, Tabelle HI, n — 27

$₂₇ _ 356 ^ l _ 16 ißia “ 168 <    “ 7

$₂₇ _ 356 ^ 16 $u “ 152 > 7

bn — 2,6, @27 — 13153,6, @i2    1923,2

16

ätf₇ =    (356 • 2,6 + 13153,6) — 1923,2 = 4236'”*.

Knotenpunkt 6. Die zweite Maschine wird vorwärtsfahrend angenommen, die erste bleibt rückwärtsfahrend, Fig. 137, Tabelle H.

n == 27

$io

$₂₇ _ 3E6

148

»a

^27

356

> 3

bn = 2,8”*, ©₂₇ = 13 228, @io = 1240,4,

= 4- (³⁵⁶ • ²i⁸ + 13 228) — ¹²⁴⁰>⁴ = 3094'*".

$₉    132

Knotenpunkt 5, Fig. 138, Tabelle II.

n — 28

r=8

368 <_L = ^ = x₅ 5

>3,2

$8    116

$₂₈ _ 368 $₇    100

bn = 2,4”*, @28 = 14 296, ©8 = 942,8

(368 • 2,4 + 14 296) — 942,8 = 3801'”*.

16

Knotenpunkt 4, Fig. 138, Tabelle IL n = 28

368 Z

< — = 4 100 rr₄

>4

368

84

ïïr

> f 111 w

«--*5

111111 j. i i i iif

--------

f/û)

■Ç

(/Z)    Fig. 135.    i

I    I    (&) I

111 1...,. 111    11 1 11 1111 11 H⁻

Fig. 136.

111 11

JLjL

•>w

(7)    (8)

Fig. 137.

rès> !

---ZO™'-

----->

V (SJ

H

111 1,11.1 11.1 1.1.1111 W

Fig. 138.

j 111 11...

-----ff*——*(3)

Hyy

Fig. 139.

fia»'

! lll

%—tO™---J4 fZ.)

---817 m

Fig. ua

fs)

J JL*

*----

Fig. 141.

ô* = 2,4'", @î8 = 14296, @₇ = 442,8 3R₄ = -ÿ- (368 • 2,4 + 14 296) — 442,8 = 3352‘".

Knotenpunkt 3, Fig. 139, Tabelle II.

n = 30

$30

392

16

$6

84

x₃

380

16

68 > 3

bn = 0,2m, ©jo = 16 540, ©6 = 342,0

2JÎS = A (392 . o,2 + 16540) — 842,0 = 2774¹". 10

$5

Knotenpunkt 2, Fig. 140, Tabelle II.

n — 30

$30

$4

³⁹² <-A = 8,0

52

X.j

$30

392

$3

36 >⁸’°

bn — 2,8”¹, @30 = 16540, ©₄ = 198,0

= A (392 • 2,8 + 16 540) — 198,0 = 2007¹".

Knotenpunkt 1, Fig. 141, Tabelle II. Der Tender der ersten Maschine hat die Brücke verlassen.

« = 33

$33- $3

r = 5, $33 = 428, $5 = 68, $, = 36

$5- $3

³⁹² < — = 16

32

Xi

$32    $3

892 — 12

>16

b„ = 0, ©„ = 20176 Al = 20176 — 36 • 81,7 = 17234,8¹".

mi = Ax— 16 • 1,2 = A 17234,8 — 19,2 = 1058¹".

$4-$3

16

16

Tender

Lokomotive Tonnen 16 — 16 — 16 — 16    12 — 12 —

Meter 1,2    1,2    1,2    4,0    1,5 1,5

Cl

O vH* of Co'

16

32

48

64

76

Tabelle I.

<Sn

Güterwagen

16 —16—16 — 16 | 12 — 12 —12 12 — 12 | 12 — 12 1,2    1,2    1,2    4,0    1,5    1,5    3,0    3,0 3,0 3,0

Lokomotive

Tender

Cl

$»

©„

31

76,2

79,2

82,2

85,2

88,2

404

452

17 790,4

CO N 00 O)

O    H(NCO^O    ÎONQ005O

vH    vH vH vH vH vH    vH vH vH vH 04

*>. 05 CO 03 tO tO tO fcO

rf*. b-i. CO o* c» to QO    © JO

40 4010 4010 4o4o~4ilo4o o co o-. cx!-*■

88

100

116

132

148

164

CO 00 o

N GO O rl H Cî

212

co

248

to o

485.2

617.2 1 017,2 1 156,4 1 314,8

6    054,4 6 834,4

0 N 00 o o CO CO CO CO H

M- M-

O O CO CO CO CO _0

Totototolo

04^04^04^04^0^

co cT of xo" gcT

O O vH vH ■»—< vH

vH vH vH vH

464

CO 00 O CM r— 00 O H ■di ^ iO lO

vr CO GO O 04 04 CO ^ CO t>

0x00x00

584

596

608

620

632

31 530,4

33    102,4

34    710,4 36 354.4 38 034,4

39 750,4 41 502,4 43 290,4

45    114,4

46    974,4

21    46,2

284

22

23

49,2

296

24

52,2

308

25

55,2

320

58,2

332

644

656

668

680

692

48 870,4 50 802,4 52 770,4 54 774,4 56 814,4

26

27

61,2

64,2

28

67,2

OO C)

29

70,2

380

(CNOOOO o in o o co

04^ 04^ 04^ 04^ 04^

t-T cT co* o o o co co

vH vH vH vH tH

-q -q -q -q iMOH O O GC Ci

58 890,4 61 002,4 63 150,4 65 334,4 67 554,4

Tabelle II.

Tonnen

Meter

Tender 12 — 12 — 1,5    1,5

Lokomotive

16 — 16 — 16 —■

) 1,2 1,2 1,2

Güterwagen

16 — 16 — 16 — 16 | 12 — 12 — 12 | 12 — 12 i 12 — 12 »    1,2 1,2    1,2 4,0 1,5    1,5 3,0 3,0 8,0 3,0

Lokomotive

Tender

@»

Cl

0^0 OW

o HcoVoo

<M

^ CD (M CO CSI CO xO CD

00 o

54

198

260,4

9,4

84

342

10,6

100

15,6

116

16,8

132

10

18,0

148

442.8

942.8 1 082

1 240,4

■H 04 CO ''f iO    CO h- 00 05 O

CO CO CO CO CO    CO CO CO CO ^

H* l-J-

OOtOtOffl 00 OO OO CO —I 0 03 030-1 to to to to to to to to co to

404

416

rr CO GO

CD t"» QO

^ ^

500

512

24136

11

19,2

164

12

23,2

176

13

24,7

188

14

26,2

200

15

29,2

212

524

536

548

560

572

31 456

16

17

18

19

20

cc locoto co

21

22

23

24

25

cnO'mo'it»*    ^ ca co co

Oi 03 o S I    OO Ot M

cotocoloto

03 03 CO (O tO    CO tO tO tO tO

CO CO © CD OO    ^1 03 iU 03 N)

(0000 0)1^    CO © 00 03 3^-

T-l (N CO ^ UO iO kO O O O

N O M CD 05 co ^    ^ ^

tH tH T—< tH T-H

cototocoto

TT CD GO

620

632

644

656

GO O

692

39 676 41 428 43 216

45    040

46    900

48 796 50 728 52 696 54 700 56 740

26

27

62,2

344

28

65,2

68,2

356

29

368

71,2

380

704

716

728

740

58 816 60 928 63 076 65 260 67 480

Tabelle IIL

Tender

Tonnen 12 —12 — Meter 1,5    1,5

Tender

to

Lokomotive 16 — 16 — 16 — 16 12 — 12 — ) 1,2    1,2    1,2 4,0 1,5    1,5

Güterwagen 16 — 16 — 16 — 16 12 — 12 | 12 — 12 )    1,2    1,2    1,2 4,0 3,0 3,0 H 3,0

Cl

Lokomotive

ih in m ■<# in

ÖOON O -rH eAbS'oÜ

to

CS üt O0 to oo to os

18

54

198

260,4

(ONOOOl

tO tO tO tO tO

CO Qi ifk w K I ^3 Oî o CO CS K—⁴¹ CS CS

84

100

112

124

136

152

168

^ooo

▼H rH

O 00    03

CO ^ ^    ^

tO

OMM

"oo oo oo oo 'ö

CO

cs

03^03^03^03^03^    03 03 03 03 03

t>- oo oo oo oo cs S cs O o

T-i TH

404

416

428

464

^ ^ OGOH

512

1 740,8

524

536

548

560

572

16

17

32,2

224

18

35,2

236

19

38,2

248

41,2

260

20    44,2

272

46

47

48

49

50

122,2

125.2

128.2

131.2

134.2

584

OS O 03 O CO CO

632

39 601,6 41 353,6

43    141,6

44    965,6 46 825,6

^ ^ ^    03 03 03 03 03

CO GO O 03 00 CS O 03 CO 03 03 C0 CO CO

344

356

368

380

12 121,6

Ot Ct Ct Ot

Ui CO to

03 03^ 03 03 03 cT co co cs C0

▼H rH tH tH tH

644

656

668

680

692

48 721,6 50 653,6 52 621,6 54 625,6 56 665,6

tp CO co o

58 741,6 60 853,6 63 001,6 65 185,6 67 405,6

87. Fortsetzung. Ueberschreitet die Abscisse x des Querschnitts bei einem Balken von grösserer Stützweite einen bestimmten "VVerth, so liegt bei der das Moment

Man erhält in diesem Falle für

Mm erzeugenden Laststellung eine Güterwagenachse über m.

Mm einen besonders einfachen Ausdruck, wenn man die Güterwagen durch eine gleichförmige Belastung p, welche etwa 2.5”* hinter der letzten Lokomotivachse beginnt, ersetzt.

Mit den aus Fig. 142 ersichtlichen Bezeichnungen findet man nach dem auf Seite 141 zur Berechnung von M angegebenen Verfahren

max

max

px’z

pxx'

[sp(a-*) +

ZPW-e-----

r<-

-Ê

>!

JC

><-

JC'

'K

Fig. 142.

M wird ein Maximum, sobald £ den festen, von der Lage des Querschnitts m unabhängigen Werth

2P

annimmt; es entsteht

x’

(Si>l

Für die von uns gewählte Zuganordnung (Tabelle III) ist

(2)

Mmax

_ pxx'

— Z.Pe •

SP= 200*, p

12,0*

3,0”'

4,0V»,, § = 50"

woraus zunächst folgt, dass x > 50”* sein muss, damit Formel (2) angewendet werden darf. Ferner ist

2Pe = @I4 + <ß₁₄ 2,5 = 2345,6 + 200 • 2.5 = 2845,6*"*

P

2Py — SPe = 5000 — 2845,6 = 2154,4*"*, und es ergiebt sich daher die einfache Gleichung

max

M — 2 xx + 2154,4 4-'

Als Beispiel wählen wir eine Brücke von 140"' Spannweite und 5"* Feldweite. Wir erhalten

max

M — 2 x x’ + 15,4 x'

und finden für

50*”,    55’”

60m,    65’”,

70’”

x —

M = 10390**”, 10 660*’”, 10830**”, 10900**”, 10880*”'.

Das grösste M entsteht bei x — 65”, es unterscheidet sich aber nicht wesentlich von dem in der Mitte erhaltenen Werthe.

Wir führen noch an, dass das durch die Formel (2) gegebene Moment für

(3) x" = i

~2~*

ein Maximum wird, und dass sich dieses grösste aller Maximalmomente auf die einfache Form

P*

(4)

max

(Mmax)

px'²

Und max(Mmax)- 2 X

bringen lässt. Unseren Belastungsannahmen entspricht insbesondere 538,6

also beispielsweise für

120’” und

x = 4,49” x — 64,49*” M— 8310**”

x" =    85

x = 73,85 M =10910'"*.

Die Formeln. (3) und (4) leisten gute Dienste, wenn die Wirkungen verschiedener Lokomotivgewichte und Belastungen p schnell miteinander verglichen werden sollen. Nimmt man z. B. zwei rückwärtsfahrende Lokomotiven mit den in

12,0

Big. 113 (S. 122) angegebenen Achslasten und Badständen an, ferner p=.

40

3,3

— —— *'", so erhält man

11

184-11

2P=r2-56 + 2-36 = 184*, g =

'2Pe= 56 ( 2,5 -f 1,3 +    ) + (36 + 56 + 36) • 19,55 = 2751,60“",

40    ⁼ 50,6w,

mithin

x"

'2P~- — ^Pe = 1903,6, 523,5

und

max

(Mmax) - ^

20 ,2 —- x ².

also für l —    120”

x" —    4,36w

M= 7530**”

140"*

x — 3,74” M— 9890**”.

88. Grösstes Moment M für unmittelbare Belastung. Wird die genaue Berechnung des grössten Momentes für unmittelbare Belastung verlangt, so dürfen Verkehrslast und Eigenlast nicht getrennt behandelt werden. Für weitgespannte Brücken ist also nicht der durch Gleich. (2) gegebene Werth Af,

= -    , der Werth

sondern, wegen Mg

M„ax

xx

x'

= (/> + *?) +t

zu einem Maximum zu machen. Man findet dann

und

X'~Y

(p + g)i

max

(Mmaac) —

Unmittelbare Belastung kommt indes nur bei kürzeren Trägern vor, z. B. den Schienenträgern von Eisenbahnbrücken, sobald die Schienen unmittelbar auf den Trägern liegen oder sobald dicht nebeneinander liegende Querschwellen oder Langschwellen angeordnet sind.²) Der Einfluss des Eigengewichts spielt dann eine so untergeordnete Bolle, dass es sich empfiehlt, das Maximalmoment in Folge der Verkehrslast allein zu berechnen und hierzu das vom Eigengewichte in der Mitte des Trägers hervorgerufene Moment^- gl² zu addiren. Bezeichnet, Fig. 143, ©m das statische Moment der links vom fraglichen Querschnitt m gelegenen Achslasten, bezogen auf m:

2P die Mittelkraft aus sämmtlichen Achslasten, c den Abstand der SP vom Auflager P,

V)

„ SP ,, Querschnitte m, so ist das Moment für den Querschnitt m

J/ = SP-

Tx

-©„.

lit

"FW

oc

->1

Kg. 143.

Der Werth

cx — {l — s — x) x

wird ein Maximum, sobald

l — s — 2x

ist. Daraus folgt

(5)

c = x:

d. h. der Querschnitt m und die Mittelkraft SP müssen von der Trägermitte gleich weit entfernt sein. Im allgemeinen wird man probeweise verschiedene Lasten über m annehmen und die berechneten Werthe

(6)

ma •

M=^P — ©m

miteinander vergleichen; in der Regel aber unterliegt die Wahl dieser Last keinem Zweifel.

Beispiel. Liegt die Stützweite zwischen rund 5*” und llm, so kommen für die ungünstigste Laststellung nur 4 Lokomotivachsen in Betracht, Fig. 144. Es ergiebt sich dann

l 1,2 l

-0,3, '2,P= 64‘, @m = 16 • 1,2 = 19,2*~,

⁶⁴ (i—°'⁸)’

19,2,

(I)    — 38,4

5,76

1.2 tu    1.2 m    1,2 m

—'----—---»i

16

16 l 16

1S*

^4

JZj

WS»

K------je---------*j

r<---------------->

K-

16ft

JA

•T'

__z

Fig. 144.

Ist die Stützweite so gering, dass bei der das grösste Moment erzeugenden Laststellung nicht mehr alle 4 Achsen der Lokomotive auf der Brücke liegen, so ist es rathsam, die Achslasten etwas grösser anzunehmen, um dem Umstande Rechnung zu tragen, dass einzelne Achsen in Folge der Bewegung der Maschine stärker belastet werden. Wir empfehlen, mit der Achslast 17* oder 18* oder 20* zu rechnen, je nachdem sich nur 3 oder nur 2 Achsen oder nur eine Achse auf der Brücke befinden. Für diese drei Belastungsfälle findet man leicht die Gleichungen :

ai)

M= 12,75/ — 20,4,

M — 9 1— 10,8 -f M=5l.

Bis zu l = 2,35w liefert Gleich. IY das grösste Moment, von l = 2,35m bis 2,86’K ist III anzuwenden und von l = 2,86m bis 5,2m Formel II. Auf den Umstand, dass die Stützweite bereits mit l = 4,8m den vierfachen Radstand erreicht, nehmen wir keine Rücksicht, damit die Gültigkeitsbereiche der vier Gleichungen stetig ineinander übergehen.

(III)

3,24

(IV)

§ 19.

Yerwerthung der Eiiiflusslinien des einfachen Balkens.

89. Bei der Ermittlung der von beweglichen Einzellasten hervor-gerufenen Momente und Querkräfte haben wir von den Einflusslinien keinen Gebrauch gemacht. Es wäre auch umständlich, Grössen, deren Bestimmung mit Hilfe des Seilpolygons nur das Abgreifen einer einzigen Strecke und die Multiplikation derselben mit einem festen Werthe, der ' Polweite, erfordert, durch Angabe des Einflusses der einzelnen Lasten darstellen zu wollen, und hieran ändert auch der leicht zu beweisende, die Benutzung der Einflusslinien erleichternde Satz nichts, dass eine Lastengruppe innerhalb einer Strecke, der eine gerade Einflusslinie entspricht, durch ihre Mittelkraft ersetzt werden darf. Trotzdem sind die Einflusslinien des einfachen Balkens von grossem Nutzen. Ganz abgesehen von den Diensten, die sie uns im zweiten Bande unseres Buches bei der Berechnung statisch unbestimmter Träger leisten werden, gestatten sie häufig eine schnelle Zurückführung anderer Aufgaben auf die Berechnung der Momente und Querkräfte einfacher Balken. So werden wir bei der Untersuchung statisch bestimmter Träger häufig auf Einflussflächen stossen, welche aus einem Dreieck ACB (Fig. 145) bestehen, oder aus einem Viereck ALxL<iB, das aus einem Dreieck ACB durch Abschneiden der Spitze entstanden ist, Fig. 146. Bezeichnet

ui

j<---ÜC

Fig. 145.

£ ali-/) ! tn !<■—**■—H

Fig. 146.

man dann mit x die Entfernung des Punktes C von der Lothrechten durch A und mit £ die Strecke, welche die Gerade BC auf jener Lothrechten abschneidet, so kann man die Grösse Z, deren Einflusslinie das Dreieck ACB ist, in der Weise finden, dass man für den Querschnitt C eines einfachen Balkens das Moment SR mit Hilfe eines Seilpolygons bestimmt und hierauf mit £ : x multiplicirt. Denn wäre £ = x, so würde das Dreieck ACB vollständig mit der in Fig. 123, Seite 134 dargestellten Einflussfläche für M übereinstimmen.

Hat die Einflussfläche für Z die Form ALXL.₂B, so ermittle man mit Hilfe des in Fig. 131, Seite 143 angegebenen Verfahrens das

Moment M = Hy für den zwischen den Querträgern (m — 1) und m gelegenen Querschnitt C eines einfachen Balkens AB und multiplicire dasselbe wieder mit £ : x. In beiden Fällen erhält man also Z in der Form

::

xHy-

Auch die Berechnung von M mit Hilfe von Tabellen leistet häufig vortreffliche Dienste bei der Auswerthung derartiger Grössen Z.

90. Für viele Untersuchungen wird es sich als nützlich erweisen, die Aufgabe der Berechnung des Momentes M durch die Fragestellung zu erweitern. Das Feld FYF₂ des Balkens AB (Fig. 147) wird durcb-

-—-jm*

)<----

j---OC —|---

---------OC —----^

OC'

Fig. 147.

schnitten. Gesucht ist das Moment M der am Balkenstück AFr angreifenden äusseren Kräfte in Bezug auf einen Punkt C, der zwischen F₂ und B liegt.

Stellt man den Träger unter das die Lasten verbindende Seilpolygon und trägt man die Schlusslinien ÂB' und Fx'F₂' ein, so sind diese Linien die äussersten Seilpolygonseiten für die an AFt angreifenden äusseren Kräfte. Sie schneiden auf der Lothrechten durch C die Strecke y ab und man erhält daher

M= Hy.

CN

CD

Die Einflusslinie für M aber wird folgendermaassen erhalten. Solange die über den Träger wandernde Last P = 1 rechts von F₂ liegt, greift am Balkenstück AF₁ nur die äussere Kraft A an; sie erzeugt M—Ax. Liegt P links von Fx, so entsteht M — Bx. Im ersten Falle wird die mit x multiplicirte M-Linie Einflusslinie für M, im zweiten die mit x multiplicirte B-Linie, genau wie bei der Einflusslinie in Fig. 123, Seite 134, nur mit dem Unterschiede, dass der Schnittpunkt C dieser beiden Linien jetzt zwischen F₂ und B liegt, lothrecht unter C. Innerhalb des Feldes Fx F₂ gilt die Gerade Lx L₂.

Unterscheidet sich nun die Einflusslinie für eine Grösse Z von der in der Figur 147 abgebildeten lediglich dadurch, dass AJ nicht =x sondern = è, ist, so wird

Die gefährlichste Zugstellung findet man am schnellsten durch Probiren; die schwersten Lasten müssen in der Nähe von F₂ stehen.

VI. Abschnitt.

Querkräfte und Momente für den Gerber’selien

Balken.

¹

Die letzte Achse liegt so nahe am Auflager B, dass sie in Folge einer kleinen endlichen Verschiebung des Zuges nach rechts, den Träger verlässt.

²

Sehr oft rechnet man selbst bei grösseren Schwellenabständen mit unmittelbarer Belastung, weil man sich nicht an bestimmte Lagen der Schwellen binden will. Aus demselben Grunde werden auch — wenn die Querschwellen fehlen — die zwischen Schiene und Träger liegenden Unterlagsplatten vernachlässigt.

§ 20.

Beliebige ständige Belastung.

91. Jeder durchgehende Balken mit n Stützpunkten kann nach No. 61, Seite 114, durch (n—2) Mittelgelenke statisch bestimmt gemacht werden. Einen solchen Gelenk-Balken (auch, nach dem Erfinder, Gerber’scher Balken genannt) zeigt die Fig. 148; derselbe besteht aus den gestützten Theilen ABGt und G₂CDGZ, welche wir als Balken mit Auslegern bezeichnen wollen¹), und aus den Koppelträgern GXG₂ und Cr₃ E. Die letzteren verhalten sich genau wie einfache Balken und können mit Hilfe der im vorigen Abschnitte entwickelten Gesetze behandelt werden. Dabei ergeben sich auch die Drücke, welche die Koppelträger auf die in je zwei Punkten gestützten Theile ausüben, und es lässt sich somit die Untersuchung des Gelenkbalkens stets auf

1)

V. *

Fig. 148.

diejenige eines Balkens mit überstehenden Enden zurückführen, Fig. 149. Wir setzen nur senkrechte Lasten voraus, zeichnen mit der beliebigen Polweite 77 nach den bekannten Regeln das Seilpolygon 7, 77, 777.... und schliessen dasselbe durch eine Gerade s, welche die Punkte c und d verbindet, in denen die Auflagersenkrechten durch die nach innen verlängerten äussersten Polygonseiten (7 u. VII) geschnitten werden. Eine durch den Pol 0 gelegte Parallele zur Schlusslinie s bestimmt die Stützenwiderstände C und D; der erstere ist im Punkte c mit den Seilkräften 7 und s im Gleichgewichte, der letztere im Punkte d mit den Seilkräften VII und s.

p; c

A'

C\

irr

----->K-

— X ---------V

ja:

/M

IT.

./ W

mi

pr

JL

Fig. 149.

Zieht man durch irgend einen Querschnitt K eine Senkrechte und bestimmt die auf dieser Geraden vom Seileck und vo.n der Schlusslinie abgeschnitte Strecke kr = y, so erhält man nach dem in No. 15 bewiesenen Satze (vergl. auch die ähnliche Untersuchung in No. 71) das Moment für den Querschnitt K

M = Ily ;

dasselbe ist bei dem in der Fig. 149 benutzten hängenden Seilpolygone

positiv oder negativ, je nachdem y unterhalb oder oberhalb der Schluss-linie cd liegt.

P1 — P2

Die Querkraft Q für den Querschnitt K ist die Mittelkraft der links von K angreifenden äusseren Kräfte. Es ergiebt sich Q = C — P₃ = Strecke LJ, und zwar bildet Q im Kräfteplane ein Dreieck mit den Seilstrahlen (s und IV), welche parallel zu den vom Schnitte K getroffenen Seilpolygonseiten sind.

92. Andere Darstellung von JML und Q. Um mit den Werthen M und Q eine für die Folge nützliche Umformung vorzunehmen, bringen wir in Fig. 149 die Auflagersenkrechten in c und d' mit dem Seilpolygone zum Schnitt, ziehen die Gerade cd', welche die Senkrechte durch K in k' trifft, bezeichnen

mit y₀ die Länge der Strecke k'r,

„ x und x die Abstände des Querschnittes K von den Stützen, „ l die Stützweite

x'

cc

und setzen Hy — Hy₀—Hkk'. Beachten wir jetzt, dass kk' = dd' —— ist²), und dass ferner die Momente für die über

den Stützen C und D gelegenen Balkenquerschnitte dieWertheü/c = — Hoc

und Md = — Hdd' annehmen, so erhalten wir

/

Hy = Hy, + Mc^-+ MD-^-

Nun ist aber Hy₀ das Moment für den Querschnitt K eines einfachen Balkens CD, auf welchen nur die Lasten P₃, P₄, P₅ wirken; bezeichnen wir dasselbe mit M₀, so erhalten wir die wichtige Beziehung

/

(1)

M = M₀ -J- Mc ——j- MD —•

Die Momente Mc und Mn nennt man die Stützenmomente und die vom Seilpolygone erd' und von der Schlusslinie cd' begrenzte Fläche die einfache Momentenßäche des Balkenstückes CD; ist letztere gegeben, und kennt man ausserdem die Sttitzenmomente, so sind durch die Gleich. (1) die wirklichen Momente für alle zwischen C und D gelegenen Querschnitte bestimmt.

Um eine ähnliche Gleichung für Q abzuleiten, ziehen wir ci || cd und OL' || cd' und finden dann L'J = Q₀ = Querkraft für den Quer-

11

schnitt K eines einfachen (mit P₃, PA, P₅ belasteten) Balkens CD. Jetzt folgt aus der Aehnliehkeit der Dreiecke cid' und L OL

LL' : «Pi = H:l

f)

und hieraus ^wegen LL' = Q—Q₀ und d'i = c'c—dd'——

(2) Q = Qo -f

Md — Mc

Liegt nun ein beliebiger durchgehender Balken ABC DE vor, Fig. 150, so kann man jeden zwischen zwei aufeinander folgenden Stützen gelegenen Theil desselben, z. B. den Theil CD, als einen Balken mit überstehenden Enden und 2 Stützpunkten (C u. D) auffassen; man hat nur nöthig, die Widerstände der übrigen Stützpunkte (A, B, E) als Lasten zu betrachten, die natürlich negativ zu setzen sind, sobald sie von unten nach oben wirken. Kennt man dann die Stützenmomente

d’

Fig. 150.

Mc und Mp, so erhält man die wirkliche Momentenfläche, indem man zu der einfachen Momentenfläche CSD ein Trapez CC' D' D addirt, für welches (mit H= 1) CC' = Mc und DD' = MD ist. In der Fig. 150 wurden Mc und MD negativ angenommen ; es ist dann die schraffirte Fläche zwischen den Senkrechten CC' und DD' die wirkliche Momentenfläche für den Theil CD. Wendet man das gleiche Verfahren auf die Theile AB, BC, DE an, so gelangt man zu der in der Fig. 150 dargestellten Momentenfläche für den durchgehenden Balken AE. Das Polygon AB'C'D'E, dessen Ordinaten BB', CC', DD' die Stützenmomente Mb, Mc, Md angeben, nennt man den Schlusslinienzug und darf dann aussprechen:

Die Momentenfläche eines durchgehenden Balkens (mit oder ohne Gelenke) ist nach Aufzeichnung der einfachen Momenten-polygone bestimmt, sobald der Schlusslinienzug gegeben ist.

Da nun, falls Gleichgewicht bestehen soll, jedem Gelenke das Moment M — 0 entsprechen muss, so muss jeder senkrecht über einem Gelenke G befindliche Punkt g des einfachen Momentenpolygons auch ein Punkt des Schlusslinienzuges sein, und hieraus folgt, dass es mög-

lieh ist, durch eine genügende Anzahl von Gelenken jenem Linienzuge eine bestimmte Lage vorzuschreiben. Auch leuchtet ein, dass zwischen

*4

ff

ff

ff

Jü

a-

itr-

95

Fig. 151 a.

zwei benachbarten Stützpunkten höchstens zwei Gelenke angeordnet werden dürfen, und dass die Gesammtzahl der erforderlichen Gelenke — n — 2 ist, sobald der Balken auf n Stützen ruht.

Mit Hilfe des beschriebenen Verfahrens wurde in der Fig. 151a die Momentenfläche für einen Balken mit 5 Stützpunkten und 3 Gelenken bestimmt. Es wurden mit ein und derselben (beliebig gewählten) Polweite H die den einzelnen Oeffnungen AB, BC, CD, DE entsprechenden aneinanderhängenden Seilpolygone gezeichnet, welche von den Senkrechten durch die Gelenke G₁,

G₂, G₃ in den Punkten gx, g₂, g₃ geschnitten werden.

Durch g₁ und g₂ wurde die Schlusslinie s₂ gelegt, durch g₃ und e die Linie s₄, und schliesslich wurden s₁ und s3 eingetragen. Die schraffirte Fläche ist die gesuchte Momentenfläche. Für irgend einen Querschnitt K er-giebt sich : M = Hij.

Um die Auflagerdrücke zu finden, betrachten wir den aus sämmtlichen Seilpolygonseiten 1, 2, 3 ... .

14 und den Schlusslinien bestehenden Linienzug als geschlossenes Seilpolypon, in dessen Eckpunkten ausser den Lasten Px, P₂, ... . noch senkrechte Kräfte A, B B₂, Cx, C₂, Dx, D₂, E angreifen. Bestimmen wir nun die letzteren Kräfte so, dass an jedem der Eckpunkte des Seilpolygons Gleichgewicht besteht, so sind die Kräfte A und E gleich den Widerständen der Stützpunkte A und E, und weiter ist dann Bx -f- B₂ — B —

Widerstand der Stütze B; C₁-\-C₂ — C; Dx-\-D₂ = D.

Um A und E zu finden, haben wir nur nöthig, von den Polen Ox und 0₄ Parallelen zu den Schlusslinien Sj und s₄ zuTziehen, Fig. 151b; es

==#*

\D

v.:

Fig. 151b.

er--

1’

0,

Fig. 15t c.

11*

giebt dann die von 1 und st auf dem Kräftezuge abgeschnittene Strecke die Grösse von A an, die von s₄ und 14 abgeschnittene Strecke die Grösse von E. Die Ermittlung von Bl und B₂ wurde in Fig. 151c dargestellt; Bx bildet mit den Seilstrahlen 3 und 4 ein Dreieck, desgleichen B₂ mit den Strahlen Sj und s₂. Eine Vergleichung von Fig. 151c mit Fig. 151b zeigt, dass die Grösse von B gleich der Strecke des Kräftezuges ist, welche die von Ot beziehungsweise 0₂ zu und s₂ gezogenen Parallelen abschneiden. In gleicher Weise werden C und T) gefunden. Bei den in der Fig. 151 angewandten hängenden Seilpolygonen ist

A positiv, sobald der erste Strahl (1) oberhalb des Strahles liegt,

B positiv, sobald der Strahl den Kräftezug oberhalb des Strahles s₂ schneidet,

C positiv, sobald der Strahl s₂ den Kräftezug oberhalb des Strahles s₃ schneidet,

D positiv, sobald der Strahl s₃ den Kräftezug oberhalb des Strahlee s₄ schneidet,

E positiv, sobald der Strahl s₄ oberhalb des letzten Strahles (14) liegt.

Um die Querkraft Q für irgend einen Querschnitt K zu finden, wird durch K ein senkrechter Schnitt geführt; derselbe trifft stets zwei Seilpolygonseiten. Sodann werden im Kräfteplane die zu diesen Seiten gehörigen Seilkräfte gesucht und deren Mittelkraft bestimmt; die letztere ist = Q. Für den Querschnitt K in Fig. 151 findet man z. B.: Q = -f- L J und zwar ist Q positiv, weil der Strahl s₃ unterhalb des Strahles 10 liegt.

§ 21.

Einflusslinien. Belastung durch ein verschiebbares System von Einzellasten.

a. Einflusslinien.

zu er-

Da sich die Koppelträger ebenso verhalten wie die im Abschnitte V untersuchten einfachen Balken, so genügt es, die Einflusslinien für einen bei C und D gestützten Theil BE (Fig. 152) mittein. In den Gelenken B und E greifen die Drücke anliegender schwebender Theile AB und EF an. Lasten, welche auf Balkentheile wirken, die etwa links an A oder rechts an F stossen, sind ohne Einfluss auf den Theil BE. Wir setzen zunächst unmittelbare Belastung voraus.

93. Stützenwiderstände C und D. Es greife irgendwo zwischen A und B eine senkrechte Last Px an, zwischen B und E eine

Last P₂ (gleichgiltig, ob innerhalb oder ausserhalb CD*)) und zwischen E und F eine Last P₃. Die Drücke der Koppelträger

P?j

Pia 1

auf die Punkte B und E sind beziehungsweise

Setzt man die Summe aller am Theile BE angreifenden Kräfte = 0 und wählt den Stützpunkt D zum Drehpunkte, so erhält man die Gleichung

und

CI

" 7/¹    ~\r e) — Pia2~\~ ,"3 e — 6

und hieraus ergiebt sich

C = Pi

l —J— 6 Cly

«2

+ Pt-T— Ps

e" a₃

TT

7il

B.

<—a-

JS'

<■—ûÿ--/->

TP /'    /<'

cc'=t

l-

Ô(-e-* *■--------1-------->    ______j”____

: a

1)

Fig. 152.

Es erscheint also C in der Form

C=PiHi + Pi % + *3%> Wobei

l -J⁻ 6

a,

; f\₂ =-7~; % = —

e a₃

i r ‘

Macht man nun CC' = 1, legt durch C' und D eine Gerade,

welche die Senkrechten durch B und E in B und E schneidet, und

zieht die Geraden Mi?' und FE', so ist A B'E'F die gesuchte Einfluss*

; EE' = - CC'—r-

—;/+/    l + e

linie. Es ist nämlich BB = CC -—— = 1 —-—

rr

— — 1 —j- und man erhält deshalb unter Plf P₂, P₃ beziehungsweise die Ordinaten

*) Liegt P₂ rechts von P, so wird a.₂ in Fig. 152 negativ.

Sechster Abschnitt. — § 21. r _ WWf — l+e'

166

= CC'?L= ®*

r^-BB -T^—rT

rt3 - EE' % =

l"

6 (Zq

T T

Lasten zwischen A und D erzeugen eine positive (nach oben gerichtete) Auflagerkraft G, während die rechts von D angreifenden Lasten einen negativen (nach unten gerichteten) Widerstand C hervorbringen.

Ganz ähnlich wird die in der Fig. 152 strichpunktirte Einflusslinie für den Stützenwiderstand D gefunden.

94. Querkraft für einen Querschnitt K des Auslegers _B C.

Es kommen hier nur solche Lasten Pl und P₂ in Betracht, welche

links von K angreifen, Fig. 153; denselben entspricht die Querkraft

(a)

111

rx~y

m

ui

Q=—

at

—P₂ (vergl. auch Fig. 152),

pz

(b)

k-------V--------•>

deren erstes Glied den in B angreifenden Druck des Koppelträgers AB vorstellt. Die Einflusslinie AB'K' für Q zeigt die Fig. 153a; es ist BB' =

XK' = — 1.

Fig. 153.

95. Moment für einen Querschnitt K des Auslegers JB C. Die

Lasten Px und P₂ (Fig. 153) erzeugen

M — — Pi ~rr x — P₂ B,.

Das erste Glied dieses Ausdrucks rührt von dem in B angreifen-

Die Einflusslinie für M

ai

den Drucke Pt -A- des Koppelträgers her.

ist in der Fig. 153b aufgetragen worden; es ist BB' = — x. Unter

ax

der Last P. misst man vjj = — x —,- und unter der Last P₂

= — £•

96. Querkraft für einen Querschnitt K zwischen den Stützen G und D, Fig. 154. Greift nur eine rechts von K gelegene Last an, so entsteht für den Querschnitt K die Querkraft Q = C, weil links von K nur die eine äussere Kraft C wirkt. Wird der Balken hingegen ausschliesslich links von K belastet, so ist Q = — D; denn es greift jetzt rechts von K nur die eine äussere Kraft D an. ³) Hieraus folgt, dass die Einflusslinie für Q auf der linken Seite von K mit der Einflusslinie für (— D) und auf der rechten Seite von K mit der Einflusslinie für (-f- C) übereinstimmen muss, sie wurde in der Fig. 154 a dargestellt.

97. Moment für einen Querschnitt K zwischen den Stützen.

Je nachdem nur rechts oder nur links von K Lasten wirken, ist M= Cx oder M = Dx. Die Ordinaten der Einflusslinie für M sind also rechts von K gleich den mit x multiplicirten Ordinaten der G-Linie, und links von K gleich den mit x multiplicirten Ordinaten der D-Linie. Hiernach ist die Linie AB K'E'F in Fig. 154b die Einflusslinie für M.

U—X---»K-----JE-----³ j

! C    '\K

17

H---------

mm

ii) « ip

(b)

Fig. 154.

98. Mittelbare Belastung. Wird die Belastung durch Querträger übertragen, so zeichne man zuerst die Einflusslinien für unmittelbare Belastung und leite dann aus diesen diejenigen für mittelbare Belastung mit Hilfe des Satzes ab, dass jede Einflusslinie zwischen zwei benachbarten Querträgern eine Gerade ist. In der Fig. 155 ist die Einflusslinie des Momentes für einen zwischen den Stützen G und D gelegenen Querschnitt K dargestellt worden. Die Querträger sind beliebig vertheilt angenommen. AB'K'E'F' ist die Einflusslinie bei unmittelbarer Belastung; die schraffirte Einflussfläche entspricht der mittelbaren Belastung. Das Gelenk A liege zwischen zwei Querträgern, desgleichen der Stützpunkt C und der Querschnitt K. Eine in 0 angreifende Last erzeugt für den fraglichen Querschnitt das Moment: M—O und eine

in 1 wirksame Last „Eins“ bringt M — 1 • % hervor. Zwischen den Querträgern 0 und 1 ist die Einflusslinie eine Gerade, und auf gleiche Weise erklären sieh die Abstumpfungen der Ecken bei B' und K'.

X"

i Aß’

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XXX ____I

(h (b (h

X X

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X--X

E

<------x—»

E’

--17/

w ¹

X'

ÄT

r+

Kg. 155.

99. Anmerkung zur Berechnung von Eisenbahnbrücken.

M für

Auf welche Weise die Bestimmung der Grenzwerthe gewisser Unbekannten Z mit Hilfe von Einflusslinien erfolgt, wurde bereits im § 14 auseinandergesetzt, und es möge an dieser Stelle nur noch hervorgehoben werden, dass es bei den Trägern von Eisenbahnbrücken nicht immer möglich ist, ausschliesslich die positiven oder ausschliesslich die negativen Einflussflächen zu belasten, ohne auf Unwahrscheinlichkeiten zu stossen. So kann es z. B. Vorkommen, dass das Moment den Querschnitt K des Balkens in Pig. 155 bei der in dieser Figur angegebenen Stellung einer Lokomotive nebst Tender entsteht, und es leuchtet ein, dass in diesem und in ähnlichen Fällen die Länge der den Träger belastenden Fahrzeuge eine bei weitem grössere Rolle spielt, als beispielsweise bei der Berechnung eines einfachen Balkens (Abschnitt IV). Eine kürzere, wenn auch leichtere Lokomotive nebst entsprechendem Tender kann bei kurzer positiver oder negativer Beitragsstrecke ein grösseres Maximum oder Minimum der fraglichen Unbekannten bedingen, als längere und schwerere Fahrzeuge, und es erscheint hiernach nöthig, den Einfluss verschiedenartig zusammengesetzter Lastenzüge zu prüfen. Dabei wäre auch zu beachten, dass ein entlastend wirkender Tender nicht gefüllt angenommen werden darf. Will man diese umständlichen Vergleichungen vermeiden, also nur mit einem Lastenzuge rechnen und trotzdem genügend sicher gehen, so vernachlässige man bei der Ermittlung des Maximums die Belastung der negativen Beitragsstrecken und bei der Bestimmung des Minimums die Belastung der positiven Strecken.*)

*) Ist eine Beitragsstrecke allerdings so kurz, dass sie nicht einmal die Aufstellung von drei Lokomotivacksen ermöglicht, so liefert das oben vorge-

Entscheidet man sich für dieses Verfahren, so kann man die Querkräfte, Momente und Stützenwiderstände der Gelenkbalken auch sehr schnell auf dem folgenden Wege mit Hilfe von Seilpolygonen bestimmen. Dabei sei vorausgesetzt, dass im Falle mittelbarer Belastung über allen Stützen und Gelenken Querträger liegen, auch möge daran erinnert werden, dass die Berechnung der Momente nur für die bei Querträgern geführten Querschnitte zu erfolgen braucht. Vergl. Seite 142.

h. Ermittlung des Einflusses eines verschiebbaren Zuges von Einzellasten mit

Hilfe des Seilpolygons.

Wir knüpfen an die in No. 82 gelehrte Bestimmung der Momente für die Querschnitte eines einfachen Balkens an. Es wurde dort ein Seilpolygon für einen hinreichend langen Lastenzug gezeichnet, hierauf der Balken in verschiedene Stellungen gegen den Zug gebracht und für jede Stellung desselben die Schlusslinie eingetragen. Auf gleiche Weise werden die Momente der Koppelträger des Gelenkbalkens bestimmt, und das hierbei benutzte Seilpolygon kann dann auch für die nachstehenden Untersuchungen (No. 100 bis 103) verwendet werden. Im Allgemeinen ist jede dieser Untersuchungen (wie schon in der Anmerkung auf Seite 140 hervorgehoben wurde) zweimal durchzuführen, indem zunächst zwei der drei Lokomotiven mit ihren Vordertheilen gegeneinander zu stellen sind, während zweitens alle drei Lokomotiven vorwärtsfahrend angenommen werden. Die gefährlichsten Zugstellungen werden am zweckmässigsten durch Probiren bestimmt.*)

111 1 1 i

4---o-

Fig. 156.

100. Momente für einen Querschnitt K des Auslegers JB C, Fig. 156. Man stellt das Balkenstück B C sammt dem angrenzenden Koppelträger AB so unter den Lastenzug, dass die schwersten Lasten in der Nähe von B und eine schwere Last über B selbst steht (vergl. die Einflusslinie in

schlagene Verfahren allzu ungünstige Grenzwerthe. Man nehme dann eine Lokomotive mit besonders stark belasteter Mittelachse an (zweckmässig ohne Tender) und berücksichtige auch den Einfluss der etwa über den angrenzenden Strecken stehenden Achsen dieser Lokomotive.

*) In No. 100 bis 103 handelt es sich nur um den Einfluss der Verkehrslast. Den Zeiger p haben wir der Kürze wregen fortgelassen.

Fig. 153b). Hierauf trägt man die ein, und verlängert dieselbe über b hinaus bis zu ihrem Schnittpunkte k mit der Senkrechten durch K, welche letztere das Seilpolygon in k' treffen möge. Nach Messung der Strecke k 1c — y erhält man M= — Hy. Auf gleiche Weise findet man auch das Stützenmoment Mc= — Hyc. In Fig. 156 wurde vorausgesetzt, dass Mc bei derselben Zugstellung den grössten Werth annimmt wie das Moment M für den Querschnitt K; es ist dies häufig, aber nicht immer der Fall. Das Stützenmoment Md = — HyD wird ebenso bestimmt wie Mc.

AB gehörige Schlusslinie ab

zu

101. Querkraft für einen Querschnitt K des Auslegers

JB C. Man stellt den Träger so unter den Lastenzug, dass im Falle unmittelbarer Belastung der Querschnitt K in der Nähe der schwersten

11

'■«Sv

".S-.

ps

Fig. 157 b.

Fig. 157 a.

B den von den Lasten P₄ bis

wo

Lasten liegt und eine schwere Last sich unmittelbar links von K befindet, Fig. 157.⁴) Stehen dann beispielsweise zwischen B und K drei Lasten (P₁, P₂, P₃) und auf dem Theile AB die Lasten P₄ bis P₈, so ist Q = Px -f- P₂ + P₃ -f- B,

P₈ herrührenden Druck bedeutet, welchen der Koppelträger auf das Gelenk B ausübt. Trägt man nun die zu AB gehörige Schlusslinie s ein, zieht in Fig. 157b (welche den hier in Betracht kommenden Theil des Kräftepolygons darstellt) zu s die Parallele OS, so findet man B = SR, wo R den Endpunkt des Seilstrahles bezeichnet, welcher die Kräfte P₃ und P₄ trennt. Hieraus folgt die Querkraft Q = — ST.

102. Momente und Querkräfte für die Querschnitte zwischen den Stützen C und D (Fig. 158). Es ist nach Seite 161 für einen Querschnitt K im Abstand x von C

C zu erhalten,

l03. Stützenwiderstand C (Fig. 159). Um

max

wo M₀ und Q₀ das Moment und die Querkraft für den Querschnitt K eines einfachen Balkens CD bedeuten; sie werden nach §18 bestimmt.

wurden in No. 100 in der Form gefunden: Mc = — Hycund Mn — und es folgt somit

M = M₀ ⁵)

Die Stützenmomente Mc und MD sind negativ; sie

Hyn,

min

M= — H

ycx + ypx⁶)

max

max

Qo + H ,

min

min

Qo — H

yj>

Trägt man in C und D die Ordinaten CC' — yc und DD' = yn auf, Fig. 158, und zieht die Gerade C' D'’, so liefern deren Ordinaten y die Momente minM= — Hy.

-------—»i

- I--------⁵ i

Fig. 158.

M=M₀ -I

Mcx

Mdx

und

Q — Qo ~\r

Md — Mc

stellt man den Balken so unter den Zug, dass die schwersten Lasten in der Nähe von B liegen, dass eine schwere Last in B selbst angreift

Ai

st

Lit

D 0'<

'''<1

<Cnaaf

Fig. 159.

und der Träger, wenn möglich, rechts von D unbelastet bleibt. Befindet sich, wie in der Fig. 159, rechts von D die Achse eines Fahrzeuges, dessen übrige Achsen links von- D liegen, so wird dieselbe zweckmässig vernachlässigt. Nun trägt man die Schlusslinie s± des schwebenden Theiles AB ein, bringt dieselbe in c mit der Senkrechten durch C zum Schnitt, verbindet c mit dem Punkte d, in welchem das Seilpolygon von der Senkrechten durch D getroffen wird, und zieht vom Pole aus Parallelen zu und s₂. Dieselben schneiden auf dem Kräftezuge den Stützenwiderstand

C ab.

max

Um

min

C zu finden, denke man die Balkentheile DE und EF (Fig. 152) so belastet, dass das grösste (negative) Moment MD = — Hy D entsteht, und vernachlässige die hierbei etwa links von D angreifenden Lasten, nehme also die Strecke AD unbelastet an. Man erhält dann aus der Bedingung CI — Md den Werth

Md

Ganz ebenso werden die Grenzwerthe des Stützenwiderstandes D bestimmt.

Anmerkung. Zu den in No. 100 bis 103 ermittelten, von den verschiebbaren Einzellasten hervorgerufenen Momenten M und Kräften Q und C sind noch die durch die ständige Belastung erzeugten M, Q. C zu addiren. Die Bestimmung der letzteren soll im folgenden § gezeigt werden.

§ 22.

Grleiclimässige Belastung.

104. Momente. Werden die einzelnen Oeffnungen llt l₂, l₃ ... . eines Gelenkbalkens gleichmässig belastet und zwar mit zlf z₂, z₃ . . . . f. d. Längeneinheit, vergl. Fig. 160, so sind die einfachen Mo-

Pfeile gleich —r-

O

mentenlinien derselben Parabeln, deren

Nach Aufzeichnung dieser Parabeln be-

. . sind.

Z2 K1 g Z3 13 • *

stimmt man die wirklichen Momentenflächen am schnellsten nach dem in No. 92 mitgetheilten Verfahren. In der Fig. 160 ist die fragliche Aufgabe für einen Balken mit 4 Oeffnungen gelöst worden: der Schlusslinienzug ist durch die den Gelenken Glf G₂, G₃ entsprechenden Parabelpunkte glf g₂, g₃ bestimmt.

Aus den im § 21 gezeichneten Einflusslinien geht hervor, dass man die Grenzwerthe für sämmtliche Momente M durch Untersuchung von zwei Belastungsfällen erhält. In dem einen Falle werden die durch ungerade Zeiger gekennzeichneten Belastungen z gleich p -j- g = y angenommen und die 0 mit geraden Zeiger gleich g; im zweiten Falle werden die ersteren 2 gleich g, die letzteren gleich q gesetzt. Für den Träger in Fig. 160 wird also zuerst angenommen

Zl=zs=q-, z₂=zA=g

und hierauf

Z1 = H = 9> z₂ = z4 — <1-

xT

mü

<—T¹?-----■>

ih

W-------~lr

—>k------------

—>4-

-h

—y*

Fig. 160.

Für die Querschnitte der Theile lx und l₃ werden durch den ersten

Belastungszustand die Momente mente

max

min

M und durch den zweiten die Mo-M hervorgerufen ; einzelnen Querschnitten können in dem einen Falle positive, in dem anderen negative Momente entsprechen. Die Querschnitte der Koppelträger Gx G₂ und G₃ E werden nur durch positive, diejenigen der Ausleger BGX, G₂ C, DGa nur durch negative Momente beansprucht, und zwar ergeben sich für alle diese Momente die kleinsten oder die grössten Werthe, je nachdem der erste oder der zweite Belastungszustand eintritt.

Werden die von der ständigen Belastung (g) allein hervorgerufenen Momente Mg gesucht, so setze man zx = z₂ = z₃ = z₄ = g.

Ist die Belastung eine mittelbar wirkende, und liegen über särnrnt-lichen Gelenken und Stützen Querträger, so werden die in der Fig. 160 gezeichneten Parabeln durch in dieselbe einbeschriebene Polygone ersetzt. Die Ecken dieser Polygone liegen auf den Senkrechten durch die Querträger. Bei ganz beliebiger Vertheilung der Querträger (Fig. 155) empfiehlt es sich, die Momente mit Hilfe von Einflusslinien zu ermitteln.

105. Querkraft für einen Querschnitt K eines Auslegers.

Bei der Bestimmung der Querkräfte setzen wir im Falle mittelbarer Belastung voraus, dass über allen Gelenken und Stützen Querträger liegen. Die als einfache Balken aufzufassenden Koppelträger werden genau wie im § 17 (No. 76 und 78) behandelt, und es genügt daher, die Ermittlung der Querkräfte Q für einen Balkentheil mit überragenden Enden zu zeigen.

Ï-...........

"T

(a) li\

IC\

Ac'

Gehört der fragliche Querschnitt K dem Ausleger BC an, so ist Q stets negativ; es wird am grössten bei voller Belastung der Strecke AK, Lasten rechts von K sind ohne Einfluss auf Q. Man erhält

<u

"I >0'

wobei das erste Glied den Druck

Fig. 161.

des Koppelträgers A B auf das Gelenk B vorstellt. Hiernach ist Q

gleich der Ordinate einer Geraden

B C' (Fig. 161a), welche gegeben ist durch

BB =

— q — und CC' = * 2

Bei mittelbarer Belastung (Fig. 161b) ist Q für alle Querschnitte innerhalb eines Feldes X konstant und gleich der der Feldmitte entsprechenden Ordinate der Geraden B' C'- Die Belastung p\ dieses Feldes übt nämlich auf den das Feld links begrenzenden Querträger

den Druck —- q X aus, und es ist deshalb die Summe der auf das Balken-

u

stück BK wirkenden Kräfte

woraus dann Q — — q—--qx folgt.

u

Handelt es sich nur um die durch die ständige Belastung g hervorgerufene Querkraft Q, so ersetzt man in der vorstehenden Untersuchung q durch g.

106. Querkraft für einen Querschnitt K zwischen den Stützen

C und Df Fig. 154. Es ist nach Gleich. (1) und (2) auf Seite 162

Md — Mc

Q — Qo

und man erhält

CD

xQ - maxQo "f⁻

(2)

min

Q min Qo I

Md Mc

wobei maxQ₀ und

minQo die nach No. 76 und 7 8 zu bestimmenden Grenz-

c-

werthe der Querkraft Q für den Querschnitt K eines einfachen Balkens CD bedeuten. Mu und Mc sind die negativen Stützenmomente, ihre Grenzwerthe ergeben sich bei der Durchführung der in No. 104 beschriebenen Untersuchung, und man wird natürlich in die vorstehende Gleichung (1) den kleinsten Werth von MD und den grössten Werth von Mc einführen, in die Gleichung (2) hingegen den grössten Werth von Mjj und den kleinsten von M

Der Einfluss der sländigen Belastung g ist für sich allein

M], g    MC g

Mj)g und MCg sind die Stützenmomente in Folge der ständigen Belastung und Q0g die durch diese Belastung für den Querschnitt K eines einfachen Balkens hervorgebrachte Querkraft; letztere wird nach No. 74 auf Seite 130 bestimmt.

107. Stützenwiderstand. C. Der Inhalt des positiven Theiles der Einflussfläche für C ist mit den in der Figur 152 angegebenen Be-

/ ^ | ^ \ Zeichnungen ^und wegen B B' — 1 —-—J

& = — BB' -AD =

(l -j- e) (l -f- e -f- l )

und der Inhalt des negativen Theiles ist

& = — EE'- DF —

^wegen EE'

«v+o

Ç)

Setzt man zur Abkürzung

(l-\- e) (l-\- e +0

21

h' und

e"(e" + n

21

= h"

so erhält man

min

c = q%2 —9 Th = qh' —gh" c — 9% 2 —    = 9h' — 9 h'.

In Folge der ständigen Belastung allein entsteht Cg = g(h'-h").

ti und li' lassen sich leicht durch Zeichnung bestimmen. Macht

man nämlich in Fig. 152 : CL — — (l -f- e) und DB = —/, und

Li    U

zieht die Geraden DL und CR, so schneiden deren Verlängerungen auf den Senkrechten durch À und F die Strecken h' und h" ab.

VIL Abschnitt.

Der vollwandige Bogen mit drei (Menken.

§ 23.

Belastung durch beliebig gerichtete Kräfte.

108. Stützenwiderstände. Auf einen einfach gekrümmten Stab, welcher ausser den festen Auflagergelenken A und B noch ein (in der Regel im Scheitel angeordnetes) Gelenk G besitzt, und dessen Mittellinie wir, der kürzeren Ausdrucksweise wegen, in einer lothrechten Ebene (der Stabebene) annehmen wollen, mögen beliebig gerichtete, in dieser Ebene liegende Lasten Pl5 P₂, P₃ .... wirken. Fig. 162. Die Mittelkraft der links von G angreifenden Lasten sei Rt, diejenige der Lasten rechts von G sei P₂ ; beide Kräfte können in der bekannten Weise mit Hilfe von Seilpolygonen, welche in der Fig. 162 mit den beliebigen Polen 0₁ und 0₂ gezeichnet wurden, bestimmt werden.

Soll Gleich-

Am Bogenstücke GB greift jetzt nur K" an.

Um die in A und B angreifenden Stützenwiderstände (Kämpferdrücke) Kx und K₂ zu ermitteln, nehme man zunächst an, es sei P₂ = 0 und bestimme die durch Rx allein hervorgerufenen Kämpferdrücke K' und K".

gewicht bestehen, so muss die Kraft K" durch das Gelenk G gehen, da sich sonst das Bogenstück GB um G drehen würde; ferner müssen sich die drei Kräfte K', Rx und K" in einem und demselben Punkte schneiden. Verbindet man also den Punkt Tx , in welchem Rx von der Geraden BG getroffen wird, mit A, so giebt Al\ die Richtung von K' an, und man erhält nach Ziehen von FL || Tx A (Fig. 162b) und JL || BG die von Rx herrührenden Kämpferdrücke: K' — LF und K" = JL.

Ganz ebenso findet man diejenigen Kämpferdrücke K " und K welche im Falle Rx — 0 durch die rechts von G angreifenden Lasten hervorgerufen werden. Man bringt die Gerade AG in T₂ mit R₂ zum Schnitt, verbindet T₂ mit B und zieht JS || GA und HS || BT₂. Man erhält: K" = SJ und K = HS.

Zeichnet man jetzt das Parallelogramm JLOS und zieht die Geraden OF und HO, so stellt die erste derselben nach Grösse, Richtung

und Sinn den Kämpferdruck Kx vor und die zweite den Kämpferdruck K₂ ; denn es ist Kt die Mittelkraft aus den in A angreifenden Kräften K und K , während K₂ die Mittelkraft aus K" und K""

ist.

£■1

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sfO'

v/

’fca

-Je*

------*

<&/

4rj.

Fig. 162.

Wegen der Wichtigkeit der vorliegenden Aufgabe mögen noch zwei andere Verfahren, Kx und K₂ zu bestimmen, mitgetheilt werden. Das eine ist in Fig. 163 dargestellt; die Form der beiden ebenen Scheiben, aus denen der Dreigelenkbogen besteht, ist gleichgiltig.

Nachdem die Lasten links von G auf die bekannte Weise mit Hilfe eines Seilpolygons zur Mittelkraft CD vereinigt worden sind und

12

Müller-Breslau, Graphische Statit. I.

die Lasten rechts von G zur Mittelkraft DE, werden durch A und G Parallelen zu CD gezogen, welche die äussersten Seiten des ersten Seilpolygons in Â und G' schneiden, ferner durch G und B Parallelen zu DE, welche die äussersten Seiten des zweiten Seilpolygons in G" und B' treffen. Nach Eintragung der Schlusslinien sx s₂ und nach Ziehen der Geraden: Ox F [[ und 0₂ J || s₂ erhält man in den Strecken CF und FD die zu CD parallelen, in A und G angreifenden Seitenkräfte der Mittelkraft CD. Ebenso stellen die Strecken DJ und JE die zu DE parallelen, in G bezieh. B wirksamen Seitenkräfte der Mittelkraft DE vor. Man darf jetzt die beiden Scheiben, aus denen der Bogenträger besteht, durch Stäbe AG und BG ersetzt denken, aut welche nur in den Knoten Lasten wirken. In G greift die Mittelkraft FJ aus den beiden Kräften FD und DJ an. Zieht man FO || GA und JO || GB, so stellen Di'⁷und JO die in den Stäben AG und GB

(OU

il __........-«i-......

______

----T,G'

(i) C

fi

VN,

ZX

m,

!i

\\5

In.

:o

'B

TA

FO/I G A Yp

\ J0H™/Jp\

jVjÆ

P«

0₃

Fig. 163.

hervorgerufenen Spannkräfte (Drücke) vor. Da nun im Punkte A der Kämpferdruck Kt mit der Spannkraft FO und der in A angreifenden Last CF im Gleichgewichte sein muss, so giebt die Strecke OC nach Grösse, Richtung und Sinn den Kämpferdruck Kx an, und ebenso findet man, dass EO — K₂ ist. Zeichnet man zu den Lasten Pt, P₂, . . . . mit dem Pole 0 ein durch den Punkt A gehendes Seilpolygon, so geht dieses auch durch die Punkte G und B.

In Fig. 164 ist noch der besondere Fall paralleler Lasten dargestellt worden. Es wurde ein Seilpolygon Â G' B' mit dem beliebigen Pole 0' gezeichnet. Nach Eintragung der Schlusslinien Si und s₂ wurden gezogen: O'E || sx ; O'F || s₂ ; EO || GA, FO || BG.

Ein drittes Verfahren ist schliesslich in Fig. 165 vorgeführt worden, i?! und i?₂ sind die Mittelkräfte der auf die Scheiben A G und GB

wirkenden Lasten; sie wurden in beliebig angenommenen Punkten Tx und T₂ in die Seitenkräfte A und C, B und D zerlegt. Hierauf wurde

XL

A’

(wj

l2

(b) C

v2

Kg. 164 a u. b.

die Mittelkraft aus C und D nach den Richtungen der Sehnen GA und GB in Ä und B> zerfällt. Der Kämpferdruck Ky muss nun den

J)

\S

_^4

jÿ (^l

4/14

^4,

<?

'V

Fig. 165.

Kräften M und Mr das Gleichgewicht halten und der Widerstand K2 den Kräften B und B'.

12*

109. Mittelkraftslinie (Drucklinie), Längskraft, Querkraft, Moment. Wählt man nach Bestimmung der Kämpferdrücke Kx und K₂ den Eckpunkt 0 (Fig. 162b) des Kräftepolygons zum Pole, trägt die Strahlen I, II, ... . ein und legt durch den Punkt A ein Seilpolygon, indem man der Keihe nach zieht: Aa || 0F\ ab || /; bc || II u. s. w., so giebt die Seilpolygonseite ab die Lage der Mittelkraft I der beiden Kräfte Kx und Px an, die Polygonseite bc die Lage der Mittelkraft II von Kx, Px und P₂, u. s. w. Die Polygonseite cd muss durch das Gelenk G gehen und die letzte Seite durch das Gelenk B.

Das Polygon AabcdeB wird die der gegebenen Belastung entsprechende Mittelkraftslinie genannt (auch die Drucklinie, falls nämlich sämmtliche Seilkräfte Drücke sind).*) Diese Linie gestattet, sofort die Lage der Mittelkraft der auf irgend einen Theil des Bogens wirkenden äusseren Kräfte anzugeben, während die Grösse und der Sinn der gesuchten Mittelkraft aus dem Kräftepolygone entnommen werden können.

Es werde nun der Bogen an irgend einer Stelle durch einen zur Mittellinie senkrechten Schnitt ss in zwei Theile getrennt, beispielsweise

an einer Stelle C zwischen P₂ und P₃ (Fig. 162 u. 166). Links von C wirken die äusseren Kräfte Kx, Px, P₂. Die Mittelkraft derselben wird durch den Strahl II dargestellt ; sie wirkt im Sinne OD (Fig. 162b) und fällt mit der Seilpolygonseite II zusammen; ihre Grösse sei ganz allgemein mit D bezeichnet. Wird die Kraft OD — D in zwei Seitenkräfte ED — N und OE—Q zerlegt, welche senkrecht und parallel zu ss wirken, so ist N die Längskraft und Q die Querkraft für den Querschnitt C.

Hat N von dem Schwerpunkte m des fraglichen Querschnitts den Abstand f, so ist das Biegungsmoment für diesen Querschnitt

M= Nf.

Unter der Voraussetzung, dass D die Mittelkraft der am linken Bogentheile (A C) angreifenden äusseren Kräfte ist, setzen wir M positiv, sobald D rechts um m dreht,

(d)

->•

TT

; t.

—

-_V-

L O*

T?______

b \ fe

Fig. 166.

*) Vergleiche Seite 8.

¹

Die Balkenstücke BGU CG.₂ und DG₃ führen neben der Bezeichnung Ausleger auch noch den Namen Kragarm. Man nennt deshalb die Gerber'sehen Balken vielfach Auslegerbalken oder Kragträger ; auch die amerikanische Bezeichnung Cantilcver hat sich in Deutschland leider eingebürgert.

²

Die Richtigkeit dieser Gleichung übersieht man am schnellsten, indem man in Fig. 149 die Gerade cd einträgt und die Strecken bestimmt, in welche k'k durch diese Gerade zerlegt wird.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

³

Betrachtet man Q als die Mittelkraft der rechts vom Querschnitte angreifenden äusseren Kräfte, so muss man die Richtung nach oben negativ annehmen. Yergl. Seite 124.

⁴

Ist die Belastung eine mittelbare, so tritt in Fig. 157 an die Stelle von K der diesem Querschnitte auf der linken Seite benachbarte Querträger.

⁵

Es wird jetzt nur der Balkentheil CD belastet angenommen.

⁶

Es wird nun CD unbelastet gedacht.

Q positiv, sobald es von der bohlen nach der erhabenen Seite des Bogens wirkt,¹)

N positiv, sobald es das Bestreben hat, den Theil AC an den Theil CB anzudrücken.

In Figur 162 u. 166 sind Mund N an der Stelle C positiv, hingegen ist Q negativ. Schneidet die Drucklinie die Mittellinie des Bogens, so ist an der Schnittstelle M— 0. In Fig. 162 ist für alle Querschnitte zwischen A und G das Moment M positiv und für alle Querschnitte zwischen G und B negativ.

110. Spannungen; Einführung der Kernlinien. Durch das Moment M und die Längskraft N werden im Querschnitte des Bogens Normalspannungen C hervoi-gerufen, während die Querkraft Q Schubspannungen erzeugt; letztere dürfen stets vernachlässigt werden, und für die ersteren gelten mit hinreichender Annäherung die im Abschnitte III für den geraden Stab abgeleiteten Formeln. Vorausgesetzt ist hierbei, dass der Querschnitt eine im Verhältniss zum Krümmungshalbmesser der Bogen-Mittellinie geringe Höhe besitzt und dass der Stab in Bezug auf die durch seine Mittellinie gelegte Ebene symmetrisch ist, Bedingungen, welche bei den im Hochbau und Brückenbau zu behandelnden ebenen Bogenträgern stets erfüllt sind.

Bedeuten nun

F und J den Inhalt und das auf die wagerechte Schwerachse des Querschnitts bezogene Trägheitsmoment des Querschnitts, ex und e₂ die Abstände des untersten und des obersten Querschnittspunktes {Lx u. L₂) von jener Schwerachse, (Fig. 166b), so ergeben sich nach Gleich. 17 Seite 62 für die Spannungen Gt und a2 in den Punkten Ly und L₂ die Werthe

N Me₂

(1)

Mey

und mit den Bezeichnungen

— = wi; —=w₂,

(2)

ei

e2

Gy =

F W₂

F ' Wy

Wy und W₂ nennt man die Widerstandsmomente des Querschnitts.

ausserordentlich, setzt aber voraus, dass die Werthe k, =——und&₂

¹    Fe ₂    ²

=    — mit Hilfe von überschläglichen Berechnungen festgestellt wor-

Fex

den sind. Wie dies zu geschehen hat, soll am Ende dieses Abschnitts auseinandergesetzt werden.

§ 24.

Belastung durch senkrechte Kräfte.

a. Momente und Querkräfte in Folge beliebiger Belastung.

111. Momente. Die Kämpferdrücke eines durch irgend welche senkrechte Lasten beanspruchten Bogenträgers AGB (Fig. 167) seien in die senkrechten Seitenkräfte A und B und in die entgegengesetzt gleichen, nach der Richtung der Verbindungslinie AB der Kämpfergelenke wirkenden Seitenkräfte H' zerlegt; sodann sei gesetzt

(1)

Seite 78)

Meistens ist es vorteilhaft, die Kernhalbmesser (s. Gleich. 2 auf

(8) k,

J _ W₁

„ und k, = .F ¹

w₂

e,F

einzuführen. Trägt man diese Halbmesser vom Querschnittsschwerpunkte m aus auf der Senkrechten zur Bogenachse ab, indem man mkx — kx und mk₂ — k₂ machte so erhält man die Kernpunkte kx und k₂, welche wir stets mit denselben Buchstaben bezeichnen wollen, wie die entsprechenden Kernhalbmesser.

Hat N von diesen Punkten die Entfernungen fx und f₂, so erhält man nach Gleich. 5 auf Seite 71 für die Spannungen Cx und a₂ die übersichtlichen Formeln

e₂F F

(4)

Nf₂ _ M₂

Wx

und a₂

Nh

Fkt

W₂’

Fk₂

wobei M₂ und Mx die auf die Kernpunkte k₂ und kx bezogenen Angriffsmomente bedeuten.

Die geometrischen Oerter der Punkte k₂ und kx nennt man die Kernlinien; ihre Einführung bei der Ermittlung der Spannungen erleichtert die Untersuchung der gefährlichsten Belastungsweisen ganz

H' cos a = H,

wobei a den Neigungswinkel der AB gegen die Wagerechte bedeutet. Man nennt H den Horizontalschub des Bogens.²)

Wird zunächst H = 0 angenommen, so lässt sich, das Moment für irgend einen Querschnitts-Kernpunkt k, gleichgültig oh der oberen oder der unteren Kernlinie angehörend? in derselben Weise bestimmen, wie das Moment für den Querschnitt eines einfachen Balkens. Man zeichnet mit dem beliebigen Pole Ox ein Seilpolygon I II III . . . trägt die Schlusslinie ah ein, misst auf der Senkrechten durch k die Ordinate cn des Seilpolygons und multiplicirt diese mit der Pol weite §. Das Produkt § cn ist das gesuchte Moment; wir bezeichnen dasselbe mit Moh.

du

H'

fr

,i

fl

Ps

<A

bA

Ml

"AO,

ff’'

<f

f----ff----:

>i

TV

2V

>Ä

't

\£*

Fig. 167.

Treten nun die beiden Kräfte H' hinzu, welche in Bezug auf k am Hebelarme yh cos a angreifen, wobei yk den in senkrechter Richtung gemessenen Abstand des Punktes k von der Geraden AB bedeutet, so entsteht das Moment

Mk — Mok — H!yk cos a Mk —■ Mok — Hyk.

Für den Punkt G erhält man mit den in die Fig. 167 eingetragenen Bezeichnungen f und h

(2)

Ma = Motf — Hf=&h — Hf

und hieraus folgt, da MG = 0 sein muss, die wichtige Gleichung

G

(3)

H=

Legt man durch den Pol 0₁ zur Schlusslinie ab eine Parallele s, welche den Kräftezug FJ in R schneidet, so ist (nach No. 67 Seite 123) RF=A und JR — B. Zieht man von R aus eine Parallele zu AB und bestimmt auf derselben einen Punkt 0 im wagerechten Abstande H von FJ, so stellt die Strecke RO die Kraft H' vor, und man erhält nun: OF—Kt, JO = K₂. Der Punkt 0 ist der Pol der durch die drei Punkte A, G, B gehenden Mittelkraftslinie. Will man die Lage des Pôles 0 durch Zeichnung finden, so trage man auf der Verlängerung von FJ die Strecken UT=h und TV — f ab, mache STW _\_ UV, hierauf TW— § und ziehe schliesslich US j| VW. Man erhält dann — h

S T =    —— = H. Hätte man $)=f gemacht, so würde man H = h erhalten.

Nach Bestimmung des Pôles 0 könnte man die Mittelkraftslinie zeichnen und das Moment Mk nach dem im § 23 angegebenen Verfahren ermitteln. Häufig verdient jedoch der folgende Weg den Vorzug. Man bilde aus (2) und (3) die Gleichung

§ (cn— hy~)

Mh = Mok — $Qh Vh

ziehe die Geraden BGE und bge, deren erstere die Gerade Ak in E trifft, bringe die Gerade bge mit der Senkrechten durch E in e zum Schnitt und verbinde a mit e durch eine Gerade, welche die Ver-

C Yl

längerung von cn in n schneidet. Es ist dann: —=

h~- = cn und, wenn die Strecke nn — r\ gesetzt wird Mh — § {cn — cn) — — g>7).

(4)

y*

mithin

Das Moment Mk ist negativ oder positiv, jenachdem n unterhalb (wie in Fig. 167) oder oberhalb des hängenden Seilpolygons agb liegt. Für § wird man natürlich einen runden Werth wählen.

An die allgemeine Bestimmung von Mh schliessen wir noch eine für die Folge sehr wichtige Untersuchung an, indem wir das Moment Mk für den Fall angeben, dass alle Lasten rechts von E verschwinden. Es ist dann die Seite IV die letzte Seite des Seilpolygons; ihr Schnittpunkt b' mit der Senkrechten durch B tritt an die Stelle von b, während g zu ersetzen ist durch g, ferner e durch é und n durch n". Man erhält

Mk — + §nn",

und dieses Moment stimmt mit dem Momente für den Querschnitt k

eines einfachen Balkens AE überein, auf welchen die Lasten Px, P₂, P3 wirken. Die Gerade ae ist die Schlusslinie für den Balken AE.

D.

Bei der Anwendung der Gleichung (4) wird im Falle einer stetigen Belastung und zuweilen auch bei Einzellasten ein Fehler begangen, der allerdings unwesentlich ist und daher rührt, dass im Allgemeinen nicht sämmtliche links vom Kernpunkte k wirkenden Lasten auch links von dem fraglichen Bogenquerschnitte C liegen. In der Figur 168 bedeutet die krumme Linie edg die Drucklinie ; o und u sind Punkte der Oberfläche des Bogens.

l'

Fig. 168.

Der durch den Bogen und durch dessen Belastung geführte Schnitt dou ist von d bis o senkrecht, von hier ab rechtwinklig zur Mittellinie des Bogens. Die in d an die Drucklinie gelegte Tangente giebt die Lage der Mittelkraft der links vom Schnitte dou auf den Bogen wirkenden äusseren Kräfte an ; sie schneidet den Querschnitt im Punkte s, dessen Abstand vom Kernpunkte k (der in der Fig. 168 der unteren Kernlinie angehört) = fh sei. Man findet dann Mk — Nfk, wo N die Längskraft, d. h. die zu ou senkrechte Seitenkraft von D ist; vergl. § 23. Will man zur Bestimmung von Mk die mit der Polweite § zur Belastung gezeichnete Seillinie a rb' benutzen, so bringe man die Senkrechte durch d mit der Seillinie in r zum Schnitt, lege in r an die Seillinie eine Tangente, welche die Senkrechte durch k in n schneidet, um dann zu finden:

⁼    worauf sich schliesslich Mk = § (cn —    ergiebt.

Man umgeht nun alle überflüssigen Feinheiten, wenn man durch den Bogen nur senkrechte Schnitte dou führt, und die Momente Mkl und Mki für die auf diesen Schnitten liegenden Kernpunkte kx und k₂ mit Hilfe der Gleichung (4) bestimmt, d. h. unter n, wie in Fig. 167, den senkrecht unter dem fraglichen Kernpunkte liegenden Punkt des mit der Polweite § gezeichneten Seilpolygons versteht.

Fig. 169.

Aus den Momenten Mkl und Mk2 findet man dann (genügend genau) mit Hilfe der Gleichungen (3) auf Seite 147 die Spannungen o₂ und ax für die in der Figur 169 mit I und II bezeichneten Querschnitte.

112. Querkräfte. Um die Querkraft Q für den Querschnitt C in Fig. 167 zu finden, hat man nur nöthig, die durch den Strahl OD nach Grösse, Richtung und Sinn dargestellte Mittelkraft der links von C wirksamen äusseren Kräfte A, Plt P₂ in die Seitenkräfte ED || tt und OE | tt zu zerlegen, wobei tt die im Schwerpunkte m des fraglichen Querschnitts an die Bogenmittellinie gelegte Tangente bezeichnet.

Man kann aber Q noch in einer anderen Form darstellen.

Bezeichnet man nämlich den Neigungswinkel der Tangente tt gegen die Wagerechte mit 9 und projicirt im Kräfteplane die Strecken OB = El und RD = A — Px — P₂ auf die Richtung OE, so findet man:

0 E—RDcosy—OR sin(9 — a) = (A—P₁ —P₂) cos 9—E'sin(cp— a) und wenn man mit

Qo⁼⁼    P-2

die Querkraft für den Querschnitt k eines durch die Kräfte P1} P₂ . . . . belasteten einfachen Balkens AB bezeichnet,

(5)

Q = Q₀ cos 9 — P[' sin (9 — a).

Mit Hilfe dieser Gleichung werden wir später die Einflusslinie für die Querkraft Q ermitteln.

b. Stützenwiderstände und Kämpferdrucklinie.

abgeleiteten Gleichung: H

113. Einflusslinie für H. Fig. 170. Aus der auf Seite 183 - j!G folgt, dass man die Einflusslinie für den Horizontalschub H erhält, indem man die Ordinaten der Einfluss

r'¥

~~~

Fig. 171.

Fig. 170.

linie des Momentes MoG für den Querschnitt G' des einfachen Balkens A'B' durch f dividirt. Das Dreieck A'DB', dessen Spitze D auf der Senkrechten durch G liegt, würde nach No. 77 die Einflussfläche für Mog sein, wenn A'J=w wäre, wobei J der Schnittpunkt

der Geraden DB mit der Senkrechten durch A ist, und w den Abstand des Gelenkes G von der linken Auflagersenkrechten bedeutet.

Macht man also A'J = —, so ist das Dreieck A'D B' die Einflussfläche für H. Der Einzellast P entspricht: H = Pr\. Bei mittelbarer Belastung setzt die Fig. 170 voraus, dass über jedem der drei Gelenke A, B, G ein Querträger liegt; ist dies nicht der Fall, so entsteht die in der Fig. 171 dargestellte Einflussfläche; denn zwischen je zwei Querträgern ist die Einflusslinie eine Gerade.*) In den folgenden Entwicklungen setzen wir voraus, dass senkrecht über den Gelenken A, B, G Querträger angeordnet sind.

114.    Die Kämpf er drucklinie. Ist nur eine Last P vorhanden, so schneiden sich die beiden Kämpferdrücke in einem auf der Richtungslinie von P gelegenen Punkte S. Bewegt sich P von A nach B, so beschreibt der Punkt S die gebrochene Linie TGR, welche aus den Verlängerungen TG und GR der Geraden BG und AG besteht.

Es folgt dies ohne Weiteres aus der Untersuchung auf Seite 114; vergl. auch Fig. 104. Die Linie TGR nennt man die Kämpferdrucklinie des Bogens AGB; sie wurde zu gleicher Zeit von Fränkel und Winkler in die Bogentheorie eingeführt.

115.    Stützen widerstände A, Jß und H in Folge gleieh-mässiger Belastung. Auf den Bogen möge eine gleichmässige Belastung wirken, welche = p für die Längeneinheit der wagerecht gemessenen Stützweite l — w -j- w ist und von B aus die Strecke b bedeckt (Fig. 172). Aus der auf das Gelenk B als Drehpunkt bezogenen Momentengleichung

Al — pb~—0 folgt

pb ²

- CD----

■s^eCqr I

j<-------*-■ h--------d

A"<

J<

/%

(6)

il

A'

S 27

'Gr

Trägt man diesen Werth unter dem Endpunkte E der belasteten Strecke von einer Wagerechten A B' aus als Ordinate auf, so liegt deren Endpunkt auf einer Parabel BLD mit senkrechter Achse und

<------w-

-------rr----------?

Fig 172.

*) Vergl. die ähnlichen Untersuchungen auf Seite 135.

mit dem Scheitel B' ; dieselbe besitzt an der Stelle b = l die Ordinate

pl

A'D =—- und stimmt daher mit der in der Fig. 120 dargestellten

Li

Parabel B'D überein. Hat man diese Parabel gezeichnet, so findet man für den Belastungsfall (1) in der Figur 172: A = AX; für den Belastungsfall (2): A = A₂ und für den Fall (3): A₃ — A₂ —Ax. Ganz ebenso wird die Auflagerkraft B ermittelt; die B-Parabel ist das Spiegelbild der M-Parabel.

-, bezeichnen mit w und w die Abstände des Gelenkes G von

Den Stützenwiderstand H bestimmen wir mit Hilfe der Gleichung ATq g

den Auflagersenkrechten und finden im Falle b <^w' (Belastungsfall 1): , mithin Hx

pb²w

M0G = Aw—

pb²w

2 If

Wird Hx von der Geraden A' B' aus und unter dem Lastende Ex als Ordinate aufgetragen, so liegt deren Endpunkt auf einer Parabel B F mit senkrechter Achse, deren Scheitel B> ist und welche für b = w'

io

—- besitzt; sie wird nach demselben Verfahren

die Ordinate GF

pw ²

21 f

gezeichnet wie die Parabel B B.

Im Falle gänzlicher Belastung (b = l) entsteht für den Querschnitt G

Pww (nach S. 135),

u

eines einfachen Balkens AB das Moment MQG.

pww

ferner der Horizontalschub H

und hieraus folgt, dass dem Be-

lastungsfalle (2) entspricht

H₂ =

pww pa²w

21 f ’

den Werth von H für den Fall einer ausschliesslichen Be-

wobei

Zieht man also die Gerade A" G"

pivio

pa²w 21 f

lastung der Strecke a bedeutet.

und zeichnet

parallel zur A B' und zwar im Abstande G'G"

hierauf die Parabel A"F, deren Scheitel bei Â' liegt, deren Achse senkrecht ist und welche daher ebenso gefunden wird wie die Parabeln B'D und B F, so ist die unter E₂ gemessene Ordinate derselben gleich dem durch den Belastungsfall (2) hervorgerufenen Horizontalschub. Dem Belastungsfalle (3) entspricht: H₃ = H₂ —Hx.

Um nach Aufzeichnung der M-Parabel die Punkte F und A" der AT-Parabeln schnell zu finden, bringe man die Senkrechte durch G in L und R mit der Parabel DB' und der Geraden DB' zum Schnitt,

trage Ä J = f auf, ziehe LT || G'J und ES || G’J und mache G'G" = G'S ferner G' F = G' T. Dass die so gefundenen Strecken G'G" und G'F die oben vorgeschriebenen Werthe haben, ist leicht naeh-

pw

piv .

ist)*

2

116. Stützenwiderstände A, JB und II in Folge eines verschiebbaren Zuges von Einzellasten. Fig. 173. Die Auflagerkraft A, welche ein von B aus vorgeschobener Lastenzug hervorruft, ist nach No. 75 gleich der senkrecht unter der ersten Last Pj gemessenen Ordinate ca eines Seilpolygons, das mit der Polweite l (Pol 0) zu einem Lastenzuge gezeichnet worden ist, der von A aus bis B vorgerückt ist. Wir nannten dieses Seilpolygon das M-Polygon (vergl. Tafel I, Fig. 126).

Um H zu finden, bezeichnen wir die Abstände der Lasten P₁, P₂ . . .. vom Gelenke G mit clt c.2 wobei sich das Zeichen 2 nur auf die Lasten links von G bezieht, und erhalten hieraus

zuweisen ; man beachte dass G' L —

21

und G' R

, bestimmen zunächst MQG = Aw—2 Pc,

H—

A iv

P, fl, fi

f’ lp- lp‘

fl fl

$»■

Tt

ff

(\

t jfi

•iss

tt

-,-v

tt;

* ta

A'

x.

Pÿ Pg Pps

p° \ Pj p*    ** p

K-—

Fig. 173.

Zeichnet man nun für einen von A aus bis zur Senkrechten durch G vorgeschobenen Lastenzug ein (in der Fig. 173 strichpunktirtes) Seilpolygon    dessen erste Ecke mit G' zusammenfällt, und wählt

die Polweite = f, so ist die senkrecht unter E gemessene Ordinate dieses

(vergl. Seite 20). Macht man also auf der linken

Polygons : cb

Auflager-Senkrechten: AJ=f, zieht die Gerade G'J und hierauf

—— -

|| G'J, so erhält man ce = A —— und, nach Aufträgen von cd—

ae

ce,

den Horizontalschub: H—db.

Solange die erste Last des von B aus vorgeschobenen Zuges rechts

w

von G liegt, ist natürlich H — A — •

Es kann auch Vorkommen, dass die Kräfte A und H für einen von B aus vorgeschobenen Lastenzug ermittelt werden müssen, der kürzer ist als der bei Aufzeichnung des Seilpolygons angenommene, von A bis B reichende. Ständen beispielsweise in Fig. 173 nur die Lasten Px bis P₃ auf dem Träger, so wäre die Seite IV die letzte Seite des M-Polygons, ihr Schnittpunkt d mit der Senkrechten durch E müsste an die Stelle von a treten, und man würde erhalten

A = cd; H = A-j--cb = cd ~--cb.

Der Werth H wird wie vorhin durch Zeichnung bestimmt.

Endlich kann es auch nöthig werden, den Punkt b ebenfalls durch einen tiefer gelegenen Punkt b' zu ersetzen, sobald nämlich der zwischen E und G stehende Lastenzug kürzer ist als der in entgegengesetzter Richtung zwischen E und G' gezeichnete. Ständen z. B. nur Px und P2 auf dem Träger, so müsste an die Stelle von b der Schnittpunkt b' der Polygonseite III’ mit der Senkrechten cb treten; a müsste dann auf der verlängerten Seite III angenommen werden.

Werden die am rechten Auflager durch einen von A nach B vorrückenden Lastenzug hervorgerufenen Widerstände B und H gesucht, so betrachte man das Spiegelbild des Trägers und wiederhole die soeben beschriebenen Konstruktionen. Das B-Polygon ist das Spiegelbild des M-Polygons.

c. Grenzwerthe der Momente Mk.

117. Einflusslinie für JMk. Irgend einem Kernpunkte k entspricht nach Seite 183 (Gleich. 2)

Mk = Mok— Hyk,

wobei Mok das Moment für den senkrecht unter k gelegenen Querschnitt C' eines einfachen Balkens AB' (Fig. 174) bedeutet. Die Einflusslinie für Mp ist bei unmittelbarer Belastung nach No. 77, Seite 134, ein Di'eieck A CB', dessen Spitze C auf der Senkrechten durch C' liegt, und dessen Seite B' C auf der linken Auflagersenkrechten die Strecke

AJ — x abschneidet. Subtrabirt man nun von dieser lfofc-Fläche die -ff^-Fläche, so erhält man die iKfc-Fläche. Die AD/fc-Fläche ist ebenso wie die in No. 113 dargestellte Zf-Fläcbe ein Dreieck (ADBdessen Spitze (D) auf der Senkrechten durch G liegt. Die Seite AD desselben schneidet die Gerade JB' auf der Senkrechten durch den Schnittpunkt E der Geraden BG und Ak\ denn eine durch E gehende Einzellast erzeugt einen in die Gerade AkE fallenden Kämpferdruck und verursacht daher das Moment Mk = 0. Hieraus folgt, dass bei unmittel-

faj

J—

X1

\B

(i)

Al

E"

Ir

3"

kJ

''7c

Fig. 174.*

barer Belastung das Dreieck ACE die positive und das Dreick E DB die negative Einflussfläche für Mk ist. Man kann diese Figuren noch etwas zweckmässiger anordnen, indem man nach Aufträgen von A' J = x (Fig. 174c) die Gerade JD durch den senkrecht unter E gelegenen Punkt E' der Wagerechten A'B' zieht, hierauf D mit B' verbindet und die Gerade A'C einträgt.

^ Wird die Belastung durch Querträger übertragen und liegt k zwischen zwei Knotenpunkten Fx und F₂, so ist noch die Gerade L₁L₂

zu ziehen, deren Endpunkte in der Fig. 174b auf AC und JB und in der Fig. 174 c auf A'C und JB liegen. Es entstehen die in jenen

~YTeI

-Xfr

\D

JA

L\/C

Figuren schraffirten Einflussflächen. Fig. 17 5 setzt voraus, dass k und E in demselben Felde liegen, ein Fall, der in der Regel nur in dem Felde neben dem Gelenke G vorkommt. Es fällt dann L₂ mit D zusammen ; die Senkrechte durch E ist nicht mehr Belastungsscheide.

Mh

von

rig. 175.

118. Grenzwerthe in Folge gleichförmiger ständiger und veränderlicher Belastung. Es sei zunächst mittelbare Belastung vorausgesetzt und der ganze Träger gleich-mässig mit q f. d. Längeneinheit belastet gedacht, Fig. 176. Die Knotenlasten sind, wenn die Felder die Längen 'Xlf X₂ . . . . haben:

Qi —    (^i 4~ ^2);

Q2 — i Q H“ ^3) >

. fr-

rf

4<

.... ; dieselben werden bei ungleichen Feldlängen zweckmässig durch Zeichnung bestimmt. Dazu wird, von einer beliebigen Wagerechten b    A'B' aus, auf der

’y'

r~

n?

Kg. 176.

Senkrechten durch A die Last Ä C — ql aufgetragen, die Gerade CB' gezogen und durch den Mittelpunkt jedes Feldes eine Parallele zur CB' gelegt. Diese Parallelen schneiden auf der Geraden A' C die gesuchten

Kräfte Qt, Qz ... . ab, für welche nun mit dem beliebigen Pole 0 (Polweite £>) ein Seilpolygon agb gezeichnet wird, mit dessen Hilfe die Grenz-werthe von Mh ermittelt werden können. Dazu bestimme man die Belastungsscheide E, bringe die Senkrechte durch E in e und e mit dem Seilpolygone und der Geraden bg zum Schnitt und ziehe die Geraden ae und ae, welche die Senkrechte durch k in n" und n schneiden mögen. Setzt man nn' — t^ und nn" — ₂, wo n den senkrecht unter k gelegenen Punkt des Seilpolygons bedeutet, so erhält man nach No. 111 den Einfluss der links von E angreifenden Lasten (Qj u. Q₂) auf das gesuchte Moment

Mk = § t]₂ und den Einfluss sämmtlicher Lasten:

Mk = — $nn = — $(rll— ri2).

Hieraus folgt, dass die rechts von E gelegenen Lasten (Q₃ bis Q₅) das Moment Mh = —    (v^—v]₂)— §t)₂= — £)% hervorbringen.

Will man nun maxMk haben, so belaste man jeden Knotenpunkt m links von E mit Qm = \q (Xm -j- km_j_i) (wo m eine beliebige Ordnungsziffer), hingegen jeden Knotenpunkt rechts von E nur mit Gm= ^ g (Xm -f- äWj-)_₁), multiplicire also beispielsweise in dem in Eig. 176 dar-

gestellten Falle die Lasten ft, ft, ft mit    Man erhält dann

max

Mk = $ (

ri2 —

7")

und hierauf, indem man links von E Lasten G und rechts von E Lasten Q an nimmt

minMk -

» (f *

— Til

)•

Die Multiplikation mit — erfolgt am zweckmässigsten mit Hilfe eines ?

Winkels, dessen Sinus gleich — ist. Yergl. Fig. 176a, in der ABC ein recht-

q

winkliges Dreieck ist, in welchem sich verhält: AB:BC = g:q. Macht man DC = ï), so ist das Loth DE von D auf AC gleich — ui. Man hat übrigens

g

nicht nöthig, das Loth zu zeichnen, kann vielmehr DE messen, indem man mit dem Cirkel um D einen kleinen Kreisbogen beschreibt, welcher A C berührt.

Die mit Hilfe des beschriebenen Verfahrens erhaltenen Grenzwerthe von Mh sind etwas grösser als die in Wirklichkeit auftretenden. Man vergleiche hierüber die auf Seite 118 an den Belastungsfall in Fig. 109 geknüpften Bemerkungen. Das Verfahren ist auch dann brauchbar, wenn die Gelenke AGB (wie in der Fig. 171) nicht senkrecht unter Querträgern liegen.

13

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

Bei unmittelbarer Belastung tritt in der Fig. 176 an die Stelle des Seilpolygons die in dieselbe einbeschriebene Seillinie, oder, wenn die Polweite § = 1 gewählt wird, eine über der Stützweite l errichtete al²

Parabel, deren Pfeil =---

ist. Vergl. Seite 135 und Fig. 124. Man

erhält dann die genauen Grenzwerthe sich nun darauf, die Momente für die in den Senkrechten durch die Querträger gelegenen Kernpunkte k zu berechnen, so darf man stets unmittelbare Belastung annehmen, weil für diese Punkte die Momente für mittelbare und unmittelbare Belastung übereinstimmen. Dabei wird natürlich vorausgesetzt, dass über den Gelenken A, B, 6r Querträger liegen. Ist in diesem Falle die Mittellinie des Bogens eine Parabel mit senkrechter Achse, so kann man₈ die Aufzeichnung der Momenten-parabel sparen. In der Fig. 177 ist ein in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte symmetrischer Parabelbogen vorausgesetzt worden. Um die Grenzwerthe des Momentes Mk2 für einen oberen Kernpunkt k₂ zu ermitteln, ziehe man die Gerade Ak₂E₂, bestimme auf der Bogenmittellinie die Punkte e₂ und m₂ senkrecht unter E₂ und k₂ und verbinde A mit e₂ durch eine Gerade, welche die Senkrechte durch k₂ in n2 schneidet. Nach Messung von = k₂ n₂ und t]₂ = m₂ n₂ findet man

(<1^2—9^11) und

Je > min

Mk.

Beschränkt man

Mk2

qi²

l²

8f

(9^2 — ?%)•

'0'

Fig. 177.

gl²

war nöthig, weil die Parabel mit dem Pfeile \ql² durch eine Parabel mit dem Pfeile f ersetzt wurde.

Die Multiplikation mit

Ganz ebenso erhält man Mkx für einen Punkt kx der unteren Kernlinie. Die betreffenden Hilfslinien wurden in der Fig. 177 gestrichelt und der Punkt kx wurde rechts von G angenommen. Man findet nach Messung von = kxnx und v\₂ — mxnx l²

Mkx —

min

Mk1

l²

(9^2 —Wt)-

Liegen die Kämpfergelenke A und B ungleich hoch und das Gelenk G nicht in der Mitte, so ist in den vorstehenden Gleichungen die Pfeilhöhe f durch die bei x = gemessene Parabelordinate f (Fig. 174) zu ersetzen.

119.

Grenzwerthe von JHk in Folge eines verschiebbaren

1. Bestimmung von

Liegen die

Zuges von Einzellasten.

Punkte k und E nicht in demselben Felde, so stimmt die positive

max

Mk.

A/fc-Fläche überein mit der Einflussfläche für das Moment in Bezug auf den senkrecht unter k gelegenen Querschnitt C" eines einfachen Balkens A"E" (Fig. 174b). Wird nicht nur die positive Beitragsstrecke belastet, sondern wirken auch rechts von E (aber links von G) Lasten, so ist der stellvertretende Balken A" E" ein solcher mit überragendem

Ende. Dieser allgemeinere Fall wurde in der Figur 178 vorausgesetzt; er kann Vorkommen, sobald E" in grösserer Entfernung von C" liegt. Um nun

Mk zu finden, zeichne man für einen hinreichend langen Lastenzug mit der beliebigen Polweite § ein Seilpolygon und setze hierauf den stellvertretenden Balken A"E" so unter den

max

A"

Zug, dass eine schwere Last über einem der beiden Querträger Ft oder F₂ liegt. Die Lasten rechts von E"

T~

'1

ÏZ

■’G

Fig. 178.

denke man beseitigt, soweit dies thunlich ist, ohne unmögliche Belastungsfälle zu erhalten. Bei der Zugstellung in Fig. 178 liegt eine Last rechts von E'. Die äusserste Seilpolygonseite I wurde mit der Senkrechten durch E in e zum Schnitte gebracht, und hierauf wurden die Schlusslinien ae (entsprechend A"E") und fxf₂, entsprechend FXF₂ eingetragen; dieselben schneiden auf der Senkrechten durch C" die Strecke y]2 ab, und es ergiebt sich nun

max

Mk= + £t]₂.

2. Um

min

Mk zu ermitteln, beachte man, dass die negative Einfluss-

fläche in Fig. 174b im Falle: B'K=BG' mit der Einflussfläche für das Moment in Bezug auf den Querschnitt G" eines einfachen Balkens E" B" übereinstimmen würde. Setzen wir also zunächst B' K — Bf G' voraus und nehmen ausserdem an, dass auch links von E (aber rechts von F₂) Lasten liegen, in welchem Falle der stellvertretende Balken ein solcher mit überragendem Ende ist, so ergiebt sich minMk wie folgt. Der Balken E" B" wird so unter den Lastenzug gestellt, dass eine schwere Last über G" steht, Pig. 179. Die Lasten links von E" werden, soweit als möglich beseitigt gedacht. Hierauf wird die äusserste Seilpolygonseite I mit der Senkrechten durch E" in e zum Schnitt gebracht,, die Schlusslinie eb eingetragen, unter G" die Ordinate vf gemessen und Mk — i\ erhalten. Nun ist aber in Fig. 174b nicht B' K = B' G\

B'K

YW ~ Ä'E" • G"B" A" C"^ multiplicirt werden.

Ä'C" ■ E"B"

und es muss daher das Moment $Qv{ noch mit ^wegen B ' K

Zieht man nun die Gerade bg bis zum Schnittpunkte e" mit der Senkrechten durch E", verlängert be bis a (senkrecht unter A"), verbindet

= AJ

E" B"

A"E

r, und AJ =

<-

<-

--------

fr

■<r

AS.

SS

Fig. 179.

e" mit a und misst unter C" die in der Fig. 179 mit ^ bezeichnete

,E"B" A" C" q G"B"‘ Ä'E

Ordinate, so ist ri. = ee" ^ ^

AE

und man erhält

mithin

min

Mk = —

Die gefährlichsten Zugstellungen werden am zweckmässigsten durch Probiren ermittelt.

Will man bei der Laststellung in Pig. 178 die rechts von E" wirkende Last vernachlässigen und in Pig. 179 die links von E" liegen -

den (was nach der Ansicht des Verfassers nur empfehlenswerth ist³)), so treten an die Stelle der Punkte e die Punkte e, in denen die Senkrechten durch E" das Seilpolygon schneiden, und es ergeben sich etwas zu grosse Momente.

Bei nicht zu grossen Stützweiten wird das Moment maxMh meistens durch einen von A aus vorrückenden, von vorwärts gehenden Lokomotiven geführten Güterzug, dessen erste oder zweite Achse über Fx steht, hervorgerufen, und das Moment minMk durch einen von B aus vorrückenden Zug, dessen erste oder zweite Achse über G steht. Liegen k und E in demselben Felde, so darf man immer die erste Achse über Fx beziehungsweise G stellen (Fig. 175); es bleiben dann die eben beschriebenen Verfahren brauchbar.

Mk = $vi'₂.

mctx

In der Regel genügt es, die Momente für die senkrecht unter Querträgern liegenden Kernpunkte zu bestimmen. Man spart dann bei der Bestimmung von maxMk die Einzeichnung der Schlusslinie fxf₂. Fiele z. B. in der Fig. 178 der fragliche Kernpunkt mit der Senkrechten durch Fx zusammen, so würde man erhalten:

Zu den durch den Lastenzug erzeugten Momenten Mk sind noch die von der ständigen Belastung herrührenden Momente Mkg zu addiren. Die letzteren werden am zweckmässigsten mittels des in No. 118 beschriebenen und in der Fig. 176 dargestellten Verfahrens bestimmt. An Stelle der Lasten Qx, Q₂ ... . treten die Lasten Glt G₂ ... . Liegt dann (wie in Fig. 176) der Punkt n unterhalb n, so findet man Mkg = — Hgnn; liegt n oberhalb n> so wird: Mkg = -f-Qnn.

d. Grenzwerthe der Querkräfte Q.

120. Einflusslinie für Q. Wir knüpfen an die auf Seite 186 abgeleitete Gleichung

(1) Q — Qo cos 9 — Ft sin (9 — a) = Q₀ cos 9 — FF sec a sin (9 — a) an, in welcher Q₀ die Querkraft für den Fall FF — 0, d. h. die Querkraft für den Querschnitt C eines einfachen Balkens AB ist. Trägt man nun, von einer Wagerechten ÂB' aus, auf den Auflagersenkrechten die Strecken Â J— B'J' = 1 • cos 9 auf (Fig. 180 b), zieht die Geraden Â J' und B> J und verbindet die auf diesen Geraden senkrecht unter den Querträgern Fx und F₂ gelegenen Punkte Lx und L₂, so ist die gebrochene Linie A'LxL₂B' (nach No. 75 Seite 131) die Einflusslinie für Q₀ cos 9. Die Einflusslinie für das zweite, von Q₀ cos 9 in Abzug zu bringende Glied des oben für Q angegebenen Ausdruckes besteht, ebenso wie diejenige für FF, aus zwei Geraden A'D und DB'; sie ist durch die Bedingung gegeben, dass sich die Geraden A' D und

B' J auf der Senkrechten durch den Punkt E, in welchem die Kämpferdrucklinie BGE von einer durch A zur Tangente tt gezogenen Parallelen getroffen wird, schneiden müssen. Denn eine durch E gehende Binzeilast erzeugt einen in die Gerade AE fallenden, also senkrecht zum fraglichen Querschnitte gerichteten Kämpferdruck und bringt mithin für den Querschnitt C die Querkraft Q = 0 hervor. Die Senkrechte durch E ist deshalb eine Belastungsscheide und der Punkt E' ein Nullpunkt der Einflusslinie. Hieraus folgt aber, dass die in der Fig. 180 b schraffirte Fläche die Einflussfläche für Q ist. Eine etwas bequemere Anordnung dieser Fläche zeigt die Fig. 180c; in dieser ist A Lx II JE.

J u hü

JT

ii

ili

'Y'\

L,

G'

(w

IS..

^fftîîffiyillNIÏÏITnTn77rrmTrrT^— (cj

i.cosf ,,

‘    / "j

Fig. 180.

Liegt E unterhalb G, so entsteht die in der Fig. 181 dargestellte Einflussfläche, welche nur einen Nullpunkt besitzt.

Die Querkraft Q ist für die Querschnitte eines und desselben Feldes nahezu konstant; sie ist nur deshalb veränderlich, weil der Winkel <p sich ändert. Man begeht nur einen sehr geringen Fehler, wenn man Q für alle Querschnitte eines Feldes gleich gross annimmt und unter <p den Neigungswinkel der die Knotenpunkte verbindenden Bogensehne versteht. Vergl. Fig. 182 u. 183.

min

Mit Hilfe der Einflussflächen kann man die Grenzwerthe maxQ und Q mittels des im § 14 angegebenen allgemeinen Verfahrens berechnen; man kann sich aber auch der folgenden Verfahren bedienen.

121. Querkräfte maxQ und minQ in Folge von Einzellasten. Liegt der in Figur 181 dargestellte Fall (E rechts von G) vor, so schiebe man, um maxQ zu erhalten, den Lastenzug von B aus bis zum Querträger F₂ vor, (Zugstellung I) und ermittele nach No. 116 die am Gelenke A angreifenden Kräfte A und H. Es wirkt dann links vom

fraglichen Felde nur eine äussere Kraft, nämlich der Kämpferdruck ; derselbe ist bestimmt durch die Seitenkräfte A und Et, von denen die letztere parallel zu AB ist und die wagerechte Projektion H besitzt, Fig. 181b. Die Zerlegung von K₁ nach der Richtung tt und nach einer Richtung senkrecht hierzu liefert

Q gesucht, so ist der Lastenzug von A aus bis F₁ vorzuschieben. Nach Bestimmung der in B angreifenden Auflagerkräfte B und H ermittelt man den rechtsseitigen Kämpferdruck K₂ und zerlegt diesen in die Längskraft N und die Querkraft Q ist negativ; man beachte nämlich, dass K₂ die Mittelkraft der rechts vom Querschnitte C wirksamen äusseren Kräfte ist⁴).

Liegt Punkt E links von G (Fig. 180), so stellt man, um

Wird

min

ma t

Q.

min •

Die letztere

Q zu

erhalten, einen Lastenzug (I) auf, dessen erste Last über F₂ ruht, und der womöglich nicht länger ist als die positive Beitragsstrecke F₂ E.

IL

IV"

Il lil 111

äs.

ifc.

"‘T

--------L______⁴3

rls

a rk

Fig. 181.

¹

Ist D die Mittelkraft der rechts von C wirksamen äusseren Kräfte, so ist das links drehende Moment M positiv, desgleichen die nach der hohlen Seite des Bogens gerichtete Querkraft.

²

Die Bezeichnung passt eigentlich nur für die wagerechte Seitenkraft des vom Bogen auf das Widerlager ausgeübten Druckes.

³

Vergl. die Auseinandersetzungen in No. 99, Seite 168.

⁴

Vergl. die Anmerkung auf Seite 181.

Häufig wird es sich allerdings nicht vermeiden lassen (wie in Fig. 180) auch Lasten rechts von E anzunehmen; auf den Gang der Rechnung ist diese Frage aber ohne Einfluss. Man hat nur nöthig, nach No. 116 die Kräfte A und H zu bestimmen und hierauf wie vorhin zu verfahren; vergl. Fig. 181b. Die Querkraft minQ entsteht, sobald gleichzeitig ein Lastenzug von A bis Fx (Zug II in Fig. 180) und ein Lastenzug (III) von B bis in die Nähe von E vorrückt. Man ermittelt nun nach dem eben beschriebenen Verfahren (bestehend in der Bestimmung von A, B, H und in Zerlegung der Kämpferdrücke) getrennt den Einfluss jedes Lastenzuges und addirt die Ergebnisse. Hierbei findet man die gefährlichste Stellung des Zuges III am schnellsten durch Probiren, indem man der Reihe nach die erste, zweite, dritte Achse der ersten Loko

motive über G stellt und die gewonnenen Werthe Q (deren Darstellung sehr schnell vor sich geht) vergleicht. Man kann auch die durch den Zug III hervorgerufene Querkraft minQ in ähnlicher Weise bestimmen wie „{„Mt. (vergl. No. 119 und die Figur 174b); denn der zwischen Ë und B> gelegene Tbeil der Einflussfläche hat dieselbe Form wie die Einflussfläche für das Moment in Bezug auf den Querschnitt G" eines einfachen Balkens E" B". Man hat nur nöthig, das für den stell-

B'K

(vergl. Fig. 180b)

B' G'

vertretenden Balken ermittelte Moment mit zu multipliciren.

Schliesst man die Belastung des Trägers durch zwei getrennte Züge als unwahrscheinlich aus, so muss man Q in Folge des Zuges II mit Q in Folge von Zug III vergleichen; der grössere der beiden Werthe ist dann die grösste negative Querkraft.

Zu den durch die Lastenzüge hervorgerufenen Querkräften ist noch die von der ständigen Belastung erzeugte Querkraft Qg zu addiren; dieselbe wird zweckmässig mit Hilfe des in No. 112 (vergl. auch Fig. 167) beschriebenen Verfahrens ermittelt. Das hierzu erforderliche Seilpolygon wird nach No. 126 gezeichnet; man vergleiche die Fig. 176, in welcher die Knotenlasten Qx, Q₂ ... . durch die von der ständigen Belastung herrührenden Lasten Gx, G₂ . . . . ersetzt werden müssen. Bei Parabelbögen mit senkrechter Achse und auch bei flachen Kreisbögen (also in allen im Brückenbau üblichen Fällen) sind die Querkräfte Qg stets so klein, dass sie = 0 gesetzt werden dürfen. Für den Parabelbogen werden sie bei unmittelbarer und gleichförmiger ständiger Belastung genau = 0, weil hier die Mittelkraftslinie mit der Bogenmittellinie zusammenfällt.

122. Querkräfte maxQ und minQ in Folge einer gleichmässigen veränderlichen und ständigen Belastung. Es handele sich um die von der Verkehrslast (p) abhängige Querkraft Qp für das Feld FXF₂. Fig. 182. Die Querkraft Qg in Folge der ständigen Belastung (g) sei bereits auf die soeben angegebene Weise bestimmt worden.

Die zur Sehne Tx T₂ der Bogenmittellinie parallele Gerade AE schneide die BG unterhalb G. Dann entsteht maxQp, sobald der Träger nur zwischen der Stütze B und der im Felde Fx F₂ gelegenen Belastungsscheide N mit^) belastet wird (Belastungsfall I in Fig. 182). Die Lage von N lässt sich zwar mit Hilfe der Einflusslinie schnell finden, es empfiehlt sich jedoch, maxQp auf die folgende Weise angenähert zu bestimmen. Man nehme N in der Mitte des Feldes FXF₂ an und vernachlässige den Druck, welchen die zwischen N und F₂ liegende Last auf den Querträger Fx ausübt. Es greifen dann links von dem durch das fragliche Feld geführten

Schnitte nur die äusseren Kräfte A und H' = H sec a an, und man kann, nachdem man A und H auf die in No. 115 beschriebene Art ermittelt hat, den Kämpferdruek Kx und durch Zerlegung desselben die Querkraft Qp finden. Um minQp zu bestimmen, beachte man, dass die beiden Belastungen I und II (Fig. 182), welche beziehungsweise maxQp und Qp erzeugen, zusammen die gänzliche Belastung des Trägers ausmachen. Nun erzeugt aber gänzliche Belastung mit g die Querkraft Qg,

ma

min

(*>)

f'af

(niaxÜpj

1[

ÿ'

(muiüfi) ? 1 if Tl.

fi

y/

00:

ÏÏUttÛp j/ Vtff

IV

'0-S* A

Fig. 182.

j)

mithin gänzliche Belastung mit p die Querkraft - Qg, und es folgt daher

Qp + Qr

Die Querkräfte, welche die ständige und die veränderliche Belastung zusammen hervorbringen, sind hiernach

max

Qp J min Qp -

Qg und hieraus:

min

QP = —

ma v

(1)

min

Q - maxQp | Qg

Q min Qp | Qg    maxQp ~1

Liegt E oberhalb G,

Fig. 183, so belastet man,    r

um maxQp zu erhalten, den Träger zwischen E und der Mitte N des fraglichen Feldes mit p, bestimmt A ^ und H (nach No. 115) und )K/ hierauf, wie vorhin, den Kämpferd ruck Kx und die Querkraft maxQp- Schliesslich wendet man die Gleichungen (1) an.

r, y %

¹ Cr

Fig. 183.

Ist die Bogenmittellinie eine Parabel oder ein flacher Kreisbogen, so ist genau oder nahezu Qg = 0, und man findet dann

Q maxQp    min Qp    minQ•

Benutzt man in diesem Falle zur Ermittlung der Grenzwerthe von Q die Einflussfläche, so bestimmt man, sobald E links von G liegt, den Werth maxQ —2 (wo $2 = Inhalt des positiven Theils der Einflussfläche) und, wenn E rechts von G liegt, minQ = — (wo = Inhalt des negativen Theiles jener Fläche). Man hat dann in jedem Falle nur den Inhalt eines Dreiecks zu berechnen.

e. Querschnittsberechnung. Bestimmung der Kernlinien.

123. Querschnittsberechnung. Die Benutzung der Kemlinien bei der Berechnung der Spannungen er (vergl. die Formeln 4 auf Seite 182) setzt voraus, dass die Kemhalbmesser kx und k, bekannt sind. Es bleibt also noch anzugeben,

___T'ap^_

L_____    ^

LU

im

-----î*---

__ sà __

■H

; ||jj|

m

—«*—5»

------sw

ft

s......J

s---------

Fi

VII

Fig. 185.

Fig. 184.

wie diese Werthe von vornherein mit hinreichender Genauigkeit ermittelt werden können. Dazu ist es nöthig, auf die Querschnittsberechnung selbst etwas näher einzugehen.

Wir beschränken uns auf die Untersuchung des Blechträgers, welcher aus einem Stegbleche und den aus Winkeleisen und Kopfplatten zusammengesetzten Gurtungen besteht und nehmen zunächst an, es sei der Querschnitt symmetrisch in Bezug auf seine wagerechte Schwerachse uu, Fig. 184. Die Höhe des Stegblechs möge == h₀, diejenige des Querschnitts == h gesetzt werden.

Das auf die «-Achse bezogene Trägheitsmoment des Querschnitts eines Blechträgers ohne Kopfplatten ist mit den in der Fig. 185 angegebenen Bezeich

nungen

(1)

Jo — TV [Mo %clfi 2 Cifl]

e,

wobei b₀ und ^ die betreffenden Breitenabmessungen nach Abzug der Nietdurchmesser bedeuten. Das Widerstandsmoment dieses Querschnittes ist

2 J₀

(2) Wo

Treten Kopf platten mit dem Gesammtinhalte bd—Fk für jede Gurtung hinzu, Fig. 184, so wächst (nach Gleich. 2 auf Seite 26) das auf die «-Achse

bezogene Trägheitsmoment des Querschnitts um 2 Jk -j- 2 Fb

ho + d

wo Jk

das Trägheitsmoment der Fläche Fk in Bezug auf ihre eigene wagerechte Schwerachse ist. Unter Vernachlässigung des verhältnissmässig kleinen Werthes Jk ergiebt sich für den Querschnitt in Fig. 184

J = J₀ + ^Fk (hl + 2 dho + d²)]

und nach Streichung des unwesentlichen Gliedes d² und mit Beachtung von

hl + 2dho = h₀ (h₀ + 2 d) = h₀h[

(3) J = Jo + \Fkhho.

Für das Widerstandsmoment des Querschnitts erhält man

²j^~ + Fkh

(4)    W==

und hieraus

(5)

Fk

W W₀

ho

Ist nun Mh das grössere der beiden auf die Kernpunkte kl und lc₂ bezogenen Momente und Mka, so ist bei gegebener zulässiger Spannung a das

erforderliche Widerstandsmoment: W

a

und es ergiebt sich daher zur Berechnung der nothwendigen Kopfplatten die Gleichung

v -Mk oh₀

Bei grösserem Unterschiede zwischen den Momenten Mki mid Mk₂ empfiehlt es sich, die Gurtungen ungleich stark zu machen (Fig. 186).

Man findet dann, mit hinreichender Genauigkeit, die erforderlichen Querschnitte (Fki = b₁d1 und Fko = h d₂) der Kopfplatten der unteren, beziehungsweise oberen Gurtung mittels der Gleichungen :

Mk

(6)

Wo

■>:. k.....».

////////////

■-P'ä*

(7)

Fk\

Mko

oh₀

Wo

u und h

///

277.7 7777,

Fk₂ —

Mk! Wo

y///////    /////////7)

Y/////// Y//////7777.

r;

Ie-

....

i* —yl

h ’

bei deren Anwendung der Umstand vernachlässigt wird, dass in Folge der ungleichen Gurtquerschnitte die u-Achse nicht mehr die Stegblechhöhe halbirt. Der begangene Fehler ist jedoch gering, und schliesslich könnte man nach Berechnung von Fki und Fko den Schwerpunkt, die Kernpunkte, die Momente Mki, Mk₂ und die Spannungen cq, a₂ genauer ermitteln und die Unterschiede zwischen den letzteren

oh₀

Th

Fig. 186.

und der als zulässig erachteten Spannung feststellen. Der Verfasser hält aber diese umständliche Prüfung für überflüssig und höchstens für geeignet, eine ganz falsche Vorstellung von dem Genauigkeitsgrade der ganzen Rechnung zu erwecken; denn schon die Anwendung der Navier’schen Biegungstheorie auf die Bestimmung der Spannungen a in Blechträgern ist eine ziemlich grobe Annäherung.

134. Vorläufige Querschnittsberechnung behufs Bestimmung der Kernlinien. Die folgenden Untersuchungen beziehen sich auf die im Brückenbau und Hochbau hauptsächlich angewandten symmetrischen flachen Bogenträger. Pig. 187. Um die Querschnittsabmessungen zunächst überschläglich zu berechnen, nehmen wir Fki = F^> = Fk an und benutzen die Gleichung

<7 —--(-

W ' F

min M

maxM

Gr\

E'

ff

X----X-

Ai

C"

iE"

U-

l -X“

Fig. 187.

aus welcher sich das erforderliche Widerstandsmoment ergiebt, wobei k = —— den Kernhalbmesser bedeutet, ferner N die Längskraft

und M das auf den Schwerpunkt des Querschnitts bezogene Angriffsmoment. An die Stelle von N setzen wir, da es sich nur um eine angenäherte Berechnung handelt, AT, schreiben also

(8)

und führen in diese Formel den "Werth H für die Stellung der Verkehrslast ein, welche das grösste Moment M hervorbringt. Die Bogenmittellinie nehmen wir parabolisch an, heben jedoch hervor, dass die folgenden Rechnungen auch für flache Kreisbögen brauchbare Ergebnisse liefern. Es ist dann das Moment in Folge einer gleichmässigen und gänzlichen Belastung wegen des

Zusammenfallens der Drucklinie mit der Mittellinie des Bogens =0; es verschwindet der Einfluss der ständigen Belastung g und es folgt für jeden Querschnitt :

M= — min M.

Gesucht sei nun

der Belastungsscheide E dienen (mit den aus der Figur ersichtlichen Bezeichnungen) die Gleichungen

max

M für den Querschnitt C, Fig. 187. Zur Bestimmung

EE

EE' __ 2 f

und aus diesen folgt ^ wegen y

l — z 4 f x (l — x) \

31 — 2x

Belastet man nur die positive Beitragstrecke AE, so erhält man nach Seite 185 für den Bogenquerschnitt C ein Moment, welches eben so gross ist, wie das Moment für den Querschnitt C" eines einfachen Balkens A”E", und es folgt daher für den Fall einer gleichförmigen Yerkehrslast p px(z— x) _ px(l² — 3 lx-\-2x^) _

—    2(31 —2x)    —

Dieser Ausdruck wird am grössten für x = 0,234?, und zwar ergiebt sich für das grösste aller Momente der “Werth (10)

(9)

maae

M = 0,019 pP.

Die beiden in der Fig. 187 angegebenen Belastungsfälle (I) und (II) erzeugen entgegengesetzt gleiche Momente; dem Belastungsfalle II entspricht aber der grössere Werth H; er soll also der weiteren Berechnung zu Grunde gelegt werden. Nach No. 115 entsteht nun in Folge der Yerkehrslast pz²

und in Folge der ständigen Belastung II

gl*

■ Im ganzen

erhält man

(11) H

-)]

und wegen z —

= 0,41

0,68 j?),

wofür (um begangene Fehler auszugleichen) der etwas grössere Werth

H —    (9 + \p)

31 — 2■ 0,234 ?

(12)

angenommen werden soll. Die Werthe M und H aus den Gleich. (10) und (12) werden in die Gleich. (8) eingesetzt, worauf das erforderliche Widerstandsmoment W berechnet werden kann.

Besteht die veränderliche Belastung aus einem beweglichen Systeme von Einzellasten, so empfiehlt es sich, für den Querschnitt bei x — \l das durch Einzellasten hervorgerufene Moment mi„M zu bestimmen und hierauf diejenige gleichmässige Belastung p zu ermitteln, welche dasselbe Moment bringt. Nun berechne man H nach Gleichung (12) und setze schliesslich die Werthe

min

M hervor-

M und H in die Gleichung (8) ein.

Zur Erläuterung des Verfahrens diene das folgende Zahlenbeispiel.

Eine eingleisige Eisenbahn soll mit Hilfe von zwei Bogenträgern über eine 20”* weite Oeffnung geführt werden. Die Bogenmittellinie sei ein Kreisbogen, dessen Pfeil = 2,5”* ist; die ständige Belastung betrage für beide Träger zusammen g = 1,25* f. d. Meter.

min

Zuerst wird die negative Einflusslinie für den bei x = 5“ gelegenen Bogenquerschnitt C gezeichnet (Fig. 188) und das Moment mi„M bestimmt; dasselbe entsteht im vorliegenden Falle, wenn die erste Achse einer von B aus vorrückenden Lokomotive beim Scheitelgelenk G liegt. Die Belastungen der 3 Lokomotivachsen werden zur Mittelkraft 39* vereinigt, desgleichen die Belastungen der 3 Tenderachsen zur Mittelkraft 27**) Nach Messung der diesen Kräften entsprechenden Ordinaten 1,12“ und 0,22“ der Einflusslinie ergiebt sich (ohne Vorzeichen)

M= 39 • 1,12 -f 27 • 0,22 = 49,6'“.

1,30-12,06 _

Der Inhalt der Einflussfläche ist g =

7,84ä“, und es würde

daher eine gleichmässige Belastung das Moment M = 7,84 2? hervorbringen. Aus der Gleichung 7.84 p = 49,6 ergiebt sich der Belastungsgleichwerth p — 6,33' f. d. Meter, und es folgt nun

20²

8-2,5

(1,25 + | • 6,33) = 120'.

K---------

10^-

->k--------

-----₁₀rrv,

Kl

<-1,i/-ïi-1/f-ï''----------'i,0-------

V    v V

13* 191 131

9* 9* 9b

K-

12,06™

Fig. 188.

"Wird M auf 5000000^“ abgerundet, so ist für jeden der beiden Bogenträger zu setzen:

M = 2500000*°” und H= 60000*

und es ergiebt sieb daher, wenn die Spannung a = 700* f. d. qcm zugelassen wird:

W — to^'ö 500000 -j- 60000 A').

*) Dies ist selbstverständlich nur zulässig, wenn die zu vereinigenden Lasten innerhalb einer Strecke hegen, für welche die Einflusslinie eine Gerade ist.

Es empfiehlt sich, den Kemhalbmesser k zunächst = + h₀ abzuschätzen, wobei h₀ = Stegblechhöhe. "Wird h₀ — 50— gewählt, so folgt k = ²+° = 21— und W — 5370.

Gleich. (5): F&

, woraus dann mit Fk — ld (vergl. Fig. 184)

"Werden gleichschenklige Winkeleisen mit s = 9— und c₂ = 1,2— angenommen (vergl. Fig. 184 und 185), ferner ein 1— starkes Stegblech und Mete von 2,4— Dicke, so ergiebt sich nach Gleich. (1 u. 2): W₀ —1772 und nach W W₀

ho

___

ho ho —|— 2 dl \    50

A i-¹

5370

1772

50 + 2 d

Bei Annahme von drei 1,2'

5370

starken Platten ist d = 3,6— und 1772

3,6

50

57,2

= 21,2-,

so dass die erforderliche Plattenbreite (wegen des Zuschlags von 2 Metdurch-messern) — 21,2 + 2 • 2,4 = 26— beträgt. Der Inhalt des ganzen Querschnitts ist mit Berücksichtigung der Schwächung durch Mete: F — 21,2 • 1,2 • 6 + 1,2 (9 + 9 — 1,2 — 2,4) 4 + 50 = 2723,cm und für den Kernhalbmesser erhält W 5370

20—¹). Wegen der geringen Abweichung dieses

Werthes k von dem zuerst geschätzten fc = 21— darf von einer Wiederholung der Berechnung von Wy F und k abgesehen und die ausführliche Berechnung des Bogens unter der Annahme zweier Kernlinien durchgeführt werden, welche von der Mittellinie den konstanten Abstand k = 20— haben.

man: k

272

VIII. Abschnitt.

Einleitung in die Theorie des ebenen Eachwerks.

§ 25.

Erklärungen und Toraussetzungen

125. Unter einem ebenen Fachwerke versteht man ein Gebilde aus Stäben, welche in ihren Endpunkten durch reibungslose Gelenke mit einander verbunden sind, und deren Achsen (Mittellinien) in ein und derselben Ebene liegen. Die Untersuchung derartiger Fachwerke soll hier unter der Annahme erfolgen, dass es zulässig ist, die durch die Elasticität der Fachwerksstäbe und der das Fachwerk stützenden Körper verursachten Formänderungen als verschwindend klein anzusehen und in Folge dessen bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen alle Kräfte in denjenigen Lagen zu denken, welche sie im Falle starrer Stäbe und Stützen einnehmen würden.

Zunächst werde vorausgesetzt, dass alle äusseren Kräfte in den Knotenpunkten, d. h. in den Punkten, in denen sich die Gelenke befinden, angreifen. Zerlegt man dann das Fach werk durch einen Schnitte in zwei Theile (Fig. 189) und bringt, damit der eine der beiden Theile, z. B. der linke, für sich im Gleichgewichte ist, an den Schnittstellen Kräfte an, welche der Wirkung des weggenommenen rechten Theiles gleichwerthig sind, so müssen diese Kräfte mit den Achsen der Stäbe zusammenfallen, weil sie sonst die Stäbe um die an ihren Enden angeordneten Gelenke drehen würden, und hieraus folgt, dass alle Stäbe nur durch Längskräfte beansprucht werden. Wir nennen diese Kräfte Spannkräfte und werden dieselben als positiv oder negativ bezeichnen, je nachdem sie in den Stabquerschnitten Zug- oder Druckspannungen hervorrufen.

In den Untersuchungen dieses Abschnitts setzen wir alle äusseren Kräfte als bekannt voraus, indem wir uns die durch die gegebenen Lasten hervorgerufenen Stützenwiderstände auf irgend welche Weise gefunden denken. Für die wichtigsten Fälle äusserlich statisch bestimmter Träger, nämlich für den einfachen Balken, den Gerber sehen Balken und den Bogen mit 3 Gelenken sind diese Widerstände in den

Abschnitten V bis VII bestimmt worden. Die dort mitgetheilten Verfahren gelten sowohl für Träger aus vollwandigen, als auch für solche aus gegliederten Scheiben, wenn nur die gegliederten Scheiben starr sind. Man vergleiche die Untersuchungen im § 13 (No. 59 bis 61); werden die Stäbe, aus denen die dort erwähnten gegliederten Scheiben bestehen, in ihren Endpunkten gelenkartig mit einander verbunden (was in diesem Abschnitte stets vorausgesetzt werden soll), so sind diese Scheiben Fachwerke. Lassen sich die Spannkräfte in sämmtlichen Stäben einer Scheibe lediglich mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen finden, so bezeichnen wir die Scheibe als statisch bestimmt.

(a)

(à)

Der einfachste Fall einer starren gegliederten Scheibe, d. h. einer Scheibe, deren Knotenpunkte sich gegeneinander nicht verschieben können, ist das in der Fig. 189 dargestellte Dreiecknetz. Dasselbe entsteht, wenn Dreiecke so aneinander gereiht werden, dass jedes Dreieck nur mit dem vorhergehenden und nachfolgenden eine Seite gemein hat. Die Ermittlung der Spannkräfte im Dreiecknetze gestaltet sich besonders einfach, und da bei weitem die Mehrzahl der ausgeführten ebenen Fachwerkträger aus Dreiecknetzen besteht, so erscheint es angemessen, zunächst die Theorie dieses wichtigen Stabgebildes zu entwickeln, bevor auf die allgemeinere Untersuchung gegliederter Scheiben eingegangen wird.

Fig. 189 a u. b.

Die Stahreihen, welche das in einer lothrechten Ebene gedachte Dreiecknetz nach oben und unten begrenzen, heissen die Gurtungen; ihre Spannkräfte sollen mit 0 (obere Gurtung) und U (untere Gurtung) bezeichnet werden; vergl. Fig. 189. Die Stäbe, welche die Gurtungen mit einander verbinden, werden Gitterstäbe, Wandglieder, Füllungsstäbe genannt, auch Diagonalen (Schrägen) oder Vertikalen (Pfosten), je nachdem sie schräg oder senkrecht stehen; ihre Spannkräfte bezeichnen wir mit D und V. Zuweilen aber wird in der Folge für sämmtliche Spannkräfte das Zeichen S gewählt werden, oder es werden die Stäbe und Spannkräfte durch Ziffern bezeichnet.

\---

\\

§ 26.

Bestimmung der Spannkräfte im Dreiecknetze nach den Verfahren Ton Culmann und Kitter.

126. Das Culmann’sche Verfahren. Durch ein einfaches Dreiecknetz (Fig. 189) sei ein Schnitt tt geführt, welcher drei Stäbe trifft, deren Mittellinien sich nicht in einem Punkte schneiden und deren Spannkräfte gleich O, U und D seien. Die Mittelkraft aus den links von tt angreifenden äusseren Kräften sei — B\ dieselbe muss mit den inneren Kräften O, U, D im Gleichgewichte sein, und man hat daher, um diese letzteren zu bestimmen, nur nöthig, die in No. 12 auf Seite 15 behandelte Aufgabe zu lösen:

Drei der Lage nach gegebene Kräfte O, D und V zu finden, welche mit einer gegebenen Kraft B im Gleichgewichte sind.

->•----

oha

I⁵*

t-

'j.

Fig. 190 a u. b.

Sollen beispielsweise nach diesem zuerst von Culmann angegebenen Verfahren die Spannkräfte 0, D, U für den in Fig. 190 dargestellten einfachen Fachwerkbalken, welcher durch senkrechte Lasten P beansprucht wird, bestimmt werden, so reihe man zunächst die Lasten auf einer Senkrechten EF aneinander, zeichne mit beliebigem Pole 0 ein Seilpolygon, trage die Schlusslinie s ein und ziehe durch 0 eine Parallele zu s; dieselbe zerlegt FE in die Stützenwiderstände A und B. Die Mittelkraft aus den links von tt angreifenden äusseren Kräften ist B = A P₁ -P₂ »

sie geht durch den Schnittpunkt der Seilpolygonseiten s und III, und

ist nach oben gerichtet , sobald, wie in Fig. 190, Â Px -f- P₂ ist. Nach Bestimmung von E bringe man je zwei der vier Kräfte E, 0, D, U miteinander zum Schnitt, beispielsweise 0 mit D und E mit U, verbinde die Schnittpunkte durch die Gerade L, zerlege E nach den Richtungen von L und U, hierauf die Hilfskraft L nach den Richtungen von D und 0 und versehe schliesslich die Seiten des aus den Kräften E, 0, D und U gebildeten Polygons so mit Pfeilen, dass der Umfahrungssinn desselben ein stetiger ist. Indem man nun 0, D und U an den durchschnittenen Stäben des linken Balkentheiles in dem durch die entsprechenden Pfeile des Kräftepolygons gegebenen Sinne anbringt, erfährt man, dass im vorliegenden Falle die Kräfte 0 und D Druckspannungen erzeugen, während U Zugspannungen hervorruft.

E/.

Wird nur die eine der drei Spannkräfte gesucht, beispielsweise D, so bringe man diese Kraft mit E in e zum Schnitt, Fig. 191, ^verbinde e mit dem Schnittpunkte #    der beiden ^

⁷t

C<i

u-'-V

\ \R

,L’

anderen Spannkräfte (0 und U) durch die Gerade L', zerlege E nach den Richtungen von L' und I) und ver- Vx sehe schliesslich das    Kräftepolygon    \x

E\

EL D so mit Pfeilen,    dass der Um-    ^

fahrungssinn desselben    ein stetiger    B)

Fig. 191.

ist. Bei weit abliegendem Schnittpunkte e ist jedoch diese unmittelbare Bestimmung von D unbequem ; sie wird unmöglich, sobald E und D parallelsind.

127. Das Bitter’sch.e Verfahren. Jede der Spannkräfte O, D, U in den vom Schnitte tt (Fig. 189) getroffenen Fachwerkstäben lässt sich auch mittels einer aus dem Satze von den statischen Momenten gefolgerten Gleichung bestimmen. Denn wählt man den Schnittpunkt von irgend zweien der drei Spannkräfte zum Drehpunkte und setzt die Summe der statischen Momente sämmtlicher Kräfte gleich Null, so erhält man eine Gleichung, in der nur eine unbekannte Spannkraft vorkommt, weil die statischen Momente der durch den Drehpunkt gehenden Spannkräfte gleich Null sind. Bei diesem Verfahren werden zuerst alle Spannkräfte als Zugkräfte betrachtet; ergiebt sich für die Spannkraft eines Stabes ein negativer Werth, so ist der Pfeil dieser Kraft umzukehren; sie ruft dann Druckspannungen hervor.

Es möge diese Bestimmungsweise der Spannkräfte an dem bereits vorhin nach dem Culmann’schen Verfahren untersuchten Fachwerkbalken erläutert werden. Um zunächst U zu ermitteln, wird der Schnittpunkt a

Fig. 192.

Im vorliegenden Falle ist Ma — Hya, wobei ya die dem Knotenpunkte a entsprechende Ordinate des Seilpolygons bedeutet, und es folgt schliesslich der Werth

Va ra

welcher sich auf die in der Fig. 192 angegebene und ohne weitere Erläuterung verständliche Weise durch Zeichnung bestimmen lässt.²)

Wählt man jetzt den Punkt b zum Drehpunkte, so erhält man, da die zunächst als Zugkraft aufzufassende Spannkraft 0 rechts um b dreht : Mb -f- 0rb — 0 und hieraus

Vb

rb

von 0 und D zum Drehpunkte gewählt, Fig. 192. Der Hebelarm von U sei = ra, und das Moment der links vom Schnitte tt wirkenden äusseren Kräfte (d. i. das Angriffsmoment für den Punkt a) sei = Ma ; dasselbe werde, da der Trägertheil links von tt betrachtet wird, positiv angenommen, sobald es rechts drehend ist. Das Moment TJra der Spannkraft U ist links drehend, und es ergiebt sich daher die Gleichgewichtsbedingung

C-

Ma — Ura — 0 und hieraus U

Ma

ra

fl

fl

\u

Fr

aj

\ï

fo,

Ply

K pp,;:

tt

---

Jk

/1 ir\

/ >

II

ST'---⁻⁻-----

7T

JL

mv

-â'I

;-v

tr

PeV,

‘\P₇''s

W²i M \y.

k-----H

»,

y,

Mb

rb

Das Minus-Zeichen deutet an, dass die obere Gurtung gedrückt wird.

Wird schliesslich der Schnittpunkt c von 0 und U zum Drehpunkte gewählt, so folgt, da die Spannkraft D als Zugkraft links um c dreht,

Mc

• Das Mo-

r„

die Gleichung : Mc — Drc = 0 und hieraus : D — -f

ment Mc ist nach dem in No. 15 bewiesenen Satze gleich dem Produkte Hyc aus der Polweite H und der Strecke yc, welche die Seilpolygonseiten III und s (d. s. die äussersten in Bezug auf die Kräftegruppe A, Pt, P₂) auf einer durch den Drehpunkt c zur Mittelkraft R gezogenen Parallelen abschneiden. Im vorliegenden Falle ist yc negativ und es ergiebt sich daher

Vo rc

Die Spannkräfte 0 und D können nun auf dieselbe Weise durch Zeichnung bestimmt werden wie U.

Wirken auf den einfachen Fachwerkbalken nur senkrechte, abwärts gerichtete Lasten, so sind die Momente Hya und H'yh stets positiv. Die obere Gurtung wird in diesem Falle nur gedrückt, die untere Gurtung nur gezogen. Die grössten Spannkräfte in den Gurtungen entstehen bei gänzlicher Belastung.

Fig. 193.

Trifft der durch ein Wandglied geführte Schnitt ttzwei Gurtstäbe, deren Schnittpunkt C innerhalb der Stützweite liegt (Fig. 193), so ist auch ye bei senkrechten, abwärts gerichteten Lasten stets positiv. Das fragliche Wandglied wird dann stets in demselben Sinne beansprucht; es wird entweder nur gezogen oder nur gedrückt; seine grösste Inanspruchnahme erfolgt bei gänzlicher Belastung des Balkens.

Für die späteren Untersuchungen ist es noch wichtig, hervorzuheben, dass die Spannkraft D in einem Wandgliede = Null wird, sobald die Mittelkraft R (Fig. 191) aus den links von tt wirkenden äusseren Kräften durch den Schnittpunkt der vom Schnitte tt getroffenen Gurtstäbe 0 und U geht, weil dann L' mit R zusammenfällt.

§ 27.

Die Kräftepläne Cremona’s.

128. Die auf irgend einen Knotenpunkt eines starren Fachwerks wirkenden äusseren und inneren Kräfte sind mit einander im Gleichgewichte und lassen sich deshalb zu einem geschlossenen Polygone mit stetigem Umfahrungssinne zusammensetzen. Dieses Kräftepolygon ist bestimmt, sobald nicht mehr als zwei jener Kräfte unbekannt sind. Kennt man z. B. für den in der Fig. 194 dargestellten Fall die Spannkräfte Slf S2 und die Mittelkraft P der im fraglichen Knotenpunkte angreifenden äusseren Kräfte, so hat man nur nöthig, diese Kräfte in irgend einer Reihen-folge zu einem stetigen Kräftezuge AB CD aneinander zu setzen und durch den Anfangspunkt A und den Endpunkt D Parallelen (AE und DE) zu den Richtungen der Stäbe 3 und 4 zu ziehen. Man erhält dann das geschlossene Kräftepolygon AB CD E A, dessen letzte Seiten DE und EA nach Grösse, Richtung und Sinn die Spannkräfte S₃ und S± darstellen. Im vorliegenden Falle findet man, dass die Stäbe 3 und 4 auf Druck beansprucht werden.

Sj,

s*

E S₃

*Si ¹\

VA*

Fig. 194.

Sind nun die auf ein Dreiecknetz wirkenden äusseren Kräfte gegeben, so ist man im Stande, der Reihe nach die Kräftepolygone für sämmtliche Knotenpunkte zu zeichnen, indem man bei einem der beiden Knotenpunkte beginnt, von welchem nur zwei Stäbe ausgehen. Hervorzuheben ist, dass sich beim Dreiecknetze die einzelnen Kräftepolygone so aneinander reihen lassen, dass jede Kraft nur einmal in der Figur vorkommt. Die auf diese Art erhaltenen Kräftepläne sollen als Cre-mona’sche Pläne bezeichnet werden, weil Cremona zuerst in allgemeiner Weise auf die bemerkenswerthen Eigenschaften derselben aufmerksam machte.

129. Beliebiges, einfaches Dreiecknetz. In den Knotenpunkten P, 2', 3' ... . eines einfachen Dreiecknetzes (Fig. 195) mögen irgendwelche miteinander im Gleichgewichte befindliche Kräfte Plt P₂, P₃ ... . angreifen. Denselben entspricht dann ein geschlossenes Polygon, in welchem die Kräfte P dieselbe Reihenfolge haben mögen, in der man ihnen bei Umfahrung des Randes P, 2', 3' ... . begegnet. Die Eckpunkte dieses Kräftepolygons seien mit (8' P), (P 2'), (2'3'), .... bezeichnet, so zwar dass beispielsweise die Ecke (4,5/) von den Kräften P₄ und P₅ gebildet wird.

Um den Kräfteplan zu zeichnen, beginnt man beim Knotenpunkte 1 und bestimmt die Spannkräfte 1 und 8 in den Stäben 1 und 8, indem man zu den Mittellinien dieser Stäbe durch die Endpunkte (l^) und

Pi

¹

Berechnet man W in ähnlicher Weise wie W₀ (Gleichung 1 u. 2), so erhält man W = 5388, ein Werth, der von dem mit Hilfe der Näherungsformel :

W=h₀ + -FäJ gefundenen W — 5370 fast gar nicht abweicht. Hervorzuheben ist, dass die Gleichungen 1 und 2 ebenfalls nur Näherungswerthe liefern, da sie die Abrundungen der Winkeleisen nicht berücksichtigen.

²

Die Richtung der Strecke nm = H ist beliebig.

3’

J>g

Ei

1’

«tf

IPs

Cd

(cj

lu X²

(dj

Fig. 1951.

(*)

¹13 (f)

Pj

o»

sa»

i/t

- -Tg

Fig. 195II.

(8" l') der Kraft Px Parallelen zieht. Man erhält ein Ivräftedreieck mit dem in der Fig. 195¹¹ durch Pfeile, die innerhalb des Dreiecks stehen, angegebenen Umfahrungssinne;"dasselbe liefert nach Grösse, Richtung und Sinn die Spannkräfte 1 und 8. Denkt man den Knotenpunkt l' durch den in der Fig. 195¹ angedeuteten Schnitt vom Fachwerke abgetrennt und überträgt die Pfeile des Kräftedreiecks nach den Schnittstellen, so erfährt man, dass die Stäbe 1 und 8 gedrückt werden, weil ihre Spannkräfte gegen den ruhenden Knotenpunkt l' gerichtet sind.

Nun geht man zum Knotenpunkte 8' über, an welchem die gegebenen Kräfte P₈ und 8 und die noch unbekannten Kräfte 9 und 7 angreifen. Die Kraft 8 wirkt, da der Stab 8 auf Druck beansprucht wird, gegen den Knotenpunkt 8" und bildet in der Fig. 195n mit P8 einen stetigen Kräftezug. Schliesst man diesen, indem man durch (7'8') eine Parallele zum Stabe 7 und von a aus eine Parallele ab zum Stabe 9 zieht, so erhält man das Kräftepolygon für den Knotenpunkt 8'; dasselbe liefert die Spannkräfte 9 und 7, welche beide in den betreffenden Stäben Druckspannungen erzeugen.

Von den am Knotenpunkte 2' angreifenden Kräften sind jetzt gegeben: 9, 1, P₂ ; dieselben bilden im Kräfteplane bereits einen stetigen Zug, welcher durch Parallelen zu den beiden gesuchten Spannkräften 2 und 10 geschlossen wird. Die Parallele zu 2 muss durch den Punkt (2'3') gezogen werden, die Parallele zu 10 durch den Punkt b.

So fortfahrend, kann man sämmtliche Spannkräfte finden, indem man der Reihe nach die Kräftepolygone für die Knotenpunkte 7', 3', 6', 4' zeichnet. Das Kräftepolygon für den letzten Knotenpunkt 5' ist bereits durch die den Knoten 4' und 6' entsprechenden Polygone (4’) und (6^ bestimmt.

Zu beachten ist, dass man bei Aufzeichnung des Kräftepolygones für irgend einen Knotenpunkt schon das dem nächsten Knotenpunkte entsprechende Polygon ins Auge fassen muss. So könnte man z. B. das Kräftepolygon für 2' in der Weise zeichnen, dass man den gegebenen Kräftezug 9 — 1 — P₂ schliesst, indem man die Parallele zu 10 durch den Punkt (2' 3') zieht und die Parallele zu 2 durch den Punkt b, wie dies in der Fig. 195U durch gestrichelte Linien angedeutet worden ist. Dann müsste man aber beim Zeichnen dès Polygones für 7' die Kraft 10 an die Kraft 7 setzen, da hier die gegebenen Kräfte P₇, 7 und 10 aneinander gereiht werden müssen, und bei Konstruktion des Polygones für 3' müsste inan 2 an P₃ setzen, da hier die Kräfte 11, 2, P₃ gegeben sind.

Derartige Ueberlegungen werden überflüssig, wenn man die folgenden Beziehungen zwischen den Figuren 195¹ und 195ir beachtet.

In Folge dessen haben die Kräftepolygone

s. w.

u.

1. In der Figur 195¹ verbindet der zum Bande des Fachwerks gehörende

Stab 1 die Knoten Ï und 2'. » 2'

»    3'

der

?)

3 »

3 »

u. s. u\

3'.

In der Figur 195¹¹ geht

Kraft 1 durch den Punkt (1 2')

(2' 3') (3' 4')

>>

>>

>>

>>

•s »V •S

u. s. w.

2. In der Figur 195¹ bilden

die Stäbe 1, 9, 8 das Dreieck (d),

»    » 9, ?>10

v 10,2,11

» 0»),

>■> (c) >

u. s. w.

In der Fig. 195¹¹ schneiden sich die Kräfte 1, 9, 8 im Punkte a, „    9, 7, 10 „

„ 10, 2, 11 „

u. s. w.

*>>

>>

C>

In der Fig. 19 5¹ verbindet

In der Figur 195¹¹ haben die

Stab 9 die Punkte 8r und 2', „    10 „

»    H »

2' „ T,

T „ 3',

Kräftepolygone

(8') und (2') die Seite 9 gemein,

» 10 n t » 11 » >

(2') „ (O „

0') r (»')    »

U. S. W.

U. S. W.

Die Punkte a, b, c, ... . nennen wir die Pole der Dreiecke (a),

(b), (c) ....

In der Figur 195¹ trennt der

Stab 9 die Dreiecke (o) u. (b), (b) „ (c), 00 „ (d),

„    10    „

»    11    »

In der Fig. Spannkraft 9 die Pole 10 „ » 11 „ „

CO

Cu

CD

Cu

CD

u. s. w.

u. s. w.

Sind die Spannkräfte in sämmtlichen Wandgliedern gleich Null, so fallen die Pole a, b, c, . . . . zusammen; es bilden dann die Gurtungen ein Seilpolygon für die Kräfte P₁, P₂, P₃ ....

Um Cremona'sehe Kräftepläne schnell zeichnen zu können, genügt bereits die Beachtung der in liegender Schrift angeführten Beziehungen. Gute Dienste leistet auch die Regel: Die an einem Knotenpunkte angreifenden Kräfte müssen stets in der Reihenfolge aneinandergesetzt

werden, in der man ihnen bei Umkreisung des Knotenpunktes begegnet. Hierbei sind die äusseren Kräfte (wie in Fig. 195¹ ) immer ausserhalb des Randes liegend zu denken. Beispielsweise sind die auf den Knotenpunkt 2' wirkenden Kräfte in der Reihenfolge 9, 1, P₂, 2, 10 zu nehmen, nicht etwa in der Reihenfolge 9, 1, P₂ 10, 2, welche letztere die in der Fig. 195¹¹ durch gestrichelte Linien angedeutete, unbrauchbare Lösung geben würde.

Anwendungen.

Die Tafel 2 enthält Cremona’sche Kräftepläne für eine Reihe von Dreiecknetzen. Zur Erläuterung derselben werden kurze Bemerkungen genügen, doch wird dem Anfänger empfohlen, jeden Kräfteplan, von Knotenpunkt zu Knotenpunkt vorgehend, nachzuzeichnen und den Umfahrungssinn jedes einzelnen Kräftepolygons festzustellen.

Die Pläne sind zur besseren Uebersicht in drei Farben ausgeführt worden. Für die Spannkräfte und Stäbe der oberen Gurtung wurden blaue Linien gewählt, für die untere Gurtung rothe und für die Füllungsstäbe schwarze Linien.

130. Fachwerkbalken mit wagerechter oberer Gurtung. (Fischbauchträger.) Fig. 196 auf Tafel 2. Die Lasten mögen ausschliesslich in den Knotenpunkten der oberen Gurtung angreifen. Der Träger habe 8 gleichlange Felder und sei symmetrisch in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte. Jedes Feld sei gleichmässig mit 2 P belastet. Dann kommt auf jeden Knotenpunkt die Last 2 P, mit Ausnahme der mit den Stützpunkten zusammenfallenden Knotenpunkte; diese werden mit P belastet. Jeder Stützenwiderstand ist = 8 P, so dass an jedem Stützpunkte die Kraft 7 P, nach oben gerichtet, angreift. Es genügt, den Kräfteplan für die eine Hälfte zu zeichnen.

des Polygons der äusseren Kräfte und

In der Figur 196b ist ib'b"b'" .... das Polygon der äusseren Kräfte. Nach Ziehen von b'a || 0₁ und ia |) Ux findet man in a den Pol des Dreiecks I IIIII. Nun werden die Parallelen zu 0₂, 0₃ ... . gezogen, ferner die Parallelen zu U₂, U₃ ... . Die ersteren gehen durch die Eckpunkte b"b'" die letzteren bilden, da in den Knotenpunkten der unteren Gurtung keine Lasten angreifen, einen Strahlenbüschel, dessen Mittelpunkt i ist. Vom Pole a aus wird ein Linienzug abcdefgh gezeichnet, dessen Seiten der Reihe nach parallel zu Vlf D₂, V₂, D₃, V₃, P₄, U₄ sind, und dessen Eckpunkte abwechselnd auf einer rothen und einer blauen Linie liegen. Eine Ausnahme bildet die zu U₄ parallele Seite gh, welche von 0₄ zu 0\ geht, da die Spannkraft F₄ im Knotenpunkte VIII mit 0₄, 0\ und 2 P im Gleichgewichte ist, mithin mit diesen drei Kräften ein geschlossenes

Polygon bilden muss. Aus dem Umfahrungssinne der einzelnen Kräftepolygone findet man, dass sämmtliche Stäbe der oberen Gurtung gedrückt und sämmtliche Stäbe der unteren Gurtung gezogen werden. Zur Feststellung des Vorzeichens der Spannkräfte F und D ergiebt sich bei der hier gewählten Anordnung des Kräfteplanes die einfache Regel:

Versieht man, vom Anfangspunkte a ausgehend, den Linienzug abcdefgh so mit Pfeilen, dass der Umfahrungssinn ab — bc — cd — de — . . . . nicht unterbrochen wird, so geben diese Pfeile an, in welchem Sinne die Kräfte V und D an den Knotenpunkten der unteren Gurtung angreifen.

Man findet auf diese Weise, dass in Fig. 196 sämmtliche Vertikalen gedrückt und sämmtliche Diagonalen gezogen werden.

131.    Fachwerkbalken mit wagerechter unterer Gurtung. (Bogensehnenträger.) Fig. 197 auf Tafel 2. Es mögen nur in den Knotenpunkten der unteren Gurtung Lasten angreifen. Belastung eines Knotenpunktes = 2 P. An den Stützpunkten greifen die Widerstände 7 P an. Man macht b' i — 7 P, zieht ia \\ Ox und b'a || Ux und zeichnet dann für den ersten Knotenpunkt der unteren Gurtung das aus 2 P — b"b', Vx — b'a, Vx — ab und U₂ = bb" bestehende Kräftepolygon. Nun werden die Parallelen zu den Richtungen U₂, U₃ und P₄ der Stäbe der belasteten Gurtung so gezogen, dass diese Parallelen auf der Senkrechten ib' die Kräfte 2P abschneiden, ferner durch den Punkt i Parallelen zu den Richtungen 0₂, 0₃, (9₄ und 0\ der Stäbe der unbelasteten Gurtung. Der aus den Spannkräften Vx, D₂, V₂, D₃, V₃, P₄ bestehende Linienzug abcd . ... g wird nun so eingetragen, dass die Eckpunkte b, c, d, e, f, g wechselweise auf den rothen Linien TJ und den blauen Linien 0 liegen, und schliesslich wird gh |j F₄ gemacht. Von a ausgehend werden die Seiten des Polygonzuges abcd ... . mit Pfeilen versehen. Diese Pfeile geben an, in welchem Sinne die Kräfte V und D an den Knotenpunkten der unteren Gurtung angreifen. Man findet, dass Vx und F₄ positiv sind, weil Zugspannungen erzeugend, dagegen V₂ und V3 negativ. Die Spannkräfte B sind durchweg positiv. Die obere Gurtung wird gedrückt, die untere gezogen.

132.    Englischer Dachstuhl mit gezogenen Diagonalen (Fig. 198 auf Tafel 2), (Zahlenbeispiel). Die einzelnen Dachbinder sind einander parallel und in 5,lm Abstand angenommen. Stützweite 24m, Feldweite 3,0m. Die senkrecht wirkende Belastung besteht für das Quadratmeter der Horizontalprojektion der Dachfläche aus

54* Eigengewicht (Deckung: Schiefer auf Winkeleisen).

75* Schneelast.

ß = 22° und sin (ß —J— 10) = 0,53. Daher Windbelastung

120 • 0,53² = 34¹

und Gesammtbelastung 54 —f— 75 -j- 34 = 163¹ = 0,163Ä. Somit kommen auf jeden Knotenpunkt

120 sin² (ß -j- 10)kg senkrechte Seitenkraft des Winddruckes¹) ß = Neigungswinkel der oberen Gurtung, tgß

4,8

12

= 0,4,

also

0,163 • 5,1 • 3,0 = 2,5¹.

Die wagerechte Seitenkraft des Winddruckes darf bei der geringen Neigung der Dachfläche vernachlässigt werden, weil der grösste Winddruck und die grösste Schneelast kaum gleichzeitig auftreten werden. Hingegen werden beide Dachhälften mit dem senkrechten Winddrucke von 34¹ belastet gedacht.

An jedem Stützpunkte greift die Kraft A = \ • 7 • 2,5¹ (nach oben gerichtet) an.

Die Parallelen zu den Spannkräften in der oberen, belasteten Gurtung schneiden auf dem Kräftezuge die Knotenpunktlasten ab. Die Parallelen zu den Spannkräften in der unteren, unbelasteten Gurtung gehen durch denselben Punkt; sie decken sich, da sie einerlei Richtung haben. Die Parallelen zu den Spannkräften in den Gitterstäben bilden einen bei a beginnenden zusammenhängenden Linienzug.

Nach Messung der Spannkräfte wurden die Ergebnisse in die rechte Hälfte der Figur 198a eingetragen.

133.    Binder eines Pultdaches (Fig. 199a auf Tafel 2). Der einer gleichförmigen gänzlichen Belastung entsprechende Kräfteplan (Fig. 199b) wurde ähnlich wie vorhin gezeichnet. Die Füllungstäbe: 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13 werden bei den hier gewählten Verhältnissen gedrückt, die Füllungsstäbe: 2, 4, 6, 11 gezogen. Obere Gurtung gedrückt, untere Gurtung gezogen.

134.    Kräfteplan für den Dachstuhl in Fig. 200 auf Tafel 2.

Der in Fig. 200 a dargestellte Dachbinder hat bei b ein festes Auflager und wird bei a durch eine Strebe gestützt. Ist bei D ein Gelenk angeordnet, so wirkt der Stützenwiderstand A in der Richtung der Strebe, und es muss dann der Widerstand B des rechten Auflagers durch den Schnittpunkt C der Strebe mit der Mittelkraft 12 Paus den Belastungen gehen. Nach Bestimmung von A und B (Fig. 200b) wird A mit der im Knotenpunkte a (Fig. 200 a) angreifenden Last P zu der Mittelkraft Â zusammengesetzt, worauf die Spannkräfte für die ersten Stäbe der oberen und unteren Gurtung bestimmt werden können. Die Spannkräfte für die unbelastete, untere Gurtung gehen durch einen und denselben Punkt, die für die belastete, obere Gurtung schneiden ‘auf dem Zuge der Lasten die Strecken 2 P ab. Die Parallelen zu den Spannkräften in den Vertikalen und in den Diagonalen bilden einen zusammenhängenden Linienzug, dessen Anfangspunkt a ist. Die eingetragenen Pfeile geben an, in welchem Sinne die Kräfte an den Knotenpunkten der unteren Gurtung angreifen. Man findet, dass die Vertikalen gedrückt und die Diagonalen gezogen werden. Die obere Gurtung wird gedrückt, die untere gezogen.

135. Kräfteplan für einen belgischen Dachstuhl. Berücksichtigung des schrägen Winddruckes (Fig. 201 bis 203 auf Tafel 2). Unter der Voraussetzung, dass jedes Feld der oberen Gurtung mit 2 P0 belastet wird, während in 3 Knotenpunkten des Untergurtes Lasten 2 Pu angreifen, zeigt Figur 201b den Kräfteplan für die senkrecht wirkende Belastung. Derselbe ist nur für die linke Hälfte gezeichnet. Die Spannkräfte der Stäbe der rechten Hälfte sind gleich denen der entsprechenden Stäbe der linken Hälfte. Die obere Gurtung sowie die Wandglieder 1, 3, 5, 7 werden gedrückt. Alle übrigen Stäbe werden gezogen.

Weiter soll angenommen werden, dass auf dem Dachbinder ein starker Winddruck wirkt. Der Einfallswinkel des Windes sei ß (Fig. 202a), und der Neigungswinkel der oberen Gurtung gegen die Senkrechte = a. Dann bildet die Normale zur Dachfläche mit der Windrichtung den Winkel (a — ß), so dass die Geschwindigkeit des Windes rechtwinklig zur Dachfläche gleich c cos (a — ß) wird, wo c die Geschwindigkeit des Windes überhaupt bedeutet. Der rechtwinklig zur Dachfläche F wirkende Winddruck ist erfahrungsgemäss

2 W= 0,12 248 c² cos ² (a — ß) F\

er steht nämlich im geraden Verhältniss zur getroffenen Fläche und zu dem Quadrate der Geschwindigkeit, mit der sich der Wind rechtwinklig zur Dachfläche bewegt. Man kann etwa c = 3lm und ß = 10° setzen. Dann findet man 2 W = 120 Kcos² (a — 10). F ist in Quadratmetern auszudrücken. Die Belastung eines Knotenpunktes ist in Fig. 202 a 2 W = | 2 TU bezieh. W =    W.

Das bewegliche Lager sei auf der linken Seite angeordnet, und von dieser Seite möge auch der Wind kommen. Bei dieser Belastung sind die Füllungsglieder der rechten Hälfte spannungslos. Denn führt man durch irgend ein Feld der rechten Hälfte einen Schnitt (Fig. 204) und stellt die Momentgleichung für den rechtseitigen Stützpunkt auf, so erhält man, da B die einzige auf das rechte Trägerstück wirkende äussere Kraft ist,

Dr =■ 0,

wo r den Hebelarm von D bedeutet.

Es sind aus diesem Grunde in

Fig. 202 a die Füllungsglieder der rechten Hälfte fortgelassen worden.

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Fig. 204.

Der Stützenwiderstand A ist senkrecht und schneidet 2 W in C. Durch Punkt C muss der Widerstand B gehen. In Fig. 202b wurden aus dem gegebenen 2 W die Kräfte A und B bestimmt; hierauf wurde A mit der Belastung W des ersten Knotenpunktes zu A' zusammengesetzt. Die weitere Konstruktion des Planes ist aus der Fig. 202b zu ersehen. Die obere Gurtung wird durchweg gedrückt, die untere Gurtung auf der linken Trägerhälfte gezogen, auf der rechten gedrückt. Die Füllungsstäbe 1, 3, 5, 7 werden gedrückt, die Füllungsstäbe 2, 4, 6, 8 gezogen.

Fig. 203 a und 203b zeigen die Ermittlung der Spannkräfte finden Fall, dass der Wind von der rechten Seite kommt. Es wird wieder 2 W mit dem senkrechten Stützenwiderstande A im Punkte C zum Schnitt gebracht und die Richtung des ebenfalls durch C gehenden Widerstandes B festgestellt. Die Füllungsstäbe auf der linken Hälfte werden spannungslos; sie sind in der Zeichnung fortgelassen worden. Man findet, dass die obere Gurtung gedrückt, die untere Gurtung gezogen wird. Die Füllungsstäbe 9, 11, 13, 15 werden gedrückt, die anderen gezogen.

Nur bei hohen Dachstühlen

Nachdem für jeden einzelnen Stab des Fachwerks durch Vergleichung der Pläne Fig. 202b und 203b festgestellt worden ist, ob durch den von der linken Seite oder durch den von der rechten Seite wirkenden Winddruck eine grössere Spannkraft erzeugt wird, muss die grössere Spannkraft zu der aus dem Plane Fig. 201b sich ergebenden addirt werden. In den meisten Fällen genügt es aber, die statische Berechnung eines Dachstuhles in der durch das Zahlenbeispiel in No. 130^ erläuterten Weise durchzuführen und nur die lothrechte Seitenkraft des Winddruckes zu berücksichtigen, zeichne man die Pläne für den schrägwirkenden Winddruck, stelle jedoch eine geringere Belastung durch Schnee in Rechnung, da es höchst unwahrscheinlich ist, dass bedeutende Winddrücke und grosse Schneelasten gleichzeitig wirken.

§ 28.

Einfluss von Kräften, welche nicht in den Knotenpunkten

angreifen.

136. Auf einen Fachwerkstab ab (Fig. 205 a) mögen irgend welche Lasten wirken, deren Mittelkraft = R sei. Der Stab übt auf die Knoten

a und b gewisse Drücke aus, welche wir in die Seitenkräfte Rlf R₂, S zerlegt denken, deren erstere parallel zu R sind, während die entgegengesetzt gleichen Kräfte S in die Stabachse fallen. Die Kräfte Rt und R2 lassen sich schnell angeben. Man hat nur nöthig, auf der Kraft R einen beliebigen Punkt c anzunehmen, das Dreieck abc als Seilpolygon aufzufassen und den zugehörigen Kräfteplan, Fig. 205b, zu zeichnen.

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Fig. 205 a, b u. c.

Vergl. auch Seite 4, Fig. 15. Kennt man aber die von sämmtlichen Stäben auf die Knotenpunkte übertragenen Kräfte Rx, R₂, so ist die Aufgabe, die nach der Richtung der Stabachsen wirkenden Kräfte S zu bestimmen, auf die Ermittlung der Spannkräfte S eines Fachwerks zurüekgeführt, an welchem sämmtliche äusseren Kräfte nur in den Knotenpunkten angreifen.

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Sind sämmtliche S gefunden, so kennt man die an jedem Stabe angreifenden Kräfte, Fig. 205c, und ist nun im Stande, die auf die einzelnen Stabquerschnitte wirkenden Biegungsmomente M,

Längskräfte N, Querkräfte Q und die durch diese hervorgerufenen £t£

Spannungen zu bestimmen.

Einen der wichtigsten Fälle stellt die Fig. 206 dar. Der Stab ab wird durch parallele Kräfte P₁,

N*-'⁻

Fig. 206.

P₂ ... . belastet ; die Spannkräfte S sind Drücke. (Obere Gurtung des Binders eines Pfettendaches.) Das Biegungsmoment für irgend einen Querschnitt C stimmt überein mit dem Biegungsmomente für den entsprechenden Querschnitt C' eines

einfachen Balkens ab', welcher rechtwinklig zu den Lasten P ist, und dessen Stützpunkte den Punkten a und b entsprechen. Dieses Moment kann nach No. 69 mit Hilfe eines Seilpolygons bestimmt werden- Die Rechnung würde liefern, wenn z. B. C zwischen P₂ und

P₃ liegt : M—Rxx — Px ex — P₂e₂, wobei Rx

• Die auf den

2 Pb

rechtwinklig zur Stabachse angenommenen Querschnitt C wirkende Längskraft ist N — — S — (Rx — Px — P₂) cos a, wobei a den Winkel bedeutet, welchen die Lasten P mit ab bilden. Für die Spannungen Gx und o₂ erhält man (nach Gleich. 17 Seite 62)

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Auf diese Weise kann man auch das Eigengewicht der Fachwerkstäbe berücksichtigen; indess begnügt man sich in der Regel damit, dem Einflüsse desselben auf die Spannkräfte S Rechnung zu tragen, indem man die Stabgewichte auf die Knotenpunkte vertheilt.

137. Dreiecknetze aus Stäben und gegliederten Scheiben.

Die vom Stabe ab (Fig. 205a) auf die Knotenpunkte a und b übertragenen Kräfte Rx, R₂, S sind unabhängig von der Gestalt desselben. Tritt an die Stelle jenes Stabes eine irgendwie geformte ebene, voll-wandige oder starre gegliederte Scheibe, die nur in den Gelenken a und b mit den übrigen Theilen des Fachwerks zusammenhängt, und auf welche dieselbe Last R wirkt, so bleiben die Kräfte Rx, R₂, S die nämlichen. Es sind deshalb die Untersuchungen in No. 136 auch für die Berechnung solcher Fachwerkträger wichtig, die aus einfacheren dadurch entstanden sind, dass einzelne Stäbe der letzteren durch gegliederte Scheiben ersetzt werden. Ein Beispiel hierfür ist das in der Fig. 207a dargestellte, aus 4 gegliederten Scheiben und 7 Stäben bestehende Dreiecknetz; dasselbe kann aufgefasst werden als einfacher Polonceau-Träger, Fig. 207b, dessen obere Gurtstäbe durch Fischbauchträger ersetzt worden sind.

Die gesammte gleichförmige Belastung des Binders sei — P, mithin die Knotenlast = P. Hat man unter Einführung der Knotenlasten \P für den Träger in Fig. 207 b den Kräfteplan 207 c gezeichnet, so muss man den Fischbauchträger ab für die in der Fig. 207d veranschaulichte Angriffs weise berechnen. Ausser den senkrechten Lasten T³ë- P und den entsprechenden Stützenwiderständen P wirken auf diesen Träger noch in der Richtung ab die Drücke 0', deren Grösse der Plan Fig. 207 c angiebt. Fig. 207 e zeigt den Kräfteplan für die senkrechte Belastung. Die Kräfte 0' beanspruchen nämlich im vorliegenden Falle nur die obere Gurtung des Fischbauchträgers, und man

hat deshalb nur nöthig, zu den für diese Gurtung aus dem Plane Fig. 207e erhaltenen Spannkräften (Drücken) l', 2', 3', P noch den Werth 0' (Druck) zu addiren, während die in Fig. 207 e für die untere Gurtung und die Diagonalen gegebenen Kräfte ungeändert bleiben. Der Fischbauchträger bc wird ebenso behandelt. Zu jedem der Drücke, welche der Plan Fig. 207e für die obere Gurtung liefert, ist der Druck O" zu fügen. Die Vorzeichen sind in die Figuren eingetragen worden.

Es ist auch möglich, einen zusammenhängenden Kräfteplan zu zeichnen. Der einzuschlagende Weg soll unter Voraussetzung des in Fig. 208 a dargestellten Belastungsfalles beschrieben werden. Auf die eine Dachhälfte wirke ein Winddruck W, welcher die Knotenpunkte mit 4 W

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Fig. 207 a, b, c, ü u. e.

bezieh. TV W belastet und die Auflagerkräfte A und B hervorruft. Der Widerstand A sei senkrecht gerichtet;²) B geht durch den Schnittpunkt der Kräfte A und W. Wäre die Spannkraft U₁ gegeben, so könnte man das dem Knotenpunkte a entsprechende Kräftepolygon dmefgd (Fig. 208b) zeichnen. Um U₁ zu finden, denke man den Fischbauchträger ab durch einen geraden Stab ab ersetzt und die Belastung 8 • f W

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desselben auf die Knotenpunkte a und b vertheilt. In a greift dann die Last 2 • \ W — mf an, und man erhält für a das Kräftepolygon dmfgd, in welchem fg || ab ist. Wird auch die Belastung des Fisch-\\

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Achter Abschnitt. — § 28.

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Fig. 208 a il. b.

bauchträgers bc auf die Knotenpunkte b und c vertheilt und dieser Träger durch einen Stab bc ersetzt, so kommt auf b die Belastung

4 • i W — fi und man erhält nach Ziehen der Geraden gt || N und it || bc die im Stabe bm auftretende Spannkraft N. Der Kräfteplan lässt sich jetzt nach den früher gegebenen Regeln fertigstellen; man kann von Knotenpunkt zu Knotenpunkt vorgehen, ohne jedesmal mehr als zwei unbekannten Spannkräften zu begegnen. Die in der Fig. 208 a gestrichelten Stäbe sind spannungslos. 0 bedeutet den Druck in der Gurtung cn.

Dem Leser wird empfohlen, in gleicher Weise den Belastungsfall in Fig. 207 a, sowie den Einfluss eines auf die rechte Dachhälfte wirkenden Winddruckes zu untersuchen.

§ 29.

Kräftepläne für Polon ce au-Träger, in Verbindung mit einigen allgemeineren Untersuchungen.

138. Die Entwicklung der Kräftepläne für die in den Figuren 210 und 212 dargestellten wichtigen Polonceau-Träger soll durch die Betrachtung des Trägers in Fig. 209 eingeleitet werden.

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Fig. 209 a u. b.

Dieser Träger besteht aus zwei (vollwandigen oder gegliederten) Scheiben, welche mit einander durch ein Gelenk G und einen Stab ab verbunden sind. Bei a und b ist der Stab gelenkartig befestigt. An der Scheibe / greifen ausser den äusseren Kräften P1} P₂, P₃, Ps, P₉, welche sämmtlich gegeben sein mögen und deren Mittelkraft == P sei, noch an: die Spannkraft S des Stabes ab und die Kraft D, mit welcher die Scheibe II im Punkte G auf die Scheibe I wirkt. Da Gleichgewicht nur dann besteht, wenn die Kraft D durch den gegebenen Schnittpunkt c von R und S geht, so ist die Richtung von D bekannt, und es lassen sich S und D mit Hilfe eines Kräftedreiecks bestimmen.

15*

Nun sind alle auf die Scheibe I wirkenden Kräfte bekannt, desgleichen die an der Scheibe II angreifenden. Sind die Scheiben gegliedert und einfache Dreiecknetze (wie beispielsweise in den Figuren 210 u. 212), so ist der Träger ein innerlich statisch bestimmter. Für jede der beiden Scheiben lässt sich ein Cremona’scher Kräfteplan zeichnen, wobei darauf zu achten ist, dass für das Kräftepolygon der Scheibe I die Reihenfolge Px, P₂, P₃, D, P₈, S, P₉ zu wählen ist und für das Kräftepolygon der Scheibe II die Reihenfolge: D, P₄, P₅, P₆, P₇, S. In besonderen Fällen sind Vereinfachungen möglich, auf welche bei Lösung der beiden folgenden Aufgaben hingewiesen werden soll.

139. Kräfteplan für den Dachbinder in Fig. 210. Die Knotenlasten seien senkrecht und mögen zunächst gleich gross angenommen werden. Die Spannkraft im Stabe 11 sei Slt ; sie lässt sich auf dem in No. 138 angegebenen Wege finden, wird aber im vorliegenden Falle kürzer mit Hilfe des Ritter’sehen Verfahrens abgeleitet. Führt man durch d einen senkrechten Schnitt und stellt die Momentengleichung für den Punkt d auf, so erhält man (wenn X die Feldweite bedeutet)

A14X —P(3X + 2X + X)

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7 P\ ~2~)

und

^wegen A

Sxldr = 2P • 4X.

Nimmt man in der linken Auflagersenkrechten eine Kraft R = 2P an, deren Moment bezüglich d gleich 2P-4X ist, bringt hierauf Stabachse 11 mit R in g zum Schnitt, zieht die Gerade dg und zerlegt im Kräfteplane R nach den Richtungen GD || gd und ED (j rg, so ist DE = S1X. Der Sinn von Sll ist so zu nehmen, dass der Umfahrungssinn des Polygons EGDE ein stetiger ist.

Nachdem die auf die Scheibe 1 wirkenden Kräfte in der Reihenfolge Sllt A, P, P, ... . aneinandergesetzt worden sind, bietet die Aufzeichnung eines Cremona'sehen Kräfteplanes keinerlei Schwierigkeiten; in Fig. 210 b wurde derselbe nur für die linke Hälfte des symmetrischen Trägers dargestellt. Die Vorzeichen der Spannkräfte wurden in der Fig. 210a angegeben.

Es mögen noch zwei andere Verfahren, den Punkt D in Fig. 210 b zu bestimmen, mitgetheilt werden, welche beide auch bei ungleich grossen und schräg gerichteten Knotenlasten mit Vortheil anzuwenden sind.

Man beginne die Aufzeichnung des Kräfteplanes mit der Bestimmung der auf den Knoten f wirkenden Spannkräfte 1 und 2, ermittle hierauf 3 und 4, sodann 5 und 6. An jedem der folgenden Knoten-punke (b oder a) begegnet man drei unbekannten Spannkräften. Geht man zum Knoten b und nimmt für die eine der drei Unbekannten

z. B. für 7 den beliebigen Werth A₁S an, so kann man das dem Knotenpunkte b entsprechende Kräftepolygon A₁SFLJB₁Ai zeichnen und

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Fig. 210 a u. b.

hierauf die Kräftepolygone für die Knoten c und e, nämlich B₁JKC₁Bl und B₁ A₁ T)x Cx Bx *). Eine zweite Annahme: A₂ S = Spannkraft 7

*) In Fig. 210 b ist Ax Bx || A, B₂ || 8; Bl Cx || B, C, [| 12; Cx A || C, D₂ || 14 ; Di Ai i! A a₂ || 10.

liefert für e das Polygon B₂A₂D₂C₂B₂. Der Eckpunkt JD des wirklichen Kräftepolygons für e muss aber auf der durch E zum Stabe 11 gezogenen Parallelen liegen; er ist bestimmt als Schnittpunkt dieser Parallelen mit der durch die Punkte Dx und D₂ gelegten Geraden. Denn die Eckpunkte A, B, C des Kräftepolygons AB CD A bewegen sich in Folge Aenderung der Spannkraft 7 auf den festen Geraden 7, 9, 13 und es beschreibt deshalb auch der Punkt D eine gerade Linie*).

Ein drittes Verfahren, den Punkt D zu bestimmen, gründet sich auf die folgende Ueberlegung. Betrachtet man in der Fig. 210 a den

*) Es folgt dies aus dem geometrischen Satze:

Aendert ein n-Eck in der Weise seine Form, dass sämmtliche Seiten desselben durch feste Funkte einer und derselben Geraden gehen (die in den vorliegenden Anwendungen die unendlich ferne Gerade ist), ivahrend n — 1 Eckpunkte gerade Linien beschreiben, so bewegt sich auch der letzte Eckpunkt in einer Geraden.

Mit Hilfe dieses Satzes lässt sich die wichtige Aufgabe lösen: ein n-Eck zu zeichnen, dessen sämmtliche Eckpunkte 2, 2, 3 ... . in gegebenen Geraden liegen, und dessen sämmtliche Seiten gegebene Richtungen besitzen.

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Fig. 211.

In der Fig. 211 wurde diese Aufgabe für den Fall n — 4 gelöst. Gesucht ist ein Polygon, dessen Eckpunkte 1, 2, 3, 4 auf den Geraden I, II, Hf IV, liegen, und dessen Seiten den gegebenen Geraden a, b, c, d parallel sind. Es wurden zwei beliebige Vierecke 1'2'3'4' und l"2"3"4" gezeichnet, deren Seiten den Geraden a, b, c, d parallel sind, und deren Ecken 1', 2', 3' und 1", 2", 3" beziehungsweise in I, II, III liegen. Dann liegt, nach dem vorstehenden Satze, 4 auf der Geraden 4'4", und es ist dieser Punkt deshalb der Durchschnittspunkt der Geraden 4'4" und IV.

Linienzug ab cd als einen Kräftezug, e als den Pol desselben, und die Geraden 10, 8, 12, 14 als Seilstrahlen, so ist das Polygon D₁A₁B₁C₁D1 ein zugehöriges Seilpolygon, ebenso das Polygon D₂ A₂ B₂ C₂ D₂. Die

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Fig. 212 a u. b.

Gerade D₂ muss deshalb parallel zu der Mittelkraft ad der Kräfte ab, bc, cd sein, und es ist ersichtlich, dass man, um den Punkt D zu finden, nur nötbig hat, das eine der beiden Versuchspolygone, z. B.

Eine durch Dx zur Geraden ad gezogene

A₁B₁C₁D₁A₁ zu zeichnen.

Parallele D, D bestimmt auf der ED den Punkt D.

140. Kräfteplan für den Dachbinder in Fig. 212. Es handelt sich hier wieder um einen besonderen Fall des in Fig. 209 dargestellten Trägers. Man könnte die Spannkraft im Stabe 11 auf die in No. 139 angegebene Art bestimmen, hierauf die an der Scheibe agh angreifenden Kräfte in der Eeihenfolge 11, P' A, Px, P₂, . . . . aneinandersetzen und für diese Scheibe einen Oremona’schen Kräfteplan zeichnen. Ein zweiter Weg, der ebenfalls bei beliebiger Gestalt der Gurtungen und bei beliebig gerichteten Lasten zum Ziele führt, ist der folgende.

Nachdem man der Keihe nach die Spannkräfte 1, 2, 3, 4, 5, 6 bestimmt hat, gehe man zum Knotenpunkte f, an welchem (ebenso wie am Knoten g) drei unbekannte Spannkräfte, nämlich 7, 8, 9 auftreten, und nehme für die eine derselben, z. B. für 7, nach einander zwei beliebige Werthe an. Die erste Annahme sei: 7=6 A', die zweite: 7 = 6 A". Kennt man 7, so ist man im Stande, alle übrigen Spannkräfte zu bestimmen. In Fig. 212 b sind D' Ä B' C' D' und D" A" B" C" D" die jenen beiden Annahmen entsprechenden Kräftepolygone für den Knoten e und D'C' E' F' D', D" C" E" F" D" die Kräftepolygone für den Knoten D AB CD und D CEFD sind die vorläufig unbekannten Kräftepolygone für e und c. Man kann nun wie folgt schliessen.

1)    Die Ecken A, B, D des Polygons D AB CD bewegen sich auf den gegebenen Geraden 7, 8, 11, mithin beschreibt auch C eine Gerade.

2)    die Ecken DCE des Polygons DCEFD bewegen sich auf gegebenen Geraden, mithin beschreibt auch F eine Gerade, deren Lage durch die beiden Punkte F' und F" bestimmt ist.

Da aber die Ecke F des wirklichen Kräftepolygons auf der Geraden 18 liegen muss, so ist die Lage dieses Punktes bestimmt und mit ihr sämmtliche Spannkräfte 7 bis 18.

Liegen nun, wie in Fig. 212a, die Punkte a, b, d, f auf einer

Geraden, desgleichen die Punkte a, c, e, g, so gelangt man schneller zum Ziele, wenn man beachtet, dass die am Knoten b angreifenden, gleich gerichteten Kräfte 14 und 18 durch ihre Mittelkraft 18 —14 ersetzt werden • dürfen, worauf es möglich ist, die Sj>annkraft 16 zu bestimmen. Zur Erläuterung des Verfahrens diene Fig. 213 ; es wurden dort 14 und 18, deren Sinn noch unbekannt ist, als Zugkräfte angenommen.    In gleicher Weise

lässt sich nun am Knoten c. die Spannkraft 15, am Knoten d die

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Fig. 213.

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Spannkraft 12 und schliesslich am Knoten e die Spannkraft 9 bestimmen. Die Ermittlung aller dieser Kräfte ist in der Fig. 212 angegeben worden. Jetzt ist man im Stande, das Kräftepolygon für den Knotenpunkt f, an welchem nur noch zwei Unbekannte (7 und 8) auf-treten, zu zeichnen und hierauf alle übrigen Spannkräfte zu bestimmen.

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Fig. 214a u. b.

141. Erweiterung der Untersuchung in No. 138, Wird das Gelenk G des in Fig. 209 dargestellten Trägers durch 2 Stäbe cd und ef ersetzt, Fig. 214, so wirken auf die Scheibe 2³ ausser den gegebenen äusseren Kräften, deren Mittelkraft = R sein möge, noch drei Spannkräfte S₁, S₂, S₃, welche sich mit Hilfe des Culmann’schen Verfahrens bestimmen lassen, vorausgesetzt, dass sich die Achsen der drei Stäbe nicht in einem Punkte schneiden³). Die Mittelkraft D aus S2 und S₃ geht durch den Schnittpunkt G' der Stäbe cd und ef sowie durch den Punkt g, in welchem R von ab getroffen wird. Man bezeichnet auch den Punkt G' (nach Föppl) als ein gedachtes Gelenk; dasselbe geht in ein wirkliches Gelenk über, sobald die beiden Punkte e und c oder die beiden Punkte f und d oder schliesslich alle vier Punkte c, d, e, f Zusammenfällen.

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Fig. 215.

Wirken auf die Stäbe ab, cd, ef Lasten, so werden diese nach No. 137 auf die Punkte a, b, c, d, e, f übertragen, worauf die Spannkräfte Sx, S₂, S₃ genau wie vorhin ermittelt werden können. An die Stelle jener Stäbe können auch starre Scheiben treten, welche durch je zwei (wirkliche oder gedachte) Gelenke mit den Scheiben I und 11 Zusammenhängen. Einen solchen Fall stellt die Fig. 215 dar. Die Scheiben I und II wurden durch die Scheibe III und das Gelenk G₂ zu einem starren Gebilde verbunden. Indem man die auf die Scheibe III wirkenden Lasten auf die Punkte Gx und G₃ vertheilt, führt man die Berechnung des fraglichen

Trägers auf diejenige des in No. 139 untersuchten Trägers zurück.

Die vorstehenden Betrachtungen geben uns ein einfaches Mittel an die Hand, um aus statisch bestimmten gegliederten Scheiben und aus Stäben eine ganze Reihe von innerlich statisch bestimmten Fachwerkträgern herzuleiten. Ein Beispiel zeigt die Fig. 215 a. Die beiden Scheiben V und VI wurden durch das Gelenk G₁ und den Stab 5 zu einem starren Gebilde vereinigt, welches wir als Scheibe (V, VI, 5) bezeichnen wollen, und in gleicher Weise wurden die Scheiben IV und III

durch Cr₂ und 4 zur Scheibe (IV, III, 4) verbunden. Hierauf wurden die Scheiben (V, VI, 5) und (III, 1V, 4) durch die Stäbe 1, 2, 3 zu einem starren Ganzen vereinigt und schliesslich die Scheiben I und II hinzugefügt. Es entsteht ein Träger, welcher sich von dem in der Fig. 215 dargestellten Träger nur dadurch unterscheidet, dass an die Stelle der Scheibe III die Scheibe (III, IV, V, VI, 1, 2, 3, 4, 5) getreten ist. Da die einzelnen Scheiben Dreiecknetze sind, ist der Träger statisch bestimmt, sobald sämmtliche äusseren Kräfte gegeben sind. Dies ist z. B. der Fall, wenn er nur ein festes und ein bewegliches Auflagergelenk erhält.

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Fig. 215 a.

IX. Abschnitt.

Der einfache Facliwerkbalken.

§ 30.

Die ungünstige Belastungsweise. Einflusslinien.

142. Belastungsgesetze. Wir gehen jetzt dazu über, die wichtigsten statisch bestimmten Träger ausführlicher zu behandeln und beginnen mit dem in einer lothrechten Ebene angenommenen einfachen Fachwerkbalken. Die Lasten seien senkrecht und abwärts gerichtet. Dann sind auch beide Stützenwiderstände senkrecht, und es ist deshalb für die folgenden Betrachtungen gleichgiltig, auf welcher Seite das

feste oder das bewegliche Auflager liegt. Zunächst soll die Frage nach der ungünstigsten Belastungsweise entschieden werden. Wir setzen ein einfaches Dreiecknetz voraus und knüpfen an die im § 26 zur Erläuterung der Verfahren von Culmann und Ritter durchgeführten Untersuchungen an: dieselben zeigten, dass die Spannkräfte in den Gurtungen des einfachen Fachwerkbalkens bei voller Belastung am grössten iverden, und dass die obere Gurtung stets gedrückt, die untere Gurtung stets gezogen ivird. Sodann wurde durch jene Untersuchung der bei Satteldächern vorkommende besondere Fall ausgeschieden, in welchem auch die Spannkräfte in den Gitterstäben bei voller Belastung des Balkens am grössten werden. Es bleibt also nur noch anzu-

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geben, für welchen Belastungszustand die Spannkraft in einem Füllungsstabe ihre Grenzwerthe annimmt, wenn ein durch diesen Stab geführter Schnitt tt zwei Gurtstäbe trifft, die sich ausserhalb der Stützweite schneiden. Der fragliche Stab sei eine links steigende Diagonale (Fig. 216), und es möge zunächst der Einfluss von Lasten untersucht werden, die auf den rechts vom Schnitte tt gelegenen Trägertheil wirken. Am linken Trägertheile greift dann nur eine äussere Kraft an, nämlich der Stützenwiderstand A. Um D zu finden, werde das auf Seite 210 beschriebene Culmann’sehe Verfahren ange-

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Fig. 216.

(czj lg

\B

wendet. Der Schnittpunkt von A und U wird mit dem Schnittpunkt von 0 und D durch die Gerade L verbunden, und hierauf werden der Reihe nach die geschlossenen Kräftepolygone A, U, L und L, D, 0 gezeichnet (Fig. 216 b). Es stellt sich heraus, dass die fragliche Diagonale gezogen wird, sobald sich 0 und U links von A oder rechts von tt schneiden. Der Fall, in welchem sich 0 und U zwischen A und tt treffen, ist durch die Voraussetzung ausgeschlossen. Um nun den Einfluss von Lasten zu bestimmen, welche auf den linken Trägertheil wirken, wird zweckmässig der rechte Trägertheil betrachtet, weil jetzt an diesem nur £ o eine einzige äussere Kraft, der Stützen-widerstand B, angreift. Das Kräftepolygon B, U, D, 0 wird ganz ebenso wie vorhin « tbj gefunden ; dasselbe liefert für D einen Druck,    '\~=:

sobald sich 0 und U links von tt oder    X

Fig. 217 a u. b.

rechts von B schneiden; ein zwischen tt und B liegender Schnittpunkt von 0 und U

ist durch die Voraussetzung ausgeschlossen. Es folgt also der Satz:

Schneiden sich 0 und V ausserhalb der Stützweite, so rufen alle Lasten, welche in Knotenpunkten rechts von tt angreifen, in der Diagonale D⁴) einen Zug hervor und alle Lasten, welche in Knotenpunkten links von tt angreifen, einen Druck.

Wir setzen jetzt voraus, dass die Belastung an der unteren Gurtung angreift (Fig. 218). Zwischen den Knoten Fx und F₂, von denen der erste links von tt, der zweite rechts von tt liegt, wirke eine Last P; dieselbe sei in zwei Seitenkräfte Px und P₂ zerlegt, welche in Fx und F₂ angreifen. Px ruft in D einen Druck hervor, P₂ einen Zug. Bei einer bestimmten Lage von P wird D = 0 sein. Durch Lasten, welche sich rechts von dieser Grenzlage befinden, wird D gezogen, durch Lasten links von derselben wird D gedrückt. Bringt man nun den Gurtstab 0 mit den Auflagersenkrechten in Â und B' zum Schnitt und zieht die Geraden A'FX und B F₂, so entspricht einer durch den Schnittpunkt E dieser Geraden gehenden Last P der Werth D — 0. Der Beweis hierfür ist der folgende: Wird CG=P gemacht (Fig. 218b) und CO |j AE,

(cv)

JL

B’ qP

(b)

l fÈ"'

i TJJ. Y/j

-Ç Y

"T4

A?

-&0

TJT

nvax> Dp

mirvDp

Fig. 218 a u. b.

Auf

GO || EB> gezogen, sodann OB\\F₁F₂ und OT\\A'B', so ist nach No. 100: CR = P₁ und BG = P₂, ferner: GT=B und TC—A. Es lässt sich deshalb das Polygon Â Fx F₂ B' als ein Seilpolygon der Kräfte A, P₁, P₂, B auffassen und hieraus folgt, dass die Mittelkraft B der links von tt am Träger angreifenden äusseren Kräfte A und Px durch den Schnittpunkt der Gurtstäbe 0 und U geht, welche mit den vom Schnitte tt getroffenen Seilpolygonseiten zusammenfallen.

Seite 213 wurde aber nachgewiesen, dass sich D = 0 ergiebt, sobald jene Mittelkraft B durch den Schnittpunkt von 0 und U geht. Es ist

Fig. 221.

demnach die Senkrechte durch E eine Belastungsscheide; links von E liegt die negative, rechts von E die positive Beitrag strecke des Trägers.

Die ausschliessliche Belastung der letzteren Strecke erzeugt in der fraglichen Diagonale den grössten Zug d. i. und die ausschliessliche Belastung der ersteren den grössten Druck, nämlich Durch den Zeiger p ist ange-jg, deutet, dass es sich hierbei nur um den Einfluss der beweglichen Last handelt. Ganz ähnlich wird der Fall unter-

miiuB.

nn»

Aj)

maxDp

lllllllllllllllilllllillll

Fig. 219.

DP

min

DP-

tnaœUr»

Al

m tu Dp

/■;

TA-

maa>Dp

miruDp

dr-

TT

B'

Fig. 220.

sucht, in welchem die Lasten in den Knotenpunkten der oberen Gurtung angreifen; derselbe ist in der Fig. 219 dargestellt worden, während die Figuren 220 und 221 die ungünstigsten Belastungsweisen für eine rechts steigende Diagonale angeben.

143. Einflusslinien. Die Einflusslinien für die Spannkräfte in den Stäben eines einfachen Fachwerkbalkens lassen sich schnell zeichnen, sobald die Spannkräfte in Folge der in den Figuren 222 und 223 dargestellten Belastungszustände bekannt sind. In Fig. 222 ist angenommen worden, dass nur der dem Stützpunkte B benachbarte Knoten K belastet ist und zwar so stark, dass am linken Auflager der Widerstand A = 1 hervorgerufen wird. Die Spannkraft, welche bei diesem Belastungszustande, den wir in der Folge kurz den Zustand „ A = Eins11 nennen wollen, in irgend einem Stabe der oberen oder unteren Gurtung entsteht, soll mit 0' und U' bezeichnet werden, die Spannkraft in einem Füllungsstabe mit D'. Man findet diese Kräfte am schnellsten mit Hilfe eines Cremona'sehen Planes; vergl. Seite 255 und Fig. 233.⁵)

AS

0'

In Fig. 223 ist der Zustand „B — Eins“ dargestellt worden ; demselben mögen die Spannkräfte 0", U", I)" entsprechen. Ist der Träger symmetrisch in Bezug auf die Senkrechte durch

Bl

Fig. 222 u. 223.

die Mitte, so ist der Kräfteplan für den Belastungsfall in Fig. 223 das Spiegelbild des Kräfteplanes für den Belastungsfall in

Fig. 222. Es genügt dann für die folgenden Untersuchungen, den einen dieser beiden Kräftepläne zu zeichnen.

Es bewege sich nun über den Balken eine senkrechte Last P. Dieselbe greife in den Knotenpunkten der unteren Gurtung an, Fig. 224. Gesucht sei die Einflusslinie für die Spannkraft in irgend einem Stabe des Balkens, beispielsweise für die Spannkraft D im Füllungsstabe CF₂. Liegt P rechts von F₂, im Abstande b von B, so greift links von dem durch D und durch zwei Gurtstäbe geführten Schnitte tt nur eine

b

P—— der linken Stütze.

äussere Kraft an, nämlich der Widerstand A =

In dem fraglichen Füllungsstabe entsteht die Spannkraft

ry±.

D — A-D' —

Pb

1/ — Pyj, wobei y] =

A,

irt

•r

FA J

xA

JD"J

>b’

J2

k---b---->j

---

Fig. 224.

Trägt man also von einer Wagerechten XB' aus, auf der Senkrechten durch A die Strecke X J' — I)' ab und verbindet J' mit dem senkrecht unter B gelegenen Punkte B' durch eine Gerade, welche die Senkrechte durch F2 in L₂ schneidet, so ist die Gerade B'L₂ ein Theil der gesuchten

Einflusslinie; denn die unter der Last P gemessene Ordinate dieser Geraden ist = D' —

= rJ. .

Ganz ebenso findet man, dass der Einfluss einer zwischen A und F1 angreifenden Last P gleich der mit P multiplicirten Ordinate einer Geraden ALX ist, welche auf der rechten Auflagersenkrechten die Strecke B'J" = D" abschneidet. Dem Felde Fx F₂, entspricht dann (nach dem in No. 63 Seite 116 bewiesenen Satze) die Gerade Lx L₂, weshalb die in der Fig. 224 schraffirte Fläche die gesuchte Einflussfläche für die Spannkraft D ist. Im vorliegenden Falle ist D' positiv und D" negativ.

Fig. 225 stellt die Einflusslinie für die Spannkraft D im Stabe Fx C für den Fall vor, dass die Belastung an der oberen Gurtung angreift.

Man könnte auch die Einflusslinie A'LxL₂B' in der Weise finden, dass man die Gerade B'L₂J' wie vorhin mittels der Ordinate ÂJ' — D' festlegt, hierauf den Nullpunkt N in der auf Seite 237 angegebenen Weise bestimmt, durch N die Gerade L₂ Lx zieht und Lx mit A' verbindet.

D\

\d’

J’

li

Je

Vig. 225.

Man kann ferner den Einfluss des Stützenwiderstandes A auf die Spannkraft D mit Hilfe der Momentengleichung

Ur = Ax

bestimmen, wo r und x (Fig. 226) die Hebelarme von D und A in Bezug auf den Schnittpunkt F der Gurtstäbe 0 und U bedeuten, und findet dann für A — 1 den Werth

und ganz in derselben Weise für den Einfluss von B = 1

D" = — 1--

Hieraus folgt dann, dass sich die Linien Ä Lx und B' L₂ in einem Punkte C der durch F gezogenen Senkrechten schneiden müssen, und

¹

Vergl. den Anhang. .SÀeVi«/ ?    ^QO .

²

Es liege also das bewegliche Auflager bei A.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

³

Die drei Geraden ab, cd, ef dürfen also auch nicht parallel sein.

⁴

In der Folge bezeichnen wir, um kurz zu sein, die Stäbe und die in denselben wirksamen Spannkräfte mit denselben Buchstaben.

⁵

Es genügt, die Spannkräfte in den links vom belasteten Knoten k liegenden Stäben zu bestimmen. Die Grösse der in k anzunehmenden Last brauebt man also nicht zu kennen.

Zu einer anderen, sehr wichtigen Eigenschaft der Einflusslinie für D gelangt man durch folgende Betrachtung.

dass es also genügt, eine der beiden Strecken D oder D" aufzutragen. Bei weit abliegendem Punkte F ist dieses Verfahren allerdings unbequem.

Man nehme die über den Balken wandernde Last 1 im Punkte F2 angreifend an und untersuche den Gleichgewichtszustand der rechts vom Schnitte U angreifenden Kräfte in der Weise, dass man die von den beiden äusseren Kräften, nämlich dem Stützenwiderstande B und der Last 1 herrührenden Beiträge zur Spannkraft 1) getrennt ermittelt und dann zusammenzählt. B erzeugt für sich allein

D = B-D" = D" =

Q.

V''

•~u..

j"

<----oa----->.A.

*vV ;

___

\t

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VA

j*-----7j —

------>

\-r£'D"

•Z

»,

---s»

; ’f -D' ! /

nnnnnnn

■B*

J,

rts

/ JT,

------*br-

---->\

.Fig. 226.

und die Wirkung der in F₂ angreifenden Kraft 1 erhält man durch Zerlegung von 1 nach den Kichtungen von D und U, weil 0 = 0 ist, sobald B verschwindet. Die Seitenkraft parallel zu D sei v, dann entsteht infolge B und 1 zusammen:

D = v — 0.

Dieser Werth muss aber gleich rj₂ sein, und daraus folgt die wichtige Beziehung

ri2 ~hz = v>

mit deren Hilfe nach Auftragung der einen der beiden Geraden B J oder A' J" stets die andere schnell festgelegt werden kann.

Aus der Bedingung, dass sich die Geraden A'LX und B' L₂ in der Senkrechten durch den Schnittpunkt F der Gurtstäbe 0 und U treffen müssen, folgt noch: Bestimmt man in den Senkrechten durch Fx und F2 die Punkte Cx und C₂ der Geraden 0, ferner den Punkt Bx der Geraden CL₂ und den Punkt F₂ der Geraden CLX, so muss der Schnittpunkt G der Geraden Lx L₂ und Rx B₂ in der Senkrechten durch den Schnittpunkt M der Geraden C\ F₂ und C₂ Fx liegen. Bringt man weiter 0 mit der linken Auflagersenkrechten zum Schnitt, U mit der rechten, so trifft die Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte die Gerade Cx F2 in einem Punkte E, der senkrecht über dem Nullpunkte JV" (der in Figur 218 bereits auf andere Weise bestimmt worden ist) liegt. Es leuchtet ein, dass die Einflusslinie durch die Strecke v und einen der beiden Punkte G und N vollständig bestimmt ist. Greifen die Lasten in den Knotenpunkten der oberen Gurtung an, Fig. 225, so wird v durch Zerlegung der Last 1 nach den Richtungen 0 und D gewonnen.

Um die Einflusslinie für die Spannkraft in einem Gurtstabe zu finden, beachte man, dass diese Kraft im geraden Verhältnis steht zu dem Angriffsmoment für den dem fraglichen Stabe gegenüberliegenden Knotenpunkt. So ist z. B. die Spannkraft Om der oberen Gurtung

(Fig. 227): Om= —

Knotenpunkt m und rm = Abstand des Punktes m vom Stabe Om. Greift nun die Belastung an der unteren Gurtung an und zeichnet man ein Dreieck Â CB' dessen Spitze C senkrecht unter m liegt, und dessen Seite B'C auf der Senkrechten durch A die Strecke A'J' = xm abschneidet, so ist dieses Dreieck die Einflussfläche für Mm.

Macht man // = ——F, so ist Dreieck A'CB' die Einflussfläche für

^ m

Om. Will man den für den Belastungszustand: A = Eins gezeichneten

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

rm

, wo Mm — Angriffsmoment in Bezug auf

-7

Xin.

JF

'C

\()' t

uB'

Fig. 227.

16

Kräfteplan benutzen, was namentlich dann zu empfehlen ist, wenn die Einflusslinien für die Spannkräfte D auf die vorhin beschriebene Weise gezeichnet werden, so mache man A'j' = 0'.

Dass 0' —--— ist, erkennt man, indem man das Ritter sehe Ver-

rm

fahren auf den Belastungszustand A — 1 anwendet.

Für spätere Untersuchungen wird sich noch die Lösung der folgenden Aufgabe als nützlich erweisen. Gegeben sind die Einflusslinien für die Spannkräfte 0 und U in sämmtlichen Gurtstäben eines Dreiecknetzes (gleichgiltig ob einfacher Balken, oder Gerber'scher Balken oder irgend eine andere Trägerart); gesucht sind die Einflusslinien für die Spannkräfte D in den Füllungsstäben.

Zunächst werde vorausgesetzt, dass die über den Träger wandernde senkrechte Lasteinheit in den Knotenpunkten der oberen Gurtung angreift. Die an einem Knotenpunkte K der unteren Gurtung wirkenden Spannkräfte mögen mit Ulf U₂, Dlf D₂ bezeichnet werden, Fig. 228.

Die Ordinaten der Einflusslinien dieser Spannkräfte seien an ein und derselben (beliebigen) Stelle C beziehungsweise = 7] x, tj ₂, 7]', dieselben stellen diejenigen Spannkräfte Ux, U₂, Dx, D₂ vor, welche durch eine in C angreifende Last P — 1 hervorgerufen werden. Sind y]₁ und v]₂ bekannt, so findet man 7] und 7)", indem man das Kräftepolygon für den Knotenpunkt k zeichnet; man ist auf diese Art im Stande, aus den Einflusslinien

Jl!-

V,

! -A

A°.

ZT

h.

-JS'

jiuimniHIIIIHiniiiiininnjr/-

Fig. 228.

für Ux und U₂ die Einflusslinien für Dx und D₂ abzuleiten. In der Fig. 228 wurden 7^ und t\2 positiv angenommen; für v\ ergab

sich ein positiver, für tj" ein negativer Werth.

Auf die gleiche Weise lassen sich, wenn die Belastung unten angreift, die D-Linien aus den O-Linien ableiten; es werden dann Kräfte

polygone für die Knotenpunkte der oberen Gurtung gezeichnet.*)

*) Es ist in der Regel vortheilhaft, keineswegs aber Bedingung, die Kräftepolygone für die Knoten der unbelasteten Gurtung zu zeichnen. Man könnte z.B. auch D.2 in Fig. 228 mit Hilfe des Kräftepolygons für den oberen Knoten L bestimmen; muss man dann darauf achten, dass, falls Pbei £ liegt, diese Kraft in das fragliche Polygon einzureihen ist.

nur

Bei statisch bestimmten Träger ist in der Kegel die Einflusslinie

für irgend eine Stabkraft bereits durch eine geringe Anzahl von Ordi-naten gegeben. Beispielsweise lässt sich die Einflusslinie für die Spannkraft D im Stabe CF₂ des in der Fig. 224 dargestellten einfachen Balkens zeichnen, sobald zwei Ordinaten bekannt sind, nämlich irgend eine Ordinate der Geraden B'L₂ und irgend eine Oi'dinate der Geraden A'L

Ermittelt man den Nullpunkt N oder die Strecke v auf die früher beschriebene Weise, dann genügt es sogar, eine einzige Ordinate mit Hilfe eines Kräftepolygons zu bestimmen.

Hinsichtlich der Benutzung und Yerwerthung der Einflusslinien für den einfachen Balken, die uns vor allem einen guten Ueberbliek über die Wirkung der Lasten verschaffen, verweisen wir auf § 19, und

gehen nunmehr zur Darstellung derjenigen Verfahren über, welche uns am schnellsten die gesuchten Spannkräfte liefern.

§ 31.

Spannkräfte in den Grurtungen.

a. Gleichmässige Belastung.

144. Die grössten Spannkräfte in den Gurtungen entstehen bei voller Belastung des Trägers; sie lassen sich daher bei gleichförmiger Verkehrslast sehr schnell mit Hilfe des Cr emona? sehen Verfahrens be

stimmen. Es empfiehlt sich, zwei Kräftepläne zu zeichnen, einen für die ständige Belastung, einen zweiten für die Verkehrsbelastung.

Die ständige Belastung (y für die Längeneinheit) vertheilt sich auf die Knoten der unteren und oberen Gurtung; die oben angreifende Last sei = g„, die unten wirkende = gu für die Längeneinheit. Handelt es sich beispielsweise um einen Brückenträger mit obenliegender Fahrbahn, so ist

9» = gf + i9t + 9₂o und gu = \gt + gqu, wobei gf den auf den fraglichen Hauptträger entfallenden Theil des Gewichtes der Fahrbahn,

gq0 desgl. des Gewichtes der oberen Querversteifung,

ff¹ „

„ unteren ,,    ,

gt das Gewicht des Hauptträgers

bedeutet, alle Gewichte für die Längeneinheit der Stützweite l gerechnet. ¹)

16¹

In dem in der Fig. 229 dargestellten Falle kommt dann auf einen Knotenpunkt der oberen Gurtung die Last g₀\, auf einen Knotenpunkt der unteren Gurtung die Last gu\. Der für diesen Belastungsfall (nach den im § 27 entwickelten Regeln) gezeichnete Cremona’sehe Plan liefert die in den Gurtungen und den Wandgliedern durch die ständige Belastung hervorgerufenen Spannkräfte, Og, Ug, Dg, Vg; der Kräfteplan

pX pX pX pX pX

'Y

Fig. 230.

<-    ~ *■ — A - - 4—->j

flj- 9„x SLX AA 9oX

Y r r, Ja & &A &A dz ^

Fig. 229.

für den Belastungsfall in Fig. 230 liefert die grössten Werthe Op und Up, zu denen schliesslich die Og und Ug addirt werden.

qX qX qX qX qX

Fig. 231.

Meistens begeht man einen nur unwesentlichen Fehler, wenn man bei obenliegender Fahrbahn die gesammte Last g oben angreifend annimmt und bei unten liegender Fahrbahn nur die unteren Knoten mit g belastet. Es genügt dann im vorliegenden Falle, einen Kräfteplan für den in der Fig. 221 dargestellten Zustand gänzlicher Belastung zu zeichnen ; derselbe liefert neben den grössten Werthen 0 und U noch für die Wandglieder gewisse Spannkräfte Dq und Va, aus denen sich die Spannkräfte Dg und Vg mit Hilfe der Gleichungen

⁹ Dq und Vg = —V3 Q    2

— wird zweckmässig in der <L

ermitteln lassen. Die Multiplikation mit auf Seite 193 beschriebenen Art durch Zeichnung ausgeführt.

b. Die Verkehrslast besteht aus einem Zuge von Einzellasten.

145. Die Spannkraft 0 in einem Stabe BC (Fig. 232), welchem

M

der Knotenpunkt A gegenüberliegt, ist nach Seite 212: 0 =--,

r

wobei M das Angriffsmoment für den Knoten A und r = AE die Länge

des von A auf BC gefällten Lothes bedeutet. Hat man M mit Hilfe des in No. 82 beschriebenen Verfahrens in der Form Hy dargestellt (H — Polweite des benutzten Seilpolygons), so ergiebt sich (ohne Vor-V

Zeichen) O = H--Trägt man also

4-f—£

zr j

r

11?'<

Fig. 232.

auf AE die Strecke AE' = y auf, macht BD = H und zieht durch E' zu BC eine Parallele, welche AB in B und AD in D' schneidet, so ist B'D' — 0. Ist die in Fig. 288 mit a bezeichnete wagerechte Projektion der Gurtstäbe konstant, so empfiehlt es sich, für H ein Vielfaches von a zu wählen, also H= za zu setzen, wobei s eine beliebige ganze Zahl bedeutet. Bezeichnet man dann die senkrechte Höhe des Trägers im Punkte A mit h und den Neigungswinkel des Gurtstabes gegen die Wagerechte mit ß, so erhält man (wegen r — h cos ß) die Gleichung

— sec ß h

y - y

und (wegen M—eay) ohne Vorzeichen: —0 — a sec ß — = BC-~L;

£    Il    h

denn es ist BC — a sec ß.

Trägt man nun auf der Senkrechten AR die Strecke AR' — y auf und zieht durch R' zu B C eine Parallele, welche AB in B' und AC in C' schneidet, so erhält man

B'C' = — 0 also

-Cts

\c

AL

Al

K-

V'

Bi

\W

\C

cc

0 = 6- B'C'.

Fig. 233.

Auf dieselbe Weise werden die Kräfte U bestimmt.

Es empfiehlt sich, zur Ermittlung der 0 und U ein in möglichst grossem Maassstabe gezeichnetes Trägernetz zu benutzen, damit thun-lichst alle Linien B'C' innerhalb des Netzes liegen. Der Kräfteplan zeichnet sich dann durch grosse Uebersiehtlichkeit aus. Die Multiplikation mit £ führt man am besten aus, indem man den Kräftemaassstab ändert. Hat man beispielsweise H = za = 2a gewählt und bei

der Ermittlung der Momente den Kräftemaassstab 1 wendet, so geben die Strecken B'C', im Maassstabe 1 gemessen, die Kräfte 0 und U an.

= 20* ange-= s • 20 = 40*

cm

cm

146. Aufgabe. Pauli’scher Bogensehnenträger. Es ist die

Form eines Facbwerkbalkens zu bestimmen, dessen Obergurtstäbe durch gleich grosse Spannkräfte 0 beansprucht werden. Die untere Gurtung sei wagerecht; die Wandglieder seien abwechselnd senkrecht und geneigt. Der Träger sei symmetrisch in Bezug auf die Senkrechte durch seine Mitte; das Loth vom mittelsten Knotenpunkte der unteren Gurtung auf den gegenüberliegenden Obergurtstab soll die vorgeschriebene Länge r₄ erhalten. Vergl. Fig. 234, in welcher die Felderzahl = 8 ist. Die Feldweite sei X.

Man ermittelt zunächst nach No. 8 2 (vergl. Fig. 12 8 u. 130 auf Tafel 1) die den Knotenpunkten 1, 2, 3, 4 entsprechenden Ordinaten ylt y₂, y₃, y4 und zwar mit Hilfe einer Polweite H— sX*). Hierauf findet man für

Hy± _c y & X

den Gurtstab ed die Spannkraft 0

r₄

, wofür nach einer

entsprechenden Aenderung des Kräftemaassstabes gesetzt werden darf;

r4

• Dieser Werth wird zweckmässig durch Zeichnung bestimmt,

Fig. 234 b. Gesetzt nun, es sei die Lage des Gurtstabes ab bekannt. Macht man dann lb' = y₁ und zieht b'a' || ba, so stellt die Strecke b'a' die Spannkraft im Stabe ba vor. Diese Spannkraft soll aber gleich dem vorhin gefundenen Werthe 0 sein; man hat also, um die unbekannte Lage von ab zu bestimmen, nur nöthig, um den Punkt b' mit dem Halbmesser b'a' = 0 einen Kreisbogen zu schlagen, welcher al in a schneidet und hierauf ab jj ab' zu ziehen. Jetzt verbindet man b mit 2 durch eine Gerade, macht 2c = y₂, trägt die Strecke c b" — 0 ein und zieht bc || b"c. So fortfahrend kann man auch die Lagen der Stäbe cd und de finden.

Zieht man durch den Punkt b' zur unteren Gurtung eine Parallele, •welche die Füllungsstäbe b 2 und c 2 beziehungsweise in bx und cx schneidet, so stellt die Strecke b₁c₁ die Spannkraft U₂ im Untergurtstabe 12

M, Hy₁ _\y₁

vor; denn es ist (mit lb = h₁): U₂ =

, und für

*yi

die Strecke bt cx findet man leicht den Werth bx cx = eher Weise werden die Spannkräfte U₃ und U₄ der Stäbe 23 und 34

ch

In glei

*) Es wird daran erinnert, dass es sich um die durch Verkehrslast und ständige Belastung hervorgebrachten Momente Hy handelt.

gefunden. Ux ist gleich der wagerechten Seitenkraft der Spannkraft 0 im Stahe ab.

In der Fig. 234 c ist noch der häufig vorkommende Fall dargestellt worden, in welchem der Träger an dem einen oder an beiden Enden ein Feld von der Länge X₄ besitzt, während alle übrigen Feldweiten = X sind. Es muss dann aufgetragen werden : 1 b' = yx im übrigen aber ist genau wie vorhin zu verfahren.

Up)

er

d’

er

Irl

m,

K-----Jt------^----<A----------tA-----------ds----->1

■' (Ci

(T>)

h’

r<----..b-----

r------~~

■>i

~>U

t cd    ,    i

---Xf-----¥fr-----«A------>j

Fig. 234 a, b u. c.

Hervorzuheben ist allerdings, dass bei Eisenbahnbrücken die Linie der grössten Momente Hy in Folge der ungleichen Radstände und Achslasten, recht unregelmässig verläuft, und dass die strenge Erfüllung der Bedingung einer gleich grossen Obergurt - Spannkraft zu einer ästethisch nicht befriedigenden Gurtform führt. Man wird also gut thun, die «/-Linie vorher etwas abzurunden.

Bei gleichförmiger Verkehrslast ist die Linie der grössten Momente eine Parabel (Fig. 124 Seite 135); es müssen sich also auch die Längen r₁, r₂, r₃, rA der von den Knotenpunkten 1, 2, 3, 4 auf die gegenüberliegenden Obergurtstäbe gefällten Lothe zu einander verhalten, wie die Ordinaten einer über der Spannweite l errichteten Parabel, deren Pfeilhöhe zweckmässig gleich r₄ gemacht wird. Die Gurtstücke ab, bc, cd, ... . sind bestimmt als Tangenten der um die Punkte 1, 2, 3, . . . mit den Halbmessern rx, r₂, r₃, . . . beschriebenen Kreisbögen.

§ 32.

Spannkräfte in den Füllungsstäben.

a. Gleichmässige Belastung.

147. Aus den in No. 142 durchgeführten Untersuchungen geht

Dp erzeugen, sich

hervor, dass die Laststellungen, welche zur vollen Belastung ergänzen. Bezeichnet man also die bei voller Belastung des Balkens mit p f. d. Längeneinheit in der Diagonale entstehende Spannkraft mit I)p so muss sein

max

ZL und

min

Dp -f- min Dp - Dp - — Dg

9

wo Dg die Spannkraft in Folge der gleichförmigen ständigen Belastung g bedeutet. Hat man also

max

D„ in der Form

Dp — Cp

erhalten, worin C einen von p unabhängigen Werth vorstellt, so findet man

DP =

-Cp+j-Dp

und, nach Hinzurechnung des Einflusses der ständigen Belastung

neue

Cp+§D,

— Dp + ~ Dp. q—g -j- P-

Nun ist aber der Inhalt des positiven Theiles der Einflussfläche (Fig. 226 Seite 240) gleich ^ £ï)₂ und man erhält deshalb

Dp =

Hiernach ist maxDp gleich der Spannkraft, die in der Diagonale CF2 durch eine in Fs angreifende Einzellast von der Grösse \p^ hervorgerufen wird, und es wird daher der oben mit C bezeichnet^ Werth:

D = ^ ^ • D .

Der Nullpunkt N wird nach dem auf Seite 236 beschriebenen Verfahren ermittelt.

148. Naherungsregel. Die Ermittlung der Grenzwerthe der Spannkräfte D wird etwas vereinfacht, wenn die bewegliche Last nur in den Knotenpunkten auf der einen Seite des Schnittes tt angreift. Handelt es sich z. B. um die Spannkraft maxDv in der linkssteigenden

min

max

Diagonale CF₂ (Fig. 235), so nehme man an, dass der Träger zwischen

V X

F₂ und B gleichförmig belastet ist und in F₂ noch die Einzellast —

2

trägt, wobei X die wagerecht gemessene Stützweite des Feldes FXF2 bedeutet. Man rechnet dann etwas zu ungünstig, weil man ge-wissermaassen das Feld F₁F₂ mit pl belastet AJ denkt und den negativen Einfluss der in Fx angreifenden Knotenlast

—- vernachlässigt. Links

² . R vom Schnitte tt greift

jetzt nur A an, und zwar ergiebt sich mit j den aus der Figur ersichtlichen Bezeichnungen aus der auf B bezogenen Momentengleichung :

pi

Al —

'<•----a,------X —

pi

A<

-PE-

<■

Fig. 235.

->

B'

2)h*T

p\

für A der Werth

P (b₂ ~h V

21

21

Um A durch Zeichnung zu bestimmen, trage man von einer Wagerechten A' B' aus auf der linken Auflagersenkrechten die Strecke

A'J =

pl

-g- auf und bringe die Gerade B' J mit der Senkrechten durch

Fx in L zum Schnitt. Nun ziehe man LE || B'A' und verbinde B mit B" durch eine Gerade; letztere schneidet auf der Senkrechten durch F₂ den gesuchten Werth ED = A ab. Denn es ist

-b₉ -bq

A B-4- — FL -ß-

ED —

— ÄJ

&i b₂ _

pj bi b2 2 l l

Pbyb

21

Nach Ermittlung von A findet man

Dp = A ■ D'.

*) Bei gleich grossen Feldweiten findet man auch A sehr übersichtlich mittels eines die Knotenlasten verbindenden ^.-Polygons.

Gleichzeitig mit der Spannkraft maxDp der Diagonale CF₂ entsteht Dp in der Diagonale CFX, es kann also jeder Werth A zur Berechnung zweier Diagonalen verwerthet werden.

min

Nach Ermittlung von A kann man die Spannkraft maxDp sehr schnell mit Hilfe des Culmann’schen Verfahrens bestimmen. Vergl. Fig. 216.

Ganz ebenso wird bei Bestimmung von minDp verfahren. Es wird der Träger zwischen Fx und A mit pax belastet, ausserdem in Fx

ermittelt und das Culmann’sche Verfahren angewendet.

mit ’ sodann wird der am rechten Auflager angreifende Widerstand Ia\ a2

21

Vergl. Fig. 217.

Z>„ stets

Dp und

min

nx'.r

Es ist sehr zu empfehlen, die Grenzwerthe in dieser einfachen Weise zu ermitteln. Man erhält für die Diagonalen grössere Beanspruchungen, als wenn die in den Figuren 218 bis 221 dargestellten Belastungsfälle vorausgesetzt werden und trägt gewisser-maassen verschiedenen ungünstigen Einflüssen Rechnung, deren Feststellung zum Theil sehr schwierig, zum Theil noch gar nicht geglückt ist. Wir erinnern an dieser Stelle nur daran, dass alle bisherigen Entwickelungen an die Voraussetzung gelenkartiger Knotenpunkte gebunden sind, also an eine Annahme, welche bei Anwendung von Nietverbindungen gar nicht und selbst bei Anordnung von zweckmässig ausgebildeten Gelenkbolzen wegen der an diesen auftretenden Reibungswiderstände nur annähernd erfüllt ist. Wir werden uns mit den Spannungen, welche durch starre Knotenverbindungen hervorgerufen werden (und welche man als Nebenspannungen zu bezeichnen pflegt), später noch zu beschäftigen haben. Die betreffenden Untersuchungen führen meistens zu recht langwierigen Zahlenrechnungen und werden deshalb zur Zeit nur selten durchgeführt.

b. Beanspruchung durch einen Zug von Einzellasten.

149. Die ungünstigste Zugstellung. Wir betrachten eine linkssteigende Diagonale CF₂, Fig. 236. Die Lasten mögen an den Knoten der unteren Gurtung angreifen. Es soll diejenige Stellung der Verkehrslast gefunden werden, welche maxDp hervorruft. Wir ermitteln auf die vorhin beschriebene Weise die Belastungsscheide E und nehmen an, es sei die Einflusslinie für D gegeben; dieselbe besteht nach der in No. 143 durchgeführten Untersuchung aus drei Geraden 7, II, III, welche den Trägertheilen AFX, FXF₂, F₂B entsprechen; der Nullpunkt N liegt auf der Senkrechten durch E. Der Lastenzug sei von B aus bis in

das Feld Fx F₂ vorgeschoben. Eine Last P rechts von I₂ erzeugt, wenn die Einflusslinie für die Last „Eins“ gezeichnet worden ist: D — Pt] und eine Last P zwischen Fx und F₂ ruft D — P (vj — v{) hervor. Bezüglich der Bezeichnungen sei auf die Figur verwiesen. In Folge sämmtlicher Lasten entsteht

D == 2Py] — 2'Pï]',

12

——y»

IO

\/

Pf kl'''

â‘

--

77

■f

K-

Kg. 236.

wobei sich das Zeichen 2 über alle Lasten erstreckt, das Zeichen 2 hingegen nur über die Lasten zwischen F₁ und F₂. Nach Einführung

und r[ — c ergiebt sich

von ï) = c

tnrv ^

2PZ> —

yS'Pf,'}-

Hierbei bedeutet b den Abstand einer Last vom rechten Auflager und b' den Abstand einer im Felde FXF₂ liegenden Last vom Querträger F₂. Die übrigen Bezeichnungen sind der Figur zu entnehmen. Wird der Lastenzug um die Strecke Àb nach links verschoben, so geht b über in b -j- A 6 und b' in b' -f- A&, und es ändert sich D um

AD = cA&

/ 2P 2'P

Vorausgesetzt ist hierbei, dass keine neue Last auf den Träger gekommen ist und dass eine Last, welche vor der Verschiebung ausserhalb des Feldes F₁F₂ lag, sich auch nach der Verschiebung noch rechts von F₂ befindet. Eine etwa in F₂ angreifende Last gehört nach der Verschiebung zu 2'P; vor der Verschiebung ist sie ohne Einfluss auf die Summe 2'Pb

Ist nun AD 0, d. h. ist

2P>4

2P'

so wird in Folge der vorgenommenen Zugverschiebung die Spannkraft D vergrössert, und es ergiebt sich daher zur Bestimmung der ungünstigsten Stellung der Verkehrslast die folgende einfache Regel.

Man nehme zuerst die Grundstellung an, setze also voraus, dass die erste Last des von B aus vorrückenden Belastungszuges bei F₂ liegt. Diese Stellung erzeugt in den meisten Fällen die Spannkraft Nun denke man den Zug nach links verschoben, so dass Pt in das

2P £

-fr ist. Ist dies nicht der

max

Dv.

Feld Fx F₂ tritt, und sehe nach, ob

Fall, so ist die Grundstellung die gefährlichste; ist hingegen so muss der Lastenzug nach links verschoben werden; es wird dann die Last P₂ über F₂ gestellt und die Ungleichung

untersucht; wird dieselbe erfüllt, so mussP₃ über F₂ gestellt werden u.s.w.

Soll die ungünstigste Stellung des Lastenzuges durch Zeichnung bestimmt werden, so reihe man die Lasten Px, P₂, P₃ .... von B' aus auf einer Senkrechten aneinander;*) den Belastungszug selbst zeichne man auf einen Papierstreifen, um ihn bequem gegen den Träger verschieben zu können. Nachdem festgestellt worden ist, wie viel Lasten sich in der Grundstellung auf dem Träger befinden (wobei eine etwra bei B liegende Last mitgezählt wird), bestimme man auf der Senkrechten durch B' die Strecke P,«/=2P (also in Fig. 236: B J=P1 ~\~P2 +

eine Gerade, welche die Senkrechte durch P₂ in R schneiden möge. Trifft nun eine durch R gelegte Wagerechte die auf der Senkrechten B J aufgetragene Last Plt so ist die Grundstellung die gefährlichste, trifft sie eine andere Last Pm, so muss der Zug so weit nach links verschoben werden, dass Pm beim Knoten P₂ liegt. In dem in der Fig. 236 dargestellten Falle muss also P₂ in F₂ angreifen, damit

2P

Pi + Pt> r

-f-P₇), und verbinde J mit dem Nullpunkte N durch

max

Dp

*) In der Fig. 236 wurden die Lasten mit den Ziffern 1, 2, 3, ... . bezeichnet.

entsteht. In Folge der Verschiebung des Zuges ändert sich natürlich im Allgemeinen die Summe 2P der auf dem Träger befindlichen Lasten. Rückt man z. B. den Zug in Fig. 236 so weit vor, dass P₂ bei P₂ liegt, so wächst 2P um P₈. Punkt J ist zu ersetzen durch j', ferner R durch R'. Die Wagerechte durch R' trifft wieder die Last P₂, und hieraus folgt dann, dass eine weitere Verschiebung des Zuges unterbleiben muss.

min

In gleicher Weise lässt sich die Frage entscheiden, die wievielte Last eines von A aus vorrückenden Zuges bei P₄ liegen muss, damit Dp entsteht.

Bei den üblichen Feldweiten der Eisenbahnbrücken kommen nur zwei Belastungsfälle in Betracht; entweder muss P₁ oder P₂ über dem Querträger liegen.

150. Ermittlung der Spannkräfte D für Grundstellungen. Erstes Verfahren. In den folgenden Untersuchungen soll es sich nur um den Einfluss der Verkehrslast handeln. Indem wir dies ausdrücklich hervorheben, unterlassen wir es, die Spannkräfte durch den Zeiger p zu kennzeichnen.

si

'A

\u

l?

fr

fr

Ja

’T

cv

y'

’Ofi.

Fig. 237.

Um die Spannkraft ,naxD₄ in der Diagonale 34 des in Figur 237 dargestellten Balkens zu finden, belaste man den Balken rechts vom Schnitte tt. Wirkt die Last am Untergurte, so muss die Verkehrslast vom rechten Auflager aus bis Knoten 4 vorrücken. Links von tt greift nur der Stützenwiderstand A₄ an. Besteht die Verkehrslast aus einem beweglichen Lastenzuge, so wird A mit Hilfe des in ISTo. 81 eingefühi'ten H-Polygons bestimmt.

Bringt man nun U₃ mit H₄ in C zum Schnitt, verbindet C mit 3 durch die Gerade L, zerlegt A₄ nach den Richtungen von U₃ und L, hierauf Hilfskraft L nach den Richtungen von 0₄ und P₄, so erhält man

die Grösse von maxD±. Die den Sinn der Kräfte angebenden Pfeile können fortbleiben; es ist ja bekannt, dass Z>₄ gezogen wird.

Die Spannkraft minD₃ entsteht, wenn der Balken rechts vom Schnitte t't' belastet wird, also gleichzeitig mit maxD₄.    Man erhält

min

Z>₃ am schnellsten, indem man das Kräftepolygon für den Knotenpunkt 3 zeichnet; denn von den vier an diesem Punkte angreifenden Kräften 0₄, D₄, D₃, 0₂ sind die beiden ersten bekannt. In der Fig. 237 wurde dieses Kräftepolygon durch Schraffirung hervorgehoben, desgleichen das Dreieck, dessen zwei Seiten von den Diagonalen begrenzt werden, deren Spannkräfte gleichzeitig Grenzwerthe annehmen; die dritte Seite dieses Dreiecks ist ein Stab derjenigen Gurtung, an welcher die Belastung angreift.

Auf die beschriebene Weise kann man die Spannkräfte maxD in allen links steigenden und die minD in allen rechts steigenden Diagonalen bestimmen, indem man die Verkehrslast vom rechten Auflager aus der Keihe nach bis zu den Knotenpunkten 10, 8, 6, 4 vorschiebt. Ist der Träger symmetrisch in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte, so ist natürlich:

min

D₄ -

De, und

max

max

J>io.

o.

'-V,

2"

0,

jL

Fig. 238.

Bei unsymmetrischem Träger muss man, um

. . zu erhalten, noch den Einfluss einer von A nach rechts vorrückenden Verkehrslast untersuchen. Man hat dann nur nöthig, das beschriebene Verfahren auf das Spiegelbild des Trägers anzuwenden.

In der Figur 238 ist angenommen worden, dass die Belastung an der oberen Gurtung angreift. Es wurde gleichförmige Belastung vorausgesetzt; dieselbe reicht von B bis 4, während in 4 noch die Einzellast

max

Dg, maxD₅ . .

min

— hinzugefügt wurde. Am linken Auflager greift A₄ an. In Folge

u

dieser Belastung entstehen gleichzeitig :

Wendung des Culmann’schen Verfahrens wurde 0₃ mit A₄ in C zum Schnitte gebracht. Die Gerade L verbindet dann den Punkt C mit dem

max

D₃ und

min

D₄. Bei der An-

Knoten 3. Nach Ermittlung von D₄ ergab sich D₃ aus dem Kräftepolygone für den unteren Knoten 3²).

~c

(Os)

''Oj

(fi

's

fi

A=l

‘z

Vr

c-

¹

Bei unten liegender Fahrbahn wäre: g₀ = \gt + und gu = gf •j- d“ ffi“-

²

Man könnte auch U₂ oder U₄ mit A zum Schnitt bringen. Im ersten Falle verbindet L den Punkt A₄ U₂ mit 2, im zweiten Falle den Punkt rf₄U4 mit 4. Wir empfehlen dem Leser, stets mehrere Verfahren anzuwenden, um durch Vergleichung der Ergebnisse die Zuverlässigkeit der Zeichnung zu prüfen.

A.

J_

/j

R'

>.4=/

Fig. 239 a u. b.

151. Zweites Verfahren. Man denke den letzten Knotenpunkt vor dem Auflager B so belastet, dass am linken Auflager der Widerstand A = Eins hervorgerufen wird und zeichne einen Cremona’schen Kräfteplan, welcher nur die Spannkräfte in den links von jenem belasteten Knoten befindlichen Stäben zu enthalten braucht¹), Fig. 239. Dieser Plan möge

Wirkt die Verkehrslast auf die Knotenpunkte der unteren Gurtung und rückt sie von B bis 5 vor, so ruft sie den Widerstand A₅ und die Spannkräfte

min

P₄ — A - D\ (Druck)

) (ta

für die Diagonalen die Spannkräfte D' liefern. Greift nun die Verkehrsbelastung in den Knotenpunkten der oberen Gurtung an, und ist dieselbe beispielsweise von B aus bis zum Knoten 4 vorgerückt, so entsteht gleichzeitig maxD₃ und minD₄. Bei dieser Laststellung wirkt am linken Auflager der Widerstand A₄ ; er ruft die Spannkräfte hervor

D₃ = J₄ D'₃ (Zug)

P₄ = A₄ D'₄ (Druck)

(1)

max

min

Ds — A D's (Zug) hervor. Nach Aufzeichnung des Kräfteplanes in Big. 239b kann man also sämmtliche Grenzwerthe D sehr schnell ermitteln. Das ganze Verfahren zeichnet sich durch grosse Uebersichtlichkeit und durch Einfachheit in der Begründung aus.

Die Zuverlässigkeit des für A = 1 gezeichneten Kräfteplanes lässt sich sehr leicht mit Hilfe des Culmann’schen Verfahrens prüfen. Bringt man beispielsweise 0₇ mit A in C zum Schnitt, verbindet den Punkt C mit 7 durch eine Gerade L und zieht im Kräfteplane durch den Anfangspunkt ax von A eine Parallele zu I, so muss diese durch den Schnittpunkt c der Spannkräfte 0₇ und D'₇ gehen. ²) Um dies einzusehen, denke man durch die Stäbe 0₇, D₇ und U₆ einen Schnitt gelegt und löse (nach Culmann) die Aufgabe: drei Kräfte 0₇, D₇, U₆ zu bestimmen, welche dem Widerstande A = 1 das Gleichgewicht halten.

Eine andere beachtenswerthe Eigenschaft des Kräfteplanes in Fig. 239 b ergiebt sich aus der folgenden von Mohr herrührenden Untersuchung. Es sei durch das Fachwerk ein Schnitt geführt, welcher 0₃, D₃ und U₂ trifft, Fig. 240. Die am linken Trägertheile angreifende Kraft A sei ersetzt durch zwei in 2 und 3 wirksame Kräfte P₄ und P₂. Dieselben sind durch die Gleichungen gegeben

Pi    P2 = A ; Px X ₃ = A x₃.

Mit Hilfe der zweiten Bedingung lässt sich Px auf die in der Fig. 240b angegebene Weise durch Zeichnung finden. Wird nun P4 nach den Richtungen von 0₃ und D₃ zerlegt, P₂ nach den Richtungen von U₂ und P₃, so ergiebt sich das in der Fig. 240c dargestellte, aus A, 0₃, D₃, U₂ bestehende Kräftepolygon, und hieraus folgt, dass in Fig. 239b die Verlängerung von D'₃ auf der Eiclitungslinie von A die Strecke aa₃ = Px abschneiden muss.

Sind die wagereehten Projektionen der Diagonalen gleich gross = a, so ist x₃ = 3X und Px =3A. Dieser Fall ist in der Fig. 239 vorausgesetzt worden; es ergiebt sich dann aa₃ — 3aax und ebenso findet man a₁a₄ = 4a₁a, wobei a₄ den Schnittpunkt von D\ und A bezeichnet. Auf diese Weise ist man im Stande, von vornherein auf der Verlängerung von A diejenigen Punkte anzugeben, durch welche im Kräfteplane die Verlängerungen der Spannkräfte D gehen müssen.

(&J

2_&_

a'~

(c)

J3

Pf

Fig. 240 a, b u. c.

Es kann Vorkommen, dass sich für die Spannkräfte der Stäbe in der Nähe von B sehr lange Linien ergeben. Man wähle dann für diese Kräfte einen kleineren Maassstab wie für die Spannkräfte in der Nähe von A. Will man z. B. Z>'₈, D'₃ und D₇ in kleinerem Maassstabe haben, so verkleinere man das Kräftepolygon A 0₃ T)\ I7₄ und schliesse an dieses verkleinerte Polygon (am besten in einer neuen Figur) die folgenden Kräftepolygone an. Noch zweckmässiger ist es, das verkleinerte Polygon A0₃D\Ua mit Hilfe des Culmann’schen Verfahrens zu ermitteln.

152. Drittes Verfahren. In der Figur 241 wurde die Spann-D₄ für den Fall einer an der unteren Gurtung angreifenden

kraft

Verkehrslast mittels des Culmann’schen Verfahrens bestimmt und hierauf behufs Ermittlung von J)₃ das Kräftepolygon für den Knotenpunkt 3 gezeichnet. Es wurde jedoch die Reihenfolge der Kräfte in den einzelnen Polygonen anders gewählt wie früher. Die Last reicht von B bis 4,

17

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

so dass am linken Auflager der Widerstand A₄ angreift. Legt man durch den Schnittpunkt C von U₃ und A₄ Parallelen zu 0₄ und 0₂, deren erste den Stab 34 in 4' und deren zweite den Stab 32 in 3'

'a

Z'' J>]

Fig. 241.

schneidet, zieht man ferner durch 3 eine Senkrechte, w'elche U3 \ in 3'' trifft, so ist das \ Dreieck C33''C ähn-\ lieh dem Kräftedreieck * LA₄U₃ und das Viereck C3'34'C ähnlich dem Kräfteviereck 02 D₃I)₄ 0₄, und hieraus folgt, wenn die bei 3 gemessene senkrechte Trägerhöhe mit h₃ bezeichnet wird, und die Längen der Strecken 34' und 33' beziehungsweise = «₄ und = a₃ sind

(2)

max

I>4

«4

— 4 — ~    ⁴ h

n3

min

^3=-

a₃

A*f

Oj

Das vorstehende Verfahren empfiehlt sich, ,t sobald die Widerstände A mit Hilfe von \ Tabellen berechnet werden. Die Strecken \    a₄, aa, h₃ entnehme man einer guten Zeich-

\ nung.

Y,

Fig. 242 stellt den Fall dar, in welchem die Verkehrslast in den Knoten

3}

der oberen Gurtung angreift. Um und

ma i

d₃

\T

Fig. 242.

D₄ zu ermitteln, wird 0₃ mit Aa in C zum Schnitt gebracht. Durch C werden zu U₂ und U₃ Parallelen ge-

min

zogen, welche beziehungsweise den Stab 32 in 3' und den Stab 34 in 4' treffen. Nach Messung von 33' = a3 und 34 == a₄ ergiebt sich

max

min

h₃

153. Der Lastenzug überschreitet die Grundstellung. Zunächst seien die Spannkräfte    und minD eines Balkens mit oben

angreifender Verkehrslast gesucht, beispielsweise maxD₅ und minD₆ für den Träger in Fig. 243. Der von B aus vorrückende Lastenzug habe die Grundstellung überschritten. Es greift dann links von dem durch 0₅, Z)₆, U₆ geführten Schnitte ausser dem Stützen widerstände A noch der Druck P' an, welchen die zwischen den Knoten 4 und 6 wirkenden

Lasten auf den Knoten 4 ausüben. Der Widerstand A wird stets durch die unter der ersten Last gelegene Ordinate des M-Polygons dargestellt, und P' kann nach dem auf Seite 139 angegebenen Verfahren bestimmt werden. In der Fig. 243 ist angenommen worden, dass die 2te Last beim Knoten 6 liegt. Es wird dann auf der Senkrechten durch 4, von der Wagerechten A'B' aus die Strecke ab — P, aufgetragen und die Gerade cb

^—x—-Fd

!,ft

K—

->

«f®

V-

TÖ3

-f-

ft

Fig. 243.

Last bei 6, so muss

gezogen, wobei c den senkrecht unter 6 gelegenen Punkt der Geraden AB' bezeichnet. Die Gerade cb schneidet auf der Richtungslinie der Last Px die Knotenlast P' ab. Steht die zweite

ai = p' + p'T+ï

gemacht werden (Seite 139).

Die durch den Stützendruck A in den Diagonalen hervorgerufenen Spannkräfte bestimme man auf die vorhin beschriebene Weise. Die von P' erzeugten Spannkräfte sollen mit D" bezeichnet werden; um dieselben zu finden, löse man die Aufgabe: „drei Kräfte 0₅, D'"₆ und U₆ zu bestimmen, welche mit P' im Gleichgewichte sind. “ Da nun die (früher stets mit L bezeichnete) Linie, welche den Schnittpunkt von P' und 05 mit dem Schnittpunkte von Ue und P₆ verbindet, mit D₅ zusammenfällt, so hat man P' nach den Richtungen von 0₅ und T)b zu zerlegen, und Z>₅ nach den Richtungen von D₆ und U₆. Hierauf sind die Kräftepolygone so mit Pfeilen zu versehen, dass ihr Umfahrungssinn ein stetiger ist. Man findet, dass P' in P>₆ einen Druck und in Z>₆ einen Zug erzeugt. ³) Schliesslich werden die durch A und P' hervorgerufenen

17³

Spannkräfte addirt. Ist beispielsweise der Einfluss von A mit Hilfe des zweiten Verfahrens (No. 151) ermittelt worden, so findet man

D₅ — AD'₆ -j- D"'₅ ;

Es ist auf die Vorzeichen der Spannkräfte zu achten. D'₅ und D " sind positiv, D'"₅ und D'₆ sind negativ.

max

min

D₆ =ad'₆ + D’"

6*

i*»

'Vi

Os

<7^

*«/

HK

ft,-*

Kg. 244.

In Fig. 244 ist der Fall einer an der unteren Gurtung angreifen-den Verkehrslast dargestellt worden. Gesucht sind minD₅ und maa?.D₆. Hat man den Einfluss von A wieder nach dem zweiten Verfahren he’-stimmt, so findet man

min

D5 —    + d'"ö ;

max

D₆ = Ä₆ D' + D'"

G*

ir

O’

K'

-Û-

.t_.

p-eî'

Kg. 245.

Die Spannkräfte D\ und D"₅ sind positiv; D'₅ und D"₆ sind

negativ.

vor,

Für den am häufigsten vorkommenden Fall eines Fachwerks mit Vertikalen und einer geraden Gurtung vereinfacht sich die vorstehende Untersuchung ganz erheblich. Liegt z. B. die Trägeranordnung in Fig. 245 so findet man links von der Mitte V'" — -(- P', während D "

mittels einer Parallelen zu dem mit 0 bezeickneten Gurtstabe gewonnen wird. Rechts von der Mitte ist die senkrechte Projektion von P>" gleich P'-, V"' wird mittels einer Parallelen zum Gurtstabe 0' bestimmt.

§ 33.

Das Zimmermaim’sclie Verfahren.

a. Das Netzwerk.

154. Allgemeines. Durch ein irgendwie belastetes Netzwerk werde ein Schnitt tt geführt, welcher die Stäbe 0₅, P>₅, TJ₄ trifft, Fig. 246. Die Mittelkraft aus den am linken Trägertbeile angreifenden äusseren Kräften (welche sämmtlich senkrecht sein mögen) sei Q; sie habe von den Knoten 4 und 5 die Abstände c₄ und c₅ und werde in zwei senkrechte Seitenkräfte P₁ und P₂ zerlegt, von denen die erste durch den Knoten 4, die zweite durch den Knoten 5 geht. In der Fig. 246

0.

k- - -

K-

(Ch

-- cf--

P,

Os

ko

l/î ( '•J

cs"

Ci»

>Â

Fig. 246.

wurde die Querkraft Q positiv angenommen; sie ist dann nach oben gerichtet und liegt links vom Schnitte tt. Px wirkt aufwärts, P₂ abwärts; beide Kräfte sind, wenn die Horizontalprojektion der Länge des Stabes D5 mit X₅ bezeichnet wird, durch die Gleichungen gegeben P\ ^5 ~ QC5 5    ^2 ^5 ⁼ Qci'

Ausserdem ist

P₁—Pa = Q.

Beachtet man, dass Qc₅ = M₅ das Angriffsmoment für den Knoten 5 ist und Qc, = M, das Angriffsmoment für den Knoten 4, so erhält man

P\

und P₂ =

'4

Kennt man P₁ und P₂, so kann man auf die bereits auf Seite 257 beschriebene Weise die Spannkräfte 0₅, D₅, U₄ finden, indem man das Kräftepolygon in Fig. 246 b oder 246 c zeichnet. Dabei empfiehlt es sich, nach Zimmer mann, das Kräftepolygon in das in entsprechend grossem Maassstabe gezeichnete Trägernetz einzutragen, so zwar, dass die Spannkraft D₅ mit dem Stabe D₅ zusammenfällt. Man erhält dann die sehr übersichtlichen Anordnungen in Fig. 247 oder Fig. 248, welche den Figuren 246 b und 246 c entsprechen. Der Umfahrungssinn des geschlossenen Kräftepolygons ist durch den Sinn der Querkraft

M₅ m₄

----— gegeben.

!l

Os

JL

Os

il»

(k

\Ms

Mt r

------

Ms.

Ms

Os

Lis

³ ir*

?—Jlj---8

Fig. 248.

Fig. 247.

Das Zimmermann'sehe Verfahren ist besonders bei konstantem X zu empfehlen. Bestimmt man die Momente mit Hilfe eines Seilpolygons, dessen Pol weite = eX ist, wo s eine beliebige Zahl bedeutet, und bezeichnet man die bei den Knoten 4 und 5 gemessenen Ordinaten des Seilpolygons mit y₄, y-₀, so erhält man (wegen Mm = Hym = s\ym) sehr einfach:

M₅

£2/4-

x

Besitzen zwar nicht alle Diagonalen, jedoch die Mehrzahl derselben die gleiche Horizontalprojektion X, so bleibt das Verfahren immerhin einfach, da man nur nöthig hat, für die wenigen Felder mit verschieden grossen X eine kleine Hilfskonstruktion auszuführen. Hat z. B. die Horizontalprojektion der die Knoten 5 und 4 verbindenden Diagonale

II

die von X = — abweichende Länge X', so sind an Stelle der Werthe S

m₅ m₅ X

t y₅ und sy₄ die Werthe

aufzutragen, welche nach Fig. 249 durch Zeichnung bestimmt werden können.*)

In der Regel wird es sich empfehlen, die Strecken s y durch die Ordinaten y zu ersetzen und den Kräftemaassstab entsprechend abzuändern. War dann beispielsweise der Kräftemaassstab für die Zeichnung, welche das Seilpolygon enthält: 1 Centimeter = n Tonnen, so ergeben sich die Spannkräfte im Maassstabe: 1 Centimeter — sw Tonnen.

155. Spannkräfte in den Gurtungen. Die Ermittlung der grössten Spannkräfte in den Gurtungen soll an dem in der Fig. 250 dargestellten Netzwerke erläutert werden. Die Verkehrslast bestehe aus einem Zuge von Einzellasten; sie erzeugt für die Knotenpunkte m Angriffsmomente, welche nach No. 82 mit Hilfe eines Seilpolygons in der Form Mm = Hypm dargestellt werden können, wobei H= sX zu wählen

X'

X'

X'

X'

sy

A'

Fig. 249.

-5-

St

Ff

I»------1

V-'------

•fc-

rsi

Fig. 250.

ist. Zu den Werthen ypm sind noch die von der ständigen Belastung hervorgerufenen y(jm zu fügen; letztere sind (nach Seite 142) die Ordi-

ql2

—— ist. Hat man sämmtliche 8 H

*) Dieser Fall kommt hauptsächlich bei schiefen Brücken vor, welche häufig ein kürzeres oder längeres Endfeld erhalten.

naten einer Parabel, deren Pfeil =

Werthe ym — ypm -f- ygm gefunden, so trägt man in das Trägernetz die Ordinaten ein: 11 = y₁, 22' = y₂, 33' — y₃ u. s. w. und findet nun die Spannkräfte 0 und U auf die angegebene Weise. In Fig. 250 wurde dieselbe Anordnung gewählt wie in Fig. 247.*)

Zu beachten ist, dass gleichzeitig mit der grössten Spannkraft Ot die grössten Spannkräfte V₀ und Dx in der Endvertikale und der ersten

Diagonale entstehen. V₀ und Dx ergeben sich aus dem für den oberen Knoten 0 gezeichneten Kräftepolygone. Wird der in 0 angreifende Theil der ständigen Belastung mit G₀ bezeichnet, so findet man durch Vergleichung des Kräftepolygons in Fig. 252 b mit dem Polygone I in Fig. 250: (ohne Vorzeichen)

G₀ — yx und hieraus V₀ = yx -f- Gr₀.

Die Endvertikale wird auf Druck beansprucht.

Zahlenbeispiel. Der in Fig. 250 abgebildete Träger habe eine Stützweite von 36”*; ferner sei h^ — 4,92”*, h.₂ — 4,28”*; h₀ = 3,00’". Der Träger sei ebenso belastet, wie der im § 19 untersuchte Balken. Es können dann die Werthe îh: y-2i Vzi Uii ys der Figur 130 auf Tafel I entnommen werden.**) Die Polweite ist dort: R— 4X und der Kräftemaassstab: lCOT = 20*; die Spannkräfte 0, U, Du V₀ sind also mit dem Maassstabe: lcm = 4 • 20 — 80‘ zu messen. Das Trägernetz zeichne man in möglichst grossem Maassstabe; es ist nicht nöthig, dass dieser Maassstab mit dem Längenmaassstabe auf Tafel I übereinstimmt. Von der ständigen Belastung y = 1,74* f. d. Meter greife der Theil g₀ = 0,45* an der oberen Gurtung an; auf den oberen Knoten 0 kommt dann die Last: Gr₀ — 0,45 • 3,6 = 1,62*. Man findet auf dem oben angegebenen Wege Ot = — 113,3*; 0₃ = — 200,3*; 0₅ = — 221,5*;

E7o = 0; Z7₂ = + 164,0*; ÜA = + 211,4*;

A = + 145,2*; F₀ = — 114,4*.

(a)

(h

(h

Ol

Ol

>\

Vo

I'ig. 252 a u. b.

r₀

Yo-Go

*) Damit am unteren Knotenpunkte 2 Gleichgewicht besteht, müssen die Spannkräfte in den Stäben 12 und 23 gleich gross sein, Fig. 251; sie wurden mit U₂ bezeichnet. f7₄ ist die Spannkraft für den Theil 3—5 der unteren Gurtung. Dem Stabe 0 — 1 entspricht U₀ = 0. Die Vertikalen werden nur gezogen; der grösste Zug in einer Vertikale ist gleich der grössten Belastung ihres unteren Knotenpunktes.

V,

''

Fig. 251.

**) Dem Leser wird empfohlen, Tafel I neu zu zeichnen, da sich das Papier nach dem Drucke stets ungleichmässig verzieht, und in Folge dessen die Zeichnungen ungenau werden. Es wird noch hervorgehoben, dass Fig. 250 nur eine Skizze ist.

Liegen die Knotenpunkte eines Netzwerks zum Theil zwischen den Querträgern, wie bei dem in der Figur 253 dargestellten Träger, so muss, behufs Bestimmung der yg, die ständige Belastung g in die Theile g₀ und gu zexdegt werden. Sodann sind zwei Parabeln zu zeichnen;

9pl*

8 H'

die eine erhält den Pfeil

die andere den Pfeil

In die

erste Parabel wird ein Polygon beschrieben, dessen Ecken in den Senkrechten durch die oberen Knoten liegen, in die zweite ein Polygon, dessen Ecken den unteren Knoten ent-

23L

!/

rs⁵

Die Ordi-

sprechen. naten beider Polygone werden addirt.

\Jpt Wp3

■M ffn fl

Die Angriffsmomente Hyp für die zwischen den Querträgern liegenden Knoten (1, 3, 5, 7, 9) müssen streng genommen nach dem auf Seite 143 beschriebenen Verfahren ermittelt werden. Man begeht jedoch einen nur unwesentlichen Fehler, wenn man sich darauf beschränkt, nach No. 82 die yp für die Angriffspunkte (2, 4, 6, 8) der Querträger zu bestimmen, diese Werthe als Ordinaten aufzutragen und deren Endpunkte durch gerade Linien zu verbinden, wie dies in der rechten Hälfte der Figur 253 angegeben worden ist. Das so erhaltene Polygon liefert dann genügend genaue Näherungs werthe für die den übrigen Knoten (1, 3, 5, 7, 9) entsprechenden yp.

Bei gleichförmiger Verkehrslast und konstanter Feldweite können

Fig. 253.

die Werthe

Mm

auch sehr

Pi

ß    \PsR

il

schnell berechnet werden, f ;

Liegt beispielsweise der in ^ der Fig. 254 abgebildete symmetrisch belastete Balken

vor, so bestimme man zuerst die Querkräfte Q. Für das 5te Feld erhält man Qb — A (Pi ~b A “1“    + Pi)

und, da A = Pt + P₂ -f- P₃ -f P₄ -f- \P₆ ist, Q-₀ = |P₅. Für das 4te Feld wird erhalten

5 f, 3

Fig. 254.

für das ffte Feld

Qi = a — (P, + p, + p„) = q₅ + Pt, Q‘i Qi "| P31 n. s. t.

Nun ist aber

Mm

Mn- 1

= Qm also

Mm Mr

^L-L + Qm und

man findet daher der Reihe nach (wegen M₀ = 0)

a.

X=«>' X

Qz u. s. f.

Für einen gleichmässig mit 1,74⁴ f. d. Meter belasteten Balken von 36m Stützweite, mit 10 gleich! angeh Feldern, ist

Px = P₂ = Ps = Pi — P₅ = 1,74 • 3,6 = 6,264 h

Die Berechnung der -y- geschieht nach folgendem Ansatz

Q₅ = ^P₅=i-6,264= 3,132

-j— 6,264 — P4

~Qi = 9,396

_+ 6,264 — P₃

Qo — 15,660 + 6,264 = P2 = 21,924 + 6,264 — P1 Qi = 28,188 Tonnen

Im vorliegenden Falle hätte man sich auch (der gleich grossen LasterTP wegen) der Parabelgleichung: 4f = | zx(l— x) bedienen können, wo 0 ^Belastung für die Längeneinheit. Für den Knoten m erhält man mit x = m\ und l — 10 X

(M ! X)⁴) = 28,188 = Qi __+ 21,924 = Q,

(M, | X) =50,112 ___4~ 15,660 = Q₃

(M₃ I X) = 65,772 _4- 9,396 — Qj

(Ma | X) = 75,168

4⁴ 3,132 = Ç5

(il/5 | X) = 78,300 Tonnen.

Mr.

ZK

1,74-3,6

= —y- m (10 — m) und hieraus der Reihe nach für m — 1, 2, 3, 4, 5

m (10 — m) = 3,132 rn (10 — m)

— = 28,188; 50,112; 65,772; 75,168; 78,300.

Bei dem in der Figur 253 dargestellten Träger sind die Belastungen der Knotenpunkte 1, 2, 3 ... . ungleich gross. Man muss hier entweder (wie leicht einzusehen) mit 2 Parabelgleichungen rechnen oder das zuerst angegebene, auf Berechnung der Querkräfte fussende Verfahren anwenden.

Ds bestimmt werden, so ist der Lastenzug von B aus bis zum

156. Spannkräfte in den Füllungsstäben. Wir setzen zunächst voraus, dass die Grenzwerthe der Spannkräfte D durch Grundstellungen der Verkehrslast hervorgerufen werden und erläutern den einzuschlagenden Weg an dem in der Fig. 255 dargestellten Träger. Soll beispielsweise

Knoten 3 vorzuschieben; er ruft am linken Auflager den Widerstand Az hervor und erzeugt die Momente: Mz = Azxz und M₂ = A₃x₂,

Mt

weshalb

lJn —

M₃

Ag X3

Ag l x3

sX

eX

sX l

und yn -

Ag l %2

sX l

Trägt man also auf der rechten Auflagersenkrechten die Strecke

— auf, und zieht die Gerade A R

den Senkrechten durch die Knoten 2 und 3 die Strecken CD = yp2 und EF = yp3 ab, zu denen noch die von der ständigen Belastung

B'H» =

Ad

sX

so schneidet diese auf

Oi

O.1

f,\

>.'1/

ITi

Oi

AiA

¹(min, DßJ f(maxDj) \

J    ¹

i*

£\R;

\e

<-------pT ?-----

_ . - ■* A

x₃ ------>£

*7--

1—-" "

An

&L

9}1

■R'

SH

Ak-

Fig. 255.

herrührenden Werthe yg2 und yg?j zu fügen sind. Die Addition liefert die Werthe y₂ und y\, aus denen nun mit Hilfe des Zimmermann’sehen Verfahrens die Spannkraft maxDg gefunden werden kann. Auf dieselbe

Art wird nach Aufträgen von B'R₂ — A

² eX

die Spannkraft

min

bestimmt.

In der Fig. 255 wurde die in Fig. 248 angegebene Anordnung gewählt; zeichnet man dann die Kräftepolygone, welche die grössten Spannkräfte in den Gurtungen liefern (Fig. 250) und diejenigen, welche die grössten D ergeben (Fig. 255) in ein und dasselbe Trägernetz ein (was stets zu empfehlen ist), so liegen die Polygone nebeneinander, und der Kräfteplan gewinnt an Uebersichtlichkeit.

Die Auflager-Widerstände A wurden in No. 82 mit Hilfe eines Seilpolygons dargestellt, welchem die Polweite l entspricht; vergl. auch Fig. 126 auf Tafel I. Entscheidet man sich nun für die Anwendung des Zimmermann’sehen Verfahrens, so ist es zweckmässig, die Polweite l durch die Polweite sX zu ersetzen; die Ordinaten des Seilpolygons stellen

dann die Werthe A —— vor. Wir werden dieses Seilpolygon in der

£ À

Folge dass „A

sX

-Polygon“ nennen.

Zahlenbeispiel. Dem Leser wird empfohlen, auf dem angegebenen Wege die Spannkräfte D für den bereits in No. 155 untersuchten Halbparabelträger

von 36’” Stützweite zu bestimmen. Wird das A -^--Polygon sowie die Parabel, welche die yg liefert, im Maassstabe Ie’" = 20* gezeichnet und II = 4À (also e = 4) gewählt, so werden die Spannkräfte D im Maassstabe lcm=80* erhalten. Man findet

minD-2 =J=- 92,4 *

A = + 67,8*

minll§-    19,5*

min Dg---j-    2,1 *

D₉ = — 14,2*

und, da der Träger in Bezug auf die Senkrechte durch seine Mitte symmetrisch ist.

A =

max

min Di - - 44,3 *

A = + 38,9*

nn • c

max

A = + 16,2*

max

Z>₄ = + 16,2* | minD& = — 19,5*.

A = — 14,2* | rninD₃ = —J— 2,1 * |

Die Diagonale D₂ wird nur gedrückt; IJ₃ wird nur gezogen. Die Diagonalen Z>₄ und jD₆ werden abwechselnd gezogen und gedrückt. A wurde bereits in No. 155 angegeben.

max

Oi

Bei konstanter Feldweite lassen sich die durch den Lastenzug her-Mm

vorgerufenen Werthe —r— auch sehr schnell mit Hilfe der früher mit-

A

getheilten Tabellen berechnen.

Wird z. B. der in Fig. 255 dargestellte Halbparabelträger durch einen von B bis zum Knoten 3 reichenden Lastenzug beansprucht, so entstehen die Momente M₂ = A₃ 2 X ; M₃ = A₃ 3 X. Haben die Fahrzeuge die in der Fig. 111 angegebenen Eadstände und Achsenbelastungen und wird der Zug von drei vorwärts fahrenden Lokomotiven gezogen, so gilt die Tabelle I auf Seite 310.

Nun ist die Länge der zu belastenden Strecke: x ₃ = 7X — 7 • 3,6 = 25,2’”; derselben entspricht laut Spalte 2 jener Tabelle die Zuglänge c, — 23,6 und die Achsenzahl w=12; ferner ergiebt sich:    = 132 @„ = 1647,0 und

bn = x₃ — c.*! = 1,6m, weshalb man erhält:

und

A₃ —

@„ + %nbn

1647,0 + 132 • 1,6

36

= 51,6167

m₂

M₃

= 2 + = 103.233; -+= 3A₃ = 154,850.

A    A

Die ständige Belastung ist g — 1,74* f. d. Meter; derselben entspricht (vergl. das Zahlenheispiel auf Seite 266): ^ = 50,112* und ~ = 65,772*, so

A    À

dass sich schliesslich ergiebt:    — 103.233 + 50,112 = 153,34* und —

= 154,850 + 65,772 = 220,62*.

Besonders einfach gestaltet M

sich die Berechnung der -r—

À

bei gleich grossen Feldweiten und Knotenlasten. Sollen z. B. für den in der Fig. 256 dargestellten Belastungsfall die

Werthe —-- und bestimmt werden, so findet man À    À

^ = p(|- + ! + l + f)

M    M

und i/₃ = A 4 X ; il/₄ = A 5 X also : —= ⁴E° P und —A- = ⁵g° P.

SA

Fig. 256.

10p

Hierzu sind noch die von der ständigen Last herrührenden Werthe -r—

À

zu addiren; dieselben werden auf die am Schluss von Ho. 165 angegebene Weise bestimmt.

Es sei noch der Fall untersucht, in welchem ein Zug von Einzellig für den

lasten die Grundstellung überschreitet. Gesucht sei Träger in Fig. 257. Das zweite Rad des von B aus vorrückenden Zuges liege am Knoten B. Verlangt wird die zeichnerische Bestimmung

max

der Werthe ij

eX

Nachdem man A

sX

auf die vorhin angegebene Weise bestimmt

M₂

hat*), findet man: M₂ = Acc₂ und M₃ = Ax₃—P₁e₁ also yp2 —

Z-aA-

x₂

P₁ei

Nun streiche

= iäT“d &s =

man zunächst das zweite Glied des für yp3 gefundenen Ausdrucks und

eX

sX l

sX

*) Zu beachten ist, dass A Ordinate des A -4--Polygons ist.

eX

gleich der unter der ersten Last gemessenen

eX

bestimme y₂ und y"₃ genau wie in Fig. 255. Schliesslich bringe man P₁e₁

von y"₃ den Werth

sX

in Abzug; derselbe wird zweckmässig ge-

4,

iß

-•X2

e,-es-

Fig. 257.

13 • 1,4

rechnet und ist für den vorhin untersuchten Halbparabelträger =

= 1,27*. Läge Ps am Knoten 3, so müsste y"₃ um

verkleinert werden.

Durch Anwendung der eben entwickelten Regeln auf den vorhin untersuchten Halbparabelträger überzeugt man sich, dass die Greuzwerthe der Spannkräfte in den Diagonalen in Folge von Grundstellungen entstehen. (Eine Ausnahme bildet D₁₁ welches gleichzeitig mit Ol seinen Grenzwerth annimmt.)

sX

b. Das Fachwerk mit Vertikalen.

157. Die Verkehrslast greift m den Knotenpunkten der oberen

Gurtung an. Wir betrachten das wte Feld des Balkens (Fig. 258), tragen auf der Vertikale mm vom unteren Knotenpunkte m

aus die Strecke ma — ab

Am

und auf der (m—l)ten Vertikale

m — 1

x7~’

ziehen durch a eine Parallele zu Om, welche die Diagonale Dm in c schneidet, hierauf durch b eine Parallele zu TJm, welche Dm in d und Vm in e trifft, und erhalten: Spannkraft Om = Strecke ac, Spannkraft Um = Strecke de,

Ttl-1

Om

Qffti

A/Æ/ÆV/V/A,

Mm-1 d

> Mm.

t/tm

Jim

Unv &

die Strecke (m— 1)&

lTt-4

Vm

z/lm------>|

Fig. 258.

Spannkraft Dm = Strecke de. Um die Spannkraft Vm zu finden, zeichnen wir das Kräftepolygon für den unteren Knotenpunkt w, ziehen also cf |] Um+X und finden Vm = ef. Dabei ist angenommen worden, dass nicht nur die Verkehrslast, sondern auch die gesammte ständige Belastung in den Knoten der oberen Gurtung angreift. Die in das Kräftepolygon edefe des unteren Knotens m eingetragenen Pfeile geben an, in welchem Sinne die Kräfte Um, Dm, Z7W+1, Vm an diesem Knoten angreifen. In Figur 258 wird die Diagonale Dm gezogen, die Vertikale Vm gedrückt. Ein Irrthum bezüglich der Vorzeichen ist ausgeschlossen, wenn man daran denkt, dass die untere Gurtung stets gezogen ist.

Greift nun am unteren Knotenpunkte m die ständige Last Gu an, so entsteht das in der Fig. 259b dargestellte Kräftepolygon. Der vorhin ermittelte Druck Vm — ef ist um Cr„ zu verkleinern. Es empfiehlt sich nun, die Grenzwerthe sämmt-licher Kräfte Vzunächst unter der Voraussetzung unbelasteter unterer Knotenpunkte zu ermitteln und hierauf zu jedem dieser Werthe (unter Berücksichtigung der Vorzeichen derselben) den Betrag (-J- 6r„) zu addiren.

<a>

(1))

JDm-

Um

Vm

Um

Gu

Um*

w.

m,

Dm'

Vm

Fig. 259.

Vm

Die in der Figur 258 angegebene Anordnung des Kräfteplanes empfiehlt sich bei der Bestimmung der Grenzwerthe der Spannkräfte Dm und Vm. Um die grössten Spannkräfte in den Gurtungen zu ermitteln, entscheidet man sich, (um das Zusammenfallen verschiedener Polygone zu vermeiden) zweckmässiger für die Anordnung in Fig. 260; alle diese Kräftepolygone werden in dasselbe Netz eingezeichnet.

ltl-i

Jim

FJ

in-1

k-

Om

0t*

Um

Um

Fig. 260.

3Q

Jim

.Jy

158. Die Verkehrslast greift in den Knotenpunkten der unteren Gurtung an. Trägt man auf den das Feld begrenzenden Vertikalen

- Mm

von den oberen Knotenpunkten m und m — 1 aus die Strecken ma = -—

und (m — 1) b

Mm_ i

ab, zieht ade || Om und bc || TJm (Fig. 261)

so erhält man bc=U,

m}

m-i

Qm

Mm-t

‘da

mm

Om.

m-i

k------jhw-------H

Fig. 261.

cd = Dm und de = Om. Wird noch cf || Om gezogen, so ist fcdef das Kräftepolygon für den oberen Knoten m—1 und man erhält ef = Vm_x, vorausgesetzt, dass auch die ständige Belastung ausschliesslich in den Knoten der unteren Gurtung wirkt. Die in die Fig. 261 eingetragenen Richtungspfeile geben an, in welchem Sinne die Spannkräfte Dm, Om, Vm_u 0, oberen Knoten m — 1 angreifen. Im vorliegenden Falle wird Diagonale Dm gezogen und Vertikale gedrückt.

[Ml

n— 1

am

v.

r m— 1

Greift am oberen Knoten m—1 die ständige Last G₀ an, so entsteht das in der Fig. 262b dargestellte Kräftepolygon; der vorhin

m-i

0,

Om

<aj

Go

O’m

(1))

Mm

Um.

Mm

Jim

OhkI.

I-n

Vn-,

Ifa-i

/ V.

’m

7Ti-

(s/71

WM

in

Om

I*-------Jim----- -X

Fig. 263.

Fig. 262 a u. b.

erhaltene Druck Vm_i=ef wird um den Druck G₀ vergrössert. Es ist rathsam, zunächst die Grenzwerthe sämmtlicher Kräfte V unter der Voraussetzung unbelasteter oberer Knoten zu bestimmen und hierauf zu jedem dieser Werthe den Betrag (— G₀) zu addiren.

Weiter empfiehlt es sich, die in der Fig. 261 angegebene Anordnung des Kräfteplanes nur bei Bestimmung der Grenzwerthe D und V beizubehalten und die grössten Spannkräfte in den Gurtungen auf die in der Fig. 263 veranschaulichte Weise zu ermitteln.

¹

Es ist deshalb auch nicht nöthig anzugeben, wie gross die Last sein muss, welche A = i hervorbringt.

²

In der Fig. 239 b haben wir die Spannkräfte in den Gurtungen nur mit Ziffern bezeichnet.

³

Es ist meistens zu empfehlen, den Kräfteplan, welcher den Einfluss von P' angiebt, in grösserem Maassstabe zu zeichnen.

⁴

(Mt | X)

§ 34.

Fachwerkträger mit Gegendiagonalen.

159. Hauptdiagonalen und Gegendiagonalen. Ein Fachwerkbalken, dessen Füllungsstäbe wechselweise Vertikalen und linkssteigende Diagonalen sind, Fig. 264, werde durch einen Schnitt tt in zwei Theile zerlegt. 0 Um, Dm sind die Spannkräfte in den Stäben des mten Feldes, ßm, Ym, 9m deren Nei-gungs winkel gegen die Wage-rechte. "(m und cpOT werden nach unten positiv gezählt, ßm nach oben. Wirken auf den Träger nur senkrechte äussere Kräfte, so muss sein

ml

it

■'t

ni

St

Fig. 264.

-in

771-7

7711

ni

Fig. 265.

Om cos ßm -j- Dm cos 9„, -f- Um cos y». = 0, also Dm cos = — Om cos ßm — Um cos ym.

Mm sec ß,„

Nun ist aber (nach Seite 245): Om

Mm

hm

und

Um = -\

Ern

hm.x cos Y«

, wobei lnm — Länge der m

ten

hm cos ßm

Vertikale, mithin

Dm cos 9,„

Mm Mm_x

h ni

Ganz ebenso ergiebt sich für eine rechtssteigende Diagonale (Fig. 265)

Dm cos 9m =

Mm- 1

ML M,

«-¹ J

! J’

so dass sich also — dieselben Momente vorausgesetzt — die wagerechten Seitenkräfte der beiden Spannkräfte D nur durch das Vorzeichen unterscheiden.

Die Belastung des Trägers bestehe aus einer ständigen und einer beweglichen. Erstere sei gleichmässig über die Stützweite vertheilt und = (j für die Längeneinheit; sie erzeugt die Momente

und M,

gXm-\X

wo xm und x m die Abstände des Knotens m von den Auflagersenk-

18

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

rechten A und B bedeuten, Fig. 266. Wird zur Abkürzung gesetzt

■»U

xmxm 2 hm

so ergiebt sich für die durch die ständige Belastung hervorgerufene Spannkraft in einer linkssteigenden Diagonale die Formel

Dmg cos 9 m= g 0)„, — '»Im-i).

Es sei nun f}m v]m_i, also Dmg positiv. Eine von B aus bis m vorrückende Verkehrslast¹) erzeugt ebenfalls eine positive Spannkraft D, und es ist deshalb maxBm positiv. Wenn dagegen die Verkehrslast von A bis m—1 vorrückt, so ruft sie in der fraglichen Diagonale einen Druck hervor, welcher grösser oder kleiner sein kann als der Zug Bmg. Im ersten Falle ist min Dm ein Druck, im zweiten Falle ein Zug. Wird nun angenommen, dass minDm für die linkssteigende Diagonale ein Druck ist, dass aber diese Diagonale aus einem Seile besteht,

AlHi

\m-i\lzft

HîimnTi

.¹.........xm

->k—

-- Xm.............Î

îBBir..................................................

Fig. 266.

Fig. 267.

welches einem Drucke keinen Widerstand leistet, so muss, soll der Träger starr sein, in dem betreffenden Felde noch eine rechtssteigende Diagonale, die ebenfalls aus einem Seile bestehen darf, angeordnet werden. Bei jedem Belastungszustande, welcher die linkssteigende Diagonale auf Druck beansprucht, wird die rechtssteigende Diagonale gezogen.²)

Diejenige der beiden sich kreuzenden Diagonalen, für welche Dmg positiv ist; nennen wir die Hauptdiagonale, die andere die Gegendiagonale.

Nehmen also die Werthe y\ von den Auflagern nach der Mitte hin zu, so sind auf der linken Hälfte des Trägers die linkssteigenden und auf der rechten Hälfte die rechtssteigenden Diagonalen die Hauptdiagonalen. Bei nach der Mitte hin abnehmenden vj findet das Umgekehrte statt. Sind sämmtliche y gleich gross, so ist das Eigengewicht — und überhaupt jede gleichmässig über den ganzen Träger vertheilte Belastung — ohne Einfluss auf die Spannkraft D. Die Trägerform, welche diesem Grenzfalle entspricht, findet man mittels der Gleichung

Konst.

xx

'fl

woraus

XX

2 Konst.

8 Konst.

Soll Ä = f sein für x — x = l (Fig. 268), so folgt: f

X'-

, weshalb

und Konst. =

4 fx(l — x)

Dies ist die Gleichung einer Parabel, deren Pfeil = f ist, und der hiernach berechnete Träger heisst Parabelträger. Die eine Gurtung desselben darf beliebig geformt werden; die Lagen der Knotenpunkte der anderen Gurtung ergeben sich

■p~

4^-

-S-

-P>

-^1

-----

mit Hilfe der Gleichung

4 fxmx'm

hm =

V¹

‘hn

Fig. 268.

Zu beachten ist, dass f stets die Parabelordinate für x = bedeutet, dass also bei

mv-

fehlender Mittelvertikale (Fig. 268) bmax < f ist. Liegt hmax bei x — % besitzt es einen gegebenen Werth, so findet man | wegen hmax =

hmax P 4 | (Z — g)

Es ist aber stets zu empfehlen, f anzunehmen und hierauf die Längen h durch Eechnung oder Zeichnung zu bestimmen. Wie man den einer beliebigen Abscisse xm entsprechenden Punkt J einer Parabel AJSB durch Zeichnung findet, ist auf Seite 135 (Fig. 124) angegeben worden.

18*

In den folgenden allgemeinen Untersuchungen über Träger mit ausschliesslich gezogenen Diagonalen beschäftigen wir uns nur mit dem Falle nach der Mitte hin wachsender Werthe 7], da dieser bei allen im Hochbau und Brückenbau angewandten Trägern mit Gegendiagonalen

vorliegt.

Um zu entscheiden, ob in irgend einem (z. B. dem mten) Felde der linken Trägerhälfte eine linkssteigende Zugdiagonale genügt, bestimme man für diese Diagonale die Spannkraft spielsweise mittels des Zimmermann sehen Verfahrens geschehen, so

min

D. Soll dies bei-

werden die der gefährlichsten Belastung entsprechenden Werthe

Mm

und

auf die in No. 156 angegebene Weise ermittelt, hierauf

die Strecken

JL

(vergl. Fig. 269a)

aufgetragen und durch die Punkte a und b zu Om bezieh. Um Parallelen gezogen, welche die fragliche Diagonale in den Punkten d und c schneiden mögen. Die Strecke de stellt dann die Spannkraft minD vor, und zwar ist minD positiv oder negativ, je nachdem c oberhalb oder unterhalb d liegt. Vergl. Fig. 262. In dem in der Fig. 269a dargestellten Falle er-giebt sich mithin für minD ein negativer Werth, und es ist deshalb eine Gegendiagonale nöthig.

Zieht man nun nach Einzeichnung dieser Gegendiagonale : bc || Om und ad' || Um (Fig. 269b), so findet man den grössten Zug in der Gegendiagonale: maxD = Strecke d'c'.

Hat man die Spannkraft minDm in der Hauptdiagonale des mten Feldes nach einem 5 der im § 32 beschriebenen Verfahren bestimmt und einen negativen Werth erhalten, welcher in Fig. 270 nach Grösse und Richtung durch die Strecke ab dargestellt sein möge, so findet man den grössten Zug maxD,n> durch welchen die in jenem Felde nöthig

ma = -z

G»

und (m — 1) b

Xn

(CU

0m

17V

XL

m-r.

d/

tc

a-

Fig. 269.

CC

7717,

171

Fig. 270.

in-

werdende Gegendiagonale beansprucht wird, indem man durch b eine Parallele zur Gegendiagonale und durch a eine Senkrechte zieht, welche jene Parallele in c schneidet. Es ist dann bc==maxD°.

Bei gewissen Trägerarten, z. B. beim Parabelträger und auch bei dem in No. 146 untersuchten Pauli’schen Träger, sind in allen Feldern Gegendiagonalen nöthig, bei vielen Trägern (z. B. bei dem in der Fig. 271 dargestellten) nur in einzelnen und zwar dann in den mittelsten

Fig. 271.

Feldern. Die Spannkräfte O, TJ, V in den Stäben der Felder ohne Gegendiagonalen werden auf die früher gezeigte Weise bestimmt; die Ermittlung der Spannkräfte in den Feldern mit Gegendiagonalen soll im Folgenden gelehrt werden. Wir beginnen mit der

min

Vm. Die fragliche Vertikale gehöre

160. Bestimmung von

der linken Trägerhälfte an, und trenne zwei Felder mit Gegendiagonalen. Es sind zwei Belastungsfälle zu untersuchen. Greift die veränderliche Belastung an der unteren Gurtung an, so ist sie einmal von B bis m -j- 1 vorzu-

schieben, Fig. 272, ein zweites Mal von A bis m — 1,

Fig. 273. Im ersten Falle J treten im mten und im (w -j- l)ten Felde die linkssteigenden Diagonalen in Thätigkeit, im zweiten Falle die rechtssteigenden. Die Bestimmung von min Vm kann mit Hilfe der in den §§32 und 33 angegebenen Verfahren erfolgen, wobei darauf zu achten ist, dass in dem in der Fig. 272 dargestellten Belastungsfalle neben der Spannkraft Hauptdiagonale entsteht, während der Belastungsfall in Fig. 273 die grösste Spannkraft in der Gegendiagonale des wten Feldes hervorbringt.

ni-1

m-i

nt

Äm'

Fig. 272.

31i

m.*i

Fig. 273.

min

Vm noch die grösste Spannkraft in der (m-f-l)ten

Greift die veränderliche Belastung an der oberen Gurtung an, so ist nach einander der Einfluss einer von B bis m und einer von A bis m reichenden Belastung zu untersuchen. Fig. 274 und 275.

Die beiden, für erhaltenen Werthe werden schliesslich mit einander verglichen; der ungünstigere ß der beiden Werthe ist natürlich maassgebend für die Bestimmung des Querschnitts der Vertikale.

wr

Fig. 274.

min

Vm

161. Bestimmung von

Vm (Fig. 276). Unter der Voraussetzung, dass die Belastung in den Knoten der unteren Gurtung angreift, entsteht, wenn keine Gegendiagonalen vorhanden sind, die Spannkraft

bald die veränderliche Belastung von A aus bis m vorgerückt ist. Sind aber Gegendiagonalen vorhanden, so wird bei dieser Laststellung die Gegendiagonale des (m -j- l)ten Feldes die grösste Inanspruchnahme erleiden, vielleicht wird auch im mten Felde eine dort etwa vorhandene Gegendiagonale gespannt. Auf jeden Fall lassen die bis jetzt abgeleiteten Gesetze im Stich.

Wir denken nun den Träger voll belastet. Auf der linken Hälfte sind dann die linkssteigenden Diagonalen gespannt, und wir dürfen behaupten :

max

A.

Til'1

nv

SL'.

4P

11V* 7

Fig. 275.

max

vm,

so-

1)    Alle Lasten rechts von (m -j- 1) tragen zu der Spannkraft Vm in negativem Sinne bei, alle Lasten links von m in positivem Sinne. Durch Entlastung des Trägers in der Nähe von B wird also Vm vergrössert. Es nähert sich Vm dem Werthe

2)    Alle Lasten rechts von (m -j- 1) tragen zu der Spannkraft Dm+1 der linkssteigenden Diagonale in positivem Sinne bei, so dass Entlastung des Trägers in der Nähe von B die Kraft Dm+l verkleinert.

n ax

V

r m*

Jetzt entlasten wir den Träger rechts von (m -}- 1), vergrössern dadurch Vm und verkleinern Dm+l und setzen diese Entlastung so lange fort,

bis D„,₊j = 0,

Afin _ Jfm+1

bis also

hm

h‘m

ist.

Sobald dies erreicht ist, Fig. 276, greift am oberen‘Knotenpunkte m keine Diagonale an, und das Kräftepolygon für diesen Knotenpunkt ist

>!

x'

ril * 1

m+1

<L

(CM |

Fig. 276.

das in Fig. 276a dargestellte. Es besteht aus Vm, Om und Om+ï. Je grösser Om und Om+l sind, desto grösser wird Vm*). Da nun durch weitere Entlastung die Spannkräfte Om und Om+1 verkleinert werden, wird auch Vm wieder verkleinert. Daraus folgt der Satz:

Entlastet man, von dem Zustande voller Belastung ausgehend, den Träger rechts von (m -f- 1) derart, dass beide Diagonalen des (m -f- 1)ten Feldes spannungslos sind, so nimmt die Spannkraft in der mten Vertikale ihren grössten positiven Werth an.

Wir bezeichnen mit Mm und Mm+l die Momente in Folge voller Belastung, mit M'm und M'm+i die Momente nach der Entlastung und nehmen an, dass der Träger nur rechts von (m -f- 1) entlastet wird. Bedeutet dann A A die Abnahme des Stützenwiderstandes, so werden die Momente verkleinert um AMm — A A    bezieh. AMm+1 — AAxm+1.

Es entsteht M'm — Mm — A Mm, bezieh. M'm+X — Mm+l — A Mm+X. Da nun AMm : AMm+1 = xm : xm+x, so folgt: Trägt man auf den verlängerten Vertikalen m und m -)- 1 von einer Wagerechten aus die Werthe auf: DE = Mm | km+1**) und FH=M, und macht hierauf: EE' = AMm | \n so schneiden sieh die Geraden E'H' und EH in einem Punkte S der

Die Strecken DE' und FH' stellen be-und M'm+1 | kOT+i vor, und der

*) Wir nehmen zunächst an, dass die gesammte ständige Belastung in den Knotenpunkten der unteren Gurtung angreift. Die unter dieser Voraussetzung ermittelten Spannkräfte maxVm müssen dann auf die in No. 158 angegebene Weise verbessert werden.

Auflagersenkrechten A. ziehungsweise die Werthe M'm | \n

+i

Ui (Kg. 2^7) ferner HH' = A Mm+X j \m

m-J-1

+ 1>

**) Mm ! \m+i =

• Warum wir diese Verhältnisse (welche Kräfte

sind) auftragen und nicht die Momente, wird sogleich einleuchten.

Schnittpunkt C* der Geraden E H' und DF ist (nach No. 68) ein Punkt in der Richtung der für das (in -f- l)te Feld sich ergebenden Querkraft

Qm+1

M'.

m-f-1

M'm

X.

»+l

+1

/'

s !___.5.

!/

->-Q

■?/

Pt

f;

Fig. 277.

Um letzteres einzusehen, betrachte man EH¹ und DF beziehungsweise als Seite und Schlusslinie eines Seilpolygons, dessen Polweite ⁼⁼ ^»»+i ist.

Soll nun die vorgenommene Entlastung des Trägers zur Spannkraft maxVm führen, so müssen die Diagonalen des (m -f- l)ten Feldes spannungslos sein, und es muss dann die Querkraft Qm+i durch den Schnittpunkt C der Gurtkräfte Om+x und Um+i gehen. Durch diese Bedingung ist die Lage der Geraden C'SE' vollständig bestimmt; man ist somit im Stande, den Werth M'm | Xm+1 und mithin auch M',„ | hm zu ermitteln, und zwar ohne erst angeben zu müssen, auf welche Weise der Träger rechts von m -j- 1 entlastet werden muss. Kennt man aber M'm | hm, so lässt sich maxVm mit Hilfe des in der Fig. 276a dargestellten Kräftepolygons finden.

Da nun die Bestimmung des Punktes C in der Regel unbequem ist, so ist es zweckmässiger, die Gleichung zu benutzen (siehe Fig. 277):

M'„,

\n+1

DE' : h,„ — b\a, woraus

= DE'

hmb

Es folgt dann

*+l

— LN,

wobei L und N die Endpunkte des Gurtstabes 0„t+1 (dessen Neigungswinkel = ß„₁₊i und dessen Länge = XttI+1 sec ßOT+1 ist) bezeichnen. Bringt man den Untergurtstab Um+l mit der linken Auflagersenkrechten in J zum Schnitt, legt durch J zu Om+l eine Parallele, welche die ?nte Vertikale in K trifft, zieht die Gerade KN, macht LB = b und

BT\\KN, so ist (wegen LK—a)

0?n+ 1*

Tr = TW

Wird schliesslich noch TW || Om gezogen, so ist

■B Tl max 1 m'

Ueber die Darstellung der Werthe M | A wurde das Nöthige im §31 mitgetheilt. Besteht die Verkehrslast aus einem Zuge von Einzellasten, so empfiehlt es sich, diejenige Laststellung anzunehmen, welche das grösste Moment Mm erzeugt.

max

Vm Stützt,

Der Satz, auf welchen sich die beschriebene Darstellung von wurde vom Verfasser zuerst in der Ilten Auflage von des ..Ingenieurs Taschenbuch“ (Hütte) veröffentlicht unter gleichzeitiger Mittheilung von Formeln für gleichförmige Belastung. Wir lassen die Ableitung der letzteren hier folgen.

Die Entlastung der Strecke b (Fig. 276), welche zunächst kleiner als x'm+i

v b²

vorausgesetzt werden möge, bewirkt eine Verkleinerung von A um A A= • Es entsteht deshalb

,    p b^    ,    p b^

AI m Alm JTT Xm Ulld AI m+1 Alm-f-1    ~cTï~

21

21

und man erhält zur Berechnung von b die Gleichung (M’m\hm —Al'm+\ | hm+\)

ATm+\

Alm ¹ piß Xm

pbl xm+i

hm

21 hm

bm+1

21 hm+1

woraus ^ mit AI = <lx^c. j

V h“    AIm + \ hm    AImhm+1

21

Xm-f-1 hm    Xmhm -f-1

und ß —

Q 1    Xm-\-1 X m 1 hm Xnt X m h>>> -\ \

Xm -f-1 hm Xm hm -f-1

Nun ergiebt sich AI’m

Xm -f-1 Alm Xm Alm -f-1

(j Xm Xm + l hm -f-1

hm

Xm-f-1 hm    Xmhm-f-1

2 (Xm -f-1 hm    Xm hm 4*1)

und nach Eig. 276a, mit Beachtung der Winkel-Bezeichnungen in Fig. 264

AI’m

max

Vm

lim (fo ß». —tg'iWA

wofür mit Rücksicht auf die oben angreifende ständige Belastung ga der verbesserte Werth

(H)

max

AI’m

h fe ß«> tg ß«i -fl) - \ Do (hm ff" A»J -i-l)

anzimehmen ist. Man erhält schliesslich

(III)

max

Vm —

g Xm Xm -f-1 hm -f-1

2 (Xm +1 "h nt Xm hm +1 )

(tg ß„, — tg ß„, +l) — | fjo (hm + hm +f).

Liefert Gleichung I für b einen Werth, der grösser ist als x'm+i, so ent-

p (b — x m +i)²

steht ‘ M'm+i = Mm+1 — aus der Bedingung

pb'²

und es müsste jetzt b

Mm _ pb² Xm    _ Mm + 1__pbf Xm + l    p (b - x'm + l)²

Tim    21 Tim Tlm+\    21 Tlm + 1

berechnet werden. Man findet aber dann max Vm genügend genau und etwas zu gross, wenn man b — xm+\ setzt. Es führt dies zu Xm (q x'm l P x'm +1²)

2 I hm

Noch zweckmässiger ist es, mit Rücksicht auf die geringere Bedeutung, welche die maxV gegenüber den minV für die Querschnittsermittlung besitzen, die Berechnung von b zu sparen und stets die Gleichung III anzuwenden. Man erhält dann für maxV entweder einen genauen oder einen etwas zu grossen Werth. Aus demselben Grande ist es auch bei der oben gezeigten zeichnerischen Bestimmung von maxVnicht nöthig, auf eine nähere Untersuchung'der durch unseren Satz vorgeschriebenen Entlastung des Trägers einzugehen; vielmehr genügt es, vorauszusetzen, dass es möglich sei, durch Beseitigung von Lasten rechts von m -j- 1 die Spannkraft in der (m+l)ten Diagonale aufzuheben.

Wir wollen noch ein zweites und drittes Verfahren zur Ermittlung von maxVm mittheilen und betrachten hierbei eine auf der rechten Hälfte des Trägers befindliche Vertikale mm. Es entsteht dann maxVm, wenn der Balken so belastet ist, dass im wten Felde keine Diagonale gespannt wird.

Ziveites Verfahren. Wir setzen zunächst eine gleichmässige Verkehrslast (p) voraus und nehmen an, dass die Strecke x m mit px m belastet ist,

2 Tlm-\-\

(IV)

max

Vm =

(të> |b» tg ß)M_|_i) J ffo (fm “f-    +

()

ir

-A'X

---itrVn

Ws ,

f-----X

----->

/X

pXnv

y 2

11./* h»

<aj

(ÖJ

Fig. 278.

während in m die Einzellast vorläufig eine rechtssteigende Diagonale angenommen; dieselbe wird

angreift, Fig. 278. Im mten Felde sei

erleiden,

in Folge der vorausgesetzten Belastung einen Druck D welcher nach Ermittlung von Am mit Hilfe des Culmann’schen Verfahrens

mp

bestimmt werden kann. Vergl. Fig. 278 a. Bringt man vom Drucke

Dmp = cn den durch die ständige Belastung verursachten Zug Dmg — cd in Abzug, so bleibt, da ja im wten Felde eine Gegendiagonale noth-

wendig sein soll, ein Druck Dm = dn übrig, und dieser Druck möge nun durch eine links von m—1 aufgebrachte Verkehrsbelastung aufgehoben werden. Der durch diese hinzugefügte Belastung erzeugte rechte Stützenwiderstand sei A B, und der in der Diagonale hervorgebrachte Zug sei ABm\ derselbe lässt sich mit Hilfe des Culmann’schen Verfahrens bestimmen (Fig. 278b) und muss gleich dem vorhin erhaltenen Drucke Dm sein. Aus dieser Bedingung ergiebt sich nun die in der Fig. 278c dargestellte Bestimmungsweise von

Man mache ab = Am, ziehe bc |j L und ac || Um, trage in c die

und ziehe de || L'

max

Vm.

zur Diagonale Dm parallele Strecke : cd — D und be \\ Om. Dann ist eb gleich der von der Verkehrslast herrührenden

mg

an

Spannkraft Om, entsprechend einem Belastungszustande, für welchen die Diagonalen des mten Feldes spannungslos sind. Um dies einzusehen, lege man die Figuren 278a und 278b so aneinander, dass sich die Strecken AI)m und D,„ decken. Verlängert man schliesslich be um

ef = Omg (— Spannkraft in Folge der ständigen Belastung) und zieht fi ]] Om+i, so schneidet man auf ba die Strecke

bi =

max

Vm

ab. Das Dreieck bif ist das Kräftepolygon für den oberen Knoten m.

îïl-1

ab--A    /N

KZ

u-

Unser zweites Verfahren ist hauptsächlich dann zweckmässig, wenn die von der Verkehrslast herrühren-den Spannkräfte in sämmt- A liehen Füliungsstäben nach Culmann und die durch die ständige Belastung erzeugten Spannkräfte nach Cre-mona ermittelt werden, weil man dann Am, Dmg, Omg ohnehin bestimmen muss.

Fig. 279.

Besteht die Verkehrslast aus einem von B aus vorrückenden Zuge von Einzellasten, so empfiehlt es sich, die zweite Last bei m liegend anzunehmen. An die Stelle von Am tritt jetzt die unter I\

gemessene Ordinate des A-Polygons. Nach Aufzeichnung des Dreiecks abc (wobei wie vorhin ab = A, ac\| Um und bc\\L) wird aa=P'

= Pj gemacht und durch a zu Um eine Parallele gezogen, welche

À m

eine durch c zur Diagonale Dm gelegte Parallele in c schneidet; worauf cc um cd — Dmg verlängert und im übrigen wie vorhin verfahren wird. Die Strecke cc stellt den Einfluss der in (m—1) wirksamen Last P' auf die Spannkraft Dm dar.³)

Drittes Verfahren. Es wird angenommen, dass der Balken ausser der ständigen Belastung noch einen von B aus vorgeschobenen Zug von Einzellasten trägt, dessen zweite Last bei m liegt. Für diesen Belastungsfall werden die Werthe Mm | Xm und Mm_x j Xm ermittelt und auf den Verlängerungen der Vertikalen m und m — 1 als Ordinaten (DE und FH in Fig. 280) aufgetragen. Hierauf werden links von m — 1 so lange Lasten aufgebracht, bis die anfänglich gezogene linkssteigende Diagonale des mten Feldes spannungslos wird. Es ändert sich hierbei der Stützenwiderstand B um -j- AB und die Verhältnisse M | X wachsen beziehungsweise um

Alrn-l AP

x m und JIII' =

EE' =

A Mm A B

i»

<.-r

F D

----->{}³

LT

Fig. 280.

Hieraus folgt, dass sich die Geraden H' E'

wonach EE' \HH'—xm\x und HE in einem Punkte der Richtungslinie von B schneiden müssen, während sich aus der Bedingung, dass die Spannkraft Dm = 0 sein soll, schliessen lässt, dass der Schnittpunkt der Geraden H'E' und FD auf der Senkrechten durch den Schnittpunkt der Gurtstäbe Om und Um liegt. Ueberhaupt lassen sich jetzt Schritt für Schritt dieselben Schlüsse ziehen wie bei der Entwicklung des ersten Verfahrens, und es ergiebt sich dann die folgende Darstellung von

w — 1*

V

r m*

Der Stab Um der unteren Gurtung wird mit der Senkrechten durch B in J zum Schnitte gebracht und durch J zu Om eine Parallele gezogen, welche die mte Vertikale in K trifft. Vergl. Fig. 280. Nun wird die Gerade KN gezogen, LB gleich der Strecke b gemacht, welche die Geraden FD und FIE auf der Richtungslinie von B abschneiden und B T || KN gezogen. Schliesslich wird noch TW |[ 0 und

m-f-1

gemacht

max

Vm — LW erhalten.

Unser drittes Verfahren ist hauptsächlich dann von Vortheil, wenn V auf die von Zimmermann angegebene

die Spannkräfte

Weise (§ 31) bestimmt werden und die Verkehrslast aus einem Zuge von Einzellasten besteht, während das erste Verfahren namentlich bei

max

D und

min

gleichförmiger Belastung zu empfehlen ist.

Bei der Anwendung des zweiten und dritten Verfahrens braucht über Grösse und Stellung der links von m— 1 wirkenden Verkehrslast nichts bekannt zu sein. Es genügt, anzunehmen: der Träger ist links von m — 1 so belastet, dass die in der Gegendiagonale des mten Feldes durch die ständige Last und durch den von B aus bis ins mte Feld vorgeschobenen Lastenzug erzeugte Spannkraft wieder aufgehoben wird. Nun kann es aber Vorkommen, dass zur Aufbringung jener Belastung der Raum fehlt, und dass selbst bei voller Belastung des Trägertheiles links von m — 1 in jener Gegendiagonale ein kleiner Zug übrig bleibt. Trotzdem ist es zulässig, jene Verfahren anzuwenden, weil sie einen etwas zu grossen Werth maxVm liefern, der indes von dem genaueren Werthe nur wenig abweicht. Man kann übrigens den entstandenen Fehler leicht verkleinern, zuweilen sogar aufheben, wenn man sich an die Regel hält, dass bei der Ermittlung der maxVm in die Kräftepolygone für die oberen Knotenpunkte m (Fig. 276a) nicht Kräfte 0 eingeführt werden dürfen, welche die vorher aus den Momenten maxM gefolgerten grössten Spannkräfte 0 übersteigen.

Greift die Belastung in den Knotenpunkten des Obergurtes an, so ist die Bestimmung der Spannkräfte maxV sehr umständlich; es genügt aber, die Kräfte minVzu ermitteln und bei Berechnung der zulässigen Inanspruchnahme die zweite Grenzspannkraft = Null zu setzen. Da die

max

hier kleine Drücke sind, so erhält man die Querschnitte etwas zu gross. Eine Ausnahme bilden die Sichelträger. Diese werden aber in der Regel als Parabelträger construirt, und dann entstehen die max V bei gänzlicher Belastung; sie ergeben sich, da sämmtliche Diagonalen spannungslos sind, aus den Kräften maxU. Es werden die Kräftepolygone für die Knotenpunkte der unteren Gurtung gezeichnet. Vergl. No. 169.

M im

max

162. Spannkräfte in den Gurtungen. Besteht die Verkehrslast aus einem Zuge von Einzellasten, so werden die Momente Allgemeinen bei verschiedenen Laststellungen entstehen. Ist dann

¹

Wir sprechen, der kürzeren Ausdrucksweise wegen, nur von Grundstellungen der Verkehrslast.

²

Es gieht Laststellungen, bei denen beide Diagonalen gleichzeitig gezogen werden; die Aufgabe, die Spannkräfte D zu berechnen ist dann statisch unbestimmt und fällt unter die im II. Bande unseres Buches vorgetragenen Untersuchungen. Für die Praxis genügen indessen die oben gegebenen Formeln. In neuerer Zeit sucht man Fachwerbe mit Gegendiagonalen zu vermeiden, ihre Theorie darf aber hier nicht fehlen, schon weil sie für die Umrechnung älterer Brücken auf Grund der neuen Belastungsvorschriften wichtig ist.

³

Man hat sich hierbei (nach No. 153) die Einflüsse der links vom Knoten m — 1 in Fig. 279 wirkenden äusseren Kräfte A und P' gesondert dargestellt zu denken. Die Spannkraft 0„, wird dann durch P' nicht verändert.

max

max

AL_i

so ist auch

Kn

Kn

max

Mm- Mm

hm

>-

I'

Kn-1    j

dasjenige für den (m—l)ten Knotenpunkt gebildete Moment

Mm erzeugenden Laststellung ent-Es ist also bei dieser Laststellung im mten Felde die linkssteigende Diagonale gespannt und

wo M.

ist, welches bei der das Moment steht.

max

om =

Mm

max—~m    o

7-sec ß»

Kn

Dagegen kann es Vorkommen, dass im vorliegenden Falle

-1

An

hm — 1

ist, wo Mm das gleichzeitig mit Da nun in diesem Falle die rechtssteigende Diagonale gespannt wird, so darf streng genommen nicht

Mm_i entstehende Moment bedeutet.

(I)

Um =

sec y„,

-1

gesetzt werden, vielmehr ist

um<

sec y».-

Mm_l

hm-l

Der Fehler, der durch Anwendung von Formel I entsteht, ist indes gering. Er darf um so mehr zugelassen werden, als sich Um etwas zu gross ergiebt, und der Werth einer allzupeinlichen Rechnung — wie nicht oft genug betont werden kann — höchst zweifelhaft ist.

Deshalb setzen wir

Om cos ß,„

Mm

hm

um cos ym = +

Mm-1

sobald

Mm

hm

max

hm

-1

km

-1

Im ersten Falle ist bei der zeichnerischen Ermittlung von Om und Um im mten Felde eine linkssteigende Diagonale anzunehmen (Fig. 263), im zweiten Falle eine rechtssteigende (Spiegelbild der Fig. 263, in welcher dann aber m — 1 und m mit einander zu vertauschen sind).

163. Der Sehwedlerträger. Wird die Gurtung eines Fachwerkbalkens so geformt, dass die Spannkraft minD jeder Diagonale gleich Null ist, so genügt in jedem Felde des Balkens eine schlaffe Hauptdiagonale. Gegendiagonalen sind überflüssig. Ein solcher Träger heisst, nach seinem Erfinder, ein Schwedler-Träger.

die auf m und m — 1 be-

m— 1

und ganz entsprechend Om cos ßw = ~

-M-m -1

-i

Um cosYm = -f

hm

Mm

> sobald

M

maxiyI-m — 1

km -1

mar

hm

Bezeichnet man mit Mm und M, zogenen Angriffsmomente für diejenige Laststellung, welche mi„Dm erzeugt, so muss sein

(I)

Mm M.

h m    hm

— — 0, also

h/n

-1

Mn

-i

hm

Mit Hilfe dieser Gleichung kann man, sobald hm gegeben ist, die Länge hm_i berechnen. Die Gestalt der einen Gurtung darf beliebig angenommen werden, diejenige der anderen ergiebt sich dann durch wiederholte Anwendung der Gleichung (I).

Um hm_x durch Zeichnung zu ermitteln, nehme man eine Gegendiagonale an (Fig. 281) und bestimme A»-i so, dass die Spannkraft in dieser

l>6—■

\11V

m-i

rr

Fig. 281.

teil

und (m— l)ten Ver

Gegendiagonale = 0 wird. Dazu trage man auf der m tikale von den unteren Knoten m und m — 1 aus die Strecken ma =

Mm

\n

auf¹), lege durch a zu Um eine Parallele,

-i

und (m — 1)6

\m

welche die Gegendiagonale in c schneidet, verbinde c mit b durch eine Gerade und ziehe Om || cb. Die Richtigkeit dieses Verfahrens folgt aus dem Spiegelbilde der Figur 258 auf Seite 270; denn fallen in dieser Figur die Punkte d und c zusammen, so ist die Spannkraft Dm = cd = 0.

Für die in der Nähe der Trägermitte liegenden Felder ergiebt sich in der Eegel    Mm also hm_x hm, und es entsteht dann bei

symmetrischer Anordnung des Trägers die in der Figur 281 dargestellte unschöne Form. Um diese zu vermeiden, führt man den mittleren Trägertheil mit parallelen Gurtungen aus, muss aber ^dann die Felder desselben mit Gegendiagonalen ausrüsten. Vergl. Fig. 2ïè und Fig. 2M.

Bei Ermittlung der Höhen hm ist insofern Vorsicht geboten, als die unter allen Umständen ungünstigste Belastung vorausgesetzt werden

muss. Hat man z. B. für eine Eisenbahnbrücke die Verhältnisse

nm

so gewählt, dass für die gefährlichsten Stellungen eines bestimmten Lastenzuges die Spannkräfte minDm = 0 werden, so wird, falls die Brücke einmal von einem schwereren Zuge befahren werden sollte, eine negative Spannkraft minDm entstehen, welche von einer nur gegen Zug widerstandsfähigen Diagonale nicht aufgenommen werden kann. Die Starrheit des Trägers wird dann nur durch die an den Knotengelenken auftretenden Eeibungswiderstände, beziehungsweise durch die an Stelle jener Gelenke angeordneten Nietverbindungen gesichert, und es erfahren namentlich die Gurtungen grössere Beanspruchungen auf Biegung. Um diesen vorzubeugen, nehme man eine möglichst grosse Verkehrsbelastung an, schätze dagegen die günstig wirkende ständige Belastung nicht zu hoch ab.

164. Rechnerische Bestimmung der Form eines Schwedlerträgers.

a. Die Verlcehrslast besteht aus Einzellasten. Wir lösen die folgende Aufgabe : Eine Eisenbahn soll durch Schwedlerträger von 40m Länge, 4m Feldweite und 6m Höhe überführt werden. Gesucht ist die Gestalt des Trägers. Die ständige Belastung schätzen wir nach der auf Seite 137 mitgetheilten Erfahrungsformel zu g — 27,5 l + 750 = 27,5 • 40 + 750 = 1850¹ = 1,85¹ f. d. Meter Gleis, wofür wir aber aus den oben angeführten Gründen den kleineren Werth g —1,7¹ in Rechnung stellen wollen. Die Belastung der ersten Lokomotivachse erhöhen wir auf 15¹ und beschränken uns auf den Einfluss von Grundstellungen.²)

Das Angriffsmoment in Folge der ständigen Belastung beträgt für den Knoten m (wegen xm = m X und l = 10 X)

1,7-4,0‘²m (10 — m)

Mmg

_gxm{l — xm) _ g\²m (10 — m)

= 13,6 m (10 — m).

I*»

Ca

ö, oo m

-x-4-

s¹

■5

-X-

È¹

«a-

;i

+-

Ti

T"

■** r ;

____r *4. _ _

? *■

•”T

ta

-V....

—_ -St___

/jt ,3‘ at

■a

Big. 282.

und hiernach ergieht sich der Reihe nach für m = 1, 2, 3, 4, 5

Mgl = 13,6-1 (10 — 1) = 122,4"” M₉o = 13,6-2 (10 — 2) = 217,6"” Mga = 13,6 • 3 (10 — 3) = 285,6"”

Mgi — 13,6 • 4 (10 — 4) = 326,4tm Mgs = 13,6 • 5 (10 — 5) = 340,0<m.

hx

Behufs Berechnung von —— wird der Zug von A bis 1 vorgeschoben, er

II,

ruft am rechten Auflager den "Widerstand hervor

£i =

15-4,0 + 13(2,6 + 1,2)    109,4    10,94

10X

und es ergehen sich mit Berücksichtigung der ständigen Belastung die Angriffsmomente

Mx = B, 9X + Mn = 9 • 10,94 + 122,4 = 220,86"”,

weshalb

M, = Bx 8X + Mg2 = 8 • 10,94 + 217,6 = 305,12"”,

_ M, _ 220,86

' lä,~ 305^2    ’

Jetzt wird der Zug bis zum Knoten 2 vorgeschoben; er erzeugt

28.42 Ba~ X

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

M₂ = 8 • 28,42 + 217,6 = 444.96 M₃ — 7 • 28,42 + 285,6 = 484,54

'—r~r = 0,92.

lind es folgt daher

M₂ 444,96

Ms 4S4.54

Reicht der Zug bis zum Knoten 3, so entsteht

53.73

Ma = 7 • 53,73 + 285,6 = 661.71 1 Mi = 6 • 53,73 + 326,4 = 648.78 f

Wir wählen daher: h₃ = hi = h₅ — 5,0” und erhalten: h₂ = 0.92 • 5.0 = 4,60”'; h, — 0,724 •4,60 = 3,33"*.

lh

wonach —— > 1.

b. Gleichförmige Belastung. Um mi„Dm zu erzeugen, wird der in der Fig. 283 dargestellte, besonders ungünstige Belastungszustand vorausgesetzt. Vergl. No. 148 Seite 248. Der von der Belastung p herrührende Widerstand des rechten Auflagers ist

3L>m—1 CCyn

27

X>--

und es entstehen deshalb die Angriffsmomente

gxm—1 X m — 1

P X m —1 Xm X m — 1

27

tu

Mm = Bx'm + Mm g —

3,3Jm

'3,Mm

Wo*'

P Xm — 1 Xm X m

gXmXm

27

■Ol

c>

Iod

4,00*

4 _    i. sm- *- -- * -y"*4 - 3n 4 - 3m    -f*--* -    - **- 4 - * n-t

i±

m-1

X'

Ain

Fig. 283

Mithin ergiebt sich

hm—1 Xm—1 X m—1 ({/ 7 ■ [ p Xtn)

bm

Xm Xm {gl -\-pxm-1)

Sind die Feldweiten gleich gross, so darf in die vorstehende Gleichung der Werth X = 1 eingeführt werden. Liegt also beispielsweise ein Träger von 33m Stützweite vor mit 11 Feldern von 3’” Länge, so darf gesetzt werden: xs = 3 • 1 und x\ = (11 — 3) • 1 = 8. Man erhält dann, wenn a = 0.3³ und p — 0,7'³) ist

1 • 10(0,3 • 11+0,7 • 2)

47

2- 9(0,3-11 + 0,7-1) h₂ _    2 • 9(0,3 • 11+0,7 • 3)

—    3 ■ 8 (0,3 • 11 + 0,7 • 2)

h₃ __    3- 8(0,3- 11+0,7-4)

4- 7(0,3-11+0,7-3) 4- 7 (0,3 -11 + 0,7-5)

72

81

h%

h\

h\

5- 6(0,3-11 + 0,7-4)

94

61

63

>1-

Wird die Höhe des Trägers in der Mitte = 4m gewählt, so ergiebt sich • 4 = 3,88’" (nach oben abgerundet);

h\ — h₅ = 4“; h₃ —

61

63

h₂ — — • 3,88 = 3,35“; + =

94

47

72

• 3.35 = 2,19“.

§ 35.

(jrleidnnassig¹ belastete Parabelträger mit Gfegeiidiagonalen.

165. Spannkräfte in den Gurtungen. Wird die Gestalt der einen Gurtung bei beliebig angenommener Form der anderen Gurtung mittels der Parabel-gleichung

4 fxm x'm

ihn

(1)

bestimmt — vergl. Seite 275 und Fig. 268 —, so ergiebt sieb bei gänzlicher Belastung des Trägers mit q

Mm _ qxm x'm

qP

Ilm

2 hm

Die Diagonalen sind spannungslos, und für die Spannkräfte 0 und U erhält man die Formeln

(2)

Gm COS -

und U,» cos y„,

qP

Macht man also in Fig. 284 die Wagerechte CE —    , und zieht durch

°T

C zu den Stäben Ou 0₂ , 0₃, . . . . Parallelen, welche das in E auf CE errichtete

<L

Oj,

l7s

//;

/1 m

J///

ani \'

Fig. 284.

Loth in den Punkten 1, 2, 3, ... . schneiden, so stellen die Strecken Cl, C2, C3, .... beziehungsweise die Spannkräfte Ol5 0₂, Os, . . . . dar. Ganz ebenso werden die^ Spannkräfte U ermittelt.

166. Spannkräfte in den Diagonalen. Der Einfluss der ständigen Be-lastung ist = 0. Die Spannkraft maxDm entsteht, wenn die Strecke x'm mit

p x m und der Knoten m mit

belastet wird (Fig. 285). Vergl. Seite 249.

Am linken Auflager wird der Widerstand

P X m x’m

Äm 21 hervorgerufen, und es entsteht (wegen x'm

4/jn    Um—1    4m Xm b

Jim    ’h/tn—1    4 f Xm X m

pl^m

Dm COS Cpm =

-1 - Xm — Am)

Am Xm —1 ^

AmPlm

■if Xm Xm- 1

*

“l

IS

In

F“*!

Fig. 285.

und zieht durch

Macht man also in Fig. 285 die Wagerechte UL

Fig. 287.

f gemessene Strecke c,„

li zu den Diagonalen Z>₃, Dt ... . Parallelen, welche das in L auf RL errichtete Loth in den Punkten 2, 3, 4, ... . schneiden, so stellen die Strecken jR2, jB3, R4, . . . beziehungsweise die Spannkräfte

Bezeichnet man die Länge der Diagonale des mfen Feldes mit dm, so darf man auch (wegen lm = d,„ cos çm ) schreiben

_ Pi

max

D.>, maxDÿi maxD^i . . . VOl'.

(3)

Dm

dm .

pl

Wählt man den Kräftemaassstab — f (also beispielsweise für l — 40w,

f — 6’” und j) — 2,2 ^ den Maassstab 11,0* = 6 ”* ), so erhält man

Dm - dm •

167. Spannkräfte minVmp in Folge der beweglichen Belastung, a. Beliebige Form der einen Gurtung. Greift die Belastung an der unteren Gurtung an, so entsteht minVm gleichzeitig mit maxDm+1. Bringt man Um+1 mit A in C zum Schnitt, und zieht durch C Parallelen zu Om und Om+1, welche die fragliche Vertikale in E und die ‘darauf folgende Diagonale in F schneiden, so ist nach

0„

L On

C>**Z

,1V *L,

Fig. 286.

No. 152 und mit Bezugnahme auf No. 241

le

min Bmp

pi

LE

woraus Vm = — — - dm+\

LF

Zieht man durch den unteren Knoten m -j- 1 zu FE eine Parallele, welche die fraglichen Vertikale in S schneidet und setzt LS = cm, so findet man

max

D(m + l)p

LF

(4)

pi

min T mp - ₀ « Cm ,

ca

\\

F,

1/

und es stellt demnach die im Kräftemaassstabe ---

8

die Spannkraft mi„ Vmp vor.

= 0,3 ³ f. d. m der Trägerlänge geschätzt worden.

Greift die Belastung an der oberen Gurtung an, so entsteht Vm gleich-Dm ■ Man bringt 0,„ mit A in C zum Schnitt, Fig. 287, zieht

zeitig mit

CE || Um, CF || Um+\ und (m — 1) S'il AJA¹. Mit LS=c'm findet man

win Fm-

b. Die Knotenpunkte beider Gurtungen liegen auf Parabeln, deren Gleichungen mit den Bezeichnungen in Fig. 288 lauten

4 fu xm xm

(5)

ho in

4 f o Xm X m

hum

n____

A<:

-y--\n,    jfo

|-------i—«

fÀA-f

Ali

|e--------N*--

----we —

<-

‘ I--------

jl-----------^-------

Fig. 288.

xm

jl-

Es ist dann h,n — hom-\-hum

4 fXm CO m

Die Spannkraft minVmp wird hervorgerufen, wenn nur Lasten rechts von dem durch Om, Vm. Um+i geführten Schnitte wirken; sie ergiebt sich aus der auf den Schnittpunkt von Om und U,„+i bezogenen Bitter’schen ^Momentengleichung (vergl. Fig. 289)

T m p €m    A (em Xm ) — 0 W 01UUS T mp — A

Xm

&m

-*-Z-

Für die Strecke s, welche die Verlängerungen von Om und Um+i auf der linken Auflagersenkrechten abschneiden, ergiebt sich leicht der Ausdruck

hont ho {nt — 1)

S - So Su - hont

Xm hu (m+l)

hu(tn-f-1)    hum

Xm-\-1

und nach Einführung der oben für hQ und hu angegebenen "Werthe

•1 x

# — (fo Xm-1 + fuXm+i), weshalb

fo Xm — 1 fu Xm -j-1

hm

fx’m

Jenachdem nun die Belastung an der unteren oder oberen Gurtung angreift, wirkt am linken Auflager (nach No. 148 Seite 249) der Widerstand:

P x'mX’m- 1

Ani+l =

P X m X in-f-1

oder Am —

und man findet deshalb

(6)

bei unten wirkender Belastung

min

Vp m-

„ oben

min 1 m -

P X m+l

2 If

P X m— 1

(foXm-1    f H Xm +1)

2 If

(fo X,n — 1    }~ /'h Xm 1 ),

-Ym —

.1

C\ A

Cnv

^nC

-ir-

jJ

Fig. 289.

wofür man nach, einer leichten Umformung auch schreiben darf

minvpm = —

(7)

min

Vjpm -

j^w(m-fl)⁻j"~ ho (m — 1)

~    + hu(m+1)

pl

X m-\-\

]•

Aus diesen Formeln ergeben sich die folgenden Gesetze. Greift die Belastung an der unteren Gurtung an, so lege man durch B und den oberen Knoten m — 1 eine Gerade und bestimme die Strecke cm, welche dieselbe auf

pl

der (m + l)ten Vertikale abschneidet. Man erhält dann minVmp —--c„, .

pl

Bei oben angreifender Belastung ist min Vmp —--3— c„,, wobei c m die

8 f

Strecke ist, welche eine von B aus durch den unteren Knoten m-j-1 gelegte Gerade auf der (m — l)ten Vertikale abschneidet.

Es soll noch unter der Voraussetzung gleich grosser Feldweiten eme Bestimmungsweise der minVmp mitgetheilt werden, welche zu ausserordentlich übersichtlichen Kräfteplänen führt. Dabei mögen die folgenden Fälle behandelt werden.

1. Der Bogensehnenträger. Fig. 290.

Die Belastung greife an der unteren Gurtung an. Wegen fu — 0 geht die erste der Gleichungen (6) nach Einsetzen der Werthe

X m+l X m X , Xm-^rX Xm ~~j⁻ X, X m l Xm

über in

(8)

min Vp m-

p [x,„ ( l — xm) - X (l — X)]

Nimmt man jetzt in jedem Knoten eine Last p\ an (welche Annahme einer gleichmässigen Belastung des ganzen Trägers mit p f. d. Längeneinheit

_i

Jß'

p. I

PÄ

pl

pÄ p.'i

pX

p. i

pJl

pjl

pX

. PA

pX

Fig. 290.

entspricht) und zeichnet zu dieser Belastung mit der Polvveite l ein Seilpolygon

pxmjl — xm )

A'CB'i so ist dessen Ordinate hei m:

21

, nämlich gleich dem

durch die Polweite l getheilten, durch gänzliche Belastung des Trägers hervor-

pl(l — X)

gerufenen Angriffsmomente

P Xm (l Xm )

. Die Ordinate hei 1 ist:

21

und es folgt daher aus Gleichung (8)

min Vp m - d m i

wo Ym den Unterschied der den Knoten m und 1 entsprechenden Ordinaten des Seilpolygons A'CB' ist. Wir wollen dieses Seilpolygon in der Folge kurz das Polygon S nennen.

Man kann auch Gleich. (8) mit Rücksicht auf h

4 fx{l — x)

l*

umformen in

pl

min Vpm - cPe    ^l)

3/

und erhält dann, wenn der Kräftemaassstah = f gewählt wird,

min

Vpm = - (hm - hA

2. Der Fischbauchträger. Fig. 291.

Die Belastung greife oben an. Dann gilt die zweite der Gleichungen (6). Dieselbe lässt sich uniformen in

P VXm ( l ~ L 21

(9) min Vpm

Xm )

yX(Z-f X)1 21 J

- Ym

A'

ln

t nF

A"

B"

Fig. 291.

und hieraus folgt: Zieht man nach Aufzeichnung des Seilpolygons S im Abstande

zur Schlusslinie A'B' eine Parallele A"B”. so ist Ym die auf die Gerade A"B" bezogene Ordinate des Seilpolygous.

A'A"

21

3. Der Fischträger. Fig. 292.

Es ist f₀ — f„ = j f- Die Gleichungen (6) gehen dann über in

fb)

B'

ß"

JA

B'

lm

B"

(CU

Fig. 292.

min Vp m

min Yp m —

_ _ j“ pXm (l

r pxm{l — xm) . p'KXm 1

L    21    h 21 J_

— Xm ) P X Xm

21

= — Ym

— Ym .

— hat (Fig. 292 a) und im zweiten Falle ist Y,„ gleich

Die erste Gleichung gilt bei unten angreifender, die zweite bei oben angreifender Belastung. Im ersten Falle ist Ym gleich dem Unterschiede der Ordinate des Polygons S und der Ordinate einer Geraden A ' B ", welche bei x = l

die Ordinate B'B"

der Summe der Ordinaten dieses Seilpolygons und dieser Geraden. Im ersten Falle ergeben sich links von der Mitte die grösseren Spannkräfte Vpm, im zweiten Falle rechts von der Mitte. Es genügt, die grösseren Werthe Vpm zu messen.*)

4. Der Sichel träger. Fig. 293.

Die Belastung greife oben an. Es gilt dann die zweite der Gleichungen (6) ; der Klammerausdruck lautet aber jetzt: (fa xm-\—fuxm+i) und es ergiebt sich

(mit f₀ =f + fu)

di)

lr _    [” pXm—1 x m—\

min Vpm —    g,

— Ym ■

A"

■B'

■<U

& — t/'ï/ — >

-------

Fig. 293.

Hiernach ist Ym gleich dem Unterschiede der bei m gemessenen Ordinate des Polygons S, das aber jetzt um eine Feldweite nach rechts zu verschieben ist,

bestimmt

und der Ordinate einer Geraden A"B\ Avelche durch A' A"

_ Pl f» ~ W~f

ist, Fig. 293. Es brauchen nur die Spannkräfte min Vp m für die Vertikalen rechts von der Mitte gemessen zu werden.

168. Spannkräfte Vg in Folge der ständigen Belastung. Befindet sich ein Parabelträger nur unter dem Einflüsse der ständigen Belastung so sind sämmtliche Diagonalen spannungslos, und es lassen sich deshalb nach Ermittlung der Spannkräfte Og oder Ug die Spannkräfte Vg durch Aufzeichnung der Kräftepolygone für die Knoten der oberen oder unteren Gurtung bestimmen.

*) Bewegt sich z. B. im ersten Falle die Belastung von A nach B (statt wie oben vorausgesetzt von B nach A), so treten rechts die grösseren Spannkräfte, links die kleineren auf. Es gilt dann das Spiegelbild der Darstellung in Fig. 292 a.

Vm - \ (gu -j- p) (Xm -f- X,„ + l),

max

und für den in Fig. 292 dargestellten Fischträger erhält man, falls beide Gurtungen in Parabeln einbeschrieben sind und die bewegliche Last unten angreift

max

Liegen die Knotenpunkte beider Gurtungen auf Parabeln, gelten also die Gleichungen (5) auf Seite 287, so ist es möglich, für die Spannkräfte Vg sehr einfache Formeln abzuleiten. Da nämlich die obere Gurtung das Seilpolygon für die in den oberen Knotenpunkten m angreifenden Kräfte Vmg -f- A g„ (Xm -|- Xm+i) bildet und die untere Gurtung das Seilpolygon für die unten angreifenden Kräfte

i gu (XOT -j- Xm+i)— Vmg ; da ferner das Yerhältniss

Jlom hum

besitzt und beiden Seilpolygonen dieselbe Polweite {- gl² entspricht, so folgt Vmg -j- g₀ (Xm -f- Xm + l)

den festen Werth

fo

fo

und hieraus

fu

(12)

fo

Vmg •— \ gu (Xm -f- Xm+l) -J--\ ffo (Xm + Xm + l) ~ “ •

Insbesondere ergiebt sich

für den Bogensehnenträger in Fig. 290 Vmg = -\- \ gu (X„, -j- Xm+i)

„    „    Fischbauchträger „ „    291    Vmg = — \ g₀ (XM -j- WO

„    „    Fischträger (f₀ =fu=\f) in Fig. 292 Vmg = -\-\{gu — ga) (Xm + XM+0

„    „ Sichelträger in Fig. 293 Vmg= J gu (Xm + Xm+0    + ^«(Xm + Xm+i) ~ •

Für den Sichelträger kann man auch schreiben

Fm

\ [ff "l“ 9» )    + ^rn+l)

AVO g = ga + 9«•

Vm- Während es bei der Bestimmung der mi„Vm zAA'eckmässig ist, den Einfluss der beweglichen rmd ständigen Belastung getrennt zu ermitteln, empfiehlt es sich, bei der Untersuchung der lastungen gleichzeitig zu berücksichtigen.

Greift die bewegliche Belastung an der unteren Gurtung an, so entsteht Vm stets bei gänzlicher Belastung des Trägers, wie auch die Form der einen Gurtung geAVählt werden mag. Die Diagonalen sind spannungslos, und man findet deshalb nach Ermittlung der Kräfte 0 die Spannkraft das Kräftepolygon für den oberen Knoten träger ist

max

169. Spannkräfte

max

max

Vm beide Be-

max

Fm, indem man zeichnet. Für den Bogenséhnen-Vm gleich der Belastung des unteren Knotenpunktes m d. h.

max

F„, — \{g» — 9<> + p) W 4~ Un+l)-Die letzte Formel entsteht, wenn in dem für Vmg gefundenen Ausdrucke die Belastung gu ersetzt wird durch gu -j- p.

In den Vertikalen des Sichelträgers sind auch im Falle oben angreifender beweglicher Belastung grössere Züge maxVm möglich; sie treten ein bei gänzlicher Belastung und können nach Ermittlung der U mit Hilfe der Kräfte polygone für die Knoten der unteren Gurtung gefunden werden. Liegen die Knoten beider Gurtungen auf Parabeln (gelten also die Gleichungen 5) so ergiebt sich

max

Vm =

fu

-j- (Xm -f- Xm+l).

§ 36.

Kräfteplan für einen Parallelträger (Eisenbalinbriicke).

Zahlenbeispiel. Tafel 3.

Eine zweigleisige Bahn soll mittels Parallelträger von der in der Fig. 294 angegebenen Anordnung überführt werden. Stützweite: 1= 36’", Trägerhöhe h — 3,6m, Anzahl der Felder = 10 also Feldweite: X = 3,6 m. Es sind zwei Hauptträger vorhanden; jeder derselben ist dann für die Belastung eines Gleises zu berechnen.

Die bewegliche Belastung besteht aus einem von drei Lokomotiven geführten Güterzuge, dessen Radstände und Achsenbelastungen in Fig. 111 angegeben sind. Die ständige Belastung (Eigengewicht) darf g — 1,744 geschätzt werden. Yergl. Seite 137.

a. Spannkräfte in den Gurtungen. In den Gurtstäben des mten Feldes entstehen die Spannkräfte

(1)

om =

Mm

Um = -f

m—1 •

Die grössten Momente in Folge der Verkehrslast sind in Fig. 128 auf Tafel 1 mit Hilfe eines Seilpolygons bestimmt worden, dessen Polweite H— 115,2⁴ = 14,4m beträgt.⁴) Wird H = 14,4”⁴ angenommen, so sind die Ordinaten yp des Seilpolygons mit dem Kräftemaassstabe zu messen. Es ist dies beim Parallelträger empfehlenswerth, und zwar wird zweckmässig H gleich einem Vielfachen von h gewählt. Im vorliegenden Falle ist H= 4Ä = 4 • 3,6 angenommen worden, und es er-giebt sich dann Mmp = 4 hym]?.

liefert, ist

Der Pfeil der Parabel, welcher die der ständigen Belastung entsprechenden Werthe ymu

li

= 19,575⁴.

1,74 • 36²

8 • 4 • 3,6

Nach Aufzeichnung dieser Parabel (Fig. 294) wurden zu den ywy die der Fig. 128 auf Tafel 1 entnommenen ymp gefügt, worauf gemessen wurde

yi=yu + yir = 2S>2t-’    =    y₃ = e3,7‘; y, = 72,2t;

y₅ = i 5,7⁴.

Nun ist aber —-h

Gleichung (1)

Mm 4 hym

4 y,„, und es ergiebt sich daher aus

0₁ = — 4yi = — 113*; l\ = 0 0₂ = — \y₂ =— 195*; H₂ = U 3*

0₃ = —4ys= — 255*; U₃ = 195*

0₄ = — 4y₄ = — 289*; H₄ = 255*

303*; U₅ = 289*.

°5 = — ⁴*/5 ==

an

Es ist hierbei gleichgiltig, ob die Fahrbahn an der unteren oder der oberen Gurtung liegt. (Fig. IbE u. 301.)

Werden die Diagonalen abwechselnd rechtssteigend und linkssteigend angeordnet, so entstehen die in den Figuren 302 und 303 dargestellten Trägerarten, welche man als Netzwerke mit eingeschalteten Vertikalen zu

¹

Die zeichnerische Ermittlung der Werthe —— ist in No. 156 beschrieben worden.

²

Das Beispiel ist aus der vorigen Auflage übernommen. Ueber die z. Z. geltenden Belastungsannahmen vergl. man No. 66.

³

Diese Belastungen entsprechen einer Fussgängerbrücke mit 2 Hauptträgern , deren Bahn aus Bohlenbelag auf hölzernen Längsträgern und eisernen Querträgern besteht. Breite der Brücke 3,5“. Verkehrsbelastung (Menschen-

3,5-0,4

gedränge) = 400fc f. d. qm., so dass auf jeden der beiden Träger p = -■

= 0,7 ' entfällt. Das Eigengewicht ist = 170fc f. d. qm Briickenbahn, also 3,5-0,17

⁴

Beschreibung auf Seite 140 u. f.

M

bezeichnen pflegt. Die Spannkraft in einem Gurtstabe ist =+-——,

h

wo M das Moment für den dem fraglichen Stabe gegenüberliegenden Knotenpunkt bedeutet. Es ergeben sich die in die Figuren 302 und 303 eingetragenen Kräfte.

b. Spannkräfte in den Diagonalen. Führt man durch das mte Feld einen senkrechten Schnitte, Fig. 296, so findet man für irgend einen Belastungszustand zwischen der Querkraft Qm = A —

—    P₂ — ... . . —Pm-i «nd der Spannkraft Dm die Beziehung

(2)

Qm — Dm sin <p = 0 d. i. Dm — Q,n cosec 9.

Fig. 296.

Die Querkräfte Qm und mithin auch die Spannkräfte Dm sind unabhängig von der Höhenlage der Fahrbahn; denn es ist für die Grösse von Qm gleichgiltig, ob die Lasten P in den Knoten der unteren oder oberen Gurtung oder zwischen beiden angreifen. Aus diesem Grunde ist es bei der Berechnung der Q und D nicht nöthig, die ständige Belastung g in die Theile ga und gu zu zerlegen.

Die Querkräfte Qm sind in der Fig. 295 dargestellt worden. Nach Eintragung der Geraden A"B'" mit den Endordinaten A'Â' = -f- \ gl

—    4% 1,74 - 36 = 31,3* und B'B" = — 31,3* wurden durch die Punkte, in denen diese Gerade die Senkrechten durch die Feldmitten schneidet, Parallelen zu Â B' gezogen. Die Ordinaten dieser Parallelen geben die Querkräfte Q(J für die einzelnen Felder an; dieselben sind für die linke Hälfte des Trägers positiv, für die rechte Hälfte negativ.

Nun wurde für einen von B nach A sich bewegenden Güterzug das M-Polygon gezeichnet; dasselbe liefert die Querkräfte maxQp. Vergl. Fig. 126 auf Tafel 1 und die Beschreibung in No. 81.

Für das vierte Feld entsteht maxQp in Folge der Grundstellung der Verkehrslast; es muss die erste Last des von B nach A fahrenden Eisenbahnzuges beim Knoten 4 liegen. Man erhält maxQp4: gleich der unter dem Knoten 4 gemessenen Ordinate des M-Polygons. Addirt man hierzu Qgi, so erhält man

<?4-

max

Die Querkraft Q₃ entsteht, sobald die 2te Achse des von B aus vorrückenden Zuges beim Knoten 3 liegt. Man muss also, um maxQ3 zu erhalten, die von Knoten 3 um e₁ — 1,4’”*) entfernte Ordinate des M-Polygons zu QgZ addiren und von der so erhaltenen Summe die im

Knoten 2 angreifende Last P₁ = P' in Abzug bringen. Auch für das erste und zweite Feld ist die Grundstellung nicht die gefährlichste.

Die Querkräfte ergeben sich für die Felder 1 bis 7 positiv, für die Felder 8 bis 10 negativ. Da nun eine linkssteigende Diagonale (wie Gleichung 2 lehrt) gedrückt wird, sobald Qm negativ ist, so müssen, wenn die Diagonalen stets gezogen sein sollen, in den Feldern 8, 9, 10 rechtssteigende Diagonalen angeordnet werden. Bewegt sich nun der Eisenbahnzug in der Richtung von A nach B über die Brücke, so sind in den Feldern 1 bis 3 linkssteigende und in den Feldern 4 bis 10 rechtssteigende Diagonalen erforderlich, und hieraus folgt, dass die Felder 4, 5, 6, 7 Gegendiagonalen erhalten müssen.

Aus den Querkräften Q lassen sich die Spannkräfte D auf zeichnerischem Wege mit Hilfe der Bedingung finden, dass die senkrechte Seitenkraft (Dm sin cp) von Dm gleich Qm sein muss. Es ergeben sich auf diesem Wege die folgenden Werthe

max

D.₂ = + 124,7*

max

min

D₂

min

max

D₃ — -f- 95)3

Dd == + 27,6*

min

De

min

2). = + 18,1'

7n ax

D₄ = + 68,5*

D₄ = maxB₁ — + 3,8***) D₅ = + 44,4*

d₅ =

max

D, = + 22,3‘.

Die grösste Spannkraft in der Diagonale D₁ entsteht gleichzeitig

mit dem grössten Drucke 0₁ ; sie ergiebt sich aus dem Kräftepolygone des oberen Knotens 0 (Fig. 294a) und ist nur die ständige Belastung, so entsteht

**

*) Es bedeutet ex den ersten Radstand. ) Die Spannkraft

max

L)l = 159,5****). Wirkt B₁ = „n„B₁₀ ⁼    39,7*.

max

min

D₇ wurde (weil sehr klein) im Kräfteplane fort-

gelassen.

***) Es ist stets Dx — — 0X sec cp. In Fig. 296 a wurde der obere Knoten 0 unbelastet angenommen; indes ist hervorzuheben, dass Dx unabhängig ist von der Höhenlage der Belastung. Die grösste positive Querkraft des ersten Feldes ist: Qi = — Oi tg qp, also im vorliegenden Falle: Qi = -j- 113e.

Die vorstehenden Zahlenwerthe sind in den Figuren 300. u. 301 übersichtlich zusammengestellt worden. In den Diagonalen des Netzwerks mit eingeschalteten Vertikalen entstehen die in den Figuren 302 und 303 angegebenen Spannkräfte.

(3)

c. Spannkräfte in den Vertikalen. Legt man durch die mte Vertikale einen Schnitt tt (Fig. 297), welcher ausserdem nur noch zwei Stäbe trifft, und setzt die Summe der auf den linken Trägertheil wirkenden senkrechten Kräfte gleich Null, so erhält man H⁻ Q — 0, also Vm = — Q.

Je nachdem nun bei linkssteigenden Diagonalen sämmtliche Lasten (auch das Eigengewicht) in den Knoten der unteren oder oberen Gurtung angreifen, ergiebt sich

(4)

Vm — Qm +1 , WO Qm+1 = A (Pj + P₂ + • • • • -f- Pm)

oder

(5)

Vm — — Qm, wo Qm — A — (P₁ -j- P₂ -)-•••• Pm-1);

711-4

't

m-i

iVm

,y

m-i

>/

Vm

Fig. 297.

i    y Y

!    13*    13*    13*

Fig. 299.

Fig. 298.

denn im ersten Falle gehört die mte Knotenlast zum linken Träger-theile, im zweiten Falle zum rechten.

Aehnlich erhält man bei rechtssteigenden Diagonalen (Fig. 298): Vm = -J- Qm+, (Last oben)

Vm = Qm (Last unten).

Für den vorliegenden Träger ergeben sich nun aus der Fig. 295 die folgenden Querkräfte

Q₂ = 4- 88,2*

§, = +67,4'

Qi = -b 48,4‘

<?5 = + 31,4*

Ç« = + 15,7'

und es folgt mithin, wenn die Fahrbahn unten liegt Vx = — 88,2"

V₂ = —6 7,4*

F„ = — 48,4*

V₄= — 31,4*

— 15,7*

F₀ entsteht gleichzeitig mit maxDx (Fig. 294a) und ist: ro = — 113*.

(6)

(7)

max

max

max

■max

min

min

min

min

min

y₅

max

max

max

max

=+ 2,7*

Qs ⁼⁼

<?₉ =—19,5*

Qio ~    28,1*

9,3*

max

max

max

Vo = Vt = f₂ =

max

max

max

V₁₀ = — 28,1* F₉ = — 19,5* F₈ =— 9,3*

min

Liegt die Fahrbahn oben, so findet man

Fo = — 88,2*

V₃ = — 67,4*

F₄ = — 48,4*

F₅= — 31,4*

min

min

min

min

Die Spannkraft

min

mctx

max

max

max

F₉ = — 28,F ^8 =

19,5*.

Fx entsteht gleichzeitig mit

max

D₁ und

max

U₂

und ergiebt sich aus dem Kräftepolygone für den unteren Knotenpunkt 1 ; man erhält:

113**), während in der End-

Dx sin 9 =

vertikale ein Druck wirkt, welcher gleich dem Auflagerwiderstande A

min

v,=-

max

ist; es wird

V₀ = — A"C = — 130,8* bei vollbelasteter Brücke;

F₀ = — B' B" = — 31,3* bei unbelasteter Brücke.

Die vorstehend angegebenen Werthe F sind noch zu verbessern, da die ständige Belastung g nicht ausschliesslich in den Knotenpunkten angreift, die zur Aufnahme der Verkehrslast dienen. Wird angenommen, dass bei untenliegender Fahrbahn der Theil g₀ = 0,45* des Eigengewichtes g in den oberen Knotenpunkten an greift, so ist zu jeder der vorhin ermittelten Spannkräfte Vx bis V₅ der Betrag: —g₀\ = — 0,45 • 3,6 = — 1,6* zu addiren, während F₀ zu ändern ist um —^-y₀X =— 0,8*. Es ergeben sich dann die in die Fig. 300 eingeschriebenen Werthe.

Bei obenliegender Fahrbahn (g₀ — 1,29* und gu = 0,45*) ändern sich Fj bis V₅ um je: -f- gu\ = -f- 1,6* und F₀ um -J- \gu\ = 0,8*; man erhält die in Fig. 301 angegebenen Spannkräfte.

Die Vertikalen des in der Fig. 302 dargestellten Trägers werden nur auf Zug beansprucht. Ihre grösste Anstrengung erfolgt, wenn die mittelste Achse einer Lokomotive bei der fraglichen Vertikale liegt. Durch diese Belastung entsteht

*A.2

m in

max

Vp= 13 + 13

3.6

= + 28,9* (s. Fig. 299),

wozu die ständige Knotenlast gH\ = (1,74 — 0,45) 3,6 = 4,6* zu addiren ist. Es folgt

V = + 4,6*.

F= 28,9 + 4,6 = + 33,5* und

Bei obenliegender Fahrbahn werden die Vertikalen des Netzwerks nur gedrückt; Fig. 303.

max

min

*) Dieser Werth darf wieder der Fig. 294 a entnommen werden. Ersetzt man dort 0₁ — — 113' durch F₂ = -j-113', so erhält man das Kräftepolygon für den unbelasteten unteren Knoten 2.

§ 37.

Kräfteplan für einen Fisch bauchtniger (Fisenbalinbrücke).

Zahlenbeispiel. Tafel 3.

Die Stützweite des in der Fig. 307 dargestellten Trägers ist = 36’“, die Feldweite = 3,6”'. Die Knotenpunkte der unteren Gurtung liegen auf einem Kreisbogen, dessen Radius r = 36"' beträgt. Ständige Belastung g = 1,74 für d, Meter Gleis; dieselbe zerfällt in ^,= 1,29¹ und gu = 0,4 5‘. Die bewegliche Belastung besteht aus einem von drei Lokomotiven geführten Güterzuge, dessen Radstände und Achsenbelastungen in Fig. 111 angegeben sind. Die Brücke ist zweigleisig und besitzt zwei Hauptträger.

a. Die Spannkräfte in Folge der ständigen Belastung wurden mittels eines Cremona’schen Kräfteplanes bestimmt. Derselbe wurde in Fig. 305 für die linke Hälfte des symmetrischen Trägers gezeichnet. Jeder Knoten der oberen Gurtung trägt die Last: g₀\ = 1,29 • 3,6 = 4,6¹. Im Knoten 1 greift an: ^¹0,45 (2,4    3,0) = 1,2% im

Knoten 5 die Last: \ • 0,45 (3,0 —3,6) = 1,3¹ und in jedem der Knoten 5, 7, 9 die Last: 0,45 • 3,6 = 1,6¹. Es ergeben sich die folgenden Spannkräfte¹)

Ol, = — 53'

Os, = — 55'

O5, —    56'

0„ = —57'

0₃„ = —57'

D2s — — 4,2';    — — 2,9'

0„ = —1,9’;    2>„ =— 2,1'

8,6';    h,„,= — 2,5¹

O,, = + 60'

U„ = + 60'

4 g

X>₅, = — 1,8';

=    3,1 ;

D7g — — 1,8¹;

U„ = + 60' u„ = + 59'

U„ = + 58'

0,„,=+ 58'

b. Spannkräfte in den Gurtungen. Um den Einfluss der Verkehrslast zu erhalten, wurde das in Fig. 233 auf Seite 245 dargestellte Verfahren angewendet. Mit Ausnahme der Stäbe TJX und U₂ besitzen alle Gurtstäbe die gleiche Horizontalprojektion 3,6”', und es wurde deshalb die Polweite des für den Güterzug in Figur 128 auf Tafel I gezeichneten Seilpolygons = 4 • 3,6 = 14,4m gewählt. Da nun der Zeichnung in Fig. 128 der Kräftemaassstab: Ie”' = 20‘ zu Grunde liegt, so liefert die ohne weitere Erläuterung verständliche Figur 306²) die

20

Spannkräfte OpX bis Opd und UpX bis Upl0 im Maassstabe: 1 = 80*. Man erhält

= 4*20

Opi ⁼—    160*; Op₃ = — 162*; Ol>5 = — 163*; Op7 = — 164*;

0^=—165*;

^,4 = +184*; Up6 = -f- 175*; Up8 = —)— 169*; Upl0 = + 169*. Die Spannkraft Upl ist =— Oplsecy₁, wo den Neigungswinkel von Ui bedeutet, während sieh Up2 nach Bestimmung von Upi aus dem Kräftepolygone für den Knoten 1 ergiebt. Auf diesem Wege

wurde in Fig. 309 erhalten

UPi — —|— 181* und Up2 — -j- 186*.

Upl und maxUp2 entsteht in der Diagonale D₂

minDp2 =    16,1 .

max

Zu gleicher Zeit mit der grösste Druck

Addirt man für jeden Gurtstab und für die Diagonale I)₂ die durch die ständige und die bewegliche Belastung erzeugten Spannkräfte, so erhält man die in die Fig. 310 eingetragenen Werthe. *)

In Fig. 311 sind die Spannkräfte in einem Bogensehnenträger mit gleichen Abmessungen angegeben worden. Die Verkehrslast ist dieselbe wie vorhin und greift unten an. Weiter ist g„= 1,29* und ga = 0,45*.

c. Spannkräfte in den Diagonalen. Der von B aus vor

rückende Lastenzug erzeugt in den linkssteigenden Diagonalen die Spannkräfte maxD, in den rechtssteigenden die Spannkräfte minD. Zuerst wurde auf die in No. 149 beschriebene Art festgestellt, dass die Grenz-werthe der Spannkräfte D₃ bis D₁₆ in Folge von Grundstellungen der Verkehrslast eintreten, während maxD₁₇ und minD₁₈ dann entstehen, wenn die zweite Achse des Lastenzuges beim Knoten 18 liegt. Um nun beispielsweise ,naxD₇ und minD₈ zu bestimmen, wurde der Stützpunkt A mit dem Knoten 7 durch die (blaue) Hilfslinie 7 verbunden und hierauf die bei 8 gemessene Ordinate A₈ des M-Polygons nach den Richtungen der Linie 7 und der oberen Gurtung (0₇) zerlegt, indem durch den Endpunkt von A₈ eine Wagerechte bis zum Schnittpunkte a₇ mit der Verlängerung der Linie 7 gezogen wurde. Legt man nun durch a7 Parallelen zu JD₇ und D₈, welche die von A aus zu U₆ und U₈ gezogenen Parallelen in den Punkten b₇ und b₈ schneiden, so ist Strecke b₇a₇ = maxD7p und b₈ a₇ = minD8p; die erstere Spannkraft bedeutet einen Zug, die letztere einen Druck. Es leuchtet ein, dass das vorstehende Verfahren mit dem in No. 150 auf Seite 253 entwickelten übereinstimmt und sich von diesem nur durch eine etwas übersichtlichere Lage der Kräftepolygone unterscheidet. Die Zeiger p wurden in der Figur 307 weggelassen.

*) Es wurden für die Gurtungen und die Diagonale JJ₂ nur die (ohne Vorzeichen genommen) grössten Spannkräfte angegeben; die kleinsten Spannkräfte sind für alle diese Stäbe gleich den von der ständigen Last herrührenden.

Fig. 308 zeigt die Bestimmung von

Ans? der

Kräftemaassstab ist doppelt so gross wie in Fig. 307. Die zweite Achse des Lastenzuges liegt beim Knoten 18. Der erste Radstand ist ex — 1,4’“, und es ist deshalb A gleich der im Abstande 1,4’" vom Knoten 18 gemessenen Ordinate des H-Polygons. Wird zunächst die im Knoten 16

max

Dpll

und

min

angreifende Last P' = P₁

ei

(wobei Pj = Belastung der ersten Achse

= 13*) vernachlässigt, so ergiebt sich auf dem vorhin beschriebenen Wege

Dpl7 = abu und minDp 18 — ab₁₈. Trägt man nun in den Winkel nab₁₇ die senkrechte Strecke dc = P' ein und zieht ce\\ UX8, so geben (nach No. 154) die Strecken ac und ae beziehungsweise den Einfluss der Kraft P' auf die Spannkräfte P₁₇ und P₁₈ an, und es entsteht deshalb, da der Einfluss von P' demjenigen von A entgegengesetzt ist: »m*D₂,₁₇ = cb₁₇ (Zug) und minDpl8 — eb₁₈ (Druck).

Auf dem angegebenen Wege erhält man

i.r

max

min

■ ,, r

min

min

max

min

Dp 3    —4“ 11)0*

DPi =    21,7*

Dp5 = 4“ 15)6*

DpQ

Dpi = 4- 19,2* Dp8 = — 28,9* Dp, = 4~ 20,7* Dp 10 = — 30,2*

-- 26,1*

maxDp 11 - 4-20,2*

JW = — 29,7*

Dpi 3 — 4“ 19>2‘

Dpi 4. ——    29,6*

Dpi ₅= + 16,P Dpie=~ 27,8* Dpi7 — 4~ 12,5**) n,inDp₁₈ = — 31,0**).

min

min

max

min

Bewegt sich nun der Eisenbahnzug in der Richtung von B nach A über die Brücke, so findet man durch Untersuchung des Spiegelbildes von Fig. 307 die Werthe

Dp3 —

xDpi

Dpi =-29,6*

Dp₈ =4-19,2*

Dp9 ⁼

Dpi, = 4“ 20,2* u. s. w.

Es genügt natürlich, die beiden Grenzwerthe für jede Diagonale der linken Hälfte des symmetrischen Trägers anzugeben. Die Addition der durch die Verkehrslast und das Eigengewicht erzeugten Spannkräfte liefert

D$ ⁼⁼ 4- 11,0 — 1,9 = 4- 9,1*

I)₃ = — 31,0 — 1,9 = — 32,9*

min

min

Dpi ₈ = — 31,0*

min

ma

max

Dpi 1 — 4- 12,5*

max

min

max

Dp, = — 27,8*

+ 16, U

Dpi]

tHOX

min

max

29,7*

min

min

P>₄ = 4-12,5 — 3,6 = 4- 8,9' Di— — 21,7 — 3,6 = — 25,3*

u. s. w.

so entsteht

*) Liegt die erste Achse des von B vorrückenden Zuges bei Knoten 18, Dpn = + 11,4* und minDp₁₈ = — 25.6h

ma c

20*

A — + 16,3

A = — 31,8 Dq = + 18,6 A = — 31,8 Aö = + 17,7 Ao ⁼ — 32,7.

Die vorstehenden Zahlen wurden in der Fig. 310 übersichtlich zusammengestellt, während in der Fig. 311 die Spannkräfte in den Diagonalen des Bogensehnenträgers angegeben worden sind.

max

m in

max

min

min

Dr. — —}— 13,8 A = — 29,6 A ⁼ + 13,0

A =

A = + 17,4 A = — 31,4

29,2

max

min

min

min

Anmerkung. Soll der beschriebene Kräfteplan zuverlässige Ergebnisse liefern, so müssen vor Allem die Parallelen zu den Gurtstäben Ut, U₂, U₃ ... . sowie die Verlängerungen der Hilfslinien 3, 5, 7, .... in Fig. 307 möglichst genau festgelegt werden. Zu diesem Zwecke empfiehlt es sich, diejenigen Punkte durch Kechnung zu bestimmen, in welchen die von A aus zu ziehenden Linien Uj, Uä ... ., 3, 5, 7, . . . . eine Senkrechte schneiden, die in beliebigem (möglichst grossem) Abstande e vom Auflager A angenommen wird. Vorher werden die Höhen 7^, ha. h& ... . mit Hilfe der Kreisgleichung

c wo c

= Y r‘²—\l²

hm = y+ — (hl —    —

berechnet. Man erhält (wegen /• = 36“ und l = 36m): c = 31,1769”' und hierauf für    al —    Xi    — 15,6*”,    hi    — l,268m

„    1 —    = 7 • 1,8,    7*3    = 2,546m

„    \l —    x₆    = 5 *1,8,    h₅    = 3,680m

„    \ l —    Xl    — 3 • 1,8,    h,₁    = 4,416”'

hÿ — 4.778”¹.

„ ^ l — xÿ — 1,8,

Ai

.Ÿ.

- .JSr-

<s-

i;

..

—-V-

Fig. 312.

Nun a an u man beispielsweise die von A aus zu U₆ gezogene Parallele durch Aufträgen der Strecke

CF= (h, — h₆) 4-

A

festlegen und die Verlängerung der Linie 7 durch Aufträgen der Strecke:

CE— ]h — •

Ti

Wählt man z. B. e — 10). (was bei Aufzeichnung der Fig. 307 geschehen ist),

so findet man: CF— 10 (fc₇ — 7>₅) = 10 (4,416 — 3.680) = 7,36w und CE= — hi

3,5

= 12,617 m.

§ 38.

Kräfteplan für einen Halbparabelträger (Eisenbalmbrücke) und Entwicklung einiger allgemeiner Formeln.

Zahlenbeispiel. Tafel 4.

Der zu untersuchende Träger (Fig. 316 auf Seite 311) besitzt eine Stützweite von 36³” und ist für dieselbe Belastung zu berechnen, wie die in den §§ 36 und 37 behandelten Fachwerke. Höhe am Ende: h₀ = 3,00”³, in der Mitte: lib = 5,00m. Die Knotenpunkte der oberen Gurtung liegen auf einer Parabel. Der Träger soll schlaffe Diagonalen erhalten. Zur Ermittlung der Spannkräfte möge das Zimmermann'sehe Verfahren dienen.

a. Die grössten Spannkräfte der Gurtungen sind in die linke

U₂ = -\-109'; 173 = 4-164'; U₄=4-196'; CT₅ = -f 211³.

Hälfte der Fig. 314 (Tafel 4) eingezeichnet worden. y₁, y₂, y₃, ... . bedeuten die auf Tafel 1 (Fig. 128 und 130) gewonnenen Ordinaten des Polygons der grössten Momente³); die Polweite ist H= 4X = 4 • 3,6 = 14,4m. Da nun auf Tafel 1 der Kräftemaassstab: Ie”³ = 20' ist, so liefert Fig. 323 die grössten Spannkräfte 0 und U im Maassstabe: lcm = 4- 20 = 80<; (vergl. Seite 259, Absatz 2). Man findet Oy = —IIP; 0₂ =—166'; 0₃ = —197'; Ö₄ = —212'; 0₅ = —218'; U, = 0;

Gleichzeitig mit dem grössten Drucke Ol entsteht der grösste Zug

in der Diagonale D± und der grösste Druck V₀ in der Endvertikale. Aus dem Kräftedreieck für den oberen Knoten 0 (Dreieck I in Fig. 314) ergiebt sich

Dj = + 142,0' F₀ =— 112,8'.⁴)

o\ D\

V-

— je-⁰

welche zu beachten ist, sobald bei der Querschnittsberechnung die zulässige Spannung vom Verhältniss der kleinsten zur grössten Inanspruchnahme abhängig gemacht werden soll.

ir

b. Spannkräfte in den Füllungsstäben. Wir wollen ein gemischtes rechnerisches und zeichnerisches Verfahren anwenden, so zwar, dass wir die Verhältnisse M: À für die in Frage kommenden Laststellungen mit Hilfe der folgenden Tabellen berechnen und hierauf das in No. 158 beschriebene Verfahren anwenden.

Zunächst sind die Stützenwiderstände A₂, A₃, . . . . zu bestimmen, welche am linken Auflager durch einen Eisenbahnzug hervorgerufen werden, der von B aus bis Knoten 2, beziehungsweise bis Knoten 3 u. s. w. reicht. Die betreffenden Laststellungen wurden in Fig. 316 durch kräftige Striche angedeutet und sollen in der Folge als Zugstellung 2, Zugstellung 3, u. s. w. bezeichnet werden. Wir berechnen A auf die in No. 83^ beschriebene Weise und benutzen die folgende Tabelle, welche für einen von drei vorwärts fahrenden Lokomotiven geführten Güterzug unter Voraussetzung der in Fig. 111, Seite 121 angegebenen Achslasten und Radstände berechnet ist.

Tabelle I.

tO

co

to

co

iß

(S)

(w

CO CO 05 00 N i—i <M CO t^ kO

O l co co co

o°oV

NO NO GO h-*-NO O

co to to to to

O CO GO 05

Tfl t£ ^ tH^

th —f cT co CO co CO N N

O 05 00 N CO NNQ0 05 0 CN OQ 04 CO

9344,7

10154.7

10991.7

11855.7

12746.7

CO CO (M CO CD di CO° iO'cO O n T h Ol

66

79

92

105

114

368.1

632.1 742.7 871.5

1291.5

31

32

76,4

79,4

33    82,4

34    85,4

333

342

35

88,4

351

13664.7

14609.7

15581.7

16580.7

17606.7

11

22,1

12

23.6

13

27,6

14

29,0

15

30,4

123    1462,5

132    1647,0

145    2175,0

158    2378,0

171    2599,2

CO N ÛO 05 O co co co co Tb

^ ^ ^ ^ N c co 05 05 O) o o

tH y—*

O 05 OO N CO CO CO N GO 03

00 co CO CO co

18659.7

19739.7

20846.7

21980.7

23141.7

CÛNQ0J3O

tH rH t—* tH 03

t£ t£ t£ t^

d    c6

CO CO co -f -f

180

189

198

207

216

3283.2

3553.2    |    42

3836.7

4430.7

5051.7

405

414

CO (M H (N CO ^

24329.7

25544.7

26786.7

28055.7

29351.7

21

46,4

225

22    49,4

234

23

24

52.4

243

55.4

252

25    58,4

261

5699.7

6374.7

7076.7

7805.7

8561.7

46    121.4    450    30674,7

47    124,4    459    32024.7

48    127.4    468    33401,7

49    130,4    477    i 34805,7

50    133.4    486    36236,7

II

Berechnung von A₂. Die Strecke B2 hat die Länge 8 • 3,6 = 28,8m; ihr entspricht laut Tabelle I die Zuglänge c, = 27,6m. Die Anzahl der

^ 3,00™'

l......⁵■.....

------

■5.

71

le

Fig. 316.

bei der Zugstellung 2 auf dem Balken ruhenden Lasten ist mithin: n = 13, und der Abstand der letzten Last vom Auflager B beträgt: b„ = 28,8 — 27,6 = l,2m. Man erhält: $„= 145⁵, @M=2175,0<m und

(145 • 1,2 + 2175,0)

234,90

10k

Auf diese Weise sind die Werthe A₂ \ bis A₉ \ ermittelt und in der folgenden Tabelle zusammengestellt worden.⁵)

Tabelle II.

Zugstellung Strecke b m =

Ci

©„

b„ Am X

^ ^ K to to JO cc -J o 4— CO O⁵ OO bi CO QO 4-⁵- O Ci CO GO

^ h⁵ tO IO to tO Ci CO CC CiO co r«

OOOOGOOOCiOiOiCi

CO <M O

tH t—i rH

145

132

114

105

79

66

48

39

■1175.0 1647,0 1291,5

871.5

632.1

368.1    1,0

210.6    0,4

1,2    234,90

1,6    185,82

1,0    140,55

1.4    101,85

0,6    67,95

43,41 22,98

54,6

0,8

8,58

Meter i Meter

Ausser dem Eisenbahnzuge wirkt auf den Träger noch eine gleichförmige ständige Belastung: g= 1,74⁵ f. d. Meter, welcher die (bereits auf Seite 266 berechneten) Werthe

Tonnen

tm

Meter

tm

und kann nun das in der Figur 313 durch Schraffirung hervorgehobene Kräftepolygon (1) für den oberen Knotenpunkt 1 zeichnen. Es er-giebt sich

min

Vx = — 69,1⁶.

28,188;

2cr

= 50,112;

M₃

= 65,772;

⁴^= 75,168;

59

78,300 Tonnen entsprechen.

Wir beginnen mit der Ermittlung der Spannkräfte

tnax

D und

min

V.

Befindet sich der Eisenbahnzug in der Stellung 2, so entsteht und

D₂

min

Vt; beide Spannkräfte lassen sich auf die in No. 158 angegebene

Weise schnell bestimmen, sobald die Momente Mt und M₂ gegeben sind. Die Verkehrslast erzeugt: Mlp = A₂ • X == 234,90 und M2p = A₂ • 2X = 234,90-2; addirt man hierzu die oben angegebenen Wertbe Mlg und M<

so findet man .

Mx _ 234,90 • 1

3,6

f 28,188 = 93,4⁶

M₂ _ 234,90 • 2

3,6

f 50,112 = 180,6⁶

Z>₂ — -j- 88,4⁶,

Auf dieselbe Weise erhält man, unter der Annahme linkssteigender Diagonalen:⁶)

M₂

185,82 • 2

für Zugstellung 3

>'

3,6

f 50,112 = 153,3

185,82 • 3

3,6

{ tnax

D₃ = + 63,6⁶, 140,55 • 3

min

-f- 65,772 = 220,6⁶ V₂ = — 47,2⁶

für Zug-Stellung 4    ■

3,6

140,55 • 4

3,6

f 65,772 = 182,9⁶

tnax

Z>₄=+ 46,9⁶,

min

f 75,168 = 231,3⁶ F₃ = — 32,8⁶

101,85 • 4

für Zug- ^ Stellung 5

3,6

101,85 • 5

3,6

7)₅= + 34,6', 67,95 • 5

f 75,168 = 188,3'

f 78,300 = 219,8'

r₄ = — 22,2'

für Zugstellung 6

3,6

f 78,300 = 172,7'

M₆

67,95 • 6

3,6

75,168 = 188,4'

ö« =

M.

6_

+ 23,2e, 43,41 • 6

min

v₅= — 13.0*

für Zugstellung 7

3,6

f 75,168 — 147,5'

Mn

43,41 • 7

3,6

r-

+ 12,8',

22,98 • 7

min

)- 65,772 = 150,2

r₆ = — 5,i‘

für Zugstellung 8

3,6

+ 65,772 == 110,5'

OD~

22,98 • 8

>'

3.6

ft

b

ce

-j- 0,3',

min

+ 50,112 = 101,2 V₇= -f 3,5'

Anmerkung 1. Die kleine Spannkraft maxDa konnte in Fig. 313 nicht deutlich dargestellt werden, sie erscheint dort =0; um sie zu bestimmen, wähle man einen grösseren Kräftemaassstab, wenn dann auch das Kräftepolygon ausserhalb des Trägernetzes fällt. Will man Da berechnen, so findet man nach der auf Seite 273 abgeleiteten Formel (mit 7;s — 4.28m und = 4.68 ”')

M.    Mj    364,33    397,64

4728    4,68

D cos cp₈ —

Hq

Da = + 0,3*.

Es möge an dieser Stelle noch eine bequeme Formel zur Berechnung der Spannkräfte Vm abgeleitet werden. Führt man durch den Träger einen schrägen Schnitt, welcher die Stäbe Om, Vm und 77m+i trifft, zerlegt jede am linken Trägertheile angreifende Kraft in eine senkrechte uad eine wagerechte Seitenkraft und setzt die Summe aller senkrechten Seitenkräfte = 0, so erhält man (Fig. 317) Vm -f- Om sin ßm -j- Q = 0,

und

max

max

h.

0,158*

<L

/» /

\[

m-i

Am-

Fig. 317.

wo (nach Seite 273)

¹

In der Fig. 305 wurde der Zeiger g fortgelassen.

²

Zu beachten ist nur, dass in Fig. 306 die Knotenpunkte andere Ziffern tragen, wie in Fig. 128. So ist z. B. das ypi der Figur 306 gleich dem yn der Fig. 128. Nach Auftragung der durch die Figur 128 bestimmten AVerthe yp%, Vpv .</², Uno wurden die den unteren Knotenpunkten entsprechenden yp mit Hilfe des auf Seite 142 begründeten Näherungsverfahrens ermittelt.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

³

Beschreibung in No. 82 Seite 140.

⁴

Es wird vorläufig vorausgesetzt, dass die gesammte ständige Belastung g in den Knoten der unteren Gurtung angreift. Die Diagonale Dj wird stets gezogen, die Vertikale V₀ stets gedrückt. Bezeichnet man die ohne Vorzeichen zu nehmenden kleinsten und grössten Spannkräfte in den Stäben 0,, Du Vn beziehungsweise mit O'j, D'j, F'₀ und 0'\. D'\. F"₀, so besteht die Gleichung

__ ygi

ih

⁵

Bei gleichen Feldweiten empfiehlt es sich (wie sogleich einleuchten wird), die Produkte MX an Stelle der Widerstände A zu berechnen.

⁶

Zur Erzielung deutlicher Figuren wurden in den verschiedenen Feldern verschieden grosse Kräftemaassstäbe gewählt und neben den Kräftepolygonen angegeben. Der Längenmaassstab ist gleichgültig; erlaufet: X = 3,6,Ä = 4,2cm. Hervorzuheben ist, dass überall nur Grundstellungen des Eisenbahnzuges in Betracht kommen. Es wurde dies auf die in No. 149 beschriebene Weise festgestellt. Bei Ermittlung von maxD₂ und V₁ ist es gleichgiltig, ob die erste oder zweite Achse des von B vorrückenden Eisenbahnzuges beim Knoten 2 liegt.

Mm

Om

Jim COS ß ni

Da die Last in den Knoten der unteren Gurtung angreift und der untere Knoten m zum linken Trägertheile gehört, so ist die Querkraft

A/»>+i

Am + 1

und man erhält

Vm

ui    i    A/»* ,    *

Xm + 1

hm

tg ßm •

Jim Jim—1

Am

Setzt man: tgß»,

Feldweiten den bequemen Ausdruck:

, so findet man für den Fall gleich grosser

(I)

VmX = Mm

2 Jim    Jim—1

Jim

Mm+l •

D₈ entstehende

Beispielsweise ergiebt sich hiernach für die gleichzeitig mit Spannkraft mi„V₇ die Gleichung

F, • 3,6 = A/₇

2Ji₇ — Jiq

Ji₇

= 397,64

2-4,68 — 4,92

4,68

364,33 = + 12,92

woraus

min V 1 “j- 3,5 b

Selbstverständlich wird man, wenn die Spannkräfte D und V mittels der hier angewandten Formeln bestimmt werden sollen, nicht erst die Verhältnisse A/:A, sondern sofort die Momente berechnen. Bei der Zugstellung 8 entstehen z. B. in Folge der Verkehrslast die Momente: M1P = A& ■ 7A = 7 • 22,98 und Msp — A₈ • 8A = 8 • 22,98, wozu dann M7g und M8g zu addiren sind. Für das Moment Mmg findet man die Gleichung

Mmg — £ gxm {l — %m) — ^ 1,74 A²m (10 — ni) = 11,2752 m (10 — m) aus welcher sich für m = 1, 2, 3, 4, 5 der Reihe nach die Werthe ergeben 3/^ = 101,48; 180,40; 236,78; 270,60; 281,88‘“.

Anmerkung 2. "Wir wollen die rechnerische Bestimmung der Spannkräfte in den Vertikalen noch etwas allgemeiner behandeln. Bildet Um+\ mit der Wagerechten den “Winkel ym+1 (Fig. 264), so geht die vorhin angeschriebene Gleichgewichtsbedingung über in

Vm -p Om sin ß„, — Um+1 sin y>»+i -J- Q = 0,

und hierein ist zu setzen,

a) wenn die Verkehrslast in den Knoten der unteren Gurtung angreift

A/m-f. 1 - A/m

X(H+ l

b) wenn sie in den Knoten der oberen Gurtung angreift Q

A/,«    A/?«—i

Xm

Beachtet man noch die Gleichungen

Om

Mm

lim COS ßm

so gelangt man zu den bequemen Formeln

Jim COS y„,+ i

(II)

Vm X„+l = Mm [l -f

km+1

Jim

(III)

Vm "I m-Mm—1

Mm [l

(tg ßm 4- tg y,„+i)J — Mm+1 (Last unten) h (tg ß,» + te Y*+i)J (Last oben).

Hierbei ist vorausgesetzt, dass — wie im vorliegenden Zahlenbeispiele -— die gesammte ständige Belastung auf die Knotenpunkte derjenigen Gurtung vertheilt wird, an welcher die Verkehrslast angreift. Nachträglich ist im ersten Falle zu Vm der Betrag: —£ ffo (Xm-j- X«+i) zu addiren, im zweiten Falle der Betrag:

H“ i Qu (km -j- km+l).

Liegt die Fahrbahn zwischen den beiden Gurtungen, so gelten für die

der Fahrbahn die für den Fall

Theile der Vertikalen

oberhalb

unten

oben

an-

unterhalb

greifender Belastung abgeleiteten Formeln.

Die Formeln (II) und (III) setzen linkssteigende Diagonalen voraus. Bei rechtssteigenden Diagonalen betrachte man das Spiegelbild des Trägers.

Hervorgehoben werde, dass das Eigenthümliche der vorstehenden Entwicklungen darin besteht, sämmtliche Spannkräfte O, U, D, V durch die auf die Knotenpunkte bezogenen Angriffsmomente M auszudrücken.

max

Bmp

Anmerkung 3. Die für die Spannkräfte D und V gegebenen Formeln lassen sich leicht noch weiter entwickeln. Gesucht sei beispielsweise und min V(m—i )P, in Folge der Verkehrslast, letztere Spannkraft für den Fall unten liegender Fahrbahn. Rückt der Eisenbahnzug von B aus bis m vor, so entsteht am linken Auflager der Widerstand Am, welcher mit Hilfe der Tabelle I schnell berechnet werden kann; derselbe erzeugt die Momente

Mm—1 Am Km—1 , Mim Am VCm ,

und es ergiebt sich

wo e = -

(IV)

(V)

Xm

hm

max

Xm—1

T)mp COS (pm

Mm

lim

Mm—X

Jim—1

AmZ,

minV(tn—\)p — — Amz . (nach Gleich. II).

Xm—1

Jim—1

, r Xm

und £ = ——

Am

Km

[h-

Jlrn—1

(tg ßm—X “j~ tg    )]•

Jim

Bei wagerechter unterer Gurtung ist £' = £——•

Km

Liegt die zweite Last des Eisenbahnzuges beim Knoten m, so findet man, wenn Px die erste Last und ex den ersten Radstand bezeichnet, nach Berechnung des Auflagerdruckes A

(VI)

max

j\fm- A Xm Pi*iî

Dmp COS Cpm -—- A £ Px z ,

Jim

(VII)

minV(m— 1) — At -j- Pi T .*

Am

In Folge der Verschiebung der Last hat A zugenommen um \A = -^-^P +

P'b

wo 2IJ die Summe der vor der Verschiebung auf dem Träger befindlichen Lasten und P' eine etwa neu hinzugetretene Last bezeichnet, welche von der Stütze B den Abstand b haben möge. Die Zunahme von I)m cos cpm beziehungsweise von (— Vm—i) beträgt

\D,„ cos 9„, = A Az — P, e~- und A (— Fm-i) = A Az’ — Pv .

tim    m

Hiernach muss

ist, und für

Dm nach Gleichung VI berechnet werden, sobald

Vm-\ ist die Gleichung VII maassgebend, sobald AAe>Pl f¹

max

min

ist. Zu den von der Verkehrslast abhängigen Spannkräften treten noch in Folge des Eigengewichts die Werthe

(VIII)

Dmg COS Cp»*

km

Ilm—1

(IX)

wo e"=1+

Jlm—1

(tg ßm_i -f- tg yw ). Im Allgemeinen wird man erst die Aus-

drücke e " und hierauf die Werthe z ' =

Xm—1

X»,

e" ermitteln.

kräfte

Xm—1

Die ganze Rechnung führe man in Tabellenform durch. Für die Spann-ZI kann man z. B. die folgende Anordnung wählen.

meut

to

co

\gxmxm oo

t£>

to

15

CO

GO

o

CM

Xm — 1

Jim—1

6u

M,

rf

M(m—\)g

Jim

Dmg COS Cpm

Stellung der Verkehrslast

Pie x

Dm p cos 9

lli

6 soo w(j

tu

htn

u)

max

max

cos 9,

mnxDi

auch

angegeben werden, an Stelle von cos <pOT. Man rechnet dann

Zugstellung

Bezüglich der Bezeichnungen x imd x' wird auf Fig. 267 verwiesen. In Spalte 13 deute man durch Eintragung von Px oder P₂ an, dass die erste oder zweite Last des von B aus vorrückenden Eisenbahnzuges beim Knoten m liegt. Spalte 15 ist nur auszufüllen, wenn Last P₂ in m liegt. In Spalte 19 kann dm \²

Ln

max

mittels Logarithmen. Bei gleichen Eeldweiten achte man während der ganzen Rechnung darauf, dass xm = m X, xm-\ = (m — 1) X u. s. w. ist. Die Werthe A werden in einer besonderen Tabelle zusammengestellt. Yergl. Seite 313.

In ähnlicher Weise lassen sich die Tabellen zur Berechnung von ,m„Z7, V anordnen. Nach der Ansicht des Verfassers ist es indess zweck-

min V,

massiger, die gefährlichsten Laststellungen mittels Zeichnung zu bestimmen und dann wie in Anmerkung 1 zu verfahren, also für jede Zugstellung die Momente zu berechnen und in die allgemeinen Formeln einzusetzen. Die Tabelle, welche D und minV angiebt, würde z. B. für den vorliegenden Halbparabelträger wie folgt einzurichten sein.

max

net.

Momente Mp Momente Mg

dl

X²

foin—2

fom - 1 11- fom

Dm

min

Vm-l

Mm

foin

Mm— 1

font—1

)V-

X²

2fom—1 fom—2

fom — 1

2 2 234,90

if, = 234,9 ■ 1 J/t = 101,48 J/₂ = 234,9-2 ₂ = 180,40

CO j*0-3,00m

S 7»! = 3,72 § ** = 4,28

D₂ = + 88,4 Tonnen «..»Fi = — 69,1

waar

3 3 185,82

Jfa=185,82-2 Jf₂= 180,40 J/₃ = 185,82-3 J/₃ = 236,78

CO

co

7&x = 3,72 7^ = 4,28 7*3 = 4,68

A* = + 63,6 minVo = - 47,2

VMM!

U. s. w.

Es leuchtet wohl ein, dass die Bildung solcher Tabellen die Prüfung der Rechnung ausserordentlich erleichtert.

Wir fahren nun in der Erläuterung unseres Kräfteplanes fort. Nimmt man im neunten Felde zunächst eine linkssteigende Diagonale an, so findet man, dass dieselbe in Folge der Zugstellung 9 auf Druck beansprucht wird. Da die Diagonalen aber schlaff sein sollen, so ist eine rechtssteigende Diagonale nöthig. Es ergiebt sich

8,58 • 8

für Zugstellung 9

3,6

+ 50,112 = 69,2"

8,58 • 9

min

-+ 28,188 = 49,6"

+ = + 14,6"*); maxV₉ = maxV₁ = —10,0"**).

8,6

Aus den vorstehenden Rechnungen folgt, dass die sechs mittelsten Felder des Trägers mit Gegendiagonalen auszurüsten sind, welche durch die in der Fig. 319 zusammengestellten Spannkräfte beansprucht werden. Von den berechneten grössten Drücken mi„V₂ bis minV₇ sind

F₆ < min Tr₄ ist,

natürlich nur die ersten vier maassgebend, weil während

min

V₇ sogar positiv ist.

min

Es sind jetzt nur noch die Spannkräfte in denjenigen Vertikalen zu bestimmen, an denen Gegendiagonalen angreifen.

max

> max

F3 » max 1 4

y max

f₅

Der grösste positive Werth von V₅ entsteht gleichzeitig mit dem grössten Drucke 0₅ und ergiebt sich aus dem für den oberen Knoten 5 in Fig. 315 auf Tafel 4 gezeichneten Kräftedreieck. Man findet: n = + 9,7«.

Die Spannkräfte

max

V₄ sollen nach dem dritten der in No. 161 beschriebenen Verfahren ermittelt werden. Die Vertikalen mögen von B aus mit den Ziffern 0, 1, 2, . . . versehen werden, Fig. 318.

V₂ zu erhalten, wird von B aus ein Eisenbahnzug vorgeschoben, dessen zweite Last beim Knoten 2 steht; derselbe ruft am linken Auflager den mittels der Tabelle I berechneten Widerstand

Um

max

max

f₂,

max

n,

max

10X

(57-0,3 + 282,6) =

29,97

hervor und erzeugt die Momente

M3p — A • 7X = 29,9 7 • 7 = 209,79"m

M2p = A • 8X — 13 • 1,4 = 29,97 • 8 — 18,2 = 221,56"'”,

*) Diagonale U.₂ erleidet ihre kleinste Inanspruchnahme, wenn der Eisenbahnzug von A aus bis Knoten 1 vorrückt, und in D₀ entsteht maxDc, — maxD2 — + 88,4*, wenn der Zug von A bis zum Knoten 8 vorrückt.

**) Soll maxV.9 mittels der vorhin abgeleiteten Gleichung (I) berechnet werden, so betrachte man das Spiegelbild des Trägers, damit aus der rechtssteigenden Diagonale eine linkssteigende wird. Man findet dann (mit OK, — 178,70; Ms = 249,13; ä₉ = 3,72; ä1o = 3,00):

2-3,72 — 3,00

max

Vg\ = 178,70

3,72

249.13 = — 35,85 und

max

Vg — — 10,0*

weshalb nach Hinzurechnung der Wirkung der ständigen Belastung erhalten wird

M,

209,79

3,6

65,772 = 124,0¹

M₂ _ 221,56

3,6

+ 50,112 = 111,7¹

-r-rr

; i

\[

fv¹

Ut >

k—rj

<b>

Fi

Fig. 318.

Trägt man diese beiden Verhältnisse M: X von einer Wagerechten AB' aus, in der Richtung der Vertikalen 2 und 3 als Ordinaten auf,

indem man in der Fig. 318 macht: DE

—und FH=

A

M.

[S_

X ’ so

schneiden die Geraden FD und HE auf der rechten Auflagersenkrechten die Strecke ab

87,1¹.

₇    3 i¥₂ — 2 Mo

b —-²--------

ntaai

Setzt man nun, in der rechten Hälfte der Fig. 314 (Tafel 4), auf der zweiten Vertikale, vom oberen Knoten 2 aus, die Strecke 22'— b ab, zieht B2" || 0₃, verbindet 2" mit 3 und zieht ferner: 2' III || 2" 3 sowie III2"' |] 0₂, so stellt die Strecke 2,2,/' die gesuchte Spannkraft V₂ vor. Es ergiebt sich auf diese Weise

max

F₂ = +4,0¹.¹)

(I)

punkt 2.

Um

berechnet

Das Dreieck 2 " III2 ist das Kräftepolygon für den oberen Knoten

max

V₃ zu bestimmen, wird für die Zugstellung (b) in Fig. 318

52,65

, sodann

J/₄ _ 52,65-6

•3

+ 75,168 52,65 -7 — 13-1,4

3,6

3,6

+ 65,772

163,6‘.

Schliesslich ergiebt sich für die Zugstellung (c) in Fig. 318 behufs Bestimmung von

max

79,79    l/₅

79,79 • 5

f 78,300 79,79 -6 — 13-1,4

3,6

3,6

f 75,168

b _ 5 M₄ — 4 M-

259,0*.

U₄ — -j- 9,0*.

V₃ — -j- 6,6' und

Man erhält

Bislang wurde vorausgesetzt, dass die gesammte ständige Belastung g — 1,74* in den Knotenpunkten der unteren Gurtung angreift. Wird

max

max

durch B abschneiden, während ß₂ und ß₃ die Neigungswinkel von 0₂ und 03 gegen die Wagerechte bezeichnen. Da nun a = 3h₂ — 2hs, so folgt auch

3 M₂ — 2 Ma 3 h₂ — 2 h₃

oder, wenn die Zeiger 2 und 3 durch die allgemeineren: m und w-j- 1 ersetzt und ungleiche Feldweiten angenommen werden

Xm-\-\ Mm    Xm illm-fl

Xm-j-1 Ä-m    Xm ^mi

Liegen die Knoten der oberen Gurtung (wie im vorliegenden Falle) auf einer

(III)

(II)

max

V,

(tg ß» — fg ßs)

max

V„,

-(tg ß,„ — tg ßm+1).

Parabel vom Pfeile f, so findet man: tg ßM — tg ßOT+i = (XOT -}-X,„₊i) und bei gleichen Feldweiten

(IV)

max

Vm =

( m -j- 1) Mm — m Mm+1 (m -f- 1 )hm — m    1

8-2-X

8fl

l*

8 f\

Für unser Beispiel ist f— 2,0” also: —

36 • 10 X 22,5

— und

max

V₂ =

3 M₃ — 2 M₃ 1 3/?* —2A₃    ' 22.5

Mit h₂ = 4,28"* und h₃ — 4,68m folgt nach Einsetzen der oben für M₂ und M3 angegebenen Werthe:

max

V₂ = + 4,05

nun angenommen, dass der Theil g₀ = 0,45* an der oberen Gurtung wirkt, so ist zu jeder der berechneten Spannkräfte V der Werth:

-160

-19T

-212

-216 Tonnet?/

-Ht

ux

113,6

-    70,7

-    11,6

*‘2 +

- 98.8

OÇ 4-0 ⁻'/f? -

- 23,8 7,0

- 19,6

+ 8, 1

+ 109

+ 169

+ 190

+21/

Fig. 319.

—<7₀a =— 0,45-3,6=—1,6* zu addiren, ausgenommen Spannkraft V₀, zu welcher nur der Betrag — 0,8* binzutritt. Es ergeben sich dann die in die Fig. 319 eingeschriebenen Werthe.

§ 39.

Heber die Berechnung yoii Dachbindern.

Bei der Berechnung eines Dachbinders empfiehlt es sich im Allgemeinen, die Einflüsse von Winddruck, Schneedruck und Eigengewicht getrennt zu bestimmen. Der Gang der auszuführenden Untersuchungen soll hier für den Fall besprochen werden, dass die Dachbinder einander parallel sind.

170. Einfluss des Winddruckes. Es möge der in Fig. 320 dargestellte sichelförmige Dachbinder untersucht werden. Die auf die Dachflächen 0 I, III, IIIII wirkenden Winddrücke seien TU,, W₂, W₃. Besitzen die Strecken 0 1,1II, IIIII die Längen ox, o₂, os und schliessen sie mit der Windrichtung (v) beziehungsweise die Winkel a,, a₂, a3 ein, so findet man

W₁ = weo₁ sin² ax; W₂ — weo₂ sin² a₂;    1U₃ = weo₃ sin² a₃,

WO

e = Abstand zweier benachbarter Binder, w = Druck auf die Einheit einer vom Winde rechtwinklig getroffenen ebenen Fläche.

Man pflegt durchschnittlich iv = 120^ f. d. qyn anzunehmen.

Um W₁ zu bestimmen, berechne man die Belastung weox, stelle dieselbe in irgend einem Kräftemaassstabe durch die dem Stabe 01

21

Müller-Breslati, Graphische Statik. I.

parallele Strecke JR 1 dar, Fig. 320a, und fälle vom Punkte 1 das Loth 11/ auf eine durch B zur Windrichtung gezogene Parallele und von l' auf R 1 das Loth l'l". Man erhält: Winddruck W, = Strecke l' 1. Ganz

1S~

rte

Ai

«r

B'

oôoV

'■'///SS/)/. s x,

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'T

7”

ci

1/

*r ;

rr"

(as)

'i

----7Z4VÉ----*

Fig. 320.

W₃ die gleiche Horizontalprojektion we\. Reiht man Wx, W₂, W3 man (Fig. 320b)

ebenso werden W₂ und W₃ gefunden. In Fig. 320 sind gleiche Feldweiten X angenommen worden; es besitzen dann die Winddrücke Wlf W₂,

einem Kräftezuge aneinander, indem

zu

ab = Wt; bc=W₂; cd=W₃

macht (wobei ab J_ 07, bcJ_III, cd J_ IIIII), und halbirt hierauf die Strecken ab, bc, cd in den Punkten r, t, s, so stellen die Strecken ar, rt, ts, sd nach Grösse, Richtung und Sinn beziehungsweise die Belastungen W₀, JFj, Wu, Wni der Knoten 0, I, II, III dar; die Lage ihrer Mittelkraft: I2iW=ad kann mit Hilfe eines Seilpolygons bestimmt werden.

Um nun die Gegendrücke Â und B' der Auflager A und B, von denen das erstere auf wagerechter Bahn verschiebbar und das letztere

zum Schnitt gebracht, durch die Punkte C' und B die Richtung des Widerstandes B' festgelegt und an || C A sowie dn'\\BC' gezogen. Man findet na = A' und dn = B' und

fest sein möge, zu bestimmen, wird der senkrecht gerichtete Widerstand Â mit 2 W in C'

ist jetzt im Stande, die durch den vorliegenden Belastungsfall in den einzelnen Stäben hervorgerufenen Spannkräfte zu ermitteln, z. B. mit Hilfe eines Cremona'sehen Kräfteplanes (vergl. § 27).

In gleicher Weise werden die Spannkräfte für den Pall bestimmt, dass der Wind von der Seite kommt, auf welcher das feste Auflager liegt. Ist der Dachbinder symmetrisch in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte, so empfiehlt es sich, die Untersuchung dieses zweiten Belastungszustandes am Spiegelbilde des Binders durchzuführen. Man hat dann zur Ermittlung der Auflager-Widerstände, welche jetzt mit A" und B" bezeichnet werden mögen, nur nöthig, in der Fig. 320 die beiden Auflager mit einander zu vertauschen, und erhält die in jener Figur durch strichpunktirte Linien dargestellten Werthe: n" a = B" und dn" = A".

171. Einfluss des Schneedrucks und des Eigengewichtes.

S‘ !\ V"

Fig. 321.

Bei Untersuchung der Einwirkung des Schneedrucks auf Dachbinder, deren Stäbe nicht durchweg in Folge gänzlicher Belastung am ungünstigsten beansprucht werden, beschränkt man sich meistens darauf, den Fall gänzlicher Belastung mit demjenigen der Belastung der linken, beziehungsweise rechten Dachhälfte zu vergleichen. Ist dann der Binder symmetrisch in Bezug auf die Senkrechte durch seine Mitte, und darf das Eigengewicht als eine gleichförmige, ausschliesslich auf die Knoten der gberen Gurtung vertheilte Belastung angesehen werden (was häufig der Fall ist), so lassen sich die Grenzwerthe sämmtlicher Spannkräfte mit Hilfe eines einzigen Kräfteplanes feststellen. Man nehme zunächst nur die rechte Dachhälfte gleichmässig belastet an, und zwar mit q = p -j- g

f. d. Längeneinheit, wo g = ständige Belastung und p = Schneedruck (Fig. 321), vertheile die Belastung auf die Knotenpunkte und ermittle nach irgend einem der beschriebenen Verfahren die in den Stäben hervorgerufenen Spannkräfte. Für irgend einen Stab der linken Trägerhälfte möge sich die Spannkraft S' ergeben, für den entsprechenden Stab der rechten Hälfte die Spannkraft S".

Wird nun gänzliche Belastung mit q vorausgesetzt (Fig. 322), so entsteht offenbar

(1) s=s' -f-S".

21*

Wird die linke Dachhälfte mit g, die rechte mit q belastet, Fig. 323, so entsteht in einem Stabe der linken Trägerhälfte

(2)

Fig. 322.

»II

S=S' + ⁹ S".²)

q

\ct

Fig. 323.

Ist schliesslich die rechte Dachhälfte mit g und die linke mit q belastet, so ergiebt sich für einen Stab der Unken Hälfte

(3)

S = — S' + S".

Fig. 324.

Die Spannkräfte der Gurtstäbe nehmen bei gänzlicher Belastung des Trägers ihre grössten Zahlenwerthe an; sie werden deshalb mittels Gleichung (1) bestimmt. Hingegen sind die Kräfte S der Füllungsstäbe für einseitige Belastung nach den Gleichungen (2) und (3) zu berechnen.

Ist die ständige Belastung keine gleichförmig vertheilte, oder ist es unzulässig, die gesammte Last g ausschliesslich auf die Knoten der oberen Gurtung zu vertheilen, so setze man in den vorstehende# Entwicklungen zunächst g — 0 und bestimme hierauf den Einfluss der ständigen Belastung mittels eines besonderen Kräfteplanes.

Zahlenbeispiel. Der in der Fig. 325 dargestellte Dachbinder hat eine Stützweite von 24m; die Knoten der oberen Gurtung liegen auf einem Kreisbogen, dessen Radius =20“ ist. Der Abstand der Binder von einander ist = 4,0m, die ständige Belastung beträgt 50² und der Schneedruck 75² f. d. qm der Horizontalprojektion der Dachfläche; also ist g ⁼ 50²4 = 200² = 0,2²; p = 75 • 4 = 300² = 0,3' und q = gp — 0,b\ Die gesammte ständige Belastung möge auf die Knoten der oberen Gurtung vertheilt werden. Streng genommen greift allerdings ein Theil des Bindergewichts in den Knoten der unteren

Gurtung an, doch ist derselbe, verglichen mit dem Gewichte der Pfetten und der Dachdeckung in der Regel so gering, dass die oben gemachte Annahme vollkommen zu-

[11

lässig ist.

JL

Z,ol

Zunächst wird der

Jr///

>/<■

Einfluss der auf die rechte Dachhälfte wirkenden Last q untersucht. Der Knoten (3) wird hierbei mit \ q\ = % • 0,5 • 4,0 = 1,0* belastet und jeder der Knoten (1) und (2) mit 0,5 • 4.0 = 2,0*. Man erhält

S-

s-

-S-

J<---!

k-------/z"¹-------4.

Fig. 325.

3,5**)

Ä= 2,0 (H-î)+l,0f=l,5‘i B und findet (beispielsweise mit Hilfe eines Oemcwa’schen Planes) die in der folgenden Tabelle zusammengestellten, in Tonnen ausgedrückten Spannkräfte S' und S".

Gurtungen

Linke Trägerhälfte Stab | S'

Rechte Trägerh. Stab S"

Füllungsstäbe

Linke Trägerhälfte Rechte Trägerh. Stab j S' Stab | S"

+ 0,72 — 0,60

—    2,98

—    3.19

—    3,97 + 2,57 + 3.33 + 4,50

*Sg = — 3,97    — 5,01    = — 8,98*    S₆    =    +    4,50    +    4,50    = +    9,00*.

Für die Füllungsstäbe ergiebt sich

a. Im Belastungsfalle Fig. 323.

H (M CO 4 »O CD

+ i>26

— 1,24

—    0,41 + 0,39

—    1,14

+ 1,12

S = S' + + s" = + + 0,4 S"

2

5₇    = + 0,72 — 0,4 • 0,41 = + 0,56*

5₈    = — 0,60 + 0.4-0,39 = — 0,44*

5₉    =+1,26 — 0,4 • 1,14 = +0,80* ___S₁₀ = — 1,24 + 0,4- 1,12 = — 0,79*.

*) B bedeutet den Stützenwiderstand nach Abzug von * q X.

b. Im Belastungsfalle Fig. 324 S = S" + 0,4 S'

S₇ = — 0,41 + 0,4 • 0,72 = — 0,1 2*

Ss = -f 0,39 — 0,4 • 0,60 = + 0.15*

S₉ =

S₁₀= + 1,12 — 0,4 • 1,24 = -|- 0,62*.

Hiernach werden die linkssteigenden Füllungsstäbe der linken Trägerhälfte auf Zug oder auf Druck beansprucht, je nachdem nur die rechte oder nur die linke Dachhälfte mit Schnee belastet ist. Die rechtssteigenden Füllungsstäbe verhalten sich entgegengesetzt.

Zu den vorstehend angegebenen Werthen S sind noch die durch den Winddruck hervorgerufenen Spannkräfte zu addiren.

172. Fortsetzung. Sollen hinsichtlich der Belastung durch den Schneedruck die denkbar ungünstigsten Annahmen gemacht werden, so sind die Spannkräfte im Allgemeinen nach den in den §§31 und 32 angegebenen Verfahren zu ermitteln. Für den besonders häufigen Fall eines symmetrischen Trägers mit gleich weiten Feldern empfehlen Avir indess den folgenden kürzeren Weg.

Man belaste nur den der Stütze B benachbarten Knoten der oberen Gurtung, und zwar mit q\, bestimme den am linken Auflager hervorgerufenen Widerstand A' ——q\, wo n = Anzahl der Felder, und

n

ermittele auf irgend eine Weise die Spannkräfte der links von der Last q\ liegenden Stäbe. Für irgend einen Stab der

1,14 + 0,4 • 1,26 = — 0,64*

y.l

À f linken Trägerhälfte möge sich r³ die Spannkraft S' ergeben, für

den entsprechenden Stab der rechten Trägerhälfte die Spannkraft S". Fig. 326.

Wird nur der der linken Stütze (A) benachbarte obere Knoten belastet — wieder mit q\ —, so entstehen in den Stäben der linken Hälfte die Spannkräfte S", in denen der rechten Hälfte die Spannkräfte S'.

Al

Fig. 326.

Es sei nun diejenige Spannkraft S gesucht, welche in einem Stabe der linken Trägerhälfte durch den in der Fig. 327 dargestellten Belastungszustand hervorgerufen wird. Jeder Knoten links vom Schnitte tt trägt die Last z'\ und jeder Knoten rechts von tt die Last z"\. Durch den Schnitt tt werden ausser dem fraglichen Stabe nur noch zwei Stäbe getroffen. Die Knotenbelastung links neben dem Schnitte tt habe von

der Auflagersenkrechten A den Abstand m'\, und die Knotenbelastung rechts neben tt von B den Abstand m"\. Werden zunächst sämmt-

<—mil—*

!<-

rn"x

■»1

z'A

z'X

Z'A\

t;

/ Ÿ

Z II

z'X

cf

Fig. 327.

liehe Lasten z a entfernt, so greift links von tt nur die äussere Kraft

" im" -(-1) z" q\ q n

in" {m" -f- 1) z"

A'

an, und es entsteht deshalb die Spannkraft

in" (in" -]- 1) z"

8\

und ebenso findet man, dass die Lasten z'\ für sich allein die Spannkraft

' (m'-j-1) z „

hervorbringen. Im Ganzen entsteht also: m" (m" -j- 1) z"

S'

Gehört der fragliche Stab einer Gurtung an, so ist gänzliche Belastung des Trägers vorauszusetzen, also z' = z" = q einzuführen. Man findet dann

(1) 8

m" (m" -j- 1)

S' +

In einem linkssteigenden Füllungsstabe entsteht nachdem der Schneedruck nur rechts oder nur links vom Schnitte tt

maa

S oder minS, je

wirkt. Im ersten Palle setze man z' = g und z" — q, im zweiten Falle z" — g und z — q. Es ergiebt sich in" (in" + 1)

aJI

S' +

min8

in" (in" -}- 1) g

8' +

in (m -f- f) j}_ s>r .

2 q

' (in -f 1)    „

(3)

Für einen rechtssteigenden Füllungsstab erhält man schliesslich m" (m" +1) g

ma

JS=

min³8

m" (m" + 1)

S' +

' {m + 1)    ₀„

~~2-⁵

m (m' +1) g „

Ist die ständige Belastung ungleichförmig, so setze man in den vorstehenden Entwicklungen g = 0 und bestimme den Einfluss der ständigen Belastung mittels eines besonderen Kräfteplanes, und ebenso verfährt man, wenn bei Netzwerkträgern ein wesentlicher Theil einer gleichförmigen ständigen Belastung in den Knoten der unteren Gurtung angreift (Dachbinder mit angehängter Decke).³)

Zahlenbeispiel. Wir erläutern unser Verfahren an dem bereits in

No. 171 untersuchten Dachbinder. Es ist ^X^ 0,5 • 4 = 2,0' und wegen n= 6,

A-

tf

A' = —

g \ = — t. Dem 3

Fig. 328.

Belastungszustande in Fig. 328 entsprechen die folgenden, mit Hilfe eines Cremona sehen Planes gewonnenen Spannkräfte.

V.

Stab

S'

s"

Stab

S'

H (M CO ^ lO 0

ë-

+ 0,16

—    0,13 + 0,28

—    0,275

—    1,25

+ 1,12

—    0,52 + 0,51

— 0,66

+ 1,00

Nun sind die grössten Spannkräfte in den Gurtungen nach Gleich. (1):

—    2,13

—    1,23

+ i,oo

I> ec Qi o

Si = -

S₂ = -

S»= —

2 0,66

rï°>⁷¹-“2 — •0,88

= — 9,90'

. 2,13 = — 9,23'

3-4

. 1,23 = — 8,97 '

Stab I m"

—    8,55*

5    0 S₄ = + —---0,57

S₅ = + -^-'0,74+ -‘₂

+ •i,oo +-^--1,00 = + 9,oo‘

Für die linkssteigenden Diagonalen erhält man, nach Gleich. (2),

• 1,48 = -j- 8,88*

S₆ = -+

= 0,4:

Stab

m"

4-5

vnax

min

-S't — H—■ °>16 Srj = -\---— 0,16 • 0,4

1-2

— .1,25-0,4 = + 1,10*

= — 0,61*

1 -2

à“"¹’²⁵

3-4

— •0,52-0,4 = + 1,06* = — 0,89

+ -^•0,28 ,3-4

minS9 — -j---— 0,28-0,4

und für die rechtssteigenden Diagonalen, nach Gleich. (3):

maiv

S₉

2-3

™.0,52

Stab m" m'

4-5

1 -2

— -0,13-0,4 +—*1,12

+ 0,60*

min

S₈ =- — 0,13

— •1,12-0,4= — 0,85* 2

3-4    ,2-3

— 0,275-0,4 + — -0,51

f ^-0,51-0,4= —1,04*

Die Spannkräfte in den Füllungsstäben ergeben sich hiernach wesentlich grösser, als nach der in No. 171 angestellten Eechnung; beispielsweise wird maJS₇ fast doppelt so gross wie vorhin. Zu berücksichtigen ist allerdings, dass die zweite Eechnung sehr unwahrscheinliche Belastungsfälle annimmt.

Äo —

= + 0,87*

10

min

'S'io —

3-4

— • 0,275

X. Abschnitt.

Der Grerber’sche Facliwerkbalken.

¹

Bezüglich der Begründung des Verfahrens wird auf Seite 284 und Fig. 280 verwiesen. Will man maxV₂ durch Rechnung bestimmen, so findet man an der Hand der Entwicklungen in No. 161 leicht die Formel

V, = a ~ (tg ß₂ - tg ßa)

wo a die Strecke bedeutet, welche die Gurtstäbe 0₃ und V₃ auf der Senkrechten

²

Die Belastung der rechten Dachhälfte erzeugt für sich allein S¹. Wäre nur die linke Dachhälfte und zwar mit q belastet, so würde in dem Stabe der linken Trägerhälfte S" entstehen; tritt g an die Stelle von q: so ist S" im Verhältnis g : q zu verkleinern. Durch diese Ueberlegung gelangt man zur Gleichung (2),

³

Wir erinnern daran, dass bei den Fachwerken mit Vertikalen die ständige Belastung stets auf die Knoten einer der beiden Gurtungen vertheilt werden darf. Man hat nur nöthig, die Spannkräfte V nachträglich auf die früher angegebene Weise (Seite 267 u. 268) zu verbessern.

§ 40.

Einflusslinien.

173. Einleitung. Wir betrachten den Gerber’sehen Träger unter denselben Voraussetzungen, die im vorigen Abschnitte bei der Behandlung des einfachen Balkens gemacht wurden, nehmen also an, dass sich die beweglichen Auflager auf icagerechten Bahnen verschieben, dass nur senkrecht und abwärts gerichtete Lasten wirken, und dass die gegliederten Scheiben, aus denen der Träger besteht, einfache Dreiecknetze sind. Die Koppelträger (beispielsweise die Theile AB des in der Fig. 329 dargestellten Trägers) verhalten sich wie einfache Balken, und

pxiXM/M

Fig. 329.

es bleibt also nur noch die Inanspruchnahme eines Balkens mit überstehenden Enden zu untersuchen. Dabei genügt es, die Gesetze für den Fall aufzustellen, dass beide Balkenenden ausserhalb der Stützen liegen und durch angrenzende Koppelträger belastet werden. Nimmt man dann das eine überstehende Stück gewichtslos und unbelastet an, so ergeben sich die Gesetze für den Balken mit nur einem überragenden Ende.

Die Frage nach der Bestimmung der in den Gurtungen entstehenden Spannkräfte 0 und TJ ist bereits durch die früheren Untersuchungen erledigt; denn die in No. 145 (Seite 245 und 246) gegebenen Regeln, um die 0 und U aus den auf die Knotenpunkte bezogenen Momenten M abzuleiten, gelten für jedes einfache Dreiecknetz, und die Aufsuchung der grössten und kleinsten Momente M wurde bereits im Abschnitte VI gelehrt. Es ist daher hauptsächlich noch die Ermittlung der Spannkräfte in den Füilungsstäben zu erörtern. Bei Parallelträgern mit wagerechten Gurtungen ergeben sich diese Kräfte am schnellsten aus den Querkräften, welche auf die im Abschnitte VI beschriebene und im folgenden § durch ein Zahlenbeispiel erläuterte Art bestimmt werden können.

wird, sobald das Moment M für den gegenüberliegenden

gedrückt gezogen

Knotenpunkt positiv ist, und dass die wagerechte Projektion des aus den Spannkräften 0,1), U bestehenden stetigen Kräftezuges = 0 sein muss, weil sämmtliche äusseren Kräfte senkrecht sind.

: X von

Bei Trägern mit gebrochenen Gurtungen hingegen ist im Allgemeinen die Benutzung der Einflnsslinien als das übersichtlichste Verfahren am meisten zu empfehlen, wobei die Untersuchungen im § 19 zuweilen gute Dienste leisten werden. Ausserdem verdient noch die Bestimmungsweise der Spannkräfte nach Zimmermann hervorgehoben zu werden; zu der im § 36 gegebenen allgemeinen Entwicklung dieses Verfahrens, welche für jedes von parallelen äusseren Kräften ergriffene Dreiecknetz gilt, ist wenig hinzuzufügen. Es genügt, darauf hinzu-wreisen, dass beim Gerber’sehen Bal

ken Momente von verschiedenen Vorzeichen auftreten.

In der, einen Theil eines Netzwerks darstellenden

Cp

Pig. 330 wurde vorausgesetzt, dass das Moment Mm positiv, hingegen Mm_! negativ ist. Die Strecken ma und bc, welche die Verhältnisse Mm : X,„ und Mm_l : X,„ darstellen, wurden von der unteren Gurtung aus aufgetragen (entsprechend der Anordnung in Fig. 247), beide aber in entgegengesetzter Richtung. Die Pfeile neben den die Spannkräfte 0,

D, U darstellenden Strecken ad, de, ef deuten an, in welchem Sinne die Spannkräfte an dem Trägertheile links von dem durch die Stäbe O, D, V geführten Schnitte tt an-

V \b

Cc

m)

Fig. 330.

greifen. Um bei Feststellung dieses Sinnes keinen Fehler zu begehen

genügt es, daran zu denken, dass ein Stab der

oberen

unteren

Gurtung

Man hätte in Fig. 330 auch den negativen Werth M, der unteren Gurtung aus nach oben und das positive Mm : X nach unten absetzen können; sind beide Momente negativ, so werden sie beide zweckmässig nach oben hin aufgetragen, damit der aus O, U, D bestehende Kräftezug innerhalb des Trägernetzes liegt. Ganz entsprechend ist zu verfahren, wenn die in der Figur 248 dargestellte Anordnung

gewählt wird.

In der Fig. 331 ist ein Trägerstück mit Vertikalen abgebildet worden; die Belastung ist an den Knotenpunkten der unteren Gurtung

174. Einflusslinie für die Spannkraft D in einem Füllungsstabe des Auslegers 13 C in Fig. 332. Wir führen durch den fraglichen Stab einen Schnitt tt, welcher ausserdem noch zwei Gurtstäbe (0 und U) trifft, wählen den Schnittpunkt E von 0 und U zum Drehpunkte und setzen die Summe der Momente aller am linken Träger-theile wirkenden Kräfte gleich Null. F₁ und F₂ seien die dem Schnitte tt benachbarten Querträger. Irgendwo zwischen Fx und dem Gelenke B greife eine Einzellast P₂ an, im Abstande a₂ von E, und auf den angrenzenden Koppelträger AB wirke eine Last Px in der Entfernung al

vom Gelenke A; letztere übt auf B den Druck

aus. Wird zu-

P₁al

nächst angenommen, dass E zwischen B und Fx liegt (im Abstande c von B) und dass a₂ positiv ist, sobald sich P₂ links von E befindet, so ergiebt sich, wenn die Rechtsdrehung als die positive angesehen und das Loth von E auf den fraglichen Füllungsstab mit r bezeichnet wird, die Gleichgewichtsbedingung

+ Dr —

angreifend gedacht. Es wurde Mm positiv und Mm_x negativ angenommen und auf die in No. 158 beschriebene Weise das Kräftepolygon

für den oberen Knoten m — 1 gezeichnet. Es ergiebt sich Om —de; Vm_i = ef\ Om_, = fc; Dm = cd. Die in das Kräftepolygon eingetragenen Pfeile geben an, in welchem Sinne die Kräfte am oberen Knoten

um

’m

T7V

m-i

'■MML

ins

Os

m — 1 angreifen. Zur Feststellung des Umfahrungssinnes dieses Kräftepolygons genügt es, zu wissen, dass Om einen Druck bedeutet, weil Mm

rri'-i

ms

ms

positiv ist.

- /l

i    ntr

Um das Zimmermann’sehe Ver-

fahren anwenden zu können, braucht man nur die Momente für die Knotenpunkte zu bestimmen. Hierzu reichen die im Abschnitte VI für einen beliebigen Belastungszustand entwickelten Gesetze aus, sobald noch festgestellt worden ist, wie der Träger belastet werden muss, damit die fraglichen Spannkräfte ihre grössten Wertbe annehmen. Die letztere Frage wird am schnellsten durch die Betrachtung der Einflusslinien entschieden.

Fig. 331.

P2

in welcher das obere oder das untere Vorzeichen gilt, jenachdem die

Spannkraft D rechts oder links um E dreht. Tn dem in der Fig. 332 vorausgesetzten Falle ergiebt sich

(Ob)

-x—-

^ ¹

_____

X!

_y

-Y____

«a

(h)

TS

(C) oj.

W>

Fig. 332.

Da dieser Ausdruck in Bezug auf die Veränderlichen «j und a2 vom ersten Grade ist, und da ferner eine in F₂ oder rechts von F2 angreifende Last ohne Einfluss auf D ist, so besteht die Einflusslinie für D aus drei Geraden A J, JL₁ und LlL₂ (Fig. 332 b), welche den Trägertheilen AB, BF₁ und F₁F₂ entsprechen, und deren mittelste senkrecht unter E die Ordinate Null besitzt, da eine durch E gehende Last P₂ die Spannkraft D — 0 erzeugt. Kennt man also beispielsweise die Spannkraft B J=D', welche eine in B angreifende Last P— 1 in dem fraglichen Stabe hervorruft, so ist man im Stande, die Einflusslinie aufzuzeichnen und den Einfluss jeder Last P in der Form D — Pï] anzugeben. Die Kräfte D' aber findet man u. A. mit Hilfe eines Cre-mona’sehen Planes, welcher für den in der Fig. 332c dargestellten Belastungszustand gezeichnet wird. Sehr einfach ist auch die Festlegung der Einflusslinie mittels der Strecke L₂H=D ", welche von der Geraden JLx auf der Senkrechten durch F₂ abgeschnitten wird und in folgender Weise bestimmt werden kann. Man betrachte das Trägerstück links vom Schnitte tt und suche diejenigen Kräfte O, D U, welche mit einer durch den Punkt F₂ gehenden Last P — 1 im Gleichgewichte sind (Fig. 332d). Man findet 0 = 0, während U und D"

durch das Kräftedreieck in der Fig. 332e gegeben sind. Im vorliegenden Falle ist D" ein Druck, welcher bei vertikaler Lage des fraglichen Füliungsstabes = 1 wird.

Unsere Untersuchung lehrt: Liegt der Punkt E zwischen B und dem Schnitte tt, so erzeugen alle links von E gelegenen Lasten in dem linkssteigenden Füllungsstabe D einen Zug, alle rechts von E wirkenden Lasten einen Druck. Jenachdem also die bewegliche Belastung nur auf den Trägertheil AE oder nur auf den Theil EF₂ wirkt, entsteht die Spannkraft maxD oder minD. Wird der Träger durch einen Zug von Einzellasten beansprucht, so sind die schwersten Lasten in die Nähe von B, oder in die Nähe von Fx zu stellen, jenachdem maxD oder min 1) erzeugt werden soll. Die ungünstigste Stellung des Lastenzuges bestimmt man am schnellsten durch Probiren.

In der Fig. 333 ist der Fall eines links von B gelegenen Schnittpunktes E der Gurtstäbe 0 und V dargestellt worden. Es handelt sich dort wieder um einen linksteigenden Füllungsstab. Die Einflusslinie A'JL₁L₂ kann wie vorhin mit Hilfe des Punktes E und eines der beiden Werthe D' und D" aufgezeichnet werden, wobei die Grösse von D" <lurch Zerlegung der Lasteinheit nach den Richtungen 0 und D erhalten

\NXi/ÎX[Xi

L,

\P- /

Ar

—T-rTTrTrTTTTTTTTTTïïïïrnTTïïTrH'lihlTlli'H'^l^^^^^^^illlIiil!

y    b‘    l.

Fig. 333.

wird; es kann aber auch vortheilhaft sein (bei unbequem gelegenem Punkte E), die Lage der Geraden JLX durch Auftragung der Strecken D' und D" zu bestimmen. Die Fig. 333 lehrt, dass in einem linkssteigenden Füllungsstabe bei links von B liegendem Punkte E nur Druckspannungen entstehen, welche bei gänzlicher Belastung des Trägertheiles AF₂ am grössten werden. Im Falle der Beanspruchung des Trägers durch einen Zug von Einzellasten sind die schwersten Lasten in der Nähe von F1 aufzustellen.

Rechtssteigende Füllungsstäbe verhalten sich bezüglich der Vorzeichen entgegengesetzt wie linkssteigende. Liegt also beispielsweise der einem rechtssteigenden Füllungsstabe entsprechende Punkt E links von B, so entstehen in dem Stabe nur Zugspannungen.

Hinsichtlich der Benutzung der Einflusslinien zur Ermittlung der Grenzwerthe der Spannkräfte verweisen wir auf den § 14.

175. Einflusslinie für die Spannkraft JD in einem Füllungsstabe des Trägertheiles CD in Fig. 334. Solange es sich nur um den Einfluss von Lasten handelt, welche zwischen den Stützen C und D auf den Träger wirken, verhält sich das Trägerstück CD wie ein einfacher Balken, und es besteht deshalb der zwischen C und D gelegene Theil der Einflusslinie (nach No. 143) aus den drei mit//, III und IV bezeichneten Geraden, deren erste und letzte auf den Senkrechten durch die Stützpunkte D und C die Strecken D" und D' abschneiden, wobei D' diejenige Spannkraft ist, welche im Stabe D entsteht, sobald links vom Schnitte tt nur die äussere Kraft C = 1 angreift (Fig. 335), während D" erzeugt wird, falls rechts von tt ausschliesslich der Stützenwiderstand D — 1 wirkt.¹) Um den Einfluss von Lasten zu bestimmen,

?»

,-S

'72

iV

_4'i.

ij^îlîlftlMïïïïïïTTTffmm,--

>D'

Fig. 334.

()'

0"

D'?

Fig. 336.

Fig. 335.

welche auf dem Ausleger DG und dem angrenzenden Koppelträger GH ruhen, erwäge man, dass im Falle ausschliesslicher Belastung des Trägertheiles F₂H am Trägerabschnitte links von tt nur der Stützenwiderstand C als äussere Kraft angreift, woraus dann folgt, dass die Ordinaten der Einflusslinie für die Spannkraft D zwischen F₂ und H den entsprechenden Ordinaten der (in No. 93 bestimmten) Einflusslinie

für C proportional sein müssen. Hiernach entspricht dem Trägerstücke DG die Verlängerung der Geraden IV und dem Stücke GH die Gerade F, welche die IV auf der Senkrechten durch G trifft. In gleicher Weise lässt sich auf den Einfluss von Lasten links von C schliessen. Hervorzuheben ist, dass sich die Geraden II und IV auf der Senkrechten durch den Schnittpunkt E der vom Schnitte tt ge-

r>

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Fig. 337.

troffenen Gurtstäbe 0 und U schneiden müssen. Jenachdem nun E rechts oder links vom Stützpunkte D liegt (Fig. 334 oder 337), erzeugen Lasten, welche auf die Trägertheile CF₁ oder F₂D wirken,

\Fr

Fz

JV

Ca

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7)

LPr

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%r~\

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f/*! ¹*

Fig 338.

Spannkräfte D von gleichem oder entgegengesetztem Vorzeichen. Bei bequemer Lage des Punktes E kann derselbe bei Aufzeichnung der Einflusslinie für D benutzt werden; es genügt dann, D oder D" aufzutragen.

Wir erinnern noch an die in No. 143, Fig. 226 nachgewiesenen wichtigen Eigenschaften, dass M und E senkrecht über S und N liegen und Strecke L₁E₁ = v ist.

Um die entsprechende Figur für eine rechtssteigende Diagonale zu erhalten, betrachte man das Spiegelbild der Fig. 338. Kehrt man Fig. 338 um, so dass F₁F₂ der unteren Gurtung angehört, so hat man den Fall einer unten angreifenden Belastung; man muss aber die Vorzeichen umkehren. Das Verfahren gilt natürlich auch dann, wenn sich 0 und U zwischen den Stützen treffen. Wir empfehlen dem Leser, alle diese Fälle aufzuzeichnen.

176. Die Einflusslinien für die Spannkräfte in den Gurtungen

können aus den Einflusslinien für die den Gurtstäben gegenüberliegenden Momente mittels Division durch den Hebelarm der fraglichen Spannkraft abgeleitet werden. Kürzer ist aber das folgende Verfahren.

a. Spannkräfte 0 und U des Auslegers BC. Die in der Fig. 339 dargestellten Einflusslinien für die Spannkräfte 0 und U in den Gurt-

"fc.

0[

0'

(aJ

jfdd)

<e) rM

L0"'

(b)

ULL

Hl

W'

n-C Ec-l

Fig. 339.

Stäben, welche der zwischen den Querträgern F₁ und F₂ geführte Schnitt tt trifft, können in einfacher Weise durch die (mit Hilfe eines Cremona’sehen Planes zu ermittelnden) Spannkräfte 0' und U bestimmt werden, welche eine in B angreifende Last P — 1 hervorbringt (Fig. 332c). Ferner können sie mit Hilfe der Spannkräfte 0" und U"

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

22

gezeichnet werden. Die Grösse von 0" wird durch Zerlegung von P — 1 nach den Richtungen von 0 und D₂ gewonnen, diejenige von U" durch Zerlegung von P — 1 nach den Richtungen von U und D2 (Fig. 339 d). Bei Anwendung der zweiten Bestimmungsart vermeidet man die Zeichenfehler, welche die Festlegung der Linien 1 durch kleine, den Nullpunkten JV nahe Ordinaten leicht im Gefolge haben, wenn man in w-fachen Abständen von jenen Nullpunkten die durch Zerlegung einer Last n- 1 gewonnenen Werthe nö" und n U" aufträgt, wobei n eine beliebige gerade Zahl bedeutet.

Man kann auch die Gerade I in Fig. 339 a mit Hilfe der dem Punkte E₂ entsprechenden (negativen) Ordinate 0"' festlegen, deren Grösse durch Zerlegung von P= 1 nach den Richtungen von 0 und I)3 erhalten wird, und schliesslich lässt sich die Gerade I in Fig. 339b mittels der zu Fx gehörigen Ordinate U'" bestimmen. Die Grösse der letzteren ergiebt sich, wenn die Last P = 1 nach den Richtungen der Stäbe U und D₁ zerlegt wird. Die Darstellung von 0"' und U'" an Stelle von 0" und U" wird nöthig, sobald der Stab D₂ vertikal liegt.

b. Spannkräfte 0 und U in den Stäben des zwischen den Stützen liegenden Trägertheiles CD. Die Einflusslinien für die Spannkräfte 0 und U sind hier durch die Spannkräfte 0', U' oder 0" U" bestimmt,

rirc, i 4*

*om

^<rrrTTîTITnffi^'^ .....— ;

,////

r"

Fig. 340.

welche beziehungsweise den in den Figuren 335 und 336 dargestellten Belastungsfällen entsprechen. Der Trägertheil zwischen den Stützen verhält sich wie ein einfacher Balken. In der Fig. 340 ist der Fall eines Balkens mit oben angreifender Belastung behandelt worden.

Indem wir auf die am Schluss von No. 175 durchgeführte Unter-suchung der Eigenschaften der Einflusslinie für die Spannkraft D verweisen (Fig. 338), überlassen wir es dem Leser, selbst die folgenden Gesetze mittels ähnlicher Betrachtungen abzuleiten.

0 "" zur Bestimmung der O-Linie und einer der zur Bestimmung der £7-Linie ausreicht.*)

rrrr

Die beiden durch die Werthe 0' und 0" bestimmten Geraden Iund II schneiden auf der Senkrechten durch F± eine Spannkraft R₁L₁= 0"' ab, deren Grösse durch Zerlegung der Last P= 1 nach den Richtungen der beiden im Punkte F₁ zusammentreffenden Stäbe 0 und D₂ erhalten wird, und die in der Figur 340 mit 0"”, U'", ü"" bezeichneten Spannkräfte können der Reihe nach bestimmt werden durch Zerlegung von P = 1 nach den Richtungen 0 und D₃ beziehungsweise U und D₁, beziehungsweise U und D₂. Es leuchtet ein, dass im Allgemeinen einer der vier Werthe 0', 0", 0'" vier Werthe ü\ U", U'", U Besser ist es jedoch, stets mehrere dieser Werthe zu ermitteln, um die Zuverlässigkeit der Zeichnung prüfen zu können.

§41.

Kräfteplan für eine Eisenbalmürücke mit Gerlber’sclien

Balken.

Zablenbeispiel. Tafel 5.

Es ist der in der Fig. 341 (Tafel 5) dargestellte Hauptträger einer zweigleisigen Eisenbahnbrücke mit mehreren Oeffnungen zu untersuchen. Die bewegliche Belastung bestehe aus einem Güterzuge mit 3 Lokomotiven, und die ständige Belastung sei g — 1,74# f. d. Meter. **)

*) Beim Fachwerke mit Vertikalen werden einige Werthe 0", 0"", V". U"" gleich Null.

**) Wir wählen dieselbe Belastung wie in den auf den Tafeln 1, 3, 4 behandelten Zahlenbeispielen, um Ergebnisse früherer Rechnungen benutzen zu können. Hervorzuheben ist, dass bezüglich der Ausbildung der Auflager des Trägers zwei Fälle möglich sind. Erstens kann man, nach dem Vorschläge Gerbers, die Koppel-

Fig. 342.

träger gelenkartig mit den Auslegern verbinden, und zweitens kann man jeden schwebenden Theil auf die in der Fig. 342 dargestellte Art mit einem festen und einem beweglichen Auflagergelenke versehen. Im ersten Falle darf auf den

22*

I. Spannkräfte in den Gurtungen des Auslegers _B C. Wir

wenden das Zimmermann’sehe Verfahren an, und bestimmen die Werthe M : X theils durch Eechnung, theils durch Zeichnung.

1. Momente in Folge der ständigen Belastung. Die Feldweite ist für den überragenden Theil: X = 3,0’”. Der Knoten 1 (Fig. 343) wird daher belastet mit: yX=l,74-3 = 5,22' und Knoten 0, welcher

30/fS^

Eo,

Zr

v /

ft) Çt f (2)

v,

f,

rc

i !    ⁴ ^

X--A

<■

Fig. 343.

das halbe Gewicht des 32”‘ langen schwebenden Theiles aufzunehmen hat, mit: ^ • 1,74 • 32 -f- \ • 5,22 = 30,45*. Es ergiebt sich daher

(1)

r Mlg = — 30,45 • X

\ M₂₉ = — 30,45 • 2X—5,22X =— 66,12X = Stützenmoment

2. Momente in Folge der beweglichen Belastung. Es wurde für einen hinlänglich langen Eisenbahnzug in der Fig. 344 (Tafel 5) ein Seilpolygon gezeichnet, und, um dieses Polygon auch zur Untersuchung der Parallelträger CD und C D' becpaem benutzen zu können, die Polweite desselben gleich einem Vielfachen der Höhe jener Träger gewählt; sie ist: BI = 4 • 3,6 = 14,4m. Nun wurde der Träger in die (roth eingezeichnete) Stellung I gegen den Eisenbahnzug gebracht und die dem Koppelträger entsprechende Schlusslinie sl eingetragen und nach rechts gehörig verlängert. Aus den auf den Senkrechten durch

Pfeilern nur ein festes Lager angeordnet werden; alle übrigen Lager müssen beweglich sein, während im zweiten Falle jeder der durch Pfeiler unterstützten Theile ein festes und ein bewegliches Auflagergelenk erhält.

Welche der beiden Anordnungen vorliegt, ist für die Berechnung der durch senkrechte Lasten hervorgerufenen Spannkräfte und Stützenwiderstände gleichgiltig.

Die letzte Anordnung findet sich bei der im Jahrgange 1877 der Zeitschrift für Bauwesen (Seite 41 u. f.) beschriebenen Warthe-Brücke bei Posen, deren Hauptträger dem hier untersuchten Balken ähnlich sind.

Knoten 1 und Stütze G vom Seilpolygon und der Geraden ^ abgeschnittenen Strecken yx und y₂ ²) ergab sich

Mlp — — Hyj und M2l, = — Hy₂ — Stützenmoment MCp.

Die ungünstigste Stellung des Trägers gegen den Lastenzug wurde durch Probiren bestimmt, wobei sich herausstellte, dass beide Momente bei ein und derselben Stellung ihre grössten Werthe annahmen.

Nach Division durch X = 3’” folgt

M1P

= — Vi — = — Vi cotg a und

M,

— — y2 cotg a

wo cotg a = -r— • Man findet

(2)

92,1' und

192,0'³)

und nach Hinzurechnung der Wirkung der ständigen Belastung

M₁

92,1 — 30,4 = — 122,5'

(3)

M,

²- = — 192,0 — 66,1 = — 258,1'.

Mittels dieser Werthe sind in Fig. 345 (Tafel 5) die grössten Spannkräfte Ux, U₂, 0₂, und die gleichzeitig mit U₁ ihren grössten Werth annehmende Spannkraft der ersten Diagonale nach dem Zimmer-mann’sehen Verfahren bestimmt worden, wobei die Verhältnisse M:\ von den oberen Knotenpunkten aus abgetragen worden sind. Die Kräftepolygone wurden (der roth eingetragenen Trägerstellung I entsprechend) durch rothe Schraffirung hervorgehoben und mit den Ziffern I versehen. Es ergab sich

Ux=— 142'; Ua= — 225'; 0₂ = + 136'; 2^=+ 159'.    .

Wir wollen noch die rechnerische Bestimmung der von der veränderlichen Belastung erzeugten Momente M erläutern. Gesucht sei Mc für die in der Fig. 346 angegebene Laststellung. Der Druck B, welchen die beiden auf dem Koppelträger ruhendem „Lokomotiven auf das Gelenk B ausüben, bestimme nach dem auf Seite ËÉ2 entwickelten Verfahren mittels der Tabelle I (Seite und erhalten (wegen bn = 2,0; ^„ = 132²; 0„ = 1647,0²)

Bl' = 2,0 • 132 + 1647,0 = 1911²"².

Rechnen wir die in B angreifende Last mit zur Belastung des Theiles AB, so entsteht

f 13 = 85.15²

32

ß _ m 1 + 13(32—1,4)

und, wegen X = 3,0 m,

Mc — — 85,15 • 2X — 9 • 0,6 — 13 • 4,6 = — 192,03 X.

fr,

,K—

9* gt gt

.rtM

9,o

Os'

13* 13* 13*

p 9*9*9*

1,1 1,1    9,0 \lAtA 9,0

\r >r _y y -ÿ_

13ti3t13t

P"

s,o

1,1

1,1

9,0

a"

Wt

->i

Fig. 346.

Bevor diese Bechnung ausgeführt wird, ist zu entscheiden, ob die angegebene Zugstellung auch am ungünstigsten wirkt. Bezeichnen wir zu diesem Zwecke jede zwischen A und B liegende Last mit P', jede Last zwischen B und C mit P" und die Abstände dieser Lasten von A beziehungsweise dem Querschnitte C mit a und a" so ergiebt sich: Bl' — SP' a' und

Mc = — Bx— SP”a" = — [y-2PV+ SP"a"~\-

Wird der Zug um die unendlich klein gedachte Strecke £ nach rechts verschoben, so geht a über in -J- £ und a" in a" — £, und es ändert sich (— Mc)

um

-jr SP’ — SP" j g. Soll nun (—Mc) in Folge der Verschiebung abnehmen, so muss sein

(I) xSP’ d'SP”

und ebenso folgt, dass (— Mc) in Folge einer Verschiebung des Zuges nach links abnimmt, sobald

(II)

xSP'>l'SP".

Die beiden Ungleichungen müssen erfüllt werden, falls die angenommene Laststellung die gefährlichste sein soll. Dabei ist zu beachten, dass die in B ruhende Last zu den Lasten P' oder P" zu rechnen ist, jenachdem der Zug nach links oder nach rechts verschoben wird. Im vorliegenden Falle erhält man in Folge einer Verschiebung nach rechts: SP' = 6 • 9 -f- 7 • 13 = 145*, SP" = 2 * 13 -f- 9 = 35* und (wegen x — 6m und V — 32'")

6- 145 <32-35

und in Folge einer Verschiebung nach links: SP' = 145 + 13 = 158*, SP" = 35 — 13 — 22* und

6 • 158 > 32 • 22.

Es werden mithin beide Ungleichungen (I) und (II) befriedigt.

Im Allgemeinen dürfte das zeichnerische Verfahren den Vorzug verdienen; denn man beachte wohl, dass die in obigen Ungleichungen gewonnenen Kennzeichen der ungünstigsten Zugstellungen an die Annahme unendlich kleiner Verschiebungen des Lastenzuges gebunden sind. Verschiebt man im vorliegenden Falle den Zug um 1,4"‘ nach links, so findet man zufällig eine andere

Stellung desselben, welche ebenfalls den Bedingungen I und II genügt. Die Summe SP" hat hier nicht nur durch den Uebertritt der vorher in B angreifenden 13', sondern auch durch das Hinzutreten einer Last 9' eine Aen-derung erfahren. Nun begegnet es zwar keinerlei Schwierigkeiten, die in Folge endlicher Verschiebungen entstehenden Aenderungen der Summen SP'a und SP" a" zu verfolgen und die Bedingungen I und II entsprechend zu ergänzen; das Kennzeichen der gefährlichsten Stellung wird aber dadurch wesentlich umständlicher, namentlich gegenüber der so bequemen versuchsweisen zeichnerischen Ermittlung der grössten Momente. Wir wrollen die Eechnung im vorliegenden Falle durchführen, wobei wir auf die Bezeichnungen und |₂ in Fig. 346 verweisen. In Folge einer Verschiebung des Zuges nach links um £,

wächst (— Mc) um (sp" — -^-SP'^₂, wobei SP'= 158* imd 2P"= 22'.

Dieser Werth ist negativ, weil, wie vorhin gezeigt, die Ungleichung II befriedigt wird. In Folge einer weiteren Verschiebung um c, — c₂ wächst (— Mc), 4a zur SP" die Last P₀ = 9' hinzutritt, während die SP' ungeändert bleibt, um

(sP" + P₀--- SP'') (£j — £₂). Im Ganzen nimmt also (— Mc) zu um

(s P"

'SP') Ba + (sP"+P₀

fsp') Si + P„ (I, - S.₂) = (22 - - A.. 15s) 1,4

-f 9(1,4 —0,9) = —6,18'.

Das Moment (— Mc) wird also in Folge der Verschiebung des Zuges um £ = 1,4’" verkleinert.

II. Spannkräfte in den FüllungsStäben V₁, JD₂, Vc des Auslegers JB C (Fig. 343). Bezeichnet man für irgend einen Belastungszustand mit Me das auf den Schnittpunkt E der Gurtstäbe 02 und Z7X als Drehpunkt bezogene Moment der links vom Schnitte tt angreifenden äusseren Kräfte und mit r den Abstand der Kraft Vx von E, so ist

Me

V₁r -(- Me = 0 und V₁

Dem grössten Momente ME entspricht mithin der grösste Druck V₁. Nun geht aus der in No. 174 durchgeführten Untersuchung der Einflusslinie hervor, dass im Palle eines links von B gelegenen Drehpunktes in der (als linkssteigender Füllungsstab zu betrachtenden) Vertikale nur Druckspannungen entstehen, dass zur Erzielung von minV₁ der Koppelträger AB und der Ausleger B (1) voll zu belasten sind und dass endlich die schwersten Lasten bei dem links vom Schnitte tt gelegenen Knoten (1) aufzustellen sind. Es wurde deshalb der Träger in die (in Fig. 344 blau eingezeichnete) Stellung II gegen den Lastenzug gebracht und nach Eintragung der dem Koppelträger entsprechenden Schlusslinie s₂ und der zum Felde 1—2 gehörigen Schlusslinie s die

min

Vx = — 104,8⁴.

D₂ = + 118⁴;

Bislang wurde die gesammte ständige Belastung g an der oberen Gurtung angreifend gedacht. Zerlegt man y in y„ = 0,45‘ und y₀=l,74— 0,45, so kommt auf den unteren Knoten (1) die Last y„X = 0,45-3,0 = l,35⁴, und es ergiebt sich Vx = — 104,8 -f- y„X = — 103⁴.

Die Spannkraft Vc in der Vertikale über dem zweiten Mittelpfeiler C, Fig. 343 und 341, folgt aus der Gleichgewichtsbedingung für den Knotenpunkt C. Es muss sein (vergl. Fig. 349):

Dp2 hier möglich, weil TJX

max

Strecke r, bestimmt, welche die Geraden s₂ und s auf der Senkrechten durch den Drehpunkt E abschneiden. Denkt man nämlich . die am Koppelträger AB angreifenden Lasten auf die Auflager A und B vertheilt, desgleichen die im Felde 1—2 ruhende Last auf die Knoten 1 und 2, so sind s₂ und s als die äussersten Seilpolygonseiten für die auf das Trägerstück Bl wirkenden äusseren Kräfte zu ⁴ betrachten, und es folgt dann nach dem auf Seite 18 bewiesenen Gesetze:

Me = -j- Hy], woraus sich schliesslich (— Vx)p

Hr\

—— ergiebt. Dieser r

Werth ist in der Figur 348, in welcher E (1) = r und ER = H ist, dargestellt worden. Nach Bestimmung von mi„Vpl ergab sich (in Fig. 348) Dp2 durch Zerlegung von Vpl nach den Richtungen von U und D₂. ⁴) Die von der ständigen Belastung herrührenden Spannkräfte Vgl und Dg2 können nun mit Hilfe eines Cremona’sehen Planes oder nach dem Zimmermann⁷sehen Verfahren (mittels der bereits bekannten Werthe Mgl : X und Mg2 : X) bestimmt werden. Auf Tafel 5 wurde dieser Weg nicht weiter verfolgt; dafür ist in der Fig. 345 die (nach der Ansicht des Verfassers zweckmässigere⁵) Ermittlung von maxD₂ und minVl aus den Werthen M₂ : X und Mx : X dargestellt worden, wobei die von der beweglichen Belastung abhängigen Theile dieser Werthe mit Hilfe des Seilpolygons in Fig. 344 bestimmt wurden. Die Ergebnisse lauten⁶)

_ Mn i MpX

*na t

30,4

Hy

30,4— 78,7 = —109,1⁴;

Mo

66,1

Hy"

66,1 —184,3 = — 250,4";

Vc + U₂ sin y + G — Gu = 0, also Vc = — C — U₂ sin y -f Gu, wobei Gu = 0,45 (3,0 -f- 3,6) ^ = 1,5‘ die ständige Belastung des

M

Knotens C bedeutet. Wegen U₂ cos y = —y— (h = Höhe der fraglichen Vertikale) ergiebt sich

(4)

Vc = — C

Mc

4g T + G„.

Hiernach erhält man die Einflusslinie für Vc, indem man zu den Ordinaten der C- Linie

(d. i. die Einflusslinie für C) die mit -y- tg y

multiplicirten Ordinaten der Mc-Linie addirt. Der feste Werth Gu wird zunächst = 0 gesetzt. Fig. 350 zeigt die aus den Geraden 1, II, III bestehende C-Linie und die aus den Geraden IV, V bestehende Mc- Linie; erstere besitzt bei C die Or-

ß

dinate 1, letztere bei B die Ordinate e. Macht man also e — tg y —, so

stellt die in der Figur 350 schraffirte Fläche die Einflussfläche für die Spannkraft Vc dar. ⁷) Aus dem Verlaufe der Einflusslinie folgt nun, dass die fragliche Vertikale den grössten Druck Vc) erleidet, sobald der Träger nur zwischen A und D belastet wird und die schwersten Lasten

B A'

hc

Vz

■>

AF-

Fig. 349.

B'

— b'—

„fp ?iflTr^ffïïnTïïïïrnTiTTm^^

Fig. 350.

in der Nähe von C liegen, während der kleinste Druck, bezieh, der grösste Zug (max Vc) bei ausschliesslicher Belastung des über die Stütze D

Air

C

C-

ragenden Trägerstückes DA' und des hieran grenzenden Koppelträgers A B' entsteht, wobei dann die schwersten Lasten in der Nähe von A' liegen müssen. Um zunächst minVc zu bestimmen, wurde der Träger in die Stellung III (Fig. 344) gebracht, hierauf die dem schwebenden Theile AB entsprechende Schlusslinie s₃ eingezeichnet und die Gerade s'₃ gezogen, welche die beiden Punkte verbindet, in denen die Auflagersenkrechten D und C beziehungsweise vom Seilpolygon und der Linie s₃ geschnitten werden. Zwei durch den Pol zu s₃ und s'₃ gelegte Parallelen schneiden auf dem Kräftezuge den dem angenommenen Belastungsfalle III entsprechenden Widerstand Cp ab, und durch die unter

C gemessene Ordinate y ist der Werth

À

Cp = 191,0* und MCp — — 157,6 • X.

Die ständige Belastung erzeugt

(5) C, = \gï + ge + i gl = 1,74 [J 32 + 6 + \ 36] = 69,6‘ und, nach Gleich. (1): MCg =— 66,1 X.

Durch den Wertb

findet

Mo

Hy

— bestimmt. Man

= — 157,6 — 66,1 = — 223,7* ist die

Spannkraft U₂ bestimmt; sie wurde in Fig. 345 dargestellt, in welcher

nach Aufträgen von a2 = 223,7* erhalten wurde: Druck U₂ — Strecke ac. Nun konnte nach Berechnung von C— Gu = 191,0 -j- 69,6 — 1,5 = 259* das Kräftepolygon für den Knoten C (Fig. 347) gezeichnet werden. Dasselbe liefert:

min

Vc = — 203*. *)

Vc zu finden, setze man diejenige Laststellung voraus, welche das grösste Moment MD über der Stütze D hervorruft und vernachlässige die etwa links von der Stütze D wirkenden Lasten.**) Die Verkehrslast erzeugt nach Gleich. (3): MD = — 258,1 X = — 258,1 • 3,0

774,3

Um

max

= — 7 7 4,3*m und in Folge dessen : min Cp

Mn

36    =-²¹’⁵‘

Nun ist die vorhin beschriebene Ermittlung von Vc durchzuführen mit Einführung der Werthe C =

min

min

max

Cp-\-Cg = — 21,5 -f 69,6 = 48,1* Mc _ Mcg _

66,1*.

Die betreffende Figur wurde auf Tafel 5 fortgelassen; sie ergab Vc = — 30*.

und

*) Die Rechnung führt im vorliegenden Falle ebenso schnell zum Ziele. Man

findet ^ wegen X = 3,0m ; tg Y — g q

_ J. Mc 4 X

**) Wir erinnern an die Auseinandersetzungen in No. 99, Seite 168.

1,8

und h

= 3,6'M j den Vrerth Vc = — C -j- Gu

Um die Spannkraft in der Vertikale über dem ersten Mittelpfeiler (D') zu erhalten (vergl. Fig. 341), braucht die soeben gezeigte Berechnung von Vc nur unter der Voraussetzung wiederholt zu werden, dass in der Fig. 350 (Seite 345) das Trägerstück DB' fehlt. Der durch die ständige Last erzeugte Stützenwiderstand C folgt dann aus der Gleichung

(l + ey

C9l = 9

+ g — (/ + e). Man findet z

(6)

[I -\- e -\-l ]

= 1,74

36 + 6

[36 + 6 + 32] = 75,1

V hervorbringt, ergeben sich

M

wieder die vorhin erhaltenen Werthe: Cp = 191,0* und = — 223,7*,

2 • 36

Bei derjenigen Stellung, welche

min

und es ändert sich deshalb (weil früher Cg — 69,6* betrug) der grösste Druck V um 75,1 — 69,6 = 5,5* (rund); er beträgt also 203 + 5,5 = 208,5*. Die fragliche Vertikale wird nur gedrükt. Ihre kleinste Inanspruchnahme ergiebt sich, wenn nur die ständige Belastung vorhanden ist; um diese zu bestimmen, werden die vorhin beschriebenen Konstruktionen mit den Werthen C=Cg = 75,1* und Mc — MCg — — 66,1 X durchgeführt. Man findet rund V = — 60*.

Eine übersichtliche Zusammenstellung der auf ganze Tonnen abgerundeten Spannkräfte des Auslegers BC zeigt die Figur 359. Für jede der Kräfte D1: Fi, Z)₂, Ö₂, Uu V₂ ist nur der grösste Zahlenwerth angegeben; die entsprechenden Stäbe werden entweder nur gedrückt oder nur gezogen. Will man die zulässige Inanspruchnahme eines Stabes von dem Verhältnis der kleinsten zur grössten Spannkraft abhängig machen, so kann man die kleinsten Spannkräfte, welche entstehen, sobald nur die ständige Belastung auf das Trägerstück BC wirkt, leicht gesondert bestimmen, beispielsweise mit Hilfe eines Cremondsehen Planes. Es empfiehlt sich dann aber in den obigen Entwicklungen g — 0 anzunehmen, also den Einfluss der veränderlichen Belastung für sich allein zu ermitteln.

min

III. Grenzwertlie des Stützenwiderstandes C, Der Stützendruck C nimmt den grössten Werth an, sobald der Träger gegen den Lastenzug in die Stellung IV (Fig. 344) gebracht wird. Die Lasten links von D sind beseitigt zu denken. Es werden die Geraden s₄ und s 4 eingetragen und zu ihnen durch den Pol die gleichbezeichneten Parallelen gelegt, welche letztere auf dem Kräftezuge den Widerstand maxCp = 193,7* abschneiden. Die gefährlichste Laststellung ist durch Probiren gefunden worden. Wegen Cg=69,6 folgt schliesslich „*„+= 193,7 + 69,6 = 263*. Für den kleinsten Stützenwiderstand wurde bereits vorhin der Werth G = 48* angegeben. Wäre minC negativ, so müsste das Auflager an dem Pfeiler verankert werden.

Der Druck auf den ersten Mittelpfeiler ist stets positiv. Sein grösster Werth ist 193,7 -j- 80,0 = 273,7 (s. Gleich. 6).

IV. Spannkräfte in den Gurtungen der Parallelträger.

a. Trägertheil mit zwei Auslegern (dritte Oejfnung). Um für irgend einen Belastungszustand das Moment Mm für den Knotenpunkt m zu bestimmen, denke man zunächst die Ausleger beseitigt, betrachte also das Trägerstück CD als einfachen Balken. Von dem unter dieser Voraussetzung für m erhaltenen Momente M0m bringe man nun die dem Punkte m entsprechende Ordinate einer Geraden C' D' in Abzug (Fig. 150, Seite 162), welche durch die negativen Stützenmomente: CC' = Mc und DD' = Mz> bestimmt ist, und die wir in der Folge als Schlusslinie s bezeichnen wollen. Aus dem Momente Mm findet man für die Grösse der Spannkraft des dem Knoten m gegen-

überliegenden Gurtstabes den Werth: —y—• Sind die Momente mit

Hilfe eines Seilpolygons bestimmt worden, welchem die Polweite II = eh

Mm

entspricht, wo s eine beliebige Zahl bedeutet, so ergiebt sich —y

— Hym

Die

Die grössten und kleinsten Werthe ym sind nun für den vorliegenden Träger in der Fig. 352 dargestellt worden. Die rechte Hälfte enthält die Werthe maxynn die linke Hälfte die „,inym. Erstere entstehen, wenn das Trägerstück CD gänzlich belastet wird, während die Ausleger und die angrenzenden Koppelträger unbelastet bleiben. Stützenmomente Mc und Mv nehmen dann, nach der letzten der Gleichungen (1), die Werthe an

66,1 • 3,0;

Mcg - ^Dg -

denselben entspricht, da die Pol weite = Ah — 4 • 3,6“ ist,

— 13,8'

y Cg - y Dg

66,1 • 3,0 4 -3,6

und hierdurch ist die (wagerechte) Schlusslinie Sj in Fig. 352 bestimmt. Die Ordinaten des A/₀-Polygons stimmen mit denen des in der Fig. 130 auf Tafel 1 dargestellten Polygons der grössten Momente eines einfachen Balkens überein; die Ermittlung derselben ist in No. 82 beschrieben worden. ⁸) Es ei’giebt sich (wegen s = 4) :

maxyo -    13,8*

max])l - -p    14,4*

maxlfo - ~p 34,9*

max]/3 = -f- 49,9* max y\ = 4~ 58,4* maxys - “H 61,9*

— 4-14,4 = — 58**) min0₂ = — 4 • 34,9 = — 14Q* min0₃ = — 4 • 49,9 = — 200* minOi = — 4 • 58,4 = — 234* min0₅ = — 4-61,9 = — 248*

L\ = — 4 • 13,8 = — 55* V, = + 58*

c4=4- i4o*

Z7₄ = + 200*

U₅ = 4- 234*

Wird der Träger links von C und rechts von D so belastet, dass die grössten Momente Mc und MD entstehen, während auf den Theil

max

max

max

max

max

CD nur die ständige Belastung wirkt, so ergeben sich die in der linken Hälfte der Fig. 352 dargestellten grössten negativen Werthe y. An die Stelle des M₀-Polygon tritt das Tf0ÿ-Polygon, dessen Eckpunkte

1,74 • 36²

auf einer Parabel mit dem Pfeile

8II

8 • 4 • 3,6

19,6* liegen,

Mcp

und die Schlusslinie ist durch die um

U

s₂ zu ersetzen, wobei yc mit dem in Figur 344 der Trägerstellung 1 entsprechenden y₂ übereinstimmt.

Man findet

yc höher liegende

mini/o " 53,8*

minyi - - 46, i *

mitt/ft - — 34,2*

nUx = — 4-53,8 = — 215* U₂ = — 187*

Z7₃ = — 165*

» U₄ = — 149*

U₅ — — 140*

0₄ = + 4-46,7 = + 187*

*<+ = + 4-41,3 = + 165*

0₃ = + 4-37,3 = + 149*

0₄ = + 4-34,9 = + 140*

0₅ = + 4-34,2 = + 137*

b. Trägertheil mit einem Ausleger (erste Oeffnung). Wir bezeichnen wieder die linke Stütze mit C, die rechte mit D und nehmen den Träger zwischen C und D gänzlich belastet, rechts von D unbelastet an. Die Schlusslinie Sj geht durch den linken Stützpunkt (Fig. 353a auf Tafel 5) und besitzt bei D die Ordinate — 13,8*. Das M₀ -Polygon ist dasselbe wie in der Fig. 352.

Da der grösste Werth y dem Knoten 5 entspricht, so sind bei der Berechnung der Spannkräfte in den Gurtungen links und rechts von 5 beziehungsweise links- und rechtssteigende Diagonalen vorauszusetzen. Man findet

max

ma

max

max

max

min

min

mi n

maxyi ■—■ ”4” 26,8*

nunOt — — 4 • 26,8 = — 107e rninO» — —- 4 • 45,9 = — 184e min0₃ — — 4 • 59,6 = — 238e minO± = — 4 • 66,7 = — 267e rninOb = - 4 .68,8 = — 275e Oq = min 0₆ = — 275e min0₇ = — 4 • 63,9 = — 256e minOs = — 4 • 54,1 = — 216e m*n0₉ = — 4 • 37,7 = — 151e minO₁₀ = — 4-15,8 = — 63e

max

max

min

max

max

max

max

max

Ux =0 U₂ = + 107*

U₃ = + 184* ü₄ = + 238*

Z7₅ = + 267*

U₆ = + 256*

^ = + 216*

[7₈ = + 151*

U₉ = + 63*

U₁₀ = — 4 • 13,8 = — 55*.

*) Die Multiplikationen mit 4 kann man umgehen, indem man in der Fig. 352 den Kräftemaassstab l<™ = 30e ändert in lw = 4 • 30 = 120e. Dann stellen die Ordinaten y die Kräfte O und U dar.

Um nun die Werthe miny zu erhalten, ist der Träger rechts von D so zu belasten, dass das grösste Stützenmoment MD entsteht, während zwischen C und D nur ständige Belastung anzunehmen ist.

Man gelangt dann zu der Figur 353b und findet, da der grösste (positive) Werth y dem Knoten 2 entspricht, dass bei der Berechnung der Gurtkräfte der in der Figur 354 angegebene Spannungszustand der

Q, 0₂ Oj Q„ Os Os 0₇    0&    0* O,o

kr*

Fig. 354.

Diagonalen vorauszusetzen ist. Es ergiebt sich: min y 1 — + 1,7*

miny 2 = 4- 1,8* maxO-i = — 4.1,8 = — 7*

min 3- “F 0,3*

Eine Zusammenstellung der Spannkräfte 0 und U findet sich in der Fig. 359.

V. Spannkräfte in den Füllungsstäben der Parallelträger.

a. Trägertheil mit zwei Auslegern (dritte Oeffnung). Die Spannkräfte in den Füllungsstäben eines Parallelträgers lassen sich (nach § 36) schnell ermitteln, sobald die Querkräfte Q bekannt sind. Um für das mte Balkenfeld zu erhalten, belasten wir den Träger links von C so, dass das grösste Moment Mc entsteht, und nehmen ausserdem

max

0,= — 4 • 1,7 = — 7*

max

max

max

max

max

max

Ui = 0

minTj2~⁼ ~f⁻ 7*

u» = + l*

min 1h = - 11*

min U₅ = — 29*

min UG = - 54*

min = — 85*

min

0₂ = — 7*

O3 =

Oi = — 4 • 0,3 = — 1* 0₅=: + 4-2,7 = +11* = + 4 • 7,3 = + 29*

0₇ = + 4-13.5 =+ 54* 0₈ = + 4-21,2 = + 85* 0₉ = + 4-30.5 = + 122* xOiu = +4-41,4 = + 166*

max

min

U₈ = — 122*.

U₉ =— 166* min U₁₀ — — 4 • 53.8= — 215*.

min

max

Qm

m 7 nv

~ß

v:,%\

Fig. 355.

einen von D bis m reichenden Lastenzug an. Den Einfluss des letzteren bestimmen wir in bekannter Weise mit Hilfe des in No. 81 eingeführten

¹

ln der Fig. 334 ist die Belastung an der oberen Gurtung angreifend gedacht. Fx und F₂ sind die dem Schnitte tt benachbarten Auflager.

²

Wir unterliessen es, die y mit dem Zeiger p zu versehen.

³

Diese Werthe lassen sich auf die in der Fig. 344 angegebene Weise durch Zeichnung bestimmen, werden aber besser gerechnet, nachdem y gemessen worden ist.

⁴

Es ist diese bequeme Bestimmung von und U.₂ dieselbe Richtung haben; im Gegenfalle müsste DPi aus der für den Schnittpunkt von Oä und U₂ aufgestellten Ritter’sehen Momentengleichung ermittelt werden.

⁵

Kleine Fehler bei Festlegung der vorhin benutzten Schlusslinie s können zu erheblichen Ungenauigkeiten Veranlassung geben.

⁶

In Fig. 345 ist durch ein Vernimm die von C aus abgetragene Strecke Mx : X statt mit Ma : X bezeichnet worden.

⁷

Ist auch das rechts an C grenzende Gurtstück geneigt (und zwar unter y') so muss s = — (tgy-f-tgy') gemacht werden; Fig. 351.

Fig. 351.

⁸

Es ist also beispielsweise die Ordinate 22' in Fig. 352 gleich der Ordinate jPi in Fig. 130. Man achte auf die Verschiedenheit der Kräftemaassstäbe der Tafeln 1 und 5.

Seilpolygons, welches wir jetzt das C-Polygon nennen wollen; dasselbe ist in der Fig. 126 auf Tafel 1 für einen 36w langen Balken ermittelt worden.¹) Die negativen Beitragsstrecken wurden aus den in No. 151 angeführten Gründen frei von jeder Verkehrslast gedacht, hingegen wurde, um nicht allzu ungünstig zu rechnen, davon abgesehen, den Lastenzug über m hinaus in das fragliche Feld vorzuschieben. Der Einfluss der auf der Strecke Dm liegenden Verkehrslast auf die Querkraft Q ist dann gleich der dem Punkte m entsprechenden Ordinate Cm des C’-Polygons. Die Wirkung der übrigen Belastung wird wie folgt bestimmt. Man betrachtet CD zunächst als einfachen Balken und bestimmt die von der ständigen Belastung abhängigen Querkräfte auf die in No. 72 beschriebene Weise mit Hilfe einer Geraden, welche auf der linken und rechten Auflagersenkrechten beziehungsweise die Ordi-naten: + % gl = \ • 1,74 - 36 = —{— 31,32' und — 31,32' abschneidet. Zu jedem der so gewonnenen Werthe Q addirt man nun (nach Glei-

chung 2 auf Seite 162) den Betrag: setzen

7- (Md —- Mc). Hierbei ist zu

Md = MI)g = — 66,1 ¹3,0 und Mc — — 258,15 • 3,0,²) so dass sich ergiebt

36

(Mj₀ — Mc) = ^-{258,15 — 66,1) = 4- 16,0'.

Die vorstehenden Erörterungen führen zu der in der Fig. 356 gegebenen Darstellung der Querkräfte maxQ. Es wurde nach Aufzeichnung des C-Polygons die Gerade C'D' mittels der Strecken CC' = -j- 31,32 + 16,00 = + 47,3' und DD' = — 31,32 + 16,00 =— 15,3' bestimmt. Durch die den Feldmitten entsprechenden Punkte der Linie C D' wurden wagerechte Gerade gezogen und deren Ordinaten mit Berücksichtigung der Vorzeichen zu den den Knoten 1, 2, 3, . . . . entsprechenden Ordinaten der C- Linie addirt. Aus den Querkräften Q ergeben sich schliesslich auf die im § 36 erläuterte Weise und mit Bezugnahme auf Fig. 355 die folgenden Spannkräfte D und F³);

U₉ = + Qu, + 1,6 = —12,2 + 1,6 = — 11*

minD g = + 5*

Ao = + 17*.

Dx = + 178*

D* = + 146*

...axDs = + 118*

D₄ = + 91*

A = + 67*

D₆ = + 45*

D₇ = + 26*

D₈ = + 10*

Um die Querkräfte mfnQ zu erhalten, genügt es, der im vorliegenden Falle bestehenden Symmetrie wegen, das Spiegelbild der Fig. 356 zu betrachten und die Vorzeichen der Kräfte Q umzukehren. Man findet dann, dass in den sechs Mittelfeldern Gegendiagonalen nöthig werden. Eine Zusammenstellung der Grenzwerthe der Spannkräfte D und V zeigt die Figur 359; für die Vertikalen, an denen Gegendiagonalen angreifen, braucht nur der grösste Druck (also minV) angegeben zu werden.*) b. Trägertheil mit einem Ausleger (erste Oeffnung), Um zunächst die Kräfte maxQ zu bestimmen, wurden in Fig. 357 zu den Ordinaten des C-Polygons die den Feldmitten entsprechenden Ordinaten einer Geraden C'D' addirt, welche, wegen jl/c=0, auf den Senkrechten durch die Stützpunkte C und D die Strecken

CC' = iiL + und DD' =

min

min

max

max

max

max

max

max

■ ax

max

min

9l

Md

abschneidet. Kechts von D ist nur ständige Belastung anzunehmen, weshalb: MD=MJ)g — —66,1-3,0 zu setzen ist. Hiernach ergiebt sich

66,1 • 3,0

CC' = 31,32

36

-f- 25,8*

und 1)1)' = — 31,32 —

66,1 • 3,0

= — 36,8*

und nach Aufzeichnung des Kräfteplanes in Fig. 357

V₁ = — Ql + 1,6=— 108*

T 2 = Q₂ + 1,6 = —    80'

^3 — - Qs + 1,6

— Qi~\~ 1,6

— 05+ 1,6=— 25'

f₇=+(>₈ +1,6=—14,7 + 1,6 = — 13'

T'g — —j-    +• 1,6 = — 23'

max ⁴ 9 = + + 0    1,6 — - 32'

min

min

min

min

r₄ =

60'

41'

36

max

max

i ux

D₁ = — Ox sec ç = + 151'**) + = + 115'

D₃ = + 87'

U₄ = + 61' D, = + 37*;

D₆ — + 14'

+ =+ 4' D₈ = + 21' D₉ = + 35' D₁₀ — + 48'.

*) Macht man die zulässige Inanspruchnahme einer solchen Vertikale abhängig vom Verhältniss der Grenzwerthe der Spannkräfte, so setze man

**) Der grösste Zug Dx entsteht gleichzeitig mit dem grössten Drucke ()l und wurde in Fig. 357 fortgelassen.

min

max

max

■ ax

" -IX

j min

min

min

min

max

V— — g₀\.

Qm entsteht, muss ein Eisenbahnzug von C aus bis m — 1 vorgeschoben werden. Ausserdem ist der Balken rechts von D so zu belasten, dass das Stützenmoment MD seinen grössten negativen Werth: MD — — 258,15-3,0 annimmt. Der Einfluss des von C bis m — 1 reichenden Lastenzuges auf Qm ist gleich der dem Knoten m— 1 entsprechenden Ordinate des D- Polygons (Spiegelbild des C-Polygons); zu demselben ist, um die übrige Belastung zu berücksichtigen, die zur Feldmitte gehörige Ordinate einer Geraden C D' (Fig. 358) zu addiren, welche auf den Auflagersenkrechten die Strecken

Damit im mten Felde die Querkraft

min

CC

9l

Md

31,32 —

258,15 • 3,0

36

= 31,32 — 21,51

⁽jl

= + 9,8* uDdPP' = -

z

MD

— — 31,32

21,51 == — 52,8*

abschneidet. Man findet

min

J>x

min

ll⁴

min

min

min

min

min

y₃ = y₄ = y₅ = y₆ = y₇ =

1,6 = —

1,6 = —

1,6 = —

1,6 =

1,6 — — 68⁴

23⁴

36"

51*

max

max

max

max

max

1,6 = —

87 ⁴

max

1J

min

r₈

min

y9 ~~

1,6 = —- 1074 1,6 =— 130⁴

max

..

^io —

++++++++++

3**)

17⁴

34⁴

53*

75*

99*

U36    -58

-1VO -200    -239    -2VS

+58

J 110,

sv7h

i »Art Art

-55

t Pto

1200

-215    -187    -165    -WO

** -tor - is±

-238    -267    -275

-2 TS

tMMM

-256    -2/6

UV S\ 4 65

-ist + 122

-63

U66

fl_

1107

1238

1267

1256

1216

1151

166

-SS

Fig. 359.

*) Dieser Werth 1)₂ entspricht selbstverständlich der rechtssteigenden Diagonale des zweiten Feldes und der vorhin angegebene Werth J)₂ der linkssteigenden. Es erschien uns überflüssig, für die beiden Diagonalen eines Feldes verschiedene Bezeichnungen einzuführen, weil ein Blick auf die Figuren 357 und 358 jeden Zweifel beseitigt.

23

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

Für die Endvertikale ergeben sich, da der grösste Stützen widerstand Cmax = C'C" (in Fig. 357) = 125,3* und der kleinste Cmin — CC' (in Fig. 358) = 9,8* ist, die Spannkräfte

r₀ = — Cmax + \gu\ = — 125,3 + 0,8 = — 125*,

V₀    (y min 1    2" 9U ^

min

max

9,8 -J- 0,8 == —    9*.

§ 42.

Crerber’scher Faehwerkhalken mit GfelenkTierecken.

177. Einleitung. Wir gehen jetzt zur Untersuchung eines Gerber’sckeia. Balkens über, bei welchem an Stelle eines jeden der bislang vorausgesetzten wirklichen Mittelgelenke zwei Stäbe treten, deren Schnittpunkt (nach der in No. 141 gegebenen Erklärung) die Bolle des Gelenkes spielt. In der Fig. 360 ist ein Stück eines solchen Balkens dargestellt worden. Der schwebende Theil II ist mit den angrenzenden gestützten Theilen I und III durch je zwei Stäbe verbunden. Die Achsen der Stäbe A₀ und Au schneiden sich im Punkte A. die-

<■

<-

Hü

fy>

>o

[fitfVVVIv

An'

A^C

'D

Fig. 360.

jenigen der Stäbe B₀ und Bu im Punkte B\ dann sind A und B die Mitteige-lenke der Oeffnung D'C.

Im Folgenden soll nur die Wirkung senkrechter Lasten unter der Voraussetzung wagerechter Bahnen der beweglichen Auflager untersucht werden, und zwar mit Hilfe der Einflusslinien, welche hier am übersichtlichsten zum Ziele führen.

Zunächst bestimmen wir die am Koppelträger II in Fig. 360 angreifenden Kräfte. Gegeben sind die auf II wirkenden Lasten, gesucht die Spannkräfte A₀, Au, Bo, Bu der gleichbezeichneten Stäbe. Die Mittelkraft A aus A₀ und Au geht durch das Gelenk A, die Mittelkraft B aus B₀ und B„ durch das Gelenk B. Beide Mittelkräfte müssen senkrecht gerichtet sein, da sämmtliche auf den hier betrachteten Gerber’schen Balken (der nur ein festes Lager besitzt) wirkenden äusseren Kräfte senkrecht sind und mithin den äusseren Kräften links vom Schnitte tt (Fig. 360) sowie den äusseren Kräften rechts von t't' nur durch senkrechte Kräfte A, beziehungsweise B das Gleichgewicht gehalten werden kann. Wir nehmen A und B positiv an, wenn sie auf den Koppelträger nach oben, also auf die Ausleger nach unten wirken; beide Kräfte sind nur von den auf den Koppelträger wirkenden Lasten P abhängig. Man findet, mit den aus der Figur 361 ersichtlichen Bezeichnungen, den Einfluss einer Last P= 1 mittels der auf die Punkte B und A bezogenen Momentengleichungen :

Al — Pb — 0 und Bl — Pa = 0,

woraus

b ₁ Ô J T> T, a A a

— = 1 — und B = P — — 1 — •

j*—l---->]

A.

<-

s*

Fig. 361.

Liegt P rechts von B, so wird b negativ, befindet es sich links von A, so ändert a das Vorzeichen. Die Einflusslinien für A und B sind in den Figuren 363 u. 364 für zwei verschiedene gegenseitige Lagen der Gelenke A und B dargestellt worden. Die A-Linie besteht zwischen B₁ und Tx aus einer Geraden, welche auf der Senkrechten durch A und B beziehungsweise die Ordinaten 1 und 0 abschneidet, und an welche sich links und rechts die den Feldern B₁R₂ und Tx T, entsprechenden Geraden schliessen. Lasten, welche durch B₂ und T2 gehen, entspricht A = 0. Ebenso wird die R-Linie bestimmt. In den Figuren 363 und 364 wurde die A-Fläche durch Schraffirung hervorgehoben. Aus den Grenzwerthen der Kräfte A und B lassen sich die grössten und kleinsten Spannkräfte in den Stäben A₀, Au, B₀, Bu durch einfache Zerlegung von A und B ermitteln.

In den folgenden Untersuchungen, die sich auf das einfache Dreiecknetz beschränken, bezeichnen wir die Spannkräfte ganz allgemein mit S und deuten damit an, dass alle zur Bestimmung der Einflusslinien für diese Kräfte gegebenen Regeln sowohl für die Gurtstäbe als auch für die Füllungsstäbe gelten.

178. Um die Einflusslinien für die Spannkräfte in den Stäben eines Koppelträgers (bei dessen Betrachtung wir A und B zu den äusseren Kräften rechnen) zu bestimmen, denken wir uns diesen Trägertheil am rechten Ende festgehalten und ermitteln diejenigen Spannkräfte S', welche in den Stäben entstehen, sobald nur zwei Kräfte A₀ und Au angreifen, deren Mittelkraft A = 1 ist. In gleicher Weise bestimmen wir die Spannkräfte S" für den am linken Ende festgehaltenen und mit B — 1 belasteten

schwebenden Theil.    \A=7

Liegt nun die über -V /V -^~Ä-7-7\-7\—

Fig. 362.

nur

Schnitte tt, welcher den Stab, für dessen Spannkraft S die Einflusslinie gesucht wird, und höchstens noch zwei andere Stäbe trifft, so greift links von tt die äussere Kraft A an, und es entsteht daher S = AS', während eine

23*

links von tt sich befindende Last 1 für sich allein die Spannkraft S—BS" hervorruft. Sind F₁ und F₂ die Querträger links und rechts vom Schnitte tt (Fig. 363), so folgt:

-•J'

, ' rn^JL

[A"

Fig. 363.

rechts von F2 links von Fl

Unie für S (kurz: S-Linie) sind gleich den

Die Ordinaten des

gelegenen Theiles ’der Einfluss-multiplicirten

mit S

A-Linie

B-Linie

Durch diesen Satz und durch die Werthe S' und S" ist die S'-Linie eines

entsprechenden Ordinaten der

jeden Stabes vollständig bestimmt; sie wurde in den Figuren 363 und 364 für eine linkssteigende Diagonale unter Voraussetzung verschiedener gegenseitiger Lagen der Gelenke A und B und des Schnittpunktes E der von tt getroffenen

forrffiTm^p

Jk

-L-sï'^üP

si /;______

mß

Fig. 364.

Gurtstäbe dargestellt. Die Belastung ist an der oberen' Gurtung angreifend gedacht. Mit Hilfe der Werth e S' und S", deren erster im vorliegenden Falle positiv ist, während S" einen Druck bedeutet, wurden die Geraden I imd II festgelegt; erstere gilt zwischen Fl und Rt, letztere zwischen F₂ und Tv Den Feldern Ii₂ Rlt F₁F₂, T₁ T₂ entsprechen beziehungsweise die Geraden IV, III, F.

Wir weisen noch besonders auf die ähnlichen Untersuchungen in No. 143 u. 175 hin, deren Ergebnisse auch im vorliegenden Falle zur Bestimmung der Geraden 1 und II verwendet werden können. Beispielsweise müssen sich I und II in einem Punkte der Senkrechten durch E treffen.

179. Einflusslinie für die Spannkraft S in einem Stabe eines Auslegers. Wir betrachten das über die Stütze C ragende Stück des Träger-theiles CD (Fig. 360), denken die Stäbe B₀ und Bu durch zwei bis zum Gelenke B reichende Stäbe ersetzt (Fig. 365) und bestimmen hierauf diejenigen Spannkräfte S', welche eine in B angreifende, abwärts gerichtete Last 1 in den Stäben des zu untersuchenden Trägerstückes hervorbringt. Nun gelangen wir zur Einflusslinie für die Spannkraft S in irgend einem Stabe durch die folgende einfache Ueberlegung:

Der Einfluss einer Einzellast P= 1, welche auf den in der Fig. 365 dargestellten Träger wirkt und links von dem Felde    I\, durch

welches der Schnitt tt geht, angreift, ist durch die Ordinate einer Geraden (!) gegeben, welche bei B die Ordinate S' besitzt und deren Nullpunkt N senkrecht unter dem Schnittpunkte E der beiden Stäbe liegt, die ausser dem fraglichen Stabe noch vom Schnitte tt getroffen werden. Diese Gerade darf für

''Bf

Fig. 365.

F,

f\

F,

WM

e t, rs

ymy.

Lt, £

pr

'IV

P=1

\r

Sy'p-/

S’\'P-r

-fl

p-1

Fig. 366.

den Träger in Fig. 366 natürlich nur zwischen I\ und Fl benutzt werden. Bullt die über den Träger wandernde Lasteinheit auf dem anliegenden Koppel-

träger, so übt sie auf den Ausleger einen im Punkte B angreifenden Druck B aus und erzeugt die Spannkraft S—B-S'. Die Ordinaten der links von 2\ gelegenen Theile II und III der gesuchten S-Linie sind also gleich den mit S' multiplicirten Ordinaten der B-Linie, während sich die den Feldern Tx T.2 und FtFa entsprechenden Theile der S-Linie mit Hilfe des Satzes ergeben, dass jede Einflusslinie zwischen zwei benachbarten Querträgern eine Gerade ist. Der Nullpunkt von II entspricht dem Gelenke A.

In der Figur 366 ist die Einflusslinie für die Spannkraft in einer linkssteigenden Diagonale dargestellt worden. Die Spannkraft S’ ist im vorliegenden Falle positiv.

Es möge noch an die in No. 174 durchgeführten Untersuchungen erinnert werden. Danach kann die Einflusslinie in Fig. 366 auch durch die den Punkten Ft und F₂ entsprechenden Ordinaten S" und S'" der Geraden / festgelegt werden. Um S” und S'" zu erhalten, zerlegt man eine in I\ angreifend gedachte Last P = 1 nach den Richtungen von S und So-, sodann eine in F₃ angreifende Last P— 1 nach den Richtungen von S und Su- Auf welche Weise der Sinn von S" sowohl als auch von S'" bestimmt wird, ist durch die neben die Kräftedreiecke (deren Umfahrungssinn ein stetiger sein muss) gesetzten Figuren angedeutet worden.

180. Die Einflusslinie für die Spannkraft in irgend einem Stabe des zwischen den Stützen C und JD gelegenen Trägertheiles (Fig. 367) ist nach Ermittlung der Spannkräfte S' und S'\ welche beziehungsweise mit den in No. 143 eingeführten Spannkräften 0', U\ D’ und 0", 77", D" übereinstimmenT durch den Satz gegeben:

Die Ordinaten des

rechts von F»

Unie für S sind gleich den

links von Ft mit S'

gelegenen Theiles der Einfluss-

mit S

r, multiplicirten entsprechenden Or-

dinaten der

C-Linie

D-Linie

Dabei bedeuten, wie früher, Fx und F., die links und rechts von dem Schnitte tt gelegenen Querträger. Die Einflusslinie für den Stützen widerstand C (d. i. die C-Linie) ist zwischen den Querträgern T., und T\ eine Gerade (7), welche durch die Bedingungen bestimmt ist, dass einer senkrecht über C liegenden Last P— 1 der "Werth (7=1 entspricht und einer senkrecht über D angreifenden der Werth C=0. Es giebt aber diese Gerade auch den Einfluss einer auf dem linksseitigen Koppelträger ruhenden, durch das Gelenk B gehenden Last Eins an, weil diese Last auf den Ausleger T₂C (welchen man sich in der durch die Figur 365 veranschaulichten Weise bis B verlängert denken kann) einen Druck B = 1 ausübt. Da nun eine durch A gehende Last den Werth B = 0 erzeugt, so ist sie auch ohne Einfluss auf C, und hieraus und aus einer ähnlichen, den Einfluss von Lasten rechts von T\ betreffenden Ueberlegung ergiebt sich die in der Fig. 367 a dargestellte (7-Linie. Sie besteht aus der Geraden I, den beiden Geraden II und III, welche beziehungsweise durch die Schnittpunkte der J mit den Senkrechten durch die Gelenke B und B' gehen, und deren Nullpunkte den Gelenken A und A' entsprechen, schliesslich aus den Geraden JU, F, FT, FTZ, gehörig zu den Feldern P₂ Ri Ti P₂, T\T'j, R\R\. In Fig. 367 wurden zu beiden Seiten der Oeffnung CD verschiedene gegenseitige Lagen der Mittelgelenke A und P, A' und B' vorausgesetzt.

Ganz ebenso wird die (in der Fig. 367 a strichpunktirte) Einflusslinie für den Stützenwiderstand D bestimmt, und nun unterliegt es keinerlei Schwierig-

----(£-

m'*

!\

fcs-----

Wb

pr« -Ct;

--------

S'

Fig. 367.

keit mehr, die Einflusslinie für die Spannkraft £ in irgend einem Füllungsstabe mit Hilfe von S’ und S" aufzutragen. Figur 367 b enthält die Anwendung unseres Verfahrens auf die Ermittlung der Einflusslinie für die Spannkraft S in einer linkssteigenden Diagonale.

181. Es soll noch, der in Eig. 368 dargestellte Fachwerkbalken untersucht werden, dessen gestützter Theil A drei Auflager A. B, C besitzt. Zwischen B und C liegt ein von senkrechten Füllungsstäben begrenztes Feld ohne Diagonale.

Um die Einflusslinie für den Stützenwiderstand C zu bestimmen, wird die über den Träger wandernde Last Eins zuerst irgendwo zwischen C und Gl angenommen und die Summe der auf das Trägerstück GGX wirkenden senkrechten Kräfte gleich Null gesetzt. Da die Spannkraft S₀ im Stabe S₀ wagerecht ist, so ergiebt sich C= 1, und hierdurch ist die in der Fig. 368a dargestellte C-Linie bestimmt. Lasten links von B sind ohne Einfluss auf den Widerstand C.

Die Einflusslinien für die Stützenwiderstände A und B sind in den Figuren 368b und c angegeben; die Gerade I der ersteren besitzt bei A die Ordinate 1, diejenige der letzteren bei B die Ordinate 1; in beiden Figuren sind die Geraden I und II einander parallel; denn so lange der Trägertheil AB nur zwischen A und B belastet ist, verhält er sich wie ein einfacher Balken ; greift die

-14

fer-

und A — — So

c

Last Eins in Gl an, so erzeugt sie : S₀ = + 1 —

h

ner B = — A = -\- 1 -y- •

Um die Einflusslinie für die Spannkraft in irgend einem Stabe des Trägerstückes AB zu finden, betrachte man AB zuerst als einfachen Balken

und verfahre nach No. 143 Seite 269. Sodann beachte man, dass der Einfluss von Lasten, welche auf den Trägertheil rechts vom Schnitte tt wirken, ganz

Mitte-

’A

K--

flf

-m

Eil

-----⁴

C -Linie

(c)

-r

Al-uue-

an

WZ

(d)

ir

D"

itni

D'

jjTp

(P

Fig. 368.

allgemein — AS' ist, wo S' die Spannkraft für den in No. 143 erklärten Zustand A = 1 ist. In den Figuren 368 d u. e sind die Einflusslinien für eine Spannkraft U und eine Spannkraft D dargestellt worden. Die links von B gelegenen Theile derselben sind durch die Werthe U\ D\ D" bestimmt, und die Theile rechts von B durch die Bedingung, dass in beiden Figuren die Gerade II der Geraden I parallel sein muss.

Die Spannkräfte in den wagerechten Gurtstäben des Feldes BC sind für jeden Belastungszustand entgegengesetzt gleich (Su = — S₀); die Einflusslinie für So (Fig. 368 f) ist durch die dem Mittelgelenke Gx entsprechende Ordinate 1 4- bestimmt. h

Fig. 368 giebt im Wesentlichen die Anordnung der Hauptträger der neuen Eisenbahnbrücke an, welche den Niagara in kurzer Entfernung unterhalb der berühmten Fälle überspannt und im December 1883 dem Verkehr übergeben wurde. ⁴) Eigentümlich ist bei dieser Brücke auch die Anordnung der Füllungsstäbe. Fig. 369 zeigt den überragenden und den angrenzenden schwebenden Theil. Die Diagonalen 3, 4, 5, 6, 7 gehen durch je zwei Felder, die erste derselben vereinigt sich jedoch mit der einfeldrigen Diagonale 2 in der Nähe des unteren Knotens F zu einem Stabe 1, und in Folge dessen ist der Träger auch innerlich statisch bestimmt. Um beispielsweise die Spannkräfte D1: D.,, . . . X>8 im Stabe 1 und in den Diagonalen 2, 3, .... 8 zu finden, führe man zuerst

IN

\F fr

t,

Fig. 369.

den Schnitt tu bestimme Dx nach dem Ritter’sehen Verfahren, hierauf D.₂ und X>₃, welche mit Dx im Gleichgewichte sein müssen, und führe nun die Schnitte <₃, . . ., tun der Reihe nach mittels Ritter’scher Momentengleichungen die Spannkräfte D₄, Z>₅, .... zu erhalten. "Wir werden uns im letzten Abschnitte dieses Bandes noch eingehender mit derartigen Fachwerken beschäftigen.

Hinzuzufügen ist, dass bei der Niagarabrücke die Knoten E und Z>, desgleichen G und F durch Stäbe miteinander verbunden wurden, deren Befestigungsbolzen jedoch bei E und G durch länglich geformte Löcher greifen. Es ist deshalb an diesen Stellen eine Verschiebung der Stabenden möglich, und der Koppelträger verhält sich wie ein einfacher Balken.

§ 43.

Grcrber’sclier Balken mit Hängegiirtuiig;.

182. Fig. 370 stellt einen in neuerer Zeit öfter ausgeführten Gerber’schen Balken mit Hängegurtung dar. Die gestrichelten Gurtstäbe sind an dem einen Ende durch Bolzen, welche durch längliche Löcher gesteckt sind, befestigt; sie sind wirkungslos und werden nur mit Rücksicht auf das bessere Aussehen des Trägers angeordnet. Führt man durch das erste Feld rechts von der Mittelstütze einen Schnitt, so kann man die Spannkraft S\ in dem obersten Kettengliede aus der Momentengleichung für den Stützpunkt B bestimmen. Zerlegt man S\ nach wagerechter und senkrechter Richtung (Fig. 371), so findet man für den Einfluss einer am Ausleger BGX angreifenden Last P auf die wagerechte Seitenkraft H den Werth

Die Einflussfläche für H ist demnach ein Dreieck (Fig. 370a) von der

Ï

Höhe 1 -y • Sind Ausleger und Koppelträger unbelastet, so ist H— 0.

Lasten, welche auf das Trägerstück AB wirken, üben also keinen Einfluss auf H aus. Nach Ermittlung von Hmax findet man die Spann-

kräfte S und S' in der Hängegurtung nach Fig. 370b aus der Bedingung, dass die wagerechten Projektionen dieser Kräfte sämmtlieh

z£::

F'

si

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B"

T"

T⁷

(<0

Gi

Fig. 370.

gleich H sind. Die Strecken, welche die S' und S auf der Vertikalen F F abschneiden, stellen die Spannkräfte Z in den Hängestangen dar und die Strecke F'F den Druck in der Vertikalen VB.

Die Einflusslinien für die Spannkräfte O, U, D und V der gegliederten Scheibe AB verlaufen zwischen A und B genau wie beim einfachen Balken; zwischen B und G₂ aber ist jede Einflussfläche ein Dreieck, dessen Spitze in der Senkrechten durch Gx liegt und das durch den Einfluss einer in Gr angreifenden Last 1 bestimmt ist. Zu den in No. 143 benutzten Kräfteplänen für die Zustände A = 1 und B — 1 tritt noch ein dritter über den Träger-Theil ABGt auszudehnender Kräfteplan, für dessen Herstellung die folgende kurze An-

Weisung genügt. Die in Gx angreifende Last 1 erzeugt am Auflager

l'

A den Widerstand A = — 1 — und in der Hängegurtung den Hori-

zontalzug H = 1 —, ein Werth, der auch durch Zerlegung der Last 1

\t

fl

VA

b\

%- r->i a>

— J-Ï

!<-

Li

Fig. 371.

nach den Richtungen der in Fig. 371 vom Schnitte t getroffenen drei Stäbe zeichnerisch dargestellt werden kann. Nun lassen sich nach Fig. 370b die Spannkräfte in den Kettenstäben und den Hängestäben ermitteln und damit sind alle an den Dreiecknetzen AB und BGX angreifenden Kräfte bestimmt. Für die Dreiecknetze werden Cremona’sche Kräftepläne gezeichnet.

Sehr schnell führt auch das folgende rechnerische Verfahren, das durch ein Zahlenbeispiel erläutert werden möge, zum Ziele. Es sei l = 24”, ï— 12m, l" == 24m, \ (Feldweite) = 3“. Die Höhen der Dreiecknetze seien in den Punkten

01    23456789    10 11 12

h= 2,0 2,1 2,4 2,9 3,6 2,9 2,4 2,1 2,0 2,1 2,4 2,9 3,6W

und die von der Geraden ABGX aus gemessenen Ordinaten der Hängegurtung in den Punkten

5    6    7    8    9    10 11

y = 4,5 5,6 6,9 8,4 6,9 5,6 4,5'“.

Gesucht sei zunächst die Einflusslinie für 0₇ cos ß₇, wo ß₇ den Neigungswinkel von 0₇ gegen die Wagerechte bedeutet. Da

0₇ cos ß₇ =

M₆

ist, so erzeugt B — 1 die Spannkraft

Orj COS ß₇ = - 1

2 -3,0

2,4

2,50f

und durch diesen Werth ist die strichpunktirte Einflusslinie (Fig. 370c) für Orj cos ß₇ im Gebiete A B bestimmt. Die ausgezogene Linie gehört

3-3,0

zu Oq cos ß₆ ; sie ist festgelegt durch —- 1

zeugt eine in Gt angreifende Last 1 :

12 ' 10

2,9

= — 3,10. Nun er-

A = — 0,5, 77 = 1

0₇ cos ß₇ =

M₆

8,4    7

Ax₆ + HyG

0,5-18— V°-5,6

Ag

2,4

f 0,42

0₆ cos ßg =

Ax₅ + Hy₆

0,5 • 15 — V> -4,5

2,9

= + 0,37

und durch diese beiden, an der Stelle G₁ aufzutragenden Werthe sind die Einflusslinien für das Gebiet BG₂ bestimmt.

Führt man nun einen Schnitt durch die Stäbe S₂, 0₇, V₆ und U₆, und setzt man die Summe der am abgeschnittenen Fachwerkstheile angreifenden wagerechten Kräfte gleich Null, so erhält man

U₆ —|— 0₇ cos ß₇ —}— 77 = 0

und hieraus folgt

— U₆ = 0₇ cos ß₇ + 77

Die Einflusslinie für (— Cg) stimmt also zwischen A und B mit der Einflusslinie für 0₇ cos ß₇ überein, weil Lasten, die am Trägerstück AB angreifen, in den Kettenstäben keine Beanspruchungen erzeugen. Liegt

10

1,43 und — Ug — + 0,42

die Last 1 in Gx, so erzeugt sie H

+ 1,43 = 1,85 und durch diesen Werth ist der zur Trägerstrecke BG2 gehörige, in Fig. 370c gestrichelte Theil der (—Cr₆)-Linie bestimmt. Bedeutet <p₆ den Neigungswinkel der Diagonale Dg, so muss sein

Dg cos 9g = 0₇ cos ß₇ — 0₆ cos ß₆.

Der Unterschied der für 0₇ cos ß₇ und 0₆ cos ß₆ gezeichneten Einflussflächen ist also gleich der Einflussfläche für Dg cos 9₆. Diese Fläche wurde in Fig. 370d — im doppelten Maassstabe — auf eine wagerechte Nulllinie zurückgeführt.

Jetzt lässt sich auch sofort die Einflussfläche für den Werth

(— V₅ cot g 9g) angeben. Solange nämlich der Knotenpunkt unbelastet ist, muss

V₅= — Dg sin 9g,

also

— V₅ cotg <p₆ = I)₆ cos 9₆

sein; und da ferner die F₅-Linie von Stütze B bis Knotenpunkt 5 geradlinig verlaufen muss, und im Felde 4—5 ihren Nullpunkt besitzt, so braucht man, um aus der Z>₆ cos <p₆- Linie die (— V₅ cot g <p₆)- Linie zu erhalten, nur die Gerade L₁L₂ durch die Gerade L'xL'₂ zu ersetzen.

In derselben Weise wird bei der Untersuchung des Auslegers verfahren; es genügt auch hier die Berechnung der 0 cos ß- Linien. Eine zwischen G₁ und Knoten 10 liegende Last P=1 (Fig. 371) erzeugt

_ ! J A

V hxo A₁₀ /

O₁₀ cos ß₁₀ —

*io

*10

und aus dieser Gleichung folgt, dass die in Fig. 371 schraffirte Fläche den zum Gebiete BGX gehörenden Theil der Einflussfläche für O₁₀ cos ß10 darstellt; sie ist bestimmt durch die Strecken

Via

und 1

X'io

^10

für — x₁₀.

f *10

In Fig. 370e sind die Einflusslinien für O₁₀ cos ß₁₀ und Oxl cos ßtl

- 2

in — des der Fig. 370c zu Grunde gelegten Maassstabes aufgetragen worden; sie sind bestimmt durch die Strecken

Gx R'

10    5,6

1    2^4

3,38, Gj R

10

O OT

= 2,22

R' T' —

— = 2,50,

R" T" =

3,0

2,9

= 1,03.

Der Unterschied beider Flächen ist Einflussfläche für Dxx coscp^, aus welcher sich die V₁₁- Fläche mittels Ziehen einer Geraden ableiten lässt.

Hinsichtlich der aus der Form der Einflusslinien für die kürzeste Berechnung der grössten und kleinsten Spannkräfte zu ziehenden Schlüsse verweisen wir auf die früheren Untersuchungen. Vergl. namentlich. § 19, Seite 157.

XI. Abschnitt.

Der Facliwerklbogen mit drei Gelenken.

§ 44.

Anwendung der Verfahren von Culmann und Kitter.

Wir setzen voraus, dass die beiden gegliederten Scheiben, aus denen der Fachwerkbogen mit drei Gelenken besteht, einfache Dreiecknetze sind, und erläutern zunächst die

183. Anwendung der Ritter’schen Momentengleichungen.

Auf den Bogen mögen beliebig gerichtete Lasten wirken. Die von

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Fig. 372.

denselben hervorgerufenen Stützenwiderstände seien bekannt; auch sei ein durch die drei Gelenke A, G, B gehendes Seilpolygon IIIIII. . .

der äusseren Kräfte gegeben*). Gesucht sei die Spannkraft tJ₄ in Fig. 372.

Durch die Stäbe f/₄, D₅, 0₅ wird ein Schnitt tt geführt; derselbe trifft die Seilpolygonseite IV, welche die Lage der Mittelkraft R der links von tt wirkenden äusseren Kräfte bestimmt, während der ent

sprechende Seilstrahl IV — R die Grösse und den Sinn dieser Kraft angiebt. Bezeichnen V] und r die auf den Knotenpunkt 4 als Drehpunkt bezogenen Hebelarme von R und U±, so lautet die Momentengleichung R'f]— ZJ₄r = 0, und es folgt der leicht durch Zeichnung

Ry\

zu bestimmende Ausdruck ?7₄

Ein anderer Weg ist der folgende: Ist    s0 beschreibe man

um den Drehpunkt 4 mit r einen Kreisbogen, bestimme dessen Schnittpunkt 4' mit der Seilpolygonseite IV und zerlege R in zwei im Punkte 4' angreifende Seitenkräfte R' und R", deren erste senkrecht auf der Geraden 4'4 steht, während R" mit dieser Geraden zusammenfällt. Die Momentengleichung geht dann über in R r — TJir = 0 und liefert Z7₄ = R'. Ist 7) > r, so zerlege man R in einem beliebigen Punkte seiner Richtung in eine durch 4 gehende Seitenkraft R" und eine zweite, welche den um 4 mit r beschriebenen Kreisbogen berührt. Fig. 373.

Man findet dann wieder T7₄ = R'.

In gleicher Weise werden die Kräfte 0 gefunden. Zur Ermittlung der Spannkräfte D in den Füllungsstäben ist indess das vorstehend beschriebene Verfahren, wegen der in der Regel unbequem gelegenen Drehpunkte, selten geeignet, und es empfiehlt sich deshalb, die D den Kräftepolygonen zu entnehmen, welche sich für die Knoten der unteren oder oberen Gurtung übersichtlich aufzeichnen lassen, sobald die Spannkräfte U oder 0 gegeben sind. Das Verfahren ist in den Figuren 372c u. d dargestellt worden; die dort von Parallelen zu den Gurtstäben 0 und U gebildeten Strahlenbüschel St und S₂ lassen sich für alle zu untersuchenden Belastungsfälle verwenden. Es genügt natürlich, die eine der beiden Figuren zu zeichnen; entwirft man aber

'-.rr

Ko

Tt,

V*

ir

Fig. 373.

*) Vergl. No. 116, 117, 158.

beide, so erhält man jede Kraft D zweimal und ist dann im Stande, durch Vergleichung der Ergebnisse, die Güte der Zeichnung zu prüfen⁵).

Das beschriebene Verfahren kann u. A. zur Ermittlung der in einem Dachbinder durch den Winddruck und die ständige Belastung hervorgerufenen Spannkräfte empfohlen werden und ist dann häufig der Anwendung eines Cremonci’sehen Kräfteplanes (§ 27) vorzuziehen, denn bei Fachwerken mit grösserer Stabzahl pflanzen sich bei der letzteren Bestimmungsweise die Zeichenfehler zuweilen in recht unliebsamer Weise fort, und es ist zum mindesten empfehlenswerth, von Zeit zu Zeit eine Spannkraft durch unmittelbare Bestimmung derselben zu prüfen. Bei Bogenträgern ist aber im Allgemeinen die Feldweite geringer und mithin die Stabzahl grösser als bei Balkenträgern von gleicher Stützweite.

Auch das folgende, dem Cremona’schen ähnliche Verfahren verdient hier angeführt zu werden. Man zeichnet der Reihe nach die Kräftepolygone für die Knoten A, 0, 1, 2 ... . und bestimmt nach einander: D₀ und U₀, und Ox, D₂ und U₂, wobei man aber, anstatt die Kräftepolygone auf die im § 27 beschriebene Weise zu einer, jede Spannkraft nur einmal enthaltenden Figur zu vereinigen, abwechselnd die Strahlenbüschel und S₂ benutzt⁶). Zuweilen wird einer der Werthe U und 0 in der oben gezeigten Art mittels einer Ritter⁷sehen Momentengleichung geprüft.

Wird der Bogen nur durch senkrechte Lasten beansprucht, so können die grössten positiven und negativen Momente Mm für die Knotenpunkte m auch auf die im § 24 angegebene Weise in der Form Mm = Hv\m dargestellt und hierauf die Grenzwerthe der Spannkräfte 0 und U nach § 31 bestimmt werden.

184. Soll das Culmann’sche Verfahren zur Ermittlung der in Fig. 372 vom Schnittet getroffenen Gurtstäbe benutzt werden, so ist nur die in No. 12 behandelte Aufgabe zu lösen: Drei Kräfte O, U und D zu finden, welche der gegebenen Kraft R das Gleichgewicht halten.

Die früher gegebene Lösung der Aufgabe stösst bei ihrer Anwendung auf Bogenträger zuweilen auf Schwierigkeiten. So ist es zum Beispiel in der Fig. 372 zwar möglich, den Schnittpunkt (RD) von R und D scharf zu bestimmen; die Schnittpunkte (RO), (RU) und (OU) hingegen fallen häufig ausserhalb des Zeichenblattes. Man ersetze dann R in irgend einem Punkte seiner Richtung durch zwei Seitenkräfte R und R", welche durch die Schnittpunkte (OD) und (UD) gehen, und

auf Tafel XIV zur Unter-

zerlege R nach den Richtungen von 0 und D, ferner R" nach den Richtungen von U und D. Man gelangt dann zu dem in der Fig. 374 dargestellten Kräftepolygone.

-"VT

___SS..---=7

*N.

Fig. 374.

Es soll noch eine vielfach benutzte Anwendung des Culmann’sehen Verfahrens zur Ermittlung der durch eine gleichförmige bewegliche Belastung hervorgerufenen Grenzwerthe der Spannkräfte an einem Beispiele erläutert werden. Die Feldweiten seien gleich gross vorausgesetzt und die Belastung eines Feldes werde mit p\ — P bezeichnet. Die Zeiger 1, 2, 3, .... in der Figur 375 deuten also nur an, dass die gleich grossen Lasten Plf P₂, P₃ .... in den Knoten 1, 2, 3 ... . angreifen.

. . . gesondert bestimmt. Um z. B. K₂ und K'₂ zu er-

Zuerst werden die von jeder einzelnen Last herrührenden in A und B angreifenden Stützenwiderstände Ki, K₂, K₃, . . . . und K' K\„ K'

zu einem Polygone L'N⁷).

Jetzt kann zur Ermittlung der Spannkräfte geschritten werden. Gesucht sei z. B. die Spannkraft 0₃, welche dem Momente M₃ für den gegenüberliegenden Knoten 3 proportional ist und den grössten positiven oder den grössten negativen Werth annimmt, je nachdem der Träger so belastet wird, dass minM₃ oder maxM₃ entsteht. Legt man nun durch A und den Knoten 3 eine Gerade, welche die Kämpfer-

halten, wird P₂ mit der Kämpferdrucklinie in 2 zum Schnitte gebracht und hierauf die von A aus auf einer Senkrechten aufgetragene Last P nach den Richtungen A 2 und B 2 zerlegt. Es liegen dann die Endpunkte von Kt, K₂, K₃, iT₄, K₅ auf einer Geraden, desgl. die Endpunkte von K'₅, K'q, K\, K'h, K\. Nach Bestimmung sämmtlicher K und K' werden die in A angreifenden Stützen widerst ände in der Reihenfolge Klt K₂ . . . . zu einem Polygone LN zusammengesetzt, die in B angreifenden in der Reihenfolge K\, K'

Fig. 375 a.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

drucklinie in E schneidet, so ist die Senkrechte durch E nach § 24 eine Belastungsscheide; jede Last rechts von E erzeugt ein negatives

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K.

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J⁵

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P7

Fs

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y*

fi

Fig. 375.

M₃, jede Last links ein positives. Um also den grössten Zug 0₃ zu erhalten, werden alle Lasten links von E beseitigt. Es greift dann am Trägertheile links vom Schnitte tt nur eine äussere Kraft an, nämlich die durch A gehende Mittelkraft P₅_₉ der Widerstände Ka, üf₆, . . . bis üf₉, und mit dieser müssen die ebenfalls am linken Trägertheile angreifenden Spannkräfte O, U, D im Gleichgewichte sein. Die Ermittlung der letzteren Kräfte erfolgt nun nach Fig. 374.

¹

In die Figuren 356—358 wurden nur die den Knotenpunkten entsprechenden Ordinaten dieser (früher als M-Polygon bezeichneten) Linie übertragen und zwar im Maassstabe lcm — 25k

²

Siehe die Gleichungen (1) und (3) auf Seite 340 und 341, in welche X — 3,0m einzusetzen ist.

³

Bei Berechnung der V ist das Glied gu\ = 0,45 • 3,6 = 1,6‘ berücksichtigt worden. Wir erinnern noch daran, dass die Fahrbahn oben liegt.

⁴

Eine ausführliche Beschreibung dieser vom Ober-Ingenieur C. C. Schneider in New-York entworfenen Brücke findet sich in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1881, S. 385.

⁵

Um genaue Werthe zu erhalten, scheue man ja die kleine Mühe nicht, die Strahlenbüschel Sx und S₂ in Fig. 372 in der auf Seite 308 angegebenen Weise durch Rechnung festzulegen. Parallelen zu den kurzen Gurtstäben zu ziehen, ist nach den Erfahrungen des Verfassers unbedingt zu verwerfen.

⁶

Es stimmt dieses Verfahren im Wesentlichen mit demjenigen überein, welches zuerst von Lang im Civilingenieur 1882

suchung eines sichelförmigen Balkens (Dachbinder) angewendet worden ist.

⁷

Für Fig. 375 b wurde ein kleinerer Kräftemaassstab gewählt wie für

24

Um

min

0₃ zu erhalten, ist der Träger rechts von E zu entlasten; die verbleibenden Lasten werden in die durch den Schnitt tt geschiedenen Gruppen Plt P₂ und P₃, P₄ getrennt, deren Einflüsse gesondert bestimmt und schliesslich addirt werden. Wirken nur P₂ und P₂, so

zeichnet man das Kräftepolygon für die rechts vom Schnitte tt wirksamen Kräfte O, U, D, R\_₂, wobei R\-₂ die in B angreifende Mittelkraft aus K\ und K'₂ ist, und um den Einfluss von P₃ und P₄ zu erhalten, wird der linke Trägertheil betrachtet, an welchem nur die äussere Kraft R

d. i. die Mittelkraft aus Kä und KA angreift.

Auf dem beschriebenen Wege können auch die grössten Spannkräfte in den Füllungsstäben (für welche die ungünstigste Belastung im folgenden § mit Hilfe der Einflusslinien ermittelt werden soll) bestimmt werden; doch halten wir das ganze Verfahren für wenig zweckmässig, weil dasselbe zu sehr unübersichtlichen und deshalb schwierig zu prüfenden Kräfteplänen führt.

§ 45.

Belastung durch senkrecht gerichtete Kräfte.

185. Einflusslinien. Wir setzen den Träger zunächst nur links vom Scheitelgelenke G belastet voraus, denken den Stützenwiderstand K' in der Richtung BG von B bis nach G verschoben und zerlegen K und K' in die senkrechten Seitenkräfte A' und B' und in die entgegengesetzt gleichen, in die Gerade AG fallenden Seitenkräfte Q,

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K-- /X---V <-----b----

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Fig. 376.

Wäre Q = 0, so würde sich der Trägertheil AG wie ein

Fig. 376.

einfacher Balken verhalten, und man könnte dann die Einflusslinie für irgend eine Spannkraft S (gleichgütig, ob diejenige eines Füllungs- oder Gurtstahes) auf die im § 30 beschriebene Weise mit Hilfe der den Belastungszuständen A' = 1 und B' — 1 (Fig. 377 und 378) ent-

24*

sprechenden Spannkräfte S' und S" zeichnen;¹) dieselbe ist in der Figur 376 a für einen linkssteigenden Füllungsstab unter der Voraussetzung eines positiven S' und eines negativen S" dargestellt worden.

Um nun den Einfluss der beiden Kräfte Q zu bestimmen, beachte man, dass, wegen Q=Hsec a (wo a=Neigungswinkel der Geraden AG), der von Q herrührende und dieser Kraft proportionale Theil der Spannkraft S auch proportional H sein muss, dass also der noch fehlende, die Wirkung der Kräfte Q darstellende Theil der Einflussfläche ein Dreieck (A"G'B" in Fig. 376b) ist, dessen Spitze dem Gelenke G entspricht.²) Dieses Dreieck, welches mit Berücksichtigung des Vorzeichens zu der Einflussfläche in Fig. 376a zu addiren ist, wird am zweckmässigsten mit Hilfe derjenigen Spannkraft SG bestimmt, welche

X"/

ä'j

Fig. 378.

Fig. 377.

Pi

<sr

Fig. 379.

von einer in G angreifenden Last 1 im fraglichen Stabe hervorgerufen wird (Belastungsfall in Fig. 379). In Fig. 376 ist SG negativ; so dass die in der Figur 376 c dargestellte Einflussfläche für S entsteht. Man kann auch die in der Figur 376d angegebene Anordnung wählen, bei welcher die Einflusslinie A'LlL₂G'B' auf eine gerade Achse A'B' bezogen ist; hier sollen positive Werthe S', SG, S" nach unten hin aufgetragen werden, negative Werthe nach oben, die beiden ersten von der Geraden A'B', der letzte Werth vom Punkte G' aus. Sind also beispielsweise S' und SG positiv, und S" negativ, so ergiebt sich die in der Fig. 380 dargestellte Fläche.

Bei bequemer Lage des Schnittpunktes C der beiden Stäbe, welche der Schnitt tt ausser S noch trifft, kann die Ermittlung eines der beiden Werthe S', S" gespart und z. B. die Gerade A'Lt mit Hilfe der

Bedingung festgelegt werden, dass sich die Geraden A'Lx und J'L₂ auf der Senkrechten durch C schneiden müssen. Aber auch die übrigen im § 30 nachgewiesenen Eigenschaften der Einflusslinien für die Spannkräfte einfacher Balken lassen sich zur Bestimmung oder Prüfung der Einflussfläche in Eig. 376a sowie des Liniengebildes in Fig. 37 6d benutzen. So ist beispielsweise für den in Fig. 376 behandelten Fall eines linkssteigenden Füllungsstabes und einer an der oberen Gurtung angreifenden Belastung die Länge der Strecke L₁B₁ gleich der Grösse einer Spannkraft S'", die sich durch Zerlegung der Last P= 1 nach den Bichtungen der Stäbe FXF₂ und S ergiebt.

Ein weiteres wichtiges Gesetz folgt aus der Bedingung, dass eine in der Fig. 376 durch den Schnittpunkt E der Geraden AG und BG gehende Last die Spannkraft S = 0 erzeugt, weil sie am linken Auflager einen durch den Punkt C gehenden Stützenwiderstand hervorruft. Hieraus folgt aber, dass sich die Geraden JL₂ und A'G' in Fig. 376c und ebenso die Geraden J'L₂ und A'B' in der Fig. 37 6 d auf der

>C

F, K

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A*

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S’

'1

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lrrnTTTTHi .• i fnTTi

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Jß'

s'

Fig. 380.

Senkrechten durch E schneiden müssen. Dies ist auch dann der Fall, wenn E unter G liegt, wie in Fig. 380; denn es geben hier die Unterschiede der Ordinaten der über die Scheitelsenkrechte verlängerten Geraden J'L₂D und A'G' den Einfluss S derjenigen beiden, links von tt wirksamen Kräfte A' und Q an, welche durch eine, rechts von G gelegene, jedoch auf den Trägertheil AG wirkende Last Eins hervorgerufen werden, und dieser Einfluss ist = 0, sobald jene Last durch

E geht. Hinsichtlich der Spannkräfte in den Gurtungen, welche den Momenten für die gegenüberliegenden Knotenpunkte proportional sind, kann auf dieses Gesetz auch auf Grund der im § 24 gewonnenen Ergebnisse geschlossen werden.

/V

Die vorstehenden Untersuchungen lehren, dass bei bequem gelegenem Schnittpunkte C (also beispielsweise immer dann, wenn es sich um die Spannkraft in einem Gurtstabe handelt — Fig. 381 —■) der eine der Werthe S', S", S"', SG zur vollständigen Bestimmung der Einflusslinie ausreicht. Tn der Regel ist es dann am zweck-massigsten, die Spannkräfte S' zu ermitteln; vergl. das im § 46 durchgeführte Zah-lenbeispiel.

U*

i|jd

iteelMwi

-ir

Fig. 381.

In allen hier vorgeführten Figuren wurde vorausgesetzt, dass die Belastung oben angreift. Wirkt sie an den Knoten der unteren Gurtung, so ist nur die Gerade LtL₂ zu verlegen; dieselbe würde dann in Fig. 376 dem Felde Tx rL\ zu entsprechen haben. In der Regel liegt aber der erstere Fall vor, und es darf dann auch meistens die gesammte ständige Belastung auf die oberen Knoten vertheilt werden, ohne dass nennenswerthe Fehler zu gewärtigen sind.

Schliesslich sei noch hervorgehoben, dass das hier entwickelte Verfahren zur Ermittlung der Einflusslinien auch brauchbar ist, wenn an Stelle der Gelenke

ic

K'

A, B und G Gelenkvierecke treten. Wir überlassen es dem Leser (im Anschluss an die Untersuchungen im § 42) die Zeichnungen für diesen Fall selbst zu entwerfen.

A.

\P

feat

Fig. 382.

Fig. 383.

Auch empfehlen wir dem Leser, den in der Fig. 3 8 2 dargestellten Träger mit schräger Auflagerung und den in der Fig. 383 abgebildeten Dachbinder (der bei A ein festes Auflagergelenk besitzt und bei B durch eine um C drehbare Stange gestützt wird) mit Hilfe der für den Bogen mit drei Gelenken entwickelten Gesetze zu untersuchen.

Die Theorie der Einflusslinien ist auch dann wichtig, wenn die Ermittlung der Spannkräfte nach einem der im vorigen § beschriebenen Verfahren, beispielsweise dem zuletzt angegebenen, erfolgen soll, denn

sie gestatten eine sehr übersichtliche Feststellung der ungünstigsten Belastungsweise. Es genügt nämlich, das Vorzeichen der Spannkraft S' anzugeben (am besten durch Anwendung des Bitter’sehen Verfahrens auf den Zustand Â = 1), um sofort mittels Ziehen von wenigen Geraden zum Ziele zu gelangen. Liegt z. B. der in Fig. 376 dargestellte Fall eines linkssteigenden Füllungsstabes S vor, so leuchtet sofort ein, dass der rechts um C drehenden äusseren Kraft A' = 1 nur durch eine am linken Trägerabschnitte angreifende, links drehende Spannkraft S' das Gleichgewicht gehalten werden kann; es muss also S von Fx nach T₂ gerichtet, d. h. positiv sein, und hierdurch sind die Vorzeichen der einzelnen Theile der Einflussfläche bestimmt. Man findet, dass im vorliegenden Falle maxSp entsteht, sobald nur die Knotenpunkte zwischen tt und der Senkrechten durch E belastet werden, während minSp durch ausschliessliche Belastung der übrigen Knoten hervorgerufen wird. Selbstverständlich genügt es, um dieses Ergebniss zu finden, die Einflusslinie aus freier Hand zu skizziren.³)

Dem Leser wird empfohlen, als Beispiel einen linkssteigenden Füllungsstab unter folgenden Voraussetzungen zu untersuchen:

1.    Punkt C liegt rechts vom Schnitte tt, aber unterhalb der Geraden BG. (Alle Lasten links von E erzeugen Zugspannungen, alle Lasten rechts von E Druckspannungen.)

2.    C liegt links von A und oberhalb der Geraden GA. (Lasten links von tt erzeugen Druck, rechts von tt Zug.)

cl.

i³-~

---tV---

Fig. 384.

186. Vereinfachungen für einen besonders wichtigen Fall parabelförmiger Bogenträger. Sind die Füllungsstäbe abwechselnd senkrecht und geneigt angeordnet (Fig. 384), und liegen die Knotenpunkte der unteren Gurtung — welche das Scheitelgelenk enthalten möge — auf einer Parabel mit senkrechter Achse, so fällt bei gänzlicher gleichförmiger Belastung das durch die drei Gelenke A, G, B geführte Seilpolygon vollständig mit der unteren Gurtung zusammen. Denn die Eck-

punkte dieses Seilpolygons gehören einer Parabel an, deren Achse senkrecht ist und welche durch drei Punkte A, G, B eindeutig bestimmt ist.

Hieraus folgt, dass die Momente Mm für sämmtliche Knotenpunkte der unteren Gurtung und in Folge dessen auch sämmtliche Spannkräfte 0 gleich Null sind, und da nun für jeden oberen Knotenpunkt die Gleichgewichtsbedingung Dm cos <pm= Om_x cos ßm_x — Om cos ßm besteht , so müssen auch alle Spannkräfte D = 0 sein. Es werden also in Folge einer gänzlichen, gleichförmigen Belastung nur die Vertikalen und die Untergurtstäbe beansprucht, und zwar die ersteren durch Drücke, welche gleich den entsprechenden Knotenlasten sind, während sich für einen unter ym gegen die Wagerechte geneigten Stab der unteren Gurtung der Werth Um — — H sec ym ergiebt, wo H = Horizontalschub. Ist also die ständige Belastung (g — g₀~\~ g„) eine gleichförmige, so erzeugt sie die Spannkräfte

Y 9o 0™ + X»+i) und

gww

sec ym,*)

(1)

V =

r mg

während einer gänzlichen, gleichförmigen beweglichen Belastung p die Werthe entsprechen

(2) V

mp

0„ -f- Xm+1) und TJmp ==

pww

sec ym.

Da nun für jede Spannkraft S eines beliebigen Trägers die Gleichung besteht

8,=

wo Sp — Spannkraft in Folge gänzlicher Belastung mit p, während maJSp und minSp die Einflüsse der auf den positiven, beziehungsweise negativen Beitragstrecken liegenden Last p bedeuten, so ergeben sich für den Parabelbogen in Fig. 384 die wichtigen Beziehungen

(3)

max

Sp -f- mi»S,p,

max

Pp>» | min Vpm    '‘V P (X)M [    X;,, i)

pww

(4)

max

Gpm [ min Upm    Gpm

sec ym

Om -f- minOm - 0

Bm -J- miJDm — 0,

deren beide letzte die Zeiger p nicht enthalten, weil die Spannkräfte 0 und D in Folge der ständigen Belastung = 0 sind. Es braucht jetzt nur noch der eine der beiden, von der Belastung p abhängigen Grenz-werthe V, U, 0, D angegeben zu werden; der andere ist dann sofort durch die Gleich. (4) bestimmt. Werden die Einflusslinien benutzt, so genügt es zuweilen, Theile derselben aufzuzeichnen. So wird man sich beispielsweise, um die Spannkraft in einem Stabe der oberen Gurtung zu bestimmen (Fig. 381), darauf beschränken, die Geraden j'G' und

*) Vergl. die auf S. 188 gezeigte Berechnung von H.

max

G'B' mit Hilfe von S' und AT festzulegen, da durch diese Geraden der positive Theil NG'B' der Einflussfläche und mithin auch maxS bestimmt ist, worauf dann

S gefunden wird.

An Stelle der Einflusslinien kann man auch das folgende über-

min

S= —

. ax

sichtliche und schnell zum Ziele führende Verfahren benutzen, das hier an der Hand eines Zahleribeispiels beschrieben werden soll. Verlangt sei die

187. Berechnung einer Fussgängerbrücke mit Parabelbögen.

Die 3,8”* breite Brücke besitzt zwei Hauptträger, deren Anordnung in der Fig. 385 angegeben ist. Die obere Gurtung ist wagerecht; die Knotenpunkte der unteren Gurtung liegen auf einer Parabel. Es ist

I    = 30”*; X = 3"*; /= 4,0”*; h₀ = 5,25”*. Das Eigengewicht ist 194^ f. d. qm der Brückenbahn geschätzt worden,*) die ständige Belastung

(Menschengedränge) zu 350^ f. d. qm **) weshalb g= 0,194 •    = 0,31*;

u

3 8

p — 0,350 •    = 0,665* und q = g -\- p = 1,035*. Die bewegliche

Belastung eines Feldes ist p\ = 0,665 • 3 — 2,0*. Eine Zerlegung von g in g₀ und gu ist überflüssig.

Wir beginnen mit der Bestimmung der Stützenwiderstände A und H, welche eine der Beihe nach in den Knotenpunkten 1, 2, 3 .... angreifende Last p\ hervorruft. Liegt die Last bei 9, so möge A — Â und

II    = H' sein. Die den übrigen Knoten entsprechenden Werthe A und H sind durch die in Fig. 385 a u. b dargestellten Einflusslinien bestimmt. Im

^ p\ = 0,2* und ^da

PI _ p\l

4 f “4 f

vorliegenden Falle ist Ä —

greifende Last P = p\ den Schub H ==■

H=-r-P^

- ’2,0

0

30

- 0,7 5*.

zu

eine im Scheitel an-

hervorbringt^

4-4,0

Jetzt zeichnen wir zwei Cremona'sehe Kräftepläne (Fig. 386 u. 387 auf Tafel 6), welche die durch die äusseren Kräfte Â und H' hervorgerufenen Spannkräfte enthalten, und ermitteln zu gleicher Zeit die Einflüsse der ständigen Belastung und der über den ganzen Träger vertheilt gedachten beweglichen Last p. In Fig. 386 wurde die Wage-

*) Es wird vorausgesetzt, dass die Brückenbahn aus einem einfachen Bohlenbeläge auf eisernen Querträgern besteht. Dann darf man nach Heinzerling die ständige Belastung für den gm der Brückenbahn = 1,36lm-\- 153^ annehmen; lies giebt 1,36 • 30 -j- 153 = 194⁴^. Vergl. Heinzerling, die Brücken der Gegenwart, Abtheil. I, Heft 5, Seite 22.

**) für Brücken mit geringerem Verkehr, sonst 400 bis 450^.

10,4* gemacht (und zwar in

rechte BC₀ gleich dem von der ständigen Belastung erzeugten Hori-

0,37 • 30²

9l²

zontalschub: H„ —

dem mit II bezeichneten Kräftemaassstabe) ; auf der Senkrechten durch C0 wurden die Lasten |yX, g\, g\ ... aufgetragen und die Theilpunkte Ci, C₅ . . . mit B verbunden. Dann ist, da die untere Gurtung als das Seilpolygon der gänzlichen Belastung betrachtet werden darf: Strecke BC^ = Ulg = — 11,5*; BC₂ = U2g = — 11,1*;

BCS = U3g = — 10,8‘; BCé = Z74y = — 10,5*;

BC₅ = U₅„ =    10,4*.

->T-

X,

......

.3Mn

I*

i:

V''

ig’e

:-r:

■U.PZ r

A----

a.

r----j- ji-15

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pA- WA’

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\*A‘

U’

•jf

Ai

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JT

3ÏÏ'

tE⁹

As*

Œ'

Jj7'

23'

Fig. 385.

In gleicher Weise wurden aus BE₀ = Hp

10j;X • l

Sf

10 • 2,0 • 30

8-4

= 18,75* (Kräftemaassstab 10e’" = 20*) die Werthe

abgeleitet

Ulp = — 20,8*; U2p = — 20,0*;    ^=-19,4*; U^ = —18,9*;

K,, = — 18.8'.*)

*) Man erhält bei diesem Yerfahren gleichzeitig die Grösse der Spannkräfte U und die Richtungen dieser Kräfte. Parallelen zu den kurzen Linien des Trägernetzes zu ziehen ist nicht rathsam. Damit in Folge der Abrundungen von gX und Hg keine Zeichenfehler entstehen, beachte man, dass sich

Der Kräfteplan für Â = 0,2* (Maassstab I) bedarf keiner Erläuterung; zu beachten ist, dass nach No. 151 die Verlängerungen der Spannkräfte D auf der Senkrechten durch B die Strecken Â abschneiden müssen.

Der in Pig. 38 7 für den Zustand 11=0,15* gezeichnete Plan (Maassstab I) lässt sich in ähnlicher Weise prüfen. Bei gleichen Feld-weiten müssen sich nämlich (wie zuerst Mohr gezeigt hat) die Verlängerungen sämmtlicher D in einem Punkte T der durch R bestimmten Senkrechten treffen. Es folgt dies aus der nachstehenden Untersuchung.

Fügt man im Knotenpunkte 1 der Fig. 388 a zwei sich auf hebende Kräfte Ft hinzu, so wirkt links vom Schnitte tt ein Kräftepaar, dessen Moment = H'h₀ ist und eine in 1 angreifende Kraft-ff .

Das Kräftepaar lässt sich ersetzen durch zwei in 1

au

£' ff’ -<S-4*

l wö

//'

■4

R E' O

und 2 wirksame, entgegengesetzt gleiche, senkrechte Kräfte Q, deren Moment Q\ dem Momente H'h₀ entgegengesetzt gleich ist. Zeichnet man nun die Kräfte-

Fig. 388.

polygone der Knoten 1 und 2, so gelangt man zu der Figur 388 b, welche einen Theil der Fig. 387 ausmacht, und aus welcher hervorgeht, dass die Verlängerung von D auf der Senkrechten durch R die im vorliegenden Falle für alle Diagonalen gleich grosse Strecke 0,75 • 5,25

H'h

1,3125e abschneidet.

Für die durch À und it erzeugten Spannkräfte ergeben sich die folgenden Werthe:*)

. Im

_    _ n_J    q

(mit l = n\) verhalten muss CxCq : C₀B = —-— g\ : - —

1    o /

-    -- 9-4-4

vorliegenden Falle ergiebt sich: Ct C₀ : C₀ B — ~—— = 0,48. Es wurde in der

10^ • o

Fig. 386 die wagerechte Strecke BN = 12,5CBI gemacht, die senkrechte Strecke NL = 0,48 • 12,5 = 6,0cm, hierauf NL in 9 gleiche Theile getheilt und mit Hilfe der Theilpunkte der Strahlenbüschel der Spannkräfte U festgelegt. Natürlich wird man BN und NL nicht zu klein wählen.

*) Es lassen sich diese "Werthe auch schnell berechnen. Man findet z. B. für den ersten Fall (Einfluss von A’) mit den aus der Fig. 385 ersichtlichen Bezeichnungen mit Hilfe Ritter scher Momentengleichungen die Spannkräfte in der oberen Gurtung

Ä x..

u. s. w.

A' xx

*1 ’

Stab

Spannkraft in Folge A¹ = 0,2

77' = 0,75

Stab

Spannkraft in Folge

Ä — 0,2

H’ = 0,75

CO 04 t-t

OOOO

+ 2,043 + 1,333 + 0,714 + 0,283

+ 1,705 + 0,965 + 0,462 + 0,168

—.2,797

— 2,110

—    1,515

—    1,103

Mit Hilfe dieser Werthe lassen sich die von der Verkehrslast her-

—    0,200    + 0,360

—    0,259    :    + 0,386

—    0,319    +0,390

—    0,352    + 0,333

—    0,291    +°>¹⁴⁹

rührenden Grenzwerthe der Spannkräfte S schnell berechnen.

so wird von A durch den gegenüberliegenden Knotenpunkt eine Gerade gelegt und deren Schnittpunkt E mit der Geraden B G bestimmt, F]g. 385. Die Senkrechte durch E ist Belastungsscheide; alle Lasten rechts von E erzeugen ein positives, alle Lasten links von E ein negatives 0. Werden also nur die Knoten 5, 6, 7, 8, 9 belastet angenommen und zwar jeder mit p^*), so entsteht mo*0₃. Links von E greifen nur die äusseren Kräfte A und H an; erstere ist A = A'-\- 2++ 3+ + 4++ 5 A' — 15A',

Da nun A' die Spannkraft 0₃ — — 0,952 erzeugt und H' die Spannkraft 0₃ = + 1,333, so entsteht

0₃ = — 0,952 • 15 + 1,333 • 15 = + 5,7'.

Die ständige Belastung ist ohne Einfluss auf 0.

Um den einen Grenzwerth von U3p zu ermitteln, wird der Schnittpunkt E' (Fig. 385) der von A durch den oberen Knoten 2 gelegten Geraden BG bestimmt. Ausschliessliche Belastung rechts von E' erzeugt

Handelt es sich z. B. um 0

letztere :

H — 1 bH'.

min

U3p. Es entsteht: A = A (1 + 2 + 3 + 4 + 5 -+ 6 + 7)

hierauf

sodann

schliesslich

A = 0 ; U₃ = — Oi sec y₂ ; U₃ = — 0₂ sec y₃ ; . . . .

A = (Oi — 0₂) sec cpi ; D₂ = (0₂ — Oa) secç,; ... .

V₀ — — Dx sin ; Vx = — Da sin cp₂ ; . . . .

In gleich einfacher Weise lassen sich die durch H' erzeugten Spannkräfte berechnen. Hier ergiebt sich

Ui — — H’ sec Yi ; U₂

H'h₀

sec Y2 ; U₃

H’h₀

Oi — +

H'h₀

H’h₀

ht

hi ~    °a

worauf die Werthe D imd V wie vorhin bestimmt werden.

Bei ungleichen Feldweiten sind an Stelle der Belastungszustände A = A' und H= H' die Zustände A = 1 und II—1 zu untersuchen.

*) Wir rechnen, nach Seite 118, mit festen Werthen der Knotenlasten.

= 28 + und H = H' ( 1 —{— 2 —j— 3 —J— 4 —5 +4 + 3) = 22H', weshalb U3p = + 0,462 • 28 — 1,515 • 22 = — 20,4'.*)

min

min

Ut = — 20,8 — 11,5

Befindet sich der dem Stabe U gegenüberliegende Knotenpunkt oberhalb der Geraden BG, so wird (wie aus der Gestalt der Einflusslinie hervorgeht) U bei gänzlicher Belastung des Trägers am grössten. **) Dies ist der Fall hinsichtlich U₅, und man erhält deshalb (nach Hinzurechnung des Einflusses der ständigen Last) minU₅ = C+ + TJ&g——18,8 — 10,4 = — 29,2‘. Ebenso nimmt, da für jeden Belastungszustand Ut = — H sec Yi ist, die Spannkraft U₁ bei gänzlicher Belastung ihren grössten negativen Werth an. Man findet = — 32,3'.

Wird ein Grenzwerth der (von g unabhängigen) Spannkraft D3 gesucht, so wird der Schnittpunkt C von 0₃ und U₃ mit A durch eine Gerade verbunden, welche die BG in E" schneiden möge. Liegt, wie in Fig. 385, der Punkt E" oberhalb G, so ist die Senkrechte durch E" Belastungsscheide; liegt E" auch links von C, so ist auch ein durch

das Feld 2 3 geführter Schnitt eine Belastungsscheide, dann in Folge ausschliesslicher Belastung der Knoten zwischen tt und E", im vorliegenden Falle also, sobald nur die Knoten 3 und 4 belastet werden.

— TH' und

D entsteht

Man findet A = (7 + 6) A' — 13A'; H=(3 + 4) H'

tnax

D₃ = + 0,598 • 13 — 0,732 • 7 = + 2,7'.

Die den Stäben D₁ und D₂ entsprechenden Punkte E liegen ebenfalls oberhalb G und links von den zugehörigen Punkten C. Dagegen entsprechen den Stäben D₄ und D₅ Punkte E, die unterhalb G liegen. Dann sind zur Erzielung von maxD alle Knoten rechts vom fraglichen Felde zu belasten. Würde E oberhalb G, aber rechts von C liegen, welcher Fall eintritt, sobald sich C unterhalb der Geraden BG befindet, so würde nur die Senkrechte durch E (nicht aber der Schnitt tt) eine Belastungsscheide sein. Man würde dann alle Knoten rechts von E belasten und minT> bestimmen.

Um einen Grenzwerth von Vp2 zu erhalten, wird der Schnitt t't' geführt ; und der Schnittpunkt von 0₂ und U₃ mit A verbunden. Bezüglich der gegenseitigen Lage der Punkte E, C, G sind dieselben Fälle zu unterscheiden, wie bei der Berechnung der D. Im vorliegenden

*) Es empfiehlt sich, die Belastungsscheiden in einer (m nicht zu kleinem Maassstabe gezeichneten) besonderen Figur zusammenzustellen und an dieselben — in Klammern — die entsprechenden Spannkräfte zu schreiben, wie dies z. B. in Fig. 385 hinsichtlich Uä geschehen ist.

**) Wir verweisen auf Tafel 6 u. 7, auf denen die Einflusslinien für sämmt-liche Spannkräfte des vorliegenden Trägers abgebildet sind.

***) Der Leser skizzire für diesen im vorliegenden Beispiele nicht enthaltenen Fall die Einflussliuie.

Falle entsteht in F₂ der grösste Druck, sobald nur die Knoten 2, 3, 4 (zwischen tt und E") belastet werden. Man erhält A = (8 + 7 + 6) Ä = 21+; H=(2 + 3 + 4) //' = 9H', also

V2p = — 0,319 • 21 + 0,390 • 9 = — 3,2*.

Auf die beschriebene Weise ist für jede Spannkraft der eine der beiden von der beweglichen Belastung abhängigen Grenz wert he bestimmt und in die folgende Tabelle eingetragen worden.

min

Gesucht:

Zu belasten sind die Knoten

A’ ~~

—-=    Spannkräfte in Tonnen

H

I I III I I I I I i. I I 1 1 I 1

* “ ⁸ » » « « § ® § ³ * *

■X'VC'U''!to b ch^c, _o^s„o,p

⁰⁵ os ad cc oo' oo oo' t-' t- t^T co” o i>7 oo' co' ® ^

oc os

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® !> of CO Tt< >n tcT ⁵⁰ ® ° ^ >o •>*' co sT co t* io co' th <n' cd ud io td nn ^ ^ co' cd TH cL co tjT urT © 1-T <m' co

-------1_

03    00

CD CD

OS -4

“4 00 CO

oT oo

Oi

oo' OS

co

OS

05 o H 00 H

<M CO CN D4 (M

+ — + 5,1 + = + 5,7 0₂ = + 4,2

max^l    |    2,1

Upi = — 19,8 Up3 = — 20,4 +B == — 20,4 D\ = + 3,4 I>2 — + 2,9 -+ = + 2,7 Z)₄ = + 2,5 + = + 5,5

max

min

min

min

maas

min

min

min

Nun ergiebt sich, nach den Gleichungen (4) für sämmtliche 0 und D

D = —

min

max

0 und

min

man;

D,

ferner

max

max

und

Upm + Upm also :

L'p2 ⁼⁼ “f⁻ 20,4 — 20,0 = —}- 0,4'

+₃=+20,4 — 19,4 = +1,0*

Up 4 = -)- 19,8 — 18,9 = + 0,9*

— p\, d. i.

max 1^3 = + 2,5 — 2,0 = + 0,5*

^== + 8,8 —2,0 = + 1,8*

min

min 1 't

max^ pl = + 3,9 2,0 = ~j- 1,9* |

Vp2 = + 3,2 —2,0 = +1,2* J

Für die Endvertikale ist \p\ statt p\ zu setzen, weshalb

^ = + 8,6 — 1,0 = +2,6t

Addirt man zu den Grenzwerthen von Up und Vp noch die von

max

max

max

*) Zu beachten ist, dass der Knoten 0 nur die Last \ p\ trägt, weshalb A = (V + 9 + 8 + 7) Ä = 29 Ä.

der ständigen Belastung herrührenden Spannkräfte Ug und Vg, so erhält man (wegen = 1,1*) schliesslich U₂ = — 20,4— 11,1= — 31,5'

U₃=— 20,4 —10,8=—31,2*

Z7₄=—19,8—10,5=— 30,3*

V₀ — — 3,6—£1,1 =—4,2*

V₁=—3,9— 1,1=—5,0'

V₂=—3,2 —1,1= — 4,3*

F₃=— 2,5 —1,1 ==—3,6*

F₄ =—3,3 —1,1 = — 4,4*

Jede der im Scheitel angeordneten beiden Vertikalen hat den Druck q\ = 1,6* auszuhalten.

Eine übersichtliche Zusammenstellung sämmtlicher Spannkräfte findet sich in der folgenden Figur.

i •),/

min

min

min

min

min

min

min

min

b6IM

t.j,7

N*

max

i aa

max

max

Z7₂ = -}-0,4—11,1 = — 10,7* U₃ = -j-1,0 — 10,8=— 9,8* j7₄= +0,9 — 10,5=— 9,6*

F₀ = + 2,6 — l,l = -h2,l* V₁ = -\- 1,9— 1,1 = -}-0,8*

Fo = -|-l,2 —1,1 = 0 gesetzt F₃=-f-0,5 —1,1=—0,6* F₄=-}-l,3 —1,1=0 gesetzt.

±2,1

0_

4L-

\V

-'1.2

-ni.

• - sojL

-sa,2

- to, ’t

Fig. 389.

¹

In den Figuren 377 und 378 denke man sich den Träger rechts oder links von der anschraffirten Geraden festgehalten.

²

Vergl. No. 113. Dort ist gezeigt, dass die Einflussfläche für H ein Dreieck ist.

³

Wir setzen hierbei voraus, dass im Falle gleichförmiger Belastung nach Seite 118 (Fig. 109) mit festen Werthen der Knotenlasten gerechnet wird. Es ist dann die Aufsuchung der genauen Lage einer etwa im Felde F₁F₂ vorhandenen Belastungsscheide nicht nöthig.

§ 46.

Zahlenbeispiel. Einflusslinien für einen Bogenträger toii 30 " Stützweite.

Es sollen die Einflusslinien für den in der Fig. 385 abgebildeten Bogenträger dargestellt und zur Bestimmung der Spannkräfte in Folge verschiedenartiger Belastungsfälle benutzt werden.*)

Zunächst sind die Spannkräfte S' und SG zu bestimmen. Die ersteren, dem Zustande A' = 1 entsprechend, können dem auf Tafel 6, Fig. 386, gezeichneten Kräfteplane entnommen werden. Wird dort A' = 1 vorausgesetzt, so gilt der Kräftemaassstab II. Die Ergebnisse enthält die nachfolgende Tabelle. Um die Spannkräfte SG in Folge einer im Scheitel angreifenden Last 1 zu bestimmen, zerlege man

*) Wir empfehlen dem Leser, dieses Beispiel auch mit Hilfe der im § 19 entwickelten Verfahren durchzuarbeiten und sämmtliche Spannkräfte mit Hilfe

£

eines einzigen Seilpolygons zu ermitteln; sie lassen sich alle auf die Form — •Hy bringen. Vergl. die Figuren 145,' 146 u. 147.

30

den Kämpferdruck in À = — und El = 1    ■

und bestimme die Einflüsse von + und Ii' getrennt. Den rührenden Theil von SG liefert der Kräfteplan in Fig. 387 (Maassstab III) ;

2~S + ¹$+

wird dieser Theil mit SH bezeichnet, so folgt SG

4-4

= 1,875

von H' her

Man findet

Stab

S'

Sh

Sg

Stab

S'

Sh

Sa

U₂ j + 0,8401— 2,758|— 2,338

14- 2,308)— 3,787|— 2,633 + 4,822 — 5,275 ~ l4- 8,523 — 6,991 — 2,730

2,864

O,

0X —0,787 + 0,709 4- 0,315 2,230 + 1,784 4- 0,669

0₃    ...... 4,762 + 3,333 + 0,952

0₄    — 8,511    5,106 + 0,851

D₅ + 3,780 —0,968 + 0,922 ~V~ — 1,454) + 0,372 — 0,355

Die Einflusslinien für die Spannkräfte Oit 0₂, 0₃, 0₄ sind in der Fig. 390 (Tafel 6) dargestellt worden. Um beispielsweise die Linie für 0₂ zu erhalten, wurden (im Maassstabe 3,0 = bcm) die Strecken aufgetragen A₂J₂=S' =— 2,230 und GG' = SG = + 0,669,¹) und hierauf die Geraden I, II, III gezogen. Will man die Ermittlung von SG sparen, so lege man nach Bestimmung des Punktes J₂ die Gerade I mit Hilfe des senkrecht unter E₂ gelegenen Nullpunktes N₂ fest. E₂ ist der Schnittpunkt einer durch A und den unteren Knoten 2 gelegten Geraden mit der Geraden B G. Ist weder SG noch S' gegeben, so bestimme man die Strecke RT = 0₂", welche die Geraden I und III auf der Senkrechten durch den Knoten 1 abschneiden, indem man die Last 1 nach den Richtungen von 0₂ und D₂ zerlegt, Fig. 390f. Nun gebe man der Geraden 1 eine beliebige Lage (Fig. 3 9 Oe), trage R T=0₂" auf, ziehe III und, nach Ermittlung des Nullpunktes N₂, die Geraden A₂ B₂ und II.

Das zuletzt beschriebene Verfahren führt am schnellsten zum Ziele, erfordert aber ein sehr genaues Zeichnen, nämlich scharfe Bestimmung des Punktes N. Im Allgemeinen liefert die Benutzung der Werthe S‘ und Sa die zuverlässigsten Zeichnungen, deren Güte man leicht prüfen kann, indem man nachträglich die Punkte N mit Hüfe der Punkte E und die Strecken RT=0"' durch Zeiv legung einer Last 1 bestimmt.

Die Einflusslinien für ZJ₂, U₃, U₄, TJ- *) zeigt Fig. 391. Bei gegebenen Werthen S' und SG wird z. B. die Gerade 1 der U₃-Linie mit Hilfe der Ordinaten A₃J₃ =,S,' = -}- 2,308 und GG' — SG—— 2,633 bestimmt. An Stelle von SG kann man auch den Nullpunkt N₃ benutzen. Schliesslich lässt sich auch die Strecke RT — JJ₃" auf der Senkrechten durch den Knoten 3 durch Zerlegung der Last 1 nach den Richtungen von D₃ und U₃ ermitteln, Fig. 39 le, worauf die Bestimmung der XJ₃-Linie mit Hilfte von U₃"' und Punkt AT₃ erfolgen kann.

Die dem Stabe U₅ entsprechenden Punkte E₅ und iV₅ befinden sich links von dem oberhalb der Kämpferdrucklinie gelegenen Knoten 4 der oberen Gurtung. In Folge dessen sind sämmtliche Ordinaten der U₅-Linie negativ.

Die Einflusslinien für die Spannkräfte JA und V in den Füllungsstäben sind auf Tafel 7 zusammengestellt worden. Wir beschreiben die Erzeugung der D₃-Linie Fig. 392c. Es wird A₃J₃=S' — -\- 2,992 und GG' — SG = — 0,335 aufgetragen und die Gerade I gezogen; dieselbe schneidet die Senkrechte durch den Schnittpunkt C3 von 0₃ und U₃ im Punkte C₃, und durch diesen Punkt ist die Gerade II bestimmt. **) Nun zieht man III und IV. Man kann auch I mit Hilfe der Punkte J₃ und N₃ festlegen; fliegt senkrecht unter dem Schnittpunkte E3 der Geraden BG und AC₃. Ausserdem lässt sich die Strecke RT=D₃"' leicht angeben, welche die Geraden I und II auf der Senkrechten durch den Knoten 2 abschneiden. Man hat nur nöthig, die Last 1 nach den Richtungen D₃ und 0₃ zu zerlegen, Fig. 392f.

Am schnellsten gelangt man wieder zum Ziele, wenn man die Einflusslinie mit Hilfe der Strecke D"' und mittels der Punkte E und C bestimmt. Man zieht dann die Gerade I beliebig, setzt die Strecke RT=D"'\ ab, zieht III, bestimmt auf I die Punkte C' und N, legt durch G' und T die Gerade II und durch A und N die Gerade AB. Schliesslich zieht man IV. Es setzt dieses Verfahren allerdings eine bequeme Lage der Punkte E und C voraus, welcher Bedingung im vorliegenden Falle hinsichtlich sämmtlicher Füllungsstäbe genügt wird.

Man vergleiche übrigens die Anmerkung am Schluss der Beschreibung der O-Linien. ***)

*) Ux ist für jeden Belastungszustand (wenn nur senkrechte Lasten wirken) = — H sec Yi, hiernach ergeben sich die Grenzwerthe von Ux aus denen von H. Die Einflusslinie für H ist in No. 113 behandelt worden. Hervorzuheben ist, dass die Grenzwerthe von H zur Berechnung der Widerlager gegeben sein müssen.

**) Die Punkte C werden zweckmässig durch Rechnung bestimmt. Die Entfernung des Punktes Ca von der Vertikalen 2 ist z. B.

2,69

X h₂ — ha 3,0

2,69 — 1,89

***) Nx in Fig. 392 a hat dieselbe Lage wie in Nx in Fig. 390 a.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

10,0875”.

25

Um die Einflusslinie für V₂ (Fig. 393c) zu bestimmen, kann man die Lage der Geraden I mit Hilfe der Werthe finden A₂J₂ = S' — — 1,595 und GG'—<S²e = -j-0,179 oder mittels S' und des Nullpunktes N, welcher im vorliegenden Falle mit dem Nullpunkte N₃ in Fig. 392c übereinstimmt, weil sich 0₂ und U₃ in demselben Punkte C₃ schneiden wie 0₃ und U₃. Nun wird die Senkrechte durch C₃ im Punkte C₃ mit I zum Schnitte gebracht, die Gerade II gezogen und hierauf 111 und IV. Auch die von I und II auf der Senkrechten durch den Knoten 2 abgeschnittene Strecke RT= V₂" lässt sich schnell durch Zerlegung der Last 1 nach den Richtungen von 0₉ und V₂ ermitteln. Man findet V₂"' = i.

Wir gehen jetzt dazu über, die Benutzung der dargestellten Einflusslinien an einigen Beispielen zu erläutern, und behandeln zunächst den

Einfluss einer gleichförmigen Belastung. Gesucht seien die Grenzwerthe für die Spannkraft U₃ unter der Voraussetzung, dass g = 0,37², j) — 0,665² also q — g -j-p — 1,035² ist.

Bedeutet F den Inhalt des negativen Theiles der Einflussfläche

und F den Inhalt des positiven Theiles, so ergiebt sich nach Seite 117 +

(Gleich. 5 u. 6)

max

U$ = qF gF= qa + -

/ F    F\

\ a q a /

m in

U₃ = gF— qF= qa

G .in

\ a a J

wo a die Länge einer beliebigen Strecke bedeutet. Verwandelt man

nun die Flächen F und F in Dreiecke, deren Grundlinien —a sind,

—

und bezeichnet die Höhen dieser Dreiecke mit hu und hj, so erhält man

-<«Us

(1)

max

^3 =

Die Länge a wähle man so, dass ^ qa durch eine bequeme Zahl ausgedrückt wird.²) Wird im vorliegenden Falle a= 19,324’” gewählt, so ergiebt sich \ qa■ — 10,000². Man findet durch Zeichnung: hu— 0,12; Äj=3,14, also

max

U₃ = 10 (o,12 Uz = 10 (

0,37

• 3,14^ = — 10' (abgerundet); 0,12 — 3,14^ = — 31*.*)

1,035

0,37 1,035

In Fig. 391b wurden nur die Hilfslinien zur Ermittlung von &r eingetragen. Es ist B₃K=a, ferner G'S wagerecht und N₃H || KS, schliesslich B₃H = hx.

Will man die Multiplikation mit \ qa sparen, so ersetze man bei Aufzeichnung der Einflusslinien die über den Träger wandernde Last 1 durch eine Last \ qa. Dann erhält man für irgend eine Spannkraft S

9    9

S — hH hi und. minS —■    hu hj.

w in

die Grenzwerthe:

Ein anderes, schon auf Seite 118 für den Fall gleich weiter Felder besprochenes Verfahren soll an der Bestimmung der Grenzwerthe von V₂ erläutert werden. Um maxV₂ zu erhalten, wird jeder Knoten einer positiven Beitragstrecke mit q\ — 1,035 • 3,0 — 3,11‘ belastet, jeder Knoten einer negativen Beitragstrecke mit g\ — 0,37 • 3,0 = 1,11. Die Summe der den ersten Knoten entsprechenden Ordinaten ist in Fig. 393c:    ⁼⁼ "*]i — ^5 ~}~ 'fjg ^7 H⁻ "^8 ~I⁻ ^9 ⁼⁼ 9,59 und die Summe

der Ordinaten unter den übrigen Knoten:    = 7i₂ -f* ^    ^ = 1,59,

weshalb (nach Gleich. 7, Seite 118)

V₂ — 3,11 • 0,59 — 1,11 • 1,59 = -f 0,1* und nach Vertauschung der Lasten q\ und g\

V₂ = 1,11 * 0,59 — 3,11 • 1,59 = — 4,3'.**)

Besteht die bewegliche Belastung aus den Raddrücken von Fahrzeugen, während die ständige Belastung eine gleichförmige ist, so kann der Einfluss der letzteren auf die eben beschriebene Weise in der Form: \ga(hu — Ä2) oder g\ (2₂— 2t) dargestellt werden. Die Verwandlungsgrundlinie a wähle man dann so, dass ein bequemer Multiplikator \ ga entsteht.

Einfluss der aus Einzelkräften bestehenden Verkehrslast einer Eisenbahnbrücke. Es sollen Fahrzeuge mit den in Fig. 111 (Seite 121) angegebenen Badständen und Achsenbelastungen vorausgesetzt werden. Wegen der Kürze der Brücke kommen nur Lokomotiven und Tender in Betracht. Die Brücke sei eingleisig und besitze zwei

max

min

*) Vergl. das Zahlenbeispiel in No. 187.

**) Für den vorliegenden Parabelbogen muss sich bei gänzlicher Belastung mit p ergeben: Vp — — p\. In der That ist auch Vp ~pl [Sj— 2J =— p\. Die Spannkräfte 0 und D werden in Folge gänzlicher Belastung = 0, und es muss also beispielsweise in Fig. 392 c sein % + tj., + % +    + ■% + ''ls + r,9

— ÜS "f⁻ Ft-

25*

Hauptträger. Es ist dann mit den Raddrücken L = \ 13' (Lokomotive) und T — \ 9* (Tender) zu rechnen.

Gesucht seien die Grenzwerthe von 77₄, Fig, 391c auf Tafel 6. Ï7₄ zu erhalten wird ein Zug auf die negative Beitragstrecke gestellt, so dass die schwersten Lasten in der Nähe von G und eine schwere Last bei G selbst liegt. Hierauf wird der Werth berechnet. Die gefährlichste Stellung des Lastenzuges findet man am schnellsten durch Probiren. Ist die Einflusslinie für eine Strecke eine

Um

min

min

UM = L Si)L + T2r,T

Gerade, so dürfen beliebige innerhalb dieser Strecke liegende Lasten zu einer Mittelkraft vereinigt werden. Bei der in der Figur angegebenen Laststellung, welche sich als die gefährlichste erwies, ist die (mit dem Zirkel zu bestimmende) Summe der den fünf Lasten L entsprechenden Ordinaten = 8,33. Dem mittelsten Rade des Tenders, welcher ein Gewicht von 27* besitzt, entspricht rj = 1,55. Mithin ergiebt sich UM = — i[ 13 • 8,33 -f- 27 • 1,55] = — 75,1*.

In gleicher Weise findet man, dass die Belastung der positiven Bei-

min

tragstrecke erzeugt

Upi == -f- | 39 • 0,18 -f | 9 • 0,07 = + 3,8*.

Es sollen noch die Grenzwerthe von D₂ bestimmt werden. Die

max

positive Beitragstrecke ist hier so kurz, dass bei Aufstellung einer Lokomotive nebst Tender der grössere Theil des letzteren, jenseits der Belastungsscheide N₂ liegt. Der in Fig. 392b abgebildeten ungünstigsten Zugstellung entspricht

D₃ = \ 13 • 2,22 — \ • 27 • 0,14 = -f- 14,43 — 1,89 = + 12,5*. Lässt man den Tender fort, so erhält man den Werth maxD₃ = 14,4*. Trotzdem diese Beanspruchung, des höchst unwahrscheinlichen Belastungszustandes wegen, etwas zu ungünstig gerechnet ist, dürfte es sich empfehlen, der fraglichen Diagonale einen entsprechend grossen Querschnitt zu geben. Jedenfalls ist der erstgerechnete Werth maxD₃ — 12,5* als zu klein anzusehen, sobald nicht die Untersuchung der Wirkung kürzerer, wenn auch leichterer Fahrzeuge das Gegentheil bewiesen hat. Besonders aber wäre noch der Einfluss einer sogenannten Tenderlokomotive schwerster Art zu bestimmen.*)

Die negative Beitragstrecke der D₂ -Linie besteht aus zwei Theilen. Schliesst man die Belastung der eingleisigen Brücke durch zwei getrennte Züge als unwahrscheinlich aus, so erhält man für den in der Fig. 393 b von B aus vorgeschobenen Lastenzug

Z>₂ = —1(39 • 0,43 + 27 • 0,21 -j- 13 -0,04) =— 11,5*.

ma v

min

*) Yergl. No. 99, Seite 168.

XII. Abschnitt.

Statisch bestimmte Hängebrücken und Gtelenkbögen, versteift durch Balken.

§ 47.

Hängebrücken, deren Hauptträger aus einfachen Dreiecknetzen bestehen.

a. Untersuchung des in Fig. 394 dargestellten Hängewerks.

188. Der vorliegende Träger bestellt aus vier gegliederten Scheiben I, II, III, IV, deren jede auf zwei wagerechten Gleitlagern ruht, und welche durch die Stäbe B^C, CA, BD, DA₂ mit einander verbunden sind. Die Stützpunkte C und D werden ebenfalls auf wagerechten Geraden geführt. In At und B₂ greifen die Rückhaltketten an. Die Spannkräfte in den Kettengliedern Ax L und B₂ N sollen zu den Stützen-

r,

Pf

ßj

tu

üifci

Fig. 394.

widerständen gerechnet werden. Jede der beiden Scheiben I und IV ist dann durch drei Widerstände gestützt, deren Richtungen sich nicht in einem und demselben Punkte schneiden, so dass alle auf I und IV wirkenden Kräfte in eindeutiger Weise auf die Widerlager übertragen werden. Die Scheiben II und III bilden einen Dreigelenkbogen, dessen Kämpferwiderstände sich aus den in E und F angreifenden lothrechten Auflagerkräften und den Spannkräften der Stäbe CA und BD zusammensetzen. Die Spannkräfte der Stäbe CA und BD aber sind im Gleichgewicht mit den in C und D angreifenden lothrechten Widerständen der Mittelpfeiler und den Spannkräften der Stäbe BXC und A₂D. Ergeben sich an den Gleitlagern negative Auflagerdrücke, so muss für eine Verankerung dieser Lager gesorgt werden.

189. Untersuchung der Mittelöflfnung. Wir ziehen hier nur die Wirkung senkrechter, abwärts gerichteter Lasten in Betracht und verfolgen zunächst den Einfluss einer über der Mittelöffnung ruhenden Einzellast P. Dabei setzen wir den allgemeineren Fall ungleich hoch liegender Aufhängepunkte A und B voraus. Fig. 395. Die Spannkräfte Sc und Sd³) der in A und B angreifenden Stäbe zerlegen wir in die senkrechten Seitenkräfte A„ und B₀ und in die beiden mit der Schlusslinie AB zusammenfallenden, entgegengesetzt gleichen Seitenkräfte PL'. Hierauf denken wir uns die Angriffspunkte der an den

A JT.

i-L

JL

JL.

s-

G’

yt'

------

ft

i j.

x\

A"

Fig. 395.

Auflagern der Scheiben II und III wirksamen senkrechten Widerstände Au und Bu nach A und B verlegt, und vereinigen A, und Au zu A = Aa -J- Au, desgl. B₀ und Bu zu B = Ba -f- Bu. Es verhält sich jetzt der Trägertheil AGB wie ein Bogen mit drei Gelenken, auf welchen die Ergebnisse der im § 24 und im Abschnitte XI durchgeführten Untersuchungen angewendet werden können. Zu diesem Zwecke verwandele man das Hängewerk durch Umkehrung desselben in einen Bogenträger, berechne die Spannkräfte auf die früher angegebene Weise und ändere schliesslich sämmtliche Vorzeichen. Nur bei der Berechnung

der Spannkraft F₀ in einer Endvertikalen ist die Verlegung von Au unzulässig. Man bestimme Se mit Hilfe der Bedingung, dass die wagerechte Projektion dieser Kraft = H sein muss, zeichne hierauf das Kräftepolygon für den Knoten A und entnehme diesem V₀. Fällt Sc mit Ox zusammen, wie bei dem in der Fig. 396 abgebildeten Träger, so ergiebt sich V₀ — 0. Die Endvertikale darf dann iveg gelassen werden. ⁴)

Ist die Mittelöffnung unbelastet, so verschwinden innerhalb derselben sämmtliche Spannkräfte. Lasten, welche auf die Scheiben I und IV (Fig. 394) wirken, sind ohne Einfluss auf die Inanspruchnahme des Träger-theiles AGB; sie erzeugen auch in den Stäben CA, BD, BXC, DA₂, LAX, B₂N keine Spannungen, und es verhalten sich dann die Scheiben I und IV wie einfache Balken.

Zahlenbeispiel, Fig. 396 stellt die Hälfte des einen Hauptträgers einer Fussgängerbrücke dar, welche die in dem Zahlenbeispiele in No. 187 angenommenen Belastungen g = 0,37', p = 0,665', q = 1,035⁴ f. d. Meter erfährt. Die Mittelöffnung hat dieselben Abmessungen wie der früher behandelte Bogenträger (Fig. 385). Es entstehen dann im Trägertheile dieser Oeffnung Spannkräfte, welche sich von den in der Fig. 389 zusammengestellten nur durch die Vorzeichen unterscheiden, mit Ausnahme von V₀, welches hier = 0 wird.

Um noch die Grenzwerthe des Stützen Widerstandes Au (Fig. 395) zu bestimmen, suchen wir zunächst die Einflusslinie für Au. Es ist Au = A — A₀, wobei A den Auflagerdruck eines einfachen Balkens AB bedeutet, während A₀ — ebenso wie die Spannkraft Sc — proportional dem Horizontalschube II ist. Die Einflusslinie für A₀ besteht (wie die AT-Linie) aus zwei Geraden A'G" und G"B', deren Schnittpunkt G" dem Scheitelgelenke entspricht, und es ist deshalb die schraffirte Fläche in der Figur 395 (in welcher die Gerade B'A" die Einflusslinie für A bedeutet) die gesuchte Einflussfläche für Au; dieselbe ist bestimmt, sobald die Lage des Nullpunktes 2V gegeben ist. Um iV zu finden, untersuchen wir den Einfluss einer links von G angreifenden Last P, welche die Gerade BG (Fig. 395) in F schneidet, zerlegen P in K₂ || BG und

CO

05

Zwölfter Abschnitt. — § 47.

in Kt U ^4 F und ziehen hierauf im Kräfteplane den Strahl s |[ AB; derselbe zerlegt P in A und B. Wird noch der Strahl OR [| Sc gezogen, so giebt die Strecke OR die Grösse der Spannkraft Sc an, und der

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23

t.V ±M3    13) ±6)7 <D ± 3,S

±5,1 <ü ±4? (ä) ± \2 >3J ± ÿ'1 (Çj (J

Fig. 396.

Punkt R zerlegt A in A₀ und Au. Fällt die Gerade AF mit der Richtung von Sc zusammen, geht also P durch den Schnittpunkt E von Se und BG, so ergiebt sich Au = 0, und hieraus folgt, dass der Nullpunkt N auf der Senkrechten durch E liegt.

Im vorliegenden Beispiele liegt E im vierten Felde. Die Ermittlung von

den Parabelbogen nachgewiesenen einfachen Gesetze und mit Bezugnahme auf die Rechnungen in No. 187 wie folgt. Belastet man, um Aup zu erhalten, nur die Knoten 4 bis 9 und zwar mit je p\, so entsteht (nach Seite 382)

A = 21 A'= 21 • 0,2 = 4,2⁵, 11= 19 H' = 19 • 0,75 = 14,25⁵’.

Da nun A„ = H tg y, und Au = A — A₀ = A — H tg ist (wo yx Neigungswinkel von CA), so folgt

max

Au und

min

Au geschieht hier, mit Beachtung der für

min

min

Aup= 4,2—14,25

1,44

3,00

= — 2,6⁵

Bei gänzlicher Belastung mit p wird (wegen des Zusammenfallens des Seilpolygons mit der oberen Gurtung) Aup = \ p\ = 1,0⁵; ferner

AUp — + 2,6 -f- 1,0 — -f- 3,6⁵.

£ • 0,37 • 3,0 = 0,6⁵ 2,0⁵ und

ist tnaxAUp | min AUp    Aup, UlSO

Die ständige Belastung erzeugt A

weshalb sich schliesslich ergiebt minAu =—2,6-j-0,6 =

max

A„ = —f- 3,6 —|— 0,6 = -j- 4,2⁵. ⁵)

Wegen des negativen Werthes minAu muss das fragliche Auflager verankert werden.

190. Untersuchung der Seitenöffnung. So lange nur Lasten zwischen A₁ und B₁ wirken, verhält sich der Trägertheil AtBt wie ein einfacher Balken; es gelten die im § 30 abgeleiteten Gesetze. Wird also die Einflusslinie für irgend eine Spannkraft S gesucht (Pig. 397), so ermittelt man die Spannkraft S' für den früher erklärten Zustand A₁ = 1 (vergl. No. 143) sowie den Schnittpunkt E der beiden anderen vom Schnitte tt getroffenen Stäbe und legt nun der Reihe nach die drei Geraden fest, aus denen die Einflusslinie besteht. Befindet sich E links von Ax, so entsteht im mten Felde eine Belastungsscheide. Liegt E zwischen Ax und Blt so tragen alle innerhalb A₁B₁ angreifenden Lasten zu der fraglichen Spannkraft in gleichem Sinne bei. Wie bei ungünstiger Lage des Punktes E zu verfahren ist, und auf welche Weise die Schärfe der Zeichnung geprüft werden kann, ist früher auseinandergesetzt worden. Vergl. Seite 336.

sl

Ljh

s‘

À'

BL

Fig. 397.

man

Sinn von Ax und Bx feststellen. Fällt die Richtung von Sa mit der Geraden Ax Bx zusammen, wie dies in dem Beispiele in Fig. 396 ange

Es bleibt jetzt nur noch der Einfluss einer über der Mittelöffnung ruhenden Belastung anzugeben. Hat man den durch diese Belastung hervorgerufenen Horizontalschub H bestimmt, so findet man die Spannkräfte Sb und Sa nach Fig. 398 mittels der Bedingung, dass Gleichgewicht nur möglich ist, wenn die wagerechte Projektion jeder dieser Kräfte = H ist. Indem man jetzt LA₁B₁C als ein Seilpolygon auffasst, welches mit der Polweite H zu den Kräften Ax und B₁ gezeichnet ist, und im Kräfteplane durch 0 zu AXBX eine Parallele (s) zieht, kann auf die in der Fig. 398 angegebene Weise die Grösse und den

nommen wurde, so ergiebt sich Ax — 0.

Gesetzt nun, es stelle die Kraft H in Fig. 398 den Horizontalschub in Folge einer im Scheitelgelenke G der Mittelöffnung angreifenden Last Eins vor, und es entstehe in dem Stabe S, dessen Einflusslinie

74)

A.

■ST! 0

B\ i....

Fig. 398.

gesucht wird, in Folge der auf die Scheibe I wirkenden Kräfte Mj, B₁ (welche sämmtlich proportional H sind) eine Spannkraft S. Dann stellt in Fig. 397 das Dreieck A'G"B', dessen Spitze dem Scheitelgelenke G entspricht und dessen Höhe GG' = S ist, den rechts von Bt gelegenen Theil der fraglichen Einflussfläche dar, und es bereitet jetzt keine Schwierigkeit mehr, die Grenzwerthe der gesuchten Spannkraft zu bestimmen.⁶) Das beschi’iebene Verfahren gilt für die Gurtungen und die Füllungsstäbe. Die Spannkräfte S' und S werden am zweck-mässigsten mit Hilfe von Cremona’sehen Kräfteplänen ermittelt, wobei

allerdings das Ziehen von Parallelen zu den kurzen Gurtstäben vermieden werden muss.

Wir verweisen in dieser Beziehung auf

Seite 308 und 378.

Zahlenbeispiel. Bei dem in der Fig. 396 dargestellten gleich-rnässig mit <7= 0,37⁶ und p — 0,665⁶ belasteten Fachwerke mit Vertikalen lassen sich, da die Knotenpunkte der oberen Gurtung jeder der beiden kongruenten Scheiben I und II auf Parabeln liegen, deren senkrechte Achsen durch A, beziehungsweise G gehen, wesentliche Vereinfachungen erzielen, wie die folgenden Kechnungen zeigen werden.

Zunächst sollen diejenigen Spannkräfte SM bestimmt werden, welche in den Stäben der Seitenöffnung entstehen, sobald die Mittelöffnung

gänzlich und zwar mit p belastet wird. Es greift dann am linken Ende nur eine von B₁ nach Ax gerichtete äussere Kraft Sa an, Fig. 399,

II- IS, 70*

CE-Sa

CF’O,

-fr

Fig. 399.

pH- sa,

Oj,

0>

i;

0.

V,

ir

(V

71r-4

■t?T

t-...........<----------K-

<----------•>{<---- —Jy----......J~'

Fig. 400.

Pi²

deren wagerechte Projektion = Hp =

° T

18,70' ist. Der für diesen

Zustand in Fig. 399 gezeichnete Cremona'sehe Plan liefert die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Werthe SM. Dieselbe Tabelle giebt noch die in der Fig. 400 dargestellten Spannkräfte SA für den Fall an, dass am linken Ende nur der Stützen widerstand A\ = % p\ = ^ • 2,0 = 0,4‘ angreift, welchen eine im Knoten 1 wirksame Lasty>A hervor bringt. ⁷)

Stab

Sm

Sa

Stab

Sm

Sa

00^ CO

O CO CO⁻NN«

28,6

27,3

2>i    + 5,1

I)₂    —j— 4,8

D₃    + 3,35

Druck Druck

+ 0,08 + 0,47 -4- 0,92

—    3,2

—    1,8

tSJ ÎS3

0Q oq

—    0,04

—    0,20

— 0,35

Tonnen

II

Tonnen

Bei gänzlicher Belastung von Seiten- und Mittelöffnung sind die Stäbe der unteren Gurtung und die Diagonalen spannungslos, weil das Mittelkraftspolygon mit der oberen Gurtung zusammenfällt⁸), während in den Stäben der oberen Gurtung Spannkräfte

0lp = -f- 20,8e; 02p = -j- 20,0;    03p = -j- 19,4;    04p = -j- 18,9;

05j> = -j- 18,8⁹)

entstehen und in den Vertikalen die Spannkräfte

r0r = 0; rlp = r„ = r„ = ru == 2,0'; r5r =—au„

Die ständige Belastung ruft hervor Omg = Hg sec ßm d. i. (vergl. die Werthe Ug auf Seite 378)

0lg — + 11,5'; 02g — ~f~ 11,1*; 0₃,,= + 10,8'; 0Ag — + 10,5';

0B, = +1O,4';

r₀,    0; T lff Vt, VSg = V±g = g\; 1+ = AXg\

sie ist ohne Einfluss auf die Spannkräfte D und U.

Nach diesen vorbereitenden Rechnungen lassen sich die Grenz-werthe sämmtlicher Spannkräfte schnell angeben.

min

max

1) Untere Gurtung. In irgend einem Stabe U entsteht der grösste Druck oder der grösste Zug, je nachdem nur die Mittelöffnung oder nur die fragliche Seitenöffnung belastet wird. Da Ug = 0 ist, so folgt U. Die Spannkräfte minU sind gleich den in der Tabelle angegebenen (von der Belastung der Mittelöffnung herrührenden) Spannkräften Sn. Man erhält also

min

\ I/₁= + 3,2'; —1 U₂ = ±6,7';

min i

max

min

} F₈=±9,5*i ~} t/₄

j    min J

=±8,5'.

Die Spannkraft U₆ ist = 0.

2) Obere Gurtung. Belastet man nur die Mittelöffnung mit p, so Op = SM‘, wird nur die Seitenöffnung mit p belastet, so Op erzeugt. Dabei ist min0p -f- max0p = Op = Spannkraft in

max

entsteht wird

Folge gänzlicher Belastung beider Oeffnungen, woraus mi„Op=—Sm~\~Op. Rechnet man den Einfluss der ständigen Belastung hinzu, so entsteht

Op = SM -j- Og und Auf diese Weise findet man

max

min

0,=

S'm “f⁻ Op -j- Og.

Ox = + 20,8 + 11,5 = -f- 32,3' max0₂ — + 23,4 -j- 11, 1 = -j- 34,5'

0₃ = -j- 26,3 + 10,8 = + 37,1'

-«O* = + 28,6 + 10,5 = + 39,1'

= + 27,3 + 10,4 = + 37,7' minOx = — 20,8 + 20,8 + 11,5 = + 11,5'

max

.0, =— 23,4 + 20,0 + 11,1 =+ 7,7* 26,3 + 19,4+10,8 = + 8,9'

Os =

.„.04 = —28,6 + 18,9 + 10,5 = + 0,8' „,,0.= —27,3+18,8+10,4 = + 1,9'.

min

Die obere Gurtung wird hiernach nur auf Zug beansprucht, darf also auch aus flachen Stäben bestehen.

Für die Rückhaltkette AtL (Fig. 396), deren Neigungswinkel gegen die Wagerechte = a sei, erhält man

ma. r

Sa = (Hg + Hp) sec a = (10,4 + 18,75) 1,035 = + 30,2'

min

Sa = Hg sec a = 10,4 • 1,035 = + 10,8'.

3) Diagonalen. Da der Schnittpunkt von Ox und Ux rechts von Ax liegt, desgleichen der Schnittpunkt von 0₂ und U₂, so tragen alle über der Seitenöffnung befindlichen Lasten zu den Spannkräften Dx und D₂ in gleichem Sinne bei. Ausschliessliche Belastung der Mittelöffnung erzeugt (da Dg — 0 ist) die Spannkräfte

D₁ = Sm— ~f~ 5,1' und maxD₂ =: -{- 4,8'.

max

Ausschliessliche Belastung der Seitenöffnung erzeugt (wegen D) die Spannkräfte

5,1‘ und miHD₂ — — 4,8'.

In jeder der übrigen Diagonalen rufen Lasten, welche auf der Seitenöffnung ruhen, Zug oder Druck hervor, je nachdem sie rechts oder links von der fraglichen Diagonale liegen. Da nun der Werth SM für die Diagonale D₃ positiv ist, so entsteht und 1 mit p\ und ausserdem die ganze Mittelöffnung belastet wird. Die in 2 und 1 angreifenden Lasten p\ erzeugen: Ax = A\ -j- 2 Äx — 3 A'x (siehe Fig. 400) und D₃ = 3 SA = 3 • 0,08 = 0,24', weshalb

D₃ = 0,24 + SM= 0,24 + 3,35 = + 3,6' =

Dx =

max

wenn jeder der Knoten 2

minD₃ .

In Z>₄ und D₅ erzeugt die Belastung der Mittelöffnung Druckspannungen. Um ,naxD± zu erhalten, belastet man nur die Knoten 1, 2, 3 und um ,ltaxD₅ zu erzeugen, nur die Knoten 1, 2, 3, 4. Im ersten Falle ergiebt sich

Ax — A x ( 1 —|— 2 —j— B) — 6 A x;

ma ■

= 6 • 0,47 = —|— 2,8' = — m,„D₄.

Im zweiten Falle findet man

A₁=M₁(l-j-2-|-3-f-4)=10M₁;

J)₅ = 10 • 0,920 = + 9,2'

4) Vertikalen. In der Vertikale Vx erzeugt, da der Schnittpunkt von 0₂ und Ux rechts von Ax liegt, jede Last über der Seitenöffnung einen Zug. Es entsteht also und gänzlicher Belastung der Mittelöffnung mit p, ferner, wenn nur die Seitenöffnung mit p belastet wird, man Vff = g\= 1,11 hinzu, so findet man

V₁ = SM + g\ = — 3,2+ 1,1 = — 2,1';

Vx = — SM + p\ +    = + 3,2 + 2,0 + 1,1 = + 6,3‘.

In der Vertikale V₂ erzeugen (da der Schnittpunkt von 0₃ und U2 links von Ax liegt) die Belastungen der Knoten 2, 3, 4, Zugspannungen.

min

min

VXp = SM in Folge ausschliesslicher

max

VXp — — -S'jf-f“ Vp- *) Rechnet

min

ma t

Vp min Vp gleich der in Folge gänzlicher Belastung beider Oeffnungen entstehenden Spannkraft Vp.

*) Es ist

tnax

Um mi„V2p zu erhalten, wird, da SM negativ ist, die Mittelöffnung mit p belastet und ausserdem nur der Knoten 1 mit p\. Letztere Last ruft hervor: A.—A\, also V₉„

1,8 — 0,04 = — 1,84*.

SA = — 0,04, weshalb Man erhält nun

min

V₂=— 1,84+flrX

1,84 + 1,11 = — 0,7*

V₂ = -f- 1,84    +^ = + 1,84 -f- 2,0 -f- 1,11 = -|- 5,0*.

In den Vertikalen F₃ und F₄ entstehen in Folge der Belastung der Mittelöffnung Zugspannungen. Man findet mtnVp3 und    in

dem man zuerst nur die Knoten 1 und 2, hierauf nur die Knoten 1, 2, 8 mit je p\ belastet. Im ersteren Falle entsteht

min

max

AX=A\ (1 + 2) = 3 A\;

min

max

3 SA = — 3 • 0,20 = — 0,60* Fg — 0,60 -j—    = —J— 0,5*

V₃ = -j- 0,60 -\- p\ +    = + 3,7*,

min

t;₃

und im zweiten Falle

A₁ — Ax (1 -f- 2 -j- 3) — 6 A ₄;

mm

VM = 6SA =— 6 • 0,35 = — 2,10

min

n ax

F₄ = — 2,10 + g\ = — 1,0*

F₄ = -j- 2,10 -f- p\ -j- g\ — -j- 5,2*.

Die gewonnenen Spannkräfte sind in der Fig. 396 übersichtlich zusammengestellt worden.

Es sind noch die Grenzwerthe der an der Scheibe I angreifenden Stützenwiderstände Bx und Ax anzugeben. Bei gänzlicher Belastung der 15’’* weiten Seitenöffnung mit p = 0,665* und unbelasteter Mittelöffnung ergiebt sich : liehe und gänzliche Belastung der Mittelöffnung mit p erzeugt den grössten negativen Widerstand Blp (d. i. minBXp) ; derselbe ist durch den Kräfteplan in Fig. 399 gegeben, kann aber auch im vorliegenden

maxBlp = \ • 0,665 • 15 = 4,99*. Ausschliess-

Falle mittels der Gleichung

p\

Blp + maxBlp = — = 1,0* bestimmt

BXp = — 4,99 -f- 1,0 = — 3,99*. Die ständige Belastung ruft hervor: Blg = ^    ⁼ h ’    ⁼ 0,56* und es

ergiebt sich schliesslich

Bx = 4,99 -f- 0,56 = + 5,5*;

Bx negativ ist, muss die Scheibe I bei Bx an dem Pfeiler

werden. Man findet :

max

Da mi„

verankert werden.

min

min

minBx = — 3,99 + 0,56 = — 3,4*.

Am Auflager Ax ruft ausschliessliche und gänzliche Belastung der Seitenöffnung mit ^ = 0,665* den Widerstand Alp — \ • 0,665 • 15 = 4,99* hervor, ausschliessliche und gänzliche Belastung der Mittelöffnung den Widerstand Ax — 0. Die ständige Belastung g = 0,37* erzeugt hiernach: AXg = \ • 0,37 • 15 = 2,77* und im Ganzen entsteht Ax = 4,99 -j- 2,7 7 = -j- 7,8*. Der Widerstand Ax ist stets positiv.

b, Untersuchung des aus Fischbauchträgern zusammengesetzten Hängewerks in Fig. 401.¹⁰)

191. Das vorliegende Hängewerk, dessen Auflagergelenke A und B auf wagerechten Geraden geführt werden, und welches an den Enden (bei Ax) in derselben Art gestützt wird, wie der vorhin untersuchte Träger (Fig. 394), kann auch in derselben Weise wie jener berechnet werden. Der mittlere Theil AGB ist ein umgekehrter Bogen mit drei Gelenken, während sich jede Seitenöffnung AXA unter dem Einflüsse der auf ihr ruhenden Lasten wie ein einfacher Balken verhält und

i4

“a

4l

A,

Wt.

\Vl

$ss

\\\vi

Fig 401.

in Folge Belastung der Mittelöffnung noch durch zwei in Ax und A angreifende, entgegengesetzt gleiche Kräfte beansprucht wird, welche die Richtungen AA₁ und AXA haben. Es möge nur noch auf einige Vereinfachungen hingewiesen werden, die wegen der geradlinigen oberen Gurtungen möglich ist.

Zerlegt man die am Trägertheile AG in A und G angreifenden Widerstände auf die in No. 185 angegebene Art in die Seitenkräfte A', B' und Q (Fig. 402b) und denkt die Spannkräfte U, D und V mittels Ritter'scher Momentengleichungen bestimmt, so sieht man sofort ein, dass alle diese Spannkräfte unabhängig von Q sind, da sämmtliche Drehpunkte in der Geraden AG liegen. Hieraus folgt aber, dass bei der Ermittlung der U, D und V das Trägerstück AG als einfacher Balken behandelt werden darf.

Ist also sowohl die ständige als auch die veränderliche Belastung eine gleichförmig vertheilte (g und p), und liegen die Knotenpunkte der unteren Gurtung auf einer Parabel mit senkrechter Achse, in welchem Falle, mit den in der Fig. 402a und b angegebenen Bezeichnungen,

Fig. 402.

wo dm — Länge der Diagonale. In der Fig. 402 sind in jedem Felde zwei sich kreuzende schlaffe Diagonalen vorausgesetzt worden. Je nachdem sich die veränderliche Belastung (p) von G nach A oder von A nach G über die Brücke bewegt, treten die linkssteigenden oder die rechtssteigenden Diagonalen in Thätigkeit.

Zu beachten ist, dass bei gleich grossen Feldweiten X die wagerechten Projektionen der Spannkräfte Dm und D°m sämmtlicher links- und

min

**) Vergl. § 35. Für die untere Gurtung ist

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

ym =

—Xm)

i²

und hm

4 fxm f - xm)

i'²

, ferner f = — f¹¹)

ist, so gelten die Gleichungen

ql'²

(1)

max

Um

ql²

— sec ym = — sec yOT¹²)

(2)

pl'

%aa

rdm

---/si’¹¹A-

K-

(CLJ

3:

'S

R'

(ej

¹2l

A'

fi

pls

sr

mf

"o

V/

(CJ

V-

■G

'f

S¹¹

miul£

------|Z'------jj<--------il'----

nUi

xDm-J

.4%

Ie" T5

B"

' (dj

sr

pï

rechtssteigenden Diagonalen den gleichen Werth —7 X besitzen, vergleiche

8f

Fig. 402 c.

Um den in der mten Vertikale in Folge der von G nach A vorrückenden Belastung entstehenden grössten Druck minVm zu bestimmen, zeichne man (da minVm gleichzeitig mit maxDm+l entsteht) ein Kräftedreieck, dessen Seiten parallel Dm+u 0 und Vm sind, und dessen eine Seite — maxDm+\ ist. Fig. 402c. Man findet dann leicht

U?w) •    1

(-

pï

Ah +1 •

Der an der oberen Gurtung angreifende Theil g₀ der ständigen Belastung g erzeugt Vmg = — \ g₀ (X,„ -f- X„,₊₁), und es ergiebt sich daher der (auch für ungleichweite Felder gütige) Ausdruck

min

woraus

min

(3)

pï

Vm = —

h„,

2 9() CAm | X»+l)>

Vm = Vmg ist. Rückt die bewegliche Belastung von A aus nach G vor, so werden die rechtssteigenden Diagonalen gespannt, und es entsteht

während

max

min

pï

2 9o | X,„ _|_i).

Von den beiden Werthen (3) und (4) ist der grössere zu wählen. Für die Vertikalen links von f gilt also Gleichung (3), für die anderen Gleichung (4). Zeichnet man ein Polygon,¹³) dessen Ecken auf einer

Parabel mit dem Pfeile

des Trägers AG entsprechen, so ist die Ordinate Ym dieses Polygons

hm, und es folgt für eine links von f befindliche Vertikale

(4)

min

Vm =

pï

liegen (Fig. 402 d) und den Knotenpunkten

pï

der Ausdruck

(5)

min

Vm = — Ym+1 — ^₀(XW + Xm+1)

und für eine rechts von f gelegene

vm = —Y

(6)

k 9o (A»> H“ X«+i)-

Die Gleichungen (1) bis (6) gelten auch für die Seitenöffnungen, sobald Ï und f durch und /j ersetzt werden, Fig. 401.**)

min

*) Das Polygon in Fig. 402d lässt sich als ein Seilpolygon betrachten, welches mit der Polweite V zu den Knotenlasten eines gleichmässig belasteten Balkens A" B" gezeichnet ist.

**) ft ist die in senkrechter Richtung gemessene Höhe des Fischbauchträgers bei x = % lv Ist an dieser Stelle keine Vertikale vorhanden, so ist ft die auf Ai A bezogene Höhe der umschriebenen Parabel.

¹

Es genügen bereits zwei Decimalstellen. Die oben angegebenen Zahlen-werthe wurden vom Verfasser gerechnet.

²

Maassgebend für die Länge von a ist natürlich auch die Bedingung, dass sich bei der Flächenverwandluug nicht schleifende Schnitte ergeben dürfen. Zuweilen ist es zweckmässig, eine sehr kleine Fläche in ein Dreieck mit der

Grundlinie — a zu verwandeln und dann die Höhe dieses Dreiecks durch n zu n

dividiren, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist.

³

Wir bezeichnen die Spannkräfte in den Stäben LAn B^C, CA. BD, der Reihe nach mit Sa, <Si, Se, Sa-

⁴

Soll sich der Trägertheil AGB vollständig wie ein umgekehrter Fachwerkbogen verhalten, so müssen die in Fig. 394 angeordneten Auflager der Scheiben II und III fortbleiben, und die Mittellinien der Endvertikalen von II und I müssen in die Senkrechte durch C fallen; es können diese Stäbe in einem entsprechenden Hohlraume des Pfeilers untergebracht werden. C wird wie vorhin auf einer Wagerechten geführt. Diese Anordnung ist jedoch nicht zu empfehlen. Verfasser hält es für das beste, die Endvertikale fortzulassen und das Gelenk G in die untere Gurtung zu legen.

⁵

Es unterscheiden sich diese Werthe von den für die Endvertikale des Bogenträgers in Fig. 389 gefundenen nur durch die Vorzeichen.

⁶

Für den in der Fig. 397 dargestellten Fall ergiebt sich S' positiv und S negativ. Lasten, welche auf Scheibe IV wirken (Fig. 394) sind ohne Einfluss auf die Inanspruchnahme der Scheibe I.

⁷

Für die Diagonalen brauchen (wie die folgenden Eechnungen lehren werden) nur die positiven und für die Vertikalen nur die negativen Spannkräfte Sm gemessen zu werden. Die Spannkräfte Sa sind nur für diejenigen Füllungsstäbe zu bestimmen, deren zugehöriger Punkt E (Fig. 397) links von A₁ liegt. Da sich nun 0₂ und TJ, rechts von schneiden, desgl. Ox und Uh so genügt die Angabe der Sa für die Füllungsstäbe Z>₅, D₄, Z>₃, F₄, V₃, V₂. Hierauf ist namentlich zu achten, wenn die Sa und Sm berechnet werden sollen. Bei ungleichen Feldweiten ist nicht der Zustand At = A\ zu untersuchen, sondern der Zustand A₁ = l.

⁸

Vergl. Seite 375.

⁹

Es ist Omp — Hp sec , wo ß„, = Neigungswinkel von Om. Hiernach sind die Omp entgegengesetzt gleich den auf Seite 378 ermittelten Ump.

¹⁰

In ähnlicher Weise ist die Hängebrücke über den Monongahela bei Pittsburgh (Nord-Amerika) ausgeführt. An Stelle der seitlichen Fisch bauch träger sind (wie in Fig. 403) geradlinige Rückhaltketten vorhanden.

¹¹

Diese Beziehung gilt auch, wenn bei x — \V keine Vertikale vorhanden ist, in welchem Falle f die auf die Gerade AG bezogene senkrechte Ordinate der umschriebenen Parabel bedeutet. Vergl. auch Fig. 268.

U JL.

¹²

max

26

¹³

Nach Gleich. (9) Seite 205.

Wir gehen nun zur Bestimmung der Spannkräfte 0 für den Fall parabelförmiger unterer Gurtungen über und betrachten zuerst die Mittelöffnung. Der Punkt E, in welchem eine durch A und den unteren

Knoten m gelegte Gerade die Gerade B G trifft, ist Belastungsscheide für das Moment Mm. Die von B bis E reichende bewegliche Belastung erzeugt

(?)

min

Mm =

2 (Bl—2xm)

und (da die linkssteigenden Diagonalen gespannt werden)

pxm (l² — 3 lxm    2 xl)

max

Om =

Kn

sec ß = -j-

2 {Bl — 2xm) hm

sec ß.

Dieser Ausdruck lässt sich durch Einsetzen von

2 fxm (l — 2 xm)

hm

4 f xm (/' — xm)

l'²

leicht um formen in

(8)

Om

pl²

sec ß

xm

1,5 l — xm

und führt zu der folgenden einfachen Darstellung von trägt von einer Wagerechten A B' aus, im Abstande B L — £1¹ ²) von

Om.

Man

der Senkrechten durch B die senkrechte Strecke LJ

Pl⁸

auf, zieht

pl²

sec ß. Be-

JR [| A B' und LR J AG und findet zunächst LR =

stimmt man nun senkrecht unter m den Punkt C der Geraden A'B' und zieht die Gerade CR, so schneidet diese auf einer durch B' parallel zu LR gelegten Geraden die Strecke ab

B' F — LR

l — xm

1,51 — xm

Mm, welches sich von dem durch die Gleich. (7) ge-Mm nur durch das Vorzeichen unterscheidet, da

Wird nur die positive Beitragstrecke AE mit p belastet, so entsteht das Moment gebenen Momente gänzliche Belastung der Mittelöffnung den Werth Mm = 0 erzeugt. Es treten jetzt aber die rechtssteigenden Diagonalen in Thätigkeit, und es ergiebt sich mithin

m in

Cm+1

Mm

sec ß = —

max

Om.

Im ersten Felde ist minOx = — max auch das an G grenzende Feld.

Oi,

und ebenso verhält sich

Um die Spannkräfte 0 für die Seitenöffnung zu finden, beachte man, dass ausschliessliche und gänzliche Belastung der Seitenöffnung in der oberen Gurtung die grössten Drücke erzeugt, während ausschliessliche und gänzliche Belastung der Mittelöffnung die stärkste Beanspruchung auf Zug hervorbringt. Im ersteren Falle entsteht in jedem Stabe der Gurtung AXA Fig. 401

(9)

pH

8A

sec ßx (nach § 35)

und im zweiten

(10)

pl²

sec

CQ.

(weil

HP =

pl²

)•

Die ständige Belastung erzeugt

(11) o,

Wählt man fx—f

W h'

(also, wenn lx = Ï = — l ist, fx — ~rf⁼f

g sec ßj

so ergiebt sich Og = 0 und

(12)

max

pl²

sec ßx = —

m in

0.³)

§ 48.

Kette, versteift durch einen Balken.

a. Kettenbrücke mit einer Oeffnung.

192. Einleitung. Eine aus geraden, gelenkartig mit einander verbundenen Stäben bestehende zunächst gewichtslos gedachte Kette, in deren Knotenpunkten Kräfte Zx, Z₂, Z₃, . . . . angreifen, nimmt die Form eines diesen Kräften entsprechenden Seilpolygons an. Sind Grösse und Lage sämmtlicher Kräfte Z gegeben, so ist die von den Stabachsen gebildete Kettenlinie bestimmt, sobald drei Punkte derselben — in der Regel die beiden Stützpunkte R und T und ein Punkt W in der Nähe des Scheitels — bekannt sind (Fig. 404); denn durch

drei Punkte lässt sieh nur ein einziges Seilpolygon der Kräfte Z zeichnen.*) Mit der Belastung ändert sich im Allgemeinen auch die Form der Kette.

Betrachten wir nun die in Fig. 403 dargestellte Kettenbrücke. RWT ist die Tragkette, RL und TN sind die Rückhaltketten; bei R und T sind, um die hohen Pfeiler nur in senkrechter Richtung zu belasten, bewegliche Lager mit wagerechten Führungen angeordnet (Fig. 404). Die senkrechten Hängestangen tragen die Querträger, diese

■V

(CLJ

TT

#=T

z;r

■Hg

(bJ

----

rr

-V

K-

—v!

Fig. 403.

die Längsträger, letztere die Bahn. Die Brücke sei frei von Verkehrslast. Dann ist die Spannkraft in der mten Hängestange

Zmg =\gf (^m    \»+l) -f-

*) Die Aufgabe: Zu gegebenen Kräften durch drei vorgeschriebene Punkte ein Seilpolygon zu zeichnen, ist in No. 108 gelöst worden.

wo gf das Gewicht der Längeneinheit der Brückenbahn (einschliesslich der Längs- und Quer-Träger) und Gmh das Gewicht der mten Hängestange, und es ist im Knoten m der Kette die Belastung

Z m = Zmg -j- G

anzunehmen, wenn mit Gmh die Summe der Gewichte der halben Kettenglieder sm und sOT+1 bezeichnet wird. Die Gewichte Gmh und Gmk hängen von der vorläufig noch unbekannten Form der Kette ab; um sie schnell und mit genügender Schärfe zu bestimmen, setze man zuerst voraus, es sei die gesammte ständige Belastung gleichförmig über die Horizontalprojektion der Brücke vertheilt, und lege die in Folge dieser Annahme erhaltene Kettenlinie, deren Knoten auf einer Parabel mit senkrechter Achse liegen, der Berechnung der Gewichte Gmh und Gmle zu Grunde. Wie gross hierbei die ständige Belastung gewählt wird, ist gleichgiltig, da jene Parabel durch die drei gegebenen Punkte der Kettenlinie eindeutig bestimmt ist. Nun lässt sich die verbesserte Kettenlinie zeichnen, welche von der erstgefundenen stets so wenig abweichen . wird, dass eine Neuberechnung der Gewichte Gmh und Gmk überflüssig ist.

Gleichzeitig mit der Form der Kette findet man die in ihren Gliedern und in den Rückhaltketten auftretenden Spannkräfte, welche mit S0g, Slg, S2g, . . . S(n_i)?, Sng bezeichnet werden sollen (Fig. 403b), ferner die auf die Pfeiler wirkenden Drücke Bg und Tg und den Horizontalzug Hg.

So

Jt

esf—>

Zrrv

m+t

rrv

JL

n-1

-jL

r-

~V-

'Km.

\h

’rv

Y_

Fig. 404.

Um die ',auf die Schlusslinie R T bezogenen senkrechten Ordinaten yu y₂, ya, . . . einer durch senkrechte Kräfte Zt, Z₂, Z₃.. . . belasteten und durch die Punkte i?, W, T gehenden Kettenlinie (Fig. 404) durch Rechnung zu bestimmen.

kann man u. A. auch, den folgenden Weg einsehlagen. Man ermittelt die Biegungsmomente M₂₁ M₃, .... für die den Knotenpunkten der Kette entsprechenden Querschnitte 1, 2, 3 . . eines einfachen Balkens RT, welcher die Lasten Z,, Z₂, Z₃ . . . . trägt, desgleichen das Moment Mw für den dem Punkte W entsprechenden Balkenquerschnitt W, und findet dann mittels der Gleichung

Mw = Hh,

wo h die gegebene Ordinate des Punktes W ist, den Horizontalzug H und hierauf mittels der Gleichungen

Mi — Hyxi M₂ — Hy₂, . . . .

Die Spannkräfte S₀, Si, S₂, . . . Sn der unter cp₀,

die Ordinaten yu y₂,

<Px, cp2, . . . <p„ gegen die Wagerechte geneigten Kettenglieder werden mittels der Formel

(1)

Sm — H sec cpm

berechnet, und für die Drücke auf die Pfeiler findet man die Werthe R = H (tg 9o + tg 9l) ; T= II (tg <p„ _ x + tg ₉„). ⁴)

Ist die Gestalt der Kette und der Horizontalzug H gegeben, so ergiebt sich Zm = H (tg — tg Cpm +i).

(2)

(3)

Werden die Lasten Z'm (Fig. 403 b) durch Lasten Z"m ersetzt, diese letzteren aber so gewählt, dass das gegenseitige Verhältniss der Lasten dasselbe bleibt, dass also

ryff . ryff ry"

A i . A 2 • ** 3 ⁴

—■ Z x : Z % \ Z ......

ist, so behält die Kette ihre Form; es ändert sich nur die Grösse des Horizontalzuges und der Kräfte S, JR und T, und hieraus folgt, dass eine gleichförmig über die ganze Brücke vertheilte Verkehrsbelastung nur unwesentliche Verrückungen der Knoten der Kette verursachen wird, sobald die ständige Belastung zum grössten Theile eine gleichförmig vertheilte ist. Erfährt jedoch die Brücke eine einseitige Belastung, so können unzulässige Formänderungen entstehen, die um so beträchtlicher ausfallen, je kleiner die ständige und je grösser die bewegliche Belastung ist. Um eine wellenförmige Bewegung der Brückenbahn beim Uebergange der Verkehrslast zu verhüten, ist die Kette zu versteifen, beispielsweise durch einen Balken AB, der an der Kette hängt (dessen Gewicht also bei der Berechnung von gf zu berücksichtigen ist) und der bei A ein festes, bei B ein auf einer Wagerechten bewegliches Auflagergelenk besitzt. Fig. 405. Die Ermittlung der an diesem Balken angreifenden Kräfte bildet den Gegenstand der folgenden Untersuchungen. Im Verlaufe derselben wird sich zeigen, dass, zur Erzielung statischer Bestimmtheit, der Balken aus zwei durch ein Gelenk G mit einander bestehenden Theilen herzustellen ist.

Die nachstehenden Entwicklungen knüpfen wir an die Annahme

vollkommener Starrheit des Balkens, der Hängestangen und der Kette. Wir setzen also wie in den früheren Abschnitten vernachlässigbar kleine elastische Formänderungen voraus, und dürfen dann die Kettenlinie auch als das Seilpolygon derjenigen Kräfte Zp betrachten, welche in den Hängestangen durch die nach Ausführung der Versteifung aufgebrachten Lasten P hervorgerufen werden.

Die Kräfte Zp und die von ihnen in den Kettengliedern und an den Auflagern (P und T) erzeugten Kräfte Sp, Bp, Tp sind bekannt, sobald der — ebenfalls von den Lasten P herrührende —- Horizontalzug Hp gegeben ist; man hat nur nöthig in Fig. 403 b Hg durch Hp zu ersetzen. Werden die dem grössten Werthe Hp entsprechenden Kräfte Zp, Sp, Bp, Tp zu denjenigen addirt, die bereits vor der Versteifung der Kette wirksam waren, so ergeben sich die grössten Spannkräfte, welche überhaupt in den Hängestangen und Kettengliedern auf-treten, sowie die grössten Drücke auf die Kettenpfeiler. (Man erhält sie, sobald man in Fig. 403 Hg durch Hg -j- Hp ersetzt.) Wir haben uns deshalb im Folgenden nur noch mit der Bestimmung von Hp und mit der Inanspruchnahme des Versteifungsbalkens zu beschäftigen. Bevor wir mit diesen Untersuchungen beginnen, heben wir noch besonders hervor, dass es bei der Berechnung der Inanspruchnahme einer Kettenbrücke stets zulässig ist, die Knotenpunkte der Kette auf einer Parabel mit senkrechter Achse liegend anzunehmen, entsprechend der Voraussetzung einer gleichförmigen ständigen Belastung g. Die vorhin gelehrte genauere Formbestimmung ist hauptsächlich von Werth für die Aufstellung der Brücke, muss aber noch durch die (im zweiten Bande dieses Buches gelehrte) Berücksichtigung der Dehnungen der elastischen Kette ergänzt werden.

193. Allgemeine Untersuchung des Versteifungsbalkens.

Bezeichnet

Mp das Moment für irgend einen Querschnitt G des an der Kette hängenden Balkens AB,

M0p das durch die Lasten P hervorgerufene Biegungsmoment für den Querschnitt C eines nur bei A und B gestützten (nicht an der Kette hängenden) einfachen Balkens AB, y die senkrechte Ordinate des dem Querschnitte C entsprechenden Punktes C' der Kette, bezogen auf die Verbindungslinie der Punkte A' und B', in denen die Kette von den Senkrechten durch die Stützpunkte A und B geschnitten wird, Fig. 405,

so ist

(4)

Mp A/qp Hpy.

Kette mit Versteifungsbalken.

H*.

CD

Das zweite Glied dieser Gleichung giebt den Einfluss der Kräfte Zp an; man erhält es, indem man die Fläche zwischen der Schlusslinie A'B' und der Kettenlinie A G B' als die den Kräften Zp entsprechende Culmann’sche Momentenfläche ansieht und nach No. 69 verfährt. — Für das Mittelgelenk G ergiebt sich

Ma — Mq & — Hpf

w/Z.

J5<

r------

,.-------m

—

HpRRT—ri-......

¹ \x

(U;

(b)

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-----^----

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WP

'z

w-

JO.

•ÆpJwnU

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•rv

Q -Pinie

nr

(dJ

Ijil

il

J.

i*----%S------X

Fig. 405.

und hieraus folgt, da MG = 0 sein muss

Mq a

(5)

HP =

Bei fehlendem Mittelgelenke ist es nicht möglich, Hp lediglich mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen anzugeben; der Träger ist dann ein statisch unbestimmter.

Da die Gleichungen (4) und (5) mit den auf Seite 183 für den Bogen mit drei Gelenken abgeleiteten Gleichungen (2) und (3) übereinstimmen, so können die im § 24 zur Ermittlung von M und H angegebenen Verfahren auch auf den vorliegenden Fall angewendet werden. Es mögen die wichtigsten Gesetze hier wiederholt werden.

1. Die Einflussfläche für Hp ist ein Dreieck, dessen Spitze dem

ist; vergleiche

Mittelgelenke G entspricht und dessen Höhe = -

Fig. 405a. Eine Einzellast P erzeugt: Hp = Pt\.

2. Zerlegt man die Spannkräfte Slp und S„p der äussersten Kettenglieder in den Punkten Ä und B' in die senkrechten Seitenkräfte Aop und Bop und in die mit der Schlusslinie zusammenfallenden, entgegengesetzt gleichen Kräfte H'p (Fig. 406)⁵), setzt hierauf Aop und Bop mit

ww

lf

F-

Fig. 406.

zusammen, so

den an den Stützpunkten des Balkens angreifenden Widerständen Aup und Bup zu Ap — Aop -{- Aup und Bp = Bop + Bup besitzen Ap und Bp dieselbe Grösse wie die Stützenwiderstände eines nicht an der Kette hängenden einfachen Balkens. Greift am Träger nur eine einzige Last P an, so treffen sich Kx (d. i. Mittelkraft von Ap u. H'p), K₂ (d. i. Mittelkraft von Bp u. H'p) und P in einem Punkte. Liegt P links von G, so geht K₂ durch den dem Gelenke G entsprechenden Punkt G' der Kette; befindet sich P rechts von G, so geht Kx durch G'.

3.    Für den Stützenwiderstand Aup erhält man die in der Fig. 405 d dargestellte Einflussfläche; sie ist bestimmt durch AJ — 1 und durch den Nullpunkt N", welcher senkrecht unter dem Punkte E" liegt, in dem die Gerade B' G' vom ersten Kettengliede (Sx) getroffen wird. Da sich für Aup (und ebenso für Bup) je nach dem Belastungszustande des Balkens positive und negative Werthe ergeben, so müssen die Auflager-'gelenke des Balkens mit den Pfeilern verankert werden. Die ständige Belastung übt auf das Auflager A einen Druck Aug aus, welcher gleich der Hälfte des Gewichtes des Balkenfeldes Xj ist. Bedeutet also g die ständige Belastung f. d. Längeneinheit, ausschliesslich des Gewichtes der Kette und der Hängestangen, so ist Aug = \g\x. Ebenso wird Bug bestimmt. Ist die Verkehrslast eine gleichförmig vertheilte (= p f. d. Längeneinheit), so entsteht in Folge gänzlicher Belastung: Aup=^p\x und es folgt dann:

tnax

Aup | minAup 2

4.    Die Einflusslinie für das den Balken-Querschnitt C beanspruchende Moment Mp besteht aus den Geraden I, II, III, in Fig. 405b

und ist bestimmt durch AJ=x und durch den senkrecht unter dem Schnittpunkt E der Geraden Ä C' und B' G' gelegenen Nullpunkt N. — Die ständige Last erzeugt Mg = 0.

Um auch die Ermittlung der an den Balkenabschnitten wirksamen Querkräfte Qp auf die im § 24 gelösten Aufgaben zurückzuführen, bringen wir die den Querschnitten des Feldes FXF₂ = X entsprechende Querkraft

•>4,

(6) Q,

(wo M2p und Mlp die Momente für die Querschnitte F₂ und Fx bedeuten) auf die Form

Qp —

•o Mx . ₀

Hp

rr

V —

(vergl. Fig. 405)

M₂ .₀ Mx .₀

Q₀ == Querkraft für das Feld Fx F2 eines einfachen, nicht an der Kette hängenden Balkens AB und erhalten

setzen hierauf

(V QP = Qo — Hp

Schliessen die Geraden F'F" und A B' mit der Wagerechten die Winkel <p und a ein (Fig. 404), so ist

sin (cp — a)

ft    9

tg 9 — tg a =

y —y

cos 9 cos a

*) Vergl. Seite 262.

cos 9?

(9)

und Hp — H'p cos a, und es ergiebt sich dann H'p sin (9 — «) cos 9

Die Klammergrösse dieses Ausdrucks stellt nach Gleich. (5) auf Seite 186 die Querkraft für einen Querschnitt des Feldes F F" eines steifen Bogens A'G'B' vor; bezeichnen wir dieselbe mit Q, so erhalten wir

(^) Qp — Qo

cos 9 L

Q₀ cos <p — U p sin (9—a) •

und hieraus und aus den in No. 120 gewonnenen Ergebnissen lässt sich auf die in Fig. 405c und in Fig. 407 dargestellte Einflussli»ie für Q schliessen; dieselbe ist bestimmt durch AJ— 1 und den Nullpunkt N' der Geraden I. Es liegt nämlich N' auf der Senkrechten durch den Punkt E', in welchem die Gerade B'G' von einer durch A' zum Kettengliede F'F" gezogenen Parallelen getroffen wird. Liegt E' links von G, so ist die Senkrechte durch E' eine Belastungsscheide, Fig. 407.

K' —

H'

7-*—H

^vl

-K-

l

■*!

•/

k------S*____

±ß

- ->

a----%

/fl

iLrrmtn

y/"

AA

4-—*

-—■»!

x,'

->i

Fig. 407.

Mit Hilfe der angegebenen Einflusslinien lassen sich die Grenzwerthe von Mp, Qpt Aup, Bup, Hp nach § 15 bestimmen.

194. Gegliederter Versteifungsbalken. Die in Fig. 405 für Hp und Aup angegebenen Einflusslinien gelten auch dann, wenn der Versteifungsbalken aus zwei gegliederten Scheiben besteht. Die Einflusslinien für die in den Gurtungen entstehenden Spannkräfte lassen sich leicht aus denen für die Momente ableiten. Die schraffirte Fläche in Fig. 408 a stellt die Einflussfläche für die Spannkraft 0 in dem dem Knotenpunkte G gegenüberliegenden Stabe der oberen Gurtung dar;

- X

sie ist bestimmt durch den Nullpunkt V und die Strecke AJ — 1 • —

(welche an die Stelle von AJ = x in Fig. 405 b tritt), h bedeutet den Hebelarm von 0 in Bezug auf den Drehpunkt C. Die zur Bestimmung der Belastungsscheide zu ziehende Gerade A E geht durch den dem Punkte C entsprechenden Punkt C' der Kette. Die Belastung

<---a?-----

^vzkzwfeè

rK iM !

izsAzvö

(cvj

0 Lwii

-/

sw

JE

puni

rb;

p=Zinie

x'

Fig. 408.

ist an den Knoten der oberen Gurtung des Balkens wirkend gedacht. Das beschriebene Verfahren gilt für Balken mit beliebig geformten Gurtungen.

Die schraffirte Fläche in Fig. 408 b stellt die Einflussfläche für die Spannkraft Dp in der linkssteigenden Diagonale eines Balkens mit imgerechten Gurtungen dar. Man geht hier am zweckmässigsten von

sin T

der Gleichung Dp sin x = Qp aus⁶) (wo x den Neigungswinkel der Diagonale gegen die Wagerechte bezeichnet) und kann dann die in No. 193 hinsichtlich Qp angestellten Untersuchungen benutzen. Zuerst wird die

Gerade / mit Hilfe des Nullpunktes N' und der Ordinate A J =

(welche an die Stelle von AJ— 1 in Fig. 407 tritt) festgelegt, wobei zu beachten ist, dass die Gerade A' E' parallel zu demjenigen Kettengliede F'F" sein muss, welches von dem durch die Diagonale D und zwei Gurtstäbe geführten Schnitte tt (der also im Ganzen vier Stäbe schneidet) getroffen wird. Nun wird II || I gezogen, hierauf/// und IV. Fig. 408 b setzt eine an der oberen Gurtung wirkende Belastung voraus.

Der Einfluss der ständigen Belastung auf die Spannkräfte O, U, D ist gleich Null. Bei beliebig geformten Gurtungen können die Einflusslinien für die Spannkräfte in den Füllungsstäben auf dem im § 45 eingeschlagenen Wege bestimmt werden. Wegen der geringeren Wichtigkeit dieses Gegenstandes unterlassen wir es hier, näher auf denselben einzugehen, rathen jedoch dem Leser, diese Linien (am besten mit Hilfe der Spannkräfte S', S", SG, S'") darzustellen. Auch die Untersuchung eines Versteifungsbalkens mit gedachtem Mittelgelenke ist als eine sehr lehrreiche Uebung in der selbständigen Anwendung der in diesem Buche gelehrten Behandlungsweise derartiger Aufgaben zu empfehlen.

Sehr zu empfehlen ist es auch, nach Aufzeichnung der O-Linien und U-Linien die Füllungsstäbe mit Hilfe des in No. 143 angegebenen Verfahrens zu untersuchen.

195. Momente und Querkräfte in Folge gleichmässiger Belastung. Am Schluss von No. 192 wurde hervorgehoben, dass es stets zulässig ist, bei der Untersuchung der Inanspruchnahme einer Kettenbrücke die Knotenpunkte derselben auf einer Parabel mit senkrechter Achse anzunehmen, entsprechend einer gleichförmig über die Wagerechte AB vertheilten ständigen Belastung (g). Ist auch die bewegliche Belastung eine gleichförmig vertheilte (—p), so ist der Balken bei Eintreten gänzlicher Belastung spannungslos, und es folgt deshalb

Mp =

Qp•

min

■Mp ? min Qp

Es genügt also stets, den einen der beiden Grenzwerthe der fraglichen Unbekannten anzugeben. Man gelangt hier auch sehr schnell durch Rechnung zum Ziele, indem man Formeln anwendet, die sich aus der Betrachtung der Einflusslinien ergeben. So findet man z. B. für das einem Knotenpunkte entsprechende Moment maxMp, indem man den Inhalt der positiven Einflussfläche mit p multiplicirt, unter Einführung

Bedeutet nun c den senkrechten Abstand des Punktes E von der

—, andrerseits: c = f

Schlusslinie A B', so ist einerseits: c mithin

der in der Fig. 405 b angegebenen Bezeichnungen den Werth

x (z — x) *)

(10)

Mmax — p

l—z w '

y zw = fx (l — z) und z = -

Setzt man noch (nach der Parabelgleichung)

xx 10 w ’

(11)

fix

yw + fx

so findet man

(12)

wl

(13)

w -j- x pxx (w — x)

und (da Mg — 0 ist)

2 (w -J- x)

min

M.**)

Es genügt stets, die Momente für die Knotenpunkte des Balkens zu berechnen. Trägt man dieselben in den Knotenpunkten als Ordinaten auf und verbindet ihre Endpunkte durch Gerade (wie dies z. B. in Fig. 130 auf Tafel 1 bei Untersuchung eines einfachen Balkens geschah), so geben die Ordinaten dieser Geraden genügend genau die grössten Momente für die Querschnitte zwischen den Knotenpunkten an.

Um für die Querkraft Qp irgend eines Feldes Fx F₂ einen einfachen Ausdruck zu erhalten, sollen die in Fig. 407 angegebenen Bezeichnungen eingeführt werden. Es verhält sich AN : NN' = a :b und man findet (wegen AN -f- NN' = z, und a -{- b = z —X)

AN —

; XN' = b

Die Inhalte der Dreiecke NL₂ N' und A Lx N sind beziehungsweise

1 b²

a²

und =

Liegt nun der Punkt E' links vom Scheitelgelenk, so besteht

*) Moment f. d. Querschnitt x eines einfachen Balkens von der Länge z. Vergl. auch die Untersuchungen in No. 117, Seite 190.

**) Mit w — entsteht die Gleich. (9) auf Seite 205.

***) Links von N' stimmt die Einflussfläche mit derjenigen überein, die sich für die Querkraft Q eines einfachen Balkens von der Länge z ergiebt. Vergl. Fig. 121.

der positive Theil der Einflussfläche nur aus dem Dreieck NL₂ N', und es ergiebt sich dann (wegen Qg = 0)

pb²

2 (0—X)

Befindet sich JE' rechts von G (Fig. 405 c), so besteht der negative Theil der Einflussfläche aus einem einzigen Dreiecke, nämlich dem Dreiecke AL₁JST (Bezeichnung in Fig. 407), und man findet dann

pa²

(14)

max

Q = -\

min

Q-

(15)

Q.

2 (z — X)

Die Ausdrücke (14) und (15) gelten auch für ungleiche Feldweiten. Für z findet man leicht den Werth

*' =

min

(16)

Iw

l — 2 x —|— w

wo x = Abstand der Mitte des Gliedes F' F" von der Senkrechten durch

A bedeutet, Fig. 407.*)

Der grösste Horizontalzug ist

(17)

max

H=q

ww

und die grösste Spannkraft in der m

ten

Hängestange

Zm = i (P + g ) ßm + ^m+l)> wo g = ständige Belastung nach Abzug des Gewichtes der Hänge-

(18)

max

Stangen und der Kette.

Um die Grenzwerthe des Stützenwiderstandes Au zu bestimmen, ermittelt man zuerst (vergl. Fig. 405 d)

(19)

Iw

und findet nun

l — Xj —j— w

(nach Gleichung 16)

pz"

max

y 1 mtnAup j tnax-^up

p\

g\

mithin

(20)

nax

Au

pz" + A

-U. A

2 ’ U9

pz" -{p-\- g)\\

Ganz ebenso werden die Grenzwerthe von Bu bestimmt.

*) Um (16) zu erhalten, gehe man von der Gleichung aus: (y"— y) — l — z'

und setze (nach der Parabelgleichung)

tt    /

y —y

ww'

[x₂ 0l — x₂) — x₁ (l — a?,)] =

= -A- (1 — 2 X). w w

fix* — Xj)

ww'

(7 — (xx -f x₂)]

Mit Hilfe der Gleichungen 14, 15, 16 lassen sich auch die Spannkräfte in den Püllungsstäben eines Versteifungsbalkens mit parallelen Gurtungen berechnen, da diese nach No. 194 den Querkräften Q proportional sind.

b. Kettenbrücke mit mehreren Oeffnungen.

196. Kettenbrücke mit drei Oeffnungen, versteift durch Einzelbalken. Fig. 409. Sind die Punkte B, G', T der Mittelöffnung gegeben, so lässt sich die Form der Kette auf die in No. 192 angegebene Weise bestimmen, und hierbei ergiebt sich dann auch der durch die ständige Belastung erzeugte Horizontalzug Hg. Die Gestalt der Kette über den Seitenöffnungen kann jetzt durch Lösung der einfachen Aufgabe gefunden werden: zu gegebenen senkrechten Kräften ein Seilpolygon zu zeichnen, welches durch 2 gegebene Punkte {B u. L, bezieh. T u. N) geht und dessen Polweite (Hg) bekannt ist.

Bei Untersuchung der Inanspruchnahme der Brücke darf man stets

mit einer gleichförmigen ständigen Belastung g rechnen und dementsprechend die Knoten der Ketten auf Parabeln mit senkrechten Achsen liegend annehmen. Für die Mittelöffnung gilt dann die Gleichung

xx’

iv w

(1) y — f

>1

k----lf-----v B j*----w---------n>'----->j

-XJ-------1----«2»'------■>{■ y?

' ' +

•”A"

tfll

1/

S----

r.

3||

L^JPf

il

\v

F,

Ct*\

-b-*

wk

Fig. 409.

und für die Seitenöffnung AXBX die Gleichung

y = fi

xx

wx w x ’

wobei fx die der Stelle x = wx und x = l — wx — w\ entsprechende Parabelordinate bedeutet. Die Ordinaten sind auf die den Einzelbalken

AB und AXBX entsprechenden Schlusslinien zu beziehen. — Da nun

Hst,* so 2 fx I

einerseits : Ha

gww

und andererseits auch Hg

27

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

folgt :

wi™\

r ) )

10 W

womit sich für die Seitenöffnung ebenfalls die Gleichung ergiebt

ww

und fx — f

(1)

XX

ww

Der Versteifungsbalken AB der Mittelöffnung wird genau so berechnet wie derjenige einer Kettenbrücke mit einer Oeffnung. Es gelten alle in No. 193 bis 195 abgeleiteten Gesetze. Ist AB unbelastet, so ist Hp = 0. Lasten, welche über einer Seitenöffnung ruhen, haben keinen Einfluss auf Hp. Die Balken AXBX und A₂B₂ (von denen jeder, ebenso wie AB, ein festes und ein auf wagerechter Bahn bewegliches Lager erhält) verhalten sich unter der Einwirkung solcher Lasten wie einfache (nicht an der Kette hängende) Balken. Lasten über der Mittelöffnung erzeugen einen (nach No. 193 zu bestimmenden) Horizontalzug Hp und beispielsweise für den Querschnitt Fx des Balkens AXBX das Biegungsmoment M — — Hpy₁, ferner für das Feld FXF₂ die Quer-(Vi —1h)

kraft: — Hp

• Hiernach lassen sich die Grenzwerthe von M

und Q leicht angeben. Es sei z. B. die bewegliche Belastung (welche ja allein in Betracht kommt) eine gleichförmige (— p). Dann erzeugt gänzliche Belastung von Ax Bx bei unbelasteter Mittelöffnung A B für irgend einen Querschnitt x des Balkens AXBX das Moment

x=r*f-

Ausschliessliche und gänzliche Belastung der Mittelöffnung bringt

(2)

max

hervor

(3)

ww xx iv w

M = — minM.

M= — Hpy = —p —

Es ergiebt sich also in der That

Um die Grenzwerthe von Q für ein Feld FXF₂ des Balkens AXBX zu bestimmen, sind die Fälle y₂j>yi und yx^>y₂ zu unterscheiden. Ist y₂ yx, so erzeugt die Belastung der Mittelöffnung einen negativen Werth Q. Um >naxQ zu erhalten, wird deshalb die Mittelöffnung unbelastet angenommen und der Balken AXBX nur zwischen Bx und der im Felde FxF₂ gelegenen Belastungsscheide belastet. AXBX verhält sich dann wie ein einfacher Balken. Man findet (vergl. die in Fig. 121 auf Seite 132

min

max

*) Mit w — w' = — l und wx = w\ —

lx entstellt (wie auf Seite 404):

fx=f^r'

abgeleitete Einflusslinie sowie die Entwicklungen auf Seite 416)

(4)

Q,

pb²

min

2 ft — V

wo b den Abstand des Querträgers F₂ vom Auflager B bedeutet (Fig. 409).

Im Falle y₂ yx erzeugt die Belastung der Mittelöffnung ein positives Q, und man berechnet dann zweckmässig minQ, indem man wieder nur AlB₁ und zwar zwischen A₁ und der im Felde FXF₂ gelegenen Belastungsscheide mit p belastet. Man erhält

(5)

min

pa

<?⁷)•

2 ft —X)

Das grösste Moment für den Balken AB ist im Falle w — iv ~\l (nach

Seite 205) M = 0,019 pZ², und für den Balken A₁B₁ ergiebt sich M= -

8

Sollen beide Momente gleich gross werden, so muss sein l\ = 8 • 0,019 7² also l\ =■ 0,39 l.

max

197. Kettenbrücke mit beliebig vielen Oeffnungen und mit durchgehenden Versteifungsbalken. Sind drei Punkte der über eine der Oeffnungen zu spannenden Kette gegeben, so lässt sich die Form dieser Kette und die Grösse von Hg nach No. 192 bestimmen, und die Gestalt der Ketten über den Seitenöffnungen kann dann (da die Aufhängepunkte stets gegeben sind) durch Lösung der Aufgabe gefunden werden: zu gegebenen senkrechten Lasten ein Seilpolygon mit vorgeschriebener Polweite zu zeichnen, das durch zwei gegebene Punkte geht. Es ist stets zulässig, eine gleichförmige ständige Belastung anzunehmen, und es können dann die Ordinaten auch auf die in No. 196 angegebene Weise berechnet werden. Hierbei sind z. B. die Ketten der in der Fig. 410 dargestellten Brücke zunächst auf die Schlusslinien s\, s₂, sg zu beziehen.

Der durchgehende Versteifungsbalken A, B, C, . . . . erhält ebenso-viele Gelenke als die Brücke Oeffnungen zählt. Die Gelenke sind so zu vertheilen, dass nach Weglassung irgend eines derselben ein an der Kette hängender Gerber’scher Balken entsteht. Die Auflager seien — mit Ausnahme des einen festen Lagers — auf wagerechten Bahnen geführt.

Um die Momente und Querkräfte des Versteifungsbalkens schnell

zu finden, denke man zunächst das eine Mittelgelenk beseitigt und betrachte den Gerber’schen Balken, an dem ausser den beweglichen Lasten P noch die Spannkräfte Zp der Hängestangen an-

greifen. Den Einfluss der P und Zp bestimme man getrennt und löse den zweiten Theil der Aufgabe mit Hilfe des in No. 92 Seite 163 und Fig. 151 beschriebenen Verfahrens. Man (findet dann

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4~

Fig. 410 a, b, c u. d.

das von den Kräften Zp herrührende Moment in der Form (— Hpy), wo y die Ordinate der Kettenlinie, bezogen auf den durch die Gelenke des Gerber’schen Balkens eindeutig bestimmten Schlusslinienzug|bedeutet. Auf diese Weise gelangt man z. B. in dem in der Fig. 410 dargestellten Falle, wenn G₂ das vorübergehend beseitigte Gelenk ist, zu dem Gerber-schen Balken ABCD (Fig. 410a) und zu dem Schlusslinienzuge s₁s₂s₃, dessen Ecken auf den Senkrechten durch B und C liegen, und welcher durch die den Gelenken G₁ und Gs entsprechenden Punkte der Kettenlinie geht. Bezeichnet man dann für irgend einen Querschnitt Fx oder irgend ein Feld F₁F₂ (gleichgiltig innerhalb welcher Oeffnung) mit M₀ und Q₀ dasjenige Moment oder diejenige Querkraft, welche entstehen, wenn auf den Gerber’schen Balken nur die Kräfte P wirken, so ergiebt sich im ganzen

Mp = M₀ — Hpy₁ und Qp = Q₀ — Hp

Vi — Vi

Liegt die Kettenlinie oberhalb des Schlusslinienzuges, so ist y negativ. Dem Querschnitte G₂ entspricht

Ma = Moe— SPf',

und es folgt, da dieses Moment = 0 sein muss

Hp =

Ordinate

und — was für die Folge wichtig ist — im Abstande

Hiernach erhält man die Einflusslinie für den Horizontalzug Hp, indem man die Einflusslinie für das dem Querschnitte G₂ entsprechende Moment eines Gerber’schen Balkens AB CD bestimmt und die Ordinaten derselben durch f dividirt. Auf diesem Wege ergiebt sich die in der Fig. 410b dargestellte Einflusslinie für Hp-, dieselbe besitzt bei G₂ die ww

l—7- von der Stütze B die Ordinate 1.

Um nun die Einflusslinie für das irgend einem Querschnitte entsprechende Biegungsmoment MP = M₀— Hpy zu bestimmen, hat man nur nöthig, auf die im Abschnitte VI (Seite 167) angegebene Weise die Einflusslinie für M₀ zu zeichnen und von den Ordinaten derselben die mit y multiplicirten Ordinaten der iZ^-Linie in Abzug zu bringen. Hiernach stellt z. B. die schraffirte Fläche in Fig. 410 c die Einflussfläche für das Moment Mp des Querschnittes Ft vor. Es wurde zunächst AB CD als ein nicht an der Kette hängender Gerber'scher Balken betrachtet und die Einflusslinie für M₀ aufgetragen; dieselbe besteht aus den Geraden I, II, III, IV und ist bestimmt durch BJ — 1 • x. Von den Ordinaten dieser Linie wurden diejenigen der aus den Geraden ï II', IIÏ IV' bestehenden Hy₁ -Linie abgezogen, wobei dieser zweite

Linienzug durch die im Abstande l

nate VW— 1 • yt bestimmt werden konnte, da ja die LT-Linie an dieser Stelle die Ordinate 1 besitzt.

In gleicher Weise kann die Einflusslinie für die in irgend einem Felde auftretende Querkraft Qp ermittelt werden. Man betrachte den Balken zunächst als nicht an der Kette hängenden Gerber’schen Balken, zeichne nach No. 94 (Seite 166) die Einflusslinie für Q₀ und subtrahire

den Ordinaten derselben diejenigen der Hp ——-—-Linie. Letztere

A

von Stütze B gelegenen Ordi-

von

Linie besitzt im Abstande l

von B die (leicht durch Zeichnung zu

Vi—Vx

bestimmende) Ordinate 1 •

Das beschriebene Verfahren ist für Kettenbrücken mit beliebig vielen Oeffnungen anwendbar und führt stets sehr schnell zum Ziele; es lässt sich auch auf die Ermittlung der an den Auflagern A, B, C, D, . . . des Versteifungsbalkens wirksamen Stützen widerstände, welche kurz mit A, B, C, D, . . . bezeichnet werden sollen, benutzen, da sich diese Widerstände leicht auf die Form bringen lassen

A — A₀ — all-, B = B₀ — ß#; C = C₀ — y IT; D = D₀ — 8 ; . . . wobei A₀, B₀, C₀, D₀,... die Stützenwiderstände für den nicht an der Kette hängenden Balken und a, ß, y, 8, . . . feste Zahlenwerthe bedeuten. Für den in der Fig. 410 dargestellten Fall erhält man z. B. die einem beliebigen Horizontalzuge H entsprechenden Werthe a H, ßJV, y H, bH mit Hilfe der ohne weitere Erklärung verständlichen und aus der Fig. 151b abgeleiteten Fig. 410 d, deren Geraden I, II, III, .... slf s₂, s₃ den gleichbezeichneten äussersten Kettengliedern und Schlusslinien der einzelnen Oeffnungen parallel sind. Entwirft man also diese Figur für H— 1, so findet man die festen Werthe a, ß, y, 8.

¹

Nach Gleich. (9) Seite 205.

²

In Fig. 402 wurde, um Baum zu sparen, B ' L kleiner als 11 gezeichnet.

³

Der Bedingung ft:f=lf :P müssen auch die in Parabeln einbeschriebenen oberen Gurtungen des Hängewerks in Fig. 396 genügen, sobald im Falle ungleicher Scheiben I und II bei gänzlicher Belastung sämmtliche Spannkräfte U und D gleich Null sein sollen.

⁴

(p„-i = spitzer Winkel des Stabes gegen die Wagerechte.

⁵

In dieser Figur haben wir die Zeiger p weggelassen.

⁶

Für eine rechtssteigende Diagonale ist Dp sin t = — Qp.

⁷

Man kann auch maxQ und minQ in der auf Seite 133 angegebenen Weise durch Zeichnung bestimmen, da man es ja in beiden Fällen (y₂ % ?/,) nur mit einem einfachen Balken Al zu thun hat.

§ 49-

Cfelenkbogen, versteift durch einen Balken.

198. G-elenkbogen, versteift durch einen über demselben liegenden Balken. Ein aus geraden, gelenkartig mit einanderever-

F {F

i'g FJ

VA

IP

'il f

jm

mjr

-j

*P

->

&Linie

lue

j-l:

₇f

L,

V* Linie-

JT'

Fig. 411.

bundenen Stäben bestehender Bogenträger werde auf die in der Fig. 411 veranschaulichte Weise durch senkrechte Stangen mit einem Balken ver-bunden, welcher ein festes und ein auf wagerechter Bahn bewegliches Auflager besitzt und durch ein Mittelgelenk G in zwei starre Theile zerlegt wird. Es entsteht ein Träger, welcher als die Umkehrung der durch einen Balken versteiften Kette angesehen werden kann, und für welchen deshalb die in No. 192 bis 195 entwickelten Gesetze gelten. Die Spannkräfte Z und S haben natürlich entgegengesetzte Vorzeichen wie die für die Kettenbrücke gefundenen; sie rufen jetzt Druckspannungen hervor. Auch ist zu beachten, dass die Endpunkte Ä und B' der Schluss-linie s unterhalb der Kämpfergelenke auf den verlängerten Mittellinien der äussersten Glieder des Bogens liegen, sobald die Stützweite des Balkens (wie in Fig. 411) kleiner ist als diejenige des Bogens. In Fig. 411 wurden als Beispiele die Einflusslinien für eine Spannkraft U und eine Spannkraft V vorgeführt.

Die U-Linie ist bestimmt durch die Belastungsscheide E und durch AJ = 1    Die Gerade ÂE geht durch den dem Knoten F₂ (wel

cher U gegenüberliegt) entsprechenden Punkt F'₂ des Bogens.

Wirkt

Die F-Linie ist (wegen F —— Q) bestimmt durch AJ — —1 und durch den Punkt E'. Die Gerade A'E' ist hierbei parallel zu dem vom Schnitte tt getroffenen Gliede des Bogens zu ziehen. In der Fig. 411 wurde vorausgesetzt, dass die Belastung, um deren Einfluss es sich handelt, in den Knoten der oberen Gurtung angreift, sie in den Knoten der unteren Gurtung, so ist die Gerade LXL₂ zu ersetzen durch L'L".

Wird der Bogen so geformt, dass seine Mittellinie mit dem der ständigen Belastung entsprechenden und durch die Punkte A', G', B geführten Seilpolygone zusammenfällt, so werden nur die Vertikalen des Versteifungsbalkens in Folge der ständigen Belastung beansprucht. In der die Felder \m und Xm+1 trennenden Vertikale Vm entsteht Vmg = — i g₀ (X„, -j- Xm+1), wobei g₀ der an der oberen Gurtung angreifende Theil der ständigen Last ist. Die Spannkräfte O, U, D sind nur von der beweglichen Belastung abhängig, und es gelten die Gleichungen

max

G j minG    9 , max E 'j min E 0 , maxE j minE    0.

199. Gelenkbogen, versteift durch einen unter demselben liegenden, den Horizontalschub des Bogens aufnehmenden Balken. Einen solchen Träger zeigt die Fig. 412. An dem einen Ende ist ein festes Auflager, an dem andern ein bewegliches mit wagerechter Bahn angeordnet worden, so dass der Träger bei ausschliesslich senkrechten Lasten auf die Pfeiler nur senkrechte Drücke ausübt, welche mit denen eines einfachen Balkens AB übereinstimmen. Die Versteifung wird bewirkt durch zwei gegliederte, bei G gelenkartig mit einander befestigte starre Scheiben, welche mit dem Bogen durch senkrechte Hängestangen verbunden sind.

Wir führen durch den Träger einen Schnitt, welcher vier Stäbe (Um-1, Dm, Om, S) trifft, Fig. 413, und betrachten das linke Trägerstück. Die Mittelkraft der an demselben angreifenden Lasten sei 2P; sie ruft im Verein mit dem Stützenwiderstande A in Bezug auf die Knoten m und (m—1) Momente M0m und Moim. 1} hervor, welche ebenso gross sind wie die Momente für dieselben Knoten eines einfachen,

E’

r"

-rl

\'T

mz

mßt

nt'

D ~- Ainie \Af’

UlJ

swz

¹f\

Tnt

Æ.

O = Linie

(eJ

HLitiu

(ctj

Fig. 412.

nicht am Bogen hängenden Balkens AB. Zerlegt man nun den im geschnittenen Bogengliede wirksamen Druck S im Punkte m in eine wagerechte und in eine senkrechte Seitenkraft, von denen die erstere gleich dem Horizontalschube H ist, so lautet die auf den Knoten m bezogene ßitter’sche Momentengleichung

M0m — H(ym -f- h) -f- Omh — 0

und hieraus folgt

Om =

Mm

wo Mm — M0m — H(ym -f- h).

IP

: ■* W--

Fig. 413.

Für den Punkt G findet man (Fig. 412)

Mg = Mog — Hf—0

weshalb :

ff

Die für Jfund H gefundenen Ausdrücke stimmen mit denen überein, die sich im § 48 für den Versteifungsbalken der Kette ergaben. Nur tritt, wenn der fragliche Knotenpunkt der unteren Balkengurtung angehört, an die Stelle von ym der Werth ijm -J- h. Für den Horizontalschub H und für die Spannkräfte U und 0 ergeben sich deshalb die in den Figuren 412, a, b, c dargestellten Einflusslinien, wobei angenommen ist, dass die Belastung in den Knoten der oberen Gurtung angreift. Die Figuren (a) und (b) bedürfen keiner Erläuterung. Zu Figur (c) ist zu bemerken, dass die Belastungsscheide durch den Punkt E' geht, in welchem die Gerade BG' von der durch A und einen um h oberhalb C' gelegenen Punkt C" bestimmten Geraden geschnitten wird.

In der Fig. 414 gehört das Mittelgelenk G der unteren Gurtung des Balkens an, während die Kämpfergelenke des Bogens wie vorhin in der oberen Gurtung liegen. Es ergiebt sich jetzt

M₀a f -\-h

Die Hohe des die Einflussfläche für H darstellenden Dreiecks ist

und die Gerade B'G' ist zu

4( f + h)

Auf demselben Wege findet man

Mm-1    hj

—-—, wo

h

Vm.l =

-i

= M,

0 0«—1)

— Hym. x.

m-/

^h4

±.

nicht mehr = —, sondern =

4/

ersetzen durch die Gerade B'G", wobei G" um h höher liegt als G'.

Wir haben uns in den Figuren 412 und 414 auf die Darstellung zweier besonderer Fälle beschränkt. Bei beliebiger Form der Gurtungen

/ \\h.'

Vn' i

f'

,Sli

_ A 2?-f___¹— -h j'------------

\f

0 Linie

7k— -

oc - -

-r

lii±—-

JT= .Linie

/f <!

-b

!<-

Fig. 414.

des Balkens gelten die Gleichungen

Mm — M0m — Hy m und II

wo ym den Abstand des Knotens m von der Bogenachse und f „

bedeutet, beide Abstände in senkrechter Richtung gemessen/?;, Ersetzt man also beispielsweise in Eig. 414 die gerade obere Gurtung A'B' durch die gebrochene (durch gestrichelte Linien angedeutete) A'mlB',

so wird U

„ Gelenkes G „

Mm

rm

und Mm = M0m — H (ym — mmj), wobei rm das

Loth von mx auf U bedeutet.

- x

An die Stelle von A J = 1 —— tritt :

h

- 00

- AJ—1 — und die zur Bestimmung von N zu ziehende Gerade A E

ist durch einen Punkt m\ zu ziehen, der von m den Abstand m m\ — mmj hat. Da mx oberhalb A'B' liegt, muss m\ unterhalb m liegen. Sind auf diese Weise die Einflusslinien für sämmtliche Spannkräfte 0 und U gefunden, so ist man im Stande, die Einflusslinien für die in den Füllungsstäben auftretenden Kräfte mittels des in No. 143 beschriebenen Verfahrens zu bestimmen.

Die Querkraft für den Schnitt tt in Fig. 413 ist, wenn A—2P— Q0 (= Quer kraft für den durch einen einfachen Balken geführten Schnitt tt) gesetzt wird

Q= Qo — Htg 9 = Qo —¹¹

sie erscheint in derselben Form wie beim Versteifungsbalken der Kette und kann deshalb auf die im'§ 48 angegebene Weise ermittelt werden. Fig. 412 d zeigt beispielsweise die Einflusslinie für die Spannkraft

sin t

Der den Punkt N' bestimmende Punkt E' liegt auf

der Geraden B' G' und AE' ist parallel dem vom Schnitte tt getroffenen Gliede des Bogens. Es ist ALX [[ JL₂. Würde man AJ= 1

machen, statt AJ =

———, so würde man die Einflusslinie für die sin t

dem Felde Ft F₂ entsprechende Querkraft Q erhalten. In dem in der Fig. 414 dargestellten Falle liegen die Punkte E' auf der Geraden B' G".

Ist die ständige Belastung eine gleichförmige, und gehören die Knoten des Bogens einer Parabel mit senkrechter Achse an, so sind in dem in der Fig. 412 dargestellten Falle die Spannkräfte Dg und Ug= 0, vorausgesetzt, dass es zulässig ist, den am Balken angreifenden Theil der ständigen Belastung ausschliesslich auf die oberen Knoten desselben zu vertheilen. Für sämmtliche Stäbe der oberen Gurtung ergiebt sich

• Ist auch die bewegliche Belastung eine gleich-

förmige (= p), so entsteht bei gänzlicher Belastung des Balkens mit p

pl²

in der oberen Gurtung Op — -J-= 0 werden. Es folgt dann

U -f- min U = 0 5

max

oo

, während Dp und Up wieder

D -f- minD — 0.

§ 50.

Verwerthmig der Kettenlinie zur Linienführung der Glurtungen.

200. Gelegentlich der Bearbeitung eines Brückenentwurfs kam der Verfasser auf den Gedanken, die Gurtungen eines Auslegerbalkens als Seillinien für eine gesetzmässig sich ändernde Belastung aufzufassen und gelangte auf diesem Wege zu einem Verfahren, das zu einer sehr einfachen Berechnung der für die Zulage der Eisenkonstruktion in der Werkstatt erforderlichen genauen Ordinaten führte und eine schnelle

Vergleichung verschiedener, lediglich nach ästhetischen Gesichtspunkten gewählten Linienführungen möglich machte.¹)

Es handelte sich bei jenem Entwürfe um eine über drei Oeff-nungen reichende symmetrische, hängende Gurtung (Fig. 415), deren äussere Theiie AB den Eindruck von Rückhaltketten machen sollten und deshalb in strafferer Spannung am Portal über dem Strom pfeiler

li

...l!

V-

M.

80

16

JA

A.

HL

~9

TVïâ

f "S

fy 5    6 T a 9 10 11 12111

.—■-£-—«jlU—„h

^ ss ä

-- 7TLX

-X

(n-m) A.-

Ab

Fig 415.

angreifen mussten, während sich für die Kette BCB eine etwas stärkere Krümmung als vorteilhaft erwies. Nach verschiedenen Proben wurde die Gurtung AB als Seileck senkrechter Lasten geformt, die sich zu einander verhalten wie die Zahlen 11, 12, 18 ... bis 21. Die Knotenpunkte der Gurtung CB liegen im mittleren Theiie in einer Parabel; hier wurde die Belastungsziffer konstant = 6 angenommen; nach dem Kämpfer hin steigt die Belastung, einer Differenzreihe zweiter Ordnung folgend, bis auf 27.

Die auf die Verbindungslinie der Aufhängepunkte bezogenen Seil-eckordinaten y verhalten sich zu einander wie die Biegungsmomente eines einfachen Balkens (s. Seite 406 Fig. 404). Die überall gleiche Feldweite darf bei der Berechnung der Momente gleich 1 gesetzt werden, so dass sich für die schrittweise Ermittlung der Querkräfte und Momente der Mittelöffnung die Formeln ergeben

Qm+1 = Qm “K P,n

Mm “ Mm+\ j Qm+1 >

wo Pm die im wten Knotenpunkte angreifende Last bedeutet. Für das erste Feld ist Qt = jP0²)', ferner ist = $₁₂. Nach Berechnung

der Momente findet man die Ordinaten mittels der Beziehung

ym = y₀

M₀

8,4

Mm

558

Die nachstehende Tabelle enthält die vollständige Zahlenrechnung für die Mittelöffnung.

Qm

h* h-*- h-*-

WKOCDQ0'fc305Ü,^03WKO

(OtD<0(0(0(üt'OSN<D'-lt' i-i i-H <N (N

15

21

27

33

40

49

61

77

98

125

558

555

546

531

510

483

450

410

361

300

223

125

8,400

8,355

8,219

7,994

7,677

7,271

6,774

6,172

5,434

4,516

3,357

1,882

In ähnlicher Weise wird auch die Seitenöffnung AB behandelt. Man berechnet zuerst den linken Auflagerwiderstand des mit den

Werthen 11, 12, 13,

Qi =-4 —~(21+2-20-|-3-19-|-

21 belasteten Balkens und findet 946

-j- 11 • 11) =    —78,83

-1

Q2 — Qi Pi Qm = Qm

= Qi, ⁼⁼    -f- Q2, u. s. w. Mm    -J- Qm.

Die Ordinaten der Gurtung sind

ym 100 *

Damit A den runden Werth 78 annimmt, wurde Last 21 durch 22 ersetzt, 11 durch 10, Aenderungen, welche die Gestalt der Gurtung nur wenig beeinflussen. Hiernach entstand die folgende Tabelle:

Folgen die Lasten dem Gesetze

Pm — a + m + a₂ m² + a₃ m³ +.....

wo a, «!, a₂, . . . feste Zahlenwerthe sind, und ist die Anzahl der Felder = +so erhält man für die Reaktionen B und A die Werthe

• •);

Pm

Qm

Mm

ym

I—³■ M- t—».

tO tO ML t-³- Ml |_il h1    Lt-JL.

MOffiOO-lOÜ'iliOJWO

+ 78 + 68 + 56 -j-48 + 29 + 14

78

146

202

245

274

288

286

267

230

174

98

2,80

1,74

0,98

TH

B = 2 POT — = — («+ + öj S₂ + a₂ S₃ + a₃ &₄ + .. n n

A = 2 F — B

m — (n— 1)

wo Sr = 2mr.

m = 1

Man findet

St

(n — 1 ) n

Sa

(n — 1) n (2 n — 1)

n (n — 1) (6n³ — 9n² + n + 1)

30

n

a,

Ist Pm = a, so wird Qr = A = —

z

n Qi

P -IM ^

77 m

n Ql

n — 1 n (n + 1)

Wählt man also beispielsweise

Pm = a -j- 0,5 m², so erhält man

Qi

Ist Pm = m³, so wird Qx

n — 1    (w-j-l)(3«²—2)

30

— 1^    , n(n + l)^

1-0+ 12 )■

Wird Pm— 10 -J- m angenommen, so ergiebt sich für n = 12

Qi

11 /    .    13 \

x(¹⁰+ir)

= 78,83.

201. Einhüftige Seilpolygone AB (Fig. 416a) können auch aus symmetrischen Seilpolygonen B'A'B' (Fig. 416b) in der Weise abgeleitet werden, dass, nach Berechnung der auf die Gerade B'B' bezogenen Ordinaten y, die lothrechten Abstände vj der Knotenpunkte von der Sehne A'B' bestimmt und von einer anders geneigten Sehne AB aus aufgetragen werden.

IZ

v ss*

<-

v\

Fig. 416.

Sehr zweckmässig ist auch bei einhüftigen Seilpolygonen die Berechnung der auf die Verlängerung der ersten oder letzten Seite bezogenen Ordinaten (Fig. 417), da man häufig über die Richtung der einen dieser beiden Seiten von vornherein verfügen wird. Die Ordinaten ym verhalten sich hier zu einander wie die Momente Mm eines Freiträgers. Zählt man die Lasten von A aus und bezieht man das Seileck auf die an B grenzende Seite, so erhält man, wenn man die konstant angenommene Feldweite wieder gleich 1 setzt,

Qm r= Qm+1 + Pm und Mm = Mm+1 -f- Qm+X.

Für das in Fig. 417 dargestellte Seileck, welches von dem in Fig. 415 abgebildeten nur wenig abweicht, ergeben sich die folgenden Zahlenwerthe.

11

10

Pm

Qm

Mm

ym — y a

Ma

1166

583

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

21

41

60

78

95

111

126

140

153

165

176

21

62

122 :

200

295 i

406

532

672

825

990

1166

0,216OT

0,638

1,256

2,058

3,036

4,178

5,475

6,916

8,491

10,189

12,000

Verfügt man von vornherein über die Lagen der ersten^ und letzten Polygonseite, so ist das Gesetz, welchem die Lasten P folgen,

(A

<r

P-il

-r

_L

771+7

k-A->

fS

»■

tjvX--.------*k--------(n-m)k

Fig. 417.

-i—

//

1L.

einer Einschränkung unterworfen. Es müssen sich nämlich die Strecken y a und yB, welche die äussersten Polygonseiten auf den Senkrechten durch die Endpunkte A und B abschneiden, zu einander verhalten wie die Biegungsmomente MA und MB zweier Freiträger, die bei A oder B

2Pmin — (iSi -j- öj S₂ -j— a₂ <Sg —|— .... 2 Pm = a (n — 1) H⁻ *i £>i +a₂^2 +

Ist z. B.

so wird

eingespannt und mit den Kräften P belastet sind. Lasten von A aus, so erhält man die Gleichung

2 P,„ m

Zählt man die

Va

y*

2 Pm (n — m)

2Pmni _

n 2 Pm — 2 Pm m ’

wo (nach Seite 430)

Pm = a -j- axm a₂m²,

und

(n — 1) n

[a + £ ax (2 n — 1) + \ a₂ (n — 1) n] 2 Pm — (n — 1) [a ~\~ \ «i n -f- ^ o₂ n (2 n — 1 )]

2 Pmm

!)a

a ~h i ai (2 n — 1) ~t~ h a2 (n 1) n

J/n

Wählt man Pm — a m, so findet man für a den Werth

2m — 1

— (»+!)

Vb

Vb

202. Wir wollen noch einige Formeln für Seillinien mit stetiger Belastung herleiten und betrachten zu dem Zwecke die in Fig. 418 dargestellte Belastungsfläche. Die Belastungslinie sei eine Parabel rter Ordnung und habe die Gleichung

JC

K---------Z —

Fig. 418.

Zl~T'

wo Zi die Belastungshöhe an der Stelle x — l bedeutet. Der Inhalt der Belastungsfläche ist

Ztl

r -\- 1

und das statische Moment der Fläche, bezogen auf die Senkrechte durch A

M, =

j zxxdx

Ztl²

28

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

Die Abstände des Schwerpunktes der Fläche von den Senkrechten durch A und B sind demnach

und — l — £ = l

r -\- 2

und das Moment der Fläche in Bezug auf die Senkrechte durch B

Ztl²

r -f- 2

Mb

(r + 1) (r + 2)

Wirkt die betrachtete Belastung auf einen bei B eingespannten Freiträger, so ist das Biegungsmoment an der Stelle x

zixr+²

ZxX

(r -f 1) (r + 2) (r + 1) (r + 2) V

!<-

X----oc---

Ji

Besteht nun die Belastungsfläche einer einhüftigen Kettenlinie (Fig. 419) aus einem Rechteck von der Höhe z und einem von einer Parabel rter Ordnung begrenzten Theile, so lautet die Gleichung der Kettenlinie, bezogen auf die Tangente im Endpunkte A

rfjl

mb ’

worin zu setzen

ZiXyJr'¹

(r -f 1) (r + 2) r ’

zl²

M’ = ~2 Man erhält demnach

ztl²

(r + 1)0* + 2)

Fig. 419.

V = Vb

x

9 1 I⁻ S -

x² — V

WO

_ Zi    1

£    « 0* +1) ir + 2)

ist. Schreibt man auch der Tangente in B eine bestimmte Lage vor, so muss sein

zl²

z}l²

Vb _    _ ²

(r + l)(r + 2)

Va Ma

zl

ztl²

(r -j- 2)

1 + £ ( r 4- 1)

Beginnt die parabolische Belastung Ç a = l — b von A, Fig. 420, so ist für den Abschnitt a

zh    erst im Abstande

ir ^

jV=

und für den Abschnitt b

z (a + x)²

zbxr+i

Ferner ist

(r + l)(r+2)6r

Mb =

zl²

zbb²

Ma =

(r_|_ i)(r+ 2)

0/2 Zbh ( ! ; r +

-Tj

--U —

}<—jc—>

xb

k-

ft

}x

-1-

2L

|-c—JC--->

Fig. 421.

Fig. 420.

Die vorstehenden Gleichungen lassen sich auch für die symmetrische Kette verwerthen, denn diese besteht aus zwei einhüftigen Ketten mit wagerechter Scheiteltangente. Für den in Fig. 421 dargestellten Fall erhält man also

l² 1+6

Als Beispiel wählen wir die in Fig. 422 abgebildete Auslegerbogen-

= 18’", der Mittelöffnung

brücke. Stützweite der Seitenöffnung 6 • 3 24 -~4i —48'”, Pfeilhöhe 6,0m. Für die Mittelöffnung setzen wir r — 2

und erhalten für den Knotenpunkt m (wegen x = m\ und 1= 8\)

■m²

Vm = 6,0-—

«> ¹ +S"64

Die Ziffer e wollen wir so wählen, dass f—ungefähr 2,0“ also y₇

ungefähr 4,0’” wird. Aus der Gleichung

,    49

1 +■

49

4,0 = 6,0 —

64

64    1+6

folgt s = 1,23, wofür wir den durch 64 theilbaren Werth 1,28 nehmen. Dann ergiebt sich

ym —

m² (1 + 0,02 m²)

24,32

y = 0,042’” 0,178’” 0,437 “ 0,869’” 1,542“ 2,546'” 3,989’" f—y= 5,958'” 5,822'” 5,563’" 5,131w 4,458“ 3,454“ 2,011™.

O 1    2    3    5 e s 7    6    5    * 3 £    1    0

-4»*

Fig. 422.

Für die Seitenöffnung nehmen wir r — 1 an und erhalten (wegen

x = in a , l = 6X)

lfm—

<(l+e

6 (1 + £)

Die Ziffer e möge so bestimmt werden, dass die Ordinate y₅ der Seitenöffnung ebenso gross wird, wie die Ordinate «/₇ der Mittelöffnung. Aus der Gleichung

25

3,989

0+4)

6 (1 4 £)

ergiebt sich £ = 0,344, wofür der durch 6 theilbare Werth 0,342 genommen werden möge. Dann wird

m² (1 + 0,057 m)

Um

8,052

also für m = 1

y = o,i3i’"

f — 2/= 5,869'"

0,553'”

5,447’"

2,440“

3,560“

3,990’“

2,010“.

1,309“

4,691“

203. Bei Bogen- und Hängebrücken werden die Gurtungen öfters aus krummen Stäben gebildet. Kreisbögen oder Korbbögen erhalten dann in der Begel, wegen der grösseren Einfachheit der Werkstattarbeit, den Vorzug. Die zuerst nach irgend welchen Grundsätzen gezeichnete Linie muss durch Kreis-

bögen ersetzt werden. Soll z. B. ein symmetrischer Korbbogen (Fig. 423) durch die Punkte C₀ Ct C₂ C₃ gelegt werden, so berechnet man die Winkel xt, a₂, a3 mittels der Gleichungen

i tga₃ =

tg ®i = —, tga₂ =

ei

findet hierauf

ßi = ai ß₂ — a, _ 2 ß₃ — a₃ 2 ßt 2 ß.j

- ** —-*}*------«t-----

ÇCj

n,

-X

lt\

'S-'

r>;

-ML.

Fig. 423.

und erhält die Halbmesser

ei

2 sin ßx cos ax

2 sin ß₂ cos a, ’

«3

2 sin ß₃ cos a₃

7Ï2'

\r

Ist die Feldweite X konstant, so achte man bei der Berechnung der Kreislinien-Ordinaten darauf, dass die Werthe y² eine Differenzreihe zweiter Ordnung bilden und sich auf die Form

ym² = a -f- b m -J- cm²

bringen lassen. Für die in Fig. 424 angenommenen Koordinaten ist beispielsweise a = k²: b = 2 c X, c — — X².

7c<

rnX

2/m.

->

XIII. Abschnitt.

Allgemeine Theorie des statisch bestimmten ebenen Fachwerks.

§ öl.

Analytische Untersuchung.

204. Kennzeichen statisch bestimmter Fachwerke. Wir

stellen uns jetzt die Aufgabe, das ebene Fachwerk ganz allgemein, jedoch unter Festhaltung an der bereits auf Seite 208 hervorgehobenen Voraussetzung zu untersuchen, dass es zulässig sei, die durch die Elasticität der Fachwerkstäbe und der das Fachwerk stützenden fremden Körper bedingten Formveränderungen als verschwindend klein aufzufassen, und bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen die Richtungen der Stäbe und die Richtungen der Widerstände, welche in den längs Führungen laufenden Stützpunkten angreifen, als unveränderlich anzusehen.

Wird dann das Fachwerk auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem (x, y) bezogen, und werden mit Qxm und Qym die parallel zu den Koordinatenachsen gebildeten Seitenkräfte der im Knotenpunkte m angreifenden äusseren Kraft Qm (welche gegebene Last oder unbekannter Stützenwiderstand sein kann) bezeichnet, ferner mit Slf S₂, ... Sp die Spannkräfte in den von m ausgehenden Stäben und mit cn₁, oc₂, . . . <xp die Neigungswinkel dieser Stäbe gegen die x-Achse, so lauten die Bedingungen für das Gleichgewicht der auf den Knoten m wirkenden Kräfte :

(1)

l Qxm -f~

I    1

I    P

I Qym + 2S sin a

cos a = 0

= 0.

Zwei solcher Gleichungen ersten Grades lassen sich für jeden Knotenpunkt aufstellen, und ebenso gross muss auch die Anzahl der unbekannten Stützen widerstände und Stabkräfte sein, wenn das Fachwerk ein statisch bestimmtes sein soll.

Der Widerstand eines beweglichen Auflagers ist nur der Grösse nach unbekannt; seine Richtung fällt in die Normale der Bahn, längs

welcher der Stützpunkt geführt wird. Hingegen kennt man von dem Widerstande eines festen Auflagers weder Grösse noch Richtung. Bezeichnet man also:

mit n die Anzahl der geführten Stützpunkte,

„ festgehaltenen Stützpunkte,

„ Stäbe des Fachwerks,

)>    ^ n

so erhält man zur Berechnung der noihwendigen und hinreichenden Stabzahl eines statisch bestimmten Fachwerks die Gleichung r -j- n -J- 2n' = 2k.

Hie Gleichgewichtsbedingungen bilden ein lineares System von i — 2 k Gleichungen :

„ Knotenpunkte,

¹

Müller-Breslau. Der Kaisersteg über die Oberspree bei Oberschöneweide. Zeitschrift für Bauwesen, 1900, Heft I.

²

Bei ungerader Felderzahl ist Ql = 0.

³

In der auf Seite³!2 8 angeführten Abhandlung in der Zeitschrift für Bauwesen ist versehentlich y₇ = 2,67m (statt y₈ — 2,67’") angegeben worden.

(2)

(3)

a\ 1 X1 +«12% + a\3 XS H“

a21 X1 ~h a2 2 X2    a2 3 XS +

-{-auxt = c1 j ü?2 i xi ^2

anx₁ -f ai2x₂ + «<3^3 +.....+ aa x* — °i

deren Koefficienten alx . . . . au endliche Werthe besitzen, die nur von den Richtungen der Stäbe und der Führungen der beweglichen Auflager abhängen, während die Koefficienten cx . . . c₍ den am Fachwerk angreifenden Lasten proportional sind und sämmtlich gleich Null werden, sobald das Fachwerk unbelastet ist. Die Auflösung des Systems (3) liefert für xm den Werth

Dm

xm

(4)

wo

(5)

a\1 al2 a13 • • • • ali a21 a22 a23 • • • ’ ß2«

2 ®»3 • • • • ttii

ist und Dm eine Determinante bezeichnet, welche sich von der Determinante D nur dadurch unterscheidet, dass an die Stelle der Spalte

av,n

tritt.

Ci

die Spalte

aim

Die Formel (4) gieht für ein von Null verschiedenes D die einzigen Werthe der Unbekannten xx, x₂, ... xm an, durch welche das System der Gleichungen (3) befriedigt wird.

Hieraus folgt: Ist r -J- n -)- 2n" = 2k und    so ist das

Fachwerk erstens statisch bestimmt, weil sich die Spannkräfte und

Stützenwiderstände für jeden Belastungszustand eindeutig berechnen lassen, und zweitens ist es unbeweglich, weil die Gleichungen (1) und (B) ausdrücken, dass an jedem Knotenpunkte Gleichgewicht besteht. Ist hingegen D — 0, so sind die Unbekannten xx . . . entweder nicht alle eindeutig bestimmt oder nicht alle endlich, oder es gelingt ihre Berechnung nur für gewisse Belastungsweisen, oder es ist ein Gleichgewichtszustand nur dann möglich, wenn die Kräfte bestimmten Bedingungen genügen. Welcher dieser Fälle auch vorliegen möge, das eine steht fest: im Falle D — 0 ist das Fachwerk kein statisch bestimmtes.

Es ist nun besonders hervorzuheben, dass sich durch geschickte Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen die zeitraubende Arbeit der Ausrechnung der Determinante D von 2 k Gleichungen stets umgehen lässt. In den meisten Fällen der Praxis ist es sogar möglich, diese Bedingungen so zu bilden, dass jede Gleichung nur eine einzige Unbekannte enthält. Alle in den früheren Abschnitten behandelten Fachwerke lassen sich auf diesem Wege berechnen; man braucht nur Momentengleichungen aufzustellen und die Drehpunkte passend zu wählen. In anderen Fällen ist es wieder möglich, zwei Gleichungen mit je zwei Unbekannten zu bilden und nach Auflösung derselben jede der übrigen Unbekannten mittels einer Gleichung zu berechnen, die nur noch eine Unbekannte enthält; die Entscheidung der Frage nach der statischen Bestimmtheit erfordert dann nur die Ausrechnung einer Determinante zweiten Grades u. s. w. Unsere Aufgabe wird also darin bestehen, den Grad der Determinante, welche über die statische Bestimmtheit Aufschluss giebt, möglichst zu erniedrigen. Bevor wir dieselbe lösen, wollen wir diejenigen Bildungsgesetze statisch bestimmter Fachwerke zusammenstellen, welche zu Stabgebilden führen, die mit Hilfe der in den früheren Abschnitten entwickelten Verfahren berechnet werden können. Schwierigere Fälle werden wir dann auf einfachere zurückführen.

Bei dieser allgemeinen Untersuchung wird es zuweilen zweckmässig sein, die nach festen Richtungen wirkenden Seitenkräfte der Stützenwiderstände als die Spannkräfte von Stäben aufzufassen, welche die Stützpunkte mit ausserhalb des Fachwerks gelegenen festen Punkten verbinden und Auflagerstäbe genannt werden. Zu einem festen Auflager gehören zwei, zu einem beweglichen Auflager ein Auflagerstab. Da man nun jene festen Punkte als Knotenpunkte eines die Gesammt-heit aller Widerlager vorstellenden statisch bestimmten Fach werks — z. B. eines Dreiecknetzes — ansehen darf, so erkennt man, dass man schliesslich jedes irgendwie gestützte Fachwerk auf eine einzige starre Scheibe zurückführen kann, an welcher ein System im Gleichgewicht befindlicher äusserer Kräfte angreift. Bedeutet k die Anzahl

der Knotenpunkte dieser Scheibe, so stehen 2k Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Da nun die äusseren Kräfte nicht beliebig angenommen werden dürfen, sondern drei Gleichgewichtsbedingungen, welche in jenen 2k Gleichungen mit enthalten sind, genügen müssen, so beträgt die noth wendige und hinreichende Anzahl der Stäbe einer Scheibe

(6)

r = 2k — 3.

Diese Beziehung kann auch aus der Gleichung (2) hergeleitet werden, denn zur Stützung einer starren Scheibe sind erforderlich und hinreichend: entweder ein festes und ein bewegliches Auflager (n" = 1, n = 1) oder drei bewegliche Auflager (n — 3). Wenn wir also in der Folge bei allgemeineren Untersuchungen nur von unbekannten Stabkräften reden (wie in Ko. 206) oder nur von einem Fachwerk von 2k — 3 Stäben (wie in Ko. 207), so liegt darin keineswegs eine Einschränkung.

205. Die einfachsten Bildungsgesetze der statisch bestimmten Faehwerke. 1) Schliesst man an zwei Knotenpunkte A und B eines statisch bestimmten Fachwerks einen neuen, nicht in die Gerade AB fallenden Knotenpunkt C durch zwei Stäbe AC und BC an, so ist das neue Fachwerk ebenfalls statisch bestimmt. Die Spannkräfte der hinzugefügten Stäbe sind nur von der in C angreifenden äusseren Kraft Pc abhängig und können mit Hilfe eines Kräftedreiecks bestimmt werden. Auf diese Weise kann man beliebig viele Knotenpunkte mit zwei festgehaltenen Stützpunkten in Verbindung bringen, oder man kann, von einem Dreieck ausgehend, eine gegliederte Scheibe bilden, deren Knotenpunkte sich gegeneinander nicht bewegen können. Die Festhaltung der Scheibe in der Konstruktionsebene erfolgt schliesslich mit Hilfe von drei Auflagerstäben, deren Achsen sich aber nicht in einem und demselben Punkte schneiden dürfen (vergl. S. 112).

Fällt der Knotenpunkt C in die Gerade AB, so haben die um A und B mit den Halbmessern AC und BC beschriebenen Kreise ein Bogenelement gemein, innerhalb dessen sich der Punkt C frei bewegen kann. Punkt C wird also nicht festgelegt, sondern behält eine unendlich kleine Beweglichkeit. Gleichgewicht ist nur dann möglich, wenn auch Pc in die Gerade BC fällt; der Gleichgewichtszustand ist aber unbestimmt, weil sich für die Stäbe AC und BC unendlich viele Spannkräfte angeben lassen, deren Differenz gleich Pc ist. Liegt aber Pc nicht in der Geraden AB, so tritt der Gleichgewichtszustand erst nach einer unendlich kleinen Verrückung des Punktes C ein, und die Zerlegung von Pc nach den beiden nur unendlich wenig von einander abweichenden Richtungen A C und B C liefert unendlich grosse Spannkräfte.

In Wirklichkeit ändern sich allerdings die Längen aller von Pc "beanspruchten Fachwerkstäbe schon bei der geringsten Belastung des Knotens C. Dreht sich dann A C gegen B C, so liefert die Zerlegung von Pc nach den beiden Stabrichtungen endliche Spannkräfte. Aber auch dann, wenn A, £ und C in einer Geraden liegen bleiben und Pc in diese Gerade fällt, entstehen in AC und BC ganz bestimmte endliche Spannkräfte, welche sich aus der Bedingung folgern lassen, dass die Summe der Aenderungen der Längen dieser beiden Stäbe gleich der Strecke ist, um die sich der Abstand AB in Folge der Verschiebungen der Knotenpunkte A und B ändert. Diese einfache Betrachtung lehrt ganz deutlich, dass beim Auftreten unendlich kleiner Beweglichkeit und dem damit stets Hand in Hand gehenden Auftreten unendlich grosser Wurzeln der linearen Gleichgeivichtsbedingungen die Voraussetzung verschwindend kleiner Formveränderungen unzulässig ist. Schon in der Nähe der durch den Ausnahmefall gekennzeichneten Grenzlage wird jene Voraussetzung hinfällig.

2)    Schliesst man an zwei Knotenpunkte A und B eines statisch bestimmten Fachwerks einen neuen, nicht in die Gerade AB fallenden Knotenpunkt C durch zwei statisch bestimmte Scheiben AC und BC an, so ist das neue Fach werk ebenfalls statisch bestimmt. Die Kräfte mit denen die beiden Scheiben in C aufeinander wirken, und die Kräfte, welche sie bei A und B auf das ursprüngliche Fachwerk ausüben, findet man mit Hilfe der in No. 108, Seite 176 angegebenen Verfahren, denn es liegt gewissermassen ein Dreigelenkbogen vor, dessen Widerlager das ursprüngliche Fachwerk ist. Diese zweite Bildungsweise schliesst die erste als Sonderfall ein, da biegungsfeste Stäbe nur besondere Fälle von Scheiben sind.

3)    Gliedert man an drei Knotenpunkte A, B, C eines statisch bestimmten Fachwerks eine statisch bestimmte Scheibe durch drei Stäbe AAX, BBX, CCX an, so ist das neue Fachwerk ebenfalls statisch bestimmt. Die Ermittlung der Spannkräfte in den drei Stäben erfolgt mit Hilfe des ßitter’schen oder des Culmann’sehen Verfahrens (§ 26). Zu vermeiden ist nur der Ausnahmefall, dass sich die drei Geraden A A j, BB₁ und CCX in einem Punkte schneiden, wreil es sonst möglich ist, das Dreieck A₁B₁C₁ unendlich wenig zu verschieben. Sind die drei Stäbe parallel und gleich lang, so ist die Beweglichkeit sogar eine endliche; Gleichgewicht ist in diesem Falle nur möglich, wenn die Mittelkraft der auf die Scheibe A₁B₁ C\ wirkenden äusseren Kräfte parallel zu den Verbindungsstäben ist. An die Stelle der drei Verbindungsstäbe dürfen auch drei statisch bestimmte Scheiben treten; die an denselben angreifenden äusseren Kräfte werden nach den im § 28 gezeigten Verfahren auf die Knotenpunkte A, Ax, B, Bx, C, Cx vertheilt.

4) Eine vierte Bildungsvveise erhält man aus der zweiten, wenn man jedes der drei Gelenke A, B, C, in denen die beiden hinzugefügten Scheiben mit dem bereits vorliegenden Fachwerk und miteinander Zusammenhängen, durch ein Stäbepaar ersetzt, dessen Schnittpunkt nach einer schon früher angestellten Untersuchung (No. 141, S. 233) dieselbe Rolle spielt wie ein Gelenk. An die Stelle der Verbindungsstäbe dürfen auch statisch bestimmte Scheiben treten. Liegen die drei Gelenkpunkte A, B, C in einer Geraden, so besitzt das Fachwerk unendlich kleine Beweglichkeit. Dieser Fall liegt z. B. bei dem in Fig. 426 dargestellten Pascafschen Sechseck vor, denn dieses Stabgebilde besteht aus drei zu Stäben zusammengeschrumpften Scheiben I, II, III, welche durch drei Stäbepaare, deren Schnittpunkte A, B, C in eine Gerade fallen, miteinander verbunden sind.

Ji

17T|

\i

Fig. 425.

Jf

(7

Tb

Fig. 426.

Es verdient noch hervorgehoben zu werden, dass die vierte Bildungsweise die drei anderen mit enthält. Lässt man z. B. zwei Gelenkvierecke zu einfachen Gelenken zusammenschrumpfen und eine der beiden hinzugefügten Scheiben zu einem Stabe, so erhält man die dritte Bildungsweise.

Wir haben die beschriebenen Bildungsgesetze die einfachsten genannt, weil sie Fachwerke liefern, deren statische Bestimmtheit ohne weiteres einleuchtet, und weil auch die Ausnahmefälle unendlich kleiner oder endlicher Beweglichkeit auf den ersten Blick zu erkennen sind.

206. Ein ganz allgemeines Verfahren zur Berechnung statisch bestimmter Faehwerke ist nun das folgende.

Man verwandle das Fachwerk durch Beseitigung von Stäben und Hinzufügung von ebensoviel neuen Stäben, welche kurz Ersatzstäbe genannt werden sollen, in ein Stabgebilde, dessen statische Bestimmtheit ausser allem Zweifel steht, und dessen Spannkräfte sich auf möglichst einfache Weise ermitteln lassen. Die Spannkräfte der beseitigten Stäbe bringe man an dem neuen Fachwerk als äussere Kräfte an; sie mögen mit Za, Zb} Zc . . . Zm bezeichnet werden. Hierauf stelle man die Spannkräfte des neuen Fachwerks als Punktionen der gegebenen Lasten P und der vorläufig unbekannten Kräfte Z dar. Sie erscheinen, da alle Gleichgewichtsbedingungen vom ersten Grade sind, in der linearen Form

&mZm,

(7)    8 =    -f- &aZa -j- &bZb -j- &CZC -f-

wobei @₀ denjenigen Werth bedeutet, welchen @ annimmt, sobald sämmtliche Kräfte Z gleich Null gesetzt werden, sobald also nur die Lasten P auf das neue Fachwerk einwirken. Weiter bedeutet den Werth von S für den Fall, dass alle Lasten P verschwinden, desgleichen die Kräfte Zb, Zc, ... . Zm, während die beiden Kräfte Za die Grösse 1 annehmen, eine Belastungsweise, welche wir kurz den Zustand Za = 1 nennen wollen; und ganz ebenso lassen sich die Ziffern @₆, <Be, . . . als die Spannkräfte für die Zustände Zb= 1, Ze= 1, . . . Zm = 1 auffassen. Die Ziffern @a, <Bb, <3C, . . . <Sm sind unabhängig von den Lasten P, während die Spannkräfte für jeden neuen Belastungsfall von neuem ermittelt werden müssen.

Setzt man schliesslich die Spannkräfte in den Ersatzstäben gleich Null, so erhält man ebensoviele Gleichungen ersten Grades, als Kräfte Z vorhanden sind, ist also im Stande, die letzteren zu berechnen. Die erforderliche aber auch ausreichende Bedingung für die eindeutige Bestimmung der Unbekannten Z ist eine von Null verschiedene Nennerdeterminante jener Gleichungen.

Werden also die Spannkräfte in den Ersatzstäben mit Y', Y", Y " . . . bezeichnet, so ergeben sich die Bedingungen.

(8)

Y'=Y₀'+Ya'Za-i- Yb Zb -j- YerZe + .... + Ym'Zm = 0 Y"= Y₀"+ Ya"Za + Yb"Zb-f YcZc+ .... + Ym"Zm = 0

Ym = Y: + Y:za + YbZb 4- Y:zc 4- .... 4- YZZm = 0.

Das Fachwerk ist statisch bestimmt, sobald

y: y' y; ... Ym'

(9)

Ya"Yb"Yc" . . . Ym"

y: rr y: ... yz

ist. Diese Determinante ist von erheblich niedrigerem Grade als die Determinante der Gleichungen (1); ihre Berechnung geht stets schnell von statten. Häufig genügt schon die Beachtung der folgenden Sätze:

1)    Sind sämmtliche Elemente einer Zeile oder einer Spalte einer Determinante gleich Null, so ist die Determinante gleich Null.

2)    Sind die Elemente zweier Zeilen oder zweier Spalten einer Determinante entsprechend gleich oder proportional, so ist die Determinante gleich Null. Z. B. :

ax bx cx

«1 hi (,i

a₃ b₃ c₃

In den nachstehenden Anwendungen werden wir zur Erzielung einer kurzen Ausdrucksweise die Ersatzstäbe E-Stäbe nennen und die weggenommenen Stäbe: Z-Stäbe.

Manchem Leser dürfte die folgende kurze Anweisung zur Berechnung der Determinanten erwünscht sein. Eine Determinante vom rten Grade lässt sich in r-Unterdeterminanten vom (?• — l)ten Grade zerlegen. Die Unterdeterminante zum Element ok findet man, indem man die Spalte a und die kte Zeile der ursprünglichen Determinante streicht; sie erhält das Vorzeichen -j- oder —, je nachdem der Zeiger 1c ungerade oder gerade ist. Hiernach ergiebt sich das folgende Schema:

i Oibi

| a-2 h.

0,

a 1 . — «1 <U

(7₂ >    ^2

o₃, a₃ c₃

0,

ax bx \b1 a2 ^2 ^^2 a3 ^3 ^3

= 0.

i asbs's j

! hei b₃c₃

+ as I

biCi

b-2 C<2

a i bx fi fh

j (t'2 b₃ Co d%

O^b^C^d^ !

| (#4 Z>4 C4 (?4 |

Besonders wichtig ist der folgende Satz.

Addirt man die mit einer beliebigen Grösse multiplicierten Elemente einer Zeile oder Spalte zu den entsprechenden Elementen einer anderen Zeile oder Spalte, so ändert sich der Werth der Determinante nicht Z. B. ist ~b\ C|

0> b‘2 f‘2

0₃ &3 C3

Wählt man nun X = — — und X' = —

&i cl dx

Mi (h

b-2 C<2 (1-2

1 ⁼⁼ di b₃c₃d₃ öf₂ b₃c₃d₃ -)- o-g ' b~2C-2d₃ 04 b₃c₃d₃ j

fucidi

Z>₄ rA d₄

b₃ c₃d₃

aii bi -j- Xc^, Ci -f- X eil

ötj, bo —j— Xu,, Co X

«31 b₃ “f" ^ «31 c3 H⁻ ^ a3

so erhält man

«1

Ol

rtj bi 6*i

(1*2 &2 f2 *8 b₃ C₃

O-l 1 b-2 —

bi

fi

«1

"l

! b.₂ —

6,

fi

= Ol

bi

fi

i b*~

Damit ist gezeigt, wie man den Grad einer Determinante erniedrigen kann.

«1

031 f 3    o₃

«1

Beispiel. Figur 427 stellt ein symmetrisches Fachwerk vor, welches man ein sechsfaches Netzwerk zu nennen pflegt, weil jede von Gurtung zu Gurtung reichende Strebe durch die Schaar der anders gerichteten Streben in sechs Abschnitte zerlegt wird. Die Stützweite wird durch die Knotenpunkte der einen Gurtung in zwei halbe Felder und n ganze Felder eingetheilt.

£    j4<

t« - A - -»1

Fig. 427.

Sowohl die senkrechte als auch die wagereche Mittellinie sind Symmetrieachsen. Die Abzählung der Stäbe und Knotenpunkte lehrt, dass das Fachwerk einen Stab zu wenig besitzt, wobei es ganz gleichgültig ist, ob die Streben an den Kreuzungsstellen miteinander verbunden sind oder nicht. 'Wir wollen den

Fig. 428.

4,

Fig. 429.

ersteren Fall voraussetzen, weil er der üblichen Ausführungsweise entspricht, und weil engmaschige Fachwerke ganz besonders für zerlegbare Brücken in Betracht kommen. Bei diesen aber sind kurze Stablängen am Platz, damit Transport und Zusammenbau leicht von statten gehen. Den fehlenden Stab fügen wir in der Weise hinzu, dass wir ein in der Mitte liegendes Viereck versteifen, wobei die in den Figuren 428 bis 430 dargestellten Anordnungen in Betracht

-ti

4-'

kommen können. Die ganze Abzählung ist übiigens überflüssig, denn ein Blick auf die Figur 431 lehrt, dass sich nach Einfügung von drei F-Stäben und Wegnahme von drei F-Stäben ein statisch bestimmtes Fachwerk ergiebt, welches sich nach dem ersten Bildungsgesetze an eine aus aneinandergereihten Dreiecken

•m

Fig. 430.

bestehende Scheibe angliedern lässt. Wäre die Aussteifung des einen Vierecks durch den Stab Zc unterblieben, so würden den drei F-Stäben nur zwei F-Stäbe gegenüberstehen.

Fig. 431.

Nachdem nunmehr für die erforderliche Stabzahl gesorgt worden ist, muss zur Untersuchung der Determinante

(10)

l Ya Yb Y é D = Ya" Yb" Y " Ya" Yb" Yc"

geschritten werden. Wir beginnen mit der Ermittlung der Spannkräfte für den in Fig. 432 a dargestellten Zustand F„= 1. Die gedrückten Streben und gedrückten Gurtstäbe sind unterstrichen, die spannungslosen Streben fortgelassen und die spannungslosen Gurtstäbe gestrichelt worden. Die Spannkräfte in den Streben sind

^    ~ 2 sin 9 ¹

den Neigmigs winkel der Streben gegen die Wage rechte bedeutet. In den

wo cp

Gurtungen entstehen die Spannkräfte

v = + 1 • cotg 9.

In unserer Figur ist n = 12 angenommen worden; es greifen dann an der aus Dreiecken bestehenden Scheibe nur die Spannkräfte von 4 Streben an. Bückt die Scheibe um eine Feldweite nach rechts {n = 11), so gesellt sich zu den

man

4 Streben noch ein Gurtstab, dessen Spannkraft mit derjenigen der angrenzenden Strebe zu einer Mittelkraft von der Grösse u. und der Neigung 9 vereinigt

werden kann. Es leuchtet ein, dass es stets genügt:, die Spannkräfte in den Streben zu verfolgen, weil sich die an der Scheibe angreifenden Gurtkräfte ohne weiteres aus der Bedingung ergeben, dass sich die Scheibe im Gleichgewicht befinden muss. Auf diese Weise gelangt man sehr schnell zu den sechs in Fig. 432 b dargestellten möglichen Belastungsweisen der Endscheibe; sie entsprechen nicht nur den Zahlen

12

11

10    9

sondern auch den Zahlen

18

17

u.

4    3

16    15

s. w.

14

13

n -12

11

10

.0

\“!

K.

;vkA>\

Fig. 432 a.

TV-12

71-1

Yr

71-10

71-8

7U7

ft

'S

fT

7“

(“

i“

V/“

'S

l“

Fig. 432 b.

und liefern für die Spannkräfte Yâ Y à’ Y à" der Ersatzstäbe die in die Figuren eingetragenen Werthe. Da nun für

* = 2, 5, 8, 11, 14, 17,.......

alle drei Werthe Ya gleich Null sind, was zur Folge hat, dass auch die Determinante D gleich Null wird, so erweist sich dos Fachwerk als unbrauchbar, sobald die Zahl n — 2 den Theiler 3 besitzt.

Der Belastungszustand Zb = 1 ist das Spiegelbild des Zustandes Za— 1. Für die weitere Untersuchung sind die drei in den Figuren 428, 429 und 430 dargestellten Fälle zu unterscheiden. Wir nehmen zunächst an, es sei n ungerade. Fig. 428.

Fig. 433 stellt den Spannungszustand Zc = 1 dar. Die Spannkräfte in den Streben sind wieder

in den Gurtstäben:

2 sin 9 ’ v = + 1 • cotg cp.

Die sechs verschiedenen Angriffsweisen, denen die Endscheibe ausgesetzt ist, zeigen die Figuren 434; sie entsprechen sowohl den Fällen n + 1

als auch den Fällen

d. i. n = 17    15    13 H 9    7

n + 1

15    14    13    12    11    10

d. i. « = 29    27    25    23 21    19

u. s. w.

Fig. 433.

2LtL₌₍j

£ A

-r

-⁶/p

=5

/'

,+

V/

Q»

V'

>>

V'

,//

\/"

\k>

s>

/Ve

N/'

Fig. 434.

und liefern für die Spannkräfte Yé Y" Yé" der Ersatzstäbe die in die Figuren434 eingetragenen Werthe. Für die unterstrichenen n sind alle drei Werthe Yc gleich Null, und es wird deshalb auch die Determinante D gleich Null. Scheidet man diese Fälle und die als unbrauchbar erkannten Fälle n = 5, 11, 17, 23, .... aus, so erhält man für alle noch übrig bleibenden die Determinanten ! 0+1 0 !

D = i + 1 + 1 — 1 , für n = 3, 15, 27,

1 + 1    0 -l|

[0—10

X> = i — 1 — 1 + 1 für n— 7, 19, 31,

| — i o +1 !

| 0+1 + 1

D = j + 1 + 1 + 1 für n— 9, 21, 33,

| + 10 0 | 0—1 — 1

D = — 1 — 1 — 1 für n = 13, 25, 37,

; — 1 0 0

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

29

dieselben sind gleich Null, weil die Elemente zweier Spalten entsprechend gleich oder proportional sind. Das untersuchte Fachwerk ist deshalb für jedes ungerade n unbrauchbar.

Ist n eine gerade Zahl, so sind die beiden in den Figuren 429 und 430 dargestellten Fälle zu unterscheiden. Für den ersten zeigt Fig. 435 den Spannungszustand Zc— 1 ; die Figuren 436 geben Aufschluss über die 6 Angriffsweisen, denen die Endscheibe für verschiedene n ausgesetzt ist, und über die bei diesen Angriffsweisen in den Ersatzstäben hervorgerufenen Spannkräfte. Sie entsprechen der Keihe nach den Werthen

w=18, 16, 14, 12, 10, 8

n = 6, 4, 2

n = 30, 28, 26, 24, 22, 20 u. s. w.

beziehungsweise

oder

⁷    -t-

-i

Fig. 435.

05

/X

\/x

M/x

Fig. 436.

Nach Ausscheidung der bereits bei der Untersuchung des Zustandes Za = 1 als unbrauchbar erkannten Fälle

« = 2, 8, 14, 20,.....

findet man für die Determinanten D die Werth e + 1 0    0 j

D = -f 1 + 1 — 1 ■ = + 1 für n = 4, 16. 28, 0+10 — 1 0    0

D — —1 — 1 + 1 =-l für «= 6, 18, 30, ... . 0—10^

+ 1 0 0

D = -j- 1 + 1 —1 = — 1 für n = 10; 22, 34, . . . .

0+10

! — i

— 1 : — + 1 für n

12, 24, 36, ... .

D= i-1 -

I o —i o ;

und erkennt, dass das Fachwerk in Fig. 429 statisch bestimmt ist, sobald n — 2 nicht durch 3 theilbar ist. Für die brauchbaren n ist die Determinante 1) ■ gleich +1 oder gleich — 1 je nachdem eine gerade oder eine ungerade Zahl ist.

Zu einem ähnlichen Ergebniss führt die Untersuchung des in Fig. 430 dargestellten Falles der Aussteifung eines an einer Gurtung liegenden Vierecks. Die Belastung Z₀— 1, Fig. 437, erzeugt in den durch eine eingeklammerte 2 ge

kennzeichneten Streben doppelt so grosse Spannkräfte    w‘e i¹¹ den übrigen.

o?

Fig. 437.

SP

i- !

tL

55

Ql

'P

'P

f-s

Fig. 438.

Die Spannkräfte in den Gurtungen sind wieder gleich + 1 • cotg 9. In den Figuren 438 sind die 6 verschiedenen Belastungsfälle für die Endscheibe angegeben. Man findet

10—1

0 ! — — 1 für n == 4, 16, 28,

—    1 0 + 1 j

—    1—1    0 I = + 1 für n == ' 6, 18, 30.....

29*

0 —1 0 I

= — 1 für n — 12, 24, 36, ... .

— 1 0 0 — 1—1 0 0 —1 — 1

Das Fachwerk in Fig. 430 ist also statisch bestimmt, sobald n — 2 nicht durch 3 theilbar ist. Für die brauchbaren n ist die Determinante D gleich — 1

oder gleich -}-1, je nachdem +- eine gerade oder eine ungerade Zahl ist.

Weitere Uebungsbeispiele liefern die Figuren 439 bis 442.

In den Figuren 439 und 440 bilden die Streben einen einzigen zusammen-

der von einem Eckknoten ausgeht und in

vH vH

M- M- ©

+ 1 für n

10, 22, 34, . . .

hängenden Stabzug 0 12 3 4 einem anderen Eckknoten endigt. Derartige mehrfache Strebenfachwerke sind stets statisch bestimmt. In jedem der beiden vorgeführten Beispiele sind zwei F-Stäbe und zwei F-Stäbe einzuführen. Die mit (a) und (b) bezeichneten Figuren zeigen die Belastungszustände der Endscheibe für Za — 1 und Zb — 1. Für das Fachwerk in Fig. 439 ist der Zustand Zb = 1 das Spiegelbild des Zustandes Z„= 1. Man findet

'(a)

10

für Fig. 439

n Fl’g- 44°

t/

17

1:7

38

!    ⁰ +¹ =-i

l + i o i + i+i | 0 +1

— + 1-

18

10

SO

%■

co

1S

19 ZS 19

11

Fig. 439.

(a)

ßLir

17

IO

7    30

15

18

18

f/

.9

18

19

+1

16 11

31    3

19

Fig. 440.

Das Fachwerk in Fig. 441 ist statisch unbestimmt, weil die Anzahl der F-Stäbe um 1 grösser ist, als die Anzahl der F-Stäbe. Dieser Fall liegt immer

vor, wenn ein Strebenzug vorkommt, der mit den Gurtungen und Endständern zusammen ein Dreiecknetz bildet (wie IIIIIIIV) ] daneben treten dann stets geschlossene Strebenzüge auf, z. B. 0, 1, 2, 3, . . . 8. Bei der Berechnung von D ist ein F-Stab (gleichgültig, welcher) fortzulassen. Man findet stets D = 0. Um dies für Fig. 441 nachzuweisen, genügt es, den Zustand Za= 1 zu untersuchen ; man findet Y à = 0, Ya" = 0. Das Fachwerk ist also beweglich, trotzdem es einen überzähligen Stab besitzt.

Sec

Fig. 441.

Das in Fig. 442 dargestellte Fachwerk ist ebenfalls statisch unbestimmt, weil zwei F-Stäben drei F-Stäbe gegenüberstehen. Es ist unbeweglich. Lässt man nämlich den Stab Ze fort, so findet man

0 — 1

— 1 0

Lässt man Zb fort, so ergiebt sich

wl ⁰ -¹

i-i -i

Das Fachwerk besitzt zwei Strebenzüge. Der eine beginnt im Knotenpunkte At und endigt in Eu der andere führt von A.₂ bis E₂.

Beispiele für die graphische Behandlung mehrtheiliger Strebenfachwerke finden sich in No. 210 und § 53. In § 53 wird auch die Ermittlung der Einflusslinien erläutert werden.

-i

Fig. 442.

207. Das Verfahren von Henneberg. Aus einem statisch bestimmten Fachwerke von k Knotenpunkten und 2 k — 3 Stäben, bei welchem zwei Knotenpunkte A und B durch einen Stab verbunden

sind, kann man im allgemeinen ein solches von k -j- 1 Knotenpunkten in der Weise herleiten, dass man einen neuen Knotenpunkt D mit den Punkten A und B und einem dritten Knotenpunkte C durch Stäbe verbindet und den Stab AB wegnimmt. Das neue Fach werk besitzt dann 2 k — 3    2 = 2 {k -\- 1) — 3 Stäbe, und diese Anzahl ist noth-

wendig und hinreichend. Ist man nun im Stande, die Spannkräfte in dem Fachwerk von k Knotenpunkten zu ermitteln, so kann man auch die Spannkräfte in dem neuen Fachwerke von k -{- 1 Knotenpunkten finden. Man hat nur nöthig, dem Stabe CD die Rolle eines F-Stabes und dem Stabe AB die Rolle eines F-Stabes zuzuweisen und die Spannkraft Y als lineare Funktion der in D angreifenden äusseren Kraft PD und der Spannkraft Z darzustellen. Indem man dann die Spannkraft Y gleich Null setzt, erhält man zur Berechnung von Z die Gleichung

(11)    0=Yo+Y'Z.

Hat man aber Z gefunden, so kann man die Spannkräfte in den Stäben DA und DB ermitteln und kennt nunmehr alle am Fachwerk von k Knotenpunkten angreifenden Kräfte. Ist Y' — 0, so ist das Fachwerk unbrauchbar; es kann von unendlich kleiner oder endlicher Beweglichkeit sein.

Ein Beispiel für den Fall unendlich kleiner Beweglichkeit ist das bereits in No. 205 behandelte Pascal’sche Sechseck (Fig. 443); hier tritt das Gleichgewicht erst nach einer unendlich kleinen Bewegung ein und erfordert bei vollkommen starren Stäben unendlich grosse Spannkräfte. Ein Beispiel für endliche Beweglichkeit zeigt Fig. 444; hier liegen zwei durch gleichlange parallele Stäbe verbundene Dreiecke vor. Gleichgewicht ist bei diesem Fachwerk überhaupt nur dann möglich, wenn auch Yo — 0 ist; dann aber ist der Gleichgewichtszustand kein bestimmter. Der Nachweis, dass in beiden Fällen Y' — 0 ist, ist leicht zu führen.

,B

^4

Fig. 443.

Fig. 444

Da nun ein statisch bestimmtes Fachwerk von k Knotenpunkten und 2k—3 Stäben mindestens einen Knotenpunkt besitzt, in welchem höchstens drei Stäbe Zusammenkommen (denn liefen in allen Knoten-

punkten mindestens vier Stäbe zusammen, so müssten wenigstens

4 k

~-=2k Stäbe vorhanden sein), so setzt uns das Henneberg’sche Bil-

Ci

dungsgesetz in Verbindung mit dem auf Seite 441 unter (1) beschriebenen einfachsten Bildungsgesetze in den Stand, jedes Fachwerk von k Knotenpunkten aus dem einfachsten statisch bestimmten Fachwerke, dem Dreieck, durch schrittweise Angliederung neuer Knotenpunkte herzuleiten. Indem man diesen Aufbau verfolgt, findet man stets einen rechnerischen oder zeichnerischen Weg zur Ermittlung der Spannkräfte; derselbe kann allerdings, wenn mehrere Knotenpunkte durch drei Stäbe angeschlossen werden müssen, recht langwierig und deshalb für die Praxis unbrauchbar werden; denn die Schwäche des ganzen Verfahrens liegt darin, dass immer erst die Berechnung des Fachwerks von k—1 Knotenpunkten erledigt werden muss, bevor die Gleichung 11 aufgestellt werden kann. Den Unterschied zwischen der Methode von Henneberg und dem in No. 206 mitgetheilten ganz allgemeinen Verfahren der Stabvertauschung wird man sofort deutlich erkennen, wenn man versucht, die vorhin gelösten Aufgaben nach der Vorschrift von Henneberg zu behandeln.¹)

§ 52.

Kinematische Theorie des Fachwerks.

Zu weiteren Eigenschaften statisch bestimmter Fachwerke werden uns einige einfache Sätze der Bewegungslehre führen, die wir zunächst ableiten wollen.

208. Der Satz vom augenblicklichen Drehpunkte. Eine irgendwie begrenzte ebene Scheibe A BC bewege sich in ihrer Ebene aus einer Lage AXBXCX in die Lage A₂B₂C₂, Fig. 445. Werden in den Mittelpunkten der Verbindungsgeraden AXA₂ und BXB₂ gleichliegender Punkte Lothe errichtet und wfird deren Schnittpunkt bestimmt, so sind die Dreiecke Ax Bx und A₂ ^ B₂ gleichartig kongruent, und es kann deshalb die Scheibe aus der Lage Ax Bx Cx durch eine Drehung um den Punkt in die Lage A₂B₂C₂ gebracht werden. Ist die Zeitdauer der Bewegung unendlich klein, so dürfen bei endlichen Geschwindigkeiten die Geraden Ax A₂ und Bx B₂ als die augenblicklichen Bewegungsrichtungen der Punkte Ax und Bx betrachtet werden, und hieraus folgt, dass sich die Bewegung der Scheibe in jedem Augenblicke

auf eine Drehbewegung um einen festen Punkt $ zurückführen lässt. Man nennt diesen Punkt den augenblicklichen Drehpunkt oder auch den augenblicklichen Pol; seine Lage ist bestimmt, sobald die augenblicklichen Bewegungsrichtungen von irgend zwei Punkten der Scheibe gegeben sind. Man errichtet in jenen Punkten auf deren Bewegungsrichtungen Lothe und findet den Pol als den Durchschnittspunkt dieser Lothe. Fig. 446.

fr

\B*

.1

o₂

m ihß

.\

'e

Üp

74

Fig. 446.

Fig. 445-1

Werden z. B. zwei Scheiben / und II durch zwei Stäbe AG und BD miteinander verbunden, Fig. 447, und wird II festgehalten, so

(ur)

HL

Fig 447.

kann sich der Punkt A nur auf einem Kreisbogen bewegen, der mit der Stablänge AC um C beschrieben wird. Die Geschwindigkeit vA des Punktes A ist also rechtwinklig zu A C. Ganz ebenso findet man, dass die Geschwindigkeit vB des Punktes B rechtwinklig zu. BD ist. Im Schnittpunkte G der beiden Stabachsen liegt mithin der augenblickliche Drehpunkt der Scheibe I. In diesem Punkte sind die Scheiben gewissermassen durch ein Gelenk miteinander befestigt, und man darf deshalb, so lange es sich nur um unendlich kleine Bewegungen handelt, den Punkt G als den gemeinschaftlichen Punkt der beiden Scheiben ansehen. Wir werden G auch den Pol von I gegen II oder, was dasselbe ist, von II gegen I nennen und mit (III) bezeichnen.

209. Darstellung der Geschwindigkeiten. Bedeutet « die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung um so ist die Geschwindigkeit irgend eines Punktes A der Scheibe ^ =

Das gegenseitige Verhältniss der Geschwindigkeiten verschiedener Punkte A, B, C (Fig. 448) ist durch die Gleichung bestimmt

(1)

vA : vB • vc = $ A : B : C.

Denkt man sämmtliche Geschwindigkeiten in gleichem Sinne um einen rechten Winkel gedreht, so dass also

AA' = va; BB' = vs; CC' — vc ist, so folgt unmittelbar aus der Gleichung (1), dass

A'B' || AB ist, B'C' || BC und C'A' || CA.

Die Strecken AA', BB', CC' nennt man die lothrechten Geschwindigkeiten der Punkte A, B, C und erhält den Satz:

Die Endpunkte Â B' C' . . . . der lothrechten Geschwindigkeiten der Punkte ABC ... . bilden eine Figur} welche ähnlich und ähnlich liegend zu der sich beivegenden Figur ABC ... . ist. Der Pol ^ ist der Aehnlichkeitspunkt beider Figuren.

ï'

le'

<J

ta

'-O

'I*

Fig. 449.

Fig. 448.

Die Fi-

Die Figuren ABC . . . und ABC ... werden wir kurz mit $ und %' bezeichnen und %' den Geschwindigkeitsplan von $ nennen. Zuweilen wird es sich auch als nützlich erweisen, die lothrechten Geschwindigkeiten zu einem Strahlenbüschel zu vereinigen, guren 449 (a) und (b) veranschaulichen diese Darstellungsweise; die von irgend einem Nullpunkte 0 aus aufgetragenen Strecken OA , OB , OC geben nach Grösse und Richtung die um 90° gedrehten Geschwindig-

keiten vA, vB, vc der Punkte A, B, C an. Die Figuren %' und $ sind wieder ähnlich, sie brauchen aber nicht mehr ähnlich zu liegen.

k und denken uns irgend eine Figur $'

k' miteinander

210. Geometrisches Kennzeichen eines beweglichen Fachwerks. Wir betrachten jetzt eine ebene Stabverbindung $ mit den Knotenpunkten 1, 2, 3, gezeichnet, bestehend aus geraden Linien, durch welche die den Fachwerkknoten entsprechenden Punkte l', 2', S' verbunden werden, so zwar dass jedem Stabe ik eine zu ik parallele Gerade i k' entspricht. Werden dann die Strecken ii' und kk' als die augenblicklichen lothrechten Geschwindigkeiten der Knotenpunkte i und k aufgefasst, so ist der Schnittpunkt Sß,-* der Geraden ii' und kk' der augenblickliche Pol des Stabes ik. Gelingt es nun, zu der Fachwerkfigur $ eine Figur $' zu zeichnen, welche der Figur $ nicht ähnlich ist (wie bei dem unversteiften Viereck 1 2 3 4 in Fig. 450),

//

\ / \/

ïÂ-i-

,6

13

16*'

15'

^3‘t

Fig. 451.

Fig. 450.

so ergeben sich verschiedene augenblickliche Drehpunkte, und hieraus folgt die Möglichkeit, die gegenseitige Lage der Stäbe durch unendlich kleine Drehungen der Stäbe um jene verschiedenen Pole zu ändern. Es folgt hieraus der Satz:

Ist es möglich, zu der Fachwerkfigur % eine Figur zu zeichnen, welche der Figur $ nicht ähnlich ist, so ist das Fachwerk kein starres.

In diesem Satze besitzen wir ein in der Regel sehr leicht zu handhabendes Hilfsmittel, diejenigen Fachwerke zu erkennen, welche mindestens von unendlich kleiner Beweglichkeit sind, trotzdem sie die nothwendige Stabzahl oder sogar noch mehr Stäbe, als erforderlich sind,

besitzen. Zur Erläuterung des Verfahrens mögen folgende Beispiele dienen.

1)    Ein Blick auf Fig. 451 lehrt, dass zwei miteinander durch drei Stäbe verbundene starre Scheiben ein bewegliches Fachwerk bilden, sobald sich die drei Verbindungsstäbe in einem Punkte treffen.

2)    Um die Beweglichkeit des in Fig. 452 dargestellten Fachwerks zu beweisen, genügt es, zu dem Sechsecke 1 2 3 4 5 6, an welches sich die übrigen Knotenpunkte durch je zwei Stäbe angliedern lassen, eine unähnliche Figur l,2/3/4/ b' 3' zu zeichnen, deren Punkte l', 3', 4', 6' wir mit den entsprechenden Fachwerksknoten zusammenfallen Hessen.

1' £' x

3'

H 5' .7 6'

Fig. 452.

3) Das sechstheilige Netzwerk in Fig. 453 ist bereits in No. 206 analytisch untersucht und als beweglich erkannt worden, weil die Anzahl der ganzen Felder 8 ist, und weil 8 — 2 den Theiler 3 besitzt (Seite 448). Man erkennt, dass sich die mit kleinen Kreisen bezeich-neten Punkte, welche einem geschlossenen, keinen Theil des versteiften Vierecks A BC D enthaltenden Strebenzuge 123456781 angehören, bewegen lassen, während alle übrigen Punkte festliegen.

Jt

3'

a;

(B

aj

Jt,

'n!

8‘

mm'

3'

6‘

Tr'

Fig. 453.

In Fig. 453 ist ein System möglicher Geschwindigkeiten lF, 22r. . . der auf dem Rande liegenden Punkte 1, 2, ... . angegeben worden; ausserdem sind noch die Geschwindigkeiten von drei Zwischenpunkten

a, b, n eingetragen worden. Der Geschwindigkeitsplan lässt sich danach leicht vervollständigen.

4) Das unsymmetrische sechstheilige Netzwerk in Fig. 454 ist ebenfalls schon in No. 206 untersucht und als beweglich erkannt worden. Der nur für die rechte Trägerhälfte durch Ziffern beschriebene Geschwindigkeitsplan dürfte einer besonderen Erläuterung nicht bedürfen.

f.yo fe)

4t

io. io!_

.j

Æ.

Fig. 454.

5) Soll das Sechseck in Fig. 455 untersucht werden, so zeichnet man zu dem Viereck 1 2 3 4 die unähnliche Figur 12,3,4,₎ bestimmt b' mittels 2'b' || 2 5 und 4t'b' || 4 5, schliesslich 6' mittels 3 6' || 36 und 1,6/IJ 16. Ist dann 5^6^ jf 5 6, so ist das Sechseck beweglich. Dass

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2k

Fig. 455.

dies nur dann der Fall ist, wenn das Sechseck ein PascaZ;sches ist, wurde auf Seite 443 gezeigt, liesse sich aber auch leicht geometrisch nachweisen.

6) Figur 456 zeigt ein Fachwerk mit drei festen Auflagergelenken 1, 2, 8 und genügend viel Stäben. Man weise dem Knotenpunkte 3 des Gelenkvierecks 1 2 3 4 den in der Geraden 1 3 liegenden Punkt zu und bestimme nun schrittweise die Punkte à'b' 6' und l'. Fällt 7' in die Gerade 7 8, so ist das Fachwerk beweglich.

—----

Fig. 456.

211. Die zwangläufige kinematische Kette. An das letzte Beispiel wollen wir noch eine Betrachtung knüpfen, die uns zu weiteren Anwendungen hinüberleiten wird. Beseitigen wir den Stab 7 8 (Fig. 456), so wird das Fachwerk auf jeden Fall beweglich; es besitzt aber nur eine Bewegungsfreiheit, weil durch Wegnahme des einen Stabes nur eine Starrheitsbedingung fortgefallen ist. Alle Punkte des Fachwerks sind gezwungen, sich nach bestimmten Richtungen zu bewegen, und nur über die Grösse der Geschwindigkeit eines einzigen Punktes darf frei verfügt werden. Aendert sich diese freie Geschwindig-keitj so beschreiben die Endpunkte der lothrechten Geschwindigkeiten gerade ähnliche Punktreihen; das gegenseitige Verhältniss der Geschwindigkeiten bleibt also ungeändert. Wird die freie Geschwindigkeit gleich Null gesetzt, so werden auch die Geschwindigkeiten aller übrigen Punkte gleich Null.

Wir nennen nun ein bewegliches Gebilde, dessen Glieder derart miteinander verkettet sind, dass sie nach Feststellung eines Gliedes (des Gestells oder Widerlagers) gezwungen sind, bestimmte Bewegungen zu vollziehen, (nach Reuleaux) eine zwangläufige kinematische Kette oder auch kurz eine zwangläufige Kette und sagen: der Punkt 7 in Fig. 456 ivird mittels einer zwangläufigen Kette geführt. Zwingen wir nun diesen Punkt, sich auf einer zweiten, die erste Bahn kreuzenden Bahn zu bewegen, indem wir ihn durch einen Stab mit einem festen Punkte verbinden, oder, allgemeiner, indem wir ihn mit Hilfe einer zweiten zwangläufigen Kette führen, so halten wir ihn offenbar in der Ebene fest und rauben damit zugleich allen Gliedern der beiden Ketten die Fähigkeit, sich zu bewegen. Aus den beiden zwangläufigen Ketten wird ein starres Fachwerk.

Besitzen jedoch die beiden Bahnen eine gemeinsame Tangente, so bleibt innerhalb eines beiden Bahnen gemeinsamen Bogenelements eine unendlich kleine Beweglichkeit bestehen. Haben die beiden Bahnen ein endliches Stück gemein, so ist die Beweglichkeit sogar eine endliche. Ob unendlich kleine oder endliche Beweglichkeit vorliegt, darüber giebt die Figur natürlich keinen Aufschluss, da sie nur einen augenblicklichen Bewegungszustand beschreibt und nur die Bahntangenten liefert. Für unsere Zwecke genügt aber diese Beschreibung vollständig, weil wir das Fachwerk bereits für unbrauchbar erklären, wenn unendlich kleine Bewegungen möglich sind. Wir empfehlen sogar, noch einen

\ . J -V 7v

-jk;

sfpff'-'

"v

êMIMiïmWmêMMMMMmMmÈkwmMMMMMMWA

Fig. 457.

Schritt weiter zu gehen und dafür zu sorgen, dass sich die beiden Bahnen nicht unter zu spitzen Winkeln schneiden, damit die von der Elasticität der Stäbe und Widerlager herrührenden Verschiebungen der Knotenpunkte (deren Ermittlung zu den Aufgaben des zweiten Bandes dieses Buches gehört) nicht zu gross ausfallen.

Ein übersichtliches Beispiel zu den vorstehenden Ausführungen ist der in Fig. 457 dargestellte, über drei Oeffnungen gespannte Bogenträger, dessen Scheitelgelenk durch zwei zwangläufige Ketten geführt wird, deren Gliederung mit der Gliederung der in Fig. 456 zur Führung des Punktes 7 benutzten Kette übereinstimmt. Fallen die Geraden 7 l' und (7) {!') zusammen, so ist das Fachwerk kein starres.

Ein anderes Verfahren, eine zwangläufige Kette in ein starres Gebilde zu verwandeln, besteht darin, zwei Punkte i und k durch einen Stab oder eine starre Scheibe miteinander zu verbinden. Allerdings darf die durch die Punkte i ' und k' des Geschwindigkeitsplanes der Kette bestimmte Gerade i'k' nicht parallel zu ik sein, sonst bleibt auch nach Einfügung der starren Verbindung ik mindestens eine unendlich kleine Beweglichkeit bestehen. In Fig. 458 mögen die Strecken i (i) und k (k) nach Grösse und Richtung die wirklichen Geschwindigkeiten

der Punkte i und k darstellen; die Punkte i und k nähern sich dann einander mit der Geschwindigkeit c — vik -f- vki, wo vik und vki die Längen der von i' und k' auf ik gefällten Lothe bedeuten. Die Einfügung einer starren Verbindung bewirkt nun, dass c = 0 wird. Dies erfordert aber entweder vki ——vik, woraus dann i'k' || ik folgt, oder es bedingt: vki — 0 und vih — 0; dann werden aber die Geschwindigkeiten aller Punkte der Kette gleich Null.

(i)

Fig. 458.

Die auf die beschriebene Weise aus zwangläufigen Ketten gewonnenen Fachwerke besitzen keinen überzähligen Stab, weil die eine Bewegungsfreiheit der Kette durch eine einzige Starrheitsbedingung vernichtet wurde. Dabei muss allerdings vorausgesetzt werden, dass die aus starren Scheiben bestehenden Glieder nicht mehr Stäbe enthalten, als erforderlich sind.

Die Herleitung starrer Fachwerke aus zwangläufigen Ketten giebt meistens einen besonders klaren Einblick in das Wesen der bei gewissen ausgezeichneten Lagen ihrer Glieder auftretenden Ausnahmefälle, und schon aus diesem Grunde halten wir es für nützlich, uns etwas eingehender mit den zwangläufigen Ketten zu beschäftigen.

212. Bildungsgesetze und Geschwindigkeitspläne zwang-läufiger Ketten. 1) Das einfachste, schon in den beiden vorhin behandelten Beispielen (Fig. 456 und Fig. 457) benutzte Bildungsgesetz besteht darin, an zwei Knotenpunkte A und B einer zwangläufigen Kette, die kurz mit ® bezeichnet werden möge, einen neuen Knoten C durch zwei starre Scheiben A C und B C anzuschliessen. Aus den loth-rechten Geschwindigkeiten AA' und BB' der Punkte A und B findet man diejenige von C, indem man A' C' || AC und B'C' || BC zieht, Fig. 459. Durch die Punkte A' und C' ist die Bewegung der Scheibe AC vollständig bestimmt, ebenso durch B' und C' die Bewegung der Scheibe BC. Den zum Punkte D der Scheibe AC gehörigen Punkt D findet man z. B. durch Ziehen der Geraden A'D' \\ AD und C D' || CD.

Dieses einfachste Bildungsgesetz setzt uns in den Stand, von einem Gelenkvierecke ausgehend, leicht zu überschauende Ketten zu bilden; es birgt zwei Ausnahmefälle.

Liegt nämlich C in der Geraden AB und ist die Gerade A B’ parallel zu AB, so darf man den Punkt C' nach Belieben in der Geraden A'B' wählen. Die neue Kette ist also nicht zwangläufig, sondern besitzt zwei Bewegungsfreiheiten.

Fällt dagegen C in die Gerade AB und liegen A' und B' nicht in einer Parallelen zu AB, so führt unsere Konstruktion des Punktes C' zu einer unendlich grossen Geschwindigkeit CC'. Damit nun diese Strecke endlich werde, müssen die Geschwindigkeiten der Punkte A und B gleich Null sein; es muss also die freie Geschwindigkeit der Kette ® den Werth Null annehmen. Dann ruht die Kette und die Bewegung des Punktes C ist zwangläufig.

-AC"

J)‘r-

-J

Zt‘

Fig. 459.

Dieses Ergebniss darf uns nicht überraschen. Würden wir nämlich die Knotenpunkte A und B der Kette ® durch einen Stab verbinden, so würden wir ein starres Fachwerk erhalten ; Kräfte, die an den Gliedern desselben angreifen, sind nicht im Stande, eine Bewegung hervorzubringen. Dieser Gleichgewichtszustand bleibt aber auch dann bestehen, wenn wir den Stab AB durch ein in die Gerade AB fallendes Gelenk in zwei gegeneinander drehbare Theile zerlegen, wenn wir nur dafür sorgen, dass an den Theilen AG und CB keine äusseren Kräfte angreifen. Ruft die Belastung der übrigen Glieder der Kette ® in AB einen Zug hervor, so besteht sogar sicheres Gleichgewicht; wird Stab AB gedrückt, so ist das Gleichgewicht zwar unsicher, es bleibt aber ungestört, so lange die drei Punkte A, C und B in einer Geraden liegen; und nur dieser augenblickliche Zustand steht hier zur Beurtheilung. Dagegen kann man G in Bewegung setzen, indem man das Glied AC oder das Glied B C oder irgend eines der mit C durch weitere Angliederung zwangläufig in Verbindung gebrachten Theile der aus ® abgeleiteten neuen Kette durch eine äussere Kraft antreibt. Sämmt-liche Glieder der Kette & bleiben hierbei in Ruhe, A' fällt mit A zusammen, B' mit B\ C' wird in der Geraden AB angenommen.

Von einer Kette, .die sich den Belastungen gewisser Glieder gegenüber wie ein starres Gebilde verhält, sagt man, sie befindet sich gegenüber den an jenen Gliedern angreifenden Kräften in einer Todt-lage. Sie verliert diese Eigenschaft im allgemeinen, sobald das festgestellte Glied freigegeben und dafür ein anderes Glied zum Widerlager gemacht wird.

So befindet sich ein Gelenkviereck 1 2 3 4, dessen Knotenpunkte 1 2 3 in einer Geraden liegen, in einer Todtlage, sobald das Glied 1 4

Fig. 461.

Die Schnittpunkte M, B, C der drei Stäbepaare

1—3, 2—4 | 5—7, 6—8 | 9—11, 10—12 spielen dieselbe Eolle wie vorhin die Gelenke A, B, C. Man bestimmt also

A' mit Hilfe von l'M' || 1A und 2'A || 2 A,

„ „ b'B’\\iB , 6 F || GB, . „ A'C'WAC „ B'C'WBC,

B' „

C' *

30

festliegt und die antreibende Kraft am Gliede 3 4 angreift. Wird aber eines der beiden Glieder 1 2 oder 2 3 zum Gestell gemacht, so kann die Kette mit Hilfe eines jeden der drei übrigen Glieder bewegt werden.

Liegen alle vier Punkte in einer Geraden, so besitzt die Kette zwei Bewegungsfreiheiten. Man kann, wenn man das Glied 1 4 festhält, den Punkten 2 und 3 beliebig grosse, von einander unabhängige endliche Geschwindigkeiten ertheilen.

2) Zu einer wesentlichen Erweiterung des ersten Bildungsgesetzes gelangt man, wenn man jedes der drei Gelenke A, B und C auf die in Fig. 461 veranschaulichte Weise durch zwei Stäbe (an deren Stelle auch zwei Scheiben treten dürfen) ersetzt. Die Knotenpunkte 1, 2, 5, 6 mögen einer zwangläufigen Kette ® angehören, ihre lothrechten Geschwindigkeiten 1 l', 2 2', 5 5', 6 6' seien bekannt.

s.

Fig. 460.

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A!

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

betrachtet nun C als gemeinschaftlichen Punkt der beiden Scheiben I und II und findet dann

3' mit Hilfe von l'3' [[13 und C' 3' || (73,

»    »    S'9' || 3 9    „    C9' || C9,

„    „    8'C'||8C    „    6'8' || 6 8,

„    „    S'il'|| 8 11    „    C'll' ][ Cll.

9' »

8' „

11' „

Jetzt sind für jede Scheibe die Geschwindigkeiten zweier Punkte gegeben, und damit sind die Bewegungszustände der beiden Scheiben vollständig bestimmt. Man kann auch nach Aufsuchung der Punkte A'B' C' die Geschwindigkeiten der anderen Punkte in einer anderen Reihenfolge ermitteln, z. B. erst 4' mit Hilfe von 2'4' jj 2 4 u. C'4' |j (74 sodann l' und 12' und gewinnt so verschiedene Proben für die Schärfe der Zeichnung.

Ein anderes Verfahren, welches voraussetzt, dass sich die Punkte ABC in unbequemer Lage befinden und deshalb nicht benutzt werden können, ist das folgende.

3' 4' || 3 4 und 2*4' || 2 4 sodann die zuge-

von

Man ziehe durch l' eine Parallele zu 1 3, weise in dieser dem vorläufig unbekannten Punkte 3' probeweise verschiedene Lagen zu, z. B. die Lagen 3/ und 3₂' und bestimme die zugehörigen Lagen des Punktes 4' mit Hilfe

hörigen Lagen

von 9' mit Hilfe von « 10' „

3'9' || 3 9 und 4' 9' || 4 9 „    „ 9'10' || 9 10 „ 4'10' || 4 10.

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Fig. 462.

Da sich nun die Punkte 3' und 4' in Geraden g₃ und g± bewegen, so müssen auch die Punkte 9" und 10" gerade Linien g₉ und g₁₀ be-

schreiben.²) In derselben Weise lassen sich auch die Geraden glt und g₁₂ finden, in denen die Punkte ll' und 12' liegen müssen, und es bleibt jetzt nur noch die auf Seite 230 erledigte Aufgabe zu lösen, ein Viereck zu zeichnen, dessen Ecken in gegebenen Geraden liegen und dessen Seiten gegebene Richtungen haben.

NV?

Kg. 463.

Besonders wichtig ist der in Fig. 463 dargestellte Sonderfall einer Scheibe, die mit den Punkten 1 2 und B einer zwangläufigen Kette ® durch drei Stäbe 13,24 und BC verbunden ist. Wir haben schon durch die ganze Bezeichnung hervorgehoben, dass zwei der vorhin angenommenen Stäbepaare zu Gelenken B und C zusammengeschrumpft sind.

3) Verbindet man einen Stab 3 4 (Fig. 464) durch zwei Stäbe 1 3 und 2 4 mit Punkten 1 und 2 einer zwangläufigen Kette so erhält man ein bewegliches Gebilde, das zwei Bewegungsfreiheiten besitzt, da man den Punkten 3 und 4 Geschwindigkeiten ertheilen kann, die unabhängig von dem durch die Angabe einer Geschwindigkeit vollständig beschriebenen Bewegungszustande der Kette ® sind. Bedingung ist nur, dass 3' in der durch l' parallel zu 1 3 gezogenen Geraden g3 liegen muss und 4' in der durch 2' parallel zu 2 4 gezogenen Geraden g±. Nimmt man 3' willkürlich an, so ist 4' bestimmt durch 3' 4' || 3 4. Schliesst man nun einen neuen Knoten 5 durch zwei Stäbe an den Punkt 3 und einen der Kette ® angehörigen Punkt 6 an, sodann 7 an 4 und 5 und fährt in dieser Weise fort, so kann man die zum Geschwindigkeitspunkte 3' gehörigen Geschwindigkeitspunkte 5 7    . . . . mittels Ziehen von Parallelen festlegen. Weist man 3' die

beiden Lagen 3/ und 3₂' zu, so erhält man für jeden auf die beschriebene Weise angeschlossenen Knotenpunkt n zwei Punkte n/ und n-2, und diese bestimmen eine Gerade gn, in der sich n bewegt, sobald 3' die Gerade g₃ beschreibt.

Die Lage der Geraden g„ hängt von der Grösse der freien Geschwindigkeit der Kette ab. Da aber g₃, g₄, g₆ eine feste

Richtung besitzen, weil sie der Reihe nach parallel zu den Stabachsen 1 3, 2 4 und 6 5 sind, so behalten auch alle übrigen Geraden gn ihre Richtungen unverändert bei, wenn sich die Grösse der Geschwindigkeiten der Punkte 1, 2, 6 ändert. Ruht die Kette so fällt V mit 1 zusammen

2' mit 2, 6' mit 6 ; es geht dann g₃ durch 3, g₄ durch

4 und allgemein gn durch n.

X--.

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\Ac--s «r ^ -----

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Fig. 464.

Soll nun die neue Kette zwangläufig werden, so muss die zweite Bewegungsfreiheit verschwinden. Dies kann man dadurch erreichen, dass man irgend einen der an ® angeschlossenen Knotenpunkte n durch eine andere zwangläufige Kette führt, beispielsweise durch einen Stab nf, welcher n mit einem Punkte f des Widerlagers verbindet. Der Punkt n muss dann in der Geraden nf liegen ; er fällt also in den Schnittpunkt der Geraden gn und nf. Durch diese Angabe sind aber die Geschwindigkeiten sämmtlicher Punkte der an die Kette ® und den Punkt f angeschlossenen Glieder eindeutig bestimmt.

Wir wollen die auf diesem Wege schliesslich erhaltene Kette mit bezeichnen, und die an die Kette ® und den Punkt f angeschlossenen Glieder unter der kurzen Bezeichnung — S zusammenfassen.

Es sind zwei Ausnahmefälle zu beachten. Geht nämlich die Gerade gn durch die beiden Punkte n und f, so darf n nach Belieben in der Geraden nf angenommen werden, die Kette ist also nicht zwangläufig, sondern behält zwei Bewegungsfreiheiten. Ist zweitens fn parallel zu der nicht durch n gehenden Geraden g„, so rückt n zu-

nächst ins Unendliche. Es müssen dann die Geschwindigkeiten der Punkte 1, 2, 6 gleich Null gesetzt werden. Die Kette $ ruht nunmehr, die Gerade gn fällt mit der Achse des Stabes fn zusammen und es ist möglich, dem Punkte n und allen Gliedern der Gruppe — ® eine beliebige Geschwindigkeit nn zu ertheilen. Die Kettet ist also zwangläufig, sie befindet sich aber gegenüber allen an Gliedern der Kette ® angreifenden Kräften in einer Todtlage und kann nur durch Antreiben von Gliedern der Gruppe ®⁷ — ® bewegt werden. Die Glieder der Kette ® bleiben bei jeder auf diese Weise eingeleiteten Bewegung in Ruhe.

Wir dürfen natürlich nicht vergessen, dass wir uns auf die Beschreibung einer unendlich kleinen Bewegung beschränkt haben, und dass die Kette durch die geringsten elastischen Formänderungen aus der durch fn || gn gekennzeichneten besonderen Lage gebracht werden kann. Es giebt aber auch Fälle, in denen bei Belastung der Kette ® sicheres Gleichgewicht vorhanden ist.

Ein anderes Verfahren, die zweite Bewegungsfreiheit aufzuheben, besteht darin, zwei Knotenpunkte m und n, von denen aber wenigstens einer ein Knotenpunkt der an ® angeschlossenen Gliedergruppe sein möge, durch einen Stab zu verbinden. Gehört nun m der Kette $ an, so ist n ohne weiteres als Schnittpunkt der Geraden gn und der durch m parallel zu mn gezogenen Geraden g bestimmt, vorausgesetzt, dass g und gn nicht zusammenfallen oder nicht parallel sind. Fällt g mit gn zusammen, so darf n beliebig in gn angenommen werden; die neue Kette ist trotz Einfügung des Stabes mn nicht zwangläufig, sondern behält zwei Bewegungsfreiheiten. Ist gn || g, so befindet sich die Kette nach Einfügung des Stabes mn gegenüber den an ® angreifenden Kräften in einer Todtlage, sie ist aber zwangläufig.

ist und jedem Stabe ik des Theiles — ®

Gehören beide Punkte m und n dem Theile — ® an, so läuft die Aufgabe, die Punkte m und n in den Geraden gm und gn so zu bestimmen, dass m n \\ mn eine zu ik parallele Gerade i'k' entspricht, wieder darauf hinaus, ein Polygon S'4'5' ... m ... n zu zeichnen, dessen Ecken in gegebenen Geraden g₃, y₄, g₅, . . gm . . . gn liegen und dessen Seiten gegebene Richtungen haben. Man erhält dann (s. Seite 230) für n noch einen zweiten Ort g n. Fallen die Geraden g n und gn zusammen, so bleibt die zweite Bewegungsfreiheit bestehen. Ist g n (I gn, so besitzt die Kette $ wieder eine Todtlage und kann durch Glieder der Kette® nicht angetrieben werden, sie ist aber zwangläufig.

Eine zweite Lösung der vorliegenden Aufgabe stützt sich darauf, dass die Strecke nn nicht nur als die um 90° gedrehte endliche Geschwindigkeit des Punktes n aufgefasst werden darf, sondern auch als die in unendlich grossem Maassstabe aufgetragene, um 90“ gedrehte

verschwindend kleine Verschiebung dieses Punktes. Die Strecke Xm„, um welche sich der Abstand lmn der Punkte m und n ändert, wird durch den Abstand der durch m und n zu mn gezogenen beiden Parallelen dargestellt, Fig. 465 (vergl. auch Seite 463 Fig. 458); ihr Vorzeichen sei durch die Bestimmung gegeben, dass die lothrechten Verschiebungen mm und nn der Knotenpunkte durch Rechtsdrehung in ihre wirklichen Lagen m(m) und n(n) gebracht werden. Daraus folgt z. B. dass \mn in Fig. 465 positiv ist, weil sich m von n entfernt.

----->

3*.

Fig. 465.

Nehmen wir nun an, es sei die lothrechte Verschiebung 3 3' des Knotenpunktes 3 der vorhin untersuchten Kette (Fig. 464) die Folge der Längenänderung X2 3 eines dehnbaren Stabes, der 3 mit 2 verbindet, so können wir die Aenderung X„,„ der Strecke mn als Funktion ersten Grades der Grösse X2 3 und der die Bewegung der Kette ® bestimmenden freien Geschwindigkeit darstellen. Es geht dies ohne weiteres daraus hervor, dass die Punkte 3' m n ähnliche, gerade Punktreihen beschreiben, welche durch Angabe der Grösse der Geschwindigkeit eines Punktes der Kette bestimmt sind.

Wir erhalten einen Ausdruck von der Form

(2)

X,n n    X m n | X „i „ • A2 3 .

Hierin bedeutet \'mn die Aenderung, welche der Abstand mn für den Fall erfährt, dass X₂₃ =0 ist, dass also der Stabzug 1 3 4 2 durch Einfügung eines starren Stabes 2 3 zwangläufig an die Kette ® angeschlossen ist, und \"„in bezeichnet den Einfluss der Ursache X₂₃ = l auf Amn, das ist die Aenderung, welche der Abstand mn erleidet, wenn X'„,„=0 gesetzt und der Stab 2 3 um X₂₃ verlängert wird. Die Kette $ bleibt bei der Ermittlung von \"mn in Kühe, und der Punkt 3' wird in der Geraden 1 3 so angenommen, dass die Länge des von 3' auf die Gerade 2 3 gefällten Lothes gleich -j- X2 3 ist.

Werden nun die Punkte m und n durch einen starren Stab verbunden, so ergiebt sich die Starrheitsbedingung Xm„ = 0, und aus dieser folgt dann für die dem Stabe 2 3 zuzuschreibende Längenänderung der Werth

(3)

X'

¹ X"

A mn

Ist \"mn = 0 und zugleich auch \'mn = 0, so bleibt X die Kette behält die zweite Bewegungsfreiheit. Verschwindet aber nur während \'mn endlich ist, so muss, damit \'mn — 0 werde, die Kette in Ruhe bleiben, und es tritt dann die mit Zwangläufigkeit verbundene Todtlage ein.

Durch die vorstehende Untersuchung sind wir nun zu dem folgenden ganz allgemeinen Verfahren geführt worden.

Hat man eine Kette durch Beseitigung von Stäben (deren Längen gleich za, zb, dehnbaren Ersatzstäben (welche die Längen ya, yb, . . . yr haben) in eine zwangläufige Kette & verwandelt, für welche die Konstruktion des Verschiebungsplanes bekannt ist, so ist man im Stande, die Längenänderungen 'Çb . . . Cr der Strecken za, zb, .... zr als Funktionen ersten Grades der Längenänderungen v\a, tj₆, . . 7]r der dehnbaren Ersatzstäbe und der freien Geschwindigkeit der Kette ® darzustellen. Man findet

unbestimmt;

X"

seien) und Einfügung von ebenso viel

(4)

Ca - Cao “f* Ç««⁷}« Cab^b H“

t>b    Cbo |    1 Cbb^b 1

Car^r H⁻ Cbr^r

“l“ CrrTln

Cr - Cro “1“ CraTia “j⁻ Crb^b ~\~

WO

Cao y Cbo> .... Cro

die Aenderungen der Längen za, zb, . . zr für den Fall bedeuten, dass alle 7] gleich Null sind, dass also die Ersatzstäbe starr angenommen werden, während

Caal Cbaf • • • Cra

die Längenänderungen der Strecken za, zb, . . zr in Folge der Ursache

7]„ = 1 sind, ebenso

Cabf Cb bl ... Crb

die Aenderungen der z in Folge von = 1, u. s. w.

Setzt man schliesslich sämmtliche Werthe Cb • • • Cr gleich Null, so erhält man ein System linearer Gleichungen, deren Wurzeln

r\a, • . . *t]r diejenigen Längenänderungen angeben, welche die Ersatzstäbe erfahren müssen, wenn es möglich sein soll, die beseitigten Stäbe wieder einzusetzen, ohne die Bewegung der Kette aufzuheben. Verschwindet die Determinante jener r Gleichungen, so ist die Kette nicht zwangläufig, trotzdem sie die erforderliche Gliederzahl besitzt, oder sie ist zwar zwangläufig, lässt sich aber nicht mit Hilfe eines jeden Gliedes antreiben.

Ersetzt man z. B. den in Fig. 464 an die Knoten 1 und 2 einer zwangläufigen Kette ® angeschlossenen Stabzug 1 3 4 2 durch einen aus vier Stäben bestehenden Zug 1 3 4 5 2 und schliesst man, genau wie vorhin, weitere Knotenpunkte zweistäbig an, so erhält man zunächst eine Kette, welche drei freie Geschwindigkeiten besitzt. Die Zwang-läufigkeit kann dann im allgemeinen durch Hinzufügung von zwei Stäben za, zb erreicht werden, denen zwei vom Knotenpunkte 2 nach den Knotenpunkten 3 und 4 gehende, eingefügte dehnbare Stäbe ya, yb gegenüberstehen. Zur Berechnung von ir]« und 7]j dienen die Gleichungen

(5)

0    'Ttao | Caa^ja ~1

0 = Cbo Cba^a H“ Cbb^bf

sie liefern die Werthe

WO

(6)

**]« = —

Da

Db

^ = -7.

Caa Cab

Cba Cb

—. y y _y y

^aa^bb    T>bctT)ab

Da =

I Cao Cab

Cbo Cbb

- Cao'Cbb    CboCab

I)b =

Caa Cao

Cba Ch o

— y y _y y

*r>aaT>bo    ^baTiao'

so sind rja und rjb eindeutig bestimmt, und die Kette 3

ist zwangläufig.

Ist D = 0 und Da > 0, so ist D

0, und man erhält = ip oc, Trjj = + oo. Sollen also diese Strecken endlich werden, so müssen Zno und Çj0 gleich Null sein. Die Kette ® muss also ruhen, und die Kette befindet sich gegenüber den an $ angreifenden Kräften in einer Todtlage; sie ist aber zwangläufig, denn zwischen T\a und ifj₆ besteht die Beziehung

^]a • ^]b    Cab • ^>aa    Cbb • *?b

welche für die Verhältnisszahl *»]„ : vj₆ einen endlichen Werth liefert.

In allen anderen Fällen ist die Kette nicht zwangläufig, sondern besitzt zwei oder drei Bewegungsfreiheiten.

Das Verfahren, die Darstellung der Geschwindigkeiten einer kinematischen Kette auf die wiederholte Lösung einer einfachen geometrischen Aufgabe und die Auflösung eines Systems linearer Gleichungen zurückzuführen, entspricht dem in No. 206 zur Berechnung der Spannkräfte in den Stäben eines Fachwerks benutzten allgemeinen Verfahren der Stabvertauschung. Auch im zweiten Bande werden wir bei der Ermittlung der von den elastischen Längenänderungen der Fachwerkstäbe herrührenden Verschiebungen der Knotenpunkte in schwierigen Fällen mit einfachen geometrischen Konstruktionen und linearen Gleichungen, deren Wurzeln die Längenänderungen gewisser eingefügter Ersatzstäbe sind, arbeiten, so dass wir es hier mit einem sehr fruchtbaren allgemeinen Prinzip zu thun haben.³)

W⁷ir heben schon an dieser Stelle unseres Buches hervor, dass die Aufgabe: die Verschiebungen der Knotenpunkte in Folge der Aende-rungen sämmtlicher Stablängen zu finden, die vorhin gelöste Aufgabe als Sonderfall einschliesst, weil es sich bei dieser Untersuchung nur um den Einfluss der Längenänderungen einzelner Stäbe — der y-Stäbe — gehandelt hatte.

213. Abänderung der Auflagerbedingungen einer zwang-läufigen Kette. Es ist häufig zweckmässig, den Geschwindigkeitsplan einer zwangläufigen Kette zunächst unter der Voraussetzung zu zeichnen, dass nicht das wirkliche Widerlager (w) sondern irgend ein anderes Glied der Kette festgestellt wird. Ist dann ^ der augenblickliche Drehpunkt des Widerlagers w und nn die Geschwindigkeit irgend eines Punktes von w, so kann man die wirklichen Auflagerbedingungen nachträglich in der Weise leicht erfüllen, dass man die ganze Kette, die man nunmehr als starr ansieht, so um den Pol ^ dreht, dass sich der Punkt n mit einer Geschwindigkeit n"n bewegt, die gleich und entgegengesetzt der Geschwindigkeit nn ist. Es ergeben sich dann für alle Punkte i der Kette Geschwindigkeiten i"i, welche nach Seite 45 7 durch die Bedingung bestimmt sind, dass die Punkte i" eine Figur bilden müssen, welche ähnlich und ähnlich liegend zu der Figur % der Kette ist, so zwar dass der Pol ^ der Aehnlichkeitspunkt beider Figuren

zur

1891 und 1892 durchgeführt hat. Die Abhandlung ist auch im Verlage von Wilhelm Ernst u. Sohn in Berlin als Sonderabdruck erschienen.

ist. Die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten i"i und ii\_ liefert schliesslich die Geschwindigkeiten i"ï. Die Ermittlung des Pôles ^3 ist übrigens nicht unbedingt erforderlich; es genügt, die Figur durch Angabe zweier Punkte zu bestimmen.

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Fig. 466.

Es seien z. B. m, /, i, & (Fig. 466) Knotenpunkte einer zwangläufigen Kette, und m, V, % , k', die Punkte eines für irgend eine Stützung gezeichneten Geschwindigkeitsplanes Die in Fig. 466 die Punkte m, l, i, k verbindenden Linien sollen keine Stäbe vorstellen, es sei vielmehr über die Gliederung der Kette nichts festgesetzt. Nun sollen die Auflagerbedingungen wie folgt geändert werden: Punkt m soll ruhen, Punkt k soll in einer Geraden fk geführt werden. Die erste Aenderung verlangt, dass der Punkt m" mit dem Punkte m zusammenfällt, da ja die Strecke tn"m gleich Null sein soll; die zweite fordert für den Punkt k eine zur Geraden fk rechtwinklige Strecke k"k'. Da nun die Figuren    und    ähnlich sein

sollen, so muss m"k" [| mk sein. Damit ist aber der Punkt k” und auch die Figur vollständig bestimmt; man findet z. B. i" mit Hilfe von m"i" || mi und k"i" || ki, ist also im Stande, die Geschwindigkeiten i"i' aller Punkte der Kette für die abgeänderte Stützung anzugeben.

Vereinigt man nach Fig. 449 die Geschwindigkeiten ii' und i"i zu einem Strahlenbüschel, so sind die Figuren $ und %" ebenfalls ähnlich, sie brauchen aber nicht mehr ähnlich zu liegen.

214. Die Ermittlung der augenblicklichen Drehpole der Glieder einer zwangläufigen Kette lässt sich häufig auch ohne die Konstruktion eines Geschwindigkeitsplanes mit Hilfe eines Satzes durchführen, der sich auf die gegenseitige Bewegung dreier in derselben Ebene befindlichen Scheiben bezieht.

Bewegt sich eine ebene Scheibe I gegen eine ruhende Scheibe II, so dreht sich I augenblicklich um einen festen Pol, der mit (III) bezeichnet werden möge; in ihm sind die beiden Scheiben I und II ge-wissermaassen gelenkartig miteinander verbunden. Wird nun beiden Scheiben gleichzeitig noch eine Bewegung gegen eine dritte Scheibe III ertheilt, so dreht sich I um einen augenblicklichen Pol (IIII) und II um einen augenblicklichen Pol (IIIII). Der vorhin ruhende Pol (III) bewegt sich ; ein in ihm auf seiner augenblicklichen Bewegungsrichtung errichtetes Loth muss sowohl durch den Pol (IIII) als auch durch den Pol (IIIII) gehen, weil (III) als gemeinschaftlicher Punkt der beiden Scheiben 1 und II betrachtet werden darf. Hieraus folgt, dass die drei Pole (III), (IIII), (IIIII) in einer Geraden liegen.

¹

In seinem Buche: Statik der starren Systeme (Darmstadt 1886) beschränkt sich Henneberg darauf, sein Verfahren auf den allereinfachsten Fall, das Sechseck, anzuwenden.

²

Die zu den Punkten einer starren Scheibe gehörigen Geraden g schneiden sich in einem Punkte.

³

Besonders werthvoll ist dieses Verfahren für das räumliche Fachwerk, dessen allgemeine Untersuchung der Verfasser in seiner Abhandlung: Beitrag Theorie des räumlichen Fachwerks im Centralblatt der Bauverwaltung

(HP

(Muf)

/\

**}//

v ⁷

vi

(Iur)

ai)\ ~(iw)

3Fig. 467.

Polgt eine zwangläufige Kette einem der in Ko. 21B unter 1) und 2) beschriebenen Bildungsgesetze, so beruht die Ermittlung ihrer Pole auf der Lösung der Grundaufgabe: Seien (Fig. 467) I und II Glieder einer zwangläufigen Kette, (Iw) und (IIio) ihre Pole gegen das Widerlager w, (III) der Pol von I gegen //; seien ferner III

und IV zwei Scheiben, die tn der Weise an I und II zwangläufig angeschlossen sind, dass sich III gegen I um den Pol (IIII) dreht, IV gegen II um (IVII) und III gegen IV um (IIIIV); gesucht seien die Pole, um welche sich III und IV gegen iv drehen.¹)

Man findet mit Hilfe des oben bewiesenen Satzes der Reihe nach

(IVII) (III) „(IVIII) (IIII) (IIII) (Iw) „ (IIIII) (IIw) (IVII) (IIw) „ (IVI) (Iw) (IIIIV) (IIIw) ,, (IVI) (Iw).

(IIIII) als Schnittpunkt der Geraden (IIIIV) (IVII) und (IIII) (III) (IVI) „

(III w) „

(IV w) „

oder „

Nach diesem Schema ist z. B. die Polconfiguration der in Pig. 468 dargestellten zwangläufigen Kette gezeichnet worden. Zuerst wurden die Pole des Gelenkvierecks w I II III und hierauf der Pol der Scheibe IV gegen das Widerlager iv bestimmt.

(Fl)

rFJ

»pl

'F

Fig. 468.

Die Ermittlung der Pole ohne Zuhilfenahme eines Geschwindigkeitsplanes lässt sich auch bei den zwangläufigen Ketten leicht durchführen, die aus Gebilden mit zwei Bewegungsfreiheiten durch Hinzufügung einer Starrheitsbedingung gewonnen werden. Sie stützt sich

darauf, dass, solange die zweite Bewegungsfreiheit besteht, für jeden Pol mindestens ein geometrischer Ort angegeben werden kann. Da dieses Verfahren aber meistens weniger einfach ist als die Polbestimmung mit Hilfe eines Geschwindigkeitsplanes (dessen Konstruktion ebenfalls auf der Ermittlung der Oerter gn der Punkte n beruht) so gehen wir hier nicht weiter darauf ein. Ein Beispiel findet sich in No. 216, Fig. 487.

215. Berechnung der innern Kräfte und Stützenwiderstände eines Fachwerks mit Hilfe der Figur Auf eine starre Scheibe mögen beliebige äussere Kräfte Qx, Q₂, . . Qm wirken, welche miteinander im Gleichgewicht sind. Ihre Hebelarme in Bezug auf irgend einen Drehpunkt iß seien hx, h₂, . . . . hm (Fig. 469). Dann besteht die Gleichgewichtsbedingung

(8) ^Qh = 0,

so,

mm,

WA

1/'

ßn.

•n

D<-

+-D

3‘

Fig. 470.

in welcher sich das Zeichen iS über sämtliche Kräfte Q erstreckt. Betrachtet man iß als den augenblicklichen Pol einer unendlich kleinen Drehbewegung und stellt man die lothrechten Geschwindigkeiten der in den Richtungen der Kräfte Qx, Q₂ . . Qm beliebig angenommenen Angriffspunkte 1, 2, ... m mit Hilfe einer Figur dar, so besteht zwischen den von den Punkten l', 2', . . m auf die Kräfte Qx, Q₂ . . Qm gefällten Lothen cx, cs . . cm und den entsprechenden Hebelarmen h die Beziehung

denn es ist ja

c\ __ C2_ __ hi h₂

Cm

-— = Konstante,

t'l 22

i iß ~ w ~ ■ ' ■

Die Gleichung 8 geht also über in

(9) 2öc = 0.

miß

Konstante.

Es liege nun ein aus mehreren Scheiben zusammengesetztes Gebilde vor, an welchem sich äussere Kräfte Q das Gleichgewicht halten. Das Gebilde sei kein starres; es sei vielmehr möglich, die einzelnen, in reibungslosen Gelenken aneinander hängenden Scheiben um verschiedene Pole zu drehen. Für irgend einen augenblicklichen Bewegungszustand sei eine Figur ^ gezeichnet, und für jede Scheibe sei die Gleichgewichtsbedingung (%) aufgestellt.

Dann werden in diesen

Gleichungen neben den äusseren Kräften auch die Kräfte D Vorkommen, mit denen die Scheiben in den Gelenken aufeinander wirken, Fig. 470. Werden aber schliesslich alle jene Gleichungen addirt, so heben sich die von den Kräften D herrührenden Glieder paarweise auf, und daraus folgt, dass die Gleichung (9) nicht nur für eine einzelne Scheibe, sondern auch für ein Scheibengebilde gilt, u. a. auch für ein Fachwerk, denn Stäbe sind besondere Fälle von Scheiben. Beachtet man schliesslich noch, dass cm die Projektion der Geschwindigkeit des Angriffspunktes m der Kraft Qm auf die Richtung von Qm darstellt, so erkennt man auch, dass die Gleichung 2 Qc = 0 das bekannte Princip der virtuellen Geschwindigkeiten ausspricht.

Die Gleichgewichtsbedingung    gestattet häufig eine ausser

ordentlich schnelle und übersichtliche Berechnung der Spannkräfte und Stützenwiderstände statisch bestimmter Fachwerke.

Soll die Spannkraft Sik in einem zwei Knoten i und k verbindenden Stabe berechnet werden, so verwandle man das Fach werk durch Wegnahme jenes Stabes in eine zwangläufige kinematische Kette, lasse an dieser in i und k die Spannkräfte Sik als äussere Kräfte angreifen, zeichne einen Geschwindigkeitsplan wobei die Grösse der Geschwindigkeit irgend eines Punktes beliebig gross angenommen werden darf, und stelle für alle an der beweglichen Stabverbindung angreifenden Kräfte die Gleichgewichtsbedingung ’2iQc = 0 auf. Werden bei der gedachten unendlich kleinen Bewegung die Auflagerbedingungen erfüllt, so entspricht säinmtlichen Stützenwiderständen der Werth c — 0 und die Gleichgewichtsbedingung enthält nur die eine Unbekannte Sik.

Sind die Stützen widerstände bereits bekannt, so darf irgend ein Glied der Kette als ruhend angenommen werden.

Wird eine nach bestimmter Richtung wirkende Seitenkraft eines Stützenwiderstandes gesucht, so wird die Beweglichkeit des Fachwerks durch Beseitigung der jenem Widerstande gleichwerthigen Auflagerbedingung erreicht.

Beispiel. An dem in Fig. 471a dargestellten Fach werk von 6 Knotenpunkten mögen sich die äusseren Kräfte Px, P₂, ... P₆ das Gleichgewicht halten. Gesucht ist die Spannkraft S im Stabe 16.

Der Stab 16 wird weggenommen; in den Knotenpunkten 1 und 6 werden die gesuchten Spannkräfte S als äussere Kräfte angebracht. Sodann wird ein Geschwindigkeitsplan gezeichnet, am einfachsten in der Weise, dass die Punkte 1 und 2 festgelegt werden und dem Punkte 3 die beliebig grosse lothrechte Geschwindigkeit 3 3' ertheilt wird. Bedeutet c das Loth vom Punkte 6' auf S, so nimmt die Gleichung HùQc — O die Form an

Sc = 0;

^3 cs    C4 Pfj c5 -^6 ce

sie liefert für S einen endlichen Werth, solange c endlich ist. Wird c = 0, so ergiebt sich der unbrauchbare Werth S = oc. Das Fachwerk ist dann mindestens von unendlich kleiner Beweglichkeit.

Eine zweite Anordnung zeigt die Figur 471b; in derselben sind die lothrechten Geschwindigkeiten von einem Nullpunkte 0 aus aufgetragen worden.*) Die Punkte Ï und 2' fallen mit 0 zusammen. Die zu 2 3 parallele Strecke 2' 3' wurde beliebig gross gewählt. Sodann wurde

5'

6'

1’

*<

(à)

60—

k—if

Z$t''

-P*

r3

4îtl

s-y

Ji

'^(c)

Fig. 471.

an-

Die Gleichung 2Qc = 0, ausgedehnt über alle Kräfte P und über die Spannkräfte S drückt jetzt die Bedingung aus, dass die Summe der Momente der in den entsprechenden Punkten der Figur $ (b) greifenden Kräfte P und S in Bezug auf den Drehpunkt 0 gleich Null sein muss.

*) Vergl. auch Fig. 449 a u. b auf Seite 457.

Bildet man also die Mittelkraft R der Kräfte P₃, P₄, P₅ und P₆, so muss das Moment von S in Bezug auf den Drehpunkt 0 dem Momente von R entgegengesetzt gleich sein. Bei bequemer Lage des Schnittpunktes der Kraft R und der in angreifenden Kraft S, verbinde man diesen Schnittpunkt mit dem Nullpunkte 0 durch eine Gerade L und zerlege R, nach den Richtungen von L und S. Das Kräftedreieck in Fig. 471c liefert die gesuchte Spannkraft S, weil L durch den Drehpunkt 0 geht, mithin keinen Einfluss auf das Moment der Kraft R hat.

Schneiden sich R und S ausserhalb des Zeichenblattes, so ersetze man R durch zwei Seitenkräfte R' und R", von denen R ' durch den Punkt 0 geht. R" ist ohne Einfluss auf S; R' wird so angenommen, dass es S in einem bequem gelegenen Punkte schneidet und genau wie vorhin nach den Richtungen S und L zerlegt.

Wäre die Geschwindigkeit des Angriffspunktes 1 der zweiten Kraft S nicht gleich Null, so müsste man das in der Fig. 471b auftretende aus zwei Kräften S bestehende Kräftepaar erst so verschieben, dass die eine der beiden Kräfte S durch den Nullpunkt 0 geht.

Nacli Ermittlung von S kann man die Spannkräfte in den übrigen Stäben des Fachwerks der Reihe nach mit Hilfe der Kraftpolygone für die Knotenpunkte 5, 4, 3, 2 bestimmen.

Noch eine kurze Bemerkung knüpfen wir an die Figur 471b. Da nämlich die vom Nullpunkte 0 ausgehenden Strecken 03', 04', ... . die um 90 ⁰ gedrehten Geschwindigkeiten oder Verschiebungen der Knotenpunkte 3, 4, . . . . darstellen, so erhält man die wirklichen Ge-schwindigkeits- oder Verschiebungsrichtungen, wenn man die Figur 471b um 90° dreht; es entspricht dann jedem Stabe ik eine Gerade i'k', die rechtwinklich zu ik ist. Eine wichtige Anwendung dieser Darstellungsweise enthält No. 217.

216. Einflusslinien. Das kinematische Verfahren liefert bei Annahme eines die Auflagerbedingungen befriedigenden Bewegungszu-

Standes für die gesuchte Unbekannte S stets eine Gleichung S =

2Pc

welche den Einfluss jeder einzelnen Last angiebt und deshalb ohne weiteres Schlüsse auf die ungünstigste Belastungsweise gestattet; es wird sich daher auch ganz besonders zur Ermittlung der Einflusslinien eignen. Hier handelt es sich um den Sonderfall paralleler Lasten. Wählt man c — 1, so ist die Ordinate der Einflusslinien gleich der Projektion c der Geschwindigkeit des Angriffspunktes der Kraft P auf die Richtung von P, oder, etwas kürzer ausgedrückt, gleich der Geschwindigkeit des Angriffspunktes von P in der Richtung von P.

Dreht sich nun irgend eine der starren Scheiben, aus denen die zu untersuchende zwangläufige Kette besteht, mit der Winkelgeschwindigkeit « um ihren augenblicklichen Pol (Fig. 472), so bewegt sich der Angriffspunkt einer im Abstande x von jenem Pole an der Scheibe angreifenden Kraft P in der Richtung von P mit der Geschwindigkeit c= xü; und aus dieser linearen Beziehung folgt der wichtige Satz: Zu jeder starren Scheibe gehört eine gerade Einflusslinie, deren Nullpunkt dem augenblicklichen Pole der Scheibe entspricht.

Besteht also die zwangläufige Kette, in welche das Fachwerk durch Beseitigung ,illli eines Stabes übergeht, aus den Scheiben .... I, II, III, .... so setzt sich die Einflusslinie für S aus ebensoviel geraden Linien    Il', lit . . .

ar

ml.

SS:

ss

\c

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. zusammen,

deren Nullpunkte ... Nx, N₂, Nz, ... . den Polen . . . (I), (II), (III) . . . entsprechen, um welche sich die Scheiben gegen das Widerlager drehen. *) Sind die Scheiben so an-

Fig. 472.

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Fig. 473.

einander gereiht, dass jede Scheibe mit der vorhergehenden und der nachfolgenden durch ein Gelenk verbunden ist, Fig. 473, so fassen wir

*) Es sind also . . (I) (II) (IIIj ... die abkürzenden Bezeichnungen für die früher gebrauchten . . (Iw), (//«>), (IIIw) .... wo das "Widerlager bedeutet. Der Satz: es liegen die drei Pole (Iw) (IIw) (III) in einer Geraden, nimmt dann die ebenso übersichtliche Form an: es liegen (7) (III) (II) in einer Geraden.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

sie unter dem Namen Scheibenzug zusammen. Den Gelenken .... (III), (IIIII) .... als den gemeinschaftlichen Punkten zweier Scheiben entsprechen die Schnittpunkte . ... (ï IÏ), (IÏ IIÏ) . . . der Geraden ï, IÏ, III',

Aber auch dann, wenn zwei Scheiben nicht un-

mittelbar aneinanderhängen, z. B. I und III, darf ihr gegenseitiger Pol (IIII) als gemeinschaftlicher Punkt beider Scheiben angesehen werden; ihm wird daher ebenfalls der Schnittpunkt der zu jenen Scheiben gehörigen Geraden I' und III' entsprechen. Es ist deshalb keineswegs erforderlich, behufs Auftragung der Einflusslinie . . l', II', III' .... sämmtliche Pole . . (I) (II) (III) .... zu bestimmen; es können vielmehr auch andere Pole, nämlich die gegenseitigen Drehpunkte einzelner Scheiben, die sich oft viel leichter finden lassen, benutzt werden. Sind genügend viele Pole ermittelt worden, so erfordert die Aufzeichnung der Einflusslinie nur die Angabe einer einzigen Ordinate c oder, allgemeiner, die Angabe der Strecke, welche irgend zwei dem Linienzuge .... l' IÏ I1Ï . . . angehörige Gerade auf irgend einer, zur Eichtung der Kraft P parallelen Geraden abschneiden. Diese letztere Bestimmungsweise wird uns häufig durch den Satz ermöglicht werden:

Drehen sich zwei Scheiben I und II (die nicht unmittelbar aneinander zu hängen brauchen) mit den Winkelgeschwindigkeiten ox und «₂ um ihre Pole (I) und (II), so ist die relative Winkelgeschwindigkeit von I gegen II

~~~ ^1    ^2 5

und es schneiden deshalb die Geraden Ï und 11 auf einer im beliebigen Abstande a vorn Punkte (ï II') parallel zu P gezogenen Geraden die Strecke am₁₂ ab.

au₂₃

aWj₃ = a(Oj2 —f⁻ ci(à23.

Aus diesem Satze folgt zunächst, dass man die Einflusslinie . . . ï II' III' .... auch als ein mit der Polweite a gezeichnetes Seilpolygon auffassen darf, welches die in den Punkten ... (ï II), (II' III) .... angreifenden, zu den Lasten P parallelen Gewichte . . . ao₁₂, verbindet. Durch den Punkt (ï III ) geht das Gewicht

Bedeuten die Strecken c nicht endliche Geschwindigkeiten, sondern unendlich kleine Verschiebungen, die in unendlich grossem Maassstabe aufgetragen worden sind, so sind . . . Oj, o₂, w₃ . . . . die unendlich kleinen Winkel, um welche sich die Scheiben ... 7, II, III, . . . drehen, und w₁₂ ist der Drehungswinkel der Scheibe I gegen die Scheibe II.

2> *

In Fig. 474 haben wir die Scheiben durch gerade Linien dargestellt und die unteren Winkel des Polygons . ... IIIIII .... mit . . bezeichnet. Wählen wir dann die Eichtung der Schwerkraft zur positiven 7>-Eichtung, so dürfen wir die Einflusslinie

. . . ï IÏ III' .... als Kettenlinie der Gewichte . . . A^Tlt AÎT₂ . . . . betrachten. Einem positiven A’ÿj entspricht eine Rechtsdrehung der Scheibe I gegen die Scheibe II und in Folge dessen ein nach unten zeigender Knick der Kettenlinie. Die Polweite ist gleich 1. Zwischen den Aenderungen der unteren und oberen Polygonwinkel ^ und a besteht die Beziehung A^ =— Aa.

li

4—-l

*C

A fr,

Afrj

Fig. 474.

Treibt man nun die zwangläufige Kette, in welche das Fachwerk durch Beseitigung eines Stabes von der Länge s übergeht, dadurch an, dass man s um die verschwindend kleine Strecke As vergrössert, so leisten die beiden an der Kette angreifenden Kräfte S (Fig. 475) die virtuelle Arbeit —&As, und es nimmt die Gleichung 2Çc = 0 bei Erfüllung der Auflagerbedingungen die Form

— £As + 2Pc = 0

an, sie liefert, wenn As = 1 (gleich der in unendlich grossem Maassstabe aufzutragenden unendlich kleinen Einheit der verschwindend kleinen Verschiebungen) angenommen wird, für S den Werth

S=2Pc.

Verbindet der Stab, dessen Spannkraft S gesucht wird, zwei Scheiben I und II, Fig. 475, und bezeichnet r das Loth vom Pole (III) auf die Stabachse und A^T den Winkel, um den sich I gegen II um den Pol (III) dreht, so ist offenbar

As = r A‘3',

folglich

As

AV =

und es schneiden daher die Geraden 1 und IÏ auf einer im Abstande a

31*

1/

Ir

J‘

lll

-- a ---------

vom Pole (I II) parallel zu P gezogenen Geraden (V) die Strecken ® = oA^ = 1

Nimmt v die durch die Pole (I) und (II) bestimmten besonderen Lagen (vj) und (v₂) an, so erhält man die Strecken

und v₂ = 1 —, r

von denen bereits eine zur Festlegung der Linien Ï und IÏ genügt. Verbindet man die Punkte, in denen die Achse des Stabes S die Ge-

a b.

vi = ¹

(vj

_____-9OÔ

tr,

ii\

h\

-------->l

---1--------■>}

k-- p'---->

"y

Fig. 475.

raden (v), (rx), (v₂) schneidet, mit dem Pole (III) durch die Geraden g, gl, g₂ und zerlegt man die zur Kraft P parallele Strecke 1 nach der Richtung S und, der Reihe nach, nach den Richtungen der Geraden g, glf g₂, so sind die zu S parallelen Seitenwerthe der Reihe nach gleich den Strecken v, vx, v₂. Im Abstande r vom Pole (III) ist die senkrechte Entfernung der Geraden l' und iT gleich 1. Wählt man diese Strecke als Maass für die Lasteinheit, so giebt die Strecke c die von der Last P = 1 herrührende Spannkraft S an.

Stellt nun Fig. 476 einen Theil einer durch die Beseitigung eines Gurtstabes U gewonnenen zwangläufigen Kette dar, so findet man zu der beliebig gezogenen Geraden T nach Auftragung der Strecke 1 sofort die zugehörige Gerade II' und mit Hilfe der den Polen (I) und (II) entsprechenden Nullpunkte JVX und Ar₂ die Nullachse AB und kennt somit die zu den Scheiben I und II gehörigen Theile der Einflusslinie für U. Zu beachten ist, dass einer Dehnung des Gurtstabes U ein positives A^T, mithin ein nach unten zeigender Knick der Kettenlinie ï 1Ï entspricht.

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Fig. 476.

Fig. 477.

Handelt es sich um einen Stab 0 der oberen Gurtung, Fig. 477, so ist a der in Folge einer Dehnung des Stabes zunehmende Winkel; es zeigt dann der Knick der Kettenlinie ï IÏ nach oben.

Vergleicht man diese Ergebnisse mit den auf Seite 241 für den einfachen Fachwerkbalken gewonnenen, so erkennt man, dass die zwischen den Polen (I) und (11) liegenden Theile der {/-Linie und O-Linie übereinstimmen mit der {7-Li nie und O-Linie eines einfachen Balkens, dessen Stützweite gleich der wagerechten Projektion der Strecke Nt W₂ ist.

Eine andere wichtige Anwendung der in der Fig. 47 5 angestellten allgemeinen Gesetze zeigt Fig. 47 8. Dieselbe veranschaulicht einen Theil einer kinematischen Kette, die aus einem Fachwerke durch Beseitigung einer Diagonale D entstanden ist. Die Lasten sind an der unteren Gurtung angreifend gedacht. Zu den Gliedern I, II, III gehören die drei Geraden ï II’ IIÏ. I' und IIÏ treffen sich in der Senkrechten durch den Schnittpunkt (IIII) der die Scheiben I und III verbindenden Gurtstäbe. Ï und 1Ï bilden, da a in Folge einer Dehnung der Diagonale D zunimmt, einen nach oben zeigenden Knick, sie schneiden

auf der Senkrechten durch den Knotenpunkt (IIIII) die Strecke v=l —

r

ab, wo X die Feldweite bedeutet. Da die zu dieser Senkrechten gehörige Gerade g mit dem Gurtstabe U zusammenfällt, kann v durch Zerlegung der senkrechten Strecke 1 nach den Richtungen der Stäbe U

und D gewonnen werden, und man erkennt, dass die D-Linie zwischen den Nullpunkten Nt und JV₃ mit der D-Linie für einen einfachen Balken von der Stützweite Nx JV₃ übereinstimmt. (Vergl. Seite 240, Fig. 226). Aber noch andere wichtige Eigenschaften der D-Linie lassen sich aus den vorstehenden Betrachtungen folgern.

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Fig. 478.

Da nämlich die drei Pole (!) (III) und (II) in einer Geraden liegen müssen und ebenso die drei Pole (III) (IIIII) (II), so ergiebt sich (II) als der Schnittpunkt der von den Polen (I) und (111) durch die Endpunkte des Stabes II gelegten Geraden, und damit ist der Nullpunkt iV₂ bestimmt. Verbindet man den Schnittpunkt N' der Geraden N₂ (II) und der Diagonalen mit dem Gelenk (III) durch die Gerade gn, und zerlegt die Strecke 1 nach den Richtungen von D und gn, so giebt der zu D parallele Seitenwerth den Abstand v„ der Geraden Ï und II' an der Stelle JV₂ und damit eine Ordinate der Geraden T an.

Für die Aenderung des Winkels a in Folge einer Dehnung der

Diagonale um die Strecke 1 fanden wir den einfachen Ausdruck Aa= —

und folgerten hieraus, dass die Geraden l' und II' in der Entfernung r Punkte (ï IÏ) den senkrechten Abstand 1 besitzen, Fig. 479.

vom

Es ist nun die Frage, ob sich nicht auch für die Aenderung des Winkels cc, den II mit III bildet, ein ebenso einfacher Ausdruck nach-weisen lässt. Wir bezeichnen das Viereck, dem die Diagonale angehört mit 1 2 3 4, denken die Seite 1 2 festgehalten und schreiben dem

Punkte 3 eine lothrechte Verschiebung 2' 3' || 2 3 zu, deren Projektion auf die Normale zu D gleich 1 ist. Sodann ermitteln wir die lothrechte

3'

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cU_

JT

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k-— r¹----

Teig. 479.

és W

k/x

>N

Fig. 480.

l'4' j| 1 4 und 3' 4' || 3 4 und erhalten

Verschiebung 14' mit Hilfe den Winkel Ak , um den sich III gegen II dreht: Aa = —

von

1'4'

Bestimmen wir nun auf dem Stabe 3 4 einen Punkt 3" so, dass 1 3" [| 2 3 j| 2' 3' ist und bezeichnen das Loth von S' auf I) mit r, so

ergiebt sich 1,4/: 1 4 = 1 :    und wir erhalten daher Aa =

In der Entfernung r vom Punkte II' III' ist also der senkrechte Abstand der Geraden IÏ und III' gleich 1. Durch die Strecken r, r und 1 und die beiden Nullpunkte Nx und iV₃ ist die Einflusslinie T iT III' vollständig bestimmt.

Fig. 480 stellt den Sonderfall eines senkrecht stehenden Füllungsstabes V dar. Hier ist r = a. Tm Nullpunkte N₂ besitzt I' die Or-e

dinate v„ = 1 — •

À

Die Möglichkeit, die Ordinate v„ durch Zerlegung der Lasteinheit nach den Richtungen von D und gn zu gewinnen, führt zu einer sehr übersichtlichen Ermittlung der in den Füllungsstäben emes einfachen Balkens durch eine gleicli-mässige Verkehrslast hervorgerufenen Spannkräfte. Fig. 481 zeigt die Einfluss-

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Fig. 481.

fläche der Spannkraft D in einer linkssteigenden Diagonale für den Fall untenliegender Fahrbahn. Die Belastungsscheide E ist nach dem auf Seite 237 beschriebenen Verfahren bestimmt worden. minDp entsteht in Folge Belastung

X

der Strecke £. Die negative Einflussfläche ist ein Dreieck von der Höhe v„ -y und dem Inhalte

VnX

und es ergiebt sich deshalb

J)X

min Dp - J) F-

DPl wenn man (an Stelle der Last 1) die Last

Eichtungen von gn und D zerlegt. Wir haben ~~ als Ordinate einer Geraden

ÄB\ die bei B die Ordinate besitzt, dargestellt und den Seitenwerth von

-g— nach der Lichtung von D mit Dx (absolut genommen) bezeichnet; wir erhalten also

Man erhält also

Dt in

nach den

minDp -—-    Dx-

Erzeugt nun eine gleichmässige, über die ganze Trägerlänge sich erstreckende Belastung von der Grösse 1 für die Längeneinheit, die Spannkraft D₀₁ so ist der Einfluss der an der unteren Gurtung angreifend gedachten ständigen Belastung (g f. d. Längeneinheit)

und es ergiebt sich mithin

Dg — g D₀,

minD — g Do Dx-

Die Belastung der Strecke erzeugt

ixDp — p Do Dx -

Dp -[- mi,, Dp den der gänzlichen Belastung mit p entsprechenden Werth

weil

p Do liefern muss, und es folgt also, wenn g + p — q gesetzt wird,

D — q Do -j- Dx-

Die Spannkräfte D₀ findet man am schnellsten mit Hilfe eines Cremona'schen Kräfteplanes.

Man könnte auch, wie leicht einzusehen ist

Dp — “f" Dx'

darstellen, wobei Dx' der zu D parallele Seitenwerth einer nach den Richtungen von D und g n zerlegten Last ist und g'n wie folgt erhalten wird. Man bestimme in der Geraden 3 4 den Punkt 3' mit Hilfe von 2 3' || 1 3, ziehe 3'3" || D bis zur Senkrechten durch 2 und verbinde 3" mit N' durch g'n. Die erste Bestimmungsweise ist jedoch vorzuziehen.

Handelt es sich um den senkrechten Stab V des in Eig. 482 abgebildeten Eachwerks, dessen Belastung wieder an der unteren Gurtung angreifen möge,

so ist vn — -y 1 nnd

max

1 max

Dp in der Form

VnT ⁼

*°\

Es ist also

- Vx>

wo

min Fp - p F

Vx’ gedeutet werden kann als der auf den Knotenpunkt 1 entfallende Theil

einer im Punkte V₂ des Zwischenträgers 1 2 angreifenden Last . Ermittlung von Vx> auf dem in Fig. 482 angegebenen Wege findet man

min F-Q Po Fr'

V=qVo+ Va'.

Vo entsteht bei derselben Belastung wie D₀.*)

Nach

max

m.

mk

W//,

Va

Jf fa.

JP

Ja

ä,

? U------je'------>)

-- J'

p -,

TK-

Fig. 482.

Wir lassen nun eine Reihe von Beispielen folgen, die nach den vorstehenden ausführlichen Erörterungen nur noch einer kurzen Erläuterung bedürfen werden.

1.    Beispiel. Bogenträger mit einem festen Auflagergelenk B und einem auf schräger Bahn geführten Auflagergelenk A, Fig. 483. Gesucht ist die Einflusslinie für U. Der Pol (/) liegt in der Normalen zur Auflagerbahn und in der Geraden (II) (III). Durch die Nullpunkte N₁ und N₂ und die Strecke vx ist die ?7-Linie bestimmt.

2.    Beispielf Bogenträger mit festem Auflager B und schrägem Gleitlager A, Fig. 484. Die Einflusslinie für D wurde mit Hilfe der

*) Für den Sonderfall eines Fachwerks mit Vertikalen ist die Ermittlung Dp = -j- Dx’ und minVp = — Vx'i bereits von Prof.

der Werthe mi„Dp — — Dx Herzog (Zürich) gezeigt worden. Vergl. Schweiz. Bauzeitung, Bd. XV, No. 8.

Pole (7) und (77) und der Strecke vn bestimmt. (7) ist der Schnittpunkt der Normalen zur Bahn des Auflagers A und der Geraden (777) (7 777).

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>' Æm

' Æ/7r

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Fig. 483.

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il

-jf'

Ht)

Fig. 484.

3. (Beispiel, Dreigelenkbogen. Gesucht ist die Einflusslinie für D, Fig. 485. Es wurde der Pol (7/i) als Schnittpunkt der Geraden

(I) (IIII) und (IIIIV) (IV) ermittelt, hierauf' der Pol (II) und die Strecke v„ bestimmt. Wir empfehlen dem Leser noch zur Uebung den Pol (IIV) als Schnittpunkt der Geraden (I) (IV) und (IIII) (IIIIV) und den Pol (IIIV) als Schnittpunkt der Geraden (II) (IV) und (IIIII) (IIIIV) einzutragen. Senkrecht unter diesen beiden Polen müssen die Schnittpunkte (I' IV') und (II' IV') liegen.

(im)

¹

Es ist nicht nothwendig, dass die Scheiben I, III, IV, II in Gelenken (IIII), (IIIIV), (IVII) aneinanderhängen, wie dies in Fig. 467 vorausgesetzt ist.

T)

-r

-"T

ui-'

Fig. 435.

4.    Beispiel, Gesucht ist die D-Linie für den in Fig. 486 dargestellten durchgehenden Balken. Die Belastung greift an der oberen Gurtung an. Der Pol (II) der Scheibe II wurde in der bereits auf Seite 476 (Fig. 468) beschriebenen Weise ermittelt, wobei zu beachten war, dass der Pol von II gegen den Stab IV im Unendlichen liegt. Sodann wurde die Ordinate Kz Ä der Geraden 1Ï gleich der Spannkraft D' gemacht, welche in der Diagonale D durch eine Auflagerkraft A — 1 erzeugt wird, und schliesslich wurde die Gerade IIÏ mit Hilfe der Strecke v festgelegt. Der unbequem gelegene Punkt (IIIII) wurde nicht benutzt. In Fig. 486b ist noch die Einflusslinie für den Stützenwiderstand A gezeichnet worden.

5,    Beispiel. Der in Fig. 487 dargestellte Träger besitzt bei B ein festes, bei A ein auf schräger Bahn geführtes Auflagergelenk und wird ausserdem durch zwei Pendelsäulen, die wagerechten Gleit-

lagern als gleichwerthig zu erachten sind, gestützt. Gesucht ist die Einflusslinie für 0. Der Pol (II) wurde in derselben Weise ermittelt wie im Beispiel 4. Wäre die Lage von (IV) bekannt, so könnte man auf die Lage von (III) in derselben Weise schliessen wie von (I) auf (II). Geben wir nun (IV) in der Normalen zur Bahn des Auflagers A die Lagen (IV)X und (IV) liegenden Pol (III)₁ und den mit (IV)₂ zusammenfallenden (III)₂. Diese beiden Punkte bestimmten die Gerade, welche (III) durchläuft, während IV die Bahnnormale beschreibt. Da nun aber (III) auch in

so finden wir den zu (II) symmetrisch

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Fig. 486.

der Geraden (II) (IIIII) liegen muss, so ist sowohl die Lage von (III) als auch die von (IV) eindeutig bestimmt, und man kennt jetzt die Nullpunkte Nx N₂ H₃ Ar₄ der O-Linie. Die Gerade IÏ besitzt an der

Stelle No die Ordinate 1 -^L> d    h

zusammen

Wird die Einflusslinie für die Spannkraft D gesucht, so ist das starre Fachwerk durch Beseitigung der Diagonale in eine kinematische Kette zu verwandeln. Der Pol von III gegen II fällt dann mit dem unendlich fernen Schnittpunkte der wagerechten Gurtstäbe 0 und U und es muss daher (III) in der Wagerechten durch (II)

liegen. Es fällt also (III) mit (III)X und (IV) mit (IVf)₄ zusammen. Der zwischen jV₃ und N₂ gelegene Theil der D-Linie stimmt mit der D-Linie eines einfachen Balkens von der Stützweite N₃ N₂ überein.

wo 9 den

Die Gerade II' besitzt an der Stelle N.» die Ordinate ——,

d    sin 9

Neigungswinkel der Diagonale gegen die Wagerechte bedeutet.

D-Linie

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Fig. 487.

Wird das Auflager A in einer Wagerechten geführt, so rückt der Punkt (IV)₂ (II1)₂ Unendliche, und die Gerade (III) x (III)₂ wird senkrecht. Die Höhenlage des Punktes IV ist, solange nur senkrechte Lasten in Frage kommen, gleichgültig, denn die Nullpunkte N₃ für alle Spannkräfte O, U und D der Mittelölfnung liegen in der durch den Punkt (III)₁ bestimmten Senkrechten. Es ist in diesem Falle einerlei, ob das feste Auflager in B oder in A liegt.

6. Beispiel. Fig. 488 zeigt einen aus drei Scheiben und vier Stäben bestehenden Träger, der bei D ein festes, und bei A, B, C be-

wegliche Auflagergelenke besitzt. Gesucht ist die Einflusslinie für den Stützenwiderstand C. Die Lasten mögen an der oberen Gurtung angreifen. Wir denken uns die Führung des Punktes C beseitigt und bestimmen die Pole der Scheiben I, II und III.

q;

(J)

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t lira

(J)

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Cbc

Fig. 483.

Da Punkt J. in einer Geraden, die wir kurz mit la bezeichnen wollen, und Punkt 3 in einem Kreisbogen, dessen Mittelpunkt D ist, geführt wird, so schneidet der Stab D 3 die Normale zu la im Pole (I). Eine durch die Punkte (I) und (III) gelegte Gerade trifft die Achse des Stabes D 4 im Pole (II) und eine durch (II) und (Il III) gelegte Gerade trifft die Normale zur Führung lb des Stützpunktes B im Pole (III). Damit sind die Nullpunkte Nx, jV₂, Ar₃ bestimmt. Die Ermittlung der dem Punkte 2 entsprechenden Ordinate ?]₂ der G-Linie soll nun mit Hilfe eines Geschwindigkeitsplanes erfolgen. Wir nehmen für das Gelenk 2 die mit der Geraden 2 (III) zusammenfallende loth-rechte Geschwindigkeit 2 2' beliebig an, legen durch 2' Parallelen zu den Geraden 2 5 und 2 6, welche die Geraden 5 (II) und 6 (III) beziehungsweise in b' und 6' schneiden und ziehen b' C' |J 5 C sowie 6' C' || 6 C. Bezeichnet c den Abstand des Widerstandes C vom Punkte C' und c₂ den Abstand der in 2 angreifenden Last P vom Punkte 2', so besteht die Gleichung Cc — Pc₂ = 0; sie liefert für 7]₂ den Werth

% = ¹--

Die Figuren 489, 490 und 491 zeigen verschiedenartig geformte, über mehrere Oeffhungen gespannte Balkenbrücken, die sich zu Uebungsaufgaben eignen. In Fig. 492 sind die von den Mittelstützen ausgehenden schrägen Stäbe durch gleichwerthige Gleitlager ersetzt worden. Treten nur senkrechte Lasten

auf, so ist es gleichgültig, welches Auflagergelenk das feste ist, und es empfiehlt sich daher, in jedem einzelnen Falle eine zu möglichst einfachen Polbestimmungen führende Annahme zu machen. Würde man z. B. in Fig. 486 das Gelenk C

Fig. 489.

Fig. 491.

'r

A/\

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Fig. 490.

Fig. 492.

als festliegend betrachten und dafür B wagerecht geführt ansehen, so würde sich der Pol (7), den wir jetzt mit (7)' bezeichnen wollen, als Schnittpunkt der Stabachse CE mit der Senkrechten durch B ergeben und (II)' als Schnittpunkt der Geraden (7)' (7 77) und CF und dieser Punkt würde in der Senkrechten durch (77) liegen, mithin denselben Nullpunkt E, liefern, so dass

Ir

Fig. 493.

sich aus dieser Zulässigkeit der Auflagervertauschung eine ganze Reihe von Zeichnungsproben herleiten lassen. — Auch die Untersuchung des in Fig. 493 abgebildeten Bogenträgers ist als lehrreiche Uebungsaufgabe zu bezeichnen.

7. Beispiel. Es soll der bereits im § 43, Fig. 370 auf anderem Wege untersuchte Gerber’sehe Balken mit Hängegurtung nunmehr kinematisch behandelt werden.

Fig. 494 zeigt den Ausleger und den Koppelträger. Gesucht seien die Einflusslinien für die Spannkraft U der unteren Gurtung und die wagerechte Seitenkraft 0 cos ß der unter ß geneigten Spannkraft 0 des Auslegers. Handelt es sich um U, so ist der obere Knotenpunkt m der Pol von III gegen II. Die Pole (a III) und (b III) der Kettenglieder a und b gegen die Scheibe III fallen wegen der parallelen Hängestangen ins Unendliche, es liegen daher die Pole (a) und (b) der Glieder a und b gegen das Widerlager in der Senkrechten durch (III). Da nun der Knotenpunkt C mit dem über die Seitenöffnung gestreckten,

das Widerlager des Auslegers bildenden Träger AB (Fig. 495) fest verbunden ist, so fällt (a) mit G zusammen und es muss auch (5) mit C zusammenfallen, weil (a), (ab), (b) in einer Geraden liegen. Hätte die Scheibe III drei oder noch mehr Felder, so würden auch die Pole (c) (d) . . , der übrigen mit (III) durch parallele Hängestangen verbundenen

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11111II l'l VI !! 11111' M 111111 if

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O C0&/l-Z,inie

AH

Fig. 494.

Kettenglieder c, d, ... . mit C zusammenfallen, weil (b), (bc), (c) in einer Geraden liegen, desgleichen (c) (cd) (d) u. s. w. Durch die beiden Geraden (b) (b II) und (III) m ist jetzt der Pol (II) und damit auch der Nullpunkt N₂ bestimmt. Wird 0 gesucht, so hängen die Scheiben JZJund II in m zusammen, und die Scheibe II dreht sich um den in den Geraden (b) (b II) und (III) m liegenden Pol (II)'. Nach Ermittlung der Nullpunkte wui’den die Einflusslinien für U und 0 cos ß mit Hilfe der cc

Strecke 1— bestimmt, wo h die Länge der Vertikale mm bedeutet. h

Wie man aus den Z7-Linien und 0 cos ß-Linien sehr schnell die Einflusslinien für D cos cp und — Vcotg <p finden kann, ist im § 43 beschrieben worden.

Fig. 495 zeigt die Einflusslinien für die Spannkräfte U und 0 cos ß in zwei Gurtstäben der Seitenöffnung AB. So lange die über den Träger wandernde Last zwischen A und B liegt, ist die Kettengurtung spannungslos, und das Trägerstück AB verhält sich wie ein einfacher Balken. Die 0 cos ß-Linie unterscheidet sich von der D-Linie nur durch

32

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

x

das Vorzeichen: beide Linien sind durch ein und dieselbe Strecke v = 1 —

h

bestimmt. Um den Einfluss der Belastung des Auslegers und des Koppelträgers zu ermitteln, braucht man nur den Pol (1III) von I gegen III anzugeben. Da nun der Punkt C jetzt zur Scheibe III gehört, so fällt der Pol von b gegen III mit C zusammen, und man gewinnt den Pol (I III) als Schnittpunkt der Geraden (b III) (b I) und (IIIII) (III). Je nachdem es sich nun um U oder 0 handelt, fällt (III) mit dem oberen Knotenpunkte ni oder dem unteren Knotenpunkte m zusammen; man erhält für den gesuchten Pol von I gegen III die beiden Lagen (IIII) und (IIII)'.

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Fig. 495.

Wir empfehlen dem Leser, eine ähnliche Untersuchung über die D-Linie anzustellen und auch die (besonders einfache) Bestimmung des Pôles (IIII) für den Fall vorzunehmen, dass die fraglichen Stäbe links vom Endpunkte E der Hängegurtung liegen.

217. Herleitung der Einflussfiguren für schräge Lasten aus den Einflusslinien für senkrechte Lasten. Es seien 0, 1, 2, 3 die Knotenpunkte eines Stabzuges oder Scheibenzuges einer zwangläufigen Kette, in welche ein Fachwerk behufs Berechnung irgend einer Unbekannten S verwandelt worden ist, Fig. 496 a; es seien ferner (in Fig. 496 b) 0, 1, 2, 3, .... n die entsprechenden Punkte der auf eine wagerechte Nulllinie AB bezogenen Einflusslinie für S, gültig für senkrechte

Lasten P. Die Ordinaten    % •••'*)» dieser Einflusslinie dürfen

stets als die senkrechten Projektionen der Geschwindigkeiten der Knotenpunkte 0, 1, 2, 3, ... n aufgefasst werden, und daraus folgt, dass die Endpunkte 0', l', 2', 3' n der von einem in der AB angenommenen Nullpunkte 0 aus aufgetragenen Geschwindigkeiten der Punkte 0, 1, 2, 3, ... n in den durch die entsprechenden Punkte der Einflusslinie

gelegten Wagerechten liegen müssen. Da nun ausserdem die Geraden 0% 1'2', 2'3',

der Reihe nach rechtwinklig zu den Verbindungs-

(cl)

o (c)

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•r

Fig. 496.

geraden 0 1, 12, 2 3,... der Knotenpunkte sein müssen, (vergl. den Schluss von No. 215) so ist der Geschwindigkeitsplan in Fig. 496c vollständig bestimmt, sobald die Richtung oder die Grösse der Geschwindigkeit eines einzigen Punktes m des Scheibenzuges gegeben ist. Die Ermittlung der Geschwindigkeiten der übrigen Punkte erfolgt dann mit Hilfe des durch den bekannten Punkt in zu führenden Normalenzuges 0' l' 2' 3' . . . n.

JBeisjJiel. Nach diesem Verfahren ist in Figur 497 der Einfluss schräger Lasten auf die Spannkraft 0 des Obergurtstabes 1 — 3 des Versteifungsfachwerks eines Gelenkbogens untersucht worden, indem zuerst die Einflusslinie für die lothrechte Belastung auf die im § 49 angegebene Weise gezeichnet wurde. Der dem fraglichen Stabe gegenüberliegende Knotenpunkt 4 liegt im Abstande h unterhalb der die Auflagergelenke verbindenden Geraden, und es wurde daher das Maass h vom entsprechenden Bogenpunkte b aus nach oben aufgetragen, hierauf durch 0 und den Endpunkt der Strecke h eine Gerade gelegt, welche die Verbindungslinie 14 —c in E trifft. Lothrecht unter E liegt der Null-

32*

punkt der Einflusslinie, welche aus drei Geraden besteht, deren mittelste

00

auf der Senkrechten durch 0 die Strecke 1 — abschneidet, wo r das

r

Loth von 4 auf 0 bedeutet.

Diese Einflusslinie gilt für oben und

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73

VI

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7'

Fig. 497.

unten angreifende Lasten und kann nun zur Bestimmung der Fig. 497b benutzt werden. 0 ist der in der Nulllinie angenommene Pol. 14r fällt mit 0 zusammen. Sollen nur die unten angreifenden Lasten berücksichtigt werden, so genügt es, den der unteren Gurtung entsprechenden Normalenzug 14' 13' 11/ 9^ l' 6* 4:' 2' 0' zu zeichnen. Der Einfluss von Plt auf 0 ist z. B.

0 — + Pn Sn-

Dreht man die Last PX1 rechts herum um 90° und weist man ihr den Punkt ll' als Angriffspunkt zu, so ist PX1 81X das Moment von P1X in Bezug auf den Nullpunkt 0; es ist positiv anzunehmen, sobald es rechts um 0 dreht. Auf diese Weise kann man den Ausdruck 2P8, ganz ebenso wie dies in No. 215 mit dem Ausdruck iS Pc geschehen ist, als das Moment der Kräfte P in Bezug auf den Pol 0 deuten.

§ 53.

Aufgaben über mehrtheilige Fachwerke.

218. Ein Fach werk wird ein £-theiliges genannt, wenn seine Gurtungen durch zwei einander kreuzende Schaaren von Füllungsstäben verbunden sind und ein von Gurtung zu Gurtung reichender Stab der einen Schaar durch Stäbe der anderen Schaar in 2-Theile zerlegt wird.

Die bisher ausgeführten mehrtheiligen Fachwerke sind mit wenigen Ausnahmen statisch unbestimmt; es unterliegt aber nicht den geringsten Schwierigkeiten, auch brauchbare statisch bestimmte mehrtheilige Fachwerke zu bilden. Beispiele für statisch bestimmte mehrtheilige Netzwerke haben wir bereits im § 51, Seite 446 u. f., kennen gelernt, solche für statisch bestimmte mehrtheilige Ständerfachwerke zeigen die Figuren 498 und 499.¹) Beim Fachwerke Fig. 498 gehe man von

W'

w,

■m.

mm

aM

Fig. 498.

den Endständern aus, bilde mittelst zweistäbigen Anschlusses der Knotenpunkte die Scheiben I und II und verbinde diese miteinander durch das Gelenk b und den Stab ce. Die Kreuzungspunkte der Diagonalen und Vertikalen dürfen auch als Knotenpunkte aufgefasst werden. Das Fachwerk in Fig. 499 wird vom Mittelständer aus, durch zweistäbigen Anschluss der Knotenpunkte gebildet.

Die Berechnung mehrtheiliger Fach werke erfolgt am zweck-mässigsten mit Hilfe von Einflusslinien; sie soll durch eine Reihe von Beispielen, die sich auf Balken mit zwei Stützpunkten beziehen, erläutert werden.

a. Balken mit gebrochenen Gurtungen.

219. Einflusslinie für die Vertikale V des Ständerfachwerks in Fig. 499. Wird der Stab 8 7 beseitigt, so entsteht eine zwangläufige Kette. Der rechts vom Stabe 6 9 gelegene schraffirte Theil des Fachwerks ist eine starre Scheibe und soll zunächst als ruhend

angesehen werden. An denselben scbliesst sich das Gelenkviereck 6 4 7 9 an, und mit diesem sind die übrigen Knotenpunkte durch je zwei Stäbe verbunden. Fig. 499a stellt die um 90° gedrehten Geschwindigkeiten dar. Nach Uebertragung des ruhenden Stabes 6 9*) wurde der Punkt l' auf der zum Stabe 7 9 parallelen Geraden 7,9/ beliebig angenommen, und hierauf wurden der Eeibe nach die Punkte 5', 4', 3', 2', 1' und (/ ermittelt.

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VR

Vtö

-------

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ft

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u.

cs

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Jl.

7.9'

/1h>

(ä

Fig. 499.

Der Einfluss irgend einer Last P ergiebt sich nun aus der Gleichgewichtsbedingung 2 0c — 0. Greift P in 3 an, so erhält man Pc₃ — Ac₀ — Fc₇ = 0

*) Der grösseren Uebersichtlichkeit wegen empfiehlt es sich, den Geschwindigkeitsplan vom Trägernetz zu trennen.

C3

wo b den Abstand der Last P von der Stütze B und l die Stützweite bedeutet. Setzt man

c3    7 C0 - Ti>

so findet man

Ti

V=P

C7

Die Einflussfläche für V zeigt Fig. 499b. Es wurde gemacht: 0 0" = c₀, 3 3" = c₃, 7 l" = c₇ ; die Geschwindigkeiten der Punkte 5 und 9 und aller Knotenpunkte der Scheibe OB sind gleich Null. Weiter wurde 0" mit B durch eine Gerade verbunden, deren unter P gemessene

b

— c₀ ist. Wählt man den Kräftemaassstab c₇ =

P, so er-

Ordinate =

hält man V= V).

In Fig. 499b ist ausserdem noch die Anwendung eines Geschwindigkeitsplanes gezeigt worden, der die vom Nullpunkte B aus in den wirklichen Richtungen aufgetragenen Geschwindigkeiten darstellt.²) Es wurde Bl" gleich der beliebig anzunehmenden Geschwindigkeit c7 gemacht; die Punkte 5", 6" fallen mit B zusammen.

4" wurde bestimmt mit Hilfe von 6" 4" | 6 4 und 7" 4" 1

3"

und hieraus

„ 5" 3" ! 53 „ 4" 3" _]_

Eine dritte Lösung der vorliegenden Aufgabe zeigen die Figuren 499c und 499d. Es wurde der Stab 0 1 als ruhend angesehen. Nach Annahme von 3' ergaben sich der Reihe nach 2', 4', b', 6', l', 9\ Nun wurde, da der schraffirte Theil der kinematischen Kette starr ist, der Punkt B' bestimmt mit Hilfe von 9'B' || 9 B und 6'B' || 6 B, und schliesslich wurde 8' bestimmt mittels B'8' || B 8 und 6,8/ || 6 8. Die Gleichgewichtsbedingung iS Qc = 0 lautet, wenn die Last Pin 3 angreift,

— P Cg -{— VCg —{— Vc₇ — B Cb :== 0

woraus

V (C7 + C8) -P (°3 + ~p cx) •

Die in der Fig. 499« schraffirte Fläche ist Einflussfläche für V(c₇ -f- c₈). Die dritte Lösung bietet den Vortheil, dass ein Theil der Fig. 499c

auch zur Berechnung anderer Spannkräfte V benutzt werden kann. Handelt es sich beispielsweise um die Spannkraft V im Stabe 5 6, so können die Punkte 2', 3', 4', 5', l' beibehalten werden. Die Division mit (c₇ -f- c₈) braucht man nur mit einer Ordinate vorzunehmen, weil die Einflusslinie durch eine Ordinate und durch die Nullpunkte bestimmt ist.

Aus dem Geschwindigkeitsplane Fig. 499c lassen sich mit wenigen

in den

Strichen die Einflusslinien für die Spannkräfte D Stäben 8—11 und 10—11 folgern. Wird z. B. die kinematische Kette durch Beseitigung des Stabes 8—11 erzielt, so rückt 8' in die Senkrechten durch 7'; Punkt 10' wird in der Senkrechten durch 9" mittels 8r 10’ [j 8 10 bestimmt, sodann werden in der Wagerechten durch 9r die Punkte 1l' und B' durch Ziehen von 10r—ll' || 10—llundlO'^ [| lOi? festgelegt. Die Spannkräfte in den übrigen Diagonalen und in den Gurtungen werden mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen durch die Spannkräfte V, D

den Spannkräften V und D der Stäbe 7 8 und 7 4, falls Knotenpunkt 7 unbelastet ist, die Beziehung

8-11

und D

10—11

S—11

und D

10—11

ausgedrückt. So besteht z. B. zwischen

I) sin © — — V,

so dass sich die Ordinaten der Einflusslinien für D sin <p und V in allen Knotenpunkten mit Ausnahme des Punktes 7 nur durch das Vorzeichen unterscheiden. Liegt P in 7, so ist D sin 9 = — V -(- P; es ist dann die Ordinate der D sin 9-Linie gleich der Lasteinheit, vermindert um die entsprechende Ordinate der F-Linie.

Zwischen U±, D und U₃ besteht die Gleichung

Ui = U₃ -f- D cos <p = U₃ -f- D sin 9 • cotg 9.

Da nun U₁ — 0 ist, so kann man aus den D sin 9-Linien schrittweise alle D-Linien herleiten und aus den Werth en U findet man die Spannkräfte Oy, 0₂ , 0₃ der unter den Winkeln ßx, ß₂, ß₃ gegen die Wagerechte geneigten Obergurtstäbe der ersten drei Felder

Oy— — U₃ sec ßlf 0₂ = — U₃ sec ß₂, 0₃ = — U₅ sec ß₅.

Die Spannkraft 0₅ wird wie beim einfachen Dreiecksystem mittels der Gleichung

kyy

O5 cos ß₅

gefunden, wo hyy die Länge des Stabes 11 —12 bedeutet und für 04 gilt die Gleichung

10—11«

0₄ cos ß₄ — 0₅ cos ß₅ — (D cos 9)

Die Spannkraft V im Stabe 11—12 ist durch das Kräftepolygon für den Knotenpunkt 11 bestimmt.

220. Zweitheiliges Netzwerk mit einem Ständer in der Mitte. Fig. 500. Die Lasten mögen in den Knotenpunkten der unteren Gurtung angreifen. Die Einflusslinien für die Stäbe 0, U und D sollen mit Hilfe von Kräfteplänen bestimmt werden.

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\\

+/r

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-V,

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g>

Fig. 500.

Wir betrachten die linke Trägerhälfte als einen an der Stelle 9—10 eingespannten, mit den äusseren Kräften A, Px, P₃, P₅, P₇ belasteten Freiträger und ermitteln der Keihe nach die Spannkräfte in Folge der Belastungen

Ä=l, P₁ = 1, P₃ = 1, P₅ = l, Fi = ¹

mit Hilfe der einer näheren Erläuterung nicht bedürfenden Kräfte-

plane [6], [c], [d], [e\, [/’].³) Durch diese 5 Pläne sind die Einflusslinien für sämmtliche Diagonalen und Gurtstäbe bestimmt.

Dg. ₇

kräfte D

8³1»

8 • 5>

Figur 500 g zeigt die D₈-Linie. Die dem Plane [6] entnommene positive Spannkraft JDsA in Folge A — 1 bestimmt die Gerade A B', welche für alle Lagen der Last P = 1 den Einfluss des Stützendruckes A auf die Spannkraft JDS angiebt. Trägt man nun, von dieser Geraden aus, auf den Senkrechten durch die Knotenpunkte 1, 3, 5, 7 die Spannab, welche in Ds beziehungsweise in Folge von P₁ = 1, P₃ = 1, P₅ = 1, P₇ — 1 entstehen, so erhält man die Eckpunkte der Z)g-Linie. ⁴)

Um die Einflusslinie für die Spannkraft V des Ständers zu finden, verwandeln wir das Fachwerk durch Beseitigung dieses Stabes in eine kinematische Kette, bewegen die Knotenpunkte 9 und 10 in der Vertikalen 9—10 gegen einander mit einer beliebig grossen Geschwindigkeit c, bestimmen die zugehörigen Geschwindigkeiten c₀, cx, c₃, c₅, .... der Punkte 0, 1, 3, 5, . . . und ermitteln dann die F-Linie mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingung = 0. Dieses Verfahren führt stets rasch zum Ziele und gestaltet sich besonders einfach, wenn, wie im vorliegenden Falle, die Senkrechte durch die Mitte und die Wagerechte durch die Stützpunkte Symmetrieachsen des Fachwerks sind.

~T

8'

—6

«S/7V'"

-e

p-

VI

J'C

s-

Fig. 501.

In Fig. 501 ist der Gesehwindigkeitsplan für einen Träger mit 8 Feldern und (der grösseren Deutlichkeit wegen) mit steileren Gurtungen gezeichnet worden. Die Geschwindigkeiten wurden nicht um 90° gedreht, sondern in ihren wirklichen Richtungen aufgetragen. Die in einer Senkrechten gelegenen Punkte l' und 8' wurden in den Wagerechten durch die Knotenpunkte 7 und 8 angenommen; ihre

gegenseitige Geschwindigkeit wurde also durch die Länge des Stahes 7 8 dargestellt. Nun wurde ö* mittels 8' b'    8    5    und    7'5'    J_    7    5 bestimmt

6'    „    7'6'J_ 7    6    „    8'6'J_    8    6    „

u. s. w.

Sind nun die Geraden 0 — n und 7 8 Symmetrieachsen des Fachwerks, so muss b' in der Wagerechten durch 6 liegen, was man sofort erkennt, wenn man den Schnittpunkt s der drei Lothe des Dreiecks 7 8 (6) bestimmt und dann beachtet, dass 8 s || 8'b' und 7 s [| l'b' ist; und ganz ebenso lässt sich beweisen, dass die Punkte

6'    4'    3'    2'    1'

der Reihe nach in den Wagerechten durch die Punkte

5    4    8    1    2

liegen. Ist also die gegenseitige Geschwindigkeit der Punkte 7 und 8 gleich dem Abstande 7 8 der Knotenpunkte 7 und 8, so sind die gegenseitigen Geschwindigkeiten der Punktepaare (5, 6), (8, 4), (1, 2) beziehungsweise gleich den Strecken 5 6, 3 4, 1 2.

gilt für untenliegende, die

Aus diesem wichtigen Gesetze folgt nun für den vorhin behandelten Fachwerkbalken (Fig. 500) sofort die in Figur 500h lediglich mit Hilfe des Trägernetzes dargestellte Einflusslinie für V. Die schraffirte Fläche 0' l' 3' b' l' 9'

Fläche 0* 2' 4' 6" 8r 10/ für obenliegende Fahrbahn. Der Kräftemaassstab ist P = 1 = f.

b, Parallelträger.

221. Ganz besonders einfach gestaltet sich die Untersuchung

Sind die

mehrtheiliger Fachwerkbalken mit parallelen Gurtungen.

Feldweiten gleich gross, was in der Regel der Fall sein wird, so kann man das Trägernetz als Plan der um 90° gedrehten Geschwindigkeiten benutzen. Es besteht dann die Herleitung der Einflusslinien lediglich im Anschreiben von Ziffern an die Knotenpunkte.

sammen, ll' mit 9.

222. Zweitheiliges Ständerfachwerk. Fig. 502. Wird die Einflusslinie für die Spannkraft D₅ gesucht, so mache man das Fachwerk durch Beseitigung von Z>₅ beweglich, nehme die schraffirte starre Scheibe ruhend an und schreibe dem Knotenpunkte 3 eine Geschwindigkeit c₃ = X zu. Punkt 3' fällt dann mit dem Knotenpunkte 1 zu-4' mit 2, 6" mit 6, b' mit 5, 8; mit 6, l' mit 5 u. s. w., Der Hebelarm von D₅ in Bezug auf 4' ist X sin cp, und man erhält beispielsweise für eine in 3 angreifende Last P die Gleichung

A \ — P\ — D₅ \ sin 9 = 0 D₅ sin ç — A — P

Figur 502 a zeigt die D₅ sin ç-Linie sowohl für untenliegende als auch für obenliegende Fahrbahn.

Beseitigt man Z>₄ und bestimmt man in derselben Weise einen Geschwindigkeitsplan, so findet man, dass 11 mit 11 zusammenfällt.

«e

--

K-Vù-—

9S sin y

ff

(b)

jD^siny

Fig. 502.

Es entsteht die in Fig. 503 b gezeichnete Dé sin cp-Linie. Damit sind die Bildungsgesetze für die D sin <p-Linien gefunden. Für alle Diagonalen, welche dem vom Endknoten 12 ausgehenden Stabzuge 12—7— 8—3 . . . angehören, ergeben sich Einflusslinien von der Art Fig. 502 a, für die anderen solche von der Art Fig. 502b. Dies gilt auch für Z>₆ sin 9₆, welches im vorliegenden Falle zur zweiten Gruppe [Fig. 502 b] gehört.

Kennt man die Grenzwerthe

D sin 9 und

D sin 9, so findet

man die Spannkräfte in den Vertikalen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte. Beispielsweise ergiebt sich für F4 bei untenliegender Fahrbahn der Werth

min

y4, — — d5 sin 9—9o^

wo g„\ die ständige Belastung des Knotenpunktes 4 bedeutet, und bei oben liegender Fahrbahn wird

F₄ = — D₃ sin 9 -f gu\

wo gu\ die ständige Belastung des Knotenpunktes 3 ist.

Fig. 503 zeigt die Einflusslinie für die Spannkraft U in einem Stabe der unteren Gurtung. Die schraffirte Scheibe ist wieder als ruhend angesehen worden; l' fällt also mit 1 zusammen, 2' mit 2. Punkt 3' darf nach Belieben in der Geraden 2 3 angenommen werden;

---JC='l A

to

l<—

-V*

-Sa-

•<

♦fl

ZA

JcJiX

Tt~Tv

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—    Fig. 503.

zu-

er wurde mit 2 zusammenfallend gewählt. Dann fallen auch 6', 7', 10 , ll' mit 2 zusammen, während 4', b', 8', 9^ 12, 13^ mit 4 sammenfallen. Für eine in 11 angreifende Last P findet man ^•4X — P4X — Uh = 0

4X

4X

u=Ajr-pjr■

JD

(b)

suicp

‘l 8 in cp

Hl I lu 1 ll tuHiii mn i uti i h 11 n hi i hi n iiimmi ........

j %’    1    ¹to‘

r\ tf    !Z    10

ij

tf

4;

z’

- A ■    7\    7 . 7 A .A A

16

¹

Eine ähnliche Anordnung zeigt der auf Seite 361 abgebildete Ausleger der Niagarabrücke.

²

Vrgl. den Schluss von Nr. 215.

³

In den Plänen [c] bis [f] haben wir die Bezeichnungen Dl5 Z>₂, Z>₃, .. . durch die kürzeren 1, 2, 3, . . . ersetzt.

⁴

Dieses Verfahren lässt sich natürlich auch zur Berechnung des in Fig. 499 dargestellten Trägers benutzen.

, (

Zsinipy

svup

Den Knotenpunkten 9 und 7 entsprechen die Geschwindigkeiten 2X; die Knotenpunkte 5, 3, 1 .... B bewegen sich nicht; es entsteht also die durch Schraffirung hervorgehobene Einflussfläche für U, welche sowohl für untenliegende als auch für obenliegende Fahrbahn gilt und deren Bildungsgesetz leicht zu übersehen ist.

505.

223. Zweitheiliges Netzwerk mit Mittelständer Fig. 504 und Die für D und O gezeichneten Einflusslinien (a gilt für unten-

~7T\

---

1G    12_    10

ft_ft

-ö

i-s,

•r

L--------^

+N

Fig. 505.

liegende, b für obenliegende Fahrbahn) dürften nach den vorstehenden Entwicklungen eine weitere Erklärung nicht mehr erfordern. Die Einflusslinie für V folgt aus dem in Nr. 220 (Fig. 500h) gefundenen allgemeinen Gesetze.

224. Fig. 506 zeigt ein zweitheiliges Fach werk, das sich von dem soeben untersuchten im wesentlichen nur dadurch unterscheidet,

dass der Mittelständer durch einen wagerechten Stab CC₁ ersetzt worden ist. Ausserdem wurden durch Einschaltung von Vertikalen in der belasteten Gurtung neue Knotenpunkte zur Stützung von Querträgern geschaffen. Die Ordinaten der Einflusslinien für die Spannkraft H im Stabe CC sind gleich + X:&; es hat diese Linie dieselbe Form wie die F-Linie des vorhin untersuchten Systems. In Figur 506a ist ein Geschwindigkeitsplan für die durch Beseitigung des Stabes CCX gewonnene zwangläufige Kette gezeichnet worden. Den Punkten C und Cx wurden die entgegengesetzt gleichen wagerechten Geschwindigkeiten OC' ertheilt und in ihren wirklichen Richtungen aufgetragen, sodann wurde b' mittels C'b' J_Cb und Cx'b' Ctb bestimmt, hierauf (5)' sodann 4' u. s. w. Es fallen zusammen

mit (5/ die Punkte 3', (1)' und 7', (9)'

»    (8)', 1'    „    (7)', 9'

„ C' der Punkt A'

„ C\ der Punkt B'.

„    4', 2', 0' „    6', 8', 10'

nH

Hv»

«9

to

—    ---->i

-----r------j- -hU h

pq*------r-----

SS

Fig. 506.

x-

o, or j f oz \ a

D)

//

V,

Fig. 507.

Lasten, welche in den Knotenpunkten 0, 2, 4, 6, 8, 10 angreifen, sind ohne Einfluss auf H.

Werden also nur in den Knotenpunkten der Vertikalen Querträger angeordnet (Fig. 507) so ist der Einfluss der Verkehrslast auf H gleich

Null. Auch das auf alle Knotenpunkte sich vertheilende Eigengewicht erzeugt im Stabe CC₁ nur eine geringe Beanspruchung. Sehr einfach gestaltet sich bei dieser Anordnung die Berechnung der Spannkräfte in den Diagonalen und Gurtungen. Es ist nämlich immer zulässig, das Eigengewicht nur auf die Knotenpunkte 1, 2, 3 .... zu vertheilen und die Knotenpunkte E und F unbelastet anzunehmen. Dann ergeben sich für die beiden in E angreifenden Diagonalen entgegengesetzt gleiche Spannkräfte und ebenso auch für die beiden in F sich treffenden. Da nun aber die Querkraft Q für alle zwischen den beiden Knotenpunkten 1 und 2 geführten Schnitte gleich gross ist, so erhält man für alle vier dem Felde 1—2 angehörigen Diagonalen denselben Werth D, so zwar, dass die linkssteigenden Diagonalen bei positivem Q, mit

2 sin <p

auf Zug und die rechtssteigenden ebenso stark auf Druck beansprucht werden. Für die Gurtungen erhält man aus den Angriffsmomenten ÜDL, 9JL, .... die Spannkräfte

- 0, = + U,

— 0,=+U.

Die unteren Hälften der Vertikalen werden durch die Knotenpunktslasten auf Zug beansprucht, die oberen Hälften erfahren nur unwesentliche Drücke und dienen hauptsächlich zur Unterstützung der Knickfestigkeit der oberen Gurtung. Der Vorzug dieses Trägers und des in Fig. 506 dargestellten besteht überhaupt in den kurzen Längen der auf Druck beanspruchten Stäbe.

<L

------^-------^

tu-/

U 1rh

Fig. 508.

Eine verwandte Anordnung zeigt Fig. 508; sie ist in neuerer Zeit vielfach bei ebenen Windverstrebungen zur Ausführung gekommen und vom Verfasser schon seit Jahren in seinen Uebungen im Entwerfen

eiserner Brücken empfohlen worden. Für die Spannkraft D gilt hier ebenfalls die Formel

(Zug) Du = -j-

D₀ (Druck);

1 Qm

2 sin 9

In den Gurtungen entstehen die Spannkräfte

Um = -1-

jT-i Om — h

an

m-1

In den Vertikalen entsteht

V₀ = D₀ sin 9 = £ Qm

Vu = Pm — I)u sin 9 = Pm — | Qm.

225. Eine umfangreiche Anwendung mehrtheiliger Fachwerke mit kurzen Stablängen zeigt das von mir im Jahre 1894 konstruirte, in Fig. 509 skizzirte Baugerüst des Berliner Domes. Es besteht aus Pfeilern, deren Stabwerk durch kräftigere Linien hervorgehoben wurde, und aus darauf ruhenden Spreng-werken. Die Stäbe s sollen nur den Anschluss leichter Maurer-Rüstungen und die Schaffung von Arbeitsböden ermöglichen. Seitenriss und Grundriss geben Auskunft über die Anordnung der "WindVerstrebungen. Das Gewicht der grossen Schiebebühne mit Electromotor, Winde, Katze und Drahtseil beträgt 14 400^, die Nutzlast 15 000Der von einem Stiele aufzunehmende grösste Druck (einschliesslich der Wirkungen des Eigengewichts und eines Winddruckes von 100*» f. d. qm) ist rund P=25 000*». Die grösste Geschosshöhe ist h = 5,7OT. Wären die einzelnen Felder des Pfeilers in der gewöhnlichen Weise durch zwei sich kreuzende Diagonalen versteift worden, so wäre nach der bekannten Euler’sehen Formel ein kleinstes Querschnitts-Trägheitsmoment

Jin in —

nPh2 7t² E

erforderlich gewesen, wo n den Sicherheitsgrad und E den Elasticitätsmodul bedeutet. Setzt man 7i² P = 1000 000 und wählt man n = 6, so erhält man

- = 48 785 cm⁴.

Jmin-

6 • 25000 • 5702 1000000

In Folge der Halbirung der freien Längen der Stirnwand geht dieser Werth herab auf

Jmin

48735

rd. 12 200 c»t⁴,

und es erweisen sich daher zwei Hölzer von 13cmxl8

2 • 13• 18s

cm

Stärke mit

Jmin

12

12 640 cm⁴

als vollkommen sicher.

Zur Schätzung der durch Halbirung der freien Längen erzielten Holzer-sparniss genügt folgende kurze Ueberschlagsrechnung. Sind lx und l₂ die Längen zweier gleich stark auf Knicken beanspruchten Stäbe, P, und F₂ die Inhalte, Jj und J₂ die kleinsten Trägheitsmomente ihrer Querschnitte, und sind die beiden Querschnitte einander ähnlich, so verhält sich

F\ • F₂ — ~\f Ji • ~\f J2 — li • 7g i

und man findet daher für lt — das Verhältniss Fl = ^Fi.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

33

Der Materialverbrauch ist deshalb für die erste Anordnung nur halb so gross wie für die zweite, ln Wirklichkeit ändert sich natürlich diese Zahl etwas, wegen der gebotenen Anpassung an die im Handel vorkommenden Holzstärken, dafür tritt aber noch der Umstand hinzu, dass sehr starke Hölzer — wie sie hier für eine freie Länge von 5,7m erforderlich gewesen wären — theurer sind, wie solche mittlerer Abmessungen. Ich hebe noch hervor, dass bei der Domrüstung an

Miefrifs

4~f Seitenrifs

«Ol

p»

v\

<9, j*f--

Gnundrifs

's

î:'

oot

■< il

tcm

Süelquerschn iti

U>

■■

Jmùi

Fig. 509.

einer Stelle auch eine grössere Spannweite mit Hoive'sehen Trägern (d. h. Parallelträger mit hölzernen Gurtungen, hölzernen gedrückten Diagonalen und eisernen gezogenen Vertikalen) überbrückt worden ist und schliesse diese kurze Mittheilung • mit dem Eathe, grosse Baugerüste auch für Hochbauten stets nach den im Brückenbau geltenden Grundsätzen zu entwerfen. Oh man nun eine sogenannte Gerüstbrücke (wie die in Fig. 509 dargestellte) baut, oder ob man Träger mit grösseren Spannweiten verwendet, muss von Fall zu Fall entschieden werden.

226. Unsymmetrisches zweitheiliges Netzwerk, Fahrbahn unten. Die Figuren 510 und 511 zeigen die Ermittlung der Einfluss-

linien für Dx und 0₅. Das Fachwerk stimmt mit dem in Fig. 509 als Pfeiler verwendeten überein.

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jr

•3'

7'

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Fig. 510.

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13

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4-

____

Fig. 511.

227. Unsymmetrisch.es viertheiliges Netzwerk. Fig. 512. Die Streben bilden einen zusammenhängenden Stabzug, der in einem Endknoten des linken Ständers beginnt und in dem anderen Endknoten

33*

endigt; das Netzwerk ist statisch bestimmt (vergl. Seite 452). Der Träger besitzt 14 ganze und ein halbes Feld; seine Stützweite ist 29m, seine Höhe 4m. Wir beginnen mit der Ermittlung der Einflusslinie für Dx sin 9, lassen A' mit A zusammenfallen, t' mit 1 und finden 2' mit 2 zusammenfallend, 3' mit 3, 4' mit 4 u. s. w., 8' mit 8.*) Nun wurde dem Punkte 9 der mit 8 zusammenfallende Geschwindigkeitspunkt 9', der in der Geraden 8 9 beliebig angenommen werden darf, zugewiesen und 10' mit 7 zusammenfallend gefunden, ll' mit 6 u. s. w., 16* mit 1. Punkt 17' fällt mit 17 zusammen, 18' mit 18 23' mit 23, 24' mit 23, 25' mit 22 B' mit 8. Den Knotenpunkten der unteren Gurtung, in denen alle Lasten (auch die ständigen) angreifen mögen, entsprechen abwechselnd die Geschwindigkeiten c = X und c — 0. Punkt A besitzt die Geschwindigkeit 0, Punkt B die Geschwindigkeit ^ X. Die Summe der Momente der in den Knotenpunkten 31 und 32 angreifenden Kräfte Dx in Bezug auf die zugehörigen Geschwindigkeitspunkte 31' und 32' ist — 2 Dx X sin 9, und es ergiebt sich daher für jede, in einem der Knotenpunkte (1), (3), (5),

u. s. w.

31' mit A, 32' mit 1,

u. s. w.

**) angreifende Last die Gleichung

— 2 Dx X sin 9 -f- PX — B ~

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woraus

B₁ sin 9 = | P — \ B.

Die Einflusslinie für Dx sin 9 zeigt Fig. 512b. Die Untersuchung der übrigen Spannkräfte D geschieht nun am kürzesten wie folgt.

Greifen nur in den Knotenpunkten der unteren Gurtung Lasten an, so ist der Knotenpunkt 32 nur dann im Gleichgewicht, wenn die beiden in 32 angreifenden Spannkräfte D entgegengesetzt gleich sind; wird also die linkssteigende Diagonale mit Dx gezogen, so wird die rechtssteigende Diagonale mit Dx gedrückt. Auf dieselbe Weise kann man nun durch Betrachtung des Gleichgewichts des Knotenpunktes 16 schliessen, dass die Diagonale 16 —15 ebenfalls mit Dx gezogen wird. Wir setzen nun fest, dass die Stabkraft D für eine linkssteigende Diagonale positiv angenommen wird, wenn sie Zugspannungen hervorbringt, für eine rechtssteigende Diagonale hingegen positiv, wenn sie Druckspannungen erzeugt. Die Bezeichnung der Diagonalen ist aus der Fig. 512a zu ersehen; die Pfeile deuten an, in welchem Sinne die positiven Kräfte D an den Knoten der unteren Gurtung angreifen. Mit Ausnahme von D₂ kommt jede Spannkraft D zweimal vor. Greifen

der unteren Gurtung die Lasten

in den Knoten (1), (2), (3),.....

Pl5 P₂, P₃, . . . an, so muss sein:

*) In Fig. 512 a sind die Knotenpunkte in der Reihenfolge nummerirt worden, in welcher die Geschwindigkeiten am zweckmässigsten bestimmt werden.

**) So wollen wir die Angriffsstellen der Lasten fortan bezeichnen, siehe Fig. 512b.

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D₄ sin 9 = Dx sin 9 — Px D₈ sin 9 = D₄ sin 9 — P5 D₁₂ sin 9 = D₈ sin 9 Z>i₅ sin 9 = D₁₂ sin 9 — P13 B₁₁ sin 9 = D₁₅ sin 9 + P12 Drj sin 9 = Dx 7 sin 9 + P8 D₃ sin 9 = D₇ sin 9 -j- P4 D₆ sin 9 = Dx sin 9 — P3 D₁₀ sin 9 = D₆ sin 9 — P7 D₁₄ sin 9 = D₁₀ sin 9 — P11 D₁₃ sin 9 = D₁₄ sin 9 + P14 D₉ sin 9 = D₁₃ sin 9 +• P10 D₅ sin 9 = D₉ sin 9 + P6 D₂ sin 9 = D₅ sin 9 + P₂.

P₉

(I)

Ist der Knotenpunkt (1) unbelastet, so ist D₄ sin 9 = Dx sin 9. Die Ordinaten für diese beiden Werthe unterscheiden sich also nur an

D₈ sin 9,

der Stelle (1) voneinander und zwar um die Lasteinheit P. Man kann also in der durch die vorstehenden Gleichungen bestimmten Reihenfolge aus der Dx sin 9-Linie schrittweise die Einflusslinien für D₄ sin 9, folgern. Dabei empfiehlt es sich, um BruchzifFern zu

weil l = 29 -^-ist^ durchzu-

vermeiden, die Rechnung für P — 29

führen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt worden. Die Ordinate, in welcher eine Linie von der vorhergehenden Linie abweicht, wurde durch Unterstreichung hervorgehoben; man beachte, dass Dg sin 9 wieder aus Dx sin 9 gefolgert wird.

Knotenpunkt

2 I 3 I 4 I 5 I 6    7 I 8

10

11    12    13    14

Di sin cp D₄ sin cp D₈ sin cp D₁₂ sin cp D₁₆ sin cp Du sin cp D₇ sin cp D₃ sin cp

+ 14

—    1 + 13

—    1 + 13

—    1 + 13

—    1 + 13

—    1 + 13

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—    1 + 13

—    2 + 12— 3 + 11

—    2 + 12— 3 + 11

—    2 — 17— 3 + 11

—    2 — 17— 3 + 11

—    2 — 17— 3 + 11

—    2 — 17— 3 + 11

—    2 — 17— 3 + 11 + 25 + 27 — 17 — 3 + H + 25

5+ 9— 6+ 8 6+ 8 6+ 8 6+ 8 6 — 21

—    19,— 5+ 9 + 23 — 21

—    19— 5+ 9 + 23 — 21

—    19— 5+ 9 + 23 — 21

—    4 + 10

—    4 + 10

—    4 + 10

—    4 — 19

—    4 — 19

D₀ sin ç + 14 — 1 D₁₀ sin cp D₁₄ sin 9 Dls sin 9 Dg sin 9 D₅ sin 9 D₂ sin 9

+ 14—1 + 14—1 + 14—1 + 14— 1 + 14—1 + 14 + 28

+++ +++ +

to to to to to to to

+ 26

+ 11 — 18 -18 — 18 — 18 — 18 — 18

—    5+9— 6+8

—    5+ 9— 6+ 8

—    5 — 20— 6+ 8

—    5 — 20— 6+ 8 + 24 — 20 — 6+8 + 24 — 20 — 6+ 8 + 24 — 20— 6 +8

+ 22 + 22 + 22 -J- 22

Die Diagonale D₂ des zweitheiligen Fachwerks erfährt also im vorliegenden Falle nahezu dieselbe Beanspruchung wie die eines ein-theiligen. Systems, ein Ergebniss, welches hinreicht, um den Träger in Fig. 51# als unvortheilhaft zu kennzeichnen. Ein weiterer, für die Ausführung sehr ins Gewicht fallender Nachtheil dieses Fachwerks ist seine unsymmetrische Anordnung. Würde man nur in den Knotenpunkten (1), (3), (5) . . . Querträger anordnen, so würde D₂ wesentlich kleiner werden, weil dann die grossen Ordinaten der D-Linie fortfallen.

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Fig. 513.

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228. Symmetrisches zweitheiliges Netzwerk mit einem halben Ständer in der Mitte. Fig. 514.¹) Der Träger besitzt 14 ganze und 2 halbe Felder; seine Stützweite ist 30m, seine Höhe 4m.

Die Fahrbahn liege an der unteren Gurtung. Wir beginnen mit der Darstellung der Einflusslinie für D₂ sin <p, nehmen die schraffirte Scheibe ruhend an, weisen dem Knotenpunkte 1 den Punkt l' zu und bestimmen

der ßeihe nach zu den Punkten 2, 3, 4, 5,

3', 4', 5', . . . 33'.

Die Lothe von den Punkten 27' und 32' auf die in den Knoten 27

33 die Punkte 2',

und 32 angreifenden Kräfte D₂ sind 2Xsin9 und X sin 9. Punkt 33 besitzt die Geschwindigkeit 1,5 X, Punkt 12 die Geschwindigkeit 2 X, Knoten 23 die Geschwindigkeit c — 1,5 X. Man erhält also für eine in 23 angreifende Last:

D₂ (2 X sin 9 — X sin 9) -f- A 1,5 X — B 2,0 X — P 1,5 X = 0 und hieraus

D₂ sin 9 = — 1,5 A + 2,0 B + 1,5 P.

Die Gerade A" B" ist Einflusslinie für den Ausdruck (— 1,5 A -f- 2,0 P); trägt man von dieser Geraden aus auf den Senkrechten

Fig. 512c enthält sämmtliche D sin 9-Linien; sie ist bestimmt durch B parallele Geraden; die Einflussfläche für die am stärksten beanspruchte Diagonale, die D₂, ist durch Schraffirung hervorgehoben worden.

Aus den D-Linien findet man die Z7-Linien mit Hilfe der Gleichungen TJX = D₃ cos 9

U₂ — TJX -|- Dx cos 9 -)- D₄ cos 9 U₃ = U₂ -}- D₂ cos 9 —}— X>₅ cos 9 u. s. w.

Im vorliegenden Falle ist 9 = 45°, also cos 9 = sin 9. Sonst würde man an Stelle der Z7-Linien die 17tg 9-Linien bestimmen, damit man die Ordinaten der D sin 9-Linien ohne weiteres benutzen kann. Führt man dann die ganze Rechnung für P— 29 aus, so hat man es mit einfachen Zahlenwerthen zu thun. Ganz ebenso werden die 0 tg 9-Linien ermittelt.

Handelt es sich um eine Eisenbahnbrücke, so wird man bei der Berechnung der grössten Spannkräfte D die Radstände und gegenseitigen Abstände der Lokomotiven und Tender mit den Feldweiten thunlichst so in Einklang bringen, dass möglichst hohe D-Werthe erzielt werden. Im vorliegenden Falle empfiehlt sich z. B. für die Berechnung von D2p die in Fig. 512 dargestellte Zuganordnung; sie liefert D2p sin 9 = 101'.

Die ständige Belastung sei g =1,67« Gleis, also g'k = 3,2' für einen Knotenpunkt. Die Summe der Ordinaten der Einflusslinie ist, für P=29,

(II)

max

na

14 + 28 -f 12 -f 26 + 10 -J- 24 + 8 -f -J-22²)

— (16 —|— 2 —18 -j— 4 —{- 20 -j-6) — 72,5

3,2 = 8,0'.³)

folglich ergiebt sich

Im ganzen entsteht also

D₂ sin 9 = 109' und maxD₂ = 154'.

Mit diesem Werthe wollen wir die Spannkraft maxD im 4m langen Endfelde eines eintheiligen Parallelträgers von 29²” Spannweite vergleichen. Es ergiebt sich (Fig. 513) für einen Zug mit den früher

festgesetzten Radständen

16 • 1,2

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Dp sin 9 — Ap

Dg sin 9 = gx" — 1,2 • 12,5 = 20' D sin 9 = 117' und D=165'.

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durch die Knotenpunkte der unteren Gurtung die entsprechenden —

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auf, so erhält man die D₂ sin 9-Linie. Für die ersten drei Knoten-

Die dritte Zeile der Tabelle I auf Seite 524 enthält die Ordinaten der D₂ sin <p-Linie für P — 30. Die Ordinaten der Dx sin ç-Linie ergehen sich aus der Gleichgewichtsbedingung, denen die am linken Endständer angreifenden Kräfte D genügen müssen, Fig. 515,

woraus

2 Dj sin 9 -f- 2D₂ sin 9 = A,

(Di + #2) sin 9 = | A.

Die Ordinaten der Einflusslinie für \ A sind in der ersten Zeile der folgenden Tabelle angegeben. Nach Berechnung der Dx sin 9-Linie findet man die Ordinaten der übrigen D sin 9-Linien der Reihe nach mit Hilfe der Gleichungen:*)

D₃ sin 9 = Dx sin 9 — Px D₄ sin 9 = D₂ sin 9 — P2 D₅ sin 9 = D₂ sin 9 — P3 D₆ sin 9 = Dx sin 9 — P4 P₇ sin 9 = P₃ sin 9 — P5 Dg sin 9 = D₄ sin 9 Dd sin 9 = D₅ sin 9 — P₇.

Die Einflusslinien für D ₈ sin 9 und D₈ sin 9 sind Spiegelbilder. Die

F-Linie ist bestimmt durch

V = D₈ sin 9 -f- D's sin 9 ;

sie besitzt, wie die F-Linie des in Fig. 505 dargestellten zweitheiligen Fachwerks, in den Knotenpunkten abwechselnd Ordinaten -f- \ P und — ^ P.

Die Einflusslinie für

In Figur 515 sind alle D-Linien zusammengestellt worden; ihre Eckpunkte liegen in 6 parallelen Geraden.

D₇ sin 9 ist durch Schraffirung hervorgehoben worden.

• Tabelle II auf Seite 524 enthält die Ordinaten sämmtlicher D-Linien. Es ist Ux = 0

U₂ = Dx cos 9 D₃ cos 9 = Dj sin 9 -f- D₃ sin 9 weil 9 = 45

u. s. w.

*) Für die

linkssteigenden

rechtssteigenden

Diagonalen der linken Trägerhälfte bedeutet ein

positives negatives

**) Ist dies nicht der Fall, so berechne man die Werthe Z7tg<p.

D einen Zug.

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D₂ sin a + D₅ sin a =

Dx sin a -J- Dü sin a =

Da sin a -f- D₇ sin a =

Di sin a -f- Ds sin a =

D₅ sin a -f- Z)₉ sin a —

U₃ = Ui-U₆ = U₆ =

u,=

U₈ =

Den grössten Werth D erhielten wir für die Diagonale D₂. Die in Figur 514 angegebene Zugstellung erzeugt

^2j> —    64,V

In Folge der ständigen Belastung, welche für die Knoten (1) und (15) je 3gX

—-— und für die übrigen gX beträgt, entsteht D2g sin 9

ma.r

LT '3,5 + 10,6 +

+ 13,5 + 4,5+|-= gX • 2,125 = 1,6 • 2,0 • 2,125 — 6,8*,

30

17,5 + 1,5 + 8,5 + 15,5 -f 6,5

11,5 — 5,5 — 7,5 — 0,5 — 9,5 —

2,ö]

mithin im ganzen

D₂ sin 9 = 64,7 -J- 6,8 = 71,5* und D₂ = 101*.

m ix

c. Angenäherte Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke.

229. Allgemeines. Die Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke erfolgt in der ßegel in der Weise, dass das ^-theilige Fachwerk in t eintheilige statisch bestimmte Faehwerke zerlegt und jedes Theil-

zß °aZ—

7    1

T-i*

Fig. 516.

Fig. 517.

System nur für die in seinen Knotenpunkten angreifenden Lasten berechnet wird. Gehört ein Knotenpunkt mehreren Theilsystemen an, so wird seine Belastung gleichmässig auf diese Systeme vertheilt. Sodann werden die Theilfachwerke wieder vereinigt und die Spannkräfte zusammenfallender Stäbe und Stababschnitte addirt. In den Figuren 516 und 517 sind die Zerlegungen eines zweitheiligen Strebenfachwerks und eines zweitheiligen Ständerfachwerks mit Gegendiagonalen dargestellt worden; es wird in beiden Fällen angenommen, dass auf das obere Theil-system nur die in den Knotenpunkten 1, 3, 5, 7 angreifenden Lasten von Einfluss sind, während die Belastungen der Punkte 2, 4, 6 lediglich von dem unteren Theilsystem auf die Auflager übertragen werden.

Auch die bislang ausgeführten mehrtheiligen Netzwerke mit Diagonalenzügen, die von beliebigen Punkten der Endständer ausgehen, also nicht von Gurtung zu Gurtung führen, Fig. 518, sind nach dem Verfahren der Theilsysteme berechnet worden. Sie sind statisch unbestimmt, weil sie biegungsfeste Endständer, welche die Rolle starrer Scheiben spielen, besitzen. In Figur 518 ist die Zerlegung eines derartigen viertheiligen Systems angegeben worden; alle vier Theil-

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Fig. 518.

Systeme sind statisch bestimmt. Hat man die Spannkräfte der an den Endständern angreifenden Stäbe berechnet, so kann man für jeden Querschnitt des Endständers die Längskraft N, die Querkraft Q und das Angriffsmoment 9)2 angegeben und die im Querschnitte auftretenden Spannungen a und x (s. Abschnitt II) ermitteln. Statt biegungsfester Endständer kann man auch gegliederte Scheiben (Fig. 520 und 522) anordnen.

Fig. 518 e zeigt die Einflussfläche für die Spannkraft D₉ in einer Diagonale für den Fall untenliegender Fahrbahn. Sie wird aus der Einflussfläche AL₁L₂B für die Diagonale eines eintheiligen Parallelträgers mittels der Annahme gefolgert, dass nur die in den Knotenpunkten 1, 5, 9, 13, 17 angreifenden Lasten einen Einfluss auf D ausüben, während die übrigen Knotenlasten von den drei anderen Theilfachwerken aufgenommen werden.

Bei gebrochenen Gurtungen führt die Zerlegung in Theilsysteme zu Gurtstäben, die einen oder mehrere Knicke aufweisen und durch gerade Stäbe ersetzt werden müssen. So werden z. B. in Fig. 519 bei

* 'm i

m+i

m -z m -t (7,,, m Fig. 519.

Betrachtung der beiden Theilfachwerke behufs Berechnung der Füllungsstäbe an Stelle der Gurtungen abc und bcd die Stäbe ac und bd eingeführt. Die Spannkräfte 0 und U drückt man hingegen zweckmässiger wie folgt durch die für die ungetheilte Belastung berechneten grössten Angriffsmomente 9JÎ aus. Man setze für den Stab bc als Glied des Theilfachwerks bd (m -f- 1)

Om =

sec ßm

2 h

und für denselben Stab als Glied des Theilfachwerks a cm

m-f-1

Om =

2 hm

sec ß„

im Ganzen also

Om =

i_(WL 2 v hm

—-) sec ßm

und hierin verstehe man unter den Neigungswinkel des Stabes bc. Ganz ebenso findet man für den wagerechten Stab JJm

, l fSJL-i

‘    2 V h^i

Eine genauere Berechnung der statisch unbestimmten Fachwerke enthält der 2te Band dieses Buches; mit ihren Ergebnissen stimmen die auf Grund der Zerlegung in einfache Fachwerke gefundenen Spannkräfte in vielen Fällen ganz gut überein. Dies gilt besonders von den

um =

—2 '

byn

für die Praxis besonders wichtigen mehrtheiligen Parallelträgern. Bei gebrochenen Gurtungen weichen dagegen die genauen Werthe der Spannkräfte in den Füllungsstäben von den Ergebnissen des Verfahrens der Zerlegung oft so erheblich ab, dass dem einer schärferen Untersuchung nicht gewachsenen Ingenieur nur gerathen werden kann, von derartigen Fachwerken Abstand zu nehmen.

Wir wollen nun die Darstellung der Einflusslinien nach dem Verfahren der Zerlegung in eintheilige Fachwerke an einem Zahlenbeispiele erläutern.

230. Vierth eiliges Netzwerk von 30m Spannweite mit steifen Endscheiben. Fig. 520. Fahrbahn unten.

1. Diagonalen. Hinsichtlich der Vorzeichen setzen wir wieder fest, dass ein positives D für eine linkssteigende Diagonale einen Zug, für eine rechtssteigende Diagonale einen Druck bedeutet.

Fig. 520a zeigt die Einflusslinie für D₃. Der Strebenzug, dem D₃ angehört, ist kräftig ausgezogen worden; er enthält die Knotenpunkte 3, 7, 11, 15 der belasteten Gurtung. Die Knotenpunkte 1 und 15 gehören eigentlich jedem der vier Theilsysteme an, da diese 4 Systeme ohne die starren Endscheiben beweglich wären; wir wollen aber, der Einfachheit wegen, den Knotenpunkt 15 nur zu dem Theil-system rechnen, welchem D₃ angehört und den Knotenpunkt 1 nur zu dem Systeme, welches die Diagonale D₅ enthält. Die Einflüsse der Belastungen dieser beiden Knotenpunkte sind unwesentlich. In Fig. 520a ist ferner der Lastenzug angegeben worden, welcher möglichst grosse Werthe D erzeugt. Man erkennt, dass dreiachsige Lokomotiven im vorliegenden Falle grössere Spannkräfte erzeugen als vieraehsige. Bezeichnet r\ die Höhe eines der Dreiecke, aus denen die Einflussfläche besteht, so ist der Einfluss einer Lokomotive

(I)

= 28,8 ?]

und der eines Tenders

(II) D= 12?)

2 • 1,05 + 0,8

2,0

17,4 Y).

Berechnen wir den unwesentlichen Einfluss der Belastung des Knotenpunktes 15 der Kürze wegen ebenfalls mittels Formel (I), so erhalten wir für D₃ den Werth

——17,4, d. i.

¹ 30 sin 9

maxD3p = 1,86 (25 + 17 + 1) + 0,82 • 9 = 65,9*.

"M

In der folgenden Tabelle sind die Ordinaten aller D- Linien (und in der ersten und letzten Zeile auch die der A -Linie und B-Linie)

l = JQAßfj m

{ n/p n>\&    ₇

\y5 \7° \Ls ï \f

m Lf ™ ,6 !

⁵ K r

\D^L\nie

*a

<9

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J>. -.70 5Ul(f

\5oJnLffi

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SULf

,6

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y \ àf^vu*i jjE-

r-⁹

r*

(b)

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n* i

ff

16 16

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16 16 16 \16 I !    I I

>0,5

/itlf II

(c)

QZS-

fs

Ÿ6

lO

05

IJP

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0,5*

3><-

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!b

i⁵*

U-

w

aHP-

rs |

__

H*4-

« «

4«H

/« /ff ir,<

Fig. 520.

für p =30 zusammengestellt worden. Die Zahlen für die mit Lokomotiven belasteten Knotenpunkte wurden durch Unterstreichung hervorgehoben.

34

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

Knotenpunkt

Knoten

punkt

10

11

12

13 14 ; 15

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

D₂ sin 9 D₃ sin 9 D₄ sin 9 Z>₈ sin 9 X>₈ sin 9 Z)₇ sin 9 Dg sin 9 D₉ sin 9 D₁₀ sin 9 Du sin 9

27

19

11

25

23

21

19

— 11

17

17

— 13

5    7    9    11    13

15

13

11

15

13

11

15

17

19

21

23

25 27

29

Aus diesen Zahlen folgt:

D2p = 1,36 (27 + 19 + 3) + 0,82 • 11 = 75,66‘ „ DZp = 1,36 (25 + 17 + 0 + °>⁸² ’ ⁹ = 65,86 „ Dip = 1,36 (23 + 15)

„D5p — 1,36 (21 -j- 13)

„D6p =1,36(19+ 3)

„D7p =1,36(17+ 1)

„D8p =1,36-15 „ D9p = 1,36 • 13

>> ^10p⁼⁼ 1>66 • 11 m Dllp

+ 0,82- 7 = 57,42 + 0,82- 5 = 50,34 + 0,82 • 11 = 38,94 + 0,82- 9 = 31,86 + 0,82- 7 = 26,14 + 0,82- 5 = 21,78 + 0,82- 3 = 17,42 + 0,82- 1 = 13,06.

= 1,36- 9

In Folge der ständigen Belastung g— l,6*/m entsteht

A(₂₇ + ₁₉ + u+₈)

A (27 + 19 + 11 + 3 ) 4,52 = 9,04' A (25+ 17+ 9 + A) 4,5₂ = 7,80“) A (₂3 + 15 + 7) 4,52 = 6,78'

A (21+ 18 + 5—+ 4,52 = 5,76'*) = D„ — 4,52

Ai,=

sin 9

sin 9

3

*) Die Knotenpunkte 1 und 15 sind nur mit je — <7X belastet.

D6g = 9,04 — 4,52 = 4,52* Dlg = 7,80 — 4,52 = 3,28* D%a = 6,78 — 4,52 = 2,26*

= 5,76 —4,52 == 1,24* D₁₀g— 4,52 — 4,52 = 0 Dlu= 3,28 — 4,52 = — 1,24*

Im Ganzen erhält man also in Folge Verkehrslast und Eigen-D₁₁ der Reihe nach die Werthe:

D = 85*, 74*, 64*, 56*, 43*, 35*, 28*, 23*, 17*, 12*.

Auf dieselbe Weise findet man für

gewicht für

D₂ bis

Dp -}- Dg die Werthe

D= 9**), 8**), 7**), 4*, 0*, —4*, —7*, —12*, — 17*, —23*.

Um nun die Spannkräfte in den Stäben der linken Endscheibe zu berechnen, betrachten wir den in Fig. 521 dargestellten Belastungszustand dieser Scheibe. Mit den aus der Figur ersichtlichen Bezeichnungen ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen

A **)

2 sin 9

St S₂ ⁼⁼ D₂ d₄,

Sl + S₂

min

's/y

aus denen folgt:

Sx =

D₂

Do —D

Sz

Da nun

A — Px + (D₃ + Di -f- D₂ -f- D₅) sin 9 sein muss, so erhält man schliesslich die Formeln

-Ç

Fig. 521.

Px

4 sin 9

[Dg— D₄ + 3D₂ + D₅]

Px

f T[Dg +3D₄— D₂ + D₅],

4 sin 9

welche die Herleitung der Einflusslinien für St und S₂ aus den D-Linien ermöglichen. Fig. 520b zeigt die S₂~Linie, deren Konstruktion einer weiteren Erläuterung wohl nicht bedarf. Man braucht nur die Strebenzüge, denen die Diagonalen D₃, D₄, D₂ und D₅ angehören, zu verfolgen und festzustellen, welche Knotenpunkte der unteren Gurtung in ihnen liegen.

*) Die ersten drei Werthe sind nur von g abhängig.

**) A bedeutet den um die Belastung des Knotenpunktes 0 verminderten Stützenwiderstand.

¹

Man vergl. die Untersuchung des in Fig. 429 dargestellten Trägers auf Seite 446 u. f. und bilde zur Uebung die Determinante D. Auch empfiehlt sich Untersuchung des Falles eines von Gurtung zu Gurtung reichenden Mittelständers, der mit den ihn kreuzenden Diagonalen nicht verbunden ist.

²

Knotenpunkt 14 ist nur mit f g\ belastet.

³

Werden sämmtliche Dg gesucht, so berechne man einen Werth Dg sin <p mit HiKe der Ordinaten der Einflusslinie, die übrigen aber mittels der Gleichungen I.

Nach Berechnung von St findet man

V— -f- 2 St sin 9 (als Druck positiv)

während die in der üblichen Weise als Zugkräfte positiv angenommenen Stabkräfte V₀ und Vu den Gleichgewichtsbedingungen genügen müssen

V₀ = Sx sin 9 — Dz sin 9 Va = Px — S₂ sin ç -f- D₅ sin 9.

Man findet

V,=±P₁+^[ZDi—3D₃-Di + Di)Sm'f

— Z>₃ — 3 Z>₄ -f- 3 Z>₅] sin 9.

r"=Tp>+T[i>!

Die Einflusslinie für V„ ist in Figur 520c dargestellt worden. Man erhält für die in den Figuren 520b und 520c gezeichneten Laststellungen

max

Vup — 44*.

maxS2p =59* und

Den Einfluss des Eigengewichts berechnet man mit Hilfe der

Formeln

Pig. 522.

9l

L_(.

4 sin 9 V 2

V.,= P₁

4 /    2 v

(S2g — D5g) sin 9

jg\ — (S2g — Dög) sin 9 = 1,01*.

S₂ ⁼— 66* und

—Dis) = 7,07'

max

Im Ganzen entsteht also

r. = 45'.

m ut

Wir empfehlen dem Leser, in gleicher Weise auch die Spannkräfte der in der Fig. 522 dargestellten Anordnung der Endscheibe zu untersuchen und wenden uns jetzt zu den Gurtstäben. Wir beschränken uns darauf, die Konstruktion der Einflusslinie für U₈ zu beschreiben.

Zunächst fassen wir U₈ als Stab des in der Figur 523 kräftig ausgezogenen Theilsystems auf, dem die unteren Knotenpunkte 1, 5, 9 und 13 angehören. Es folgt dann aus dem Momente Jf₍₇₎ in Bezug auf den oberen Knotenpunkt (7) für U₈ der Werth

Mp)

die Punkte l', 5', 9', 13' der Einflusslinie gehören also dem Linienzuge A'(7)'B' an, der durch A J₇ = 1

= ⁶’⁵T

bestimmt ist.

■'s

(aj M (#)    (s)

*r

Jw    yi yx |/<? j/ÿ iy

i

ik

7j"

'«S:

s''

'U

\ *k \

</-tf-- ^«î’A /

yr

Fig. 523.

Und ganz ebenso lässt sich folgern:

Die Punkte 2', 6', 10', 14' liegen auf dem Linienzuge AL'(8)'.B'

A'(9 )'B'

19

11

3', 7', 11', 15'    „

4', 8', 12'

11

11

11

11

1*

Durch diese Angaben ist die Einflusslinie für Us bestimmt.

Anmerkung. Zu einer eingehenden Untersuchung mehrtheiliger Strebenfachwerke wurde ich bereits in den Jahren 1894 und 1895 gelegentlich einer im dienstlichen Aufträge ausgeführten Prüfung von Entwürfen für zerlegbare

eiserne Brücken veranlasst. Es stellte sich bei dieser Untersuchung heraus, dass es vor allen Dingen darauf ankommt, geringe Spannkräfte in den Diagonalen zu erhalten, damit die Durchmesser der auf Biegung beanspruchten Gelenkbolzen möglichst klein ausfallen. Ein »j'ertheiliges Eachwerk, wie das in No. 22§ behandelte, in welchem sich in einer Diagonale eine Spannkraft entwickeln kann, die beinahe ebenso gross ist wie bei einem smtheiligen System, ist für zerlegbare Brücken natürlich ganz ungeeignet, taugt aber auch sonst nicht als Brückenträger. Schon der Umstand, dass dieses Fachwerk unsymmetrisch ist, spricht gegen seine Verwendung. Die vorgeführten Aufgaben beweisen, dass man mit symmetrischen Anordnungen bessere statische Ergebnisse erzielen kann und dann noch den Vortheil zweier gleichartigen Trägerhälften gewinnt. Aus gleichen Gründen verdient auch das Fachwerk in Eig. 504 den Vorzug vor dem Eachwerk in Fig. 510. Die kleinsten Strebenkräfte erhielt ich für statisch unbestimmte mehrtheilige Fach-werke mit steifen Endscheiben; sie wurden sowohl nach dem genäherten als auch nach dem in Band II mitgetheilten genaueren Verfahren berechnet. Auch das Fachwerk mit steifen Endscheiben und Mittelvertikale (Vereinigung der in den Figuren 520 und 514 dargestellten Anordnungen) erwies sich als vortheilhaft und leicht zu berechnen.

Die Warnung vor dem in No. 22§ untersuchten Fachwerk spreche ich hier hauptsächlich deshalb aus, weil in einem Aufsatze über „Statisch bestimmte mehr-theilige Wandgliederung der Gitterträger“¹) von Prof. Mehrtens gerade für diese Anordnung — allerdings ohne Durchführung einer eingehenderen Untersuchung — eingetreten wird. Herr Mehrtens nennt ein Strebenfachwerk, „das einen einzigen in sich geschlossenen Stabzug bildet, der von einem Ständer-Eckknoten ausgeht und in einem anderen Ständer-Eckknoten endigt“., ein endloses Netzwerk — eine Benennung, die mir, beiläufig bemerkt, wenig passend erscheinen will, für einen Stabzug, von dem doch ausdrücklich behauptet wird, dass ein mit dem Anfangspunkte nicht zusammenfallender Endpunkt vorhanden ist; er weist (in der Literatur wohl zum ersten male) darauf hin, dass diese Fachwerke statisch bestimmt sind, beschreibt auch ein einfaches rechnerisches Verfahren zur Ermittlung der Einflusslinien für die Strebenkräfte und beendet dann seine Abhandlung mit dem Satze: „Vergleicht man schliesslich die gebräuchlichen mehr-theiligen Netzwerke mit den erörterten endlosen statisch bestimmten Netzwerken, so finden sich die mehr als zweitheiligen unbestimmten Anordnungen insofern

Viereckzüge²) enthalten, die beweglich

im Nachtheil, als sie stets (t — 2) —

sind und für die Lastübertragung nicht taugen. Dagegen vertheilen die statisch bestimmten mehrtheiligen Netzwerke alle Lasten gleichmässig über das gesammte Stabwerk der Wand, der Gurte und der Ständer.“

1 ³)

Alle in diesem Satze aufgestellten Behauptungen sind unrichtig. Herr Mehrtens übersieht, dass die gebräuchlichen mehrtheiligen Netzwerke steife Endständer besitzen. Zweitens haben wir in Fig. 442 (Seite 453) ein mehrtheiliges Fachwerk ohne steifen Endständer kennen gelernt, welches statisch unbestimmt

ist und trotzdem keinen „beweglichen Viereckzug“ besitzt. Ganz unverständlich ist aber der Schluss des beanstandeten Satzes; denn wie hat man sich die gleichmüssige Vertheilung einer Last über sämmtliche Stäbe des Systems vorzustellen? Oder soll das etwa heissen, es sei zulässig, für einen senkrecht durch den Balken geführten Schnitt die Querkraft zu bilden und gleichmässig über die vom Schnitte getroffenen Diagonalen zu vertheilen? — ein Verfahren, das bei mehrtheiligen Netzwerken mit steifen Endständem öfters benutzt wird, das aber bei einem Netzwerk der hier besprochenen Art (Endständer mit Gelenken in jedem Knotenpunkte) zu ganz unrichtigen Ergebnissen führen kann. Das beweist die in No. 22$'durchgeführte Berechnung der Spannkraft D₂, welche nicht

lieferte.

4 sin 9

sin tp

sondern beinahe Z>₂

Nachtrag.

i.

Neue Belastung Tor sehläge für EiseiiTbalmbriieken.

Wahrend der Drucklegung dieses Buches wurde vom Verein Deutscher Eisenhahnverwaltungen ein Bericht über Verhandlungen des Ausschusses für technische Angelegenheiten veröffentlicht, welcher u. A. neue Vorschläge für die beim Entwerfen von Brücken anzunehmenden Belastungen enthält. Fig. 524 giebt die Achslasten der Lokomotive und des Tenders an. Sie wird in jenem Berichte von der Vorschrift begleitet:

Under

Xolcomotir/e

•9,0

t,e

l,e | Meter

16 16 16 16 16

13    13    13 Tonnen

HC-

Fig. 524.

„Der Berechnung der Brücken ist ein Zug aus zwei Lokomotiven sammt Tendern in ungünstigster Stellung und einseitig angereihten Wagen von 3,6 Tonnen Gewicht auf das laufende Meter Wagenlänge (einschliesslich Bufferlänge) zu Grunde zu legen.“

„Insofern für kleine Stützweiten oder Belastungslängen vier je 1,4m von einander abstehende Achsen, von denen eine an der ungünstigsten Stelle mit 18 Tonnen Belastung anzunehmen ist, grössere Beanspruchungen ergeben, als die oben skizzirte Lokomotive, ist dieser Belastungsfall der Kechnung zu Grunde zu legen.“

Der Bericht ist reich mit Tabellen ausgestattet, denen wir folgende Werthe

entnehmen.

Grösste Biegungsmomente für verschiedene Stützweiten l.

M,

max

Mmax

tm

tm

tm

tm

ÜIOÜIO

15

11,5

235,0 261,0

289.4 18    318,45

349.5 380,9

448.1 525,8 604,0

44

16

17

19

46

48

50

52

1607

1737

1872

2007

2147

78

80

82

84

4158 4 329 4 504 4 680

4    859

5    039 5 223 5 407 5 595 5 783 5 976 6172

86

Die zweite Tabelle dient zur Berechnung der grössten Querkräfte und entspricht unserer Tabelle I auf Seite 150. Die Strecke bx giebt (nach Fig. 527,

Statische Momente

54

2286

22

24

56

58

2430

2574

88

90

26

28

40

1350

42    1477

60

62

64

66

68

70

72

74

76

2723

2874

3027

3182

3339

3499

3660

3824

3990

92

94

96

98

100

110

120

130

140

150

bi

©„

bi

bi

S»

© th t-7 e-f c<T

O: rfk-WK JO Ol 00 00 JO 05 05 G5 o o

22*)

24*)

26*)

28*)

30*)

2 030 2 398

2    788

3    186 3 615

64

68

72

76

80

17    790 19 385

ü* ^ rfx CO OO

o'oooo

CO CO tO

Ol ^1 CD to Oî CO 05C0OC0 OO J-*- CO j-4 J-⁴- JJ* JO JO j-1 JO *01 05 05 05 05    05 05 00 00 00

UT5

OItHCOOOO (M-^COOOO COCOCQCQrJi

4 075

8    256 8 844

84

88

92

96

100

105

110

115

120

125

21034 22 743 24 509 26 330 28 212

30 644 33 166 35 778 38 480 41 271

O 00 05 JO

'o'o o o o

744,6

966,9

1201

1453

1719

52

54

56

58

60

9 446 10 061

10    691

11    338 11 998

130

135

140

145

150

44 153 47 125 50 187 53 339 56 580

*) Ist die Stützweite l<blJr 4,0 m so sind folgende Werthe zu nehmen:

@«

o o o o o t- oo oT cT o

T-t <M

331.8

409.8

487.8 566,3

1763

22

24

26

28

30

2083

2434

2816

3209

3617

Seite 540) die Entfernung der ersten Last von der rechten Stütze an. Die Tabellen des Berichtes, aus denen wir hier einen Auszug geben, enhalten nur die statischen Momente nicht aber die Lastensummen was offenbar ein Mangel ist, da man diesen "Werth zur schnellen Entscheidung der Frage nach der günstigsten Laststellung braucht. Man vergleiche die Zahlenbeispiele am Schluss dieses Nachtrages.

un-

II.

Neue BelastungSYorscliriften für die Preussischen Staatsbaimen.

Das Preussische Ministerium der öffentlichen Arbeiten hat eine neue Belastungsvorschrift aufgestellt, welche noch etwas grössere Momente und Querkräfte liefert wie die Vorschläge unter I.⁴) Sie zeichnet sich durch die grösste Einfachheit aus und erleichtert deshalb die Berechnung auch in solchen Fällen, in denen die für einfache Balkenbrücken ausgearbeiteten Tabellen nicht benutzt werden können. Fig. 525 zeigt die Anordnung von Lokomotive, Tender und

Jjokomotii/e

1,3 ^ 1,3    1,3 lyS

Tender

J'° II i,s-<---%3----•:»

1/3 ! 1,3

Giiterufagen

tf

3,0

feter

17    17    17

fr-m.

13    13    13

13

13 Tonnen

13,0

-3H

Fig. 525.

Güterwagen. Alle Badstände sind durch 1,5 theilbar. Es ist, wie nach der früheren Vorschrift, ein Zug aus zwei Lokomotiven in ungünstigster Stellung mit einer unbeschränkten Anzahl einseitig angehängter Güterwagen anzunehmen So lange sich weniger als 5 Lokomotivachsen auf der Brücke befinden, sind grössere Achslasten in Rechnung zu stellen, und zwar ist für jede Achse anzunehmen:

18 ⁴ bei Belastung mit vier Achsen, 19' „

20' „

„ drei Achsen,

„ einer oder zwei Achsen.

a. Momente.

Die Tabelle A enthält die grössten Momente für Stützweiten von 1,0 bis 150m. Für dazwischenliegende Stützweiten ist geradlinig einzuschalten, wobei die angegebenen Werthe A Mmax ’■ A l benutzt werden können.

AI

tm

JO OOjO 05 C"

"© o © o © o o o o o

A. Grösste Biegungsmomente.

tnax

Al

Mmax

AI

mai

am;

Al

Al

tm

CO 00 -J, Ci    JOtOJOJOJO

~o »ookib 'oo'öoli^'to'o

10,00

11,00

12,00

13,16

15,01

16,88

18,76

21,61

28,50

35,63

42,75

57,00

73,45

93,50

114,7

OHNCO^o

H rH rl rt H H

135.9 157,1 178,4 199,7 221,6

243.9

CO to to to to to WIOKK    KX

^    ^ p 05 ji-    Oo CO CD CD    O* Cn O* C* C*

CD CO CO cok) to to'nx.'ix'bo to 'tOOOC^'ix *Cö WGobo o ö'o'oö

OO O 0^000 o oooo

t® CD S

cc    ® s s o c»

to o a ob ’ao'o'oooto

832,3

939,2

1050

1165

1286

1416

1552

1689

1832

1976

2123

2273

2423

2577

2737

2900

Die Kurven der grössten Momente Mx an den verschiedenen

Stellen (as) einer Brücke wird genau durch zwei Parabelstücke und

genug

eine gerade Linie, deren Länge gleich 0,12 l ist, dargestellt. Zur Berechnung von Mx dient die Zahlenreihe Für die dazwischenliegenden Werthe x : l ist geradlinig einzu-schalten, wobei die angegebenen AM*

B.

Werthe

Mmax

den können.

: A ~ benutzt wer-

26,1

27,8

29,2

32,8

34,2

37,5

40,8

40,8

48,1

52,1

53,5

55,4

57,5

60,5

65,0

68,0

68,5

71,5

72,0

73,5

75,0

75,0

77,0

80,0

81,5

■«----cL

f. <jc—>■

-c

60

62

64

66

68

70

72

74

76

78

80

82

84

86

88

90

92

94

96

98

100

110

120

o o o

CO O

t—I tH -pH

2    900

3    063 3 232 3 402 3 575

81,5

84,5

85,0

86,5

3 751

3    927

4    109 4 295 4 484

88,0

88,0

91,0

93,0

94,5

4 674

4    868

5    063 5 263 5 464

5 669

5    876

6    089 6 303 6 520

6    740

7    918 9 176

10    520

11    965 13 510

O.lxtl

--->*£-->K---

Jf

7i\cur?

Fig. 526.

95,0

97,0

97,5

100

101

103

104

107

107

109

110

118

126

134

144

155

cL --

B.

fe!

tf¹

IS

«

88S88 223

ooooo 00000

O O v-H^ Ol CO^    ^ kO iO co

0000 o    o o o o cd

_tOÇ»COCO 05

o o od § g o

00000    00000

Il111 11111

00000 oo'oocT

P Jr⁴⁻Jr"⁻Jr* 5* totototo

SS SS s 8 Si g 8

COOOOWrH

CO CO ^ ^ ^

doddd

l> H (N 00 O CO GO 03 Oî O 05 03 03 O oddoH

Die Werthe der Tabelle B folgen dem Gesetze

Mx

x (2 d — x)

wo d — 0,44 l ist.

b. Querkräfte.

Der Tabelle C, welche zur Berechnung des Stützenwiderstandes dient, der am linken Auflager einer Balkenbrücke durch einen vom rechten Auflager aus vorrückenden Eisenbahnzug hervorgerufen wird, haben wir genau dieselbe Anordnung gegeben, wie der Tabelle I auf Seite 152. "Wir verweisen daher auf Seite 145, No. 85. Der Auflagerdruck A wird mittels der Gleichung berechnet

A=S*J- ($» bn + ©«)•

K-

y Y__¥

T---ä-

......e

.......*

pv

Fig. 527.

Die ersten vier Zeilen sind nicht für den über der Tabelle stehenden Lastenzug berechnet, sondern nach der für die Belastung durch eine kleinere Anzahl von Achsen geltenden Vorschrift. Es ist also gesetzt worden:

& = 20‘,    = 2 • 20 = 40*, $ß₃ = 3 • 19 = 57*    = 4 • 18 = 72*

und für diese schwereren Lasten sind auch die Momente ©» berechnet worden.

C.

Lokomotive

Tonnen j 17 — 17 — 17 — 17 — 17 1,5    1,5    1,5    1,5

Meter

«

b*

Tender —13 — >3 1,5 1,5

H*-

Lokomotive -17—17 — 17-17 1,5 1,5 1,5 1,5

Güterwagen

Tender — 13 - 13 I 13 — 13 \ 13 - 13 1,5 1,5    3,0 3,0 3,0 3,0

Cl

<S»

Cl

r kO O kO o

Ö'^co'^Tco

co 00 &

O    vH 04 CO kC

vH    H H H tH H

kO_ kO^ kO    O kC OkOO

o ol ccT co co    i-î oT oo^ ö'

HHHHH 04 04 04 04 co

►P to H co 00 Hl C" kP fcO 00 H H GO O'IO^IOO

175

192

to to to

co to o

U* to CO

30

85,5

162

255

637.5

784.5

951

1 509 1 720,5

3    448.5 3 781,5

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

! 42

43

44

45

76,5

79,5

82,5

85,5

88,5

91,5

94,5

97,5

100.5

103.5

106.5

109.5

112.5

115.5

118.5

443

456

469

►P* kP

508

521

cn o* O* Cft kP CD 0-4^

16

17

31,5

248

18

34,5

261

19

37,5

274

40,5

287

20

43,5

300

4 134

vO    kO

tH ^ L'- O OO 04 CM 04 CO CO tH tH

tH tH tH

638

kO co b-

CO CO CO

690

43 419 45 333 47 286 49 278 51 309

21

22

46,5

313

49,5

23

52,5

326

24

339

55,5

25

58,5

352

365

M- M- M-

⁰⁰ 5^1°    5^

Ql Ql Ql Ül

703

716

729

742

755

53 379 55 488 57 636 59 823 62 049

26

27

28

29

30

th i>r o co co co co t>»

^ CD tOKOCO O -4

t-H "TT

16    848 18 099

56

57

58

59

60

151.5

154.5

157.5

160.5

163.5

768

781

794

807

820

64 314 66 618 68 961 71 343 73 764

Bei gewissen Stützweiten kann es Vorkommen, dass für Querschnitte in der Nähe des linken Auflagers die grösste Querkraft entsteht, wenn die erste Maschine rückwärts fährt und der Tender die Brücke bereits verlassen hat,

111

-it-

Fig. 528. Es gilt dann die Tabelle D, deren fünf erste Zeilen mit denen der Tabelle C übereinstimmen. Sobald 33,23 m ist, liefert die Tabelle C stets den grösseren Stützenwiderstand A. Die Unterschiede zwischen den für die beiden Zuganordnungen sich ergebenden Werthe sind übrigens unwesentlich, wie aus den beiden folgenden Zahlenreihen hervorgeht. Die obere Reihe ist mittels Tabelle C berechnet worden, die untere mittels Tabelle D.

Z = 10

12

14    16

18

20

22

24

26

28    30

32 Meter

A — 59,5 A — 59,5

65

64

72    79

70    77

84    I 90

85    94

97 [ 104 100 I 107

113

114

119 ! 126 121    127

133    Tonnen

134

D.

Lokomotive

Tonnen | 17 — 17 — 17 — 17 — 17 1,5    1,5    1,5    1,5

Meter

05

Güterwagen

-17 — 17 — 17-17 | 13 — 13 — 13 | 13 — 13 | 13 — 13 1,5    1,5    1,5    1,5    4,5    1,5    1,5 3,0 3,0    3,0    3,0

Lokomotive

Tender

Cl

©»

Cl

©„

O tH CO ^ CO

20

0_ 50^ O Cvf CO iO

vH vH vH

40

57

GO CO Cn O O

10

11

16,5

18,0

.22,5

153

170

183

72

85

102

119

136

0 <1 tO K H- O) 05 QO Ol to

12

13

14

15

1096,5

16

24,0

196

25,5

28,5

31,5

34,5

209

222

235

248

1300.5

1530.5 2295,0

2569.5

2863.5

3490.5

4156.5

4861.5

III.

Zahlenbeispiele für die Benutzung der Tabellen.⁵)

1. Berechnung der Querkräfte und Gurtspannkräfte für einen Parallelträger von 36m Stützweite und 3,6m Feldweite. Fig. 529.

/sm

-⁵ F

IS

i.

Fig. 529.

a. Querkräfte. Nach Seite 139 muss der von B nach A vorrückende Eisenbahnzug die Grundstellung überschreiten, sobald    wird. Da nun y

= 17-10 = 170* ist, so lehrt ein Blick auf die Tabelle C, dass erst bei einer Zuglänge von 21,0“ grösser also 170* wird. Für die Felder 5 bis 9 sind also die Grundstellungen massgebend; in den anderen entsteht Qmax, wenn die zweite Achse an dem das Feld rechts begrenzenden Knotenpunkte liegt. Im linken

Knotenpunkte des Feldes greift dann die Last 17

1,5

3,6

= 7 * an. Den Zug noch

weiter vorzuziehen ist nirgends nöthig, weil den Werth (Pt + P₂) y = 340*

erst bei einer Zuglänge von 52,5“ überschreitet. Nach dieser Entscheidung über die Zugstellungen, die in Fig. 529 durch kräftige Linien angedeutet worden sind, wurde die Berechnung der maxQ in der folgenden Tabelle durchgeführt. Der Abstand der ersten Last vom rechten Auflager ist mit £ bezeichnet worden.

Feld %

Cl

bn=t, — c₁ ^5»

@»

ma -

Q = A — 7,0

tm

H M CO TP

33,9

30,3

26,7

23,1

0^0 0*0^ ^ cT of CO CO

248

235

209

192

^(NOOO GO 00 O 03 •H N iO (M ^ CO CM (M

131

107

85

65

124

100

78

58

O CO GO ©

GO co cT ccT CO

H -H H

© -^oo^o^co^ oo^Teffc^co

tH tH tH

0^00 CO O © O TH O

124

00 IO N 0)00 0

1509

iO CO kO Oi CO 04

86

« O Ci o w

CO H tH

o»

co

Die Benutzung der den früher üblichen Belastungen entsprechenden Tabelle I auf Seite 310 liefert folgende Querkräfte

0 = 83*, 66', 52*, 40‘, 28*, 19*, 12*, 6,4*, 2,4*

dieselben sind wesentlich (nämlich um 50 v. EL) kleiner als die oben berechneten Werthe.

b. Gurispannkräfte. Das grösste Moment ist, nach Tabelle A,

1165

max

M — 1165*”*.

Man erhält

Mt

3,6

= 324* und mit Hilfe der Tabelle B

für y = 0,1    —    Ot    =    +Ut    =    0,403-324    =    131*

0,2    —    Oa    =    + Ua = 0,703 • 324 = 228 *

0,3    —    0₃    =    -|-U₄ = 0,899-324 = 291*

0,4 — 0₄ = + U₅ = 0,992 -324 = 321*.

U₁ ist gleich Null.

2. Berechnung der Spannkräfte Z>, V, U, O des in Fig. 530 dargestellten Parahelträgers.

a. Füllungsstäbe. Ueberschreitet der von B aus vorrückende Eisenbahnzug die Grundstellung soweit, dass die Lasten Px bis Pr im mten Felde liegen, Fig. 531, so wird der Knotenpunkt m — 1 mit

K-

o.

0,

o.

Ou

<h

rXr

'6

19

Z~ 10. >1,0= tfOyn' Fig. 530.

>1

2P&

/•

SPe

P' =

belastet. Am linken Auflager entsteht

A = -±

Die Spannkraft in der Diagonale nimmt die Form an

J = iD' + P'D"

und für die Vertikale erhält man

V=AV' + P' V".

Hierin sind D' und V’ die Spannkräfte in Folge A = 1, deren Ermittlung in No. 151, Seite 255 gezeigt worden ist. D" und V" sind die Werthe, welche die in Fig. 245 auf Seite 260 dargestellten Spannkräfte D’" und V"' für P' == 1 annehmen. Auf der linken Trägerseite gehören hei untenliegender Fahrbahn zum mten Felde die Stäbe Dm und Vm~\, auf der rechten Trägerseite die Stäbe Dm und Vm. Wir wollen die ganze Untersuchung rechnerisch durchführen.

7>l ",

»!

ml

p,

' I 'p

IvJi

111

nr-

k-

Fig. 531.

Für die linke Trägerhälfte ergiebt sich für den Zustand A — 1 die Gleichgewichtsbedingung (Fig. 532)

1 + V'm + 0'm sin ßOT = 0

und hieraus folgt, da O'm cos ßm = —

Mm

hm

= — 1 ~ also O'm sin ßm = — 1 tg ßm hm    hm

ist, die einfache Beziehung

— r'm =

Xm hm-1

Xm - 1

x>»

D'^sinqp»,*);

und ebenso findet man für die rechte Trägerhälfte

Xm hm+\ Xm+l

- V'm =

Xm+1 hm

= D'rn+1 sin 9m+l.

//

Xi

>-U'

m+l

K------Je = m. A.

¹    m

Fig. 532.

Sind alle Felder gleichlang, so ergiebt sich (mit xm — m X)

hm-l

linke Seite — V'm = + D'm sin cpm

m ’    *-

V¹/    |    h , .

I rechte Seite — V'm = + D'm+i sin <pm+ ! = m ----(m + 1).

flm

Da nun die Höhen h des Parabelträgers dem einfachen Gesetze folgen Ä _4 fxm (l — xm) __ 4 fm {k — m)

k²

wo k die Anzahl der Felder und f die Trägerhöhe in der Mitte bedeuten, so erhält man schliesslich die einfachen Werthe

linke Seite

— v'm = + D'm sin cpm

(2)

rechte Seite -{- V'm = — D'm+1 sin <pm+j

Für die Spannkräfte V" und D” findet man (nach Fig. 245 Seite 260)

linke Seite V"m = + 1?

D"m =

Clm

(3)

rechte Seite V"m

Jim-1

Jim— 1

— -r—1 D"m sin cpm

Um

äm D"m sin cpm = -f- 1.

Jim

, D"m = +

hm ’

Nach diesen Vorbereitungen gehen wir zur Untersuchung der gefährlichsten Laststellung über. Verschieben wir den Zug unendlich wenig nach links, so ändert sich, da de — db ist, D um

hm

dD =

D' -

Si>\

+ D~n_|

*) Diese Gleichung kann auch aus Dm cos cpm = ——

hm

Mm — 1

Xm Xm— 1

gefolgert werden.

Müller-Breslau, Graphische Statik. I.

hm — l

hm hm -1

Die Spannkraft D nimmt also zu, sobald

»    r

SP> —SP

l D"

T?

ist. Eine etwa am Knotenpunkte m gelegene Last gehört nach der Verschiebung

(£)

das absolute Verhältniss der Zahlen

zur SP. Verstehen wir also unter

i

D" und D', und führen wir die Bezeichnung $ für SP ein, so erhalten wir den Satz:

und

SP.<*H+(+)

so muss die

(r + l)u Achse des Zuges am Knotenpunkte m liegen.*)

Bei den Vertikalen tritt natürlich

(Ç)

an die Stelle von

(£)•

Den beiden

zu demselben Felde gehörigen Füllungsstäben können verschiedene gefährlichste Zugstellungen entsprechen.

Für den in Fig. 532 abgebildeten Parabelträger erhält man nun mit k = 10 und f= 5,0m

Äx — 1,800'”, h₂ = 3,200m, ha = 4,200", fc₄ = 4,800", h₆ = 5,000"

Y\* + h²

ferner

sin 9

2,4369 1,6008 1,3810 1,3017

D't sin 9a = + — = — V\ D\ sin 9₃ = + -|- = — F'a J D\ sin 9₄ = + -^- = — F 4

¹⁻¹    4

De sin 9s — + —

D\ = + 0,305

s

.-s

a>

m

Dg = + 0,457

D'₄= +0,690

V\ = + 1,00

Dg = + 1,04

D'₆ sin <p₆ = — £ D\ sin <p₇ = —

D'₆ = — 1,56

= -v\

D'₇ = — 2,42

D ₇ = + 1,38

S D'g sin 9e =

<D

fH

=-n

D'₈ = - 4,27

D"₈ =+ 1,60

F"₆ = —1,04 V"₇ = - 1,14

D'e sin 9₉ = —

= -F't

D'₉ = — 10,97

D 9 =+2,44

y \ — — i,3i

Es sind nur die "Werthe D" und V" angegeben worden, welche gebraucht werden, was durch die folgende Aufsuchung der ungünstigsten Zugstellungen

entschieden wird. Die Zahlen (-jÿ-'j folgen beim Parabelträger auf der linken

und rechten Seite dem einfachen Gesetze

k -J⁻ 1 — m j . , •

--d. l. hier

(Ç)

11 —m

*) Hierbei ist natürlich auch darauf zu achten, dass beim Yorziehen des Zuges um eine endliche Strecke neue Lasten auf die Brücke kommen können.

und man erhält daher, weil P₁ 4

Belastungslängen £ = x’m 4- 1,5”⁶ (zweite Achse in m): für m= 9 <^\2 \ #' /    9

= 170⁶ ist, die folgenden Zahlenreihen für die

Co I 00 CO

PlT(l7~)-

38⁶    64⁶    97⁶    142⁶    204⁶ 298⁶ 453⁶ 765⁶

£ = 5,5 = 4,5 $„ = 72⁶

Für die ersten drei Felder ist $„>#!

9,5”⁶ 13,5m 17,5”⁶ 6,0”⁶ 13,5”⁶ 13,5”⁶ 85⁶    124⁶ 124⁶.

hier allein) die Grundstellungen überschritten werden. Für die anderen Felder braucht man in die vorstehenden Zahlenreihen die Werthe $„ erst gar nicht

viel stärker anwachsen als die $„. Man erkennt, dass der Parabelträger sich in dieser Beziehung ganz entgegengesetzt verhält wie der Parallelträger; bei letzterem ist    = 1 und die

Grundstellung muss gerade bei den Feldern in der Nähe von A überschritten werden.

Es ist nun noch nachzusehen, ob nicht noch ein weiteres Vorrücken des Zuges für irgend ein Feld geboten ist. Dies ist in der That erforderlich für das 9te Feld. Sobald sich nämlich der Zug um 1,5m weiter vorschiebt, wird

$„ = 85⁶ > (P₁ -j- P₂) -y-    = 2 • 38 = 76⁶. Man erhält für diese Stellung

aufzunehmen, da die "Werthe P₁

es müssen also hier (und nur

17 (1,5 4-3,0) _₁₉,

M = ~Yq ' 85⁶ = 8,5⁶, P’ mi„#₉ = — 10,97 • 8,5 -f- 2,44 • 19 = — 47⁶.⁶)

Die folgende Tabelle enthält die Berechnung der minD und

4,0

D. £ be-1 5

deutet wieder die Länge der belasteten Strecke. Es ist P’ =11    = 6,4⁶.

4,0

<JVf

bn = Z — Cl $„

©„

%nbn + <Sn

D = AD’ + P'D"

Feld

oT

iO

05

CO

o CO

Ul

t tm

85    255

951

OO 00 CO CO TH Cv|

min Ds = — 4,27 -13,8 4-1,60 • 6,4 in#₇ = —2,42 -23,8 4-1.38 • 6,4

-49

— 49

CO io ^ CO

16,0 13,5 20,0 19,5 24,0 24,0 28,0 24,0 32,0 31,5

124    951

158 1721

2508

209 2508 248 4134

31,5

45,0

62,7

83,6

106

m,.„#₆ = — 1,56 -31,5 = —49 Z)₅=-f-l,04 -45,0 = 4-47 #₄= 4- 0,690-62,7=4-43 #3 = 4- 0,457 -83,6 = 4-38 #₂ = 4-0,305-106 = + 32

max

ma •

max

Bezüglich der Vertikalen geben zunächst die folgenden Zahlenreihen Aufschluss über die ungünstigste Laststellung

m =■

(Ç)-

0,29    0,43    0,59    2,00

Ê = 9,5

Ci =    6,0

$„ = 85*

Für die Vertikalen 4, 3 und 2 kommen also Grundstellungen in Betracht und zwar entstehen „in F₄, m<„ V₃, min F₂ der Eeihe nach gleichzeitig mit xD₃. Man erhält mit den oben berechneten Werthen A:

3

min F4 —■    — ' 45,0

0

'HU

49 *    73*    100*    340*

— 22,5*; min V₃ — —

min Fg -

n IX

7+ maxD4,

■j- • 62,7 = — 18*;

-7- • 83,6 = — 10,5.

F₆, wenn die zweite Achse bei 6 liegt. Es ist dann

Weiter entsteht

5 = 16,0 + 1,5 = 17,5; ^ —13,5; Z>„ = 4,0; $„ = 124; @„ = 951; A = 36,2*

F₆ = + -^- • 36,2 - 1,04-6,4 = 57*

F₇ und minDr, entstehen bei derselben Laststellung; ebenso Man erhält daher

max

max

max

F₈ und minJDs-

max

max

F₇ = — • 23,8 — 1,14 • 6,4 = 56* o

F₈ = |. 13,8 — 1,31 • 6,4 = 54*.

Die Vertikalen 1 und 9 werden nur auf Zug beansprucht. Bei der in Fig. 529

F₉ = 17+ 2-17

1,0+ 2,5

47*.

angegebenen Laststellung entsteht

Für die Vertikale 5 ergiebt sich für jede Laststellung

M    M

F₈ = — 2 0₆ sin ß₅ = + 2 tg ß₅ = 0,10 —~

Dieser Werth ist stets positiv. Aus der Tabelle A auf Seite 539 entnehmen wir M₅ = 1420*“ und erhalten daher

r‘ = °’¹⁰ 5,0

b. Berechnung der Spannkräfte in den Gurtungen. Es ist

m< ta

max

max

4,0

1420

-j- 28*.

- Om COS ßm- + Um+l - +    ,

hm

„!f„D₉ =— 10,97-3,56 = — 39*. Das bedeutet aber einen Fehler von 20 v. H. Im vorliegenden Falle ist nicht nur die Grösse der Achsenbelastung, sondern auch die des Eadstandes wichtig. Ermässigt man z. B. die Achslast auf 16* und den

Eadstand auf 1,3“, so erhält man A =    • 80 = 8* und P’ = — —    ^

= 15,6* und findet dann minDd = — 10,97 • 8,0 + 2,44 • 15,6 = — 50*.

wo

Mm — M,

Xm (2 d — x„)

d²

hm — 4f

Xm (J Xm)

mithin für x <T 0,44 l

l*

und d = 0,44 l

Mm

km

= 1,29

Mmax 0,88 l Xm l Xm

Setzt man l = 10 X x < 0,44 l d. h. für m < 4,4

Xm —— 4M X, f = 5,0*”, if,

»fax

= 1420*m, so erhält man für

i¥m

hm

= 366

8,8 — m

10 — nt

M

liefert —— = 317*    311*    303'    293*.

hm

In der Mitte ist

Mm

1420

hm 5,0

= 284*. Man erhält nun weiter für

— Om

Mm

m = 1

sec ßm = 1,10    1,06    1,03    1,01    1,00

= 349*    330*    312*    296*    284*

1—sec ßm

hm

Die berechneten Spannkräfte sind in Fig. 533 zusammengestellt worden.

-296

-286

Tonnen

2*i +

— lös

Sr

+3ß

- 13

f«

’S

(7 6 +

+ 3/^

+ 3/2

+ 3/1

+ 303

Fig. 533.

3. Aufgabe. Es sind die von der Yerkehrslast herrührenden Stützenwiderstände A

und Ami» des in Fig. 534 dargestellten Gerb er-Balkens zu berechnen. Die positive A-Fläche unterscheidet sich von der Einflussfläche für

max

--------->j<-->J

---^ - - - - Zf M ------H

*r

t*\

Us-

das Moment Mx an der Stelle C eines gewöhnlichen Balkens AB nur dadurch

ist.*) Man erhält also

dass

AD

nicht gleich 1, sondern gleich 1 •

jL G

max

4 ct

Mx

4 ■ a 91

Mx = 0,0531 Mx.

49-35

Nach Tabelle (A) ist für l — 91m

M — 5670 -f- 105 = 5775"" = rd. 5780"" und nach Tabelle (B) für x : l = 35 : 91 = 0,385

Mx = (0,981 + 0,005 • 0,55) • 5780 = 0,984 • 5780 = 5690"" Man erhält also schliesslich Amax — 302*.

Für die negative Einflussfläche ist = 1

BJr

max

35

U'.ix

41₃    49 • 42

M= 1550"” für 7 = 42”*;

= 0,0170

I 42

0,17, Mx — (0,595 + 0,01 • 2,80) 1550 = 966"" Amin = — 0,0170 • 966 = — 16*.

IV.

Zusammenstellung verschiedener Gewichtsvertheilungen für Lokomotiven und Tender.

Da es immerhin Vorkommen kann, dass es zweckmässig ist, auch noch andere Belastungen in Betracht zu ziehen als die unter I und II angegebenen — wir brauchen nur auf unsere Untersuchungen über mehrtheilige Fachwerke und auf die Fussnote auf Seite 548 zu verweisen — so dürfte die folgende dem auf Seite 536 erwähnten Ausschussberichte entnommene Zusammenstellung nicht überflüssig sein.

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Badische Staats-Eisenbahn

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Bayerische Staats-Eisenbahn

As™'

*) Yergl. Seite 157, § 19 und Seite 168 No. 99.

Sächsische Staats-Eisenbahn

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K. Ungarische Staatsbahn

16 16 16 16

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Fig. 535—541.

¹

Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen, Wochen-Ausgabe, 1898,

Seite 329.

²

So nennt Herr Mehrtens die geschlossenen Stabzüge, wie 0123 .. 8 in Fig. 441, Seite 453.

³

t ist die Theilungsziffer.

⁴

Vorschrift vom April 1901.

⁵

In diesen Beispielen handelt es sich nur um den Einfluss der Verkehrslast. Den Zeiger p haben wir überall fortgelassen.

⁶

Für die Grundstellung würde sich, ergeben: cx = 3,0m; b„ = 4,0 — 3,0 = 1,0";    $„ = 57⁶; ©„ = 85,54 A = ⁶ (57 • 1,0 4- 85,5) = 3,56⁴ und

35⁶

Literatur zu den Abschnitten I, II und III.

1. C. Culmann, Die graphische Statik. Die erste Auflage dieses grundlegenden Werkes erschien 1864, die zweite 1875.

— Jmin, der aber bei geringem Unterschiede der beiden Grenz-werthe weniger bequem ist wie der von Mohr eingeführte Kreis. Dagegen habe ich an dem in meiner früheren Darstellung befolgten Verfahren, den Kreis durch zwei Trägheitsmomente und ein Centrifugalmoment zu bestimmen, festgehalten.

2. 0. Mohr, Ueher die Bestimmung und die graphische Darstellung von Trägheitsmomenten ebener Flächen, Civilingenieur 1887, S. 43. Diese Abhandlung enthält u. A. die in No. 34 des vorliegenden Buches mitgetheilte graphische Darstellung der Trägheitsmomente mit Hilfe eines Kreises vom Durchmesser Jmax + Jmin ■ Iu der vorigen Auflage benutzte ich einen Kreis vom Durchmesser J

3.    R. Land, Ueher die Berechnung und die bildliche Darstellung von Trägheitsmomenten und Centrifugalmomenten ebener Massenfiguren, Civilingenieur 1888, S. 123 u. Zeitschr. f. Bauwesen, 1892, S. 550. Es wird der von Mohr eingeführte Kreis benutzt und als drittes Bestimmungsstück (in Uebereinstimmung mit der vorigen Auflage meiner Graphischen Statik) ein Centrifugalmoment gewählt. Ich hebe dies nur deshalb hervor, weil im Taschenbuch Hütte 1899, Theil I, S. 180 steht: Der Trägheitskreis nach Mohr-Land, während es nur heissen darf nach Mohr.

4.    W. Ritter, Eine neue Festigkeitsformel, Civilingenieur 1876, S. 309. Zeigt die Berechnung der Spannungen a mit Hilfe des Kerns

5.    W. Keck. Excentrische Druckbelastung eines cylindrischen Mauerwerkkörpers ausserhalb des Kerns, Zeitschr. des Arch. u. Ing. Vereins in Hannover 1882, S. 301 und Excentrische Druckbelastung ausserhalb des Kerns bei Mau er werkskörpern von ringförmigem Querschnitte, dieselbe Zeitschrift, 1882, S. 627. Enthält u. A. werthvolle Formeln und Tabellen zur Berechnung von Schornsteinen auf Winddruck.

6.    0. Mohr, Ueber die Vertheilung der excentrischen Druckbelastung eines Mauerwerkkörpers, Zeitschr. d. Arch. u. Ing. Vereins in Hannover, 1883,

S. 163. Giebt die auf Seite 87, Fig. 82 mitgetheilte Konstruktion der Nulllinie an.

7.    Hlippner, Zur Ermittlung der Druckvertheilung in Mauerwerksquerschnitten, Civilingenieur, 1885, S. 39. Behandelt zum ersten Male den Fall eines nicht in einer Symmetrieachse liegenden Angriffspunktes.

8.    F. Heinemann, Excentrische Druckbelastung ausserhalb des Kerns bei Mauerwerkskörpern ringförmigen Querschnitts, Zeitschr. d. Arch. u. Ing. Vereins in Hannover, 1891. Erweiterung der Keck’schen Tabellen.

9.    A. Meyerhof. Die Biegungsspannungen der Z-Eisen zu Schiffbauzwecken, Zeitschr. d. Vereins deutscher Ing., 1899, S. 607.

Literatur zu den Abschnitten IV bis XIII, enthaltend die Theorie der statisch bestimmten ebenen Träger.

1.    Aug. Ritter, Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach- und Brückenkonstruktionen, Hannover 1863. 5. Auflage, Leipzig 1894. Untersuchung des einfachen Dreiecksystems mit Hilfe von Momentengleichungen.

2.    C. Culmann, Die graphische Statik, 1864, 1875. Behandlung des einfachen Dreiecksystems mittels der Zerlegung einer Kraft nach drei Richtungen.

3.    J. Clark Maxwell, On the application of the theory of reciprocal polar figures to the construction of diagrams of forces. Engineer, Vol. 24,

S. 402. Hier wird zum ersten Male die Konstruktion reciproker Kräftepläne für Eachwerke mit constanter Belastung gezeigt. Allgemeinere Untersuchungen hat Maxwell niedergelegt in der Abhandlung: On reciprocal figures and diagrams of forces. Philosophical Magazine, April 1864, S. 250.

4.    L. Cremona, Le figure reciproche nella Statica Grafica. Milano, J. Giugno,. 1872. Die Untersuchungen von Cremona sind viel allgemeiner gehalten als die von Maxwell.

5.    E. Winkler, Theorie der Brücken, Heft I: Aeussere Kräfte der Balkenträger, Heft H: Innere Kräfte der Balkenträger, Wien, 1873—1886.

6.    O. Mohr, Beitrag zur Theorie der Bogenfachrverkträger, Zeitschrift des Architekt, u. Ing. Vereins in Hannover, 1874, S. 223. Enthält in Form einer Anmerkung ein beachtenswerth.es Verfahren zur graphischen Berechnung des Fachwerkbalkens.

7.    H. Zimmermann, Das Momentenschema, Zeitschr. d. Architekt, u. Ing. Vereins in Hannover 1877, S. 61. Aufstellung von Tabellen zur Erleichterung, der Berechnung der Eisenbahnbrücken für Einzellasten.

8.    A. Foeppl, Theorie des Fachwerks, Leipzig 1880. Enthält eine Reihe grundlegender Untersuchungen.

9.    Henneberg, Statik der starren Systeme, Darmstadt 1886.

10. Grübler, Beitrag zur Theorie des ebenen einfachen Fachwerks, Rigasche Industrie-Zeitung 1887.’ Behandelt die Frage der Starrheit eines Fachwerks, mit Hilfe der Polbestimmungen für kinematische Ketten.

11.    Müller-Breslau, Beitrag zur Theorie des ebenen Fachwerks, Schweiz. Bauzeitung 1887, Mai S. 121, und Nov. S. 129. Entwicklung der kinematischen Theorie des Fachwerks sowohl mit Hilfe der Figur F' als auch mittels der augenblicklichen Drehpunkte der Glieder kinematischer Ketten. Hinweis auf die Williot’sche Darstellungsweise der Verrückungen der Knotenpunkte eines elastischen Fach werks.¹)

12.    Mohr, Ueber Geschwindigkeitspläne und Beschleunigungspläne kinematischer Ketten, Civilingenieur 1887. Anwendung des Williot’schen Verfahrens auf die Darstellung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen kinematischer Ketten.

13.    R. Land. Kinematische Theorie der statisch bestimmten Träger, Zeitschr. d. österr. Ing. u. Arch. Vereins 1888, S. 11 u. 162. Stützt sich hauptsächlich auf die Anwendung der Williot’schen Darstellungsweise.

14.    F. Schur, Ueber ebene einfache Fachwerke, Mathematische Annalen 1897,

S. 142. Knüpft an meine unter 11 aufgeführte kinematische Theorie des Fachwerks an. Wenn Schur die Einführung eines einzigen Momentenpunktes als ein neues Verfahren hinstellt, so beruht dies wohl auf TJebersehen meiner späteren Arbeiten (vergl. u. A. Centralblatt d. Bauverwaltung 1892, S. 246).

15.    G. Mehrtens, Statisch bestimmte mehrtheilige Wandgliederung der Gitterträger, Zeitschr. f. Architektur u. Ingenieurwesen, Wochenausgabe, 1898, S. 329. Vergl. die Anmerkung auf Seite 533 des vorliegenden Buches.

16.    W. Dietz, Beitrag zum statisch bestimmten gegliederten Balkenträger mit zweifachem Ausfüllsystem, Zeitschr. d. Vereins Deutscher Ingenieure 1899, S. 230. Enthält eine beachtenswerthe vergleichende Untersuchung verschiedener Doppelfachwerke.

Berichtigungen.

Seite 34. In Fig. 36 müssen sieh die Seilpolygonseiten I" und II" in der Senkrechten durch Si schneiden.

„    70, Zeile 11 von unten soll es heissen: „Klinkermauerwerk in verlängertem

Cementmörtel, vergl. Seite 101“ statt: „Klinkermauerwerk in Cement-mörtel.“

„    82, Zeüe 8 von unten: „in der Nähe“ statt: „in der Höhe“.

„    84, Zeüe 11 von oben: „von den 'Walzwerken“ statt „von Walzwerken“.

T    V

„    97, Zeüe 3 von oben: 2,5--— statt: 2,5 = — •

„ 109 und 209. Der in den beiden Fussnoten erwähnte Anhang konnte nicht so schnell umgearbeitet werden und wird deshalb erst am Schluss des II. Bandes gebracht werden.

„ 298, Zeüe 12 von unten: A'A" = p\y- statt: ÄA" =

„ 305, Zeüe 17 von oben: „Knoten 3“ statt: „Knoten 2“.

„ 341, Zeile 10 von unten: „Seite 145“ statt: „Seite 122“ und „Seite 310“ statt: „Seite 124“.

„ 345, Kg. 850: M.M

„ 378, Fig. 384: 2,69 und 3,81 statt: 269 und 381.

„ 395, Fig. 399: H= 18,70* statt: #=18,75*.

„ 435, Zeüe 3 von unten: 16-3 = 48m statt: 24-2 = 48m.

„ 453, Fig. 441a: Der zweite Pfeil von oben erhält die Bezeichnung 2 p. statt : p..

„ 457, Fig. 449 b: C statt C.

0,5 statt:

1,8 6,0

6,0    36

0,5.

Druck von Grimme & Trömel in Leipzig.

Vom gleichen Herrn Verfasser erschien:

Die neueren Methoden der Festigkeitslehre

von

2. vermehrte und verbesserte Auflage.

H. F. B. Müller-Breslau.

15*/₂ Bogen. Gr. 8°. Brosch. Mit 123 Textfiguren. Mk. 7.20.

Bekanntlich ein ausgezeichnetes Werkchen, wichtig für Jeden, der sich mit dem jetzigen Standpunkte der Festigkeitslehre vertraut machen will. Die neue Auflage ist gegen die frühere wesentlich verbessert und vermehrt, der Umfang ist von 12 Bogen auf 15V₂ Bogen gestiegen, die Zahl der Textfiguren von 121 auf 188.

In unserm Verlag erschienen ferner:

Elementare Theorie und Berechnung

Eiserner Dach- u. Brückenbau-Constructionen

von

August Ritter, Dr. phii.,

Geh. Keg. -Rath und Professor an der Technischen Hochschule zu Aachen.

5. neudurchgesehene Auflage.

Mit 495 Textabbildg. Gr. 8°. Preis brosch 10 Mk.; in Halbfrz. geh. 12 Mk.

Das Gesetz des Hebels — in seiner besonderen Form, das Gesetz der statischen Momente — lässt sich auf einfache Weise zur Bestimmung der Spannungen benutzen, welche in den einzelnen Constructionstheilen der Dach- und Brücken-Constructionen durch Belastungen derselben hervorgebraoht werden.

Die Resultate dieser Methode der statischen Momente, welche so gut wie gar keine Vorkenntnisse voranssetzt, sind klar und scharf, wie die Resultate der Geometrie, und von unmittelbar praktischer Anwendbarkeit.

Das Buch enthält eine grössere Reihe von Anwendungen dieser Methode. Auigaben-berechnungen und Anwendungen auf ausgeführte Constructionen bilden hierbei der Natur der Sache nach den grösseren Theil des Inhalts.

sowie :

Die Geometrie der Lage.

Vorträge von

Dr. Theodor Reye,

ord. Professor an der Universität Strassburg i. Eis.

Abth. I 4. Aufl. Mit 90 Textfiguren. Brosch. 8 Mk., in Halbfrz. geh. 10 Mk. Abth. II 3. Aufl. Mit 26 Textfiguren. Brosch. 9 Mk., in Halbfrz. geh. 11 Mk. Abth. III 3. Aufl. Broschirt 6 Mk., in Halbfranz geb. 8 Mk.

Als vortrefflich geeignet zur Einführung in die Lehren der Graphischen Statik zu empfehlen.

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Fig. 129. ( Seite l!bl).

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Fig. 196.a (Seite 218).

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Kräftepläne für Eisenbahnbrücken.

Fig. 309.

Fischbauchträger ( 8 37. Seite 305).

Tafel 3.

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unten.

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Tafel 6.

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Bum^ärtners Buchhandlung. Leipzig

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Vergl. Abschnitt I, § 1 der ersten Abtheilung des H. Bandes.

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