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ABHANDLUNGEN

AUS DER

FUNCTIONENLEHRE

VON.

KARL WEIERSTRASS

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BERLIN

VERLAG VON JULIUS SPRINGER 1886.

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Àkc. Nr.____ô2Ü-|^

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Vorwort.

Von den im vorliegenden Bande vereinigten Abhandlungen sind die vier ersten, welche sich auf die Theorie der eindeutigen Functionen einer Veränderlichen beziehen, in den Jahren 1876, 1880, 1881 geschrieben und aus den Denkschriften und den Monatsberichten der Berliner Akademie ohne wesentliche Veränderungen abgedruckt worden. Die fünfte Abhandlung, welche eine Reihe von Sätzen über die eindeutigen Functionen mehrerer Argumente enthält, von denen ich in meinen Vorlesungen über die Abel’schen Transcendenten Gebrauch mache, habe ich im Jahre 1879 für meine Zuhörer lithographiren lassen, ohne sie in den Buchhandel zu geben. Die darauf folgende, den Monatsberichten aus dem Jahre 1876 entnommene Abhandlung „Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der periodischen Functionen von mehreren Veränderlichen“ hat beim Neudrucke verschiedene redactio-nelle Aenderungen erfahren. Die letzte Abhandlung endlich „Über die Theorie der analytischen Facultäten“, welche ich aus dem in der Einleitung angegebenen Grunde aufgenommen habe, ist im Ganzen so geblieben , wie sie (im Jahre 1854) in dem 51. Bande des Crelle’schen Journals erschienen; ich überzeugte mich aber während des Druckes von der Nothwendigkeit, an vielen Stellen, namentlich in der Einleitung und in den §§7,8 Berichtigungen und Verbesserungen anzubringen. Eine gänzliche Umgestaltung der Arbeit mit den gegenwärtig von der Functionenlehre dargebotenen Hülfsmitteln vorzunehmen, konnte ich mich nicht entschlossen.

Weierstrass.

Inhaltsverzeichnis«.

Seite.

1— 52

53— 66

67—101

.    .    102—104

5.    Einige auf die Theorie der analytischen Functionen

mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze    .    .    .    105—104

6.    Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der perio

dischen Functionen von mehreren Veränderlichen    .    .    .    165 — 182

7.    Über die Theorie der analytischen Facultäten .    .    .    .    183—260

Zur Theorie der

g(o)+2 ^,0*0

(—M eG- (*-<0 = 0 (~±X) ,

Über einen functionentheoretischen Satz des Herrn G. Mittag-Leffler.

Zur Functionenlehre.

K, K", ... K{r)

= (aOv+... + (*w)v

m ... m...o)fl

h sßo(^0,...0)

1.

/K, <>

Über die Theorie der analytischen

R'(1+f) sinG“2'),t

q'n q'n < E

7.

2 va=2 aasin%

Zur Theorie der

eindeutigen analytischen Functionen.

Aus den Abhandlungen der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom Jahre 1876.

MBLIOTEM PßLITECHBiCZHA

K R A K Ö W

Akc. Nr.

Zur Theorie der eindeutigen analytischen

Functionen.

1. Einleitung.

Unter den eindeutigen analytischen Functionen einer Veränderlichen zeichnen sich die rationalen durch eine charakteristische Eigeuthümlich-keit aus, die zunächst festgestellt werden soll.

Ich will von einer eindeutigen analytischen Function f(x) der com-plexen Veränderlichen x sagen, sie verhalte sich regulär in der Umgehung einer bestimmten Stelle (x = a), wenn sie innerhalb eines gewissen Bezirks, dessen Mittelpunkt a ist, überall einen endlichen und mit x stetig sich ändernden Werth hat. Nach einem bekannten Satze existirt dann eine Potenzreihe (a: [ a), welche innerhalb des genannten Bezirks die Function darstellt. Dies gilt auch, wenn a = 00 ist, indem unter

^ (x 100) eine Potenzreihe von — zu verstehen ist.*)

00

Die Gesammtheit der Stellen, an denen fix) diese beiden Eigenschaften besitzt, nenne ich den Stetigkeitsbereich der Function.

Dieser Bereich ist — wenn man von dem Fall absieht, wo f(x) sich auf eine Constante reducirt — stets ein begrenzter, wie sich folgender-massen beweisen lässt.

*) Ich bediene mich zur Bezeichnung einer Reihe von der Form

2 Av

v

in Fällen, wo es auf die Wertlie der von x unabhängigen Coëfficienten A₀,    , A.,,...

nicht ankommt, des Zeichens 'POU» auszusprechen „Potenzreihe von x.u Ist ferner a ein bestimmter Werth von x, so schreibe ich ^(a?|a) fiir$(æ — a), um hervorzubeben, dass a der Mittelpunkt des Convergenzbezirks der Reihe ist. Diese Bezeichnungsweise behalte ich auch bei, wenn « = ooist, indem ich in diesem Falle der Formel

x — 00

die Bedeutung — gebe.

*% w.

Es sei a irgend eine im Endlichen liegende Stelle und r der Radins des Convergenzhezirkes der Reihe ^ (x \ a), welche die Function f(pc) in einer gewissen Umgebung von a darstellt.

Hat r einen endlichen Werth, so giebt es unter denjenigen AVerthen von x. für welche \x — a\ Wr ist¹), mindestens einen (x'), der dem in Rede stehenden Bereich nicht angehört. Dann ist entweder x' selbst eine Grenzstelle des Bereichs, oder es findet sich eine solche in der Strecke ix'... a) zwischen x' und a.

vom Stetigkeits-

Ist dagegen r =oo, so giebt es unendlich grosse AVerthe von x, denen auch unendlich grosse AVerthe von f(x) entsprechen; in diesem Falle ist also die Stelle (x = oo) — und zwar diese allein bereich der betrachteten Function ausgeschlossen und bildet die Begrenzung desselben.

Hiermit ist festgestellt, dass für jede Function fix) im Gebiete der Veränderlichen x nothwendig singuläre Stellen, wie ich sie nennen will, existiren, welche Grenzstellen des Stetigkeitsbereichs der Function sind, ohne diesem selbst anzugehören. (Das Letztere ergiebt sich unmittelbar aus der Definition des Stetigkeitsbereichs.)

Ist a' irgend eine solche singuläre Stelle, so giebt es innerhalb eines beliebigen Bezirks, dessen Mittelpunkt a’ ist, unendlich viele Stellen, die dem Stetigkeitsbereich von f(x) angehören. Möglicherweise gilt dies, wenn der Radius des Bezirks hinlänglich klein angenommen wird, von allen Stellen des letzteren, und dann kann es Vorkommen, dass sich fix) durch Multiplication mit einer ganzen Potenz von x — a' in eine in der Umgebung von a' regulär sich verhaltende Function verwandeln lässt. Jenaclidem dies der Fall ist oder nicht, nenne ich a' in Beziehung auf die Function f{x) eine ausserwesentliche oder eine wesentliche singuläre Stelle.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Eine Function fix) kann so beschaffen sein, dass es im Gebiete von x Stellen giebt, die weder dem Stetigkeitsbereiche der Function (G) angehören, noch Grenzstellen desselben sind. An diesen Stellen, deren Gesammtheit mit A" bezeichnet werden möge, ist dann die Function nicht definirt. Es ist aber A" ein Bereich von derselben Beschaffenheit wie Ä; nimmt man in demselben eine Stelle a" beliebig an, so liegen auch alle einer gewissen Umgebung von a" angehörigen Stellen in A". Daraus folgt, dass der Bereich A" ein begrenzter ist, seine Grenzstellen aber nicht zu ihm ge-

hören, also, da sie auch nicht in A liegen, nothwendig mit Grenzstellen des letzteren Bereichs zusammenfallen, und zwar mit solchen, die wesentliche singuläre Stellen für die betrachtete Function sind. Nun liegt aber in jeder Strecke, die einen Punkt von A" mit einem Punkte von A verbindet, mindestens eine Grenzstelle des Bereichs A" ; es hat also die Function f(x) in dem angenommenen Falle unendlich viele wesentliche singuläre Stellen.

Nach diesen Auseinandersetzungen lässt sich nun die Klasse der rationalen Functionen einer Veränderlichen (x) definiren als die Ge-saiümtheit derjenigen eindeutigen Functionen von x, für die es im Gebiete dieser Grösse nur ausserwesentliche singuläre Stellen giebt.

Ist nämlich erstens f(x) eine rationale Function — im gewöhnlichen Sinne — und a irgend ein bestimmter AVerth von x, so'kann man f(x) zunächst als Quotienten zweier ganzen Functionen von (x — a), die für x = a nicht beide gleich Null sind, darstellen und sodann, wenn von den nicht verschwindenden Gliedern des Divisors das niedrigste von der mten Ordnung ist, bei hinlänglich kleinen AVertken von (x — a)

(x — a)m f(x)

in eine Peilie ^(x\ a) entwickeln; d. h. es existiren für die Function f(x) nur ausserwesentliche singuläre Stellen.

Angenommen zweitens, es sei f{x) eine irgendwie definirte eindeutige Function, von der sich feststellen lässt, dass für sie wesentliche singuläre Stellen im ganzen Gebiete von x nicht existiren, so dass in der Umgebung jeder beliebig angenommenen Stelle a die Function in der Form

{x — a) m ^ (x | a)

darstellbar ist, wo m eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet. Nimmt man zunächst a = oo, so giebt es nach dem Obigen im Innern des Convergenzbezirkes der Reihe ^(x \ a), jenaclidem m ^ 0 ist, entweder gar keine singuläre Stelle, oder nur die eine oo. Sämmtliche singuläre Stellen — ausser oo — sind also in einem ganz im Endlichen liegenden Bereiche zu suchen. In demselben kann es aber nur eine endliche Anzahl solcher Stellen geben. Existiren nämlich für irgend eine eindeutige Function im Innern eines begrenzten Bereichs unendlich viele ausserwesentliche singuläre Stellen, so giebt es im Innern oder an der Grenze des Bereichs wenigstens eine Stelle, welche sich dadurch auszeiclmet, dass in jeder Umgebung derselben von ihr verschiedene singuläre Stellen vorhanden sind, und die deshalb nothwendig eine wesentliche singuläre Stelle für die Function ist. Es ergiebt sich also aus der angenommenen Beschaffenheit der betrachteten Function fix) mit Nothwendig-keit, dass es für sie nur eine endliche Anzahl singulärer Stellen geben kann.

Es ist nun zunächst der Fall möglich, dass f(pc) in der Umgebung jeder im Endlichen liegenden Stelle sich regulär verhält, also durch eine für jeden endlichen Werth von x convergirende Keilte von der Form

A₀ --f~ A₁ x -f~ A^ x² ~h • • •

dargestellt werden kann. Dann hat die Function nur die eine singuläre Stelle oo, und da diese der Voraussetzung nach eine ausserwesentliche ist, so muss sich eine ganze, nicht negative Zahl m so bestimmen lassen, dass

i)

in-fi

f(x)

für jeden unendlich grossen Werth von x unendlich klein ist. Dies aber ist nach einem bekannten Satze nur möglich, wenn in der vorstehenden Keilte jeder Coefficient, dessen Index grösser als m ist, verschwindet. Es ist also in dem betrachteten Falle f(x) eine ganze rationale Function.

In dent Falle ferner, dass f(x) int Endlichen singuläre Stellen besitzt, mögen dieselben mit

CI11 • • • Cly

bezeichnet werden, und es sei mk die kleinste ganze Zahl, durch welche bewirkt werden kann, dass die Function

(x - ak)>l'c fix)

in der Umgebung der Stelle ak sich regulär verhält. Dann ist

mi    xmr

(x — ctj) .... (x — ar) fix)

eine Function, welche itt der Umgebung jeder im Endlichen liegenden Stelle sich regulär verhält, woraus nach dem Bewiesenen folgt, dass fix) in der Form

G {x) ix — rtj)’”¹.... ix — ar)m''

dargestellt werden kann, wo 0{x) eine ganze rationale Function von x bedeutet.

Hiermit ist bewiesen, dass durch die gegebene Definition wirklich die charakteristische Eigenthümlichkeit der rationalen Functionen einer Veränderlichen ausgesprochen wird.

Durch die vorstehenden Erörterungen ist aber auch für die Untersuchung und Classification der transcendenten eindeutigen Functionen eines Arguments ein Fingerzeig gegeben.

Werden dem Stetigkeitsbereich einer Function diejenigen von seinen Grenzstellen, welche ausserwesentliche singuläre Stellen für dieFunction sind, hinzugefügt, so entsteht ein Bereich A', von welchem man, dem soeben Festgestellten gemäss, sagen kann, dass in ihm f(x) überall wie eine rationale Function sich verhalte. Dieser Bereich ist ein unbegrenzter oder ein begrenzter, je nachdem f(x) eine rationale oder eine transcendent e Function ist, und wird im letztem Falle seine Begrenzung von den wesentlichen singulären Stellen der Function gebildet, deren Anzahl endlich oder auch unendlich gross sein kann.

Betrachtet man nun als einer Klasse angehörend alle Functionen f(x), für welche der definirte Bereich A' ein und derselbe ist, so bildet nach dem Vorhergehenden die Gesammtheit der rationalen Functionen von x eine solche Klasse. Dagegen existiren unzählige Klassen von transcendenten Functionen f(x)\ um für die Eintheilung derselben in Gattungen ein sachgemässes Princip zu gewinnen, wird man zu untersuchen haben , welche wesentliche Verschiedenheiten in der Begrenzungsweise eines Bereichs A', der für eine Klasse eindeutiger Functionen von x die angegebene Bedeutung hat, möglich sind. Aber auch ohne auf diese Untersuchung näher einzugehen, wird man in den eindeutigen Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen die den rationalen Functionen am nächsten stehenden erkennen, und als einer Gattung angehörend alle diejenigen betrachten, für welche die Zahl solcher Stellen dieselbe ist.

Man überzeugt sich leicht, dass es Functionen dieser Art mit beliebig vielen, und zwar vor ge schrieb en en wesentlichen singulären Stellen wirklich giebt.

Wie oben bemerkt worden, wird durch jede unendliche Reihe

A₀ Aj x H- A₂ x² -f- • •

deren Coëfficienten gegebene Constanten und so beschaffen sind, dass die Reihe für alle endlichen Werthe der Veränderlichen x convergirt, eine

Function mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo dargestellt. Dasselbe gilt, wie in ganz ähnlicher Weise gezeigt werden kann, wenn Ol (pc), G₂ (x) zwei solche Functionen sind — wobei jedoch eine von ihnen auch eine ganze rationale sein darf — für den Quotienten

Gx(x)

G₂{pc)

in jedem Falle, wo derselbe nicht auf eine rationale Function reducirt werden kann.

Dies vorausgesetzt seien nun

GAxx),

2??—1

(■U? ) ? G 2 n (xn)

irgend n Paare solcher Functionen, xx ₎... xn aber lineare Functionen von x, welche an n verschiedenen, im Übrigen willkürlich anzunehmenden Stellen

unendlich gross werden; dann ist

/'(*•) - IT

2V—1

Ov)

eine eindeutige Function von x, für welche

^1 , * * * Cyi

wesentliche singuläre Stellen sind, während sie in der Umgebung jeder andern Stelle sicli wie eine rationale Function verhält.

Zusammengesetztere Ausdrücke solcher Functionen kann man bilden, indem man in einer beständig convergirenden unendlichen Reihe von der Form

V₂ = 0 ... CXD

(Vj — 0 . . . OO

... v = 0 ... cxd)

oder auch in dem Quotienten zweier solcher Reihen für xx, x₂, ... xn beliebige rationale Functionen der Veränderlichen x substituirt: die so gebildete Function von x hat dann keine anderen wesentlichen singulären Stellen als diejenigen, an denen eine der Grössen x₁,... xn unendlich wird.

und nur

Nun ist im Vorhergehenden gezeigt worden, dass man von einer Function fix) nur zu wissen braucht, sie sei eine eindeutige Function ohne eine wesentliche singuläre Stelle, um sicher zu sein, dass sie als Quotient zweier ganzen rationalen Functionen von x (von denen sich eine auch auf eine Constante reduciren kann) darstellbar ist; mit anderen Worten, es ist nachgewiesen worden, dass durch die beiden angenommenen Eigenschaften der Function auch die Art der arithmetischen Abhängigkeit ihres Werthes von dem AVerthe der unabhängigen Veränderlichen bedingt und bestimmt ist. Dadurch ist die Frage nahe gelegt, ob für die eindeutigen Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen etwas Ähnliches gelte — ob es möglich sei, arithmetische, aus der Veränderlichen x und aus unbestimmten Öonstanten zusammengesetzte Ausdrücke zu bilden, welche sämmtliche Functionen einer bestimmten Klasse diese — darstellen.

In der vorliegenden Arbeit findet diese Frage, in der ein den Elementen der Functionenlehre angehöriges, allgemeines und zugleich wohlbegrenztes Problem ausgesprochen ist, ihre vollständige Erledigung. Das Resultat ist einfacher als die Mannigfaltigkeit der Formen, in denen, wie die gegebenen Beispiele lehren, Functionen der in Rede stehenden Art auftreten können, es erwarten liess.

Unter den Functionen, um welche es sich handelt — die rationalen jetzt ein geschlossen — sind die einfachsten diejenigen, für welche es im ganzen Gebiete der unabhängigen Veränderlichen nur eine (wesentliche oder ausserwesentliche) singuläre Stelle giebt. Liegt diese Stelle im Unendlichen, so kann, wie oben bemerkt, eine solche Function stets dargestellt werden durch eine Reihe von der Form

A₀ -F x -+ A^ xA -f- • • • ,

in der x das Argument der Function, die Coëfficienten Â₀, Av A₂,... aber von x unabhängige, bestimmte Grössen bedeuten; so wie anderseits jede Reihe von dieser Form, wenn sie für jeden endlichen Werth von x convergirt, der Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit der einen singulären Stelle oo ist. Eine solche Function will ich eine ganze eindeutige Function von x nennen — oder auch bloss, wo keine Zweideutigkeit dadurch entsteht, ganze Function — ; man hat also zu unterscheiden zwischen rationalen ganzen Functionen, für welche die Stelle oo eine ausserwesentliche singuläre ist und die angegebene Reihe aus einer endlichen Anzahl von Gliedern besteht, und transcendent en ganzen Functionen, für welche oo eine wesentliche singuläre Stelle ist und die Reihe unendlich viele Glieder hat. Als Functionszeichen für eine unbestimmte, in der in Rede stehenden Form ausgedrückt gedachte Function verwende ich auch im Folgenden den Buchstaben G und unterscheide, wenn mehrere solche Functionen zu bezeichnen sind, die einzelnen durch hinzugefügte Indices.

Dies vorausgesetzt, ist nun die Beantwortung der gestellten Frage in folgenden Sätzen enthalten.

A. Der allgemeine Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit nur einer (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stelle (c)

ist

( ¹—)

\x — c) '

wo der obigen Festsetzung gemäss, wenn c = oo,

durch x

x — c

zu ersetzen ist. Die singuläre Stelle ist eine wesentliche oder ausserwesentliche, jenachdem G eine transcendente oder eine

rationale ganze Function von

00

ist.

B.

C.

Der allgemeine Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit n (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stellen (q,... cw) kann in mannigfaltiger Weise aus n Functionen mit je einer singulären Stelle zusammengesetzt, am einfachsten aber in den nachstehenden Formen aufgestellt werden:

1) wo R*(x) eine rationale Function bedeutet, welche nur an den wesentlichen singulären Stellen der darzustellenden Function Null und unendlich gross wird.

Jede eindeutige Function von x, welche n wesentliche singuläre Stellen (A, ... rA und ausser diesen noch beliebig viele

(auch unendlich viele) ausser wesentliche hat, kann in jeder der beiden nachstehenden Formen:

n    / 1 \

1)

Éi    \x- cj

n

ru

n+v

V=1

(x —cv)

ausgedrückt werden, und zwar dergestalt, dass Zähler und Nenner für keinen Werth von x beide verschwinden.

<;

Umgekehrt stellt jeder dieser Ausdrücke, wenn die Functionen • &2ii willkürlich angenommen werden, eine eindeutige Function von x dar, welche im Allgemeinen n, in speciellen Fällen auch weniger als n wesentliche singuläre Stellen hat, während die Anzahl der ausserwesentlichen singulären Stellen, an denen die Function unendlich wird, unbeschränkt ist.

Von diesen Sätzen war bisher nur der unter (A) angeführte bekannt, und der unter (B, 1) aufgestellte aus bekannten Sätzen leicht abzuleiten. Die übrigen aufzufinden war nicht schwer, nachdem einmal die Aufgabe, um die es sich handelt, gehörig präcisirt war. Um sie allgemein beweisen zu können, hatte ich jedoch, wie sich alsbald ergab, zuvor eine in der Theorie der transcendenten ganzen Functionen bestehende, sogleich anzugebende Lücke auszufüllen, was mir erst nach manchen vergeblichen Versuchen vor nicht langer Zeit in befriedigender Weise gelungen ist.

Für jede eindeutige Function f(pc) gilt, dass in einem Theile des Gebiets von x, der weder im Innern noch an der Grenze eine wesentliche singuläre Stelle enthält, Werthe, für die f(x) = oo, und ebenso Werthe, für die fix) — 0 ist, stets nur in endlicher Anzahl vorhanden sind. Das Erstere ergiebt sich unmittelbar aus dem oben (S. 3) Bemerkten, und das Letztere ebenfalls, wenn man beachtet, dass die Function

f(x)

dieselben wesentlichen singulären Stellen hat wie f(x) selbst.

Ist insbesondere f(x) eine ganze eindeutige Function, so giebt es also unter den Wertlien von x, deren absoluter Betrag eine willkürlich angenommene Grenze nicht übersteigt, stets nur eine endliche Anzahl solcher, für die f(x) gleich Null ist. Dies gilt auch noch, wenn in Übereinstimmung mit dem bei ganzen rationalen Functionen Gebräuchlichen festgesetzt wird, dass bei Bestimmung der in Rede stehenden Zahl jeder Werth, für welchen ausser der Function f(x) selbst auch die (jji — 1) ersten Ableitungen derselben verschwinden, die [xte aber nicht, als ein [x-mal zu zählender betrachtet werden soll.

Hieraus folgt, dass es stets möglich ist, aus denjenigen Werthen von x, für die eine bestimmte eindeutige ganze Function dieser Grösse verschwindet, eine Reihe zu bilden, welche jeden Werth so oft enthält, als er nach der gemachten Festsetzung zu zählen ist, und zugleich, falls die Anzahl ihrer Glieder unendlich gross ist, der Bedingung

Lim. | an | = oo

77—00

genügt. Die so gebildete Reihe (a^, a₂, a₃,...) möge die Reihe der „Null-Stellen“ der betreffenden Function heissen.

Dies festgestellt, ergeben sich nun zwei Fragen:

1)    In wie weit ist eine Function G(cc) durch die Reihe ihrer Null-

Stellen bestimmt?^

2)    Existirt, wenn eine unendliche Reihe bestimmter Grössen

«j, a₂, a₃,..., die der Bedingung Lim. | an | — 00 genügt, gegeben

77 = 00

ist, stets eine Function G(x), für.welche diese Reihe in dem festgestellten Sinne die Reihe der Null-Stellen bildet?

Die erste Frage beantwortet sich leicht. Es giebt unendlich viele ganze Functionen, welche dieselben Null-Stellen haben wie eine gegebene G{pc) ; sie sind sämmtlicli enthalten in dem Ausdruck

G(x)

G(x),

wo unter G(x) eine willkürlich anzunehmende ganze Function zu verstehen ist.

Was dagegen die zweite, bis jetzt unerledigt gebliebene Frage angeht, so werde ich im folgenden Paragraphen nachweisen, dass dieselbe unbedingt zu bejahen ist.

Mit Hülfe des so gewonnenen fundamentalen Satzes lassen sich dann von den im Vorst eilenden unter (A, B, C) aufgestellten Theoremen zunächst diejenigen leicht beweisen, welche auf Functionen mit einer wesentlichen singulären Stelle sich beziehen.

Sodann wird der nachstehende Hiilfssatz eingeschaltet:

Es sei

cp(x) = fc₀ + -

~Ci

H-----h

wo die (c, k) Constanten bedeuten, welche nur der Beschränkung unterworfen sind, dass von den Grössen k₁,...kn keine gleich Null, und von den Grössen Cj,... cn nicht zwei einander gleich sein sollen. Ferner seien F₀(y), F₁ (//), ... Fn_x(y) eindeutige Functionen der Veränderlichen y mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo. Alsdann stellt nicht nur der Ausdruck

V—1

wo c eine beliebige der Grössen c1?.. ,cn bedeutet, wenn man in demselben

• y = <p(»)

setzt, stets eine eindeutige Function mit den wesentlichen singulären Stellen Cj,...cM dar, sondern es lassen sich auch für jede gegebene Function f(x) dieser Art die Functionen F₀ (//).... Fn_x (y) so bestimmen, dass

f(x)

ist. Dabei werden F₀(y),... Fn_l(y) sämmtlich ganze Functionen von y, wenn die Function f{x) keine ausserwesentliche singuläre Stelle hat.

Dieser Satz dient zur Begründung des unter (B, 1) gegebenen Ausdrucks einer Function mit n (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stellen.

Eine solche Function kann so beschaffen sein, dass sie an keiner Stelle, welche von den Stellen <\,.. ■ cn verschieden ist, verschwindet; in diesem Falle ergiebt sich für sie der Ausdruck

R*(x) H e⁰ ' ^x~cX

Ist nun f{x) eine beliebige eindeutige Function mit den n wesentlichen singulären Stellen c1?... cn, so hat man das Gebiet der Veränderlichen x in n Theile dergestalt zu zerlegen, dass im Innern eines jeden Theiles eine der genannten Stellen liegt, und dass zugleich die Function fix) an der Grenze zwischen je zwei Theilen überall einen endlichen und von Null verschiedenen Werth hat; dies kann auf unendlich viele Arten geschehen. Dann giebt es, wenn mit c irgend eine der Stellen cx,.. . cn und mit C der zugehörige Theil bezeichnet wird, unter den zu C gehörenden Werthen von x, für welche ist, wo p eine beliebig klein anzunehmende positive Grösse bedeutet, nur eine endliche Anzahl solcher, für dD fix) verschwindet; dasselbe gilt auch noch, wenn auch jetzt festgesetzt wird, dass bei der Zählung dieser Werthe so verfahren werde, wie vorhin für eine ganze Function angegeben worden ist. Es kann demnach, wenn es überhaupt in C Werthe giebt, für die fix) = 0 ist, aus der Gesammtheit derselben eine Reihe in der Art gebildet werden, dass in derselben jeder einzelne Werth so oft vorkommt, als er der Festsetzung gemäss zu zählen ist, und zugleich, falls die Reihe nicht abbricht,

Lim. | an — c \ = 0

71 =oo

ist. Dann ist die Reihe

so beschaffen, dass eine Function G(x') existirt, für welche sie die Reihe

der Null-Stellen bildet; und wenn man in dieser x' = - ¹ setzt, so ist

x — c

oi-^)

\x — cj

eine Function von x, welche nur die eine wesentliche singuläre Stelle c hat und zu der Function f(x) in der Beziehung steht, dass die vollständige Reihe ihrer Null-Stellen identisch ist mit der Reihe der dem betrachteten Theile C angehörenden Null-Stellen von f(x). (Sind Wertlie von x, für die f(x) verschwindet, in C nicht vorhanden, so ist die deflnirte Function G in den folgenden Formeln durch die Zahl 1 zu ersetzen.)

dieselben wesentlichen singulären

f{x)

Ebenso giebt es, da die Function

Stellen wie f{x) hat, eine Function G'( ¹ V welche zu ~ r in derselben

\x c/    / \x)

Beziehung steht wie (J    ¹ \ zu f(x).

Bezeichnet man nun diese beiden Functionen für die Stelle cv mit

GG)( '_1_\    ^(n+v)/_J_\

\x — c.J    \x — cv/

und setzt

G(y)

fi*) - n

\x — cv/

fl(x) ,

X — Cv,

so ist f\ (x) eine Function, welche an allen Stellen des Gebiets von x, mit Ausnahme der Stellen cl,... cn, einen endlichen und von Null verschiedenen Werth hat.

Drückt man sodann diese Function f\ (x) in der vorhin angegebenen Weise aus, so ergeben sich die unter (B, 2) und (C, 2) aufgestellten Formen von f(x). Aus der letztem erhält man dann schliesslich mit Hülfe des Theorems (B, 1) den unter (C, 1) gegebenen Ausdruck derselben Function.

Die im Yorstehenden zusammengestellten Ausdrücke einer eindeutigen Function mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen können nun noch weiter entwickelt werden, so dass die arithmetische Abhängigkeit des Werthes der Function von dem Wertlie ihres Arguments unmittelbar in Evidenz tritt. In den Formeln (B, 1) und (C, 1) ist es

für diesen Zweck am angemessensten, jede Function G(    ¹    ) in der

\x cj

Form einer Potenzreihe von ¹ darzustellen. Es lässt sich aber, wie

x — c

in § 2 nachgewiesen wird, jede Function G(x) auch darstellen als Product unendlich vieler Factoren, welche ebenso wie die Potenzen von x bestimmt

14

Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen, charakterisirte Functionen sind; diese Ansdrucksform der Functionen wird man am zweckmässigsten zur weitern Entwicklung der Formeln (B, 2) und (C, 2) verwenden.

<?(—)

\x — cj

Ist

die Reihe der Null-Stellen einer ganzen rationalen Function G(x), und oc0 irgend ein in dieser Reihe nicht enthaltener Werth, so hat man

G(x)

G(x^)

Man hat schon früh versucht, diesen Satz auf transcendente ganze Functionen auszudehnen, wobei sich jedoch erhebliche Schwierigkeiten darboten. Man erkannte, dass es im Allgemeinen nötliig sei, dem Ausdruck rechts noch einen Factor von der Form

eG(x>

hinzuzufügen (Cauchy, Exercices de Mathématiques, III.); aber dies reicht, wenn von dem Falle, wo Null-Stellen der Function nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, abgesehen wird, nur aus, wenn die Reihe

oo

und mit ihr das Product

OO

n= l    ¹¹ n '

convergirt, was im Allgemeinen nicht der Fall ist.

Bei manchen Functionen gelingt es zwar, durch Festsetzung einer bestimmten Aufeinanderfolge der Factoren, oder überhaupt durch Vorschrift einer bestimmten Ausführungsweise der unendlich vielen Multiplicationen das Product zu einem bedingt convergenten zu machen; im Allgemeinen indess ist auch dies nicht möglich, wie unter andern das Beispiel der Function

zeigt, bei welcher das in Rede stehende, aus den Factoren

t-l

ec !

zu bildende Product unter allen Umständen divergirt.

Aber eben diese Function weist auf den Weg hin, der zum Ziele führt. Nach der von Gauss gegebenen Definition ist der Ausdruck derselben das beständig convergirende unendliche Product

oo

oder

nf(

n = l ^

11 )

d. h. die Function ist darstellbar als Product unendlich vieler Factoren, welche zwar nicht ganze lineare Functionen von x, aber doch gleich diesen eindeutige Functionen mit nur Einer singulären Stelle (oo) und auch nur Einer Null-Stelle sind.

Von dieser Bemerkung ausgehend legte ich mir die Frage vor, ob sich nicht jede Function G(x) aus Factoren von der Form

G(x)

(lex 4- I) e

möge zusammensetzen lassen, und gelangte, indem ich diesen Gedanken verfolgte, schliesslich zu einem Ergebnisse, durch welches die Theorie der eindeutigen Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen einen befriedigenden Abschluss erhält.

Ich nenne „Primfunction“ von x jede eindeutige Function dieser Grösse, welche nur Eine (wesentliche oder ausser wesentliche) singuläre Stelle und entweder nur Eine oder gar keine Null-Stelle hat. Der allgemeinste Ansdruck einer solchen Function ist, wenn die singuläre Stelle mit c bezeichnet wird,

<j(i)

wo k, l Constanten bedeuten, und zu beachten ist, dass k auch gleich eine Constante sein kann. Es erweist sich aber für

Null und G

■x — c.

Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen, den in’s Auge gefassten Zweck als ausreichend und zweckmässig, ausschliesslich solche Primfunctionen einzuführen, bei denen 0\——) eine

16

rationale ganze Function von — — ist; dies soll also im Folgenden überall,

00 C

wo von Primfunctionen die Rede ist, stillschweigend angenommen werden.

Dies festgestellt, ergiebt sich zunächst, dass jede eindeutige Function f(x) mit Einer (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stelle entweder selbst eine Primfunction ist oder ein Product von Primfunctionen mit derselben singulären Stelle; und lassen dann die unter (B, 2) und (C, 2) angegebenen Ausdrücke unmittelbar erkennen, dass und wie eine beliebige Function der hier betrachteten Art aus Primfunctionen durch Multiplication und Division zusammengesetzt werden kann.

Ich lasse dieser Analyse des wesentlichen Inhalts meiner Arbeit und der Darlegung der leitenden Gesichtspunkte nunmehr die erforderlichen Entwickelungen in mehr synthetischer Form folgen, wobei ich bemerke, dass ich bei denselben mit Vorbedacht nur einige elementare Sätze der Reihen-Theorie und die Eigenschaften der Exponentialfunction als bekannt voraussetze.

2. Zur Theorie der ganzen eindeutigen Functionen Einer Veränderlichen.

Ist eine unendliche Reihe gegebener Grössen

von denen keine den Werth Null hat, so beschallen, dass

Lim. | an | = oo,

n=oo

so kann man derselben auf mannigfaltige Weise eine Reihe ganzer Zahlen von denen jede >0 ist, so zuordnen, dass die Summe

oo

C'y \Qjy

für jeden Werth der Veränderlichen x einen endlichen Werth hat.

Man braucht zu dem Ende nur irgend eine unendliche Reihe positiver Grössen

ei> £2’ £3> ' • ’ f

so anzunehmen, dass e < 1 ist und dass

oo

£v

V=1

einen endlichen Werth hat, und dann die Zahlen ml, m₂, m₃, ... so zu bestimmen, dass (für v = 1, 2, 3,. .. oo)

< £v

mv4-i

wird.

Setzt man hierauf

oo

« | sT

so ist F(x) eine für jeden endlichen Werth von x definirte eindeutige Function von der Beschaffenheit, dass sich F{a-\-k), wenn a irgend ein bestimmter Werth von x ist, bei hinlänglich kleinem Werthe der Veränderlichen k in der Form

darstellen lässt, wo m eine ganze (nicht negative) Zahl ist, welche an-giebt, wie oft der Werth a in der Reihe av a₂, as,... vorkommt. Nach einem früher (Crelle’s Journal, Bd. 52, S. 333) von mir bewiesenen Satze existirt also eine Function G(x), welche der Gleichung

dG(x)

clx

= F(x) ■ G ix)

genügt und die Eigenschaft besitzt, dass für sie die Reihe in dem oben angegebenen Sinne die Reihe der Null-Stellen bildet.

Dies lässt sich aber noch einfacher als a. a. 0. folgendermassen

beweisen.

Für diejenigen Werthe von x, deren absoluter Betrag kleiner als Eins ist, hat man

r-+-1

OO    ₇    OO

_ y r_ d y X

x ^ dx r + 1

woraus

/Gr+1\

SCvO

folgt. Man setze nun

E(x, 0) = 1 — x , E(x, 1) = (1 — x)ex, E{pc, 2) = (1 — x)e

X-Ehx²

so ist, unter der Bedingung, dass | x | < 1

E{x, m) = e

y

j \ m+rj r— l

Fasst man nun die Gesammtheit der Grössen ins Auge, welche aus der Formel

x r + niv

dadurch hervorgehen, dass man r = 1, 2, .. .oo; v = w, w + l,...oo setzt, so ist ersichtlich, dass die Summe dieser Grössen einen endlichen Werth hat, wenn der Veränderlichen x nur solche Werthe gegeben werden, die dem absoluten Betrage nach kleiner sind als jede der Grössen

denn dann ist sie kleiner als

OO

\=n r== i

v=n

also, wenn man mit k den kleinsten der Werthe

an+1

und der Summe

an ’

bezeichnet, kleiner als das Product aus

yi ! l (oc\mv \ v=» I    I

welche der Voraussetzung nach einen endlichen Werth hat. Daraus folgt, dass die Doppelsumme

co

oo

v=w r=l

-(D

V \«v/

r f mv

für die angegebenen Werthe von x nicht nur unbedingt convergirt, sondern auch dadurch, dass man alle Glieder, welche dieselbe Potenz von x

t*1 €vv> (jlieà ~L U4 e*»*»**' t+i lt

enthalten, in eine Potenzreihe verwandelt werden kann.

Nimmt man nun zunächst x dem absoluten Betrage nach kleiner als jede der Grössen a1? a₂,... an, so convergiren sämmtliche Eeihen

und man hat oo

— (D

r + wv\av/

1) - %(x, w + 1) = 2 ^

v—lr—l woraus sich

—(x, n+l)

ergiebt.

Es lässt sich aber jede der Functionen

in eine für jeden endlichen Werth von x convergirende Reilte von der Form

(V)    (v)

1 + A j x A^ Xr

entwickeln, und

* + i)

in eine Reihe von derselben Form

(H)

00

1 ! Rj x -f- B₂ H“ * * *

welche jedenfalls convergirt, wenn x dem absoluten Betrage nach kleiner als jede der Grössen atMf an+2,... ist. Nimmt man daher eine positive Grösse g beliebig, n aber so an, dass

| av | > g ist, wenn v > n ,

so geht aus der Entwickelung des Products

(1 + B™x H- B^x ■+

V=1

eine Reihe

1 —A^ x -j- A₂ xA -f- • • •

hervor, welche sicher für diejenigen Werthe von x, deren absoluter Betrag nicht grösser als g ist, convergirt. Die Coefficienten dieser Reihe sind aber, da der vorstehenden Gleichung gemäss für hinlänglich kleine Werthe von x

1 + Al x 4- A₂ x² H- • • • = e ^

ist, unabhängig von der willkürlich anzunehmenden Grösse g\ es folgt also aus dem Bewiesenen, dass die Reihe für jeden endlichen Werth von x convergirt und somit eine ganze eindeutige Function G(x) darstellt.

Diese Function verschwindet nun für einen bestimmten Werth a von x nur in dem Falle, wo a in der Reihe av a₂, ... enthalten ist, wie aus der Gleichung

— $ Cx, n+\)

ohne Weiteres erhellt, wenn man n so gross annimmt, dass a innerhalb des Convergenzbezirks der Reihe

$P(sr, n + 1)

liegt, und beachtet, dass die Exponentialfunction für keinen endlichen Werth ihres Arguments verschwindet. Man sieht aber auch, dass, wenn a in der Reihe ax, a₂,... p-mal vorkommt,

G(x) auf die Form (x — a)¹¹ f(x)

in der Art gebracht werden kann, dass f(x) für x — a einen von Null verschiedenen endlichen Werth hat. Die gegebene Reihe ist also die Reihe der Null-Stellen für die Function G(x), welche nach dem Vorstehenden dadurch hergestellt werden kann, dass zunächst die Summe

oo oo

m welcher die Zahlen my die oben angegebene Bedeutung haben, auf die Form 1) gebracht, und dann

i)

nach Potenzen von x entwickelt wird.

Multiplicirt man G(x) noch mit xx, wo X eine ganze positive Zahl bedeutet, so erhält man eine Function, für welche die Reihe der Null-Stellen ausser den Grössen a₁, a₂, u₃,... noch X Glieder, die gleich Null sind, enthält.

Es ist also stets möglich, eine ganze eindeutige Function G(x) mit vorgescliriebenen Null - Stellen zu bilden, wofern nur die nothwendige Bedingung

Lim. | an j = oo

77=00

erfüllt ist.

Es giebt aber nicht bloss eine solche Function, sondern unendlich

viele.

Setzt man nämlich

GAx) — G(x)e

so hat offenbar die Function Gx(x) dieselben Null-Stellen wie G(x), wie auch die Function G(x) angenommen werden möge. Umgekehrt ist, wenn zwei Functionen G(pc), G₁ (x) dieselben Null-Stellen haben, der Quotient

Gx{x)

G(x)

der mit G₂{x) bezeichnet werde, eine Function, die für jeden endlichen Werth von x einen von Null verschiedenen endlichen Werth hat. Es lässt sich deshalb

l    cIG₂{x)

dx

G₂(x)

in eine beständig convergirende Reihe

Cx + C₂ X + Cg X² -I- • • •

entwickeln, und man erhält, wenn man setzt, und die Constante C₀ so annimmt, dass

#2(0) — e^°

ist.

1 d G.> (,%■) G₂(x)

dx

G,(x) =

dG(x) dx ’

G(x)

e .

Die Formel

G{x)

G (a?) e

giebt also alle ganzen eindeutigen Functionen von x, welche dieselben Null-Stellen wie G(x) haben.

Jetzt bedeute G{x) irgend eine gegebene ganze Function von x, so können drei Fälle eintreten:

1) sie bat keine Null-Stellen — dann ist sie eine Function wie die eben mit G₂(x) bezeiclmete, und kann in der Form

Gr (as) e

ausgedrückt werden ;

2) sie bat Null-Stellen in endlicher Anzahl — dann ist sie in der Form

G₀(x) e

G (x)

darstellbar, wo G₀(x) eine rationale ganze Function bedeutet;

3) sie bat unendlich viele Null-Stellen — in diesem Falle kann sie auf die Form

gebracht werden, wo X Null oder eine ganze positive Zahl, G₀(x) aber in der beschriebenen Weise aus den von Null verschiedenen Null-Stellen (av a₂, as, ...) der Function, einer Reihe ganzer Zahlen (m sammenzusetzen ist.

Dieser Function G₀(x) kann man nun nach dem Vorstehenden für einen bestimmten Werth von x die Gestalt

iii

..) und der Veränderlichen x zu-

geben, wenn man n so gross annimmt, dass x dem absoluten Betrage nach kleiner ist als jede der Grössen an+1, a stimmten Ausdruck der Grenze, unterhalb welcher der absolute Betrag von

n+2 ’ ' •

. Aus dem oben be-

stets liegt, ergiebt sich aber

Lim. n + 1) = 0 ,

ÎÎ = oo

indem

II

M S

iMs

ist, wenn die Zahlen wv, wie angenommen worden, so "bestimmt sind, dass

§i mr

einen endlichen Werth hat. Folglich ist — für jeden Werth von x

Der Function (7(a?) kann man ferner in mannigfaltiger Weise die Gestalt

oo

¹

Ich bezeichne den absoluten Betrag einer coraplexen Grösse x mit \x\.

g(o)+2 ^,0*0

V=1

geben, in der Art, dass die g^(x) sämmtlich rationale, für x — 0 verschwindende ganze Functionen werden. Setzt man dann

gÄx)

so ergieht sich

G(x)

wo C eine Constante bedeutet. Da man nun auch im Falle (1)

“ ÿv(ap) G ix) = C PJe

V=1

und im Falle (2), wenn ax, a₂, ... am die von Null verschiedenen Null-Stellen der Function G₀(x) sind,

G(x) = C xk

hat, so ist hiermit der Satz begründet:

Jede ganze eindeutige Function von x kann dargestellt werden in der Gestalt eines Products, dessen Factoren sämmtlich Primfunctionen von der Form

(kx + l)eg{x)

sind, wo g(x) eine rationale, für x = 0 verschwindende ganze Functi.on ist und k,l Constanten bedeuten. (Dabei ist zu beachten, dass g(x) und ebenso eine der Grössen k, l auch den Werth Null haben kann, also auch eine Constante als Primfunction zu betrachten ist.)

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken.

Das Product, durch welches G{x) dargestellt wird, convergirt — wenn es aus unendlich vielen Factoren besteht — unbedingt und zugleich für alle Werthe von x, deren absoluter Betrag eine willkürlich anzunehmende Grenze nicht übersteigt, gleichmässig, vorausgesetzt, dass bei der angegebenen Zerlegung der Function G(x) so verfahren wird, dass die Reihe

oo

unbedingt und für die in Rede stehenden Werthe von x gleichmässig convergirt; was unter allen Umständen möglich ist. Denn unter dieser Voraussetzung braucht man nur nachzuweisen, dass das Product

EWS.....)

die angegebene Beschaffenheit besitzt, was der Fall ist, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Nach Annahme zweier positiven Grössen Ç, S, von denen die erste beliebig gross, die andere beliebig klein sein kann, muss es möglich sein, eine Zahl n so zu bestimmen, dass das Product aus beliebig vielen derjenigen Functionen in denen v> n, für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag kleiner als \ ist, von der Einheit um eine Grösse ab weicht, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als § ist. Dies ist aber in der That möglich. Nimmt man nämlich n so gross an, dass | ay | > £ ist, sobald v > n, so hat man für jeden Werth von v, der grösser als n, und jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag nicht grösser als Ç ist,

r+mv

r+niy

und es ist daher, wenn man von diesen Functionen E    j beliebig

viele auswählt und das Product derselben gleich

-A*)

setzt, I f(x) j stets kleiner als

oo

oo

JJLP

r+mv

I 'T"»

v=n-i-i r=i

von welcher Grosse gezeigt worden ist, dass sie für einen unendlich grossen Wertli von n unendlich klein wird; woraus sich das Behauptete sofort ergiebt.

Es ist ferner zu beachten, dass die in den Primfactoren der Function 0{x) vorkommenden Exponentialgrössen nicht vollständig bestimmt sind. Nimmt man nämlich eine Reihe rationaler ganzer Functionen g[(x) so an, dass für jeden Werth von x

oo v=i

so ändert der

ist — was auf unendlich viele Arten geschehen kann Ausdruck von 0(x) seinen Werth nicht, wenn man in jedem seiner Factoren

tfvoy+f/vO)für fh(x)

setzt. Umgekehrt erhellt, dass man auf diese Weise alle möglichen Darstellungen von 0(x) in der Form eines aus Primfunctionen gebildeten Products erhält.

Endlich möge noch bemerkt werden, dass in dem häufig vorkommenden Falle, wo für eine bestimmte ganze und positive Zahl |x

V“!

fl'V

vorkommenden

einen endlichen Werth hat, die in den Functionen e(~ >    )

Zahlen    alle gleich ([x — 1) gesetzt werden können.*)

*) Die in diesem und dem folgenden § enthaltenen Sätze habe ich bereits im Herbst 1874 in meinen Universitäts-Vorlesungen ausführlich vorgetragen.

3. Eindeutige Functionen von x mit Einer wesentlichen

singulären Stelle.

Ist f(x) eine eindeutige Function von x mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo, so lässt sich in dem Falle, wo sie ausserdem beliebig viele (auch unendlich viele) ausserwesentliche singuläre Stellen hat, eine Function G₂(x) hersteilen, für welche die Reihe der Null-Stellen identisch ist mit der Reihe der Null-Stellen der Function

f(x) '

Dann ist 0₂(x).f(x) ebenfalls eine ganze Function von x, und man hat, wenn diese mit Gx(x) bezeichnet wird,

f{x) =

G₁ (x) G₂ (x) '

Zugleich sind diese Functionen Gx(x), G₀(x) so beschaffen, dass sie für denselben Werth von x nicht beide verschwinden. Und umgekehrt, wenn man zwei ganze Functionen von dieser Beschaffenheit willkürlich annimmt, und wenigstens eine von ihnen transcendent ist, so stellt der Quotient

Gi (x)

G2 (x)

eine eindeutige Function von x mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo dar.

Ist ferner f(x) eine eindeutige Function mit einer (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stelle c, so verwandelt sich, wenn man

x' = —-— x — c

setzt, f(x) in eine Function von x' mit der einen singulären Stelle oo, woraus sich

/Ï.U '•( —)

\x — CJ

ergiebt. Dabei ist O eine transcendente oder rationale Function, jenaclidem die singuläre Stelle c eine wesentliche oder ausserwesentliche ist.

Ebenso ergiebt sich als allgemeiner Ausdruck einer eindeutigen Function von x, welche ausser einer wesentlichen singulären Stelle c beliebig viele ausserwesentliche hat, der Quotient

Gr

wo die Functionen Gv G.> nicht beide für einen und denselben Werth von x verschwinden, und wenigstens eine von ihnen transcendent ist.

4. Ein Hülfssatz.

Ist F(jj) eine eindeutige Function, welche nur die eine wesentliche singuläre Stelle oo hat, und y(x) eine rationale Function nten Grades, welche an n verschiedenen Stellen (cx,... c ) gleich cxd wird, so verwandelt sich F(y), wenn man y = y(x) setzt, in eine eindeutige Function von x mit den n wesentlichen singulären Stellen (cx ,... c ). Man überzeugt sich indessen leicht, dass man auf diese Weise nur besondere Functionen dieser Art erhält. Wohl aber ist es möglich, wie bereits in § 1 angegeben worden und jetzt bewiesen werden soll, jede eindeutige Function f(x), deren wesentliche singuläre Stellen (q ,    cn) sind, in der Form

71—1

S (? w) • (^)v

darzustellen, wo c irgend eine der Grössen Cj,... c bedeutet.

Ich will zuerst annehmen, dass eine der wesentlichen singulären Stellen von fix), z. B. cv den Werth cxd habe, so dass

cp(x) — k₀ + kx x + ^    ^ + • • • •

ist. wo von den Constanten J:

..k keine den Werth Null hat. Nimmt man dann zwischen x und einer andern Veränderlichen y die Gleichung

cp(x) = y

an, so gehören zu jedem endlichen Werthe von y im allgemeinen n ebenfalls endliche und zugleich von den c₂,...c verschiedene Werthe von x, welche mit x₁,...xn bezeichnet werden mögen; und man kann, wenn von denjenigen speciellen, nur in endlicher Anzahl vorhandenen Werthen von y für die unter den Grössen xx,... x sich gleiche linden, vorläufig abgesehen wird, n von y abhängige Grössen F₀, F₁,... Fnx dergestalt bestimmen, dass

n—l

Q Fv F = f(x) ist für x

Setzt man

11(4 = (x - xx) . ,. (x - xn) ,

n'(x)

dU(x)

dx

so ist

woraus sich — wenn

II (x) = 4 4- Zj x

4“ Z₂ x

n—2

gesetzt wird, so dass also

fl (x)

=-x    F (x, 4- Xx) 4~ ² 4- (4 4- Xx x^ F Z₂) æ

n—3

ist — die folgenden Formeln ergeben:

F

,1

h fM

HYäc,) ’

V=1

F = V

n—2    / i

^ /(O n'OO

v=l

«—3

gl /TO

n'(0

■4

V=1

O XyfißCy)

^ n'(0 ’

O 0(0 y , O 4/TO

n'(0 ¹    àn'(0

V=1

y /"(O

O ir(0

v=i

in 0(0

ir(0

v=4

»—2

IM®

4 7(0

IT (O

ist nun zu zeigen, dass sie ein-

Von diesen Ausdrücken F₀, F deutige Functionen von y mit der einen wesentlichen singulären Stelle

.. F

co sind...

Setzt man

so ist

4*(^) (y(x) -y) = h nO)

und es sind demnach X₁,.. X Die Ausdrücke

n—l

sämmtlich ganze lineare Functionen von y.

VI OCyf^OCy)    * \~\

Ci P'(*v) ’    ^

V=1

irorj

F F

¹o>‘

n—i

ferner, in denen die Grössen xv .. .xn ebenso wie in X₁... Xn symme-trisch Vorkommen, haben gleichfalls eindeutig bestimmte Werthe für jeden Werth von y, der nicht zu den vorläufig ausgeschlossenen gehört; es reicht dies aber nicht aus zu dem Nachweise, dass sie — und mit ihnen — Functionen der angegebenen Art von y sind, sondern es muss auch gezeigt werden, dass sich dieselben, wenn y in der Umgebung irgend eines bestimmten endlichen Werthes b angenommen wird, entweder unmittelbar oder doch, nachdem sie mit einer gewissen ganzen positiven Potenz von (;y — b) multiplicirt worden, in der Form

darstellen lassen.

Wird zunächst b so angenommen, dass unter den Wurzeln der Gleichung <p(æ) = 6, welche mit al,... an bezeichnet werden mögen, keine zwei gleiche sich finden, so ist

<p'(0

(v = 1, ...n)

nicht gleich Null, und es hat also die Gleichung

cpO) = y

welche, wenn x in der Umgebung von av angenommen wird, auf die Form gebracht werden kann, für hinlänglich kleine Wert he von (y — b) eine in der Form

«v + {y - V) $v(y -h)

darstellbare Wurzel. Wird diese mit rrv bezeichnet, so hat man, da IT(av) nicht gleich Null, und av nicht eine der wesentlichen singulären Stellen der Function f(x) ist, für X = 1,n,

a-v ¹ f{xv)

n'(£cv)

= G'v — «v)

(,,f V «v)

wo mv Null oder eine ganze positive Zahl ist, jenachdem /■(#) in der Umgebung von «v sich regulär verhält oder nicht. Bedeutet also m die grösste der Zahlen mx,... mn, so ist

(y-»rs

n a'v V(*v) n'(ajv)

V= 1

Hat aber 6 einen solclien Werth, dass die Gleichung

cp(cc) = &

weniger als n von einander verschiedene Wurzeln besitzt, so sei a eine derselben, und [x die Ordnungszahl der niedrigsten Ableitung von <p(æ), welche für x = a nicht verschwindet. Dann lässt sich die Gleichung

cp(x) = y

wenn x in der Umgebung von a angenommen wird, auf die Form

|x!

([x +1) !

cpr,a+1\n). (x — a)¹¹⁻¹"¹

• =y-b

bringen, und es giebt, wenn man setzt, eine Reihe von der Form

welche, für x gesetzt, bei hinlänglich kleinen AVerthen von (;y — b) die Gleichung

cpO) = y

befriedigt; wobei zu beachten ist, dass 'p(rj) für rj = 0 nicht verschwindet. Fixirt man also einen der |x AVerthe von r\ und setzt

2 tli,

xt = a -h r] ^(rj), a?₂ = a 4- ei^(er)), ...    a + / \    \),

so sind x₁,x₂,...x„ diejenigen |x AVurzeln der Gleichung, welche für y=b den AVertli a annehmen. Man hat dann, da die niedrigste Ableitung von 11(x), welche für y = b, x = a nicht verschwindet, die |xte ist, für v = 1,. .. [x

IT (ccv) = nXy

n—'i

+----r X

= (ev 'ijf !$(eV \)

r (n — 1) Zj Xy

wo p (t _1 yj) für Yj = 0 nicht verschwindet, und, wenn für AVerthe von x in der Umgebung der Stelle a

f(x) = (x — a) m [A₀ 4- Aj (x — a) -f • • •]

so ist

v 4 ¹ A*v) _ „ TTfeT '

Aus der Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung müssen nun, da

ye(v—1)P

nur für solche ganzzahlige AVerthe von p, die durch |x theilbar sind, einen von Null verschiedenen AVertli hat, alle Potenzen von yj, deren Exponent nicht ein Vielfaches von jx ist, fortfallen; und es ist daher

y,

II' (xy)

Hat also die Gleichung

? (x) = b

r von einander verschiedene Wurzeln cil.... a, und haben |Jtx, wx für ax dieselbe Bedeutung wie im Vorstehenden g, m für a, so ergiebt sich für hinlänglich kleine Werthe von (y — b)

V—1

X=1

und somit, wenn jetzt m die grösste der Zahlen mx bedeutet, ganz so wie in dem Falle, wo unter den Wurzeln der Gleichung y(x) = b sich keine zwei gleiche finden,

/ jsW,    V(^y)

= ¥<x,(ÿ-0-

Hiermit ist bewiesen, dass die Ausdrücke

Vi ¹ /(Av)

V=1

und daher auch die Grössen F₀,... F,

welche jetzt mit

bezeichnet werden mögen, eindeutige Functionen der Veränderlichen y mit der einen wesentlichen singulären Stelle co sind. Zugleich folgt aus dem Vorstehenden, dass F₀(y), ... Fn l(y) in dem Falle, wo es für die Function f(x) ausserwesentliche singuläre Stellen nicht giebt — die Zahl m also stets gleich Null ist — sämmtlich ganze Functionen von y sind.

Der Definition dieser Functionen F^{y) gemäss besteht nun die Gleichung

wenn für irgend einen endlichen Werth von y die Grösse x der Gleichung q>(x) = y genügt. Versteht man also unter F irgend einen endlichen, von den c₂,... cn verschiedenen Werth und setzt y = y(x'), so kann man x = x' nehmen, und erhält dann

n — l

2 Fv(y(x')) x'v

= f(x 0 ;

d. h. es gilt für jeden Werth von x, der nicht in der Reihe (00, r₂, ... cn) enthalten ist, die Gleichung

n—1

2 F^(cp(x))x = fix).

Es ist angenommen worden, dass c, gleich oo sei, weil dann einem

✓

endlichen Werthe von y stets endliche Werthe der Grössen x₁, ... xn entsprechen, und somit hei dem Beweise des vorstehenden Satzes das Verhalten der Functionen Fy(y) in der Umgehung der Stelle oo nicht besonders untersucht zu werden braucht. Sind aber cv ... cn sämmtlich endliche Grössen, so setze man

fv l_L

x = c, +

und bezeichne mit 9(z), f(z) die Functionen, in welche sich 9(x), fix) dadurch verwandeln. Dann hat man

_ c' C2

— wo die (k', c') wieder Constanten bedeuten — und es sind (00, c'₂, ... c'n) die wesentlichen singulären Stellen für die Function f(z). Man hat also, wenn man jetzt die Functionen F{) (y), ... Fn l (y) für die Function f{z) ebenso bestimmt wie im Vorhergehenden für fix),

n—1

V —0

oder

n—1

2^’v(? w) • (~^)v = /■(¹)•

In dieser Form, welche in die vorher anfgestellte übergeht, wenn man ct = oo setzt, kann also die Function f(x) stets dargestellt werden, wenn cp(x) eine beliebige rationale Function nteil Grades ist, welche an jeder der n wesentlichen singulären Stellen der ersteren unendlich gross wird.¹)

5. Eindeutige Functionen von x mit einer endlichen Anzahl (wesentlicher oder ausserwesentlicher) singulärer

Stellen.

Eine rationale Function f(x) mit den singulären (ausserwesentlichen) Stellen c., ... c lässt sich bekanntlich in der Form

i⁷    n

darstellen, wo G₁,...Gn rationale ganze Functionen bedeuten.

Es soll nun gezeigt werden, dass jede eindeutige Function f{x) mit einer endlichen Anzahl (wesentlicher oder ausserwesentlicher) singulärer Stellen (c1?... cn) in derselben Form ausgedrückt werden kann, und zwar dergestalt, dass unter den Functionen

\x - cj

so viel transcendente Vorkommen, als f(oc) wesentliche singuläre Stellen hat.

Es möge zunächst f\x) nur wesentliche singuläre Stellen haben. Dann sind, wenn man f(x) auf die im vorhergehenden § auseinandergesetzte Weise in der Form

n—l

2 F»Ow) • (—7)

V — 0    N¹'0    ( ]/

darstellt, die Functionen F^(y), wie nachgewiesen worden ist, sämmtlich ganze Functionen von y, so dass man

00

hat, wo die Fy/X von x unabhängige Grössen sind.

3*

Für alle Werthe von x, bei denen der absolute Betrag von (x — q) unterhalb einer bestimmten Grenze bleibt, ist nun

?(*) = -?ß(a;-Ci),

C-j

°° , ,

F^(y(x)) = 2 (Fv,x • 0» - cx) $ 0 - Cj)) ;

x=o

und somit, wenn man

ro

[i = 0

setzt

00

00

v,X

*’,(?(*)) =2 2^

X = 0 f JJL = 0

Die Doppelsumme auf der Rechten dieser Gleichung hat aber die Eigenschaft, dass sie convergent bleibt, wenn man jedes ihrer Glieder durch dessen absoluten Betrag ersetzt. Convergirt nämlich die Reihe ^3 (x — Cj), wenn der absolute Betrag von (x — c^) kleiner als p ist, so lässt sich eine positive Grösse g so bestimmen, dass jeder Coefficient von (x — c) dem absoluten Betrage nach kleiner ist als der entsprechende Coefficient in der Entwickelung der Function

und dann ist, wenn \x — c,| = E, gesetzt und E, <p angenommen wird,

oo

r<

iPrt

r<

tH

fx=0

also

oo

oo

S 2 (^v.X-^,,x(*-0,) X=0u= 0

—X-4-fi

oo

v,X

X --X

• <7 £

X=o

woraus sich das Behauptete sofort ergiebt, indem die Summe

oo

2(l*Vxl./)

À=o

für jeden endlichen Werth von y einen ebenfalls endlichen Werth hat.

con-

Die Doppelsumme, durch welche jFv (cp(er)) ausgedrückt worden vergirt also unbedingt, und es ist daher gestattet, in ihr alle Glieder, welche dieselbe Potenz von (x — cj enthalten, in eines zusannnenzuzielien. Geschieht dies in den Ausdrücken sämmtlicker Functionen

so ergiebt sich

f(%) = 2 cx(^rrr) + ^a)0 - Cl)

für alle Werthe von x, bei denen der absolute Betrag von (x — Cj) kleiner als p ist.

Die Reihe

oo    v

2<YY—')

x = l    - V

convergirt hiernach für beliebig grosse Werthe von —¹

~ci

, und ist also

{x - cj

bezeichnet

eine ganze Function dieser Grösse, welche mit G

werden möge.

Man hat dann

d. h. die Differenz verhält sich in der Umgebung der Stelle regulär.

Verstellt man nun unter 6\ ( ^

die Function, welche in Be-

\X (\j/

Ziehung auf die singuläre Stelle cv dieselbe Bedeutung hat wie G1 in Beziehung auf die Stelle cv so ist

eine eindeutige Function von x, welche sich in der Umgebung jeder beliebig angenommenen Stelle regulär verhält. Denn die Function Gv (^rr^r)

verhält sich regulär in der Umgebung jeder von cv verschiedenen Stelle; es könnte also jene nur die singulären Stellen c,,.. . cw haben, was nach dem eben Bewiesenen nicht der Fall ist — und hieraus folgt, wie schon in § 1 gezeigt worden, dass sie einen constanten Werth hat, der mit C bezeichnet werden möge.

Es ist also

.. G constante

n

oder auch, wenn man zu den Functionen G Glieder, deren Summe gleich C ist, hinzufügt

.. c ) hat, so lässt sich, wenn v

Wenn nun ferner fix) die m wesentlichen singulären Stellen (c,,... cw), und die (n — m) ausserwesentlichen (cn eine der Zahlen (m+l),...n ist, und x in der Umgebung von rv angenommen wird,

f(x) in der Form (x — cv) w?v. | ('[ ⁾-+- c[ \x — cv) • • •)

darstellen. Setzt man also

mv—i

— Wfv-+- X

X=0

v (.x — cv) ’

7t

/lO)

f(x) -2 ff.Djyr)= v=m+l Nx . v/

so ist /' (x) eine eindeutige Function, welche m wesentliche singuläre Stellen (F,, ... c ), aber keine ausserwesentliche hat, und deshalb nach dem Vorhergehenden in der Form

Se.—i

V = 1    '    - <V

dargestellt werden kann.

Man hat also auch in diesem Falle

n / 1 \

h-)

mit dem Unterschiede, dass jetzt unter den Functionen 6rv nur m transcendente sich finden.

Hiermit ist der in § 1 unter (B, 1) angegebene Satz vollständig bewiesen.²)

C). Eindeutige Functionen von x, welche n wesentliche singuläre Stellen besitzen, an jeder andern Stelle aber einen endlichen und von Null verschiedenen Werth

haben.

Ist f(x) eine Function dieser Art, so hat man, wenn x in der Umgebung irgend einer nicht singulären Stelle a angenommen wird,

a) H- A₂ (x — a f H----,

f(x) = A₀ H- A₁ (x

wo A₀ nicht gleich Null ist. Daraus folgt, wenn a nicht oo ist,

= (x — a) ;

l df(x) fix) d x

es muss also

C= 0

2*, = «

v = 1 sein, und man hat

-cv

dagegen, wenn in dem Falle, wo die singulären Stellen (e1?...r ) von f(x) alle im Endlichen liegen, a = oo’genommen wird, also x — a— ~ zu setzen ist,

l df(x) f{x) d x

x²

Die Function

1 dfjx) f{x) dx

hat also nur die n singulären Stellen cl,...cn, und kann daher wie im vorhergehenden § gezeigt worden, in der Form

dargestellt werden, so dass in den Functionen 6rv kein constantes Glied vorkommt.

Ist cv nicht oo, und der Coefficient von —

in 6rv, so lässt

sich

auf die Form —---h

x — cv

4 Gvf—⁵—)

dx \x — cv/

bringen, wo auch Gv (—¹ ^ eine ganze Function von

\X Cy/

stantes Glied ist. In dem Falle, wo die cv sämmtlich endliche Werthe haben, ist ferner, wenn x dem absoluten Betrage nach grösser als jeder dieser Werthe ist,

x — cv

ohne con-

«M

Cb

h-k

»M

-es

1 dfix) _ d fix) dx dx

Wenn dagegen eine der Grössen cv den Werth oo hat, so möge cn diese sein; dann ist

c+ ö» (Gr) = c+ ffG) = jz g„0O

G™ J    ti/

wobei man Gn(0) = 0 annehmen kann; man hat also in diesem Falle

1 __

f(x) dx

₇ n    n — i

; v,..₍ : )+s

d x    \a; — cv/ ^ æ

7cv

-Cv

Es ist nun zunächst zu zeigen, dass in beiden Fällen die /fv sämmtlich ganze Zahlen sind.

Man setze, unter p eine constante, und unter x eine veränderliche reelle Grösse verstehend,

Xz = CX + PeXi

wo X im ersten Falle eine der Zahlen 1.... n und im zweiten eine der Zahlen 1,... (n — 1) bedeutet. Dann lässt sich, wenn man p hinreichend klein annimmt, in beiden Fällen die Summe der Grössen

Ä'v dxz xz G

auf die Form

k-k idx + d^(xz — <‘x)

bringen; und es ist

/'Ox)

df(xz)

dx

= -fSöd—-)

dx v = l V^x — <V

~^(xz~cx) + kxi.

Daraus folgt, wenn man 71

F(pc) — e

V = 1

setzt :

f(xz)=CF(xJ.ehu,

wo C eine von x unabhängige Grösse bedeutet.

Vermehrt man in dieser Gleichung x um 2tc, so bleibt xx ungeändert; es muss also

2kx7Zi = 1

und somit A'v eine ganze Zahl sein.

Setzt man jetzt, unter C₀ eine Constante verstehend

n—b

B*(x) = C'o "[J (x — cv)

wo £ = 0 oder 1 zu nehmen ist, jenachdem cn einen endlichen Werth hat oder nicht, so ist

“Cv

l__dB*(x) Jy fcv

B* (x) dx    x

und es ergiebt sich bei gehöriger Bestimmung der Constante C₀

f(x) — li* {x) . j [ e

Da nun in dem Falle, wo die Grössen cv sämmtlich endliche Werthe haben,

n

S*,“»

V= 1

ist, so ist für x = oo die Function B*(x) weder Null noch unendlich gross ; sie ist also eine rationale Function von x, welche an jeder Stelle, die nicht zu den singulären Stellen von f(x) gehört, einen endlichen und von Null verschiedenen Werth hat. Für n = 1 reducirt sich dieselbe auf eine Constante.

Es lässt sich also jede Function f{pc) von der oben angegebenen Beschaftenheit in der bereits in § 1 aufgestellten Form ausdrücken.

Umgekehrt stellen die vorstehenden Formeln stets eine Function dieser Beschaffenheit dar, wenn man die Grössen c1? ... cn und die Function

6rv f--^ willkürlich, die Function li*(x) aber so annimmt, dass sie

die angegebene Eigenschaft besitzt.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Wenn von einer eindeutigen

Function f(x) feststellt, dass nicht nur sie selbst, sonderen auch

in der Umgebung jeder Stelle, welche nicht zu einer Reihe gegebener Stellen (c₁,.. .cn) gehört, sich regulär verhält, während über ihr Verhalten in der Umgebung einer der letzteren Stellen nichts bekannt ist, so ergiebt sich ebenso wie im Vorstehenden

l (Z/fTc) /‘(a¹) da

n    .    n—s ₇

—-

iJ    \ nr — r /    rp — c

v = 1    ⁽ v/ V = 1 ,X/    ( V

TT eG'^

~ s öv(—

y\x—cJ

/"(a) = li* (a) j j y=i

wo

R*(x) = UTJ (a — cv)

Â⁻.,

mit dem Unterschiede, dass jetzt die Functionen 6rv zum Theil oder auch alle gleich Null sein können.

7. Eindeutige Functionen von x mit n wesentlichen und beliebig vielen ausserwesentlichen singulären Stellen.

Das Verfahren, durch welches man mit Hülfe der in den §§ (2 — 6) entwickelten Sätze zu den in der Einleitung unter (B, 2) und (C, 1 u. 2) aufgestellten Ausdrücken einer eindeutigen Function/(a) mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen gelangt, ist der Hauptsache nach bereits in § 1 so vollständig auseinander gesetzt worden, dass nur AVeniges hinzuzufügen bleibt.

Hat die darzustellende Function keine Null - Stellen, so sind die a. a. 0. mit 6rtV) bezeichnten Functionen sämmtlich durch die Zahl 1 zu ersetzen.

Hat sie Null-Stellen in endlicher Anzahl, so kann man dieselben in beliebiger AVeise den wesentlichen singulären Stellen zuordnen; es

{x - cv)

(V)

werden dann die G

rationale Functionen, welche zusammengenommen dieselben Null-Stellen wie f(x) haben. Am einfachsten ist es in diesem Falle, eine der Functionen 6r(v) so zu bestimmen, dass die Reihe ihrer Null-Stellen mit der von /’(a) übereinstimmt, und die übrigen dann durch die Zahl 1 zu ersetzen.

In dem Falle endlich, wo f(pc) unendlich viele Null-Stellen hat, giebt es unter den wesentlichen singulären Stellen mindestens eine möge mit cx bezeichnet werden — die so liegt, dass in jeder Umgebung derselben unendlich viele Null-Stellen von fix) vorhanden sind. Ist dann c} irgend eine der übrigen wesentlichen singulären Stellen, und versteht man unter CK diejenige Umgebung derselben, in welcher

sie

x~cx

ist, so kann man p so klein annehmen, dass C) nur die eine wesentliche singuläre Stelle cx, und Null-Stellen nur in dem Falle enthält, wo in jeder Umgebung von cx sich solche finden. Wenn man dabei p auch so annimmt, dass an der Grenze von C\ keine Null-Stellen liegen, und dann unter C\ denjenigen Theil des Gebietes von x versteht, der nach Ausscheidung von C₂, C₃, ... übrig bleibt, so ist das ganze Gebiet dergestalt in Tlieile C₂, ... zerlegt, dass sich in der a. a. 0. beschriebenen AVeise Functionen

GÜI(x-c)’ G‘²I(x-c)’

bilden lassen, deren Null-Stellen beziehlich die in Cv C₂, ... enthaltenen Null-Stellen von fix) sind. Dabei ist, wenn es in einem dieser Tlieile keine Null-Stellen von fix) giebt, die entsprechende Function Cr(v) durch 1 zu ersetzen; woraus erhellt, dass man auf die angegebene AVeise verfahrend die geringste Zahl von Functionen G(v)f—¹—^ erhält, für welche

\X Cy/

die Gesammtheit ihrer Null-Stellen identisch ist mit der Reihe der Null-Stellen der Function fix).

Wenn nun ferner fix) — wie in § 5 angenommen worden — n (wesentliche oder ausser wesentliche) singuläre Stellen (cx, ... cn) hat, so sind wieder drei Fälle zu unterscheiden.

Die singulären Stellen können sämmtlich wesentliche sein — dann ist, wenn man setzt, fix) eine Function von der im vorhergehenden § vorausgesetzten Beschaffenheit, so dass sie sich, da jede ihrer wesentlichen singulären

Stellen in der Reihe c₁, ... cn enthalten ist, in der Form

R*(x) U e

darstellen lässt — wobei zu beachten ist, dass nach dem am Schluss d. a. § Bemerkten die Functionen 6rv zum Theil oder auch alle gleich Null sein können. Setzt man also

¹

Es lassen sich leicht auch ähnliche Ausdrücke von f(x), in denen die Grössen c₁₅ ... cH symmetrisch Vorkommen, aufstellen; es genügt aber der vorstehende für den zunächst ins Auge gefassten Zweck.

²

Es bedarf kaum der Erinnerung, dass unter Voraussetzung einiger Sätze, die nicht den ersten Elementen der Functionenlehre angehören, der im Vorstehenden entwickelte Ausdruck vou f(x) auf kürzerem Wege ohne den im vorhergehenden § bewiesenen Hnlfssatz hätte hergeleitet werden können. Indess giebt dieser Hülfssatz, auch abgesehen von dem Gebrauch, der von ihm gemacht worden ist, einen an sich bemerkenswerthen allgemeinen Ausdruck der untersuchten Functionen, den ich nicht übergehen mochte.

G(y)

(—M eG- (*-<0 = 0 (~±X) ,

\x — cj    \x — cj so ergiebt sich

(x — c)m'J f(x)

Hat ferner f(x) m wesentliche singuläre Stellen (cx,... c ) und (n — m) ausserwesentliche (cm+x,... cw), so möge, wenn v eine der Zahlen m+1, ...n ist, wv die kleinste positive ganze Zahl sein, durch welche bewirkt wird, dass

für x = c\ einen endlichen Werth erhält. Setzt man dann

\a; — cj \x —

WJV

(v = m + 1,... n)

und

f(x)

= /•(*). ) vJJ+1 \X — cJ

so ist f(x) eine Function,* welche die m wesentlichen singulären Stellen (cx,...cm), aber keine ausserwesentliche hat, mithin in der Form

ausgedrückt werden kann.

Sind endlich cx,... cn sämmtlich ausserwesentliche singuläre Stellen für die Function, und hat mv dieselbe Bedeutung wie oben, so ist, wenn

Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen, von den Grössen cv ... cn keine den Werth oo hat,

46

f(x)

G(x)

{x — Cj)mi ... (x— Cn)mn

wo G(x) eine ganze rationale Function von nicht höherem als dem • • • + mn)ten Grade bezeichnet — dagegen, wenn cn — oo,

fix) =

G(x)

0 - Cj)Wl ...ix — cn_x)mn-y ’

wo der Grad von G(x) den des Nenners um mn Einheiten übertrifft. Man kann daher in beiden Fällen fix) auf die Form

n /    1    \

n°v(—)

bringen, in der Art, dass Gvf—-—^ eine ganze rationale Function wvten

\X Cy J

Grades von

ist.

x — Cy

Hiernach kann also jede eindeutige Function von x mit n singulären Stellen in der in § 1 unter (B, 2) aufgestellten Form ausgedrückt werden. Dabei ist zu beachten, dass R*(x) — wie a. a. 0. angegeben worden — nur an solchen Stellen, welche sich unter den wesentlichen singulären Stellen der darzustellenden Function finden, Null und unendlich gross wird; so wie auch, dass keine der Functionen

Gy(—l—) \X — CyJ

wenn dieselben in der beschriebenen Weise gebildet werden,

an einer der Stellen cx,... cn verschwindet und sich auch nicht auf eine Constante reducirt. Zugleich erhellt, dass, wenn die Functionen Crv, B* diesen Bedingungen gemäss, im Übrigen aber willkürlich angenommen werden, die vorstehende Formel auch stets eine eindeutige Function von x mit n singulären Stellen dargestellt.

Jetzt sei f(x) eine beliebige eindeutige Function mit den n wesentlichen singulären Stellen (cx, ... cn). Dann ist wieder, wenn man unter

die Functionen versteht, welche zur Function stehen wie

f(x)

in derselben Bezieliung

(i)

.M

in)

\x-cj

zu f(pc)*) — so dass die Gesammt heit ihrer Null-Stellen identisch ist mit der Keilte der Null-Stellen von

f(x)

— und

J -fil*)

setzt, fx(x) eine Function von derselben Beschaffenheit wie die im Vorstehenden so bezeichnete. Man erhält also, wenn man für dieselbe den angegebenen Ausdruck setzt und

\x — cj    — cj

bezeichnet

f(x) = -

. R* (x).

Dies ist der in-§ 1 unter (C, 2) gegebene Ausdruck von f(x).

*) Es ist zu beachten, dass die zur Definition der Functionen G

erforderliche

Zerlegung des Gebietes von x in n Theile den in Beziehung auf die Function fix) gegebenen Bestimmungen gemäss auszuführen ist, so dass diese Theile nicht nothwendig dieselben werden wie die vorhin mit Cx, C₂, ... bezeichneten.

n-f-v

Die in diesem Ansdrucke vorkommenden Functionen (7₁,... Gm sind so beschaffen, dass nicht zwei derselben eine gemeinschaftliche Null-Stelle haben, und auch keine von ihnen an einer der Stellen cx,... cn verschwindet. Ferner ist von den Factoren des Nenners jeder, welcher nicht unendlich viele Null-Stellen hat, eine rationale Function, und der entsprechende des Zählers dann nothwendig eine transcendente. Dabei darf angenommen werden, dass die Anzahl derjenigen Factoren des Nenners, welche nicht gleich 1 sind, ein Minimum sei; dann ist in dem Falle, wo f(x) unendlich viele ausserwesentliche singuläre Stellen hat, jeder dieser Factoren eine Function mit unendlich vielen Null-Stellen, während im entgegengesetzten Falle der Nenner sich auf eine rationale Function von x mit Einer — in der Reihe cx,...cn enthaltenen — singulären Stelle, oder auch auf eine Constante reducirt. R* (x) hat dieselbe Bedeutung wie im vorher betrachteten Falle.

Zugleich ist klar, dass der vorstehende Ausdruck stets eine eindeutige Function von x mit den n wesentlichen singulären Stellen (cx,... cn) darstellt, wenn die Functionen

(—¹—) , G

n\x- cj

n-h 1

in

so angenommen werden, dass sie die angegebene Beschaffenheit haben, im Übrigen aber willkürlich gewählt sind.

Die Function R* (x) kann in der Form

{x - cx)

cf (-¹—)

^2 \x — cj

wo cx eine beliebige der Grössen c, ,... cn bedeutet, dergestalt ausgedrückt werden, dass G*, Gt rationale ganze Functionen von X ~_TC ohne gemeinschaftlichen Theiler sind.

Es lässt sich also der allgemeinste Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit den n wesentlichen singulären Stellen c₁,...cn auch in der Form

n / l \

n ^ \x—cj

V— 1

TT çi (-I_^

1 I n+'j \x — cj v = l    v

.. Gon dieselbe Beschaffenheit

darstellen, wo die Functionen G wie in dem vorhergehenden Ausdruck haben, mit der Modifi-

cation, dass jetzt auch ein Factor des Zählers und der entsprechende des Nenners an einigen der Stellen c₂, ... cn beide verschwinden können.

Übrigens erhellt, dass beide Ausdrücke, wie auch die Functionen .. G2n angenommen werden mögen, stets eine eindeutige Function von x darstellen, deren wesentliche singuläre Stellen sich sämmtlich in der Reihe cx, ... cn finden; so wie auch, dass cx wirklich eine wesentliche singuläre Stelle dieser Function ist, wenn unter den übrigen Grössen cv keine ihr gleiche sich findet und der Quotient

G\(x-cJ

Cb

H-\-X

sich nicht auf eine rationale Function reducirt.

Der zweite Ausdruck von f(x) kann nun auf doppelte Weise noch weiter entwickelt werden.

Setzt man

f(x) =

fiO)

n

n

4(*)⁼=n<?v+i(—-)

so sind f₁(x),f₂(x) Functionen von x, welche sich in der Umgebung jeder von Cj, ... cM verschiedenen Stelle regulär verhalten, und deshalb nach § 5 in der Form

oo

fl(x) = ^ + 2    2 ÄW 0 - Cv)

V = 1 |i —1

oo

f₂(x) = B + 2 2    (* - cv) ¹¹

v=l |X = 1

Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen, dargestellt werden können, wo die Coëfficienten

50

IV'

A. B. A..... B

Constanten und so beschälten sind, dass die Reihen für jeden von cx, ... cn verschiedenen Werth der Veränderlichen x unbedingt convergiren. So ergiebt sich der in § 1 unter (C, 1) aufgestellte Ausdruck von f(x).

Wenn man ferner das in § 2 auseinander gesetzte Verfahren zur Zer

legung einer ganzen eindeutigen Function in Primfactoren auf die Functionen G

.. G2n anwendet, so erhält man jededer Functionen f\(x). f₂(x), wofern sie nicht selbst eine Primfunction ist, als Product von (rationalen oder transcendenten) Primfactoren dargestellt, und zwar so, dass die singuläre Stelle jedes einzelnen eine der wesentlichen singulären Stellen von f{x) ist, und das Product, falls es aus unendlich vielen Factoren bestellt, in jedem Theile des Gebiets von x, der weder im Innern noch an der Grenze eine der Stellen c₁, ... c enthält, unbedingt und gleichmässig convergirt.

Hiermit ist vollständig nachgewiesen, wie sich jede eindeutige Function fix) mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen aus den einfachsten Functionen mit Einer (wesentlichen oder aussenvesent-lichen) singulären Stelle durch arithmetische Operationen zusammensetzen lässt.

Es bleibt aber noch übrig zu ermitteln, wie eine solche Function sich in der Umgebung einer ihrer wesentlichen singulären Stellen verhält.

8. Verhalten der untersuchten Functionen in der Umgebung einer ihrer wesentlichen singulären Stellen.

Ist f(x) eine ganze eindeutige Function, so weiss man, dass es unendlich grosse Werthe von x giebt, für welche der Werth von fix) ebenfalls unendlich gross ist — mit andern Worten, dass sich, wenn a, b zwei willkürlich angenommene positive Grössen sind, unter den Werthen von x, die ihrem absoluten Betrage nach grösser als a sind, stets solche finden, für die der absolute Betrag von fix) grösser als b ist.

Dasselbe gilt für jede eindeutige Function von x mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo. Man denke sich nämlich eine solche Function

G^x)

G₂(x)

ansgedriickt, so hat man zwei Fälle zn unterscheiden. Ist der Nenner eine transcendente Function, so verschwindet derselbe für unendlich viele Werthe von x\ unter diesen giebt es also nothwendig unendlich grosse, und in einer unendlich kleinen Umgebung eines solchen Werthes ist der Werth von fix) unendlich gross. Ist aber G₂(x) eine rationale Function, so kann

GJx)

G~(x) + Gi(x)

Gx{x)

x auf die Form G 2 ix)

in der Art gebracht werden, dass Gs(x) eine rationale ganze Function von niedrigerem Grade als G₂(x), und G±{x) eine transcendente ganze Function ist; woraus sich, da der Quotient

G3O)

G₂(x)

für jeden unendlich grossen Werth unendlich klein ist, die Richtigkeit des Behaupteten auch in diesem Falle ergiebt.

Dies vorausgeschickt bedeute jetzt fix) wieder eine beliebige eindeutige Function mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen, so kann dieselbe, wenn c irgend eine dieser Stellen ist, nach dem vorhergehenden § in der Form

Cr

(—)

\x — cj

<1

\x — cj

.F{x)

dergestalt ausgedrückt werden, dass F(x) in der Umgebung der Stelle c sich regulär verhält, aber für x = c nicht verschwindet. Es giebt also, wenn p, R positive Grössen sind, von denen die erste beliebig klein und die andere beliebig gross angenommen werden kann, Werthe von x für die

\x - c\ <p ,

ist.

Nun hat aber, wenn C eine willkürlich anzunehmende Grösse bedeutet, die Function

fix) — C

dieselben wesentlichen singulären Stellen wie f(x)\ es existiren also auch Werthe von x, für die

f{x) — C

| fix) - C | < ^

ist.

Hiernach ändert sich die Function fix) in einer unendlich kleinen Umgebung der Stelle c in der Art discontinuirlich, dass sie jedem willkürlich angenommenen Werthe beliebig nahe kommen kann, für x = c also einen bestimmten Werth nicht besitzt; was sich in den entwickelten Ausdrücken der Function dadurch zu erkennen giebt, dass dieselben für x = c aufhören, eine Bedeutung zu haben.

Über einen functionentheoretischen Satz des Herrn G. Mittag-Leffler.

Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom August 1880.

Über einen functionentheoretischen Satz des Herrn G. Mittag-Leffler.

Aus dem Monatsbericht der Künig'l. Akademie der Wissenschaften zu Berlin

vom August 1880.

In den Berichten der Akademie der Wissenschaften zn Stockholm*) a. d. J. 1877 hat Herr Mittag-Leffler im Anschluss an meine in den Denkschriften unserer Akademie a. d. J. 1876 veröffentlichten Untersuchungen über die eindeutigen analytischen Functionen einer Veränderlichen einige sehr beachtenswerte Theoreme entwickelt. Unter denselben ist von besonderer Wichtigkeit das nachstehende, auf welches näher einzugehen ich aus dem Grunde Veranlassung habe, weil es mir dazu gedient hat, die Ergebnisse meiner Arbeit in mehreren wesentlichen Punkten zu vervollständigen:

„Es seien gegeben

1) eine unendliche Reihe bestimmter endlicher Grössen:

unter denen keine zwei gleiche sich finden, und die der Bedingung

Lim. av = oo

V —CO

genügen; und

2) eine unendliche Reihe rationaler Functionen einer Veränderlichen x:

fx(x), f₂(pc), 4GO, ••

von denen fy (x) nur an der Stelle (x -= av) unendlich gross wird, und für x = <x> verschwindet.

*) Öfversigt af Kongl. Wetenskaps-Akademiens Förhandlingar, 1877.

Dann lässt sicli stets eine eindeutige analytische Function F{x) mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo bilden, welche nur an den Stellen a₁, a₂, a₃, ... unendlich gross wird, und zwar so, dass — für jeden bestimmten Werth von v — die Differenz

F(x) — 400

an der Stelle (x = ov) einen endlichen Werth hat, und daher innerhalb einer gewissen Umgebung dieser Stelle

F(x) in der Form 40) + ^$0 — av)

dargestellt werden kann.“

Herr Mittag-Leffler beweist diesen Satz, indem er zeigt, dass sich aus den gegebenen Functionen

404 404 40),

eine Reihe anderer rationalen Functionen:

FM), F₂(x), F₃(x), ...

dergestalt ableiten lässt, dass jede der Differenzen

Fl(x) - t\ 0), F₂(x) - 40), F,a(x) - 40),

eine ganze Function von x oder eine Constante ist, und zugleich die unendliche Reihe

oo

2 F,{x)

V=1

innerhalb jedes Bereichs, der keine der Stellen al, a₂, a₃, ... enthält, gleichmässig conyergirt, woraus sich folgern lässt, dass dieselbe eine Function F{x) von der angegebenen Beschaffenheit darstellt.

Man kann indess für die Functionen F^(x) eine einfachere Bildungsweise als die von Herrn Mittag-Leffler auseinandergesetzte angeben und dadurch den Beweis des Satzes erheblich vereinfachen.

Man nehme eine unendliche Reihe positiver Grössen: deren Summe einen endlichen Werth hat, und ausserdem eine ebenfalls positive Grösse e, die <cl ist, willkürlich an.

Ist nun, für einen bestimmten Werth von v, «v = 0, so nehme man

Fv(x) = fv(x).

Wenn aber av einen von Null verschiedenen Werth hat, so entwickele man fJx) in eine Potenzreihe

oo

T=

r=o

welche für jeden der Bedingung

genügenden Werth von x convergirt. Dann kann man eine ganze Zahl m so bestimmen, dass für jeden der Bedingung

,Pla

entsprechenden Werth von x der absolute Betrag von

OO

l-i=m

kleiner als ev ist.*) Nach Ermittelung dieser Zahl m nehme man

|i = 0

*) Nach Annahme einer positiven Grösse s₀, die kleiner als 1, aber grösser als s ist, bestimme man eine Grösse g so, dass für jeden Werth von x, der den absoluten Betrag e₀ j a.t j hat,

Ay. * |

ist. Dann hat man

wobei zu bemerken, dass Fv(x) = /v(x) zu setzen ist, wenn m = 0, und dass man

Fy(oc) ---- xmyv(x)

hat, wo cpv(x) eine rationale Function ist, die ebenso wie fy(pc) nur für x = av unendlich gross wird, und für x-=oo verschwindet.

Nun sei x₀ irgend ein bestimmter endlicher Werth von x, der nicht in der Reihe enthalten ist, und p eine positive Grösse, die man so klein anzunehmen hat, dass auch unter denjenigen Werthen von x, für die keine der Grössen ax, a₂, a₃, ... sich findet. Dann kann, wenn o irgend eine gegebene, beliebig kleine Grösse ist, eine ganze Zahl r so angenommen werden, dass für jeden der eben angegebenen Werthe von x, sobald v^r und somit

F, (x) j    £v

03

ist. Die Reihe

oo

2 FM

av

und es ist somit, wenn

=l

Ms

8.

VII

"Ms

0) i 0)°

Ho?

dass

Man kann nun unter den mv den kleinsten Werth mit m bezeichnen und so wählen, < £y ist.

Über einen functionentheoretischen Satz des Herrn G. Mittag-Leffler. convergirt also, und zwar gleiclimässig, für alle der Bedingung

| x — xo | = P

entsprechenden Werthe von x, und kann daher, nach einem bekannten Satz, für diese auch in der Form einer gewöhnlichen Potenzreihe von (x — x₀) dargestellt werden.

Ist ferner a} irgend eine der Grössen ax, a₂, aA, man p so klein an, dass sich unter denjenigen Werthen von x, für die

und nimmt

' | x — ax | p

ct} keine der genannten Grössen findet, so ist nach dem Vorstehenden die Reihe

ausser

oo

für die in Rede stehenden Werthe von x gleichmässig convergent und in der Form

- ax)

darstellbar, so dass man

oo

2 FM = Ft (x) + $(x - ax) = fk(x) +    ~ aO

hat. Damit ist bewiesen, dass die Reihe

oo

2 -F»(x)

eine Function F(x) von der in dem angeführten Satze angegebenen Beschaffenheit darstellt.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Ist G(x) eine beliebige (rationale oder transcendente) ganze Function von x, und setzt man

F{x) = Fix) + G {x)

so ist auch F{x) eine Function von der in Rede stehenden Beschaffenheit. Und umgekehrt, wenn Fix), Fix) irgend zwei solche Functionen sind, so ist die Differenz

F{x) - Fix)

nothwendig eine ganze Function von x.

2.

Nunmehr sei f(x) irgend eine gegebene eindeutige analytische Function von x, welche nur die eine wesentliche singuläre Stelle oo besitzt, und an beliebig vielen andern Stellen

C/<1 ,    , • • •

gleich oo wird, wobei in dem Falle, wo die Anzahl dieser Stellen unendlich gross ist, angenommen werden darf, es seien dieselben so geordnet, dass

Lim. nv = oo.

V=oo

Dann lässt sich, wenn aw eine ?v mal zu zählende oo-Stelle der Function f(x) ist, für die einer bestimmten Umgebung dieser Stelle angehörigen Werthe von x

oo

darstellen; man hat also, wenn

fv(p)=2l °{^x ~av)

fi = 0

gesetzt wird

fix) = 40) + 0 — «v)

und es ist 4 (x) eine rationale Function von x, die nur für x = av unendlich gross wird, und für x = oo verschwindet.

Leitet man nun aus den Functionen

f^x), 40), 40), ...

auf die in (1) beschriebene Weise die Functionen

00), f₂0), Fjx), ...

ab — wobei man, wenn die Anzahl der oo-Stellen von f(x) endlich ist, Av(x) = /v0) setzen kann, es wird die Differenz

/oo-2

v

Über einen functionentheoretischen Satz des Herrn Gr. Mittag-Leffler. für keinen endlichen Werth von x unendlich gross, und es ist also

fix) = 2 F,(x) 4- G(x),

wo G(x) wieder eine ganze Function von x bedeutet. Bringt man

G{x) auf die Form //v (x)

in der Art, dass g x (x), g₂(x), ... ganze und rationale Functionen von x sind, so hat man

f(oc) = 2 (FAx) A tfvO)) •

Es lässt sich also jede eindeutige analytische Function f(x), für die im Endlichen keine wesentliche singuläre Stelle existirt, als eine Summe von rationalen Functionen der Veränderlichen x dergestalt ausdrücken, dass jede dieser Functionen im Endlichen nur eine oo-Stelle hat.

Dies war bisher nur für die rationalen und für einige bestimmte transcendente Functionen einer Veränderlichen bekannt.

3.

Aus den beiden in (1, 2) entwickelten Sätzen leitet man leicht die folgenden ab.

A. Es seien gegeben

1) eine bestimmte Grösse c und eine unendliche Reihe von c verschiedener Grössen: unter denen keine zwei gleiche sich finden, und die der Bedingung

Lim. «v = c

V = oo

genügen; und

2) eine unendliche Reihe rationaler Functionen:

von denen /"v (x) nur an der Stelle (x = nv) unendlich gross wird, und für x = c verschwindet.

Dann lässt sich stets eine eindeutige analytische Function F(x) mit der einen wesentlichen singulären Stelle c bilden, welche nur an den Stellen ax, a₂, a₃, ... gleich oo wird, und zwar so, dass

F(x)-fy(x)

an der Stelle (a? = av) einen endlichen Werth hat.

Diese Function Fix) kann dargestellt werden in der Form

oo

>>,(*) v=l

wo F^{x) eine in der Form ausdrückbare rationale Function bezeichnet.

B.

Jede eindeutige analytische Function f(x) mit nur einer wesentlich singulären Stelle c lässt sich als eine Summe von rationalen Functionen der Veränderlichen x dergestalt aus-drücken, dass jede dieser Functionen nicht mehr als eine von c verschiedene oo-Stelle hat.

Diese Sätze ergeben sich aus den in (1, 2) bewiesenen, wenn man

= x'

setzt, und dann f{x) als Function von x' betrachtet.

Der Satz B reiht sich den in §§2,3 meiner oben angeführten Abhandlung entwickelten Sätzen an.

4.

In der genannten Abhandlung habe ich (§ 7) für eine eindeutige analytische Function einer Veränderlichen x mit n wesentlichen singulären Stellen (c1? ... cn) zwei allgemeine Ausdrücke aufgestellt, nämlich

1)

2)

ny»₊x(-~)

. R*(x),

wo II* (x) eine rationale Function von x, die nur an den Stellen c₁, ... cn Null und unendlich gross wird, bedeutet.

Bezeichnet man mit F(x\ c) eine eindeutige analytische Function von x mit der einen wesentlichen singulären Stelle c, so lässt sich der Ausdruck (2) auf die Form

2 a) TT FSX ^ ü)

bringen.

Nun stellt aber auch der Ausdruck

3)    2 F\(x’ c)

eine eindeutige Function mit n wesentlichen singulären Stellen (cl, ... cn) dar ; es konnte aber mit den in der genannten Abhandlung angewandten Hülfsmitteln nicht bewiesen werden, dass jede solche Function, wie ich jetzt mit Hülfe des Satzes (3,A) zeigen will, in der vorstehenden Form (3) ausgedrückt werden kann.

Es sei f{x) irgend eine Function von der in Rede stehenden Beschaffenheit, so zerlege man das Gebiet der Veränderlichen x dergestalt in n Theile, dass im Innern eines jeden eine der Stellen cv ... cn liegt, und zugleich an der Grenze zwischen zwei Theilen F(x) überall einen endlichen AVerth hat. Derjenige Theil, in welchem c} liegt, werde mit Cx bezeichnet. Angenommen nun, es enthalte, für einen bestimmten AVerth von 1, Cx unendlich viele ausserwesentliche singuläre Stellen der betrachteten Function : so darf vorausgesetzt werden, es seien dieselben so geordnet, dass

Lim. = cx.

V= oo

Bestimmt man dann eine Reihe rationaler Functionen

dergestalt, dass f ^{x) nur an der Stelle (x = a^) unendlich gross wird, die Differenz

fix) - fX\x)

aber an derselben Stelle einen endlichen AVerth hat, und überdies f⁽^(x) für x = c verschwindet ; so lässt sich nach (3, A) eine eindeutige Function Fa\x) mit der einen wesentlichen singulären Stelle cx hersteilen, welche nur an den Stellen d)¹,    , ••• unendlich gross wird, und zwar so,

dass die Differenz

ß)

ß)

F (x) — f v (x)

an der Stelle (x — ai']) einen endlichen AVerth hat. Daraus folgt dann, dass die Function

fix)-F (x)

im Innern und an der Grenze von Cx ausser cx keine singuläre Stelle besitzt.

Enthält ferner Cx nur eine endliche Anzahl ausser wesentlicher singulärer Stellen der Function Fix) :

(X)    (X)

»i > «a > •••

F(KXx) = f?Xx)+f*Xx) + --->

wo die Functionen ff\x), tf](x), .... dieselbe Bedeutung haben wie vorhin, so wird F:>!(x) nur an den Stellen «j'⁾, et₂(X), ... unendlich gross, und es besitzt auch in diesem Falle die Function

f{pc) - F°\x)

im Innern und an der Grenze von Cx ausser cx keine singuläre Stelle.

In dem Falle endlich, wo C} keine ausserwesentliche Stelle der Function f(x) enthält, setze man

F(X\x) = 0.

Sind auf diese Weise die Functionen F{1\x), ... Fm(x) bestimmt, so ist der Ausdruck

f{x)-y,FQ\x)

eine eindeutige Function von x, die keine anderen (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stellen als cx, ... cn besitzt, und somit (nach § 5 der g. Ablidlg.) in der Form

t ffx (-M

ä 'J

dargestellt werden kann, wo O, (    ¹eine ganze Function von

\X - CyJ    X

bezeichnet.

Setzt man nun

so ist

71

fix) =

so setze man

\n Ax\ cx)

Zj 'X

A—l

Da die Functionen F(l\x), G- Q ¹ ^ ^

im Gebiete der Yeräiiderlichen x

keine von cx verschiedene wesentliche singuläre Stelle besitzen, so gilt dies auch von der Function /x(æ;cx); für diese aber ist in Folge der Voraussetzung, dass F(x) n wesentliche singuläre Stellen besitze, cx nötli-wendig eine solche Stelle.

Zu bemerken ist, dass nicht zwei der Functionen eine gemeinschaftliche oo- Stelle haben.

Der im Vorstehenden mit Hülfe des in (1) mitgetheilten Mittag-Leff 1er’sehen Theorems begründete Satz ist in meiner Abhandlung bloss für den Fall bewiesen worden, wo die Function F(x) ausserwesent-liche singuläre Stellen entweder gar nicht oder nur in endlicher Anzahl besitzt. (S. § 5 d. g. Ablidl.)

Stellt man jede der Functionen fx(x ; cx) in der oben (3, B) angegebenen Gestalt dar, so ergiebt sich ein neuer allgemeiner Ausdruck einer eindeutigen analytischen Function f(x) mit einer endlichen Anzahl singulärer Stellen in der Form einer unendlichen Reihe, deren Glieder sämmtlich rationale Functionen der Veränderlichen x sind. Diese Reihe convergirt gleiclimässig für alle Wertlie von x, welche einem Bereiche angehören, der weder im Innern noch an der Grenze eine der singulären Stellen der Function f(x) enthält.

Zur Functionenlehre.

Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom August 1880.

5*

V

Zur Functionenlehre.

Aus dem Monatsbericht der König! Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom

August 1880.

deren

Im Nachstehenden theile ich einige auf unendliche Reihen,

Glieder rationale Functionen einer Veränderlichen sind, sich beziehende Untersuchungen mit, welche hauptsächlich den Zweck haben, gewisse, bisher — so viel ich weiss — nicht beachtete Eigentümlichkeiten, die solche Reihen darbieten können und deren Kenntniss für die Functionenlehre von Wichtigkeit ist, klar zu stellen.

1.

Es seien unendlich viele rationale Functionen einer Veränderlichen x in bestimmter Aufeinanderfolge gegeben:

. f₀(x), fx(x), f₂(x), . . .

Die Gesammtheit derjenigen AVerthe von x, für welche die Reihe

<■> >

einen endlichen Werth hat, nenne ich den Convergenzbereich dieser Reihe. Lässt sich ferner für eine bestimmte Stelle a dieses Bereichs eine positive Grösse p so annehmen, dass die Reihe für die der Bedingung

entsprechenden Werthe von x gleichmässig *) convergirt, so will ich sagen, die Reihe convergire gleichmässig in der Nähe der Stelle a. Die Grösse p hat dann eine obere Grenze; ist diese B, so möge — in Beziehung auf die betrachtete Reihe — die Gesammtheit derjenigen Werthe von x, für welche

| x — a | < B

ist, die Umgebung von a, und B deren Halbmesser genannt werden. Nimmt man in dieser Umgebung eine Stelle beliebig an, so ist klar, dass auch in der Nähe der letzteren die Reihe gleichmässig convergirt. Daraus ergiebt sich, dass die Gesammtheit der Stellen, in deren Nähe die Reibe gleichmässig convergirt, in der Ebene der Veränderlichen x

*) Eine unendliche Reihe

OO v=o

deren Glieder Functionen beliebig vieler Veränderlichen sind, convergirt in einem gegebenen Theile (B) ihres Convergenzbereichs gleichmässig, wenn sich nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse 8 stets eine ganze Zahl m so bestimmen lässt, dass der absolute Betrag der Summe

OO

\—n

für jeden Werth von n, der ^ m, und für jedes dem Bereiche B angehörige Werthsystem der Veränderlichen kleiner als 8 ist. Soll die Reihe in demselben Bereiche zugleich unbedingt convergent sein, d. h. hei jeder Anordnung ihrer Glieder denselben Werth haben, so muss es, wie man auch 8 annehmen möge, stets möglich sein, aus der Reihe eine endliche Anzahl von Gliedern so auszusondern, dass die Summe von heliehig vielen der übrigbleibenden für jedes der betrachteten Werthsysteme der Veränderlichen kleiner als 8 ist. Diese Bedingung ist sicher erfüllt, wenn es eine Reihe bestimmter positiver Grössen

9o » 9i » 92 »

giebt, für die sich feststellen lässt, dass an jeder Stelle des Bereichs B

(V = 0, ... oo)

und die Summe

OO

V =0

einen endlichen Werth hat. — Aus der gegebenen Definition der gleichmässigen Con-vergenz folgt u. A. unmittelbar, dass, wenn die betrachtete Reihe in mehreren Theilen ihres Convergenzbereichs gleichmässig convergirt, dasselbe auch für den aus diesen Theilen zusammengesetzten Bereich gilt.

durch eine einfache*) Fläche repräsentirt wird, welche aber aus mehreren, von einander getrennten Stücken bestehen kann.

Angenommen nämlich, es gebe überhaupt Stellen der in Rede stehenden Art, deren Gesammtheit mit A bezeichnet werde, so denke man sich eine von ihnen willkürlich angenommen, in der Umgebung derselben eine beliebige zweite, in der Umgebung dieser eine dritte, u. s. w. Die Gesammtheit der Stellen von A, zu denen man auf diese Weise gelangen kann, ist dann ein in der Ebene der Grösse x durch ein zusammenhängendes Stück derselben repräsentirtes Continuum (Ax), dessen Begrenzung aus einzelnen Punkten, aus einer oder aus mehreren Linien, und auch aus einzelnen Punkten und Linien zugleich bestehen kann. Möglicherweise existiren nun ausserhalb A₁ noch Stellen von A, dann giebt es mindestens noch ein zweites Continuum (A₂) von derselben Beschaffenheit wie A₁, das ebenfalls ein Bestandtheil von A ist und mit Ax keine Stelle gemeinschaftlich hat — was jedoch nicht ausschliesst, dass die Begrenzungen von Ax und A₂ theilweise oder ganz zusammenfallen. Existiren ferner noch Stellen von A, die weder in A₁ noch in A₂ liegen, so giebt es mindestens noch ein drittes Continuum (A ) von derselben Beschaffenheit wie Ax, A₂, das gleichfalls ein Bestandtheil von A ist und mit den beiden ersten keine Stelle gemein hat. U. s. w.

Nachdem so festgestellt ist, wie der Bereich A möglicherweise gestaltet ist, kann leicht an Beispielen gezeigt werden, dass die angegebenen verschiedenen Fälle auch wirklich Vorkommen. Es genügt hier die beiden Reihen

f>V. 2 (æv+arv)

V = 0    V = 0    I    /

anzuführen. Für die erstere bilden den Bereich A alle diejenigen Werthe von x, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 1 sind, für die anderen ausser denselben Wertlien auch alle diejenigen, die ihrem absoluten Betrage nach grösser als 1 sind; es besteht also A in dem ersten Falle aus einem zusammenhängenden Stücke, in dem anderen aus zwei solchen Stücken, die keine Stelle gemein haben. Beispiele von Reihen der hier betrachteten Art, für welche der Bereich A aus mehr als zwei Stücken besteht, werden später Vorkommen.

Es ist ferner noch Folgendes nachzuweisen.

Angenommen, es convergire die betrachtete Reihe gleichmässig in der Nähe jeder Stelle, die im Innern oder an der Grenze eines gegebenen

*) d. h. eine Fläche, die durch keinen Punkt mehr als einmal hindurchgeht.

zusammenhängenden Bereichs (B) liegt, so conyergirt sie auch in dem ganzen Bereiche gleichmässig.

a' — a

Sind a, a' irgend zwei Stellen des Bereichs A, von denen a' in der Umgebung von a liegt, und ist E der Halbmesser der letzteren, D der Abstand der beiden Stellen, so folgt aus den gegebenen Definitionen unmittelbar, dass der Halbmesser (E') der Umgebung von a' nicht kleiner als E — D sein kann. Ist D<chE, so ist also E'^iE, und es liegt a in der Umgebung von mithin muss E^E' — D sein, E' also zwischen

E — D und E-\- D

liegen. Wenn daher die Stelle a in A ihre Lage stetig ändert, so ändert sich auch der zugehörige Werth von E stetig. Daraus folgt weiter, dass die untere Grenze E₀ derjenigen Wertlie von E, die diese Grösse im Bereiche B annehmen kann, mindestens an einer im Innern oder an der Grenze dieses Bereiches liegenden Stelle wirklich erreicht wird, und dass daher E₀ nicht gleich Null ist. Deshalb kann B in eine endliche Anzahl von Theilen dergestalt zerlegt werden, dass in jedem einzelnen Theile der grösste Abstand zweier Stellen kleiner als E₀ ist. Jeder solcher Theil liegt dann ganz in der Umgebung einer in ihm willkürlich angenommenen Stelle; für die demselben angehörigen Wertlie von x con-vergirt also die betrachtete Reihe gleichmässig, woraus nach dem oben Bemerkten die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes sich unmittelbar ergiebt.

Eine Reihe der in Rede stehenden Art kann so beschaffen sein, dass sie in der Nähe jeder im Innern ihres Convergenzbereichs liegenden Stelle gleichmässig convergirt. Im Folgenden werde ich ausschliesslich Reihen von dieser Beschaffenheit untersuchen. Wenn man nämlich von der Reihe

oo

2 fvO)

nur weiss, dass es im Gebiete der Veränderlichen x einen zusammenhängenden Bereich giebt, in welchem die Reihe convergirt, so lässt sich daraus allein nicht einmal folgern, dass ihr Werth in demselben Bereiche eine stetige Function von x sei. Macht man aber die angegebene Voraussetzung, so lässt sich zeigen, dass die Reihe in jedem der im Vorstehenden definirten Stücke (A₁,...) ihres Convergenz-bereiclies im Allgemeinen einen eindeutigen Zweig einer mono-genen analytischen Function von x, und in hesondern Fällen eine solche Function vollständig darstellt.

Hierzu ist ein Hülfssatz erforderlich, den ich zunächst anführen und beweisen will.

2.

„Es seien unendlich viele Potenzreihen einer Veränderlichen x, welche Potenzen dieser Grösse mit ganzen, positiven und negativen Exponenten in beliebiger Anzahl enthalten, in bestimmter Aufeinanderfolge gegeben: und es sei möglich, zwei reelle Grössen B, B', von denen B' > B, B > 0 ist, so anzunehmen, dass für die der Bedingung entsprechenden AVerthe von x nicht nur jede einzelne der gegebenen Bei lien, sondern auch die Summe

oo v=o

convergirt, und zwar die letztere für alle diejenigen AVerthe der Veränderlichen, die denselben absoluten Betrag haben, gleichmässig. Dann hat, wenn

(V)

der Coefficient von x,x in Pv(sc) ist, die Summe

oo

2 V

v=o

für jeden AVerth von p einen bestimmten endlichen Werth, der mit A[L bezeichnet werde, und es lässt sich zeigen, dass für jeden AVerth von x, dessen absoluter Betrag grösser als B und kleiner als B' ist, die Reihe

a;!1

a ¹

convergirt und die Gleichung

oo 2 pv(^)=2

besteht.“

Es sei r irgend eine bestimmte, zwischen II und II enthaltene positive Grösse, und k eine beliebige andere, so kann in Folge der hinsichtlich der Convergenz der Reihe

oo

gemachten Voraussetzung eine ganze positive Zahl m so angenommen werden, dass für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag gleich r ist, und für jede ganze Zahl n, die > m, der absolute Betrag der Summe

oo

2 pvO)

v=n

kleiner als ik, und deshalb für jede Zahl n', die > n.

v

I2pv00k* v =n

ist. Man hat aber

■M*

jMs-

■p g'

-p

und es ist deshalb nach einem bekannten Satze für jeden ganzzahligen Werth von jji

12)A™Ula-K

V = //

Demgemäss hat die klimme

oo

2^

v=o

einen bestimmten endlichen Werth, der mit A[X bezeichnet werde. Nun nehme man zwei positive Grössen rv r., so an, dass

jr₂ <: B',

so kann man der Zahl n einen solchen Werth geben, dass

v' y=n

auch kleiner als jede der beiden Grössen

Icrr'¹

ist; woraus folgt:

oo

2 Â71=lcrv¹¹

V — il

oo

12

v=w

Hiernach hat man, wenn

2^

li

oo

•p <

.i

gesetzt, und der Veränderlichen æ ein Wertli, dessen absoluter Betrag gleich r ist, beigelegt wird,

— OO

l¹

— fl

*M)

-f-oo    4-oo    n

S {*';*'& 2 (f)

i = ft    Li=n \ 2 ^

und somit

-f-oo    ✓

2 M x'1ä,c(,t

[1 = — oo

rl

s.

r2 \ r₂ — r/ ’

Die Reihe ist also unbedingt convergent, und da

n—l

2-p*(*) = 2⁴

v = 0    ft

so gilt dasselbe auch von der Reihe

Man hat ferner

OO

oo

2JPv(*)

v=o

'SPI -4;1 x¹¹ = ^ Pv (a?) — ^ A x,x

4    v = n    w

■p

und somit

oo

S PvM

tu

v=o

■p

■p

V||

--

Da man nun für jeden bestimmten Werth von x, dessen absoluter Betrag (r) zwischen R und R' enthalten ist. zunächst r₁, r₂ der angegebenen Bedingung gemäss, und dann k so annehmen kann, dass

r\

r2

r₂ - r.

kleiner ist als eine beliebige gegebene Grösse, so folgt, dass für jeden der Bedingung

R < I x I < Ii'

entsprechenden Werth von x nicht nur die Reihe convergirt, sondern auch die Gleichung

oo

2 V'‘ = 2pv(*)

4    V = 0

besteht; w. z. b. w. Es sei jetzt

OO

F{x) = 2 f„(x)

V== 0

irgend eine Reihe von der am Schlüsse des § 1 angegebenen Beschaffenheit, und es werde mit A' eines der Stücke bezeichnet, aus denen nach der vorangegangenen Auseinandersetzung der Convergenzbereich der Reihe besteht.

Nimmt man dann in A’ eine Stelle a₀ willkürlich an, und beschränkt die Veränderliche x auf die Umgebung von a₀, so lässt sich nicht nur jede der Functionen /v (x), sondern nach dem vorhergehenden Satze auch die Summe derselben durch eine gewöhnliche Potenzreihe von x — a₀, die mit

$₀(x-a₀)

bezeichnet werde, und die ich ein „Element“ der Function F(x) nenne, ausdrücken.“ ¹)

Nimmt man ferner in der Umgebung von a₀ eine zweite Stelle (etj) an, und ist ^(æ — a^) das zu dieser gehörige Element von F(x), so hat man für diejenigen Werthe von x, die in der Umgebung von a₀ sowohl als von a₁ liegen,

oo

g!

{X—o

wo

d!%(x - a₀)

Daraus folgt, dass der Coefficient von (x — in ^x(æ — ax) mit dem entsprechenden Coëfficienten der Entwicklung von ^₀(oc —n₀) nach Potenzen von (x — «j) übereinstimmen muss.

Nun kann man, wenn a eine beliebige Stelle in A' ist, zwischen a0 und a eine Reihe von Stellen

gleich

a!

y \FfAx) 1

v=₀L da? J

C¹ = «o)

ist. Die Function F(x) hat also in A' Ableitungen jeder Ordnung, und es ist

<AF{x)

dx^

₌ y Ff, (x)

^0 d-F

Es ist ferner leicht zu zeigen, dass auch die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung in der Rahe jeder Stelle von A' gleichmässig convergirt, und somit dieselbe Beschaffenheit wie die gegebene hat.

so einschalten, dass a₁ in der Umgehung von a₀, a₂ in der Umgehung von ax, u. s. w. und schliesslich a in der Umgehung von an liegt.

Dann hat man, wenn

— ax) , ?$₂(x — a₂) , ... %n(x — on), s^» (x — a)

die zu den Stellen ax, a₂, ... an, et gehörigen Elemente der Function F{x) sind,

oo

g!

- «i) = 2 CK - ao)

P-=o

OO

0 ~ a-f

n=o

g!

u. s. w.

OO

[i=0

(# — df

|x!

Es bestellt also in dem Bereich A' zwischen den Elementen der betrachteten Function ein solcher Zusammenhang, dass aus einem beliebig angenommenen Elemente jedes andere durch ein bestimmtes Rechnungsverfahren abgeleitet werden kann. Für die dem genannten Bereich an-gehörigen Werthe von x ist also die Function völlig bestimmt, sobald irgend eines ihrer Elemente gegeben ist.

Möglicherweise erstreckt sich, wenn die Stelle a der Begrenzung von A' hinlänglich nahe angenommen wird, deg Convergenzbezirk der Reihe ^ (x — a) über A' hinaus. In diesem Falle (der sogar der gewöhnliche ist) existiren unendlich viele, aus — a₀) durch das beschriebene Verfahren ableitbare Potenzreihen %'ix — a'), deren Convergenzbezirke ganz oder tlieilweise ausserhalb A' liegen, und aus diesen können dann möglicherweise durch dasselbe Verfahren wieder andere sich ergeben, welche in ihrem Convergenzbezirk auch Stellen von A' enthalten, aber an diesen andere Werthe wie F(x) haben. Alle diese Reihen stellen Fortsetzungen der durch die gegebene Reihe F(x) zunächst für die dem Bezirk A' an-gekörigen Werthe von x definirten Function dar; sie sind, nach der in meinen Vorlesungen über die Anfangsgründe der allgemeinen Functionenlehre eingeführten Terminologie, sämmtlich Elemente einer monogenen analytischen Function, die eindeutig oder mehrdeutig sein kann, aber als vollständig definirt zu betrachten ist, sobald irgend eines ihrer Elemente gegeben ist.

Wenn der Convergenzbereicli der Reihe ?$(x — a}, wie man auch a annelnnen möge, stets ganz in A! enthalten ist, so kann die durch den Ausdruck Fix) für den Bereich A! definirte Function über die Grenzen dieses Bereichs nicht fortgesetzt werden. Es stellt also in diesem Falle — der wirklich vorkommt, wie weiter unten wird gezeigt werden — die Reihe, wenn die Veränderliche x auf den Bereich A' beschränkt wird, eine eindeutige monogene Function von x vollständig dar.

Hiernach lässt sich das im Vorstehenden Auseinandergesetzte kurz so, wie am Schlüsse von § 1 geschehen ist, zusammenfassen.

Hieran knüpft sich nun eine für die Functionenlehre wichtige Frage.

Angenommen, der Convergenzbereicli der betrachteten Reihe bestehe aus mehreren Stücken (A₁, A₀,...), so ist es möglich, dass sie in denselben Zweige einer und derselben monogenen Function darstellt. Es fragt sich nun, ob sich dies in allen Fällen so verhält. Muss diese Frage verneint werden, wie dies wirklich der Fall ist, so ist damit bewiesen, dass der Begriff einer monogenen Function einer com-plexen Veränderlichen mit dem Begriff einer durch (arithmetische) Grössenoperationen ausdrückbaren Abhängigkeit sich nicht vollständig deckt.*) Daraus aber folgt dann, dass mehrere der wichtigsten Sätze der neueren Functionenlehre nicht ohne Weiteres auf Ausdrücke, welche im Sinne der älteren Analysten (Euler, Lagrange u. A.) Functionen einer complexen Veränderlichen sind, dürfen angewandt werden**).

*) Das Gegentheil ist von Rieinann ausgesprochen worden (Grundlagen für die allgemeine Theorie der Functionen einer complexen Grösse, § 19, am Schluss), wobei ich bemerke, dass eine Function eines complexen Arguments, wie sie Riemann delinirt, stets auch eine monogene Function ist.

**) Wenn z. B. zwei Ausdrücke

oo

oo

2 AG), 2 AG)

v=o

V —0

der hier betrachteten Art gegeben sind, und es lässt sich zeigen, dass es in der Nähe einer bestimmten, im Innern des Convergenzbereichs sowohl des einen als des andern liegenden Stelle unendlich viele Werthe von x giebt, für welche die Ausdrücke gleiche Wertlie haben, so ist damit festgestellt, dass innerhalb eines bestimmten zusammenhängenden Bereichs der Veränderlichen x die Gleichung

OO

OO

2 AG) = 2 AG)

v=0

besteht; es lässt sich aber nicht behaupten, dass dieselbe an allen Stellen des gemeinschaftlichen Convergenzbereichs der beiden Reihen gelte, wofern nicht der Nachweis geführt werden kann, dass beide Ausdrücke in dem genannten Bereich monogene Functionen sind.

Ich habe bereits vor Jahren gefunden — und in meinen Vorlesungen mitgetheilt — dass die oben angeführte Reihe

co .

a;v+ x~

F(x) = 2 (

v=o v

deren Convergenzbereich aus zwei Stücken besteht, zwei verschieden monogene Functionen, und zwar eine jede vollständig darstellt.

zeigen,

Ist nämlich x₀ irgend ein Werth von x, der den absoluten Betrag 1 hat, so lässt sich — mit Hülfe von Sätzen, welche die Theorie der linearen Transformation der elliptischen F-Functionen liefert dass sich sowohl unter denjenigen Werthen von x, für die |æ|cl, als auch unter denen, für die \x\^ 1, in jeder noch so kleinen Umgebung von xQ solche linden, für die der absolute Betrag von Fix) jede beliebig angenommene Grösse übertrifft. Daraus folgt sofort, dass die Reihe in jedem der beiden Stücke ihres Convergenzbereichs eine Function darstellt, die über die Begrenzung des Stückes hinaus nicht fortgesetzt werden kann.

Es blieb indessen, obwohl dies eine Beispiel zur Erledigung der in Rede stehenden Frage ausreichte, noch ein Bedenken übrig.

Die beiden durch die angeführte Reihe ausgedrückten Functionen stehen in einer sehr einfachen Beziehung zu einander, indem

F^-¹) = F(x)

ist. Es war daher der Gedanke nicht abzuweisen, ob nicht überhaupt in dem Falle, wo ein arithmetischer Ausdruck Fix) in verschiedenen Theilen seines Geltungsbereichs verschiedene monogene Functionen der complexen Veränderlichen x darstellt, unter diesen ein nothwendiger Zusammenhang bestehe, der bewirke, dass durch die Eigenschaften der einen auch die Eigenschaften der andern bestimmt seien. Wäre dies der Fall, so würde daraus folgen, dass der Begriff der monogenen Function erweitert werden müsste.

Um jeden Zweifel über diesen Punkt zu beseitigen, habe ich mir die Aufgabe gestellt, einen Ausdruck

oo

Fix) = 2 /vW

von der hier angenommenen Beschaffenheit, der den folgenden Bedingungen genüge, zu bilden: Der Convergenzbereich der Reihe soll aus n Stücken (Ax, A₂, ... An), wie sie oben definirt worden sind, bestehen, und es soll Fix) in A₁ gleich Fx(x), in A₉ gleich F„(x), ... in An gleich _Fw(;r) sein, wo F₁(x), F.,(x), ... Fn(x) willkürlich anzunehmende, für das ganze Gebiet der Veränderlichen x, mit Ausnahme von einzelnen Stellen, definirte eindeutige und monogene Functionen bedeuten.

Zur Lösung dieser Aufgabe stelle ich zunächst einen Ausdruck von der angegebenen Form her, welcher in der Nähe jeder Stelle, wo der reelle Theil von x nicht gleich Null ist, gleichmässig convergirt und den Werth

+ 1 oder — 1

hat, jenaclidem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist. Formeln, die in der Theorie der elliptischen Functionen Vorkommen, führen zu einem solchen Ausdruck. Bei der nachstehenden Herleitung desselben habe ich jedoch absichtlich aus der genannten Theorie nichts vorausgesetzt.

4.

Nimmt man zwei endliche und von Null verschiedene complexe Grössen (w, to') so an, dass der reelle Theil des Quotienten

w'

OH

nicht gleich Null ist, und versteht unter v,v' unbeschränkt veränderliche ganze Zahlen, so hat bekanntlich die Summe

1—3

2vü) + 2v' 0)'

v,v'

einen endlichen Werth, wenn bei der Summation dasjenige Glied, in welchem v,v' beide gleich Null sind, fortgelassen wird²). Es stellt deshalb — wie in § 2 meiner Abhandlung über die eindeutigen Functionen gezeigt worden ist — die Beilie

y'\_.____

<7"/ ( il — 2 v a) — 2 v' o)' V 2 v to H- 2 v' o)'

welche bei jeder Anordnung ihrer Glieder denselben Werth hat, eine eindeutige analytische Function der Veränderlichen u — mit der einen wesentlichen singulären Stelle 00 — dar, welche Function hier mit

4¹ (u , (0 , co')

bezeichnet werden möge.

Mit Hülfe der bekannten Gleichungen:

TtctglCTC

-M

T—I

tc (ctg u n — cotg a tc) = 7 , (

V N

wenn a keine ganze Zahl,

( _!_y=v

\sin imj

(A — v)

;2

“I A

l<

lässt sich der vorstehende Ausdruck von )(u, w, co') folgendermassen umgestalten.

Es ist

'K«»    w')=-

lv

+SV-

V , V' \W

— 2 V CO

3:___|__-____ _j__—__\ .

) —2v'co' 2v(0 + 2v'ü)'    (2 v 00 -f 2 v' co')")

Die Summe aller Glieder dieser Keilie, in denen v' = 0, ist:

1 [2co 2 co j u

---v

u yi'J.

4(ö v v2 2w

⁷¹ t.

— ctg

WTC

2co

7l²

12 co

—₂?c.

2tO

Ferner die Summe aller Glieder, in denen v' einen bestimmten, von Null verschiedenen Werth hat:

— 2 v' U)'

v' (0

2 (1)

(0

U

4co²V

v' co'

0)

= — (ctg —

2(0 V

— 2v' co'

2 co

'/ co' \ 7C h- ctg 71 ) ⁰ co /

TC² U

:    2 . 2/Vco' \

4co sin y--tc)

Man hat also

i (    7t    UTC

4+6, to, tO') = — Ctg -

rv ’    ’    ’    2(0    & to

— 2v'(o'

2to

v'to' \ TC + ctg —

(}*?*-(?*))

767t²

4(0

oder auch, wenn man unter n eine ganze positive Zahl versteht, und

7l² / 1    1 Vi . —2 /77-to' \\

Gr");

setzt

§(u, (0, to') =

VJ77

to

(0

2(0

Ctg

7(7t

7t

to

2(0

ii Ms

(ctg

76 — 277(0'

2to

71 +Ctg

u + 2n to'

2to

TT .

Aus dieser Gleichung ergiebt sich:

+ 2io, to, to') = to, to') + 2yj .

Setzt man u = — to, und bemerkt, dass 4¹ (u, to, to') eine ungrade Function von u ist und für u — — to' nicht = oo wird, so giebt die vorstehende Gleichung

7] = cp (to, to, to')

und man erhält also aus der vorhergehenden Gleichung, wenn man

u = to'

setzt,

to' (jj(to, to , to') — (0^((0', to , (0')

Ctg

tOr7I

7t

to

⁰⁰ /

2 (ctS

w=i v

(2 n — l)co'

2(0

— 71 — Ctg

(2wH- l)to'

2(0

71

Man hat aber, wenn m eine beliebige positive ganze Zahl ist,

ctg

co'tc

to

to 7]

y (ctg(*»-■})">: « _ ctg 0»+*)">! H ,

.41 2w B 2»)    /

ctg

(2m + l)to' 2 co

fi*

es ist also der Ausdruck auf der rechten Seite der vorhergehenden Gleichung gleich der Grenze, der sich

(2m + i)ü>

ctg

(2 m + l)co'

toi

0)

TC =

Kl

(2m + i) a,'

71

(2»n+ 1) co'

a)i

TC

nähert, wenn m unendlich gross wird. Diese Grenze aber hat den Werth

7xi

Y oder —

TCi

co'

positiv oder negativ ist.

jenachdem der reelle Theil von

Es geht ferner aus dem ursprünglichen Ausdruck von (u, co, co'), da derselbe sich nicht ändert, wenn man gleichzeitig

u>i

v' für v, und — v für v'

setzt, die Gleichung

, 0), 0)') = 4>(h, 0)', — co)

hervor. Man hat also:

co'4>(co, co

TU X

0)') — totjj(ü)', co', — (1)) = ± — , wo das obere oder das untere Zeichen gilt, jenachdem der reelle Theil von positiv oder negativ ist.

Es gilt ferner, wenn c eine beliebige Grösse ist, die Gleichung

ty(u, (1), 0)') = C$(cU, cco, cm’) woraus sich, wenn c — ~ gesetzt wird,

<Km, w, a’) = A + (l ’ i’ ^r)

ergiebt. Ebenso ist

CO

1,1

CO'7 ’

und man hat also

(1)'

C01

1,1,-

0)

CO'

Setzt man nun

QH

so dass x eine complexe Grösse ist, welche jeden Werth, dessen reeller Theil nicht gleich Null ist, annehmen kann, und

X(x) =

— (1, 1, xi) + ² <]

7t    ' TZX

G l,

* <s>

so ist,

(1 — 2v — 2v'xi) (2v + 2v'iri)²

CM £

v? vr

,(1 — 2v — 2'/af~G)(2v H- 2v'ar~G')-

ein in der Form einer unendlichen Reihe, deren Glieder sämmt-lich rationale Functionen von x sind, dargestellter Ausdruck und hat den Werth

+ 1 oder — 1

jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist.

Man nehme nun im Gebiet der Grösse x einen ganz im Endlichen liegenden Bereich (X) so an, dass weder im Innern noch an der Grenze desselben der reelle Theil von x gleich Null wird; so lässt sich leicht zeigen, dass die vorstehende Reihe innerhalb dieses Bereiches unbedingt und gleiclimässig convergirt.

Man setze

iv — 2v + 2 v'xi

so dass

(l — w)tv²

'Kg g xi) —1+2

v, v'

ist. Versteht man nun unter k den kleinsten Werth, den der absolute Betrag der Grösse

£ + £'(£ + %i)i

für reelle Wertlie der Veränderlichen £, £'. £, unter der Bedingung, dass

££ + £'£'=!

sein und £ +■ l'i im Innern oder an der Grenze von X liegen soll nehmen kann; so ist k nicht gleich Null, und man hat

an-

IV | > 2/i*]/vv + v'v'

j 1 — w | = k ]/(2v — l)² + 4v'v'

für jeden nicht ausserhalb des Bereichs X liegenden Werth von x. Es ist aber für jede ganze Zahl v

(2v — l)² + v²

also

(2 v — l)² + 4 v' v' ^ v v + v' v'

und somit

(vv + v'v') 2

(1 — iv)w²

Hiernach ist jedes Glied der Reihe, durch welche ^ (l, 1, xi) dargestellt wird, seinem absoluten Betrage nach kleiner oder höchstens eben so gross als das entsprechende Glied der Reihe

(vv + v'v') 2

Vi v

4Ä:³

welche bekanntlich eine endliche Summe hat. Damit ist bewiesen, dass die erstgenannte Reihe für die dem Bereiche X ungehörigen Werthe von x unbedingt und gleichmässig convergirt.

Es ist aber, wenn x in X angenommen wird, der Bereich der

Grösse

ebenfalls so beschatten, dass weder im Innern noch an der

Grenze desselben der reelle Tlieil von

gleich Null wird. Daher convergirt auch der Ausdruck von , l, . ^ für die dem betrachteten

Bereiche angehörigen Wertlie von x unbedingt und gleichmässig. Dasselbe gilt also auch für die Reihe, durch welche x(x) dargestellt ist.

Es möge noch bemerkt werden, dass man in der Reihe <p(l, 1, xi), weil dieselbe unbedingt convergent ist, je zwei Glieder, in denen v denselben, v' aber entgegengesetzte Werthe hat, in eines zusammenziehen kann, wodurch man, wenn unter n eine ganze positive Zahl verstanden wird,

? 4V²(1-2V)

l'y) (öv — l)n²x² — (2v — l)v² i 2 ^ ( (4n²x² + (2 v — l)² (n²x² + v²)² j

erhält. Die Glieder der so umgeformten Reihe sind rationale Functionen von x, welche rationale Coëfficienten haben, und nur für solche Werthe von x, deren reeller Theil gleich Null ist, unendlich gross werden. Als Summe von ebenso beschaffenen Gliedern lässt sich also auch x (x) Ausdrücken.

5.

Nun sei x' eine beliebige rationale Function von x, und es werde

XjO) - X(x')

gesetzt, so dass X^x) ebenfalls eine Summe von unendlich vielen rationalen Functionen der Veränderlichen x ist. In der Ebene der letzteren Grösse werden dann diejenigen Werthe derselben, für welche der reelle Theil von x' verschwindet, durch eine reelle algebraische Curve repräsentirt, welche die Ebene dergestalt in mehrere Stücke zerlegt, dass der reelle Theil von x' in einigen Stücken überall positiv, in den andern überall negativ ist. In den ersteren hat also X^x) überall den Werth +1, in den andern überall den Werth — l.

Nimmt man beispielsweise

x¹ =

ax + ß ytc + 8"

an, wo a, ß, y, 8 (konstanten bedeuten, deren Wahl keiner andern Beschränkung unterliegt, als dass aS —ßy nicht gleich Null sein darf, so ist die genannte Curve bekanntlich ein Kreis³), und es können a, ß, y, 8 so bestimmt werden, dass dieser Kreis ein gegebener wird und der reelle Theil von x’ für einen gegebenen Punkt ein vorgeschriebenes Zeichen hat.

Nun seien F₁(x), F₂(pc) irgend zwei eindeutige Functionen von x mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen. Dann lässt sich, wenn

tfiO)

__ Fx(x) -i- F₂(x)

Fx(x) - F,(x)

■J

gesetzt wird, der Ausdruck in eine unendliche Reihe, deren Glieder rationale Functionen von x sind, umformen, und diese stellt in dem einen der beiden Theile, in welche das Gebiet der Veränderlichen x durch den genannten Kreis zerlegt wird, die Function Fx(x), in dem andern Theile dagegen die Function F₂(x) dar.

Nimmt man ferner in der Ebene der Grösse x beliebig viele Kreise (oder unbegrenzte Geraden):

¹

Hierzu bemerke ich, dass nach dem Satze des v. § der Coefficient von (x — a₀)ix

²

Durch das dem X beigefügte Zeichen (') soll hier und im Folgenden darauf hingewiesen werden, dass unter den Werthen, die der Ausdruck unter dem Summenzeichen annehmen kann, sich einer findet, der — oo ist und bei der Summation fortgelassen werden muss.

³

Dies gilt allgemein, wenn man eine unbegrenzte Gerade als einen Kreis mit unendlich grossem Radius betrachtet.

K, K", ... K{r)

willkürlich an, und bestimmt r lineare Function von x

ryt ry.n

(/y j iAs j • • • lAJ

so, dass der reelle Tlieil von x>] in der Linie K⁰⁾ verschwindet, so wird die Ebene durch die genannten Linien in eine gewisse Anzahl von Stücken dergestalt zerlegt, dass der reelle Theil einer jeden Function x⁰⁾ innerhalb eines solchen Stückes überall dasselbe Zeichen hat. Sind dann eindeutige Functionen von x mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulären Stellen, und setzt man

(X = l, ... r)

X} (a;) - X(x⁰⁾) ,

so kann der Ausdruck

S₀(r) +    (x) XL (x) + ÏÏ₂(x) X₂ (x) H-----h %r(x) Xr(x)

ebenfalls in eine unendliche Reihe, deren Glieder rationale Functionen von x sind, umgeformt werden, und diese Reihe hat dann die Eigen-thümlichkeit, dass sie zwar innerhalb eines jeden der Stücke, in welche die Ebene zerlegt ist, einen Zweig einer bestimmten monogenen Function darstellt, in verschiedenen Stücken aber Zweige verschiedener Functionen.

Sind z. B. K', K". ... K{n Kreise, von denen keiner einen andern umscliliesst, so wird durch dieselbe die Ebene in (r + l) Stücke zerlegt;

und wenn man die Function x}'] so bestimmt*), dass ihr reeller Theil im Mittelpunkt von K(X) positiv ist, so liefert der Ausdruck

der mit dem vorstehenden übereinstimmt, wenn unter F₁ (x), F₂(x), • • •    0*0 ebenfalls eindeutige Functionen mit einer endlichen Anzahl

wesentlicher singulärer Stellen verstanden werden, eine Reihe von der in Rede stehenden Eigenthümlichkeit, indem dieselbe, wenn x innerhalb der von K°:) begrenzten Kreisfläche angenommen wird, gleich F}(x), und wenn x ausserhalb aller dieser Flächen liegt, gleich Fr+1(x) ist, also innerhalb eines jeden der (r-fl) Stücke, worin die Ebene zerlegt ist, einen Zweig einer willkürlich anzunehmenden Function von der hier vorausgesetzten Beschaffenheit darstellt.

Ein anderes Beispiel erhält man, wenn die Kreise K', K", ... K(r) so angenommen werden, dass jeder der (r — 1) ersten von dem folgenden umschlossen, und somit die Ebene durch sie gleichfalls in (r +1) Stücke zerlegt wird. Dann hat nämlich der Ausdruck

tH i-n

■s

r-H

IM

die Eigenschaft, dass er innerhalb eines jeden der genannten Stücke gleich einer der Functionen F{ (x), F₀(x), ... Fr+l(x) ist. (Ein besonderer Fall ist der, wo an die Stelle der r Kreise r einander parallel gerade Linien treten.) Scheidet man ferner aus dem Gebiete der Veränderlichen x alle negativen AVertlie (mit Einschluss von 0) aus, so existiren bekanntlich **) unendliche, aus rationalen Functionen von x zusammengesetzte Reihen, welche einwerthige Zweige gewisser mehrdeutiger Functionen, wie z. B. \ogx, xm (wo m eine beliebige Constante bedeutet) darstellen und in der Nähe jeder Stelle, die nicht zu den ausgeschlossenen gehört, gleiclnnässig convergiren. Es können nun in dem Ausdruck

S₀(*) +    (x)Xl(x) + $Jx)'Â,(x) H-----f- &r(x)Xr(x)

*) Ist t\ der Radius des Kreises lF\ Und nK der Weith von x im Mittelpunkt desselben, so kann man

setzen.

rX + nX - X    N

**) S. die auf die Gauss‘sehen Kettenhriiche und die nach Kugelfunctionen fortschreitenden Reihen sich beziehenden Abhandlungen von Tliomé im 60. und G7. Rande des Borchardt’schen Journals.

$₀(x), SiO®)» ^(æ), ••• ^r(x) auc^ solche Reihen sein, und man erhält dann aus ihm eine gleichfalls aus rationalen Functionen gebildete Reihe, welche in jedem der Stücke, in die das Gebiet von x durch die Linien K{):) und die Strecke der negativen Werthe zerlegt wird, einen einwerthigen Zweig einer mehrdeutigen monogenen Function darstellt, in verschiedenen Stücken aber im Allgemeinen Zweige verschiedener Functionen.

Aus diesen Beispielen erhellt zur Genüge, dass die am Schlüsse des § 3 aufgeworfene Frage folgendermassen zu beantworten ist:

Wenn der Convergenzbereich einer Reihe, deren Glieder rationale Functionen einer Veränderlichen x sind, in der Art in mehrere Stücke zerlegt werden kann, dass in der Nähe jeder im Innern eines solchen Stückes gelegenen Stelle die Reihe gleichmässig convergirt; so stellt dieselbe in jedem einzelnen Stücke einen einwerthigen Zweig einer monogenen Function von x dar, in verschiedenen Stücken aber nicht nothwendig Zweige ein und derselben Function.

G.

Ich habe in meinen Vorlesungen über die Elemente der Functionenlehre von Anfang an zwei mit den gewöhnlichen Ansichten nicht übereinstimmende Sätze hervorgehoben, nämlich:

1)    dass man bei einer Function eines reellen Arguments aus der

Stetigkeit derselben nicht folgern könne, dass sie auch nur an einer einzigen Stelle einen bestimmten Differentialquotienten, geschweige denn eine — wenigstens in Intervallen — ebenfalls stetige Ableitung besitze;

2)    dass eine Function eines complexe 11 Arguments, welche für

einen beschränkten Bereich des letzteren definirt ist, sich nicht immer über die Grenzen dieses Bereichs hinaus fortsetzen lasse; mit andern Worten, dass monogene Functionen einer Veränderlichen existiren, welche die Eigenthümlichkeit besitzen, dass in der Ebene der Veränderlichen diejenigen Stellen, für welche die Function nicht definirbar ist, nicht bloss einzelne Punkte sind, sondern auch Linien und Flächen bilden.

Da im Vorhergehenden von Functionen einer complexen Veränderlichen, denen die unter (2) genannte Eigenthümlichkeit zukommt, die Rede gewesen ist, so will ich bei dieser Gelegenheit ein leicht zu behandelndes Beispiel einer solchen Function beibringen.

Angenommen, der Halbmesser des Convergenzbezirks einer gewöhnlichen Potenzreihe

oo 2 Avæv v=o

sei gleich 1, die Reihe convergire aber auch unbedingt und gleichmässig für alle Werthe von x, deren absoluter Betrag gleich 1 ist, so dass, wenn unter t eine reelle Veränderliche verstanden wird,

oo

v ti

v=o

eine stetige Function von t ist.

Im Innern des Convergenzbezirks der Reihe nehme man eine Stelle x0 beliebig an und forme die gegebene Reihe in eine Potenzreihe — cc₀) um. Ist r₀ der absolute Betrag von xQ, so kann der Halbmesser des Convergenzbezirks der Reihe ^ (x — x₀) nicht kleiner als 1 — r₀, wohl aber grösser sein. Ist das Letztere der Fall, so liegt eine Strecke der Begrenzung des Convergenzbezirks der gegebenen Reihe ganz im Con-vergenzbezirke von — x₀), und es besteht, wenn

n>

= eu ist, und xt = e

gesetzt wird, für alle Werthe von t zwischen zwei bestimmten Grenzen (t₀— x, t₀~\-x) die Gleichung

»Ms

V ti

= $(xt-x₀).

Nun hat aber ^(x — x₀), als Function von x betrachtet, Ableitungen jeder Ordnung, dasselbe gilt also auch von    x₀), als Function von t

betrachtet, für die zwischen t₀—x und x liegenden Werthe dieser Grösse. Hieraus folgt nun: Wenn sich in einem bestimmten Falle beweisen lässt, dass die Function

oo

v ti

in keinem Intervalle der Veränderlichen t Ableitungen jeder Ordnung besitzt, so ist daraus zu scliliessen, dass der Convergenzbezirk der Reihe (x — xQ), wie man auch x₀ annehmen möge, ganz in dem Convergenzbezirk der gegebenen Reihe enthalten ist, die Function also, welche durch

diese letztere dar gestellt wird, über deren Convergenzbezirk hinaus nicht fortgesetzt werden kann.

Nun sei a eine ungrade positive ganze Zahl, b eine positive Grösse, die ^ 1, und av = a'. Dann erfüllt die Reihe

oo v—-0

die oben für die betrachtete Reihe gestellten Bedingungen. Es ist aber von mir der Beweis*) geführt worden, dass die Function

OO

y &v cos av t, v=o

sobald    + ist, für keinen Werth von t einen bestimmten

Differentialquotienten besitzt. Durch die Reihe

oo

y //' aW

v=o

wird also, wenn ab + eine Function definirt, die nicht über den Convergenzbereich der Reihe hinaus fortgesetzt werden kann, und also ausschliesslich für solche Wertlie von x, deren absoluter Betrag die Einheit nicht überschreitet, existirt.

Es ist leicht, unzählige andere Potenzreihen von derselben Beschaffenlieit wie die vorstehende anzugeben, und selbst für einen beliebig begrenzten Bereich der Veränderlichen x die Existenz von Functionen derselben, die über diesen Bereich hinaus nicht fortgesetzt werden können, nachzuweisen; worauf ich jedoch hier nicht eingehe.

Schliesslich möge noch bemerkt werden, dass sicli auch in Beziehung auf zusammengesetztere arithmetische Formen, welche eindeutige monogene Functionen einer und mehrerer Veränderlichen oder einwerthige Zweige solcher Functionen auszudrücken geeignet sind, Untersuchungen anstellen lassen, welche der hier für eine der einfachsten Formen durchgeführten analog sind und zu ähnlichen Resultaten führen.

*) Dieser Beweis ist von Hrn. P. du Bois-Reymond, dem ich ihn brieflich mitgetheilt hatte, im 79sten Bande von Borchardt’s Journal S. 30 veröffentlicht. (Ich berichtige hei dieser Gelegenheit zwei a. a.U, sich findende Druckfehler. Z. 10 v. o. muss es „cc₀“ statt „a₀“, und Z, 4 v. u. „auch“ statt „nicht“ heissen.)

Anmerkungen.

V. u.

1. Zu S. 74, Z. 8"

Den liier angeführten wichtigen Satz beweise ich in meinen Vorlesungen in sehr einfacher Weise.

Ich betrachte zunächst eine Potenzreihe P(x), welche nur eine endliche Anzahl von Gliedern enthält, also die Form

V = —Wl

hat, wo m eine ganze positive Zahl bedeutet.

Es sei £ eine bestimmte Grösse, deren absoluter Betrag gleich 1 ist, und deren Wahl nur der Beschränkung unterliegt, dass £¹, wenn v eine der Zahlen    ± 1, ± 2, ... ± m ist, nicht gleich 1 sein darf. Ferner

bedeute r eine beliebig anzunehmende positive Grösse, so existirt für den absoluten Betrag von P(x), wenn man der Veränderlichen x nur solche Werthe beilegt, deren absoluter Betrag gleich r ist, eine endliche obere Grenze, die mit G bezeichnet -werden möge. Dann ist, wenn unter l eine beliebige positive ganze Zahl verstanden wird,

Ÿ, P(rlX) £ G.

Man hat aber kleiner als o wird; dann hat man

ÄQ1 G + 8

also

Aq\^G,

Jetzt sei

V=:-4-00

p(x) =y jv

V = —oo

eine beliebige Potenzreihe, welche convergent ist für jeden AVerth von x, dessen absoluter Betrag zwischen zwei bestimmte Grenzen R, R' liegt. Ist dann r eine zwischen R und R' enthaltene, im Übrigen wilkürlich anzunehmende positive Grösse, so giebt es wieder für den absoluten Betrag von P(x), wenn man der Veränderlichen x nur solche AVertlie beilegt, deren absoluter Betrag gleich r ist, eine endliche obere Grenze, die mit g bezeichnet werden möge. Man kann ferner, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse o, eine Zahl m so bestimmen, dass für jeden AVerth von x, für den \x\ = r,

V == —oo

V = oo

v=—m—i

Ayxv

/►] A-x*

ist; dann hat man

v=-t-m

2 dv^v|c^4-o

v=—m

also nach dem Bewiesenen

4>l ^ </ + ⁵

und somit

4» I = CJ •

Lässt man ferner die Reihe x~^P(x), wo {x eine beliebige ganze Zahl bedeutet, an die Stelle von P(x) treten, so ist gr~v' die obere Grenze für den absoluten Betrag von x~p'P(x), wenn man der Grösse x nur solche AVerthe giebt, deren absoluter Betrag gleich r ist; man hat also was zu beweisen war.

Für Potenzreihen von mehreren Veränderlichen gilt ein analoger Satz, der sich ebenso elementar wie der vorstehende beweisen lässt.

es ergiebt sich also, wenn unter x eine Veränderliche, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist, verstanden wird, aus der vorstehenden Gleichung, dass der absolute Betrag der Summe

oo

1 + 2 Vjvv

Jmmmd

V — l

unendlich gross wird, wenn sich x auf einem bestimmten AVege dem Grenz-werthe

Tli

nähert.

Nun kann man aber, wenn x₀ irgend eine bestimmte Grösse vom absoluten Betrage 1 ist, die Zahlen p, q, p', q' so annehmen, dass dieselben den angegebenen Bedingungen genügen und überdies der absolute Betrag der Differenz

ui

so klein wird, wie man will; es giebt also in jeder noch so kleinen Umgebung von x₀ Werthe der Veränderlichen x, für welche der absolute Betrag von

CO

l + 2Y]rrvv

V = 1

grösser ist als jede beliebig angenommene positive Grösse.

Hieraus ergiebt sich nun ohne Weiteres das, was im Texte bereits von dem Ausdrucke

OQ .

X* +X v

Fk-e=s(

v = l v

gesagt worden ist, indem für diejenigen Werthe von x, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist, die Gleichung

l + 4 F(x)

/ _°°. \2 (i4-2y^v)

'    V — 1 gilt*).

Dazu bemerke ich noch Folgendes:

Setzt man, unter x eine Grösse verstehend, deren zweite Coordinate nicht gleich Null sein soll,

TTli

1 + 4F(x) = cp(x), *) Fund. nov. § 40, Gl. (4.) und § 95, Gl. (6.).

so hat man, wenn die zweite Coordinate von x positiv ist, woraus sich die Kelation ergiebt. Ist dagegen die zweite Coordinate von x negativ, so hat man

?(x) = cp(-x) = <p

also

Hiernach ist also der Ausdruck

,cp

B)

ÎP(x)

in dem einen Theile seines Geltungsbereichs gleich x, in dem andern aber gleich — x ; er ist also nicht eine monogene Function von x, und demzufolge auch Fix) nicht eine monogene Function von x.

3. Zu S. 92, Z. 9.

Ich lasse hier den angeführten Beweis aus dem 79 steil Bande des Borcliardt’schen Journals unverändert abdrucken.

„Es sei x eine reelle Veränderliche, a eine ungrade ganze Zahl, b eine positive Constante, kleiner als 1, und

oo

f{x) = T] bn cos (a¹ x ~) ;

n—o

so ist fix) eine stetige Function, von der sich zeigen lässt, dass sie, sobald der Werth des Products ab eine gewisse Grenze übersteigt, an keiner Stelle einen bestimmten Differeutialquotienten hat,

Es sei £c₀ irgend ein bestimmter Werth von x, und m eine beliebig angenommene ganze positive Zahl; so giebt es eine bestimmte ganze für welche die Differenz

Zahl a

1)V

¹¹ *0~aHi

die mit æ

m+i

Setzt man dann

bezeichnet werde, > — y, aber < y ist.

ad

a,„

'Hi

ad' =

a«i + 1

so hat man

¹ + ^m+i

xm+ i

'i

tu

es ist also

/y» f <r^ ^y¹    /y* ^ ^

«a/    \ iA,-v    \ t/y    •

Man kann aber m so gross annehmen, dass x so nahe kommen, wie man will.

Nun ist

x" beide der Grösse xQ

f(x') - fixo)

OO y

£<»

n=o

n cos (ft x' tu) - COS (ft ” x{) tc)

00    00q

n=o

NH G 7\n cos (ft” x' ~) — cos(au x₀~)\ 2j [(aO)    an(x'-x₀)    )

OO

s(»

» = 0 '

COS (ft

m-hn

X ' rz) — COS (ft

m-t-n

Der erste ïlieil dieses Ausdrucks ist, da

COS (ft ” X ' tu) — COS (ft ” £T₀ 7l)

ftW(ad — £C₀)

= — n sin ft

H X ' Xa \

2~-n) ■

sin (ft

n a;

'i

-^0tp 2 ^

und der Werth von

sin I ft

xo

2~ *

n x ’ — x₀

2 ⁷⁵

stets zwischen — 1 und +1, liegt, dem absoluten Betrage nach kleiner als

m—i

tc 2 (abf

n=o

also auch kleiner als

(o6)m.

ab - lv

Ferner hat man, weil a eine ungrade Zahl ist:

cos

cos (a

m+n

x' tc) = COS    1) tc) =

*) = cos(ftW amu + a>l xm+1 -) = (- !)

(-1) "

COS

(anxm+lTz),

oo

y,b

also

m+n

cos (o,

m+n

x'k) — cos (a

m+n

x₀ tc)

) = (-!)“” (ai)"2

?i=o

y 1- + cos(qHX,m+ ,Tc) w< l-hx

»M+l

Alle Glieder der Summe

2^ 1 + cos (ft⁷' æ

n=o

¹ + x.»+i

tc) n

b

m+1

sind positiv, und das erste, da cos (x A tc) nicht negativ ist, l+x aber zwischen * und liegt, nicht kleiner als -Hiernach hat man

rp f _ rp

tAJ    <A- Q

= (-1)    {ab)m. 7j (

ab-l)’

wo eine positive Grösse, die > 1, bezeichnet, während e zwischen — 1 und +1 enthalten ist.

Ebenso ergiebt sich

/y* f f _ rp

tAy    «a/Q

OC    w> / 9

- - (-1) (ab) .rji (y+.ej

TC

ft& —

wo vj₁ ebenso wie rt positiv und >1 ist, e: aber zwischen — 1 und + 1 liegt.

x"

•S

Si

/-

X

S5

o¹

l—i

7t

3 ab — l

ist, so haben

~xo

stets entgegengesetzte Zeichen, werden aber beide, wenn m ohne Ende wächst, unendlich gross.

Hieraus ergiebt sich unmittelbar, dass fix) an der Stelle (x = x₀) weder einen bestimmten endlichen, noch auch einen bestimmten unendlich grossen Differentialquotienten besitzt“.

Im 13ten Bande der „Fortschritte der Mathematik“ finde ich auf S. 335 in einem Referate über Herrn Wiener’s im 90sten Bande des Borcliardt’schen Journals erschienene, auf die im Vorstehenden betrachtete Function fix) sich beziehende Abhandlung die Bemerkung, es sei Herr Wiener durch eine gründliche geometrische und analytische Untersuchung der in Rede stehenden Function zu dem Resultate gelangt, dass die Behauptung, es besitze diese Function an keiner Stelle einen bestimmten Differentialquotienten, nicht durchweg aufrecht erhalten werden könne. Ich entnehme daraus, dass ich im Glauben, Jedermann wisse, was erforderlich ist, wenn eine stetige Function an einer bestimmten Stelle einen bestimmten Differentialquotienten besitzen soll, am Schlüsse des obigen Beweises mich doch zu kurz gefasst haben muss, weswegen ich die folgenden Erläuterungen hinzufüge, welche freilich für die meisten Leser überflüssig sein werden.

Wenn eine stetige Function Fix) der reellen Veränderlichen x an einer bestimmten Stelle ix = x₀) einen bestimmten endlichen Differentialquotienten besitzen soll, so ist dazu nothwendig — selbstverständlich aber nicht hinreichend — dass alle Wertlie, welche der Quotient

Fjx)-FjxQ)

00    00q

nach Festsetzung einer oberen Grenze für den absoluten Betrag der Differenz x — x₀ annehmen kann, zwischen endlichen Grenzen enthalten seien. Diese Bedingung ist für die von mir angegebene Function fix) niemals erfüllt, wie man auch x₀ annehmen möge.

2. Zu S. 81, Z. 9 v. u.

Sind w, oV zwei complexe Grössen, für welche der reelle Bestandteil cof

von -- . positiv ist, und bezeichnet man die Werthe, welche die Function

p(u | w, o)') für u = co, to + o)', w' annimmt, beziehlich mit ev e₂, e3 hat man²)

so

(l + 2 li H— 2 h ~f~ 2 h -F ² ■ ■) ?

WO

(«'u

h - e~

ist. Nimmt man ferner vier ganze Zahlen p, q, p\ q' so an, dass unter ihnen die Relation

• pq' — p'q = 1

besteht, und setzt

G)' n

w' = p'u> + q'w', lil—e ,

so ist, wenn p', q beide grade, p, q' also beide ungrade Zahlen sind, auch | w, w') = e₁, jp(o) H- w' | o), a)') = e₂, #?((&' | ca, ü>') = e₃

w = più + qiû'

und es gilt die Gleichung

man hat also

/    OO N 4    /    »\ 4    /    oo \ 4

(i+a s ç) -(²!•+²« ) • +² 2/”) •

Nun sei t eine positive Grösse, und

U) = —

(1) =

so ist

Lim. h — Lim. e =f= 0

t — oo

t = <X>

Lim. 7a, = Lim. e

t=°o

p'-\-q'ti    . q'

p +qti ni

t = °°

nothwendige Bedingung für die Existenz eines bestimmten unendlich grossen Differentialquotienten der Function an der Stelle (x = xQ) ist also, dass der Quotient

Fix) - F(x )

für alle einer hinlänglich klein angenommenen Umgehung der Stelle x₀ an-gehörigen Werthe von ^dasselbe Zeichen habe. Auch diese Bedingung ist für die in Rede stehende Function f(x), wie gezeigt worden, niemals erfüllt. Ich muss also den Satz, dass die von mir aufgestellte Function an keiner Stelle einen bestimmten Differentialquotienten besitze, als unbedingt gültig aufrecht erhalten. Herrn Wien er’s Einwendungen dagegen beruhen übrigens auf einem leicht aufzuklärenden Missverständnisse. Es ist mit dem Satze gar wohl vereinbar, dass für gewisse Werthe x₀ sich eine unendliche Reihe von Wertlien xx, x₂, x₃, ... so bestimmen lässt,

dass Lim. xn = xQ ist und zugleich

11=00

Lim.

n=oo

Soll ferner Fix) für x = x₀ einen bestimmten unendlich grossen Differentialquotienten (+oo oder — oo) haben, so muss nach Annahme einer beliebigen positiven Grösse g für den absoluten Betrag von x — x0 eine obere Grenze sich so festsetzen lassen, dass jeder Werth, den der

Quotient

F{x) - F(xq)

x — x₀

alsdann erhalten kann, im ersten Falle zwischen

g und + oo, im zweiten dagegen zwischen — g und — oo liegt. Eine

f M - fixo)

xn-xo

einen bestimmten Werth erhält. Daraus aber zu schliessen, dass in einem solchen Falle f(x) an der Stelle (x = xf) einen bestimmten Differentialquotienten besitze, ist ebenso unzulässig, wie es sein würde, wenn man z. B. von der Function

F{x) = x sin (x 4---^

behaupten wollte, sie besitze an der Stelle (æ = 0), den Differentialquotienten Null, weil sich, wenn man xn =

n tc

setzt,

Lim. xn = 0 und Lim.

n=oo

F(xn)

11= OO

ergiebt.

xn

„Zvir Fmictioneiilelire“.

Nachtrag.

(Aus dem Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften vom 21. Februar 1881.)

In der am 12. August 1880 der Akademie vorgelegten Abhandlung „Zur Functionenlehre“ habe ich (in § 4) eine aus rationalen Functionen einer Veränderlichen x gebildete unendliche Reihe aufgestellt, welche die Eigenthümlichkeit besitzt, dass sie den Werth

+ 1 oder — 1

hat, jenachdem der reelle Tlieil von x positiv oder negativ ist.

Obwohl diese Reihe an sich einfach genug ist und für den Gebrauch, den ich von ihr zum Beweise des in § 5 d. g. Abhdl. gegebenen Hauptsatzes gemacht habe, durchaus geeignet sich erweist, so ist doch ihre Herleitung einigermassen umständlich und setzt mehrere Sätze aus der Theorie der trigonometrischen Functionen voraus. Um so interessanter war es mir, kürzlich durch eine briefliche Mittheilung von Hrn. J. Tannery, Professor an der Faculté des sciences zu Paris, der meine Abhandlung in’s Französische übersetzt hat, zu erfahren, dass es höchst einfache Reihen ähnlicher Art giebt, welche nicht nur für den angegebenen Zweck dasselbe leisten wie die meinige, sondern vor dieser zugleich den wesentlichen Vorzug haben, dass zu ihrer Aufstellung und zum Nachweis ihrer charakteristischen Eigenschaft nur die elementarsten Sätze der Functionenlehre erforderlich sind.

m₀

mv—mv_

:-i)

Icli erlaube mir, aus Hrn. Tannery’s Briefe das Nachstehende mit-

zutheilen.

„Man nehme eine unendliche Reihe positiver ganzer Zahlen

in

m₁, m₂,...

so an, dass

Lim. mn = oo

n=oo

so ist

m,

-b 1, wenn | x |    1,

— 1, wenn | x | ^ 1.

Man hat aber

1 H- £C

mn

1 _ æmn

1 H- x ,    ) 1 + x

m₀    2-i I —

x ü    v=i [ 1 — x

»»v-1

. wo

1 — £C ⁰

setzt man also

’-Mx) =

m₀

^ 2æ'-'(æ ''-”‘'•-‘-1) (x“’ - I) '

-1)

so convergirt die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag von 1 verschieden ist, und liât den Werth

1 oder — 1

jenaclidem der absolute Betrag von x kleiner oder grösser als 1 ist. Nimmt man in dem vorstehenden Ausdrucke von (x)

= 2\

so erhält derselbe eine besonders einfache Gestalt; es ist dann

2x²

x*— l ¹

ty(x) =

l -f X 1 — X

mv

x¹— L

2 xi

~1

H----“ *)

*) Ich hin vor nicht langer Zeit darauf aufmerksam gemacht worden, dass sicli in einer Abhandlung des Herrn E. Schröder a. d. J. 1870 (Schloemilch’s Zeitschrift für Math. u. Phys., 22. Jahrg. S. 184) die Formel

er

x' — x

i x

₌ J 35-

æ-i

— , wenn \x \ < 1 ,

l

wenn | x | > 1,

findet, woraus sich die im Texte nachgewiesene Eigenschaft der Function 4*0*0 in dem Falle, wo mv = 2v ist, unmittelbar ergiebt.

Dazu bemerke ich noch Folgendes.

Es ist unmittelbar ersichtlich, dass die von Hrn. Tanner y gegebene Reihe in der Nähe jedes Werthes von x, dessen absoluter Betrag nicht gleich 1 ist, gleichförmig convergirt.

Ist ferner x' eine beliebige rationale Function von x, so werden in der Ebene der letzteren Grösse diejenigen Werthe derselben, für die der absolute Betrag von x' gleich 1 ist, durch eine algebraische Curve repräsentirt, welche die Ebene dergestalt in mehrere Stücke zerlegt , dass der absolute Betrag von x' in einigen Stücken kleiner als 1, in den andern grösser als 1 ist. Setzt man also so ist (%) ein Ausdruck von derselben Beschaffenheit wie der von mir im Anfang des § 5 d. g. Abhdl. ebenso bezeichnete. Nimmt man insbesondere

x' =

so erhält man einen Ausdruck, der gleich dem von mir mit X(x) be-zeichneten den Werth

! 1 oder — 1

hat, jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist.

Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze.

'

*

Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze.

1. Vorbereitungssatz.*)

so

Ist F(x, xv... x^) eine gegebene, in der Form einer gewöhnlichen Potenzreihe dargestellte Function von x, xv ... xn, welche, wenn diese Veränderlichen sämmtlich verschwinden, ebenfalls gleich Null wird giebt es stets unendlich viele, dem Convergenzbezirke der Reihe ungehörige Werthsysteme der Grössen x,xx,... xn, welche die Gleichung

F(x, xv ... xn) = 0

befriedigen.

Bei vielen Untersuchungen handelt es sich nun darum, von diesen Werthsystemen alle diejenigen zu bestimmen, für welche der absolute Betrag jeder einzelnen Grösse eine — beliebig klein anzunehmende — Grenze 5 nicht überschreitet.

Diese Aufgabe lässt sich folgendermassen lösen. Es werde

F(x, 0, ...0) mit F₀(x)

bezeichnet und

F(x, xv ... xn) = F₀(a?) - Fx (x, xv ... xn)

gesetzt, so dass Fx für jeden Werth von x gleich Null wird, wenn xv ... xn

*) Diesen Satz habe ich seit dem Jahre 1860 wiederholt in meinen Universitäts-Vorlesungen vorgetragen.

sämmtlich verschwinden. Ich nehme nun zunächst an, dass F₀(x) nicht für jeden Werth von x verschwinde. Dann kann man eine positive Grösse p so annehmen, dass F{)(x) für keinen Werth von #, dessen absoluter Betrag ^0, aber < p ist, verschwindet, und dass es zugleich Wertlie von xv x₂,... xn, die sämmtlich von Null verschieden sind, giebt, für welche die Reihe Fx(p, xv... xn) convergirt. Wenn ferner eine zweite positive Grösse p₀ so angenommen wird, dass sie ;> 0, aber <p ist, und festgesetzt wird, dass der absolute Betrag von x zwischen p₀ und p liege, die absoluten Beträge von xv ... xn aber alle unter einer Grenze px bleiben sollen, so kann man p, so klein annehmen, dass für alle Werthsysteme von x, xv ... xn, welche diese Bedingungen erfüllen,

F₀ dem absoluten Betrage nach grösser als F₁

ist. Man hat dann

x=

F(x, xv ...xn)

-+

FFF

0    0    0

3 ¹    Zj

OO

X    F!

x=o F₀

CO CD

x=oo F

dx

x=oo F

À-i

dj\

1=1 F„

x+i

À= X

SK

dx

x=i

(p)'

^ 0

Es ist aber, da der grösste Werth, welchen der absolute Betrag von für alle jetzt betrachteten Wertlie von x, xv ... xn besitzt, kleiner

als 1 ist, die Reihe

T-1 \f<

X=co

gleiclnnässig convergent, und daher

CO CO

ii Mn

- 8

Einige auf die Theorie der analyt. Funct. mehrerer Yeränderl. sich bez. Sätze. 109 Es kann ferner, wenn das Anfangsglied in der Entwickelung von F₀(x)

den Exponenten m hat

^ in eine Reihe von der Form

x-mX+l*

tl=oo

2 G(xv ... xn)

entwickelt werden, wo G(xv ... xn)^ eine gewöhnliche Potenzreihe von xv ... xn bedeutet; und hei der eben erwähnten Eigenschaft der Reihe

x=i

kann man alle Glieder, welche dieselbe Potenz von x enthalten, in eines zusammenziehen und erhält so:

X=co

y - —

•—J X -^x x=> F„

wo auch G(xv ... xn)^ eine gewöhnliche Potenzreihe bezeichnet. Ferner ist

V = -4-co

=--y G(xv ... xn) x‘

V — — oo

dF₀ dx

= nix

wo G(x) eine gewöhnliche Potenzreihe von x bedeutet. Also:

dF

V = -t-oo

Aus dieser Gleichung lässt sich zunächst ersehen, dass, wenn man den Grössen xv x₂,... xn bestimmte AVerthe, die dem absoluten Betrage nach sämmtlich kleiner als p₁ sind, beilegt, die Gleichung

0 a?

— = TU X

H- G(x)

— CO

...xn)^.x'i

F(x, x^j... x^)    0

stets durch m Werthe von x, die dem absoluten Betrage nach kleiner als p sind, befriedigt wird, vorausgesetzt, dass jeder so oft gezählt wird als die zugehörige Ordnungszahl anzeigt. (Vgl. S. 10.)

Dass es überhaupt innerhalb des angegebenen Bereiches Werthe von x giebt, welche F 0 machen, lässt sich so zeigen: Angenommen, es würde F(x, xv ... xn) bei gegebenen Werthen von xv ... xn für keinen

dF

dx

der in Rede stehenden Werthe von x gleich Null, so liesse sich

für alle Werthe von x, die dem absoluten Betrage nach kleiner als p sind, in eine nur ganze positive Potenzen von x enthaltende Reihe entwickeln, und diese müsste für die ihrem absoluten Betrage nach zwischen p0 und p liegenden Werthe von x mit der vorstehenden übereinstimmen. Dies ist aber nicht möglich, da in der letzteren Reihe das Glied mxFx vorkommt. (Da die erste Ableitung einer Potenzreihe von x niemals ein Glied mit dem Exponenten — 1 enthält, so kann sich das angegebene Glied nicht gegen ein anderes heben). — Angenommen nun, es seien

/y*    /y»

die in dem angegebenen Bereiche liegenden Werthe von x, welche die Gleichung F(x, xv ... xn) = 0 befriedigen, wobei ein jeder in diese Reihe so oft äufzunehmen ist, als seine Ordnungszahl anzeigt, so wird die Differenz

(r)

für keinen Werth von x, dessen absoluter Betrag kleiner als p ist, unendlich gross, und kann daher in eine nur ganze positive Potenzen von x enthaltende Reihe (x) entwickelt werden. Eür alle Werthe von x, die dem absoluten Betrage nach kleiner als p, aber grösser als jede der Grössen x', x",... xin und p₀ sind, hat man also:

dF

V=oo

dx.

wo

¹

-ç i-5

wo bei der durch das Zeichen —j angedeuteten Summation der Zahl v alle Werthe von — m bis -f m, mit Ausschluss der Null, zu geben sind. Nun kann man aber, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse 6, der Zahl l einen so grossen Werth geben, dass der absolute Betrag von

²

S. die „Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, herausgegeben von H. A. Schwarz“, S. 43.

= (aOv+... + (*w)v

. und

dF

dx

DIX

V=H-oo

G (?-')— 2    G(xx

V—1

V ⁼⁼Z-CQ

s₀ = rn oder r — m

d. h. die Anzahl der in Rede stehenden, die Gleichung F(x, xv ... xn) = 0 befriedigenden Werthe von x ist gleich dem Grade des Anfangsgliedes von F(x, 0,... 0).

Ferner ergiebt sich, wenn man

v — — l und l 0 annimmt

-l

Die Vergleichung dieser beiden Ausdrücke von

dx

giebt

sl=lG(xv ... xn)

Setzt man daher:

f(x, xv ... xn) = (x

x')

(x — x(m)) = xm+ f\ x

tu—1

so dass

8/' dx

g. _ ^.(W)

ist, so erhält man für Werthe von x, die dem absoluten Betrage nach grösser sind als x',... x{m),

OT-l

H- (in — 1) f\ x

xrn 4* f. x

m—i

—2 .    — 3 ,

+ sxx -f- s₂ x -r-*-

und hieraus:

m Un    sm sm—iU ⁵m—2 4 * ’ ’ iS i4h— i*

.. sämmtlicli Potenzreihen von 5CX,... welche sicher convergiren, wenn alle diese Grössen dem absoluten Betrage nach

Hiernach sind f

i> •

kleiner als p₁ sind. Die gesuchten m Wertlie von x werden dann gefunden durch Auflösung der Gleichung

m— l

dF p rtr*

Man erhält ferner durch Vergleichung der beiden Ausdrücke von —=-

l!

oo

^ (X) = G(x) — y] (v -+- l) Gr(xv ... xn)^ ^. X

v=o

für alle Wertlie von x, die dem absoluten Betrage nach kleiner als p sind. Setzt man daher

n    oo

xv ...xn)

= j G (x) dx — T] G(xv ... xn)^ ₊,

"n    v = 0

so sind © und % gewöhnliche Potenzreihen von x, xv... xn, welche sicher convergiren, wenn | x | < p, | x₁1 c pv ... | xn \ < p₁. Dabei wird $ = 1, wenn x, xv ... xn sämmtlicli verschwinden.

Aus der Gleichung

folgt nun

V, H

co co

tfo! «

co co

caj

F(x, xv... xn) = f(x, xv... xn). C%(x, xv... xn) ,

wo C den Coëfficienten von xm in F(x, 0,... 0) bedeutet.

Die Coëfficienten von /', % sind nun unabhängig von den gewählten Grössen p, px ; die vorstehende Gleichung muss also gelten für alle Wertlie von x, xv ... xn, bei denen die Reihen F, f. % alle drei convergiren.

Nehmen wir also eine Grösse 5 so an, dass erstens alle Werthsysteme von x, xv... xn, in denen jede dieser Grössen dem absoluten Betrage nach die Grenze 5 nicht überschreitet, dem Convergenzbezirk der genannten drei Reihen angehören, und dass zweitens %(x, xv ... xn) für keines derselben verschwindet, so werden diejenigen unter diesen Werthsystemen, welche die Gleichung F(x, xv ... xn) = 0 befriedigen, durch Auflösung der Gleichung mten Grades f(x, xv ... %n) = 0 bestimmt.

Es ist hierbei, wie bemerkt, angenommen worden, dass

F(x, 0,... 0)

nicht identisch gleich Null ist. Ist dies der Fall, so hat man zur Lösung der gestellten Aufgabe folgendermassen zu verfahren.

Man bezeichne mit (x,xv...xn) die Summe derjenigen Glieder von F(x,xv... xn), welche von der Xten Dimension sind, und mit jx den kleinsten Werth von X; für welchen die Coëfflcienten von (x,xv...xn) nicht sämmtlich verschwinden, so dass man

F (x,xv...xn) = (x,xv...xn)ii+(x,xv...xn)ii+l-t-.......^..............

hat. Sodann führe man an Stelle von x,xv...xn ebenso viele andere Veränderliche y,yv---yn ein mittelst der Gleichungen:

x    = coo V A e₀i yx -V • • • + con yn

xi    = cio:?/ + cii2/i+----t-CmVn xn cnoV + cn\Vi + ' ' ' + cnn Vn >

wo die Grössen c₀₀,... cnn Constanten bezeichnen, die keiner andern Beschränkung unterworfen sind, als dass

c»o> • • ' ⁽nn

und

(coo> rio’ cno\iL

von Null verschieden sein müssen. Durch diese Substitution verwandelt sich F(x,xv...xn) in eine ähnliche Function von y,yv — yn, welche mit F{y,yv...yn) bezeichnet werden möge. Dann hat man:

jJH-l

FOjj 0,... 0)    (c₀₀, c₁₀,... cn0)^ y i (c₀₀, c₁₀,... cwo)ti+1 y

Es ist also die Function F(y, 0, ...0) nicht identisch gleich Null und ihr Anfangsglied von der fiten Ordnung.

Man kann daher nach dem Bewiesenen F(y,yv...yn) darstellen in der Form

{1-1

F(y,yv-yn) = Qjll+!J

wo ©j, ...©|JL Potenzreihen von yv- - yn bezeichnen, die sämmtlich gleich Null werden, wenn diese Veränderlichen sämmtlich verschwinden, während (&(y,yv — yn) eine Potenzreihe von y,yv--- yn ist, welche einen von Null verschiedenen Werth erhält, wenn y,yv ... yn sämmtlich gleich Null gesetzt werden. Die letztere Reihe kann nun in eine ebenso beschaffene Potenzreihe von x, xv ... xn verwandelt werden, die mit (&(x,xv...xri) bezeichnet werden möge. Dann hat man

F(x,xv... xj = (/+ yli"' ®₁(yv... yn) -F-----H    ... yj) ®(x, xv ...xn)

Nun kann man 5 so klein annehmen, dass für jedes Werthsystem der Grössen x, xv ... xn, in welchem jede einzelne dem absoluten Betrage nach kleiner als 5 ist, erstens ®(x,xv ...xn) einen von Null verschiedenen Werth erhält und zweitens das entsprechende Werthsystem der Grössen yv---yn dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirke der Reihen @₁ (yv ... yn),’... ©[JL (yv... yn) angehört. Hieraus ergiebt sich Folgendes :

.. ©u angehörigen Werthsysteme yv ... yn

Wenn man zu jedem dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirke der Reihen © die p der Gleichung

¹®₁(yv ...?/„)+----•••yn) = ⁰

genügenden Werthe von y bestimmt, und dann aus den so sich ergebenden Werthsystemen y,yv--- yn die entsprechenden Werth-systeme x,xv...xn berechnet, so finden sich unter den letzteren alle diejenigen, welche die Gleichung F(x,xv...xn) = 0 befriedigen und die Bedingung erfüllen, dass jede einzelne Grösse dem absoluten Betrage nach kleine]’ als die angegebene Grösse 8 ist.

2.

Eine Potenzreihe ^(a^,... a?M) ist durch eine andere ^(a^,... xn) theilbar, wenn sich eine dritte Reihe ^(a^,... a?w) so bestimmen lässt, dass ist.

Hat an der Stelle (£^=0,... xn=0) einen von Null verschiedenen Werth, so existirt stets eine die vorstehende Gleichung befriedigende

Reihe dagegen ist dies nicht der Fall, wenn $ß₀(0,... 0) = 0 ist, während ^(0, ...0) einen von Null verschiedenen AVertli hat. Es bleibt daher nur zu untersuchen, unter welchen Bedingungen ^ durch tlieil-bar ist in dem Falle, wo beide gleich Null sind.

Man führe (wie in Art. 1) an Stelle von xv...xn n andere Veränderliche tv ... tn ein, indem man

x\ 9\\ A ■    ; (Jin t'n

setzt und die Constanten gn, gl2, ... gnn so wählt, dass erstens xv ... xn von einander unabhängige Functionen der Grössen tv... tn sind, und zweitens weder \{gntv... gnlt^ noch t\(fjntv ’--9niti) für Jeden AVertli von tx verschwindet. AVenn dann die höchsten Potenzen von tv durch welche diese beiden Functionen von t₁ theilbar sind, beziehlich die Exponenten g, v haben, so kann man, wie in Art. 1 gezeigt worden,

Sßo'fo» — xn) auf die Form G₀(tvt₂,... tn) ₀(tv ...tn) (^i, • '. ^n)    11    11    11    G₁(f₁,t₂j...t^^ß>y(tl,...t^)

bringen, wo

Go(*i>*2> ••• y = ^ fe ••• y g,(ßv*₂> ••• y - ^• • • y

(i-i

v—1

4- •

iß*

|iV2’ •

o    0    1    1

ist. Dabei verschwinden ... Vv, s^1?... s^v sämmtlicli an der Stelle (t₂=0,... tn=0), während $ß₀(0, ...0), ^(0, ...0) beide einen von Null verschiedenen Werth haben.

Man nehme nun eine positive Grösse 5 so an, dass für jedes den Bedingungen

••• l«J^⁸

genügende Werthsystem (tv... tn) die angegebenen Umformungen von $ß₀(£Cj,... xn),    ... xn) gelten. Dann kann man fernel' eine positive

Grösse S1? die kleiner als 5 ist, so annelimen, dass für jedes den Bedingungen

genügende Wertlisystem (t₂,...tn) jede der beiden Gleichungen

nur durch solche Werthe von t₁, die dem absoluten Betrage nach kleiner als 5 sind, befriedigt wird. Sind für irgend ein System bestimmter Werthe von t₂,...tn

f ff

t\ ? *

(HO

die von einander verschiedenen Werthe von tx, welche der einen oder der anderen dieser Gleichungen, oder auch beiden genügen, so hat man

X,

Xi/(

wo    ganze Zahlen bezeichnen, deren Summe gleich v — g ist.

Hat eine dieser Zahlen einen negativen Werth, so kann man der Grösse tx einen solchen Werth geben, dass

Gi (ßv • • • ^i)

Cr₍₎{tv ^2’ * • • ^h)

ist, wo g eine beliebig angenommene positive Grösse bedeutet, ohne dass G₀(tvt₂, • • • tn) = 0 ist. Infolge der Gleichung

Gx{tvt₂₇ ...tn)    ... tu)

Go(tv%> *• *    ?ß₀(t.v ... tn)

existiren also in jeder noch so kleinen Umgebung der Stelle (0,0.... 0) Werthsysteme (xv ... xn), für die der Quotient

^Pi(U, ••• Ui)

i? •• • Ui)

$₀(U> • •• Ul)

dem absoluten Betrage nach jede beliebig angenommene Grösse übertrifft. Daraus folgt sofort, dass, wenn ^(a^,... xn) durch    ... xn) tlieil-

bar sein soll, jede der Zahlen Xv...Xm positiv oder gleich Null, und somit (zunächst unter der Voraussetzung, dass t₂,...tn bestimmte, den Bedingungen

••• K\^

Dazu ist zuerst erforderlich, dass v > \x sei.

Nun kann man aber, wenn diese Bedingung erfüllt ist, und

genügende AVerthe haben, und der absolute Betrag der Veränderlichen tx nicht grösser als 5 sei) Gx(tvt₂,... £n) durch G₀(tvt₂,... tn) theilbar sein muss.

v—1

n-i

!-*• ’

zwei ganze Functionen von t₁ mit unbestimmten Coëfficienten sind, zwei andere Functionen

°ufi

V-fJ.

H-----b C.

V—IX ?

ix-i

"+ • • • D(i

dergestalt bestimmen, dass die Gleichung

v—J-t+1

Wi-t -®y)

= (Vi ff —¹ ^|i) (^o^i

besteht; und es sind dann

v-|l

+ ^v-jx) +h

li—l

ff-----b Dlx

V—|i 1

C₀,... C,

b’

ganze Functionen von A^...A^ B₀,...BV. Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass bei bestimmten AVerthen von A₀,... A B₀,...By und unter der Voraussetzung, dass A₀ nicht den AVerth Null habe,

V    [X

B^A----+ Bv durch AQtx +----bal1JL theilbar sei

werden dann durch die [i Gleichungen

A = °, •••

ausgedrückt.

Setzt man nun

11 (^2’ / ’ ’ ^n)

Bo=¹ i Bi =    — *w)> • • *    =    ••• U »

Potenzreihen von t₂,...tn, die sämmt-

so werden CQ,... C lieh an der Stelle (t₂= 0,... tn = 0) verschwinden und mit

0 (^2’ * ' * t'n) ? • • • l-sv—ja (^2’ ’ ’ ' ^«3 ’

v—(i 5

■*£»

'2 ’ • * • ^n) j • • *

|i(^2’ ’■* ^n)

hezeichnet werden mögen. Damit ^l{xv...x^') durch    ... xn) theil-

har sei, müssen nun

’ii • • • ^n) ’    * • •

■ sT**

sämmtlich verschwinden, wenn

Dies ist aber nur möglich, wenn in jeder Reihe sämmtliche Coëfflcienten gleich Null sind.

Angenommen nun, diese Bedingung sei erfüllt, so hat man

V- |i

•• V = G$v fr ■■■ fn) • Ol

&o(fv ^21 •’* ^n) ■    ^ii ••• ^n)

und daher

₍₎(xi,... .rw) - G^(/p t₂, ...    l.)i ••• ^3

''bi (ß-i? ••• Mfi)    &₀(tv ^2' " *    • ^s(ßv t'ii ••• ^3 • 3-si(^p ••• ^n)

^ ft, .■•*„)

(®i5’A’ '‘‘tii    •

••• *»)

= %>(xvx

• • :rn) • ^2 ft’ ft *

.. tfl) .

Verwandelt man nunmehr ^₂(^,... tn) in eine Potenzreihe von xv ... xn, so ergieht sich

(^i, • • • xn) =    xv • • • xn) %z(xv x» • • ■■ xn) •

Wir haben also folgenden Satz:

Es seien ^5₀(a?₁,... x^), ^(x^,xn) zwei Potenzreihen von xv ... xn, welche beide an der Stelle (x₁ — 0,... xn= 0) verschwinden. Man bilde auf die angegebene Weise die beiden Ausdrücke

p-

•/

'S

N!

CD

p 0    p—1

h $1 (^> • • • O h ‘ ' ⁻••• tn) f.

V— 1

■4-

-es- -es®

tM/

•sT⁴-

<r

iS

iS°

■-

iS-

-es-

CD

-iS

-es^

T=

zusammen. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass %l(xv...x^ durch <§Q{xv...xv) theilbar sei, be-

4

.. sj>;i sämmt-

4

i’ •

steht dann darin, dass in jeder der Reihen sj3 liehe Coëfficienten gleich Null sein müssen.

Es geht aber auch aus dem Vorstehenden hervor, dass nur in dem Falle, wo eine der mit    bezeichneten Zahlen negativ ist,

nicht durch ^>₀ theilbar ist. Daraus lässt sich schliessen:

Kann man zeigen, dass der absolute Betrag des Quotienten

'Pi ('D? * ■ ■ ^n)

%\(xv ...xfy

wenn (xv ... xn) in einer gewissen Umgebung der Stelle (0,... 0) und so, dass    ... xn) nicht gleich Null ist, angenommen wird,

stets kleiner als eine angebbare Grösse ist, so reicht dies aus, um festzustellen, dass ^(xv ... xn) durch %₍₎(xv ... x^ theilbar ist.

Denn wäre das Letztere nicht der Fall, so müsste wenigstens eine der Zahlen ... \m negativ sein, und es existirte, wie gezeigt worden, innerhalb jeder Umgebung der Stelle (0,... 0) ein Werthsystem (xv ... xn), für welches der absolute Betrag des in Rede stehenden Quotienten jede angebbare Grösse überträfe, ohne dass    ... xn) gleich Null wäre;

was der Voraussetzung widerspricht.

iPi

In jedem Falle, wo entschieden werden kann, ob der Quotient die angegebene Beschaffenheit hat oder nicht, ist man demnach der Bil-

4    4

düng der Reihen ... V,, überhoben.

Es soll nun ferner untersucht werden, unter welchen Bedingungen zwei Reihen Sß^ajj,... xn), ^>x(xv... x^), die beide an der Stelle (0, ...0) verschwinden, einen gemeinschaftlichen The il er von derselben Form, der ebenfalls an der Stelle (0, ...0) verschwindet, besitzen.

Angenommen, man habe

$„(*1» • • • xn) -= $201’ '“Xn) • $3 01» •••»») $1 (p i7 ^ n) $2 0 1» • • • xn) • $4 0 i> • • • xn) 7

und es sei ^.,(0,... 0) = 0. Man verwandle wieder ^ß₀, ^ auf die angegebene Weise in Functionen von tv ... tn. Zufolge der in Betreff der Functionen S^₀(gntv ... gnltl), $₁0₁₁0 • •• #m0) gemachten Voraussetzung kann auch ty.,(gntv ... gnit^) nicht fiir jeden Werth von tx verschwinden; die höchste Potenz von tx, durch welche diese Function theilbar ist, habe den Exponenten X1? so kann man

$2 0h’---xn) auf die Form #2 01’ 0 • • • 0) $20i» • • • 0)

bringen, wo

r<

X-l

1:

H- •

••*»)

und -p₂(0,... 0) nicht gleich Null ist. Dann hat man

#O0i’*2’ ”*    #20i#2’ ■’*

%(*v... o

$o 0i ’ •" ^n)

0h7 ••• xn) ' #201’ ^2’ ’*■ ^n) $50i» ••• ^w)

#101, *2» - *») ⁼ #2 01»*2> - U

$o0i» - 0)

$401’ ’*’ xn) #20i’ ^21 ••• 0) $6 0i’ ••• 0) ’

Es sind also

.. 0) theilbar.

beide durch G₂(tvt₂,.

Nun kann man bekanntlich, wenn

1’ •

•^0’ ^

unbestimmte Grössen bedeuten, aus denselben eine Reihe von ganzen Functionen

c,cv <4,...

zusammensetzen, vermittelst welcher sich die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass bei bestimmten Werthen von A₀,...A[X, B₍₎,... und unter der Voraussetzung, dass weder A₀ noch B₀ gleich Null sei, die Functionen

fX ?

einen grössten gemeinschaftlichen Theiler Xten Grades besitzen, sich fol-gendermassen ausdrücken lassen: Es muss Cx in der Reihe der Grössen G, Gj, G₂,... die erste sein, welche nicht gleich Null ist.

Diese Bedingung als erfüllt vorausgesetzt, stellt sich dann der grösste gemeinschaftliche Theiler der beiden Functionen in der Form

c:

X .X —l

G;!"'

c\

c\

dar, wo G^,...

sind. Nimmt man

ebenfalls ganze Functionen von A₀,... A^, B₀,... Rv

Aq 1? Aj    • • • ^l-t    • • • ^n)

R = l, B.='ka,...g, ... B,=%(L,...tn)

so werden G, Cv G₂,... ; G

.. Potenzreihen von t₂,... tn, die mit

$(<„, •••<„), SA*» •••<„),    5pa,1’fe •••<*), iïX'\ -1„), ■■■

bezeichnet werden mögen. Dann muss, damit für ein bestimmtes Wertli-system (t₂,... tn)

*■* ^n) ?    •••

als Functionen von ^ betrachtet, einen gemeinschaftlichen Theiler haben,

ipfe...g = o

sein. Diese Gleichung besteht also bei der in Betreff der Functionen ... xn), ^(xv ... xn) gemachten Annahme, wenn man den Grössen t₂,... tn solche Werthe giebt, für welche die angegebenen Umformungen von ^ gelten; woraus folgt, dass die Coëfficienten der Reihe (t₂,... tn) sämmtlich gleich Null sein müssen.

xn)i

Damit ist die nothwendige Bedingung dafür, dass ^(a^,... xn), %x(xv ... xG) einen gemeinschaftlichen Theiler besitzen, festgestellt. Angenommen nun, es seien für zwei gegebene Potenzreihen ^po (xl,

(a^,... £CW) die im Vorstehenden definirten Functionen

^o^i’^2’ "■ ^v) ?    ••• ^n)

- Q, ... tj, ^\t₂,

gebildet, und es ergebe sich, dass die Coëfflcienten der Reihe $(t₂,... tn) sämmtlich gleich Null sind, so wie ferner, dass $ßa) in der Reihe der Functionen ^⁽¹⁾, ... die erste sei, die nicht identisch gleich Null ist. Nimmt man dann im Innern des gemeinschaftlichen Convergenzbezirkes der Reihen

ïf!“

■-

i£'

.£*■

-es

•sT-

irgend ein bestimmtes Werthsystem (t₂,... tn) der Grössen t₂,... tn an und unterwirft diese der Bedingung, dass

••• K\sK\

und    • • • tn) nicht gleich Null sein soll, so haben

^2’    ^21    ?

als Functionen von betrachtet, einen grössten gemeinschaftlichen Theiler vom Grade X, der zunächst in der Form

X-1

U’\, ... tn)

<X)

(X)

erhalten wird. Die Werthe von /;,, für welche diese Function verschwindet, sind sämmtlich unter denen, für die G₀(tv t2J... tn) -- 0 wird, enthalten.

Jeder der letzteren aber hat, wie man auch t₂,... tn den angegebenen Bedingungen entsprechend annehmen möge, einen endlichen Werth, dessen absoluter Betrag unterhalb einer angebbaren, von t₂,... tn unabhängigen Grenze liegt. Dasselbe gilt also auch von dem Bruch

a.x')

(t₂,... t,n)

<X)

(X' = 1,... X)

woraus sich nach dem Obigen ergiebt, dass der Zähler durch den Nenner theilbar ist. Damit ist bewiesen, dass der vorstehende gemeinschaftliche Theiler von G₀(tvt₂,... £w) und Gx(tvt₂,... tn) in der Form

x-i

dargestellt werden kann.

Betrachtet man nun wieder G₀(tvt₂,... tn), G₁{tvt₂,... £w), G₂(tvt₂,... £w) als Functionen von ^ und dividirt die beiden ersten durch die dritte, so ergiebt sich:

» ••• ^n)    5^2’    ^i) ^3(^1 ?^2’

^2’    4 (^l? ^2’ ”■    >

wo Cr₃, (t₄ ganze Functionen von ^, deren Coëfficienten Potenzreihen von t₂,...tn sind, bezeichnen.

Multiplicirt man sodann die erste dieser Gleichungen mit ^Q(tv ... £w), die zweite mit ... tn) und drückt darauf tv ... tn durch xv ... xn aus, so ergiebt sich:

*0(‘G>    ^n)    G?) 'PsOG’ Gi)

% (xv ... xn) = %₂(æv ... xn) %(xv ... xn)

wo ist.

Es lässt sich nun ferner beweisen, dass 9ßs(pcv ... x^, ç^i(pcv ... xn) nicht beide durch eine an der Stelle (^=0,... xn=0) verschwindende Potenzreihe von xv... xn theilbar sind.

^3(p'v xrt) ^3Xi>^2’ ’X) ^S(iX['X’ X)

^4('G’ ••• ^n) ^4X1X₂> "*    ^1X1X25 ^?i) *

Wären nun    ... xn), ^₄(a?1?... xn) beide durch eine an der »Stelle

(2^=0, ... xn-= 0) verschwindende Potenzreihe von xv ...xn theilbar, so müssten sich, wie oben gezeigt worden ist, zwei Grössen 8, 8} so annehmen lassen, dass für jedes den Bedingungen genügende Werthsystem (G,... tn) die Gleichungen

G.fivt₂, ...tn) %(tv ... tn) = 0, 0₄(tvt₂, ...tn) ÿ₁(tv...tn) = 0

durch einen und denselben Werth von tv dessen absoluter Betrag kleiner als 8 wäre, befriedigt würden. Bei hinlänglich kleinen Werthen von 8, 51 müsste dieser Werth von tx also den beiden Gleichungen

<XîXiX₂> *■ * XX    ^

G₄(tvt₂,...tn) = 0

genügen, und es hätten somit für jedes den angegebenen Bedingungen entsprechende Werthsystem (tv... tn)

^3X4X2? •

Es ist:

• • t'n) ^4X1X2? ••• X.)

als Functionen von tx betrachtet einen gemeinschaftlichen Tlieiler, und daher

XiXä> • • * Xi) Gx(tvt₂, ... tfl)

einen gemeinschaftlichen Tlieiler von höherem als dem Xten Grade. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man t₂,... tn so annimmt, dass ^a(G, ••• Xi) nicht verschwindet; und es ist somit die Annahme, dass ^(a^,... xn) und sX₄Xg... xn) beide durch eine an der Stelle (,x₁=0,... xn=0) verschwindende Potenzreihe von xv...xn theilbar seien, unstatthaft.

Einige auf die Theorie der analyt. Fuuct. mehrerer Veränderl. sich bez. Sätze. 125 Wir haben also den Satz:

Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass zwei gegebene, an der Stelle (^=0, ... xn=0) verschwindende Potenzreihen    ... xn), %x{xv ...x^ beide durch eine dritte

Peilte von derselben Beschaffenheit t heil bar seien, besteht darin, dass die Coëfficienten einer bestimmten, nach der gegebenen Vorschrift zu bildenden Potenzreihe von n — 1 Veränderlichen t₂, ... tn sämmtlicli gleich Pull sein müssen. Ferner ist es, wenn diese Bedingung erfüllt ist, stets möglich, ^₀{xv ... x^f %x{xv ... xx^) in der Form

%o(xv • • • xn) •= $₂(xv • • • xn) %(xv • • • xn) y>x(xv ...Xn) = ^2Ol, ...Xn) ^₅0i, ...Xn)

so ausdrücken, dass    ...#w), ?ß₅(xv...xn) keinen an der

Stelle (xx = 0, ... xn=0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben.*)

Hieran knüpfen sich nun noch einige andere Sätze.

Ich nehme jetzt an, es seien 9ß₀(xv... xn), ^,l{xv...xv) nicht beide durch eine an der Stelle (0,... 0) verschwindende Potenzreihe von xv...xn theilbar, aber $ß₀(0, ...0) und ^(0, ...0) gleich Null. Dann giebt es in jeder Umgebung der Stelle (0, ...0) unendlich viele Werthsysteme (xv ... xn), für die sowohl ipo0i> ... xn) als    ... xn) ver

schwindet. Denn man drücke wieder 9ß₀(xv ... xn), ^X{xv...xn) auf die angegebene Weise durch die Veränderlichen tv t₂, ... tn aus, bestimme die Function ^ (t.„ ... tn) und nehme auch die Grössen 5, bx so an, wie oben festgesetzt worden ist. Dann giebt es unendlich viele, den Bedingungen

\ln

entsprechende Werth Systeme    für die ist, und zu jedem dieser Werthsysteme giebt es wenigstens einen Werth

*) Es lässt sich aus dem Vorhergehenden noch leicht ableiten, dass jede Potenzreihe von xv...xn, durchweiche die gegebenen Reihen beide theilbar sind, notli wendig ein Theiler von 5ß₂(£c1}... aJM) ist.

dessen absoluter Betrag kleiner als 5 ist, und der die beiden

von t Gleichungen

befriedigt; woraus das zu Beweisende unmittelbar folgt.

Man nehme jetzt im Gebiete der Grössen xv ... xn irgend einen die Stelle (0, ...0) umgebenden Bezirk so an, dass für jedes demselben angeliürige Werthsystem (xv ... xn) nicht nur die Gleichungen

•••»») = G₀(tvt,,... tn) %(tv ... tn)

(xv • • • xn) = Gi Vv *₂> ■ •• U Uv • • • *»)

gelten, sondern auch $P₀(£X, ...£w), ^ (tx, ... /„) beide einen von Null verschiedenen Werth haben; und setze, unter (cv ... cn) irgend ein bestimmtes Werthsystem der Grössen xv ...xn in dem genannten Bezirke und unter (bv ... bn) das entsprechende Werthsystem der.Grössen tv ... tn verstehend,

X₁ — Cj -+- Mj,    ... Xn — Cn + Un

tl=bi-hsv . . . tn=bn-\-sn,

so dass man

• ui ⁼    •“ 9\nsm ’ • • un ⁼ 9msi'r ; 9nnsn

*Po (c!+uv ••• cn~JrUt) ⁼ G^b^ sv &₂-t-s₂, ...    **• ^G'+'V)

•" cri~^un) ⁼    •••    ^i(^i+si> •••

hat.

Es können nun ^(Cj -f- ux,... cn -f- nn), $ßx (cx + . ... cnH- ww), als Potenzreihen von uv... un betrachtet, einen an der Stelle 0^=0,... un = 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler nur in dem Palle besitzen, wo ^₀(cj,... cn), (cv ... cn) beide gleich Null sind. Bann ist auch

G₁(bvb₂,.

G₀(bvb₂, ...bn) = 0 , ..bn) = 0;

es gellt aber aus den Ausdrücken von G₀, Gx hervor, dass weder G₀(b₁-Jrs₁,b₂, ...bn) noch G₁(b₁+s₁, b₂, ... bn) für jeden Werth von s₁ verschwindet; man kann also

H    Aji (s₂,... sn)J V (Sj, •.. sn)^

G₀(b₁+sv b₂+s₂,... bn+sn) auf die Form (sjw+$ß(s₂,...sw) sj

Gl(b₁+t>₁,b₂+s₂,...bn+Sfl) „ „    „ (j>x    ‘p(s₂₁...sn)^Sj    +• •    - VB)^(si>",s»)i

m—1

in der Art bringen, dass

m..^, ... Cho,...o)

m    ... m...o)fl

sämmtlich gleich Null sind, während f$(0, ...0)₀, sJß(0,...0)₁ beide einen von Null verschiedenen Werth haben.

Angenommen nun,    ... cn+un),    ... cn+un) wären

beide durch eine dritte an der Stelle (^=0,... %=0) verschwindende Potenzreihe von uv...un theilbar, so würde sich nach dem Vorhergehenden zu jedem System unendlich kleiner Werthe von s₂,...sn ein ebenfalls unendlich kleiner Werth von s₁ finden lassen für den

G[)(b₁\-sl, ?>₂+s₂, ... bn-'rsn), G l(b₁-Jrsv b₂+s₂, ... bn+sn)

beide gleich Null wären. Dann aber müsste

Wv' 'V ••• K 'r sn) — ⁰

für jedes System unendlich kleiner Werthe von s₂,...sn sein, was nach einem bekannten Satze nur der Fall ist, wenn für jedes dem Convergenzbezirk der Reihe angehörige Werthsystem t9J... tn verschwindet, also die Coëfficienten der Reihe sämmtlich gleich Null sind. Bei der in Betreff der Reihen (xv ... a?w), ?ß₁(xv...xn) gemachten Annahme ist aber (t₂,... tn) nicht identisch gleich Null; und es ist somit erwiesen:

Wenn die Reihen

^₀(G> G») ’    "■ Gt)

keinen an der Stelle (^=0, ... xn=0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler besitzen, so haben auch als Potenzreihen von uv...un betrachtet, keinen an der Stelle (Mj=0, ... un= 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler, vorausgesetzt, dass die Stelle (x₁=cv ... xn=cn) innerhalb einer gewissen — oben definirten — Umgebung der Stelle (^=0, ... xn= 0) angenommen werde.

3.

Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen beliebig vieler Veränderlichen.

Ich sage von einer eindeutigen analytischen Function f(xv ... xn), sie verhalte sich an einer bestimmten Stelle (av ... an) regulär, wenn sie in einer gewissen Umgebung dieser Stelle durch eine Reihe von der Form

SH

Vj,..

. Vn (G - «i)V‘ • • • (Gl - arSn }

(vl,...VM = 0,...oo)

dargestellt werden kann, wo vp ...vn ganze Zahlen bezeichnen und unter den Coëfticienten A

von xv ... xn unabhängige Grössen zu

Denn es sei '$(x₁—av ... xn—an) die Reihe, welche die betrachtete Function in der Umgebung von (av ... an) darstellt, so lässt sich aus derselben, wenn man im Innern ihres Convergenzbezirkes eine Stelle (a’v ... a'n) willkürlich annimmt, eine andere Reihe    a[,... xn— a'n) dergestalt

ableiten, dass für alle einer gewissen Umgebung der Stelle (a[,... a'n) an-gehörigen Werthsysteme (xv...xn) die Gleichung

Sßi (®i~ a'v • • • xn~ a'i) = $ (xx-a v... xn— an)

besteht. Es ist also ç^l(x₁—a'₁,...xn—a'n) ebenfalls ein Element der Function f(xv...xn), und es verhält sich diese demnach auch an der Stelle (a'v ... a'n) regulär.

n’

Die Gesammtheit der Stellen, an denen die Function f(xv ... xn) sich regulär verhält, bildet hiernach ein 2 n-fach ausgedehntes Continuum im Gebiet der Grössen xv ...x

Dieses Continuum ist nun nothwendig begrenzt.

Angenommen nämlich, es sei %{xl—av ... xn—an) irgend ein Element der Function f, wobei vorausgesetzt werde, dass die Stelle (civ...an) im Endlichen liege; so können zwei Fälle eintreten:

1. Convergirt die Reihe %{xl—av ... xn—a₇^) für jedes System endlicher Werthe der Grössen xv ... xn, so besteht, wenn    a[,... xn—a'n)

irgend ein reguläres Element der Function f ist, für jedes dem Convergenz-

#

bezirk der Reihe angehörige System endlicher Werthe von xv ... xn die Gleichung

... Xn    (ß'i    •••    •

Dies ist aber unmöglich, wenn die Grössen a{,... a'n nicht sämmtlich endliche Werthe haben, woraus folgt, dass in dem angenommenen Falle eine Stelle (xv ... xn) im Innern oder an der Grenze des in Rede stehenden Continuums liegt, je nachdem die Grössen xv ... xn sämmtlich endliche Werthe haben oder nicht.

2. Liegen die den Convergenzbezirk der Reihe ty(x₁—av...xn—an) begrenzenden Stellen alle oder zum Tlieil im Endlichen, so giebt es, wie in der Functionentheorie gezeigt wird, unter ihnen mindestens eine Stelle, an der sich f(xv ... xn) nicht regulär verhält; eine solche Stelle liegt dann auch an der Grenze des in Rede stehenden Continuums.

Dies festgestellt, nenne ich jede an der Grenze dieses Continuums liegende Stelle eine singuläre Stelle für die betrachtete Function.

Ist (a', ... a^) eine solche singuläre Stelle, so kann es möglicherweise eine Potenzreihe

*o(*i    xn ®n)

gehen, die für xx=a'v... xn=a'n verschwindet und so beschaffen ist, dass das Product

^o(xl~a'v ••• xn~ <) f(xv • • • xn)

für alle einer gewissen Umgehung der Stelle (a'v ... a'n) ungehörigenWerth-systeme (xv ... xn) in der Form

In diesem Falle nenne ich (a'v ... ci'n) eine

dargestellt werden kann, aus serw es entliehe, in jedem andern Falle eine wesentliche singu

läre Stelle.

Es gieht aber, wenn n > 1 ist, zwei wohl von einander zu unterscheidende Arten von ausserwesentlichen singulären Stellen.

Ist (av ... an) irgend eine solche Stelle, so lässt sich die Function f{xv ... xn) für hinlänglich kleine Werthe der Differenzen xx— av ... xn—an stets dergestalt in der Form

... xn-an)

darstellen, dass    civ ... xn—an), ?ßl(x₁—av...xn—an) nicht beide

durch eine dritte, an der Stelle (av...an) verschwindende Reihe av ... xn—an) theilbar sind.

Wenn dann ç$l(x₁ — a,v...xn — an) an der Stelle (av ... an) einen von Null verschiedenen Werth hat, so ist für alle einer unendlich kleinen Umgebung der Stelle (av ... an) angehörigen Werthsysteme (xv ... xn) der Werth von f(xv ... xn) unendlich gross, und daher

f(xv ... xn) = co für (xx= av ... xn— an).

Yerscliwinden dagegen (xl — av ... xn—an), (xx — av... xn—an) beide an der Stelle (av...an), so kann man (nach Art. 1), indem man homogene lineare Functionen    von xx— al, ... xn—an ein-

Einige auf die Theorie der analyt. Funct. mehrerer Yeränderl. sich bez. Sätze. 131 führt, in mannigfaltiger AVeise

<$[){xl-av...xn-av) auf die Form    —

'ßj (*U    » • • • ^'n ^n) »    »

bringen, dergestalt dass

•    p,(^2 • • • ^rS)    ’ * * • ^n

»    ... tn) t'r¹ + • • •+^PV (i₂...tj)    av...xn-an)

p-i

%)

'S

SÏ

-es®

-p

'S

-eS¹

o

so

IC

-es

s^

tc

für t₂=0, ...tn=0 verschwinden, ^p₀(0,... 0), ^(0,... 0) beide von Null verschieden sind und die Functionen

[X o

h + $ i (*₂>

**+4ft» •••*») h

fX-l

v—l

• +    ' * * fn) >

keinen an der Stelle (tx = 0,... tn=--0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler besitzen. Dann existiren unzählige Systeme unendlich kleiner AVerthe tvt.,,... tn, für welche die erste der vorstehenden Functionen, nicht aber zugleich die zweite verschwindet; woraus folgt, dass es in jeder noch so kleinen Umgebung von (av ... an) andere Stellen (xv ... xn) giebt, an denen    av ... xn— an) verschwindet, Sßj{xx— al,... xn— an) aber

nicht, so dass an jeder solchen Stelle f(xv...xn) = oo ist. Es hat aber, wenn b eine beliebig angenommene endliche Grösse ist, die Function

f(xv...xn)-b

in der Umgebung der Stelle (av...an) dieselbe Form wie f(xv ... xn)-, es existiren also in jeder Umgebung von (av ... an) auch Stellen, an denen

f{xv...xn)-b °°

d. li.

f(xv ...xn) = b

ist. Es kann also f(xv ... xn) in dem jetzt betrachteten Falle in einer unendlich kleinen Umgebung der singulären Stelle (av ... an) jeden beliebigen AVer th an nehmen und besitzt deshalb an dieser Stelle selbst keinen bestimmten AVerth.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken:

Die Gesammtlieit der Stellen, an denen sich f(xv ... xn) wie eine rationale Function verhält — d. h. die Gesammtlieit der nicht singulären und der ausserwesentlichen singulären Stellen — ist ein 2n-fach ausgedehntes Continuum, dessen Begrenzung die wesentlichen singulären Stellen bilden.

so ver-

Ist (av...an) irgend eine bestimmte Stelle im Innern dieses Con-tinuums, und hat f(av ... an) einen bestimmten endlichen Werth hält sich, wie schon oben angegeben worden ist, f(xv...xv) in einer bestimmten Umgebung der Stelle (av...cin) überall regulär.

Ist f(av... an) = oo, so giebt es in jeder Umgebung der Stelle (av... an), die keine singuläre Stelle der Function

f(xv ...xn)

enthält, unendlich viele, eine (2n—2)-fache Mannigfaltigkeit bildende Stellen, an denen die Function f(xv ... xn) den Werth oo hat, während sie sich an allen übrigen Stellen des genannten Bereiches regulär verhält.

Hat endlich f(xv...xn) an der Stelle (av ... an) keinen bestimmten Werth, so giebt es in jeder Umgebung dieser Stelle nicht nur unendlich viele andere singuläre Stellen, an denen f(xv...xn) den Werth oo hat — was schon vorhin nachgewiesen ist — sondern auch, wenn n > 2 ist, unendlich viele Stellen, an denen f(xv ... xn) keinen bestimmten Werth liât. Das Letztere lässt sich folgendermassen zeigen:

Es gelte für alle Werthsysteme (xv ... xn) in der Umgebung von (av...an) die Gleichung

Sßo(*i    '^'n fip^v Ui) (*H    ^'n    >

unter der gestatteten Annahme, dass die Potenzreihen ^3₀, ^ keinen an der Stelle (av...an) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Innerhalb des gemeinschaftlichen Convergenzbezirks der beiden Reihen nehme man eine Stelle («',... an) zunächst beliebig an, und setze

... xn an - ¹çn X^    . . . xn cin •

Ferner sei cy der Werth von £x für xK -- a'%, und = Ex — cY. so sind Ey_, r/x lineare Functionen von xy, die beide für xK=a% verschwinden; man hat daher

^X ?X

1 I ^x ^x

f' =

’x

?ix

ly Tlx

(x = 1,... n)

wo 7ïx, 7X Constanten bezeichnen. (Wenn ax nicht = oo ist, so ist 7tx== 1, 7X = 0.) Entwickelt man nun nach Potenzen von yjv ... und verwandelt die so sich ergebenden Reihen in Potenzreihen von £j, ... Ç'n, die mit bezeichnet werden mögen, so gelten für alle einer bestimmten Umgebung der Stelle (a\,... u'₍) angehörigen Werthsysteme (xv ... a?w) die Gleichungen

^'n)    ^2(^1    •••    ’

OG ? • • •

••• *n_®n) ⁼    ••• «»-«») »

Nun nehme man — was dem am Schlüsse von Art. 2 Bewiesenen zufolge stets angeht — n positive Grössen Cv...Cn so an, dass erstens die Stelle (£j = Cj, ... £n= Cn) im gemeinschaftlichen Convergenzbezirk der Reihen ^₀(Çi;... £n), ^(Çj,... Çw) liegt, und dass zweitens, wenn man cv ... cn den Bedingungen

unterwirft, ^(Cj-l-Kjj,... cw+rjw), ^(cj+iJi,... cn-+-rjw), als Potenzreihen von Y)v...Y)n betrachtet, keinen an der Stelle 0^ = 0,... %=0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Dann besitzen auch die Reihen ^ß₂(x₁—a'v...xn — a^) und    — a'v ... xn—a'n), wie sofort er

hellt, keinen an der Stelle (xx=a'v ... xn=a'n) verschwindenden gemeinschaftlichen Theilern, und es hat daher nach dem vorhin Bewiesenen f(xv... xn) an der Stelle (a[,... a'n) keinen bestimmten Werth, wenn *ß₂(0,...0), ^ß₃(0, ...0) beide gleich Null sind. Es giebt aber, wenn n> 2 ist, wie am Schlüsse von No. 2 gezeigt worden ist, unendlich viele, den vorstehenden Bedingungen genügende Werthsysteme (cv...cn), für welche die beiden Gleichungen

%₀(CV ...cn) = 0 , ^(Cj,... cn) = 0

bestehen; jedem dieser Werthsysteme, deren Gesammtheit eine (2 n—4)-fache Mannigfaltigkeit bildet, entspricht also im Gebiete der Grössen xv...xn innerhalb des durch die Bedingungen

an\ — Cn

\xx — ax| < Cv ... \xn

definirten Bezirkes eine Stelle (a'v ... a'n), an der f(xv ... xn) keinen bestimmten Werth hat.

Hieran knüpft sich noch eine wichtige Bemerkung.

Es seien zwei beliebige Potenzreihen

^-so••• •t'n ^n) 7    Oj, ... Xn

gegeben, so lässt sich für die dem Innern des gemeinschaftlichen Conver-genzbezirks der «beiden Reihen angehörigen Stellen (xv ... xn), deren Gesammtheit mit @ bezeichnet werde, eine eindeutige Function f(xv ... xn) in folgender Weise definiren:

Ist x’v... x’n eine Stelle von ©, an der $ß₀, ^ nicht beide verschwinden, so soll

• • • K - an)

sein.

Hat aber an einer Stelle (x'v...x^) sowohl ^ als den Werth Null, so bringe man auf die im Torgehenden angegebene Weise

(xx— av... xn— an) auf dieForm 5P₂ (xx—x'v... xn— x'n)    {£x—x'v... xn—xxl)

'PiOG. cix^...xn ci%) „    „    „    xx,...xn x^^ß^(xx xx^...xn in der Art, dass die Reihen ^₂, ^3₃ keinen an der Stelle (xx=x[, ... xn=x'n) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Wenn dann

5P₂(0,...0), Sß₈(0,... 0)

Einige auf die Theorie der analyt. Funct. mehrerer Yeränderl. sich bez. Sätze. 135 nicht beide gleich Null sind, so soll sein. Dagegen soll, wenn sowohl

$₃(0,... 0) = 0 als «ß₂(0,... 0) = 0

ist, f(xv ... xn) an der Stelle (a?J,... x'n) keinen bestimmten Werth haben.

Dies lässt sich auch so ausdrücken. Ist (x',... x'n) irgend eine bestimmte Stelle von ©, so kann man stets zwei Potenzreihen

ohne einen an der Stelle (0^=#', ... xn=x'n) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler so bestimmen, dass an allen einer bestimmten Umgebung der Stelle (x'v    angehörigen Stellen die Gleichung

%    xn- x'n) (*i- av • • • a?w— »*) = % (x — x'v

besteht. Dann ist

W°,-o)

%(0,-°)

zu setzen, mit der Massgabe, dass, wenn so dargestellt f(x[,... x’n) in

der Form — erscheint, der Function f an der Stelle (x'v... x'n) kein bestimmter Werth beizulegen ist.

Es ist nun zu zeigen, dass die so deflnirteFunction f(xv ... xn) innerhalb des Bereiches © eine eindeutige analytische Function ist, für welche diejenigen Stellen, an denen sie der gegebenen Definition gemäss den Werthoo hat oder unbestimmt ist, ausserwesentliche singuläre Stellen in dem oben festgestellten Sinne sind, während sie an allen übrigen Stellen sich regulär verhält.

Es sei (x'v... aQ irgend eine bestimmte Stelle von ©, und

$o(*i    ^v 'X'n'    ®n)    '^2^1    'X'v    'X'n    'X'n)    • ^4(^1    ^v 'X'n    'X'n)

$iO»l    ^v    * ‘ ’ 'X'n    XLf)    ^>3 (X\    Xyi ...    xn    x(x^    Xj,    ... Xn    Xy)    ,

wo $ß₂,$ß₃,^₄ dieselbe Bedeutung wie im Vorstehenden haben, und $ß4 sich auf eine Constante reduciren kann. Nach dem oben Bewiesenen kann man nun eine Umgebung der Stelle (x[, ... x'n) so bestimmen, dass, wenn (x”,... x”) eine bestimmte Stelle dieser Umgebung ist, und man aus $ß₂, $ß₈,$ß₄ die drei Potenzreihen s|>₂,    , s^₄ von xx- x",... xn~x”

ableitet, für welche bei hinlänglich kleinen Werthen dieser Differenzen, die Gleichungen

^₂(^i    x^...xn    x^    ^2(^1    xi:...xn    X )

...xn-x$ — ^₃(^i-<, ...xn-x'') '^4(^1    ', 1 ’    ^‘n    'X'n)    <'P₄(U    •l' 1 > •••    *Uy)

bestehen, die beiden Reihen s}>₂, sj>:! keinen an der Stelle (x^=x",... xn=x^) verschwindenden gemeinschaftlichen T heil er besitzen. Wenn dann f(x",...x”) einen bestimmten endlichen Werth hat, so ist

- x[,... af )

•••xn~x'n)

d. h. es gilt die Gleichung

xn-x'n)

f(xv ...xj =

innerhalb einer gewissen Umgebung der Stelle (x'v...x'n) für alle Stellen (xv ... xn), an denen f(xv ... xn) einen bestimmten endlichen Werth hat. Wenn daher $₂(0, ...0) nicht = 0 ist, so verhält sich f(x₁,...xn) an der Stelle (x'v ... x'n) regulär.

so kann man die in

Ist ^₂(0,... 0) = 0, nicht aber $ß₃(0, ...0)

Rede stehende Umgebung von (x'v ... x'n) so klein annehmen, dass an allen Stellen derselben der absolute Betrag von f(xv ... xn) grösser ist als jede beliebig angenommene endliche Grösse, so dass f(x[,... x^) ■= 00 zu setzen ist, wie der Ausdruck von f(xv ... xn) angiebt.

Sind endlich $₂(0, ...0), $ß₃(0, ...0) beide gleich Null, so giebt es, wie oben gezeigt worden ist, in jeder noch so kleinen Umgebung von (x[,... x'n) Stellen, an denen die Function f(xv...xn) einen beliebig vor-gescliriebenen Werth hat; sie hat also an der Stelle (x'v ... x'n) selbst keinen bestimmten Werth.

Damit ist bewiesen, dass die in der angegebenen AVeise definirte Function f(xv...xn) innerhalb des Bezirkes © sich überall wie eine rationale Function verhält.

4.

Zur Theorie der ganzen eindeutigen Functionen von beliebig vielen Veränderlichen.

Dem Vorstehenden zufolge stellt eine Potenzreihe ^3 (xv ... xn), die für jedes System endlicher AVertlie der Veränderlichen xv... xn conver-girt, eine eindeutige Function f(xv...xn) dar, die sich an jeder im Endlichen des Grössengebiets (xv...xn) liegenden Stelle regulär verhält.

Umgekehrt weiss man, dass jede eindeutige Function f(xv ... xn), die sich an allen im Endlichen liegenden Stellen des Gebietes (xv ... xn) regulär verhält, durch eine für jedes System endlicher Werthe von xv ... xn convergirende Reihe i)3(xv ... xn) ausgedrückt werden kann.

Ich nenne eine solche Function f(xv...xn) eine ganze Function. Hat die Reihe, durchweiche sie dargestellt wird, unendlich viele Glieder, deren Coëfficienten nicht gleich Null sind, so ist die Function eine trans-cendente.

Sind ferner zwei Potenzreihen *$₀(xv ... xn),    ... xn) gegeben,

welche beide für jedes System endlicher Werthe von xv... xn conver-giren, so wird durch den Quotienten

%{xv...xn)

den in Art. 3 festgesetzten Bestimmungen gemäss eine eindeutige Function f(xv... xn) definirt, die dadurch charakterisirt ist, dass sie sich an jeder im Endlichen liegenden Stelle des Grössengebiets {xv... xn) wie eine rationale Function verhält.

Ob aber umgekehrt jede eindeutige Function f(xv ... xn), welche sich im Endlichen überall wie eine rationale Function verhält — also, wenn (av...an) irgend ein System endlicher Werthe ist, in einer gewissen Umgebung der Stelle (av ...an) als Quotient zweier Potenzreihen von x— av ... xn— an ausgedrückt werden kann —, auch als Quotient zweier für jedes System endlicher Werthe von xv ... xn convergirenden Potenzreihen sich darstellen lasse, das ist eine für Functionen von mehreren Veränderlichen bis jetzt unerledigte Frage, welche sehr erhebliche Schwierigkeiten darzubieten scheint.

Mit dieser Frage ist aber noch eine andere verknüpft.

Für jede rationale Function von xv...xn gilt, dass sie als Quotient zweier ganzen Functionen dieser Veränderlichen dargestellt werden kann und zwar so, dass der Dividend und der Divisor keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzen. Dann verschwinden Dividend und Divisor gleichzeitig nur an solchen Stellen, an denen die Function keinen bestimmten Werth hat. Es entsteht also die Frage, ob in dem Falle, wo eine Function als Quotient zweier ganzen Functionen von xv ...xn, von denen wenigstens eine transcendent ist, dargestellt werden kann, dies auch in der Art geschehen könne, dass der Quotient nur bei solchen Werthsystemen der Veränderlichen,

für welche die Function unbestimmt ist, in der Form || erscheint — mit

andern Worten, dass aus den Werthen, welche Dividend und Divisor an einer bestimmten Stelle haben, sich unmittelbar entnehmen lässt, ob an dieser Stelle die Function einen bestimmten Werth hat oder nicht, und wie sie sich in der Umgebung dieser Stelle verhält. Auch diese Frage ist bis jetzt nur für Functionen von einer Veränderlichen — und zwar für diese im bejahenden Sinne — entschieden.

In manchen Fällen, wo eine eindeutige Function mehrerer Veränderlichen durch analytische Bestimmungen definirt ist, ist es aber möglich, die angeregten Fragen mittelst eines Theoremes, das ich im Folgenden ausführlich entwickeln will, zu erledigen.

Es bedeute jetzt f(xv ... xn) eine (transcendente oder rationale) ganze Function der Veränderlichen xv...xn. Man setze für diese Grössen ganze lineare Functionen einer Veränderlichen x so geht f(xv... xn) in eine ganze Function von x über, welche im Allgemeinen — d. h. wenn die Grössen cv ... cn einer sogleich anzugebenden Beschränkung unterworfen werden — nicht für jeden Werth von x verschwindet. Denn es erhält f(xv ... xn), nach Potenzen von xx— av... xn—an entwickelt, die Form

oo

... xn-any

wo (x₁—av ... xn— an} eine homogene ganze Function von xx—av ... xn—an bezeichnet; es brauchen also die Grössen cv...cn nur die Bedingung zu erfüllen, dass die Ausdrücke

(( i,... cw)

nicht alle gleich Null sind. Dies vorausgesetzt, sei in der Entwickelung von f(ax-\-cxx, ... an-\-cnx) nach Potenzen von x das erste Glied, dessen Coefficient nicht verschwindet, von der Ordnung |x, so hat man

fOi-t-CjX, ... an+cwx) = C^x'Vq

wo C’ nicht gleich Null ist. Daraus ergiebt sich für hinlänglich kleine Werthe von x

|XX ¹ + «ß(x) .

d\ogf(ax+cxx, ... an+cnx)

dx

Setzt man also

dlogf(xv

n

xv)    ‘ • • xn) (lx

cc *

xn), ... fn(xv... xn) eindeutige Functionen sind, welche sich

. xn) wie rationale

wo fx{xv

an jeder im Endlichen liegenden Stelle des Gebietes (x Functionen verhalten und den Gleichungen

0Xß

0Xa

genügen, so liât man

J^a = (fiT

^(x)) dx ,

wenn

Æj—ftj+CjT, • . . Xn—

gesetzt wird, und es ist dann g stets entweder gleich Null oder eine positive ganze Zahl.

Dieser Satz lässt sich nun in folgender Weise um kehr en:

Es seien n Functionen

gegeben, welche den folgenden Bedingungen genügen:

1)    Sie sollen eindeutige Functionen sein, für die wesentliche singuläre

Stellen im Endlichen des Grössengebiets (xx,... xn) nicht existiren.

2)    Der Differentialausdruck

n

xn) dxa

2 fa(xv •••

soll die durch die Gleichungen

dfa(xv...xn)    0/ß(a v...xn)

dxß

/a = 1 .

Vß =

1 ..

.. n\ . . ns

ausgedrückten Integrabilitätsbedingungen erfüllen.

3) Es soll, wenn man für xv... xn irgend welche ganze lineare Functionen einer Veränderlichen x substituirt:

für hinlänglich kleine Werthe von x

n

2 /aO i

a =1

.x^)dxa die Form (jxx ¹ + ^P(x)') dx

annehmen, und dann |x entweder gleich Null oder eine positive ganze Zahl sein, vorausgesetzt, dass von den beiden Potenzreihen von xx— av ... xn— an, als deren Quotient

xn)

in der Umgebung der Stelle {av... an) dargestellt werden kann, der Divisor durch die angegebenen Substitutionen nicht indentisch gleich Null werde.

Alsdann existirt eine ganze Function f(xv ... xn), welche der Differentialgleichung

d\ogf(xv ...

V

xn)= 2 f^Xv •••

xn) dxa

genügt und völlig bestimmt ist, wenn der Werth irgend eines ihrer Coëfficienten, der in Folge der vorstehenden Gleichung nicht notliwendig-gleich Null ist, fixirt wird, was in beliebiger Weise geschehen kann.

Um diesen Satz zu beweisen, nehme ich zuerst an, es sei innerhalb einer bestimmten Umgebung der Stelle (0, ...0) jede Function fa in der Form

darstellbar. Dann ist infolge der Bedingung (2)

d(xv...xn)^

d(xv ... xn)^

dXß

Setzt man

(xv ... xn)

VH- 1

a=l

V 4- 1

1, • * *    X'x,>

so ist

d(p i, • • • xn)

(xv ...xn)\lxaj +

V + la

= lß = i

dXß

xadxß .

Es ist aber

£Ca dXß

xa d Xß

n d(xv...Xn)

dXß

n d(xv ...X^

OXq,

”    v

= 2j V(xV ••• ^w)ß dx$

ß = 1

n

= 2 v(^i’

a= 1

...xn)\lx

OL ?

und daher

d(xv ...xn)

V

. £Cw)a dx

OC 1

W oo    oo

2    2 (*!> • • • %)a    =d 2 (*i,

a = l v=o

v=0

Entwickelt man also, unter C eine willkürlich anzunehmende Constante verstehend, den Ausdruck

V

Ce

(xv...xn)

v+l

nach Potenzen von xv... xn, so genügt die so sich ergehende Potenzreihe, für f(xv ...xn) gesetzt, der in Pede stehenden Differentialgleichung und ist sicher convergent in dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirk der Entwickelungen von fx(xv ... xn), ... fn(xv - ..xn).

Zweitens nehme ich an, man habe für alle einer bestimmten Umgebung der Stelle (0,... 0) angehörigen Werthsysteme (xv ... xn)

^Pa (^i? • • • ^n)

^Pa

wobei ich bemerke, dass es nicht eine nothwendige Bedingung ist, dass %{J(xv ... xr), (xv ... xn) keinen an der Stelle (^=0,... xn=0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Man substituire nun für xv ... xn homogene lineare Functionen von n andern Veränderlichen tv ... tn

n

'J a ''y ^ //aß^ß

(a = 1 ^    n)

wodurch sich das Differential

n

/a(U’ ' " ‘

a= l

Xn)dx a

in ein anderes von der Form

ÖL — 1

verwandelt, für welches die Integrabilitätsbedingungen ebenfalls erfüllt sind. Die Constanten <jrx ß hat man so anzunehmen, dass die Determinante

9n 9\2 • • ■ • 9m 9 > i 9-2-2 • • • • 9>n

9n\ 9n->

9nn

Einige auf die Theorie der analyt. Funct. mehrerer Verändert sich bez. Sätze. 143 von Null verschieden ist, und hei keiner der Functionen wenn man sie nach Potenzen von tl entwickelt, sämmtliche Coefficienten verschwinden.

Dann lässt sich

<Pq(*

i’ •

.. tH) in der Form

Sß₀(*l> "An)

darstellen, und es ist iß₀(^, 0,... 0) eine Potenzreihe von tv deren Coefficienten nicht sämmtlicli gleich Null sind. Ist das Anfangsglied dieser Reihe von der Ordnung l, so nehme man eine positive Grösse 8X so an, dass die Stelle (^=8^ t₂= 0, ... tn= 0) innerhalb des gemeinschaftlichenConvergenzbezirks der Reihen

■■tn)

liegt, und die Function

h sßo(^0,...0)

für jeden Werth von tv dessen absoluter Betrag nicht grösser als 8: ist, einen von Null verschiedenen Werth hat. Wird darauf eine zweite positive Grösse 8', die kleiner als ?>₁ ist, beliebig angenommen, so lassen sich n — 1 andere 8₂,... 8W so bestimmen, dass die Stelle (£x=81? t₂=8₂,... tn=8W) innerhalb des gemeinschaftlichen Convergenzbezirkes der Reihen $ß₀, $ßj,... liegt, und für jedes den Bedingungen

°i

VII

07

VII

O/

genügende Werthsystem (tvt₂,... tn)

... 0) | >■ | ?₀<Vi;C,    — °)

ist. Dann giebt es, wie in Art. 1 gezeigt worden ist, für jedes den Be-dingungen

B)

entsprechende Wertlisystem (t₂,... tn) unter denjenigen Wertlien von tv für welche |£₁|<8l ist, nicht mehr als l, welche der Gleichung

genügen, und diese sind ihrem absoluten Betrage nach sämmtlich kleiner als 5. Nun sei    ) irgend ein System bestimmter, den Bedingungen

B) genügender Werthe von t.„ ... tn, und es habe die Gleichung r von einander verschiedene Wurzeln

Ar)

•• h ’

t' t"

welche ihrem absoluten Betrage nach kleiner als §' sind. Setzt man dann

so werden xv ...xn ganze lineare Funtionen von x, welche der oben (unter 3) angegebenen Bedingung genügen, indem

^ I /« 0^11 • • • J'n) d'A'CL    Or» (±    ±\

a = i "ko vi? ln>

dta

<x = l

ist, und    (t[+x, t’₂,... t'n) nicht für jeden Werth von x verschwindet.

Man erhält also für hinlänglich kleine Werthe von x

wo m' eine ganze Zahl und >0 ist; und ebenso

t₁(C+x’ K> ••• 0 = ^+^"(x)> • • • ?i(C+x> C ••• ù =

III

(r)

— + ^(n(x)

X

wo m ,... m folgt, dass die Differenz

(,) gleichfalls ganze, nicht negative Zahlen sind. Daraus

m'

-4-

m"

t-t

-7T+----b

(r)

II!

für keinen Werth von tl, dessen absoluter Betrag kleiner als ist, unendlich gross wird und demgemäss in der Form dargestellt werden kann. Setzt man also so ergiebt sich für jeden der Bedingung |^| < 5, genügenden Werth von t,

l dy(tx)

cp(^i) dtl

Die Function y(t) lässt sich aber ermitteln, ohne dass es nöthig wäre,

f ff    (T)    f ff    {v)

die Grössen tvt₁,...tl und die zugehörigen Zahlen m ,m ,... m zu bestimmen.

Man kann, wenn man die Grössen tvt₂,...tn den Bedingungen

C)

N=⁵

WS⁵

. . \t I < 5

• • yn] — n

unterwirft, ^₀(^,^₂,. die Form

.. tn) in der oben (in Art. 1) angegebenen Weise auf

G₀(tvt₂,...tn) %(tv.

bringen, in der Art, dass ^₀(tv ...tn) für kein den vorstehenden Bedingungen entsprechendes Werthsystem (tvt₂,... tn) verschwindet. Die Function G₀(tvt₂,... tn) kann dann nicht unendlich klein werden, wenn man die Grössen tvt₂,... tn den Bedingungen (A) unterwirft. Für alle diesen Bedingungen genügenden Werthsysteme {tvt.,,...tn) lässt sich deshalb

O₀(tvt₂,.

in eine gleiclnnässig convergirende Reihe von der Form

— I—V

co

Uv,

V = 0

10

entwickeln, in der die Coëfficienten Tv gewöhnliche Potenzreihen von sind. Diese Reihe convergirt dann auch, als Potenzreihe von tvt₂,...tn betrachtet, bei jeder Anordnung ihrer Glieder. Dasselbe gilt für die gewöhnliche Potenzreihe von tvt₂,...tn, in welche der Quotient

t..t

verwandelt werden kann; man erhält daher für die jetzt betrachteten W erthsysteme (tv ... tn) die Function c•p₁(tv...tn) dargestellt durch eine bei jeder Anordnung ihrer Glieder convergirende Potenzreihe der Grössen ..tn, welche negative Potenzen von tx in unendlicher Anzahl, aber keine negative Potenzen von t₂,.:.tn enthält und somit auf die Form:

oo

(Q, ... tS) t

-(1-1

OO

gebracht werden kann.*)

Es lässt sich aber auch

ft

<?(< j) dti

wenn |Q o ist, in eine Reihe von der Form

in

(r)

t. — t

t. — t

TT

ir)

oo

—(1—1

(1 = 0

(i+i i

Man

entwickeln, und es ist dann namentlich T[ = m'-\- m”-----b m(r).

hat also

fAiC-O

¹    __ y¹ (su

9&) ^

(1=0

(-(i-D

* ■'■ t),) Tfl+lfi

-J1-1

oo

IC

v=o

*) Diese Reihe erhält man auch dadurch, dass man (unter der Annahme 8X > |Q > 8' die Function ^i(tvt^... tn) als Potenzreihe von t₂,...tu darstellt und darauf die Coëfficienten derselben, welche sämmtlich die Form

3KP .

?VoUi,0...0)

haben, nach steigenden Potenzen von tl entwickelt.

Aus dieser Reihe müssen nun dem vorhin Bemerkten zufolge alle Glieder mit einer negativen Potenz von t verschwinden; man hat also

iß

■-

0 = 0, . . . oo)

(—1)

Es ist daher ^3    (t,₂,... tn) für jedes der betrachteten Werthsysteme

(—1)

.(t₀,...tn) eine ganze Zahl. Daraus folgt, dass sich ^    (t₂,...tn) auf

ein von t₂,...tn unabhängiges Glied reducirt. Denn wäre dies nicht der

(—1)

Fall, so würde (t₂₁... tn) eine continuirliche Function von t₂... tn sein, die auch andere als ganzzahlige Werthe haben könnte. Es ist also die Summe (mf+m"+ • • • +m(r]) von dem gewählten Werthsystem (C, ... 0 unabhängig und kann gefunden werden, wenn man gleichzeitig t₂ = 0,... t' = 0 setzt.

Da nun, wenn Ç... tn sämmtlicli gleich Null gesetzt werden,

oo

0 ••• 0) = 2 ^ a=o

(—ix—1)

-{X-l

+2    o)<

dt.

- I    II    <yv _1

= (m -Hm 4-----j-m ) t₁

ist, und aus der Differenz der Ausdrücke auf der Rechten dieser Gleichungen alle Glieder mit negativen Potenzen von ty wegfallen müssen, so sieht man, dass die Entwickelung von

für jeden Werth von t

dessen absoluter Betrag < ist, die Gestalt

mtl

hat, wo m eine ganze Zahl bedeutet, die >0 ist, und dass man

wf+ m" + • • • + m(r)

hat. Dabei ist noch zu bemerken, dass m immer > 0 ist, wenn nicht etwa jede Function ^ \xv ... xn) durch sj3a \xv ... xn) theilbar ist, welcher Fall schon behandelt worden und hier auszuschliessen ist.

10*

Nachdem so der Grad der Function <p(^) ermittelt ist, setze man

m—l

+----h Fl

so hat man, zunächst für die der Bedingung genügenden Wertlie von Z

CO

m—l

mt

+(m— l)ic ^

» «1—2

H-----hF

««—

(1 = 0

/ m _r vn—i

.=0i +*’><>

(*2> • • • *»)*!

( —1 °°

-+^)l «*, +2¥

u=l

-(1-11

Daraus ergehen sich die Gleichungen

$⁽ %...t'n) = 0

i?;. VX-0+

A, H

(—3) r    t

^ V₂,...g = o

3Fl +F!ä .    +    = °

mFL -4- F,

<«

«I—!

(_9")    .    .

¥ e₂₎...g + r,

«t—2

ÿ X-0 + -+$

(—m—l)

Durch diese Gleichungen lassen sich die Grössen i^, ... F'jn bestimmen. Sübstituirt man in den Ausdrücken derselben für G ... Z^ die unbestimmten Grössen t₂,...tn, bezeichnet die Potenzreihe von G ... tn, in welche dadurch übergeht, mit

-g g ! g

und setzt

)«

.. g —Zj +^(z₂,.

«i—i

so ist durch das Vorstehende bewiesen, dass für jedes den angegebenen Bedingungen entsprechende Werthsystem (Z1?Z₂,... tn)

elogcp(tvt,,... g

ez

ist. Da aber die Reihe auf der Rechten dieser Gleichung keine negativen Potenzen von t₁ enthält, so convergirt sie für jedes den Bedingungen (C) genügende Werthsystein (tvt₂,... tn), und zwar, wie aus ihrer Entstehungsweise hervorgeht, unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder. Dasselbe gilt von den Reihen

.. tn) ,

es besteht somit die vorstehende Gleichung für jedes den zuletzt angegebenen Bedingungen entsprechende Werthsystem (tlf... tn).

Nun hat man, wenn a > 1 ist,

8Ta

8G⁰G

0*,

Ta (G f • • • G)

8    V-1 (VI    V

m 2^p (g>-g)g

ÜOa. v=0

dfïV)(t₂,...tn) \

V—t—1

Es lassen sicli aber, wenn man t},t₂,... tn wieder den Bedingungen (A) unterwirft,

Cpa(G, G) und

8 log cp (G, ... tn)

in Reihen von derselben Form, wie die im Vorhergehenden für cp^G, ...tn) angegebene, entwickeln. Die vorstehende Gleichung lehrt nun, dass in der Differenz dieser beiden Reihen Glieder mit einer negativen Potenz von G nicht Vorkommen, und dass man

(0)    (0)    i

■-'= ^Pa (G••• G) ~Ta (G •" G) +2

Ta(G-G)

^ C¹ 8^(v)(g-g)

t v4T

v=ov 'x

hat, wo ^G(G---G) die Summe der von G unabhängigen Glieder der eben erwähnten Entwickelung von Ta(G ••• G) bezeichnet, und cp^"(G,... G)

0logcp(G,...G)

(0)

hat. Aus der Form

dieselbe Bedeutung für die Function

der Ausdrücke auf beiden Seiten dieser Gleichung ergiebt'sich dann wieder, dass die Gleichung für jedes den Bedingungen (C) entsprechende Werth-system (G>G ••• G)

•    dt &

auf die Form

d\ogy(tv

n

••• *n) + 2 ^i> ••

•    dt «

bringen lässt. Der Ausdruck unter dem Summenzeichen genügt dann wieder den Integrabilitätsbedingungen und kann nach dem im zuerst betrachteten Falle Bewiesenen in der Form

dlog^Kfj,... g

dargestellt werden, wobei man ^5(0,... 0) — 1 annehmen kann. Folglich ist, wenn man, unter C eine von Null verschiedene, im Übrigen willkürlich anzunehmende Constante verstehend, setzt,

n

2

oc = l

• g dta = d\og'\>(tv ... g.

Drückt man nunmehr g... tn durch xv... xn aus und setzt so ergiebt sich

n

2 -

a =1

æw) dxa = dlog/g'j,... xn).

Diese Gleichung gilt nun ihrer Herleitung zufolge für alle einer gewissen Umgebung der Stelle (0,...0) angehörigen Werthsysteme (x:    .. xn).

Etwas Bestimmteres über den Convergenzbezirk der Reihe für f(xl,... xv) lässt sich durch die gegebene Déduction nicht ermitteln, weil bei derselben nur vorausgesetzt ist, dass die Functionen fjxx,... xn) innerhalb einer begrenzten Umgebung der Stelle (0,... 0) überall eindeutig definirt seien und sich wie rationale Functionen verhalten. Gleichwohl reicht der in der vorstehenden Gleichung ausgesprochene Satz aus, um für den Fall, wo die Functionen fa(x₁,... xn) sich an allen im Endlichen des Grössengebietes (xv ... xn) liegenden Stellen wie rationale Functionen verhalten, das oben ausgesprochene Theorem zu beweisen.

Es sei (al,... an) ein System bestimmter, endlicher Werthe von xv...xn, und man nehme an, es convergire die auf die beschriebene Weise hergeleitete Reihe f(x₁,...xn) (in der wir uns jetzt für die Constante C einen bestimmten Werth gesetzt denken) für jedes den Bedingungen

00-^    j

genügende Werthsystem (x₁,... xn). — Ferner sei (a[,... a'n) irgend ein bestimmtes Werthsystem, das den Bedingungen

gemäss, im Übrigen aber beliebig angenommen ist. Dann kann man innerhalb einer bestimmten Umgebung der Stelle (a[, ... a'n) .

fa(xv ••• xn) in der Form

Üa (Xj , ... xn cin)

darstellen und nach dem Vorhergehenden eine Reihe

, ...Xn-a'n)

herleiten, welche der Gleichung

dxa

. ,y&{„ {x,—a',,... x^—a') dlogüÜr/'j-a[,...xn- an) =2 (rno), "    ,-

genügt. Diese Reihe möge convergiren an allen Stellen, für die

\xn .8

\xx—a\ |c8, . . .

ist, wo 8 eine positive Grösse bedeutet. Unter diesen Stellen giebt es nun auch solche — und zwar bilden dieselben ein 2n-fach ausgedehntes Continuum, — welche zugleich den Bedingungen

n

d\og%(x-a'v ...

. .    (l ,Ta

^n    2 t a ("4? •

a = l n

d\ogf{xv ... xn) = 2 4 (4,. •.

df(xv ...

d^{xx— a'v ... xn— a'n) %{x-a'v ...xn-an)

woraus sich, da die Functionen f(xv...xn), (xx — a'v ... xn— a'n) innerhalb des in Bede stehenden Bereichs an allen Stellen sich regulär verhalten,

Da

ergiebt, wo C' eine von xv...xn unabhängige Grösse bedeutet, dies für jedes den angegebenen Bedingungen entsprechende Werthsystem (a[.... a'n) gilt, so folgt daraus (nach einem der Sätze, welche in der Functionentheorie in Betreff der Convergenzbedingungen für Potenzreihen entwickelt werden), dass die Beilie auch noch convergirt für jedes den Bedingungen

|xx|OjI-jr5, . . . |#W|<|«J + S

genügende Werthsystem (xv ... xn) Daraus ergiebt sich sofort, dass die Beilie f(x v...xn) für jedes System endlicher Werthe von xv ... xn convergirt und die Gleichung

. xn) dxa

(Bog f(xv ...xn)

befriedigt.

Man sieht zugleich, wie sich die in fixx,... x^f) vorkommende Constante C so bestimmen lässt, dass einer der Coefficient en der Beilie, welcher nicht nothwendig bei jedem Werth von C gleich Null ist, einen vorgeschriebenen Werth erhält.

Es bedarf kaum der Erinnerung, dass in einem gegebenen Falle die Entwickelung der Beilie f(x₁,... xn) nicht noth wendig auf dem beschriebenen Wege bewerkstelligt zu werden braucht. Vielmehr kann man, nachdem einmal durch das Vorstehende die Form und der Convergenz-bezirk der Beilie festgestellt worden sind, jedes zur Bestimmung ihrer Coëfficienten führende Verfahren ohne Verstoss gegen die Strenge der Herleitung anwenden.

5.

An das im Vorstehenden entwickelte Theorem schliesst sich nun ein anderes an, durch welches in manchen Fällen für eine eindeutige Function f(xv ... æ%), welche an allen im Endlichen des Grössengebietes (x₁,... xn) liegenden Stellen sich wie eine rationale Function verhält, der Nachweis geführt werden kann, dass sie als Quotient zweier — transcendenten oder rationalen — ganzen Functionen von xv ... xn darstellbar ist, und zwar in der Art, dass nur an denjenigen Stellen, wo f(xv...xn) keinen bestimmten Werth hat, der Dividend sowohl als der Divisor verschwindet.

Angenommen, es sei eine bestimmte Function f(xv... xn) in der angegebenen Weise als Quotient zweier ganzen Functionen g₁(xl,... xn), g₀(xv...xn) ausgedrückt, so hat man, wenn

dlogg₀(xv ... xn)

(0)

dxa

8logg₁ (xv ...xn)

f-j C'Tj, • • • X^f)

ce

dxa

/ a (s j, ... x^f)

gesetzt wird

• xn) dxa

Yl ^    n ^

d log f(xv ... xj = V 4 (*i> • • • xn) dxa — 2 4 (*i> • •

a=i

und es besitzen die Functionen /f°, f<z folgende Eigenschaften:

1)    Sie sind alle eindeutige Functionen von xv... xn, welche sich im

Endlichen überall wie rationale Functionen verhalten.

2)    Die Differentialausdrücke

. xn) dxa

^ (1) ^ \ (0)

f öl (*^i? • • • Xn) dxa ,    / a Oh? • •

a=i    a=i

genügen beide den Integrabilitätsbedingungen.

3) Jede im Endlichen gelegene singuläre Stelle einer der Functionen

fl\x₁,... xn) ist zugleich eine singuläre Stelle der Function f(x₁ ... xn); jede im Endlichen gelegene singuläre Stelle einer der

Functionen fl\xv...xn) ist entweder eine Null-Stelle von f{xx,... xn) oder eine derjenigen singulären Stellen dieser Function, an denen sie keinen bestimmten Werth hat.

Dies Theorem — dessen Beweis auf der Hand liegt — lässt sich folgendermassen umkeliren.

Angenommen, man wisse von einer irgendwie definirten Function f(xv ... xn), dass sie eine eindeutige Function der hier betrachteten Art sei, und es gelinge, das Differential

dlogfix^ ...xn)

in der Form

• orn)dx a

(1)    (O)

/cc (*H > • • •    a    / cl ip-'i ? • •

dergestalt auszudrücken, dass die Functionen f⁽J, fa ' die im Vorstehenden (unter 1, 2, 3) angegebenen Eigenschaften besitzen ; so sind diese Functionen auch so beschaffen, dass sich auf die in Art. 4 gelehrte Weise zwei ganze Functionen g₀(xv ... xr/), g₁(x₁,... xn) bestimmen lassen, welche die Gleichungen

A)

d\ogg₀(xv

d\oggx(xv...

a = l n ₍₁₎

xn) = 2 4 (XV •• a = i

X

,An

■ xn) dxa

befriedigen. Dann ist

B)

f(xv ... xn) = C

gx{xv...xj fh • • • Xfi)

wo C eine von xv ... xn unabhängige Grösse bezeichnet, und es verschwinden g₀, g₁ gleichzeitig nur an solchen Stellen (xv...xn), wo f(xv...xn) keinen bestimmten Werth hat.

Es sei (ax,... an) irgend ein System endlicher Werthe der Grössen xv ... xn so giebt es — nach Art. 2 — eine gewisse Umgebung (($) der

.. f⁽¹⁾

' n

Stelle ... an), innerhalb welcher jede der Functionen f, /, ',... f^\ f[ \ . sich als Quotient zweier Potenzreihen von xx— a{, ... xn—an in der Art darstellen lässt, dass der Dividend und der Divisor nur an solchen Stellen

(x₁,...xn), wo die betreffende Function keinen bestimmten Werth hat,

.(0) „(i)

a >

gleichzeitig verschwinden. Bezeichnet man für /', /

.(0)

/a die Dividenden

Einige auf die Theorie der analyt. Eunct. mehrerer Verändert sicli bez. Sätze. 155 bez. mit PyP^ g’a und die Divisoren bez. mit g, p^, ga, so hat man

2(

a = 1

1 dp P dxa

1 dg

g dxa

woraus sich, da die Yerändeiiiclien xv ... xn unabhängig von einander sind,

1 dp P dxa

■V*

i dg    g^

g dxa ga

(a = 1, 2,... w)

ergiebt.

Der Voraussetzung (3) nach kann ga innerhalb des Bereiches (CS) nur an solchen Stellen (xx,... xn) verschwinden, die zugleich singuläre Stellen der

Function — sind, für welche also g = 0 ist. Ebenso kann prx nur an

solchen Stellen verschwinden, an denen p = 0 ist. Daraus kann man scliliessen, dass die Function

1 dg__ ga g d xa ga

sich innerhalb (©) regulär verhält. Denn wäre dies nicht der Fall, so hätte sie (nach Art. 3) innerhalb (CS) unendlich viele singuläre Stellen, und unter diesen gäbe es unzählige, an denen g = 0 wäre, p aber, und somit auch p„, einen von Null verschiedenen Werth besässe, was der Gleichung

1 dg g dx„

^dp__Pa

P d x„    p„

widersprechen würde. Man kann also für die dem Bereiche (CS) angehörigen Werthsysteme (x.,... xn)

1 dg g dxa

-c

^ocO*' ^'v xn .

setzen und hat dann

fa (*®ij ••• X/n)^xCL

a= l

xn) dx%

n

^ dlogg - 2 $aOi- aV "-xn a = l

n

- ä logi? - 2 ^ccC^'i- av • • • xn~ an)clxa • a = 1

M'n) dx^

Der Differentialausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichungen genügt nun den Integrabilitätsbedingungen ; man kann ihn daher in der Form

darstellen und erhält dann

2 4 (xv ■■•xn)dxuc = a = i

2/i'W-

a = l

»Jda;a = dloglp.e

dlogjgde    rtl’ '",T”    | = dlog$( ⁾{xl— av ... xx—an)

= dlog^^aîj— av ... xn— an).

^ix~av

xn~a t

Es sind also die Functionen f⁽J(xv ... xn), \xv ... xn) in der Tliat so beschaffen, dass man (nach Art. 4) zwei ganze Functionen g₀(x₁,... xn), g₁(xv ... xn) bestimmen kann, für welche — bei gehöriger Bestimmung der Constante C — die vorstehenden Gleichungen (A, B) gelten. In der Umgebung jeder bestimmten Stelle (a.,... an) ist dann

!jjxv ...xn) = C\qe di&v •••xn) = C₂pe

xn~an)

...xn-aj

wo Cp C₂ Constanten bezeichnen ; es verschwinden daher gQ, g₁ gleichzeitig an der Stelle (av...an) nur dann, wenn auch p, q an derselben beide verschwinden, f(xv...xn) also für das Werthsystem (x^ av ... xn= an) keinen bestimmten Werth besitzt; w. z. b. w.

Anmerkungen.

1. Es ist vorausgesetzt worden, man wisse von der Function f(pcv ... xn), dass sie eine eindeutige Function sei und im Endlichen sich überall wie eine rationale Function verhalte. Ist dies nicht bekannt, vielmehr die Aufgabe gestellt, die Function so zu bestimmen, dass sie der Differentialgleichung

d\ogf(xv...xn) = '£if£⁾(xv

a= 1

») dxa - 2/a"(.Vp •

a = i

genüge, so hat man zur Lösung dieser Aufgabe kein anderes Mittel als zu untersuchen, ob jeder der beiden Differentialausdrücke auf der Rechten

Einige auf die Theorie der analyt. Funct. mehrerer Verändert, sich hez. Sätze. 157 der Gleichung die in Art. 4 von dem dort betrachteten Ausdruck

n

xn) dxa

2 /■«(»!» ••• a=i

vorausgesetzte Beschaffenheit habe, und im Falle, dass sich dies bestätigt und somit feststeht, dass f(xv...xn) in der Form

9\    • • • Kn)

' gQ(xv * ’ '

dargestellt werden kann, sich zu vergewissern, ob die Functionen f^\ auch der oben (unter 3) angegebenen Bedingung entsprechen.

2. Das im Vorstehenden entwickelte Theorem kann ohne Schwierigkeit folgendermassen verallgemeinert werden:

Es sei von einer irgendwie definirten Function f(xv...xn) bekannt, dass sie sich im Endlichen überall wie eine rationale Function verhalte,

und es lasse sich dm\ogf(xv ... xn) in die Form

d* logf(xv ...xn) = ^f

■fl)

(xv ...xn) dx„ ... dx

(xv ...xn)dx^...dxXm

dergestalt ausdrücken, dass jeder der beiden Differentialausdrücke auf der Rechten der Gleichung den Integrabilitätsbedingungen genüge, und die

Functionen

Beschaffenheit besitzen, so ist f(xv... xn) in der Form

/•⁽¹⁾

am’ /ai>-

• • am

die im Vorstehenden unter (1,3) angegebene

fh ⁽XV ...Xn) 9o • ’ • ’X'v)

darstellbar, wo g₀, g₁ ganze Functionen von xv ... xn sind, welche nur an solchen Stellen (xv ... xn), wo f(xv...xn) keinen bestimmten Werth hat, gleichzeitig verschwinden.

Der Beweis dieses Satzes ist dem für den Fall, wo m = 1 ist, durchgeführten ganz analog, und braucht dabei nur folgender, leicht abzuleitende Hülfssatz vorausgesetzt zu werden:

(x.— av ... xn— an) dx

.. dx

den Integrabilitätsbedingungen, so kann er auf die Form

in

d    av ... xn— an)

gebracht werden.

3. Audi das in Art. 4 bewiesene Theorem kann folgendermassen verallgemeinert werden:

Ist ein den Integrabilitätsbedingungen genügender Differentialausdruck

.. dx

t, ... (x.m 0*1 5 • • • xv) & a'ai •

(*> ••• a„₍ = l,2,...»)

(xv ... xn) eindeutige Functionen

gegeben, in welchem die Functionen fa der hier betrachteten Art sind, und lässt sich zeigen, dass derselbe, wenn für x1?... xn lineare Functionen einer Veränderlichen x gesetzt werden — welche nur der in Art. 4 für den Fall, wo m = 1 ist, angegebenen Bedingung unterworfen sind — für hinlänglich kleine Wertlie von x stets die Gestalt

nl

\id logx H- ^(x)i/x

III

erhält, wo jjl entweder gleich 0 oder eine positive ganze Zahl ist, so ist jede der Differentialgleichung

d log/'(x

• • xn)    foCj,

ot

(x1?... xn)dx„ ... dx

genügende Function f(xv ... xn) eine ganze Function von xv... xn\ und ist eine solche Function /₀(xv ... xn) bestimmt, so erhält man den allgemeinen Ausdruck von f(xv ... xn), wenn man

G(xv...xn)

/ (.7 1 , ... X^) /q (j |, . •. J yj) C

setzt und für G(xv ... xn) eine ganze rationale Function (m l)ten Grades von xv ... xn mit willkürlichen Coëfficienten nimmt.

Um diesen Satz beweisen zu können, bat man zunächst zu untersuchen , unter welchen Bedingungen ein gegebener Ausdruck

n

2/a(*i’ ••

. xn)dx

<x j

in welchem die Functionen fa(xv ... xn) eindeutige Functionen der hier betrachteten Art sind, das Differential einer ebenfalls eindeutigen Function ist — eine Frage, welche sich mit Hülfe der Ergebnisse der vorhergehenden Untersuchungen ohne Schwierigkeit erledigen lässt, auf die ich aber hier, wo es sich hauptsächlich um eine Zusammenstellung solcher Sätze handelt, die in meiner Vorlesung über die Abel’schen Functionen als Hiilfssätze gebraucht werden, nicht eingehe.

6.

Über w-fach periodische ganze Functionen von n Veränderlichen.

Eine ganze Function f(uv ...un) der n Veränderlichen uv ... un sei n-fach periodisch; d. h. es soll n Systeme von je n Constanten

2wu, 2cö₁₂, . . . 2wm

2w₂₁, 2(o

22 ’ '

••

2(0

m •>

2(0

n'i'i •

. . 2(0

nn

geben, für welche bei beliebigen AVerthen von uv ... un die n Gleichungen

(ß = 1) 2,... »)

2 wlß, ... i(a+ 2(oaß) = f{ul, ... un)

gelten, wobei vorausgesetzt werde, dass die Determinante

o) , ... (a

un

. . (o

nicht gleich Null sei.

Führt man statt uv ... un andere Veränderlichen vv ... vn ein mittelst der Gleichungen

n

hol ⁼⁼2²⁰⁾“ß?,ß

und bezeichnet mit tp(vv v₂, ... vn) die Function, in welche f(uv...un) durch diese Substitution übergeht , so hat man

9(^+1, v₂, ...vn) = <p(Vj, V₂, ... vn) , <p(*h, ^2⁺¹> ••• vn) = <P(*h> V21 ••• vn) >

aus welchen Gleichungen sich die allgemeinere

vn)

«pfaj+Wj, v₂+w₂,... vn+mn) = y(vv v₂,

ergiebt, wo mv m₂,... mn beliebige ganze Zahlen bedeuten.

Es soll mm bewiesen werden, dass sich y(yvv₂,... vn) durch eine beständig convergirende Seihe von der Form

Sc

V1.V2'

Vn

e*(y₁vl+\v₂+---+vnvn)m

(Vi>V2 >---Vn =

— oo •

• . -h oo)

darstellen lässt, wo die C. sind.

Vj, V₂, ... v

von vvv₂,...vn unabhängige Grössen

Es ist leicht, diesen Satz aus dem auf Functionen mehrerer Veränderlichen ausgedehnten Fourier’schen Theoreme abzuleiten. Man setzt zu dem Ende, unter sv ... sn, tv ... tn reelle Grössen verstehend,

so lässt sich    ... tn+sni), als Function von tv ... tn betrachtet,

in der Form

ix

(vH"-vn ⁼

— OO •

• . +oo)

ausdrücken, wenn man

,i

\ ,-V*

... tn+sni)e

-2(v^+.-.+v f )ui

ergiebt.

Die Schwierigkeiten, mit denen eine strenge Begründung des Fourier-schen Theorems für beliebige Functionen reeller Yeränderlichen verknüpft

ist, fallen für die Function    ... tn+sni) fort, indem deren Ab

leitungen stetige Functionen von tv ... tn sind.

Es lässt sich indess der in Rede stehende Ausdruck von rp(vx,... vn) auch aus den Fundamentalsätzen der Theorie der gewöhnlichen Potenzreihen ableiten. Dies soll hier ausgeführt werden.

Es sei

g(v, xv...xr)

eine ganze Function der r+1 von einander unabhängigen Veränderlichen v,xx, ... xr, welche in Beziehung auf die Veränderliche v die Periode 1 besitzt, so dass, wenn m eine beliebige ganze Zahl ist, die Gleichung

•• xr)

1? •

g(y+m, xv ... xr) = g(v, x

bestellt. Setzt man dann

g₀(v,xv ...xr) =

gx 0, xv...xr)-=

nimmt. Man beweist dann leicht, dass die partiellen Ableitungen der als Function von sv...sn betrachteten Grösse

2(Vi+    +

ci

bei der vorausgesetzten Beschaffenheit der Function cp sämmtlich gleich Null sind, diese Grösse also einen von sv... sn unabhängigen Werth hat, woraus sich der angegebene Ausdruck von cp(v₁, ... vn) und die Bestimmung von C

vi» —V

nämlich

Vi’ • • • Vw

-A/U.

o o

-²(V₁G-+Vnf>»

dtl ... dtn

g(v, xv...xr)    v,xv... xr)

g(v, xv ...xr) -\g{- v, xv...xr)

sin27;7c

so ist nicht nur g₀, sondern auch gl eine ganze Function von v, xv ... xr.

}}X

Denn der Nenner von g₁ verschwindet nur, wenn    und ni eine

ganze Zahl ist; setzt man aber v—y + h, so ist

sin 2

(?»*)"

± siir2/iu

und es hat somit g₁ (v, xv ... xf) auch für v = ^ einen bestimmten endlichen Werth.

in

/ m

V ~2

— h, xv ... xr

ni

, also

+ h, Xv ... £ty

■) - 9 (- -y - Ä, w) = ll $ Ch %v

• • • W) ?

Jetzt sei s eine neue unbeschränkt veränderliche Grösse, und es werde eine Function G₀(s,xv ... xr) folgendermassen definirt: Jedem endlichen Werthe von s ordne man einen die Gleichung

s = COS2VTC

befriedigenden Werth von v zu und nehme dann

GoO,«!, **■ 9o(v’xv ?

so hat G₀(s, xv ... xr) für jedes System endlicher Werthe von v,xv ... xr einen bestimmten und ebenfalls endlichen Werth. Denn es sei v' irgend einer derjenigen Werthe von v, welche für einen gegebenen Werth s' von s der Gleichung s' = cos 2vn genügen, so werden alle übrigen durch die Formel

±v’ 4- m

geliefert, wo m eine ganze Zahl bedeutet; für alle diese Werthe von v hat aber g₀(y,xv ... xr) denselben Werth. Nimmt man ferner s hinlänglich nahe bei s' an und setzt h = 2ti (v — v'), so erhält man aus der Gleichung

s — s' = — sin2v'n .

H- • • -V— COS2-y'/Jt ^

² lC

4!

falls sin2Fu nicht gleich Null ist, einen dieselbe befriedigenden Werth von v — v', und in dem Falle, wo sin 2t>'7i; = 0 ist, einen Werth von (v — v')² in der Form einer Potenzreihe von s — s' ausgedrückt. Da nun

im letzteren Falle v'= und daher

g₀(v, xv...xr) =

lfm, ,,    \ i / m ,

y0V2“ ⁺ (W-t? )» Xv ‘■■Xr) + -29\~-

v'), xv ... xr

'), xv ...xrj + ^-g

ist, also in der Entwickelung von g₀(v, xv ... xr) nach Potenzen von v — v' nur gerade Potenzen dieser Grösse Vorkommen, so lässt sich in beiden

Fällen G₀(s, xv ... xr) als Potenzreilie von s—s',xv...xr darstellen. Damit ist bewiesen, dass G₀(s,xv... xr) eine ganze Function von s,xv...xr ist, welche, wenn s=cos2tm gesetzt wird, in g₀(v, xv ... xr) übergeht.

Ebenso wird gezeigt, dass eine ganze Function Gl(s, xv ... xr) existirt, welche, wenn s = cos 2 r 7t gesetzt wird, in g₁(v,xv ... xr) übergeht. Hiernach hat man

g(v, xv ... xr) = 6r₀(cos2vtt, xv ... xr) H- 6^(0032^71, xv ... xr) sin2r>7t.

Wendet man nun diesen Satz auf die Function y(vvv₂,... vn) an, so kann man dieselbe zunächst auf die Form

6r₀ (cos 2 VjTz, v₂... vn) H- Gx (cos 2^71, v₂,... vn) sin 2^ 7t

bringen. Die Functionen G₀, Gx haben dann in Beziehung auf jedes Argument v₂,... vn die Periode 1, und man erhält also (für £ = 0,1):

6rs(cos2r₁7t, v₂,...vn) = GSi0(cos2v₁n, cos2r₂7t, v₃,...vn)

+ G£i ^0082^71, cos2r₀7t, ?;₃,...rw)sin2r₂7t.

Dann haben die Functionen G£ 0, Ge v in Beziehung auf jedes der Argumente vv ... vn die Periode 1 ; man erhält also (für £ = 0,1; ex = 0, 1)

G^£(cos2v₁n,cos2v₂n,v₃,...vn) =    cos2r₂7t, cos2r₃7t, vv...vn)

£>£l,0

(cos27^71, cos2r₂7t, cos2v₃7t, r>₄,...vw)sin2r₃7t.

So fortfahrend kommt man zu dem Ergebniss, dass sich y(vv v₂,... vn) in der Form

£=1 £,=1

1==!

(cosSj>lic₎cosSBlii....cos2«>„it)siir‘2p,it.sin*,2tJait....!dn'“-,2eM«

£h-i = °

s=o Sj—0

darstellen lässt, wo die Functionen Gs tionen der Grössen 0082^71, cos2v₂tc, ... cos2%7t sind. Setzt man sodann

“ 2 ⁶

⁺ ~2e

, sin 2 va 7c =

(a = l,...») ,

sämmtlich ganze Func-

e2vxni_

e-2vocni

so kann der vorstehende Ausdruck in eine beständig convergirende Potenzreihe der 2 n Grössen

2 v^ni    —2v,n i

e ¹ , e ¹

2 vni n

e~2Vnni

verwandelt werden, so dass man

e 2 ((>•!-IV Vt+ (Xa - fl₂) W₂H-----b (Xn- fiM) 0M) 71 i

(>.,,^1, ...Xn,(rM=0,...o°)

erhält. Da diese Reihe gleichmässig convergirt, so kann man, wenn v₁₅v₂, ...vn irgend n bestimmte ganze Zahlen sind, diejenigen Glieder der Reihe, in denen die Differenzen bezüglich die Werthe

vi» v₂,...vÄ

haben, in ein Glied zusammenziehen, wodurch sich die oben angegebene, ebenfalls gleichmässig convergirende Reihe für cp(vvv₂, ... vn) ergiebt.

Drückt man sodann vv v₂, ... vn durch die ursprünglichen Veränderlichen uvu₂,...un aus, so gelangt man zu einer Entwickelung von f(uvu₂,...un), in welcher jedes einzelne Glied dieselbe Periodicität wie die Function f(uv ... un) selbst besitzt.

Der gleiclimässigen Convergenz der für <p(vvv₂₁... vn) gefundenen Reihe wegen ist, wenn \iv...\xn beliebige ganze Zahlen sind,

’o

f-ß(vv.

3    0

..vn)e

-²Oiwi +-”+IV>n)7li

dv₁...dvn

Z''-.....J-.l e

Z(fv    • •+(Vn-l\)Vn)Tti

dvx... dvn

’o

’o

Ol, ••• Vn=-°°----f°°)

woraus in Übereinstimmung mit dem oben Angegebenen

fb, •••Vn

*0 ⁻o

.i

~²(v₁ vi +----b V ni

dvx... dvn

folgt.

Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der periodischen Functionen von mehreren Veränderlichen.

Aus dem Monatsbericht der König]. Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom November 1876.

#

/

Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der periodischen Functionen von mehreren Veränderlichen. *)

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin a. d. J. 1876, S. 680—693.)

1.

Eine Function f von n Veränderlichen (uvu₂,...un) kann so beschaffen sein, dass für bestimmte Systeme constanter Grössen (PVP₂,... Pn) bei beliebigen Werthen von uvu₂,... un die Gleichung

besteht.

Die Function heisst alsdann periodisch, und jedes einzelne Grössensystem (PvP₂,...Pn) ein Periodensystem derselben.**)

Aus dieser Definition ergeben sich die folgenden Sätze:

1) Ist

(P[, P ... Pn)

ein Periodensystem einer Function von n Veränderlichen, so ist auch

(-P¹ —p'____p')

V 1’    2’    n)

ein solches.

*) Vgl. Hermite, Extrait de lettres à C. Gr. J. Jacohi (Crelle’s Journal Bd. 40, S. 310); imd

Riemann, Auszug aus einem Schreiben an Weierstrass, ebd. Bd. 71, S. 197.

**) Dies gilt, mag die Function f eine analytische Function sein oder nicht. Ist sie mehrdeutig, so besagt die aufgestellte Gleichung, dass die Gesammtheit der zu einem bestimmten Werthsystem («,, w₂,... un) gehörigen Werthe von f identisch ist mit der Gesammtheit der zu (m₁+P₁,    ... un+Pn) gehörigen.

2) Sind

(p;,p;,.

p")

• • ^ n)

irgend zwei Periodensysteme der Function, so ist auch

(p;+p;,p₂f+p₂n,...p;+p;')

ein solches System.

3) Aus diesen beiden Sätzen folgt dann der allgemeinere: Sind irgend r Periodensysteme

(P' P' P') (P" P"

V 15    21 W 1 V 1 >    2 1 '

P") '• n > i

(r)    (r)    fr)

(P P P ) t l ’ 2 i    n >

der Function gegeben, so kann man aus ihnen beliebig viele andere (Pv P₂,... Pn) ableiten, indem man r ganze Zahlen (mv m₂,... mr) willkürlich annimmt und (für a = l, ...n)

(ß)

ß=i

setzt.

4) Werden aus der Gesammtheit der Periodensysteme der betrachteten Function irgend (p+1) Systeme

(P' p' p') V l ?    2 ’ • * * n>

(P+d (P+i) (P+D W i > Jr2 > • • • n )

willkürlich herausgehoben, und ist

(ß)

wo p^ und p'^ reelle Grössen bedeuten ; so lassen sich im Falle, dass p^2n ist, stets (p+1) reelle Grössen (m-j, ... ji-p+1) bestimmen, welche die 2 n Gleichungen

TM t

EL

"CD

IMI

-co

(a = 1    .. n)

•f

befriedigen und nicht sännntlich gleich Null sind. Möglicherweise ist dies auch noch der Fall für p=2w—1, p=2n — 2 u. s. w

jedenfalls aber nicht für p=0. Es muss also einen kleinsten, zwischen 0 und 2n-hl liegenden Werth von p geben, bei dem es noch möglich ist, die vorstehenden Gleichungen für beliebige (p-f-1) Periodensysteme in der angegebenen Weise zu befriedigen. Dieser Werth von p werde fortan mit r bezeichnet. Dann existiren nothwendig Complexe von r Periodensystemen, für welche den in Bede stehenden Gleichungen, wenn man p=r—1 nimmt, nur dadurch, dass man jeder der Grössen (a₁₅ ... \xr den Werth Null giebt, genügt werden kann.

Angenommen nun, es seien

(p¹ p' p') (p" p" vx 1J x 2 ’ • • • n} ’ V1 ’ 2 ’ ’

(r)    (r)    fr).

..    >₂ ,-rn)

irgend r Systeme, welche einen solchen Complex bilden, und (Pj, P₂,... Pn) ein beliebiges Periodensystem, so lassen sich (r+1) reelle Grössen [x, |x1? ... |xr, die nicht sämmtlich den Werth Null haben, so bestimmen, dass die Gleichungen

ß=i

bestehen.

In diesen Gleichungen hat dann [x nothwendig einen von Null verschiedenen Werth; man erhält also, wenn man

i'

(ß = 1,... r)

setzt,

(A)

p    \ri    p

pi = 2j™ßpi » ß=i

ü -6 D(ß) P2 ^JWßP2 ’

ß=i

p    P(ß)

ß=i

Zugleich folgt aus der angenommenen Beschaffenheit der Systeme ... Pp), dass zu einem bestimmten Periodensysteme

/P(ß) P(ß)

V I >^2

(PX,P₂,... Pn) nur ein System reeller Grössen mv m₂,... m welches die vorstehenden Gleichungen gelten, gehört.

für

5) Obgleich die Function unendlich viele Periodensysteme besitzt, so kann sie doch so beschaffen sein, dass die Anzahl derjenigen Periodensysteme, in denen jede einzelne Periode ihrem absoluten Betrage nach eine willkürlich anzunehmende Grenze nicht überschreitet, endlich ist. In diesem Falle sind die in den vorstehenden Gleichungen (A) vorkommenden Grössen mv m₂,... mr immer rationale Zahlen.

Es lassen sich aber alsdann die Periodensysteme

(p'r) Pm p<n)

v l ’ 2 ’ • • • x n )

stets auch so auswählen, dass die Grössen mv m₂,... mr für jedes Periodensystem (PV'P₂,... Pr) sämmtlich ganze Zahlen werden. Der Beweis dieses fundamentalen Satzes kann folgendermassen geführt werden.

Es bedeute X irgend eine der Zahlen 1,2,... r, so fasse man, unter der Voraussetzung, dass die Periodensysteme

(ß = 1 ... r)

(ß)    (ß)    (ß)

vi    2 »    n )

den unter (4) angegebenen Bedingungen gemäss angenommen seien, diejenigen Periodensysteme (Pv P₂,... Pn) in’s Auge, für welche die in den Gleichungen (A) vorkommenden Grössen mv w₂,... mr folgenden Bedingungen genügen:

:■

Solche Systeme giebt es

... Pa) eines

namentlich ist (P₁

von ihnen — sie sind aber, weil durch die angegebene Beschränkung der Grössen mß für den absoluten Betrag jeder einzelnen Periode eine Grenze, die er nicht überschreiten kann, festgestellt wird, nur in endlicher Anzahl vorhanden, und es muss sich unter ihnen eines finden, für welches w^ den kleinsten Werth hat. Die zu diesem System gehörigen

Grössen m

P2

l’ •

mögen mit m[A), ... mx } bezeichnet werden.

Nach diesen Festsetzungen ist, wenn m[, m₂', ... m'r reelle Grössen sind, welche die Bedingungen

(2)

erfüllen, das System

2jwßpi »

/•

V’ ' p⁽

2j»'pp»

(ß)

ß=i

ß=i

3=1

ein Periodensystem nur in dem Falle, wo mvm₂, sämmtlich gleich Null sind.

Nun werde gesetzt

(B)

x

al =

(X) fß)

ui

P,

ß=x

•••“) ... r/

so lässt sich Ausdruck

wenn mvmv...mr beliebige reelle Grössen sind, der

5>ppa

(ß)

ß=i

stets auf die Form

(ß)

ß=i

ß=i

in der Art bringen, dass mvm ... mr die eben angegebenen Bedingungen erfüllen und zugleich Vj,v₂,... vr ganze Zahlen werden; was aus den zu befriedigenden Gleichungen

Ci -

»V

(r)

r—l

= vr mr + m'r

Cr—l)    v ,    ,

= vr_a mr__x + vr mr_x + mr_x,

u. s. w.

(1)    (2)    (r)    .

= vw +V₂m\ +----b VrTOj +W₁

(»')

unmittelbar ersichtlich ist. Wenn aber

2wßpi

(ß>

^ pCß)

2jWßP2 »

(ßJ

p = V v P .

ß=i

ein Periodensystem ist, so ist auch

"V ' V '

2jmßpi » 2jwßP2 »

(ß)

ß=i

ß=i

ein solches, und es müssen daher    ... m'r sämmtlich gleich Null

sein. Man hat also

r    (R) r

=y;vppap,

ß=i

ß=i

und die Gleichungen (A) wandeln sich um in die folgenden:

Pi 2 vß Pi ß •

ß=i

(0)

P2^2VßP2ß’

ß=l

* Zj ß nß

Die durch die Gleichungen (B) definirten Periodensysteme

(P11’ P21’ • ' • PWl) ’    (P12’ p

••    ’ * * * (Plr’ P!

•• Pnr)

angegebene Weise ableiten lassen.

sind demnach so beschaffen, dass sich aus ihnen alle übrigen auf die oben — unter (3)

In den Gleichungen (C) nehme man nun, unter y eine der Zahlen 1, 2,... r verstehend,

Pm n ’

(Y)    (Y)

P P P=P 1 1 ’ 2 2 ’ •

und bezeichne die Werthe, die dann Vj,v₂, ...vr haben, mit

V V    V

yi ’ y2 ? • • • yr ?

so dass man

Pa

(Y)

2 vyß Pocß

hat. Dann ist die Determinante

vn : • • • vir

nothwendig von Null verschieden, weil sich sonst die 2n Gleichungen

2!Xß^aß    S^aß °

(a = l, ... w)

ß=i

ß=i

durch reelle Wertlie der Grössen \i., ohne dass diese sämmtlich gleich Null zu sein brauchten, würden befriedigen lassen. Man kann daher, wenn vvv₂,...vr beliebige ganze Zahlen sind, r rationale Zahlen mv ... mr so bestimmen, dass die r Gleichungen

(ß = 1, • • • r)

y *»pvïP=vp

T*=l

bestehen. Dann ist gemäss den Gleichungen (C)

(r)

v^ppaß=^Tpa = 2 wßp«

■y

ß=i

Y=i

ß=i

Da es nun, wie vorhin bemerkt worden, für jedes Periodensystem (PVP₂,... Pn) nur ein System reeller Grössen mvm₂, ... mr giebt, für das die Gleichungen (A) gelten, so ist bewiesen, dass diese Grössen, wie man auch die r Periodensysteme

(P1

(ß)

p®

’ 2 >

(ß)

- Pn )

(ß = l, ...w)

den unter (4) angegebenen Bestimmungen entsprechend annehmen möge, stets rationale Zahlen sind.

6) Zu dem vorstehenden Satze ist noch Folgendes zu bemerken. Angenommen, es seien für eine periodische Function von n Veränderlichen die Zahl r und die Grössen P⁽J‘⁾ so bestimmt, wie unter (4)

angegeben wurde. Setzt man dann, unter mvm₂,... mr reelle Grössen verstehend, wie oben

■ro 8

Paß —Pocß+ D^ocß r

Pa= 2 WßP*ß+i I>ß^ß’

ß=J

ß=i

so hat der Ausdruck

ß=i

Pa

p^2!( 2mß^“ß

a=l

2mp^p ) j=É

ß=l    /    )    0C=1

stets einen positiven Werth, wenn die Grössen m nicht sämmtlicli gleicli Null sind. Es ist deshalb, wenn g eine willkürlich angenommene positive

r

Grösse bezeichnet, P> g, sobald der Werth von]>]wß eiue bestimmte

ß=i

Grenze überschreitet, und es giebt daher unter denjenigen Werthsystemen (mvm₂,... mr), in denen jede einzelne Grösse eine ganze Zahl ist, nur eine endliche Anzahl solcher, für welche die absoluten Beträge von PvP₂,...Pn sämmtlicli kleiner als g sind. Daraus folgt, dass die Gleichungen (A), wenn in denselben den Grössen mvm₂,... mn bloss ganzzahlige Werthe gegeben werden, sämmtliche Periodensysteme der Function nur in dem Falle liefern können, wo die oben (im Anfänge dieser Nr.) in Betreff der Beschaffeidieit der Function gemachten Voraussetzung zutrifft.

Diese Voraussetzung ist aber gleichbedeutend mit der Annahme, dass die Function kein System unendlich kleiner Perioden besitze.

Man setze

(a = l, ...n)

reelle Grössen bedeuten, und nehme an, es lasse sich eine

wo pa und p

positive Grösse k so bestimmen, dass in jedem Periodensystem wenigstens

n -t- «

eine der Grössen pv pv ... p2n dem absoluten Betrage nach grösser als k ist. Wenn man dann 2n ganze Zahlen

willkürlich annimmt, so kann es höchstens ein Periodensystem geben, in

der Theorie der periodischen Functionen von mehreren Yeränderlichen. welchem die Grössen px,p₂, ... p2n den Bedingungen

vjc ^ p < vxÄ+&

genügen. Denn angenommen, es sei

11+2 ’ ‘

■ • Pn+iP-in)

ein solches, und (ql, q₂,... q2n) ein beliebiges System von 2n Grössen, welche ebenfalls die Bedingungen

vJc < qx v}k + k

(X = 1, ...2n)

erfüllen, so ist, wenn man

ix=K⁺h’

setzt, kx dem absoluten Betrage nach kleiner als k, und deshalb

• • K+iKn)

k₂~\- i k

kein Periodensystem, woraus folgt, dass auch

(<h+Wn+n    ••• ⁽ln+i(ln+1)

kein solches ist.

Nun sei g eine willkürlich angenommene positive Grösse, so giebt es nur eine endliche Anzahl solcher Zahl Systeme (Vj,v₂,... v2n), für welche

Vg Vg • • • \nk

sämmtlich zwischen den Grenzen g,—g liegen ; es existirt also auch nur eine endliche Anzahl von Periodensystemen, für welche jede der Grössen^ ihrem absoluten Betrage nach kleiner als g ist.

2.

Ich will jetzt annehmen, die betrachtete periodische Function f(u1} u₂, ... un) sei eine eindeutige analytische Function, und zunächst nachweisen, dass dieselbe ein System unendlich kleiner Perioden

nur in dem Falle besitzt, wo sie sich als Function von weniger als n Argumenten, die ganze lineare Functionen von uvii₂,... un sind, darstellen lässt.

Es seien vvv₂, ... vm ganze lineare Functionen von uvu₂, ... un, und m¹cn, so können n Grössen PpP₂, ... Pn so bestimmt werden, dass vv v₂,... vm sich nicht ändern, wenn man ul+P₁, u₂-\-P₂, ... un-\-Pn für uvu₂,... un setzt. Im Falle, dass sich f als Function von vvv₂, ... vm ausdrück en lässt, ist also

f(u₁+Pv n₂+P₂, ... un+Pn) = f(uv u,, ... un).

Man kann aber (n — m) der Grössen P beliebig annehmen, und giebt man diesen unendlich kleine Werthe, so werden die übrigen ebenfalls unendlich klein. Es besitzt also f(uvu₂,...%) Systeme unendlich kleiner Perioden.

Bezeichnet man f, als Function von vvv₂,...vm betrachtet, mit f, so hat man

df

df dVß '

0^ß 0Ma’

(a = 1 ... n)

es bestehen also zwischen den partiellen Ableitungen von f, von denen jetzt die ate mit f(iivu₂,...un) bezeichnet werden möge, (n —m) Gleichungen von der Form

a=i

wo Cj, c₂, ... cn Constanten bezeichnen, welche nicht sämmtlich gleich Null sind.

Dagegen findet bekanntlich, wenn die Function f nicht die besondere Eigenschaft besitzt, sich auf die angegebene Weise in eine Function von weniger als n Argumenten verwandeln zu lassen, unter ihren Ableitungen keine solche Relation statt, und es ist daher möglich, n nicht singuläre¹) Werthsysteme der Grössen uvu₂,...un

(ul, w₂,... u/), (ul', n", ... iQ

(u.

(n)    (»> (nK

a2 ’ ¹ " an >

so anzimelimen, dass die Determinante

¹

Es ist («i Mg» ••• Mn) e^n nicht singuläres Arguraentensystem, wenn sich f(uv m₂, ... nn) unter der Bedingung, dass die absoluten Beträge von Ui—u{, «₂ —    ... un— u’n gewisse Grenzen nicht übersteigen, nach ganzen positiven Potenzen

dieser Differenzen in eine convergirende Beilie entwickeln lässt.

/K, <>

00

••• An

(n)

(n)

t*r,

² ’ n 'n

einen von Null verschiedenen Werth hat.

Man kann dann ferner, unter h₁, h₂, ... hn veränderliche Grössen verstehend, deren absolute Beträge eine Grenze h nicht übersteigen sollen, die letztere so klein annehmen, dass (für a = l, ...n)

f(u i A-^i, u^-r h₂, ... u^+hn) — f(uv u₂,... un)

n    .1

/ fiu^+thn uf+tliv . .

ß⁼¹ o

. uKn⁾-\-thn)^ät,

und zugleich die Determinante der als lineare Functionen von 7^, 7c,, ... hn betrachteten Ausdrücke auf der rechten Seite dieser n Gleichungen, welche für unendlich kleine Werthe von hi: h₂, ... lin unendlich wenig von der vorstehenden verschieden ist, ebenfalls nicht gleich Null ist. Dann sind die Differenzen auf der linken Seite der Gleichungen nur in dem Falle sämmtlich gleich Null, wenn sämmtliche Grössen Tiv h₂, ... hn es sind. Hiernach ist es unmöglich, dass in einem Periodensystem der Function f jede einzelne Periode ihrem absoluten Betrage nach kleiner als h sei; mit anderen Worten, die Function besitzt kein System unendlich kleiner Perioden.

Es gilt also der Satz:

„Eine eindeutige analytische Function von n Veränderlichen sei periodisch, ohne als Function einer geringeren Anzahl von Argumenten, die ganze lineare Functionen der ursprünglichen sind, darstellbar zu sein, und r sei für sie die oben für eine beliebige periodische Function deflnirte Zahl, welche also einen der Werthe 1,2,... 2 n hat. Dann lassen sich stets r Periodensysteme der Function

(Al’ P2V •

2r’ ‘

..P )

nr>

so aus wählen, dass durch die Gleichungen

p*

-2NP..

(a = l

ß=i

in denen vvvv...vn beliebig anzunehmende ganze Zahlen bezeichnen, sämmtliehe Periodensysteme der Function geliefert werden.“

Hierzu ist noch zu bemerken, dass es unmöglich ist, aus irgend welchen (r — 1) Periodensystemen alle übrigen abzuleiten ; was aus der gegebenen Definition der Zahl r unmittelbar hervorgeht.

Dagegen lassen sich die r Systeme

C^lß» ^2ß> ••• -?Mß)

durch unendlich viele Complexe von r anderen ersetzen. Nimmt man nämlich an

••

“CD

[I

ÎMt

■c.

-i

-CD S

wo die Vßy ganze Zahlen bezeichnen, und es sollen sich aus den r Periodensystemen

(ß = l,...r)

C^iß» ^2ß> ••• -*nß)

alle übrigen ableiten lassen, so muss man haben

Rh

-i

“CD -

-<

XD

-CD £

P-

a"

S*

•/

a.

a_

p«

ay

= V V v' V P .

Zj Zj Py ps «5

ß=l 0=1

wie aus der gegebenen Definition derselben hervorgeht, so beschaffen, dass es unmöglich ist, die n Gleichungen

Es sind aber die Grössen P

ay

/'

(a = 1, ... n)

durch reelle Werthe von (Xj, [x₂, ... jxr, wenn diese nicht sämmtlich gleich Null sind, zu befriedigen. Folglich muss

ß=i

y ,/ v = \ ¹ > wenn T = 3, ^ ß ï ßs jo, wenn y ^ 5,

sein. Daraus ergiebt sich

vn» • • • Vlr

v!

li ? •

vri-

v'

rr

und es müssen daher die Zahlen v^T so gewählt werden, dass die Determinante

Vn, . . . vlr

Vi ’ ‘ * ” * rr

ist. Umgekehrt erhält man, wenn diese Bedingung erfüllt ist, die Grössen P^ durch die P^ so ausgedrückt, dass die ganze Zahlen sind, und

kann daher sämmtliche Periodensysteme ( L\, P₂,... Pn) auch aus den r Systemen

(Pn,P2i, ••• Pnl),

ableiten.

3.

Der im Vorstehenden bewiesene Satz gilt, wie ich jetzt zeigen will, auch in dem Falle, wo f(uvu₂,... un) eine m-deutige analytische Function

ist.

Bezeichnet man die m Werthe der Function, welche zu demselben

Werthsystem (uv u₂,... un) gehören, mit    ....

unter x eine unbestimmte Grösse, so ist das Product

(m)

f , und versteht

178

Neuer Beweis eines Hauptsatzes eine eindeutige analytische Function von uvu₂, ... un, und eine ganze

rationale Function von x \ es können also f⁽ \ f als die Wurzeln einer Gleichung mten Grades

(»O

f deflnirt werden

xm+f₁(uvii₂, ... un) x

m—l

deren Coëfflcienten eindeutige Functionen von uv u₂, ... un sind.

Diese Functionen von n Veränderlichen können nun so beschaffen sein, dass sie sich alle als Functionen einer geringeren Anzahl von Argumenten (vvv₂,... V/), welche ganze lineare Functionen von uvu₂,... un sind, darstellen lassen. In diesem Falle kann man n Constanten cv c₂, ... cn, die nicht sämmtlich gleich Null sind, so bestimmen, dass die Gleichungen

(ß = l, ... I)

befriedigt werden, und daher vvv₂, ... sich nicht ändern, wenn man, unter t eine unbestimmte Grösse verstehend,

Uj+c^t, u₂-\-c₂t,... un+cnt für uvu₂,... un

setzt. Es bestehen also die m Gleichungen

(A)

ftiiVi+cJ, u₂-+c₂t,...un+cnt) = fp(uvu₂, ... un) G — 1, • • • rn)

und es sind demzufolge die m Werthe von fiu-rcj, u₂-\-c₂f, ... un+cnt) identisch mit den m Werthen von f(uv u₂,... un).

Die Function f besitzt also, wenn f\, .... schaffenheit haben, ein Periodensystem {cxt, c₂t, wenn man t unendlich klein annimmt, jede einzelne Periode einen unendlich kleinen Werth hat.

Aus den Gleichungen (A) ergeben sich die nachstehenden:

fm die angegebene Be-.....cnt), in welchem,

(B)

V r    U2’ •" U'n)

7 i ' a-= U

0 = 1,... m)

welche also eine nothwendige Folge der in Betreff der Functionen fv . gemachten Annahme sind.

in

Umgekehrt haben diese Functionen die in Bede stehende Beschaffenheit, wenn für irgend ein System constanter Grössen cv c₂, ... cn, die nicht sämmtlich gleich Null sind, die Gleichungen (B) bestehen. Denn dann ist

u₂+c₂t, • • • un+cnt) dt    ~    ~    ’

also    u₂-+c₂t,... un+cnt) von t unabhängig, und es gelten somit

die Gleichungen (A). Setzt man aber in den letzteren

ux

wo X so zu wählen ist, dass cx nicht den Werth Null hat, so ergiebt sich

f^{nvu₂,... un) = fll(vv vv ... vn)

WO

⁽'<x

m(uv ^2’ ■ * * ^n)

Nun ist aber, damit f(uvu₂,...un) als Function von (n— 1) linear durch uv u₂,... un ausdrückbaren Argumenten betrachtet werden könne, noth-wendig und hinreichend, dass sich f₁(uv u₂,... un), sämmtlich als Functionen derselben (n— 1) Grössen darstellen lassen. Wenn also, wie in dem zu beweisenden Satze angenommen wird, f(uvu₂,... un) die angegebene besondere Beschaffenheit nicht besitzt, so ist es unmöglich, dass für irgend ein System constanter Grössen (cv c₂,... cn) wofern nicht jede von ihnen den Werth Null hat, die m Functionen

cc= 1

wo f^{uv ... nM) die erste Ableitung von f^{uv u₂,... un) nach nrx bedeutet,

alle identisch gleich Null sind. Daraus lässt sich folgern, dass man n

12* .

nicht singuläre Werthsysteme

(^l, • • • ^n) f (ui > ’

in)

in). • • un )

••<)» ••• (ui

und n ganze Zahlen |i1? jx₂,... \±n, von denen jede einen der Wertlie 1,2,.. hat, so aus wählen kann, dass die Determinante

ffl, tuv • * • ur)n f\i₂(ui > • • • un\t

(n)

00

einen von Null verschiedenen. Werth erhält.

Man bezeichne, unter s eine der Zahlen 1, 2,... n verstehend, mit Ds die Determinante so dass und Dn-=D ist. Dann hat man, wenn s>l,

(S)

I>S = DS-lflL,(<h

woD^D^i,.

den (s —1) ersten Werthsystemen (w.ja),... i</a)) abhängen. Sind nun diese und die Zahlen (x^ ... ns l so gewählt, dass nicht gleich Null ist, so ist

.. nur von

S— 1

■^s—lU^nv • • • un)₁ Ds_lf\l(lljv ... Un)^~h ■■■

nicht für jeden Werth von |x identisch gleich Null; man kann also |xÄ und

«1-0

so annehmen, dass auch Ds nicht gleich Null ist. Da nun nicht alle Functionen gleich Null sind, so kann man zunächst sodann

[x., und u", n", ...u

u. s. w. bis zuletzt

Mn und

so wählen, dass D₁, D₂, ... I)n sämmtlicli von Null verschiedene Werthe erhalten.

Man kann dann ferner eine Grenze h so fixiren, dass für alle Wertli-systeme in denen jede einzelne Grösse dem absoluten Betrage nach kleiner als h ist,

fixs(u[s)+hv ..

(.9 = 1,___m)

und zugleich die Determinante der als lineare Functionen von 7^, ... 7tw betrachteten Ausdrücke auf der rechten Seite dieser Gleichungen, welche bei einem unendlich kleinen Werthe von h sich unendlich wenig von D unterscheidet, ebenfalls nicht gleich Null ist. Dann sind die Differenzen auf der linken Seite der Gleichungen nur in dem Falle sämmtlicli gleich Null, wenn sämmtliclie Grössen ... hn es sind. Es ist also unmöglich, dass in einem gemeinschaftlichen Periodensysteme der Functionen

fm(uv u₂, ... un) jede einzelne Periode dem ab-

fi (,uv U21 * • • un) ’

soluten Betrage nach kleiner als h sei. Da nun die m Werthe von u₂~\-h₂,... un-+-hn) nur in dem Falle, wo (hl, h₂,... hn) ein gemein-schaftliclies Periodensystem der Functionen f m Werthen von f(ux, u₂,... un) identisch sind, so folgt, dass die Function f(uv\..un), wofern sie nicht die besprochene besondere Beschaffenheit hat, kein System unendlich kleiner Perioden

fm ist, mit den

besitzt, und demnach der in (2) für eine eindeutige Function aufgestellte Satz bestehen bleibt, wenn das AVort „eindeutig“ in „m-deutig“ um geändert wird.

Anra. 1. Unter welchen Bedingungen der vorstehende Satz für eine analytische Function «₂,... un) auch in dem Falle gültig bleibe, wo sie so beschaffen ist, dass zu jedem Werthsysteme der Veränderlichen w,,w₂, ... un unendlich viele Werthe von f(u₁, w₂,... un) gehören, ist noch nicht ermittelt worden. Dass es aber Functionen dieser Art giebt, für welche der Satz nicht gilt, ist bekannt. Herr Casorati hat bereits vor Jahren gezeigt, wie sich analytische Functionen eines Arguments, deren Perioden sich nicht aus zwei derselben ableiten lassen, in sehr einfacher Weise definiren lassen. (Compt. rend. 21. dec. 1863 et 25. janv. 1864).

Anm. 2. Das in § 1 begründete Theorem gilt, wie schon oben bemerkt worden ist, für eine beliebige (analytische oder nicht analytische) Function f(u₁, w₂,un). Es findet also auch Anwendung, wenn diese Function nur für reelle Werthe der ATer and erlichen ux, n₂, ... un definirt ist und somit auch nur Systeme reeller Perioden in Betracht kommen, in welchem Falle dann die Zahl r der gegebenen Definition nach nicht grösser als n sein kann. Dagegen ist der Satz, dass eine Function von «Variabein nur dann Systeme unendlich kleiner Perioden haben kann, wenn sie sich als Function von weniger als n Argumenten, die ganze lineare Functionen der ursprünglichen sind, darstellen lässt, von mir nur für ein- oder wdeutige analytische Functionen bewiesen worden. Auf eine nicht analytische eindeutige und stetige Function reeller Argumente findet jedoch der gegebene Beweis auch noch Anwendung, wenn die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Function existiren und ebenfalls stetige Functionen sind. Dass der in Bede stehende Satz aber richtig ist und sich beweisen lässt, wenn für eine Function reeller Veränderlichen nur feststeht, dass sie eindeutig und stetig sei, hat neuerdings Herr Kro-necker nachgewiesen. (Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 20. November 1884.)

Über die Theorie der analytischen

Facnltäten.

(Aus Crelle’s Journal für die reine und angewandte Mathematik,

B. 51, S. 1—60.)

Über die Theorie der analytischen Facultäten.

(Aus Crelle’s Journal für die reine und angewandte Mathematik, B. 51, S. 1—60).

Einleitung.

Bezeichnet man, unter u und x unbeschränkt veränderliche Grössen, unter y aber zunächst eine positive ganze Zahl verstehend, die durch das Product

y—i

+vx)

V=0

dargestellte Function von u, x, y durch f(u, x, y), so gelten die nachstehenden, zum Theil schon von Van der monde¹) und vollständig zuerst von Kramp²) aufgestellten Gleichungen, in denen y' auch eine positive ganze Zahl, k hingegen eine willkürlich anzunehmende Grösse bedeutet:

(a)

Cb)

(C)

(d)

, C®)

f(ii, x, y -+- y') =f(u, x, y) f(u + yx, x, y') f(u, x, 1)

f{ku, kx, y) = kyf(u, x, y), f(u, x, y) f(u, 0, y)

= f(u i-yx — x, — x, y) = uy.

Die in den drei ersten dieser Gleichungen ausgesprochenen Eigenschaften der betrachteten Function sind den durch die Gleichungen

ty-4-w' y y'

U¹ a = H,

n \y iy y ______________ («m) =k u ,

allsgedrückten Eigenschaften der Potenz uy, in welche f(u,x,y) für x = 0 übergeht, so analog, dass die genannten Mathematiker sich berechtigt hielten, die Existenz einer analytischen Function f(u,x,y) an-

zunehmen, welche für jeden positiven ganzzahligen Werth von y durch

y

das obige Product dargestellt werde, aber ebenso wie die Function u für beliebige Werthe von y eine Bedeutung habe und den Gleichungen (a) bis (e) genüge. Für diese hypothetische Function schlug Kramp die Benennung „Facultät“ und die Bezeichnung

vor; u nannte er die Basis, x die Differenz und y den Exponenten der Facultät. Der von ihm unternommene Versuch jedoch, eine Theorie dieser Function aus den vorausgesetzten Eigenschaften derselben abzuleiten, ist längst als ein gänzlich verfehlter erkannt. Eine Function, wie sie

yx

sich Kramp unter n Gleichungen (a) bis (e) sind nicht mit einander vereinbar, wenn y keine ganze Zahl ist. Ausserdem hat Kramp bei seinen Deductionen den

vorstellte, giebt es gar nicht; denn die

Fehler begangen, dass er aus der Gleichung (e) schloss, es sei

LimA'W,

CC=0

in welcher Weise auch x sich der Grenze Null nähern möge — eine Annahme, die sich als unzulässig herausstellt, wie ich im Folgenden (§ 2) zeigen werde.

Ungeachtet der Unhaltbarkeit der Kramp'sehen Facultäten-Theorie wurde indessen der Grundgedanke derselben, angemessen modificirt, von anderen Mathematikern als Ausgangspunkt für neue Untersuchungen aufgenommen.

Bessel*) suchte die Widersprüche, in welche Kramp sich verwickelt hatte, dadurch zu vermeiden, dass er zur Definition der Facultät uy'x von den obigen Gleichungen (a) bis (e) nur die erste, zweite und vierte benutzte:

(f)

(g)

y+y'\x y\x,    ,    \y'\x

u = u {u + yx) .

lias u

y\x U

y\-x

= (u + yx —■ x)

*) Königsberger Archiv für Naturwissenschaft und Mathematik, Jahrg. 1812, St. 3

ausserdem aber, seine Untersuchung auf reelle AVerthe der Veränderlichen u,x,y beschränkend, festsetzte, es solle

(h)

Lim.

u=+-CO

y\x U

sein, mit der auch im Folgenden festzuhaltenden Bedingung, dass der

V

Potenz u , wenn u positiv ist, ihr reeller Werth beigelegt werde. Diesen Bestimmungen gemäss ergab sich ihm:

(k) u'^X = Lim.

n=oo

(1) v

v>

= Lim.

n—l

(nx)V (

v=o '

| (-»*)* n(™~væ

u + vx

u + yx + v.xy \

wenn x positiv

— vx

wenn x negativ ist.

Durch diese Formeln wird nun in der Tliat für alle reellen AVertli-systeme der Grössen u,x,y (mit Ausnahme derer, in welchen x = 0 ist) eine Function uy'X definirt, welche die in den Gleichungen (f), (g) ausgesprochenen Eigenschaften besitzt und zugleich, worauf Bessel Gewicht legte, stets einen reellen AVertli hat.

Gegen diese Bessel’sche Definition der Facilitât ist aber Folgendes einzuwenden. Die Ausdrücke auf der Rechten der Gleichungen (k), (1) sind beide — unter der Bedingung, dass vom Gebiete der Veränderlichen x derAVerth x = 0 ausgeschlossen werde — analytische, für beliebige (complexe sowohl als reelle) WTerthe der Veränderlichen u,x, y definirte Func-

'U\lXi

tionen. In der Bestimmung, dass u für positive AVerthe von x durch den ersten Ausdruck — zu welchem man mit NothWendigkeit gelangt, wenn man von den Gleichungen (f), (h) ausgeht — für negative AVerthe von x aber durch den zweiten Ausdruck, der eine ganz andere Function ist als jener, dargestellt werden solle, liegt also eine AVillkürlichkeit, die ebenso wenig zu rechtfertigen ist, wie wenn man z. B. loger für positive AVerthe von x auf die gewöhnliche AVeise definiren, für negative aber loger = log(— er) annehmen wollte.*) Auch wüsste ich nicht, nach welchem Princip man verfahren sollte, um die Bessel’sche Definition von uy^x auf complexe

y\x

*) Mit Anwendung der in der Abhandlung „Zur Functionenlehre“ eingeführten Terminologie würde ich mich jetzt so ausdrücken: Die von Bessel definirte Facilitât u ist keine monogene Function ihrer Argumente; die heiden Ausdrücke, von denen der eine sie für positive, der andere für negative Wertlie von x darstellen soll, sind Zweige zweier verschiedenen analytischen Functionen. (Spätere Anmerkung.)

Wertlie von x auszudehnen.^ Ein Übelstand ist es ferner, dass die obige Gleichung (c) für Bessel’s Facultät nur gilt, wenn /<: eine positive Grösse ist, während doch die Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung auch für negative Werthe von k bestimmte Wertlie haben.

Abweichend von Bes sei hat Cr eile*) von den obigen Gleichungen (a) bis (e) die drei ersten als die Grundgleichungen hingestellt, aus denen sich die ganze Theorie der analytischen Facultäten ableiten lasse. Dies ist aber keineswegs der Fall; denn die genannten Gleichungen sind zwar, wie im Folgenden (§ 1) nachgewiesen wird, mit einander vereinbar, reichen aber zur Bestimmung der Function f(u,x,y) gar nicht aus.

Es sei nämlich f\(u, x, y) irgend eine bestimmte, den in Rede stehenden Gleichungen genügende Function, so werden die Gleichungen (a), (c) auch befriedigt, wenn man, unter cp (u) eine willkürlich anzunehmende Function von u verstehend,

/'Ob x, y)

<p(

setzt. Damit nun f(u,x,y) auch der Gleichung (b) genüge, braucht die Function cp(u) nur so angenommen werden, dass

oder für jeden Werth von u

cp (u + 1) = cp (u)

ist; man kann also z. B. für cp(u) eine willkürliche Function von cos(2?/~) und sin(2?f7c) nehmen.

Es giebt hiernach unendlich viele Functionen f(u,x,y), welche den Gleichungen (a), (b), (c) genügen.

Wenn also Grelle aus diesen Gleichungen allein völlig bestimmte Darstellungen einer denselben genügenden Function f(u, x, y) abgeleitet hat, so sind dabei nothwendig Fehler von ihm begangen worden, die er nicht wahrgenommen hat. Die Quelle dieser Fehler findet sicli in § \% der Abhandlung angegeben.

*) Theorie der analytischen Facultäten, 1824.

Mémoire sur la théorie des puissances, des fonctions angulaires et des facultés analytiques, 1831. (Ursprünglich im 7. Bande des Crelle’schen Journals erschienen.)

Von den späteren Bearbeitungen der Facultätenlehre führe ich noch

die von Olim*) und Öttinger**) herrührenden an. Ohm definirt die Facultät n

y\x

auf reelle Werthe der Grössen u, x, y sich beschränkend, zunächst für (positive und negative) ganzzahlige Werthe von y, und gelangt dann zu dem Ausdrucke

uy'x = Lim. ('nx)J

( u yx)

n\x

...    ( n = —(-oo, wenn x positiv,

iur |

\n = ~oo, wenn x negativ ist.

Diese Definition von u

y\x

stimmt vollkommen mit der Bessel’schen überein, so dass etwas Weiteres darüber zu bemerken unnöthig ist.

Öttinger’s Begründung der Facultäten-Theorie muss als eine ebenso verfehlte wie die Kramp’sche bezeichnet werden. Auch Öttinger hat es für überflüssig gehalten, genau zu définirai, was unter einer Facultät mit einem nicht ganzzahligen Exponenten zu verstehen sei, und kein Bedenken getragen, derselben alle diejenigen Eigenschaften beizulegen, die ihr zukommen, wenn der Exponent eine unbestimmte positive ganze Zahl ist. Das Auffallendste aber ist Folgendes. Es lässt sich eine Reihe von der Form

M?/0 + {y\

58

tc'

OI

co

GJ

wo (y)v(y\i(y)v ••• ëanze rationale Functionen von y sein sollen, wie sclion Kramp ausgeführt hat, so bestimmen, dass dieselbe für jeden positiven ganzzahligen Werth von y gleich

y—i

ist. Öttinger hat nun diese Reihe für beliebige Werthe von y als Ausdruck der Facultät u

y\x

betrachtet und häufig Anwendung davon gemacht, ohne zu ahnen, dass diese Reihe, wenn y keine po.iitmr ganze Zahl ist, niemals convergirt (§ 7 der Abhandlung), also jedes mit ihrer Hülfe erhaltene Ergebniss notliwendig, wenn nicht unrichtig, doch jedenfalls unsicher ist.

*) Crelle’s Journal, B. 39. **) Ebend. B. 33, 35, 38, 44.

Aus den vorstehenden Bemerkungen erhellt zur Genüge, dass die Theorie der analytischen Facultäten, so vielfach dieselbe auch schon behandelt worden ist, noch immer an wesentlichen Mängeln leidet. Diese darzulegen und zu beseitigen, ist der Zweck des vorliegenden Aufsatzes.*)

1.

Ich beginne mit der allgemeinsten Bestimmung derjenigen von drei Veränderlichen u,x,y abhängigen Function f{u,x,y), welche den von Cr eile aufgestellten Gleichungen

(1.)

(2.)

(3.)

f(u, x,y+V)= f(u, x, y) f(u+yx,x, k) f(ku, kx, y) = kyf(u,x,y) f(u,x, 1)

Genüge leistet.

Vertauscht man in der ersten Gleichung y und k mit einander, so erhält man

f(u, x, y -+- k) = f(u, x, k) f(u + kx, x, y),

und wenn man hierin u — kx für u setzt,

f(u,x,y) =

f(u — kx, x, y-\k) f(u — kx, x, Je) ’

— iv setzt,

woraus ferner, indem man u — kx = wx, also k =

f(u,x,y) =

f(wx, x,--+y—w^

f(wx, x, ~~w')

*) Der Leser wolle bemerken, dass die vorliegende Abhandlung bereits im Jahre 1854, und zwar auf den ausdrücklichen Wunsch Crelle’si den ich meine Bedenken gegen seine Theorie der Facultäten mitgetheilt hatte, geschrieben ist, nachdem ich einen Theil ihres Inhalts schon im Jahre 1843 (als Beilage zum Jahresbericht des Progymnasiums zu Deut sch-Cr one) veröffentlicht hatte. Obwohl die Theorie der analytischen Facultäten in meinen Augen durchaus nicht die Wichtigkeit hat, die ihr in früherer Zeit viele Mathematiker beimassen, so habe ich doch die Abhandlung jetzt wieder ab-drucken lassen, weil sie manches enthält, das auch gegenwärtig noch, wie ich glaube, angehenden Mathematikern von Nutzen sein kann. Wesentliche Veränderungen habe ich nicht vorgenommen⁻, nur die Einleitung ist neu bearbeitet worden, weil es mir zweckmässig erschien, auf den Inhalt der kritisirten, heutzutage nicht Jedermann mehr zugänglichen Schriften etwas ausführlicher als ich es früher für nöthig gehalten, einzugehen.

Über die Theorie der analytischen Facultäten. und sodann, mit Anwendung der zweiten Gleichung,

(4.)

f(u, x, y) =

f(w,l

xv —_

-hy — wj

w)

folgt.

Legt man jetzt der willkürlichen Grösse w irgend einen bestimmten Werth bei, und setzt

(5.)

f(iv, l ,u — w) = F(u)

so erhält man:

(6.)

f(u,x, u) = X-.

Ff— + y) y Kx ' J

fO

Umgekehrt erhellet, dass jede Function f(x, u, y), die, bei ganz willkürlicher Annahme von F(u), durch diese Formel bestimmt wird, den beiden ersten der obigen Gleichungen Genüge thut. Denn es ergiebt sich aus (6):

f(u, x, y -T /. ) = y: ^.

K~+y+lc)

fO

F(-+y) FC V

y    k V X

— . X .

+ k)

fO

Fç- + yx^

■=f(u,x, y) f(u

yx,x, k)

sowie ferner

kx, y) = (kx)J.

, FQ⁺y)

fO

= kyf(u,x,y).

Damit nun auch die dritte Gleichung befriedigt werde, ist nötliig, dass

f(u, X, 1) = X .

*£⁺¹)

fO

= u oder

sei; woraus, wenn man ux statt u setzt, die Relation

(7.)

F{u + 1) — u F(u)

folgt. Man sieht sofort, dass eine Function, welche dieser Gleichung genügt, die Legendre’sche T(u) ist*), und dass man, um den allgemeinsten Ausdruck von F(u) zu haben,

F(ii) = cp(u) F (u)

setzen muss; wo unter cp(u) eine periodische Function zu verstehen ist, welche unverändert bleibt, wenn u in u +1 übergeht. Ohne aber hinsichtlich der Theorie der T-Function irgend etwas vorauszusetzen, kann man folgendermassen fortfahren.

Aus (7) folgt, wenn n eine ganze positive Zahl bedeutet:

(u -f n — 1) F( u) ,

und hieraus, wenn n — 1 statt n, und 1 statt u gesetzt wird :

n i)

F(n) = 1.2

= u (l -h - u) (l -F ~ u)

(n — l) .F(l), also

F(n)

F {u -f~ ri)

Nun ergiebt sich aber aus den Sätzen über die Convergenz der unendlichen Producte, die ich im Folgenden zusammenstellen werde, dass sich eine Function '!(??) der positiven veränderlichen Zahl n, falls n ohne Ende wächst, einer bestimmten endlichen Grenze nähert, wenn der

*) r(tt) ist gleichbedeutend mit der Gauss’ischeu Function II(m — 1).

4>(n — 1)

40)

Werth von n (-Setzt man nun

40)

4>(n — l)

l) für n = oo nicht unendlich gross wird.

so ist

und man sieht, dass zwar nicht 4O), wohl aber n~u §{ri) für n = oo einen bestimmten endlichen Werth annimmt, weil für hinlänglich grosse Werthe von n

n u 4 (n)

(n — l)~u 4(n — l)

u(u — l)

71-1

n-l

1.2. n²

_ u(u +1)

~¹ TZ

1.2 .n

ist, für 7i = oo also

71

7i u 4 (n)

in — l) “4 O ~ 0

2 ¹¹ (u + 1) •

Da nun ferner

ist, so hat man:

n u 4 (n) =

) C¹ + —~r)

7 v n — ly

und es hat das unendliche Product

a=+oo

*.n !(———) (l+~~) iJi IWi' v

einen endlichen, bestimmten Werth, welchen (reellen oder imaginären) Werth auch u haben möge. Ich möchte für dasselbe die Benennung ,,Factorielle von uu und die Bezeichnung Fc (u) Vorschlägen, indem

13

die Anwendung dieser Function in der Theorie der Facultäten dem Gebrauch der T- Function deshalb vorzuziehen sein dürfte, weil sie für keinen Werth von u eine Unterbrechung der Stetigkeit erleidet und überhaupt, gleich den einfachsten transcendenten Functionen eu, sinu, costt u. s. w. im Wesentlichen den Charakter einer rationalen ganzen Function besitzt, so dass sie z. B. auch nach ganzen positiven Potenzen von u in eine beständig convergirende Beilie entwickelt werden kann. Nun ist mithin, wenn man n=+co setzt:

Fc (u -f l) _ l

oder

(8.)

Fc (u)

Fc (u) — u. Fc (u+1).

Verbindet man diese Gleichung mit der obigen (7), so erhält man

Fc (u) . F(u) = Fc (w+1). F{u+1);

d. h. es ist Fc (u). F(u) eine Function von u, die sich nicht ändert, wenn « +1 statt u gesetzt wird. Bezeichnet man daher eine solche Function durch cp (u), so ergiebt sich

F{n) =

cp (w)

Fc (u) ’

und es wird daher der allgemeinste Ausdruck einer Function f(u,x,y), welche die Gleichungen (1), (2), (3) befriedigen soll, durch die Formel

(9.)

f(u, x,y) = x' •

Fc (“)

y

FcQ + y)

Kf)

<X =+oo i

(10.)

Ft (u) = u . TT j (

ist, und cp(u) eine beliebige Function von u bedeutet, für welche die Relation

(11.)

cp(u + 1) = cp(?l)

gilt. Wenn y eine ganze Zahl ist, so fällt cp aus dem Ausdrucke von f(u, x, y) weg.

2.

Nach dem Vorstehenden ist es zur vollständigen Definition von f(u, x, y) nothwendig, den obigen drei Grundgleichungen noch eine neue Bedingung hinzuzufügen, durch welche die Function cp(u) bestimmt wird. Ehe ich aber dieselbe aufsuche, muss ich auf eine, allen Functionen, welche den Gleichungen (1), (2), (3) genügen, gemeinsame Eigenthiimlichkeit aufmerksam machen, aus deren Nichtbeachtung in mehreren der bisherigen Darstellungen der Facultätenlehre erhebliche Irr-thümer hervorgegangen sind.

Man hat zur Bestimmung von f(u, x, y) unter anderen folgenden Weg eingeschlagen. Es ist (gemäss (1), (2))

f\u, x,y+l) = f(u, x, y) f(u-byx,x, 1) = (u+yx) . f(u, x, y) f(u, x,y-\-1) = f(u, x, 1 )f(u-\- x,x,y) —u. f(u+x, x, y)

und daher

(12.)

gegeben, wo

f(u, x,y) =    • f(u+x, x, y) ;

woraus man, indem man ii-Jrx,u-\-2x,u + Sx, u. s. w. statt u setzt, weiter

(13 .)f(u,x,y) =

u(u -h x) (u -f- 2x) ... (u + (n — l)x)

(u-\-yx)(u + yx+x) ... (u + yx + (n — l)x)

■ f(u + nx, x, y)

folgert, wo n eine ganze positive Zahl bedeutet. Setzt man ferner in dieser Formel u—nx statt u, so erhält man

(14 .)f(u,x.y)=

(u -Vyx — x) (u + yx — 2x) ... (u + yx — nx)

(u — x) (u — 2x) ... (u — nx)

• f(u — nx, x, y).

13*

Nun ist aber

.    Tn / \ t •    1 — u u(u 4-1) (u 4- 2)... (u 4- n — l)

1.2 ... (n — l)

(15.)    Fc (u) = Lim. n • -

n=oo I

also, wenn unter w eine beliebig anzunehmende Grösse verstanden wird,

r-H

« SS

Lim. n

n=oo (

u (n 4- a?) (u 4- 2a?)... (u 4- (n — l)a?) w(tv 4- x) (w 4- 2a?)    (n — l)a?) ) ’

woraus, wenn man -ws—a?. statt u,    statt iv

(17.)

M¹-»)

Hc(l--)    w==°°

Lim. n

IV u    ■,

“T ~ *~ (w — a?) (w — 2a?) .. . (w — na¹) |

(u — a?) (n — 2a?) ... (u — na?) ^

folgt. Hiernach geben die Gleichungen (13), (14), (16), (17), wenn man w = u-sryx setzt,

(18.) f(u,x,y) —

und

• Lim.

FoQ + y) —

Fe(l

| n y. f(u-+nx,x,y) |

(19.) f(u, x, y) =

2/)

• Lim.

j n y • f(u —

na?, a?,

2/)}- ,

Bis hierher sind nur die Gleichungen (1),(3) angewandt. Mit Hülfe der zweiten ergiebt sich ferner, da

a?

f(n + nx, x,y) = (u -f na?)?/. /'(l

na?)'V . f(l, ——

v    u — nx

’ M + na?

An — na?, x,y) = (u

und

Lim. | n y(u 4 na?)-/} = xy. Lim. (l 4- —= x

fl =co l    )    fl=oo    Tl CC

Lim.

n—oQ

| y(u — nx)J \ = (— a?)'⁷. Lim. (l

*    )    f 1^=00

na?y

ist:

(20.)

f(u,x,y) = x' •

Fc (-)

y ^x'

• Lim. /‘(l

n=oo v

und

(21.)

/(«>    ?/) = (- x) ■

•v

M‘-î>

• Lim. /fl, —-—-,

n=oo v u — nx

y)-

Setzt man x = 0, so können die Gleichungen (1), (2), (3), die dann in

f(u, 0, y + Tc) = f(u, 0, y) f(u, 0,1c) f(ku,0,y)=1cy.f(u, 0, y) f(u, 0, 1) = u

übergehen, nicht anders befriedigt werden, als wenn man

f(u, 0, y) = u

annimmt. Könnte man hieraus folgern, dass f(u, x, y), wenn x seinem numerischen Wertlie nach beständig abnimmt, sich unbedingt der Grenze uy nähern müsse, so würde die Gleichung (20)

(22.)

f(u,x,y) = x ■

Fc(^ + y)

geben; was mit dem vorhin Bewiesenen, dass f(u, x, y) durch die Gleichungen (1), (2), (3) allein nicht bestimmt sei, im Widerspruch steht. Aber noch mehr. Die Gleichung (21) würde, unter derselben Voraussetzung,

(23.)

f(u,x,y)

xf.

<sS

geben, und es müsste

Fc (l

y v

y)

Fc (P) y ^xy

R'O-f)

*ed+»)

sein; was ein offenbar falsches Resultat ist, wie schon daraus erhellt,

x der Ausdruck links die Form j- annimmt, sobald y eine

0

FcQ+yyFc(i

= (“ 1) ,

^(1--). jb(-)

v X'    'X'

dass für u = ganze Zahl ist.

Da die Gleichungen (20), (21) strenge Folgerungen ans den Gleichungen (1), (2), (3) sind, und dieselben wirklich befriedigt werden, wenn man für f(u, x, y) irgend eine der durch die Formel (9) gegebenen Functionen annimmt: so kann der hervorgetretene Widerspruch nur in der Voraussetzung seinen Grund haben, dass sich f(l,x,y), wenn der numerische Werth von x unendlich klein wird, unbedingt der Grenze 1 nähere. Diese Annahme ist also unstatthaft.

Dies lässt sich aber auch direct folgendermassen nachweisen.

Setzt man, unter w eine positive reelle Grösse verstellend, in der Formel (9) wx statt u, und wendet die Relation (2) an, so erhält man:

(24.)

w    iv

Fc (w) cp (w+y) y. Fc (w -f- y)    cp (w)

Setzt man aber — x statt x und darauf ivx statt u, so ergiebt sich:

f(l,-

<P(~w)

*)-(- 1) ■-?(/•

Fc (— w)

y. Fc (— M7 + Î/)

In Folge der Formel (10) ist aber

a=-t-oo

Fc (u). Fc (— u) = — u . u (l

a=i

2

TC \

2/ ^

a

sin(HTï)

u—-—-

TC

oder, weil Fc (te) = tc. Fc (te + 1) ist:

(25.)

Fc (— tc) = —

sin(MTc)

7c Fc (l H- u) ’

daher ist

(26.) /■(!,-

i—*>

y Fc (l+iv — y) sin^etc)    cp (— w+y)

wVFc(l+w) sin(w—j/)jc ç(— w)

oder, wenn man

(-1)

u sin(wTc)

<P(- u)

= (Kn)

setzt, wo dann (u), eben wie cp(u), die Eigenschaft hat, dass

'\>(u H- 1) = 4»(n)

ist:

(27.) /'( 1,

ü y\ _ XV Fc(l + w-y) ty(w) w' '    wFc (1 + w) 'Kw- y)

Nun hat man ferner:

(28.)

Fc (u) = u(u+ l)(n+2) ... (u + n — 1) . Fc (u H- n) Fc (1) = 1.2.3 ... (n — 1). Fc (ri),

wenn n eine ganze positive Zahl bedeutet. Nach (10) ist Fc (1) = 1, also

Fc (ri) rFFc (u + ri)

t, / \ —u tt(u ■+■ l). • • (m + w — l)

= n •    i.a...(w-i)......    ’

woraus, mit Berücksichtigung von (15)

(29.)

Lim.

n =

Fc (n )

co | n " Fc (n -f u)

folgt.

Es sei nun n die grösste in iv enthaltene ganze Zahl, und w=n-\-w', so hat man:

Fc (tu)

Fc (ri)

Fc (n)

wu Fc (tu H- u)

u+w '

Fc (n + w' + u) nw Fc (tu'-t-ri)

mithin nach (29)

(30.)

Lim.

lV=-t-<x>

Fc (tu)

wu Fc (w H- u)

Eben so ist, weil

Fc (14-w — u)

wu Fc (l 4- w)

= 1:

Fc (l 4- w)

(1 4- w) ". Fc (l + w — u)

Mat)

ist,

(31.)

Lim.

W=-f-oo

Fc (14-w — u)

wuFc (14- w)

folglich, gemäss (24), (30) und (27), (31):

(32.)

»fc«

t—¹

iy Lim. F™ + v)

lV = -hoo

?(«')

! Lim. ff 1, -

\ îü = -f-oo v

h-¹

y) = l'J Lim.

^    Î0=: + 00

<Kw)

Es sind aber

q{iv+y)

<K«0

beides periodischeFunctionen

von w, und können als solche, wenn w ohne Ende zunimmt, keiner bestimmten Grenze sich nähern, wenn sie sich nicht etwa auf Co ns tant en reduciren. Soll dies für jeden Werth von y geschehen, so müssen cp(«) . und r\>(u) selber von u unabhängig sein. Das ist aber, weil

?(«0

und

’HU) ^ (-1)

u sin (u tz)

cp(-u)

ist, für beide gleichzeitig nicht möglich. Mithin können sich die Functionen

f(l,+x,y) und f(l,-x,y)

wenn x unendlich klein wird, in keinem Falle beide einer bestimmten Grenze nähern.

3.

Aus dem Vorhergehenden ist zugleich zu ersehen, dass man eine Bestimmung der Function, wie sie zur vollständigen Definition von f(u, x, y) noch nötliig ist, erhält, wenn man festsetzt, es solle sich f(l, x, y), entweder für einen positiven, oder für einen negativen Werth von x, wenn derselbe ohne Ende abnimmt, der Grenze 1?/ nähern. Eine dieser Annahmen ist nothwendig, wenn die Analogie der Facultäten mit den Potenzen so viel als möglich behauptet werden soll.

Bei der ersten Annahme muss sich cp(u) auf eine Constante fedu-ciren; und wenn man die Function, in welche alsdann f(u, x, y) übergeht, mit Cr eile durch (11,+xf bezeichnet, so hat man:

(33.)

(u,-hx)' =

jb(-)

y    KX'

X • —-- *

Fc Q + y)

Hiernach bedeutet (u, + xf eine Function von u,x,y, welche den Gleichungen

y+k    y    k

(w, + x)'    = (u,+ x)' (u -f yx,-h x)

(34.)

(ku,+ kx)J= k\u,-\- x)y

(u, + x) = u genügt, und zugleich die Eigenschaft hat, dass sich (1, -\-xf der Grenze ly nähert, wenn x, stets positiv bleibend, ohne Ende abnimmt.

Bei der zweiten Annahme muss 4»(h) = (— l)n sein. Dann hat man:

eine Constante

sin (m 7t)

?(-«)

x,y) = (

XŸ-

«Sh

V4

t -e

-6

Fc (1 + --2/)

y ____

Fc (1+- )

V Xy

Diesen besondern Ausdruck für f(u,—x,y) will ich durch

(m/ , — x)?/

bezeichnen; wobei wohl zu beachten ist, dass man in den Ausdrücken (u,-\-x)y, (u, — x)y die Zeichen (+) und (—) vor x nicht als zu x gehörige Vorzeichen betrachten darf, so dass also (u, — xf keineswegs die Function bedeutet, in welche (n, -\-x)y übergeht, wenn x in — x verwandelt wird, welche vielmehr durch

(m, +(- x))y

zu bezeichnen wäre. Es soll vielmehr, ganz in dem Sinne des Urhebers dieser Bezeichnungsweise, durch das (+) oder das (—) vor dem x, nur angedeutet werden, dass x mit u in eine gewisse Verbindung trete, die

x) — u,

(u

Über die Theorie der analytischen Facultäten. in dem einfachsten Falle, wo y eine ganze positive Zahl und

202

y

(u,-+ x) = u(u + x)(u + 2x) ... (u -t- {y — l)x)

und

y

(u, — x) — u(u — x)(u — 2x) ... (u — (y — l)x)

ist, in der That hei dem ersten Ausdrucke durch Addition, so wie hei dem andern durch Su ht r action vermittelt wird.

Es ist also

(35.)

(u,— xf=

Fc (l + --y)

y K x

Fc (l-f-)

und es gelten für (u, — x)v die Grundgleichungen

y    k

(u, — x) (u — y x, — x)

(,kn,— kxf = lcy (u,— x)\

(u, — X)

y+k

(36.)

zu denen noch die Bestimmung tritt, dass sich (1, — x)y der Grenze ly nähert, wenn x, stets positiv bleibend, ohne Ende ahnimmt.

Hierdurch sind nun zwei Arten von Facultäten auf völlig bestimmte Weise definirt, indem für beide analytische Ausdrücke gefunden sind, die für alle Werthe von u, x, y ihre Gültigkeit behalten. Es scheint zweckmässig, beide Formen

(u, -f xf und (u, — x)y

beizubehalten, indem man, wenn die Differenz x positiv ist, vorzugsweise die erstere, im entgegengesetzten Falle aber lieber die andere anwendet. Sie hängen übrigens, wie aus (33), (35) ersichtlich, sehr einfach zusammen, indem

(37.)

und

(38.)

,y

(y — l)xf+x) (w,+ x) = (u H- (y — 1) x, — xj

(m,— x)y = (ii

ist. Man hat ferner

y    y

(u,+ (— xŸ) = (— x) •

Fc (l H---y)    sin (—) n

y v x '    vxy

¹

Siehe die Abhandlung: Mémoire sur les irrationelles des diff. ordres. (Mém. Par.

y

1772.) Yandermonde betrachtet nur die Function f(n, — 1, y) — von ihm durch \u] bezeichnet — auf die er f(u, x, y) reducirt; es finden sich daher bei ihm die Gleichungen (c), (d) nicht ausdrücklich angegeben.

²

In einem Abschnitt der Schrift: Analyse des refractions astronomiques et terrestres, 1798.

R'(¹⁺f) sinG“2'),t

also

(39.)

(“>+ (- XÎ) = (

«S

• (tt,-

woraus man sieht, dass (u, + (— xj)y nur dann mit (u, — x)V gleichbedeutend ist, wenn y eine ganze Zahl ist.

bezeichnete

Anm. Wenn man die in der Einleitung angegebene, von Bessel und Ohm aufgestellte Formel für die von ihnen durch u Function entwickelt, so erhält man

y\x t , \V

= (U,- x)y,

u = (u,-hx) y\-x

wenn in beiden Fällen x positiv ist. Hiernach kann, wie schon be-nicht für alle Werthe von x durch einen einzigen analytischen

Ausdruck dargestellt werden — abgesehen davon, dass die Definition von u nur für reelle Werthe von x gegeben ist. Ferner ist es zwar dadurch, dass für positive und negative Werthe von x verschiedene Definitionen gegeben werden, erreicht, dass für positive Werthe von u allerdings die Gleichung

merkt, u

y\x

y'p

Lim. 'n

X = 0 U

y\x y

= >R

besteht, sowohl wenn x positiv, als wenn x negativ ist; es gilt aber diese Gleichung nicht mehr für negative Werthe von u, also auch nicht allgemein.

4.

Die bisherigen Erörterungen haben nun zwar zu einer unzweideutigen Definition von

(u, -f x)y und (u,— x)y

geführt; es sind dazu aber vier Bestimmungen für jede dieser Functionen nöthig gewesen. Dies ist, wie schon aus den im Vorhergehenden ausgeführten Entwickelungen ohne Mühe nachgewiesen werden könnte, mehr, als nöthig.

Ich werde daher jetzt zeigen, wie man, ausgehend von einer ganz allgemeinen Definition von

(u, 4- x)y und (u, — x)y

die für jede dieser Functionen nur zwei Bestimmungen giebt, auf völlig systematischem Wege zu den Darstellungen derselben durch die Formeln (33), (35) gelangt; wodurch zugleich die Grundgleichungen (34), (36) gegeben werden.

So wie sich aus dem Begriffe eines Products von gleichen Factoren der allgemeine Begriff der Potenz entwickelt hat, so bildet für die Facultätenlehre die Betrachtung eines Products äquidifferenter Factoren den Ausgangspunkt. Nachdem nun, wenn y eine ganze positive Zahl bedeutet, das Product

u(u 4- x) (u + 2x) . . . (u + (y — l)x)

durch (il, 4- x)y bezeichnet worden ist, findet man, auch ohne dass die Eigenschaften eines solchen Products weiter.untersucht werden, indem

(u 4- x, 4- x) =

ist, die Differenzen-Gleichung

(40.)

A (u, 4- x)V

y Au

(m,4- x)y

wenn sich das Zeichen A auf u bezieht, und Au = x angenommen wird.

Gleich wie nun die Betrachtung der Differential-Gleichung

df(u) y du

f{u)

zu der Potenz u mit willkürlichem Exponenten führt, so kann man sich die Bestimmung einer Function von u zur Aufgabe stellen, welche der Differenzen-Gleichung

t>

<1 I §

555 !

bei einem beliebigen Wertlie von y genügen soll.

Aus der vorstehenden Gleichung folgt, wenn hu = x gesetzt wird :

f(u 4 x) — f(u)

f(u + X)

f(u) =

u~Tyx fi-u + x) '

woraus, wenn n eine ganze positive Zahl bedeutet, weiter

f(u) =f

u(u 4- x) (u -f 2x).. . (u 4- (n — 1) x)

(u 4- yx) (u 4- yx 4- x)... {u 4- (y 4- n — l)x)

• f(u 4- nx)

oder

(u, 4- X)H (u 4- yx, 4- x)n

folgt. Wenn y eine ganze Zahl ist, so kann man, wie gezeigt, f(u)-=(u,+x)y setzen. Dann hat man:

(42.)

• f(u) =

■f(u 4- nx)

(u 4- nx,'-+- x)y

(u 4- nx)y. ^

1 4"

u 4- nx/

1 4-

2x

u 4- nx

V. .(₁ + ⁽lszÆ)

)    \ u 4 nx / ’

also

T . (u 4- nx, 4- x)J

Lim.--z—ü—

n=<x>    ('u + nxy

Dieser Umstand führt darauf, in der Gleichung (42) n = oo zu setzen und sie so zu schreiben:

(43.) f(u) = Lim. ] (u 4 nx)J

n = OO [

(u, + x)n J

(u-hyx, 4- x)n )

• Lim.

n =

f(u. 4- nx) oo (u -f-nx)y

Es ist daher vor allen Dingen nöthig, genauer zu untersuchen, was aus dem Ausdrucke

(u 4- nx)y •

(u, 4- x)n (u 4- yx, 4- x)n

wird, wenn die positive ganze Zahl n ohne Ende wächst.

Zu dem Ende schalte ich hier zunächst einige allgemeine Sätze über die Convergenz der unendlichen Producte ein. Dieselben sind zwar, so wie die damit verbundenen Sätze über die Convergenz einer bestimmten Gattung von unendlichen Reihen, zum grossen Theile bekannt. Ich glaube aber, wenn ich gleichwohl ausführlicher darauf eingehe, nicht nur wegen der ganz elementaren Herleitung derselben, die einiges Eigenthümliche haben dürfte, sondern vorzüglich deswegen auf Entschuldigung rechnen zu dürfen, weil ich überall bei den vorkommenden Grössen die Untersuchung nicht auf reelle Wertlie derselben einschränken, sondern auch auf complexe (imaginäre) Werthe ausdehnen werde.

5.

Einige Sätze über die Convergenz und Divergenz unendlicher Producte.

(I.) Wenn die Glieder einer unendlichen Reihe

. oo

sämmtlich reell, positiv und kleiner als Eins sind, und zugleich diese Reihe eine endliche Summe hat, so convergiren die Producte

Pn = (1 — u₀) (1 — ux) (1 - u₂)... (1 - un)

Qn~ (1 ~L ux) ^ “b ud ^ ~i~ U₂) • • • (1 H" Un) ,

wenn n ohne Ende wächst, beide gegen eine bestimmte, positive Grenze; und zwar das erste beständig abnehmend, das andere beständig zunehmend.

Es ist klar, dass Pn, Qn beständig positiv sind, und dass die erste Grösse beständig ab nimmt, die andere aber zunimmt, wenn n beständig wächst. Es ist daher zum Beweise des aufgestellten Satzes nur nöthig, zu zeigen, dass Pn stets grösser, und Qn stets kleiner bleibt, als eine gewisse positive Grösse.

Es ist, wenn a,b,c,d... reelle und positive Grössen sind,

( 1 X- cl) ( 1 X* &)    — 1 X⁻ ci X- b + ab > 1 X- a X~ b

(1 + a) 1 X- b)    (1 X c)    > (1 X a + b) (1 X c) > 1 + a X b X- c

(1 X ci)    (1 X b) (1 X c)    (1 X d)    > (1X⁻ ci X' b -X c) (1 X d) ^ 1 X ci X⁻ b -X    c X d u. s. w. Dieselben Ungleichheiten bestehen auch, wenn a,b,c, d ... sännnt-lich negative Grössen, ihrem absoluten Betrage nach aber kleiner als 1 sind.

Ferner kann man, wenn E irgend einen echten positiven Bruch bedeutet, m so gross annehmen, dass die Summe

um+1+ ?W2H h um+r

für jeden Werth von r kleiner als E ist. Dies vorausgesetzt, werde n = m + r gesetzt, wo auch m, r ganze positive Zahlen bedeuten sollen; so ist

P.

m+r

(l    um+1)    uni+ù • • • (f um+r)

1 ~ um+1— um+2 ~ '

m+r

> 1 -E,

also

Pn > Pm (1 — E), wenn n > m ;

was gezeigt werden sollte. Ferner ist

uo

i+«o

X¹

un

1 X ux

1 H- u

und da nun, wenn n^m, E auch grösser als

un

1 ~i un

um+1

¹ + um+i

ist, so liât man:

u₀

)-(l-

in

e» Q

Qm

Qn^~

(II.) Wenn dagegen die Reilie

keine endliche Siinnne hat, so wird, wenn n ohne Ende zu-nimnit, -indem- Pn, beständig positiv bleibend und abnehmend, sich der Grenze Null nähert?, während Qn über jede Grenze hinaus wächst.

Es ist nämlich

und die Summe uQ -+■ ux -+- • • • + un wächst mit n über jede Grenze hinaus. Ferner ist

F “ 0 ⁺ i

-‘-n

uo

)(1 + i

ux

— ux

...a

un

.)

u₀

u. s. w. hat ebenfalls keine endliche Summe.

und die Reihe

--,---,

l — u₀ l — u j

gleichzeitig mit n, ohne Ende zu; und zwar über

Es nimmt mithin

p ’

jede Grenze hinaus; woraus folgt, dass Pn, beständig abnehmend, sich der Grenze Null nähern muss.

Zusatz. Setzt man

toi

so ist

-H I SS

1.2 ... {n - 1)

2.3 ... n

Über die Theorie der analytischen Facultäten. also Po, ='0, für n oo. Daraus geht hervor, dass die unendliche Reihe

i—I i CO

$ | I-

keine endliche Summe haben kann. Wird dagegen

p»~ C¹ ~ ^X¹

₃-/ v

gesetzt, so ist

Pn

1.3    2.4

2.23.3

(n — l )(n -f-1)

n. n

1.2 ...    — 1)    3.4 ... (w + 1)

2.3 ... n

11 +1

2.3 ...11

. 211

also Pn — Y für n =

oo.

Mithin wird die unendliche Reihe

! H-¹

rH ! Ci

h-i

eine endliche Summe haben.

(III.) Wenn die Glieder der Reihe

sämmtlich reell sind, und von einem bestimmten Gliede an beständig dasselbe Zeichen behalten und kleiner als Eins bleiben, so wird das Product

Pn— (1 + M₀)(l + Mj) . . . (1 -f Un) ,

wenn n ohne Ende wächst, gegen eine bestimmte endliche Grenze (die, sobald keine der Grössen u₀, uv ... = — 1 ist, nicht Null ist) convergiren, wofern die Reihe u₀, uv ... eine endliche Summe hat. Wenn aber das Letztere nicht der Eall ist, so wird

Pn = oo oder Pn= 0 für n = oo

sein, je nachdem die Grössen u₀, uv ... von einer bestimmten Grösse an, stets positiv oder stets negativ sind.

Alles dies folgt unmittelbar aus den beiden vorhergehenden

Sätzen.

(IV.) Auch wenn die Glieder der unendlichen Reihe

. oo

complexe (imaginäre) AVerthe haben und die Reihe unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder eine endliche Summe hat, nähert sich das Product

wenn n ohne Ende wächst, einer bestimmten Grenze, die von Null verschieden ist, wofern nicht eine der Grössen uQ, uv ... = — 1 ist. Es werde un = vh + iwn und

(1 + M₀)(l + Ux) ... (1 - [ Un) =Pn+ i(]n

P n A (Zn    sn >

gesetzt, wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Dann hat man:

sn⁼/(lAÿ+wJ •]/(! + v^f+iv\

j/(l + vrf'A wn •

so

Nimmt man nun m so gross an, dass für jeden AVertli von n, welcher m ist, die Summe der absoluten Beträge von vn und wn kleiner "als 1 ist kann man

]/(l A vnf + wn = 1 + vn+ enwn

setzen, wo tn dasselbe Zeichen wie wn hat, dem absoluten Betrage nach aber kleiner als Eins ist. Bezeichnet man darauf den absoluten Betrag

von vn durch v'n, so liegt

sn

sm

, wenn n> m ist, zwischen den Grenzen

^    ¹ m-t-i    vm-h2 em-+2 wm+ù

(f + vm+\~r £m+iw

(! -vn~znwn) und X¹ A v'm+2+em+2Wm+2⁾>.....(!+ VL~- en wn)

Beide Producte nähern sich aber, wenn n ohne Ende wächst, zufolge des Satzes (1.), bestimmten positiven Grenzen; also bleibt der AVertli von

, und daher auch der Werth von sn oder ]/ p\ + q* stets zwischen

sn

sm

zwei endlichen Grenzen, wie gross auch n werden mag. Mithin muss es auch für jede der Grössen pw qn eine Grenze gehen, welche de^ absolute^ Betrag der Grösse nicht übersteigen kann.

Nun ist aber

Vi + ^VrCi + Vi+^J (Pn+iQn) und

Pn+1 — Pn~ vn+l Pn wn+\ %n ’

%n-hl Qn~ vn+1 ür: v'n+i Pn 5

woraus

wenn man statt n der Reihe nach m, m + 1, ... m4-r-/setzt,

Pni+r P»i vm+'i Pm~ vm+2 Pyn+l ~~r ’    ’ vm+rPm+r— l

iUm-h2    ’ ' ' wm+r %n+r— i

%m+r

^ni⁼ ^m+i    vm+2 ~T ' ’ ‘ vm-*-r %m+r

-+■ wm+x Pm+ wm+2 Pm+i ~ ' ' ' : wm+rPm+r

folgt. Es hat aber jede der Reihen unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder eine endliche Summe; und da die resp. absoluten Beträge von pn, qn, wie gross auch n werden mag, gewisse Grenzen nicht übersteigen, so müssen auch die Reihen

Po% Pivv-

%% qxvv...

; p₀w₀, pxwv ...

; %wv £\wv ••• endliche Summen haben. Folglich kann man m so gross werden lassen, dass für jeden Werth von r die Ausdrücke auf der Rechten der vorstehenden Gleichungen, also auch pm+r—pm und qm+r— qm, dem absoluten Betrage nach, kleiner als jede gegebene Grösse sind. Damit aber ist bewiesen, dass pn, qn nicht blos endlich bleiben, wenn n ohne Ende wächst, sondern auch dass jede gegen eine bestimmte Grenze convergirt. Ferner ist klar, dass diese Grenzen nicht beide gleich Null sein können, weil sonst sn= ]/ p* + q~ für n = oo ebenfalls = 0 sein würde; was, wie vorhin gezeigt, nicht der Fall ist, wofern nicht eine der Grössen u0juv ... = — 1 ist. Dieser Fall aber kann ganz ausgeschlossen bleiben, weil dann Pn, für jeden Werth von n, von einem bestimmten Wertlie an, gleich Null sein würde.

(Y.) Nicht selten trifft man eine unendliche Reihe an, deren

Glieder

Uqj UV ^2’ ' * *    ' ' '

ein solches Gesetz befolgen, dass sich der Quotient —

«    \{j

eine (endliche oder unendliche) Reihe von der Form

un

in

n—l

1 H----b

entwickeln lässt

wo av a₂, av ... von n unabhängig sind, übrigens aber beliebige complexe Werthe haben können, auf die Weise, dass

Lim. n (-

«i

V für n = oo

ai

u. s. w. ist.

Wenn in diesem Falle a^ die erste der Grössen ava₂,x... ist, welche nicht verschwindet, so dass

Lim-i!¹ (-

n = oo    tl

un

o=

ist, und es ist erstens    so wird un, wenn n ohne Ende

zunimmt, gegen eine bestimmte, endliche und von Null verschiedene Grenze convergiren. Wird dieselbe durch u bezeichnet, so kann man ferner

vn

un = u H--

setzen, wo vn eine Grosse ist, die endlich bleibt, wie gross auch n werden mag.

Setzt man

un

kn

Un-1

so erhält man

Nun ist aber Lim. fcw=ft„; es bleibt mithin kn endlich, wie gross auch n

n— oo

werden mag. Daraus folgt, dass die Reihe

-T"

tc

-p: io

II

. . CO ,

unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder, eine endliche Summe hat, weil dies für die Reihe gilt, was bereits für [x = 2 im Zusatze zu (No. II.) gezeigt wurde, und daher auch feststeht, wenn |x > 2 ist. Damit ist aber nach (No. III.) erwiesen, dass un für n = oo einen bestimmten endlichen, von Null verschiedenen Werth annimmt.

Bei diesem Beweise ist allerdings vorausgesetzt worden, dass keine der Grössen u₀,uv ... gleich Null sei; der Satz bleibt aber gültig, wenn diese Bedingung für alle Grössen der Reihe, von einer bestimmten um an, erfüllt ist. Setzt man nämlich n ■= m H- r, so ist

m-y-r

um-y-r—i

(r -f m),a (r -j- m)

H----

woraus, sobald r > m ist,

Um-y-r

ftp

um+r—i

r I¹

-b

P-M

folgt, wo ft,l? ftj'^i,... von r unabhängig sind. Mithin bekommt u r = oo einen endlichen, von Null verschiedenen Werth.

m-t-y

für

Ist nun

Lim. un — u

n=oo

so setze man un= vn-\-iw

alsdann liât man:

un un—l

ihn

-^K„x+iivn_ i),

np

und daher, wenn man gnvn_x- hnwn_x = p , gnwn_x+ hnvn

— qn setzt,

un un-h i

(n +1) ^

Setzt man nun der Reihe nach n+1, n+2, ... n+r —1 statt n, wo r irgend eine positive ganze Zahl bedeutet, und addirt die so entstehenden Gleichungen zu der vorstehenden, so ergiebt sich:

un~u

n-hr

_ _Pn-+-1 ¹ ' ⁽hi+\

(n + l)T*

3Wr+ n (n + r)!i ’

n-t-r

oder auch, wenn

⁰n,r

(n -f l)

(n + r)¹¹

einen Mittelwerth zwischen der grössten und der kleinsten

n,r

ist, und P,

der Grössen pn+1, ... pn+r, und ebenso Qn r einen Mittelwerth zwischen der grössten und kleinsten der Grössen qn+l, . .. qn+r bezeichnet:

n,r ’

n,r

Lässt man nun r ohne Ende wachsen, während n constant bleibt, so nähert sich un+r der Grenzen; ebenso nähert sich anr einer Grenze, die durch on bezeichnet werden möge, und deshalb müssen auch Pnr, Q gegen bestimmte Grenzen convergiren, welche Pw Qn sein mögen. Man erhält daher

Un=u — Gn{Pn+iQn) ,

und es ist klar, dass Pn, Qn endlich bleiben, wie gross auch n werden mag, da dies für gn, hn, vn, wn, also auch für pn, qn, der Fall ist, und

daher Grenzen existiren müssen, die Pnr und Qnr und mithin auch Pn, Qn, dem absoluten Betrage nach, nicht übersteigen können. Ferner ist

(n H- l)

(n -t- 2),x (n 4- 3)

• oo

in H- l)² (n 4 l)

ll-2

(n 4- 2)² (n 4- 2)^ ²

oo

(n+ l)²

(n + 2)

)•

(n 4~1)

11-2

11—2

n(n 4-1) (n 4-1) (n 4- 2)

also

4-

n 4-1

w+2

4- •••

-)-h'

⁷ n

d. h.

setzen, wo tn ein echter Bruch ist, und wenn man £n(Pn4- iQn) durch — vn bezeichnet, so hat man:

Man kann also on

n,x

vn

und es bleibt vn endlich, wie gross auch n werden mag.

(YI.) Wenn aber zweitens ax nicht Null ist, so sind drei Fälle zu unterscheiden.

(A.) Ist der reelle Theil von <4 positiv, so wird un unendlich gross für 11 = 00 ;

(B.) Ist der reelle Theil von ax Null

so bleibt zwar un endlich, wie gross auch n werden mag, nähert sich aber, wenn n beständig zunimmt, keiner bestimmten Grenze.

(C.) Ist der reelle Theil von ax negativ, so wird un= 0 für

11 — 00.

Es sei ax=g 4- hi und es werde

_1_

*-).....(i+-M,

m 4-17    v ffl + w⁷

).....(1 + -A4-)

7    v m 4- n⁷

hi

m 4-1

gesetzt, wo m eine ganze positive Zahl bedeuten soll, die grösser ist als der absolute Betrag sowohl von g als auch von li. Dann hat man:

un

Pn — i <hi — i

Pn^n Pn — xQn—i

un-1

üw 'Zn

== (l +

al

UP

JL

n + »1

) (n

lii

hi

---h

//

+ •")

2 “1" •' ‘ • ’

//

wo «g ¹ • s- w. von n unabhängig ist. Mithin convergirt, nach dem vorhergehenden Satze

un

wenn n beständig zunimmt, gegen eine bestimmte

P ⁽1

r n n

endliche und von Null verschiedene Grenze, und man kann

un

vn

Pn ⁽hi

11

> also

und es nähert sich diese Grösse, nach (No. I.), wenn n ohne Ende.wächst, einer bestimmten, von Null verschiedenen Grenze, weil die Reihe

2 ’    ,    . Vn2 ?

(m +1)

eine endliche Summe hat. Mithin bleiben auch q'n und q” stets endlich.

Bezeichnet man

so hat man:

^ durch L,

m + n

Jn~~ ^ ^n)    ^n— i)

also

Q-n ^n—1 üi %n—1 ’

Setzt man in diesen Gleichungen statt n der Reihe nach n, n+1,..., n+r und addirt die so sich ergehenden Gleichungen, so erhält man:

%n+ r

4------h t

q'l

n+r

n+i

- ?w_i= (tn+ *»+i ⁺ • • ' + t

n+r—i

n+r—

)«

i,r

und

wo q'nr einen Mittelwerth der Grössen qn_v qn, ... qn+r q"r einen Mittelwerth der Grössen q^_v q^, ••• fl'n+r_\

Nun bleiben aber die AVerthe der Grössen auf der Linken

bedeutet.

dieser Gleichungen stets endlich, während die Summe

tn-+1

n+1

n+r—l

m -ff n m + u + l

m -ff n+r A-1 '

wenn r wächst und n constant bleibt, über jede Grenze hinaus zunimmt. Daher müssen q^r, q"n r beide sich der Null nähern, wenn r ohne Ende zunimmt, n aber unverändert bleibt.

.. dem

—iiQn’Qn+i’ ’

Es werde nun n so gross angenommen, dass die Differenz zwischen je zwei aufeinander folgenden Gliedern der Reihe qn absoluten Betrage nach kleiner sei als eine beliebig angenommene, noch so kleine Zahl E\ was möglich ist, weil

Q-n+r

^n+r—i ^n+r^-n+r—v

und tn+r beliebig klein werden kann, wenn nur n gross genug angenommen wird, während q”+    1 stets endlich bleibt, Ferffer sei r so gross,

dass auch der absolute Betrag von q' kleiner als E ist. Haben dann in der Reihe q'n_₁, q'n,... q'n+r_x sämmtliche Glieder dasselbe Zeichen, so ist q'nr dem absoluten Betrage nach grösser als das kleinste derselben; dieses muss daher von Null weniger verschieden sein als E. Im entgegengesetzten Fall aber muss es zwei unmittelbar auf einander folgende Glieder von verschiedenen Zeichen geben, und da die Differenz derselben kleiner als E ist, so folgt, dass jedes von ihnen kleiner als E ist. Man sieht also, dass man, wenn man in der Reihe q’₀,q[, ... von irgend einem Gliede aus weiter geht, stets auf eines kommen muss, das^ dem absoluten Betrage nach noch kleiner als jede gegebene Grösse ist. Dasselbe gilt für die Reihe q'₀', q”, ...

Nun nähert sich aber der Werth von q'nq'n+ ⁽ln⁽int wenn n beständig zunimmt, einer bestimmten Grenze G, und wenn daher wieder E eine beliebige kleine Grösse ist, so muss man, ausgehend von einem beliebigen Gliede der Reihe q₀,q₁, ... unter den folgenden stets auf eines kommen, für welches die Bedingungen

G — É < q'nq'n + q” q” < G + E,

¹

n

setzen, wo v von n unabhängig ist, vn aber stets endlich bleibt. Setzt man q~ q'n+ iq\[, so hat man:

q'n q'n < E

erfüllt werden. Dann hat man

G — 2 E < q'v q'n < G + E\

d. h. es muss auf jedes Glied der Reihe q'₀, q[, ..., wie weit vom Anfänge entfernt es auch sei, stets wieder ein solches Glied folgen, welches seinem absoluten Betrage nach der Grenze }/G beliebig nahe kommt. Dasselbe gilt von den Gliedern der Reihe q'^, q”, ...; und somit ist erwiesen, dass sich qn, wenn n beständig wächst, keiner bestimmten Grenze nähert, sondern sowohl der reelle, als auch der imaginäre Theil dieser Grösse zwischen zwei verschiedenen endlichen Grenzen schwankt.

Für das Product pn folgt unmittelbar aus (Nr. L), in Verbindung mit dem Umstande, dass die Reihe

q_ g

m¹ m + l

keine endliche Summe liât:

Lim.j)w=oo, wenn <j positiv ist und

n—oo

Lim. pn 0 , wenn g negativ ist.

1} =oo

Aus der Formel

Pn q^n

u"=(v+vö

ergiebt sich jetzt ohne Weiteres Folgendes:

1.    Wenn g positiv ist, so wird der absolute Betrag von un

unendlich gross für n = co;

2.    Wenn g negativ ist, so wird derselbe unendlich klein für n — oo;

3.    Wenn g= Null ist, so nähert sich derselbe, wenn n beständig

zunimmt, zwar einer bestimmten Grenze, aber da dann

Un= --~

vnQn , T . V(Jn ,,

- und Lim. — = 0

7l=oo %

ist, so convergirt un selbst, gegen keinen bestimmten Werth, sondern schwankt.

Anmerkung. Setzt man, was hier absichtlich vermieden ist, die Theorie der Potenzen mit beliebigen Exponenten voraus, so lässt sich der vorstehende Satz viel kürzer begründen. Denn es ist

un

un-1

un

ti-hhi ’ /

n    (n — l)

un— l

•0

(l+hi

*■ N IÎ1

e ! s

folglich nähert sich, wenn n ohne Ende zunimmt,

Un

nach (Nr. 5)

q-+-hi n

einer bestimmten, von Null verschiedenen Grenze; und wenn man dieselbe durch v bezeichnet, so kann man

Vv

un

u+h i n

oder

nn= n

¹¹. (y + -■ ') [cos(Mogw) -f- isin(Mogn)]

setzen, wo vn stets endlich bleibt. Aus dieser Formel folgt der zu beweisende Satz unmittelbar.

(VII.) Wenn wieder

un

un—l

g + hi ao H 2 '

q'n q'n-+- q'n Ü =

in

]Jj\.....(

(m -fl)“/    '

(m -h i%yL

ist, so weiss man, dass die Summe

(A.)

uQ-\- uxx + u₂x' + • • • H- unxn,

wenn n ohne Ende zunimmt, gegen eine bestimmte endliche Grenze convergirt, sobald der absolute Betrag von x kl ein étais 1 ist; so wie auch, dass sie di vergift, wenn der genannte Betrag grösser als 1 ist. Beides gilt auch, wenn tn den absoluten Betrag von un, £ den von x bedeutet, für die Summe

(B.)

Ist aber der absolute Betrag von x gleich 1, so gelten folgende

Sätze.

1)    Die Summe (A) convergirt, wofern nicht x-=l ist, sobald g

negativ, die Summe (B) aber nur, wenn g < — 1 ist.

2)    Wenn aber x = 1 ist, so convergirt die Beihe (A) — und dann

gleichzeitig auch (B) — nur in dem Falle, wo g<c — l ist; sie bleibt zwar endlich, wie gross auch n werden mag, nähert sich aber keiner bestimmten Grenze, wenn g — — 1 und li~^ 0 ist ; und divergirt in jedem anderen Falle.

3)    Beide Heiken divergiren, wenn g~> 0 ist, indem dann weder

unxn, noch tn £n, für noo unendlich klein werden.

Da der absolute Betrag von x der Einheit gleich sein soll, so ist die Summe (B) gleich

tn-

Ferner, wenn

un

U,

*->■

* 'S»

ist, so hat man

vo

n— l

Setzt man nun, wenn m eine ganze positive Zahl bedeutet, die grösser ist als der absolute Betrag von <7, wieder

■m +1

Pn V

so kann man (nach Nr. Yl), wenn man tn an die Stelle der dort mit un bezeichneten Grösse treten lässt, wo dann qn= 1 wird,

setzen, wo t von n unabhängig ist, t'n aber stets endlich bleibt. Nun ist

• Pn—\ >

Pn Pn~l m + n (m 4- n). pn- (m + n - 1). pn_x= (g + 1). pn_x ;

setzt man also in dieser Gleichung statt n der Reihe nach 1,2,... n, so erhält man durch Zusammenziehung der so entstehenden Gleichungen:

(m + n)pn- mp₀= (g + 1 )(p₀+p₁+ • • • + Pn_i).

Aus dieser Gleichung aber ist zu ersehen, dass es, wofern nicht <7+1=0 ist, zur Convergenz der Summe

Po üi~ • • • + Pn-1

hinreichend und notliwendig ist, dass (m + n)pn einer bestimmten Grenze sich nähere, wenn n beständig zunimmt. Dies kann aber, da

O + n)pn

( m + n — 1 )p

n—i

= (l+ -+)(!

v n + m/ v

= (l + -v n

...)(i+i₊...) = i+2±i + . ' v n y    n

ist, nur dann geschehen, wenn <7+1 negativ ist, (indem der Fall </ + l = 0 ausgeschlossen ist), wo dann (m-\-n)pn für n = oo (gemäss

Art. VI) unendlich klein wird.

Ist #4-1 = 0, so hat man

Pn

(i-

m 4- n

)-

m-M

m -+■ n

und

4-

m 4-1

m 4- n

Diese Summe ist aber (Art. II Zus.) divergent. Mithin ist es zur Convergenz der Summe

Pq+P\+ ’ • ' "PPn

nothwendig und hinreichend, dass g c — 1 sei. Nun ist aber

f₀4- tx4 \-tn

= t₀+t(p₁-P----b Jhi) + (KP\) + ~2 (KP?) k — (t'npn).

so wird auch t₀ 4- tx -f----\~tn convergiren,

+ (tnVr) gleichzeitiS mit p,+p₂-\-----\-pn

AVenn daher g < — 1 ist, indem (t'^)+ ~ (t'₂p₂) + ■ ■ ■ convergirt.

Ist g^> — 1, aber < 0, so divergirt von diesen beiden letzten Summen die zweite, während die erste, da

Pn . Pn-l n ' n — l

Pn

Pn—l

• •    ("l 4--= 1 4-

/ \ n/

ist, noch convergirt; folglich divergirt auch £₀4- ^4- • • • 4- tn. Dasselbe findet statt, wenn g=^ 0 ist, weil dann tn für n = oo nicht unendlich klein wird. Alan sieht also, dass die Reihe (B) convergirt oder divergirt, je nachdem g — 1 ist oder nicht.

Im Convergenz der Summe (A) ist zunächst erforderlich, dass Lim. tn= 0 sei, weshalb g 0 sein muss. Dies vorausgesetzt, werde

11 =oo

) = Pn

g 4- h i

m 4- n

gesetzt, so hat man:

¹¹ n un—l

P ¹ P n n

un

!)- 1,1

a.j

un— i

H- • • •

= 14

Mithin kann man (nach Nr. V)

p r , wn\

nn=P,Xv+

setzen, wo wieder v von n unabhängig ist, wn aber stets endlich bleibt. Ferner sei

sn= uxx P u₂x²• ■ • 4- unxn Sn= Pxx + P₂x²-\- ■ • • 4 Pnxn

— in P    '

„ TI    5

Tu

S'n =WxPxX + Y w₂ P₂ x 4- •••

dann hat man

Sn vSn+ S'n-

Nun ist

P. P.

î-CO(1 +

fj + hi

— 1 4” h i

und da g — 1 < — 1 ist, so convergirt, wenn man durch Qn den absoluten Betrag von Pn bezeichnet, nach dem vorher Bewiesenen die Summe

O»

und daher auch, indem xnwn stets endlich bleibt, S”. Daraus folgt, dass sn gleichzeitig mit Sn convergift, schwankt oder divergirt.

Es ist aber

n-hi

(1 - x) SH= l\x 4 (P₂- Px) £C²4- (Pt- P₂)    .....I (Pw- P^) Pnx

P,

— Pj X⁻ 4 (g+h    •

m 4- 2

X -f

P,

P,

m 4- n

cc

n-\-1

Die eingeklammerte Summe convergirt. was gerade so gezeigt wird, wie für S'n, und Lim. Pn= 0, weil g negativ angenommen worden; folglich

n—oo

wird auch (1 — x)8n, und, wenn nicht 1 — x = 0, auch Sn convergiren. Die Summe (A) convergirt also stets, wenn ^-^0, und nicht x = 1 ist. Wenn aber x = l, so hat man

g + hi + 1

ergiebt, wenn man in derselben

n—l

wie sich unmittelbar aus der im Vorhergehenden gefundenen Formel für die Summe pQ+px + • • • Pp g Phi für g und n-f-1 statt n setzt. Es wird daher, wofern nicht etwa g = — 1 und zugleich h = 0 ist, Sn convergiren, wenn sich (mPnPl)Pn+l bei beständig zunehmendem Wertlie von n einer bestimmten Grenze nähert. Dies kann, da

(niPn+l) P

w+l

(mPn)Pn

n+1

gpiphi

-Xi+^Xi+S)

ist, nur geschehen, wenn g+l <0 ist, indem der Fall ^ + 1 = 0, h = 0 ausgeschlossen ist.

Ist (7 + 1 = 0 und li = 0, so ist die Divergenz der Summe P₀+Pj+ • • • ’ + Pw bereits im Vorhergehenden bewiesen.

Folglich convergirt, wofern x = 1 ist, die Summe (A) nur, gleichzeitig mit der Summe (B), wenn g < — 1 ist.

Wenn g = — 1 und/i^O, so bleibt der Werth von (m + n-+-l)Pv^1 nach (Art. VI.) zwar stets endlich, nähert sich aber keiner bestimmten Grenze. Dasselbe gilt also auch von Sn und von der Summe (A).

Wenn endlich g> — 1, also 77+1> 0 ist, so wird der Werth von (m + n + l) PV ] i unendlich gross für n = 00. Mithin divergirt in diesem Falle Sn, und auch die Summe (A).

Damit ist der aufgestellte Satz in allen seinen Theilen erwiesen.

Anmerkung 1. Setzt man statt un den in der Anm. zu (Art. VI) ge-

vn

gebenen Ausdruck un= —-

q+hi (i+l+M fl    71

, so ist leicht zu sehen, dass die

Summe (A) gleichzeitig mit der folgenden:

„    X

C1-+-1Û

n

l + a: + -—

convergirt, schwankt, oder divergirt.

Anm. 2. Die Sätze V bis VII stimmen, wenn man den in ihnen vorkommenden Grössen nur reelle Werthe beilegt, im Wesentlichen mit denen überein, welche Gauss in der Abhandlung „Disquisitiones generales circa seriem infinitam“

X -À

g(g + l) ß(p ■+■ l)

2.T(T + 1)

begründet hat. Mit der hier gegebenen Erweiterung dienen sie für eine grosse Menge von unendlichen Reihen, die in der Analysis Vorkommen, zur Entscheidung über die Convergenz oder Divergenz derselben. Aus diesem Grunde habe ich sie ausführlicher entwickelt, als gerade für den nächsten Zweck nötliig gewesen wäre. Übrigens würden sie sich ohne Mühe noch bedeutend verallgemeinern lassen.

6.

Jetzt zurückkehrend zu der Gleichung (43) des § 4, gebe ich, da

Lim.

n =

^ (u + nx^

**• j    y .

und

⁰⁰ '    (na:)’

(U , ~sr X)n

(u-hyx, -\-x)n

u(u + x)(u ■+2 x)

(u + yx)(u -+- yx 4- x).....(u + {y+n—\)x) •

« I ss

1—

(1 +

w__\

(n — l)x'

u-}~ yx

).....(i +

u-\-yx

(n — l)x

ist, indem ich (44.)

15

setze, derselben die Form:

(45.)

Nun ist

f(u) = x Lim.l-Lim.j^--^j .

n=00lF(£+y,n)\ n==°°l(u+nx) \

— (—-Y 7i + —-

^n— u v n-V

—)”(!+-4)

n' K    n — ly

F(u, n) F(u, n -¹-1)

---b —

u(u — l) 2 n²

\/„ u u    \

.....)(l+- + -2+- •)

n n

u (u — 1 ) 2n²

also convergirt F(u, n), wenn n ohne Ende zunimmt, gemäss Art. Y des § 5, gegen eine bestimmte endliche Grenze, welchen Werth auch u haben mag. Bezeichnet man diese Grenze, die eine Function von u ist, durch Fc (u), so hat man:

(46.)

Fc (u) = Lim. | n Uu(l -f w)(l + y)

(i + —T) ' n — ly

oder

(47.)

GC— 4-oo (    'iß    \

(44) o+") •

a=i v

Es erhellt aus diesen Formeln zugleich, dass Fc (u) nur verschwindet , wenn u der Null oder einer negativen ganzen Zahl gleich ist. Hiernach ist

Fc

Lim.

n =

“ FG⁺y’n) FcG+y)

und es muss daher, der Gleichung (45) gemäss, wenn es wirklich eine

f(u -r nx)

(u + nx)y

Function f(u) giebt, die der Gleichung (41) genügt,

einer be-

stimmten endlichen Grenze sich nähern, wenn n beständig zunimmt — wenigstens wofern nicht Fc (—J — 0 ist.

Bezeichnet man diese Grenze, als Function von u betrachtet, durch 4 (u), so muss

(48.)

']t{u+x) = t|* tu )

sein, da

Lim.

n='

f(u + nx)

f(u + x-\- nx)

y = Lim.

⁰⁰ (u -b nx) n—00 (u _|_ x _|_ nx\

ist, und es ergiebt sich

(49.)

f(u) = x

(u) .

Umgekehrt lässt sich nun erweisen, dass jede Function von u, welche durch diese Formel dargestellt wird, wenn nur 4(u) die in der Gleichung (48) ausgesprochene Eigenschaft hat, der Gleichung (41) genügt.*) Denn es ist

u F(u+l, n) = n

(u-+- l)(n + 2)

1.2

(n — l)

(u -t- n ) u + n T1,    .

⁷ =-F(u, n) ,

n

woraus für n = 00 ,

(50.)

Fc (u) — u Fr (u +1)

folgt. Mithin ist

f(u 4- x) — x

oder

f(u + x ) — f(u) _ y x

f(u)

welches die Gleichung (41) ist.

*) Es ist zu bemerken, (lass bei der Herleitung der Formel (49) die Grössen x,y als Constanten betrachtet worden sind und deshalb cp(?*) anzusehen ist als eine von u und von x, y abhängende Grösse, die, als Function von u betrachtet, der Gleichung (48) genügt.

Um nun die Function ^W) zweckmässig zu bestimmen, kann man

die Forderung stellen, es solle, sowie für die Function (u,hx)y, falls y eine ganze Zahl ist, die Gleichung

- y

Lim.

n =

(uh-nx, -hx)

⁰⁰ (u 4 nx)J

gilt, der Function f(u) für jeden Werth von y die durch die Gleichung

f(u-hnx) (uh- nx)

ausgesprochene Eigenschaft zukommen.

y

f sein und somit f(u)

Dann muss nach dem Vorhergehenden (u) durch die Formel

(51.)

f(u) — xJ

Fr

deflnirt werden.

Nun ist (in § 2) mittels der beiden, aus (50) und (46) folgenden Gleichungen

(52.)

i C (u) — U [ U h 1)

(u-hn—1) Fc(u h n)

(53.)

Fr (1)= 1

gezeigt worden, dass

(54.)

Lim. j »-•&(») ! n=oo | Fr (u -h n) \

ist; wobei zu bemerken, dass hier, wie auch in (46)

n-u=J1-,,h‘«n=l-ulogn

2 2 u log n

1.2

zu setzen ist, unter der Bedingung, dass von den verschiedenen Werthen von log n der reelle genommen werde, so dass also Fr (u) eine eindeutige Function von u ist,

Hiernach ist, wenn man jetzt für die durch die Gleichung (51) defi-nirte Function f(u) die Bezeichnung (u,+x)y einführt.

[ll + V X. -! X) — x

Fc(-- + n)

y    'x '

Fc C ■!i ■n)

(u+nx.-hx) (u~-nxf

+‘

»i

«si

Fc (v) n J Fc (n)

: IJ F 11) Fc(~ + n)

mithin ist für jeden Werth von y in der That:

y

(55.)

Lim

n — oo

\ (u-r fix, +x) l_ y

(u 4-- nx)

Hinsichtlich der Function Fc (u) ist noch zu bemerken, dass sie durch die Gleichungen (50), (53), (54) vollständig bestimmt wird. Denn aus (50) und (53) folgt

Fc (u) —

u(n 4-1)

1.2

(11 Jrn — \)    Fc(n)

(n — l)

Fc (n }- u) ’

woraus sich mittels (54) die Formel (46) ergiebt.

Durch das Vorstehende sind also jetzt folgende Resultate erlangt. I. Es giebt eine, und zwar nur eine, für alle AVerthe der unbeschränkt veränderlichen Grösse u definirte, eindeutige und für keinen endlichen Werth von u unendlich gross werdende Function Fc (u), welche die in den Gleichungen

Fc (n) = u Fc (u -bl),

(56.)

Fc( 1) = 1,

11=

Lim. ⁷LU..FcÄn)\ = i Fc (n 4-n)\

ausgesprochenen Eigenschaften hat und durch die Formel

a=4-oo

nn !(

a --1    ' v

4<> *T>I

dargestellt wird.

II. Es giebt eine, und zwar nur eine, von drei unbeschränkt veränderlichen Argumenten, der Basis u, der Differenz x und

dem Exponenten y, abhängige und durch (u,+xf bezeichnete Function, welche der Gleichung

(57.)

A(u,-\-xf

yx

(u,+xf

in der sich das Zeichen A auf u bezieht und A u = x zu nehmen ist, genügt, und zugleich die in der Formel

y

\(u+nx,+x)

**• 1    ÿ !

⁰⁰ ( (u+nx) )

wo n eine positive ganze Zahl bedeutet, ausgesprochene Eigenschaft besitzt. Ihr allgemeiner Ausdruck ist

(58.)

Lim.

n=

(59.)

(u, -+xy

Hï+v)

oder

(GO.)

/    \V y U

(u, +x) — X--

u + (2/H- a) sc

Aus der Formel (59) ergeben sich dann, wie in § 1 gezeigt worden, für (u,-hx)y die Grundgleichungen

(61.)

(G2.)

(u,-\- x)y+^ = (u, +x)y(u-r-yx, -t-xŸ y-k_^

(03.)

(64.)

(u, +x)y

{u+(y — li)x, -hx)¹' (Im, +hx)y — lcy(u, -\-x)y,

( u, -f x )

(u, -f x)

-= u

aus welchen sich nun eine Feilte anderer herleiten lässt, z. B.

(65.)

(w — yx, 4-£c)^

(n,+a:)⁰= 1 (u, + x) y =

und insbesondere, wenn y eine positive ganze Zahl ist,

(67.)

y

(u, -f x) = u (u + x)(u -f 2x)

(u + (y - l)x)

(68.)    (m, + £c) y=

(u — x)(u — 2x)

(u - yx)

Ferner, wenn y,v,w beliebige Grössen bedeuten,

(69.)

y (V, -f «;)

---h y

w

(v, +w)

u. s. w. (Vgl. Crelle’s ,,Mémoire sur la théorie des puissances, des fonctions angulaires et des facultés analytiques“).

Ich bemerke noch, dass die Formel (43), welche aus der Bestimmungsgleichung (57) folgt, mittels der anderen (58) unmittelbar zu dem Ausdrucke von (u,-\-x)y in der Form des unendlichen Products (67) führt, dessen Convergenz nach dem Satze (Art. V. § 5) feststeht, sobald nicht —+y Null

(unter m eine

u

— m,

oder eine negative ganze Zahl ist. Ist aber —-f-y =

ganze positive Zahl, Null eingeschlossen, verstanden), so folgt aus (69), wenn man v = 1, w = 1 setzt:

—m—l

(1, -fl)

(u, -f x)y =

da nun, nach (66), (1,-tl)

= oo ist, so sieht man, dass die Form — » ³ 0

welche in diesem Falle das Product (60) annimmt, durch die Natur der Function (u,-*-x)y gefordert wird.

Nachdem auf die angegebene Weise eine Definition der Facilitât (u, +x)y gefunden ist. die nicht mehr Bestimmungen enthält, als nöthig sind, und die alsbald zu einem allgemeinen Ausdrucke, sowie zu den wichtigsten Eigenschaften der Function führt, gelangt man auf einem ganz ähnlichen Wege zu der anderen Facultäten-Form (u,—x)y\ worunter, um wiederholt daran zu erinnern, nicht (w, +(—x))y verstanden werden soll.

Sie wird nämlich durch die beiden Gleichungen

lyx

A (u, — x)y

(70.)

(u, — x)y

Lim. | (u+nx’ ~~x^y \ = xy n=oo\ (u+nx)y i

definirt, wo aber jetzt Am = — x zu setzen ist. Dann folgt aus der ersten dieser Gleichungen

(u — x.

x)y — (u, —x)y •

yx

(u, —x)y

,    u—yx ,    +

(u—x, —x) =—-²— (u,— x) , v '    u

und hieraus, wenn man u+x statt u setzt:

(u, —x)' =

u + (l — y)x

(u + x, —xf,

welche Gleichung zu der folgenden:

(u,—x)

u + (l — y)x u + (2 — y)x u -f 2x

u -f (n — y)x ,    v.v

-—-——— (u + nx, —x)

u -f nx

+ï-//

r-H

-fl

11

(u-+ nx, —x)'

(M

führt. Setzt man statt (u+nx, —x)y

y (u + nx, —x)y n

---h y —

x

(u -f nx)y

--1

/ nx \ y \u -f n x)

(ku,~ kxf = 1c (u, —xf,

(75.)

(76.)

Über die Theorie der analytischen Facultäten. und dann n = oo, so erhält man, gemäss (70) und (40):

(71.)

(u, — xf= X

oder auch

(72»)

/ yu+x-yx*TF*¹\,z-{-lJ u-\-(*+l-y)x j u + x ;] ■ a ' u •+■ (a H- l)x )'

Zugleich lässt sich aus der Formel (71) mittels der Eigenschaften der Function Fc(u) ohne Weiteres beweisen, dass die durch dieselbe ausgedrückte Function ' (u, — x)y wirklich die in den Gleichungen (70) ausgesprochenen Eigenschaften hat.

Es ergeben sich dann aus (71) für (u,—x)y die Grundgleichungen:

(73.)

y+k    y    k

(n —xj (h,—x) (u—yx, — x) ,

(74.)

y-k

(u—x)    =

(u, —x)

,    7    \y

(ii—(y—l{)x, — x)

(u, —x)    = u ;

aus denen wieder die folgenden:

(77.)

(78.)    (u,-x)~y=

1,

y

(u + yx, — x)'

und insbesondere, wenn y eine positive ganze Zahl ist,

(n — (y—l)x)

y

(79.)    (u, — x) = u(u — x) (u — 2x)

(80.)    (w, —x) y~

(u + x) (u ~r 2 X)

('u + yx)

Über die Theorie der analytischen Facultäten. sowie, wenn y, v, w beliebige Grössen bedeuten,

234

(81.)

y    w

y (v, — w)

V    u

----1- y

w    x    ö

u. s. w. hergeleitet werden*). Ferner hat man:

(82.)

| (u, — x) = (u-jrx—yx,+x)^= | (u, +x'f — (u-x-hyx,+x)^=

(u-\-x,+x) y

(ll — x, — x)

Setzt man endlich in (59) u=x = l, und u — 1 für y, so findet sicli

(83.)

Fc (u) =

(1,+ D

u+ 1 statt y setzt :

und wenn man in (71) u=0,x=l und

(84.)

Fc (u) = (0, — 1)

l—«

so dass also die Factorielle Fc(u) selbst eine Facilitât ist.

7.

Es ist oben angegeben worden, dass sich die Function Fc (u) nach ganzen positiven Potenzen von u in eine beständig, d. h. für alle reellen und imaginären Werthe von u convergirende Reihe entwickeln lasse; sowie, dass die Reihe, in welche man die Facultät (u,-[-x)y nach steigenden Potenzen der Differenz x entwickeln kann, niemals convergirt, wenn y keine ganze Zahl ist. Es erscheint mir nicht unangemessen, auf die Rechtfertigung beider Behauptungen näher einzugehen.

*) Es ist hierbei zu bemerken, dass, obwohl (ii,—x)J nicht gleich (u, + (—x))J

ist, gleichwohl alle Gleichungen, die ohne Zuziehung der zweiten Gleichung (70) aus den

y

Gleichungen (73—76) folgen, aus den entsprechenden für (u, +sc) durch Verwandlung von x in (— x) sich ergeben.

Zu dem Ende stelle ich noch einige Sätze über die Convergenz der unendlichen Reihen zusammen, welche hier, sowie auch im Folgenden, zur Anwendung kommen.

1) Hat man eine unenliche Reihe von der Form

2 aa,ß, •

hat, wo x,y,... veränderliche Grössen sind und a,ß,... ganze Zahlen, von denen jede, unabhängig von den andern, alle Werthe von 0 bis -boo durchläuft, und es bleiben die absoluten Beträge der Glieder der Reihe, wie gross auch a, ß,... werden mögen, sämmtlich kleiner als eine angebbare Grösse, wenn für x.y,... bestimmte Werthe x₀,y₀,... gesetzt werden; so convergirt die Reihe für alle Werthe von x,y,..., die ihrem absoluten Betrage nach beziehlich kleiner als xQ,yQ)... sind, und zwar unbedingt.*) Bezeichnet man nämlich die absoluten Beträge von

x, y,..

durch so lässt sich, der Voraussetzung nach, eine (positive) Grösse G angeben, die grösser ist als

.ß

also der absolute Betrag von

welche Werthe auch a,ß,... haben mögen. Alsdann ist der absolute Betrag von aaß kleiner als GÇ₀ ayj₀ ^..

und daher die Summe von

a,0L ^ x*'y^... kleiner als GÇ₀ a7j₀ ^...£ar/H beliebig vielen Gliedern der betrachteten Reihe dem absoluten Betrage nach kleiner als

Ee5rV-~ey»--

wofern E < E₀, r\ ..., wodurch der auf gestellte Satz erwiesen ist.

*) Eine Reihe soll unbedingt convergent genannt werden, wenn sie hei jeder beliebigen Anordnung ihrer Glieder convergirt. Dazu ist erforderlich und hinreichend, dass die Reihe der absoluten Beträge ihrer Glieder eine endliche Summe habe.

230

Über die Theorie der analytischen Facultäten. 2) Es seien die Glieder einer unendlichen Reihe

Functionen beliebig vieler Veränderlichen x,y,, die sich nach ganzen positiven Potenzen von x,y,... in Reihen entwickeln

lassen. Ferner sollen    ..... diejenigen Reihen bezeichnen,

in welche die Reihen-Ausdrücke von cp.cp',9'', gehen, dass jeder Coefficient derselben durch seinen absoluten Betrag ersetzt wird.

Wenn nun für bestimmte positive Werthe £₀,^₀,... von x,y,... jede einzelne der Reihen    •• • und ebenso ihre Summe

dadurch iiber-

+ 4¹ -t- 4>”+.....

convergirt, so convergirt auch die Summe

<P +    ?"h-----

für alle Werthe von x,y,..., die ihrem absoluten Betrage nach nicht grösser als beziehlicli £₀,yj₀,... sind. Bezeichnet man in den Reihen-

die Coëfficienten von x^yK.. be-und setzt

Ausdrücken von <p,9 ',9", ziehlich durch a

ff

a,ß, ...

a,ß, ...

a“,ß,-

a.ß, '

so hat jede der Grössen Aa p einen endlichen Werth, und es ist für die genannten Werthe von x,y,... die Reihe

y,A

nicht nur convergent, sondern auch gleich der Summe

rp ₊ çp' + ep"+

Dieser Satz ergiebt sich unmittelbar aus dem vorhergehenden und aus dem Begriffe einer unbedingt convergenten Reihe.

3) Wenn von den beiden Reihen

<p =    •

<Pi = 2X.ß,...^V • • •

jede für alle Wertlie von x,y,..., die dem absoluten Betrage nach kleiner als beziehlich E₀,r/().... sind, convergirt, so ergiebt sich aus dem vorhergehenden Satze, dass auch die Reihen

a'-.ß”.

(a'-t-a"=a. ß'+ß"=ß, . . .)

für dieselben Wertlie von x, y,... convergent sind, und beziehlich die Summe, die Differenz und das Product von cp und cp₁ darstellen. Daraus ergiebt sich, als weitere Folgerung:

4) Wenn cp,cpvcp₂,

und durch formelle Ent-

beliebig viele Functionen von x,y,... sind, die sich nach ganzen positiven Potenzen 'dieser Grössen in Reihen entwickeln lassen, und F ist eine ganze rationale Function von cp,cpvcp₂,.... , so ist die Reihe, welche aus F durch Substitution jener Reihen für cp,cpvcp₂,

von cp,cpvcp₂,

Wickelung nach Potenzen von x,y,... hervorgeht, stets unbedingt convergent und ihre Summe gleich F für alle diejenigen Wertlie von x,y,.... für welche die Entwickelungen sämmtlich unbedingt convergiren.

die sich in eine un-

’5) Ist aber F eine Function von cp,cpvcp₂, endliche Reihe

entwickeln lässt, und man setzt statt cp,cpvcpi},..... ihre Reihen-

Ausdrücke, so gelten hinsichtlich der Convergenz der Reihe, die man aus der vorstehenden durch Entwickelung derselben nach Potenzen von x, y, ... erhält, folgende Bestimmungen.

A) Es convergire die ursprüngliche Reihe für F, sobald cp,cprcp.„.....

ihrem absoluten Betrage nach kleiner sind als beziehlich p,prp₂,......

die Reihen, in welche cp,cpvcp.„

über-

und es seien

gehen, wenn man jeden Coëfficienten der letzteren durch seinen absoluten Betrag ersetzt; ferner sei f(x,y,...) die Reihe, in

welche .F durch die angegebene Substitution übergeht, und £,rh ... seien wieder die absoluten Beträge von x,y,... ; alsdann convergirt f(x, //,...) und es besteht die Gleichung jedenfalls für alle Werthe von x,y, .... die den Bedingungen

Genüge leisten. Wenn daher 9(0,0,...), 9^0,0,...), cp₂(0,0,...),.....

ihrem absoluten Betrage nach kleiner als beziehlich p, pv p₂,.....

sind, so wird die Keihe f(x,y,...) wenigstens für aie Werthe von x,y, ..., deren absolute Beträge gewisse Grenzen nicht überschreiten , convergiren.

Grössen, so convergirt die Reihe f(x,y,...) und es besteht die

B) Convergirt die Reihe, in welche F nach Potenzen von entwickelt werden kann, für alle Werthe dieser

Gleichung

•)

f(x,y, ...) = F(cp,yv<p₂,

für alle diejenigen Werthe von x.y,..., für welche die Reihen-

Entwickelungen von 9,9^, 9₂,

sämmtlich unbedingt convergiren. Anm. Es ist wohl zu bemerken, dass die vorstehenden Sätze (2—5)

nicht unbedingt umgekehrt werden dürfen; man darf also z. B. nicht behaupten, in dem zuletzt betrachteten Falle convergire f(x,y,...) nur für solche Werthe von x,y,...: für welche die Entwickelungen von sämmtlich convergiren. Die Sätze geben daher, obgleich sie

₂>

sich bei vielen Untersuchungen nützlich erweisen, keineswegs die wahren Kriterien, nach welchen über die Convergenz von Reihen, die nach ganzen positiven Potenzen einer oder mehrerer Veränderlichen fortschreiten, entschieden werden kann. Diese Kriterien müssen vielmehr aus einer andern Quelle abgeleitet werden; wie ich dies bei einer andern Gelegenheit zu zeigen gedenke.

Ich betrachte jetzt, um den ersten der oben angegebenen Sätze zu beweisen, die Function Fc(u), und beschränke die Veränderlichkeit von u zunächst auf solche Werthe, deren absoluter Betrag kleiner als eine beliebig angenommene ganze positive Zahl m ist.

OC— —f—cxd , Q— —|-*oo

a=2

Setzt man nun

a=-K>o /    u

n (^r)W

a=m    ¹

a=-+-oo/

n (

a=o v

a -4- m

so ist

a=-+-oo ^

log cp (m, m) — 2 i — m log (l

a=0

a >y/

) + log(l

«—m—11    «

Fc(u) = uU /(a.j J (

Man hat

\ a=-Ko i    U    \

: ::;ii texo+T)

ac—m

=2 S

a=o

(-1 )V-to

n (a + m)⁰

Es sei ferner

a= -i-oc

2

a=2

/    N⁰

a (m + a)

ïa(»)

und

a=-i-oo

(?ya+ u)

² , >■

û (ni H- oc)

a=2

so dass <Jja(n) aus der Reihe 'fa(n) dadurch hervorgeht, dass man in dieser jeden Coëfficienten durch seinen absoluten Betrag ersetzt. Dann wird sich nach dem zweiten der vorstehenden Sätze

log«p(M.w)=-(pi(M.)4-<p₂00

_L

rin(u) ⁴ ' ' ‘

nach Potenzen von u in eine convergirende Reihe entwickeln lassen, wenn die Summe

a=H-oo

a=+oo a=-t-oo

«n+ v

a=o

a—o

a=2

a (m 4- a)

für jeden positiven Werth von u,- der kleiner als m ist, einen endlichen Werth hat. Dies ist in der That der Fall.

a—+oo

*«

01=0

und wenn man bezeichnet:

in der letzteren Summe das (n-bl)te Glied

durch tn

*»

t,

(i : "“-T (i Æ'y

v    ms _ \    ns

(i + —)

\ ns

also wenn

Es ist nämlich

a=-4oo

z-J ,    a

a=o ( m + a)

.    a=-4-oo

A S

-2 /    aN«

(l-i ) V    ni s

gesetzt wird, für ci ^ 1 nach (§5 VII, 2) sa eine endliche Grösse, die abnimmt, wenn a wächst; woraus, da

a= 4-00

a=4-oo

2 'K(u)=2

(n+n)sa

a=o

n=2

ist, das Behauptete unmittelbar folgt.

Nach dem fünften der obigen Sätze (Art. B.) lässt sich nun von > den beiden Factoren, in die Fc (u) zerlegt ist, der zweite, welcher gleich

ist, nach ganzen positiven Potenzen von u in eine Keihe entwickeln, die sicher für jeden der betrachteten Werthe von u convergirt; der erste Factor aber ist durch eine beständig convergirende Keihe von derselben Form darstellbar. Es ergiebt sich also, nach dem dritten der angeführten Sätze, für Fc (u) eine nach ganzen positiven Potenzen von u fortschreitende Reihe, welche jedenfalls convergirt, wenn der absolute Betrag von u kleiner als m ist. Die Coëfficienten dieser Reihe sind aber von m unabhängig; da man nun diese Zahl beliebig gross annehmen kann, so muss die in Rede stehende Reihe für jeden endlichen Werth von u eonvergiren; w. z. b. w.

Was den zweiten der obigen Sätze angeht, so bemerke ich zunächst Folgendes.

Wenn y eine positive ganze Zahl ist, so kann die Facilitât (u,-\-x)y in eine endliche Reihe von der Form

<s>;-

t—à

«SS

tc

entwickelt werden, wo sich die Coëfficienten (y)v (y)₂, ... als ganze Functionen von y darstellen lassen. Nimmt man für y eine beliebige Grösse an, so verwandelt sich die vorstehende Formel in eine unendliche Reihe. Ist y eine negative ganze Zahl, so lässt sich leicht zeigen, dass diese Reihe für alle Werthe von u, x, bei denen der absolute Betrag

von

unter einer bestimmten, von y abhängigen Grenze liegt, convergirt

und ebenfalls gleich (u,+xf ist. Man hat nun angenommen, dies müsse auch für nicht ganzzahlige Werthe von y der Fall sein, und es hat namentlich Ottinger in der oben (S. 189) angeführten Abhandlung bei seinen Deductionen die in Bede stehende Reihe vielfach benutzt. Aus den nachstehenden Betrachtungen erhellt indessen, dass die Reihe, wofern y keine ganze Zahl ist, niemals convergirt, welche Werthe man auch den Grössen u, x, beilegen möge.

Wenn eine Reihe von der Form

q== H-oo

2 a*x* > a=—oo

wo a eine veränderliche ganze Zahl bedeutet, für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag zwischen zwei Grenzen a und b liegt, convergirt, so giebt es, wofern man x auf irgend einen, ganz innerhalb des Convergenz-gebietes der Reihe liegenden Bereich beschränkt, in demselben stets nur eine endliche Anzahl von Werthen, für welche die Reihe den Werth Null annimmt. Der strenge Beweis dieses Satzes, von dem man bei manchen Untersuchungen Gebrauch machen kann, lässt sich aus den oben aufgestellten Convergenz-Sätzen ableiten; was ich jedoch hier der Kürze wegen übergehe.

Dies vorausgesetzt, werde in der obigen Reihe (was unbeschadet der Allgemeinheit geschehen kann) x = 1 gesetzt, für y irgend ein bestimmter Werth angenommen, und unter u zunächst eine positive reelle Grösse verstanden. Angenommen nun, die Reihe convergire für irgend einen

16

bestimmten Werth u₀ von u, so wird dies auch für jeden grösseren Werth der Fall sein und es ist unter der Bedingung, dass u zwischen den Grenzen

u₀ und -i-oo angenommen und bei der Bestimmung der Potenz uy dem Logarithmus von u sein reeller Werth beigelegt werde,

eine eindeutige und continuirliche Function der Grösse u. Wenn y eine ganze positive Zahl ist, so hat man

cp(u+ 1) = — ^ Cp(u)

also

(u 4- y) j u y+ (y\ u y + (y)₂ u

y-2

•} =u[(u+l)y+{y\{u+\)

y-\

). Mithin muss die in der vor-

Entwickelt man, y als eine unbestimmte Grösse betrachtend, beide Seiten dieser Gleichung in Reihen, die nach fallenden Potenzen von u fortschreiten, so müssen die Coëffieienten der einen Reihe den gleichstelligen der anderen Reihe für alle positiven ganzzahligen Werthe von y gleich sein; woraus folgt, dass sie identisch einander gleich sein werden, weil sie nämlich sämmtlich ganze rationale Functionen von y sind. (ln der That gelangt man, wenn man die angedeutete Rechnung ausführt, zu den bekannten Ausdrücken von (y)v (y)₂, stehenden Gleichung ausgesprochene Relation

<p(u 1) =    <p(u)

tv

gelten, sobald nur die genannten Reihen beide convergiren; was bei den obigen Annahmen sicher der Fall ist, wenn u nicht nur > uQ, sondern auch > 1 ist.

Aus dieser Relation ergiebt sich, wenn n eine beliebige positive ganze Zahl bezeichnet,

<p(n) =

u(u 4-1) ... (m H- n — 1)

(u 4- y)(u 4- y 4-1) ... (u 4- y 4- n — l)

cp (u 4- n)

oder, wenn F(u, n) dieselbe Bedeutung bat wie im Anfänge des § 6

F(u,n)    cp(it + n)

F(u 4- y, n) (u n\

Es ist aber

Lim.

n—

cp(u 4 n) __ t co (u + n) y

und daher (§ 6, Gleichung 46)

cP(w) =

Fc (u)

Fc (u 4- y) ’

wenigstens für jeden Werth von u, der > u₀ und zugleich > 1 ist. Aus dieser Gleichung folgt, wenn man

setzt,

1 d Fc (u)

Fc (u)    d u    Fc ( n 4 y )

dFc (u 4 y ) _ y

du

dFc (u)

du

— Fc (u)

du

du

) = °-

Der Ausdruck auf der linken Seite der letzten Gleichung lässt sich nun in eine nach ganzen (positiven und negativen) Potenzen von u fortschreitende Reihe entwickeln, welche jedenfalls convergirt, wenn der absolute Betrag von u grosser als u₀ ist; die Coëfflcienten dieser Reihe müssen aber, da die Gleichung für jeden zwischen bestimmten Grenzen liegenden reellen Werth von u gilt, nach dem oben angeführten Hülfs-satze sämmtlich gleich Null sein.

Daraus folgt, dass die vorstehende Gleichung für jeden (reellen oder complexen) Werth von u, dessen absoluter Betrag grösser als u₀ ist, besteht. Dies ist aber nur möglich, wenn y eine ganze Zahl ist. Nimmt man nämlich eine ganze positive Zahl n, die uQ ist, so an, dass cp₁(—n) einen von Null verschiedenen Werth erhält, und setzt u = — n, so reducirt sich die linke Seite der Gleichung auf

u— —n

?,(“«) Fc(-»+»)(—i'“ ’)

16*

und dies Product hat stets einen von Null verschiedenen Werth, wenn y keine ganze Zahl ist.

Hiernach ist die Annahme, dass die Reihe

n¹' {l 4~{y)u

+ (y)₂u 2h—}>

wenn der Grösse y ein nicht ganzzahliger Werth beigelegt wird, für irgend einen endlichen Werth von u convergire, unstatthaft.

stehenden Reihe, wenn u

Damit soll jedoch keineswegs behauptet werden, dass die Differenz zwischen (u, -+l)?/ und der Summe mehrerer der ersten Glieder der vernicht kleiner werden könne, als jede gegebene Grösse. Indessen leuchtet ein, dass sich aus der in Rede stehenden Reihe hinsichtlich der Facilitât (u, +x)y, namentlich was das Yer-

X

halten derselben betrifft, wenn der Quotient — unendlich klein wird, ohne

U

Betrachtung des Ergänzungsgliedes, welches der Reihe hinzuzufügen ist, sobald man sie mit irgend einem Gliede abbricht, durchaus keine sicheren Schlüsse ziehen lassen. Ein brauchbarer Ausdruck für dieses Ergänzungsglied dürfte sich aber nur mit Schwierigkeit ermitteln lassen.

8.

Ich gehe jetzt zu den Entwickelungen von

(u + k,-rx)y und {u + k, — x)y,

sowie von

log(u,+x)y und log(u, —x)y

über, welche in dem erwähnten Crelle’schen „Mémoire“ aus der daselbst als allgemeine Taylor’sche Reihe auf gestellten Entwickelungsformel hergeleitet worden sind. In der Gestalt, wie diese Entwickelungen dort gegeben sind, ist ihre Richtigkeit ausser Frage, indem sie identische Umgestaltungen der darzustellenden Functionen sind, und dem allgemeinen nten Gliede jedesmal der ergänzende Rest beigefügt ist. Anwendbar sind sie jedoch nur, insofern sich dieses Ergänzungsglied der Grenze Null nähert, wenn n ohne Ende zunimmt. Ob dies der Fall sei, lässt sich in den meisten Fällen aus der Betrachtung des Ergänzungsgliedes selbst nur schwer erkennen, (es dürfte vielleicht möglich sein, den in Rede stehenden Rest durch ein bestimmtes In-

tegral auszudrücken, welches eine leichtere Beurtheilung seines Betrages zuliesse), indem der am angeführten Orte zu diesem Zwecke aufgestellte Satz, wie es von dem Verfasser selbst in einer späteren Abhandlung über denselben Gegenstand bemerkt worden ist, nur dann gilt, wenn die Reihe mit irgend einem Gliede ab bricht. Aus dem blossen Umstande aber, dass die Summe der n ersten Glieder, wenn n ohne Ende wächst, sich einer bestimmten endlichen Grenze nähert, lässt sich bei einer Reihe von dieser Form nicht schliessen, dass sie der zu entwickelnden Grösse gleich sei. Denn gesetzt, es bestehe für eine bestimmte Function F(x) und für alle einem gewissen continuirlichen Bereiche angehörigen Werthe von x und x-j-k wirklich die Gleichung

V=-f-oo

Fix-¹ k) •= F(x) + 2

V=1

( (fc,-«)v Avf(j') i

( (i,-! i)v «v r

wo a eine Constante bedeutet und Ax — a zu nehmen ist; so sei ’jj(x) eine der Bedingung genügende Function und

F₁(x) = <\>(x) F{x).

Dann convergirt, indem

A F} (x) — ']) (x) A F{x)

ist, für die genannten Werthe von x und x + k auch die Reihe

V=-t-oo

Fxix) +2

(/r, a)v Aviöj (x) 1

V=I

(U + 1)V

av

dieselbe ist aber gleich 4j(æ) Fix+k). also nur dann gleich F₁ (x-f k), wenn ist, was bei einem bestimmten Werthe von x nicht für alle einem continuirlichen Bereiche angehörigen Werthe von k stattfinden kann.

Wenngleich hiernach die Benutzung der in Rede stehenden Entwickelungsformel in den meisten Fällen nicht ohne Schwierigkeit ist, so bleibt sie doch jedenfalls ein treffliches Mittel, um für manche Functionen

auf einem natürlichen und directen Wege Reihen-Ausdrücke zu erlangen, von denen man, nachdem sie gefunden worden sind, in vielen Fällen ohne Schwierigkeit nach weisen kann, dass sie die zu entwickelnden Grössen wirklich darstellen.

Für die Function (u, -hx)y hat man, wenn man das Zeichen A auf u bezieht und Au = x setzt:

Aber es ist

( ti —H x, -f- x')

{u+x, H- x) ¹ (u, -f- x)y=

(u, + x)y

also

(85.)

A(u, ~hx)y = yx(u-hx, -hx)y ' .

Durch mehrmalige Wiederholung derselben Operation folgt hieraus:

(86.)

A (n, -hx)y = xn(y, — 1 )H(ii-hnx, -hx)y n .

Aber es ist

(u 4- nx, hx)y n=(u+nx, -hx) n(u,-hx)y

(u,hx)y

(u,-hx)n

also

(87.)

A %, -hxf = Xn{y, - lf    •

(u, -hx)

Für die Function (n, —x)y erhält man, wenn man in der ersten Formel (70)

(u-x,—x)y--(u, — x)y_ yx (u, — x)y

u -f x statt u setzt und Au-=--x nimmt,

woraus weiter

(88.)

yx    \i    y\

A (u, — x) = x1>(y,—l) (u, — x)

n, -, ,n = x (y, —1)

y-rt

(n, — xf

(u — yx+x,-i-x)n

folgt.

Die angeführte Ent wickelungsforme] giebt nun

(89.)

(n 4- 7r, +x)y

4 77

(n +xŸ 1 4- V— 4-    W-x)

*7 :    |    ‘ tf ‘    1.2 u{u + x)

wo l\n (las Ergänzungsglied bezeichnet, auf dessen Ausdruck es hier nicht weiter ankommt. Wenn y eine positive ganze Zahl ist, so bricht die Reihe mit dem (//'4-l)ten Gliede ab und giebt den vollständigen Ausdruck für (u+k, +x)V. In jedem andern Falle aber ist die Zahl ihrer Glieder unendlich, und es ist zu untersuchen:

erstens, unter welchen Bedingungen die Reihe dann eine endliche Summe habe; und

zweitens, ob diese Summe wirklich gleich (u 4- k, -+~x)y sei.

Es werde (für n = 0,1, ... 4-00)

Ui

(y,-l)n (k-xf (l,+lf (u, +x)n

gesetzt; dann ist

t,

y—n+1 k—nx -\-x

y-1

'a -4- x

u-\-nx—x

nx

nx

. u 4 k

y H----l

J x

V=+00

Die Reihe ^ ty hat daher nach dem Satze (§ 5, VII, 1) eine endliche

v=o

Summe, sobald der reelle Theil von

u -f k

~r + y

positiv ist.

tibev die Theorie der analytischen Facultäten. Nun ist, wenn x — 1 gesetzt wird,

248

y

(u -f />-,+1)'

y+k

y

0b + 0

(n,+l) (u,+iy/(u,+i)k

Bezeichnet man diesen Ausdruck durch cp(u), so ergiebt sich (nach Gleichung 57)

cp (il H~ 1 )

(u + y + k) u (u + y) (u -f- Je)

cp(u)

und (nach Gleichung 58)

Lim. cp(u -\-n) = 1

«=-l-oo

Setzt inan daher

V=+oo[

y.

V—-0

(y>- i)v G,-i)v j ( (1, -f l)V(M, -l-l)V i

?,(«)

so ist zu untersuchen, ob bei bestimmten Werthen von y,h für alle diejenigen Werthe von u, für welche die Reihe convergirt, ebenfalls die Relation

cpx(u + 1) =

(u + y-f- k)u

{u -f- y) (u + k)

sich ergebe. Ist dies der Fall, so liât man

<<Pi(u +1) __ 9j00 . cp(u -f1)    cp ( u)

woraus weiter, für jeden ganzzahligen Werth von n,

9^ + n) _ 9^0

cp (u -+ n) cp (u)

folgt. Daraus folgt, da auch Lim. cp (u-j-n) = 1 ist,

n—+oo

9iOO = 900

d. li. es besteht die Gleichung

(90.)

(u, +1)

y+k

— 1 ~b

(u, +1)' (u, + l)

yk, y(y-i)fe(fc-i)    y (y -1) (y - 2) fc (fe -1 )(fe - 2)

1.2 .u{u-\~ 1)    1.2.3 ,u(u + 1)(m-t- 1)

für alle diejenigen Werthe von u, y, k, bei denen u+y-^-k eine postive, oder auch eine complexe Grösse mit positivem reellen Theile ist.

Wird dann statt u und ~ statt k gesetzt, so ergiebt sich die Richtigkeit der Gleichung

( u+k: -\-x f

_ ,u _^x)y\l+vA+ yiy-¹)^- x) , y(y-¹ )(y-?)Mk-x)(k-&*■) , _ _

' I r U ' 1 .2.u{u + x)    \ .2.3.u(u-JrX)(u-¹t-2x)

(91.)

für die angegebenen Wertlie von u, x, y, k, bei denen die Reihe convergirt. Die fragliche Relation für <f₁(u) lässt sich aber folgendermassen er

weisen.

Es ist, wenn man in dem obigen Ausdrucke der Grösse x den Werth 1 beilegt,

V=+oo

9i(w)=21

V=0

und aus dieser Gleichung ergiebt sich

V ¹ -

9i(tt + l) = «2

V=0

indem sich fv in Nun ist aber

u

L verwandelt, wenn u + 1 statt u gesetzt wird, w + v ⁷

v+l

(y - v) (k - v) t (v l)(u + y)

V —|“ 1

(y-v)(/c-v)

V-f-1 ?

also

V=-foo

^(u+D-2

(v+ 1 ) u t

V-+-1

V—H-oo

V=-|-oo

v==o

v=o

(y —V +1 )(k — v+1)’

indem in der letzten Reihe das Glied, in welchem v = 0 ist, sich auf Kuli reducirt. Es ist aber

vu

u (;lj + l)

u(Ze+ i)

(;y - v + l)(k — v 4-1) (k — y){y — v +1) (y — k) (k — v + 1) ’

und daher

V=-4-oo

V=0

u{y + i)%

(fc - */)(*/ -v + 0

u{k+o^v

à (:v - k){k - v +1) ’

Ferner ist

v+l ?

(*/-VK ⁼

( V +1) (u + v)

also

V=+co

V=+oo

V+l

V—+oo

-V,

v{u + v

v=o

v=o

v=u

mithin

V (u + V — l

)',=«•

V=+oo

2j (ï/"v v=o

Aber es ist

y-

V (u + v — l)

V--7

k — v +1

= (M+y+. &) ~

(k +1) (u + k)

k — v-y l

mithin

V=+oo

V=+oo

2 (^+y+/c)«v—2

(/i’ +1) (u + k)

V—u

v=o

A: — v +1

oder

V=+oo

2

7=0

(k +1) tv

— v+l

u + y + k u -f k

9,00-

Vertauscht man in dieser Gleichung k und y mit einander, so erhält man weiter:

V=-(-oo

2 i

v=o. y

(y +1) K

-v + l

u-hy

und durch Verbindung beider Gleichungen, indem

V=-+oo

(/,' ; l)£v    (.V + GG

à y-v+i

ist, die zu beweisende Relation

(w + y) (u + k)

<Pi(« H- 0 =

u(u -ï-y-hk)

Die Formel (90), eine der wichtigsten in der Facultäten-Lehre, findet sich in der oben (Seite 225) erwähnten Abhandlung von Gauss, wenn auch in etwas anderer Form; ich habe sie hier hergeleitet, ohne die allgemeinen Relationen, aus denen sie dort hervorgeht, vorauszusetzen.

Die Reihe für (u + k, —x)y lässt sich auf ganz ähnliche Weise finden, noch leichter aber aus der vorhergehenden herleiten, indem nach der ersten Formel (82)

(u + k, — xf = (u + k — (y — 1) x, -\-xf

ist, und daher in (74) nur (u,+x)y in (u-(y—l)x,-t-x)y—(uf — x)y zu verwandeln und in der eingeklammerten Reihe u—(y— l)x statt u zu setzen ist. Da nun aber, nach (73) u. (78),

(u, — xf

(u, — xf

(u — yx-hnx, — xf

= (u, — x)

y-n

ist, so ergiebt sich

(92.) {u+k:—xf={u—xf+y{u—xf Vf

y{y-1)

1.2

— (w,—xf ~k(k—x)

1.2.3

(m,-- xf "k (k —x) (k — 2x) H----

u -f- k    . .    .

+ y-=--h 1 positiv ist.

X

Dem Obigen zufolge gilt diese Reihe für alle Werthe von u, x, y, k, bei denen der reelle Tlieil von ——--—^

252

Über die Theorie der analytischen Facnltäten. Dagegen ist die von Kramp u. A. aufgestellte Gleichung

zu welcher man gelangt, wenn man (u+k,-hl)y auf ähnliche Weise, wie im Vorhergehenden entwickelt, aber Ae — - 1 setzt, im Allgemeinen unrichtig.

Weil nämlich

(u,+ l)y-\k,+lŸ =

(u,4- \ f (k. H)V (u+t/-v,-HL)v

(u, f l)y(V+l)v

(1 — H —y,4-l)V

ist, so hat in Folge der Gleichung (91), wenn in dieser 1—u—y statt u, ferner — k statt k und æ=l gesetzt wird, sobald der reelle Theil von 1—u—k positiv ist, die Reihe auf der Rechten der vorstehenden Gleichung den Werth

(u, + 1)^(1 — u — y -- k. -1-1) y

!?■

Es ist aber¹)

Ob+i)?/

Fc (u) Fc(l — h)

Fc (u + y) Fc (l — u — y)

sin (wir) sin (u + y)7z

und es ergiebt sich demnach an Stelle der obigen Gleichung die folgende:

V=+oo !

(93.)

v=o

ife2l(tt,₊irv(fc,+i)v0.f(M1    iü4m+I)y ;

|(lj+l)v    ( Sill(u-ty)n sm(u + k)n

wie dies bereits Ohm²) bemerkt hat.

Man hat hier ein treffendes Beispiel zu dem oben Gesagten, dass man beim Gebrauch der Formel

F(u+k) = F(u) +

AF(,i)k

Au

A F(u) k(k — Au)

AnF(u) (ft-Au)n

A u

0, + D

nicht scliliessen dürfe, es sei Bn= 0 für n = oo n ersten Glieder bei stets wachsendem Werthe von u sich einer bestimmten

sobald die Summe der

Grenze nähert.

Aus (91) folgt

1 /(?,H- k₇+x)y k ^ {u,+x)y

-1

yCy-¹) k~x

) u '    1.2    u(u-\ x)

//(// — l)(y —2) (k — x)(k— 2x)

1.2.3

(94.)

li

Nimmt man nun an, es sei der reelle Theil --ft/ positiv, und lässt k unendlich klein werden, so ergiebt sich:

8log(it,+-ag)y y _ y(y— 1)

y (y -1) 0/ —

2a;²

0U

1.2

u(u-r-a)

1.2.3

n(?t-f a')0t+2a;)

/    /    X«-¹

+(-1);

₌ y_ __ y(y-¹;)

(y? ~¹) (ü +1) i (l,+l)    (w, + a;)

2/(2/ -0(y-2)

u(u+x)

Nun folgt aber aus der Formel (87), wenn man in derselben n — 1 statt n und u-f a; statt u setzt:

(95.)

n—i    «

A (w + a;, H-a;) = (y, —1)

n—l

(u-4- x,~\-x)yx

(m -f- a;, + x)

n—l

für Au = a:,

(96.)

und hieraus, wenn man y = — 1 setzt:

w—l n—\ (l, ~b l) X

(u, + x)

? für Au — x\

(97.)

folglich ist

8log(tt,-h x)

—S- +

y(y -- 0

1.2

y(y — i)(y--2) Ay 1 \ ____

Mt'

v ¹ ; + • • •

v u y

1.2.3

(y> —O

(1,-1- l)

Legt man nun, bei gegebenen Wertlien von x,y, der Grösse u nur

ZI

solche Werthe bei, für welche nicht nur der reelle Tlieil von —~hy,

00

ll

sondern auch der reelle Tlieil von positiv ist, so sind die Ausdrücke

x

auf beiden Seiten dieser Gleichung stetige Functionen von u, und man erhält durch Integration:

y

(98.) log (te,-f x) = y logu +

y (y - G

1.2

Alogw •+

y{y - 0 (y -²)

1.2.3

(y, - !)

(L+1)

n A l0%u H----»

in welcher Gleichung die Werthe der darin vorkommenden Logarithmen folgendermassen zu fixiren sind. Man bestimme den Werth von log# so,

y log*

dass e

gleich der in dem Ausdrucke (60.) von (u,-\-x)y vorkommenden

Potenz xy ist. Ferner setze man, wenn w eine Grösse ist, für welche w

der reelle Tlieil von — einen positiven Werth hat,

00

log«' = logx 4 log(

ZV

und lege dem Logarithmus von — dessen Hauptwerth*) bei. Dann wird

Ob

einer der Werthe von \og(u,-\-x)y durch die Formel

a=+co,    .

log(iH ax) - log(u-f (y ax)) 4- y log(^1

y\ogx 4 logn — log{u-\-xy) + 2^

0C= 1

(wo dem Logarithmus von 1 4- -- sein reeller Werth beizulegen ist) dargestellt, und dieser wird durch die Gleichung (98) gegeben, wenn man auch in dem Ausdrucke auf der Pech teil die Werthe der Logarithmen

logn, log(u- x), log(u-f 2x"

*) Ist \ eine positive und rj eine beliebige reelle Grösse, so ist der Hauptwerth von log(g-4-Yji) gleich ~ log(g²-hyj²) -+- iarc.tg (j^) i wo dem Logarithmus von (g'-+-Yj²)

sein reeller Werth beizulegen und der Arcus zwischen —y und + -y anzunehmen ist.

aus denen die Glieder desselben zusammengesetzt sind, so, wie bestimmt worden ist, fixirt.

Auf diese Weise definirt, sind nämlich beide Seiten der genannten Gleichung stetige Functionen von u, welche der Gleichung (97) zufolge nur um eine von u unabhängige Grösse von einander verschieden sein können.

Setzt man ferner, unter v eine ganze positive Zahl verstehend, u = va?, so werden die Grössen

y    2

log(u,+aO’ — ylogu, Alogu, A logtt, . . .

sämmtlich unendlich klein für einen unendlich grossen Werth von v; es muss also die genannte Grösse gleich Null sein.

Da

(u, + x)

y+y

U    v    v    y

= (u,-\-x) {n + yx,-\rx) =(u,-\-x) (n +vx,-+x)' ,

also

y

- (u + vx,-+-x)

(w,+ x) =

V

(u, H- x)

(u -H yx,+x)

ist, und man die ganze positive Zahl v so gross annehmen kann, dass die reellen Tlieile von

beide positiv sind, so folgt, dass die Formel (98) in allen Fällen zur Berechnung von (u, -\-x)y ausreicht.

Aus der Gleichung (u, — x) J

die reellen Theile von

(u + x,-+-x)

- ergiebt sich ferner, wenn

beide positiv sind:

(99.) log(n, — x)y=y\og(u-rx) — —~Alog(u-t x) + -A~log(u +x)-------

(y, + 0

(i,+ i)

wo wieder, wie in (97), Au — x zu setzen ist.

n—i

n—l

-A log(?t -hx)

Ferner liât man

(u, — x)¹

?/—v    y    —v

(u, — x)'    = (u,—x) (u-\-yx, —x)    =

?/-v

—v    y

= (u, - x)    (u-F Vir, —x) =

(u-hyx+x, 4- x)

(u-\-vx, — X:)•

v ’

(<t+£C, -F £c)

also

v

(100.)

. vV (n-f //ic+x. + a’) ,    Ny

(u, — Sc) = ------- .— (u+vx, —x) , und es lässt sich wieder in allen Fällen v so gross annehmen, dass die Formel (99) zur Berechnung von (u, — x)y benutzbar ist.

9.

Um eine Anwendung der im vorhergehenden Paragraphen entwickelten Formeln zu geben, will ich daraus die Ausdrücke der trigonometrischen Functionen durch Facilitât en herleiten.

Man hat, wenn sinH = £ gesetzt wird,

1.3 Z

2.4 5

1.3.5    Z

2.4.6    7

für alle reellen Werthe von u zwischen den Grenzen — \ n und -4- — tu, diese selbst nicht ausgeschlossen.

Substituirt man nun, unter m eine ganz beliebige (complexe) Grösse verstehend, den vorstehenden Ausdruck von u in die Reihe

1 + (mi)u + (mi)

1.2

,    U

+ (»») ₀₋₃

mui

und entwickelt dann die Formel nach Potenzen von z, so muss die daraus hervorgehende Reihe, die von der Form

0(=+oo

&=;-)-00

¹

S. d. folg. §.

²

*0 System der Mathematik, Thl. 2, S. 89.

2 va=2 aasin%

a=o

a=o

ist, in Folge des Satzes (5, B. d. § 7) ebenfalls für alle jene Wert.he von u convergiren, und die Gleichung

a=+oo mui V’'    • sc

e = V aasin u

a=o

bestehen.

Nachdem auf diese Weise die Bedingung, unter welcher die vorstehende Gleichung gilt, festgestellt ist, kann man sich zur Bestimmung der Coëfficienten au irgend einer passenden Methode bedienen. Man erhält z. B. durch zweimaliges Differentiiren der Gleichung nach u, indem

. . oc

asm u • a—i

= a sm u cosu

du

ist,

oder

,² . a

d sin u "TT '

2 mai

mui

= a(a — l)sin

3C—2

u cos²u — a sin² u,

du

/    \ • a—2    2 • a

== a (a—1) sin u — a sin u

a=+co

=    fta( a (a — 1) sina ² u

a²sin“u)

a=u

a=-t-oo

a=-4oo    , •

= 2 ( (a -f 2) (a + 1) aa+2 sina a) — 2 (a~ aa sina u )

a=o

a==0

a=+oo

2

a=u Ui

h (“X ~ (a + !)(a + ²) aa₊₂) î

es muss also

(a = 0. 1, • • • +oo)

17

2 (a²ffa-(«+l)(a + 2)fla+2) = fla,

ni

oder

a — m

fta+² (a -f l)(a 2)

gein,

258

Über die Theorie der analytischen Facultäten. Hieraus ergiebt sich (für v = 0,1, • • • 4- oo)

a2v

(lm

0’(-i

-0''

(C+dU + Ü

= (-l)

v (w, — 2)V(wi,+ 2)V

(2, -f- 2)V(1, + 2)V

(- 1)

v (m, — 2)V(m, H-2)'

2V

P"

tO\

= (- 1)

2)V + 1, + 2)V

(1,44)

2V-H

indem dann wirklich

ft2v

a2v—2

2    9

(m — 2(v — l))(m 4- 2(v — 1))    (2v —2 )—m

(2v — 1) 2v

(2v — 1) 2 V

tt2v—1

(m

1 —2(v — l))(m + l-f2(v— 1))

2v (2v H- 1)

2 2 (2 v — 1) — m

2v(2v-M)~

ist, und durch Substitution der Reihe n = simt 4---- in die Reihe

für e

mui

sich a₀=l,aj=wi findet. Man hat daher

m, —

(101.)

cos nm

V—0

(l, + l)V(y, + ¹)V

■ 2v {

sm u)

V=-+-oo/

= 2    (-D

v (m, — 2) (m,4- 2)

2v

• 2V

sm n

v=o

(l>,+1)

(102.)

''V—-f-oo

sin mn = myp,

v=o

((2 m 2’    0 ( 2

->y

V 3 nv

(!, + !) (-2> + 1)

• 2V-+-1

sm u

V=-t-oo

k-i)

v=0

V    V

v m(m — 1, — 2) (m + 1, -F 2) (1, 1)

. 2V—)—1

sm u

für jeden Werth von m, und für alle diejenigen reellen Werthe von u, die nicht ausserhalb des Intervalls — und + liegen.

Setzt man nun u = ~tz, und 2m statt tn, so erhält man durch Yer-

und auch

gleichung der so sich ergebenden Ausdrücke von cos m 7t, sinmrc mit der Formel (90), indem man in dieser    y = m,Jc =

u=2> y

^ setzt:

COSWTt =

(103.)

oder, weil

ist,

(104.)

sinrnTi =

T’

(f>+9 T(|.+0

(1, +1)

sin m w =

)U

A_2

-2,

4m (1, + 1) ² (1,4-1)

+m

(!.?+l)    (!>+!)

17*

Dividirt man diese Gleichung durch m lind setzt darauf m — 0, so ergiebt sich:

(105.)

1/TC = (1, -4- 1)

und daher

(106.)

sin m n —

nm

0,4-1) ’ (1,4-1)

-hm •

Da (nach 83)

0, 4- 1)

Fc (l + rn)

ist, so erhält man aus den vorstehenden Formeln:

(107.)

sin mir = tmzFc (m -+- l) Fc (1 — m)

— n Fc (m) Fc (1 — m)

(108.)

\ TZ —

Fe (1)

und, da

ist:

(109.)

(t-⁺0 =

COSIW7T

n(i)

Fc(m + ~)

= KF<(} + m)Fc(j'

)■

übereinstimmend mit (107), wenn man dort m-b — statt m setzt.

Alle diese Formeln¹) gelten, nach der hier gegebenen Ableitung, für jeden reellen und imaginären Werth von m.

S. 19, Z. 10

S. 49, Z. 6 v. n.

S.    57,    Z.    11,    14, 15, 16

S. 58. Z. 14

8. 58, Z. 16

S. 60, Z. 13, 15 S. 60, Z. 2 v. u.

65,

71

80

ts: ÎS2 N

CO

CO

v.

S. 83, Z. 7

S. 95, Z. 3 S. 97, Z. 2 S. 116, Z. 12 S. 117, Z. 13 S. 120, Z. 14 S. 122, Z. 19 S. 146, Z. 5 S. 159, Z. 8 v. u. S. 162, Z. 3

S.176, Z.13

Berichtigungen.

ist hinter enthalten, der Zwischensatz

in ein Glied zusammenzieht fortgefallen.

statt 0

lies Gr

V-f-l •

lies

statt w.

statt    (dreimal).

lies Man kann also für mv jede ganze, nicht nega tive Zahl m nehmen, die der Bedingung genügt,.... kleine positive

lies

lies

lies

lies

lies

wv

oo

statt kleine.

2>v<⁵-

v=r

u.

er    er.    er

CD    CD    CD

lies

lies

lies

lies

lies

lies

lies

lies

lies

lies

lies

S. 188, Z. 2 v. u.

S. 189, Z. 3 y. u. ist das Wort

lies

l;

SO

/xO;g

andere

verschiedene

TC

2(0

£>(uj(0, (O¹)

xr

T=i

positive ZU tilgen.

statt 1, (dreimal), statt es.

>;cx) statt /x

statt anderen, statt verschieden.

statt

2(0

statt p(tt|(D, o)'). statt

statt wi. statt ^. statt

statt    (G • • • (w) .

statt    ^₀(tv ••• tn)‘

statt tta+ 2o)aß.

#v-r-t-i

statt

statt

0)

X,.

2-

T=i

statt § 8.

S. 193, Z. 9

S. 203, Z. 4 v. u. S. 208, Z. 8 S. 208, Z. 9 S. 211, Z. 3, 4 S. 218. Z. 1

•lies

lies

ist das Wort

er.    er    er.

<T>    CD    (*t>

1 H-

indem zu tilgen.

nähern

der absolute

das

statt 1    , (zweimal),

statt    W, (zweimal).

statt nähert, statt den absoluten, statt dass.

S. 155, Z. 13—18. Diese Stelle wird besser folgendermassen gefasst:

Denh wäre dies nicht der Fall, so hätte sie innerhalb (6) unendlich viele Unendlichkeits-Stellen, welche eine (2n— 2)fache Mannigfaltigkeit bildeten und sämmtlich Null-Stellen der Function q wären ; unter denselben müsste es dann, da diejenigen Stellen von (6), an welchen p, q beide verschwinden, nur eine (2n — 4)fache Mannigfaltigkeit ausmachen, auch solche geben, an denen p, und somit auch ]>a einen von Null verschiedenen Werth besässe — dies aber widerspricht der Gleichung

1 dp

l dq

q dxa qa p dxa Pa

BiBLIBIES'A F:Lü[01!S!CZHA

KRAKOW

;

:

/

:

«

#

«

JS**

V

«r

r-

p

J?

$

$*

m.

/

.

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Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

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Setzt man die Darstellungen von sinifTt, coswrc in der Form unendlicher Pro-ducte als bekannt voraus, so ergeben sich die Formeln (107, 109) unmittelbar aus dem Ausdrucke von Fc (u).