WYDZIAIY POLITECHNICZNE KRAKÔW

BIBLIOTEKA GLÔWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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TRAITÉ PRATIQUE

DES

PONTS MÉTALLIQUES

BAR-LE-DUC.

IMPRIMERIE COMTE-JACQUET.

FACDOUEL, DIR.

TRAITÉ PRATIQUE

DES

PONTS MÉTALLIQUES

CALCUL DES POUTRES ET DES PONTS

A UNE OU A PLUSIEURS TRAVÉES

PAR LA MÉTHODE ORDINAIRE ET PAR LA STATIQUE GRAPHIQUE

PONTS EN ARC

PAR

M. PASCAL

INGÉNIEUR

ANCIEN ÉLÈVE DE L’ÉCOLE ü’ARTS ET MÉTIERS ü’aIX

NOUVELLE ÉDITION

ENTIÈREMENT REFONDUE ET CONSIDÉRABLEMENT AUGMENTÉE

Avec 125 Figures dans le texte et un Atlas de 15 Planches

aler

Cifeatlkhen Ârbti&tft

PARIS

LIBRAIRIE POLYTECHNIQUE CH. BÉRANGER, ÉDITEUR

Successeur de BAUDRY & Cio

15, RUE DES SAINTS-PÈRES, 15 MÊME MAISON A LIEGE, RUE DE LA RÉGENCE, 21 1900

Tous droits réservés

OUVRAGE DU MÊME AUTEUR

Barême des Poutres métalliques à âmes pleines et à treillis.— 1 volume. Prix

12 fr. 50

BIBLIOTEKA Pi'.SÏECliSieiM

K R A K Ô W

I.

«15*0

Akc. Nr.

JAQQl l/j

PRÉFACE

L’accueil favorable que le public a fait à la première édition de cet ouvrage, nous a montré que le but que nous poursuivions a été atteint, et nous a décidé à le mettre en harmonie avec les nouvelles prescriptions de la Circulaire Ministérielle du 29 août 1891, réglementant les conditions d’établissement des ponts métalliques. Ainsi que nous le disions dans la première édition, les livres spéciaux traitant de la résistance des matériaux et même des ponts métalliques sont très nombreux, mais souvent trop savants et trop théoriques ; aussi nous a-t-il paru utile de publier un traité pratique s’occupant spécialement des poutres et des ponts métalliques. Les formules et les méthodes employées dans ce traité sont puisées dans les ouvrages théoriques les plus sérieux. Leurs applications sont faites avec des exemples ayant vécu et les données pratiques qui y sont indiquées, sont le résultat de l’expérience acquise pendant de longues années dans la pratique du métier.

Dans cette nouvelle édition, les calculs des ponts sont présentés par la méthode ordinaire et par la Statique graphique, avec ses applications les plus récentes; on y trouve aussi le choix de plusieurs méthodes. Nous avons enfin introduit Ja méthode de calcul pratique des ponts en arc en fer, avec tympans rigides, type qui tend à se répandre de plus en plus aujourd’hui.

Dans notre pensée, ce livre doit économiser beaucoup de temps et de travail au public à qui il s’adresse, et ce public comprend tout particulièrement: les Constructeurs, les jeunes Ingénieurs, les Conducteurs et employés des Ponts et Chaussées, les jeunes gens qui sortent des Écoles d’Arts et Métiers, les dessinateurs et tous ceux dont le temps est trop précieux pour le perdre en recherches laborieuses dans des ouvrages souvent très coûteux. Nous espérons qu’après avoir lu ce travail, ils seront à même de produire rapidement les projets et les notes de calculs des ponts métalliques.

M. P.

Mai 1899.

TABLE DES PLANCHES

Numéros

Poutre encastrée à une extrémité et libre à l’autre. — Poutre encastrée à ses deux extrémités et chargée d’un poids unique, en son milieu ou en un point quelconque, puis à

une charge uniformément répartie............

Poutre encastrée à ses deux extrémités et soumise à des charges quelconques. — Ligne élastique.

Poutre encastrée d’un bout reposant librement à l’autre et

soumise à des charges quelconques............

Charge la plus défavorable d’une poutre, par rapport aux

moments fléchissants..................

Recherche du centre de gravité de la section d’une poutre. — Projet d’un pont métallique de 8m,00 d’ouverture, pour

route de 4m,00 de largeur...............

Pont métallique biais à 35° pour route de 5m de largeur . . . Pont de 10m,00 d’ouverture, pour route de 5m,00 de largeur. — Epures de flexion et de statique graphique. — Épure du

calcul des barres de treillis...............

Pont de 8m,00 d’ouverture sous rails et à poutres jumelées

(Type de la Compagnie du Midi).............

Méthode de MM. Hausser et Cunq pour la détermination graphique de la courbe des moments fléchissants maxima.

Pont en acier de 18m,00 d’ouverture pour voie ferrée.....

Types de poutres h treillis.................

10, 11 et 12

Pont à deux travées de 74m,00 d’ouverture totale, portant deux voies ferrées. — Ensemble, élévation d’une poutre. — Coupe transversale. — Epures Pont à trois travées, de 140m,85 d’ouverture totale, pour route

13 et 14

de 7m,00 de largeur...................

Pont en arc à longeron droit................

TRAITÉ PRATIQUE

DES PONTS MÉTALLIQUES

CHAPITRE PREMIER

§ I.

Manière dont se comportent les corps soumis à des efforts de flexion et formules usuelles.

OU

Lorsqu'un solide encastré par une de ses extrémités posé librement sur deux appuis, est soumis à l’action d’une ou de plusieurs forces qui le font fléchir, on remarque que les fibres ou files de molécules situées du côté de la face concave sont raccourcies, tandis que les fibres situées du côté de la face convexe sont allongées. Ces effets opposés de raccourcissement et d’allongement allant en augmentant de l’intérieur à l’extérieur du corps, il existe nécessairement à l’intérieur une couche de fibres dont la longueur n'a pas varié, on lui donne le nom de couche des fibres neutres.

On remarque aussi que les diverses sections transversales du solide prismatique, d’abord perpendiculaires à sa longueur avant la flexion, se trouvent encore, après la flexion, normales à cette longueur. D’où l’on induit que toute section du solide subit, durant la flexion, un mouvement de rotation

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

autour d’une droite qui est l’intersection de la couche des fibres neutres et de la section considérée. Pendant cette rotation, les fibres situées du côté de la convexité, subissent des efforts d’extension, sous l’action desquels elles s’allongent et présentent des résistances précisément égales à ces efforts, tandis que les fibres situées du côté de la concavité du solide subissent des efforts de compression sous l’action desquels elles se raccourcissent en opposant des résistances égales à ces efforts de compression.

Ainsi, comme on le voit, la résistance à la flexion se compose de deux résistances combinées, l’une à la traction, l’autre à la compression, et le moment statique ou moment fléchissant des forces qui tendent à produire la flexion du solide, par rapport à l’axe des fibres neutres, doit toujours faire équilibre au moment résistant de la pièce, tant qu’on ne dépasse pas la limite d’élasticité.

Voici les principales formules déterminant les moments fléchissants développés dans un solide, selon les conditions de la distribution des forces auxquelles il est soumis, et selon qu’il repose simplement sur ses deux appuis, qu’il est encastré par une de ses extrémités, ou qu’il est encastré par ses deux extrémités.

S II.

Poutre reposant sur deux appuis de niveau et soumise :

I. —A une charge uniformément répartie p par mètre courant.

ou

Moment fléchissant en A (fig. 1) : pi    px²

-X----

2    2

pl f x³    l²x a?⁴

ËTVÏ2 “ 24 ~ui.

Au milieu

d’où :

m=4    )

c'-

pi²

et la flèche an milieu devient :

fm =

5pP

-L*

384 El *

II. — A une charge uni- *~i formément répartie p par mètre courant, qui n'occupe qu'une partie de la portée

(% ²).

Le moment fléchissant au milieu de la portée /, M = —

ht--**¹--->i

JL

.Y.

Fig. 1

2Z — d .

y)

d est la longueur de la par- ;—-tie chargée uniformément du ^ poids p par mètre courant.

Cette longueur d occupe le milieu de la portée /.

III. — A une charge unique P déterminée de position (fig. 3).

Moment en A,

_ JL___

Fig. 2

P.r

Flèche en A

f= p æ²(*-ar) / Er 3/

Au milieu on a

d’où

PI

et la flèche au milieu devient

P/³

fm — -

48 El

. (2)

S’il y avait en outre une charge uniformément répartie p par mètre courant :

Moment en A :

P    1    /P

M = — (Ix— x²) -h — p(lx— x²) = l-j

tP

Si la charge P était ait milieu,

Le moment au milieu serait :

2k

.JL

■-r

et la flèche totale serait égale à la somme des flèches des formules (1) et (2).

IV. — A deux charges P et P' déterminées de positions (flg. b).

h*--

Fig. 3

Le moment en B serait : P# -+• P'x'

M=q(l—a?') —

(l-x').

Si les points A et B étaient également distants des appuis, les moments seraient égaux en A et en B et constants entre ces deux points.

Et s'il y avait, en outre, une charge uniformément répartie p : On aurait en B :

Pæ + P V

Æ’-_ X_____

k-

JL

;p>

Fig. 4

Et si P = P' qu’en outre, x = l — x’

Le moment au milieu serait :

M = Pï+^

O

et sont également distants des appuis, alors :

fm

5 pP

~ 384 El

PP P.r(/— 2*)

3EI

8EI

§111.

I.— Poutre encastrée aune de ses extrémités; l’autre extrémité est libre et porte un poids P (fig. 5).

Moment en A :

M = Vx.

Flèche en A :

P f l²X X³

¹ = ËT\ï ¥

Moment à l’encastrement o :

M = VI.

Flèche maximum à l’extrémité B :

___Z,__

Fig. 5

rP

fm

p/!

3 El

II. — Poutre encastrée à une extrémité, libre à l'autre et uniformément chargée d’un poids p par mètre courant. Moment en A :

M = px x — =

px²

Flèche en A

pl ( l²x

6    24

Moment à l’encastrement o :

M =?il

Flèche totale à l’extrémité B :

pr

BEI

§ IV

Poutre encastrée horizontalement à ses deux extrémités, et :

I. — Chargée d’un poids P agissant au milieu de la portée

(% 6).

Moment en A :

Px

(3)

Flèche en A :

P /Six- — Ax³

ipL

-jfc.

-*r

^ El

Moment au milieu :

48

SS

f= —

_2__

VI

vP

Fig. 6

Pour x — — on a M = 0.

Flèche au milieu :

fm =

P/³

192EI

Si dans la formule (3) on fait

x = 0,

Le moment à l’encastrement devient :

VI

8~’

c’est-à-dire, le meme qu’au milieu, mais de signe contraire.

II. — Soumise simplement ci une charge uniformément répartie p par mètre courant.

Moment en A :

(j

»/⁸ ( 1 M = î— ¹

--rH—ït *

Flèche en A :

m = Æ.

24

Ix¹ — 2a;³

a;⁴

24

24/

Moment au milieu :

Moment à l’encastrement :

pl²

42

pour

a? = 0,2121,

M = 0.

Flèche au milieu :

fm —

pl⁴

384EI

ooo

— Poutre encastrée à une de ses extrémités B, supportée librement à l’autre C, et chargée d’un poids P au milieu de sa portée (%. 7.)

Réaction q sur le point d’appui C :

î = lPi.

v 16

Moment en A :

46

Moment au milieu de la portée :

P/.

--

32

•*- -*** — •*>

Moment entre le milieu de la poutre et le point d’encastrement :

( ⁵ Üa?i\

V 32    16//'

Moment à l’encastrement :

M = P/

Ss

SS

Fig. 7

► T-

-t.,

ip,.

16

Flèche au milieu de la portée :

Flèche maximum dans le courant de la poutre :

/J~

pour x = / y/ — = /x 0,44721.

7/:i

768

/” ⁼ V/T

pp

48EI

De l’appui G au milieu on a :

^ El 32

[t

5.t³

3/³

Du milieu à l’encastrement on a :

P Z³

r

L 4/

Vi El 32

5;r²

2 Z²    3 Z³

II. — La même poutre est soumise seulement à une charge unique de p kg. uniformément répartie par mètre courant

(«g- ?)•

Réaction du point d’appui :

<7 =

T pL

Moment en A :

plx / 3 x \

M = — [i—j) =

3 plx

px²

Moment au milieu :

pl²

16

M = 4^--

Moment à l’encastrement :

pl²

pL

f    192 El ’

en un point quelconque on a :

pP

^ 48EI

[t

3x³

2^1 ⁺ ~T ]’

maximum pour

— (1 H- /33) = 0,4215/, le point d’inflexion est donné par

CO

§ VI

Formule générale d’application du moment résistant des poutres.

Dans toutes les formules qui précèdent :

RI

d’où l’on tire :

R=“

M— Représente la somme des moments fléchissants des forces qui tendent à produire la flexion ou la compression des fibres dans la section que Don considère, c’est le moment de rupture.

Cette valeur étant le produit d’une force en kilogrammes par un bras de levier en mètres, est exprimée en kilogram-mètres et porte quelquefois la notation kgm.

I. — Moment d’inertie de la section, pris par rapporta l’axe passant par le centre de gravité delà figure ; il est égal à c’est-à-dire à la somme des produits des divers éléments du qui composent la section de rupture, par le carré de la distance variable v de chaque élément à l’axe passant par le centre de gravité.

— Est le rapport du moment d’inertie de la section, à la distance de la fibre la plus éloignée de son centre de gravité. (Voir tableaux des moments d’inertie des sections les plus usuelles à la fin de l’ouvrage.)

RI

Moment de résistance de la pièce au moment anti-

fléchissant.

R — Charge par mètre carré qu’on peut appliquer avec sécurité à la tension ou à la compression des fibres qui composent la section considérée. (Voir tableau ci-après.)

E — Module d élasticité du métal ou effort qui, exercé sur l’unité de surface est capable de produire, par unité de longueur, un allongement élastique égal à cette unité de longueur.

Tels sont les éléments au moyen desquels on peut calculer les dimensions d’une poutre de section quelconque, placée dans l’une des conditions indiquées ci-devant.

§ vii

Tableau des résistances à la traction de divers matériaux. — Coefficients d’élasticité.

CHARGE CHARGE

CHARGE

par

MATÉRIAUX

millimètre

carré

par

par

millimètre

carré

millimètre carré

qu’on peut qui commence qui produit appliquer

MODULE ou coefficient d’élasticité E

en

kilogrammes

à altérer arec sécurité l’élasticité

la

par

rupture

millimètre

carré

METAUX

kilog.

kilog.

kilog.

Fer forgé de grosseur moyenne et de bonne qualité . Fil de fer de 3 mil. lim. de diamètre non recuit. . . . Acier extra doux . . Acier très doux. . .

Acier doux.....

Acier dur.....

Acier très dur . . . Acier extra dur. . . Acier fondu ....

Fil d’acier.....

Fonte grise ordinaire Fers laminés pour constructions métalliques .....

Cuivre laminé . . .

6,00    11 à 18,00

34,00

19000

9,00

7,00

7,50

9,00

10.50

12,00

13.50 18.00 20,00

18,00

22,80

25.50 31,00

35.50

39.50

42.50

70,00

40,00

44,00

54,00

64,00

74,00

84,00

19000

22000

22000

22000

22000

22000

22000

30000

2,50

45 à 80 130 à 140,00

6,00 12,00

9000

37,80

25,00

16000

11000

BOIS

Teak........

Chêne de bonne qua

1,00

11,00

1600

lité

0,75

7,50

1100

Chêne de bonne qualité , perpendicu-lairement aux fibres ......

Pin........

Sapin jaune ou blanc Orme.......

r- art o o r-

o o” © ©~

o o o o r- ïo © o

t-'¹ «aT

1400

900

CHAPITRE DEUXIÈME

STATIQUE GRAPHIQUE. — APPLICATIONS PRATIQUES

I. — La statique graphique a pour but de remplacer le calcul par des épures de géométrie, lorsqu’on se propose de rechercher, dans une pièce quelconque, soumise à des conditions de résistance et de stabilité, la résultante des forces extérieures qui agissent sur cette poutre et le moment de ces forces.

Son emploi dans les calculs conduit à deux avantages :

1° Les résultats parlent aux yeux et les erreurs sont moins à craindre que dans les calculs ordinaires.

2° On parvient facilement et presque par routine à résoudre, par des épures, des problèmes de résistance de matériaux sans avoir besoin d’être rompu aux principes et aux calculs assez compliqués de résistance.

Les vulgarisateurs de la statique graphique furent Cul-mann, professeur à l’Ecole de Zurich et Crémona, professeur italien.

§ Il

Problèmes ordinaires de la statique graphique.

L — Etant données deux forces 1 et 2, distribuées dans le même plan, trouver leur résultante (fig. 8-8bis-8ter.)

On porte bout à bout, deux lignes dirigées suivant les forces 1 et 2 et représentant ces forces en grandeur, à une échelle convenue. La ligne R₁₂, qui ferme le triangle ainsi obtenu, fig. 8bis, représente en grandeur et en direction la force inconnue, qui maintiendrait le groupe des forces 1 et 2 en équilibre. Cette force est égale en grandeur et de sens opposé à la direction de la résultante cherchée.

Fig. 8

Fig. 8 bis

*î

² >>

—-*•

Fig. 8 1er

La fig. 8ter indique, sans démonstration utile, comment cette force R₁₋₂ est bien égale à la résultante cherchée.

La fig. 8bis s’appelle Polygone des forces.

Comme conséquence, on peut, dans un système équilibré par 3 forces situées dans un même plan et de directions connues, déterminer l’intensité des deux d’entre elles si on connaît la grandeur de l’autre.

Il suffit pour cela de mener par les deux extrémités de la force connue en grandeur, des lignes parallèles à la direction des deux forces inconnues ; ces lignes complètent le triangle des forces et sont déterminées en longueur, par leur intersection.

II. — Étant données trois forces 1, 2 et 3 distribuées dans le même plan, trouver leur résultante (fig. 9 à 9IV.J

1.2.3

On construit encore le polygone des forces en portant bout à bout des lignes dirigées suivant les forces données et représentant les grandeurs de ces forces à une échelle convenue. La ligne Rj.2.3 qui ferme ce polygone (fig. 9bis) ou (fig. 9IV), donne la grandeur et la direction de la force qui maintiendrait le système en équilibre. Cette force R est donc égale en grandeur et opposée à la direction de la résultante cherchée. Comme on le voit, la direction de la force qui maintient le système en équilibre, s’obtient en supposant que le polygone des forces est parcouru dans un

sens ininterrompu, par des forces égales aux forces connues. La fîg. 9ter représente l’épure que l’on fait en mécanique

o>

S/i

Fig. 9

Fig. 9 bis

jn

.2

R.

1r

*b'

Y"

''J'

Fig. 9 ter

Fig. 9IV

élémentaire pour arriver à ce résultat. En se reportant au problème précédent, on reconnaît facilement que la ligne- ab

i.

Z_

Fig. 10

Fig. 10 bis

est égale à la résultante de 1 et 3, donc, la ligne ac est bien égale en grandeur et en direction à la résultante des forces R 1.3 et 2, c’est-à-dire des forces 1, 2 et 3. Ce triangle abc est d’ailleurs bien égal au triangle mno de la fig. 9ter.

Le polygone devant être fermé pour qu’il y ait équilibre entre ces forces, on peut : Etant données les directions de quatre forces \, 2, 3 et 4, qui se font équilibre et situées dans le même plan, et la grandeur de deux d’entre elles 1 et 2, déterminer la grandeur des deux autres. (Fig. 10 et 10bis.)

Il suffit pour cela de construire le polygone des forces en portant bout à bout les forces 1 et 2, et par l’autre extrémité de chacune de celles-ci, mener des parallèles aux forces 1 et 3 ; les lignes 3 et 4 qui se rencontrent pour fermer ce polygone, déterminent les grandeurs de ces forces.

III. — Étant données quatre forces 1, 2, 3 et 4 situées dans le même plan, trouver leur résultante (fig. 11 et llbis).

i’

m-Rpsà.trnte_mJ.---

JpreçtJoiL opposée à Ta résultante

Fig. H.

En construisant le polygone des forces d’après les indications ci-dessus, la ligne de fermeture R

J.

'VV

•''V

prise en sens opposé à celui indiqué par la fig. llbis donne la grandeur et la direction de cette résultante.

1.2.3.4

Rl 2,3, A Fig. 11 bis

La construction de la même figure servirait à déterminer les grandeurs des deux côtés du polygone des forces pour résoudre le problème suivant :

Étant données les directions de 5 forces parallèles qui se font équilibre dans le même plan et les grandeurs de 3 d'entre elles 1, 2 et 3, déterminer les grandeurs des deux autres, 4 et

1^1.2.3.4 •

IV. — Lorsqu’il s’agit de trouver la résultante de forces parallèles ou verticales, les problèmes ci-dessus sont beaucoup plus simples et le polygone des forces se réduit à une ligne droite, sur laquelle on porte, à l’échelle, les forces données, dans un sens ou dans l’autre et la différence entre la somme des forces dirigées dans un sens et la somme des forces dirigées en sens inverse, donne la résultante cherchée.

■*1

rc

P-,

p-

S.

Fig. 12

La figure 12 ci-contre, indique suffisamment l’opération à faire pour déterminer la résultante R des forces P, P', P", V".

On verra à la fin de l’ouvrage, les applications utiles que l’on peut faire des problèmes précédents, dans le calcul des ponts métalliques à arc parabolique et à longeron rectiligne.

En attendant, nous allons donner les applications suivantes, qui conduisent à la recherche des moments fléchissants produits par des forces verticales agissant sur des poutres.

V. — Etant donnée une 'poutre appuyée à ses deux extrémités a et b, décomposer une force Q de 4500 kilog., appliquée au point c, en deux composantes parallèles passant par les points d’appui a et b (fig. 13).

Sur une ligne de direction perpendiculaire à ab, on prend = Q à une échelle donnée ; d’un point quelconque o appelé pôle, on tire om, on, la figure mon ainsi obtenue, est ce qu'on appelle le triangle des forces. Par le point a on mène ae parallèle à mo, par le point e de rencontre de cette parallèle avec la verticale passant par le point d’ap-

mn

Pt

\9

jn

■■

jpi'i

Pr

a.

fi

•! *

e\

__2!’lÆgû —

--->j

>!

VP*

s>: \

-Ai-

J,O’

Vu ,

K.

rÇ~fSà o*

Fig. 13

plication de la résultante Q, on mène eg parallèle à no, on joint ga, la figure aeg est le polygone funiculaire indiquant l’équilibre des forces, et la droite oq, parallèle à ga, menée dans le triangle des forces, partage mn en deux segments mq et qn qui sont les composantes cherchées. On peut mesurer à l’échelle adoptée pour les forces, mq = yl = 3750 kilog. qn — p% — 730 kilog. Le centimètre ayant été pris pour unité ; l’échelle est 1/1000, et on a mq — 3cm,750 et qn = 0cm,730.

Le point c d’application de la résultante doit diviser la poutre en deux segments inversement proportionnels aux forces pi et p₂, de telle sorte que l’on doit avoir, sur la figure, la relation :

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

mq cb

Pv

ac

nq

En effet, de la similitude des triangles

afc

abg

oqn et moq )

efg

afc

on tire successivement cb __ fg_ af’

ac

puis

fg_ ₌ fe_

oq nq

et

af fe

oq

mq

d'où

oqxfe = fgxnq = afxmq,

et enfin le rapport résultant :

fg    mq    cb pt

af    nq

ac

VI. — Inversement. — 3750kg et 750kg étant deux forces pi et p2 parallèles, situées dans le même plan et dirigées dans le même sens, appliquées aux extrémités d'une poutre AB de

T^37Sok

~Bi~7£ok

A

!b

K- -

~~JT

-----^----

V

Q-ÏSoo*

?!

;pn

.0

p₂xt-

N

Échelles : Portée, 1 cent, par mètre ; Force, 1 cent, par 1000 kilog. Fig. 14

2“,96 de portée, on peut composer ces forces, et trouver le point d'application de leur résultante Q. (Fig. 14.)

Sur une ligne de direction perpendiculaire à AB, on porte

2000

pour les forces, des longueurs

à l'échelle choisie, soit

MC et CN respectivement égales à p, et p₂, on prend CO quelconque mais parallèle à AB et du pôle O, pris sur cette ligne, on tire OM, ON pour compléter le triangle des forces. Par le point A d’appui de la poutre, on mène AD et BD respectivement parallèles à MO et ON, la verticale passant par le point D, détermine sur la portée, le point d’application E de la résultante des deux forces données pi} p₂.

VII. — Résultante de deux forces jOi = 5000ks et ^2 = 7000^ dirigées en sens inverse et appliquées aux extrémités d’une poutre ab (fig. 15).

,\-

Ch

!ÇN

Si

'\

*\

e]

yP₂= JOOO*?

Echelles : Portée, 1 cent, par mètre; Forces 1 cent, pour 1000 kilog. Fig. 15

Sur une perpendiculaire à ab, on porte ad — p{ = 5 000k«, puis df — p₉_ = 7 000ks. Le pôle O pris quelconque est joint aux points d et f et termine le triangle des forces ; ensuite, en menant ae, ce, on détermine sur le prolongement de ab un point c, qui est le point d'attache cherché pour la résultante des deux forces.

A l’échelle adoptée, on trouve bc — 5 mètres ; le triangle des forces donne aussi df—da — af = 2000ks = Résul^ tante Q.

VIII. — Résultante de deux forces pi = \ 800kg, p₂ = 1400kff, appliquées aux points c et d d’une poutre ab de 5m,60 de portée (fîg. 16).

Sur uneverticale, on porte mn=pi={ 800ks, nr=p₂—ï 400ks.

!\\

«M—"

\ P3'

"T

'\h

L-

JJ

F *1800?

y

Eî=74-00^

Q=32ook*

Fig. 16

On prend un pôle arbitraire O, que l’on joint aux points m, « et r, pour compléter le polygone des forces mOn. Puis, d’après ce polygone on trace le polygone funiculaire A/M, en partant du point d’appui de gauche A, et en menant Aj parallèle à mo, //r parallèle à no et kh parallèle à ro. Si on prolonge les deux côtés extrêmes kj et hk de ce polygone funiculaire, ils se rencontrent en un point i, qui détermine la position de la verticale Q sur AB. C’est la résultante des forces pi et p₂, De plus, si on ferme le polygone funiculaire par la ligne A h et que dans le polygone des forces on mène du pôle, une ligne Of parallèle à la ligne de fermeture AA, cette ligne O f découpe, sur la ligne mr, deux segments mf et fr qui représentent les réactions q\ et q₂ des forces pt et sur les deux appuis de la poutre.

On démontrerait encore, dans ce cas, que le point d’application de la résultante, divise AB en deux segments inversement proportionnels aux forces p, et p₂.

en

IX. — Résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles. — Soit une poutre AB soumise à une première force pi = 5000k&, dirigée de bas en haut, et à deux forces p₂ = 1800ks et pi = 1400k«, toutes deux dirigées de haut bas (fig. 17).

P\~Sooo*

>-

O*

>$*

<------

---->1

■irX-saso.___

S"

P₂= i8ook

'ÇiXfoo¹'

£■

Fig.17

Sur une verticale on porte cd = p, dans le sens de la direction de cette force, puis de = p^ et ef = pz de haut en bas ; on prend un pôle quelconque o, on joint od, oc, of, oc, pour compléter le triangle des forces.

On mène kg, parallèle à oc, g h parallèle à od, hi parallèle à eo et ij parallèle à of. En joignant kj on complète le polygone funiculaire, et gk, ji prolongés se rencontrent en un point k qui déterminera, sur la poutre, le point d’application de la résultante des forces, résultante qui est égale à cd — de — ef = fc — 5000— 1800 — 1400 = 1800k*.

En menant, dans le triangle des forces, om parallèle à

Ay, on décompose la résultante fc en deux segments me et fm, qui sont les réactions q₂, de la poutre sur ses appuis, l’une de 2 400 kilog., dirigée de haut en bas, et l’autre de 600 kilog. dirigée de bas en haut.

§ III

ïïfmm/

1,02

28165k« = T.

G,

1

,6‘k

§ I.

Manière de se servir des Tables ci-devant.

BIBLiOTËKA POLITECHBI

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§ III

Détermination des moments fléchissants dans une poutre.

I. — Moment fléchissant produit par une force Q = 4 500k« appliquée en un point c distant de 0,470 de l'appui de gauche d’une poutre reposant sur deux appuis distants de 2m,96. (Voir fig. 13).

Le moment fléchissant au point G étant le produit de la réaction p, sur l’appui de gauche, par le bras de levier ac de cette force ou bien le produit de la réaction pg sur l’appui de droite, par son bras de levier ch, pour résoudre ce problème, on fait les mêmes opérations qui ont été indiquées pour décomposer une force 2 en deux composantes (fig. 13) et les ordonnées verticales du polygone funiculaire aeg, ainsi obtenu, représentent les moments fléchissants développés dans la poutre, ou leurs points correspondants sur la portée.

d’où p,x0,470 = Hx/c.

(1)

fe

En effet, si on construit le triangle ao'k égal au triangle des forces, la similitude des triangles ado', afe donne Jh_ ₌ H 0,470

Or, y?tX 0,470 c’est le moment fléchissant en c, de plus, comme H est constant, le terme HXfe montre que les moments fléchissants sont entre eux, comme les ordonnées du polygone funiculaire ; donc, pour avoir le moment fléchissant en un point quelconque de la portée de la poutre, il suffira de mesurer l’ordonnée correspondante dans le polygone.

D’autre part, de l’égalité (1) on tire :

,    Pi X 0,470

f⁶ H

L’échelle des moments dépendra donc des trois échelles

suivantes : De l'échelle de la force pi, la réaction sur l’appui de gauche; de l’échelle du facteur 0m,470, bras de levier de cette force, c’est-à-dire, une fraction de la portée de la poutre et de l’échelle de la hauteur du polygone des forces.

On peut donc écrire l’égalité ci-dessous, quelle que soit l’unité de mesure linéaire adoptée.

Echelle des forces X Echelle de la portée Echelle de la hauteur du polygone des forces

Pour le cas qui nous occupe, le Centimètre ayant été pris comme unité linéaire, on a :

Echelle des mom. =

Echelle des forces

2

Echelle de la portée —

1

2

Echelle de la hauteur du polygone des forces — . On a donc :

1000 ‘ '

. . 4cm,5 pour 4500kg.

50m,92 pour 2m,96,soit2 pour 1.

. 2cm pour lm.

Echelle des moments =

1000 X 1

1000 ’

soit un centimètre pour 1000kgm.

Or, l’ordonnée ef mesure environ 1e™,76, le moment fléchissant est donc 1 760 kilogrammètres environ, et le moment exact est 1762kgm,5. On voit que plus la figure sera faite à de grandes échelles, plus l’exactitude des résultats sera grande.

II. — Moment fléchissant produit par deux forces verticales., l’une de 1800k&, l’autre de 1400kg, agissant sur une poutre de 5m,60 de portée et reposant sur deux appuis. (Voir fig. 16.)

On trace le polygone des forces mOr et le polygone funiculaire Ajkh, comme il a été dit au n° VIII, page 20, pour trouver la résultante des deux forces. On ferme ce polygone par la ligne A h et les ordonnées du polygone funiculaire Ajkh hachuré en noir, représentent les moments fléchissants aux points correspondants de la poutre.

En effet, le moment statique pour le point x de la pièce, est le produit de la résultante de toutes les forces qui se trouvent d’un même côté, à droite ou à gauche de l’ordonnée du point x, par le bras de levier / de cette résultante.

Or, dans le polygone des forces, on voit que cette résultante est égale à

Pi — <72 = rn — rf— — nf.

D’autre part, pour avoir le point d’application de la résultante de ces deux force s p₂ et q₂, il n’y a qu’à prolonger, dans le polygone funiculaire, les deux côtés Ah, jk parallèles à Of et On\ leur point d’intersection S est situé sur l’ordonnée du point d’application de cette résultante en un point du prolongement de la poutre, et la distance du point S à l’ordonnée du point x est le bras de levier cherché l de la résultante p₂ — q₂-

Le moment en x est donc (p₂ — q₂)l.

Mais la similitude des triangles 0nf, rSt donne

(pa — q%)    rt

H    / ’

d’où

et

T"*)',

H

expression qui, comme celle de /<?, dans le problème ci-dessus, montre que l’ordonnée d’un point quelconque du polygone funiculaire, mesurée à l’échelle convenable, représente le moment fléchissant au point correspondant de la poutre.

Dans cette figure, le Centimètre étant encore l’unité de mesure linéaire, on a

icm,8 pour 1800k°.

1000 ’

1

_    5cm,6 pour 5m,600.

Echelles des forces

Echelle de la portée . . . .

Echelle de la hauteur polaire = — î 2cm pour lni.

1

L’échelle des ordonnées est donc :

1000X 1 _ 1 2 “ 2000’

soit 1 centimètre pour 2000kg“.

Or, l’ordonnée du point x mesure environ lcm,4; le moment fléchissant en x est donc approximativement 2800 kilogrammètres.

III. — Poutre reposant sur deux appuis, soumise à des charges verticales 1, 2, 3 et 4 et en plus, à une charge uniformément répartie P par mètre courant (fig. 18).

Portée de la poutre = 10m,00 = l.

1    = 500k

2    = 1000

3    = 700

4    = 800 et p = 300 kilog.

Forces. . .

CL'y

AHJi||i|||j|iir

31

Lia.¹!!.

ci

[F?B

--

■g-,

<t

On

A-

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2’

Çf 3

I 'SA I \\ I

i w r*

rj a

t#

i----

"a

Z'-'d£'

___K-,

—-i

A’’

B’

Fig. 18

Le tracé du polygone funiculaire donnant les moments fléchissants produits par les charges isolées 1, 2, 3 et 4 se fait, comme il a été indiqué ci-dessus, par la construction préalable du polygone des forces GOD, avec une hauteur polaire H prise à une échelle donnée. On porte aussi à une échelle convenable et sur la même verticale CD, les forces

données et on trace le polygone funiculaire ^labcclN d’après le polygone des forces.

Les ordonnées comprises entre la ligne de fermeture MN et les côtés formant le contour MtfècdN, représentent les moments fléchissants sous les charges isolées, et, afin de mieux apprécier la valeur de ces moments sur toute la portée de la poutre, la surface du polygone funiculaire fermé a été hachurée en noir (dans la figure définitive).

La ligne CLr, menée par le point (3, dans le polygone des forces, parallèle à la ligne de fermeture MN, découpe sur CD, les deux segments Cx et ,zd), qui représentent la grandeur des réactions q et q' des deux appuis.

0,005 par mètre.

0,01 pour 1000 kilog. 0,02 pour 1 mètre.

id.

La portée étant à l’échelle de Les forces

Et la hauteur polaire étant de

L’échelle des moments est pour 4000 kem.

1000

Ï55Ô = 1 centimètre

Le moment fléchissant déterminé au milieu de la longueur de la poutre, parla charge uniformément répartie p = 300k§ est égal à

300x10

= 3750ksm.

M = -££.-8 ~

En portant ce moment en ordonnée FC, à la même échelle que les moments fléchissants du polygone funiculaire et en construisant la parabole dont on connaît les trois points A'B'C, on obtient la ligne A'CB', dont les ordonnées représentent tous les moments fléchissants compris entre les deux appuis. Cette surface est encore hachurée en noir.

U est évident que cette parabole n’est autre chose que le polygone funiculaire, qui serait obtenu avec une série de charges égales entre elles, appliquées en des points très rapprochés entre eux et qui diviseraient la poutre en parties égales à raison de p^i par mètre courant. La résultante de ces forces serait la charge totale uniformément répartie pl. Le tracé de la parabole est indiqué au n° 5 ci-après.

IV. — Ramener la ligne de fermeture du funiculaire à l'horizontale (fig. 18).

Dans la solution ci-dessus, pour pouvoir apprécier plus aisément la valeur totale du moment fléchissant en un point de la poutre, il suffira d’ajouter les ordonnées des deux funiculaires. Il est donc utile, pour la commodité de cette mesure, de disposer l’épure de façon que la ligne de fermeture MN du polygone funiculaire MaôuofN soit horizontale.

Pour redresser ainsi ce polygone sans modifier la longueur des lignes sur lesquelles se mesurent les moments fléchissants, il suffit de placer le pôle sur l’horizontale tracée par le point x, qui sépare les réactions q et q' et de retracer le nouveau polygone funiculaire d’après ce nouveau polygone des forces en partant de l’appui A. On obtient ainsi le nouveau polygone funiculaire ka'b'c'd'B. On peut également se bornera transporter les moments axa — b J), CiC — dtd en ad— bjj, Cid—dxdl.

C’est ce qu’on appelle ramener la ligne de fermeture du funiculaire à l'horizontale, ou simplement redresser le polygone funiculaire.

Le polygone funiculaire jouit, en réumé, de plusieurs propriétés remarquables dont on doit retenir quelques-unes :

1° Chaque rayon vecteur du polygone des forces représente la tension du côté correspondant du polygone funiculaire ;

2° Chaque côté du polygone funiculaire fait équilibre aux forces qui le précèdent ou qui le suivent. Ainsi cd c’est la direction du rayon vecteur 03 et l’intensité de la résultante des forces agissant aux extrémités c et d de ce côté ;

3° La résultante d’un certain nombre de forces est la même que celle des deux côtés funiculaires qui comprennent ces forces. Ainsi la résultante des forces 1, 2, 3, i est la même que celle des deux côtés Ma, N d ; cette résultante est égale à CD, segment de la verticale compris entre les rayons vecteurs parallèles aux côtés Ma, N d.

Y. — Tracé rapide et pratique d'une parabole dont on connaît le sommet o, l'axe Xo et un autre point b.

Il est bon d’abord de rappeler que l’équation de la parabole est

y² = ox,

que cette courbe a deux branches symétriques par rapport à son axe ox et qu’on a

y²

2px 2 px'

qu’en outre lorsqu’on connaît le sommet o, l'axe OX et un point b, on détermine facilement le point symétrique b' de l’autre côté de l’axe, car on a ba — ab' (fig. 19).

y'²

x'

Fig. 10

Nous allons indiquer trois procédés très rapides pour tracer les deux branches de la parabole et démontrer que les courbes obtenues ont pour équation l’expression

y² = 2px.

Premier procédé. —Soit oa Taxe, a le sommet et b et b' les deux points connus et symétriquement placés par rapport à l’axe (fig. 20).

On partage bo en un certain nombre de parties égales

entre elles et bc en un même nombre de parties égales entre elles, et l’on tire ai, a2, «3, ab, les points 5, t et q, sont des points de la parabole car on a :

ao

ob²

et encore

ob²

ao

16

aa

i/a²

3_

J.

0\

e_

fv

\W\tr

x W”

\ Y>\

\\ii\\

'V \ \

-I

/ : /y z>

y î>V

z.

r- -

L*

m

* //

'"'L \V 'V '•

'.Y !\

¹ \

//y*

///

v»-

K'

7Î/k \    :

>K'\\ j

/;

■ ,yx

Va,

a/

1er Procédé.

Fig. 20

2» Procédé.

Deuxième procédé. — ün tire la ligne ab' et après avoir mené

une ordonnée dh sur le milieu de ob' l’on prend gh

dg .

2 ’

le point A est un des points de la parabole. On divise od et

db' en deux parties égales et on mène de nouvelles ordonnées

par les points e et /, on tire ah, hb' et on prolonge k'k de

klk    ii'

kl = —; de même, on prend i'j =    Les points l et

j sont d’autres points de la courbe. On tire al, Ih, hj, jb' et on divise oe, ed, df, fb' en deux parties égales, on mène de nouvelles ordonnées sur les milieux de ces lignes pour déterminer d’autres points v', x', y', z', et ainsi de suite.

Ce tracé revient au précédent, car on a bien dans la partie gauche de la figure, en tirant bs, bt, bu :

rt

vy

mp

pq = ~Y- et vz = ~y-Troisième procédé (fig. 21). — La corde AB et le som-

tu = rs =

v.

/ \ /\P

""K

CON

Fig. 21

met G étant connus, on prolonge OC d’une quantité CD = OC et on joint AD, BD. Ces deux lignes, qui sont égales entre elles, sont divisées en un même nombre de parties égales, numérotées de 1 à 8 sur la figure 21 ci-contre ; on joint ensuite 1-7, 2-6, 3-5, 4-4 et la courbe ACB, tangente à toutes ces lignes de construction, comme elle est tangente à AD et à BD, est la parabole cherchée.

Parmi ces trois tracés, tous trois simples, on choisira celui qui paraîtra le plus commode.

VI. —Recherche des moments fléchissants développés dans une poutre encastrée à une de ses extrémités, libre à l'autre, chargée en des points N, ai bx ci de sa longueur et soumise en outre, à une charge uniformément répartie par mètve courant (fig. 1, 2, 3 et 4, PL 1).

Soit MN une poutre encastrée en M, soumise à des efforts verticaux de 500K&, 600K, 1000K et 500K en des points N, a!, b¹ et d de sa longueur et soumise en outre à une charge uniformément répartie de 200Ks par mètre courant (fig. 1).

Après avoir porté les forces les unes à la suite des autres, sur la verticale AB, on trace le polygone des forces AoB (fig. 2), en plaçant le pôle o, de façon que le premier côté ko soit horizontal. On construit ensuite, d’après lui, le polygone funiculaire NôPM, dont les côtés NM, Na, ab, bc et cP sont respectivement parallèles à oA, oa!, ob', oc', od'. Les ordonnées de ce polygone, prises à une échelle dépendant des échelles de la portée, des forces et de la hauteur polaire H, représentent les moments fléchissants en divers points de la poutre, produits par les surcharges ci-dessus.

Les moments fléchissants, dus à la charge uniformément répartie, sont représentés au-dessus de la poutre, par les ordonnées d’une branche de parabole CN, ayant son sommet au point N. L’ordonnée MG du point d’encastrement M est égale au moment fléchissant à cet encastrement ; moment qui, ainsi qu’on l’a vu au § 2 du chap. I, a pour valeur

pt²

200 X 5,00²

= 2500k°m

et que l’on porte à la même échelle que les moments dus aux surcharges.

Cette échelle est de

1 X 1000

2000 ’

soit lcentim pour 2 000K&m.

La somme des ordonnées du polygone funiculaire NôPM et du segment parabolique MCN prises en un point quelconque de la poutre MN, représente le moment fléchissant total en ce point. A l’encastrement on a par conséquent : M = 11500Ksm, représenté par la ligne CP.

Cette surface des moments a été hachurée en noir sur la figure n° 1.

Dans le cas où les surcharges se réduiraient à une charge

_ H----

iO

/Polygone des forces

[Fie. 22

unique P appliquée à l’extrémité libre B de la poutre, le polygone des forces serait le triangle OCD et le polygone funiculaire des moments serait un simple triangle ABF (fig. 22).

Vil. —Recherche de la ligne élastique (PI. 1).

La ligne élastique ou fibre moyenne de la poutre déformée s’obtient en divisant la surface des moments en éléments; on concentre ces éléments comme des forces en leur centre de gravité, et on trace le polygone funiculaire correspondant à ces forces.

En prenant, pour tracer ce polygone funiculaire, une hauteur polaire égale à El, produit du moment d’inertie de la poutre par le coefficient d’élasticité, le polygone funiculaire ainsi obtenu enveloppe la ligne élastique, et les points de tangence du polygone à la ligne élastique correspondent aux points de division des éléments.

Supposons donc que la section de la poutre encastrée dont il vient d'être parlé ait 0ra,500 de hauteur et soit composée d'une âme de 500x10 et de quatre cornières de

90x90

11

que cette section donne

— = 0,001883

on en déduit que

I = 0,001883 X

0,50

= 0,00047075.

On divise ensuite la surface totale GNP des moments fléchissants, en éléments 1 à 4. Les éléments 1 à 3 sont à peu près des trapèzes et l’élément 4 est une surface triangulaire. En prenant le mètre et le kilogrammètre comme unités et en remarquant que les ordonnées sont déjà à l’échelle de lcm pour 2 000km, on a les résultats ci-après:

2000x1 = 9900ksm.

Surf. CPcci —

5,8 h— 4,1

Surf, ccybib =

4,1 x 1,9

2000x2 = 12000ksm.

Surf, bbidid =

1,9x0,65

2000x1 = 2550kgm.

0,65 x 6

Surf, triang. a₄Na =

2000x2 = 1300ksrn.

On porte ces moments sur une verticale PB à l’échelle

et on complète le

de 0m,005 pour 10 000k^rm, soit

2 000 000

polygone des forces O'PB (fig. 4), en lui donnant une hauteur polaire égale à El, c’est-à-dire

0,00047075X16000000000 = 7532000k8m

que l’on prend à l’échelle de 1 mètre pour

= 0m,037o.

200000000 soit

7 532000 200000 000

On trace le polygone funiculaire F. 1', 2', 3', 4', 5' (fig. 3), qui représente la ligne élastique donnant les déformations verticales.

Pour avoir l’échelle des ordonnées de cette ligne on se rappellera que l’échelle des longueurs est déjà de 1 centi-

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

200000 000

C’est-à-dire, que la flexion est obtenue en vraie grandeur. L’épure indique un abaissement de 15 millimètres à l’extrémité de la poutre.

VIII. — Poutre encastrée horizontalement à ses deux extrémités et chargée d'un poids unique P au milieu de sa longueur. (Voir fig. 5, 6 et 7, planche 1).

Soit AB une poutre de 8m,00 de portée, chargée en son milieu d’un poids de 10000 kg (fig. 5).

On construit le polygone des forces LOJ (fig. 6), en portant LJ = 10 000 kg et en prenant le pôle sur la perpendiculaire élevée au milieu de LJ ; on trace ensuite le polygone funiculaire AaB, comme si la poutre était libre à ses deux extrémités.

La surface de ce polygone est un triangle et a pour valeur en prenant le millimètre comme unité.

Surf. AaB =

= 1600mm2 = S

80X40

S 1600

En divisant cette surface par la portée /, on obtient la grandeur

80

reportant tout au mètre, de

sorte que l’échelle des déplacements verticaux, qui se déduit des précédentes, est de

mètre par mèlre, soit

100

en

100

2000000 200000 000

200000000

1.

— 90 mm

qui représente, à l’échelle voulue, l’ordonnée indiquant le moment fléchissant sur les appuis; on porte cette longueur en km et en Ba et on tire la ligne mn parallèle à AB. Cette ligne détermine les moments fléchissants en chaque point de la poutre, et la surface en double hachure kmfafiRn, représente la surface des moments.

On voit qu’aux points / et h le moment est nul et que le moment ai au milieu est égal aux moments sur les appuis

Am = Bw = ——

PI 10000X8

= 10 000kra

comme l'indique la formule de la page 6.

( Longueurs 0m, 01 pour lmet Echelles) Forces. . . 0m,004 pour 1000kg,

( Hauteur polaire 0m,02

Moments fléchissants 0m,02 pour 10 000ksm( 1 )

IX. — Poutre encastrée horizontalement à ses deux extrémités et chargée d’un poids unique P = 6500ke en un point quelconque de sa longueur (fig. 8, 9, 10 et 11, planche 1).

La construction du polygone des forces LOJ conduit, comme ci-dessus, à la construction du polygone funiculaire AôC, que l’on redresse ensuite en A«B (fig. 8), par l'un des deux procédés indiqués page 27. On détermine ensuite le centre de gravité G de cette surface des moments. Ici, le polygone des moments étant réduit à un triangle AaB, son centre de gravité G se trouve sur la médiane ad, au tiers de sa longueur, à partir de la base.

Par ce point G on mène une verticale GM au-dessous de la portée, et deux autres verticales mn, pq au tiers de là portée de la poutre. On cherche ensuite la surface du triangle

100 x 34

AaB = S qui est

_ y 700mm2 = S,

pour le millimètre pris comme unité, et on détermine le quotient

S 1700

— y 7mm

A droite et à gauche d’un point quelconque S, pris sur la verticale du point G, on mène deux autres verticales distantes

de -g- de la ligne GM. Sur ces verticales, un prend IJ, KL = 17m/m

en un point S. On prolonge LI et KJ jusqu’en D et en E, sur la verticale au tiers de gauche. Les longueurs DE et FH (fig. 10), comprises entre ces obliques, sur les deux verticales au tiers, déterminent les moments fléchissants aux deux points d’encastrement.

(1) Sur l’épure, l’échelle des moments fléchissants est indiquée par erreur à 0m,02 pour lU00ksm, c’est pour IOOOO*qu'il faut lire (et corriger).

100

et on joint IL, KJ, qui se coupent sur GM

Il n'y a plus qu’à porter DE en BR et FH en AQ et joindre QR pour avoir la ligne qui détermine les moments fléchissants en tous les points de la portée. La surface hachurée détermine ces moments, qui, au point d’application de la force, sont représentés par l’ordonnée

fa = 5 600kgm

BR = 9600kgm. Aux points x et y de la portée ils sont nuis. Pour les échelles on a :

et

et sur les appuis, par les ordonnées AQ = 4200kgin

= 0m,01 pour 1 mètre. = 0,005 pour 1 000ks. = 0,02.

Longueurs......

Forces .......

Hauteur polaire . . .

Or, le centimètre étant pris pour unité on a

0,5

1000

1

Echelle des moments = —

0,5

~ 2000 ’

gm

soit 0cm, 5 pour 2 000 kilogrammètres ou 0m,0025 pour 1 000k soit lcrn pour 4 000kgm.

Il convient de noter que la ligne QR délimite aussi les moments positifs des moments négatifs ; tous ceux qui sont en dessus de cette ligne sont positifs et tous ceux qui sont au-dessous sont négatifs.

Ainsi af est un moment fléchissant négatif tandis que AQ et BR sont des moments positifs.

Charge uniformément répartie agissant en même temps que la charge unique (fig. 11, pl. 1).

Si à la charge isolée de 6 500kff ci-dessus, la poutre était soumise en outre, à une charge uniformément répartie de 1 000kg par mètre courant, on tracerait la parabole MTN (fig. 11), représentative des moments fléchissants produite par cette charge, en supposant la poutre simplement appuyée à ses deux extrémités et on se rappellerait pour cela que (page 3), le moment fléchissant ou

ÜT = 41

= 12500kgm

1000 X ïo²

ce qui, à l’échelle des moments ci-dessus, donnerait à UT une longueur de 0,0025 X 12,5 = 0m,0315.

On se rappellerait, en outre (page 7), que, comme la poutre est encastrée à ses deux extrémités, le moment fléchissant au milieu est

pl² _ 1 000 X1 o²

24

24

— 4i66kgm,6

que l’on porterait en TV, et par le point V, on mènerait l’horizontale A'B', qui séparerait les moments négatifs des moments positifs.

On aurait alors, sur les appuis MA' = NB', moment d’encastrement qui a été donné par

ioooxïô²

pl²

12

12

= 8 333kgm,3.

Gomme vérification, on remarquera que l’on a bien pl² pl² pl²

“ÎT ⁼ 1>4~⁺ HT’

de même que

12o00kgm = 4166kgm,6 -j- 8 333kgm,3.

Enfin, en additionnant les moments de même signe de la première épure avec ceux de la seconde, on obtient la figure définitive représentant la somme de tous les moments développés, en chaque point de la portée, par la charge P et par la charge uniformément répartie de 1 000kg par mètre courant. Ces moments sont limités par la courbe VXY et la droite A'B' ; leur surface est d’ailleurs hachurée sur la figure 11.

X. — Poutre encastrée horizontalement à ses deux extrémités et soumise à des charges distribuées d'une façon quelconque (fig. 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, pl. 2).

Soit une poutre de 10 mètres déportée et soumise à quatre charges (fig. 1)

P, = 3300**, P₂ = 4300kg, P₃ = 5300k* et P₄ = 6300kg.

Après avoir construit le polygone des forces OBT (fig. 2), on trace le polygone funiculaire correspondant, Aabcde, comme si la poutre était simplement appuyée à ses deux

extrémités et on redresse cette figure, pour obtenir Je polygone des moments négatifs kdb'c'd'B, dont il faut déterminer le centre de gravité G.

A cet effet, on remarquera tout d’abord que celui-ci doit se trouver sur la ligne kat bv dK B, qui passe par les centres de gravité de chacun des triangles ko'a"-Bel¹ d" et les milieux des côtés verticaux des trapèzes a!d'b"b' - b'b"c"c' - c'c"d"d'. On mène des verticales en dessous des centres de gravité 9 ~ 99" ~ 9'" ~ 9ly de ces figures et on cherche les surfaces de chacun des triangles et des trapèzes ci-dessus, entrant dans la composition du polygone des moments négatifs.

On a par exemple :

Surf, triang. Aa'a" =

Surf, trapèze a'al'b"b' = ^

Surf, trapèze b'b"c"c' =

Surf, trapèze dc"d"d’ =

Surf. triang. d'd'B =    -

30x20

33-h 52

55 + 60

60+ 42,6

42,6x20

_ 33Qmm2

20 = 880 —

20 = 1150 —

20 = 1026 —

= 426 —

Surf. Polygone ka'b'c'd'B = 3812mm2 = S.

le millimètre étant pris comme unité de longueur et le millimètre carré, comme unité de surface.

On tire de là :

S 38i2

100

= 38mm,12.

Avec ces surfaces comptées comme forces, on construit un nouveau polygone des forces MO'N (fig. 3), et on trace un nouveau funiculaire, fhijklp (fig. 4), dont les deux côtés extrêmes prolongés, se coupent en un point m ; ce point est situé sur la résultante des forces portées dans le polygone MO'N.

La verticale de ce point m, prolongée dans le polygone des moments négatifs, coupe la ligne des centres de gravité

en un point G, qui est le centre de gravité de la surface totale ka'b'c'd'B.

On a alors tous les éléments pour déterminer les moments positifs aux points d’encastrement de la poutre.

11 suffit, comme dans la figure précédente, de mener les deux verticales au tiers de la portée et, à partir d’un point X de la verticale du centre de gravité, porter les longueurs XV (fig. 5), normales à ces lignes et égales à

100

= 16mm,6

6

le sixième de la portée.

Sur les verticales des points V et Y, on porte

EF = CD = -I- = 38mm,12.

On joint ED, CI, que l’on prolonge jusqu’aux verticales au tiers ; les segments III et JK déterminés sur ces verticales, par les lignes croisées, déterminent les moments fléchissants aux points d’encastrements B et A de la poutre.

On porte

Mb = HI = 21600kgI” et les ordonnées des surfaces hachurées, de la figure 1 représentent les moments fléchissants développés dans toute l’étendue de la poutre.

Ces moments sont à l’échelle de

et

Ma = JK = 16 500kgm

0,4

0,4

1000

2000

ou 0cm,2 pour 1000kgm, soit lcm pour 5000ksm.

Détermination de la ligne élastique de la poutre ci-dessus (fig. 6, 7, 8 et 9).

La poutre est composée, comme l’indique la section de la figure 8, mais les deux semelles de 160x9 n’existent que près des encastrements.

La section avec une semelle donne

I = 0,002502x0,284 = 0,000710

— = 0,002502

d’où

El = 14768000.

En prenant une hauteur polaire El égale à

200 000000

Les hauteurs polaires du polygone des moments (fig. 7) seront respectivement de

= 0m,0568 = H'

11360000

200000000

et

= 0m,0738 = H.

et

d’où

I = 0,000923

et

El = 0,00071x16000000000 = 11360000. La section avec deux semelles donne

— = 0,00313 v

14768000

200000000

La décomposition de la surface totale des moments fléchissants de la figure 6 en éléments, donne le tableau ci-après, dont les résultats sont des kilogrammètres.

Comme dans la portée de la poutre le mètre est représenté par un centimètre et que le centimètre est l'unité dans la mesure des bases des figures élémentaires 1 à 9.

33,5 4-17

Surf. 1 =

Xl

X500 = 12625kil°gramm6tres-

Surf. 2 =

174-3,2

xl

X500 = S 050

X 500 =    240

Surf. 3 =

0,32X3

X 500 = 7500

Surf. 4 =

1,7X18

X 500 = 19400

Surf. 5 =

18 4- 20,8

X 500 = 11650

Surf. 6 =

20,8 4-2,5

Surf. 9 =

15,5 + 43

Q —X 1,2X 500 = 17 800 2

X 500 = 2712

gQkiiogrammètres.

Surf. 7 =

2,5 X 0,15

X 500 r=

Surf. 8 =

15,5X0,7

On trace le polygone des forces AI B résultant de ces charges verticales, dont les unes, 1, 2, 3, 8 et 9 sont dirigées de bas en haut et sont portées à une distance polaire H, tandis que les autres, 4, 5, 6 et 7, correspondant aux moments négatifs, 4, 5, 6 et 7, sont portées de haut en bas, sur CD, à une distance polaire H', selon que la poutre a deux semelles ou une seule semelle au point considéré. Le polygone funiculaire MNP (fig. 9), tracé avec ce polygone des forces, représente la ligne élastique, dont les ordonnées sont à l’échelle double de grandeur naturelle. En effet, les surfaces des moments sont portées à l’échelle de 0m,01 pour 10000 ou

1000000

la portée est à l’échelle de

100

et les hauteurs polaires à

200000000

L’échelle des déformations est donc de

1000000

100 200000 000 “ 100000 000

= 2.

200000000

XL — Poutre horizontale, encastrée à une de ses extrémités B reposant librement à Vautre A, et soumise à des charges distribuées d'une façon quelconque (fig. 10, 11, 12 et 13,

Planche II).

Soit une poutre de 8°,00 de portée et chargée de 3 poids

isolés P, = 5000\ P₂ = 6250k et P₃ = 7500* (fig. 10).

On opère d'abord, comme dans le cas précédent, c’est-à-dire qu’on construit le polygone des forces COD (fig. 11) et le polygone funiculaire correspondant AEFGH des moments négatifs, comme si la poutre était simplement appuyée à ses deux extrémités. Puis on redresse ce dernier polygone pour obtenir le polygone des moments négatifs AE'F'G'B, et on détermine le centre de gravité G de la surface ABGF'EA, comme nous Pavons fait précédemment. A cet effet, après avoir décomposé l’aire ci-dessus en triangles et en trapèzes, par les centres de gravité desquels on mène les verticales : fg, pour le triangle KE!a, hi pour le trapèze ab¥'E' ; jk pour le trapèze bcG'F' et Im pour le triangle CBG', on détermine les surfaces de chacun des triangles et trapèzes ci-dessus :

23x35

— 402mm2,50

1. — Surf, triang. AE'a =

2. — Surf, trapèze aéF'E' =

23x25,5

15 = 363    ,75

3. — Surf, trapèze bcG'F' =

(*d£«L)u-

311    ,50

4. — Surf, triang. CBG' =

19x16

= 152    ,00

= 1 299mm2,75 = S

Donc, surface totale des moments négatifs ABG'F'E'...........

et

S 1229,75

_— — I5mm,19.

On porte ces surfaces, considérées comme charges, pour construire un autre polygone des forces MO'N (fig. 12) et on trace, d’après lui, le funiculaire VgikmR, qui détermine le point N par la rencontre des deux côtés extrêmes et prolongés P^ et Rm. C'est sur la verticale de ce point n que se trouve le centre de gravité cherché G des moments négatifs.

Pour obtenir la valeur du moment positif à l’encastrement B, on tire de haut en bas, une verticale passant par le

point trouvé G, d’un point S, pris sur cette ligne on mène une horizontale

S/ - g-

/ 81

— = 13mm,50 o

(lig. 13) et par le point f, une verticale BjB' = A = 15mm.19.

En joignant B^ et BjSj et en prolongeant, on obtient, sur la verticale de l’appui A, une longueur AjA,', que l’on porte en A₂'A₂, à partir d’une horizontale A.'B! (fig. 13). Par le point D, situé aux deux tiers de la portée, à partir de l’appui A₂' et au tiers à partir de l’appui Bt, on tire la ligne A₂D, que l’on prolonge jusqu’en B,'. Le segment BjB, découpé par les lignes A^B, et A₂Bi, sur la verticale de l’appui B est égal au moment d’encastrement Mb, sur l’appui Bi, c’est un moment positif.

En portant BjB/ en BB' et en joignant AB', on détermine les moments positifs et négatifs dans toutes les sections de la poutre.

D’après les échelles de l’épure, les ordonnées représentent les moments fléchissants à raison de 1 millim. pour 1000ksm. Le moment à l’encastrement est donc de 25100kgm environ.

Ce résultat se vérifie d’ailleurs par la formule analytique, qui est donnée en fonction de S et de la distance horizontale Z' du centre de gravité G à l’appui de gauche. Ce moment

est

3SZ'

/²

Mn =

et, en remplaçant les lettres par leurs valeurs, et en remarquant que

= 25mm,022,

Mb =

Z' = 44,5, 3X1229,75X44,5

81

soit d’après l’échelle des moments 2o022ksm ; résultat conforme à ceux donnés par l’épure.

Le tracé de la ligne élastique se ferait à peu près comme dans le numéro précédent.

§ IV

Efforts tranchants.

I. — L’effort tranchant dans une section XX' d'une poutre métallique est un effort vertical qui tend à cisailler la poutre, en faisant glisser l’un sur l’autre, les deux tronçons AX, XB.

f<7‘

t-i

te

%-w-

tr-A

---*

è.1

r--

Jfe

te ' ç>

v-

Ba

~T

'Vvx I

Fie. 23

En nous reportant aux problèmes ci-devant, nous allons rechercher, les efforts tranchants développés dans les poutres, pour les cas les plus usuels.

Ainsi, nous avons déterminé pages 2o et 26 et par l’épure reproduite ci-dessus (fîg. 23), le moment lléchissant

produit par quatre forces 1, 2, 3 et 4 appliquées en certains points d’une poutre de 10 mètres de portée, reposant sur deux appuis de niveau, et nous avons trouvé que le polygone funiculaire AabcdN représente, par ses ordonnées verticales comprises entre son contour extérieur et la ligne de fermeture, les valeurs des moments fléchissants en chaque point de la portée.

De sorte que, pour une section quelconque XX', le moment fléchissant est représenté par l’ordonnée IuR/ à l’échelle adoptée. L’effort tranchant s’obtiendra en menant des horizontales par le point X extrémité de la ligne OX dans le polygone des forces, par les extrémités des forces 1, 2, 3 et 4, de ce polygone et en prolongeant les verticales correspondant aux appuits A, B et aux forces 1,2, 3, 4. Ces verticales découpent, sur les horizontales précédentes, une série de segments qui constituent une figure en escalier, hachurée dans l’épure (fig. 23).

Si on veut avoir l’effort tranchant dans une section quelconque XX', il suffira de prolonger vers le bas la verticale XX’ et de relever, sur la figure en escalier, la grandeur rr'.

De semblables épures montrent clairement que de la position et de la grandeur des poids placés sur une poutre, on déduit facilement les réactions des appuis, les moments fléchissants et les efforts tranchants.

II. — Cas où la poutre supporte des charges uniformément réparties. (Voir fig. 24 ci-après.)

Si les charges 1, 2, 3, 4 ci-dessus étaient égales entre elles et divisaient la portée totale en quatre parties égales, comme l’indique la figure 24, le polygone des forces AabcdN ci-dessus, serait régulier et la figure en escalier représentant les efforts tranchants, serait elle-même régulière.

Enfin, si les forces égales étaient infiniment rapprochées, comme dans les poutres soumises à une charge uniformément répartie, le polygone funiculaire représentant les moments fléchissants, aurait un nombre infini de côtés, et la limite vers laquelle tendrait ce polygone serait une parabole (voir fig. 18). Les efforts tranchants, de leur côté, seraient

limités par une ligne inclinée TT⁷, qui coupe Taxe A'^BA au milieu M de la portée. Cette ligne TT⁷ a pour ordonnées finales A7/iT et BAT⁷ égales entre elles et à la moitié de la

pl

charge totale de la poutre, c’est-à-dire à ‘

:-S

il

-i

T»

A;r

i-Jt

«T

ilKJx

A’},¹

-J

45»

Fig. 24

Celte même figure 24 montre que l'effort tranchant, dans une section XX⁷, située à une distance x de l'appui de gauche, est égal à

pl

px,

et qu’au milieu où

pl

pl

r = °-

L’eflort tranchant en un point de la poutre est donc égal à

la différence des forces verticales qui agissent sur l’appui et les forces verticales qui agissent depuis cet appui jusqu’au point considéré.

Les poutres pour ponts métalliques étant reliées entre elles par des pièces de pont qui supportent la charge uniformé-

ar

10

-I---

~~T~

—*1

T:

CL

CN

ïïfmm/

iii

il

T’

Fig. 25

ment répartie sur le tablier ; cette charge est transmise aux points d’attache de ces pièces. De sorte que la maîtresse poutre de ces ouvrages est chargée aux points d’attache 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10 des pièces de pont, comme l’indique la figure 25 ci-dessus. En supposant donc que la charge uniformément répartie par mètre courant soit de 1500k pour une poutre de 40 mètres de portée, l’effort tranchant sur la culée est toujours

T = 1L

1500 X 40

= 30000kg,

et la ligne TT⁷ des efforts tranchants est remplacée par la ligne en escalier cibcdefghijld dont chaque élément horizontal coupe la ligne inclinée au milieu de l’intervalle de chaque pièce de pont.

Et c’est d’après cette ligne représentative des efforts tranchants, que l’on calcule habituellement la force des barres de treillis ou des montants verticaux.

III. — Efforts tranchants maxima développés dans une poutre (fig. 26).

Lorsqu’une charge roulante s’avance progressivement sur un pont, elle développe, en chaque point des poutres, des efforts tranchants variables avec sa position sur le tablier, mais un polygone funiculaire très simple à construire, permet de déterminer, dans toutes les sections, le plus grand effort tranchant qui peut s’y produire.

Supposons que la figure 26 représente une poutre d’un tablier métallique de 19m de portée à une seule voie ferrée ; et qu’une locomotive (du train type de la circulaire ministérielle du 29 août 1891), suivie de son tender et d’une deuxième locomotive, parcourent le pont d’un bout à l’autre, soient enfin 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10, les charges produites sur cette poutre, par la moitié du poids total de chaque essieu.

On place la tête du train sur l’appui B, par exemple, et on porte les forces 1, 2, 3, 4, 3, 6, 7, 8, 9 et 10, de haut en bas à partir du point F, sur la verticale passant par l’appui A, puis on construit le polygone des forces OFIO, dont le premier côté FO est horizontal, et le polygone funiculaire correspondant OabcdefNghK, dont le côté O a est parallèle à 01, ab parallèle à 02, bc parallèle à 03, cd à 04...

parallèle à 010. On obtient ainsi la surface polygonale VOabcdef^shK, dont les ordonnées représentent l’effort tranchant en chaque point de la portée. Lorsque la tête du train se présente sur l’appui A et marche de A vers B, il détermine une courbe d’efforts tranchants, OFc/'lv', égale et symétriquement disposée par rapport au milieu de la poutre. La figure OFr/'Iv' se rapporte à la marche du train de gauche à droite et la

U.

«P.

so

P-A

PROBLÈMES DE STATIQUE GRAPHIQUE

figure FOc/lv se rapporte à la marche de droite à gauche,

S)ltS’ssciC7j_ExîFâns. _>jV“

U    extrême^ JL

Section _médjjme

\rKXXXXXX77

|X’

bd

JL

Locomotive

■>

çjsncFerv-'x

Locomotive

Q^è£) O

JjLû-, i--J___kja. _

— —-JC—

h&L._____£Æ2_

10    ’3 "g "7

"6

"S

'•{.    '3    "2    "1

'Z

CM    cvj

oé-

"s''s

-C!

\ ' 1 V -,    \\

V \    \    \

K’

oo

CD

1(

Longueurs ....

Charges .....

Efforts tranchants. .

Les charges 1, 2, 3, 4 et 7 à 10 = 7 tonnes. Les charges 5, 6 .    .

Echelles.

.    0,005 par mètre.

.    0,001 pour 1000k&.

.    0,001 par tonne.

. = 6 tonnes.

Fig. 26

c’est-à-dire lorsque la tcte du train entre par l'appui B. En

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

sorte, que l’ordonnée MN représente l’effort tranchant maximum maximorum, produit dans la section XX' de la poutre, par le passage de la tête du train-type sur cette section, lorsqu’il entre par l’appui B. L’effort tranchant maximum FK, mesuré sur l’appui A, lorsque le train entre par l’appui B, est de 34 500kg pris à l’échelle indiquée sur la figure.

Pour avoir les efforts tranchants totaux développés dans cette poutre, à la fois par la surcharge roulante et par la charge permanente, il n’y a qu’à tirer la ligne droite CD coupant OF en son milieu E et déterminée de façon que les ordonnées finales FC et OD soient égales, comme nous

pi

= 6 687kB,5,

l’avons vu à La charge permanente par mètre courant de poutre étant supposée de 725kg, par exemple, on a pl _ 725x19

que Fon porte à la même échelle que les charges roulantes 1,2,3, 4, 5,..., 10.

Les ordonnées de la figure hachurée verticalement ainsi obtenue CEOabcdeK, représentent alors la totalité des efforts tranchants susceptibles de se produire dans chaque section par la charge roulante et par la charge permanente. De sorte que sur la culée B, lorsque la tête du train y arrive, on a T = 411874',50.

IV. — Section médiane et sections extrêmes d'une poutre (fig. 26).

Soit x le point de rencontre de la ligne ED, limitative des efforts tranchants dus à la charge permanente, avec le polygone funiculaire des efforts tranchants dus à la surcharge roulante, prenons Ex' = \lx et menons des verticales par ces points jusqu’à la partie supérieure de la poutre. La longueur de cette poutre est ainsi partagée en trois sections distinctes, dont l’une, celle du milieu, BS, s’appelle Section médiane.

Dans cette section, qu’il est intéressant de déterminer dans

certains cas, les efforts tranchants produits par la surcharge roulante, combinés avec ceux de la charge permanente, sont tantôt dirigés de haut en bas et tantôt de bas en haut, c’est-à-dire tantôt positifs et tantôt négatifs, selon que la locomotive entre dans le pont par l’appui A ou par l’appui B.

Les deux autres sections RU et SV s’appellent Sections extrêmes, et les efforts tranchants y sont toujours dirigés dans le même sens, que la charge roulante marche de gauche à droite ou de droite à gauche.

Comme conséquence de cette remarque, dans les poutres à treillis en N pour pont de chemin de fer ou pour pont-route, il faudra toujours, pour résister au renversement des efforts tranchants, croiser les barres de treillis dans la section médiane, comme le représente la figure 26.

Dans les poutres à treillis croisés, cette précaution est inutile.

V. — Charge mobile et uniformément répartie.

Si la charge mobile est uniformément répartie sur le tablier et qu’elle s’avance progressivement, le polygone

VB

Fig. 27

funiculaire des efforts tranchants se réduit [à une parabole AC (fig. 27), dont le sommet est sur un appui A et dont la branche coupe la verticale de l’autre appui, à une hauteur

pt

La courbe AC est tangente à la droite OC menée par le

point 0 milieu de la portée. Au milieu de cette portée,

7)1

l’effort tranchant a pour valeur    représentée par la

droite

CB

EO = -A—•

4

Le cas ci-dessus se produirait effectivement dans la pratique, si un régiment de ligne, en rangs serrés, parcourait le pont d’un bout à l’autre.

Il est à peine besoin de faire remarquer que cette courbe AC, représentative des efforts tranchants maxima a une courbe symétrique BD, selon que la charge mobile entre sur le pont, par l’appui B ou par l’appui A, comme dans le cas précédemment examiné.

Moments fléchissants maxima développés dans une poutre.

I. — Lorsqu’une poutre AB est soumise à l'action d’une

Fig. 28

charge roulante unique P (fig. 28), le moment fléchissant W est variable avec chaque position de la charge et facile à déterminer, soit graphiquement, soit par les formules de la page 4. Au milieu, il est p l

maximum et égal à et la

courbe représentative des plus grands moments fléchissants produits par la charge parcourant toute la poutre est une

P/

parabole A«/;cB, dont l’ordonnée du sommet est —

Lorsqu’au lieu d’un seul poids qui se déplace, il y a une série d’essieux qui se suivent à intervalles fixes, comme ceux d’une locomotive, les effets des charges se superposent et le moment fléchissant dans chaque section, est augmenté du

moment produit par les roues voisines. On a alors une série de courbes paraboliques qui déterminent les moments produits par le passage de la locomotive, et il est important de déterminer rapidement la position de la locomotive qui donne, pour chaque section, le moment fléchissant maximum maximorum.

Supposons donc que les poutres d’un tablier métallique soient soumises aux charges produites par le passage d’une

<P

io

F⁻

Pi

KP

tP

t _    ____«

I;

>y\

-Jt-d

- J--H -~k-

'ü>

10^ k

1 $ I

xr ~

' ¹ ïH

Fig. 29

locomotive dont les 4 essieux forment les charges respectives, P-P1-P2-P3, disposées comme ci-dessus (fig. 29).

On construit le polygone des forces MON, comme il a été indiqué plus haut, en portant bout à bout les forces verticales P-P1-P2-P3. En supposant que la locomotive soit dans une position quelconque sur la portée l comprise entre les verticales AB, CD, on trace le polygone funiculaire IJUVQKI, d’après le polygone des forces. En prolongeant les côtés XJ et KQ en R, leur point de ^rencontre détermine sur l’horizontale IS de la portée, le point d’application Z de la résultante du poids des 4 essieux et les ordonnées UU', V'V représentent les moments fléchissants sous les charges Pi et P₂.

Si on forme le polygone funiculaire en prenant la portée / comprise entre les verticales EF, GH, en partant du point X, on obtient Je nouveau polygone de surface des moments XJUVQTX, dans lequel la mesure des nouvelles ordonnées UU", VV" donne les nouveaux moments sous les charges Pi et P₂. Par la comparaison de ces moments fléchissants avec les premiers, et par un nouveau tâtonnement, on arriverait à cette conclusion :

Que lorsqu’un système de poids mobiles à écartements invariables agit sur une poutre, le plus grand moment fléchissant correspondant à un essieu déterminé se produit lorsque cet essieu et la résultante Q de l’ensemble des poids sont situés à égale distance du milieu de la poutre. C’est la vérification du problème que M. Barré a résolu depuis longtemps en posant

x = —j

lorsqu’on fait abstraction de la charge uniformément répartie et qu’on cherche le moment fléchissant maximum maxi-morum prodpit par l’essieu 2 sur la poutre.

Ainsi que nous l’avons énoncé ci-dessus, la règle s’applique à toutes les charges.

Comme conséquence de ce qui précède, on déduit que le moment maximum développé dans une poutre se produira toujours sous l’un des deux essieux les plus chargés Pi ou P2 qui sont situés de chaque côté de la verticale du centre de gravité et lorsque cet essieu et la résultante Q sont situés à égale distance du milieu de la poutre.

La connaissance de cette propriété est très importante pour le calcul rapide des poutres à faible portée et pour la vérification des flèches dans les épreuves des ponts métalliques.

Elle permet en effet de placer immédiatement la machine dans la position où elle produira le moment fléchissant maximum et la flèche maximum.

II. — Charge la plus défavorable d’une poutre, par rapport aux moments fléchissants (PL III).

En s’inspirant du problème ci-dessus et par un artifice analogue à celui qui a été employé pour les efforts tranchants, on détermine facilement la courbe des plus grands moments lléchissants produits par le passage du train type de la circulaire ministérielle du 29 août 1891, que l’on trouvera au chapitre III.

Soit un pont de 19 mètres déportée (fig. 1, pi. 3), dont chaque poutre longitudinale reçoit la charge de plusieurs

14

séries d’essieux pesant chacun — 7 tonnes pour les

12    t

= 6 tonnes, pour les

roues des deux locomotives et —y-

roues des deux tenders.

On construit le polygone des forces MON, en portant, sur une verticale les forces 1, 2, 3, 4, 5.... 10, 11 et 12 et en prenant le pôle O à une distance polaire quelconque H = 2cm.

On mène tous les rayons vecteurs allant du point O à l’extrémité des forces portées sur MN, et on trace une fois pour toutes, le polygone funiculaire NYZ, dont les côtés sont parallèles aux rayons vecteurs.

Pour rechercher le moment fléchissant maximum en chaque point de la poutre, on se rappellera tout d’abord que ce moment s’y produit lorsque l’un des essieux les plus lourds de la charge roulante passe sur le point considéré.

On place la portée de la poutre dans les positions successives AA', BB', CG', DD', EE', FF', GG', en ayant soin de choisir les diverses positions de façon que quelques-unes d’entre elles comprennent les essieux les plus lourds au milieu de la portée, et on ferme le polygone des moments correspondant à chacune de ces positions.

La courbe des moments de llexion maxima, qui se produisent sous le déplacement du train, s’obtient alors en construisant, sur une feuille de papier calque, une épure dont la portée MN représentant 19 mètres, à l’échelle convenue, est divisée en 20 parties égales, par des ordonnées menées des points de division 0 à 20 et en dessous de MN (fig. 2).

On fait ensuite glisser la figure ainsi obtenue, sur le polygone funiculaire XYZ, en ayant bien soin de maintenir la ligne MN du calque, parallèle à la poutre de l’épure n° 1, sur laquelle sont représentés les essieux roulants. Il faut avoir soin aussi de faire coïncider, à chaque superposition, les verticales des points M, N, du calque, avec les verticales passant par A, B, C, D, sur les ordonnées au t/20 du calque, le moment lléchissant correspondant, mesuré sur le polygone funiculaire, tel que A1A-2 - BiB₂ - CiC₂ - DiD₂.... On fait passer ensuite une courbe MPQRN par les extrémités des plus longues ordonnées ainsi obtenues ; c’est la courbe représentative des plus grands moments lléchissants qui puissent être développés dans la poutre, par le passage du train-type.

et on marqne par un point,

L’échelle des forces étant de 0m,001 par tonne et celle de la portée de 0m,005 par mètre.

La hauteur polaire étant de 0m,02, l’échelle des moments est de 0m,010 pour 40 000ksm.

Il convient de remarquer que le train-type pouvant parcourir la poutre de gauche à droite aussi bien que de droite à gauche, la courbe est symétrique par rapport au milieu de la travée et qu’il suffit de limiter à la moitié de la portée la notation des moments les plus forls, sur ces divisions au 1/20. L’autre moitié de courbe se déterminera en repliant le calque en deux, suivant l’axe de la travée, et en traçant la courbe enveloppant les moments maxima dans chaque demi-travée, au droit des ordonnées correspondantes.

En totalisant les ordonnées de l’épure ainsi obtenue, avec celles de la parabole provenant de la charge uniformément répartie sur la poutre, on construit facilement l’épure représentant la somme de tous les moments maximorum développés en chaque point de cette poutre, par l’effet combiné de la charge permanente avec la surcharge roulante.

C’est d'après cette dernière épure qu’on détermine la résistance de la poutre.

§ VI

Application de la statique graphique à la recherche du centre de gravité des figures (pi. 3).

Soit à trouver le centre de gravité d’une poutre ayant la section de la fig. 3, pi. 3.

Cette ligure peut être considérée comme composée de huit rectangles 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8, dont les surfaces peuvent être représentées par des charges agissant en leur centre de gravité respectif c, d, c, /, g, A, i et j.

Or, la force agissant en c, c’est la surface La force agissant en d est.....

420x55 = 23100mm-211X15= 3165 85X41 = 3485 500x11 = 5500 500X11 = 5500 85X41 = 3485 211x15= 3165 420x22 = 9240

56640mm

La résultante sera donc

Le problème revient donc à celui-ci :

Etant donnée une poutre de portée cj₁ trouver, sur celle poutre, le point d’attache de la résultante des forces agissant en c, de, f, g, A, i et j.

Le millimètre étant pris comme unité linéaire.

On construit le triangle des forces AOB (fig. 4), en portant ces forces successivement l’une à la suite de l’autre, à

une échelle convenue

1000

gueur représentant le nombre 23100 en 1 —2 = 3 165, en 2 — 3 une longueur représentant le nombre 3 485 et AB = 56 640. En donnant à ce polygone une hauteur polaire quelconque, il reste à tracer, sur MN, le polygone funiculaire correspondant à ce polygone des forces, en tirant MA, parallèle à AO, M/ parallèle à 01, lin parallèle à 02, mn à 03,

par exemple, en Al, une lon-

etc. ; le polygone se trouve fermé en tirant S/£ parallèle à OB. Les deux lignes de fermeture Mk et S/r, sont les parallèles à AO et à BO.

La verticale du point k, détermine sur cj, le centre de gravité G de la pièce.

On voit que cette épure économise beaucoup de calculs, et que la justesse des résultats sera suffisante dans la pratique, si on choisit une échelle un peu grande.

CHAPITRE TROISIÈME

Conditions d’établissement des Ponts métalliques.

L’établissement des ponts métalliques supportant des voies de chemins de fer, ou le passage des routes, est soumis au contrôle de U Administration des Ponts et Chaussées. Les projets doivent être établis d’après les conditions imposées par un règlement ministériel, que nous reproduisons ci-dessous. Avant délivrer ces ouvragesàla circulation, il convient, en outre, pour s’assurer de leur résistance, de leur faire subir des épreuves indiquées dans la circulaire qu’on va lire.

CGC

h—H

CIRCULAIRE MINISTÉRIELLE DU 29 AOUT 1891

RÈGLEMENT SUR LES PONTS MÉTALLIQUES

CHAPITRE PREMIER

PONTS SUPPORTANT DES VOIES DE FER

I. — Voies de largeur normale.

Article premier

Conditions à remplir. — Les ponts à travées métalliques qui portent des voies de fer de largeur normale, devront

être en état de livrer passage aux trains autorisés à circuler sur le réseau auquel ils appartiennent et, en outre,, au train-type défini à l’article 4 ci-dessous.

Article 2

Limites du travail du métal. — Les dimensions des différentes pièces des ponts seront calculées de telle sorte que, dans la position la plus défavorable des trains désignés à l’article premier et en tenant compte de la charge permanente ainsi que des efforts accessoires tels que ceux qui peuvent être produits par les variations de température, le travail (*) du métal par millimètre carré de section nette, c’est-à-dire déduction faite des trous de rivets ou de boulons, ne dépasse pas les limites indiquées ci-dessous.

I.    Pour la fonte supportant un effort d’extension

directe...............lk50

2k50

Pour la fonte travaillant à l’extension dans des pièces soumises à des efforts tendant à les faire fléchir

6k00

Pour la fonte supportant un effort de compression.

II.    Pour le fer et l'acier travaillant à l’extension, à la compression ou à la tlexion, les limites exprimées en kilogrammes par millimètre carré de section seront fixées aux valeurs suivantes :

6k50

8k50

Pour le fer Pour l’acier

Toutefois ces limites seront abaissées respectivement :

A 5 kilogr. 50 pour le fer et à 7 kilogr. 50 pour l’acier dans les pièces de pont, longerons et entretoises sous rail ;

A 4 kilogrammes pour le fer et à 6 kilogrammes pour l'acier, pour les barres de treillis et autres pièces exposées à des efforts alternatifs d’extension et de compression ; ces dernières limites pourront néanmoins être rapprochées des précédentes pour les pièces qui seront soumises à de faibles variations de ces efforts.

(1) Le mot « travail » est entendu ici non dans son sens scientifique, mais dans le sens d’effort imposé au métal par unité de surface, qui lui est donné dans la pratique des constructions.

Dans l’établissement du projet des ouvrages métalliques d’une ouverture supérieure à 30 mètres, les ingénieurs pourront appliquer au calcul des fermes principales des limites supérieures à celles qui ont été fixées plus haut, sans jamais dépasser:

.    8\50

. 11 k,50

Pour le fer .

Pour l’acier .

Ils devront justifier, dans chaque cas particulier, les diverses limites dont ils auront cru devoir faire usage.

Lorsque des fers laminés dans un seul sens seront soumis à des efforts de traction perpendiculaire au sens du laminage, les coefficients seront réduits d’un tiers dans les calculs relatifs à ces efforts.

Les coefficients concernant l’acier ne subiront pas celte réduction.

On appliquera aux efforts de cisaillement et de glissement longitudinal les mêmes limites qu’aux efforts d’extension et de compression, mais en leur faisant subir une réduction d’un cinquième, étant entendu que les pièces auront les dimensions nécessaires pour résister au voilement ; pour le fer laminé dans un seul sens, on fera subir à ces coefficients une réduction d’un tiers, lorsque l’effort tendra à séparer les fibres métalliques.

Le nombre et les dimensions des rivets seront calculés de telle sorte que le travail de cisaillement du métal ne dépasse pas les quatre cinquièmes de la limite qui aura été admise pour la plus faible des pièces à assembler et que le travail d’arrachement des têtes, s’il s’en produit, ne dépasse pas 3 kilogrammes par millimètre carré en sus de l’effort résultant du serrage. *

III. Les calculs justificatifs de la rivure seront toujours fournis à l’appui des projets en même temps que les calculs des dimensions des diverses pièces.

Il en sera de même des calculs des assemblages par boulons dans les ponts en fonte.

Article 3.

Qualités du fer et de l'acier auxquelles correspondent les limites de travail du métal fixées par l'article S. — Les coefficients du travail du métal fixés ci-dessus pour le fer et l’acier correspondent aux qualités définies par les conditions suivantes :

RESISTANCE minimum à la traction par “/m2 mesurée sur des éprouvettes de 200m/m de longueur

DÉSIGNATION

ALLONGEMENT minimum de rupture par m/m<J mesuré sur des éprouvettes de 200m/m de longueur

Fer

laminé.

Fer profile et plat (dans le

sens du laminage).....

dans le sens du

laminage......

. dans le sens per-j pendiculaire au \ laminage......

8 p. %

32ks

Tôle

» P- %

32k

Acier laminé . Rivets en fer.. Rivets en acier

oi o oo

• (N ^ (M

28k

42k

3Ck

38k

Les cahiers des charges fixeront pour l’acier le minimum et le maximum entre lesquels devra être compris le rapport de la limite pratique d’élasticité à la résistance à la rupture. Le minimum ne devra pas être inférieur à un demi et le maximum ne devra pas dépasser deux tiers.

Des coefficients de travail plus élevés pourront être aulo-risés par l'Administration pour des métaux de qualités différentes, si des justifications suffisantes> sont produites.

On ne tolérera dans aucun cas l’emploi d’aciers fragiles et on s'assurera fréquemment, pendant la construction, de la qualité du métal à ce point de vue, au moyen d’essais de trempe et d’expériences faites en pliant des barres percées de trous au poinçon. Les cahiers des charges devront renfermer des prescriptions détaillées à cet égard sans préjudice des autres conditions relatives aux qualités du métal.

Dans tous les cas, lorsqu'on emploiera l’acier, les trous des rivets seront forés ou alésés après le perçage sur une épaisseur d’au moins un millimètre et les bords des pièces coupéesàla cisaille seront affranchis sur la même épaisseur.

Article 4.

Composition du train-type. — Les auteurs des projets de travaux métalliques devront justifier par des calculs suffisamment détaillés qu’ils ont satisfait aux prescriptions des articles 1, 2 et 3 qui précèdent.

En ce qui concerne les fermes longitudinales, ils seront tenus d’examiner l’hypothèse du passage, sur chaque voie, du train-type défini ci-dessous.

Le train-type se composera de deux machines à quatre essieux, de leurs tenders et de wagons chargés. Les poids et dimensions des machines, tenders et wagons chargés sont donnés par le tableau et la ligure ci-après :

DÉSIGNATION

MACHINE TENDER

WAGON

CHARGÉ

Nombre d’essieux..................

Charge par essieu..................

Distance du tampon d’avant au 1er essieu............................

Ecartement des essieux entre eux ... Distance du dernier essieu au tampon

d’arrière.........................

Poids total.........................

Longueur totale..................

(H

2m,60 2m,00

1,20

2,50

1 m,50 3,00

2,60 56 t

2,00

24 t

8m,80    6m,50

1,50

16 T

6m,00

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Fig. 30

Les machines, avec leurs tenders, seront placées toutes deux en tête du train.

L'ensemble du train sera supposé occuper successivement différentes positions le long de la portée, et ces positions seront choisies de manière à réaliser en chaque point les plus grands efforts tranchants et fléchissants que le passage du train-type puisse déterminer.

Les dimensions des pièces qui ne font pas partie des fermes longitudinales et notamment celles des pièces de pont seront calculées d’après les plus grands efforts qu’elles pourront avoir à supporter, soit dans l'hypothèse du passage du train-type, soit dans l’hypothèse du passage d’un essieu isolé pesant 20 tonnes, si cette dernière réalise les plus grands efforts.

Article 5.

Pression du vent. — Le travail du métal sous l'influence des plus grands vents ne devra pas dépasser de plus de un kilogramme les limites fixées à l’article 2 ci-dessus.

On admettra que la pression du vent par mètre carré de surface verticale peut s’élever à 270 kilogrammes, mais que le passage des trains est interrompu lorsqu'elle atteint 170 kilogrammes. On supposera, en outre, que cette pression s’exerce sur la surface nette, déduction faite des vides, de chacune des maîtresses-poutres, qu’elle agit intégralement sur Lune d’elles et que, sur la suivante, elle est diminuée d’une fraction de sa valeur égale au rapport de la surface nette de la première à la surface totale limitée par son contour ; enfin, que l’effet du vent, en arrière de ces deux poutres, est négligeable. Pour les piles métalliques, on supposera que la pression s’exerce intégralement sur la surface nette de toutes les pièces.

Dans l’hypothèse d’un train placé sur le pont, on comptera, pour sa surface verticale nette, un rectangle de trois mètres de hauteur ayant la même longueur que le pont et dont le côté inférieur sera placé à 50 centimètres au-dessus du rail ; on déduira de ce rectangle la surface nette de la partie de la première poutre placée en avant et on supposera que la pression du vent est nulle sur la partie de la seconde poutre masquée par le train.

Enfin,, on s'assurera que les efforts de glissement transversal et de renversement des tabliers et des piles métalliques sous l’action du vent n’atteignent pas des limites dangereuses, en tenant compte des conditions spéciales dans lesquelles pourront être placés les ouvrages et en supposant que le train défini ci-dessus est composé de wagons vides.

Article 6.

Pièces travaillant à la compression. — On s’assurera, autant que possible, que les pièces travaillant à la compression, soit d’une manière continue, soit d’une manière intermittente, ne sont pas exposées à flamber.

Article 7.

Calcul des flèches. — On fournira, à l’appui des projets, le calcul des flèches sous l’action de la charge permanente et sous l’action de la surcharge.

Article 8.

Calcul des efforts pendant le lançage. — Lorsque la mise en place du tablier devra être faite au moyen d’un lançage, on devra justifier que le travail du métal pendant cette opération, n’atteindra dans aucune pièce une limite dangereuse.

Article 9.

Chaque travée métallique sera soumise à deux natures d’épreuves, l’une par poids mort, l'autre par poids roulant.

§ 1. — Composition des trains d’épreuves.

Épreuves. — Poids: — Ces épreuves seront faites au moyen de trains composés de deux machines attelées en tête et de wagons chargés.

Les poids des éléments de ces trains se rapprocheront autant que possible de ceux du train-type défini à l'article 4.

En tous cas ils devront être au moins égaux aux plus forts poids des éléments similaires appelés à circuler sur la voie considérée.

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

LES PONTS METALLIQUES

Ci

Longueurs. — Les longueurs de ces trains seront fixées comme suit :

Pour les ponts à travées indépendantes, la longueur mesurée entre les deux essieux extrêmes sera au moins égale à la plus grande portée.

Pour les ponts à travées solidaires, la longueur, mesurée comme ci-dessus, devra être suffisante pour couvrir les deux plus grandes travées consécutives.

§ 2. — Ponts à une seule voie ou à voies indépendantes.

Épreuve par poids mort. — Pour Pépreuve par poids mort: le train d’essai sera placé successivement dans les positions qui produiront les plus grands efforts sur les pièces principales du pont.

Il suffira toutefois, en général, d’opérer de la manière suivante :

a)    Pour les ponts à travées indépendantes, le train d’essai sera amené successivement sur chaque travée de manière à la couvrir complètement, puis à en couvrir une moitié seulement, les machines étant placées en tête du train.

Il séjournera dans chacune de ces positions au moins pendant une demi-heure.

b)    Pour les ponts à travées solidaires, chaque travée sera d’abord chargée isolément comme il vient d’être dit. A cet effet, le train d’essai sera coupé à la longueur voulue. Ensuite on chargera simultanément les deux travées contigües à chaque pile à l’exclusion de toutes les autres, au moyen du train d’essai tout entier.

c)    Pour les ponts en arcs, on chargera d’abord toute la longueur de la portée, puis chaque moitié seulement et enfin la partie médiane en y plaçant les deux locomotives nez à nez lorsque faire se pourra et réduisant la composition du train à ces deux locomotives.

Épreuve par poids roulant. — Les épreuves par poids roulant seront au nombre de deux. Elles seront faites au moyen des mêmes trains qu’on fera circuler sur le pont, d’abord à la vitesse de 20 kilomètres à l’heure, puis à celle de 40 kilomètres à l’heure. Toutefois Pépreuve à la vitesse de 40 kilomètres pourra être ajournée jusqu'à l’époque où la voie aux abords du pont sera suffisamment consolidée.

§ 3. — Ponts à voies solidaires.

Pour les ponts à voies solidaires entre elles, l’épreuve par poids mort se fera d’abord sur chaque voie séparément comme il a été dit au paragraphe précédent, l’autre voie restant libre, puis sur les deux voies simultanément. Il en sera de même pour l’épreuve par poids roulant. L’épreuve simultanée des deux voies se fera dans ce cas au moyen de deux trains marchant dans le même sens aux vitesses fixées ci-dessus.

§ 4. — Ponts de types exceptionnels.

Pour les ponts d’un type exceptionnel, les dispositions des épreuves devront être réglées dans un article du cahier des charges.

A défaut, elles seront arrêtées par l’Administration supérieure, sur la proposition des ingénieurs chargés du contrôle de la construction, le concessionnaire ou entrepreneur entendu.

§ 3. — Mesure des flèches.

Visite. — Repères. — On mesurera, au moment des épreuves, la flèche maximum au milieu de chaque travée, sous l’influence d’abord de la charge immobile, puis de la surcharge en mouvement.

Lorsque, sur une même ligne, il se trouvera plusieurs ponts, de construction identique, dont Pouverture ne dépassera pas 10 mètres, la mesure des flèches pourra n'être faite que pour l’un d’entre eux.

Immédiatement après les épreuves de chaque pont, la partie métallique sera visitée dans tous ses détails.

En outre, pour les ponts d’une ouverture supérieure à 10 mètres, les niveaux des points les plus bas des sections des poutres ou des arcs, au milieu de chaque travée et à ses extrémités, seront repérés avant les épreuves à deux

points fixes choisis de manière à permettre de constater, après l’enlèvement de la surcharge, et ensuite à une époque quelconque, les déformations qui se seraient produites ; on repérera par rapport aux mêmes points le dessus de chacun des appuis. Le procès-verbal des épreuves contiendra les renseignements nécessaires pour permettre de retrouver ultérieurement ces repères.

Article 10

Dispositions à prendre pour faciliter la visite et Ventretien. — On s’attachera à rendre faciles la visite, la peinture et la réparation des parties métalliques, et on fera connaître dans les mémoires à l’appui des projets les mesures prises à cet effet.

Article 11

Distance au rail le plus voisin des pièces les plus rapprochées de la voie. — Les pièces les ' plus rapprochées de la voie ne pourront, à partir de cinquante centimètres jusqu’à quatre mètres cinq centimètres de hauteur au-dessus du rail le plus voisin, être placées à moins de un mètre cinquante centimètres de Taxe de ce rail. Les pièces placées à une distance moindre ne pourront, à la partie inférieure, jusqu’à quatre-vingts centimètres de l’axe du rail le plus voisin, faire saillie sur le niveau de ce rail, et à partir de quatre-vingts centimètres du même axe, dépasser une ligne brisée composée : 1° d’une verticale de vingt-cinq centimètres de hauteur ; 2° d’une horizontale de trois ~ cent vingt-cinq millimètres de longueur ; 3° d’une ligne inclinée à trois de base pour deux de hauteur; à la partie supérieure les mêmes pièces devront rester

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Fig. 31

au-dessus d’une ligne s’abaissant avec une inclinaison de deux de base pour un de hauteur à partir d’un point pris à l’aplomb de l’axe du rail le plus voisin et à quatre mètres quatre-vingts centimètres au-dessus de ce rail. Aucune pièce placée au-dessus des voies ou entrevoies ne pourra être à moins de quatre mètres quatre-vingts centimètres de hauteur au-dessus du niveau des rails.

Article 12.

Limite du poids des machines qui pourront circuler sur les ponts sans autorisation préalable. — La mise en circulation, sur les ponts, de machines dont le poids moyen par mètre courant dépasserait de plus de un dixième celui de la machine-type déterminée à l’article 4 ci-dessus, ou dont un des essieux aurait à supporter une charge supérieure à 18 tonnes, ne pourra avoir lieu qu’en vertu d’une autorisation spéciale du Ministre des travaux publics.

II. — Voies étroites.

Article 13.

Ponts pour les chemins de fer à voie de un mètre et au-dessus. — Les prescriptions relatives aux ponts pour chemins de fer à voie normale sont applicables aux chemins de fer à voie étroite , dont la largeur ne sera pas inférieure à un mètre, sauf les modifications indiquées ci-dessous.

Le poids par essieu des machines du train-type (art. 4) sera réduit à 10lX/, l étant la largeur de la voie entre les bords intérieurs des rails. Les dimensions des machines et les poids et dimensions des wagons seront les mêmes que pour la voie normale et les tenders seront supposés avoir les mêmes poids et les mômes dimensions que les wagons chargés.

Pour le calcul du travail du métal sous l’action d’un essieu isolé, on admettra une charge de 14lX /.

La seconde épreuve par poids roulant (art. 9) sera faite à la vitesse de 35 kilomètres à l'heure.

Le contour à l’intérieur duquel aucune pièce des ponts ne

devra faire saillie (art. 11) sera déterminé, dans chaque cas, en tenant compte des minima de largeur et de hauteur autorisés, pour les ouvrages d’art, sur la ligne à laquelle appartiendra le pont à construire.

La charge d’essieu maximum, dont le passage ne pourra

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Fig. 32

avoir lieu sur les ponts sans autorisation spéciale (art. 12), sera fixée à 12l X /, l étant la largeur de la voie entre les bords intérieurs des rails.

Les trains à employer aux épreuves seront composés avec le plus lourd matériel propre à la ligne sur laquelle est placé le pont métallique.

Article 14.

Ponts pour chemins de fer à voie de largeur inférieure à un mètre. — Les conditions auxquelles devront satisfaire les ponts supportant des voies de chemins de fer de moins de un mètre de largeur seront déterminées, dans chaque cas, sur la proposition du concessionnaire, par le Ministre des travaux publics, en tenant compte des poids et des dimensions des machines appelées à circuler sur l’ouvrage.

CHAPITRE 11

PONTS SUPPORTANT DES VOIES DE TERRE

Article lh

Conditions à remplir. — Les ponts à travées métalliques qui portent des voies de terre devront être en état de livrer passage à toute voiture dont la circulation est autorisée par

le règlement du 10 août 1852 sur la police du roulage et des messageries, c’est-à-dire aux voitures attelées au maximum de cinq chevaux si elles sont à deux roues et de huit chevaux si elles sont à quatre roues.

Article 16

Limites de travail du métal. — Les dimensions des différentes pièces des ponts seront calculées dans les conditions fixées à l’article 2, sauf la substitution au train-type des surcharges définies par l’article 17 ci-dessous.

Article 17

Surcharges à adopter pour le calcul. — On s’assurera que le travail du métal par millimètre carré dans chaque pièce ne dépasse pas les limites fixées à l’article 2 ci-dessus :

1° Sous Faction d’une surcharge uniformément répartie de 400 kilogrammes par mètre carré sur toute la largeur de l’ouvrage, y compris les trottoirs ;

2° Sous le passage de tombereaux à un essieu, traînés par deux chevaux et formant autant de files continues que le comportera la largeur de la chaussée. On admettra, pour faire ce calcul, que les trottoirs sont surchargés uniformément à raison de 400 kilogrammes par mètre carré, et que les tombereaux et leurs attelages ont les poids et dimensions suivants :

6l

Poids

Longueur (non compris les brancards). 3m00

Largeur de voie...........

Largeur de chaussée occupée .....

Poids.................

Chevaux. . J Longueur (y compris les traits et bran-( cards)................

On s’assurera que le travail du métal par millimètre carré, dans chaque pièce, ne dépasse pas de plus d’un kilogramme les limites fixées à l’article 2, dans le cas où on substituerait à l’un des tombereaux un véhicule pesant 11 tonnes, ayant les mêmes dimensions et traîné par cinq chevaux sur une

Tombereaux.

1 70

2 25

700

2m50

seule file, et, dans le cas où ces tombereaux seraient remplacés, sur toute la surface du tablier du pont, par des chariots

; n ; I il II ;    ; i

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Fig. 33

à deux essieux traînés par huit chevaux sur deux files ayant

les poids et dimensions suivants :

Poids sur chaque essieu

Longueur........

I Largeur de la voie. . .

1 Ecartement des essieux

Chariots. . ., Distance du premier essieu à l’avant du

i chariot................

f Distance du second essieu à l’arrière du

chariot................

8l

6m00

.    1 70

3 00

1 50

1 50

700k

2m50

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Fig. 34

Lorsqu’il s’agira d’ouvrages à établir sur des routes à fortes pentes, placées dans des conditions telles que la circulation

des charges indiquées ci-dessus ne puisse pas être considérée comme possible dans le présent ni dans l’avenir, l’Administration se réserve d’autoriser l’emploi, dans les calculs, de charges moindres qui seront déterminées d’après les circonstances locales. Dans aucun cas, la charge uniformément répartie ne pourra descendre au-dessous de 300 kilogrammes par mètre carré, et les autres charges indiquées ci-dessus ne pourront être réduites de plus de moitié.

Article 18

Pression du vent, 'pièces travaillant à la compression, calcul des flèches, calcul des efforts pendant le lançage, dispositions à prendre pour faciliter lavisite et T entretien, surveillance.—Les prescriptions des articles 5, 6, 7, 8 et 10 ci-dessus sont applicables aux ponts pour voie de terre.Toutefois, pour le calcul des efforts résultant de l'effet du vent (art. S), il ne sera pas tenu compte de la présence possible de véhicules sur le pont.

Article 19

Épreuves. — Chaque travée métallique sera soumise à deux natures d’épreuves : l’une par poids mort, l’autre par poids roulant.

Composition des surcharges d'épreuve. — Pour l’épreuve par poids mort la surcharge d’épreuve sera de 400 kilogrammes par mètre carré de tablier, trottoirs compris.

Pour l’épreuve par poids roulant les véhicules seront disposés en files continues et devront se rapprocher, autant que possible, comme poids et écartement des essieux, de ceux désignés pour types dans le troisième alinéa de l’article 17. En tous cas, ces véhicules devront représenter, avec leurs attelages, une charge minima de 400 kilogrammes par mètre carré, en prenant 2 m. 25 pour largeur de la zone occupée.

Longueur des files de voitures. — Les longueurs des files de ^ voitures seront fixées comme suit :

Pour les ponts à travées indépendantes et pour les ponts

moins égale à la plus grande

en arcs, la longueur sera au portée.

Pour les ponts à travées solidaires, la longueur devra être

suffisante pour couvrir les deux plus grandes travées consécutives.

Nombre des files de voitures. — Le nombre des files de voitures devra être égal au quotient de la largeur de la chaussée par le nombre 2 m. 25. Toutefois, ce nombre pourra être réduit quand il y aura difficulté de réunir assez de véhicules pour constituer toutes les files, mais il devra être suffisant pour couvrir au moins la moitié de la largeur du tablier ; le surplus de cette largeur sera alors occupé par une surcharge à poids mort de 400 kilogrammes par mètre carré, répartie de chaque côté des files.

Epreuves par poids mort. -— Il sera procédé aux épreuves par poids mort de la manière suivante :

Pour les ponts à travées indépendantes, la surcharge sera étendue successivement d’une extrémité à l’autre, avec interruption d’une demi-heure au moment où la surcharge aura atteint la moitié de la portée. Lorsque la totalité de la travée aura été couverte, la surcharge devra demeurer en place pendant une demi-heure.

Pour les ponts à travées solidaires, chaque travée sera d’abord chargée isolément comme il vient d’être dit ci-dessus, puis on chargera simultanément les travées contiguës à chaque pile, à l’exclusion de toutes les autres.

Pour les ponts en arcs, chaque travée sera chargée sur la totalité de sa portée, ensuite sur chaque moitié et, enfin, dans la partie médiane seulement.

Épreuve par poids roulant. — On procédera aux épreuves par poids roulant en faisant circuler au pas les files de voitures d’une extrémité à l'autre du pont.

On fera passer, en outre, sur le pont un véhicule comprenant au moins un essieu chargé de 11 tonnes.

Tempéraments aux surcharges d’épreuves. — Lorsque, dans le cas prévu par le dernier alinéa de l’article 17, les surcharges ayant servi à faire les calculs auront été réduites, les surcharges à employer pour faire les épreuves seront réduites dans la même proportion.

Les règles fixées par l’article 9 pour les épreuves des ponts d’un type exceptionnel ainsi que pour les constatations à

faire, pendant et après les épreuves, et enfin pour les mesures à prendre en vuedes vérifications ultérieures sont applicables aux ponts supportant des voies de terre.

Chargements exceptionnels. — Le passage, sur le tablier du pont, de chargements notablement supérieurs à ceux qui auront été adoptés dans les calculs relatifs à la stabilité de l’ouvrage ne pourra avoir lieu qu’en vertu d’une autorisation spéciale donnée par le Préfet conformément au rapport de l’ingénieur en chef.

CHAPITRE III

PONTS-CANAUX MÉTALLIQUES

Article 20

Conditions à remplir. — Les ponts-canaux devront être en état de recevoir la charge d’eau correspondant au mouillage normal, augmenté de trente centimètres.

Article 21

Limites du travail du métal. — Les dimensions des différentes pièces des ponts-canaux seront calculées de manière à ce que le travail du métal par millimètre carré de section nette, déduction faite des trous de rivets, ne dépasse nulle part 8k,50 pour le fer et llk,50 pour l’acier.

Article 22

Pression du vent, pièces travaillant à la compression, calcul des efforts pendant le lançage, dispositions à prendre pour faciliter la visite et l’entretien, surveillance. — Les prescriptions des articles 5, 6, 8 et 10 sont applicables aux ponts-canaux. Pour l’application de l’article 5, on tiendra compte de la présence de la bâche ainsi que de celle des bateaux sur l’ouvrage ; le calcul sera fait en admettant une pression de 270 kilogrammes par mètre carré de surface verticale; la surface des bateaux exposée au vent sera comptée pour un rectangle de lm,50 de hauteur au-dessus de la bâche ayant la même longueur que le pont.

Article 23

Calcul des flèches. — On fournira, à l’appui des projets, le calcul des flèches sous l’action du poids propre du pont et sous l’action de la surcharge d’eau prévue à l’article 20.

Article 24

Épreuves. — L'épreuve des ponts-canaux consistera dans la mesure des flèches avant et après le remplissage au maximum de hauteur fixé par l’article 20.

Immédiatement après les épreuves, l’ouvrage sera visité dans toutes ses parties ; en outre, on repérera à deux points fixes, avant l’épreuve, les niveaux des points les plus bas des sections des poutres et des axes au milieu de chaque travée et à ses extrémités, de manière à pouvoir, après la mise en charge et à une époque quelconque, mesurer les déformations qui se seraient produites ; on repérera, par rapport aux mêmes points, le dessus de chacun des appuis. Le procès-verbal des épreuves contiendra les renseignements nécessaires pour permettre ultérieurement de retrouver ces repères.

CHAPITRE IY

DISPOSITIONS DIVERSES

Article 25

Contrôle des épreuves. — Pour les ouvrages construits ou entretenus par des concessionnaires, les épreuves seront faites en présence d’un ingénieur chargé du contrôle ; les procès-verbaux détaillés, dont elles devront être l’objet, seront dressés dans la forme qui sera prescrite par l’Administration.

Article 26

Dérogation aux prescriptions du règlement. — L’Administration se réserve d’apprécier les cas exceptionnels qui pourraient motiver des dérogations quelconques aux prescriptions du présent règlement.

Paris, le 29 août 1891.

Le Ministre des Travaux publics, Yves GUYOT.

§ III.

Remarques.

Le règlement ministériel est accompagné d’une lettre-circulaire portant la même date, adressée aux ingénieurs en chef des ponts et chaussées et aux préfets, dans laquelle le Ministre dit .

« L’administration entend laisser aux ingénieurs une « entière liberté en ce qui concerne le choix des méthodes « employées pour faire les calculs ; la seule obligation qu’elle « leur impose est de déterminer avec une exactitude suffi-« santé la limite des efforts supportés par chacune des « pièces qui composent l’ouvrage dans les conditions défi— « nies par l’article 4. Ainsi, on pourra, si on le juge utile, « faire usage pour le calcul des moments fléchissants, ainsi « que pour celui des efforts tranchants, de surcharges vir-« tuelles uniformément réparties, sauf à justifier que ces « surcharges produisent des efforts supérieurs ou au moins « égaux à ceux qui seront déterminés en chaque point, par « le passage du train type. »

Cette instruction supplémentaire est importante à connaître, afin qu’on puisse employer, si l’on veut, tantôt la statique graphique, tantôt les formules de résistance, ou toute autre méthode convenable, pour calculer les projets de ponts métalliques qui vont suivre.

CHAPITRE QUATRIÈME

PROJETS DE PONTS A UNE SEULE TRAVÉE PONTS POUR VOIE CHARRETIÈRE

§ I-

Projet d’un pont en fer de faible ouverture (PI. 3).

J. — Description sommaire.

Le pont dont on va exposer les calculs a 8m,00 d’ouverture entre parements de; culées; il est établi pour une route de 4m,00 de largeur totale, comprenant une chaussée de 2m,50 de largeur et deux trottoirs de 0m,750 chacun. L’ossature métallique comprend deux poutres longitudinales de O"¹,700 de hauteur, entretoisées par des pièces de pont à l’écartement régulier de lm,40. Ces pièces de pont sont reliées entre elles par des tôles cintrées en dessous, de 7m/m d’épaisseur , sur lesquelles repose la chaussée.

Le trottoir, de chaque côté, est porté par une tôle striée s’appuyant à la fois sur la table de la poutre et sur un fer en £ monté à l’extrémité des consoles rivées sur la face extérieure de cette poutre. Ces consoles servent également à fixer les montants du garde-corps.

Sur la dernière pièce de pont de chaque extrémité est rivée une tôle striée de 420 X 5, reposant sur la murette de la

culée, pour empêcher l’empierrement de la chaussée de s’interposer entre cette murette et la pièce de pont. L’about des poutres est garanti de la même manière.

Pour parer aux efforts de dilatation et de contraction, les extrémités des poutres reposent sur les sommiers en pierre dure des culées par l’intermédiaire de sabots en fonte.

Ainsi qu'on le verra plus loin, les tôles cintrées supportant la chaussée ont 7m/m d’épaisseur et sont en acier, mais elles seront calculées, comme n’ayant que 6m/m, afin de tenir compte de l’oxydation qui pourrait affaiblir le métal.

II. — Calcul des poutres longitudinales.

La portée des poutres se mesure de l’axe à l’axe des appuis ; elle est ici de 8m,60 = /.

La charge permanente uniformément répartie par mètre courant de tablier se compose : 1° du poids de la chaussée et des trottoirs; 2° du poids propre du métal des poutres principales, des entretoises et du garde-corps, etc.

Le poids du ballast et macadam se déduit d’un cubage auquel on applique une densité de 1 800.

Quant au poids du métal, on l’établit d’après les dimensions des pièces de l’avant-projet ou d’après le métré définitif de l’ouvrage. On le détermine aussi par comparaison avec d’autres ouvrages semblables et l’expérience fait le reste. Nous conseillons cependant, quand on n’aura pas de données comparatives, de fixer le poids approximatif du métal, d’après les indications du tableau de la page 120 et qui a pour titre : Poids du métal à compter pour superstructures de ponts métalliques.

La charge permanente se détermine donc comme suit, par mètre courant de tablier :

3,06x0,27x1800 / 0,94X0,11X1800 \ ' ' ' Des poutres, entretoises, garde-corps = 660k/ Des tôles cintrées sous la chaussée = 177 \

Chaussée et trottoirs.

= 1673k

Métal.

= 837

Charge totale. . . = 2510k Soit, par mètre courant et pour une seule poutre,

= 1255¹⁵⁸' = p.

2

Pour se conformer aux prescriptions de l’article 17 de la circulaire ministérielle, il conviendra de faire quatre hypothèses pour le calcul de ces poutres :

Première hypothèse. — Surcharge uniformément répartie de 400ks par mètre carré sur toute la longueur de l’ouvrage, y compris les trottoirs;

Deuxième hypothèse. — La surcharge roulante se compose d’un tombereau à un seul essieu, pesant 6000k8 et traîné par deux chevaux, tout en admettant que les trottoirs restent chargés uniformément à raison de 400^ par mètre carré.

Dans ces deux hypothèses , la fatigue moléculaire du métal ne doit pas être supérieure à 6k,500 (art. 2) ;

Troisième hypothèse. — Le tombereau de 6 tonnes sera remplacé par un tombereau de 11 tonnes à un seul essieu et traîné par 5 chevaux sur une seule lile, les trottoirs restant chargés ;

Quatrième hypothèse. — Le tombereau de 6 tonnes sera remplacé par un chariot de 16 tonnes à deux essieux et traîné par 8 chevaux sur deux files.

Dans ces deux dernières hypothèses, le travail du métal ne doit pas dépasser 6k,5 4-1,0 = 7k,50.

Première hypothèse.—Surcharge uniformément répartie de 400kg.

Dans ce cas, le moment fléchissant maximum au milieu de

qui s’ap-

la poutre est donné par la formule «itL

plique d’abord au moment dû à la surcharge de 400><s.

Or, la largeur du tablier, trottoir compris, étant de 4m,00,

p' = 400x4

_ p h

et

(400x4) 8,60²

= 14 792 kilogrammètres.

Dans l’expression du moment dû à la charge permanente, on a p — \ 255 kilog. trouvé ci-dessus ; donc, ce moment

a pour valeur

pl²

1255 X 8,60²

= 11602ksm

M>' =

et le moment total M est alors au milieu :

M = Jfo + Jb = 14792h-11602 = 26394 kilogrammètres.

Or, la section nette de la poutre, représentée par la fig. 35 ci-contre, donne :

I (0,280 —0,040)ÔjÔ³ — 0,001X0,680:J — 0,H8X0,658³ — 0,022XÔ^Ô;I

6x0,700

soit en effectuant

•*»

S?

— = 0,004107

et comme

T’

on a en remplaçant : 26394

s>

S&o.

0,00417

= 6 420 000k8'.

L_____

Fig. 35

= 6k,42.

C’est la fatigue moléculaire par mètre carré de section, parce que 3ù^°-~ le moment d’inertie a été pris par rapport au mètre comme unité. Le travail par millim. carré est donc 6420000

1000000

On obtiendra directement le travail par millimètre carré en posant

R= M

26 394

— X 10G

0,004107X1000000

= 6k»,42.

ou bien , en prenant — par rapport au millim. carré, ce qui donnerait

— = 0,004107 X1000000 = 4107.

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

Deuxième lu/pot/tèse. — Pas.saqe d'un tombereau de 6000ke.

Dans ce cas, le moment fléchissant maximum se produit lorsque le tombereau est arrivé au milieu de la portée et que l'une des roues rase le trottoir, comme l’indique la fîgure^Sô ci-contre.

Dans cette position, si un auire attelage de même type

AS

kr-fy?-

-.-202___

.1

3000¹

« t'v*

• • ?• •

Apiuiiiiiiïs

r.

'il

S4I4-W-

'S

Je_____

Fig. 36

suit le premier tombereau, on a la charge d'un cheval à 2m,75 en avant de l’essieu de 6 tonnes et un autre cheval pesant également 700ks à 2m,75 en arrière, comme l’indique la ligure 37 ci-après.

A ce moment, la poutre contiguë à la roue la plus rapprochée du trottoir, supporte, en son milieu, une surcharge loiale P provenant de l’action combinée des deux roues pesant chacune 3 000kpr. Cette charge a pour valeur :

3 000 x

3,06 — 0,34

3,06

pour la roue A et

1,02

•i ⁰⁰⁰ X ’

pour la roue B, soit pour les deux ensemble

P = 3000

/3,06 — 0,34-i-l,02\ _

\    3706    ) ~

3666k,60.

La poutre supporte également, à 2ra,75 en avant et en arrière de son milieu, deux charges P', représentant le

Aq

i<_ J>£SL —: ( — 2^5-------ZqÇ---) c-    --J

l-----Æ3a.__

__47JS o

>1

*i

T’

Fig. 37

poids d’un cheval placé sur l’axe de la file des tombereaux, mais cette charge est à une distance de 1¹¹¹,19 de la poutre considérée.

Cet effort

P' = 700

= 42 7k, 70.

3,06 —1,19

3,06

Le moment fléchissant maximum dû à la surcharge totale a donc pour valeur :

Jlb = q X 4,30 — P; X 2,73,

4-427,7,

q étant la réaction sur l’appui et ayant pour valeur 3 666,6

on a en remplaçant :

Jlb —

^3666,6 ₊    4 30 _ 427,7X2,75

= 8546ksm.

Quant au moment Jlb' dû à la charge permanente uniformément répartie, il reste ce qiCil était dans l’hypothèse précédente, c’est-à-dire

Jlb' = 11602kgm.

Mais, dans cette hypothèse, il y a lieu de tenir compte, en outre, de la surcharge des trottoirs, à raison de 400kff par mètre carré, surcharge qui incombe tout entière à la maîtresse poutre, et qui ne doit pas intéresser le fer en £ supportant le garde-corps.

Le moment au milieu de la poutre, résultant de la charge de ce trottoir, qui a 0m,750 de largeur, a pour valeur :

= 2 773kgnj,5.

400 X 0,75 X8^6Ô²

De sorte que le moment fléchissant total maximum au milieu de la poutre est :

M — Jtt) H- JI V x JtV \

et en remplaçant :

M = 8546 -h 11602 + 2 773,5 == 22 921k6m,5, moment inférieur à celui qui a été trouvé dans la première hypothèse où l’on a seulement

K = 6\42.

Troisième hypothèse. — Le tombereau de 6 tonnes est remplacé par un tombereau de 11 tonnes à un seul essieu.

Dans ce cas, la disposition des charges reste distribuée comme dans les figures36 et 37 ci-devant, mais chaque roue pesant 5500kg, on a

et

P = 5500

3,06 — 0,34 -h 1,02

3,06

= 6 740kg,

P' = 700

3,06 — 1,19

^ = 427ks,7,

3,06

et le moment maximum au milieu de la portée, dû à ces surcharges devient :

/ 6 740    \

= ( —^—+ 427,7 j 4,30 — 427,7X2,75 = 15154k^.

Les moments Jb' et Jb⁷, dus à la charge permanente et à la surcharge des trottoirs, restent les mômes que précédemment, de sorte que le moment fléchissant total maximum au milieu a pour valeur

M = M 4- JIV + Jb" = 15154+11602 +2773,5 = 29529ks“,5,

d'où

„    29529,5

R — _— 7kg iq

0,004107 x 10e    '    ’

ce qui n’a rien d’exagéré, puisque dans cette hypothèse, le travail moléculaire peut atteindre 7k,50 par millimètre carré.

Quatrième hypothèse. — Passage des chariots de 16 tonnes. Dans ce cas, le chariot a ses deux roues de 4000k chacune en a et ô, et les premiers chevaux de trait sur deux

ks)

*■

l*

---_

■à

_Z5X7_^{

->J

x^| 9

Fig. 38

rangs, au point c pèsent ensemble 1400k. La plus grande fatigue pour la poutre longitudinale se présentera encore lorsque les deux roues d’un même côté du véhicule, raseront le trottoir, comme l’indiquent les figures 36 et 37 ; les deux charges égales X, des points a et b, sont données par l’expression :

X = 4000

2,72 4- 1,2

3,06

= 4888kg,8,

et la charge des deux chevaux en c est:

= 855kg,5.

Y = 1400

3,06 — 1,19

3,06

D'après ce qui a été dit à la page 54, on sait que le moment fléchissant maximum se produira sous l’une des deux roues, et lorsque cette roue et la verticale passant par la résultante Q des poids X, X et Y seront à égale distance du milieu de la portée.

Or, la position de la résultante est facile à déterminer, soit numériquement, soit par la statique graphique (voir § II, chapitre II). On a donc

= 0m,267.

Zt

Le moment fléchissant maximum est sous la roue a déterminée de position, et il a pour valeur

.ll> = ^(4,30 — 0,267) — Y X 2,7.5, la réaction sur l’appui de gauche est

= 4 219^',

_ [1,567+(i,567+3,00)]4888,8+(8,60—1,283)855,3 q ~ 8^60

en remplaçant ci-dessus on trouve

Jlh = 4 219X4,033 — 855,5X2,75 = 44 662,6.

. Les moments M' et M" dus à la charge permanente et à la surcharge des trottoirs restent les mêmes, de sorte que le moment fléchissant maximum au milieu a pour valeur :

M = M + M' + Jb" = 14 662,6 +11602 + 2 773,5 = 28 038k^m, I.

Ce moment étant inférieur à 29529km,5 trouvé ci-dessus, le métal travaille à moins de 7k,I9.

III. — Pièces de pont. — Écartement des pièces de pont — lm,40.

Portée admise dans les calculs l = 2m,60.

Charge permanente par mètre courant :

1,40X0,27X1800 = 680’+ Tôles cintrées et poids propre de la poutre .    . = 150

Ballast

Total.

.    . p = 830ks.

Dans le calcul des pièces de pont, les charges à considérer, sont :

1° La charge uniformément répartie de 400kp:. 2° Le passage d’un tombereau de 6 tonnes.

3° Le passage dTm tombereau de 11 tonnes.

Dans les deux premiers cas, le travail moléculaire ne doit pas excéder 5k,50, et dans le second, 6k,50.

„    p7²    400 X 1,40x2,60*

Jlib — -TV — - —

Or, le moment fléchissant maximum au milieu de la poutre et dû à la surcharge de 400'* par mètre carré, est égal à

473km,

le moment dû à la charge permanente est :

830 X Üf6Ô²

pi²

= 701,

et le moment total au milieu, dû à la charge permanente et à la surcharge uniformément répartie de 400ks est M = J\) 4- JIV = 473 + 701 = 1174kgm.

La section ci-contre de la pièce de pont donne :

(0,250 —0,036)0,15Ü³ —0,133X0,152³—(0,096-0,036)0,145:1

—0,014X0,097³+ 0,147 X0,198³— 0,126 X 0,09i³—0,014X0,128³

= 0,00014373.

I 0,00014373

d’où

0,198

1 174

= 0,000731,

0,000731 X lüG

= lk,66.

Dans la deuxième hypothèse, le moment fléchissant maximum dû au passage d’un tombereau de 6 tonnes, se produit lorsque les deux roues de ce tombereau sont au droit de la pièce de pont et que le véhicule se trouve dans la position indiquée par la figure 36, par rapport aux appuis de la pièce. Cette position est d'ailleurs indiquée schématiquement par la figure 40 ci-après, et c’est sous moléculaire est la plus grande.

K---

|8.

T"

¹ «d

7, L

_BJrs77eutte_

Àmç. de J5o±y_

j    7üA-7a-

Fig. 39

la roue R que la fatigue

Le moment sous cette roue, peut s’obtenir par l’application de la formule

Px + Px'

Remplaçant :

Mo =

3000(0,11 + 1,81)

2,60

(2,60 — 1,81) = 1 750,

"R.

k----

K---

--J*qo------JjMi.

_+-2, Go______

___3S-Z.W._____

t-

-À

P=3000*

T'3000*

Fig. 40

et le moment dû à la charge permanente en ce point est

pi -p

(/-*')•

Soit, en remplaçant :

830 X 2,00 — 830

Mo =

(2,00— 1,81) = 523,

d’où

d’où

M = Mo-h JL' = 1750 + 525 = 2275k^m, 2275

0,000731 X 10⁶

= 3k,l 1.

Dans la troisième hypothèse, lorsque le tombereau de 6 tonnes est remplacé par un tombereau de 11 tonnes et se présentant dans les mêmes conditions ; le moment sous la roue R, la plus rapprochée du milieu de la portée, sera, par analogie :

Mo =

5500(0,11 + 1,81)

2,60

(2,60 — 1,81) = 3192k=rm,

et le moment total

M = M + JV = 3 192 + 525 = 3 717k°m,

d’où

3717

731

= 5k,08.

IV. — Tôles cintrées en acier supportant la chaussée.

Portée admise / = lm,23.

Flèche au milieu 0‘",065 = f.

Épaisseur 6m/m.

Appelons T la tension horizontale sur le rebord de la tôle (fig. 41), T[ la tension oblique, et soit 540kg = p la

Ur

luui

.y

z.Æa_

Fig. 4i

T-*-

charge uniformément répartie sur la tôle par mètre courant et résultant du ballast et de son poids propre. (Les tensions T et Tj se rapportent au mètre courant), on a

T = P¹*

= 1571ks

540 X É232 8X0,065

et la tension oblique T₄ qui en résulte est donnée par la formule ;

U = \Ash-(4)² = \/

1571²

540x1,23 y

= 1605^.

C’est la tension agissant sur la tôle, sous l’action de la charge permanente, répartie sur un mètre de largeur, c’est-à-dire sur une section de 1000x6 = 6000mm2.

Voici maintenant les efforts produits par le passage de la surcharge d’une roue d’un chariot à un essieu de 11 tonnes. Cette roue est la plus lourde qui puisse circuler sur le tablier.

Elle développe, sous son passage, un effort vertical P, de 5500ks, qui détermine, sur les deux appuis de la tôle, une charge :

5500

= 2 750ks

et une traction

13010kg,

PxZ 5500X1,23 8X0,065 '

alors

T; = v/V² -h N² = y/l3010² -h 2750* = 13297^.

En supposant que l’action de cette roue se répartît sur une

TV-

*T.

'•r

■ d-

. ■ VS'

K*

i*----oja----jj

Fig. 42

largeur de tôle de 0m,800, dont la section est 800x6 = 4800 millim. carrés :

= 3kgr, 13-

Le travail total de cette tôle par millim. carré est 1605    13 297

6000 ⁺ 4 800

Travail de la clouure d'attache. — La tension totale développée sur lm,00 de largeur de tôle est, d’après les données ci-dessus :

1 605 -+- 13297 = 14902ks.

Les rivets d’attache qui fixent ces tôles sur les semelles des entretoises, sont de 18m/m de diamètre, en acier, et à un écartement tel, qu’il y en a 13 par mètre courant. Soit une section totale de clouure de

Q = 254x13 = 3302mm2 ;

Le travail du rivet est

= 4kg,5!.

14902

3 302

Ce travail n'a rien d’exagéré pour l’acier, puisque le coet-ficienl admissible serait

= 6kg.

4

7kg 5 X —

5

Ces tôles cintrées s’emploient couramment aujourd’hui dans les ponts-routes.

V. — Calcul de la rivure des poutres longitudinales.

Pour calculer le travail des rivets, qui relient les semelles sur les cornières des poutres ou bien le travail des rivets

--R,qû\__

__£2£_

---

----z,so.-----

— jÇSotJL

L Sens de h Marche

I-

<t>

£33£.___

}►

b?

J8

co

o5< -

et)

CrK-

•J*

CO

tf*

-----

Fig. 43

qui fixent les deux cornières des tables sur Pâme, il faut connaîlre l’effort tranchant maximum développé dans cette poutre.

Cet effort tranchant maximum s’obtiendra par l'application du procédé graphique développé à la page 48 et suivantes et indiqué par la figure 43 ci-contre, dans l’hypothèse 4, du passage d’un chariot de 16 tonnes, à deux essieux et attelé de 8 chevaux.

On a vu que cet effort se développe sur l’appui A, lorsque

la dernière roue du véhicule, marchant de gauche à droite, arrive sur cet appui et que les chevaux sont aux points b et a. A ce moment, les forces 1, 2, 3 et 4, déterminent le polygone Babcd et l’effort tranchant est donné par l’ordonnée A(/= 6 600kff.

Mais la charge permanente de p = 1 255kfî par mètre courant sur la poutre, donne encore un effort tranchant

pl

= 5396\5,

1255X8,60

qui s’ajoute au premier. L’effort tranchant total maximum

maximorum sur l’appui est donc

F = 6600-1-5 396,5 = 11396k,5.

Si h est la hauteur de la poutre considérée entre les talons des cornières longitudinales, l’effort tranchant F en un point quelconque de la poutre produit, à l’unité de distance, un moment Fxh qui détermine en ab (fig. 44), aux talons des cornières, un couple de forces /, qui tendent à faire glisser les cornières le long des semelles, donc on a

f=,L.

' h

La résistance de la rivure doit faire équilibre à cette force de glissement. Or, la valeur maximum de f dépendant du maximum de F, se réalise sur l'appui, où il a pour valeur-

L — JM___J

Fig. 44

Fxl

ou

F = fh

d’où

il 396,5

0,680

= 16 759k8.

Sur un mètre de longueur, la semelle est reliée aux corde dia-

nières par une double rangée de 10 rivets de 20 mètre, qui travaillent au simple cisaillement et qui donnent une section totale

mm

Q = 314X10X2 = 6280mm2.

Le travail du métal des rivets en fer sera

= 2k,67.

16 759

6280

La hauteur de la poutre entre les lignes des rivets qui fixent les cornières sur les âmes n’étant que de 0m,580, ces rivets subissent un effort de cisaillement un peu plus grand que les précédents mais ils travaillent au double cisaillement et la fatigue moléculaire de ces rivets peut s’exprimer par la formule suivante :

R' =

dans laquelle F représente l’effort tranchant maximum au point considéré et donné en kilog;

n — nombre de rivets dans un intervalle de 1 mètre; m = section d’un rivet en millim. carrés; h' écartement vertical entre les lignes de rivets donné en mètres ;

en remplaçant on a :

R' =

11396,5

2X10X314X0,58

== 3k,16.

VI. — Calcul de la flèche au milieu de la portée. — 1° Sous l'action de la charge permanente de 1255kg par mètre courant.

Cette llèche est donnée par la formule :

ojo/⁴

384E1

Posons

E = 18 x 10⁹ = 18 000 000 000.

Or, on a

= 0,004107 X 0,00143745,

d’où

5 X1255 X 8,60*

. 0m,0034.

384 X 18 X10⁹ X 0,00143745

2° Sous l’action du passage d’un tombereau de 11 tonnes à un seul essieu.

On a vu ci-dessus, que sous Faction de cette surcharge, les moments fléchissants Jh et Mo" dus au passage du tombereau de 11 tonnes et à la surcharge de 400k8 sur les trottoirs, donnaient un total

M = Jb-t- Jh" = 15154 + 2 773,5 = 17 927k8'%5.

Pour simplifier les calculs, on peut admettre pratiquement que la flexion de la poutre due à une charge virtuelle uniformément répartie <p, qui donnerait le même moment fléchissant 17 927,5, produirait sensiblement la même flèche au milieu de la poutre. Or, cette charge virtuelle © s’obtient par les formules

8 ><17 927,5

8^6Ô²

et alors la flèche f' due à cette nouvelle charge est égale à

5?/⁴

384EI ’

©Z²

17 927,5

O

d’où

— 1940k,

remplaçant

f' =

5x1 940 X8,6Q⁴

= 0,0053,

384 X 18 X 10⁹ X 0,00143745 donc, la flèche totale, qui pourra se manifester dans l’hypothèse 3 sera :

F = f f — 0,0034 + 0,0053 = 0”,0087.

VU. — Tôles cintrées supportant la chaussée des ponts-routes.

Les tôles cintrées en dessous que l’on emploie pour supporter la chaussée, ont 1m,00 de largeur dans le sens du laminage; elles sontjonctionnées bout à bout, par des fers à _L de 120x80x8, cintrés eux-mêmes, qui remplissent la double fonction de couvre-joints et de nervures de renfort.

Pour que ces tôles soient fixées d’une façon convenable sur les pièces de pont, il faut, ainsi qu’on l’a vu ci-devant, que la table supérieure de ces pièces de pont, soit constituée par une tôle rivée sur les cornières. Si on rivait directement les tôles cintrées sur les ailes horizontales des cornières, on pourrait craindre que la tension exercée par les charges roulantes sur leurs rebords, tendit à arracher les cornières de l'âme des pièces de pont.

Les portées habituelles des tôles cintrées en acier, varient

-----*____7J2Q.____^____7.QO.____

Fig. 45

de lm,00 à lm,50 ; leur épaisseur de 5 à 7m/m et la llèche est le 1/20 environ de la portée, soit O⁷¹,05 pour lm,00 et 0m,075 pour lm,50.

L’emploi des tôles cintrées date de 8 à 10 ans; et semble préférable à l’emploi des tôles embouties, parce qu’elles ne peuvent subir aucune déformation sous l’action des charges roulantes et que le métal travaille à la traction, ce qui est rationnel.

Les tôles embouties en fer ont cependant fait leurs preuves jusqu’à ce jour et donné satisfaction pour la résistance à la déformation. Pour s’en convaincre on n’a qu’à lire le compte-rendu ci-après, des expériences qui ont été faites à ce sujet au Creusot.

VIII. — Résistance des tôles embouties avec courbure en haut 'pour chaussées.

Le 3 juillet 1868, une expérience dans les conditions suivantes a été faite par l’usine du Creusot sur une tôle de lm,750 de long., lm,480 de larg. et 8 m/m d’épaisseur:

ff/

.r,

il

I* :r*3!

Fig. 46

La tôle était encastrée par ses quatre côtés dans un cadre en fonte, cet encastrement était obtenu au moyen d'une rainure pratiquée dans le cadre, et de boulons. On avait placé sur la tôle une couche de sable dont l’épaisseur a était

de 0m,150 ; sur cette couche était placé un plateau carré en bois de 0m,50 de côté, sur lequel on posait des poids. Quand ces poids ont atteint 6 000lig, une flèche de 4 millimètres s’est manifestée au centre de la feuille après un temps assez long, et n’a plus augmenté. Il n’y a pas eu de flèche permanente lorsque le poids de 6000Iig a été retiré, et la tôle a repris sa forme primitive.

L’emploi des tôles cintrées en dessous ou des tôles embouties avec courbure en dessus pour porter la chaussée est plus économique que les voûtes en briques, parce qu’il réduit sensiblement la somme des épaisseurs de voûtes et de chaussée superposées, de là une diminution dans le poids de la charge permanente, diminution qui se traduit par une éco- * nomie de métal.

On trouve, à la Planche IV, un dessin de pont métallique biais à 35°, avec emploi de tôles embouties sous la chaussée.

§ U-

Projet de Tablier métallique en fer de 16m,00 d’ouverture, pour pont-route de 5m,00 de largeur.

(PI. V et VI.)

I. — Description sommaire et Note de calculs.

Le deuxième pont pour route dont on va développer les calculs de résistance, a une ouverture de 10m,00 entre les parements des deux culées, normales à l’axe de la route. La largeur totale de la voie est de om,00, comprenant une chaussée de 3m,50 et deux trottoirs de 0m,75 de largeur chacun.

L’ossature métallique du tablier est toute en fer et se compose principalement de deux poutres principales de 17m,214 de longueur, sur lm,778 de hauteur, à l’écartement de 5m,36 d’axe à axe.

Ces deux poutres, sont à treillis avec montants et croix de Saint-André ; elles sont entretoisées par 11 pièces de pont, à l’écartement régulier de lra,60.

La chaussée est supportée par des voûtes de 0m_,ll d’épaisseur en brique rouge et les trottoirs, par des voûtes de 0m,055 d’épaisseur, également en brique.

Pour faciliter le jeu de dilatation, les extrémités des poutres reposent sur les sommiers des culées, par l’intermédiaire de sabots en fonte, et l’appui fixe est rendu solidaire de la poutre par un talon en fer plat, qui s’encastre dans l’épaisseur de cet appui.

11. — Calcul des Poutres maîtresses. — La portée des poutres, admise dans les calculs est de 16m,60 = l.

La charge permanente a été évaluée comme suit, par mètre courant du tablier :

= 1000ks = 3500

Métal........

Voûtes, chaussée et trottoirs

Total

= 4 500ks

La charge permanente par mètre courant de poutre sera donc :

4500

= 2250kg = p.

Les calculs, faits d’après les prescriptions de l’article 17 du Règlement Ministériel, ont donné lieu aux hypothèses suivantes :

Première Hypothèse. — Passage d’une file de deux tombereaux à un essieu de 6 tonnes chacun, traînés chacun par deux chevaux. On admettra en outre, que chaque trottoir est chargé uniformément à raison de 400ks par mètre carré ;

Deuxième Hypothèse. — Surcharge uniformément répartie de 400ks par mètre carré, sur toute la largeur de l’ouvrage, y compris les trottoirs ;

Troisième Hypothèse. — Passage d’un chariot à deux essieux de 16 tonnes et traîné par 8 chevaux ; en remplacement des tombereaux de 6 tonnes ;

Quatrième Hypothèse. — Passage d’un chariot de 11 tonnes, traîné par 5 chevaux et remplaçant une file de tombereaux de 6 tonnes.

PAScXl. - PONTS MÉTALL.

Première Hypothèse.

La surcharge roulante est composée de deux tombereaux de 6 tonnes traînés par deux chevaux et disposés comme l’indique le croquis ci-contre (fig. 47).

f,---2JÎCL _ 3j<--Zf-fé---^-----^---2,&)--3^---

IM

Kl

--

—>§

►-3

cx-

CJ

Fig. 47

On constate tout d’abord, que la largeur de la chaussée, qui est de 3m,50, ne permet pas la circulation simultanée de deux files de tombereaux sur l’ouvrage et que la position la plus défavorable de cette file unique, par rapporta la charge d’une poutre, est celle où ces véhicules sont le plus rapprochés de cette poutre. Cette position correspond donc à celle

tP

ï’k

-f-ISOOO* ____&?£

___3£o._______>J

Fig. 48

où les tombereaux rasent la bordure du trottoir, du côté de la poutre considérée, comme le représente le croquis ci-contre (fîg. 48).

La charge de chaque essieu de 6 tonnes, qui se reportera sur la poutre considérée A, sera donc

= 4007kg.

P = 6000

3,58

5,36

Celle d’un cheval sera

F = 700 x

= 467k°.

3,58

5,36

Les moments fléchissants et les efforts tranchants dus à

cette surcharge roulante ont été déterminés d’après la méthode de statique graphique développée aux pages 44 à 56. On a considéré quatre positions de la surcharge roulante et les figures 1 et 2 de la planche Yl, indiquent un moment fléchissant maximum Jllb = 22 750km.

1?

___

70

— T-

--SV---

fl

T-T?

fej

J?

/ '

+78Jf----

I?_

Fig. 40

La largeur des trottoirs étant de 0m,75, la surcharge de 400k&, par mètre carré de trottoir, qui se reporte sur chaque poutre est

p' = 0,75 X400 = 300kg par mètre courant.

Le moment fléchissant que cette surcharge développe dans la poutre est maximum au milieu de la portée où elle a pour valeur

p’lz

Mo' =

300x16,60'

= 10333km.

Le moment fléchissant maximum, au milieu de la portée de la poutre, dû à la charge permanente est

2250k X 16,60²

= 77 500km.

Jllb" = -Ç

O

Le moment fléchissant maximum total est donc M = Jb4- JL-h M," = 22 750 -h 10333 77 500 = 110583km.

Or, la poutre en son milieu présente la section figurée par le croquis ci-contre qui, en déduisant les trous de rivets, donne

(0,360 — 0,040) \ ,796" — (0m,360 — 0.040 — 0,170) i ,76Q³

6 X 1,796

0,140 XI,74* — 0,030(l,690³ — <,6r>Q³) — 0,02X1,60*

6X1,796

= 0,0175612.

0,010 XI, 0G03 6X1,796

Le travail du métal, au milieu de la poutre, sera donc, par millimètre carré

= 6ks,30.

110583

0,0175610 X 10⁶

III. — Calcul des treillis. — La courbe figurative des efforts tranchants (fig. 8, Pl. 6) a été construite d’après la méthode développée au paragraphe 4, chapitre IL

L’effort tranchant maximum dû à la charge roulante s’avançant progressivement sur le tablier est égal à 7 000kg, et déterminé par l’ordonnée bd de la courbe ab. Comme vérification, cet effort est encore donné par le segment pq du polygone des forces (fig. 2) qui représente bien la réaction sur l’appui de droite, pour la première position de la surcharge roulante, lorsque la roue du tombereau passe sur cet appui, en t (fig. 1).

= 21165kg;

elle est représentée par l’oblique fc (fig. 8). De sorte que les efforts maximums se trouvent ainsi totalisés sur cette figure 8, et représentés par les ordonnées comprises entre les lignes ab et fc. Ces deux lignes sont généralement replacées par les lignes brisées mkolpqr... qui coupent par le milieu les lignes figuratives des efforts tranchants, comprises entre deux montants.

L’effort total et maximum est ainsi égal à

L’effort tranchant, de, provenant de la charge permanente p — 2250kg et de la surcharge des trottoirs est (2250 h- 300)16,6

gk = T = 24850%

dans le panneau extrême et, comme deux barres de treillis sont intéressées pour résister à cet effort, chacune d’elles reçoit un effort égal à

= 16850'%

24850

2 cos a 2Xeos42°3iy

effort qui est déterminé directement par la ligne de l’épure qui fait avec la verticale un angle a égal à l’inclinaison des barres de treillis.

J=3

Fig. 50

De même ij donne l’effort sur chaque barre du deuxième panneau et ainsi de suite, étant entendu que dans une poutre de ce type, les barres verticales servant d’attache aux pièces de pont ne doivent pas être considérées comme travaillant aux efforts tranchants. Elles ne sont là que pour relier plus rigidement la membrure supérieure à la membrure inférieure et pour faciliter l’attache des pièces de pont.

Le tableau suivant résume les différents résultats donnés par l’épure et fait connaître la composition des barres de treillis ainsi que le travail des rivets qui les fixent.

Il convient de s’assurer si, sous les efforts de compression, les barres comprimées ne sont pas susceptibles de se déformer.

Cette vérification se fait à l’aide de la formule de Laisle et Schubler

Ro

q/² ’

1 + 0,00008

dans laquelle :

N représente la charge en kilog. que peuvent supporter les barres en toute sécurité ;

q représente la section de la barre considérée, en mètre carré soit 0ra2,003252 pour le panneau n° 1 ;

TRAVAIL

des rivets

d’attache

4ks,40

3,50

4,80

3,20

1,60

NOMBRE

de rivets

d’attache

12 rivets de 20

12 d° de 20

8 d° de 18

«P

₀p

TRAVAIL

par millimètre

carré

5ks,10

4,90

5,00

4,30

2,20

SECTION

nette

de

chaque barre

3252^²

2740

2000

1504

1504

COMPOSITION

de

chaque barre

01

-ÉÛUL. _>

-AraSL

XÏT

’vyrvy* b,-*

oP

EFFORT suivant chaque barre

2 cos a

cos a = 42° 30'

16852k&

13 394

9935

6612

3 324

Efforts

tranchants

24850ks

19750

14650

9 750

4900

NUMÉROS

des

panneaux

R, résistance du métal admise par mètre carré de section, soit 5500000kg.

(D’après l’article 2 du Règlement ministériel, en effet, les barres de treillis soumises à des efforts d’extension ou de compression dont la variation est généralement faible, peuvent travailler à près de 5k,50.

Or nous avons vu au chapitre II, § 4, que les efforts tranchants dans les barres ne pouvaient être alternatifs que vers le milieu de la poutre. Gomme d’autre part, on remarque, sur l’épure, que l’effort tranchant provenant de la charge permanente est considérable par rapport aux efforts tranchants déterminés par la surcharge roulante, on peut en conclure que le coefficient de 5k,50 par millim. carré pour le fer n’est pas exagéré, pour les trois premiers panneaux au moins) ;

I, moment d’inertie de la section de la barre, dans le sens où la flexion est à craindre;

/, longueur supposée libre de la barre.

Cette longueur a été prise entre le point d’attache sur l’âme et le milieu de la barre.

Les charges N que peuvent supporter les barres d’après la formule précédente ont pour valeur

Panneau n° 1 :

= 16 852kg'.

= 14198kg.

Ni =

0,003252X5500000

N₂ =

= 9975kg.

N₃ =

Panneaux n⁰³ 4 et o :

0,001304 X 5500000

= 7524kg.

1-+

0,00008 X 0,001504 X 0,702 0,0000005937

Les charges Ni, N₂, N₃, N* et Ns étant généralement supérieures à celles que les barres de treillis auront réellement à supporter, on est certain que ces barres présentent des sections suffisantes au point de vue de leur rigidité.

Deuxième Hypothèse.

Dans cette hypothèse , on admet que la surcharge de 400kff par mètre carré couvre à la fois les trottoirs et la chaussée. La partie de cette surcharge, qui se reporte sur chaque poutre, par mètre courant de longueur, a une valeur p' = 400kff X 2,50 = 1000k&.

et le moment fléchissant maximum dû à la charge permanente et à la surcharge :

(2250+1000) 16,60²

= 111946km.

(p + p')l²

Le travail moléculaire par millimètre carré de section est donc

= 6ks,37.

111946

17561

Ce travail est sensiblement le môme que dans la première hypothèse.

Treillis. — L’effort tranchant maximum sur une culée et par poutre est dans celte hypothèse :

(p-hp')l

= 26975k*.

(2250+1000)16,60

Effort inférieur à celui de

21165 + 7000 = 28165kff,

trouvé sur l’épure, pour la première hypothèse.

Troisième Hypothèse.

Dans cette hypothèse, on considère le passage d’un chariot à 2 essieux de 16 tonnes, traîné par 8 chevaux.

D’après l’article 17 du règlement, le travail du métal ne devra pas, dans ce cas, dépasser de plus de lks les limites fixées à l’article 2.

JZJÎQ- —.jj;—Z,SJ! —2,50.——2^-7S----^ —3jtQ----^

1    rJ-N I

Tu G)

1400*    1400*

lhox

§<

■h

Fig. 51

Le croquis ci-contre (fig. 51) représente la répartition des charges de ce chariot, dont la position la plus défavorable par rapport à une poutre, est celle où le véhicule est le plus rapproché de cette poutre.

.. SASa-..

Zrn

eoçcupée^arlê çtei'iat

n^—

__3£a__

U- o#3o- *----

k---J2^ __

A*

------A ~^/ÿ3û >j

_ _    _____J

Fig. 32

Or, la largeur de chaussée occupée par ce chariot étant de 2m,25, les charges des essieux et des chevaux, qui se reporteront sur la poutre de gauche sont indiquées par le croquis (fig. 52), qui donne :

Charge de chaque essieu :

P = 8000k* X

3,305

5,360

= 4932**.

Charge de deux chevaux placés de front :

P' = 1400kgx

3,305

5,360

= 863+

Les épures de statique graphique (fig. 3 et 4, pl. 6) se rapportent à cette hypothèse et montrent que le moment lléchissant maximum est produit lorsque Lune des roues tombe sensiblement au milieu de la portée (2e position), et que ce moment est

Jb = 38500“.

A ce moment, au milieu de la portée, se développent simultanément les moments ci-après :

Moment fléchissant dû à la surcharge roulante. Jb = 38500ksm Moment fléchissant dû à la surchage des

trottoirs et trouvé précédemment. .    .    . Jb'= 10333

Moment fléchissant dû à la charge permanente et trouvé précédemment .

.    . Jb"= 77500

. Jb = 126333+“

Moment total .

Le travail moléculaire sera donc au milieu de la poutre :

126333 17561

Ce chiffre est inférieur à la limite de 7kff,50 que Ton peut atteindre.

D’après le polygone des forces (fig. 4), l’effort tranchant maximum sur la culée, dû à la surcharge roulante est de 10 750+ Il correspond à la première position, celle où la dernière roue du chariot est au droit de l’appui. Or l’effort tranchant, au même point, dû à la surcharge des trottoirs et au poids permanent est de

(300 + 2250)16,60

= 7k,10.

= 21165+

L’effort tranchant total est donc dans cette hypothèse :

T = 10750 + 21165 = 31915+

Comme l’effort tranchant au même point est de 28165kg (dans la première hypothèse), l’augmentation est de 31915 — 28165 = 3750+

et

4kg,90 -h — 5kg,71,

8

dans les barres de treillis; soit, moins de tk£r en plus, par rapport à la première hypothèse.

Quatrième Hypothèse.

Dans cette hypothèse, le chariot, sur la chaussée, occupe la même position, par rapport aux poutres, que dans la troisième hypothèse.

Les charges des essieux et des chevaux, qui se reportent sur la poutre de gauche seront :

P = 11000X

= 6782kg,

environ 1/8, ce qui correspond à un travail d’environ

5,10

5kg,10 -+

= 5kg,74,

3,305

5,36

P' = 700 X

3,305

5,36

= 43ikg.

Les épures de statique (fig. 5 et 6), montrent que le moment fléchissant maximum se détermine sous la roue,

Jb = 30000km,

dans la deuxième position de la surcharge roulante, lorsque celle-ci arrive vers le milieu de la portée. Ce moment a pour valeur :

chiffre inférieur à celui de la troisième hypothèse. L’effort tranchant maximum sur une culée, dû à la surcharge est, d’après l’épure

t = 7 900kg,

chiffre inférieur à celui de 10 750kff trouvé dans la troisième hypothèse.

En résumé, cette hypothèse est moins défavorable que la troisième, tant au point de vue des moments fléchissants que des efforts tranchants.

IV. — Epure des moments fléchissants et des moments résistants ou anti-fléchissants. — Détermination de la longueur des semelles.

Sur l’épure (fig. 7), les moments fléchissants sont figurés à l'échelle de 10m/m pour 20000km ; la courbe ABC représente l’enveloppe des moments fléchissants développés par la surcharge roulante dans la première hypothèse ; la courbe ADC, est la parabole des moments fléchissants correspondant à la charge permanente et à la surcharge de 400kff sur les trottoirs. L'ordonnée maximum de la courbe ABC est de 22 750 ; l’ordonnée maximum de la courbe ADC est, ainsi qu’on l’a vu plus haut

10333 h- 77500 = 87833.

La courbe AEC est la courbe enveloppe des deux précédentes, totalisant les moments en chaque point de la portée ; elle représente donc les moments maximums qui peuvent s’y développer.

Cette courbe AEC est elle-mcme enveloppée de moments résistants au moins égaux aux moments fléchissants. Ainsi, en son milieu, la poutre a une section qui a donné

— = 0,0175612,

v

ce qui, pour une résistance moléculaire de 6kff,50 par millim. carré ou bien de 6500000 par mètre carré, donne un moment résistant ou anti-fléchissant de RI

- = 0,0175612X6500000 = 114148ksm,

v

représenté sur l’épure, par une ordonnée de 0m,05707.

La même poutre avec une seule semelle sur le talon des cornières donne un

— == 0,0125663, v

qui correspond à un moment résistant de

DT/

— = 0,0125663X6500000 = 81681km,

v

représenté sur l’épure, par une ordonnée de 0m,0408, et enfin, la poutre sans semelles, avec son âme et ses cornières, a un moment résistant RI"

v"

-=- = 0,007574X6500000 = 49231km,

représenté par une ordonnée de 0m,0246.

On détermine ensuite les longueurs pratiques des semelles en les faisant déborder la courbe de 0m,50 à 0m,60, pour qu’elles soient reliées solidement avec la tôle supérieure aux points où elles rencontrent cette courbe.

On obtient ainsi 10m,06, comme longueur de la deuxième semelle. La première semelle, celle qui est rivée directement sur le talon des cornières, court sur toute la longueur de la poutre.

Il n’y a plus maintenant qu’à faire la division des tôles et cornières et de placer des couvre-joints aux points voulus,, ce qui est fait sur l’épure.

Y. — Pièces de pont.

Ecartement des pièces de pont .

Portée admise dans les calculs. .

Charge permanente par mètre courant de pièce de pont comprenant : voûtes, chaussée, trottoir et métal .

Dans le calcul des pièces de pont on doit faire les hypothèses suivantes :

1° Passage d’un tombereau de 6 tonnes et surcharge des trottoirs ;

2° Surcharge générale de 400ks ;

3° Passage d’un chariot à un essieu pesant 11 tonnes ; ce passage ne doit pas produire un travail moléculaire dépassant de lkg celui qui a été trouvé dans les deux premiers cas.

O CS

1190ks

-    ---— ->j

ij ÂÇo—l---Ê.    djs J

Première hypothèse. —

La position la plus défavorable du tombereau de 6 tonnes, pour chaque pièce de pont, se produit lorsque l’essieu de ce véhicule se trouve à l’aplomb de la pièce de pont et dans la position indiquée ci-contre (fig. 53).

Le moment fléchissant maximum se produit en A, où il a pour valeur :

r--ZCp--

-----

Fig. 53

Moment dû à la surcharge roulante :

2,075

SdxT

Moment dû à la surcharge des trottoirs :

0 75²

1,60 X 400 X —= 169;

A

en remarquant que la charge d’un trottoir est de 1,60x400x 0,75.

Moment dû à la charge permanente :

Jb = 6000

Jb' =

Jb'" =

X 2,075 = 5167.

Y p(1x ~/2)>

remplaçant

Jb'" =    (5,00X2,075 —2,075²) = 3612.

Le moment lléchissant total en A sera donc

M = JbH- Jb'-K/lb" - 8948kgm. Les pièces de pont sont constituées comme l'indique la figure 54 ci-contre, pour laquelle :

— = 0,00211534.

Le travail maximum du métal est donc :

_ SSûiS

£3o

8948

= 4k,23.

___80x80—

i*.----Z2û.----

2115

Dans le cas d’une surcharge générale de 400kfc' par mètre carré de trottoir et de chaussée, le moment lléchissant maximum total, au milieu de la portée.est donné par la formule suivante

Fig. 54

{p + p')p

M = -g- ,

et en remarquant que

et

p;= 119ûkg, p’ — 400X1,60 = 640**,

M _ (1190 +640)5,ÜO²

_ 57i8ksm.

= 2k*,70.

D’où le travail moléculaire est dans cette hypothèse: 5 718

2115

Dans la troisième hypothèse on suppose que le tombereau de 6 000ks est remplacé par un chariot de 11 tonnes à un essieu, placé dans la même position. On trouve alors pour le moment fléchissant en A

X 2,075 = 9472.

Jlb = 11000 x

2,075

5,00

Le moment M' dû à la surcharge des trottoirs, ainsi que le moment M" dû à la charge permanente sont les mêmes que dans la première hypothèse, donc le moment total :

M = Jb + Jb' + Jb" = 9 472 +169 + 3 612 = 13 253ksm,

et le travail dans cette hypothèse devient :

= 6kgr,27.

13253

2115

Ce travail est inférieur à la limite fixée de 6k,50.

VI. — Calcul de la rieur e du tablier. — Rieure des semelles sur les cornières horizontales des grandes 'poutres et des cornières horizontales sur les âmes.

Comme au pont précédent le travail des rivets est donné par la formule

hnQ

dans laquelle T = effort tranchant maximum au point considéré ;

h = hauteur de la poutre ;

n = nombre de rivets qui, sur une longueur de un mètre, fixent la semelle sur les cornières ;

Q. — section d’un rivet en millimètres carrés.

Le travail maximum des rivets qui fixent les semelles aux cornières horizontales est maximum sur les appuis, c'est-à-dire, là où l’effort tranchant est lui-même maximum. Cet

28165k« = T.

effort tranchant dans la première hypothèse a été trouvé égal à

mm

Or, sur la culée il n’existe qu’une seule semelle, qui est reliée aux cornières horizontales par des rivets de 20 espacés de 0m,100. La valeur de h au talon des cornières est de lm,76.

On a encore

n = 10x2 — 20

et

q = 314mm2.

La formule devient donc

= 2ks,54.

28165

1,76x20x314 Le travail des rivets fixant les cornières à l’âme sera, en remarquant que h' — 1,76 — 0,090 = lm,67 et que les 10 rivets travaillent au double cisaillement :

R' =

28165

= 2^ ,68.

1,76x10x2x314 Ce travail n’est pas exagéré pour des rivets en fer, car il 4

peut atteindre le —

de G\50, soit 5k,20.

Rivure des couvre-joints des âmes. — L’âme verticale est composée d’une tôle de 350x10, sa section, en tenant compte de trois trous de rivets de 20mm est de o, = 2900 millimètres carrés.

Comme le plus grand effort que cette tôle devra supporter doit être, au maximum, de 6k,50 par millimètre carré de section, soit :

travaillant au double

F = 2900x 6ks,50 = 18850k^, et que le nombre de rivets de 20 cisaillement, prévu de chaque côté d’un joint de l’âme verticale est de 8 ; le travail des rivets des couvre-joints sera inférieur à

= 3k*,70.

18850 2nw — 2x8x314

Rivure des couvre-joints de semelles. — La section d’une semelle de 360x9, en tenant compte de deux trous de rivets de 20mm, est de

o = 2880mm2.

On a vu, dans le calcul de résistance des grandes poutres, que ces tôles ne doivent pas supporter généralement un effort supérieur à 6k8',5 par millimètre carré, donc,

F = 2880x6,50 = 18720kg.

Le dessin indique que le nombre de rivets établis de chaque côté du joint d’une semelle est de 16. Par suite le travail maximum des rivets fixant les couvre-j oints des semelles sera :

= 3kg,70.

18720

16 ü>

16 X 314

Rivure des montants verticaux fixant les pièces de pont aux poutres. — Le plus grand effort que ces montants auront à supporter est égal à l’effort tranchant maximum d’une pièce de pont. Cet effort sera maximum, au passage d’un chariot de 16 tonnes à deux essieux, dans la position de la figure n° 52 et lorsque l’un des essieux sera placé directement au-dessus d'une pièce de pont.

L’effort tranchant dans ce cas aura pour valeur

h 1,60 x 400 X0,75-h 1190 X^ = 8388kg.

T = 8000

3.305

5.306

Chaque montant est fixé à l’âme par 8 rivets de 20mm, travaillant au double cisaillement. Le travail de ces rivets sera donc :

= lkg,60.

8388

2x8x314

Nous indiquons plus loin, vers la fin du chapitre 5, comment se détermine ordinairement la section des couvre-joints de l’âme et des cornières.

VIL — Calcul de la Flèche au milieu des poutres maîtresses.

1° Flèche permanente sous l’action de la charge uniformément répartie de 2 250k§.

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

Sous l’action de cette charge permanente, la flèche, au milieu de la portée est donnée par la formule

384EI

en posant

E = 18xl0⁹ = 18000000000 le coeflicient d’élasticité pour le fer,

= 0,015769

—    = 0,01756 X

V    2

et remplaçant on trouve

= 0¹*¹,0078.

5X2250X16,6*

384 X 18 X10⁹ X 0,015769 2° — Flèche développée sous l'action du plus grand moment fléchissant possible, c'est-à-dire, sous le passage des chariots de 16 tonnes.

•’f Dans cette hypothèse, les trottoirs sont supposés chargés uniformément et, on a vu ci-devant, que le moment fléchissant total au milieu de la poutre était de 126333kg™ = M.

Dans ce chiffre le moment fléchissant provenant de la charge permanente et de la surcharge uniforme des trottoirs entrait pour 87 833k&m, tandis que le moment provenant spécialement de la surcharge roulante n’entrait que pour 38500ksm.

En jetant les yeux sur la courbe des moments fléchissants totaux, on voit que l’on est sensiblement près de la vérité, en assimilant, au point de vue des effets pratiques, la charge des poutres, à une charge uniformément répartie © par mètre courant, qui donnerait Je même moment total M.

On aurait ainsi :

ol²

= 128 333 = M,

8

d’où

126333X8    126333X8

<p =

= 3 704kg.

ÏM²

En appliquant la même formule que ci-dessus pour avoir la flèche produite par la charge uniformément répartie

de 3 704k§ par mètre courant, on trouverait, en appelant f' la flèche dûe à la charge et à la surcharge :

3 704

f' = f

3 704

2250

= 0,0078

2250

= 0m,0129.

VIII. — Calcul des Voûtes en brique.

Les voûtes supportant la chaussée ont 0m,110 d’épaisseur et sont construites en briques rouges bien cuites ; l’ouverture des voûtes est de

lm,600 — 0,1b = lm,45 = /,

la flèche au milieu est d’environ 0m,340 = f. La poussée horizontale de la voûte à la

clef est donnée approximative- r~;    : ?vv‘'v:

ment par la formule ci-après, appliquée souvent pour les voûtes des ponts :

: .C

Kr

f⁴' iS

"tL

8/

3,£cl

En supposant que le ballast qui recouvre les voûtes, répartisse la charge d’une roue sur Üm,90 de longueur de cette voûte, celle-ci devra résister :

Fig. 53

1° A la charge de la roue de chariot du 11 tonnes, soit..................

5500kff

2° Au poids propre de la chaussée et de la voûte même, égal à

0,50X0,90X1700 =

765

6 265kc

Total .    .

= 6 739k = p ;

ce qui fait par mètre carré, un poids uniformément réparti sur la voûte en brique de 6265

0,90

en

remplaçant dans la formule ci-dessus, on trouve la

poussée

6739 X 1,45²

8x0,340

= 5 209kff.

Or, la section en centimètres carrés pour une longueur de voûte de 0m,90 est

90 x H = 990 centimètres carrés,

d’où

2609

990

= 5kg,26 par centimètre carré.

Ce travail est faible si on remarque que d’après les expériences récentes de MM. Michelet et Perrodil, on peut faire travailler la brique rouge bien cuite jusqu’à 8ks par centimètre carré, avec la plus grande sécurité. Travail qui correspond au vingtième de la charge d’écrasement de la brique.

D’ailleurs, la résistance des voûtes en briques de 0m,110 d’épaisseur pour supporter les chaussées de ponts, est confirmée depuis longtemps déjà par l’expérience et la pratique.

IX. — Calcul des barres de treillis à la compression, par la formule de Lowe.

Pour s’assurer que les barres de treillis ne sont pas susceptibles de se déformer à la compression, on aurait pu employer aussi la formule de Lowe, très connue, pour calculer les colonnes en fer et que nous rappelons ci-après :

0,85 + 0,04 -j

d’où Pon tire

Rq

0,85 + 0,04 x -r a

Dans cette formule, applicable lorsque le rapport est compris entre 5 et 30 :

N représente la charge de sécurité en kilog, que peuvent supporter les barres ;

q = la section brute de la barre considérée en millimètres carrés ;

R = résistance du métal admise par millimètre carré de section ;

/ = longueur supposée libre de la barre ; la même qui a été considérée page 103 ;

d — plus petit diamètre de la barre si elle .est cylindrique, ou plus petite largeur si elle est rectangulaire ou de section cruciforme.

En appliquant cette formule pour les différents panneaux de la poutre on a :

Panneau n° 1 :

Ame. . = 80 X 11 = 880 )

70X70

12

G = 3952%²,

d ’où

Section de la barre

2 corn.

= 3072

Nt =

5,5X3932

0,85 -+- 0,04

0,70

= 18113k%

0,080

Panneau n° 2 :

Ame. . = 80 X 9 =    720

70X70

2 corn.

10

= 2600

G = 3 320%²,

d’où

N₂ =

5,5X3320

0,70

= 15217ker.

⁰’85 + 0'⁰⁴ÔF8

Panneau n° 3 :

2 corn.

60X60

11

= 2 398%² = G,

d’où

N₃ =

5,50X2398

0,85 -+- 0,04

0,70

= 10022k%

0,060

Panneaux nos 4 et 5 :

2 corn.

60 X 60

- = 1 792 = Q,

d’où

N4 et 5 =

5,50X1792

0,85 -h 0,04

0,70

= 7413kg.

0,060

Cette formule est beaucoup plus simple que celle de Laisle et Schubler, indiquée au n° 3, et est d’un usage fréquent.

Comme les résultats sont assez rapprochés des précédents, elle nous paraît, quoique moins rigoureuse, pouvoir être employée généralement dans la pratique.

X. — Calcul des plaques d’appui. — Les sabots ou plaques d’appui, sont généralement en fonte ou en acier coulé. Dans

\>*

>1

T"

i

kr

--

Fig. 56

les ponts à une seule travée, il y a un appui fixe, qui est relié invariablement à la poutre, et un appui glissant, qui permet à la poutre de s’allonger librement, lorsque les effets de la dilatation se manifestent.

Il importe, pour calculer les dimensions de ces appuis, de connaître l’effort tranchant Q à l’extrémité de cette poutre, et la résistance R de la pierre du sommier ; alors, d’une manière générale, on a :

-t IV'-*

40Q

25 r-K

■]

y==w /' =

Or, l’effort tranchant maximum sur culée a été trouvé égal à

31915kg = Q,

(3e Hypothèse)

d’autre part :

R — 250000ks par mètre carré ;

c’est la résistance moyenne des pierres de taille des sommiers. L’application des deux formules ci-dessus donne pour notre pont :

5 X 0,360

[v⁷

40X31915

25 X0,36¹ 2 X 250000

■]

= 0,90(2,576—1) = 0m,558,

= 0m,047

L = 0,36 + 0,2x0,558 = 0m,470, 0,470 y ~ 10

i = 0m,139 à 0m,140.

Toutes ces conditions sont à peu près remplies dans le pont que nous venons d’étudier, caron a (pl. 5) :

L == 0m,470

l = 0ra,550,

et

y — 0m,055.

§ m.

Poids de métal à compter pour superstructures de ponts métalliques.

TABLEAU des Poids du métal pour superstructures des Ponts métalliques en Acier.

(Pour les ponts en fer on comptera un cinquième environ en plus pour les portées au-dessous de 45 mètres ; à partir de 45 mètres jusqu’à 60 mètres on ajoutera 1/4 en plus ; à partir de 60 mètres et au-delà, on ajoutera un tiers en plus).

Travées isolées.

Ouverture moyenne des travées

PONTS EN TOLE

POUR CHEMINS DE FER

Poids du mètre linéaire

Poids

du

PONTS

POUR ROUTES ET CHEMINS

double

voie

simple

■voie

mètre

super

ficiel

Poids du mètre superficiel

Ponts Ponts

OBSERVATIONS

en

tôle

en

fonte

kg

kg

SS

kg

kk

or

1425

783

1716

2029

943

178

121

179

2359

1115

1296

214

253

144

169

209

240

2703

1485

295

197

274

3061 1682 3429 1884 3807 2092 4195 2305 4590 2522 4990 2742 5396 2965 5808 3191 6224 3420 6643 3650

337

382

428

475

524

573

623

674

725

777

226

308

257

344

289

322

356

391

427

463

500

381

A. — En ce qui concerne le mètre linéaire de ponts poui chemins de fer, le rapport des poids entre les ouvrages k double voie et ceux à simple voie

1,82, ex-

419

458

497

537

578

618

est égal à

cepté toutefois pour les ponts où les deux voies sont indépendantes et où le rapport esl nécessairement celui de 2 à 1.

11

7063

7491

3881

830

537

575

660

702

7919

8350

4M 6 4151

882

935

613

744

8783

4588

989

652

786

9218

4826

1043

691

828

9657

5065

1097

730

871

10095

10536

10976

11422

11864

12310

12756

13204

13652

5306

5547

1151

1206

1261

5789    1316

6031

6276

6519

6764

7009

7255

7501

1371

1426

1481

1537

1593

1649

1705

769

809

914

958

B.    — Le poids superficiel pour ponts de chemins de fei est déduit du poids du mètre linéaire, en divisant par 8 celui du pont à double voie, et pai 4,40 celui du pont à simple voie.

C.    — Pour les ponts de routes, on n’a pas donné des poids par mètre linéaire, attendu que les largeurs sont trop variables.

D.    — Les ouvertures considérées sont prises entre les parements des piles et non d’axe en axe des supports.

Le mètre linéaire et le mètre superficiel s’appliquent à la longueur totale de la superstructure.

Nota. — Lorsqu’il s’agit d’un pont en acier à plusieurs travées solidaires, ces

1

40

poids doivent être diminués de - environ.

Ges poids peuvent être adoptés avec confiance, soit pour des évaluations d’avant-projets, soit pour les valeurs à prendre comme premières bases dans les calculs des projets définitifs. Dans l'étude des projets, il conviendra d’ailleurs de chercher, par le choix des dispositions à obtenir, des poids plus faibles que ceux indiqués, en considérant ceux-ci comme des maxima qui ne devront pas être dépassés à moins de circonstances exceptionnelles.

Les poids ne s’appliquent qu’au métal employé dans les superstructures, supports non compris.

II. — Observations.

En terminant l’étude des ponts-routes à une seule travée, et pour faciliter la pratique des calculs dans des projets de ce genre, il est bon de faire connaître que les hypothèses qui donnent les moments de plus grande fatigue sont les suivantes :

1°— Les tombereaux de 11 tonnes à un seul essieu et attelés de 5 chevaux, pour les ponts de 1 à 8 mètres de portée ;

2°— Le passage des chariots de 16 tonnes, attelés de 8 chevaux, pour les ouvertures de 8 à 75 mètres ;

3° — La surcharge de 400kg par mètre carré donne une fatigue moléculaire supérieure à celle qui est produite par le passage des tombereaux de 6 tonnes, pour les ouvertures de 22 mètres et au-dessus.

La connaissance de ces renseignements permettra de limiter le nombre d’hypothèses.

CHAPITRE CINQUIÈME

PONTS A UNE TRAVÉE ET SUPPORTANT DES VOIES

FERRÉES A LARGEUR NORMALE

§ l.

Pont de 8m,00 d’ouverture sous rails et à poutres jumelées. (Type de la Compagnie du Midi) (PI. 7).

I. — Description sommaire.

Ce tablier est tout en fer. Chaque file de rail de la voie, est établie sur une longrine en bois de 0ra,400 x 0m,140, reposant sur les entretoises de deux poutres jumelées qui ont 0m,598 de hauteur, et sont à l’écartement de 0m,585. Les deux poutres centrales, sont entretoisées elles-mêmes par des 100x80

à l’écartement de lm,00 et supportant un parquet en tôle striée de (imm,l/2 d’épaisseur.

Enfin, le tablier est bordé par des poutres de rive longitudinales de 0m,250 de hauteur, sur lesquelles se fixent les entretoises recevant le parquet.

Les calculs s’établissent comme ci-après :

IL — Poutres jumelées.

Ponnées : Portée des poutres

fers à T de

l = 8”, 700

Poids par mètre courant du tablier à une ( Métal .

( Longrines et voie.

voie .

1050kff

200

p = 1250kg

Le plus grand moment fléchissant dans les poutres, dû à la surcharge, se produit lorsque les 4 essieux d’une machine

Vf

L_:3j0_Ç

T- 14000*

£’3%iS>

' ' I

P= 14000*

SmJa_ *

4P=56000k

P=14000k    P= 14000*

Fig. 57

du train type se trouvent sur le tablier. Ce moment fléchissant maximum correspond, d’après ce qui a été dit au $ 3 du chapitre II, au point A, distant du milieu de la portée d’une valeur égale à

lm,20

= 0m,30.

4P = 56000kg.

La réaction q, sur la culée de gauche, dûe à la surcharge

est :

q = 4P

(4-0,30)

et en remplaçant

q = 56000

(4,35 — 0,30)

8,70

= 26069ktî.

Le moment fléchissant en A, dû à la surcharge, est :

jlb —

— Pd,

M = 26069(4,35 —0,30) —14000X1,20 = 88779.

Le moment résistant des 4 poutrelles au point F, où se termine la 2e semelle de 12m/m, est de :

RI'

—- = 4 X 0,002917389 X 6500000 = 75852.

- JLriïüloa.____

^—**-----y-—

Fig. 59

Le moment fléchissant en F (fig. 59) est :

MF = ^ — V-£- = 75852 2

soit en remplaçant

= 75852,

d’où

p" =

8x100549

= 10627k.

8,70²

p

La valeur de ^7 de la section nette de chaque poutrelle

avec une seule semelle courante de 200 x 12 à la partie supérieure et à la partie inférieure est :

v

— = 0,002917389.

Y'

10627 X 8,70 X y 10627 Xy

équation du second degré d’où l’on tire

8,70

y = “2"

soit

/8,70²    75852x2

V 4    10627    ’

6,505

2,195

tcï ici

' = 4,350 + 2,155 =

" = 4,350 — 2,155 =

Longueur théorique de la 2e semelle.....4m,310

En exécution celte longueur de 4m,310 sera portée à 5m,480.

= 6kg,39.

= 100549,

Le moment fléchissant au même point, dû à la charge permanente est :

m=yVx~*''⁾

= 1^5 (8,70x4,03—MS³ 4 5 6 7 8 9 10) = 11770.

Le moment fléchissant total au point A est donc :

M = M> + Mo' = 88779-+-11770 = 100549ksm.

La section d’une poutrelle est représentée par le croquis ci-contre (fig. 58) etdonne pour la sectionnette, avec deux semelles de 200X 42

— = 0,003930567.

<---

7Z

______30 o_____

vl

--->

2QûmJ

(1)

Fig. 58

Soit pour les 4 poutrelles composant les poutres de la voie :

En outre, la semelle courante inférieure de 200 X 12 est convertie en une semelle équivalente de 260 x 10, pour permettre l’attache de la tôle striée, ainsi qu’il a été dit ci-dessus.

IV. — Entretoises sous longrines.

Portée..............

Ecartement des entretoises . . .

I = 0m,500 0m,500

L’écartement des entretoises n’étant que de 0m,50, on pourrait admettre, jusqu’à un certain point que la longrine portant la voie, répartit sa charge sur plusieurs entretoises.

Il est prudent néanmoins, de calculer chaque entretoise, comme devant supporter intégralement la charge roulante, mais en supposant cependant. 1 que cette charge se répartit uniformément sur la longueur de l’entretoise occupée par la largeur de la longrine, qui est de 0m,400 (fig. 60).

Or, le moment lléchissant maximum se réalise au milieu de la portée lorsqu’une roue arrive à l’aplomb d’une entretoise, et, en admettant, comme l’ordonne l’Article 4 de la Circulaire ministérielle, que l’essieu isolé pèse 20 tonnes,

Ce moment fléchissant maximum a pour valeur :

Voir page 3 :

d/iQ&on. ■_

F⁻

U______L±-üJîqû_____>j

Fig. 60

U = ^(îl-d),

mm'

mais ici

alors

pd = P = 10000ki?,

10000

M= — (2 l—d)=

(2x0,50—0,40)=750.

Chaque entretoise est composée comme le montre le croquis ci-contre (fig. 61) et donne pour la section nette :

Y = 0,0003416.

Le travail maximum du fer est donc :

_ Zâ£x.&. _ .>

fin

-y

Fig. 61

750

0,0003416 Chiffre inférieur à la limite 5kff,5.

= 2kg,19.

Y. — Entretoises sous platelage métallique. Données : Portée.........

/ = lm,32

Charge permanente par mètre .    . p = 60kB

Surcharge lm,00x300kg    .

Le moment fléchissant maximum au milieu de la portée est :

.    . y = 300kB.

M —    _ (60 + 300)l,32²

= 78,4.

Chaque entretoise est composée d'un fer à simple T comme le montre le â croquis ci-contre et donne pour la section nette :

f"

CT"

Fig. 62

— = 0,0000127.

= 6'% 10.

Le travail maximum du fer par millimètre carré est : p ₌.    78,4

0,0000127

Ce chiffre est de beaucoup supérieur à la réalité, car la tôle striée, qui se fixe sur ces entretoises, constitue une semelle résistante dont il est difficile de tenir compte dans les calculs.

VI. — Poutres de Rive.

Données :

Portée.......

Charge permanente par mètre . p — 120kK Surcharge 0,60x300k&    .    . p' — 180ks.

Le parquet est supposé devoir résister à une surcharge de 400ks par mètre carré.

Le moment fléchissant maximum au milieu de la portée est :

M = ^ +p/)/2 =

8

Chaque poutre de rive est composée comme le montre

l = 8m,700

(120 + 180)8,7Q²

= 2838.

£QA£QS

J2SQ&.3*

SS

Fig. 63

128

LES PONTS MÉTALLIQUES

le croquis ci-contre (fig. 63) et donne pour la section nette : — = 0,0004354.

Le travail maximum du fer est :

R — _²⁸³__ — 6kg g

0,0004354

VII. — Calculs des Rivets.

Rivets des poutrelles. — Le travail des rivets dans les poutrelles est donné par la formule :

TAa?

R = —- Si/elco.

mol ⁷

dans laquelle les lettres ont la signification suivante :

T. — Effort tranchant maximum au point considéré

aæ\ — Longueur d’un intervalle de rivets = 0m,100 ; n. — Nombre de sections de rivets dans

un intervalle.......

w. — Section d’un rivet I. — Moment d'inertie de la section brute de la poutrelle avec une seule semelle

= 12 635kg;

= 0m2,000 254 ;

= 0,00096805 ;

Syafw. — Moment par rapport à la libre neutre des sections des différentes parties reliées au reste de la poutre par les rivets considérés

= (0,200x0,012)^0,275 +    = 0,0006744.

Le travail maximum des rivets qui fixent les semelles aux cornières horizontales et ces dernières à l’âme des poutrelles se produit, sur les appuis, là où l'effort tranchant est maximum. La portée des poutrelles étant de 8“,70, il peut se trouver à la fois sur le tablier 4 essieux d’une machine du

2,ydu>

train type et un essieu de tender. L’effort tranchant maximum, sur l’un des appuis, lorsque l’essieu de tête est sur la culée a pour valeur :

T = 4P

1 — 1,80

H-P'

l — 8,20

pl

(Voir fig. 57 et 26.)

Remplaçant les lettres par leurs valeurs :

T — 56000X

6,90    12000X0,50    1250X8,70

8,70

8,70

= 50540kg.

Soit pour une poutrelle :

50540

= 12635kg.

Sur les culées il n’existe qu'une semelle à la partie supérieure et à la partie inférieure des poutrelles. La formule devient donc pour les rivets de 18m/m fixant les semelles aux cornières horizontales :

X 0,0006744 = lkg,7.

12635X0,100

2 X 0,000254 X 0,00096805

Le travail des rivets fixant les cornières horizontales à l’âme des poutrelles sera :

X 0,0015646 = 4kg,01.

12635X0,100 2 X 0,000254 X 0,00096805

Rivets des entretoises sous longrines. — Les rivets qui fixent les entretoises sous longrines aux cornières verticales attaches sont au nombre de 6 par entretoise. La charge maxima supportée par une entretoise étant de 1000k, le travail de ces rivets de 18m/m, soumis à un double cisaillement, est :

10000

2X6X0,000254

= 3kg,28 par millimètre carré.

VIII. — Calcul de la Flèche au milieu des grandes poutres.

La détermination de la (lèche permanente sous l’action de la charge du poids propre de 1 2o0ks serait facile à obtenir, nous nous contenterons donc de déterminer seulement la flèche sous le passage de la surcharge.

A cet effet, on sera sensiblement près de la vérité en admettant que la surcharge uniformément répartie de p" — 10 627kg, qui produit les mêmes moments fléchissants que le passage de la surcharge roulante, produit aussi sensiblement les mômes flèches.

La flèche au milieu aura donc très approximativement

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

5p"/⁴

pour valeur :

384E1

= O¹",009.

Soit en remplaçant les lettres par leurs valeurs : 5 X10627 X 8^70*

384 X 17000000000 X 0,0157222 X 0,299

En ayant soin de remarquer que

I = -X!) = 0,0039305X4X0,299.

On peut d’ailleurs déterminer cette flèche assez rapidement par une épure graphique, comme il a été fait au Chapitre II.

Méthode de MM. Hausser et Cunq pour la détermination graphique des moments fléchissants maxima, développés dans les poutres, par la surcharge roulante. (Fig. 4 et 5, PL 7.)

La courbe des plus grands moments fléchissants que les essieux produisent dans les poutres du pont ci-dessus, peut se déterminer facilement, par le procédé graphique ci-après, que nous empruntons à MM. Hausser et Cunq.

En se reportant à ce qui a été dit aux pages 53 et 54, on sait que le moment maximum sous une roue se produit, lorsque cette roue et la résultante de l’ensemble des poids roulants sont à égale distance du milieu de la portée.

Dans le cas présent, la résultante des poids passe entre les deux roues du milieu, distantes de lm,20 = d (voir lig. 57), donc le maximum du moment se produit pour l’essieu 2, lorsque celui-ci arrive à une distance

mG = -r-4

(voir fig. 4, pl. 7), le point G étant le milieu de la travée.

1.20 A OA

— = °"-³⁰<

Pour l’essieu 1, il se produit lorsqu’il arrive à une distance du milieu de la portée égale à

1,80

1,20 + 0,60

= 0m,90 = nG,

pour l’essieu 3, il se produit lorsqu’il arrive près du milieu de la portée et à une distance

1,20

-,— = 0m,30.

4

Enfin, pour l’essieu 4, lorsqu’il est en /?, pour lequel on a

<* = ^TT

En résumé, c’est sur les verticales des points n, m, o,p, que sont les moments maxima cherchés.

Ces points étant déterminés, on mène une ligne oblique indéfinie kx, sur laquelle on porte, à partir du point A, des longueurs ka, ab, bc, et cd proportionnelles aux poids des essieux 1, 2, 3 et 4, c’est-à-dire à 14 tonnes; on joint dB et par les points «, b et c, on mène des parallèles à dB , la portée AB est divisée ainsi en segments proportionnels aux poids respectifs des essieux.

Par ces points a\ G et c' on mène des verticales, qui vont limiter les arcs paraboliques dont il va être parlé. (On remarquera que dans ce cas particulier, les quatre charges étant égales, la parallèle menée à </B par le point b tombe en G.)

La courbe limitative des ordonnées représentant les moments est un arc appartenant à la parabole unique dont

la flèche, au milieu de la portée, est égale à Q étant égal

à la somme des quatre poids roulants.

Dans le cas qui nous occupe on a

Q = 14000X4 = 56 0Q0kg

Go =

= 0m,90.

et

Q/ 56000X8,70

= 121800,

que l’on porte en ordonnée en GS, à l’échelle de 1 centimètre pour 20 000, ce qui fait GS = 60

mm

09,

et l’on trace une

fois pour toutes, la parabole ASB, qui devra servir de patron pour tracer les divers arcs que comporte l’épure.

En plaçant l’axe de ce patron sur la verticale du point n, de manière que son périmètre passe par le point A, on trace la demi-parabole AN, mais tout l’arc ne peut servir pour les moments maxima. On place ensuite l’axe du patron sur la verticale du point m, de manière à faire passer la courbe par le point a'où la parabole précédente coupe la verticale du point a' et on obtient l’arc «"MK, qui limite les moments qui se produisent au passage des essieux nos 1 et 2, depuis le point a jusqu’au milieu de la travée. En continuant pour les essieux 3 et 4 ce qui a été fait pour les essieux 1 et 2, on obtient le complément KOc'B de l’enveloppe des plus grands moments fléchissants, sous l’influence du déplacement des 4 essieux sur la poutre. A chacun des poids, correspond un arc de la parabole ASB, déterminée au moyen d’un point et de la position de l'axe vertical. Comme vérification de l’exactitude du tracé, on doit obtenir, pour l’essieu n° 4 à droite, un arc passant par le point c" correspondant à l’essieu n° 3, et par le point d’appui B.

Pour aller rapidement, le patron peut être une parabole relevée sur papier calque, sur lequel on trace son axe vertical et une ligne horizontale qui servent de guide ; on fait courir ce calque sur le papier et on pointe, avec une épingle sur la figure en dessous, les arcs paraboliques déterminés.

L’exactitude de ce procédé graphique peut se vérifier en mesurant l’ordonnée maximum mM ou oO, qui a une longueur de 44mm,3 représentant à l’échelle de l’épure, un moment fléchissant de

44,33X20000 = 88700 = M trouvé par les calculs ci-devant.

Pour avoir la courbe définitive des plus grands moments fléchissants développés, il suffit de reporter en A'K'B' (fig. 5), le contour de l’épure déterminée ci-dessus ; de tracer, sur cette figure, la parabole A'CB, représentant les moments provenant de la charge uniformément répartie, dont l’ordonnée du sommet a été trouvée égale à 11 770 = Jb'; de

totaliser les ordonnées de ces deux courbes et l’on obtient la courbe définitive A'DB' dont l’ordonnée maximum représente les moments

M = Jb-t-Jb' = 400349,

sur cette épure on indique ensuite les semelles correspondant à des moments résistants

Rf

- = 0,0157222x 6300000 = 102194

avec deux semelles et à

RI'

— = 4X0,00291738x6500000 = 75 852, avec une seule semelle.

Cette détermination graphique des moments fléchissants est d’une application facile pour les ponts de 5 à 20 mètres d’ouverture, qui ne reçoivent à la fois qu’un nombre restreint d’essieux. La méthode est générale et s’applique aussi aux ponts pour routes.

§ III

Pont en acier de 18 mètres d’ouverture (PI. 8).

I. — Description sommaire. — Ce deuxième pont, pour une seule voie ferrée à écartement normal, est construit en acier doux ; il est constitué par deux poutres en treillis de lra,77 de hauteur, espacées de 4m,90 d’axe à axe et reliées entre elles par des pièces de pont placées à leur partie inférieure, aux écartements de lm,90. Un cours de longerons ou entretoises porteuses, règne sous chacune des deux files de rails, entre les pièces de pont. Un plancher en tôle striée de fim/m d'épaisseur est rivé sur les longerons et les pièces de pont.

Les traverses de la voie sont fixées au parquet par des équerres en cornière, boulonnées sur la tôle striée et encastrées dans les traverses.

Les poutres reposent sur les culées par l’intermédiaire de plaques en fonte. Sur une culée sont les deux appuis fixes ; sur l’autre culée sont les deux appuis mobiles, constitués par deux plaques en fonte séparées par des rouleaux de dilatation.

Lorsque les poutres atteignent 18 mètres de portée, il est prudent défaire reposer les appuis mobiles sur des rouleaux, parce que Rallongement de dilatation correspondant à cette longueur est assez grand pour déterminer des grippements dans des appuis ordinaires à glissières.

II. — Calcul des poutres maîtresses.

191,1 = /.

Portée admise

Charge permanente par mètre courant de poutre 725kg = p.

Plusieurs méthodes que nous connaissons déjà, peuvent être employées pour déterminer la courbe des moments, fléchissants développés dans les poutres par le passage de la surcharge roulante.

La première est celle qui procéderait par le calcul de ces moments en chaque point de la poutre, mais cette méthode deviendrait ici bien compliquée.

La seconde, c’est la méthode par la statique graphique ; cette méthode a déjà été développée pages 55 à 56. Elle est facile, assez rigoureuse et donne des résultats que l’on peut aisément contrôler.

La troisième, c’est la méthode dite du P. L. M.; c’est-à-dire celle qui est appliquée à la Compagnie des chemins de fer de Paris-Lyon-Méditerranée.

Cette méthode, qui a été développée dans la Revue générale des Chemins de fer du 3 mars 1892 par M. Jules Michel, Ingénieur en chef de la voie à cette Compagnie, est due à M. H. Gascougnolle, Inspecteur principal du Service de la voie à cette même Compagnie ; nous allons l’indiquer ci-après.

III. — Méthode dite du P. L. M. (fîg. 5, planche 8).

La méthode du P. L. M. employée pour déterminer les moments fléchissants produits par une surcharge roulante est approximative, mais elle est très simple et rapide. Elle remplace la courbe effective des moments fléchissants maxima, qui se produisent en tous les points de la portée par une parabole résultant d’une charge virtuelle uniformément répartie sur le tablier. Cette charge virtuelle p par mètre courant de poutre est, comme l’indique M. Collignon dans les Annales des Ponts et Chaussées de janvier 1889, égale à la réaction maximum F de la charge sur un appui, divisée par la moitié de la portée du pont, donc

2F

P = -r

Ce procédé ne laisse en dehors du tracé aucune partie des paraboles décrites isolément par chaque essieu roulant et donne une parabole dont le sommet correspond à un moment lléchissant notablement supérieur au maximum absolu des efforts produits par la charge roulante elle-même, au milieu de la portée.

Le tracé de cette parabole conduirait donc à un excès de résistance dans la partie centrale de la poutre, par suite à une augmentation inutile de dépense, si l’on s’en servait sans correction pour calculer la répartition des tôles.

Mais on peut, comme l’a démontré M. de Priaudeau, établir avec sécurité l’épure de répartition de résistance non justifiée, tout en conservant le bénéfice de la facilité du tracé

Fig. 64

de la parabole enveloppe basée sur l'hypothèse d’une charge virtuelle uniformément répartie, calculée comme l’indique M. Collignon.

11 suffit pour cela de connaître le maximum absolu de tous

Charge totale

par

file de rails produisant le moment fléchissant maximum

(8)

kg

28.000 28.000 28.000 28.000 28.000 28.000 28.000 34.000 34.000 40.000 40.000 40.000 46.000 46 000 52.000 52.000 52.000 52.000 52.000 52.000 52.000

59.000 66.000 80.000 80.000 80.000 80.000 84.000 84.000 84.000 84.000 84.000 88.000 88.000 88 000 88.000 92.000 92.000 92.000 92.000 92.000 96.000 96.000 96.000 96.000 96.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 104.000 104.000 104.000 104.000 104 000 108 000 108.000

))

P. L. M.

Réaction

maximum

sur

les appuis

U)

l;g-

17.920

19.600

20.800

21.700

22.933

24.040

25.109

26.350

27.400 28.300 29.080 30.070 31.270 32.650 34.179 35.870

37.400 38.791 40.060 41.433 42.736

oco«>7 0wi'0—iooco--r'OOO^^t^'OJOCJ^oçoioooooioO!ro<?JC<jcX)'4<(Mi''Wir^’oo ®IMNJiOI'00©OOOOOO©O00t'Oi0««TlCl(XlO-!j<C0^®l'X3C0^0ît'ï,3«T<t'

M^5Ot'«05O(Nrt-^infflt't'000so-'i?'!*J‘^!Oi(5«Di'00œiOO'»iMM'#‘^jnœf0i^o

méthode

Moment fléchissant maximum correspondant à la charge d’une file de rails

(9)

km

18.704

25.620

32.560

39,515

46.480

53.452

60.429

67.998

76.483

85.057

95.040

105.025

115.612 127.100 138.646 151.634 164.622

177.613 190.603 203.595 216.587

230.319 245.893 263.027 282.715 302.425 322.153 342.417 363.235

384.134 405.005 425.882 447.136 469.085 491.037 512.991 534.952 557.896 580.842 603 792 626 743 650 170 674 158 698.146

722.135 746.125

770.600 795 600

820.600

845.600

870.600 896.134 922.123 948.114 974.106

1.000.098 1.132.510 1 272.000 1.415.400 1 562.800

Tableau servant au calcul des Poutres par la

Numéro de la roue correspondant au

moment fléchissant maximum

changement [distance de cette roue à droite gauche de l’axe de la Travée.

(s)

Portée

Nombre

ou à

de roues | correspondante produisant le moment

fléchissant I du nombre

au

de roues

maximum

Surcharge

uniformément répartie

Par

mètre courant

Par

(4)

(3)

de

file de rails

(3)

Kg

üoocioüeoooîitiaoüo o o o o o

f ' « '    -Jj<

0000000^1^000000000000 OOOOOOOCOSOOOOOOOOOOOOOOO corocofOfooofCS<J(Mcoroco(MS'jiroforococOf<5fc

o o cT cT cT cT cT cT o" o~ o” o cT cT cT cT o" o' cT cT <o

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cT -rT -*T -rT -rT -*4    -r-T -r-T ,4 -rT o~ cT cT cT -T ^4—T -ri'-^Too'oooooooooooo'o

(MWiMiNffjC'XNMfoooooûooOQOooooooMoooox    ooat't'f't'r't^i'r'^t't'i^i'-ooooooooooooooooooooooocaioocooexoooooocBOîCftos

1im,608 13m,940

16m,597

18m,963

25™,574

25m,574 26m,48t 27m,769

3lm,527

36m,651

40m,995

45™,541

LTl^tnOS

55m,460

^^^^^^■^^îOîOîOcOi^t^OOOOOOOOXOOOO

7.168 6.533 5.943 5.425 5.096 4.808 4.565 4.392 4.215 4.043 3.877 3.759 3.678 3 628 3.597 3.587 3.561 3.526 3.490 3.452 3.418

Ci O CM

V'? ^ iO 50 ^5 JO 50 O *X) O O

o r- r-

—H -*r-i -rH

r-

OC 00 OC 00 00 Ci Ci ~ «

3.379 3.348 3.317 3.282 3.249 3.217 3.184 3.152 3.122 3 089 3.059 3.030 3.000 2.974 2.945 2.917 2.891 2.866 2.841 2.817 2.794 2.770 2.748 2.727 2.706 2.685 2.665 2.646 2.626 2.608 2.590 2.573 2.556 2.539 2.523 2.448 2.382 2.325 2.269

mètre courant

de

simple voie

14.336 13.066 11.886 10.850 10.192 9.616 9.130 8.784 8.430 8.086 7.754 7.518 7.356 7.256 7.194 7.174 7.122 7.052 6.980 6.904 6.816

6.758

6.696

6.634 6.564 6.498 6.434 6.368 6.304 6.244 6.178 6.118 6.060 6.000 5.948 5.890 5.834 5.782 5.732 5.682

5.634 5.588 5.540 5.496 5.554 5 412 5.370 5.330 5.292 5.252 5.216 5.180 5.146 5.112 5.078 5.046 4.896 4 764 4.650 4.538

Portée

des

l’outres

en

mètres

(l)

OhOOOSO'HNW^WîOr'OOOO^fNfO^^

les moments fléchissants produits par le passage de la charge roulante sur le pont et de couper la parabole

pl-

T’

par une horizontale dont l’ordonnée est précisément égale au moment fléchissant maximum calculé.

La parabole enveloppe peut alors être remplacée par le contour AFGB (fig. 64) comprenant deux arcs de parabole et une parallèle à l’axe de la poutre. La forme aplatie du contour AFGB au milieu de la portée du pont correspond d’ailleurs, d’une manière satisfaisante, à l’épure de répartition des tôles, qui implique nécessairement une feuille de tôle au milieu de la portée et une résistance constante sur toute la longueur de cette tôle.

Or, le tableau ci-dessus, donne, pour les ponts de chemin de fer à une travée, de mètre en mètre, entre 5 et 70 mètres d’ouverture, tous les renseignements nécessaires pour construire l’épure des mouvements fléchissants. Ce tableau est calculé pour le train-type défini et représenté dans la circulaire ministérielle. Ce train est composé d’une locomotive de 56 tonnes suivie d’un tender de 24 tonnes, d’une deuxième locomotive avec son tender du même poids que les précédents, puis d’une série de wagons à marchandises du poids de 24 tonnes chacun ; ainsi d’ailleurs que le représente la figure n° 30 du règlement ministériel.

La colonne 1 de ce tableau indique la portée des ponts en mètres. La colonne 2 indique la charge uniformément répartie par mètre courant de file de rail, donnant la parabole enveloppe de tous les moments fléchissants.

Col. S. — Le nombre de roues du train produisant, comme charge roulante, le moment fléchissant maximum;

Col. i. — La portée pour laquelle le moment fléchissant maximum produit par un certain nombre de roues, placées dans la position la plus défavorable, est le même que celui qui est produit par le nombre de roues immédiatement supérieur ;

Col. 5. — Le numéro de la roue du train sous laquelle le moment est maximum et la position gauche ou droite de cette roue, par rapport à l’axe de la travée. (Remarquer à ce sujet que tous les essieux du train-type sont numérotés sur la circulaire ministérielle) ;

Col. 6. — Le moment fléchissant maximum correspondant à cette position du train-type sur le tablier du pont ;

Col. 7. — Les réactions maxima, sur les appuis ;

Col. S. — La charge totale (non compris la charge permanente) qui, appliquée à une file de rails, produira le moment fléchissant maximum.

On remarquera que les moments fléchissants sont obtenus en ne tenant compte que de la surcharge roulante et non du poids permanent par mètre linéaire.

Le moment provenant de la charge permanente sera ajouté au moment de la surcharge, comme on le fait d’ordinaire W.

L’application des données de ce tableau à notre pont, nous indique que, pour une portée de 19 mètres, la charge virtuelle uniformément répartie pY par mètre courant, qui donnera la parabole des moments maxima est de 3597kg ; l’ordonnée du milieu est donc :

Pd²

= 162314kem.

Cette ordonnée permet de tracer la parabole ABC (fîg. 5, pi. 8) ; mais comme le tableau nous indique que le moment fléchissant maximum absolu, produit par le passage de la charge roulante sur le tablier n’est que de 138 646ksm = Jg, la parabole ci-dessus, sera coupée par la ligne DE, correspondant à une ordonnée de 138646 et la figure représem tative de tous les moments dus à la charge roulante est alors le contour ADEC.

Aux ordonnées de cette courbe, il convient d’ajouter les moments fléchissants provenant de la charge permanente de la poutre, qui est de 725kg =p.

(1) Les calculs sont faits pour un pont à une voie et où chaque poutre supporte la charge correspondante à une seule file de rails. Les chiffres des colonnes 2, 6, 7 et 8, devront être doublés, s’il s’agit d’un projet de pont dont le tablier porte deux voies, ou bien s’il s’agit d’une poutre intermédiaire commune à deux voies.

3 397 X19,UO²

Cette charge donne des moments fléchissants représentés par la parabole AFC, dont l’ordonnée du sommet

= 32 716kn'.

M/ IL = 725xÏ9dK)2 Jb = g

La totalisation des ordonnées correspondantes dans la ligure ADEC et dans la parabole AFC, donne la courbe enveloppe AGHIC, dont l’ordonnée du milieu est:

M = Jb + JF = 138646 —|— 32 716 = I71k°'m362.

C’est le moment fléchissant maximum au milieu de la portée, dû à l’action combinée de la surcharge roulante et de la charge permanente.

La section nette de la poutre avec deux semelles, dont une de 10mm et une de 9mm donne (fig. 65)

(0,36 — 0,044)1,788" — (0,36 — 0,044 - 0,19)1775

6X1,788

0,156 X 1,726* — 0,034(1,672*—1,628*)

6x1,788

= 0,020585.

0,024 x Ë57* — 0,01 X 1,105³

6x1,788

Le travail du métal au milieu est donc par millimètre

carré :

= 8k,32.

171362

20585

La longueur de la dernière semelle se détermine graphiquement, par le procédé ordinaire, en remarquant que le moment résistant ou anti-fléchissant, de la section de la poutre, avec deux semelles est

RI

- = 20585X8,5 = 174973k^œ ;

v

puisque la résistance admise pour les poutres en acier doux est de 8k,50 par millimètre carré.

Enfin, avec une seule semelle de 10mm d'épaisseur

v'

-A- = 0,01572,

et le moment résistant :

RI'

-7- = 15720x8,5 = 133620. v

Ces données suffisent pour déterminer, sur l’épure elle-

même, la longueur à donner à la dernière semelle.

Cette longueur de llm,40 eût été un peu moindre, dans l’épure de détermination des moments fléchissants, par la seconde méthode, c’est-à-dire par la statique graphique, mais le supplément de poids des poutres résultant de l’application de la méthode rapide P. L. M. par rapport à la méthode exacte, se borne à la différence de poids résultant de la différence de longueur des semelles additionnelles.

Or, l’augmentation du poids du tablier, résultant de ce fait, dit M. Jules Michel, n'excède pas un pour cent du tonnage total de l'ouvrage. Il n’y a donc pas lieu de s’en préoccuper et, eu égard à la rapidité de cette solution, il vaut mieux, en fin de compte, adopter la méthode approximative mais très rapide du P. L. M.

Ajoutons enfin, qu’elle se rapproche d’autant plus de la méthode exacte que la portée du pont est plus grande.

r— ! ^

___Mo—

_ 9qx_9o___

S?"

------

A ¹

12

io,

JScl.

-3.au 3 a. il

'H'"'

10,

J£a.

ÈEÈ

k-

L_______33a____

Fig. 65

---->i

IV. Calcul des treillis. — La courbe figurative des efforts tranchants (fig. 6, PI. 8), est construite d’après la méthode développée pages 48 à 50 en représentant sur la poutre les 10 premières roues du train type, s’avançant progressivement sur le tablier et en plaçant'la roue 1 sur la culée de gauche.

L’effort tranchant maximum sur cette culée est alors représenté par l’ordonnée AD = 34 200kff à laquelle on ajoute l’effort tranchant AG provenant de la charge uniformément répartie par mètre courant de poutre p = 725ks, qui donne

Pl

725x 19

= 6887kS50.

Les efforts tranchants positifs et négatifs sur la portée et résultant de cette charge p sont représentés par la droite CE. L’effort tranchant total maximum sur la culée et résultant de l’action combinée de la charge permanente et de la surcharge roulante, est donc représenté par l’ordonnée DC, dont la valeur numérique est :

T = 34200 + 6887,50 = 41087k^,50.

Puisqu’une section verticale en un point quelconque de la longueur de la poutre coupe trois barres de treillis, l’effort tranchant en ce meme point, qui devra être équilibré par chaque barre sera le tiers de l’effort tranchant total. On

calculera donc chaque barre, de chaque panneau, en divisant par 3, l’effort tranchant vertical maximum dans ce panneau.

Enfin, on remarquera (fig. 66), que l’effort vertical sur une barre est équilibré par un effort

3 COS a

Fig. 66

dirigé suivant l’inclinaison de cette barre et que f est précisément donné sur l’épure (fig. 6) de la Planche 8. Dans cette épure, la portée de la poutre est divisée par panneau et les obliques ac, df, gi, jl, mo, correspondent à chacune des ordonnées ab, de, gh, jk, et mn, prises sur le milieu de la longueur du panneau considéré. Le tableau ci-après résume les résulats donnés par l’épure; il donne, en outre, l’effort sur chaque barre, le travail moléculaire de chacune d’elles et la section nette de ces barres.

On remarque dans ce tableau que dans les panneaux

PONTS POUR VOIES FERRÉES

NOMBRE

de

rivets d’attache

9 rivets de 20%

OS — <>p — 8

6 — d° — 20

5 — d° — 18

4 — d° — 18

TRAVAIL

par

millimètre carré

7k?,28

6,85

6,15

5,88

4,50

SECTION

nette

de chaque barre

2 359%,²

2038

1820

1474

— ₀p

“t

•3

COMPOSITION

de

la barre

r---J1S----H

T.

r*n

~k

*1 tH iM

il

oP

K-jy-J

Li

EFFORT

suivant

chaque barre

= 17167ks

= 13970

= 11 200

8660

6333

51 500

41 900

33 600

26000

19000

Effort tranchant

total et moyen

dans ce panneau

38500

31 000

25000

19200

14000

NUMÉROS

des

panneaux

extrêmes 1, 2 et 3 de la poutre, le travail des barres varie de 7k,28 à 6k,15, tandis que dans les panneaux 4 et 5 du centre, le travail s’abaisse à ok,88 et même 4k,50. Ces coefficients sont sensiblement conformes aux indications de l’article 2 du règlement, qui dit que le travail sera de 6k,00 pour l’acier dans les barres de treillis, qui sont soumises à des efforts alternatifs d’extension ou de compression, « mais que ces limites pourront néanmoins être rapprochées de 7k,50, dans les pièces qui sont soumises à de faibles variations de ces efforts ».

Or, d’après ce qu’on a vu au § 4 du chapitre II, les barres de treillis d’un même panneau ne sont soumises à des efforts alternatifs d’extension et de compression, que dans la section médiane d’une poutre, mais dans les sections extrêmes, les barres sont, les unes constamment soumises à la compression et les autres constamment soumises à des efforts d’extension.

y de 7k,28 et de 6k,00,

Les rivets qui attachent ces barres, travaillent à des coefficients, qui sont sensiblement les ainsi que le prescrit le règlement.

V. — Calcul des longerons.

Données. —Portée admise dans les calculs. .    / = 1 m,89

La charge permanente par mètre courant est répartie comme suit :

62k*

Métal.

o oo

t- i -

Parquet métallique .    .

Traverses et rail .    .    .

210k* = p.

Le croquis après montre bien que le longeron peut contenir à la fois deux roues du train type, mais que le plus grand moment est déterminé lorsqu’une seule roue est arrivée au milieu de la portée. Comme d’après le dernier paragraphe de l’article 4 du règlement, cette roue doit être considérée comme pesant 10 tonnes, le moment total au milieu du longeron est :

PONTS POUR VOIES FERRÉES

= 4819,

M _ P/ pC _ 10000X1,89    210XL89²

"T

17.0

j*_____J___1™3l7_

_____1*3 o

--1-

---*1

7000K

mtf

Fig. 67

et comme la section ci-contre du longeron donne

— = 0,000719,

v

pour la section nette ;

4819

!H

10

719

= 6kff,71,

loi

par millimètre carré.

,10x10.

VI. — Calcul des pièces de pont.

Données.— Ecartement des pièces de pont.

Portée admise dans les calculs. .    .

Charge permanente par mètre courant. Poids propre ..............

Le moment de plus grande fatigue est produit par le passage d’une locomotive, lorsque trois roues sont dans la position indiquée par la figure 69 et que l’une d’elles est arrivée à l’aplomb de la pièce de pont considérée.

La résultante des charges aux attaches des longerons est alors (fig. 67) :

Fig. 68

lm,90 .    . / = 4m,38

145kff

Q = 7000+7000x^X2 = 12158kK.

1,90

Ces attaches ont encore à porter le poids d’un longeron avec la portion de parquet et de voie que celui-ci supporte lui-même, soit

210X 1,89 = 397ke.

a'

_7f.Æ3£._ _ i XSia___l zÆif J

ce T    |    ¹

-----f_

USSS*

;p .

USES K

Fig. 69

On a donc en a et a' deux charges égales à :

12158 -t- 397 = 12555kff = P.

Le moment fléchissant total au milieu de la pièce de pont sera :

J ' AT I

Trouprrivet I J de 20%, |

_ JïoKâo___

en remplaçant :

M = 12555x1,435

145X4,38*

= 18364kgm.

s,

Or, la section ci-contre (fig. 70) de la pièce donne:

— = 0,002655,

v

donc

.__3ox9û._

18364

2655

= 6kg,91.

___m

Fig. 70

Ce travail moléculaire est inférieur à celui de 7kff,50, prescrit comme limite pour les pièces de pont en acier.

VII. — Travail des panneaux sur culées. — Pour résister

à la réaction qui tend à écraser la poutre sur ses appuis, il y a lieu de vérifier si la section horizontale du panneau, au droit de ces appuis, est suffisante. Or, on a vu ci-dessus que l’effort tranchant maximum sur la culée était :

T = 41087*6,50.

’nV

iL___

IVCL

->t

Fig. 71

La poutre présente, au droit des plaques d’appui, la section horizontale (fig. 71) pour laquelle :

q — 18300 millimètres carrés.

d’où

= 2*6,24.

41087

18300

VIII. — Avant de terminer ce paragraphe, nous devons dire qu’en employant des procédés graphiques analogues à celui que nous avons développé aux pages 55 et 56, ou bien à l’aide de calculs laborieux, quelques auteurs ont composé des barêmes qui permettent de construire rapidement les courbes représentant les plus grands moments fléchissants dans toutes les sections des poutres d’un pont à une seule travée et soumises à la surcharge roulante du train type. Le plus complet de ces barêmes que nous connaissions est dû à MM. Hausser et Cunq à qui nous avons emprunté une méthode graphique dans les calculs dupont de 8 mètres d’ouverture.

§ IV.

Considérations générales sur les poutres à treillis.

I. — Les diagonales qui relient la membrure supérieure à la membrure inférieure d’une poutre à treillis sont soumises, les unes, à des efforts de traction, les autres à des efforts de compression ; l’examen des ligures ci-après fera bien ressortir la différence de la nature de ces efforts.

¹

— Gomme on l’a vu, par les deux exemples qui précèdent, pour faire le calcul des poutres d’un tablier métallique, il faut connaître, au préalable, le poids de l’ouvrage.

²

Bien que ce poids soit variable avec le type de pont adopté, on trouvera dans le tableau ci-après le poids approximatif de la superstructure des ponts métalliques en acier.

Pour des ponts construits entièrement en fer, il faut augmenter de 1/5 à 1/3 les chiffres indiqués dans ce tableau.

³

= 0,015722268.

⁴

Le travail du fer par millimètre carré de section nette est : 100549

⁵

0,015722268 Chiffre inférieur à la limite 6k,50.

⁶

III. — Calcul de la longueur de la 2e semelle de 12mm.

⁷

La longueur de la 2e semelle se détermine par la condition que le travail du fer soit au maximum de 6k,5 par millimètre carré, dans la section à chaque extrémité de cette 2e semelle.

⁸

Or, la charge uniformément répartie p" qui produirait, au milieu des poutres, le même moment fléchissant maximum trouvé égal à 400 549 est :

⁹

^=M

¹⁰

(1) On remarquera que pour faciliter la recherche de — delà section, on a

supposé une poutre symétrique, en remplaçant la semelle de 260x10 du haut, par une semelle de 200 x 12 à peu près équivalente (Voir PI. 7).

G,

pi

Fig. 72

A’

B’

II

E’

F’

C⁵

OP

Fig. 73

En considérant deux systèmes articulés, disposés suivant (fig. 72 et 73), pour supporter, une charge P, on voit immédiatement les barres qui sont soumises à un travail de tension et les barres soumises à la compression.

Les traits fins représentant les pièces tendues et les traits de force les pièces comprimées, on remarque sur ces figures que CD est comprimé, tandis que CTV est tendu, AC est comprimé, tandis que A'C' est tendu, etc.

La combinaison des deux systèmes (fig. 74) fait voir que

S/

fs

a.

Fig. 74

la table inférieure ab, et les diagonales f travaillent à la traction et que la table supérieure cd et les diagonales g agissent par compression.

Qu’enfm, les montants c travaillent tantôt à l’extension

■yp"

l<-

I

______

I

IF*

Fig. 75

et tantôt à la compression, selon que la poutre est du type de la figure 72 ou du type de la figure 73.

Donc, d’une manière générale, dans une poutre à treillis, la; série des barres symétriquement placées, par rapport au milieu de la portée qui, prolongées, convergent au-dessus de la poutre sont comprimées ; tandis que la série des barres symétriquement placées par rapport au milieu de la poutre qui, prolongées, convergent en bas, sont tendues. (Voir fig. 75.)

Comme conséquence, on devra, lorsque les barres comprimées auront une assez grande longueur, leur donner une forme et une section suffisantes pour empêcher les déformations que pourrait produire cette compression.

Si l’on veut obtenir un aspect convenable pour l’œil, en même temps que toute l’économie désirable au point de vue de l’emploi du métal, les poutres maîtresses des ponts métal-

liques doivent avoir une hauteur variant du au ^

1

leur portée. Le rapport qui sert de règle est c’est celui qu’il faut tâcher d’appliquer le plus souvent possible.

-Lde

II. — Types de poutres à treillis. — Nous avons indiqué à la Planche n° 9, les divers types de poutre à treillis les plus usités. On remarquera que l’inclinaison des barres est d’environ 45°; cette inclinaison ne doit pas être dépassée, mais, pour le coup d’œil et pour l’économie du métal, il faut s’en rapprocher le plus possible. Les figures 1 et 2 représentent les poutres à treillis en N, dans lesquelles les traits de force indiquent la membrure et les barres de treillis comprimées et les traits fins, la membrure et les barres tendues.

La figure n° 3 représente la poutre Warren ou à triangles isocèles ; les pièces comprimées et tendues y sont également indiquées.

pas pour

pôutres très hautes, ces montants doivent cependant s’opposer à leur déversement et résister à l’action horizontale du

Les figures 4, 5, 6 et 7 représentent des poutres à treillis multiples ou treillis croisés. Parmi elles, la poutre représentée par la figure 5 porte des montants, qui servent à la raidir au droit des entretoises, mais qui n’interviennent la résistance aux efforts tranchants. Dans les

vent en transmettant au contreventement inférieur, l’effort du vent sur la moitié supérieure de la paroi.

Les figures 8 et 9 de cette même planche indiquent des types de couvre-joints d’âme, de semelles et de cornières de poutres.

III. — Couvre-joints d'âme. — Le couvre-joint d’âme (fig. 9), s’il est posé d'un seul côté de l’âme d’une poutre, doit avoir une section au moins égale à celle de la section de l’âme sur laquelle il s’applique. Si on met un couvre-joint de chaque côté, ce qui se fait généralement, comme l’indique la coupe en plan, la section des deux couvre-joints

g

réunis est égale environ aux -j- de la section courante de

l'âme. Et puisque la hauteur de ces couvre-joints est moindre que celle de l’âme, on en conclut, à 'priori, que l’épaisseur de chaque couvre-joint est plus grande que la demi-épaisseur de l’âme courante.

IV.    — Couvre-joints de semelles. — Les couvre-joints de semelles (fig. 8) doivent avoir une largeur égale à celle des semelles et une épaisseur égale au moins, à celle de la semelle la plus épaisse sur laquelle ils s’appliquent. Lorsqu’une poutre a plusieurs semelles, les couvre-joints de deux semelles superposées se font généralement en escalier à des intervalles de trois ou quatre rivets, comme figure 8.

Pour la rivure, on suivra la règle ci-après :

Le nombre des rivets entre deux joints consécutifs de

*    g

semelle devra correspondre à une section équivalente aux

de la section nette de la plus forte des deux semelles.

D’un joint extrême à l’extrémité du couvre-joint, la sec-

5

tion des rivets équivaudra aux de la section nette de la

semelle interrompue dans ce joint.

La résistance des rivets, pour joint de semelle a été vérifiée pratiquement â la page 113.

V.    — Couvre-joints de cornières. — Dans le cas où les joints des deux cornières d’une membrure de poutre sont en face l’une de l’autre, les couvre-joints devront avoir une section aussi grande que les cornières, et d'un joint à l’extrémité du couvre-joint, la section des rivets fixant

g

chaque couvre-joint sera équivalente aux de la section

nette de la cornière courante.

Dans le cas le plus général, on ne peut pas toujours placer aisément des couvre-joints d’une section aussi grande que celle des cornières ; alors les joints ne sont plus en face l’un de l’autre et sont disposés, comme l’indique la figure 9 de la Planche 9, à un intervalle de 3 divisions de rivets environ, de façon que la section totale des rivets, dans la partie des ailes verticales, comprises dans Vintervalle cd

g

des deux joints, soit égale aux — de la différence entre la

section nette de la cornière courante et la section nette de la cornière couvre-joint.

Ce qu'on peut représenter par la formule

nvM =

— (Q-û,-).

Quant à la section de la cornière couvre-joint, elle sera égale à la différence entre la. section nette de la cornière 5

courante et les -3- de la section totale des rivets des ailes

O

verticales, compris dans l'intervalle des deux joints. Cela peut se traduire par la formule

5

Çtj — Q.--— nv w.

Dans ces deux formules :

Q représente la section d’une cornière courante ;

d° d’un couvre-joint ;

Qj — d°

nv — d° — le nombre de rivets dans l’aile verticale, compris dans l’intervalle cd des deux joints ;

w — d° — la section d’un rivet.

CHAPITRE SIXIÈME

PONTS MÉTALLIQUES A PLUSIEURS TRAVÉES SOLIDAIRES

Les calculs des ponts à plusieurs travées solidaires se font de deux manières :

luParla solution analytique; en appliquant ie Théorème des trois moments ;

2° Par la Statique graphique.

La méthode analytique nous conduit à rappeler le Théorème des trois moments ,

⁷

dont voici l’énoncé :

Lorsqu’une poutre repose Aj___^

sur un nombre quelconque i d'appuis de même niveau, si l'on considère trois appuis consécutifs A, B, C, et qu’on appelle /, l les portées AB, BC comprises entre ces appuis, M, M', M" les valeurs des moments fléchissants sur ces appuis, enfin si p et// sont les charges par unités de longueur supposées uniformément réparties dans les deux travées AB et BC, les moments M, M', M" sont liés parla relation linéaire :

m + 2(l + /')M' -+- /'M" = 4- (pl³ -+- p'I'³),

4

dans laquelle les moments ne sont déterminés qu’en fonctions de p,p' et de /,

M’

¥

*-

P>

M”

T'

C

Fig. 76

Si donc on a une poutre continue et de section constante reposant sur un nombre quelconque d’appuis de même ni-

M;0 p M, p

V.

p M, p M5 p

_I<L _*j* 4z ^ J-2. _ 4l_ -    ----->}i b-

Fig. 77

veau, les équations qui feront connaître les moments fléchissants sur les appuis successifs seront :

/oM₀ -+-2(4 4- h)Mi -f- /iM₂ = — (po^o ~^~P^\)^

/iM, H- 2(4 -h 4)M₂ + 4M₃ = — (pi^[ + P^\)i 4M₂ —h 2(4 h- 4)M₃ h- 4^4 = —— {pil\ 4-p

■4b

4M3 H- 2(4 H- /*)M* H- 4M;j = — (^3/3 4- pjf),

1

4M* 4- 2(4 4- 4)Mg 4- 4Mq = — (p/^4 4-

le

Ce groupe d’équations qu’on appelle formules Clapeyron, permettent de déterminer successivement les quantités M M₂, Ms, M*, ... en ayant soin de remarquer que pour N travées, on a M₀ = 0 et M„ = 0.

Pour la détermination du moment ^ en un point quel

AA

P2

_M₃

___92.___*1

\in

-J

.U.

Fig. 78

conque m d’une travée, on remarquera que l’équilibre des moments en ce point est (fig. 78) :

(1)

» = ₊

A représentant la réaction ou effort tranchant sur l’appui a

dû à l’action de la travée ab. — (Cette formule se vérifie aisément, car pour x — 0 on a bien p = Ma.)

On élimine A dans la formule (1) en faisant x — l, ce qui donne :

p - M3 - M2 ■+

d'où l’on tire :

P‘2 4

M₃ — M

et en substituant dans (1)

P2X²

P = M₂ -t-

p₂h

m₃ — m₂

x. .

• (2)

qui est la formule générale donnant le moment fléchissant en fonction de x, en un point quelconque de la travée.

Le moment fléchissant maximum dans cette travée s’obtient en remarquant que p devient maximum quand x est maximum ; mais qu’on a alors :

d’où

A — p₂x

A 4 M₃ — M₂

p₂ 4

Substituant dans (2), développant et réduisant :

M2 —1- M₃

• • (3)

(Ma — M₂)² p₂lj 2 p₂l\

Telle est la formule qui donne directement le moment fléchissant maximum dans la travée.

L’effort tranchant en un point quelconque distant de x de l'appui est encore égal à la dérivée du moment fléchissant en ce même point.

A 3- — dpr,

donc

A3;

p₂ 4

M₃ —

-H

p₂l₂

= P* — —

M₃ — Mo

Ax devient : M₃ —M,

et sur l’appui où x = 0,

p₂ 4

A = —

2

valeur trouvée ci-dessus.

Passons immédiatement aux applications.

§ !»

Pont à deux travées de 74m,00 d’ouverture totale, portant deux voies ferrées (métal acier).

(Planches 10,11 et 12.)

I. — Description sommaire.

Ce pont a une longueur totale de 74m,00 entre culées; il est à deux travées inégales dont Tune a 34“,20 et l’autre 41m,80 d’axe à axe des apuis. La nature du terrain du lit de la rivière qu’il franchit, a déterminé la position la plus favorable pour la construction de la pile ; de là l’obligation de faire des travées inégales.

Le tablier, tout en acier doux, comprend deux poutres à treillis de 4m, 144 de hauteur espacées de 7m,85 d’axe à axe et reliées entre elles par des pièces de pont en tôles et cornières de 0m,65 de hauteur, placées à leur partie supérieure, aux écartements de 3m,80. La hauteur libre sous poutre étant grande, on a eu avantage, pour diminuer les dépenses de maçonnerie, à construire la pile et les culées le moins haut possible ; on a été ainsi amené à placer les voies à la partie supérieure des poutres du tablier.

Un cours de longerons règne sous chacune des quatre files de rails entre les pièces de pont, avec lesquelles ils s’assemblent solidement.

Les pièces de pont sont supportées, en leur milieu, par des jambes de force en forme de fers en u juxtaposés, qui s’appuient sur la membrure inférieure des poutres. Cette disposition a permis de diminuer la section des pièces de pont. Un plancher en tôle striée, règne sur toute la longueur du tablier; il se fixe sur les pièces de pont, sur les longerons, ainsique sur des fers à I de 220 X 100X 7, qui courent parallèlement aux poutres, dans les intervalles de deux longerons.

Les rails sont posés sur des traverses, attachées solidement au parquet.

Des garde-corps sont boulonnés sur les bords extérieurs des tables de la plate-forme.

Les parties inférieures des poutres principales sont contre-ventées en diagonales, par des fers cornières, et de plus elles sont contretoisées par des poutrelles légères en treillis et placées au droit des pièces de pont.

IL — Calcul des longerons.

Portée : l = 3m,79.

Les longerons sont soumis à deux charges.

1° La charge permanente uniformément répartie sur la pièce, par mètre courant, que l’on peut évaluer ainsi :

92kg

Métal du longeron

Parquet et tôle striée, lm,75 de largeur ....    96

92

Traverses et rail

P z= 280kg

2° La charge accidentelle de trois roues de locomotive pouvant se trouver ensemble sur le longeron, dans la position indiquée par la figure 79 ci-contre.

Le moment fléchis-

”j

sant est sous la roue du milieu de la portée, où il a pour valeur :

7 000X3,79

maximum

jS__i---

__Z2o___^___iM-----|

___|_______L^SJSL

7ooo*

70^0* Q=Zrooo*7 Fig. 79

7 ooo*

>J

H- 7000x0,693 280 X 3^79²

= 12000kym.

La section ci-contre du longeron donne

— = 0,001653

v

d’où

_ 9,0 x.Ro

Jf

12000

10

1653

= 7k,26 par millim. carré.

Fig. 80

= 19158'^.

7 000(2,00    3,20)2

3,80

g—ZJUL___^JLZd^-UCLj^ 1,20-7*.—2,0.0-Jl

L--------3!fla----1---4<—î-----

1    !    ¹ I ¹

70001e moi], 7ooox iho*

Fig. 82

Cette attache a encore à porter le poids propre d’un longeron et la voie que celui-ci supporte lui-même, soit 280X3,80 = 1064k*.

Les deux charges égales qui s’exercent en m et n sont

donc

Cette poutre, étant supportée en son milieu, par des jambes de force, peut être considérée comme étant en deux parties, dont Tune, serait figurée par le côté horizontal du triangle ci-contre ABC (fig. 81).

..A

La portion de poutre AB a 3m,54 r—?P de portée, et sera considérée comme >j^+} appuyée à ses deux extrémités et chargée en deux points m, n de sa longueur, aux attaches des longerons.

Le maximum Q des surcharges qui peuvent s’exercer en ces points, est produit par le passage d’une locomotive, lorsque les quatre roues sont dans la position indiquée par la figure 82.

La résultante du poids des roues à l'attache du longeron

TTC

___

-----

Fig. 81

!”

-j

>©*

est

oc

I—t

LES PONTS MÉTALLIQUES

. — Calcul des Pièces de pont.

Portée : l = 7m,84. Ecartement : 3m,80.

19158 -f- 1064 = 20222kff = Q.

D’autre part, la charge uniformément répartie par mètre courant de pièce de pont est la suivante :

Poids propre, métal .    .    .

Parquet et fers I du parquet

140ks

265

p = 405ke

De sorte que la réaction totale q, que ces forces exercent sur l’appui de gauche de la pièce de pont est (fig. 83)

2,16 + 0,65

q = 20222^

3,54

TA

= 16052k».

Le moment fléchissant maximum dans la poutre, dû à cette surcharge, se manifeste au point m et a pour valeur :

I*⁻

-U2___-A---L&---

' J>J)î=L

Q=2<?222* Q =20222*

Fig. 83

9X1,38.

D’autre part, le moment produit au même point et dû à la charge uniformément répartie est

Le moment fléchissant total en m dû à la charge et à la surcharge est donc

M = gxl,38 + ^x-S^-

J O? * IMS If

OU

M = 16052x1,38-1-

405X3,54

X1,38

405x1,38*

= 23527.

La section ci-contre de la pièce de pont donne

1WU-1ÛÛ.-

7*

— = 0,003059,

v

Fig. 84

d’où

23527

0,003059

= 7ke,69

par millimètre carré.

IV. — Calcul des fers I supportant le platelage métallique.

Portée: /=3m,79.

Le fer à I qui est fixé au milieu de la pièce de pont, étant plus que les autres, éloigné des longerons contigus, sera le plus fatigué et servira de base à ces calculs.

Charge permanente par mètre courant de fer I sous platelage :

L8ks,8

2(ikB,2

Tôle striée

Métal propre

75k6,0 = p

Surcharge (300kg par mètre carré de parquet) 300ks = p'. Le moment fléchissant maximum au milieu de la partie est donné par la formule

K

m = (p±p^ ₌

O

(75 + 300)3,79'

= 673.

7’

ZZeu

La section ci-contre du fer I donne

HH

>1

= 0,0002236

k-v>û-M Fig. 85

d’où R =

673

2236

= 3kg,01 par millimètre carré.

Y. — Calcul des jambes de force (voir fig. 86).

Les deux surcharges qui agissent aux points m et n de la

/p

nt

TV_/B

-Ol

—>—i—A-

—LSJ—ÿ &&__

2022.

I I t I 20222 i

-CQrp_Jÿ.xSQ__

iol

ZZû.

coi

Fig. 87

Fig. 86

pièce de pont, combinées à la charge uniformément répartie sur cette pièce, produisent au point d’appui B, une résul-

tante R, qui a pour valeur : 405x3,54

R = —i—

+- 20 222

1,51 + 1,38 + 1,38

3,54

24 392 kilogrammes.

La charge uniformément répartie se compose du poids du parquet et des fers à I sous le platelage, soit, comme on l’a vu, 405ks par mètre courant.

Cette charge en B est équilibrée par une réaction P dirigée suivant CB et qui a pour valeur :

24392

cos 42° 30'

= 33084 kilog.

COS a

La pièce CB, dont la section est de la forme (fîg. 87) travaille à la compression et l'effort maximum qu’elle peut supporter sans déformation permanente est donné par la formule :

El*²

/²

qui sert à calculer les dimensions des colonnes. Dans cette formule :

E représente le coefficient d’élasticité du métal, soit 20xï(f pour l’acier:

I le plus petit moment d’inertie de la section totale ;

/ la longueur de la colonne = 4m,60 ; t: = 3,1416.

Or la valeur la plus petite de I pour la section ci-contre, doit être prise par rapport àl’axe ab, et alors

(0,026 X0,105;!)2 + (0,144 X 0,028" )2

12

(0,04 X 0,015³)2 — (0,22 X 0,005^)2

12

= 0,000005561,

donc

20000000000 X 0,000005561 X 3,1416²

--2

4,60

Cet effort, auquel peut résister la pièce sans se déformer,

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

- 51825k”.

Il

est supérieur à l’effort de 3308iks auquel elle est réellement soumise.

Ce résultat est d’ailleurs confirmé par la formule de Lowe, que nous avons employée page 116, pour le calcul des

barres de treillis et qui, pour le cas où le rapport ~ est, connue ici, compris entre 5 et 30 donne

N =

liü

0,85 -+-0,04—

dans cette expression :

N est l’effort maximum en kilogrammes, que la colonne peut supporter sans se déformer ;

pour l’acier

Q = 13084%² ; R = 7\5

/ = 4m,60 ;

d = 0m,21 ;

en remplaçant les lettres par leurs valeurs on a : 7,5 X 1308 ï

et

0,85 + 0,04 X

4,60

= 58200kg.

0,21

Enfin, on peut employer encore la formule de Schwedler, qui donne un résultat de haute sécurité :

Rü

l-

1 h- 0,00008n —

Les lettres ont les mêmes indications que ci-dessus, mais qj R et I sont pris par rapport au mètre carré ; on a en remplaçant :

N =

0,013084X7500000

1 +0,00008x0,013084

4,60²

= 23440kff.

0,000005561

= 2kg,52.

Résultat bien faible, pour un métal dont le travail, sans tenir compte de la llexion, ne serait que de 3308i

13084

On peut donc estimer que la charge de 33084ks sera supportée en toute sécurité par la section donnée aux jambes de force.

Rivets. — Le nombre de rivets qui doivent fixer cette pièce oblique est déterminé par la formule :

33084 2X5X2'’

en remarquant que dans le mode de fixation des jambes de force, les rivets présentent une double section au cisaillement et devront travaillera 5kfr par millim. carré.

En prenant 22 millim. pour diamètre on a q! = 380 millimètres carrés,

d’où

- 8,70,

33084

2 X 3 X 380

soit 9 rivets de 22m/m.

VI. — Entretoises inférieures.

Les entretoiscs sont des poutrelles en treillis de 0'“,400 de

70 X 70 .

hauteur constituées par quatre cornières de

sont fixées aux mêmes goussets qui reçoivent les jambes de force. Ces pièces ont pour but de détruire la poussée produite par les jambes de f force sur les poutres pour les écarter.

On a d’après la figure ci-contre :

f — P sin a == 33084 X sin 42°30' = 2235tk°. La section des deux cornières donne :

; elles

>T

Fig. 88

d’où

ü = 4716%²,

22351

4716

= 4kg,74.

VIL — Calcul des poutres maîtresses. — Méthode du

P. L. M. (pi. 11).

Le calcul des poutres longitudinales se fait rapidement en

remplaçant la surcharge des locomotives et des vagons, par la surcharge virtuelle uniformément répartie par mètre courant de tablier, qui est indiquée au tableau de la page 136, pour les ponts à une seule travée.

D’après ce tableau, la surcharge correspondant à une portée de 41 “,80 est, en nombre rond de 5800lig par mètre courant de simple voie, et elle est de 6200kg pour une portée de 24ra,20. 11 est à remarquer que, comme le pont est à double voie, chaque poutre doit ici supporter la totalité de la surcharge afférente à une voie.

En consultant le tableau de la page 120, sur les poids approximatifs de la partie métallique du tablier, les données du problème sont les suivantes :

Portées

/„ == 34-,20,

/. = 4im,80.

Charge permanente par i mètre courant de pou- j Métal, tre, dans les deux tra- \ vées.    I

. oc

rons................

j Parquet en tôle et con- \ [ treventement......./

1 715kg

185

Voie

Total.... Pour la travée de 34m,20 Pour la travée de 4tm,80.

Surcharges, j

Nous rappelons que la formule des trois moments est

1900kg 6 200kg 5800kg

et

M₀ = 0, M₂ = 0 et D’où

l₀ 34,2 1H~T ~ 4Ë8

= 0,81818.

l₀ = mli.

L’équation ci-dessus se transforme alors comme suit : 2(mZ₁+/i)Mi = ^r{pom²ll -h PA)

4

pam?l\-+-pil\ _ l\ ^

8{mh -+- h) ~ "

Mj =

m¹p₀ -4- pi

m-1- 1

Les trois hypothèses à faire dans la distribution de la surcharge sur une poutre reposant sur trois appuis sont représentées par le diagramme ci-contre (fig. 89).

La première et la seconde détermi- ! neront les moments maxima dans les travées et les efforts tranchants maxima    j

sur les culées. La troisième détermi- F nera le moment fléchissant maximum et les efforts tranchants maxima sur la pile.

Première hypothèse. — La première travée seule chargée.

Pt = 1900kf?, m = 0,81818.

M, jr M,

P, ¥■

Fig. 89

p₀ = 1 900 4- 6200 = 8100ks, lo = 34m,20

Le moment Mt sur la pile est pour ce cas

41,80²    0,81818* X 8100 4-1900

0,81818-1-1

D’après la formule générale (2) page 155, le moment maximum dans la première travée est :

Première travée.

h = 41m,80

et

— 761207ksm.

PoX¹

(j. — M₀-l—-

et comme

( Polo Mt — Mo^

li ~r

M₀ = 0,

p = —-(

Polo Ma

i"~ir;

mais n est maximum pour x maximum, et ce maximum de x est, d’après ce que nous avons trouvé ci-dessus lo Mi — M₀ l₀ Mi _ 34,2    761207

2"_pJo ~ ~2    8100X34,2

d’où

Polo

= 14m,352;

H=

8100X14,352

8100X34,2    761207

14,352= —834220kgm.

34,2

On peut obtenir ce maximum d’une manière directe par l'application de la formule (3) page 155

(M,-Mp)² pJl Vpol'o ~~ 8

P- =

M₀ -f- M:

soit

M, M?

polo

761207

761207²

2 X 8100 X 34,2'

8100X34,2*

= — 834220kffm.

Ces deux formules conduisent donc bien au même résultat.

Efforts tranchants. — De gauche :

Polo Mj 8100X34,2    761207

A₀ = -7T-

lo

34,20

= H6255kg.

De droite :

A'₀ = Polo — Ao = 8100X34,2 — 116233 = 160767+

Deuxième travée.

(x = Mj -+

Pi*²

( Pih M₂— Mi ^

\! h JX

et comme

[X = Mj -t-

M₂ = 0

PlX²    /pj/j M,

ur,

qui devient maximum pour 4 Mt 41,8

761207

d’où

pJi

2    8100X41,80

= 30m,408,

1 900x30,408*

1900X41,80    761207

41,8

^ 30,408 =

— 121488kgm.

Efforts tranchants. — De gauche : PiU M,

Aj =

1900X41,80    761207

41,80

= 57916+

De droite :

A', = pji — ki = 1900x41,80 — 57916 = 21504+

Deuxième hypothèse. — La deuxième travée seule chargée :

po = 1900+

Pl = 1900 + 5800 = 7 700+

En continuant d’effectuer les calculs comme ci-devant on trouvera :

Deuxième travée.

x = 24m,162, i*.~ —1197 820kgm, Ai = 186051+ A,' = 135809+

Troisième hypothèse. — Les deux travées chargées :

M, = 1457984kffm.

p i = 7 700+

Le moment M, sur la pile sera :

41,80²    0,81818* X1900 -+- 7 700

M, =

0,81818+1

= 1050054kgm.

Première travée.

l₀    M, _ 34,20    1050054

2    p₀l₀ ~ 2    1900x34,20

= 0m,941,

P 0^0

Mi

hf

1900X0,941²

1900 + 34,2    1050054

34,20

0m,941.

= — 840kffm.

1900x34,20    1050054

34,20

Ai = 1900 X 34.20 — 1786 = 63194+

Ao =

a.

= 1786+

p₀ = 8100+

Première travée, x = 1 lm,837, [jl = —567 514, A₀ = 95880+ A' = 181140+

Deuxième travée.

x = 25m,429, u = — 1031589, At = 195881+ A; = 126050+

D'après les calculs qui viennent d être effectués, on pourra, pour faciliter la construction des épures de flexion, dresser le tableau ci-après :

lre TRAVÉE

Première hypothèse. — La première travée seule chargée :

p₀ = 8l00ks,

[ x = 14m,352 u- = — 834220 A₀= 116255k*

A₀ = 160767kg

2° TRAVEE

Pi = 1900+ a? = 30m,408 {x = — 121488 Ai= 57916ks A', = 21504k(ï

M, = 761207km.

mj7"k

Fig. 90.

Deuxième hypothèse. — La deuxième travée seule chargée :

p₀ = 190O°r,

jh = 7 700,

= 0m,941

Mi = 1050054ksm.

x = 24m,162 fi = — 1197820 At = 186 051 ke A't = 135809kff

Troisième hypothèse. — Les deux travées chargées.

Mi = 1457 984k8'm.

/ x = 25m,429 % \ n= —1031589 “ J At = 195810k^

A; = 126050k«

—±-Y

Fig. 91.

Po = 8100,

-1

4H X

% \ jx = — 840 * J A₀= 1 786kg ^ ( A'₀ = 63194k«

2e TRAVÉE

Fig. 92.

Pi = 7 700,

.t = 11“,837 (X = —567514 = 95880 A;= 181140^

33AVHI oaT

•g

j Ao

OJ

GM

Pour tracer les courbes de llexion correspondant à ces diverses hypothèses, on se rappellera que l’équation de ces courbes est toujours de la forme :

PiX²

[x = Mi -+

A,ar,

(4)

qui n’est autre que la forme plus générale :

y — ax² -+- bx c,

c’est l’équation d'une parabole cà axe vertical et dont l’axe horizontal passe en dehors du sommet.

Il est facile, en effet, de ramener l’équation (4) à la forme

plus connue

.T<

*_4

\ÿm

i_x;

Fig. 93

y² = ± 2px.

Appelons Y' l’axe verticalT qui passe par l’axe de la courbe (fig. 93),

ym l’ordonnée maximum de la courbe,

xm l’abscisse correspondant à cette ordonnée.

Le changement d’axe vertical nous donne :

or, on a vu ci-devant que

d’où

, h x = x-t- Y

Et l’équation générale :

y = M,-f ₂

PlX²

pji M

devient :

y = Mi + f(W

Développant et réduisant :

pix'²

h M,

PiU

Pd\

p ili

Pi

u)‘

M,

Mi

• • (S)

8    2    2^/f    ' *

Si on transporte l’axe des X en X' au sommet de la courbe

on a

(6)

y = ym—y'-

Or, on a remarqué au commencement de cette étude que le moment maximum ym s’obtient directement par la formule (3)

Mi

(M₈ - MQ² ptll %pj\

qui, pour le cas où

(Ms — Mj)² = (O —MO² = M²

devient :

ym —

Mt M?

Remplaçant y et ym par leurs valeurs dans l’équation (6), il vient

Pix'² pJl M

M²

M²

2    2pilf    2    2pt/²

Sâ-y-.

8 J

*Y

Et après simplification il reste :

p\x'²

d’où

x'²

Pi

Enfin , si on dispose la courbe comme (fig. 94), la dénomination des axes étant changée, on arrive à la formule générale :

! !”

r/

Fig. 94

Pi

y'² =

qui n’est autre que la forme connue :

y- = ± 2px.

Donc, toutes les courbes représentant les moments de rupture des poutres, sont des paraboles ou des arcs de paraboles. Le paramètre de ces paraboles ne dépend absolument que

1 1

Po

Pi

du poids uniformément réparti ; il est — ou — . La'courbe

est indépendante de la longueur de la poutre, et si les surcharges étaient les mêmes dans les deux travées du tablier, les courbes de flexion seraient la même parabole, dont l’axe vertical serait simplement déplacé par rapport aux axes des travées.

Les moments fléchissants sont positifs, s’ils sont au-dessus de Taxe des X et négatifs s’ils sont au-dessous de cet axe. Les moments maxima sur les piles sont positifs et les moments maxima dans les travées sont négatifs. Il y a donc un point où ces moments passent par zéro et sont nuis; ce sont les points où la courbe rencontre l’axe horizontal ; on les trouverait aisément en faisant jx = 0 dans l’équation

(+¥)•

et l’on aurait alors

h M, \ ²    2M,.

pPi

Pt

h_ JVh 2 1^

les deux valeurs de x donnent les deux points où la courbe coupe l’axe des X.

Nous aurons, pour le cas qui nous occupe, quatre paraboles différentes : deux pour la première travée et deux pour la seconde. (Voir tableau ci-devant, fig. 90, 91 et 92.)

Dans la première travée, on construira la courbe de surcharge

¹

oMo -f- 2(/o H⁻ /j)Mi + /1M2 — ~7~Po^o —\~P^\•)

Mais

²

X =: 761207 -+

1

pourlaquellela distancedu foyerà la directrice est ^ jq-q- , en

prenant l’ordonnée du sommet la plus grande des trois hypothèses ; soit pour la troisième un y total de Mi-t-Ho = 1457984 + 567514 = 2025498.

Le point n est le sommet de la courbe, et Vx correspondant à cet y est

34%20 —11,837 = 22m,363

On a ainsi le sommet n, 1 axe, et le point o de la parabole ; on a même un point m symétrique du point o ; c’est-à-dire tous

les éléments nécessaires pour cons- ------____

truire la parabole par l’un des pro- '    1 :

cédés qui ont été employés dans l’étude des ponts à une seule travée.

Ayant construit cette courbe, on découpe un patron sur papier fort et on trace les paraboles passant par les points a, £, c — d, e, / de la première et troisième hypothèse. (Fig. 90 et 92 du tableau.) [Voir aussi planche 11.J

On opérera ainsi pour les quatre courbes en superposant les trois hypothèses, et, en ayant soin de renverser les moments négatifs, sur la partie de la figure située au-dessus de l’horizontale des appuis, on obtiendra l’épure des moments fléchissants tracée (pl. 11), que l’on inscrira dans un polygone de moments résistants suffisants. Ces moments résistants se déterminent par le calcul des moments d’inertie de la poutre et varient selon les caprices de la courbe enveloppante de tous les moments fléchissants.

On trouve ainsi que la section nette de la poutre avec une seule semelle de 11

22,3£3

■*l

—Zo2S$$&__

'Tl

Fig. 95

mm

sur les talons des cornières donne un

— = 0,0612.

(Voir fig. 96.)

Avec deux semelles de 11%

i- = 0,07787. v

Avec trois de 11%

1"

— = 0,09451.

Le qui, pour la première travée, fait travailler le métal à

834220 94510

par millim. carré.

Avec 4 semelles de 11%

V"

— = 0,1111.

Avec 5 semelles de 11%

/£ü<

[*

lûtuaao_

= 8%, 82

San

Iiv

-= 0,12779.

ü'V

Alors, au milieu de la deuxième travée, la fatigue moléculaire de l’acier est de

k-

.u

1197820

= 9k,37

Ma_

127790 par millimètre carré.

Avec 6 semelles de 11%

— = 0,1445.

vy

SJ

Et enfin, avec 7 semelles de 11%

k------

_*_£2<2___

Fig. 96.

Ivi

-= 0,16155.

vvi

= 9kg,02.

Sur la pile le métal travaille donc à 1457984

161550

Les moments résistants se déterminent toujours comme il a été dit au projet du pont-route de 16m,00 d’ouverture, page 108.

Ma = — X8,5xl0⁹.

V

L’acier travaillant à 8kg,5 par millim. carré, les longueurs des semelles seront déterminées sur l’épure de flexion (pi. 11) pour la condition que le polygone des moments résistants enveloppe les courbes des moments fléchissants dans les trois hypothèses.

VIII. — Efforts tranchants et calcul des barres de treillis.

r*

Fig. 97

Le tableau des pages 167 et 168 fait connaître les efforts tranchants sur les appuis de chaque travée et pour chaque hypothèse. Ainsi, le maximum de ces efforts est E de 193 810ks en A sur la pile et de 133 809ks en B, sur la culée de droite (voir fig. 97 ci-contre).

En faisant intervenir les considérations de la charge roulante s’avançant progressivement sur la travée, il conviendra de se rappeler que les efforts tranchants partent de zéro sur un appui et atteignent le maximum sur l’appui opposé par lequel se fait la sortie du train. Ainsi, pages 48, 49 et 50, on a déterminé les lignes représentatives de ces efforts tranchants, mais ici le problème est trop compliqué et on a recours, pour les déterminer rapidement, à une méthode donnant avec certitude les efforts réels. Pour cela M. Gollignon (dans les Annales des Ponts et chaussées, de janvier 1889, page 125) les représente par les lignes droites AF et BE (fig. 97). C’est donc ce que l’on fera sur l’épure de la planche 11. Mais comme ces efforts sont ici équilibrés par les six barres de treillis qui se trouvent dans une section quelconque normale à la poutre et que ces barres sont inclinées à 45° sur l’horizontale, l’effort f suivant chaque barre sur la culée est

Ai

= 46162kg,

195810

6 X cos 45° ~ 6X0,707 pour le côté gauche de la pile, et de

a;

= 32015^,

f' =

135809

6 cos 45° ~ 6X0,707

pour la culée de droite.

De sorte que les lignes AF et BE peuvent être remplacées par les droites AH et BG (voir pl. 11), qui représentent les efforts de compression directs sur une barre et pour chaque point de la portée.

Enfin, comme l’effort tranchant est constant entre deux

TRAVAIL des rivets d’attache

5kK,51

4,82

4,91

90*9

4,99

4,47

NOMBRE de rivets d’attache

21 rivets de 22

18 rivets de 22

13 rivets de 22

13 rivets de 22

12 rivets de 22

10 rivets de 22

TRAVAIL

par

millimètre carré

6ks,69

6,00

6,23

6,12

3,90

6,00

SECTION nette de la barre

en millimètres carrés

6 578

5 504

4494

4082

3 945

3000

COMPOSITION de la barre

*T“1

A-h"—--"    —*

*■* OOXOO UJOJ *

tff

-,

.i

00£~

-2 5o

T**- 3

-2 5o----4

K----OZZ-----»i

EFFORTS suivant chaque barre

^000 Ÿt⁷

33 000

28000

25000

22 300

18000

Effort tranchant maximum dans

ces panneaux

s>iO 18 861

159000

12200

116253

106000

00098

NUMÉROS

des

panneaux

8, 9,10 et 11

7,12,13 et 20

6, 19

1, 14 et 18

2,3,o,7 et 15

4 et 16

pièces de pont contigües, on sait que ces deux lignes peuvent elles - mêmes être remplacées par le contour en gradin GIJKLMNOPQRSH, et c’est d’après les indications de ces efforts directs sur une barre de treillis que Ton a dressé le tableau ci-devant qui résume les résultats donnés par l’épure et les calculs. Il donne pour chaque panneau :

1° L’effort tranchant maximum qui s’y développe ;

2° L’effort sur chaque barre et suivant sa direction ;

3° La composition de chaque barre et sa section en millimètres carrés ;

4° Le travail moléculaire de chaque barre ;

5° Le travail des rivets qui attachent chacune de ces barres.

Ce tableau indique que les treillis travaillent de 6 à 6kg,70, 6kg,70 au maximum, vers les appuis où les efforts de compression ou de tension sont toujours dirigés dans le même sens, et à 6kg dans la section médiane de la poutre où les efforts changent de sens.

On remarquera enfin que l’emploi des lignes droites représentatives des efforts tranchants ne déterminera une légère augmentation de la dimension des barres et par suite dans le poids du métal, que dans la partie médiane de la poutre. Mais cette augmentation, dont l’importance s’atténue à mesure que l'on approche des appuis, ne saurait dépasser 1/8 à 1/10 de la valeur réelle pour l’ensemble de la paroi verticale.

On peut donc admettre sans hésitation une augmentation aussi faible dans le poids des barres d’une minime fraction du treillis, pour s’assurer qu’en aucun point de la poutre, la résistance dont elle est capable ne descendra au-dessous de la limite que pourrait atteindre l’effort tranchant.

IX. — Travail des rivets fixant les tables sur les cornières.

Soit h la hauteur de la poutre, considérée entre les talons des cornières longitudinales. L’effort tranchant A en un point quelconque de la poutre, produit à l’unité de distance, un moment Axl ; celui-ci détermine en a et b, aux talons des cornières, un couple de forces f, qui tendent à faire glisser les cornières le long des semelles, donc on a :

Les rivets qui fixent les cornières aux âmes de la poutre subissent un travail de cisaillement un peu plus grand.

En effet, la hauteur de la poutre entre les lignes des rivets qui fixent les cornières sur les âmes n’est que de 3m,99, donc

f' =

= 49075kg,

195810

3,99

et le travail des rivets en acier est alors :

= 6ks,69 par millimètre carré.

f=~-

' h

La résistance de la rivure doit faire équilibre à cette force.

Si nous appliquons cette formule sur la pile où l’effort tranchant est maximum et égal a,    à 195810 kilog., on a :

= 47760kg.

rf

ou

d’où

195810

4,10

Or, sur un mètre de longueur, la table est reliée aux cornières par une double ligne de 9 rivets en acier très doux de 23 millimètres de diamè-

L — JM___J

Fig. 98

tre; ces 18 rivets donnent une section totale:

o = 415,4x18 = 7477 millimètres carrés. Le travail du métal sera donc :

47 760

7477

— 6k8,38 par millimètre carré.

49075

7477

Il n’y a que 9 rivets par mètre courant de poutre, pour fixer les cornières sur les âmes, mais ces rivets travaillent au double cisaillement.

Remarque. — Il est admis que dans toutes les parties d’une

4

poutre le travail des rivets doit être maintenu aux — seulement du travail des pièces qu’ils assemblent, parce que les rivets sont déjà soumis à un travail de tension, provenant du retrait qui s’est opéré dans le métal, après leur pose à chaud.

X. — Calcul des appuis.

Les appuis ont été calculés pour faire travailler les sommiers en pierre de taille à un maximum de 25 kilog. par centimètre carré. L’application de la formule spécialement employée dans les petits ponts pour déterminer les dimensions de ces appuis (page 118), donnerait ici des résultats beaucoup trop forts.

L’appui sur pile a lm,60 de longueur sur 0m,95 de largeur à la base.

Or, la pression sur la pile est égale à la somme des efforts tranchants maxima

AJ,-h At = 181140 4-195810 = 376950k8,

d'où

R' =

376950

160x95

= 24k8,80 par centimètre carré.

= 18k8,17 par centimètre carré.

Les appuis sur culées ont lm,15 de longueur sur 0m,65 de largeur, ce qui, pour la pierre, donne un travail maximum 135809

115X65

XL — Détermination du diamètre des rouleaux de dilatation.

on

En se posant comme condition que les appuis reposeront sur 7 rouleaux de 0m,550 de longueur, on peut rechercher le diamètre qu’il convient de donner à ces pièces, pour que le métal ne subisse pas de déformation permanente. L’effort tranchant maximum sur la culée étant 135809 kilog. peut admettre qu’avec le mode d’appui à rotule, qui a été adopté, la pression totale se répartit également sur chacun des rouleaux.

Leur diamètre sera donc calculé pour résister à une charge

de

135809

= 19401k= = Q.

Le rayon du rouleau se déterminera alors par la formule :

PASCAL. — PONTS MÉTAL!,,

2 = 9_ EQ2 ?    64X/²R³'

C‘)

Et la corde AB suivant laquelle a lieu le contact complet

des deux surfaces est déterminée par la formule

a = 0,073?\

__________

Dans ces formules :

4-——_>!

E est le coefficient d’élasticité du métal des appuis et des rouleaux.

Fig. 99

R est le coefficient de résis-

dant à ce coefficient d’élasticité.

tance avec sécurité correspon

/ la longueur des rouleaux.

Q la pression sur le rouleau. r le rayon du rouleau.

Ainsi, si tous ces appareils sont en fonte on a :

E = (9X10*)

et

R = 3 xTÔ⁹

(Voirpage 11).

Et la formule (7) donnerait :

r = 0,0000068 0-

et pour l’application à ce cas r = 0,0000068 X

= 0m,21,

49401

0,55

soit 0m,420 de diamètre pour les rouleaux.

Mais si les appuis et les rouleaux sont en acier moulé, et c’est le cas présent, alors.

E = (22 x 10⁹) environ

et

R = 42x10°-

La formule (7) donne alors : 22x10⁹    Q²

— "s/ ___

3 ^    72

64 X (12000000)

ou

r = 0,00000134 --

remplaçant :

r = 0,00000134 X

19401

0,55

= 0m,0473.

Pour être dans de bonnes conditions pratiques de roulement, il a été adopté r = 0m,075 soit un diamètre de 150 millim. On aurait pour la corde de contact

a = 0,073 X 0,075 = 0m,00545.

Il est aisé de vérifier que ce résultat est vraisemblable. En effet, sur les 0“,550 de longueur du rouleau il y aura une surface de contact totale de

5,45x550 = 3008 millim. carrés.

A 12 kilog. par millim. le travail résistant est de 3008x12 = 36096kg.

Et le rouleau n’est chargé que de 19401 kilog. seulement.

XII. — Résistance de la 'poutre à l’écrasement sur les appuis.

1° Sur la pile. — La réaction verticale qui tend à écraser la poutre est égale à la somme des efforts tranchants maxima déterminés par la troisième hypothèse ; cette réaction a été

l*~

i+JetL

i oeves-

JS

___nziL-r-

Fig. 100

-SJ

-F

fc

JSM.

__

Fig. 101

h

JS

------jj

trouvée égale à 376 950 kilog., elle est transmise par l’appui à la poutre, dont la section horizontale, à l’aplomb de cet appui, présente la forme de la figure 100 et une surface totale :

Ame . .

Cornières

Nervures

1200X11 = 13200 12X185x15 = 33300 6X200X16 = 19200

Q == 65 700 mill.c.

d’où

= 5ke,89 par millim. carré.

376950

65700

2° Sur la culée. — La réaction verticale sur la culée est égale à l’effort tranchant maximum A', = 135809**.

La section horizontale du panneau sur cet appui est (fig. 101 ).

Ame. . . Cornières Nervures.

. .    950x H = 10450

. . 6x185x15 = 16650 . . 2x200x16 = 6400

ü = 33500 mill. c.

d’où

135809

33500

= 4kff, 05 par millim. carré.

XIII. — Stabilité du pont en cas d'ouragan.

D’après l’article 5 du règlement ministériel, la pression du vent, par mètre carré de surface verticale peut s’élever à 270ke dans les tempêtes, ce qui, en appelant S la surface totale d’une poutre maîtresse comptée en mètres carrés et S₀ la surface des vides de cette même paroi, donne une pression

(1)

270kg(S — Se)

Le vent est supposé agir intégralement sur cette première paroi, directement exposée au vent.

Sur la deuxième poutre maîtresse, en appelant toujours S la surface totale et S„ la surface de ses vides, cette pression du vent ne sera plus que de

(2)

270(S — Sv) •

de sorte que l’effort total d’un vent d’ouragan agissant avec l’intensité de 270ks par mètre carré sera, pour l’ensemble des deux poutres :

• (3)

270(S — S,-)bl g—1

Le treillis étant assez serré dans le cas présent, on supposera, pour simplifier les calculs, que la formule (3) peut se réduire à 270 S pour l’etfort total, (maximum qui ne sera jamais atteint).

Par conséquent, l’effort par mètre courant de tablier serait :

pk₈ _ 270 X4m,30X 1,00 = llGlkg.

(En supposant que la hauteur totale de la poutre est de 4m,30, au lieu de 4m,15, pour tenir compte de la surface que le garde-corps oppose lui-même au vent.)

Pour toute la longueur du tablier, qui a 76m,00, la pression totale du vent est donc de

1161X76 = 82256X8.

Pour résister à cet effort transversal, qui tendra à faire glisser le tablier sur ses appuis, il faudra que ceux-ci et les galets de dilatation soient disposés avec des rebords pour s’opposer à ce glissement transversal, à moins que le poids propre du tablier ne s’oppose à ce glissement, ce qui peut toujours se vérifier.

Il faudra aussi que les appuis inférieurs soient convenablement fixés dans les sommiers en pierre de taille par des boulons de dimensions suffisantes.

Or, le poids total du tablier est, par hypothèse, 76(1900x2) = 288 800kK.

En prenant 0,18 comme coefficient de frottement du fer sur la fonte, l’effort horizontal qui serait nécessaire pour faire glisser transversalement le pont sur ses appuis, serait : 288800X0,18 = 51 984k®.

Comme l’effort du vent est de 88256ks, c’est-à-dire supérieur à 51984ke, on comprend qu’il faut absolument disposer les appuis avec des rebords pour que le pont ne puisse pas glisser transversalement. Dans ce cas, on boulonne la table inférieure de la poutre sur les appuis.

En dehors de cette considération, il y a lieu d’examiner si, sous l’action d’un vent d’ouragan, le tablier ne pourrait pas osciller sur ses appuis et être renversé, comme il est indiqué à la fig. 102 ci-contre.

^_____F_

//

\i

1

0/

Fig. 102

Un pareil mouvement s’exécuterait sous l’action de la force F égale à la pression du vent sur la facede la poutre, agissant avec un bras de levier l égal à la demi-hauteur de cette poutre, plus la

hauteur des appuis, soit pour le cas présent l = 2m,55.

Or, on a trouvé ci-dessus

F = 1 16P+

d’où le moment de renversement pourrait être, par mètre courant de poutre :

1161 X 2,55 = 2960.

-= 4m,135 = L.

Le moment de stabilité, qui fera équilibre à cette tendance au renversement, sera donné par une force Q égale au poids propre, par mètre courant de tablier, soit 3800 kil., agissant avec un bras de levier égal à la demi-largeur de ce tablier, soit 7,85-h 0,42

Ce moment de stabilité serait

3800 X 4,135 = 15713,

c’est-à-dire, de beaucoup supérieur à 2900.

La stabilité du tablier est assurée contre l’action de tout ouragan ; il restera donc simplement, comme il est dit ci-dessus, à empêcher son glissement transversal.

Remarque. — Pour en finir avec l’étude de ce premier projet de tablier à deux travées, remarquons que si les deux travées avaient été égales, les calculs auraient été simplifiés. On aurait eu /p = /, = / = 38,n,00 et la formule des trois moments

/„M₀ “F 2(/₀ -h h)M, -F fiMa — — (p₀l"o “F pjî)

serait devenue

4/M, = (p₀ -hp^ —-,

d’où

M, =

(Po -F PiV'

-—7- 5

16

valeur plus simple pour le moment sur la pile.

La charge permanente eût été égale à 1 900k^ dans les deux travées.

Quant à la surcharge applicable dans les calculs des deux travées de 38'\00, elle eût été de 6000+

Et alors on avait

p ₌ 1000 + 6000 = 7900ks

pour la poutre chargée.

XIV. — Calcul des maîtresses poutres : méthode de statique graphique. (PI. 42.)

Dans cette méthode, on supposera encore que les poutres sont soumises aux charges permanentes et aux surcharges virtuelles uniformément réparties indiquées dans les calculs qui précèdent, c’est-à-dire à une charge permanente de 1900ks par mètre courant dans les deux travées; à une surcharge de 6 200kspour la travée de 34m,20, et de 5800k° pour la travée de 41m,80. D’après ces données, on établira

<r----

i ⁻T

k--

_l .1*..

¥ "4-r Jf —~lt\

—UaL-

-->r₇--

Soi

Fig. 103

des épures pour chacune des trois hypothèses envisagées ci-dessus, et les résultats de ces épures devront être les mêmes que ceux qui viennent d’être trouvés par les calculs.

Bien qu’il n’entre pas dans le cadre de cet ouvrage de faire une étude théorique de chaque méthode, nous croyons néanmoins, avant d’indiquer le tracé pratique des épures qui vont suivre, devoir éclairer ce tracé par quelques renseignements théoriques très succints.

Si AB et BG (fig. 103) sont deux travées consécutives d’un pont à poutre continue de trois ou quatre travées, que AB soit une travée de rive dont l’appui A est une culée, et que B et G soient des appuis intermédiaires, supposons que la poutre soit coupée sur tous ses appuis. Il est facile, dès lors, de tracer, pour chaque travée rendue ainsi indépendante, le polygone funiculaire, dont les ordonnées sont proportionnelles aux moments fléchissants correspondant à des charges quelconques. Ces moments, dont on peut facilement déterminer les surfaces, sont représentés par les polygones : AcB, dont le centre de gravité est en G₀, pour la travée de rive AB de portée /₀, et BdC, dont le centre de gravité est en Gi, pour la deuxième travée BC, de portée 4, comprise entre deux piles.

La continuité de la poutre ne modifie pas le contour du polygone funiculaire, mais engendre des moments positifs BE = Mi et GF = M₂ sur les appuis, qui ont pour effet de déplacer la ligne à partir de laquelle les ordonnées sont à mesurer.

La combinaison des moments positifs et des moments négatifs donne les moments réels qui sont en général négatifs vers le milieu des travées et positifs dans le voisinage et sur les appuis. Les surfaces des moments négatifs sont indiquées par des hachures horizontales, et les surfaces des moments positifs, par des hachures inclinées (f).

Les moments positifs engendrés dans les diverses sections sont :

1° Le triangle ABE qui a son centre de gravité en g situé à une distance ~ du point B ; 2° Le triangle BEC, qui a son

centre de gravité en g' situé à une distance kr du point B,

O

et le triangle GBF, qui a son centre de gravité en g" à une distance ~ du point G.

O

Chaque travée est donc comme soumise à plusieurs éléments qui ont des effets inverses dans la forme de la ligne élastique ou fibre moyenne de la poutre déformée.

Dans la travée de rive, il y a donc l’élément négatif AcB, qui est comme une force verticale de haut en bas appliquée au centre de gravité Go et l’élément positif, le triangle ABE qui est comme une force verticale de bas en haut appliquée en g.

(1) Les moments positifs sont ceux qui sont comptés au-dessus des lignes AE, EF.

Les moments négatifs sont ceux qui sont comptés au-dessous de ces mêmes lignes.

Dans la travée intermédiaire, il y a trois éléments, un négatif, le polygone B</C, qui est comme une force verticale de haut en bas appliquée en Gi et deux éléments positifs, les triangles BEC et CBF, qui sont comme deux forces verticales de bas en haut, appliquées l’une en g' et l'autre en g".

La somme des deux éléments positifs ÀBE et BEC, situés à droite et à gauche d’une meme pile, est proportionnelle au moment sur la pile et le centre de gravité de la surface totale AEC, il est facile de le déterminer, est situe sur la ligne gg', parallèle à AC, à une distance

mF = —

de la verticale passant par le centre de gravité g'.

La verticale passant par le point F s'appelle, pour cette raison, verticale des tiers intervertis ou verticale adjacente aux appuis. Enfin, les verticales passant par les centres de gravité des 3 triangles désignés ci-dessus c’est-à-dire par le tiers des portées, s’appellent verticales au tiers.

Lorsque les charges quelconques sur les travées se réduisent à des charges uniformément réparties par mètre courant, les polygones funiculaires résultants, deviennent des paraboles et le centre de gravité des segments paraboliques est situé sur la verticale passant par Taxe de la travée.

On pourra donc connaître, par ce qui précède, l’origine des verticales au tiers et des verticales des tiers intervertis, que l’on va voir dans les épures de la planche n° 12.

Construction des épures (pi. 12). — Après avoir indiqué les deux travées à une échelle déterminée dans les figures 1 et 2, et désigné par /₀ la travée de 34m,20 et par h la travée de ilm,80, on trace les verticales des points fixes, représentées par les lignes jf et k/c¹. C’est sur ces verticales que sont situés les points d’inflexion de la ligne élastique. Pour déterminer les points par lesquels on doit mener ces verticales, on trace d’abord les verticales au tiers aa!, bb', dans chaque travée, on mène aussi la verticale adjacente aux appuis ce', passant par le point d, dont la position est déterminée en portant g'd = g B (fig. 1). Ensuite, par le point A, on mène une ligne inclinée quelconque A/', et par le point h où cette ligne coupe la verticale au tiers, on tire AB, que l’on prolonge jusqu’au point z, où elle rencontre la verticale au tiers de la travée /, en joignant fi, on détermine le point fixe /c, sur l’horizontale des appuis. En traçant la lignée*, que l’on prolonge en m, et en joignant mh, on détermine le point fixe j. La position des points j et k par lesquels on trace les verticales des points fixes, est indépendante de la façon dont sont disposées les charges sur la travée; elle ne dépend que de la longueur des travées.

Figure n° 2. — Dans cette ligure, on trace les paraboles des moments fléchissants que produiraient, dans chaque travée, les charges uniformément réparties appliquées dans la méthode PLM ci-dessus, c’est-à-dire ;?₀ = 8100kg et p\ = \ 900ks dans la première hypothèse et les charges de jo₀ = 1 900ks et de 7 700k8=jt>,, dans la deuxième hypothèse, en considérant chacune de ces travées comme isolée et indépendante de sa voisine. Ces paraboles, représentées par les figures AoB et AnB, dans la première travée ont des (lèches

fo =

\ 900 X 34,2(/

= 227 789kgm,

soit 11%,4 à l’échelle des moments, et 8100x34,20'

fi =

= 1184261kffm,

soit 59%,2 pour la travée de gauche.

filles sont aussi représentées par les courbes Bç-G et B/iC et ont des (lèches

1 900 x 41,80²

= 414970kgm,

soit 20%,7 et

7 700X41,80°"

= 1681 718kgm,

soit 84%,07 pour la travée de droite.

On sait aussi, comme on l’a vu pages 23 et 26 que les deux paraboles de la travée de gauche sont les polygones funiculaires d’un nombre infini de côtés, obtenus d’après les polygones des forces RST, U VA, dont les bases représentent les forces indiquées ci-après :

RT = 1900x34,20 = 64980k*

et

UV = 8100x34,20 = 277022K

Les deux paraboles de la travée de droite sont également obtenues d’après les polygones des forces XYZ et X'CZ', dont les bases sont :

XZ = 1900x41,80 = 79420ks ;

X/Z' = 7 700 X 41,80 = 321860^.

On sait, enfin, que les quatre polygones des forces ont même hauteur polaire H égale à 2cm,5 à l’échelle de l’épure. On verra plus loin l’utilité de ces polygones.

Figure 3. — La construction de cette figure a pour but de déterminer le polygone des tangentes à la ligne élastique pour le cas de la première hypothèse considérée à la page 163.

Par le polygone des tangentes on déduit le moment fléchissant sur la pile, ainsi que les moments dans les deux travées.

Cette première hypothèse, suppose que la première travée seule est chargée.

Dans ce cas on sait que /;₀ — 8100ks et que py = 1900ke.

On porte sur la verticale et en dessous de l’appui A, un segment dont la longueur Ai«' est donnée par l’expression générale :

3S₀c?i

Ai a! —

dans laquelle S₀ est l’aire du polygone des moments fléchis-8100X3V2²

(h la distance du centre

sants obtenus par

de gravité de ce polygone à la verticale de l’appui At. Or, dans le cas qui nous occupe, l’aire du polygone des moments fléchissants n’est autre chose que l’aire d'un segment parabolique, dont la flèche est f et la longueur l₀, cette aire a pour valeur

S,;

d'autre part, comme

lo .

di = ——

en remplaçant dans la formule ci-dessus il vient 3x j^«x -y

Ai a' =

C²

= /ï,

c’est-à-dire la flèche de la parabole AwB, soit 59mm,2. Sur la verticale de l’appui Ci, on porte, en dessous, un segment dont la valeur est donnée par la formule générale

3Sk/₂

CyC' =

en prenant la portée de gauche comme base.

Dans cette formule Si représente encore l’aire du polygone

1 900 X il ,80"

et (12 est la distance du centre de gravité de ce polygone à la verticale de l'appui Cj. Comme ce polygone des moments est encore un segment parabolique de flèche f\ et de longueur h ; sa surface est

des moments fléchissants

Si =

d’autre part,

la demi-portée, donc :

C,c' =

2 ., U

tMxt

II

soit en remplaçant les lettres par leurs valeurs :

C,c' = 20,7S(^)

'34,2 /

= 31%,05,

Après avoir ainsi déterminé les points a! et c', on tire aBt et c'Bn que l’on prolonge jusqu’aux verticales aux tiers en b' et d'; on tire ald' et db\ que l’on prolonge jusqu’à leur point de rencontre en M. Comme vérification, ce point de rencontre M doit se trouver sur la verticale des tiers intervertis cc' de la figure 1.

T,a longueur BJ) interceptée par l’oblique a'M sur l’appui

M,

du milieu, représente la valeur de    le moment fléchis-

J*

sant sur la pile, à la môme échelle que les paraboles de la figure 2.

mm

Cette longueur BtD étant de 19 millimètres sur l’épure, on en conclut que le moment sur pile est de 19 x 2 = 38 correspondant à 760000km environ.

En portant BDt = 2BJJ sous la verticale du point B de la figure 2, cette ordonnée BDt représente le moment fléchissant Mi sur la pile, et en joignant ADiCDi, ces deux lignes délimitent, dans chaque parabole An B et B<^C, les moments positifs et les moments négatifs ; ce sont aussi les lignes à partir desquelles les ordonnées sont à mesurer dans chaque parabole.

Les segments paraboliques A/ia, et q$C représentent les moments négatifs dans chaque travée, tandis que la figure polygonale aiBçdJi représente le contour des moments positifs.

On peut même constater que le moment tléchissant maximum négatif dans la première travée est à une distance

x = 14”,33

de l'appui A et égal à l’ordonnée

i'i" = g = 8340Ü0kKm

comme l’ont déterminé les calculs et ainsi qu’on le voit au tableau de la page 167.

De même dans la travée U l’ordonnée négative maximum h'h" est de 121000km et x = 30m,40 tout comme font indiqué les calculs.

Enfin, en prolongeant la ligne D,A dans le polygone des

forces, on détermine sur la base UV deux segments rU et rV, dont le premier représente l’effort tranchant

A₀ = 1 16000kg

sur la culée et le second

A; = 160 000

sur la pile.

De même, en menant par le point Y du polygone des forces XYZ, une parallèle à DjC on détermine sur la base, deux segments

A', = 21500kg.

et

Ai = 57900kg

Avant d’en terminer avec la ligure 3 il convient de signaler qu’en joignant AtNPQ et FC, on complète le polygone des tangentes à la ligne élastique, polygone qui est représenté alors par la ligne brisée AiNPBQFCi.

De même, en prolongeant c'b' jusqu’à la verticale de l’appui central, on obtient, à l'intersection de cette oblique avec la verticale de l’appui un point N qui détermine sur cette verticale, un segment

d’où

"■=²b‘n(ü)î=38s;-

Figure 4. — Cette figure sert, en procédant comme à la figure 3, à déterminer le moment fléchissant sur pile, et les moments dans les deux travées, ainsi que les efforts tranchants sur pile et sur culée, dans la deuxième hypothèse.

Les conditions de cette hypothèse sont que la deuxième travée est seule soumise à la surcharge.

Dans ce cas, ainsi qu’on Fa vu ci-dessus,

f\ = 1681718

et

f₀ = 227789

U = 84%,08.

et

représentés à l’échelle par f₀ = 11%,3

Nota. — La lettre N manque sur la figure 3, mais qu'on se la représente à l’intersection de c'b' prolongé avec la verticale de l’appui B,.

On porte donc les segments Ai a" = f₀ = 11%,3

et

= 84,08X1,222' = f\ = 123%,4.

Avec ces données et en traçant l’épure comme à la figure 3, on obtient

R₂D' =    = 23%,2.

Le double de B₂D' porté en BD, dans l’épure 2 représente un moment de 1050000ksm environ; c’est le moment sur pile dans cette hypothèse.

Enfin, en tirant les lignes ÀD₂ et CD₂ on séparera, dans les paraboles AoB, BjoG les moments positifs des moments négatifs. On peut mesurer ces moments en chaque point, pour se rendre compte qu’ils sont comme les calculs l’ont indiqué. Ces lignes AD, et D₂C déterminent aussi, dans chaque polygone des forces correspondant, les efforts tranchants A₀ — A'₀ et A,—A⁷! résultant de cette surcharge. Elles déterminent enfin ^ et x dans chaque travée.

Figure 5. — Cette figure comme les précédentes permet de trouver la longueur de l’ordonnée qui représente, à l’échelle de la figure, la moitié du moment fléchissant sur la pile.

Dans cette hypothèse les deux travées sont chargées.

On porte donc

C₃c'" = 125%, 4

et

\,a'" = f'₀ = 59%, 2

et on a

Mi

B,t>' = -f

En portant sur la figure 2

BD;, = 2B₃D" = M,

on trouve que

M, = 72%,7

soit

Mi = 1434000kgm

tonnes-mètres environ.

En tirant ADa et CD.) on trouve n et x pour chaque travée, ainsi que les valeurs A₀ — A'₀, A, et A',.

En résumé, tous les résultats obtenus par les procédés de la statique graphique vérifient les résultats obtenus par la méthode des calculs ordinaires. Il ne reste plus maintenant qu’à redresser les polygones des moments fléchissants en portant à partir d’une ligne horizontale les moments en chaque point de la poutre comme il a été fait sur la planche 11, ensuite on enveloppera les courbes des moments fléchissants d’un polygone de moments antilléchissants. On suivra aussi ce qui a été fait pour les efforts tranchants et la détermination des sections des barres de treillis.

Première remarque. — Si au lieu de prendre la travée 4 comme base et de rapporter la travée /, à 4, on avait pris la travée U comme base d’opération,

Les segments kid, A₂«", A₃a'" auraient été exprimés par la formule

'•(*)*

tandis que les segments Cic', C₂c", C₃c"' auraient eu pour valeur /i.

Mi

Dans ce cas, les moments —-y se seraient mesurés en BiN,

à l’intersection des lignes c'b' et c"b" prolongés jusqu’à la verticale des appuis.

Deuxième remarque. —- Dans le calcul de ces fermes longitudinales par la Statique graphique, en prenant dans chaque hypothèse les surcharges virtuelles uniformément réparties par mètre courant., indiquées au tableau de la page 136, nous avons voulu, tout en montrant le procédé graphique, vérifier les calculs de la méthode ordinaire. Mais il serait facile, au lieu d’établir les épures avec ces surcharges, de les établir avec les surcharges réelles, c'est-à-dire celles produites par le passage du train-type. 11 suffisait pour cela de construire pour chacune des portées de 3im,20 et 41m,80, et parla Statique graphique, des épures de moments fléchis-sanls analogues à celles des fîg. 1 et 2 de la pl. 3, dont le tracé a été développé pages 55 et 56.

Aux ordonnées de la courbe obtenue, on ajouterait les ordonnées de la parabole de la charge permanente et on obtiendrait ainsi la courbe exacte des moments fléchissants provenant de la surcharge roulante et de la charge permanente.

Ce sont ces deux courbes qui auraient remplacé les paraboles A?ïB et BjoC de la fîg. 2, pl. 12, et les moments obtenus sur cette courbe, et par les procédés graphiques des figures 3, 4 et 5 seraient alors les moments réellement produits par le passage du train type.

Le procédé graphique permet ce résultat sans aucune complication autre que celle de la recherche exacte des surfaces S'₀ et S'i résultantes, surfaces que Ton pourrait cependant apprécier encore assez exactement, par leur comparaison avec un segment parabolique réel de même flèche.

A₀ = 1 786kg

Troisième remarque. — La faiblesse de l’effort tranchant sur la pile pour la 2e hypothèse, nous

démontre que si on diminuait encore le rapport ~ on

U

risquerait d’avoir A₀ presque nul ce qui serait un danger ; le pont n’aurait plus de charge suffisante sur la culée et pourrait même ne plus s’y appuyer, lorsque la seconde travée seule est chargée.

Pont à trois travées, de 140m,85 d’ouverture totale, pour routes de 7m,50 de largeur (PL 13 et 14).

I. — Description sommaire.

Cet ouvrage aune longueur de 140m,85 entre culées, l’ouverture totale a été divisée en trois travées, dont une centrale de 55 mètres et deux travées extrêmes égales de 44 mètres d’axe à axe des appuis. Le tablier qui est tout en fer,

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

est composé de deux poutres à caisson de 5m,90 de hauteur, espacées de 7m,97 d’axe à axe. Ces poutres sont reliées, à leur partie inférieure, par des pièces de pont de 0m,870 de hauteur, aux écartements de 2m,895, et par des entretoises de 0œ,420 de hauteur à leur partie supérieure, placées au droit des pièces de pont aux écartements de 5m,79. Cinq lignes d’entretoises de0m,400 de hauteur, courent parallèlement aux poutres, sur toute la longueur du tablier et s’attachent aux pièces de pont ; elles supportent quatre rangs de voûtes centrales de 11 centimètres d’épaisseur, sur lesquelles est établie la chaussée et deux autres rangs de voûtes de 6 centimètres d’épaisseur seulement, qui portent les trottoirs. Du dessus de la chaussée au-dessous des entre-toises supérieures, il y a une hauteur libre de 4m,30, qui est réglementaire comme minimum, pour la circulation des voitures. Les tables supérieures des entretoises d’en haut et les tables inférieures des pièces de pont sont contreventées par des cornières en diagonales, qui s’opposent à la déformation du tablier. Chaque poutre principale est formée par deux poutres jumelées, dont les âmes sont à l’écartement de 0m,350, et chaque poutre jumelée a ses membrures distinctes de sa voisine, mais les deux poutres jumelées sont néanmoins assez bien entretoisées par les barres de treillis centrales, pour se solidariser dans le travail. Les âmes courantes des poutres n’ont que 0m,800 de hauteur, cependant les deux âmes inférieures qui bordent le trottoir ont lm,25 de hauteur.

Les barres de treillis qui relient les deux poutres jumelées, travaillent à la compression, et sont de véritables poutrelles en fers plats et cornières. Les barres de treillis qui travaillent à la tension, sont fixées à l’extérieur des parois de la poutre ; ce sont des fers en i_j de différentes forces profilés ou composés.

Des travées. — En général, dans un pont à trois travées ou plus de trois travées, on fait les travées de rive égales entre elles et d’une longueur un peu moindre que la ou les travées centrales ; le rapport est de 4/5 pour les portées de

rive comparées aux travées centrales. Ce rapport est généralement adopté chaque fois que des circonstances forcées n’y viennent pas mettre opposition. Il est très convenable pour l’œil; de plus, il est obligatoire, si l’on veut que les poutres des travées extrêmes aient une section à peu près

Wâ

-------10,17e

ss

fci

Fig. 104

semblable à celle des travées centrales, car celles-ci étant encastrées entre les deux autres, sous des charges égales, leur moment fléchissant est toujours moindre que celui qui se développe dans les travées extrêmes, qui sont simplement appuyées à une de leurs extrémités.

Ce sont ces considérations qui ont fait partager le débouché total en travers de 143 mètres en trois travées, dont la travée centrale a 55 mètres de portée et les travées extrêmes 44 mètres.

Pour le bon effet du coup d’œil d’ensemble de l’ouvrage et pour faciliter l’écoulement des eaux sur la chaussée, on a donné une pente longitudinale de 4 millimètres par mètre aux travées de rive, tandis que la travée, centrale est en palier.

La différence de hauteur des appuis sur pile et sur culée provenant de ce fait est de 0,004 X 44 = 0m,176. Cette différence n’est pas assez importante pour diminuer sensiblement l’exactitude des calculs, qui s’appliquent à une poutre reposant sur des appuis de niveau.

II. — Calcul des entretoises.

.    im,40

/ = 2”,89

Ecartement des entretoises

Portée admise......

La charge permanente par mètre courant comprend :

Voûtes, chaussée et trottoir 1,40x0,48X1800 = 1210k&

80

Métal, poids propre de la pièce.

1290ke — p

Total

Le calcul des entretoises va être établi dans l’hypothèse du passage simultané de deux chariots de 16 tonnes, lorsque ces chariots sont au rapprochement minimum, comme l’indique la figure 106 ci-après. C’est alors, que l’entretoise comprise entre les deux roues centrales, distantes de 0m,55 l’une de l’autre, éprouve la plus grande fatigue.

Dans cette hypothèse, comme le pont est en fer, la fatigue moléculaire des entretoises ne devra pas dépasser un travail

de

5k,50 -+- \ ,00 = 6k,50.

Si à cette hypothèse on substitue celle du passage de deux files de tombereaux de 6 tonnes, avec surcharge des trottoirs, le travail ne doit pas être supérieur à 5k,50.

Or, dans la disposition de la figure n° 106, lorsque les chariots de 16 tonnes sont arrivés au milieu de la portée, cette entretoise subit, à droite et à gauche, l’action combinée de deux roues de 4000ks, qui donnent une charge totale :

Q = (4000X    ^2 = 6428ke.

V    1,40 J

00 *1,0

___

k---

sJJoxJa.

10

•2a-x

Fig. 105

Le moment fléchissant dû à cette surcharge et à la charge uniformément répartie p — 1290k est donc :

PI    pl² _ 6428x2,89    1290X2^9*

M = 4644 + 1347 = 5991k«m.

Ces entretoiscs ont la section ci-dessus (fig. 105) pour laquelle

0,208

= 0,00095,

d’où

3991

= 6k,3i.

Deuxième hypothèse. — Passage des tombereaux de 6 tonnes. Dans ce cas le moment afférent au passage de ces 3

roues est les -j- du moment déterminé par le passage des roues de 4000ks, c’est-à-dire égal à

4644 X-?- = 3 483

et le moment total devient :

M⁷ — 3483    1347 = 4830,

d’où

R' =

4830

= 5k,09.

La surcharge de 400kg par mètre carré donnerait encore un travail moindre. Enfin, l’hypothèse où un tombereau de 11 tonnes et un tombereau de 6 tonnes marcheraient côte à côte, ne donnerait pas de résultat différant sensiblement du passage simultané de deux chariots de 16 tonnes envisagé ci-dessus.

950

III. — Calcul des pièces de pont.

2m,895 7m,60 — /

Ecartement des pièces de pont.

Portée admise dans les calculs

Charge permanente par mètre courant, comprenant

Voûtes, chaussée et trottoir

3180ks = p.

=    678

2,895 x 0,48 x 1 800 = 2502k Métal provenant des entretoises portées par la pièce de pont et de la pièce de pont elle-même

Les hypothèses qui serviront à la détermination de la section seront celles qui seront prévues par la circulaire.

A ce propos, il y a intérêt à commencer par l’hypothèse du passage des chariots de 16 tonnes avec surcharge des trottoirs, ce qui permet la fatigue limite de 6“,50.

Dans cette hypothèse on suppose que deux chariots de 16 tonnes se croisent sur cette pièce de pont et que les deux

roues centrales sont à l’écartement minimum de 0“,55 résultant de la largeur de chaussée occupée par un chariot, largeur qui est de 2m,25 pour un écartement de 1“,70 ( Voir la circulaire ministérielle). Alors, les 4 roues pesant 4 000*s chacune, occupent la position indiquée par la figure n° 106 ci-dessous et donnent sur l’appui une réaction qui a pour valeur

q = 4000X2 = 8000**.

De sorte que le moment ou milieu de la portée et résultant de ces surcharges roulantes a pour valeur

4000(0™,275-4-0“,275 h- 1“,70) = 21400*6“.

ib = 8000 ^

?!

4ofo* 4&00* hûOO* *4000*

Fig. 106

La largeur des trottoirs étant de 1“,30, la surcharge de 400ks sur chaque trottoir, produit entre les deux un moment fléchissant constant, qui a pour valeur :

M>' =

1 30²

2,895 X 400 X-^— = 1957ke“.

Le moment Jb" au milieu de la portée et dû à la charge permanente est :

22960*6“.

JM," = Pl ₌ 3180x7'⁶°² ₌

Le moment fléchissant total au milieu de la portée est

donc

M = 21400 -h 1957 4-22960 = 46317*6™. ,

La section ci-contre de la poutre en son milieu, donne, avec les 2 semelles :

°î-

~-«ef

— = 0,00774

d’où

jaaxiaiLs

10

46317

= 5k*m,98

7740

par millimètre carré.

L’épure de flexion ci-après, détermine la longueur de la deuxième semelle de 9mm, étant donné, que le

r

rapport — avec une seule semelle de 9

•»>

.SSa.

mm

sur cornières est :

javM~- U

-— ---------!

JZCL____>1

«J •n

= 0,00570.

Fig. 107

Hypothèse du remplacement des chariots de 16 tonnes par des tombereaux de 6 tonnes :

Dans cette hypothèse, le moment fléchissant maximum se

•t

_____________h?JÇt£a.____________

P

If

fi

Jm*=S03i0p

11 * 6*50 F

ovr

le--

■Jto

Fig. 108

produit lorsque les deux tombereaux de 6 tonnes sont encore dans la position de la figure 106, sur la même pièce de pont; alors le moment résultant, étant proportionnel au rapport du poids des roues du tombereau au poids des roues du chariot, on a

M = 21400 X -4- = 16050

d’où

M = 16050-M 957 h-22960 = 40967**“

IC

LES PONTS MÉTALLIQUES

R = 5,98X

40967

s= 5\26.

46317

On sait qu’en effet dans cette hypothèse, R ne doit pas dépasser 5k,50.

IV. — Calcul des maîtresses poufres. Portées

l₀ — 4 — 44“,

Charge permanente par V Métal mètre courant de pou-

tre

4 = 5om.

Maîtresses poutres, pièces de pont et longerons , contrevente-

ment, etc.....

! Chaussées, voûtes et trottoirs

0,48X7,60X1800. . . . 6566

Total..... 10066ke

3 500k8

Soit en nombre rond 10100k8.

On a vu page 121, que la plus grande fatigue, pour un pont de cette ouverture, était produite par le passage de deux files de chariots de 16 tonnes attelés chacun, de 8 chevaux sur deux files. Dans cette hypothèse* et aux termes du règlement, le travail du métal ne devra pas dépasser 7k,50.

Comme le calcul des poutres continues à plusieurs travées est laborieux et qu’il serait trop long de le recommencer pour toutes les hypothèses de surcharge, on se contentera de déterminer la section des poutres pour le travail maximum qu’elles doivent éprouver sous le passage des chariots de 16 tonnes et on démontrera que dans tous les autres cas de surcharges, visés par l’article 17 du règlement, ce travail n'est pas supérieur à 6k,50.

De plus, sur des portées aussi grandes, les charges des véhicules et des chevaux, sont relativement rapprochées les unes des autres, il en résulte qu’on altère très peu les résultats en remplaçant les charges roulantes par une charge virtuelle uniformément répartie à déterminer convenablement. Les épures se simplifient beaucoup et l’étude des charges défavorables, devient plus facile.

Pour déterminer la charge uniformément répartie, qui équivaut à la charge roulante, nous allons d’abord construire répure ci-dessous (fig. 109) qui donne les plus grands moments fléchissants produits dans des tabliers de 44 et 55 mètres de portée, par le passage d’une double file de chariots de 16 tonnes à deux essieux et attelés chacun de 8 chevaux.

On trouve, d’après cette épure, que le moment maximum produit par ces chariots est de 980000kgl" environ, pour la travée de 55 mètres et de 640000 pour la travée de 44 mètres; de plus, on remarque que les courbes engendrées sont sensiblement des paraboles. Gela confirme ce qui a été dit à l’avant-dernier paragraphe qui précède.

Courbe de flexion produite par le passage des chariots de 16 tonnes.

lil2

•16

,6‘k

1l'2

£S”.

____

I

u'UJ _H-£T

y___

SM

te

JLi

-4.khc.Z- JJzïl

%-

St*⁻

ho

______________________

Echelles :

Longueurs 0m,0l pour o mètres. Forces 0m,01 pour 20 tonnes. Hauteur polaire H = 0m,04. Moments 0m,01 pour 400 tonnes-mètres. ab = 980000 kilogrammètres. cb = 640 000 kilogrammètres.

Fig. 109

A ces moments, il faut ajouter ceux qui proviennent de la surcharge supplémentaire de 400kg par mètre carré de

trottoir. Pour chaque portée, cette surcharge supplémentaire et uniformément répartie est de 2“,60 X 400 = 1040ks par mètre courant de tablier, produisant un moment fléchissant

= 393250“*”,

1040x55*

pour la travée de 55 mètres et un moment 1040x44*

M' =

= 251680“*“,

pour la travée de 44 mètres.

De sorte que le moment total dû à la surcharge considérée

est

H = 980000 + 393250 = 1373250“*“, pour la travée de 55 mètres et de

tu' = 640000-1-251680 = 891680“*“, pour les travées de 44 mètres.

On en conclura que la charge uniformément répartie par mètre courant qui, dans la travée de 55 mètres, produit le même effet que la surcharge roulante et la surcharge des trottoirs est de

= 3530“*,

1373250X8

pour la portée de 55 mètres, et de 891680x8

©' =

—2

= 3683“*,

44

pour la portée de 44 mètres.

Comme on a forcé un peu la charge permanente, on peut adopter 3600ks comme moyenne dans les 3 travées.

De sorte que le total de la charge et de la surcharge à considérer, pour l’ensemble des deux poutres sera de 10100 + 3600 = 13700“*

= 6850“*

par mètre courant de tablier et de 13700

par mètre courant de poutre, tandis que la charge perma-

nente seule par mètre courant de poutre sera iOlOO

= 5050^.

Telles sont les données qui vont servir de base à la détermination des moments fléchissants et des efforts tranchants sur piles et dans les travées. Par les indications qui précèdent, et pour des travées aussi grandes, on voit combien la surcharge roulante est peu importante par rapport à la somme de la charge permanente et de la surcharge des trottoirs, et combien, par conséquent, on s’écarte peu de la vérité en traduisant la charge de chaque travée par une charge virtuelle uniformément répartie par mètre courant, engendrant une parabole.

En reprenant les deux premières formules d’application du théorème des trois moments données aux pages 154 et 155, et posant :

fo

/g — Yll\ — 4*

d’où

^ 1

Enfin remarquant que M₀ = 0 et M₃ — 0,

Les deux premières formules deviennent

2(nh 4- h)Mi 4- /,M, = — (p₀n³li 4- Pil'l), hMi 4- 2(/| 4- n/j)M2 ⁼ ~t~ (Pi^j ■+■    .

■4

La résolution de ces deux équations par rapport aux deux inconnues M. et M₂ donne

l\ 2(n¹ 4- n:))p₀ 4- (2n 4- i)pt — n³p²

— T” X

2° La deuxième travée seule chargée.

3° Les deux travées contiguës seules chargées.

Ces trois hypothèses représentées par le diagramme

ci-contre (tig. 110) com-Mj    prennent    les    condi -

-,    tions les    plus    défavo

rables pour le travail du métal.

On pourrait faire les deux autres hypothèses 4    suivantes :

4° La troisième travée seule chargée.

5» Les deux dernières travées seules chargées.

Mais ces hypothèses 4 et 5 donneraient des résultats symétriques aux deux premières 1 et 3; il suffira d’en tenir compte dans l’épure.

Première hypothèse. — La première travée seule chargée.

p₁ = p₂ — 5050ker.

Ta

* — la.

Mi

- •*!

Ll-

Fig. 110

Mz

Pz

-n-

Lz

p₀ = 6850*%

Iq = 4 = 4tm.00.

h = 55m,00.

44

Z, ÜT = °’⁸°-

Sur la première pile, l’application des formules 1 et 2 ci-devant, donne :

M, =

55²    2(0,8* h-0,8³)68504- (2x0,8-h 1)5030—0,8''x5050

4 X 0,8³ 4- 8x0.8 -+- 3

= 1 454948k«,n

.    35J

et M₂ =-x

2(0,8*-t-0,8³)5050-t- (2x0,8-P 1)3030 — 0,8*x0850

4 x 0,8³ -4- 8 x 0,8 -h 3

= i 193895ks,n.

Première travée. — La détermination du moment lléchis-sant en un point de la première travée est toujours donnée par la formule générale (n° 2 page 155) qui, pour cette travée, sera de la forme :

p. = Mo H

p₀xi

M’ =Ü! \x

Dans cette formule M₀ = 0 et p devient maximum

pour

44

1454048

donc

2 p₀l₀

2    6850X44

= 17ni, 17 3,

H- =

6850xl7,173²

(■

6850x44    1454048

44

17,173 = —1006140^"*.

Efforts tranchants. — De gauche :

A₀ —

= 117401kB.

p₀l₀ M, 6850X44    1454048

44

De droite :

A'₀ = p₀/₀ —A₀ = 6850x44— 117401 = 184099*6. Deuxième travée :

P = Mi -+

ptx²

Pih

M₂ — M

i.

qui devient maximum pour

= 28m,400

/, M₂ — M, 55    1193895 — 1454948

pJi

5050x55

d’où

p — 1454948 h—

5050 x 28400*

5050x55

1193895— 1454948

55

) 28,400 = — 566944ku’m.

Efforts tranchants. — De gauche :

= 143639kE.

Ai =

5 050 X 55    1193895 — 1454 948

55

De droite :

A', = 5050 X 5o — 143639 == 13411 lke.

Troisième travée :

P2X²

^=M2-+ ₂

Pzh

M₃ —M₂

et comme M₃ = 0,

P —p M₂ —)—

P*x²

P'i 4    M

5050x44    1193895

44

27,506 = — 698759k^m. = 138234ks,

A', = 5050x44 — 138234 = 83966ks.

En continuant les calculs pour les deux autres hypothèses on déterminerait tous les éléments nécessaires pour la construction des épures des moments fléchissants, et des efforts tranchants, mais on va continuer la détermination de ces éléments par l’application de la Statique graphique. Cette méthode pourra présenter une certaine économie de temps, et vérifier en même temps, les calculs de la première hypothèse.

V. — Détermination des Moments fléchissants et des efforts tranchants par la statique graph ique (pl. 14).

En se reportant à la méthode expliquée et suivie pour le pont précédent, on construira dans la figure n°2 les 6 paraboles des moments fléchissants que produiraient les charges uniformément réparties de 6850ks et 5 050^, dans chaque travée, considérée comme isolée.

Ces charges donnent, dans les travées de 44m, des moments

6850 X 44"

= 1657700^'“

= 1222100k*m

et devient maximum pour I2 M->    44

æ = T⁴⁻ ’pfü ⁼ T

1 193895

5050x44

= 27-,373,

donc

H = 1193895 +

5050x27,373"

5050x44    1193895

44

pour la charge et la surcharge et de 5050x44*

pour la charge permanente seulement. Les moments sont indiqués à l’échelle de 1 centimètre pour 400 tonnes-mètres sur la figure et représentés, le premier, par une parabole de

41®/m,44 de flèche et le second, par une parabole de 30“/“,55 de flèche.

De même, dans la travée centrale, le moment fléchissant maximum pour le cas de charge et surcharge est de

= 2590156ksm ;

6850X5T

représenté par une flèche

f= 64%,75

et le moment maximum du à la charge permanente seule

est

5050 X55*

= 1909530k&m,

représenté par une flèche

f{ — 47%, 74.

Remarquons eu passant que sur 6 paraboles, il n’y en a en réalité que deux qui diffèrent entre elles : celles qui ont

pour paramètre

6 850

Donc, avec les patrons des grandes courbes, tracées

et celles qui ont pour paramètre

5050*

dans les travées centrales, on pourra tracer également les grandes courbes des travées de rive. De même, le patron de la petite parabole de la travée centrale servira à tracer les petites paraboles des travées de rive.

Nous rappelons, comme on l’a fait observer au pont à 2 travées, que les courbes des travées de rive sont aussi les polygones funiculaires obtenus à l’aide des polygones des forces, RST, UVQ, dont les bases ont été divisées en un grand nombre de parties égales et ces bases ont pour valeurs :

RT = p'o/o = 6850X44 = 301440“*

et

UV = p₀lo = 5050X44 = 222200“*.

Il en est de même des polygones XYZ et X'Y'U', dont les bases sont

et

XZ = p[h = 6850X55 = 376750“* X'Z' = pji = 5050x55 = 277 750“*

et détermineraient les deux courbes de la travée centrale. Ces polygones ont même hauteur polaire H = 4e/m.

Fig. 3. — Cette figure a pour but de déterminer les quatre points fixes F₀FiF'i et F₂ en suivant le procédé indiqué au pont précédent, procédé que Fon complétera, pour la travée centrale, en menant les lignes inclinées FiG et F'jH par les points Fi et F'j une fois déterminés.

Fig. 4. — Première hypothèse de surcharge. Après avoir tracé les quatre verticales au tiers, les deux verticales adjacentes et les quatre verticales des points fixes, on détermine, par un procédé analogue à celui qui a été décrit, les moments fléchissants sur les appuis, en même temps que le polygone des tangentes à la ligne élastique, pour le cas de la première hypothèse de surcharge, c’est-à-dire la première travée seule chargée.

pt = p₂ = 5030kp.

et

Dans ce cas, on sait que pQ = 6850kg

On porte sur la verticale et en dessous le l’appui A₂ un segment dont la longueur Aid' est déduite de l’expression générale

3S₀ofi

A ₂a' =

pour le cas d’une figure polygonale. Or, pour le cas d’un segment parabolique, on sait que

tfl =

et alors

A₂a' = fQ = 41%, 44.

Sur la verticale de l’appui D₂, on porte aussi Ds(f = ft — 30% ,55,

c’est la flèche de la parabole correspondante à la charge permanente, dans la 3e travée. Dans la travée centrale on porte, au dessous des points B₂ et C₂ des segments B₂B₃, O-Ca égaux entre eux et ayant chacun pour longueur

74%,59

“ = 47,74 X î^5a =

puisque la flèche de la parabole delà charge permanente est de 47m/m,74 dans cette travée et que nous prenons comme base d’échelle, pour ces segments la travée l₀ = 44m = /₂.

Après avoir tiré les lignes a'b et d’g ainsi que les lignes croisées B₂C₃ et C₂B₃, on porte, sur les verticales des points fixes de la travée centrale, des segments bh et gi respectivement égaux aux segments b¹ h! et g'i', découpés par les lignes croisées, sur les verticales des points fixes.

En tirant ik et /«/, passant par les points B₂, C₂ puis im et hn, enfin dm et d'n, puis en déterminant, comme il a été dit plus haut, le polygone des tangentes à la ligne élastique, on remarquera que les lignes dm et d'n déterminent, sur les verticales des appuis, des segments B₂G et C₂E respectivement' égaux à la moitié des moments fléchissants Mi et M₂ sur ces piles.

Dans la figure 2 on porte

CH = 2C₂E = M₂.

et

Bl = 2B₂C = Mt

M₂ = 1193 800k§m

et

Ce sont les moments Mj = 1454900ksm

trouvés précédemment parle calcul.

Enfin, en joignant AI, IH et HD ; ces 3 lignes limitent, dans chaque travée, les moments positifs et les moments négatifs ; elles y déterminent aussi les valeurs de x et de jj. telles qu’on les a trouvées par le calcul.

D’autre part, en menant, dans les polygones des forces RST, XYZ' et UQV de la figure 2, des parallèles aux lignes AI, IH, HD, on détermine les efforts tranchants A₀ et A'„, pour la travée /₀ ; Ai et A7 pour la travée centrale ; enfin A2 et A'-₂ pour la travée h non chargée.

La figure 4 donne aussi comme vérification

Figure5. — Cette figure sert à déterminer les résultats recherchés dans la figure 4, pour l’hypothèse de « la deuxième travée seule chargée y).

Dans ce cas, la flèche de la première travée est fo — 30% ,5 ;

celle de la seconde

A = 64,7

et celle de la troisième

A = 30“, 5.

On porte les segments verticaux

A ₃a" = 30%,5 = D₃«f et B₃X et C₃Y égaux entre eux et à

f^J= 64,75X1,25* = 101%, 17,

puis on tire les lignes croisées B₂Y et C₂X.

Elles déterminent, sur les verticales des points fixes, les segments rs et lu, que l’on porte respecti vement en vx et yz, pour déterminer les points x et 2.

. M2 et T

On peut alors tracer les lignes principales zm! et xn', qui permettent de terminer la construction de toute la figure et le polygone des tangentes.

sur les ver-

On obtient ainsi les segments —~

ticales des appuis, etc..., et, tous les éléments nécessaires pour compléter la figure 2 par le tracé des droites AI' — IH' et H'D.

Fig. 6. — Solution de l’hypothèse. Les deux premières travées seules sont chargées.

Ici le segment

A*a'" = A = 41%,4;

le segment

D 4" = A = 30%,5

et enfin les segments vixx et yiZi sont respectivement égaux aux précédents vx et yz.

Par suite, l’ordonnée

Mt

et l’ordonnée

M,

GdA — —g- ’

permettent de compléter la figure 2.

Avec les résultats déterminés par ces trois hypothèses, on pourra dresser le tableau suivant, qui contient tous les éléments nécessaires à la construction de l’épure définitive des moments fléchissants et des moments anti-fléchissants (fig. n° 1, PL 14).

Première hypothèse. — La première travée seule chargée.

p₀ = 6850kg,

Mi = 1454948kgm,

Pi — pi — 5050kg,

M, = 1193895kgm.

'P H

3e Travée.

— 27”,37,

= — 698759kgm, = 138234kg,

= 83966kg.

lre Travée, x = 17m,l7,

;x = — 1006l40kgm, A₀ = 117401kg,

A'₀ = 184099kg.

2⁹ Travée.

= 28m,40,

= — 566944kgm, Ai = 143639kg,

Ai = 134111kg.

Deuxième hypothèse. — La deuxième travée seule chargée. p O = P2 = 5050kg,

Mi = 1540000kgm,

x = 27ra,50,

^ = — 1040000kgm,

Ai = 188375kg,

Al = 18837okg.

x = I6m,00,

[X = — 384000kgm, A₀ = 78200kg,

A'₀ = 144000kg.

pi = 6850kg,

Ms = 1540000kgra.

x = 28ra,00,

[x = — 560000kgm, A₂ = 144000kg, a; = 78200kg.

Troisième hypothèse. — Les deux premières travées seules chargée.

Po = Pi = 6850kg, Mt = 1760000ksm,

Pi = 5030kg,

M₂ = 1480000kgm.

x — 28m,00,

fx = — 600000k*m,

Ai = 142000kg, a; = 80200kg.

On a remarqué que dans la figure 2, les lignes de partage des moments positifs des moments négatifs sont inclinées par rapport à l'horizontale, comme cette disposition créerait une grande difficulté pour l’établissement des moments résistants, la figure 1 de la Pl. 14 a pour but de compter ces moments à partir de l’horizontale et de tracer les paraboles de flexion, comme il a été indiqué au pont de deux travées.

Les deux grands patrons qui ont servi à tracer les deux paraboles de la travée centrale, serviront au tracé de toutes

t = 16m,30,

[x = — 890000kgm, A₀ = 110500ks,

A; = 191000kg.

x = 28ra,00,

[x = — 960000kgm, Ai = 195 000kg,

Ai = 181750kg.

les courbes, dont le tableau indique les valeurs des x, c’est-à-dire les distances des sommets à la verticale de l’appui voisin de gauche.

La construction du polygone des moments résistants ou anti-fléchissants se fera comme d’usage, en ayant soin de donner aux poutres les mêmes résistances sur la deuxième pile et dans la troisième travée, que celles qui ont été trouvées nécessaires par l’étude de la première et de la troisième hypothèse. Cette disposition est obligatoire, pour satisfaire aux deux hypothèses 4 et 5 qui n’ont pas été étudiées, mais qui donneraient des résultats identiques à la première et à la

troisième du tableau ci-devant.

ï

AO

La recherche des moments d’inertie de la poutre donne les résultats suivants, pour la section nette.

10

Avec une seule semelle de 10% sur cornières

— = 0,14278

v

pour les deux sections jumelées.

Ce qui, au milieu des travées donne un travail maximum

f----

1040000

oon

= 7k°,39

!    I

______>’

Fig. 1U.

Avec trois semelles de 10%

142 780 par millim. carré.

Avec deux semelles de 10%

— = 0,17461.

v'

-V = 0,20644.

v'

Avec quatre semelles de 10%

4 = 0,2382. v

Les trous de rivets ont 23m/m de diamètre.

1760000

Avec quatre semelles de 10m/m d’épaisseur, le travail maximum sur piles est

R =

= 7k39.

238200

Les moments résistants indiqués sur l’épure n° 1, ont été obtenus pour une fatigue moléculaire de 7k,5 par millim. carré en résolvant la formule

Mr = — X7,5X10⁹. v

Les longueurs de semelles sont déterminées comme d’habitude.

Il y a lieu de remarquer que chaque poutre à caisson est composée de deux poutrelles jumelées, comme l’indique la section, (fig. 111) et que ces poutres jumelées sont intimement reliées entre elles, par les barres de treillis comprises entre les deux âmes et par un gousset normal à ces deux âmes et placé au droit et dans le prolongement de chaque pièce de pont. Cette disposition de maîtresse poutre ainsi dédoublée est récente ; elle donne de la facilité à la fabrication, et ne permet pas à l’eau ou à la neige de s’accumuler dans le caisson inférieur, comme si la table était d’une seule largeur de 680m/m.

Avec une table d’une seule largeur, comme on a construit les poutres à double paroi jusqu’à ce jour, on était souvent obligé, pour faciliter l’écoulement des eaux, qui s’accumulaient dans le fond du caisson inférieur, de percer des trous dans le milieu de la largeur des tôles. On arrivait ainsi à diminuer notablement la section de la table et sa résistance.

YI. — Calcul des barres de treillis.

L’effort tranchant maximum dans une travée est de 195 000ks près de la 2e pile ; cet effort est équilibré par quatre barres de treillis, dont deux à l’intérieur des poutres, en forme de fers H composés et deux à l’extérieur des poutres en forme de fers en i_i également composés d’une âme et de cornières.

L’inclinaison des treillis étant de 45°, chaque barre est

NUMÉROS des panneaux

EFFORT

tranchant maximum dans chaque barre

COMPOSITION

de la barre

SECTION

nette de la barre en millimètres carrés

TRAVAIL

par millimètre carré

NOMBRE de rivets d’attache

TRAVAIL des rivets d’attache

OBSERVATIONS

kg

^-3tïï3t-

_î_

kg

Mli 68000

1,2,3, |

4 et 5 J 2\3'et4'

ri

--74Æ.

N4.--

L____________J

14375    4,73

40 rivets de 22“/“

pleine

38 000

al*

7018x2

soit

14038

4,84

20 rivets de 22m/m

our

chaque barre

L'

9i

51000

10143    5,02

30 rivets de 22“/“

4,51

Poutre

pleine

6,7,8 5',6', 7

1/_______3Sû__

51000

«Zo* *3

«—'    J

4600x2

. -v

soit

ifc.___2&2____V

9200

5,54

15 rivets de 22“/“

il

our

4,51

cnaque

barre

40200

«n

8230    4,88

28 rivets de 20“/“

4,57

Poutre

pleine

9, 10

Kr

J&L

8'

40200

4000x2

soit

•«_______*!

8000

14 rivets de 20“/“ 5,00 pour chaque barre

4,57

31000

5600

9', 10' 11', 12' et 13'

5,52

22 rivets de 20“/“

4,49

Poutre

en

treillis

i«

Jt£û.

31000

"UJH

Ù- —2æ<2^ — -il

3000X2

soit

600C

5,16

11 rivets de 20“/“ pour chaque barre

4,49

soumise à un effort maximum

= 68953kg.

195000

4 cos 45°    4x0,707

= 41513kg,

Dans les travées de rive il est de 117 401 4X0,707

au maximum pour chaque barre et près des culées. Enfin, la troisième hypothèse, donne un maximum de

= 67 539kg,

191000

4X0,707

dans chaque travée de rive près des appuis.

Après avoir, pour les raisons énoncées au projet précédent, remplacé les lignes obliques représentant les efforts dans chaque barre, par des lignes en gradin, on dresse le tableau ci-dessus, qui indique le travail de chaque barre, dans les diverses parties de la longueur des poutres.

VII. — Travail des poutres sous l'action d'une surcharge uniformément répartie de 400kf par mètre cctrré.

La surcharge de 400kg par mètre carré, répartie sur tout le pont, qui a une largeur de 7m,60 serait de 400x7,60 = 3040^

par mètre courant de tablier ; cette surcharge, ajoutée à la charge permanente de 10100kg déjà trouvée, donnerait un total de

= 6570^

10100 + 3040

par mètre courant de poutre.

Or, la surcharge maximum produite par le passage des chariots de 16 tonnes a été trouvée équivalente à une charge uniformément répartie de 6850kff, chiffre supérieur à 6570kg.

= 0,959.

Donc le rapport des moments fléchissants que produirait la surcharge de 400kg, aux moments fléchissants que produit le passage des chariots de 16 tonnes est sensiblement le même que celui de 6570ke à 6850kg, soit 6570

6850

Par suite, le travail des fers dans les deux cas, sera dans le rapport de 1 à 0,959.

En résumé, dans le cas où la surcharge roulante produite par les chariots de 16 tonnes est remplacée par la surcharge de 400kg, les poutres travaillent à

sur les piles, et à

7,39x0,959 = 7^,08

7,39x0,959 = 7**,08 dans la travée centrale.

Cette fatigue moléculaire dépasse un peu le coefficient de 6kg,50 indiqué par l’article 2 du règlement, mais on remarquera que le même article autorise à dépasser légèrement le coefficient pour le cas où, comme celui qui nous occupe, la portée dépasse 30 mètres.

VIII. — Détermination approximative de la flèche dans une travée.

Quelle que soit la travée, la flèche maximum se produira toujours au point où le moment fléchissant est maximum. Si l’on considère la première travée de gauche, la flèche

se mesurera donc au sommet de la parabole, en d, dans la première hypothèse.

Pour la calculer, considérons le point b symétrique du point a par rapport à l’axe de cette courbe ; la poutre de portée ab pourra être considérée comme simplement appuyée en a et b, et son moment fléchissant en d pourra alors s’obtenir par la formule

= 1006140.

<-----

_.jL______

Fig. U 2

b\

pl²

La flèche f en d sera donnée par la formule habituelle :

5/>/*

384EI

Si l’on remplace, en posant

E = 16X10°,

p = 6850kff,

/ = 17,17x2 = 34m,34,

— V = 0,14278    = °>⁴²¹²»

on a

= 0m,0184.

5x6850x34,34"

384 x 16000000000 x 0,4212 Mais pour tenir compte de l’abaissement de la poutre depuis l’appui de droite jusqu’au point b, on augmentera

la valeur de f trouvée ci-dessus, de la quantité —-, de

sorte que la flèche totale sera très approximativement

0 0184

0,0184+    — = 0m,0207;

O

quoique approximative, cette façon de déterminer la flèche est suffisante pour la pratique.

Dans une travée intermédiaire, on la calculerait à peu

f

près de la même façon en augmentant f de -L-, pour tenir

compte du double abaissement de la poutre, à droite et à gauche, depuis les appuis jusqu’aux points où le moment fléchissant est nul.

Il est bien évident que la flèche permanente, qui est une fraction de la flèche totale est égale à la flèche totale multipliée par le rapport de la charge permanente 5050kg à la charge totale de 6850kg comprenant la charge permanente et la surcharge.

La flèche due à la charge permanente seule serait donc ici de

= 0,0152.

0,0207 X

5050 6850

de

La flèche supplémentaire due à la surcharge seule est donc 0,0207 — 0,0152 = 0m,0055.

Lorsqu'on procède aux essais d'un pont métallique, on mesure ordinairement la flèche produite par la surcharge au moyen de Y enregistreur système Rabut dont il est parlé page 236.

Il faut donc toujours, dans la note de calcul accompagnant les projets des ponts métalliques, déterminer les flèches produites par le passage des surcharges.

Ces mesures de flèches se font en exécution de l'article 9, § 5, du règlement ministériel.

On pourra aussi les calculer par le procédé graphique,

i,

h"—

le

31

4' 5'

2,

13

__

---

JLVI

__ Hv__

H’

H"‘

H"

-5-1

—>!

-x

k---

__JE____

_Iî__

-->)

Ci

MO

---H

15

u , /y y

n £ 19

Fig. 113

ZI

indiqué, pages 39 à 41, pour la poulie encastrée à ses extrémités. Il suffira pour cela de tracer le polygone funiculaire représentant la déformation de la poutre, d’après un polygone de forces du type de la figure 113 ci-dessus, dans lequel les éléments de surfaces sont portés de bas en haut, si ces surfaces appartiennent à des moments positifs, et de haut en bas, si elles appartiennent à des moments négatifs. De plus, ces forces seront portées à des distances polaires, H, II',

H",

, Hvn, si la poutre, au point considéré, est munie de , sept semelles ; c’est-à-dire des hauteurs

de la poutre aux points

une, deux, trois,

polaires proportionnelles aux —,

où sont pris les éléments de surface des moments fléchissants, comme dans l’épure du pont à deux travées de la Planche 11.

— La flèche totale des poutres de ponts métalliques est en général de un demi-millimètre à huit dixièmes de millimètre par mètre de portée.

IX. — Résistance des poutres à Vécrasement sur les appuis.

1° Sur la pile. — En ce point, le maximum de la réaction verticale est :

A'o-hKt = 191000 + 195000 = 386000+

La section horizontale de la poutre à l’aplomb de la pile donne, d’après la fig.

114 ci-contre :

£2 — 71000%²,

—inox

-1$

*5

d’où

386000

(——----

----J___iT&i

= 5kg,29 ;

71000 2° Sur la culée : La réaction verticale sur culée est égale à l’effort tranchant maximum.

r i .9 ox9 g-a5 i

____*

Fig. 114.

A₀ = 117401+

La section horizontale du panneau correspondant à cet appui donne

q == 49640 millimètres carrés,

d’où

117401

49640

= 2kg,37.

X. — Des appuis. — Les dimensions des appuis ont été calculées pour que les sommiers en pierre travaillent environ à 25ks par centimètre carré au maximum.

Sur les piles, la charge totale étant de 386000*+ la base

d’application de l’appui à 1m,860 de long sur 1m, 10 de large,

M<V

soit une surface de 186x110 = 18600 cent. car. d’où

386000

= 20kf?,80

Ma

TJ

18600 par centimètre carré. Sur la culée on a

12

70,

Fig. 115.

A₀ = 117401kff.

La base de l’appui a lm,30 de long sur 1 mètre de large, soit

130X 100 = 13000 centimètres carrés, donc 117401

= 9ke,03 par centimètre carré.

Les bases des appuis sont emprisonnées dans un cadre en fixé sur la maçonnerie au moyen de

13000

100x80

cornières de boulons de scellement.

La partie supérieure de l’appui fixe posé sur pile est la

12

o~—•(-!)

y///.

7/A

7a

fl

Fig. 116

même que celle des appuis mobiles, mais la partie inférieure est d’une seule pièce en fonte.

Les rouleaux sont en fonte, et ils ont été calculés comme précédemment.

Les deux types d’appuis employés pour ces deux projets ont un avantage sur le modèle qui figure dans le pont de 18 mètres étudié précédemment (pi. 8).

En effet, dans le mode d’appui ci-devant (fig. 116), qui est le plus simple possible, la pression totale Q se répartit sur chacun des rouleaux, à peu près suivant les ordonnées d’une ligne droite ab ; la somme des ordonnées de cette droite étant égale à Q ; le dernier galet de gauche ne supporte presque pas de charge, tandis que le galet de droite, près du bord de la culée, est le plus chargé.

Les appareils de roulement travaillent donc inégalement et comme les diamètres doivent être calculés d’après le galet plus chargé, les calculs conduisent toujours à

donner un grand diamètre aux galets et à--

répartir la charge sur un grand nombre.

_ noon Oi

yïïiliüfe

Le système ci-contre à genouillère, présente l’avantage de répartir également ^,— la pression sur chaque galet, et de faci-liter, en outre, la flexion de la poutre sur l’appui fixé sous la table.

Fig. U7

Reste à examiner le choix du type de galets.

Le galet complètement cylindrique employé dans le premier projet, tient en largeur un espace plus grand que le galet méplat employé dans le dernier projet, partant, il faut une plus grande longueur d’appui avec le galet complètement cylindrique qu’avec le galet méplat. Cependant, il serait impossible d’employer le galet méplat pour une poutre qui, étant d’une grande longueur, aurait un allongement de dilatation de 0m,lo0 à 0m,200 à chaque extrémité; ce type de galet ne permettrait pas ce déplacement.

Dans ce dernier projet, l’allongement pour dilatation sur pile, en supposant une variation de température de 50° serait d'environ :

(55 -+- 44)0,000012 X 50 = 0m,0594.

Pour en terminer avec la question des appuis, faisons remarquer que la clavette C à portée supérieure arrondie des appuis des types de la planche 13, ou la rotule des appuis de la planche 10, sont souvent remplacées par un mandrin en acier à section complètement circulaire de 100 à 180 de diamètre, s’encastrant par moitié dans chaque appui et terminé à chaque extrémité par une tête faisant saillie sur les joues de ces appuis.

§ III

Calculs de résistance des poutres pendant le lançage du tablier.

Les poutres continues se mettent facilement en place par lançage, comme l’indique la figure n° 118 ci-contre, mais pendant cette opération, il se développe des efforts, notamment dans les barres de treillis, qu’il est bon de contrôler et qui conduisent quelquefois au renforcement partiel de ces barres.

Les membrures ont à résister à une flexion que Lon peut déterminer aisément par la recherche du moment fléchissant maximum ; les barres de treillis, de leur côté, ont à résister à la réaction de l’appui, lorsque leur attache passe sur les

SS™

Fig. 118

galets de roulement. Or, le moment fléchissant maximum se développe lorsque le porte à faux atteint lui-même son maximum, c’est-à-dire lorsque la tête du tablier va atteindre la deuxième pile.

Dans cette position, la poutre a environ 54m6t de porte à faux et le moment sur pile est :

= 25ol50ksm,

1 750ks étant le demi-poids du métal par mètre courant de tablier.

La section de la poutre, qui n’a en cet endroit qu'une seule semelle à la membrure donne

1730 X54²

— = 0,14278,

d’où :

255150

= lk,79.

142780

Par la connaissance du moment sur la pile et à l’aide d’un

patron de parabole d’un paramètre égal à

on peut

1 750 ’

facilement tracer les courbes représentatives des moments fléchissants sur toute la longueur de la poutre, comme il est indiqué à la partie supérieure de la figure 118.

On déterminera le travail des barres de treillis en remarquant que la réaction sur la pile n’est autre chose que la somme des efforts tranchants de droite et de gauche sur l’appui. Or, ce dernier peut être au maximum de 1 750 X 44 et celui de droite est égal à 1 750 X 54 ; cette réaction est donc au maximum :

1750(44 + 54) = 169750kg.

Soit par barre et dans la direction d’une barre un effort : 169750 4x0,707

Sur le tableau de la page 214, on voit que cet effort est inférieur à celui qu’ont à subir les barres des panneaux qui sont situés près des piles sous la charge du tablier. En conséquence, pendant le lançage du pont, le travail des barres de treillis sera inférieur à 4ks,73.

Sous l’action du porte à faux, la tête du pont s’abaissera d’une quantité égale à la flèche qu’il est bon de connaître pour disposer convenablement les appuis.

Cette flèche sera facile à déterminer par la formule

= 60000^.

8EI

dans laquelle on fera l = 54m

et

p = 1750+

CHAPITRE SEPTIÈME

PONT EN ARC A LONGERON DROIT ET TYMPANS RIGIDES

(Planche 15)

Ce pont, pour route de 4m,00 de largeur a 10m,00 d’ouverture, est constitué par trois fermes longitudinales à tympans rigides, semblables à celle de la figure 1 ; espacées de 2m,00 et réunies entre elles par des entretoises fixées au droit des montants. Le tablier est recouvert d’un platelage en bois de chêne et les quatre mètres de largeur de voie comprennent une chaussée de 2'n,S0 et deux trottoirs de 0m,75 de largeur chacun.

Les calculs vont être faits pour le cas seulement de la surcharge uniformément répartie de 400kg par mètre carré, soit 800ks par mètre courant de ferme. Le poids propre du tablier se décompose comme suit, par mètre courant de ferme :

Total. 600k°.

Métal = 170X2 Platelage 260k Les entretoises étant à l'écartement de 2m,00, la charge totale au droit de chaque montant est de

400 X 2 4- 600 = 1400ek = P.

La détermination de la réaction des appuis est basée sur l'invariabilité de la corde AB, grâce à la fixité des appuis et des culées, et sur l’hypothèse d’une articulation au sommet C

de l’arc parabolique ACB, comme si le pont avait trois articulations, l’une au point G et une sur chaque appui.

Avec ces hypothèses et la connaissance des forces verticales indiquées à chaque nœud de la ferme, la statique graphique déterminera les efforts dans chaque partie des membrures, dans les montants et dans les barres de treillis.

L’articulation à la clé existe quelquefois réellement dans la pratique et alors la détermination des efforts dans les membrures n’en est que plus exacte.

Revenant à notre projet, remarquons que chacune des charges P appliquées au droit des montants de la demi-travée de droite, détermine deux réactions, l’une dirigée suivant AC prolongé et l’autre, suivant la droite qui joint l’appui B au point d’intersection de AG prolongé avec la verticale de l’axe du montant, considéré, soit aux points a, b, c, d, e.

Ainsi, la force appliquée au montant a, se décompose en deux, ai et aj, qui sont les deux réactions cherchées, celle du point b est également équilibrée par les deux réactions bk et bl et ainsi de suite. Comme celle qui est appliquée en X, est directement annulée par la réaction de l’appui, on n’en tiendra aucun compte; en sorte que la réaction totale des charges appliquées sur la demi-travée de droite se déterminera par la construction suivante :

Sur une verticale DO (fig. 2), on porte, à une échelle donnée et de haut en has, les forces Ddy — diCi. —    — bYa' et a'o

égales chacune à 1 400kg et par les points D — dx — ci — bi et a! ainsi déterminés on mène, du côté gauche de DO, des parallèles à AG. Ensuite, par le point o, on mène oa" parallèle à B a, puis a"b" parallèle à B b, ..., enfin d"e" parallèle à BC; les lignes oa", a!'b" ... d"e" représentent les réactions de l’appui B sous l’action de toutes les charges de la demi-travée de droite. En effet, en se reportant aux problèmes que nous avons traités dans les pages 9 à 14 on remarque que le triangle al'b'b" par exemple, est un polygone fermé, dont deux côtés sont parallèles aux directions des composantes de la force P agissant sur l’entretoise du point I, c’est-à-dire, que la force verticale P ou b'a" a pour composantes les deux forces b'a" et b'b" qui sont les réactions de cette force sur les appuis A

15

PASCAL. — PONTS MÉTAL!..

et B. On remarquera encore que parmi ces deux réactions, il n’y a que la première qui concerne l’appui B et que la seconde b'b" se rapporte à l’appui A. Il en est de môme du polygone Oa"a! par rapport à la charge appliquée au montant 1 ; oa" est la réaction de l’appui B et a!al' la réaction de l’appui A.

En conséquence et par analogie, les charges P qui sont sur la demi-travée de gauche de la poutre, déterminent sur l’appui B, des réactions que nous connaissons déjà, mais qui sont dirigées suivant BC.

Il suffit donc de compléter la ligne polygonale oa"b"c''d"e" représentant les réactions des charges de la demi-travée de droite, par une ligne indiquant en grandeur et en direction les réactions des charges de la demi-travée de gauche, sur le même appui B. Cela se fait en prolongeant d"e" et en portant à la suite, les longueurs 1, 2, 3 et 4, respectivement égales à al'a!, b"b\ d'd et d"d' et en remarquant enfin que la réaction d'd de la charge au milieu de la travée est égale à la réaction d"d', mais se fait sentir sur l’appui A.

D’après ce qu’on a vu dans les éléments de statique graphique traités au commencement du chapitre II, la ligne de fermeture OM de ce polygone des réactions partielles, représente, en grandeur et en direction, la résultante des réactions sur l’appui B, de toutes les charges agissant sur la ferme. Cette résultante est ici de 16 000k8 environ, et l’horizontale OP, menée par le point 0 et limitée à la verticale du point M représente la poussée sur les culées.

La décomposition de la réaction totale OM en efforts agissant dans les différentes pièces de la poutre se fait ensuite par la méthode Crémona, qui consiste à partir de l’appui B et aller de nœud en nœud, jusqu’au milieu de la portée, et, en exprimant que chaque nœud de la figure 1 ou 3 est individuellement en équilibre. Les forces sont alors déterminées, pour chaque nœud, parla construction de polygones, comme il a été indiqué aux pages 13 à 16.

Ainsi, au nœud B, qui subit l’action directe de la réaction R, cette réaction donne naissance à deux composantes dirigées suivant les lignes 1 et 2 ; autrement dit, la résultante des efforts agissant dans les barres 1 et 2 doit être égale en grandeur et opposée en direction à la réaction R, Ce polygone est représenté par le triangle (fig. 4), dont un côté représente, en grandeur et en direction, la réaction R de l’appui R et dont les deux autres côtés sont parallèles aux directions des barres 1 et 2.

En supposant que les côtés de ce triangle soient parcourus par des forces dans un sens ininterrompu, les côtés 1 et 2 représentent les grandeurs des forces 1 et 2, qui tiennent la force R en équilibre.

Il est bon de distinguer, au fur et à mesure du tracé des figures qui vont suivre, les efforts de compression des efforts d’extension ; or, la force 1 s’écarte du sommet R, tandis que la force 2 est dirigée vers ce sommet. C’est l’extension qui a une tendance à attirer ce sommet, tandis que c’est la compression qui s'y dirige ; le montant 1 travaille donc à l’extension, tandis que la barre 2 est comprimée.

Avant d’aller plus loin, remarquons que la charge totale P de 1 400k8, afférente à chaque montant, a été divisée en deux parties, dont l’une, de 99Ukg, égale aux 2/3 de P, est supposée appliquée aux nœuds du longeron supérieur de la ferme, et dont l’autre, d’une valeur de 410kg, est supposée appliquée aux nœuds de la membrure de l’arc.

Les efforts au nœud B étant déterminés, nous passons au nœud X auquel aboutissent les forces 1, 3 et 4.

Remarquons à ce sujet, que la force verticale de —,y--

JL

appliquée au sommet de la barre 1, s’ajoute à l’intensité de

990

(fig. S) et nous

l’effort 1, pour donner une intensité lq—-

pouvons alors construire le polygone (fig. 5), dont les côtés sont dénommés parles forces qu’ils représentent. Cette figure sert à déterminer l’intensité et la direction des forces 3 et 4, pour que le nœud X soit en équilibre.

Le sens des efforts se trouve comme précédemment, en supposant le triangle parcouru en sens ininterrompu, en partant de la force 1. On arrive à trouver que la barre 4 est soumise à l’extension et la barre 3 soumise à la compression.

En passant ensuite au nœud F, on construit le polygone de la figure 6, dans lequel on connaît l’intensité et la di-

rection des forces représentées par les côtés 2, 3 et la force verticale de 410kS; on détermine ainsi les grandeurs des forces 5 et 6, dont on connaît les directions par les figures 1 et 3. En parcourant le polygone en sens ininterrompu, on remarque que la barre 5 est soumise à l’extension, tandis que la barre 6 est soumise à la compression.

Il y a lieu de remarquer à cet égard que les forces 2 et 3 sont tracées chacune dans le polygone avec une flèche opposée à celle qu’elles avaient dans les diagrammes précédents. Cette disposition est obligatoire, car les flèches doivent être tracées par rapport au nœud F, tandis que plus haut, elles étaient tracées par rapport aux na3uds X et B.

Or, quand une barre fixée à ses deux extrémités est soumise à une extension ou à une compression, les efforts exercés aux deux extrémités sont de sens opposés aux premiers, donc l’effort qu’on trouve pour le sommet supérieur est donc de sens opposé à l’effort qu’on trouve pour le sommet inférieur. En conséquent dans la barre 3, l’effort au sommet supérieur X est opposé à l’effort trouvé au sommet inférieur F. En passant au nœud G, on continuerait, par le même procédé, à déterminer 7 et 8 par le diagramme de la figure 7 et on opérerait ainsi jusqu’au nœud C.

Dans tous ces diagrammes, les barres qui travaillent à l’extension sont indiquées par des traits fins, tandis que les barres soumises à des efforts de compression sont indiquées par des traits de force.

Le polygone de Crémona a été ici divisé en plusieurs parties pour en faciliter la démonstration, mais dans la pratique usuelle, lorsqu’on lit ces figures avec un peu d’habitude, on les groupe en une seule figure n° 8, ainsi que l’on fait couramment aujourd’hui dans les épures des fermes métalliques rigides. Cette figure donne l’intensité des efforts développés dans toutes les barres de la demi-ferme.

On peut ensuite relever, sur le tableau ci-après, les efforts indiqués sur les épures et déterminer aisément les sections de chaque barre, en ayant soin de s’assurer, par la formule de Lœwe, que les pièces soumises à la compression ont une section convenable.

Tableau indiquant les efforts relevés sur les diagrammes, la com position des barres, leur section et leur fatigue moléculaire

NUMEROS

des

EFFORTS

barres

en

kilogrammes

COMPOSITION de la

section des barres

SUKJb al.K

SECTION

en

TRAVAIL

millimètres

carrés

en

1* ilog.

—125ke

60 X 60

Corn.

Cornière 63 X65

684

0k19

et 2 semelles

JL

4 084

4,00

+ 158

de 140 X 8 60 X 60

Cornière

684

0,24

— 1 000

Corn.

60X60

et semelle

JL

2 278

0,44

— 300

de 130X7

60 X 60

+ 16833

Corn.

Cornière

b

65X65

et 2 semelles

JL

684

0,44

4 084

4,11

-a

+ 2166

de 140 X 8

60 X 60

Cornière

684

3,17

00

- 2 583

Corn.

60X60

et semelle

CO

— 100

de 130 X 7

60 X 60

JL

2278

1,13

+ 17916

Corn.

Cornière

6

65 X 65

et 2 semelles

6S4

1,46

+ 2 000

de 140 x 8 60 X 60

JL

4 084

4.38

Ol

- 4250

Coin.

Cornière

6

60 X 60

et semelle

JL

684

2,92

2 278

1,89

CO

— 330

+ 19333

Corn.

130X7 Cornière

6

65X65

60 X60

i_

68 4

0,49

et 2 semelles

JL

4 084

4,70

20 CO

+,3100

— 7 000

de 140x 8

60X60

Cornière

Corn.

60 X 60

et semelle

JL

684

4,33

2278

3,11

r- co

— 1000

de 130 X 7

60 X60

Cornière

684

1,46

+ 22000

Corn.

65 X 63

et 3 semelles

JL.

4 084

4,31

co

+ 5160

de 140 X 3 2 Cornières

60 X60

— 11600

Corn.

60 X 60

JL

1368

et semelle

de 130X7

JL

2278

L. 2

CO 20

II. — Surcharge de poids roulants. — Si l’on veut rechercher le travail du métal sous l’action de charges roulantes, on se borne à indiquer sur chaque montant, la charge permanente puis on place la surcharge de façon que les roues les plus chargées tombent au milieu de la portée. On détermine la charge afférente à chaque montant que l’on ajoute à la charge permanente pour chaque nœud et on trace le polygone des réactions et sa résultante. Cette résultante sert à tracer le diagramme des efforts par la méthode Crémona, comme il a été dit ci-dessus, puis on dresse le tableau des efforts relevés sur ce diagramme. On construit de même un deuxième diagramme d’après une réaction totale obtenue en supposant les roues les plus chargées comprises entre le milieu de la portée et la culée et on dresse un nouveau tableau des efforts. On peut faire une dernière hypothèse en supposant la charge la plus lourde plus rapprochée de la culée. Puis enfin, à l’aide de ces 3 ou 4 tableaux, on établit un tableau définitif sur lequel on ne fait figurer que l’effort maximum auquel est soumis chaque barre et c’est pour cet effort qu’on détermine la section de chacune d’elles :

Pour que la section des efforts dans la membrure de l’arc diminue de l’appui C à la clé, au point C, il faut que la réaction totale de l’appui passe entre les barres 1 et 2, au lieu de passer en dehors, comme dans l’épure de la figure 1. C’est en modifiant la flèche de l’arc par rapport à la portée qu’on arriverait à ce résultat.

1 l

Dans la pratique cette flèche varie de -pj à pr et la

de la

40 a 80

hauteur des fermes à la clef varie de portée.

CHAPITRE HUITIEME

FORMULES, RENSEIGNEMENTS DIVERS, TABLES

¹

n² 4- 8r? 4- 3

h 2(n¹ 4- n³)pi 4- (2w 4- i)pi— w₃p₀    ^

“ TX    4na H- 8n 4- 3

Telles sont les deux formules qui déterminent les moments de rupture sur les appuis dans les diverses hypothèses de-répartition de surcharge.

Les hypothèses à faire pour la distribution de la surcharge sur un pont à trois travées, et dont les travées extrêmes sont égales, sont les suivantes :

1° La première travée seule chargée.

§ I.

Formules donnant les moments de rupture

sur les points d’appui d’une poutre continue.

Nous donnons ci-après, pour mémoire, les quelques formules qui n’ont pas été employées dans le cours de ces études, mais qui s’obtiennent de la même manière, pour les ponts à 2 et 3 travées.

Nous donnons également les formules des moments sur appuis, pour ponts à 4, 5 et 6 travées ; en supposant que ces appuis sont situés sur un même plan horizontal.

Si on prend les mêmes dénominations que précédemment, et faisant

on a

Cas de deux travées égales.

II

M, = -X

Po + Pi _ *i(Po + Pi)

16

et si

on a

= Pt»

m, Mi

Cas de trois travées égales. 12

Mi =    •+■ ³Pi —P*)

12

M2 = -gjj (4p2 -+- 3/>i — p₀) •

Crts r/e quatre travées, /es travées extrêmes étant égales, /es travées intermédiaires étant égales entre elles.

(8n⁴ 4- ln³)p₀ 4- (6n 4-    — (2n 4- l)j0₂ 4- n³p₃

16n² 4- 28n 4- 12

sdsu 4- td[ \ 4- ng) 4- ’c/(p 4- ng) 4- °c/gM —

4n 4- 3

(8n⁴ 4- 7n³)p₃ 4- (6n 4- 5)/?₂ — (2n 4- ï)pi 4- n³p₀

16n² 4- 28n4- 12

17

È/

M₂ = — X

12

m₃ = -fx 4

Cas de cinq travées, les travées extrêmes étant égales, les travées intermédiaires étant égales entre elles.

(30n⁴ 4- 26n³)p₀ 4- (22n 4- 19)pt — (6n 4- 5)p₂ 4- (2n 4-l)/>₃— n*p,t

60n² 4- 104n 4- 45

II

X -4- = ’JM

(8n⁴ -h 7n³)p₀ 4- (8n 4- 7)(2n 4- l)p₁ 4- 2(n -4 l)(6n 4- 5)p₂ — 2(n 4-l)(2n 4-l)jQ₃-t- 2n³(n 4-1 )pt

60n² 4- 10in 4- i5

-r-X

— (8n⁴ -f- 7n³)p₄ 4- (8n -+- 7)(2n h- i)p₃ -+- 2(n 4- l)(6n -h 5)jo₂ — 2(n 4- l)(u2n 4- l)jot 4- 2n³(n 4- 1 )p₀

60n² -h 104n i5

(30n⁴ 4- 26n³)pt 4- (22n h- 19)p₃ — (6n -h 5)p₂ -+- (2n -h — n³p₀

60 n² 4- lOin 4- 45

T*

M⁴ =

Telles sont les formules employées pour les cas qui n’ont pas été étudiés ci-devant.

Les formules pour les ponts ayant plus de cinq travées, sont de plus en plus compliquées, mais on peut simplifier l’étude de ces projets et obtenir des résultats d’une exactitude suffisante pour la pratique, par l’application des formules du cas de cinq travées.

Ainsi, supposons qu’il s’agisse d’un pont à sept travées; dans ce cas, les travées extrêmes sont presque toujours égales entre elles, et les travées centrales égales aussi entre elles. On exécutera les calculs et les épures pour un pont à cinq travées, ayant les mêmes ouvertures extrêmes et les mêmes ouvertures centrales que le pont à sept travées, et on appliquera à celui-ci, les résultats trouvés pour les travées correspondantes du projet à cinq travées. En sorte que les trois travées centrales du pont à sept travées, seront construites avec les résultats qui s’appliquent à la travée centrale du projet à cinq travées.

Les travées extrêmes et contiguës aux travées extrêmes, seront les mêmes dans les deux projets. Cela revient à faire un projet à cinq travées, à le couper par le milieu, et à intercaler trois travées égales à la travée coupée.

§ II.

Considérations générales sur la construction des tabliers métalliques. — Emploi de l’acier.

I. — Les tabliers métalliques que nous venons d’étudier, constituent, par leurs formes généralement adoptées en France, ce qu’on appelle le type du pont français.

Depuis sa première apparition, la poutre droite en treillis a subi diverses variations dans sa forme ; on a d’abord construit les treillis simples sans croisement et formant des triangles isocèles, puis des treillis croisés et plats à mailles très serrées, ces dispositions donnaient peu de rigidité au plan de l’âme de la poutre et beaucoup de prise au vent. On paraît revenir aujourd’hui aux treillis moins serrés, mais formés de barrés en fer profilé, ce qui donne un coup d’oeil plus satisfaisant à la poutre, et augmente la rigidité du plan de l’âme.

Pour qu’un pont soit construit dans de bonnes conditions^

aucun des fers profilés qui entrent dans sa construction ne doit subir de travail de forge. Par conséquent, on ne doit forger ni les cornières ni tout autre fer profilé, dans le but de les faire passer les uns par dessus les autres dans les assemblages; on y supplée par l’emploi des fourrures. Les mêmes prescriptions sont suivies aujourd’hui dans la construction des charpentes métalliques.

Depuis quelques années on emploie beaucoup l’acier dans la construction des ponts métalliques et l’acier Martin-Siemens est très favorable pour les travées de 45 mètres et au-dessus. Au-dessous de ces longueurs, la diminution de poids que produit l’acier est presque compensée par l’augmentation du prix aux 100 kilog. Cependant, au point de vue de la manutention la diminution du poids est avantageuse et, comme les forges commencent à donner les profilés en acier aux prix des profilés en fer, l’emploi de l’acier gagne tous les jours ; l’économie résultant de son emploi tend d’ailleurs à se confirmer.

§ III.

Les plus grands ponts du monde.

Pour donner une idée de l’importance qu’a prise aujourd’hui la construction des ponts métalliques, on trouvera ci-après, avec leurs ouvertures respectives et quelques indications sommaires sur leurs formes, une énumération, par importance, des plus grands ponts métalliques construits depuis peu d’années, ou bien encore en cours de construction-

1° Le pont de Bommel, a des ouvertures de 118 mètres;

2° Le pont sur le Wal près de Nimègues, a des poutres arquées de 127 mètres de portée;

3° Le pont sur le Saltash, a deux travées de 136 mètres de portée ;

4° Le pont sur le Britannia, a des poutres droites de 138 mètres de portée;

5° Le pont de Kulembourg, a des portées de 147m,50;

6° Le pont de Saint-Louis sur le Mississipi, a trois arches de 150 mètres de portée;

7° Le pont de Pouchkepsie, a des poutres droites de 157m,50 de portée ;

8° Le pont sur l’Evre à Montrévault, sur la ligne de Cholet à Nantes, à partir de 160 mètres.

9° Le pont sur le Douro, en Portugal, a un arc parabolique de 165 mètres d’ouverture;

10° Le pont de Gabarit sur la ligne de Marvejols à Neus-sargues, a une travée centrale en arc parabolique de 172 mètres de portée;

11° Le pont sur le Viaur, ligne de Carmaux à Rodez, franchit d’un seul coup 220 mètres, par un arc parabolique avec une articulation aux naissances et à la clef. Les deux travées de rive sont constituées en partie par un encorbeillement solidaire de la travée centrale ; il n’est pas encore livré à l’exploitation ;

12° Le viaduc de Müngstein en Allemagne, a 170 mètres de portée;

13° Le pont de Bonn, pour route, sur le Rhin, a des arcs de 93m,60 et de 187 mètres d’ouverture; il se construit en acier doux ;

14° Sur le Niagara, il y a un pont suspendu de 200 mètres de portée, mais on vient de livrer un autre pont en arc de 256 mètres de portée;

15° Le pont suspendu entre New-York et Brooklyn, a une travée principale de 486 mètres et des travées extrêmes de 283 mètres;

' «

—*..........! r'

ïèï“5o""

5:

•V3

Fig. 119

16° Nous terminons cette nomenclature par le plus formidable de tous, qui a été livré à la circulation depuis quelques années; c’est le pont sur Forth en Ecosse, dont nous donnons le croquis ci-dessus et qui arrive avec des ouvertures de 519 mètres de portée. Ce pont est du système Canti-lever à arcs équilibrés. La partie centrale de la travée est

supportée par un système d’échafaudage métallique, posé sur les piles. On part d’une pile en poussant à droite et à gauche deux demi-arcs qui s’équilibrent à mesure. Au milieu de la travée le demi-arc d’une pile rencontre un demi-arc semblable partant de la pile suivante et poussé à sa rencontre; il s’articule avec lui à la clef.

Ces exemples permettent aux ingénieurs d’envisager comme très possible, la construction d’un pont sur la Manche, avec des portées de 600 à 1 000 mètres, pour franchir les 34 kilomètres qui nous séparent de l’Angleterre. Cette construction gigantesque vaudrait bien mieux que le tunnel dont nos voisins ont empêché jusqu’à ce jour le percement.

§ IV.

Enregistreur de flèches, système Rabut.

Cet appareil sert à mesurer la flèche que prend un point quelconque d’une poutre métallique, sous l’action d’une surcharge roulante ou d'une surcharge accidentelle.

' tije de fixation

Cvhndrt

2.S

20

Fig. 120

Il se compose principalement d'un balancier AC, articulé au point B et inscrivant, sur un cylindre, les variations de position subies par son point d’articulation ou son point d’attache C.

L’extrémité A de ce balancier porte une plume et le bras BC est muni de divers points de fixation permettant d’amplifier, sur le cylindre, des variations 2,5 — 5 — 10 ou 20 fois plus grandes que celles qui sont subies par l’extrémité C.

Mode d'emploi.— Lorsque cet appareil est employé pour mesurer les flèches des poutres des ponts métalliques, il peut se présenter un certain nombre de cas que nous allons examiner :

1er Cas.—Le tablier est établi au-dessus d’un cours d’eau et l¹opérateur est forcé de se placer sur le tablier pour opérer.

ir

Ressort

Fil d'ic.îer

;ua

Ainsi que le représente le croquis ci-contre (fig. 121), à la semelle supérieure de la poutre, et par l’intermédiaire d'un ressort à boudin, on fixe un fil d’acier, dont l’autre extrémité est attachée à un corps mort du poids de 70k environ, que l'on jette dans le lit du cours d’eau. On tend ce fil convenablement, jusqu’à ce que le ressort s’allonge de 100m/m. Après avoir rendu ainsi l’appareil solidaire de la poutre, on fixe solidement le bras BC du fléau, au fil d’acier une fois tendu.

JL

Corps mort

r><i

Fig. 121

point d’attache de la tige de

Lorsque la poutre s’abaisse, le ressort absorbe la différence de longueur du fil, c’est-à-dire la différence de distance entre la semelle supérieure de la poutre et le corps mort ; le point d’articulation B de l’appareil descend avec la poutre, et comme le point d’attache C est immuable par rapport au sol, l’extrémité A du fléau s’abaisse et décrit une ligne du haut en bas, représentant en longueur la flèche de la poutre, amplifiée de 2,5 à 20 fois, selon la position qui a été donnée au fixation sur le fléau BC. On remarquera que dans ce cas c’est le point d'articulation B de l’appareil qui se déplace, par rapport au point C.

2e Cas. Le tablier est établi au-dessus d'une route sur laquelle Popérateur peut s'installer. (Fig. 122.)

au

précédemment. L’appareil est fixé sur une table re-

Le fil d’acier est attaché directement à la poutre et corps mort par l’intermédiaire du ressort à boudin tendu comme

posant sur le sol. Lorsque la poutre s’abaisse, le ressort

absorbe, en se resserrant, la diminution de hauteur de la

poutre au-dessus du sol et le fil restant tendu, l’extrémité C du fléau s’abaisse aussi, pendant que l’extrémité A s’élève et trace, sur le cylindre, une ligne de bas en haut ; c’est la flèche produite, dans la poutre, par le passage de la surcharge.

3e Cas. — La distance entre le sol et la poutre considérée, est assez faible pour permettre C attache de la tige de fixation directement à la poutre. (Fig. 123.)

Dans ce cas, il s’agit de prendre la flèche d’un longeron ou d’une pièce de pont. On peut alors fixer directement la tige d’attache sur la poutre considérée, en établissant, comme l’indique le croquis ci-contre, une plate-forme rigide sur les pièces de pont ou sur les poutres, de façon à la rendre indépendante du mouvement de la pièce considérée. La ligne tracée par le

T-T

nr

JL

{Fil dkaer

Fig. 1U

-JiC

IA

Ressort

. Ca/pj ;Ttort

Xonyeron ou pièce de pont

Fig. 121

style sur le cylindre est encore dirigée de bas en haut ; c’est la flèche cherchée.

§ V.

Indicateur de tensions (Système Manet-Rabut).

Cet appareil sert à mesurer le travail moléculaire des parties d’une poutre soumise accidentellement à un travail d’extension.

Il se compose principalement, d’un cadran sur lequel, une aiguille indique les différences de longueur que prend une partie de la pièce considérée, sous l’action d’une surcharge accidentelle.

Ce cadran porte des pattes qui permettent de le fixer solidement sur la pièce, au moyen d’une griffe à vis ; son aiguille, est mise en mouvement par l’extrémité libre d’une tige, dont l’autre extrémité est elle-même fixée au moyen d’une autre griffe, sur la même pièce et à une certaine distance du cadran.

La distance entre le point de fixation du cadran et celui de la tige actionnant l’aiguille étant de lm,00 par exemple, chaque division du cadran indique que sur un mètre de longueur, le métal s’est allongé de un vingtième de millimètre. Cet allongement correspond à une tension de lkil-,00 par millimètre carré de section, pour un coefficient d’élasticité E de 20.000.000.000. D’une manière générale, la distance entre le point de fixation du cadran et celui de la tige étant /, chaque vingtième de millimètre d’allonge-

ment correspond à un effort de tension de lk8x

par millimètre carré de section.

Comme conséquence de la disposition de l’appareil, on comprend que si le cadran accuse des allongements négatifs ce qui indique des tensions négatives ; cela signifie en réalité, que la pièce, au lieu d’être soumise à un effort de tension, est soumise à la compression.

lm,00

S VI

Métré du Pont de 8m,00 d’ouverture pour voie ferrée.

Ce métré se rapporte au pont à poutres jumelées, PL 7.

B01 OS TOTAUX

pour 2 voies

11942,490

4180,172

1061,113

177,296

79,298

968,818

1 82 >,010

473,894

809,272

21512,393

784,00

22 296k,393

pour 1 voie

5971,245

2090,086

631,806

88,648

39,649

968.848

! 108,697

473,894

431,136

11 804,009

392,00

12 196k, 009

POIDS

pour! voie pour2voies

kg

kg

3149,344

4151,040

1488,780 I 374,260 1637,160 134,438 7,468

1574,672

2075,520

744,390

687,130

818,580

67,219

3,734

664,614

994,876

332,307

497,438

1511,092

179,432

830,158

755,546

89,716

415,079

305,500

93,600

48,568

26,452

157,686

66,516

34,190

14,812

38,478

23,300

42,946

24,192

12,160

322,092

629,280

17,476

1 820,010

■H 00 Ô IO O cû^

co —T cT oo co' ^ GM O 00 ^ — CO

co co^

CM CO 50 20 t-

33,258

17,095

7,406

19,239

11,650

21,473

12,096

6,080

322,092

629,280

17,476

1108,697

123,140

61,898

89,625

48,547

116,044

34,640

398,400

32,736

POIDS

par

mètre

courant

kg

42,790

14,100

20,228

18,672

18,672

15.56

4,668

15,871

6,14

9,45

4,356

14,004

13,00

! 3,00

13,00

© © (N CO 00 ÎO O» CO (C r-T r-'

5,47

LON

GUEURS

0,551

0,533

O -*H O GM    O

20^ CM CO

o o cT

:o

2-0 O Ci O O —« r- O (M f' h* Ci Ci ■^-rn    ’

— o -C © ©~ ©

0,760

0,526    8,125

« © 00 <M © ©

r-

r-

o o o

00 CO Ci CO GM CO

cTcT o

0,575    4,668

0,060 12,60

9,200    17,505

9,200    8,550

0,540    8,091

28m2,5012 j 38k,9 le 46,7869 t mèt. car.

GM 00 GM 00

lO -rH O^CD -r-

CO CO 00 Gvf

O ao O O O O ^ O «GO Ci Ci t- ^

oT cTcT o ^

))

la pièce 0,050 0,016

))

Total du fer.

NOMBRE de parties semblables

pour! roie IpoorareicJ

32

16

16

76

304

304

152

152

o cooc^o^

CM -T-i -TH o 03 00

CO

00

OOCOOO

GM GM

CO co

CM 00

pour! toi# 'pour i roies

GM GM

O O O O (MiNCOX

38

152

152

76

76

20

36

20

sn

16

16

Ensemble

Gf GM

o o O O

GM GM CO 00

7968 15052 2046    3542

16 j la pièce | 49,00 | 392,00 | 784,00

Total général du tablier .    .

DÉSIGNATION des pièces

FER

Poutres.

Ame en tôle de 550 X 10    .    .

80 X 80

12

Cornière de

Semelle de 260 X 10.

Id. de 200X12.    .    . .

Id.    de 200 X 12. . . .

Id. d’appui de 200 X 10    .

Arrêt de 60 X 10 .    .    .    .

Entretoises sous loDgrines. Ame en tôle de 255 X 8.    .    .

60 X 60

OL X OL

r.

Cornière de

Cornière-attache de

Fourrure verticale de 70 X 78 . Id. . . id. . de 150 X 12.

Entretoises en fers T sous platelage métallique.

100 X 80

. . 8X8

Fer à T de . . Id. . . . id.

id

Id.

Fourrure de 85 X 12.

Id. de 100 X 10    .

Equerre de 135 X 7 .    .

Entretoises composées sous platelage métallique.

55 X 55

OL X 0L

Cornière de

Cornière montant de

Fer plat de 50 X 7 .    .

Gousset de 192 X 7 . Fourrure de 80 X 12.    .

Ferrures-attaches des longrines.

Fer plat de 60 X 10.....

100 X 70

Cornière de---- .

10

Boulon de 20m/m de diamètre .

Poutres de Rive.

A me en tôle de 250 X 9.    .    .

60 X 60

Cornière de-—— .

10

Semelle d’appui de 130 X 8.    .    .    .

Platelage métallique.

Tôle striée de 6m/m d’épaisseur totale, stries comprises......

Garde-Corps.

Lisse supérieure de 45 X 24 .    .

Lisse inférieure de 40 X 10.

Montant en fer plat de 40X 15    .

Patin de montant de 120 X 20 . Croisillon de 40 X 7 .

Boulon d’attache de 18m/m de diamètre

Rivets.

Tête de rivet de 18m/m de diamètre Id. de 12m/m id.

FONTE

Plaque d’appui en fonte.

PASCAL. — PONTS MÉTALL.

§ VII

Moments d’inertie.

Nous donnons ci-après les formules des moments d’inertie des sections les plus usuelles. Les centres de gravité de ces sections peuvent se déterminer par la statique graphique ou bien par d’autres formules que nous croyons utile de rappeler par un exemple.

Ainsi dans la section n° 9 du tableau ci-après, on aurait

b\ *+• b₂\

a^n

m -t

H-amx -7T-

(X\ïi —(— [b\ —f— b%j(lz —[— 0,171

Dans cette fraction le numérateur est la somme des moments des divers rectangles composant la figure, pris par rapport à un plan passant par la base inférieure de la section, le dénominateur multiplié par x, est le moment de la surface totale de la section avec x comme bras de levier, et c’est Légalité de ces deux valeurs, qui détermine x.

Dans la figure 10, on aurait encore,, en prenant les moments par rapport à un plan passant par la base supérieure :

m    (b — m \

am X ——b (o — m)al I — --h m J

= y[am -t- (b — ?n)aj],

d’où

am X

m    /b — m \

— (b — m)aA— hmj

am 4- [b — m)a,

Toutes ces formules sont d’une extrême simplicité à calculer lorsqu'on y a remplacé les lettres par leurs valeurs respectives.

TABLEAU DES MOMENTS D’INERTIE DES SECTIONS LES PLUS USUELLES

RAPPORT -

s<?»

24

ab²

a(b³ — bj)

e|®

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CO

<5 |<M

|oi

« |CM

MOMENT D INERTIE 1

"A

aô³

36

8?»

12

a(b³ — b])

12

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SECTION

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suoipas sap hN

CO

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TABLEAU DES MOMENTS D’INERTIE DES SECTIONS LES PLUS USUELLES (Suite)

RAPPORT

Tzd³

se

tt /    — d\

32

ab³ — 2a,6J

a6³ —(2^,6? 4-a²6³)

ou

ou

ab³ — (1%aM 4- 2a.₂6l)

66

a6³ — (2aM 4- 2a₂6³ 4- a₃6³)

66

ab³ —(2a^b\ 4- 2a₂6³ 4- 2a₃6₃)

66

a. aa

a fi 31 VA

1S

MOMENT D INERTIE I

TM*

-= 0,0491 d*

64

Jl

SECTION

suoipas

sop,o>c

ou

/i

ou

*=T

II

ab³ — 2aj6³

12

a6³ — (2a₁6f4-a₂6³₂)

12

n |s

ajiy³ 4- ax³ — [(of₄ — a₂)6| 4- (a — a₂)6?]

*•

ay‘A 4- a{x³ — (a — ai)6³

(I qzvz ■+• Ww&) — «<?»

12

ab³ — (2avb\ 4- 2a₂b\ 4- o₃6³)

12

Poutre en treillis

ab³ — {^aXi H- 2a²6;]4-2a³6:j

12

K------^p-

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H-H

ITl

RAPPORT —

a aa anaiYA

MOMENT D’iNERTIE I

--A

W» -+-H- I<?s»5 -H Iq'vz) — ,qv

12

Poutre en treillis

\b

3*r

On prend le rapport

‘"“T

OU

selon qu’on cherche le travail des fibres situées à la distance x ou le travail des fibres situées à la distance y du centre de gravité de la figure.

ou

axf+a^ — ^a.bl^a^l^g.bl+^bl

A-

SECTION

____Ÿ

7?----

i i |

’fcA-W-j*

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I * nX

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L----<&,----->1

SUOJP0S

sapsoK

in

I. — Table des Valeurs — des âmes de Poutres

v

de 10m/m d’épaisseur et de hauteurs variables.

POIDS PAR MÈTRE COURANT

HAUTEUR

de la poutre

VALEUR

POIDS

par mètre courant

0“180

0,200

0,220

0,250

0,280

0,300

0,320

0,350

0,380

0,400

0,420

0,450

0,500

0,550

0,600

0,650

0,700

0,750

0,800

0,850

0,900

0,950

1,000

1,100

1,200

0,000054

67

81

104

131

150

171

204

241

267

294

338

417

504

600

704

817

937

1067

1204

1350

1504 1667 2047 0.002 400

14k&,00

15.56 1 7,11

19.45

21.78

23.34 24,89

27.23

29.56

31.12

32.67 35,01 38,09

42.79

46.68

50.57

54.46

58.35

62.24

66.13 70,02 73,91

77.80

85.58

93.36

Pour les — des sections nettes, c’est-à-dire, en défalquant les trous de rivets, voir observation page 259.

quatre cornières disposées pour poutres de hauteurs variables.

HAUTEURS DES POUTRES

0m,320    0m,350    0m,380    0“¹,400    0m,420    0m,450

((

(1

((

))

))

))

>)

))

))

0,000183

6 FS

0,000252 0,000266.

314 0,000332

300    315

0,000166

296

282

229

270

256

403

377

444

511

412

488,

561

635|

529

609

689

764

839

657

742!

825

906

795

883

970

1155

847

941

352    372

333

303

384    405    428

312    333    348

367    390    412

423    450    4741

339    360    381

4021    4261    451

519

490

462

585

488

563

635

705

774

909

684

761

835

732

814

894

972

779

867

0,001034

1126

554

460

530

009

999

730

572

646

718

788

690

767

842

916

735

817

521

435

500

565

627

688

538

608

675

741

649

722

792

861

069

767

952

897

843

976 0,001036

917

347

282

314

382

308

365

419

474

394;

454

ISIS

oo CO CO O    O t CO

cO<MOOaC-**r-t'-aO aCCO^aOOcOaOcO

716

778

624

692

762

828

coio-^HOr^ CO (M CO CO CM

328

377

20

<M

35 4

408

20

559

526

558

O ci oo co

cO L"*

II. — Tableau des valeurs — de

POIDS

CORNIÈRES Par mètre

courant    _

de d’une seule I

cornière 0m,180    0m,200 0m,22û Om,2oO 0m,280    0m,300

0,000119

0,000110

0,000097

0,000083

0,000075

lk,80    0,000066

30X30

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154

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92

Oï

OT

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326

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304

Ci    r-    r-    ao    -r«    20    20    co

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256

294

CO

CO

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280

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CO    CO    CO

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co    00    —

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523

co co r- ot 20 cO

118

102

16

82

2,20

125

149

155

183

173

205

233

189

224

256

206

243

279

315

264

294

337

376

410

321

362

401

439

384,

426

462

501

407

452

495

536

107

128

133

156

148

174

190

162

191

219

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r- o

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237

267

223

255

287

317

347

273

306

340

371

325

360

394

428

343

381

417

451

O

Ci

84

101

2,47

3,00

35X35

4,5

5,5

119

139

131

155

166

144

169

190

155

183

210

236

197

225

253

280

305

241

270

299

326

286

317

346

375

303

335

366

396

104

122

115

135

154

126

148

169

136

160

186

210

171

196

220

))

(C

3,07

40X40

3,50

3,30

45 X 45

3,90

4,50

3,75

4,40

5,03

4,10

4,90

5,70

6,45

5,32

6,25

7,10

7,90

8,70

6,70

7.50

8.50

9,40

8,40

9,35 .

10,23

11,11

8,90

9,98

11,00

12,00

— des sections nettes, voir Observation, page 259.

50X50

55X55

09X09

10

65 X 65

10

70X70

10

75X75

10

11

Pour les

te

de quatre cornières disposées pour poutres de hauteurs variables.

HAUTEUR DES POUTRES

005‘ml

OOl'tnl

000<ral Oî^niO

0m,9l)0

OS8Vo 008‘m0

OS i.‘mO

00t‘m0

0m,650

009‘raO

((

))

((

))

))

0,001790

2026

2267

2481

((

))

2370

2640

2910

3170

2518

2830

3120

3400

((

))

((

[t

))

(C

))

))

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((

((

))

))

((

0,001278

1474 0,001633j

))

1846

1668

2056

1857

2261

))

2156

2405

2648

2887

2311

2577

2841

3098

))

))

((

))

0,001209

1396

1579

1757

1932    204!

2217

1946

2170

2389

2604

2084

2324

2562

2793

1906

20971

((

))

))

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((

))

((

))

((

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((

))

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))

))

0,001140

1318

1489

1658

1822i

1434

9191

1796

1977

1735    1842

20531

2260

2463

1971

2198

2420

2640

1935

2131

2322

1858

2072

2282

2488

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))

<(

)>

((

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))

0,001073

1239

1400

1558|

1713

1340

1516

1689

1858

1631

1818

2007

2180

1745

1945

2142

2336

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((

))

))

))

jO,001005

1160

1301

1459

1603

1255

1419

1581

1738

1525

0011

1871

2039

1632

1819

((

((

))

))

0,000939

1080

1221

1359

1494

6911

1322

1472

1617

1421

1583

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((

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0,000733 0,000817 0,000868

1003

1132

1260

1384

1060

1225

1364

1500

1317

1466

1613    1742

1898

1757

1510

1693

1864    2003

2184

1406

1567

1725

1880    2032

917

1043!

1161

1275

998]

1128

843

954

1061

1166

912

1031

1148    1256

1383

1212

1349

1261

1107

1231

1355    1484

1475    1616

1182    1293

1441

1317

1448    1588

1577    1729

I fI - — Table des valeurs

0£S mO OOSraO

0,000383

453

520

424

5000,000555

640

576

466

548

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))

999

768

866

962

1056

827

935

1040

1143

1008

1116

1227

1335

6901

6331

713

596

688

777

863

947

7421

838

935

1025

900

999

1098

1195

958

1066    1191

1310

1172

1426

1276

POIDS

par mètre courant d’une seule cornière

08 Si T-

2,20

2,47

3,07

3,50

3,30

3,90

4,50

3,75

4,40

5,03

4,10

4,90

5,70

6,45

5,32

6,25

7,10

7,90

8.70

6.70 7,50

8,50

9,40

8,40

9,35

10,23

11,11

8,90

9,98

11,00

12,00

— des sections nettes, voir Observation, page 259.

sauaiKHOD

30 X 30

35X35

9‘9

S‘f

40 X 40

45X45

50X50

55 X 55

tT*

09X09

00 Ci

10

6oX6o

r~- OO

10

OLXOL

11

75X75

Pour les

— Table des valeurs — de quatre cornières disposées pour poutres de hauteurs variables.

HAUTEUR DES POUTRES

oosVo

0m,450

0m,420

0m,400

ose'mo

0m,350

oeeVo

ooe'mo

0m,280

0m,250

OôS‘niO

OOS'raO

POIDS par mètre courant d’une seule cornière

10,000824 0,000896 0,001044

1130

1243

1354

1463

69 SI

1673

1256

1383

1507

1629

0,000777

0,000543 0,000589 0,060659 0,000730

10,000420

0,000318

9k,50

997

1096

1194

1289

1382

1472

1106

1217

1327

1433

15371    1749

«i

1870

1516

1656

1792

1920

2052

2183

1797

1945

2089

2231

2372

1935

2094

2251

2405

2557

918

1009

1098

1185

1271

1353

1061

1163

1263

1360

1456

869

196

1034

1116

1196

1274

957

1053

1147

1238

1328

14201    15491    1642

1533

1453

1573

1688

1800

1916

1576

1705

1831

1955

2076

1694

1833

1969

2103

2235

1224

1150

1334

m\

1547

1650

1751

1444

1562

1677

1789

1900

1551

1677

1802

1924

2046

1255

1355

1455

1552

1651

1357

1467

1575

1680

1784

1457

1575

1691

1805

1917

812

733

655

603

475

((

352

10,65

892

805

719

662

))

521

385

11.70

971

874

782

708

((

565

((

417

12,85

1047

914

842

775

809

448

14,00

1122

1192

868

988

1075

1159

1244

Lsev

1079

1175

1269

1361

1451

1540

1270

1373

1473

1574

1668

1362

1472

1581

1686

1791

1011

1075

810

068

896

1046

1120

1194

971

1057

1138

1223

1306

1389

1141

1233

1322

1410

1496

1223

1321

1417

1511

1604

901

829

650

))

477

15,00

959

882

690

))

16,00

722

664

522

))

12,00

793

730

((

572

>)

13,30

863

93 2

966

1061

864

940

1014

1087

1158

1227

1014

1095

1173

1250

1325

))

((

))

793

854

915

or

)>

((

))

621

669

))

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((

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14,67

15,70

16,95

18,10

15,00

))

))

(C

))

)>

))

))

16,00

17,40

18,90

))

))

((

))

))

((

20,40

((

))

((

))

((

))

21,80

18,60

19,50

)>

((

21,00

22,50

))

(('

24,00

19,70

21,20

22,70

))

((

24,30

25,70

Aï

CORNIÈRES

de

80X80

10

11

12

13

14

06 X 06

10

il

12

13

14

100X100

10

11

12

13

14

15

îioxno

12

13

14

15

120 X 120

11

el

13

14

15

Pour les — des sections nettes, voir Observation, page 259.

— de quatre cornières disposées pour poutres de hauteurs variables.

HAUTEUR DES POUTRES

005‘mJ    001‘mT    000‘rnT    0S6‘m0    006‘tnO

0,002220 0,002372

2748 0,003018

2477

2730    3059    3327

2978    3304    3631

3222    3576    3930|

3462    3842    4223'

3697    4104    4512

2778    3084    3390

3063    3403    3741

3345    3715    4079

3622 4025 4424 3895 4326 4758

5087

4625

41621

4147

4531

4911

4585

5654

6017

4970

5389

5803

6211

6614

5403

5860

5H,*9

6760

7200

3769

4118

4462

4801

5136

5465

4513

4893

5265

5635

0009

4903

5316

5726

6131

6530

3390

3705

4014

4318

4618

4914

4057

4397

4727

5057

5383

4403

4774

5142

5504

5861

V • — Table des valeurs

0“,550    0m,600    0m,650    0m,700    0“,750    0“,800    0™,8o0

'0,001736 0,001857 0,001978 0,002098 1936    2071    2200    2342

0,001134 0,001254 0,001374 0,001495 0,001615 1264    1398    1532    1667    1801

2133    2282    2431    2580

2326    2489    2652    2815

2516    2692    2869    3045

2702    2892    3082    3272

2885    3091    3291    3494

2166    2319    2470    2625

2368    2561    2726    2895

2607    2791    2973    3160

2821    3021    3221    3421

34631    3678

3032{    3247

1680    1836    1984

1839    2001    2164

1988    2106    2340

2134    2323    2512

2277    2479    2682

1710    1862    2014

1884    2052    2220

2259    2423

2055

2223    2422    2622,

23881    26191    2817

1391    1539

1515    1677

1637    1812

1945

1757

1874    2075

1407    1558

1549    1716

1689    1872

1827    2025

2175

1961

3931

3202

3493

3790

4077

4360

4639

3838

4150

4467

4779

5088

4153

4504

4850

5195

5530

3701

3470

3240

3010

2780

2550

2096,    2326

3013

3292

3566

3836

4102

4364

3602

3904

4201

4494

4784

3904

4233

4558

4878

5195

2823

2637

2450

2263

2073

1890

1702

3086

3342

3595

3844

4089

3370

3656

3933

4209

4480

3656

3963

4267

4566

4862

2880

3119

3355

3586

3814

3147

3410

3669

3924

4176

3408

3694

3976

4255

4529

2675

2470

2226

2060

6981

2896

3112

3329

3540

2922

3164

3404

3640

3873

3160

3425

3686

3944

4197

2674

2875

3072

3266

2695

2919

3139

3357

3571

2913

3157

3397

3633

3869

2452

2230

2010

2635

2397

2160

2816

2994

2469

2673

2875

3074

3269

2667

2889

3108

3324

3537

2560

2722

2244 !

2430

2612

2792

2969

2427

2623

2820

3016

3209

2300

2440

2020

2186

2350

2669

2177

2357

2534

60LÔ

2881

POIDS par mètre courant d’une seule cornière

9k,50

10,65

41,70

12,85

14,00

15,00

16,00

12,00

13,30

14,67

15,70

16,95

18,10

15,00

16,00

17,40

18,90

20,40

21,80

18,00

19,50

21,00

22,50

24,00

19,70

21,20

22,70

24,20

25,70

— des sections nettes, voir Observation, page 259.

CORNIÈRES

de

80X80

10

11

12

13

14

90X90

O* O

100X100

10

11

12

13

14

15

110x110

11

12

13

14

15

120X120

11

12

13

14

15

Pour les

ir'¹

Manière de se servir des Tables ci-devant.

Supposons qu’on ait à chercher la valeur — d’une poutre

dont la section est représentée par la figure n° 124 ci-dessous : c’est-à-dire, composée d’une âme de 350x10 et de quatre cornières de

70x70 10

Sur la table n° 1, on trouve la valeur

(fl

Mû.

wl

— = 0,000204 v

de l’âme de I0mm d’épaisseur. Sur 1a. table n° 2, à l’intersection des lignes horizontale et verticale correspondant à la cornière de 70X70

10

1QX7(L / 10

et à la hauteur de 0,350 on trouve la valeur

Fig. 124

i'

— = 0,000716

v

pour les quatre cornières. La valeur —, pour la section complète de la poutre est donc

---h — = 0,000204 + 0,000716 = 0,000920.

Les mêmes tables donnent immédiatement le poids par mètre courant de cette poutre. En effet :

27kff,23 (Table 1)

Le poids de l’âme est de......

Le poids d’une cornière est de 10ks,23 (Table 2).

Le poids des quatre cornières est

40 ,92

donc de 10,23x4=........

En y ajoutant le poids des têtes de rivets, que l’on peut évaluer à 3 °/₀ environ du poids total ci-dessus, soit

2 ,04

(27,23 + 40,92) X 0,03 =......

70kg,19

Le poids total par mètre courant de poutre serait donc.........

Si dans la poutre ci-dessus lame n’avait eu que 7m/m

l

d’épaisseur, la valeur de son — serait les 0,7 seulement du

— de l’âme de 10m/in, soit

v

0,000204x0,7 = 0,0001428

et la valeur totale du rapport ~ pour la poutre avec une

âme de 7m/m et quatre cornières de

70x70 10

serait :

— = 0,0001428-f-0,000716 = 0,0008588.

Le poids de cette nouvelle poutre serait trouvé comme ci-dessus, en prenant seulement pour poids du mètre courant dame :

27ks,23x0,7 = 19ks,06.

r~:

IF

7Û0XJJ20_ _ _

74

---

:S

___

jbJws>

wa. _

^IojlTo__

Fi?. 125.

Fig. 126.

Cas d'une poutre en treillis (fig. n° 125), c'est-à-dire, dont chaque membrure est composée de deux cornières de

100X100 14

reliées par des barres de treillis.

PASCAL. — PONTS METAIL.

La recherche du rapport y et du poids par mètre courant

de poutre est plus simple encore.

Sur le tableau n° 5, au point de jonction de la colonne verticale correspondant à la hauteur de 0m, 850 et delà colonne horizontale indiquant les cornières de

100x100 14

nous notons la valeur

y = 0,003844.

Le poids par mètre courant de poutre, est indiqué sur la même colonne horizontale, le poids d’une seule cornière étant de 20kg,40 le poids des quatre cornières de la poutre est :

Tctes de rivets 2 p.0/0 Total

20,40X4 = 81k«,60 lks,63

83kg,23 par mètre courant,

les treillis non compris.

Le poids par mètre courant de treillis peut se déterminer approximativement par l’application de la formule Pkg = 0,00ilp/,

pour barres en fer,

Enfin avec ces mêmes tables on peut, en suivant la marche indiquée ci-dessus, trouver le -y- d’une poutre en C

composé d'une âme et deux cornières, comme l’indique la section (fig. 126).

Étant donnée la valeur y- de l’une des poutres ci-dessus, on déterminerait son moment d’inertie 1, en multipliant le rapport trouvé par la moitié V de la hauteur de la poutre

car

vxv

Ces cinq tables peuvent servir à déterminer les rapports d’au moins 4000 sections de poutres pleines, dont lésâmes

varieraient de 5 à 12 millimètres d’épaisseur, et dont les hauteurs varieraient de 0m,180 à lm,200 ; elles détermineraient également les valeurs de 4000 sections en lj suivant figure 125. Enfin elles donnent encore les ^ de 1200

sections différentes de poutres en treillis de 0m/180 à lm,200 de hauteur ; c’est là un choix souvent suffisant dans les applications.

Observation importante.

des

Les valeurs — des sections nettes des poutres, c’est-à-dire, les valeurs —

sections en défalquant les trous des rivets horizontaux qui fixent les cornières sur les âmes ou sur les barres de treillis, s’obtiendront d’une façon suffisamment approximative en diminuant les nombres indiqués par les tables :

v De 0,22 pour les poutres de 0m,180 à 0m,300 de haut. <; De 0,15    -    de 0m,350 à 0m,800    —

de 0m,850 à lm,20    —

1° Pour les âmes . .

De 0,10

De 0,14 pour les poutres de 0m,18 à 0m,300 de haut. De 0,13 De 0,10

Ceci, bien entendu, pour les rivures ordinaires, c’est-à-dire, pour des diamètres de rivets habituellement employés.

2u Pour les cornières .

de 0m,35 à 0“,800 de 0m,850 à 1m,200

\mdfiu

\ J • Table des Moments d’inertie \, des semelles de 100 millimètres de la p0Sces sur les talons des cornières des poutres de hauteurs variables.

POIDS par mètre courant

0m,420

OOtVo

4k,66

0,000055

0,000049

5,45

6,22

7,02

7,78

8,56

9,33

11,67

12,44

13,22

14,00

14,78

15,36

hauteur des poutres entre les semelles

0m,380

0,000046

Om,3oO

0m,320

008‘m0

08S‘mO

0,00003 3

0,000031

0,000028

0,000024

64

58

52

45

37

33

29

73

67

60

83

92

102

112

142

152

162

173

183

194

75

68

84

76

92

84

101

92

—h    GO    ><*5 <M Ct>

aO    ao    O r-

43

38

33

49

43

38

((

))

129

138

148

157

167

170

117

125

134

143

151

160

25

O O ZG> CO z£>

48

42

33

58

))

((

((

((

))

))

47

))

))

((

))

ÉPAISSEUR

des

semelles

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

POIDS par mètre courant

W (M W X «O «    t^^<MOQOO^<MCi<020**HOOOO^

o jo co JJ ~ o *<h (M o 1^ 10 co x îo ^ o r^ 20 co

20 zo t^r^ocT cT

—" g<T co    ^ 20 <cT r-*" x os cd ^ th ?m cf

.    100 millimètres de larqeur,

posées sur les talons des cornières des poutres de hauteurs variables.

OSi/iuO

OOimO

COQOXX    OiOiO^-<0<ICO^O O — CO 50 X O CO

O CO 50 X - ^ £ «COCOOCOOOSCVJ20 ^^50X-H^Xv^

r- r- r- 00

g (M (M (N CO CO

^ ^ 50 ^O JO ÎO O 50

00 OC Ci

!C O O 01 X ^    OOh^-CiO^ o {^ 50 ^ 01 -h o

O (M 50 ^ c ~ SXrHCOOOîTH^I" » (N 50 X rH    o

Gv* CM 03 03 CO    CO ^ ^ ^ ^ jO 50 50 O O cO h h h X

VII. — Table des Moments d’inertie des Semelles de

HAUTEUR DES POUTRES ENTRE LES SEMELLES

0m,650

0m,600

OSS‘mO

008‘mO

0m,150

ÉPAISSEUR

des semelles

—    CO JC X O CO

50    05    —    o

-    -h «?- (M 01 (N

05 x r 50 CO JO 01 o X o OJ — T"r- (N (M

» 2.

0,000108

125

141

157

173

189

O « l- O vjH ^ O O ^ CO 2C0

N JO X N 50 ® CO 1^    50 O ^ 05 ^ Q v*

CO 50 h O (M ^ C

COCOCO^^^^v^H

50 JO 50 «O O O c

r- 00 o cm ^ o

XC^^5DXOOI ftîOXrHCOîOr^Cï (NCOCOCOCOCO^^

^ ^ 20 2C. SCO 50 20

^oocoogagcoo gî ro o o

^ (M(M(^(NaîfOcow ~.....

Ci W h (M Ci O 30 o os-^^^îor-xo -H Gv» (M (N <M CN CM CO

î2âg§SSSSSî2âS§5îS5Sa

(M(N(N®Î

i" x 35 o ^

©îco^îooi^xosOjjMfo^g o r^ 00 g o

eue,

— T cible des Moments d’inertie I, des Semelles de 100 millimètres de lara posées sur les talons des cornières des poutres de hauteurs variables.

' 1IIA

POIDS par mètre courant

lm,200

lm,100

V'o tCI-*'oo~cT

JO

o ^ oo m r--⁻

00 30 CO o 00

se so co r~ oo oc

es T< CO CD es 07 O'» Ci SD

20 O SD

3 §3 o "J? « 2 g g    îg r>    §    S    g    £

eT oo~ «a5 «aTus«cT r~' r-~ ce    cT o    -n    -r-    w    m

— — —i — ^-( -r* —-- N    (M    ff-l    (M    TJ

CO Ci sD CM 00 SO OO S OOaOCO^rfOOcD¹^ 07 CO ^ ^ 50 CD

-«ri »H -çH «T*

h •<- SCO JOOiO Ci <D M Ci 20 M 00 CS O TH -r- CM CO CO

24,12

CO -^O O Cs £ 50 CO es ^ Ci O -«h ■*-« (M C0 ^ CM (M CM CM M

HAUTEUR DES POUTRES ENTRE LES SEMELLES

000‘cnT

0m,950

006‘mO

0S8‘m0

0m,800

ÉPAISSEUR des semelles

50 CD X O 07 ^ D O 50 cO ^ D ^ ^ 50 50 C

c^^^xso

Ol C TH o O 50 £ CO ro ^ 20 SD

^    O    (N    cû CS

i'¹    co    ^    si: os

g    co    co    ^    ^ ^

ï- ^ CM O 00 c ^OOS    «

CM CM C0 00 ^ ^

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CC Ci o

CM r* CO 00 5 Ci 5 - Î* s c c5 X CO os § XX CSOSCOth

CD 30 CC O) - o Oi Ci ^ Ci ^ Ci CO r- 00 X Ci Ci o

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cm r- cm r- co oo ^ rocDOcOf^O^ ao ^5 cO O cO

H 15

OiCOWGO ^ O JO CS S

— CM CM CM

00 00 05 — (N

os m r- iN ® r 05 o O

U" ^ O l"* ^ £ X C') "X c. CO XOSCSGC

O - Oï CO ^ :r cD i" 00 O O M cm CM G'J (M M (M CM <M CM CO 00

Emploi des Tables des moments d’inertie I pour semelles.

A l’aide des trois tables ci-dessus et des tables 1, 2, 3, 4 et 5, pages 247 à 255, on peut déterminer aisément la valeur

d’une poutre de hauteur totale comprise entre 0m,294 et

lm,260, et composée d’une âme, de quatre cornières et de semelles, ou bien d’une poutre en treillis, comportant des semelles sur les talons des cornières.

Exemple : Proposons-nous de rechercher la valeur —

d’une poutre de 0m,590 de hauteur totale, composée d’une

75x75

et de

âme de 550x10, de quatre cornières de

deux semelles de 220x20 sur chaque table.

D’après les données ci-dessus, la hauteur de la poutre entre semelles est de 0“,550.

La table n° 1 donne pour l’âme de

40

550x40

— = 0,000504

v

La table 3 donne pour les quatre 75x75

cornières de

10

— = 0,001310

v

Total..

= 0,001814 = ^

Cette valeur permet de trouver le moment d’inertie correspondant

Vxv-

et comme

0,550

I = 0,001814 X 0,275 = 0,00049885.

En ajoutant à cette valeur de I le moment d’inertie pour une semelle de 220x20 ; que l’on trouve à la table 7 et égal

0,000325x2,2 = 0,000715.

Le moment d’inertie total de la section de la poutre est I = 0,00049885 -f- 0,000715 = 0,00121385.

La nouvelle valeur de V est alors la moitié de 0m,590 de la hauteur totale de la poutre avec semelles, soit

2^*9 = 0-.295.

2

Le rapport de la section énoncée de la poutre avec semelles est donc

= 0,004114.

I 0,0012138

0,295

Les mêmes tables donnent également les éléments nécessaires pour obtenir le poids du métal par mètre courant de cette poutre.

42kg,79

En effet : le poids de l’âme de 550x10 est donné par la table 1 et égal à

75x75

est

10

Le poids des quatre cornières de

donné par la table 3 et égal à.....11k,00 X 4 = 44,00

Le poids des deux semelles de 220X20 est donné par la table 7 et égal à . . . .    15,56x2,2 = 34,73

Total

121kg,52

En y ajoutant le poids des tètes de rivets, estimé approximativement à 3 1/2 °/₀ du poids ci-dessus.

Le poids total de la poutre sera, par mètre courant :

== 126\00.

124,52 +

421,52 X 3,5

100

Faire bien attention dans l'emploi de ces tables de ne pas additionner les moments d’inertie I donnés par ces dernières, avec les valeurs — données par les précédentes.

co

20

saaox

saaava

saaox

saaava

saiox

saaava

26,5 o/₀

36,7

55,0

% ie

39,2

112,0

22 Vo

35,6

48,0

29 %

18,2⁰ o

38,75

34,8

83,30

43

Tl

0,35 0,665

ÎO

o

S VIII

Classification des fers du Creasot.

saaoi

saaava

S3101

saaava

saaox

23 %

14,6 «/„

21,5 °/o

%0T

°/o 81

38,6

Ÿn

38,3

33,7

38,0

73,6

40,5

67,0

37,6

60,3

CM

% 8‘9

33,2

33,6

saaava

%SI

37ks,8

3oks,5

ESSAIS A LA TRACTION

•aSemuiBi np saos suep jnassiuda p sajiam ill™ Z\ ? 01 -üoi ap 0S‘mS 19 o8ibj ap aa^ui f ap sajçi sap suep sjdnoapp snoniinBqag

saaox

ans ‘anan§

I    ‘ananSno] ap

[saj^inni!¹¹¹ 00T 19 nop -oas ap sp.uBa saaiauiii -jihi DOS apsÿuano} xnBaajBg

Allongement permanent au

moment de la rupture.

saaava Ma suai

Charge de rupture par millimètre carré de section primitive.

Charge de rupture par millimètre carré de section rompue.

Striction, ou rapport

de la section rompue à la section 0,680    0,940    0,63    0,895 0,575 0,847    0,524 0,808 0,462 0,740

primitive.

GIBLIGTEKA POLITECHBlGm

K R A K Ô W

<

«

i

*

»

:

I

*

Paragraphes

TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE 1

Pages

§ I. — Manière dont se comportent les corps soumis à des efforts de flexion et formules usuelles............

§ IL — Poutre reposant librement sur deux appuis de niveau et

soumise......................

1° A une charge uniformément répartie par mètre courant.

Formules du moment fléchissant et de la flèche. . . . 2° A une charge uniformément répartie qui n’occupe

qu’une partie de la portée..............

3o A une charge unique déterminée de position. — A une charge unique et à une charge uniformément répartie. — La charge unique est au milieu. Moments fléchissants

et flèche. .....................

4° A deux charges déterminées de position et en outre. — A une charge uniformément répartie..........

§111.— lo Poutre encastrée à une de ses extrémités, l’autre extrémité est libre et porte une charge..........

2o Soumise simplement à une charge uniformément répartie par mètre courant. Formules du moment fléchissant et de la flèche....................

§ IV. — Poutre encastrée horizontalement à ses deux extrémités et : 1° Chargée d’un poids unique agissant au milieu de la portée. Formules du moment fléchissant et de la flèche. . 2° Elle est simplement soumise à une charge uniformément répartie p par mètre courant. Moments fléchissants en divers points et flèche................

§V. — io Poutre encastrée à une de ses extrémités, supportée librement à l’autre et chargée d’un poids unique. Formules du moment fléchissant et de la flèche en divers points.......................

§ VI.— Formule générale d’application du moment résistant des poutres.......................

§VII.— Tableau des résistances à la traction de divers matériaux.

— Coefficients d’élasticité..............

CHAPITRE II

STATIQUE GRAPHIQUE. — APPLICATIONS PRATIQUES

§ I. — Définition et avantages de son emploi..........

§ II. — Problèmes ordinaires de la statique graphique......

1° Etant données deux forces 1 et 2, distribuées dans le

même plan, trouver leur résultante.........

2° Etant données 3 forces 1, 2 et 3 distribuées dans le même

plan, trouver leur résultante.............

3° Trouver la résultante de quatre forces situées dans le

même plan........ ............

4o Etant données les directions de 5 forces qui se font équilibre dans le même plan, et les grandeurs de 3 d’entre elles, déterminer les grandeurs des deux autres. . . . 5» Etant donnée une poutre appuyée à ses deux extrémités, décomposer une force Q, appliquée en un point de sa portée ; en deux composantes parallèles passant par les

appuis.......................

6° Inversement. — Etant données deux forces appliquées aux extrémités d’une poutre, trouver le point d’application de leur résultante..............

7° Résultante de deux forces appliquées aux extrémités d’une poutre et dirigées en sens inverse l’une de l’autre . . . 8° Résultante de deux forces appliquées en des points quelconques d’une poutre................

9° Résultante d’un nombre quelconque de forces appliquées sur une poutre, les unes dirigées de haut en bas et les

autres dirigées de bas en haut............

§ III.— Détermination du moment fléchissant dans une poutre. .

1° Moment fléchissant produit par une force appliquée en un point d’une poutre reposant librement sur deux

appuis.......................

2° Moment fléchissant produit par deux forces verticales agissant en deux points quelconques de la portée d’une poutre reposant sur deux appuis.......... .

11

14

10

18

Paragraphes

2° Le même solide est soumis seulement à une charge uni

Pages

formément répartie par mètre courant. Formules du moment fléchissant et de la flèche en divers points. — Point d’inflexion..................

Pages

3^ Moments fléchissants produits dans une poutre reposant sur deux appuis, soumise à un nombre quelconque de charges verticales et en plus, à une charge uniformé

ment répartie par mètre courant...........

4° Ramener la ligne de fermeture du polygone funiculaire à l’horizontale...................

5° Tracé rapide et pratique d’une parabole dont on connaît le sommet, l’axe, et un autre point. — 1er Procédé. —

2e Procédé. — 3e Procédé. .    ...........

6° Recherche des moments fléchissants développés dans une poutre encastrée à une de ses extrémités, libre à l’autre

et chargée de façon quelconque (Pl. 1)........

7° Recherche de la ligne élastique...........

80 Poutre encastrée horizontalement à ses deux extrémités et chargée d’un poids unique au milieu de sa longueur.

(Pl- 1).......................

9o Poutre encastrée à ses deux extrémités et chargée d’un poids unique en un point quelconque de sa portée. Charge uniformément répartie agissant en même temps

que la charge unique (Pl. 1).............

10° Poutre encastrée à ses deux extrémités et soumise à des charges distribuées d’une façon quelconque (Pl. 2). . .

Détermination de la ligne élastique de la poutre ci-

dessus ............. .........

11° Poutre encastrée à une de ses extrémités, reposant librement à l’autre et soumise à des charges distribuées d’une manière quelconque (Pl. 2)...........

§ JY.— Efforts tranchants............. . . .

2° Cas où la poutre supporte des charges uniformément

réparties......................

30 Efforts tranchants maxima développés dans une poutre. 40 Section médiane et sections extrêmes d’une poutre. . 50 Charge mobile et uniformément répartie........

§ V. — lo Moments fléchissants maxima dans une poutre .... 2o Charge la plus défavorable d’une poutre, par rapport aux moments fléchissants (Pl. 3).............

§V1.— Application de la statique graphique à la recherche du centre de gravité des figures (Pl. 3).........

28

31

32

34

33

37

39

41

44

30

32

53

57

CHAPITRE 111

§ 1. — Conditions d’établissement des ponts métalliques . . . . § II. — Circulaire ministérielle du 29 août 1891. — Règlement sur

ci

eu

§ III. — Remarques

les ponts métalliques

a Si

CHAPITRE IV

PROJETS DE PONTS MÉTALLIQUES A UNE SEULE TRAVÉE.

PONTS POUR VOIE CHARRETIERE

§ I. — Projet d’un pont en fer de faible ouverture (PI. 3) . . . .

1° Description sommaire.................

2° Calcul des poutres longitudinales.— lre hypothèse, 2e hypothèse, 3e hypothèse, 4e hypothèse.........

3° Pièces de pont....................

4° Tôles cintrées en acier supportant la chaussée. — Travail

de la clouure d’attache...............

5° Calcul de la rivure des poutres longitudinales.....

6° Calcul de la flèche.................

7° Tôles cintrées supportant la chaussée des ponts-routes . 8° Résistance des tôles embouties............

§ II. — Pont métallique de lGm,00 d’ouverture, pour route de 5m,00

de largeur (PI. 5 et 6)................

lo Description sommaire. . . ..............

2« Calcul des poutres maîtresses. — lre hypothèse.....

3o Calcul des treillis. — 2e hypothèse, 3e hypothèse, 4e hypothèse ......................

4o Epure des moments fléchissants et des moments résistants ou anti-fléchissants. — Détermination de la longueur

des semelles ...................

5° Pièces de pont....................

60 Calcul de la rivure du tablier. Rivure des semelles sur les cornières; des couvre-joints de semelles; des montants

verticaux.....................

7o Calcul de la flèche des poutres maîtresses, sous l’action de

la charge permanente et de la surcharge.......

8° Calcul des voûtes en briques.............

9° Calcul des barres de treillis par la formule de Lowe. . .

10o Calcul des plaques d’appui..............

§ III.— 1° Poids de métal à compter pour la superstructure des

ponts métalliques. — Tableau............

2o Observations.....................

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107

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113

115

118

120

CHAPITRE V

PONTS A UNE TRAVÉE ET SUPPORTANT DES VOIES FERRÉES DE LARGEUR NORMALE

§ I — Pont de 8m,00 d’ouverture sous rails et à poutres jumelées.

(Type de la Compagnie du Midi.) (PI. 7.) . . . .

lo Description sommaire................

Pages

122

129

2« Calcul des poutres jumelées.............

3o Calcul de la longueur de la deuxième semelle . . . .

40 Entretoises sous longrines.............

30 Entretoises sous platelage métallique.......

60 Poutres de rive..................

70 Calcul des rivets. 80 Calcul de la flèche

130

§ II. — Méthode de MM. Hausser et Cunq, pour la détermination graphique des moments fléchissants maxima développés dans la poutre, par le passage de la surcharge roulante (voir PI. 17)....................

133

§ III. — Pont en acier de 18m,00 d’ouverture (Pl. 8).......

fo Description sommaire................

2« Calcul des poutres maltresses.............

3° Méthode dite du P. L. M. — Tableau des surcharges virtuelles uniformément réparties équivalentes aux surcharges roulantes pour les ponts de 5 à 70 mètres

135

d’ouverture.....................

4« Calcul des treillis...................

5o Calcul des longerons.................

60 Calcul des pièces de pont...............

7o Travail des panneaux sur culées............

§ IV.— lo Considérations générales sur les poutres à treillis. , .    148

2° Types de poutres à treillis.............

3o Couvre-joints d’âme.................

4o Couvre-joints de semelles...............

3° Couvre-joints de cornières..............

CHAPITRE VI

PONTS MÉTALLIQUES A PLUSIEURS TRAVÉES SOLIDAIRES ....    153

§ I. — Pont à deux travées, de 74m,00 d’ouverture totale, portant

deux voies ferrées (Voir Pl. 10,11 et 12). (Métal acier.) .    150

1° Description sommaire................

2» Calcul des longerons.................

3« Pièces de pont....................

4o Calcul des fers à I supportant le platelage métallique. .

5° Calcul des jambes de force..............

0° Entretoises inférieures................

103

1° Calcul des maîtresses poutres. — Méthode du P. L. M. — lre hypothèse, 2e hypothèse, 3e hypothèse 8° Efforts tranchants et calcul des barres de treillis ....    173

9° Travail des rivets fixant les tables sur les cornières . . .

12° Résistance de la poutre à l’écrasement sur les appuis .

181

183

Paragraphes

10o Calcul des appuis..................

llo Détermination du diamètre des rouleaux de dilatation.

Pages

177

13° Stabilité du pont en cas d’ouragan..........

14o Calcul des maîtresses poutres par la statique graphique Construction des épures de la PI. 12........

§ II. — Pont à trois travées, de 140m,35 d’ouverture totale, pour

route de 7m,50 de largeur (PI. 13 et 14)........

lo Description sommaire.................

2o Calcul des entretoises.................

3o Calcul des pièces de pont...............

4° Calcul des maîtresses poutres. — lre hypothèse.....

5o Détermination des moments fléchissants et des efforts tranchants par la statique graphique. — Hypothèse de

surcharges.....................

6° Calcul des barres de treillis..............

7° Travail des poutres sous l’action de la surcharge générale

de 400 kilogr. par mètre carré............

80 Détermination de la flèche dans une travée......

9o Résistance des poutres à l’écrasement sur les appuis . .

10° Des appuis......................

§111.— Calculs de résistance des poutres pendant le lançage du tablier.......................

193

206

213

216

219

222

CHAPITRE VII

PONT EN ARC A I.ONGERON DROIT (PI. 15). <• .    .    .    .    224

lo Surcharge uniformément répartie...........

2° Surcharge de poids roulants..............

CHAPITRE VIII

FORMULES

RENSEIGNEMENTS DIVERS

TABLEAUX

211

§ 1. — Formules donnant les moments de rupture, sur les points d’appui d’une poutre continue............

233

234

§ II. — lo Considérations générales sur la construction des tabliers métalliques. Emploi de Facier.........

§ III. — 2o Les plus grands ponts du monde...........

§IV.— lo Appareil enregistreur de flèches système Rabut. . . .    236

§ V.— 2o Appareil indicateur des tensions système Manet-Rabut, pour mesurer le travail des membrures et des barres de treillis des ponts métalliques

Pages

§ Vf. — Métré du pont de 8 mètres d’ouverture pour voie ferrée. .    239

§ VIT.— Moments d’inertie. — Formules des moments d’inertie des

242

247

00 O

260

265

sections les plus usuelles

Table des valeurs — des âmes de poutres de hauteur variable......................

Tables des valeurs — de quatre cornières disposées pour

poutres de hauteurs variables . .    .......

Manière de se servir de ces tables...........

Tables des moments d’inertie I des semelles de 100% de largeur pour poutres de hauteurs variables. — Emploi de ces tables .....................

S VIII.—Classification des fers du Creusot

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Poutre encastrée à une extrémité

Poutre encastrée à. ses deux extrémités.

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CALCUL DE RÉSISTANCE DES POUTRES

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PEOJET D’UN PONT MÉTALLIQUE DROIT DE 8T00 D’OUVERTURE, POUR ROUTE DE 4m00 DE LARGEUR.

PL.3.

Recherche des plus grands moments fléchissants produits parle passage d'un tram.

Coupe longitudinale et Elévation extérieure.

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PONT MÉTALLIQUE EN FER DE 16m00 D’OUVERTURE, POUR ROUTE DE 5',"00 DE LARGEUR.

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BIBLiüïïy POLiïEGÜIÎSiM

KRAKÔW

Pascal _ Ponts Métalliques .

PONT MÉTALLIQUE DE 16T00 D’OUVERTURE POUR ROUTE DE 5m00 DE LARGEUR - ÉPURES DES CALCULS DES MAITRESSES POUTRES.

PL .6

lere Hypothèse. Tassage dune file de tombereaux de 6 tonnes.

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Détermination des Efforts tranchants

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1 Cheval

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BIBLiOTËKA POLITECHBI

krakôw

Pascai__Ponts Métalliques.

TABLIEK MÉTALLIQUE A POÜTEES JUMELÉES, POUE PONT DE 8m00 D’OUVEETUEE.

PL. 7.

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Pascal _ Ponts Métalliques .

PONT EN ACIER DE 18m00 D’OUVERTURE

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Fig. 5.

Fig.6.

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Fig. 3.

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Pascai__Ponts Métalliques.

TYPES DE POUTRES A TREILLIS.

PL. 9.

Poutre à treillis en ~N

Poutres à trelllis ctois ès.

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Fig. 2.

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Joint

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Fig. 7.

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Efforts tranchants................................................................................/ Millhn pour 2000

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CATALOGUE DE LIVRES

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CONSTRUCTION ET LES TRAVAUX PURLICS

PUBLIÉS PAR

LA LIBRAIRIE POLYTECHNIQUE CH. BÉRANGER

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Annales de la construction.

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Agenda Oppermann paraissant chaque année. Elégant carnet de poche contenant tous les chiffres et tous les renseignements techniques d’un usage journalier. Rapporteur d’angles, coupe géologique du globe terrestre, guide du métreur. — Résumé de gîodésie.— Poids et mesures, monnaies françaises et étrangères. — Renseignements mathématiques et géométriques. Renseignements physiques et chimiques. — Résistance des matériaux. — Electricité. — Règlements administratifs. — Dimensions du commerce. — Prix courants et séries de prix. — Tarifs des Postes et Télégraphes.

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Aide-mémoire de l’ingénienr. Mathématiques, mécanique, physique et chimie, résistance des matériaux, statique des constructions, éléments des machines, machines motrices , constructions navales, chemins de fer, machines-outils, machines élévatoires, technologie, métallurgie du fer, constructions civiles, législation industrielle. Troisième édition française du Manuel de la Société « Hütte », par Philippe Hoguenin. 1 volume in-12 contenant plus de 1200 pages avec 500 ligures dans le texte, solidement relié en maroquin. ...............

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Cours pratique de construction, rédigé conformément au programme officiel des connaissances pratiques exigées pour devenir ingénieur. Terrassements, — ouvrages d’art, — conduite des travaux, — matériel, — fondations, — dragage, — mortiers et bétons, — maçonnerie, — bois, — métaux, —- peinture, — jaugeage des eaux, — règlement des usines, etc., Prud’homme. 4° édition. 2 volumes in-8°, avec 363 figures dans le texte. '

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Architecture et constructions civiles. Maçonnerie ; pierres et briques : leur emploi dans les maçonneries ; proportion des murs; fondations; murs de cave et murs en élévation ; des moulures et des ordres ; décoration des murs extérieurs des édifices ; cloisons, planchers, voûtes ; escaliers en maçonnerie ; éléments de décoration intérieure ; revêtement des sols ; roches naturelles ; chaux et ciments ; du plâtre, produits céramiques, par J. D architecte, professeur à l’Ecole centrale. 1 volume grand in-8°, avec 794 figures dans le texte........

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Architecture et constructions civiles. Charpente en bois et menuiserie ; les bois, leurs assemblages ; résistance des bois ; tableaux, calculs faits ; linteaux et planchers; pans de bois; combles; étaiements, échafaudages, appareils de levage ; travaux hydrauliques, cintres, ponts et passerelles en bois ; escaliers ; menuiserie en bois ; parquets, lambris, portes, croisées, persiennes. devantures, décoration, par J. Denfer, architecte, professeur à l’Ecole centrale. 1 volume grand in-8°, avec 680 figures dans le texte. 25 fr.

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Emploi du bouclier dans la construction des souterrains, par Raynaud Legouez, ingénieur des ponts et chaussées, détaché au service des égouts de la Ville de Paris. 1 volume in-8°, avec 337 figures dans le texte, relié.

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Traité pratique et complet de tous les mesurages, métrages, jaugeages de tous les corps, appliqué aux arts, aux métiers, à l’industrie, aux constructions, aux travaux hydrauliques, aux nivellements pour construction déroutés, de canaux et de chemins de fer, drainage, etc., enfin à la rédaction de projets de toute espèce de travaux du ressort de l’architecture et du génie civil et militaire, terminé par une analyse et série de prix avec détails sur la nature, la qualité, la façon et la mise en œuvre des matériaux, par E. Sergent, 8° édition, 2 volumes grand in-8“ et 1 atlas de 47 planches in-folio .    .    50 fr.

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Cours de Géométrie descriptive. Perspective, ombres, courbes et surfaces, charpente. Professé à l’École centrale des arts et manufactures, par Ch. Brisse, rédigé et annoté par H. Picquet, examinateur d’admisssion et répétiteur de géométrie descriptive à l’Ecole Polytechnique, 1 volume grand in 8°, avec 300 figures dans le texte ...".........17 fr

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Coupe des pierres.

Coupe des pierres, précédée des principes du trait de stéréotomie, par Eugène Rouché, examinateur de sortie à l’Ecole Polytechnique, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, et Charles Brisse, professeur à l’Ecole centrale et à l’Ecole des Beaux-Arts, répétiteur à l’Ecole Polytechnique. 1 vol. grand in-8° et 1 atlas in-4° de 33 planches

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Matériaux de construction.

Connaissance, recherche et essais des matériaux de construction et de ballastage; par Em. Baudson, chef de section des travaux neufs au chemin de fer du Nord. 1 volume grand in-8° .    .    .

Chimie appliquée à l’art de l’ingénieur.

Chimie appliquée à l’art de l’ingénieur. Première partie : Analyse chimique des matériaux de construction, par Ch. Léon Durand-Claye, inspecteur général, ancien professeur et ancien directeur du Laboratoire à l’Ecole des ponts et chaussées, et Derôme, chimiste de ce Laboratoire. Seconde partie : Etude spéciale des matériaux d’agrégation, par René Féret, ancien élève de l’Ecole Polytechnique, chef du Laboratoire des ponts et chaussées à Boulogne-sur-Mer. 1 volume grand in-8°, avec de nombreuses gravures dans le texte .

Ciments et chaux hydrauliques.

Ciments et chaux hydrauliques. Fabrication, propriétés, emploi, par E. Candlot, 2e édition revue et considérablement augmentée. 1 volume grand in-8°, avec figures dans le texte, relié

Chaux et sels de chaux.

Chaux et sels de chaux appliqués à l’art de l’ingénieur, par Grange, agent-voyer en chef du département de la Vienne. 1 volume grand in-8° avec figures dans le texte.................. 18 fr.

Carrières de pierre de taille.

Recherches statistiques et expériences sur les matériaux de construction. Répertoire des carrières de pierre de taille exploitées en 1889, publié par le Ministère des travaux publics et contenant pour chaque carrière : sa désignation et le nom de la commune où elle est située, le mode d’exploitation, lé nombre et la hauteur des bancs, la désignation usuelle de la pierre, la nature de la pierre, la position géologique de la carrière, le poids moyen par mètre cube et la résistance à l’écrasement par centimètre carré des échan-

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Congrès des Procédés de construction.

Congrès international des procédés de construction tenu en 1889, sous la présidence de M. Eiffel. Comptes rendus des séances et visites du Congrès, par Auguste Moreau et Georges Petit, secrétaires du Congrès. 1 volume grand in-8°, avec de nombreuses gravures dans le texte et 8 planches. .

Murs de soutènement.

Etudes théoriques et pratiques sur les murs de soutènement et les ponts et viaducs en maçonnerie, par Dubosque, sous-ingénieur des Ponts et chaussées, ancien chef de bureau des travaux neufs a la Compagnie du Nord. 5e édition, revue, corrigée et augmentée. 1 volume grand in-8°, avec 15 planches et 141 figures, relié...........15 fr.

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Tracé du profil des murs de soutènement et de pilastres de portes, > par Eugène Joyeux, architecte. 1 vol. in-8°, avec 56 figures dans le texte. 5 fr.

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Consolidation des talus.

Traité de consolidation des talus, routes, canaux et chemins de 1er, par R. Bruère, ingénieur civil. 1 vol. in-12 et atlas in-8» de 25 pl. dou-

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Consolidation des tranchées et des remblais.

Consolidations des tranchées et des remblais argileux, par L. Lefort> ingénieur des ponts et chaussées. Ce mémoire a paru dans les livraisons de janvier, février, mars, avril et mai 1897 des A nnales de la Construction. Prix de ces 5 livraisons..............10 fr.

Statique graphique.

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Éléments de statique graphique, par Eugène Rouché, examinateur de sortie à l’Ecole Polytechnique, professeur de statique graphique au Conservatoire des arts et métiers. 1 vol. grand in-8°, avec de nombreuses vures dans le texte. .    ..........

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Eléments de statique graphique appliquée aux constructions. lre partie. Poutres droites, poussée des terres, voûtes, par Muller-Breslau (traduction par Seyrig). 2e partie : Poutres continues, applications numériques par Seyrig, ingénieur-constructeur du pont du Douro. 1 volume grand in-8° et 1 atlas in-4° de 29 planches en 3 couleurs

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Application de la statique graphique. Règlements ministériels, charges des ponts et des charpentes, poutres droites, poutres courbes, pleines, à treillis, continues, ponts-grues, arcs métalliques, fermes métalliques, piles métalliques, influence du vent sur les constructions, leurs déformations, calcul des poutres pour le lançage et le montage, piles en maçonnerie, cul des joints des poutres, formules et tables usuelles, par Maurice Koechlin, administrateur de la Société de Construction de Levallois-Perret. 2e édition.

1 vol. grand in-8°, avec figures dans le texte et 1 atlas in-4° de 34 planches .    ...................30 fr.

Cours de mathématiques.

Cours de mathématiques pures et appliquées, à l'usage des conducteurs des ponts et chaussées, agents-voyers, chefs de section, architectes, conducteurs de travaux, entrepreneurs, etc., comprenant, Arithmétique, nombres entiers, fractions et nombres fractionnaires, progression, séries et logarithmes, applications. Géométrie plane : propriétés et tracé des figures planes, mesure et proportion des figures planes, trigonométrie, courbes diverses. Géométrie de l'espace : propriétés et construction des figures de l’espace, mesure des figures de l’espace, géométrie descriptive, perspective. Algèbre, analyse et géométrie analytique. Mécanique : statique, dynamique, hydrostatique, hydro-dynamique, par L. Lanceljn, inspecteur général des ponts et chaussées. 1 vol. in-8°. avec de nombreuses figures dans le texte, relié..................iOfr.

Résumé des connaissances mathématiques.

Résumé des connaissances mathématiques nécessaires dans la pratique des travaux publics et de la construction par E. Mussat, ingénieur des ponts et chaussées. 1 vol. grand in-8° avec 133 figures dans le texte. 10 fr.

Voirie. — De l’alignement.

De l’alignement ou du régime des propriétés privées bordant le domaine public, par C. Morin. 1 vol. grand in-8⁰.........15 fr.

Traité de topographie.

Traité de topographie. — Appareils d’optique, applications de la géodésie à la topographie, instruments de mesure, levé des plans de surface, levés souterrains, théorie des erreurs, par André Pelletan, ingénieur en chef des mines, professeur à l’Ecole des mines. 1 vol. grand in-8° avec 235 figures dans le texte. Relié...........15 fr.

Levé des plans et nivellement.

Levé des plans et nivellement. Opérations sur le terrain, opérations souterraines, nivellement de haute précision, par Léon Durand-Claye, ingénieur en chet des ponts et chaussées, Pelletan et Lallemant, ingénieurs des mines. 1 vol. grand in-8° avec figures dans le texte.....25 fr.

Levé des plans.

Traité du levé des plans et de l’arpentage, par Duplessis. 1 vol. in-8° avec 105 figures dans le texte............. 4 fr.

Nivellement.

Traité du nivellement, comprenant les principes généraux, la description et l’usage des instruments, les opérations et les applications, par Düplèssis, 1 vol. in-8°, contenant 112 figures.......8 fr.

Tables tachéométriques.

Tables tachéométriques, donnant aussi rapidement que la règle logarithmique tous les calculs nécessaires à l’emploi du tachéomètre, par Louis Pons, ingénieur d’études de chemins de fer. 1 vol. in-8°, relié. .    10 fr.

Tachéométrie.

Suppression du chaînage, des règles à calcul, des tables tachéométri -ques et des tables logarithmiques dans le nivellement et le levé des plans, méthode donnant simultanément la configuration et le relief des terrains de toute étendue par la lecture directe des distances horizontales, des différences de niveau et des coordonnées rectangulaires des points visés par rapport à l’orientation de chaque station, par Loir Erasme, agent-voyer, 3° édition. 1 vol. in-8°, avec 3 planches...........5 fr.

Courbes de raccordement.

Tables pour le tracé des courbes circulaires de raccordement des voies de communication, par Charles Grimmejsen, ancien ingénieur. 1 vol. in-12, avec figures dans le texte, relié............9 fr.

Courbes de raccordement.

Nouvelles tables pour le tracé des courbes de raccordement en arc de cercle (chemins de fer, canaux, routes et chemins), par Chauvac de La Place, 5e édition. 1 volume in-12, relié ...........7 fr. 50

Mouvement des terres.

Théorie et pratique du mouvement des terres d’après le procédé Bruckner, par Ernest Henry, inspecteur général des ponts et chaussées.

1 vol. grand in-8°...............2fr. 50

Cours de routes.

Cours de routes professé à l’école des Ponts et Chaussées. Disposition d'une route, étude et rédaction des projets, construction, entretien, par Ch. Léon Durand-Claye, inspecteur général des ponts et chaussées. 1 volume grand in-8° avec figures dans le texte. .    ......    20 fr.

Chemins vicinaux.

Traité pratique des chemins vicinaux. Généralités, personnel, assiette des chemins vicinaux, ressources de la voirie vicinale, exécution des travaux, comptabilité des chemins vicinaux, police de la voirie vicinale, police de roulage, objets divers, par Ernest Henry, inspecteur général des ponts et chaussées, ancien agent-voyer en chet du département de la Marne. 1 vol. grand in-8".....'    ............    20 fr.

Réparation et entretien des chaussées.

Réparation et entretien des chaussées en empierrement. Instructions pratiques à l’usage des ingénieurs, conducteurs, commis et agents-voyers et plus spécialement à celui des cantonniers, par J. Dubosque, sous-ingénieur des ponts et chaussées. Ouvrage approuvé par le Ministre des Travaux publics, 2® édition revue et mise à jour. I vol. in-12, cartonné. i fr. 50

Pavage en bois.

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Le bois et ses applications au pavage à Paris, en France et à l’étranger, divers systèmes de pavage en bois ; bois employé au pavage ; étude des propriétés physiques, mécaniques, anatomiques et chimiques des bois ; conservation et préparation des bois ; fabrication des pavés ; entretien et durée des pavages en bois ; pavage en bois dans les voies à tramways ; régime des sociétés de pavage en bois ; contrats et cahiers des charges ; fonctionnement du système de la régie, à Paris ; prix de revient, par Albert Petsche, ingénieur des ponts et chaussées, ancien ingénieur du service municipal de Paris. 1 volume in-8\ avec 223 figures dans le texte, relié. .    .

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L’asphalte. Son origine, sa préparation, ses applications, par Léon Malo. 2» édition ; entièrement refondue et mise au courant des derniers perfection-nements de l’industrie de l’asphalte. 1 vol. in-12, avec 2 planches. 3 fr. 50.

Traité complet des Chemins de fer.

Traité complet des chemins de fer. Historique et organisation financière, construction delà plate-forme,ouvrages d’art, voie, stations, signaux,matériel roulant, traction, exploitation, chemins de fer à voie étroite, tramways, par G. Humbert, ingénieur des ponts et chaussées. 3 volumes grand in-8°, avec 700 figures dans le texte..............50 fr.

Chemins de fer. Notions générales et économiques.

Chemins de fer. Notions générales et économiques. Historique, formalités et règlements relatifs à l’exécution des travaux, régimes, développements, dépenses, comparaison des voies ferrées avec les routes et les voies de navigation intérieure, prix de revient des transports sur rails, tarifs et leur application, recettes d’exploitation, voie et traction, chemins de fer à voie étroite, considérations économiques, ar Léon Leygue, ancien ingénieur des nonts et chaussées, ingénieur civil. 1 olume grand in-8°.    .    .    . I5fr.

Construction des chemins de fer.

Instructions pour la préparation des projets et la surveillance des travaux de construction de la plate-forme des chemins de fer, suivies de tables pour le calcul des courbes et pour l’évaluation des volumes des déblais et des remblais, par L. Partiot, inspecteur général des ponts et chaussées, f volume petit in-4°, avec 8 planches et de nombreuses figures intercalées dans le texte, relié..................15    fr.

Tracé des chemins de fer.

Tracé des chemins de fer, routes, canaux, tramways, etc. Etudes préliminaires, études définitives, recherche et choix des matériaux de construction et de ballastage, par Em. Baudson, chef de section des travaux neufs au chemin de fer du Nord. 1 volume grand in-8° avec 4 planches et 95 figures intercalées dans le texte..............10    fr.

Chemins de fer. — Superstructure.

Chemins de fer. Superstructure : voies, gares et stations, signaux, par E. Deharme, ingénieur au service central de la Compagnie du Midi, professeur du Cours de Chemins de fer à l’Ecole centrale des Arts et Manufactures. 1 volume grand in-8° avec 310 figures dans le texte et 1 atlas in-4° de 73 planches doubles.......... 50    fr.

Tables de déblais et de remblais.

Tables des surfaces, largeurs d’emprises et longueurs des talus, des profils en travers des voies de communication, mais plus spécialement destinées aux chemins de fer à voie étroite, par L. Henriet, chef de section aux chemins de fer de l’Ouest. 1 volume grand in 8° relié......12 fr.

Chemins de fer d’intérôt local.

Traité des chemins de fer d’intéiêt local. Chemins de fer à voie étroite, tramways, chemins de fer à crémaillère et funiculaires, par G. Humbert, ingénieur des ponts et chaussées. 1 volume grand in-8° avec 212 figures dans le texte. Relié .................. 20 fr.

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Construction et exploitation des chemins de fer à voie de 0,60 centimètres. Voie, terrassements, ouvrages d’art, machines et matériel roulant, avec étude d’un tracé entre deux points donnés, par R. Tartary, conducteur des ponts et chaussées, i volume grand in-8°, avec 97 figures dans le texte. .    10 fr.

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Chemins de fer funiculaires. Transports aériens, par A. Levy-Lambert, ingénieur civil. 1 volume grand in-8°, avec figures dans le texte. 15 fr.

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L’air comprimé appliqué à la traction des tramways. Description de la locomotive, compresseurs, chargement de voitures et canalisation, divers modes de transport par l’air comprimé, prix de revient et conclusions, par L. A. Barbet. 1 volume grand in-8% avec 96 figures dans le texte. 7 fr. 50

Traction électrique.    t

La traction électrique sur voies feîrées. Voie, matériel roulant, traction, par André Blondel , ingénieur des ponts et chaussées, professeur du cours d’électricité à l’Ecole des jponts et chaussées et F. Paul Dubois, ingénieur des ponts et chaussées, ingénieur du Service municipal de la Ville de Paris. 2 volumes grand in-8°, contenant plus de 1700 pages et 1014 figures dans le texte. Relié.....'.............50 fr.

Moyens de transport.

Les moyens de transport appliqués dans les mines, les usines et les travaux publics; voitures, tramways, chemins de fer, plans inclinés, traînage par câble et par chaîne, etc., organisation et matériel, par Evrard. 2 vol. in-8°, avec 1 atlas de 123 planches in-folio, contenant t 400 figures. 100 fr.

Tarifs de chemins de fer.

Traité général des tarifs de chemins de fer, contenant une étude spéciale des tarifs appliqués en Allemagne, Autriche-Hongrie, Suisse, Italie, France, Belgique, Hollande, Angleterre et Russie, par F. Ulrich, conseiller intime au ministère des Travaux publics de Berlin. Edition française revue et augmentée par l’auteur. 1 volume grand in-8°........16 fr.

Carnet du poseur de voies.

Carnet du poseur de voies de chemins de fer, par P. Martial, chef de section au chemin de fer de l’Etat. 1 volume in-12 avec 35 planches. 3fr. 50

Bloek-System à distance

Etude sur le Block-System à distance pour l’exploitation des chemins de fer. Contrôleur automatique de la marche des trains. Contrôleur des cloches électriques. Contrôleur automatique des signaux du Block-System à distance, par Ch. Metzger, ingénieur en chef des ponts et chaussées. 1 volume in-4° avec figures en couleur et 5 planches..........6 fr.

Montagnes et Torrents.

Restauration des montagnes, correction des torrents, reboisement, par E. Thiery, professeur à l’Ecole nationale forestière, avec une introduction par M. C. Lechalas. 1 volume grand in-8° avec 164 figures dans le texte. 15 fr.

Viil

Hydraulique agricole.

Hydraulique agricole. Aménagement des eaux; irrigation des terres labourables, des cultures maraîchères, des jardins, des prairies, etc. ; création et entretien des prairies; dessèchements, dessalage, limonage et colmatage, curage; irrigation et drainage combinés; renseignements complémentaires techniques et administratifs, par J. Charpentier de Cossigny, ancien élève de l’Ecole Polytechnique, lauréat de la Société des Agriculteurs de France, ingénieur civil. 2e édition revue et augmentée. 1 volume grand in-8° avec de nombreuses figures dans le texte.........    .    .    15 fr.

Hydraulique fluviale.

texte

Hydraulique fluviale. Météorologie et hydrologie ; les fleuves, grandes inondations, navigation ; conditions techniques d’un grand développement de la navigation fluviale ; conclusions ; par M. C. Lechalas, inspecteur général des ponts et chaussées. I volume grand in-8°, avec figures dans le ■-A.................... 17 fr. 50

Guide de l’expert.

Le guide de l’expert. Application de l’hydraulique à l’usage du personnel des ponts et chaussées, des mines, du service vicinal, des chemins de fer, des ingénieurs, des architectes et des experts, par L. Prud’homme, ingénieur, ancien conducteur principal des ponts et chaussées. 1 volume in-8° avec figures dans le texte...............5 fr. 50

Navigation intérieure.

Rivières à courant libre, cours de navigation intérieure de l’Ecole nationale des ponts et chaussées, par F.-B. de Mas, inspecteur général des ponts et chaussées, professeur à l’Ecole nationale des ponts et chaussées. 1 volume grand in-8° avec 48 planches intercalées dans le texte. ...    17 fr. 50

Cours de ponts.

Cours de Ponts de l’École des ponts et chaussées. Emplacements, débouchés, fondations, ponts en maçonnerie, par Jean Résal, ingénieur en chef des ponts et chaussées. 1 volume grand in-8°, avec de nombreuses figures dans le texte ...    ...    14 fr

Ponts en maçonnerie.

des ponts et Mûmes grand 40 fr.

Ponts en maçonnerie, par E. Degrand, inspecteur gén chaussées, et J. Résal, ingénieur des ponts et chaussées. in-8° avec de nombreuses figures dans le texte....

Barême des poutres métalliques.

Barême des poutres métalliques à âmes pleines et à treillis, par Pascal* ingénieur civil. 1 volume in-4° avec ligures dans le texte. Relié. 12 fr. 50

Constructions métalliques.

.    .    20 fr.

Constructions métalliques.— Elasticité et résistance des matériaux: fonte, fer et acier, par Jean Résal, ingénieur des ponts et chaussées. 1 volume grand in-8° avec figures dans le texte.

Ponts métalliques.

20 fr.

vures

Ponts métalliques, par Jean Résal, ingénieur des ponts et chaussées. Tome premier. — Calcul des pièces prismatiques ; renseignements pratiques; formules usuelles '■> poutres droites à travées indépendantes ; ponts suspendus; ponts en arc. 1 volume grand in-8° avec de nombreuses gra-dans le texte

Tome second. — Poutres à travées solidaires ; Théorie générale des poutres à section constante ; calcul des poutres symétriques ; poutres continues à section variable : théorie générale des poutres de hauteur variable ; montage des ponts par encorbellement ; ponts-grues ; calcul des systèmes articulés ; piles métalliques ; tables numériques. 1 volume grand in-8" avec de nombreuses ligures dans le texte...... 20 fr.

Ponts métalliques.

Calcul des ponts métalliques à poutres droites, à une ou plusieurs travées par la méthode des lignes d’influence. Formules et tables servant au calcul rapide des moments fléchissants et des efforts tranchants maximums déterminés, en divers points des poutres, par des charges uniformément réparties et des charges concentrées mobiles, par Adrien Cart et Léon Portes, ingénieurs civils attachés au service des ponts métalliques de la Compagnie d’Orléans. 1 volume grand in-8° avec figures dans le texte et 2 planches, relié....................... 20 fr.

Ponts et viaducs métalliques.

Calculs de résistance des ponts et viaducs métalliques à poutres droites d’après la circulaire ministérielle du 29 août 1891, par Maurice Hulewicz, ingénieur, ancien élève de l’école des ponts et chaussées. 1 volume grand in-8°, avec 1 planche.................10 fr.

Ponts métalliques.

Etudes théoriques et pratiques sur les ponts métalliques càune travée et à poutres droites et pleines, par E. Dumetz, commis des ponts et chaussées, attaché au service vicinal du Pas-de-Calais. 1 vol. grand in-8°, avec 117 fig. dans le texte. ................. 10 fr.

Ponts métalliques.

Ponts métalliques à travées continues. Méthode de calcul satisfaisant aux nouvelles prescriptions du règlement ministériel du 29 août 1891, avec tables numériques pour en faciliter l’emploi,par Bertrand de Fontviolant, ingénieur à la Compagnie de Fives-Lille, répétiteur de mécanique appliquée à l’Ecole centrale. 1 volume grand in-8° avec 3 planches.......10 fr.

Ponts métalliques.

N. B. — Les monographies suivantes ont paru dans les Annales de la Construction et se vendent avec la livraison qui les renferme au prix de 2 fr. la livraison.

Pont vicinal métallique de 8 mètres de portée, avec tablier en briques creuses, avec une planche. Livraison de février 1876    ..... 2 fr.

Pont vicinal métallique de 8 mètres de portée, avec tablier en tôle ondulée, avec une planche. Livraison de mai 1876 ..... 2 fr.

Pont sur l’ Yonne à 4 travées métalliques sur piles tubulaires, du chemin de fer d’Orléans à Châlon, avec deux planches. Livraison de novembre et décembre 1876 ............ ....    4 fr.

Pont vicinal en fer de llm,50 de portée, avec une planche. Livraison de février 1877 ............. .    .    .    2 fr.

Types de ponts en fer spéciaux de 2, 3, 4 mètres de portée, du chemin de fer d’Orléans à Châlon, avec une planche. Livraison de mai 1877.    2 fr.

Livraison de février 1881

Pont en fer sur pieux à vis avec tablier en tôle pyramidée, avec 2 planches.

2 fr.

Passerelle en fer de 86 mètres de portée sur le bassin de la Villette, cà Paris, avec 2 planches. Livraison de février 1883 ...    .    .    2 fr.

Projets présentés au concours pour la construction du pont de Czernovoda sur le Danube, avec une planche. Livraison de janvier 1884.    .    .    2 fr.

Pont en acier sur la Seine, à Rouen, avec 2 planches. Livraison d’octobre

1884

2 fr.

Pont métallique en arc du chemin de fer de Grande-Ceinture de Paris,

avec une planche. Livraison de mars 1885 ........ 2 fr.

2 fr.

Pont-route, en arc de 23 mètres d’ouverture, avec une planche. Livraison de décembre 1886

Pont métallique de 15m,40 d’ouverture sur le canal Saint-Denis, avec une

planche. Livraison d’août 1887 ............. 2 fr.

2 fr.

Pont de Barbin, à Nantes, de 80 mètres d’ouverture, avec une planche. Livraison de mai 1888

Les ponts du chemin de fer de Ceinture de Paris, sur l’avenue de Vin cennes et sur la rue de la Voûte-du-Cours, avec une planche. Livraison de septembre 1888 ................. 2 fr.

Pont du Forth, avec une planche. Livraisons de novembre et de décembre 1888 ............. 4    fr.

2 fr.

Pont sur la Loire du chemin de fer de Romorantin à Blois, avec une planche. Livraison de mars 1890

Pont Washington, à New-York, avec 2 planches. Livraison de juin 1891................ 2    fr.

Règlement du 29 août 1891 relatif aux épreuves des ponts métalliques. Livraison de janvier 1892 .............. 2    fr.

Pont sur la rivière Dee, à Hawarden, avec une planche.    Livraison    de

mars 1893 ......     2    fr.

Outillage spécial employé dans la construction du pont de Forth, avec 2 planches. Livraisons de mai et de juin 1890 du Portefeuille des machines.......... 4    fr.

Pont métallique en acier, à double tablier, sur le Var, à Manda, avec 1 planche Livraison de mai 1893....... .    .    2 fr.

Ponts fondés sur pieux à vis de la Compagnie des    chemins    de    fer    du

sud de la France, avec 1 planche. Livraison de janvier    1894.    .    .    2    fr.

2 fr.

Pont sur la Saale à Bernburg (Allemagne), avec 2 planches. Livraison de mars 1894

Formules pratiques permettant de se rendre compte a priori de l’action du vent sur les fermes principales des ponts de chemins de 1er à poutres droites. Livraison de janvier 1895............. 2 fr.

Ponts métalliques du Chemin de fer de l’Ouest, sur la Seine, à Tourville et à Oissel, avec 3 planches. Livraisons de mai, juin, juillet, août et septembre 1895 ................... 10 fr.

Casaba-Alacheir Livraison de décembre 1897

Renforcement des tabliers métalliques du chemin de fer de Smyrne-

2 fr.

Pont de la rue de Tolbiac, à Paris, avec 2 planches. Livraisons de janvier, février et mars 1898 ......... .    ..... 6 fr.

Note sur l’application du « Canteliver » aux poutres des ponts métalliques à travées indépendantes, avec 1 planche. Livraison de janvier 1899.    2 fr.

Ponts suspendus.

N. B. — Les monographies suivantes ont paru dans les Annales de la Construction et se vendent avec la livraison qui les renferme au prix de 2 fr. la livraison.

Ponts suspendus de Saint-Ilpize et de Lamothe, avec une planche. Livraison de mars 1886 .................. 2 fr.

Etude sur les ponts suspendus, avec une planche. Livraison de juin 1886....... ............ 2 fr.

Passerelle suspendue, sur la Trème, pour la conduite d’eau de la ville de Bulle, avec une planche. Livraison d'août 1888........ 2 fr.

Passerelle suspendue, sur la Sarine, pour la conduite d’eau de la ville de Fribourg. Livraison de septembre 1892 ....... .    2 fr.

Ponts portatifs.

Ponts portatifs, systèmes Eiffel, système Cottrau, système Henry, ponts militaires en acier du commandant Marcile, avec 3 planches. Cette étude a paru dans les livraisons de septembre et de novembre 1884 des Annales de la Construction. Prix de ces 2 livraisons.........4 fr.

Viaducs.

N- B. — Les monographies suivantes ont paru dans les Annales de la Construction et se vendent avec la livraison qui les renferme au prix de 2 fr. la livraison.

Viaduc en fer sur piles métalliques et pieux à vis du port de la Guaïra, avec une planche. Livraison de mars 1877    ........ 2 fr.

Viaduc en maçonnerie sur la vallée de la Ruhr, près de Herdekce, avec une planche. Livraison d’août 1881............2 fr.

Viaduc en fer de Marly-le-Roi, avec 2 planches. Livraison d'avril

1884

2 fr.

Viaduc en maçonnerie sur la rivière Esk, avec une planche. Livraison de janvier 1887 .................... 2 fr.

Viaduc métallique sur la Tay, avec une planche. Livraisons de juin et de juillet 1888. ................ 4 fr.

Viaduc métallique de Paderno, sur l’Adda, avec une planche. Livraison

. '    ...................2 fr.

Viaduc métallique sur l’Oise, du chemin de fer d’Argenteuil à Mantes,

avec une planche. Livraison de mars 1891.........2 fr

Viaduc métallique sur la Siagne, du chemin de fer de Draguignan à Grasse, avec 2 planches. Livraison de septembre 1891

Piles métalliques d’un viaduc à trois travées, ligne de Myli-Kalamata, avec une planche. Livraison d’avril 1897 ........... 2 fr.

d’août 1888

2 fr.

Le Viaduc de Garabit.

Mémoire sur le viaduc de Garabit. Description, calculs de résistance, montage, épreuves et renseignements divers, par G. Eiffel, président de la Société des ingénieurs civils. 1 volume in-8° et 1 atlas in-folio de 19 planches.

25 fr.

Ponts tournants et ponts-levis. ,

N. B. — Les monographies suivantes ont paru dans les Annales de la Construction et se vendent avec la livraison qui les renferme au prix de 2 fr. la livraison.

Pont-levis de 6 mètres d’ouverture sur le canal de Charleroi à Bruxelles, avec une planche. Livraison de février 1886

Pont tournant d’Aubervilliers sur le canal Saint-Denis, avec une planche.

............ 2    fr.

Pont tournant de 59m.40 de portée, de l’arsenal de Tarente, ave« une planche. Livraison de janvier 1888

Pont tournant à manœuvre hydraulique de 73m,80 de longueur totale, à Marseille, avec    2 planches.    Livraison    de    décembre    1887    du    Portefeuille    des

machines...... 2    fr.

Appareil de    manœuvre    d’un    pont    tournant    de    75m,285    d’ouverture,    ac

tionne par une roue hydraulique, avec 1 planche. Livraison d’août 1895, du

Portefeuille des    machines...............2    fr.

Ecluse, pont tournant et appareils hydrauliques de manœuvre du nouveau bassin à flot du port de Kochefort, avec 3 planches. Livraisons de mars et avril 1896.

Livraison de septembre 1886

2 fr.

2 fr.

4 fr.

Emploi des pieux métalliques.

Étude sur l’emploi des pieux métalliques dans les fondations d’ouvrages d’art, par C. Grange, agent-voyer en chef du département de la Vienne. 1 volume grand in-8°, avec 51 figures dans le texte .    .

Stabilité «les constructions.

Traité de stabilité des constructions, précédé d’éléments de statique graphique et suivi de compléments de mathématiques. Leçons professées au Conservatoire national des Arts et Métiers et à l’Ecole centrale d’Architecture par Jules Pillet, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, à l’Ecole nationale des Beaux-Arts, etc. 1 volume grand in-i° de 536 pages, imprimé sur très beau papier. Nombreux tableaux graphiques ; abaques et tables numériques ; 600 ligures et épures dans le texte .    .    .

Résistance des matériaux.

Résistance des matériaux. Cours de Jean Résal, ingénieur en chef des ponts avec de nombreuses figures dans le texte

Résistance des matériaux.

Stabilité des constructions et résistance des matériaux, par A. Flamant, ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur à l’Ecole des ponts et chaussées et à l’Ecole centrale, 2e édition revue et augmentée. 1 volume grand in-8° avec 251 figures dans le texte . .

Moments d’inertie.

Carnet du Constructeur. Recueil de moments d'inertie relatifs à3263 poutres composées à âme simple et double d’une hauteur variant de 20 centimètres à 1 mètre, par Chevalier et Brun, ingénieurs-constructeurs. 1 volume in-12. Relié.....................7 fr. 50

7 fr. 50

25 fr.

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25 fr.

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Moments d’inertie.

Les moments d’inertie dans les constructions métalliques. Tables des moments d’inertie des principaux profils de I et pour faciliter le calcul des moments d’inertie des poutres composées symétriques ou non symétriques, par Boubée. 1 volume in-12, cartonné........4 fr.

Charpentes métalliques.

15 fr.

Les principes de la construction des charpentes métalliques et leur application aux ponts à poutres droites, combles, supports et chevalements. Extraits du cours d'architecture industrielle professé à l’Ecole spéciale des arts et manufactures et des mines annexée à l’Université de Liège, par Henri Dechamps, ^professeur à la Faculté des sciences de Liège, ancien ingénieur de la Société Cockerill, à Seraing. 2° édition refondue et augmentée. 1 volume grand in-8° avec 344 figures dans le texte. Relié. .    .

Constructions en ciment armé.

3 fr. 50

Étude des divers systèmes de construction en ciment armé, par Gérard Lavergne, ingénieur civil des mines. 1 volume in-8° avec 43 figures dans le texte, relié........

Constructions en ciment armé.

Note sur les constructions en ciment armé système Boussiron, description, avantages, théorie du système, par S. Boussiron, ingénieur civil. 1 brochure grand in-8° avec figures dans le texte. .......    1 fr. 50

Béton de ciment armé.

Calcul des poutres droites et planchers en béton de ciment armé, par L. Lefort, ingénieur en chef des ponts et chaussées. 1 volume in-8° avec 7 abaques représentatifs des formules et 48 figures dans le texte, relié. 8 fr.

Bar-le-Duc. — Imprimerie Comte-Jacquet, Facdoüel, Dir. .

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