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DER

BAU DER BRÜCKENTRÄGER

mit

besonderer Rücksicht auf

Eisen-Constructionen

5:

von

Fr. Laissle und Ad. Schübler,

Ingénié u ren.

Zwei Theile in einem Bande.

\o\. Min ist

der

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Öffentlichen Arbeiten

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Das liecht der Uebersetzung in fremde Sprachen wird Vorbehalten.

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Stuttgart.

Verlag von Pa

1871.

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Druck von AVoerncr & Comp, in Stuttgart.

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Äkc. Nr.

A 606 / L/g

Vorrede

zur ersten Auflage.

Das Endziel vorliegender Arbeit ist die genaue Ermittlung der Querschnittdimensionen der Brückenträger, wie solche in jedem gegebenen Falle festzustellen sind.

Mit Ausschluss der Bogen- und Kettenbrücken fassen wir alle übrigen Brücken-Constructionen unter dem Begriff der Balkenbrücken zusammen; in den Kreis unserer Untersuchungen fallen daher die meisten der in neuester Zeit ausgeführten Eisenbahnbrücken; aber auch zur Be-urtheilung der Bogen- und Kettenbrücken, sowie der Bau-Constructionen im Allgemeinen ist ein richtiges Verständniss der Balkenbrücken erste Bedingung.

Die bisher allgemein angewendete Theorie ist schon von Navier in der Hauptsache zusammengestellt; der ungemeine Fortschritt der Technik hat nicht die Unrichtigkeit, wohl aber die Unvollständigkeit der gewöhnlichen Verfahrungsweise gezeigt; es hat sich die Notliwendigkeit ergeben, die Theorie auf breiterer Unterlage aufzubauen.

Unsere Bauliteratur zeigt denn auch ein lebhaftes Bestreben, die Lücken der Wissenschaft auszufüllen; besonders bemerkenswerth scheinen uns zwei gleichzeitig veröffentlichte Aufsätze: »Die Theorie der Brückenbalkensysteme von Fr. Schwedler« (Berliner Zeitschrift für Bauwesen 1851) und »der Bau der hölzernen und eisernen Brücken in England und Nordamerika von K. Culmann« (Förster’sche Bauzeitung 1851. 1852). Diesen beiden Arbeiten sind alljährlich neue Beiträge nachgefolgt und durch die technischen Zeitschriften mitgetheilt worden.

Gleichzeitig sehen wir die ausgezeichnetsten Ingenieure mit dem Bau von grossen eisernen Brücken beschäftigt ; wir sehen dieselben Grundsätze, welche kaum erst in die Wissenschaft aufgenommen sind, in überraschender Weise practisch angewendet; wir sehen in Folge dessen eine Mate-rial-Ersparniss erzielt, welche dem Baue der eisernen Brücken eine immer allgemeinere Anwendung zuwenden muss,

Die soeben angeführten Bauten sind schon zum Studium und zum richtigen Verständniss der anzuwendenden Grundsätze von höchster Wichtigkeit, sie haben aber hauptsächlich den directen Erfolg gehabt, dass die unbestimmten Begriffe von 4- bis 20faclier Sicherheit aus der Praxis verbannt sind und einer genauen Bestimmung der zulässigen Spannung und Pressung Platz gemacht haben, gleichwie auch über die bei Strassen und Eisenbahnbrücken in Rechnung zu ziehenden Belastungen allgemein gültige Normen gewonnen sind.

In Folge dieses glücklichen Zusammentreffens von Theorie und Praxis ist man heute schon im Stande, für den Bau der Brückenträger bestimmte Regeln zu geben. Wir haben hiebei streng den Gang der Wissenschaft beibehalten, aber wir haben es für nicht minder nothwendig erachtet, dass die endgültigen Formeln direct und schnell die gesuchten Dimensionen geben, dass sie angewendet werden können, unabhängig von dem vollständigen Studium vorliegender Arbeit.

Das Material fanden wir grösstentheils fertig vor, es war hauptsächlich unsere Aufgabe, das an verschiedenen Orten Zerstreute zu sammeln und zum Gebrauch bequem darzulegen: nur wenige Lücken haben wir durch neue Untersuchungen ausgefüllt; diese Lösungen, zunächst nur zur Abrundung des Ganzen gegeben, dürften indessen an sich schon die Aufmerksamkeit der Freunde der Wissenschaft verdienen.

Zürich und Stuttgart, Juli 1857.

Die Verfasser.

Vorrede zur zweiten Auflage.

In den sechs Jahren, welche seit dem Erscheinen dieses Buches verflossen sind, ist in Anwendung eiserner Brückenträger soviel Neues und Tüchtiges geleistet worden, dass bei der vorliegenden zweiten Auflage eine Umarbeitung und Vervollständigung einzelner Parthien nicht umgangen werden konnte; es gab uns diess erwünschte Veranlassung, zugleich diejenigen Stellen zu verbessern, wo es an Klarheit und Präcision fehlte ; hiedurch dürften auch die gegen einzelne Punkte erhobenen Einwendungen ihre Beantwortung finden, indem wir Besseres benützt und Anderes auf das richtige Maass zurückgeführt haben.

Durch diese Umarbeitung sind einige Abtheilungen wesentlich angewachsen. — Im ersten Abschnitt ist unsere Darstellung der nach jeder Eichtung innerhalb der festen Körper wirkenden Schubkraft weiter ausgeführt und zum practischen Abschluss gebracht worden. — In der Theorie der relativ rückwirkenden Festigkeit haben wir uns dem heutigen Stande der Wissenschaft anzuschliessen gesucht und dabei durch Auswahl passender Erfahrungs-Coeffizienten die Leichtigkeit der practischen Anwendung gewahrt.

Im zweiten Abschnitt haben wir uns insbesondere bemüht, die Bolzenverbindungen in systematischer und präciser Weise darzustellen. —

Im dritten Abschnitt ist durch Zahlenrechnung und graphische Darstellung nachgewiesen, welche gleichförmige Belastungen als Aequivalent eines Eisenbahn-Trains eingeführt werden dürfen.

Ferner wurde die Senkung der Zwischenstützen continuirlicher Träger berücksichtigt und zu weiteren Untersuchungen über den Einfluss der Continuität benützt.

Im vierten Abschnitte, welcher die Anwendung der Formeln zeigen soll, haben wir es vorgezogen, einzelne Constructionen vollständiger zu behandeln und die gewählten Beispiele in eingehender, dem Bedürfnisse der Praxis entsprechender Weise durchzuführen. Wir behalten uns vor, in einer Fortsetzung auch für die übrigen Anordnungen der Balkenbrücken Berechnungen und Beispiele zu geben, wozu der Umfang dieses Buches nicht ausgereicht hätte.

Die Verfasser,

Stuttgart, den 29. September 1863.

Vorrede

zur dritten Auflage.

Vorliegende Auflage ist ihrem Umfange und wesentlichen Inhalte nach übereinstimmend mit der vorhergegangenen geblieben. Es sind aber sämmtliche Nummern genau durchgangen und in vielen Punkten neu bearbeitet worden ; so wurden insbesondere die Belastungen und Eigengewichte als besonderer Paragraph ausgeschieden und vervollständigt; so wurde die Tafel XXIX. dem gegenwärtigen Bedürfnisse angepasst (indem für die meisten in der Praxis üblichen I Träger annähernde Widerstandsmomente gegeben sind) und wurde die Darstellung der gewöhnlichen Blech-wandbrücken kürzer und präciser gefasst; hiedurch und durch das nunmehr die einzelnen Nummern aufführende Inhalts-Verzeichniss dürfte die Uebersiclit und praktische Brauchbarkeit wesentlich gewonnen haben.

Der zweite Theil, dessen schon in der Vorrede vom September 1863 erwähnt wurde, wird nunmehr binnen Jahresfrist erscheinen und die prac-tischen Regeln für sämmtliche im vorliegenden ersten Theil nicht ausgeführten Balkenbrücken (insbesondere auch Fachwerkbrücken) enthalten.

Stuttgart, im Februar 1869.

Die Verfasser.

INHALTS -VERZEICHNISS.

Erster Abschnitt.

Die Entwicklung der Fundamentalsätze.

§. 1. Einleitung.

Seite

1. 3. Eintheilung der Brücken

§. 2. Die Entwicklung der Bedingungen des Gleichgewichts mit specieller Anwendung auf Balkenbrücken.

3. Aeussere und innere Kräfte ................

1. Angriffsmoment und Yertikalkraft, Widerstandsmoment und Vertikalwiderstand ...................

Î»—S. Gleichgewichtsbedingungen für Balkenbrücken........

co

\o b-

§. 3. Die Lehre von der Festigkeit stabförmiger Körper,

8. Absolute Festigkeit gegen Zug und Druck ..........

»—11. Elasticitätsmodul ..................

IS. Festigkeit gegen Abscheeren...............

13—lÄ. Relative Festigkeit und Trägheitsmomente........

18—30. Gestalt der neutralen Faser (elastischen Linie) und Grösse der

Biegung ..............

31—33. Methode von Clapeyron für continuhiiche Träger 31—36. Schubkräfte innerhalb belasteter Träger

10

14

15

29

32

Seite

22. 28. Beispiele über schiefe Wandspannung von Blechwandträgern . . 43

45

29—35. Relativ rückwirkende Festigkeit ..........

56

36. 32. Praktische Formeln für relativ rückwirkende Festigkeit .    .

Zweiter Abschnitt.

Erfahrungsresultate über die Festigkeit der Baumaterialien.

§. 4. Die Festigkeitscoefficienten.

38. 39. Coefficienten für absolute, rückwirkende und Abscheerungs-

00

lO co

Festigkeit..................

4»—425. Coefficienten für relativ rückwirkende Festigkeit ......

§. 5. Von der Festigkeit der Verbindungen.

43—49. Bolzen und Stossplatten............

50—54. Nietverbindungen im Besonderen.......*    .

55. Praktische Regeln für Nietverbindungen........

5©. 52. Knotenpunkte und andere Verbindungen .....

65

73

81

81

Dritter Abschnitt.

Bestimmung der Vertikalkräfte und Angritfsmomente.

§. 6. Frei aufliegender Träger.

58—©1. Entwicklung der Formeln für gleichförmig vertheilte grösste und

einseitige Belastung..............

©3. Graphische Darstellung der 9JÎ und für verschiedene Länge der

Ueberlast ..................

«3. Berechnung der Einwirkung concentrirter Lasten.......

84

90

92

§. 7. Belastungen und Eigengewichte frei aufliegender Träger.

6f. Belastungen von Eisenbahnbrücken..........

•»5. Eigengewicht von Eisenbahnbrücken.........

66. Belastungen von Strassenbrücken..........

©2. Eigengewicht von Strassenbrücken ..........

CO CD CO ^

104

107

§. 8. Contmuirliclie Träger.

©8. ©9. Allgemeines über Berechnung continuirlicber Träger .    .    .    .    111

2©—23. Träger für zwei Oeffnungen

Seite

53—Î6. Dessgleichen bei Senkung der Zwischenstützen .    .

5Ï—80. Träger für drei Oeffnungen .........

81—83. Dessgleichen bei Senkung der Zwischenstützen .    .

83. Vortheile und Nachtheile der Continuität......

81. Balkenträger mit freiliegenden Stützpunkten nach Gerber

120

126

134

141

142

§. 9. Einfluss der Auflagerbreite und Trägeranzabl.

85. 86. Concentrirter und gleichförmig vertheilter Auflagerdruck . .    .    143

146

SS. 88. Einfluss der Anzahl der Hauptträger

§. 10. Angriffsmomente kleiner Träger.

148

140

89.    Kleine Träger im Allgemeinen . ..........

90.    Angriffsmomente und Einbiegungen stabförmiger Körper .    .

Vierter Abschnitt.

Entwicklung der praktischen Regeln für Träger mit vollen Wandungen.

§. 11. Homogene Träger.

91. Allgemeine Formel für das Widerstandsmoment homogener Träger .

93. 93. Schmiedeiserne Träger . ..............

9-1. Widerstandsmomente I förmiger Träger...........

95.    Näherungsformeln..................

96.    Angriffsmomente und Vertikalkräfte für Locomotivbelastungen .    .

9Ï. Träger von Gusseisen.................

98.    Träger von Stahl...................

99.    Träger von Holz.............. .    .    .    .

153

^ CO kO IO t—I rH

160

161

165

t— 00

co co

rH rH

§. 12. Die Blechwandbrücken.

170

176

177

§. 13. Beispiel einer Blechbalkenbrücke von 15 M. Spannweite.

109. HO. Bestimmung der Querschnittdimensionen der Hauptträger .    181

111. Querträger und Schwellenträger

Seite

113. Gewichte der einzelnen Brückentheile . ..........

113. Berechnung der schiefen Wandspannung in Hauptträgern und Fahrbahnträgern ..................

187

190

§. 14. Die Eisenbahnbrücke bei Langon.

111. 115. Beschreibung und Berechnung der Dimensionen der Hauptträger ..................

116. 113. Eigengewicht der Brücke.............

118.    Absteifung der Mittelwände der Hauptträger ........

119.    130. Ueber die Nieten und deren Herstellung.......

131, Gewicht der einzelnen Brückentheile...........

191

194

196

198

201

Anhang.

Vergleichung der Maasse und Gewichte verschiedener Länder.....202

Uebersicht

der angewendeten Bezeichnungen.

Nachstehend zusammengestellte häufiger vorkommende Zeichen haben in

dem Buche durchgehends dieselbe Bedeutung und sind die allgemein gebräuchlichen Buchstaben thunlich beibehalten. Es ist

P — eine an einem Punkte thätige Kraft von bestimmter Richtung und Intensität.

E — der Elastizitätsmodul.

3Ï — die in einem gezogenen Körpertheil per Quadrateinheit herrschende Spannung.

33 — die in einem gedrückten Körpertheil per Quadrateinheit herrschende Pressung.

— die per Quadrateinheit herrschende Schubspannung, welche längs einer Fläche durch Scheerkräfte hervorgerufen ist.

0 — das Trägheitsmoment einer Querschnittfläche.

Si — der Querschnitt der Gurtung eines Trägers.

H — die ganze Höhe eines Trägers.

Q — die Distanz der Mittelpunkte von Zug und Druck in dem Querschnitt eines belasteten Trägers.

<Q₀ — die Distanz der Schwerpunkte der beiden Gurtungen eines Trägers.

ft (b) — die Entfernung der äussersten gespannten (gepressten) Längenfaser von der neutralen Axe.

tt₀ (Bq) '— die Entfernung des gespannten (gepressten) Gurtungs-Schwerpunkts von der neutralen Axe.

S — die Dicke der Mittelrippe eines Trägers mit voller Wandfläche.

1 — eine beliebige Trägerlänge oder Spannweite.

a, b, C . . . — die Spannweiten der aufeinander folgenden Oeffnungen einer Brücke mit continuirlichen Trägern.

A, B, C . . . — die aufeinander folgenden Auflager einer Brücke mit mehreren Oeffnungen, sowie die Reactionen dieser Auflager, p — das Eigengewicht einer Brücke per Längeneinheit, bei Eisenbahnbrücken in der Regel für ein Geleise berechnet, k — ebenso die zufällige (variable) Belastung per Längeneinheit, q = p -f- k — die Totalbelastung per Längeneinheit,

Sffl — das Angriffsmoment der äusseren Kräfte (moment de rupture).

J2Xy — das numerisch gleiche Widerstandsmoment des betrachteten Trägerquerschnitts.

35 — die in dem Querschnitt wirkende Vertikalkraft (effort tranchant').

2Y — der numerisch gleiche Vertikal-Widerstand in dem betrachteten Trägerquerschnitt.

Die Zahlencoefficienten der praktischen Formeln beziehen sich auf Meter-Maass und Gewicht, insofern nichts Besonderes bemerkt ist; mittelst der Reduc-tionstabellen des Anhangs lassen sich dieselben leicht auf andere Maasse und Gewichte übertragen. Die theoretischen Formeln sind für jedes Maass und Gewicht gültig.

Erster Abschnitt,

Die Entwicklung der Fundamentalsätze.

§. 1. Einleitung.

Weitere Bestandtheile einer Brücke bilden die

1. Die wesentlichen Bestandteile einer Brücke sind: die Auflager (Widerlager und Pfeiler), die Brückenträger und die F ahr bahn; letztere kann eine für Fuhrwerke und Fussgänger passende Plattform, oder auch eines oder mehrere Schienengeleise enthalten ; die Fahrbahn kann unmittelbar auf den Brückenträgern aufliegen, wie z. B. bei Brücken von kleiner Spannweite oder bei steinernen Gewölben, meist ist sie jedoch durch ein System von Querträgern oder Zwischenträgern mit den Brückenträgern verbunden.

Diagonal-Verbindunge n (Windkreuze, Contreventements), welche nur dann entbehrt werden können, wenn Fahrbahn oder Brückenträger (wie z. B. bei Gewölben) hinreichende Festigkeit gegen Seitenbewegungen haben, und endlich das Brückengeländer, insofern letzteres nicht durch die Brückenträger selbst schon gebildet ist.

Da wir hauptsächlich den Bau der Brückenträger im Auge haben, so sind uns letztere auch für die Classification der Brücken massgebend. — Die Brückenträger, soweit sie nicht homogene, volle Balken sind, zeigen stets ihrer ganzen Länge nach durchlaufende Bänder, welche wir Gurtungen, Tragbänder, Längsbänder nennen. Nach der Gestalt und Wirkungsweise dieser Bänder unterscheiden wir:

1)    Bogenbrücken; es ist für jeden Träger ein für sich bestehendes, nach oben convexes Band, der Bogen, vorhanden; dieser ist vermöge seiner Steifigkeit in Ruhe.

2)    Ketten- oder Hängebrücken; es ist für jeden Träger nur ein nach oben conkaves Band, die Kette, vorhanden; letztere strebt bei jeder Art der Belastung einem stabilen Gleichgewicht zu, und insoferne dieses meist nur durch Aenderungen in der

Bau der Brückenträger.

Gestalt der Kette möglich ist, so entstehen hiedurch Oscillationert und Seitenschwankungen. — Man kann letzteren dadurch begegnen, dass man die Kette in ähnlicher Weise wie den Bogen als-steifes Band herstellt, doch gehen hiedurch die hauptsächlichsten Vortheile der Kette verloren, und wird die Theorie der Kettenbrücken stets von der Bogentheorie zu unterscheiden sein.

3) Balkenbrücken; es sind stets für jeden Träger zwei Tragbänder oder Gurtungen vorhanden; dieselben können gerade oder beliebig gekrümmt sein, wesentlich ist, dass beide Gurtungen auf ihre ganze Länge fest mit einander verbunden sind; die Verbindung geschieht durch einzelne Streben oder durch mehr oder weniger dicke volle Wandungen; hiedurch ist bewirkt, dass keine der beiden Gurtungen ohne die andere eine Formänderung annehmen kann, und wird letztere, wenn sie in Folge der Belastung des Trägers eintritt, wie beim homogenen Balken als eine Biegung des ganzen Trägers sich darstellen.

Bogen und Kette üben einen Horizontalschub auf die Widerlager aus, eben weil sie im Allgemeinen nur ein Band haben; es kann jedoch dieser Horizontalschub auch durch ein gerades Band, durch eine Bogensehne aufgenommen werden, ohne dass hiedurch eine Balkenbrücke erhalten wird, da die innige Verbindung zwischen Band und Sehne fehlt; letztere ist nur als eine Hilfs-construktion, als Ersatz für die Stabilität der Widerlager anzusehen. — Es ist denkbar, dass eine Brücke zugleich Bogen- und Kettenbrücke ist; eine solche Brücke hätte den Vortheil, dass die convexen und conkaven Bogen ihren Horizontalschub gegenseitig aufnehmen, ohne dass die Wandausfüllungen wie bei der Balkenbrücke nothwendig werden. — Ihre praktische Anwendung ist jedenfalls auf ganz besondere, abnorme Fälle beschränkt.

2. Wir theilen die Abhandlung in einzelne Abschnitte; im ersten Abschnitte werden die Gesetze des Gleichgewichts und der Festigkeitslehre entwickelt, erstere mit vorzugsweiser Berücksichtigung der Balkenbrücken ; es ist nicht nur die Anwendung der Balkenbrücken ganz besonders ausgebreitet, sondern es bilden auch die balkenförmigen Träger bei fast allen anderen Bauconstruc-tionen wesentliche Zwischenglieder.

Die nächstfolgenden zwei Abschnitte dienen zur Ergänzung einzelner Partien der im ersten Abschnitt entwickelten Theorie, und zwar werden im zweiten Abschnitt die Erfahrungsresultate der Festigkeitslehre (die sogenannten Festigkeitscoefficienten) übersichtlich zusammengestellt, während im dritten Abschnitt für Balkenbrücken die jedem Querschnitt eigentümlichen Kräftesummen und Kraftmomente für die verschiedenen Anordnungen und verschiedene Spannweiten in eingehender Weise entwickelt werden.

Mit dem vierten Abschnitt beginnt die Aufstellung von praktischen Formeln für einzelne Construktionsgattungen auf Grundlage der im ersten Abschnitt entwickelten Theorie und mit steter

Benützung der im zweiten und dritten Abschnitt gesammelten Resultate. — Diese praktischen Formeln sind der Art eingerichtet, dass man aus den Hauptabmessungen und Querschnittdimensionen der Brücke die im Material herrschende Spannung oder Pressung möglichst direct erhält, oder aber in ebenso einfacher Weise unter Annahme einer zulässigen Spannung des Materials die Querschnittdimensionen aus den Hauptabmessungen der Brücke bestimmen kann ; zu diesen beiden Zwecken sind unsere praktischen Formeln in gleicher Weise dienlich.

§. 2. Entwicklung der Bedingungen des Gleichgewichts mit spezieller Anwendung auf Balkenbrücken.

3. Wenn irgend ein Körper in Buhe sein soll, so müssen die an ihm thätigen äusseren Kräfte im Gleichgewicht sein.

Im Brückenbau ist die Schwere die hauptsächlichste Kraft, welcher die Constructionen zu widerstehen haben; es ist diess das Eigengewicht der Construction und die zufällige Last; letztere ist für Strassenbrücken durch ein Menschengedränge und grösste Lastwagen, für Eisenbahnbrücken durch das Gewicht einer oder mehrerer Lokomotiven sammt Tender gegeben, wozu bei grösseren Spannweiten belastete Güterwagen hinzukommen. — Andere vertikale Kräfte sind zu gering, als dass sie besonders in Betracht gezogen werden müssten; man kann sie durch eine kleine Vermehrung der zufälligen Last berücksichtigen.

In mehr oder weniger horizontalem Sinne wirkt nun die Kraft derV^indstösse; im Vergleich zu der Schwere sind diese Kräfte allerdings unbedeutend, aber insofern ihre Richtung, wie bemerkt, eine ganz verschiedene ist, so erfordern diese Kräfte besondere Anordnungen, welche unter dem Kamen Windkreuze

Tabelle I.

Geschwindigkeit des Wrindes in Metern per Sekunde.

Druck in Kilogrammen per Quadrat-Meter.

3,00 M. 5,00 M. 8,00 M. 10,85 M. 14,00 M. 20,00 M. 40,00 M.

186,080 „

(Contreventernents) bekannt sind. — Während die Dimensionen der Brücke im Allgemeinen durch die vertikalen Kräfte, also hauptsächlich Eigengewicht und zufällige Last, bestimmt sind, so muss die Brücke auch in horizontalem Sinne richtig construirt

Die zweite Operation einer jeden statischen Berechnung ist daher: aus den gegebenen äusseren Kräften die an jedem Punkte des Systems thätigen inneren Kräfte, d. h. den per Quadrateinheit herrschenden Druck, Zug oder Schub zu bestimmen.

sein, d. h. die umgelegte (um einen rechten Winkel gedrehte) Brücke muss wiederum einen richtig construirten Träger von allerdings bedeutend geringerer Tragkraft bilden. — Wenn man in besonderen Fällen die Stärke der Windkreuze berechnen will, so dient hiefür vorstehende Tabelle von Morin.

Den als bekannt vorauszusetzenden angreifenden Kräften steht zur Herstellung des Gleichgewichts gegenüber die Reaktion der Auflager; sie ist nach Richtung und Intensität in jedem Augenblicke gerade so wirksam, wie es die Herstellung des Gleichgewichts verlangt.

Dass die Auflagerreaktionen in der so eben angedeuteten Weise ihre Richtung und Intensität wechseln können, ist die Folge unendlich kleiner Formänderungen, welche die Auflager in Folge der wechselnden Belastung erleiden; wir werden in der Folge zeigen, wie diese zunächst unbekannten Auflagerreaktionen stets aus den angreifenden Kräften bestimmt werden können.

Erst wenn sämmtliche äusseren Kräfte bekannt sind, kann zur Bestimmung der sogenannten inneren Kräfte, d. h. der im System stattfindenden Spannungen und Pressungen, geschritten werden.

Hiezu dient folgende Betrachtung. Eine Construktion, die unter Einwirkung beliebiger äusserer Kräfte im Gleichgewicht ist, werde durch eine beliebige Fläche in zwei Fragmente getheilt; die jedem Fragmente zukommenden äusseren Kräfte werden im Allgemeinen nicht im Gleichgewicht sein; jedes Fragment müsste sich in Bewegung setzen, wenn nicht die an der Trennungsfläche thätigen inneren Kräfte gerade hinreichend wären, den betreffenden äusseren Kräften das Gleichgewicht zu halten. Hiedurch findet man nach den Bedingungen des Gleichgewichts die Resultante der in jedem Querschnitt thätigen inneren Kräfte, welche im Allgemeinen aus einer Kraft und einem Gegenpaar bestehen wird.

Es wird nun allerdings ein beliebig gedachter Körper derartige Formänderungen erleiden, dass es äusserst schwierig erscheinen muss, aus der so gefundenen Resultante die an jedem Theil des Querschnitts herrschenden Kräfte zu bestimmen; anders verhält es sich mit den Bauconstruktionen und mit den Brückenbauten insbesondere; die einzelnen Bestandtheile sind nach dem Bedürfniss angeordnet und durch diese Regelmässigkeit der Anordnung ist die Möglichkeit gegeben, die Gesetze zu finden, nach welchen die Kräfte auf jeden Querschnitt sich vertheilen ; — da diese Yertheilung lediglich von den Eigenthümlichkeiten jeder

Construktion abhängt, so ist auch das zu beobachtende Verfahren in jedem Falle ein anderes, wie wir in der Folge sehen werden.

4. Die Bedingungen des Gleichgewichts bilden einen integri-renden Theil jeder Untersuchung; denn sie sind stets nothwendig, um die inneren Kräfte aus den bekannten äussern zu bestimmen. Gewöhnlich sind aber auch einzelne der äussern Kräfte (Reaktion der Widerlager etc.) nicht vorweg bekannt, und es dienen in erster Linie wieder die Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts zur Bestimmung der unbekannten äussern Kräfte.

Die Bedingungen des Gleichgewichts sprechen sich für die äusseren Kräfte folgendermassen aus:

Werden sämmtliche an einem Körper thätige Kräfte P nach drei zu einander senkrechten Axen, x, y, z nach dem Parallelogramm der Kräfte in ihre Composanten Px, Py, Pz zerlegt, so ist, wenn Gleichgewicht bestehen soll, erstens die algebraische Summe dieser Composanten nach jeder der 3 Axen gleich Null. Es ist somit:

rH CA CO

XPx = 0    .    .    .    .    )

£Py = 0    .    .    .    .    )

0 ... . )

Wenn man zweitens in Bezug auf jede der 3 Axen die Momente bildet und bedenkt, dass das Moment der Kraft P in Bezug auf die Axe der z ausgedrückt ist durch die Produkten-Summe

yPx 4- xPy,

wo x, y, z die Coordinaten des Angriffspunktes der Kraft P bezeichnen, so erfordert das Gleichgewicht, dass die Summe der Momente aller Kräfte bezogen auf jede der 3 Axen gleich Kuli sei. Es ist somit:

Die Axe der y wird im Folgenden immer parallel der Richtung der Schwere angenommen werden, die Axe der x ist somit horizontal und wird in die Längenaxe des Baues gelegt, die meisten Kräfte, die wir zu betrachten haben, sind so parallel der Ebene xy und wir haben daher meist blos die 3 Gleichungen 1) 2) und

4) anzuwenden.

Uebergeliend auf die inneren Kräfte, bezeichnen wTir mit XX und XY die Summe der horizontalen, beziehungsweise vertikalen Composanten der in irgend einem Querschnitt thätigen inneren Kräfte; verlegen wir sodann den Coordinaten-Ursprung in den fraglichen Querschnitt selbst, und behalten wir endlich die frühem Bezeichnungen Px und Py für die horizontalen und vertikalen Composanten der äusseren Kräfte bei, so sprechen sich die Bedingungen des Gleichgewichts aus:

IX =' IPX . . .

7)

IY = IPy . . .

IXy = IxPy -f IyPx

In diesen 3 Gleichungen sind die äusseren Kräfte und ihre Momente den inneren Kräften und ihren Momenten entgegengestellt; die Grösse [IxPy + IyPx] ist das Moment der äusseren Kräfte in Bezug auf den fraglichen Querschnitt und wird in der Folge Angriffsmoment genannt; IPX ist der Horizontalschub, die Grösse IPy nennen wir Yertikalkraft.

Für Balkenbrücken sind die Reaktionen der Auflager gewöhnlich parallel der Richtung der Schwere angenommen, indem man absieht von den kleinen horizontalen Kräften, welche z. B. in Folge der Temperaturänderung und hiedurch hervorgerufener Reibung entstehen; der Horizontalschub IPX ist dann gleich Null und ebendamit fällt auch das Glied IyPx des Angriffsmoments aus, und die Gleichungen 7) bis 9) nehmen folgende einfache Gestalt an:

I-* o

IX = 0 .... 1 )

IY = !Py . . . 1 )

IXy = XxPy . . . 12)

Aus Gleichung iô) folgt, dass für Balkenbrücken IXy ein Gegenpaar ist, dessen Moment nach den Eigenschaften dieser Kräftepaare unabhängig ist, von der Wahl des Coordinaten-Ursprungs ; wo immer auch derselbe gewählt wird, so ist für Balkenbrücken IXy und ebendesshalb auch das Angriffsmoment IxPy eine für den fraglichen Querschnitt constante Grösse.

Wir nennen IXy das Widerstandsmoment des Querschnitts und IY den Yertikalwiderstand; diese beiden Grössen sind, wie wir so eben gesehen haben, für Balkenbrücken dem Angriffsmoment und beziehungsweise der Yertikalkraft numerisch gleich und direkt entgegengesetzt ; wir bezeichnen in der Folge mit 9)1 das Angriffsmoment und mit $ die Yertikalkraft für den zu betrachtenden Querschnitt einer Balkenbrücke, wonach sich die Gleichungen 10) bis 12) anschreiben:

. . 10a) IY = $    .... lla)

IXy = 9)t    .    .    . .    12a)

XX = 0

Yon den äusseren Kräften bezeichnen wir die Beaktionen der Auflager immer mit den für dieselben Auflagerpunkte gewählten

Buchstaben A. B, (J

das Eigengewicht der Brücke per Längeneinheit mit p, sodann in gleicher Weise die zufällige Last mit k und die Gesammtbelastung mit q, je auf die Längeneinheit reduzirt; es kann hiebei p, k und q für jeden Querschnitt einen anderen numerischen Werth haben.

5. Hr. W. Schwedler hat in einem Aufsatze über Balkenbrücken in der Zeitschrift für Bauwesen von Erbkam, Jahrgang 1851, das Widerstandmoment XXy und den Yertikalwiderstand XY in dieser Eorm eingeführt und hiebei auf eine merkwürdige Relation zwischen diesen beiden Grössen aufmerksam gemacht. — Wir betrachten das eine Ende eines beliebigen Balkens , und nehmen den Coordinatenursprung im Auflagepunkt A an; x sei die

Abscisse irgend eines Querschnitts, die Belastung sei beliebig und durch ein Gesetz q=F (x) gegeben, wo q wie schon inN°. 4. bemerkt, die auf die Längeneinheit redu-zirte Belastung im Querschnitt x bezeichnet, so •

dass

Fi g. 1.

Ji

ir

/y

. dx die zwischen A und x vertheilte Last angibt; die Grössen XX, XY und XXy haben die in X°. 4. erläuterte Bedeutung, und ebenso bezeichnet A den am Auflagepunkt A wirkenden Auflagerdruck. — Die Bedingungen des Gleichgewichts sind für vorliegende Annahme des Coordinaten-Ursprungs XX = 0

13)

A — f q.dx ....    14)

XXy = j qx . dx -f* xXY .    .

XY

. 15)

Denken wir uns eine Abscisse a so gewählt, dass A = / qdx,

J O

was ja immer möglich ist, so ist nach Gleichung 14):

/»a

J qdx .    .    .    .    16)

d. h. die Grösse XY ist immer gleich dem zwischen a und x vertheilten Gewichte ; wir sehen, XY nimmt gegen die Auflager hin zu und ist gleich Xull für die Abscisse a.

Differentiirt man in 14) und 15) die Grössen XY und XXy nach x, so erhält man

XY =

woraus folgt:

dXY = — qdx

dXXy = qxdx + XY . dx -J- xdXY

= EY

dx

1Ï)

Denken wir uns den Auflagerpunkt N als Zwischenpunkt eines continuirlichen Trägers und führen wir links vom Coordinaten-

Fig. 2.

OL

JC

-,m.

Ursprung die Summe der Belastungen Q und die Summe der Auflagerdrücke M mit ihren respektiven Hebelarmen q und m ein, so erhalten die Gleichungen 13) bis 15) die Form:

2X = 0 . . . .

-Y = M +' N -

13a)

(Q + f\ dx)    .

.    14a)

~Xy •— qxdx -f- x2’Y -f- Mm — Qq . 15a)

Denken wir uns wieder eine Abscisse a so gewählt, dass . so ist wie oben

M + X — Q = rqdx,

J o

/»a

-Y = / q . dx

J X

d. h. -2Y ist auch hier gleich dem zwischen x und dem Punkte -Y = 0 vertheilten Gewicht.

Ferner sieht man bei Betrachtung der Gleichungen 14a) und 15a) sogleich, dass durch Differentiiren dieser Gleichungen dieselben Werthe für d^Y und d^Xy erhalten werden, wie aus den Gleichungen 14) und 15), und dass somit Gleichung 17) für con-tinuirliche Träger ebenso unbedingt gültig ist, wie für Balken, welche bloss über eine Oeffnung gespannt sind.

6. Der numerische Werth des Widerstandsmoments ~Xy ist bei Balkenbrücken unabhängig von der Wahl des Coordinaten-Ursprungs, es kann hiefür das für denselben Querschnitt berechnete Angriffsmoment 9JÎ substituirt werden, welch letzteres Moment in Beziehung auf den Querschnitt selbst gedacht, aus den bekannten äusseren Kräften stets leicht gebildet werden kann; dass die Vertikalkraft $ stets gleich dem Vertikal widerstand ZY ist, geht aus den Gleichungen 8), lla) und 16) zur Genüge hervor.

Wenn daher x die Abscisse irgend eines Querschnitts unter der Annahme irgend eines Coordinatenursprungs bezeichnet, — und das Angriffsmoment desselben Querschnitts in Function dieser Abscisse x ausgedrückt ist, so ist nach Gleichung 17) stets

16a)

. . 18)

dm

dx

Wenn man die Angriffsmomente TU für genügend viele Querschnitte x als Ordinaten aufträgt, so wird eine Curve gewonnen, deren trigonometrische Tangenten proportional sind den in denselben Querschnitten thätigen Vertikalkräften $. — Für SS = 0, welches weil mit AY = 0 zusammenfallend, aus Gleichung 14), 14a) oder auch 16) leicht sich bestimmen lässt, hat die Curve der Angriffsmomente eine horizontale Tangente, d. h. der Werth TU hat für diesen Punkt ein Maximum oder Minimum erreicht; es ist daher für Balkenbrücken sehr einfach, die grössten Werthe der Angriffsmomente zu bestimmen, ohne dass man zu der umständlichen Methode der Auffindung der Maximalwerthe greifen müsste. — Auch für die Vertikalkräfte $ denken wir uns eine Curve durch Aufträgen hinreichend vieler Werthe Sß gebildet; solche Curven der TU und $ sind z. B. in den graphischen Darstellungen Tafel II. und folgende eingetragen, indem hiebei stets oberhalb der Abscissenaxe die Curve der TU, und unterhalb derselben die Curve der $ sich befindet; — es sind hiebei negative Werthe durch Umklappen auf diejenige Seite der Abscissenaxe gebracht, wo je die positiven Werthe sich befinden, indem es sich in erster Linie stets um den numerischen Werth der Grössen TU und $ handelt.

7. Wenn man sich für die inneren Kräfte eines Querschnitts die Summe der positiven und negativen horizontalen Composanten abgesondert bildet und diese numerisch gleichen Resultanten R und R' der beiderlei horizontalen Kräfte in ihren respektiven Angriffspunkten wirksam denkt, so dass mit der Abstand der beiden Kräftesummen bezeichnet ist, so ist nach der Definition der Gegenpaare SR = SXy = ©E = $R' . . . . 19)

Wenn z. B. die sämmtlichen horizontalen Kraftcomposanten an irgend einer Stelle eines Trägers je in einem gezogenen und einem gedrückten Bande vereinigt sind, und die Druck- und Zugmittelpunkte in diesen Bändern mit hinreichender Genauigkeit sich vorab bestimmen lassen, so giebt Gleichung 19) die in jedem Band wirkende horizontale Kraft R direkt aus dem Angriffsmoment TU, und lässt sich die ganze im Band wirkende Kraft sofort bestimmen durch Dividiren mit dem Cosinus des Neigungswinkels, den das Band an dieser Stelle mit dem Horizont bildet.

§. 3. Die Lehre von der Festigkeit stabförmiger Körper.

8. Die Theorie der absoluten und absolut rückwirkenden Festigkeit beruht auf der Wahrnehmung, dass ein stabförmiger Körper, der nach seiner Längenrichtung gezogen oder gedrückt wird, diesen Druck oder Zug auf seinen Querschnitt gleichförmig vertheilt, so dass stets die Relation stattfindet:

P = 2tw = 53 w .... 20)

Die Grösse P bezeichnet die einwirkende Kraft, w den Querschnitt des fraglichen Stabs, 2t die per Quadrateinheit herrschende Spannung, 58 ebenso die per Quadrateinheit herrschende Pressung.

(Wir werden die Ausdrücke „Spannung“ und „Pressung“ stets nur für eine per Quadrateinheit berechnete Kraft gebrauchen.)

Bezeichnen wir mit Pa denjenigen Zug, mit Pb denjenigen Druck, der eine Zerstörung des Stabes (Zerreissen, beziehungsweise Zerdrücken) zur Folge hat, ferner mit 2t₀ und 58₀ die betreffende Spannung und Pressung pro Quadrateinheit, so ist:

21)

Pa = 2t₀ w

Pb = 58o w

Es ist Erfahrung, dass 2t₀ und 58₀ für ein und dasselbe Material nahezu denselben Werth haben. In der Praxis nimmt man einen bestimmten Bruchtheil von 21₀ und 58₀ als grösste zulässige Spannung oder Pressung an.

An merk. Für diesen sowie die folgenden Fälle sei darauf hingewiesen, dass die praktischen Coefficienten im zweiten Abschnitt zusammengestellt sind.

9. Ein Stab erleidet durch einen nach seiner Länge gerichteten Zug eine Verlängerung, durch einen Druck eine Verkürzung, welche erfahrungsgemäss seiner Länge und der per Quadrateinheit herrschenden Spannung 2t oder Pressung 58 proportional ist. Diese Verlängerung oder Verkürzung ist somit ausgedrückt durch die Formel:

22)

Jl _ jü ₌

1 — E “ E

hierin bezeichnet:

1 die ursprüngliche Länge des Stabes,

1 die Verlängerung oder Verkürzung,

21 und 58 wie oben die Spannung oder Pressung (pro Quadrateinheit),

E einen Coefficienten, der von der Natur des Materials abhängig ist und für Druck und Zug verschiedenen Werth haben kann. Man hat diesem Coefficienten den Namen Elasticitäts-Modul gegeben.

Für diejenigen Spannungen und Pressungen, welche bei Baucon-struktionen nicht überschritten werden sollen, ist der Elasticitäts-modulus eine für jedes Material bestimmte constante Grösse und hat innerhalb dieser Grenzen auch für Druck und Zug denselben Werth. Wenn wir nämlich in Gleichung 22) die Spannung 21 oder Pressung 58 in Kilogrammen per Quadratcentimeter angeben und 1 und l in demselben, übrigens beliebigen Maassstab, ausdrücken, so ist der Werth von E gleichfalls in Kilogrammen durch folgende Tabelle II. gegeben:

Tabelle II.

Für Holz.....

gehärtet .

11

100000 Kilogr. pro QCent. 1‘800000 900000 1‘800000 3‘000000

T>

17

11

11

))

5)

Versuche mit weichem Stahl haben theilweise sehr niedrige Elastizitätsmodule und eine sehr rasche Abnahme derselben bei zunehmender Belastung ergeben; die Verschiedenartigkeit des Materials und die geringe Anzahl der Versuche lassen noch keine unbedingt gültigen Angaben zu.

Der Elasticitäts-Modul E stellt eine Spannung dar, welche die Länge eines gezogenen Stabes von 1 nCent. Querschnitt verdoppeln würde; eine derartige Spannung können aber die Baumaterialien nicht ertragen, vielmehr bewegen sich die Statt habenden Verlängerungen und Verkürzungen innerhalb weit geringerer Beträge; nachstehende Tabelle III. zeigt die Formänderungen, welche in Folge der bei Bauten zulässigen Spannungen und Pressungen eintreten, indem die in Tabelle II. aufgestellten Werthe der Elasticitäts-Module zu Grunde gelegt sind.

Tabelle III.

Spannung oder Pressung pro Quadratcentim. in Kilogr.

Ausdehnung oder Verkürzung

Holz

Schmied

eisen

Gusseisen

100

V1000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Y18000

Y9000

¹/4500

Vsooo

72250

7l800

¹/l530

V1286

7ll25

790 00 V 4500 72250 Vl500 ¹/ll25 ‘/900 V750 ¹/,643

Vö62

10. Das durch diese Tabelle ausgesprochene Gesetz ist nicht in aller Strenge richtig; es ändert sich nicht nur wesentlich, wenn die Spannungen die in der Praxis üblichen überschreiten, sondern auch innerhalb dieser Grenzen sind die in Tabelle II. gegebenen Elasticitäts-Module nur Mittelwerthe.

Für Schmiedeisen ist nach den Versuchen vonHodgkinson bei Belastungen bis zu 1600 Kilo pro Quadrat-Centimeter für Zug E = F634000, für Druck E = P968000,

somit im Mittel, wie in Tabelle II. angenommen, E = F800000.

—    Bei grösseren Belastungen nimmt der Elasticitätsmodul wesentlich ab, so dass er z. B. bei einer Spannung von 2400 Kilo pro Quadrat-Centimeter nur etwa */3 des obigen Mittelwerths von F800000 beträgt : und ähnlich, nur in geringerem Maasse, nimmt der Elasti-citäts-Modul für gepresstes Schmiedeisen ab. Bei diesen grösseren Belastungen und hauptsächlich in der Nähe des Bruchs ist der Elasticitäts-Modul für verschiedene Eisengattungen wesentlich verschieden, so dass für die beim Zug beobachtete Bruchbelastung

—    zwischen ¹/s und V⁶⁰ schwankt; ersterer Werth gilt für sehr

sehniges, letzterer für schlechtes, crystallinisches Schmiedeisen.

Es zeigt sich ferner, dass bei diesen grösseren Belastungen ein vollständiges Zurückgehen in die frühere Lage nach Wegnahme der Belastung nicht mehr eintritt, sondern eine gewisse bleibende (permanente) Verlängerung oder Verkürzung zurückbleibt; dies findet beim Schmiedeisen im Allgemeinen in bemerkbarer Weise dann Statt, wenn die Belastung 1600 Kilo pro Quadrat-Centimeter übersteigt; man erhält hiedurch den Begriff der Grenze der Elasticität und haben einzelne Con-structeure die zulässige Belastung von der Elasticitätsgrenze abgeleitet; es setzt diess jedoch voraus, dass diese Grenze durch subtile Beobachtung der Formänderungen erhoben sei, und insofern diese Grenze von der Qualität des Materials wesentlich abhängt, im gegebenen Falle neu erhoben werde, was stets erhebliche Schwierigkeiten mit sich bringen dürfte. — Andererseits ist es nicht nur Thatsache, dass die Erscheinungen des Bruchs weit präciser sich darstellen, somit weit leichter zu beobachten sind, sondern es ist auch die Bruchbelastung für die verschiedenen Eisensorten durchaus nicht so unter sich abweichend und schwankend, als die Elasticitätsgrenze.

wie diess

Aus diesen Gründen scheint uns die zulässige Belastung aus der Bruchbelastung abzuleiten zu sein schon im Eingang von N°. 8 angenommen ist; wir stellen keine besonderen Untersuchungen über die Nähe der Elasticitätsgrenze an, sondern es genügt für unsere Berechnungen zu wissen, dass die zulässigen Spannungen und Pressungen sich noch hinreichend innerhalb der Elasticitätsgrenze bewegen; innerhalb dieser Grenze hat für Schmiedeisen der Elasticitäts-Modul den für Druck und Zug annähernd gleichen Werth von 1,800000 Kil.

11. Beim Gusseisen treten ähnliche Erscheinungen ein, nur ist der Elasticitäts-Modul noch mehr verschieden, und zwar wiederum abnehmend mit steigender Belastung. — Eine bestimmte Elasticitätsgrenze lässt sich gar nicht angeben, denn das Gusseisen zeigt fast bei jeder Belastung eine bleibende Formänderung.

Zur nähern Erläuterung dienen nachfolgende Tabellen, welche den Versuchen des Eaton Hodgkinson entnommen sind.

Tabelle IY.

Elasticitätsmodule für Gusseisen beim Zug.

Belastung pro ' Quadratcentim. in Kilogr.

Verlängerung pro lauf. Meter,

total.

permanent.

Elasticitätsmodul pro Quadrat-Centimeter.

Kilo

M.

Mm.

Kilo

73,955

111,005

148,142

220,630

296,206

370,282

444,336

517,436

592,450

666,508

740,555

814,619

886,672

962,787

1039,621 0,000075

0,000114

0,000155

0,000239

0,000326

0,000416

0,000551

0,000611

0,000715

0,000828

0,000946

0,001068

0,001206

0,001392

0,001548 0,00183

0,00454

0,00891

0,01460

0,02200

Vi f= qi — 3pt — 2 Xi + 3x4

P = 1 + K. — L» •

(jjp

■—I Af)i (Î)

2t 2

q

2t

» • | ©o £ + y %2

Seidene der Metropolitan Raihvav in London.

= *=. (i + K

33

51 = —

N sin cp — 23'

INIM

sin qp ‘

g

0,02200

0,03100

0,04300

0,05590

0,07030

0,08840

0,10880

0,13390

0,17460

0,20070

985567

977467

956369

923100

909650

889255

870385

846490

8281S0

804407

782785

762420

754117

693111

672313

Tabelle IY».

Elasticitätsmodule für Gusseisen beim Druck.

Belastung pro Quadratcentim. in Kilogr.

Verkürzung pro lauf. Meter,

total.

permanent.

Elasticitätsmodul pro Quadrat« Centimeter.

Kilo

M.

Mm»

Kilo

145,105

290,209

439,315

580,419

725,525

870,644

1015,535

1160,840

1305,495

1451,050

1741,256

2032,171

2326,661

0,00015605

0,00032396

0.00049784

0,00065625

0,00082808

0,00100253

0,0011795

0,0013606

0,0015411

0,0017175

0,0020786

0,0024733

0,0029432

0,003914

0,01882

0,03331

0,05371

0,07053

0,09053

0,11700

0,14258

0,17085

0,20685

0,36810

0,45810

0,50768

929278

898608

874407

884580

876147

868443

861172

853178

847426

844839

837678

821648

788718

Nimmt man die Mittelwerthe dieser Elasticitätsmodule bis zu? den Belastungen von 592k beziehungsweise 1741 Kilo inclusive,, so erhält man

für die Ausdehnung:

E = 909607k pro Quadrat-Centimeter, für die Zusammendrückung:

E = 880476k

oder im Mittel:

E = 895042k

wofür wir oben annähernd 900000k gesetzt haben.

12. Die Festigkeit gegen Absclieeren wird in Anspruch genommen, wenn zwei Theile eines Körpers längs einer gemeinschaftlichen Ebene nach verschiedenen Richtungen gedrängt werden. Wenn der Körper frei wäre, so würde hiedurch eine Drehung^ hervorgebracht; ist aber diese Drehung durch andere Kräfte verhindert, so ist längs der gemeinschaftlich gedachten Trennungsfläche

für beide Körperfragmente das Bestreben vorhanden, an einander vorbeizugleiten.. Als einfachstes Beispiel führen wir einen Bolzen an, der zwei Kettenglieder verbindet, wie solches in Fig. 3 dargestellt ist ; der in die Berührungsfläche beider Kettenglieder fallende Bolzenquerschnitt ist auf Abscheeren in Anspruch genommen; auf gleiche Weise sind die Nieten aller Blechverbindungen angegriffen etc.

Denken wir uns allgemein in einem Körper, der von einer Kraft nach beliebiger Richtung angegriffen ist, eine Trennungsfläche, welche einen Winkel mit der Richtung der Kraft bildet und zerlegen wir diese Kraft in zwei Composanten senkrecht und parallel zur gedachten Trennungsfläche, so wirkt die senkrechte Composante auf absolute oder absolut rückwirkende Festigkeit und bringt eine Spannung hiervor, welche nach Gleichung 20) zu berechnen ist. — Die parallel der Ebene gerichtete Composante nimmt den Körper auf Abscheeren in Anspruch, sie erzeugt innere Kräfte in dem Körper, welche wir Schubkräfte nennen;, dieselben sind gleichförmig über die Trennungsfläche vertheilt, so dass die Relation stattfindet:

P = Cw

P bedeutet die längs der Trennungsebene wirkende Kraft, w den Querschnitt und C die per Quadrateinheit wirkende Schubkraft, welcher wir den Namen Schubspannung beilegen wollen.. Ist Pc diejenige Kraft, welche die Trennung wirklich hervorbringt, Co die dem Bruch entsprechende Schubspannung, so findet die Gleichung statt:

Fig. 3.

ja

23)

Pc = Co W.

24)

Die Festigkeit gegen Abscheeren ist für Schmiedeisen im Allgemeinen gleich der absoluten Festigkeit gegen Zug zu setzen; vorausgesetzt, dass die betrachtete Fläche gleichförmig auf Abscheeren in Anspruch genommen ist, was bei Nieth- oder Schraubenbolzen nicht immer stattfindet ; hierüber und über die Reibung an den Bolzen wird unten Näheres angeführt werden.

Die Festigkeit gegen Abscheeren ist übrigens auch verschieden in Folge der Textur der Materialien; so z. B. hat man beobachtet, dass "Walzeisen senkrecht zur Richtung der Bahn, d. h. senkrecht zur Längenrichtung, grössere Abscheerungsfestigkeit zeigt, als nach der Längenrichtung selbst. — Beim Holz ist in Folge der Faserbildung die Yerschiedenheit eine sehr bedeutende; das Holz spaltet sich parallel der Längenrichtung sehr leicht, während es einem seitlichen Abscheeren mit grosser Zähigkeit •widersteht.

Fig. 4.

&•

oi

13. Die relative Festigkeit eines Stabes wird in Anspruch genommen, wenn eine zu seiner Längenrichtung senkrechte Kraft auf ihn einwirkt. Der Stab erleidet hiedurch eineBiegung, seine conkave Seite verkürzt sich, seine convexe Seite verlängert sich, innerhalb des Stabes liegt irgendwo eine Schichte, welche weder verkürzt noch verlängert wird und die „neutrale Faser“ heisst. Zwischen der neutralen Faser und den äussersten Fasern nimmt Verkürzung und Verlängerung allmählig zu. Ein Mass für die Verkürzung und Verlängerung erhalten wir durch die einigermassen willkürliche Annahme, dass Schnitte, welche vor der Biegung normal zur neutralen Faser sind, diess auch nach der Biegung bleiben. Da die mit Hilfe dieser Voraussetzung gewonnenen Resultate mit der "Wirklichkeit übereinstimmen , so ist dadurch rückwärts die Zulässigkeit dieser Voraussetzung bestätigt.

Betrachten wir ein kleines Stück eines gebogenen Balkens,, so werden im Längenschnitt (s. Fig. 4) alle vor der Biegung geraden Faserelemente nunmehr kleine Kreisbögen bilden, welche aus einem und demselben Mittelpunkt beschrieben sind. — Linien vor der Biegung normal und parallel werden nun Normallinien auf allen Kreisbögen sein und zwei beliebig gezogene Normalen

PR und SQ geben zu erkennen, um wie viel die einzelnen Elemente des zwischen ihnen gelegenen Balkenstücks verkürzt oder verlängert sind; gemäss Gleichung 22) giebt diese Verlängerung oder Verkürzung direkt die im Material herrschende Spannung, beziehungsweise Pressung an. Diese Spannung ist demgemäss proportional dem Abstand y von der neutralen Faser; wenn wir daher mit 2t und 23 die Spannung und Pressung in den äussersten Fasern, mit a und b die Entfernung dieser letztem von der neutralen Faser bezeichnen, so ist der in einem Element vom Querschnitt z. dy herrschende Zug 2ty oder Druck 23y nach Gleichung 20) ausgedrückt durch

21

Ty • *<iy = Jj • zdy

25)

somit ist die Summe sämmtlicher Spannungen und Pressungen:

2Xa

26)

= ?/a.y-2dy • •

⁼ f/.y-2dy    • •

Da für alle Balkenbrücken gemäss Gleichung 10) stets

2Xa —    = 2X = 0

so ist somit:

21 /•«

T.JJ zdy

« r> ,

jj ₀ y 2dy =⁰

.    .    27)

So lange E für Druck und Zug denselben "VVerth hat, ist auch dieses vorausgesetzt, enthält Gleichung 27) die

2t

stets — =

23

rt

Bedingung:

die neutrale Faser geht durch den Schwerpunkt des Querschnittes.

. Wir haben in 7. die Summe aller horizontalen Spannungen gleich der Summe aller horizontalen Pressungen mit B bezeichnet, d. h. es ist

^Xa = SXb — R

Wir können nunmehr für homogene Stäbe einen mathematischen Ausdruck für R geben, indem wir für 2:Xa und ~Xb die so eben entwickelten Werthe einsetzen, d. h. es ist

28)

E = t/j •zdy E = t/j •zdy

Um diesen Ausdruck durch Zahlenwerthe darstellen zu können, muss die neutrale Faser vorab bekannt sein, d. h. es muss der Schwerpunkt des Querschnitts bestimmt worden sein.

Die Kräfte 2Xa und 2X& bilden, wie nun schon mehrfach hervorgehoben, ein Gegenpaar, welches wir das Widerstandsmoment 2Xy des betreffenden Querschnitts genannt haben, und welches dem Angriffsmoment der äusseren Kräfte numerisch gleich ist.

Um für -2Xy einen geordneten übersichtlichen Ausdruck zu erhalten, legen wir den Coordinatenursprung in den Schwerpunkt des Querschnitts und bilden die Summe der Kraftmomente

2t ra ₂ , T7„zy -dy

25 r⁶

für Druck j zy ² dy

für Zug

wonach sich ergibt:

= ^Xy =    ° zy ².dy + yy^zy ² dy .    . 29)

Den Ausdruck j'zy ² dy nennt man in der Mechanik das

Trägheitsmoment der Fläche zy ; dieser Ausdruck ist lediglich von der Gestalt des Querschnitts abhängig ; wenn nun wiederum 2t 23

wie oben —- = y gesetzt werden darf (d. h. wenn die Elastizitätsmodule für Druck und Zug gleich sind), so können die Trägheitsmomente der gedrückten und der gezogenen Fläche sofort addirt werden und ist das Trägheitsmoment 0 des Querschnitts ausgedrückt durch die Gleichung:

0= / y ² • z dy -\- f y² zdy    . . 30)

Jo    Jo

Es folgt nun aus den Gleichungen 29) und 30):

'    21    25

m = AXy = y0 = y 0 .    . . 31)

Indem man die Gleichung 31) mit der Gleichung 19) in X°. 7. combinirt, und für R seinen Werth aus Gleichung 28) einsetzt, erhält man für die in X°. 7 definirte Grösse ^

. 32)

/ yzdy f vzdy ‘    *

Jo    Jo

Die Integrale in Gleichung 32) bedeuten die Momente des gezogenen (beziehungsweise gedrückten) Theils des Querschnitts in Bezug auf die neutrale Faser; da letztere im Schwerpunkt liegt, so erklärt sich die Identität der beiden Momente aus

Bau der Brückenträger.

Tabelle V.

Nr. d. Fig.

Form des Querschnitts.

Trägheitsmoment ©.

y-

P'-----(5"¹--->|

er

ET

Oi i-¹

er*

mm*,.

b (b h»-V)

b (h³ — ht ³)

U.

p^d-7-'T"

i

3-----y—

c.

!l₂ (bh³ - b, h,*)

bh³ — bt ht³

b.

I«_

T

V |TT ¹

hjÿ

mbI_I

oder

oder

PT

m

12 L

bh³—(b—<5)ht³

n bh³ — (b — d) ht³

-Y_J

der Definition des Schwerpunkts; für geradlienig begränzte Querschnittformen ist das Moment des Querschnitts, bezogen auf die neutrale Faser, sehr leicht anzuschreiben, indem nur elementare Rechnungsarten in Anwendung kommen.

14. Das Widerstandsmoment eines Querschnittes ist nach dem Yorh ergeh enden direct proportional dem Trägheitsmoment, und indem man letzteres für die einzelnen Querschnittformen vorab bestimmt, so sind für diese Querschnitte alle umständlichen Rechnungen abgeschnitten ; wir geben daher in Tabelle Y. und Folgendem eineZu-

Nr. d. Fig.

Tabelle V. (Fortsetzung.)

Form des Querschnitts.

Trägheitsmoment ©.

a.

b.

\i\

■r

m------y-

⁸ r$:îmm &

b—i— A -

—b—>J

k----^

bth³+(b — b,)V b, h³+(b—b,)h{³

12

6 . Il

CO

?rd⁴

« cF

64

32

10

ff- &

n (D⁴ — d⁴)

32 . D

TT («³ ß - «t ³ ßi

32 a

sammenstellung der häufiger verkommenden Trägheitsmomente 0

0 0

und der zugehörigen Grössen — und •

In den nachfolgenden Querschnitten Fig. 12 und 13 ist angenommen, dass der obere Theil des Querschnitts gepresst, der untere Thcil gezogen sei, wie diess bei einem frei aufliegenden Balken der Fall ist; findet der umgekehrte Fall statt (oder wenn der Querschnitt

0 0

umgedreht gedacht wird), so würden die Werth e — und -g- ihre Werth e vertauschen, während 0 unverändert bleibt.

T'

Fig. 12.

"T” i ^ £

-—4-4-

«y «

! • i

r.___i—

8.________l.

T‘

h| -f- 21₂

4- biQ

ti 4- 2 (h₄ -{- t₂)

b i^i -f- b.₂t₂    + Ö

b, v³

ô) V + b₂s³ — (b₂ — Ö) st³l

i=1

Ul

Fig. 13 a.

—-ï>-----

Fig. 13b.

W------------>i

Fig. 13c.

—"—&-----

i>----->

i.

ï._____

H-

V-i

L_îk

le

s. —

bt t² -f d H2 2 (bt t -f- d H)

1-H CO

[bi (s³ - (S — t)³} + d (s³ -f- (H — s)³)]

H-s

Beispielsweise soll nun das Trägheitsmoment für einen compli-cirteren Querschnitt bestimmt werden (s. Fig. 14). — Wir nehmen an, der Schwerpunkt des Querschnittes sei bereits gefunden und die Linie OM sei durch diesen Punkt gelegt. Wir finden dann das Trägheitsmoment durch Addition der Trägheitsmomente des gedrückten und gezogenen Theils, wie solche durch die Linie OM abgeschieden sind. Wir haben für den obern Theil, indem man von dem

Trägheitsmoment j"^ by²dy = ^-bv³ des Vierecks b.n die Trägheitsmomente der hohlen Bäume abzieht,

Fig. 14.

H----------~b----------->j

K—^—H

rH |C0

----Sj~-------4=---

K-----------H

-a

(    _ (b - b j V - (b, - b₂) V - (b₂ - b₃) ,₃³)

ov =

und für den untern Theil

I.

II.

0s = Y (^b4s3 _ (b4 — b3) Sl³) ♦

III.

das Trägheitsmoment 0 des ganzen Querschnitts ist aber 0 = Ov -f- 0S

Um dieses Verfahren an einem Zahlenbeispiel zu zeigen, sei unter Beibehaltung der vorstehenden Anordnung des Querschnitts die Höhe H = v -f- s = 100 Cent., die Dicke der Mittelrippe b₃ = 1 Cent. ; das untere Band habe (inclus. Mittelrippe) eine Breite von b₄ = 5 Cent, und eine Höhe von 16 Cent.; die obere Gurtung, bestehend aus 2 Winkeln und dem breiten horizontalen Band, habe 100 Quadrat-Centim. Querschnitt; nämlich zwei "Winkel von 9 Cent. Schenkelbreite und 1 -Cent. Dicke, gibt je 17. zusammen 34 Quadrat-Centim., während das oberste Band 33 Cent, breit und 2 Cent, dick ist; die untere Gurtung hat dann ⁴/s des Querschnitts der oberen Gurtung. — Diese Maasse sind in nachstehender Figur 15. eingetragen und muss nun zunächst der Schwerpunkt dieser Fläche bestimmt werden. — Zu diesem Behufe sind die Abstände y der einzelnen Abtheilungsschwerpunkte von der untern Kante, dessgleichen der Abstand s der Gesammtfläche

Fig. 15.

_____

-V- !

U.

«»

:1C

Vs -

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’1---------

V₂

S'57,60

|    !    I T"

.i___i.

i i ^

.1. 1_____1 i._i

in der Figur eingetragen. Nach der Definition des Schwerpunktes findet die Relation Statt:

s X (Gesammtfläclie) = 33. 2. y₅ + 13- 1- Jit 4“ 8. 2. y₃ -{- 98. 1. y2 4- 16. 4. y₄

woraus, indem man die Flächeninhalte ausrechnet und dieWerthe für die einzelnen y einsetzt, folgt:

15107

Cent.,

wonach für die einzelnen v und s der Figur 15 folgt:

v    = 42

vi    — 4^133 = 39 = 31

262

= 57

566

533

533

C.

V3

533

ferner ist

3 ^ 566

s₄ = 41

566

CO rH

C.

b₄

und nach Einsetzung dieser Werthe in den Gleichungen I.—III.:

14. 40,33³ - 16. 39,33³ -+ 5 . 57,₆₆³ - 4 . 41,₆₆³

0=s 1_^33. 42,3₃ ³

2. 31,33

somit

0 = 398113 Centim.⁴

15. Für die meisten Fälle der Praxis kann das Trägheitsmoment 0, beziehungsweise das Widerstandsmoment XXy durch ein Näherungsverfahren schnell mit hinreichender Genauigkeit bestimmt werden, wie diess an dem Beispiel eines Trägers mit rechteckigem Gurtungs-Querschnitt entwickelt und nachgewiesen werden soll.

In nachstehender Figur 16 sei mit o₀ und b₀ der Abstand der Schwerpunkte der beiden Gurtungs-Querschnitte vom gemeinsamen Schwerpunkt der Gesammtfläche bezeichnet; die Bedeutung der übrigen Buchstaben ist aus der Figur selbst ersichtlich.

Das Trägheitsmoment dieses Trägers ist

j [\ (a⁸ - [« - y ⁸) + h (*>³- [f> - y •’)]

0 =

substituirt man in diesen Gleichungen

t<

a₀ = a---r

ißß == t₂b₂

so dass ßa und D& die Flächeninhalte der beiden Gurtungen bezeichnen, so erhält man

0 =

rH [CO

(3a₀² + 4) +    (3b₀² + 4]

Wenn nun die Gurtung verhältnissmässig niedrig ist, im Ver-

t ² t ²

gleich zur ganzen Trägerhöhe, so kann man -k- und —gegen

über von 3a₀² beziehungsweise 3b₀² vernachlässigen und erhält als hinreichend genau

Fig. 16.

4..

4-

T"" T ~ WËÊËm

HP

i:

—*----

---------— t=q

SP

___

lijft

—    |    !

!4    i    !

____i____sk._.,

k----

33)

0 = ß. a₀² + V

Berücksichtigt man ferner, dass nach der Definition des Schwerpunkts -Qa a₀ = b₀ und dass a₀ -j- b₀ — ^o» s0 ^

0 —    • öo ⁼    • • • ^4)

. und für Gurtungen von gleichem Querschnitt

. 34a)

0 =    ■ So²

Wenn man den Näherungswerth für 0 aus Gleichung 34) in die Gleichung 31) einsetzt, so erhält man

. . 35)

m = JXy =    . a . a.. ®₀

®f = £Xy = k . S . o„ . £₀

wo 2Ï und 33 die Spannung, beziehungsweise Pressung in den äussersten im Abstande a und b befindlichen Fasern bezeichnen.

Wir hätten Gleichung 35) auch unmittelbar erhalten, indem wir uns Druck und Zug je im Schwerpunkte der betreffenden Gurtung vereinigt gedacht hätten (vergl. Gleichung 19) ; indem man sich Rechenschaft darüber gibt, wie nahe der Gurtungsschwerpunkt im vorliegenden Falle dem Mittelpunkt von Druck und Zug liegt, erhält man eine weitere Anschauung von dem unbedeutenden

t ²

r2

ausübt.

ij ^    v

Einfluss, den die Vernachlässigung der Glieder und

So oft es gestattet ist, die längs einer Gurtung wirkenden Kräfte im Schwerpunkt derselben sich vereinigt zu denken, so ist auch die Gestalt der Gurtung ohne weiteren Einfluss und gelten die Gleichungen 33) bis 35) für alle Arten von Querschnitten, sobald nur die Gurtungshöhe gegenüber der ganzen Trägerhöhe hinreichend klein ist; selbstverständlich gelten diese Gleichungen unbedingt, wenn durch irgend eine Betrachtung die Mittelpunkte von Druck und Zug direct'gefunden worden sind.

16. Wenn man unter sonst gleichen Voraussetzungen, wie in der vorhergehenden Nummer, einen Träger mit voller,

Fig. 17.

Mi

j*-----------

---------,

°f

--------r-------f -

*>

k.____

dünner Wand betrachtet, und sich das Trägheitsmoment der bei-den Gurtungen nach der Annäherungsformel Gleichung 33) gebildet denkt, so erhält man das Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts dadurch, dass man zu den Trägheitsmomenten der Gurtungen die Trägheitsmomente der gedrückten und der gezogenen Mittelrippe addirt; es ist

0 = Sil <t₀² + ÖS fr₀² + “g- ^ • 0₀S +

0 = «O² (fi. + y äa₀) + b₀² (fi₆ + i «„) $

"Wir denken uns nämlich der Einfachheit halber die Mittelrippe gerade bis zum Gurtungsschwerpunkt reichend, was in der Praxis wenig ab weicht; derjenige Theil der Mittelrippe, der über den Gurtungsmittelpunkt etwa hinausreicht, wird, insofern er von Belang ist, zum Gurtungsquerschnitt gerechnet.

Sind dte beiden Gurtungen von gleich grossem Querschnitt, so

pp und

Li

¥■ (-Q +1 a®o> •    •

ist f>₀ — ao

.    .    37)

Für Träger, deren Gurtungen gleichen Querschnitt haben, wird also der Einfluss der Mittelrippe auf die Tragfähigkeit dadurch berücksichtigt, dass man jedem Gurtungsquerschnitt ¹/6 des Querschnitts der Mittelrippe hinzufügt und nunmehr das Trägheitsmoment eines offenen Balkens (ohne Mittelrippe) anschreibt. —Bei Trägern mit ungleichen Gurtungen muss auf Gleichung 36) zurückgegriffen werden; um auch letztere Gleichung in eine einfachere Form zu bringen, bemerken wir, dass nach der Definition der neutralen Faser die Relation stattfinden muss:

r-\ ICM

Oo (ßa + 4 <5a₀) = b₀ (Pi + db₀) ... I.

Li

Indem man nun links der Gleichung — <5a₀², rechts ~ <5b₀²

so er-

abzieht und bedenkt, dass die Differenz dieser beiden abzuziehenden Werthe gegenüber 0 vernachlässigt werden darf hält man:

Oo «a. + 4 »tto) = 6„ (Pt + -i

äbo) ... II.

Letztere Gleichung darf man für die gewöhnlichen Fälle der Praxis in Gleichung 36) einsetzen und erhält als meist ausreichende Näherungsformel für den in Fig. 17 dargestellten Querschnitt:

0 = (fl. + L da₀) = ®₀6₀ (Sit + Äb₀) .... 38)

woraus nach Gleichung 29) = -Xy =

m = XXy =

«o (fl. + Y i«o) = p ® A (ßt + T äbo) }

$₀b₀(fi₆ + i-^₀) =

39)

"Wir zeigen die Anwendung der Formel 38) und zugleich den Grad ihrer Genauigkeit an einem Zahlenbeispiel.

Für den in nachstehender Figur 18 dargestellten Querschnitt sei der Schwerpunkt der Gresammtfläche auf irgend eine Art ge-

Fig. 18.

L—

..... S3C-------

II

-V~

r~ "T—

-----

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-------⁷/r -—

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100 & —

57,63°

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* S

• rH

ferner ist

1    49

t = ⁷² + -i

1    40

ß₆ + J »„ = 100 +

~h

506

— 88,55

533

— 113,₄₄

woraus sich ergibt oder

im Mittel

"Vergleicht man dieses Resultat mit der mathematisch genauen Berechnung in 14., so ergibt sich eine mittlere Differenz von etwa 1 pCt., welche Annäherung für die meisten praktischen Fälle ausreichend ist. — Wir haben aber absichtlich ein Beispiel eines sehr unsymmetrischen Querschnitts gewählt, bei dem zudem die eine Gurtung verhältnissmässig ziemlich hoch ist; es lässt sich hieraus der Schluss ziehen, wie verschwindend die Ungenauigkeit wird, wenn beide Gurtungen ziemlich gleich gross und insbesondere beide gegenüber dem ganzen Träger verhältnissmässig niedrig sind.

17. Wie der Abstand § der Mittelpunkte von Druck und Zug in Gleichung 32) aus dem Trägheitsmoment bestimmt worden ist, so kann man umgekehrt bei complizirteren Querschnitten die Grösse Jq graphisch bestimmen und hieraus das Trägheitsmoment 0, beziehungsweise das Widerstandsmoment AXy ableiten.

0 = 90 X 0 = 90 X 0 = 403759

OO H

555

544

O CD

566

533

= 395765 = 411753

5370

5168

5269

Fig. 19.

Fig. 19 a.

xN'XN"

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--A :    ■ r

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y.________

______

A-k-

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sSASMtSSSSäi»

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'k.......jZ

Um graphisch darzustellen , bestimmt man , wie in Fig. 19 geschehen, für jeden Höhenabstand y den Werth

welcher nach Gleichung 25) der in den Elementen von der Breite z, im Abstande y von der neutralen Easer wirkende Kraft Ay, beziehungsweise By proportional ist, und trägt die so gefundene Grösse als Ordinate parallel der Axe der z auf; indem man ferner die Endpunkte der Ordinaten durch eine gerade oder gekrümmte Linie verbindet, und die zwischenliegende Fläche durch Schraf-firung bezeichnet, so stellt jede der beiden schraffirten Figuren eine Fläche dar, welche mit der Spannung beziehungsweise Pressung im obern Band gleichförmig in Anspruch genommen der Kraft R, d. h. der Summe sämmtlicher Spannungen, beziehungsweise Pressungen gleich ist; dass beiderlei schraffirte Flächen gleichen Querschnitt haben müssen, folgt aus Nr. 7. — Indem man endlich die Schwerpunkte der schraffirten Flächen bestimmt, so erhält man in deren Abstand § den gesuchten Abstand der Mittelpunkte von Druck und Zug und erhält endlich nach Gleichung 19)

^Xy = £R

wrobei und R nach Obigem graphisch bestimmt worden sind.

In gleicher Weise kann AXy aus Figur 19a) berechnet werden, wenn die im untern Band herrschende Pressung oder Spannung als Einheit angenommen wird.

Das Trägheitsmoment 0 bestimmt sich, indem man AXy sn    91    0

mit der Grösse -7- oder —- dividirt; die Grösse — einfach durch b    a    ’    et

Multiplication einer der schraffirten Flächen mit

In der graphischen Darstellung, Tafel VIII., sind auf diese Weise für das Schienenprofil der Metropolitan Railway in London die Widerstandsmomente berechnet worden und zwar für die beiden Fälle, dass der Kopf der Schiene einmal auf Zug, das andere-mal auf Druck in Anspruch genommen ist.

18. Dieselbe Betrachtung, mittelst welcher man die Widerstandsvermögen berechnet, lehrt auch für jede Belastung die Gestalt der neutralen Faser, die sogenannte elastische Linie, aufzufinden. Bezeichnen wir nämlich in der schon oben erklärten Figur 4 mit OM = q den Krümmungshalbmesser der neutralen Faser am fraglichen Balkenelement, nennen wir dl die Länge des Elements, dX die Verlängerung der am meisten gezogenen äusseren Faser, so ist, wie aus der Figur 4 zu ersehen:

q : a = dl : dP.

d/

es ist aber nach Gleichung 22) 21 = E

und nach Gleichung 31) ^ somit ist :

0E

2Xy = — Q

drücken wir nun den Krümmungshalbmesser q nach Anleitung: der analystischen Geometrie durch die Coordinaten der Kurve^ selbst aus:

(■ + [£]')

³/2

d²y

dx²

und bemerken, dass für die kleinen Biegungen, die wir setzen —

_dx_

voraus«

stets sehr klein gegenüber der Einheit ist, so folgt

I₌ ^y

q dx2 und endlich nach Gleichung 40):

aus dieser Gleichung:

g E0 =    . .

dieses ist die Fundamentalgleichung der elastischen? Linie. So oft es möglich ist, den Ausdruck

.    . 41)

2Xy

E0

zweimal zu

integriren, so oft ist die Gestalt der neutralen Faser gefunden. Die Rechnung wird ziemlich einfach, wenn das Trägheitsmoment 0 auf die ganze Länge des Stabes constant ist.

19. Wir wollen die Anwendung der Gleichung an einem einfachen Beispiele zeigen. Ein an beiden Enden frei aufliegender Balken sei auf seine ganze Länge mit q belastet, sein Querschnitt sei durchweg derselbe. Wir legen den Coordinatenursprung in den Punkt A, so ist:

₌ jL

ferner nach Gleichung 14):

AY = A — qx =

Fig. 20.

x) q

1/

Aj

ja

und nach Gleichung 15):

JSXy = 3|! 4- x-Y

und somit nach Gleichung 22):

d²y _ q^

qlx qx²

E0

qx²

dx²

und durch Integriren:

E0 ^ —

I) ⁺

Die Constante bestimmt sich dadurch, dass für x == -L- der Quo-

z

dx

Const.

dy

tient —^ = o ist, woraus folgt Const. =

q l³

2 Ï2

Diess substituirt, gibt durch wiederholtes Integriren:

— (21x³ — l³x — x⁴)

.    q

wobei die Constante = o ist, da für x = o auch y = o sein muss. Diess ist für den vorliegenden Fall die Gleichung der elastischen Linie und wir finden die grösste Einsenkung in der Mitte:

5 ql4 384 E0 '

Hätte man 0 proportional AXy wachsen lassen, so wäre ein con-stanter Halbmesser p entstanden und zwar

E0 . y ==

. . 42)

0E

C 2Xy*’

wenn man daher dem Balken in der Mitte denselben Querschnitt gegeben hätte, wie oben, dagegen denselben nach den Enden hin hätte abnehmen lassen, so wäre

Q =

geworden und es wäre somit die Senkung gemäss den Eigenschaften des Kreises gewesen:

f

¹    64 E0

Diese Gleichung 43) gibt eine Senkung îi, welche ⁶/ö derjenigen Senkung f beträgt, welche durch Gleichung 42) für einen Balken von gleichförmiger Stärke erhalten wird.

20. Die Gestalt der neutralen Faser für Balken, welche auf mehreren Stützpunkten aufliegen, bestimmt sich in ähnlicher Weise wie in Nr. 19., indem man lür jede Oeffnung die Gleichung 41) anschreibt und zweimal integrirt. Die Bückwirkungen der Stützpunkte können jedoch hier nicht unmittelbar bestimmt werden, wie bei dem auf 2 Widerlagern aufliegenden Balken, weil die Bedingungen des Gleichgewichts zwischen den äussern Kräften und der .Rückwirkung der Auflager sich auf die Gleichungen 2) und 4) reduciren, in welchen nur zwei Grössen unbekannt sein dürfen. Die nachfolgende Betrachtung zeigt, wie diese unbekannten Auflagedrücke sich durch die Entwicklung der Gleichung der elastischen Linie mit ergeben. Betrachtet man einen Balken mit

0E.8

ql²

. . 43)

n. Oeffnungen und führt als Unbekannte ausser den Auflagerdrücken noch die Winkel der elastischen Linie auf den Stützpunkten und endlich die Constanten bei der Integration ein, so hat man Unbekannte :

rH r—-i

Auflagerdrücke...........

Tangentenwinkel...........

Constante, deren je zwei für jede Oeffnung für die zweimalige Integration nothwendig werden

zusammen Unbekannte 4 n + 2

Zu Bestimmung dieser Unbekannten hat man folgende Relationen: die Biegungskurve jeder Oeffnung muss durch die beiden Auflagerpunkte gehen und muss an jedem Stützpunkt den oben eingeführten Winkel mit dem Horizont bilden. Man hat daher für jede Oeffnung 4 Gleichungen und ausserdem die beiden Bedingungen des Gleichgewichts zwischen den äussern Kräften und den Auflagerreaktionen, somit im Ganzen 4 n -j- 2 Gleichungen zu Bestimmung der vorhandenen 4 n -f- 2 Unbekannten.

Durch die oben angedeutete Methode ist man daher im Stande^ für jede beliebige Anzahl von Oeffnungen die Gestalt der neutralen Linie sowohl, als auch die unbekannten Auflagerdrücke zu bestimmen.

21. Wegen der vielen zu eliminirenden Unbekannten wird die vorstehend beschriebene Methode sehr zeitraubend und ist der folgenden Methode des Ingenieur Clapeyron, welche auf weit kürzerem Wege zum Ziele führt, der Vorzug zu geben. — Wir entnehmen diese Methode dem Werke: Molinos et Pronnier, Construc-iion des ponts métalliques, wobei wir das Verfahren zum Gebrauch für spätere Anwendung verallgemeinern.

Betrachten wir irgend eine der n Spannweiten eines Trägers und bezeichnen wir mit

Fig. 21.

I?

—J

JT~

_________/_______

----H

A und B die Vertikalkräfte zunächst den Stützpunkten,

1 die Spannweite,

9JÎ und 9JI' die Angriffsmomente der äusseren Kräfte auf den Auflagern A und B,

a und a' die Tangenten der Winkel der neutralen Linie daselbst mit dem Horizont,

■c und c' die Ordinaten der Stützpunkte, q die Belastung per Längeneinheit, ferner mit

9)lx das Angriffsmoment in einem Punkt, dessen Ahscissen und Ordinaten x und y bezeichnen, während die Axe der y

durch den Auflagerpunkt A geht, so ist:

__2

— Ax

und indem man diesen Werth von 9JL in Gleichung 41) einsetzt:

qx²

I,

£0^ = ^ = g«

ql²

Ausserdem besteht zwischen A, 9)1 und 9JP folgende Relation, wenn man B als Mittelpunkt der Momente annimmt:

= 0

woraus

ii.

und durch Substitution in obige Gleichung I. : d²y    qx²

dl²" ST

E0

(ï+

m—m'

) x + m . . . . in.

Wird diese Gleichung integrirt und berücksichtigt, dass für

_ 0 *1 -* _    ’ dx ~

dy

«, so erhält man: qx³

m-m'

dx

A x² , 9Jlx

J 2E0 ‘ E0

. IV.

und für x = «' = « —

ql³

12 E0

+ ca» + silo

V,

2E0

Integrirt man Gleichung IV. nochmals, so wird unter Berücksichtigung, dass für x = 0, y = c qx⁴

y = c 4- ax + und da für x = 1, y = c' c' = c -(- al -f --i

24E0

|*L§.

muss,

9)îx²

A x³

J 6E0 ¹ 2E0 *

9JÎ—m'

mc

Va.

24

2E0

woraus man erhält:

« = -3Ü-

24E0    6E0

und dieser Werth in Gleichung V. eingesetzt:

c'—c

(29)1 + 9JÎ0 +

c'— c

VI.

ql³

6E0

m + 29jio +

. . VII.

24E0

Letztere beiden Gleichungen enthalten die 4 Unbekannten 9)1, 391', a und a'; schreibt man ähnliche Gleichungen für jede Oeff-

Bau der Brückenträger.

nung des Trägers an, so erhält man 2 n Gleichungen. Andererseits-beträgt die Anzahl der Unbekannten, wenn man bedenkt, dass für die Endstützen 9JI = 0 ist und für die Mittelstützen a und 9Jt für je zwei Oeffnungen gemeinschaftlich sind

n — 1 unbekannte Momente, n -f- 1 Auflagerwinkel, zusammen 2 n Unbekannte.

Die Elimination der Unbekannten kann sehr vereinfacht werden,, wenn man Hiilfsgrössen in die Gleichungen YI. und YII. einführt.. Setzt man nämlich:

l³

“    24E0 ¹

931 = ²/8 fi\²

c' — c

l³

24E0 ^

YIIL.

m' = ²m²

* 24E0

so schreiben sich Gleichungen YI. und YII. in folgender Form:

IX.

X = q — 2 fi — v k ip = q-j- fi -{- 2v -f- 5{ welche sich leicht in folgende abändern: v = q — 2 fi — X ~\~ K \p = q — 3 fi —

Diese Gleichungen geben die Werthe für 931 und a für eine-Spannweite, wenn die entsprechenden Werthe der vorhergehenden bekannt sind, unmittelbar mit Hülfe der Relationen YIII.

22. Durch wiederholte Anwendung der Gleichungen IX. in: N°. 21. kann man nun für einen beliebig unterstützten Träger von n Oeffnungen die Biegungskurve, die Momente auf den Stützpunkten und die Auflagerdrücke auffinden.

Fig. 22.

\£

ÎL

/Z\rk

WlXz

TIZZ"

Y₂\x₃

ls

Es bezeichnen:

ln die Grösse der Spannweiten,

lt 1₂ 1₃    .....

9JÎ 93t, 93^/ 93Î,,, •    93 L die Momente auf den Stützpunkten,

a a, «„    .....«n die Tangenten der Winkel der elastischen

Linie auf den Stützpunkten mit der Horizontalen,

qi % q₃

q„ die Belastung der einzelnen Spannweiten pro Längeneinheit, c c, c„ c,„.....cn die Ordinaten der Stützpunkte.

Führen wir analog Gleichung VIII. die folgenden Hülfsgrössen ein, indem wir setzen:

24 E0

a, =

ß" 24E0 ^ ~

1 3 J3

24E0 h 9JÎ, = H \ = H V2 m„= W*, = ²/8l₃V3

. . X.

c,

C = Xi

24 E0

C" C' 24 E0 so schreiben sich die Gleichungen für die verschiedenen Spannweiten folgendermassen :

für die erste Spannweite

vi =    qi    —    2 Pi    —    Xi + *i

Vi f=    qi    —    3pt    —    2 Xi + 3x₄

.    .    44)

für die zweite Spannweite

V2 ⁼    ^2    ² f*₂    X2 ~H X2

^2 =    q₂    —    V₂    —    ² *2 + 3*2

für die nte Spannweite

vn ⁼⁼    2 ftn Xn 4“

Ipn ⁼⁼    C[n    3    2 Xn ~f~ 3 Xn

Auf dem ersten und letzten Stützpunkt ist das Moment der äusseren Kräfte 0, somit noch zu setzen:

SW = 3W„ = o

woraus

Pi = *n = 0

Die Elimination der Hülfsgrössen hat hei der einfachen I orm der Gleichungen keine Schwierigkeit. Eliminirt man nämlich mit Hülfe der Relationen X. das System von Unbekannten p₂ Ps • • • • • Xi X2 h ♦ • • • > so enthalten die Gleichungen 44) nur noch die Un-

der Reihe

bekannten

r₂ y3.....ipi ^2 y3.....woraus

nach die Grössen vx v₂ v₃.....und mit Hülfe der Relationen X.

die gesuchten Momente auf den Stützpunkten SW₂ SW₃ etc. gefunden werden können.

Ist ÜDf gefunden, so erhält man die Auflagerdrücke auf den Stützpunkten aus Gleichung II. und die Gestalt der neutralen Linie aus Gleichung Va., womit’ Alles bekannt ist. Die in einem spätem Abschnitt folgenden Beispiele werden die Anwendbarkeit der oben gegebenen Formeln darthun.

23. Die in X°. 19—22. enthaltenen Betrachtungen sind unter der Voraussetzung durchgeführt, dass der betrachtete Balken überall denselben Querschnitt habe, was in der Ausführung selten zutreffen wird. — Für den Fall, der in der Praxis wenigstens annähernd vorkommt, dass die Querschnitte auf die Länge einer Spannweite konstant, für die auf einander folgenden Spannweiten jedoch verschieden sind, sind die Formeln 44) anwendbar, nur ist in den Relationen X. statt des constanten 0 für jede Spannweite ein besonderes 0, 0₂ 0₃

einzuführen.

Wechselt 0 innerhalb der Spannweite, so sind unsere Formeln nicht mehr genau; man wird indess in den meisten Fällen ganz brauchbare Resultate erhalten, wenn man für 0 einen mittleren Werth in die Rechnung einführt.

24. Die in den vorstehenden Nummern 13—23 entwickelte Berechnung des Widerstandsmoments und der Biegung stabförmiger Körper ist durch die Erscheinungen der Praxis hinreichend bestätigt. — Behufs weiterer Entwicklung muss jedoch diese seit Navier allgemein anerkannte Theorie ausgedehnt und theilweise modificirt werden.

Es ist nämlich ein durch Biegung relativ in Anspruch genommener Stab nicht allein in seiner Längenrichtung gepresst und gezogen, sondern es wirken auch nach allen Richtungen abschee-rende Kräfte, von denen wir zunächst nur diejenigen zu betrachten haben, welche parallel der Ebene XY wirken.

Der Yertikalwiderstand ^SY, welcher durch Gleichung 14) und 14a) für jeden Querschnitt eines Balkens bestimmt wird, ist beim homogenen Träger nichts Anderes als die Summe der vertikalen Composanten sämmtlicher im fraglichen Querschnitt thätigen Schubkräfte.

Eig. 23.

UV

Betrachten wir ein Stück mnop eines beliebigen Balkens, so sind wir mittelst der vorangegangenen Theorie der relativen Festigkeit im Stande, die in (mo) und (np) thätigen horizontalen Composanten der innern Pressungen oder Spannungen x zu finden. Bezeichnen wir mit mo und

_________^__np die Summe fraglicher Kräfte, so

muss, damit Gleichgewicht bestehe, längs op eine Kraft thätig sein:

= (np) — (mo)

es ist diess die im fraglichen Horizontalschnitt thätige Schubkraft (s. Nr. 12.). Yon der Existenz dieser Kraft überzeugt man sich leicht, wenn man bedenkt, dass bei einem verzahnten Balken die Zähne eben diese Schubkraft aufnehmen müssen. — In Folge dieser auf Abscheeren wirkenden Kraft tritt eine Yerschiebung der Atome im Balken ein und die vor der Biegung normalen Querschnitte sind nach der Biegung schief zur neutralen Faser gerichtet, die einzelnen Schichten sind nicht, wie wir vorausgesetzt, concentrisch. — Diese Abweichung ist so äusserst gering, dass die Spannungen und Pressungen in den Längenfasern keine Aen-derung erleiden, —wohl aber fragt es sich, in welcher Weise

das Material ausserdem durch besagte Schubkräfte in Anspruch genommen ist.

Behalten wir ganz dieselben Bezeichnungen bei, wie bei Entwicklung der relativen Festigkeit, so erhalten wir als Resultante aller in np thätigen horizontalen Kräfte:

und da nach Gleichung 31)

(2X) = yy -fzydy _ XXy

so ist

(^X)

= ¥ />

Die auf die Länge dx bei p wirkende Schubkraft ist daher nach der am Anfang der Kummer gegebenen Betrachtung (XX) — (XX,) = d (XX) und die in op wirkende auf die Längeneinheit bezogene Schubkraft S ist:

y

dx

dx

woraus mit Benützung von Gleichung 17)

zy . dy .    .

. 45)

Man sieht leicht, dass die horizontale Schubkraft ihren grössten Werth erhält in der neutralen Faser, für welche y = o ist.

Für die neutrale Faser lässt sich der Ausdruck für S zur Anschauung bringen. Bezeichnet man nämlich die Resultante aller Pressungen oder Spannungen in einem Balkenquerschnitt mit R, mit § die Entfernung ihrer Angriffspunkte (s. Kr. 7.), so ist:

(XX) =. R AXy = R&

folglich die Schubkraft in der neutralen Faser:

dR _ d (XXy)

dx — £

S₀ =

und nach Gleichung 17)

dx

S₀

XY

. . 46)

wo § aus Gleichung 32) beziehungsweise aus K°. 17. gefunden wird.

Es findet sich übrigens die Schubkraft S für jeden Höhen-Gleichung 45) ohne Schwierigkeit ; für XY

einen und denselben Querschnitt ist nämlich —p- constant und es

0

bedeutet das Integral der Gleichung 45) das Moment des zwischen den Ordinaten y und 6 befindlichen Querschnittfragments in Beziehung auf die neutrale Axe. — Für die in der Praxis vorkom-

ab stand auch aus

menden Querschnittformen sind diese den verschiedenen Ordinaten y entsprechenden Momente mit Leichtigkeit anzuschreiben, und hieraus findet sich S, weil diesen Momenten direkt propcrtional,

Fig. 24.

Fig. 26.

Fig. 25.

Schublcraft.

' ScJuib =

&pcüirMJig

durch eine einfache Multiplikation oder auch durch Anwendung eines Proportional -Masstabs, nachdem die Schubkraft in der neutralen Faser bestimmt ist. — Trägt man, wie in Fig. 25. geschehen, die so gefundenen Schubkräfte für hinreichend viele y als Ordinaten auf, so erhält man eine Kurve, welche die Zunahme der Schubkraft gegen die neutrale Faser anschaulich macht. — Ist der Querschnitt des Balkens ein Rechteck, so ist die Schubkraft proportional den Ordinaten einer Parabel, deren Scheitel in der neutralen Faser liegt, und deren Axe horizontal ist. — Besteht der Querschnitt aus verschiedenen Rechtecken, so setzt sich die Curve der S aus einzelnen Parabelbögen zusammen, deren Scheitel sämmtlich in der neutralen Faser liegen und deren Axen ebenfalls horizontal sind.

Durch diese Schubkraft ist das Material zunächst auf Ab-scheeren in Anspruch genommen; die durch die Schubkraft S hervorgerufene Schubspannung © erhalten wir aus Gleichung 45) und 46) durch Division mit der Breite des Querschnitts an der betrachteten Stelle

47)

Wie oben für S angedeutet, so kann auch © graphisch dargestellt werden; für einen Balken von rechteckigem Querschnitt ist die Kurve der © wie die der S wiederum eine Parabel und für einen aus mehreren Rechtecken zusammengesetzten Querschnitt setzt sich die Kurve aus Parabeln zusammen, welche derselben Kurve angehören und zwar durch staffelförmige Absätze getrennt sind, aber ihre Scheitel sämmtlich in der neutralen Faser haben (s. Fig. 26.). — Die Schubspannung ist um so grösser, je kleiner z; die hier angestellten Untersuchungen sind daher hauptsächlich von Wichtigkeit für Balken mit dünnen Mittelrippen.

an

25. In ähnlicher Weise, wie in horizontalen Schnitten findet nach allen Richtungen im Balken ein Bestreben der Theile

«inander vorbeizugleiten, statt. Betrachten wir zuerst die Schubkräfte in einem vertikalen Querschnitt, so ist nach dem Früheren ihre Summe = 2TY gegeben. Wäre diese Summe gleichförmig auf den Querschnitt vertheilt, so wäre der Widerstand gegen Ab-scheeren gefunden. Diess ist im Allgemeinen nicht der Fall, man gelangt aber zu der Yertheilung von .ST über den Querschnitt durch folgende einfache Betrachtung.

Fig. 27.

Es sei (Fig. 27.) mnop ein unendlich kleines Stück des Balkens von den Dimensionen dx und dy. An diesem Element des Balkens wirken folgende Kräfte :

1) längs mo und np zwei vertikale Schubkräfte Ydy (deren Differenz unendlich klein 2ter Ordnung, also zu vernachlässigen ist);

.2) senkrecht zu mo und np die Spannungen der Fasern direkt entgegengesetzt, ihre Differenz ist unendlich klein 2ter Ordnung;

3)    längs mn und op zwei horizontale Schubkräfte Sdx (deren Differenz unendlich klein 2ter Ordnung);

4)    senkrecht zu mn und op vertikale, direkt entgegengesetzte Kräfte, herrührend von der Art der Yertheilung der Last, deren Differenz als unendlich klein 2ter Ordnung zu vernachlässigen ist.

Als Bedingung des Gleichgewichts erhält man daher einfach:

S . dx X dy = Ydy X dx S == Y.......48)

wo S nach Gleichung 45) und 46) gefunden wird. — Folglich ist die im vertikalen Querschnitt, pro Längeneinheit, an einer bestimmten Stelle wirkende Schubkraft, gleich der an derselben Stelle wirkenden horizontalen Schubkraft, letztere gleichfalls auf die Längeneinheit bezogen.

Wir haben schon oben darauf hingewiesen, dass die Summe aller vertikalen Schubkräfte = AY sein muss; dieses Resultat muss sich auch ergeben, wenn man sämmtliche nach Gleichung 45) und 48) berechnete, im Yertikalschnitt statthabende Schubkräfte addirt. — Integrirt man den Ausdruck für Ydy zwischen den Grenzen y und b, so erhält man

7/dy = fl dy//ydy

Y Y /•* r⁶

= -Wy

= ^[y//ydy-//yMy]

für y = a wird das erste Glied o, weil die neutrale Faser durch den Schwerpunkt geht, und das zweite Glied = 0, sonach:

/>

womit bewiesen.

Wir haben die Schubkräfte in vertikalem und horizontalem Sinn bestimmt durch Gleichung 45) und 48), wir kennen ferner die Yertheilung der Horizontalkräfte im Yertikalschnitt nach Gleichung 25); es bleibt nur noch die Bestimmung der Yertikal-kräfte im Horizontalschnitte: die Intensität dieser Kräfte hängt ab von der Yertheilung der Last und es sind diese Kräfte gleich Null, wenn die Last auf den Querschnitt so vertheilt isty wie die Kraft nach dem so eben Entwickelten; diesen einfachen günstigsten Fall legen wir der folgenden Entwicklung zu Grunde.

Fig. 28.

26. Es sind nach dem Bisherigen alle am Umfange von mnop (Fig. 27) thätigen Kräfte bekannt, und man kann nunmehr für jede beliebige Richtung die innerhalb mnop wirkenden inneren Kräfte bestimmen. Wenn mp eine beliebige Fläche bezeichnet (Fig. 28), so wird im Allgemeinen die Resultante der die Fläche angreifenden Kräfte mit dieser Fläche einen endlichen Winkel bilden. Zerlegt man die Resultante parallel und normal zur Fläche, so stellt die Composante parallel zur Fläche eine Schubkraft, die normal gerichtete einen Druck oder Zug vor. Bezeichnet

TIL

C die per Längeneinheit wirkende Schubkraft,

D den normal wirkenden Druck oder Zug per Längeneinheit,

(5 und £) die entsprechenden auf die Quadrateinheit reduzirtert Spannungen,

21 die Spannung oder Pressung in den äussersten Fasern des betrachteten Körperfragments,

y den Abstand des Körper-Elements mnop von der neutralen Faser, 2ly die Längenspannung oder Längenpressung in diesem Element, z die Dicke des Elements mnop nach der Axe der z, setzt man ferner

= ds

op = a

so finden folgende Relationen statt:

Cds = Ydz sin « — Sdx cos « -{- 2ïy. z . dy . cos «

Schubkraft

Druck od. Zug Dds = Ydy cos a -fi Sdx sin a -f- 2fy. z . dy . sin « hiebei sind S und Y durch Gleichung 45) und 48) definirt, 2Ï gibt die Spannung in der äussersten Längenfaser an, da nun

d — ds sin a d — ds cos a

so ist nach einigen Reduktionen und indem nach Gleichung 48) S = V ist,

S cos 2« -{- siu 2«    . . 49)

u

D = S sin 2a +    (1 — cos 2«)    50)

Will man in diesen beiden Gleichungen statt der Schubkräfte die entsprechenden Schubspammngen in der äussersten Faser einführen, so ist zu setzen:

Csi

CG Q

N CS3

und man erhält:

. . 51)

(E = © cos 2a -}- ~~ sin 2a

u

35 = © sin 2a -j—(1 — cos 2a) . 52)

Durch die Gleichungen 49) bis 52) ist der allgemeinste Ausdruck für Schub, Druck und Zug an einer beliebigen Stelle eines homogenen Trägers gegeben, wobei die Werthe yon S, © und 2t aus den Gleichungen 31), 45) und 47) bestimmt sind.

Um die Maximalwerthe yon (E und 35 zu bestimmen, bleiben wir bei einem und demselben Balkenelement, für welches © und 2ty constant sind; Maximum oder Minimum für (E findet statt für

d(S

da

=? — 2 © sin 2a -f- 2t cos 2a = 0

2ty

woraus folgt:

tang 2 a = 72

und diesen Werth in Gleichung 51) eingeführt, ergibt sich als Maximum für (E:

®max —

. . 53)

Aus den Gleichungen 51) und 53) ergeben sich ferner folgende Resultate. — In der äussersten Faser y = a ist © = 0, und ist für a — 45°, (E = */2 2t zugleich ein Maximum, während für a = 0 und 90° (E = 0, also ein Minimum ist.

In der neutralen Faser y = 0 ist für

a = 90° . . . (E = © und Maximum, a — 0° . . . (E = © und ebenfalls Maximum.

Für Fasern, welche zwischen der äussersten und der neutralen Faser liegen, kann (E grösser werden als 2t; es müsste jedoch in diesem Falle im fraglichen horizontalen Querschnitt © wesentlich grösser als */² 2ty und letzteres ziemlich nahe dem in der äussersten Faser herrschenden 2t sein, was selten Zusammentreffen wird.

Wir bestimmen nun ebenso das Maximum oder Minimum von 35, welches Statt findet für

Diesen Werth in Gleichung 52) eingesetzt, gibt für das Maximum von SD

. . 55)

max —

\/®a + (4r)² • •

In der äussersten Faser ist © = 0, somit

91

SD = ~ (1 — cos 2a)

z

woraus folgt:

a =    0    ...$) = 0 und Minimum,

a = 90° ...SD = 2ty = 2t und Maximum.

In der neutralen Faser ist 2ty = 0 und somit a = 45° ...© = © und Maximum.

Für die zwischenliegenden Fasern ist, wie aus Gleichung 55) unmittelbar hervorgeht, ©max jedenfalls gröser als 2ly und ©, wenn © auch einen noch so kleinen aber endlichen Werth hat. Wegen dieser Einwirkung die die Schubspannung © auf den Werth SDmax ausübt, soll die Schubspannung ©₀ in der neutralen Faser ansehnlich kleiner gewählt werden, als die grösste Spannung 2t₀ (Pressung 33₀) in den äussersten Längenfasern; wir werden in der Folge meist setzen

. . 56)

woraus

d$) = 2 © cos 2 a + ¹/'² • 2ty sin 2a tg2a = —

2©

©₀    0,62I₀    0,693₀    .

in welcher Gleichung die Grössen ©₀, 2l₀ und 93₀ durch vorstehende Erläuterung bezeichnet sind.

Bei Annahme der durch Gleichung 56) gegebenen Relation wird, wie auch die nachfolgenden Beispiele ausweisen, die in den äussersten Längenfasern herrschende Spannung oder Pressung in der Regel nicht wesentlich überschritten und zwar hauptsächlich desshalb, weil 2Iy seinen grössten Werth in den äussersten Fasern, © dagegen in der neutralen Faser erreicht; es wird jedoch bei continuirlichen Trägern, wo in der Nähe der Auflager Gurtung und Mittelwand gleichzeitig ihre grösste Anstrengung in demselben Querschnitt erleiden, an der Grenze zwischen Gurtung und Mittelwand (wo die Maximalwerthe 2t₀ und ©q noch annähernd vorhanden sind) die schiefe Wandspannung die gröste Längenspannung häufig überschreiten; ebenso kann bei homogenen Trägern, welche durch concentrirte Lasten in Anspruch genommen sind, max 93 und max in denselben Querschnitt fallen, so dass auch hier £) max (je nach dem Yerhältnisse zwischen Gurtungsdicke und Trägerhöhe) grösser als max 21 werden kann.

Für jedes Element setzt sich aber £)max aus © und 21y nach Gleichung 55) zusammen und sind in nachstehender Tabelle diese Maximalwerthe von £) für die verschiedenen © (horizontale "Schubspannung) und 2fy (Längenspannung in dem betrachteten Körper-Element) zusammengestellt.

Tabelle VI.

2ly =

100

200

300    400

500

600

700

800

© = 100

161,8    241,4    330,2    423,6

519,2    616,2    714,0

812,3

300    354,1    416,2

485,4

560,6    640,5    724,2    811,0    900,0

400    453,1    512,2

576,9    647,2

721,7    800,0    881,5    965,6

500

552,4

609,9    672,0

738,5

809,0    883,1

960,3    1040,3

600    652,1

708,3

768,3

832,5

900,0

970,8    1044,6

1121,2

700    751,8    807,1

865,9

928,0

993,3

1061,6    1132,6

1206,2

800    851,6 I 906,2

963,9    1024,4

1088,2    1154,4 1223,2

1294,4

27. Inwieweit die gleichzeitigen Werthe von @ und 21y in der Praxis einander gegenseitig beeinflussen, soll an einem einfachen Beispiele gezeigt werden. — In der graphischen Darstellung Tafel I. sind die verschiedenen Querschnitte für Brückenträger von 1,5 Meter Höhe angenommen, und zwar ist bei Querschnitt N°. 1 ein continuirlicher Träger vorausgesetzt, wo der Schnitt unmittelbar an einem der Mittelpfeiler genommen ist. — Die Querschnitte N°. 2 und K°. 3 entsprechen dagegen dem frei aufliegenden Träger von 15 Met. Spannweite, der im Abschnitt über Blechwandbrücken eingehend berechnet und auf Tafel VI. dargestellt ist.

Es ist zunächst die horizontale Spannung in den äussersten Fasern, welche von da stetig zur neutralen Faser abnimmt, nach Gleichung 31), sodann die horizontale Schubspannung nach Gleichung 45) und 47) berechnet worden; endlich sind die in schiefer Dichtung wirkenden grössten Spannungen (oder Pressungen) nach Gleichung 55) bestimmt und alle diese Grössen in der graphischen Darstellung der Tafel I. nach je demselben Maassstabe aufgetragen, so dass man mit einem Blick die im fraglichen Träger an den

verschiedenen Punkten wirkenden Kräfte je nach ihren numerischen Werthen geordnet überschauen kann. Man ersieht hieraus, dass bei der vorliegenden Querschnittform nur beim continuirlichen Träger, Querschnitt N°. 1, die grösste Längenspannung St überschreitet, im Allgemeinen aber immer grösser ist, als die Längenspannung im betreffenden Horizontalschnitt, mit welcher sie in der äussersten Faser identisch wird.

28. In Tafel VII. ist für den Querschnitt der Eisenbahnbrücke von Langon eine graphische Darstellung der horizontalen Schubspannungen und der grössten in schiefer Richtung wirkenden Spannungen (Pressungen) gegeben, es ist vorausgesetzt, dass die grösste Längenspannung in den äussersten Fasern 600 KiL pro Quadratcent, und die Schubspannung in der neutralen Axe 350 Kil. pro Quadratcent, betrage, und ist die numerische Berechnung der einzelnen Curvenpunkte aus den beiden folgenden Tabellen VII. und VIII. ersichtlich; es sind in diesen Tabellen 2t nach Gleichung 31), <5 nach Gleichung 45) und 47) und S)max nach Gleichung 55) berechnet.

Tabelle VII.

Berechnung der horizontalen Schubspannung.

Horizontal

schnitt.

Querschnitt

flächen.

Ordinaten der Schwerpunkte.

Momente der Querschnitt-flachen.

Mo-

menten-

summe:

/:

zydy

Breite des Horizontalschnitts z.

Bemer

kungen.

(1)

co

v—'

(6)

VII.

VI.

90 X 4,8 + 61,4X1,2 + 90 X 8,2

+ 12 X 3,4

272,6]

269.6/

264,5

254,01

167515

167515    90

21,2

1861,3

7901

21,2 X 1,2

269,6

6858

174373    21,2

3,6

8225

38437

Die äus-sern Winkel und Vertikel-platten müs-senzumQuer-schnitte des Hauptbandes gerechnet werden.

9 X 3,6

264,5    8570

IV.

182943    3,6

1,2

50817

152452

100 X 1,2

210    25200

III.

208143

1,2

173452

80 X 1,2

120    11520

II.

219663

1,2

183052

80 X 1,2

40    3810

Colonne (4)i ist proportional der horizontalen Schubkraft S, Colonne (6) proportional der horizontalen Schubspannung

I.

223503

1,2

186252

Tabelle VIII.

Berechnung des Maximums der Spannung (Pressung) im schrägen

max.

Schnitt 3)

Horizon

talschnitt.

3t

Grösste Spannung oder Pressung SD

max.

Bemerkungen.

(1)

(2)

(3)

(4)

VII.

600

300

600

VI.

590

15

295,5

295

590,5

590

erhält

V.

586

90

16

306,5

293,5

600

586,5

IV.

567

286

96

403

299,6

687

583,6

III.

350

325

369

544

Man

©max, wenn man die Werthe 21 der Colonne (1) lial-birt und zu den Werthen der Colonne (3) addirt; vergleiche Gleichung (55).

II.

175

345

356

444

I.

350

350

350

Zunächst der Gurtung ist die grösste schiefe Pressung in der Wand 687 Kilogr. per Quadratcent., somit ansehnlich grösser als die Längenspannung in den äussersten Fasern; wenn man also bei grossen Blechwandbrücken die Mittelrippen (Blechwand) nicht übermässig stark machen will (was sich durch den Kostenaufwand verbietet), so ist da wo Gurtung und Mittelrippe gleichzeitig die grösste zulässige Anstrengung erhalten, die Längenspannung der Gurtung entsprechend unter der für das Material zulässigen grössten Spannung zu halten, welch letztere in der Wandung zunächst der Gurtung eintreten muss; sie ist im vorliegenden Falle mit 687 Kilogr. pro Quadratcent, nicht zu gross, hätte man sich aber die Aufgabe gestellt, dass dieselbe nicht über 600 Kilogr. betragen dürfe, so hätte man für die Längenspannung in der äussersten Faser nur etwa 525 Kilogr. pro Quadratcent, nehmen dürfen.

29. Wenn ein prismatischer Stab, dessen Länge im Yerhält-niss zu seinen Querschnittdimensionen gross ist, einen Druck P parallel seiner Längenrichtung erleidet, so beobachtet man eine Ausbiegung des Stabes ; in Folge dieser Ausbiegung tritt der Bruch frühzeitiger ein, die Bruchbelastung ist eine geringere, als wie sie in Gleichung. 21) für absolut rückwirkende Festigkeit berechnet

ist; der längere Stab wird durch die Kraft P in Bezug auf seine relativ rückwirkende* Festigkeit in Anspruch genommen.

Fig. 29.

/._J

!<«'>

Wenn die Gestalt der gebogenen Längen-axe und ebenso der Abstand der Kraft P von dieser Axe bekannt sind, so kann Pressung und Spannung an jedem Punkte des Stabes in gleicher Weise berechnet werden, wie wir oben bei der relativen Festigkeit gesehen.

Wir nehmen die Axe der x zusammenfallend mit der Richtung der Kraft P und nehmen ferner an, dass die gebogene Axe symmetrisch zur Axe der x liege, indem wir uns zunächst den Stab an beiden Enden ganz frei denken.

Wir nennen

d den Abstand des Schwerpunkts der beiden äussersten Querschnitte von der Axe der xr f den Abstand des mittelsten Querschnitts,, was zugleich die grösste Abweichung der gebogenen Axe des Stabs von der Kraftrichtung bezeichnet; ferner sei

L die Länge des Stabes, w der Querschnitt desselben,

0 das Trägheitsmoment des Querschnitts in Bezug auf eine durch seinen Schwerpunkt

—    und zwar senkrecht zur Biegungsebene

—    gelegte Axe,

u der Abstand der neutralen Faser vom Schwerpunkt jedes einzelnen Querschnitts, ^    2f₀ und $₀ die in den äussersten Fasern herr

schende Spannung und Pressung, welche in den Abständen a₀, beziehungsweise bö vorhanden sind.

Denken'wir uns nun einen beliebigen Querschnitt dieses Stabes und nennen x, y die Condinaten des Schwerpunkts dieses Querschnitts ;

denken wir uns ferner ein beliebiges Element z db dieses Querschnitts senkrecht zur Ebene xy (d. h. parallel der neutralen Schichte) und nennen

b den Abstand dieses Elements von der neutralen Faser,

v den Abstand desselben Elements von dem. Schwerpunkt des Querschnitts,

so erhalten wir ähnlich wie in N°. 13. zunächst als den im Element z . db herrschenden Druck

23 -

23₀

-j-²- b . z db

und es gehen hienach die Bedingungen des Gleichgewichts für den» betrachteten Querschnitt:

P -fa .

0oJ o

p (y +u) = -

»*. Az.

&0 J O

pao    9* pbo    .

-/ a²zda + -^-/ b²z. db , . 58)

Öq J o    Oq J o

2t 23

Berücksichtigt man, dass — = gesetzt werden darf und be-merkt, dass

z da —

er-

. . 57)

/'ao    />& o

0U = / a²z da -f- / b²zdb

i/ O    i/o

das Trägheitsmoment des Querschnitts in Bezug auf die neutrale Faser bezeichnet, so folgt aus Gleichung 58) zunächst

p (y + «) = I²- • e.

f>o

58a)

Bedenkt man ferner, dass zwischen dem Trägheitsmoment 0U und dem auf den Schwerpunkt des Querschnitts bezogenen Trägheitsmoment 0 nach bekannten Sätzen der Mechanik die Relation besteht

0u = 0 + w . u²

und bemerkt schliesslich, dass nach der Definition des Schwerpunkts

fa o

• /.*•

z . da -

. z db = w . u,

so schreiben sich die Gleichungen 57) und 58) in folgender einfacher Form an:

. . 59)

p (y + u) = -7— (0 -f wu²) . ü0

. 60)

und erhält man nunmehr aus den Gleichungen 59) und 60) die Relation

61)

w • y

Da für x = o, y = f wird, so folgt für den mittleren Querschnitt

61a)

(n . f

d. h. wenn der Abstand der Kraft P von der Schwerpunktaxe bekannt ist, so findet sich aus den bekannten Dimensionen des Stabs.

nach. Gleichung 61), beziehungsweise 61a) die Verrückung u der neutralen Faser.

30. "Wird der aus Gleichung 61) gefundene Werth von u in Gleichung 59) eingesetzt, so folgt

62)

Py = I²- • ©

Wenn man den Abstand der am meisten comprimirten Faser vom Schwerpunkt des Querschnitts mit v₀ bezeichnet (entsprechend der obigen Bedeutung von v), so ist

b₀ = u -f- vo

•und schreibt sich hienach vorstehende Gleichung 62):

62a)

Py =    7U- .0......

U + v0

•woraus mit Benützung von Gleichung 61) folgt:

63)

*> = py£+v......

In gleicher Weise findet man für die Spannung der am meisten .ausgedehnten Faser

63a)

a» = Py • 1 - y

FMr den mittleren Querschnitt ist y = f zu setzen. Wird in Gleichung 63a) 2l₀ negativ, so zeigt diess an, dass im Querschnitt nur Pressung, nirgends Spannung herrscht. Vergleicht man mit Gleichung 63) die Gleichungen 20) und 31), so erkennt man, dass die grösste Pressung $8₀ im betrachteten Querschnitt sich zusammen-

P

setzt aus der Pressung — in Folge des auf die Quadrateinheit

reduzirten Druckes* P und aus derjenigen Pressung, welche durch •das Moment derselben am Hebelarme y gleichzeitig auf Biegung wirkenden Kraft P hervorgerufen wird, und zwar ist letztere Pressung so gross wie die grösste Pressung in einem auf relative Festigkeit in Anspruch genommenen Stab von der Länge 4y, beziehungsweise 4 f, welcher Stab an beiden Enden frei aufliegt und in der Mitte mit P belastet ist.

31. Aus Gleichung 63) könnte die grösste Pressung in einem auf relativ rückwirkende Festigkeit angegriffenen Stabe sofort ge~ funden werden, sobald der Kraft-Abstand f bekannt wäre; letzterer setzt sich zusammen aus dem Biegungspfeil und aus dem Abstand d, welchen die Kraft schon vor Eintritt der Biegung hatte. — Letzterer Abstand ist aber häufig bekannt und kann dann zur Bestimmung des unbekannten Abstandes f dienen. — Zu diesem Zweck ist die Gleichung der elastischen Linie zu bestimmen.

Analog der in 18. entwickelten Anschauung haben wir für die Gestalt der neutralen Axe — deren Radius wir mit Qt bezeichnen — entsprechend Gleichung 40)

0E

Sy = Py = —

und indem wir mit q den Radius der Schwerpunktaxe bezeichnen, wobei ç, = q + u zu setzen, so ist

0E

64)

Q + U

Setzt man für q den aus der analytischen Geometrie bekannten

Py =

Werth d²y ein und für u seinen Werth aus Gleichung 61), so

dx^

folgt :

d²y

Py

dx²

l~) • •

Ü) )

. 65)

Den Ausdruck 0

(IT)

setzen wir der Einfachheit halber

gleich t, so folgt

i jPy_ _ J_ dx² t

Durch Integration dieser Gleichung erhält man

x    x

y— ~P COS —— --

65a)

. 66)

y = C . sin

wobei C und C₁ zwei constante Grössen bezeichnen; zur Auffindung dieser letzteren dient die Betrachtung, dass y für x und — x denselben Werth haben muss, woraus folgt:

C = o, und indem man x = — setzt,

Ci = f,

und schreibt sich hienach Gleichung 66) :

Vt

VT

d = f cos

2Vt

67)

cos

2 vr

Setzt man endlich diesen Werth von f in Gleichung 63) ein, so erhält man

sg _ JL j_ Züo

cos

. . 68)

2vr

ebenso aus Gleichung 63a)

Py₀

0 cos

2 Vt

. . 68a)

und indem man Gleichung 68) in Beziehung auf P auflöst

1 4-^ 0

cos

L • • ⁶⁹>

2 vr

Aus letzterer Gleichung kann übrigens P nur durch Probiren ge»

4

to J

die Kraft P

C E

funden werden, da der Ausdruck t = 0 (-p-gleich falls enthält.

32. Wir zeigen die Anwendung der Gleichung an einem Beispiele. — Eine gusseiserne volle runde Säule von 4 M. Höhe sei

Fig. 30.

5000* -tr

'S) <-

si

am untern Ende eingespannt und in einer Entfernung von 1 AL von einer Kraft P = 5000 K. angegriffen ; da diese Säule bei der Biegung am untern Ende eine vertikale Tangente beibehält, so haben wir nur die eine Hälfte des in Fig. 29. dargestellten Stabes vor uns, und ist somit die Höhe 1 der in Fig. 30 dargestellten Säule

bei Anwendung vorstehender Gleichungen 57)—69) gleich — zu

z

setzen; es ist somit, indem wir Alles in Centim. und Kilogrammen ausdrücken :

L — 21 = 800 Centim.;

ferner sei der Säulendurchmesser D = 20 Centim., somit t’₀ = ~ = 10 Centim.

u

îtD ²

CO

f- = 314 GC.

4

rtl)⁴

64

0E

— = P413000

i P

und folgt somit aus Gleichung 68) unmittelbar

tü

23o =

5000

5000 . 10

100

314

7854

800

cos

2 V"1413000

33₀ = 16 + 677 = 693 Kilo.

Um die Ausbiegung der Säule zu bestimmen, setzen wir nach Gleichung 67)

0,94

cos

= 106 C.,

2 vr

woraus sich, ein Biegungspfeil f—d von 6 Centimetern ergibt. — Wenn nun auch diese Ausbiegung für sich ansehnlich genug ist, so kann sie doch im vorliegenden Falle für annähernde Berechnung der grössten Pressung vernachlässigt werden; denn wenn man in Gleichung 63.) anstatt f = 106 Cent, den zum Yoraus bekannten Werth d — 100 Cent, gesetzt hätte, so hätte man erhalten 23₀ = 16 —{— 639 = 655 Kilo anstatt dem genauem Werth von 693 K. ; bei weniger starken Biegungen wird desshalb diese Annäherung ganz befriedigende Eesultate geben.

33. Je grösser der Abstand d ist, d. h. je weiter entfernt die Druckrichtung von der Axe des Stabes ist, desto grösser wird die grösste Pressung bei gegebener Stablänge; anderseits wenn eine bestimmte Pressung nicht überschritten werden soll, so ist der Abstand d desto kleiner zu nehmen, je grösser die Stablänge.

Wir finden, indem wir Gleichung 68) in Beziehung auf d

auflösen,

a = (®o

Px J)_ CO J Pl'₀

cos

. 70)

2Vt

Wenn wir eine Säule von demselben Durchmesser D = 20 Centim. wiederum am untern Ende eingespannt und mit einer Last P = 5000 Kilo belastet denken, so ist

co = 314 [jCentim.

— = 16 Kilo per □ Centim.

CO    x

P

7104, so ist auch d sechsmal

Soll 23₀ nicht grösser sein als 1200 K., so wird $8₀ — —= H84; — sechsmal so gross =

(X)

grösser, während 23₀ = 7 1 20 K. beträgt, was nahe der Bruchlast entspricht. — Für diese beiden Werthe von 23₀ haben wir in Tabelle IX.

Tabelle IX.

d in Gentimetern ausgedrückt:

in Metern.

S₀ = 1200

d = 175,3 C. 162,6 145,5 123,9

d = 1052 C.

976

872

743

■'T CD GO

10

98,9

594

12

71,2

427

14

41,4

248

16

10,5

63

18

0,0

18,67

eine Reihe von d für verschiedene Längen berechnet, indem nach obigen Angaben in Gleichung 70) weiterhin gesetzt wurde:

wodurch für 23₀ = 1200 Kilo

¹⁸⁵’9 cos im

0 = 7854 V = 10 C. t = D413000,

und für

$₀ = 7120 Kilo

d = 1115,3 cos erhalten wurde.

Für cos

L    L

⁼ 0 oder — = 18,67 M. wird d = 0, und zwar

Zô l O    u

für jede Pressung S₀, während für 18 M. die verschiedenen d noch ansehnliche Werthe zeigen; es bedeutet diess, dass ein am untern Ende eingespannter runder gusseiserner Stab von 18,67 M. Länge und 20 C. Durchmesser die Belastung von 5000 K. nicht mehr ertragen kann, wenn sie auch ganz genau in der Schwerpunktaxe wirkt. — Für einen solchen Stab ist also die genannte Belastung unter allen Umständen Bruchlast-

Aehnliche Betrachtungen können mittelst Gleichung 68a) angestellt werden, wenn die grösste zulässige Spannung vorgeschrieben ist.

34. Da wir im Vorhergehenden gesehen, dass die einer bestimmten Bruchlast entsprechende Länge sich sehr scharf markirt, so kann man hievon ausgehen, um die Bruchlast bei gegebener Länge für den günstigsten Fall zu bestimmen, wenn d = 0 ist, d. h. wenn die Kraft genau in die Axe des Stabes fällt.

Wenn man aber in den Gleichungen 68) — 70) d = 0 setzen

p

cos

2 Vt

will, so erhält man entweder 23₀ = —-, was nur für ganz kurze Stäbe richtig ist, oder es muss ausser d auch noch die Grösse = 0 sein; woraus folgt

71)

ÎT

2 VT 2

0E

Diese letztere Gleichung haben wir schon in dem Beispiele der vorhergehenden Kummer erhalten und darf solche als Bedingungs-Gleichung für Auffindung der Bruchlast benutzt werden.

Setzen wir in derselben den Werth t =

erhalten wir

P = Eco wL²

tt²0

72)

woraus, wenn man 1 gegen

coL²

^20

vernachlässigt, was für längere

Stäbe stets zulässig, ist:

cr²0E

72 a)

Letztere Gleichung hat schon Kavier als Bruchbelastung für lange Stäbe aufgestellt.

Abgesehen davon, dass diese Gleichung uns keine Pressung auffinden lehrt, so hat sie insbesondere den Mangel, dass sie für kürzere Stäbe ganz unbrauchbar wird; denn P darf nie grösser werden, als die Gleichung 21) für absolut rückwirkende Festigkeit ergibt, es ist im Gegentheil in Folge der Biegung P stets kleiner.

Aber selbst für längere Stäbe stimmt Gleichung 72) nicht mit den Erfahrungen und Versuchen überein. Wir benützen als Beispiel die Versuche, welche E. Hodgkinson mit vierkantigen schmiedeisernen Stäben von 1 Zoll englisch Seite anstellte, um sie mit den Besultaten der Gleichung 72) zu vergleichen.

Die Betrachtung der Tabelle X. zeigt, dass die Gleichung 72) nicht blos für ganz kurze, sondern auch für die längeren Stäbe

L²

unrichtige Resultate gibt, welche nur wenn die Längen etwa 30mal grösser als der Durchmesser sind, mehr übereinstimmen. — Auffallend ist, dass die Gleichung 72) für die längeren Stäbe ungünstigere Resultate gibt, als die Versuche; diess rührt wohl daher, dass die Enden der Versuchsstäbe doch nicht so frei sich bewegen konnten, wie in der Gleichung vorausgesetzt ist, indem dieselben mit platten Endflächen versehen waren.

Tabelle X.

Länge des Stabes = L.

Bruchlast in englischen ff

beobachtet.

berechnet.

10 Fuss englisch

7.5    Fuss 5 Fuss

2.5    Fuss 1,25 Fuss

71/2 Zoll 3³/4 Zoll

120

90

60

30

15

7,5

3,75

4245

1280

10236

18106

26530

36162

50946

55200

2276

5121

20480 (81940) (327760) (1‘487400)

Anmerkung. Die eingeklammerten Zahlen sind desshalb unbrauchbar, weil die Bruchlast nie grösser werden kann, als diejenige, welche für das vorliegende Material für kurze, absolut rückwirkend angegriffene Stäbe, erhoben worden ist.

35. Wie wir so eben gesehen haben, stimmen die mit so grosser Sorgfalt angestellten Versuche des E. Hodgkinson mit den Resultaten der Gleichung 72) nicht überein, so dass eine ganz allgemeine, rein theoretische Lösung nicht möglich erscheint.

Anderseits hat man es bei den Bauconstructionen im Allgemeinen nicht mit unverhältnissmässig langen Stäben zu thun ; bei den beim Bauen üblichen Dimensionen wird vielmehr die seitliche Abweichung der Kraft inner gewisser Grenzen sich bewegen und insolange der Constructeur eine Uebereinstimmung zwischen der Richtung der Kraft und der Längenaxe des gepressten Glieds anstrebt, wird für die Abweichung f der Kraft ein gewisses Gesetz sich geltend machen. — Wie wir aber in N°- 30. gefunden, so lässt sich die grösste Pressung, und umgekehrt die durch eine gewisse Pressung hervorgerufene Kraft bestimmen, sobald der Abstand f für den Schwerpunkt des mittleren Querschnitts gefunden ist. — Lösen wir Gleichung 63) in Beziehung auf P auf, so erhalten wir durch Wertheinsetzung von f = max (y)

P = 23o

". . 73)

Die Abweichung f ist der Natur der Sache nach eine unbekannte Grösse, welche nach Beschaffenheit des Materials, nach Gestaltung der Endflächen veränderlich und insbesondere auch von der Solidität der Ausführung abhängig ist. — Letztere Punkte müssen insbesondere in Erwägung gezogen werden, wenn es sich um die Bestimmung der in der Rechnung einzuführenden freien Länge ■des Stabes handelt; diese Länge hängt wesentlich ab von der Anwendung der Construction, so dass wir z. B. in N°- 32. diese Länge gleich der doppelten Länge des betrachteten Stabes nehmen mussten.

Diess vorausgesetzt, wird f für ein und dasselbe Material mit zunehmender Länge sich sehr vergrössern, dagegen bei zunehmenden Querschnittdimensionen abnehmen; diesen Factoren trägt man dadurch Rechnung, dass

74)

f = K. —

gesetzt wird, wo K ein durch die Erfahrung für jedes Material festzustellender Coefficient ist.

Wenn man diesen Werth von f in Gleichung 73) einsetzt, so erhält man

. . 75)

P =    1 + K. — L» •

0

Diese Gleichung hat auch Aehnlichkeit mit der theoretischen

K^(üTj2

Gleichung 72); denn für den Fall, dass —sehr gross gegenüber der Einheit ist und somit letztere vernachlässigt werden darf, erhalten wir aus Gleichung 75)

Kw L²

P =

und nach Gleichung 72)

0

P : ct'²E ~rr

L²

und liegt hierin zunächst eine weitere Rechtfertigung, dass wir in Gleichung 74) f proportional L² gesetzt haben.

KojL²

0

In der Praxis ist aber (wie schon oben angedeutet) L 0

gegenüber — nicht so gross, dass die Einheit gegenüber

vernachlässigt werden dürfte; der Bruch

KwL² gibt an, wel-¹ ^ 0“

eher Theil der absolut mitwirkenden Festigkeit für längere Stäbe zulässig ist; je kleiner L, desto mehr nähert sich dieser Bruch der Einheit, so dass für ganz kurze Stäbe die Gleichung 75) in Gleichung 20), beziehungsweise 21) übergellt. — 0 ist für die Richtung zu berechnen, nach welcher das Ausbiegen voraussichtlich eintritt; diess geschieht bei einseitiger Belastung in der Richtung der Kraft, während hei einer mit der Axenrichtung zusammenfallenden Krafteinwirkung die kleinste Querschnittsdimension für die Berechnung von 0 maassgebend ist.

36. Um den Coefficienten K in Gleichung 75) für die Bruchbelastung zu bestimmen, liegen hinreichend viele Versuche mit Stäben von verschiedenen Dimensionen und Querschnittformen vor ; die aus den Versuchen gefundenen Mittelwerthe sind in nachstehender Tabelle gegeben:

Tabelle XI.

Für Schmiedeisen „ Gusseisen .

„ Holz .    .

.    .    K    =    0,00008

.    .    K    =    0,00025

.    .    K    =    0,00016

Für weichen Stahl und Bessemer Metall wird man K — 0,00008 wie beim Schmiedeisen setzen dürfen, wobei eine genauere Bestimmung Vorbehalten bleibt.

Die dieser Tabelle zu Grunde liegenden Versuche beziehen sich auf Stäbe mit abgeplatteten Enden; für Stäbe mit ganz frei beweglichen abgerundeten Enden wäre K etwa dreimal so gross zu setzen.

Es kann Gleichung 75) durch Einsetzung der vorstehenden "VVerthe zur Auffindung der Bruchbelastung für jeden auf relativ rückwirkende Festigkeit angegriffenen Stab angewendet werden.

Wenn wir nun von den Bruchbelastungen auf geringere Belastungen übergehen, so hat K nicht mehr denselben Werth und dürfte es überhaupt sehr schwierig und zeitraubend sein, für beliebige Pressungen 33 die zugehörigen K zu bestimmen ; die Gleichung 75) kann daher zunächst nur zur Bestimmung der Bruchbelastung dienen, was aber für den vorliegenden Zweck durchaus hinreichend ist.

Wie wir nämlich schon in N0, 33 gesehen, nimmt die Pressung in der Nähe des Bruches für längere Stäbe rasch zu; die sonst übliche zulässige Pressung kann bei einem Gewichte eintreten, welches von der Bruchbelastung nicht sehr verschieden ist; es ist daher gar nicht erlaubt, solche Stäbe bis zu der sonst zulässigen Pressung zu belasten.

Man wird vielmehr ein richtigeres und für alle Fälle sicheres Resultat erhalten, wenn man einen bestimmten Theil der Bruchbelastung als zulässige Belastung annimmt.

Das hiedurch bedingte Rechnungsverfahren ist nun schliesslich sehr einfach.

Man bestimmt für den betrachteten Stab die Bruchbelastung nach Gleichung 75) und Tabelle XI. und erhält sodann die

zulässige Belastung sofort durch Dividiren mit dem für das fragliche Material und die beabsichtigte Solidität sonst üblichen Sicherheitscoefficienten.

Wenn man die Belastung eines längeren Stabes auf die Quadrateinheit der Querschnittfläche reducirt, so erhält .man die mittlere Pressung 23m, und ist nach den in N°- 36 angenommenen Bezeichnungen und entsprechend den Definitionen von N°- 8»

23m =

co

20 a)

Diese Gleichung mit Gleichung 75) combinirt, gibt

. . 76)

wo der Werth 23m aus obiger Gleichung 20a) oder allgemeiner aus Gleichung 20) der Nummer 8 zu entnehmen ist, der Coefficient

23 -

x-    CoXj

( 1 -f- K -~Q~J a5er angibt, um wieviel die relativ rückwirkende

Festigkeit gegen die absolut rückwirkende im vorliegenden Falle zurücktritt.

37. Es ist schon früher darauf aufmerksam gemacht worden, dass die in die Formeln 57)—75) einzuführende Stablänge L durch besondere Untersuchung bestimmt werden muss. — Es ist in ähnlicher Weise wie bei continuirlichen Trägern die für einzelne Punkte gegebene Tangentenrichtung für die Gestalt der neutralen Faser maassgebend. — In nachstehenden Figuren ist die in die Formeln einzuführende Stablänge L der wirklichen Stablänge 1 für einige Anordnungen gegenüber gestellt.

Fig. 33.

Fig. 32.

Fig. 34.

Fig. 35.

ii

w*»

W1

ii!

Es lassen sich hienach andere Anordnungen beurtheilen und ist nur noch darauf aufmerksam zu machen, dass die Endpunkte nicht blos als frei oder eingespannt, sondern häufig als theilweise eingespannt zu betrachten sind.

Zweiter Abschnitt.

Erfahrungsresultate über die Festigkeit der Baumaterialien.

§. 4. Die Festigkeitscoefficienten.

Da aber weiterhin

38. Im vorhergehenden §. 3. sind die Formeln entwickelt, mittelst welcher man die Spannung, Pressung und Schubspannung stabförmiger Körper berechnet. — Indem wir nun im Folgenden die für die einzelnen Materialien zulässige Spannung, Pressung und Schubspannung zusammenstellen, so können nunmehr die Dimensionen stabförmiger homogener Körper für alle vorkommenden Fälle bestimmt werden, sämmtliche Träger aus einzelnen homogenen stabförmigen Körpern bestehen und unsere späteren Untersuchungen stets die auf jedes einzelne Constructionsglied treffenden Kräfte zur Anschauung bringen, so finden die zunächst nur für homogene stabförmige Körper gegebenen Festigkeitscoefficienten allgemeine Anwendung.

Die folgende Tafel XII. gibt die zulässige Spannung St, Pressung S3 und Schubspannung (E, dessgleichen die entsprechenden Bruchbelastungen 3t₀, S3₀ und (E₀ und zwar in Kilogrammen per Quadrateentimeter ausgedrückt.

Die zulässige Spannung St oder Pressung S3 gibt bei gleichförmig (absolut) gezogenen oder gepressten Stäben den Zug, beziehungsweise Druck, den ein Stab auszuhalten vermag, direct nach Gleichung 20). Bei relativ in Anspruch genommenen Stäben ist St und S3 in Gleichung 31) einzusetzen und ebenso S3 bei relativ rückwirkend angegriffenen längern Stäben in Gleichung 75);

, „ coL² die mittlere Pres-+ K-0~

sung des Stabes. — Die Schubspannung (E ist durch Gleichung 23) definirt und erscheint insbesondere in den Betrachtungen der N°- 24

bis 28.

bei letzteren bezeichnet die Grösse

Absolute Festigkeit gegen Zug. Schmiedeisen, gewöhnliche Qualität .

Gusseisen, gute Qualität .....

beste Qualität.....

Eichenholz und Tannenholz, trocken .

Absolut rückwirkende Festigkeit. Sclimiedeisen, gewöhnliche Qualität .

3000

600

•n

fl

3500

4000

8000

6000

5000

3000

5-8000

8000

5500

1100

1500

800

3000

3500

7200

12000

16000

600

3000

4000

1100

4000

700

800

1600

1200

1000

600

1200

1600

1000

220

300

80

600

700

1200

1500

2000

60

600

800

220

800

5—6

5 Va

10

10

Bruchgewicht St₀, 250 oder ®₀.

Tabelle XII.

Zulässige Spannung St, Pressung SS, Schubspannung (5.

Sicherheits-

coefficient.

Für homogene stabförmige Körper dürfen bei Berechnung der relativen Festigkeit im Allgemeinen dieselben Spannungen und Pressungen wie bei der absoluten Festigkeit als zulässig angenommen werden; es muss jedoch aufmerksam gemacht werden, dass bei Versuchen über relative Festigkeit, welche bis zum Bruch fortgesetzt werden, aus Gl. 31 stets ein höherer "VVerth des Coef-ficienten 2Ï sich berechnet, als directe Versuche über absolute Festigkeit (nach Gl. 21) ergeben, und zwar nimmt bei vierkantigen Stäben die für den Moment des Bruchs theoretisch berechnete Zugfestigkeit be'.m Gusseisen bis zum 2V2fachen, beim Sclimiedeisen oder Stahl bis zum l¹/^ fachen zu (wohl in Folge einer Verrückung der neutralen Faser in der Nähe des Bruchs.)

Da bei denjenigen Spannungen, welche bei Bauten nicht überschritten werden sollen, die Elasticitäts-Module constant und

für Druck oder Zug gleich angenommen werden dürfen, so kommt obige Beobachtung bei praktischen Berechnungen nicht in Betracht, sie musste aber insbesondere desshalb erwähnt werden, damit man nicht, wie schon geschehen, aus der relativen Bruchfestigkeit vierkantiger Stäbe einen Schluss auf die absolute Festigkeit des fraglichen Materials machen zu können glaubt.

Die in Tabelle XII. enthaltenen Festigkeitscoefficienten sind Mittelwerthe, da die Güte der einzelnen Materialien im Wesentlichen vom Fabrikationsort abhängt; es ist nicht nur die Wahl des Rohstoffes, sondern insbesondere die Fabrikationsmethode massgebend, und ist letztere manchen Aenderungen unterworfen.

Weiteren Einfluss übt auch die Behandlung des Materials bei der Verarbeitung, indem schroffe Biegungen, insbesondere Auskröpfungen, die Festigkeit des Materials beeinträchtigen. — Beim Gussstahl ist der Grad der Härtung wesentlich und trägt im Allgemeinen gehärteter Stahl mehr als weicher Stahl, freilich auf Kosten der Festigkeit gegen Stösse; eine weitere Beobachtung ist, dass die Bruchfestigkeit von Stahlplatten, welche 5500 K. betrug, auf 3800 K. herabsank, wenn die Xietlöcher (statt gebohrt} durchstanzt wurden (Versuche in dem Stahl- und Eisenwerk Bolton le Moors Lancashire). — Bei dem grossen Unterschied der Festig-keits-Coefficienten des Stahls ist Vorsicht anzurathen, wesshalb wir für guten Bessemer Stahl nur 1000 K. per DCent. zulässige Spannung annehmen, wie auch bei der Bogenbrücke über den Quai d’Orsay in der Pariser Ausstellung geschehen ist. —

Indessen sind für das gewöhnliche Material der Brückenträger, für gewalztes Schmiedeisen, die beobachteten Bruchgewichte keineswegs sehr verschieden, und werden auch die bei der Berechnung von schmiedeisernen Brücken angewendeten Festigkeitscoefficienten von den meisten Ingenieuren ziemlich gleichförmig angenommen, nämlich 6—800 K. per [jCent., was in Folgendem näher ausgeführt wird und wobei wesentlich in Betracht kommt, ob die Verschwächung durch Nieten etc. vollständig bei der Rechnung berücksichtigt worden ist.

Eine sehr vollständige Zusammenstellung der sämmtlichen Versuche und vieler sonstigen Erfahrungen hat General Morin gegeben; seine Schrift „die Widerstandsfähigkeit der Baumaterialiena ist in deutscher Uebersetzung in der allgemeinen Bauzeitung von Förster in den Jahren 1853 und 1854 erschienen.

Anmerkung. Der Umstand, dass cristallinisches, grobkörniges Eisen oft annähernd dieselbe Bruchlast zeigt, wie feinkörniges sehniges Eisen, hat neuerdings in England Veranlassung gegeben, die Güte einer Eisensorte nach der Arbeit zu beurtheilen, welche zur Zerreissung einer Querschnitteinheit nothwendig ist; bezeichnet man nämlich mit die Ausdehnung eines Stabs von der Länge 1 kurz vor Eintritt des Bruchs, mit w den Querschnitt des Stabs, so ist der Zähigkeitsmodul U des Stabs ausgedrückt durch die Gleichung

3t₀

1 ^

Y T ’

2t₀ die auf die Quadrateinheit bezogene Bruchlast bedeutet; aus letzterer und aus der unmittelbar vor dem Bruch beobachteten Verlängerung Ä₀ ist der Zähigkeitsmodul U für einige Materialien wie folgt berechnet:

wo

Bezeichnung der Materialien

-Io**

2t₀ in Kilo

11 in Kilo u. Dec.

Sclimie d eis en, kristallinisch, schlecht „    sehr sehnig

Stahl, sehr hart........

60

io

600

60

3150    2625

3780 18900

1102    84

5985 37406

6694 47812

6300    5250

die U geben die Yerhältnisszahlen, nach welchen die betreffenden Materialien den Stössen widerstehen, was für Eisenbahnzwecke in vielen Fällen ganz besonders in Betracht kommt.

39. Es ist bis dahin von uns kein Unterschied zwischen ruhiger und bewegter Last gemacht worden. Und wirklich zeigen auch die beobachteten Einsenkungen grosser steifer Brückencon-structionen keinen entschiedenen Einfluss der Geschwindigkeit, mit der sich die Belastung über die Brücke bewegt. — Dagegen lässt sich der Einfluss der Bewegung auf diejenigen Theile, welche mit der bewegten Last zunächst in Berührung kommen, nicht wohl bezweifeln und ist es gerathen, diese Theile verhältnissmässig stärker zu construiren.

Die nachtheilige Einwirkung der Bewegung kann sich auch erst mit der Zeit entwickeln und könnten öfter wiederholte starke Probebelastungen hierüber genaueren Aufschluss geben; bis dahin muss man in den Sicherheitscoefficienten eine Garantie gegen die allmählige Verschwächung durch häufige auf einander folgende Stösse undallmähligeAbnahme der Querschnittdimensionen annehmen.

Hr. Ingenieur Gerber, Vorstand der Brückenbauanstalt von Klett & Cie in Nürnberg, hat in einer Abhandlung über den Bau der Mainzer Rheinbrücke den Vorschlag gemacht, die zulässige Spannung einer schmiedeisernen Brückenconstruction danach zu bestimmen, dass eine gewisse äusserste Spannungsgrenze (d. h. diejenige Spannung, bei der zuerst eine permanente Verlängerung beobachtet wird) durch die Spannung der unbelasteten Brücke plus dem Dreifachen der durch die variable Last hervorgerufenen Spannung nicht überschritten werde; für gutes "Walz eisen, dessen Bruchfestigkeit wir zu 3300 Kilo per □Centim. annehmen dürfen, hat Hr. Gerber diese äusserste Spannungsgrenze (Elastici-tätsgrenze) zn 1600 Kilo per □Centim. festgesetzt; es hat dieser Vorschlag die Folge, dass für kleine Brücken verhältnissmässig kleinere Totalspannungen gewonnen werden, als für grosse Brücken, wo der Einfluss der variablen Last geringer ist.

Wenn wir die Belastungen auf die Längeneinheit reduciren und dann

p das Eigengewicht der Brücke, k die variable Last, q = p 4- k die Totallast nennen, und mit

2ÏP die Spannung im unbelasteten Träger,

Stk die Spannung in Folge der variablen Last,

aus :

2lq = 21p + 21k die Totalspannung bezeichnen, so spricht sich obige Regel durch die Formel

3tp + 3 21k = 1600 K......77)

und haben wir hienach folgende Tabelle XIII. gebildet:

Tabelle XIII.

2lk

1600

£3

■d

.1,

-f- + 3

5(P + 21k

533

533

7®

514

571

Ve

505

589

V*

492

123

615

V»

480

160

640

V.

457

228

685

73

436

291

727

400

400

800

Wir können uns mit der Tabelle XIII. insofern wohl einverstanden erklären, als dieselbe ein mit Tabelle XII. übereinstimmendes Resultat gibt; denn für das bei Tabelle XIII. voraus-

= 660 Kilo

3300

gesetzte Eisen wäre die zulässige Spannung —^—

pro □Centim. zu nehmen und es ist gewiss am Platze, bei kleineren Spannweiten verhältnissmässig kleinere, bei grösseren Spannweiten aber grössere zulässige Spannungen anzuwenden, wenn auch die Voraussetzungen, auf welche Gleichung 77) basirt ist, ziemlich willkührlich sind. — Die Maschinenfabrik von Klett & Cie. in Nürnberg, welche erklärt hat, dass sie schmiedeiserne Brücken auf Grundlage der obigen Grundsätze (Formel 77) construirt und übernimmt, befindet sich daher in dieser Beziehung im Einklänge mit den Annahmen der meisten Ingenieure und die conséquente Durchführung der Formel 77) für die einzelnen Brückentheile kann als ganz zweckmässig bezeichnet werden.

40. Ist die Länge eines gedrückten (gepressten) Constructions-glieds sehr beträchtlich gegenüber seiner kleinsten Querschnitts»

dimension, so ist dessen relativ rückwirkende Festigkeit in Anspruch genommen und muss dessen grösste Pressung 33 nach Formel 76) berechnet werden, wenn die per Quadrateinheit wirkende mittlere Pressung 33m als bekannt vorausgesetzt wird. Andererseits, wenn SS⁷ die für das fragliche Material zulässige absolute Pressung bezeichnet, so ist die mittlere zulässige Pressung 33'm durch die Formel ausgedrückt

33'

76a) '

S8'm =

l+K^

Die Mittelwerthe für 33' sind in Tabelle XII., die Mittelwerthe für den Coefficienten K in Tabelle XI. gegeben und erhält man endlich durch Berechnung der Trägheitsmomente 0 die nachfolgende Tabelle XIV., in welcher die zulässigen mittleren Pressungen für eine Reihe der häufiger vorkommenden Fälle direct gegeben sind. — Diese zulässige mittlere Pressung 33'm ist aber nach vorstehender Definition diejenige Belastung, die einem längeren Stabe per Quadratcentimeter mit Sicherheit zugemuthet werden

darf. — Die Tabelle enthält ausserdem den Bruch

1 -

1_rK 0

und gibt dieser an, welcher Theil der absolut rückwirkenden! Festigkeit für längere Stäbe in Rechnung zu ziehen ist.

41. Hohle Säulen oder Stäbe mit dünnen Wänden zeigen, nach Tafel XIY. eine verhältnissmässig grössere relativ rückwirkende Festigkeit, als volle runde oder viereckige Stäbe, da das Material in Beziehung auf Biegung günstiger vertheilt ist. — Ist jedoch die Wanddicke gegenüber den übrigen Querschnittdimensionen zu gering, so findet beim Bruch ein Einknicken der dünnen Wand Statt; für solche Fälle ist die zulässige Pressung schon für kurze Stäbe entsprechend zu vermindern, und bei längeren Stäben ist die so verminderte zulässige Pressung ausserdem

mit dem Quotienten

„ wL² zu multipliciren. 1 + li —

Diesem Einknicken kann man aber durch zweckmässige Absteifungen entgegenwirken, und zwar können letztere sowohl parallel als senkrecht zur Längenrichtung angebracht sein; so werden z. B. schmiedeiserne Röhren zweckmässig durch einzelne Ringe ausgesteift, welche verhältnissmässig wenig Material erfordern.

Wenn die Absteifung durch Längen-Rippen geschieht, so sind solche in der Regel dem tragenden Querschnitt hinzuzunehmen; man kann die genaue Berechnung des Trägheitsmoments des oft complicirten Querschnitts durch Annahme einer mittleren Wanddicke umgehen.

Tabelle XIY.

Nr.d.Fig'.

Verhältnisszahlen

li

— oder —

10

20

30

40

50

60

Gusseisen, rund voll

1200    857

rund liohl

1,4

1200 .1071

1,12

.hL oo »

£    ~ a> 08

⁰⁰    o    to

261    162    109

4,6

11

580    407    402

2,07    2,94    3,97

78

15,4

227

5,28

36

rund hohl

1200 1081

833

603    435    818

241

10

i,n

1,44

1,99    2,76    3,77

kreuzförmig

1200    755

355

189    114    76

37

10

1,59

3,38

6,35    10,5    15,85

CO    I^

h    h oT

600

550

Schmiedeisen, voll viereckig rund hohl

435

323

1,09

1,38

1,86

566

8. Fig. 36.    —

24

476

380

D 25

1,06

1,26

1,58

2    5 -II

rH    ICO <M    joT

CO |S os 4® 04 |of 04 af

3S

\*—3&—»i quadratisch hohl

R “⁼²⁵

600

571

500

417

337    270

218

i,05

1,20

1,44

1,78    2,22

2,76

s. oben Fig. 37.

kreuzförmig = =10

600

504

339

220

147

103

76

1,19

1,77

2,73

4,08

5,81

7,93

39

Ji

1 = 10

600

545

441

324

238    178

136

1,10

|*--^4-

MH

1,38

1,85

2,52

3,37

4,42

600

517

368

248

171    122

40

■TT

fl

1,16

1,63

2,41

3,51

4,93

II" S

Gussstahl,

voll viereckig

1500 1367    1087    806    593    470    341

i,09

1,38    1,86    2,53

3,4

4,4

Holz,

60

50    34    22    15

10

voll viereckig j i

42. Sehr ausgedehnte Versuche über die rückwirkende •Festigkeit des Gusseisens hat E. Hodgkinson angestellt ■und veröffentlicht unter dem Titel: Experimental researches on the strength and other properties of cast iron, with the development of new principles etc. by Eaton Hodgkinson 1846 (im Auszug übersetzt: Annales des Ponts et Chaussées 1855).

Für gusseiserne Säulen, welche stumpf aufgestellt und an den .Enden befestigt werden, hat Hodgkinson nachstehende Formeln ..gegeben.

Bezeichnet

L die Säulenlänge in Decimetern,

D den äusseren und

d den inneren Säulendurchmesser in Centimetern, so ist das in Kilogrammen ausgedrückte Bruchgewicht Pc: für volle Säulen

D³>⁶

Pc = 10,38 für hohle Säulen:

Pc = 10,41

Diese Formeln sind genau, wenn die Länge wenigstens 25mal grösser ist, als der Säulendurchmesser, für kürzere Säulen hat Hodgkinson das nach Gleichung 77) und 78) bestimmte Bruchgewicht Pc combinirt mit der absolut rückwirkenden Festigkeit; bezeichnet nämlich Pb das nach Gleichung 21) für ganz kurze Stäbe gefundene Bruchgewicht, so ist für etwas grössere Längen, welche aber unter dem 25fachen des Durchmesser sich bewegen,

Bruchgewicht Pc' = ^

J- c ~r I⁴ -tb

wo Pc nach Gleichung 77) oder 78) bestimmt vorausgesetzt ist.

Diese Formeln 77)—79) stimmen für die beim Brückenbau üblichen Dimensionen mit den Resultaten von Gleichung 75) und Tafel XIV. überein; bei sehr langen Stäben kann eine vollständige Uebereinstimmung nicht erwartet werden, zumal hier der Bruch bei denselben durch Zerreissen der am meisten gezogenen Faser eintreten wird ; denn beim Gusseisen ist die Festigkeit gegen Zug nur V⁶ bis V⁵ der Festigkeit gegen absoluten Druck.

L¹’⁷

77)

D3,6 _ ^3,6

L¹-⁷

. .    78)

. 79)

§. 5. Von der Stärke der Verbindungen.

43. Die Festigkeit einer Construction hängt wesentlich ab von der Stärke der einzelnen Verbindungen; wenn ein Bruch durch Zerreissen eines Bolzens oder einer Niete erfolgt, so ist ein Ueber-mass in der Stärke der zu verbindenden Glieder ohne weiteren Nutzen und ist somit eine genaue Berechnung der einzelnen Dimensionen nur dann von Vortheil, wenn man sich über die Wider-

Bau der Brückenträger.

standskraft der notliwendigen Knotenpunkte und Stösse Rechenschaft zu gehen weiss.

Eine Verbindung kann entweder durch den geometrischen Zusammenhang der einzelnen Theile gebildet werden, wie dies» bei vielen Holzverbindungen Statt findet, meist aber werden einzelne Zwischenstücke, wie Bolzen, Nieten u. dergl. zu Hilfe genommen. — Um berechnen zu können, inwieweit die einzelnen Zwischenglieder und Theile der zu verbindenden Glieder in Anspruch genommen sind, müssen in allen Fällen die Betrachtungen der N°- 4. zum Ziele führen, indem man sich durch die fraglichen Glieder geeignete Trennungsflächen gelegt denkt und die Gleichgewichtsbedingungen für die Summe der innern und äussern Kräfte anschreibt. — In den meisten Fällen wird diese Berechnung sehr einfach und handelt es sich in der Hauptsache darum, geeignete Trennungsflächen aufzusuchen.

44. Wir betrachten zunächst den Fall, dass 2 Stäbe nach ihrer Längenrichtung g^estossen und durch Bolzen so verbunden sind, dass ein nach der Längenrichtung wirkender Zug durch diese

Fig. 41.

a\

■i-

cc\

Bolzen vollständig übertragen werden muss, wie diess in beistehender Fig. 41 angedeutet ist.

Bei einem Schnitt a a senkrecht zu der zu übertragenden Praft P wird letztere durch die im Schnitt a a wirkenden absoluten Spannungen aufgenommen, während in einem Schnitt parallel zur Kraftrichtung die Uebertragung mittelst der längs der Trennungsfläche bb wirkenden Schubkraft Statt findet, und müssen letztere — wenn man vorläufig von der Reibung absieht — in der Querschnittfläche der auf Abscheeren in Anspruch genommenen Bolzen aufgesucht werden.

Wir machen nun die einigermaassen willkührliche Voraussetzung, dass diese 3 Bolzen, insofern sie gleichen Durchmesser haben, sich gleichförmig in die zu übertragende Kraft t hei len; denn unter dieser Annahme sind die Aenderungen in der Spannung der zu verbindenden Stabenden möglichst stetig, und da anderseits sprungweise Spannungsdifferenzen sich von selbst auszugleichen bestrebt sind, so darf rückwärts auf die Zulässigkeit obiger Voraussetzung geschlossen werden.

In beistehender Fig. 42. sei durch die Schraffirung ein Schnitt ad angedeutet; betrachten wir zuerst das Stück ed des oberen Stabes, so muss der in d wirkende Zug im Gleichgewicht sein

mit dem Abscheerungswiderstand der 2 am Fragment ed befestigten Bolzen; dieser Widerstand S ist für jeden der drei gleichförmig

Fig. 42.

\d

a>\

angegriffenen Bolzen je

I.

s = jp

folglich ist der im obern Stab in d wirkende Zug Zd durch die Gleichung gegeben

II.

Zd = 2 S =

und ebenso findet man durch Betrachtung des Fragments ac für den Zug Za, der im untern Stab in a wirkt,

III.

Z. = 2 S = P

a>

Die sämmtlichen im Schnitt ad parallel P wirkenden Kräfte Z Zd und S müssen eine Resultante geben, deren algebraische Summe gleich ist der Kraft P. — Die Widerstandskraft S des mittleren Bolzens wirkt — wie aus der Fig. 43 hervorgeht — den Kräften

Fig. 43.

HL

m.

Za und Zd entgegengesetzt, und ist somit nach den Bedingungen des Gleichgewichts

IV.

P - Za -f Zd - S . eine Gleichung, deren Richtigkeit durch Wertheinsetzung aus den Gleichungen I.—III. sofort erhellt.

In weiterer Verfolgung dieser Anschauungen finden wir die schwächsten Stellen der betrachteten Stossverbindung. — Von der linken Seite ausgehend ist der Zug im untersten Stabe zwischen

dem 1. und 2. Bolzen Z* =

2

— P, zwischen dem 2. und 3. Bol-

ô

zen -4- P, während unmittelbar an dem 1. äussersten Bolzen der 3

durch die Durchbrechung verschwächte Stab den vollen Zug P auszuhalten hat; an jedem andern Punkte ist entweder der Quer-

schnitt des Stabes grösser, oder ist die zu übertragende Kraft geringer; es ist also am ersten äussersten Bolzen die schwache Stelle des betrachteten Stabes. — Der Bruch kann aber auch durch Zerreissen der Bolzen eintreten; es ist zu untersuchen, ob letztere

P

g- mehr in Anspruch genommen sind, als der ver-

durch die Kraft

schwächte Querschnitt des Stabes durch die volle Kraft P.

Wir gehen auf den allgemeinem Fall über, dass, wie in Fig. 44 angedeutet, 2 stumpf gestossene Stäbe durch eine einseitige Stossplatte und beliebig viele Bolzen verbunden sind. Wir

Fig. 44.

<d

cl\

ersehen aus der Betrachtung des Schnitts aa, dass die Stossplatte in der Mitte die zu übertragende Kraft P vollständig aufnehmen muss, und ist diese Kraft P in der Stossplatte auch da noch vorhanden, wo letztere durch die a a zunächst liegenden Bolzen ver-schwächt ist; dort sind also die beiden schwachen Stellen der betrachteten Stossplatte. — Die gestossenen Stäbe haben ihre schwache Stelle unmittelbar an den äussersten Bolzen, die Bolzen selbst werden wieder als gleich stark und gleichförmig angegriffen betrachtet, und haben, soweit sie auf einer Seite des Stosses sich befinden, je die ganze Kraft auf die Stossplatte, beziehungsweise von da auf* den zweiten Stab zu übertragen. — Ein Bruch kann in der schwachen Stelle der Stäbe, oder in den Bolzen, oder aber in der Stossplatte eintreten.

Diese dreierlei Möglichkeiten eines Bruches sollen in bestimmte Formeln gebracht werden. Wir denken uns einen Stab, der der Breite nach nur ein Bolzenloch hat, oder was dasselbe ist, wir denken uns breitere Stäbe in so viele Längenstreifen vertheilt, als der Breite nach Bolzen vorhanden sind, und bezeichnen für die in Fig. 44., beziehungsweise 41. skizzirten Stossverbin-dungen mit

b die Breite der zu verbindenden Stäbe oder Blechstreifen,

V die Breite der Stossplatte (wenn eine solche vorhanden ist), beziehungsweise eines Streifens derselben, t die Dicke der Stäbe, t' die Dicke der Stossplatte, d den Durchmesser der Bolzen,

n die Anzahl der an einem Stab hinter einander befindlichen Bolzen; ferner sei

21 die grösste Spannung im gestossenen Stabe, 21 ' die grösste Spannung in der Stossplatte,

(5 die Schubspannung in den Bolzen, so ist für den gestossenen Stab

80)

(b — d) t für die Stossplatte

2t =

21'=

für die Bolzen

(b' - d) t'

81)

82)

© = -1 . OTd²

Wo in diesen 3 Gleichungen der Werth von 2t, 2t' oder (S der zulässigen Spannung oder Schubspannung am nächsten kommt, beziehungsweise dieselbe am meisten überschreitet — da ist die schwache Stelle der betrachteten Stossverbindung. — Selbstverständlich fällt für den in Fig. 41—43. gezeichneten Stoss die Gleichung 81) ganz aus. — Wir werden einen Stoss dann als richtig construirt annehmen dürfen, wenn die Spannung in dem Stab, der Stossplatte und dem Bolzen der zulässigen Spannung gleich nahe steht und wird man mit verhältnissmässig geringem Materialaufwand der Stossplatte und den Bolzen stejs eine dem ver-schwächten Stab mindestens gleichkommende Stärke geben können.

45. Die Gleichungen 80—82) ändern sich, wenn wie in beistehender Fig. 45. beiderseits Stossplatten angebracht sind; in

Fig. 45.

ev\

CV

dem durch die Schraffirung angedeuteten Schnitt werden nur Bolzen getroffen, jeder der letzteren ist aber zweimal geschnitten und heissen dieselben daher doppelschnittig. — Bezeichnet

n die Anzahl der zu einer Seite des Stosses ad befindlichen Bolzen,

S die Widerstandskraft eines Bolzens,

P die zu übertragende Kraft, so ist zu setzen

— P.

2 n

Behalten wir im Uebrigen die in der vorstehenden Kummer gewählten Bezeichnungen bei und bedenken, dass die beiden Stoss-platten sich nunmehr in die Aufnahme der Kraft P gleichmässig theilen, so erhalten wir

für die grösste Spannung im gestossenen Stabe

(b — d) t

für die grösste Spannung in der Stossplatte

1/2 P

(b' — d)t'.......

für die Schubspannung in den Bolzen

. .    83)

84)

85)

2P =

Xd2

Fig. 46.

Aus letzterer Gleichung folgt in Vergleichung mit Formel 82), da^s ein doppelschnittiger Bolzen zweimal so viel Kraft übertragen kann, als ein ebenso starker einschnittiger Bolzen. — Es gibt aber auch 3-, 4- und mehrschnittige Bolzen, welche ebenfalls verhältnissmässig grössere Kräfte übertragen können. So ist in Fig. 4J. eine Verbindung von Kettengliedern dargestellt, wo der sechsschnittige Bolzen mit jedem Schnitte je n ?r x/6 der zu übertragenden Kraft aufzunehmen hat.

46. Die gestossenen Stäbe sind nicht blos von rechtwinklicher Querschnittform, sondern insbesondere kommen Winkel- Tform Doppel-“Tform vor; ferner sind an einem Punkte oft mehrere Stäbe gleichzeitig gestossen. — In einem solchen Fall ist jedoch darauf zu achten, dass sämmtliche Bolzen und Stossplatten so vertheilt werden, dass sie durch die angreifende Kraft P je gleichförmig in Anspruch genommen sind. Nennen wir unter dieser Voraussetzung

P die zu übertragende Kraft,

tt) den durch die äussersten Bolzenlöcher verschwäehten Querschnitt sämmtlicher an demselben Punkt gestossenen beliebig geformten Stäbe,

TO' den Querschnitt sämmtlicher durch die dem Stosse zunächst befindlichen Bolzen verschwäehten Stossplatten,

rt die Anzahl der zu einer Seite des Stosses befindlichen Bolzenschnitte (wobei also doppelschnittige Bolzen doppelt zu zählen sind),

d den Durchmesser der gleich stark vorausgesetzten Bolzen,

grösste Spannung in den gestossenen Stäben

P

•so ist

86)

21 = —...........

TO

87)

grösste Pressung in den Stossplatten P

W = ~........

TO

Schubspannung in den Bolzen

88)

= -■« ........

n ~r d2 4

Sind die Bolzen nicht gleich dick, so ist zu Bestimmung von (5

CT

in Gleichung 88) für die Grösse tt d² der Gesammt-Querschnitt

des zu einer Seite des Stosses befindlichen Bolzenschnitts TOtt einzusetzen, wodurch man erhält

88 a)

TOU

Wenn die Bolzen oder Stossplatten nicht gleichförmig in Anspruch genommen sind, so muss der Gesammt-Querschnitt in einzelne Abtheilungen zerlegt werden und müssen nach Umständen für jedes einzelne Glied die Gleichgewichtsbedingungen entwickelt werden. Häufig wird aber eine wiederholte Anwendung der Gleichungen 86)—88) zum Ziele führen.

47. Wenn ein Constructionsglied aus mehreren neben einander liegenden Stäben zusammengesetzt ist, so werden dieselben im Allgemeinen nicht an derselben Stelle gestossen sein; der Total-Querschnitt wird also durch den Stoss eines der verbundenen Stäbe zunächst nur eine theilweise Yerschwächung erleiden; wenn jedoch der betrachtete Stoss richtig construirt ist (siehe den Schluss von N°- 44), so wird die Yerschwächung des gestossenen Stabes durch Abzug der Bolzenlöcher vollständig berücksichtigt; dieselben Bolzen werden aber bei den meisten Constructionen auch durch die nicht gestossenen übrigen Stäbe hindurchgehen müssen, und vertheilt sich dann die Yerschwächung auf den ganzen Querschnitt.

muss

gelegt ist. — Ist gar keine Stossplatte vorhanden, so fällt der gestossene Stab in der Berechnung ganz aus und ist nur der durch die Bolzenlöeher verschwächte Querschnitt der übrigen Stäbe zu rechnen.

Ist die Ueberplattung eines Stosses ungenügend, so darf für den gestossenen Stab nur derjenige Querschnitt eingeführt werden, der der Stärke der Ueberplattung — Stossplatten- oder Bolzen-Querschnittsumme — entspricht, während für die übrigen nicht gestossenen Stäbe derjenige Querschnitt berechnet werden welcher durch die dem Stosse zunächst liegenden Bolzen

Letzterer Fall tritt bei den aus vielen einzelnen Stäben — Flacheisen und Winkeln zusammengesetzten Gurtungen häufig ein, weil die Anbringung der vielen Stossplatten sehr unbequem werden kann; werden jedoch bei zusammengesetzten Stäben Stossplatten angewendet, so darf man bei guten Construc-tionen annehmen, dass die Stossplatten nach Querschnitt und Bolzenanzahl genügend bemessen sind, und findet die in die Rechnung einzuführende Querschnittfläche des betrachteten zusammengesetzten Constructionsglieds dadurch, dass man von dem Ge-sammt-Querschnitt sämmtlicher Stäbe die in derselben Ebene befindlichen zahlreichsten Bolzenlöcher abzieht.

48.    Bei vorstehenden Betrachtungen war vorausgesetzt, dass die zu verbindenden Stäbe durchweg gleiche Breite und Dicke haben, so dass eine Yerschwächung der Stäbe durch die Bolzen nothwendig eintreten musste; diese Yerschwächung kann aber dadurch vermieden werden, dass man die Stäbe an den zu verbindenden Enden erbreitet oder verdickt. — Yorstehende Fig. 46. (s. oben) zeigt eine derartige Anordnung, wie sie bei Kettenbrücken üblich ist, und hat man hiebei darauf zu sehen, dass nirgends eine Trennungsfläche möglich ist, welche kleiner als der Stab-Querschnitt wäre.

Anmerkung. Hr. Malberg empfiehlt nach besonders angestellten Versuchen die Metallbreite um das Bolzenloch mindestens ²/s der Stabbreite zu nehmen und am Stabende bis auf ⁶/6 der Stabbreite zunehmen zu lassen.

49.    Wenn die gestossenen Stäbe einem gemeinsamen Druck nach ihrer Längenrichtung zu widerstehen hätten, so würde bei der in Fig. 41—43. dargestellten Anordnung die Uebertragung der Kraft ganz in derselben Weise erfolgen, wie bei gezogenen Stäben; anders verhält es sich, wenn die Stäbe stumpf gestossen und mit Stossplatten verbunden sind; wenn nämlich die Enden genau auf einander passen, so kann die Kraft durch directen Druck ohne Yermittlung der Bolzen übertragen werden. Dieses genaue Anpassen wird aber in Folge von Mängeln in der Ausführung, sodann insbesondere in Folge von Temperaturänderungen nur unvollständig oder häufig gar nicht vorhanden sein; man wird also auch hier eine genügende Bolzenverbindung nicht missen können und wird dieselbe häufig in derselben Weise wie bei gezogenen Stäben anbringen; dies gilt namentlich von solchen Constructionen, wo ein Theil der Glieder abwechslungsweise auf Stoss und Druck in Anspruch genommen ist und wo somit eine beständige Aenderung des geometrischen Zusammenhangs vor sich geht. Wo man aber, wie bei ständig belasteten Säulen, auf einen unmittelbaren Contact der gedrückten Theile mit Sicherheit rechnen kann, da wird man die Yerbindungsbolzen möglichst verringern, und eben damit die

Verschwächung des gestossenen Stabes auf ein Minimum zurückführen.

50. Sehr wichtig und von umfassender Anwendung sind im Brückenbau die Nietverbindungen; es sind desshalb auch sehr vollständige Untersuchungen über die Widerstandsfähigkeit derselben vorhanden.    '

Der "Widerstand der Nietbolzen setzt sich aus der Abscheerungsfestigkeit derselben und der zwischen den verbundenen Stäben herrschenden Reibung zusammen; letztere wird bei warmer Nietung durch das bei der Erkaltung eintretende starke Zusammenziehen in sehr hohem Grade hervorgerufen; schon beim Baue der Britanniabrücke wurden directe Versuche über den numerischen Betrag dieser Reibung angestellt, indem man den Bolzen so viel Spielraum liess, dass das Verschieben der verbundenen Platten zunächst nur durch die Reibung verhindert werden konnte. — Man fand 1200—1300 Kilo per □Centimeter des Nietbolzen-Querschnitts als R ei b un g s widerst and, während die absolute Festigkeit des verwendeten Eisens 3776 Kilo per □Centimeter betrug.

Anderseits hat man gefunden, dass eine gewöhnliche, sorgfältig hergestellte wrarme Niete per Quadrateinheit incl. Reibung einen Widerstand zeigt, welcher der absoluten Festigkeit des verwendeten Eisens (im obigen Falle 3776 Kilo per nCent.) gleichsteht; wie viel hievon auf Rechnung der Reibung kommt, ist schwer zu beurtheilen, doch wird anzunehmen sein, dass ein Theil der Reibung schon vor dem Momente des Bruchs überwunden war.

Ohne jedoch näher untersuchen zu müssen, in welcher Weise der Gesammtwiderstand sich aus der Reibung und der Abscheerungsfestigkeit zusammensetzt, genügt für uns die Thatsache, dass sorgfältig hergestellte warme Nieten per Quadrateinheit ihrer Querschnittfläche einen der absoluten Festigkeit gleichkommenden Widerstand gegen Abscheeren (incl. Reibung) zeigen. — Mit Rücksicht auf die in der Ausführung nicht zu vermeidenden Ungenauigkeiten haben einzelne Ingenieure nur ³/4 oder ²/3 der absoluten Festigkeit für den Nieten widerstand angenommen; letzterer Werth erscheint aber bei guter Ausführung offenbar zu gering; wenn man ausserdem bedenkt, dass das Nieteisen gewöhnlich besserer Qualität ist, als das verbundene Walzeisen, so wird für sehr sorg-fältigeAusführung*) der per Quadrateinheit berechnete Nietenwiderstand (5 der absoluten Festigkeit 2t der zu verbindenden Bleche gleich zu setzen sein; im Uebrigen aber muss es jedem

* Anmerkung. Unter sorgfältiger Ausführung verstehen -wir, dass die Löcher der einzelnen Blechlagen genau auf einander passen, und die Nieten eine solche Dicke haben, dass sie in Folge des Stauchens das Loch ganz ausfüllen.

g

Constructeur überlassen sein, das Yerhältniss dem vorliegenden Falle anzupassen; dieses Yerhältniss dürfte zwischen ³/4 und 1 variiren.

Einige Ingenieure halten die warme Nietung für unzuverlässig, annehmend dass die Nieten nach dem Erkalten trotz des Stauchens die Nietlöcher nicht mehr vollständig ausfüllen, und wenden kalt eingetriebene, genau abgedrehte (theilweise schwach konische) Nietbolzen an, von welchen ein vollkommen dichter Yerschluss und ein ganz gleichmässiger Widerstand erwartet wird; anderseits ist aber die Reibung bei kalter Nietung entschieden geringer und wird auch hier die Summe beider Widerstände den Betrag der absoluten Festigkeit (oder theoretischen Abscheerungsfestigkeit) nicht übersteigen, und indem auch hier Unvollkommenheiten in der Ausführung nicht zu vermeiden sind, so glauben wir, dass auch bei kalter Nietung im Allgemeinen kein grösserer Nietenwiderstand gerechnet werden darf. — Die richtigste Anwendung findet die kalte Nietung wohl da, wo die warme Nietung anderer Umstände halber und insbesondere wegen zu grosser Dicke der zu verbindenden Stücke nur mangelhaft und ungenügend ausgeführt werden kann.

51. Die obigen allgemeinen Formeln 80)—88) finden auch für Nietenverbindungen unbedingte Anwendung und haben nur insoweit

©

eine nähere Präcisirung erfahren, als wir für das Verhältniss

die Grenzen ³/4—1 in der vorhergehenden Nummer angegeben haben.

Bei der ungemein grossen Anzahl Nieten, welche bei den von gewalztem Schmiedeisen hergestellten Constructionen angewendet werden, ist aber ein richtiges Yerhältniss zwischen dem Durchmesser der Nieten und ihrer Zahl und Entfernung von grosser Wichtigkeit.

Denken wir uns den sehr einfachen Fall, dass die Nieten, wie in Fig. 47 dargestellt, nach der Längenrichtung der zu verbindenden Platten je direct hinter einander angebracht sind, so kann man sich, wie in den Formeln 80)—85) vorausgesetzt ist, die Platte in einzelne Längenstreifen von der Breite b zerlegt denken; bezeichnet nun im Uebrigen

P die von einem Streifen zu übertragende Kraft, t die Dicke des gestossenen Blechs, n die Anzahl der hinter einander befindlichen Nieten, d den Durchmesser der Nieten,

so folgt für einseitige Stossplatten und somit einschnittige Nieten nach Gleichung 80) und 82)    <

§. 5. Von der Stärke der Verbindungen. Spannung im gestossenen Stab

2t =

(b — d) t

I.

Fig. 47.

000

OOO

OOO

.—p.

o I o ! o

‘Schubspannung in den Nietbolzen

II.

1 -Z_

© = — erd²

ll

woraus durch Elimination von P folgt und gibt diese Gleichung nach d aufgelöst

.    .    89)

21

V-

nerbt

ner

(f) ⁺*!

. 90)

Dieselben Gleichungen 89) und 90) gelten für beiderseitige Stossplatten und somit doppelschnittige Nieten, wenn man für n durchweg den Werth 2n einsetzt; somit ist für dieselben

(b — d) t = -|-2n-|-d² ....    89a)

woraus

d = -Z-

9t 1

ner

•4 / 2 Iler

v 7¥\

(t)

bt + t²

. 90“)

— annimmt, so

9t

Wenn man also ein bestimmtes Yerhältniss

kann man nach den Gleichungen 89)—90a) stets b, d oder t so bemessen, dass die gestossenen Platten und die Nietbolzen gleich in Anspruch genommen sind und ist bei Einhaltung der hiedurch bedingten Verhältnisse die grösste Materialersp arniss möglich.

52. Wenn man in Gleichung 89) den Nietendurchmesser als gegeben betrachtet, so wird die Breite b desto grösser, je kleiner die Blechdicke t ist; je grösser aber b bei gegebenem Bolzendurchmesser ist, desto mehr nähert sich der Bruch — . ^ der Einheit,

b

desto geringer ist die Verschwächung des Blechs. Abgesehen davon, dass die einzelnen Dimensionen durch die verschiedenartigsten Umstände bedingt sein können, ist die unbegrenzte

Verringerung des Verhältnisses durch besondere Rücksichten

verhindert.

Ist nämlich —sehr klein, so kann die Fläche d.t, mit welcher

der Nietbolzen gegen die Lochwandung anliegt, für den zu übertragenden Druck zu gering sein; Hr. Ingenieur Gerber hat bei directen Versuchen den Widerstand der Fläche dt 2lj-2 mal bis 3³/4 mal so gross gefunden, als die absolute Festigkeit desselben Materials beträgt; nimmt man den geringeren dieser Werthe an und setzt die Schubfestigkeit (Abscheerungsfestigkeit) der Bolzen gleich der absoluten Festigkeit des fraglichen Materials, so erhält man, vollständige Anstrengung des Bolzens vorausgesetzt:

für einschnittige Nieten

91)

2,5 dt > ^

für doppelschnittige Nieten 2,5 dt > 2 .

Nach dieser Regel wäre bei doppelschnittigen Nieten die zwichen den beiden Schnitten befindliche Blechdicke wenigstens 0,63 der Nietbolzendicke zu nehmen, es scheint diess aber mehr als ausreichende Blechdicken zu ergeben, wie auch Hr. Gerber nach Obigem theilweise eine höhere Widerstandskraft gefunden hat; jedenfalls ist darauf aufmerksam zu machen, dass bei Nietbolzen, deren Festigkeit nicht vollständig in Anspruch genommen ist, die Blechdicke entsprechend schwächer gehalten werden darf.

Dünnere Blechplatten haben den Vortheil, dass wenn mehrere Blechlagen nebst Stossplatten sich übereinander befinden, die Länge des Nietbolzens nicht zu gross wird; es soll die Länge des Nietbolzens zwischen den Köpfen nicht mehr als 15—18 Centim. betragen; Nieten von grösserer Länge zerreissen häufig beim Erkalten und ist zu fürchten, dass eine Beschädigung auch dann eingetreten ist, wenn kein Bruch sichtbar ist; auch zeigt die Erfahrung, dass zu lange Nieten sich nicht mehr gehörig stauchen und somit das Nietloch nicht ausfüllen. — Regel ist, den Nieten wo möglich unter 10 C. und höchstens 15 C. Länge zwischen den Köpfen zu geben.

53. Wir wollen an dem Beispiele von zwei übereinander liegenden Blechplatten die Anwendung der vorstehenden Regeln zeigen und zugleich die etwa anzuwendenden Stossverbindungen bezüglich ihrer Festigkeit vergleichen.

Die Bleche seien durch Nietreihen parallel ihrer Längenrichtung verbunden, so dass wir einen Streifen von der Breite der Nietendistanz als Maassstab der Berechnung herausnehmen können. Wir setzen

die Plattendicke t = 1,5 C.,

die seitliche Distanz der Nieten (Blechbreite) b = 15 C., die Zahl der hintereinander befindlichen Nieten n = 3,

(S

endlich sei in den Formeln 89)— 90a)

Fall 1. Die beiden Blechplatten sind, wie in Fig. 48 gezeichnet, an demselben Punkte gestossen. — Die beiderseits ange-

= 1.

Fig. 48.

brachten Stossplatten müssen je dieselbe Dicke t erhalten, wie die gleich breiten gestossenen Platten ; die Nieten sind doppelschnittig, somit findet man als günstigsten Bolzendurchmesser nach Gleichung 90a), indem die doppelte Plattendicke in die Formel eingesetzt werden muss,

à = -Â

I

d = 2,79 Cent.

Die Yerschwächung des Stabs beträgt    ^

der in die Rechnung einzuführende verschwächte Querschnitt ist —k— w — 0,814 tu, wenn der unverschwächte Querschnitt des Stabes mit tu bezeichnet wird.

Fall 2. Yon den beiden Blechplatten sei, wie in Fig. 49. dargestellt, nur die eine gestossen und durch eine einseitige

6 71

= 3± \/6.n.3.15 + 3.3

2,79

5,37

und

Fig. 49.

Stossplatte von gleicher Dicke t ersetzt. — Die Nieten sind einschnittig und Formel 90) giebt als günstigen Bolzendurchmesser

d = — i

\/3«.1,5.15 + 1,5²| Cent.

— 1,5 +

2ir l d = 2,79 C.

wie in Fall 1., wie hätte zum Voraus angenommen werden dürfen^ da die einschnittigen Nieten des 2. Falls die Hälfte der doppelschnittigen Nieten des 1. Falls auszuhalten haben. Die Verchwä-

; da dieselben

chung der gestossenen Platte beträgt wie oben

Bolzen auch das nicht gestossene Blech durchdringen, so ist diese Verschwächung für den ganzen Querschnitt der doppelten Blechlage zu nehmen.

Die von der gestossenen Platte ausgehende Kraft P wird aber erfahrungsgemäss nicht vollständig auf die Stossplatte übertragen , sondern ein Theil dieser Kraft geht in die nebenliegende nicht gestossene Platte über. — Directe Versuche beim Bau der Britanniabrücke haben ergeben, dass unter bestimmten Verhältnissen die Hälfte der Kraft P in die Stossplatte, die andere Hälfte in die nicht gestossene Platte überging, welch letztere am Stosse bis zu ³/2 P auszuhalten hatte. Die Verschwächung am Stosse ist desshalb eine wesentlich grössere, als vorhin berechnet wurde, und deutet diess darauf hin, dass man einseitige Stossplatten länger machen muss als beiderseitige, wonach die zahlreicheren Nieten einerseits schwächer gehalten werden dürfen, andererseits die Ver-theilung der Kraft auf Stossplatten und nicht gestossenes Blech gleichförmiger stattfindet, als in den vorerwähnten Versuchen bei der Britanniabrücke.

Fall 3. "VVie in Fig. 50. gezeichnet, sei nur ein Blech ge-stossen, aber mit beiderseitigen Stossplatten versehen. — Die

Fig. 50.

VZ7

"CV

d = JM—1,5±\/63t. 1,5.15 + 1,5²j Cent, d = 2,03 C.

Die Verschwächung des Stosses beträgt

durchlaufende Platte ist durch dieselben Nieten verschwächt, wie die gestossenen Platten, und hat an jedem Bolzen dieselbe grösste Spannung zu erleiden, welche die gestossenen Platten an den äussersten Bolzen auszuhalten haben. Die Stossplatten und Nieten dienen als Ersatz für die eine Plattenlage und haben die beiden Stossplatten je die halbe Dicke der gestossenen Platten. Der günstigste Nietbolzendurchmesser berechnet sich nach Gleichung 90a) wie folgt:

2,03

15    7,39

und der in

12 97

= 0,865 des

die Rechnung einzuführende Querschnitt ist — ’ -

. *

ungeschwächten Querschnitts w. — Wir machen hier darauf aufmerksam, dass es keineswegs genügt hätte, den Nieten-Querschnitt halb so gross zu machen, wie in den Fällen 1. und 2.; gerade weil die Yerschwächung im Falle 3. geringer ist, als in den beiden ersten Fällen, so müssen auch die Nieten, welche dieselbe Kraft auszuhalten haben, verhältnissmässig stärker sein.

Wenn wir zunächst von dem Fall der einseitigen Stossplatte absehen, so ist der Verbrauch an Stossplatten und Nietengewicht in den Fällen 1 und 3 derselbe. Um hierin zu sparen, hat Ste-phenson beim Bau der Britanniabrücke folgende Anordnung gewählt:

Fall 4. Wie aus Fig. 51. ersichtlich, wechseln die Stösse ab und sind beiderseits Stossplatten angebracht; die Stösse sind

Fig. 51.

sich aber so nahe gerückt, dass eine etwas längere Stossplatte je 2 Stösse überdeckt. — Die Stossplatten erhalten die halbe Blechstärke als Dicke und in einem Schnitt in der Mitte der Stossplatten haben Blechplatten und Stossplatten je */4 der Kraft zu übertragen. — Die Yerschwächung des Stosses ist dieselbe wie im Falle 3.; aber es ist gegenüber letzterem Falle nur ³/4 des Gewichts an Nieten und Stossplatten nothwendig, und zudem ist die Doppelblechlage auf eine grössere Länge von Deckplatten frei und zu Befestigung anderer Constructionsglieder geeigneter.

54. Wie aus der vorhergehenden Nummer des Näheren nachgewiesen, sind die Stossplatten, wenn thunlich, beiderseits anzubringen. Diess hat bei Querschnitten, welche aus vielen Stücken zusammengesetzt sind, Schwierigkeiten, zumal für die

Fig. 53.

Fig. 52.

-o-

/IN

,~'v

• -.1-

II

Stösse der Winkel; in beistehender Fig. 52. sind die beiderseitigen Stossplaiten für den gleichzeitigen Stoss zweier Winkel und

in Fig. 53. für den Stoss eines Winkels eingezeichnet; letztere Anordnung wird ihrer Unregelmässigkeit wegen nicht gerne gewählt werden, während der gleichzeitige Stoss beider Winkel verhält-nissmässig stärkere Meten erfordert (wie bei Fall 1. in N°. 53.), -wenn man nicht die in Fig. 51. gezeichnete Anordnung anwendet; nur selten wird man in der Lage sein, duröh Zerlegung einer

• Fig. 54.

Kopfblechlage, wie in Fig. 54. angedeutet , beiderseitige Stossplatten in

......................... .. symmetrischer Weise anzuwenden und

zu£leich den Vortheil zu wahren, x"    dass die doppelschnittigen Bolzen nur

(-il)

je eine Blechdicke zu ersetzen haben. — Letztere Anordnung zeigt auch schon ein Beispiel von dem Aufeinanderpacken von 6 Blechlagen, was bei stärkeren Blechen besondere Vorsicht in der Ausführung erheischt.

Zur Vereinfachung der Construction lässt man daher in vielen Fällen die Stossplatten ganz weg und lässt die einzelnen Blechlagen einander in der Weise überbinden, dass «dieselben einander gegenseitig als Stossplatten dienen; selbstverständlich dürfen aber dann von m neben einander liegenden Stäben nur m—1 Stäbe als tragend gerechnet werden, und ist auch von diesen m—1 Stäben die Verschwächung durch die Metlöcher noch in Abzug zu bringen. — Wenn eines der Glieder stärker ist als die andern, so müsste man gerade diesen -stärkern Stab vom Gesammt-Querschnitt in Abzug bringen, wenn man nicht die Vorsicht gebraucht, diesen stärkern Stab an seinem Stosse wenigstens theilweise durch eine Stossplatte zu ergänzen. — Wenn man, wie in Fig. 55. angedeutet, mit den

Fig. 55.

)~~'c7cr'o'"Ow o o~cto"o ~o ~o o o qT~o'~'owo

11

oc oo o o o oo

oooooooo

o o c o .o o o ; o o o b o o |o o o

•Stössen regelmässig abwechselt, so müssen die zwischen 2 Stössen befindlichen Meten gerade ausreichen, einen der gestosseneiw Stäbe ersetzen; diese Meten sind blos als einschnittige zu rechnen; es hat diess hier weniger Nachtheil, da man meist

Raum genug hat, eine grössere Anzahl schwächerer Nieten hinter einander anzubringen. — Ganz ähnlich mussten auch in Fig. 51. die mittleren 3 Nieten der Stärke eines der gestossenen Bleche entsprechen, doch genügte im letztem Falle für die doppelschnittigen Nieten zusammen die Hälfte des zu ersetzenden Blech-Querschnitts.

55.    Wir stellen im Folgenden die fürStösse der Nietenverbindungen gewonnenen Sätze übersichtlich zusammen:

1)    Wenn ein Stoss mit einer Stossplatte bedeckt ist, welche selbst genügend stark und mit hinreichend vielen Nieten versehen ist, so bestimmt sich die Yerschwächung des Stosses dadurch, dass man in einem Schnitte zunächst dem Stoss-plattenrande die Nietenlöcher vom Gesammt-Querschnitt in Abzug bringt.

2)    Um zu untersuchen, ob die Stossplatten genügend stark und mit hinreichend vielen Nieten versehen sind, dienen

für flache Bleche mit einschnittigen Nieten: Gleichung 80)—82),

für ditto Bleche mit zweischnittigen Nieten: Gleichung 83)—85),

für beliebige Querschnitte: Gleichung 86)—88).

3)    Zur Bestimmung der günstigsten Materialanordnung für die Stösse flacher Blechplatten dienen die Gleichungen 89) und 90), beziehungsweise 89a) und 90a), und zwar bestimmt sich insbesondere der Nietendurchmesser nach Gleichung 90) und 90a).

4)    Wenn keine Stossplatten angewendet werden, so lässt man die einzelnen Stäbe sich gegenseitig überbinden und sind dann von m neben einander liegenden Stäben je nur m—1 als wirksam zu rechnen (s. Fig. 55), und zwar sind von den m—1 Stäben die in demselben Querschnitt zunächst dem Stosse befindlichen Nietenlöcher gleichfalls in Abzug zu bringen.

56.    Wenn mehrere Glieder an einem Knotenpunkte vereinigt sind, so ist darauf zu achten, dass die Anzahl und Grösse der Bolzen für jedes Glied nach der Stärke desselben richtig bemessen werden. — Treffen mehrere Bleche an einem Punkte zusammen, so erhalten sie gewöhnlich gemeinsame Stossplatten. — Fig. 56. stellt einen derartigen Stoss dar, wie er bei schmiedeisernen Bogenbrücken angewendet wird; man sieht oft eine un-gemeine Nietenanzahl auf einem Knotenpunkte vereinigt, indem die Gesammtzahl der Nietenschnitte (doppelschnittige Nieten doppelt gerechnet) dem durch die Nietlöcher verschwächten Querschnitt sämmtlicher am Knotenpunkte sich vereinigenden Glieder mindestens gleich sein muss.

Bau der Brückenträger.

Wenn ein Stab an einem anderen durchlaufenden Glied befestigt ist, wie diess z. B. bei Gitterstäben der Fall ist (s. Fig. 57)r so muss die Nietenanzahl dem anzuheftenden Stabe entsprechend

Fig. 57.

Fig. 56.

PO

Pol

OO

OO

⁰⁰cf° Q

OO io 9--Tö o o ci O O o o

- Äs

öxo

ÖP

sein ; sind z. B., wie diess meist der Fall ist, die Nieten nur einschnittig, so muss der Querschnitt der Nieten zusammen mindestens so gross sein, als der durch den oder die Nietbolzen verschwächte * Stab, so dass man wo möglich mehrere Nieten hinter einander anbringt; einige Ingenieure haben auch bei Gitterstäben doppelschnittige Nieten dadurch hergestellt, dass sie die Wandbleche mit besonderen Beilagen umfassten (s. Fig. 58.).

Fig. 58.

(jjp

57. Stösse von Hölzern, welche auf Zug in Anspruch genommen sind, sind schwierig befriedigend herzustellen; wenn man die Verbindung blos mit Eisenplatten herstellen will, so wird nur ein verhältnissmässig kleiner Theil des Holz-Querschnitts von den Verbindungsbolzen oder der Deckplatte getroffen; man muss dann wohl immer auf die durch die Schraubenbolzen hervorgerufene-

Reibung rechnen. Beiliegende Fig. 59. zeigt einen Stoss, wo das Inein and ergreifen des Holzes durch Deckplatten unterstützt wird;

Fig. 59.

fflx _ r— .

7

J&L

j9l

ft

ji ft

es greifen die Ansätze der letzteren in das Holz ein, die schiefen Flächen der Holzenden stemmen sich gleichfalls der Bewegung entgegen und beide Widerstände werden durch die Bolzenreibung unterstützt.

Dritter Abschnitt.

Bestimmung der Vertikalkräfte und der Angriffsmomente.

§.6. Frei aufliegender Träger.

58. Wenn ein Träger auf zwei Endpunkten frei aufliegt, so werden sämmtliche Gewichte nach dem Hebelgesetz auf die beiden Auflager übertragen und können daher die Auflagerdrücke stets mathematisch genau bestimmt werden, sobald das Gesetz der Belastung bekannt ist.

Das Eigengewicht einer Brücke oder eines Trägers dürfen wir auf die ganze Länge gleichmässig vertheilt annehmen, und bezeichnen wir dasselbe, auf die Längeneinheit reducirt, mit p. — Die über eine Brücke sich bewegende zufällige Last kann zwar auf ganz verschiedene Weise auf der Brücke vertheilt oder auch auf einzelnen Punkten derselben concentrirt sein; sobald aber mehrere Lastpunkte vorhanden sind, hauptsächlich aber wmnn, wie bei grösseren Eisenbahnbrücken, die Axlasten in gegebenen Entfernungen einander folgen, combiniren sich deren Einwirkungen der Art, dass man einen grösseren oder kleineren Theil der Brücke als gleichmässig belastet annehmen darf, ohne einen merklichen Fehler zu begehen; eine nähere Untersuchung über die Grösse der für concentrirte Gewichte zu substituirenden per Längeneinheit berechneten gleichförmigen Last wird an seinem Orte angestellt werden.

Diess vorausgesetzt, denken wir uns die Aenderung in der Belastung dadurch dargestellt, dass die per Längeneinheit berechnete Ueberlast k von einem Brückenende zum andern vorschreitet, so dass dieselbe schliesslich die ganze Brückenöffnung bedeckt. — In Folge dieser Annahme ist ein beliebiges Fragment der Brückenlänge, insoweit es ausser dem Eigengewicht noch eine Ueberlast zeigt, mit einem Gewichte von p -f- k per Längeneinheit behaftet ; diess ist zugleich die grösste per Längeneinheit anwachsende Totallast q = p + k, welche auf die ganze Brückenlänge ausgedehnt, die grösste denkbare Belastung der Brücke darstellt. — Wir werden diese Art der Belastung im Allgemeinen den späteren Berechnungen zu Grunde legen und seltener concentrirte Lasten in Anwendung zu bringen haben.

59. Die Annahme der gleichförmigen Vertheilung von Eigengewicht und Ueberlast lässt eine Reihe wichtiger Eigenschaften der balkenförmigen Träger zur Anschauung kommen. — Die Weite einer Brückenöffnung AB sei mit 1 bezeichnet; ein Stück der

Fig. 60.

mm

Brücke von der Länge 1 sei mit q = p -f- k, der Rest blos mit dem Eigengewicht p belastet; da die Länge 1 noch ganz willkürlich ist, so sind in diesem Falle alle in Betracht zu ziehenden Belastungen der Brücke inbegriffen. — Wir bestimmen zunächst die Auflagerdrücke A und B. Es ist nach dem Hebelgesetz, nach Gleichung 4) der Gleichgewichtsbedingungen

1P

A = f + Ak

21 — 1

. . 91)

Erinnern wir uns nun, dass für einen Querschnitt x bezeichnet:

$ die algebraische Summe der am Fragment thätigen äusseren Kräfte (die Yertikalkraft),

üül das Moment derselben äusseren Kräfte in Beziehung auf den fraglichen Querschnitt x, so erhalten wir:

. . 92) . 93)

für das belastete zunächst A liegende Stück, Coordinaten-Ursprung im Querschnitt x

. . 94)

(*-t)

Y ■ ⁹⁵>

TI = Ax — Ak

Für die gleichförmig vertheilte Maximallast gehen die Gleichungen 91)—93) in folgende Form über:

91a)

b = f ■

ÜB = A — qx .

Ax—^

Letztere Gleichung nach Abscisse xA = ---x ausgedrückt, gibt,

ü

— — xx gesetzt wird ql² qxt²

indem x =

i'

. 93b)

welch letztere Gleichung desshalb häufig angewendet wird, weil

ql²

das constante Glied jedenfalls berechnet werden muss, daher

als bekannt angenommen werden darf.

Wenn man die einzelnen Yertikalkräfte ÜB und Angriffsmomente 9Ji für hinreichend viele Werthe x aus den Gleichungen 92)—95) berechnet, die so gewonnenen ÜB und 9)1 als Ordinaten der Abscis-sen x aufträgt, wenn man endlich die Endpunkte dieser Ordinaten durch eine stetige Linie verbindet, so erhält man 2 Kurven, welche für jeden denkbaren Werth von x die entsprechenden ÜB und 9)1 durch Abgreifen mit dem Zirkel geben; die Fig. 62 stellt uns diese‘Kurven für eine bestimmte Länge 1 der Ueberlast dar; die Kurve ÜB besteht aus geraden Linien, deren Neigung gegen die Abscissenaxe proportional den Belastungen q und p ist; — die Kurve 9JÏ setzt sich aus Parabelbögen zusammen, deren Axen vertikal stehen und deren Parameter denselben Belastungen q und p umgekehrt proportional sind. Diese Bemerkungen dienen uns, um die Kurven ÜB und 9JÏ aufzutragen, wenn nur einige wenige Werthe nach den Gleichungen 92)—95) berechnet worden sind.

Die Gleichungen 92)—95) geben ÜB und 9)Z nur für einen bestimmten Werth von l ; um alle möglichen Belastungen zu berücksichtigen, sind die Umhüllungslinien sämmtlicher Kurven ÜB und 9)1 zu bestimmen. — Es ist für jedes x dasjenige 7. zu bestimmen, welches den grössten Werth von 9)1 und ÜB gibt. Um das Maximum von ÜB zu bestimmen, setzen wir in Gleichung 94) für A seinen Werth aus Gleichung 91) ein und erhalten:

8 = Jl_^_px

Für ein und dasselbe x hat dieser Ausdruck einen desto kleineren positiven oder grösseren negativen Werth, je grösser x ist, vorausgesetzt, dass l nicht grösser ist als x. Würde nun l über x hinaus zunehmen, so würde ÜB nicht mehr durch Gleichung 94),

•sondern durch Gleichung 92) bestimmt sein, und aus dieser letztem Gleichung folgt, dass solange 1 >• x stets der positive Werth von SS im betrachteten Querschnitt grösser, der negative Werth aber kleiner ist, je grösser A, d. h. je grösser l ist. — Wenn eine per Längeneinheit gleichförmig vertheilte Last k von A nach B vorrückt, so findet an jedem Punkte dann das positive Maximum oder das negative Minimum von SS statt, wenn 1 = x; hiedurch geht Gleichung 94) in die Form über:

max SS — p-

was die Umhüllungskurve für das Minimum oder Maximum von SS ist, wenn die Last von A nach B vorrückt; eine zweite symmetrische Kurve

96)

kx²

2T-px

pl k (1 — x)-

. 96a)

— p (1 — x) .

max SS = ^

u

ist ebenso die Umhüllungslinie sämmtliclier Maxima oder Minima von SS, wenn die Last von B nach A sich bewegt. — In Fig. 61 sind diese beiden Kurven eingetragen; je der grössere dieser bei-

21

Fig. 61.

CC

den Werthe gibt den absolut grössten Werth von SS; derselbe ist durch Gleichung 96) gegeben, wenn x > durch Gleichung 96a),

wenn x < —.

u

Wir bemerken in Fig. 61, dass die beiden Kurvenzweige, welche die absolut grössten Werthe von SS angeben (welche unterhalb der Abscissenaxe mittelst theilweiser Umklappung zusammengestellt sind), nahezu geradlienig sind ; es wird also hinreichend sein, wenn ausser den grössten Werthen von A und B

= (P + k) -j

A = B

auch noch der Werth max 35m für x = — bekannt ist; dieser Werth

findet sich aber aus Gleichung 96) und 96a)

„ kl

max = -g-.

Die Umhüllungslinie sämmtlicher Kurven 9Ji ist diejenige Parabel, welche der gleichförmig vertheilten Maximallast q entspricht. Denn wir ersehen aus Gleichung 91), dass A und B Maxima sind für l =*= 1 ; somit hat unter allen denkbaren Kurven 9)i die der Maximallast entsprechende Parabel gemäss Gleichung 17) die grössten trigonometrischen Tangenten an den Auflagern; eine andere aus verschiedenen Parabelbögen zusammengesetzte Kurve kann daher die genannte Umhüllungslinie nicht überschreiten. — In Fig. 62. sind für eine beliebige Länge der Ueberlast, in der Figur mit l bezeichnet, die Kurven 2$ und 9)1 eingetragen und.

Fig. 62.

"*!

■s

Kurven Sö

"'S

î

hieraus ersichtlich, wie solche ganz innerhalb der beschriebenen Umhüllungslinien sich befinden.

60. Die Maximalwerthe von $ und 9JÎ, wie solche durch die vorbeschriebenen Umhüllungslinien für jeden Schnitt x erhalten werden, sind nur dann zur Bestimmung der Dimensionen genügend, wenn letztere blos durch 9)1 oder 35 bestimmt sind; ist dagegen irgend ein Constructionsglied gleichzeitig von 9JÏ und 35 abhängig, so müssen offenbar auch gleichzeitige Werthe von 9)f und 3$ in Rechnung gezogen werden.

Die Umhüllungskurve 9)1 ist, wie in N°. 59. nachgewiesen, nichts Anderes als die Kurve der gleichförmig vertheilten

Maximallast q; hiefür ist A= und die einzelnen 35 finden sich

nun sehr leicht nach Gleichung 92), d. h. die Kurve 35 besteht"

für die Maximallast aus Geraden, welche die Abscissenaxe in der

Entfernung x = — schneiden.

£

Die grössten W erthe der Yertikalkraft 35 finden nach K°. 59. für jeden Abstand x dann statt, -wenn die Last bis zum Punkte x vorgerückt ist und sind diese grössten Werthe von 25 durch Gleichung 96), beziehungsweise 96a) gegeben; da die Last von A oder B hereinrücken kann, so entstehen zwei Umhüllungslinien max 25, und sind entsprechend auch zwei Kurven 9JÏ vorhanden, welche für jedes max 25 das zugehörige gleichzeitige Angriffs moment erkennen lassen.

Die Last gehe von A nachB, und sei bis zum Punkt x vorgerückt, so ist

(P + k) y

A = ir +kx -²¹₂T x

woraus für die eine der beiden gesuchten Kurven folgt

k —

m = Ax —

pi

pi

•r - fr*³ • 9?)

2 x +

Diese Kurve erreicht ihr Maximum für

3k

. . 98)

"Wenn die Last vonB nach A rückt, so sind die der Umhüllungskurve max 25 entsprechenden Angriffsmomente ausgedrückt durch die Gleichung

Für x

®î = J~(l-x) + (^=i) (l-x)² - — (1-*)» . . 97“) — wird nach Gleichung 97) und 97a) gefunden

= ( SL ₊ Ji) p V 8 r 16 J

61. In vielen Fällen ist es von Werth, den Punkt x zu kennen, wo 25 gleich Kuli wird; wenn die Brücke entweder gar nicht, oder auf ihre ganze Länge belastet ist, ist der Punkt 25 = 0 in der Brückenmitte ; bei einseitiger Belastung rückt dieser Punkt gegen eines der Auflager vor; um zu bestimmen, wie viel sich hiebei 25 = 0 aus der Brückenmitte entfernen kann, benützen wir die Fig. 61, wo die äussersten Grenzen für sämmtliche 58 durch die beiden Umhüllungslinien max 25 angegeben sind; befinden sich für ein bestimmtes x beide Werthe max 25 auf derselben Seite der Abscissenaxe, so kann für dieses x kein Werth von 25 gleich Kuli werden; dieses kann vielmehr nur dann stattfinden, wenn die beiderlei Werthe von max 25 zu verschiedenen Seiten der Abscissenaxe liegen, oder aber auch wenn einer derselben auf der Abscissenaxe selbst sich befindet; es geht hieraus hervor, dass diejenigen Punkte, wo die beiden Umhüllungslinien max ÜB die Abscissenaxe schneiden, zugleich die beiden äussersten Lagen des Punktes ÜB = 0 sind; bezeichnen wir mit a die Abscisse eines dieser Schnittpunkte, so ist nach Gleichung 96) für ÜB = 0

2i Pa

0 ₌ PL _

woraus

t±Vt+m'

1 . 99)

Anmerk. Hr. Schwedler findet dieselbe Relation auf einem etwas verschie

denen Wege (Berliner Zeitschrift für Bauwesen 1851); er stellt die Last dar, wie sie von A immer näher gegen die Brückenmitte rückt und dadurch den Punkt 33 = 0 immer mehr aus der Mitte gegen sich anzieht; diess geht so lange fort, bis die Last bis zum Punkt 33 = 0 vorgeschritten ist; würde nun die Last noch weiter vorrücken, so müsste 33 = 0 wiederum zurückweichen und so kommt man zu der Ueberzeugung, dass 33 = 0 dann am meisten aus der Mitte gerückt ist, wenn die zunächst A liegende Brückenseite bis zum Punkte 33 = 0 mit p -f- k, die andere Seite nur mit dem Eigengewicht p belastet ist. Hiedurch erhält man die beiden Gleichungen

(P + k)

21 — a

I.

Pl

21

⁺ ~2~~ •

. IL

woraus derselbe Werth für a folgt, den wir in Gleichung 99) gegeben haben.

Eigengewicht zufällige Last ZU

62. Wir zeigen die Resultate der Formeln 91)—99) in einer graphischen Darstellung Tafel II. (am Schlüsse des Buches), indem wir 6 verschiedene Verhältnisse

k

Grunde legen. — In dieser graphischen Darstellung sind die Umhüllungslinien max 9)1 und max ÜB, sowie die zugehörigen Werthe ÜB und 9)1 enthalten.

Die Umhüllungslinie max 9)1 und die gleichzeitigen Werthe von $ finden sich nach den Gleichungen 92a) und 93a) ; diese Kurven sind für alle Verhältnisse-r- dieselben; die Kurve max 9)1 ist

k    ⁷

eine Parabel, deren Scheitel-Ordinate stets = 0,125 ql²; die zugehörige Kurve ÜB besteht aus 2 Geraden, welche in der Mitte der Abscissenaxe sich schneiden und deren Ordinaten an den Endauflagern bestimmt sind durch die Werthe A = B = 0,5 ql.

Die Umhüllungslinien max ÜB sind bestimmt durch die Gleichung 96), beziehungsweise 96a); die gleichzeitigen Werthe von 9)1 finden sich nach Gleichung 97) und 97a) ; der Punkt, wo letztere Kurven ihr Maximum erreichen, ist durch Gleichung 98) gegeben.

Die Kurve max 50t und die gleichzeitige Kurve ÜB kann aus den bekannten Eigenschaften der Parabel und der geraden Linie nach vorstehenden Andeutungen ohne Weiteres aufgezeichnet werden; die Kurve max ÜB und die der gleichzeitigen 9)1 erfor-<lern für die verschiedenen Verhältnisse —

eine wiederholte An-

k

Wendung der Gleichungen 9.6)—99), deren Resultate für die fragliche Tafel II. in nachfolgender Tabelle XV. enthalten sind.

In den graphischen Darstellungen der Tafel II. sind die absolut grössten Werthe max 9JÎ und max 2$ sammt ihren gleichzeitigen Werthen ÜB, beziehungsweise 9)£ eingetragen; jedes einzelne Constructionsglied wird im Allgemeinen entweder für max 9)1 oder für max 23 eine grössere Krafteinwirkung erleiden; es wäre zwar denkbar, dass 2 andere gleichzeitige, aber sonst beliebige Werthe S0Î und ÜB das fragliche Constructionsglied mehr in Anspruch nehmen; es lässt sich jedoch (wenn die Ueberlast per Längeneinheit gleichförmig vertheilt ist) im speziellen Falle nachweisen, dass diess nicht der Fall ist, und dass somit die gleichförmig vertheilte Maximallast (Kurve max 9JÎ) und die bis zum betrachteten Punkte ausgedehnte einseitige Belastung (max ÜB) zur Bestimmung der Dimensionen genügen; in welcher Weise aus zwei gegebenen gleichzeitigen Werthen 9JÎ und ÜB die in irgend einem Constructionsglied wirkende Kraft gefunden wird, wird in den späteren Abschnitten dargelegt werden und dienen hiezu insbesondere die mehrfach erwähnten praktischen Formeln, in welchen stets die Grössen 9JÎ und ÜB wieder erscheinen werden.

T ab elle XV.

Abs-

cissen.

Vil 33 = 0

721

«/Ll

c.| c

7s

J/2

73

79

kl 20i — Abs. x 99î T ( P.₊) ¹ n. Gl. 98) Gl. 97)

99Î

a»

Absc. x r n. Gl. 97) n.G1.99)

p_

33 =

Gl. 97)

*    0,0950

qi*

0,500

0,125

ql²

ql²

0,500    0,1250    0,0950

ql²

³    0,0761

ql²

0,465

0,0312

ql

ql²

ql²

qi²

0,1094

0,535    0,1099

0,0880

2    0,0703

1    0,0586

V₂ 0,0469

74    0,0375

7s 0,0312

0,450

0,414

0,365

0,302

0,250

0,0416

0,0625

0,0830

0,1000

0,1110

1,1041

0,0937

0,0833

0,0750

0,0694

0,550    0,1052

0,572    0,0962

0,608    0,0870

0,632

0,647

0,0859

0,0820

0,0780

0,0820

0,0750

0,0784

0,0729

Wenn wir einen vorläufig als schwerlos gedachten Träger mit einzelnen an bestimmten Punkten angreifenden Gewichten belastet denken, so ist die Vertikalkraft zwischen den einzelnen Lastpunkten constant, was aus Gleichung 16) zunächst für 2Y und eben damit auch für 35 folgt ; wenn so die Kurve ÜR aus einzelnen horizontalen Geraden zusammengesetzt ist, so folgt nach Gleichung 18), dass die Kurve 9JI ein Polygon ist, dessen Endpunkte durch die einzelnen Lastpunkte gegeben sind. — Wenn die einzelnen concentrirten Lasten P gleich gross und gleichmässig auf die Länge der Brücke vertheilt sind, so muss das Polygon 9IÎ für jede Polygonseite d wenigstens einen Punkt mit einer Parabel gemein haben, welch letztere derselben stetig und gleichmässig P

Die Anwendung der graphischen Darstellung Tafel II. geschieht am einfachsten dadurch, dass man die Grössen und $ mit dem Zirkel absticht; genauere Resultate erhält man, wenn man dieselben Figuren mit Hülfe der Tabelle XV., beziehungsweise der Gleichungen 97)—99), in einem grösseren Maasstabe aufträgt, wobei die Figuren der Tafel II. gleichsam als Vorlegeblätter dienen. — Endlich aber haben diese graphischen Darstellungen den Zweckr das Vertändniss der vorstehenden und der folgenden Entwicklungen zu erleichtern und die Resultate der Formeln und der Rechnungen zur Anschauung zu bringen.

63. Es soll nun der Einfluss concentrirter Lasten untersucht und mit der gleichförmig vertheilten Ueberlast verglichen werden.

vertheilten Belastung — entsprechen würde (siehe Fig. 63.) —

Fig. 63.

!'

tr r-

Je mehr Knotenpunkte das Polygon zeigt, d. h. je näher die Angriffspunkte der Lasten beisammen liegen, desto mehr wird sich das Polygon der genannten Parabel anschliessen. — Diese Verhältnisse bleiben dieselben, wenn das gleichförmig vertheilte Eigengewicht mit in Rechnung gezogen wird, indem die betreffenden Momente sowohl bei dem Polygon als bei der Parabel einfach

§. 6. Frei aufliegender Träger.

' CO

addirt werden, und gehen hiedurch die Polygonseiten in schwach gekrümmte Parabelbögen über.

Die dem Polygon entsprechende Kurve 35 besteht, wie schon bemerkt, aus einzelnen horizontalen Geraden (siehe Fig. 63) ; bei gleichförmiger Vertheilung der Lasten und Lastpunkte ist die Umhüllungslinie der treppenförmigen Kurve 35 eine Gerade, und entspricht deren Neigung der gleichmässig und stetig vertheilten Totallast; auch hier werden bei vermehrter Zahl der Lastpunkte die staffelförmigen Absätze abnehmen und den umhüllenden Geraden sich nähern ; durch Berücksichtigung des Eigengewichts erhalten die einzelnen Staffeln eine Neigung gegen die Abscissenaxe, deren trigonometrische Tangente dem Eigengewicht des Trägers proportional ist.

35 ergeben.

max

"Wenn die einzelnen Lasten beliebig gross und beliebig vertheilt sind, so werden auch die Umhüllungslinien und 35 beliebige Gestalt annehmen ; wenn aber, wie bei einem Eisenbahntrain, die Lasten in bestimmten, nicht zu grossen Zwischenräumen auf einander folgen, so wird das Polygon SDt sich einer stetigen Kurve nähern und zwar der Parabel der gleichförmig vertheilten Maximallast, falls die ganze Brücke mit schweren Fahrzeugen bedeckt ist, die Kurven der grössten einseitigen Belastung dann, wenn die Fahrzeuge nur auf einer Brückenhälfte aufgestellt sind; man wird solche Stellungen der Fahrzeuge aufzusuchen haben, welche das grösste max 3)i, beziehungsweise (für einseitige Belastung) die grössten Werthe für

Um in jedem gegebenen Falle die Berechnung der 9JÎ und 35 für concentrirte Lasten anstellen zu können, werden die folgenden allgemeinen Formeln entwickelt.

f³

---cf 2---»

■H

-,

w,

fr

fr

fr

-I<1---

Eine Brückenöffnung AB sei ausser dem gleichförmig vertheilten Gewicht p noch mit einer Beihe concentrirter Lasten Gt Gj G₃ G₄ in den Abständen gt g₂ g₃ g₄ behaftet; es müssen auch hier wiederum zunächst die Auflagerdrücke A und B bestimmt werden; die Weite der Brückenöffnung sei mit 1 bezeichnet, so finden wir durch wiederholte Anwendung des Hebelgesetzes (Gleichung 4)

B =

A Pl , (l~gi) Gl + (I—gz) @2 + (I—g₃) G₃ + (1—gj

A 2+    ]

pl I gl Cri 4" S2 4- g.3 G3 + g₄ Gt₄

für einen beliebigen Schnitt x bestimmen sich 9)i und $ mit entsprechender Berücksichtigung der Fig. 59. wie folgt:

101)

$ = A — px — Gt — G₂......    . .

. 102)

9JÏ = Ax — ----Gt (x — gt) — G₂ (x — g₂) ...

Die Werthe und ü$, welche aus den Gleichungen 101) und 102) erhalten werden, können nunmehr den aus Gleichung 92)—95) für gleichförmige Lasten erhaltenen Werthen gegenüb er gestellt und mit denselben bezüglich ihrer numerischen Grösse verglichen werden.

§.7. Belastungen und Eigengewichte frei aufliegender Träger.

64. Bei Eisenbahnbrücken ist man gewöhnt, falls die Spannweite ansehnlich ist, eine gleichförmig vertheilte Ueberlast in Rechnung zu nehmen; während aber früher 1 ton per laufenden Fuss englisch oder 3333 K. per Meter ausreichend war, so ist in Folge des grösseren Gewichts der Locomotiven und Waggons später (z. B. bei der 1856 erbauten Brücke von Langon) per Meter meist 4000 Kilo angenommen worden, was schon einer sehr ansehnlichen Yerkehrslast entspricht.

Wenn man aber dieselbe gleichförmige Ueberlast k auf Brücken kleinerer Spannweiten anwenden wollte, so würde man wesentlich kleinere Angriffsmomente erhalten, als die ungünstigste Stellung einer schweren Locomotive nach Gleichung 100)—102) ergeben würde und aus der weiteren Verfolgung dieser Betrachtung erhellt, dass diejenigen gleichförmigen Ueberlasten k, welche als Aequivalent der Axenbelastungen eines Eisenbahntrains zu dienen haben, im umgekehrten Verhältnisse zur Spannweite stehen, d. h. desto grösser sind, je kleiner die Spannweite, und erst bei grossen Lichtweiten einen constanten Werth annehmen.

Die grössten Güterzüge werden von höchstens 3 Locomotiven geführt und die ungünstigste Stellung dieser ist, wenn zwei derselben mit ihren Vordertheilen gegen einander gestellt sind; bei grösseren Brücken ist alsdann der Rest der Brücke mit vollbelasteten Güterwagen bedeckt anzunehmen.

Um an einem bestimmten Beispiel zu zeigen, mit welchem Grade von Genauigkeit für einen Eisenbahntrain eine gleichförmig vertheilte Ueberlast k substituirt werden darf, ist die Rechnung für das aus Tafel III. ersichtliche Beispiel durchgeführt und durch die graphischen Darstellungen genannter Tafel erläutert. — Die 3 Loco-motivaxen haben je 2 M. Distanz und 12 tons Belastung; die Tender je 1,5 M. Axendistanz und je 6 tons Axenbelastung; die hintere Loco-motivaxe und die vordere Tenderaxe sind 3 M. von einander entfernt; die Puffer ragen 2 M. über die vordem Locomotivaxen und 1,5 M. über die hintern Tenderaxen vor, so dass die ganze Länge für Locomotive sammt Tender 13,5 M. beträgt, was bei einem Gesammtgewicht von 54 tons eine Belastung von 4000 K. per lauf. M. Geleise giebt.

Die Güterwagen werden zu 6 M. Länge von Puffer zu Puffer angenommen; ihre Axen sind je 3 M. entfernt und je mit 9 tons belastet; diese Wagen haben also per laufenden Meter 3000 K. Gewicht.

Wir haben in der graphischen Darstellung Tafel III. die einzelnen 25 und SDt nach Gleichung 101) und 102) für eine Reihe einzelner Spannweiten berechnet und aufgetragen und zwar je für die 2 in Aussicht genommenen Pälle, welche der Maximallast und der grössten einseitigen Belastung entsprechen; in dieselben Figuren sind auch diejenigen Parabeln eingetragen, welche der gleichförmigen und stetigen Belastung der ganzen und halben Brückenöffnung entsprechend die nach Gleichung 102) berechneten Polygonkurven zu ersetzen haben; dessgleichen die zugehörigen Geraden 25. — Beispielsweise ist in der folgenden Tabelle XYI. für die Spannweite von 15 Metern das durch die Gleichungen 100)—102) gewonnene Rechnungsresultat zusammengestellt.

Tabelle XVI.

Spannweite 15 Meter. Eigengewicht 1075 K. p. M.

Abscissen in Metern:

0    0,5    1,0    2,5    3,5    5,5    5,95    7,5    9,5    11,5

12,5 13,5    15,0

I. Belastung durch 23 8,05 das Eigengewicht.

16,8 21,6 28,0

30,2 28,0 21,6:16,8

8,05

II. Eme Locomotive mit ihrem Mittelradin der ® 37,9 Mitte, an die

<*L

CO Dl (M CO

CO O* CO CO

20,0

8,0

co__ co^ <xf cT

Dl

IO iO °° ~ tO CD

CD CD^ CD*' Dl CO

38,2

ner 2. Locomotive gekuppelt.

37,4 82,4

147,1

161,0 148,7

55,7    0

111. Eine Locomotive mit ihrem .23 36,65 Vorderrad bis

CO

H-A tc

cd *cD

12,75

0,75

i-T co

21,45

mitte vorge-rückt.

0 18,0

103,6 131,2    130,6 101,4 68,3

IV. Gleichförmig

vertheilte Ma- ® 43,0

ximallast vo )__

5730 Kilo per ™ q Meter.

43,0

40,0 90,0

149,5|

161,0 149,5

90,0 57,9    0

V. Die Brücke einerseits mit 23 42,7 7235 K. p. M.,

anderseits mit --

dem Eigenge- «p 0 wicht belastet.

0    11,55

19,6

95,4

128,0 117,0

62,2

Eine nähere Untersuchung dieser graphischen Darstellungen (Tafel III.) zeigt, dass bei der zu Grunde gelegten Yerkehrsbe-lastung sowohl für die Maximallast, als für die einseitige Belastung eine gleichförmig vertheilte Last q, beziehungsweise q' existirt, welche sehr annähernd dieselben Angriffsmomente oder Yertikalkräfte SS hervorrufen würde; die diesen Werthen von q und q' entsprechenden Parabeln und Geraden sind nämlich in den graphischen Darstellungen der Tafel III. gleichfalls eingetragen, auf Grund der Berechnungen, welche wie in Tabelle XYI. für jede der oben angeführten b Spannweiten von uns durchgeführt worden ist. Die Resultate dieser Berechnungen sind in folgender Tabelle XYII. zusammengestellt.

In dieser Tabelle ist $ in tons à 1000 Kilo, in tons und Metern ausgedrückt.

Aehnliche Tabellen haben wir für die Spannweite n von 7, 10, 15, 20, 30, 40, 60 und 100 Meter berechnet. Das Resultat der fünf ersteren ist in den graphischen Darstellungen Tafel III. gegeben.

Tabelle XVII.

Spannweite

7 M.

10 M.

15 M.

20 M.

30 M.

40 M.

60 M.

100 M.

Eigengewicht der Brücke per Meter = p

800 K.

900 K.

1075 K. 1250 K.

1600 K.

1950 K.

2650 K.

4050 K.

gleichförmig vertheilte variable Last

6200

5440

4655

4440

4240

4050

3950

3700

Maxi-

malbe-

. gleichförmig lastung/ vertlieilteHa-,^er 1 ximallast

7000

6340

5730

5690

5840

6000

6600

7750

ganzen

Brückel

Verhältnis:

JP

5,3

4,5

3,6

2,5

1,9

Maxi

malbe

lastung

gleichförmig vertheilte variable Last

8800

7200

6160

5600

5200

5050

4650

3900

k'

der

I gleichförmig verthei lteMa-| ximallast

q' = P + k'

einen Brückenhälfte I Verhältniss:

9600

8100

7235

6850

6800

7000

7300

7950

q'

12

6,7

5,5

4,25

3,6

2,75

~2

Der Radstand von 2 M., welcher der Tabelle XYIL zu Grunde liegt, ist wesentlich grösser als derjenige, welcher neuerdings bei schweren Maschinen in coupirtem Terrain angenommen wird. — Ein sehr geeignetes Beispiel bietet die württembergische Güterzugmaschine, welche daselbst seit etwa 4 Jahren in Anwendung ist und sich in jeder Beziehung sehr gut bewährt hat; die Axen-distanzen und Belastungen dieser Maschine sind aus der der folgenden Tabelle beigedruckten Skizze ersichtlich. Die Tabelle XVIIa. selbst ist auf dieselbe Weise berechnet, wie Tabelle XYIL, die Werthe k und k£ sind aber bei den kleineren Spannweiten wesentlich grösser, als in letztgenannter Tabelle. — Die Eigengewichte der Brücken sind in Tabelle XYIIa. etwas höher gegriffen, während die bei den grössten Spannweiten hinzugerechneten Güterwagen dieselben sind wie in Tafel III. verzeichnet.

Tabelle XVIIa

württembergische Güterzug-Maschine.

i<------

—13, S--

l-    75 7„5    7,5

r    T~~l    T

12

12

12&

Spannweite

7 M.

IO M.

15 M.

20 M.

30 M.

40 M. 60 M.

lOO M.

Eigengewicht der Brücke per Meter = p

1000

llOO

1275

1450

1800

2150

2850

4250

Maxi

malbe

lastung

der

ganzen

Brücke,

gleichförmig yertheilte variable Last ;    = k

| gleichförmig vertheilteMa-I ximallast q = p -f k

Verhältniss:

7350

5760

4730

4660

4455

4410

40.00

3700

8350

6860

6110

6050

6255

6560

6850

7950

8,3

6,2

4,7

4,2

3,5

3,0

2,4

l,9

gleichförmig vertheilte variable Last

Maximalbelastung] gleichförmig der ^vertheilteMa-einen Brücken- _ hälfte I Yerhältniss:

11500

9000

7500

6600

5800

5400

5000

4700

k'

ximallast q'=p + k'

12500

10100

8775

8050

7600

7550

7850

8950

12,5

5,5

4,2

3,5

2,75

2,1

q'

Bau der Brückenträger.

Herr Oberingenieur H. Schmidt bei der österreichischen Staatseisenbahngesellschaft hat in der Förster’schen Bauzeitung die-grössten Verkehrsbelastungen für Engerth’sche Tendermaschinen und dessgleichen Semmeringmaschinen veröffentlicht, wie solche in den nachfolgenden beiden Tabellen dargestellt sind ; es sind nämlich auch hier diejenigen gleichförmig vertheilten Lasten berechnet,, welche dasselbe grösste Angriffsmoment ergeben, wie die ungünstigste Stellung dreier Locomotiven, wobei bei grösseren Spannweiten zweiaxige Güterwagen von 3,5 M. Radstand, 7,25 M. Ge-sammtlänge zwischen den Puffern und 7800 K. Axbelastung-weiterhin gerechnet sind.

K-

fr

9,8

Tabelle XVIIb Tendermaschine Engerth.

_________

7,0    11,8    11,S H8ts

-----J

■Ï

ft-f)

W—~2—4------2,8

Spann

weite

Grösste zufällige „    Grösste zufällige,

Last k per Meter |    " Last k per Meter !

Geleise l! weue    Geleise

Spann

weite

Grösste zufällige Last k per Meter Geleise

23520

24

5170

90

3430

11760

27

5110

100

3250

9410

30

5060

110

3100

9700

33

4990

120

2970

9030

36

4880

130

2850

8540

40

4680

140

2740

7450

45

4580

150

2650

10

6770

50

4430

160

2570

12

6010

55

4250

170

2490

15

5470

60

4100

180

2420

18

5460

70

3830

190

2360

21

5300

80

3610

200

2310

Tabelle XYIIc. Semmeringmaschine Engerth.

--------------.J0/7S™.---------------

>—\    -1    14    44

C Ü

! MM

e,t n,s 12,6 i3 rfs_^

- - ->fc—2j52 -~fa?e4trl?&kfy6jk----2l-S3- - - -*¹

Spannweite in Met.

Grösste zufällige Last k per Meter Geleise

Spannweite in Met.

Grösste zufällige ! Spann-per Meter]

Geleise

Last k

weite in Met.

Grösste zufällige Last k per Meter Geleise

27440

15

6160

45

5000

13720

18

6090

50

4830

12970

21

5940

60

4380

11900

24

5760

70

4110

10970

27

5720

80

3870

10260

30

5670

90

3660

8730

33

5590

100

3470

10

7690

36

5440

12

6890

40

5230

Die Tabellen XYIP. und XVIIe. enthalten nur die Werth e k; es können die Werthe k' dadurch bestimmt werden, dass das

Ir

Verhältniss aus den Tabellen XVII. und XVIIa. entnom-k

men wird.

65. Bezüglich des Eigengewichts der Brücken finden wir, dass die in Tabelle XVIla. angenommenen Gewichte der Delation entsprechen

103)

p = 35 1 + 750 wo p in Kilogrammen, die Spannweite 1 in Metern ausgedrückt ist. — Es ist klar, dass die Coefficienten 35 und 750 nur Mittel-werthe sind, und dass der jeweilige genaue Werth von der Con-structionsart abhängig sein muss; es ist aber durch Vergleichung vieler Brückenconstructionen constatirt, dass die Coefficienten für

ein und dieselbe Constructionsweise constante Werthe haben; bezeichnen wir für eine bestimmte Anordnung diese Coefficienten mit C, beziehungsweise F, so ist somit allgemein p = 0.1 + F

Der Coefficient F darf als das auf die Längeneinheit reduzirte Gewicht der Fahrbahn (sammt Querträger, Schwellenträger) angesehen werden, während C . 1 das auf die Längeneinheit reduzirte Gewicht der Hauptträger bezeichnet. —

Herr Baurath W. Schwedler hat in einem Referate, welches er für den Verein deutscher Eisenbahnen ausgearbeitet hat, folgende Angaben über das durchschnittliche Eisengewicht einer sehr grossen Anzahl ausgeführter Eisenbahnbrücken gemacht, welche hier nach Metern und Kilogrammen ausgedrückt sind: für Brücken leichtester Construction von 10—60 Metres

103a)

Spannweite

p' = 375 -f- 25.1    . .

für Brücken von 10—100 Metres Spannweite für Ueber Schläge p' == 400 + 30.1 .    .

Diese Zahlen begreifen blos die Eisenconstruction ohne Schienen, Schwellen und Bedielung, welcher letztere Theil der Fahrbahn mit 3—400 Kilo per laufenden Meter in Rechnung kommt. Ebendaselbst ist weiterhin für das in die statische Berechnung einzuführende Eigengewicht der Brücken angegeben:

p = 800 -f 30 1 was mit obiger Angabe (II.) stimmt, wenn man zu letzterem das Gewicht der Schienen, Schwellen und der Bedielung addirt.

Diese letztere Angabe (III) giebt für das Eigengewicht p der Brücke bis zu 40 M. Spannweite nahezu dieselben Werthe, welche in unserer Tabelle XVIIa. angenommen sind. — Es ist aber in vorstehender Gleichung III. das constante Fahrbahngewicht desshalb grösser erhalten, weil daselbst zweite Querverbindungen, Windkreuze und Eck-Absteifungen zu dem Fahrbahngewicht gerechnet sind, während wir diese von der Spannweite abhängigen Glieder dem Gewicht der Hauptträger construction beizählen.

Herr Schwedler hat in einer neueren Abhandlung über die Elbbrücke bei Meissen das Eisengewicht letzterer Brücke folgen-dermassen angegeben:

für die Oeffnungen von 54,6 M. Spannweite

p' = 360 -f 24 1 ......

für die Oeffnungen von 21,6 M. Spannweite

p' = 200 + 24 1 ......

Obgleich nun bei dieser Brücke für die zwei verschiedenen Spannweiten nahezu dieselbe Hauptträgerdistanz und ganz ähnliche Fahrbahnconstruction angewendet sind, ist doch das Eisengewicht der Fahrbahn in den Gleichungen IV. und V. sehr verschieden angegeben, was eben darin seinen Grund hat, dass bei der grösseren Spannweite eine obere Querverbindung nothwendig war und

. . II.

III.

IV.

. . V.

überhaupt die Diagonalen stärker construirt werden mussten; dadurch, dass letztere Theile zum Fahrbahngewicht addirt werden, verliert letzteres die Eigenschaft einer constanten Grösse, wesshalb wir die in Gleichung 103) gegebene Relation, welche ein grösseres Trägergewicht und dagegen ein kleineres Fahrbahngewicht an= nimmt, vorziehen. — Die Coefficienten F der Gleichung 103a), d. h. die Gewichte der Fahrbahn sind nachstehend für einzelne Grundtypen gegeben, indem eine möglichst gleichartige Detailanordnung angenommen wurde.

Fig. 66.

ZT

jj

Anordnung 1. Wie in beistehender Fig. 66 skizzirt ist, ruhen die beiden Schienenstränge mittelst gewöhnlichen Querschwellen auf den Hauptträgern unmittelbar auf; die Entfernung der Querschwellen betrage 0,9 M. — Das Gewicht der Fahrbahn (ohne die Horizontalverbindungen) beträgt per laufenden Meter:

2 Fahrschienen per laufenden Meter, incl. Befestigungsmitteln je 40 Kilo wiegend.....

Querschwellen je 2,5 M. lang ²⁴/is C. stark per

80 Kilo

0,9

75

Stück 67,5 Kilo wiegend 2,2 Quadratmeter eichene Bedielung von 7 C. Dicke 115    „

Hiezu für Platten, Schrauben etc

15 „

275 Kilo.

Fig. 67.

l,8m —

:/8m

Tk

—JL

ML

Anordnung 2. Die in Fig. 67 dargestellte Anordnung ist immer möglich, wenn die Schienenoberkante nicht mehr als 0,75 M. unterhalb der Oberkante der Hauptträger liegt; die Schienen ruhen

mittelst Querschwellen auf besondern Zwischenträgern, sog. Schwellenträgern auf, letztere auf Querträgern, welche in Entfernungen von 1,8 M. gedacht sind; die Fahrbahn (ohne Diagonalverbindungen) wiegt per laufenden Meter:

80 Kilo

2 Fahrschienen à 40 Kilo.........

Querschwellen je 2,5 M. lang ²⁴/is C. stark, je

V j t/

Ol Ol

67 Kilo wiegend...........

.    90    „

. 190    „

2,2 Quadratmeter eichene Bedielung von 7 C. Dicke 2 Schwellenträger je 45 Kilo per laufenden Meter wiegend.............

Querträger je circa 340 Kilo wiegend .    .

1.8

worunter 280 Kilo Eisengewicht.

Fig, 68.

550 Kilo,

i.

4 til

rr

nrri

"I

Anordnung 3. Wie in Fig. 68. dargestellt, so kann bei sonst gleicher Anordnung ein Seitengeländer nothwendig werden, wodurch das Gewicht der Fahrbahn sich erhöht; die durch die Höhe der Hauptträger bedingte 2. Querverbindung bleibt bei der folgenden Gewichtberechnung ausser Betracht, da diese Con-structionstheile von der Trägerhöhe abhängig und somit veränderlich sind.

T---

/,8™

Indem im Uebrigen die Entfernung der Querträger mit 1,8 M. beibehalten wird, berechnet sich das Gewicht der Fahrbahn per laufenden Meter:

2 Fahrschienen à 40 Kilo

80 Kilo

Querschwellen, je 4,5 M. lang, ²⁴/is C. stark,

\J yJ

je 120 Kilo wiegend..........

4,0 Quadratmeter eichene Bedielung von 7 Cent.

Dicke...............

2 Schwellenträger je 45 Kilo per laufenden Meter wiegend..............

Querträger zu circa 340 K........

Das Geländer mag per laufenden Meter je 35 Kilo, somit beiderseitig zusammen wiegen .    .    .    .

worunter 352 Kilo Eisengewicht.

210

90

192    „

70

775 Kilo,

Anordnung 4. Wenn die Schienenoberkante mehr als 1,2 M. unterhalb der Trägeroberkante liegt, so muss die lichte

Weite zwischen den Hauptträgern 4,0 M. betragen; in Fig. 69. ist ein Fall dargestellt, wo die Fahrbahn möglichst tief gelegt ist und wegen der grossen Trägerhöhe oberhalb eine 2. Querverbindung angebracht ist. — Die lichte Entfernung von der Schienenoberkante zur obern Querverbindung soll wenigstens 4,8 M. betragen (diese Maassangaben entsprechen dem Normalprofil des Vereins deutscher Eisenbahnen). Entfernung der Querträger betrage wieder 1,8 M.

Das Gewicht der Fahrbahn (ohne die 2te Querverbindung und ohne die Diagonalverbindungen) beträgt:

Fig. 69.

7/1

Die

---rL___

2 Fahrschienen.............

•— Querschwellen, je 4,5 M. lang, ²⁴/i5 Cent, stark,

je 120 Kilo wiegend..........

4,0 Quadratmeter eichene Bedielung von 7 C. Dicke 2 Schwellenträger je 45 Kilo per laufenden Meter wiegend..............

80 Kilo

rH Ol

CO O

90 „

Querträger, je circa 450 Kilo wiegend .    .

1,0

247

760 Kilo,

worunter 337 Kilo Eisengewicht.

Hätte man die Entfernung der Querträger grösser, z. B. gleich 2,7 M. genommen, so hätte sich das Gewicht nicht wesentlich vermehrt; die Schwellenträger wären per laufenden Meter allerdings beinahe noch einmal so schwer geworden, wogegen das Querträgergewicht entsprechend geringer geworden wäre.

Anordnung 5. Es sind 2 Geleise zwischen den 2 Hauptträgern angenommen, wodurch, wie aus Fig. 70. ersichtlich, eine Distanz der Hauptträger gleich 8,6 M. bedingt ist. — Die Entfernung der Querträger betrage 3,6 M., auf welche Weite die Last durch die Schwellenträger übertragen werden muss. Das Gewicht der Fahrbahn berechnet sich per laufenden Meter für 2 Geleise:

i*.

y.s-

Fig. 70.

*,0

1,5-

-h

:1„

iE m

r7

y.

4 Fahrschienen à 40 Kilo.........

Querschwellen, je 8,5 M. lang, ²⁴/iö Cent, stark,

je 225 Kilo wiegend..........

7,6 Quadratmeter eichene Bedielung von 5 C. Stärke 4 Schwellenträger, per laufenden M. 100 K. wiegend

Querträger, je 1830 Kilo wiegend . . .

160 Kilo

. . 508    „

1720 Kilo,

somit per laufenden Meter für ein Geleise 860 Kilo, worunter 454 Kilo Eisengewicht; je nach den bestehenden Verhältnissen kann dieses Gewicht vermindert werden, indem man den Querträgern und Schwellenträgern eine grössere Höhe giebt, wodurch der Gurtungs-Querschnitt derselben verringert wird.

Aus vorstehenden für die Anordnungen 1—4 gegebenen Berechnungen kann der Werth der Grösse F in Gleichung 103) sowohl für Gesammtgewicht als für das Eisengewicht der Fahrbahn entnommen werden; bezeichnen wir ersteres mit F, letztere» mit F1} so erhält man das durchschnittliche Gewicht einer eingeleisigen Eisenbahnbrücke wie folgt:

Totalgewicht p = 35 1 —{— F Eisengewicht pt = 35 1 -f- F*

66. Die grösste Belastung, welche Strassenbrücken ausser ihrem Eigengewichte auszuhalten haben, besteht theils in einem Menschengedränge, theils in schweren Lastwagen.

Die Belastung durch Menschengedränge wird zu 360 Kilo per DM. angenommen; bei Bestimmung der Dimensionen der Hauptträger ist diese Belastung nicht nur für die Fusswege in Rechnung zu ziehen, sondern sie giebt auch für die Fahrbahn der Fuhrwerke dann in der Regel die grösste Ueberlast, wenn die Spannweite gross ist. —

Für die Berechnung der einzelnen Theile der Fusswege, z. B. Consolen, Zwischenträger, Bedielung, soll eine Belastung von

560 K. per Quadratmeter gerechnet werden, indem letztere Belastung dann eintritt, wenn die Menschen so dicht stehen, dass dieselben sich nicht mehr bewegen können.

Die Belastung mit Lastwagen ist für die eigentliche Fahrbahn der Brücke massgebend, dessgleichen für die Hauptträger der Brücken kleinerer Spannweite; bei Brücken mittlerer Spannweite wird der hinter den Lastwagen befindliche Theil der Fahrbahn mit Menschen besetzt angenommen.

Fig. 71.

,    771/    .

my    »

-s,s--*-

m/

ni

*.0

4,0

4-

k*

0,6

0,6

In Figur 71. ist für schweres Landfuhrwerk die Vertheilung der Lasten angegeben ; es entspricht diess einem Gesammtgewicht eines belasteten Wagens von 200 Centner, während das Gewicht zweier Pferde zu 12 Centner angenommen ist (wobei die Zahl der Pferde von den näheren Umständen abhängig ist).

Bei bedeutenderen Strassen, insbesondere in der Nähe von grösseren Städten, muss ein höheres Wagengewicht gerechnet werden; es können z. B. schwere Maschinen, Geschütze, Dampfkessel transportirt werden; für diese grössten Lasten ist per Axe 9 tons zu rechnen, wie untenstehende Figur 72. des Näheren angiebt.

Fig. 72.

771

771

171/

-4,0-

771/

v-

_u

s»

Os

st

Bei solchen schwersten Wagen braucht die gleichzeitige Passage mehrerer Fuhrwerke nicht in Rechnung genommen zu werden; diese grössten Lasten kommen daher nicht sowohl bei den Hauptträgern, als vielmehr bei der Construction der Fahrbahn in Betracht. —

Brücken, deren Fahrbahn für die in Fig. 72. skizzirten Lastwagen berechnet ist, können jederzeit für eine Eisenbahn benützt werden, welche mit Pferden oder Locomotiven , deren Axgewicht das der Wagen nicht übersteigt, betrieben wird.

Aus den in jedem speziellen Falle angenommenen Belastungen berechnen sich die grössten Angriffsmomente 9)1 nach den Gleichungen 100)—102). — Für Strassenbrücken von 5 bis 5,5 M. Fahrbahnbreite ist (zunächst abgesehen von den Fusswegen) die ungünstigste Stellung zweier nebeneinander befindlichen Landfuhrwerke (Fig. 72.) zu rechnen, wozu ein hinter den Wagen befind-

Fig. 72a.

in

k— z™ ——2%—>j

■—I Af)i (Î)

m

6,6

2*5

77V

5,5

:7TV

-15,0

liches Menschengedränge hinzukommt, wie in Fig. 72a. dargestellt ist; hienach sind in Tabelle XYIII. für die Spannweiten von 7—30 Metres die grössten Angriffsmomente 9JI für eine Fahrbahnbreite von 5,5 M. berechnet und zwar ist diejenige per laufenden Meter gleichförmig vertheilte Last k bestimmt, welche dasselbe max 9)1 hervorrufen würde.

Tabelle XVIIr.

Spannweite.

7 M.

10 M.

15 M.

20 M.

30 M.

gleichförmig vertheilte Ueberlast k per laufenden Meter

3215

2910

2470

2080

1854

Da auf die angenommene Fahrbahnbreite von 5,5 M. das Menschengedränge per laufenden Meter 55 X 360 = 1980 Kilogr. antrifft, so ersieht man aus Tabelle XYIII., dass bei Spannweiten von über 25 Metres die Belastung mit Menschengedränge für die Hauptträger massgebend ist.

In Tabelle XIX. sind nunmehr diejenigen zufälligen Belastungen zusammengestellt, welche für Strassenbrücken von 7,5 M. Totalbreite (wovon 2 M. für die Fusswege) als grösste Belastung für Berechnung der Hauptträger angenommen werden dürfen :

Tabelle XIX.

Zufällige Belastung für Berechnung der Hauptträger von Strassenbrücken.

Spannweite.

7 M.

10 M.

15 M.

20 M.

über 25 M.

Belastung der 2 M. breiten Fusswege mit Menschengedränge

720

720

720

720

720

Belastung der 5,5 M. breiten Fahrbahn mit 2 Landfuhrwerken, beziehungsweise Menschengedränge.

3215

2910

2470

2080

1980

zus. per laufenden Meter

3935

3630

3190

2800

2700

Wenn die Breite einer Brücke von 7,5 M. abweicht, so kann man die auf die Hauptträger treffenden Belastungen durch einfache Betrachtungen aus Tabelle XIX. ableiten, indem im Allgemeinen die Belastung proportional der Breite der Fahrbahn anzunehmen ist. —

Bei Berechnung der Bestandtheile der Fahrbahn, als Querträger, Zwischenträger sind die in Fig. 71 und 72 skizzirten Lastwagen in Rechnung zu ziehen, je nachdem die Strasse höheren oder niederen Banges ist; übrigens muss auch hier (wie bei den Hauptträgern) das Eigengewicht der Brücke in Rechnung gezogen werden, welches bei vorhandener Beschotterung sehr bedeutend sein kann.

Bei Berechnung der Bestandtheile der Fusswege (Trottoirs) wird, wie schon angeführt, eine grösste Belastung von 560 K. per Quadratmeter angenommen. —

67. Für Yergleichung der Eigengewichte der Strassenbrücken wird ebenso wie bei den Eisenbahnbrücken das Gewicht der Hauptträger und das der Fahrbahn ausgeschieden, indem in der Gleichung

p = C.l + F

103a)

1 die Spannweite, C . 1 das Gewicht der Hauptträgerconstruction und F das Gewicht der Fahrbahn per laufenden Meter bezeichnet ; es sind hiebei Brücken mit Beschotterung und solche mit einfacher Holzüberlage wesentlich zu unterscheiden ; wie aus der folgenden Zusammenstellung einiger Fahrbahngewichte erhellt. —

Anordnung 1. Die Breite der Fahrbahn ist, wie in allen zu vergleichenden Fällen, zu 5,5 M., die der beiden Fusswege zu je 1 M. angenommen; wie aus Fig. 73. ersichtlich, ist bei dieser Anordnung vorausgesetzt, dass die Träger unterhalb der Fahrbahn und hiebei einander so nahe gestellt sind, dass keine Querträger nothwendig werden.

Fig. 73.

'71V

m/

*rSr

IJU

tu

771/

Fahrbahn-Gewicht per laufenden Meter.

a) bei Anwendung von 0,2 Medioker Beschotterung und schwersten Lastwagen.

b) bei Anwendung' doppelter eichener Bedie-lung und schwerer Landfuhrwerke.

Befestigung der Fahrbahn und des Trottoirs .    .

Geländer...............

5,5 [jM. Wellenblech von 6 Mm. Dicke .    .    . .

zus. Eisengewicht:

30 K.

30 K.

70

70

330

430 K.

100 K.

Trottoirschwelle von Eichenholz......

Trottoirbelag von 8 C. dickem Eichenholz .    .    .

Doppelte eichene Bedielung der Fahrbahn 14 C. dick Beschotterung 0,2 M. dick (incl.Kiesabschlussschwelle)

30

30

120

120

600

2400

total :

2980 K.

850 K.

Anordnung 2. Wenn Höhe genug vorhanden und die Spannweite grösser ist, kann die in Fig. 74. skizzirte Anordnung gewählt werden, welche eine geringere Anzahl von Hauptträgern erfordert.

Fig. 74.

771

771/ I 1,0—Xc

r\ r\

/VAA

r\ /-\X

771

2,15-

-2,15

777

2,15

Fahrbahn-Gewicht per laufenden Meter.

a) bei Anwendung von 0,2 M. dicker Beschotterung und schwersten Lastwagen.

b) bei Anwendung doppelter eichener Bedielung und schwerer Landfuhrwerke.

Querriegel von I Eisen in Entfernung von 1,1 M

1 Trottoirträger...........

Geländer.............

Befestigung der Fahrbahn .......

5,5 QM. Wellenblech von 6 Mm. Dicke .    .

zus. Eisengewicht

240 K.

210 K.

140

140

70

70

30

30

330

810 K.

450 K.

Trottoirbelag von Eichenholz......

Doppelte eichene Bedielung der Fahrbahn 0,2 M. dicke Beschotterung.......

120

120

600

2400

total

3750 K.

1170 K.

Anordnung 3. Es ist hier vorausgesetzt, dass die Höhe der beiden Hauptträger nicht über die Trottoirs hinausrage, so dass dieselben zum Auflegen des Fusswegs benützt werden können.

Fig. 75.

-5^-

. ms ,

t'

\rr~

r~;

in

i m i    7ns    Ï nrv ! vtl

-*■-//-%-

Fahrbahn-Gewicht per laufenden Meter.

a) bei Anwendung von 0,2 M. dicker Beschotterung und schwersten Lastwagen.

b) bei Anwendung doppelter eichener Bedielung und schwerer Landfuhrwerke.

Querträger in Entfernungen von 3 M.

4 Zwischenträger zus.......

Consolen ..........

Träger auf den Consolen . . . . . Befestigung der Fahrbahn . . . ,

Geländer.........

5,5 QM. Wellenblech von 6 Mm.

300 K.

180 K.

340

120

80

50

70

330

180

120

80

50

70

zus. Eisengewicht:

1290 K.

Trottoirbelag von Eichenholz.......

Doppelte eichene Bedielung der Fahrbahn . . 0,2 M. dicke Beschotterung derselben . . , .

120

O O O GO <M O CO H CD

2400

total :

3810 K.

1400 K.

Anordnung 4. Wenn die Hauptträger über die Trottoirhöhe hinausragen, ist es zweckmässig, auch die Fusswege zwischen den Hauptträgern anzubringen.

Fig. 76.

m/

■1,5

7B/

Fahrbahn-Gewicht per laufenden Meter der Brücke.

a) bei Anwendung von 0,2 M. dicker Beschotterung und schwersten Lastwagen.

b) bei Anwendung doppelter! eichener Bedie-lung und schwerer Landfuhrwerke.

Querträger in 3 M. Entfernung.....

6 Fahrbahnträger ..........

Befestigung von Fahrbahn und Trottoir . . 6,5 QM. 'YVellenblech von 6 Mm. Dicke . .

zus. Eisengewicht

660 K.

400 K.

510

270

80

80

330

1580 K.

750 K.

Trottoirbelag von Eichenholz......

Doppelte eichene Bedielung der Fahrbahn .    .

0,2 M. dicke Beschotterung .......

120

120

600

2400

total

4100 K.

1470 K.

Nachdem die Fahrbahngewichte und durch Tabelle XIX. auch die grössten zufälligen Belastungen bekannt sind, lässt sich zunächst für Brücken von 7,5 M. Breite die Belastung der Hauptträger entwickeln und mit den in Tabelle XVII. und XYIIa. enthaltenen Belastungen der Eisenbahnbrücken vergleichen, indem man übrigens berücksichtigen muss, dass in den letztgenannten Tabellen auch das Hauptträgergewicht inbegriffen ist.

Auf Grund dieser Betrachtungen kann man den Coefficienten C des Hauptträgergewichts für eiserne Strassenbrücken von 7,5 M., bei Brücken mit Beschotterung auf 42 und bei Brücken mit Holzbelag auf 28 für vorläufige Berechnungen annehmen und bestimmt sich hienach das mittlere Eigengewicht p eiserner Strassenbrücken von 7,5 M. Totalbreite:

a)    bei Anwendung von 0,2 M. dicker Beschotterung

p = 3600 + 42 1

104a)

b)    bei Anwendung von doppelter eichener Bedielung

p = 1300 +281

104b)

Will man jedoch nur das Eisengewicht p' und zwar exclusive-etwaigem Wellenblech oder sonstiger eiserner Schotter-Unterlage überschlagen, so kann man setzen:

ad a) p' = 900 + 421    ....    05a)

ad b) p' = 600 -j- 28 1    ....    05b)

wobei bezüglich genauerer Angabe der Fahrbahngewichte auf die vorstehenden Anordnungen 1—4 verwiesen wird.

Wenn die Gesammtbreite der Brücke von 7,5 M. ab weicht, so ist p (beziehungsweise p') entsprechend den vorliegenden Verhältnissen zu modificiren.

§. 8. Contmuirliche Träger.

68. Bei den continuirlichen Trägern sind, wie schon in N°. 20~ erwähnt, die Rückwirkungen der Stützpunkte (Auflagerdrücke) nicht als bekannt anzunehmen, da die Bedingungen des Gleichgewichts-nicht mehr unmittelbar zu Auffindung dieser Kräfte ausreichen.

Das Verfahren, mittelst welchem man diese Auflagerdrücke auffindet, ist in N°. 20. allgemein beschrieben; es ist aber auch in N°. 21. die Clapeyeronsche Methode entwickelt, wo mit Umgehung der doppelten Integration unmittelbar die Angriffsmomente VJÎ auf den Stützpunkten durch Elimination passend gewählter Hilfsgrössen gewonnen werden.

Wenn die Spannweiten nicht zu gering sind (was bei continuirlichen Trägern ohnedem nicht rathsam ist), so darf wie beim frei aufliegenden Träger, das Eigengewicht und die zufällige Last je auf eine gewisse Länge gleichförmig vertheilt angenommen werden, und zwar nehmen wir je auf die Länge einer Oeffnung gleichförmige Totallast an, der Art aber, dass jede Oeffnung der Reihe nach als belastet oder blos mit dem Eigengewicht behaftet betrachtet werden kann; es ist diess nicht nur mit Rücksicht auf grössere Einfachheit der Formeln bedingt, — da die Rechnung sonst zu complicirt und fast unausführbar wäre — sondern wir erhalten dadurch auch in Wirklichkeit eine Reihe von Grenzlagen für die Angriffsmomente und Vertikalkräfte 35, welche die Umhüllungslinien der 9JÏ und 35 darstellen; in den graphischen Darstellungen der Tafeln IV. und V. (am Schlüsse des Buchs) sind solche Grenzlagen der Kurven und 35 für 2 und 3 Oeffnungen gezeichnet, und können diese Figuren zunächst zu nachfolgender Betrachtung dienen. — Sowie nämlich bewiesen werden kann, dass die Maxi-malwerthe der mathematisch genauen Umhüllungslinie mit dem Maximalwerthe der stellvertretenden Kurven übereinstimmen, so werden auf die übrige Länge nur sehr untergeordnete Abweichungen stattfinden, Abweichungen, welche nur darin ihren Grund haben können, dass die stellvertretende Umhüllungskurve keine stetige Linie ist, sondern aus einzelnen Kurvenzweigen besteht.

■Wenn die absolut grössten Werthe ÜB und 9)1 für jeden Querschnitt gefunden sind, so werden wir wie in N°. 62. die Aufgabe als gelöst ansehen; wir wählen in unseren graphischen Darstellungen von den gleichzeitigen Werthen ÜB und 9Jt stets dasjenige Paar aus, welches für das betreffende Constructionsglied die grösste Krafteinwirkung anzeigt und sind sicher, dass keine andere sonst vorkommende Belastung das fragliche Constructionsglied stärker in Anspruch nehmen wird.

Zur vollständigen Entwicklung gehört noch, dass man genau die Grenzen kennt, innerhalb denen die Punkte ÜB = 0 und 9)1 = 0 in jeder Oeffnung sich bewegen. Es ist diess diejenige Distanz, auf welche ÜB und 591 in Folge der Bewegung der Last ihre Vorzeichen ändern.

Die oben beschriebenen Grenzlagen 59t und ÜB geben nun zugleich die Grenzlagen für die Punkte ÜB = 0 und 9)1 = 0, denn es kann bewiesen werden, dass die grössten und kleinsten Werthe der Auflagerdrücke in den betrachteten Fällen enthalten sind; da die Last gleichmässig vertheilt angenommen ist, so ist damit auch die grösste und kleinste Entfernung der gedachten Nullpunkte gegeben.

69. Aehnlich wie beim frei aufliegenden Träger bezeichnen auch bei den continuirlichen Trägern : p das Eigengewicht der Brücke, k die zufällige Last, q =- p -j- k die Totallast

und zwar je auf die Längeneinheit einer Brückenöffnung berechnet.

Wir haben in N°. 64. gesehen, dass bei Eisenbahnbrücken den Einflüssen concentrirter Lasten dadurch Rechnung getragen wird, dass man die Werthe k nach der Grösse der Spannweite wechselnd annimmt; wir haben aber ausserdem für die einseitige Belastung je grössere Werthe k' annehmen müssen (vergleiche Tabelle XVII.); letzteres ist bei continuirlichen Trägern nicht nothwendig, denn einmal sind die Werthe k und k' bei grösseren Spannweiten weniger verschieden, und werden wir in der Folge sehen, dass die Continuität der Träger nur bei erheblicher Weite der Oeffnungen angewendet werden soll; sodann vertheilt sich eine concentrirte Last durch den Zusammenhang mehrerer Oeffnungen gleichförmiger auf die Auflager, so dass wir hinreichend grosse Grenzwerthe erhalten, wenn wir bei continuirlichen Trägern die Werthe k und q der Tabellen XVII. für sämmtliche Belastungsarten gleichförmig anwenden und von den Werthen k' und q' ganz absehen. — Die Werthe k und q sind für die zu betrachtenden grösseren Spannweiten von den wirklichen auf die Brückenlänge

vertheilten und auf die Längeneinheit reducirten Belastungen nicht so sehr verschieden, dass eine bedenkliche Ungenauigkeit zu befürchten wäre.

70. Wir gehen nunmehr zu dem Fall von zwei mit einander verbundenen Oeffnungen über. —■ Auch hier wird die gleichzeitige Belastung beider Oeffnungen die Träger ganz besonders in Anspruch nehmen; wenn nun aber wiederum eine Oeff-nung entlastet wird, so hat diess eine Senkung der noch belasteten Oeffnung zur Folge und letztere wird daher partiell mehr in Anspruch genommen sein, als bei der Belastung der ganzen Brückenlänge. Diese Senkung wird solange zunehmen, bis die eine Oeffnung ganz entlastet ist.

Uebereinstimmend mit dieser Betrachtung zeigt denn auch die mathematische Untersuchung, dass bei Belastung der ersten Oeffnung AB und vollständiger Entlastung der Oeffnung BC max 9JI für AB seinen grössten, für BC seinen kleinsten Werth hat, und dass gleichzeitig A seinen grössten, C seinen kleinsten Werth erhält, das Umgekehrte findet selbstverständlich statt, wenn AB vollständig entlastet und BC belastet ist. — Am Mittelpfeiler B haben SS und 9)1 ihren grössten Werth, wenn beide Oeffnungen gleichzeitig belastet sind. — Den mathematischen Beweis dieses Satzes hat Hr. Bänsch im Jahrgang 1857 der berliner Zeitschrift für Bauwesen geliefert.

Wir legen demgemäss unseren Betrachtungen drei Fälle der Belastung zu Grunde:

1)    Vollständige Belastung von AB und BC,

2)    vollständige Belastung von AB, vollständige Entlastung von BC,

3)    vollständige Entlastung von AB , vollständige Belastung von BC.

Die für diese drei Fälle gleichzeitig eingezeichneten Kurven 9JI und ÜB werden nach den in N°. 68. entwickelten Betrachtungen die Umhüllungslinien sämmtlicher möglichen ÜOÎ und ÜB sehr annähernd darstellen. — Da aber für jedes einzelne Constructions-glied nur gleichzeitige Werthe von §01 und ÜB maassgebend sein können, so werden Angriffsmoment und Vertikalkraft im Allgemeinen nicht gleichzeitig ihre Maximalwerthe haben; diess findet vielmehr blos in der Nähe der Mittelpfeiler statt.

Ein Blick auf die graphischen Darstellungen der Tafel IV. wird das Gesagte deutlicher machen, und wird zu gleicher Zeit klar werden, wie nothwendig es ist, neben der Maximallast auch die grössten einseitigen Belastungen in Betracht zu ziehen. — Es ist diess bei der Britanniabrücke und den grossen preussischen Brücken über die Nogat bei Marienburg und über die Weichsel bei Dirschau allerdings nicht geschehen, und hat bei dem grossen Eigengewicht dieser Brücken weniger Nachtheil gebracht; wenn man aber, gestützt auf diese Vorgänge auch bei kleineren Brücken

blos die Kurven der Maximallast berücksichtigen wollte, so würde-man damit einen entschiedenen Fehler begehen.

Fig 77.

(7 £ /

f-----------

71. Wir betrachten, den allgemeinen Fall, dass beide Oeff-nungen verschiedene Weite haben, es sei AB = a, BC — b; di& Oeffnung AB sei mit qt, die Oeffnung BC mit q₂ per Längeneinheit belastet; die sämmtlichen Stützpunkte befinden sich in einer Horizontalebene. — Zur Bestimmung der Angriffsmomente und Vertikalkräfte bedienen wir uns in diesem einfachen Falle des in N°. 20. beschriebenen Verfahrens, welches, wie dort bemerkt, die unbekannten Rückwirkungen der Stützpunkte auffinden lehrt.

Der Coordinatenursprung wird in B angenommen ; die Richtung nach A sei die positive, der Werth E0 sei mit s bezeichnet und ist angenommen, dass 0 und somit auch s eine constante-Grösse sei.

Nach Gleichung 41) erhalten wir für AB:

sodann durch einmaliges Integriren: dy    qta²x    qtx³    qtax²

6 —    - —g-    + -g    g    ⁴

wo <p den Winkel bezeichnet, den die elastische Linie bei B mit dem Horizont bildet; eine zweite Integration ergibt:

Aax² , Ax³ .    ,    TTT

—2--b-y + £tg<p . x • in.

Die Constante fiel hier aus, weil für x = 0 auch y = 0 wird.

Ebenso findet man für das Stück BC, wenn B wiederum als Coordinatenursprung angenommen wird:

« jy = (b - x)²    — C (b — x)

dy    q,b²x    q₂x³    q₂bx²

⁼ 2 ⁺ “6----

_ _ q₂b²x² L q^ __ q₂b 3 ~~    4

Für x = a wird in Gleichung III. y in VI. ebenso y = 0.

Ax²

dx

f-y

qta²x² , qtx⁴ qtax³

24

24

. IR

IV.

— Cbx -f

Cbx²

Cx²

2~ +

— stgcp .    .

— «tgqp . 0, für x

. V.

. VI.

b wird

Setzt man diese Werthe in Gleichung III. und YI. ein und multiplicirt dieselbe mit a, beziehungsweise b, und addirt beide Gleichungen, so eliminirt sich die Unbekannte cp und man erhält:

Cb²

q₂b⁵

'8    3    3    ~ ' * 106a)

Zu dieser Gleichung kommen nun noch 2 andere, welche aus den Bedingungen des Gleichgewichts hervorgehen:

A -L B + C = aqt + bq₂ .... 106b) q^²

Aa²

Cb ... . 106°)

Aa= SJ.* -

Diese 3 Gleichungen 106a)—106°) sind jederzeit ausreichend, um die 3 Unbekannten A, B und C zu finden.

Bür die meisten in der Praxis vorkommenden Fälle vereinfachen sich aber diese Gleichungen, indem die Spannweiten in der Regel gleich gross sind und erhält man für a = b

.    .    107)

jq 0 qi — q₂) = iq ¹⁰ (qi + q₂) ^C7 q₂-q0

In diese Formel 107) müssen nun für die 3 oben angeführtem Fälle die jeweiligen Belastungen jeder Oeffnung eingeführt werden, um die Auflagerdrücke zu erhalten:

1) für die Maximallast ist zu setzen

qi = q₂ = (P + K) = q

woraus nach Gleichung 107) folgt:

3 ,

g-qb

10

"b * qb

2) für die Belastung von AB folgt

qi = q und q₃ = P

woraus

A = re (⁷-f)qb 0=è (⁷ "îj 0

iS 0 + f ) qb

3) für die Belastung von BC folgt qt = p und q₂ = q

woraus

A=h (⁷ ? - 0 ib °=n(⁷-f)qb ieO + |)qb

Nachdem auf diese Weise die Auflagerdrücke A, B und G gefunden sind, kann man aus den Gleichungen II. oder V. die Grösse «tgqp bestimmen und erhält dann in den Gleichungen III. und VI. nach Einsetzung des Werths «tgqp die Gleichung der elastischen Linie, welche die Einsenkung an jeder Stelle angibt.

72. Wenn die Auflagerdrücke bekannt sind, so findet sich $ und 9JZ durch eine einfache Anwendung der Bedingungen des Gleichgewichtes 2) und 4), welche wir für unsern Fall speciell anschreiben.

Wir verlegen den Coordinatenursprung in den Querschnitt x selbst (siehe Fig. 78.), und bezeichnen wieder mit qi und q₂ die Belastungen der beiden Oeffnungen:

Fig. 78.

ar

JB

ca

. 108)

so ist für das Stück AB $ = A — qtx .    .

m = Ax - 3^

für das Stück BC, indem man eine Abscisse xt = x — a einführt: 3$ = A + B — qta — q₂X(

109)

108a)

9Ä = A (a -f- xj -f Bxt — qta (jq -f- y) — q₂ -y- 109a)

73. Wenn man in den Gleichungen 108)—109a) die verschiedenen Werthe qA und q₂ und die hiefür nach Gleichung 106) oder 107) berechneten Auflagerdrücke A, B und C einführt, so erhält man für jeden beliebigen Querschnitt x die ihm zugehörigen Werthe von 3)1 und — Um das Resultat dieser Berechnungen zur Anschauung zu bringen , sind in den graphischen Darstellungen der Tafel IV. für die verschiedenen Belastungen die Werthe von 25 und 3)1 als Ordinaten aufgetragen, wie schon mehrfach erwähnt ist. — Es war aber nicht nöthig, nach den Gleichungen 108)—109a) eine grössere Reihe von einzelnen SDÎ und 25 zu berechnen, da eine nähere Untersuchung der fraglichen Kurven dieselben aus wenigen Punkten construiren lehrt.

"Wir bemerken zuerst, dass die Gleichungen 108) und 108a) gerade Linien darstellen und ist diess eine nothwendige Folge der gewählten gleichförmigen Belastungsart. — Die Neigung dieser Geraden gegen die Abscissenlage ist nur von der Belastung abhängig und zwar sind die trigonometrischen Tangenten den Belastungen qt und q₂ direct proportional.

Die Kurven 3)i sind wie bei einer Oeffnung, so auch bei con-tinuirlichen Trägern Parabeln mit senkrechter Axenrichtung, deren

qi

Parameter den Quotienten — oder — direct proportional ist.

Anmerk. Die Gleichung einer Parabel vom Parameter P ist

X²

x²

= ² Py (oder — = y) welche durch parallele Verrückung des Coordinatenursprungs übergeht in

x²

— + KX + ß = y

—— ergiebt.

q₂

woraus durch Vergleichung mit den Gleichungen 109) und 109a) der Parameter P sich unmittelbar gleich —, beziehungsweise

Wir bemerken ferner, dass nach Gleichung 18)

d3»

dx

25 =

Es hat somit 3)î seinen grössten Werth für 25 = 0, d. h. der Scheitel der Parabel 3)1 ist durch diejenige Abscisse gegeben, für welche 25 = 0 ist.

Diese Eigenschaften der Kurven 3)î und 25 erleichtern das Aufträgen derselben, wie schon mehrfach erwähnt ist ; hier sei nur noch darauf hingewiesen, dass wir im vorliegenden Falle nur mit zweierlei Parabeln zu thun haben, deren Parameter den Werthen

~ proportional sind.

— und

Gehen wir auf einzelne besondere Punkte über, so ergibt sich zunächst für die Yertikalkraft aus Gleichung 108) und 108a) Folgendes.

Auf den Stützpunkten A und C ist die Yertikalkraft den Auflagerreaktionen gleich, bei dem Mittelpfeiler hat dieselbe zu

Ba = A — qta

beiden Seiten verschiedene Werthe, und zwar ist für die Oeffnung AB (deren Weite = a)

für die Oeffnung BC (deren Weite = b)

Bb = A -f- B — qta

Da q₍a grösser als A, so ist Ba negativ, wogegen Bb wieder positiv ist; die Differenz beider oder die Summe ihrer absoluten Werthe ist gleich dem Auflagerdruck B. — Die Punkte x₀, in denen die Yertikalkraft gleich Null wird, ergeben sich:

für die Spannweite AB nach Gleichung 108)

110)

x₀ = —

.    <3i

für die Spannweite BC nach Gleichung 108a)

. . 111)

x₀ = a +

A + B — qta

<Ï2

In gleicher Weise geben die Gleichungen 109) und 109a) die besonderen Werthe des Moments 91Î. — Durch vorstehende Gleichungen 110) und 111) sind die Abscissen für max M gegeben. Hiebei ist zu bemerken, dass wir für die Oeffnung AB in Gleichung 109a) eine Abscisse xi = x — a eingeführt haben. Für den Punkt = 0 ist alsdann in Gleichung 109a) für xf der aus Gleichung 111) gewonnene Werth x₀ — a einzusetzen, nämlich

A f B — qta

Xq    —

Wenn wir die Maximalwerthe SR für die Oeffnungen AB und BC mit SOla und 9JZb bezeichnen, so finden wir durch Einsetzung der obigen Werthe x₀ (beziehungsweise x₀ — a) für die Oeffnung AB nach Gleichung 109)

max = x/2

9i

112)

max 9)b> = Aa —

q,a² (A+B-qta)2 ___ + -

C²

2 q₂

Die Umformung der letzteren Gleichung kann mit Hülfe der Gleichungen 106b) und 106°) leicht bewerkstelligt werden.

Auf den Endauflagern A und C ist selbstverständlich 9)1 = 0; für den Mittelpfeiler erhalten wir aus Gleichung 109) und 109a) denselben Werth:

9z

= Aa —

qta²

. . 114)

welcher Werth jedenfalls negativ ist, da A <

u

In den graphischen Darstellungen der Tafel IY. sind wie in Tafel II. die negativen Werthe der Grössen 2DÎ und $ umgeklappt und sind die absoluten Werthe von 9JI oberhalb, die absoluten Werthe von $ unterhalb der Abscissenaxe aufgetragen.

qb²

0,125

0,110

0,105

0,094

0,087

0,083

0,075

Belastung von BC (mit q).

max

qb²

0,0703

0,047

0,040

0,024

0,016

0,010

0,0015

Abs

cisse

$B=0.

0,375

0,354

0,346

0,312 '

0,280

0,250

0,125

qb

0,375

qb

1,25

0,390

0,395

0,406

0,412

0,416

0,425

1,094

1,020

0,937

0,875

0,833

0,750

qb

Tabelle XX. (für 2 Oe Übungen).

SJÎB

am

Mittel

pfeiler.

qb²

0,375

0,125

0,266

0,110

0,231

0,105

0,156

0,094

0,112

0,087

0,083

0,083

0,025

0,075

max

SWa

qb²

0,070

0,076

0,078

0,082

0,085

0,086

0,090

Belastung von AB (mit q).

Abs

cisse

ö = 0.

qb

0,375

0,390

0,395

0,406

0,412

0,416

0,425

Vertikalkraft am Mittelpfeiler

gegen

BC.

gegen

A B.

qb

qb

qb

0,625

0,625

0,375

0,484

0,426

0,343

0,287

0,249

0,610

0,605

0,594

0,588

0,584

0,575 0,175

0,266

0,231

0,156

0,112

0,083

0,025

qb

1,25

1,094

1,020

0,937

0,875

0,833

qb

0,375

0,390

0,395

0,406

0,412

0,416

0,425 0,750

p_

Vs

73

Va

Va

Vs

V»

00

2/3

V»

V*

Zur näheren Erläuterung sind die Resultate der Rechnung in vorstehender Tabelle XX. eingetragen, wobei verschiedene Verhältnisse -jj- oder zu Grunde gelegt sind.

und

Die erste Horizontalcolonne entspricht der Maximalbelastung der ganzen Brücke (und wenn q = p gesetzt wird, auch der Belastung durch das Eigengewicht) ; für jedes Verhältniss —

fl

dient sodann die betreffende Horizontalcolonne zur Aufzeich-k

nung der Kurven der einseitigen Belastung.

74. Wir gehen nun zu dem Falle über, dass die 3 Stützpunkte nicht in einer Ebene liegen und wenden wir hiezu die in N°. 21. und 22. entwickelte Methode des Ingenieur Clapeyron an. — "Wir nehmen für beide Oeffnungen dieselbe Spannweite b an und setzen ausserdem voraus, dass die Endstützen gleich hoch, der Mittelstützpunkt B aber um die Höhe s gegen die Endstützen tiefer liege.

Wir werden dieses Beispiel benutzen, um die Vortheile, welche durch Senkung der Mittelstützen erreicht werden können, zu beleuchten, anderseits aber auch dazu, um den Einfluss zu untersuchen Hebung eines Stützpunkts hervorbringt.

Die Bezeichnungen seien dieselben wie in N°. 22. Wenn man berücksichtigt, dass

den eine nicht beabsichtigte Senkung oder

Ih = *2 = 0

(da die Momente auf den Endstützen = 0 sind), ferner dass

= [*₂ und % = x₂

so folgt:

Für die Oeffnung AB nach Gleichung 44)

*i = qi — & + «i • • • = qi — 2%i + 3 x₄    . .

ferner gemäss Gleichung X. in N°. 22.

I.

II.

b³

“    24E0Xl

III.

b³

24E0

IV.

ml = ²/s

fr* Cr

vi

V.

VI.

24E0

. VII.

= q₂ —    — 2i/q -j- 3x₂    . . VIII.

und ebenso für die Oeffnung BC nach Gleichung 44) = q* — 2*4 — rpi + *₂    .    .

und nach Gleichung X. der N°. 22.

b³

«// =

24E0

IX.

c ==

b⁴

*² 24E0

X.

In obigen 10 Gleichungen haben wir 4 Unbekannte a a, a,, 9)^, und 6 unbekannte Ililfsgrössen v{ xpi xp₂ xt x₃, woraus jede dieser 10 Grössen gefunden werden kann.

Wir erhalten durch Elimination von jq aus Gleichung I. oder II. 2*1 —    - qi — «i

und durch Elimination von % aus Gleichung XI. und VII.

q< + q₂ + *2 — *1

XI.

*i

. . XII.

Berücksichtigt man nun, dass nach Gleichung VI. und X.

:= y'2

so folgt aus Gleichung XII. und V.

⁼ j (q₄ + <h

worin nach Gleichung VI. jq =

dem nunmehr 9}^ bekannt ist, können die übrigen Unbekannten leicht gefunden werden.

Wenn für irgend eine Oeffnung die Momente 9JI über den Pfeilern bekannt sind, so geben die Gleichungen V. bis VI. der Nummer 21. die Gestalt der neutralen Faser und damit die Einsenkung in der Mitte der Oeffnungen.

oa

— 2xt) . .

24 . s . E0

. 115)

b⁴

zu nehmen ist; nach-

Fig. 79.

le

!•

Jfc"

/ -____

----H

Bezeichnet in beistehender Fig. 79. : a die Tangente des Winkels der elastischen Linie auf dem Stützpunkt A,

, 9)?' die Angriffsmomente über den Pfeilern, q die Belastung der betrachteten Oeffnung, c, c' die Höhe der Stützpunkte über der Abscissenaxe,

1 die Weite der Oeffnung, so ist nach oben genannten Gleichungen

* = _9Ü

24E0    6E0

c/ — c

y = c 4- ax -f

7 (2 9)1 - S»0 4-

/'ql , 9)1—    X³ ,

v2 '    1 J 6E0"¹

qx⁴

9)îx²

. 116)

24E0

Diese Gleichungen können ganz allgemein zur Berechnung der Einsenkung beliebiger Träger angewendet werden, indem man je nach Umständen die Grössen c, c', 9)1 oder 9J1' gleich Null setzt.

Um nun für jeden einzelnen Querschnitt 9)1 und $ zu bestimmen, müssen die Auflagerdrücke berechnet werden. Zu diesem Zwecke bestimmt man die Yertikalkräfte zunächst den Auflagen nach Gleichung II. der N°. 21. Es ist für die Oeffnung AB die Yertikalkraft zunächst dem Stützpunkte A

q,b , 9)1 — 9)T 2    b

Ab =

2E0

und indem wir bemerken, dass 9)1 = 0 und dass die Vertikalkraft Ab gleich dem dortigen Endauflagerdruck ist, erhalten wir für letzteren

*    q4>    9)1,

Ab - —

und durch Wertheinsetzung aus Gleichung 115) b „

16 ^ q'

. 117)

— q₂ 4- 2 *,) . .

und ebenso für den Auflagerdruck in C

^ (H - q, +‘2*,) • • • IH“)

Zur Bestimmung des Auflagerdrucks B haben wir nach Gleichung II. in N°. 21.

Yertikalkraft in B gegen A Ba =

q₂b

9)1,

= yq (⁹ q/ + q₂ — 2 y.,)

Bc

2“ ⁺ 4b

Vertikalkraft in B gegen C

= Tb + T = r6⁽⁹^ + q'-²”'₎

somit ist der Auflagerdruck in B

B = Ba + Bo = ^ (10q, + 10q₂ - 4k,) 118)

Nachdem durch Gleichung 117)—118) die Auflagerdrücke gefunden sind, ergeben sich die einzelnen 9)1 und $ für jeden Querschnitt aus den früheren Gleichungen 108)—109a) und kann nun wie in N°. 73. mit Hilfe der Gleichungen 110)—114) eine Tabelle und graphische Darstellung angefertigt werden.

Wenn man in den Gleichungen 117)—118) die Grössen s und ■somit xi = 0 setzt, so müssen die genannten Gleichungen in die Gleichungen 107) übergehen, da dann sämmtliche Stützpunkte gleich hoch angenommen sind, d. h. die Senkung des Mittelstützpunktes aufgehoben ist; es kann diess als Probe für die Richtigkeit der Gleichungen 117)—118) betrachtet werden.

75. Den wichtigsten Einfluss übt die Senkung der Mittelstützen auf die Angriffsmomente 9)?, welche aus den nunmehr bekannten Auflagerdrücken gefunden werden.

Durch Combination der Gleichungen 117) und 112) beziehungsweise 114) findet man (indem jetzt immer die Weite b beider Oeffnungen gleich gross angenommen wird) unter Beibehaltung der seitherigen Bezeichnungen :

grösstes Angriffsmoment, innerhalb der Oeffnungen

max Wlb =

b²

(7 qt ~ q₂ + 2 k,)² . . . 119)

512 q,

In dieser Gleichung bezeichnet q, die Belastung der Oeffnung AB, q₂ die Belastung der Oeffnung BC; der Werth v.f ist durch Gleichung YI. der R°. 74. gegeben.

Angriffsmoment auf dem Mittelpfeiler B

b²

= -Tg- (q, -f q₂ — 2 k,)    .    .

. . 120)

Die Anschauung der Gleichungen 119) und 120) zeigt, dass seinen grössten Werth hat für q, = q

während 9)Îb sein Maximum erreicht

für q, = q₂ == q

q₂ = P

und folgt hieraus: M max SDîb =

b²

512 q

(7 q — p -f 2 k,)²    .    .    119a)

b²

120a)

Man sieht, dass M max 9)lb zunimmt, je grösser k, d. h. je grösser die Senkung der Zwischenstützen ist, während Max 9)Îb gleichzeitig abnimmt.

Der Vortheil der Senkung der Zwischen stützen wird nun darin gesucht, dass man solche Werthe der Senkung s, beziehungsweise der Grösse k, aussucht, wonach die aus Gleichung 119a) und 120a) gefundenen Maximalwerthe einander gleich werden ; es wird dadurch der kleinste Werth für das absolute Maximum von 9)1 erhalten. — Indem man nun die Werthe

Max 9)Îb = -g- (q — */)

M max -âJïb (nach Gleichung 119a) und Max 9)Îb (nach Gleichung 120a) einander gleichsetzt, erhält man

y.L =

4 C-£ - 23 2 V. q

±\/544 — 32    . . 121)

und indem man für xi seinen Werth aus N°. 74. Gl. YI. einsetzt:

günstigste Senkung der Mittelstütze B

²³ ±\/544 — 32 -jp .

E ist der Elasticitätsmodul des fraglichen Materials, 0 das Trägheitsmoment des betrachteten Querschnittes.

Ist für einen bestimmten Träger y.x nach Gleichung 121) berechnet, so finden sich die Auflagerdrücke und die wichtigsten Angriffsmomente nach den Gleichungen 117)—120). Insbesondere erhält man Max unmittelbar aus Gleichung 120a).

Wir haben auf diese Weise die nachstehende Tabelle XXI. für eine Reihe schmiedeiserner Brücken verschiedener Spannweite

b⁴q

4b E0

(-

122)

gebildet; die Verhältnisse sind der Tabelle XYII. entnommen

(vergl. X°. 69.); hienach sind für die vortheilhafteste Senkung des Mittelstützpunktes der Werth Max 9)Îb und die Grösse der Senkung selbst bestimmt.

Letztere ist wesentlich vom Trägheitsmoment des Trägers abhängig. Wir stellen die Bedingung, dass die grösste Spannung 2t der Gurtungen 600 Kilo per [jC. betragen solle.

Nun ist nach Gleichung 31) bei gleicher Stärke beider Gurtungen

2t 2

Indem wir nun ausserdem die Trägerhöhe H gleich ljio der Spannweite b annehmen, erhält man durch Wertheinsetzung in Gleichung 122)

s =

qb³

(£--23

Vq

+\/bU

— 32 -

IL

7200 Max 2JÏb

und sind die Werthe von s gleichfalls in Tabelle XXI. eingetragen.

76. Aus Tabelle XXI. ist insbesondere ersichtlich, wie kleine-Senkungen hinreichen, um grosse Differenzen in den Angriffsmomenten hervorzurufen.

Die Senkung kann nicht allein dadurch hervorgerufen werden, dass man das mittlere Auflager tiefer herstellt, sondern insbesondere auch dadurch, dass man den Träger ebendaselbst überhöht; anderseits ist eine ungleiche Höhe der Auflager ohne Ein-

Selbstverständlich soll der Träger die verlangte Form haben, ehe er durch sein Eigengewicht eingebogen ist; man kann übrigens die durch das Eigengewicht hervorgerufene Biegung berechnen und mit der wirklichen Krümmung vergleichen.

fluss, sobald der Träger dem Längenprofil der Auflager sich an-schliesst.

Tabelle XXI. (für 2 Oeffnungen).

Spannweite.

7 M. 10

15

20    30

40

60

100

Yerhältniss —

5,3

4,5

3,6

2,5

Bei gleicher Höhenlage der Stützpunkte.

max m inner den 0,0927 0,0919 Oeffnungen.

qb²

max 2JÎ auf dem Mittel- 0,125 0,125 pfeiler.

0,0906 0,0897 0,0882 0,0868 0,0851 0,0819

qb²

0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125

Mittel-

*/

0,1792

0,1842

0,1913 0,1965 0,2050 0,2137 0,2239 0,2430

Vortheilhafteste Senkung des Stützpunktes.

Gleichzeitiges Max 3JÏ auf dem Mittelpfeiler und innerhalb der Oeffnungen.

qb²

0,1026

0,1019

0,1011 0,1004 0,0994 0,0983 0,0970 0,0946

Senkung des Mittelstützpunktes — s.

Cent.

0,340

0,502

0,753 1,087 1,718 2,483 3,848

7,523

Die Berechnung der in den continuirlichen Trägern thätigen Kräfte wird daher durch yerhältnissmässig kleine Fehler in der Höhenlage der Stützpunkte wesentlich alterirt und gibt Tabelle XXI. ein Bild von den Aenderungen, die durch kleine Senkungsdifferenzen entstehen können.

Bei kleineren Spannweiten kann daher die Continuität der Träger nur mit grosser Yorsicht und mit Berücksichtigung vorstehend bezeichneter Eventualitäten angewendet werden; da zudem die Yortheile der Continuität hier weit geringer sind (vergl. auch Tabelle XX.) so wird man bei kleineren Weiten meist auf die

Continuität ganz verzichten. — Bei grossem Spannweiten, wo die vortheilhafteste Senkung der Zwischenstützen immer mehrere Cen-timeter beträgt, wird man bei sorgfältiger Ausführung die beabsichtigte Gestalt der Gurtungen mit hinreichender Sicherheit hersteilen können; eine Senkung der Zwischenstützen hätte dann insbesondere den Yortheil, dass man die Trägerstärke gleichmäs-siger herstellen kann und damit den Voraussetzungen, welche bei Berechnung der elastischen Linie gemacht werden, nachkommL.

Jede Senkung der Zwischenstützen, sei sie nun absichtlich oder durch einen Fehler entstanden, kann insofern sie genau erhoben ist, durch vorstehende Formeln berücksichtigt werden; man berechnet zunächst jq nach Gleichung YI. der N°. 74 und findet dann die Auflagerdrücke und eine Reihe von Angriffsmomenten unmittelbar nach den Gleichungen 117)—120).

Unabsichtliche Differenzen in der Höhenlage können insbesondere auch in der Weise eintreten, dass die Zwischenstützen höher zu liegen kommen, als die Endstützen; das ohnedem grosse Angriffsmoment auf den Zwischenstützen wird dann weiterhin vermehrt. — Es ist diess wie oben bemerkt ein wesentlicher Grund gegen die Continuität der kleineren Brücken, indem bei letzteren der Einfluss eines kleinen Fehlers in der Höhenlage sehr bedeutend wird.

77. Auch bei drei Oeffnungen werden wir als ungünstigste Belastungen wieder diejenigen annehmen dürfen, bei denen immer eine oder mehrere Oeffnungen auf ihre ganze Länge durch die zufällige Last k gleichmässig belastet sind. Wir ziehen desshalb folgende Belastungsarten in den Kreis unserer Betrachtung :

1)    Belastung sämmtlicher drei Oeffnungen mit der Gesammtlast

q = p -j- k.

2)    Belastung der Mittelöffnung BC, Entlastung der Aussen-

öffnungen.

3)    Belastung einer Aussenöffnung.

4)    Belastung einer Aussenöffnung zugleich mit der Mittel

öffnung.

5)    Belastung beider Aussenöffnungen.

Wir nehmen vorerst an, dass sämmtliche 4 Auflagerpunkte in gleicher Höhe liegen, es seien aber der Allgemeinheit halber die 3 Oeffnungen verschieden weit, so dass AB = a, BC — b, CD = c und der Reihe nach mit qt q₂ und q₃ belastet, wie aus nebenstehender Fig. 80. ersichtlich ist.

Indem wir ebenso, wie in N°. 71. für 2 Oeffnungen geschehen, für jede der 3 Oeffnungen die Gleichung 41) anschreiben und zweimal integriren, und ausserdem die beiden Bedingungen des Gleichgewichts für die äusseren Kräfte anschreiben, so erhalten wir die

Bedingungsgleichungen, welche zur Auffindung der Auflager drücke nothwendig sind.

Fig. 80.

<r₃

4r

::ß

iZ> ■

K------

1) Stück AB, Coordinatenursprung in B.

d²y . qx²

! Ch? = Ax - T

Ax²

, ö ₌ _

dx 2

wenn q> den Tangenten-Winkel in B bezeichnet. —

y = .___^

* y 6    24

~    . n    Ax²

r +ConSt. = -₂-

qix³

qtx³

L- i , Aa² q.a3,

r+9tg*—r + V

Ax³

f    Aa²    q^³^

-f x (^tgqp--^    J

woraus für x = a, y = o und somit Aa³

etg<p = —

2) Stück BC, Coordinatenursprung in B

s    = A (a -f- x) + Bx —

, g. = Aax + ^

qta3

i.

(| + 0 ~ ^

Bx² qta²x qtax² q₂x³

.    „ ' . Ax³ Bx³ qta²x²

B.y = Aax- -f -g- +-g--ä-

qtax³ q₂x⁴

g- + £tgqp

24 f“ atg<P •

dy

für x — b ist ^ = tggq zu setzen, wenn q>t den Winkel in C bezeichnet

. . . Ab² . Bb²    qta²b    qtab²    q₂b³

«.tgq>₁ = Aab+-g-+-g    41    11    42

^--|- stgcp IL

ferner ist für x = b, y = o und somit

Aab . Ab² . Bb² qta²b qtab² q₂b³

o = — + - g- + -g---------

C>

₂₄ + £tgç> . III.

3) für das Stück CD, Coordinatenursprung in D

q₃x²

*3p = Dx-aä

. A = Dx*

dx

,    De² q₃c³

g--£tg^₁--r + -g-

Dc² ,    \

- — fitgqq J

q₃x'

Dx³ q₃x³

24

hieraus folgt für x = c wie oben y = o und somit

q₃c³

IY.

De²

— (£tgg>i) = -g-

Ausser den Gleichungen I. bis IY. haben wir noch die Bedingungen des Gleichgewichts für sämmtliche äussere Kräfte, nämlich A -j— B 4* C -J- D = qta -f- q₂b 4~ q₃c • . . Y. und endlich Gleichung 4)

— qi»

0 = A (a + b) -f Bb — De

(‘+1)

q₂b² , q₃c²

2 2 ’ ’

. . YI.

Diese 6 Gleichungen genügen zur Bestimmung unserer 6 Unbekannten A, B, C, D, «tgqp und stgqp,. Wir finden

qt (8a²bc-f- 6a²b²4* 6a³b-f 6a³c) — q₂b³(2c-f-b) -f- q₃c³b 16abc4- I6a"²c-f- 12ab² + 16a²b 6qta²b 4-4qiab²4- q₂b³-}-3q₁a³ — A (12 ab -f- 4b²+8a²)

123a)

4b²

C — qta -f- q₂b + q₃c — (A + B + D) .    .

A (a -f- b) -f- Bb — qta (b + -g-) —

-123b)

. . 123e) q₂b² q₃c2 + “ö“

— 123d)

Für symmetrische Träger und Belastungen, wo a = c und A = D, B = C ist, vereinfachen sich diese Formeln folgendermassen : qt (3a³ + 6a²b) — q₂b³

8a² 4- 12ab

124a)

2aqt + bq₂

124b)

Indem man in den Gleichungen 123) und 124) für die Werthe qt q₂ und q₃ die in den Oeffnungen AB, BC und CD wirkenden Belastungen einsetzt, welche nach der obigen Betrachtung entweder dem Eigengewicht p oder der Gesammtbelastung q entsprechen, so finden sich die Auflagerdrücke für die ungünstigsten Belastungsarten.

Diese Gleichungen 123) und 124) sind aber auch anwendbar, wenn p oder q für die einzelnen Spannweiten verschiedene Werthe hat.

78. Wenn die Auflagerdrücke A, B, C und D nach den Gleichungen 123) oder 124) gefunden sind, so dienen die Gleichungen N°. 106)—109) zur Bestimmung der Grössen 35 und 3JÎ, indem in diesen Formeln die dritte Oeffnung durch Aenderung des Coordinatensystems dur h die erste Oeffnung ersetzt werden kann.

Ebenso sind die Betrachtungen in N°. 73. auch hier vollständig zutreffend (indem man immer die 3. Oeffnung als 1. Oeff-nung betrachtet); insbesondere gelten die Gleichungen 112)—114), welche zunächst nur für 2 Oeffnungen angeschrieben wurden, durchaus auch für 3 Oeffnungen, nachdem man die aus Gleichung 123) und 124) bestimmten Auflagerdrücke A, B C und D eingesetzt hat. — Das Moment max 9Jîa in der Oeffnung AB erhält seinen grössten Werth, wenn beide Aussenöffnungen belastet sind (weil in diesem Falle A seinen grössten Werth hat) und findet man wenn a = c (was im Folgenden durchweg angenommen werden soll) für dieses Maximum

1 rqa² (3a + 6b) — pb³~i²

2p L 8a² + 12ab J

125)

2q

Max m, = ~

Die Abscisse dieses Moments Max 9JE ist durch Gleichung 110) gegeben.

Das grösste Angriffsmoment innerhalb der Mittelöffnung findet dann Statt, wenn nur letztere belastet und die Aussenöffnungen blos mit dem Eigengewicht behaftet sind (Fall 2. in N°. 77.); wenn man die entsprechenden Auflagerdrücke in Gleichung 113) einführt, so erhält man als grösstes Angriffsmoment in der Mittelöffnung (und zwar stets in der Mitte der Oeffnung)

126)

_ qb² (2a -f- b) — 2pa³)

—    16a + 24b

Ebenso zeigen die Gleichungen 114), 123a) und 123b) dass das Moment über der Mittelstütze dann am grössten ist, wenn die anstossende Aussenöffnung und die Mittelöffnung mit q belastet sind (Fall 4) ; man erhält als grösstes Angriffsmoment über dem Mittelpfeiler B

q (2a³b + 2a⁴ + 2ab³ + b⁴) — pa³b

127)

32ab + 16a² + 12b²

Max 9)îb =

Wir haben im Vorstehenden für die Fälle 2, 4 und 5 der N°. 77. die grössten Werthe der Momente berechnet (immer unter der Annahme, dass beide Seitenöffnungen gleiche Weite haben) und überzeugt man sich leicht, dass die Fälle 1 und 3 keine grösseren Werthe geben. Für Fall 3 folgt dies direkt aus der Gleichung für den Anflagerdruck A, der um so kleiner wird, je kleiner q₃. Wir können desshalb diesen Fall, als in den andern enthalten ganz beiseite lassen und bei Herstellung einer graphischen Darstellung uns blos an die übrigen 4 Fälle halten.

Aber auch von den so entstehenden 4 Kurven gibt Fall 1) nirgends einen Maximalwerth, wie schon daraus geschlossen werden kann, dass hiefür weder in der Mitte der Oeffnung noch über den Pfeilern ein Maximalwerth stattfindet (vergl. Gl. 125)—127).

Die zum Aufträgen erforderlichen übrigen Werthe von 9)1 können wie schon bemerkt, nach Gleichung 107) und 109) insbesondere aber auch nach Gleichung 112) —114) berechnet werden.

79. Wir haben für ein Beispiel in Beziehung auf das Ver-

hältniss eine Wahl zu treffen. Herr Ing. Mohr hat in einer

speziell die continuirlichen Träger behandelnden Ausarbeitung

(hannoverische Bauzeitung, Jahrgang 1860) das Verhältnis in

der Weise bestimmt, dass das auf dem Zwischenpfeiler wirkende grösste 9)1, welches stets das absolute Maximum sämmtlicher 9JÎ ist, seinen kleinsten Werth erhalte; es ergibt sich die Bedingung,

dass a > b sein müsste, d. h. die Aussenweiten wären etwa ~

der Mittelweite zu nehmen. Dieses Resultat hat offenbar blos theoretischen Werth und wird man schon aus ästhetischen Rücksichten ein solches Verhältnis nicht wohl annehmen können ; auch könnte man durch Senkung der Zwischenstützen das Moment über dem Mittelpfeiler in wirksamerer Weise vermindern, falls hierauf das grösste Gewicht gelegt werden will.

Wir stellen uns die Aufgabe, das Verhältnis so zu richten, dass der Winkel, den die neutrale Axe mit der Horizontalen bildet, auf dem Mittelpfeiler für den Fall der gleichförmig vertheilten Maximalbelastung gleich Null wird.

Es wird hiedurch nicht nur erreicht, dass auch bei einseitigen Belastungen die Tangentenwinkel auf dem Pfeiler möglichst klein werden (somit eine einseitige Pfeilerbelastung thunlich vermieden wird), sondern es scheint uns überhaupt ein constructiver Vortheil darin zu liegen, dass bei der gewählten Anordnung die Vertikalkräfte und Angriffsmomente sich ziemlich symmetrisch um die Zwischenpfeiler gruppiren.

Zur Auffindung des Verhältnisses hat man in Gleichung I)

der N°. 77. tgqp =• o zu setzen, so dass indem qt = q₂ = q₃

qa³

i)

Aa²

sodann ist für diese Belastung nach Gleichung 124a) (3a³ + 6a²b —

^    8a² + 12ab

b³)

i0

woraus folgt:

- = VJI = 1,225 a

III)

fällt somit zwischen ⁴/⁵ und ⁵/⁶ und nehmen wir für das fol-b

Q

gende Beispiel

Nachdem wir für die in N°. 76. aufgeführten Fälle 1, 2, 4 und 5 die Auflagerdrücke nach den Gleichungen 123) bez. 124) bestimmt hatten, berechneten sich die einzelnen 9)î und $ nach den Gleichungen 106)—109) und 112)—114); und sind die Resultate dieser Rechnung in der folgenden Tabelle XXII. gegeben. Indem wir endlich die 20Î und SB als Ordinate der betreffenden Abscissen auftragen, erhalten wir die graphischen Darstellungen der Tafel Y., die am Schlüsse des Buches sich findet.

Tabelle XXII. -J- = — b 5

_p_

max 9JZ (für AB

9JI für B

max 3JÎ für BC

Abscisse j

2$ = o

für AB für BC

I. Belastung der Mittelöffnung.

oo

bq

bq

0,297

1,003

0,044

qb²

qb²

qb

0,0824

0,0430

0,297    0,5

7»

0,175

0,858

0,0229

0,0728

0,0520

0,262

0,5

V«

0,114

0,785

0,013

0,0688

0,0566

0,220    0,5

73

0,078

0,742

0,0076

0,0656

0,0594

0,195    0,5

7²

73

0,054

0,713

0,00435

0,0635

0,0613

0,162

0,5

74

7s

0,005

0,655

0,00006

0,06

0,0650

0,025

0,5

7»

V⁹

— 0,027

0,617

0,0033

0,0578    0,0675

-0,2431 0,5

132

§. 8, Continuirliche Träger.

Fortsetzung von Tabelle XXII. -jV. = —

b 5

_P^

max für AB

m für B

max 3JÎ für BC

Abscisse » = o für AB|für BO

II. Belastung beider Aussenöffnungen.

oo

bq

bq

qb²

qb

qb²

0,297

1,003

0,0440

0,0824

0,0430

0,297

0,5

²/3

0,32

0,814

0,0512

0,0680

0,0191

0,32

0,5

V.

0,331

0,719

0,0547

0,0550

0,0073

0,331

0,5

2/3

2/5

0,338

0,662

0,0571

0,0496

0,0000

0,338

0,5

Va

V»

0,342

0,624

0,0584

0,0464

—0,0045

0,342

0,5

Vs

0,351

0,549

0,0612

0,0400

—0,0139

0,351

0,5

Vs

Va

0,357

0,498

0,0637

0,0340

-0,0200

0,357

0,5

III. Belastung der Mittelöffnung und einer Aussenöffnung (AB).

oo

bq

bq

0,297

1,003    0,044

qb²

qb³

qb²

0,0824

0,0430 i 0,297

0,5

2/3

0,2928

1,0238 0,0429

0,0858

0,0482

0,293

0,517

Va

0,2906    1,0342

0,0423

0,0875

0,0507

0,291

0,525

2/3

0,2893    1,0405

0,0418

0,0886

0,0520

0,289

0,53

Va

Vs

0,2883 i 1,0446 0,0415

0,0893

0,0529

0,288

0,533

74

Vs

0,2866

1,0530- 0,0412

0,0907

0,0554

0,287

0,54

Vs

Va

0,2854

1,0586

0,0411

0,0917

0,0562

0,285

0,544

80. Aus den graphischen Darstellungen der Tafel V, ist ersichtlich, wie die in Gleichung 125)—127) berechneten Momente für die Oeffnungen, beziehungsweise Mittelpfeiler die grössten

£L

Werthe darstellen. Um die Yerhältnisse -j- zu vergleichen, berechnen wir diese 3 Maximalwerthe für verschiedene Anordnungen,

indem wir das Yerhältniss — — -5- zu Grunde legen. Die Resul-

q 3

täte sind in der folgenden Tabelle XXIII. zusammengestellt.

Tabelle XXIII.

Maximalwerthe für 3 Oeffnungen. —- = -j

Verhältniss -jr =

b

7a

³A

7s

⁵/⁶

7s

710

Mmax 3JÎ in BC . . . .

qb²

0,0595

qb² qb5 0,0613 0,0612

qb²

qb²

qb²

0,0610

0,0606

0,0593

qb²

0,0584

0,0729

0,0852 ,0,0893

0,0922

0,0963

0,0991

0,1111

Mmax ÜDÎ in AB

0,0146 0,0509 0,0641

0,0584

0,0711

0,0745

0,0937

Um aber diese "Werthe richtig mit einander vergleichen zu können, muss man sie auf eine gleiche Gesammtweite L sämmt-licher Oeffnungen reduciren. Wir haben L = 2a -f- b, woraus

b = 2 a -f* 1

Nimmt man als Maassstab eine gleiche Weite sämmtlicher

Oeffnungen, so dass 1 = so ist

o

31 2 a -fl

und um unsere in Function von b ausgedrückten Werthe nunmehr in Funktion von 1 auszudrücken, müssen wir sämmtliche Werthe

der Tafel mit

multipliciren.

Hiedurch erhält man folgende Zusammenstellung:

"b

Mmax ÜJÎ in BC . . .

Mmax 3JÎ in B

Mmax ©2 in AB . . .

Tabelle XXIV, -F =

V»

³A

⁴/5

⁵/e

Vs

⁹/l0

qP

qP

ql²

ql²

qi-

qP

qi⁸

0,1338

0.0883

0,0814

0,0769

0,0721

0,0679

0,0584

0,1640

0,1231

0,1188

0,1172

0,1146

0,1134

0,1111

0,0328

0,0733

0,0777

0,0808

0,0845

0,0858

0,0937

Aus der letztem Tabelle folgern wir, dass das Yerhältniss = 1 die günstigsten Momente giebt ; dass dagegen die Verhältnisse ⁴/ö—⁵/6 die geringsten Differenzen in den Momenten-werthen zeigen. — Im Allgemeinen stehen sich nach dieser Anschauung die einzelnen Verhältnisse bezüglich des Materialverbrauchs ziemlich nahe und werden andere Rücksichten die Wahl der Spannweiten entscheiden ; wir haben schon in N°. 79. entwickelt, warum wir, insolange nicht andere Bedingungen die Eintheilung vorschreiben, das Verhältniss

b

Zur Beurtheilung der grössten Angriffsmomente bestehender Brücken von beliebiger Spannweite und verschiedenen Verhältnissen der Oeffnungen dient nebenstehende Tabelle XXV., auf welche wir auch bei Beurtheilung des Einflusses der Continuität zurückkommen werden.

81. Wir gehen nun auf den Fall über, dass die Stützpunkte nicht in gleicher Höhe liegen. Wir nehmen an, der Träger sei symmetrisch unterstützt, somit a = c, ferner sei die Senkung s der beiden Mittelstützen gleich gross. Wie bei zwei Oeffnungen geschehen, wird die Methode von Clapeyron angewendet. Man hat zunächst für jede Oeffnung die Gleichung 44) und die Hülfsgleichungen X der X°. 22. anzuschreiben, sodann in soweit zu eliminiren, dass ausser den Momenten 911 nur die Senkung s der Zwischenstützen zurückbleibt; letztere ist in der Hülfs-grösse enthalten, wofür obige Gleichung X ergiebt:

s = c, — c

1,225

vorziehen.

a⁴

*i

128)

mB=

24E0

Durch Elimination der übrigen Hülfsgrössen erhält man: Moment auf dem Auflager B qt (2a³b -f-2a⁴) + q₂ (b⁴-f 2ab³) — q₃a³b—(a³b -f-2a⁴)

32ab -f 12b² -f 16a²

129)

Tabelle XXV,

Werthe von Max für 3 Oeffnungen.

o3 p

4>-

oy

_ 04

oT"

O

Sr-

rH

P_ ₌ l

qb²

qb²

qb²

qb²

qb²

qb²

qb²

0,0703

0,0789

0,0824    0,0845

0,0879

0,0900    0,1000

7«

0,0713

0,0813

0,0848    0,0874

0,0911

0,0934    0,1042

73

0,0946    0,1055

0,0716

0,0821

0,0858

0,0882

0,0921

72

0,0723

0,0836

0,0875

0,0903

0,0943

0,0968

0,1083

0,0725

0,0846

0,0886

0,0915

0,0956

0,0981

0,1100

73

0,0729

0,0855

0,0893

0,0922

0,0964

0,0991

0,1111

74

0,0732

0,0860

0,0902

0,0932

0,0974

0,1002

0,1125

7^

0,0734

0,0865 j 0,0907

0,0938

0,0981

0,1009

0,1133

lh

0,0737

0,0870

0,0914

0,0945

0,0988

0,1017

0,1143

79

0,0738

0,0873

0,0917

0,0948

0,0993

0,1021

0,1148

und das Moment auf dem Auflager C

mc=

130)

q₃ (2a³b -f- 2a⁴)-]- q₂ (b⁴ -f 2ab³) — q₁a³b—xL (a³b + 2a⁴) 32ab -f 12b² + 16a2 Aus Gleichung 129) und 130) finden sich die Auflagerdrücke in A und B nach Gleichung I) und II) der N°. 21.

qt (14a³b -f 6a²b² + 6a⁴)—q₂ (b⁴ + 2ab³) + q₃a³b

4-xt (a³b -f- 2a⁴)_

32a²b + 12ab² -f- 16a³

ferner die Yertikalkraft am Pfeiler B links desselben

qt (18a³b² + 6a²b³ + 10a⁴b) + q₂ (b⁵ + 2ab⁴) — q₃a³b²

Ba =

— x£ (a³b² + 2a⁴b)__

32a²b² -f- 12ab² + 16a³b

und die Yertikalkraft am Pfeiler B rechts desselben

qt (3a⁴b -f- 2a⁵) — q₃ (3a⁴b + 2a⁵) -j- <3h (16a²b³ -f- 6ab4 -j-8a³b²)

32a²b² + 12ab³ + 16a³b somit der Auflagerdruck B = Ba -f- Bb

qt (2a⁵-f- 13a⁴b + 18a³b² + 6a²b³) + q₂(8a³b² + 16a²b3 4-8^b⁴ + b⁵)—q₃(2a⁵-f- 3a⁴b -f a³b²)—xi (a³b²-f-2a⁴b)

Bb =

132)

32a²b²-f-12ab³-f- 16a³b die Auflagerdrücke C und D erhält man, wenn man in den Werthen von A und B das Gewicht qt mit q₃ vertauscht.

Anmerk. Zum bessern Verständniss werden im Folgenden die zu obigen Resultaten führenden Gleichungen beigesetzt:

Es ist nach Gleichung 44) für die erste Oeffnung, da 3)i =

= qi — Xi + *i.........

'ÿi = qi — ²Zi + 3»!    ........

für die zweite Oeffnung, da c„ = c, somit x₂ — 0 ^2 — ^2 — 2^2 — X2 •    •

'^2 — f[2 - 3^2 — 2^2

für die dritte Oeffnung, da ÜDt„, = 0

o = q ₃ — 2#t, — Xz + *₃

und sodann nach Gleichung X, der N°- 22. die Hülfsgleichungen

«i =

3)1, — ²/8 a2yi — ²/®bV2 s ==

«HO

III.

IV.

V.

a³

b³

24 E©^¹    24 E©

Z²

a⁴

24E0    *³ 24E@

«// =

b³

. VI.

VII.

VIII.

a³

IX.

^2 =

24 E© *³

9JÎ" = ²/sb ²v₂ = ²/sa,²fi ₃ . aus welchen Gleichungen die 10 Unbekannten vt Xi i fi₂ ^2 Z2 Z3 u* *i gefunden werden können; die zur Auffindung der Momente SR nicht erforderlichen Gleichungen sind im Obigen schon weggelassen.

24E©

X.

Nachdem die Auflagerdrücke gefunden sind, wird die Gestalt der neutralen Faser und damit die Einsenkung in der Mitte der Oeffnungen wie in N°. 77. nach Gleichung 116) gefunden, indem Fig. 79) auch hier benützt wird.

Mittelst der Auflagerdrücke werden aber hauptsächlich die sämmtlichen $ und berechnet; es dienen hiezu wieder die Gleichungen 108)—109a) sowie 112)—114); hienach kann sodann eine graphische Darstellung ähnlich der in Tafel Y. gegebenen hergestellt werden, was bei Berechnung eines bestimmten Beispiels nie versäumt werden sollte, da diese graphische Darstellung bei den etwas complicirten Berechnungen als Controlle dient und ein klareres Bild gibt, als blosse Formeln oder die Werthe einzelner Momente.

§. 8. Continuirliche Träger.

CO

t-

Aus Gleichung 130) überzeugt man sich, dass gerade wie bei horizontaler Stützlage das Moment 9JIb dann am grössten ist, wenn qt und q₂ den grössten Werth q, und q₃ seinen kleinsten Werth p hat und ist für diesen Fall

q(2a³b-f- 2a⁴ -f-b⁴ -f- 2ab³) — pa³b — x₁ (a³b-|-2a⁴)

32ab +'126* +16a* durch die Senkung der Stütze B wird das Moment verringert und geht in den Werth der Gleichung 124) über, wenn jq = o gesetzt wird.

Ganz ebenso wie im Falle der horizontalen Lage sämmtlicher Stützen lässt sich nachweisen, dass das grösste Moment in AB dann am grössten ist, wenn beide Aussenöffnungen belastet sind, das Moment in BC dann, wenn nur die Mittelöffnung belastet ist.

Max =r

133)

Man erhält für diese beiderlei Fälle Grösstes Angriffsmoment in AB

Mmax SOL

A²

2qi

Grösstes Moment in BC Mmax SDîb =

1 Tqa²(3a-f6b)—pb³ -f- x{ a ³⁻j2 2q L 8a²-f-12ab

qb² (2a + b) — 2pa³ -|- 2x₁a³

. . 134)

135)

16a + 24b

Diese beiden Maximalmomente nehmen mit der Senkung der Stützpunkte zu und gehen in den Werth der Gleichung 125) und 126) über, wenn man xt = o setzt. Den grössten Yortheil der Senkung der Stützpunkte hat man dann, wenn man das Verhält-niss der Spannweiten a : b und die Senkung so wählt, dass die durch die Gleichungen 133)—135) bestimmten 3 Maximalwerthe einander gleich werden. — Herr Ingenieur Mohr hat hiefür die empirische Formel berechnet

136)

= J_+ L £

b 1,13 T 25 q bei Annahme dieses Verhältnisses kann man durch Combination vorstehender Gleichungen 133) und 135) denjenigen Werth der Grösse xi finden, für welchen die günstigste Senkung der Mittelstützen eintritt. Diese Senkung selbst findet sich dann nach Gleichung 128).

Wenn ein anderes Verhältniss der Spannweiten besteht, so muss man sich auf diejenige Senkung der Mittelstützen beschränken, durch welche die beiden grössten der 3 Maximalmomente

f— + — 24

V 1,13 r 25 q J

, so ist

einander gleich werden ; ist -|j-

Mmax )> Mmax 9Jîb, und es wird dann durch Combination der Gleichungen 133) und 134) die Bedingungsgleichung für jq erhalten :

Max 9JÎb = Mmax 9)la oder

(2a -{- b) [qa² (3a-j- 6b) — pb³ + *ia3]² — 8a²q (2a-f-3b) 137) [q (2a³b -{- 2a⁴ -{- b⁴ -f- 2ab³) — pa³b — x± (a³b -j- 2a⁴)]

Ist < (j-jg + ^    » so ist Mmax 20B > Mmax 9)îa

und es wird durch Combination der Gleichungen 133) und 135) die Bedingung erhalten:

Max 201b = Mmax 9)B oder

. . 138)

__ 4qa⁴ -f- 4pa⁴ -f- 4qa³b — 4qa²b² -f qb4 y'¹    4 (2a⁴ -f- ba³)

82. In der folgenden Tabelle XXYI. sind für verschiedene Verhältnisse — und die Hülfsgrösse x₁ und das grösste Angriffsmoment 9)?b aus den Gleichungen 133)—138) berechnet.

Eine Vergleichung der Tabellen XXV. und XXVI. ergibt, dass bei der vortheilhaften Senkung der Stützpunkte das Moment auf der Mittelstütze um 10—25 °/o sich verringert. Aus Tabelle XXVI. ist auch der Werth der Grösse ai zu entnehmen, für welchen je 2 der grössten Momente gleich werden. Die zugehörige Senkung der Mittelstützen erhält man aus der Gleichung 128).

24E0

*1

a⁴

woraus

a⁴

b⁴

*⁴ 24E0 Xl24E0

æ¹-

. 139)

Als Beispiel wählen wir, wie in N°. 75. geschehen, einen Träger von der Höhe H, dessen Trägheitsmoment darnach bemessen ist, dass das grösste Angriffsmoment in der äussersten Faser eine Spannung 51 = 600 Kilo hervorbringt. Nun ist nach Gleichung 31)

51 2

und indem wir H = Y io

k, ü. gleich Y¹⁰ der mittleren o

Spannweite der 3 Oeffnungen setzen, erhalten wir nach einigen Beductionen

s = jqb³

1200 9» 0 y + l)

Tabelle XXVI.

Grösstes Angriffsmoment 5)Îb bei günstigster Senkung der Auflager einer Brücke von 3 Oeffnungen.

03

CB

ot

O

Max 2»

H, =

qb²    qb?    qb²    qb²    qb²    qb²    qb²

0,0625    0,0625    0^0625    0,0625    0,0625    0,0665    0,0858

7»

9)Îb = 0,0644 0,0681 0,0691 0,0696 0,0706 0,0737 0,0925

0,92    0,60    0,60    0,61    0,61    0,55    0,26

*i =

V²

2tfB =    0,0654 0,0708

*i =

0,875    0,55

0,0722 0,0730 0,0745 0,0771 0,0958

0,55    0,56    0,56    0,52    0,25

0,0660 0,0724 0,0741 0,0751 0,0768 0,0792 0,0980

0,85    0,52    0,52    0,53    0,53    0,50    0,24

V»

2>Îb = 0,0665 0,0735 0,0754 0,0765 0,0785 0,0805 0,0997

0,82    0,50 I 0,50    0,51    0,51    0.49    0,23

7*

9)ÎB = 0,0670 0,0748 0,0771 0,0781 0,0805 0,0824 0,1010

0,80    0,47    0,47    0,48    0,48    0,47

*1 =

0.23

Y»

9flB = 0,0672 0,0757

=    0,80    0,46

0,0777 0,0793

0,46

0,47

0,0815 0,0834 0,1018

0,47    0,46    0,23

V»

= 0,0675 0,0767

0,78    0,44

0,0791 0,0809

*1 =

0.44

0,44

0,0829 0,0846 0,1033

0,45    0,45    0,22

7»

3»b = 0,0675 0,0772

0,78    0,43

*1 =

0,0797 0,0815

0,43    0,43

0.0837 0,0854 0,1148

0,44    0,44    0,22

Umstehende Tabelle XXVII. ist nach dieser Formel berechnet und sind zugleich in derselben diejenigen Spannweiten eingetragen, welche nach N°. 69. aus Gleichung 103) und Tabelle XVII.

sich ableiten. Es werden zwar für verschiedene Verhältnisse — die Gewichte der Brücken bei gleicher "Weite der Mittelöffnung verschiedene sein, sonach die Verhältnisse nicht immer den-

q

selben Spannweiten b entsprechen, doch ist für vorläufige Rechnungen und (durch Interpolation) für die meisten praktischen Fälle die günstigste Senkung genau genug bestimmt.

Tabelle XXVII.

Günstigste Senkung für 3 Oeffnungen.

Weite der Mittelöffnung b.

V»

⁴/*

76

78

⁹/10

Ph| O*

0,00042 0,00119 0,00148 0,00171 0,00205 0,00182 0,00092

3/4

0,00039 0,00100 0,00123 0,00142 0,00169 0,00155 0,00083

175 M.

7«

0,00037 0,00093

6,53 C. 16,27

0,00114 0,00132 0,00153

19,93    23,09    26,77

0,00146 0,00078

25,32    13,65

100

0,00035 0,00082

3,50 C. 8,20

0,00100 0,00115 0,00133

10,00    11,5    13,3

0,00132 0,00072

13,20    7,25

70

3/5

0,00033 0,00076

2,31 C. 5,32

0,00092 0,00106 0,00123

0,00123

0,00068

6,44

7,42

8,61

8,61

4,76

45

73

0,00032 0,00072 0,00087 0,00100 0,00115

1.44 C.

0,00119

0,00064

3,24

3,91

4,50

5,17

5,45

2,88

25

'/*

0,00031 0,00066 0,00080 0,00092

0,78 C. 1,65    2,00    2,30

0,00106

0,00111

0,00063

2.65

2,78

1,58

18

75

0,00031 0,00064 0,00078

0,56 C. 1,15    1,40

0,00089

1,60

0,00102 0,00108

0,00063

1,84

1,94

1,13

12

77

0,00030 0,00061 0,00073

0,36 C. 0,73    0,87

0,00082 0,00099 0,00104

0,00059

0,98

1,19

1,25

0,71

79

0,00030 0,00059 0,00071 0,00079 0,00093 0,00101

0,24 C.

0,00053

0,47

0,57

0,63

0,74

0,81

0,42

Die Tabellen XXY.—XXVII. geben zugleich wieder ein Bild von dem Einfluss, den eine absichtliche oder fehlerhafte Differenz in der Auflagerhöhe auf die Grösse der Angriffsmomente ausübt. Es bestimmen sich hiedurch (wie in N°. 76. für 2 Oefinun-gen) gewisse Grenzen, innerhalb welcher die Continuität der Träger zulässig ist. Indem man nämlich für die Grenzen, zwischen denen s in der Ausführung schwanken kann, die Momente 9JÏ berechnet, erhält man Verhältnisszahlen für die Schwankungen der grössten Längenspannung, und können diese Grenzwerthe annähernd aus den Tabellen XXV.—XXVII. abgeleitet werden. Durch Benützung der empirischen Gleichung 136) finden sich in Tabelle XXVI. und XXVII. auch diejenigen Momente, beziehungsweise Senkungen, wofür die 3 Maximalwerthe der Angriffsmomente gleichzeitig (ganz oder nahezu) gleich gross werden und sind die

wenn

betreffenden Verhältnisse im Allgemeinen vorzuziehen,

die Senkung der Stützpunkte angewendet werden will.

83. Die Vortheile der Continuität der Brückenträger sind

1)    Materialersparniss in den Gurtungen.

2)    leichtere Aufstellung insbesondere bei grösseren Wasser-läufen und tiefen Thalübergängen.

Die Nachtheile sind:

1)    Unsicherheit in der genauen Ermittlung der Angriffsmomente, indem letztere von der Höhenlage der Stützpunkte sehr abhängig sind.

2)    Wechsel von Druck und Zug, sowohl in den Gurtungen als in den Wandausfüllungen, namentlich für leichte (kleinere) Brücken.

Der letztere Nachtheil ist je nach der gewählten Construc-tionsweise mehr oder weniger empfindlich; bei sorgfältiger Ausführung und genügender Stärke der Dimensionen unbedenklich; insbesondere machen wir darauf aufmerksam, dass da, wo Wechsel in Druck und Zug stattfindet, beiderlei Anstrengungen oder wenigstens eine derselben weit geringer sind, als die Querschnittdimensionen es gestatten würden, ein Umstand, der bei der ungünstigen Beurtlieilung der continuirlichen Brücken häufig ausser Acht gelassen wurde; auch die Unsicherheit in der Höhenlage der Stützpunkte ist bei grösseren Brücken weniger zu fürchten, und ganz zu vermeiden, oder wenigstens innerhalb enger Grenzen einzu-schliessen.

Vortheile bei der Aufstellung bietet der continuirliche Träger nur dann, wenn die Hauptträger sammt den Querverbindungen als Ganzes am Lande aufgestellt und über die Pfeiler geschoben wird. Diese Aufstellungsart wird in Süddeutschland allgemein angewendet (zuerst von Benkiser in Pforzheim) ; gemäss den Untersuchungen über Senkung der Stützpunkte ist darauf zu sehen, dass durch das Schieben der Brücke keine Aenderungen

Ob die Materialersparniss — der hauptsächlichste Yortheil der Continuität — im betreffenden Falle von Werth ist, soll noch näher untersucht werden.

in der Gestalt der Gurtungen eintreten, wie überhaupt ausserordentliche Anstrengungen einzelner Theile vermieden werden müssen.

Wenn man die Gurtungen proportional den Angriffsmomenten an Stärke wechseln lässt, so ist aus den graphischen Darstellungen der Tafeln IY. und Y. ersichtlich, dass durch die Continuität eine Yerringerung der Momente 9)1 erzielt werden kann, welche bei 2 Oeffuungen etwa so gross ist wie bei 3 Oeffnungen;; es kann hiedurch am Gewicht der Gurtungen 15—20 Prozent erspart werden.

Eine Yergleichung der Tabellen XXV. und XXVI. zeigt ferner, dass bei 3 Oeffnungen bei gegebener Spannweite das Maximalmoment gegenüber dem Werth von 0,125qb², welcher dem grössten Moment des frei aufliegenden Trägers entspricht, bei Anwendung der Senkung der Stützpunkte um 25—45 °/o, ohne diese Senkung um 10—30 °/o vermindert wird. Dieselben Prozentansätze gehen aber bis auf 9, beziehungsweise 6 °/o herab, wenn die mittlere Spannweite wie in Tabelle XXIV. in Rechnung genommen wird. — Bei 2 Oeffnungen kann das grösste Moment ohne Senkung des Zwischenstützpunktes nicht vermindert werden, durch letztere Vorkehrung nach Tabelle XXI. um 24—28 °/o. — Diese Yergleichung der Maximalwerthe hat aber meist weniger praktischen Werth, da man bei grösseren Brücken die Trägerstärke mit dem Momente abnehmen lässt; bei kleineren Brücken, soll aber die Continuität aus mehrfachen Gründen nicht angewendet werden.

zu

84. Hr. Ingenieur H. Gerber hat die (übrigens häufig sehr hervorgehobenen) Nachtheile der continuirlichen Brücken dadurch umgangen, dass er Balkenträger mit freiliegenden Stützpunkten anordnete (s. Fig. 81); in der von Hr. Gerber gefällig mitgetheilten Patentbeschreibung ist gesagt:

„Denkt man sich einen zwischen 2 Pfeilern liegenden Balken über diese Pfeiler hinaus um eine bestimmte Grösse verlängert, so kann der Endpunkt jeder Verlängerung auch als Stützpunkt für einen weiteren (freien) Balken dienen, dessen zweites Ende entweder auf einem Pfeiler oder, wie das erste, auf der Verlängerung (dem Stützbalken) einer dritten Oeffnung gestützt ist.

Fig. 81.

„Der an beiden Enden gestützte freie Balken ist in Berechnung und Construction wie ein einfacher Träger zu behandeln, da er mit dem Stützbalken (oder Pfeiler) nur durch einen Punkt verbunden sein soll, der über seinen Pfeiler verlängerte Balken hat an seinen Enden die Auflagerkräfte der anliegenden freien Balken, welche aus der Belastung ohne Weiteres gegeben sind,, und seine eigene Belastung zu tragen, und wirken diesen Kräften nur die zwei Pfeilerreaktionen entgegen, die somit aus den allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen ohne jede Beachtung der Biegung vollkommen sicher und einfach bestimmt werden können. — Ebenso sind nun die inneren Spannungen dieses Balkens leicht und mit derselben Sicherheit, wie die des einfachen Balkens zu berechnen.

„Da nach dem eben Entwickelten die Pfeilerreaktionen durchaus nicht von der Biegung, sondern nur von der Grösse und Yer-theilung der Last abhängig sind, so kann auch die Senkung eines Pfeilers keinen Einfluss auf die inneren Spannungen der Träger ausüben.

„Aus der Anordnung der Träger mit freitragenden Stützpunkten ergibt sich, dass immer auf eine Oeffnung mit freiem Balken eine solche mit durchlaufendem (steifem) Träger folgen muss.“ —

§. 9. Einfluss der Auflagerbreite und Träger-Anzahl.

85. Es war bis dahin angenommen, dass die Auflager-Beactionen (oder Auflagerdrücke) je auf einem Punkte con-centrirt seien. — Es ist auch entschieden am zweckmässigsten, wenn man die Auflagerbreite so sehr reduzirt, als es die Widerstandsfähigkeit der angewendeten Baumaterialien gestattet: der Träger erhält an der betreffenden Stelle meist eine Vertikal-Bippe (Yertikal-Ständer) und ist hiedurch die Auflagerfläche gegeben. — Man hat die Auflagerfläche bei einigen grösseren Brücken dadurch ausserordentlich reduzirt, dass man die Berührungsflächen von Gussstahl herstellte; aber auch bei Gusseisen oder Schmiedeisen genügt eine verhältnissmässig kleine Berührungsfläche zwischen Träger und Unterlagsplatten. Wenn dann der ganze Druck durch wenige Quadratzolle aufgenommen wird, so kann man über die Bichtung der Druck-Besultante nicht im Zweifel sein ; die Auflagerbreite darf entschieden vernachlässigt werden, indem man die Distanz der Auflagermittel als Spannweite annimmt.

Es ist selbstverständlich, dass der Auflagerdruck nicht zu nahe der Mauerkante gelegt werden darf; die in die Berechnung zu ziehende Spannweite ist also immer wesentlich grösser als die Lichtweite der Steinpfeiler. — Wenn aber eine Auflagerplatte gegen den Brückenträger nur einer kleinen Auflagerfläche bedarf, so muss doch letztere gegen die Steinunterlage erbreitert werden ;r die Platte muss durch passende Bippen verstärkt sein, damit der auf einem Punkte concentrirte Auflagerdruck auf eine grössere Steinfläche übertragen werden kann ; die Unterlagsplatten erhalten dann die Form von Lagerschuhen.

86. Wenn man Auflager an wendet, welche dem Träger eine grössere Berührungsfläche darbieten, so kann es das Bestreben des Constructeurs sein, den Druck auf der breiteren Auflagerfläche möglichst gleichmässig zu vertheilen; diess wird durch entsprechende Anordnung der Endstreben und Endständer geschehen, welche den Vertikal druck auf die Auflager zu übertragen haben. — Wir nehmen die Aufgabe als möglichst vollständig gelöst an, und

denken uns (zunächst für das Verhältniss — = 1,225) den Auf-

ßj

lagerdruck gleichförmig auf dem Auflager vertheilt ; alsdann ändert sich die Vertikalkraft auf die Breite des Auflagers gleichförmig und ebenso gehen auch die Kurven der Angriffsmomente 9JI stetig in einander über; die Kurve 9JÎ besteht nach diesen Annahmen auch über den Pfeilern aus Parabelbögen.

Hiedurch ist die in Fig. 82. gezeichnete allgemeine Gestalt der Kurven ÜB und 911 zunächst für den Fall der gleichförmig vertheilten Maximallast und das Verhältniss —= 1,225 gerechtfertigt.

Fig. 82. Kurve $

------a -

ui

Bftm:

z    vmmc.

b--------4J ! \ \*e-

I !

Kurve 3)î

----CL' --

D;

—-1 !

Ji

fr--'

— 4^-----

......*......

l!

-I-

.J—

-----------3*i

if

----—

-----J

- j,

•*!

F*

a, -

Verlängert man in Fig. 82. die der Lichtweite AB entsprechende Parabel, bis sie die Horizontalen AA und MN trifft, so wird hiedurch die Distanz AA, beziehungsweise BK vermöge den Eigenschaften der Parabel, (nahezu) halbirt, und ist also die

t~v . ,    , AA BB

Distanz at = a -j--— =

Um diese stellvertretende Parabel construiren zu können, ist es nothwendig, den Punkt $ = o oder die Grösse des Auflagerdrucks bei A zu kennen. Zu diesem Zwecke substituiren wir die in Fig. 83. gezeichnete Anordnung; indem man von den schraf-firten Theilen absieht, erhält man einen continuirlichen Träger, dessen Auflager auf einzelne Punkte concentrirt und dessen Spannweiten at b£ und a£ sind. Um die Weite a£ zu finden, ist zur lichten

Fig. 83.

<Xs

Jk

"f

AL

T"'

*-

---- a

Gr

Entfernung a der Auflagerplatten die halbe Breite der Endauflager-Breite und ein Yiertheil der mittleren Auflagerbreite zu addiren.

Aendert sich das Yerhältniss der Spannweiten, so ist die

Yertikalkraft zu beiden Seiten der Mittelpfeiler nicht mehr dieselbe und wenn der Punkt $ = o auf die Pfeilermitte treffen soll, so kann die Auflagerreaktion nicht mehr gleichförmig auf die ganze Auflagerbreite vertheilt sein ; die Kurve 9JÎ ist desshalb über dem Mittelpfeiler keine Parabel mehr, sondern eine Kurve höherer Ordnung; die Annahme, dass ÜB = o in die Pfeilermitte fällt, in Yerbindung mit der weiteren Annahme, dass der Auflagerdruck sich stetig ändert, gestattet, auch hier das durch die Figuren 82. und 83. dargestellte Verfahren anzuwenden, was nun ebenso für die einseitigen Belastungen motivirt werden kann; denn je mehr die Yertikalkraft auf der Seite der belasteten Oeffnung zunimmt, desto grösser wird die Auflagerreaktion auf der betreffenden Pfeilerhälfte sein, so dass der Punkt ÜB = o auch hier der Pfeilermitte nahe bleibt. —

vor-

Diese ganze Betrachtung setzt, wie Eingangs bemerkt aus, dass der Auflagerdruck vermöge der angenommenen Construction auf einen erheblichen Theil des Trägers vertheilt werden muss und ist selbstverständlich, dass die betrachtete Auflagerbreite im Allgemeinen kleiner ist, als die Dicke der etwa vorhandenen Steinpfeiler. —

Unter der stillschweigenden Voraussetzung, dass die Pfeilerdicke gross genug ist, hat Hr. Ingenieur Mohr den Vorschlag gemacht, auf jedem Zwischenpfeiler zwei unabhängige Auflager anzubringen und die Distanz der beiden auf demselben Pfeiler befindlichen Stützpunkte als eine besondere Spannweite zu behan-

dein, wobei das in N°. 21. und 22. entwickelte Verfahren Clapeyron angewendet werden kann.

von

was

Wir glauben, dass in der Ausführung diese beiden getrennten Stützpunkte sich meist sehr nahe kommen (da ein entsprechender Abstand von der Pfeilerkante nothwendig ist) und dürften die subtilen Berechnungen durch die nothwendigen Formänderungen (insbesondere Zusammenpressung am vorzugsweise belasteten Stützpunkte) wesentlich alterirt werden. Neuerdings hat Hr. Mohr in der hannövrischen Bauzeitung vom Jahre 1868 ein graphisches Verfahren mitgetheilt, wodurch die Form der elastischen Linie auch bei complizirter Kräfte-Vertheilung bestimmt werden kann, jedenfalls von wissenschaftlicher Bedeutung ist. —

87. Unsere Berechnung der Angriffsmomente 9JI, der Vertikalkräfte SS, der Eigengewichte p, der Gesammtlasten q, wie sie seitdem und insbesondere in Tab. XVII. gegeben wurde, bezieht sich immer auf ein Eisenbahngeleise.

so

Wenn ein Geleise durch 2 Hauptträger aufgenommen wird, hat jeder der letzteren die Hälfte der für ein Geleise berechneten Gewichte oder Momente aufzunehmen.

Es kann aber auch der Fall Vorkommen, dass 3 oder mehr Träger sich in die Last eines Geleises theilen, und zwar nicht immer in gleichförmiger Weise. — Das Eigengewicht der Brücke wird dadurch nicht wesentlich alterirt; es bedarf aber einer besonderen Betrachtung, wie viel von diesem Eigengewicht und wie viel von der zufälligen Last auf jeden Träger fällt.

Häufiger kommt der Fall vor, dass 2 Geleise von denselben Hauptträgern gemeinschaftlich aufgenommen werden.

Wenn nur zwei Hauptträger vorhanden sind, so sind für jeden derselben die für ein Geleise antrefienden Gewichte p, q, $ und Angriffsmomente 9JÎ zu rechnen. Denn immer ist der Fall der gleichzeitigen Belastung beider Geleise ins Auge zu fassen. — Am Eigengewicht p kann zwar durch Verminderung der Trägeranzahl eine Ersparniss realisirt werden, doch hängt diess von der Con-structionsweise und der Spannweite ab.

so

Wenn drei Träger zur Aufnahme von zwei Geleisen dienen, hat der mittlere etwa die Hälfte der zufälligen Last aufzunehmen und zwar mehr oder weniger, je nach dem Hebelverhältniss, das durch die Anordnung der Querträger gegeben worden ist. — Es ist nicht rathsam, den Querträger als continuirlichen Träger über den mittleren Hauptträger hindurchgehen zu lassen; denn es wird derselbe bei Belastung der einen Brückenseite doch wenig verschieden von einem einfachen Träger wirken (weil das Gegengewicht der Belastung des andern Geleises fehlt), während bei gleichzeitiger Belastung beider Geleise die Aussenträger verhält-nissmässig weniger, der Mittelträger mehr als die Hälfte der Last auszuhalten hat. — Man könnte eine solche Tieferlegung des Mittel - Hauptträgers vorschlagen, dass dieser Missstand vermieden

würde; — es ist jedoch zu bedenken, dass hiedurch die Steifigkeit und Unverrückbarkeit der ganzen Construction wesentlich leiden und dass der Nachweis von dem steten Vorhandensein der beabsichtigten Tieferlegung schwer fallen würde.

Vorausgesetzt, dass die Querträger je über zwei Hauptträger frei gespannt sind, so kann die Vertheilung der Last keinen Zweifel lassen, indem wieder beide Geleise gleichzeitig belastet angenommen werden und das Eigengewicht der Träger sich etwa gerade so vertheilt, wie die Verkehrsbelastung.

88. Wenn die zwei Geleise einer Brücke durch 2 oder 3 Hauptträger aufgenommen werden, so wird bei dem am häufigsten vorkommenden Falle der Belastung des einen Geleises eine verschiedene Einbiegung der einzelnen Hauptträger stattfinden.

Es wird diese Senkungsdifferenz bei frei aufliegenden Trägern am grössten sein.— Die Einbiegung f ist für einen mit der Maximallast q behafteten Träger nach Gleichung 42)

f= »

ql⁴

384 E0

42)

wo 1 die Spannweite des Trägers bezeichnet. — Es ist aber nach Gleichung 31)

I.

ferner ist für den mittleren Querschnitt (wo die grösste Senkung stattfindet)

ii.

ib¹²

und

in.

d. h. gleich der halben Trägerhöhe zu setzen; aus den Gleichungen I.—III. folgt:

0 ==

9JÎ.H q.l² H

16 ’ 21

2.2t

. . IY.

und durch Wertheinsetzung in Gleichung 42)

140)

_5_    2t_

¹ ~ 24 ' E * H.....

Für den Fall der Maximalbelastung darf für schmiedeiserne

Brücken 2t

E

= 600 K. per DCent., und — 3000 angenommen

werden; woraus endlich als grösste Einbiegung eines solchen vollständig belasteten freitragenden schmiedeisernen Trägers folgt

f = 0,00007 =r . 1

II

141)

Bei einseitiger Belastung hat jeder Träger nur einen Theil dieser Einbiegung zu erleiden; ist er nämlich mit q per Längeneinheit belastet, so ist seine grösste Einsenkung

142)

f₄ = -4 0,00007 i . 1

q    H

und indem man f± für die einzelnen Träger berechnet, erhält man die gesuchten Senkungsdifferenzen.

Beispiel. Eine Brücke von 40 M. Spannweite habe für 2 Geleise nur 2 Hauptträger; es ist nach Tabelle XVII. das

Eigengewicht p = ~ q, ferner die zufällige Belastung eines 2

Geleises k = q; es vertheile sich letztere bei einseitiger Be-

2    5

lastung nach den Verhältnisszahlen und — , so dass der eine

q als zufällige

Träger ~ k = ^ q; der andere k = ^

11

q = 21 q»

Last erhält; die Gesammtbelastung der beiden Träger ist daher für den Träger L p + Jr

Z L

17

10

für den Träger II. p + q = ^ q.

Es ist somit nach Gleichung 142)? indem man für 1 seinen Werth 40 M. = 4000 Cent, einsetzt, und das Verhältniss ~ = 10 an-

nimmt,

für den Träger I.

11

ft =    0,0007 . 4000 Cent. = 1,6 Cent.

ZL

für den Träger II.

fi =~ 0,0007 . 4000 Cent. = 2,475 Cent.

Z L

Die Senkungsdifferenz beider Träger beträgt somit bei einseitiger Belastung in der Mitte 0,875 Cent., was eine ganz unbedeutende Verwindung der Brücke, beziehungsweise Drehung des mittleren Querschnitts voraussetzt.

§. 10. Angriffsmomente kleiner Träger.

89. Man hat es bei kleinen Trägern meist mit concentrirten Lasten zu thun; die Berechnung der Angriffsmomente und Vertikalkräfte 35 geschieht nach Gleichung 100)—102), insolange die Träger an beiden Enden frei aufliegen.

Solche Träger continuirlich herzustellen ist, wie schon mehrfach angeführt, nicht rathsam. — Denn einmal ist der erwartete Yortheil sehr gering, sodann ist in X°. 75. und 82. nachgewiesen, wie kleine Differenzen in der Höhenlage der Zwischenstützen sehr erhebliche Aenderungen in den Angriffsmomenten verursachen können, so dass der Yortheil der Continuität schliesslich ganz verloren geht und statt dessen lediglich eine Ungewissheit über die wirklich vorhandenen Kräfte eintritt. — "Will man z. B. einen solchen Träger als Fachwerk construiren, so kann man beim frei aufliegenden Träger jedem Glied die gerade nothwendige Stärke geben, während beim continuirlichen Träger die in jedem Constructions-glied herrschende Spannung mehr oder weniger unbestimmt ist und desshalb dem Träger theilweise eine übermässige Stärke gegeben werden müsste.

Träger, welche in derselben Längenrichtung liegen, können desshalb an den Enden doch eine Verbindung erhalten; es dient diess nicht nur zur Solidität der ganzen Construction, sondern es hat auf die Tragfähigkeit jedenfalls einen günstigen Einfluss ; wenn die Spannung in einem gegebenen Falle genau ermittelt werden soll, so wird man diese Verbindung an den Enden dadurch berücksichtigen, dass man das hiedurch hervorgerufene Widerstandsmoment der Verbindung in die Rechnung einführt; es ist diess im Allgemeinen durch die Stellung und Querschnittfläche der Verbindungsbolzen bestimmt.

Bei Berechnung neuer Brückenträger wird man aber meist von diesen Endverbindungen absehen, zumal die Momente, wenn keine Continuität beabsichtigt ist, nur kleine Werthe haben werden. —

90. Bei kleinen Trägern darf bei der Berechnung der Querschnittdimensionen das Eigengewicht der Träger selbst in der Regel vernachlässigt werden. Wenn man dann blos frei aufliegende Träger annimmt, so wird die ganze Rechnung ausserordentlich einfach und reduzirt sich auf eine wiederholte Anwendung des Hebelgesetzes.

Bei den homogenen Trägern sind Beispiele gerechnet und auch für die gewöhnlich vorkommenden Fälle die Angriffsmomente in Zahlenwerthen ausgedrückt und den Widerstandsmomenten der häufiger vorkommenden Querschnittformen gegenüber gestellt.

Um jedoch auch für besondere Fälle die Rechnung zu erleichtern und die Eigenschaften der kleinern Träger vollständiger zur Anschauung zu bringen, sind in folgender Tabelle XXVIII. die Angriffsmomente und Einsenkungen einer Reihe von Träger-Anordnungen zusammengestellt; es sind hiebei die eingespannten Enden durch Schraffirung bezeichnet und erhält man für diese Fälle die Angriffsmomente durch wiederholte Anwendung der in N°. 19—21. gegebenen Betrachtungen, indem man den Tangentenwinkel der elastischen Linie am eingespannten Ende = 0 setzt. —

Tabelle XXVIII.

Nro.

Anordnung des Trägers.

Maximalwerte der Angriffsmomente.

Grösste Einbiegung.

Abscisse von A aus gerechnet.

Abscisse von A aus gerechnet.

Einbiegung.

Fig. 84.

ht

pi =

qi²

Vs

qi⁴

E0

Fig. 85.

-____z _

to

ql²

V*

co

Fig. 86.

js------ l -------jj

PI

ql²

usfc

lfiS

Fig. 87.

k-------1 ...

ql²

V 384

----A#

g. 88.

PI

ql²

"2

8"

¹/l92

\T-ql

Tabelle XXYIII. (Fortsetzung.)

JNro.

tüD C S O) 3 bß a sg

'S eh

CQ

O»

Maximalwerfche der Angriffsmomente.

Grösste Einbiegung.

Abscisse von A aus gerechnet.

Abscisse von A aus gerechnet.

Einbiegung.

Fig. 89.

6 t~¹ Ht

î}

04    ^

th    er¹ 04

V 384

qu

E©

Fig. 90.

*IH

0,5531

0,00932

.0II

fca

TëFl-Te^

i *)

0,00911

Fig. 91.

-r

0,572 l

0,0054

Fig. 92.

X*)

PA²

6E®

1-

«vm

Fig. 93.

.s II

X (21 — X) (I — A)

I—

2l²

1° | A i

p a² (31— a) g-*)

21³

X*)

p O-*)² ₄,

3E®    1

*) Anmerkung. An den mit *) bezeicbneten Abscissen ist die Einbiegung kein Maximum.

§. 10. Angriffsmomente kleiner Träger. Tabelle XXVIII. (Fortsetzung.)

152

hiro.

Anordnung des Trägers.

Besondere Werthe der Angriffs-momente.

Grösste Einbiegung.

Abscisse. |

Abscisse.) Einbiegung.

in A )

= 0 j

Fig. 94.

J§

À F '''

T> i (1-A)2 P

p v a-*)2 21³

P *² fl-*) l²

Fig. 95.

12

A bis A + d

1-d

= PA

A (31²—4A²) P 24la * E®

Fig. 96.

u----------y —

13

k_fk—

l    -i—    ■ I

------H

P ~2    4*

p (21    d)²

81

Fig. 97.

....... Z ......

A,

P7 (21 — A — A,)

14

pi-*>

?\

V

5?

V

15

aï

Fig. 98.

|—⁷

df*

in A )

= 0 )

PA

A² (31 — 4A) P 24    * E®

A bis A + d

A²

Anmerkung. Fall 13 ist die ungünstigste Stellung der beiden Lastpunkte; es ist 1— d    d²

2JI nach Umformung = P —-— -f P ——=- (vergl. Fall 12).

u    o « 1

Vierter Abschnitt.

Entwicklung der praktischen Regeln für Brückenträger mit vollen Wandungen.

§. 11. Homogene Träger.

91. Das Widerstandsmoment eines Trägers mit voller Wandung, also insbesondere eines homogenen Trägers findet sich unter Anwendung der Gleichung 31), durch Berechnung des Trägheitsmoments des fraglichen Trägers.

Bezeichnet für einen beliebigen Querschnitt x: das Angriffsmoment,

-2Xy das numerisch gleiche Widerstandsmoment,

21 (33), die Spannung (Pressung) in den äussersten Fasern, a (£>) die Entfernung der äussersten gespannten (gepressten) Faser von der neutralen Faser,

0 das Trägheitsmoment des Träger-Querschnitts,

so ist

2Xy = —Q=~ 0 . . J a b

. . 31)

Im vorhergehenden Abschnitte sind die Angriffsmomente ÜDÎ für einzelne Fälle berechnet und ist insbesondere für kleinere Träger, Querträger etc. in Tabelle XXVIII. eine besondere Zusammenstellung gegeben. Besondere Fälle sind nach Gleichung 100)—102) (Seite 91.) zu berechnen, welche Formeln sich durch Vernachlässigung des Eigengewichts wesentlich vereinfachen.

Die für jedes Material zulässigen Spannungen nnd Pressungen sind im 2. Abschnitt verzeichnet, die Berechnung der Trägheitsmomente 0 ist schon im 1. Abschnitte entwickelt; es ist daselbst in N°. 14. eine Zusammenstellung der häufiger vorkommenden Trägheitsmomente gegeben, während in N°. 16. eine Näherungsformel aufgestellt ist, welche in vielen Fällen rascher und hinreichend genau zu demselben Ziele führt.

92. Die schmiedeisernen Träger werden im Brückenbau am häufigsten angewendet und zeigen auch die grösste Ausbildung. — Für gutes Walzeisen darf zwar 700 Kilo als zulässige Spannung berechnet werden, doch wenden wir für kleinere Träger nur 600 Kilo grösste Spannung an; hiernach sind denn auch die folgenden Kegeln gebildet worden.

Indem wir die Bezeichnungen beibehalten, die in der vorhergehenden Nummer erläutert sind, so haben wir nach Gleichung 31).

21    23

9Jl=^’Ky = -— 0 = ~- 0 J a b

. . 143)

* = »-!■=»-£

» = »4- = *T

Ist alles in Centimetern und Kilogrammen ausgedrückt, so soll 21 oder 8 nickt grösser als 600 genommen werden, es muss aber niedriger gegriffen werden, wenn die sckiefe Wandspan-nung, welche gleichfalls nicht über 600 K. betragen soll, grösser sein sollte, als die grösste Längenspannung (vergl. N°. 26. und 27.)

Die Mittelrippe trägt zum Werth des Trägheitsmoments nur wenig bei; sie wird desshalb bei schmiedeisernen homogenen Trägern thunlich dünn gehalten; doch ist für ihre Stärke durch die Yertikalkraft 25 ein bestimmtes Minimum gegeben.

Bezeichnet nämlich für einen Yertikalschnitt x

25 die vom Querschnitt zu übertragende Yertikalkraft,

HY den numerisch gleich grossen Yertikalwiderstand,

S₀ die in der neutralen Faser des Trägers an der betrachteten Stelle per Längeneinheit wirkende Schubkraft,

©o die auf die Quadrateinheit reduzirte Schubspannung ebendaselbst,

Q die Distanz der Mittelpunkte von Druck und Zug,

Ô die Dicke der Mittelrippe, so ist nach Gleichung 46)

HY

<&| 83

I.

S₀ =

und nach Gleichung 47)

(S = —

S₀

II.

Z

und folgt nun aus I. und II. als horizontale Schubspannung in der neutralen Faser

144)

Ist alles in Centimetern und Kilogrammen ausgedrückt, so soll @₀ nicht grösser als 350 sein, woraus sich die Regel ergibt

*^350$

Der genaue Werth von § ist durch die Gleichung 32) der N°. 14. gegeben

145)

32)

Jo Z/y,dy

Das Integral bildet das Moment des gepressten Querschnitts, das sich meist einfach rechnet (übrigens numerisch gleich dem Momente des gespannten Querschnitts ist).

Fig. 99.

IPÄ!

//

--->1

±____

wmamm

1*0

'Ms

In vielen Fällen wird die nachfolgende Annäherung schneller und mit hinreichender Genauigkeit zum Ziele führen; es ist näm-

lieh die Distanz Q₀ der beiden Resultanten der in den Gurtungen herrschenden Kräfte insofern bekannt, als dieselbe mit der Distanz der Schwerpunkte der Gurtungen nahezu identisch ist; bezeichnet man nun (s. Fig. 99.) mit a₀ und b₀ die Abstände der genannten Resultanten von der neutralen Faser, mit 12 a (Q₆) den Querschnitt der gespannten (gepressten) Gurtung und wenn ferner die Höhe der Mittelrippen oder Mittelwand gleich ig₀ angenommen werden darf, (was bei grösseren Trägern meist ziemlich genau zutrifft), so ist

l a (C + y )

12 b₀ (p„ -- '/«

Für symmetrische Querschnitte ist o₀ = b₀ = a/²    ? wonach sich

diese Formel einfach ausspricht:

12S2 + 2 8§0 U Si + S8$₀

bei complicirten Querschnitten, z. B. Schienenprofilen wird zweckmässig das in N°. 17. erläuterte graphische Yerfahren zur Bestimmung der Grösse fQ angewendet.

Fig. 100.

1*-*

.    147)

148)

93. Unter Festhaltung vorstehender Regeln wollen wir die grösste schiefe Spannung (Pressung) eines symmetrischen, dop-pel-Tförmigen Trägers berechnen; die Dimensionen desselben sind aus beistehender Fig. 100 ersichtlich. Die grösste Spannung (Pressung) findet in der Mittelrippe zunächst der Gurtungsrippe statt. Es ist nun die grösste zulässige Längenspannung daselbst anzunehmen :

.1.

% = 550

wenn Alles in Kilo und Centim. ausgedrückt ist. — Die horizontale Schubkraft findet sich nach Gleichung 45)

I.

AY r⁶

Si='©-/,zydy

II,

und durch Wertheinsetzung aus Gleichung 47) wo aber für z die Blechdicke 8 zu setzen ist.

Horizontale Schubspannung ebendaselbst

AY / zydy

./ y_

III.

indem man nun für

AY $

— seinen Werth aus Gleichung 145) ein-

setzt

und berücksichtigt, dass / zy dy das Moment des oberen

J y

Gurtungs-Querschnitt in Bezug auf die neutrale Axe ist, so erhält man

3 b (H² - h²)

~ 2 bH² —b,h²

Setzen wir nunmehr = vtti -r-H 10 b

<5y

. 350£ ... IV.

so folgt daraus

nach Gleichung 148) § = 0,84 H und durch Wertheinsetzung in Gleichung IY.

©y = 245 Kilo und aus Gleichung I.

Y.

-i- 550 Kilo = 495 Kilo . . VI.

Indem man nun schliesslich die Werthe @y und 21y aus Gleichung Y. und VI. in die Gleichung 55) einsetzt, erhält man als grösste schiefe Spannung oder Pressung

= 602,5 Kilo . . VII.

© max =

Hätte man 21 = 600 K. genommen, so wäre 2ty an der betrachteten Stelle (Grenze zwischen Gurtungen und Mittelrippe) = 540 und ©max = 670 K. geworden, was bei solchen kleinen Trägern, welche den Stössen der Eisenbahn - Fahrzeuge direct ausgesetzt sind, zu hoch geworden wäre; es wird übrigens der Fall, dass 2t und <5₀ in demselben Querschnitt ihr Maximum erreichen, nur ausnahmsweise Vorkommen. —

Die Mittelrippe ist noch weiterhin in Anspruch genommen, wenn die Last oben aufgelegt ist, ohne dass Yertikalrippen angebracht sind; die Mittelrippe ist dann auf eine gewisse Länge einer Yertikalpressung ausgesetzt, welche wie am Schlüsse von N°. 25. bemerkt, bei Berechnung der grössten schiefen Pressung nicht mit in Rechnung genommen wurde ; letztere Pressung ist also im Falle der aufgelegten Last etwas grösser als oben nach Gleichung 55) berechnet wurde. —

94. Am häufigsten kommt bei schmiedeisernen homogenen Trägern die doppel nrform vor; in N°. 14. sind für symmetrische und unsymmetrische Form die Trägheitsmomente 0 berechnet und findet man die Widerstandsmomente, wie mehrfach bemerkt, nach Gleichung 31). Zu weiterer Erleichterung der Rechnung ist nachstehende Tabelle XXIX. hergestellt ; die berechneten Widerstandsmomente, welche in Kilogramm-Metern ausgedrückt sind, entsprechen einer grössten Längenspannung von 600 Kilo per □ Cent. ; die Reduktion auf andere Spannungen ist mittelst

io

CO

§. 11. Homogene Träger.

79,2    90,1    101,7    114,0

1,5    1,6    1,7    1,8

46,1

43,5

9797    11629

Tabelle XXIX.

Die Coten der Figuren sind Vielfache der Dicke 8 der Mittelrippe.

12,7    17,25    22,5    28,5    35,2    42,6    50,7    59,5    69,0

0,6    0,7    0,8    0,9    1,0    1,1    1,2-    1,3    1,4

12,8    15,4    17,9    20,5    23,0    25,6    28,2    30,7    33,1    35,8    38,4    41,0

249    431    684    1021    1454    1994    2654    3466    4281    5471    6730    8167

¹²»*    14,5    16,9    19,4    21,8    24,2    26,6    29,0    31,5    33,9    36,3    38,7    41,1    43,6

242    417    663    990    1409    1933    2573    3340    4150    5304    6524    7918    9497    11273

11,4 I 13,7    16,0    18,2    20,5    22,8    25,1    27,4    29,6    31,9    34,2    36,5    38,8    41,0

403    639    954    1359    1864    2481    3221    4095    5115    5291    7635    9158    10871

233

8,80

10,7    12,8    15,0    17,1    19,3    21,4    23,5    25,7    27,8    30,0    32,1    34,2    36,4    39,5

223    386    613    915    1303    1787    2378    3088    3926    4903    6031    7320    8779    10422

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M

Iw

⁰⁰ O

■2 5

Gewicht per lauf. Meter.

*101 ’SïÆ

9'ffS

!..

s'zz—H

Fig. 102.

Z'llZ-

Fig. 103.

K~5->;

Fig. 104.

-9,5-*

S-i

114,0

1,8

36,0

9926

33,5

9384

31,0

8800

28,4

8171

101,7

1,7

34,0

8362

31,6

7905

29,2

7414

26,9

6883

90,1

9‘l

32,0

6971

29,8

6590

27,5

6181

25,3

5738

Fortsetzung von Tabelle XXIX.

Die Coten der Figuren sind Vielfache der Dicke 8 der Mittelrippe.

I.

12,7    17,25 22,5 | 28,5    35,2    42,6 | 50,7    59,5    69,0    79,2

1,3 j 1,4    1,5

1,2

0,6    0,7    0,8    0,9    1,0    1,1

30,0

5744

18,0    20,0    22,0    24,0    26,0    28,0

1241    1702    2265    3141    3739    4670

16,7    18,6    20,6    22,3    24,2    26,0    27,9

1173    1609    2142    2780    3535    4415    5430

25,8

5093

23,7

4728

16,0

871

14,9

823

15,5    17,2    18,9    20,6    22,4    24,1

1100    1509    2008    2608    3315    4141

14,2    15,8    17,4    19,0    20,5    22,1

1021    ! 1401    1864    2421    3078    3844

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13,8

773

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^    r>*

8 £■

CS ^

KJ

10,0    12,0    14,0

213    368    584

9,3    11,2    13,0

8,80

201    347    552

<•

8,6    10,3    12,0

189    326    518

14,0

7,9    9,5

0,5

XX y

ZXj

XXy

481

175    303

XXy

O s

Sx

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«a

H. ⁰

'cC

.3

■S.s

fcß

CK

Sü

0^:0 GQ K

.2 .2

Gewicht per lauf. Meter.

Qft

Fig. 105.

K—o'oz

Fig. 106.

9'»—>i

Fig. 107.

H— sir

JL

Fig. 108.

'^s'er—>i

kVcr->j

jâ

Gleichung 31) leicht herzustellen, d. h. die Widerstandsmomente sind den angenommenen Spannungen direkt proportional. — Die Dimensionen der Figuren 101—108. sind Vielfache der Dicke d der Mittelrippe; die Gurtungsrippe ist durchweg 1,4 mal so dick angenommen als die Mittelrippe; es entspricht diess den durchschnittlichen Verhältnissen der IEisen, wie solche gegenwärtig von den Walzwerken angefertigt werden und wird man für die meisten vorkommenden I Eisen ein annäherndes Profil in der Tabelle auffinden können, wobei Höhe und Gewicht per laufenden Meter vorzugsweise in Betracht zu ziehen sind.

95. Für sämmtliche Träger - Querschnitte, welche beiderseits mit Gurtungsrippen versehen sind, sind die Näherungsformeln 38) und 39) gültig.

Bezeichnen ausser den aus Fig. 99. (s. Seite 155) ersichtlichen Dimensionen:

21 die grösste Spannung in den äussersten Längenfasern,

23 die grösste Pressung in den entgegengesetzten äussersten Fasern,

die Distanz der Schwerpunkte der Gurtungen (als Mittelpunkte der dortigen Zug- und Druck-Resultanten), sowie 0 das Trägheitsmoment des Querschnits,

2JI das Angriffsmoment für den betrachteten Querschnitt, so ist nach N°. 16.:

G =    <*0 (ßa + V³ fla₀) = §0 fco (^b + Y    .    .

2W = — §0 °0    + Y ^a°    ⁼ £o <*0 ^6 ~f* 3

. 149)

IöS

150)

^6 + V³ <^0

Für symmetrische doppelTförmige Querschnitte ist diese Gleichung ganz genau (vergleiche Gleichung 37) ; nennt man nun

b die Breite der Gurtungsrippe, t die Höhe derselben,

H die ganze Trägerhöhe, h die lichte Entfernung der Gurtungen,

H + h

—-— die Distanz der Gurtungsschwerpunkte;

u

bedenkt man ferner dass:

21 = 23,

CT

ï’o — G₀ —

f H’ ~2~ ^°’

Fig. 109.

___

so erhält man aus Gleichung 146) und 147)

e=|!

911 - 21

. . 151)

. 152)

"Wenn in vorstehenden Formeln 149) bis 152) Alles in Centimetern und Kilogrammen ausgedrückt ist, so soll St nicht grösser als 600 genommen werden.

96. Die schmiedeisernen homogenen Träger werden hauptsächlich zur Ueberbrückung kleinerer Spannweiten (unter 7 M.) angewendet.

Bei Eisenbahnbrücken sind meist für jeden Schienenstrang je ein Träger, somit für jedes Geleise 2 Träger vorhanden; wir nehmen aber auch hier wieder die Angriffsmomente 3JI immer für 1 Geleise. — Wie oben rechnen wir per Radaxe 12 tons Gewicht und nehmen die Distanz zweier Triebaxen = 2 M. an. — Wir wollen hienach die Angriffsmomente 3)1 für eine Reihe von Trägerpaaren von verschiedener Spannweite berechnen, wobei aber ein wesentlicher Unterschied besteht, ob die Träger unmittelbar oder mittelst Querschwellen belastet werden.

Fig. 110.

LX ₊

's

s-nv

Bei 2 M. Spannweite ist für unmittelbares Auflager

12 . 2

= 6 tm

max 3)1

bei Anwendung von Querschwellen findet das grösste Angriffsmoment dann statt, wenn die Axe gerade auf einer Querschwelle sich befindet; es ist

= 8,7 ts

Auflagerdruck A = - ^ ^

max 9JÎ = 8,7 X 0,55 = 4,785 tm bei 3 M. Spannweite ist für unmittelbares Auflager

12 . 3

= 9 tm.

max =

bei Anwendung von Querschwellen findet das grösste Angriffsmoment wiederum dann statt, wenn die Radaxe unmittelbar über

Fig. in.

's

HÄ

lT

—r

\i

₃TW

einer Querschwelle stellt, hiefiir ist (indem die letzte, zunächst B befindliche Querschwelle durch das 2. Locomotivrad gleichfalls eine Belastung erhält)

Auflagerdruck A =

max = 8,27 x 1,05 = 8,68 tm.

Fi g. 112.

12.1,95 + 9,333.0,15

3,0

= 8,266 ts

____

H- °>³

ff

0,9    -j-    0,9

Bei 4 M. Spannweite sind 2 Radaxen auf die Brücke zu rechnen; die ungünstigste Stellung derselben ist, wenn das eine

Bei Anwendung von Querschwellen ist bei gleicher Axen-stellung die Schwelle II mit 11,33 ts, Schwelle I mit 0,67 ts, die Schwelle IY mit 10 ts belastet anzunehmen, und folgt daraus Auflagerdruck

2,45.11,33 , 0,67 x 3,35    0,65.10 A ,

H---- = 9,125 ts

4    ⁷

Max m = 9,125 . 1,50 — 0,67 . 0,85 = 13,12 tm die Differenz von 0,38 tm ist in den Schienen enthalten, insofern die Radaxen nicht unmittelbar über den Schwellenmitteln sich befinden. Unter den Eingangs angegebenen Yoraussetzungen ist nachstehende Tabelle XXX. gerechnet, welche für jede Spannweite das per Geleise antreffende max 9)1 in Kilogramm-Metern ergibt. — Die entsprechenden Widerstandsmomente doppehrförmiger Träger sind in Tabelle XXIX. enthalten.

Tabelle XXX.

Axdistanz 2 M.

Rad um iji der Raddistanz d von der Brückenmitte entfernt ist; hiefür ist das Angriffsmoment bei unmittelbarer Auflage nach Fall 13 der Tabelle XXYIII.

max 9JÎ =

P (21 — d)²    12.36    27

31

32

— — 13,5 tm.

X

Axbelastung 12 ts.

Spannweite:

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,5

2,7

3,0

mit Querschwellen.

1575

2464

3281

4050

4785

5495

6187

7200

8680

direkt auf-liegend.

3600

4200

4800

5400

6000

6600

7500

8100

9000

Spannweite:

3,3

3,6

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

•-

-

mit Querschwellen.

10180

11310

13475

16319

20034

23419

28236

33000

38000

direkt aufliegend.

9900

11267

13500

16333

21000

25500

300C0

34500

39000

Die Momente werden wesentlich grösser, wenn bei gleicher Axbelastung die Axendistanz kleiner angenommen wird; in der nachfolgenden Tabelle XXXa. sind 3 Radaxen von je 12 tons Belastung und je 1,5 M. Distanz berechnet (was etwa der für Tabelle XYIIa. angenommenen Güterzug - Maschine entsprechend ist.)

Tabelle XXX a.

Axbelastung 12 ts.

Axdistanz 1,5 M.

Spannweite :

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,5

2,7

3,0

x

o5

mit Quer-scliwellen.

1650

2643

3587

4500

5390

6164

7552

8400

10080

g direkt aufliegend.

3600

4200

4800

5400

6000

6600

7500

8666

10125

Spannweite :

3,3

3,6

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

mit Querschwellen

11788

13500

16190

20880

25500

30172

34785

39377

43958

; g direkt aufliegend.

11823

14400

18000

22500

27000

31500

36000

40500

45000

Die Momente der Tabellen XXX. und XXXa. beziehen sich durchweg auf ein Geleise ; wenn also wie gewöhnlich zwei Träger per Geleise vorhanden sind, so sind diese Werthe zu halbiren; für die auf einen Träger reduzirten Angriffsmomente der Tabellen XXX. ist dann aus Tabelle XXIX. ein passendes Widerstandsmoment auszusuchen, das dem ersteren numerisch gleich sein soll. Hat ein Träger andere Dimensionen, als sein Angriffsmoment verlangt, so lässt sich mit Hülfe der Tabelle XXIX. die grösste Längenspannung schnell auffinden, indem in der genannten Tabelle eine Längenspannung von 600 Kilo angenommen ist und die Widerstandsmomente der jeweils herrschenden grössten Längenspannung direkt proportional sind.

Die grösste Yertikalleraft findet nicht gleichzeitig Statt, sondern stets dann, wenn das Vorderrad der Lokomotive am Brückenende angelangt ist, während von den übrigen Lokomotiv-rädern so viele auf der Brücke sich befinden, als die Länge der letzteren gestattet. — Hiernach ist die folgende Tabelle XXXI. für die grössten Werthe der Vertikalkraft $ berechnet. — Die Axenbelastung der Lokomotive ist wieder 12000 K. und die Axen-distanz 2 M.; die Werthe $ beziehen sich auf ein Geleise, so dass in der Hegel auf einen Träger die Hälfte dieser Last zu rechnen ist.

18000 20000 21600 22909 24000 24923 25714

Max üß

Für alle Weiten unter 2 M. ist Max üß gleich 12000 k per Geleise zu rechnen. Für den Fall einer Axendistanz von nur 1,5 M., während die Axbelastung 12000 K. beträgt, erhält man folgenden gleichfalls auf ein Geleise bezogenen Werth:

Tabelle XXXIa.

Axdistanz 1,5 M.

Tabelle XXXI.

Axbelastung 12 ts.

Axdistanz 2 M.

Spannweite :

2,0    2,2    2,4    2,7    3,0    3,3    3,6

Max !ß

12000 13091 14000 15111 16000 16727 17333

II

Spannweite:

Cn

Ci

Axbelastung 12 ts.

Spannweite :

1,6

1,8

2,0

2,2

2,1

2,7

3,0

3,3

max üß

12750

14000

15000

15810

16500

17333

18000

19636

Spannweite:

3,6

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

max üß

21000

22500

24000

25200

26182

27000

27692

28285

Für 1,5 M. und alle geringeren Weiten ist max )ß = 12000 K. per Geleise zu rechnen.

In den Tabellen XXXI. und XXXIa. ist vorausgesetzt, dass die Träger unmittelbar belastet sind; werden besondere Schwellenträger angewendet, so geht ein Theil der Vertikalkraft durch dieselben direkt auf die Widerlager über ; letztere Last muss von den Werthen der Tabelle XXXI. in Abzug gebracht werden.

97. Gusseiserne Träger werden seltener angewendet, da ein Bruch durch Erschütterungen leicht hervorgerufen werden kann und schmiedeiserne Träger sehr billig und in mannigfaltigen Formen hergestellt werden.

Das Gusseisen zeigt die Eigenthümlichkeit, dass der Elastizitätsmodul bei stärkeren Belastungen sich sehr ändert und für Druck und Zug nicht mehr derselbe ist (vergl. Tab. IV. u. V.) Innerhalb den bei Brückenbauten zulässigen Belastungen sind jedoch beide Elastizitätsmodule nahezu gleich und haben wir als Mittelwerth 900000 K. per □Centim. gesetzt.

Da die absolute Festigkeit des Gusseisens 5—6 mal kleiner ist als seine absolut rückwirkende Festigkeit, so kommt bei homogenen Trägern nur erstere in Betracht und lautet hienach Gleichung 31).

31)

2t

m= — &

a

Ist alles in Centimetern und Kilogrammen ausgedrückt, so soll 2t gewöhnlich nicht grösser als 200 genommen werden; es gibt jedoch Gusseisen besonders guter Qualität, wo grössere Längen-Spannungen bis zu 250 K. per □Cent, erlaubt sind.

Da die rückwirkende Festigkeit des Gusseisens die absolute Festigkeit so sehr übersteigt, so gibt man häufig den beiden Flantschen verschiedene Querschnitte, indem man die gedrüCkce Gurtungsrippe viel kleiner herstellt. — Für solche unsymmetrische Querschnitte mit dünnen Mittelrippen hat E. Hodgkinson folgende empirische Formel gegeben:

153)

P = C. ~

hiebei bezeichnet:

1 die Länge eines an beiden Enden frei aufliegenden Stabes, h die Höhe desselben, a den Querschnitt der gezogenen Flantsche,

P das Gewicht, das in der Mitte des Stabs wirkend den Bruch hervorbringt,

und ist, wenn Alles in Centimetern und Kilogrammen ausgedrückt ist,

C = 4100 Kilo,

woraus Bruchmoment:

154)

— 1025 . a . h "Wenn man von diesem Bruchgewicht wie in Tabelle XII. ein Fünftel als zulässige Last rechnet, so stimmt Gleichung 154a) ziemlich gut mit den Resultaten der Gleichung 31), wie auch bei

0

Vernachlässigung der Mittelrippe die Grösse — nahezu in den Werth a . h übergeht.

Die Dicke der Mittelrippe bestimmt sich wie beim schmiedeisernen homogenen Träger nach Gleichung 46) und 47) indem für die horizontale Schubspannung in der neutralen Faser ein bestimmtes Maass gesetzt wird.

Bezeichnet

@₀ die Schubspannung in der neutralen Faser, d die Dicke der Mittelrippe,

25 die zu übertragende Vertikalkraft,

die Distanz der Mittelpunkte von Druck und Zug,

so ist nach Gleichung 46) und 47)

155)

@ ®

Ô

Ist alles in Kilogrammen und Centimetern ausgedrückt, so soll hei gewöhnlichem gutem Guss @₀ nicht grösser als 150 genommen werden, woraus folgt

156)

150

*>» -4

Es kann bei gleichem Gewicht einem gusseisernen Träger an Last etwa ¹/3—³/7 gegenüber einem schmiedeisernen Träger von gleicher Höhe auferlegt werden.

98. Träger von Gussstahl. Bei dem geringen Preise des Gussstahles (und insbesondere des Bessemer Stahles) hat man bereits angefangen, dieses Material auch bei Brücken-Construktio-nen anzuwenden. — Da beim Stahl die rückwirkende Festigkeit mehr als noch einmal so gross ist, als die absolute, so hat man zunächst nur letztere ins Auge zu fassen und lautet Gleichung 31) wie beim Gusseisen:

31)

Ist Alles in Centimetern und Kilogrammen ausgedrückt, so soll für Bessemerstahl 21 nicht grösser als 1000 genommen werden, wobei weicher Stahl in Rechnung genommen ist.

Als Beispiel wählen wir die in Tafel VIEL gezeichneten Schienen der London Metropolitan Railway, deren Trägheitsmoment

0

0, und zugehöriges — nach dem in N°. 17. angegebenen Verfahren bestimmt wurde, wie das Nähere aus Tafel VIII. ersichtlich ist.

I.

Für eine Belastung, durch welche der Kopf der Schiene auf Zug in Anspruch genommen ist, haben wir gefunden: m = 8,715 21₀

wo 21₀ die grösste Längenspannung per Quadratzoll bezeichnet und in englischen Zollen ausgedrückt ist; und in ähnlicher Weise, wenn der Fuss auf Zug in Anspruch genommen ist.

II.

= 11,4 21₀

Versuche, welche über die erste Belastungsart angestellt wurden, ergaben bei einer Stützweite von 5 Fuss oder 60 Zoll eng-

22 . 60

lisch eine Bruchlast von 22 tons, woraus 9JÎ = —-j— = 360

4

Zoll tons und 21₀ = 38 tons.

In ähnlicher Weise ergab sich, da der Fuss der Schiene auf Zug in Anspruch genommen wurde, eine Bruchlast von 29,17 tons

und hieraus 2t₀ = 38,4 tons per Quadratzoll, was 6048 Kil. per Quadratcentimeter entspricht.

Der Bruchcoefficient der absoluten Festigkeit des fraglichen Materials war übrigens zu 35 tons oder 5512 K. per nCentimeter bestimmt worden, wobei zu bemerken, dass weicher Stahl verwendet worden. (Ueber die Zunahme der Festigkeit gegen Zug bei relativer Festigkeit vergleiche S. 59.)

Bei Belastung der Schienen durch Lokomotivaxen von 12 tons Gewicht und unter der Annahme, dass das Material nicht stärker als mit c. 1000 K. per Quadratcentimeter oder 7 tons per Quadratzoll englisch in Anspruch genommen sein soll, ergibt sich als freie Auflagerweite 1 für obige Schienen:

= 53,2 Zoll oder 4,4 Fuss englisch.

Es ist zu bemerken, dass dieses Resultat sich dadurch modifizirt, dass die Schienenfüsse zu Aufnahme der Befestigungsschrauben durchbohrt sind, worauf in der Rechnung keine Rücksicht genommen ist.

7 . 11,4.4

Anmerk. Die Zahlenangaben sind dem Journal Engineering, 1868, entnommen, wo auch das Widerstandsmoment in gleicher Weise berechnet ist.

99. Hölzerne homogene Träger haben meist rechteckige Querschnittform, — wodurch Gleichung 31) sich wesentlich vereinfacht.

Bezeichnet

h die Höhe des Trägers, b die Breite desselben,

501 das Angriffsmoment,

St die grösste Längenspannung,

so ist

st =

157)

hebh² *

Ist alles in Kilogrammen und Centimetern ausgedrückt, so soll St nicht grösser als 70 K. genommen werden. — Es ist diess übrigens ein Mittelwerth, da die Hölzer nach Gattung, Behandlung und Alter verschiedene Festigkeit haben ; es ist angenommen, dass hio der Bruchfestigkeit durch die zulässige Belastung erreicht werde.

§. 12. Die Blechwandbrücken.

100. Die Blechwandbrücken unterscheiden sich von den schmiedeisernen homogenen Trägern hauptsächlich dadurch, dass sie aus einzelnen Theilen — 'Wandblechen, Kopfblechen, Winkeln etc. — zusammengesetzt sind; in Folge dessen ist ihre Anfertigung bezüglich Grösse und Form beinahe unbeschränkt; sämmtliche

Theile können meist gerade so stark gewählt werden, als ihre Bestimmung es nothwendig macht.

Zur Bestimmung der Stärke der Gurtungen und Wandbleche-dienen bei horizontal und geradlinig begränzter Trägerform dieselben Formeln wie für die homogenen Träger. Bezeichnet für einen Querschnitt x: das Angriffsmoment der äussern Kräfte,

23 die Yertikalkraft,

2C (53) die grösste horizontale Längenspannung (Pressung) in den äussersten Fasern,

a (b) den Abstand der äussersten gespannten (gepressten) Längenfasern von der neutralen Schichte, a₀ (f>₀) den Abstand des Schwerpunkts der gezogenen (gepressten) Gurtung von der neutralen Schichte,

3q₀ die Distanz der beiden Gurtungsschwerpunkte, die Distanz der Mittelpunkte von Druck und Zug,

0 das Trägheitsmoment des Querschnitts,

8 die Dicke des Mittelwandbleches,

i2a (Pb) den Querschnitt der gezogenen (gedrückten) Gurtung, ©o die Schubspannung in der neutralen Faser, so ist nach    Gleichung 31)

31)

2)1 — “ §0 Ö0 + */³ da₀) | 9Ä = f- &> (pa, + V³ <%)

3t

53

ersetzt

Gemäss Gleichung 31) darf jederzeit durch y

werden und umgekehrt; bei ganz oder nahezu symmetrischen Querschnitten ist diese Näherungsformel vollständig genau, und geht in die Gleichung über:

SB =    (ß. + ‘MS«)

158)

welche Gleichung mit Formel 152) identisch ist.

Ist alles in Kilogrammen und Centimetern ausgedrückt, so soll 21 oder 23 nicht grösser als 600 Kilo genommen werden.

Anmerkung. Dies gilt auch, wenn alle Längen und Höhen, und somit auch 2JÎ in Metern (oder überhaupt andern Längenmaassen) ausgedrückt sind,,

wenn nur die Ausdrücke (ßa +    8a₀) und (ßb -f-    db₀ nach Centi-

D    o

metern berechnet sind.

Zur Bestimmung der Dicke der Mittelrippe hat man nach IST⁰. 92. Gleichung 144)

95

144)

wobei wir auf die Bestimmung von in 17°. 92. verweisen.

Ist alles in Kilogrammen und Centimetern ausgedrückt, so «oll @₀ nicht grösser als 350 genommen werden. Hieraus folgt

145)

8 >

= 350 £

101. Bei Trägern mit gebogenen oder überhaupt nicht parallelen Gurtungen müssen obige Formeln einige Modificationen erleiden , indem wir uns einen Querschnitt denken, der auf allen Längenfasern normal steht. — Bezeichnen wir mit Q' die Kraft in der gezogenen Gurtung,

Qy' die vertikale Composante dieser Kraft, a* den "Winkel, den die gezogene Gurtung mit dem Horizont bildet,

S2a den Querschnitt der gezogenen Gurtung senkrecht zur Gurtungsrichtung,

und ebenso

Q" die Kraft in der gedrückten Gurtung,

Qy/7 die vertikale Composante dieser Kraft,

«" den Winkel, den die gedrückte Gurtung mit dem Horizont bildet,

ß[, den Querschnitt der gedrückten Gurtung senkrecht zur Gurtungsrichtung,

so ist nach Gleichung 150), indem der Hebelsarm der Zugresultante = £)₀ cos a' gesetzt wird:

an = st §₀ ««s «' (». + ’/»■»#o) • • • i59)

ferner ist

I.

Q' =    . 21 —° .

a

und folgt aus I. und 159)

Q' =

cos«' Qy' = sin «' j

II.

. in.

£>₀ cos «'

und ebenso ist (nach Gleichung 150)

m = %    £₀ cos a" (ßB -f i/3 äb₀) .    .    159a)

IY.

wonach aus 159a) und IY. folgt:

Q" =

Y.

y<%— ®    ,    •

Die bestehende grösste Gurtungsspannung 31 (oder Pressung 33) wird nach obiger Gleichung 159), beziehungsweise 159a) berechnet; ist Alles in Kilogrammen und Centimetern ausgedrückt, so -.soll 31 oder $8 nicht grösser als 700 genommen werden.

Zur Bestimmung der Schubspannung in der Wand müssen die Torstehend entwickelten Gleichungen IY. und YI. zu Hilfe genommen werden.

cos a"

Î3

er

. YI.

Da nämlich ein Theil der Yertikalkraft durch die vertikalen Composanten der Gurtungskräfte aufgenommen wird, so ist die durch die Schubkräfte des Yertikalschnittes aufzunehmende Kraft um so viel kleiner, und zwar ist

= % - Qy/ - Qy//

YII.

woraus für die horizontale Schubkraft in der neutralen Faser folgt : Qy' —Qy"

160)

wo Qy' und Qy" aus obigen Gleichungen III. und IY. zu entnehmen sind.

Ist alles in Centimetern und Kilogrammen ausgedrückt, so soll €>₀ nicht grösser als 350 sein, wornach

. . 161)

£> J:--

= 350 M — Qy' — Qy"

Bei Bestimmung der Wanddicke müssen gleichzeitige W erthe von 33 und $1 in Rechnung genommen werden, da letztere Grösse für die Werthe Q' und Q" massgebend ist.

102. Bei den vorstehenden Regeln ist durchaus vorausgesetzt, dass die Abzüge für die Nietlöcher oder ungenügende Stossverbindungen bereits vorgenommen worden sind. — Im Allgemeinen ist hiebei auf die Zusammenstellung in N°. 55. zu verweisen, wo die Regeln über Nietverbindungen kurz zusammengefasst sind, es lassen sich jedoch einige weitere Betrachtungen anreihen.

Die Nieten, mit denen die einzelnen Theile der Gurtungen verbunden werden, werden schon dieses Zweckes halber meist so nahe zusammengerückt und von solcher Stärke hergestellt, dass un den Stössen kaum eine weitere Yerschwächung nothwendig wird. — Dies kann insbesondere noch dadurch erreicht werden, dass die Nieten zunächst dem Stossplattenrande ganz gleich den auf die ganze Länge durchlaufenden Nieten hergestellt werden und erst die innern Nietreihen — welche nicht mehr die ganze

Kraft zu übertragen haben, mit stärkern oder zahlreichem Nieten versehen werden; für die Yerschwächung des gestossenen Bleche» ist nur die dem Stossplattenrande zunächst befindliche Nietreihe massgebend (siehe N°. 55.).

Ob ein beliebiger Stoss genügend hergestellt ist, wird nach Anleitung von N°. 55. untersucht ; im Allgemeinen soll Stossplatte oder Niete nicht mehr in Anspruch genommen sein, als das ge-stossene Blech; ist jedoch letzteres stärker als nothwendig wäre, so genügt für den Stoss die der Widerstandsfähigkeit des Nietbolzenmaterials entsprechende Stärke.

103. Die Stösse der Blech wand erfordern eine besondere Beurtheilung. — Die Stärke der Blechwand, wie sie nach den Formeln 145) und 161) berechnet wird, ist meist geringer, als in der Ausführung rathsam erscheint; mit Rücksicht auf das Einknicken zu dünner Bleche sowie auf die Witterungseinflüsse darf, unter ein gewisses Minimum (das mit der Trägerhöhe wechselt) nicht gegangen werden; im Allgemeinen wird nur bei kleinen oder sehr grossen Brücken die Dicke der Mittelrippe genau nach der Gleichung 145) bemessen werden können; in den meisten Fällen hat also die Wand eine übermässige Stärke gegen Abscheeren.— Es kann aber ganz allgemein der für einen vertikalen Wandstoss-nothwendigeNietenabstand unabhängig von der Blechwanddicke berechnet werden. — Es ist hiefür die horizontale Schubkraft in der neutralen Faser maassgebend (nach Gleichung 48) ist in demselben Wandelement horizontale und vertikale Schubkraft per Längeneinheit gleich gross). — Die horizontale Schubkraft in der neutralen Faser ist nach Gleichung 46) per Längeneinheit:

«ödes

46)

~ NY

ft

Fig 113.

o "Cd

ô "Ob

j<—

wo § den Abstand der Mittelpunkte von Druck und Zug des ganzen Querschnitts bezeichnet. Diese Kraft nimmt bis zu den Gurtungen hin wenig ab und wird daher auf die ganze Höhe constant angenommen ; es muss daher diese Kraft durch die per Längeneinheit angebrachten Wandnieten übertragen werden; diese Nieten sind als doppelschnittig zu rechnen, da stets beiderseits Stoss-platten (oder TEisen) angebracht sind; bezeichnet

d den Durchmesser der Nietbolzen,

(5 die zulässige Schubspannung derselben, n die Anzahl der Nieten per Längeneinheit,

— der Längeneinheit beträgt,

D die Distanz der Nieten, welche

so folgt

(Pi

(ö*| Ö3

(Pi

162)

Ist alles in Centimetern und Kilogrammen ausgedrückt, so soll © nicht grösser als 600 genommen werden. (Es ist gestattet $ und gleichzeitig anstatt in Centimetern in andern Maassen z. B. in Metern auszudrücken.) Hiebei ist jedoch sehr gutes Niet-leisen und gute Ausführung vorausgesetzt.

Wird die Stärke der Blechwand durch den Widerstand gegen Abscheeren bedingt, somit nach Formel 145) bestimmt, so ist für die Verschwächung durch die Nieten ein Zuschlag in der Blechdicke zu geben, den wir uns durch eine vorläufige .Rechnung gemacht denken ; diese Rechnung geschieht dadurch, dass man Entfernung, beziehungsweise Durchmesser der Nieten nach Gleichung 162) aufsucht. Ist nun die Dicke des Bleches (unter Berücksichtigung der Abzüge der Nietlöcher) nach Gleichung 145) berechnet, so kann hieraus der Abstand der Nieten direkt gefunden werden; da nämlich in letzterer Formel 145) die Wanddicke so bemessen ist, dass die Schubspannung im Blech 350 K. beträgt, während für die Niete 600 Kilo pro □Cent, zulässig ist, so ist auf die Distanz D zweier Nieten (unter Beibehaltung der obigen .Bezeichnungen)

Widerstand eines

d²îr

Nietbolzen = 2.600 .

4

Widerstand des zwischen liegenden

Wandtheils = (D — d) d . 350    . . II.

und folgt aus I. und II.

163)

rcd² + 1,16 ^ d

1,16 Ô    .........

Ist z. B. d = 28, so folgt D = 6,3d, so dass in diesem Falle

das Blech um

6,3

— verschwächt wird. — Die Gleichungen 162)

und 163) geben denselben Abstand D, wenn der Nietendurchmesser d beidemale gleich gross ist, vorausgesetzt, dass in letzterem Falle 8 nach Gleichung 145) berechnet ist.

In der Nähe der Gurtungen sind vorstehende Betrachtungen nicht mehr zutreffend, indem daselbst die Wand die Längenspannung der Gurtung mitmachen muss und dieselben Nieten, welche nach Vorstehendem die Schubkraft der Wand aufzunehmert haben, ausserdem durch die Längenspannung in Anspruch genommen sind; es sollen desshalb da, wo Gurtung und Wand gleichzeitig vollständig in Anspruch genommen sind, die Stösse der Wandbleche beiderseits doppelte Metreihen erhalten.

Diese doppelten Metreihen sind allerdings zunächst nur in* der Nähe der Gurtung nothwendig; hieraus erklärt sich die m Figur 114 skizzirte, schon mehrfach angewendete Anordnung,,

Fig. 114.

welche übrigens in der Ausführung kostspielig wird, falls man nicht etwa bei höheren Blechen die Stossplatten aus mehreren, Stücken zusammensetzt. —

104. Die Meten, mittelst welchen die Blechwand mit der Gurtung verbunden ist, haben die daselbst herrschende Schubkraft zu übertragen; diese Schubkraft berechnet sich nach Gleichung 45) ; die Anwendung dieser Gleichung ist jedoch etwas umständlich; wir haben diese Schubkraft für 2 Beispiele gerechnet (vergl. Tafel I. und VII. und N°- 27. und 28.) und gefunden , dass die Schubspannung zunächst der Gurtung, gegenüber der horizontalen Schubspannung 0O in der neutralen Faser beträgt:

für eine Brücke von 15 M. Spannweite . .    . 0,735—0,8 0^

0,817 6₀.

für eine Brücke von 3 Oeffnungen von 67 M. mittlerer Spannweite (Langonbrücke) .    .    .

Man wird im Allgemeinen nicht zu weit gehen, wenn man die Schubspannung zunächst der Gurtung ⁴/s der Schubspannung in der neutralen Faser annimmt und demgemäss für die grösste zulässige Entfernung D, der Meten, welche die Wand mit der Gurtung verbinden, ö/4 derjenigen Entfernung annimmt, welche nach Gleichung 163) für die Metenentfernung der übrigen Wandfläche berechnet wird, woraus folgt :

D, = 1,25 . <§, . -g

d²«

.    .    164)

Ist Alles in Centimetern und Kilogrammen ausgedrückt, so soll (5 nickt grösser als 600 genommen werden.

Dieselben Nieten, welche Gurtung und Wand verbinden,, werden aber nach Umständen zur Yerbindung der Stösse einzelner Gurtungstbeile, insbesondere der Winkel dienen; in diesem Falle haben diese Meten ausser der zwischen Wand und Gurtung herrschenden Schubkraft auch noch die Längenspannung eines Theils der Gurtung aufzunehmen. — Da man mit Rücksicht auf die Yer-schwächung der Gurtung keine stärkeren Meten anwenden darf, so soll man in der Nähe dieser Stösse die Nieten einander näher setzen, als die obige Regel angibt (vergl. Fig. 114) und zwar wird man nach Umständen je eine weitere Niete zwischen

Fig. 115.

9OO O Q [ 9OOO9

-4-^-4

-4i&4

den Nieten der sonst durchlaufenden Eintheilung anbringen können.

105. Da die Blechwände einen starken Druck auszuhalten haben, so müssen sie, insofern sie gegenüber ihren Längen- und Breitendimensionen verhältnissmässig geringe Metalldicke haben, durch besondere Absteifungen gegen Einknicken oder Ausbauchen geschützt werden. Es ist dies insbesondere dann nothwendig, wenn die Wanddicke auf das durch die Formel bestimmte Maass beschränkt ist.

In der Regel geschieht die Absteifung der Blechwände durch Yertikalstützen, welche aus Winkeln, ~TEisen oder Combination verschiedener Blechsorten bestehen. — Bei der Britannia-brücke wurde die Entfernung der 20—26' hohen "Tförmigen Rippen zu 2' engl, angenommen; bei der Brücke von Langon wurde bei 5,5 M. Wandhöhe die Distanz der Yertikalrippen auf 0,86 M. bemessen; bei geringerer Trägerhöhe darf die Distanz der Yertikalrippen grösser genommen werden und wird die von Gurtungen und Rippen eingeschlossene freie Wandfläche für jede Blechdicke eine bestimmte Zahl Quadrateinheiten messen dürfen.

Bei grösseren Trägern, wo die Distanz der Yertikalrippen kleiner ist, dient es wesentlich zur Materialersparniss, wenn zwischen einzelnen stärkeren Ständern schwächere Rippen verwendet werden ; die stärkeren Ständer dienen insbesondere zur Befestigung der Querträger und werden häufig durch die Befestigung der letzteren bedingt; in der Praxis handelt es sich somit oft darum, ob zwischen den durch die Querträger bestimmten Ständern eine oder mehrere Yertikalrippen nothwendig werden.

Wenn zunächst nur die obere Gurtung eines Trägers belastet ist, so muss die Hälfte der Belastung durch die Wand auf die untere Gurtung übertragen werden, was ein weiterer Grund des Ausbauchens dünner Wände ist. — Zur Uebertragung dieser Kräfte können aber wiederum dieselben Yertikalrippen dienen oder nach Umständen hiezu besonders angeordnet werden; so z. B. bei Querträgern, welche durch die Fahrbahn in bestimmten Punkten belastet werden und dann gerade hier ihre Yertikalrippen erhalten.

106. Besondere Aufmerksamkeit erfordern die Endständer. Dieselben haben die in der Wand nach allen Kiclitungen thätigen Kräfte aufzunehmen und deren vertikale Composanten auf die Auflager zu übertragen. — Ist nur ein einziger Endständer vorhanden, so hat derselbe die ganze Yertikalkraft, beziehungsweise den Auflagerdruck auszuhalten ; hienach ist also sein Querschnitt zu berechnen; (es ist zu erinnern, dass wir im Früheren die Yertikalkräfte stets für ein Geleise berechnet haben, so dass die selben für die Rechnung erst auf einen Träger reducirt werden müssen).

Sind mehrere Endständer vorhanden, so muss man sich vor Allem darüber klar sein, in welcher Weise sich dieselben in die zu übertragende Kraft theilen; es kommt hiebei wesentlich die Formänderung des ganzen Trägers in Betracht und hat in Folge der Biegung der Träger zunächst ein Bestreben auf die Auflagerkante zu drücken; wir haben schon in N°. 85. darauf aufmerksam gemacht; dass durch passende Anordnung der Endständer der Druckmittelpunkt von der Auflagerkante abgelenkt werden könne ; bei gegebener Yertheilung der Endständer handelt es sich dann darum, die Richtung der Resultante der Auflagerreaction zu bestimmen.

Die Beurtheilung der auf einen Endständer treffenden Belastung wird bei continuirlichen Trägern besonders schwierig; die Einwirkung ist hier eine gegenseitige, indem einestheils die auf jeden der Endständer treffende Kraft durch die Gestalt der elastischen Linie bestimmt ist, andererseits letztere Kurve durch die Anordnung der Endständer beeinflusst ist.

Wo die Endständer ganz fehlen, da hat die Wand auf die Auflagerbreite den ganzen Druck selbst aufzunehmen; wenn dieser Druck zudem ungleich vertheilt ist, z. B. vorzugsweise auf die Kante wirkte wird leicht ein Ausbiegen der Wand eintreten; bei grösseren Trägern sind daher die Endständer unentbehrlich; ebenso muss eine ungenügende Stärke der Endständer als ein entschiedener Constructionsfehler bezeichnet werden.

Bei den Blechwandbrücken werden die Endständer durch .aufgenietete Winkel und ~rEisen gebildet, wobei derjenige Theil

der Mittelwand, der direkt über der Auflagerfläcbe sich befindet, zum Querschnitt des Endständers zu rechnen ist. — Selbstverständlich sind auch hier die nothwendigen Abzüge für die Nietlöcher zu machen.

107. Für die kleineren Spannweiten bis 7 M. sind die Maximalwerthe von $07 und SB in den Tabellen XXX. und XXXI. (Seite 163—165) zusammengestellt (während die Berechnung der $07 und SB im 3. Abschnitte eingehend behandelt ist).

Für die grösseren Spannweiten ist es von Wichtigkeit, die Werthe SB und S07 für jeden einzelnen Querschnitt schnell auffinden zu können ; es wurden desshalb die gleichförmigen Belastungen q und q' berechnet, welche als Aequivalent eines Eisenbahntrains angenommen werden dürfen; dieselben sind in den Tabellen XVII. zunächst für freiaufliegende Träger zusammengestellt. Die Werthe q' sind bei einseitiger Belastung anzuwenden und dienen zur Auffindung der grössten Vertikalkräfte, welche für jeden Querschnitt in Gleichung 96) gegeben sind; die entsprechenden Angriffsmomente enthält Gleichung 97); meist kommen jedoch bei einseitiger Belastung nur die Werthe SB in Betracht, von welchem dann nur einige wrenige Werthe (hauptsächlich für die Mitte und die Auflager) berechnet werden müssen.

Anmerkung. Bei Bestimmung der in den Tabellen XVII. gegebenen q' wurde die Belastung der einen Brückenbälfte zu Grunde gelegt, während q der der Totalbelastung entspricht ; für die zwiscbenliegenden Belastungen ist die stellvertretende gleichförmig vertbeilte Last ein Mittelwerth, der sich je nach der Ausdehnung der Ueberlast dem Werthe q oder q' mehr nähert, übrigens mit Kücksicht auf ungünstige Lastrertheilung stets grösser als q sein muss. —

Für die gleichförmig verbreitete Maximallast berechnen sich die einzelnen SB und $0t nach Gleichung 92a) und 93a) ; der absolut grösste Werth von $07 tritt bei der Maximallast ein und ist stets

gleich 9g-.

Im Uebrigen geben die graphishen Darstellungen der Tafel II. eine übersichtliche Anschauung der Aenderungen der Werthe SB und $07. — Für besondere Fälle dienen die Gleichungen 100) bis 102) in N°. 63.

Bei continuirlichen Trägern ist aus Tabelle XVII. beziehungsweise XVIIa. der Werth q einzusetzen, hiernach bestimmen sich die Auflagerdrücke für 2 Oeffnungen nach der Gleichung 106) beziehungsweise 107) und bei Senkung der Stützpunkte nach den Gleichungen 117) und 118); für 3 Oeffnungen nach den Gleichungen 123) und 124) und bei Senkung der Stützpunkte nach Gl. 131) und 132); SB und $07 finden sich dann nach den Gleichungen 108)—109a) und sind in N°. 73. und 78. Kegeln zur Berechnung der hauptsächlichsten Werthe gegeben.

Continuirliche Träger sollen nur bei grösseren Spannweiten angewendet werden und ist dann je eine Oeffnung gleichförmig

Bau der Brückenträger.

belastet anzunelimen ; das Rechnungsverfahren bleibt für alle Fälle dasselbe, sobald die Belastung per Längeneinheit festgestellt ist.

so

Wenn die einzelnen Werthe iß und 9JÎ für sämmtliche Querschnitte bekannt sind — zu welchem Zwecke graphische Darstellungen wie in den Tafeln II.—V. hergestellt werden — so werden die Gur tungs - Que r schnitte und Blechwand dicken nach den praktischen Formeln 143), 150) und 152), sowie gebogene Gurtungen nach den Formeln 159) und 161) berechnet. — Durch passende Wahl der Gurtungs - Querschnitte kann erreicht werden, dass dasselbe Maximum der Längenspannung auf die ganze Trägerlänge stattfindet; man ändert den Gurtungs-Querschnitt in der Regel dadurch, dass man mehr oder weniger Kopfbleche oder auch der Reihe nach stärkere oder schwächere Winkel oder Kopfbleche anbringt; die Aenderung des Gurtungs-Querschnitts geschieht hiebei staffelförmig, während die Angriffsmomente sich bei gleichförmig vertheilter Ueberlast stetig ändern ; eine staffelförmige Darstellung der Werthe der aufeinanderfolgenden Gurtungs-Querschnitte wird sich bei horizontalen geradlinigen Gurtungen der Parabel der grössten Angriffsmomente möglichst anzuschliessen haben und zwar dass die Längenspannung des mittelsten Querschnitts nirgend» überschritten wird (vergl. Fig. 116); es ist wünschenswerth, wenn

Fig. 116.

die Längenspannung in den übrigen Querschnitten, zumal gegen die Auflager hin, etwas kleiner wird, weil hier die grösste schiefe Wandspannung — welche die grösste Längenspannung nicht überschreiten soll — durch verhältnissmässig grössere Yertikalkräfte beeinflusst wird.

108. Es ist bis jetzt angenommen, dass die einzelnen £5 und an den Hauptträgern thätig seien, diess ist jedoch nur dann genau, wenn die Lasten unmittelbar auf die Hauptträger aufgelegt sind, meist sind jedoch besondere Querträger zur Aufnahme der Yerkehrsbelastung vorhanden, so dass die Hauptträger nur an einzelnen Punkten die zufällige Last aufnehmen; zwischen den Querträgern müssen die Lasten durch Längenträger (Schwellenträger, Poutrelles) aufgenommen werden, welche letztere in Folge dessen mit einem Theil des Angriffsmoments behaftet sind; in den Hauptträgern ist dann das Moment um so viel kleiner. Wenn die

Längenträger in den Lastpunkten frei aufliegen, so ist das an diesen Lastpunkten herrschende Angriffsmoment 9)1 des Hauptträgers dasselbe, wie wenn die Last unmittelbar auf dem Hauptträger aufliegen würde ; wenn man die auf den Hauptträger wirkenden Momente graphisch darstellen will, so hat man die den Querträgern entsprechenden Punkte der Curve 9)1 durch schwachgekrümmte, dem Eigengewicht der Hauptträger entsprechende Paralelbögen zu verbinden, wofür man ohne erheblichen Pehler gerade Linien substituiren kann. Hie kleinen Momente ^9J1, welche zwischen dem so entstandenen Polygon und der Curve 9)1 sich darstellen, müssen durch das Widerstandsmoment der Längenträger (nach Umständen theilweise durch die Fahrschienen) aufgenommen werden.

Fig. 117 stellt die hieraus resultirende Modification der 9)1 und

Fig. 117.

\\

//

i.™

S>"

35 für den Fall der Maximallast graphisch dar; 35 bleibt auf die Distanz zwischen 2 Querträgern constant und ist gleich demjenigen 35, welches für die Mitte des betrachteten Trägerfeldes ohne Berücksichtigung der Querträger bestimmt wurde.

Fig. 118. stellt in ähnlicher Weise den Einfluss der Querträgerbelastung bei der grössten einseitigen Belastung dar, wobei sämmtliche max 35 nach Gleichung 96) und 96a) und je gleichzeitige 9)1 nach Gleichung 97) und 97a) bestimmt sind; (zur Construction der Curven 35 und 9)1 können übrigens in vielen Fällen die graphischen Darstellungen der Tafel II. dienen, wo 6 verschiedene Yerhältnisse — zu Grunde gelegt, die einzelnen Ordi-

naten aber aus Tabelle XV. ersichtlich sind.

Wir machen aufmerksam, dass in Fig. 118. die Grössen q' und k' eingeführt sind, welche der einseitigen Belastung entsprechen (vergl. Tabelle XVII. und XVIIa.) und stets erheblich gröser sind als q und k. — (Zu vergleichen Anmerkung auf Seite 177).

In der Hegel handelt es sich aber bei den Blechwandbrücken

nicht um gleichzeitige Werthe von 9)1 und 25, sondern es dienen zur Bestimmung der Gurtungsstärke im allgemeinen die

Fig. 118.

V.

T⁻

j-

grössten "Werthe von 9JÎ, zur Bestimmung der Mittelwanddicke die grössten Werthe von 25.

Es sind daher in Fig. 119. diese Maximalwerthe aus Fig. 117. und Fig. 118. zusammengestellt (indem max 93Î aus Fig. 117., und max 25 aus 118. entnommen wurde.)

Fig. 119.

x-

zTt

’^Die polygonförmige Curve 9)1 und die treppenförmige Curve 25 in Figur 119. geben mittelst Abgreifen mit dem Zirkel direct die in die praktischen Formeln einzusetzenden Werthe von 9)1 und 25; man kann aber auch die Lasten nach dem Hebelgesetz auf die Querträger vertheilen und alsdann nach den Gleichungen 100) bis 102) die 9)Z und 25 für Maximallast und grösste einseitige Last unmittelbar bestimmen : das Resultat muss dasselbe blei-

ben, wie wenn man die einzelnen 9)1 und $ zuerst für das ganze System berechnet und die auf die Zwischenträger fallenden ^9)ï und nach Anleitung der Figuren 117., 118. und 119. ausgeschieden hätte. —

§. 13. Blechbalkenbrücke von 15 M. Spannweite.

109. Als Beispiel einer Blechbalkenbrücke wählen wir eine Eisenbahnbrücke, deren Geleise mittelst Schwellenträgern auf den Querträgern aufliegt, welche Anordnung aus beistehender Figur

120. ersichtlich ist, während die genauen Ausmaase und Construe-tionsdetails auf Tafel YI. dargestellt sind.

Fig. 120.

->b-

Das Eigengewicht p der Brücke wird zu 1075 K. per Meter angenommen, indem in Gleichung 103) nach Fall 2) der N°- 65 (Seite 101) die Fahrbahn zu 550 K. sich berechnet; es wurde sodann die gleichförmig getheilte Maximallast k = 4750 K., die einseitig wirkende auf einen Theil der Länge gleichmässig vertheilte Last k' — 6080 K. angenommen, welche Belastungen der Anwendung schwerer Güterzug - Maschinen entsprechen. — Nach Yorstehendem ist q = p + k = 5825 und q' = p + k' = 7155 Kilo.

= 163828 KM.

Indem man nun in Fig. 121. oberhalb der Abszissenaxe die Maxima SU, und unterhalb die Maxima $ aufträgt, die Einthei-lung in 9 Felder anbringt und nach Anleitung von Fig. 119 die entsprechende Modification der Curven 9)1 und 5$ vornimmt, ferner nach vorstehenden Zahlenangaben die Werthe: qi² _ 5825 . 225

= 53662,5 K.

qT _ 7155 . 15

k'l

6080.15

= 11400,0 K.

ausrechnet, so erhält man aus Fig. 121. auf graphischem Weg nach den bekannten Eigenschaften der Parabel und der geraden

Fig. 121.

i ii m

iy y yi

Linie, oder aber auch durch Berechnung (Gleichung 92—93b) nachstehende Tabelle :

Tabelle XXXII.

Querträger :

1.

II.

III.

IY.

y.

Abscissen:

l²/s

3¹/»

6²/3

772

87s

64700

110000

145600

161800

161800

161800

max

53662,5

44271

34880

25488

16096

11400

16096

in der Mitte des Feldes:

49271 39575 30184 20792

11400

Die Werthe der Tabelle XXXII. gelten für e i n Geleise; sie sind daher, sofern sie auf einen Träger angewendet werden, im vorliegenden Falle sämmtlich zu halbiren; die halbirten Werthe der Tabelle können direct zur Bestimmung der Dimensionen der Hauptträger angewendet werden.

110. Die vorläufig angenommene Querschnittsform des Hauptträgers ist in nebenstehender Figur 122 skizzirt, wonach dieser

Querschnitt aus einer 1,5 M. hohen Mittelwand und zwei Gurtungen besteht, welche letztere in der Mitte der Brücke, wo max üül stattfindet, aus je 2 Winkeln und 3 Kopfblechen zusammengesetzt ist; da der Schwerpunkt der Gurtung ziemlich genau mit dem betreffenden Ende der Mittelwand zusammenfällt, so wird die Höhe der Mittelwand = H₀ gesetzt, welche Grösse als Distanz der Gurtungs-Schwerpunkte in der Formel 150) auf-tritt; ehe letztere Gleichung zu Bestimmung der Gurtungsstärke angewendet werden kann, ist die Ivenntniss der Mittelwanddicke nothwendig.

Die Bestimmung der Dicke der Mittelwand geschieht nach Gleichung 145), indem man schätzungsweise die Distanz der Mittelpunkte von

9

Druck und Zug gleich ^ ip₀ = 1,35 M. setzt; es

------folgt nun aus Gleichung 145) unter Einsetzung der

in Tabelle XXXII. enthaltenen Werthe von max 35

im Felde 0—I 8 = —

. Fig. 122,

ISO

Cent.

49271

CM rH

I-II 8 = —

350 . 135 39575

„ II—III 8 = _ „ III—IY d = T „ IT—V i = -1

350 . 135 30184

350 . 135 20792

= 0,52 Cent. = 0,40    „

= 0,32

= 0,22 „

550.135 11400 350 . 135

Mit Rücksicht auf die Yerschwächung der Blechwand durch die Nietreihen wird 8 in den beiden äusseren Feldern gleich 0,7 C. gesetzt; in den 5 Mittelfeldern wird d = 0,6 C. angenommen, indem man wegen Witterungs-Einflüssen und Widerstandsfähigkeit gegen Einknicken nicht unter letztere Blechdicke gehen will. — Der Gurtungsquerschnitt Si in der Träger-Mitte kann nunmehr nach Gleichung 158 erhalten werden:

—b«®«

= 0,12

Si =

158)

II

In dieser Gleichung setzen wir die zulässige Spannung 31= 650 wie oben bemerkt = 150; ferner H durch vorläufige Annahme der Kopf blechdicke = 156 C.? 8 mit Rücksicht auf die Yerschwä-ehung durch Nieten = 0,5 C., woraus 80900 . 1,56 650 . 1,5²

Si = 86,2 — 12,5 = 73,7 □ Cent.

Si =

0,5 X 150

Um diesen Querschnitt zu erhalten, nehmen wir folgende Dimensionen der Winkel oder Kopfbleehe an:

59.4    DO.

36,0    „

95.4    ne.

zus.

13,32 dC. •    4,86    „

18,0 „

zus.

bleiben als wirksamer Querschnitt S2 = 77,4 DC. während nach obiger Rechnung 75,7 QC. benöthigt werden. —■ Gegen die Auflager hin werden im Yerhältniss der Abnahme von 9)1 ein oder zwei Kopfblechlagen weggelassen, wobei zur näheren Bestimmung der Länge der Kopfbleche ein graphisches Yerfahren angewendet wird, wie solches in Fig. c der Tafel YI. dargestellt ist.

Die Grösse Jq bestimmt sich, nachdem der Gurtungs-Querschnitt bekannt ist, nach der Näherungsformel 148). für die Mitte der Hauptträger

= 140,1 Cent.

£ = 150

12 . 77 + 2.0,5 . 150 12 . 77 + 3.0,5 . 150 für die Enden der Hauptträger, wo die Dicke der Mittelwand nach Abzug der Meten zu 0,6 angenommen werden darf, und der Gurtungs-Querschnitt nach Abzug zweier Kopfblechlagen noch 46 DC. beträgt

§ = 150

= 133,5 Cent.

12 . 46 + 2 . 0,6 . 150

12.46 + 3.0,6 . 150 während wir oben näherungsweise im Mittel 135 Cent, gesetzt haben. —

Zur Bestimmung der Nieten-Distanz dienen die Formeln 162) und 164); es muss derjenige Querschnitt betrachtet werden, für welchen $ am grössten ist; für diesen Querschnitt haben wir oben iQ = 133,5 C. gefunden. Für die Meten der Mittelwand und der Gurtung ist ein Durchmesser von 1,8 C. angenommen worden; hienach berechnet sich die Yertikaldistanz der Wand-stossniete D nach Gleichung 162) zu 16,25 C., die Horizontaldistanz D' der Gurtungsnieten nach Formel 164) zu 20,3 C. — In der Ausführung sind für letztere Distanz nur 13 C. angenommen, da diese Meten auch zur Yerbindung der Gurtungstheile unter sich zu dienen haben und insbesondere von den Stössen hiedurch weiterhin in Anspruch genommen sind.

Soweit an den Stössen der Gurtungen beiderseits Stoss-platten angenommen sind, vermag eine Niete von 1,8 C. Durchmesser bei 600 Kilo Schubspannung 3060 Kilo Zug oder Druck zu übertragen; die Kopfbleche haben bei 650 Kilo Längenspannung 10764 Kilo auszuhalten ; diese Kraft kann somit von 4 doppelschnittigen Nieten übertragen werden, welche je mit 2898 K. in Anspruch genommen sind. — Es ergiebt sich hiernach die Stossplattenlänge eines mit beiderseitigen Stossplatten versehenen Stosses = 4 D/ = 52 C.; die Länge einer einseitigen Stossplatte wenigstens 8 D/ = 104 C.

Die einzelnen Stösse der Kopfbleche, Winkel und Wandbleche sind in Eig. c Tafel YI. gleichfalls eingetragen; — wie dort ersichtlich, gehen die Stossplatten je über 2 Stösse (vergl. Fig. 51) und müssen bei doppelschnittigen Nieten wenigstens 78 C., bei einschnittigen Nieten wenigstens 156 C. lang sein. Die Wandstösse sind gemäss N°. 103. mit doppelten Nietreihen versehen. — Besondere Yertikalstützen sind nicht nothwendig, da die zur Befestigung der Querträger dienenden Yertikalrippen auch für die Absteifung der Häuptträgerwand genügend sind. —

111. Wir haben nun noch die einzelnen Theile der Fahrbahn zu berechnen.

Bei den Schwellenträgern darf das Eigengewicht der Fahrbahn wohl vernachlässigt werden ; die grösste Belastung tritt

Fig. 123.

6000*

cooo,:

l3m

mm t »

4*2

Y________

dann ein, wenn ein Lokomotiv-Rad direkt über eine der Querschwellen zu stehen kommt; für diesen Fall ist der Auflagerdruck A am nächstgelegenen Querträger I.

9)i = A X 0,42 = 5156 X 0,42 = 2165 Km., wonach wir aus Tabelle XXIX. Seite 158 einen I Träger von 42,6 Kilo Gewicht per laufenden Meter auswählen und zwar finden wir für 25,1 C. Höhe XXy = 2481 Km. verzeichnet.

Anmerkung. Wir hätten auch das grösste Angriffsmoment für die Schwellenträger näherungsweise durch Interpolation aus Tabelle XXXa. erhalten können, und zwar:

1    2 . 3587 + 1 . 4500

= 1945 Km.

0,42    0,37

1^67 * p4

und das Angriffsmoment am Auflagepunkt der belasteten Querschwellen

1,25

1,67

• 6000 -f

• 6000 = 5156 K.

max TÎ — ~

Dieser Werth ist kleiner als der oben gefundene, weil in Tabelle XXX». eine grössere Distanz der Querschwellen und eine grössere Distanz der Locomo-tivaxen angenommen ist.

Für die Berechnung der Querträger ist als Belastung zu rechnen, indem in Fig. 124 Querträger II als vorzugsweise belastet erscheint:

Fig. 124.

12

ts

kT

1,30

P,gj

JT

ja

von der Locomotive

(4+4)12000 K*= 15000 Kil°

1,67 M. Fahrbahn à 550 K. =    918 „

zus. 15918 Kilo

wovon die Hälfte mit rund 8000 K. an jedem der beiden Lastpunkte thätig ist, (siehe Fig. 120 Seite 181); nach Fall 12 der Tabelle XXYIII. ist im vorliegenden Beispiel

max 9)1 = PI = 8000 . 1,0 = 8000 KM.

Wir nehmen für den Querträger eine Mittelwand von 50 C. Höhe und 0,7 C. Dicke an; als Gurtung genügen dann 2 Winkel -ohne Kopfblech; die Distanz der GurtungsSchwerpunkte wird zu 45 C. angenommen, so ist nach Formel 150), indem 21 = 600 .gesetzt wird:

8000

4- . 0,6 . 45

D

600 .

0,2025

0,50

Si = 32,9 — 4,5 = 28,4 DCent.

•so dass zwei Winkel von je 17 QC. genügen, welche nach Abzug der Nietlöcher einen nutzbaren Querschnitt von etwa 30 QC. ■ergeben, wonach die Spannung in den äussersten Fasern

600 -wfi- = 564 K. betragen wird.

112. Nachdem im Yorstehenden die einzelnen Dimensionen der Träger berechnet sind, sollen die Gewichte der einzelnen Brückentheile bestimmt und übersichtlich zusammengestellt werden.

(Die Tabelle folgt auf den nächsten Seiten.)

188

§. 13. Blechbalkenbrücken von 15 M, Spannweite. Tabelle XXXIII.

Im

Einzelnen.

Nro.

Bezeichnung der Brückentheile.

Cubik-

Decim.

Kilogr.

Gewicht per lauf. Met. der Brücke.

Gurtungen.

4 Kopfbleche je 15,6 M. lang 22,0 C. breit 0,9 C. dick je 10,2 M. lang 22,0 C. breit 0,9 C. dick je    7,2    M. lang    )

22,0    C. breit    (    .    .

0,9    C. dick    )

8 Winkel je 15,6 M. lang mit je 18 [jCent. Querschnitt ...........

16 Winkeldeckplatten je 88 C. lang mit je 12 QC, Querschnitt .......

4 Stossplatten der Kopfbleche je 160 C.

lang, 22,0 C. breit, 0,9 C. dick . . .    12,67

Nietköpfe (ohne die Nieten zwischen Wand

und Gurtung) 1940 Stück à 6,0 Cubik-C. 11,84

zus. .    .

. . 123,55

964

4 dto.

4 dto.

. .    80,78

.    57,02

224,64

15,36

Mittelwand.

4 Wandbleche je 3,63 M. lang )

145 C. hoch .... 147,4 0,7 C. dick je 4,17 M. lang 145 C. hoch 0,6 C. dick 12 Deckplatten je 1,25 M. lang 40 C. breit 0,5 C. dick

16 Futterbleche je 1,25 M. lang )

20 C. breit [ . .

1,0 C. dick ) je 1,25 M. lang 20 C. breit 0,5 C. dick

32 Winkel der Vertikalständer je 143 C. lang

mit 14 QC. Querschnitt......

4 Endständer je 143 C. lang mit je 40 QC.

Querschnitt...........

1700 Nietköpfe à 6 Cubik.C. ......

4 dto.

4 dto.

Diagonalverbindungen.

10 Stück je 5,2 M. lang 10 C. breit 0,8 C. dick 120 Nietköpfe à 6 Cubik-C.

.    . 149,1

.    .    30,0

. .    40,0

zus.

zus.

5,0

64,1

22,9

10,2

41,6

0,7

630

435

1752

120

99

92

4092

1150

1163

234

312

500

GO ^3 O CD

241

21

262

148

86

3657    234

325

45

370    24

Nro.

Tabelle XXXIII. (Fortsetzung).

Im

Einzelnen.

Bezeichnung der Brückentheile.

Cubik-

Decim.

Kilogr.

Gewicht per lauf. Met. der Brücke.

Querträger.

10 Wandbleche je 2,9 M. lang 50 C. hoch 0,7 C. dick 20 Eckbleche je 143 C. hoch vergl. 23 C. breit 0,7 C. dick

40 Winkel je vergl. 3,5 M. lang mit je 17 QC.

Querschnitt......

40 Deckplatten je 20 C. lang 30 C. hoch 0,5 0. dick 1800 Nietköpfe à 6 Cubik-C. .

101,5

46,0

238,0

12,0

10,8

792

359

1856

94

84

zus.

3185

204

Schwellenträger.

18 Stück T-Eisen je l²/s M. lang per laufenden Meter je 42 K. wiegend . . . . 72 Stück Eckwinkel je 21 C. hoch mit 40 [jC.

Querschnitt........

20 Verstärkungsbleche je 48 C. hoch 30 C. breit 1 C. dick

1260,0

62,0

28,8

484

225

600 Nietköpfe à 6 Cubik-C. .

3,6

27

zus.

1996

127

Fahrschienen.

15,6 laufende Fuss à 80 Kilo

1248

80,0

Querschwellen.

18 Stück je 2,5 M. lang, ²⁴/ie Cent, stark, je 67 Kilo wiegend.........

1206

77

Eichene Bedielung.

2,0 M. breit, 7 Cent, dick, wiegt per laufenden Meter 105 Kilo .......

1638

105

Die sub 1—8 aufgeführten Gewichte sind nun gemäss N°. 66. auf Hauptträger und Fahrbahn zu vertheilen, wonach sich folgende Zusammenstellung ergibt:

Tabelle XXXIV.

Gewicht

Summa

Nro.

Bezeichnung der Brückentheile.

in Kilo.

per lauf. Meter.

total.

per lauf. Meter.

CO

Hauptträger. Gurtungen .    .

Mittelwand . Diagonalen .    .

Fahrbahn. Querträger . Schwellenträger Fahrschienen Querschwellen Bedielung .    ,

8119    520

3185 204 1996 127 1248 80 1206 77

1638 105 9273 593

6—8

1—5

Gesammtgewicht.

Hievon beträgt:

der Oberbau.......

die Schmiedeisenconstruction . .

Summe wie oben 17392    1113

. 4092 262 . 13300 851

17392    1113

F = 593

In der Berechnung hatten wir das Eigengewicht anstatt 1113 zu 1075 Kilo angenommen, was für die im Träger thätige Spannung nur eine sehr geringe Differenz antrifft. — In Gleichung 103“) wäre für das vorliegende Beispiel zu setzen C = 33,3

somit

p = 33,3 1 + 593 = 1113 Kilo

113. Wir wollen nun noch für die betrachtete Brücke die grösste schiefe Wandspannung berechnen. —

nir-

max

Für den Hauptträger sind auf Tafel YI. Fig. a und b auf Grundlage der Tabelle XXXII. die gleichzeitigen 9JÏ und 2$ sowohl für die Maximallast als für die grösste einseitige Belastung graphisch dargestellt (wie dieses in X°. 108. an Fig. 117 und 118-erläutert ist) und wurde nun für zwei Querschnitte, wo sich der wirkliche Querschnitt dem theoretischen am meisten nähert, die grösste Längenspannung 21₀ und die Schubspannung ©₀ in der neutralen Faser für den Fall der einseitigen Belastung nach den in Fig. b verzeichneten und Sß bestimmt; hiernach sind auf" Tafel I. die Figuren X°. 2 und N°. 3 mit Hülfe des in X°. 27-beschriebenen Verfahrens hergestellt worden; und ist aus diesen Figuren ersichtlich, dass für die fraglichen Querschnitte SD

gends den "Werth der in den äussersten Fasern thätigen Längenspannung 2t₀ erreicht.

Für die Querträger haben wir max $ von den Lastpunkten bis zu den Auflagern je = 8000 K., d mit Rücksicht auf die Yer-schwächung durch Rieten = 0,6 C. ; die Grösse § bestimmt sich für die Querträger auf Grundlage der oben angenommenen Querschnitt-Dimensionen nach der Formel 32)

38383

/•a

J oZdy

woraus nunmehr aus Gleichung 144) die Schubspannung in der neutralen Faser

89777 = ⁴²>8 Ceni

= 311 K.

8000

0 . 6 X 42,8

gefunden wird; diese Schubspannung sinkt am innern Rande der Gurtungswinkel auf 276 K. herunter, während die Längenspan-

17

nung daselbst auf — . 600 = 408 K. sich berechnet; hiernach er-halten wir aus Gleichung 55)

max 3) =

^ + \/276² + 204² = 547

Für die Schwellenträger haben wir max Sß von den Schwellen bis zu den Auflagern gleich ³/4 6000 = 4500 K., woraus nach der aus Tafel YI. ersichtlichen Form der I Träger nach Gleichung 45) und der nachfolgenden Entwicklung Schubkraft in der neutralen Faser

©₀ = 214 K.

Schubkraft am innern Gurtungsrande

© = 153 K.

rand = 600

Indem wir endlich die Längenspannung am innern Gurtungs-21 2

—4- = 530 K. setzen, erhalten wir schliesslich für 24

letzteren Horizontalschnitt

265² = 571 K.

max

= 265 J- \/l53² +

§. 14. Die Eisenbahnbrücke bei Langon.

114. Die Brücke über die Garonne bei Langon wurde für die Eisenbahn von Bordeaux nach Cette erbaut und 1857 dem Betrieb übergeben ; hier wurden zuerst im grossen Maassstabe die bei der Britanniabrücke gemachten Erfahrungen von sachkundigen französischen Ingenieuren angewendet, und wenn auch der Einfluss der englischen Röhrenbrücken sich nicht verläugnet, so ist doch

ein Fortschritt und eine selbstständige Beurtlieilung deutlich zu erkennen.

Eine eingehende Behandlung des ganzen Baues dieser Brücke ist in dem Werke „Construction des ponts métalliques par MM. L. Molinos et C. Pronnier, Paris, 1857“ veröffentlicht worden und legen wir dieselbe der folgenden Darstellung zu Grunde; hienach sind auch auf Tafel VII. am Schlüsse des Buches die wichtigeren Haupt-Abmessungen und Detail-Maasse verzeichnet.

Bei der Berechnung der Brücke wurde die Spannweite für die Mittelöffnung zu 74,4 M. angenommen, so dass die Auflagerbreite für die Zwischenpfeiler 3 M. (entsprechend der wirklichen Berührungsfläche) und für die Endpfeiler 1,57 M. betrug; die ganze Länge der Hauptträger ist 211,7 Meter.

Als Eigengewicht wurde für den laufenden Meter eines Geleises 1900 K. gerechnet; als zufällige Last ebenso 4000 K. ; da die Brücke für 2 Geleise blos 2 Hauptträger erhalten hat, so hat jeder Träger die auf 1 Geleise antreffende Last auszuhalten.

Die Hauptträger sind über sämmtliche 3 Oeffnungen conti-nuirlich hergestellt; zur Bestimmung der elastischen Linie, der Angriffsmomente SDÎ und der Auflager drücke wurde das Verfahren von Clapeyron angewendet, welches in N°. 21. und 22. entwickelt ist.

Es wurden hiebei der Reihe nach eine oder mehrere Oeffnungen mit der zufälligen Last je auf ihre ganze Länge behaftet gedacht; die hauptsächlichsten Resultate sind in der umstehenden Tabelle XXXV. enthalten.

115. Mittelst der Tabelle XXXVI. lassen sich sämmtliche 9Jil und nach dem Hebelgesetz bestimmen, wie diess auch in X°. 78. entwickelt ist. — Auf Grund dieser Rechnungen wurde eine graphische Darstellung der 9)1 (moments de rupture) und ÜB (efforts tranchants) für sämmtliche 4 Belastungsarten hergestellt.

Durch gleichzeitiges Aufträgen der einzelnen Curven bildet sich für die Werthe $ und 9J! je eine TJmhüllungslinie, welche die absolut grössten Werthe der Vertikalkräfte und Angriffsmomente enthält. — Für jeden Querschnitt wurde die Wandstärke und der Gurtungs-Querschnitt nach den beschriebenen Maximal-werthen von ÜB und 9)1 bestimmt.

Wir bezeichnen mit:

H die ganze Höhe der Construction,

£₀ die Distanz der Gurtungs-Schwerpunkte (zugleich Höhe der Blechwand = 550 C.),

8 die Blechwanddicke,

H die Gurtungs-Querschnitte,

2t die Spannung in den äussersten Fasern,

0 das Trägheitsmoment des Querschnitts,

(E die Schubspannung gegen Abscheeren.

Für die Berechnung der Wandstärke nahm man an, dass ein Yertikalschnitt dfè₀ die Kraft ÜB aufzunehmen habe, wodurch man als vertikale Wandspannung (E erhielt.

*

i.

Wir wissen aber aus N°. 24—28., dass die vertikale Schubspannung sich nicht gleichförmig auf den Querschnitt vertheilt; es ist vielmehr, aus Tafel I. oder speciell aus Tafel VII. ersichtlich, dass die verticale Schubspannung gegen die Gurtungen hin abnimmt; — es ist nach Gleichung 144) die Schubspannung in der neutralen Faser

ÜB

Belastung der Oeffnang

Grösstes Angriffsmoment

tm

2137,5

tm

1936,5

tm

1079,8

tm

637,3

tm

682,6

AB

Auflager

druck

158,8

307,4

124,0

Belastung der Oeffnung

Grösstes An-griffsmoment

211,4

2084,6

1997,7

2084,6

211,4

BC

Auflager

druck

28,3

! 312,9

312,9

28,3

Belastung der Oeffnun-gen AB und

Grösstes An-griffsmoment

1673,5

3108,6

1649,2

1809,5

280,3

BC

Auflager

druck

140,5

474,5

291,1

Belastung sämmtlicher 3 Oeffnungen

Grösstes Angriffsmoment

3J{

1777,3

2833,5

1248,9

2833,5

1777,3

Auflager

druck

144,8

452,7

452,7

144,8

Art der Belastung

Tabelle XXXY.

1900 K. 4000 K.

64,08 M. 74,4 M.

1. Auflager

A.

l.Oeff-

nung.

2. Auflager

13.

2. Oeff-nung.

3. Auflager

C.

3. Oeff-nung.

4. Auflager

D.

II

Die vorstehenden Gleichungen I. und II. unterscheiden sich nur durch den Werth der Grössen und letztere Grösse finden wir nach Gleichung 148) über den Zwischenpfeilern = 0,93 <q₀. — Es wurde bei Feststellung des Projects unter Vernachlässigung der Nietlöcher eine grösste Schubspannung von 360 Kilo per [jCL angenommen und die Blechdicke nach obiger Gleichung I. für jede Abscisse berechnet. Zunächst den Mittelpfeilern wurde die Blechdicke auf 12 Mm. festgesetzt; als geringste Dicke nahm man etwa auf die Hälfte der Länge 7 Mm. an, da diese Stärke mit Rücksicht auf Ausbauchungen und auf Witterungsverhältnisse nicht vermindert werden wollte, der in N°. 28. früher gegebenen Berechnung eine graphische Darstellung der Schubspannung und der grössten schiefen Spannung (oder Pressung) gegeben.

Wir haben in Tafel VII. auf Grund

Zur Bestimmung des Gurtungs-Quer Schnitts wurde eine-Näherungsformel angewendet:

. 165)

» • | ©o £ + y %²

Es war beabsichtigt, dass 21 nicht grösser als 600 Kilo pro-□ Cent, sein solle und ist auch diese Spannung auf den weitaus grösseren Theil der Länge nicht überschritten; über den Pfeilern ist jedoch — wie auch die graphische Darstellung von Molinos und Pronnier zeigt — die Spannung im Verhältniss von circa ⁶/ö grösser.

Wenn man aus Tabelle XXXVI. den Maximalwerth von 311 sowie die einzelnen Dimensionen des Trägers in Gleichung 165) einsetzt, so erhält man ohne Nietenabzug

= 739 K.

21 =

3108600

5,5 . 654,4 + -i- 1,2.5,5². 100

Nach unserer Näherungsformel 158) (die für symmetrische Querschnitte mathematisch genau ist) haben wir, gleichfalls unter Vernachlässigung der Nietlöcher, eine Spannung von 752,8 Kilo erhalten, wonach also im vorliegenden Fall die Formel 165) einen Fehler von etwa l¹!* °/o gibt.

Der Gurtungs-Querschnitt wurde für die einzelnen Abscissen dadurch geändert, dass man ausser den durchlaufenden Winkeln und Bändern je nach der Grösse des Angriffsmoments 1 bis 4 Hauptkopfblechlagen anbrachte, in Folge dessen der Gurtungs-Querschnitt zwischen 312,4 und 654,4 □Cent, variirte.

116. Die Angabe, dass die grösste Längenspannung auf 600 Kilo bestimmt sei, bedarf noch mehrfacher Berichtigungen. Als Eigengewicht ist in der Berechnung 1900 Kilo ange-

nommen ; nach annähernd übereinstimmenden Angaben von Molinos und Pronnier beträgt aber das Eigengewicht :

726 tons 49    „

Hauptträger......

Windkreuze und Verschiedenes

zus. 775 tons

Querträger, Schwellenträger, Andreaskreuze .    .    188    „

total 963 tons

oder ca. 17 °/o höher zu rechnen.

von

somit per laufenden Meter eines Geleises 2274 Kilo, und mit Hinzurechnung von Schwellen, Schienen, Bedielung und Kiesdecke* ca. 2900 Kilo; die grösste Spannung wäre also im Verhältnis® 6900

5900

Ferner ist in der Berechnung des Gurtungs-Querschnitts kein Abzug für die Nietlöcher gemacht worden ; dieselben betragen ca. 10 °/o der ganzen Querschnittfläche und entsprechend ist die Spannung wiederum höher.

Ferner ist die Spannweite nach N°. 85. zu gering gewählt; denn 74,4 M. ist ziemlich genau die lichte Entfernung der Auflagerpunkte für die Mittelöffnung, während der Auflagerdruck auf die ganze Auflagerbreite gleichförmig yertheilt angenommen ist.

Durch diese Correctionen vermehrt sich die oben berechnete1 grösste Spannung in der Gurtung über den Mittelpfeilern auf etwa 900 Kilo; — die grösste schiefe Wandspannung wäre somit ebendaselbst (indem nach der Berechnung in N°. 28. 14 °/o zur grössten Längenspannung zu addiren sind) etwa 1025 Kilo per nCentim.

117.

Wenn auch bei der Wahl des Spannungscoefficienten von 600 K. per DCent. auf eine Vernachlässigung der Nietenlöcher bereits Rücksicht genommen ist, so ist doch die vorstehend berechnete grösste Spannung nicht beabsichtigt und wären die? Gurtungen über den Zwischenpfeilern entsprechend zu verstärken. Auf das Gesammtgewicht hat aber diese Vertärkung weniger Einfluss, indem der weitaus grössere Theil der Brücke eine keineswegs zu hohe Spannung erleidet. — Das in der vorhergehenden Nummer berechnete Eisengewicht von 2274 K. per 1. Meter entspricht der Formel

I.

p' = 445 -f 27 . 1 wobei eine mittlere Stützweite von 68 M. zu Grunde gelegt ist.

Wenn man das Gewicht der Schienen, Langschwellen un dl des Bohlenbelags mit 425 K. und das einer Kiesdecke mit 215 K.. per Meter Geleise addirt, so erhält man als das in die statische Berechnung einzuführende Eigengewicht

p = 1085 + 27 . 1

Die für die damalige Zeit sehr bemerkenswerthe Leichtigkeit der Brücke ist in der Continuität der Hauptträger, in der Anordnung der Fahrbahn, sowie insbesondere darin begründet, dass für 2 Geleise nur 2 Hauptträger angeordnet sind.

Durch die Continuität werden am Gewicht der Gurtungen etwa 20 °/o erspart; aber mehr noch wird für die Blechwände durch die angeführte Beschränkung der Trägeranzahl gewonnen; denn da die Blechdicke bei vermehrter Trägeranzahl auf den grossem Theil der Länge wenig oder gar nicht vermindert werden dürfte, da ferner die Absteifungen, wenn auch etwas schwächer, doch in ganz ähnlicher Weise für jeden Träger angebracht werden müssten, so würden 4 Träger wenigstens um die Hälfte schwerer als die 2 Hauptträger der Langonbrücke, und ist somit an den Seitenwänden ein Mindergewicht von circa 30 °/o erzielt.

Fig. 123.

K“wj —⁷

118. Die Blechwände der Hauptträger bestehen aus 86 C. breiten Blechtafeln von 5,5 M. Höhe, welche durch “rförmige Deckplatten an ihren vertikalen Stössen verbunden sind, wie in ² Fig. 123. skizzirt ist. Die Vertikaldistanz der 18 Mm. starken Nieten beträgt 10 C., die Schubspannung @₀ in der neutralen Faser, welche oben auf 360 K. mit Vernachlässigung der Nieten berechnet ist, beträgt somit nach Abzug der Nietlöcher:

I.

©₀ = —: . 360 = 439 Kilo

oZ

Die Schubspannung © der Nieten findet sich nach Gleichung 162)

© = 360

100

II,

= 585 Kilo

8,2

2 . 2,54

Die Resultate der vorstehenden Gleichungen I. und II. siud ziemlich übereinstimmend mit unsern Hegeln; doch ist wie auch bei dem Beispiel in §. 13 die Entfernung und entsprechend die Anstrengung der Nieten verhältnissmässig geringer, was insofern nothwendig ist, als die in Fig. 123. skizzirten Rippen nur einfache Nietreihen haben, welche in der Nähe der Gurtungen weit mehr in Anspruch genommen sind. — Wenn z. B. in einem bestimmten Querschnitte die Längenspannung am inneren Gurtungsrande 600 K., die vertikale Schubspannung der Wand ebendaselbst 300 K. betragen würde, so wäre nach Tabelle VI. die grösste schräge Wandspannung 724,2 K., während Durchmesser und Anzahl der Nieten dieselben sind, wie in der neutralen Axe, wo die grösste (Schub-) Spannung 439 K. beträgt; wir erhielten somit als Schubspannung in den der Gurtung zunächst befindlichen Nieten mit Benützung von obigen Gleichungen I. und IL:

r*

v:

Wo die Querträger auf die nach Fig. 123. und 124. construir-ten Rippen treffen, ist das T Eisen einserseits durch 2 Winkel nebst Deckplatten ersetzt, wie Fig. 125. angibt.

Diese letztere Anordnung ist nur an der Hälfte der Querträger angebracht, indem in Entfernungen von 5,16 M. stärkere Vertikalständer vorhanden sind, welche zugleich zur Aufnahme je des zweiten Querträgers dienten, wie aus der Tafel VII. ersichtlich ist; der Querschnitt dieser Vertikalständer ist in Fig. 126. dargestellt.

Fig. 126.

5-

585

III.

6 = 724,2 ^ = 964 Kilo

In der Nähe der Mittelpfeiler, wo die Längenspannung bis 750 K. beziehungsweise 900 K. steigt, würden die fraglichen Nieten der Vertikalwand ganz ausserordentliche Anstrengung zu erleiden haben; es sind aber daselbst verstärkte Rippen angebracht (vergl. Fig. 124.), welche mit doppelten Nietreihen versehen sind. — Hiedurch sind die betreffenden Nieten wesentlich entlastet; die schräge Wandspannung behält aber ihren oben berechneten Maximalwerth bei.

Fig. 124.

Fig. 125.

k-

mm*

MÊmm

«8

X.

... ~

J___J

---3lS

zts m7n-

■n

Derartige stärkere Ständer sind auch auf den Pfeilern als Endständer angebracht, welche da, wo keine Querträger noth-

wendig waren, mittelst sogenannter Andreaskreuze zu einem sehr steifen Querverband benützt sind.

Die Eintheilung der in Fig. 123—126. dargestellten Vertikal-rippen ist in der Tafel VII. gegeben. Es ist daselbst ersichtlich, dass auf einen Mittelpfeiler für jeden Träger 3 stärkere Absteifungen treffen, welche mit dem zwischen denselben befindlichen Wandstück den ganzen Pfeilerdruck aufzunehmen haben. — Der grösste Pfeilerdruck beträgt nach Tabelle XXXV. bei Belastung von 2 Oeffnungen 474,4 tons; der Querschnitt der Wandfläche ist (ohne Nietenabzug) 360 DCent., und wird durch besagte 3 Hauptständer auf etwa 900 [jCent. erhöht, so dass die mittlere Pressung; 474500

_ = 527 Kilo beträgt; die wirkliche Pressung ist

annähernd

900

jedoch in Folge der Verschwächung durch die Nieten wesentlich grösser. Es erhellt daraus insbesondere, dass der Druck auf die ganze Auflagerfläche vertheilt sein muss, wenn nicht einzelne Theile Noth leiden sollen und ist dadurch unser in N°. 85. entwickeltes Rechnungsverfahren gerechtfertigt.

119. Was die Anordnung der Gurtungen betrifft, so ist dieselbe aus Tafel VII. ersichtlich und nur hinzuzufügen, dass durchweg beiderseitige Stossplatten angebracht sind; dieselben haben so viele Nieten hinter einander erhalten, dass die durchlaufende Eintheilung der Nieten beibehalten werden konnte ; es ist diess nicht nur mit Rücksicht auf die Verschwächung durch die Nietlöcher, sondern auch wegen der Einfachheit der Ausführung vor-theilhaft. Sämmtliche Gurtungsbänder haben dieselbe Länge von 5,16 M. erhalten, gleich der doppelten Querträgerdistanz.

Die Stärke der Nieten, welche zur Verbindung von Gur-

dm

tun g und Blechwand dienen, wurde aus der Grösse

abgeleitet, indem die Schubspannung dieser Bolzen = 500 K. per □ Cent, gesetzt wurde; wir wissen, dass dieser Ausdruck nach Gleichung 18) gleich der Vertikalkraft SI ist, deren Maximalwerth für einen Träger nach Tabelle XXXV. und Gl. 106) = 64,08.9 — A = 64,0.5,9 — 140,5 = 237,5 tons beträgt.

Nach Gleichung 162) beträgt hier die Distanz D, der 2,5 C. starken Nieten zwischen Wand und Gurtung

D «

4    4

4- 2 .500

4

D, =

511,5

• 4,9 = 13,2 Cent.

237500

während in der Ausführung eine Entfernung von 10,7 Cent, gewählt wurde; — beim Project wurden 8 Nieten per Längeneinheit berechnet, was einer Nietendistanz D, = 12,5 Cent, entspricht.

120. Die Anfertigung der Nieten ist vom grössten Einfluss auf die Solidität der Blechwandbrücken sowie auf die Kosten der Zusammensetzung derselben. Sie haben beim Bau der Langonbrücke und in der Beschreibung derselben die verdiente Sorgfalt gefunden.

Die Nietbolzen erhielten einen Durchmesser, der 1 Mm. geringer war, als das Loch, das sie auszufüllen hatten; durch das beim Aushämmern des Nietkopfes hervorgebrachte Stauchen des glühenden Nietbolzens wird das Loch vollständig ausgefüllt und bleibt der Contact erfahrungsgemäss bei tüchtiger Arbeit auch nach dem Erkalten, wie man sich durch Augenschein überzeugen kann, dass dieser Art eingesetzte Nieten, wenn sie durch Lostrennen des Nietkopfes frei werden, das Nietloch vollständig ausfüllen; dass diese Ausfüllung der Löcher durch die Nieten nur dann zu erreichen ist, wenn letztere im Yerhältniss zu ihrer Dicke nicht zu lang, ist schon früher erwähnt. — Es muss desshalb der cylindrische Theil der Niete eine grössere Länge erhalten, als die Dicke der zu verbindenden Bleche nachweist, zu Anfertigung des 2. Kopfes ist ausserdem eine Länge gleich dem 1,1 fachen des Bolzendurchmessers hinzuzurechnen. — Molinos und Pronnier haben die folgende Tabelle veröffentlicht, wonach unter vorstehenden Yoraussetzungen und auf Grund von Yersuchen in den Werkstätten von Gouin & Comp, die Länge der Nietbolzen bestimmt worden ist.

Tabelle XNXVI.

Länge der zu verbindenden Bleche in Millimetern.

Nieten von 18 Mm. Nieten von 20 Mm. Nieten von 22 Mm. Nieten von 25 Mm. Durchmesser.    Durchmesser.    Durchmesser.    Durchmesser.

100 Nietköpfe    100 Nietköpfe    100 Nietköpfe    100 Nietköpfe

wiegen 4,28 K. wiegen 5,87 K. wiegen 7,76 K. wiegen 11,39 K.

d Gewicht Cjliniicrs

in Mm.

von 100 Stück.

Länge des Cy-linders.

Gewicht von 100 Stück.

Länge des Cy-linders.

Gewicht von 100 Stück.

Länge des Cy-

linders.

Gewicht von 100 Stück.

15

42

12,04K    45    16,14

45

20,50

51

29,28

18

45

12,64

48    16,87

48

21,39

54

30,16

21

48

13,23

51    17,60

51

22,28

57

31,31

24

51

13,82

54    18,34

54

23,17

60

32,46

27

54

14,42

57    19,07

57

24,06

68

33,61

30

57

15,01

60    19,80

60

24,94

66

34,76

33

60

15,61

63    20,54

63

25,83

69

35,91

36

63

16,19

66    21,27

66

26,72

72

37,05

39

66

16,77

69

22,00

69

27,61

75

38,20

42

72

17,94

72

22,74

72

28,49

78

39,35

45

75

18,53

75

23,47

75

29.38

81

40,50

48

78

19,11

78

24,20

81

30,27

87

42,79

51

81

19,61

81

24,44

84

31,16

90

43,94

54

84

20,28

84

25,67

87

32,05

93

45,09

57

87

20,86

87

26,40

90

32,94

96

46,23

60

90

21,45

90

27,13

93

33,82

99

47,38

121. Wir scliliessen die Beschreibung dieser Brücke mit einer Uebersicht des Gewichts der einzelnen Constructionstheile, wo insbesondere die einzelnen Bestandtheile des Haupurägers nach der Angabe von Molinos und Pronnier ausgeschieden sind.

Tabelle XXXVII.

Bezeichnung der Bestandtheile.

Gewicht für 1 Geleise per lauf. Meter

im Ganzen.

einzeln in Kilogr.

a) Hauptträger-Construction.

1)    Seitenwand.

Blechtafeln........ .

Vertikalständer ........

Nietenköpfe .........

2)    Gurtungen.

Kopfbleche und Winkel.....

Stossplatten.........

Nietenköpfe.........

3)    Wind kreuze und Verschiedenes.

350.3

396.3

30,0

829

! CX>

i fcO GO

776,6

989,0

118,4

b) Querträger, Schwellenträger, Andreaskreuze.

totales Eisengewicht hiezu für Schienen, Langschwellen und Dielenbelag ferner Kiesdecke............

1829,0

445,0

K,

to to

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~© "©

totales Eigengewicht per Meter Geleise 2900,0

g-

Vergleichung der Hausse und Gewichte verschiedener Länder.

Tabelle XXXVIII.

Fusstabelle.

Englischer

Fuss

Preussischer

Fuss

Oesterr.

Fuss.

Badischer

und

Schweizer

Fuss

Pariser

Fuss

Französischer Meter

à 100 Cent.

à 12 Zoll.

à 12 Zoll.

à 12 Zoll.

à 10 Zoll.

à 12 Zoll.

0,9711

0,9642

1,0160

0,9383

0,3048

1,0297

0,9929

1,0462

0,9662

0,3138

1,0371

1,0072

1,0537

0,9731

0,3161

0,9843

0,9559

0,9490

0,9235

0,3000

0,3248

1,0658

1,0350

1,0276

1,0828

3,2809

3,1862

3,1634

3,3333

3,0784

Nordamerika wie England,

Russland wie England,

Holland, Belgien wie Frankreich,

Preussen — rheinischer Fuss; ferner ist:

1 sächsischer Fuss = 0,2832 Meter    1 Meter = 3,5312 Fuss sächsisch

1 hannover.    „    =0,2921    „    1    „    =3,4236    „    hannover.

1 württemb.    ,,    = 0,2865    „    1    „    = 3,4905    „    württemb.

1 bayrischer    „    = 0,2919    „    1    „    = 3,4258    „    bayrisch.

Anmerkung. Der sächsische, hannövrische und bayrische Fuss sind in 12 Zoll eingetheilt.

Tabelle XXXIX.

Gewichtstabelle.

Englisches Pfund

Zollpfund

Kilogramm

-tons.

2240

100

Ctr.

1000

tonnes.

0,9072

0,4536

1,1023

0,5000

2,2046

2,0000

Nordamerika wie England,

Belgien, Holland wie Frankreich.

1 altes Pfund österreichisch = 0,560 Kil. „ preussisch französisch

55

55

55

= 0,4677 = 0,4896

Tabelle XL.

Quadratfusstabelle.

Englischer

Quadratfuss

Badischer

oder

Preussiseher Oesterr.

Quadratfuss. Quadratfuss. Schweizer Quadratfuss.

Pariser

Quadratfuss.

Quadrat

meter.

0,9431

0,9297

1,0322

0,8804

0,0929

1,0603

0,9858

1,0945

0,9335

0,0985

1,0756

1,0144

1,1103

0,9470

0,0999

0,9688

0,9137

0,9007

0,8529

0,0900

1,1359

1,0712

1,0560

1,1724

0,1055

10,7643

10,1519

10,0074

11,1111

9,4768

1 Quadratfuss sächsisch = 0,0802 Quadratmeter hannover. = 0,0853 württemb. = 0,0821 bayrisch = 0,0852 1 Quadratmeter = 12,4694 Quadratfuss sächsisch

hannover. württemb. bayrisch.

55

55

55

= 11,7207 = 12,1837 = 11.7364

55

55

55

Englischer

Cubikfuss.

1,0918

1,1156

0,9535

1,2106

35,3166

Tabelle XLI.

Cubikfusstabelle.

Preussischer

Cubikfuss.

Oesterr,

Cubikfuss.

Badischer

oder

Schweizer

Cubikfuss.

Pariser

Cubikfuss.

Cuhikmeter.

0,9159

0,8964

0,9787

1,0487

1,1450

0,8261

0,9019

0,0283

0,0309

1,0217

1,1699

0,9215

0,0316

0,8733

0,8548

0,7877

0,0270

1,1087

1,0851

1,2695

0,0343

32,3459

31,6578

37,0370    29,1738

1 Cubikfuss sächsisch — 0,0227 Cuhikmeter hannover. = 0,0249 württemb.= 0,0235 bayrisch = 0,0249

1 Cuhikmeter = 44,0318 Cubikfuss sächsisch = 40,1263 = 42,5275 = 40,2066

55

55

V)

55

hannover.

55

55

württemb.

bayrisch.

Tabelle XLII.

Gewicht per Quadrateinheit nach den landesüblichen Maassen.

(Unter Zugrundlegung des Zollgewichts für die deutschen Staaten und Oesterreich.).'

Englisch

Preussisch

Oesterreichisch

Badisch

Französisch

Tonne per Quadratzoll.

Pfund per Quadratzoll.

Pfund per Quadratzoll.

Pfund per Quadratzoll.

Kilogramm per Quadratcentim.

2154,6

2185,8

2834,9

157,49

0,000464

1,014

1,316

0,0731

0,000457

0,986

1,297

0,0720

0,000353

0,760

0,771

0,0555

0,006349

13,681

13,879

18,000

1 Zollpfund pro Quadratzoll sächsisch =

hannover. = württemb. = bayrisch =

rt

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0,0898 Kilo pro Quadratcent-0,0845 „

0,0609 „

0,0845 „

V)

X Kilo pro Quadratcent. = 11,138 Zollpfund pro Quadratzoll sächsisch = 11,850    „    „    „    hannoy.

1

ri »

1    11    V

1    51    11

= 16,416    „    „    „    württ.

= 11,831    „    „    „    bayrisch

Anmerkung. Bei Berechnungen der per Quadrateinheit wirkenden Kraft findet sich häufig noch älteres preussisehes und österreichisches Gewicht.

1 Kilo pro Quadratcent. = 14,62 Pfd. alt preussisch pro Quadratzoll 1 „    „    = 12,39    „    „ Österreich. „    „

1 Pfd. alt preussisch pro Quadratzoll = 0,0684 Kilo pro Quadratcent.

„ Österreich. „

= 0,0807    „    „

Tabelle XLI1I.

Gewicht per Längeneinheit nach den landesüblichen Maassen.

(TTnter Zugrundlegung des Zollgewichts für die deutschen Staaten und Oesterreich.)

Englisch

Preussisch

Oesterreichisch

Badisch

Französisch

Tonne per laufenden Fuss.

Pfund per laufenden Fuss.

Pfund per laufenden Fuss.

Pfund per laufenden Fuss.

Kilogramm per laufenden Meter.

2092,5

2107,6 2000,2

3333,6

0,00048

1,0072

0,956

1,593

0,00047

0,993

0,949

1,582

0,0005

1,046

1,054

1,667

0,0003

0,628

0,632

0,6

1 Zollpfund pro lfd. Fuss sächsisch = 1,765 Kilo pro lfd. Meter

hannover. = 1,712 „ „ württemb. = 1,745 „ „

1    „    „    „ bayrisch = 1,713    „    „

1 altes preuss. Pfd. pro lfd. Fuss = 1,490    „

österr    — 2 TT2

1 Kilo pro lfd. Meter = 0,566 Zollpfund pro lfd. Fuss sächsisch = 0,584 = 0,573

= 0,583    „    „    „ bayrisch

= 0,671 alt preuss. Pfd. pro lfd. Fuss = 0,564

Bei Gewichtsberechnungen kann man mittelst Tabelle XLIII. alle Cubikmaasse auf Cubikdecimeter reduciren. Ein Cubikdeci-meter "Wasser wiegt 1 Kilo, und kann man die so erhaltenen Kilogramme mittelst Tabelle XLI. auf die andern Gewichtseinheiten zurückführen. — Das Gewicht des gleichen Yolums Wasser gibt

55

55

..

ii

ii

ii

•n

ii

55

„ Österr. „

hannover.

württemb.

das wirkliche Gewicht dès fraglichen Körpers mittelst folgender Tabelle :

Tabelle XLIV.

Specifische Gewichte verschiedener Körper.

Wasser.....

Tannenholz .... Tanne frisch gefällt bis Eichenholz ....

Gusseisen.....

Schmiedeisen .... Gussstahl.....

1,0

0,47—0,55

0,9

0,65—0,80

7,2

7,8

7,9

Zur Bequemlichkeit bei Gewichtsbereehnungen dürften noch folgende Angaben von Werth sein:

1 Cubikdecimeter Wasser wiegt 1 Cubikzoll engl.

preuss. österr. badisch württ. sächs. hannov. bayrisch

IT

11

11

11

11

11

11

1 K. = 1,000 Kilo 0,0162 K. = 0,0357 Pf. engl, „ 0,01788 K. = 0,03576 Zollpfd,

„    0,01829    K.    =    0,03657

„    0,027    K.    =    0,0540

„    0,0235    K.    =    0,0468

„    0,0131    K.    =    0,0262

„    0,0144    K.    =    0,0288

„    0,0144    K.    =    0,0288

17

11

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Druckfehler.

S. 29 Zeile 2 von oben lies „wirkenden Kraft“ anstatt „wirkende Kraft“.

S. 93 Zeile 21 von oben lies „den Curven“ anstatt „die Curven“.

S. 158 bei den Werthen 27Xy, welche der Figur 105. entsprechen, lies 629b anstatt 5291.

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6₀ = 35O (61.145.)

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SU = 560 (nach/61. 3l.j / ay<ly =6066,7 J} — 135,1 (nach, 61. 32.) S₀— m,7 (61.46.)

S„—186 (61.244.)

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0 — 654606

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Stf — 555 (nach/ <61.3i.)

/’zydy—50 70,8

) = 129,1 (nach/ 6'l 32.J S₀=153,3 (61.43.)

S₍₁™ 219    (61.144.)

oo 35131.

8625

nach Tafel W. Tÿ. I

in/ Cô7i7z77zcù:n7V.

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h+4+f

Maisstab der Belastungen

io 20    30    1,0    50    00    70

re ,9o    100 C’f

100 So o

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200

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900

5oo m.

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BAU DER BRÜCKENTRÄGER

mit besonderer Eücksicht auf

Eisen-Constructionen von

Fr. Laissle und Ad. Schübler

Ingenieuren.

Zweiter Theil.

Das Recht der Uebersetzung in fremde Sprachen wird Vorbehalten.

Stuttgart.

Verlag von

Paul Neff.

wegen besser abgesondert behandelt. Die Schlussbetrachtungen weisen auf die im vierten, fünften und sechsten Abschnitte eingeschalteten Beispiele ausgeführter Brücken-Constructionen hin, deren nunmehr eine ansehnliche Zahl der Rechnung unterzogen und bezüglich der Constructionsweise sowie der Details insbesondere auch durch die Holzschnitte und lithographirten Tafeln näher erläutert sind.

Stuttgart, den 8. Sept. 1870.

Die Verfasser.

INHALTS-VERZEICHNISS.

Fünfter Abschnitt.

Entwicklung der practischen Regeln für Fachwerkbrücken.

§. 15. Theorie der Fachwerkbrücken.

Seite

123. 133. Bezeichnung der einzelnen Fachwerks-Glieder.....

134—138. Allgemeine Formeln über Bestimmung der im Fachwerk herrschenden Angriffs - Momente 50^ un(j Vertikalkräfte

139. 130. Ueber nothwendige Modificationen der gleichförmig vertheilten Ueberlast.............

131. 133. Das einfache symmetrische Fachwerk........

134. 135. Das einfache unsymmetrische Fachwerk .......

136.    Ueber Gegenstreben...............

138. Ueber doppelte Fachwerke...............

139 — 141. Mehrfache symmetrische und unsymmetrische Fachwerke . . 143. 143. Combinirte Fachwerke..............

11

14

19

23

26

27

30

§. 16. Fachwerke mit geradlinig horizontalen Gurtungen.

144.    Geradlinige Fachwerkträger im Allgemeinen........

145.    Einfach symmetrisches Fachwerk mit geradlinig horizontalen Gur

tungen .................

146—148. Fachwerkträger des Crumlin Viadukts........

149.    Trentbrücke bei Newark...............

150.    151. Einfach unsymmetrisches Fachwerk mit geradlinig horizon

talen Gurtungen..............

33

35

36

43

Seite

47

153—154. Isarbrücke bei München

155.    Doppelt symmetrisches Fachwerk mit horizontalen Gurtungen .    .    57

156.    15ff. ßrenzbrücke bei Königsbronn

158.    Mehrfach unsymmetrisches Fachwerk mit horizontalen Gurtungen 63

159.    160. Donaubrücke bei Ingolstadt

58

65

§. 17. Die parabolischen Träger.

161. 163. Allgemeine Eigenschaften der parabolischen Träger und Entwicklung der iVi und Iß für grösste Anstrengung des

Strebensystems................

163. Geber das übliche System der einfach unsymmetrischen Parabelträger.................. .

161. Brahe-Brücke bei Czersk...............

165. Projekt für die Elbbrücke bei Meissen ..........

167. Royal-Albert-Brücke bei Saltash..... .......

74

78

80

83

84

§. 18. Gekrümmte nicht parabolische Träger.

185.    Elbbrücke bei Meissen..........

186.    Brücke über den Leck bei Kuilenburg ....

86

87

92

98

100

106

119

127

.    129

Sechster Abschnitt,

Die Gitterbrücken.

§. 19. Theorie der Gitterbrücken.

187.    Allgemeines über Gitterwände .    .    .    .    .    .

188.    Formeln über Gitterträger ohne Vertikalständer

189.    Formeln über Gitterträger mit Vertikalständern J90. Eintheilung der Gitterbrücken ......

130

132

134

§. 20. Gitterbrücke mit beiderseits gleichen Stäben ohne Vertikalständer.

Seite

191. Allgemeine Erläuterungen .    .    .

193. Eipelbrücke bei Szobb .... 193. Gitter mit variabler Maschenweite 191. Blaubrücke bei Ehrenstein .    .    .

138

140

143

144

§. 21. Gitter brücken mit flachen Stäben und Vertikalständern.

191». 19G. Allgemeine Erläuterungen . 197.    198. Weichselbrücke bei Dirschau

199—303. Rheinbrücke bei Cöln . .

156

150

153

§. 22. Gitterbrücken mit steifen Streben und flachen Zugbändern.

303.    Allgemeine Erläuterungen und Formeln .

304.    301». Boyne-Brücke bei Drogheda .    .

SOG. Saane-Viadulct bei Freiburg.....

307. Ueber Kreuzungen ausgesteifter Gitterstäbe

156

157

161

162

Siebenter Abschnitt.

Ergänzungen und Schlussbetrachtungen.

§. 23. Ueber Röhrenbrücken.

308.    Röhrenbrücken im Allgemeinen .    .

309.    Brittaniabrücke über die Menaistrasse

310.    Weitere Röhrenbrücken ....

163

164

167

§. 24. Ueber Hängbrücken.

168

311. 313. Hängwerke im Allgemeinen 213. Hängbrücke bei Chepstow . . .

§. 25. Continuirliche Träger über mehrere Oeffnungen.

171

314. Tabellen über continuirliche Träger mit 4 und 5 gleich grossen Oeffnungen ..................

§. 26. Schlnssbetrachtungen.

315.    Ueber Beispiele zur Anwendung der gegebenen Formeln ....    176

316.    Vergleichende Zusammenstellung der Eisen-Gewichte rationell con-

177

Seite

struirter Brücken-Constructionen

Anhang.

Tabelle der trigonometrischen Functionen Druckfehler und Berichtigungen .    .    .

184

190

Fünfter Abschnitt.

Entwicklung der praktischen Regeln für Fachwerkbrücken.

§. 15. Theorie der Fachwerkbrücken.

122. Die bezeichnende Eigenschaft der Fachwerkträger ist, dass deren Gurtungen durch Streben (Pfosten, Zugbänder, Bolzen,) zu einer Reihe fester Dreiecke verbunden werden, so dass der Fachwerkträger als ein unverrückbares System von Streben und Gurtangsgliedern sich darstellt. — Es ist eine wesentliche Bedingung, dass die einzelnen Glieder des Fachwerks vorzugsweise und möglichst ausschliesslich nur nach ihrer Längenrichtung in Anspruch genommen, d. h. gezogen oder gedrückt sind. — Nennt man

0 die Kraft im betrachteten Stück der oberen Gurtung,

U die Kraft dessgleichen in der unteren Gurtung,

Q den Querschnitt des betrachteten Gurtungsstücks,

N die Kraft in einer Strebe, m den Querschnitt der betrachteten Strebe,

21 die Spannung in einem gezogenen Gliede per Quadrat-Einheit,

23m dessgleichen die mittlere Pressung in einem gedrückten Gliede,

so ist nach den Gesetzen der Festigkeitslehre, Gleichung 20) für die obere Gurtung:

166)

21 oder 23m = yy für die untere Gurtung:

167)

21 oder 23m — ^ für eine Strebe:

168)

21 oder 23m =

“Wenn Streben verschiedener Eichtung zu unterscheiden sind, so bezeichnen

Y die Kraft in einer vertikalen Strebe (Pfosten, Zuganker, Bolzen),

T die Kraft in einer schiefen Strebe, deren Eichtung von der Strebenkraft N abweicht, wonach Gleichung 168) übergeht in

21 oder 23m = —

. . 168)

IO

2t oder 23m = —

CO

iii). . (jJ

Die mittlere Pressung 23m ist bei kürzeren Stäben gleich zu setzen der grössten im Stab herrschenden Pressung 23, bei längeren Stäben wird letztere durch die in §. 3 entwickelte Gleichung 76) gefunden, wonach

23 = 23m (l + K

.    .    169)

Es bezeichnet hier L die freie Länge des betrachteten Gurtungsglieds (zu vergleichen Kr. 37.) 0 das Trägheitsmoment des Querschnitts im Sinne der voraussichtlichen Biegung, und gibt der Ausdruck ^1 T- K    an, um w*e viel die relativ rückwirkende

Festigkeit gegen die absolut rückwinkende Festigkeit zurücktritt; die Coeffizienten K sind durch Tabelle XI., die Eeihe der zulässigen Werth e 33 m durch Tabelle XIV. gegeben.

123. Die Eintheilung der Fachwerkträger in Dreiecke bedingt, dass an den Endpunkten der Streben im Allgemeinen wenigstens 2 Streben in den Gurtungen Zusammentreffen, wess-halb die Endpunkte sich als Knotenpunkte des Fachwerks darstellen. — Da die Glieder eines Fachwerks nur nach ihrer Längenrichtung in Anspruch genommen werden sollen, so folgt daraus, dass die Belastung der Fachwerkträger streng genommen nur in den Knotenpunkten eintreten soll. Diess geschieht im Allgemeinen durch Vermittlung von Zwischenträgern und mittelst Querträgern, welche in der Eegel den vorgenannten Zwischenträgern als Auflager dienen und entweder in den oberen oder unteren Knotenpunkten befestigt oder auch an Vertikalstreben (Ständern, Pfosten) angebracht sind.

Tritt jedoch die Last zwischen zweien Knotenpunkten in die Gurtung ein, so wird die relative Festigkeit der letzteren daselbst in Anspruch genommen und muss die hierdurch hervorgerufene Spannung (beziehungsweise Pressung) zu der im betrachteten Gurtungsstück herrschenden Fachwerkspannung (Pressung) addirt werden; bei Bestimmung dieser letzteren denkt man sich aber die Belastung der Gurtung nach dem Hebelsgesetz (nach Umständen jedoch mit Berücksichtigung vorhandener Continuität) auf die Knotenpunkte vertheilt ; es gilt diess insbesondere auch bezüglich des Eigengewichts der einzelnen Constructionsglieder, welches wie eine zwischen den Knotenpunkten eintretende Last wirkt. — Da man das Eigengewicht der Brücke gleichförmig per Längeneinheit vertheilt annimmt, so werden bei gleicher Distanz der Knotenpunkte (gleicher Fachweite) in der Kegel sämmtliphe Knotenpunkte durch das Eigengewicht der Hauptträger gleich belastet sein, während die Fahrbahntafel auf die oberen oder unteren Knotenpunkte oder auch auf beide gleichförmig vertheilt ist. —

124. Wie in Kr. 4 entwickelt, bezeichnet in einem Trägerfragment, welches wir uns einerseits durch einen Yertikalschnitt x abgegränzt denken

$ die Yertikalkraft, d. h. die algebraische Summe der vertikalen Composanten der am Fragmente thätigen äusseren Kräfte, numerisch gleich dem Yertikal-Widerstand J2Y im Querschnitt x,

das Angriffs-Moment, d. h. das Moment der äusseren Kräfte in Beziehung auf den fraglichen Querschnitt x, welches Moment wiederum numerisch gleich ist dem auf irgend einen Punkt des Querschnitts x bezogenen Widerstandsmoment 2X.y der im fraglichen Schnitt x herrschenden inneren Kräfte. —

Da beim Fachwerk die Lasten in einzelnen Punkten, den Knotenpunkten eintreten, so dienen zur Bestimmung der Grössen 591 und 5$ zunächst die Gleichungen 100—102), welche wir neu anschreiben, und zwar mit Auslassung der Glieder mit p (da wir nach dem Vorhergehenden auch das Eigengewicht in den Knotenpunkten vereinigt denken):

Fig. 127.

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j ao,

i:

OOS

C/O»

C/Oj

pH

CI

Bezeichnet

1 die Spannweite zwischen 2 Auflagern A und B,

G1? G₂ . . . . Gm die in den einzelnen Knotenpunkten wirkenden Gewichte,

gi, g₂ .... gm die zugehörigen Abscissen der Knotenpunkte von Ä aus gemessen,

9J1₂ • . . • die Angriffsmomente in Bezug auf die Knotenpunkte 1, 2 . . . . m,

$i, $2 . . . • 25m die auf Fachlänge constante Vertikalkraft auf Schnitte links von den Knotenpunkten 1, 2 .... m bezogen,, so ist:

170)

*=(>-?)

b = ?e,+|eI + |ei + ...

Gi +

G₃-f ...

somit die Vertikalkraft im Felde links vom Punkte m 25m == A — Gi — G₂ . . . . — Gm_x . . 171) und das Angriffsmoment am Knotenpunkt m

1 72)    — Agm Gt (gm gl) G₂ (gm gi) Gm — l (gm — gm — l)-

Die Gleichungen 171) und 172) können auch auf continuir-liche Träger angewendet werden, sobald die Auflagerreactionen bekannt sind (wobei die Spannweiten AB = a, BC = b eingeführt werden), und zwar bleiben dieselben für die Oeffnung AB ganz unverändert; für die Oeffnung BC ist die Auflagerreaction B mit ihrem Hebelsarm (gm — a) einzusetzen, wie folgt:

171») »m = A — Gl — G₂ . . . . + B . . . . - Gm—i«

172a) j

9)?m = Agm — Gi (gm — gl) — & (gm — g₂).....

B (gm a) ....    &m—1 (gm - gm— l)-

Wenn man nach Gleichung 172 (beziehungsweise 172a) den bildet und von $Bîm abzieht, so erhält man

Werth m

m—1

woraus

35m -=

9»m - 3»m

173)

gm gm—1

Die Grösse 9)lm — $lm-i stellt den Zuwachs des Angriffs-moments auf die Fachlänge d = gm — gm-i dar; bei unendlich kleiner Fachlänge, d. h. stetig zunehmendem 9PÎ geht Gleichung 173) über in die im ersten Abschnitte entwickelte Gleichung 18):

173a)

Indem wir die Richtung der Schwere als positiv annehmen, so ist 25 negativ, solange A > (Gt -f- G₂ -j- Gm-i), und folgt hieraus, dass negative 25 eine der Auflagerreaction gleiche Richtung haben.

9JÎ hat beim freiaufliegenden Träger stets dasselbe Vorzeichen, welches wir als das positive annehmen, woraus hervorgeht, dass die Drehung, welche der Auflagerreaction entspricht, als positiv angenommen werden muss; bei continuir-lichen Trägern wird 50Ï in der Nähe der Zwischenstützen negativ

und überwiegt auf dem betreffenden Trägerabschnitte das Moment der nach abwärts gerichteten Lasten über das Moment der Auf-lager-Reactionen. Da XY und XXy den Grössen ÜB, beziehungsweise m (zu vergleichen N°. 4), gleich aber direct entgegengesetzt sind, so folgt aus Vorstehendem, dass nega-r tive XY der Richtung der Schwere gleichgerichtet sind, und dass die K einem positiven XXy entsprechende Drehung dem Moment des Auflagerdrucks entgegengesetzt ist. (Vergl. hierüber Fig. 128.)

Fig. 128.

2G

*2Y

Diese Betrachtungen sind entscheidend, wenn es sich darum handelt, ob ein Constructionsglied auf Druck oder Zug in Anspruch genommen ist.

125. Wenn man in Fig. 127 die Distanzen sämmtlicher Knotenpunkte und ebenso die an denselben wirkenden Gewichte sämmtlich je gleich gross annimmt, wenn man sodann die hienaeh mittelst der Gleichungen 171) und 172) berechneten ÜB und 9)1 als Ordinaten aufträgt, so findet man, dass die sämmtlichen für die Knotenpunkte berechneten 9)f in einer Parabel von vertikaler Ax-richtung liegen, wie solches in Fig. 129 dargestellt ist, während aus der constanten Zunahme der Vertikalkraft direkt folgt, dass die für die aufeinander folgenden Felder berechneten, als Ordinaten in der Fachmitte aufgetragenen ÜB in einer Geraden liegen

Fig. 129.

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Wie aus den vorstehenden Erläuterungen und insbesondere aus Gleichung 171) hervorgeht, ist die Vertikalkraft eine zwischen zweien Knotenpunkten constante Grösse, wesshalb die Fachwerkskurve 58 ein treppenförmiges Polygon bildet, wie solches in Fig. 129 gleichfalls dargestellt ist. — Ist aber 58 auf Fachlänge constant,

so folgt aus der in Gleichung 173a) gegebenen Kelation 58 =

sofort, dass die Curve 5UI zwischen zweien Knotenpunkten gerade-linig sein muss, dass diese Curve somit ein in die Parabel einbeschriebenes Polygon bildet.

Wenn die in den einzelnen Knotenpunkten wirkenden Lasten der auf Fachlänge vertheilten gleichförmigen Maximallast q entsprechen, so ist das Fachwerkpolygon 5DÎ in die Parabel der gleichförmig vertheilten Maximallast einbeschrieben, die einzelnen Punkte der Parabel finden sich, wenn die Scheitelordinate

q l²

-k— bekannt ist, am bequemsten nach Gleichung 93b):

O

- iü _ q V

174)

wo Xi den Horizontalabstand des betrachteten Kurvenpunkts von der Trägermitte bezeichnet.

Das in Figur 129 dargestellte Verfahren bleibt dasselbe, wenn auch die Knotenpunkte verschiedene Distanz haben; solange nämlich die Last gleichförmig vertheilt ist, und auf die Knotenpunkte nach dem Hebelgesetz übergeht, müssen sämmtliche Eckpunkte in der Parabel der gleichförmigen Maximallast liegen und wird ferner in der Mitte jedes Feldes die der Maximallast entsprechende Gerade 58 mit der treppenförmigen Fachwerkkurve 58 einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

126. Das Verhältniss zwischen den Fachwerkkurven 9JÏ und 58 einerseits und den der stetig wachsenden Last entsprechenden Kurven 9J?X und 58x anderseits kann man sich auch dadurch klar machen, dass man von den Ordinaten der letzteren die den Zwischenträgern entsprechenden Vertikalkräfte z/58 und Angriffsmomente abzieht, wobei man sich bezüglich der letztem des Satzes erinnert, dass die Differenz zweier Gegenpaare (Kräftepaare) wiederum ein Gegenpaar sein muss.

Aus vorstehender Anschauung folgt direct, dass beiderlei Kurven jeweils da zusammenfallen, wo z/58 beziehungsweise z/9Jl gleich Null sind. Angewendet auf den gleichförmig belasteten Träger mit frei aufliegenden Zwischenträgern ergiebt sich, dass die 9JÏ in den Knotenpunkten, die 58 dagegen in der Mitte der einzelnen Felder für die Totalconstruction, sowie für das Fachwerk der Hauptträger identisch sein müssen, wie diess schon in N0, 125. sich ergeben hat. — Aendert sich die Belastungsart innerhalb eines Faches, so ist der Punkt J85 = o, welcher zugleich max angiebt, nach dem Hebelgesetz zu bestimmen.

Wenn ferner die Zwischenträger als continuirliche Balken betrachtet werden müssen, so ist 4 9JÎ an den Knotenpunkten nicht Null, sondern hat daselbst einen bestimmten, negativen Werth, und der Schnittpunkt der beiderlei Kurven S0Î (d. h. der Punkt

~ o) ist durch dieselben Gesetze bestimmt, welche in §. 8 für continuirliche Träger dargestellt sind; ebenso findet sich auch der Punkt 4% = o, welcher wiederum mit dem Punkte max zusammenfällt.

127. Die grössten Wer the der Y er tik alkraft finden, wie in N0, 59 erläutert, bei einseitiger Belastung statt, und zwar beim frei aufliegenden Träger in jedem Abstande x dann, wenn die gleichförmig vertheilte Ueberlast gerade bis zum fraglichen Punkte x vorgerückt ist; zur Bestimmung der Kurve max 8L dienen die Gleichungen 96), zur Bestimmung der gleichzeitigen 9)ix die Gleichungen 97).

Die Kurve max 8L stellt aber nicht die im Fach werk wirkenden Yertikalkräfte dar, indem die von den Zwischenträgern aufgenommenen 4 3$ noch in Abzug zu bringen sind ; letzteres geschieht indem wir für jedes Feld die Kurve max // 85 bilden, wie in Fig. 130a geschehen.

Fig. 130a.

X-

TT

~7—

+-

Ti

6V]

ex

CD

Ul'

./

vor-

so

Da nämlich in dieser Figur unter Annahme einer von A nach B vorrückenden, gleichförmig vertheilten Last, je für den dersten Punkt der Ueberlast, sowohl $x als ^85 aufgezeichnet sind, ist auch für jede Stellung der Ueberlast ein genau bestimmter Werth der Fachwerks-Yertikalkraft 35m als Differenz der Grössen 85x und ^85 gegeben, und wenn auch dieser Werth 85m zunächst für die Spitze der Ueberlast berechnet ist, so ist er nicht minder

für die ganze Fachlänge gültig, indem die Yertikalkraft je auf Fachlänge constant ist. Die treppen förmige Fachwerkcurve, welche in Fig. 130a dargestellt ist, giebt also eine graphische Darstellung sämmtlicher Werthe $m, welche bei stetig vorrückender Last je in dem Fache wirken, inner welchem das vordere Ende der Yerkehrslast sich befindet — und giebt eben damit an, bis zu welchem Punkte jeweils die Ueberlast vorgerückt sein muss die grösste im betreffenden Fache überhaupt stattfindende Vertikalkraft hervorzurufen.

um

Wir ersehen aus Fig. 130a, dass zwischen $ — o und dem Auflager B das für die Fachmitte sich ergebende max 5ßx ziemlich annähernd dem grössten im Fachwerke stattfindenden üßm entspricht, ebenso wie zwischen A und üß = o, wo die einzelnen max üßx negativ sind, das der Fachmitte entsprechende $x den kleinsten negativen Werth, also wiederum den relativ grössten Werth üßm darstellt. — Wir ziehen hieraus den Schluss, dass das je für die Fachmitte gültige max üßx die grösste im betreffenden Fache eintretende Fachwerks-Vertikalkraft üßm darstellt und gründet sich hierauf das in Fig. 130b dargestellte Verfahren, wo die Last so-

Fig. 130b.

TEL

's

J>

IA.

jn-l

wohl von A als von B verrückend gedacht ist, und wo die relativ grössten, wie die relativ kleinsten Werthe von £ßm durch die treppenförmig geradlinigen Linien angegeben sind, welche zwischen sich alle möglichen Werthe von üßm einschliessen.

In Fig. 103b sind für die beiden Kurven !!ßx auch die gleichzeitigen W erthe von 9)îm eingetragen ; indem man von diesen graphisch die Werthe    abzieht, erhält man für die Fachmitte

je gleichzeitige Werthe von 9JI und üßm. Da hiebei die Last jeweils bis zur betreffenden Fachmitte vorgerückt gedacht ist, so wird,

wenn wir die Fachlänge mit d bezeichnen, um den Werth —3—

kd

zu gross erhalten. Diese Differenz fällt weg, wenn man das im halbbelasteten Felde befindliche variable Gewicht im anstossenden belasteten Knotenpunkt concentrirt denkt, was eine übrigens kleine Modification der durch Gleichung 91) gegebenen Auflagerdrücke bedingt.

Fig. 130b, beziehungsweise das durch diese Figur dargestellte Verfahren kann direkte praktische Anwendung da finden, wo in jedem Fach neben max ein gleichzeitiger (mittlerer) Werth 9)1 genügend ist, hauptsächlich aber dann, wenn einzelne Dimensionen lediglich von max üßm abhängig sind, welche Maximalwerthe durch Fig. 130b ziemlich genau dargestellt sind, wie bereits oben erläutert ist.

128. Wenn zur Bestimmung der Querschnittdimensionen der einzelnen Fachwerksglieder je zwei oder mehrere gleichzeitige Werthe von 9JÎ nothwendig sind, so ist Fig. 130b nicht mehr direct

Fig. 131.

-V

-Ar-

Xi

./

Al

-i '

il

IL

"7fr----

rt

m-1---

..m

«É-

-i

t-

Tb

•s.

d²!”

s>

-#t

"N.k.

- 1-x

m-1

anwendbar; es entspricht vielmehr jeder Länge der Ueberlast eine aus zwei Parabeln zusammengesetzte Kurve 9Jix, welche mit der

nach Gleichung 97) bestimmten, in Fig. 130b. dargestellten Kurve 9JI nur in dem einen Punkte zusammenfällt, bis zu welchem die Ueber-last vorgerückt ist.

Fig. 131 stellt den Fall dar, wo die Ueberlast k von A bis zur Mitte des Feldes (m — 1) m vorgerückt ist, wo also in der bezeichneten Fachmitte die beiderlei Kurven 9Jlx, sowie die beiderlei Kurven $x sich schneiden.

Nach dem in N0, 125. entwickelten Yerfahren sind für die angenommene Länge der Last die Fachwerkskurven eingezeichnet; die Fachwerkskurve $ fällt mit der gleichzeitigen Kurve $x stets in der Fachmitte zusammen, mit Ausnahme des halb belasteten Faches, woselbst entsprechend der Figur 130a die dem

dk

Fachwerk entsprechende Horizontale um die Grösse —-— näher

b

gegen die Abscissenaxe zu rücken wäre, falls man nicht — wie

dk

in Folgendem geschieht — den Abzug der Grösse —— aus den

b

in N0, 127. angegebenen Gründen unterlässt und somit auch für diese Fachmitte gleich Null setzt. Die Fachwerkkurve 9JÏ fällt an den Knotenpunkten mit der Kurve 9JL zusammen, wie schon mehrfach bemerkt.

Indem wir nunmehr die Last bis zu irgend einer Fachmitte vorgerückt denken, und mit m einen beliebigen Knotenpunkt links vom Endpunkte der Last, mit m¹ einen beliebigen Knotenpunkt rechts bezeichnen, wie diess in beistehender Fig. 132 dargestellt ist, wenden wir zunächst die in N0, 59. bis 62. entwickelten Formeln auf das Fachwerk an; nennen wir daher

Fig. 132.

-i

A,

----Xm

k---XTT1

"2

1-x

-H

p das Eigengewicht der Brücke per Geleise- und Längeneinheit ,

k ebenso die per Längeneinheit ausgedrückte Ueberlast, q = p -f k die Maximallast,

so erhalten wir, indem wir im klebrigen auf die Bezeichnungen beistehender Big. 132 verweisen, für Bewegung der Last von A nach B:

21 — X

Pl

175)

2~ + lk Ti

und ist somit für das zunächst A gelegene belastete Stück:

ÜBX = A — (k + p) x.........

— (k + P) ......

und für das zunächst B gelegene unbelastete Stück:

ÜBX = B — p (1 — x) . .

TO,= B(1 — »)— p " ~₂

Diese Werthe ÜBX und Ü0?x fallen in der Fachmitte, beziehungsweise in den Knotenpunkten, mit den Fachwerkswerthen ÜB und 9JÏ zusammen (erstere genau dann, wenn man sich, wie oben bemerkt, die im halbbelasteten Felde befindliche variable Last im anstossenden belasteten Knotenpunkte concentrirt denkt) und erhält man für das zunächst A gelegene belastete Stück :

176a)

ÜÜJix = Ax

ÜBm = A — (k -f p) Xm _!/„

176)

177)

178)

. . . 179).

.    177a)

9)îm = A xm — (k -f p) ~2

und für das zunächst B gelegene unbelastete Stück: ügm, = B — p (1— xm-_V2)........

178a)

p (1 — xm')²

9Jîm' = B (1 - Xm') -

. . .    179a)

Man kann nach den Gleichungen 176a) und 179a) sämmt-liche Fachwerkgrössen und ÜB berechnen, wobei eine gleichförmig vertheilte Last von A nach B zu einer beliebigen Fachmitte vorgerückt gedacht ist.

Wenn die Last von B nach A rückt, sind in den Gleichungen 176)—179) beziehungsweise 176a)—179a) die Grössen A und B zu vertauschen und ist ausserdem daselbst für x stets der Werth 1 — x, für 1 — x der Werth x einzusetzen.

129. Bei den vorhergehenden Entwicklungen ist zunächst angenommen, dass die Ueberlast k dieselbe sei, ob sie auf einen grossem oder kleinern Theil X der Brücke vertheilt ist; wir haben indess schon in K0, 64 für die Belastung der einen Brückenhälfte eine Grösse k¹ eingeführt, deren Werthe in den Tafeln XVII. und XVIIa. den Werthen k gegenübergestellt sind. Diese Ge-

wichte k¹ sind nicht mehr genau, wenn die Länge der Ueberlast die Brückenhälfte überschreitet oder unterhalb derselben bleibt, und wird es daher in vielen Fällen nothwendig, für jede Länge i 4er variablen Last die zugehörige Belastung lq näher zu bestimmen.

Indem wir die der Tabelle XYIIa. zu Grunde liegende Lokomotive als Beispiel annehmen, ist zunächst für den Fall, dass die ganze Brücke einseitig belastet ist, in Fig. 133 diejenige

Fig. 133.

-15,5—

.. J3,5

o oo

ooo

o oo

oon

Aufstellung der Lokomotiven dargestellt, für welche der Auflagerdruck bei A und somit auch die Vertikalkraft zunächst diesem

den Werth

• — ausgedrückt ist, wenn k und k¹ dem

u

gewählten Beispiele entsprechend aus Tabelle XVIIa entnommen werden; der Werth k^ hat somit für die Endauflager, d. h. für den Fall, dass die ganze Brücke nach Figur 133 belastet ist, den k + k¹

Auflager den höchsten Werth erreicht (indem zunächst A sich 6 Triebaxen befinden). Durch wiederholte Anwendung des Hebelgesetzes findet man, dass hiebei für alle Spannweiten der von der va-riabeln Last herrührende Auflagerdruck Ak ziemlich genau durch k + k¹ 1

Werth

und dürfen wir annehmen, dass k vom Endauflager bis zur.Brückenmitte und von da auch weiterhin gleichförmig zunimmt, während beim Beginn der Bewegung (d. h. wenn nur die Spitze des Eisenbahnzuges sich auf der Brücke befindet) für die Aenderung der Grösse k^ sich ein anderes Gesetz geltend macht, welches letztere durch folgende einfache Betrachtung sich ergiebt. — Wenn man sich das Gewicht der Locomotive, deren Gesammtradstand 3m beträgt, auf die ersten 4,    5 und

und    ausgedrückt, und man kann nunmehr die

6 Meter der Brücke gleichförmig vertheilt denkt, so zeigt eine einfache Bechnung, dass diese gleichförmige Last bei jeder beliebigen Spannweite (nahezu) dieselben Auflagerdrücke und mit geringer Modification auch dieselben Momente ergiebt, wie wenn man jeweils die 3 Axgewichte an den zugehörigen Hebelsarmen gerechnet hätte; die stellvertretende Belastung k^ ist also bei einer Länge der Ueberlast von 4, 5 und 6 Meter durch die Werthe 36000 36000 4    ’    5

Fig. 134.

CT> Ol £

,.    -9000._

U—7200—i?/

p-eooo-^k

1

ir—

.kl

2-*

.1'.

co|i—¹

im Vorstehenden gewonnenen Resultate durch die nachstehende Figur 134 zur Anschauung bringen.

Bei kleineren Spannweiten fällt die geradlinige Fortsetzung des rechten Kuryenzweigs höher aus als die Werthe 6000, 7200 oder auch 0000 Kilo; man hat alsdann diese ersteren Werthe zu nehmen und zwar insoweit als sie grösser ausfallen als die constanten linkseitigen Werthe.

Die Güterlokomotive, welche der Figur 134, sowie der Tabelle XYIIa zu Grunde liegt, kann für die Brücken gewöhnlicher Hauptbahnen als ganz geeignete Normalbelastung angenommen werden; hat man jedoch für eine bestimmte Bahn oder eine bestimmte Brücke eine andere Locomotive zu Grunde gelegt, so müssen k und k¹ je nach dem gegebenen Falle gerechnet werden, die Figur 134 bleibt aber insofern gültig, als bei Anwendung von

k + k¹

gesetzt

besondern Tendern k^ am Auflager B stets =

werden darf, während die constanten Grössen auf der linken Seite der Fig. 134 sehr rasch nach vorstehender Anleitung hergestellt werden können. — Letzteres ist auch bei Tenderlocomotiven gültig, doch darf bei diesen in Rücksicht auf die starke Belastung sämmtlicher Räder k¹ = k gesetzt werden.

130. Bei den Entwicklungen der Nummern 125—128 ist zunächst zwischen belasteten und unbelasteten Knotenpunkten zu unterscheiden, wobei erstere durch die Ausdehnung l der Ueber-last bezeichnet sind; es können jedoch auch innerhalb der Länge l unbelastete Knotenpunkte sich befinden, nämlich insbesondere in dem Falle, wenn nur die oberen oder nur die unteren Knotenpunkte belastet sind ; unbelastete Knotenpunkte können daher auch bei gleichförmiger Belastung der ganzen Brücke vorhanden sein; stets jedoch sind die als unbelastet aufgeführten Knotenpunkte wenigstens mit dem auf sie treffenden Eigengewicht behaftet.

Figur 135 stellt ein einfaches derartiges Beispiel dar; die sogenannten unbelasteten Knotenpunkte haben nur das auf die Fachlänge d antreffende Hauptträgergewicht (p — F) d zu tragen (F bedeutet Gewicht der Fahrbahn, welches stets von den belasteten Knotenpunkten getragen wird), während die belasteten

Fig. 135.

y,=(p 1+sKl y„⁼(p-r)<¹

I«

V»

cd

“1"

-----TT

Knotenpunkte ausser dem auf sie treffenden Eigengewichte (p -f- F) d auch noch das variable Gewicht aufzunehmen haben.

131. Uebergehend zu der Darstellung der einfachen Fachwerke nennen wir einfach symmetrischeSysteme solche, deren sämmtliche Streben schiefe Richtung haben ; symmetrisch dess-halb, weil ebensoviele nach links als nach rechts gerichtete Streben vorhanden sind, welche auch ziemlich gleiche Neigungswinkel, zur Hälfte von entgegengesetztem Vorzeichen haben, (s. Fig. 136.)

Indem wir voraussetzen, dass für die jeweils stattfindende Belastungsart eines Fachwerkträgers das Polygon SOI und die treppenförmige Kurve 35 auf irgend eine Weise bestimmt worden seien — z. B. nach den Gleichungen 170)—172) oder nach den Gleichungen 176) —179) — so denken wir uns die einzelnen Knotenpunkte

Fig. 136.

CM

•* $

-5

X.

- “S

.3

et

jä

eines einfachen symmetrischen Fachwerks von A nach B vorschreitend numerirt, wie solches in Fig. 136 gleichfalls ersichtlich; wir nennen :

9Jî'm, üôî'm+i .... die Angriffsmomente in den Punkten und zwar bezogen auf einen

m — 1, m, m -f 1 Hauptträger ;

Anmerk. Die auf die Längeneinheit bezogenen Belastungen p, k und q, dessgleichen die Grössen ÜJÎ und iß werden in der Regel zunächst für ein Geleise berechnet, müssen aber bei Berechnung der Fachwerkkräfte auf einen Hauptträger reduzirt werden, und werden letztere reduzirte Werthe mit üJi' und 85' bezeichnet; in der Regel sind hiebei die Werthe 3JÎ und üß zu halbiren, doch finden sehr häufig auch andere Vertheilungen der Verkehrslast statt.

$B'm

ÜB'm, $'m+i • • • die Yertikalkräfte in den Feldern unmittel-

— 1 5

bar links von den Knotenpunkten m — 1, m, m -{- 1 . . .. und zwar ebenfalls bezogen auf einen Hauptträger;

. . . die Kräfte in der obern Gurtung und zwar

Om, 0

m-j-2 «

in den Gliedern unmittelbar links von den Knotenpunkten m, m-j-2

ßm, ßm+2 .... die zugehörigen Winkel der obern Gurtung mit dem Horizont;

Um

Um +1 ... . die Kräfte in der untern Gurtung und zwar

— 1 }

in Gliedern unmittelbar links von den Knotenpunkten m — 1, m-f-1 ....;

7m-1, 7m+i .... die zugehörigen Winkel der untern Gurtung; ferner :

die Kräfte in den Streben unmittelbar links

Nm, Nm-fl

von den Knotenpunkten m, m -j- 1 .... ;

qPm, qpm+i .... die zugehörigen Winkel der Streben mit dem Horizont;

endlich :

. . . die Yertikaldistanz der Gurtungsschwerpunkte an den Knotenpunkten m, m -j- 1 . . . .

Betrachten wir eine Strebe Nm (die einzelnen Fachwerksglieder können stets mit denselben Bezeichnungen aufgeführt werden wie die Kräfte in fraglichen Gliedern) und denken uns zwei Yer-tikalschnitte unmittelbar links, beziehungsweise rechts von den Endpunkten m und m — 1 der betrachteten Strebe gelegt, so erhalten wir:

für den Schnitt unmittelbar links vom Knotenpunkt m

Um+i cos y = -

9JPm

. . 180)

Anmerk. Wo die Winkel denselben Index haben, wie die zugehörigen, nebenstehenden Kräfte, bleibt der Index bei ersteren in der Regel weg.

für den Schnitt unmittelbar rechts vom Knotenpunkt m — 1

Om COS ß =

2»' m

$m

. 181)

Da die Gurtungs- und Strebenkräfte zwischen zweien Knotenpunkten constant sind, so giebt jeder der beiden vorgenannten Vertikalschnitte die Relation:

Nm cos cp -f- Um+i cos ß — Ora cos 7 = 0, woraus nach Wertheinsetzung aus den Gleichungen 180) und 181)

wm

Nm cos (j) = -=—

’Öm

. . 182)

Die Gleichungen 180) —182) genügen zur Bestimmung sämmt-licher Kräfte im einfachen symmetrischen Fachwerkträger; als weitere und oft einfachere Gleichung zu Bestimmung der Strebenkräfte dient, dass die algebraische Summe der vertikalen Composanten sämmtlicher durch denselben Vertikalschnitt getroffenen Kräfte gleich der Vertikalkraft $ sein muss:

SS'm = Um+1 sin y -j- Om sin _+ sin g) woraus durch Wertheinsetzung aus den Gleichungen 180) und 181) flïî'

±_ N sin cp = SS'm -f- t S 7m+1 +

'Q.

m—1

tgßm ... .    183)

In vielen Fällen, insbesondere wenn die Fachweite im Ver-

hältniss zur Spannweite geringer ist, kann man die Gleichung 183)

durch Einführung eines mittleren Werthes in folgende einfachere Form bringen :

+ Nm sin cp = 2$'m —

SR'»

— Va

§ m — Va

ft

(t g ß 4-1 g y) • • • • ¹⁸⁴)

wo SJl'm-i/i, und ^g'm-Vs auf N⁰⁻ 128. in der Mitte des Faches (m — 1) m genommen sind.

132. Ob eine Strebe gedrückt oder gezogen ist, kann aus den Gleichungen 182) und 183) stets mit Hilfe der Betrachtungen am Schlüsse der IST⁰* 124. bestimmt werden; wir kommen, jedoch schneller zum Ziel durch die nachfolgenden besondern Regeln.

Indem wir zunächst einen frei aufliegenden Träger betrachten, so überzeugt man sich leicht, dass die obere Gurtung stets gedrückt, die untere Gurtung stets gezogen ist, wie sich auch schon aus der allgemeinen Gestalt eines solchen Trägers in Folge der durch Belastung hervorgerufenen Biegung ergiebt.

Zur Untersuchung der Strebenkräfte denken wir nns für

gebildet und zwar soll

sämmtliche Knotenpunkte die Werthe

im Punkte m die Grösse ein Maximum erreichen und von da

£

ab nach rechts und nach links abnehmen (vergl. Fig. 137).

501

Ein Schnitt links vom Punkte m = max zeigt bei Be-trachtung des linkseitigen Trägerfragments :

wenn Punkt m in der obern Gurtung ist, dass weil nach der Voraussetzung Um+i cos y > Om cos ß, die Strebe Nm nothwendig in demselben Sinne, wie das Gurtungsstück Om wirken, somit gedrückt sein muss;

wenn Punkt m in der untern Gurtung ist, Om+i > Om und nunmehr nothwendig in demselben Sinne, wie die untere Gurtung wirken, also auf Zug in Anspruch genommen sein muss.

Durch dieselbe Betrachtung findet man unter Annahme eines Schnitts rechts von m, bei Betrachtung des rechtseitigen Trägerfragments, dass die Strebe Nm+i gedrückt oder gezogen sein muss,

Fig. 137.

ra

m-i

OTtl

m-i

m+i

'A

nt

uJc

wenn der Punkt m = max in der obern, beziehungsweise in

*0

der untern Gurtung sich befindet.

Da nach diesen Betrachtungen die Streben links und rechts

vom Punkte m = max

obgleich verschieden gerichtet, doch

in gleichem Sinne in Anspruch genommen sind, so schliessen wir

hieraus, dass am Punkte max -z— Wechsel von Druck und

§

Zug in gleichgerichteten Streben stattfindet.

Durch eine ganz gleiche Betrachtung ergiebt sich aber, dass

auch am Punkte min Wechsel von Druck und Zug in gleich-

namigen Streben stattfindet, und indem wir nunmehr den ganzen Träger in einzelne Fragmente theilen, welche theils durch die

.    9)î

Endauflager, theils durch die Punkte max und min be-

gränzt sind, können wir die nachfolgenden allgemeinen Regeln zunächst für freiaufliegende Träger aufstellen:

9JÎ . 9JI

1) an den Punkten max und min ändern gleichge-

Bau der Brückenträger. II. Th.

Diese Regeln, welche zunächst nur für frei aufliegende Träger gegeben sind, lassen sich sofort auf continuirliche Träger übertragen, sofern man die negativen Werthe von 9)1 als um so

sjjt

kleiner betrachtet, ie mehr der Werth unter die Null herab-

steigt; denn alsdann entsteht an den Zwischenstützpunkten, wo 9)1 einen grössten negativen Werth erreicht, ein Werth min 9)1,

syt

der in der Regel zugleich auch min darstellt (weil die Zu-

nähme von § wohl immer kleiner ist als die Zunahme von 9)1), während wir schon oben darauf hingedeutet haben, dass daselbst die untere Gurtung gedrückt, die obere Gurtung gezogen

ist ; zwei Schnitte links und rechts von min (zunächst oder am

Zwischenstützpunkt gelegen) ergeben, dass beide getroffenen Streben gedrückt sind, wenn das negative Om absolut grösser als Um_i und Um+1 ist, dagegen gezogen sein müssen, wenn Um > Om und > Om+1 ist (s. Fig. 138).

Fig. 138.

Der obige Satz 3) passt also auch bei continuir-lichen Trägern und muss nun auch Satz 2) für die

9)1

Punkte max — richtig bleiben; alle drei oben angeführten Sätze gelten also unverändert auch für continuirliche Träger, sobald man die numerisch grössten negativen Werthe als Minima ansieht.

rn-1

richtete Streben ihr Vorzeichen, d. h. es tritt daselbst Wechsel von Druck und Zu g in gleichgerichteten Streben ein;

2) jede Strebe ist gezogen, deren Fussende dem Punkte

max -x— näher liegt, als das Kopfende; jede Strebe ist gedrückt,

ft

deren Kopfende dem Punkte max näher liegt als das Fussende ;    ^

3) jede Strebe ist gedrückt (beziehungsweise gezogen)

sJJt

deren Kopfende dem Punkte min —r- entfernter (beziehungsweise näher) liegt als das Fussende. ®

Anmerk. Die Sätze 2) und 3) geben selbstverständlich für die zwischen befindlichen Streben dasselbe Resultat.

max

ätt

- und min

3JÎ

nul

m- 2

fl

m+2

134. Das einfache unsymmetrische System, dessen Streben theilweise vertikal sind, hat stets für zwei in derselben Yertikalen befindliche Knotenpunkte dasselbe 9Ji; ebenso finden die Aenderungen der Kurven $ stets an den durch je zwei Knotenpunkte gehenden Yertikalen statt und bleiben dieselben, ob die oberen oder unteren Knotenpunkte belastet sind. Es ist daher beim einfachen, un- symmetrischen System zweckmässig, die zwei denselben Yertikalen angehörigen Knotenpunkte je mit denselben Buchstaben m, m -(- 1 . . . . zu bezeichnen, indem diess nicht nur für die Formeln wesentlich vereinfachend ist, sondern auch der durch die Aenderungen von 99? und $ gegebenen Facheinheit entspricht.

Entsprechend den beim einfachen, symmetrischen Fachwerk gebrauchten Bezeichnungen sind:

SR', 9)?'

. . die Angriffsmomente in den Knotenpunkten m, m + 1 . . . . (beziehungsweise an den betreffenden Yertikalen) und zwar bezogen auf einen Hauptträger;

Sß'm,    .... die Yertikalkräfte in den Feldern unmittelbar

links von den Yertikalen m, m 1 . . . . gleichfalls bezogen auf einen Hauptträger;

Om, O

. . . die Kräfte in der obern Gurtung unmittelbar

m 1 •

links von den Knotenpunkten m, m -j- 1 . . . . ;

ßm, ßm+i .... die zugehörigen Winkel gegen den Horizont;

Um, Um+i .... die Kräfte in der untern Gurtung unmittelbar links von den Yertikalen m, m -f- 1 . . . .;

7m, 7m+i .... die zugehörigen Winkel gegen den Horizont;

. . die Kräfte in die schiefen Streben unmittelbar links von den Yertikalen m, m -f-1 . . . . ;

<Pm, qPm+i .... die zugehörigen Winkel gegen den Horizont;

Ym, Vm+i .... die Kräfte in den Yertikalen m, m + 1 . . .

iQm-, §m+i .... die Yertikaldisfcanz der Gurtungsschwerpunkte an den Knotenpunkten m, m -j- 1 ....

Da wo in demselben Träger schiefe Streben verschiedener Dichtung Vorkommen, bezeichnen:

Tm, Tm+i .... die Kräfte in den schiefen Streben in der den N entgegengesetzten Richtung;

V>m, ^m+i .... die zugehörigen Winkel gegen den Horizont.

Betrachten wir nun in den Fig. 139 und 140 zwei Schnitte unmittelbar links und unmittelbar rechts von den Knotenpunk-

ten m und denken wir uns Drehung um denjenigen Knotenpunkt m7 in welchem je eine von demselben Vertikalschnitt getroffene Strebe-ihren Endpunkt findet, so folgt.

Fi<r. 139.

m-1.

irt

m+i m+1

L+li

vV

m-1 w

:m.+l

Fig. 140.

m-l

V V l^i

\ V \

im. m um+i

nach Fig. 139 :

Om+ ! COS ß = Um COS 7 =

nach Fig. 140:

Om cos ß = Um+1 cos y =

.    .    185)

. . 186)

Wir bemerken bei Einsicht der Figuren 139 und 140, dass diejenigen zwei Gurtungskräfte, welche in derselben Gleichung erscheinen (indem deren horizontale Composanten gleichwerthig sind) durch gerade Linien parallel der Strebenrichtung getroffen werden, was zum bessern Verständniss der Gleichungen 185) und 186) dienen kann.

Wenn man nach Massgabe der Gleichungen 186) und 187) auch die Werthe

und hienach die Grössen Om-i und

Um—i bestimmt — wenn man sodann für irgend einen Vertikalschnitt durch die Strebe Kra die Summe der horizontalen Composanten anschreibt:

nämlich nach Fig."* 139:

Km COS cp = Um cos y - Om COS ß .    .    .

und nach Fig. 140:

I.

Km COS <p = Om COS ß — U,

cos y

II.

so folgt aus den Gleichungen I. und II. nach Wertheinsetzung aus den Gleichungen 186), beziehungsweise 187) je derselbe Werth:

Km COS qp =

W' m

188)

Die Gleichung 188) kann ganz allgemein zur Bestimmung der Strebenkraft unsymmetrischer einfacher Systeme gelten ; die Bedeutung des Vorzeichens wird in folgender Weise entschieden :

Die Strebe Nm ist gedrückt, wenn die horizontale Compo-

«ante

der gezogenen Gurtung grösser ist, als die gedrückte

Gurtung, gezogen, wenn umgekehrt die horizontale Composante der gedrückten Gurtung grösser ist. — Da zu verschiedenen Seiten

des Punkts max

ç- die Differenz der Gurtungscomposanten ver-

schiedenes Vorzeichen hat, so müssen am genannten Punkte gleichgerichtete Streben ihr Vorzeichen ändern und findet dieser "Wechsel von Druck und Zug aus demselben Grunde auch am Punkte .

min -s- statt und ist — wenn man wieder zunächst einen frei

® .

aufliegenden Träger ins Auge fasst, jede Strebe gezogen, deren

Pussende dem Punkte max näher oder vom Punkte min

£ £

entfernter als das Kopfende ist; jede Strebe ist gedrückt, deren

Fussende dem Punkte min näher oder vom Punkte max

entfernter ist, als das Kopfende — und finden wir in weiterer Verfolgung dieser Betrachtung, dass die in N°* 134. für symmetrische Systeme aufgestellten drei Sätze auch für unsymmetrische Systeme sowohl beim frei aufliegenden, als auch beim continuirlichen Träger gleichfalls vollständige Geltung haben.

Die Gleichungen 186)—188) genügen zwar zur Bestimmung der Kräfte in den Gurtungen und schiefen Streben, doch wird die Strebenkraft häufig rascher durch Bestimmung ihrer vertikalen Com-posanten gefunden. — Ein Schnitt links von den Knotenpunkten m ergiebt :

S8'm = Om sin ß — Um sin y ± Nm sin qp

woraus nach Fig. 139 :

Nm sing>=- »'m-und nach Fig. 140 : Um sin cp = ÜB'm -I

ü»'m

tgr —

W' m-

tgßm . . .    189)

— tgym. . . 190)

positive N Zug bedeuten und zunächst A negativ ist.

In vielen Fällen, insbesondere bei grösserer Anzahl von Fach-

Werksfeldern genügt es, einen mittlern Werth einzuführen und

erhält man alsdann als Näherungsformel:

(tgß + tgy).....191)

§m —V₂

Nm sin cp = — üB'm —

wo SJFm- Vo und §m-v₂ in der Mitte zwischen m und m—1 genommen sind.

135. Bei Bestimmung der Kräfte in den vertikalen Streben kommt wesentlich in Betracht, wie die daselbt eintretende Belastung sich auf die obern oder die untern Knotenpunkte vertheilt; denn an jedem Knotenpunkte muss Gleichgewicht zwischen den daselbst angreifenden Kräften herrschen und da die Kräfte in den Gurtungen und schiefen Streben nach N°. 134 bereits bekannt sind, so bedingt jede Aenderung im gegenseitigen Belastungsver-hältniss der obern und untern Knotenpunkte eine Aenderung im Werthe der Kräfte Y in den vertikalen Streben oder Ständern.

Zur Bestimmung der Kraft Vm denken wir uns die Vertikale m m durch einen schiefen Schnitt ungefähr parallel der Bich-

Fig. 141.

Fig. 142.

m-1

mil

m-1

m+ 1

m-1

int 1

.....

m-1

nr*l

tung der schiefen Streben geschnitten (vergl. Fig. 141 und Fig. 142) und nennen ferner :

P'o die im obern Knotenpunkt,

P'u die im untern Knotenpunkt eintretende Belastung.

Nach Fig. 141 ist die Summe der vertikalen Composanten der links vom fraglichen Schnitt wirkenden äussern Kräfte ausgedrückt durch den Werth -f P'o, indem der Coordinatenursprung in A und die Bichtung der Schwere als die positive angenommen ist (so dass zunächst A negativ ist) und folgt hieraus nach Wertheinsetzung aus Gleichung 185) sofort :

S'm -f P'o = —

(tgftn + 1 + tg 7m) + Vm

Vm = ~ (tgßm+i -f tg ym) 4- $'m + P'o ... . 192)

Ebenso folgt aus Fig. 142 nach Wertheinsetzung aus Gleichung 186):

Vm = —

W'rn

(tg ßm + tg ym+i) — $'m — P'u

.    .    193)

Zu bemerken ist hiebei noch, dass $'m + P'o = $'m+i — P'u und SS'm 4- P'u = $'m-H — P'o gesetzt werden darf.

An denjenigen Vertikalen, wo ~ sten Werth erreicht, findet keiner der beiden in den Fig. 141 und 142

seinen grössten oder klein-

gezeichneten Fälle statt, vielmehr wechselt hier die Richtung der gezogenen, beziehungsweise der gedrückten Streben (zu vergleichen die vorhergehende Nummer und die Regeln der Nummer 132).

Fig. 142a.

Fig. 142b.

m-j

mit 3^ £-0

matc aj

in¹1

7TV+1

-- Ohl

TTV-!_

rrv

in-*-!.

Sind die Diagonalen sämmtlich gezogen, so ist ihr Fuss-punkt gegen max— gerichtet, es treten also in letzterer Verti-

kalen die Diagonalen beiderseits im untern Knotenpunkt ein, während de

ir obere Knotenpunkt gar keine Strebenkräfte aufnimmt; es malb sehr leicht, an letzterem Punkte das Gleichgewicht

der Kräfte anzuschreiben und erhalten wir hieraus:

m'm

(tgßm — tgßm + l) •    •    194)

Das Vorzeichen auf der rechten Seite dieser Gleichung richtet sich nach der Neigung der Gurtungswinkel, welche rechts von der Brückenmitte anderes Vorzeichen haben, als links.

Sind die Diagonalen sämmtlich gedrückt, so sind'ihre

oberen Endpunkte gegen max gerichtet und ist also in letzterer

Vertikalen der untere Knotenpunkt frei von schiefen Strebenkräften; es ist daher, wenn man sich Gleichgewicht um letztem Punkt denkt :

Vm = P'o +

W'm

(tgym ~ tgU+i) .    .    194&)

y — P' -f

In den Gleichungen 192)—194a) bedeuten positive V Druck, negative V Zug, vorausgesetzt dass sämmtliche Vorzeichen richtig angewendet und die Richtung der Schwere stets als die positive angenommen ist. — Insbesondere sind aber die Vorzeichen der trigonometrischen Grössen zu beachten und ändern dieselben bei frei aufliegenden Trägern in der Regel jenseits der Brückenmitte ihr Vorzeichen (insofern die Träger meist symmetrisch gegen die Brückenmitte construirt sind).

136. Wir haben beim unsymmetrischen Sytem (ebenso wie beim symmetrischen) die allgemeine Regel gefunden, dass eine schiefe

. Strebe dann gezogen ist, wenn ihr Fussende der Vertikalen ^ näher ist, als ihr Kopfende.

max

â

Da nun in Folge von Aenderungen in der Belastung max

seine Lage ändert, so folgt nothwendig, dass ein Theil der Streben bald gezogen, bald gedrückt sein muss. Man wendet aber beim unsymmetrischen System häufig Streben an, welche blos Druck oder blos Zug aushalten können, woraus mit Nothwendig-keit folgt, dass in denjenigen Feldern (Fachen), wo die Strebenkraft ihr Vorzeichen ändert, Streben von entgegengesetzter Richtung angebracht sein müssen, von denen stets nur diejenige zur

Wirkung kommt, deren Kopf- oder Fussende dem Punkte max

näher ist — je nachdem diese Streben blos Druck oder blos Zug aushalten können.

Eine blos auf Zug construirte Strebe kommt in der Regel dadurch ausser Wirkung, dass sie sich in Folge des beginnenden Drucks ausbiegt, wiewohl auch eine solche Verbindung gedacht werden kann, welche beim Aufhören des Zugs gleichfalls aufgehoben wird; bei gedrückten Streben, welche ohne Bolzenverbindung stumpf aufgesetzt sind, hört die Verbindung und ebendamit die Strebenkraft auf, sobald die Strebe einem Zug unterworfen werden soll, z. B. bei dem Howe’schen System, welches in Fig. 143 skizzirt ist.

Fig. 143.

'>

//

//

Diejenigen Streben, welche hauptsächlich in Folge der einseitigen Belastung zur Wirkung kommen, nennt man Gegenstreben; bei solchen gekrümmten Trägern, deren Diagonalstreben bei gleichförmiger Belastung ganz oder nahezu ausser Wirkung sind, werden daher alle Streben zugleich als Gegenstreben wirken, während bei allen andern Systemen als Hauptstreben diejenigen Streben betrachtet werden, welche bei gleichförmiger Belastung des Trägers in Wirksamkeit sind.

137. Bei vorstehender Betrachtung ist zunächst Umgang genommen von derjenigen Spannung oder Pressung, welche im Fachwerk vor Beginn der Belastung bereits vorhanden war.

Wenn nämlich die Gegenstreben bei Aenderungen der Belastung sofort anstatt der Hauptstreben zur Wirkung kommen

sollen, so ist nicht wohl zu umgehen, dass eine ursprüngliche in allen Streben wirkende Spannung (Pressung) schon vor der Belastung vorhanden ist, sind z. B. — jede Belastung hinweggedacht — alle Diagonalen nach bestehender Figur 144 gleichförmig gedrückt

Fi<r. 144.

(indem die gedrückten Glieder durch Doppellinien dargestellt sind), so müssen nothwendig alle Vertikalen und ebenso beide Gurtungen gleichförmig gezogen sein ; anderseits wenn alle Diagonalen gleichförmig gezogen sind (s. Fig. 144a), so müssen alle Vertikalen gleichförmig gedrückt sein.

Fig. 144».

Wird nun ein solcher Träger zunächst wenig belastet, so bleiben die Haupt- und Gegenstreben sämmtlich gedrückt, beziehungsweise gezogen; bei zunehmender Belastung können Haupt-und Gegenstreben allmählig ausser Wirkung kommen, und zwar wird vollständige Entlastung einer Strebe insbesondere dann stattfinden, wenn die entgegengesetzt gerichtete Strebe desselben Faches ihre grösste Anstrengung erleidet und schliessen wir hieraus, dass — so lange die ursprüngliche Spannung der Pressung keine übermässige war, die Dimensionen der Hauptstreben berechnet werden dürfen, wie wenn im fraglichen Fache bei der betrachteten ungünstigsten Belastung gar keine Gegenstreben vorhanden gewesen wären.

Bezüglich der Querschnittdimensionen der Gegenstreben unterscheiden wir zunächst gerade und gekrümmte Träger. — Bei letztem können Hauptstreben und Gegenstreben so zu sagen in einander übergehen (wie diess in N°. 138. erläutert ist) und werden meist sämmtliche Diagonalen nach der grössten Anstrengung, die sie in Folge der Belastung erleiden können, berechnet werden müssen. — Bei geradlinig begränzten Trägern sind die Gegenstreben häufig auf einem erheblichen Theil der Länge bei jeder Art Belastung ausser Wirkung (wie diess z. B. bei der Howe’schen Holzconstruc-tion der Fall ist); die Dimensionen der Gegenstreben richten sich dann nach der ursprünglichen Pressung, die man im System anzubringen für zweckmässig erachtet hatte oder die auch unbeab-sichteter Weise eintreten kann.

Î38. Ein doppeltes Fachwerk entsteht, wenn jede Hauptstrebe der einen Richtung sich mit einer Hauptstrebe der andern Richtung kreuzt. Die Figur 145 stellt ein doppeltes

Fig. 145.

(5)

(3)

(2)

(4)

16)

symmetrisches Fachwerk dar, wo die Streben des einen Systems durch stärkere Linien bezeichnet sind; dem einen System gehören die Knotenpunkte 1,2, 3, 4, 5...., dem andern die Knotenpunkte (1), (2), (3), (4) . . . .

In ähnlicher "Weise stellt Fig. 146 ein doppeltes unsymmetrisches Fach werk dar, wo die Knotenpunkte des einen Systems mit den ungeraden Ziffern 1, 3, 5 ... . die des andern Systems mit den geraden Ziffern 2, 4, 6 . . . . bezeichnet sind.

Fig. 146.

Die Berechnung kann nun ganz wie beim einfachen Fachwerk geschehen, indem man die sämmtlichen Lasten auf die Knotenpunkte vertheilt und hieraus für jedes der beiden Systeme besondere 25 und bildet. Sind z, B. die obern Knotenpunkte belastet, so haben wir im obigen symmetrischen Fachwerk für das eine System die Knotenpunkte (1), (3), (5) ...., für das andere System die Punkte 2, 4, 6 . . . . als Lastpunkte zu betrachten und hienach die Figuren 129—131 zu construiren, beziehungsweise die Formeln 170)—172) oder 176—179) anzusetzen.

Es sind nach dem Vorstehenden im Allgemeinen die demselben Abstand x entsprechenden 9ÄX für die beiderlei Systeme verschieden, nur wenn die obern und untern Knotenpunkte gleich belastet sind, hat beim doppelten symmetrischen Fachwerk (Fig. 145) für beide Systeme denselben Werth und haben in Folge dessen die Strebenkräfte desselben Faches gleiche horizontale Compo-santen.

Die Zerlegung eines doppelten Fachwerks in zwei getrennte Systeme ist in der angegebenen Weise bei Berechnung von grösseren Fachwerkbrücken schon mehrfach in Anwendung gekommen, so z. B. bei der bekannten, nach Schwedler’schem System erbauten

Weserbrücke bei Höxter und bei der ganz ähnlich construirten Elbbrücke bei Tangermünde.

Dieselbe Berechnungsweise kann nun auch bei mehrfachen Systemen angewendet werden ; wir geben jedoch im Folgenden ein etwas vereinfachtes Verfahren an, welches letztere in gleicher Weise auch für doppelte Systeme angewendet werden kann.

139. Wenn man im mehrfachen Systeme für jedes der einzelnen Systeme besondere und $8 nach den in N°* 138 angegebenen Grundsätzen bildet, so wird man finden, dass für denselben Abstand x die Werthe 9JÎ und $ der einzelnen Systeme verhältnissmässig wenig von einander abweichen und zwar um so weniger, je höher die Nummernzahl des Systems ist. Wir dürfen daher beim n fachen System für jedes der n Systeme annehmen, wo 9JG und ü$x die Angriffsmomente des ganzen Systems, die eingeklammerten Grössen diejenigen eines einzelnen Systems bezeichnen.

Fig. 146a.

~aj

iP

in

ni •

+ «M

^ mi m'

Hieraus findet man nun sofort für eine schiefe Strebe Nmr deren Endpunkte mit den Buchstaben m und m' bezeichnet sind (s. Fig. 146a), nach den Gleichungen 182) und 188) (somit sowohl für symmetrische als unsymmetrische Systeme) :

Nm cos <p =

1 fm'm

n V

.    195)

und ebenso aus den Gleichungen 184) und 191) : Nm sin <p

SOI y₃(m+m')

§J/₂ (m + m')

wobei der Index v₂(m+m') sich auf die Mitte der betrachteten

(hg ß -f- tg y)j .

. 196)

Strebe bezieht, für welchen Punkt die Yertikalkraft des ganzen Systems mit Sb/a (m-p m-) bezeichnet ist.

Bei unsymmetrischen mehrfachen Systemen sind die Formeln für die vertikalen Streben (Ständer, Pfosten) besonders zu entwickeln und hat man nach Analogie die Gleichungen 192) und 193) nach Fig. 139:

V„ =

1 9)?'

“    ßm + l + tg ym) +

wo üßm die Vertikalkraft unmittelbar links vom Punkt m bezeichnet und nach Fig. 140:

l 9R'm

Vm = —

(tg ßm -j- tg ^rn+l) n SS/j/a(m+m') P\i 197a)

140. Nachdem die Strebenkräfte bekannt sind, werden die Gurtungskräfte für die verschiedenen Constructionssysteme in nachfolgender Weise bestimmt:

Fig. 147.

m-J-

m 1 ‘ îh

je- d * dL—»j

\A

fr

mLl

m¹

iÊ?

A) für das mehrfach symmetrische Fachwerk mit gerader Nummerzahl.

Man bringt einen Yertikalschnitt an durch die über einander befindlichen Kreuzungspunkte je zweier Streben und unmittelbar links vom Punkt m, so dass die Abscisse des fraglichen Schnittpunkts mit xm-y₂ bezeichnet ist; wir sehen nun ab von der verhältnissmässig kleinen Differenz der von demselben Schnitt getroffenen Strebenkräfte und erhalten durch besagte Vernachlässigung der Differenz der horizontalen Composanten der Strebenkräfte :

m'm

Om COS ß = Um cos y =

. .    198)

-V*

§ m — Va

wobei Om und Um wie seither die Gurtungskräfte unmittelbar links vom Knotenpunkt m bezeichnen.

B) für das mehrfach symmetrische Fachwerk mit ungerader Nummerzahl (vergl. Fig. 148).

Fig. 148.

Man bringt einen Vertikalschnitt durch einen obern oder untern Knotenpunkt an, welcher Schnitt zugleich den Knotenpunkt zweier anderen Streben (ganz oder nahezu) schneidet; indem man auch hier wieder von der Differenz der horizontalen Compo-santen der sich kreuzenden Streben absieht und den Drehungspunkt an dem durch den fraglichen Schnitt getroffenen Knotenpunkt der obern, beziehungsweise untern Gurtung anbringt, so erhält man :

fA

-----

W'm

Om cos ß oder Um cos y =

wobei man die Schnitte der Reihe nach und abwechslungsweise an den obern und untern Knotenpunkten anbringt.

.    .    199)

Fig. 149.

»b-i

m-J

Om cos (5

*2^(Ncoscp)

-1

Um COS J

-----X.

.....M-

C) für das mehrfache unsymmetrische Fachwerk:

Man bringt einen Schnitt in der Mitte des Faches (m — 1) m und denkt sich, da nach N⁰⁻140. alle Strebenkräfte bekannt sind, die Resultante der horizontalen Composanten sämmtlicher durch fraglichen Schnitt getroffenen Streben gebildet, welche Summe mit (Ncosqp) bezeichnet werden soll; der Vertikalabstand dieser Resultante vom untern Gurtungsschwerpunkt wird mit 3) bezeichnet, so dass —9) den Abstand vom obern Gurtungsschwerpunkt angiebt.

Hiernach erhält man:

gtt'm

Om cos ß = und :

— Va

—— 2m (N cos qp) .    .    .    „    200)

Um cos y =

gfrm-y, -

§m-Va

^mi(N cos qp) .    .    201)

lieber das Vorzeichen des zweiten Gliedes der Gleichungen 200) und 201) kann kein Zweifel sein, da sämmtliche Strebenkräfte als bekannt vorausgesetzt sind.

Mit Ausnahme der Endfelder, wo die Strebenrichtungen wesentlich verschieden sind, ist 9) nahezu gleich x/₂ ÜQ ; eine bezügliche Vereinfachung der Formeln 200) und 201) wurde aber unterlassen, weil sonst für die Endfelder besondere Formeln aufgestellt werden müssten.

Fig. 150.

141. In den Fig. 147 und 148 sind die Streben in den Endfeldern parallel denen der andern Felder gezeichnet, was zur Folge hat, dass einzelne der das Fachwerk bildenden Systeme an den Enden unvollständig sind und dass z. B. bei Fig. 148 die relative Festigkeit der Endständer durch die Differenz der horizontalen Composanten der Strebenkräfte in Anspruch genommen wird; letzteres findet auch bei nebenstehender Fig. 150 statt, falls die Vertikalkräfte zu beiden Seiten des gezeichneten Mittelpfeilers verschiedene Werthe haben; in letzterem Falle ist daher der Endständer, welcher auch den grössten Theil der Auflager-reaction aufzunehmen hat, bei einseitiger Belastung sehr stark in Anspruch genommen.

Fig. 151.

Fig. 152.

////

\W\

\Kl\l\l

////

Man kann die Endständer wesentlich entlasten und insbesondere deren relative Inanspruchnahme vermeiden, indem man die in Fig. 151 skizzirte Anordnung anwendet, wie solches bei den unsymmetrischen Trägern in Fig. 149 gleichfalls angenommen ist.

Während in Fig. 151 der Endständer die Hälfte des Auflagerdrucks zu übertragen hat, ist in Fig. 152 eine Anordnung gezeichnet, wo im Falle blos die untern Knotenpunkte belastet werden, ein Endständer gar nicht nothwendig ist.

142. Combinirte Fach werke nennen wir solche, welche wie die unsymmetrischen Fachwerke mit Vertikalen versehen sind, dabei aber doch in jedem Felde Hauptdiagonalen verschiedener Richtung haben; man kann eine solche Construction als ein dop-

peltes, unsymmetrisches Fachwerk ansehen, wo die beiden Systeme verschieden gerichtete Diagonalen zeigen, wie solches in Fig. 153 und 154 dargestellt ist.

Es entsteht hiebei sofort die Ungewissheit, wieviel jedes der beiden Systeme von der Belastung aufzunehmen hat, da sämmt-liche Knotenpunkte beiden Systemen gemeinsam sind.

Fig. 153.

2.

Die Aufgabe wird dadurch am vollständigsten gelöst, dass man mit Berücksichtigung sämmtlicher Querschnittdimensionen die Formänderung des ganzen Fachwerks genau verfolgt und hieraus bestimmt, welchen Bruchtheil der Gesammtlast jedes der beiden Systeme aufzunehmen hat, eine Aufgabe, welche meist sehr schwierig sein wird.

Fig. 154.

Zum Voraus lässt sich übrigens abnehmen, dass wenn beide Gurtungen gleiche Form und Belastung haben und wenn die beiderlei Streben gleich stark und insbesondere gegen Druck zweckmässig construirt sind — dass alsdann die in demselben Felde befindlichen Streben auch gleich grosse Kräfte zu übertragen haben, wodurch dann allerdings sich ergiebt, dass die Vertikalen gar keine Kraft zu übertragen hätten, sie wären also in diesem Falle jedenfalls leicht zu halten.

In weiterer Verfolgung dieser Betrachtung ergiebt sich, dass eine übermässige Stärke der Vertikalen auf die gleichmässige Wirkung der beiden Strebensyteme ungünstig wirkt, indem die der Formänderung der ganzen Träger sich widersetzenden Vertikalen einen Theil der Fachwerkkräfte aufnelimen. — In viel höherem Grade kommen aber die Vertikalen zur Wirkung, wenn die beiderlei Streben verschiedene Stärke haben.

"Wir haben nämlich schon oben bei den Gegenstreben erwähnt, dass dünne, unausgestreifte Gegenstreben nahezu ausser Wirkung kommen, sobald sie einem Druck widerstehen sollen; die Kraft, welche von den schwachen Gegenstreben nicht aufgenommen werden kann, geht sofort in die gegen Druck construirten Vertikalen über, während die Gegenstrebe nur soviel Druck behält, als sie ohne Biegung aufnehmen kann. — Aehnlich verhält es sich nun, wenn in combinirten Fachwerken die Streben verschiedene Stärke haben. Die Streben müssten bei gleich grossen Kräften verschiedene Ausdehnung, beziehungsweise Zusammenziehung erleiden und da der geometrische Zusammenhang dem entgegenarbeitet, so müssen die Vertikalen in Mitleidenschaft gezogen werden, während die Streben ungleich in Anspruch genommen sind. Es wird nun theilweise auf die Stärke der Vertikalen ankommen, wieviel dieselben von der Strebenkraft aufnehmen; angenommen jedoch, dass die Vertikalen weder zu schwach, noch auch übermässig stark seien, so wird man das Verhältniss, nach welchem die beiderlei Streben wirken, nach der Widerstandsfähigkeit dieser letzteren bemessen können; bezeichnet nämlich:

Nm und Tm die Kräfte in den beiden Streben desselben Feldes-links vom Knotenpunkt m, cou den Querschnitt der Strebe Km, wt den Querschnitt der Strebe Tm. so darf, falls gezogen ist, für das Verhältniss der Kräfte-N und T angenommen werden:

. . 202)

(on

₌ *=. (i + K

<»t V    G

und falls Nm gedrückt ist:

Tm

O) t

CO'

to

. 203)

In diesen beiden Gleichungen ist die Bedeutung der eingeklammerten Grösse aus N°. 36. und der dortigen Gleichung 76) zu entnehmen; letztere Gleichung ist in N°. 122. als Gleichung 169) recapitulirt.

Fig. 155.

Hi

\r /

ÏL

JJL

yr

nL-i

jürF

143. Bei Aufstellung der Formeln für die cömbinirtenFach-werke wenden wir dieselben Bezeichnungen an, welche in N°. 135. für die unsymmetrischen Fachwerke gewählt wurden, wie durch die Fig. 155 näher erläutert ist.

Indem wir nun einen Schnitt unmittelbar links von der Vertikale m anbringen und Drehung um den untern und sodann um den obern Knotenpunkt m annehmen, erhalten wir :

Om COS ß -j- COS (Jj =

m' n

. .    204)

Um COS 7 + Tm COS xp =

rn'm

§m

205)

und indem sodann ein Schnitt unmittelbar rechts von der Vertikalen (m—1) angebracht und Drehung um den untern Knotenpunkt (m — 1) angenommen wird :

Om COS ß + Tm COS Cp =

m'm-1

§m —1

In den Gleichungen 204)—206) sind 4 Unbekannte O, U, T und N und können letztere aus genannten 3 Gleichungen nur dann bestimmt werden, wenn über das gegenseitige Verhältnis dieser Grössen, z. B. zweier derselben, eine weitere Bedingungsgleichung gegeben ist.

Eine solche 4. Gleichung ist durch die in N°* 143. angeschriebene Gleichung 202), beziehungsweise 203) gegeben, welche Gleichungen wesentlich genauer sind, wenn die Vertikalen weder zu schwach, noch übermässig stark sind — noch besser, wenn sie genau die ihnen zukommende Stärke besitzen.

Man findet aber die von den Vertikalen aufzunehmende Kraft, wenn man die Bedingungen des Gleichgewichsts um einen der beiden Knotenpunkte anschreibt, nachdem vorher die Gur-tungs- und Strebenkräfte nach den Gleichungen 202)—206) bestimmt worden waren.

. . 206)

§. 16. Fachwerke mit geradlinig horizontalen Gurtungen.

144. Bei geraden horizontalen Gurtungen vereinfachen sich die Formeln, indem die Gurtungswinkel gleich Null werden, wonach insbesondere in den Gleichungen 183), 184), 189) bis 193), sowie 195)—197) die Glieder mit 9)1 ausfallen, und die Strebenkräfte nur noch von der Vertikalkraft ÜB abhängig sind; man wird daher bei horizontalen Gurtungen die vorgenannten Gleichungen vorzugsweise zur Bestimmung der Strebenkräfte anwenden, wonach für letztere die Kurve max ÜB, beziehungsweise min ÜB, massgebend sein wird.

Die Gurtungskräfte sind beim einfachen System, sowie beim mehrfachen symmetrischen System nur vom Werthe max 9)1 abhängig (vergl. die Gl. 180, 181, 185, 186, 198, und 199) und ist daher die umstehende Fig. 156, in welcher die Maximalwerthe 9)îm und ÜBm verzeichnet sind, bei den geradlinigen Trägern für die vorgenannten Systeme ausreichend und besonders geeignet, diejenigen 9)1 und ÜB zu bestimmen, welche zur Entwicklung der grössten Gurtungs- und Strebenkräfte nothwendig sind.

Bau der Brückenträger. II. Th.

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Fig. 156.

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Lage des Punktes ÜB = o ist, wie soeben erwähnt, durch Gleichung 99) bestimmt; bezeichnet nämlich a die Abscisse der äusser-sten, zunächst dem Auflager A gelegenen Stellung des Punktes max 9JÎ und SB = o, so ist:

.    207)

a = 1

Für Eisenbahnbrücken können die Yerhältnisse aus den

Tabellen XVII. entnommen werden, indem hiebei die für einseitige Belastung gegebenen Werthe k¹ annähernd gültig sind; genauer werden die Werthe k mit Hülfe der Fig. 134 erhalten. — Für Strassen-

brücken findet man die Yerhältnisse — aus den Angaben der

K

Nummern 66. und 67.

Zwischen den Auflagern und den soeben bestimmten Grenzpunkten a ist bei geradlinigen Trägern jede Strebe bloss auf Zug oder bloss auf Druck in Anspruch genommen ; zwischen der Mitte und den genannten Punkten a findet in jeder Strebe in Folge Bewegung der Last Wechsel von Druck und Zug statt, sofern nicht Gegenstreben angebracht sind (vergl. N°. 137.).

Im Vorstehenden sind zunächst frei aufliegende Träger ins Auge gefasst; bei continuirlichen Trägern werden für mehrere besondere Belastungsarten graphische Darstellungen hergestellt, wie solche in Tafel IV. und V. ersichtlich sind und sind in letzteren für jedes stets die gleichzeitigen ÜB eingetragen, auch sind die äussersten Lagen der Punkte SB = o daselbst ersichtlich.

145. Das einfache symmetrische System mit horizontalen Gurtungen ist in England bekannt unter dem Namen der „War-renträger“.

Fig. 157.

-—

t r t r ■£

-A^v, -Y_

Unter Beibehaltung der in N°. 133. angenommenen Bezeichnungen erhalten wir aus den Gleichungen 180) bis 183) für geradlinige Träger folgende einfache Formeln: a) für die Gurtungen:

Om oder Um =

und indem il den Querschnitt der betrachteten Gurtungen bezeichnet ♦

Om

mittlere Pressung Ü8m = -jy

AJ

_8

10

y\

. . 208)

. .    209)

An merk. Es ist im Vorstehenden ein frei aufliegender Träger vorausgesetzt, wo die obere Gurtung immer gedrückt ist; bei continuirlichen Trägern kann durch Gleichung 209) eine Spannung, durch Gleichung 210) eine Pressung bezeichnet sein.

b) für die Streben:

Nm sing) = $'m

und indem a> den Querschnitt der betrachteten Strebe bezeichnet mittlere Pressung 23m ) _ Nm oder Spannung

Die grösste Pressung 23 findet sich aus der mittleren Pressung

toL2>v

w)

211)

2tm

0)

. . 212)

wo L

Um

Spannung 2Ï = -jj-

. . 210)

23m durch Multiplication mit dem Coefficienten ^1. -f- K

die freie Länge des gepressten Gliedes, w den Querschnitt desselben und 0 das Trägheitsmoment dieses Querschnitts bezeichnet (siehe Gleichung 169).

146. Die bekannteste unter den Brücken nach Warren’s System ist der Crum linviaduct; derselbe ist in der Berliner Zeitschrift für Bauwesen, Jahrgang 1858, von Herrn Baurath Malberg beschrieben, welcher Mittheilung die nachstehenden Angaben entnommen sind.

Der Crumlinviaduct liegt in der Newport-Abergavenny-Here-ford-Eisenbahn bei Crumlin nahe bei Newport (South Wales) und wurde im Jahre 1853 nach den Plänen der Ingenieure Lidell und Gordon begonnen. — Der Yiaduct hat 10 Oeffnungen, welche bei einer Pfeilerdistanz von 150 Fuss englisch eine Spannweite von 147³/4 Fuss oder 45 Metres erhalten haben; die Pfeiler, welche sehr verschiedene Höhen zeigen, bestehen aus gusseisernen Säulen, welche durch schmiedeiserne Stangen und gusseiserne Rahmen verspannt sind ; es ist diess aus Tafel IX, wo eine der Oeffnungen dargestellt ist, näher ersichtlich; es ist hier die Geleiseaxe nicht im Mittel der betreffenden zwei Träger angebracht, so dass der äussere Träger weniger zu tragen hätte; in der folgenden Berechnung ist auf diesen Umstand keine Rücksicht genommen, sondern es sind beide Träger gleich stark belastet angenommen (wobei sich übrigens die ungleiche Belastung jederzeit nach dem Hebelverhältniss nachträglich berücksichtigen lässt).

Fig. 158.

.. 9" .

Fig. 159.

■TT|

CQ

X.

1.

Die obere gedrückte Gurtung hat einen kastenförmigen Querschnitt erhalten, wie nebenstehende y Figur 158 zeigt; die untere Gur-^ ! tung und die gezogenen Streben sind flache Bänder, während die i i gedrückten Streben einen kreuzförmigen Querschnitt erhalten haben (siehe Figur 159).

Fig. 160.

\— 148    -5 —

N A

180

193

⁶    244

2^4

«s.

Y- 97 A

155

XX

'è I

•fr j

206

219

?>

Die Querschnittdimensionen der Gurtungen und Streben sind nach den Angaben des Herrn Malberg, aber in Quadratcentimeter übertragen, in der folgenden Figur 160 verzeichnet; hiebei ist zu bemerken, dass bei den Flacheisen kein Abzug für Nietlöcher nothwendig war, weil der Querschnitt an den Knotenpunkten durch Deckplatten verstärkt ist; die der Brückenmitte zunächst gelegenen Streben haben einen verhältnissmässig stärkeren Querschnitt erhalten, bei welchem indessen Abzüge nothwendig sein dürften.

147. Wir haben in N°. 65. für das Eigengewicht einer schmiedeisernen Brücke in Gleichung 103a) die Gleichung aufgestellt: p = C1 -f- F .... 213)

wo F das Gewicht der Fahrbahn (per meter) und zwar inclusive Schienen, Schotter und Bedielung, C dagegen einen der betreffenden Hauptträgerconstruction eigentümlichen Coefficienten bezeichnet; wenn wir dagegen im Folgenden das blosse Eisengewicht, exclusive Oberbau und Bedielung, bezeichnen wollen, wenden wir hiefür die Relation an:

p' = Cl -f- F' . . . . 214)

Der Coefficient C ist für beide Gleichungen derselbe, da für dieselbe Brücke — ganz eiserne Hauptträger vorausgesetzt — p und p' sich nur durch das Gewicht der Fahrbahn unterscheiden (zu vergleichen der Schluss von N°. 65.).

Wir haben für den Crumlinviaduct keine Angaben über das Gesammteisengewicht p'; dagegen ist für jede Oeffnung das Gewicht zweier zu demselben Geleise gehörigen Hauptträger zu 50 tons, das Gewicht der zugehörigen Fahrbahn zu 21 tons angegeben: hieraus folgt:

= 466 oder rund = 480 Kilo,

21000

45

ferner :

p — F = C.l =

⁼ Hü Kilo oder rund 1120 Kilo,

woraus

1120

45    =²⁴’⁹

und

p = 24,9 1 + 480 = 1600 k

148. Bei der Berechnung des Crumlinviaducts wurde für jedes Geleise eine zufällige Last von 150 tons für jede Oeff-nung angenommen ; da wir nun die per meter Geleise antreffende Verkehrslast mit k bezeichnen, so folgt aus vorstehender Angabe:

= 3333 Kilo,

es ist aber nach der vorhergehenden Nummer

p = 1600 Kilo,

somit

q = p -f- k = 4933 Kilo oder rund = 5000 Kilo;

ferner folgt aus Vergleichung mit den Tabellen XVII und XVIIa für 1 = 45 Meter :

k¹ = ²/4 k = rund 4200 Kilo

woraus

q¹ = p -f k¹ = 5800 Kilo q -j- q¹    5800 + 5000

9o — ~ <2~ = -g- ⁼

und hieraus folgt endlich:

für das grösste Angriffsmoment in der Trägermitte :

ql³ 4 5

5400 Kilo

I.....Max

5000

45³

= 1265,6 KM.

■>

II,

für die grösste Vertikalkraft in der Trägermitte:

4200 . 45

kxl

Max ©₉ = 44

= 23,6 tons,

für die grösste Vertikalkraft an den Auflagern:

III.....Max $ =

== 121,5 tons,

q 4- q¹ 1 _ 5400.45 2 2~ ~ 2~"

IV,

für die kleinste Vertikalkraft an den Auflagern:

Pi ₌

36,0 tons,

für die äusserste Lage des Punktes 35 = o nach Gleichung 207):

V. i

1600

1600

4200 —

4200

-f

1600

4200

15.5“

- cs

Die Maximalwerte von 35 werden graphisch bestimmt, indem die 4 unter II—Y aufgeführten Werthe zur Herstellung der betreffenden graphischen Darstellung hinreichen, wie aus der folgenden Fig. 161 näher ersichtlich ist. — Zu bemerken ist hiebei, dass nur die obéra Knotenpunkte durch die Fahrbahn belastet werden, wesshalb mit Rücksicht auf die grosse Fachweite das in N°. 130. erläuterte Verfahren angewendet wurde.

Fig. 161. .45 ™

•45

10

18

14

16

11«.

---*•

"a

?..

...i

_-L

■4'

765.<o

687,5 ..

875

" 0001

112 5.

...    1187. &

1250

= 1265,6

.. 500

*«=*

-sr'pSffl

rr---”-T*

k-7d—^

S 00p

87,4

68,4__

65,6

.46,6

43,8

00 =>-3T S

a-

10

50

100--

7^5    ⁴

>a» 29,7m

Das auf die untern Knotenpunkte vertheilte halbe Gewicht

1120

zweier Hauptträger ist auf 5 M. Länge = 5 .

— = 2800 Kilo; 2

um diese letztere Grösse ändert sich 35 an den untern Knotenpunkten und wurde je die Hälfte von dem betreffenden Punkte der Kurve max 35 aufwärts und je die Hälfte abwärts aufgetragen.

qV

max 9JZm

Om

Um

2t

1600k, k = 3400k, q

Index m —

qi; _ qV

max 3Ji'm _

max 3Ji'm _

^m

Om

Sl

Um

Sl

93m in tons :

mts

mts

250

250

29762

148

201

Tabelle

p-f k= 5000k,

für die

687,5

59524

97

614

875

1000

1125

81845

119048

104166

180

155

193

■ 455

616

672

für die Streben hei Bewegung

112,0 109,2    90,2    87,4    68,4    65,6

XLV.

k¹ = 4200k, q¹ = 5800k, 1 = 45,0“    £ = 4,2“

Gurtungen :

1187,5

133929

206

650

io

11

12

Anmerkungen.

1250

1250

1250

1187,5

1125

141369

148801

SS

244

219

579

680

tß

oo o

148801

141369

148801

244

219

244

610

579

680

B nach A :

Zur Bestimmung der Spannungen und Pressungen der Streben genügt es, die Last nur von einer Richtung, z. B-von B gegen A, vorgerückt zu denken, indem der Träger symmetrisch gegen die Mitte angelegt ist; es ist hier auch die Bewegung von A nach B verzeichnet, damit die in denselben Streben wirkenden, mit der Richtung der Last-Bewegung wechselnden Kräfte zur Anschauung kommen.

24,8

22,0

5,0

2,2

Nm =

93V

93m

sin cp

1,72

in Kilogr.

65116

63488

52442

50814

39767

38140

27693    25465

14430

12790

2907

1279

CO m

87

139

58

112

58

80

58

64

104

104

64

58

2t

Nm

co

748

904

685

477

138

45

«m

Nm

456

450

477

398

123

22*)

23m in tons:

für die Streben hei Bewegung

33,4

30,6

25,2

22,4

11,8

8,0

der Last von

- 2,2    - 5,0

A nach B :

- 22,0    — 24,0

-43,8

— 46,6

*) Das Band Njj ist zwar nur auf Zug construirt; doch genügend steif, weil der fragliche Druck verhältniss-mässig gering ist.

Nm

93V

93m

sin cp

1,72

19400

17790

14650

13023

6860

4651

— 1279 — 2907

— 12790

14430

— 25465

— 27693

C0m

87

139

58

112

58

80

58

64

104

104

64

58

2t

Nm

03

223

252

118

45

138

477

23m

Nm

128

116

58

22

123

398

Die in Fig. 161 eingetragenen Werthe von 3JÎ und $ bedürfen nun keiner weiteren Erläuterung; es müssen aber diese Werthe bei der Réduction auf einen einzelnen Hauptträger sämmtlich hal-birt werden, indem man die halbirten Werthe mit 3)î', beziehungsweise ÜB' bezeichnet ; das ganze Rechnungsverfahren ist in vorstehender Tabelle XLY. zusammengestellt, wobei zu bemerken, dass die Werthe für die einzelnen Querschnitte aus Fig. 160 direct entnommen werden konnten.

Die Spannungen 2t sind grösser als die mittlern Pressungen 25m ; nian findet aber aus letztem die grössten Pressungen nach Gleichung 169) oder annähernd aus Tabelle XIY ; für die obern Gurtungen ist nämlich L = 5 Meter, H = 0,23 Meter, somit

= 22, so dass 23 = 1,25 23m angenommen werden

Zu

^ für = 20 findet man in der Tabelle für kastenförmigen ^ ; für die gedrückten kreuzförmigen = 4,9 Meter, H = 0,25 Meter,

darf

500

Querschnitt 23m =

23

1,2

Streben haben wir L = somit -Tr- =

4,2

0,68

490

—~z = 17,6, wonach 23 = 1,30 23m anzunehmen ist.

Zu

Es wären also die Werthe 23m für die Gurtungen mit 1,25, für die Streben mit 1,30 zu multipliziren, um die grössten im betreffenden Querschnitt herrschenden Pressungen zu erhalten.

148. Bei dem Crumlinviaduct ist für die Yerbindung der einzelnen Fachwerksglieder eine eigenthümliche aus Tafel IX. ersichtliche Construction angewendet, indem durch die mit Deckplatten verstärkten Enden der einzelnen Glieder grosse Bolzen gesteckt sind, welche ähnlich wie bei den Kettenbrücken die einzelnen Kräfte zu übertragen haben, aber weil die Abscheerung eine mehrfache ist, mit einem Querschnitt von 64 Quadratcentimetern (3 V' englisch im Durchmesser) genügend stark sind. — Die Yer-stärkungsplatten an den Enden der einzelnen Fachwerksglieder haben dieselbe Bestimmung, wie die Enderbreitungen an den Gliedern einer Kettenbrücke, indem die durch den Querbolzen hervorgebrachte Yerschwächung dadurch ausgeglichen werden soll.

Nach neuern Mittheilungen hat sich die fragliche Anordnung bei dem Crumlinviaduct nicht bewährt; da die erwähnten starken Bolzen lose geworden waren, so mussten die Strebenenden durch aufgenietete Platten verstärkt werden. Die hannoverische Bauzeitung, welche diese Mittheilung macht (Jahrgang 1868, S. 344) bemerkt hiezu, dass die einzelnen Hauptbolzen zu grosse lokale Drücke auszuhalten hatten, was durch die erwähnte Verstärkung

II

der Enden corrigirt ist. — (Vgl. N°. 52. über das Verhältnis des Bolzendurchmessers zur Plattendicke.)

Es scheint aber beim Crumlinviaduct noch der weitere Missstand obgewaltet zu haben, dass die Querabsteifung, nur aus einer hölzernen Plattform bestehend, ganz ungenügend war, wesshalb nunmehr eiserne Querträger von 12" Höhe und 28 Fuss Länge und dazwischen eben solche Längsträger angewendet sind; ferner wurde statt der hölzernen Bebohlung eine Bedeckung aus schmiedeisernen, zusammengesetzten Platten gemacht, und die seitliche Steifigkeit wiederum erheblich vermehrt. — In Folge der angewendeten Verstärkungen werden bei schweren Zügen nur noch ⁵/8 Zoll Durchbiegung beobachtet, anstatt 1J/₂ Zoll, welche früher gemessen worden waren.

149. Nahezu gleichzeitig mit dem Crumlinviaduct ist die Trentbrücke bei Newark erbaut worden, welche von Herrn Lohse im Jahrgang 1857 der berliner Zeitschrift beschrieben ist.

Diese Brücke ist schief, hat nur eine einzige Spannweite von 240 Fuss englisch (75,15 M.) und hat für 2 Geleise 4 Träger erhalten, von denen je 2 eine für sich abgesonderte Brücke bilden; die Fahrbahn befindet sich unterhalb und die Höhe der Träger gestattete, oberhalb eine zweite Querverbindung anzubringen, wie aus der folgenden Skizze ersichtlich ist.

Fig. 162.

Fig. 162 a.

T~T

messer

Sämmtliche gedrückte Theile sind von Gusseisen, sämmtliche gezogene Theile von Schmiedeisen; die obere Gurtung besteht aus einer gusseisernen Röhre, die am Endauflager 13" Durch-und 1 x/2 " Metalldicke hat und gegen die Mitte hin auf

18" Durchmesser zunimmt; die einzelnen Stücke sind an den Enden genau abgedreht, behobelt und mittelst Flantschen zusammengebolzt. — Die untere Gurtung besteht aus schmiedeisernen Flachstäben von 7—8 Zoll Breite und ⁵/s— ³/4 Zoll Höhe, deren Anzahl gegen die Mitte hin zunimmt.

Die Fahrbahn hat keine Querträger erhalten, sondern es sind starke, eichene Bohlen unmittelbar auf der untern Gurtung aufgelegt; es ist jedoch unten und oben ausserdem ein vollständiger Horizontalverband angebracht, indem an jedem Knotenpunkt nach der Quere gusseiserne Röhren mit innen liegenden schmiedeisernen Stangen und ausserdem in jedem Felde horizontale schmiedeiserne Diagonalen angebracht sind.

Das Eisengewicht der Brücke soll für ein Geleise 295 tons, für jeden Träger 122,5 tons betragen; wenn man die ganze Trägerlänge zu 79 M. rechnet und die Gewichte der festen Portale (gusseiserne Ständer mit gusseisernen Bögen) in Abzug bringt, so erhält man für das Eisengewicht nach Massgabe der Gleichung 214)

p' = 500 + 40.1

wo 1 die Spannweite = 73,15 m. bezeichnet.

150. Beim einfachen unsymmetrischen System mit horizontalen Gurtungen gehen bei constantem die Formeln 185) bis 195) in folgende einfache Form über:

Fi g. 163.

\°,-KX°£ * \t>*

Für die Gurtungen ist: entweder nach Fig. 163:

. . 216)

O — TT _ M

v-/m — Um -)_ i — —

Fig. 164.

4—o a

⁷ °vr/

oder nach Fig. 164 : Om + 1

= Um =

. .    217)

pressten Glieder ist zur Bestimmung des Verhältnisses • die Gleichung 169) beizuziehen.

In einer Strebe herrscht Zug, wenn ihr Fussende näher beim Punkte = o ist, Druck wenn ihr Kopfende näher bei genanntem Punkte ist (vergl. N°. 135.). Die Abscisse a, welche die von der Trägermitte entfernteste Lage des Punktes = o angiebt, findet sich nach Gleichung 207); zwischen den Abscissen a und 1 — a sind die Hauptstreben in Folge Bewegung der Last abwechselnd auf Zug und Druck in Anspruch genommen, beziehungsweise sind auf diese Länge Gegenstreben nothwendig.

151. Wie in N°. 144. erläutert, sind beim geraden einfachen Fachwerk die Gurtungskräfte nur von 9)1, die Kräfte in den schiefen Streben nur von $ abhängig und sind die grössten Werthe von 9)1 und $ in Fig. 156 zusammengestellt.

= k setzen,

Bei den Kräften in den Vertikalen kommt wesentlich die Grösse der Lasten P₀ und Pu in Betracht; doch ist kein Zweifel, dass in den durch Fig. 163 dargestellten Fällen bei oberhalb belasteten Trägern, wo sämmtliche Pu nur kleine Werthe zeigen, die Kräfte Vm dann den grössten Druck auszuhalten haben, wenn die Kräfte ihren grössten negativen Werth erreichen, wie diess aus Gleichung 219) deutlich hervorgeht. — Anders ist es, wenn solche Träger unterhalb belastet sind, indem es sich dann fragt, ob Vm nicht grösser wird, wenn die Last von B nur bis m + x/2 vorgerückt ist ; in letzterem Falle ist nämlich, wenn wir der Einfachheit halber P₀ = Null, km + i = km und die Fachweite = d annehmen:

kl

)(P + Tk) * L

für die schiefen Streben ist für Fig. 163 und Fig. 164 gleich-massig:

Nm =

— 8'm

218)

sin cp

endlich für die Vertikalständer, wenn P'₀ die im obern, P'u die im untern Knotenpunkt ein tretende Last bezeichnet: entweder nach Fig. 163)

Vm = — ®'m — P'u = — ® m + i -f P'o . . . 219) oder nach Fig. 164)

Vm = »'« + P'o = »'m Die Spannungen und die Pressungen in den Gurtungen und in den Streben findet man, wenn die betreffenden Querschnitte bekannt sind, nach den Gleichungen 166)—168); bei ansehnlicher Länge der ge-

— P'

-L U

. . 220)

Vm —— max m -j~ 1 —{- Po o    + Va

während bei der von B bis m — V² vorgerückten Last

Vm —    max 35 m Pu

) (p+    — (p+k|d.

Vm — “g- +    --Xm + V₂ + d

Der Werth von Ym ist nun nach Gleichung II. kleiner als nach Gleichung I. um die Grösse :

III.

(p -f k) d — (p —f- ³/4 k) d = V⁴ k d

Die durch Gleichung III. angegebene Differenz wäre ganz dieselbe gewesen, wenn irgend ein Theil des Eigengewichts im obern Knotenpunkte angebracht gedacht werden kann, da die Summe Pu -f- Po dennoch denselben Werth (k -f- p) d gehabt hätte.

In dem durch Fig. 164 dargestellten Falle findet die Differenz in umgekehrtem Sinne statt, d. h. Vm hat bei unterhalb belastetem Träger ganz entschieden seinen grössten Werth, wenn die Last von B bis xm + y₂ vorgerückt ist (vergl. Gleichung 220) ; dagegen findet bei oberhalb belasteten Trägern wieder die durch obige Gleichung III. dargestellte Differenz zu Gunsten der nur bis m -f- ¹j2 vorgerückten Last statt.

Bei dem geringen Betrage der durch obige Gleichung III.

kd

dargestellten Differenz würde in den betreffenden Fällen die

wo

Stärke der Vertikalständer Vm wenig alterirt, wenn man die Last von B bis m —¹/₂ anstatt nur bis m -f- J/² vorgerückt angenommen hätte; anders ist es,bei Trägern mit gekrümmten Gurtungen, die Zunahme von $ theilweise durch die Gurtungen aufgenommen wird, wo also die Entlastung durch Pu beziehungsweise P₀ in erhöhtem Masse wirkt; die bezügliche Regel, welche nach obiger Entwicklung auch für gerade Träger gültig, bei gekrümmten Trägern aber besonders wichtig ist, lautet: bei allen unsymmetrischen Fachwerken findet die grösste Kraft in den Vertikal Ständern statt:

a)    Bei Anwendung von gezogenen schiefen Streben und ge

drückten Vertikalen;

bei oben aufliegender Fahrbahn für die von B bis m — x/2 vorgerückte Last;

bei unten aufliegender Fahrbahn für die von B bis m -f V2 vorgerückte Last;

b)    bei Anwendung von gedrückten Streben und gezogenen Ver

tikalen ;

bei oben aufliegender Fahrbahn für die von B bis m -f- V2 vorgerückte Verkehrslast;

bei unten aufliegender Fahrbahn für die von B bis m — V2 vorgerückte Last.

Rückt die Last von A nach B ein, so findet in allen vorstehend aufgeführten Fällen je das umgekehrte Verhältniss statt d. h. es muss für m -f- V² gesetzt werden m — lk, für m — V² aber

m 4“ ' V²•

152. Eine Fachwerkbrücke nach vorstehend beschriebenem System wurde von der k. bayrischen Eisenbahnverwaltung über die Isar bei München hergestellt.

Die Brücke hat 2 Mittelpfeiler und 3 Oeifnungen erhalten, deren jede für sich durch frei auf liegende Träger von je 50,2 M. Spannweite überbrückt wird.

Die Eisenconstruction dieser Brücke war der Maschinenfabrik von Klett und Comp, in Nürnberg übertragen, deren Ingenieur Herrn Gerber wir die gefällige Mittheilung der Werkzeichnungen verdanken. Ansicht und Grundriss eines Trägers nebst einigen Details sind in Tafel X. wiedergegeben.

Die Hauptträger dieser Brücke, deren zwei für jedes Geleise dienen, haben eine geometrische Gurtungsdistanz (Höhe) von 7,02 M. und eine Fachweite von 6,275 M. erhalten; die ganze Länge jedes Hauptträgers ist somit in 8 Felder getheilt; die Fahrbahn ist unmittelbar über der untern Gurtung angebracht, so dass oberhalb eine zweite Querverspannung hergestellt werden konnte.

Fig. 165.

SO,2

\0ll\⁰² IN“³ >    , /

iB

U,275_4J6,2754_    a =18,83

i 2    5    4    5    6

Die Gurtungen bestehen je aus 2 Theilen, welche durch einen Zwischenraum von 28 Mm. getrennt sind; in Fig. 166 ist links

Fig. 167.

Fig. 166.

2°i

(w i 0₂

to₃

3C

—jr⁻

MH*

fr

Tl

300

yj

-7S-V

le 105

1ÛQ

80

\s

'./.i'

130

die halbe obere Gurtung des ersten Feldes, rechts die des zweiten Feldes dargestellt (wobei zu bemerken, dass in Fig. 166 und 169 anstatt 32mm als Zwischenraum gleichfalls 28mm einzusetzen ist); ebenso zeigt Fig. 167 die Gurtungen des dritten und des vierten

Feldes und ist aus diesen Figuren ersichtlich, wie die Verstärkung der Gurtungen gegen die Mitte durch Hinzufügung weiterer Winkel oder Platten erzielt wird; die Mehrzahl der Winkel und Platten ist je am Knotenpunkte selbst gestossen und dient nun ein 28 Mm.

Fig. 168.

°oi °⁰ n ° °

vO^O^O^Il wo^

o Io^o^o

; O^O^OYO

o i o II o o’

o_

oycro^o qYo w o w olo ollo o

jÖ"

ta:

■ fö\

3--.il \ o° o 1

m

\°o>

lü

starkes, polygonales Stossblech — welches den erwähnten Zwischenraum zwischen den beiden Gurtungshälften ausfüllt, sowohl zur Verbindung der gestossenen Gurtungsglieder als zur Befestigung der Diagonalen und Vertikalständer, wie solches aus bestehender Fig. 168 näher ersichtlich ist. Soweit der Querschnitt durch besagtes polygonales Stossblech nicht ersetzt ist, sind weitere Stossplatten hinzugefügt.

Fig. 169.

Fig. 170.

JF<

T"|

—-jr

440----

■3oo

----

-Ï

-100

fl

il.

Die untere Gurtung ist in ähnlicher Weise construirt, mit dem Unterschied jedoch, dass diese Gurtung, weil durchaus auf Zug in Anspruch genommen, verhältnissmässig stärkere Flacheisen und weniger Winkel erhalten hat; die Figuren 169 und 170 stellen die untern Gurtungen für die Felder (1) bis (4) dar, indem in jeder Figur wieder zwei verschiedene Gurtungshälften erscheinen. Die untere Gurtung hat, wie auch die obere, im allgemeinen eine Höhe von 44 Cent, erhalten; im ersten Felde ist dieselbe jedoch halb so hoch, und ist damit schon in der äussern Ansicht angezeigt, dass die untere Gurtung im ersten Felde gar keine Fachwerkskräfte aufzunehmen hat, sondern nur zur gegenseitigen Fixirung des ersten untern Knotenpunkts und des Endständers, sowie ebendamit zur Consolidirung der Fahrbahn dient.

nur

Die schiefen Streben oder Diagonalen bestehen aus Flacheisen von 26—50 Cent. Breite, 28—30 Mm. Dicke, welche in den beiden Endfeldern durch aufgenietete weitere Flacheisen verstärkt sind; in Fig. 168 ist die Verbindung der Diagonalen mit den Gurtungen und Vertikalen ersichtlich.

Die Vertikalständer bestehen je aus 4 Winkeln, welche gegen die Auflager hin an Stärke zunehmen, und ausserdem an den Knotenpunkten (1) und (2) mit Flacheisen verstärkt sind, wie solches fj!    beistehende Fig. 171 angiebt.

— Die End Ständer bestehen je aus 12 .j₆|ioo_*;    Winkeln und 2 hinzugefügten Flacheisen

und ist deren Stärke danach bemessen, dass nicht nur die vertikale Besultante der anstossenden Strebenkraft auf die Auflager übertragen, sondern auch alle seitlichen Kräfte, insbesondere die vom Winddruck in der obern Horizontalverspannung hervorgerufenen, durch die relative Festigkeit der Endständer anfgenommen werden können.

Fig. 171.

IV2

rV₃

•I

jt—ISO_1

/®\;

Die Fahrbahntafel zeigt Schwellenträger von 6,275 M. Länge, welche als Blechwandträger construirt sind, aufruhend auf Querträgern , welche aus einem einfachen Fachwerk bestehen und an den Vertikalständern der Hauptträger befestigt sind. Man ersieht hieraus, dass das Gewicht der Fahrbahntafel, beziehungsweise die Verkehrslast in keiner Weise die relative Festigkeit der Fachwerksglieder in Anspruch nimmt, dass vielmehr sämmtliche Lasten in den Knotenpunkten eintreten.

152. Für die Berechnung der Hauptträger dienen folgende Gewichtsangaben :

Das Eigengewicht der Brücke beträgt für ein Geleise per laufenden Meter:

zwei Hauptträger, zusammen. Verspannung .....

.    1786 Kilo

114 *

1900 Kilo

Plattform :

Uebertrag 1900 Kilo

Querträger .    .    .    200

Schwellenträger . 434 Diverse .    .

34

Geländer

zus. Eisengewicht p' =    . ..    .    2634 Kilo

Schienen ....

zus. Oberbau p" = total p = p' -j- p" =

.    40    „

. 160 „ .    74    „

.    .    546    ,

.    .    3180 Kilo

Als Yerkehrslast ist eine Iieihe von 3 Tenderlocomotiven mit

___* nachfolgenden Waggons von 16

v.,t    .......fg—iJ-sjj    tons Gewicht und 5,2m Länge

(t) (t)    (t)    genommen, deren Axbelastung und

Axendistanz aus Fig. 172 ersichtlich ist; hiernach wurde als grösstes durch die variable Last in der Trägermitte hervorgerufenes An-gritfsmoment

Fig. 172.

u,om'

an-

3 1 ool °o «    9    9

max 9)îk = 1711,2 Mtons

berechnet, woraus sich als gleichförmige stellvertretende Ueberlast k = 5440 k per Meter und Geleise ergiebt.

Es folgt aus Yorstehendem, dass als Gesammtlast

q — p + k == 3180 -f 5440 = 8620 k per Meter und Geleise angenommen werden darf.

Bei der beschriebenen Belastungsweise mit aufeinanderfolgenden Tenderlocomotiven darf auch bei einseitiger Belastung das per Meter wirkende Gewicht der gleichförmig vertheilten Last q gleichgesetzt werden, und folgt hieraus :

und ist endlich

k¹ =    = 5440 Kilo

= 8620 „

3180

= 0,585

5440

Aus vorstehenden Gewichts- und Belastungsangaben folgt für jeden der beiden Hauptträger:

Grösstes Angriffsmoment in der Trägermitte:

t    cm/ 11 ql² 8620.50;2²

I. max yJr = 1/2 .    — --——

o    A . o

kx

= 1357,85 Mtons.

Grösste Vertikalkraft am Auflager:

v ql _ 8620x50,2

” ’² 2 ⁻ “

II.

max ÜB⁷

2X2

= 108,18 ts.

Grösste Vertikalkraft in der Trägermitte:

1 kl 5440 X 50,2

III. max ÜB⁷

1/21 2 8

2x2

= 17,0 ts.

Grösste Vertikalkraft in Folge des Eigengewichts: ql _ 3180 . 50,2

= 30,9 ts.

IV. min ÜB'i = */* ~

u

Grösste Annäherung des Punktes ÜB = o an das Auflager A nach Gleichung 207):

V.

= j — 0,585 + V 0,585 + (0,585)²) {50,2 = 18,925 m 1 — a = 31,375m

so er-

Indem man nun nach Anleitung von Fig. 156 für den vorliegenden Fall die nachfolgende Fig. 173 construirt hat

Fig. 173.

-£<Ïo1 = 108,2 -Je- ql =1357,8-

Te

594.7

1018.7

1273,0

13S7₍8

X~

-96,8-

î ; «î

3-

-^XT J 00'■

hielt man nach den bekannten Eigenschaften der Geraden und der Parabel (welche letztere nach Gleichung 174) berechnet wurde) nachstehende Tabelle, welche sämmtliche zur Bestimmung der Fachwerksdimensionen nothwendigen Angriffsmomente ÜDP und Vertikalkräfte ÜB⁷ enthält:

Tabelle XLVI.

=    594,7    Mtons.    =    96,80 ts.

Ausser den Grössen 9JÎ und 33 sind auch noch die Belastungen der Knotenpunkte zu bestimmen. — Die obern Knotenpunkte sind nur durch das halbe Gewicht der Hauptträger belastet, welches auf die Fachträger 1900 . 6,275 = 11922 Kilo antrifft, so dass P₀ = 5961; P'₀ — 2980 Kilo beträgt; die untern Knotenpunkte haben im Minimum, d. h. wenn die Brücke gar nicht belastet ist, ausserdem noch das Gewicht der Fahrbahn aufzunehmen, welches letztere auf Fachlänge 1280 . 6,275 = 8032k beträgt, wonach min Pu = 14000k, min P'u = 7000k ist; hiezu kommt die Verkehrslast, welche für den Knotenpunkt m bei Belastung von B bis (m—¹/2) den Werth kd hat; für diesen Fall ist:

P'u = 7000 + 17068 = 24068 Kilo.

Fig. 174.

397

K 7\S14T\

— 98 AL 144 AL 245 AL 303 AL 303 AL

375 —397

Die Querschnittdimensionen der Fachwerksglieder sind in Fig. 174 zusammengestellt, wie solche von Herrn Gerber angegeben sind ; es sind bei den gezogenen Theilen die Kietlöcher in Abzug gebracht, während bei den gedrückten Gliedern dieser Abzug nicht stattfand, wohl hauptsächlich desshalb, weil bei letztem in Folge der ansehnlichen Länge die mittlere Pressung wesentlich geringer ist als die Pressung in den äussersten Fasern.

¹

— a = 29,5“

²

aber den Abstand desselben Angriffsmoments von der Trägermitte bezeichnet.

³

Die Maximalwerthe SOI finden sich aus obiger Gleichung I. mittelst der Gleichung 174), welche hier wiederholt angeschrieben wird:

⁴

. .    174)

⁵

wo 9JL das Angriffsmoment im Abstand x von Auflager A, xx

33

Es ist nämlich das Verhältnis--t— nach der Formel 169) be-

'Om

rechnet worden

m f , T, oj L2 33m    1 + k —

33 =

. .    169)

wobei indess K = 0,0001 gesetzt wurde, während wir in Tabelle XI. für Schmiedeisen K = 0,00008 angegeben haben ; nach vorstehender Formel hatten sich für den vorliegenden Fall (unter der Annahme

K = 0,0001) die in der folgenden Tabelle XLYIL enthaltenen Werthe ergeben.

Nachdem nunmehr alle Elemente der Berechnung entwickelt sind, werden zunächst die Fachwerkskräfte O, U, N und Y nach den Gleichungen 216—220) unter Einführung der durch Tabelle XLVI. gegebenen Werthe 2JP und bestimmt, und erhält man schliesslich die in jedem Glied herrschende grösste Spannung 2t oder Pressung 23 mittelst der Gleichungen 166—168, wobei die

23m

Verhältnisse —— aus Tabelle XLYIL entnommen werden.

Tabelle XLVII.

Gurtungsglieder

O,

04

04

93

93m

1,54

1,34

1,26

1,24

Pfosten

93

93m

1,56

1.80

2,0

2,6

Das ganze Verfahren ist in nachstehender Tabelle XLVIII. ent

halten.

Wir ersehen aus dieser Tabelle, dass die grössten Spannungen und Pressungen in den Gurtungen, sowie in den Diagonalen (schiefen Streben) der Spannung von 600 Kilo per □ Cent, sehr nahe kommen; bei den Vertikalständern finden grössere Differenzen statt, wohl desshalb, weil bei der der Ausführung zu Grunde gelegten Berechnung nicht die gleichmässigen Lasten, sondern die Gewichte der einzelnen Locomotiven und Tenderaxen in Berechnung gekommen sind.

153. Die Querträger zeigen ein Fachwerk, dessen Endfelder durch volle Blechwandungen gebildet und durch aufgenietete diagonale Winkeleisen verstärkt sind; die untere Gurtung dieser Querträger besteht aus vier Winkeleisen, welche zugleich ein rückwirkendes Element für die untere Wind Verstrebung bilden; ihr Querschnitt beträgt nach Abzug der Nietlöcher 70 □ Cent. ; die obere Gurtung besteht aus zwei Winkeln und einem Flacheisen und hält ohne Nietenabzug 74 □ Cent.

Tabelle XLYlir.

p — 3180k, k = 5440,    1 = 50,2,    §-=7,02

sin g) = 0,745

Index m

max 2)i'm

594,7 mts

1018,7

1273,0    1357,8    1273,0

Om

a»'m

84,86 ts

145,52

181,86    193,98    181 86

& in □Cent.

22S

314

375

397

375

23

23,„

1,54

1,30

1,26

1,24

1,26

23

Orn_ 23_ ' 23m

573 k

602

611

606

611

Um

ÜR'm-i

84,86‘s

145,32    181,86    145,52

£i in □Cent.

144

245

303

245

21

Um

Sl

589

594

600

594

23'm

74,0

51,2

28,5

8,0

Nm = 23'

m —;-

sin cp

130,0 ts

99,36

68,64

38,2

10,74

com in □ Cent.

215

160

111

66

29

2t

Nm

co

605 k

620

616

579

370

max Tm = max 23'm + i + P'o

::

co

4-

28.5

3,0

o_o ccT co"

77,0 >s

54,2

31,5

11,0

o>m in □Cent.

182

140

100

80

23

23m

1,56

1,80

2,00

2,60

23

max

23

CO

’ 23m

660^

697

630

378

Fig. 175.

x'-l-x

YT

lp

lP

Für die Berechnung der Querträger hat man zunächst die Last P zu bestimmen , welche an jedem der beiden Lastpunkte (Yertikalstützen) wirkend gedacht ist ; diese Last P setzt sich aus B dem Eigengewicht P, und der Verkehrs-3* last P„ zusammen.

Ci ©

zus. 1180 Kilo.

somit ist bei 6,275 M. Querträger Distanz :

2 . P, = 1180 . 6,275 = 7404k und P, = 3702k.

Die Yerkehrslast P,, ist durch die ungünstigste Stellung einer Locomotive bestimmt, wie solches durch Eig. 176 dargestellt ist;

Fig. 176.

tß

$

nF

'S

34.-12,8

10,7

0-f

3-4⁷

f.

«Ht

cv

nach dem Hebelgesetz ist der Druck auf den mittleren der ge-z eichneten drei Querträger :

3,475 4- 4,875

B = 12,8

= 41,4 tons,

6,*75

+ 12,8 -f 10,7

4,975

6,275

+ 9,7

1,975

6,275

woraus P„ =    = 20,7 tons und schliesslich

z

P = P, -f P„ = 3,7 -f- 20,7 = 24,4 tons sich ergiebt.

Durch Anwendung des Hebelgesetzes, speziell der Gleichungen 170)—173) erhält man:

9Jîi = 9J?2 = P . x = 24,4 X 1,55 = 37,82 tons und hieraus nach Gleichung 216):

%    37820

= 27600 Kilo,

1,37

U₂ = Oi = 0₂ =

Die Schwellenträger haben volle Blech Wandungen auf ihre ganze Länge erhalten und werden nach Gleichung 158) berechnet, nachdem max 9JI wiederum durch die grösste Verkehrsbelastung bestimmt worden ist; das Verfahren ist in X°. 110. eingehend dargestellt.

154. Die Berechnungsweise, welche von den Ingenieuren der k. bayr. Staatsbahn im vorliegenden Falle angewendet wurde, ist dieselbe, welche in der Zeitschrift des bayrischen Architecten-und Ingenieurvereins bei der Beschreibung der Ingolstadter Donaubrücke veröffentlicht wurde. (Jahrgang 1869.) Es wird nämlich eine ideelle Spannung von 1200 Kilo per □Centimeter zu Grunde gelegt, welche Spannung durch das l,2fache Eigengewicht und die 2 V² bis 3^2fache Verkehrslast hervorgebracht würde; im vorliegenden Falle wurde die Verkehrslast bei den Hauptträgern 2 */² fach, bei der Fahrbahn 3 ^2fach gerechnet.

Für die Hauptträger haben wir nach den obigen Gewichts

angaben :

= 0,37

— = 0,63 ,

q

somit ist, wenn wir mit 2t die wirklich vorhandene Totalspannung bezeichnen, bei gleichförmig vertheilter Maximallast:

die Spannung in Folge des Eigengewichts 2tp = 0,37 2t,

2lk = 0,63 2t.

der Verkehrslast

Als ideelle Summe der in obiger Weise vergrösserten Gurtungsspannungen 2tp und 2tk ergiebt sich:

1,2 . (0,37 21) + 2,5 (0,63 2t) == 1200 Kilo , woraus als wirklich vorhandene Spannung folgt :

* = i²⁰⁰

2.0

woraus endlich für die obere Gurtung: 27600

23m =

74

= 373 Kilo . .

. . I.

und für die untere Gurtung :

27600

2t

70

= 394 Kilo . .

II.

= 600 Kilo,

welche Spannung hienach für die Gurtungen — deren grösste Anstrengung bei gleichförmig vertheilter Maximallast stattfindet — in Aussicht genommen ist.

Unsere Berechnungsweise hat uns, wie aus Tabelle XLVIII. ersichtlich, für die Gurtungen und Diagonalen sehr annähernd die beabsichtigte Spannung von 600 Kilogramm gegeben, während bei den Vertikalen eine etwas grössere Differenz sich zeigt; der Umstand, dass wir im Allgemeinen stärkere Spannungen erhalten haben,

beweist, dass unser Verfahren die ungünstigsten einseitigen Belastungen gebührend berücksichtigt.

155. Das doppelte symmetrische System mit horizontalen Gurtungen wird meist in der Weise angewendet, dass die gleichnummerigen (in denselben Vertikalen befindlichen) Knotenpunkte mittelst leichter Vertikalständer verbunden sind, welch letztere nur zur gleichmässigen Vertheilung der Last auf die beiden Gurtungen dienen; nach N0, 142. trifft diese Voraussetzung bei entsprechend geringer Stärke der Vertikalen zu, wenn die in demselben Fache befindlichen, gezogenen und gedrückten Streben annähernd gleiche Widerstandsfähigkeit haben (wobei der gedrückte

sg

Querschnitt im Verhältniss grösser anzunehmen ist).

'•Om

Anmerk. Wenn die gedrückten Streben übermässig stark construirt würden, oder aber umgekehrt wegen Mangels an Steifigkeit sich ausbiegen würden, so wäre die betreffende Construction als combinirtes Sytem zu betrachten, und zwar um so mehr, wenn die Vertikalständer vermöge zu übermässiger Querschnittdimensionen die Vertheilung der Strebenkräfte beeinflussten.

Fig. 177.

Indem wir die in N°. 135. angenommenen Bezeichnungen beibehalten, erhalten wir durch Vereinfachung der in K⁰. 140. gegebenen Formeln:

a) für die Gurtungen:

Um =

0₆

Om

-V»

221)

23m (oder 21) =

2t (oder «»,) =    (

222)

und zwar ist beim frei aufliegenden Träger, wie mehrfach erwähnt, die untere Gurtung stets gezogen, die obere Gurtung stets gedrückt.

b) Für die Streben nach Gleichung 195):

Nœ= »'m

sin qp

223)

. Tm=

wo in Folge der Gleichheit der Winkel <p und ip die Werthe und Tm identisch sind. — Indem wir nun annehmen, dass mit N diejenigen Streben bezeichnet sind, deren Kopfende gegen das linke Auflager A gerichtet sind und sodann nur dasjenige Trägerstück betrachten, welches zwischen A und dem Punkte SB = o sich befindet, so ist:

21 =

Nm 1 SB'm

(0

cd sin q)

.    .    224)

. .    225)

Tm _ 1 JS'm

U)

cd sin ig

Zur Bestimmung der zunächst beim Auflager A befindlichen äussersten Lage des Punktes SB = o müssen wir uns die Last von B gegen A bis zum genannten Punkte vorgerückt denken, welcher Punkt durch Gleichung 99), beziehungsweise 207) gegeben ist. — Damit jedoch das Fach, inner welches der genannte Punkt SB = o fällt, auch wirklich gezogene N und gedrückte T enthält, ist nothwendig, dass der zunächst rechts (gegen B) gelegene Knotenpunkt ein grösseres SWÎ zeige, als der zunächst links gelegene (vergl. die Pegeln in N°. 134.).

156. Als Beispiel eines symmetrischen doppelten Fachwerks wählen wir die Brenzbrücke bei Königsbronn, welche im Jahre 1864 auf der Linie Aalen-Heidenheim erbaut wurde. Die Spannweite betrögt 19,25 M. und sind die übrigen Abmessungen für die Construction der Brücke auf Tafel XI. gegeben.

Hienach bestehen die beiden Gurtungen aus je zwei Winkeleisen und aus zwei Flacheisen von 8 ('2 Zoll württembergisch. (24,3 Cent.) Breite und 4 Zoll (11,4 Cent.) Dicke; in denjenigen Fachen, in welchen Stösse der Flacheisen Vorkommen, ist je eines der Flacheisen (welches als Stossplatte dient), in Abzug zu bringen (zu vergl. N°. 54. und 55.) ; die Winkeleisen haben an den Stössen besondere Stossplatten erhalten.

Die Gurtungswinkel umfassen polygonale Futterbleche, welche zu Befestigung der Streben und Vertikalen dienen.

Die Diagonalstreben haben durchaus jl förmigen Querschnitt, indem etwa die Hälfte der gezogenen Stäbe bei einseitiger Belastung auch auf Druck in Anspruch genommen werden kann; in den Endfeldern sind die j_ Eisen durch aufgenietete Flacheisen verstärkt; letztere sind insoweit gekröpft (d. h aus der Yertikalebene gerückt), dass die Befestigung der Streben an die genannten Futterbleche mittelst doppelschnittiger Nieten geschehen konnte; der letztere Zweck ist bei den übrigen Diagonalen mittelst kurzer Beilagen erreicht.

Die Yertikalständer bestehen aus leichten doppelten Winkeleisen, welche zur Aufnahme der Fahrbahn dienen und das Ge-

wicht der letztem auf beide Gurtungen gleichmässig vertheilen sollen.

9' (oder 2,57 M.), der Längen-6,1' (oder 1,74 M.) beträgt.

Die Fahrbahntafel konnte sehr leicht werden, da die Querdistanz der Hauptträger nur abstand der Querträger nur

Fig. 178.

90 TfT 90 -

112,3

129,8

153 -7^ 15Î —p

A Je- 9o

h?,?, ~-

129,8

153

153

Die Fig. 178 giebt für sämratliche Fachwerksglieder diejenigen Querschnittsdimensionen an, welche in die Kechnung einzuführen sind, und zwar angegeben in □Centimetern.

157-. Die Yerkehrsbelastung kann für die vorstehend beschriebene Brücke direct nach den in Tab. XYIIa. gegebenen Angaben bestimmt werden, indem bei den Brücken der württem-bergischen Staatsbahn die in genannter Tabelle angenommene Güterlokomotive massgebend ist.

Bei einer Spannweite von 19,25m finden wir aus Tab. XYIIa

k = 4680 k k¹= 6600 k

= 1450 k = 6110 k

k + k¹

= 5630 k

k + k¹

= 7080 k.

woraus die hauptsächlichsten Grössen wie folgt bestimmt werden: Grösstes Angriffsmoment in der Trägermitte: ql²

282,6 mts. .    .

I.

Grösste Yertikalkraft am Auflager: M max SS =    =

U

68,14 tons

II.

Grösste Yertikalkraft in der Trägermitte: k¹!

max SS>/₂ l —

:— = 16,156 tons .... III.

Kleinste Vertikalkraft am Auflager: min SS, = -y =

13,95 tons

IY.

Ci

CjCO

Fig. 179.

mts

280,6

u?

-■

93,2

.. 168,0..

- 196,05-

- 224,1 —

- 242,82

- 261,55

-- 6'0/ff -■

- 280,26

- 280,26

*    -t~; 'r

kt&r***

ts

68,1

4,63

65,9

44,5

55,1

jLr

Lr

I' |

Ui

l-a=13,32m_____

5L = 5,95

Aeusserste Lage des Punkts $ = o nach Gleichung 207 :

a = 1 j 0,22 ± V0,22 -f 0,22² j = 5,93“ (

1 — a = 13,32“    1

Mittelst vorstehend berechneter Grössen ist die Figur 179) nach Anleitung des in X°. 144. gegebenen Verfahrens construirt worden und erhalten wir aus genannter Figur 179 nachstehende "Werthe :

V.

a) für die grössten Angriffsmomente m mit Hilfe von Gleichung 215):

m,

93,2mts

m₂    m₃ Wu    m»    $î₆

168,0    224,1    261,55    280,8    280,3

a»v,

mVt

46,6mts    130,6    196,05    242,8    270,9

co

b) für die grössten Yertikalkräfte :

8l    %₂    $3    $4    $5

63,4ts    53,9    44,5    35,1    25,6    16,2.

Vorstehende Werthe in Verbindung mit den Gleichungen 221) — 225) und der Fig. 178, welche letztere die Querschnittdimensionen der einzelnen Fachwerksglieder enthält, geben uns in Tabelle XLIX. die grössten Spannungen, beziehungsweise Pressungen in den Gurtungen, sowie in den Streben.

Die Gurtungs-Spannungen und Pressungen sind in dieser Tabelle ziemlich niedrig, indem bei der der Ausführung zu Grunde gelegten Rechnung etwas ungünstigere Axendistanzen für die damals noch nicht genau festgestellte Güterlokomotive angenommen worden waren.

Tabelle XLIX.

1 - 19.25m fQ = l,8m sin q = 0,745

Index m —

Angriffsmoment 2JÎ ' m _ j/2

23,3 mts 65,3

98,02 121,40

135,45

140,15

Om — Um — ~

3R'm-V,

12,94*8    36,28 54,46    67,45 | 75,25    77,85

Gurtungsquerschnitt Si in [jCent. 90,0

90,0    112,3    129,6

153,0

153,0

21 od. 33m

Om . Um — oJ- —

144 I 403    482

523

492

509

Vertikalkraft 3V m

31,7 »b

26,95    22,25

17,55

12,80

8,05

Nm = Tm = V» 5^ sin qp

22,42 ts j 19,06

15,73

12,41 |    9,05

5,69

Strebenquerschnitt co in □ Cent.

40,3

40,3

26,7

26,7

18,0

18,0

21 oder 33m =

Nm

co

556

472

589

465

503

316

max SDl = PA

Die Querträger sind zwar in der Mitte durch eine Querabsteifung gefasst (vergl. Tafel XL), doch hat letztere keinen Einfluss auf das grösste Angriffsmoment, welches bei den gegebenen Hebelverhältnissen jedenfalls an den Lastpunkten der Querträger stattfindet und nach Fig. 95 (Fall 12 der Tabelle XXVIII.) durch die Gleichung

gegeben ist, wo P das in jedem der Lastpunkte eintretende Gewicht, A den Abstand der Lastpunkte von den Auflagern bezeichnet.

Die grösste Verkehrsbelastung Pi beträgt nach umstehender Skizze (Fig. 180) für jeden Lastpunkt:

CI*

i/₂) 6000 = 7500 Kilo ,

Fig. 180.

so dass P mit Berücksichtigung des Eigengewichts gleich 7800 K. gesetzt werden darf. — l findet sich aus Tafel XI. gleich 0,5 m und erhält man liienach:

max m = P * = 0,5 X 7800 =- 3800 KM.

Nach Gleichung 158) ist grösste Gurtungsspannung :

max 9JÎ

21 =

£o²

j J (" +    ¹/⁶ à §o)

es ist aber :

£>₀ = 26 Cent, g-woraus schliesslich:

ft

26

^ Si = 26,0 DCent., 5=1 Cent.,

21 =

3800

folgt.

0,91 X 0,26 x (26 4- 4,33)

= 535 Kilo

Die grösste Belastung der Schwellenträger ist in Fig. 181 dargestellt und erhält man nach dem Hebelgesetz :

A = 04 4- Vs) 6000 = 5250 K,

woraus das Angriffsmoment 2)?' an den zunächst A befindlichen Querschwellen gleich 5250 X 0,43 = 2257,3 KM. sich ergiebt. — Wenn die Spannung nicht über 500 K. betragen soll, so müssen wir in Tabelle XXIX., welche für 600 K. Spannung berechnet ist, ein Angriffsmoment von mindestens ⁶/₅ . 2257 = 2708 KM. Widerstandsmoment aufsuchen, wobei uns noch die Höhe der Schwellenträger mit 26 Cent, gegeben ist. — Die grösste Annäherung wird bei dem in Fig. 104 gezeichneten Querschnitt erreicht, woselbst bei einem Trägergewicht von 50,7 K. per Meter und und einer Trägerhöhe von 25,7 C. ein Widerstandsmoment von 3088 KM. verzeichnet ist. — Der in der Ausführung gewählte Querschnitt hat ein dieser Berechnung entsprechendes Gewicht erhalten.

158. Die Eisenconstruction hat in der Ausführung folgende Gewichte ergeben :

Hauptträger........

Hiezu Windkreuze und Absteifung der schiefen Enden ....

15270 K

565 K

Fahrbahn:

Querträger . ........

Schwellenträger :

von I Eisen.......

Blechträger an den Enden.    .

Schrauben zur Befestigung der Fahrbahn........

15835 K

3162 K

1910 K 600 K

253 K

5925 K

Total 21760 K

weite :

Es ist hienacli das Eisengewicht per Meter bei 19,25 m Spann

Pi = 42,7 1 4- 308 = 1130 Kilo . .

Für den Oberbau ist entsprechend der Tabelle XXXVI. per Meter 262 K. hinzuzufügen, woraus

. . II.

p = 42,7 1 + 570 == 1392 Kilo . .

Fig. 181.

sich ergiebt, was mit der obigen Gewichtsannahme gut stimmt, obgleich die Hauptträger, wie schon oben erläutert, etwas stark construirt sind.

158. Das mehrfache unsymmetrische System mit horizontalen Gurtungen wird bei Eisenconstructionen meist in der Weise angewendet, dass die Diagonalstreben nur auf Zug in Anspruch genommen, also zunächst den Auflagern mit ihren Kopfenden gegen letztere gerichtet sind, wie in Fig. 182 dargestellt ist; die Vertikalen sind hiebei vorzugsweise auf Druck in Anspruch genommen.

Wenn wir die in X°. 135. aufgeführten Bezeichnungen beibehalten, so erhalten wir beim n fachen System nach Anleitung von X°. 139. und 140.:

a) für eine schiefe Strebe, deren beiden Endpunkte mit m und m' bezeichnet sind, nach Gleichung 196):

Fig 182.

Og

5^5 e

4- 4~

(■r».

(e

------X

ir

X9| -

. . 226)

b) für die Vertikalständer nach Gleichung 197a) :

Vm —— ~ * 95 i/s (m + m')    Pu m •

n sin cp

.    .    227)

Nach N°. 151. erleidet übrigens im Falle der von B bis zur Mitte von (m -f- m') vorgerückten Last nicht Vm, sondern Vm- die grösstmögliche Anstrengung; für diese Vertikale ist alsdann

. .    22 7a)

Om'¹

Vm — — 25'i/i, (m + m-) + P/

Bei constantem k sind die Werthe Vm< grösser als die nach Gleichung 227) gefundenen Werthe Vm_2 um die Grösse J/⁴ k d (vergl. N°. 151).

Sind sämmtliche Strebenkräfte nach vorstehenden Gleichungen bestimmt, so erhalten wir :

c) für die Gurtungen : 3H'm

Om

— Va

9)

+ -ÿ- • (N cos Cp) .    .    228)

& — D

Am (N cos q)) .    .    .    .    229)

In den Gleichungen 226)—229) ist das in Fig. 182 dargestellte' linkseitige freie Ende eines freiliegenden oder continuirlichen Trägers vorausgesetzt; in abweichendem Falle sind die betreffenden Vorzeichen zu berücksichtigen.

Die Gurtungen erleiden ihre grösste Anstrengung, wenn seinen grössten Werth erreicht; es folgt aber aus den Gleichungen 228) und 229), dass man bei Berechnung der Gurtungskräfte die gleichzeitigen Strebenkräfte kennen muss, d. h. es müssen zu diesem Zwecke die Strebenkräfte für den Fall der gleichförmig vertheilten Maximallast berechnet werden.

Für die Streben tritt max $ dann ein, wenn die Last von B je zur Mitte der betrachteten Strebe vorgerückt ist, in welchem Falle die Vertikalkraft durch max SßV (m_|_m<) dargestellt ist; wenn z. B. eine Strebe vom Knotenpunkte (7) bis zum Knotenpunkte

Um= —

m— i/a

(10) reicht, so ist für diese Strebe die grösste Vertikalkraft durch max (7+10) dargestellt. — Wie vorstehend entwickelt, dient dieselbe Vertikalkraft zur Bestimmung der grössten Kraft in den Vertikalen m und m', was durch unmittelbare Einsetzung dieser Grösse in Gleichung 227) beziehungsweise 227a) geschieht.

Die Grösse Pu ist hiebei, wenn wir das Eigengewicht p = Cl -f P (siehe Gleichung 213) und die Fachweite = d setzen, ausgedrückt durch :

CI

d . . . . 230)

~h —~b F

und wird P'u durch Réduction auf einen Hauptträger hieraus erhalten; bei variabler Fachweite bezeichnet d den mittlern Werth der links und rechts stattfindenden Fachweiten.

159. Als Beispiel eines mehrfachen unsymmetrischen Systems mit horizontalen Trägern wählen wir die Eisenbahnbrücke über die Donau bei Ingolstadt, welche in der Zeitschrift des bayrischen Architecten- und Ingenieurvereins, Jahrgang 1869, veröffentlicht ist.

Diese Brücke hat 3 Oeffnungen von je 52,54m Lichtweite, welche mit freiaufliegenden Trägern von 54,24m Stützweite überspannt sind; Tafel XII. stellt eine dieser Oeffnungen dar; wir ersehen hieraus, dass die theoretische Trägerhöhe, d. h. die Distanz der Gurtungsschwerpunkte 6,78m beträgt, welche Höhe die Anbringung einer zweiten obern Querverbindung gestattete, da die Fahrbahn mit Rücksicht auf das Hochwasser unterhalb angebracht ist.

Die einzelnen Fachwerksglieder sind ganz ähnlich construirt, wie bei der oben beschriebenen Münchner Isarbrücke, wesshalb wir bezüglich der Details der Gurtungen und Vertikalständer auf die Figuren 166, 167 und 169—171, soweit nicht Abweichungen aus Tafel XII. sich ergeben, verweisen. — Die beiden Brücken sind auch insofern zur Vergleichung geeignet, als dieselben nahezu dieselbe Spannweite haben nnd beide von Klett & Comp, in Nürnberg zur Anfertigung übernommen und unter Direction des Herrn H. Gerber ausgeführt wurden.

Fig. 183.

6    7 S 9    10

°0

12

f?

4 d *3,39*339* d—¥

i.---------------- 1 = 2712 m

Der wesentliche Unterschied beider Brücken besteht darin, dass bei der Donaubrücke ein doppeltes System angewendet wurde (s. Fig. 183), welches die Distanz der Knotenpunkte auf die Hälfte

Bau der Brückenträger. IL Th.

reduzirt; diese Réduction wirkt beim Hauptträger günstig bezüglich der rückwirkenden Festigkeit der obern Gurtung, ungünstig bezüglich des Gewichts der Vertikalständer, welche letzteren beim doppelten System ohne Beeinträchtigung der relativen Festigkeit nicht halb so stark sein können, als beim einfachen.

Aehnlich verhält es sich beim Gewichte der Fahrbahn; während nämlich die Schwellenträger beim doppelten System der Donaubrücke entschieden leichter sind, als die 6,275 m langen Schwellenträger der Isarbrücke, so ist anderseits dort das Gewicht der Querträger desshalb grösser, weil die Anzahl der Querträger doppelt, das Gewicht des einzelnen Querträgers aber nicht in demselben Verhältnisse geringer ist.

Eine Vergleichung des Gewichts dieser Brücken ist von um so grösserem Interesse, als beide Brücken in jeder Beziehung sorgfältigst construirt und ganz geeignet sind, der Anwendung der unsymmetrischen Systeme weitere Ausdehnung zu verschaffen. Hiebei können wir jedoch nicht umhin, auf einen wesentlichen Unterschied zwischen dem symmetrischen und unsymmetrischen System aufmerksam zu machen.

Vergleichen wir nämlich das doppelte symmetrische System, Fig. 177 und Gleichungen 221)—225), mit dem doppelten unsymmetrischen System, Fig. 128 und Gleichungen 226)—229), so finden wir, dass bei gleicher Spannweite, gleicher Trägerhöhe und übereinstimmenden Strebenwinkeln die Zahl und Länge sämmt-licher schiefen Streben, sowie die in denselben wirkenden Kräfte in beiden Fällen dieselben sind, wie auch die Formeln 223) und 226) (letztere für n = 2) dieselbe Stärke der Streben angeben; man erspart also beim symmetrischen System, entsprechende Steifigkeit der Streben gegen Druck vorausgesetzt, den grössten Theil des Gewichts der Vertikalständer, welche letztere bei diesem System blos zur Uebertragung des halben Fahrbahngewichts dienen, beziehungsweise durch eine demselben Zwecke dienende Verstärkung der schiefen Streben ersetzt sein können.

Es kommt nun lediglich auf die näheren Verhältnisse an, ob dieser entschiedene Vortheil der symmetrischen Systeme nicht etwa durch andere Umstände ganz oder theilweise anfgehoben oder ob

Fig. 184.

5    6

S80 -kt2E0 -^300 —^-323 —r- 363 -p- 376 -1^387'

390

$    9    10    11

^    % so ^ fo | f#' y y'

9    10 H

5    6    7    $

er nach Umständen vollständig erhalten werden kann; keinenfalls kann aber a priori dem unsymmetrischen System ein unbedingter, theoretischer Vortheil zugeschrieben werden.

160. Uebergehend zur Berechnung der Ingolstadter Donaubriicke stellen wir zunächst in Fig. 184 die Querschnittdimensionen sämmt-licher Fachwerksglieder zusammen, wie dieselben in der Mittheilung der Zeitschrift des bayrischen Architecten- und Ingenieurvereins gegeben sind.

Ebendaselbst finden wir das Eigengewicht der Brücke zu 3440 K., die variable Last zu 4840 K. per Meter und Geleise angegeben, woraus q = p -f* k — 8280 K. sich ergiebt; wir setzen kt = k und qt = q, indem dieselbe Belastungsweise wie in N°. 152. angenommen wurde. — Aus vorstehenden Gewichtsangaben folgt:

Grösstes Angriffsmoment in der Trägermitte : ql² _ 8280

M max 3)1

Grösste Yertikalkraft am Auflager:

max $, =    = 8280 ⁵⁴-’²⁴- = 224,4 tons . .

¹ 2    2

Grösste Yertikalkraft in der Trägermitte:

in    k 1

max $y₂i =

54,24² = 3040,5 mts.. .

I.

. . II.

= 4840 .

54,24

= 32.8 tons .    .

. . III.

Kleinste Yertikalkraft am Auflager: p^_ _ 3440.54,24

min Ü8

= 9,32 tons .    .

. . IY.

Aeusserste Lage des Punkts üß = o : 3440

a — 54,24 j-

1 — a = 54,24 — 21,31 = 32,93“

Fig. 185.

7850

\/0,711 + 0,711² | = 21,31 m

. . V.

fflt

Lß09,2.

794,7

1032,6

12Z2,9_.

1365,6

1460,8

_ 1508,3 .

- f=1B£0A

ib

_ ^-=112,2 _

105,2_

_ 98,2

04,1

70,1

56,1.

42,1 J

.5

Om

Um

Index m =

max iß'

V₂(m + m')

sin cp

V₂(m + m') Sjn y

C08 (p

Nm COS Cp

(N cos cp)

£ -V

3»'

m

-V»

2Ji'

- 7q

33m

SJÎ'm — »/o

q = 8280k

-f ~    (N COS Cp)

0m ß

$-?)

Zm (COS Ç)

105,2ts

0,899

58,5**

Tabelle

1 = 54,24m

98,2

84,1

L.

<0 = 6,78m .

70,1

56,1

42,1

28,1

14,0

0,707

0,707

0,707

0,707

0,707

0,707

0,707

69,4

59,5

49,6

39,7

29,8

199,

9,9

0,448    0,707    0,707

26,3‘s

49,1

42,05

r.

0,707

0,707

0,707

0,707

0,707

35,05

28,05

21,05

14,05

7,00

26,3

49,1

75,4

4,50m

2,28m

49,1

42,05

91,15

42,05

35,05

77,10

35,05

28,05

63,1

28,05

21,05

21,05

14,05

49,1

35,1

14,05

_7, 0

21,05

7,0

3,27

3,25

3,21

3,15

3,06

2,83

1,7

3,51

3,53

3,57

3,63

3,72

3.95

5,1

177,3mts    509,2

76,1*8    119,0

220

220

794,7

154,2

300

1032,6

1222,9

1365,6

1460,8

1508,3

182,2

203,1

217,2

•224,2

224,2

323

363

375

387

390

386k

541

514

564

560

579

579

574

27,9‘s

27,1

119,0

154,0

182,1

203,2

220,7

05

■H

125

360

21= Um--"

223k

616

589

602

612

591

613

Zur Bestimmung der grössten Gur tun g s kr äfte hat man für jede Fachmitte ÜÜÎ für die gleichförmig vertheilte Maximallast zu bestimmen, was am beqeumsten nach Gleichung 174) geschieht ; man bedarf aber nach den Gleichungen 228) und 229) zur Bestimmung der Gurtungskräfte auch die gleichzeitigen Strebenkräfte, welche durch die bei gleichförmiger Maximallast stattfindenden Vertikalkräfte bestimmt werden. Es sind daher in Figur 185 (s. Seite 67) für sämmtliche Fachmitten die einzelnen max ÜÜJZ und für sämmtliche Strebenmitten die gleichzeitigen $ eingetragen.

Das ganze weitere Rechnungsverfahren ist in Tabelle L. dargestellt, woselbst zunächst die Werthe 9JÎ und ÜB aus Figur 185 eingesetzt und sodann die einzelnen Gurtungskräfte nach den Gleichungen 228) und 229) bestimmt sind; indem man sodann die Gurtungsquerschnitte aus Fig. 184 entnommen, erhält man schliesslich die grössten Spannungen und Pressungen mittelst Anwendung der Gleichungen 166) und 167).

Fig. 186.

1    2    3    4,    5    6    7 8 & 10 11 12 15 14    15

93,5—>

i    i    I i i i

J-j-j-— l-a.--S3;93m

Cd

212,4

VC03

176 5

352,5 --

126,6

104.6

a=2i,3im.....

i,

x.

53 s⁺j>

Zu Bestimmung der Strebenkräfte sind die grössten Vertikalkräfte ÜB nothwendig, welche unter Zugrundelegung der oben sub II. — V. aufgeführten hauptsächlichsten "Werthe in beistehender Figur 186 verzeichnet sind, Bewegung der Last von B nach A vorausgesetzt. — Es ist hiebei angenommen, dass max ÜB vom Auflager A bis zur Mitte und von da bis zur Abscisse 1 — a (der äussersten Lage des Punkts ÜB = o) je gleichförmig abnimmt, so dass die zwischenliegenden Punkte durch eine einfache arithmetische Proportion sich ergeben. — Für jede Strebe ist nach N°. 139. das der betreffenden Strebenmitte entsprechende max ÜBX massgebend und indem wir mit m und nF die beiden Endpunkte der Strebe Nm bezeichnen, so ist für diese letztere die grösste Vertikalkraft durch den Ausdruck max üBi/₂(m+m') bestimmt (indem die Abscisse der Strebenmitte das arithmetische Mittel aus den Abscissen der beiden Endpunkte ist) ; die nähere Bestimmung der Strebenkraft geschieht nach Gleichung 226).

Dieselbe Yertikalkraft dient auch mittelst Gleichung 227) zur Bestimmung der Kräfte in den Vertikalen Vm und Y Näheren aus den Gleichungen 227) und 227a) ersichtlich. — Wegen Bestimmung der Kräfte P₀ und Pu ist hier zu bemerken, dass das Eisengewicht der Brücke für die Hauptträger sammt Verspannungen per laufenden Meter 2224k, für die Fahrbahntafel 685 k beträgt; für den Oberbau und Bedielung ist somit 431k per Meter gerechnet.

wie des

Es sind nun in Tabelle LI. hienach die Kräfte in den schiefen Streben und Vertikalen zusammengestellt und die bezüglichen Querschnitte nach Massgabe von Fig. 184 beigesetzt; hieraus ergeben sich durch eine einfache Division die Spannungen 3t und mittleren Pressungen 33m- — In den Vertikalen (9) und (10) herrscht bei Belastung bis (8) beziehungsweise (9) Zug, weil P'um grösser als die Vertikalkraft 35'm ist; weiterhin aber, das heisst in den Vertikalen 11 — 15 herrscht wieder Druck, indem jenseits der Abscisse 1 — a die Strebenrichtung sich ändert und negative V nunmehr Druck bedeuten.

Wir entnehmen den Tabellen L. und LI., dass die grösste Spannung 3t in den schiefen Streben sowohl, wie in den untern Gurtungen je durchschnittlich 600 K. beträgt, während die obere gedrückte Gurtung mit 570 K., die Vertikalständer in den äus-sern Fachen mit 350 Kilo in Anspruch genommen sind. Es ist letzteres ganz in Uebereinstimmung mit den Bemerkungen in N°. 159., woselbst aufmerksam gemacht ist, dass die kleinere Entfernung der Knotenpunkte (gegenüber dem einfachen System) bei

33m

den obern Gurtungen vorteilhaft sei (weil das Verhältniss —~-

nur wenig von der Einheit ab weicht), während die Vertikalständer in Bezug auf relative Festigkeit ungünstiger sich verhalten und bei ihrer grösseren Anzahl um so mehr Material erfordern.

Wie schon in N°. 159. angedeutet, sind die Münchner Isarbrücke und die Ingolstadter Donaubrücke per Längeneinheit ziemlich gleich schwer geworden, und zwar ist letztere etwa in dem Maasse schwerer, als die Spannweite grösser ist.

Bei Berechnung der Brücke wurde nach der in N°. 154. dargelegten Weise eine ideelle Maximalspannung von 1200 K. zu Grunde gelegt (indem bei den Hauptträgern das Eigengewicht l,2mal, die variable Last 2,5mal gerechnet wurde) ; nach der Beschreibung in der Zeitschrift des bayrischen Architecten- und Ingenieurvereins soll die grösste Spannung bei einfach variabler Last 613 Kilo pro nCent. betragen, was mit den Resultaten unserer Tabelle L. vollständig übereinstimmt.

Nm

Pu

1 = 54,24

Index m oder m'

max $

V₂(m+m')

2 * sin cpm

Tabelle

p=Cl-f-F = 41.1-f- 1216 = 3440k

Nach Fig. 185.

® VaCm+m') Nach Gleichung 226).

rom in □Cent.

2t

/, . CI (k+ — +

f) d

Nach Gleichung 230).

2 ®'Va(m + m') — P'

Nach Gleichung 227).

Um

LI.

k = 4840k

q = p + k = 8280k

d = 3,39m

10

Bemerkungen.

212,4*8

200,4

176,5    152,5

128,4

104,6

80,7

56,7

32,8

13,0

0,899

0,707

0,707    0,707

0,707

0,707

0,707

0,707

0,707

0,707

59,05ts

70,85

62,40    53,93

45,40

37,0

28,5

20,05

16,60

4.60

90

656

18105k

53100

9050

44050

Die Werthe Ym, sind durchweg grösser als die Werthe Vm welche in dieser Tabelle für dieselbe Belastung, nämlich für eine von B bis V2 (w+ni') sich erstreckende Ueberlast berechnet sind.

Die Werthe Ym< sind grösser als die Werthe Vm um die Grösse Va (V« kd), wie in N°. 151. erläutert.

114

622

24300

50200 — 12150

102

611

90

71

61

50

36

28

18

599

639

606

571

557

414

255

24300    24300

38125 — 12150

83125 — 12150

38050    31975    25975

24300

24300

24300

24300

24300

24300

32100 — 17150

19950

26150 —12150

20175 —12150

14000

8025

14175 — 12150

2025

8200

— 12150

-3940

3250

— 12150

- 8890

Om'

p.

2827

3770    3770    3770

3770

3770

3770

3770

3770

3770

2    ® Va (m + m') + P Om'

44125

1413

38125

1885

32100

1885

26150

1885

20175

45532 | 40010    33985    28035

1885

14175

1885

8200

1885

3250

1885

1400

1885

6110

1885

22060

16060

10085

5135

3285

8995

«m'

124

114

95

80

80

66

66

66

66

66

8m

m'

CO

367

351

358

350

276

242

152

78

§. 17. Die parabolischen Träger.

161. Wenn man sich bei Bestimmung der Gurtungsform die Bedingung stellt, dass im Falle der gleichförmig vertheilten Maximallast die Kräfte in den schiefen Streben gleich Kuli sein sollen, so dass die vertikalen Composanten der Gurtungskräfte die ganze Yertikalkraft aufnehmen müssen, so folgt aus den Gleichungen 182) beziehungsweise 188):

9Km+1 mm _ rnm

9R*

.    231)

lQ m -p 1

wo 9Kx das Angriffsmoment und §x die Distanz der Gurtungsschwerpunkte im Abstande x bezeichnen, während R eine constante Grösse, d. h. die auf die ganze Trägerlänge constante horizontale Composante der Gurtungskraft darstellt.

Es folgt aus dem Yorhergehenden unmittelbar, dass parabolische Träger stets frei aufliegende Träger sind, deren 9)1 und Ü8 in K°. 59. — 63. entwickelt wurden. Wenn wir für 9Jlx seinen Werth aus Gleichung 93a, beziehungsweise 91a einsetzen, ergiebt sich durch Wertheinsetzung in Gleichung 230):

R = -J—

•Ar a-*) • •

wo q die Totalbelastung pro Längeneinheit und 1 die Spannweite (Stützweite) bezeichnet.

Kennen wir ferner f die Distanz der Gurtungsschwerpunkte in der Trägermitte, so folgt aus Gleichung 231) für x = V² 1:

ql²

. . 232)

.    .    232a)

und hieraus für eine beliebige Abscisse x : £x = 4f

x (1 — x)

l²

. . 233)

Anmerk. Da bei Fachwerken die Gurtungen zwischen den Knotenpunkten gerade sind, so ist bei ungerader Facheintheilung f nicht unmittelbar gegeben;

bezeichnen wir alsdann mit fj die Gurtungsdistanz im Abstand

Trägermitte, so ist:

2~

von der

q l²

l² - d²

= q

und ist letzterer Werth in den Gleichungen 232a) und 233) einzusetzen.

4 fi

Trägt man die einzelnen Werthe ipx als Ordinaten der Ab-scissen x auf, so erhält man als Kurve der ^x eine Parabel und werden daher Träger, deren aufeinanderfolgende Gurtungsdistanzen durch Gleichung 233) gegeben sind, parabolische Träger genannt.

Durch die Formelm 231)—233) ist die Gestalt der Gurtungen noch nicht vollständig gegeben; man kann nämlich stets eine der

beiden Gurtungen noch ganz willkührlich wählen, muss aber dann die andere Gurtung entsprechend der Gleichung 233) nehmen ; ist eine der Gurtungen eine Gerade oder eine Parabel von senkrechter Axrichtung, so muss nothwendigerweise auch die andere Gurtung eine Parabel (oder nach Umständen eine Gerade) sein.

Die parabolischen Träger haben in der Regel eine, manchmal auch beide Gurtungen nach Form einer Parabel gekrümmt.

Die Kräfte in den Gurtungen sind im Falle der gleichförmigen Maximallast am grössten ; für diesen Fall ist bei parabolischen Trägern, wie schon bemerkt, die horizontale Composante sämmtlicher Gurtungskräfte constant und durch die in Gleichung 232) bestimmte Grösse R gegeben ; es folgt hieraus, indem mit R' und die auf einen Hauptträger reduzirten R und bezeichnet werden :

R¹

.    . 234)

cos ßm

cos ßm

Grösster Druck in der obern Gurtung:

Grösste Kraft in der obern Gurtung: max Om =

1 R'

235)

236)

53m -

a ' cos ßm

Ferner grösste Kraft in der untern Gurtung:

R¹

max Um =

cos ym

cos ym

Grösste Spannung in der untern Gurtung:

R'

237)

cos ym

51 = —

ii

Die Gurtungswinkel ß und y nehmen bei gekrümmten Gurtungen gegen die Auflager hin an Werth zu und finden zunächst den letzteren die grössten Gurtungskräfte statt; ist beim parabolischen Träger eine der Gurtungen gerade, so bleibt in derselben die Gurtungskraft im Falle der gleichmässig vertheilten Belastung auf die ganze Trägerlänge constant.

162. Die vorstehend bestimmten Gurtungskräfte sind ganz unabhängig von der Wahl des Strebensystems; die Strebenkräfte, welche nur bei einseitiger Belastung in Wirkung kommen, werden beim einfach symmetrischen System nach Gleichung 182), beim einfach unsymmetrischen System nach Gleichung 188), beim mehrfachen System nach Gleichung 194) bestimmt; die Yertikal-ständer unsymmetrischer Systeme nach den Gleichungen 192)—194a), beziehungsweise 197) und 197a). — Für jede Art der Belastung können hienach die Strebenkräfte durch Anwendung der bezüglichen allgemeinen Formeln gefunden werden.

Um hiebei nicht eine sozusagen unbeschränkte Anzahl von Belastungsarten in Rechnung nehmen zu müssen, wird man in möglichst allgemeiner Weise diejenige Stellung der Ueberlast bestimmen müssen, für welche die Strebenkraft ihren grössten Werth erreicht, und ist denn auch wiederholt bewiesen worden, dass die schiefen Streben (Diagonalen) parabolischer Träger dann am meisten in Anspruch genommen sind, wenn vom Auflager bis zu der betrachteten Strebe sämmtliche Knotenpunkte mit der Maximallast, die übrigen Knotenpunkte (beginnend mit dem jenseitigen Endpunkt der betrachteten Strebe) nur mit dem Eigengewicht behaftet sind; in diesem Falle findet in dem durch die betrachtete Strebe gegebenen Felde die grösste Vertikalkraft statt.

Ueber diejenige Belastung, welche die Vertikalständer am meisten in Anspruch nimmt, sind in N°. 151. die bezüglichen Regeln gegeben.

Es ist in Fig. 187 diejenige Belastung dargestellt, durch welche die Diagonalstreben, sowie die links, beziehungsweise rechts befindlichen Vertikalständer am meisten in Anspruch genommen

Fig. 187.

___X m- jf =X

m-l •

werden; eine gleichförmig vertheilte Last erfüllt diese Bedingung dann genau, wenn sie bis zur Mitte der betrachteten Strebe vorgerückt ist, während das im halbbelasteten Felde befindliche variable Gewicht im letzten der belasteten Knotenpunkte concentrirt gedacht wird. — Letztere Voraussetzung ist aber überhaupt noth-wendig, wenn Fig. 130b und Fig. 137, sowie die Gleichungen 176a) und 178a) ganz correct sein sollen, wie schon in N°. 127. erläutert ist.

Da zur Bestimmung der Strebenkräfte gekrümmter Träger gemäss den oben citirten Gleichungen je mehrere gleichzeitige Werthe von und $ nothwendig sind, so ist sehr wichtig, dass für die der grössten Strebenkraft entsprechende Stellung der variablen Last die betreffenden gleichzeitigen "Werthe und SS sich schnell auffinden lassen. — Es geschieht diess, wie in N°. 128. mittelst der Gleichungen 175) und 176a) — 179a), wobei zum bessern Verständniss und zur näheren Erläuterung der angewendeten Bezeichnungen in umstehender Fig. 188 die der fraglichen Belastung entsprechenden Kurven 9JÎ und SS gezeichnet sind. — Indem wir xm — i/ = l setzen und die Fachweite d einführen, so

nehmen die Gleichungen 175) und 176a)—179a) folgende bestimmte Gestalt an :

Man erhält für Bewegung der Last von A bis zur Mitte des Faches (m — 1) m :

Fig. 188.

9JL,, _ m-i

/«

mfl ,

d 1-L-f -

21 — A

21

. . 238)

Grösste Yertikalkraft nach Gleichung 176) : max $m = A — q A .    .

. . 239)

An merk. Wie in N°. 127. angegeben, giebt Gleichung 239) die grösste Vertikalkraft im Fachwerk nur dann genau an, wenn man sich die im halbbelasteten Felde wirkende Last im letzten der belasteten Knotenpunkte concentrirt denkt, was eine Modification in den Auflagerdrücken zur Folge hat, indem die Gleichungen 238) in folgende Form übergehen;

d² k

1± _i_ xkJLzI 2 ' 21

Y ⁺ “ nr

Die gegenüber Gleichung 238) stattfindende Differenz ist für die Vertikalkräfte von verhältnissmässig kleinem Betrage, setzt sich aber auf die ganze Brückenlänge fort, so dass in der Brückenmitte max SSm nicht mehr —— , sondern kl /    d² x    ⁸

8 ^ \    ]ü / beträgt; die Momente 9JÎ werden durch diese Correction

+ ~8T

d²k

81

. . 238»)

beim Einrücken der Belastung in die ersten Brückenfelder wesentlich beeinflusst, was bei zunehmender Länge nur in geringem Maasse der Fall ist.

Die Angriffsmomente, welche gleichzeitig mit max stattfinden, werden nach den Gleichungen 176a) und 179a) bestimmt:

. . 240)

9Ö7m = A (A — V* d) = -9- (A — */a d)² . .

Mi

-s.

Cu

Cu

(M

Ebenso können auch die gleichzeitigen 91Î und für andere Fache bestimmt werden, indem wir beispielsweise, gleiche Fachweite vorausgesetzt, erhalten:

242)

$ra_i = A — q (1 — d)........

tsla

a»m-9 = a(i — %d)-    y . . . 243)

®i„₊i=B(l-i-»/₂d)--|-(l-;.-³/₂d)².    .    244)

Anmerk. Bei abweichender Weite d' des anstossenden Faches wäre in vorstehenden Gleichungen für ³/i d zu setzen: d' -f Va 4.

Diese Gleichungen 238) — 244) erleiden, wenn die Last von B nach A geht, nur insoweit eine Aenderung, als für A stets B, für B stets A gesetzt werden muss.

163. Am häufigsten wird bei parabolischen Trägern das einfache unsymmetrische System angewendet, und zwar in der Weise, dass die schiefen Streben nur auf Zug, somit die vertikalen Streben (Yertikalständer) vorzugsweise auf Druck in Anspruch genommen sind; die Diagonalen sind hiebei in allen Fächern mit Ausnahme der dreieckigen Endfelder, doppelt vorhanden, wobei in Folge wechselnder Belastung die eine oder die andere dieser beiden Diagonalen in Wirkung ist.

Für dieses System sind die Gurtungskräfte in ganz allgemeiner Weise durch Gleichung 185) oder 186) bestimmt; indem hiebei die Fusspunkte der gezogenen Diagonalen stets gegen die

9)1

Vertikale max gerichtet sein müssen, ist stets leicht zu er-

heben, welche der beiden genannten Gleichungen anzuwenden ist. Bei rein parabolischen Trägern ist für den Fall der gleichet

förmigen Maximalbelastung für alle Vertikalen constant, und werden ebendamit die beiden Gleichungen 185) und 186) identisch; hieraus folgt, wie schon oben als gemeinsame Eigenschaft sämmtlicher Parabelträger entwickelt wurde, durch Wertheinsetzung aus Gleichung 230) und 232)

245)

Om cos/3 = Um cos y — B/

STO'm    Wm

fym — 1

Die Kräfte in den schiefen Streben (Diagonalen), welche bei parabolischen Trägern, wie bemerkt, nur bei einseitiger Belastung auftreten, sind beim einfachen System stets durch die Gleichung ausgedrückt:

246)

Nm COS rp =

wobei jedoch noch eine nähere Bestimmung erforderlich ist, welche der beiden im Fache (m — l)m befindlichen Streben bei der betrachteten Belastung in Wirkung ist; diese'Bestimmung ist gegeben durch die Regel, wonach der Fusspunkt jeder gezogenen

Strebe gegen die Vertikale max , somit in jedem Felde gegen

•Q

den grösseren der beiden Werthe gerichtet ist.

Bei den parabolischen Trägern findet (wie man sich durch eine einfache Rechnung überzeugen kann) bei stetig vorschreiten-

der gleichförmiger Belastung max stets im belasteten Theile

statt und — was für die Bestimmung der Kräfte in den Vertikalen von Wichtigkeit ist — auch nicht im letzten der belasteten Punkte, sondern stets näher dem betrachteten Auflager.

Der Fusspunkt derjenigen Strebe Nm, bis zu welcher die Last vorgerückt ist, befindet sich daher (weil bei dem betrachteten System die Diagonalstreben stets auf Zug in Anspruch genommen sind), stets auf derjenigen Seite, von welcher die Last eingerückt ist, wie solches in Figur 189 dargestellt ist.

Fig. 1S9.

t------

.... X-à

Zur Bestimmung der Kräfte in den Vertikalen ist vorherige Kenntniss der Strebenrichtung nothwendig und zwar für beide angrenzende Felder; nach vorstehenden Erläuterungen

9)1    .

ist nun der Punkt max stets im belasteten Theil der Brücke

$

und soweit von der Spitze der Ueberlast entfernt, dass nicht nur im Fache (m — 1) m, bis zu welchem die Last vorgerückt ist, sondern auch im vorhergehenden Fache die Fusspunkte der (gezogenen) Streben gegen die belastete Seite gerichtet sind, was in gleicher Weise für alle Felder im unbelasteten Theile der Brücke gilt; es ist daher bei den Vertikalen m und (m— 1) stets Gleichung 192) oder 193) anzuwenden, und zwar erstere stets, wenn die Last von A, letztere wenn sie von B einrückt.

Wenn wir das Feld (m — 1) m, in dessen Mitte die Last vorgerückt ist, und die beiden, dieses Feld begrenzenden Vertikalen Vm _ i und Vm ins Auge fassen, so ist nach den Erläuterungen in N° 151. bei oben aufliegender Fahrbahn stets die letzte der belasteten Vertikalen, bei unten aufliegender Fahrbahn stets die erste der unbelasteten Vertikalen je mit ihrer Maximalanstrengung behaftet, und kann man daher für unsymmetrische Systeme mit gezogenen Diagonalen zur Berechnung der Kräfte in den Vertikalen folgende Kegeln geben:

1) Bei oben aufliegender Fahrbahn findet statt, a) wenn die Last von A bis m —- V² gerückt ist :

max Vm—l = SPm — P⁷u m — i

— (tgftn + tgj-„_0 247)

(t gß — tgym + 1)    . .    248)

b) wenn die Last von B bis m — l/² gerückt ist: max Vm = — Sß'm — Pu m

2) Bei unterhalb angebrachter Last findet statt,

max Vm = SS'm -f- P/Qm -f-

(tg^m —i    tg 7«0 • • 249)

a) wenn die Last von Last von A bis m — V² gerückt ist. Wm

b) wenn die Last von B bis m — V² gerückt ist :

SR'm tQm — 1

In den Gleichungen 247) bis 250) ist der Coordinatenursprung in A und und die Richtung der Schwere als die positive angenommen; wenn alle Vorzeichen richtig angewendet werden, bedeuten positive V Druck, negative V Zug.

Eine Vereinfachung dieser Formeln tritt dann ein, wenn die untere Gurtung, wie dies meist der Fall, geradlinig horizontal ist, wo alsdann die Glieder mit y Wegfällen. —• Man kann übrigens in diesen Fällen (wenn die untere Gurtung horizontal ist) V auch nach der Gleichung bestimmen:

Vm oder Vm-i = Nm sing) — P'u .    .    .    251)

wo stets die am Fusspunkt der Strebe Nn befindliche Vertikale gemeint ist, deren unterer Knotenpunkt mit P'u belastet ist.

164. Eine der ersten Anwendungen parabolischer Träger in Deutschland zeigt die Brahebrücke bei Czerk, an der Thorn-

Fig. 190.

flî

25, V

Bromberger Bahn, deren Eisenconstruction von Herrn J. W. Schwedler projectirt und in der „Zeitschrift für Bauwesen von Erbkam, Jahrgang 1861“, veröffentlicht wurde.

Die Brücke ist für ein einziges Geleise construirt und hat 81' preussisch oder 25,4m Spannweite (Stützweite), welche in 9 Fache von je 2,82m Weite abgetheilt ist. Das Eigengewicht beträgt per laufenden Fuss 1000 alte Pfund oder 1490 Kilo per Meter und zwar ist annähernd p = 750 -j- 26,3 1, wo F = 750 k. das Gewicht der Fahrbahn per Meter bedeutet; die grösste variable Last k wurde zu 3000 Pfund per laufenden Fuss oder 4470 Kilo per Meter gerechnet, welche Last auch für die einseitige Belastung beibehalten wurde. Die grösste Spannung wurde zu 10000 alte Pfund per □" oder 684 Kilo per Quadratcentimeter angenommen.

Die Berechnung der Gurtungsstärke geschah entsprechend unsern Formeln 234, beziehungsweise 236, indem in letzterer Gleichung durchaus cos y = 1 zu setzen ist; es wurde auch in der obern Gurtung ein gleichmässiger Querschnitt beibehalten, indem in der Trägermitte die Gurtungskraft nur circa 10 °/o geringer ist; es wurden in der obern Gurtung 118 Quadratcentimeter, in der untern Gurtung 108 Quadratcentimeter nutzbarer Querschnitt angenommen (wobei die Nietlöcher in Abzug gebracht sind).

Für Berechnung der Diagonalen hat Herr Schwedler eine sehr einfache Formel entwickelt, welche unter Beibehaltung der von uns gewählten Bezeichnungen sich ausspricht:

kdl

.    .    252)

cos cp ' 8f

welche Gleichung auch richtig sein muss, wenn ein mit der Länge der Ueberlast wechselndes k genommen wird; da im vorliegenden Falle f = ¹/8 1 war, so vereinfachte obige Gleichung sich weiterhin :

max Nm =

.    .    252a)

. kd . .

max Nm =

COS Cp

Nach den Gleichungen 252) beziehungsweise 252a) nimmt unter der Voraussetzung eines constanten k die Kraft in den Dia-

gonalen von dem Ende gegen die Mitte, wo

-seinen grössten

cosg)

Werth hat, stetig zu, und zwar beim vorliegenden Beispiel im Verhältnisse von 1,09 bis zu 1,5.— Wenn man jedoch mit Rücksicht auf einseitige Belastung km ähnlich der in Figur 134 gegebenen Darstellung wechselnd annimmt, so sind von A ausgehend die mit ihrem Fuss-punkte gegen A gerichteten Streben zwischen A und der Brückenmitte ziemlich gleich angegriffen, am Beginn der Bewegung sogar noch grösser als in der Mitte; in der zweiten Brückenhälfte nimmt die Anstrengung der Diagonalen stetig bis zum Auflager B ab.

In der Ausführung wurden alle Diagonalen gleich stark gehalten, was den Eigenschaften des Parabelträgers nach Vorstehendem ziemlich entsprechend ist.

Bei der Berechnung der Vertikalen ist die obige Gleichung 251) angewendet worden. Es ist hiebei für Pu kein Abzug gemacht worden, was insoweit begründet ist, als die Querträger nicht in den Knotenpunkten selbst, sondern etwas oberhalb befestigt sind; es ist hier wie in allen Fällen, wo die Last zwischen den Knotenpunkten eintritt, die Kraft in den Vertikalen eine schiedene, d. li. es sind die Vertikalen unterhalb der Fahrbahnbefestigung mehr in Anspruch genommen als oberhalb. Da hier das stärker gepresste Stück sehr kurz ist, so darf für dasselbe 23m = 23 angenommen werden, während für das längere Stück

ver-

23m

58 zu setzen wäre; es soll aber noch bemerkt werden, dass nach K°. 151. die Kraft im obern Theile der Vertikalen dann am grössten ist, wenn die Last bis zur Mitte des unmittelbar vorhergehenden Feldes vorgerückt ist, so dass also die erste der unbelasteten Vertikalen jeweils ihre Maximalanstrengung zu erleiden hat. (Gl. 249) und 250) zu vergleichen.)

165. Ueber die Befestigung der schiefen Streben sagt Herr Schwedler:

„Die Spannung der Diagonalen ändert sich bei der Passage eines Zuges bis auf Kuli, so dass immer abwechselnd die eine oder andere Diagonale ohne Spannung ist. Die dieser Spannungsänderung entsprechende elastische Längenänderung der Diagonalen beträgt, mit

der Länge oder

Rücksicht auf ihren wirklichen Querschnitt - „A.

bOUÜ

J/3 Linie (0,7mm) ; die dem entsprechende Verschiebung des Vierecks bewirkt eine relative Hebung oder Senkung der Hauptverbindungsbolzen des Systems von circa 1 Linie (2mm), wobei vorausgesetzt ist, dass die Diagonalen bei leerer oder ganz belasteter Brücke wenigstens die Spannung Kuli haben. Eine vorherige Einspannung der Diagonalen kann jene Bewegung nicht mindern, sondern nur die Maximalspannung erhöhen. Sind indessen die Diagonalen nicht so straff eingesetzt, dass sie bei der geringsten Formänderung des Systems in Spannung gerathen, so wird jene relative Bewegung um so viel vermehrt als nöthig ist, um die Spannung anfangen zu lassen. Da die grössere Maximalspannung weniger schädlich ist, als die grössere Beweglichkeit des Systems, so ist vorgezogen, die Kietlöcher bei einer Anspannung der Stäbe von 5—10 Centner nachzubohren und mit Kieten zu versehen.“

Zu dieser Darstellung ist hinzuzufügen, dass die Verbindung der Gurtungen mit den Diagonalen und Streben je mittelst eines 2 Zoll (52mm) starken Bolzen geschah, so dass ein genauer geometrischer Zusammenhang besonders wichtig war. Uebrigens ist die Maximalanstrengung der Diagonalen im Falle vollständiger Entlastung der

Gegenstreben lediglich durch den Werth

a»m-l\

Qm — 1 !

cosqp

gegeben; eine grössere Maximalanstrengung der Hauptdiagonalen könnte nur dann stattfinden, wenn auch in der Gegenstrebe noch eine Kraft wirkte, d. h. wenn die ursprüngliche Anspannung des Systems so gross war, dass sämmtliche Diagonalen stets gespannt bleiben. (Zu vergl. N° 137.)

166. Herr J. W. Schwedler hat in der Berliner Zeitschrift

für Bauwesen, Jahrgang 1868, den Entwurf einer Parabelbrücke publizirt, welche für die kleinen Oeffnungen der Elbbrücke bei Meissen bestimmt war, aber an einem andern Orte zur Ausführung kam; die Spannweite beträgt 69' preussisch oder 21,6m , welche Weite in 6 Fache von 9' (2,82m) und 2 Endfelder von 7,5' (2,35m) abgetheilt ist.

Die Gurtungen, deren Querschnitt in beistehender Figur 192 skizzirt ist, be-rô~o_Q„° 1 <To_o dl 3 stehen je aus 4 Winkeleisen :    von je 4 Zoll (104ram) Schen

kellänge und ¹j-2 Zoll (13fflm) Stärke und sind nach einem

Fig. 192.

OOOOOOo O

1 /o o o o \o /q o

Oj

mm

Polygon gebogen; ihre Ver-( bindung mit den Vertikalen ( u. Diagonalstreben ist gleichfalls aus Figur 192 ersichtlich. Die Stossplatten in den Knotenpunkten, sowohl horizontale als vertikale, sind stark, an denKnotenpunkten sind je zwei einander

*/2 Zoll oder 13

diagonal gegenüberstehende Winkeleisen gestossen, während die beiden andern durchgehen; hiedurch ist ermöglicht, dass der volle Querschnitt der Winkeleisen durch möglichst gleichmässig in Anspruch genommene Putterbleche (welche theilweise auch zur Befestigung der Diagonalen dienen) ersetzt werden konnte.

Das Eisengewicht dieser Brücke ist auf circa 390 Centner oder 19500 Kilo veranschlagt, wovon circa 140 Centner oder 7000 Kilo auf die Fahrbahn kommen; bei einer Spannweite von 21,6m beträgt daher das per laufenden Meter ausgedrückte Eisengewicht

p' = 325 -f 27 1 = 900 Kilo.

Hiebei soll die gröste Spannung jedenfalls unter 10000 Pfund per Quadratzoll sein, was circa 700 Kilo per Quadratcentimeter ergiebt. Die variable Last wurde zu 3400 Pfund per Fuss oder 5440 Kilo per Meter gerechnet.

Bei vorstehenden Angaben über Eigengewicht und Belastung ist vorausgesetzt, dass die Gewichtsangaben in der „Zeitschrift für

Bauwesen“ sich auf Zollpfund beziehen; sollten alte Pfunde gemeint sein, so müssten sämmtliche nach Kilogrammen angegebenen Gewichtsangaben im Yerhältniss von 0,92 kleiner gesetzt werden.

167. Die Royal-Albertbrücke bei Saltash hat zwei grosse Oelfnungen, welche mit Parabelträgern von 455' englisch oder 138,68m Spannweite überbrückt sind; diese Brücke ist durch Isambard Kingdom Brunei (den Sohn des Erbauers des Themsekanals) in den Jahren 1856 — 1858 projectirt und angefertigt worden; einer der Hauptträger ist in beistehender Figur 193

Fig. 193

'T'

=j= r

in seiner Längenansicht dargestellt. Die obere gedrückte Gurtung besteht aus einer Bohre von Eisenblech, deren Breite

Fig. 194.

’k~

\

\\

Höhe

mn

5,1m und deren Höhe 3,66m beträgt. Die Röhre, deren Querschnitt in Fig. 194 dargestellt ist, besteht aus 24 über einander geplatteten Flacheisen, welche durch 6 Längsrippen von 356 und 13mm Dicke verstärkt sind; letztere dienen insbesondere zur Aussteifung der Röhre und sind hierin durch besondere Ausstei-

fungsringe von etwa 50 Cent. Höhe unterstützt, welche letztere in Längenabständen von je 6,lm angebracht sind. Die Röhre geht an den Enden behufs besseren Aufliegens in viereckige Form über.

Die untern Bänder bestehen für jedes Geleise aus 4 Ketten, deren je zwei über einander angebracht und durch Vertikalanker verbunden sind (vergl. Fig. 193). Diese Ketten haben je 14 Glieder von 17,8mm Breite und 25,4mm Dicke, abwechselnd mit je 15 Gliedern von derselben Breite und 24,8mm Dicke; jedes Kettenglied ist 6,096m lang, welche Länge zugleich den Abstand der Aufhängepunkte der Kette angiebt. Die Vertikalständer des Fachwerks sind in der doppelten Distanz von 12,192m angebracht, und bestehen je aus zwei Flacheisen und 10 Winkeleisen von zusammen 173 □Centimeter Querschnitt; es sind diese Vertikalständer zu beiden Seiten des Geleises und somit auf jeder Seite der obern Röhre angebracht.

Die Diagonalstreben sind auf jeder Seite des Geleises und zwar je als Kreuzstreben vorhanden ; je zwei dieser Diagonalen haben somit die ganze auf ein Fachwerksfeld treffende Strebenkraft aufzunehmen; ihr Querschnitt wechselt, indem er bei einer Breite von 178mm von den Auflagern gegen die Mitte von 45 bis zu 55 Quadratcentimeter zunimmt. Die Zunahme der Strebenkraft gegen die Mitte entspricht der für die Brahebrücke entwickelten Gleichung 252), für den Fall, dass die variable Belastung k für jede Länge der Ueberlast constant angenommen wird.

Die Fahrbahn zeigt Blechträger von 2,54m Höhe, welche theils an den Vertikalständern befestigt, theils an den zwischenliegenden Ketten trägem aufgehängt sind; die Weite, welche diese Blechträger zu überspannen haben, beträgt somit 12,2m. Zwischen diesen Fahrbahnträgern liegen Querträger von 356mm Höhe, welche eine Bedielung und über derselben eine Beschotterung zur Aufnahme des Bahnoberbaues betragen.

Das Eisengewicht der Brücke beträgt nach annähernd übereinstimmenden Angaben 912 tons, wovon 156 tons auf die Fahrbahn, 756 tons auf die Hauptträger kommen; hienach beträgt das Eisengewicht per laufenden Meter

p' = 39,3 1 + 1125 = 6575 Kilo.

Bei einer Belastung von 1 ton per laufenden Fuss englisch oder 3333 Kilo per Meter soll der Druck in der Röhre 660 Kilo per Quadratcentimeter betragen.

§. 18. Gekrümmte, nicht parabolische Träger.

168. Die Formeln für Träger, welche weder geradlinig horizontal, noch parabolisch sind, haben wir in den N°. 131.—143. in der allgemeinsten Weise entwickelt und sind, je nachdem ein einfaches oder mehrfaches, ein symmetrisches oder unsymmetrisches System gewählt ist, die betreffenden Gleichungeen aus vorgenannten Nummern zu entnehmen.

Die speciellen Gesetze, welche für geradlinige und parabolische Träger aufgestellt wurden, können jedoch auch für die übrigen, zwischen beiden stehenden Trägerformen angewendet werden, insoweit diese Gesetze den geraden und den parabolischen Trägern gemeinsam sind.

Als ein solches gemeinsames Gesetz haben wir gefunden, dass bei frei auf liegenden Trägern die Streben in jedem Fache dann am meisten in Anspruch genommen sind, wenn die Last bis zur Mitte des betreffenden Feldes vorgerückt ist, in welchem Falle die Yertikalkraft ihren grössten positiven oder kleinsten negativen Werth erreicht (die Richtung der Schwere als die positive angenommen). — Wir verweisen hiebei auf die N°. 144. für gerade Träger und auf die N°. 162. für Parabelträger.

Zur Bestimmung der Strebenkräfte beliebig (auch nicht parabolisch) gekrümmter Träger dienen daher diejenigen 9)f und üß, welche in N°. 162. für parabolische Träger entwickelt und durch die Gleichungen *238)—244) ausgedrückt sind.

Man kann nach diesen Gleichungen (insbesondere Gleichung 242) — 244) für jede (zu irgend einer Fachmitte fortgesetzte) Belastung sämmtliche gleichzeitige Strebenkräfte bestimmen, was bei mehrfachen unsymmetrischen Systemen von Werth sein kann ; in der Regel werden aber nur die Gleichungen 238) — 241) noth-wendig, indem es sich meist nur um die zum betrachteten Fache vorgerückte Belastung handelt.

Bezüglich der grössten Anstrengung der vertikalen Streben (Yertikalständer) unsymmetrischer Systeme sind in N°. 151. Regeln gegeben, welche nach den dortigen Erläuterungen für gerade und beliebig gekrümmte Träger ebenfalls gleich-mässig gültig sind.

In solchen Fällen, wo die Gurtungen nicht stark gekrümmt sind, kann man sich häufig zu Bestimmung der Strebenkräfte der einfacheren Gleichungen N°. 184), 191) oder 195) bedienen, in welchem Falle sämmtliche 9JÎ und üß aus Fig. 180b entnommen werden können.

Insbesondere aber auch bei schwach gekrümmten continuirlichen Trägern wird man die Strebenkräfte nach den genannten Gleichungen 184), 191) oder 195) berechnen und hat man in diesen Fällen nur darauf zu achten, dass man stets diejenige Belastungsweise in

Rechnung nimmt, welche die grösste Yertikalkraft ergieht (zu vergleichen die graphischen Darstellungen auf den Tafeln IY. und Y.), sodann aber auch den mit max 35 gleichzeitigen Werth 9JI in die betreffende Gleichung einsetzt.

169. Den Parabelträgern sehr nahe steht das System Pauli. Die Gestalt der nach diesem System gebauten Träger ist gegeben durch die Bedingung, dass bei gleichförmig vertheilter Maximalbelastung beide Gurtungen und zwar je auf ihre ganze Länge gleichen Druck, beziehungsweise Zug auszuhalten haben.

Das Pauli’sche System wird als einfaches unsymmetrisches System mit gezogenen, aus Flacheisen bestehenden Diagonalen con-struirt, und indem wir die in N°. 134. zusammengestellten Bezeichnungen beibehalten, erhalten wir unter vorläufiger Annahme der in Fig. 195 dargestellten Anstrengung der Diagonalen für die

Fig. 195.

---'y

Ä.

zunächst A befindliche Trägerhälfte nach der obigen Definition des Pauli’schen Trägers:

om

cos ßm

— Om—1 —

COS ßm

tQm — 1

= Constans 253)

Um =

Wim

— UM+i =

— Constans 254)

COS ym §m

Wenn alle 0 einander gleich sein sollen, so müssen auch alle U denselben Werth haben, was nur dann möglich ist, wenn z. B. cos ß = cos T'm+i, cos 5m—i = cos ym wäre; man sucht nun dieser Bestimmung dadurch zu genügen, dass man für Om und Um einen mittleren Werth einführt:

om =

= Constans

-Vs

.    .    255)

= Constans

Um =

COS 7m

Diese Gleichung wäre ganz dieselbe geworden, wenn man in Fig. 195 die punktirten Streben als wirkend gedacht und entsprechend die Indices der 0 und U geändert hätte. — Aus Gleichung 255) folgt unmittelbar die Gleichheit der Winkel ßm und 7m, dem gemäss der Pauli’sche Träger stets symmetrisch gekrümmte Gurtungen erhält.

Die Construction der Gurtungslinie geschieht in der Weise, dass die Constante der Gleichung 255) für die Trägermitte bestimmt und nunmehr mit der Berechnung der Winkel vom Auflager an begonnen wird. — In der Regel erhalten die Pauli’schen Träger eine Höhe von ¹/₇ der Spannweite.

Wir berechnen diese Träger genau nach denselben Regeln, welche in N°. 163. für Parabelträger gewöhnlicher Construction angeschrieben sind, indem die verhältnissmässig kleine Abweichung in der Form der Gurtungen auf die dort aufgeführten Sätze keinen modifizirenden Einfluss übt. — Die einzelnen 9JÏ und ÜB werden (wie schon in N°. 168. für derartige Fälle bemerkt ist) nach den in IST⁰. 162. gegebenen Regeln bestimmt und werden wir eine Anwendung des durch besagte Nummern 162. und 163. gegebenen Verfahrens bei der im Folgenden näher beschriebenen Kitzinger Mainbrücke geben.

Die Construction der Pauli’schen Träger bleibt dieselbe, ob die Fahrbahn oberhalb, unterhalb oder zwischen beiden Gurtungen angebracht ist; die Höhenlage der Fahrbahn zeigt ihren Einfluss nur an den Vertikalständern, welche je nach den Umständen verlängert werden und in ihren Dimensionen von der Belastung der obern (beziehungsweise untern) Knotenpunkte abhängig sind, wie diess sich unmittelbar aus Gleichung 246) ergiebt.

171. Ueber die bei den Pauli’schen Trägern angewendete Constructionsweise sagt Herr Gerber in einer von Klett & Cie in Nürnberg im Jahre 1859 veröffentlichten Broschüre:

Fig. 196.

£k

„Der Spannbogen (Fig. 196) besteht aus auf einander liegenden Flacheisen, die durch conische Bolzen mit einander verbunden sind und deren abwechselnde Stösse je nach der Grösse des Querschnitts entweder durch ein durchlaufendesFlacheisen oder durch eigene Stossplatten gebunden sind. — Für grosse Querschnitte legt man zwei solche Flacheisenbänder neben einander, um auf Zug nur Eisen zu verwenden, das nur im Ganzen erhitzt worden

Fig. 197.

war, gut geschweisst und gewalzt ist, und um die Bolzen nicht zu lang machen zu müssen.

Cp

„ Der Druckbogen (Figur 197) ist bei allen grösseren Objecten in kastenförmigem Querschnitt angeordnet, dessen Dimensionen unter Berücksichtigung der Weite der Felder bestimmt und bei dem die Massen möglichst in die Ecke gelegt werden.

An merk. Neuerdings werden offene, leichter auszuführende Querschnitte angewendet, z. B. Doppel-Tform, wie bei der Mainzer Rheinbrücke.

„Die Verbindung der beiden Bögen an den Enden geschieht durch den sogenannten Bogenschuh (Fig. 198 und 199), welcher entweder aus Gusseisen oder gewöhnlicher aus Schmiedeisen construit ist, und sowohl genügende Fläche für die vollständige Befestigung der Gurtungen als auch genug Stärke besitzt, um der Tendenz zum Abscheeren über dem Stützpunkt zu widerstehen.

Fig. 199.

Fig. 198.

-----O

''

l!

Lj

WM

„Die vertikalen Pfosten sind aus Winkeleisen in Kreuzoder doppelt Tform gebildet und oben der in ihnen wirkenden Spannung gemäss mit Bolzen an den Druckbogen befestigt, unten auf dem Spannbogen L aufstehend, dass keine Seitenbewegung möglich ist. (Fig. 200 und 201.) — In diese Pfosten sind die Träger der Fahrbahntafel angebracht und müssen sie daher je nach der Lage der Fahrbahn über den Druckbogen hinaus oder unter den Spannbogen hinabgehen, wodurch ihr verschiedener Querschnitt bedingt ist (zu vergleichen Schluss von N°. 169).

„Die Diagonalen bestehen aus Flacheisen, die an ihren Enden an Bleche verbolzt sind, welche in entsprechender Verbindung mit den Gurtungen und Pfosten stehen (Fig. 200).

„Die ganze Trägerconstruction liegt an jedem Ende mittelst einer ebenen auf einer cylindrischen Stahlfläche von grossem Kadius (Fig. 198), welche Anordnung zum Zweck hat, die elastische Biegung des Trägers möglich zu machen, ohne einseitigen starken Druck auf die Stützflächen hervorzurufen. Eine Längen- oder Querverschiebung dieser beiden Flächen ist durch die auf beiden Seiten befindlichen Vorsprünge, die wie Zähne in einander greifen, verhindert. — Die untern Stützplatten sind auf gusseiserne Stühle

Fig. 200.

Fig. 201.

•à

o/ , o /(2

.on—n ^151 i

<\

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i., V

[■

oj ©

ei#

6"

befestigt (Fig. 198), von denen der eine unmittelbar auf dem Auflagersteine feststeht, während der andere, wegen der Längenver-änderung der Brücke durch Temperaturwechsel, auf Stelzen steht, deren auf beiden Seiten angegossene Zähne zwischen entsprechende Zähne am Rollstuhl und an der Bodenplatte eingreifen, um den Parallismus zu erhalten. — Die Cylinderflächen der Stelzen sind gedreht und wälzen sich auf abgehobelten ebenen Flächen. — Es wird die Höhe der Stelzen so gewählt, dass die Maximalneigung derselben bei den Extremen der Temperatur eine bestimmte, nahezu gleiche Grösse für die verschiedenen Lichtweiten wird.“

An merk. Die Stahlplatte zwischen Lagerstuhl und Bogenschuh wird neuerdings mit der an letzterem befestigten zweiten Stahlplatte mittelst eines Metalldorns verbunden, so dass die zahnartigen Yorsprünge wegfallen. — Die Stelzen werden durch schmiedeiserne Rollen ersetzt. — Diese neueren Anordnungen sind auch auf den Tafeln X. und XII. ersichtlich.

Herr Gerber sagt weiterhin:

„Alle Hauptverbindungen geschehen durch konische Bolzen,

welche auf dem Konus —gedreht, mit wenig stärkerem Kopfe,

mit Mutter und Unterlagscheibe versehen sind; die cylindrisch gebohrten Löcher werden mit konischen Reibahlen ausgerieben, bis der Bolzen auf eine gewisse, durch Erfahrung bestimmte Weite hineinpasst, dann dieser durch einige Hammerschläge eingetrieben und zugleich die Mutter scharf angezogen, um das Eisen fest zu-

sammenzupressen. — Dadurch wird das Eisen um das Loch herum etwas comprimirt und der Bolzen füllt es vollkommen aus. — Die Unterlagscheiben sind verhältnissmässig stark, damit kein Schraubengewinde im Eisen sich befindet, sondern letzteres ganz mit dem gedrehten Bolzenschaft ausgefüllt ist. — Nachdem die Muttern so fest als möglich angezogen sind, werden sie verstemmt, damit sie durch die Erschütterungen nicht möglicherweise losgehen können, wozu übrigens das Bestreben kaum vorhanden ist, da in Folge der beschriebenen Anordnung der Bolzen kein Stoss auf die Mutter geschehen kann. Diese konischen Bolzen wurden zum ersten Male bei der Isarbrücke zu Heselohe zur Anwendung gebracht.

An merk. In der Eisenbauanstalt bei Mainz wird gegenwärtig vorzugsweise warme Nietung angewendet; vorbeschriebene konische Bolzen in der Regel nur da, wo die warme Nietung nicht befriedigend ausgeführt werden kann.

„Von den verschiedenen zur Anwendung kommenden Eisen werden die Elasticitätsverhältnisse für Zug mittelst einer besonders hiezu construirten Maschine ermittelt und auf derselben sämmtliche Elacheisen, die auf Zug in Anspruch genommen werden, mit 1200 Kilo per nCent. gereckt unter Prellung durch Hammerschläge. — Es werden dadurch schlecht geschweisste Stellen sichtbar und die Eisen innerhalb dieser Belastung elastischer, d. h. ihre permanente Verlängerung durch spätere Belastung Null.

„Zum Schutze des Eisens gegen die Einflüsse der Athmosphä-rilien wird dasselbe durch Beizen und Scheuern von dem daran haftenden Hammerschlag und Rost gereinigt und dann in siedendes Oel gebracht, so dass durch die grosse Sitzhitze des Oels jede Spur von Feuchtigkeit entfernt und eine fest haftende Firnissschichte auf dem Eisen gebildet wird. Durch diese Operation wird der Uebelstand vermieden, der beim gewöhnlichen Verfahren entsteht, dass der unter dem Anstreich befindliche Rost schnell weiter greift, diesen hebt und daher fortwährende Reparaturen nöthig macht.

Vorrichtungen um

„Alle Diagonalen werden beim Montiren durch eigenthümliche ihrer Länge gespannt, damit möglicherweise noch vorhandene kleine Biegungen verschwinden und die Diagonalen bei dem Anfänge der Biegung des Trägers sofort in Wirksamkeit treten.

„Die Aufstellung der Pauli’schen Träger hat auf einem Gerüste zu geschehen, und wird man gewöhnlich dieses in die zu überbrückende Oeffnung setzen und die Träger am Platze montiren. Wo die Herstellung eines derartigen Gerüstes unthunlich ist, kann man die Träger an geeigneten Orten fertig zusammensetzen, zwischen die Pfeiler flössen und dann aufziehen, nach Art der grossen Brücken in England.“

172. Im Iahre 1864 wurden auf der von Nürnberg nach Würzburg führenden Eisenbahn mehrere Brücken nach Pauli’s System ausgeführt, wobei die Stützweite der Träger je 37 Meter betrug; die bedeutendste ist die Mainbrücke bei Kitzingen, welche 5 solcher Oeffnungen erhielt.

einem

In Tafel XIII. ist ein Träger dieser Brücke dargestellt; die Zeichnungen hiezu sind, wie die nachfolgenden Notizen autographirten Hefte entnommen, welches Herr Ingenieur Gerber uns gefälligst mitgetheilt hat.

von

zur un-

Wir ersehen aus Tafel XIII., dass die Fahrbahn oberhalb angebracht ist; Querträger von einfacher Fachwerksconstruction sind je an den Knotenpunkten des Systems in Entfernungen 4,0m an den Yertikalständern angebracht; die Querträger nehmen Schwellenträger von Blechbalken auf, welche letztere mittelbaren Aufnahme des Bahnoberbaues dienen.

Fig. 203.

TT

LO

9A'ZJ~----^

*’³

5,2

■ 5,6

5/2

* s>h

+-~

------

oa

rr

Die Hauptabmessungen der Hauptträger sind aus beistehender Fig. 203 ersichtlich. — Die obern Gurtungen bestehen aus zwei U Eisen von je 62,25 nCent. Querschnitt (siehe die Fig. 200 und 201), sowie aus einem Flacheisen (Kopfblech) von 340 Breite und 8

mm

Dicke; diese Gurtungen haben somit einen Querschnitt von 151,7 DCent., wobei keine Nietlöcher abgezogen sind. — An den Knotenpunkten sind sämmtliche Gurtungsglieder gestossen, insbesondere sind die Kopfbleche daselbst unterbrochen (wodurch der Durchgang der Yertikalständer ermöglicht wird) und wird die Yerbindung sämmtlicher Glieder durch ein System von Stoss-platten hergestellt.

Die untern Gurtungen bestehen je aus einer 4fachen Lage

Dicke, welche nach Höhe einen

von Flacheisen von 280 Abzug von einem Nietloch von 20 Gesammtquerschnitt von 125,2 nCent. repräsentiren.

Die Diagonalen bestehen aus Flacheisen, welche sämmt-dick sind und in der Breite zwischen 120 variiren; wenn man nämlich diejenigen Streben betrachtet, deren Fussenden gegen A, deren Kopfenden gegen B gerichtet sind, so nehmen dieselben von A nach B an Breite stetig zu; diese Breiten

lieh 12

mm

mm

Breite und 13

mm

mm

Breite und 52

mm

mm

und 180

mm

sind nämlich im 2. bis 8. Felde der Reihe nach 12, 12, 14, 16, 18, 18, 18 Centimeter.

Die Vertikalen bestehen aus je 4 Winkeln von je 80mm Schenkelbreite und 9mm Dicke, somit von je 13,5 und zusammen 54 DCent. Querschnitt. — Diese Winkel sind mit der obern Gurtung mittelst Zwischengliedern von Winkel- und Flacheisen verbunden, während sie auf der untern Gurtung mittelst eines genau eingesetzten kurzen Stehblechs aufgesetzt sind; letzteres wird von zwei polygonalen Blechen umfasst, welche zur Befestigung der Diagonalen dienen, beziehungsweise letztere umfassen.

173. Das Eisengewicht p' setzt sich für jede Oeffnung folgendermassen zusammen :

Tabelle LII.

Bezeichnung der Brückenbestandtheile.

Walz

eisen.

Bolzen,

Niethen

und

Schrauben

Summe

des

Schmied

eisens.

1. Tragrippen (Hauptträger) .    .

28,60ts

1,46ts

30,06ts

2. Verspannungen

2,00

0,10

2,10

3. Fahrbahntafel

9,02

0,54

9,56

4. Trottoir mit Geländer .    .

1,96

0,09

2,05

Summa

41,58

2,19

43,77

Wenn man die Posten (1.) und (2.) als Gewicht der Hauptträger, die Posten (3.) und (4.) als Gewicht der Fahrhahntafel annimmt, so erhält man bei einer Länge der Brücke von 37 Meter als Eisengewicht per laufenden Meter und Geleise :

p' = 23,5 x 1 + 314 = 1180 Kilo . . . . I.

woraus

C - 23,5 und F' = 314.

Für die statische Berechnung ist noch das Gewicht des Oberbaus hinzuzurechnen, nämlich per Meter:

io O

O to

Holz und Schienen..... Ko,

Kiesdecke........1

zus. p" = 1520 Kilo.

woraus sich als Gesammteigengewicht ergiebt:

. . II.

p = p' 4- p" = 23,5 1 -f- 1834 = 2700 Kilo . . .

Als Yerkehrslast wurden 3 Locomotiven angenommen, deren Raddistanzen und Gewichte in Fig. 204 dargestellt sind; hienach wurde das Angriffsmoment zu 649,6 Mtons berechnet, woraus die stellvertretende variable Last :

Fig. 204.

13,5 m

3,S

Ih

+ i +■

\ \ \

10 10 10

G)G)G)

1 i v

649,6 x 8

ts

bestimmt wird.

37"

= 3800 Kilo per Meter .    .    . III.

Aus Gleichung II. und III. folgt : q == p + k = 6500 Kilo . .

Ferner erhalten für die Belastung der einen Brückenhälfte als stellvertretende gleichförmige Belastung nach Analogie der Tabelle XYIIa :

IY.

. . Y.

k/ = ⁵/₄ k = 4750 Kilo Die grösste Spannung, beziehungsweise grösste Pressung in den Gurtungen findet im Falle der gleichförmig vertheilten Maximallast statt und ist nach der Definition der Pauli’schen Träger in allen Fachen dieselbe; man bestimmt dieselbe daher am besten für das Mittelfach, und ist daselbst :

max 9JÎ4Vo

= 6500 .

37²

= 1112,3 Mts.

$4v, — 5,6 M.

somit nach Gleichung 255), indem das Moment auf beide Hauptträger zur Hälfte sich vertheilt :

1 1112300

= 98296 Kilo

Ü4% = 047, — ~2

und die grösste mittlere Pressung in der obern Gurtung:

99286

5,6

= 654 Kilo,

151,7

die grösste Spannung in der untern Gurtung:

99286

St =

= 734 Kilo.

132,2

Bei Berechnung der schiefen Streben und Yertikal-ständer ist die grösste Yertikalkraft maassgebend; letztere findet

bei einseitiger Belastung und zwar dann statt, wenn die Last bis zur Mitte des betreffenden Feldes vorgerückt ist; die Grösse k variirt mit der Länge der variablen Last, wie solches in Fig. 134 dargestellt ist; hienacli ist für den vorliegenden Fall die Fig. 205 construirt, wo für jede Länge der Ueberlast das zugehörige k sich mit dem Zirkel abnehmen oder nach arithmetischer Proportion berechnen lässt.

Fig. 205.

Mi

Ä'

in

co

•HlaJ n

*-B

Das in den N°. 162. und 163. angegebene Rechnungsver-fahren ist in der nachstehenden Tab. LIII. übersichtlich dargestellt.

Nachdem nämlich die einzelnen k nach Anleitung von Fig. 205 für jedes Fach angeschrieben sind, werden die 9)lm—i und 9Jîm für jedes Fach nach Gleichung 240) und 241) bestimmt, woraus sich sodann nach Gleichung 244) die betreffende Strebenkraft und nach Gleichung 245) die Spannung 21 ergiebt.

Zur Bestimmung der Kraft in den Yertikalständern werden die Grössen max nach Gleichung 239) angeschrieben und da die zugehörigen 9)im-i nach Vorstehendem schon bekannt sind, lassen sich die einzelnen Ym-i nach Gleichung 246) bestimmen. In dieser Gleichung ist Pu aus Tabelle LII. zu berechnen; indem das Eigengewicht der Hauptträger 32,16 Tons, somit per laufenden Meter 869 Kilo beträgt, so ist die für die Vertikale (m — 1) berechnete Belastung des untern Knotenpunkts : für die beiden äussersten Knotenpunkte:

P'u = y 4,25 . 869 Kilo = 1846 Kilo, für die zwischenliegenden Knotenpunkte:

P'u - y 4,0 869 = 1738 Kilo.

— !•

Die trigonometrischen Functionen der Gurtungs- und Strebenwinkel lassen sich aus Fig. 203 direct berechnen, ebenso die Grössen igm und

Wir ersehen aus Tabelle LI1L, dass die einzelnen N von A nach B stetig zunehmen, wie auch in der Ausführung die Strebenquerschnitte von 12,0 □ Cent, allmählig bis 19,2 nCent. ansteigen ; da bei Feststellung der Dimensionen für jede Strebe je die un-

Index m =

Belastung von A bis m

p = 2700 Kilo

¹/2, somit il =

6,5m

Tabelle

i ₂ p 1 — 50,0 ts-

LUI.

Fachweite d = 4m,

Mainbrücke bei Kitzingen.

in den Endfeldern 4,5m.

Bemerkungen.

10,5

14,5

18,5

22,5

26,5

30,5

34,75

Variable Last per Meter: k^

5100k

5000

4860

4750

4640

4530

4420

4300

A + B = ^k^+pl

133,15 ts 152,50    170,47

187,87    204,40    220,04

234,81    249,42

p 1    ,    X

T    + ¹ k Ti

A = k 2 -4- p 1 — B

52,63 •) 57,17 *)    63,80

80,52*) 95,33*,    106,67

71,97    81,74    93,00

115,90    122,66    127,04    129,24

105,57    120,17

9JÎ und 33 sind für ein Geleise berechnet, müssen daher bei der Anwendung auf einen Hauptträger halbirt werden, welche halbirte Werthemit SOI* und 23* bezeichnet werden.

129,25

Wm-l

toi a.

p-fk

X—

283,35 “Us. 532,76    742,75

893,27    972,22    942,08

791,70    503,75

*) Die Auflagerdrücke für X = 6,5m und 10,5m sind nach Gleichung 238a berechnet.

6m —1

2,76ni

4,3

5,2

5,6

5,6

5,2

4,3

2,76

Mm

'?m— 1

102662k    123753    142836

159512    173632    181165

184120    182500

cq

-e i <m «Qi

to I |-ö

1-2—-

403,53 mts. 590,33    734,56

819,97    812,92    692,97

447,73

4,3m

5,2

5,6

5,6

5,2

4,3

2,76

Mm

6di

93845k    113520    131171

146423    156331    161155    162221

Mm

§m — 1

6m

8817k    10233    11665

13087    17300    20010    21900

cos qp

0,750    0,646    0,594

Nm

W'm-l M'm__

6m — 1    6m / COS (p

co in □Centim.

0,580    0,595

0,646

0,750

5878k

7920

9802

11292    14537    15480    14540

12.0

12,0

14,4

16,8

19,2

19,2

19,2

Nm

490 k 660

680

CO

670

757

806

757

= A — X (k -f p)

— 29,54ts-    —14,20 -f 2,95

+ 21,92    -4- 42,49

-f 64,55 + 87,92 -f 114,1

CK3

Xb

tg ym-1

0,1925

0,8966

0,1125 0,0500 0,1127    0,1125

0,00    — 0,050

0,050    0,00

-    0,1125 — 0,1925 — 0,3066

—    0,050 - 0,1125 - 0,1935

PUm

1,85 ts- 1,74

1,74

1,74

1,74

1,74

1,74

1,85

Vm-X— S'n,-! —(tg/J + tgym + 1)

- P'um

a»' «

6m— 1

9812k    10818    12210

14077    16034

16685    15010    10532

Die Kraft in den Vertikalen erreicht bei Bewegung der Last von A nach B in den Vertikalen Vm_! bei der Bewegung von B nach A je in den Vertikalen Vm das Maximum für den betreffenden Knotenpunkt.

co in QCentim.

54,0

54,0

54,0

33m

182 k 200

226

54,0

54,0

54,0

54,0

54,0

261

297

309

278

195

günstigste Stellung der Locomotiven aufgesucht und die Gurtungskräfte nach den betreffenden concentrirten Lasten genau berechnet wurden, so dürften die Resultate der Tabelle LIII. als Beweis dienen, dass unser Verfahren trotz seiner allgemeineren Ausdrucksweise den Einfluss der concentrirten Lasten genugsam berücksichtigt.

Wir wollen letzteres durch eine direkte Rechnung für die dem Auflager A nächstgelegene Strebe N₂ nachweisen. Letztere wird nämlich am meisten in Anspruch genommen, wenn die Locomotive mit ihrem Mittelrad gerade über der Vertikalen (1) angekommen ist, wie solches in Fig. 206 dargestellt ist; für diese Belastungsweise ist :

A.

4-ä

4- S

CM

IO

Fig. 206.

CO

i/T

k-4,5 -j- 4 -j- 4    -j-4    -fa4“

i 57“

-A

32,5

A - P¹ I

2 r 37,0

30000 = 76351 Kilo

f • ⁴>⁵² -

m, = A 8,5 —    8,5²—4,0.30000 = 431446 KM.,

= A 4,5 -

1,5 . 10000 = 301242 KM.

woraus :

= 8809 Kilogr.,

a»,-    301242    431446

4,3

$i    2,76

während wir in Columne (1) der Tabelle LIII. hiefür 8817 gefunden haben; die genaue Uebereinstimmung ist Zufall; doch ist ein annäherndes Resultat durch Bestimmung der Auflagerdrücke nach Gleichung 238a) bedingt.

174. Die bedeutendste der nach Pauli’schem System erbauten Brücken ist die Rh ein brücke bei Mainz, worüber die Maschinenfabrik von Klett & Comp, in Nürnberg, welche mit Pro-jectirung und Ausführung der Eisenconstruction betraut war, im Jahre 1861 eine besondere Veröffentlichung hat erscheinen lassen.

Die Brücke geht in schiefer Richtung über den Rhein der Art, dass die 4 grossen Oeffnungen normal zum Fluss 90 M., nach der Brückenaxe 101,29 M. lichte Weite haben; an die 4 grossen Oeffnungen schliessen sich 28 Fluthöffnungen von zusammen 551 M. Lichtweite an.

Für die 4 grossen Hauptöffnungen war massgebend, dass die Unterkante der Eisenconstruction 14,0 Meter über dem Aullpunkt des Pegels sich befinden musste, so dass die Schiffe beim höchsten schiffbaren Wasserstand mit umgelegten Masten die Brücke pas-siren können; aus diesem Grunde musste die Fahrbahntafel möglichst tief gelegt und deren Constructionshöhe auf 1 Meter beschränkt werden, wie aus beistehender Querschnittskizze ersichtlich ist (Fig. 207).

Fig. 207.

.....

ffe

Die Fachweite der Mainzer Rheinbrücke beträgt 8 Meter, welche Weite durch besondere l³/4 Meter hohe Längenträger überspannt wurde; letztere sind ganz geeignet für die unter der Fahrbahntafel angebrachte Horizontalyerstrebung und nehmen ferner in der Mitte jedes Faches je einen Querträger auf, während andere Querträger an den Yertikalständern selbst befestigt sind. Hienach beträgt die Distanz der Querträger 4,0 Meter und befinden sich zwischen letztem Schwellenträger von gewöhnlichen Blechbalken eingeschoben. — Bei der beschriebenen Anordnung war nahezu die ganze Constructionshöhe der Fahrbahntafel (1,0 Meter) für die Querträger disponibel, welche demgemäss als Fachwerke eon-struirt werden konnten.

Die für Gurtungen und Yertikalständer angewendete allgemeine Anordnung ist aus Fig. 207 ersichtlich; sämmtliche Details sind entsprechend den in N°. 170. aufgeführten Grundsätzen.

Im Mai 1860 wurde mit dem Bau der Werkstätten begonnen (welche seitdem als „Eisenbauanstalt Gustavsburg bei Mainz“ in Thätigkeit geblieben sind) und waren sämmtliche Eisentheile bereits angearbeitet, als im März 1862 mit dem Aufstellen der 4 Haupt-träger begonnen werden konnte. — In Entfernungen von 25 M. wurden Joche eingerammt und darüber besondere schmiedeiserne Hilfsträger behufs Herstellung eines festen Aufstellungsgerüstes angebracht; am 7. Juni desselben Jahres wurde mit dem Aufbringen der definitiven Eisenconstruction in der zunächst Gustavsburg gelegenen Oeffnung begonnen und schon Mitte September war diese (4.) Oeffnung, mit Anfang Dezember aber die ganze Brücke vollständig zusammengesetzt, so dass am 4. Dezember die erste Probefahrt stattfinden konnte.

.    .    268,26 tons,

. .    63,55    „

Das Gewicht der Eisenconstruction der Mainzer Rheinbrücke wird für eine der grossen Oeffnungen von 105,2 M. Stützweite bei 15,0 M. geometrischer Trägerhöhe angegeben wie folgt: Hauptträger, incl. Auflagersäulen .

Fahrbahntafel........

7,48    „

Consolen und Geländer (auf einer Seite angebracht)........

zusammen 339,29 tons,

woraus das Eisengewicht per laufenden Meter:

p' = 24,33 1 -j- 676 = 3230 Kilo.

3340

= 1,14 entspricht.

Hiebei sind die Gurtungsquerschnitte der Hauptträger nach der in N°. 39. angeführten Regel bestimmt, wonach bei dreifach gedachter Yerkehrsbelastung eine Grenz-Spannung von 1600 Kilo per DCent. angenommen wurde. Die Hauptträger der grossen Oeffnungen haben hienach eine wirkliche grösste Spannung von 820 Kilo auszuhalten, was in Tabelle XIII. dem Yerhältnisse P _

2930

175. Während parabolische Träger (wie die denselben nahestehenden Pauli’schen Träger) in sämmtliclien Feldern Gegenstreben erfordern, sind letztere bei geradlinig begränzten Trägern nur in der Mitte, zwischen den Abscissen a und (1 — a) nothwendig.

Letzteren Yortheil auch bei gekrümmter Gurtungsform zu erhalten, bezweckt das System Schwedler, dessen Aufriss in nachstehender Figur 208 skizzirt ist und welches gleichfalls den unsymmetrischen Systemen angehört; bei diesen Trägern wird die Gestalt der Gurtungen in der Weise bestimmt, dass in sämmtlichen Feldern (mit Ausnahme der Mittelfelder) die Strebenkraft für min 35 gerade gleich Null wird, so dass also in diesem Momente im be-

trachteten Felde weder Haupt- noch Gegenstrebe wirkt, während bei allen anderen Belastungen die Kraft in der Hauptstrebe einen positiven Werth hat; es kommen somit die Gegenstreben gar nicht zur Wirkung und können (mit Ausnahme der Mittelfelder) ganz weggelassen werden.

Fig. 208.

Herr Schwedler hat die Yortheile der vorbeschriebenen Anordnung in der Berliner deutschen Bauzeitung, Jahrgang 1867, in folgender Weise beschrieben:

„Im Vergleich zum geraden Balken haben die Diagonalen bedeutend geringere Querschnitte, die Vertikalen sind nach den Auflagern hin weniger hoch, also leichter und stabiler, die Endsäulen an den Auflagern fallen ganz fort und stellt sich somit ein geringeres Gewicht heraus.

„Im Vergleich zum Parabelbalken nehmen die Gurtungen nach den Auflagern hin im Querschnitt ab, anstatt zu, jedoch nicht so stark, als beim geraden Balken, so dass die Variation des Querschnitts mittelst langer Eisensorten bequem hergestellt werden kann. — Der Winkel, unter welchem die Gurtungen am Auflager Zusammentreffen, ist grösser als beim Parabelbalken und es lässt sich die Ueberführung der gedrückten Gurtung in die gezogene desshalb leicht bewirken.“

so

176. Zur Bestimmung der Gurtungsform denkt man sich die Träger in einzelne einfache Systeme zerlegt, deren S9Ï und 23 auf irgend eine Weise bestimmt worden sind; da das Schwedler’sche System unsymmetrisch ist, gerade untere Gurtungen und gezogene Diagonalstreben hat, da ferner diese letzteren nach der vorhergehenden Nummer nur in einer Richtung angebracht sind und hiebei in ähnlicher Weise wie beim geraden Träger wirken werden die Kräfte in den Diagonalen für die linkseitige Trägerhälfte nach Figur 140 und Gleichung 190) bestimmt und erhalten wir hienach:

m'm

t g ßm • • •    • 256)

N sin cp — 23'

Soll nun diese Strebenkraft für min 23m gleich Null sein, so muss sein:

.    . 257)

tg£m

min

wo min 23m und gleichzeitige Werthe bedeuten. — Indem man nun für irgend einen Knotenpunkt die Trägerhöhe vorläufig annimmt, kann man die gegenseitige Lage der übrigen Knotenpunkte nach Gleichung 257) bestimmen und erhält damit für diejenige Seite, von welcher die Last eingerückt gedacht ist, direct die Form der obern Gurtung. Herr Schwedler giebt hiefür die Gleichung :

. . 258)

12 (l~ X)

4 fx

P + ky

wo f eine ideelle Trägerhöhe in der Mitte, x die Abscisse des je" weils betrachteten Knotenpunkts bezeichnet. (Die Grössen §x, 1, p und k haben die sonst in diesem Buche angewendete Bedeutung.)

Den Coordinatenursprung in A vorausgesetzt, ist die Gleichung 258) nur zwischen A und der Brückenmitte gültig; die andere Trägerhälfte wird symmetrisch gegen die Mitte angeordnet, wie solches Fig. 209 angiebt. — In der Ausführung wird in den

Fig. 209.

mittlern Feldern die obere Gurtung, welche daselbst einen einspringenden Winkel bilden würde, horizontal abgegrenzt, wodurch in den liienach modifizirten Mittelfeldern Gegenstreben nothwendig werden, welche in Fig. 209 durch punktirte Linien angegeben sind.

In K°. 47 des Jahrgangs 1868 der deutschen Bauzeitung hat Herr E. Grütefien darauf aufmerksam gemacht, dass die nach Gleichung 258) bestimmte Gurtungsform, welche die unterste Grenz--läge für die obern Knotenpunkte angiebt, eine für jede Länge der Yerkehrslast constante, gleichförmig vertheilte Belastung voraussetzt, wie solche in Wirklichkeit nicht besteht; eine genaue Berücksichtigung der durch eine bestimmte Locomotivbelastung hervorgerufenen Momente zeigt, dass die Grenzlage für die obern Knotenpunkte höher anzunehmen ist, wie auch Herr Schwedler selbst neuerdings abweichende Formen schon aus ästhetischen Gründen angewendet hat.

Eine richtigere Grenzlinie werden wir mit Hilfe der Gleichung 257) dann erhalten, wenn wir bei Bestimmung der min und zugehörigen ein variables, der Länge l der Ueberlast jeweils entsprechendes k^ annehmen, wie solches durch Figur 134 des Kähern angegeben ist.

177. Indem wir nunmehr die praktischen Formeln für ein einfaches Schwedler’sches System anschreiben, so ist bei Be-

rechnung der Gurtungsstärke die gleichförmig vertlieilte Maximallast in Betracht zu ziehen, welche per laufenden Meter und Geleise mit q = p -J- k bezeichnet wird; unter Beibehaltung der in N°. 134. erläuterten Bezeichnungen erhalten wir nach den Gleichungen 175) — 179a) für diesen Fall:

259)

: JlL

— Axm

qxm²

. . 260)

. . 261)

V* •

— A q xm —

worauf für die Gurtungskräfte sich nach den Gleichungen 185) bis 186) ergiebt:

Om COS ßm — Um-f-l —

um = om

iQm

m'm-1

. . 262)

COS ßm-i —

und zwar-ist für die obere Gurtung:

. . 263)

om

m

ß ‘

SB = Çl + K und endlich für die untere Gurtung :

* ~ ß • • f •

ßL-h Om

6 J U

264)

. . 265)

. . 266)

Die Kräfte in den Streben und Vertikalen haben zwar im vorliegenden Falle der gleichförmig vertheilten Maximallast keine Maximalwerte, doch kann es von Interesse sein, dieselben zu kennen; und erhalten wir nach der Gleichung 189) für die linkseitige, zunächst dem Auflager A gelegene Brückenhälfte:

Wl'm-l k 'm — 1 J

Nm cos <p

f 8R'm

267)

Nm sin cp = ®'m

m'm

tgßm .    ,    .    267-)

und indem wir Gleichgewicht um den untern Knotenpunkt m anschreiben:

268)

Vm = Km sin cp — P'u Indem wir das Eigengewicht p == C 1 + F setzen (s. Gleichung 213) so erhalten wir :

. . 269)

p« = (k + )r + F)d •

wo d die mittlere Fachweite der beiden links und rechts von m befindlichen Felder bezeichnet.

Für den mittleren Yertikalständer, der unterhalb von zwei verschieden gerichteten Diagonalkräften angegriffen ist, erhalten wir mittelst Gleichgewichts um den obern Knotenpunkt nach Gleichung 194):

y Val = P'o

Pa = V* c 1. d

wo P'o meist gleich */2 P₀ zu setzen ist.

269a)

Fig. 210,

m-l

jn

A-

J t >-s X * ht

Uebergehend auf die Bestimmung der grössten Kräfte in den Diagonalstreben und Yertikalständern haben wir die grösste einseitige Belastung ins Auge zu fassen und zwar ist für Bewegung der Last vom rechtseitigen Auflager B bis zur Mitte des betrachteten Feldes entsprechend den für Parabelträger entwickelten Gleichungen 238)—241):

A = A- -f Ak A-

„ 2i—i

2- + *k-2r

Pl

. . 271)

= A - (k + p) l . . . . ferner gleichzeitige Angriffsmomente :

- A (1 - x -    —ÏL ^1 — i

mm = B (* - -y)

. . 272)

to çu

)*•

. . 273)

fO-4)⁸

274)

Es folgt hieraus für die Diagonalstreben nach Gleichung 188):

Nra cos cp =

Wm-l

2t =

Nm

<Qm

. . 275)

. 276)

Der Fusspunkt der Strebe Nm ist für die betrachtete Brückenhälfte gegen B gerichtet, weil die entgegengesetzten Diagonalen

OJ

(mit Ausnahme der Mittelfelder) ganz fehlen; man erhält demgemäss für die Vertikale Ym mittelst Gleichgewichts um den untern Knotenpunkt m:

= sin <p — P/Um Diess ist jedoch nicht die stärkste Anstrengung dieser Vertikalen, welche vielmehr — hei unterhalb angebrachter Fahrbahn — nach der Darstellung in N°. 151. dann stattfindet, wenn die Last von B bis zur Mitte der Diagonale m -f- 1 vorgerückt ist ; hienach erleidet bei der in Figur 210 dargestellten Belastung die Vertikale Vm_i ihre grösste Anstrengung und wir erhalten:

Wm

V™

» m

277)

Vm_i =

<50.

-8'»

__ p/ r Um

•Qm— 1

- t g ßm—i — äPm -j- P'om

. . 278)

in welcher Gleichung ü$m zwischen dem Auflager A und der Abscisse 1 — a (Gleichung 207 zu vergleichen) negativ ist.

Gegen das Auflager B hin wird cos cp nach Gleichung 275) negativ, was bedeutet, dass anstatt den Streben N die entgegengesetzt gerichteten Streben T zur Wirkung kommen ; für diese Felder ist daher nach Gleichung 192): m'm

Vm

tg ßm + 1 + SS'm 4- P'om

. . 279)

Vm_! =

3»'m

f g ß + $'m-l 4“ P'om ¹ +    - P'ura

. . 280)

An den Vertikalen max , wo die gezogenen Diagonales

streben ihre Richtung ändern, wird entsprechend der Figur 142a Gleichgewicht um den obern Knotenpunkt angeschrieben und nach Gleichung 194) erhalten:

Vm = P'o 4-

m'm

(tgßm — tgßm+l) .    •    •    281)

indem bei der vorausgesetzten Bewegung der Last von B gegen A

der Punkt max

stets auf der rechten Brückenhälfte liegt.

In den vorstehenden Gleichungen 271)—281) ist die Last stets von B bis zur Mitte des Feldes (m — 1) vorgerückt gedacht, wobei die im halbbelasteten Felde befindliche variable Belastung in der Vertikale m concentrirt angenommen wird; hienach ist in allen vorgenannten Gleichungen :

Pnm — i Pom    P Om

= V2CI. d . .

. . 282)

Pum = (k4-¹/2 Cl + F)d

. 283)

indem in beiden Gleichungen d die mittlere Weite der beiden an der betrachteten Yertikale anstossenden Felder bezeichnet.

178. Die Formeln 259)—283) sind, wie auch die für Parabelträger angewendeten Gleichungen auf die allgemeinen Formeln 175) — 179a), sowie 185) — 194a) gegründet, indem in beiden Fällen ein einfaches, unsymmetrisches System mit gezogenen Diagonalstreben vorausgesetzt ist.

Beiderlei Gleichungen müssen für die Streben gekrümmter Träger mit unterhalb liegender Fahrbahn dasselbe Resultat geben, wenn man berücksichtigt, dass in den Gleichungen 238) — 252) die Last von A nach B, in den Gleichungen 271)—283) aber von B nach A rückend gedacht ist.

Bei mancher Aehnlichkeit der parabolischen Träger mit denen des Schwedler’schen Systems, und bei vielfacher Uebereinstimmung der zur Berechnung dienenden Formeln ist als Hauptunterschied hervorzuheben, dass diejenigen Diagonalstreben, welche beim Schwedler’schen System ganz fehlen, bei den Parabelträgern gerade am meisten in Anspruch genommen sind.

Herr J. W. Schwedler hat nach seinem System schon eine grössere Anzahl Brücken projectirt, von denen mehrere in der Berliner Zeitschrift für Bauwesen von Erbkam eingehend beschrieben sind; hierunter sind auch die Strassenbrücken über die Oder in Breslau; diese unterscheiden sich von den Eisenbahnbrücken insbesondere dadurch, dass in Folge des grossen Eigengewichts der Strassen-fahrbahn nur ein einziges Feld mit Kreuzstreben nothwendig wird, die Gurtungskurve selbst aber nahezu einem Kreisbogen entspricht; in Folge dessen haben diese Brücken ein wesentlich gefälligeres Aussehen, als die nach Gleichung 258) construirten Eisenbahnbrücken.

179* Eine etwas abweichende Trägerform zeigt die Brücke über den Colomak, welche von F. Laissle für die Char ko w-Krementschug-Bahn projectirt wurde und wobei die Berechnung nach vorstehenden Formeln 259)—283) geschehen ist.

Fig. 211.

Gl

' Ö)

oc --

■<9

2,39

3,34.

3,33

4,18

-4,27

?......./

C/3

Vt

s.^3

Cn

3W

CP

f-

33,8 m

Diese Brücke, deren Details den erwähnten Scliwedler’shcen Brücken nachgebildet sind, hat eine Spannweite von 33,8“ erhalten, welche Länge in 10 Felder getheilt ist (s. Figur 211).—

Eigentümlich ist die Anordnung der Endfelder, welche gebrochene obere Gurtungen und je eine weitere Diagonale zeigen; in Folge dessen ist der Winkel, unter welchem beide Gurtungen sich verbinden, steiler (weniger spitz) und war es insbesondere möglich, die reine Ellipsenform der obern Gurtung durchzuführen ; es mussten indess von den vorhandenen 10 Feldern die 6 mittleren Gegenstreben erhalten, was teilweise vermieden worden wäre, wenn zwischen 2 Viertels-Ellipsen ein gerades Stück eingeschaltet worden wäre.

Die Brücke ist in Tafel XIV. aufgezeichnet und ist hieraus die Construction der Hauptträger sowohl als der Fahrbahn ersichtlich ; die Querschnittdimensionen der Hauptträger sind in Figur 212 nach Quadratcentimetern eingeschrieben, wobei die Abzüge für Nietlöcher bereits vollzogen sind.

Fig. 212.

j_4? 8

157

<Ê>

°r

148

148

157

Das Eigengewicht der Colomakbrücke setzt sich folgender-massen zusammen, je in Kilo per laufenden Meter ausgedrückt:

Hauptträger:

1160 Kilo.

Fahrbahntafel:

Querträger ....

.    .    180    Kilo

. . 280 „

. . 68 „

710 Kilo.

1870 Kilo.

Zusammen

Hienach beträgt das Eigengewicht bei 33,8m Spannweite : p = 34,3 1 + 710 = 1870 Kilo

und das Eisengewicht abzüglich von Schienen, Schwellen und Bedielung :

Colomak-Brücke.

Tabelle

p = 1870k k = 4564k q = 6434k

L1V.

Berechnung der Gurtungen.

33,8m    A

IT

108,735ts.

Index m

Bemerkungen.

Xm

0,91m

2.9

6,4

9,9

13,4

16,9

Sm

1,37m

2,39

3,34

3,88

4,18

4,22

90,46mts*)

Nach Gleichung 260).

288,3

564,1

761,2

879,4

918,8

*) 9»i =

0,91

2,90

66,03*3

120,6

168,9

196,2

210,4

215,2 *)

um

Ml m

1    2»m_l

§m

33,01‘s

60,30

84,45

98,10

105,20

Nach Gleichung 263).

*) Da ——- seinen grössten Werth in der Trägermitte hat, so sind im vorliegenden Falle der gleichförmigen Maximalbelastung die Fusspunkte sämmtlicher gezogenen Diagonalen gegen die Brjickenmitte gerichtet.

in Quadratcentimetern

114

114

148

148

157

21 =    in Kilo

289

Si

m

529

570

663

670

cos (3

1,696

1,135

1,036

1,012

1,004

1,00

Om =

§m

cos (3

55,98*8

68,44

87,49

99,28

105,62

107,60

Nach Gleichung 262).

Sim in Quadratcentimetern

125

125

148

148

157

157

in Kilo

Sl

m

448

547

591

632

673

685

Nm cos cp

S»'m K'm

§m

£m

27280k

24150

13650

7100

2400

Nach Gleichung 267).

cos op t g cp

0,822

0,690

0,826

0,683

0,724

0,690

0,670

1,109

0,666

1,194

33190k

29240

18850

10600

3600

. Nm sin cp

£m

£m

— j t g cp

18820

16090

13020

7870

2865

P'

u

-TT" d

9360

10245

10245

10245

10245

Nach Gleichung 230).

p' = 34,3 1 -f- 460 = 1620, je per laufenden Meter der eingeleisigen Brücke.

Anmerk. Das Project hat in der Ausführung eine Aenderung erfahren, indem als lichte Weite zwischen den Hauptträgern 16' englisch oder 4,877m vorgeschrieben wurden.

Bezüglich der Yerkehrslast wurde angenommen, dass die Brücke mit Locomotiven, wie solche in Big. 213 skizzirt sind, befahren werde, so dass im Falle der Maximalbelastung drei solche Maschinen in Rechnung kommen ; für diesen Fall wurde ermittelt, dass eine gleichförmig vertheilte Last k = 4564 Kilo dasselbe max 50Î in der Brückenmitte hervorrufen würde.

Fig. 213.

____

12286

122 85

14,5m

9009*

6006

6006

___

(t) 0(t)

000

K— 2,7_4.1,7r_^_l,4S_4,--3,a---

180. Nachdem im Vorstehenden Eigengewicht und Verkehrslast bestimmt und die Dimensionen der Eisenconstruction durch Tafel XIV. und Figur 213 gegeben sind, so kann nunmehr die im Material herrschende Spannung und Pressung nach den Gleichungen 259)—283) bestimmt werden.

Die Gurtungen haben ihre grösste Anstrengung im Falle gleichförmig vertheilter Maximallast auszuhalten und sind die betreffenden Spannungen und mittleren Pressungen nach den Gleichungen 259)—266) bestimmt und in der vorstehenden Tabelle LIV. zusammengestellt worden. — Es sind in dieser Tabelle aber auch die der Maximallast entsprechenden Strebenkräfte N und V eingetragen, wozu die Gleichungen 267)—269) gedient haben.

Die grösste Anstrengung der Diagonalstreben und Vertikalständer findet bei einseitiger Belastung statt, für welche ein mit der Länge der variablen Last wechselnder "Werth k in Rechnung zu nehmen ist. — Die in Figur 213 skizzirte Locomotive hat besondern Tender und überhaupt ähnliche Verhältnisse wie die der Tabelle XVIIa. zu Grunde gelegte Güterlocomotive, es darf desshalb das der Belastung der halben Brücke entsprechende k¹ nach Maassgabe genannter Tabelle und demgemäss bei 33,8“ Spannweite

k¹ = 1,275 k = 1,275 . 4560 = 5810 Kilo

genommen werden. — Indem wir nunmehr das in Figur 134 dargestellte Verfahren auf den vorliegenden Fall anwenden, so erhalten wir für die Abscissen l = 4m , 4,65m und 5,5m die zuge-36882    36882

4,0    ’    4,65

k -J- k'

symmetrische Belastung der ganzen Brücke k₀ = ----= 5185

Kilo und ergeben sich schliesslich die in Figur 214 dargestellten Werthe kl für die je bis zur Fachmitte vorgerückte Belastung. Diese Werthe ka in den Gleichungen 271) — 274) eingesetzt, erhalten wir die Angriffsmomente 9)1 und Vertikalkräfte $ in einer Weise, welche der Belastung mit den in Fig. 213 skizzirten Locomotiven möglichst vollständig entspricht.

hörigen k^ =

und

36882

5.5

ferner für die un-

Fig. 214.

co

tr\

CO

oo

5185

5240 —

5357 _J

5486

5615

574 4

k- 5810_J

5673

2009

6131

6703 . 7930 9217

IW

K-

->l

A,Om^

|<— *|6S’ —»j

re-

s,s

Nachdem hienach die einzelnen 9JÎ und ÜB bestimmt sind, erhalten wir die Kräfte in den Diagonalstreben nach Gleichung 275), die Kräfte in den Yertikalständern nach den Gleichungen 277) bis 283) und sind in den Tabellen LY. und LYI. diese Strebenkräfte und deren Entwicklung zusammengestellt.

Die Formeln 277) — 283) geben für eine bis zur Fachmitte (m— 1) vorgerückte Ueberlast die in den Yertikalständern wirkenden Kräfte Ym_i und Ym zu beiden Seiten des betrachteten Faches; nach den Erläuterungen der N°. 151. geben im vorliegenden Falle — wo die Fahrbahn an den untern Knotenpunkten befestigt ist — die Kräfte Ym_i die grösste Anstrengung der betreffenden Yertikalständer, wie diess insbesondere auch aus nachfolgender Tabelle LVI. ersichtlich ist. — (Es ist hiebei mit jedem Ym_i das in der vorhergehenden Yertikalcolumne befindliche Vm zu vergleichen.)

Die Werthe Ym sind in genannter Tabelle theilweise negativ, wonach die betreffenden Vertikalen bei der betrachteten Belastung

Colomak-Brücke.

Tabelle

p = 1870k    1 = 33,8m

LV.

p 1 = 63,2ts.

Berechnung der Diagonalstreben.

Index m

io

11

Bemerkungen.

km

2,9«

6,40

9,90

13,40

16,90

20.40

23,90

27,45

30,90

32,9

32,35m

29,t5

25,65

22,15

18,65

15,15

11,65

8,15

4,65

4,65 *)

ho, weil

k^ nach Fig. 114.

q = km + P =

5240k

7110k

5357

7227

5486

7356

5615

7485

5744

7614

5873

7743

6002

7872

6131

8001

7930

8800

*) hi Punkt (11> kein Lastpunkt ist. —

A -f* B = pl -f- P. k^

232,72‘s

219,36ts

203,92

187,58

170,33

152,17

133,13

113,17

100,08

+ 1 kx TT

112,72*»

98,94

84,86

72,36

61,16

51,54

43.65

37,63

34,14

120,0‘s

120,42*»

119,06

115,22

109,17

100,63

89,48

75,54

65,94

A—x

96,05 mts

276,06

504,91

626,72

651,62

586,00

501,18

365,26

233,475

*)

0,915

*) a», = —⁵—

’    ¹    2,900

weil Punkt (1) nicht belastet.

m,

l,37mts

2,39

3,34

3,88

4,18

4,27

4,18

3,88

3,34

70,1*»

116,76    151,17    161,01

155,89

137,47

119,90

94,14

69,90

sw

B(‘-r)

(-4)'

313,65mts

586,80    744,58    792,99

757,71

653,29

499,78

319,63

150,02

73,63 *)

*) 2Rn =

0,915

2,9

SRw

£>m

2,39m

3,34

3,88

4,18

4,27

4,18

3,88

3,34

2,39

1,37

131,23t»

175,67    191,90    189,71

177,45

156,29

128,81

95,70

64,02

53,74

,T    1 (

N_ cos cp — — -: —. -

m    2 '$m

a»»-i )

30565k

29465    20377    14350

10783

9412

4453

780

— 2940*)

—8077 *)

cos cp

0,822

0,826    0,724    0,670

0,667

0,634

0,667

0,670

(0,826)

(0,822)

*) Negatives Nm cos (jp bedeutet Zug in den Streben Tio und Tn.

37184k

35680

28145    21434

16170

14845

6676

1165

(-3560)*)

(-9960)*)

mm in □Centim.

68

CO

CD

547k

(M

iO

rf-

g

05

î©

3 S

28

20

20

10

(68)

(68)

577

742 !    334

116

(72)

(146)

Bau der Brückenträger. II. Th.

Index m

Xm

¹ - Xm +    ₂

k4

p -h k

B nach Tabelle LV.

P'um

Tabelle

p = c 1 + F = 1160 4- 710 Kilo,

A (p 4- k) — B

Colomak-Brücke.

LYI.

1 = 33,80m ,

Berechnung der Vertikalständer.

Fach weite xm + i — xm — d .

10

11

Bemerkungen.

2,9m

6,4

9,9

13,4

16,9

20,4

21,9

27,4

28,9

30,9

32,35m    29,15

5240k

7110k

25,65

22.15

18,65

15,15

11,65

8,15

4,65

4,65

5357

7227

5486

7356

5616

7485

120,00 ts. 120,42    119,06    115,22

110,0 ts. 90,24    69,62

(k + VaCl+F)d 10448k*)    ₁₁₆₃₀

4- CF + Va C1) d

2064 *)

5744

5873

6002

6131

7930

K, weil

Punkt (11) nicht belastet ist.

7614

7743

7872

8001

800

109,17

100,63

89,48

75,54

65,94

50,57

32,83

16,63

2,23

— 10,34    — 20,37

11808 12082

12310

12533

12761

12985

14752 *)

2257

2257

2257

2257

2257

2257

2257

p/Om

9,28k

1015

1015

1015

1015

1015

1015

1015

928

*) Für die äus-sersten Vertikalständer ist als mittlere Fachweite * (3,5 -f- 2,9) zu setzen.

nach Tabelle LY.

70.11 *s.

116,76

151.17

161,01

155,89

137,47

119.90

94,14

69,90

0,514

0,271

0,154

0,086

0,026

— 0,026

— 0,086

— 0,154

«'m-1

30.02 ts.

Çm — 1

20,48

12,40

6,70

1,78

— 1,56

— 4,05

- ö'm + P'om

16115

15345

13900

10730

7550

3690

107

®m-l

50

50

40

40

40

322

307

322

268

189

N cos <J> nach Tabelle LV.

30565k

29465    20377

14350

10783

9412

4453

780

— 2940*)

— 8077 *)

t g cp

0,69

0,683

0,954

1,109

1,194

1,22

1,194

1,109

0,683 *)

0,69 •)

Nm sin tp

Nm cos cp t g cp

21090k

20124

19440

15914

12875

11483

5317

865

1828*)

5573 *)

Vm = Nm Sitl 9» - p/Um

10642k

8494

7632

3832

565

— 1150

— 7444 — 2240 **) —9179 **)

*) Negatives N bedeutet, dass die Streben entgegengesetzter Richtung (T) in Anspruch genommen sind.

**) Nach Gleichung 281).

auf Zug in Anspruch genommen sind. — Die Zugkräfte erreichen ihre grössten Werthe für Ym und zwar wird der Zug desto grösser sein, je kleiner die Strebenkraft und je grösser die unmittelbar angehängte Belastung Pu ist; erhebliche Zugkräfte finden demgemäss nur an belasteten Knotenpunkten statt und namentlich heim Eintritt der variablen Last, bei welcher die untern Knotenpunkte (10) und (8) besonders kleine Diagonalenkräfte aufzunehmen haben; solche kleine Strebenkräfte finden bei gleichmässig verteilter Maximallast in der Brückenmitte statt, wesshalb in Tabelle LTV. der Werth V₆ einen nicht ganz unbedeutenden Zug darstellt. (Dieser Zug beträgt circa 112 Kilogr. per Quadratcenti-meter, während derselbe Vertikalständer nach Tabelle LVI. einen grössten Druck von 189 Kilogr. auszuhalten hat.)

Anmerk. Die vorliegende Brücke über den Colomak konnte nach denselben Formeln berechnet werden, wie die Kitzinger Mainbrücke (s. N°. 172.), doch ist das Rechnungsverfahren, abgesehen davon, dass bei der Colomakbrücke die untere Gurtung geradlinig, die Rechnung somit etwas vereinfacht ist, auch in andern Punkten verschieden. Bei Brücken, welche den parabolischen Trägern nahe stehen, sind die zunächst dem Auflager befindlichen Diagonalstreben bei dem Eintritt der Ueberlast am meisten in Anspruch genommen, wesshalb bei derBerechnung Bewegung derLast vonAnach B angenommen ist; wenn dieBrücken-träger, wie bei der Colomakbrücke, dem Schwedler’schen System nachgebildet sind, so sind die Diagonalstreben beim Eintritt der Ueberlast wenig in Anspruch genommen (theoretisch soll die Strebenkraft hier Null sein) ; die grössten Strebenkräfte finden wie beim geraden Träger dann statt, wenn mehr als die Hälfte der Brücke belastet ist, wesshalb hier Bewegung der Last von B nach A zu Grunde gelegt ist. — Ein weiterer Unterschied in beiderlei Berechnungen ist dadurch bedingt, dass die Kitzinger Mainbrücke oberhalb, die Colomakbrücke unterhalb belastet ist.

Fig. 215.

18,3**    18,3**

1,45 Ü

3,5™'

181. Die Querträger werden am meisten in Anspruch genommen bei der in Figur 215 skizzirten Stellung der Locomotive; es ergiebt sich als Locomotivbelastung des Querträgers II:

Hiezu das Eigengewicht der Fahrbahn mit 710 Kilo per Meter, somit auf 3,5m Länge .    .

2485

12300

2,05

CI

3,50

CO

25600 Kilo.

Zusammen

28085 Kilo.

Fig. 216.

"Hj

CO

I’

4-

Diese Querträgerbelastung ist auf die beiden Lastpunkte gleich-mässig zu vertheilen, wie obenstehende Figur 216 zeigt.

Hienach beträgt der Auflagerdruck A 14040 Kilo, somit: mt =    = 14040 X 1,18 = 16567 KM.

Dieses Moment ist auf die ganze Länge des mittleren Faches gleich und misst der widerstehende Querschnitt der beiden Winkel nach Abzug der Nieten 40 [jCentiin., wonach die im Material herrschende Spannung nach Gleichung 35)

er

.    .    284)

m = -a.ß.$o

et    ⁰

gefunden wird. — Indem wir in dieser Gleichung die Distanz <Q₀

o₀

der Gurtungsschwerpunkte = 0,85m und —

setzen (indem gleichmässige Spannung des ganzen Gurtungsquerschnitts angenommen wird), so erhalten wir:

= 487 Kilo.

16567

40.0,85

Die in den Lastpunkten wirkende Kraft P — Auflagerdruck A = 14040k muss mittelst zweier gedrückten Strebenwinkel und eines gezogenen Strebenbandes auf die Auflager (d. h. zur Vertikalen des Hauptträgers) übertragen werden; nennen wir N die

Summe der in den vorgenannten Streben wirkenden Kräfte, welche denselben "Winkel cp mit dem Horizont bilden, so ist somit:

AN sin <p = À = 14040 Kilo,

= 23000 Kilo,

14040 0,65

welche Kraft durch folgenden Querschnitt aufgenommen wird:

zusammen 33,54 nCent. .    .    .    .    12.90

2 Winkel à 16,77,

1 Spannstrebe .

Zusammen 46,44 nCent.

Hievon ab 2 Nieten mit

•    5,0

wonach eine grösste Spannung von den ist.

Bleiben 41,44 nCent. 230000

41,4

= 555 Kilo vorhan-

Fig. 217.

i-    h

■+-

ÜB

He

—p,

Die Schwellenträger werden durch die in Figur 217 dargestellte Stellung der Locomotive am meisten in Anspruch genommen ; der Auflagerdruck B wird gefunden :

. 12300 = 9734k

211 -j- 0,66

3,50

woraus das Moment an der Querschwelle III. sich ergiebt:

90*3 = 9734 X 1,39 = 12530 KM.

Dieses Moment vertheilt sich auf zwei Schwellenträger, deren jeder somit ein grösstes Angriffsmoment von 6265 KM. auszuhalten hat.

H II

= 0,309m, somit:

si m.

= 547 Kilo.

6265

11,46

Hiezu Ve ^    — ¹/⁶ (1,3 X 3,3) =

Zusammen

30,0 DCent.

7,1

37,1 DCent.

■ j.

In dieser Gleichung ist:

0 22

Fig. 218.

T

89

Die Querschnittdimensionen der Schwellenträger sind in beistehender Figur 218 verzeichnet und findet sich nunmehr die grösste Spannung in der Gurtung, indem

man in Gleichung 150) b₀ = o₀

b = û — H setzt, wonach:

₌ Jo

fcJL

& '= 2 . 18,5 Hievon ab 1 Niete

.    150)

37,0 DCent.

7,0

0,309 ' 37,1

182. Zwei Brücken nach gedoppeltem Schwedler’schen System sind die Weserbrücke bei Höxter (Spannweite 58,25“) und die Elbbrücke bei Tangermünde (Hämerten) an der Berlin-Lehrte-Eisenbahn (Spannweite 65,9“).

Erstere Brücke war in der Pariser Ausstellung vom Jahre 1867 durch Modell und Zeichnungen dargestellt und ist auch in der Berliner Zeitschrift für Bauwesen (1867) veröffentlicht.

Die zweite dieser in mehrfacher Beziehung sehr ähnlichen Brücken ist durch Herrn J. W. Schwedler selbst, gleichfalls in der Berliner Zeitschrift für Bauwesen (1868), veröffentlicht worden und soll als neueres Project der folgenden Darstellung zu Grunde gelegt werden.

Anmerk. In den Figuren 219 — 222, sowie in der zugehörigen Berechnung sind in Folge einer Verwechslung des englischen mit dem preussischen Maasse durchweg die Längenangaben entsprechend zu niedrig ; Tabelle LVII. bleibt aber richtig, ebenso die daran geknüpfte Betrachtung, weil in dem Ausdrucke der Gurtungskräfte q in demselben Maasse zu gross ist, als die Längen-Angaben zu klein sind, die übrigen Maasse sich aber in Nenner und Zähler ausgleichen.

Die allgemeine Anordnung der Brückenconstruction sowie einzelne Details sind auf Tafel XY. gegeben und ist hiezu zu bemerken, dass die Brücke für zwei Geleise bloss zwei Hauptträger erhalten hat und dass mit Ausnahme der Pfosten (1), (2), (16) und (17) an sämmtliclien Knotenpunkten obere Querverbindungen angebracht werden konnten; letztere fehlen nur an den Enden je auf circa 10 Meter Länge.

Die Längenmaasse der einzelnen Fachwerksglieder sind au& der folgenden Figur 219 ersichtlich, indem in Folge der symmetrischen Anlage des Hauptträgers die Aufzeichnung der einen Brückenhälfte zur Darstellung dieser Längenmaasse genügt.

Die Berechnung dieser doppelten Systeme geschah nun in der Weise, dass man jedes der beiden Strebensysteme je mit den

Fig. 219.

___________ jl= 32,02

oa

.7,72

48

o'6

5 T'ô

ST'6

cn

'O

tO

■>«

betreffenden Lasten versehen abgesondert denkt, wobei die Gurtungen beiden Systemen gemeinsam sind, daher die obere polygonale Gurtung durch eine stetige Kurve ersetzt gedacht wird.

Fig. 220.

7,52

7,12

7,52

“1

0'

N>

o:

" 1Ï,

U' ⁵

ul

ui.

U¹

\10

<5

Die Figuren 220 und 221 stellen die beiderlei Systeme dar, welche wir als erstes, beziehungsweise zweites System bezeichnen; ersteres enthält die ungeraden, letzteres die geraden Knotenpunkte.

Jedes dieser beiden Systeme wird nun für sich wie ein einfaches System gerechnet und können wir für jedes dieser Systeme unsere Formeln 259)— 283) anwenden, sobald wir die Lasten je über einen Theil des Brückensystems gleichförmig vertheilt annehmen dürfen. — Diese Annahme giebt nun im ersten System bei Belastung der linken Seite für den Knotenpunkt (1) eine geringere Ueberlast, im vorliegenden Falle nur etwa ²/3 der Belastung der anstossenden Knotenpunkte, während bei Yereinigung beider Systeme dieser Knotenpunkt nahezu die volle Belastung

der andern Punkte (hier wegen geringerer Endfelderlänge nur ⁷/s dieser Belastung) aufzunehmen hat; die bezügliche Differenz ist desshalb von geringerem Belange, weil die in den Endfeldern wirkenden Gewichte aul die Grösse der Angriffsmomente weniger Einfluss üben. (Uebrigens findet eine ähnliche Ungenauigkeit, nur

Fig. 221.

-----T—

7,32

7,33

0"

0"

to

v₆ F

-Y'

,Y-

U'e Al

io |

Uü

in ungekehrtem Sinne, dann statt, wenn man sämmtliche Knotenpunkte trotz der geringeren Länge der Endfelder gleich belastet annimmt.)

Wir werden die Gurtungskräfte des ersten Systems mit O' U', die des zweiten mit 0" U" bezeichnen. Bei den Strebenkräften (in den Diagonalen sowohl als in den Yertikalen) ist eine solche Unterscheidung nicht nothwendig, da jede Strebe nur einem der beiden Systeme angehört.

Dagegen sind für die Angriffsmomente und Yertikalkräfte gleichfalls neue Bezeichnungen einzuführen. Hier haben wir die auf einen Träger bezogenen Werthe mit SDL und ÜB' bezeichnet; werden letztere Grössen noch einmal und zwar auf jedes der einzelnen Systeme reduzirt, so bezeichnen wir die auf ein einzelnes System eines Trägers bezogenen Grössen mit 9JÎ" ÜB", so dass z. B. Ü8"₅ nach Eigur 220, ÜB"6 nach Eigur 221 bestimmt wird, während für den ganzen Träger des doppelten Systems üB'ö ==

(ÜB"₅ -j- üB"e) wäre. — 9Jl"m ist beim doppelten System = 9JPm, beim dreifachen System ~ ÜÖUm .

183. Die Berechnung der vorliegenden Elbbrücke (siehe Tafel XY.) geschieht nach Yorstehendem in der Weise, dass für jedes der in Figur 220, beziehungsweise Figur 221, skizzirten Systeme die Eachwerkkräfte besonders gerechnet werden, wobei wir jedes der beiden Systeme mit der Hälfte sowohl des Eigengewichts als der variablen Last behaftet denken.

Das Verfahren bleibt im Uebrigen ganz dasselbe, wie solches in den Nummern 179. —181. für die Colomakbrücke entwickelt

wurde und soll im Folgenden nur ausgeführt werden, in welcher "Weise die Gurtungskräfte der beiden Systeme sich zusammensetzen.

Herr Schwedler hat bei seiner Berechnung an jedem Knotenpunkte 200 Centner Eigengewicht und 280 Centner Yerkehrs-belastung angenommen, so dass bei Anwendung von Metermaass

14000

10000

- 2732k, k =

= 3825k, und q = p -f- k =

6557k sich ergiebt. — Da die Brücke für zwei Geleise nur zwei Hauptträger erhalten hat, so folgt als grösstes Angriffsmoment in der Trägermitte:

3,66

3,66

Mmax SOI' = Mmax 9JÎ =    — = 3362,33 mts-

O

woraus :

Mmax 9JÎ" = 1681,16 mtä*

Hieraus werden nun mittelst Gleichung 174) die einzelnen 9JI" sowohl für das erste, als für das zweite System bestimmt und ist das Resultat dieser Rechnung in beistehender Figur 222 zusammengestellt, worin die ungeraden SDÎ" dem ersten Systeme, die geraden dem zweiten Systeme angehören.

Fig. 222.

i 1 - 32, 03

' 257Q CM '

ZT

CT1

• • 8 90,74

(9

... 1132,20

... 1329 ,8S

... 1433.48

1593,60

...    1659,20 ...

... 1681,16 ...

ÎA

Beim System Schwedler findet im Falle der gleichförmig ver_

theilten Maximallast max

— in der Brückenmitte statt, somit

Wm

ist (weil die Diagonalen auf Zug construirt sind) für die linkseitige Brückenhälfte Figur 140 massgebend, wonach wir zur Bestimmung der Gurtungskräfte aus X°. 134. entnehmen:

. . 186)

Om cos ß = Um-j_2 cos y =

woraus wir für den vorliegenden Fall erhalten :

SR"» '

0 ni cos ß ⁼ Um+2 =

0//m_₂ cos ß — U//m =

SR"m-2 ( ‘

<SQm — 2

. . 285)

Nach diesen Formeln sind in der folgenden Tabelle LVII. die Gurtungskräfte zunächst für jedes der beiden Systeme und sodann durch Combination der demselben Gurtungsglied zugehörigen Theilkräfte die Gurtungskräfte für das gesammte doppelte System gebildet. — Die Tabelle LVII. bedarf nach vorstehender Entwicklung keiner besondern Erläuterung und soll nur bemerkt werden, dass die einzelnen 95Î" aus Figur 222, die cos ß aus Figur 219 erhalten werden.

Herr Schwedler, welcher sämmtliche Knotenpunkte (auch die zunächst den Endfeldern) gleichförmig je mit 480 Centner belastet angenommen hat, erhielt die in der folgenden Fig. 223 zusammengestellten Resultate. (Vergl. Zeitschrift für Bauwesen von Erbkam, 1868, Seite 521—524.)

Fig. 223.

, 6

4    ° 348 -rfc

.    336 -fT    \

3 S24 -¥C    \    \

2    3<21

1 *«

X.

3* f"

2S.s4._

289

?06

Si 7

?46

3S9

Eine genauere Berechnung, welche unter Voraussetzung ganz gleichförmiger Belastung der ganzen Brücke angestellt würde, müsste etwa das Mittel aus den Resultaten der Tabelle LV1I. und der Figur 223 ergeben. (Diesen genaueren Werthen würde man durch Anwendung der Formeln 200) und 201) Sehr nahe kommen , nach dem Verfahren , welches für den geradlinigen Träger der Ingolstadter Donaubrücke in vereinfachter Weise angewendet ist.)

184. Ueber die Construction der Hauptträger, welche aus Tafel XV. ersichtlich ist, sagt Herr Schwedler : „Die obere Gurtung besteht aus 16 Winkeleisen, deren vertikale Schenkel sämmtlich 5 Zoll (127mm) lang sind (siehe Figur 224), während die von Fach zu Fach stattfindende Aenderung des Querschnitts durch Variation der abstehenden Schenkel erreicht wird. Alle Winkeleisen haben die Länge von zwei Fachen und sind in den Fusspunkten nach einem Radius von 14 Fuss (4¹ji M.) gebogen. Die Stösse sind so angeordnet, dass in jedem Knotenpunkt 8 Winkeleisen durchgehen und 8 gestossen werden und zwar in der Art, dass die gestossenen Winkeleisen über Kreuz zu liegen kommen, so dass die vollständige Deckung des Stosses ohne Zuhilfenahme äusserer Deckplatten oder

Tabelle

LVII.

Elbbrücke bei Tangermünde.

Berechnung der Gurtungskräfte.

Index m

Bemerkungen.

Erstes System :

SK"m

257,88‘s

890,74

1329,88

1593,3

1681,16

2,36“

6,48

8,54

9,15

9,15

U' =

W"

116,89*8

137,36

155,73

174,13

183,72

cos ßm

0,758

0,901

0,975

1,0

1,00

cos

-et.!

154,21‘s

152,45

159,72

174,13

183,72

U'm

ÜJl"

v m

116,89*8

116,89

137,36

155,73

174,13

*) U, = U₃.

-2

*)

Zweites System : SR"a.

605,20ts

1132,20

1483,49

1659,20

<&<

4,72m

7,71

9,0

9,15

I28,22ts

146,85

164,83

181,33

C0S ßm

0,840

0,947

0,992

1,00

o"m

cos ß

152,64

155,07

166,06

181,33

u"m

aH"m

128,22 *)

128,22

146,85

164,83

*) U₂ = U₄.

Beide Systeme zusammen:

°m = °'m + °"m+l __ = °"m + 0; ₊ i

=    + u"m+1

=    + ü'm + 1

oder

oder

306,85tsi 305,09

307,52

314,79

325,78

340.19

355,46

365,05

365,05

*)

*) O"₁₀ = O"

245,11*8 254,11 245,11

265,58

284,21

302,58

320,56

338,96 355,48*)

*) U"₁₀ = 0"₈.

Fig. 224.

Deckwinkel durch die zwischen den Schenkeln liegenden Platten von V² Zoll (12,5mm) Stärke stattfinden kann. Die vertikalen Stoss-platten dienen in ihrer Verlängerung zugleich zum Anschluss der Vertikalen und Diagonalen.

„ An den Eckpunkten sind beide Gurtungshälften durch horin-tale Blechplatten verbunden, ausserdem verbinden zwischen denselben vertikale Vergitterungen die Winkeleiseii jeder Gruppe, horizontale Vergitterungen die Winkeleisen beider Gruppen.

„Die Vertikalen werden gleichmässig aus je 4 Winkeleisen von 4 Zoll (101mm) Seite, V² Zoll (12,5mm) Stärke construirt, welche in Verbindung mit der zwischen liegenden Blechplatte von ³/8 Zoll (llmm) Stärke zugleich die Aussteifung der obern Gurtung bewirken.“

OToTo

>o

TUTTI/

>o

0⁽

)°

)°

Bei der Berechnung der Querträger, welche als Blechwandträger construirt und in 4 Punkten durch die Schwellenträger belastet werden, wurde als Maximallast eine dreiaxige Locomotive von 12 Puss (3,66m) Radstand und 260 Centner oder 13 Tons Achsenbelastung angenommen.

Eigenthümlich ist die Construction der Schwellenträger (zu vergleichen Tafel XV.), welche ein einfaches symmetrisches Fachwerk bilden und wobei sämmtliche Streben, welche alle auf Druck, beziehungsweise Druck und Zug in Anspruch genommen sind, aus Flacheisen hergestellt sind; es ist diess in Folge der

Fig. 225.

18 ts

I⁶“

geringen freien Länge wohl zulässig, doch ist zu bemerken, dass in der Mitte der Schwellenträger eine Querabsteifung mit vertikalen Winkeleisen angebracht wurde.

Bei der Berechnung der Schwellenträger wurde eine andere Locomotive zu Grunde gelegt, welche bei geringerem Totalgewicht eine mit 360 Centner belastete Triebaxe und nur 9 Fuss (2,82m) Radstand hat (s. Fig. 225).

Das Gewicht der zweigeleisigen Brücke beträgt für eine Oeff-nung von 65,90m Stützweite (s. Anmerkung in N°. 182):

In der statischen Berechnung wurde das Totaleigengewicht p = 2660k angenommen, welche Belastung durch Hinzufügung des Gewichts von Oberbau und Bedielung nicht vollständig erreicht wrerden wird.

Als Maximalspannung wurden 100 Centner per Quadratzoll oder 731 Kilo per Quadratcentimeter in den Gurtungen angenommen.

Fig. 226.

7 62

4/07 —

amB--

Fahrbahntafel..........

Hauptträger :

Gurtungen..........

Streben...........

Obere Querverbindung und Wirkungen

58,1ts-

HCOH

181,30

Zusammen

woraus per Meter und Geleise:

239,4

p' = 20,91 -1- 440 = 1817k

185. Die Elbbrücke b e i Me i s s e n hat neben einer Reihe kleinerer Oeffnungen drei grössere von je 21,6m Spannweite, deren Eisenconstruction von Herrn J. W. Schwedler pro-jectirt und in der Berliner Zeitschrift für Bauwesen von Erbkam, Jahrgang 1868, veröffentlicht worden ist. — Jede dieser Oeffnungen ist für sich mit zwei freiliegenden Trägern überspannt, deren obere Gurtungen sanft gekrümmt sind, der Art, dass die Constructionshöhe in der Brückenmitte nahezu ¹li der Spannweite beträgt, während an den Auflagern gerade die nothwendige Höhe zum Anbringen einer obern Querver-verbindung verblieben ist, wie diess in beistehenden Figuren 226 und 227 dargestellt ist.

Die vorliegende Construction bildet einen Uebergang vom geraden Träger zum gekrümmten; die Wirkungsweise der Streben ist jedoch übereinstimmend mit der bei geraden Trägern stattfindenden und wird daher eine solche Brücke ganz ähnlich dem doppelten unsymmetrischen System behandelt, dessen Berechnungsweise in den N°. 159. und 160. für die Ingolstadter Donaubrücke entwickelt wurde, mit dem Unterschiede jedoch, dass anstatt der Glci-

chungen 226) — 230) mit Rücksicht auf die Krümmung der obern Gurtung die Gleichungen 195)—197a), 200) und 201) angewendet werden.

Fig. 227.

"t

KTK i\ r

INIM

"t

-—■+-■

—h-

Ir

Cs

-P—-•<1

-p—

06

-p—

Als Yerkehrsbelastung wurden 2600 Pfund per laufenden Fuss oder 4142 Kilo per Meter, als Eigengewicht 1400 Pfund per laufenden Fuss oder 2230 Kilo per Meter angenommen; das berechnete Eisengewicht beträgt:

18,9ts-

. 39,0 .    32,9

88,7 „

107,6ts-

Zusammen

woraus per Meter und Geleise bei 54,6m Stützweite folgt: p/ = 29,7 1 + 346 = 1970 Kilo.

Hiebei wurde wie bei dem vorhergehenden Beispiel eine Maximalbelastung von 100 Centner per Quadratzoll, ferner für die Fahrbahntafel eine Locomotive angenommen, welche ein Trieb-axengewicht von 360 Centner und zwei Laufaxen von je 120 Centner bei einem Radstand von 9/ oder 2,82m zeigt (s. Fig. 225).

An merk. Herr Schwedler hat die in Figur 225 skizzirte Locomotive mehrfach bei seinen Berechnungen angewendet, indem diese Gewichtsvertheilung bei massiger Belastung der Hauptträger die Fahrbahntafel verhältnissmässig stark in Anspruch nimmt. — Hiedurch erhält man für die der Einwirkung der Locomotive zunächst ausgesetzten Theile ein gewisses Uebermaass an Stärke, welches sonst durch Réduction der zulässigen Maximalspannung erreicht wird. (Zu vergleichen auch N°. 39. und N°. 154.)

Die Elbbrücke bei Meissen zeigt die Eigenthümlichkeit, dass die Fachweite nicht durchaus constant ist, sondern in den drei Endfeldern jeder Brückenhälfte nur ³/4 der normalen Fachweite beträgt; hiedurch ist eine günstigere (steilere) Stellung der Endstreben erreicht, während die Ansicht der Brücke sich sehr gefällig darstellt; die Schwellenträger sind in den kürzeren Fachen entsprechend leichter construirt.

186. Eine der vorstehend beschriebenen ähnliche Construction ist in Holland in sehr grossem Maassstab angewendet worden für die Brücke über den Leck bei Kuilenburg.

Fig. 228.

Die Brücke hat eine Spannweite von 150m, eine grösste Höhe von 20m und hiebei, wie Figur 228 zeigt, ein dreifaches, unsymmetrisches Fachwerk erhalten.

Als Metallgewicht der zweigeleisigen Brücke sind vorgesehen: Fahrbahntafel .

Hauptträger :

Gurtungen .

Streben, d.h. Diagonalen und Vertikalen 570,0 Obere Querverbindungen und Windkreuze

107,0ts-

1178,0

245,0

1993,0ts-

2100,0ts-

Zusammen

woraus per Meter oder Geleise bei 150m Stützweite folgt: p' = 43,2 1 -f- 357 = 7000 Kilo.

Es ist bei dieser Brücke für die Fahrbahntafel und für die Windverstrebung fast ausschliesslich Gussstahl, für die Hauptträger durchaus Walzeisen angewendet; wir haben schon in N°. 38. aufmerksam gemacht, dass die Anwendung des Gussstahls gegenwärtig noch grosse Vorsicht erfordere ; es scheint auch, dass man aus diesem Grunde den Gussstahl für die Hauptconstruction nicht verwenden wollte; wenn man jedoch den Gussstahl bei solchen grossen Brücken namentlich desshalb anwenden will, um die Construction leichter zu machen, so wird dieser Zweck durch das hier beobachtete Verfahren nur sehr unvollständig erreicht, indem die Fahrbahn und die Windverstrebung nur einen geringen Theil des Totalgewichtes ausmachen.

Sechster Abschnitt.

Die Gitt erbrücken.

§. 19. Theorie der Gitterbrücken.

187. Die Gitterträger könnten den mehrfach symmetrischen Fachwerken zugezählt werden und würden auch die dort gegebenen Regeln in manchen Fällen sich anwenden lassen; es zeigen jedoch die Gitterbrücken mehrere Eigenthümlichkeiten, welche einestheils eine Vereinfachung, anderntheils eine weitere Ausbildung der Fachwerktheorie erheischen.

Indem nämlich bei den Gitterträgern die schiefen Streben, welche hier Gitterstäbe genannt werden, sich mit den meist gleichartig construirten Streben der entgegengesetzten Richtung stets mehrfach kreuzen (s. Figur 229), entstehen die Maschen

Fig. 229.

0;

S?

<r

__g t

des Gitterwerks, welche netzartig an einander gereiht gleich einer vollen Wand wirken.

Indem nun die einzelnen Stäbe, welche je für sich nicht steif genug wären, um einen erheblichen Strebendruck aufnehmen zu können, durch ihre gegenseitige Verbindung sich unterstützen, so wird eine Ausbiegung der Stäbe meist nur unter entsprechender

Krümmung der ganzen Wand stattfinden können. — Die Figuren 230 und 231 stellen dar, in welcher Weise die Krümmung einer

Fig. 231.

Fig. 230.

Tir

----Ir—

ganzen Wand gedacht werden kann; wenn man mit 1₀ deren ganze Flöhe, mit L₀ die einer einfachen Biegung entsprechende freie Höhe bezeichnet, so ist in den durch genannte Figuren dargestellten Fällen 1₀ = 2L₀ zu setzen; die Länge der Gitterstäbe, welche eine entsprechende Biegung erleiden, ist in Folge der schiefen Lage derselben eine grössere und soll durch 1 = 2 L bezeichnet werden, wonach also L = V² 1 die in Formel 169) einzuführende freie Länge des Stabs bedeutet, wie durch die folgende Gleichung erläutert ist:

(■

. 285)

Anmerk, Es ist angenommen, dass das Trägheitsmoment senkrecht zur Wandfläche berechnet wird, indem in der Ebene der Gitterwand die einzelnen Stäbe, welche an den Kreuzungspunkten sich gegenseitig stützen, meist steif genug sind; die Biegung in der Ebene der Gitterwand wird in §. 22 besprochen.

Wenn ein Gitterwerk durch besondere Vertikalständer ausgesteift ist, deren Abstand mit d₀ bezeichnet sei, so ist anstatt

d₀ einzusetzen, wobei cp

der ganzen Stablänge 1 die Grösse ——

cos <p

den Winkel des Gitterstabs mit dem Horizont bezeichnet.

Fig. 232.

lïf— °T

1.

Bei hohen Wänden, welche oberhalb und unterhalb sehr kräftig verspannt sind, so dass die Tangenten der Biegungskurve zunächst den Gurtungen vertikal bleiben , kann die Krümmung des ganzen Gitters nach Figur 232) gedacht werden, wonach L₀ = */3 L gesetzt werden dürfte ; es ist jedoch, wie bemerkt, eine sehr tüchtige Verspannung nothwendig, wenn die Voraussetzung der Fig. 232 zutreffen soll.

In denjenigen Fällen, wo die gezogenen Gitterstäbe dieselbe Querschnittform haben, wie die gedrückten, werden diese ersteren gleichfalls einer seitlichen Biegung entgegenwirken, wonach wir in vorstehender Gleichung 285) das der Biegung widerstehende Trägheitsmoment 0 verdoppeln dürfen; für diese Fälle ist daher

8 = ». (l + K ^ÿ) = Sm (l + K

0)1 ²

. 286)

80

Es lässt sich nicht verkennen, dass in dieser Formel manche Willkürlichkeiten sich befinden; einmal kann anstatt den in den Figuren 230 und 231 dargestellten Biegungskurven irgend eine anderweitige Krümmung stattfinden, und geben genannte Fälle nur die Mittelwerthe der in Rücksicht zu nehmenden Möglichkeiten ; sodann ist nicht nachgewiesen, dass die gezogenen Stäbe sich in ganz gleichem Maasse wie die gedrückten Stäbe der Biegung widersetzen, selbst in denjenigen Fällen, wo die Querschnitte ganz gleichwerthig sind. — Anderseits wird zuzugeben sein, dass Formel 286) den in Frage kommenden Momenten in entsprechender Weise Rechnung trägt, und dass die Formeln 285) und 286) wesentlich an Genauigkeit gewinnen, je mehr sich der Bruch

TT. a> 1² der Einheit nähert, was bei einer guten Construction

¹ + K w angestrebt werden muss.

Anmerkung. Bei dem wesentlichen Unterschiede, welcher zwischen Gleichung 286) und 169) stattfindet, ergiebt sich, dass bei mehrfachen Fachwerken, deren Streben an den Kreuzungspunkten fest verbunden sind, eine Modification der Gleichung 169) nothwendig werden kann; zunächst wird man als freie Länge L nur einen bestimmten Theil der Strebenlänge z. B. s/4 oder ²/3 annehmen (was übrigens bei Gleichung 169) durch den Ausdruck „freie Länge“ bereits vorausgesetzt ist) ; ausserdem wirken aber bei solchen Constructionen, wo auch die gezogenen Streben steif construirt sind, diese letzteren gleichfalls der Biegung der gedrückten Streben entgegen, sofern sie mit letzteren an den Kreuzungspunkten verbunden sind.

188. Bei Anwendung der Formeln über mehrfach symmetrische Fachwerke darf man beim Gitterwerk mit Rücksicht auf die geringere Distanz der Knotenpunkte einen stetigen Wechsel der Gurtungskräfte annehmen (während derselbe beim Fachwerk an den Knotenpunkten sprungweise geschieht); man kann also den Vertikalschnitt, mittelst dessen man nach Anleitung von N°. 140. die Gurtungskräfte bestimmt, in ganz beliebigen Längenabstand legen und denken wir, in Rücksicht auf die gleichzeitige Bestimmung der Gitterstabkräfte, den Schnitt x je durch die Mitte einer Strebe Nx gelegt ; wir nennen, wie theilweise durch die folgende Fig. 233 erläutert ist:

äJR das Angriffsmoment im Abstande x vom Coordinatenursprung, welcher im Allgemeinen im Auflager A angenommen wird ; üßx die Vertikalkraf't im Abstande x,

Ox die Kraft in der obern Gurtung im Abstande x, ßx den zugehörigen Winkel gegen den Horizont,

Ux die Kraft in der untern Gurtung im Abstande x,

7x den zugehörigen Winkel gegen den Horizont,

Hx die Kraft in demjenigen Gitterstabe, dessen Mitte durch den Vertikalschnitt x getroffen wird,

ç>x den zugehörigen Neigungswinkel,

N sin cp die Summe der vertikalen Composanten sämmtlicher durch den Schnitt x getroffenen, mit dem Gitterstab Nx gleichgerichteten Streben,

T sin xp die Summe der vertikalen Composanten der durch den Schnitt x getroffenen entgegengesetzten gerichteten Stäbe.

Ferner nennen wir n die Anzahl der durch denselben Vertikalschnitt x getroffenen Gitterstäbe, oder auch die Zahl der Fragmente, in welche ein Stab durch die Kreuzungen mit Stäben der entgegengesetzten Richtung abgetheilt wird:

$x die Distanz der Gurtungsschwerpunkte oder geometrische Trägerhöhe im Abstande x,

■ß den Querschnitt der belasteten Gurtung, o) den Querschnitt des belasteten Gitterstabs.

Unter Annahme vorstehender Bezeichnungen erhalten wir:

Fig. 233.

O.’i

A.4-

fl

T -x:

Für die Gurtungen eines Gitterwerks von beliebiger Gurtungsform nach Gleichung 198) und_199) :

Ox cos ß = Ux cos y =

Für die Gitterstäbe nach Gleichung 196):

— (tgß+tgr)) 288)

N* sintp = —f -n V.

S, '

. . 287)

Die Spannungen und Pressungen werden durch die Gleichungen 166)—168), sowie 285) beziehungsweise 286) gefunden, wobei letztere Gleichung dann in Anwendung kommt, wenn die entgegengesetzt gerichteten Stäbe von gleicher Querschnittsform sind. Die Gleichungen 287) und 288) vereinfachen sich wesentlich, wenn die Gurtungen, wie diess bei Gitterbrücken meist der Fall ist, geradlinig sind; für diesen Fall erhalten wir:

Für die Gurtungen :

».

. . 289)

s.

Ox == üx =

Für die Gitterstäbe:

. . 290)

Nx sin qj =

189. Zur Aussteifung der Gitterwände werden, ähnlich wie bei Trägern mit vollen Wandungen, sehr häufig Vertikalständer nothwendig, welche das Ausbauchen der Gitterwände verhindern sollen; es ist schon oben bei Gleichung 285) bemerkt,

■ dass durch diese Vertikalständer die freie Länge der Stäbe wesentlich reduzirt werden kann, so dass, wenn anders die Distanz der Vertikalständer und die Dicke der Gitterstäbe entsprechend

gewählt wird, der Bruch ^— sich der Einheit ziemlich nähern

'vm

kann; oder aber könnten die gedrückten Stäbe eine etwas grössere Stärke erhalten, so dass wenigstens der Zug 2Ï im gezogenen Stab der grössten Pressung 33 im symmetrisch gelegenen gedrückten Stabe ziemlich gleich ist. — In beiden vorerwähnten Fällen dienen die Vertikalständer nur zur Aussteifung und zur Ueber-tragung der Fahrbahngewichte.

Häufig aber werden die gedrückten Stäbe trotz der Hinzufügung von Vertikalständern eine sehr starke Pressung erleiden, welche nach Gleichung 286) oder nach 285) berechnet, die mittlere Pressung 33, sowie insbesondere die grösste Spannung 21 der entsprechenden gezogenen Stäbe wesentlich überschreiten würde, wenn sich diesem nicht der geometrische Zusammenhang des durch die Vertikalständer versteiften Trägers entgegenstellen würden; derjenige Druck, welcher von den gedrückten Stäben in Folge der Biegung derselben nicht aufgenommen werden kann, geht in die Vertikalständer über und wir haben ein com-binirtes System vor uns, welches in den Nummern 142. und 143. behandelt ist.

».

Bei combinirten Gitter Systemen findet die Vereinfachung statt, dass wir die Gmrtungskräfte wie bei allen Gitterwerken nach vorstehender Gleich. 287) bestimmen, während wir für die Gitterstäbe nach Analogie der Gleich. 184) durch Summirung der Kräfte-composanten unter Anwendung der obigen Bezeichnungen erhalten :

(tgß — tgr) ■ 191)

6.

Ax N sin çp + T sin = S3'x —

Ueber das gegenseitige Verhältniss der Kräfte N und T sind die Gleichungen 202) und 203) maassgebend; nennen wir 2cja die Summe der Querschnitte der im Schnitt x befindlichen gezo-nenen Gitterstäbe, At»t dessgleichen die Summe der gedrückten Stäbe, so ist nach Gleichung 202) unter Anwendnng von Gleichung 286) :

E\N

rxT

E ojn

. . 292)

Indem wir bemerken, dass bei Gitterwerken die symmetrisch gelegenen Gitterstäbe verschiedener Richtung (ganz oder nahezu) gleiche Neigungswinkel haben, so erhalten wir aus Gleichung 292).

Ex N sin cp =

r* T SinV (l + K

. 293)

wonach sowohl 2xNsinqp als 2xTsini/; aus Gleichung 291) bestimmt werden können.

Der Gleichung 202) und ebenso den Gleichungen 292) und 293) liegt die Voraussetzung zu Grund, dass die Spannung É der gezogenen Stäbe gleich der grössten Pressung 58 in den gepressten Stäben sei; man findet daher, die Spannung 21 = Pressung 58, indem man den Querschnitt der gepressten Stäbe durch den

OJ l²

Werth

dividirt und die Kräftesumme 2X N -{-

2X T auf den reduzirten Querschnitt

E con -j— E ojt

0 + k t§)

gleichförmig vertheilt denkt. — Die so gefundene Spannung giebt für die Gesammtheit der vom Schnitt x getroffenen Stäbe nur einen Mittelwerth, sie giebt aber den möglichst genauen Werth für denjenigen Stab, dessen Mitte durch den Schnitt x getroffen wird; hienach ist:

Nx : f'>n

ExN-i-ExT :

E con E cot

3 GO

l² . . 294)

Die Combination der Gleichungen 291) und 294) giebt schliess-

lieh, indem wir für 1 -j- K —

l²

58m

Nx sin qp =

COD

cc

seinen Werth -7^— einsetzen:

58

-et ttgß + tgy)

E a>n + E ojt

295)

Wenn die gedrückten Stäbe in einem durch den Coefficienten c ausgedrückten Verhältnisse stärker sind als die gezogenen Stäbe, im Uebrigen aber ein Wechsel der Stäbe gegen das Auflager hin nur in stetiger Weise geschehend angenommen ist, so haben wir

E o)n -f~ iojf

(*)-

n (%

23 -f c58m

58

. 296)

abweicht.

Anderseits muss die Differenz der vertikalen Composanten der Strebenkräfte durch die Vertikalständer aufgenommen werden, indem wir uns jedes combinirte System aus 2 unsymmetrischen Systemen von entgegengesetzter Strebenrichtung zusammengesetzt denken können.

Nennen wir

Fig. 234.

ft

|4

und folgt nunmehr aus Gleichung 295)

Nxsin<p —    $'x — ^ (tgß + tgy)^

2 33

33 + c 33m

. 297)

Nach den angegebenen Voraussetzungen muss je ein gezogener und ein gedrückter Stab (welche sich annähernd im Abstand

2

x kreuzen), zusammen die Kraft — . ÜB'X aufnehmen; wir haben

daher für die gedrückten Stäbe:

9Jl'x ,

Tx sin ip =

(«'» -

(tgß + tgß) )

2 c 33m

297)

33 -j- c 33m

Anmerk. In den Gleichungen 292)—297) bedeutet N Zug, T Druck; falls nun die Gitterstäbe N gedrückt, die Gitterstäbe T gezogen wären, so müssten in den Gleichungen 292) — 297) die Grössen N und cp mit den Grössen T und ifr gegenseitig vertauscht werden.

Dadurch, dass die gezogenen Stäbe mehr Strebenkraft aufnehmen als die gedrückten Stäbe, werden die Gurtungskräfte modi-fizirt und zwar wird die gedrückte Gurtung stärker, die gezogene Gurtung weniger in Anspruch genommen, indem die Distanz der horizontalen Composanten der Strebenkräfte A N cos q> — A T cos y durch die Differenz der Gurtungskräfte (beziehungsweise der horizontalen Composanten derselben) aufgenommen werden muss. — Diese Modification der Gurtungskräfte ist jedoch nicht sehr be-

c 33m

deutend, so lange die Grösse —^ nicht zu sehr von der Einheit

33

Vx die Kraft in einem Vertikalständer zunächst dem Schnitte x, d₀ die Distanz zweier Vertikalständer, n die Zahl der durch den Vertikalschnitt x getroffenen Gitterstärke, n' die Zahl durch einen Horizontalschnitt zwischen 2 Vertikalständern, d. h. auf die Länge d₀ getroffenen Gitterstäbe,

so ist, wenn wir uns einen Schnitt x unmittelbar am betrachteten Vertikalständer angebracht denken, welcher Schnitt zugleich den mittleren Abstand (Abscisse) der Gitterstabmittel bezeichnet:

n'

Das Verhältniss — wird im Allgemeinen durch das Verhältnis d₀ :    ausgedrückt sein. — Bei den Vertikalständern ist zu

Bestimmung des Verhältnisses

58m

Gleichung 169) anzuwenden;

es ist hiebei die freie Länge L meist gleich der Trägerhöhe zu setzen, indem die Vertikalen zwar an den Enden theilweise eingespannt sind, dagegen aber von den Gitterstäben seitliche, auf Biegung wirkende Kräfte empfangen.

Die Gleichungen 296)—298) ebenso, wie die für alle Gitterwerke gültige Gleichung 287) vereinfachen sich für geradlinig horizontal begränzte Träger mit Vertikalständern wie folgt:

299)

v, =

Vx =

ö ö 'a a

^Nx sin y — Tx sin

(äß',--|f (tgiî + tgr))

58 — c8m

. . 298)

8 + c8m

Ox = ux =

— SS'x

n

Tx sin y = — 58'x n

Vx = — 5ß'x

Nx sin <p =

58

8 -t- c 8m c 58m

8 -f- c8m * *

8 — C 8m

8 -f- c 8m

. . 300)

. 301)

. . 302)

Hiebei ist das Verhältniss -xr— durch Gleichung 286) gegeben,

'Om

in welcher Gleichung 1 = d₀ : cos y zu setzen ist. — Es ist die nach Gleichung 300) gefundene Gitterstabspannung 21 gleich der nach Gleichung 301) erhaltenen grössten Gitterstabpressung 8, vorausgesetzt, dass die Vertikalständer stark genug sind, um die nach Gleichung 302) berechnete Kraft V aufnehmen zu können, ohne selbst eine höhere als die besagte Pressung 8 = 21 zu erleiden.

190. Die Gitterbrücken theilen wir in folgende Klassen ein :

1)    Gitterbrücken mit beiderseits gleichartigen Streben, ohne Anwendung von Vertikalständern.

Diese Brücken erhalten meist steife Gitterstäbe, aus T- oder Winkeleisen oder auch aus anderweitig geformtem Façon-Eisen bestehend.

2)    Gitterbrücken mit flachen Stäben unter Anwendung von Vertikalständern.

Die Berechnung hat nach den in N°. 189. gegebenen Kegeln zu geschehen.

3) Gitterbrücken mit steifen Streben und flachen Zugbändern.

Diese Brücken bilden den Uebergang zu den Fachwerken und unterscheiden sich von letztem hauptsächlich dadurch, dass bei erstem ein stetiger Wechsel der Gurtungskraft (Gleichung 287) angenommen wird; zur Bestimmung der freien Länge der Gitterstäbe wird Gleichung 285) angewendet (welche, wie oben bemerkt, nach Umständen auch für Fachwerke gültig ist).

Man wird wohl alle irgend angewendeten Gitterwerke in eine dieser drei Klassen einreihen können. — Bei der dritten Klasse ist kein Unterschied gemacht, ob Yertikalständer angewendet werden oder nicht, weil angenommen wird, dass bei den steifen

sich der

Streben (gedrückten Gitterstäben) das Yerhältniss

Einheit nähert, in welchem Falle die Yertikalständer keinen Theil an der Strebenkraft nehmen ; wenn ausnahmsweise die gedrückten Stäbe nicht genug Steifigkeit besitzen, so müssten die Kegeln der Nummer 189. auch hier angewendet werden, was im Allgemeinen bei dieser Klasse nicht nothwendig ist.

C

SB

§. 20. Gitter brücken mit beiderseits gleichen Stäben ohne Yertikalständer.

190. Bei allen Gitterbrücken ohne Yertikalständer dürfen die Kegeln der Nummer 188. angewendet werden; wenn sodann, wie bei der vorliegenden Klasse von Gitterwerken, die beiderseitigen Stäbe gleichartig construirt sind, so darf fernerhin die freie Länge der Gitterstäbe nach Gleichung 286) bestimmt werden.

Die Berechnung geschieht im Uebrigen nach den Gleichungen 287) und 288), welche bei geradlinig begränzten Gitterwerken (s. Figur 235) in die sehr einfachen Gleichungen 289) und 290) übergehen.

Fig. 235.

ww

Aj

xi ----------*5

Die Tragkraft dieser Gitterwände ist im Allgemeinen durch die Stärke, beziehungsweise Steifigkeit der gedrückten Gitterstäbe bedingt; man hat also namentlich daraufzu achten, dass dasYer-für den Gitterstabquerschnitt ein möglischt günstiges

liältniss

wird. Die T-Form dürfte dieser Bedingung im Allgemeinen am Besten entsprechen. — Günstig ist es bei diesen Brücken, wenn die Fahrbahn unterhalb angebracht werden kann, indem dann die Hälfte des Fahrbahngewichts (inclusive Yerkehrsbelastung) durch das Gitterwerk auf die obere Gurtung übertragen werden muss, wodurch die gedrückten Stäbe etwas entlastet werden, die meist weniger angestrengten gezogenen Stäbe aber einen Zuschlag an Spannung erhalten. — Bei dem innigen Zusammenhang, welcher die sämmtlichen Glieder des Gitterwerks verbindet, darf man annehmen, dass das an irgend einem Punkte eintretende Fahrbahngewicht sich auf eine grössere Länge vertheilt, so dass die auf eine Länge l gleichförmig vertheilt gedachte Ueberlast die sämmtlichen auf dieser Längenerstreckung befindlichen Gitterstäbe in gleicher Weise in Anspruch nimmt.

Die von einem Yertikalschnitt x getroffenen Gitterstäbe, welche beim geraden Träger zusammen die Kraft üßx aufnehmen müssen, haben daher von der Fahrbahnbelastung dieHälfte des auf dieLänge 4?. cotang g> antreffenden Fahrbahngewichts zu übertragen, d. h. wenn die Stäbe unter 45° geneigt sind, bei Anwendung von zwei Hauptträgern miteinander für jedes Gitter ein Gewicht =    § . (k -J- F)

zu übertragen. Wenn nun letzterer Werth einen erheblichen Theil der Yertikalkraft $'x antrifft, so werden die gedrückten Stäbe um soviel entlastet, die gezogenen umsomehr in Anspruch genommen. Der Yortheil der unterhalb angebrachten Fahrbahn macht sich also insbesondere gegen die Brückenmitte geltend, wo die Werthe $'x kleiner sind, und wird also hier eine Verhältniss-mässig geringere Steifigkeit genügen.

Der umgekehrte Fall findet statt, wenn die Fahrbahn oben aufgelegt ist; in solchen Fällen muss man insbesondere besorgt sein, dass die Gitterstäbe auch in der Mitte noch die nöthige Steifigkeit besitzen.

Yorstehende Betrachtungen können bei Austheilung der verschiedenen Gitterstab-Profile, welche gegen die Auflager hin an Stärke zunehmen, zweckmässige Anwendung finden.

191. Es existiren einige Brücken, bei welchen flache Stäbe ohne Yertikalständer angewendet wurden, so z. B. eine der ältesten Gitterbrücken, die im Jahre 1845 erbaute Eisenbahnbrücke über den Royal-Canal bei Dublin, welche sehr bedenkliche Ausbiegungen zeigen soll, wie sich auch die ausserordentlich starke Anstrengung solcher Gitter leicht nachweisen lässt. Man wendet daher in solchen Fällen, wo man die Yertikalständer ausfallen lassen will, durchaus flache Stäbe nicht mehr an; der Fortschritt in der Fabrikation

des Walzeisens gestattet Winkel- oder T-Eisen oder auch derweitig façonnirte Eisen anzuwenden, welche einen starken Widerstand gegen seitliches Ausbiegen leisten; Brücken dieser Art, fast ausschliesslich unsere erste Klasse der Gitterbrücken bildend, können in Bezug auf Leichtigkeit mit Brücken fast jeder anderen Constructionsgattung concurriren; sie können auch billig per Centner hergestellt werden, wenn die meist einfache Construc-tionsweise nicht durch zu hohen Preis des Façon-Eisens vertheuert wird; starke Stäbe von zudem grosser Länge, welche im Handel nicht leicht zu beschaffen sind, wird man daher vortheilhaft mehreren Stücken, insbesondere aus Flach- und Winkeleisen sammensetzen können.

191. Eine der ersten und bedeutendsten Anwendungen Gitterbrücken mit steifen Stäben und ohne Vertikalständer zeigen die Brücken über dieEipel und die Gran , welche in den Jahren 1857—1859 unter Direction des Herrn v. Kuppert erbaut wurden und worüber in der Sammlung von eisernen Brückenconstructionen von L. v. Klein, Stuttgart 1860, sehr vollständige Zeichnungen veröffentlicht wurden.

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[<_    6,98m _>j

'ItS

Die Eipelbrücke bei Szobb hat, wie aus Figur 236 hervorgeht, folgende Längenabmessungen 2 äussere Oeffnungen à 44,60m = .    .    .    .

1    Mittelöffnung ...........

2    Zwischenpfeiler à 3,79m.......

CT¹

*8

OD

ST

tr

o>

cd

ot OD Ot «© bO

oo o © B 3 3

zusammen zwischen den Ortpfeilern 153,68m während die Länge der Eisenconstruction 158,68m beträgt.

Die Auflagerplatten nehmen beinahe die ganze Breite der Zwischenpfeiler ein, indem sie, wie bei den Ortpfeilern, um je ¹I₂ Fuss = 0,16m gegen die Mauerkante zurückstehen; wir haben zu der effektiven Lichtweite von 57,22m, beziehungsweise 44,92m, gemäss der in N°. 86. gegebenen Begel noch je die halbe Auflagerbreite mit l,73m hinzuzunehmen und erhalten als Stützweite für die Mittelöffnung b = 58,95m, für die Aussenöffnungen a = 46,65m, so dass das Verhältnis a : b nahezu gleich 4 : 5 sich ergiebt. Das Eisengewicht ist zu

Tabelle XXII. -f- = k

8 Zollcentner per laufenden Fuss Österreichisch oder 1266 Kilo per Meter und G eleise angegeben, was in der Ausführung sich etwas höher gestellt hat; mit Rücksicht hierauf und mit Hinzurechnuug des Gewichts des Oberbaus nebst Bedielung wird man das Totalgewicht p — 1900 Kilo per Meter und Geleise rechnen müssen. — Als zufällige Belastung werden 24 Zollcentner per laufenden Fuss, somit k == 3800k per Meter und Geleise angegeben ; wir haben somit in

und — = -i- zu setzen, für 2    q 3

1900

3800

welchen Werth die Auflagerdrücke und hauptsächlichsten Angriffsmomente in genannter Tabelle XXII. bereits berechnet und in Tafel Y. graphisch dargestellt sind. Aus letzterer Darstellung ersehen wir, dass die grössten Vertikalkräfte rechts vom Auflager B bei Belastung der beiden ersten Oeffnungen stattfindet; wir haben von der Summe der Auflagerdrücke A + B die Belastung der ersten Oeffnung abzuziehen (unter Anwendung von Gleichung 108a) und erhalten als die gesuchte grösste Vertikalkraft rechts vom Auflager B aus Tabelle XXII.: max = (0,2883 -f- 1,0046) q b — a q

. . I.

= 5700 [(1,333 X 58,95) — 44,42] Kilo = 190.84 tons.

In ähnlicher Weise können sämmtliche 9)1 und $8 aus Tabelle XXII. entnommen werden, wobei nach vorheriger Bestimmung der Auflagerdrücke die Gleichungen 108) und 109) angewendet werden.

192. Die Eigenthümlichkeit der Eipelbrücke und der ihr nachgebildeten Objecte besteht insbesondere in der eiförmigen Gestaltung der Gitterstäbe, wie zu ersehen aus der nachfolgenden Figur 237, wo die Hälfte eines der stärksten Stäbe dargestellt ist. Abgesehen von der grösseren oder geringeren Schwierigkeit des Walzens entscheidet für die Zweckmässigkeit eines steifen Gitterstab-Profils die Grösse des Trägheitsmoments 0, verglichen mit der Querschnittfläche des fraglichen Stabes, wie diess aus den Gleichungen 169), 285) und 286) hervorgeht.

Wir wollen bei der Berechnung der stärkeren Stäbe der Eipelbrücke den in Figur 232 dargestellten Fall annehmen, welcher eine möglichst gute Absteifung in der Höhe der obern wie der untern Gurtung voraussetzt; hienach dürfen wir in Gleichung 286) für L den Werth ¹/;i 1 einsetzen und erhalten:

(l + K

II.

ml²

1870

Von den in dieser Gleichung befindlichen Grössen ist 1 — 20' = 6,32m, fo = 47,3 Quadratcentimeter, K nach Tabelle XI. = 0,00008 zu setzen; das Trägheitsmoment 0 haben wir nach der in N°. 17. entwickelten Methode graphisch bestimmt und gleich 221c4 gefunden. — Die Eigur 237 giebt eine Skizze der letztem in grösserem Maassstabe ausgeführte Construction, und sind die angewendeten Bezeichnungen wie das Yerfahren selbst in der anführten N°. 17. näher erklärt.

Fig. 238.

Fig. 237.

⁰ 21

E. =11,17 §    =4,6°

2Xjr = R£ = 53,62°s2l 0

= 53,62 °s a

0 = Ml⁰* Æm

R = = 7,SI    f

£ - =9,3

2Xy =69,8421 0    = 72 6

k--------—

----zur-----

7/

C:.

-tH—N

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±.

i 5-4- ?

&>

t-

T'

105

-H

K-

109

T~'

07 = i -47. 3 Ceuirm.²

Durch Einsetzung der vorgenannten Werthe erhalten wir aus Gleichung IL):

93m

= 1 + 0,38 = 1,38

III.

Die mittlere Pressung der Gitterstäbe wird erhalten, indem wir in Gleichung 290) n = 8 setzen; behufs Bestimmung der grössten, rechts vom Auflager B stattfindenden Strebenkraft ist in obiger Gleichung I.) max SS' = max SS = 190,83 tons und sin q> — 0,707 zu setzen, und erhalten wir hienach :

IY.

max N = 33717 Kilo

= 718 Kilo . . . Y.

33717

47,3

Durch Wertheinsetzung aus obiger Gleichung III. ergiebt sich schliesslich :

SS =

S3

713 = 984k

YI.

Bei dem günstigen Resultat, welches wir für T-Eisen erhalten haben, könnte man annehmen, dass vorstehende Gleichung II.) eine zu günstige Voraussetzung enthalte; hiegegen spricht aber, dass die Gitterstäbe der Eipelbrücke in Wirklichkeit eine viel grössere Pressung erhalten haben, als obige Gleichung VI.) angiebt.

Wir haben also trotz der Annahme der durch Figur 232 dargestellten Biegungslinie einen ziemlich hohen Werth für die grösste Pressung erhalten ; es spricht diess keineswegs gegen die Anwendung steifer Gitterstäbe; wir haben nämlich für einen Tförmigen Stab von derselben Querschnittfläche unter Anwendung desselben Verfahrens ein Trägheitsmoment von 725 °⁴ erhalten, wie solches aus Figur 238 ersichtlich ist; hienach ist für diesen Tförmigen

= 1,116 und würde also $8 =

1,116 X 713 = 796k gefunden worden sein, was als ein durchaus befriedigendes Resultat bezeichnet werden kann.

Anmerk. Die in Figur 238 gezeichnete T-Form hat für die angewendete Höhe eine etwas schwache Eisendicke, wesshalb das Resultat etwas günstiger ist, als bei den gegenwärtig üblichen T-Eisen erhalten würde; wir haben den Querschnitt der Figur 238 entsprechend der Figur 39 in Tabelle XIV. gewählt, welche Figur allerdings ziemlich schlanke Verhältnisse giebt; wir bemerken hiezu, dass die Burbacher Hütte jetzt schon T-Eisen walzt, welche an Höhe und Breite der Figur 238 nahe stehen, dabei aber eine grössere Dicke zeigen.

Stab

8m

= 1 + 0,38 .

221

725

Es befinden sich nämlich auf den Zwischenpfeilern, wie aus Figur 236 ersichtlich, gusseiserne Absteifungen, welche oberhalb durch einen schmiedeisernen Träger verbunden, das Gitterwerk rahmenartig umfassen und gegen Umkanten wie gegen Verwinden schützen; im Gitterwerk selbst aber sind Vertikalständer, wie solche in Figur 235 über den Zwischenpfeilern gezeichnet sind, nicht angebracht und es musste daher bei der Probebelastung, welche den obigen Angaben entsprechend war, etwa 6 Gitterstäbe die gesammte Pfeilerreaction je für ein Gitter aufnehmen; man findet leicht, dass die Pressung auch bei Annahme der obigen Gleichung II.) an der Grenze des Zulässigen angelangt war, wenn man auch die gusseisernen Bügel, welche nachträglich gegen Ausbiegen angebracht wurden, mit in Rücksicht nimmt.

Bei neuen Projecten wird man übrigens vorsichtig in Anwendung der durch Figur 232 dargestellten Biegungskurve sein, und im Zweifelfalle sich eher der Figur 231 zuneigen, nach Umständen das Mittel zwischen beiden Fällen nehmen.

193. Gleichzeitig mit der Eipelbrücke wurde auf der Elisabeth Westbahn unter Leitung des Herrn Hornbostl eine Reihe von Gitterbrücken erbaut, welche beiderseits Stäbe von T-Eisen erhielten; sie zeigen die Eigentümlichkeit, dass die Aenderun-gen in der Stärke der Gitterwand nicht durch Modification des

Gitterstab-Querschnitts, sondern durch allinählige Aenderung der Maschenweite unter Anwendung eines gleichmässigen Gitterstab-Profils bewirkt ist. Die Ausführung ist dadurch bezüglich Beschaffung des Materials wesentlich erleichtert, doch lässt sich diese Construction nur dann mit Yortheil anwenden, wenn die Fahrbahn oben aufgelegt ist, und in Folge dessen die Aende-rungen in der Maschenweite keinen störenden Einfluss auf die Distanz der Querträger üben können. — Berechnet werden diese Brücken ganz wie die anderen Brücken dieser Klasse, indem lediglich die Nummerzahl n mit der Entfernung vom Auflager wechselt.

194. Als Beispiel einer Gitterbrücke mit steifen Stäben von bescheidenen Dimensionen nehmen wir die Brücke über den Blaucanal bei Ehrenstein an der württembergischen Donaubahn, deren Construction in Tafel XVI. dargestellt ist.

Die Brücke ist schief und haben die Träger eine Länge von 19,8ra, eine Stützweite von 19,4m. Das Gitter werk bildet ein dreifaches System von steifen Tförmigen Stäben; die Maschenweite ist l,076m, die Distanz der Querträger doppelt so gross und beträgt somit 2,152m; zwischen den Querträgern, welche als Blechbalken construirt sind, befinden sich Schwellenträger von DoppelT-Eisen, der Art angebracht, dass die Unterkante der Fahrschienen 2,4 Fuss oder 0,63m über der Unterkante der Hauptträgergurtung sich befindet. — Der Querträger hat eine Höhe von 0,54m, welche Höhe genügend ist, um eine besondere Eckabsteifung überflüssig zu machen ; es zeigte auch die Brückenprobe nur eine ganz unbedeutende Seitenschwankung der Gitterwand, welche letztere oberhalb auf l,44m frei und auf diese Höhe nur durch die Gitterstäbe selbst ausgesteift ist. — Die Gewichte der Eisenconstruction sind entsprechend den in Tafel XYI. eingeschriebenen Dimensionen folgende :

Hauptträger :

Gurtungen nebst Endständern . Gitterstäbe........

o o o o

CM Ol 05 r*

I-*

Windkreuze .    .

Querträger .    .

Schwellenträger .

o o o o

OlNO^

^(Mcoto

r- oi

CO

23660k

Das Eisengewicht beträgt somit für eine Länge I = 19,4m per laufenden Meter:

p' = 36,0 1 -f 500 = 1200 Kilo.

194. Bei Berechnung dieser Brücke war, wie soeben bemerkt, die der Tabelle XVIIa. zu Grunde liegende Verkehrs-

belastung massgebend; wir erhalten aus dieser Tabelle für eine Spannweite von 20m :

k = 4660 k ;

k¹ = 6050k

Ferner ist, wenn wir zum Eisengewicht p' das Gewicht von Oberbau und Bedielung mit 300k per Meter addiren:

k + k' ,

q₀ = —«—t- p

k + k'

= 5360k

p = 1500

„ = 6850

q = 6160

und erhalten wir hienach bei 19,4m Stützweite:

Grösstes Angriffsmoment in der Trägermitte: ql²

= 290,0 mts. . .

Grösste Yertikalkraft am Auflager:

Mmax S5 = x/2 q₀ 1 = 66,44 tons . . Grösste Vertikalkraft in der Trägermitte : k'l

max &i/2i =

= 14,67 tons .    .

.    . II.

. . III.

Diese Momente und Kräfte sind durch Halbiren auf einen Hauptträger zu reduziren, und erhalten wir für die Gurtungen in der Trägermitte nach Gleichung 289):

Max m'

145.000

1,94

= 64,7 tons . .

. IV.

Fig. 239.

---X

-----M

—1432--*.

<—£,16----2,15--*

fl - 4, 7*

Der Querschnitt, welcher diese Gurtungskraft aufnehmen muss setzt sich folgendermassen zusammen:

Hievon geben ab:

130,7

2 Nieten durch die Kopfbleche 2 X 2,0 X 4,1 =    16,4

bleiben 113,8    „

wonach eine grösste Gurtungsspannung 21 = 656k stattfindet.

Wir erhalten für die grösste Kraft in den Gitterstäben nach Gleichung 290) :

N sin y =

—

. . Y.

. 33220 = 15662 Kilo.

' 0,707

Es beträgt aber der Querschnitt co der stärkern Stäbe 31 [jCentim., wonach:

YI.

3 Gurtungsbleche von je 200mm Länge,

10mm Dicke,

2 Gurtungswinkel von je 90mm Schenkellänge und ll,5mm Dicke,

60,0 DCent. '

1 Stehblech .

CO T—I

eo t-h

lang,

dick

38,7

■>

31,5

23m — —— = 502 k

sich ergiebt; die freie Länge eines Stabes beträgt 1,4™, die Höhe des Querschnitts 0,1™, somit ist in Tabelle XIY. das Yerhältniss

—— = 14 und hienach

23m

= 1,2 zu setzen; die grosse Pres-

sung betrüge hienach 602k. (Die in Gleichung 286) angenommene Yerdopplung des Trägheitsmoments kann bei der geringen Zahl der auf einen Stab treffenden Knotenkunkte nicht in Anwendung kommen.)

Bei Berechnung der grössten Gitterstab-Spannung sind noch zwei Nietlöcher in Abzug zu bringen, wodurch der Querschnitt auf 25 nCent. reduzirt wird; die Gitterstabspannung berechnet sich hieraus mittelst Gleichung Y. auf:

15662

St = —

(X)

25

- = 627 k

. . YII.

Die Pressungen und Spannungen der Gitterstäbe erleiden noch eine Modification durch die Uebertragung der Fahrbahnbelastungen auf die Gurtungen. Diese Belastung beträgt auf doppelte Maschenweite 2,15 (k' ~f- F), wo wir k' = 6050, F = 500 -f- 300 = 800k zu setzen haben ; nuf jedes Gitter treffen hienach 7364k, wovon die

Hälfte durch je 4 Gitterstäbe aufgenommen werden muss; ein Gitterstab empfängt somit 921k, welches Gewicht die im Stabe

herrschende Kraft um 921 . —-=1300k vermehrt, beziehungssing)    7    0

weise vermindert; Verminderung der Strebenkraft findet nämlich für die gedrückten, Vermehrung für die gezogenen Stäbe statt; durch letztere wird in Gleichung V. die Grösse W auf 16962k und entsprechend die durch Gleichung VII. gegebene Gitterstab-Spannung am Auflager erhöht. Einen etwas grösseren Einfluss übt diese Modification der Strebenkraft in der Mitte der Brücke ; hier folgt aus Gleichung 290) durch Einsetzung des in obiger Gleichung III. gegebenen Werthes ÜB :

. . VIII.

N sing) = — ÜB' =    • 7335k

n    o

N = 3458 k

wozu nun wieder obige 1300k, welche von der Uebertragung der Fahrbahnbelastung herrühren, zu addiren sind; der Gitterstab-Querschnitt beträgt in der Mitte 24 DCent. und nach Abzug von zwei Nietlöchern 19,6 DCent., woraus als grösste Spannung in der 3458 -f 1300

Trägermitte

19,6

Fig. 240.

;—ss-

ISO

170

•*r

= 243k sich ergiebt. Die gedrückten Stäbe sind in der Brückenmitte sehr wenig in Anspruch genommen, da hier der Werth 1300k in Abzug zu bringen ist.

Für die Querträger giebt die in Figur 240 dargestellte Stellung der Locomotive die grösste Belastung an ; der in dieser Figur dargestellte mittlere Querträger erhält als Yerkehrsbelastung:

12000 (l +

85 -f 45

215

)-

19265k

wovon an jedem Lastpunkte je P, = 9632k wirkt; hiezu kommt noch vom Gewichte der Fahrbahn P,, —300 . 2,15 = 630k, so dass P = P, 4* P// — 10262 sich ergiebt; das an den Lastpunkten thätige Angriffsmoment 911 ist nach Tabelle XXVIII., Figur 95, ausgedrückt durch:

. IX.

9)1 = p l = 10262 X 1,43 = 14675 KM. .

Dieses Moment in Gleichung 158) eingesetzt giebt als grösste Gurtungsspannung der Querträger:

II

31    14676 6„² (ö + X à So) ' '

. . X.

In dieser Gleichung ist nach Tafel XYI. einzusetzen H = 53,6C, £>₀ = 49°, d = 0,9, während sich der Gurtungsquerschnitt co zusammensetzt :

20,00 [jCent.

1    Kopfblech 20,0 X 1,0=......

38,70

2    Winkel von je 9,0c Schenkellänge und

1,15° Dicke..........

Hievon ab 2 Nieten .

58,7 DCent.

7.3

Bleiben

51,5 DCent.

Vorstehende Werthe in Gleichung X. eingesetzt, erhalten wir als grösste Gurtungsspannung 21 = 558k.

§.21. Gitterbrücken mit flächen Stäben und Vertikalständern.

196. Ehe man grossmaschige Gitterbrücken mit steifen Streben construirte, hat man die Aussteifung der bis dahin durchaus von Flacheisen hergestellten Gitterbrücken mittelst Vertikalständern bewirkt, welche letztere häufig zugleich zur Anbringung der Fahrbahnträger dienten. Da wo die Distanz der Vertikalständer wesentlich kleiner ist, als die Gitterhöhe, werden sämmt-liche gedrückte Stäbe von den genannten Vertikalen ziemlich gleichförmig beeinflusst und die in Nummer 189. gegebenen Hegeln können directe Anwendung finden, indem wie dort bemerkt die Distanz d₀ der Vertikalen bei Bestimmung der freien Länge der Gitterstäbe massgebend ist und in Gleichung 206)

l = d₀-

—gesetzt wird. Es geht hieraus hervor, dass es für cos cp

Aussteifung der Gitterstäbe günstiger ist, wenn die Vertikalen einander näher gerückt werden, wodurch sich nicht nur die freie Länge der Gitterstäbe vermindert, sondern auch dieUebertragung eines Theils der Strebenkraft auf die Vertikalen

gleichmässiger geschieht. — Damit die Vertikalständer nicht zu viel Material in Anspruch nehmen ist erforderlich, dass ihr Querschnitt senkrecht zur Gitterwand möglichst hoch wird; die nebenstehend skizzirte Anordnung, wo die angewendeten Winkeleisen mit den schmäleren Schenkeln an die Wand befestigt, durch ihre beiden längeren Schenkel eine ansehnliche Querschnitthöhe h darstellen, entspricht dem Zweck der Absteifung ungleich weniger als der in gegenüberstehender Figur 242 dargestellte Querschnitt, welcher bei gleichem Gewichte ein wesentlich grösseres Widerstandsmoment gegen Ausbiegung der Wand giebt auch für

Fig. 241.

U—130 —>

4-43,0

Befestigung der Querträger eine grössere Fläche darbietet.

Fig. 242.

In den meisten Fällen wurden die hier be-(1 sprochenen Gitterbrücken mit geradlinig hori-l! zontalen Gurtungen hergestellt ; es können also — bei zwekmässiger Anbringung der Yertikalständer — in der Regel die Formeln 299)—302) Anwendung finden ; hiebei ist in Formel 302), wie schon erwähnt, zu Bestimmung des Verhältnisses 58: 23m Gleichung 169) in den Formeln 300) und 301) aber Gleichung 286) in Anwendung zu bringen. In beiden Fällen kann, da die Gitterstäbe vierkantig vorausgesetzt sind, Tabelle XIV. bequeme Anwendung finden.

Anmerk. Wenn Tabelle XIV. für Gleichung 286) dienen soll, so ist zu übertragen, und muss sodann der aus Ta

rai²

in 1 + K —

721²

1 + K

belle XIV. gefundene Werth 93m : 23 behufs Verdopplung des Trägheitsmoments

giebt durch Verdopplung

eine Correction erfahren; z. B.

des Trägheitsmoments —-¹ ■    = - *-■ .

1 -p 0,4o    1,43

Wenn man für einen gezogenen Stab den Werth Nx nach Gleichung 300) und für den symmetrisch gelegenen gedrückten Stab den Werth Tx nach Gleichung 301) bestimmt, so geben die Gleichungen :

1,86

1 + 0,86

Nx

und:

CD

c:

j8_ JEx

23m ’ W

für 21, beziehungsweise 23, je denselben Werth, weil in Folge der Mitwirkung der Vertikalständer eine gleichmässige grösste Anstrengung für die beiderseitigen Gitterstäbe angenommen worden ist.

23 -

.    .    304)

197. Das vorstehend beschriebene Verfahren erfährt eine Abänderung, wenn die Distanz der Vertikalständer und der Gitterhöhe ziemlich gleichstehend ist oder aber dieselbe noch übertrifft.

Fig. 243.

In solchen Fällen können, wie aus beistehender Figur 243 ersichtlich, ^ diejenigen Stäbe, welche beispiels-¹ weise die Diagonale des von Gurtungen und Vertikalen eingeschlossenen Vierecks bilden (oder diesen Diagonalen zunächst gelegen sind), sofern sie gedrückt sind, weniger Strebenkraft aufnehmen, als die übrigen Stäbe ; dem entsprechend wird die entgegengesetzte gezogene Diagonale um so viel mehr in Anspruch genommen sein; man könnte für jedes einzelne Gitterstabspaar das Verhältniss 23 : 23m besonders entwickeln und es würde

der Grad der Anstrengung des Gitterwerks eben durch diejenigen Diagonalen bestimmt sein, welche den grössten Zug = grössten Druck aufnehmen müssen; hiezu kommt aber noch, dass bei vorhandenen Vertikalständern die Formänderung des ganzen Trägers dahin wirken wird, dass die gezogenen Diagonalen ganz besonders in Anspruch genommen sind, und dass somit die Anstrengung einer gezogenen Diagonale eine wesentlich höhere sein wird, als nach Gleichung 300) berechnet würde. '— Solche Systeme befinden sich daher in sehr ungünstigen Verhältnissen und werden kaum mehr angewendet.

Durch Hinzufügung von Vertikalen zwischen den Hauptständern würden die Umstände wesentlich geändert; man hat aber solche Gitterwerke häufig auf anderweitigem Wege zu verbessern gesucht, indem man die gedrückten Diagonalstäbe aus T-Eisen construirte. Man erreicht damit den doppelten Zweck, einmal ein weiteres rückwirkendes Element in die Gitterwerke hineinzubringen und sodann die gezogenen Diagonalstäbe kräftig zu entlasten, wie sich diess durch Anwendung der Gleichungen 300) und 301) des Näheren ergiebt.

Solche Systeme können in constructiver Hinsicht gute Dienste leisten, die Berechnung wird aber complizirt, weil man für jedes Gitterstabpaar die Gleichung 301) besonders anschreiben und für Gleichung 302) einen mittlern Werth 33 : 33 ra bestimmen muss.

198. Die Weicbselbrücke bei Dirschau ist die bedeutendste und zugleich die am weitesten gespannte Gitterbrücke, wie aus folgenden Abmessungen hervorgeht:

6 Oeffnungen 5 Zwischenpfeiler à 2 Endpfeiler

9.73m

à 121,1 m = 726,60 48,65

à    31,0 “ =    62,00

837,25“

Von den 6 Oeffnungen sind je 2 zusammen gekuppelt, so dass sozusagen drei getrennte Brücken an einander gereiht sind.

Die Gitter zeigen Flachstäbe von gleichem Querschnitt gegen Zug und Druck, sowie Vertikalständer in Entfernungen von je 6 Fuss; es können also die in N°. 195. gegebenen Kegeln angewendet werden. — Die Brücke ist für ein einziges Eisenbahn-geleise construirt, dient aber gleichzeitig dem Strassenverkehr (siehe Figur 244); der Abstand der beiden Gitterwände ist so gewählt, dass bei freiem Bahngeleise zwei Fuhrwerke einander ausweichen können ; die Lichtweite des Brückenquerschnitts beträgt 6,27“.

Unter vorbeschriebenen Verhältnissen ist die Verkehrslast der Belastung eines Eisenbahngeleises entsprechend und wurde das variable Gewicht auf 2128 alte Pfund per laufenden Fuss oder 3170 Kilo per Meter bestimmt; bei dieser Annahme soll die grösste Anspannung 10000 alte Pfund per DZoll oder 684 Kilo per

□ Centimeter betragen; hiebei wurde nur die gleichförmig vertheilte

Fig. 244. i aff-

-----sfr Maximallast berück-

H-

V7

i sichtigt, welche übri-| gens auch (zunächst i dem Zwischenpfeiler) j das grösste Angriffs-j moment und die grösste Y ertikalkraft hervor-! ruft, wie aus Tafel IY. | ersichtlich. Das Eigen-. ' gewicht wird zu 6160 ^ Pfund per laufenden ^ Fuss oder 9180 Kilo per Meter angegeben, (so dass p : q = 3 : 4) ; j es ist dieses Gewicht ! wesentlich grösser als ! wir nach Gleichung 103) j für 121m Spannweite [ erhalten würden, ob« I gleich continuirliche | Brücken stets etwas ! leichter sein sollten. | Die grössere Schwere fällt nur zum Theil dem gewählten Construc-tionssystem zur Last, ist vielmehr überwiegend durch andere Umstände veranlasst.

Einmal ist die Breite der Brücke und demgemäss das Gewicht der Fahrbahntafel mit Rücksicht auf die Landfuhrwerke grösser, als für ein Eisenbahngeleise erforderlich wäre, wobei übrigens zu bemerken, dass diese grössere Breite bei der grossen Spannweite beinahe unerlässlich ist; entsprechend werden (wie überhaupt bei weitgespannten eingeleisigen Brücken) auch die Yerspannungen und Windstreben verhältnissmässig schwer ausfallen.

Ein zweiter Umstand bezieht sich auf eine bei grösseren Spannweiten nothwendige Correction der Gleichung 103). Diese Formel setzt theoretisch betrachtet voraus, dass das per Längeneinheit antreffende Totalgewicht (p + k) ziemlich constant sei, wie diess auch nach den Tafeln XYII. und XVIIa. zwischen 10 und 60m Spannweite der Fall ist ; bei grösserer Spannweite bleibt sich die variable Last ziemlich constant (nimmt wenigstens sehr mässig ab), während das Eigengewicht, zunächst nach Formel 103) berechnet, rasch zunimmt; es ist daher für die grössere Spannweite in

Gleichung 103) der Coefficient C zu vergrössern und zwar umsomehr als mit Zunahme dieses Coefficienten das Eigengewicht p und ebendamit der Werth q = p -f- k wächst.

Die letztere Betrachtung bleibt unter allen Umständen bestehen , dagegen fällt die vorher angeführte weitere Ursache der Gewichtsvermehrung — nämlich die bei grossen Spannweiten unerlässliche grössere Breite und entsprechende Gewichtsvermehrung der Querverspannung bei zweigeleisigen Brücken weg, indem das betreffende Gewicht, auf zwei Geleise vertheilt, das normale Maass nicht überschreitet ; wenn solche Brücken ausserdem für zwei Geleise nur zwei Hauptträger erhalten, so kommt der weitere Vortheil hinzu, dass man zwei Träger immer vortheilhafter construiren kann, als drei oder vier Träger, welche für dieselbe Verkehrslast bestimmt sind; die bezügliche Materialersparniss ist wesentlich grösser als die Vermehrung des Gewichts der Querträger und oberen Querverbindungen, welche durch den grossem Abstand von zweien für zwei Geleise dienenden Hauptträgern bedingt ist.

199. Der Gurtungs querschnitt der Dirschauer Brücke hat die Zellenform erhalten, welche gegen Druck guten Widerstand leistet und durch die Vertheilung der Querschnittfläche sich bequem der Anbringung von Stossplatten darbietet ; dagegen erfordert die Aussteifung der Zellen und die durch vermehrte Con-structionshöhe bedingte weitere Verspannung einen nicht unbedeutenden Materialaufwand.

Die grösste Spannung in den Gurtungen sollte auf die ganze Brückenlänge constant sein ; es wurde desshalb der Gurtungsquerschnitt entsprechend den Angriffsmomenten modifizirt, und zwar wechselte die Breite der einzelnen Blechstreifen zwischen 0,39 und 1,41 Metern, die Dicke derselben zwischen 20 und 16mm. Ueber den Zwischenpfeilern ist eine weitere Verstärkung der Gurtung angebracht worden; wir sehen nämlich aus den graphischen Darstellungen der Tafel IV., dass das Angriffsmoment 9)1 daselbst sehr rapid zunimmt; es sind desshalb an dieser Stelle weitere Zellen hinzugefügt, wodurch zugleich die Höhe des Gitters um 4 Fuss oder l,26m vermehrt ist; die Distanz der Gurtungsschwerpunkte beträgt in Folge dieser Erhöhung der untern Gurtung zunächst den Zwischenpfeilern 10,90m, auf der übrigen Länge 10,28m.

auf 36

mm

mm

auf 73

; die diagonale Maschenweite beträgt 2' oder

mm

mm

Die Vertikalständer, deren Querschnitt aus Figur 241 ersichtlich ist, sind in Entfernungen von 6 Fuss angebracht, so dass als Länge 1 der Gitterstäbe d : cos 45° = 8*4 Euss = 2,67m in die Eechnung einzuführen ist. — Die Gitterstäbe selbst wechseln nach der Grösse der Vertikalkraft zwischen 131 und 80

0,628m; durch jeden Vertikalschnitt werden 32 Gitterstäbe getroffen; am Zwischenauflager, wo nach Tabelle XX.

$ = 0,625 qb — 0,625 (3170 + 9180) 121,1 = 934,75 tons,

In dieser Gleichung ist zu setzen (zunächst ohne Berücksichtigung des Metenabzugs) :

cu = 13,1 X 2,6 = 34 □Centim.,

1 = d : cos g> = 267 Centim.

= 19,187 c%

"12

somit SB' = 467,37 tons zu setzen ist , finden wir durch Anwendung der Gleichung 300) :

Kx sin cp = JL . 467370 -32

Es ist aber nach Gleichung 286):

SB -

SB

SB + SBm • '

SB* (l + 0,00008    . .

. . II.

~ b h³

somit :

SB = 2,264 S8m*

Aus den vorstehenden Gleichungen I. und III. folgt: Nx = 30045 Kilo

III.

und :

IV.

30045

CO

34

= 884 Kilo . . . V.

Diese Spannung wird durch den nothwendigen Nietenabzug noch erhöht. Die grösste Pressung SB dürfen wir nach den am Schlüsse von N°. 189. gegebenen Erläuterungen gleich gross annehmen.

Fig. 245.

■m

eil™

HC

s,02-----y

8,52^

igr

t.

18 , SS¹“⁷

200. Kurze Zeit nach der Dirschauer Weichselbrücke wurde die Rheinbrücke in Köln nach demselben System erbaut und 1860 dem Betrieb übergeben. Dieselbe hat 4 Oeffnungen von je 98,22m Lichtweite, von welchen je 2 durch einen gekuppelten

Träger überbrückt sind ; hiebei ist neben der zweigeleisigen Eisenbahnbrücke eine Strassenbrücke von 8,47m Lichtweite auf dieselben Steinpfeiler aufgesetzt, wie diess aus vorstehender Figur 245 des Nähern ersichtlich ist.

Eine eingehende Beschreibung dieser Brücke ist in der Berliner Zeitschrift für Bauwesen, Jahrgang 1863, veröffentlicht worden. Daselbst wird das Eisengewicht der ganzen Brücke folgendermassen angegeben :

Tabelle LVII.

N°.

Gegenstand.

Eisenbahnbrücke.

Strassenbrücke.

1.

2.

3.

Die Querträger.....

Die oberen Querverbindungen Die horizontalen Gitterstäbe .

Kilogr.

344257

Kilogr.

Kilogr.

174493

Kilogr,

86238

41516

86460

44852

4.

5.

6.

Gurtungen .......

Gitterstäbe der Hauptträger . Vertikalständer derselben.    .

1269744

684784

342246

2768787

719027

383939

307212

1715983

Die ganze Länge der hiezu gehörigen Brückenconstruction beträgt 415m, wesshalb wir bei einer Spannweite von 98,12m erhalten:

Für die Eisenbahnbrücke per Geleise:

p' = 27,9 1 + 420 = 3336k,

für die Strassenbrücke bei 8,4m Breite :

p' = 37,8 1 -f 422 = 4135k.

201. Das im Yorstehenden aufgeführte Gewicht der Kölner Eisenbahnbrücke ist per Geleise wesentlich geringer als das der Dirschauer Weichselbrücke; obgleich die Spannweite per laufenden Meter nur einen Unterschied von 1000—1200 Kilo per Geleise bedingen sollte, so beträgt dieser Unterschied circa 5800 Kilo, so dass das Gewicht der Rheinbrücke, auf die grössere Spannweite der Dirschauer Brücke übertragen, immerhin noch nicht die Hälfte des per laufenden Meter berechneten Gewichts der letztem betragen würde. — Der Grund ist wohl hauptsächlich darin zu suchen, dass eine zweigeleisige Brücke weitaus günstiger zu construiren ist, sowie dass einige für die Dirschauer besonders ungünstige Umstände hier wegfielen.

Die diagonale Weite der Maschen wurde grösser (0,785m) angenommen, die gedrückten Gitterstäbe wurden etwas stärker

und insbesondere dicker angenommen, als die gezogenen in demselben Längeabstand befindlichen Stäbe. — Die Distanz der Vertikalen, welche bei der Dirschauer Brücke l,88m beträgt, ist hier nur l,57m und wurde zunächst den Auflagern auf 0,785m reduzirt; die Gitterstäbe der Rheinbrücke befinden sich daher unter wesentlich günstigem Bedingungen als die in N°. 198. der Rechnung unterzogenen Gitterstäbe der Weichselbrücke.

Eine wesentliche Neuerung bei der Rheinbrücke ist die Anordnung eines Doppelgitters, welches die Anbringung von kräftigen Vertikalständern mit verhältnissmässig geringem Materialaufwand gestattete; diese Ständer bestehen nämlich selbst wieder aus einem Gitterwerk, welches zwischen die beiden gekuppelten Gitterwände eingesetzt ist; man hat diesen Doppelgittern den Vorwurf gemacht, dass das erste Gitter einen grossem Theil der Vertikalkraft aufnehmen müsse; insofern jedoch die Strebenkraft aus der Distanz der Gurtungskräfte entsteht (zu vergleichen Gleichung 173), so müsste zuerst nachgewiesen werden, dass die

Fig. 246.

.. 2,120“-

Gurtungen ungleich gespannt sind; bei der Kölner Brücke werden übrigens die .    innern Gitter zunächst den Zwischen-

iir

==d    pfeilern dennoch verhältnissmässig mehr

62S    çJ592_>|

in Anspruch genommen sein, weil daselbst die Gurtungen unsymmetrisch angeordnet sind (Figur 246) und in Folge dessen die innern Gurtungen einen grossem Theil an der Differenz der Gurtungskräfte aufnehmen müssen.

Zum Gewicht der Fahrbahntafel, welches oben per Geleise zu 420 Kilo angegeben wurde, ist zu bemerken, dass die Schienenträger, weil von Holz, hiebei nicht inbegriffen sind.

mm

Fig. 247.

202. Die Strassenbrücke ist wesentlich leichter construirt, als die Eisenbahnbrücke, wie auch das Gewicht für 8,47m Breite ziemlich niedrig ist. — Insbesondere sind die Querträger sehr leicht und sind in der Mittheilung der Berliner Zeitschrift die Durchbiegungen derselben in Folge des Strassenverkehrs zu 2¹/₂—4 angegeben; diese Einbiegung der Querträger pflanzt sich nun nothwendig auf die Gitterwände fort und veranlasst eine hin- und herschwingende Bewegung, welche insbesondere beim Passiren von Fuhrwerken deutlich wahrnehmbar ist; die Berliner Zeitschrift sagt hierüber: „Von der ruhig daneben liegenden Eisenbahnbrücke aus konnten diese Bewegungen genau gemessen werden, und wurde ermittelt, dass dieselben für die unmittelbar mit den Querträgern vernieteten Vertikalversteifungen stärkerer Construction (siehe Figur 247) stets

fast genau gleich der Biegung des Querträgers waren, während die zwischen je zwei Querträgern angebrachten einfachen Winkel-eisen etwa eine doppelt so grosse Biegung erlitten ; letztere wurde selbst bis zu 4V₂ Linien (oder 10mm) gemessen.“

Die Entfernung der Querträger beträgt nämlich 10 Fuss oder 3,138m, und nur an diesen Punkten sind die in Figur 247 dargestellten Vertikalständer angebracht; zwischen diesen befinden sich in der Mitte einfache Winkel, welche zur Steifigkeit der 8,52m hohen Gitterwände wenig beitragen können.

mm

hohen

starker Unterbelag von

mm

mm

Auch bei der Strassenbrücke ist die Fahrbahntafel mit Ausnahme der Querträger ganz von Holz (woher auch das geringe Eisengewicht der Fahrbahn sich erklärt); auf den 182 kiefernen Balken ruht zunächst ein 52

kreosotirten kiefernen Bohlen, sodann ein Oberbelag von 65 starken Bohlen, welche letztere anfänglich nur 1¹j₂—2 Jahre ausdauerten; doch wird bemerkt, dass später angewendete Buchenbohlen im Jahre 1862 nach 1 ^jähriger Benutzung noch ganz gut erhalten waren.

§. 22. Gritterbrücken mit steifen Streben und flachen Zugbändern.

203. Da ein grosser Theil der Gitterstäbe, zumal bei frei aufliegenden Trägern, nur auf Zug in Anspruch genommen ist, so wendet man vielfach für diese Stäbe das billigere und gegen Zug besonders zweckmässige Flacheisen an und giebt nur den gedrückten Stäben eine entsprechende Steifigkeit gegen Ausbiegungen ; diese Brücken bilden den Uebergang zu den mehrfachen symmetrischen Fachwerken und können auch nach den dort entwickelten Formeln berechnet werden, sobald man die freie Länge L kennt, welche in Formel 169) behufs Bestimmung der relativ rückwirkenden Festigkeit dieser Stäbe einzusetzen ist.

Werden diese Brücken als Gitterbrücken behandelt — was für die Rechnung einfacher und bezüglich der Querschnittdimensionen hinreichend genau ist — so darf anstatt Gleichung 169) die bestimmtere Gleichung 285) benützt werden; im Uebrigen werden die in N°. 188. gegebenen Regeln und insbesondere die Gleichungen 187) — 190) angewendet; da diese Brücken meist geradlinig begrenzt sind, werden die Gleichungen 189) und 190) in Verbindung mit den Gleichungen 166)—168) und 285) in der Regel zur Bestimmung der Querschnittdimensionen ausreichen. — Wir haben unter Annahme der in N°. 188. gegebenen Bezeichnungen für geradlinig horizontal begrenzte Gitterträger mit steifen Streben und flachen Zugbändern:

Spannung in irgend einem gez ogenen Gurtungsquer schnitt ßx :

305)

äW'*

£x • ^x

Pressung in irgend einem gedrückten Gurtungsquerschnitt ßx :

23 = 23m =

. . 306)

£x '    *

Indem wir 53 = 23m setzen, ist vorausgesetzt, dass die Entfernung der Knotenpunkte des Systems nicht so gross ist, dass desshalb die relativ rückwirkende Festigkeit der Gurtung in Frage kommt, in welch letzterem Falle die Brücke besser als Fachwerkbrücke zu behandeln wäre.

Spannung in irgend einem gezogenen Gitterstab (oder Tx), dessen Mitte durch die Abscisse x bezeichnet ist:

. . 307)

sin qp ‘

Grösste Pressung in irgend einem gedrückten Gitter stab Tx (beziehungsweise Nx), dessen Mitte durch die Abscisse x bezeichnet ist:

toi²

— .8'*

) . 308)

23 ==

. -v-. — . ( 1 + K

sm cp oj \

in welcher Gleichung 1 die ganze Länge des Stabs zwischen den Gurtungs-Mittellinien bezeichnet.

Für diejenigen Stäbe, welche abwechselnd auf Zug und Druck in Anspruch genommen sind, ist in der Regel Gleichung 308) massgebend; jedenfalls sollen solche Stäbe, auch wenn sie gegen Zug einen grossem Querschnitt als gegen Druck erfordern, als steife Stäbe construirt werden. — Wenn daher, wie bei continuirlichen Brücken geringerer oder mittlerer Spannweite ein grösserer Theil der Stäbe abwechslungsweise auf Zug und Druck in Anspruch genommen wird, so empfiehlt es sich häufig, Träger mit durchaus steifen Stäben, welche in §. 20 behandelt sind, anzuwenden, indem letztere noch den Vortheil liefern, dass die Steifigkeit der gezogenen Stäbe die rückwirkende Festigkeit der gedrückten Stäbe unterstützt. — Anderseits haben Brücken mit besonders geformten gedrückten Stäben den Vortheil, dass letztere, sofern sie ansehnliche Stärke verlangen, aus mehreren Stücken zusammengesetzt und demnach durchweg aus billigen Eisensorten hergestellt werden können.

204. Ein ausgezeichnetes Beispiel dieser Klasse von Gitterbrücken bietet die bei Drogheda (an der irischen Ostküste) über den Boyne-Fluss gebaute und schon im Jahre 1855 eröffnete Eisenbahnbrücke ; sie zeichnet sich durch zweckmässige Materialverwendung, grosse Leichtigkeit und die eigenthümliche Aus-

steifung der gedrückten Gitterstäbe aus. — Die nachfolgenden Notizen sind einem Aufsatze des Herrn Lohse im Jahrgange 1857 der Berliner Zeitschrift für Bauwesen entnommen, woselbst als Erbauer der Brücke Sir John Macneill und Mr. James Barton genannt sind.

Die Brücke hat für zwei Eisenbahngeleise nur zwei Hauptträger erhalten, wie aus beistehender Figur 248 ersichtlich ist;

Fig. 248.

3’_.

24

«Ui

22'3"

hiebei zeigt aber jeder Hauptträger eine doppelte Gitterwand und ist die Aussteifung der gedrückten Stäbe dadurch erzielt, dass von letzteren je zwei gegenüberliegende Stäbe mittelst Winkeleisen und leichterem Gitterwerk zu einer steifen Strebe verbunden sind ; da (abgesehen von den Endständern auf den Auflagern) gar keine Yertikalständer angebracht sind, so kann die Spannung in den gezogenen Stäben genau nach Gleichung 307) berechnet werden.

CO O

Die vorliegende Brücke hat Träger erhalten, welche drei Oeffnungen continuirlich überspannen; die Spannweiten sind: Mittelöffnung von Mitte zu Mitte der Pfeiler:

CO CO

267' englisch ==    1,

2 Aussen-Oeffnungen je 140' 11//, zus. 289' 10" =    5,

Zusammen 167,28m

Auf den Pfeilern liegen die Gitter je mittelst eines einzigen Endständers von 0,915m Breite und gleicher Länge auf. — Bei Anwendung der Theorie der elastischen Linie war unter diesen Umständen keinerlei Zweifel über die in die Eechnung einzuführende Spannweite und wurden die Gurtungsquerschnitte den hie-

nach berechneten Angriffsmomenten entsprechend gewählt, wie solches durch Figur 249 näher erläutert ist. — Die Aenderungen

Fig. 249.

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in den Querschnitten konnten ziemlich stetig wechselnd angenommen werden, da die Kopfbleche sehr dünn bis zu 6 5 mm Dicke herab gewählt wurden. — Die Angriffsmomente werden, wie wiederholt erklärt, nach den Gleichungen 109) bestimmt, nachdem die Auflagerdrücke für den vorliegenden Fall und die angenommenen Belastungsweisen nach den Gleichungen 124) berechnet worden sind. (Einige derWerthe 9JÎ sind wenigstens annähernd in Tabelle XXIY. für a : b =

bauer der Brücke haben dieselben Belastungsweisen angenommen, welche in N°. 78. besprochen und in Tafel V. graphisch dargestellt sind; es wurde aber auch durch Losschlagen von Nieten und Beobachtung der betreffenden Stossfugen constatirt, dass die Wendepunkte der elastischen Linie (für welche 9JÎ = o ist) auch wirklich an den berechneten Punkten sich befinden; es wird anzunehmen sein, dass bei der Berechnung der elastischen Linie auf die ganze Länge einer Spannweite ein constantes Trägheitsmoment in die Bechnung eingeführt wurde, was trotz des Wechsels im Gurtungsquerschnitt nach obigen, an der ausgeführten Brücke angestellten Yersuchen keine irgend erhebliche Aenderung in der Lage der Wendepunkte der elastischen Linie bewirkt hat.

Das Eigengewicht der Mittelöffnung wird zu 1,446 Tons per laufenden Fuss oder 9820k per Meter, somit zu 2410k per Meter und Geleise angegeben; hievon betragen:

die Gurtungen.....

das Gitterwerk .... die Auflagerständer .    .    .

obere Querverbindungen .

Windkreuze.....

mm

und selbst

gegeben.) Die Er-

1340 Kilo,

517

155

42

68

00 to

Zusammen 2410k

Hienach ist das Eisengewiclit der Mittelöffnung per Meter und Geleise bei 81,4m Spannweite ausgedrückt durch die Relation:

I.

p' = 26 1 + 290 = 2406    . .

wobei zu bemerken, dass das niedrige Fahrbahngewicht daher rührt, dass die Langschwellen, welche die Fahrschienen aufnehmen, von Holz hergestellt und daher in obigem Gewicht nicht inbegriffen sind. — Diese Langschwellen nebst eichener Bedielung mögen per laufenden Meter 400 Kilo, die Fahrschienen inclusive Befestigung 80k per Meter Geleise wiegen, so dass wir als Totalgewicht erhalten:

. . II.

p = 26 1 + 770 = 2886k . .

Als Verkehrslast k wurde per laufenden Fuss Geleise 1 Tonne oder 3334 Kilo per Meter angenommen ; hienach beträgt die Totallast q = p + k = 6220k.

205. Bei Aufstellung der Gleichung 308) ist angenommen, dass die Gittefstäbe nach der Längenrichtung des Gitters sich gegenseitig genugsam aussteifen, indem die Breite der Gitterstäbe meist in einem günstigen Verhältnisse zur Maschenweite steht (Anmerkung zu Gleichung 285) zu vergleichen); die Gleichung 308) setzt desshalb voraus, dass das Trägheitsmoment senkrecht zur Gitterwandfläche berechnet werde ; in dieser Beziehung sind die gedrückten Streben der Drogheda-Boyne-Brücke jedenfalls stark genug, da die Höhe derselben senkrecht zur "Wand nahezu ¹li2 der ganzen Strebenlänge beträgt. Dagegen kommt bei der grossen Maschenweite von 2,25m die Biegung der Gitterstäbe in der Ebene der Gitterwand wesentlich in Betracht ; man hat desshalb besondere Versuche angestellt, wobei ein Gitterträger von der Länge und Höhe der gedrückten Streben direct belastet wurde; in Entfernungen, welche den Gitterstab-Kreuzungen entsprechen, war dieser Stab durch Querstücke gehalten, welche letzteren sich nach der Längen-• richtung des Gitterträgers frei bewegen konnten, aber ein Ausweichen nach den fraglichen Seiten nicht zuliessen; dieser Gitterträger befand sich also ziemlich genau unter denselben Bedingungen, wie die gedrückten Streben im Hauptträger selbst; da der Widerstand gegen Ausbiegen wesentlich durch die Höhe der Flantschen, also durch die Breite der Stäbe des Doppelgitters bedingt war, so wurden zu diesem Versuche Stäbe von nur 4 Zoll (102 mm) Breite verwendet ; als Bruchfestigkeit per nZoll englisch wurden 11 Tons ermittelt, doch glaubte Mr. Barton bei dem Umstande, dass der Bruch an einer schwächereu Stelle erfolgte, auf eine Festigkeit von 14 Tons per Quadratzoll oder 2200 Kilo per Quadratcentimeter schliessen zu dürfen; es ist diess etwa ²/3 der absolut rückwirkenden Festigkeit und darf geschlossen werden, dass bei den stärkern Streben, deren Flachstäbe bis zu 10 x/2 Zoll oder 266mm Breite haben, ein sehr günstiges Yerhältniss

23m

sich herausstellt; die schwächeren Stäbe, welche übrigens (zumal in Rücksicht auf die unterhalb angebrachte Fahrbahn) per nZoll verhältnissmässig weniger in Anspruch genommen sind, geben ziemlich das Grenzverhältniss, welches zwischen Maschenweite und Gitterstabbreite noch zulässig ist; hienach soll also die Distanz der Gitterstabkreuzungen (die längs den Gitterstäben gemessene Maschenweite) höchstens das 18fache der Gitterstabbreite, im Allgemeinen aber bloss das 10 — 12fache betragen. — Diese Regel dürfte auch auf steife Gitterstäbe, wie solche z. B. in Figuren 237 und 238 dargestellt sind, Anwendung finden, und sehen wir auch bei den ausgeführten Brücken die Breite der T- und ß-Eisen in entsprechendem Verhältnisse zur Maschenweite stehen. Flache Gitterstäbe befinden sich unter etwas abweichenden Verhältnissen, indem dieselben in der Ebene der Gitterwand verhältnissmässig grösseren Widerstand leisten ; doch mögen hier andere Umstände wieder nachtheilig wirken, so dass man auch hier die Breite der Stäbe nicht wohl unter ¹ji2 des Abstandes der Kreuzungspunkte annimmt. (Wie mehrfach erwähnt, werden Gitterbrücken mit durchaus flachen Stäben neuerdings selten angewendet.)

206.    Ein weiteres Beispiel einer Gitterbrücke mit steifen gedrückten Stäben zeigt der Viadukt über die Saane bei Freiburg, wo neben den flachen Zugbändern gedrückte Stäbe von LJ-Form angewendet sind; die beiden Rippen der letzteren sind indessen nur je 70mm hoch, so dass die Steifigkeit der sonst üblichen T-Eisen nicht erreicht wird; es sind auch in Entfernungen von 5,58ra, beziehungsweise (gegen die Auflager) 4,18m, besondere Vertikalabsteifungen hinzugefügt. — Die Brücke, welche im Jahrgang 1863 der Berliner Zeitschrift für Bauwesen beschrieben ist, hat noch die Eigenthümlichkeit, dass die Hauptträger über sieben Oeffnungen continuirlich hinweggehen; die fünf Mittelöffnungen haben je 38,8m, die beiden Aussenöffnungen je 44,92m Länge, so dass ein zusammenhängendes Gitter von 353,84m Länge gebildet ist; die Continuität der Träger wurde nicht nur zum Hinüberschieben derselben, sondern insbesondere auch zur Aufstellung der eisernen Zwischenpfeiler benützt, wobei indess das Gitter durch besondere Spannketten armirt war. Die Anfertigung und Aufstellung des gesammten Eisenwerks geschah durch die Herren Schneider & Cie in Creusot, welche mit dem bekannten Hüttenwerke eine grosse Maschinenfabrik verbunden haben.

207.    Da wo sich ausgesteifte Gitterstäbe kreuzen, sind in der Regel einzelne derselben gestossen, wodurch Stossplatten noth-wendig werden; die Anbringung der letztem ist aber dadurch wesentlich erleichtert, dass an den betreffenden Stellen die Strebenkräfte verhältnissmässig klein sind.

Bau der Brückenträger. II. Th.

"Wenn beim vorliegenden Systeme die Yertikalständer fehlen (wie diess in der Regel der Pall ist), so dürfen die abwechslungsweise auf Zug und Druck in Anspruch genommenen Gitterstäbe keineswegs als Flacheisen construirt werden, da letztere auch verhältnissmässig kleine Drücke nicht aushalten können, sobald die freie Länge irgend erheblich ist. — Gitterstäbe, welche abwechslungsweise auf Druck und Zug in Anspruch genommen sind, fehlen aber bei keinem Gitterwerk und insbesondere sind es die mittleren Stäbe, welche bei einseitiger Belastung auch Druck auszuhalten haben ; sodann aber ist (zumal bei geradlinigen Gurtungen) die in §. 20 erwähnte Modification der Strebenkräfte (in Folge deren bei untenliegender Fahrbahn die Strebendrücke vermindert werden) stets wesentlich geringer als der nach Gleichung 288) berechnete, in den Gitterstäben wirkende Druck; die zeitweise Pressung der mittleren Streben bleibt desshalb eine mathematische Nothwendigkeit.

Wenn daher in einzelnen Fällen von der Aussteifung der mittleren Gitterstäbe Umgang genommen wurde, so sind die möglichen Stellungen der Ueberlast nicht entsprechend berücksichtigt; wenn diese Mängel in der Ausführung weniger zu Tage getreten sind, so kann der Grund nur darin liegen, dass die relative Festigkeit der Gurtungen hier eingetreten ist und dass vermöge derselben andere Stäbe in erhöhtem Maasse zur Wirkung kamen.

Siebenter Abschnitt.

Ergänzungen und Schlussbetraclitungen.

§. 23. Ueber Röhrenbrücken.

208. Die Rö hrenb rücken verhalten sich bezüglich ihrer Seitenwände wie andere Balkenbrücken und können die Seitenwände aus Fachwerk, Gitterwerk oder vollen Blechtafeln bestehen. Die Eigentümlichkeit der Böhrenbrücken ist, dass die Gurtungen zweier (meist für ein Geleise bestimmten) Seiten Wandungen zu einem Ganzen verbunden die vollständige Breite der Brücke einnehmen. Die Gurtungen bilden unterhalb den Boden, oberhalb die Decke der Röhre.

Die Formeln, welche in den vorhergehenden Abschnitten für Berechnung der Gurtungs- und Strebenkräfte gegeben sind, lassen sich direct auf die Röhrenbrücken anwenden, sobald nachgewiesen ist, dass die Gurtungskräfte gleichmässig über den ganzen Querschnitt verbreitet sind, welche Voraussetzung den Gleichungen 166) und 167) zu Grunde liegt. Ganz genau kann diese Bedingung bei den Röhrenbrücken nicht erfüllt werden, weil die Differenzen der Gurtungskräfte von den Strebenkräften aufgenommen werden müssen (wie aus den Gleichungen 18) und 173) hervorgeht), während die Strebenkräfte nur ausserhalb, d. h. zu beiden Seiten der breiten Gurtungsbänder wirken ; die Gurtungen müssen also ausser den Längenspannungen auch noch Schubspannungen aufnehmen, veranlasst dadurch, dass die Differenzen der Gurtungskräfte zunächst an den Seitenwänden entstehen und mittelst der Scheerfestigkeit der Gurtungsbänder gegen die Mitte der letztem übertragen werden ; diese mittleren Parthien werden daher immer etwas weniger in Anspruch genommen sein, als die den Seitenwänden zunächst gelegenen Gurtungstheile, wobei noch zu bemerken, dass die Gurtungen der

Röhrenbrücken in Folge ihrer grossen Breite stets aus einer Reihe von einzelnen Blechstreifen bestehen.

Um die Ungleichheit der Gurtungsspannungen auf ein unschädliches Minimum zurückzuführen, wird der seitliche Zusammenhang der einzelnen Gurtungsstreifen durch besondere Constructionsglieder unterstützt; es sind diess die Querrippen, welche vermöge ihrer in horizontalem Sinne vorhandenen relativen Festigkeit der gegenseitigen Verschiebung der einzelnen Gurtungsstreifen entgegenarbeiten. — Diese Querrippen dienen unterhalb zugleich als Querträger zur Aufnahme der Fahrbahn, oberhalb wie unterhalb geben sie zugleich rückwirkende Elemente für die Windverspannung, welche letztere durch die Gurtung selbst gebildet wird. — Insofern die Querrippen die Strebenkräfte auf die ganze Gurtungsbreite gleiclimässig zu vertheilen haben, sind sie zunächst den Auflagern wesentlich mehr in Anspruch genommen, als gegen die Mitte der Brückenöffnungen; sie sollen also hier stärker, beziehungsweise zahlreicher angebracht werden.

209. Die Brittaniabr ücke, welche mittelst Uebersetzung der Menaistrasse die Ueberfahrt zwischen England und Irland abkürzt, ist die erste und in mancher Hinsicht bedeutendste Röhrenbrücke; sie war bis vor Kurzem auch die am weitesten gespannte Balkenbrücke, ist aber in dieser Beziehung nunmehr durch die in Figur 228 dargestellte Brücke über den Leck übertroffen. — Die Brittaniabrücke, welche unter Oberleitung von Robert Stephenson erbaut wurde, hat vier Oeffnungen, wovon die beiden grösseren je 460' englisch (140ra), die beiden kleineren je 230/ (70m) Spannweite haben, wie aus Figur 249 des Näheren ersichtlich.

Fig. 249.

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-— wo' —

Die grosse Bedeutung, welche die Erbauung der Brittaniabrücke für die Anwendung eiserner Brückenconstructionen gehabt hat, liegt hauptsächlich darin, dass hier zum erstenmale das Schmiedeisen in grossem Maasstabe auch für die gepressten Trägertheile in Anwendung gekommen ist; die grosse Spannweite machte es insbesondere nothwendig, das Verhältniss zwischen Tragkraft und Eigengewicht genau zu untersuchen, was Veranlassung zu den äusserst wichtigen Versuchen von W. Fairbairn und E. Hodgkinson gab, welche Versuche sich insbesondere auch auf die Festigkeit der Materialien (Schmied- und Gusseisen) bezogen. Eine genaue Beschreibung dieser Brücke und ihrer Baugeschichte verdanken wir dem mit der Ausführung betrauten E. Clark ; das reich ausgestattete Werk desselben hat den Titel: „The Brittania and Conway tubulär bridges by Edvin Clark published under the supervision of Robert Stephenson.“

Die Lage der Brücke war gegeben durch den sogenannten Brittaniafelsen, welcher breit genug ist, um einen kräftigen Mittelpfeiler aufnehmen zu können. Das erste Project Stephenson’s zeigt zwei Bögen von 350' Spannweite; die Admiralität verlangte aber ein lichtes Viereck von 460' Weite und 105' Höhe, wodurch die Bogenbrücke wegfiel. Man glaubte zu einer Kette greifen zu müssen und beabsichtigte, die Bohre als Aussteifung der Fahrbahn anzuwenden, indem die Aufhängung in anderer Weise als bei den gewöhnlichen Kettenbrücken gedacht war. — Dieses vorläufige Project der Brittaniabrücke betrachtete Stephenson als unbedingt richtig, falls eine noch grössere Weite zu überspannen wäre; man fand aber durch die schon erwähnten Versuche, dass eine Weite von 460' englisch mit einer schmiedeisernen Bohre, d. h. mit einem geraden Balken ohne Hilfe einer Kette überspannt werden kann und setzte hienach die in Figur 249 ersichtlichen Hauptabmessungen fest, indem die Bohre als ein über sämmtliche

Fig. 250.

A.

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Oeffnungen fortlaufendes Ganzes construirt, die Continuität über dem Mittelpfeiler aber nicht voll-T Î ständig hergestellt wurde; die elastische Einie ist daselbst gebrochen, der Winkel, unter welchem beide Kurventheile Zusammentreffen , wurde danach bemessen, dass die grössten Angriffsmomente über dem Auflager und innerhalb der freien Weite den grossen Oeffnungen möglichst gleichwerthig wurden. — Dieser bedeutsamen Anwendung der Theorie der elastischen Linie giengen directe Versuche voraus, welche an 36' langen, 1" dicken hölzernen Stäben angestellt und später durch Messungen an der fertigen Bohre bestätigt wurden. (Zu vergleich N°. 203., wo ähnliche Versuche bei der Drog-heda - Boyne - Brücke erwähnt A sind.)

Weitere Untersuchungen eonstatirten, dass die Röhre bei der Biegung sich wirklich wie ein homogener Balken verhalte. — Ferner wurde empirisch an Metallröhren bestimmt, in welcher Anzahl und Stärke die Aussteifungen der Röhrenwände anzuwenden seien.

Nach manchen missglückten Versuchen mit run-

den und elliptischen Röhren wurde der in Figur 250 dargestellte Querschnitt festgestellt. Die Decke, welche vorzugsweise gedrückt ist, hat mehr Zellen erhalten als der Boden, bei welch letzterem man insbesondere auf conséquente und vollständige Anbringung der Stossplatten zu sehen hatte; eine eigenthümliche Anordnung der Stösse der doppelten Blechlagen des Röhrenbodens ist schon früher in Figur 51 dargestellt worden, und ist dieselbe durch beistehende Figur 251 näher erörtert; die in dieser Figur angegebenen kleinen Ringe stellen die Stösse der vertikalen Zellenwände

Fig. 251.

tZ'------ÿ-----    1Z'

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dar, welche zwischen den Stössen der horizontalen Blechlagen theilt sind; die in Figur 251 ersichtlichen Stossplatten sind 3' (0,915m) lang, das Uebergreifen der Blechlagen beträgt je 1 Fuss (0,305m).

Die Seiten wände der Röhre bestehen aus Blechen von 2' (0,61m) Breite und einer Dicke von ⁸/ig—¹⁰/ie Zoll (13mm bis l6mm) Dicke. An den Stössen sind j_-Eisen als Deckplatten angewandt, wie diess in ähnlicher Weise bei der in Tafel VII. dargestellten Brücke von Langon ersichtlich ist.

Das Eigengewicht der Brittania-Brücke ist sehr bedeutend und beträgt für die grossen Röhren 3,30 tons per laufenden Fuss oder 11270 Kilo per Meter, für die kleinen Oeffnungen 2,6 tons oder 8670m per Meter.

Die Aufstellung der Röhren geschah in der Weise, dass jede Oeffnung für sich zusammengesetzt wurde und zwar geschah diess bei den kleinen Oeffnungen auf einem festen Gerüste an Ort und

Stelle, bei den beiden grossen Oeffnungen aber auf besondern Werkplätzen; die fertigen grossen Röhren wurden sodann zwischen die Pfeiler geflösst und mittelst hydraulischen Pressen gehoben; die Verbindung der einzelnen Röhren geschah unter genauer Beobachtung und Berücksichtigung der Winkel der elastischen Linie, und wurde die Continuität, wie schon erwähnt, über dem Mittelpfeiler nur theilweise hergestellt. Auf diese Weise wurde ein übermässig grosses Angriffsmoment über diesem mittelsten Pfeiler vermieden und hatten die grossen Röhren ihre grösste Anstrengung während des Hebens auszuhalten; bei dem grossen Eigengewicht beträgt nämlich das Angriffsmoment in der Mitte der frei aufliegenden unbelasteten Röhre wesentlich mehr als das grösste Angriffsmoment, welches die belastete Brücke nach Verbindung der 4 Röhren auszuhalten hat.

210. Gleichzeitig mit der Brittaniabrücke wurde die Röhrenbrücke von Conway erbaut (1844 —1848), welche eine einzige Oeffnung von 125m Stützweite erhalten hat; dieselbe zeigt auch ziemlich dieselbe Anordnung, welche in Figur 250 für die Brittaniabrücke dargestellt ist. — Das Eisengewicht beträgt per laufenden Meter 9270 Kilo und entfallen hievon 58 °/₀ auf die Blechplatten, 27°/₀ auf Winkel- und T-Eisen, 10°/₀ auf Deckplatten, 5°/₀ auf Nietenköpfe.

Eine ganz absonderliche Länge zeigt die Victoria brücke bei Montreal, welche 1852 von Robert Stephenson projectirt und gleichfalls als Röhrenbrücke ausgeführt wurde; dieselbe hat 24 Oeffnungen von je 73,8m und eine Mittelöffnung von 100,6m Lichtweite ; letztere grössere Röhre soll per laufenden Meter 6000k wiegen. — Es sind diese Röhren nicht continuirlich, wess-halb auch der nur auf Zug in Anspruch genommene Boden mit Blechplatten ohne Längsrippen hergestellt wurde; bei der Decke ist die Zellenform für die grosse Mittelöffnung beibehalten, für die kleineren Röhren aber durch Rippen von T-Eisen ersetzt.

Eine Röhre mit Gitterwänden zeigt die Nogatbrücke bei Marienburg, welche gleichzeitig mit der Dirschauer Weichselbrücke (s. N°. 198.) erbaut wurde, aber aus fortificatorischen Gründen eine möglichst geringe Höhe erhalten musste. — Boden und Decke dieser Brücke bestehen aus einer einzigen Blechlage, welche durch _|"“förmige Längsrippen verstärkt und ausgesteift ist.

§.24. Ueber Hängwerke.

211. Hängwerke und sogenannte armirte Balken können nach den Regeln für Fachwerkbrücken behandelt werden; doch macht es die geringe Anzahl und verhältnissmässige Grösse der Fache nothwendig, dass die einzelnen sDi und $ nach den Regeln, welche in K°. 124. für den Fall der concentrirten Belastungen aufgestellt sind, und zwar nach den Gleichungen 170) — 173) berechnet werden. — Die in den Figuren 252 und 253 angegebenen Kreuzstreben können bei gleichförmiger Belastung ganz ausser Thätigkeit sein, sie sind aber durchaus nothwendig, sobald

Fig. 253.

Fig. 252.

eine einseitige Belastung eintritt. — Die Hängwerke und armirten Balken, deren einfachste Formen in den obenstehenden Figuren skizzirt sind, gehören in die Klasse der einfachen unsymmetrischen Fachwerke, deren Gurtungs- und Strebenkräfte nach den Gleichungen 186)—191) berechnet werden können, sobald die einzelnen $1 und $ nach den vorgenannten Gleichungen 170)—173) bestimmt worden sind.

2!2. Armirte Balken, d. h. Hängwerke, welche oberhalb durch ein gerades Längsband (Streckbalken) begrenzt sind, kann

Fig. 254.

TT

man ohne Kreuzstreben construiren, wenn man für jede Hängsäule ein besonderes gezogenes Längsband anwendet, wie solches durch Figur 254 dargestellt ist; alsdann aber geht die wesentlichste Eigentliümlichkeit der Balkenbrücken verloren und wir haben eine Ketten- oder Hängbrücke vor uns; denken wir uns nämlich den obern Streckbaum durch Spann- oder Ankerketten ersetzt, so kommen auch die Hängsäulen in Wegfall und erhalten wir die in Figur 255 skizzirte Anordnung, für welche die Gleichungen 185) bis 191) nicht mehr anwendbar sind; die Berechnung geschieht, indem man die Punkte, an welchen die Fahrbahn aufgehängt ist,

als feste Punkte, d. h. als Auflager betrachtet und die nach §. 8 bestimmten Auflagerdrücke nach den gegebenen Kettenrichtungen zerlegt. — Die Berechnung der Auflagerdrücke complizirt sich bei

Fig. 255.

Anwendung von continuirlichen Fahrbahnträgern durch die in Folge der Belastung eintretende Senkung der Stützpunkte, wofür die Regeln gleichfalls in §. 9 gegeben sind.

213. Ein Beispiel eines Hängwerkes von grösseren Dimensionen bietet die bekannte Brücke über den Wye bei Chepstow, deren Hauptöffnung in Figur 256 skizzirt ist. Diese Brücke ist von J. K. Brunei unmittelbar nach der Brittaniabrücke

Fig. 256.

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dick sind.

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und zwar ebenfalls ganz aus Schmiedeisen construirt worden. Wie bei der Brücke von Saltash, welche derselbe Brunei einige Jahre später erbaut hat, so besteht auch hier der gedrückte obere Streckbaum aus einer Röhre von (15mm dickem) Kesselblech, wie solches aus der nachstehenden Figur 257 näher ersichtlich ist; die Röhren haben 2,75m Durchmesser und sind in Entfernungen von 8m durch starke Ringe ausgesteift. — Das untere Längsband und die Kreuzstreben sind als Ketten construirt; die Fahrbahn ist getragen durch Blechträger von 2,3ra Höhe, deren Blechwände nur 6 Brunei hat über das Gewicht der Brücke folgende Notizen gegeben (s. Clark, Seite 103):

127, 5 tons,

Es wiegt für ein Geleise:

Röhre sammt Stossplatten.........

Hiezu Bügel über den Pfeilern .......

Seitenplatten etc. zum Befestigen der Ketten .    .

Dessgleichen für die Diagonalketten......

Yersteifungsringe in Abständen von 8 Meter .    .    .

Nietenköpfe etc..............

Zusammen 161, 5 tons.

Uebertrag 161,5 tons.

Ferner :

Hauptbalken sammt Bolzen.......

Diagonalketten..........

Vertikalständer...........

Sättel, Bollen an den Aufhängepunkten .    .

Fahrbahn, nämlich Hauptträger und Querträger

Zusammen 460,0 tons.

Das Eisengewicht beträgt somit per Meter und Geleise bei 93m Spannweite :

p' = 38 1 + 1400 = 4934 Kilo.

Fig. 257.

fc-

•i

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Ti

Das bedeutende Gewicht der Fahrbahn ist durch die grosse Fachweite bedingt; im Uebrigen ist das Gewicht ziemlich entsprechend dem Gewichte der Saltashbrücke, wie solches in N°. 167. angegeben ist.

§. 25. Continuirliche Träger über mehrere Oeffnungen.

214. Brücken mit mehreren Oeffnungen erhalten neuerdings vielfach frei aufliegende Träger, wie dies die hei den Fachwerkbrücken gegebenen Beispiele zeigen. — Anderseits werden von den französischen Ingenieuren continuirliche Brücken immer noch mit Yorliebe angewendet und zwar wird häufig eine grössere Zahl von Oeffnungen durch einen zusammenhängenden Träger überbrückt, wie diess das Beispiel der Saanebrücke bei Freiburg zeigt (N°. 205.). — Die französischen Schriften über Balkenbrücken geben daher stets auch eingehende Berechnungen der elastischen Linie unter weiterer Ausbildung des in N°. 21. und 22. beschriebenen Verfahrens von Clapeyron.

In den wAnnales des Ponts et Chaussées} Jahrgang 1866“ hat M. Renaudot für eine Reihe von Fällen die hauptsächlichsten Wertlie der Angriffsmomente 9)1 und Vertikalkräfte 35 entwickelt, und wollen wir diejenigen Resultate, welche sich auf vier und fünf gleich grosse Oeffnungen beziehen, in den Tabellen LIX. bis LXI. wiedergeben, theils als Beispiel der dortigen Behandlungsweise, theils der practischen Anwendung wegen, welche bei Gitter- oder Blechwandbrücken sich sehr beqttem darbietet.

Bei 4 Oeffnungen lassen sich durch geeignete Betrachtungen auch die äussersten Lagen der Punkte 35 = o aus den Resultaten der Tabelle LIX. entnehmen; bei 5 Oeffnungen ist diess nicht mehr thunlich. Wo die nachstehenden Tafeln LIX. bis LXI. nicht ausreichen (insbesondere bei abweichender Weite der Aussen-öffnungen) kann man jederzeit das in den Nummern 21. und 22. angegebene Verfahren von Clapeyron anwenden, welches entsprechend den in den Nummern 74., sodann 81. und 82. behandelten Fällen auch bei Senkung der Zwischenstützen sich allgemein benützen lässt.

_yi

Pi²

0,00 0,393

1,00 : 0,420

1,25    0,423

Fig. 258.

H-----«.-1-------

0,0772

0,1761

0,2009

bi

Tabelle

Continuirliche Träger mit

______VI_______>

-T"*

ter

Grösste Angriffsmomente 9JÎ.

X =r 0,<861

x₃=l x₄=0,2681

x,.=0,8041

x₇= J

y₃

y₄

y»

pi²

y«

pi²

pi²

y-

! pl²

p i²

0,0000 0,1071

0,0421    0,2277

0,0526    0,2578

0,0000    0,563 0,0364 0,0000 0,0714

0,0491

0.527 a,1168,    0,0402 j 0,1786

LIX.

4 gleich grossen Spannweiten.

Fig. 259.

___a=l------x----------

Va

\Yj

X»

Grösste

Vertikalkräfte SB und Auflagerreactionen A, B, C.

x₀ = 0,000 xp=0,3931 x₂

— 1 x„= 0,000 x,=0,5361 x₄ =

_I

P¹

Pl

Yo _

ay*_

by₂

Pl

pl

Pl

pl

pl

0,3929

0,8393

1,50    0,425 0,2258    0,0631    0,2879    0,0737

0,0614    0.526 0,1369    0,0502 0,2054

0,526 0,1570    0,0603 0,2321

0,9509

1,0625

1.75    0,427 0,2506    0,0737 ! 0,3181    0,0859

2,00    0,429 0,2755    0,0842    0,3482    0,0982

0,524 0,1772 0,0703 0,2580 0,524 ^ 0,1973 0,0804 0,2875

1,1741

1,2857

0,0000    0,6071    0,5357

1.2277    1,1384

1,3828 !

1,5379 1,6931

0,0536

0,0000    0,4643 1,1429 0,9286

2,3661    2,0741

0,0670

0,0804

0,0937

0,1071

1,8482

1,2891

1,4397

1,5904

0,0670 j 1,0357 0,0837    1,1786    2,6716    2,3571

0,1004 | 1,3214

2,9777    2.6429

0,1172

1,4643    3,2835

1,7411    0,1339

2,50    0,431 0,3253    0,1052    0,4085    0,1228

0,523

0,1004

0,3393

1,5089

0,1339

2,1586

2,0424

3,00    0,433 0,2750    0,1263    0,4688    0,1473

0,522

GO

0,1205

0,3929

1,7321

0,1607

2,4688

4,00    0,436 0,4746    0,1684    0,5893    0,1964

0,521 : 0,3583

0,1607

0,5000

2,1786

0,2143

3,0893

s 5,00    0,438 0,5722    0,2105    0,7098

0,521 0,4388

0,2009

0,6071

2,6250

0,2679

3,7098

1,6071    3,5893    3,2143

4,2009    3,7857

4,3571

1,8929

2,1786    4,8125

,

0,2679    2,7500 I 6,0357

3,3214 j 7,2589

0,1647

2,3438    0,2009

2,9464

5,5000

3,5491

0,3349

6,6429

---a-1---

Fig. 260.

t:

LX.

y,

Pp-

Tabellen

Continuirliche Träger mit

___T>.1___

-S--4

y»i

x₂ = o . 7891

li

pi²

Grösste Angriffsmomente

x₃ = 1

y*

Pir

x₄ = 0,2681

y..

pp

LX. und LXL

5 gleich grossen Spannweiten.

Fig. 261.

----a=l-------%------b=l------%---—*

9JÎ. Figur 260.

xB

y.

y-»

Pp

a. ib

Æ.

x₀ = 0,784 1

x₄ — 0,197 1

x0 2

y,:

y.

y»

ft

Pp

0,00

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,50

3,00

4,00

5,00

0,395

0,421

0,424

0,426

0.428

0,430

0,432

0,434

0,437

0,439

0,0779

0,1773

0,2022

0,2272

0,2522

0,2771

0,3271

0,3771

0,4771

0,5771

0,0000

0,0416

0,0519

0,0623

0,0727

0,0831

0,1039

0,1247

0,1662

0,2078

0,1053

0,2249

0,2548

0,2847

0,3146

0,3445

0,4043

0,4641

0,5837

0,7033

0,0000

0,0491

0,0614

0,0737

0,0859

0,0982

0,1228

0,1473

0,1964

0,2455

0,526

0,520

0,519

0,518

0,518

0,518

0,517

0,516

0,516

0,515

0,0333

0,1122 0,1320 0,1517 0,1715 0,1913 !    0,2308

0,2703 0,3756 0,4810

0,00 0

0,0423

0,0529

0,0635

0,0740

0,0846

0,1058

0,1269

0,1693

0,2119

0,0789

0,1902

0,2180

0,2458

0,2736

0,3014

0,3571

0,4127

0,5239

0,6253

0,0000

0,0397

0,0496

0,0595

0,0694

0,0793

0,0992

0,1190

0,1587

0,1983

0,0461

0,1316

0,1530

0,1743

0,1957

0,2171

0,2599

0,3026

0,3882

0,4737

LXI.

Grösste Angriffsmomente

95 und Auflagerreactionen A, B, C. Fig. 261.

Xq = 0,000 x, = 0,395 1

x₂ = 1

x₂ = 0,000 x₃ = 0,526 1

x₄ =

x₄ = o

p y₀

Pl

pl

y*.

pi

Ti

y?

by

cy₄

Pl

Ti

Pi

pi

Jj .

pl

pi

Oft

0,00    0,3947    0,0000

0,6053    0,5263

0,0000

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,50

3,00

4,00

5,00

0,8421

0,9539

1,0658

1,1776

1,2895

1,5132

1,7368

2,1842

2,6316

0,0526

0,065S

0,0789

0,0921

0,1.053

0,1316

0,1579

0,2105

0,2632

1,2240

1,3798

1,5347

1,6896

1,8445

2,1543

2,4641

3,0837

3,7033

1,1244

1,2739

1,4234

1,5730

1,7225

2,0215

2,3206

2,9187

3,5167

0,0718

0,0897

0,1077

0,1256

0,1435

0,1794

0,2153

0,2871

0,3589

0,4737

1,0502

1,1944

1,3385

1,4827

1,6268

1,9151

2,2033

2,7799

3,3565

0,5000

1,0909

1,2386

1,3864

1,5341

1,6818

1,9773

2,2727

2,8636

3,4545

0,0000

0,0909

0,1136

0,1364

0,1591

0,1818

0,2273

0,2727

0,3636

0,4545

0,1316

2,3493

2,6537

2,9581

3,2626

3,5670

4,1758

4,7847

6,0024

7,2201

§. 26. Schlussbetrachtungen.

215. Die Beispiele von ausgeführten Brücken, welche in den vorhergehenden Abschnitten bei den einzelnen Typen der Balkenbrücken eingeschaltet sind, geben die Anwendung der im 2. und 3. Abschnitte aufgeführten allgemeinen Regeln zugleich mit der Behandlung der jeweiligen Constructionsgattung.

Continuirliche Träger sind behandelt in den Beispielen der Brücke von Langon H®. 114., Eipelbrücke N°. 191., Weichselbrücke bei Dirschau X°. 192., Boynebrücke von Drogheda X°. 203. und Brittaniabrücke N°. 208.

Diese Beispiele zeigen sämmtlich Blechwand- oder Gitterbrücken , während die Fachwerkbrücken meist frei aufliegend con-struirt sind; es ist jedoch kein Hinderniss, letztere ebenfalls con-tinuirlich herzustellen.

Freiaufliegende, geradlinig horizontal begrenzte Träger bieten die einfachste Form der Balkenbrücken dar ; ausser der in N°. 109. —113. behandelten Blechbalkenbrücke sind insbesondere im fünften Abschnitte in §. 16 eine Reihe von geraden Fachwerken beschrieben und durch die lithographirten Tafeln IX. bis XII. näher erläutert.

Freiaufliegende Träger mit gekrümmten Gurtungen werden sehr häufig als einfache unsymmetrische Systeme behandelt, ob sie nun parabolisch sind (§. 17) oder eine hievon abweichende Form zeigen (§. 18). Zwei vollständig berechnete Beispiele: die Mainbrücke bei Kitzingen N°. 172. und 173., und die Colomakbrücke, N°. 179. und 180. zeigen die Anwendung der für beliebige Gurtungsform passenden Regeln; die Anmerkung am Schlüsse von N°. 180. zeigt den Unterschied zwischen diesen beiden Beispielen und kann je nach dem vorliegenden Falle das eine oder andere Verfahren angewendet werden.

Doppelte unsymmetrische Fachwerke zeigen die Donaubrücke bei Ingolstadt, N°. 159. und 160., sowie die Elbbrücke bei Tangermünde, N°. 182. und 183. Die hier angewendeten Rechnungsmethoden lassen sich in ganz gleicher Weise auch auf dreifache Systeme anwenden.

Querträger von Eisenbahnbrücken sind berechnet in Kümmern 110., 153., 157. und 181., und zwar zeigt letzteres Beispiel einen Fachwerkträger, die Beispiele in X°. 110. und 157. Blechbalkenträger, während der in K°. 153. beschriebene Querträger bezüglich der Gurtung als Fachwerkträger, bezüglich der Wandverstrebung als eine Combination von Blechwand und Fachwerk zu betrachten ist.

Schwellenträger werden meist als homogene I-förmige Träger angeordnet, für deren Berechnung Tabelle XXIX. mit Yortheil angewendet werden kann, nachdem die einzelnen Angriffsmomente üül (welchen die -2Xy numerisch gleich sind) entweder aus den Tabellen XXX. oder nach Maassgabe der Figuren 123, 181 oder 217 bestimmt worden sind.

216. Ueber die in die statische Berechnung einzuführenden Eigengewichte der Eisen bahn brücken sind in Tab. XYIIa. Angaben gegeben, welche einer grössten Gurtungsspannung von 700 Kilo per Quadratcentimeter entsprechen. Die im Vorstehenden gege-benenBeispiele von ausgeführten Brücken sollen nunhiemit verglichen werden und zwar sind solche Constructionen ausgewählt worden, bei welchen die einzelnen Querschnittdimensionen entsprechend den in Aussicht genommenen Krafteinwirkungen angeordnet sind. Es findet jedoch auch bei diesen rationell construirten Brücken insofern noch eine Verschiedenheit statt, als bei der Berechnung theils abweichende Verkehrslasten, theils verschiedene Maximalspannungen angewendet wurden. In Tabelle LXII. sind daher neben den wirklich vorhandenen — per Meter und Geleise angegebenen — Eisengewichten p' auch stets die zugehörigen variablen (Verkehrs-) Belastungen, sowie die angenommenen Gurtungsspannungen verzeichnet.

Bei den betrachteten Brückenconstructionen war überall das Bestreben, das Material in allen Theilen der Hauptträger mit gleicher Maximalspannung (Pressung) anzustrengen, welche Spannung in der Tabelle als grösste Gurtungsspannung angegeben ist; selbstverständlich ist mit Rücksicht auf thunliche Einfachheit der Construction eine geringere Anstrengung einzelner Theile unvermeidlich, übrigens bei einzelnen der Beispiele mehr als bei andern vorhanden. Die Fahrbahn — Querträger und Schwellenträger in sich begreifend — wird meist auf eine niedrigere Maximalbelastung berechnet, weil diese Brückentheile von den Stössen der Eisenbahnfahrzeuge mehr in Anspruch genommen sind; diese verhältnissmässig geringere Anstrengung der Fahrbahntheile findet bei den meisten in Frage kommenden Brücken in ziemlich ähnlicher Weise statt.

Es ist nach diesen Erläuterungen anzunehmen, dass eine Brücke direct in demselben Maasse schwerer wird, je niedriger die grösste Gurtungsspannung 21 bemessen ist; anderseits wird eine Brücke schwerer, je grösser das Eigengewicht und die Verkehrslast bei der statischen Berechnung angenommen werden.

12

Um daher die Gewichte der betrachteten Brücken richtig vergleichen zu können, muss in erster Linie das Eisengewicht auf dieselbe grösste Spannung reduzirt werden, für welche wir 2Ï = 700 angenommen und hienach die modifizirten Gewichte p₀' berechnet haben.

Bau der Brückenträger. II. Th.

178

§. 26. Scblussbetrachtungen.

§. 26. Schlussbetracktungen.

179

Bezeichnung der Brücken.

Spannweite.

Variable

Belastung¹

per lauf. Meter.

Hiebei grösste Spannung in den Gurtungen.

Eigengewicht per Meter und Geleise.

P' ’+ k

Po' =    ,

p' reduzirt auf

2t = 700.

ka

Tab.

nach

XVIIa-

qa = p'o + ka

p'a = Eigengewicht p₀'

reduzirt

im Verhältnisse qa : (p' + k)

ka + p'

1,

Blechbalkenbrücke von 15™ Spannweite nach §. 12.

Eingeleisig, frei aufliegend.

15,0m    4750

650

33,3 1 + 330 = 850

5600

31,0 1 +- 306

4750

5520

30,5 1 j- 300

5507

770

757

2.

Brenzbrücke bei Königsbronn.

Eingeleisig, frei aufliegend, Fachwerk.

19,25m    4660

530

42,7 1 + 308 = 1130

5790

82,31 -f 233

4660

5515

31,01 + 218

5475

855

815

3.

Blau-Canalbrücke bei Ehrenstein.

Eingeleisig, frei aufliegend, Gitterträger.

19,40m    4660

660

36,0 1 -f 500 = 1200

5860

34,01 + 470

4660

5790

33,41 4- 464

5772

1130

1112

4.

Project der kleineren Oeffnungen der Elbbrücke bei Meissen. Eingeleisig, frei aufliegend, parabolisches Fachwerk.

21,6m    5440

700

27,0 1 4- 325 = 900

6340

27,01 + 325

4600

5500

900

23,61 4- 284 = 794

5394

5.

Brabebrücke bei Czersk.

Eingeleisig, frei aufliegend, parabolisches Fachwerk.

25,4m    4470

684    26,31 + 338

= 1078

5548

25,7 1 + 330

4550

5532

25,7 1 4- 330

5532

982

982

6.

Brücke über den Colomak.

Eingeleisig, frei aufliegend, Fach werk.

33,8®    4564

670    34,3 1 + 460

= 1620

6184

32,81 + 440

4440

5990

31,71 4- 428

5940

1550

1500

7.

Mainbrücke bei Kitzingen.

Eingeleisig, frei aufliegend, System Pauli.

37,0m

3800

734

23,5 1 +• 314 = 1180

4980

24,8 1 + 330

4420

5660

27,8 1 4- 376

5825

1240

1405

8.

Isarbrücke bei München

Eingeleisig, frei aufliegend, Fach werk.

50,2m

5440

600

37,31 + 668 = 2634

8074

32,4 1 + 630

4230

6490

25,91 4- 504

6035

2260

1805

9.

Donaubrücke bei Ingolstadt.

Eingeleisig, frei aufliegend, Fachwerk.

54,24«

4840

600

41,01 4- 685 = 2908

7064

35,1 1 + 587

4200

6104

30,0 1 4- 500

6337

2490

2137

180

§• 26. Schlussbetrachtungen.

Bezeichnung der Brücken.

lg I Spannweite. .5 'S jg

I «ö

i

V ff)

per lauf. Meter.

|ü

m den

Eigengewicht Per Meter und Geleise.

Po' =

p' reduzirt auf

ka

21 = 700.

nach qa ~ ?'« Tab. XVII [    4 ka.

pa' = Eigengewicht p₀' reduzirt

im Verhältnisse qa : (p' -f- k)

ka 4 p'a

10.

Elbbrücke bei Meissen.

Eingeleisig, frei aufliegend, Fachwerk.

54,6“

4142

731

29,71 + 346 = 1970

6100

31,0 1 + 360 = 2054

4200

6254

81,81 + 370 == 2116

6316

11.

Elbbrücke bei Tangermünde.

Zweigeleisig, frei aufliegend, System Schwedler.

65,9m

3725

731

20,91 + 440 = 1817

5542

21,81 4 460 = 1896

4000

5896

23,2 1 4 490 = 2020

5916

12.

Brücke bei Langon.

Zweigeleisig, continuirlich, Blechwandbrücke.

68,0m *j

4000

700

27,01 + 445 = 2274

6274

27,0 1 4- 445 = 2274

7000

6274

27,0 1 4 445 = 2274

6274

13.

Boynebrücke bei Drogheda.

Zweigeleisig, continuirlich, Gitterträger.

81,4m **)

3333

700 26,0 1 -f 290 = 2407

5740

26,01 4 290 = 2407

3850

6257

28,3 1 4 316 = 2620

6470

14.

Rheinbrücke bei Cöln.

Zweigeleisig, continuirlich, Gitterträger.

98,22

2550

731

27,91 -f 420 = 3336

5886    29,1 1 + 438

= 3483

3700

7183

35,5 1 4 534 = 4020

7720

15.

Rheinbrücke bei Mainz.

Eingeleisig, frei aufliegend, System Pauli.

105,2

2930

820

24,331 + 676 = 3230

6160

28,51 4 792 = 3780

3650

7430

34,2 1 4 952 e= 4550

8200

16.

Royal-Albertbrücke bei Saltash Eingeleisig, frei aufliegend, parabolisches Fachwerk.

138,68

3334

700 39,3 1 + 1125 = 6575

9909

39,31 4 H25 = 6575

3334

9909

39,31 4 1125 = 6575

9909

geben ist.

*) Mittlere Weite der 3

Oeffnungen, deren Durchschnittsgewicht

ange-

**) Mittlere OefFnung, auf welche

allein die Gewichtsangabe sich bezieht.

In zweiter Linie ist eine und dieselbe Yerkehrsbelastung zu Grunde zu legen, wesshalb wir für jede Spannweite die in Tabelle XYIIa. angegebene variable Last k bei jeder Brücke beigesetzt und mit ka bezeichnet haben.

Die Summe der je nach denselben Grundsätzen berechneten Gewichte p₀', beziehungsweise ka, ist nun in Yergleichung zu bringen mit den in den vorderen Columnen angegebenen, bei der Projectirung der Brücken zu Grunde gelegten Werth e p',

Die nach dem Verhältnisse (p₀' -f~ ka) : (p' + k) modifizirten ideellen Eisengewichte sind in der Tabelle LXII. unter der Bezeichnung p'a gegeben und ist schliesslich in der letzten Columne die Summe der Werthe p'a und ka gezogen, welche Totalbelastungen qa einer gleichartigen Behandlung sämmtlicher Projecte entsprechen.

beziehungsweise k, und ist anzunehmen, dass eine nach Tabelle XVIIa. und für eine Spannung = 700 berechnete Brücke gleicher Construction und Spannweite im Verhältnisse (p₀' -f ka) : (p' -j- k) schwerer ausfallen müsste, als die unter andern (aus der Tabelle ersichtlichen) Bedingungen projectirten Bauwerke in "Wirklichkeit zeigen.

Diese letzte Columne der Werthe qa zeigt die eigenthümliche Erscheinung, dass die einzelnen Werthe, soweit die Spannweiten zwischen 30m und 80m sich bewegen, nahezu constant sind, so verschiedenartig die angewandten Constructionen sind; es ist diess in Uebéreinstimmung damit, dass die in der vorletzten Columne verzeichneten Werthe pa' ziemlich stetig mit der Grösse der Spannweiten wachsen, während die nach Tabelle XVIIa. berechneten Werthe ka entsprechend abnehmen.

Dass die Eigengewichte p' bei Spannweiten über 80m wesentlich rascher zunehmen, als die Verkehrslast k abnimmt, ist schon oben in N°. 198. erläutert.

Als eine weitere Thatsache zeigt sich, dass die zweigeleisigen Brücken verhältnissmässig leichter sind, als die eingeleisigen; es ist diess auch theilweise die Ursache, warum die Kölner Rheinbrücke sich nach unserer Vergleichung fast ebenso leicht darstellt, als die Mainzer Rheinbrücke, welche besonders sorgfältig construirt ist; — allerdings konnte bei unserer Vergleichung eine immerhin vorhandene stärkere Anstrengung einzelner Constructionsglieder, welche bei einzelnen Brücken in höherem Maassstabe als bei anderen vorhanden ist, nicht in Betracht gezogen werden, so dass der Werth der einzelnen Constructionssysteme nicht unbedingt nach vorstehend aufgeführten Gewichten beurtheilt werden darf; wir werden aus der vorstehenden Tabelle vielmehr schliessen dürfen, dass sämmtliche Systeme, sofern sie rationell angewendet werden, für dieselbe Spannweite ziemlich übereinstimmende Eisengewichte ergeben, unterschieden hauptsächlich durch den Grad der Sorgfalt, welcher bei der Projectirung angewendet wurde.

I.

A n h a n g.

Aus den Bauzeichnungen lässt sich jederzeit tangens oder cotangens der betreffenden Winkel bestimmen; die Tabelle dient alsdann zur Bestimmung der übrigen trigonometrischen Functionen.

Grad.

Min.

sin.

cosin.

tang.

cotang.

10

20

30

40

50

10

20

30

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0,07556    0,99714    0,07578

0,07846    0,99692    0,07870

0,08136    0,99668    0,08163

0,08426    0,99644    j 0,08456

0,08716    0,99619    j 0,08749

0,09005    0,99594

0,09295    0,99567

0,09585    0,99540

0,09874 0,10164 0,10453 0,10742 0,11031 0,11320 0,11609 0,11898 0,12187 0,12476 0,12764 0,13053 0,13341 0,13629 0,13916 0,14205 0,14493 0,14781 0,15069 0,15356 0,15643 0,15931 0,16218 0,16505 0,16792 0,17078 0,17365 0,17651

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0,99067    0,13758

0,99027    0,14054

0,98986    0,14351

0,98944    0,14648

0,9S902    0,14945

0,98858 0,98^14 0,98769 0,98723 0,98676 0,98629 0,98580 0,98531 0,98481 0,98430

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0,75471 0,75280 0,75088 ¹    0,74896

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0,73924 0,73728 0,73531 0,73333 0,73135 I 0,72937 0,72737 0,72537 0,72337 0,72136 0,71934 0,71732 0,71529 0,71325 !    0,71121

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0,90040 0,90569 0,91099 0,91633 0,92170 0,92709 0,93252 0,93797 0,94345 0,94896 ;    0,95451

0,96008 0,96569 0,97133 0,97700 0,98270 0,98843 0,99420 : 1,00000

1,23490 1,22758 1,22031 1,21310 1,20593 1,19882 1,19175 1,18474 1,17777 1,17085 1,16398 1,15715 1,15037 1,14363 1,13694 1,13029 1,12366 1,11713 1,11061 1,10414 1,09770 1,09131 1,08496 1,07864 1,07237 1,06613 1,05994 1,05378 1,04766 1,04158 1,03553 1,02952 1,02355 1,01761 1,01170 I 1,00583

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„ 100, „

„ 101 in Figur 66 sollte als Trägerdistanz nur l,66m angegeben sein. „ 106, Zeile 12 von oben lies Figur 71 anstatt Figur 72.

„ 128 in Gleichung 124b ist vor A das Zeichen — anzubringen.

„ 128, Zeile 4 von unten lies 108—109 anstatt 106 — 109.

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„ 127, Zeile 3 von oben lies Coordinatenursprung in A anstatt in B.

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„ 144, letzte Zeile lies a, = a -f-

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BB,

„ 152 in Figur 97 lies anstatt    gleichfalls:

„ 152 bei Fall 15 lies P ~

„ 158 bei Figur 101 lies 3446 anstatt 3466. » 158    „

» 158    „

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„ 169, Zeile 5 von unten lies 700 anstatt 600. „ 171 in Gleichung 161) ist anstatt

anstatt P

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3141.

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„ 179, Zeile 8 von oben lies Parabelbögen anstatt Parallelbögen.

„ §₀ anstatt H₀.

„ 10    „ unten „ per laufenden Meter anstatt per laufenden Fuss.

„ 183 » 189,

„ 191,

» 191,

„ 194, n 198,

In Tafel II., letzte Figur, lies 5PÎ nach Gleichung 97) anstatt Maximum 9JÎ nach

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„ 13 und 15 von unten lies Schubspannung anstatt Schubkraft. „    9 von unten ist einzusetzen: nach Gleichung 55).

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lies XXXV. anstatt XXXVI.

„    64,08 . q „    64,08 . 9.

Gleichung 97).

Druckfehler und Berichtigungen des zweiten Theils.

Seite 5 in Fig. 129 lies 3)îx = —g---— ^anstatt

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„ 8, Zeile 5 von unten lies Figur 130b anstatt 103b.

„ 19,    „ 12 „ oben „ Facheintheilung anstatt Facheinheit.

„ 20 sind die Gleichungen 185) und 186) mit 186), beziehungsweise 187) zu bezeichnen; in denselben Gleichungen ist anstatt Ü0Î zu setzen SDÎ'.

„ 25, Zeile 4 von oben lias beistehender anstatt bestehender.

„ 27, Zeile 12 von oben lies Nummerzahl anstatt Nummernzahl.

32, Zeile 22 und 28 von unten lies ron anstatt rau.

„ 41 in der Vertikalcolumne (2) lies 500 anstatt 250.

1 kl

„ 51. Zeile 4 von oben lies max j = —

5440 X 50,2

„ 60 in Figur 179 ist statt 4,63 zu setzen: 63,4.

„ 60, Zeile 9 von unten lies 280,3 anstatt 28,3.

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„    231) anstatt 230.

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231.

„ 77 „

„ 78, Zeile 9 und folgende lies: Die Gleichungen 238) — 241) erleiden, wenn die Last von B nach A geht, nur insoweit eine Aenderung, als für A stets B, für B stets A gesetzt, ferner 3JZm und ®Zm_x und ebenso

®m und »nt

„    80 in Gleichung 248) lies (t g ßm -f- t gm i).

n 80    „

— 1.

gegeneinander vertauscht werden müssen.

249) „ (t g ßm — l + tgy). „ 127, Zeile 26 von unten lies 54,6 anstatt 21,6. » 136, „ 9 „

» 140,    „ 13

„ Gitterstäbe anstatt Gitterstärke.

„ oben „ 192 anstatt 191. (Die Nummmer 192 auf Seite 141 ist alsdann mit 192a zu bezeichnen oder ist als Fortsetzung von N°. 192 zu betrachten.)

„ 144, Zeile 2 von unten ist die Nummer 194 zu streichen.

„ 154 lies Tabelle LVIII. anstatt LYIT.

In Tafel XY. lies V2 1 — 32 95m anstatt 32,45 m.

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