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STATIK

DER

HOCHBAUCONSTßUCTMEN

ZWEITER TEIL:

HOLZ- UND EISENCONSTRUCTIONEN

VON

I)¹¹' W. WITTMANN,

PROFESSOR AK DER TECHNISCHEN HOCHSCIUII.E IN MÜNCHEN.

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ZWEITE UMGEARBEITETE AUFLAGE.    Minist

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MIT DREI TAFELN.

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M. RIEGER’SCHE

UNIVERSITÄTS-

BUCHHANDLUNG-.

GUSTAV HIMMER

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K. B. HOFLIEFERANT,

MÜNCHEN 1893.

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Bei der vorliegenden zweiten Auflage eines Teiles des Werkes erschien es zweckmässig, die frühere Trennung zwischen Holz- und Eisenconstructionen aufzugeben und beide in einem Bande zu behandeln, wodurch es möglich gewiesen ist,- dem Stoffe eine knappere Form zu geben und Wiederholungen zu vermeiden.

Die erste Auflage der Statik der Hochbauconstruotionen erschien in drei gesonderten Heften: I. Steinconstructionen, II. Holzconstructionen und III. Eisenconstructionen.

Das Buch ist für solche Architekten bestimmt, welche auch der wissenschaftlichen Seite ihres Faches einige Aufmerksamkeit schenken, überhaupt für Techniker mit Hochschulbildung, die mit Ausführung von Hochbauten zu thun haben, und für Studierende des Baufaches.

Die günstige Aufnahme, welche der ersten Auflage zu Teil geworden ist, lässt hoffen, dass auch die zweite umgearbeitete Auflage ihren Zweck erfüllen werde: zur Verbreitung derjenigen Kenntnisse beizutragen, welche die Grundlage der Constructionslehre sind.

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INHALTS-VERZEICHNISS.

I. Abschnitt.

Seite

Resultate der Festigkeitslehre.

§ 1. Zug- und Druckfestigkeit £ 2. Schubfestigkeit . . .

§ 3. Biegungsfestigkeit . .

A. Biegungsbeanspruchung durch senkrecht zur Stabaxe wirkende äussere Kräfte.

I.    Die Kraftebene schneidet die Querschnitte nach Hauptaxen

6)    Trägheitsellipse, Centralellipse ........

7)    Fixpunkte eines Querschnitts.........

II.    Die Kraftebene schneidet den Querschnitt nicht nach

Hauptaxen.................

B Biegungsbeanspruchung durch nicht senkrecht zur Stabaxe wirkende

äussere Kräfte..................

Kern eines Querschnitts............

Bestimmung der grössten Normalspannung mittels des Kerns

C.    Schubspannungen parallel und senkrecht zur Trägeraxe bei Biegungsbeanspruch uug .................

D.    Normalspannungen und Schubspannungen bei Biegungsbeanspruchung nach beliebigen Dichtungen............

10

10

14

15

17

20

24

34

36

40

41

46

51

54

57

Seite

§ 4. Knickfestigkeit

63

Die Euler’sche Formel.............

64

67

72

76

79

II. Abschnitt.

Der homogene Balkenträger hei verschiedener Art der Unterstützung und

Belastung.

§ 1. Querschnittsbestimmung der Balkenträger.............

§ 2. Der frei aufliegende Balken unter Einwirkung von ruhender und beweglicher Belastung.

A.    Gleichmässig verteilte, ruhende Last ...........

B.    Belastung durch eine Anzahl feststehender Einzellasten ....

C.    Belastung des mit beiden Enden überragenden Trägers durch feststehende Einzellasten................

1). Belastung des mit beiden Enden überragenden Trägers durch gleichmässig verteilte Last................

E.    Belastung durch gleichmässig verteilte Last und feststehende Einzellasten .....................

F.    Belastung durch Eigengewicht und durch gleichmässig verteilte Last,

welche sich nur über einen Teil der Trägerlänge erstreckt .    .    .

G.    Belastung durch bewegliche, gleichmässig verteilte Last ....

II. Belastung durch ein bewegliches System von unter sich fest verbundenen Eiuzellasten................

87

89

97

100

101

101

103

104

105

£ 3. Der mit beiden Enden wagrecht eingespannte Balken unter Einwirkung von ruhender und beweglicher Belastung.

A.    Belastung durch eine feststehende Einzellast........

B.    Belastung durch ruhende, gleichmässig verteilte Last .....

0. Belastung durch bewegliche, gleichmässig verteilte Last .    .    .    .

§ 4. Der mit einem Ende wagrecht eingespaunte Balken (Kragträger).

A.    Belastung durch gleichmässig verteilte Last........

B.    Belastung durch eine am freien Ende wirkende Eiuzellast .    .

C.    Einmauerungstiefe der Kragträger............

108

113

115

117

118

118

§ 5. Der mit einem Ende eingespanute, mit dem anderen Ende frei aufliegende Träger.

A.    Belastung durch eine Einzellast .    .    .    .

B.    Belastung durch gleichmässig verteilte Last

121

124

§ 6. Der continuirliche Träger.

A.    Auflagermomente und Stützendrücke bei beliebiger ruhender Belastung ......................

B.    Graphische Bestimmung der Auflagermomente und Stützendrücke

C.    Maximalmomente und Vertialkräfte bei beweglicher Belastung .    .

125

134

Seite

111. Abschnitt,

Verbindungen der (JonstruHionsteile, einfache t onstnictionen.

§ 1. Holzverbinduugen ...................

§ 2. Schraubenbolzen- und Nietverbindungen...........

147

149

155

158

. 162

. .    171

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IV. Abschnitt,

Deekenconstriictionen.

§ 1. Belastung der Zwischendecken .    .    .

§ 2. Berechnungen von Deekenconstriictionen

203

205

V. Abschnitt.

Trennen.

213

VI. Abschnitt.

Dachconstructioncii.

§ 1. Belastung der Dächer ..................

§ 2. Auflagerreactionen bei einseitiger Beanspruchung durch den Winddruck .

§ 3. Das einfache Sparrendach.................

§ 4. Das Sparrendach mit Firstpfette...............

§ 5. Das Pultdach.....................

§ 6. Das Kehlbalkendach...................

§ 7. Das Pfettendach....................

§ 8. Das Hängeworkdacli...................

§ 9. Das Sprengwerkdach ...................

§ 10. Das Mansarddach....................

§ 11. Das Walmdach....................

§ 12. Der Dachbinder nach dem englischen System..........

§ 13. Der Polonceau’sche Dachbinder.............. .

§ 14. Der deutsche Dachbinder.........-........

§ 15. Der parabolische Dachbinder................

§ 16. Der parabolische sichelförmige Dachbinder .    ..........

§ 17. Consoldächer................. .    .    .    .

§ 18. Der Bogenträger mit drei Gelenken.............

§ 19. Das Kuppeldach....................

§ 20. Das Zeltdach.....................

219

. 224

22(5

231

237

239

244

248

. 251

253

260

264

265

271

. 276 . 279

Seite

VII. Abschnitt.

Her elastische Bogeiilräger.

§ 1.    Der    stabförmige    elastische    Bogenträger    unter Einfluss von ruhender    Belastung    301

§ 2.    Der    stabförmige    elastische    Bogenträger    bei    beweglicher Belastung    ....    314

§ 3.    Der    stabförmige    elastische    Bogenträger    mit    Kämpfergelenken

§ 4.    Der    stabförmige    elastische    Bogenträger    mit    drei Gelenken .

§ 5. Der fachwerkförmige Bogenträger mit Kämpfergelenken § 6. Der fachwerkförmige Bogenträger ohne Geleuke ....

316

318

.    . 320

I. Abschnitt.

5. Änderung- des Trägheitsmomentes eines Uuersclin

Vd2 -f 4o2

fl +

II. Abschnitt.

0UX = — 01c' -f Dx x

C. Maximalmomente und Verticalkräfte bei beweglicher Belastung.

(228

Fachwerkträger mit parallelen Gurtungen hei beweglicher Belastung.

V. Abschnitt.

VI. Abschnitt.

lü

C) Beanspruchung durch den Wind druck.

Qi 4- Q2

VII. Abschnitt.

(461 wenn P die Resultirende der äusseren Kräfte der links von E befindlichen

I. Abschnitt.

Resultate der Festigkeitslehre.

Wenn ein fester Körper dem Angriffe äusserer Kräfte ansgesetzt wird, so entsteht eine Formänderung, eine Veränderung in der gegenseitigen Lage der kleinsten Teile des Körpers. Hört die Einwirkung der äusseren Kräfte auf, so zeigt jeder Körper mehr oder weniger das Bestreben, in die frühere Form wieder zurückzukehren; diese Eigenschaft nennt man seine Elasticität. Vollkommen elastisch würde ein Körper sein, dessen Formänderung nach Beseitigung ihrer Ursache gänzlich wieder verschwinden würde und im Gegensatz hiezu müsste, wenn nach dem Aufhören der äusseren- Einwirkung die Formänderung vollständig beibehalten würde, der Körper als vollkommen unelastisch zu bezeichnen sein. Obgleich es weder vollkommen elastische noch vollkommen unelastische Körper gibt, so nähern sich doch manche technisch wichtige Materialien in ihrem Verhalten denjenigen Eigenschaften, welche dem Begriff der vollkommenen Elasticität entsprechen, indem sie, wenn die Beanspruchung innerhalb gewisser Grenzen bleibt, nur sehr kleine dauernde Formänderungen erleiden. Lange Zeit entzogen sich wegen unzureichender Genauigkeit der Messinstrumente diese kleinen Formänderungen der Beobachtung und man unterschied daher bei Beanspruchung von Körpern durch äussere Kräfte zwischen bleibenden Formänderungen und solchen, welche nach dem Aufhören der Angriffnahme wieder verschwinden. Elasticitätsgrenze nannte man diejenige Grenze, nach deren Überschreiten bleibende Formänderungen ein-treten, während bei Beanspruchungen unter dieser Grenze der Körper in seinen ursprünglichen Zustand zurückzukehren schien. Diese Definition hat sich indessen als unhaltbar erwiesen, indem durch die feineren Messinstrumente, die jetzt zur Verfügung stehen, namentlich durch den Bauschinger’schen Spiegelapparat, welcher Längenänderungen bis auf ein Zehntausendstel Millimeter abzulesen gestattet, festgestellt wurde, dass eine scharfe Grenze zwischen

bleibenden und gänzlich verschwindenden Formänderungen nicht existirt und dass fast alle Materialien bleibende Formänderungen schon bei verhältniss-mässig geringer Belastung erleiden. Es haben aber alle Versuche, die mit den hier in Frage kommenden Materialien: Holz, Sch weisseisen, Flusseisen, Stahl u. A. angestellt worden sind, zu dem weiteren wichtigen Ergebniss . geführt, dass die bei genannten Stoffen erzeugten Formänderungen proportional den sie hervorbringenden Kräften sind, so lange die Beanspruchung unter einer gewissen Grenze, der Proportionalitätsgrenze bleibt. Überschreitet die Belastung diese Grenze, so sind die entstehenden Formänderungen nicht mehr proportional den Kräften, vielmehr wachsen die Formänderungen in einem anderen, stärkeren Verhältniss als die Belastungen. Da diejenigen bleibenden Formänderungen, welche unterhalb der Proportionalitätsgrenze liegen, für practische Zwecke als verschwindend klein angenommen werden können, so wird von Vielen die Bezeichnung Elasticitätsgrenze beibehalten, indessen ist dieser Begriff im Sinne der für die Proportionalitätsgrenze gegebenen Definition aufzufassen.

Wird die Beanspruchung eines Körpers fortgesetzt gesteigert, so findet schliesslich eine Trennung der einzelnen Teile desselben, der Bruch, statt. Die Belastung, bei welcher die Trennung beginnt, wird Bruchbelastung genannt; der hiebei vom Körper geleistete Widerstand ist seine Festigkeitsgrenze oder Festigkeit.

Spannung nennt man die in irgend einem Querschnitte des Körpers pro Flächeneinheit auftretende Beanspruchung. Die der Bruchbelastung entsprechende Spannung wird als Bruchspannung oder Festigkeits-coefficient bezeichnet.

§ 1. Zug- und Druckfestigkeit.

Wenn auf einen stab förmigen Körper in seiner Längenaxe eine Kraft ziehend oder drückend wirkt, so entsteht eine Längenänderung Al.

Man kann bei constantem Querschnitt und wenn das Stabgewicht vernachlässigt wird, annehmen, dass diese Längenänderung direct proportional sei der Kraft P und der Stablänge 1, indirect aber der Querschnittsfläche F und einer Grösse s, Elasticitätsinodul genannt, welche den Widerstand des Materials gegen elastische Formänderung auszudrücken bestimmt ist. So ergibt sich für die Längenänderung der Ausdruck:

Al

U)

Diese Gleichung¹ drückt zwar kein absolut richtiges Gesetz aus, doch kann sie erfahrnngsmässig so lange als richtig gelten, als durch die Kraft

d. h. die Verlängerung oder Verkürzung- pro Läng-eneinheit ist g-leich dem Quotienten aus der Zug- oder Druckspannung und dem Elasticitätsmodul.

Für die Festsetzung der Dimensionen oder der Tragfähigkeit aller Con-structionen ist vor Allem die Bedingung massgebend, dass durch die grösste vorkommende Belastung* die Proportionalitätsgrenze nicht überschritten werde, d. h. merkbare bleibende Formänderungen ausgeschlossen seien. Da indessen die Bestimmung der Proportionalitätsgrenze nicht für alle Materialien mit gleicher Schärfe möglich ist, da ferner diese Grenze bei einigen Materialien (Schmiedeeisen, Stahl u. a.) durch äussere Einwirkungen, als: wiederholte Anstrengungen, Stösse, verändert werden kann, so ist eine einheitliche Bestimmung der Dimensionen der Constructionsteile mittels der Proportionalitätsgrenze nicht ausführbar und es dient deswegen allgemein die präciser sich darstellende Festigkeitsgrenze als Ausgangspunkt für die Berechnung.

Bezeichnen ac und ß₀ die Ooefficienten der Zug- und Druckfestigkeit, F die Querschnittsfläche des auf Zug oder Druck beanspruchten Stabes und kann angenommen werden, dass die Belastung P sich gleichmässig über den Querschnitt verteile, so entsprechen die Gleichungen:

F a₀ = P und F ß₀ = P

Selbstverständlich

P die Proportionalitätsgrenze nicht überschritten wird. Da, wenn dies der constant bleibt, so ist auch der Elasticitätsmodul innerhalb der Proportionalitätsgrenze constant.

Für F = 1 und Al = 1 wird s == P, d. h. der Elasticitätsmodul ist gleich derjenigen Kraft pro Flächeneinheit, also derjenigen Spannung, welche erforderlich wäre, um einen Stab im Betrag seiner ganzen anfänglichen Länge zu verlängern oder zu verkürzen, vorausgesetzt, dass solche Längenänderungen innerhalb der Proportionalitätsgrenze möglich wären.

Bezeichnen a.‘ und ß' die Beanspruchungen gezogener bezw. gedrückter Stäbe pro Flächeneinheit Querschnittsfläche, so geht vorstehende Gleichung über in:

Fall ist,

Al

Al

und

Al

GL

<0

(2

dem Gleichgewichtszustand beim Beginne des Bruches, sind dieselben für die Querschnittsbestimmung zunächst noch nicht verwend

bar, denn die geringste Vergrösserung von P würde ein Zerreissen oder Zerdrücken zur Folge haben. Da vielmehr für alle Constructionsteile ein gewisser vfaclier Sicherheitsgrad erforderlich ist, so pflegt man statt der Festig-

keitscoefficienten a₀ und ß₀ nur die v!£E Theile derselben:

«o

= a bezw.

QjL

⁰ = ß als „zulässige“ Zug- und Druckspannung der Berechnung zu Grund v

zu legen.

Somit bestehen für die Berechnung’ der Querschnitte gezogener sowie kurzer gedrückter Stäbe die Gleichungen:

(3

Fa = P und Fß = P

und bei der Wahl des Sicherheitscoefficienten v ist zu berücksichtigen, dass durch a und ß die Proportionalitätsgrenze nicht überschritten wird.

Beispiel 1. Eine Hängesäule aus Fichtenholz hat eine Zugwirkung von 40 625 kg aufzunehmen. Wie gross muss die Seite a des quadratischen Querschnitts gemacht werden, wenn die zulässige Zugspannung des Fichtenholzes 65 kg pro qcm beträgt?

Nach Gl. 3 ist F = -

oder

40625

65 daher a² = 625 und a = 25 cm.

Beispiel 2. Ein schmiedeiserner Stab ist einer ruhenden Zugbelastung von 15000 kg ' ausgesetzt. Welchen Durchmesser d muss der kreisrunde Querschnitt des Stabes erhalten, wenn für Schmiedeisen a. = 750 kg pro qcm angenommen wird ?

.750 = 15 000.

d²7T

Nach Gl. 3 ist ——

4

daher d‘²jr = 80 und d = 5 cm.

Beispiel 3. Eine gusseiserne Platte dient zur Auflagerung eines Trägers, welcher auf dieselbe einen in ihrer lotrechten Schweraxe angreifenden Druck P = 150000 kg überträgt. Welche Breite b muss die 20 cm lange Platte erhalten, wenn die zulässige Druckspannung des Gusseisens ß = 500 kg pro qcm nicht überschritten werden soll?

Nach Gl. 3 ist 20b.500 = 150000, daher b = 15 cm.

Fig. 1.

b_

Beispiel 4. Aus einem Bundholz vom Durchmesser d des kreisförmigen Querschnitts ist ein vierkantiger Balken zu schneiden, der als Pfosten zur Aufnahme von Druckbeanspruchungen bestimmt ist. Welches Verhältniss b : h (Fig. 1) der Seiten des rechteckförmigen Querschnitts dieses Pfostens wird mit Eücksicht auf Widerstand im Sinne der reinen Druckfestigkeit das günstigste sein?

Der Druckwiderstand des Balkenquerschnitts ist proportional der Querschnittsfläche F — bli = b F d²-b² = Vb² (d²— b²).

Dieser Wert erreicht sein Maximum, wenn

b² (d² — b²)

d²

wenn also b² = — oder b = h, d. li. von allen Rechtecken, welche dem

Li

gegebenen Kreis einbeschrieben werden können, gewährt das Quadrat als Pfostenquerschnitt die grösste Sicherheit gegen Zerdrücken.

§ 2. Schubfestigkeit.

Ein stabförmiger Körper wird in einem Querschnitt auf Schubfestigkeit beansprucht, wenn zu beiden Seiten der Querschnittsebene und unmittelbar neben derselben zwei gleiche und entgegengesetzte Kräfte wirken, welche die Stabaxe senkrecht schneiden. Die Kräfte sind bestrebt, den Stab nach dem Querschnitt zu verschieben bezw. abzuscheren. Man kann mit einer für die Anforderungen der Praxis hinreichenden Genauigkeit annehmen, dass der Widerstand gegen Abscheren, wie jener gegen Zerreissen und Zerdrücken, direct proportional sei der Grösse der Trennungsfläche, was einer gleichmässigen Verteilung der Schubspannungen über den ganzen Querschnitt entspricht Bezeichnen daher P die Schubkraft, F die Querschnittsfläche und y₀ den Festigkeitscoefficienten der Schubfestigkeit, so enthält die Gleichung:

FTo = P

die Beziehungen zwischen Angriff und Widerstand im Augenblick der Trennung.

Mit Rücksicht auf den erforderlichen v fachen Sicherheitsgrad bestimmen sich F oder P aus der Gleichung:

To

die zulässige Schubspannung bezeichnet.

in welcher r — — v

Beispiel 1. Der Sparren eines Dachbinders, gegen den Horizont um den Winkel (p = 33° 4P geneigt (Fig. 2), ist durch den sog. schrägen Zapfen mit dem ihm zum Auflager dienenden Dachbalken verbunden. Breite und Tiefe des Zapfens sind 6 cm und 5 cm. - Welche Länge e muss der Balkenkopf vor dem Zapfen erhalten, wenn der Sparren druck P 2000 kg beträgt und wenn

Fig. 2.

die zulässige Scherbeanspruchung des Fichtenholzes (parallel der Faserrichtung) y = 6 kg pro qcm nicht überschritten werden soll?

P zerlegt sich in eine wagreclite Seitenkraft H — PCos <p — 2000 Cos 33°41' — 1664 kg und in eine lotrechte Seitenkraft V=PSin33°41' = 2000Sin33⁰41' = 1109 kg. Durch erstere abzüglich des Reibungswiderstandes wird der Balkeu-kopf auf Abscheren beansprucht, daher die Scherkraft 14/ = H — ;xV, wenn p, den Reibungscoefficienten bezeichnet.

Ist p. = 0,4, so ist H' = 1664 — 0,4. 1109 = 1221 kg. Die auf Abscheren beanspruchte Fläche des Balkens, aus drei Rechtecken bestehend, ist 6 e -f- 2.5 e = 16 e qcm, daher nach Gl. 4:

und

16 er = 1221 e = 12,7 cm.

Fig. 3.

Beispiel 2. Zwei auf Zug beanspruchte schmiedeiserne Stäbe (Fig. 3) sind durch einen Schraubenbolzen mit einander verbunden, der hiedurch auf Scherfestigkeit in Angriff genommen wird.

Der Durchmesser d des kreisförmigen Bolzenquerschnitts ergibt sich aus der Gleichung:

r <■

F <■

m.

mmmrn m

da7i

Auch die Stäbe werden auf Schubfestigkeit beansprucht, indem ein Ausschlitzen der ringförmig ausgeschmiedeten Stab-Enden an gestrebt wird. In dieser Beziehung dient zur Bestimmung der Dimension e die Gleichung:

2 aey = P.

Die Bolzenverbindung Eig. B wird einschnittig genannt, weil hier der Bolzen nur nach einer Schnittfläche auf Abscheren beansprucht wird. Bei

Fig. 4.

ir

kr

der Anordnung Eig. 4 wird der Bolzen im Fall des Ab-scherens nach zwei Schnittflächen getrennt, weshalb diese Verbindung „doppelschnittig“ genannt wird. Hier ergibt sich der Bolzendurchmesser aus der Gleichung :

IC —

Beispiel 3. Eine Stange aus Schweisseisen, in welcher ein Zug von (1000 kg herrscht, soll mittels eines Bolzens an einem | förmigen Dachbinder (Fig. 5) befestigt werden. Die zulässige Beanspruchung des Schweisseisens

auf Schub sei 600 kg pro qcm. erhalten?

Welchen Durchmesser d muss der Bolzen

Geschieht die Befestigung- in der durch Fig. 5 angedeuteten Weise durch einen einschnittigen Bolzen, so ergibt sich d nach Gl. 4 aus:

^ . 600 =

4

d = 3,6 cm.

6000

Fig. 5.

Fig. 6.

IIH

Ist das Ende der Zugstange gabelförmig ausgeschmiedet, den Steg des 1 -Eisens beiderseits umfassend (Fig. 6), so verteilt sich die Scherkraft auf zwei Bolzenquerschnitte, der Bolzen wird doppelschnittig und man erhält:

d² Tr

2 —- . 600 = 6000 4

d = 2,5 cm.

und

§ 3. Biegungsfestigkeit.

Ein stabförmiger Körper wird auf Biegung beansprucht, wenn auf den Stab in einer durch dessen Längenaxe gelegten Ebene äussere Kräfte wirken, die unter sich im Gleichgewicht sind. Die Kräfte können entweder senkrecht zur Stabaxe gerichtet oder auch beliebig gegen dieselbe geneigt sein. In beiden Fällen ist die Lage der Kraftebene gegenüber den Balkenquerschnitten von Belang. Man hat in dieser Beziehung zu unterscheiden zwischen denjenigen Fällen, in welchen die Kraftebene die Querschnitte nach Hauptaxten schneidet (Fig. 7) und denjenigen Fällen, in welchen die Querschnitte von der Kraftebene nicht nach Hauptaxen getroffen werden (Fig. 8). Über den

Begriff „Hauptaxen“ siehe § 3, A, I, 5. Hier sei nur bemerkt, dass, wenn ein Querschnitt Symmetrieaxen hat, diese zugleich Hauptaxen sind.

Fig. 8.

Fig. 7.

f/

AC

\N

Wenngleich Biegungsbeanspruchungen erstgenannter Art bei weitem die häutigsten sind, so kommen doch auch nicht selten im Hochbau Fälle mit schräger Lage des Querschnitts gegenüber der Kraftebene vor, wie z. B. bei Pfetten und bei Trägern, welche den Seitenschub eines Gewölbes aufzunehmen haben.

A. Biegungsbeansprucliung durch senk recht zur Stabaxe wirkende

äussere Kräfte.

1. Die Kraftebene schneidet die Querschnitte nach Hauptaxen.

Ein wagrechter, mit beiden Enden frei aufliegender Träger (Eig. 9) sei durch lotrechte Lasten beansprucht, welche in einer durch die Balkenaxe gehenden Ebene (Kraftebene) wirken. Diese Ebene sei⁻ zugleich Längs-Symmetrieebene des Trägers, so dass die Kraftebene die Trägerquerschnitte nach Symmetrieaxen (Haupt-axen) schneidet.

In Folge der Belastung entstehen in A und B Auflagerdrücke. Durch 0 Anbringung der diesen Auf lagerdrücken gleichen und entgegengesetzten Auflagerreactionen, die die Wirkungen der Stützen ersetzen, denke man sich den Träger in’s freie Gleichgewicht gebracht.

Ist dies der Fall, so muss für jeden beliebigen, als Momenten-

Fig. 9.

Di

t-----

n[itv

•Ss

Dz

punkt gewählten Punkt der Kraftebene die Summe der statischen Momente sämmtlicher Kräfte gleich Null sein. Daraus folgt, dass für jeden Balkenquerschnitt die algebraische Summe 9U, der statischen Momente der links vom Querschnitt befindlichen äusseren Kräfte bezüglich des Querschnittschwerpunktes gleich und entgegengesetzt ist der Summe 9Kr der statischen Momente der rechts vom Querschnitt wirkenden äusseren Kräfte bezüglich des Quersclinitt-scliwerpunktes.

Desgleichen ist für jeden Querschnitt die Kesultirende V! der links von demselben befindlichen äusseren Kräfte gleich und entgegengesetzt der Resul-tirenden Vr der rechts vom Querschnitt wirkenden äusseren Kräfte.

Durch den Balken und dessen Festigkeit sind diese Beziehungen ermöglicht und die Kräfte zu einem „System“ vereinigt. Um die Art der Beanspruchung, welche der Träger hiebei an jeder Stelle erleidet, festzustellen, fasse man einen um x von A entfernten Querschnitt MN in’s Auge. Denkt man sich den Balken nach MN durchschnitten und den links vom Querschnitt befindlichen Trägerteil entfernt, so muss, um die Wirkung des weggenommenen Balkenfragmentes zu ersetzen, die Resultirende V, der links von M N befindlichen äusseren Kräfte nach diesem Querschnitt verlegt werden, denn nur mittels dieses Querschnitts war eine Wechselwirkung beider Teile auf einander denkbar. Durch die Verlegung von VI nach MN wird das rechtsseitige Balkenfragment in dem früheren Gleichgewichtszustand erhalten, denn V, ist gleich und entgegengesetzt Vr Da indessen eine Kraft (V,) in einem ebenen System, soferne an dem vorherigen Zustand nichts geändert werden soll, nur dann parallel ihrer anfänglichen Dichtung verschoben werden kann, wenn ein Kräftepaar hinzugefügt wird, dessen Moment gleich dem Product aus der Kraft und der Länge ist, auf welche die Verschiebung erfolgte, so wirkt auf MN noch ein Kräftepaar, dessen Moment gleich V, mal Entfernung dieser Kraft vom Querschnitt, gleich ist.

Es geht daraus hervor, dass die Beanspruchung des Balkens für jeden Querschnitt sich zusammensetzt aus einer lotrecht wirkenden Scherkraft, „Transversalkraft“, auch „Verticalkraft“ genannt, V! (=—Vr) und einem Drehmoment, „Angriffsmoment“ 9K, (= — 9Fr).

und 0Kr beanspruchen den Balken im betrachteten Querschnitt in der durch Fig. 10 angedeuteten Weise, auch gibt es Fälle, in welchen die Bean-

Fig. 10.

Fig. 11.

sprucliung nach Fig. 11 erfolgt. Es ist aber nach dem Vorstehenden gleichgültig, ob man die Transversalkraft und das Angrift'smoment unter Zugrundlegung der links oder der rechts vom Querschnitt befindlichen äusseren Kräfte bestimmt. Im Folgenden soll für gewöhnlich als Transversalkraft Vx und Angriff smoment 9KX eines Querschnitts die Resultirende bezw. die Momenten-summe der links vom Querschnitt befindlichen Kräfte verstanden werden. Ist Vx aufwärts gerichtet, so soll diese Richtung als positiv gelten und in Übereinstimmung damit wird eine Momentendrehrichtung, welche dem Sinne der Bewegung des IThrenzeigers entspricht, als positiv angenommen werden.

Zusammenhang zwischen Angriffsmoment und Transversalkraft.

Bezeichnen 91t das Angriffsmoment eines Querschnitts x, Yx die Transversalkraft desselben und v die Entfernung der letzteren vom Querschnitt, so ist:

= V,v.

Rückt der Querschnitt um die unendlich kleine Grösse dx weiter, so ändert

d. x

gesetzt

sich 9lcx um d91 tx und Vxv kann gleich Vx (v -f- dx) -1- q d x —

Z

werden, wenn man sich die an der Stelle x vorhandene Belastung durch eine gleichwertige, auf die unendlich kleine Strecke dx gleichmässig verteilte Last q ersetzt denkt. Daher ergibt sich:

oder:

SK, + im, = Y, (V + dx) + q ^ d SK = V, dx +

d²x.

<rx ist eine unendlich kleine Grösse zweiter Ordnung* und verschwindet

gegenüber den übrigen Grössen der Gleichung. Es ist demnach

d31cx = Vxdx

oder:

d9ttx

dx

= vx.

(5

d31cx

= 0, dass also jener

Wert von x, für welchen die Transversalkraft gleich Null ist, das Angriffsmoment zum Maximum macht.

Hieraus folgt, dass, wenn Vx — 0, auch

dx

Beziehung zwischen Angriffsmoment und Widerstandsmoment, Gleichung der elastischen Linie.

Durch das Angriffsmoment je eines Querschnitts wird eine Drehung desselben bewirkt oder angestrebt. Betrachtet man zwei benachbarte Querschnitte (Eig. 12), welche vor der Belastung des Trägers einander parallel waren, so

werden dieselben, sobald unter Einfluss der Belastung* die Biegung* eintritt, einen "Winkel mit einander einscliliessen. Dies liat zur Folge, dass die oberen Fasern verkürzt, die unteren verlängert werden. Die oberen Fasern müssen also gedrückt, die unteren Zugwirkungen ausgesetzt sein. Zwischen den gedrückten und den gezogenen Faserschichten wird sich eine Faserschichte befinden, welche weder gezogen noch gedrückt ist und diese wird als neutrale Fas er schichte bezeichnet. Die Schnittlinie dieser Schichte mit je einem ins Auge gefassten Querschnitt heisst die Neutralaxe oder Nullaxe des Querschnitts. Die hiebei parallel der Trägeraxe oder normal zu den Querschnitten auftretenden Druck- und Zugspannungen werden axiale Spannungen oder Normalspannungen genannt.

Die Normalspannungen, welche in den einzelnen Flächenteilen eines Querschnitts auftreten, sind verschieden je nach ihrem Abstand von der Neutralaxe. Zur Bestimmung der Grösse dieser Normalspannungen kann man die durch

die Erfahrung hinreichend bestätigte Annahme machen, dass innerhalb der Proportionalitätsgrenze die Querschnitte des deformirten Balkens noch eben bleiben und in ihrer Form nicht

verändert werden. Hieraus folgt, dass die Normalspannungen proportional sind den Abständen von der Neutralaxe und dass alle Quersclmittselemente, die die gleiche Entfernung von der Neutralaxe besitzen, gleich stark beansprucht sind.

Betrachtet man eine im Abstande y von der Neutralaxe befindliche Faser eines von zwei benachbarten Querschnitten begrenzten Balkenelementes, deren ursprüngliche Länge cd gleich ab war und welche in Folge der Biegung eine Längenänderung um cc' erfahren hat, so ist wegen Ähnlichkeit der Dreiecke cac' und be a:

Fig. 12.

ij

c' ! $

lei

c c'

rm

* f 4-A-

n f Ij .....U

V---- z---■>(

--Z

ab

wenn r den Krümmungsradius der jetzt gekrümmten neutralen Faserschicht, der sog. elastischen Linie, bezeichnet. Ist a' die der Längenänderung cc' entsprechende Normalspannung, so folgt aus Gl. 2 :

Die Normalspannuugen, deren allgemeinen Ausdruck vorstehende Gleichung darstellt, sind zum Teil Zug-, zum Teil Druckspannungen. Da wagrechte äussere Kräfte nicht vorhanden sind, so erfordert der Gleichgewichtszustand, dass die Summe sämmtlicher Normalspannungen eines jeden Querschnitts gleich Null ist, d. li. dass die Summe der Zugspannungen gleich ist der Summe der Druckspannungen. Die Normalspannungen bilden also ein Kräftepaar und das Moment derselben muss gleich und entgegengesetzt sein dem Angriffsmoment.

Bezeichnet dF den Flächeninhalt eines zur Neutralaxe des Querschnitts parallelen und von derselben um y entfernten Flächenstreifens fgik, dessen Breite z und dessen Höhe dy ist, so hat man

(7 und

sdFy = 9tlx,

wobei die Summirung durch Integration sich auf den ganzen Querschnitt zu erstrecken hat.

Der Krümmungsradius r der elastischen Linie ist für einen und denselben Querschnitt constant und wenn s für Druck und Zug gleich angenommen werden darf, so folgt aus Grl. 7:

(»

c c'

7/

ab

und:

a'

.....- e.

(6

y dF — 0

d. h. für jeden Querschnitt fällt die Neutralaxe mit der Scliwer-punktsaxe zusammen.

Ferner folgt aus Grl. 8:

v²d F == 01cx

oder, wenn

J y²dF

das „Trägheitsmoment“, mit (H) bezeichnet:wird:

£0 = 9KX.

's ; (o

Da nach Gl. 6

so erhält man:

0 = 0KX>

.Y

mittels welcher Gleichung- bei g-eg-ebenem 91£x und bekanntem 0 die Spannungberechnet werden kann, die in einem gegebenen Querschnitt in der Entfernung y von der neutralen Easerschichte herrscht.

In gleicher Weise gilt für den gedrückten Querschnittsteil:

Vj j-TD

0 = 91c

wenn ß' die Druckspannung in der Entfernung y von der neutralen Easerschichte bezeichnet. Die grössten Normalspannungen finden in denjenigen Querschnittselementen statt, welche den grössten Abstand von der Neutralaxe besitzen. Hier soll die zulässige Beanspruchung nicht überschritten werden. Ist daher n der Abstand des äussersten Punktes des gezogenen Querschnittsteiles und m der Abstand des äussersten Punktes des gedrückten Querschnittsteiles von der Neutralaxe, so ergeben sich die Gleichungen:

0 = 91cx und

0 = 91cx.

(11

Diese Gleichungen dienen zur Querschnittsbestimmung von auf Biegung beanspruchten Trägern auf Grund der Coefficienten der Zug- und Druckfestigungleich, so ist von beiden Werten der

keit. Sind die Grössen

und

ö i*ro

kleinere der Berechnung zu Grund zu legen. Da indessen in neuerer Zeit für alle in Frage kommenden Materialien die Coefficienten d der Biegungsfestigkeit durch directe Versuche bestimmt worden sind, so empfiehlt es sich, für die Berechnung die Gleichung:

9EX

(12

zu verwenden, in welcher d die zulässige Biegungsbeanspruchung und n die Entfernung des äussersten Punktes des Quersclmittsrandes von der Neutralaxe bezeichnen.

Führt man in Gleichung 10

d²y

dx²

ein, so ergibt sich:

d^y

dx²

als allgemeine Differentialgleichung der elastischen Linie. Durch Integration erhält man:

= Sit,

(13

3?>j

01cx d x

(14

und durch nochmaliges Integriren:

ff

91c x dx. ,

(15

Man findet die Stelle der grössten Einbiegung, wenn man denjenigen

der Gl. 14 gleich Null wird. Derselbe

dy

Wert von x bestimmt, für welchen n

dx

Wert von x, in Gl. 15 eingeführt, gibt den Wert der grössten Einbiegung.

Trägheitsmoment.

Das Trägheitsmoment eines Querschnitts bezüglich einer Axe ist nach Obigem gleich der Summe der Producte ans allen Flächenelementen des Querschnitts und den Quadraten ihrer Abstände von dieser Axe. Demnach ist das Trägheitsmoment von der Grosse und Form des Querschnitts abhängig und es können für bestimmte Querschnittsformen die allgemeinen Ausdrücke der Trägheitsmomente aufgestellt werden.

In vielen Fällen dient folgender Satz zur Erleichterung der Berechnung:

Das Trägheitsmoment eines Querschnitts bezüglich einer beliebigen Axe Z'Z' (Fig. 13) ist gleich dem Trägheitsmoment bezüglich der zu Z'Z' parallelen Schwerpunktsaxe ZZ vermehrt um das Product aus Quersch nittsfläche und Quadrat des Abstandes beider Axen.

Bezeichnet nämlich 0Z das Trägheitsmoment des Querschnitts in Bezug auf die Schwerpunkts-axe ZZ und Oz, das Trägheitsmoment desselben Querschnitts bezüglich der Axe Z' Z', welche im Abstand a zu ZZ parallel ist, so hat man:

Fig. 13.

Z‘----

f"

z\

737!Z7ZT7?7-\ eil!

Tr

--7K---~Z

1---z'

0 —

' ’7.    ----

v²dF

und

= f (y + a)²

dF

fy²dF 4- 2a

Da ZZ eine Scliwerpunktsaxe, so ist so erhält man:

J y d F 4- a ²J

J^ydF = 0, da ferner JdF

dF.

1. Rechnerische Kcstiimuuiig der Trägheitsmomente.

a) Rechteck

Für den rechteckförmigen Querschnitt, bezogen auf die Schwerpunktsaxe ZZ (Fig. 14) ist:

+ T

Fig. 14.

(*) —

J y² d F,

h

du

oder, da dF = bdy,

2 —ft-----

----Z

+ h

¹ ‘2

b j y² dy =

05 CT

-¥]

Ras Trägheitsmoment desselben Querschnitts bezüglich der Axe Z' Z', welche mit einer der Kanten zusammenfällt, ist:

(4Z, =

b J* y² dF

ct

b) Querschnitte, welche aus Rechtecken zusammengesetzt sind.

Ras Trägheitsmoment des Querschnitts Fig. 15 bezüglich seiner Schwer-punktsaxe ist gleich der Differenz der Trägheitsmomente des ganzen Rechtecks acde und des inneren Rechtecks fgik, daher:

'"S>

Fig. 1(5.

Fig. 15.

i.I

T-r

»••sH

UiO' J

»■

-Z-----

ii

st

L,

»f

je

ie

Für den J_-fÖrmigen und j_-förmigen Querschnitt (Fig¹. 16) erhält man in gleicher Weise:

tc

(b h³

b, ht

*)•

Das Trägheitsmoment des Blechträgerquerschnitts (Fig. 17) ist: (9 = ^-^bli³— bjhj³— 2-dh₂³).

Fig. 17.

bi->i 2

Fig. 18.

IS

!___

h h, h~----

Z_T

Wil

h, h

---

i.

L-C

Ist das Trägheitsmoment eines ~p Querschnitts (Fig. 18) zu bestimmen, so berechnet man zunächst das Trägheitsmoment des Querschnitts bezüglich einer durch die Unterkante gelegten Axe Z'Z':

<h)z. =

^(bh³ — b.v).

Sodann ergibt sicli nach Cll. 16 das Trägheitsmoment bezüglich der Schwerpunktsaxe ZZ:

@z = (9Z, — n²F.

c) Dreieck (Fig. 19),

Bezüglich der Axe Z'Z' ist

Fig. 19.

Hz. =

zy²dy —

A-

b h³

A A—z —*

T~z

Daher das Trägheitsmoment des Dreiecks in Bezug auf die Schwerpunktsaxe Z Z:

bh³

z-

-z

( 2 \² bh

■ T

36

bh³.

d) Kreis (Fig. 20).

Das Trägheitsmoment, bezogen auf die Schwerpunktsaxe ZZ ist:

+ >•

I zy²dy,

oder, da z = 2rCos'p>, y = rSin® und dy = rCostpdtp

U MN

2 J¹ 2 r Cos tp (r Sintp)² r Cos <p d <p,

fei MN

0 = 4 r⁴

Fig. 20.

Sin²® Cos²tp dtp,

7i r⁴

Fig. 21.

Z --

z---

miau

d,

------o------

-d-

y/f

Für die kreisförmige Ringfläche (Fig. 21, Röhrenquerschnitt) ist:

2. Graphische Bestimmung' der Trägheitsmomente.¹)

Man zerlegt die Querschnittsfläche parallel der Axe Z'Z', bezüglich deren das Trägheitsmoment gefunden werden soll (lüg. 22), in eine hinreichende Anzahl von Lamellen, bestimmt die Mächen derselben, welche als Längen Ol, 12 . . . 9 10 auf einer zu Z'Z' parallelen Geraden aufgetragen werden und denkt diese Flächen als zur Axe parallele Kräfte in den Schwerpunkten der betreffenden Lamellen angebracht.

— (wenn F die Gesammtfläche £

des Querschnitts) ein Kräfte- und Seilpolygon construirt, so gibt der Schnitt J der äussersten Seilpolygonseiten einen Punkt der zu Z'Z' parallelen Schwer-punktsaxe ZZ und die von diesen Seilpolygonseiten sammt dem Seilpolygon selbst eingeschlossene Fläche F₀ liefert, mit F multiplicirt, das Trägheitsmoment des Querschnitts bezüglich der Schwerpunktsaxe.

0

Wird nun mit der Poldistanz ^ F .= —

Denkt man sich nämlich je zwei aufeinanderfolgende Seilpolygonseiten, z. B. 01 und III, III und IIIII u. s. f. bis zur Schwerpunktsaxe Z Z ver-

Fig. 22.

>!

a_

■oo

z'-

Or

A//7

längert, so sind die hiedurch entstehenden Dreiecke IJI), IIDE u. s. f. ähnlich den entsprechenden Dreiecken 001, 012 u. s. f. im Kräftepolygon daher

rH

oder, wenn mit f,, f,. . . die Flächen der einzelnen Lamellen und mit y,, y₂. . . die Abstände ihrer Schwerlinien von ZZ bezeichnet werden.

. toli—■ td-*

daher

.•hm, = iäEy. = **?'

d. i. Fläche A I.JD =

-+v

, Fläche A IIDE =

f*y,²

etc.

Die Summe der von sämmtlichen Seilpolygonseiten auf solche Weise mit ZZ eingeschlossenen Dreiecke ist nun nichts Anderes, als die vom Seilpolygon und dessen äussersten Seiten eingeschlossene Fläche. Bezeichnet man dieselbe mit F₀, so ist:

F₀. F = V fy² = Ö.

oder

Das Trägheitsmoment 0Z, des Querschnitts bezüglich Z'Z' ist ferner 0Z, = 0 4- Fd².

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke JGrK und 0 010 folgt aber: ff K : d = F : j F

DK = 2d,

daher die Fläche Fj des Dreiecks JGIv gleich d². Mithin

oder

*) Vorstehende Construction liefert auf einfache Weise auch die Worte J* ydF

y

des Querschnitts für jedes beliebige y.

Denn da nach oben

J D = (Fig. 22), y:ä 4

so hat man nur in der Entfernung y eine Parallele zu ZZ zu ziehen (Fig. 23) und im

Schnitt L derselben mit dem Seilpolygon eine Tangente an das letztere zu legen, um dadurch auf ZZ den Abschnitt .TM = w zu erhalten, welcher die Bedingung erfüllt:

Fig. 23.

kF

I)E

d-z

Man erhält also diese Schubkraft durch:

Ee

u. s. f.,

w . I F = J* ydF.

Die horizontale oder verticale Schubkraft, welche bei einem auf Biegung beanspruchten Träger in der Entfernung v von der Schwerpunktsaxe eines Querschnitts und pro Längeneinheit des Trägers auftritt, ist nach Gl. 38, § 3, C:

Vw

2F₀

oder, wenn r der Trägheitsradius (s. Seite 87),

_ Vw Sy — 2?*

Querschnitt.

Trägheitsmoment @ bezogen auf die Schwer-punktsaxe.

W iderstandsmoment

nstr

J'-'J -4

-— b h³

12

¹ b h²

(5

S - h*

-h.---

⁴ h«

12

h³

Kl

¹ h⁴

71

-Ae.

12

12

= 0,707 h

li³ V‘2

12

= 0,1181i³

36

b h³

to

h>'2

er

¹ b h:!

48

24 bh2

|e--S -«

1 b² + 4 b bi 4- b:t²

— 3----

3(5

h³

2b-f b, h lb² + 4bb₁ + b₁2 b + bt 3    12    2 b -j- bi

h*

7 -r

: "s

0,5413 r⁴

0,866 v

0,625 r³

llpll___

0,5413 r⁴

0,5413 r³

Querschnitt.

Trägheitsmoment 0 bezogen auf die Schwer-punktsaxe.

0,924 r

0,6331 r⁴

0,690C r³

10

rr d⁴ Ti

64

= 0,0491 d⁴

"2

₃₂ di! it = 0,0982 cl⁸

‘i* - - cL

!-----^ — "i

¹ ■ b b³ 7t = 0,0491 bh³

— bh²* = 0,0982 bk²

12

it----2_p----»

0,11 r⁴

0,5756 r

0,19 r³

0,3927 r⁴

0,3927 r³

—1-5** *-*!

175 bh”

2-h

b h²

105

(Parat elsegment)

15

mm,

li

- -Är- -

15

bh²

(Parabelsegment)

16

mm:

WMm?

_ .t..

_ (5 b + 2 c) h³

fcC[ pr

l- (5 b -f- 2 c) h*

30

(Kechteekförmiger Querschnitt mit anschliessenden P arabelsegmenten.)

17

18

19

20

21

Querschnitt.

* b ■*

iTp! §

h-h,

Wb.-*

(r-

k,

--ft

ai

h-M~---ft,

...

1    4?"

<- ft

li

....

Trägheitsmoment 0 bezogen auf die Schwerpunktsaxe.

~ h (h³ — hi⁸)

T !    12

(b h³ — bj hi³)

p-

to|

N>! p-

1 b (h³ — hi³) "6 h

1 bhs — hihi³

li

h, h

ft-*

ft

12

tc p-

1 dh³-f bdj³

Uli

it

- |ks0py%a%MSj| ~

"dm

w

dr

£---or-‘—>

tH IO

12

er*

\

cr

Jzr-

1    hh²— bihi

2    bh-"bTbT

.iy<b-b‘)m,+ta’-

bi [n — (h — hi)J j

₍h_hi)b³ +

hi (b — bi)³

bs| p-

6b

(h — h^ b³ +

hi (b — bj)³

tu (d⁴ — di⁴).

32 d

Querschnitt.

Trägheitsmoment 0 bezogen auf die Sohwer-punktsaxe.

Widerstandsmoment

CD i q

22

1-

dr-tr>\

- -J fh j —

4-

i.

(ä(d4 - d^)

₄_hl7t(d2_dl2₎

+ ~ (d⁸ — d±³>

+ j (d - dx) ll³

pi.

boj

tr

ts2 p.

P-

(4-

ll² 7t

H—(d² — (Ij.²) + !} (d³ - di³)

+ (d - dO h³

f bi

²³ m

tili

KM

i

³₆ 7t d⁴ -f- b (h³ — ds)

-f b³ ( h — d)

— jcN

6h

t³₆ 7t d‘ + b (h³ - d⁸)

-f b³ (h - d)

->

24 h

₁₂ Ä * (d⁴ — di⁴)

+ b (h³ - d³) -f- b³ (h - d)

4- b (h³ — d³) + b³ (h — d)

4. Tabellen von ProJileisen,

vereinbart 1879 vom Verbände deutscher Architekten- und Ingenieur-Vereine, dein Vereine deutscher Ingenieure und dem Techn. Verein für Eisenhüttenwesen. Vgl. Deutsches Normalprofilbuch für Walzeisen, im Aufträge der von den beiden erstgenannten Vereinen niedergesetzten Commission bearbeitet von T)r. F. Helmerling und 0. Intze, Aachen 1881.

Normalprofile für gleichschenklige Winkeleisen.

dn,in. = 0,1 b für b < 100 mm lY b für b > 100 mm

dmiu. —

V,

dn.ln, + dnlttx- .

Die Hauptaxen sind: ZZ als Winkelhalbirende. YY I ZZ.

x-

—jj

k-

Dimensionen

Profll-

in

Quer-

Ge-

wicht

Nr.

Millimetern

sehn.

per

Meter

Abstände von den Hauptaxen und Sch werpu n k tslage

bezüglich der Z-Axe

Momente (in cm) bezüglich der Y-Axe

Träg-

heits

Moment

Wider-!

stands-

Träg

heits-

Moment

Wider

stands-

Moment

qcm

kg

cm

cm

0y

17*

15 .

CO TU

3,5

0,63

0,81

1,06

0,69

0,74

20

CO

3,5

1,11

0,87

1,44 1,12

1,41

0,87

0,92

J—*■    JO >-*

2¹/2

25

3,5

1,41

1,10

1,84

1,44

1,77

1,04

1,76

1.09

1,73

30

2,5

2,24

1,75

3,24

2,58

2,12

1,27

1,30

2,10

2,02

3¹/*

35

2,5

2,64

2,06

40

472

45

3,5

3,84 3,00

3,04 2,37 4,41 3,46 5,76 4,49

4,25 3,32

2,47

2,83

5,81

1,44

1,55

1,63

1,74

2,48

2,40

2,85

2,77

1,84 2,70

1.85

4,53 3,18 1,96

3,19

3,11

SS Yb Yb I! II

0,238

0,291

0,455

0,563

0,735

0,926

1,38

1.89

1,94

2,68

0,066 0,096 0,081 0,109

0,169 0,194 0,209 0,226

0,342 0,329 0,432 0,397

0,77 0,608 1,05 0,755

1,26

1,74

0,876

1,12

7,33

10.2

12,7

2.59

8.60 4,48

1,93    1,18

2,68

3,34

12,8

16,9

4,03

5,31

1,54

1,82

3,37    1,82

4,45

2,27

7,29 5,69

2,07

3,04

20,4

6,41

5,38

2,60

50

3,5

4,75

6,51

8,19

3,7

2,04

3,56

17,8

5,03

4,68

2,30

5,1 3,54

6,4

2,14

2,25

3,49

23,5

6,64

6,18

2,89

3,41

28,6

8,08

7,53

3,35

57*

55

6,24

4,9

10 |

8,16    6,4

10,00| 7,8

2,26 3,91 3,88 | 2,36 3,83 j 2,46 3,76

28,2

35,7 | 42,6 |

7,26

7,43

3,29

9,18

11,0

9,38

3,99

11,2 | 4,56

Dimensionen

Profil-

in

Quer-

Nr.

Millimetern

schn.

Ge

wicht

per

Meter

t>

Abstände von den H>iuptaxen und Schvverpunktslfige

Momente (in cm) bezüglich dev Z-Axe

Momente (in cm) bezüglich der Y-Axe

CI

S5

Träg

heits-

Moment

Wider

stands-

Moment

qcm

ez

ÖZ

Träg

heits-

Moment

Wider

stands-

Moment

Öy

0,

60

6l/2

65

70

CD    CD    O 00 Oi

GO

CD

ca

6,84

8,96

11,0

8,61

10,9

13,1

9,31

CD

11,8

14,2

CO^O^CD^ C- lQ CM^ CO CM^t-* iO CG C£ CG Ö !>• cT r-T

2,43

4,28

37,0

8,72

4,02

4,24 2,53

2,63

2,66

4,59 2.76

2,86

4,21

47,2

11,1

4,90

4,14

4,62

4,55

4,48

2,85 ! 4,99 4,95 2,94 I 4,92 3,04 j 4,85

56,3

13,3

5,64

54.4

67,0

78,5

68,5

84,8

99,8

11,8

14,6

17,1

5,38

6,38,

7,24

CO

V\2

75

CA

11,4

14,0

16,6

8,9

3,07

10,9

12,9

5,30 3.16

3,26

5,33

5,26

5,19

95,0

115,0 133,0

13,9

17.2

20.2

18,0

21,7

25,1

6,32

7,58

8,65

• 8,16

9,60

10,7

80

CA

12,2 |

15,0

9,5

11,7

CO

17,8

13,9

5,66

3,25 5,71 3,35 5,63

3,44

5,56

117

141

162

20,6

24,9

28,6

9,48

11,1

12,4

90

rH

CO

15,4

12,0

3.65

6,42

187

10

100

11

110

CO

t—'    H n H    t—( r-i T-H

CM

CA

lO

05

05

18,6

14,5

21,7

19,0

22,6

26,0

21.0

25,0

28,9

16,9

14,8

17,6

20,3

16,4

19.5

22.5

6,36

7,07

7,78

3,75

3,85

4,05

4,15

4,25

4 41

4,51

4,61

6.35

6,28

222

254

29,4

34,9

39,9

7,13

7,06

6,99

285

333

378

40,2

47,1

53,4

7,88

7,81

7,74

12

120

H CG

Ol

CO

“ca

25.2

29.5

33,8

19,7

23,0

26,3

8,48

4,84 8,59 4,93 ! 8,52 5,02 8,45

co

-H 50 CO rH H tH

-H r—

CM

13

130

^ CD rH H

-J

29,8

34,4

39,0

23,2

26,9

30,5

9,19

5,22

5,32

5,42

9,31

9,24

9,17

763

867

970

05 kt. i—^

05

14

140

CA

34,7

39.8

27,1

44,7

31,0

34,9

9,90

5,64

5,74

5,84

10,02

9,95

9,88

1025 104 1160 117 1290 130

15

150

16

160

CD CO    O Cb

T-H yH T—<    T—< f-H

CI

00

•^1

ccT

lO

40,0

45.4

50,8

45,8

51,5

57,2

31,2

6,04

10,7

35,4

39,6

35,7

40,2

44,6

10,6 6,14

6,24

10,7

10,6

1360

1525

1685

H T—i rH

6,45 11,5 11,3 6,55 11,4 6,65 | 11,3

1760 156 1970 174 2160 191

IJI III !°g lg!

13.5

15.6

17.4

18.5

21,2

23.5

22.9

26,2

29.3

29.8

33.8

37.5

38.6 43,0

47.3

47.9

53.2 58,0

59.3

65.3 71,1

71,8

79,0

85,5

Proiil-

Nr.

2/3

2/4

3 | 4 V*

3/6

4/6

4/8

5 | 7‘/2

5/10

672110

672113

8/12

8/16

10/15

10/20

Ümin. -—

b-f-h _

20

jedoch mit geringfügigen Abweichungen.

Dimensionen

in

Qucr-

Millimetern

I I II

b | h I d | i'i ! r*

I I l__

30

40

45

60

60 •} 3

< i

80

75

50 100

65

65

sehn.

qcm

Oe wicht per 1 Meter

-tr

6,

3.5

10

4,5

100 ⁹

11

130 Jg 5,5

80 120 I¹! 5,5

12,

12

80160 fT 6,5

i

100150 J|6,5 100,200^7,5

3,5

3,5

4,5

10

11

11

13

13

1,41 1,10

rv

\i 4

Hi

bä =

Üniin. “7 Ü iuhx .

i.

ft =

Schwer-punkts-abständc in cm

1,01 0,51 1,05 0,55

1.45 0,45

1.49    0,49

1.50    0.75 1,54 0,79

2.20 0.69 2,27 0,77

1,99 0.99 2,06 1,06

CÖ

a

o

tuo

Abstände von den Hauptaxen in cm

xMomente (in cm) bezüglich der Z-Axe

.Momente (in cm) bezüglich der Y-Axe

von

der ZZ-Axc

von

der YY-Axe

Triig- I heits- Jderst. mo-

Wi-

Wi-

mo-ment ¹ ment

| 0*

Träg-heits- jderst.-mo-

ment I ment

rao-

öz

f)y

H.V

0.407 2,00 1,51 0,76 1,09 0,86 0,4q 1,44,0,718 0,382 2,00 1,45 0,79 1,04 0,90 0,45 1,79 0,896

0,252 2,56 1,86 1,30 1,19 0,80 0,41 2,99 0,231 2,53 1,79 1,34 1,18 0,82 0,42 3,79

0.421 0,400

0,242 0,215

0,426 0,400

1,17 1,50

3,05 2,30 1,11 1,62 1,30 0,79 6,63 2,18 3,03 2,28 1,15 1,651,310,78 7,91 2,61

3,88 2,68:1.96 1.77 1,19 0,63 16.5 4.25 3,85 2,70,2,06 1,78 1,25 0,65 21,7 j 5,63

4.11 3,01 1,44 2,02 1.72 4,06 3,00 1,52 2,10 1,72

5,17 3,55 2,60 5,15 3,59 2,66

5,10 3,75 1,83 5,10 3,73| 1,88

6,45 4,43'3,23 6,39 4,45 3,32

1-1,0 3,37 1,62 0,399 6,77

13.2    3,441,69 0,384 6,72

14,4 4,72 1,47 0,241 8,40

17.1    4,79 1,54 0,236 8,38

14.8 3,97 1,97 0,425 8,18

17.6    4,05 2,05 0,412 8,10

21.3    5.791,79 0.24910,35

24.7    5,87 1,87 0.240 10,30

22.3    4,95 2,45 0,426 10,18

25.8    5,02 2,52 0,418 10,18

31.2    7,20 2,20 0.252 12,97 8,89 6,44 6,00 3,90 2,23 1757 135,5 45,44 35,4 7,27 2,28 0,246 12,85 8,92 6,o4 5,94 3,96,2,20 1970 152,5

6,84 5,34 2,90 0.90 0.249 8.96 7,00 2,97 0,97 0,229

8,26 6,40 2.51 1,26 0,417 10,44 8,10 2,58 1,33 0,398

11.36    8,9 3,641,14 0,246 14,00 10,9 3,71 1,21 0,231

14,04 16,94

18,50 21,96

19,00

22.56

27.36 31,64

28.56 33,04

4,902,51 4,9812,60 l

5,78^,21 3,88 5,80.4,30 3,84

6,00 2,90 4,20 6,04 3,00 4,20 3,46

7,10 5,20 4,80 3,16 7,10 5,27 4,78 3,20

7,5113.62 5,26 4,20 7,52 3,62 5,32

40,04

1,29

1,64

1,89

2,66

1,03 19,9 4 85 3,79 1,04 26,0 | 6,40 5,39

2,40 1,55 0 87 47,7 I 9.22 2,37 1,60 0,94 60,6 11,8

2,64 2,10 1.26 53 2 10,4 2,60 2,19 1,27 64,9 12,7

2.941.96    1,07 123 19,1 13,9

2.96    2,041,14 148 23,2 17,4

3,54 5,51

5,36

7,16

10.5

13.6

2,76 1,62 160 2,79 1,73 188

2,59 1,42 340 2,61 1,42 396

2,11 18 2,08 68

1,75 764 1,78 870

2,62 749 4,28 2,58 851

3,36

23.7    30,1 28,0 36,9

40.5    38,0 47,2 45,9

196

223

0,263

0,377

0,279

0,378

0,795

0,990

1.08

1,50

1,88

2,56

2,23

3,02

3,97

5,21

4,73

5,88

8,50

10,5

9 79

12,0

14,6

17,6

17,9

20,8

27,2

31,5

32,7

37,5

ff

Profil-Nr.

Normalprofile für j_-Eisen.

0,25 Ii -f- 30 nun.

0,035 h -{- 3 mm; jedoch auf halbe Millimeter abgerundet.

0,oö h -f- 3 mm.

t; rA =

Dimensionen

in

Go-

Quer- wicht per

Iv

.Z

w\

a = Winkel von ZZ mit den 'J¹ Flantschen, bezw. von YY mit der Yerticalrippe.

Millimetern

sehn.

Meter

Lage

Abstände

von den Hauptaxen (in cm)

von der j von der Trägheitsmoment

Momente (in cm) Momente (in cm) bezüglich der bezüglich der Z-Axe

Y-Axe

Z-Axe Y-Axe

h i b d j t ri r-2

qcm

tg «=

07

Wider- Träg- Widerstands- heits- I stands-moment momenf moment 0,

07.

ZD    Gi    fr*

'CC

O    O    Ol

Ol 03

^    c    o

—I    O    h-A

1,14

1,79

2,69

13,60    7,07

24,40 13,60 39,70 21,10 60,10 ' 30,00 88,00 44,60 120,50 58,80

3,34

5,82

8,14

10,70

14,20

16,90

h = b.

cl — 0,i h -f 1 mm.

hi

i'i —

£3

- y

^ r3 —

Neigung im Fuss 2 °/o,

J, auf jeder Seite des Steges 2 %.

Profil-

Dimensionen in Millimetern

Quer-

Ge-

wicht

sehn.

per

Nr.

Meter

Schwerts punkts-abstand

Momente (in cm) bezüglich der Z-Axe

Momente (in cm) bezüglich der Y-Axe

Träg

heits

moment

Wider

stands

moment

Wider-

stands-

ri ; r>

r₃

qcm kg

i!

0Z

0z

Träg-heits- , moment;mo™eu*;

I 0y

0y

2/2

2¹/₂|2¹/₂

3/3

O    iQ    O

CM    CM    CO

3,5

rH

1,5

3,5

1,11 ! 0,9

1,63    1,3

2,21    1,7

1.39    0,103

1,75    0,931

2,10 1,86

.

CT¹

'ü'

0,88

0,201 0,20

0,163 0,37

0,911 0,61

3¹/al3¹/2

4,5

tH

1,5

2,95    2,3

2,46    3,31

1,36

1,63

0,93

1/1

rH

2,5

3,75    2,9

2,82    5,56

1,97

2,70

1,35

.    i¹/*! i¹/*

5,5

t—*■

3 i 5,5

1,65    3,6

3,17    8,74

2,76

4,23

1,88

5/5

5,61    4,1

13,1

3,71

6,33

2,51

6/6

60

7    2    3,5 i 7    7,91

6,2 1,24    26,4

6,23

12,8

4,25

7/7

70

8    2    1 I 8    10,6

8,2 1,96    48,4

9,76

23,1

6,62

8/8

9/9

CD    00

o    o

80

90

9    2    15; 9    13,6

10,6 5,67    81,5

14,4

38,8

9,70

10    2,5    5

17,0

13 3 6,38    129

20,3

61,1

13,6

10/10

100

100 11

5,5

T-i

20,8 16,2 7,10    195

27,5

92,7

18,5

12/12

120

120    13

6,5 i 13    29,5 j 23,0 8,52

389

-45,6

189    31,5

11/14

110 I 110

15

bi-*

7,5 I 15

39,8'31,0 9,95    734

73,7

347    19,5

i't

d = 0,15 h *-J- 1

mm.

ri =

J3

Z-

T‘

J 1 t r* = d-

mmämmmm f Nei$™gim Fuss 2

___b ..._j    auf jeder Seite des Steges 4 °/o.

2'

Profi l-

T>imeiisionen in

Quer

Ge

wicht

sehn.

per

Nr.

Meter

Schwer-

punkts-

ahstand

Momente (in cm) bezüglich der Z-Axe

Momente (in cm) bezüglich der Y-Axe

Träg

heits

moment

Wider

stands

moment

ra

qcm

cm

©z

©z

Träg

heits

moment

Wider

stands

moment

©y

©y

4b

6/3

60

30

5,5

1,5

5,5

4,64

3,6 j 2,30

2,91

1,26

9,98

3,33

7 | 372

70

35

1,5

5,94

4,6

2,69

5,12

1,90

17,3

4,94

8/4

80

40

3,5

7,91

6,2

3,07

8,87

2,89

30,1

7,52

9 | 4'/*

90

45

10.16

7,9

3,45

14,4

4,18

49,0

10,9

10/5

100

50

8,5

8,5

12,02

9,4

3,84

21,2

5,51

71,3

14,3

12/6

120

60

10

2,5

10

17,0

13,3

4,62

43,2

9,35

145

24,2

14/7

140

70

11,5

11,5

.22,8

17,8

5,39

79,1

14,7

265

37,8

16/8

160

80

13

3,5

6,5

13

29,5

23,0

6,17

134

217

446

55,8

18/9

180

90

14,5

3,5

7,5

14,5

37,0

28,9

6,95

213

30,5

709

78,8

20/10

200

100

16

16

45,4

35,4

7,72

323

41,8

1073

107

Nor m a 1 p r o fi 1 e für J_- E i s e n.

Bis h = 250 mm ist b = 0,4. h -{- 10 m m ;

d = 0,03.]) -f- 1,5 mm.

Für h > 250 mm ist b — 0,3. li -|- 35 mm;

-Zh

Neigung der inneren Flantschen-flächen 14 %.

m = d;    —• 0,e. d.

d = 0,o36. h.

il:

Profil -

Dimensionen

Quer-

schnitt

per

Momente (in cm) bezüglich der Z-Axe

Momente (in cm) bezüglich der Y-Axe

Nr.

1 Meter

Träg

heits

moment

Wider

stands

moment

i?

(~K.

©z

Träg

heits

moment

Wider

stands

moment

©y

©y

80

42

3,9

90

46

4,2

100

50

4,5

110

54

4,8

120

58

5,1

130

62

5,4

140

66

5,7

150

70

6,0

160

74

6,3

170

78

6,6

180

82

6,9

190

86

7.2

200

90

7,5

210

94

7,8

220    98    8,1

230

102

8,4

240

106

8,7

260

113

9,4

280

119

10,1

300

125

10,8

320

131

340

137

360

143

11,5

12,2

13,0

380

149

13,7

400

425

450

155

163

170

14,4

15,3

16,2

475 178 17,1 500 185 18.0

lllllllgg -S I £ g g I £ -311 -S g g g -2 -3 g € g

h-*-

o o

S £ S £ -S £ € V V S -£ ■§ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £

5 9 3 5- 3 3 5- 3 3 § 3 3 5- 5 3 3 3 3 3- 3 2- 3 3 5 2 3- S- 3 §-

^ 70 O N ^

ao* cd

O H CO t-H tH t-H

h-i

OO CI Hi

o co

So

78,4

118

172

241

331

441

579

743

945

1177

19.6 26,2 34,4

43.8 55,1

67.8

82.7 99,0

7,35

10,4

3,5

4,5

118

139

69245 | 2770

14,3 18,9

25.2

5,7

7,0

8,7

789

115

956

134

1138

153

1349    174

1672

2004

2424

2871

205

236

272

310

Normalprofile für [^-Eisern

b — 0,25 h -{7 25 mm.

Neigung der inneren Plantschen- Z flächen 8 %.

... ' // • J

■F*

<>

i't =

2~'

<y| b

Profil-Nr

in

Quer

sehn.

Go-

wicht

per

Meter

Schwer

punkts-

Abstand

Momente (in cm) Momente (in cm)

Träg- | ™r- Träg, heits-    heits-

moment m03t1 t moment

Wider

stands

moment

i’i

gern

Eg

1:3 *

0Z

0Z

0y

0.V

CO

33    5

3,5

5 42

4,2

1,86

cs

c<.

35

3,5

6,20

4,8

2,04

ic

tH

Ol

*05 *LO

JO

Ci

10 100

cs cs Z ca o<

12 120

14 140

16 160

18 180

20 200

22 220

26 260

30 800

8 8 8 g    g    g    8    8 § & fe gg

Z    co    N¹    ~t

Oi    o»

7,12

5,6

O £ J® £ M ® O ®    »    £

Ci OT    o<    ‘-il    CA

7,5

8,5

10

10,5

11

11,5

12 5

14

16

9,05

11,04

13,50

17,04

20,40

24,10

28,00

32,30

37,60

48,40

58,80

7,1

8,6

2,82

2,66

2,93

10,5

13.8

15.9

18,8

21,9

25,2

29,3

37.8

45.9

3,31

3,76

4,09

4,49

4,90

5 30

5,66

6,42

7,05

b = 0,2 r -4- 25 mm.

i'i =: 0,06 r; r₂ — 0,i2 r.

1;_

Dimensionen in Millimetern

Quer

schnitt

Gewicht

Volle

Röhre.

Profil •

per

Nr.

der

1 Meter

vollen

Röhre

er

Cb

Trägheitsmoment in cm für jede Axe

⁷&

i.

Ci

CO O O CO

10 100

15    150

Ol o    oi CO

tH t-H r—i tH t-H

CCGO©©CUCN-^^t~

tH rH tH H rH 7—>    T—i

Cj    CO CO i

CH Cn

cs cs

t—*■    i—*•    i—i    (—»•    h-l

OCGOO' ÜifcOtOOO

qcm

29,6

48,0

54,9

80,2

88,1

120,4

129,3

168,8

178,9

248,6

kg

23,4

37,5

42,9

62,8

68,9

94,0

101,0

131.6

139.6 194,0

Grösstes Widerstandsmoment bezüglich der Z-Axe in cm

Kleinstes Widerstandsmoment bezüglich der Z-Axe in cm

573

901

2046

2957

5434

7395

11970

15591

23206

32283

90

66

135

101

235

329

499

660

907

1155

1497

2030

173

246

365

490

665

857

1100

1509

Profil

Nr.

Normalprofile für /I-Eisen.

Z-

dä

k-c-

r-L — d, r₂ = d — 0,5 mm,

Dimensionen in Millimetern

Quer-

schnitt

r₃ == t.

Momente (in cm) Momente (in cm) Gewicht bezüglich der bezüglich der Y-Axe

per

Z-Axe

1 Meter Träg-heits-

p moment

h b b,

1-2

T3

qcm

kg

Trägheitsstands- moment

moment 0y

Wider-

Wider

stands

moment

50 120 33 21 5 60 140 38 24 6

• CO

75 170 45,5 28,5

90 200 53 33

110 240 63 39

ül Ui ^    'ü<

CO 'b'

ec joi “m “co

co cq_ id' t~-

je-

Yi ~©

9,6    84    s 14,0

¹

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenconstructionen, Zeitschrift des Arch.- und Ing.-Yereins zu Hannover 1870.

5. Änderung- des Trägheitsmomentes eines Uuersclinitts hei Drehung der Axe, grösstes und kleinstes Trägheitsmoment.

Gegeben seien zwei zu einander senkrecht stehende Axen OZ' und OY',

Fig. 24.

welche durch einen beliebigen Punkt 0 eines Querschnitts AB Ol) (Fig. 24) gelegt sind; 0Z, und Oy. seien die Trägheitsmomente des Querschnitts bezüglich dieser Axen. Man findet nun das Trägheitsmoment desselben Querschnitts für eine andere durch 0 gehende und mit OZ' den Winkel <p ein-schliessende Axe OTT in fol-

D-

L,

G,

gender Weise:

Wenn y' und z' die Co-ordinaten eines .Flächenelementes G bezüglich des Axen-kreuzes Y'OZ' sind und wenn GE die Entfernung des Elementes von der neuen Axe 0II bezeichnet, so ist:

r-

\K

Y'

J2L

zy

‘-Z'

GE = GTCos'f = (y'

= y' Cos <p — z' Sin <p,

{z' tang f) Cos (p

daher

Ou — ^(y' Cos © — z' Sin <p)2 j*y'² dF Cos² <p -f J\'² dF Sin² © — ^p2y'z' dF Sin © Cos © = Oz. Cos² © -f- Oy, Sin² <p — Sin 2 <pJX'z' dF.

dF

(17

J³y'z' dF

wird

Der in vorstehender Gleichung vorkommende Ausdruck

das Centrifugalmoment des Querschnitts bezüglich der Axen OY' und OZ' genannt.

Von besonderem Interesse ist es, die Lage derjenigen, durch 0 gehenden Axen kennen zu lernen, für welche das Trägheitsmoment des Querschnitts seinen grössten und kleinsten Wert erreicht.

Zum Maximum oder Minimum wird 0L- für jene Neigung ©₀ der Axe gegen OZ', welche die Bedingung

Da die zweiten Differentialquotienten, welche den beiden Winkeln <p₀ und 90° -j- <p₀ entsprechen, entgegengesetztes Vorzeichen haben, so zeigt der eine derselben ein Maximum, der andere ein Minimum von @u an.

Es geht daraus hervor, dass sich durch den Punkt 0 zwei zu einander senkrechte Axen legen lassen, für welche das Trägheitsmoment des- Querschnitts ein Maximum und ein Minimum wird. Diese in Fig. 24 stark gezeichneten Axen 0 Z und OY heissen Haupt axen und zwar bezeichnet man als erste Hauptaxe diejenige, welcher 0max- entspricht, als zweite Hauptaxe aber jene, welcher 0min. zugehörig ist.

Das oben beliebig angenommene Axenkreuz Y'OZ' fällt mit den Haupt-axen YOZ zusammen, wenn <p₀ = 0 oder, nach Gl. 18, wenn

z' d F = 0.

Es folgt daraus, dass, wenn durch O eine Symmetrieaxe des Querschnitts gelegt werden kann, diese zugleich eine Hauptaxe des Querschnitts ist, während die hiezu Senkrechte die andere Hauptaxe vorstellt, denn für beide gilt

= 0.

Diesem Ausdruck entsprechen zwei um 90° von einander verschiedene Werte von <p₀. Die nochmalig’e Differentiation ergibt:

d² eP

d ®o²

Setzt man 90° -f- <p₀ für , so erhält man:

= 2(0

y'

0Z.) Cos 2 <p₀    4 Sin 2 <p₀J^3r' z‘ dF.

d² 0O

d ?o²

— — 2 (0y, — 0Z,) Cos 2 <p₀ — 4 Sin

2ffo JV

z' dF.

erfüllt, nämlich für

(18

d <p

d. h.

— —2 0Z. Cos <p Sin <£> -f- 2 0y. Sin cp Cos <p — 2 Cos 2<pJ^y'z'clF ©z.) Sin 2 <p — 2 Cos 2 <p fy'z'dF

(0

y'

fang 2 <p₀ =

2jy/z/ dF

% — 0,.

JVz dF

Handelt es sich darum, die Hauptaxen eines Querschnitts für einen gegebenen Punkt 0 zu finden, so bestimmt man zunächst die Trägheitsmomente 0Z. und 0y. für zwei durch den Punkt gehende beliebig angenommene, senkrecht zu einander stehende Axen 0 Z¹ und OY'. Hierauf berechnet man weiter das Trägheitsmoment 0V für eine Axe OV, welche den rechten Winkel Y'OZ' halbirt, und erhält aus Gl. 17:

oder

0v = 0z, Cos² 45 + 0r Sin² 45

Sin 90

Jy'z' dF

Jy'z' dF = 1(9,. +. #,,) - 9.

(1!)

Nachdem hiedurch das Centrifugalmoment bekannt ist, liefert Gl. 18 den Wert <p₀, d. h. die Lage der Hauptaxen, und die Berechnung der Hauptträgheitsmomente kann nun ohne Weiteres erfolgen.

Beispiel. Für das Profil Fig. 25 und bezüglich des Schwerpunktes 0 desselben ist die Lage der Hauptaxen zu bestimmen.

Man berechnet für die zu dem Schenkeln des Winkeleisens parallelen Schwer-punktsaxen Z'Z'undY'Y' die Trägheitsmomente 0Z. = 141,53 und 0y, = 24,03, ferner das Trägheitsmoment bezüglich der um 45° gegen Z'Z' geneigten Axe VV:

©v = 111,48.

Hieraus folgt nach Gl. 19:

Fig. 25.

y'

Ir

z' dF

= 1(141,53 + 24,03)--111,48 = —28,7

und nach Gl. 18:

tang 2 <p₀ = oder

2 (— 28,7) 24,03 — 141,51

57,4

117,5

10 ent

z-----

-V___

Aon--

1 cm

?o = 13° 1'.

Die Hauptträgheitsmomente des Profils ergeben sich hiernach: für ZZ . . . 0

Werden die Hauptaxen zum Ausgangspunkt genommen und sind 0, und 0₂ die auf dieselben bezogenen Trägheitsmomente, so erhält man das Trägheitsmoment 0 für eine beliebige andere Axe, welche mit der Hauptaxe OZ den Winkel <p bildet, aus der Gleichung:

0 = 0j Cos² cp -f- 0o Sin² cp.

max.

148 und für YY . . . @mln. = 17,4.

(20

0. Trägheitsellipse, Centralellipse.

Zur Vereinfachung der .Rechnung wird häufig der Begriff des Trägheitsradius eingeführt. Bestimmt man nämlich für einen Querschnitt von der Fläche F und dem einer gegebenen Axe zugehörigen Trägheitsmoment 0 eine Grösse r so, dass

r²F = 0

so wird r der Trägheitsradius des Querschnitts bezüglich der gegebenen Axe genannt.

Denkt man sich die Trägheitsmomente des Querschnitts AB CD (Big. 24) für beliebig viele, durch 0 gehende Axen, z. B. für KK' bestimmt und trägt

k

— auf, wobei

Ve

man auf jeder dieser Axen von O aus eine Länge OK =

0 das Trägheitsmoment von AB CD bezüglich KK' und k eine vorläufig beliebige Constante bedeuten, so liegen die so erhaltenen Punkte K auf einer Ellipse, deren Axen mit den Hauptaxen YO Z zusammenfallen.

Es ist nämlich nach Gl. 20:

0^ Cos² 9 -f- 0oSin²<p = 0,

oder, weil Cos © = —==

*    O K.

und Sin© = —=

OK

0!

z²

y²

OK²

OK²

oder

0,z² -1- 0₂y² = k².

Schnitts für den Punkt O.

Dies ist die Gleichung einer Ellipse, der Trägheitsellipse des Quer-Dieselbe wird auf ihre einfachste Form gebracht

I/Oi o₂

» F ‘

durch Einführung der Constanten k =

0X = a²F und 0₂ = b²F, so ergibt sich:

a²z² -f- b²y² = a²b²

Setzt man gleichzeitig

. oder

z²

b²^

(21

als Gleichung derjenigen Trägheitsellipse, deren Halbaxen a und b die Trägheitsradien der Hauptträgheitsmomente 0A und 0₂ sind. Da bei

0₂

auch

01 02

F0

ist, so ergibt sich

Fa²b²

OK

oder, wenn 0 = Fr² gesetzt wird:

Sind nun IKK' und LL' (Fig. 24) conjugirte Durchmesser der Träg-heitsellipse, sind ferner d und d' ihre halben Längen und s der von denselben eingeschlossene Winkel, so ist bekanntlich

a. b = d. d' Sin s,

daher

= d' Sin s = LM.

d. d' Sin e

OK

wenn LM die Länge der vom Endpunkt L des einen Durchmessers zum anderen gezogenen Senkrechten.

Der Trägheitsradius des auf die Axe KK' bezogenen Trägheitsmomentes ist also gleich dem Abstand dieser Axe von einer zu ihr parallelen Tangente an der Trägheitsellipse. Letztere kann deswegen auch dadurch entstanden gedacht werden, dass je zu beiden Seiten einer gegebenen Axe und im jeweiligen Abstand r von derselben parallele Gerade zu dieser Axe gezogen werden. Indem man die Axe um den Punkt 0 dreht, umhüllen jene Geraden die Trägheitsellipse.

In der Trägheitsellipse, welche bei bekannten Hauptaxen und Hauptträgheitsmomenten durch ihre Halbaxen a und b bestimmt ist, erkennt man, da F bekannt und r aus der Zeichnung zu entnehmen, ein einfaches Mittel zur Bestimmung der Trägheitsmomente beliebiger, durch 0 gehender Axen. Ist z. B. das Trägheitsmoment für eine Axe KK' zu ermitteln, so wird an die Trägheitsellipse eine zu KK' parallele Tangente gelegt und der Abstand LM derselben von KK' gemessen, so ist ©KK, = F.LM². Fällt der Punkt 0 mit dem Schwerpunkt des Querschnitts zusammen, so wird die Trägheitsellipse Central-e 11 i p s e genannt.

Beispiel 1. Zur Bestimmung der Centralellipse des J-Profils, Fig. 32> berechnet man für die Hauptaxen dieses Profils, welche mit dessen Symmetrie-axen zusammenfallen, die Trägheitsmomente:

©i = TV (12,5.30,0 — 11,42.26,76) = 9888,43

und

©₂ = -L (3,24.12,5 -f 26,76.1,08)

d. i.

r² =

a²b²

OK²

ab

r OK '

= 530,15.

Da F = 69,4, so ergeben sich die Halbaxen der Centralellipse

9888,43

69,4

= 11,93 cm

= 2,76 cm,

und b =

530,15 69,4

welche somit gezeichnet werden kann.

Beispiel 2. Eür das {_-Profil, lüg. 25, dessen Hauptaxen S. 36 be

stimmt wurden und dessen Hauptträgheitsmomente 0, = 148 und 0₂ = 17,4 sind, berechnen sich die Halbaxen der Centralellipse:

148

= 3,25 cm

und b =

17,4

= 1,11 cm.

Fig. 26.

Beispiel 3. Elliptischer Querschnitt. Das Trägheitsmoment des elliptischen Querschnitts, Eig. 26, mit den Halbaxen at und h, bezüglich der Axe Z Z ist ^ ax³ bt is. Daher ist die Halbaxe a der Centralellipse:

\c

J ai³ th 7C

ax bx 7i

"\

ebenso

b — Tf bt.

Die Centralellipse ist also der Begrenzungsellipse des Querschnitts ähnlich und ihre Axen und Durchmesser sind halb so gross als diejenigen der letzteren.

Daher ist die Centralellipse des Kreises ein concentrischer Kreis mit halb so grossem Radius.

<-b >

b,->

Fig. 27.

Beispiel 4. Ringförmiger, durch zwei ähnliche, concentrisclie Ellipsen begrenzter Querschnitt. Sind at und bj die Halbaxen der äusseren Ellipse und v ai und vb: diejenigen der inneren, wo v ein ächter Bruch, so ist das Trägheitsmoment des Ringes für die Axe ZZ (Eig. 27):

fr

- - aA³ bx (1 —v⁴),

Z

daher die Halbaxe a der Centralellipse:

,.-v

y i x a,³b, (1 — v⁴) f ;c at bt (1 — v²)

a,

desgleichen

b = t b, K f -j— v \

Eür den Kreisring vom äusseren Radius r ist die Centralellipse ein Kreis vom Radius:

Li;r^

r f 1 -j- v²

Es seien 0t — a²E und 0₂ = b²E die Trägheitsmomente eines Querschnitts bezüglich der beiden Schwer¹ punktshauptaxen OZ und O Y (Eig. 28), so ist nach Gl. 20 für die mit der ersten Hauptaxe den Winkel <p ein-schliessende Axe 0 TT das Trägheitsmoment :

Fig. 28.

0u = 0! Cos² <p -f- ©₂ Sin² <p == ©j (1 — Sill² <p) 4- 0₂ Sill² <p = F [a² — (a² — b²) Sin² <p],

Ql

Fr

e,

und für die, zu UTJ parallele, um d von derselben entfernte Axe TT:

l:

Ca

Er.

0T = F [a² — (a² — b²)Sin²<p 4- d²|.

En.

Trägt man auf der Z-Axe von 0 aus nach beiden Seiten die den Entfernungen der Brennpunkte der Centralellipse von 0 entsprechende Länge VQr² — b² = OE, = 0EU auf, so ist

d² — (a² — b²) Sin²<p = OQ² —OG²

- (0Q 4- O G) (0 Q — OG)

= P₁₁E₁₁.F₁ Et = eu e₁,

daher

(22

©T = F (a² 4- eA eH),

welche Gleichung zur Bestimmung der Trägheitsmomente für beliebige Axen dient, wenn die Hauptaxen und die Trägheitsradien a und b bekannt sind.

Für alle Axen TT, welche durch einen der Punkte F₁ oder Fu gehen, hat das Trägheitsmoment die constante Grösse Fa². Es werden deshalb die Punkte Fi und Fu als Fixpunkte des Querschnitts bezeichnet¹). Die Trägheitsellipsen dieser Punkte sind Kreise vom Halbmesser a. Ist a = b, so fallen die Fixpunkte mit dem Schwerpunkt der Fläche zusammen.

II. Die Kraftebene schneidet den Querschnitt nicht nach Haupt-

axen.

Der auf Biegung- beanspruchte Träger habe gegenüber der Kraftebene eine solche Lage, dass letztere die Querschnitte nicht nach Hauptaxen schneidet. Das Angriffsmoment eines Querschnitts, in der Ebene Y'Y' (Fig. 29) wirkend,

Fig. 29.

sei 3E. Man kann dasselbe in zwei Seitenmomente zerlegen, und 0K₂, deren Ebenen den Querschnitt nach dessen Hauptaxen OY und 0 Z schneiden :

V'

01t₁ = 31c Cos «{» und 31c., = 311 Sin ’l,

¥■

, wenn 6 der Winkel ist, welchen die Kraft-ebene mit OY einschliesst.

y'

Da die Momente 31^ und 31c₂ in Ebenen wirken, welche den Trägerquerschnitt nacli Hauptaxen schneiden, so bestimmen sich die durch dieselben hervorgebrachten Normalspannungen auf Grund der Gleichung 12.

Bezeichnen 0, und 0₂ die Trägheitsmomente bezüglich der Axen OZ und OY, sind ferner y und z die Coordinaten eines Querschnittselementes, so erhält man für die an der bezeichneten Stelle herrschende Normalspannung den Wert:

OK y Cos    3K z Sin <J>

©1

-Y

(23

Die grösste Normalspannung des Querschnitts tritt in dem von der Neutralaxe am weitesten entfernten Punkte des Querschnitts auf, welchen man erhält, wenn man zur Neutralaxe eine parallele Tangente an den Querschnittsrand legt. Es ist demnach von Wichtigkeit, die Lage der Neutralaxe zu kennen.

Ihre Gleichung, als diejenige einer Linie, für deren sämmtliche Punkte 3 = 0, ist:

y Cos <J;

oder

©i

©2

©i

z taug

y — — 0-

u2

Dies ist die Gleichung einer durch 0 gehenden Geraden. Die Neutralaxe ist also eine gerade Linie, welche durch den Schwerpunkt des Querschnitts geht.

Der Winkel % (Fig. 30), welchen die Neutralaxe mit OZ einschliesst, ist gegeben durch:

©i

Y'

Ist = 0, so ist auch y = 0, d. h. fällt die Kraftebene mit einer Hauptaxe zusammen, so ist die Neutra 1 axe senkrecht zur K r a f t e b e11 e.

Denkt man sich die Centralellipse des Querschnitts gezeichnet, deren Gleichung nach (21)

z²

b²

CO CO

= 1,

so ist, weil

2ydy

a²

b²

die trigonometrische Tangente des Neigungswinkels einer die Ellipse im Punkte z, y berührenden Geraden gegen die Axe Z bestimmt durch:

Fig. 30.

aüz

b² y

Nun ist für den Punkt K, in welchem die Centralellipse von der Kraftebene geschnitten wird,

TD TD

= tang 4,

Z'

y'

4-

daher

CCj

©i

\\

tang cj> = —-~-tangf|).

Aus der Übereinstimmung dieses Ausdrucks mit Gl. 24 geht hervor, dass die Neutra 1 axe parallel ist zu jener Tangente, welche die Central-ellipse in derem Schnittpunkt mit der Kraftebene berührt. Die Neutralaxe TT ist also parallel der Tangente in K und Neutralaxe sowie die Schnittlinie der K r a f t e b e n e mit dem Querschnitt sind eonjugirte Durchmesser der Centralellipse.

Hierauf beruht folgende Construction der Neutralaxe: OY und OZ (Eig. 31) seien die Hauptaxen des Querschnitts, OY' Schnitt der Kraftebene mit demselben. Man legt parallel zu O Y' in folgender Weise eine Tangente an die Centralellipse. Sind a und b die Halbaxen derselben, so bestimmt man zunächst die Brennpunkte Fx, E₂ und beschreibt von E₂ aus einen Kreis mit dem Kadius 2 a. Wird hierauf von Et aus eine Senkrechte zu 0 Y' gefällt, welche den Kreis in E schneidet, und eine Gerade GG so gezogen, dass sie die Länge Ei\ senkrecht halbirt, so ist GG Tangente an der Centralellipse. Der Berührungspunkt liegt in ihrem Schnittpunkt H mit EE₂ und die Verbindungslinie HO liefert die Neutralaxe.    .

Nachdem letztere bestimmt ist, zieht man Tangenten parallel der Neutralaxe an den Umfang des Querschnitts und erhält auf solche Weise denjenigen Punkt des Querschnittsrandes, welcher am weitesten von der Neutralaxe ent-

Fig. 31.

tfx

ft

v\

Gx

IV

fernt ist. Durch Einführung der Coordinaten dieses Punktes in die Gl. 23 ergibt sich die grösste im Querschnitt herrschende Normalspannung.

Beispiel 1. Der J-Träger, Eig. 32 (Prof. Nr. 30 des deutschen Normalprofilbuches) soll einem Tonnengewölbe als Widerlager dienen, dessen resul-

tirender Widerlagerschub durch den Schwerpunkt 0 des ' Profils geht und mit der Y - Axe den Winkel von 60° einschliesst. Welches ist die grösste Normalspannung, wenn das durch den Gewölbeschub hervorgebrachte Maximalmoment 700 mkg beträgt?

Die Halbaxen der Centralellipse wurden S. 38 ermittelt:

Fig. 32.

-HK

t 1,08 cm

______o

9888

69,4

— 11.93 cm

und

530

69,4

= 2,76 cm.

31

12, .5

gen herrschen.

Man bestimmt nun die Neutralaxe und findet mittels der parallel zu derselben an den Querschnittsrand gelegten Tangenten, dass in den Punkten A und C die grössten Normalspannun-Eür beide Punkte ist y = 15 cm und z = 6,25 cm.

cm

Da f}> — 60°, so ist

und

015 Cos rjj = 35000 cmkg

015 Sin = 60622 cmkg⁻, daher nach Gl. 23 die grösste Normalspannung:

15.35 000 9888

= 767,8 kg⁻ pro qcm.

6,25.60622 ~ 530

Beispiel 2. Das Winkeleisen (Prof. Nr. 5/10 des deutschen Normalprofilbuches), dessen Hauptaxen S. 36 bestimmt wurden, hat als Pfette eines Dachstuhls die in Pig⁻. 33 angegebene Lage und trägt eine lotrecht gleich-massig verteilte, im Schwerpunkt des Profils angreifende Last, deren grösstes Angriffsmoment -f- 9000 cmkg beträgt. . Welches ist die grösste, im Trägerquerschnitt auftretende Spannung?

Fig. 33.

Die Halbaxen der Centralellipse des Profils sind nach S. 39 :

und

148

14

— 3,25 cm

Y'

<\

17,4

14

= 1,11 cm.

Die Hauptaxe YY schliesst mit AE nach S. 36 den Winkel 13° 1', also mit der 'Kraftebene Y‘Y' den Winkel (J; = 16° 59' ein. Die Neutralaxe TT ist in der Centralellipse conjugirt der lotrechten Angriffsrichtung Y' Y¹, daher durch Parallele zu TT am Profilumfang die Stellen B und E der grössten Spannung erhalten werden.

Die Hauptträgheitsmomente sind:

(-), = 148 und 0S = 17,4.

Ferner ist:

1>'

Y'

-Z.

015 Cos = 9000 Cos 16° 59' = 8607,51

und

015 Sin = 9000 Sin 16° 59' = 2628,85.

Da die Coordinaten der Punkte B und E bezüglich der Hauptaxen 4,45 und 2,96 cm beziehungsweise 6,39 und 0,25 cm sind, so ergibt sich die grösste Normalspannung im unteren Querschnittsteil bei B:

= 706 kg pro qcm (Zug)

4,45.8607,51

148

2,96 . 2628,85

17,4

Fig. 35.

■%c

6,39 . 8607,51    0,25.2628,85

148

17,4

= 337 kg pro qcm (Druck).

Beispiel 3. Ein Winkeleisen, mit einem Schenkel AB wagrecht gelagert (Fig. 34), sei einer Belastung ausgesetzt, deren Ebene, durch den Schwerpunkt des Prolils gehend, mit der Y-Axe den Winkel S einscliliesst. Die Componenten von 91c nach den Hauptaxen seien 9Ry und 91c z, daher

OK,

9R/

Soll durch die Belastung eine lotrechte Aus-b i e g u n g entstehen, so muss, wenn fy und fz die partiellen Durchbiegungen nach YY und ZZ sind, die Bedingung

Fig. 34.

D_JC

-Z

tang 8 —

,jb\

= Cotg a

erfüllt werden, wobei a der Winkel von ZZ mit der Yerticalen.

Da nun die Durchbiegungen nach den Hauptaxen umgekehrt den Trägheitsmomenten und direkt den Angriffsmomenten proportional sind, so ist

Cotg a =

9K.    ₌₌ 0z

©lcy    ©ls ‘ 0y ©y

0y

tang S

0Z

oder

0y

tang 8 — —- Cotg a

0z

(25

Um also eine lotrechte Durchbiegung zu erzielen, ist eine Belastung erforderlich , bei welcher die Ver-tiealcomponente 9tcv = 9E Cos s = 9E Sin (a -f-und die Horizontalcomponente 9EH = 91c Sin £ — 9E Cos (a -j- 8) ist.

Jede Belastung, deren Ebene einen anderen als den durch CU. 25 bestimmten Winkel 8 mit YY ein-schliesst, wird seitliche Ausbiegungen bewirken.

Liegt das lotrecht belastete, mit einem Schenkel ' 1 wagrecht gerichtete | -Eisen mit dem anderen Schenkel V B an einer lotrechten Wand an, durch welche die seitliche Ausbiegung verhindert und eine lotrechte erzwungen wird, so lindet eine wagrechte Pressung gegen die Wand statt.

Das Moment 91tH des Gegendruckes der Wand und das Moment 91tv der lotrechten Belastung haben in diesem Falle eine Resultirende 91t, welche mit YY den durch Gl. 25 bestimmten Winkel S einschliesst, daher ist der Angriff auf die lotrechte Wand:

(26

91tH = 91t; Cotg (a + 8).

Ferner ist:

91t =

Sin (a -f- 5) *

Hienach wird die Faserspannung im Profilrand z. B. bei G gefunden ans Gleichung:

91t . Cos d y

91t . Sin § z

Öz

(27

Diese Faserspannung bei verhinderter seitlicher Ausbiegung ist geringer als jene bei freier Lage.

B. Biegungsbeanspruchung durch nicht senkrecht zur Stabaxe wirkende äussere Kräfte.

Der Träger sei durch äussere Kräfte beansprucht, welche zwar in einer durch die Stabaxe gehenden Ebene wirken, gegen diese Stabaxe aber beliebig geneigt sind. Die Resultirende R der links (oder rechts) von einem betrachteten Querschnitt GM wirkenden Kräfte wird die Querschnittsebene in irgend einem Punkt .T schneiden (Fig. 86).

Fig. 36.

*i

-N

-X*.

Man zerlegt hier ß in zwei Componenten V und N, von welchen die erstere in die Querschnittsebene fällt, letztere senkrecht zum Querschnitt gerichtet ist.

Die Kraft N kann parallel ihrer anfänglichen .Richtung nach dem Querschnittsschwerpunkt verlegt werden, wenn ein Kräftepaar vom Moment N. OJ hinzugefügt wird. Daraus folgt, dass die Beanspruchung des Querschnitts aus der Scherkraft V, aus dem Drehmoment 01c = N . OJ und aus der nach dem Querschnittsschwerpunkt verlegten Normalkraft N sich zusammensetzt.

Durch N entsteht eine über den Querschnitt gleichmässig sich verteilende Normalbeanspruchung, welche sich bei eintretender elastischer Formänderung in einer parallelen Verschiebung des Querschnitts von OM nach O'M' äussert. Die Folge von 01t- ist eine gleichzeitige Drehung des Querschnitts, so dass G"M" der neuen Lage des Querschnitts nach eingetretener Formänderung entsprechen wird. Macht man auch hier die Annahme, dass die Querschnitte nach eingetretener elastischer Formänderung eben bleiben, so kann die Form- . änderung des Balkens an betrachteter Stelle als eine Drehung des Querschnitts um eine Axe (Neutralaxe, Nullaxe) T angesehen werden, welche durch den Schnitt der beiden Ebenen OM und G"M" bestimmt ist.

Was die an irgend einer Stelle des Querschnitts herrschende Normalspannung anlangt, so setzt sich dieselbe zusammen aus der (gleichmässig verteilten) Beanspruchung, welche durch die nach dem Schwerpunkt 0 verlegte Normalcomponente N hervorgebracht wird und aus der dem Drehmomente entsprechenden Spannung. Fällt die Kraftebene zusammen mit einer Hauptaxe und ist y der Abstand eines Querschnittselementes von der zur Neutralaxe parallelen Schwerpunktsaxe, 0 das Trägheitsmoment des Querschnitts und 01t das Drehmoment bezüglich jener Axe, so ist die in dem Elemente auftretende Spannung:

N 0Ky F i ■

(28

wobei y positiv oder negativ zu nehmen ist. je nachdem das betrachtete Querschnittselement und J auf einer und derselben Seite oder auf verschiedenen Seiten der Schwerpunktsaxe sich befinden.

Liegt keine von den Hauptaxen in der Kraftebene, so ist 01c zu ersetzen durch die beiden Seitenmomente 01t, und 0lc₂, deren Ebenen den Querschnitt naeji den Hauptaxen OY und OZ schneiden:

01tj = 01c Cos ij> und 01t₂ = 01c Sin <[>,

wenn <j; der Winkel, den OJ mit OY einschliesst (Fig. 36).

Dann hat man, wenn wie früher 0t und 0₂ die Trägheitsmomente bezüglich OZ und OY sind und wenn y und z die Coordinaten des betreffenden Querschnittselementes bezüglich Y 0 Z vorstellen:

(28¹

01t y Cos

0,

Alle Elemente eines zur Neutralaxe parallelen, unendlich dünnen Flächenstreifens haben gleiche Spannung. Bezeichnet dF den Flächeninhalt eines solchen Streifens, v dessen Entfernung von der Neutralaxe, 3 die hier herrschende Spannung, 3t aber die Spannung, welche der Entfernung 1 von der Neutralaxe entspricht, so ist

■>

d. h. 3 = v3

daher die Beanspruchung des Flächenstreifens dF: vSjdF und die Summe aller, über den ganzen Querschnitt verteilten Spannungen:

3, pvdF.

Biese Summe ist gleich und entgegengesetzt der Aussenkraft N, deren Angriffsort J sie teilt, welcher deshalb auch Mittelpunkt der Spannung genannt wird:

(29

= N.

Bezeichnet -Ss die Spannung in der zur Neutralaxe parallelen Sch wer -punktsaxe und vs die Entfernung derselben von der Neutralaxe, so ist .

daher nach Gl. 29

Nvs

vdF

oder, da

J vdF = Fvs,

r = *

(30

d. li. die Spannung in der zur Neutralaxe parallelen Sch wer-punktsaxe ist unabhängig von der Lage des Angriffspunktes J und es wird durch eine Drehung von M'N' um keine andere als die Sch wer punktsaxe hervorgebracht.

Die Gleichung der Neutralaxe, für deren sämmtliche Punkte 3=0 ist, ergibt sich nach Gl. 28¹:

@2

91£ z Sin    ^

oder

'C

® I®

wenn r der zugehörige Trägbeitsradius.

Auf Grund der Beweisführung, welche auf S. 42 dargelegt wurde, ergibt sich auch hier, dass die Neutralaxe parallel ist derjenigen Geraden, welche die Centralellipse im Schnittpunkt K mit der Kraftebene berührt. Es sind also Schnittlinie der Kraftebene mit dem Querschnitt und eine zur Neutralaxe Parallele durch den Schwerpunkt con-jugirte Durchmesser der Centralellipse.

Hiemit und durch Gl. 32 ist die Neutralaxe bei gegebenem J bestimmt. Es kann übrigens ihr Abstand vom Schwerpunkt noch auf folgende Weise gefunden werden:

öj*v² d F,

Nach Gl. 29 ist, wenn v₀ die Entfernung des Punktes J von der Neutralaxe, Nv₀ =

daher

dF

v₀ =

oder

i’i²

vo =

daher sich ihr TV inkel y mit O Z und ihre Entfernung⁻ vs vom Schwerpunkt (Fig⁻. 37) ergeben :

tang y — —

©>

und

©,

tang

(31

vs =

9K² Sin²

(32

©₂² '

Fig. 37.

XK

'X

lTo\

-fr

Ist N = 0, so ist vs = 0, d. h. wenn keine zum Querschnitt senkrechte Aussenkraft vorhanden ist, so geht die Neutralaxe durch den Schwerpunkt des Querschnittes. (Transversale Belastung).

Ist cp — 0, so ist auch y — 0, d. h. fällt eine Hauptaxe in die Kraftebene, so ist die Neutralaxe senkrecht zur Kraftebene.

In letzterem Falle geht Grl 32 über in N©

vs =

r²

F0K

F.O J

= -------,

OJ’

(33

rt²F _ vsF v,’

wenn rL der Trägheitsradius des Querschnitts bezüglich der Neutralaxe ist.

Bezeichnet nun r den Trägheitsradius des Querschnitts bezüglich der zur Neutralaxe TT parallelen Schwerpunktsaxe, und p den Abstand des Angriffspunktes .T von dieser Schwerpunktsaxe, so ist, da

r,² F = r*F -f vs²F

und

v₀ = Ts -f p,

oder auch (Fig. 37):

vs p = r²

(34

0 S . 0 J = OK²,

d. h. der in der Schnittlinie von Kraftebene und Querschnitt gemessene halbe Durchmesser der Centralellipse ist die mittlere Proportionale zwischen den in derselben Geraden gemessenen Abständen des Punktes J und der Neutralaxe vom Schwerpunkt.

Tn diesem allgemeineren Gesetz ist auch die Gleichung 33 enthalten.

Hieraus ergibt sich die Construction der Neutralaxe: Man ziehe den Durchmesser JO (Fig. 37), errichte in 0 eine Senkrechte zu JO und trage auf derselben OK' = OK auf. Wird jetzt durch K' zu K'J eine Senkrechte K'S gezogen, so schneidet letztere den verlängerten Durchmesser in einem Punkte S der Neutralaxe, denn es ist:

OJ : OK' = OK' : OS.

Ist umgekehrt die Neutralaxe gegeben und der Angriffspunkt J der Kraft N gesucht, so zeichnet man den zu TT in der Centralellipse conjugirten Durch

fig. 38.

messer SK, auf welchem J in dem durch Gl. 34 bestimmten Abstand von 0 sich befindet: Man beschreibt über S 0 einen Halbkreis (Fig. 38), schneidet mit dem Halbmesser OK von 0 aus OK' ab und zieht

K'J' senkrecht zu SO, so ist OJ' der gesuchte Abstand.

/'

Je mehr der Angriffspunkt J der Aussenkraft sich dem Schwerpunkt nähert, desto mehr entfernt sich die Neutralaxe von diesem, und für OJ = 0 ist OS = oc. Umgekehrt rückt, wenn die Neutralaxe an den Schwerpunkt herantritt, der Punkt J in unendliche Entfernung.

Wird die Neutralaxe parallel einer bestimmten Kichtung verschoben, so bewegt sich der Angriffspunkt J auf einem zur erwähnten Kichtung in der Centralellipse conjugirten Durchmesser. Umgekehrt: Bewegt sich der Punkt J auf einem Durchmesser, so verschiebt sich die Neutralaxe parallel der zu jenem Durchmesser conjugirten Richtung.

Dreht sich die Neutralaxe um einen festen Punkt, so beschreibt der Angriffspunkt J eine Gerade. Diese ist in Bezug auf die Centralellipse die Antipolare jenes festen Punktes; sie würde zur Neutralaxe werden, wenn jener Punkt Angriffspunkt der Aussenkraft wäre, ihre Richtung ist daher conjugirt

zu dem durch den festen Punkt gehenden Durchmesser. Bewegt sich die Neutralaxe so, dass sie immer eine gegebene Curve berührt, so beschreibt der Punkt J ebenfalls eine Curve. Letztere kann durch Wiederholung der Con-struction Fig. 38 leicht gezeichnet werden.

Kern eines Querschnitts.

Wenn die Neutralaxe einen Querschnitt so umhüllt, dass sie, stets Tangente an ihm bleibend, nie in denselben eindringt, so beschreibt der Angriffspunkt der Aussenkraft die Umfangslinie einer Fläche, welche als Kern des Querschnitts bezeichnet wird.

Es ist klar, dass, so lange der Angriffspunkt der Kraft N innerhalb des Kerns bleibt, die Neutralaxe ausserhalb des Querschnitts zu liegen kommt und im Querschnitt nur Spannungen von gleichen Vorzeichen (entweder nur Zug oder nur Druck) auftreten. Überschreitet der Angriffspunkt von N den Kern, so tritt die Neutralaxe in den Querschnitt ein, und es findet zweierlei Spannung (Zug u n d Druck) statt.

Durch Rechnung findet man für beliebige Lagen der den Querschnittsrand berührenden Neutralaxe die zugehörigen Kernpunkte aus Gl. 32 oder 34 unter gleichzeitiger Berücksichtigung des Satzes S. 42.

r²

Die auf den Hauptaxen gelegenen Kernpunkte ergeben sich nach Gl. 33 oder 34 aus

(35

n’

OJ =

wenn 0 J die Entfernung des Kernpunktes vom Schwerpunkt (Kernweite), 0 das Trägheitsmoment des Querschnitts bezüglich der anderen Hauptaxe oder r den entsprechenden Trägheitshalbmesser, n die Entfernung des dem Kernpunkt gegenüberliegenden Querschnittsrandes vom Schwerpunkt bezeichnen.

Graphisch kann der Kern eines Querschnitts durch Wiederholung der Construction Fig. 38, S. 50, leicht gefunden werden.

Beispiel 1. Zur Bestimmung des Kerns eines rechteckförmigen Querschnitts (Fig. 39) denke man sich die Neutralaxe zuerst zusammenfallend mit AB. Der Kernpunkt J,, welcher dieser Lage entspricht, befindet sich in dem zu AB conjugirten Durchmesser der Centralellipse, d. i. in der Hauptaxe YY. Seine Entfernung von 0 ergibt sich nach S. 50 mittels des über

O S, beschriebenen Halbkreises, über 0 S₂ der der Neutralaxe BC zugehörige Kernpunkt J₂. Den Stellungen

Ebenso findet sich mittels des Halbkreises

von

CD und DA endlich der Neutralaxe entsprechen die Eckpunkte Js und J4 des Kerns, welcher hiemit vollständig bestimmt ist, denn während der Drehung der Neutralaxe um die Punkte B, C, D und A beschreibt der Spannungsmittelpunkt die Geraden «QU, J₂J₃, J3J4 und J4JV Letztere könnten auch ohne vorherige Bestimmung der Kerneckpunkte gefunden werden, indem man den Drehpunkten A, B u. s. f. der Neutralaxe ausgeht. So entspricht

dem Drehpunkt D eine gerade Kernbegrenzungslinie J₃J₄, deren Richtung conjugirt ist zu DO, also parallel ist zur Diagonale AO und deren Lage mittels des Halbkreises über D 0 erhalten wird u. s. f.

Fig. 39.

Durch Rechnung findet man die Eckpunkte des Kerns auf Grund der Gl. 33.

Es ist, wenn die Höhe des Rechtecks AD mit h und die Breite mit b bezeichnet wird:

O J, =1

12

b h³

to: Er

Oii sr

= OJ

3 ■>

-thz

ebenso

h b³

0 J₂ = 0 J, =

Ci er

Es liegen demnach die Kerneckpunkte j 1 der Höhe, beziehungsweise Breite des Querschnitts von den Kanten entfernt.

Der Kern des J-förmigen Profils ergibt sich in ähnlicher Weise wie der des rechteckförmigen Querschnitts, indem die Neutralaxe, das Profil fortwährend berührend, nach einander die Stellungen AB,

BC, CD, DA einnimmt. Die Kerneckpunkte werden also durch die in Eig. 40 dargestellte Construction bestimmt.

Auf rechnerischem Wege wird nach Gl. 33

um

Beispiel 2.

s,

Fig. 40.

- /?, .5 cm

Ar

i,08 cm

erhalten:

OJ

a²

11,93²

OS

15

= 9,5 cm

und

OJ₂ ==

b²

2,76²

3o cm.

OS₂

6,25

= 1,22 cm.

i\

-SrZ

Beispiel 3. Der Kern des |_-Profils (Fig.

41) wird erhalten, wenn man der Neutralaxe nach einander die Stellungen AB, BC, CD, D E, E A gibt und die diesen Stellungen entsprechenden Spannungsmittelpunkte 1, 2 wie oben bestimmt.

Auf rechnerischem Wege ergibt sich nach Gl. 34 z. B. der Punkt 1. welcher auf dem zu

AB conjugirten Durchmesser der Centralellipse liegt, durch seine in diesem

Durchmesser gemessene Entfernung von Z'Z':

Fig. 41.

u'

Pi

D²

3,71

Ham

wenn

i*i

141,53

14

der Trägheitsradius des Querschnitts bezüglich Z'Z' ist, daher:

z-

10,11

Wl/

3,71

= 2,725.

fl

TAX/

Ae

-1 ’ I/Zl)

-----

Analog ist bezüglich des Punktes 2, gelegen auf dem zu B C conjugirten Durchmesser:

P₂ =

r₂²

1.716

3.79

3,79

- = 0,453

u. s. f.

Beispiel 4. Es sei der Kern des |_-Prolils Nr. 10, Tabelle S. 27, zu bestimmen.

Fig. 42.

Aus der Tabelle ergeben sich die Hauptaxen durch

taug a = 0,52

und die Hauptträgheitsmomente

0, = 272 und ©₂ = 21,1

daher die Halbaxen der Centralellipse :

a = 4,36 und b = 1,22 cm.

Man zeichnet nun diejenigen Durchmesser, welche den Bichtungen AB, BC, CD conjugirt sind, und erhält auf denselben, wie aus Eig. 42 zu ersehen, die Eckpunkte 1, 2...6 des Kerns. Beispiel 5. Kern des ellipsenförmigen Querschnitts. Ist TT eine Tangente an der Ellipse im Punkte D (Eig. 43), so liegt der dieser Stellung der Neutralaxe entsprechende Kernpunkt auf der Geraden OD so, dass seine Entfernung von 0 gleich ist:

\\

,5

Ac

nun

OE =

OK²

OD

so ist

OK = |OD,

OE =

OD

d. li. der Kern ist eine Ellipse, welche der gegebenen ähnlich ist und deren Durchmesser viermal kleiner sind als die entsprechenden Durchmesser der Begrenzungsellipse.

Fig. 43.

Fig. 44.

d\>

(-----

a,

!/

K—

7/

§1»

Ähnlich erhält man nach S. 39 als Kern des ringförmig elliptischen Querschnitts (Fig. 44) gleichfalls eine Ellipse, deren Halbaxen gegeben sind durch: \ aL (1 -f- v²) und 1 bt (1 -f- v²), wenn ax und die entsprechenden Halbdurchmesser der gegebenen äusseren Ellipse bezeichnen.

Bestimmung der grössten Normalspannung mittels des Kerns.

Ist J (Fig. 45) der Angriffspunkt der zum Querschnitt senkrecht gerichteten Componente N der Resul-tirenden, so ist die Neutralaxe parallel zu dein der Geraden OJ conjugirten Durchmesser T'T', und eine zu letzterem parallele Tangente CC' am Profilrand berührt denselben an der Stelle C der grössten Spannung. Man zerlege nun, nachdem T'T' bekannt, das in der Angriffsaxe OJ wirkende Moment 9Tt, anstatt nach den Hauptaxen, in Componenten senkrecht und parallel zur Neutralaxe. Die zur Neutralaxe senkrechte Componente 91t Sin s ist es ausschliesslich, welche eine Drehung des Querschnitts bewirkt. Daher ist die grösste in C auftretende Spannung:

Fig. 45.

7\

L'

<■

/ L\

&-+-T-Z

8 _ _ 4.

01t Sin e m

wobei 0 das Trägheitsmoment des Querschnitts bezüglich T' T' und m den senkrechten Abstand des Punktes C von dieser Axe bezeichnen.

Da nun

0 = F.OK² Sin² s

und

m = OC'Sine,

so hat man

zi

01t 0 0'

F . OK²'

Ist nun der Kern des Profils eingezeichnet und ist E der Schnitt der Angriifsaxe mit der dem Angriffspunkte J gegenüber liegenden .Kernbegrenzung, so ist

0 C'

OK²

OE ’

daher

Off

F . OE

(36

d. h. die Maximalspannung im Profilrande C ist gleich

dem Angriffsmoment 01c dividirt durch das Product aus der Querschnittsfläche und der dem Profilrande gegenüberliegenden Kern weite. (Siehe Manderla, Die directe Abmessung des Widerstandsmomentes, Allgem. Bauztg., Wien, 1882.)

Mit Hülfe dieses Satzes lässt sich einfach auch die Frage beantworten, welche Lage der Angriifsaxe O.T bei constantem N und 01c die ungünstigste Beanspruchung eines Querschnitts zur Folge hat: Der Wert von S wird zum Maximum, wenn OE seinen kleinsten Wert erreicht. Es geben also die von 0 auf die Kernbegrenzung errichteten Senkrechten (OL, Fig. 45) die ungünstigsten Belastungsebenen an, während dem Maximum der Kernweite die wenigst gefährliche Lage der Angriifsaxe (hier OY) entspricht.

Ist keine zum Querschnitt senkrechte Besultirende N vorhanden und der Stab nur durch äussere Kräfte senkrecht zur Stabaxe beansprucht, so geht GL 36 über in

0K

(37

Beispiel 1. Für einen J-Träger von den in Fig. 46 angegebenen Dimensionen, welcher einem Kappengewölbe als Widerlager dient, wurde die

grösste Normalspannung S. 44 durch Rechnung bestimmt. Dieselbe findet in den Punkten A und C statt. Ist der Kern gezeichnet, so ergibt sich 0 E, wie aus der Zeichnung zu entnehmen, = 1,31 cm und man erhält, da F — 69,49 cm, nach Gl. 44 die grösste Normalspannung:

70000

69,4 . 1,31

— 768 kg pro qcm.

Fig. 47.

Fig. 46.

j£

—12,5 cm

‘i

71

i,08cm

T.

Y'

io cm.

iE

'Z

\ >A

Beispiel 2. Soll für das [_-Eisen, Fig. 33, S. 44, unter den dort angegebenen Verhältnissen die Maximalspannung graphisch bestimmt werden, so construirt man nach S. 53 den Kern, wodurch sich die Kernweiten OE = 1,9 cm und OE' = 0,91 cm ergeben. Da F — 14, so ergibt sich die grösste Druckspannung (bei F)

9000

14 . 1,9

= 338 kg pro qcm

und die grösste Zugspannung bei B

9000

14 . 0,91

= 706 kg pro qcm.

C. Schubspannungen parallel und senkrecht zur Trägeraxe bei Biegungsbeanspruchung.

Jeder Querschnitt eines anf Biegung beanspruchten Balkens wird nach S. 9, abgesehen von 0K, auch durch eine senkrecht zur Stabaxe wirkende Kraft, die Transversalkraft (Querkraft) V, bei wagrechten Trägern auch Ver-ticalkraft genannt, beansprucht. Würde der Widerstand, welchen diese Kraft hervorruft, gleichmässig über die Quersclmittsfläche verteilt sein, so würde die entstehende Schubspannung aus der Gleichung: F y = V zu berechnen sein. Eine solche gleichmässige Verteilung der verticalen Schubspannungen findet aber nicht statt, vielmehr ist das Gesetz, nach welchem sich dieselben über einen Querschnitt verteilen, dadurch bestimmt, dass, wie nachgewiesen werden wird, an jeder Stelle des Querschnitts die senkrecht zur Stabaxe wirkende (verticale) Schubspannung gleich der daselbst parallel zur Stabaxe herrschenden (horizontalen) Schubspannung ist.

Die zur Stabaxe parallelen Schubspannungen eines auf Biegung beanspruchten Balkens sind veranlasst durch die Verschiedenheit der Angriffsmomente der auf einander folgenden Balkenquerschnitte, wodurch nach Gl.

g/

— 0 = 0KX (S. 18) auch Verschiedenheiten in den Normalspannungen ent-

stehen, welche in den gleich weit von der Neutralaxe entfernten Easerschichten

je zweier benachbarter Querschnitte auftreten.

Betrachtet man ein Trägerfragment ab cd (Fig. 48), welches beiderseits

durch die um dx von einander

Fig. 48.

abstehenden Querschnitte ab und cd, nach oben aber durch eine im Abstand y von der Neutralaxe befindliche Horizontalebene z d x begrenzt ist, so wirkt, wenn zdy = dF, auf ab, d. h. den schraffir-ten Elächenteil, welcher dem Schnitt ab entspricht, die Normalkraft

1—1—

d..

'}/ '

---b-

W-

8'dF ==

01c

y dF. 0 J

Anf cd dagegen wirkt die Normalkraft

y dF.

011 + d 0E

Da beide Werte ungleich gross sind, so wird durch ihre Differenz der Träger nach der Fläche zdx auf Abscheren beansprucht. Die Scherkraft ist:

oder nach Gl. 5:

S' =

d9H

ydF

S' =

Ydx

ydF.

Daher ist die Schubkraft längs ac pro Längeneinheit und auf die ganze Querschnittsbreite z:

S, =

ydF

(38

und die in ac herrschende Schubspannung:

(39

ov — — ydF. Z0

Da für einen und denselben Querschnitt V und O von y unabhängig sind, so wird die zur Stabaxe parallele Schubspannung ihren grössten Wert

erreichen, wenn der Ausdruck

fydF

übergeht in:

fydP.

d. h. die zur

Stabaxe parallele Schubspannung je eines Querschnitts erreicht ihren höchsten Wert in der neutralen Faserschicht.

Diese Maximal-Schubspannung ist mithin:

<3

Z„ 0

ydF.

(40

Beispiel. Für den rechteckförmigen Querschnitt von der Breite b und der Höhe li ist:

blr

y dF = b ly dy = —

daher:

bh*

b . b h³ 8

oY

2bh'

Diese Maximal - Schubspannung darf die zulässige Scherbeanspruchung nicht überschreiten.

Hat man einen mit beiden Enden frei aufliegenden, durch gleichmässig verteilte Last q beanspruchten Träger aus Fichtenholz von der Länge 1, so ist:

max.

und

9K,

n ax.

ql²

(für x =    - T’

daher die grösste, in der Neutralfaser an den Auflagern stattfindende Schubspannung : während die grösste (in den Aussenfasern der Trägermitte herrschende) Normalspannung :

all!

⁵bh²'

Daher o : S = h : 1, und da nach § 5 für Fichtenholz a : 5 = 1:7, so ist hei constantem Querschnitt die Scherbeanspruchung am Auflager gleichwertig der Beanspruchung auf Zug oder Druck in der Trägermitte, wenn

1 = 7h.

Es geht daraus hervor, dass so belastete Träger, deren Länge kleiner als 7h, auf Scherfestigkeit, im andern Fall auf Biegungsfestigkeit zu berechnen sind.

cv/

<-

H“

Fig. 49.

(j~+dJ~)dy

dx

Was nun die zur Stabaxe senkrechten (verticalen) Schubspannungen anlangt, so betrachte man zur Bestimmung derselben ein beliebiges parallel-epipedisches Balkenstück ab cd (Fig. 49) ->(&+dc)ldy von der Länge dx, der Höhe dy und und von der zur Bildebene senkrechten Tiefe gleich Eins. Auf dieses Balkenelement wirken in Folge der Biegung folgende Kräfte:

Senkrecht zur Fläche ad wirkt: S dy,

,, (d -f- dS) dy, a dx,

,, (o -f- da) dx,

* dy,

,» (T ~\~ d t) d y.

->(5'tdUT'/dac

33

33

Längs der

33

33

33

CT 50    & pu rr*

Hiebei bezeichnen z und r -f- dr die Schubspannungen in den zur Trägeraxe senkrechten Begrenzungsflächen a d und b c des betrachteten Balken-elementes.

Lässt man diejenigen Kräfte, welche sich gegenseitig auf'heben, fort, so bleiben die in Fig. 50 angegebenen übrig. Dieselben müssen sich im Gleichgewicht halten, daher ihre Momentensumme bezüglich eines beliebigen Punktes der Kraftebene gleich Null sein muss. Wählt man als Momentenpunkt den Punkt b, so ist:

Fig. 50.

t'T+dJ-ldy

CL

dy

&doc<—w

doc

(6+d6lcLx

~tr->

fly

a dx dy — z dy dx — d d dy — = 0.

z

Die unendlich kleine Grösse dritter Ordnung fällt gegen die unendlich kleinen Grössen zweiter Ordnung weg, es bleibt daher:

CTdy

oder

g dx dy = z dx dy

z.

<41

d. h. die bei einem auf Biegung beanspruchten Balken an irgend einer Stelle senkrecht zur Stabaxe auftretende Schubspannung ist gleich der Schubspannung, welche an derselben Stelle parallel zur Trägeraxe wirksam ist.

1). Normalspannungen und Schubspannungen bei Biegungsbeanspruchung nach beliebigen Richtungen.

Dass in einem auf Biegung beanspruchten Balken nicht nur Normalspannungen parallel der Trägeraxe und nicht nur parallel und senkrecht zur Axe wirkende Schubspannungen auftreten, sondern auch Normalspannungen und Schubspannungen nach jeder beliebigen Richtung, lässt sich leicht ein-sehen

nach einer Ebene MN durchschnitten denkt, welche gegen die Stabaxe um den Winkel <p geneigt ist (Fig. 51). hat die bezüglich M N in Betracht kommende Resultirende der äusseren Kräfte durch eine zu MN senkrechte Componente und durch eine

wenn man den Stab

Man

Fig. 51.

S-dy

.2T

dx ^ j

odtf*-j

y*C VS -------

US

in die Schnittebene M N fallende Componente zu ersetzen. Durch erstere entstehen Normalspannungen, durch letztere Schubspannungen für sämmtliche Flächenteile des betrachteten Balkenschnittes.

Wird das Balkenelement abc (Fig. 51) von der zur Bildfläche senk-rechten Tiefe = 1 in’s Auge gefasst und bezeichnen vds und £ds die auf die Begrenzungsfläche cb wirkende Normalkraft und die Schubkraft, so müssen diese den übrigen, an dem Balkenelement wirkenden Kräften 8 d y, 3 d x und ody das Gleichgewicht halten. Zerlegt man letztere in Componenten senkrecht und parallel zu bc, so ist:

und

vds == 8 dy Sin <p odx Sin cp -f- ody Cos <p £ds — Sdy Cos cp -j- odx Cos 'p— adySin'f.

Da nun

= Sin (p und

Pj . CL.

= Cos tp, so wird :

und

— (1 — Cos 2 z) ~j- 3 Sin 2 z *

6 = — Sin 2 (p 3 Cos 2 z.

£

(42

(43

Diese Gleichungen ergeben die auf das beliebige Elächenelement b c

Pj|

v

wirkenden Spannungen als Functionen des Winkels cp. Setzt man — = 0,

d. h.

fcOl O*

Sin 2 z -f- 3 Cos 2 <p = 0, so ergibt sich:

(44

tang 2 <p — —

Diesem Werte der Tangente entsprechen zwei um 90° von einander verschiedene Winkel <p. Man hat in jedem Querschnittspunkte zwei zu einander senkrechte Richtungen, nach deren einer die grösste, nach deren anderen aber die kleinste Normalspannung stattfindet. Diese Spannungen, nach deren Richtungen, wie Gl. 43 erkennen lässt, die Schubspannungen gleich Null sind, werden Hauptspannungen genannt. Man erhält sie, da

Sin 2 y = ±

2 a

¹

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenconstructionen, Zeitschrift des Arch.- und In gen.-Vereins zu Hannover. 1870.

Vd² -f 4o²

und

0os 2 * = + FffTO’

durch Einführung dieser Ausdrücke in Gl. 42 :

V„ =

| + i 1^ + 40*.

(45

In derselben Weise werden die Grenzwerte von £ gefunden,

= 0 setzt, d. h. wenn - Cos 2 f — a Sin 2 <p — 0 oder

taug 2 <p = J_.

Für jeden Punkt sind zwei zu einander senkrechte Schnittrichtungen vorhanden, nach welchen Grenzwerte der Schubspannungen, „Hauptschubspannungen“, auftreten. Diese erhält inan nach Gleichung 43:

= .±£Kss + 4a².

Aus der Gleichung 45 kann Nachstehendes gefolgert werden:

Für die äussersten Fasern ist o = 0, denn für y — n wird in Gl. 39:

wenn man

ro rö

(TYi>

tOi

(46

(47

JydF = J ydF

= 0,

daher:

v₀ = d

011

oder, weil nach Gl. 12: d — n,

01t

V»

W- n‘

In der neutralen Faserschichte ist o — 0, daher nach Gl. 45:

v₀ = o

JydF.

Für alle zwischen den äussersten Fasern und der Neutralaxe liegenden Punkte ist, wie aus Gl. 45 hervorgeht, v„ jedenfalls grösser als die an der betrettenden Stelle auftretende axiale Normalspannung und auch grösser als die parallel zur Trägeraxe wirkende Schubspannung. Selbstverständlich soll durch v₀ die zulässige Zug- oder Druckspannung nicht überschritten werden. Da die axialen Normal Spannungen vom Querschnittsrand gegen die Neutralaxe hin abnehmen und in dieser selbst gleich Null werden, während bei den Schubspannungen das Umgekehrte stattfindet, so wird, soferne es sich um Voll- ■ querschnitte, wie Rechteck, Kreis u. dgl. handelt, bei Querschnittsbestimmung

= 01c hinreichende Sicherheit nicht nur in

den äussersten Fasern, sondern in sämmtlichen übrigen auch gegenüber den hier auftretenden Werten von v₀ sein.

Nur bei solchen Trägerquerschnitten, welchen, wie dem Blechwandträger mit dünner Mittelwand, eine beträchtliche Flächenverminderung vom Querschnittsrand gegen die Neutralaxe eigentümlich ist, besteht die Möglichkeit,

auf Grund der Gleichung:

i*

dass, wenn die Querschnittsdimensionen auf Grund der Normal Spannung- in den äussersten Fasern bestimmt sind, für gewisse Werte von y durch vm zulässige Beanspruchung überschritten wird. Diese Frage ist in jedem gegebenen Falle zum Gegenstand einer besonderen Untersuchung zu machen.

die

ax.

Was die Maximalschubspannung anlangt, so ist in den äussersten Fasern, für welche o = 0, nach Gl. 47:

max.

dagegen in der neutralen Faserschicht, da hier § = 0,

max.

= + <3.

nicht den Wert der

max.

Für die zwischen den äussersten Fasern und der neutralen Faserschicht befindlichen Querschnittspunkte wird in der Regel £ grössten axialen Schubspannung in der neutralen Faserschicht überschreiten, so dass für die Anwendung der durch Gl. 40 bestimmte Wert ausschliesslich massgebend sein wird.

§ 4. Knickfestigkeit.

Wird ein Stab durch eine in seiner Längenaxe wirkende Kraft P auf Druck beansprucht, so erfolgt, wenn die Länge des Stabes grösser ist als circa der fünffache Betrag der kleinsten Querschnittsdimension, bei fortgesetzter Steigerung der Belastung erfahrungsmässig nicht mehr ein eigentliches Zerdrücktwerden , sondern der Stab wird seitlich ausgebogen und endlich zerbrochen, zerknickt. Man nannte diese Art der Angriffnahme Beanspruchung auf Knickfestigkeit. Sie ist veranlasst durch unvermeidliche ITn-gleichartigkeiten des Stabmaterials, durch Fehler in der Centrirung der Last und durch kleine Abweichungen der Kraftrichtung von der Stabaxe; denn wenn die Kraftlinie P genau mit der vollkommen geradlinig gedachten Stabaxe zusammenfallen würde und wenn das Material des Stabes homogen wäre, so würde die Erscheinung der seitlichen Ausbiegung undenkbar sein. Unter dem Einfluss aber der erwähnten Umstände entstehen durch P in den einzelnen Querschnitten Drehmomente, wodurch zu den überall vorhandenen Druckwirkungen noch Biegungsbeanspruchungen hinzukommen. Der Bruch tritt in diesem Falle früher ein als bei Sicherung gegen seitliche Ausbiegung, und Stabquerschnitt F oder Belastung P sind nicht aus Gleichung 3. sondern mit Rücksicht auf die hier ungünstigeren Verhältnisse zu bestimmen.

Da bezüglich der Knickbeanspruchuug auch die Art der Befestigung des Stabes von Einfluss ist, so mögen folgende, für die Anwendung hauptsächlich in Betracht kommende Fälle unterschieden werden:

I. Die frei drehbaren Enden A und B des Stabes sind in der ursprünglichen Stabaxe geführt, d. h. gezwungen, in der anfänglich geraden Stabaxe zu bleiben. (Fig. 52).

Fig. 52.

Tfy

\f

Für irgend einen Punkt x, y der Stabaxe ist das Biegungsmoment gleich Py, und bezeichnet © das gegenüber der Biegung in Betracht kommende Trägheitsmoment des Stabquerschnitts, in der Regel 0 tialgleichung der elastischen Linie:

min. 5

so ist die Differen-

d²y __ P d x² e 0

J-

Die zweimalige Integration ergibt als Gleichung der elastischen Linie:

y = A Sin I x

4- B Cos

(■Via

wobei A und B Constante bezeichnen. Diese Gleichung einer Sinusoide lässt erkennen, dass die unbegrenzt fortgesetzt gedachte elastische Linie die Form einer Wellenlinie hat.

Da für x = 0 auch y = 0, so ist B = 0. Gleichung 48 geht daher über in:

y t= A Sin I x

er

Der grösste Wert f von y entspricht dem Maximalwerte von Sin

(-G)

welcher = 1 ist, daher

und

y = f Sin

Für x = 1 ist y = 0, daher

f Sin / 1

= 0,

d. li. 1

= 7r oder gleich einem Vielfachen von ir.

Aus vorstehendem Ausdruck ergibt sich die Gleichung:

7T² £ ©

-P ⁼⁼    1

welche nach ihrem Urheber als die Euler’sehe Gleichung“ bezeichnet wird. Dieselbe gibt jenen Grenzwert P der Belastung an, dessen Überschreiten ein Unsicherwerden des Gleichgewichtes des Stabes zur Folge hat. Mit Rücksicht auf Einhaltung v-facher Sicherheit schreibt sich die Gleichung:

TU² s W

“VF"

Fig. 5;’,.

(51

II. Der Stab ist mit dem einen Ende A ein gespannt, am anderen Ende B aber frei beweglich (Fig. 53).

Nach eingetretener Biegung befindet sich der Stab offen-

bar in demselben Zustand wie die Hälfte des im vorgehenden Falle betrachteten Stabes. Deshalb kann, wenn 1 die jeweilige ganze Stablänge bezeichnet, Fall II auf Fall I zurückgeführt werden, wenn in Gl. 51 der Grösse 1 der Wert 2 1 substituirt wird. Man erhält :

Fig. 54.

_ TT² £ 0

P = 4 vT² ’

(52

. -//////// '///.

III. Der Stab ist mit beiden Enden fest eingespannt (Fig. 54).

Die elastische Linie wird eine Curve mit zwei Wendepunkten C und D sein. Die beiden Endstücke B G und D A befinden sich in demselben Zustand wie der ganze Stab der Fig. 53 (Fall II), während der mittlere Teil CD dem Fall I (Fig. 52) entspricht.

Indem man daher an Stelle des 1 der Gl. 52 den Wert

— (oder

>1)

an Stelle des 1 der Gl. 51 den Wert —) setzt, ergibt sich:

4 7c² s H

v l²

(53

Fig. 55.

II-r

ttv

IV. Der Stab ist mit dem einen Ende A eingespannt und mit dem anderen, frei drehbaren Ende B in der ursprünglichen Stabaxe geführt (Fig. 55).

Wenn die Führung nicht vorhanden wäre, so würde in Folge der Biegung das Stab-Ende B eine seitliche Verrückung erleiden (Fall II). Die Wirkung der Führung besteht also in der Entwickelung einer Horizontal-Reaction H. Daher ist das Biegungsmoment für irgend einen Punkt x, y der Axe:

-Py—f H(l-x)

und die Differentialgleichung der elastischen Linie:

Durch Integration und Bestimmung der Constanten auf Grund der hier vorliegenden Befestigungsart ¹) ergibt sich :

(54

2,046 Tr² £ G

v l²

und der Abstand des Wendepunktes C der elastischen Linie vom oberen Stab-Ende:

1' = 0,71 1.

Der in den Gleichungen 51 bis 54 vorkommende Sicherheitscoefticient wird gewöhnlich für

10

8 und

Holz:

Gusseisen : schmiedbares Eisen : y

angenommen.

Der Elasticitätsmodul ist für

120000 kg pro qcm £ = 1000 000 ,,    ,,    ,, und

«T¹

nS : ns

Holz:

Gusseisen :

schmiedbares Eisen: e = 2 000000 ,,    ,,    ,,

Die Euler’sehe Formel sanimt ihren, den verschiedenen Befestigungsarten entsprechenden Modificationen hat die Eigentümlichkeit, dass sie bei gegebenem F für kürzere Säulen ziemlich hohe Werte von P liefert, welche die der reinen Druckfestigkeit entsprechenden Beträge von P oft weit überschreiten. Man hat daher bei der Anwendung stets zu prüfen, wie sich das Ergebniss der Berechnung zu dem auf Grund der Formel P = Fß erhaltenen Resultat verhält. Ergibt sich aus der Euler’schen Formel ein grösserer Wert für P als aus Gleichung P = Fß, so ist als zulässige Stab-Belastung nur der letztere, geringere Wert anzunehmen.

Die Euler’sche Formel lässt also den stetigen Übergang von den Verhältnissen der reinen Druckfestigkeit zu denjenigen der Knickfestigkeit vermissen. Denn wenn auch die Knickbeanspruchung verschieden ist von der reinen Druckbeanspruchung, so ist doch nicht anzunehmen, dass der Übergang plötzlich und sprungweise erfolge. Da zudem die Gleichungen 51 bis 54 die Grösse ß nicht enthalten, also keinen Aufschluss geben über die im Inneren des Stabes herrschenden Spannungen, so war man bestrebt, diesem Mangel durch Aufstellung empirischer Formeln abzuhelfen.

Von solchen steht zur Zeit am meisten in Anwendung die Navier-Schwarz’ sehe Formel. Dieselbe lautet:

Hiebei bezeichnet:

P die in der Stabaxe wirkende Belastung',

F den Stab-Querschnitt,

0 das kleinste Trägheitsmoment des Stabquerschnitts, ß die zulässige Druckbeanspruchung des Materials, und x eine Erfahrungszahl, den sog. Knickungscoefficienten.

Die Formel kann auf folgende AVeise begründet werden:

Fig. 5G.

B.

Die grösste Druckspannung findet in der äusser-sten gepressten, um n von der Neutralaxe entfernten . Faser desjenigen Querschnitts statt, welcher sich an der Stelle f der grössten seitlichen Ausbiegung befindet (Fig. 56), und setzt sich zusammen aus der

durch P unmittelbar bewirkten Druckspannung ßt =

Spannung ß

Für Fall 1:

Fl²

(55

1 -f- x —-0

und aus der durch die Biegung hervorgerufenen Druck -nPf

-, so dass:

0 ’

nPf

0

AVenn angenommen wird, die elastische Linie sei ein Kreisbogen vom Radius r, so ist annähernd:

l²

und da nach Grl. 6:

"TO

so ergibt sich :

oo

Setzt man die Constante

csx

oo

- = x, so ergibt sich:

12-

1 -f* x--

0

Aus dieser Gleichung erhält man wie oben:

Für Fall II:

CSX

F l²’

(56

1 -f- 4x — 0

und für Fall IV, wenn in Gleichung’ 55 der Grösse 1 der Wert 0,71 1 sub-stituirt wird:

(58

Fß

Fl²⁻

1 +i% — ² 0

Die Werte der Constanten % sind durch Versuche bestimmt worden. Als

Mittelwerte aus einer grösseren Zahl solcher Versuche können angenommen werden für:

Holz:

% = 0,00016

% = 0,00008.

für Fall III:

p ==

vi-

(57

1+1%

⁴ 0

Gusseisen (stehender Guss): % = 0,00025 Gusseisen (liegender Guss): % = 0,00063 Schmiedeisen :

Bei der Anwendung der Formeln 51 bis 54 oder 55 bis 58 hat man zunächst zu entscheiden, welcher der vier Fälle vorliegt. Am häufigsten kommt Fall I vor, da in der Hegel die auf Knickung beanspruchten Stäbe derart mit' ihrer Umgebung verbunden sind, dass die Enden nicht ausweichen können.

Als fest eingespannt ist ein Stab-Ende anzusehen, wenn der Stab hinreichend tief in Erdreich eingerammt ist, oder wenn das Stab-Ende in eine entsprechend grosse Platte ausläuft, welche durch Verankerung gegen Umkanten gesichert ist.

Beispiel 1. Ein 4 m langer Pfosten aus Fichtenholz von quadratischem Querschnitt, dessen Enden als geführt zu betrachten sind, wird durch eine in der Längenaxe wirkende Kraft P = 20000 kg beansprucht. Welche Seitenlänge h des Querschnitts muss der Pfosten erhalten ?

a) Lösung auf Grund der Euler’schen Formel. Nach Gl. 51 ist:

20000

10.120000. Lh⁴

10.400²

'5

daher

h⁴ = 320000 und h = 23,8 cm.

Da der Pfostenquerschnitt jedenfalls gross genug sein muss, um der re'inen Druckbeanspruchung mit hinreichender Sicherheit widerstehen zu können, so , ist noch zu untersuchen, ob der berechnete Wert von h dieser Bedingung genügt. Letzteres ist nicht der Fall. Denn da die Druckfestigkeit des Fichtenholzes (siehe Tabelle, S. 78) ß₀ — 300 kg pro qcm, daher bei zehnfacher Sicherheit ß = 30 kg pro qcm, so ergibt sich aus:

30 h² = 20000 h = 25,8,

welcher grössere Wert unter Nichtberücksichtigung des Resultates der Euler’schen Formel der Dimensionirung des Pfostens zu Grund zu legen ist.

b) Lösung auf Grund der Navier-Schwarz’schen Formel.

Nach Gl. 55 ist, wenn ß = 30 kg pro qcm,

h².30

20 000 =

1 +0,00016

h².400²'

T2 h4

Hieraus folgt:

h⁴ — 666,66 h² = 204 800

oder, wenn man h² = x setzt,

daher

x² - 666,66 x = 204 800,

x = 895

und

h = 29,9 cm.

Beispiel 2. Eine 3 m lange gusseiserne Holilsäule (Fig. 57), welclie mit beiden Enden geführt ist, hat eine in der Längenaxe wirkende Last von 120 000 kg zu tragen. Es ist der äussere Durchmesser d des ringförmigen Querschnitts zu bestimmen, wenn die Wandstärke e = ^ d.

a) Lösung auf Grund der Euler’schen Formel.

Nach Gl. 51 ist, da @ — 0,02898 d⁴.

Fig. 57.

120 000 =

10.1000000.0,02898 d⁴

8.300²

daher

d = 23,36 cm.

Der Widerstand gegenüber der reinen Druckbeanspruchung erfordert, wenn ß = 500 kg pro qcm,

oder

0,2827 d².500 = 120 000

d = 29,1.

Letzterer Wert, als der grössere, ist für die Ausführung massgebend.

b) Lösung auf Grund der Navier-Schwarz’schen Formel. Nach Gl. 55 ist, wenn ß = 500 kg pro qcm,

0,2827 d² 500

120000 =

1    0,00025.

0,2827 d² 3002 0,02898 d⁴

oder

d⁴ — 849 d² = 186 329

hieraus

d = 32 cm

und

e — 3,2 cm.

Beispiel 3. Eine 5 m lange gusseiserne Säule von |—{-förmigem Querschnitt (Fig. 58), welche an beiden Enden geführt ist, hat eine in der Längenaxe wirkende Last von 90 000 kg zu tragen. Es ist die Länge li des Querschnitts zu bestimmen,

wenn die Breite b desselben gleich e = “ angenommen wird.

und die Rippenstärke

Big. 58.

fc--h—J

12

a) Lösung auf Grund der Euler’schen Formel. Nach Gl. 51 ist, da 0 = 0,0017763 h⁴

daher

90 000 =

10.1000 000.0,0017763 h⁴

8.500²

h — 56,4 cm.

Aus der Formel der reinen Druckfestigkeit F. ß = P ergibt sich, da F = 0,153 h²,

0,153 h².500 = 90000

oder

h == 34,3.

Hier ist somit für die Ausführung der erstere Wert von h = 56,4 massgebend.

b) Lösung auf Grund der Navier-Schwarz’sehen Formel.

Nach Gl. 55 ist:

90 000 ==

0,153 h² 500

1 -f- 0,00025

0.153 h² 500²

‘ 0,0017763 h⁴

oder

h⁴ — 11 76 h² = 6 333 294,

daher

h = 56 cm

und

b = 28 cm

sowie

e = 4,7 cm.

Ein 4 m langer schmiedeiserner, aus vier Winkeleisen zusammengesetzter Stab, welcher an beiden Enden geführt ist, hat eine axiale Belastung von BOOOO kg aufzunehmen. Es sind die Dimensionen des kreuzförmigen Querschnitts, Fig. 59, zu bestimmen, wenn d = -Jy b angenommen wird.

Baispiel 4. Fig. 59.

Cb) Lösung auf Grund der Euler’sehen Formel.

Nach Gl. 51 ist, da © = 0,0084 b⁴,

daher

BO 000 =

10.2 000 000.0,0084 b⁴

5.400²

b = 19,4 cm.

Aus der Formel: Fß = P ergibt sich, da F = 0,19b² und wenn ß — 750 kg pro qcm angenommen wird,

b = 14,5 cm,

weshalb der grössere, aus der Euler’schen Formel erhaltene Wert zu wählen ist. b) Lösung auf Grund der Na vier-Schwarz 'sehen Formel.

Nach Gl. 55 ist:

30 000 =

0,19 b².750

1 4 0,00008.

0,19 b² . 400² '

0,0084 b⁴

Hieraus folgt:

b⁴ —210,5 b² = 60951,

daher

b = 19,3 cm

und

d = 1,93 cm.

Die Euler’sche sowohl wie die-Navier-Schwarz’sche Formel sind neuerdings von Professor Bause hinge r und Professor Tetmajer durch Versuche auf ihre Richtigkeit geprüft worden.

Aus den Versuchen Bauschinger’s kann geschlossen werden, dass die Euler’sche Formel für Stäbe mit drehbaren Enden (Spitzenlageruug) zuver- • lässige Resultate gibt, soferne von jenen Fällen abgesehen wird, welche von vornherein in Folge der Anforderungen der reinen Druckfestigkeit auszuscheiden haben. Für Stäbe mit ebenen, an festen Druckplatten anliegenden Stirnflächen, wobei die Knickungsvorgänge nicht genau dem Elasticitätsgesetz entsprechen, hat die Navier-Schwarz’sche Formel brauchbare Werte geliefert.²)

Nach Tetmajer ist der Coefficient x der Navier - Schwarz’schen Formel sondern eine Zahl, welche bei einem und demselben Material mit dem Verhältnisse der freien Stablänge 1 zum kleinsten Trägheitsradius rmia. des Querschnitts sich ändert.*)

nicht constant

Excentrisclie Belastung: gerader Stäbe.

Ein stabförmiger Körper sei durch eine ausserhalb seiner Längenaxe, im Abstand p parallel zu derselben wirkende Kraft P auf Druck beansprucht (Fig. 60). Wird zunächst die Länge des Stabes als gering im Vergleich mit den Querschnittsdimensionen angenommen , so dass seitliche Ausbiegungen von Belang nicht eintreten, so ist, wenn die durch P und die Stabaxe bestimmte Ebene die Stabquerschnitte nach Hauptaxen schneidet, nach Gl. 28 für irgend einen Querschnitt die grösste am Querschnittsrande bei N auftretende Druckspannung :

Fig. 60.

K\

fl

\/m

7t

—nt

-p\---i

N X4.7

p = • - + w¹"-

(59

Ist r der dem Trägheitsmomente (H) des Querschnitts entsprechende Träg

heitsradius und bezeichnet v den Abstand der Neutralaxe vom Schwerpunkt 0, so folgt, da

0 = Er²

und weil nach Gl. 34

r² = pv,

(60

Die Construction der Neutralaxe ergibt sich auf Grund von Gl. 34 nach dem auf S. 50, Fig 37, dargelegten Verfahren: Man trage von 0 aus auf der Stabaxe den Trägheitsradius r = OK auf, ziehe KJ und errichte zu KJ die Senkrechte KS, so gibt der Schnitt S der Letzteren mit MN die Lage der Neutralaxe.

Führt man statt v die Kernweite k ein, w'elche nach Gl. 35 durch r² = mk bestimmt ist, so nimmt Gl. 59 die Form an:

!0 + ->

(61

Totmajer, Die Baumechanik, II. Teil, Zürich 1889.

„    Mitteilungen der Anstalt zur Prüfung von Baumaterialien am eid

genössischen Polytechnikum in Zürich, 4. Heft, Zürich 1890.

Die Querschnittsdimensionen des Stabes können aus einer der Gleichungen 59 bis 61, in welchen ß gleich der zulässigen Druckbeanspruchung des Materials zu setzen ist, leicht bestimmt werden.

Beispiel. Eine Stuhlsäule aus Lärchenholz (Eig. 61) dient einer Pfette zum Auflager, welche., da sie mittels Schraubenbolzens seitlich an der Stuhlsäule befestigt ist, dieselbe excentrisch belastet. Die Breite der Pfette ist 12 cm, so dass diese Belastung P = 4000 kg im Abstand ^ li -}- 6 cm von der Axe der Säule wirksam ist. Welche Seitenlänge h muss der qua dratische Querschnitt der Stuhlsäule erhalten, wenn die zulässige Druckbeanspruchung des Holzes von 40 kg nicht überschritten werden soll und wenn die Säule gegen seitliche Ausbiegung gesichert ist?

Da F = h², p = h -f- 6 und, nach S. 52, k = -

Fig. 61.

II

11

■Wookg

Li

SO

so folgt aus Gl. 61:

daher

und

ßli³ — 16000 h = 144000

23,5 cm.

Ist das Verliältniss der Stablänge zur kleinsten Querschnittsdimension derart, dass nicht Druckfestigkeit allein, sondern auch Biegungsbeanspruchung in Frage kommt, so bleibt das Moment nicht wie im bisher betrachteten Fall constant, sondern es nimmt von B nach A hin zu.

Für irgend einen Punkt x, y der Stabaxe (Fig. 62) ist:

SK = P(p + f-y),

. daher die Differentialgleichung der elastischen Linie:

|    dV ₌

d x² s 0

Fig. 62.

<-p->:

'V

JC

(p + f — y)

oder, wenn -

£0

= t² gesetzt wird,

d²y

dx²

= t²(p + f-y).

Durch zweimalige Integration dieser Gleichung erhält man:

— p — f-f y = A Sin (tx) -f- B Cos (tx).

= t A Cos (tx) — t B Sin (tx) und da für x — 0 auch

Da

HS ! r-*

= o,

so ist A = 0.

Ferner ist für x = 0 auch y = 0, daher

(p r o = b.

Somit ergibt sich als Gleichung der elastischen Linie:

y = (p + f) [i — Cos (t x) ].

Für x = 1 ist y = f, also

f = (P + O [1 — Cos(tl)]

oder

(63

p [1 — Cos (tl) |

Cos (tl)

Das grösste Moment, an der Befestigungsstelle bei A stattfindend, ist:

max.

= P (P + f),

= PP 4 PP

1 — Cos (t 1) Cos (tl) ’

Pp

Cos (tl)

Nach Gl. 28 erhält man hieraus die grösste Spannung an der durch die Biegung gezogenen Seite, wenn n den Abstand der äussersten gezogenen Faser von der Neutralaxe bezeichnet."

01t n

Ph §

Ph

<2>\ »

und die grösste Spannung an der durch die Biegung gedrückten Seite, wenn m die Entfernung des betreffenden Querschnittsrandes von der Axe:

►*i| hj

4-

IQ

<£>| 3 «-»¹

oder

und

O-J.

>-ü

hrj i—

0 Cos

+

W Cos

pn

(64

(■ h$)'

(Gl¹

Fa

Fpn

(65

0 Cos

oder

en.

(65"

1 4-

0 Cos

(■ Vä)

wobei von den mittels beider Formeln erhaltenen Zahlenwerten der kleinere gültig ist.

Für den Stabquerschnitt ergehen sich die Formeln:

(66

und

O-i j⁰³-

tH

-1-

0 Cos

®l

(66"

von deren Ergebnissen das grössere der Dimensionirung zu Grunde zu legen ist.

JDa Cos x = 1 —

x²

x⁴

1.2.3.4

1.2

die höheren Glieder der .Reihe vernachlässigt werden:

, so ergibt sich, wenn

0(l— ^l2 P

’i

(67

und

f = — |i 4-

F p 111

(67"

§ 5. Versuchsergebnisse über die Festigkeit des Holz-und Eisenmaterials.

Fig. 63.

JB

Werden stabförmige Körper aus Holz oder Eisen der Einwirkung äusserer Kräfte ausgesetzt, so entstehen Formänderungen, welche nach S. 2 innerhalb einer gewissen Grenze proportional den Kräften bleiben, welche sie hervorbringen. Trägt man auf der Axe OX (Fig. 63) die Formänderungen als Abscissen auf, die Kräfte aber als Ordinaten, so erhält man als Verbindungslinie der Endpunkte der Ordinaten eine Gerade Bei zunehmender Belastung, wenn dieselbe die Proportionalitätsgrenze überschreitet, wachsen die Formänderungen in grösserem Verhältniss als die zugehörigen Belastungen, und die Verbindungslinie der Endpunkte der Kraftordinaten wird krummlinig. Der Punkt A, in welchem die Gerade OA in die Curve übergeht, ist die Proportionalitätsgrenze. Endlich geräth, wenn die Belastung weiter gesteigert wird, der Stab in einen Zustand, in welchem bei verhältnissmässig geringer Vergrösserung der Belastung ein ausserordentlich starkes Wachsen der Formänderungen bemerkbar ist Der Stab beginnt sich zu strecken, zu ,,fliessen“. Die Verbindungslinie der Endpunkte der Kraftordinaten wird nahezu parallel 0 X und der Punkt B, welcher der manchmal scharf ausgesprochenen Richtungsänderung entspricht, wird Streckgrenze oder Fliessgrenze genannt.

Bei noch weiter gesteigerter Belastung wird die Festigkeitsgrenze erreicht und der Bruch tritt ein.

Die Proportionalitätsgrenze bildet nicht bei allen Materialien eine für alle Fälle feste Grenze, vielmehr haben die Versuche ergeben, dass dieselbe bei Eisen und Stahl durch äussere Einwirkungen verändert werden kann. So wird durch wiederholte Belastung zwischen Null und einer oberen Spannungsgrenze, die in der Nähe der Proportionalitätsgrenze befindlich ist, die Pro-portionalitätsgrenze gehoben, dagegen sinkt sie, wenn die Belastung die Streckgrenze überschreitet. Ferner vermindern Zugbelastungen, welche etwas, wenn auch nur wenig grösser sind als die betreffende Elasticitätsgrenze, die Druckproportionalitätsgrenze. Umgekehrt wird durch entsprechende Druckbeanspruchung die Zug-Proportionalitätsgrenze verringert. Liegen Proportionalitätsgrenze und Bruchbelastung nahe beisammen oder treten zwischen diesen Grenzen nur kleine Formänderungen auf, so wird das Material spröde genannt. Je grösser die Sprödigkeit ist, desto grösser ist die Gefahr, dass durch Stosswirkungen der Bruch herbeigeführt wird.

Zähe wird das Material genannt, wenn dem Eintritt des Bruches ei-liebliche bleibende Formänderungen vorausgehen; je bedeutender die Formänderung

ist, die ein Material annelimen kann, nachdem die Proportionalitätsgrenze überschritten ist, desto zäher ist es.

Im Allgemeinen ist beim schmiedbaren Eisen das Gesetz erkannt worden, dass, wenn durch irgend einen Einfluss die Festigkeit gesteigert wird, dann die Zähigkeit abnimmt, und umgekehrt hat man beobachtet, dass Processe, welche die Zähigkeit vergrössern, eine Verminderung der Festigkeit zur Folge haben.

Beim Eisen ist auch die chemische Zusammensetzung von Einfluss auf die Festigkeit. Die Festigkeit des schmiedbaren Eisens wächst mit zunehmendem Kohlenstoffgehalt, bis letzterer den Betrag von ca. 1 °/o erreicht. Bei weiter steigendem Kohlenstoftgehalt bleibt die Festigkert zunächst noch unverändert und nimmt alsdann allmählich ab.

Ferner wird beim schmiedbaren Eisen die Festigkeit gesteigert durch länger fortgesetzte Bearbeitung desselben in hoher Temperatur (Rothglühhitze), ohne dass eine bemerkbare Abnahme der Zähigkeit eintritt. Besonders deutlich zeigt sich dieser Einfluss bei der ersten Bearbeitung der gegossenen Flusseisenblöcke. Die Bearbeitung des Eisens in erkaltetem Zustande ver-grössert zwar die Festigkeit, bedingt aber, wegen gleichzeitiger Erhöhung der Proportionalitätsgrenze, eine Verminderung der Zähigkeit. Man kann indessen solches, durch Bearbeitung in kaltem Zustande spröde gewordene Eisen dadurch in seinen ursprünglichen Zustand zurückführen, dass man es erhitzt und zwar mindestens bis zur Rothgluth. Die Wirkung der Erhitzung auf 350° bis 450° C. und der darauf folgenden Abkühlung besteht immerdarin, dass die Proportionalitätsgrenze (und auch die Streckgrenze) erniedrigt wird und zwar um so mehr, je höher die Temperatur war.

Das feinkörnige Gusseisen hat einen höheren Grad von Festigkeit als das grobkörnige. Rasch erkaltetes und daher feinkörniges Gusseisen ist deshalb im Allgemeinen besser als langsam erkaltetes. Da Gussstücke von geringer Dicke rascher erkalten als solche mit dicken Wandungen, so folgt, dass die Wandstärken gusseiserner Constructionsteile nicht zu gross gewählt werden dürfen und dass übermässige Materialanhäufungen an einzelnen Stellen zu vermeiden sind.

Die Festigkeit und Elasticität des Holzes nimmt im Allgemeinen mit abnehmendem Wassergehalt zu. Je trockener das Holzmaterial, desto grösser ist die Bruchbelastung und der Elasticitätsmodul.

Nachstehende Tabellen enthalten Mittelwerte des Elasticitätsmoduls, der Proportionalitätsgrenze und der Festigkeitscoefficienten einiger Holz- und Eisen-Materialien.

A. Elastizitätsmodul, Proportionalitätsgreuze und Festigkeit.

Tabelle des Elasticitütsniodiils und der Froportionalitätsgreuze.

kg pro qcm

I ’ ro por t io n al itätsgre n ze

Material

Elasticitätsmodul

Nadelholz

Eichenholz .

IEichenholz .

Gusseisen*) .

Schweisseisen

Flusseisen .

Flussstahl

Gussstahl

Zug

Bruck I Biegung

120 000 1 110 000 120 000

110 000    100 000 i 100 000

180 000    170 000    15 000

1 000 000 I 1 000 000 j ! 2 000 000 2 100 000 ! 1 800 000

2 150 000

1 990 000

2 200 000 2 300 000 2 100 000 2 500 0001    —

Zug

360

470

580

1600

2200

3500

3750

Druck

Biegung

130

1-0

105

1300

3500

5000

250

216

250

1600

2000

4000

5000

*) Gusseisen besitzt keinen oonstanteu Elasticitätsmodul und keine ausgesprochene Elasticitätsgrenze. Obige Zahlen sind daher nur als annähernd genaue Mittelwerte zu betrachten.

Tabelle der Festigkeitscoefiieienten.

Material

Zug

«0

kg pro qcm

Druck

Schub

ßo

Biegung

To

Lärche . .

710

380

72

670

Tanne.    .

600

280

Lichte

650

300 bis 320

Föhre

700

330

Eiche

880

440

il den Fasern

63

60

55

75

500

420

500

600

Buche

1000

320

to

Gusseisen

1300

6000

1000

Schweisseisen .    .

3600

3600

2900

3700

Flusseisen

4000

4000

3400

3600

Flussstahl .    .

6000

6000

4000

6000

Gussstahl

7600

8000

6400

7600

13. Zulässige Beanspruchung.

Die gewöhnliche Methode der Festsetzung dev zulässigen Beanspruchung geht von ziemlich willkürlichen Voraussetzungen aus. Man nimmt als zulässige Beanspruchung einen bestimmten, den vteu Teil des Festigkeitscoeffi-cienten an. Vergl. S. 3.

Die Wahl von v hängt von dem Ermessen des Constructeurs ab, welcher hiebei die Zwecke, denen das Bauwerk zu dienen hat und die Einflüsse, welchen dasselbe unterworfen sein wird, zu berücksichtigen hat. So ist es z. B. angezeigt, bei provisorischen Bauten v kleiner anzunehmen, während bei besonders ungünstigen Umständen, starken Erschütterungen u. dergl. eine Vergrösserung von v erforderlich ist. Jedenfalls soll die zulässige Beanspruchung wesentlich unter der Elasticitätsgrenze bleiben.

Für definitive Constructioneu ist es üblich, bei

Holz

Gusseisen

v = 10, v = 6 und

schmiedbarem Eisen v = 4—5

zu wählen.

Mit Bezug hierauf enthält nachstehende Tabelle die abgerundeten Mittelwerte der zulässigen Beanspruchung für Holz- und Eisenmaterial:

Tabelle der zulässigen Beanspruchung.

Material

Zug

'j.

kg pro qcm

Druck

Schub

Biegung-

Gusseisen Sehweisseisen Flusseisen . Flussstahl Gussstahl

70

60

65

70

90

90

250

750

800

1200

1500

40

65

30

50

30 bis 32

42

33

50

45

60

32

72

500 bis 1000

750

800

1200

1500

200

600

650

800

1300

-*)

750

750

1200

1500

*) Rach den Versuchen von Prof. Bach besteht für Gusseisen bei rechteckigen und T-förmigen Querschnitten zwischen dem Biegungscoefficienten §₀ und dem Zugfestigkeits-coefficienten a₀ folgende Beziehung:

o₀ = 1,25 y Y~ ao.

wobei n den Schwerpunktsabstand der meistgespannten Faser und y₃ den Abstand des Schwerpunktes der Profilhälfte von der horizontalen Schwerpunktsaxe des Profils bezeichnet. Nach den Versuchen von Prof. Tetmajer ist für Nadelholz und Laubholz o — 0,75 «, für schmiedbares Eisen 3 =• a.

Die neuere Methode der Bestimmung der zulässigen Beanspruchung strebt eine auf mehr wissenschaftlicher Grundlage beruhende Querschnittsermittelung an. Von massgebender Bedeutung hiefiir sind die Versuche gewesen, welche in den Jahren 1859-—-70 durch Wö hier mit Stäben aus schmiedbarem Eisen angestellt worden sind. Diese Versuche³) haben nämlich folgendes Resultat ergeben:

sondern auch

Der Bruch des Materials kann nicht nur durch eine die Bruchfestigkeit überschreitende ruhende Last durch eine geringere Belastung bewirkt werden, wenn dieselbe öfter wiederholt wird, d. h. zwischen zwei Grenzwerten ab-wechselt, „schwingt“.

Für das Eintreten des Bruchs ist massgebend die Anzahl der auf einander folgenden Schwingungen und die Grösse jener Grenzwerte d. i. die Spannungsdifferenz, indem mit dem Wachsen derselben die Minimalspannung, welche den Bruch noch herbeiführen kann, sich verringert.

Professor Bauschinger bestätigt auf Grund seiner Versuche (Mitteilung., Heft XIII", München 1886) dieses Gesetz und kommt zu folgenden weiteren Resultaten:

1)    Durch wiederholte Anstrengungen auf Zug zwischen Null und einer oberen Grenze, welche in der Nähe der ursprünglichen Proportionalitätsgrenze liegt, wird der Bruch selbst bei 5- bis 16millionenmaliger Wiederholung dieser Anstrengung nicht erreicht,

Hiebei darf:

a)    das Material keine Fehler besitzen,

b)    die Proportionalitätsgrenze nicht künstlich, wie z. B. durch Strecken, Schmieden, Walzen erhöht sein.

2)    Durch oftmals wiederholte Anstrengungen zwischen Null und einer oberen Spannungsgrenze, die mit der Proportionalitätsgrenze zusammenfällt oder auch mehr oder weniger über derselben gelegen ist, wird die Proportionalitätsgrenze gehoben und zwar um so mehr, je grösser die Zahl der Anstrengungen war, jedoch nicht über eine gewisse Höhe hinaus.

3)    Oftmals wiederholte Anstrengungen sind im Stande, die ursprüngliche Proportionalitätsgrenze über die obere Spannungsgrenze hinaus zu heben. Solche Schwingungen führen einen Bruch nicht herbei. Wenn aber die obere Spannungsgrenze so hoch liegt, dass die Proportionalitätsgrenze darüber hinaus nicht gehoben werden kann, so muss der Bruch nach einer beschränkten Anzahl solcher Anstrengungen erfolgen.

Nach dem Bekanntwerden der Wöhler’schen Versuchsresultate wurden verschiedene Methoden zur Verwertung derselben für die Dimensionirung der

Eisenconstructionen in Vorschlag gebracht. Im Hochbau sind die Fälle wechselnder Belastung von Eisenconstructionen nicht selten, und es soll daher im Nachstehenden eine der einfachsten und gebräuchlichsten dieser Methoden, nämlich die L au n har dt-Wey rauch’ sehe, kurz erörtert werden.

Die Launhardt- Weyrauch’sehe Dimensionenberechnung.

a) Die Beanspruchung findet immer im gleichen Sinne, also entweder nur als Eng oder nur als Druck statt.

Es bezeichne a₀ die der einmaligen Angrilfnahme d. i. der ruhenden Last entsprechende Bruchspannung eines Stabes von der Quadrateinheit Querschnittsfläche. Setzt man den Stab einer Belastung aus, welche etwas kleiner ist als a„, so wird, um den Bruch herbeizuführen, eine gewisse Zahl von Wiederholungen nötig sein, letztere zunächst in dem Sinne verstanden, dass der Stab nach jedesmaliger Lasteinwirkung in den vollständig spannungslosen Zustand übergeht.

Je mehr man die Belastung vermindert, desto grösser wird die Zahl von Wiederholungen sein müssen, und es ist für auf solche "Weise abnehmende Belastung* jedenfalls ein Grenzwert der Spannung denkbar, bei welchem der Stab durch keine mögliche Anzahl Wiederholungen zerstört werden kann. Dieser Grenzwert sei a'; da die Beanspruchung zwischen ihm und Null wechselt, so ist die Spannungsdifferenz

(68

ad = a' — 0 = a'.

In der Regel kehrt der Stab nicht in den spannungslosen Zustand zurück, sondern es bleibt irgend eine Minimalspannung a:l bestehen. Der diesem allgemeineren Falle entsprechende, in obigem Sinne aufzufassende Grenzwert der Beanspruchung sei a, dann ist, da die Spannungsdifferenz hier ad — a — aa,

(69

a = aa -f ad.

Nach dem Wöhler’scben Gesetze wächst nun a mit abnehmendem ad und die beiden Grenzwerte von a sind nach Gl. 69:

für aa = für ad =

ad

aa

a'

a₀.

Da a eine Function von ad ist, so kann gesetzt werden:

vad,

(70

worin v vorläufig* noch unbekannt ist, jedoch den Bedingungen zu entsprechen hat, dass

für ad = 0, wegen a = a₀, v == oo und für ad = a', wegen a = ad, v = 1.

Diesen Bedingungen entspricht der Ausdruck:

(71

«o — a'

a’

a₀ ~

welcher auch für die Zwischenwerte hinreichende Übereinstimmung mit den Versuchsresultaten zeigt, so dass nach Gl. 69 und 70:

«o — *' (    \

—-- a- aJ

a₀ — a \    /

und hieraus:

a' (l 4-

a„ — a' aa \ a /

a'

(72

Bezeichnen nun P„ structionsteils, so ist

lin.

und Pm,,x die Grenzbeanspruchungen eines Con-

aa

P

min.

P,

nax.

und

«0

a'

P.

iin. \

r

iax. ⁷

(73

welche Formel Gültigkeit hat für Constructionsteile, welche (entweder ausschliesslich auf Zug oder ausschliesslich auf Druck beansprucht sind.*)

Was die Constanten des vorstehenden Ausdrucks anlangt, so ergaben die Versuche von Wühler und Hauschinger für Sch weisseisen durchschnittlich a„ = 3000 und o.‘ — 2000 kg pro qcm. so dass:

3000 — 2000

c/.„ — aJ

a'

2000

und

erhalten wird. Nimmt man mit Rücksicht auf Stösse und Erschütterungen, Fehler im Material u. s. w. dreifache Sicherheit an, so ergibt sich die zulässige Beanspruchung in kg pro qcm:

«50 (l |- iS

lin. ^

(Scliwci.sstMscn, nur Zug oder nur Druck)

Für Flnsseisen ist au = 4000 und a' — 2400 kg pro qcm, daher:

■j

a'

lind

2400 (l +

wvlro

P.

lin.

p„

ms.

*; Zoitsehr. des Areli. und Ing.-Vereins zu Hannover, 1873, S. 139.

demnach mit dem Sicherlieitscoefficienten d :

a = 800 (l -j-

ci::

(Flusseisen, nur Zug oder nur Druck)

} (75

max.

Für Gussstahl ist a₀ = 7600 und a' = 3500 kg pro qcm, daher:

«o — V- _

• a' '

und

3500 (l -f-

somit unter Berücksichtigung¹ des Sicherlieitscoefficienten;

o. = 1200

in i ■■,

)■

(Gussstahl, nur Zug oder nur Druck)

} (76

b) Die Beanspruchung eines Constructionsteils wechselt zwischen Zug und Druck.*)

Es wurde hier von Wühler besonders der specielle Fall untersucht, dass die entgegengesetzten Beanspruchungen der Grösse nach gleich sind und liie-ftir die Festigkeit als ,,Schwingungsfestigkeit ‘ a, bezeichnet.

Wird ein Stab abwechselnd auf Zug und Druck beansprucht, so gibt es für jeden Wert a der grösseren der hiedurch bedingten beiden Spannungen einen bestimmten Wert a" der kleineren derart, dass auch bei der grösst-denkbaren Anzahl der Schwingungen zwischen -f- a und — a" bezw. — a und -f- a" die Festigkeit des Materials nicht zerstört wird. Die Spannungsdifferenz ist gleich:

ad = a 4- a">

daher

(77

ä = aA — a",

wenn alle Grössen nur dein Zahlenwerte nach eingesetzt, werden. Wie oben kann gesetzt werden :

rj. = v a,,,

wobei

für a" — 0: a

a'

«d.

ferner:

für a" = oq: a —

tiM

a,i-

Daher muss

für a = rJ- :

und

für a = a,: stattfinden, welchen Bedingungen der Ausdruck:

*) Weyrauch, Festigkeit und Tfimensionenberechnung der Kisenconstruct.ioiiei), Leipzig, Teilbuer, 18SU.

(78

entspricht; daher nach (11. a = vad mit Berücksichtigung von Gl. 77:

a' — ad

2 a' —    —

und hieraus:

a = a'

a' — ax a"\ • a' a/

(79

oder, da

d"

p',.„

p„.

a = a' ^1 —

a' — a, P

max.

a'

p

max.

(80

die kleinere, Pmax. die grössere der beiden Maximalbeanspruchungen von verschiedenen Vorzeichen bedeuten und sämmtliche Grössen nur dem Zahlenwerte nacli (ohne Vorzeichen) einzusetzen sind.

Piir Schweisseisen ist at = 1100 kg pro qcm, daher a' —

wobei P'

max.

a'

— rund i

und

a = 2000 (l

bMM

P'

max.

p

max.

oder mit dem Sicherheitscoefficienten

a = 700 (l —

P' i :

max.

(Schweisseisen, wechselnde Bean-1 /Ol • sprnchnng auf Zug und Druck) )    *

= rund ^

Piir Plusseisen ist a, = 1300 kg pro qcm, daher a' — at

a'

und

2400 (l —

LC —

P'

max.

P

max.

oder bei dreifacher Sicherheit:

a = 800

max.

!*max.

(Flusseisen, wechselnde Bean-• spruchung auf Zug und Druck)

Piir Guss stahl ist a, = 2000 kg pro qcm, daher

a' — a,

a'

und

demnach mit dem Sicherheitscoeflicienten J>- und nach unten abgerundet:

a = 1100 (l —

(Gussstahl, wechselnde Bean- 1 /CO • spruchung auf Zug und Druck)/

max.

Beispiele.

1) Die Beanspruchung eines scliniiedeisernen Stabes bestehe aus der durch das Eigengewicht der Construction liervorgerufenen Zugkraft von 1200 kg und einer ebenfalls auf Zug gerichteten grössten Verkehrsbeanspruchung von 16800 kg.

Man hat P

Gl. 74:

= -f- 1200 kg und P a = 650 (l +

min.

1200

18 000

= -{- 18 000 kg, daher nach

= 685 kg pro qcm

und

Querschnittsfläche F =    = 26,3 qcm.

2) Der Stab erleide durch ruhende Last einen Druck von 2000 kg und durch die Verkehrslast einen grössten Druck von 14 000 kg.

Pmin. = — 2000 kg und Pmax. = — 16 000 kg.

Nach Gl. 74 ist

650 (l +

2000

16000

) = 715 kg,

daher

16000

715

= 22,3 qcm.

3) Die ständige Last erzeuge in dem Stab die Zugwirkung 4000 kg, die Verkehrslast einen grössten Druck von 14 000 kg.

= + 4000 kg und Pmax. = — 10000 kg, so ist nach

Da hier P'

max.

Gl. 81:

700 (l

fcPM

4000

10000

= 560 kg

und

10000

= 17,9 qcm.

11

ax.

Wenn innerhalb des Trägers nur Momente vom gleichen Drehsinn Vorkommen können, wie z. B. bei dem mit beiden Enden frei aufliegenden oder bei dem mit einem Ende eingespannten Balken, so berechnet sich der Wert von 3 beispielsweise bei Schmiedeisen nach Gleichung 74:

¹

Winkler, Lehre von der Elasticität und Festigkeit, I. Teil, »S; 181.

²

Mitteilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium der k. techn. Hochschule in München, Heft 15, München 1887.

³

Zeitschr. f. Bauwesen 1860, 1863, 1866, 1870.

8 = 650

fl +

wobei für den betreffenden Querschnitt öle...... das Moment des Eigengewichtes

und ÖKmax das Maximalmoment der Totalbelastuug bezeichnen.

Können positive und negative Momente auftreten, wie beim continuirliclien Träger, so dient bei verschiedenem Vorzeichen der beiden Grenzmoinente zur Berechnung von 5 z. B. bei Schmiedeisen die Gleichung 81 :

niax.

01t'

wobei öle

das absolut kleinste der zwei Grenzmomente bezeichnet, welche ohne Vorzeichen einzusetzen sind.

niax.

II. Abschnitt.

Der homogene Balkenträger hei verschiedener Art der Unterstützung und Belastung.

§ 1.. Querschnittsbestimmung der Balkenträger.

Zur Querschnittsbestimmung⁻ von auf Biegung beanspruchten Balkenträgern dient Gl. 12:

0ir,

in welcher

§ die zulässige Biegungsbeanspruchung,

n die Entfernung der äussersten Faser von der Schwerpunktsaxe, © das Trägheitsmoment des Querschnitts, und 0B das Angriffsmoment desselben

bezeichnen.

Holzbalken erhalten in der Hegel rechteckförmigen Querschnitt. Be-

.    h

zeichnet die Breite und h die Höhe desselben (Eig. 64), so ist n = — und, nach S. 15, © = yL bh³, so dass Gl. 12 übergeht in:

(84

s.ibh² = ez.

Fig. 64.

nur

•b—

Das Widerstandsmoment des Querschnitts und hiemit die Tragfähigkeit des Balkens wächst, wie man sieht, bei zunehmendem Querschnitt mit dem Quadrat der Querschnittshöhe, dagegen in einfachem Verhältniss mit der Querschnittsbreite, Um möglichst tragfähige Balken zu erhalten, wird man daher bestrebt sein, die Querschnitts höhe möglichst gross zu machen. Dieses Bestreben findet aber seine Beschränkung durch den Umstand, dass alle vierkantigen Holzbalken aus Bundstämmen geschnitten werden, was

mit sich bringt, dass (wenigstens bei den sog. Ganzhölzern) die Vergrößerung von h immer eine Verkleinerung von b bedingt. Es darf daher die Höhe des rechteckförmigen Balkenquerschnitts ein gewisses Verhältniss zur Breite nicht überschreiten, wenn nicht durch Materialverlust wieder eine Verminderung der Tragfähigkeit eintreten soll. Dies Verhältniss bestimmt sich wie folgt:

05 Oj

constant.

Soll o.|bh² seinen grössten Wert erreichen, so muss, weil

das Product % = bh² ein Maximum werden, bezeichne (Fig. 65) d den Durchmesser des kreisförmigen Stammquerschnitts, so ist

h² = d² — b²,

Es

Fig. 65.

'S/

daher

c)

g = bd² —b³.

Damit für variables b $ zum Maximum wird, muss

= d² — 3 b² = 0

werden. Hieraus ergibt sich:

b ~ rr

72

VT

und

Teilt man den Kreisdurchmesser AB (Fig. 65) in drei gleiche Teile, errichtet man in den Teilpunkten F und E die Senkrechten EC und FD zu

AB, so erhält man ein Rechteck, welches der Bedingung

V2 |

•entspricht.

Für gusseiserne Balken träger ist der unsymmetrische _J_- Querschnitt der zweckmässigste.

Bezeichnen m und n die Entfernung der am meisten gedrückten bezw. gezogenen Faser von der Schwerpunkts-axe (Fig. 66), so ist:

— 0 = £>11- und

Fig. 66.

0 = 01C.

somit

Da nun bei Gusseisen ß = 2 a, so muss, wenn am oberen und unteren Querschnittsrand gleiche Sicherheit vorhanden sein soll, auch m = 2n oder,

Xi ' co

sein, d h. der Schwerpunkt soll von der äusser-

da m + n = h, n = -

sten gezogenen Faser einen Abstand gleich dem dritten Teil der Trägerhöhe erhalten.

Schmiedeiserne Balken trag er erhalten am besten gleichfalls ~]~ ~ förmigen Querschnitt, welcher, da hier die zulässigen Zug- und Druckspannungen einander gleich sind, symmetrisch zur Schwerpunktsaxe anzuordnen ist.

Bei den homogenen Trägern aus Gusseisen und Schmiedeisen wird aus Gründen der Herstellung die Stegdicke stets so stark gemacht, dass eine besondere Untersuchung, ob den Gleichungen 40 und 45 Genüge geleistet wird, nicht notwendig ist. Daher dient zur Querschnittsberechnung einfach die Gleichung:

01Z.

§ 2. Der einfache frei auf liegende Träger unter Einwirkung von ruhender und beweglicher Belastung.

A) Ein mit beiden Enden frei aufliegender Träger von der Länge 1 (Eig. 67) ist durch gleichmässig verteilte Last q pro Längeneinheit beansprucht, welche sich über die ganze Länge 1 des Trägers erstreckt.

Fig. 67.

Die Auflagerreactionen sind A = B =

dl

*h

Die Werte der Angriffsmomente aller Querschnitte ergeben sich aus der Gleichung:

j.

01+ =

ql

x²

q 2’

diejenigen der Verticalkräfte aus:

(85

Vx =

ql

(86

Soll der Träger, wie bei Holzbalken ausschliesslich der Fall, constanten Querschnitt erhalten, so ist es notwendig, dass dessen Dimensionen dem grössten zwischen x = 0 und x = 1 möglichen Angriffsmoment entsprechen. Der Ort des letzteren ergibt sich aus:

also bei x = —, in der Trägermitte.

A

Denkt man sich mit Hülfe der Gleichung 85 die Momente für alle Werte von x berechnet und als Ordinaten aufgetragen, so wird die Verbindungslinie der Endpunkte dieser Ordinaten Momentenlinie genannt. Dieselbe ist im vorliegenden Falle eine Parabel, deren Scheitel und grösste Ordinate in der Trägermitte befindlich sind.

Als Linie der Verticalkräfte erhält man nach Gl 86 eine Gerade, welche

schneidet.

dOtl

ql

₂-~qx

= 0,

die X-Axe bei x =

Der Wert des grössten Angriffsmomentes ergibt sich, wenn in Gl. 85

~ eingeführt wird:

A

ax.

ql²

(87

die Transversalkraft oder Verticalkraft erreicht ihr Maximum für x = 0,

und für x == 1, nämlich V,

A

Graphische Lösung. Man trägt die Gesammtlast q 1 in beliebig wählbarem Kräftemassstab auf einer Verticalen (Fig. 68a) als Länge 0 1 an, zieht • vom beliebig angenommenen Pol 0 die Strahlen 0 0 und 0 1 und zu diesen parallel die Seilpolygonseiten JA und Jb (Fig. 68), so sind Letztere Tangenten an der Seilcurve, welche Momentenlinie ist. Die Berührungspunkte

nämlich Vmax. =

ql

nax.

tc

Fig. 68.

Fig. 68a.

r*

'o

AM

(•".......'S.--------I

i.

sind A und b. Die Construction der Seilcurve geschieht am einfachsten durch Teilung der Strecken JA und Jb in die gleiche Anzahl von Teilen und durch Verbindung der gleich bezeichneten Teilpunkte. Die dadurch erhaltenen Geraden aa₁₍ ßß1} yYl u. s. f. sind Parabeltangenten, deren Berührungspunkte in den Verticalen durch ß, 8, t u. s. f. liegen. Für jeden Wert von x erhält man das Angriffsmoment als Product der Poldistanz h

Der homogene Balkenträgor bei vorseh. Art d. Unterstützung u. Belastung.

m

und dem auf der Querschnittsvertiealen gemessenen Abstand der Seilcurve von der Schlusslinie. Der Ort von 9fcmax ist durch den Berührungspunkt einer zu Ab parallelen Tangente am Seilpolygon bestimmt. Daher ist

oi:

max,

= de.h.

Was den Massstab anlangt, in welchem die Momenten werte der Zeichnung zu entnehmen sind, so ist derselbe abhängig von dem gewählten Längenmassstab, ferner von dem Massstab, welcher dem Aufträgen der Kräfte zu Grunde gelegt wurde, endlich von der angenommenen Poldistanz. War z. B. der Längenmassstab 1 : 100, der Kräftemassstab 1 mm = 50 kg und h — 20 mm, so entspricht jedem in der Zeichnung gemessenen Millimeter ein Momentenwert von 0,1.20.50 = 100 mkg.

Liastische Formänderung.

Die Differentialgleichung der elastischen Linie ist nach Gl. 13 und 85:

dV

4? = 27@(lx —

Durch Integration erhält man:

ns ns

q /lx² x³\ “ 2e0 V 2 _ 3 /

-4- c.

& CU

Da für x =

= 0, so ist:

ql³

•24 s 0

daher

1270 (31 xs — 2 x³) -

q l³

24 s 0'

Hieraus ergibt sich durch nochmaliges Integriren:

ql³

24 s 0

und, da für x = 0 auch y = 0, somit C = 0, als Gleichung der elastischen Linie:

qx

24 e0

(x³ — 21 x² -f l³),

(88

ferner als Wert der grössten Einsenkung in der Trägermitte:

(81)

5 q l4 " 384 s0

Auch diese Gleichung’ hat unter Umständen neben Gl. 12 bei der Querschnittsbestimmung Berücksichtigung' zu bilden, wenn nämlich die Forderung gestellt wird, dass die grösste Einsenkung eine gewisse, als zulässig festgestellte Grenze nicht überschreiten soll. Der Träger hat dann der aus Gl. 89 folgenden Bedingung:

ql⁴

00. O i

und der durch Gl. 12 gegebenen Beziehung:

max.

n m

Im Allgemeinen wird man zwei verschiedene Werte für 0

zu entsprechen.

erhalten, deren grösserer der Querschnittsbestimmung zu Grund zu legen ist.

Beispiel 1. Ein Balken aus Fichtenholz von 4 m Stützweite ist durch gleichmässig verteilte Belastung beansprucht, welche pro Meter Trägerlänge 400 kg beträgt. Welche Dimensionen hat der rechteckförmige ßalkenquer-schnitt zu erhalten, wenn die zulässige Biegungsbeanspruchung 8 = 42 kg pro qcm angenommen wird?

Nach Gl. 87 ist:

m,

max.

ql² 400.16

800 mkg = 80000 cmkg,

daher nach Gl. 84:

S.ibli² = 01lmax. = 80000. Wird b = ^ h gesetzt, so ergibt sich

42.h³ = 80000

oder

5 h³ = 80000,

daher

h = 25,2 cm und b = 18 cm. Die Durchbiegung erhält man nach Gl. 89:

4.400⁴

384 ' 120000.T^.18.25,2³’ f = 0,46 cm,

dieselbe ist gleich

der Trägerlänge.

und mit d — 42 kg- pro qcm:

h.

Geht man von der Bedingung aus, dass f =

nicht zu überschreitende Grenze der Durchbiegung zu gelten habe, so folgt aus Gl. 89:

500

1 als zulässige und

ql⁴

384

S 500

und mit s = 120 000 kg pro qcm :

ql³

18432 '

Nach Gleichung’ 12 aber ist:

fco c

-o

GO

ql²

672

Durch Gleichsetzung- beider Werte erhält man:

q l³

ql²

18432

672

h,

1 = 27 h.

Hieraus geht hervor, dass, wenn die Stützweite 1 kleiner ist als das Siebenundzwanzig’fache der Trägerhöhe, die auf Grund der Normalspannungen entwickelte Formel (Gl. 12) massgebend zu sein hat für die Querschnittsbestimmung. Findet man aber, dass bei dem mit Gl. 12 erhaltenen Baiken-querschnitt 1 grösser wird als 27 h, so ist der Trägerquerschnitt auf Grund von Gl. 89 zu berechnen.

Günstigste Querschnittsform für Holzbalken mit Rücksicht auf Widerstand

gegen Durchbiegung.

Gl. 89 lässt erkennen, dass f indirect proportional ist dem Trägheitsmoment des Trägerquerschnitts. Da im Ausdruck 0 = A b h³ die Trägerhöhe in der dritten Potenz vorkommt, die Breite b aber nur als Grösse erster Dimension auftritt, so ist klar, dass die Durchbiegung mit möglichster Ver-grösserung von h sehr wirksam vermindert werden wird. Dem Verhältniss b : h sind aber insoferne Grenzen gezogen, als das rechteckige Balkenprofil dem kreisförmigen Stammquerschnitt vom Durchmesser d einbeschrieben ist.

Soll 6) = yLbh³ seinen grössten Wert en-eichen, so muss, da

h == Kd² — b²,

der Ausdruck:

12

F b² (d² — b²)³

oder die Grösse:

% = b² (d² — b²)³

ein Maximum werden. Aus:

erhält man

somit

Su

db

= 2 b (d² — b²)³ — 6 b³ (d² — b²)² = 0

fcO Su

und h =

Fs

Fig. 69.

Hieraus ergibt sich folgende Construction:

Man teilt den Kreisdurchmesser A B (Fig. 69) in vier gleiche Teile, errichtet in den Teilpunkten <// E und F die Senkrechten EC und FD zu AB, so erhält man ein .Rechteck A D B C, welches den Be-    f '

dingungen    \

-o

: Fs

entspricht.

Beispiel 2. Welche grösste gleichmässig verteilte ruhende Last pro Längeneinheit kann ein gewalzter Träger des nebenstehenden Querschnitts (Fig. 70) aufnehmen, wenn derselbe auf 2 m Länge frei aufliegt?

Unter Voraussetzung von ruhender Belastung kann = 750 kg pro qcm angenommen werden. Da n = 5 cm und nach S. 15

Fig. 70.

je—b-öcrn ->

fcaeran j y

\§o,45.an \

h*io c::i

D =    (5.10³ — 4.55.8,64) = 172,

so ist

: CV>

750

-—.172 = 25 800 cmkg. 5

Das Eigengewicht des Trägers beträgt (bei F = 10,69 qcm und dem specifischen Gewicht des Eisens 7,8) 0,088 kg pro cm, daher, wenn q die aufzunehmende Last per cm, nach Gl. 12 und 87:

somit

25 800 = (0,083 -f q)

200 ²

q — 5,077 kg pro cm oder 507,7 kg pro m. Die Durchbiegung ist nach Gl. 89:

5    5,077.200⁴

384' 2 000000.172

= 0,003 cm.

Mass

Wird bei Eisenträgern verlangt, dass die Durchbiegung das zulässige 1 nicht überschreite, so ergibt sich demzufolge aus (41. 89 :

600

ql⁴

384

£ 600

und mit s = 2 000000 kg pro qcm:

q l³

256 000'

Auf Grund der Gl. 12 ist, mit § = 750 kg pro qcm:

ql²

ql²

12000 h ‘

Durch Gleichsetzung beider Werte von 0 ergibt sich :

750

1 = 21h,

d. h. beträgt die Stützweite mehr als das Einundzwanzigfache der Höhe, so

1 bleiben soll) die For-

ist für die Querschnittsbestimmung (soferne f <C mel 89 massgebend.

600

Beispiel S. Ein 4 m langer, mit den Enden frei aufliegender gewalzter J-Träger hat ausser seinem Eigengewicht eine gleichmässig verteilte ruhende Last p = 150 kg pro m und eine zeitweise wirkende Last q = 400 kg pro in aufzunehmen. Welches von den Profilen der Tabelle S. 30 ist für den Träger zu wählen ?

Man hat:

1,5.400²

0TL, =

¹ 8

_ = 30 000 cmkg

und

01t, =

4,0.400²

= 80 000 cmkg.

Da die Grenzbeanspruchungen 01c 110 000 cmkg, so ist nach Gl. 74:

(, . , 30 000

b60 l¹ + * liöööö

792.0

daher

CS !=-

min.

= 30000 cmkg und 01cm

= 792,

ax.

= 110000

oder

= 139,

welchem Werte das Profil 17 der Tabelle S. 30 mit

fcOi sr

— 139 entspricht.

Wenn sich die gleichmässig verteilte Last nur über einen Teil AC = e der Trägerlänge erstreckt (Fig. 71), so ist

A ==

fcOI-O

4(21— e)

und B =

q e²

21*

Für die belastete Trägerstrecke ist:

q x²

Fig. 71.

0LX = Ax

für die unbelastete:

WMM.

mmmc

0LX = A x — q e

(X 2)

r-

die Momentenlinie also der ersteren Strecke eine Parabel, die der letzteren eine Gerade, welche die Parabel in der Verticalen durch C berührt.

Das grösste Moment, welches innerhalb A C auftritt, wird erhalten, wenn

0

= 0 gesetzt wird, woraus sich für x = — (2 1 — e)

d0ir

dx

01C

max.

(90

ergibt.

Die Verticalkräfte erhält man aus den Gleichungen:

und

Yx = A — q x . . . . für A C

Yx = A — qe = —

qe²

. . für CB,

21 * *

0

ersteres Gleichung einer die Axe X bei x = — (21— e) schneidenden, letzteres die einer zur Axe X parallelen Geraden.

Graphische Lösung. Man trage auf der Verticalen des Kräftepolygons

Fig. 72.

qe = 01 auf, ziehe parallel zu den Strahlen 00 und Ol die Seilpolygonseiten AJ und Jb (Fig. 72), so sind Letzteres Tangenten an

Yf der Momentenparabel des belasteten Träger-Die Construction der Parabel gibt = de', h.

teils.

Die Momentenlinie des nicht belasteten Trägerteils wird in der Ge-

niax.

raden cb erhalten.

B) Ein mit beiden Enden frei aufliegender Träger von der Länge 1 (Fig. 73) ist durch eine Anzahl feststehender verticaler Einzellasten P1? P₂, P₃, P₄ beansprucht.

Der constante Trägerquerschnitt hat dem grössten zwischen x = 0 und x = 1 möglichen Angriffsmoment zu entsprechen. Um dasselbe zu finden, bestimme man die Auflagerreactionen A und B, welche sich aus den statischen Gleichgewichts -bedingungen:

Al — Pj (1 —ex) —P₂ (1 —e₂)

— P₃(l —e₃)-P₄(l —e₄) = 0

(Drehpunkt B) und

A + B - (Pi + P₂ + P₃ -f- P₄) = 0

ergeben, und stelle für die von den Lastverticalen gebildeten Balkenabschnitte AC, CD, DE, EF, FB die allgemeinen Ausdrücke der Angriffsmomente her:

für    AC    0KX    =    Ax,

„    CD    0KX    =    Ax —P₁(x—e₄),

„    DE    0KX    =    Ax-P,(x — e₄)    —    P₂(x — e₂),

„    EF    9KX    =    Ax — P₄(x — ex)    —    P₂(x — e₂) — P₃(x —    e₃),

„    FB    9KX    =    Ax — Pi(x — e₄)    —    P₂(x— e₂) — P₈(x —    e₃) — P₄(x — e₄).

Fig. 73.

f :~.,4

—4

'    77//,',~S 777 F

•H

’V/.Y/V,

Leichtes sein, 0K

Ist beispielsweise P₄ = 100 kg, P₂ = 400 kg, P₃ = 200 kg, P₄ — 50 kg und ex = 2 m, e₂ = 4 m, e₃ = 6 m, e₄ = 8 m, 1 = 10 m, so ist

max.

Denkt man sich nun mit Hülfe vorstehender Gleichungen die Angriffsmomente für alle Werte von x berechnet und als Ordinaten aufgetragen, so wird die Verbindungslinie der Endpunkte dieser Momentenordinaten ein Polygon AC'D'E'F'B sein, dessen Eckpunkte in den Kräftegeraden sich befinden. Daraus geht hervor, dass 0Kmax. nur am Angriffsort irgend einer der gegebenen Lasten auftreten kann. Es wird daher in jedem gegebenen Falle ein zu finden.

3K(X

und 317

— 2)

= 820 mkg, 317

— 680 mkg, daher 317

(X = 4)

1260 mkg

(x = 8)

ort der Last 400) = 1440.

= 1440 mkg, 3K(X = 6)

(zusammenfallend mit dem Angriffs-

m ax.

Die Werte der Verticalkräfte sind aus den Gleichungen:

zu ermitteln. Auf Grund dieser Gleichungen ergibt sich die treppen förmige

Linie Aacc'dd'ee'ff'b (mit Aa = A und Bb = B) als Linie der Verticalkräfte, welche, da nach Gl. 5:

d31cx

dx ’

die X-Axe an derjenigen Stelle schneidet, wo das Angriffsmoment seinen grössten Wert erreicht.

Graphische Lösung. Man trage die gegebenen Lasten in bestimmtem Kräftemassstab zu einem Kräftezug 01 234 (Fig. 74“) zusammen, ziehe vom

Fig. 74.

Fig. 74\

! T\

Ps

/>'

!■

. Ä,\-----

/?

----------^

//

- rn

Jnr

Lr

P;<

beliebig- angenommenen Pol 0 die Strahlen 0 0, 01, 02, OB, 04 des Kräftepolygons und constrnire das zugehörige Seilpolygon (Fig. 74), indem man

dessen erste Seite 01 durch den auf der Lastverticalen P₁ willkürlich gewählten Punkt I legt, die übrigen Seilpolygonseiten aber III. IIIII, IIIIV, IV V parallel den Strahlen Ol, 0 2, 0 3, 0 4 zieht. Kräfte- und Seilpolygon, auf solche Weise gebildet, dienen:

a)    Zur Bestimmung der Auflager drücke. Ein zur Schlusslinie ab des Seilpolygons paralleler Strahl Ot schneidet auf der Verticalen des Kräftezuges die beiden Auflagerreactionen tO = A und 4t = B ab.

b)    Zur Bestimmung der Resultirenden mehrerer auf einander folgender Kräfte. Es ergibt sich die Resultirende P₁₂ der Kräfte Pt und P₂ nach Richtung und Grösse als Länge 0 2 des Kräftepolygons, ihrer wirklichen large nach aber in derjenigen Verticalen, welche durch den Schnittpunkt i, der der ersten Imst vorhergehenden und der zweiten Last nachfolgenden Seilpolygonseiten gelegt ist. Ebenso erhält man P₁₃ und P₁₄ als Längenabschnitte 0 3 und 0 4, und ihre AngrifFsorte als Verticale durch i₂ und i₃, d. i. als Verticale durch die Schnittpunkte der die betreffenden Lastlinien einscliliessen-den Seilpolygonseiten.

= t3 abwärts gerichtet (negativ) mit der Kraftverti-

M' N'

c)    Zur Bestimmung der Verticalkraft für jeden Trägerquerschnitt. Für MN ist V = A — P, = tl, gleich dem Abschnitt, welcher auf dem Kräftezug des Kräftepolygons gebildet wird durch eine Parallele zur Schlusslinie des Seilpolygons und einen parallelen Strahl zu jener Tangente an Letzterem, deren Berührungspunkt auf der Querschnittsverticalen liegt. Der Lage nach wird V erhalten in der Verticalen durch den Schnittpunkt v der der Kraft A vorhergehenden und der Kraft P, nachfolgenden Seilpolygonseiten. Rückt der Querschnitt vom linken gegen das rechte Auflager weiter vor, z. B. nach M'N', so ändert die Verticalkraft Richtung und Vorzeichen und ihr Angriffsart geht von der linken auf die rechte Trägerseite über. Während VMN aufwärts gerichtet (positiv) und in der Lotlinie durch v (links von A) wirksam war, ergibt sich V

calen durch v' auf der rechten Trägerseite. Es ist leicht einzusehen, dass diejenige Stelle, wo das Seilpolygon den grössten verticalen Abstand von der Schlusslinie besitzt, die Grenze bildet zwischen den Querschnitten mit positiven und negativen Verticalkräften und dass hier zugleich ein Überspringen des Angriffsortes derselben von der linken auf die rechte Trägerseite stattfindet.

d)    Zur- Bestimmung des Angriffsmomentes für jeden Trägerquerschnitt. Für MN ist 9KX = Ax — Pu (x — e,). Da A acff cv> A 00t, so ist cf'.li = Ax, ferner ist wegen Ifff cv 001 ff'.li — P, (x — e₄), daher 91c = (eff — ff') h = cf.h; das Seilpolygon ist also zugleich Momentenlinie: seine verticalen Abstände von der Schlusslinie geben für alle Werte von x die auf die Poldistanz h reducirten Angriffsmomente. Das Maximalmoment wird erhalten in dem grössten jener Abstände, welcher, da die Belastung aus concentrirten Kräften besteht,

7*

nur an einem Eckpunkt des Seilpolygons, also nur in einer Lastverticalen auftreten kann. Im vorliegenden Falle ist SK

= dll.h.

C) Ein durch feststehende, lotrechte Einzellasten beanspruchter Träger A₄ Bx (Fig. 75) liegt auf zwei Stützen A und B frei auf, welche von den Trägerenden um die Strecken e, und e₂ ab-stelien.

Aus den statischen Grleichgewichtsbedingungen:

A-fB-P, —P₂ —P3-P4 = 0

und

— P, 0 + e,) -f A.l — P₂ (1 - d.) — P₃ [1 — (dt + d₂)] -f- P₄ e₂ = 0

(Drehpunkt B)

finden sich die Auflagerreactionen, nach deren Bestimmung die Momente und Yerticalkräfte aller Querschnitte sich leicht ergehen.

einer der Last- oder Auflagerverticalen F’ zusammenfallen.

Graphische Lösung. Die Schlusslinie des Seilpolygons 0 IIIIIIIV Y der gegebenen Kräfte P,. , P₄ (Fig. 76), welche in der Verbindungslinie a b der Schnittpunkte der Auflagerverticalen mit den äussersten Seilpolygonseiten erhalten wird, lässt erkennen, dass die Momentenflächen Iav und wblV der Trägerstrecken AjjE' und E"B₄ negativ, diejenige der Trägerstrecke E'E" positiv. SK

0Tc

max.

kann nur mit

Fig. 75.

P4

A,

L-

■A

<*r

cl₂-

d* — -*!

max.)

welches entweder an einem Lastangriffsort oder an einem der

Fig. 76.

Fig. 76“.

/i

Ps

J'4.

&A

E*\

JZ'\

j_M.

°h

ll

beiden Stützpunkte auftritt (in letzterem Falle negativ), ist in Fig. 76 positiv und fällt mit P₃ zusammen. Dieselbe Figur enthält die Darstellung der Linie

der Verticalkräfte, welche in den Punkten A, B und C, woselbst die beiden negativen und das positive Maximum des Angriffsmomentes stattfinden, die Axe schneidet.

D) Ein frei aufliegender Träger, dessen Enden beiderseits um die Länge e von den Auflagern abstehen (Eig. 77), ist durch gleichmässig verteilte Last beansprucht.

Fig. 77.

Da Ä = B =

'Y//

W/

o.

ist für den Punkt A:

q e²

(91

für den Punkt B:

qe²

(91¹

und für einen beliebigen Querschnitt x der Strecke A B:

9KX = A (x — e)

q x²

hieraus folgt für die Trägermitte:

4- 911

ma

4(1² —4e²).

(92

Fig. 78.

*mZ/.

5- Al

W/,

drücke

Aus der Gleichsetzung der Aus-(l² —4e²) und ^

GO -O

ergibt

sich derjenige Wert e =

der

2V 2 ’

gleich grosse Angriffsmomente bei A, B

und in der Trägermitte zur Folge hat.

Graphische Lösung. Man trägt q (1    2 e) gleich 0 1 im Kräftepolygon

(Fig. 78) auf und zeichnet die der Ge-sammtbelastung entsprechende Seilparabel a^b]!. Die Verbindungslinie ab der Schnittpunkte der Auflagerverticalen mit den End-Seilpolygonseiten gibt die Schlusslinie und zugleich die Momenten-flächen.

E) Der Träger ist durch feststehende Einzellasten und gleichmässig verteilte Last q per Längeneinheit beansprucht.

sammen

Die Momentenlinie setzt sich in diesem Falle aus Parabelstücken zu-welche durch die Lastverticalen begrenzt sind, und es hängt von der Grösse der gleichmässig verteilten Last und der Lage der Einzellasten

ab, ob das grösste Angriffsmoment auf eine der Letzteren oder zwischen zwei solche trifft. Die Entscheidung dieser Frage wird in jedem gegebenen Falle

leicht möglich sein. So entspricht dem in Fig. 79 gegebenen Belastungsfall ein grösstes Moment bei x = 4 unter der Last 600: 915

max.

= 2520 mkg,

Fig. 79.

Fig. 80.

A,

400*9

500*9

r -1,5-

600*9

400*9

- 1,6 -

-- 2

-----2

400

um

—4

H-

während das Maximalmoment des Trägers Fig. 80 zwischen die beiden mittleren Lasten fällt und erhalten wird, wenn in Gleichung:

x²

915 = Ax — 400 (x — 1,5) — 500 (x — 8) — 40 —

£

d 91t

^ =0 gesetzt wird. Es ergibt sich für x = 4,8:

9irw = 2471,9 mkg.

Den besten Aufschluss über den Ort des grössten Angriff'smomentes liefert die Construction der Linie der Verticalkräfte. Dieselbe, einen treppenförmigen Verlauf nehmend, setzt sich aus geneigten Geraden zusammen, deren Richt-Fig. 81a.

Fig. 81.

Fig. 81b.

r,

i*---------a

\d‘

Ti------

T-

V¹*

'b

TV

ql

ungen der Geraden i k parallel sind, welche erhalten wird, wenn A i — -f- —

£

' - aufgetragen wird (Fig. 81). Der Schnittpunkt N der Linie £‘

der Verticalkräfte mit der Axe x ist der Ort von 915

um Bk = —

di

Graphische Lösung. Man zeichnet getrennt die Seilpolygone Fig. 81a und 81b der gleiclnnässig verteilten Belastung und der concentrirten Kräfte in der Weise, dass dieselben zu beiden Seiten einer gemeinschaftlichen Schlusslinie zu liegen kommen. Der grösste verticale Abstand mn beider Polygone gibt Ort und Grösse des grössten Angriffsmomentes (Fig. 81).

F) Der Träger ist durch sein Eigengewicht p und eine gleiclnnässig verteilte Verkehrslast q per Längeneinheit belastet (Fig. 82), welche sich nur über einen Teil e der Länge des Trägers erstreckt.

Fig. 82.

Die Momentenlinie des Trägers besteht aus zwei Parabeistticken, deren Gleichungen für AC

!<

x²

WZ,

= Ax — (p -f q) -

A.&

i und für CB

91t'x = Ax-

X²

(«- )

bC I CD

sind.

Liegt das grösste Moment innerhalb der belasteten Trägerstrecke A C, so

wird es erhalten, wenn in der Momentengleichung dieser Strecke

dx

d 9ff

gesetzt wird:

AC .    .

.    . 9it

A²

2 (p + q)

Wird aber x =

p -f q

Strecke C B und ergibt sich aus

grösser als e gefunden, so liegt 91t d 9tt'x

auf der

dx

= 0:

CB .    .    91t'

A— qe

(A — qe)

q e²

max.

2p

(94

In beiden Fällen liefert der Schnittpunkt der Linie der Verticalkräfte, deren Gleichung für AC

Vx = A — (p 4- q) X

und für B C

Vx = A — qe — px

ist, mit der Trägeraxe den Ort des grössten Angriffsmomentes.

Auf graphischem Wege erhält man Ort und Grösse von 91t

analog

dem Verfahren sub E) durch Construction der Seilpolygone des Eigengewichtes

max.

und der Verkehrslast.

Gr) Der Träger ist durch bewegliche, gleichmässig verteilte Last q beansprucht, welche, von einem der beiden Auflager eintretend, allmählich bis zum andern vorrückt.

Es sind hier unendlich viele Laststellungen, also für jeden Querschnitt unendlich viele Werte von Vx und 9RX möglich. Um Vmax und 9Umax. eines gegebenen Querschnitts zu finden, untersuche man den Einfluss, welchen eine Einzellast ausübt, je nachdem sie rechts oder links vom Querschnitt sich befindet. Man wird erkennen, dass jede solche zwischen dem Querschnitt und dem rechtsseitigen Widerlager aufgebrachte Last eine positive Verticalkraft erzeugt, welche mit der Annäherung an den Querschnitt stetig wächst und ihren Maximalwert in dem Augenblick erreicht, in welchem die Last über den Querschnitt selbst tritt. Dagegen wird jede zwischen dem Querschnitt und dem linksseitigen Auflager befindliche Einzellast im Querschnitt eine negative Verticalkraft hervorbringen, welche um so grösser ist, je näher die Last am Querschnitt sich befindet. Daher wird im Querschnitt -f- Vmax> entstehen, wenn sich rechts vom Querschnitt möglichst viele Lasten, links dagegen keine befinden und •— Vmax., wenn das rechtsseitige Trägerstück nicht, das linksseitige aber total belastet ist.

Mit Rücksicht hierauf wird bei gleichmässig verteilter beweglicher Belastung in einem gegebenen Querschnitt -j-Vmax. entstehen, wenn der

Fig. 83.

cc

Fig. 84.

Vrnfi.c

'r

\M

\'M

wenn

max. >

rechts vom Querschnitt befindliche Trägerteil (Fig. 83) und — V der linksseitige Trägerteil (Fig. 84) belastet ist.

wenn die Last über den ganzen Träger

statt

Bezüglich des Angriffsmomentes ist klar, dass jede Einzellast, ob rechts oder links vom Querschnitt gelegen, in diesem ein positives Angriffsmoment erzeugt. Dasselbe wächst mit der Grösse und mit der Annäherung der Last an den Querschnitt und erreicht den höchsten Wert, wenn die Last über diesem selbst sich befindet. Es wird daher das grösste Moment eines Querschnittes bei vollständiger Belastung des Trägers und dann auftreten, wenn über dem Querschnitt eine schwerste Last steht und ausserdem rechts und links von demselben möglichst viele solche sich befinden. Bei gleichmässig verteilter beweglicher Last findet 0U sich erstreckt. Man hat also:

max.

und

q (1 — x)²

21

21

(95

(96

(97

Aus vorstehenden Gleichungen ergeben sich nun leicht die grössten von sämmtlichen Maximalwerten der Verticalkräfte und Angriffsmomente des Trägers, d. i. das sog. absolute Maximum von V und 0T£:

-j- max. V

max.

— max. V

max.

ql

= -J- —- für x = 0

2.

ql

--— für x = 1

(98

(99

und

max. 01t

max.

= — für x =

(100

sämmtliche bei totaler Trägerbelastung.

Die Gleichungen 95 und 96 der Linien der grössten positiven und negativen Verticalkräfte sind Gleichungen von Parabeln mit Scheiteln in B und

A, welche eine gemeinschaftliche Tangente in der X-Axe besitzen und deren andere gemeinschaftliche Tangente G H mit ihren Berührungspunkten G und H

sich ergibt, wenn AG = -f y

~ aufgetragen wird. Hier-Ä

aus folgt eine einfache, durcli Big. 85 erläuterte Construction der Linien der grössten positiven und negativen Verticalkräfte. Diejenige der grössten Angriffsmomente ist identisch mit der Momentenparabel der totalen Belastung (Fig. 68).

Kg.' 85.

'*T

LG

und

\T

so

BH = —

ql

H) Der Träger ist durch ein bewegliches System von unter sich fest verbundenen Einzellasten beansprucht.

a) Verticalkräfte.

wenn das Lasten-

max.)

In einem gegebenen Querschnitt x entsteht -j- V System, von rechts eintretend, so weit vorgerückt ist, dass die erste Last über dem Querschnitt sich befindet. Bezeichnet dann ft die Besultirende der

innerhalb der Strecke 1 — x befindlichen Lasten und r, deren Abstand von B, soAst

Rrl

(101

Das Maximum der negativen Verticalkraft für denselben Querschnitt tritt auf, wenn das Lastensystem, vom linken Auflager eintretend, mit der ersten Last über dem Querschnitt angelangt ist. Ist L die Resultirende der dann auf dem Träger befindlichen Lasten und r₂ ihr Abstand von A, so ist:

(102

— Yx =

Lr₂

max.

Das absolute Maximum der positiven und negativen Verticalkraft tritt über den Auflagern auf.

b) Angriffsmomente. Für einen beliebigen Querschnitt (Fig. 86) ist:

9Tlx = Ax—2P(x

Wird das Lastensystem um de verschoben, so ändert sich 9RX mit den Abscissen e und wird zum Ma-d9Tl

e) = -y- S P (1 — e) — £ P (x —

1 O    O

Fig. 86.

e).

p.

xi liiuni, wenn

de

= 0.

Lvi '

Da

d9Tlx

de

1    X

SP -f IP

cc -

1 o

so ist ersichtlich, dass 91t einen gegebenen Querschnitt x dann eintritt, wenn jene Last den Querschnitt überschreitet, für welche die Summe der von 0 bis x addirten Einzellasten

X i,

— S (P) überschreitet, in welchem Falle:

1 O

den Wert

max.

für

1—x’

(103

d. h. die durchschnittliche Belastung des Trägerteiles links, beziehungsweise rechts vom Querschnitte muss gleich sein der durchschnittlichen Belastung des ganzen Trägers zwischen den Auflagern. . (L Resultirende der links, R, Resultirende der rechts vom Querschnitt befindlichen Lasten, Q Resultirende der Gesammtbelastung des Trägers.)

Das absolute Maximum des Angriffsmomentes wird auf folgende AVeise ermittelt:

Das bewegliche Lastensystem bestehe aus den Lasten P, = 200, P₂ = 500, P₃ = 300 und P₄ = 400 kg, deren Entfernungen in Fig. 87 eingeschrieben

sind. Man bezeichne den vorläufig unbestimmten Abstand der ersten Last vom linken Auflager mit e, so dass

A = 970 — 140 e.

Fig. 87.

Sooty

200 kg

300

-277Ir - -

■17/1'-* --------«3 TTV-----*

Derjenigen Laststellung nun, welcher das absolute Maximum des Angriffsmomentes entspricht, werden einige vorausgehen und einige nachfolgen, deren Maximalmoment durch die das absolut grösste Moment erzeugende Last hervorgebracht wird. In allen praktischen Fällen wird leicht zu übersehen sein, unter welchem Lastangriffspunkt max. 0Tc

lOTTb------

----*

auftritt. Im vorliegenden erkennt man sofort P₂ = 500 kg als die fragliche Last, und es gilt als allgemeiner Ausdruck für die Maximalmomente derjenigen Laststellungen, welche auch die gefährlichste einschliessen:

max.

01c

max.

= A (e -f 2) — 200.2 = (970 — 140 e) (e -f- 2) — 200.2.

Dieser Ausdruck erreicht seinen grössten Wert, wenn

max.

= 0, d. h.

wenn e = 2,46, so dass für x = 4,46 max. 0T£

Fig. 88.

= 2390,2 mkg sich ergibt. Sollte ein Zweifel möglich sein,

max.

unter welchem Lastpunkt das absolut grösste Moment eintritt, so müssen die max. 01t

r.......*

7\

für alle jene P bestimmt werden, unter welchen der absolut grösste

max.

l----

Wert des Angriffsmomentes vermutet wird. Besteht das Lastensystem aus zwei gleich grossen, um die Länge d

sowohl durch

von einander entfernten Lasten (Fig. 88), so kann max. 01t, die erste als durch die zweite entstehen, im einen Fall, wie aus Obigem leicht nachzuweisen, für

im andern für

(104

§ 3. Der mit beiden Enden horizontal eingespannte Tragbalken unter Einwirkung von ruhender und beweglicher

Belastung.

A) Ein mit beiden Enden horizontal eingespannter Balken von der Länge 1 (Fig. 89) ist durch eine im Abstande a vom linken Auflager befindliche Einzellast beansprucht.

Die Befestigung kann ersetzt gedacht werden durch die verticalen Stützen-reactionen Dt und D₂, sowie durch zwei senkrecht zu den Querschnitten bei

Fig. 89.

Fig. 90.

D.

■\

...........i

-I

m'

C_

7rt"

«•

(r

A und B befindliche Kräftepaare (Big. 90), deren Momente (Auflagermomente) 9fc' und €KCn. Unbekannt sind demnach die Grössen Dl5 D₂, 9t£' und 9fc", für deren Bestimmung die statischen Gleichgewichtsbedingungen zwischen den äusseren Kräften:

(105

Bl H" B₂ — Q — 0

und

(106

91t' -f D,a — D₂b — SK⁷' = 0 (Drehpunkt C)

nicht ausreichen, so dass zur Ermittelung der Auflagermomente die Gleichung der elastischen Linie zu Hülfe genommen werden muss.

Innerhalb der Strecke AC ist nämlich für irgend einen Punkt F der elastischen Linie mit den Coordinaten x und y

daher

9KX = D, x -f 91t',

D, x + 9tt'

dV

dx²

ans welcher Gleichung durch zweimalige Integration, wobei die Constanten gleich 0 werden, weil für x = 0

HÜ

= 0 und y = 0, erhalten wird:

dy

(Dt x + 2 91t')x

und

J = graOVx + B*')*’.

Ebenso ist für einen Punkt G der Strecke B C mit den auf den Anfangspunkt B bezogenen Coordinaten xx und y,:

D₂x, 4- 91t"

d²y,

dx²j

somit

und

dyi •

dx.

2s G

(D₂xx -f" 2 91t")xx

(D₂x, -f 391t")x²₁.

und

Im Belastungspunkte C müssen

P-0 P-i

d xl

und y = y, werden, weshalb

(Dx a -f- 2 91t') a — — (D₂ b + 2 91t") b (D, a -f 391t') a² = (D₂ b 4- 3 91t") b².

(107

(108

Aus den vier Gleichungen 105 bis 108 erhält man jetzt die Werte:

(109

91t' =

Qab²

l²

9Tt" =

Q a² b

l²

(110

Di =

Q b² (3 a + b)

l³

(111

D.

Q a² (a 4~ 3 b)

I³

(112

Das grösste Moment wird entweder an den Auflagern oder am Lastangriffsort auftreten. Für Letzteren ergibt sich das Angriffsmoment (positiv):

und da

91tx

= 91t' 4- Dj a =

Qab2 I „ -42- 4- Di a =

O Qa²b²

l³

(113

91t' : 9!tx _

' : 91t" = — a    2 a 1    2 b’

so ist ersichtlich, dass das grösste Moment nicht in C, sondern über einem der Stützpunkte und zwar an demjenigen auftritt, welcher der Last Q näher

Befindet sich Q in der Mitte des Trägers, ist also a = b =

ist der Grösse nach

liegt.

Ql

91t' = 9ttv a = 91t" = o a 8

Die Verticalkraft ist für alle Querschnitte der Strecke AC:

(115

(116

yx = Dj =

Q b² (3 a -f b)

i³

und positiv; dagegen für die Querschnitte der Strecke CB:

Vx = D, — Q =

Q a² (a -f- 3 b)

l³

also negativ. Demnach gilt auch hier, wie beim frei auf liegenden Träger das Gesetz, dass eine Einzellast in einem gegebenen Querschnitte eine positive Verticalkraft erzeugt, wenn sie rechts und eine negative, wenn sie links vom Querschnitt sich befindet.

Ist die Last Q beweglich, so wird die gefährlichste Laststellung für denjenigen Wert von a eintreten, welcher

Q ab²

01V

Q a (1 - a)

l²

l²

zum Maximum macht.

Man erhält a =

— und mit Berücksichtigung des Drehsinnes:

O

4 Ql.

max 0Lm:ix. =

27

(117

Graphische Lösung. Zur graphischen Lösung derselben Aufgabe dient folgende Betrachtung:

Ist AB ein durch stetige Belastung beanspruchter Träger und denkt man an die Seilcurve der Belastung eine wagrechte Tangente CX, sowie im

Fig. 91.

Fig. 91a.

~srp?

----Je

Punkt E eine andere Tangente EF gelegt (Fig. 91), so schneiden die durch den Pol des Kräftepolygons zu den beiden Tangenten parallel gezogenen Strahlen 0 x und 0 f auf der Yerticalen des Kräftepolygons eine Strecke x f

ab, welche gleich der Resultirenden der zwischen den Punkten 0 und E befindlichen Belastung, oder gleich der durch die Fläche cee'c' repräsentirten Last ist. Bezieht man nun die Seilcurve auf ein rechtwinkliges Axenkreuz YCX, so gilt für jeden beliebigen Punkt E mit den Coordinaten x, y die Gleichung:

vf(ldx’

Fläche cee'c'

fx

t = fang a = -d    li

woraus durch Differenzirung

(118

d^y ^ Qx d x² h

als zweite Differentialgleichung der Seilcurve hervorgeht. Vergleicht man dieselbe mit der bekannten Gleichung der elastischen Linie:

dPy    0irx

d x²    s 0 ’

so erkennt man, dass die elastische Linie eines jeden Trägers als Seilcurve betrachtet und construirt werden kann. Man erhält sie, wenn die der Belastung entsprechende Momentenfläche selbst wieder als Belastungsfläche angesehen wird und wenn mit dieser Belastungsfläche ein Seilpolygon von der Poldistanz £0 gezeichnet wird, welches durch die Stützpunkte des Trägers geht.¹) Da die Momentenfläche immer stetig ist, wie auch die Belastung beschaffen sein möge, so folgt, dass die elastische Linie eine stetige Curve oder aus stetigen Curven zusammengesetzt sein muss.

Die Auflagermomente 0K' und 9K" des eingespannten Trägers können hervorgebracht werden durch vertical abwärts wirkende Kräfte K, und K₂

Fig. 92.

_!L

a-------

JC,

(Fig. 92), die man an den Enden des über die Stützpunkte A und B hinaus verlängert gedachten Balkens anbringt und für deren Grösse und Hebelarme k[ und k₂ die Bedingung massgebend ist, dass die Tan-

genten an der elastischen Linie in A und B wagrecht seien.

Da das Angriffsmoment für irgend einen Querschnitt eines beliebig belasteten Trägers als Summe der Momente erhalten wird, welche die einzelnen Lasten im Querschnitt hervorbringen, so wird man bei vorliegendem Träger, welcher nicht nur von oben durch Q, sondern auch von unten durch D, und

D₂ belastet erscheint, die Momente aller Querschnitte auch durch getrennte Behandlung der einzelnen Lasten erhalten, indem man zuerst den einfachen frei auf liegenden, durch Q belasteten Träger AB für sich in’s Auge fasst, dann den einfachen frei aufliegenden, durch Dx in der Dichtung nach aufwärts in Angriff genommenen Träger AtB (Eig. 93), endlich den ebenso durch D₂ belasteten Balken AB,, und indem man schliesslich die diesen Belastungen entsprechenden Momentenflächen bestimmt und die Resultate summirt.

Die Momentenfläclie von Q ist positiv und ein Dreieck, dessen Spitze die

a b

= 91£c hat (Eig. 93). Der Schwerpunkt dieser Momentenfläclie liegt auf dem zweiten Drittel von C'M im Abstande

Abscisse a und die Ordinate Q

—--ä

von A.

Big. 93.

«■

m'

jr

Was den durch Dj in aufwärts gerichtetem Sinne beanspruchten einfachen Träger At B anlangt, so wird im Punkte A desselben durch Dx ein grösstes Moment erzeugt, welches offenbar gleich dein Auflagermomente 91t' = AA' des gegebenen Trägers ist. Von der durch D, erzeugten negativen Momenten-

91t' 1

fläche kommt für die Spannweite AB nur in Betracht AA'B =

2

deren Schwerpunkt in der Entfernung —- von A gelegen ist; desgleichen von '    ö

m D₂ mit dem Auflagermoment 91t" = ßB' die negative Momentenfläclie

angreifend in ~ 1 Entfernung von A. Da nun die elastische o

Linie eine Seilcurve mit der Poldistanz s© ist, deren Belastung die Momenten-fläche vorstellt, so erfordert das Gleichgewicht der elastischen Linie, deren Tangenten in A und B wagrecht sind, die Bedingungsgleichungen:

i ©n: -Ll+J'

^    ⁰ 2    3

ABB' =

91t" 1 2 ’

s © .0

91t' 1    1    91t" 1

2 ‘ T ‘    ~2~

CO iss

und

(Drehpunkt A)

£ ©.0 -j——

91t'1    21 , 91t" 1 1    1 21 — a

(Drehpunkt B).

und

Aus diesen Gleichungen folgt, dass 01b' = 01bc b

Q a b²

l²

01c'

Q a² b

I²

also auch

oder

011' 4- 011" = 01b c

01b'

daher

oder

2 + 8E" T = ®K“ 2

A ABA' 4- A BAB' = ZA AC'B

Trapez ABBA' = A AC'B (Big. 93).

Legt man daher, um in der algebraischen Summe der positiven und negativen Flächen die wirkliche Momenten fläche zu erhalten, beide auf eine und

Fig. 94.

J7-

A'—-

dieselbe Seite (Fig. 94), so zeigt sich, dass Fläche mC'n = Fläche AA'm 4- Fläche BB'n ist, und es ergeben die verticalen Ordinaten der Linie AC'B bezogen auf A'B' als Abscisse die Momentenwerte für alle Querschnitte. Der Einfluss der Einspannung des Trägers auf die Momentenfigur äussert sich also in der Verschiebung der Schlusslinie des Seilpolygons der einfachen Belastung.

B) Der mit beiden Enden wagrecht eingespannte Träger ist durch gleichmässig verteilte Belastung q per Längeneinheit, welche sich über seine ganze Länge erstreckt, beansprucht.

Fig. 95.

Wegen der zur Trägermittellinie symmetrischen Belastung ist hier offenbar

W/A-.

und

01b' = 01b".

Di = D₂ = ₂

Da man sich nun die stetige Belastung durch eine Aneinanderreihung von lauter Einzellasten qdx ersetzt denken kann, so ist nach Gleichung 109:

>1

01b'

01b" =

*q d x x (1 —- x)²

l²

also

01b' = 01b"

12

q l².

(119

Für einen beliebigen Querschnitt in der Entfernung, x von A wird

0ttx =

q x²

0irx =

- trn + Dj x ₂ .

^2 t⁶ (¹ “ x) x — l2]-

|/‘¹²

Hienach wird 01tx = 0 für x =

und für x = 0,7887 1.

Das positive Maximum erreicht 0Ttx in der Mitte:

2 12

also für x = 0,2118 1

qD

2    24'

(121

Der gefährliche Querschnitt mit dem grössten Angriffsmoment tritt auch hier über den Stützpunkten auf:

01C

ql²

max.

12

=: 01c' == 01t;".

(119¹

Die Verticalkräfte ergeben sich aus der Gleichung:

V = Dj — qx

bO I -O

(1    2 x),

(122

wonach V zum Maximum wird für x — 0 und x = 1:

y

* max.

ql

(123

Graphische Lösung. Die Momentenfläche der eigentlichen Belastung ist

ql²

ein Parabelsegment mit der Scheitelordinate 011₀ = —

O

Da die

und dem Flächen

inhalt | 011*1 (Fig. 96). negativen Momentenflächen von Dt und D₂ in 2 Dreiecken vom Flächen-011' 1

Fig. 96.

0Tt"l

-— bestehen, so

hat man als Gleichgewichtsgleichung der elastischen Linie:

inhalt

und

s H. 0 — 01t'

1    1 0tt"1

Warn

/irc

WM

oder

CO ■

;:ic

H- f^el ₂

011' = 011" = | 01ce ==

ql²

12'

(119-

Zugleich geht aus Fig. 96 hervor, dass

01^x — ‘ = 01c,, —01t' =    ₈

q l² q l² _ q l²

12

24'

(121

C) Der mit beiden Enden wagrecht eingespannte Träger ist durch bewegliche, gleichmässig verteilte Last q beansprucht.

Denkt man- sich die gegebene Belastung aus an einander gereihten Einzellasten qdx bestehend, so kann bezüglich der Bestimmung der grössten Vertical-kräfte- eines jeden Querschnitts der gefundene Satz unmittelbar angewendet werden, dem zu Folge eine Einzellast in einem Querschnitte eine positive oder negative Verticalkraft erzeugt, je nachdem sie rechts oder links vom Querschnitt liegt (vgl. S. 110). Es wird nämlich für den beliebigen, um a von A entfernten Querschnitt C -f- Vmax. oder — Vmax auftreten, je nachdem die Last von C aus bis zum rechten oder zum linken Auflager reicht.

Fig. 97.

Ist Ei'steres der Fall (Fig. 97), so ist —f—Vmilx. gleich der Auf lagerreaction Dt und wird erhalten, wenn in Gl. 111

Ji

für a und —

gesetztwird:

q ba

max.

4P

(31 —b). (124

Fig. 98.

-f

Analog ergibt sich bei linksseitiger Belastung (Fig. 98) aus Gl. 112 mit

- - für a und b 4-

fcO; 53

53

für b:

— V,

q a³

llüX.

41

-(31 — a). (125

Um die gefährlichste Belastungsweise bezüglich der Biegungsmomente

Fig. 99.

kennen zu lernen, betrachtet man zunächst die Einwirkung einer Einzellast Q auf einen Querschnitt C, je nachdem sie rechts oder links von demselben liegt.

a) Q liegt rechts vom Querschnitt x (Fig. 99).

-----.T---

In diesem Falle ist

¹

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenconstructionen. Zeitschr. des Arcli.- und Ing.-Vereins zu Hannover, 1808.

0UX = — 01c' -f Dx x

a.

- - J.

fp

I-/

Fig. 100.

0UX =

Qb²

[(3a-f-b)x — al] (126

-A-

-<4!

und 0UX wird für jene Entfernung a' der Last Q von A gleich 0 (Fig. 100), welche die Bedingung

(3 a' -f- b) x = a' 1

Fig. 101.

/■ *

erfüllt, also für

a' = 1X

1 — 2x‘

(127

Dieser Ausdruck zeigt, dass, wenn der Ort 0T£X = 0 von links nach rechts vorrückt, auch Q dem rechten Auflager sich nähert, so dass für den Grenzfall

a'

(128

Fig 102.

Für jeden grösseren Wert von x wird a' j> 1, d h. unmöglich. 01cv

kann daher nur für x <    , mithin nur

O

innerhalb des linken Drittteils der Trägerlänge gleich 0 werden, und wird positiv (Fig. 101) sein, wenn a kleiner als der dem Querschnitt zugehörige, durch Gl. 127 bestimmte Wert von a', negativ (Fig. 102), wenn a > a'.

h) Q liegt links vom Querschnitt.

Bezeichnet man mit x, die Entfernung des Querschnitts vom rechten Auflager, so wird

01cXi =

Qa²

1T

[(3b -f- a) x, — bl]

(129

und auch hier gibt es eine bestimmte Entfernung b' der Last Q von B, welche 01cx zu 0 macht:

b' =

lx.

1 — 2 x,"

(130

Fiir zunehmendes x, wird auch b' wachsen, und dem Grenzwert b' = 1 entspricht

x,

(128

Für jeden grösseren Wert von X, wird b' j> 1, also unmöglich. 01t-x kann also nur Null werden innerhalb des rechten Drittteils der Trägerlänge. Das 01c des gegebenen Querschnittes wird demnach wieder positiv, wenn b kleiner, und negativ, wenn b grösser als der dem Querschnitt zugehörige, durch Gl. 130 bestimmte Wert von b' ist.

Aus Vorstehendem erhellt, dass für jeden Querschnitt des mittleren Drittels der Trägerlänge jede Einzellast, gleichviel ob rechts oder links vom

Querschnitt befindlich, nur ein positives Moment hervorbringen kann und folglich für sämmtliche Querschnitte dieses Trägerteils -j- ölci)lllx< bei totaler Belastung des Balkens entsteht. Dagegen wird zum positiven oder negativen Maximum

a)    im linken Drittel, wenn die Belastung von a' bis zum linken oder rechten Auflager reicht,

b)    im rechten Drittel, je nachdem b'oder 1 — b' belastet wird.

§ 4. Der mit einem Ende wagrecht eingespannte Balken

(Kragträger).

mit

A) Ein mit dem einen Ende wagrecht eingespannter dem anderen Ende frei schwebender Träger (Eig. 103) ist durch gleichmässig verteilte Last q pro Längeneinheit beansprucht.

Fig. 103.

Fig. 104.

Aus den Werten des Angriffsmomentes und der Verticalkraft für einen beliebigen Querschnitt x:

SK, =

— x)²

(131

und

(132

Vx = q (1 — x)

dass die Momentenlinie eine Parabel A' B mit dem Scheitel in B

erhellt

(Fig. 104) und die Linie der Verticalkräfte eine Gerade A"B.

Daher:

0K

ql²

(133

x == 0

und

max.

= qi-

(134

B) Der mit einem Ende wagrecht eingespannte Träger is*t

am freien Ende durch eine Einzellast Q beansprucht (Fig. 105).

%

Fig. 106.

Fig. 105.

f. i

A‘

Die Gleichung der Momentenlinie

(135

SK« = Q(l —x)

ist hier die einer zur Axe geneigten Geraden A' B, die Gleichung der Linie der Verticalkräfte die einer zur Axe parallelen Geraden A"B" (Fig. 106), daher

max.

(136

und

y

T jnax.

= Q-

(137

C) Einmauerungstiefe der Kragträger.

Fig. 107.

iA

Man denke sich zunächst den Träger plattenförmig, d. li. die Trägerhöhe so gering, dass die Träger-Ober- und Unterfläche mit dem Mauerquerschnitt AC (Fig. 107) als zusammenfallend betrachtet werden kann. Durch die Belastung wird eine Drehung dieses Querschnitts angestrebt. Darf angenommen werden, das Mauerwerk sei in c solchem Grade elastisch, dass die in den einzelnen Flächenelementen des Mauerquerschnitts auftretenden Spannungen proportional sind den Abständen der betreffenden Flächenelemente von der Neutralaxe, und bezeichnen:

Q die resultirende Trägerbelastung, a den Abstand derselben von der Mauer, b die Trägerbreite, e die Einmauerungstiefe,

E = e.b den der Einmauerungstiefe und der Trägerbreite entsprechenden Mauerquerschnitt,

0 das Trägheitsmoment dieses Mauerquerschnitts bezüglich seiner Schwer -punktsaxe,

9to das Drehmoment von Q bezüglich der Schwerpunktsaxe des Mauerquerschnitts,

v die Entfernung eines Flächenelementes von der Schwerpunktsaxe, so dient zur Bestimmung der Druckspannung an irgend einer Stelle Gl. 28;

*]|«e

wobei 4- oder —Vorzeichen zu wählen ist, je nachdem das betreffende Querschnittselement und Q auf einer und derselben Seite oder auf verschiedenen Seiten der Schwerpunktsaxe des Mauerquerschnitts sich befinden.

Hieraus ergibt sich die Druckspannung ß' am Querschnittsrande bei A:

oder

ß' =

4-

Q v⁺y)

12 b e3

ß' =

2Q

be²

(3 a + 2 e)

(138

und die Spannung ß am Querschnittsrande bei C:

ß"

bO : CD

fcO' a>

T2 be3

oder

csa.

bO

93

CD

cc

Der Abstand v der Neutralaxe vom Querschnittsschwerpunkt ist nach

Gl. 33:

e²

4+4)

daher

AU

4-v =

e (3 a 4- 2 e) 6 a -j- 3e

(140

und

CO

---v

e (3 a -f e)

(141

auch ist

ß' //•

Da ß' die grösste innerhalb des Mauerquerschnitts auftretende Druck-

spannung⁻ ist, welche die zulässige nicht überschreiten soll wenn ß' = ß gesetzt wird, aus

so findet sich,

Gl. 138 die erforderliche Tiefe der Ein

mauerung:

2 Q 4~ VQ (6 abß 4 4(j)

QO.

(142

Wenn die Trägerhöhe nicht, wie im Vorgehenden, als verschwindend klein angenommen wird, so handelt es sich darum, die Mauerquerschnitte A C unmittelbar oberhalb und A' C' unmittelbar unterhalb des Balkens (Fig. 108) getrennt zu be-Nimmt man an, dass für CA die Neutralaxe mit A, für C'A' aber die Neutralaxe mit C' Zusammenfalle, so wird die Druckverteilung durch die beiden Dreiecke A C D und A'C'D' repräsentirt sein, in deren Schwerlinien die betreffenden Mauerreactionen P und V wirksam sind.

Fig. 108.

trachten.

d'

und

Da

P.

so ist

v = P + Q Q (a 4"

(143

Da nun

i-*

so erhält man aus der Gleichung:

TT

2.

2 Q 4* V'Q, (6 a b ß -f- 4 Q) ßb

übereinstimmend mit Gl. 142.

Auch die Werte der Spannungen bei A' und C ergeben sich identisch mit den Gleichungen 138 und 139.

Die bezüglich des Falls Fig. 108 gemachten Voraussetzungen sind gleichbedeutend mit jenen der Gl. 28, und wenn man von den Druckflächen der Fig. 108, welche entgegengesetzte Vorzeichen haben, die algebraische Summe herstellt, so kommt man auf die Druckfläche der Fig. 107.

Nicht immer ist die über dem eingespannten Träger-Ende befindliche Mauer hoch genug, um die für den Einspannungszustand erforderliche und durch Gl. 143 gegebene Belastung hervorzubringen; auch kann es Vorkommen, dass die Mauerstärke von vorneherein geringer ist als die notwendige und aus Gl. 142 sich berechnende Einspannungstiefe. Tn solchen Fällen ist es angezeigt, zum Zweck der Befestigung des Trägers einen grösseren Mauer-

körper in Mitleidenschaft zu ziehen, als er der eigentlichen Trägerbreite entspricht, was durch Anordnung von Auflagerplatten (Fig. 109) erreicht werden kann. Ist e gegeben, so gibt man der unteren Auflagerplatte die Länge A'O' (Gleichung 140), der oberen die Länge CO (Gleichung 141) und erhält die erforderliche Breite der Auflager-platten aus Gleichung 138:

Fig. 109.

MMa-

Q.

a,

b'

2Q

ße

(3 a + 2 e).

(144

§ 5. Der mit einem Ende eingespannte, mit dem anderen frei auf liegende Träger.

A) Ein bei A wagrecht eingespannter, bei B einfach unterstützter Träger (Fig. 110) ist durch eine im Abstand a von A befindliche Einzellast Q, beansprucht.

Fig. 110.

D,

//r_

JT.

Die Befestigung bei A wird ersetzt durch die lotrechte Stützenreaction Dx und das Kräftepaar 01c'; an Stelle der Unterlage bei B tritt die Auflagerreaction Dä. Zur Bestimmung der Unbekannten 01c', D, und D₂ hat man die Gleichungen:

cv

je

Di + Ds — Q = 0, 01U' -f D, a — D₂b = 0.

(145

(146

Ferner gilt für jeden innerhalb der Strecke AC befindlichen Punkt F der elastischen Linie:

0ftv = D, x + 01c'

daher

d²y

D,x -j 0K'

dx

und nach zweimaliger Integration:

ßi

P-

2 £0

(I), x -f 2 91c ') x

und

(D, x + 3 0Tf) x².

Strecke BC hat man ferner:

Für jeden Punkt G der

d² vt _ D₂xt d xt² s 0 ⁷

woraus durch Integration:

_ -Ö2 xt2 2 s©

und

+ mxj,

_ D,x,³

y' ~ eie"

wenn m die trigonometrische Tangente des Winkels ist, welchen die Auflagertangente der elastischen Linie bei B mit der Horizontalen bildet.

Da für den Lastangriffspunkt C

d yi

d Xj

und y = yt, so erhält man:

und

(Dl a -j- 20TC2) a = — (D, b² -f 2 m e 0)

(Dja 3 0110 a² = D.₂b³ -f 6bms0.

(148

Aus den vier Gleichungen 145 bis 148 findet sich:

(149

01V = — Q

ab (a -f- 2 b)

2 l²

Di = Q

(3 a² + 6ab -f 2 b²) b

2 l³

(150

Da = Q

(2 a -f- 3 b) a²

21³

(151

er

41

Als grösstes Moment kann nur das (negative) Auflagermoment oder das (positive) Moment am Lastangriffsort in Frage kommen.

Das Yerhältniss aber der Momente bei A und C ist folgendes:

0TL'

(a -f 2 b) 1

üTb ~ (2 a -f 3b) a’

daher liegt der gefährliche Querschnitt im Einklemmungspunkt A, wenn

(a -f 2b) 1 > (2a -f- 3b) a,

d. h.

a < b V 2 ,

a < 1,4142 b

oder

a < 0,5858 1;

bei C auf.

im entgegengesetzten Falle tritt

Ist die Last in der Mitte des Trägers wirksam, so dass a — b, also so liegt der gefährliche Querschnitt an der Einklemmungsstelle

max,

a < bf 2

und

(154

'max.

Qi*

Die Verticalkraft ist für alle Querschnitte der Strecke AC Vx = Dx, positiv; für die Strecke BC Vx = D₃ — Q, negativ.

Ist die Last beweglich, so hat man zwischen derjenigen Gruppe von Laststellungen zu unterscheiden, welche das Maximalmoment an der Ein-kleunnungsstelle zur Folge hat, und derjenigen, bei welcher    mit dem

Lastangriffsort zusammenfällt. Im ersteren Falle erreicht

9Ri'

Qab (a -f- 2b)

21²

21“

Q (a³ — 3aal 2al²)

für a = 0,4226 1 seinen grössten Wert

— 0,192 Ql;

im letzteren Falle wird

QC2'a 4-3b)a }j = Q (3 a2l2 _ 4 a3} _j_ a4}

2 l³

durch a = 0,634 1 zum Maximum

= -f 0,2745 Ql,

(156

welch’ letzterer Wert, als der grössere von beiden, das absolute Maximum des Angriffsmomentes vorstellt.

Graphische Lösung. Man setzt an Stelle der Einspannung am linken Auflager die im Abstand k von A anzubringende Kraft K (Fig. 111) und

Fig. 111.

Fig. 112.

D,

\/

03

bestimmt getrennt die der Last Q und die der Auflagerreaction I), entsprechende Belastungsfläche. Die erstere ist ein Dreieck AC'B (Fig. 112

B) Der bei A wagrecht eingespannte, bei B unterstützte Träger ist durch gleichmässig verteilte Last q per Längeneinheit beansprucht, welche sich über die ganze Länge des Trägers erstreckt (Fig. 114).

Fig. 114.

HÜÄ

und Fig. 118) von der Fläche Q

ab 1

dessen Fläche

01t' 1

, die letztere ein Dreieck AA'B, Fig. 113.

IC

Das Gleichgewicht der elastischen Linie ist demnach, weil 01t" = 0, bestimmt durch die Momentengleichung um B :

?/r'

01t'1    2 1 Q ab 21 — a

= o,

woraus sich ergibt

ab (21 — a)

011' = Q    -

H    21²

oder

01t' =

Qab (a -f 2 b)

21²

(149¹

Man denkt sich die stetige Belastung durch aneinandergereihte, gleichgrosse Einzellasten qdx ersetzt und erhält nach Gl. 149:

Ebenso findet sich I)

* q d x (21 — x) (1 — x) x

21²

ql²

(157

-O

Pu

fi

ii

CO (00

-O

Etil* jeden Querschnitt x gilt:

OOi Ol

ql²

Cf X²

"lx~T 2

woraus ersichtlich, dass 01t    = 0 wird für x — — und zum positiven

4

Maximum

128

ql²

(158

für x =

>C ,00

1. Der gefährliche Querschnitt befindet sich also an der Ein-

klemmungsstelle mit 0Tt

ql²

max.

I)ie Verticalkräfte werden aus

der Gleichung⁻:

bestimmt, mithin

V,

"(

■)

(159

iiax.

ZC 0<

ql.

(160

Fig. 115.

Bei gleichmässig verteilter Belastung ist die Momentenfläche von ql ein Parabelqi³

12

segment (Fig. 115) vom Flächeninhalt——, da-

her die Momentengleichung um B :

01C' 1

ql³ 1 12 ' 2

= 0,

woraus gleichfalls

0K'

ql²

(157¹

Das Auflagermoment bei A ist also dem Angriffsmoment in der Trägermitte des mit beiden Enden frei aufliegenden Trägers gleich und das Moment in der Trägermitte wird, wie aus Fig. 115 ersichtlich, durch die einseitige Einspannung des Balkens auf die Hälfte reducirt.

§ 6. Der continuirliche Träger.

A) Aiiflagermomeiite und Stützendriicke bei beliebiger ruhender

Belastung.

Der continuirliche Träger unterscheidet sich vom einfachen frei aufliegenden dadurch, dass er mehr als zwei Stützen besitzt. Da somit auch mehr als zwei unbekannte Stiitzenreactionen auftreten, für deren Ermittelung die einfachen statischen Gleichgewichtsbedingungen nicht ausreichen, so müssen zur Bestimmung des Gleichgewichtszustandes die Gleichungen der elastischen Linie zu Hülfe genommen werden.

Stellt man für zwei auf einander folgende Öffnungen 1,._, und 1,. eines durch concentrirte Kräfte und stetige Belastung beliebig beanspruchten con-tinuirlichen Trägers, dessen Stützen gleiche Höhenlage haben (Fig. 116), die

A, und Ar4_( mit dem Horizonte), so erhält man die

Gleichungen der elastischen Linie auf und eliminirt man aus ihnen die Werte tangtaug a,. und tang ar+1 (wenn a,._t, a,. und a,..^ die AVinkel der elastischen Linie bei A,

allgemeine Momentengleichung” für die drei Auflagermomente je zweier auf einander folgender Felder:

U + 2 (ir_x 4- U 4- ^',+t 1, =

i,

V, [Pa (1 —a) (1 -f a)]

X,. [ P a (1 — a) (21 — a) ] —

di—11³

r~i I

q,i³r,

(1G1

wobei sich Xr auf alle Einzellasten in 1,. bezieht.*)

Fig. 116.

ff

j- ff 'V

-t

l;

ff

«/■

TA

P~ <V '

ff

ff

rA,

Bei n vorhandenen Öffnungen erhält man also n — 1 Bedingungsgleichungen, aus welchen sich die Auflagermomente ergeben.

Wenn ferner die resultirende Verticalkraf't unmittelbar rechts vom Auflager A' einer Öffnung 1 (Fig. 117) mit V' bezeichnet wird, -so ist:

ql²

9TT -f V' 1 — S P (l -- a) — ~

O    "

9E" = 0

(162

und hieraus

V' ==

ql²

Fig. 117.

9E" — 9R" 4 S P (1 — a) +

O    ^

daher für irgend einen Querschnitt x

(163

ff

Vx = V'

X

— SP —

qx

(164

m\wmm

\m" und die Yerticalkraft unmittelbar links vom

c.

A" Auflager A" :

ql

Y" = Y‘ — 2 P

ql²

= -- 911" — 91c'

SPa-Y

Das Moment des Querschnitts x berechnet sich aus:

V"

(165

914 = 91c' 4 V'x — X P (x — a) — ~

O    "

oder

SP (x—a) -f- ~ (1 — x). (166

- 4-SP(l— a)

*) S. Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der continuirlichen und einfachen Träger. Leipzig, 1873.

Die Auflagerreactionen endlich sind gleich den Differenzen der Vertical-kräfte unmittelbar rechts und links von dem betreffenden Stützpunkt oder gleich der Summe der absoluten Werte derselben:

Dr = Y'r — V"

r—1*

(167

Specielle Fälle.

I. Der Träger besteht aus zwei Feldern von gleicher Spannweite 1 und ist durch gleichmässig verteilte Belastung q beansprucht (Fig. 118).

Die Auflagermomente der Endstützen At und A₃ sind gleich Null; zur Bestimmung des Momentes 0U₂ über der Mittelstütze A₂ dient Gl. 161, in welcher

Fig. 118.

lr-X = 1, = 1,

dr—i di- q

und P = 0

9TCU = 0,

0TCr = 01c,,

0tr,₊₁ = o,

zu setzen ist:

A3

2 0F,. 21 = —

q l³ ql³

also

ql²

= 01t

(168

Die Auflagerreactionen werden mittels der Gleichungen 168, 165 und 167 erhalten.

Für die Öffnung A, A₂ ist nämlich :

V'a.a. =

ÜÜ , Qi²⁻

8^2

CO: CG

qi

und

'Ai Aa =

ql²

ql²l

er :

Ferner hat man für die Öffnung A₂A₃:

V Aa As —

i [qi² , qi²l

8 ' 2

5 ql

und

JO GO

1 rq ld ql²

und

Daher nach Gl. 167:

l^i — V'a, a₂ =

£0 GO

<=T

I), = T'a!A, - V"a,

a₂

8 1,1

(160

II. Dei Frager besteht aus drei Feldern von gleicher Spann-weite 1 und ist durch gleichinässig verteilte Belastung q beansprucht (Fig. 119).

Fig. 119.

4,

, a₂

k—

------

-*----------

A,

Betrachtet man zuerst die beiden auf einander folgenden Öffnungen A, A„ und A₂A₃, so ist nach Gl. 161, wenn

9K,-i = 0, mt = 0it₂, sir,.₊₁ = 0it₃

= i,

i,

-und

er

= q,- = q

gesetzt wird:

4 0it.₂ + m₈ =

ql²

Für die beiden Öffnungen A.₂A₃ und Ä₃A

011,_L = 01t.₂,

0ttr != 011 ^,+, = 0,

einzuführen ist, folgt aus Gl. 161 :

für welche

und

«—cf P-l

= qr = q

01c ₂ -f 4 01t, — —

Cr

Hieraus ergibt sich:

01t, = 01t,, = -

AZ>

10

= 0TC»

(170

Ferner ist für Ax A₂ nach Gl. 168:

Y'

A1 Aa

qi*

ql²

10 + 2

ioql

und nach Gl. 165:

10

L"AlAa =

q l² q 12_

1Ö~~2

Bezüglich A₂ As hat man :

^ Aa A3

1 ql²

T ’ ~2~

ql

und

V'Aa As

ql²“

qi

Für A:)A₄ ist:

^ a₃a₄ =

r-H

-O

-4-

CT

ST

toi

h-±

und

Y"

As A4

-o

IO

10

-O

Daher nach Gl. 167:

11

TL = V'aoAs - ’ /(Ai Aa - Yq n 1

(171

TL = V'ajA., — V "AaAa —

V^AbA..

Nachstehende Tabelle gibt für continuirliche Träger von gleicher Felderlänge, welche durch gleichmässig verteilte Belastung beansprucht sind, die Stützendrücke.

Es bezeichnen hiebei 1 die Felderlänge, q die Last pro Längeneinheit und Dx, D₂, D₃. .. die auf einander folgenden Auflagerdrücke.

In der zweiten Tabelle sind die Auflagerdrücke berechnet, welche bei gleicher Felderlänge entstehen, wenn in der Mitte einer jeden Öffnung eine Einzellast Q wirksam ist.

Auflagcrdriieke coiitinuirlichcr Träger bei gleicher Felderlänge und gleiehniässig

verteilter lielastung.

Zahl

der Felder.

a I ö

►—■* I JO

■2.L⁰

OlrH

Q I O"

10

0.3750 1.2500 0.3750

lö

11

10

11

10

io'

0 4000 1.1000 1.1000 0,4000

li

32

20

■2-

28

0.3929 1.1428

28

32

28

0.9286 1.1428

11

28

0.3929

15

43

37

37

43

15

38

88

38

38

0 3947j 1.1316 0.9737jO. 9737 1.1316 0.3947

41

118

ICO

100

100 i 118

4L

0.3944; 1.1338 0.9648(1.0070jl. 0070 0.9648 1.1338 0.3944

137    (    143 I 143

142    [    142

142

137

161

50

1 12

142

142

153

440

374

392

388

jo. 3943

388    388

1.1340,0.9639:1.0103

388

380 I 392 li88~ j 838

0.994911.0103

374

388

440    153

388

0.9639 1 1340

388

0.3943

209

530

001

511

535

520

530

520

535

209

601

511

"530

530

530    |    530

0.3943jl. 1340jO. 9642 1.0094 0.9981 0.9981 1.0094|0 9642 1.13400 3943

530

530

530

530

Auflagerdrücke contiiinirlicher Träger bei gleicher Felderlänge und Belastung' sämmtlicher Öffnungen durch in der Mitte wirkende Einzcllasten.

Zahl

der Felder.

l^lc?

|<o|ü

\&\P

i«Lö

a\<y

22

16 16 jo .3125 1.3750 0.3125

io

2Ö

23

23

20

20

20

ö. 3500 1.150011.1500 0.3500

19

56

56

50

68

19

[0.3393 1 2143

56

56

68

0.8928 1.2143 0.3393

26

91

73

73

91

26

76    [    76    76 I 76    76    76

0.3421 1.1974 0 9605j0 9605jl. 1974 0.3421

71

208

250

196

214

196

208

208'

0.3413 1.2019 0.9423

2M

208

250

208

1.0290:0.9423 1 2019

71

208

0.3413

97 I

287    !    269

287

jl _97_

I 284    |    284 j 284 j 284    |    284 j 284    284    284    ;

0.3415 1 2007|0.9472 1.0106 1 OlOejO. 9472 1.2007:0.3415!

341

269

341

265

932

734

788

770

788

734

932

265

776 i 776    |    776 j 776    776    !    776    776    |    776 I 776

10.3415 1.2010:0 9459[ 1.015F>10 9922|l 0155[0.9459|l. 2010 0,3415

1003 |    1075 j    1057    |    1057    j    1075    |    1003    |    1273    J    _36_2

I 1060 I 1060 | 1Ö6Ö j    IÖ6Ö |    1060    !    1060    |    7060    1060    |    1060    |    1Ö6Ö

0.3415 1.2009 0.9462 0.0142^0.9972 0.9972 1.0142;0.9462|l. 2009 0.3415

362

1273

Beispiel 1. Ein continuirlicher Träger mit zwei Öffnungen von 6 m und 5 m Spannweite (Fig. 120) ist durch gleichmässig verteilte Belastung Fig. 120.

beansprucht, welche für die erste Öffnung q' — 600 kg und für die zweite Öffnung q" 200 kg pro m Trägerlänge beträgt. Ausserdem sind in der ersten Öffnung zwei feststehende Einzellasten 400 und 500 kg vorhanden, 2 bezw. 4 m vom linken Auflager A, entfernt, während das zweite Feld durch eine Einzellast 600 kg beansprucht ist, deren Entfernung von A₂ 3 m beträgt.

Es ist:

^r_i =    0,

91+ = 9F

01lr+1 = 0,

f— Z

WO kg.

------jp-m,---->

500 kg.

6ookg,

3nu

A,

TI*

-5m

qr_! = 600 kg pro m, qr = 200,

daher nach Gl. 161 :

2 91+ (6 + 5) = — -- (400.2.4.8 + 500.4.2.10) — — (600.3.2.7)

--~ 600. 6³ --i- 200.5³

4    4

oder

91+ = —2482,9 mkg = 911,,,

Soll der Balken als +Träger ausgeführt werden, und wird als zulässige Biegungsbeanspruchung’ d — 750 kg pro qcm angenommen, so hat man

ax.

toi ö-

. 750 = 248 290 kgcin,

(-)

daher für den Träger ein Profil mit —-—

li

= 331 erforderlich ist. Mithin

ist von den Profilen der Tabelle S. 30 Nro. 24 mit dem nächsthöheren Werte:

(-)

— === 357 zu wählen, h

Ferner ist nach Gl. 163 nnd 165:

V'a

1 A'2

— ( — 2482,9 + 400.4 + 500.2 -f

600 .6²\

2 )

= 1819,5

V'AiAa = g

( — 2482,9 — 400.2 — 500.4 —

600.6²

) = — 2680,5

und

V'AaAs =

r—I j LO

A2 As

tH ! LC

^2482,9 + 600.2 -f — ^2482,9 — 600.3

= + 1236,6,

200.5²\ 2 /

= —363,4.

Daher nach Gl. 167 die Auflagerreactionen:

Dt = 1819,5 kg,

r>2 = V+As—V'a,a₂ = 3917,1 kg, D₃ = 363,4 kg.

Fig. 121.

Beispiel 2. Ein continnirlicher Balkenträger aus Fichtenholz (Fig. 121) besteht aus drei Feldern von 5,

2 und 4 m Spannweite und ist durch gleichmässig verteilte Belastung- q == 500 kg pro m be-

ansprucht.

Für die beiden ersten Öff-

nungen A, A₂ und A₂A₃ ist nach Gl. 161, wenn

sir

= 0, srrr = sh: sirr+1 = sh:

gesetzt wird:

r—1

u u

r—1    i—1

qr._! = q, = 500 und P = 0

2 sir,. 7 + sir₃.2 == —

500.5³ —

k*

500.2³

oder

7 sir₂ -f srr₃ = —8312,5.

Für die beiden Öffnungen A₂A₃ und A₃A₄ ist, wenn

*h—1    dr Ü

und P = 0

sh:₁._₁ = sir srrr = sir₃, sirr+1 = 0

gesetzt wird:

- 500.4³

Sir₂.2 + 2 Sir₃.6 = — — 500.2³ —

oder

sir₂ + 6 sir₃ = — 4500.

und

Aus diesen beiden Gleichungen erhält man:

= —1106,7 mkg =

91+ = — 565,5 mkg.

Ger rechteckförmige Balkenquerschnitt wird auf Grund von Gl. 84 be

rechnet :

Oij t-¹

bh² = 1106,7 mkg.

Wenn

d = 42 kg pro qcm

und

gesetzt wird, ergibt sich:

oder

5 h³ = 110670 cinkg

h = 28,1 cm und b = 20 cm.

Was die Bestimmung der Auflagerdrücke anlangt, so ist nach Gl. 163 j (— 1106,7 + 500. ?-) = 1028,7,

-- (—1106,7 — 500. y) = —1471,3,

(—565,5 -fll06,7-f-—°?^-) — 770,6,

(—565,5 + 1106,7

i (ö65,5 4

V"a₃a₄ = ~ (565,5-Daher nach Gl. 167:

und 165:

V'AtAa =

V"AlÄ2

th ao

ferner:

endlich:

und

^ A2 A3

V"a₂A₃ =

to I-*

rH

500.4\ 2 /

= —229,4,

V'a₃A₄ =

⁵⁰⁰+) _ 1141,4

500.16\ 2 /

= — 858,6.

Dt = 1028,7 kg,

= V'asjAs—V'aiAs — 2241,9 kg, D₃ ==» V'asA*— V'AoAa = 1370,8 kg, Di — 858,6 kg.

B. Graphische Bestimmung der Auflagermomente und Stützendrücke.¹)

Bestimmt man für einen continuirlichen Träger von gegebener Belastung die Momentenlinie, so wird man eine Curve von der Form Fig. 122 erhalten, welche in den Auflagerverticalen Brechungspunkte hat. Die Momente aller Querschnitte einer beliebigen Öffnung, z. B. BC werden hier durch die auf BC als Grundlinie bezogenen Ordinaten der Momentenlinie B'ßC' dargestellt. Werden dagegen die Ordinaten von B'ßC auf B'C' als Grundlinie bezogen, so erhält man die Momente eines einfachen, auf den Stützen B und C frei auf liegenden Trägers, welcher auf gleiche Weise wie die Öffnung BO belastet ist, da B'ßC' das Seilpolygon der zwischen den Stützen B und C befindlichen Belastung.

Fig. 122.

.J5

"Zv

M'

C'

Der Einfluss der Continuität des Trägers äussert sich demnach in der Verschiebung der Schlusslinie des Seilpolygons der einfachen Belastung und es kann diese Verschiebung auch als Resultat der Addition der Flächen B'ßC' und BB'C'O angesehen werden, der (positiven) Momentenfiäche der einfachen Belastung und des (negativen) Trapezes BB'C'C, in welchem BB' und 0 C die Auflagermomente vorstellen.

Die Bezeichnung ,,Trapez“ ist dabei in weiterem Sinne aufzufassen, da sich die Seiten BC und B'C' auch schneiden können, was bei unbelastetem Zustande mehrerer an einander grenzender Felder mit abwechselnd positiven und negativen Auflagermomenten der Fall ist.

Da nun für jedes Feld die einfache Momentenfigur oder das Seilpolygon der positiven Belastung sehr leicht gezeichnet werden kann, so wird es sich bei der statischen Bestimmung des continuirlichen Trägers nur um die Verschiebung der Grundlinie handeln und es beruht die geometrische Lösung der Aufgabe auf dem S. 111 angeführten Fundamentalsatz, dass die elastische Linie des Trägers als eine Seilcurve betrachtet werden kann, welche dem durch die Momentenfiäche des Balkens dargestellten Kräftesystem entspricht und, mit der Poldistanz s© construirt, durch die Stützpunkte des Trägers geht.

Am einfachsten kommt man zum Ziel, wenn man zunächst annimmt, dass vom continuirlichen Träger nicht mehr als ein Feld belastet, der übrige Träger aber nicht durch Lasten beansprucht sei. Ist man im Stande, die Momente zu bestimmen, welche in beliebigen Querschnitten des continuirlichen Trägers durch dieses eine belastete Feld hervorgebracht werden, so hat es keine Schwierigkeit, auch die Momente zu finden, welche in gegebenen Querschnitten entstehen, wenn mehrere Öffnungen gleichzeitig belastet sind. Denn da das Gesammtmoment, welches in einem gegebenen Querschnitt durch mehrere Lasten (oder belastete Felder) hervorgebracht wird, gleich ist der Summe der durch die einzelnen Lasten (oder belasteten Felder) erzeugten Momente, so braucht man nur die Aufgabe in soviel Teile zu trennen, als belastete Felder vorhanden sind und sodann die hiebei erhaltenen Momentenwerte zu summiren.

Von dem Träger Fig. 123 sei nur eine Öffnung NO auf beliebige Weise belastet, die übrigen Öffnungen rechts und links seien unbelastet. Im belasteten Felde wird die Momentenfläche durch Summirung der positiven Fläche

Fig. 123.

A-----

ba

-44

T⁻

Hr-

ata

-T

“li-

f'T

fVir

ry-f

**■

£-

_LI—

-V

An*

vT

N'sO' und der negativen Fläche NN'O'O erhalten werden, während im unbelasteten Trägerteil, in welchem als äussere Kräfte nur die Stiitzen-reactionen auftreten, die Momentenlinie aus einem Polygon AB'C'N' besteht, dessen Eckpunkte in den Stiitzenverticalen liegen. Soll für den Trägerteil AN die Biegungscurve construirt werden, so muss das der Momenten fläche zugehörige Seilpolygon gezeichnet werden. Im Endfelde A B besteht die

Momentenfläche aus dem Dreieck ABB' =

9K, 1,

—-z— = Px, dessen Schwerlinie durch den Endpunkt b/ des zweiten Drittteils der Länge AB geht. Im

011,1₂

zweiten Felde kann die Momentenfläche BB'C C in das positive Dreieck

U _ p 2 ~ ±2

B'CC'

——— — P₃ und das negative Dreieck BB C =

zerlegt werden, deren Schwerlinlen durch die Begrenzungspunkte b₃' und b₂' des mittleren Drittteils von B C gehen. Dasselbe gilt von den übrigen Feldern des unbelasteten Trägerteils, so dass jetzt der ungefähre Verlauf des den Kräften Pt, P₂, P₃ . . entsprechenden Seilpolygons angegeben werden kann. Dieses Seilpolygon wird der Biegungscurve umschrieben sein, denn die Endlinien eines Seilpolygons sind unabhängig von der Einteilung der erzeugenden Belastungsfläche. Daher müssen die Seiten b^, b₃b₄, b₆N des Seilpolygons durch die Auflagerpunkte gehen, was zugleich das Vorzeichen der Kräfte Pj, P₂, P₃ etc. bestimmt und erkennen lässt, dass die Auflagermomente des unbelasteten Trägerteils abwechselnd positiv und negativ sind.

Verlängert man die Seilpolygonseiten Ab, und b₂b;(, so ist durch ihren Schnitt r, offenbar die Resultirende von P, und P₂ bestimmt. Daher ist:

Pi-b/r/ = P₂.bo/r₁/

oder, da Pt == -1    1₄ und P₂ = 19K, 1₂,

b/r/ : ba'r/ = 1₂ : 1, =

und es ergibt sich der Punkt rx' durch Aufträgen der Strecke = b₂' r,' oder umgekehrt der Strecke ^1₂ = b/r/; ebenso liegt der Schnitt von b₂b₃

entfernten Verticalen.

1₂: lx

1,

1,

und von P₃ um

und b₄ b₅ in einer von P₄ um —

ö

Ferner ist klar, dass, welches auch die Lage der Linie Ab, sein möge, die Eckpunkte des Dreiecks b₁r₁b₂ immer auf denselben Lotlinien sich befinden müssen und dass die beiden Dreiecksseiten Ab₄ und b₄b₂ immer durch die festen Punkte A und B gehen. Wenn sich nun bei veränderlicher Richtung Ab₄ die erwähnten Seiten um A bezw. B drehen, so muss es auch einen Punkt geben, durch welchen die dritte Dreieckseite r₁b₂ bei allen möglichen Lagen geht, und dieser Punkt F₂' liegt offenbar auf der Geraden AB der beiden anderen festen Punkte, indem diese Gerade als eine besondere Form des veränderlichen Dreiecks betrachtet werden kann. Die Dreieckseite r₁b₂ wird also immer die Trägeraxe im Punkte F/ schneiden und ebenso wird die Träger-axe von der Dreieckseite r₂ b₄ in dem unter allen Umständen gleich bleibenden Punkte F₃' getroffen werden. Diese von der Belastung unabhängigen Punkte F./, F₃' etc. werden als Fixpunkte bezeichnet.

Aus den Gleichungen:

P,.b,'B = Bm.sG

und

oder

P3.bg'C = Cn.eW

P₂ : P₃ = Bm : Cn = BF₂' : CF,'.

geht hervor, dass die Punkte F./, F₃' etc. die Schnittpunkte der Momenten-linie mit der Trägeraxe sind, also Inflexionspunkte der elastischen Linie bezeichnen und die dargelegte Constrnction zeigt, dass dieselben immer im äusseren Drittel der betreffenden Felder liegen, sowie dass die abwechselnd positiven und negativen Auflagermomente der unbelasteten Felder gegen das Trägerende hin kleiner sind, als je das halbe vorhergehende Moment.

Fig. 124.

ii

it

/i

Fig. 125.

Fig. 126..

!,

Geradeso wie die Punkte F/ und F₂'. . ausgehend vom linken Trägerende gefunden wurden, ebenso ergeben sich die rechten Fixpunkte F,", F/'. .

wenn

führt wird.

rechten Fixpunkte; in Fig. 126 wurden der Einfachheit wegen die zur Bestimmung der Punkte F' dienenden Geraden auch zur Auffindung der Punkte

daher

BIV : CF.; = BB' : CG'

(172

dieselbe Constrnction vom rechten gegen das linke Endauflager ausge-Fig. 124 zeigt die Bestimmung der linken, Fig. 125 die der

F" benützt.

Mittels der Fixpur)kte können nun die Momente bestimmt werden, welche die Belastung- irgend eines Feldes in den übrigen erzeugt, wenn die über den Stützen des belasteten Feldes hervorgebrachten Momente bekannt sind. Es ist deshalb noch zu untersuchen, in welcher Weise die Äuflagermomente    j

des belasteten Feldes durch Construction    j

bestimmt werden können.

AjA, sei die belastete Öffnung m'

(Fig. 127), Q die positive Momenten-fläche, A₁A₁/A₂/A₂ das complemen-täre Trapez, das in die beiden Dreiecke A₁A₁/A₂ und A₂A₂./A₁/ mit den Flächen P⁷ und P'⁷ zerlegt werden kann Das den Lasten P⁷, Q, und P77 entsprechende Seilpoljgon A₁b'ab⁷⁷A2 (Fig. 128) wird die Auflagertangenten der elastischen Linie liefern und die Seiten ab⁷ und ab⁷⁷ werden die Träger-axe in den Fixpunkten F⁷ und F'7 schneiden. Denkt man sich die beiden Seilpolygonseiten A^⁷ und ab⁷ durchschnitten und an den Seilstücken die betreffenden Seilkräfte angebracht, so müssen die letzteren der Kraft P' das Gleichgewicht halten, daher die Momentengleichung für den Drehpunkt A :

Fig. 127.

p'

i\

p"

m"

Fig. 128.

a₂

p'

P"

-A,

T«-

rr'----------- ff '■

-------)l

P⁷.

g- = s0.AtA

AC

da die Seilkraft ab⁷ in eine lotrechte

AT

durch A gehende Componente und in eine wagrechte Componente = £ 0 zerlegt werden kann, so ist:

Da P⁷ = £9K⁷1,

9K⁷

6 s0. At At

l²

Die Längen A₁A₁⁷ und A₂A₂⁷ repräsentiren also in bestimmtem Massstab die Auflagermomente 01t⁷ und 91c'⁷. Würde man die Poldistanz e@ = 1 angenommen und den Kräftemassstab von P⁷ und P" so gewählt haben, dass

6 P⁷⁷

6 P'

die Kraftlänge P" darstellen, so würden

0tt⁷ und 91t⁷⁷ unmittelbar als Längen A, At ⁷ und A₂ A₂ ⁷ erhalten worden sein. Gesetzt, die Construction wäre unter diesen Annahmen ausgeführt, so

die Kraftlänge P' und

wird man mittels Durchschneidens der Seilpolygonseiten b'a und ab" und Aufstellung der Momentengleichungen um Ay ' und A₂' erhalten:

6Q

q' = At' N • 1

und

rq

== A₂ ' M. 1

oder

Q-q' =

At' N • 1    1

~2    ‘ 3

(173

und

Q-q" =

A/M.l 1 2    ‘ 3

(174

wenn q' und q" die Abstände der Schwerlinie Q von Aa und A₂ bezeichnen. Daraus geht hervor, dass das statische Moment der einfachen Momenten-

fläche bezüglich des Auflagerpunktes Ai gleich ist dem Moment des Dreiecks A/NAj' bezüglich desselben Punktes, und dass ebenso die statischen Momente von Q und vom Dreieck At' M A₃ ' bezüglich des rechten Auflagers gleich sein müssen.

Die Auflagermomente aber ergeben sich jetzt am einfachsten auf folgende Weise: Nachdem die Längen A/ N und A₂' M aus Gleichungen 173 und 174 berechnet, werden sie (Figur 129) = A₁Ni und = A₂ M₂ aufgetragen. Dann werden die Verbindungslinien N₁A2 und M₂A₁ gezogen und deren Schnittpunkte mit den durch die Fixpunkte gelegten Verticalen bestimmt. Die Verbindungslinie A/A.,' genannter Schnittpunkte schneidet auf den Auflager-verticalen die gesuchten Grössen AtA/ = GL' und A₂A₂' =    ab.

Fig. 129.

I"

-V—

-F-

7fa

■l:

-K

Specielle Fälle.

a) Das Feld ist auf seine ganze Länge gleiclimässig belastet. Die positive Belastungsfläche ist hier eine Parabel A. « A₂ (Fig. 130), daher

05 LO

wenn y₀ die Scheitel Ordinate der Parabel. Daher nach Gleichung⁻ 173:

2y₀.

— A₂M₂ =

PI . CO

ly° ' 2 ' l²

Die Seiten A^Mg und A₂ N., müssen sich also im Scheitel a der Parabel schneiden, wodurch ihre Lage bestimmt ist. Ihre Schnittpunkte mit den Verticalen durch die Fixpunkte bestimmen die verschobene Grundlinie und die Auflagermomente.

Fig. 130.

M,

b) Das Feld ist durch eine Finzellast beansprucht (Fig. 131). Um A₂M₂ zu erhalten, hat man die Bedingung zu erfüllen, dass

A,

JF'

1 b + 1 y°' T '    3

— A₂M₂.

d. h.

A₂M, : y₀ = (b + 1) : 1.

Man macht also AtG = b und zieht die Gerade Ga, welche die durch A₂ gelegte Lotrechte in M₂ schneidet. Geradeso wird gefunden. Die

Fig. 131.

’ &r,

Al₂

I/O

irr

-irr.

:s

Schnittpunkte der Verbindungslinien A₁M₂ und A0I4 mit den Verticalen durch die Fixpunkte bestimmen sodann die verschobene Grundlinie Aj' A₂'.

c) Das Feld ist durch mehrere Einzellasten Pj, P₂, P₃ beansprucht. Die einfache Momentenfigur der gegebenen Belastung ist At IIIIII A₂ (Fig. 132). Den einzelnen Lasten entsprechen die Momentendreiecke Ajll, 2112', 3IIIA2 mit den Ordinaten y₁ — I'I, y₂ = II'II, y₃ = IIPIII. Berücksichtigt man nun, dass in Fig. 131 d : b = y₀ : 1 oder l.d = b.y₀, so ergibt sich die Strecke d₁₅ um welche y* zu vermehren ist, wenn der der Einzellast PA

entsprechende Wert von A₂M₂ erhalten werden soll, aus der Gleichung' dj . 1 — b₁ . yx und analog für die übrigen Lasten d₂ . 1 = b₂ . y₂ und

d₃ . 1 = b₃ . y₃. Man sieht hieraus, dass, wenn y₁₅ y₂, y₃ als Kräfte aufgefasst werden, dann dx 1, da 1, d₃l die Momente dieser Kräfte bezüglich A₂ vorstellen und bestimmt man diese Momente mittels eines Seilpolygons von der Poldistanz 1, so werden die gesuchten Werte dt, d₂, d₃ offenbar als entsprechende Ordinaten erhalten werden. Man trägt also die Längen yt, y₂, y₃ auf der rechtsseitigen Auflagerverticalen auf (Pig. 133), zeichnet für einen in der Poldistanz 1 angenommenen Pol 0 Kräfte- und Seilpolygon, so schneiden die äussersten Seilpolygonseiten auf den beiden Auf-' lagerverticalen die Strecken m₁m2 und n.^2 ab, welche zu der Länge v y\ -f- y₂ -f y₃ zu addiren sind, um die der Gesammtbelastung entsprechenden Grössen AiN₁ und

A₂ m₂

dienen dann in bekannter Weise zur Bestimmung der Auflagermomente.

Fig. 132.

N.

n,

• 7vr''

'st

r.

•VW

2‘

j-..

k-

b,

ya

zu erhalten. Letztere

Fig. 133.

Auf solche Weise lassen sich die Auflagermomente eines continuirlichen Trägers bestimmen, von dem nur eine Öffnung belastet ist. Wie dieses Verfahren zur einfachen Ermittelung der Momente, Vertiealkräfte und Auflagerdrücke von ganz beliebig belasteten continuirlichen Trägern Verwendung finden kann, mögen nachfolgende Beispiele zeigen:

I. Ein continuirlicher Träger von vier Öffnungen ä 5 m, 6 m, 5,5 m und 6,5 m Spannweite ist durch gleichmässig verteilte Last von 400 kg per Meter total belastet. Man bestimmt zunächst die Eixpunkte des Trägers (Fig. 1 Taf. I), zeichnet mit Hülfe der Kräftepolygone (Fig. 2a bis Fig. 2d), welchen bei einer Poldistanz = 15 mm ein Kräftemassstab 1 mm = 40 kg zu Grunde gelegt wurde, die Momentenflächen der einfachen Belastung (Fig. 2) und construirt nach S. 140 für jede Öffnung die durch die Belastung des

betreffenden Feldes bei sonst unbelastet gedachtem Träger hervorgebrachten Auflagermomente. Auf Grund letzterer können nun nach Fig. 123 mit Hülfe der Fixpunkte die durch dieselben an sämmtiichen übrigen Stützpunkten erzeugten Momente bestimmt und somit die Auflagermomente der Gesammt-belastung in der Summe der zusammengehörigen Einzelmomente erhalten werden. Die Summirung wird zweckmässig auf folgende Weise vorgenommen: Man trägt (Fig. 3 Taf I) von den Auflagerpunkten B, C und D aufwärts an die Momente Bb₍, ÜCj, D d₍ auf, welche durch die links von genannten Stützpunkten befindlichen Lasten hervorgebracht sind, und trägt ferner abwärts an die Momente Bbr, Ccr, J)dlt die über den Stützen B, C und D durch die rechts befindliche Belastung entstehen. Das Auflagermoment Bbt . erzeugt in C ein Auflagermoment Cy (Fig. 2) von entgegengesetztem Vorzeichen, welches, sich durch den Schnitt der Verbindungslinie btF₂" mit der Verticalen bei G ergibt. Dieselbe Länge wird erhalten, wenn man (Fig. 3) die Gerade Bc{ zieht und deren Schnittpunkt mit der Verticalen durch F₂" mit dem Punkte bt verbindet; dadurch erhält man zugleich CcL als Summe der durch die Belastungen von A B und B C im Punkte C hervorg-ebrachten Auflagermomente. Letztere hat nun in D das Moment dtdt zur Folge, so dass Ddj Auflagermoment der gesammten, links von D befindlichen Last. .Ebenso sind DdVJ Cc₂, Bbt der Beibe nach die Auflagermomente der rechts von D, C und B vorhandenen Lasten, so dass b^, c₂c, und drd, gleich den resultirenden Auflagermomenten über den drei Mittelstützen Diese werden (Fig. 2) nach BB'. CC' und DD' aufgetragen, wodurch sich die coinplemen-tären Trapeze und die verschobenen Grundlinien AB', B'C', C'D' und D'E ergeben, auf welche die Seilparabeln der einfachen Belastung zu beziehen sind, um für alle Querschnitte des continuirlichen Trägers die Angriffsmomente zu erhalten. Entsprechend den Bestimmungen bezüglich des Längen- und Kräftemassstabes und der Poldistanz sind die Momente im Massstab 1 mm =

60 mkg zu entnehmen.

Um die Verticalkräfte für alle Querschnitte zu erhalten, bestimmt man zunächst diejenigen der Auflagerpunkte. Sie ergeben sich, wenn man in den einzelnen Kräftepolygonen Parallele zu den entsprechenden Schlusslinien zieht, nämlich Cfiti || AB', 0₂t₂ || B'C u. s. f. Es ist t,vx gleich der Verticalkraft bei A, gleich der Sttitzenreaction daselbst; t,wx gleich der Verticalkraft unmittelbar vor, t₂v₂ gleich der Verticalkraft unmittelbar nach B u. s. f., und wenn (Fig. 4) Aa = QVj, Bb' = QWx, Bb" = t₂v₂₎ Cc' = t₂w₂ etc. aufgetragen werden, so erhält man die Linie A ab'b"c'c" d'd" eE der Verticalkräfte. Damit sind zugleich auch sämmtliche Stützendrücke bestimmt; denn bezeichnet V" die Verticalkraft unmittelbar links einer der Mittelstützen, z. B, B, und V' die Verticalkraft unmittelbar rechts derselben, so muss V' = V" -f- B oder B

sein. Daher

B = Bb" — Bb' = Bb"-f b'B = IVb"

ebenso

c' c"

und

d' d".

Die Inflexionsquerschnitte werden durch die Schnittpunkte der Grundlinien AB', B'C', C' D' und D'E mit den Momentenparabeln bestimmt; sie teilen den Träger in die sog. inneren Teile mit positiven und in die äusseren Teile mit negativen Momenten. Zieht man parallel den Grundlinien Tangenten an die Seilparabeln der Belastung, so bestimmen die Vertioalen der betreffenden Berührungspunkte die Querschnitte der grössten positiven Momente und zugleich die Schnittpunkte der Linie der Verticalkräfte mit der Axe X. Die negativen Maxim a der Momente entsprechen offenbar den Auflagerquerschnitten, wo zugleich die grössten Werte der Verticalkräfte auftreten.

II. Ein continuirlicher Träger mit fünf Öffnungen (Fig. 1 Taf. II), von denen die vier äusseren 3 m Spannweite haben, die Mittelöffnung aber 3,75 m, ist durch eine Anzahl gleicher und gleichweit von einander entfernter Lasten beansprucht. Da die einzelnen Spannweiten sammt ihren Belastungen symmetrisch zur Trägermitte, so sind die Fixpunkte (Fig. 1) nur für die eine Trägerhälfte zu bestimmen, die übrigen ergeben sich aus der Symmetrie. Mit Hülfe der Kräftepolygone (Fig. 2a und 2b) werden die Momentenfiguren der einfachen Belastung construirt und nach S. 141 in Fig. 2d und 2° die den separat belasteten Feldern entsprechenden Auflagermomente. Die resultirenden Stützenmomente ergeben sich sodann wie oben aus Fig. 3 und hiernach die in Fig. 2 eingezeichneten complementären Trapeze und die Linie der Verticalkräfte.

¹

Siehe Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisenconstructionen, Zeitschr. d. Areh.- u. Ingen.-Vereins zu Hannover, 1868.

C. Maximalmomente und Verticalkräfte bei beweglicher Belastung.

Um für jeden Querschnitt    und Vmax zu erhalten, untersuche man

niu .

ähnlich wie S. 104 und 115 den Einfluss, welchen eine Einzellast je nach ihrer Stellung auf einen gegebenen Querschnitt äussert. Sobald dies festgestellt ist, lässt sich hieraus auf jene Art der Verteilung einer grösseren Anzahl von Lasten schliessen, welche in einem gegebenen Querschnitt + und + Vniax- zur Folge hat.

1. Momente:

a) Der Querschnitt befindet sich zwischen den Fixpunkten einer Öffnung.

Wenn in diesem Falle die Last einen beliebigen Punkt C derselben Öffnung zum Angriffsort hat (Fig. 134), so entsteht eine nach oben zu bestimmende Momentenfigur, bestehend aus den negativen Teilen AA'J, B B' K und dem positiven Teil J L K. der Construction der Momentenfigur hervor, dass, welches auch die Lage von

Sind F' und F" die Fixpunkte, so geht aus

nur

aber in den von den Fixpunkten eingeschlossenen Trägerteil F'F" ein-treten können. Deshalb wird jede

Q innerhalb der Spannweite sein möge, die Inflexionspunkte J und K immer zwischen A und F' beziehungsweise F" und B sich bewegen, niemals

Fig. 134.

in die Spannweite A B eintretende Last zur Vermehrung der positiven Momente sämmtlicher Querschnitte der Strecke F'F" beitragen und eines jeden Querschnittes genannter Strecke bei totaler Belastung der Öffnung erhalten werden.

Wenn die Last ausserhalb des Feldes steht, in welchem sich der gegebene Querschnitt befindet, so hat man zunächst die stets negativen Auflagermomente der belasteten Öffnung zu bestimmen und findet hieraus die Momente sämmtlicher übrigen. In jedem der unbelasteten Felder tritt nur ein Inflexionspunkt auf und zwar sind die Fixpunkte F' zugleich Inflexions-pnnkte für die links von der belasteten Öffnung gelegenen Felder, die Fix-

max.

<?!

JL

<3---

jt

» \S-

<S—V-

F"

TV

B'

Fig. 135.

'za

vt7

punkte F" aber Inflexionspunkte für die rechts sich anschliessenden Öffnungen. Die Vorzeichen der Momente zwischen je zwei solchen Inflexionspunkten wechseln regelmässig⁻ ah, so dass in dem inneren Trägerteil einer Öffnung Momente von gleichem Vorzeichen niemals bei gleichzeitiger Belastung zweier angrenzender Öffnungen entstehen können, sondern nur wenn auf einander folgende Felder abwechselnd belastet sind.

Es entstehen also in dem zwischen den Fixpunkten einer Öffnung gelegenen Trägerteil die grössten positiven Momente,

Fig. 136.

.5

]I11

Fig. 137.

zv

wenn die Öffnung voll belastet ist und die übrigen Öffnungen abwechselnd teils vollständig, teils gar nicht belastet sind (Fig. 136), dagegen treten die grössten negativen Momente desselben Trägerteiles auf, wenn innerhalb der betrachteten Öffnung keine Last sich befindet und die übrigen Felder abwechselnd durch Vollbelastung beansprucht werden (Fig. 137).

b) Der Querschnitt befindet sich zwischen dem Auflager und dem Fixpunkte F' eines Feldes.

Hier treten je nach der Lag-e von Q bald positive, bald negative Momente auf. Sind J und K die Inflexionspunkte, wrelche dem Lastangriffsorte C entsprechen (Fig. 134), so wird eine Verschiebung der Last Q nach rechts in .T ein negatives, in K ein positives Moment erzeugen, während eine Verrückung der Last nach links ein umgekehrtes Resultat zur Folge haben wird. Ist J ein gegebener Querschnitt, so stellt deshalb C für denselben eine Belastungsgrenze in der Weise vor, dass, wenn die Strecke A C möglichst stark belastet wird, CB aber nicht, in .T ein positives Maximum des Momentes entsteht, dass dagegen in J das grösste negative Moment hervorgebracht wird, wenn C B ausschliesslich belastet erscheint. Für den Querschnitt K gilt das Umgekehrte.

Für jeden Querschnitt J eines äusseren (zwischen Fixpunkt und Auflager befindlichen) Trägerteils existirt also ein bestimmter Punkt C, welcher die betrachtete Spannweite in zwei Teile teilt; die Lasten desjenigen Teils, welcher den Querschnitt enthält, bringen im Querschnitt positive, die Lasten des anderen Teils negative Momente hervor. Die übrigen Felder sind derart abwechselnd zu belasten, dass an den unbelasteten Teil des betreffenden Feldes ein belastetes und an den belasteten Teil ein unbelastetes Feld sich anschliesst (Fig. 138 und 139).

Fig. 138.

nF

Fig. 139.

zrt?

W/mm.

wenn

Bei gleich massig verteilter Belastung findet das grösste Moment des Trägers immer über einer Stütze statt, und man hat daher nur die Maximalwerte der Stützenmomente zu untersuchen. Das Moment über einer Stütze aber wird zum Maximum die beiden angrenzenden Felder belastet und die folgenden Felder abwechselnd belastet sind.

2. Verticalkräfte.

Wirkt eine Einzellast Q rechts von einem gegebenen Querschnitt C eines bestimmten Feldes, so entsteht im Querschnitt eine positive Verticalkraft; wirkt sie links, so ist die Verticalkraft negativ. Es wird deshalb (wie beim einfachen Träger) die Verticalkraft für einen Querschnitt zum positiven oder negativen Maximum, wenn sich die Belastung vom Querschnitt bis zum rechten oder linken Ende des Feldes erstreckt.

Gehört der Querschnitt einem der übrigen Felder an und denkt man sich dasselbe nicht belastet, so ist für jeden Querschnitt des Feldes V gleich V'. V' aber ist positiv, wenn das links neben dem fraglichen Felde liegende Feld belastet, das rechts neben demselben liegende aber nicht belastet ist und wenn ausserdem alle übrigen Felder abwechselnd belastet sind. Negativ wird V', wenn die umgekehrte Belastungsweise stattündet. Hieraus folgt: Die Transversalkraft wird zum positiven Maximum, wenn der rechts vom gegebenen Querschnitt befindliche Trägerteil und das links an-stossende Feld belastet sind, wenn ferner das rechts angrenzende Feld nicht belastet ist und alle übrigen Felder abwechselnde Belastung zeigen. Zum negativen Maximum wird die Verticalkraft eines Querschnitts bei umgekehrter Belastung'

Die positive (nach aufwärts gerichtete) B,eaction einer Stütze wird zum Maximum, wenn das Moment über dieser Stütze seinen grössten Wert erreicht, zum Minimum, wenn die beiden angrenzenden Felder unbelastet sind und von da abwechselnd je ein Feld belastet und das folgende unbelastet ist.

III. Abschnitt.

•fr

Verbindungen der Constructionsteile, einfache Construdionen.

§ 1. Holz Verbindungen.

Verlängerungen. Zur Verbindung zweier Balken nach ihrer Längenrichtung wird häufig das sog. Hackenblatt (Fig. 140) angewendet, welches sowohl zur Übertragung von Zug- als Druckkräften dient.

Im ersteren Falle, bei Zugbeanspruchung, ist zu berücksichtigen, dass

die Balken auch an der durch die Überblattung am meisten ver-schwächten Stelle Quersclmitts-fläche genug besitzen müssen, um die Zugkraft P ohne Überschreitung der zulässigen Beanspruchung aufzunehmen. Massgebend für die Berechnung des Balkenquerschnitts ist daher die Gleichung:

Fig. 140.

T<r~

p-------;

Pl.j

h'ba = P.

Soll nun P von einem Balken auf den andern übertragen werden, so findet Scherbeanspruchung nach den Flächen m n und o p, ferner Druckbeanspruchung bezüglich der Fläche mo statt. Wenn gleiche Sicherheit gegen Abscheren wie gegen Zerdrücktwerden verlangt wird, so muss die Bedingung:

eby = ab.ß

erfüllt, werden.

Da für Holz annähernd y =

ß (s. S. 79), so ergibt sich: e = 5a.

Gewöhnlich wird a = — gewählt, dann folgt:

1,25 h.

Häufig wird, um Lockerungen durch Formänderungen des Holzes auszu-schliessen, die Verbindung durch Schraubenbolzen noch weiter verstärkt, Wenn bedeutende Zugkräfte zu übertragen sind, so wird die Verbindung beider Balken mittels schmiedeiserner Schie- ^ nen (Laschen) und Bolzen bewerkstelligt (Fig. 141).

Ist b die Breite der Laschen und c die Stärke derselben ferner d den Bolzendurchmesser, so ergeben sich die Dimensionen der Laschen und der Bolzen aus den Gleichungen:

Fig. 141.

::

>r

■"T

<—>r-

bezeichnet

und

Ist endlich e der Abstand der Bolzenmitte vom Stoss und e' der Abstand der Bolzenmitte vom Ende der Lasche und bezeichnet y' die zulässige Scherbeanspruchung des Holzes, so müssen, wenn ein Ausschlitzen der Balkenenden sowie der Laschenenden vermieden werden soll, die Bedingungen erfüllt werden:

2 e h. y' = P

und

4 e'. cy = P.

Fig. 142.

Verzapfungen. Zur Verbindung zweier rechtwinklig zu einander gestellten Balken dient der sog. gerade Zapfen (Fig. 142), welcher besonders bei den Etagenbalkenlagen gewöhnlich zur Auflagerung der Wechselbalken in den Hauptbalhen verwendet wird.

Ist der Wechselbalken belastet, also auf Biegung beansprucht, so ist der auf den Hauptbalken übertragene Auflagerdruck zugleich die Scherkraft, welche den Zapfen angreift.

Bekanntlich verteilen sich die lotrechten (gleichwie die wagrechten) Scherspannungen nicht gleich-mässig über den Balkenquerschnitt, vielmehr ist das Verteilungsgesetz gegeben durch Gl. 39 S. 58. Die grösste Schubspannung findet in der Neutralaxe statt;

hier darf die zulässige Scherbeanspruchung des Materials nicht überschritten werden.

Ist b die Breite und h' die Höhe des Zapfens, so hat man nach Gl. 40:

wobei y die zulässige Scherbeanspruchung des Schmiedeisens und y' diejenige des Holzes bezeichnet.

§ 2. Schraubenbolzen- und Nietverbindungen.

Fig. 144.

p <-

oder

h'

2 b y’

Über den schrägen Zapfen, der zur Verbindung von Balken dient, welche unter einem spitzen "Winkel zusammenstossen, siehe S. 5.

Ist die von der Strebe übertragene Kraft P sehr bedeutend, so wird die Verbindung mit dem Tramen durch Versatzung bewerkstelligt, d. h. die

Strebe wird ihrer ganzen Breite nach in den Tramen eingelassen und durch einen Bolzen mit demselben verbunden (Pig. 143).

Zur Aufnahme der Horizontalcomponente P Oos cc des Strebendrucks P dient der Scherwiderstand des Bolzens und des vor der Ver-satzung befindlichen Balkenstücks.

Die Abscherungsfläche des Bolzens, dessen Durchmesser d, ist eine Ellipse von der Fläche d²7T

4 Sin s¹

Horizontalen bezeichnet. Die auf Abscheren beanspruchten Holzflächen, aus drei Rechtecken bestehend, sind zusammen: eb-f-2ec. Unter Vernachlässigung der Reibung hat man daher:

d²7t

Fig. 143.

i⁴

wenn s den Winkel des Bolzens mit der.

4 Sins

Y -b e (b -f- 2 c) y' = P Cos cp

oder

4 Sin s

7T y

[P Cos cp — e (b -f- 2 c) y'J ,

Sind zwei auf Zug beanspruchte Stäbe durch einen Schraubenholzen verbunden (Fig. 144), so wird letzterer auf Abscherung bean-P spracht. Wenn nun Fi den mit Rücksicht auf die vorhandene Krafteinwirkung P

erforderlichen S t a b quersclmitt (die Zugfläche) bezeichnet , so bestimmt sich, da die Scherfestigkeit gleich Bolzens aus:

der Zugfestigkeit, der Querschnitt F des

Ahüi

(175

oder, wenn d der Bolzendurchmesser,

d²xc

d. i.

d = 1,261 Ve\.

(175¹

Selbstverständlich muss der Stabquerschnitt auch an der Verbindungsstelle mindestens gleich F, sein und ferner auch Sicherheit gegen Äbscheren, d. h. Ausschlitzen der ringförmigen Stabenden bestehen.

Ziehung gilt:

In letzterer Be-

oder

2 a e y == Ft a

d. i.

2 a e | a — Ft a,

oopi

y.A«

ab

(176

Die BolzenVerbindung Fig. 144 wird einschnittig genannt, indem hier der Bolzen nur nach einer Schnittfläche auf Abscheren beansprucht wird.

Fig. 145.

Bei der Anordnung Fig. 145 wird im Falle des Abscherens der Bolzen nach zwei Schnittflächen

p <■

•ü§

|cr

ip

getrennt, weshalb diese Verbindung doppelschnittig genannt wird. Hier ist:

oder

Ö*J ⁴ 2

d. i.

d = 1,261

d. i.

Bei v-schnittiger Verbindung hat man :

A —

⁴ V’

d = 1,261

Vt-

(177

Nietverbindungen.

Gesammt-Quer schnitt der Nieten. Die gesammte Querschnittsfläche F der für irgend eine Verbindung von Stäben oder Blechen erforderlichen Nieten ergibt sich analog den Gleichungen 175 und 177

bei einschnittiger Vernietung: F = |F

4v

bei v - schnittiger Vernietung: F =

wobei F, den mit Rücksicht auf die vorhandene Beanspruchung' erforderlichen Stabquerschnitt bezeichnet.

Zahl der Nieten. Die nötige Zahl s der Nieten folgt dann, wenn d der Nietbolzendurchmesser, aus:

d² TZ

s T

daher für einschnittig'e Vernietung:

TZ

= 1,591

P-*|

(178

und für v-schnittige Vernietung:

(179

“T2 = 1,591

TZ v d²

5 F,

vd²'

Durchmesser der Nietbolzen. Je grösser der Durchmesser d der Nietbolzen gewählt wird, desto mehr Kraft wird auf die Lochwandungen übertragen, desto mehr wächst also die Gefahr des Aufquetschens der Lochränder und des Stauchens der zu verbindenden Bleche. Wird nach den Versuchen von Gerber angenommen, dass die Flächeneinheit der Projection der Locbwandung (auf eine senkrecht zur Längsaxe der verbundenen Stäbe oder Bleche befindliche Ebene) nicht über das Doppelte der Zugbeanspruchung angestrengt werde, so ergibt sich, wenn a die Blechdicke,

d²7t _

| a < da. 2 a.

d. i.

(180

d < 3,2 a.

(Bei mehrschnittiger Verbindung ist a die Blechdicke der einschnittigen Vernietungen, in welche jede v-schnittige zerlegt werden kann). In der Regel wird d = 1,5 a bis höchstens d = 3 a angenommen.

Nach Unwin ist annähernd d < 1,9a zu setzen.

Gruppirung der Nieten bei Stabnietungen. Bei der Verteilung der Nieten hat man möglichst auf eine symmetrische Anordnung zur Stabaxe Rücksicht zu nehmen.

Die Vernietung wird einfach, doppelt oder u.-tach genannt, je nachdem in der Kraftrichtung ein, zwei oder ;j, Nieten (resp. Nietreihen) auf einander folgen.

Ist* ein Stab mit einem unelastischen Körper mehrfach vernietet, so nimmt nur die nach der Kraftrichtung hin gelegene äusserste Niete oder Nietreihe die ganze Kraft auf, während die übrigen wirkungslos bleiben. Es ist daher bei Verbindung von ungleich elastischen Materialien oder auch von solchen Stäben, welche zwar gleiche Elasticität besitzen, aber in Folge ungleicher Stärke oder Befestigungsweise verschieden nachgeben, die einfache Vernietung die zweckmässigste. Bei gleicher Elasticität und Formänderung der verbundenen Stäbe kann nach den hierüber vorhandenen Versuchen angenommen werden, dass, wenn die Vernietung doppelt ist, noch eine gleich-mässige Anstrengung der einzelnen Nieten stattfindet. Ist die Vernietung eine drei- oder mehrfache, so tritt eine ungleichmässige Verteilung der Beanspruchung zu Ungunsten der (nach der Kraftrichtung) äussersten Nieten ein.

Als nutzbare Querschnittsfläche eines Stabes ist der Stabquerschnitt nach

Abzug der Nietöffnungen im ungünstigsten Schnitt zu betrachten. Bei der Ermittelung des letzteren hat man nicht allein die Nietlöcher des Querschnitts, sondern auch die auf denselben wirkende

Fig. 146.

Kraft ins Auge zu fassen. So ist beispielsweise in der Verbindung Fig. 146 ^r der Querschnitt 2II nicht ungünstiger beansprucht , als die Querschnitte 11 und 3III. Denn wenn auch Schnitt 2II zwei Nietöffnungen, also eine um d geringere effective Breite als Schnitt II besitzt, so ist doch auch die auf 2II wirkende Kraft um denjenigen Teil vermindert, welcher von der Niete des Querschnitts 11 aufgenommen wurde, so dass für sämmtliche Querschnitte nur je eine Nietöft'nuug als Verschwächung zu rechnen

-e-

e-e-

-e-

ist und F, = (b — d) a als nutzbare Querschnittsfläche gilt.

Mit Rücksicht hierauf sollte die Anzahl der Nieten in zwei auf einander folgenden Reihen nie um mehr wachsen, als die Anzahl der Nieten in der äussersten Reihe beträgt. In letzterer werden alsdann zweckmässig möglichst wenig Nieten angeordnet.

Unter der Voraussetzung, dass die Kraftverteilung über die einzelnen Nietquerschnitte eine gleichmässige ist, kann angenommen werden, dass auf jede Niete die Beanspruchung eines Stabstreifens wirke, dessen Breite b' bestimmt ist durch:

d²7i

a — b'aa,

d. i.

7i d²

5 a

wenn d Nietdurchmesser und a Blechdicke bezeichnen.

d²

= 0,628 —

Man kann sich nun vorstellen, der Stab sei in Stränge von der Breite \ b' zerlegt, welche sich in der aus den Figuren 147 und 148 ersichtlichen Weise um die einzelnen Nieten schlingen. Es wird hiedurch die Beurteilung

Fig. 147.

Fig. 148.

zw

WZZV

o:

Cb

über die Zweckmässigkeit der Anordnung einer Nietengruppe wesentlich erleichtert.

Die Minimaldistanz e der Nieten (oder Nietreiheu) in der Kraftrichtuug sowie der Abstand der letzten Niete vom Blechrande bestimmt sich mit Rücksicht auf Sicherheit gegen Ausschlitzen der Stäbe, und es wird in der Regel angenommen, dass die Nieten die Stäbe nach Ebenen, parallel zur Kraftrichtung abzuscheren versuchen. In diesem Falle hat man, wenn als abzuscherende Stabteile nur die in Fig. 149 schraftirten Flächen zwischen Tangenten an den Nietlöchern betrachtet werden,

d² 7t

T a

Fig. 149.

’-e-i

Cf —

2ea «,

c< —

d. i.

d²z

(182

Fig. 150.

Aach Versuchen von Unwin erfolgte der Bruch gleichzeitig nach den in Big. 150 angedeuteten Richtungen. Angenommen, das Metall vor dem Niet befinde sich in der Lage eines mit beiden Enden eingespannten Balkens von der Stützweite d, so ist das grösste Biegungsmoment bei concen-

trirter Belastung gleich

Qd da7r d 4 a 8‘

während das Widerstandsmoment des Querschnitts vor dem Niet gleich

a a e².

Aus der Gleichsetzung beider Werte folgt:

(183

0,686 d]/”—

Las ch eil-Nie tu ng. Dieselben Regeln, welche für die einfache Über-plattungsnietung (Fig. 146) gelten, finden Anwendung auch für die Laschennietung

Vernietung ganzer Bleche. Die doppelte Vernietung (zwei Nietreihen) ist hier der einfachen (eine Reihe Nieten) vorzuziehen, indem die Kraftverteilung noch gleichmässig bleibt, die Verminderung des nutzbaren Querschnitts durch die Nietöffnungen aber geringer ist.

Fig. 154.

(Fig. 151), bei welcher die zusammenzusetzenden Bleche zwischen denselben Ebenen liegen und die Verbindung mit Hilfe einer Stossplatte (Lasche) bewerkstelligt wird.

Es ist leicht einzusehen, dass jede einfache Laschenverbindung in zwei einfache Überplatt-ungsnietungen (zu beiden Seiten von mn) zerlegt werden kann, dass also bei sonst gleichen Verhältnissen die Vernietung mit einfacher Lasche doppelt so viel Nieten erfordert als die einfache Überplattungsnietung.

Die Doppellaschen-Nietung (Eig. 152) gewährt ausser dem Vorzug einer gleichmässigeren Kraftübertragung auch den Vorteil, dass die Nieten als doppelschnittige auf-treten. Für doppel- und mehrschnittige Vernietungen sind, wie oben erwähnt, alle vorstehenden Formeln anwendbar, wenn für a die Plattendicke der einschnittigen Vernietungen eingeführt wird, in welche jede mehrschnittige zerlegt werden kann.

Fig. 151.

r\

-Hü

•Hü

Xy

VH

Fig. 152.

xy

t7

Fig. 153.

iO

e,

i0O

&

te

too

6

‘GO

VH

VH vH

Die Entfernung et der Nieten (also hier auch die Nietzahl) folgt aus der Bedingung, dass gleiche Sicherheit gegen Abscheren der Nietbolzen wie gegen Zerreissen der Bleche stattfinden soll. Es gilt daher:

für einfache Vernietung (Fig. 153):

d² 71 -. 4 a 4    ³

= (e,— d)aa,

und für doppelte Vernietung (Fig. 154):

_ d²7:

2--

.4a = (e, — d) a a,

daher für einfache V ernietung:

e,

d(!+ 0,628 |)

(184

lind für doppelte Vernietung:

(185

d (l + 1,256---)

Das Verhältniss des durch die Nietöffnungen verschwächten (nutzbaren) Querschnitts zu dem ursprünglichen ist

bei einfacher Vernietung:

e, — d

(186

1 + 1,592

bei doppelter Vernietung¹:

aT

. Ca

■a

1 4- 0,796

Es em-

Bei Constiaictionsteilen, die auf Druck beansprucht sind, tritt, streng genommen, eine Querschnitssverminderung durch Nieten nicht, ein. pfielilt sich indessen, da ein vollständiges Anliegen der Nietbolzen an den Lochwänden nicht zu erwarten ist, wenigstens einen Teil der Nietlöcher, etwa die Hälfte, von dem vollen Querschnitt 'in Abzug zu bringen.

§ 3. Unterlagsplatten für Träger und Säulen.

Träger erhalten häufig, Säulen immer Unterlagsplatten, deren Zweck es ist, den vom Träger oder von der Säule ausgeübten Druck auf eine grössere Fläche des darunter befindlichen Mauerwerks zu übertragen und auf solche Weise übermässige Beanspruchungen desselben zu vermeiden. Die (Trosse der Unterlagsplatte muss so bemessen werden, dass die zulässige Druckbeanspruchung des Mauerwerks nicht überschritten wird; für die Bestimmung der Stärke der Unterlagsplatte sind die in derselben auftretenden Schub- und Biegungsspaunungen massgebend.

t Ist P der Auflagerdruck eines T-Trägers (Fig. 155), so wird, wenn P in der lotrechten Schweraxe der Unterlagsplatte wirkt, eine gleichmässige Druckverteilung stattfinden und -die Fläche F der Platte aus der Gleichung: daher, wenn d die Plattendicke und d die zulässige Biegungsbeanspruchung des Plattenmaterials,

a²

Ph |oq-

zu bestimmen sein, wobei ß die zulässige Beanspruchung des Mauerwerks bezeichnet.

Es erleiden nun die über den Trägerkanten beiderseits vorstehenden Teile der Unterlagsplatte Schub-und Biegungsbeanspruchungen, welche ihren grössten Betrag in den beiden Querschnitten MN erreichen.

Der Querschnittsbestimmung sind die Biegungsspann-ungen als die stärkeren zu Grund zu legen.

Das grösste Biegungsmoment ergibt sich, da der Fall des einseitig eingespannten und durch gleicli-mässig verteilte Last beanspruchten Trägers vorliegt:

a² e

Fig. 155.

WBBiWiiijPWWi . i b *    .

ea

ß-

tO A3

ß,

8. e d² =

oder

a|/3

O?! td

(188

Bei gusseisernen IJnterlagsplatten ist d — 250 kg pro qcm zu setzen.

Fig. 156.

|\

Gusseiserne Säulen erhalten Pussplatten, welche gleichfalls aus Gusseisen bestehen. Wenn die Ausladung der Platte gering ist, wird Säule und Ftiss aus einem Stück gegossen, wobei jedoch der Hohlraum der Säule auch durch die Fussplatte fortgesetzt wird. Bei grösseren Dimensionen der Platte wird diese besonders gegossen und die Säule stumpf aufgesetzt.

N>-

w__.

Ist die Fussplatte der Säule quadratisch, so erhält man für den Querschnitt MM (Fig. 156) wie oben das grösste Biegungsmoment:

a² e

USX.

und die Plattendicke:

Vs

0*1-CO

30

Qi

(190

Bezüglich des Querschnitts N N ergibt sich eine geringere Plattendicke als bezüglich des Querschnitts MM', weshalb Gl. 189 für die Berechnung von d massgebend ist.

Bei kreisförmiger Fussplatte (Pig. 157) ist für den Querschnitt MM annähernd:

aeß. | a,

Fig. 157.

Doteo

-ro

für den Querschnitt NN aber ist:

und

tu

a-

daher

ö.ie.d² = x^a²eß

und

d = 1,265 a

P-

(191

Die Werte von d, welche sich aus den Gleichungen 189 bis 191 ergeben, beziehen sich nur auf diejenigen lotrechten Plattenquerschnitte, welche sich unmittelbar an die Peripherie der darüber befindlichen Säule anschliessen. Am Bande der Platte hätte deren Stärke, streng genommen, gleich Null zu sein, wird aber gewöhnlich gleich § d angenommen.

Für Gusseisen ist es üblich, d von 2 cm bis zu 5 cm anzunehmen, bei Schmiedeisen variirt d zwischen 1 und 3 cm.

Wächst die Beanspruchung derart, dass grössere Dimensionen erforderlich werden, so ist es angezeigt, die Fussplatten mit Verstärkungsrippen zu versehen.

Hier hat man vor Allem zu berücksichtigen, dass die Entfernung der

Rippen eine gewisse Grenze nicht überschreite, damit in den zwischen den Rippen befindlichen Plattenteilen keine grössere Biegungsbeanspruchung als die zulässige auftritt.

Fig. 158.

PA

Rr

Ist 1 die grösste Entfernung zweier benachbarter Rippen und d die Plattendicke (Fig. 158), so ist, da die Platte als ein zwischen den Rippen eingespannter Träger angesehen werden kann,

8. d² =

ßia

daher

(192

1 = 1,414 d

oder

cA-ro

cs

iTO

Zur Berechnung der Hippen selbst bestimme man den Schwerpunkt s der durch eine Hippe zu unterstützenden (in Figur 159 durch Schraffirung bezeiclineten)

Fläche F. Ist a die Entfernung des Schwer-

Fig. 159.

punktes dieser Fläche von der Säule, so ist das Maximalmoment F . ß . a , und wenn angenommen wird

v;

dass dasselbe von der Hippe allein, mit Vernachlässigung der Grundplatte aufgenommen wird, so ergibt sich für die Hippendimensionen d, und h die Gleichung:

S.ldji² = Fßa.

(194

§ 4. Verstärkte Holzbalkenträger.

Wenn ein Träger derart beansprucht ist, dass nicht leicht aus einem Baumstamm ein Balken von der erforderlichen Stärke hergestellt werden kann, so vereinigt man zwei oder mehrere bearbeitete Hölzer zu einem Ganzen, indem man sie an den Berührungsstellen mit zusammengepassten sägezähneförmigen Ausschnitten versieht und durch Bolzen verbindet (verzahnte Träger, Big. 160). Da es leicht vorkommt, dass in Folge ungenauer Arbeit zwischen den einzelnen Zähnen Lücken bleiben, so pflegt man letztere durch seitlich eingetriebene Keile von hartem Holz auszufüllen (Fig. 161).

Die correcte Bearbeitung der gezahnten Flächen ist immerhin mit Schwierigkeiten verbunden, daher man sich häufig darauf beschränkt, die Balken mit einander zu verdübeln (Figur 162). Hier werden zwischen die Berührungsflächen der zu verbindenden Hölzer prismatische oder schwach keilförmige Stücke (Dübel) aus hartem Holz eingebracht, wobei der Zweck der Dübel ist, gerade so wie bei der Verzahnung, die Verschiebung der Balken längs ihrer Berührungsflächen zu verhindern. Die Dübel werden abwechselnd bald von der einen, bald von der anderen Seite eingetrieben.

;;

-£r

Fig. 160.

-A

-f

—ü—O-

—n~

s-¹

Fig. 161.

Fig. 162.

Wäre es möglich, die beiden Hölzer so innig mit einander zu vereinigen, dass die dadurch entstehende Verbindung als homogener Körper betrachtet werden könnte, so würde das Widerstandsmoment des verzahnten oder verdübelten Balkens gleich o.^bh² zu setzen sein. Wären aber die beiden Hölzer ohne jedwelche Verbindung nur lose auf einander gelegt, so würde

= S.J^bh² sein.

das Widerstandsmoment gleich 2§.|b

Demgemäss erscheint es als zulässig, das Widerstandsmoment des verzahnten oder verdübelten Trägers, welches offenbar grösser als ö.^bh², jedoch kleiner als S.^bh² ist, gleich dem Mittelwert aus beiden, gleich S.^bh2 anzunehmen. Dies entspricht der Einführung eines verminderten Festigkeits-coefficienten o' = | d. Ist der Balken aus drei verzahnten oder verdübelten Stücken zusammengesetzt und verbolzt, so ist d' — 15 zu setzen.

Die Höhe z der Zähne berechnet sich nach der aufzunehmenden Sclmb-

Diese ist, wenn die Schubspannung auf die Zahnlänge e constant an-

kraft.

genommen wird, für die neutrale Faserschicht nach Gleichung 40¹:

s V „

⁵ h_e’

wobei für V der auf die Strecke e entfallende Mittelwert zu nehmen ist. Zur Bestimmung von z und e dienen sodann die Gleichungen:

S = bz. ß

und

S = be.y.

Häutig sucht man die Tragfälligkeit von zusammengesetzten Trägern dadurch zu erhöhen, dass man die Balken, aus welchen er besteht, durch Holzklötze trennt, welche in entsprechenden Zwischenräumen eingebracht werden.

Fig. 164.

Fig. 163.

A.

r,

I!

TA,

Ti]

Im Falle einer durch Bolzen hergestellten unverrückbaren Verbindung wird sich für die in Figur 163 dargestellte Anordnung das Widerstandsmoment

— . -i-b(li³ — h^) und für den dreifach zusammengesetzten Träger (Fig. 164)

cs

das Widerstandsmoment — .l-b(h³ — hj³ -f- h₂³) ergeben. Da indessen eine h

Lockerung der Klötze durch Schwinden zu berücksichtigen ist, so pflegt man für die Anwendung nur -§ dieser Werte in Rechnung zu bringen.

Bänder hergestellt ist. Auf

die übrige Länge werden die Trägerhälften durch kurze eingeschaltete Balkenstücke in bestimmten Abständen gehalten, von welchen der in der Mitte am grössten ist. Um die Tragkraft eines solchen Trägers zu ermitteln, hat man zu berücksichtigen, dass für beide Balken auch ohne Belastung allein durch die Art ihrer Zusammensetzung eine bestimmte Beanspruchung auf Biegung bedingt ist. Eine weitere Angriffnahme entsteht durch die Belastung und beide zusammengenommen dürfen die zulässige Biegungsspannung nicht überschreiten.

Wenn die Hölzer gleiclnnässig gebogen sind und a den Abstand ihrer Längenaxen in der Trägermitte bezeichnet, so kann jedes derselben als ein mit beiden Enden horizontal eingespannter Träger angesehen werden, dessen

durch eine in der Mitte wirkende Kraft K hervor

Eine andere Construction des zusammengesetzten Trägers ist der sogenannte linsenförmige oder gesprengte Träger (Fig. 165). Hier sind die beiden Balken, aus welchen sich der

Träger zusammensetzt, so gebogen, dass eine Berührung,

nur an den Enden stattfindet, ppj--

durch A

Fig. 165.

wo die Verbindung Schraubenbolzen und eiserne

___

⁽! P

tti'i

grösste Durchbiegung gebracht ist. Da unter dieser Voraussetzung

Kl³

192 s 0

und nach CU. 114:

0rcx

Kl

ferner nach G4. 10:

CO

CD

(mit r den Krümmungsradius der elastischen Linie bezeichnet), so ergibt sich :

CO P

1*

24 r

oder

l²

12 a’

Ist nun A 1 die Ausdehnung, welche die äusserste Faser in der Ent-

fernung m =

von der neutralen Faser durch die Sprengung erlitten hat

so muss:

6 01t h, b (hx³ — h?j‘

8" =

oder

Al

Al =

6 ah'

sein, daher die durch Sprengung- entstellende grösste Spannung:

6 ah's

1 $ = “T²“”'

Zur Bestimmung der durch die Belastung herbeigeführten Spannung 8" der äussersten Fasern dient, wenn 01t das Angriffsmoment für die Trägermitte (Fig. 166) bezeichnet, die Gleichung:

Fig. IGO.

h’

oder

daher

Al

8"

ICH

0 = 01t

2 8"

h, ' 12

bö Ob³ — h₂s) = 01t,

Da nun 8 > 8' -f- 8" zu sein hat, so erhält man:

6 all' s

i²

4-

oder, da a = lit — h',

6 01t hj

b(‘h? —h?j

6 (ht — h') h' s

6 01t h.

l²

b(h,³ —h₂³)’

(195

welche Gleichung zur Bestimmung des Querschnitts der Trägermitte benützt werden kann.

Für irgend einen anderen Querschnitt mit dem Angriffsmoment 01t' ist, wenn F die Querschnittsfläche e i n e s der beiden Tragbalken und a' den Abstand der Schwerpunkte beider Flächen bezeichnet,

F 8 a' = 01t'

oder

01t'

a; = —-

F8*

Da für den Querschnitt der Trägermitte in gleicher Weise

01t

a FS’

so ergibt sich:

01t'

T Ä erc’

d. h. die Trägerhöhen sollen sich verhalten wie die Angriffsmomente.

a'

li

§ 5. Balkenträger mit Sattelhölzern.

Fig. 167.

Xj

Wenn Balken über Stützen gestossen werden, so verbindet man dieselben ’ häufig durch kurze, unter dem Stoss anzubringende Balkenstücke, welche Sattelhölzer genannt werden, und mit dem Balken durch Schraubenbolzen verbunden sind (Big. 167). Könnten dieselben so unbiegsam construirt und mit den Balken so fest verbunden werden,-dass die Enden derselben in horizontaler Lage erhalten würden, so wäre offenbar 'jedes Feld des Balkens als Träger mit wagrecht eingespannten Enden zu betrachten und zu berechnen.

Weil jedoch das Sattelholz elastisch ist und die Biegung des mit ihm fest verbundenen Balkens teilt, derart,' dass die eine Hälfte desselben nicht abwärts gebogen werden kann, ohne dass die andere Hälfte einen Druck nach oben ausübt, so muss die Combination

auf den continuirlichen Träger zurückgeführt werden. Das grösste negative Moment tritt dann über den Stützen, das grösste positive innerhalb des Feldes auf. Wird ersteres mit SK, , letzteres mit 9fö₂ bezeichnet, so ist bekanntlich 9TX > 9TL₂. Da nun an der Stelle des Stosses über der Stütze der widerstandsfähige Querschnitt lediglich aus dem des Sattelholzes besteht, so berechnen sich Höhe h, und Breite b desselben aus der Gleichung:

0^ = S.ibh,²,

während die Höhe h₂ des Tramens durch

9K, = 8.1 bh₂²

bestimmt ist. Hieraus ergibt sich:

h,² : h₂² = 9K, : 9TCS

und die Querschnittshöhe des Sattelholzes:

(196

1/911) \ 9K7

Ist jede Hälfte des Sattel-

Berechnung der Schraubenbolzen, holzes durch zwei Schraubenbolzen mit dem Tramen verbunden und bezeichnen

a! und a₂ die xAbstände der Schraubenbolzen vom Ende des Sattelholzes, Z, und Z₂ aber die durch das Biegungsmoment in denselben entstehenden Zugkräfte, so ist:

Öllj = Z₍at -f- Z₂a₂. Aus dieser Gleichung in Verbindung mit:

Z, : Z₂ = ax : a₂

ergibt sich:

und

Z, =

01t, a,

a,¹ + U¹

Z₂ =

91t, a₂

(197

ai² 4 a/

Sattelhölzer und Streben. Zur Unterstützung der Unterzüge und Sattelhölzer werden sehr oft kurze, in schräger Richtung gegen die Säulen sich stemmende Streben, Kopfbügen genannt, angebracht (Fig. 168). Die-

Fig. 168.

Ir,

rt

L...

•4-4

z' -

selben erhalten das Sattelliolz in horizontaler Lage, so dass der darüber befindliche Tramen als ein über den Stützen wagrecht eingespannter Balken zu betrachten. ist. Demnach ist bei gleichmässig verteilter Belastung für die Endfelder:

SK«

ql,²

ax.

und für die Zwischenfelder:

wobei 1, und 1 die freie Spannweite der Felder je zwischen den Kopfenden der Streben bezeichnen. Wenn die Tragbäume über den Sattelhölzern ge-

stossen sind, so haben letztere das Auflagermoinent

Jl L

und es bestimmt sich daher der Querschnitt der Sattelhölzer aus der Gleichung:

dl²

allein aufzunehmen

S.ibh¹ =

ql⁹'

12'

<ZT

Der von jeder Strebe aufzunehmende Verticaldruck ist gleich wenn

Li

mit 1' die Entfernung der Stuhlsaulen bezeichnet wird. Dieser Druck zerlegt sich in zwei nach der Richtung der Kopfbiige und des Sattelliolzes wirkende Componenten N und H (Fig. 169):

Fig. 169.

ql'

gleich

q 1' a

Na

ß Cos a

Das Volumen ist also variabel mit dem Neigungswinkel a und wird ein Minimum, wenn Sin 2 a seinen grössten Wert erreicht, d. i. für a = 45°.

Durch H wird das Ende des Sattelholzes auf Schubfestigkeit beansprucht, und es muss, damit ein Ausschlitzen dieses Balkenkopfes nicht eintrete, die Bedingung e b. y = H erfüllt werden.

Wird ein Deckenträger durch Säulen unterstützt, welche ohne Anwendung von Sattelhölzern mit Kopfbögen versehen sind (Fig. 170), so ist der Träger, streng genommen, als ein in A, A', B, B', B", C u. s. f. unterstützter con-tinuirlicher Tragbalken zu betrachten, dessen Teile A'B, B"C u. s. f. gleich-

„ a

F.----

Cos a

ß. 2 Sin a Cos a

q 1' a ß Sin 2 a

Fig. 170.

ALÜ

:.a

ifizpz

zeitig durch die Horizontalprojectionen der Strebendrücke auf Pressung in der Längenrichtung beansprucht sind. Man begnügt sich in solchen Fällen, die Dimensionen unter der Voraussetzung zn berechnen, dass der Tragbalken aus mehreren Stücken zusammengesetzt sei, wobei sich dessen Querschnitt nach Massgabe der am meisten beanspruchten Teile A'B, B" C etc., welche jetzt als einfache, frei aufliegende Träger erscheinen, bestimmt.

§ 6. Balken in geneigter Lage bei verschiedener Art der

Unterstützung.

Ein schwerloser Balken AB (Fig. 171), welcher in einem bestimmten Punkte E durch ein angehängtes Gewicht belastet ist, ruhe mit beiden Enden auf zwei festen Ebenen CA und CB, die mit der Verticalen die Winkel a und ß einschliessen. Die Beactionen Wt und W₂ der Unterlagen bestehen aus den normal zu denselben wirkenden Gegendrücken und aus der längs derselben auftretenden Reibung. Soll der Balken sich im Gleichgewicht befinden, so müssen W,, W₈ und Q sich in einem Punkte schneiden. Wenn dieser Punkt D' so gelegen ist, dass die nach den Berührungsstellen A und B gezogenen Geraden normal gerichtet sind zu C A und C B, dann wird Gleichgewicht stattfinden unabhängig von der Reibung, welche in diesem Palle nicht zur Wirkung kommt; wenn dagegen die Kraftlinie Q seitwärts von D' sich

Fig. 171.

-4~

“A3

befindet, so wird Reibungswiderstand in Anspruch genommen werden. Nimmt man nun an, die Flächen C A und C ß beständen aus dem gleichen Material, in welchem Falle der Reibungswinkel für beide gleich gross ist, so ergibt sich die für letzteren zur Erhaltung des Gleichgewichts notwendige Grösse <p', wenn man über CD' als Durchmesser einen Kreis beschreibt und dessen Schnittpunkt D mit der Lastverticalen Q mit A und B verbindet. Die beiden, als Peripheriewinkel über dem Bogen DD' gleichen Winkel <p', um welche die Reactionen der Unterlagen jetzt von den Normalen abweichen, sind der in diesem Fall in Thätigkeit tretenden Reibung proportional. Wenn diese Winkel grösser sind als der Reibungswinkel © des Materials, so wird ein Gleiten des Balkens eintreten; wenn sie kleiner sind als ©, so wird nur ein Teil des Reibungswiderstandes absorbirt; sind sie aber gleich ©, so befindet sich der Balken an der Grenze des Gleichgewichtszustandes. Letztere Grenze ist durch folgende Beziehungen bestimmt:

Da in Dreieck ADE

a Sin [90° — (a — )] DE Sin (a — s — <p)

und in Dreieck BDE

DE

Sin [90° — (ß 4' <p)]

Sin (ß s -j- cp)

so ist

er os

tang (ß 4- rf) Cos s —f- Sin s _ tang (ß 4 'f) 4 taug s

tang (a — ©) Cos s — Sin s

tang (a — (p) — tang e

oder

tang s ==

a tang (a — (p) — b tang (ß 4- 'f)

(198

Hiebei findet zugleich

Cos (ß + <p)

Sin (a 4- ß)

(in A)

(199

und

Cos (a — <p) Sin (a ß)

(in B)

(200

statt.

AA⁷ird ß = 0 und a — 'JO⁰ (Fig. 172), so ist, wenn a -\- b = 1 gesetzt wird:

(201

taug s =

a — b taug³ 4 ®

Fig. 172.

IX

(202

AA⁷, = Q. Cos z W₂ = Q Sin <p.

Bezeichnen I),, D._, und Hl3 H₂ die Yertical- und Horizontalcomponenten von AA⁷, und AA⁷,, so ist:

und

:,h

(203

Dt = Q Cos⁴ <p, D₂ = Q Sin⁵ <p,

-7/

77^7///.

vmc

Hi = Sin 2 <p,

(206

H₂ =

— Sin 2 <p. £

(207

Beispiel.

AVelches ist der kleinste AA⁷inkel s , welchen eine in der Mitte belastete Leiter mit dem Horizonte bilden darf, ohne zu gleiten, wenn der Reibungs-coefficient, entsprechend einem Reibungswinkel cp von 31°, [x = 0,6 ist?

tang e =

a — a.0,6⁴

0,6.2 a

= 0,533,

s = 28° 4'.

Je mehr der Lastangrmsort nach oben rückt, d. h. je kleiner b, desto grösser wird e. Für b = 0 erhält man

tang s —

Fig. 173.

II

D,

AVird endlich angenommen, der Balken A B sei unten mit dem horizontalen Tramen AC durch Verzapfung oder Versatzung oder Aufklauen verbunden, am anderen Ende aber sei der Balken auf dem verticalen Pfosten BC so aufgelagert, dass die Auflagerfläche parallel AB ist (Eig. 175), so wird ein zu AB normal gerichteter AViderstand geleistet werden, welcher sich aus der Gleichung:

Fig. 175.

Cos s

und

Dx — Q = 0

bestimmt sind.

Aus der Momentengleichung bezüglich des Punktes A:

ergibt sich:

Hl Sin s = QaCoss

— Q — Cotg s.

(208

Fig. 174.

Ist der schräg aufgestellte und durch Q belastete Balken an beiden Enden mit horizontalen Auflagerflächen versehen (wie z. B. die AVange einer Holztreppe), so entstehen in A und B (Fig. 174) die verticalen Auflagerreactionen Dx und D₂:

/A

Q (1 - a)

/a/ Q

(209

und

V>

B, = Q

(210

(211

ergibt.

Demnach:

Q, &

21

Sin 2 e

(212

und

q(i

Y Cos² e).

(213

Eiir das Gleichgewicht der Balkenverbindung (Eig. 176) bestehen die Bedingungen:

Tj lx Cos (a, — Sj) =3 Qx — Cos ex (Drehpunkt A),

A

T.ä \-i Cos (a₂ — e.j) — Q,₂

tour

Cos eg (Drehpunkt C)

Sind £x und s₂ gegeben, so findet sich, da a₂ = 180° —- ax:

ft

und

Fig. 176.

daher:

T» = T₂

Oi Cos Sj Cos (ax — £,)

0,2 Cos s2 Cos (a₂ — £.₂)‘

ü\

ferner:

tang «i =

Oi "I⁻ Qi

Qi tang s₂ — Q₂ tang ei

Hx = H₂ = TxSinax =

Qi 4" Qü

2 (tang 8X + tang £*)’

(214

Dx = Oi — Tx Cos ax = Qx —

Qi tang s₂ — Q₂ tang £x

2 (tang sx -f- tang e₂)

(215

d₂ ⁼ Qi 4" ^i ^os $i — Qi 4"

Qx tang s₂ — Qa tang sx 2 (tang s x 4- tang s₂)

(21G

Ist ©x = e₂, so ist:

und

tang «x =

Qi 4- Q₂

(Qi — Qa) tang s

(217

Hi =

Qi 4* Q₂

4 tang £

= H₂,

(218

Di =

30x4-02

(219

D₃ =

3 Q₂ 4” Q

(220

ist auch Qx = Q₂ = Q, so ist:

ax = 90°

und

Hx = H₂ =

f Cotg £ = a\ = T Dx = D₂ = Q.

(221

Das Gleichgewicht des aus mehreren Balken zusammengesetzten Systems (Fig. 177) ist von der Lage der einzelnen Hölzer zu einander abhängig.

Denkt man den Sparren CD aus der Verbindung herausgenommen, die verticale Wand ED durch die Horizontalkraft Ht ersetzt und die Wirkung des Balkens BC durch die Reactionen H₃ und D₂ (Fig. 178), so sind die Gleichgewichtsbedingungen für C D :

und

Da — Qi + Qa

oder

Hj lx Sin at = Q^Coso^

Hi

== Qi Cotg aL.

(222

Kg. 177.

Kg. 178.

Fig. 179.

ßi

Q,

<2*

Q,

i.

■ir,

wZv'

*//

<is

A4.

■i

Die Beactionen H₂ und D₂, in entgegengesetztem Sinne angebracht, ersetzen für den Balken B C die Wirkung des oberhalb befindlichen, so dass für BC (Fig. 179):

und

H₃ = H₂ = H

d₃ = d₂ -j- q₃ = qx -f- q₂ -f- q₃

H₂ = Da Cotg oc₂ = (Qa -f Q₂) Cotg a₂.

(223

Ebenso ergibt sich für das Gleichgewicht des dritten Balkens:

H₄ = H

D₄ = Q, + Q₂ + Q₃ + Q H₃ = (Qi 4- Qä ~b Q4 Cotg a₃.

(224

Demnach sind die Neigungswinkel at, a₂ und a₃ durch folgende Beziehungen bestimmt:

Cotg at =

H,

Qi’

(225

Cotg a₂ =

Ht

Qi + Qa’

(226

Cotg a₃ ==

Hi

Qi 4" Qa 4" Q₃

(227

Trägt man (Fig. 180) Hx

00 — Qj Cotg al an und 01 = Q 12 = Q₂ etc., so schliessen die Strahlen 01, 0 2 u. s. f. die Winkel at, a₂ . . mit der Horizontalen ein und die Balken Verbindung Fig. 177 ist das zum so entstandenen Kräftepolygon gehörige Seilpolygon.

Sind also 0,, Q₂ und Q, nach Grösse und Lage, sowie der Winkel (oder a₃' gegeben, so ist damit die Balkenverbindung bestimmt.

Wenn statt des Winkels a, die Punkte A und D, also AE = b und DE = h (Fig. 181) gegeben sind, so erhält man die Neigungswinkel der einzelnen Stäbe auf folgende AVeise: .

Da HA . h = B . r (wenn K die Resultirende der Lasten Q₁, Q₂ und Q₃ ist und r ihre Entfernung von' A) oder Hi : R = r : h, so bestimme man

Fig. 180.

e,

e,

Q,

Fig. 181.

Fig. 181“.

e.

r?

r;

'

:C,

■4-p

B.

/r

f "' r-

Af-

SL.-------- /,

...-----s

die Kraftlinie von ß mittels des Hülfs-Kräftepolygons O' 0 3 und des Seilpolygons IIIIIIIV, trage sodann (Fig. 181a) Om = r und On = h auf, so schneidet die zur Verbindungslinie mn Parallele 3 0 auf der Horizontalen den Wert von H₁ = 00 ab und das zum Pol 0 construirte Seilpolygon DCB A gibt die der Gleichgewichtslage entsprechende Form der Balkenverbindung.

Fig. 182.

Ein in C durch Q, belasteter horizontaler Balken ist in B mit einem verticalen Pfosten verbunden und in F durch die Kopfbüge FE unterstützt (Fig. 182).

4**—c

-B

e'

Die Keaction N der Strebe FE zerlegt sich bei F in eine verticale und eine horizontale Componente D und H, weshalb der Gleichgewichtszustand des Balkens B 0 das Vorhandensein der Kräfte H' und V bei B erfordert, bestimmt durch die Gleich- -®1' ungen:

H — H' = 0.

Q ~h V — D = 0

¹

Sin a

²

Cotg a.

³

der e = 50° 30

⁴

tang <p

Vorstehende Formeln entsprechen, wie erwähnt, dem Grenzzustande des Gleichgewichtes der gleitenden Reibung.

Stützt sich der mit seinem einen Ende A auf wagrechter Unterlage ruhende Balken AB (Fig. 173) mit'dem anderen Ende B gegen eine lotrechte AV-and und wird die Reibung vernachlässigt, so kann die Reaetion der lotrechten Wand nur in einer wagrechten Kraft H bestehen, und es erfordert der Gleichgewichtszustand in diesem Falle, dass die Gegenwirkung der Stütze bei A aus zwei Com-ponenten Hi und D, sich zusammensetzt, welche durch die Gleichungen:

⁵

H — H, = 0

(228

Ql

Bei E erzeugt der Strebendruck N wieder die Horizontalkraft 11 und die Verticalkraft D, so dass, während der obere Teil BE des Pfostens durch Y auf Zug beansprucht ist, dessen unterer Teil EA auf Druck durch D — V = Q in Angriff genommen wird.

Da H.e' = D.e, so ist:

Ql

und

daher

Q (l

e) = Ve,

(229

ferner

Sin a

Ql

e Sin a

² Qi

a Sin 2 a ’

(230

Der gefährliche Querschnitt für B C befindet sich bei D; da hier a'.i bh² = Q(1 -e)

und

Ql

a".bh = H'

so finden sich die Dimensionen des Balkens BO aus der Gleichung:

GQ(1 — e) , Ql e' b h’

bh§

T*

Die Querschnitte von Kopfbüge und Pfosten sind mit Berücksichtigung ihrer Beanspruchung auf -Knickfestigkeit zu bestimmen.

§ 7. Blechträger.

Unter Blechbalken versteht man solche Balken, welche aus einzelnen Blechen (gewalzten Eisenplatten) zusammengesetzt sind und wobei die Verbindung der Bleche unter sich durch Winkeleisen und Vernietung .bewerkstelligt ist. Jeder Blechträger besteht aus der Blechwand, auch Vertical-rippe oder Steg genannt, ferner aus den Gurtungsplatten oder Elacheisen und aus den oben und unten beiderseits angebrachten Winkeleisen, welche die Blechwand mit den Gurtungsplatten unter Zuhilfenahme von Nieten verbinden. Die Gurtungsplatten lässt man nicht mehr als um das Sechsfache ihrer Dicke

über die Winkeleisen vorragen; sind mehrere vorhanden, so werden alle gleich breit gemacht. Durch Vermehrung der Zahl und Stärke der Gurtungsplatten und der Dimensionen der Winkeleisen hat man es in der Hand, die Tragfähigkeit des Trägers nach Bedarf zu steigern.

Fig. 183.

.......

Zur Verstärkung und Absteifung der Blechwand müssen über den Auflagern und auch an den Angriffsstellen von Einzellasten Winkeleisen angebracht werden, welche mit der Blechwand und mit den verticalen Schenkeln der Gurtungswinkeleisen vernietet sind (Fi g. 183).

Die Trägerhöhe wird so gewählt, dass bei gleicher Widerstandsfähigkeit der Materialaufwand möglichst klein ausfällt.

Denkt man den Schwerpunkt der Gurtungen an den Enden des Wandbleches befindlich und bezeichnet man die Höhe des letzteren mit h, die Stärke desselben mit d und die Fläche des gesammten Trägerquerschnitts mit F, so ist annähernd:

CO I

^ ca

tc hrj

dh\ h²

2 / T

(E - | dh)

daher:

SK = a-b(P-jdh)

oder

(231

-sir + |dh.

Bei gegebenem 91£ wird E ein Minimum, wenn

rö i

291t

--51? + *(I “

d. h., wenn

Im Hochbau ist es üblich, die Träger höhe zwischen W- und yb der Spannweite zu wählen.

Ist die Trägerhöhe festgesetzt und das Maximalmoment bekannt, so ergibt sich der Trägerquerschnitt aus der Gleichung:

He

bO

ax.

Blech wand stärke. In der Neutralaxe sind die Schubspannungen am grössten, und es ist deshalb die Blechwand zunächst auf Festigkeit gegen Abscheren zu untersuchen, indem nach Gl. 40 die in der Neutralaxe des betrachteten Querschnitts auftretende Schubspannung

©d

JydF

die zulässige Beanspruchung y auf Abscheren nicht überschreiten darf.

Da

JydF

wenn h annähernd gleich der Entfernung der Gurtungsschwerpunkte gesetzt wird, so ist

Y h*

(232

Beim Blechträgerquerschnitt ist nun, wie aus Gl. 39 hervorgeht, die Verteilung der wagrecliten und lotrechten Schubspannungen in der Richtung

von y — 0 bis y =

-f y oder y = —

liehe Verminderung des Maximalwertes von a nicht eintritt bis zu jener Stelle, wo gegen das Ende der Mittelrippe eine Verbreiterung des Querschnitts durch die Gurtungen stattlindet. An dieser Stelle kann daher nahezu von einem Zusammenfallen der grössten Werte von Schub- und Normalspannung (Gl. 45) die Rede sein, und es ist für vorläufig angenommene Dimensionen zu untersuchen, ob die zulässige Beanspruchung in Bezug auf Schubfestigkeit und Zug- resp. Druckfestigkeit nicht überschritten wird.

Mit Rücksicht hierauf ist es gebräuchlich, in Gleichung 232 anstatt des gewöhnlichen Wertes der zulässigen Schubbeanspruchung den verringerten Wert Y == 350 kg pro qcm einzuführen*), so dass sich hiernach die Blechwand-stärke berechnet aus:

tO:

eine solche, dass eine weaent-

350 h

(233

Im Hochbau wird d in der Regel nicht unter 0,<S cm bis 1 cm angenommen, auch wenn Gl. 233 einen kleineren Wert ergeben sollte.

*) Dieser empirische Wert entstand ursprünglich aus der Bedingung, dass, wenn in Gl. 45 § = a gesetzt, wird, vmax. nicht grösser werden solle, als G00 kg pro qcm, so dass

G00 =

t(¹+vs)

oder

o = 370 kg pro qcm.

Das Trägheitsmoment für den Blechträgerquerschnitt (Big. 184) ist mit Berücksichtigung einer Verseilwächung des Profils durch zwei Nieten oben und unten:

Fig. 184.

b,

0 = AftV — 2b₂h!³-2b₈h₃³-2b₁h₁’).

Hiebei bedeuten b, und b₃ die betreffenden wagrechten Abmessungen nach Abzug der Nietdurchmesser.

Handelt es sich darum, das Trägheitsmoment des Blechträgerquerschnitts rasch, wenn auch nur annäherungsweise zu erhalten, so bedient man sich des folgenden Verfahrens :

(234

dy 4 44 -V

P bezeichne den Gesammtquerschnitt der Flacheisen einer Gurtung, 0' das Trägheitsmoment der Blechwand und der vier Winkeleisen excl. der Gurtbleche, dann hat man annähernd, wenn h die Höhe des Wandbleches,

h²

und

max.j

Fig. 185.

somit

015

iiiax.

20'

V/A V////

J}’

h² *

(235

A|I

0' berechnet sich mit Rücksicht auf Fig. 185 aus der Formel:

0' =    (b' h₂ ³ — 2 b₃ h₃ ³ — 2 b. h₄ ³).    (236

Ist mittels dieses Ausdrucks und auf Grund von Gl. 235 F bestimmt und die Zahl und Stärke der Gurtbleche festgestellt, so kann die erforderliche Breite b derselben durch Gleichung:

12(0 — 0')

h 3 _ l. 3

IX1    il2

erhalten werden, wobei

'i.

QKwii 2 § *

Entfernung der Nieten. Die in den Gurtungen befindlichen Nieten mit Bolzen senkrecht zur Blechwand (Fig. 186) dienen ausschliesslich zur festen Verbindung zwischen Blechwand und Gurtung. Die Schubkraft, welche die Gurtung gegen die Blechwand zu verschieben sucht, ist nach Gl. 38 pro Längeneinheit des Trägers:

JydP,

•vi

•vi

Fig. 186.

und wenn d den Nietdurchmesser und ex die Entfernung der Nieten bezeichnen, so ist e! Sy die auf je eine Niete wirkende Schubkraft, daher, weil die Nieten doppelschnittig sind,

sw-

> Ix

JydF.

-vi

____

Von y = 0 bis y = yt nimmt die wagrechte Schubkraft nur wenig ab, so dass man der Schubkraft in der Entfernung y, von der Neutralaxe diejenige der Neutral-

axe selbst, e, ^

JydF,

substituiren kann. Dadurch ergibt sich, wenn beriick-

sichtigt wird, dass

Jy d F

(h)

r->.

₀d²7C

²~T-ta = e'h

oder

hd²a

G = 0,4 z. v

(237

• Es ist indessen bei der verhältnissmässig geringen Stärke der Blechwand auch zu berücksichtigen, dass der Druck auf die Lochwand nicht zu gross wird. In dieser Richtung muss nach Gl. 180 die Bedingung erfüllt werden, dass, wenn a die Blech wanddicke bezeichnet,

a = d a. 2 a,

2^

daher

oder

"■T

= 2 d a a,

(238

zu benützen.

Yon den aus Gl. 237 und 238 sich ergebenden Werten e, ist der kleinere Gleiche Werte für e, liefern beide Formeln, wenn:

oder rund

d = 1,6 a.

Die Nieten mit Bolzen parallel zum Steg, welche die Gurtungsplatten mit den Winkeln verbinden (Big. IS7), werden durch die wagrechte Schubkraft

Fig. 187.

JydF

t7

auf Abscheren beansprucht. Diese Nieten sind einschnittig, indessen sind nach der gewöhnlich befolgten Anordnung (Fig. 187) in je einem Querschnitt zwei _________

Nieten zur Aufnahme von Sv vorhanden.

•>*2

Die Nietentfernung e₂ berechnet sich daher aus der Gleichung:

ifz

____XL . -XL

eü ^y₂

oder

e* = 1,256

P

Die Entfernung e₂ der Nieten in den Gurtblechen wird theoretisch grösser als die Entfernung e, der Nieten in den verticalen Winkelschenkeln. Wenn man also die für verticalen Winkelschenkel berechnete Nietdistanz et auch für die Gurtnieten beibehält, so wird jedenfalls hinreichende Sicherheit vorhanden sein.

Auf Grund empirischer Regeln wird e, = 4d bis 5d gemacht, jedenfalls soll e nicht grösser als 8d sein.

Der kastenförmige Blechträger. Die Tragfähigkeit des Blechträgers und dessen Widerstandsfähigkeit gegen seitliche Ausbiegungen wird bedeutend erhöht, wenn derselbe mit zwei Blechwänden verseilen wird, welche, in einem Abstand von J bis ^ h befindlich, mit den Gurtplatten durch Winkeleisen verbunden werden. Der auf solche Weise entstehende Träger wird als kastenförmiger Blechträger bezeichnet. Derselbe eignet sich, abgesehen von seiner grösseren Tragfähigkeit, besonders auch zur Anwendung in solchen Fällen, in welchen die für einen gewöhnlichen Blechträger erforderliche Con-structionshöhe nicht vorhanden ist, oder wenn eine breitere Auflagerfläche geschaffen werden soll, als sie der einfache Blechträger darbietet.

Die Trägerhöhe h wählt man hier zwischen ^ bis der Spannweite, die Breite der Gurtungsplatten zwischen ^ und der Trägerhöhe.

Fig. 188.

b,

oß

(230

■m.

eil

mml

Das Trägheitsmoment des Querschnittes (Fig. 188) ist:

(2 b₂ Q- b₅) h₂³ ~ 2 b₃h₃³ — 2 b₄h₄³].

bt und b₃ sind die betr. wagrechten Dimensionen nacii Abzug der Niet-durchmesser.

® — T2 [bi bi³

(240

Daher ergibt sich der Querschnitt des kastenförmigen Trägers aus der Gleichung:

0TC

niax.

Zur annähernden Bestimmung der Querschnittsdimensionen kann, wie beim einfachen Blechträger, die Gleichung:

Fig. 189.

max.

2 0' Ü®⁻

(241

Hl

benützt werden, in welcher F den Gesammt-querschnitt der Flacheisen einer Gurtung und 0' das Trägheitsmoment der beiden ßlecli-wände und der Winkeleisen bezeichnen. Hie-für hat man mit Bezug auf Fig. 189 die Formel:

(V hg³ — b₃ h₈³ — b₄li₄³).

Zur Bestimmung der Blechwandstärken und der Nieten-Entfernungen gelten die für

den einfachen Blechträger angegebenen Regeln.

§ 8. Armirte Träger;

Der armirte Träger entsteht, wenn man dem Balken AB (Fig. 190) zwischen den Endauflagern eine weitere Unterstützung durch den Pfosten CE

gibt und den Pfostendruck durch (eiserne) Zugstangen AE und BE auf die Stützpunkte A und B überträgt.

Bei gleichmässig verteilter Belastung ist der Stützendruck in A und B D = fql

jMxzwm.

'S)/

V '

Fig. 190.

------,

i;

>s

und in C

D: = fql-

Letztere Kraft, welche den Pfosten auf Knickung beansprucht, zerlegt sich in E in zwei Componenten:

12

I)

2 Sin a

welche die Stangen AE und BE auf Zug in Angriff nehmen. Die Zugwirkungen S pflanzen sicli nach den Stützpunkten A und B fort und sind hier nach den Richtungen der geleisteten Widerstände in wagrechte und lotrechte Componenten

mul

tC

Cotg oc

(243

D,

Der Horizontalkraft H hat der gleichzeitig auf Biegung bean-

zn zerlegen.

spruchte Balken mit seiner Druckfestigkeit Widerstand zu leisten, die Vertical-componente V aber addirt sich zu D, so dass der gesammte Auflagerdruck in A

(244

Graphische Lösung. Man trägt (Eig. 190“) den wirkenden Auflagerdruck D, als Länge 01 auf, zieht durch 0 und 1 Parallele zu A.E und RE, so ergibt sich

S = 0 a = a 1.

auf die Stütze (' Fig. 190a.

-ff-

während

und

H = Ob == cl

erhalten wird.

Wird der Balken ausser an den Enden in zwei Punkten C, und C₂ unterstützt, welche seine Länge in drei gleiche Teile teilen (Eig. 191), so

Fig. 191.

ist bei gleichmässig verteilter Belastung :

und

d === 4,fli

»i = ^ = üfl¹;

\ m......Ä..........a,

......1

daher:

(245

u jll

¹⁰ Sin a

und

somit

s₂ = roqlCotg«, = q 1 Cotg a V = £ql,

(240

(247

Graphische Lösung. Man trägt D, = 0 1 und D₂ =1 2 auf (Fig. 191a), zieht durch 0 und 2 Parallele Oa und 2 a zu den Richtungen der geneigten

Zugstangen, durch 1 aber eine Parallele 1 a zum wagrechten Stab, welcher die unteren Pfostenenden verbindet, so ergibt sich S, = Oa == a2, S₂ = al, Y = ba

ungen dieser Kräfte sind durch die Pfeile in den Kräfteparallelogrammen der Fig. 191 gegeben, daher ersichtlich, dass S, und S₂ Zugkräfte sind, während durch H der Balken A B auf Bruck beansprucht wird.

Fig. 191\

ff

J),

‘r

ac und H — Ob — c2.

Die Richt-

ff

Graphische Lösung mittels des Ritter sehen Verfahrens. Die gleich grossen Stützendrücke D, = 01 in Cx und D₂ = 1 2 in U₂ erzeugen in A und B Auflagerdrücke = 01 = 12 (Fig. 192 und 192"). Indem man die diesen Auflagerdrücken gleichen und entgegengesetzten Auflagerreactionen

A = 1 0 und B = 2 1 anbringt, wird der Träger ins freie Gleichgewicht gebracht. Um beispielsweise die in den Stäben AC₄ und AEj wirkenden Kräfte zu erhalten, denke man einen Schnitt a durch den Träger so gelegt, dass die betreffenden Stäbe von dem Schnitt getroffen werden. Den rechts vom Schnitt befindlichen

Fig. 192.

-O,

JB

Al

uL

Fig. 192a.

Dt A

Trägerteil denke man weggenom-dessen Wirksamkeit aber

men,

ersetzt durch die Kräfte H₁ und

St, welche in den Längenricht-der durchschnittenen Stäbe

DZB

ungen

anzubringen sind. Wenn nun H₁

und Sx nach Grösse und Richtung so angeordnet werden, dass das links vom Schnitt befindliche Trägerfragment im Gleichgewicht erhalten wird, so wird derselbe Zustand hergestellt sein, in welchem sich das Trägerfragment befand, ehe die Trennung durch den Schnitt a erfolgte. Aus der Bedingung also, dass und St den übrigen, am das Gleichgewicht halten, ergeben sich die Grössen find Pfeilrichtungen genannter Stabkräfte. Wenn eine Anzahl von zu einem System vereinigten Kräften im Gleichgewicht sein soll, so müssen dieselben ein geschlossenes Kräftepolygon bilden. Für den Schnitt a hat man als Aussenkraft: A = 1 0

Trägerfragment wirkenden Kräften

und als zu bestimmende Stabkräfte: H, und S,. Zieht man durch die Endpunkte 0 und 1 der bekannten Kraftlänge 1 0 Parallele zu den Richtungen von und SA, so ergibt sich das Kräftedreieck 10 a 1, durch welches Hj — 0 a und St = a 1 erhalten wird. Die Richtung von A = 10 bestimmt die Pfeilrichtungen der im Kräftedreieck auf einander folgenden Kräfte und bringt man die entsprechenden Pfeilrichtungen an den Schnittstellen an, so wird ersichtlich, dass H₁ Druck und S₁ Zug hervorbringt.

Dem Schnitt a folgt der Schnitt ß, bezüglich dessen die Resultirende der äusseren Kräfte R = A — Dx = Null ist. Von den Stabkräften ist bekannt: S₄ = al, unbekannt sind: H₂ und N₁, daher Kräftedreieck alba mit Hg = 1 b (Druck) und NA = ba Druck. Auch für den Schnitt 7 ist R = A — D₁ = 0, somit für den Gleichgewichtszustand erforderlich, dass S₂ gleich und entgegengesetzt H₂, mithin: S₂ = b 1 (Zug). Bezüglich des Schnittes 8, für welchen gleichfalls R = A — D₁ = 0, hat man als bekannte Stabkraft H₂ = lb, unbekannt sind N₂ und S₃; daher aus dem Kräftedreieck 1 b c 1 : Ng = b c (Druck) und S₃ = c 1 (Zug). Dem Schnitt s endlich entspricht als Resultirende der äusseren Kräfte: R = A — D₁ — D₂ = 12 und das Kräftedreieck c 1 2 c liefert H₃ = 2 c (Druck).

Vorstehendes Verfahren wird immer zum Ziel führen, wenn vom Schnitt nicht

mehr als zwei Stäbe mit

getroffen werden, was bei der Reihenfolge, in welcher die Schnitte geführt werden, zu berücksichtigen ist.

Der armirte Träger (Fig. 192) ist ein Beispiel eines statisch bestimmten, labilen Trägers. Labil ist (1er Träger, weil bei veränderter Belastung (abgesehen von -elastischen Formänderungen) auch die gegenseitige Lage der einzelnen Constructionsteile sich ändert.¹)

Fig. 193.

/ ly ß-fft-C

s¹

-2>/K

■T

TL

-4

l?2Lß'K

Sind nämlich die Lasten D₁

und D₃ in Ci und Cä nicht gleich 0 1 und

gross, sondern D Dg = 12 (Fig. stimme man zunächst mittels

so be-

Kräfte- und Seilpolygons die Auf-iagerreactionen A B = 2a.

Führt man den Schnitt a, so ergibt sich H, = Ob (Druck)

a 0 und

T‘.

7'

7'

Fig. 193¹.

und S₁ = b a (Zug⁻). Schnitt ß, für welchen die Resultirende der äusseren Kräfte R = A — Dt = a 1 ist, liefert hei bekanntem S₁ = ba das Kräftepolygon bal c b, daher H₂ = 1 c (Druck) und Nj = cb (Druck). Bezüglich des Schnittes y sind bekannt: R = al, H₂ = 1 c, unbekannt S ergibt sich das Kräftedreieck al ca, dessen Seite ca nicht parallel E₁E₂ ist. Soll die Construction im Gleichgewichte sein, so muss der Stab E₁E₂ geändert und in eine Lage Et Ey gebracht werden, welche parallel zu c a ist. Schnitt 8 mit R = A — Dt — D₂ = a2 und bekanntem S₂ = ca ergibt das Kräftepolygon ca2dc mit H₃ = 2d (Druck) und N₂ = cd (Druck), und endlich folgt aus Schnitt e mit R = a 2 und bekanntem Ii₃ = 2 d das Kräftedreieck a2da und S₃ = da (Zug).

Es

2*

Fig. 194.

Dz

Tßs *

L/f, v<A

7 ^ -fVA-

Ä\

<k

L;;----

■*»

T"-..

--P

den

Man sieht, dass die gegebenen Lasten Dt und D₂ eine bestimmte, in angegebener AVeise zu ermittelnde Trägerform, bedingen und dass diese, der Gleichgewichtslage entsprechende Trägerform mit wechselnder Belastung veränderlich ist. Die Abhängigkeit der Trägerform von wechselnder Belastung kann aber beseitigt und der Träger statisch bestimmt stabil gemacht wer-wenn dem Mittelfelde Et E₂ C₂ ein Diagonalstab eingefügt wird (Eig. 194).

cL

_____

2 a hervorgerufen.

Fig. 194a.

Die in den Punkten Ct und C₂ wirkenden Lasten seien Dt = 01 und D₂ = 12; in den Auflagerpunkten werden hiedurch die mittels Kräfte-und Seilpolygons bestimmten Auflagerreactionen A = a 0 und B

Die Stabkräfte ergeben sich mittels der Schnitte a bis s in folgender AVeise

Schnitt a. Bekannt: R = aO, unbekannt: Ht, S Kräftepolygon: a 0 b a, daher: Hl == Ob (Druck), S₁ — ba (Zug).

Schnitt ß.

Bekannt:

R = aÖ,

= Ob,

unbekannt: N1? S Kräftepolygon : a 0 b c a, daher:    — bc (Druck),

S₂ = ca (Zug).

Schnitt Y-

R = A—Dt = al, S₂ = ca, unbekannt: PL, Z,

Kräftepolygon : c a 1 d c, daher: H₂ — 1 d (Druck),

Z = de (Zug).

Bekannt:

Schnitt d.

R = al,

Ha = 1 d, unbekannt: N₂, S₃, Kräftepolygon: aide a, daher: N₂ = de (Druck), S₃ = ea (Zug).

Bekannt:

Bekannt:

Schnitt s.

R = A — Dt— D₈ = a2, S₃ = e a,

unbekannt:

Kräftepolygon: e a 2 e, daher: PL = 2e (Druck).

Mr den annirten Träger mit drei Knotenpunkten zwischen den Eud-auflagern (Eig. 195) werden die Stabkräfte in folgender Weise bestimmt:

D₁ = 01, D₂ = 12 und D₃ = 2 3 seien die auf die Knotenpunkte übertragenen Lasten und A = aO sowie B = 3a die in A und B hervorgerufenen Auf lagerreactionen. Man führt die Schnitte a bis %:

Kg. 195.

Schnitt a. Bekannt: R = a 0, unbekannt: Lf₁, S Polygon: aOba, daher: Hx = 0 b (Druck), Sj — ba (Zug).

<x. ß y ^2 c-

/ flÄ'    \

'ff, ' ~-/-i%/    kr-\ffz\- -

/ / A' #

Bf

Schnitt ß.

R = A — D₁=al,

Sj = ba, unbekannt: H₂, N Polygon : b a 1 c b, daher: H₂ —- 1 c (Druck),

— cb (Druck).

Schnitt -[.

R — a 1,

H₂ = 1 c, unbekannt: Zi, S₂,

Polygon: a 1 c d a, daher: Zx = cd,

S₂ = da.

Bekannt:

Bekannt:

Kg. 195a.

Schnitt 8.

ß = a 1,

Ha = lc,

Z₄ = cd, unbekannt: N₂, S Polygon: a 1 c d e a, daher:    N₂    =    de    (Druck),

5₃    =    ea    (Zug).

Schnitt i.

| ß = a2,

¹ H₃ = 2 f, unbekannt: N₃, S Polygon : a 2 fg a. daher:    N₃    =    fg    (Druck),

5₄    =    ga    (Zug).

Bekannt:

Bekannt:

Bekannt:

Schnitt s.

| R = A-D,-D₂ = a2,

¹ Ss =

ea,

unbekannt: H₃, Z Polygon: ea2fe, daher: H₃ = 2f (Druck), z. = fe (Zug).

Schnitt

Bekannt:

( B = A —D₄ —D₂—Dy = ao, ^ S₄ = g a,

unbekannt: H

Polygon: ga3g, daher: H₄ = 3g (Druck).

§ 9. Hänge- und Sprengwerke.

Das einfache Hängewerk entsteht, wenn der Trameu AB zwischen

den Endauflagern durch eine Hängesäule unterstützt wird, welche durch Streben EA und EB (Eig. 196) ihre Befestigung erhält. Letztere übertragen die aufgenommene Last auf die Enden des Balkens, mit welchen sie durch Versatzung oder Verzapfung verbunden sind.

Ist der Stützendruck bei C gleich D,, so ist der Zug in der Hänge-

Fig. 196.

XX X .

Ax t.

säule:

der Strebendruck:

n*

:jpv

p.e__

fV . !s

Z = Dlt

-Di

2 Sin a

(249

dessen Horizontalcomponente bei A:

(250

und die Verticalcomponente

Di

daher Gesammtauf lagerdruck bei A:

(251

A = D -f

wenn D den durch den Tramen AB auf A übertragenen Stützendruck bezeichnet.

Bei der Querschnittsbestimmung der Hängesäule ist zu berücksichtigen, dass der Querschnitt derselben auch an der durch die Verbindung mit den Streben am meisten verschwächten Stelle bei E der Zugkraft Z zu entsprechen hat.

Fig. 197.

© ...

Die Verbindung der Hängesäule mit dem Tramen wird in der Hegel durch Flacheisen und Schraubenbolzen (Fig. 197) bewerkstelligt. Werden zwei Bolzen ungeordnet, so bestimmt sich ihr Durchmesser d aus der Gleichung:

d²7T

(252

Jf. '

und der Querschnitt E des Elacheisens aus:

Ai

(253

wenn y' und aJ die zulässige Scher- und Zugbeanspruchung des Eisens bezeichnen.

Damit ein Ausschlitzen des unteren Endes der Hängesäule nicht erfolge, muss der Abstand e des unteren Bolzens vom Ende der Hängesäule der Bedingung entsprechen :

(254

2 e b. y = —

wobei y die zulässige Scherbeanspruchung des Holzes vorstellt. Ebenso gilt für die Entfernung e' des oberen Bolzens von der oberen Begrenzung des Elacheisens:

(255

wenn c die Dicke des Elacheisens.

An der Verbindung der Hängesäulen mit den Streben, welche häufig durch Versatzung (Eig. 198) erfolgt, tritt eine Beanspruchung des oberen

Fig. 198.

Fig. 199.

01

Endes der Hängesäule auf Abscheren auf, und es hat die Länge e" der Forderung zu genügen, dass

e"bY = N Sin n.

Cos a,

(256

wenn (i der Reibungscoefficient. (Für Holz auf Holz ungefähr 0,3 bis 0.4.) Analog berechnet sich die Länge e'" des Balkenkopfes am Trainen bis zum Eingriff in die Strebe (Fig. 199) aus der Gleichung:

e'" b . 7 =

Cotg a

I)

(257

Wenn der Balken A B (Fig. 200)

Das doppelte Hängewerk, zwischen den Endauflagern zwei Unterstützungen erhält durch Hängesäulen

Fig. 200.

EC und E'C' und wenn letz-

trageuen Auflager drücke Dl5 D* sind auch E'B gleich. Dieselben ergeben sich:

tere durch das Sprengwerk AEE'B getragen werden, so entsteht das doppelte Hänge-Bei gleicher Grösse der vom Trainen A B auf die Stützpunkte C und C’ über-die Strebendrücke in E A und

werk.

Sin a

(258

Der Druck im Spannriegel EE' ist:

H = D₁ Cotg a;

(259

ferner die durch die Streben auf die Enden des Tramens übertragene Horizontalkraft gleichfalls:

(260

H' = D₁ Cotg a.

Das doppelte Hängewerk ist gleich dem armirten Träger (Fig. 191) statisch bestimmt labil, denn wenn die Stützendrücke Dlf Dt ungleich werden, so erfordert der Gleichgewichtszustand eine Änderung in den Richtungen des Spannriegels und einer Strebe und auch jeder folgende Wechsel in der Belastung bedingt weitere Abänderungen der Trägerform.

Statisch bestimmt stabil wird das doppelte Hängewerk durch Einfügung eines Diagonalstabes in das Mittelfeld (Fig. 201).

Sind 1)₁ = 01 und D₂ = 12 die in den Punkten C und C' wirkenden Lasten, so bestimmt man mittels Kräfte- und Seilpolygons die Auflager-reactionen A = aO und B = 2a und erhält auf Grund der Schnitte n. bis s die Stabkräfte wie folgt:

Ji-

ri

Schnitt a.

Bekannt: R = A = aO, unbekannt: NA, H Kräftepolygon: a 0 b a, daher: Hi = Ob (Zug) und Ni = b a (Druck).

Schnitt ß.

R = A — Di = al, Ni = ba, unbekannt: H₂, Zl5 Kräftepolygon: b a 1 cb, daher: H₂ — 1 c (Zug) und Zt = cb (Zug).

Bekannt:

Bekannt:

Schnitt Y-R = al,

H₂ = lc,

unbekannt: S, K, Kräftepolygon: a 1 c d a, daher: S == cd (Druck), und K = d a (Druck).

Fig. 201.

* * ,

\ E

"bE

<x

Schnitt h.

I r = A-D₁- D> = a 2, Bekannt: ^    ,    ¹

• K = d a,

unbekannt: H₃, Z

Kräftepolygon : d a 2 e d,

daher: H₃ = 2e (Zug)

und Zi, — ed (Zug).

,

\II,    j

'w

b-

2>,

—.An

Bekannt:

Schnitt s. R = a 2, H. = 2e,

-r-

unbekannt: N.

2 •)

Kräftepolygon: a 2 e a, daher: N₂ — ea (Druck).

Fig. 20 la.

Wenn ein an den Enden A und B unterstützter

Das S p r e n g w e r k.

Tramen im Punkte C (Fig. 202) eine weitere Unterstützung durch Streben

erhält, welche die von ihnen mitgenommenen Pressungen auf die Widerlager übertragen, so entsteht das einfache Sprengwerk.

Gewöhnlich befindet sich die

Fig. 202.

J)

Pc

Stütze C in der Mitte zwischen A und B, wobei der Tramen als con-tinuirlicher Träger angeordnet wird.

Ist D, der Stützendruck in C, so ist der in den Streben CE und CE' auftretende Druck:

Di

(261

2 Sin a

Am Kopfende werden die Streben mit einer Kraft

H = N Cos a =

Cotg a

(262

an einander gepresst. An den Widerlagern entstehen durch die Streben die Horizontalkräfte und Verticalkräfte

— Cotg a

und

to c

(263

Beim doppelten Sprengwerk (Big. 203) erhält der Tramen zwischen den Endauflagern zwei Unterstützungspunkte durch Streben CE und C'E', zwischen deren oberen Enden in der Kegel ein wagrechter Balken (Spann-riegel) ein gefügt wird.

Fig. 203.

C'

Nach Ermittelung der Stützendrücke und D₁/ erhält man b die Beanspruchung der Streben:

-o.

-d;

W)

Sin a |

N' =

w.

Sin a ’

und

Die Pressung des Spannriegels ist gegeben durch H — Cotg a

(265

H' = Dj ' Cotg 7.,

welche Kräfte zugleich die wagrechten Widerlagerreactionen bei E und E' vorstellen, während die verticalen Componenteu der \\ iderlagerdrücke durch

V = D,

und

(266

gegeben sind.

ungleich, so sind auch H und H' Die Differenz H — H' der im Spannriegel wirkenden Kräfte muss vom Tramen A B aufgenommen werden, welcher in diesem Falle einer

Sind die Stützendrücke Dt und D verschieden.

Verankerung bedarf.

§10. Fachwerkträger.

Fachwerkträger sind aus einzelnen Stäben zusammengesetzte Träger, bei welchen die Enden der Stäbe in den Schnittpunkten ihrer Axen (Knotenpunkten) mit einander verbunden sind.

Wenn die Stäbe des Fachwerks nur Beanspruchungen in ihren Längenrichtungen erleiden sollen, so ist es notwendig, dass sie um ihre Endpunkte drehbar sind, was eine gelenkartige Verbindung der Stäbe an den Knotenpunkten voraussetzt. Da dieser Forderung nicht in allen Fällen (am wenigsten bei den Holzfachwerken) entsprochen werden kann, so ist das übliche, im Nachstehenden beschriebene Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte, welches das Auftreten von axialen Kräften voraussetzt, als Näherungs verfahren zu betrachten.

Ein Fachwerkträger von beliebiger Form sei durch Einzellasten beansprucht, welche in den Knotenpunkten des Systems angebracht sind. Zur Bestimmung der irgend einen Stab treffenden Beanspruchung denkt man die Construction durch einen Schnitt getrennt, welcher so zu legen ist, dass ausser dem fraglichen Stab nicht mehr als zwei weitere Stäbe getroffen werden. Ferner denkt man den rechts (oder auch links) vom Schnitt befindlichen Trägerteil weggenommen und dessen Wirkung auf das übrig bleibende Trägerfragment durch Kräfte ersetzt, welche, an den Schnittstellen in den Längenrichtungen der betreffenden Stäbe wirkend, zunächst als Zugkräfte betrachtet werden. Die an dem vorhandenen Trägerfragment befindlichen äusseren Kräfte und die Stabkräfte müssen sich nun im Gleichgewicht befinden, und wenn man, um die Beanspruchung eines zu untersuchenden Stabes zu erhalten, als Momentendrehpunkt den Schnitt der beiden anderen Stäbe wählt, so ergibt sich eine Gleichung, aus welcher die verlangte Stabkraft unmittelbar hervorgeht. Fällt das Vorzeichen positiv aus, so ist Zug vorhanden, im gegenteiligen Falle tritt Druckbeanspruchung auf. (Kitter’s Methode.)

Auf Grund dieser Betrachtung findet man die Stabkräfte eines Feldes (Fig. 204) wie folgt:

Gurtungsstab i II, Schnitt aa, Momentenpunkt 2:

I>i (dj 4“ da)

(P, +p,)d, +Tt = 0

oder, wenn das Moment der äusseren Kräfte bezüglich des Knotenpunktes 2 mit bezeichnet wird,

01e₂

Die,

II2 Goss'

Die Spannung ist Druck, so lange das Moment positiv.

Diagonalstab 12, Schnitt a a, Momentenpunkt c: — Dx e -f- (?i + Pi) (e + ^i) + Z.z = (),

daher

Di e — (P| -j- Pi) (e-f- dt)

Y.v

oder

Gurtungsstab 12, Schnitt aa, Momentenpunkt I: \\ di — S. s = 0 0tZ,

s II Cos §’

Die Spannung ist Zug, so lange das Moment positiv.

91tj

(268

oder, wenn die Resnltirende von PA und mit Y bezeichnet wird und v ihr Abstand von c,

(269

Die Lage von V, ob links oder rechts von c, ist für das Vorzeichen von Z massgebend.

Einen anderen Ausdruck für Z liefert die Bedingung, dass die Summe der Horizontalcomponenten der Stabkräfte T, S und Z gleich Null sein müsse:

T Cos s -f- S Cos d -\- Z Cos 7 = 0.

Hieraus findet man, wenn für T und S die obigen Werte eingesetzt

werden:

0tt„

⁵⁵°»s 1 - ui

(270

Fig. 204.

Fig. 205.

P,

ll.

le

----*---d,

p,

—x-\— d—

Pz

h>

-sr

Pr

X. P,

Yerticalstab II, Schnitt ßß (Eig. 205), Momentendrehpunkt c: — Dx ei -f~ Pi (ei -f- di) — N (ei -j- dt) — 0,

hieraus

— Di ea -j~ Pi (ei 4~ di)

ei + di

Bezeichnet, V, die Resnltirende der äusseren Kräfte, liier von Dl und p,, und ist Vj ihr Abstand von c,, so ist

(271

auch liier also die Lage von V, Zeichen von N massgebend.

ob rechts oder links von c

für das Vor-

Graphische Ermittelung <lcr Stahkräfte (nach Culniann).

Für den Schnitt aa (Fig. 20(5) müssen die Stabkräfte T, Z, S und die Resnltirende V der links vom Schnitt vorhandenen äusseren Kräfte sich das Gleichgewicht halten. Vereinigt man V und T zu einer Resultirenden R', ferner Z und S zu einer Resultirenden R", so müssen R' und R" gleich und entgegengesetzt sein und in eine Gerade zusammenfallen. Da R' durch k geht und R" durch 2, so ist k2 die gemeinschaftliche Kraftlinie von R und R". Man trägt also km nach Grösse und Richtung gleich V an und zieht durch m mn parallel T, so ist kmn das Kräftedreieck der drei Kräfte V. T, R', daher T nach Grösse und Richtung gleich mn (Druck), sowie R' = nk. Hiemit ist auch R" = kn gegeben und die Parallelen zu Z und S durch n und k schneiden Z = nr (Zug) und S = rk (Zug) ab.

Fig. 207.

Fig. 206.

ih

ft»

ferner N und S zu R", wobei die Kraftlinie von R' und R" als

Um N zu finden, lege man den Schnitt ßß (Fig. 207), bezüglich dessen Vj die Resnltirende der äusseren Kräfte sei. Man vereinigt wie oben Vt und zu R',

Verbindungslinie k₁1 sichergibt, trägt Vt = k^i^ auf, so liefert das Kräfteviereck k₁m₁n₁r₁: T., = m^j (Druck), N == n₁rt (Druck) und S = i^ki (Zug).

Bei lotrecht belasteten Trägern, welche mit beiden Enden trei auf liegen, sind alle Momente positiv. Daraus folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen 267 und 268, dass in den Stäben der oberen Gurtung nur Druck, in denjenigen der unteren nur Zug stattfinden kann. Die Beanspruchung eines Gurtstabes wird erhalten, wenn man das Angriffsmoment des dem Stabe gegenüber liegenden Knotenpunktes dividirt durch die senkrechte Entfernung des Stabes von dem betreffenden

Knotenpunkte. Dieser 8atz gilt natürlich auch für den speciellen Fall des Fachwerkträgers mit parallelen Gurtungen. Demselben kommen einige weitere Eigentümlichkeiten zu, welche auf Grund des beschriebenen graphischen Verfahrens leicht klar werden.

Der Fachwerkträger (Fig. 20S) sei durch beliebige Einzellasten P, bis P₃ beansprucht, welche in den oberen Knotenpunkten des Trägers angebracht sind. Man bildet aus den gegebenen Lasten Kräfte- und Seilpolygon und erhält dadurch die Auf lagerreaetionen A = c' 0 und B = 5'c'. Es ist nun

Fig. 208.

-p-\

K___ET.

BL

C_

.//

beispielsweise für den Schnitt a, der die Stäbe des zweiten Feldes trifft, die Resultirende der äusseren Kräfte gleich V = A — P, =j c'l', ihrer Lage nach als Lotlinie durch y bestimmt.

}J4

'/.5

ot

■vt

tu

d L.

C‘

/AL

,r

Fig. 208a.

Diese Resultirende und die Stabkräfte T₂, Z₂ und S2 müssen sich im Gleichgewicht befinden. Denkt man'sich zuerst V und Tg zu einer Mittelkraft R' vereinigt, so muss R' durch den Schnitt t der Kraftlinien V und T₂ gehen. Ebenso wird, wenn man Z2 und S₂ zu einer Mittelkraft R" zusammenfasst, der Punkt 2 ein Punkt der Kraftlinie R" sein. Als Gleichgewichtsbedingung gilt, dass R' und R" gleich und entgegengesetzt sind und in einer und derselben Geraden wirken, welch’ letztere durch die Punkte t und 2 bestimmt ist. Zieht man also (Fig. 208a) durch 1' eine Parallele zu T₂ und durch c' eine Parallele zu 12, so ergibt sich l'a — T₂ (Druck) und R' = ac', wodurch auch R" = c'a bestimmt ist. Durch Ziehen der Parallelen ab zu Z₂ und b c' zu S₂ werden sodann Z₂ = ab (Zug) und bc' — S₂ (Zug) erhalten.

Um N:, zu finden , lege man den Schnitt ß ß, für welchen, da die Belastung in den oberen Knotenpunkten angreift, V sammt dem Kräftedreieck V, Tg, R' unverändert bleibt. Man hat also durch a eine Lotrechte und durch c' eine Wagrechte zu legen, um N;1 = ad (Druck) und de = S₃ (Zug) zu erhalten.

In gleicher Weise werden die Kräfte sämmtlieher übriger Stäbe ermittelt. Es ergeben sich beispielsweise für Schnitt 7 mit der negativen Verticalkraft V' = c' 4' die Stabkräfte ; T₅ = a'c' (Druck), S-, = 4'b' (Zug) Z₅ = b'a' (Bruck) und mittels des Schnittes 8: N₀ — d'a' (Zug) und S₆ == 4'd' (Zug). Aus dieser Darstellung der Kräftevierecke geht unmittelbar hervor, dass beim Fachwerkträger mit geraden wagrechten Gurtungen die Vertical-projectionen der Stabkräfte in den Füllungsgliedern gleich den Verticalkräften der betreffenden Felder sind, dass also diese Stabkräfte, ohne besondere Construction der Kräftevierecke c'i'abc' unmittelbar als Projectionen der Verticalkräfte auf die Fiülungsglieder erhalten werden.

Ferner ist ersichtlich, dass Füllungsglieder, welche in der Richtung von links nach rechts fallend angeordnet sind, durch positive Verticalkräfte auf Zug, durch negative auf Druck beansprucht werden.

In gleicher Weise lässt sich zeigen, dass Diagonalen, die von links nach rechts steigen, durch positive Verticalkräfte auf Druck, durch negative auf Zug in Angriff genommen sind. Bei den Ver-ticalstäben, deren Beanspruchung gleich der Verticalkraft des betreffenden Feldes ist, findet Zug statt, wenn die anstossende Diagonale auf Druck beansprucht wird, und umgekehrt erscheint der Vertiealstab gedrückt, wenn die anstossende Diagonale Zug erleidet.

Cremöna’s Verfahren zur graphischen Bestimmung der Stabkräfte

eines Fach werkträgers.

Dieses Verfahren zeichnet sich durch besondere Übersichtlichkeit deswegen aus, weil sämmtliche Kräftepolygone sich hier zu einer geschlossenen Figur, dem sog. Spannungsnetz, an einander reihen lassen. Die Schnitte werden krummlinig um die einzelnen Knotenpunkte gelegt, d. li. durch die in je einem Knotenpunkte sich treffenden Stäbe geführt. Für jeden Schnitt müssen bei Gleichgewichtszustand des Fachwerkträgers die im Knotenpunkt wirkende Last und die Stabkräfte im Gleichgewicht sein, es muss also das aus diesen Kräften gebildete Kräftepolygon sich schliessen.

Der Fachwerkträger (Fig. 209) sei durch ruhende, in den Knotenpunkten der oberen Gurtung wirkende Lasten P₀, P,. . . PG beansprucht. Nachdem mittels Kräfte- und Seilpolygons die Auflagerreactionen A — cO und B = Gc bestimmt sind, legt man den ersten Schnitt um den Punkt a so, dass die hier zusammentreffenden Stäbe aO und al getroffen werden. Die Stabkräfte N, und S, müssen der Aussenkraft c 0 das Gleichgewicht halten. Hieraus folgt Sj = 0 und Nj = 0 c, gleich und entgegengesetzt Ä. Denkt man sich die durch 0 c bestimmte Pfeilrichtung an dem durchschnittenen Stab angebracht, so ist ersichtlich, dass derselbe auf Druck beansprucht ist.

Legt man den zweiten Schnitt um den Knotenpunkt 0, so ist von den hier vorhandenen Stabkräften Nx bekannt. Diese Kraft, welche Druckkraft ist, muss jetzt mit entgegengesetztem Pfeil gegenüber dem vorher behandelten

Schnitt in Betracht gezogen werden. Man hat also N₄ = cO. Die im Knotenpunkt vorhandene Last ist P₀ = 0 0', daher als Resultirende von Nx

und P₀ die Kraftlänge cO' sich ergibt. Zieht man durch 0' und c Parallele zu den Richtungen x    ,r m vr rr ⁶ (^er unbekannten Stabkräfte T,

K; K; 'mi z" erMlt man das

lJKKräftedreieck cO'dc, wobei die < > $2 i S₃    .? /$6 fr Pfeilrichtungen der den Umfang

B desselben bildenden Kräfte durch die bekannte Kraftrichtung cO' bestimmt sind. Somit wird Ti = O'd (Druck) und Z₄ = de (Zug) erhalten.

In gleicher Weise fährt man fort, indem man auf eine derartige Aufeinanderfolge der zu führenden Schnitte Bedacht nimmt, dass nie mehr als zwei Stäbe mit unbekannten Stabkräften von je einem Schnitt getroffen werden. Es ist also der nächste Schnitt um den Knotenpunkt 1 zu legen und hier sind bekannt: S₄ = 0 und Zj = cd, unbekannt: N₂ und S₂. Kräftepolygon: cd ec, daher N₄ = d e (Druck) und S₂ = ec (Zug).

Knotenpunkt I.

Bekannt: T, = dO' — ec,

N₂ = ed = cO',

P. = O'l,

unbekannt: T₂, Z₂,

Kräftepolygon : e c 1 f e, daher: T₂ = 1 f (Druck),

Z₂ = fe (Zug).

fr,

Fig. 209.

fr Pa

fr fr

/• > ;>•/

Fig. 209a.

fr

fr

Knotenpunkt II. Bekannt: T₂ — fl = gc, N₃ = gf = cl,

P₂ = 1 2,

unbekannt: Ts, Z₃, Kräftepolygon : g c 2 h g, daher: Tä = 2h (Druck), Z₃ = hg (Zug).

Knotenpunkt 2. Bekannt: S₂ = ce,

Z₂ = ef, unbekannt: N₃, S₃, Kräftepolygon: c e f g c, daher : N₃ —- f g (Druck), S₃ = gc (Zug).

Knotenpunkt 3. Bekannt: S₃ = cg,

= gh,

unbekannt: N₄, S₄, Kräftepolygon: c g h i c, daher: N₄ = hi (Druck), 'S₄ = ic (Zug).

13

Knotenpunkt 5. Bekannt: Sft = cl,

Zä = lm, unbekannt: Nc, S₆, Kräftepolygon: clmnc, daher: N₃ = mn (Zug),

Sc = nc (Zug).

Knotenpunkt V. Bekannt: T₅ = m 4 — n c, N₀ = mn = c4, P₅ = 45, unbekannt: Z₆, T₆, Kräftepolygon : n c 5 n, daher: Z₀ = 5n (Druck),

T₀ = 0.

7:

Knotenpunkt III. Bekannt: T₃ = h 2 = i c, N₄ = ili = c2, - P₃ = 23, unbekannt : T₄, Z₄, Kräftepolygon : i c 3 k i, daher: T₄ — 3k (Druck), Z₄ = k i (Druck).

Knotenpunkt 4. Bekannt: S₄ = ci,

Z₄ = ik, unbekannt: N₅, S₅, Kräftepolygon : c i k 1 c, daher: Nä — kl (Zug),

S₅ = lc (Zug).

Knotenpunkt IV. Bekannt; T₄ = k 3 = 1 c, N₅ = lk = c 3, P* = 34, unbekannt: T₅, Z₅, Kräftepolygon: 1 c 4 m 1, daher: T₅ = 4m (Druck), Zä = m 1 (Druck).

Knotenpunkt b.

Bekannt: B = 6 c, S₆ = cn, Zß = n5,

unbekannt: N Kräftepolygon: 6 c n 5 6, daher: N₇ =• 5 6 (Druck).

¹

Vgl. § 12, Kennzeichen statisch bestimmter Fachwerke und Trägerarten.

Fachwerkträger mit parallelen Gurtungen hei beweglicher Belastung.

a)    Gurtungsstäbe. Man bestimmt die Maximalmomente für sämmtliche Knotenpunkte, welche Aufgabe, da diese Momente identisch sind mit den Momenten der gleichen Querschnitte des einfachen homogenen Trägers, zusammenfällt mit dem auf Seite 105 und 106 gezeigten Verfahren, und erhält in den betreffenden Momentenordinaten die in bestimmtem Kräftemassstab re-präsentirten Gurtungskräfte.

b)    Füllungsglieder. Die grösste Beanspruchung eines Füllungsgliedes wird erhalten in der Projection der grössten Verticalkraft des betreffenden Feldes auf die Dichtung des Füllungsgliedes. Es handelt sich also um die Bestimmung der grössten Verticalkräfte der einzelnen Felder, wobei zu berücksichtigen ist, dass eine Lastübertragung auf den Fachwerkträger als solchen nur in den Knotenpunkten vermittelt wird. Wenn angenommen wird, dass die Last eine gleichmässig verteilte sei (q) und vom rechten gegen das linke Auflager vorrücke, so wird beispielsweise die Verticalkraft V, welche im vierten Felde durch die in Fig. 210 angedeutete beliebige Laststellung

hervorgebraeht wird, gleich A — K sein, wobei A die Auflagerreaction am linken Auflager und K den Knotendruck am linksseitigen Knotenpunkt 3 des betrachteten Feldes bezeichnen. Es ist nicht notwendig, hiebei besonders hervorzuheben, dass der Wert von V für alle Querschnitte zwischen 3 und 4 constant ist, da die zwischen a und 4 befindliche Last nicht unmittelbar, sondern nur vermittelst K auf das Feld 34 einwirkt.

Die Werte von A nun für alle möglichen Laststellungen erhält man nach Fig. 85 durch Construction der an den Geraden B A und A' 3 tangirenden Parabel, während die Linien K jedes einzelnen Feldes für sämmtliche Laststellungen, bei welchen sich der Anfang der Last innerhalb des Feldes befindet, offenbar analog als Linien der linksseitigen Auf-lagerdrücke eines Trägers von der Spannweite e erhalten werden. Indem man nun die für alle Felder gleichen Curven K con-struirt, erhält man in den durch letztere und durch die Linie A begrenzten lotrechten Abschnitten die in den einzelnen Feldern auftretenden Verticalkräfte. a'b ist beispielsweise die Verticalkraft, welche im vierten Felde derjenigen Laststeilung entspricht, bei der die Trägerstrecke aB belastet ist, und in den grössten verticalen Abschnitten zwischen der Curve A und den Linien K erhält man die grössten Werte von V für alle Felder und die Laststellungen, durch welche dieselben hervorgebracht werden.

Fig. 210.

!&/---

In?

LA

W-.V

JL^-

3 \a-

•i

Fig. 210".

ra

■*

iT/X⁵

Um diejenigen Orte, wo jene grössten verticalen Abstände auftreten, genauer zu bestimmen, als es durch Abgreifen mit dem Zirkel möglich, berücksichtige man Folgendes :

z sei der von der Last bedeckte Trägerteil und z' (Fig. 210a) die Strecke, auf welche die Last in eines der Felder vorgerückt ist. Die Verticalkraft V desFeldes ist dann:

q z² q z'²

oder

21

q z²

q (z — n)²

21

13*

i dV

da ——

n    z z — n

= 0, wenn — — -------- oder

z'

, so ist ersichtlich, dass

Vmax. eines Feldes dann entsteht, wenn die variable Belastung- bis zu jenem Punkte vorgerückt ist, welcher das Feld und den Träger nach dem Verhält-niss e : 1 teilt. Trägt man (Fig. 210a) in der Auflagerverticalen A den beliebigen Längenabschnitt Am aufwärts und die gleiche Länge Bi von B aus abwärts an und zieht man die kürzeren Diagonalen der durch -die Verbindungslinien Ai und Bm, sowie durch "die Knotenpunktverticalen gebildeten Parallelogramme, so schneiden letztere, weil

03 dcf,

und

oder

7 4 : e = 7' 7 : d c

74 : e — 7B : 1,

auf der Trägeraxe die in Rede stehenden Punkte ab. Es haben demnach die Curven K der Reihe nach ihre, durch starke Linien bezeichneten grössten Abstände von der Curve A in den Verticalen durch A, a, ß, 7 und d.

In gleicher Weise ergeben sich bei Bewegung der variabeln Belastung von links nach rechts die grössten negativen Verticalkräfte sämmtlicher Felder.

Taf. III zeigt die graphische Bestimmung der Stabkräfte eines durch bewegliche, gleiclimässig verteilte Verkehrslast q = 1200 kg per m beanspruchten Fachwerkträgers von 16 in Stützweite und 2 m Höhe, dessen Eigengewicht = 500 kg per 111 beträgt und auf welchen die Lastübertragung in den oberen Knotenpunkten I, II, III u. s. f. stattfindet. Zur Bestimmung der Gurtungskräfte sind mit Hülfe der Kräftepolygone (Figur la und lb) (Kräftemassstab 1 mm = 200 kg), die Momentenparabeln des Eigengewichts und der totalen Verkehrsbelastung gezeichnet (Fig. 2), so dass sich die Maximalmomente sämmtlicher Knotenpunkte in den stark gezeichneten lotrechten Längenabschnitten ergeben. Da die Poldistanz d gleich der doppelten Trägerhöhe angenommen wurde, so stellen diese Abschnitte zugleich die sämmt-lichen in den oberen und unteren Gurtstäben herrschenden Stabkräfte im Massstabe 1 mm — 400 kg vor und es bezeichnen die unterhalb der Trägeraxe befindlichen Stücke die vom Eigengewicht, dagegen die oberhalb befindlichen die von der Verkehrslast herrülirenden Beträge. In Fig. 3 und 4 ist für sämmtliche Felder die Bestimmung der grössten positiven Verticalkräfte der Verkehrslast durchgeführt. Die erhaltenen Werte, welche bei den ihnen entsprechenden Belastungen in den einzelnen Feldern constant sind, wurden in Fig. 5 besonders aufgetragen; in letztere Figur wurde auch die Linie der Verticalkräfte des Eigengewichtes eingezeichnet, deren positive Ordinaten der leichteren Summirung von Vq und Vp wegen nach abwärts, die negativen Ordinaten nach aufwärts angetragen wurden. Nun ergeben sich in den Projec-tionen der grössten resultirenden Verticalkräfte aa', bb', cc' etc. auf die

Richtungen der Füllungsglieder die in denselben herrschenden Spannungen: Sj = aa,, S₂ = bß, S₃ = cy, S₄ = d§, sämmtliche Zugwirkungen, während die in denselben Feldern von links nach rechts steigend angeordneten Diagonalen die gleichen, aber auf Druck gerichteten Beanspruchungen erleiden. Die Horizontale 0 8 (Fig. 5) grenzt auf den betreffenden Kraftlängen die von Eigengewicht und Verkehrlast herrührenden Beträge ab.

max. >

In den drei an das rechtsseitige Auflager angrenzenden Feldern werden die negativen Verticalkräfte des Eigengewichtes grösser als die grössten positiven Verticalkräfte der Verkehrslast; hier können also niemals positive resultirende Verticalkräfte auftreten, gerade so wie in den drei linksseitigen Endfeldern niemals negative. Die grössten negativen Verticalkräfte der rechtsseitigen Endfelder entstehen aber, wenn' die Verkehrslast von links nach rechts über den Träger rückt, und da hiebei — VmaXt = -{- V

7    1

= +V

2

max.

u. s. f., so ergeben sich die grössten Diagonalspannungen

der rechtsseitigen Trägerhälfte symmetrisch zu denjenigen der linken, wobei selbstverständlich ist, dass unter den gegebenen Verhältnissen ein Wechsel zwischen Zug und Druck nur in den Füllungsgliedern der beiden Mittelfelder und zwar in der in Fig. 1 angedeuteten Weise stattfinden kann.

§11. Gitterträger.

Man versteht unter dieser Bezeichnung eine besondere Art von Fachwerkträgern, deren parallele Gurtungen durch ein System von kreuzweise angeordneten Stäben in Verbindung gebracht sind (Fig. 211). Die Gurtungen

bestehen aus doppelten Winkeleisen oder aus je zwei Winkeleisen und einem Stehblech dazwischen. Die Gitterstäbe werden häufig als Flacheisen her-gestellt. Da ein Teil dieser Stäbe, nämlich die \/o gegen die Trägermitte ansteigenden, auf Druck beansprucht ist, so werden dieselben zur Absteifung gegen Knickung mit den übrigen Stäben durch Nietung verbunden. Besser ist es, die gedrückten Stäbe als Winkeleisen oder J_-Ersen anzuordnen.

Die annähernde Berechnung der Querschnittsdimensionen eines Gitterträgers erfolgt auf Grund der für den Fachwerkträger mit parallelen Gurtungen entwickelten Gesetze.

unteren Gurtung für irgend einen Trägerquerschnitt, wenn man das Maximal-

Fig. 211.

v oy'

Wv;'

V*

Man erhält die Stabkräfte T und S in der oberen und

moment der betreffenden Trägerstelle mit der verticalen Entfernung der Gurtungsschwerpunkte dividirt:

= S.

Fig. 212.

jLl

Was die Füllungsglieder anlangt, so würde, wenn der Fall des einfachen Fachwerkträgers (Fig. 208) vorliegen würde, die Stabkraft irgend eines Diagonalstabes als Projection der Verticalkraft V des betreffenden Feldes auf die Richtung des Stabes erhalten werden. Indem man nun den Gitterträger als mehrfaches Fachwerk auffasst, kann man annehmen, dass Y sich gleichmässig auf n Stäbe verteile, wenn n die Zahl der Teile ist, in welche je ein Gitterstab durch die ihn kreuzenden Stäbe geteilt wird. Man erhält daher, wenn V die der einfachen Fachwerksteilung entsprechende Verticalkraft eines Feldes ist und e (Fig’. 212) der Neigungswinkel der Stäbe mit dem Horizont, die Stabkräfte der hier vorhandenen Gitterstäbe aus der Gleichung:

N Sin e =

oder

n Sin s

Ausser den Axialkräften kommen in Folge der Vernietung der Gitterstäbe untereinander noch Biegungsbeanspruchungen vor, welche bei vorstehender Gleichung nicht in Betracht gezogen sind.

§ 12. Kennzeichen statisch bestimmter und stabiler Fachwerke und Trägerarten.-)

Beim arinirten Träger und dem doppelten Hängewerk (S. 180 und 185) wurde auf den Unterschied hingewiesen, welcher zwischen dem Begriff des statisch bestimmt stabilen und des statisch bestimmt labilen Trägers besteht.

Eine Trägerart ist statisch bestimmt, wenn bei gegebener Belastung die Stiitzenreactionen und sämmtliclie Stabkräfte durch Anwendung der statischen Gleichgewichtsbedingungen gefunden werden können. Reichen die statischen

*) Weyrauch, Kennzeichen statisch bestimmter und stabiler Fachwerke, Zeitsehr. für Baukuude, 1880, S. 247, und 1881, S. 55.

Gleichgewichtsbedingungen zur Ermittelung der Stiitzenreactionen und Stabkräfte nicht aus, so wird der Träger statisch unbestimmt genannt. Im letzteren Fall wird die Trägerberechnung auf Grund der Gesetze der elastischen Formänderung oder auf irgend einem anderen Wege vorgenommen.

Stabil heisst der Träger, wenn, abgesehen von elastischen Formänderungen, die Lage des Trägers gegenüber den Stützpunkten und die gegenseitige Lage der einzelnen Trägerteile fest und unveränderlich ist, labil hingegen, wenn die Trägerform oder Lage derart von der Belastung abhängig wird, dass jeder Wechsel in der Belastung eine Veränderung in der Trägerform oder eine Verschiebung des ganzen Trägers zur Folge hat.

Da es erwünscht ist, von vorneherein beurteilen zu können, wie ein gegebener Träger in Bezug auf die in Bede stehende Frage sich verhält, so sollen die allgemeinen Unterscheidungsmerkmale zwischen statisch bestimmten und unbestimmten, sowie stabilen und labilen Trägersystemen kurz angegeben werden.

Soll ein ebener fach werkförmiger Träger, aus unelastischen Stäben bestehend gedacht, ohne Verschiebung bleiben, auch wenn die Belastung desselben beliebigen Änderungen unterworfen ist, so müssen die jeweiligen, in je einem Knotenpunkt angreifenden äusseren und inneren Kräfte sich das Gleichgewicht halten. Kräfte aber,' welche in einem und demselben Punkt wirken, müssen im Gleichgewichtsfalle der Bedingung Genüge leisten, dass die Summe ihrer Projectionen auf zwei Richtungslinien der Kraftebene gleich Null ist.

ungen.

reaetionen vorhanden, so können sämmtliche Unbekannte gefunden werden, wenn

Hat also der Träger k Knotenpunkte, so erhält man 2 k Bedingungsgleich-Sind nun s Stäbe, also auch unbekannte Stabkräfte und a Auflager

s -f a = 2 k.

Der Träger ist in diesem Falle statisch bestimmt stabil.

Bezüglich der Auflagerreactionen hat man zwischen verschiebbaren Auflagern (Rollenauflagern) und festen (auch gelenkartigen) Auflagern zu unterscheiden. Die Reaction eines verschiebbaren Auflagers ist selbst gegenüber Belastungen, deren Richtung wechselt, immer durch eine Componente, die Reaction eines festen oder gelenkartigen Auflagers durch zwei Componenten bestimmt. Bezeichnet v die Zahl der verschiebbaren und f diejenige der festen Auflager, so geht vorstehende Gleichung über in:

s + vf 2f = 2k.

Beispielsweise sind für die beiden Träger (Fig. 213 und 214): s = 9, v = 1, f = 1 und k = 6,

daher

9 -f 1 -f 2 = 12

und somit die Träger statisch bestimmt stabil.

Bemerkt sei, dass, wenn beide Auflager-reactionen lotrecht wirkende Kräfte wären, dass j I P dann unter Einfluss schiefer Belastung zwar keine Verschiebung der Trägerteile, aber eine Verschiebung des gesummten Trägers gegenüber den Stützen eintreten, der Träger also mit Bück-sicht auf diesen allgemeineren Belastungsfall labil werden würde.

X,

z.

Fig. 213.

II

E,

-¥

ZF

s-

17

-9-

-+■

Fig. 214.

Auch nachstehende Träger sind Beispiele von statisch bestimmten, stabilen

Systemen.

Beim Träger (Fig. 215) ist:

s = 11, v = 1, f = 1 und k — 7,

mithin:

11 4- 1 4- 2 = 14.

Fig. 215.

Fig. 216.

ZT

E,

E-

t,

¹⁷⁷ t.

Für den Träger (Fig. 216) ist:

daher;

s = 13,

= 1, f i= 1 und k = 8,

13 + 14 2 = 16.

Bezüglich des Trägers (Fig. 217) hat man:

s = 9, y = 1, f = 1, k = 6,

also:

9 -f 1 -f 2 = 12.

a,

Fig. 217.

Yt Z

Fig. 218.

, IE x F T M

IF^

IX

Beim Träger (Fig. 218) ist:

s = 17, v = 1, f = 1, k = 10,

daher:

17 -+ 1 -f 2 = 20.

Die Gl. 272 ist indessen nicht allein und ausschliesslich massgebend für die Beurteilung der Frage, ob ein Träger statisch bestimmt und stabil ist, denn nicht nur die Zahl der Stäbe, sondern auch die Art ihrer Anordnung und Aufeinanderfolge ist von Einfluss. Würde man z. ß. dem Fachwerkträger

Fig. 219.

Fig. 218 die Anordnung geben, wie sie Fig. 219 zeigt, so würde zwar, da keine von den Grössen s, v, f und k geändert ist, der Gl. 272 Genüge geleistet werden, trotzdem aber der Träger weder statisch bestimmt noch stabil sein. Es entsprechen nämlich den für jeden "Knotenpunkt vorhandenen zwei Bedingungsgleichungen in der linken Trägerhälfte der Fig. 219 zu wenig, in der rechten Trägerhälfte zu viel Stäbe, so dass das System links statisch bestimmt labil, rechts statisch unbestimmt stabil wird.

Die Stäbe dürfen also nicht beliebig gruppirt werden, sondern sie müssen eine solche Aufeinanderfolge zeigen, dass, wenn man, indem man die Unbekannten den einzelnen Knotenpunkten zuteilt, von irgend einem Knotenpunkt beginnend, zu den folgenden der .Reihe nach übergeht, auf jeden Knotenpunkt gerade zwei Stabkräfte resp. Auflagerreactionen kommen.

Soll daher die Gl. 272 als Kriterium statisch bestimmter, stabiler Träger-systeme gelten, so bedarf sie des ergänzenden Zusatzes: Die s —(— v -{— 2f Unbekannten müssen sich auf die Knotenpunkte derart verteilen lassen, dass auf jeden Knotenpunkt gerade zwei daselbst ein-tr’effende, nicht gleich gerichtete Stäbe oder Auflagerreactionen kommen.

In den Figuren 213 bis 218 ist diese Verteilung der Unbekannten dadurch gekennzeichnet, dass je zwei zusammengehörige Unbekannte und der Knotenpunkt, welchem sie zugehören, mit gleichen Ziffern benannt sind.

Ist bei einem Träger die Zahl der Stabkräfte und Auflagerreactionen kleiner als die Zahl der statischen Gleichgewichtsbedingungen, also :

(273

s 4- V -f 2f < 2k,

so ist der Träger labil, dabei statisch bestimmt, wenn auf jeden Knotenpunkt nicht mehr als zwei nicht gleich gerichtete Stäbe oder Auflagerreactionen

Fig. 220.

kommen. Für das in Figur 220 gezeichnete System ist z. B.

s = 8, v = 1, f = 1 und k = 6,

ZU

^ d. h.

8 + 14-2 < 12.

Der Träger ist statisch bestimmt labil, kann aber durch Einfügung eines Stabes, nämlich der punktirten Mittelverticalen IIIIV stabil gemacht werden.

Wenn endlich bei einem Träger die Zahl der Stabkräfte und Auflager-reactionen grösser ist als die Zahl der statischen Gleichgewichtsbedingungen:

(274

wenn die Grössen

so ist der Träger statisch unbestimmt, dabei auch stabil s —(— v -}- 2 f auf die Knotenpunkte derart verteilt werden können, dass auf jeden Knotenpunkt nicht weniger als zwei nicht gleich gerichtete Stabkräfte oder Auflagerreactionen kommen.

Fig. 222.

Fig. 221.

Fig. 223.

t-4.

t;

Fig. 224.

Beispiele von statisch unbestimmt stabilen Systemen sind die Träger Fig. 221 und Fig. 222, ferner der Bogenträger mit und ohne Kämpfegelenke (Fig. 223), während der Bogenträger mit drei Gelenken (Fig 224), für den s = 2, v = 0, f — 2 und k = 3, zu den statisch bestimmten stabilen Trägerarten gehört.

IV. Abschnitt.

Decken - Constructionen.

§ 1. Belastung der Decken.

Gewichte einiger Baumaterialien.

Gewicht in kg für 1 cbm

1600

1600

Erde, Lehm, Sand........

Ziegelmauerwerk aus Vollsteinen.

Ziegelmauerwerk aus Loclisteinen Mauerwerk aus Kalk- und Sandsteinen Mauerwerk aus Granit und Syenit .

Beton je nach dem Steinmaterial .    .    .    2000 bis 2200

Kalkmörtel ....

Gypsguss ....

Gypsdielen ....

Rabitzputz ....

Gussasphalt....

Glas......

Fichtenholz, lufttrocken Föhrenholz,

Lärchenholz,

Eichenholz,

Buchenholz,

Gusseisen Schweisseisen Flusseisen Kupfer .

Zink .    .    .

Blei .    .    .

Aluminium .

Statuenbronze

1800

2400

2700

2000

1000

700

1400

1500

2600

550

580

620

800

750

7200

7800

7850

8900

7150

11350

2660

8600

Eigengewichte der Zwischendecken.

kg pro (pn

1)    Balken mit Fussbodendielen, die Balken ca. 1 m von Mitte

zu Mitte entfernt..............

2)    Balken mit Fussbodendielen und unten mit Schalung und Putz, die Balken ca. 1 m von Mitte zu Mitte entfernt

3)    Fehlbodendecke, bestehend aus: Balken mit Fussbodendielen,

Fehlbodenbrettern auf angenagelten Latten, Fehlbodenauf-fiillung, Schalung und Putz...........

4)    Gestaakte Decke, bestehend aus: Balken mit Fussbodendielen, Staakhölzern mit Lehmstroh umwickelt, Lehmschlag und Sandschüttung 11 cm stark, Schalung und Putz

5)    Decke wie unter 3, jedoch statt Fehlbodenbrettern und Auffüllung: 7 cm starke Hohlgypsdielen .    .......

6)    Decke wie unter 3, jedoch an der Unterfläche der Balken

statt Schalung: Babitzputz............

7)    Decke mit Felilboden, Kassetten und reicher Stuckverkleidung

8)    Decke mit flachen, Stein starken Kappengewölben von 1

bis 2 m Spannweite zwischen Eisenträgern mit Sandschüttung, Lagerhölzern und Dielenfussboden.......

9)    Decke mit Betonfeldern zwischen Eisenträgern, Sandschüttung, Lagerhölzern, Dielenfussboden........

10)    Decke mit Eisenträgern, Fehlbodenbrettern auf Querhölzern,

Sandschüttung, Lagerhölzern, Dielenfussboden, unten Schalung mit Putz...............

11)    Decke mit Eisenträgern, Wellenblech, Sandschüttung, Lagerhölzern, Dielenfussboden, unten Schalung und Putz .    ,

60 bis 80

160

260

260

180

270

376

500

500

300

350

Nutzlast der Zwischendecken.

kg pro qm

Wohnräume Tanzsäle Heuböden .    •.

Kornböden .

Kaufmannsspeicher Belastung durch Menschengedränge ....    400

150

400

500

500

750

§ 2. Berechnungen von Deckenconstructionen.

1) Die Balkenlage für einen Tanzsaal wird aus 5 m langen, mit den Enden frei aufliegenden Trägern aus Fichtenholz hergestellt. Welche Querschnittsdimensionen müssen dieselben bei Anordnung einer Fehlbodendecke erhalten, wenn die Balkenentfernung 0,8 in beträgt?

Nach S. 204 kann das Eigengewicht zu 260, die zufällige Last zu 400 kg angenommen werden, daher Last pro m Trägerlänge = 660.0,8 — 528 kg.

Die grösste Beanspruchung erleidet jeder Träger (vgl. S. 104) bei totaler Belastung, für welche nach Gl. 100 :

max.

ql²

— = 1650 mkg.

O

Setzt man S = 42 kg pro qcm und b = 2- h, so ergibt sich: 5 h³ = 165000 cmkg,

daher:

h =■ 32,1 und b = 22,9 cm.

2) Zur Herstellung der Zwischendecke für einen Wohnraum stehen Fichtenrundhölzer von 30 cm kleinstem Durchmesser am Zopfende zur Verfügung. In welchem Abstand e sind die daraus zu schneidenden Balken anzuordnen, wenn dieselben bei einer freien Länge von 4 m einen Fehlboden aufzunehmen haben ?

Da d = 30 cm, so berechnen sich die Querschnittsdimensionen der aus den Rundhölzern herzustellenden vierkantigen Balken grösster Tragfähigkeit nach S. 88:

3<>

b = -7= — 17,3 cm

V 3

und

h = 30

f2

= 24,5 cm,

daher nach Gl. 84 das Widerstandsmoment:

42 . ^ 17,3.24,5² cmkg = 726,9 mkg.

Auf Grund von Gl. 100:

q.4²

726,9 = ^

in welche q = e (260 -f- 150) einzuführen ist, erhält man:

e = 0,886 m.

3) Welche Last pro qm kann eine Balkenlage aufnelnnen, welche aus 23/32 cm starken, 1 m von einander entfernten Balken besteht, wenn die Stützweite derselben 5 m beträgt und wenn die zulässige Biegungsbeanspruchung des Fichtenholzes von 42 kg pro qcm nicht überschritten werden soll ?

Nach Gl. 84 ist das Widerstandsmoment des Balkenquerschnitts:

42.I 23.32² cmkg = 1648,6 mkg.

Daher ergibt sich nach Gl. 87:

q. 5²

1648,6 = '₈

q = 527 kg pro qm.

Fig. 225.

PS

i-?

~>JL

u

4) Die Balkenlage der Fehlbodendecke eines Wohnraums besteht aus 5 m langen, 0,8 m von einander entfernten Fichtenholzträgern. Einer dieser Träger (Fig. 225) hat ausser der gewöhnlichen zufälligen Belastung noch drei feststehende Einzellasten Bi — 60 kg, P₂ = 80 kg,

P₃ — 100 kg’ aufzunehmen, welche 1, 2 und 4 m vom Auflager bei A entfernt sind. Es ist der Querschnitt des Tragbalkens zu ermitteln.

Das Eigengewicht der Decke kann nach S. 204 zu 260, die zufällige Last zu 150 kg pro qm angenommen werden, daher AB ein durch tota’e gleichmässige Last q = 410.0,8 = 328 kg pro m und durch drei Einzel-lasteu beanspruchter Träger.

Die Auflagerreactionen sind: A == 936 und B = 944 kg.

Das grösste Moment kann im vorliegenden Falle entweder mit dem Angriffsort einer der Einzellasten, hier P₂, zusammenfallen, oder es kann wegen des verhältnissmässig hohen Betrages der stetigen Belastung in dem Trägerteil zwischen P₂ und Pg auftreten (vgl. S. 102).

Man berechnet daher zunächst:

= 936.2 — 60.1 —-328.2 — 1156 mkg,

4 ein

sodann untersucht man, ob für die Strecke zwischen x = 2 und x grösserer Wert für 01tx als der eben erhaltene möglich ist.

Für alle Querschnitte genannter Strecke gilt als allgemeiner Ausdruck des Angriffsmomentes:

x²

$KX = 936 x — 60 (x — 1) —- 80 (x — 2) — 328 -

A

= — 164 x² -f 796 x -f 220.

Führt man letzteren Wert in den Ausdruck für 9T£X ein, so ergibt sich:

= 1186 mkg

und hieraus

h = 28.7 und b = 20,5 cm.

5) Die stärksten Bauhölzer, welche im Handel Vorkommen, haben ca. 26/36 cm Stärke des rechteckförmigen Querschnitts. Solche Balken seien als Träger für eine Decke zu verwenden, deren Eigengewicht 260 kg und deren zufällige Belastung 150 kg pro qm beträgt. Welche freie Länge dürfen die Deckenträger erhalten, wenn ihr Abstand von einander 1 m von Mitte zu Mitte beträgt?

Das Widerstandsmoment des Balkenquerschnitts ist:

42.^.26.36² emkg, demnach 2358,72 mkg. Das grösste Angriffsmoment ist:

410 r²

= 51,25 l²,

8

daher

d©n:

dx

= 328 x + 796 wird Null für x =

796

328

== 2,426.

51,25 l² = 2358,72

und

1 = 6,78 m, rund: 1 = 7 m.

Beträgt die zufällige Belastung einer solchen Decke 500 kg pro qm und liegen die Balken 1 m von einander entfernt, so ist

q = 760 und 91t

1THIX.

760 l²

= 95 l².

Man hat

95 l² = 2358,72

und

1 = 4,98 m, rund: 1 = 5 m.

Man kann indessen eine grössere Stützweite der Deckenträger dadurch erzielen, dass man ihre Abstände kleiner macht, wodurch die Belastung je eines Trägers vermindert wird. Ist die Balkendistanz gleich 0,5 m, so ist

max.

q 380 und 0E

= 47,5 V

o

daher

und

47,5 l² = 2358,72

1 = 7,05 m.

6) Ein Balkon von 4 m Länge lind 1,2 m Breite wird durch zwei wag-reclit eingespannte Balken getragen, über welche 0,3 m breite Dielen gelegt sind (Fig. 226). Welche Stärken müssen Dielen und Balken erhalten, wenn eine grösste Last von 150 kg pro qm atifzunehmen ist?

Fig. 226.

Fig. 226a.

0,3

V7W7?.

1,2 nv -----

*---it

Jede der fünf Dielen ist ein auf zwei Stützen mit vorragenden Trägerenden aufliegender Träger, welcher durch gleichmässig verteilte Last q = 45 kg pro m beansprucht ist.

Man ordne die Stützen so an, dass die Momente über denselben gleich dem Moment in der Dielenmitte werden. Dies wird nach S. 101 (Fig. 77) erreicht, wenn

⁶ “ 2K2

oder, da 1 = 4 — 2 e, wenn

e = 0,828 m.

Demnach

= 15,4 mkg. Mithin ergibt sich die Dielenstärke d aus:

91t

42.4.30 d² = 1540

d = 2,7 cm.

Als Dimensionen der Träger, welche mit 300 kg pro m belastet sind, erhält man, da

300.1,2⁸

= 216 mkg

h = 16,3 und b = 11,6 cm.

7) Die Balkenlage der Decke eines Raumes von 21 m Länge und 21t m Breite soll durch einen in der Mitte angeordneten Unterzug AC (Fig. 227) getragen werden, welcher mit den Enden auf den Uinfässungsmauern aufliegt und bei B durch eine Säule unterstützt ist.

Wird angenommen

die Balken der Balkenlage seien auf dem Unterzug nicht gestossen, so sind sie continuirliche Träger von zw'ei Öffnungen.

Bezeichnet \) das Eigengewicht der Decke sammt Nutzlast, e die Entfernung

Kg. 227.

der Balken, so ist die Belastung eines Deckenbalkens pro Längeneinheit = pe = q, daher dessen Endauflagerdriicke nach S. 128 = fcflx und der Druck auf den Unterzug ₈⁰ q 1, = P.

Das grösste Moment, über der Unterstützung am Unterqi,²

und

zug auftretend, ist

hienach der Querschnitt der Balken zu berechnen.

Der Unterzug ist ein durch Einzellasten, die Auflagerdrücke der Deckenbalken, beanspruchter continuirlicher Träger von zwei Öffnungen, dessen Maximalmoment, über der Stütze bei B auftretend, mittels Gl. 161 bestimmt wird. Letztere geht, da    = 0 =    und = lr — 1,

über in:

4 0TU = —

yS(Pa(l-a)(l + a)]

E [ P a (1 — a) (21 — a) ]. (275

Nachdem 0U aus vorstehendem Ausdruck gefunden, ergeben sich nach Gl. 163 die Auflagerdrücke D, und D₃ des Unterzugs auf die Endstützen A und C:

(270

D, = P[9K+SP(1—a)] = D,.

Ferner erhält man mittels der Gleichungen 165 und 163 die Vertical-kräfte unmittelbar links und rechts von B:

und

v:

1! C

VÄb

[01t —EP a]

(277

y[-'SK+ XP(l-a)],

(278

daher nach Gl. 167 der Auflagerdruck bei B:

D₂ — VBC • Ya b ,

auf Grund dessen der Säulenquerschnitt berechnet werden kann.

Es sei 2 lj = 7 m, 21 = 8 m und e = 1 m, die Belastung dor Decke incl. Eigengewicht sei 350 kg pro qm.

■ 14

a) Deckenbalken. Man hat:

350.3,5²

= 535,94 mkg

daher die Querschnittsdimensionen mit d — 42 kg pro qcm :

h = 22 cm und b = 15,7 cm.

b) ITnterzug. Der von je einem Deckenbalken auf den TTnterzug aus-geiibte Auf lagerdruck ist

- .350.3,5 = 1531,25 kg.

O

Da jedes der beiden Felder des Unterzugs drei solche Einzellasten P aufzunehmen hat und da 1 = 4e, so schreibt sich Gl. 275 wie folgt:

daher

~ [Pe.3e.5e -f P.2e.2e.6e -f P.3e.e.7eJ --^-[Pe.3e.7e-|-P.2e.2e.6e-(-P.3e.e.5e] ==

4 0111 = -

120 Pe³

0U = -

30 Pe³

15

l²

Pe,

oder, da e = 1 m,

15

01Z = — — P = 2871,1 mkg.

so erhält

Wenn der Unterzug als verzahnter Träger ausgeführt wird man nach S. 159 die Breite b und die Höhe h des rechteckförmigen Querschnitts aus der Gleichung:

nax.

S.i-bh² = 0U,

Nimmt man b = 18 cm an, so ist

42.1.18h² ₌ 287110 cmkg

und hieraus

li = 55,1 cm.

Die Auflagerdrücke des Unterzugs an den Enden erhält man nach Gl. 276:

D, = i

oc - I—'-

to:

hd

CO

4-

to

o>

Pe

CO , O l

P.

Da ferner nach Gl. 277 und 278

und

v;c =

32

32

PI — 6 Pe

PI -f 6 Pe

63

tO Cd

^ 32 P’

so ist Auflagerdruck bei B:

d₂ = v;₀ — vi'b

16

= 6029,3 kg-,

daher Druck auf die Säule bei B:

6029,3 -f 1531,2 = 7560,5 kg.

8) Ein Raum von 15/18 m Grundfläche soll durch 1 Stein starke Kappengewölbe von Jq Pfeil überdeckt werden, welche zwischen J_-Träger eingespannt

sind. Die J_-Träger, parallel den kleineren Umfassungsseiten AB, GD der Grundfläche und in Abständen von 1,5 m von einander angeordnet, seien durch zwei, den Langseiten der Grundfläche parallele TJnterziige EE und E'E' (Eig. 228) unterstützt, die unter sich sowie von den Umfassungsmauern je 5 m entfernt sind. Jeder Unterzug ist zwischen den Umfassungsmauern durch drei gusseiserne Säulen getragen, und es wird angenommen, dass über den 6 Säulen des betrachteten Geschosses 6 weitere Säulen im Obergeschoss sich befinden. Die oberen Säulen sitzen direct auf den unteren auf, woraus folgt, dass die Unterzüge nicht als continuirliche Träger ausgeführt werden können, sondern frei auf liegende Balken von 4,5 m Stützweite sind. Gleiches gilt für diejenigen Gewölbeträger, welche sich in den Ebenen je zweier Säulen befinden. Diese sind frei aufliegende Balken von 5 m Stützweite, und man wird das für sie erforderliche Profil auch für die übrigen Gewölbeträger beibehalten.

a) Gewölbeträger. Das Gewicht einer Kappe einschliesslich Hintermauerung, Auffüllung, Lagerhölzer und Dielenfussboden beträgt pro laufenden m Kappe 700 kg, die Nutzlast sei pro qm 500 kg, daher pro laufenden m Kappe 750 kg. Mithin Belastung eines Gewölbeträgers = 1450 -f- p pro in, wenn p das Eigengewicht des Trägers. Wird p = 55 kg pro m angenommen, so ist für die Gewölbeträger:

16g. 228.

15 m.

F'

LI

2)

9K

1505.5²

ma

mkg = 470312,5 cmkg.

Man hat daher zur Berechnung des Trägerquerschnitts die Gleichung-:

750

MF!®

= 470312,5

oder

= 627,08.

Diesem erforderlichen Werte

LC “ (T)

kommt am nächsten das Profil Nr. 30

des deutschen Normalprofilbuches mit

= 659 und ö = 54,1.

b) Unterzüge. Jeder Unterzug ist durch zwei Einzellasten beansprucht, die Auflagerdrücke der Gewölbeträger. Jede dieser Einzellasten ist gleich 1505.5 = 7525, daher

0Umax = 7525.1,5 = 11287,5 mkg.

Zur Querschnittsberechnung der Unterzüge dient daher die Gleichung:

750

— 1128750 cmkg

und hieraus

tC SS

1505.

In der Tabelle der J-Profile des deutschen Normalprofilbuches findet sich

= 1754,

in der Colmnne der Widerstandsmomente als nächsthöhere Zahl

<X> ! SS 'M

dem Profil Nr. 42y₂ zugehörig¹. Pas Eigengewicht dieses Trägers ist 108,7 kg pro m, daher Maximalmoment des Eigengewichtes:

= 262,49 mkg = 26249 cmkg.

103,7.4,5

Demnach erhält man als grösstes Moment mit Berücksichtigung des Gewichtes des Trägers Nr. 42*/^: 1128750 4' 26249 = 1154999 cmkg, und auch diesem Angriffsmoment, welches einen Wert

1154999

”750

= 1539,9

erfordert, genügt das Trägerprofil Nr. 42V₂.

V. Abschnitt.

Treppen.

Wie bei den Stein treppen unterscheidet inan auch bei den Holz- und Eisentreppen gerade und gebrochene Treppen, je nachdem die Treppenmittellinie im Grundriss eine Gerade ist oder eine gebrochene Gerade. Teilweise gewunden wird die Treppe, wenn die Treppenmittellinie sich aus Geraden und Curven zusammensetzt. Nimmt die Treppenmittellinie im Grundriss die Bogenform an, so entsteht die Wendeltreppe.

Die Construction der hölzernen Treppen beruht darauf, dass die Stufen je aus einer wagrechten Diele (Trittstufe) und aus einer lotrechten Diele (Setzstufe) bestehen und dass diese, die Stufen bildenden Dielen mit ihren Enden beiderseits in Balken (Wangen) ihr Auflager finden, welche eine dem Steigungsverhältniss der Treppe entsprechende Neigung haben. Alle Holztreppen sind also Wangentreppen, und wenn es sich darum handelt, die Standfestigkeit einer Treppe festzustellen, so ist zu untersuchen, 1) ob die Stufen im Stand sind, die sie treffenden Lasten aufzunehmen und auf die Wangen zu übertragen, 2) ob die Wangen befähigt sind, die aufgenommene Last den vorhandenen Stützen zu übermitteln und 3) ob diese Stützen die nötige Sicherheit gewähren.

Fig. 229.

müa

Was die Stufen anlangt, so hängt es von der zwischen Trittstufen und Setzstufen gewählten Verbindung ab, ob erstere oder letztere für die Last-Übertragung' auf die Wange vorzugsweise in Betracht kommen. Bei der Verbindung (Fig. 229) ist anzu-nehmen, dass vornehmlich die Trittstufen die Last aufnehmen und auf die Wangen übertragen. Dieselben sind annähernd als frei auf liegende Träger, deren Stützweite die Stufenlänge oder Treppenbreite ist, zu betrachteu. Wird die Verbindung derart bewerkstelligt, dass jede Trittstufe nicht nur vorne auf der Setzstufe aufruht, sondern auch rückwärts

mittels Holzschrauben an der jeweiligen nächsthöheren Setzstufe befestigt erscheint (Fig. 230), so ist die Stützweite der Trittstufe nur gleich der Stufenbreite und die Lastübertragung auf die Wangen erfolgt durch die Setzstufen. Letztere Verbindung ist natürlich vorzuziehen.

Fig. 230.

'WMmmk

Die Wangen, als eigentliche Treppenträger dienend, übertragen die von den Stufen übernommene Last auf die an ihren Enden vorhandenen Stützen.

Bei geraden oder geradläufigen gebrochenen Treppen sind die Wangen gerade Balken, deren Neigungswinkel gegen den Horizont der Treppensteigung entspricht.

Bezeichnet 2 Q die Gesamintlast eines von zwei geraden Wangen eingeschlossenen Treppenlaufes und ist diese Last gleichmässig verteilt, so ist Q

die Belastung einer Wange und

= q die Be-

Fig. 231.

lastung derselben pro Einheit der Wangenlänge.

Die Enden der Wangen sind mit den zu ihrer Unterstützung dienenden Constructionsteilen gewöhnlich durch Auf klauen oder Verzapfung verbunden, so dass bei lotrechter Belastung auch lotrechte Stützenreactionen je gleich ~ hervorge-

A

«/>

cf*

rufen werden. Indem nun die Wange AB (Fig. '

WS

i

231) die Last auf A und B überträgt, wird sie />* auf Biegung und ausserdem auf rückwirkende Festigkeit beansprucht. Die Last pro Längen- T * einheit q nämlich lässt sich in eine normal zur Wangenaxe gerichtete Com-ponente q Cos e und eine in der Längenaxe der Wange wirkende Componente

q Sin s zerlegen. Auch die Auflagerreactionen yr- werden durch ihre Seiten-

kräfte senkrecht zur Wange ~ Cos e und parallel der Axe derselben ~ Sin s

A    A

ersetzt.

Für irgend einen Querschnitt in der Entfernung x von A ist das Bieg-ungsmoment:

ql

Cos £ X (l — x)

und die durch die Biegung entstehende Druckspannung:

ß' =

3 q Cos £ x (l — x)

bh²

Derselbe Querschnitt wird durch die axiale Componente der Auflager-reaction und durch die sich summirenden Componenten q Sin s direct auf Druck

daher die damit erzeugte

— Sin £ — q Sin £. x £

beansprucht mit der Kraft: ^ *

Druckspannung:

//

q Sin £ (1 — 2 x)

2b h

Die Gesammtspannung in den äussersten gepressten Fasern des betrachteten Querschnitts ist somit:

ß = ß' + ß" =

8 q x Cos £ (1 — x)

q Sin £ (1 — 2 x)

bh²

2 bh

(279

Diese Spannung wird ein Maximum für:

P-j p.

cn.’ x

3 ff Cos e (1 — 2 x)

ff Sin s

bh²

bli

oder für

h tang s

Dieser Wert von x ist so wenig von verschieden, dass der am meisten

£

beanspruchte Wangenquerschnitt mit der Mitte der Wange als zusammenfallend angenommen werden kann.

Für x =

—- aber geht Gleichung 279 über in: £

xo

4-|O0

ql² Cos s bli²

(279¹

oder, da ql = Q, und wenn die Horizontalprojection 1 Cos £ = 1L gesetzt wird:

(279²

3    Qli

⁴    b h²’

mittels welcher Gleichung der Wangenquerschnitt zu berechnen ist.

Was die Unterstützung der Wangen anlangt, so unterscheidet man in Bezug hierauf gestützte und freitragende Holztreppen. Gestützt nennt man die Holztreppen, wenn die Wangen zwischen den beiden Stockwerken, zu deren Verbindung die Treppe dient, (in Podesthöhe) weitere feste Auflager erhalten durch Pfosten oder Balken. Freitragend aber wird die Treppe, wenn bei gleichzeitiger Richtungsänderung des Treppenlaufes die Wangen zwischen den beiden Stockwerken keine weitere Unterstützung erhalten, vielmehr nur auf den Balken der unteren und oberen Etage aufruhen.

Fig. 232 zeigt eine geradläufige, einmal um 90° gebrochene Holztreppe. Die Wangen W, lind W/, die den unteren Treppenlauf einscliliessen, ruhen mit ihrem unteren Ende auf der Antrittstufe auf, während die Wangen W2 und W₂' des anderen Treppenlaufes ihr oberes Auflager im Etagenbalken oder Wechselbalken des Obergeschosses finden. Bezüglich der weiteren Unterstützung der Wangen erscheint es einfach und nächstliegend', im Punkte a, wo die beiden inneren Wangen Wx und W2 Zusammentreffen, eine hölzerne Säule anzuordnen, welche bis zum Fussboden herabreicht.

Fig. 232.

'AL B

js . ’t

c ;v

In diese Säule greifen die bezeichneten Wangen mittels Verzapfung ein und finden auf solche Weise ihre Unterstützung. Um auch eine Unterlage für den Podest und die beiden äusseren Wangen W/ und W₂' zu erhalten, wird ein wagrechter Balken A (Podestriegel) nach der Diagonale des Podestes angelegt, welcher mit seinem einen Ende in der Mauer aufliegt und an seinem anderen Ende mit der Säule verzapft ist. Genannter Balken A dient zwei weiteren Podestriegeln B zum Auflager, welche nach den Podestkanten angeordnet sind und welche den äusseren Wangen W/ und W₂' zur Unterstützung dienen, da wo diese den Podest treffen.

Fig. 233.

Setzt sich die Treppe durch mehrere Etagen fort, so muss der Pfosten durch die ganze Höhe des Treppenhauses durchgeführt werden. Das schwerfällige Aussehen, das die Treppe dadurch erhält, kann man vermeiden, wenn man die Säule ober- und unterhalb des Eingriffs der Wangen abschneidet (Fig.

233). Natürlich verliert dann der Pfosten seine tragende Eigenschaft, er wird freischwebend, und sein Zweck ist es . jetzt nur, den inneren Wangen W, und W₂ zum Abschluss zu dienen; die Treppe, welche vorher eine unterstützte gewesen ist, geht in die freitragende über.

Dass die Treppe auch bei dieser Anordnung stabil bleibt, ist leicht einzusehen. Der lotrechte Gesammtauflagerdruck nämlich der inneren Wangen im Punkte a zerlegt sich in eine wagrechte Componente H, nach der Richtung des Podestriegels a b und in eine Componente T, nach der Richtung der • unteren Wange W1? wird also von diesen Constructionsteilen aufgenommen. Ist der von der oberen Wange W₂ nach a übertragene Auflagerdruck T' schief gerichtet

(Fig. 234), so zerlegt sich T' in eine wagrechte Componente H₂ nach der Richtung des Podestriegels ac und in eine lotrechte Componente. Letztere,

Fig. 234.

vermehrt durch den Auflagerdruck von W1; zerlegt sich in die wagrechte Componente Hx nach der Richtung des anderen Podestriegels ah und eine in der Richtung von ¥, abwärts wirkende Componente Tx. Die im Punkte a zu-sammenstossenden Constructionsteile nehmen also die Belastung auf, ohne dass die Biegungsfestigkeit der Podestriegel in Anspruch genommen wird und zugleich ist ersichtlich, dass bei der freitragenden Treppe auch die Umfassungsmauern in Folge der durch die Podestriegel übertragenen wagrechten Kräfte auf Schub beansprucht werden.

Fig. 235.

Ein Schritt weiter in der Entwickelung dieser Treppe ist der, dass auch der sog. Hängepfosten bei a wegfällt und der Übergang von der unteren zur oberen Wange durch ein gekrümmtes Wangenstück (Wangenkropfstiick) bewerkstelligt wird. Der Podest wird jetzt durch Winkelstufen ersetzt, und die Treppe geht aus der geradläufigen gebrochenen Treppe in die geradläufige teilweise gewundene über (Fig. 235). Mit der Beseitigung des Podestes kommen natürlich auch die Podestriegel in Wegfall. Letztere hatten die statische Function zu erfüllen, die in ihren Längenrichtungen aufgenommenen Kräfte auf die Umfassungsmauern zu übertragen. Diese Leistung muss jetzt durch die Winkelstufen übernommen werden, deren Trittstufen wie Setzstufen zur Aufnahme von Kräften in ihrer Längenrichtung befähigt sind. Die auf die AVinlcelstufen wirkenden Kräfte lassen sich als äussere Kräfte eines räumlichen Seilpolygons auffassen, dessen Polygonseiten den in den einzelnen Elementen des gekrümmten Wangenstückes herrschenden Drücken entsprechen. Damit die einzelnen Winkelstufen keine zu starke Beanspruchung erleiden, wird die empirische Regel befolgt, das gekrümmte Wangenstück so gross zu machen, dass mindestens vier Stufen in dasselbe eingreifen können.

Was die geradläufige, einmal um ISO⁰ gebrochene Treppe anlangt, welche aus zwei, im Grundriss einander parallelen Treppenläufen besteht, so ruhen die Wangen des unteren Treppenlaufes mit ihren unteren Enden auf der Antritt-"stufe auf, mit ihren oberen Enden aber auf einem in Podesthöhe angebrachten Balken (Podestriegel) AA (Fig. 236), welcher in die Umfassungsmauern des Treppenhauses eingreift und eine solche Lage erhält, dass die oberste Setzstufe = 63 cm, die Breite b der Stufenauftrittfläche = 33 cm. Da auf .jeden der beiden Treppenläufe 12 Stufenauftrittflächen kommen, so ist die wagrechte Länge jedes Treppenlaufes = 12.33 = 3,96.1,4 = 5,544 qm.

396 cm und die Grundfläche desselben

Wird das Eigengewicht der Treppe 120 kg und die zufällige Last 400 kg pro qm Horizontalprojection angenommen, so ergibt sich als Gesammtbelastung eines Treppenlaufes rund 2880 kg und als Belastung je einer Wange die Hälfte: Q = 1440 kg.

Die Horizontalprojection der Wangenlänge ist 3,8 m und wenn die Höhe des rechteckförmigen Wangenquerschnitts (normal zur Steigungslinie gemessen) 36 cm angenommen wird, so ergibt sich, da für Eichenholz § = 60 kg pro qcm, die erforderliche Wangenbreite b aus (41. 279²:

= 5,3 cm.

IN»

an seine vordere Seitenfläche sich anschliesst. Derselbe Podestriegel dient den Wangen des oberen Treppenarmes zum unteren Auflager, während die Unterstützung dieser Wangen an ihren oberen Enden mittels eines Etagenbalkens oder eines entsprechend angebrachten Wechselbalkens wird.

bewerkstelligt

Fig. 236.

1/t tu

A.

'I I

I---1

i ! ! I    ! i j    I    i    i    j    I    i!    i    j I

1—1—L_i---1—i—1___1__1___!.    1...    I    ! '    I_!_ P

Beispiel. Eine geradläufige, einmal um 180° gebrochene,

1,4 m breite Treppe aus Eichenholz dient zur Verbindung zweier Stockwerke, deren Abstand, von Fussboden

zu Eussboden gemessen, 3,9 m beträgt. Bei 26 angenommenen Steigungen

390

ergibt sich die Stufenhöhe h =

= 15 cm und nach der Formel b -j- 2 h

£ O

1440^380 ‘ ”60T36"²

Der lJodestriegel AA, ein mit beiden Enden frei auf liegender Träger, ist durch Zwei Einzellasten je gleich 720 kg, die Auflagerdrücke der Wangen, und durch die gleichmässige Podestbelastung q = 0,7.400 = 280 kg pro m

Trägerlänge beansprucht (Fig. 237). Man hat:

280.3,2²

0U1U11X. = 720.1,6 — 720.0,125 -f

x = 1,6

Daher ergibt sich der rechteckförmige Querschnitt des Balkens aus:

= 1420,4 mkg.

5.1 bli² = 142040 cmkg und mit b = h und 5 = 42 kg pro qcm: * 5 h³ = 142040

somit h — 30,5 und b = 21,8 cm.

Fig. 237.

1W1

'f—

3,Z TU

VI. Abschnitt.

Dach - Constructwnen.

§ 1. Belastung der Dächer.

Die Belastung der Dächer setzt sich zusammen aus dem Eigengewichte der Construction, aus dem Gewichte des im "Winter auf der Dachfläche sich ansammelnden Schnees und aus der Angriffnahme durch den "Wind.

A) Eigengewicht.

Für die erste Berechnung können die folgenden Durchschnittszahlen benützt werden; eine nachherige Gewichtsberechnung muss ergeben, ob die Annahme entsprechend war oder ob auf Grund des jetzt genauer bestimmten Gewichtes der Construction eine zweite Berechnung durchzuführen ist.

Dächer mit hölzernem Dachgerüste.

Gewicht p in ig pro qm geneigter Dachfläche incl. Latten, Schalung und Sparren.

Einfaches Ziegeldach.......

Doppel- und Kronenziegeldach .

Hohlziegeldach.........

Falzziegeldach.........

Schieferdach..........

Metallblech auf Schalung.....

Pappdach auf Schalung......

Holzcementdach.........

Asphaltdach mit Lelim-Unterlage . Asphaltdach mit Cement-Unterlage

105

130

130

120

75

40

30

160

80

Dächer mit eisernem Dachgerüste.

Gewicht fl in kg pro qm geneigter Dachfläche incl. "VViukel-eisen.

Schiefer auf Winkeleisen..........

Ebenes Eisenblech auf Winkeleisen......

Ebenes Zinkblech auf Schalung und Profileisen .

Eisenwellenblech auf Winkeleisen.......

Zinkwellenblech auf Winkeleisen.......

Glas auf Winkeleisen ..........

50

25

48

22

18

50 bis 60

Die Zahlen dieser Tabellen enthalten die Eigengewichte der Binder noch nicht. Diese können wie folgt angenommen werden:

Für Holzdächer, welche durch Zwischenmauern unterstützt sind, 10 bis 20 kg pro qm geneigter Dachfläche,

für Holzdächer, welche nicht durch Zwischenmauern unterstützt sind (Spreng- und Hängewerke), 20 bis 30 kg pro qm geneigter Dachfläche, für Eisendächer 15 bis 30 kg pro qm Horizontalprojection.

B) Schneelast.

Die durchschnittliche, lotrecht gemessene Höhe der Schneeschichte, welche in unseren Gegenden auf einem Dach sich ansammeln kann, ohne dass inzwischen eine Beseitigung des gefallenen Schnees eintritt, beträgt erfahrungs-gemäss 0,6 m. Da das specifische Gewicht des Schnees 0,125 ist, so entsteht dadurch pro qm Horizontalprojection der Dachfläche eine Belastung 0,125.0,6.1000 = 75 kg.

Bezeichnet s den Neigungswinkel der Dachfläche gegen den Horizont, so ist die Schneelast q pro qm geneigter Dachfläche = 75 Cos s und man erhält für verschiedene Verhältnisse der Firsthöhe h zur Stützweite a des Daches folgende Belastungen durch den Schneedruck:

s = 45°

£ = 33°41'

q = 53 kg pro qm,

fl = ⁶² »    »

s = 26° 34'

s = 21°48'

fl = 70    „    „

£ = 18°26/

er 93

q = 71

£ = 15°57/

q = 72

q = 75 „

= 0, s = 0

C) Wind druck.

Was zunächst die Richtung’ des Windangriffes• anlangt, so ist dieselbe niemals ganz horizontal, sondern die Windrichtung bildet immer einen kleinen Winkel mit dem Horizont. Dieser Neigungswinkel beträgt im Mittel etwa 10°.

Man hat nun gefunden Druck, welcher durch den Wind pro qm einer zur Windrichtung senkrechten Ebene hervorgebracht wird, 0,13 v² kg beträgt, wenn v die Geschwindigkeit des Windes in Metern pro Secunde. Ist demnach AG' (Eig. 2.38) eine zur Windrichtung senkrechte ebene Eläche von der zur Zeich-

Fig. 238.

dass der

€'

10°

p Ar¹ p p-

8>

s == 14°2'

s = 12°32/

Cf = 73 kg pro qm,

q = 73

1Ö>

3    =    11.018'

q = 73,5 „

7M⁰°-

°,13

nungsebene senkrechten Tiefe = 1, so ist der auf diese Eläche wirkende Winddruck:

AC' .0,13 v².

Ist s der Neigungswinkel der Dachfläche mit dem Horizont und zieht man C'C senkrecht zu AC', so entspricht der auf die Dachfläche AC treffende Druck gleichfalls dem vorstehenden Ausdruck, oder man hat, da

AC' = AC Sin (e -f 10) als Winddruck auf AC:

AC.0,13 v² Sin (s -f- 10°) und Druck pro Flächeneinheit der Dachfläche:

0,13 v² Sin (s 4- 10°).

Von diesem in der Richtung des Windes angestrebten Druck kann nach dem Gesetze der Wechselwirkung nur diejenige Gomponente zur Wirkung kommen, welcher ein gleich grosser Gegendruck entspricht. Widerstand wird aber von der Dachfläche (da die Reibung zwischen Luft und Dach verschwindend klein) nur in der Richtung senkrecht zur Dachfläche geleistet. Man hat daher obigen Druck in eine zur Dachfläche normale Componente und in eine Componente nach der Richtung der Dachfläche zu zerlegen. Letztere bleibt ausser Wirkung; die erstere ist:

lu = 0,13 v² Sin² (s 4- 10°).

/ Die Geschwindigkeit des Windes, starken Stürmen entsprechend, kann v — 30 m per Secunde angenommen werden, so dass abgerundet

(280

U) = 120 Sin² (s + 10)

erhalten wird.

Aus dieser Gleichung ergeben sich hei verschiedenen Dachneigungen nachstehende Werte für den

Winddnick normal /.nr Dachfläche:

tO|l—¹

Nh-¹

eilt-¹

cjIm

CC'M

e;

■C

cb

4^

Cg

::

4g

tc

co

Cg

IC

Gv

cg

Ol

—4

4g

LC

tc

:c

IC

oc

ln = 80,5    57

43

33

27

23

20

18    16 kg.

Eigengewicht und Schnee beanspruchen die Dachflächen in lotrechtem Sinne, während durch den Winddruck, normal zum Dach wirkend, immer nur je eine Dachfläche, nämlich die der Windrichtung zngekehrte, in Angriff genommen wird. Bei eisernen Dächern, welche eine genauere Berechnung ermöglichen, wird diesem Umstand, der einseitigen Windbeanspruchung, Rech

Fig. 239.

■t

nung getragen. Bei hölzernen Dachconstructionen aber, bei welchen jener Genauigkeitsgrad wie bei den eisernen in der Regel nicht erreichbar ist, nimmt man, um die statische Untersuchung zu vereinfachen, gewöhnlich eine gleichzeitige Beanspruchung beider Dachflächen durch den Winddruck an, berücksichtigt aber hiebei nur die lotrechte Seitenkraft des Winddrucks.

___

Durch Zerlegung nämlich von ln in eine lotrechte Com-ponente und eine Componente nach der Sparrenrichtung (Fig. 239) ergibt sich erstere:

in' =

lu

120 Sin² (s -f 10)

COS £

Cos £

(281 #

und man erhält bei verschiedenen Dachneigungen nachstehende Werte für die

lotrechte Componente des Winddruekes:

O) SS Sr¹

4-

Cg »Sit-.

«Im

iHm

osji—■

CClM

SOiM

er

cc

Cg

4C

Ol

Cg

LC

4-

tc

t-H

oo

Cg

CI

-i

tH

LC

l—*■

C<l

Ci

IC

ln' =114    68

48

35

28

24

21

18    .16 kg.

Bei offenen Hallen ist zu berücksichtigen, dass der Wind, seitlich oder von unten kommend, die inneren Dachflächen angreift. Die Grösse dieser Beanspruchung, über welche genauere Erfahrungsresultate z. Z. noch fehlen, kann zu 60 kg pro qm angenommen werden.

Möglichkeit des Umhmtens oder der Verschiebung ron Dächern durch den

Winddruck.

Bei Dächern von bedeutender Höhe liegt die Frage nahe , ob nicht die Gefahr eines Umkantens der gesummten Dachconstruction oder die Gefahr der wagrechten Verschiebung derselben vorhanden sei. Zur Beantwortung dieser Frage kann Folgendes dienen:

Fig. 240.

?•

Die Resultirende des Winddrucks äussert das Bestreben, das Dach um die der Windrichtung gegenüber liegende Kante B (Fig. 240) zu drehen. Beim Satteldach von der Länge 1 und der Tiefe e ist das Drehmoment :

9K = letu.BE

u.

Ie,u (i

— b Cos a

= letu

b²

rd-

Das Moment des Dachgewichtes, wenn dasselbe pro qm Dachfläche p be

trägt, ist:

2 lep

daher als Gleichgewichtsbedingung gegen Umkanten erhalten wird:

1 e b p > 1 e tu

I ¹    '■)

V 2    21/

oder

(282

Aut' Verschieben in wagrechtem Sinne wird das Dach beansprucht durch die Horizontalcomponente des Winddrucks lew Sin a, welcher die dem Dachgewichte 2 1 e p und der Verticalcomponente des Winddrucks le tu Cosa ent

sprechende Reibung entgegenwirkt. Demgemäss ist, wenn jx der Reibungs-coefficient,

oder

o. (2 1 e p -{- 1 e tu Cos a) > 1 e tu Sin a

(2S3

Aus Gl. 282 ist

2 blp

oder, wenn 1 durch li und b ausgedrückt und h = nb gesetzt wird:

4pV 1    4n²

4 n² — 3

oder

Setzt man auch in Gl. 283 1 =

h² -f

und li = n b, so erhält man:

tt)

2 [xpV 1 -f- 4 n²

2 n — |x

Die Gefahr des Umkantens und des Verschiebens ist gleich gross, wenn

4p y 1 -j- 4 n²    2 [Xp V1 -f- 4n²

4 n² — 3

2n — [X

±-

Für jx = 0,5 wird n = 2,1, woraus ersichtlich, dass, wenn h > 2,1 b, die Gefahr des Umkantens näher liegt als die des Verschiebens.

Hat das Dach die Form einer Pyramide von quadratischer Grundfläche, so erhält man n = 3,2.

§ 2. Auflagerreactionen bei einseitiger Beanspruchung durch den Winddruck.

Die Auflagerdrücke der schiefen Windbelastung werden wie folgt bestimmt:

Vom Dachbinder ABC, der in A mit einem beweglichen und in B mit einem unverrückbaren Auflager versehen ist (Fig. 241), sei die Seite AC durch den Winddruck beansprucht, dessen zu A C senkrechte Resültirende mit W₀ bezeichnet werde. Die Reibung am beweglichen Auflager kann, ohne einen grossen Fehler zu begehen, vernachlässigt werden, in welchem j Falle die Auflagerreaction I)x daselbst lotrecht wirkend auftritt. Da der Winddruck gegen den Horizont geneigt ist, so kann nur Gleichgewicht stattfinden, wenn die rechtsseitige Widerlagerreaction D₂ eine geneigte Lage einnimmt, und es sollen deren Horizontal- und Verticalprojection mit H und B'., bezeichnet werden. Aus den Gleichgewichtsbedingungen:

W₀ Sin a — H = 0,

D, —W₀ Cos a -fl)'₂ - 0

Fig-. 241.

D,

■j

II 4'

und

D'₂• 2 1 Cos a — W₀. — Ä

ergeben sich die Unbekannten:

H = W₀ Sin a.

(284

und

D'₂ =

W₀

4 Cos a

(285

W₀ Cos a

(8 — tang² a).

(286

Graphische Lösung. Die Kräfte W₀, Dj und D₂, welche sich im Gleichgewicht halten, schneiden sich in einem Punkte J (Fig. 242). Indem man 01 nach Grösse und Richtung gleich W₀ aufträgt und durch 0 eine Lotrechte, ferner durch 1 eine Parallele zur Verbindungslinie BJ zieht, erhält, man Dj = 20 und D₂ = 12.

Fig. 243.

Fig. 242.

\C

BZ-

T- -

->//

•o

,ß

Z4

?[

/(

Ist durch den Wind die Dachfläche CB auf Seite des festen Auflagers beansprucht (Fig. 248), so sind die Gleichgewichtsbedingungen:

W₀ Sin a — H = 0,

Di—W₀ Cosa + D', = 0,

Dj. 2 1 Cos a — W₀ — 2

woraus:

H = W₀ Sin a,

(287

W₀

Dl 4 Cos a’

(288

D'

W₀ Cos a

(8 — fang² a).

(289

D, und D'₂ wechseln die Werte und H erhält entgegengesetzte Richtung gegenüber dem vorigen Fall.

15

Durch Aufträgen von AV„ = 01 (Fig. 243) und durch Ziehen der Lotrechten 12 und der Parallelen 0 2 zu B.T wird auf graphischem Wege D, = 1 2 und D₂ = 20 nach Grösse und Richtung erhalten.

Bei gekrümmter Dachfläche haben die Normalcomponenten des Winddruckes an verschiedenen Stellen verschiedene Richtungen. Man zerlegt daher die Begrenzungslinie des Daches in mehrere Abteilungen, bestimmt die Wimldriicke für dieselben unter Zugrundlegung eines mittleren Neigungswinkels und erhält nach Gl. 284 bis 286 Horizontalschub und resultirende Vertical-auflagerreactionen durch Summirung der den einzelnen Abteilungen entsprechenden Werte von H, 1), und D'₂.

Fig. 244.

Vorzuziehen ist hier das einfachere

graphische Verfahren. Die auf die einzelnen Abteilungen der Dachfläche wir-

w ¹¹ \y 111 VV 0 5 VV 0

yff____-

kenden Winddrücke W,,¹, und AV₀IV (Fig. 244) werden zu einem Kräftezug 012 3 4 vereinigt, wodurch deren Resultirende nach Grösse und

o>

Richtung gleich 0 4 erhalten wird. Die Lage dieser Resultirenden ergibt sich mittels des, dem beliebigen Pol 0 entsprechenden Seilpolygons 0 IIIIIIIV V, so dass jetzt durch Ziehen der Lotrechten 0 5 im Kräftepotygon und der Parallelen 4 5 zu BJ D, = 50 und D₂ = 4 5 bestimmt ist. Analog ist das Verfahren, wenn diejenige Dachhälfte durch den Wind belastet ist, auf deren Seite das feste Auflager sich befindet.

§ 3. Das einfache Sparrendach.

Das einfache Sparrendach entsteht, wenn man zwei gleich lange Balken, Sparren, AC und BC oben unter sich und unten mit dem wagrechten Balken AB (Fig. 245) verbindet und wenn man mehrere solche Gerüste, welche Gebinde genannt werden, hinter einander aufstellt.

Das Gebinde des einfachen Sparrendaches ist ein statisch bestimmtes, stabiles System (vgl. S. 198), welches auch unter Einwirkung einseitiger und beliebiger Belastung im Gleichgewicht sich befinden kann. A Auf jeden Sparren eines Gebindes, welche in den gleichen Abständen e von einander angeordnet seien, wirkt das

Fig. 245.

Di

9o⁰-cf!^~

Mt

k!

2/

Dachconstructionen.

to

Eigengewicht p 1 e = P und die Schneelast qle = Q. Vom Winddruck wird eine der beiden Dachflächen, z. B. AC beansprucht, und es wird, wie bei Holzdächern üblich, ausschliesslich die lotrechte Componente tu' des Winddrucks berücksichtigt, da die genauere Behandlung nur unwesentlich verschiedene Ergebnisse liefert. Wird to'le = W gesetzt, so hat der Sparren A C¹ im (ranzen die Last P 4~ Q -f- W — B und der Sparren B C die Last P -f Q = B' aufzunehmen, beide in den lotrechten Halbirungslinien der Sparrenlängen wirkend.

Indem die Sparren im Firstpunkt sich gegenseitig stützen, empfängt der Sparren AC von BC den Gegendruck J),, der Sparren BC von AC den Gegendruck D₂, und D,— D₂ = 0. Denkt man BC weggenommen und durch D, ersetzt, so erfordert das Gleichgewicht des Sparrens A C:

Dx 1 Cos (a, — s) = B — Cos s (Drehpunkt A), £

und ebenso gilt für den Sparren B C :

D₂1 Cos (a₂ — e) = B' ~ Cos s (Drehpunkt B). £

I)a D, = D₂, so erhält man:

B'

Cos (oCj — s)

Cos (a₂ — e)

und, weil a₂ = 180° — a₁₅

tang o-i

B -f B'

(B — B') tang e‘

(290

Die Beactionen der Stützen bei A und B können für beide Sparren durch je eine Verticalkraft (V⁻! bezw. V₂) und eine Horizontalkraft (Hj bezw. H₂) ersetzt werden. Da der Gleichgewichtszustand beider- Sparren weiter bedingt, dass je die Summe der Horizontal- und der Yerticalprojectionen der an denselben wirkenden Kräfte gleich Null ist, so ergibt sich:

B-fB1 4 tang s

H, = H₂ = I), Sin a, =

(291

ferner;

Yx = B — D, Cos =

3B + B⁷ „

(292

und

Y₂ = B⁷ 4~ Di Cos a, =

3B⁷ -f B

(293

*) Zu dem nämlichen Ergebniss kommt man auch auf folgende Weise:

Man denkt sich den Sparren AC aus seiner Verbindung mit den übrigen Balken herausgenommen, nachdem zuvor die Wirksamkeit der Unterstützung bei A durch die

Was die Beanspruchung- der Sparren anlang-t, so setzt sich dieselbe zusammen aus den Stabkräften, welche in den Sparren als Teilen eines Stabsystems anftreten, dessen Belastung in den Knotenpunkten angebracht ist und ferner aus der Beanspruchung, welche dadurch entsteht, dass die Sparren zugleich zur Übertragung der zwischen den Knotenpunkten vorhandenen Last auf diese dienen.

Erstgenannte, in der Längenrichtung des Sparrens wirkende Beanspruchung T wird erhalten, wenn man die Kräfte, welche an dem einen oder anderen Ende des in’s freie Gleichgewicht gesetzten Stabes wirken, auf die Sparrenrichtung projicirt, nachdem zuvor R durch die in A und C erzeugten

Auflagerdrücke von je gleich —- ersetzt worden:

L

3R4-R/

t-r+e'

4tange

Cos s 4-

4

Sin e —

28iD£ =

R-fR' 4 Sins

(im Punkte A)

oder

(294

= Bi Sin (ax — e) 4- —

Sin e =

R 4 R'

4 Sin s

(im Punkte C)

Kräfte Hi und Vx und die Gegenwirkung des Sparrens BC in C durch Dx ersetzt worden. Letztere kann aber aufgefasst werden als die Eesultirende aus dem von B C nach C über-

R'

tragenen lotrechten Auflagerdruck —

Sparren BC in seiner Längenrichtung geleisteten Druckwiderstand T (Fig. 246).

Es bestehen sonach die Bedingungsgleichungen:

und aus dem von dem

Fig. 246.

R'

R'

und

V₄ 4 T Sin e — R — — = 0, Hi — T Cos s = 0

R'

-q-1 Cos    Cos E — TI Sh¹ 2 s = 0.

u    A

Aus letzterer Gleichung ist:

T — R~l~ R' 4 Sin e ’

daher

und

H = E + R'

¹    4 tang e

Vi =

3 R 4 R'

Selbstverständlich muss die algebraische Summe sämmtlicher an dem Sparren wirkenden Kräfte auf die Sparrenrichtung gleich Null sein:

R'

Hi Cos e 4 Vi Sin e — R Sin s--— Sin e — T Cos 2 s = 0.

Die Beanspruchung-, die z. B. dem Sparren AC ausserdem noch durch

pro Längen-

R

die Lastübertragung- erwächst, ergibt sich, wenn man die Last

einheit in Componenten — Sin e nach der Längenrichtung des Sparrens und

in Componenten

Fig. 247.

fr

Cos s senkrecht dazu zerlegt (Fig. 247). (Vgl. S. 214).

Durch letztere wird der Sparren auf Biegung beansprucht. Das grösste Biegungsmoment in der Sparrenmitte ist:

R 1 Cos a

<j>C

daher die durch die Biegung entstehende Druckspannung :

ß' =

UH»

ß 1 Cos a

bh²

Derselbe Querschnitt ist durch T direct auf Druck beansprucht, wodurch die Druckspannung:

"CO

// _

R 4- R'

4 b h Sin s

hervorgebracht wird.

Die Gesammtspannung in der äussersten gepressten Faser der Sparren

mitte ist somit:

ß = ß- + ß" = i

R1 Cos s

ß -f- B'

4 b h Sin s’

(295

Will man die durch T bedingte Knickbeanspruchung berücksichtigen, so hat man nach Gl. 55:

ß + ß'

4 b h Sin s

und

/i+4h-A

{ . TäfchV

_R1 Cos s ³~bh*~

ß + E'

4 b h Sin e

/ , 0,000161²\

( fT/

(296

Der wagreclite Balken AB des einfachen Sparrengebindes hat* in A und R -f-R/

4 tang s

Eigengewicht (und etwaige sonstige Belastung) auf Biegung und durch H auf Zug beanspruchter Balken zu behandeln. Ist 1, die Länge des Balkens und cp die Belastung pro Längeneinheit, so dient zur Berechnung die Gleichung:

B den Sparrenschub

aufzunehmen. Der Balken ist als ein durch sein

bh"

(297

Gewöhnlich wird bei der Berechnung der Holzdächer eine für beide Dachflächen gleichzeitig statttindende Belastung durch den Winddruck angenommen. In diesem Falle ist R' = R, a, = «₂ = 90° und die Gleichungen 291 bis 296 gehen über in :

H, = H₂ — H =

2 tang s'

(298

(299

(300

Vx = V₂ = R,

T =--

2 Sin e’

CO Hi

R1 Cos e

bh²

2 b h Sin e

(301

oder bei Berücksichtigung der Knickbeanspruchung, welcher der Sparren durch T unterworfen ist,

COiTfl

R1 Cos e

0,00016 l²

bh²

2 b h Sin s

h²

(302

12

Alis Gl. 301 oder 302 kann man die Sparrendimensionen berechnen, wenn ein bestimmtes Verhältniss der Breite zur Höhe des Sparrenquerschnitts angenommen wird. Noch einfacher gestaltet sich das Verfahren, wenn man die Querschnittsdimensionen b und h annimmt und durch Gl. 301 oder 302 ermittelt, welche grösste Druckspannung bei gegebener Belastung auftritt.

Beispiel. Die Dachfläche eines einfachen Sparrendaches mit Falzziegeldeckung sei unter 45° gegen den Horizont geneigt, die Sparrenlänge sei 4 m. die Entfernung der Sparren von einander 1 m. Das Eigengewicht kann nach S. 219 p = 120 angenommen werden, die Schneelast nach S. 220 q = 53, die lotrechte Componente des Winddrucks nach S. 222 lu' = 114, daher p) -f- q -f- tt)' = 287, rund 290 und R = 4.290 = 1160 kg. Welche grösste Druckspannung findet im Sparren statt, wenn die Breite des rechteck-förmigen Querschnitts b = 14 und die Höhe h = 20 m angenommen wird?

Aus Gl. 301 ergibt sich:

daher

COhfl

1160.400.0,707

14.20²

1160

2.14.20.0,707

ß — 44 -|~ 3 = 47 kg pro qcm. Unter Benützung der Gl. 302 wird

cohfl

1160.400.0,707

1160

0,00016.400²

14.20²

2.14.20.0,707

20²

12

= 44 -f- 5 = 49 kg pro qcm.

Aus diesen beiden, wenig von einander verschiedenen Resultaten ist er-dass der Beitrag, welchen die Axialkraft zur Gesammtspannung liefert, verhältuissmässig gering ist und dass es daher für approximative Berechnungen zulässig ist, die zweiten Summanden der Formeln 301 und 302 zu vernachlässigen.

sichtlich

§ 4. Das Sparrendach mit Firstpfette.

Wenn die Sparren an ihrem oberen Ende durch eine Eirstpfette unterstützt werden (Fig. 248), so gestaltet sich die Kräftewirkung in folgender AVeise:

Fig. 248.

Ist jeder Sparren mit R belastet und fasst man zunächst den Sparren A C ins Auge, so überträgt derselbe auf seine Stützen A und C zwei lotrechte Auflagerdrücke je gleich

6/

Jj

m

Da die Reaction der First-pfette normal zur Auflager-

in eine

fläclie, d. i. zur Sparrenrichtung wirksam ist, so hat man in C

Componente T nach der Sparrenrichtung und in eine Componente N senkrecht dazu (Fig. 249) zu zerlegen:

Fig. 249.

Sin e,

(303

i;

— Cos s.

Zi

(304

A//l\

H+-

Durch weitere Verlegung von N in eine lotrechte und eine wagrechte Componente N Cos s und N Sin e erhält man die durch A C für die Eirstpfette entstehende lotrechte Belastung, zu welcher der nämliche Betrag seitens des Sparrens BC hinzu-koinmt, so dass der lotrechte Druck P auf

die Eirstpfette in jedem Gebinde gleich ist

(305

P = 2 N Goss = R Cos² s, während N Sin £ von der gleichen und entgegengesetzten wagrechten Componente

des anderen Sparrens im Gleichgewicht gehalten wird. (Bei ungleicher Belastung beider Sparren wird die Differenz beider Horizontalcomponenten von den beiden Sparren aufgenommen und ist in Componenten nach den Richtungen derselben zu zerlegen.)

Der Auflagerdruck am unteren Sparrenende ist:

bo bd

-f T Sin s =    (1 -f Sin² s)

£

(306

und der daselbst entstehende Horizontalschub:

i;

(307

H = T Cos s = — Sin 2 g.

4

Die Vergleichung dieses Ausdruckes mit Gl. 298 lässt erkennen, dass bei Anordnung von Firstpfetten ein geringerer Sparrenschub entsteht als beim Sparrendach ohne Firstpfette. Den grössten Wert erreicht H bei s == 45°, während für s = 0 und s = 90° H gleich Null würde. Beim Dach ohne Firstpfette aber wird nacli Gl. 298 der Schub um so grösser, je kleiner der Neigungswinkel s ist.

§ 5. Das Pultdach.

Beim Pultdach (Fig. 250) besteht die Dachfläche aus einer Ebene, die, an eine der Umfassungsmauern des Gebäudes, die sog. Pultwand, sicli anschliessend , nach der gegenüberliegenden fallend angeordnet ist. Die Rücksicht auf die Stabilität der Pultwand macht es wünschenswert, dass die Sparren im First nur Verticaldriicke, nicht aber Seitenwirkungen äussern. Dies kann durch Anbringung einer Firstpfette und entsprechende Verbindung zwischen Sparren und Firstpfette erreicht werden.

Fig. 250.

Fig. 251.

a) Ist die ßeaction der Firstpfette lotrecht (Fig. 250 u. 251), so liegt der auf S. 167 behandelte Fall vor: der Druck auf die Firstpfette und der Druck des Sparrenfusses auf den Tramen

ist je gleich

£

Zur Querschuittsbestinmnmg des Sparrens dient Gleichung 279l:

UH CO

q l² Cos s

bli²

b) Wenn die Verbindung zwischen Sparren und Firstpfette derart ist, dass die Eeaction N der letzteren normal zur Dachneigung gerichtet ist (Fig. 252 und 258), so hat man nach S. 281:

Sparrendruck:

Fig. 252.

Fig. 253.

T,

JSa

-J.Ä

ai

WB

y/4y/.

Sin s,

.N =

Cos £,

Pfettendruck:

= TCos²e,

Schub auf die Pultwand:

R — — Sin 2 e,

Sparrenschub:

— Sin 2 s 4

und Auflagerdruck am Fussende des Sparrens:

II

ö- (1 + »in² e).

Die Firstpfette wird in den Hauptgebinden durch Wandsäulen unterstützt, und wenn zwischen je zwei Hauptgebinden n Leergebinde vorhanden sind, so erhält jede Wandsäule von der Pfette einen Verticaldruck

Pi = (n -I- 1) -ö

Cos² £

(308

und einen Horizontalschub:

H, = (n -f 1)

Sin 2 £.

(309

Letzterer muss entweder durch die Pultmauer oder durch ein nach Fig.

Ht a ax Cos y‘

253 anzuordnendes Zugband D F aufgenommen werden. Der in letzterem auftretende Zug ist:

§ 6. Das Kehlbalkendach.

Fig. 254.

Da es bei den für die Sparren zur Anwendung kommenden Holzstärken in der Hegel nicht zweckmässig ist. denselben mehr als 4 m freie Länge zu geben, so ist das einfache Sparrendach nur für geringe Spannweiten anwendbar. Wird die Länge der Sparren grösser als 4 m, so muss denselben eine weitere Unterstützung gegeben werden, welche durch Einfügung eines wagrechten Balkens (Kehlbalkens) zwischen je zwei Sparren bewerkstelligt werden kann. Es entsteht dadurch das einfache Kehlbalkendach (Eig. 254).

Da die Unterstützung der Sparren hier wegen möglicher Lockerung der Verbindung mit den Kehlbalken mehr oder weniger mangelhaft ist, so bringt man unter dem Kehlbalken entweder in der Mitte {Kehlbalkendach mit einfachem Stuhl) oder an den beiden Enden (Kehlbalken dach mit doppeltem Stuhl) (Fig. 256) Träger (Rahmhölzer) parallel der Längenrichtung des Daches an, welche den Kehlbalken zum Auflager dienen. Diese Rahmhölzer werden durch lotrechte Pfosten (Stuhlsäulen) getragen, welche in Abständen von ca. 4 m angeordnet sind, und es heissen diejenigen Gebinde, in welchen eine solche Unterstützung stattfindet, Hauptgebinde, während die übrigen Leergebinde genannt werden. Zur Verminderung der freien Stützweite der Rahmhölzer werden zwischen diese und die Stuhlsäulen häufig Kopfbügen eingefügt.

Fig. 255.

Das einfache Kehlbalkendach ist nach S. 201 Gl. 273 ein statisch bestimmt labiler Träger; Gleichgewicht kann nur bei symmetrischer Belastung stattfinden, während einseitige Belastung veränderte Trägerform erfordert.

Durch Einfügung eines Diagonalstabes in den trapezförmigen Trägerteil (Figur 255) kann das System statisch bestimmt stabil gemacht werden.

Leergebinde des Kehlbalkenstuhldaches. Die einzelnen Sparren erscheinen, da die Kehlbalken meist in der Mitte derselben angebracht werden, als continuirliche Träger von zwei gleichen Öffnungen, wobei auf die Unterstützungen, wenn R die Gesammtbelastung je eines Sparrens bezeichnet, die in Fig. 256 bezeichneten Auflagerdrücke ausgeübt werden

Man erhält daher die in den oberen Sparrenteilen wirkenden Axialkräfte T, durch Zerlegung von j| R in zwei Componenten nach den Sparrenrichtungen:

In E und E' sind zur Aufnahme des Auflagerdruckes R gleichzeitig Sparren, Kehlbalken und Rahmholz vorhanden. Die Art und Weise, in der

sich die vorhandene Last auf genannte Construc-tionsteile verteilt, ist von deren Verbindung abhängig. Sparren und Kehlbalken sind gewöhnlich durch Verzapfung verbunden, Kehlbalken mit Rahmholz verkömmt. In diesem Falle wird man annähernd die wirklichen Beanspruchungen erhalten, wenn man g R in eine Oomponente T' nach der Richtung des Sparrens und in eine solche senkrecht dazu zerlegt:

Fig. 256.

f-Ä

tbR

j.

y/P

irJl

iE

mp

¥**

M5|CC

GO

<*>

=■

ccloi

i»

CO

Wird letztere in eine wagreehte und eine lotrechte Componente zerlegt, so erhält man als Kehlbalkendruck:

K = ■§ R Cos s Sin s = R Sin 2 s

(312

und als Druck auf das Rahmholz:

P = | R Cos² s.

(313

Demnach ist der Druck in der unteren Sparrenhälfte:

t₂ = 1\ 4- T',

T, = T⁸®

Sin s

(asL + 5 Sin s)

(314

der Horizontalschub des Sparrens:

₁    (3 Cotg s + 5 Sin 2 e)

16

(315

und dessen Auflagerdruck bei A:

y = R + T₂ Sin s = | R + | R Sin² 8

Was die Querschnittsbestimmung des Sparrens anlangt, so ist, wenn AC

= 1, das grösste Biegungsmoment bei E gleich R 1 Cos e, daher die demselben entsprechende Druckspannung:

R 1 Cos s

bh² '

ß' = T³6

In demselben Querschnitt findet eine directe Druckwirkung:

s (wir, +⁵ Si,‘s)

statt, welcher die Druckspannung⁻:

"CO

// _

8bh(2ik + 5SinE)

entspricht.

Daher ergeben sich die Querschnittsdimensionen b und h des Sparrens aus der Gleichung:

R 1 Cos e TF bh²

■f

8 b h (2^ + 5 Si" E)

(317

Die Kehlbalken sind durch K auf Knickfestigkeit beansprucht und werden nach Gl. 51 oder 55 berechnet.

Rahmhölzer und Stuhlsäulen. Die Ralnnhölzer sind Träger, welche in den Hauptgebinden unterstützt und durch ebensoviele lotrechte Lasten P = § R Cos² s beansprucht sind, als Sparren auf ihnen aufruhen (Fig. 257). Hienach ist ihr Querschnitt bestimmt. Die Kopfbiigen, welche die Rahmhölzer unterstützen, erleiden einen Axialdruck

Fig. 257.

ppppppppp

I I I 1 I 1 I I 1

ppp

wenn y der

nP

2 Sin y Winkel der Kopfbüge mit dem Rahmholz und n die Zahl der zwischen je zwei Hauptgebinden befindlichen Leergebinde. Die zwischen den Kopfbügen befindlichen Abteilungen der Ralnnhölzer sind, abgesehen von ihrer Biegungsbeanspruchung, auch einer

nP

axialen Druckkraft = —- Cotg y ausgesetzt. Der Druck auf die erste und

Li

letzte Stuhlsäule ist

11 4- 2

—-—P, in den übrigen Stuhlsäulen gleich (n -f 1)P = P₀.

Zk

Zu berücksichtigen ist, dass auf die erste und letzte Stuhlsäule am Eingriff

n P Cotg y

der Kopfbüge eine Horizontalkraft

Biegung beansprucht.

wirkt, welche die Säule auf

Beim Kehlbalkendach mit liegendem Stuhl (Fig. 258) werden die Kahmhölzer durch geneigte Stuhlsäulen getragen, welche oben durch einen, unmittelbar unter dem Kehlbalken befindlichen Spannriegel abgesteift sind.

Fig. 258.

In diesem Falle ist der Druck auf eine Stuhlsäule:

To =

Po

Sin s

(318

und der Druck im Spannriegel:

(319

So = P₀ Cotg 8,

daher sich für den Gesammthorizontalschub H„ und den Auflagerdruck V₀ des Hauptgebindes die Werte ergeben:

(320

H₀ = H + P₀ Cotg e

und

(321

§ 7. Das Pfettendach.

Die Sparren liegen auf den der Längenrichtung des Daches nach durchlaufenden Hölzern, welche hier Pfetten genannt werden, unmittelbar auf (Fig.

259), und die Pfetten sind durch Stuhlsäulen unterstützt. Als Querverbindung des Daches dienen in allen jenen Gebinden, in welchen Stuhlsäulen vorhanden sind (Hauptgebinden), wagrechte, unmittelbar unter den Pfetten befindliche Balken (Spannriegel), die gewöhnlich als Doppelhölzer angeordnet werden, indem sie Stuhlsäulen und Sparren beiderseits umfassen.

Fig. 259.

f-Ä

JR

'C

§R

mR

mR

Die in den oberen Sparrenhälften herrschenden Drücke ergeben sich wie beim Kehlbalkendach:

m _ 3

— TS

Fig. 263.

wR

R,

(323

ohne dass in E für die untere Sparrenhälfte eine weitere Axialkraft hinzukäme. Daher Sparrenschub bei A ist:

H = T\RCotg£

(324

und Auflagerdruck daselbst:

V = R.

(325

Fig. 262.

>o

Bezeichnet P₀ den Auflagerdruck der Pfette im Hauptgebinde, so ist beim Pfettendach mit stehendem Stuhl (Fig. 259) P„ auch der Druck in der Stuhlsäule; ist aber die Stuhlsäule in geneigter Lage parallel zum Sparren angeordnet (Pfettendach mit

liegendem Stuhl) (Fig. 262) so ist:

K₀ = P₀ Cotg s,

(326

To =

Po

Sin s

(327

und

H₀' = H -f P₀ Cotg s

V« = f R + Po-

CO oc

Tn E und E' sind die Sparren durch die Pfetten unterstützt. Würden die ersteren ohne weitere Verbindung auf der Pfette frei aufliegen (Fig. 260), so würde bei vernachlässigter Reibung der Widerstand der Pfette in normaler Richtung m n zum Sparren wirken, in welchem Falle | R, zu zerlegen wäre in eine nach der Richtung des Sparrens wirkende und eine dazu senkrechte Componente. Bei stattfindender Reibung wird die Pfettenreaction die Richtung mn' erhalten, welche mit der Normalen zum Fig. 261.

Fig. 260.

rt

n>

Gewöhnlich

/L

Sparren den Reibungswinkel einschliesst. aber ist die Pfette mit dem Sparren verkämmt (Fig. 261), in welchem Falle die Pfettenreaction als lotrecht wirkend

einzuführen ist.

Daher hat man als Druck auf die Pfette:

Pfettendach mit First-pfette. Dasselbe entstellt, wenn die Stuhlsäulen des Pfettendaches mit liegendem Stuhl bis zum First verlängert werden und hier zur Aufnahme einer Firstpfette dienen iB (Pi§-- 263).

Man kann annehmen, dass sämmtliche Pfetten nur lotrechte Drücke erleiden, daher in jedem Gebinde Druck auf die Firstpfette P,' = §R und Druck auf die Mittelpfetten hei E und E': P = | R.

_JV_

2 Sin s’

Ist P,/ der von der Firstpfette auf je ein Hauptgebinde übertragene Auf-lagerdrnck, so ist die im oberen Teil der Streben GE und G'F herrschende Druckkraft:

N' =

(330

Po"

Sin s’

so dass Gesammtdruck in den unteren Hälften

Hiezu kommt in E die Componente des Auflagerdruckes P₀'' der Mittelpfette nach der Strebenrichtung: genannter Streben:

2 Sin s

(Po' + 2 P,/')

(331

und Druck im Spannriegel EE':

(332

(333

S = P₀" Üotg £.

Der Horizontalschub eines Hauptgebindes in A und B ist: Ho = i (Po' + 2 P₀") Cotg £ -I- R Cotg £

und der Auflagerdruck daselbst:

Vo =

f 4- Po" + I B.

(334

§ 8. Das Hängewerkdach.

Pfetten dach mit einfachem Hängewerk.

Die in den Hauptgebinden der Dachconstruction Fig. 263 vorhandenen Streben GE und G'F können benützt werden, um mit Hinzufügung der Hängesäule FJ und des

IJnterzuges TJ die Balken der Dachbalkenlage in der Mitte ihrer Länge zu unterstützen. Hiedurch entsteht das Hängewerkdach Fig. 264, dessen Hauptgebinde aus dem Dreieck-Sprengwerk G F G' und aus dem Trapez-Sprengwerk GEE'G' besteht. Was die Ermittelung der in dem Dachbinder wirkenden Kräfte anlangt, so bestimmt man zunächst den von der Dachbalkenlage auf je eine Hängesäule in J übertragenen Auflagerdruck D. Durch diesen entsteht in der Hängesäule die Zugkraft Z = D. Bezeichnet ferner Pt den von der Firstpfette auf ein Hauptgebinde übertragenen Druck, so ist Px -j- Z die von den Streben GF und G'F des Hauptgebindes aufzunehmende Last, welche in Componenten 0 a und a 1 nach den Richtungen genannter Streben zu zerlegen ist. Daher = Oa v= al der Druck im oberen Teil je einer Strebe. In den Punkten E und E' kommen die Auflagerdrücke P₂ = a2 hinzu, welche die Mittelpfetten auf die. Hauptgebinde ausüben. Zur Aufnahme derselben sind die Streben GE, G'E' und der Spannriegel EE' vorhanden, daher sich S = b 2 als Druck im Spannriegel ergibt und N' = ab als derjenige Druck, welcher von E aus zu dem in der Strebe schon vorhandenen Druck hinzukommt. Es ist somit die gesammte Druckbeanspruchung der unteren Strebenabteilungen EG und E'G: N₂ = N! + N' = Ob, welche in G den Horizontal-c b und den

Fig. 264

lc

J>z

,/

WS-

JB

rz

sclmb H

r Art J jvS i

Oc

[T

Auflagerdruck V erzeugt.

Pz

labiles Trägersystem, und es tritt bei ungleicher Fig. 265.

-6-

\l

\«~

xß

\a..

P,⁺D

Das Trapezsprengwerk G E E' G', welches einen Teil dieses Dachbinders bildet, ist nach S. 201 ein Grösse der Pfettendrücke in E und E' eine Verschiebung dieses Trapezes ein, soferne nicht durch die Biegungsfestigkeit der Streben GE und G'E' sowie der benachbarten Sparren die Differenz der Spannriegelkräfte aufgenommen wird. Sta -bil wird das. Sprengwerk GEE'G' durch Einfügung eines Diagonalstabes GE' welche Anordnung indessen wegen der grossen Länge, die ein solcher Stab erhalten müsste, und wegen seines geringen Neigungswinkels gegen den Horizont im Allgemeinen nicht zu empfehlen ist.

Derselbe Zweck aber wird durch Anbringung zweier Stäbe EJ und E'J erreicht, wodurch zugleich der Spannriegel E E'überflüssig wird. Hiedurch geht der bisher behandelte Dachbinder in den Dachbinder Eig. 265 über.

Man trage P₂ = 01, Px -j- D = 1 2, P./ = 2 3 auf und ziehe durch 0 und 3 Parallele zu den Richtungen der Hauptstreben FG, FG', ferner durch 1 und 2 Parallele zu den Richtungen der Gegenstreben E.J und EM, so ergeben die Abschnitte 0 a und b 3 die in den unteren Strebenhälften durch P₂ und P./ hervorgerufenen Drücke, während die Längen al und 2 b die in den Gegenstreben entstehenden axialen Druckkräfte vorstellen. Die Zugkraft Z in der Hängesäule ist gleich a b — Px und die (Komponenten a c und c b von ab nach den Richtungen der Hauptstreben liefern die Druckkräfte in den oberen Hälften derselben. Daher Gesammtdruckwirkungen in den unteren Teilen EG und F/G' der Hauptstreben gleich Oc und c3, ferner H = de und Y = Od.

Zu demselben Resultat führt die Schnittmethode (vgl. S. 179). Bezüglich des Schnittes a ist als äussere Kraft vorhanden die Auflagerreaction d 0. Unbekannt sind die Stabkräfte N₂ und H, welche das Kräftedreieck dOcd ergibt: N₂ = Oc (Druck) und H = cd (Zug).

Schnitt ß, bezüglich dessen bekannt ist die Resultirende der äusseren Kräfte dO — 01 = dl und H = cd, unbekannt dagegen : S und Nj, liefert mittels des Kräftepolygons dlacd die Stabkräfte S = 1 a (Druck) und N, = ac (Druck).

Pfettendach mit doppeltem Hängewerk und Kniestock (Fig. 266). Die Beanspruchung der Sparren und Pfetten entspricht jener beim Pfettendach mit Stuhl (Fig. 259). Demnach wirken, wenn zwischen zwei Hauptgebinden n Leergebinde liegen, auf je ein Hauptgebinde folgende äussere Kräfte: Die

Fig. 266.

öS

4L

ET.......**

S *1

Auflagerdrücke D der Balkenlage, die Auflagerdrücke P₂ = (n -f 1)P der Mittelpfetten, die Auflagerdrücke P₃ = (n -f 1)Y der Fussschwellen und die durch letztere übertragenen Horizontalkräfte Ht = (n -f- 1) H, wobei für P, V und H die durch die Gleichungen 323, 325 und 324 gegebenen Werte gelten. Die Hängesäulen E J und E'J' werden durch die Zugkräfte Z = D beansprucht. Man trägt P₂|D = 01 auf, zieht durch 0 die Parallele 0a zu E G und durch 1 eine Horizontale, so ist 0 a = N, Strebendruck in E G, und al der Druck S im Spannriegel EE'. P₃ wirkt mittels des Kniestock-

16

pfostens auf die darunter befindliche Mauer; zur Aufnahme aber des Horizontal-schnbes H,, welcher andernfalls die Kniestockwand auf Umkanten beanspruchen würde, dienen die Zangenhölzer KM, die diesen Horizontalschub auf die Streben übertragen. Demzufolge entstehen durch H, in E und G zwei wagrechte Auflagerdrücke, welche man mittels des Kräftepolygons Obe, in dem Hj — cb aufgetragen wurde, und des in Fig\ 266 punctirten Seilpolygons MBC leicht erhält. Somit ergibt sich als resultirender Druck im Spannriegel: N = al—f'b, während in G ein gesammter Horizontalschub H₂ — 1 a -f- cf erhalten wird.

Vorstehender Dachbinder ist gleich dem doppelten Hängewerk (Fig. 264) statisch bestimmt labil und kann durch Einfügung eines Diagonalstabes in das Mittelfeld stabil gemacht werden.

Beim dreifachen Hängewerkdach (Fig. 267) erhalten die Tramen der Balkenlage zwischen den Endauflagern drei Unterstützungen. Das Hauptgebinde besteht aus der Vereinigung eines einfachen Hängewerks GFG' und eines doppelten Hängewerks GEE'G'.

Fig. 2G7.

P,

tu

Dz

PfD

Die Zugkräfte in den Hängesäulen sind gleich den zugehörigen Auflagerdrücken der Balkenlage: Z, — D₂, Z₂ = Dt.

Sind P,, P₂ und P₃ die Auflagerdrücke der Pfetten und macht man: P, -f D₂ = 01 und P₂ -f- D, = a 2, so ergibt sich N, = 0 a = a 1, N₂ = Ob, S = b2, H = cb und V = Oc.

Fig. 268 zeigt ein Hängewerkdach mit vierfacher Unterstützung der Dachbalken zwischen deren Endauflagern. Die Kräfte, welche in diesem Dach-

bmder auftreten, können wie folgt bestimmt werden :

Fig. 268.

p,

\ VI

Pi

■f

Sr

ZL

Ps

,11.

Man trage die äusseren Kräfte des Systems in derselben Reihenfolge, in der sie an dem Umfange desselben wir-

VB

ken, zu einem Kräftezug zusammen, so dass (Fig. 268a) 01 = Pu 12 =

P-2.....4 5 = P₅,

5 5' = Auflagerreaction B, 5‘    = D₄, 67 =

= D₂, 8 9 = Di und 90 = A. Indem man nun der Reihe nach die Schnitte a, ß u. s. f. führt, ergeben sich die Stabkräfte wie folgt:

Da,

Fig. 268a.

Schnitt ß.

A — Dt = 8 0, Tt = 0 a,

Bekannt:

Schnitt a. Bekannt: A = 9 0, unbekannt: H Polygon: 9 0 a 9, daher: T₄ — 0a (Druck), H₁ = a9 (Zug).

Bekannt: |

unbekannt: Z₄, H₂,

Polygon: 80ab8, daher: Zx = ab = Dt (Zug), H₂ = b8 = H, (Zug).

Schnitt y.

A — D₁ — P₁ = 81, H₂ = b8, unbekannt: T₂, N Polygon: 8 leb8, daher: T₂ = 1 c (Druck),

N₁ = cb (Druck).

Schnitt d.

A—D, — P₄ — P₂ = 8 2,

Bekannt:    H„ = b 8,

N₄ = bc, unbekannt: Z₂, K, Polygon: 8 2 d c b 8, daher: Z₂ = de (Zug), K= 2 d (Druck).

Schnitt £.

Bekannt:

2>

A — D± — D₂ — P₄ — P₂ = 72, K = 2 d, unbekannt: H₃, N Polygon: 7 2de7, daher: N₂ = de (Druck),

H₃ = e7 (Zug).

16*

§ 9. Das Sprengwerkdach.

Beim Dachbinder Fig. 2(59 sind die Pfetten bei E und E' durch das Sprengwerk AEE'B unterstützt, während die Pfetten F, F' durch lotrechte

Säulen getragen und endlich die Endpfetten A' und B' der über die Umfassungswände vorspringenden Sparrenenden durch wagrechte Balken A'G, BAU und durch die Streben A'A, B'ß befestigt sind.

Wenn nun I\ = 0 1 die Firstbelastung vorstellt und P2 P₈ = b 3, P₄ = 3 4 die von den Pfetten auf das Hauptgebinde übertragenen Lasten sind, so erhält man die Sp

Fig. 2(5 f).

12,

P*

!\

Pz

K-

d.

jb'

Gey

drücke T, in CE und C E' durch Zerlegung von Pi in Componenten nach den Sparrenrichtungen, daher T, = al.

In E wird P₂ vom

Spannriegel EE' und der Strebe EA aufgenommen und es bedingt gleichzeitig die Art der Befestigung der letzteren mit dem Sparren eine Übertragung des Sparrendruckes 1\ auf den Knotenpunkt E. Man hat deshalb die Kesultirende a2 aus T, und P₂ in Componenten nach EE' und EA zu zerlegen, so dass K = b2 (Druck) und N = ab (Druck). Die Beanspruchung der Säule FA ist V, = P₃ = b 3. In A' sind zur Unterstützung der Last P₄ — 34 die Constructionsteile A'G und A'A vorhanden, daher sich für A'G eine Zugwirkung H, = c4 und für A'A ein Druck S = 3c ergibt. Letzterer setzt sich in A mit P₃ und N zur Besultirenden ac zusammen, so dass Stützendruck V₂ im unteren Teil der Säule gleich ist de und der Horizontalschub in A: H₂ = ad. Die Kraft H Strebe AE übertragen wird, erzeugt mittels derselben in A und E die wagrechten Auflagerdrücke e4 und ce, so dass resultirender Horizontalschub in A gleich e 4 — a d und resultirende Beanspruchung des Spannriegels gleich

JL

\\

i;

welche auf die

ce — b 2.

Der Dachbinder Fig. 270 setzt sich aus den drei Sprengwerken ACB, AEE'B und GFEE'F'G' zusammen. Der Firstbelastung P, = 01 entspricht in CE der Druck T₄ = Oa, welcher sich in E mit P₂ — a2 zur Besultirenden 0 2 vereinigt, so dass für den Spannriegel EE' der Druck S = b 2 und für den Strebenteil E F der Druck T₂ = 0 b entsteht. P₃ = b 3

zerlegt sich in Coinponenten nach den Richtungen F E und F G, daher Pressung in FA: Ts = Ob — hc = Oc und Pressung in FG = c3. Hiemit

Fig. 270.

lü

Ps

>0

r3

P*

'.3

Ä,

3‘

ist auch der Horizontalschub in G: H₂ = d3 und der daselbst herrschende Verticaldruck V₂ = cd bestimmt. Auflagerdruck in A ist Vx = Oe -f- P4 und der Horizontalschub daselbst Hx = ec.

Für die Beurteilung der Dachconstruction Fig. 271 sind folgende Gesichtspunkte massgebend: Das Dachgerüste des Mittelschiffes kann als Fachwerkträger von der in Fig. 272 skizzirten Form betrachtet werden. Derselbe

Fig. 271.

FF

ist nach III, § 12 statisch bestimmt und stabil und überträgt bei lotrechter Belastung auf die Stützpunkte A und B nur lotrechte Auflagerdrücke.

Wenn angenommen werden darf, dass die bezüglich der Verbindungen der Stäbe an den Knotenpunkten erforderlichen Voraussetzungen erfüllt werden, so ergeben sich die Stabkräfte nach Fig. 272 wie folgt:

c 0, daher Nt = 0 c (Druck) und

Knotenpunkt a: Bekannt A

S₁ = 0.

Knotenpunkt a': Bekannt Ni = cO und P, = 01, Polygon cldc: daher T, = 1 d (Druck) und Z,

= de (Zug).

Knotenpunkt I: Bekannt S,

= 0 und Z, = cd, Polygon cdec, daher N₂ = de (Druck) und S₂ = ec (Zug).

Knotenpunkt 1 : Bekannt N2 = ed, Tj = dl und P₂ = 12,

Polygon ed 1 2t‘e, daher T₂ === 2f (Druck) und Z₂ = fe (Zug).

a<

Knotenpunkt 2 : Bekannt P3 = 23 und T₂ = f2, Polygon ^ f2 3gf, daher T₂' = 3g (Druck) und Z₃ = gf (Zug) u s. f.

In Fig. 273 ist ein Dachbinder dargestellt, bei welchem die neun Pfetten, die den Sparren zum Auflager dienen, durch drei in den Punkten A', B', J und J' unterstützte Sprengwerke getragen werden. P,, P₂ . . . P₅ seien die Auflagerdrücke der Pfetten. Der Firstpfettendruck P,, welcher von den beiden

Fig. 273.

Fig. 272.

\A

%2

a't

\P,

TL

nsr*

TtÄ

's

[z

ir;

fe!

jaL

'fe

-6-

Hauptstreben C'J und C'J' aufgenommen wird, zerlegt sich in zwei Com-ponenten N = 0 a = a 1 nach den Richtungen derselben. Die Last P₂ = a 2 wirkt auf den Sparren EF und auf die Strebe EM, mithin ergibt sich, wenn ab parallel EM und 2b parallel der Sparrenrichtung gezogen wird, Strebendruck S, = ab und Sparrendruck T, = b 2. S, pflanzt sich nach dem

Punkte M fort, in welchem die Hauptstrebe und der Spannriegel zusammen-stossen. Hie Zerlegung nach den Richtungen genannter Stäbe ergibt die (Jomponente ae, welche, zu Oa addirt, die Gesammtpressung N' = Oe des unteren Teiles M.T der Hauptstrebe liefert; durch die andere Componente eb wird der innere Teil M M' des Spannriegels auf Druck beansprucht.

Die Last P, wird unmittelbar von der Säule FJ aufgenommen. Zur Aufnahme der Last P₄ kommen entweder die Streben Gr J und G A' in Betracht oder die Strebe GJ gemeinschaftlich mit dem Sparrenteil GA. Es soll hier die letztere Möglichkeit berücksichtigt werden, welche die grössere Wahrscheinlichkeit für sich hat.

Denn tritt in Folge des durch die Hauptstrebe C'J bei J ausgeübten Schubes eine seitliche Ausbiegung von F L ein, so wird durch die Strebe J G eine Hebung des Punktes G, somit eine Entlastung von GA' eintreten. Man zieht also, wenn P₄ = 2 4    aufgetragen    ist, durch    2    eine Parallele zum

Sparren und durch 4 eine Parallele zu G J, so ist    2 c    = T₂, Druck im

Sparrenteil GA, und c4 = S₂, Druck in der Strebe GJ.

Die beiden Sparrendrücke T\ und T₂, zusammen gleich der Kraftlänge bc, mit den Yertical- und Horitontalprojectionen bd und de, werden auf den Punkt F übertragen, den einzigen, in welchem eine Befestigung* in wagrechtem Sinne vorhanden, und es entsteht hier für die Säule die Druckkraft b d, zu welcher sich P₃ = d 3 addirt, so dass die Beanspruchung V des Säulenstückes FJ = b3. Die Horizontalcomponente de von bc beansprucht den äusseren Teil MF des Spannriegels auf Zug.

Im Punkte J treffen sich    drei Stäbe.    Trägt man    fb    gleich und parallel

Oe auf, ferner 3 g gleich und    parallel c4,    so ergibt sich    fg als Resultirende

der in den drei Stäben wirkenden Kräfte mit der Verticalprojection fi = V' = Druck im unteren Teil der Säule und der Horizontalprojection ig = H₂. Letztere Kraft beansprucht die Stütze FL auf Biegungsfestigkeit; sie ruft in F und L wagrechte Auflagerreaetionen hervor, welche man mittels Kräfte-und Seilpolygons erhält. Indem man LJM als Seilpolygon und k als Pol des Kräftepolygons benützt, schneidet ein zur Schlusslinie LM paralleler Strahl km die Horizontalreactionen H' = mg und H" = im in F und L ab. Durch H' = mg wird die in F schon vorhandene Zugkraft de des Teiles FM vermehrt, so dass die gesammte Zugbeanspruchung daselbst H, = de -f- nig. Da diese Zugkraft sich auf den inneren Teil MM' des Spannriegels fort-pfianzt, in welchem durch EM eine Axialkraft eb von entgegengesetztem Vorzeichen hervorgebracht wird, so ist die resultirende Stabkraft in MM'; H₂ = dc -f- mg — eb.

Der Dachbinder Fig. 274 besteht aus einem Hängewerk A'CB', das mittels der Streben A'A und B'B durch Säulen FJ, F'J' unterstützt und mit dem Sprengwerk ACB combinirt ist. Zur Befestigung der Pfetten E und E' dienen die Streben E G und E‘ G.

Man zerlegt P₂ = 0 1 in Componenten nach den Richtungen E F und E G- und erhält dadurch Strebendruck T, — 0 a und Strebendruck N = a 1. Die Verticalprojection aa' des letzteren vermehrt durch die gleiche, von E'G herriihren de Beanspru chuug, sowie durch den Auflagerdruck D des Tramens MM' liefert den in C G herrschen-

Fig. 274.

den Zug Z. Letzterer sammt dem Pfettendruck Px ist in Componenten nach CM und CM' zu zerlegen.

H\

i’

man also a'b =

Macht

'Pi + Z

<y'

■fr,

s\0

und zieht man durch b die Horizontale bc, ferner durch a die Parallele ac zu CM, so ergibt sich Strebendruck S = a c.

p*\

z>

i.

Bk.

Der Auflagerdruck P₃ der Pfette bei E wird unmittelbar von der Stütze EA aufgenommen, während Strebendruck T, — Oa — ca" sich nach A' fortsetzt und dortselbst mit P₄ = a"4 zur Resultirenden c4 vereinigt. Diese wird aufgenommen von A'N und A'A und ruft in ersterem Constructionsteil die Horizontalzugkraft Ht = d4, in letzterem die Druckkraft St — c d hervor.

Nun vereinigt man St und S zu ihrer Resultirenden ad, wodurch die in A auftretende Horizontalkraft ed = H₂ und der Stützendruck Q in AJ gleich ae -f- P₃ erhalten wird. H₂ ruft in den Befestigungspunkten N und J Auflagerreactionen hervor, welche sich mit Hilfe des Kräftepolygons eOd und des Seilpolygons JAM als Längen td und et ergeben, so dass jetzt Zugspannung HJ in MM' gleich d4 —td = t4 erhalten wird.

§ 10. Das Mansard-Dach.

Das Gebinde des Mansard-Dach es hat zu beiden Seiten des Eirstes zwei unter einem Winkel zusammenstossende Sparren, wodurch gebrochene Dachflächen gebildet werden.

Die für die Standfestigkeit günstigste Eorm der Begrenzung des Daches ist offenbar jene, bei welcher das Sparrengerüst AECE'B (Eig. 275) unter Einwirkung der vorhandenen Belastung und ohne Verbindung der Sparren

Fig. 275.

durch weitere Constructionsteile im Gleichgewicht erhalten werden kann.

Die hiezu erforderlichen Bedingungen sind durch die Gleichungen 225 und 226, S. 169, gegeben, in welchen ß, -f R₂

ß,

zu

[£*

Qi = — und Q₂ =

setzen ist. Man erhält:

2 R, -f R.

Cotg a,

Bi

Cotg a₂

Graphische Lösung. Ist AB' = b die halbe Spannweite, B'C = h die Höhe des Daches und soll der Brechungspunkt E des Sparrengebindes in

Fig. 276. Sri*,

S'C

0=i(R/Rz>

__r

\ /y

y.j

f/

------

-b

die Verticale durch E' (Fig. 276) zu liegen kommen, so erhält man nach S. 170 die der Gleichgewichtslage Qryj,m der Sparren entsprechenden Richtungen derselben, wenn man 01 = Q„ 1 2 = Qa aufträgt und das einem beliebig angenommenen Pol 0' entsprechende Kräfte-und Seilpolygon construirt. Der Schnittpunkt i der äussersten Seiten des letzteren liefert den Abstand r der Resultireiulen R der Kräfte Q, und Q₂ vom Punkte A, und indem man On = h und Om = r aufträgt und zur Verbindungslinie mn die Parallele 2 0 zieht, ergibt sich in dem zum Pole 0 construirten Seilpolygon CEA die gesuchte Lage der Sparren.

Für den besonderen Fall, dass Rx = R₂ gesetzt werden darf, hat man:

Cotg ax Cotg a₂

Ist auch AB' = B'C und    soll    AE    =    EC sein, so beschreibe man

Fig. 277.

den    Halbkreis    ACB (Fig. 277), trage den

I>

v/

JS¹

Ff

y/jE

Radius AD von A nach D auf und ebenso von C nach F, dann ergeben die Geraden A E und E C die geforderte Dachbegrenzung.

Wenn das Mansard-Dach nicht die der Gleichgewichtslage des Sparrengebindes entsprechende Form erhalten kann, so ist für eine hinreichende Befestigung der Punkte E und E' zu sorgen, was in der Regel mittels eines stehenden oder liegenden Stuhls geschieht.

Fig. 278 zeigt ein Mansard-Pach, bei welchem die Sparren des oberen Dachgerüstes ECE' in der Mitte ihrer Länge durch Pfetten F und F' unterstützt sind, mit ihren unteren Enden aber auf Stichbalken aufruhen. Zum Auflager für die letzteren dienen die Rahmhölzer M, M' und die Wechselbalken W. Die Pfetten F, F' werden durch das Sprengvverk JFF'J' getragen, bestehend aus den Streben J F und J' F' und aus dem in Zangenform angeordneten Spannriegel FF, welch’ letzterer zugleich zur gegenseitigen Absteifung der beiden oberen Dachflächen dient. Das untere Dachgerüste besteht in den Hauptgebinden aus den wagrechten Tramen A B, aus den geneigten Stuhlsäulen AM und BM\ welche oben und unten in Rahmhölzer eingreifen, und ist oben durch den in Zangenform angeordneten Spannriegel EE' abgeschlossen. Zur Versteifung der Stuhlsäulen und zum Zweck der Verringerung der freien Länge der Streben J F und J' F' sind die Gegenstreben MG und M'G' angebracht.

Fig. 278.

Pz

JE

P,

•C

Pz

Ps

Pr

4L

a'c

/c

,5

M)

_,r

Ist Pj = 0 1 die Firstbelastung , so erhält man die Sparrendrücke T, durch Zerlegung von 01 in die Componenten 0 a und a 1 nach den Richtungen der Sparren. Diese Sparrendrücke pflanzen sich nach F und F' fort und werden vom Spreng werk JFF'J' aufgenommen. Ist aa' der (durch die Pfette auf das Hauptgebinde übertragene) Sparrenschub der Leergebinde und a' 2 die von der Pfette auf das Hauptgebinde übermittelte lotrechte Last, so hat man die Mittelkraft 0 2 aus Oa' und a'2 in Componenten nach den Richtungen FF' und F'J zu zerlegen, um den Druck im Spannriegel K = b2 und den Druck in der Strebe FJ: N = Ob zu erhalten. Ist ferner P₃ = 1 3 Auflagerdruck in M, so ergeben sich durch Zerlegung von 1 3 nach den Richtungen MA und MG Druck in der Stuhlsäule S = lc und Druck in der Gegenstrebe S' = c3.

§ 11. Das Walmdach.

Das über einem Raum von rechteckförmiger Grundfläche angeordnete ein

fache Sparrendach (Fig. 279) sei mit einem Walm verseilen, der durch die Gratsparren DC, D'C und die an dieselben sich anschliessenden Schiftsparren

gebildet ist. Jeder SchiftspaiTeU ist

Fig. 279.

durch eine gleichmässig über seine Länge verteilte Belastung beansprucht , welche einer Belastungsfläche von der Lange des Schifters und Breite gleich der Entfernung der Schifter entspricht.

Da die Flächen (Schmiegen), nach welchen die Schiftsparren an die Gratsparren sich anschliessen, Verticalebenen sind und die Befestigung durch Nagelung bewerkstelligt wird, so ist anzunehmen, dass der Widerstand der Gratsparren lotrecht ist, d. h. dass eine Druckübertragung auf die Gratsparren in lotrechtem Sinne erfolgt. Jeder Schifter äussert also (vergl. S. 232, Fig. 250) auf den Gratsparren und auf den Stichbalken an seinem unteren Ende Auflagerdrücke je gleich der Hälfte seiner Belastung und übt keinerlei Schub gegen jenen Stichbalken aus.

D'

Hi

%

7/

Ho

/>/

- - -

D \I' M' K' G' B

'//

//

B vfü/

W

j\V

V/

Demnach kommen, wenn in jedem der Gratpunkte F, J, K und L zwei Schifter Zusammentreffen, auf die genannten Punkte bestimmte, leicht zu er-

Fig. 280«.

Fig. 280,

P3

T,

Dt

KPZ

JO

[2

//

mittelnde Verticaldrücke Pn, pa> ps und P₄ (Fig. 280). Man trägt nun (Fig. 280a) Pt = 01, P₂ = J2, Pj; = 23 und P₄ = 3 4 auf, zeichnet für den

in 0 angenommenen Pol 0 Kräfte- und Seilpolygon und erhält im Schnitt i der äussersten Seilpolygonseiten den Angriffsort der Resultirenden R der Grat-belastung mit der Entfernung r von D. Da sich der Gratsparren DG an seinem oberen Ende an das Anfallsgebinde A B und den anderen Gratsparren mit zwei zu einander senkrechten Verticalebenen anlehnt, so besteht für denselben die resultirende Gegenwirkung an der Walmspitze in einer Horizontalkraft Ho', welche in der Lotebene des Grates wirkt und der Bedingung:

H₀'h = Rr

oder

H₀' : R = r : li

zu genügen hat.

Man trägt Oy = h, Ox = r auf und zieht durch 4 eine Parallele zur Verbindungslinie xy, so erhält man H₀' — SO. H₀' ist zugleich der vom Gratsparren an seinem Eussende geäusserte Horizontalschub und vom Gratstichbalken aufzunehmen.

An der Walmspitze vereinigt sich mit H₀' die gleiche, mit H₀' einen rechten Winkel bildende Horizontalkraft des Sparrens D'C (Fig. 279), so dass aus beiden eine normal zur Ebene des Anfallsgebindes gerichtete Resultirende H₀ sich ergibt.

Der so erhaltene Gesammtschub H„ muss durch geeignete Längsverbindungen (Firstpfette) des Daches auf entsprechend feste Punkte übergeführt oder durch den gleichen und entgegengesetzten Schub eines gegenüberliegenden Wahnes aufgehoben werden. Sind bei unsymmetrisch zur Firstlinie angeordnetem Walm die Kräfte H₀' ungleich, so ist die Resultirende beider schräg gegen die Ebene des Anfallsgebindes gerichtet, kann daher in eine Compo-nente senkrecht zu jener Ebene und eine in der Ebene des Anfallsgebindes wirkende Componente zerlegt werden. Letztere sucht den Anfallspunkt in der Ebene des Anfallsgebindes wagrecht zu verschieben, weshalb in solchem Falle der Befestigung der Gratsparren am Anfallspunkte besondere Aufmerksamkeit zuzuwrenden ist.

Fig. 281.

Aus dem Walmdach entsteht ein Zeltdach mit quadratischer Grundfläche, wenn die Firstlinie verschwindet und die beiden Anfallspunkte zusammenfallen (Fig. 281). Die Beanspruchungen sämmtlicher Sparren bleiben dieselben wie im Walmdach und die gegenüberliegenden Gratsparren halten sich im Gleichgewicht. Über das Zeltdach mit vieleckiger Grundfläche siehe § 20.

§12. Dachbinder nach dem englischen System.

A) Beanspruchung durch Eigengewicht.

Es wird angenommen, dass das Eigengewicht in Form von concentrirten Kräften in den Knotenpunkten des Dachbinders wirke und in solcher "Weise

sowohl auf die oberen als auf die unteren Knotenpunkte entsprechend verteilt sei. Hienach seien Pt, P₂, P₃. . . . die in den oberen Knotenpunkten des Dachbinders (Fig. 282) angreifenden Lasten. Rechnerisch erhält man die in Folge dieser Belastung entstehenden Stabkräfte für jedes beliebige Feld durch geführte Schnitte mittels der Momentenmethode nach S. 188 wie folgt:

Fig. 282.

ß«

4L

FW

jte

d ip; d hd

Ai

⁷v

Schnitt a, Moraentenpunkt 3 :

Dx. 3d — (Pt + P₁')2d — (P, + Ps')d + T.t = 0, Pi • 3d — (Pt -hP₁Q.2d — (P₈ + P₂Qd.

(335

Schnitt oc, Momentenpunkt II :

D, . 2 d — (Pi + Pt 0 d S. s = 0, Dt ■ 2 d — (Pt -f Pt Q d

(336

Schnitt a, Momentenpunkt A:

(Pt + p/) <1 + (p. + P»0 2d + N.n = 0, (P, + P/) d + (P, + P₈0 2d _

(337

Schnitt ß, Momentenpunkt A:

(P₁+P₁')d + (P₂ + P₂0 2d + P₃'.3d — Z.3d = 0, (Pi+P₁0d + (P, + PaQ2d + P₃'.3d

(338

Graphische Bestimmung der Stabkräfte. Man trägt die den Dachbinder angreifenden äusseren Kräfte in derselben Reihenfolge, in welcher sie an dem Umfang desselben wirken, zu einem Kräftezug zusammen, so dass

01 = P₁₅ 12 = P₂. . .67 = P₇, 77' = D₂, 7' VII = P/, VIIVI = P VIV = P₅'. . .III — P/, endlich 10 = Dt (Fig. 283). Dann führt man nach dem auf S. 179 dargelegten Verfahren eine Anzahl Schnitte, bringt die an den bezüglichen Trägerfragmenten wirkenden äusseren und inneren Kräfte ins Gleichgewicht und erhält aus den hiebei gebildeten Kräftepolygonen die unbekannten Stabkräfte. Die Anwendbarkeit des Verfahrens hängt von der Möglichkeit ab, die Schnitte so zu führen, dass immer nur zwei Constructions-teile mit unbekannten Stabkräften getroffen werden, was in vielen Fällen (Ausnahme S. § 13) durch entsprechende Aufeinanderfolge der Schnitte erreicht werden kann. Die Schnitte können auch beliebig krummlinig sein, da auch für solche die dem Verfahren zu Grunde gelegte Anschauungsweise Gültigkeit behalten muss. Im vorliegenden Falle ergeben sich mittels der Schnitte a bis ft die Stabkräfte in nachstehender Weise:

Fig. 283.

Sä

i-

„“CT

•Nd'

c--

Ir»

—5.—

--*

Schnitt a. Bekannt: Dt = 10, unbekannt: T1; S Polygon: IOal, daher:    = Oa (Druck)

S* = al (Zug).

Schnitt ß.

Bekannt:

, D, —P/ = HO, ' 1 Tj = Oa,

unbekannt: Z Polygon : II0 a b II, daher: Zt = ab (Zug),

S₂ = bll = al (Zug).

D, - (P, + P₂ + P,' + Pa') = HI 2,

Sa = d III,

Bekannt: |

Bekannt:

Schnitt S.

Di—(t*i + Pi' + P₂^

= III1,

¹ T₂ = 1 c, unbekannt: Z₂, S Polygon: III1 c d III, daher: Z₃ = cd (Zug), S₃ = dlll (Zug).

Schnitt 7],

D.— CP. + P. + P. + P,' + P₂' + PS") = IV 3,

S₄ = flV,

N„

Polygon: IV3gfIV, daher: T₄ = 3 g (Druck),

N₃ = gf (Druck).

Bekannt:

unbekannt: T

Schnitt y.

j D₄ (P₄ -t- p₄ 0 — ii i t S, = bll,

(pi + p2 + piH_p./ 4- P₃' = TV 2.

Bekannt:

unbekannt: T Polygon: II 1 cbII, daher: T₃ = 1 c (Druck), N₂ = c b (Druck).

Schnitt C-

Bekannt:

T₃ = 2 e, unbekannt: Z₃, S₄, Polygon: IV2efIV, daher: Z₃ = e f' (Zug), S₄ = flV (Zug).

S chnitt s.

Bekannt:

unbekannt: T₃, N Polygon: III2edIII, daher: T₃ = 2e (Druck), N₂ = e d (Druck).

Schnitt '9-.

P₄ = 3 4,

T, = g 3, unbekannt: TD, Z Polygon: g3 4g'g, daher: T₄/ = 4g' (Druck), Z₄ = g'g (Zug).

Die Stabkräfte der rechtsseitigen Trägerhälfte sind bei symmetrischer Belastung gleich den entsprechenden der linken Trägerhälfte. Aus der Con-struction geht unmittelbar hervor, dass die Kräfte in den Gurtungsstäben bei gleichbleibenden übrigen Verhältnissen sich verringern, wenn der Neigungswinkel der oberen Gurtung gegen den Horizont wächst, dass dagegen mit zunehmender Neigung der unteren Gurtung, wodurch der Vorteil verminderter Länge der Füllungsglieder gewonnen wird, diese Stabkräfte vergrössert werden.

B) Beanspruchung durch Schneelast.

Die Schneelast, welche selbstverständlich nur in der oberen Gurtung des Dachbinders als angreifend zu betrachten ist, kann sich sowohl über die ganze Dachfläche als auch nur über einzelne Teile derselben erstrecken. Es handelt sich also darum zu untersuchen, welche Lastverteilung für die einzelnen Stäbe die' gefährlichste ist.

Was S. 190 für Fachwerkträger von beliebiger Form gezeigt wurde", gilt auch liier: Die Stabkräfte in der oberen und unteren Gurtung sind abhängig von den Angriffsmoinenten der den betreffenden Stäben gegenüberliegenden Knotenpunkte und erreichen ihre Maximalwerte, wenn in genannten Knotenpunkten die grössten Momente auftreten. Bei totaler Belastung des Trägers findet somit die ungünstigste Beanspruchung der Gurtungen statt.

Was die Füllungsglieder anlangt, so findet die Maximalbeanspruchung derselben bei bestimmter einseitiger Belastung des Trägers statt. Hier beim Fachwerkträger, dessen Gurtungen aus je zwei, in den Auflagerpunkten sich schneidenden Geraden bestehen, tritt der besondere Fall ein, dass z. B. auf die Stabkräfte N und Z (Fig. 282), wie schon aus den Gleichungen 887 und 388 ersichtlich, die rechts von den betreffenden Schnitten befindlichen Lasten keinen Einfluss haben.

Allgemeiner geht dies aus der Betrachtung des Einflusses einer Einzellast auf einen beliebigen Stab hervor, je nachdem sie verschiedene Lagen gegenüber dem Felde einnimmt, welchem der Stab angehört.

Diagonalen. Man betrachte eine beliebige Diagonale IT 3 der linken Trägerhälfte, welche gegen die Trägermitte fallend angeordnet ist. Befindet sich eine Einzellast P links von dem Felde, dem die Diagonale angehört, oder an der Grenze desselben, wie in Fig. 284, so wird, da die Momentengleichung bezüglich des Drehpunktes A:

Nn + P.2d = 0, P.2d

erzeugt.

in der Diagonale die Druckkraft N = —

Dasselbe gilt auch für alle mögliche Stellungen, welche die Last innerhalb des Feldes IIIII annehmen kann, denn an die Stelle von P tritt dann der linksseitige Knotendruck dieser Last,

Fig. 284.

Fig. 28(1.

pdt

•f;

ir

TL

>'■

nr

BL

IT

La

oc

le

~tc

Fig. 287.

Fig. 285.

Befindet sich die Einzellast P aber rechts vom Felde IIIII (Fig. 285), so wirkt an dem links vom Schnitt befindlichen Trägerfragment ausser den

Stabkräften N, S, T, nur die Auflagerreaction D„ und es ist sonach, da für den Drehpunkt A die Momentengleichung:

Nn = 0,

die Stabkraft

N = 0.

Jede links vom Knotenpunkt III, welcher für die Diagonale II3 die Beiästungsscheide bildet, aufgebrachte Einzellast erzeugt also in der Diagonale Druckspannung, während alle rechts von III befindlichen Lasten keine Wirkung auf den Diagonalstab äussern. Dies gilt indessen nur für die Diagonalen der linken Trägerhälfte. Gehört die Diagonale, wie z. B. II' 3' (Fig. 286) der rechtsseitigen Trägerhälfte an, und fällt dieselbe gegen die Trägermitte hin, so hat man für jede links von III' befindliche Last P bezüglich des Momentenpunktes B die Gleichung:

D, a — P (a — 2d) + Nn = 0. Da nun, weil Dx die Auflagerreaction von P in A, D, a — P (a — 2 d) = 0,

so ist

N = 0.

so ergibt

Greift P rechts vom betrachteten Feld IIPII' an (Fig. 287) sich aus der Momentengleichung:

d. h. rechts von dem Feld, dem die Diagonale angehört, bewirkt P Druck, und ein Gleiches gilt, wenn sie innerhalb des Feldes sicli befindet. Die Belastungsscheide ist hier III'.

Demnach gilt für Diagonalen, welche gegen die Trägermitte fallend angeordnet sind, Folgendes:

a)    linksseitige Trägerhälfte: Jede links von der Belastungsscheide befindliche Einzellast erzeugt in der Diagonale Druck, jede rechts davon befindliche lässt dieselbe spannungslos;

b)    rechtsseitige Trägerhälfte: Jede links von der Belastungsscheide befindliche Last lässt die Diagonale spannungslos, jede rechts davon befindliche Last erzeugt Druck.

Sind die Diagonalen gegen die Trägermitte hin steigend angeordnet, so gelten die gleichen Resultate mit dem Unterschied, dass statt Druck überall Zug zu setzen ist.

Verticalstäbe.

Für die lotrechten Füllungsglieder erhält man auf Grund der gleichen Betrachtungsweise das nämliche Gesetz, nur ist der Sinn

17

der Beanspruchung der Verticalen immer demjenigen der angrenzenden Diagonalen entgegengesetzt.

Die ungünstigste Angriffnahme eines Füllungsgliedes findet also jederzeit bei einseitiger Trägerbelastung statt. Da aber die Belastung der übrigen Trägerteile keinen Einfluss auf die betreffende Stabspannung äussert, so kann man auch sagen:

Die ungünstigste Beanspruchung sämmtlicher Füllungsglieder des Dachbinders nach dem englischen System oder überhaupt jedes Dachbinders mit geraden, in den Auflagerpunkten sich schneidenden Gurtungen tritt bei totaler Belastung des Trägers ein.

Demnach kann die Ermittelung der durch die Schneelast hervorgerufenen maximalen Beanspruchungen sämmtlicher Stäbe unter Zugrundlegung einer vollen Belastung des Trägers vorgenommen werden.

C) Beanspruchung durch Winddruck.

Der Dachbinder Fig. 288 mit einem beweglichen Auflager in A und einem festen in B sei auf der Seite des beweglichen Auflagers durch den

Fig. 288.

‘ '(X Wt "i

i\ •

;r '*i

\i \

SL

.B

Wo

Fig. 288".

Fig. 288b.

,0

■v

Wind beansprucht. Die auf die einzelnen Knotenpunkte verteilten Drücke seien W, = 0 1, W₂ = 12.. . Wf) = 45, demnach die Resultirende W„ = 05 (Fnig. 288“), deren Zerlegung in die Auflagerreactionen D! = 10 und Da =

51 nach S. 225 erfolgt. Mit Hülfe der auf einander folgenden Schnitte a bis C ergeben sich nach Fig. 288a sämmtliche Stabkräfte;

Bekannt:

Bekannt:

Bekannt:

Bekannt:

Bekannt:

Schnitt a.

Bekannt: Resultirende der äusseren

Kräfte =11,

unbekannt: T,, S1( Polygon: Ilal, daher: T, = 1 a (Druck), S, = al (Zug).

Schnitt ß.

Result. d. änss. Kr. =11, T, = la, unbekannt; Zl5 S₂.

Polygon : 11 a I, daher: Z, = 0,

S₂ = al = S, (Zug).

S cli nitt Y-

Result. d. äuss. Kr. =12, S₂ = al, unbekannt: T₂, N1;

Polygon: aI2ba, daher: T₂ = 2b (Druck),

Kj = ba (Druck).

Schnitt s.

^ Result. d. äuss. Kr. = 13, ' S₃ = cl, unbekannt; T₃, N,,

Polygon : c 13 d c,

daher: T₃ — 3 d (Druck),

N₂ = de (Druck).

Schnitt i.

Result. d. äuss. Kr. = 13 T₃ = 3 d, unbekannt: Z₃, S₄,

Polygon: I3deT, daher: Z₃ = de (Zug),

S₄ = ei (Zug).

Schnitt yj.

Result. d. äuss. Kr. = 14, S₄ = ei, unbekannt: T₄, N₃,

Polygon: 14 fei, daher: T₄ = 4f (Druck),

N₈ = fe (Druck).

Result. d. äuss. Kr. =12, T₂ = 2b,

Bekannt:

Schnitt §.

Bekannt:

unbekannt: Z₂, S₃, Polygon: 12 bei, daher: Z₂ = bc (Zug), S₃ = cl (Zug).

Schnitt -ik W₅ = 45,

T₄ = f 4, unbekannt: T₄', Z₄, Polygon: f4 5gf, daher: T₄' = 5g (Druck), Z₄ = gf (Zug).

Bekannt:

Schnitt C-Result. d. äuss. Kr. =15, T₄' = 5 g, unbekannt: N₃', S₄;,

Polygon: 15 gl, daher:    = 0,

S₄⁷ = gl (Zug).

17*

Für alle folgenden Schnitte ändert sich die Resultirende der äusseren Kräfte nicht mehr, weshalb die Gurtungskräfte der rechtsseitigen Trägerhälfte constant (gleich 5g beziehungsweise gl) und die Stabkräfte in den Diagonalen und Verticalen gleich Null sind.

Im Fall der Wind die Dachfläche BC angreift, ergeben sich in ähnlicher AVeise die Beanspruchungen sämmtlicher Stäbe aus dem Kräfteplan (Fig. 288b).

§ 13. Der Polonceau’sche Dachbinder.

Einfache Form (Fig. 289).

A) Beanspruchung durch das Eigengewicht.

Durch Rechnung’ werden die Stabkräfte nach S. 188 bestimmt. Graphisch ergeben sicli dieselben mittels der in Figur 289 angedeuteten Schnitte aus dem Kräfteplan:

Fig. 289.

Pz

P»

TL

Druck.

p-

y,

S, = al S₂ =

O rO

Zug.

n\

ti Dt

s!

B) Beanspruchung durch Schneelast.

Auf Grund ähnlicher Beweisführung¹) wie S. 256 kann angenommen werden, dass die Beanspruchungen sämmtlicher Stäbe bei vollständiger Belastung des Dachbinders eintreten, weshalb die Bestimmung der durch Schneelast erzeugten grössten Spannungen wie beim Eigengewicht erfolgt.

C) Beanspruchung durch Winddruck.

AVirkt der Wind auf die Dachfläche AC, auf deren Seite sich das bewegliche Auflager befindet, so erhält man die Stabkräfte nach Fig. 290 und 290“ wie folgt:

Schnitt a.

Bekannt: Resultirende der äusseren Kräfte = II,

Schnitt ß.

Res. d. äuss. Kr. = 12, S, = al, unbekannt; T₂, N,

Polygon : a 12 b a, daher: T₂ = 2 b (Druck),

N = ba (Druck).

Schnitt y-

j Kes. d. äuss. Kr. =12, l T₂ = 2b, unbekannt: Z, S₂,

Polygon: I 2 b c I, daher: Z = bc (Zug),

S₂ = cl (Zug).

Schnitt 8.

Kes. d. äuss. Kr. = 13, S₂ = cl, unbekannt: T₂', Z',

Polygon: cI3dc, daher: T₂' = 3d (Druck),

Z' — de (Zug).

Schnitt s.

Bekannt: Res. d. äuss. Kr. =13, unbekannt: T/, S/,

Polygon: 13 d I,

daher: T/ — 3 d (Druck) = T₂', S/ — dl (Zug).

Die Bestimmung der Stabkräfte bei Beanspruchung der anderen Dach-iiäche BC durch den Wind zeigt Fig. 290b.

unbekannt: T,, Sl5 Polygon: II al, daher: 1\ = 1 a (Druck), St = a I (Zug).

Fig. 290.

? Vif,

Bekannt:

Bekannt:

w,

aß

er

1>

Fig. 290".

Fig. 290b.

<3

Bekannt :

>■

Polonceau sch.es Dach mit eingeschalteten Systemen (Fig. 291).

A) Beanspruchung durch Eigengewicht beziehungsweise Schneelast.

Mittels der Schnitte a, ß und y erhält man (Fig. 291a) die Stabkräfte:

Tt = Oa T, = lb N, = b a

Weitergehend findet man, dass alle folgenden durch den Träger zu führenden Schnitte mehr als zwei Stäbe mit unbekannten Kräften treifen, weshalb

Druck,

Sj = al S₂ = cl Zj = b c

Zug.

hier zur Vervollständigung- des Spannungsnetzes erforderlich ist, die Ermittelung einer der folgenden Stabkräfte auf anderem Wege, z. B. wie folgt, vorzunehmen :

Man denkt sich den Schnitt 8 geführt, welcher die Stäbe mit den Kräften Z₂, Z₃, Z₄' und T₄' trifft. Letztere halten den am Trägerfragment be-findlichen äusseren Kräften P₃ und P₄ das Gleichgewicht. Die Resultirende Rj der genannten fünf Stabkräfte fällt also mit der Resultirenden von P₃ und P₄ in eine und dieselbe Gerade. Da mit Hülfe eines Seilpolygons die Lage der Resultirenden von P₃ und P₄ leicht be- A stimmt werden kann (bei P₃ = P₄ befindet sie sich in der Mitte zwischen beiden Lasten), so ist damit auch die Kraftlinie R₄ bekannt. Es kann nun R₄ als Mittelkraft aus Z₂ und der Resultirenden R' der vier

T

-*-3 ’

Fig. 291.

fi

■l

Fig. 291'.

übrigen Stabkräfte T₃

Z3>

Z₄‘ und T₄ angesehen werden, und es müssen sich demnach R

<r

l'

Z₂

(1

und R' in einem Punkte schneiden, d h. es muss R' durch den Schnittpunkt J von Z₂ und R₄ gehen. Ein anderer Punkt der Kraftlinie R' ist der Punkt C, in welchem sich die vier Kräfte, deren Resultirende sie ist, schneiden, so dass sich genannte Kraftlinie in der Verbindungslinie JC ergibt. Man braucht also nur durch 2 (Fig. 291“) eine Parallele zu Z₂ und durch 4 eine Parallele zu J C zu ziehen, um R' = 4 i und Z₂ == i 2 (Zug) zu erhalten.

Nachdem Z₂ bestimmt, kann, dem Schnitt y folgend, der Schnitt s gelegt werden, für welchen T₂, Zj und Z₂ bekannt und nur T₃ und N₂ unbekannt sind. Da Z1; T₂ und P₃ im Kräftezug cbl2 schon an einander gereiht sind, so zieht man durch c eine Parallele zu N₂, ferner durch 2 eine Parallele zu T₃ und schaltet nun zwischen den Richtungslinien N₂ und T₃ das nach Grösse und Richtung bekannte Z₂ = i 2 = e d ein. Das Kräftepolygon cbl2edc ergibt jetzt T₂ = 2e (Druck) und N₂ = de (Druck).

(V

\V

e'

Die übrigen Stabkräfte lassen sich auf gewöhnliche Weise mit Hülfe der Schnitte i, yj und 9- ermitteln.

T₄ = 3g N₃ = ge

Man erhält:

Druck

S₃ = fl Z, == df Z₄ = gf

Zug.

B) Beanspruchung durch den Winddruck.

Fig. 292 und 292a zeigen die Bestimmung der Stabkräfte, wenn die Dachfläche auf Seite des beweglichen Auflagers durch den Wind beansprucht wird.

Fig. 292.

r\ fl

Fig. 292a.

\\f>

V - 6

gk&l.

ms.

WÄi

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*\u, \J₀

Ü!

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j\ /

Ts

Fig. 292b.

)0

’e

Ähnlich wie oben wird mittels des Schnittes S Z₂ = Bi gefunden. Man erhält sonach:

Tt = la T₂ = 2b T₃ - 3e T₄ — 4 g T₄' =- 5 h

Druck,

'7

N₂ = de N₃ = ge .

St = al

5₂    ---- cl

5₃    = fl S₄' = hl Z₄ = b c

Z₂ = 3i = ed Z₃ = df = gt Z‘ = hf

Zug

(Fig. 292a).

Die Bestimmung der Stabkräfte, wenn der Wind die andere Dachfläche angreift, ist durch Fig. 292b dargestellt.

§ 14. Der deutsche Dachbinder.

Der deutsche Dachbinder (Fig. 293) unterliegt in statischer Beziehung der gleichen Betrachtungsweise wie das englische Dach, von dem er einen speciellen Fall bildet. Rechnerisch ergeben sich die Stabkräfte nach der Momentenmethode, wie oben angegeben, graphisch wie folgt;

A) Beanspruchung durch Eigengewicht bezw. totale Schneelast.

Fig. 293.

Aus dem Kräfteplan (Fig. 293) fin

det man:

•CCS

D,

Kl

D.,

rJ\ = 0 T₂ = 1 N — b a

er- K

Druck

T'T

er i—i

Zug.

i?

B) Beanspruchung durch Winddruck.

Aus der Construetion Fig. 294" ergibt sich bei Angriffnahine der Dachfläche A C durch den Wind:

= la T₂ = 2b

Ta' 3 c

Druck,

V.

Fig. 294.

\c

S — al S' = Ic Z — cb

Zug.

■ A.

ff

Fig. 294a.

Fig. 294".

N' = 0.

Fig. 294b zeigt die Beanspruchung bei entgegengesetzter Wind- « richtung.

-/-K

. N'vs

NA.'

t3

§ 15. Der parabolische Dachbinder.

Stellt inan die Bedingung-, dass eine gegebene Belastung keine Beanspruchung der Diagonalen eines fach werkförmigen Balkenträgers veranlassen solle, so muss nach Gl. 270:

0K₂    011,

ha

hi

oder

011, : 01t, 1 2

hi : h₂

stattiinden, d. h. die Momente müssen sich verhalten wie die Längen der Verticalstäbe. Ist die Belastung eine gleichmässig verteilte totale, in welchem Falle die Momente durch Parabelordinaten dargestellt werden, so müssen die Knotenpunkte einer Gurtung in einer Parabel liegen, wenn die der anderen einer Geraden oder ebenfalls einer Parabel angehören.

Geometrischer Nachweis. Es seien P1? P₂ . . . .PG die in den oberen Knotenpunkten des Trägers angreifenden Lasten (Fig. 295). Man zeichnet Kräfte- und Seilpolygon derselben und erhält mittels des zur Schlusslinie ab

parallelen Strahles 0 t die Auflagerreactio-neu D, — tO und D₂ = 6 t. Für alle durch das erste Feld (zwischen A und P 1') gelegte Schnitte ist nun die Resultirende der äusseren Kräfte R = D„ Soll B ausschliesslich durch die Gurtungsstäbe aufgenommen werden, so müssen diese sich im Auflagerpunkt A schneiden. Für alle durch das zweite Feld gelegten Schnitte ist R = D₁ — Px, wirkend in der Yerticalen durch c. In dieser Verticalen müssen sich die Gurtungsstäbe des zweiten Feldes schneiden, wenn die Beanspruchung der Füllungsglieder dieses Feldes gleich Null sein soll, und hiedurch ist die Lage von I'IP bestimmt. Ebenso muss 11'III' durch den Punkt d' gehen, in welchem die Kraftlinie d d' der Resultirenden der äusseren Kräfte für das dritte Feld die verlängerte untere Gurtung schneidet u. s. f.

Sind die Lasten P₁₅ P₂ . . . gleich und gleichweit von einander entfernt, so liegen die Eckpunkte I, II... des Seilpolygons in einer Parabel, daher auch die Punkte P, IP. . . einer Parabel angehören. Es ist klar, dass, da

dh

Fig. 295.

K pf ■    £

.■Sh

ui'

VI’

]ß

ir

TN

AI' beliebig⁻ angenommen werden kann, unendlich viele Parabeln möglich sind. Durch Annahme der Trägerhöhe wird in der Pegel die zugehörige Parabel bestimmt.

Beim Parabelträger, dessen Belastung gleichmässig verteilt ist oder aus gleichen und gleichweit von einander entfernten, in den Knotenpunkten an greifenden Kräften besteht, ist also die Spannung in der geraden Gurtung constant, in den Füllungsgliedern gleich Null.

Es gilt dieser Satz für Parabelträger sowohl mit gekrümmter oberer bei gerader unterer Gurtung als auch für die umgekehrte Anordnung, endlich auch für Parabelträger mit beiderseits gekrümmten Gurtungen. Im Folgenden sollen nur die erstgenannten Träger einer näheren Betrachtung unterzogen werden; die für die andern erforderlichen Modificationen sind leicht zu finden.

Ist 1 die Spannweite und f die Trägerhöhe im Scheitel (Fig. 296), so erhält man die Parabelordinaten aus der Gleichung:

Fig. 296.

'i;

j- -

sß

y — j₂

(lx —x²).

Durch Construction wird die Parabel bestimmt entweder, indem man (Fig. 296) MD = 2f aufträgt, mittels der Endtangenten DA und DB nach Fig. 68 S. 90 oder durch Aufträgen der Strecke B E = 4 f (Fig. 297) und durch Teilen genannter Strecke, sowie der Trägerlänge in n Teile. Die Strahlen A 1, A2. . . . schneiden auf den lotrechten Teilungslinien der Spannweite die entsprechenden Parabel punkte ab.

Fig. 297.

**r

<r—t- k IT.....A-i

A) Beanspruchung: durch Eigengewicht.

. . . .P₅ die Man trägt

Wir denken das Eigengewicht auf die oberen und unteren Knotenpunkte des Trägers verteilt und bezeichnen (Fig. 298) mit Pj = P₂ = oberen und mit p, = p₂ =. . . . p₅ die unteren Knotendrücke.

5'V = p₅, so sind die Strahlen I a, II b. . . . 5' f gleich

(Fig. 298a) 01 = P„ 12 — p2 V IV = p₄. . . .III = p₄ auf

Fig. 298.

45 = 'P₃. 55' = I)

den Druckkräften Tt, T₂. . . . Tß der ihnen parallelen Gurtungsstäbe, während die für alle

'z

-$■

s-

Sh

s-

r<

P*-

P»

P*

P*

Fig. 298“.

0C

(i

/>

L.

¥ fr f

Ps P,

*;■

h\ ft

74

f*

LA

Felder constante Zugkraft der unteren Gurtung S — Oa erhalten wird. Die Beanspruchung der Diagonalen ist gleich Null, die der Ver-ticalstäbe besteht in den als Zugwirkungen auftretenden unteren Knotendrücken. Sind diese unteren Knotendrücke nicht

vorhanden (totale Schneebelastung), so ist auch die Beanspruchung der Verticalstäbe gleich Null und man erhält S = (Ta, Wären nur die in der unteren

ferner T, = Ja, T₂ = Jb. . . . T₆ = J f.

Gurtung wirkenden Knotendrücke vorhanden, so würde das Kräftepolygon J5rI sämmtliche Stabkräfte liefern.

B) Beanspruchung durch Schneelast.

a) Gurtungen.

Die ungünstigste Angritfnahme der Gurtungen tritt nach Gl. 267 und 268 bei totaler Belastung des Dachbinders ein.

b) Füllungsglieder.

Die Maximalbeanspruchungen in den Füllungsgliedern linden bei einseitiger Belastung des Trägers statt. Für die Bestimmung ist Folgendes massgebend:

Diagonalen.

Die Belastungsscheide für irgend eine Diagonale 12 wird durch den Schnitt i der von den Auflagern A und B nach den oberen Knotenpunkten des die Diagonale enthaltenden Feldes gezogenen Geraden bestimmt (Fig. 299). Denkt man sich nämlich eine in der Lotlinie durch i wirkende Einzellast durch ihre in I und II hervorgebrachten Knotendrücke ersetzt, so kann AIIIB als Seilpolygon der Auflagerreactionen A und B und der erwähnten Knotendrücke

aufgefasst werden. Daraus folgt, dass für alle durch das betrachtete zweite Feld gelegten Schnitte die Resultirende der äusseren Kräfte durch den Schnitt der Gurtungsstäbe III und 1 2 geht, daher bei dieser Stellung der Einzellast die Stabkraft der Diagonale gleich Null ist. Da bei der Parabel

If : 11g = BJ : AJ,

so ist auch

z : d — z = A J : B J.

d. h. die Last muss bis zu derjenigen Stelle in das Feld ein-rücken, durch welche die Trägerlänge im umgekehrten Yerhältniss wie die Fachlänge geteilt wird.

Jede rechts von J befindliche Last erzeugt in der von links nach rechts fallenden Diagonale Zug, jede links befindliche Last Druck. Sind die Diagonalen von links nach rechts steigend angeordnet, so findet das Umgekehrte statt, die Lasten links bewirken Zug, die rechts aufgebrachten Druck.

Fig. 299.

st

Das Maximum also z. B. der Zugbeanspruchung in 12 wird bei der in Fig. 299 angedeuteten Belastungsweise auftreten.

Zur graphischen Ermittelung dieser Maximalbeanspruchung nach dem

S. 190 angegebenen Verfahren ist die Kenntniss des hiebei in A auftretenden Auflagerdruckes Dn sowie des auf I übertragenen Knotendruckes Kt erforderlich. Man zeichnet also nach S. 195 die Linie der Auflagerdrücke und diejenige der Knotendrücke des betreffenden Feldes und erhält dadurch für die in Rede stehende Belastung D, = ab und K, = ea, Das für den beliebigen Pol 0 construirte Seilpolygon I'II'IIP liefert einen Punkt IIP der Kraftlinie der Resultirenden V = eb aus D, und K1} wodurch, wenn en parallel 2k gezogen wird, das Kräfteviereck ebnre und -f- Z„,ax. = nr sich ergibt.

Analog wird — Znmx. entsprechend der Belastung der Trägerstrecke A i

erhalten.

Gekreuzte Diagonalen. Beim Träger mit je einer Diagonale in jedem Felde wechselt nach Vorstehendem die Diagonalkraft zwischen einer grössten Zug- und einer grössten Druckbeanspruchung. Wird aber der Träger mit schlaffen Diagonalen ausgeführt, d. h. mit solchen, welche zur Aufnahme von Druckkräften nicht geeignet sind, so müssen in jedem Felde zwei sich kreuzende Diagonalen angebracht werden, und es tritt dann jede von beiden nur bei derjenigen Belastung in Thätigkeit, welche Zug in ihr erzeugt, während die andere spannungslos bleibt.

Es wurde beispielsweise gezeigt, dass bei der in Fig. oOO angegebenen Belastung die Diagonale 12 die grösste Zugspannung erleidet. Im entgegengesetzten Falle, bei ausschliesslicher Belastung der Strecke AJ, würde die Diagonale 1 2 die grösste Druckspannung erleiden. Da sie zur Aufnahme von

Fig. 300.

■%>-

Druck nicht geeignet ist, so bleibt sie spannungslos, während an ihrer Stelle die Diagonale 1II in Thätigkeit tritt, in welcher, weil sie von links nach rechts steigt, die Belastung von AJ das Maximum der Zugspannung hervorbringt. Es ist leicht einzusehen, dass letztere gleich ist der grössten Zugkraft in der mit 1II symmetrisch zur Trägermitte liegenden Diagonale IV 5, und es sind somit nach Feststellung der Maximal-Zugspannungen des Trägers mit einfachen Diagonalen auch diejenigen der Gegendiagonalen bekannt.

Analytische Behandlung. Man nehme an, dass die Last, von einem der beiden Auflager kommend, auf die Strecke z in das Fach eingerückt sei, und bestimme für diese Laststellung die Momente der angrenzenden Knotenpunkte, so ergibt sich nach Gl. 270 ein Ausdruck für die der vorhandenen Belastung entsprechende Diagonalkraft. Ermittelt man nun durch Diff'erenziren denjenigen Wert von z, welcher jenen Ausdruck zum Maximum macht, so kommt man auf das schon oben erwähnte Gesetz:

z : d — z = A J : B J.

Wird der so erhaltene Wert von z in den Ausdruck für die Diagonalkraft eingeführt, so ergibt sich das weitere Gesetz, dass die Horizontal-componenten der maximalen Diagonalkräfte sämmtlicher Felder gleich gross sind.²)

Verticalstäbe.

Für einen Verticalstab 112 (Fig. 299) erhält man, wenn man einen schiefen Schnitt durch denselben gelegt denkt, nach S. 268 die Belastungsscheide i, bei wagrechter unterer Gurtung zusammenfallend mit der Belastungsgrenze der Diagonale 12. Jede Last rechts von i erzeugt Druck in dem Stab, jede links befindliche Last Zug. Die grösste Druckbeanspruchung, N II2, findet also bei der in Fig. 299 bezeichneten Laststellung statt, welcher V = eb, wirkend in der Verticalen durch III', entspricht. Nach S. 190 liefert das Kräfteviereck k/m^r,:

für

max.

Nm„. = n, r,.

¹

Nur wenn die untere Gurtung wie Fig. 289 polygonal angeordnet ist, tritt die Änderung ein, dass in beiden Z Stäben jede auf dein Dachbinder befindliche Last zur Vermehrung der Zugspannungen dieser Stäbe beiträgt.

²

Loewe, Über eine Eigenschaft der Parabelträger, Zeitsehr. d. fcayer. Areh.- und Iug.-Vereins, 187G

C) Beanspruchung durch den Wind druck.

Der Wind wirke gegen die auf der Seite des beweglichen Auflagers gelegene Dachfläche, deren einzelnen Abteilungen AI, III, IIIII die Windpressungen W,/ = 01, W₀" = 12, Wo"' 2 3 (Fig. 301) entsprechen. Die Resultirende W₀ und deren Auflagerreactioneu D, f= IO und D₂ = 31

Fig. 301.

ci-

Fig. 301“.

o9s.

Xw

________C

//

werden nach S. 226 gefunden; 01' und l'l seien ferner die durch W₀' auf A und I übertragenen Knoten drücke, desgleichen 12' und 2' 2 die Knotendrücke von W₀" in I und II, endlich 2 3' und 3'3 die Knotendrücke von W₀'" in II und III. Die bei dieser Belastung entstehenden Stabkräfte erhält man wie folgt:

Schnitt a.

Bekannt: Res. d. äuss. Kr. R = 11', unbekannt: Ti S Polygon: Il'al, daher:    = l'a (Druck),

St = al (Zug).

Bekannt:

Schnitt y. R = 12', S₂ = al,

2) Ai

unbekannt: T Polygon: I2'bal, daher: T₂ = 2'b (Druck), ba (Druck).

Bekannt:

Schnitt ß. R = II', l = l'a,

unbekannt: S₂, N Polygon: Il'al, daher: S₂ = al (Zug), N, = 0.

ii

Schnitt 8. R = 12' T₂ == 2' unbekannt: N₂, S Polygon: 12' bei, daher: N₂ = b c (Zug), S₃ = cl (Zug).

Bekannt:

und so fortfahrend:

T₄

t₅

T,

il

~    ‘-H    ^    O

co co co co

Druck,

fe

= hg

tr h, pi J? ® HH t—I

Zug.

s,

il

§16. Der parabolische sichelförmige Dachbinder.

Der Parabelträger geht in den sichelförmigen Träger über, wenn man auch der unteren Gurtung die Form eines gegen die Verbindungslinie der

Anflagerpunkte concaven Polygons gibt, dessen Eckpunkte in einer Parabel liegen. Ist f die Scheitelhöhe der oberen und f, die der unteren Gurtung (Fig. 302), so bestimmen sich die Parabelordinaten beider

Fig. 302.

A,

Yr

Zj

t.

Gurtungen aus den Gleichungen:

“!

(1X — x²)

Die Beanspruchung irgend eines Stabes I 11 der oberen Gurtung ist. nach Gl. 207:

9K, h Cos s

91c,

(Druck),

diejenige irgend eines Stabes 1 2 der unteren Gurtung .nach Gl 208:

91t,

911,

h, Cos £,

(Zug).

Da

h = J — Ji

x²),

l²

oder, wenn für v und y, die obigen Werte eingeführt werden, ir(f— fi) (Ix —

so ist

T Cos e

9Tt. I²

4 f₀ (1 x — x ²)

und bei gleichmässig verteilter Totalbelastung, in welchem Falle

'S

Öl

fcOi-ö

X

CO

T Cos s = —

ql²

8f„‘

(339

Ebenso erhält man, da

h, = f) — 7], =

S Cos £, =

0Z, l²

4 f„ (11 - i²) und bei gleichmässig verteilter Totalbelastung:

S Cos £, =

ql²

8f₀*

(340

Sämmtliehe Stäbe der oberen Gurtung sind auf Druck, die der unteren auf Zug beansprucht.

Daraus geht hervor, dass bei voller, gleichmässig verteilter Belastung oder, was dasselbe ist, bei gleichen und gleich weit von einander entfernten Knotendrücken die Hörizontalprojectionen sämmtlicher Stabkräfte beider Gurtungen gleich gross sind, nämlich gleich dem Quotienten aus dem Maximalmoment und der Trägerhöhe im Scheitel.

Die Stabkraft irgend einer Diagonale, z. B. 12

ist nach Gl. 270:

Cos y

/m₂

VT

91c,

für die angegebene Belastung ist

9K₂    91c,

hTT

daher

Z = 0,

d. h. die Beanspruchung sämmtlicher Diagonalen ist bei gleich-massig verteilter totaler Belastung gleich Null.

Um endlich über die Beanspruchung der Yerticalstäbe Aufschluss zu erhalten, denke man einen Knotenpunkt der unteren Gurtung von dem übrigen Träger getrennt (Big. 303) und bringe die an demselben wirkenden Kräfte ins Gleichgewicht. Man erhält als Gleichgewichtsbedingung:

N + Z Sin y -f S' Sin s' — S Sin e, = 0.

Für gleichmässig verteilte Totalbelastung ist:

Z = 0,

Fig. 303.

und

>s'

S' =

daher

ql²

8f₀

q i⁸

8 f₀ Cos s, ’

qU

8 f₀ Cos Bn

(tang e, — tang e'),

(341

woraus ersichtlich, dass bei gleichmässig verteilter Totalbelastung die Yerticalstäbe auf Zug beansprucht sind.

A) Beanspruchung durch Eigengewicht.

Man trage wie früher die auf die oberen und unteren Knotenpunkte treffenden Lasten auf der Lotlinie (Big. 304) zu dem Kräftezug 0 5 5' 10 zusammen, so ergibt das Kräftepolygon sämmtliche Stabkräfte wie folgt:

Cn OO tO M‘ O Hs (C ps O O* P

oc

»H “N CO ^    €0

Ul GO Ul U Ul ui

Zug-,

CD pL, O    CT¹ ££

CD    P-* O    CT*

Zug-.

Fig. 304.

\T

-05

’-u

'O'Ö

■ii

-45s-

B) Beanspruchung durch Schneelast.

a) Gurtungen.

Die grössten Stabkräfte in den beiden Gurtungen entstehen bei totaler Belastung. Sie werden gerade so wie beim Eigengewicht (Eig. 804) gefunden, indem nur die Knotendrücke der unteren Gurtung in Wegfall kommen.

b) Füllungsglieder.

Fig. 305.

Diagonalen. Die Belastungsscheide für jeden Stab kann nach S. 2(>7 sofort angegeben werden. Für die Diagonale II3 z. B. (Fig.

<7f

AX

305) wird sie erhalten durch Verlängerung von 2 3 bis zum Schnitt a und b mit den Auf-lagerverticalen und durch Ziehen der Verbindungslinien all und blll. Sind damit die Belastungen bekannt, welche die Maximal-Zugoder Druckbeanspruchung im Stab erzeugen, so können letztere durch Rechnung

oder graphisch leicht ermittelt werden. Das hiebei angewendete, des Näheren beim parabolischen Träger angegebene graphische Verfahren (Fig. 299) vereinfacht sich besonders, wenn die Annahme gemacht wird, dass die Last statt bis zur Belastungsscheide J, nur bis an die Grenze des Feldes, welchem der Stab angehört, sich erstrecke, welche Annahme in vielen Fällen der Anwendung statthaft sein wird. Für die ins Auge gefasste Diagonale II3 würde demnach -|⁻ ^

entstehen bei Belastung des Trägerteils vom rechten Auf-

nax.

Fig. 306.

Vs

/r

¥

G-

.A

7P

//

Ui

Fig. 306a,

== n₂r₂.

nax.

lager B bis zum Knotenpunkt III. Bei dieser Laststellung bestellt aber für sämmtliche durch Feld IIIII gelegte Schnitte die Resultirende der äusseren Kräfte in der linksseitigen Auflagerreaction, der Grösse nach durch a₂b2 (Fig. 306a) bestimmt. Indem man diese, wie S. 190 angegeben, nach den Richtungen T, S, Z zerlegt, ergibt sich für den Stab 113:    - Z,

In Fig. 306 und 306!l sind auf solche Weise die grössten Zugkräfte n^, n₃r₃, n₄r₄ auch für die übrigen Diagonalen bestimmt.

Bezüglich gekreuzter Diagonalen gilt das beim parabolischen Träger

Gesagte.

Yerti cal stäb e. Die Belastungsscheide für irgend einen Stab IV 4 (Fig. 305) ergibt sich, wenn man den Gurtungsteil 45, welcher von dem durch den Stab zu legenden Schnitt getroffen wird, bis zu den Schnittpunkten a' und b' mit den Auflagerverticalen verlängert, und wenn man die Punkte a' und b' mit den Eckpunkten III und IV des gegenüberliegenden Gurtungs-stabes verbindet. Jede rechts von dem so erhaltenen Verticalschnitt J' auf-

18*

to

os

gebrachte Last erzeugt Druck im Verticalstab, jede links befindliche Last Zug. (Bei von links nach rechts steigenden Diagonalen findet das Umgekehrte statt.) Das Maximum der Zugkraft des Stabes IV 4 wird also durch ausschliessliche Belastung der Strecke AD, das Maximum der Druckkraft durch ausschliessliche Belastung der Strecke B D heryorgebracht.

C) Beanspruchung durch Winddruck.

Die Ermittelung’ der Stabkräfte unter Einfluss des Winddruckes, welcher gegen die auf Seite des festen Auflagers befindliche Dachfläche wirkend an-

Fig. 307.

H'*

\o

Wi,

7.

‘v

JV

;j

//

-/•

tot/

%—:'r

■L

v\

//

J-

genommen worden ist, zeigt Fig. 307, zu deren Erklärung nach dem über den parabolischen Träger Gesagten nichts hinzuzufügen ist.

§ 17. Consoldächer.

Die Binder der Consoldächer sind nur mit einem Ende befestigt, während sie mit dem andern frei schweben. Wie beim einfachen, mit einem Ende eingespannten Tragbalken besteht die Wirkung der Auflagerbefestigung in einer Verticalreaction und einem Auflagermoment. Letzteres wird gebildet durch

die beiden gleich grossen und entgegengesetzten Horizontalreactionen H der Wandfläche (Fig. 308) auf die Gurtungsenden. Bezeichnet D die lotrechte

Fig. 308.

Fig. 308\

P,

nt

1—^-

p,

/vjC

r-o

Ps

mX

li

b

Auflag’erreaction, K die Resultante sämmtlicher Lasten und r ihren Abstand vom Auflager, so hat man

und

H.h = R.r

oder

R.r

D = R und

Wenn man R = ab aufträgt (Fig. 308a) und bc parallel J IV zieht so ist, weil ac : R = r : h,

ac = H.

A) Beanspruchung durch Eigengewicht und totale Schneelast.

Man trägt die Knotendrücke P₄ bis P₅ anf der Lotlinie 0 5 (Fig. 309“) auf und erhält durch die Schnitte a bis 7] die nachverzeichneten Stabkräfte. Der letzte Schnitt tj ist, wie in Fig. 309 angegeben, krummlinig zu legen, wobei sich bei bekanntem S₄ = Oe, Z₃ = ef und P₃ = fg, sodann H = g5 und N₄ = 5 0 = D ergibt.

S, = a 0

S₂ = a 0

5₃    = cO

5₄    = eO Zj = ba Z₂ = de Z» = fe

> Zug,

Druck.

= b'

d'e

= 50 = D

Nach Cremona’s Verfahren beginnt man mit dem um den Knotenpunkt 1 gelegten Schnitt und trägt die Knotenlast P = 01 (Fig. 309b) auf. Die

Parallelen 1 a und 0 a zu den beiden Gurtungen liefern das Kräftedreieck 01 aO, welches S* = 1 a (Zug) und = aO (Druck) ergibt. Bezüglich des zweiten. um den Knotenpunkt II gelegten Schnittes sind bekannt P₂ = 12 und S* = al, daher Polygon: al2ba mit S₂ = 2b (Zug) und = ba

Fig. 309.

<5r«

cg*

-ä

ÄH

M-

Pi- ■ «5

Fig. 309a.

Fig. 309".

V.

Ti.»

prfe V⁻V    y- y*

--*--*--4

.bÄ?    ÄS

(Druck). Beim Knotenpunkt 2 sind = Oa und = ab bekannt. Die Resultirende Ob aus beiden, nach den .Richtungen von 2III und 2 3 zerlegt, liefert Zt — bc (Zug) und T₂ = cO (Druck) u. s. f.

B) Beanspruchung durch Winddruck.

(Fig. 310).

Knotenpunkt I. Bekannt: W, = 01, unbekannt: S„ Tl5 Polygon : 01 a 0, daher: S, = 1 a (Zug),

T, = aO (Druck).

Knotenpunkt II. Bekannt: W₂ = 12, Sj = al unbekannt: S₂,

Polygon: a 1 2 b a, daher: S₂ = 2 b (Zug),

N, = ba (Druck).

Knotenpunkt 2. Bekannt: T, — Oa, — ab, unbekannt: Z,, T₂,

Polygon: ObcO, daher: Zx = bc (Zug),

T₂ = cO (Druck).

Knotenpunkt III.

Bekannt: W₃ = 2 3, S₂ = b 2, Z, = c b, unbekannt: S3l N.>,

Polygon: c b 2 3 d c, daher: S₃ = 3 d (Zug),

N₂ = de (Druck).

§ 18. Der Bogenträger mit drei Gelenken.

A) Bestimmung der Auflagerreactionen.

Jede Einzellast P

welche sich an irgend einer Stelle des Trägers be-

findet, erzeugt Widerlagerreactionen W₁ und W₂, in den Gelenkpunkten A und B (Fig. 311) angreifend, welche, da sie der Last P das Gleichgewicht

halten, in einem Punkte E der Kraftlinie P sich Steht die Last innerhalb der links-

Fig. 311.

schneiden.

iß

Knotenpunkt 3. Bekannt: T₂ = Oc, N.> = cd, unbekannt: Z₂, Ts,

Polygon: 0 d e 0, daher: /t = d e (Zug¹),

Ts = eO (Druck).

Fig. 310.

VH

■riä«

*

-fc. _—

■F

SsX*

Knotenpunkt IV.

W₄ = 3 4,

5₃    = d 3,

' Z₂ — ed,

unbekannt: S₄, Ns,

Polygon: ed3 4fe, daher: S₄ = 4f (Zug),

N₃ — fe (Druck).

Knotenpunkt 4. Bekannt: T₃ = 0 e, N₃ = e f, unbekannt: Z₃, T₄,

Polygon: OfgO, daher: Z₃ = fg (Zug),

T₄ = g 0 (Druck) = H'.

Knotenpunkt V. f W₃ = 45,

5₄    = f4,

Z₃ = g f,

unbekannt: H", N₄,

Polygon: gf45hg, daher: H" = 5h,

N₄ = hg (Druck) = D.

Bekannt:

Bekannt:

seitigen Trägerhälfte, so geht die rechtsseitige Widerlagerreaction ausser durch B zugleich auch durch den Gelenkpunkt C, da nur durch diesen Punkt eine Wirkung der rechten auf die linke Trägerhälfte möglich ist. Durch Verlängerung von BC bis zum Schnitt E mit P ergibt sich auch die Richtung AE der linken Widerlagerreaction.

Befindet sich umgekehrt die Last auf der rechtsseitigen Trägerhälfte, so wirkt die linke Widerlagerreaction in der Geraden AC und der Schnitt E dieser Geraden mit der. Lastverticalen bestimmt die Richtung EB der rechtsseitigen Widerlagerreaction.

Hm bei beliebiger lotrechter Belastung (Fig. 312) die Auflagerreactionen Wj und W₂ zu bestimmen, zerlege man dieselben zunächst in ihre Horizontal-und Verticalcomponenten Ht, Dx und H₂, D₂. Indem man sodann den Gleich-

Fig. 312.

Fig. 313.

iS*

■"Q-

gewichtszustand der linken Trägerhälfte betrachtet, ersetze man daselbst die Wirkung der rechten Hälfte durch eine in C wirkende Kraft R, deren Horizontal- und Verticalprojection H und Y seien (Fig. 313). Für den Drehpunkt A hat man sodann als Gleichgewichtsbedingung:

Hf 4- V.— — 2Pa = 0

o

wobei die Entfernungen der einzelnen Lasten vom linken Auflager mit at,

. bezeichnet sind und demnach 2 P a die Summe der statischen Momente

©

sämmtlicher Lasten der linken Trägerhälfte bezüglich des linken Auflagers vorstellt.

Denkt man sich hierauf auch die rechtsseitige Trägerhälfte ins freie Gleichgewicht gebracht, wobei,

um die Wirkung des linken Trägerteils zu ersetzen, _

in 0 die nämliche Kraft R, nur in entgegengesetztem j Sinne, anzubringen ist (Fig. 314), so erhält man für den Drehpunkt B (rechtes Auflager):

Fig. 314.

Mt

Hf

— v--SP(I — a) = 0,

worin 2 P (1 — a) die Summe der statischen Momente sämmtlicher Lasten der

rechten Trägerhälfte bezüglich des rechten Auflagers bedeutet.

Aus diesen beiden Gleichungen folgt:

ÜPa-f SP(l-a)

und

IPa — SP (1 — a)

(342

(343

Unter Anwendung der übrigen Gieichgewiclitsbedingungen auf beide Träger -hälften ergibt sich jetzt:

(344

ferner

SP1 — ipa -f SP(1 — a)

j- i P (1 — a):

J- O

(345

endlich

(346

D₂ = SP -f V = — SPa.

4 o

Die Verticalcomponenten der Auflagerreactionen sind somit gleich den x\.uflagerreactionen des gleich belasteten Balkenträgers von der Stützweite 1.

Nachdem H1? D1} H₂ und D₂ durch die Gleichungen 342 bis 346 bestimmt, ergeben sich die Widerlagerreactionen Wt und W₂ und deren Winkel a* und a₂ gegen den Horizont wie folgt:

w₂ = Vu² -|- ix²,

Wa = Vn² + dJ,

Bei voller Belastung des Trägers durch gleiclimässig verteilte Ijast q pro Längeneinheit ist:

und

o M»|-

93

CT |

CO

pm

daher

II =

ql²

toi-®

JL>

und

Y = 0.

Ist nur eine Trägerhälfte, z. B. die linke, AC belastet (Big. 315), so ist:

SPa = qo¹²,

•s

SP(l-a)

¹ -p

(M

daher

Fig. 315.

ql²

16 f

(348

und

Di = |Ql, I>₂ = |ql, V = iql.

(349

(350

(351

Graphische Bestimmung der Auflcujerreactionen.

Man bestimmt für sämmtliclie Lasten einzeln die beiderseitigen Wider-lagerreactionen (bt et und at b[ für Pn b₂e₂ und a₂b₂ für P₂. . . a₅b₅ und b₅eB

für P₅) (Fig. 316) und erhält durch Aneinanderreihung der zusammengehörigen Kraftlängen = 10 und W₂ = 5' 0. Zur Controle dient, dass die Horizontalprojectionen von Wt und W₂ gleich sein müssen.

Ist die Belastung gleichmässig verteilt oder besteht sie aus gleichen und gleicliweit entfernten Finzellasten , so empfiehlt es sich, die Lasten der linken sowie die der rechten Trägerhälfte zu ihren Resultirenden zusammenzufassen und im Übrigen wie angegeben zu verfahren.

Fig. 316.

'2

■J'

La

₀2'

A4 a *

3>

H-

-H-

>s'

Auflagerreactionen des Winddrucks.

Man zerlegt die Resultirende ¥₀ des auf die Dachfläche wirkenden Winddruckes in W₀ Cos a und W₀ Sin a (Fig. 317) und erhält wie oben durch Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen beider Trägerhälften:

und

daher

und

Ferner

H f -( V AV₀ y₀ Sin a — AA^₀ x₀ Cos a = 0 z

Hf —

= O,

II =

AV₀ Jo Sin a -f- AV₀ x₀ Cos a

AV₀ y₀ Sin a -f- W„ x₀ Cos a

(352

(353

H — AV₀ Sin a, (354 (355

I)j = AV₀.Cosa —V (356 D, = V.

Durch Construction findet man die durch AV₀ erzeugten Widerlager-reactionen Wt = be und W₂ = ab, wie in Fig. 317 angegeben.

Fig. 317.

= H,

Ai^H,

ie

U-

Ho

//Mb

und

(357

B) Beanspruchung durch Eigengewicht und totale Schneelast.

Durch .Rechnung¹ können die Stabkräfte nach vorheriger Bestimmung der Widerlager-reactionen mittels der Momenten-metliode gefunden werden, deren 'ß‘ Anwendung hier keiner weiteren Erklärung bedarf. Das graphische Verfahren ist in Fig. \B 318 zur Darstellung gebracht. Hier wurden die Auflagerdrücke für die Belastungen beider Trägerhälften zuerst getrennt bestimmt und so die ge-sammte linksseitige Widerlager -reaction AV, durch Vereinigung von In = ao'b/ und nO = b₀e₀ als Länge IO gefunden. Nachfolgend sind die nach der Cremona’sehen Methode ermittelten Stabkräfte zusammengestellt;

Fig. 318.

Pr

Ad

P»

HC

'3

Pe

A-

Pt

P»

13

'AJ

Knotenpunkt A. Bekannt: W₄ = 10, unbekannt: Nls T Polygon: IOal, daher:    = 0 a (Druck),

T₄ = al (Druck).

Knotenpunkt A'. Bekannt: P₄ = 01,    = aO,

unbekannt: S₄, Z Polygon: a 1 b a, daher:    Sj    ==    1 b    (Zug),

Z₁    =    ba    (Druck).

Knotenpunkt 1. Bekannt: Tt = Ia, Z₄ = ab, unbekannt: N₂, T Polygon: Tabcl, daher:    N₂    =    bc.    (Druck),

T₂    =    cl    (Druck).

Knotenpunkt I.

Bekannt: P₂= 1 2, St = b 1, N₂ = cb, unbekannt: S₂, Z Polygon: c b 1 2 d c, daher:    S₂    =    2d    (Zug),

Z₂    =    de    (Zug).

Knotenpunkt 2.

Bekannt: T₂ = I c, Z₂ = c d, unbekannt: N₃, T Polygon: Icdel, daher:    K₃    =    de    (Druck),

T₃    =    ei    (Druck).

Knotenpunkt II.

Bekannt: P₃ = 2 3, S₂ = d 2, N₃ = e d, unbekannt: Z₃, S₃,

Polygon: e d 2 3 e, daher: Z₃ = 3e (Zug),

S₃ = 0.

Knotenpunkt 3. Bekannt: T₃ = Ie, Z₃ = e3, unbekannt: N₄, H,

Polygon: Ie34I, daher: N₄ = 3 4 = P₄ (Druck), H = 4L

C) Beanspruchung durch Winddruck.

Wir nehmen an, die linksseitige Dachfläche sei durch den Wind in An- . griff genommen, dessen Resultirende 0 4 (Pig. 319) am linken und rechten Widerlager die Reactionen Wt = 10 und W₂ = 41 erzeugt. Unter diesem Einfluss ergeben sich nachstehende Stabkräfte:

Linke Trägerhälfte.

Knotenpunkt A. Bekannt: W₍ = 10, unbekannt:    T

Polygon: IOal, daher:    = Oa (Druck),

T₄ = al (Druck).

Knotenpunkt A'. Bekannt: Wt = 01,    = aO,

unbekannt: S₄, Z,,

Polygon: a 01 b a,

daher: S₁ = 1 b (Druck),

Zx = b a (Zug).

R echte T r ä g e r h ä 1 ft e.

Knotenpunkt B. Bekannt: W₂ = 4⁷I⁷, unbekannt: T/, N/, Polygon: 4⁷I⁷a⁷ 4⁷, daher:    T,⁷    =    l⁷ a⁷    (Druck),

Nt⁷    =    a⁷ 4⁷    (Zug).

Knotenpunkt B⁷. Bekannt: Nx⁷ = 4⁷a⁷, unbekannt: Zx⁷, S,⁷,

Polygon: 4⁷a⁷b⁷ 4⁷, daher:    Z,⁷    —    a'b⁷    (Druck),

S,⁷    =    b⁷ 4⁷    (Zug).

A'

y ik

dö

r</n aL^

Ha

(l /'

Fig. 319.

ET'

ö-#'

Knotenpunkt 2. Bekannt: T₂ = Ic, Z₂ = cd, unbekannt: N₃, T₃,

Polygon: Icdel, daher: N₃ = de (Druck),

T₃ = ei (Druck).

Knotenpunkt II.

„ Bekannt: W₃ = 2 3, S₂ = d 2, N₃ = ed, unbekannt: S₃, Z₃,

Polygon: e d 2 3 f e, daher: S₃ = 3f (Zug),

Z₃ — fe (Druck).

Knotenpunkt 3. Bekannt: T₃ = I e, Z₃ = e f, unbekannt: N₄, R,

Polygon: Ief4I, daher: K₄ = f4 (Druck),

R = 41 = W₃. '

e‘

6'

<r

T

2’    -*-2 5

y.

Knotenpunkt 1. Bekannt: Tt = Ia, Z₄ = ab, unbekannt: N Polygon: I a b c I, daher: N₂ = bc (Druck),

T₂ = c I (Druck).

Knotenpunkt I.

Bekannt :W₂ = 1 2, S₄ = b 1, N₂ — cb, unbekannt: S₂, Z₂₎

Polygon: cbl2dc, daher: S₂ = 2 d (Druck),

Z₃ = de (Druck).

. Knotenpunkt V. Bekannt: Z/ = b⁷a⁷, T/ — a⁷P, unbekannt: T Polygon: b⁷ a' I' c'b⁷, daher: T₂' = I'c' (Druck),

= c'b⁷ (Zug).

Knotenpunkt I⁷. Bekannt: S/ = 4⁷b⁷, N₂⁷ = b⁷c⁷, unbekannt: Z.₂⁷, S₂⁷,

Polygon: 4⁷b⁷c⁷d⁷ 4⁷, daher: Z₂⁷ — c⁷ d⁷ (Druck),

S₂⁷ = d⁷ 4' (Zug).

Knotenpunkt 3'. Bekannt: Z₃' = 4'e', T₃' = e'F, unbekannt: N Polygon: 4'e'I'4', daher: N₄' = 0,

R = I' 4'.

D) Ungünstigste Beanspruchung durch teilweise Schneebelastung.

Obere Gurtung.

Um für einen Stab III (Fig. 320) der oberen Gurtung eines Feldes die Belastungsscheide zu erhalten, ziehe man eine Gerade vom zunächst gelegenen Widerlager A nach dem Schnitt 2 der beiden anderen Stäbe des betreffenden Feldes und bestimme den Schnittpunkt i, dieser Geraden mit der Verbindungslinie BC. Jede in der Verticalen durch it wirkende Einzellast bewirkt in

Fig 320.

i.

om:

INO

CG

Knotenp unkt 2 . Bekannt: Z₂' = d'c', T₂' = c'l', unbekannt: T₃', Ns',

Polygon: d'c'I'e'd', daher: T₃' = I'e' (Druck),

Na' = e' d' (Druck).

.Knotenpunkt II'. Bekannt: S₂' = 4'd', N₃' = d'e' unbekannt: Z₃', S₃',

Polygon: 4'd'e'4', daher; Z₃' == e'4' (Zug),

S₃' = o. •

A'

Fig. 320'.

ÜPP

- mar Tx

Fig. 320".

III die Spannung gleich Null, jede Last rechts von i, erzeugt Zug, jede Last links von i, Druck, was auf Grund der Momentenmethode leicht bewiesen werden kann. Die grösste Zugbeanspruchung erleidet demnach der betrachtete Gurtstab bei Belastung des Trägerteils zwischen i, und B (Fig. 320“), die grösste Druckbeanspruchung bei Belastung der Trägerstrecke i, A (Fig. 320¹’).

Untere Gurtung.

Die Belastungssciieide eines Gurtstabes 12 (Fig. 321) befindet sich hier im Schnitt L von Al mit BC. Jede Einzellast bringt in 12 Druck oder

Zug' hervor, jenachdem sie rechts oder links von i₂ aufgebracht wird. Demnach entsprechen der grössten Zug- oder Druckbeanspruchung von 1 2 die in

Fig. 321.

A'

ß'

Fig. 321 \

-mar

4|M

i Fig. 321»

Fig. 321“ und 321b angedeuteten Belastungen.

Diagonalen.

Es sei die ungünstigste Angriffnahme der Diagonale 12 (Fig. 322) zu bestimmen. Die beiden anderen, demselben Felde ungehörigen Stäbe III und 1 2 schneiden sich in m, welcher Punkt entweder über, auf oder unterhalb der Verbindungslinie AC gelegen sein kann. Wenn das Erstere der Fall ist,

Fig. 322.

hi

A'

s.

rT

<?ß

+ mazZz

-maz Zz . m

Fig. 322'¹. |

Fig. 322".

wie in Fig. 322, so beansprucht jede rechts vom Schnitt i:i der Geraden Am und BC befindliche Einzellast die Diagonale auf Druck. Desgleichen bewirkt jede Last, welche sich zwischen A und der linksseitigen Begrenzung I 1 des betrachteten Feldes befindet, Druck, dagegen jede Last zwischen der rechtsseitigen Begrenzung II2 des Feldes und i₃ Zug. Innerhalb des Feldes befindet sich eine weitere Belastungsscheide i₄, welche man erhält, wenn man mn bis zum Schnitt s mit II verlängert und den Schnitt i₄ von As mit B G

aufsucht.:i:) Jede innerhalb des Feldes links von i₄ aufgebrachte Last erzeugt Druck, jede Last rechts von i₄ Zug. Demnach ergibt eine Lastverteilung wie in Fig. 322a die grösste Zugbeanspruchung -j- Z gegen die Lastverteilung Fig. 322b deren maximale Druckkraft.

der Diagonale 12, da-

in ax.

Verticalstäbe.

Fig. 323.

rn

A'f

K:

IL

lh

B'

4j c

•v

Fig. 323“.

- maxK

* Fig. 323b.

Ö

Die ungünstigsten Belastungen für einen Verticalstab 11 (Fig. 323) sind aus den Figuren 323“ und 323¹’ zu ersehen. Der Nachweis liiefür, sowie die

*) Beweis. Man denke sich eine beliebige Einzellast P = aß in der Lotrechten ■ Vj innerhalb des betrachteten Feldes auf den Träger wirkend (Fig. 324), so erzeugt sie in A eine auf bekannte Weise zu bestimmende Widerlagerreaction W' sowie in I einen lotrechten Knotendruck D', der mittels einfacher Hilfseonstruction als Länge a₄ ß* erhalten wird. Die Resultironde der äusseren Kräfte, welche bei dieser Belastung für alle Querschnitte des Feldes entstellt, setzt sich zusammen aus W' und D' und ist in Fig. 324

Fig. 324.

nach Grösse, Richtung und Lage als Länge cL b₁ bestimmt. Es ist ersichtlich

dass 12 hiebei auf Druck beansprucht wird. Rückt die Last in die Verticale v₂, wobei in A und I die Reactionen W" = c₂ a₂ und D -— ct₂ ß₂ •— a₂ b₂ entstehen, so ist die Resultirende der äusseren Kräfte c₂b₂, welche den Stab 12 auf Zug beansprucht.

Diese und alle anderen Re-

fl-.

:'y

^.....

P ß, ßz

sultirenden, welche Laststellungen zwischen I und II entsprechen, schneiden sich im Durchschnittspunkt n von B C und II2, was sofort klar ist, wenn man bedenkt, dass die Rcsultirenden des linken Trägerfragments zusammenfallen mit den Resultireuden des rechten Trägerfragments, letztere aber, sich zusammensetzend aus der rechtsseitigen Widerlagerreaction und dem jeweiligen Knotendruck in II, durch den Schnittpunkt n beider Kraftlinien gehen müssen.

Derjenigen Grenz-Laststellung nun, welche die Spannung Null im Stab hervorbringt, entspricht offenbar eine durch den Punkt m gehende Resultirende. Folglich hat man nur mn bis zum Schnitt s mit II zu verlängern, um im Schnitt i₄ der Geraden As und BC die fragliche Belastungsscheido zu erhalten.

‘Bestimmung cler ungünstigsten Belastungen bezüglich der übrigen Verticalstäbe ergibt sich leicht analog dem Vorstehenden.

Big. 325.

p,

Ps

P,

ui

/kf /%

idf

5"~

•V-

Jl /r

/I

•2

'ft¹'

ß‘

₀P. _

r-3!

d,

c,

f,

Hiemit sind die erforderlichen Anhaltspunkte gegeben, um für alle Stäbe die den Grenzbeanspruchungen zugehörigen Belastungen zu finden. Hat man diese bestimmt, so hat die Ermittelung der Stabkräfte keine Schwierigkeiten.

Fig. 325 zeigt die graphische Bestimmung der Stabkräfte für den Fall, dass die Last nur eine Trägerhälfte bedeckt.

§19. Das Kuppeldach.¹)

Die kuppelförmige Dachfläche entsteht durch .Rotation einer ebenen Curve um die senkrechte Mittelaxe des zu überdeckenden Raumes. Die Constructions-teile des Daches werden in die Kuppelfläche selbst verlegt, indem man eine Anzahl Sparren nach den Meridianen der Fläche anordnet und dieselben in gewissen Abständen durch wagrechte Ringe mit einander verbindet. Auf solche "Weise entsteht das eigentliche Constructionsgerippe als ein der Kuppel einbeschriebenes Polyeder. In die durch Sparren und Horizontalringe gebildeten Trapeze werden zur Aufnahme einseitiger Belastungen gekreuzte Diagonalen eingeschaltet. Zuweilen ist der oberste Ring durch einen besonderen Aufbau, „Laterne“, belastet.

A) Beanspruchung durch Eigengewicht.

Jeder Ring hat das Gewicht einer ihm entsprechenden Kuppelzone aufzunehmen und überträgt dasselbe auf die Sparren. Diese Zonengewichte seien, von oben angefangen, der Reihe nach P,, P₂, P₃. . ., wobei, wenn die Kuppel eine Laterne trägt, das Gewicht derselben in dem Werte von P, mit inbegriffen

rn

so

•<?

->/4

Fig. 326a.

ist. Sind n Sparren vorhanden und ist der Grundriss der Kuppel ein reguläres n-Eck, so entfallen auf die Knotenpunkte eines Sparrens der Reihe nach die

P₃. . . (Fig. 326 und 326a), und sämmtliche Sparren

Lasten:

-Pi, “

n n

P«,

sind in gleicher Weise belastet. Fig. 32G.

Die unteren Enden der Sparren stützen sich gegen einen Horizontalring, den sog. Mauerring, welcher den Horizontalschuh der Kuppel aufnimmt dass eine Reaction der Unterlage nur in lotrechtem Sinne entwickelt wird. Diese ßeaction ist für jeden Sparren:

“ (Pl -f P‘2 -f P:> -f • • • )•

Die Stabkräfte bestimmen sich auf folgende Weise: Sparren. Am Knotenpunkt I halten sich die Kräfte: Pn ferner die Stabkraft des Sparrenteils III und die

beiden Ringstabkräfte Ri im Gleichgewicht. Letztere können durch die in der Sparren-Meridianebene wirkende Resultirende Hj ersetzt werden (Fig. 327). Die Summe der Vertical-projectionen der Kräfte ist gleich Null, daher:

Fig. 327.

R,

ßtl

Ry

P, 4- Tj Sin ex, = 0

Ai

oder

1

n Sin äj

Für den zweiten Knotenpunkt (Fig. 328) ist:

(Druck).

(358

P₂ — Ti Sin ax 4~ T₂ Sin oc₂ = 0

oder

T₂ = -

— (P, 4- P₂) (Druck),

(359

rn-t

Ul tt"¹

Horizontalringe, Zum Gleichgewicht der am Knotenpunkt I wirkenden Kräfte (Fig. 327) ist auch erforderlich , dass die Horizontalprojectionen derselben gleich Kuli sind. Daher hat man:

Ht — Tx Cos otj = 0,

360

Ts =

u. s. f *)

n Sin a:i'

(P, + P₂ -f P₈) (Druck)

(360

Fig. 328.

Fig. 329.

Fig. 380.

'Hl

ß\i

ff.

desgleichen für den Knotenpunkt III:

oder, da H, = 2 R, Sin ß und, wie aus Fig. 329 ersichtlich, ß =

Ki

(Druck);

(361

2 n Sin

ebenso ist für Knotenpunkt II (Fig. 328):

Hä -j“ T, Cos «j — T₂ Cos a₂ = 0

oder

K₂ =

(P, -f P₂) Cotg a₂ — Px Cotg at

(362

2 n Sin

desgleichen für den Knotenpunkt III:

R:j = -

(Pt 4- F, 4 P3) Cotg «3 — (Fi 4- F₂) Cotg a₂

(363

2 n Sin

u. s. f.

Pi

*) Soll der Sparrendruck überall gleich (— T) sein, so bestimmen sich kienach die Neigungswinkel:

Sin«! =

Sin a₂ =7

Fr-t-Pa nT ’

Pi 4 Po 4- F₃

u. s. f.

19*

Bezüglich des untersten Knotenpunktes m (Big¹. 830) am Mauerring' bestellt die Gleiehgewichtsglcichuug:

daher

= -f-

- 0,

(P, + P, + P» + . . . P.z.0 Ootg «„ 2 n Sin —

Hm -j~    —1 B°s am

(Zug).

Bi

= 01,

P₂

= 12..

34

Graphische Lösung. Man trägt --

(Big. 331) auf und bildet der Eeihe nach die Kräftepolygone für die Knotenpunkte I, II. . . Y:

Knotenpunkt I.

Fig. 331.

11

Pi

Bekannt: ■— = 01

tp,

y~~[h

jv

v ~fh

unbekannt: T1; H,,

Polygon: 0 1 a 0, daher: Tx = 1 a (Druck), H, = aO.

Knotenpunkt II.

Bekannt:

Cü ! Ö

= 1 2, Tj = al,

unbekannt; T₂, H₂, Polygon: a 1 2 b a, daher: T₂ = 2 b (Druck), H₂ = ba.

Bekannt:

Knotenpunkt III.

. Ps

Knotenpunkt IV.

= 23, T₂ = b2,

Bekannt:

P4

= 34, T₃ = c3,

unbekannt: T₃, H₃, Polygon: b 2 3 c b, daher: T₃ = 3c (Druck), Ha = cb.

unbekannt: T₄, H₄, Polygon: c3 4dc, daher: T₄ = 4d (Druck), H₄ = de.

Knotenpunkt V.

Bekannt: D = 40, T₄ = d4, unbekannt: Hs,

Polygon: 40d4, daher: H₅ = 0 d.

Nachdem H₄, H₂. . . bekannt, ergeben sich nach Big. 327 leicht die Stabkräfte in den Bingen. Es zeigt sich, dass im Laternenring Druck, in den übrigen Bingen Zug herrscht.

B) Beanspruchung durch veränderliche Last (Schnee- u. Winddruck).

Die Kuppelconstructionen sind in der Regel so flach, dass es genügt, nur die lotrechte Componente des Winddrucks einzuführen, daher Schnee- und Windbelastung gemeinschaftlich behandelt werden können.

Bei Vollbelastung der gesammten Dachfläche sind die für Eigengewicht entwickelten Formeln unmittelbar anwendbar und deshalb hier nur diejenigen einseitigen Belastungen festzustellen, welche die ungünstigste Angriffnahme der einzelnen Constructionsteile zur Folge haben. Unter Qt, Q₂. . . sollen die Schnee- und Windbelastungen verstanden werden, welche dem ersten, zweiten u. s. f. Ring zukommen.

Sparren. Die Sparren werden durch vorhandene Lasten immer in demselben Sinn, nämlich auf Druck beansprucht. Die Gleichungen 358 bis 360 ergeben daher, wenn man die entsprechenden Lastenwerte einführt, zugleich auch die grössten Stabkräfte, welche bei wechselnder Belastung möglich sind.

Ringe. Ein Blick auf die Gleichungen 362 und 363, in welchen die beiden Summanden der Zähler verschiedene Vorzeichen haben, lehrt, dass die Stäbe in den Ringen je nach der Verteilung der Last in verschiedenem Sinn beansprucht werden können. So findet z. B. in den Stäben des dritten Ringes die grösste Druckspannung statt, wenn in Gl. 363 der erste Summand möglichst gross, der zweite möglichst klein ist. Dies ist der Fall, wenn die Zonen 1 und II, also die innerhalb des betrachteten Ringes befindlichen Kuppelteile nicht belastet sind, der Ring selbst aber voll belastet erscheint.

Dagegen bewirkt jede Belastung der Kuppel oberhalb der zum dritten Ring gehörigen Zone ein Wachsen des zweiten Summanden in verstärktem Grade gegenüber dem ersten, da Cotg a₂ immer grösser als Cotg a₃. Somit erhält man das Zugmaximum für R₃, wenn die Zone III nicht, dagegen der innerhalb befindliche Kuppelteil voll belastet ist. Unter Berücksichtigung dessen ergeben sich nachstehende Maximalwerte der Stabkräfte in den Ringen:

grösster Druck: Laternenring: max R, =---—

grösster Zug:

Rj == 0

' Q, Cotg a,

2 n Sin —

Ring II: max R₂ = —

0,2 Cotg a₂

2 n Sin —

max R₂ =

Q, (Cotg a, — Cotg a₂)

2 n Sin

Ring III: max R₃ =

Q₃ Cotg a;1 2 11 Sin —

max Ra =

(Oi H- Q2) (Cotg a₂— Cotg a₃)

Mauerring: max Rm = 0

11

2 11 Sin —

max Rm =

u. s. f.

(Oi + Q» + • •) Cotg am_ t

Diagonalen. Denkt man sich durch die Mitte der sich kreuzenden Diagonalen eines Feldes eine Meridianebene gelegt, welche die Kuppel in zwei Hälften trennt, und die eine Hälfte nur durch Eigengewicht, die andere aber durch Eigengewicht und mobile Last voll beansprucht, so wird in Folge der hiebei stattfindenden grössten Differenz der Sparrendrücke die grösste Beanspruchung in den Diagonalen eintreten. Einer Belastung nun der ganzen Kuppel nur durch Eigengewicht entspricht der Sparrendruck im obersten Bing

n Sin a,’

Last total belasteter Kuppel

während der Sparrendruck bei durch Eigengewicht und veränderliche

ist. Deren Differenz:

Pp +_Q,

n Sin oCj

P. + Q,

p,

Qi

n Sin a.

n Sin a,

n Sin a,

wird grösser sein als der vorerwähnte wirklich vorkommende LTnterscliied in den Sparrendrücken, und wenn man, um complicirtere Rechnungen zu vermeiden, die Differenz der Berechnung der Diagonalen zu Grunde legt, so wird eine jedenfalls mehr als ausreichende Stärke vorhanden sein. Ist somit der Winkel zwischen Diagonale und mehrbelastetem Sparren y₁₅ so ist die Diagonalkraft annähernd:

Qi

n Sin aA Cos yx und ebenso für die Diagonalen der übrigen Zonen:

¹

Schwedler, Die Construction der Kuppeldächer, Zeitschr. f. Bauwesen, 1866.

19

(366

Qi 4- Q₂

n Sin aa Cos y₂

Qi 4~ Q‘2 + Qj

n Sin a₃ Cos y₃

u. s. f.

Über die genauere Bestimmung der bei beliebiger Belastung einer Kuppel auftretenden Stabkräfte Siehe: Föppl, Das Fach werk im Raume, Leipzig, 1892, und MliIler-Breslau, Beitrag zur Theorie des räumlichen Fachwerks, Berlin, 1892.

§ 20. Das Zeltdach.

Dächer mit pyramidenförmiger Oberfläche werden Zeltdächer genannt. Man construirt sie entweder, indem man eine Anzahl radial gestellter selbstständiger Binder anordnet, welche die Dachfläche tragen, oder in der Weise, dass wie bei den Kuppeln eine gegenseitige Verspannung der Sparren durch polygonale Horizontalringe eintritt, wobei der Innenraum frei bleibt und

sämmtliche Oonstructionsteile in die Dachfläche zu liegen kommen. Im erste-ren Falle sind die Binder unter Einfluss der auf sie treffenden Belastung wie bei den Balkendächern zu berechnen; bei letzterer Anordnung schliesst sich der Gang der Untersuchung dem der Kuppeldächer an.

Bei flachen Zeltdächern kommt als veränderliche Last ausser dem Schneedruck nur die lotrechte Componente des Winddruckes in Betracht, und es kann die einseitige Beanspruchung durch den Wind als unwesentlich vernachlässigt werden, dagegen spielt dieselbe eine bedeutende Rolle bei steilen Dächern, bei welchen hinwiederum von der Schneelast abgesehen werden kann.

A) Beanspruchung durch Eigengewicht.

Die den einzelnen Ringzonen entsprechenden Belastungen seien P1; P₂,

P₃ . . . Dient zum Abschluss des Daches im First eine Laterne, so ist im Wert von Pa das Gewicht derselben mit einzuschliessen. Bei n vorhandenen Sparren treffen auf die einzelnen Knotenpunkte derselben

Fig. 332.

hP*

li

hPf

H,

l-i

!J

ln tU

Hm

die Lasten

Px, —P

n

/AZA?

Th

'■3

P ₈ ■ •

n ³

(Fig. 332). Der Sparrenschub am unteren Ende der Sparren wird durch den Auflagerring aufgenommen, und es besteht somit die Wirkung der Unterlage in einer Yerticalreaction gleich der Summe der von den Sparren aufgenommenen Lasten.

Sparren. Ähnlich wie S. 290 lassen sich für die einzelnen Knotenpunkte die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen:

2’

Knotenpunkt I:

H»

GO

Knotenpunkt II:

HÜ

to

GO

GO

Knotenpunkt III:

03

GO

C*

Eh

GO

u. s. f.

Hieraus ergeben sich die Stabkräfte in den Sparren:

Pi

n Sin a

(Druck)

T =

->-2

Pi + P₂

n Sin a

(Druck)

T =

x3

p, + P₂ 4- p₃

n Sin a

(Druck)

u. s. f.

Kinge. Aus den Gleichgewichtsbedingungen:

Knotenpunkt I:    — Tj Cos a = 0,

Knotenpunkt II: H₂ -f Tx Cos a — T₂ Cos a = 0, Knotenpunkt III: H₃ -f- T₂ Cos a — T₃ Cos a = 0 u. s. f.

bestimmen sich die Stabkräfte in den Eingen:

Pt Cotg a

Et =

2 n Sin

(Druck)

P₂ Cotg a

(Druck)

2 n Sin

(368

(Druck)

E₃ - -

P₃ Cotg a

2 n Sin

u. s. f.

Bezüglich des Mauerringes (Knotenpunkt m) hat man:

Hm -f Tm_t Cos a — 0,

daher

Em =

Pi +P₂ +.--P—

2 n Sin —

Cotg a (Zug).

(369

Graphische Lösung. Man trage (Mg. 333) — Pt = 0 1, — P₂ = 1 2. . .

-- P₄ = 34 auf, so dass D = 4 0, und bilde wie S. 292 für die Knotenpunkte I, II...die Kräftepolygone OlaO, a!2ba u. s. f., so findet man:

=sn

Fig. 333.

£5/

-H <M CO vjl

E-i S S En

Druck,

cb

de

Alis den Werten für die Radial-kräfte ergeben sich nun leicht die Stabkräfte in den Bingen:

'S

= eö = ae =• f a = b f

= gb =

Druck

== kc = = Oi =

(Zug).

B) Beanspruchung durch Schnee und (lotrechten) Winddruck.

Sparren. Zufolge den Gleichungen 367 entstehen die grössten, durch veränderliche Last erzeugten Stabkräfte, welche immer als Druckkräfte auf-treten, dann, wenn die mobile Belastung eine totale ist.

Binge. Die Stabkräfte eines Binges erreichen gemäss den Gleichungen 368 ihre grössten Werte, wenn die Zone des betreffenden Binges ganz belastet ist. Dieselben sind sämmtlich Druckkräfte mit Ausnahme des Mauerringes, dessen Stäbe auf Zug beansprucht werden. Der grösste Zug findet bei voller Belastung des Daches statt.

Diagonalen. Die grösste Differenz in den Stabkräften zweier benachbarter Sparren des ersten Ringes kann unter Beibehaltung der beim Kuppeldach gemachten Belastungsannahmen zu

Pi ~b Qi

n Sin a

Pi

n Sin a

Qi

n Sin a

festgesetzt werden.

Ist Yi der Winkel der Diagonale mit dem Sparren, so ist die Zugbeanspruchung der Diagonale

Qi

n Sin a Cos y,

und ebenso für die Diagonalen der übrigen Zonen:

Qi 4 Qi

n Sin a Cos y./

Qi "h Qi 4- Q₃ n Sin a Cos y₃ u. s. f.

C) Beanspruchung steiler Zeltdächer (Thurindächer) durch den

Wind.

Von dem vierseitigen Pyramidendach (Fig. 334) werde die Seitenfläche AEC vom Wind getroffen. Um die Stabkräfte zu Anden, welche hiebei in den Stäben der Seitenflächen A B C und E D C entstehen, denke man sich in der Symmetrieebene MN einen Dachbinder, dessen Verticalprojection sich mit denjenigen der Dachflächen ABC und EDC deckt und lasse in den Knotenpunkten dieses gedachten Binders die Winddrücke W,, W₂, Ws, W4 wirken (Fig. 335), welche nach den diesen Knotenpunkten entsprechenden Dachflächen zu bestimmen sind.

Fig. 335.

Fig. 331.

„a-

Hi

ff

¥■

’tl

\2

c'

gW 1,-^d

7*

Mi

<k

Die Stabkräfte des gedachten Binders können rechnerisch mittels der Momentenmethode ermittelt werden ; graphisch ergeben sie sich nach Fig. 335 wie folgt:

u. s. f.

Auf Grund der so bestimmten Stabkräfte des in der Ebene MN gedachten Binders findet man leicht die in den Stäben der Dachflächen ABC und E D C wirklich auftretenden Kräfte.

Die Stabkraft S z. B. des ideellen Binders wird ersetzt durch die Stabkräfte S', S' des nämlichen Feldes in den Sparren AC und EC (Fig. 336).

MC die Winkel 90° — s ein, daher :

Fig. 336.

\\

Knotenpunkt 1. Bekannt: ri\ = Oa, unbekannt: T₂, Zt,

Polygon: OaO,

daher: T₂ = aO = T₁ (Druck), Zy = 0.

Bekannt:

Bekannt:

Knotenpunkt C. Bekannt: Wi =01, unbekannt: Sx, Tt,

Polygon: 0 1 a 0. daher: Sx = 1 a (Zug), aO (Druck).

Knotenpunkt I.

W₂ = 1 2,

S, = al,

Zx = 0, unbekannt: S₂, N Polygon : a 1 2 b a, daher: S₂ = 2 b (Zug), b a (Druck).

Knotenpunkt 2. T₂ = Oa,

= ab,

unbekannt: Z₂, T Polygon: 0 a b c 0, daher: Z₂ = b c (Zug),

T„ = cO (Druck)

Diese schliessen mit

&rr~t

hi

.jk.

«rar

sy =

" 2 Sin $’

(371

i)

-m

desgleichen die correspondirenden Stabkräfte in den Sparren BC und D C:

T' =

7i

2 Sin s'

(372

Ferner ist;

IC

CO

und

N' =

2 Cos y

Cw

-a

4-

Durch die Gleichungen 371 bis 374 ist auch der Weg zur graphischen Reduction der Stabkräfte des gedachten Binders auf die wirklichen Stabkräfte vorgezeichnet.

Trifft der Wind die Dachfläche BDG, so tritt ein Wechsel in der Art der Beanspruchung ein: die Kräfte T und N gehen in Zug über, während Z und S Druckkräfte werden. Erhalten die Diagonalen durchgängig Zugquerschnitte, so sind in jedem Feld gekreuzte Diagonalen anzuordnen, und über die Berechnung derselben gilt das S. 269 Gesagte.

VII. Abschnitt.

Der elastische Bogenträger.

§ 1. Der stab förmige elastische Bogenträger unter Einfluss von ruhender Belastung.

Ein Bogenträger (Big. 337), symmetrisch zur Scheitelverticalen, sei durch feststehende lotrechte Lasten Px, P₃. . ., beansprucht, deren Entfernungen vom Schwerpunkt des linken Kämpferquerschnitts mit at, a₂ . . . bezeichnet seien. Die Widerlagerreactionen W' und W", welche dieser Belastung das Gleichgewicht halten, werden im Allgemeinen die Kämpferquerschnitte nicht in deren Schwerpunkten (Auflagerpunkten) schneiden. Man verlege daher jede derselben parallel ihrer anfänglichen Richtung nach diesen Schwerpunkten, indem

man Kräftepaare hinzufügt, deren Momente bezüglich der betreffenden Auflagerpunkte SK' beziehungsweise SK" seien.

Die so verschobenen Widerlagerreactionen zerlege man in ihre Horizontal- und Verticalcom-ponenten, welche bezüg-

h*⁴ LE

Fig. 337.

JST'

■_r

F7/1'

lieh des linken Auflagers mit H und A bezeichnet seien.

Es stelle nun mn einen beliebigen Querschnitt vor, dessen Schwerpunkt bezüglich des rechtwinkligen Coordinatensystems (Fig. 337) mit dem Anfangspunkt in 0 die Coordinaten x und y habe. Bezeichnet Rx die Mittelkraft der rechts vom Querschnitt wirkenden äusseren Kräfte, SKX das Moment derselben bezüglich des Querschnittschwerpunktes und Hx, Vx ihre Horizontal- und Yerticalcomponente, so ergibt sich auf Grund der statischen Gleichgewichtsbedingungen :

Hx = II

(376

91ox = 01t' -f Ax — Hy — X P (x — a).

(377

Diese Gleichungen reichen zur Bestimmung der Unbekannten nicht aus, weshalb zur Aufstellung weiterer Bedingungsgleichungen die Gesetze der elastischen Formänderung zu Hülfe genommen werden müssen.

Es sei zu diesem Ende mnn'm' (Fig. 338) ein Bogenelement von der sehr kleinen Länge ds, dessen Begrenzungsquerschnitte den Winkel d<p bilden und welches sich unmittelbar an den betrachteten Querschnitt anschliesst. Unter Hinzufügung eines Kräftepaares vom Momente 91tx = Rx. r verlege man die Mittelkraft Rx nach dem Schwerpunkt des Querschnitts und zerlege dieselbe hier in eine JSformalcomponente Nx und eine parallel zum Querschnitt wirkende Scheerkraft Tx. Durch die Axialkraft Nx wird eine parallele Verschiebung des Querschnitts mn angestrebt, während 01tx eine Drehung desselben um den Winkel Ady bezüglich seiner Schwerpunktsaxe bewirkt.

Bezeichnet ß' die Spannung, welche durch die angestrebte Drehung, also durch 0ttx in der äussersten, um ej vom Schwerpunkt abstehenden Faser entsteht, ist ferner Ads' die hiedurch hervorgebrachte Längenänderung dieser Faser, endlich 0 das Trägheitsmoment des Querschnitts, so hat man nach Gl 11:

Fig. 338.

Jf

y.

\\n

"A

\x

n.

VA

0irx ==

and wenn bei grossem Krümmungsradius von der verhältnissmässig schwachen Krümmung des Balkens abgesehen, d. h. mnn'm' als Parallel epiped betrachtet wird, nach Gl. 2:

A ds'

ds

(D l*CD

oder, da Ads' = e₁ A d ^:

ß' =

O)

P-,

1-6

50

Dieser Wert in den Ausdruck für 9KX eingeführt, gibt:

9KX

A d® =

ds.

(378

Da für jedes Element eine solche Drehung stattfindet und diese Winkeländerung zugleich eine Drehung aller folgenden Elemente veranlasst, so erhält man die gesammte Winkeländerung zwischen den Querschnitten x₁ und x.,:

X2

-Jf

d s,

cc I |x) ■ X

x,>

9irx

dx

s 0 Cos 'f

oder, wenn 0 Cos cp constant angenommen, und

s 0 Cos cp = K

gesetzt wird:

(379

x,-

A'K~ = K

JWX dx.

(380

Die durch Nx erzeugte Längenänderung Ads des Elements ds der Axe

ergibt sich nach Gl.. 1 :

Fig. 339.

N,

(381

Ads — —- ds.

F £

Durch die "Winkeländerungen sowie durch Nx entstehen Verschiebungen , welche auf folgende Weise bestimmt werden können.

Bezeichnen Ax und Ay die Verrückung eines beliebigen Axen-punktes x, y parallel den Coordinatenaxen, und sind die Änderungen von ds, dx, dy analog der obigen Bezeichnungsweise: Ads, Adx, Ady (Fig. 339), so bestehen nach der Formänderung die Gleichungen:

SP

.1-

di

dr

dYU

r+nJT

und

oder

und

d x -f    A d x    = (d s + A s) Cos (f    + Ä cp)

dy -f-    Ady    = (ds -J- Ads) Sin (cp    -f- Acp)

dx-f    Adx =    (ds    Ads) (Cos cp Cos A ^    - Sin cp    Sin Acp)

dy 4-    Ady =    (ds -f* Ads) (Sin cp Cos Acp -f Cos cp    Sin A cp)

oder, wenn bei den in der Hegel geringen Formänderungen die Vereinfachung Cos Acp = 1, Sin Ay = Ay eingeführt wird,

dx -j- Adx =

Ul

<1

Ul

V-

und

dy -f Ady = (ds -J- Ads) -f ^ Ay),

daher:

und

Adx = — Aydy-f~

Ads

ds •

Ads.

-Ab

ds '

Ads

Ads

Ady =

A y d x -f-

dy -f- dx

Ads

-A cp und d x

d s

verschwindender Kleinheit ausser Berücksichtigung’ bleiben, lässigen wir den in der That untergeordneten Einfluss der Axialkraft auf die

Ads

Formänderung¹), so dass auch die Glieder mit —— in Wegfall kommen und

ds

letztere Gleichungen übergehen in:

Die Glieder zweiter Ordnung: dy

Ads

ds

A y können wegen

Sodann vernach-

(382

Adx = — Ay dy,

(383

Ady — Aydx.

Durch Integration dieser Gleichungen ergeben sich die Längenänderungen der Coordinaten unter gleichzeitiger Berücksichtigung einer Temperaturerhöh-ung um t°:

Ax

etx —

J A¹pdy,

(384

(385

Ay = ety-f J Aydx,

wobei e die Längenänderung pro Längeneinheit bezeichnet, die einer Temperaturdifferenz von 1° C. entspricht.

Für den Träger mit parabelförmiger Axe:‘:) hat man als Gleichung der letzteren (Fig. 340):

Fig. 340.

y = y₂-(lx ~ x²)

oder, da der Parameter p =

I²

(lr

1 x — x²

-A

if

und

2p

<>x

Nach Gl. 377 ist

enx = ²-f Ax-Hy — SP (x — a)

daher nach Gl. 380 die Winkeländerung zwischen den Querschnitten 0 und x:

A'f² — Af₀

911' -f A x — H

1 x — x²

— SP(x — a) dx

oder

A'f, = A'f₀ 4-

2 9K'x -f Ax² —

H /I x²

p \ 2

0 — £p(x — a)² (386

Wird dieser Wert in die Ausdrücke für Ax und Ay (Gleichungen 384 und 385) eingeführt und nochmals integrirt, so folgt:

Ax

etx — yA'f, — 7

X²

6pK

(₂

) + Ax(

i² _i 4    2

4-

x²

(387

und

Ay

ety 4~ xA<p₀ 4-

x²

BK

39H'-f-Ax —

v Hx

X

K>

- SP(x — a)³ .

(388

4- i3-lP(al³ — 2a³l 4- a⁴)

(391

lf r

Für x = 1 wird y = 0, und Gl. 377 geht über in:

©11" = ©TU 4- Al — SP (1 — a),

daher

— [©TU' — ©TU -f SP(1 — a) .

1    o

l²

in die Gleichungen 386

Führt man diese Werte zugleich mit p =

bis 388 ein, so erhält man, wenn d„ und c₀ die gegenseitige Verschiebung der Auflagerpunkte in wagrechtem und lotrechtem Sinne bezeichnen:

A rf, = A <p„ 4-

©TU 4- 0TU' — a H f -f

X P (1 — a) a

(390

A1 — d₀ — e 11 -J-

©TU 4 ©TL" — § Hf

l²

Ay = c„ = 1A^₀ +

©TI' -f 1 ©TT" — Hf

CM

£P (2al² — 3 a²1 -f a³) .

(392

Aus diesen drei Gleichungen ergeben sich die drei Unbekannten:

15

= 4fI5tPa(1-a) +

45 Ket 15K/3d₀ ,    \ ,ono

(yj + A <p₀ Acp,J, (393

©TU =

_ ^sEPa(l-a)²(5a-21) + -f- 3 A rf₀ — A

3 K /5 d₀

2c₀

15 Ket

•>

(394

©1U' =

15 Ket

fcO

CO

— E P a² (1 — a) (3 1 — 5 a) -|- 2f

3 Acp! 4“ Acp₀^.

5 d₀

2cn

(395

Sind die Auflager unverrückbar fest und werden Temperatureinflüsse nicht berücksichtigt, so erhält man, da Arf₀ = 0, Arst = 0, d₀ = 0, c₀ = 0, t₀ = 0,

Temperaturänderung allein um t° bewirkt:

(399

H -----

15

4fl3?Pa2(1“a)2> ™SPa(l-a)² (5 a— 21).

(396

(397

9H" =

_ X P a² (1 — a) (3 1 — 5 a).

(398

45 Ket 4 f ⁸ *

9Z'

(*)

911"

(0

15 Ket

(400

Ein Ausweichen der Trägerenden bewirkt (wenn, wie früher, A(f₀ die Drehung des linken, A'f, die des rechten Kämpferquerschnitts, d₀ die wagrechte und c₀ die lotrechte Verschiebung der Auflagerpunkte bezeichnen):

0fc' = —

9Z" =

15K/3d₀ ,    \

\2f + A'f₀ —A?,J,

2 lf

(401

3 K ^5 d„ 2 c„

3 K /5 d₀ . 2 c₀

+ 3 Af„— A<p,), — 3 A'f, -f a?₀\

(402

(403

Tritt aber nur eine Änderung der Spannweite und Senkung der Widerlager, so ist:

Cb

2.

2.

>-5

'S

45 Kd₀

Wo)

4 lf*

-K

4-

und

9K' , = 911"

15 Kd₀

(<W

(«j₀)

2 lf

W|tO

i*

Besteht die Gesammtbelastung des Bogens aus einer an beliebiger Stelle a angreifenden Einzellast, so ist nach Gl. 396 bis 398:

15

P a² (1 — a)²,

01c'

H = -

4 fl³

= Ä, Pa (! — a)² (5 a — 2 ]),

(400

(407

911" =

- Tpa*(l —a)(31-5a)

(408

A = _J?(1-*)’(>+ 2*)-

(409

und nach Gl. 380:

Vorstehende Gleichungen können benützt werden, um die einer gleich-massig verteilten Belastung entsprechenden "Werte des Horizontalschubes, der Auflagermomente und Auflagerreactionen abzuleiten. Erstreckt sich die Last (q pro Längeneinheit) vom linken Auflager anfangend, auf die Länge e des Trägers (Eig. 341), so ist in den Gleichungen 406 bis 409: P = qda zu setzen und zwischen den Grenzen 0 und e zu integriren. Man erhält:

Fig. 341.

q e³

(10 l² — 15 el + 6e²),    (410

■?

VT/Z'

qe²

21®

(3 l²e — 3 le² — l³ -(- e³), (411

-X

qe³

= ^jg (l² — 2 e 1 —f- e²),

(412

CO

<3“!'—¹

CD

CO

CD

t>s

(413

Für e = 1 ergibt sich:

ql

A = 4-

m,¹ = 9ti" = o.

Durch 9tl/ und II, beziehungsweise 9To" und H sind auch die Angriffsorte der Widerlagerreactionen W' und W" bestimmt, und w" die Ordinaten derjenigen Punkte, in welchen W' und W" die Auf-lagerverticalen schneiden, so hat man:

91t'

Denn bezeichnen w'

w' =

und

W" =

911"

II

(414

Graphische Losung. Plir einen mit den Enden befestigten Bogenträger ist, wenn Temperatureinflüsse unberücksichtigt bleiben, zufolge den Gleichungen 380, 384 und 385:

(415

A<p,— A<p₀ = —J*0^xdx = 0,

d₀ = —

jA'fdy = 0,

0

(416

Co = Ja <p d X =

0.

(417

Es ist nun allgemein bei teilweiser Integration:

J*Acp dy == yA<p— JydA<p,

daher nach Einführung der Grenzen (für x = 0 und x = 1 ist y und A(p gleich 0):

JVfdy = JydA<p 0 0

und

J A (p d x

0

j*X d A'f.

0

dA'f oder, was dasselbe ist, Adtp ist nach Gl. 378 gleich:

= ^-0Zxdx;

01t: x dx_ e @ Cos (f

somit gehen die Gleichungen über in:

Xdx = 0,

JSK.ydx = 0,

0

xdx =■ 0.

Bezeichnet man ferner den lotrechten Abstand eines jeden Querschnittschwerpunktes von der zugehörigen Rx mit z, welche Strecke als Vertical-abstand zwischen Drucklinie und Bogenaxe an der betreffenden Stelle angesehen werden kann (Eig. 342), so ist 0RX = H.z (01t;x, V und H ersetzen Rx; da das Moment von B,x bezüglich des Punktes k gleich Null, so ist auch 01ZX — H. z = 0), so dass vorstehende Gleichungen geschrieben werden können:

Fig. 342.

J*zdx = 0, 0

(418

(419

J*zydx = 0. 0

J*z x d x

= 0.

(420

1.    Die erste dieser Gleichungen sagt, dass die Summe der zwischen Bogenaxe (starkgezeichnete Linie, Fig. 343) und Drucklinie aßyd liegenden Flächen gleich Null ist, wenn die auf verschiedenen Seiten der Bogenaxe befindlichen Flächen mit verschiedenen Vorzeichen versehen werden.

Fig. 343.

V.

2.    Gleichung 420 bringt zum Ausdruck, dass das statische Moment der gesammten, zwischen Bogenaxe und Drucklinie befindlichen Fläche bezüglich der Y-Axe gleich Null ist.

Mit Rücksicht auf Gl. 418 folgt daraus, dass die Schwerpunkte des negativen und des positiven Teiles jener Fläche in eine und dieselbe Verticale fallen.

3.    Um Gl. 419 zu deuten, denke man sich die zwischen Bogenaxe und Drucklinie gelegenen Flächenelemente von der Höhe z in lotrechtem Sinne so verschoben, dass ihre Mitten in die Bogenaxe zu liegen kommen. Das statische Moment der so entstehenden Fläche ist dann, wenn für deren einzelne Abteilungen die früheren Vorzeichen beibehalten werden, bezüglich der X-Axe gleich Null und positiver und negativer Teil dieser Fläche haben eine gemeinsame wagrechte Schweraxe.

Da auch für die so verschobene Fläche die Sätze 1 und 2 Gültigkeit haben, so folgt, dass positiver und negativer Teil letztgedachter Fläche, an Grösse einander gleich, einen gemeinschaftlichen Schwerpunkt besitzen.*)

Aus den drei Gleichungen 418 bis 420 geht also hervor, dass Drucklinie und Bogenaxe sich mindestens dreimal schneiden müssen.

Ein Schnittpunkt nämlich muss zunächst vorhanden sein, damit die Fläche zwischen Bogenaxe und Drucklinie nach Gl. 418 in einen positiven und einen negativen Teil getrennt werde. Nach Gl. 420 ist aber ein einziger Schnittpunkt nicht möglich, weil dann die beiden Flächen zu beiden Seiten desselben gleich gross sein müssten, folglich ihr statisches Moment bezüglich der Y-Axe nicht gleich Null sein könnte. Nimmt inan sonach zwei Schnittpunkte als vorhanden an, so würde die fragliche Fläche zwischen Bogenaxe und Drucklinie in drei Teile, zwei negative und einen positiven zerfallen, von welchen

*) Bei parabelförmiger Bogenaxe geht Gl. 419 über in : oder, da Jzxdx = 0, in:

J*zx²dx = 0,

d. h. das Trägheitsmoment der von Bogenaxe und Druckliuie eiugeschlossenen Fläche bezüglich der Y-Axe oder mit Rücksicht auf Gl. 41H und 420 bezüglich jeder Verticalaxe ist gleich Null.

das mittlere Stück doppelt so gross sein müsste als die beiden anderen. Die Summe der Jzydx dieser drei Teile kann unmöglich, wie Gl. 419 bedingt,

gleich Null sein, weil die dem mittleren Flächenteile entsprechenden y-Werte grösser sind als diejenigen der beiden äusseren Flächenteile, und es wird daher die Axe von der Drucklinie mindestens dreimal geschnitten.

Bei der graphostatischen Bestimmung des elastischen Bogenträgers kommt es darauf an, diejenige Drucklinie zu linden, welche Seilpolygon der Belastung ist und zugleich den Bedingungen Gl. 418 bis 420 entspricht. Die bis jetzt bekannt gewordenen Lösungen dieser Aufg-abe erreichen nur einen sehr geringen Grad von Genauigkeit, indem sie auf der Vergleichung der Grösse und gegenseitigen Lage der von Drucklinie und Bogenaxe eingeschlossenen und in allen Fällen sehr schmalen Flächenstreifen beruhen. Es soll daher auf jene Methoden hier nicht näher eingegangen und nur das gemischt rechnerisch - graphische Verfahren erwähnt werden, welches auf der Bestimmung der Schnittlinie der Kämpferdrücke und der Umhüllungs-linie der Kämpferdrücke basirt.

Es wirke auf den Bogenträger eine Einzellast P (Fig. 344), welche die Entfernung a vom linken Auflager hat. Dieselbe wird zwei Widerlager-

reactionen W', W" hervorbringen, die sich, da sie der Einzellast das Gleichgewicht halten, in einem Punkte s der Kraftlinie P schneiden. Da das Moment von W' bezüglich des Punktes s, dessen Coordinaten a und b seien, gleich Null ist, SK', A und H aber W' ersetzen, so ist

Fig. 344.

,'P

;x

//:

‘S

//"

SK' -f Aa —Hb = 0

oder

SK' -f Aa

(421

Lässt man P nach einander alle Lagen von a = 0 bis a = 1 einnehmen, so beschreibt der Punkt s eine stetige Curve, die „Schnittlinie der Kämpfer drücke“, deren Gleichung durch 421 gegeben ist.

in dieselbe die einer Einzellast entsprechenden Werte H, SK', A der Gleichungen 406, 407 und 409 ein, so erhält man als Gleichung der Schnittlinie der Kämpferdrücke für den Parabelbogen:

Führt

man

w'.C.

f,

(422

(1. h. die Schnittlinie der Kämpferdrücke ist hier eine wagrechte Gerade, die i der Pfeilhöhe über dem Scheitel der Bogenaxe liegt.

um

Mit dem Fortschreiten der Einzellast P nimmt nicht nur der Punkt s andere Lagen ein, sondern es ändern sich auch die Kraftlinien der Wider-lagerreactionen. Letztere umhüllen hiebei zwei Curven, welche „Umhüllungslinien der Kämpferdrücke“ genannt werden. Jede derselben kann als der geometrische Ort des Schnittpunktes zweier sehr nahe auf einander folgender Kämpferdrücke betrachtet werden.

Demnach sei AU/ (Fig.

345) linksseitiger Kämpferdruck der um a von Y entfernten Einzellast P, und rjt seien die fortlaufenden Co-ordinaten dieser Geraden AU a ihr Neigungswinkel gegen den Horizont und e die Ordinate ihres Schnittpunktes mit der Auflagerverticalen, so hat man als Gleichung von AU/:

rli — e + £1 tang a.

Rückt P um da weiter, so ändert sich e um de, tang a um d tang a, und die Gleichung des neuen Kämpferdrucks AU/, dessen laufende Coordinaten mit und ri₂ bezeichnet seien, lautet:

Fig. 345.

da

VN

vj₂ = e -f- d e -f- £₂ (tang a -f- d tang a).

Für den Schnittpunkt beider Geraden ist £, =    yjl = yj₂ = yj,

daher durch Subtraction:

d tang a

und

yj = e — de

tang a d tang o.'

Da taug⁻ a =

W. >

CD

m,¹

- (Gl. 414), so erhält man:

JlL

HdOlc' — 9K'dH ÄdH—H d A

(423

und

ri =

A d 9K' — 91 e' d A A d II — 11 dA '

(424

Substituirt man die dem Parabelbogen entsprechenden AUerte H, A, 9K' der Gleichungen 406, 407 und 409 und die Differenziale dieser AUerte nach a, so ergibt sich:

7] =

2 (a -f- 1)

(6 al² — 5 a³ — l³) 2 f

(1“ — aa) Ion

(425

(426

und wenn der aus den ersten dieser Gleichungen folgende Wert von a in die zweite eingesetzt wird:

7] =

f ₍₁₄ie_4e--n

(427

als Gleichung der Umhüllungslinie der linken Kämpferdrücke. ist eine Hyperbel.

Diese Curve

pU Pu

l-ts

so ist:

für 6 = 0,

Ti = - 00

Pu

PJ ! SP. <rr.. VS

= oo,

tfY i*

INS

Cöjto

p; p

= 0,

dir] _    f

dl ~~    5l

Die eine Asymptote fällt mit der Y-Axe zusammen, die andere ist eine

geneigte Gerade, hei x == 0 durch die Ordinate ] ;i f und hei x = 1 durch die Ordinate |-f bestimmt (Fig. 346). Die Hyperbel hat für 6 = Q im £

Abstand •§• f von der X-Axe eine wagrechte Tangente, mit welcher sie in die symmetrisch zur Scheitelverticalen gelegene Umhüllungslinie der rechtsseitigen Kämpferdrücke übergeht.

Sind Schnittlinie und Umhüllungslinien der Kämpferdrücke auf solche Weise festgestellt, so kann man, auch wenn der Träger durch eine grössere Anzahl Lasten beliebig beansprucht ist, die Widerlagerreactionen jeder Finzellast (Fig. 347) durch Zerlegung derselben nach den jetzt bekannten Richtungen der Kämpferdrücke graphisch sofort angeben. Durch Vereinigung der

Fig. 34G.

1/

—"t-

Schnittlinie da

ir

Kämptmtriwke

pi

17

•'s

zusammengehörigen Einzelreactionen ergeben sich die resultirenden Widerlager-reactionen, z. B. die linksseitige W₀' als Länge ae und deren Angriffsort mittels des Seilpolygons aßyd in der Geraden iL Trägt man die Lasten in

Fig. 347.    *

p*

fVL

-fr

'o_

br

*0

W//

3f-

)0

Cli

p.

Pi

der Fig. 347 angegebenen Weise auf und macht man 0 0 = ae = W₀'; so ist das mit Pol 0 von i I aus construirte Seilpolygon die Drucklinie des Bogens.

§ 2. Der stabförmige elastische Bogenträger bei beweglicher Belastung.

Die ungünstigste Beanspruchung eines gegebenen Bogenquerschnitts bei variabler Belastung kann mit Hülfe der Schnitt- und Umhüllungslinie der Kämpferdrücke gefunden werden, wenn zuvor der Kern des Querschnitts, beziehungsweise, weil Kraftebene und eine Querschnittshauptaxe hier zusammenfallen, die beiden in dieser Hauptaxe gelegenen Kernpunkte bekannt sind. Nach Gl. 33 erhält man die Entfernungen k' und k" des oberen und unteren Kernpunktes (K', K") vom Schwerpunkt aus den Formeln:

und k" =

k' = -

Fm

in welchen n und m die Abstände der unteren und der oberen Querschnittskante vom Schwerpunkt bezeichnen. Bestimmt man hienach die Kernpunkte für alle Querschnitte, so erhält man als Verbindungslinien zwei Ourven, welche Kernlinien genannt werden.

Ungünstigste Beanspruchung bezüglich cler Normalkräfte und Normalspannungen.

Wir haben mit Rx die Resultirende der rechts von dem Querschnitt wirkenden äusseren Kräfte bezeichnet und nennen dieselbe positiv , wenn sie gegen das linksseitige Trägerfragment drückend wirkt, hingegen negativ, wenn das Umgekehrte der Fall ist.

Hat man nun einen Querschnitt mn (Fig. 348) und links von demselben, d. h. links von der durch die obere Querschnittsgrenze gelegten Verticalen, eine Einzellast P, so besteht die Resultirende der äusseren Kräfte für den Querschnitt in der rechtsseitigen,Widerlagerreaction, positiv, wie die Pfeilrichtung (Fig. 348) andeutet, und es ergeben sich aus derselben durch Zerlegung in Coinponenten senkrecht und parallel zum Querschnitt nach Grosse, Richtung und Lage auch Nx und Tx.

Fig 349.

Fig. 348.

m.y

"LJL

TI

so erhält man die

Befindet sich P rechts vom Querschnitt (Fig. 349)

Kesultirende der äusseren Kräfte des Querschnitts als umgekehrte linke Widerlagerreaction, demnach mit demselben Vorzeichen wie im vorbetrachteten Fall. Daraus ist zu entnehmen, dass jede Last, ob rechts oder links vom Querschnitt befindlich, positive Rx, also auch positive Normalkräfte Nx im Quer

schnitt erzeugt.

Demnach entsteht bei jeder Art von Belastung in der Axe des Bogen

trägers nur Druck, und es könnten auch in allen übrigen Bogenteilen nur

Druckspannungen Vorkommen griffsort es J der Resultirenden Rx von Einfluss wäre auf das Vorzeichen der Normalspannungen einzelner Teile des Querschnitts. Man weiss nämlich, dass an der Unterkante des Querschnitts Zugspannungen auftreten, der Angriffsort der Resultirenden über den oberen Kernpunkt K' nach auf-Die Grenzstellungen also der Einzellast, welchen die

wenn nicht zugleich auch die Lage des An-

wenn

wärts hinausrückt.

Normalspannimg gleich Null an der Querschnittsunterkante entspricht, werden erhalten, wenn man vom genannten Kernpunkt K' Tangenten an die Umhüllungslinien der Kämpferdrücke zieht und bis zum Schnitt mit der Schnittlinie der Kämpferdrücke verlängert. Jede innerhalb der mittleren Strecke D E aufgebrachte Einzellast erzeugt Zug-, jede Last in den beiden äusseren Strecken Druckspannung in der Unterkante des Querschnitts. Daher wird hier das

Maximum der Druckspannung bei der in Fig. 350 angedeuteten Lastverteilung, die grösste Zugspannung bei umgekehrter Belastung entstehen. In ähnlicher AVeise können die den Maximal Spannungen am oberen Querschnittsrand entsprechenden Belastungen gefunden werden.

Ungünstigste Beanspruchung bezüglich der Schubkräfte.

Aus den Figuren 348 und 349 ist ersichtlich, dass bei den dort be-zeichneten Laststellungen im Querschnitt mn Schubkräfte von verschiedenem Vorzeichen entstehen. Diejenige Lage von P, bei welcher ein Überspringen von einem Vorzeichen zum andern stattfindet, erhält man in der durch den oberen Querschnittsrand m gelegten Verticalen (Fig. 351). Links von mD erzeugt P positive (aufwärts gerichtete), rechts von m D negative und positive Schubkräfte. Eine weitere Grenzlage der Einzellast ergibt sich im Schnitt-

Fig. 350.

Fig. 351.

iÜ£

ffhZZ----

üwmm

------

f/ti

Ar)

punkt E einer normal zu m n gerichteten Tangente T E an der linken Kämpferdruckumhüllungslinie, denn für jede Last in E ist Rx senkrecht zu mn, also Tx = 0. Daher erzeugt im betrachteten Querschnitt die Belastung (Fig. 351) das Maximum der positiven, die entgegengesetzte Belastung das Maximum der negativen Schubkraft. Das Gesagte gilt nur für Querschnitte der linken Trägerhälfte. Gehört der Querschnitt der rechtsseitigen Trägerhälfte an, so tritt das Umgekehrte ein.

§ 3. Der stabförmige elastische Bogen mit Kämpfergelenken.

Dieser unterscheidet sich von dem vorher behandelten Träger dadurch, dass eine Berührung des eigentlichen Bogens und der AViderlager nur vermittelst der Gelenke stattfindet, welche in der Begel in den wagrechten Schwer- • axen der Kämpferquerschnitte angebracht werden, so dass die Auflagermomente 015', 015" gleich Null sind. Hienach bestehen für den Gelenkbogenträger die Gleichgewichtsbedingungen:

g|pipa(l‘-2a!r+a*).

(433

CO

-a

Hx = H,

(-128

V£ = A-IP,

(429

91tx = A x — Hy — A P (x — a)

(430

und da 9t£x =, = 0, sowie yx==1 — 0, nach Gl. 430:

Aip(I-a),

1 o

(431

d. h. die Yerticalcomponenten der Auflagerreactionen sind identisch mit den Auflagerreactionen des geraden, mit beiden Enden frei auf liegenden, gleich langen und gleich belasteten Tragbalkens.

Die Winkeländerung zwischen den Querschnitten 0 und x ist nach Gl. 380:

die Änderung der Längen x und y nach Gl. 384 und 385:

A x = etx — J A;pdy,

o

X

Ay — ety-f-J* A d x.

Hieraus können A <p₀, A<p, und H unter'Berücksichtigung von Gl. 431 bestimmt werden.

Für den symmetrischen Parabel bogen träger folgt, wenn d₀ als gegeben zu betrachten ist,

H “ gfjÄpa(ls — 2a!l+a“) +

"Wenn Temperatureinflüsse nicht berücksichtigt werden und eine Änderung der Spannweite nicht eintritt, ist:

15K

8 f²1

(et 1 — d₀).

(432

Der Einfluss einer Temperaturdifferenz um t° allein erzeugt:

H₍₀ =

15 Ket

8 f² ’

(434

und der Einfluss des Ausweichens der Widerlager allein :

ic

„ 15 Kd»

8 f²1

Für eine an beliebiger Stelle angreifende Einzellast hat man:

und

(437

P (1    a).

Einer, die Strecke x = e bedeckenden, gleichförmig verteilten Belastung entspricht:

8 f 1³ fqdaa (l3 — 2 a21 +- a3)>

Wenn e = 1, ist

q e²

16 fl³

(5 l³ — 5 e²l -f 2 e³).

(438

ff

ff

Crl'X)

Ci

Die Gleichung¹ der Schnittlinie der Kämpferdrücke wird nach Gl. 421:

ff

Cw '

ff

+-

oder nach Einführung der Werte aus Gl. 436 und 437:

8 f'l²

b , 5(1* + la — a²)’

(441

An die Stelle der ITmhüllungslinien der Kämpferdrücke treten hier die Gelenkpunkte, in welchen sich sämmtliche (zusammengehörige) Widerlager-reactionen schneiden. Die ungünstigsten Belastungen werden unter Berücksichtigung dieser Vereinfachung wie beim Bogenträger ohne Gelenk festgestellt.

§ 4. Der stabförmige elastische Bogenträger mit drei

Gelenken.

.Derselbe entsteht, wenn zu den Kämpfergelenken noch ein Gelenk im Scheitel hinzukommt (Fig. 352).

Die Gleichgewichtsbedingungen sind:

(442

Hx = H,

01cx = Ax — Hy — £P(x —a).

(444

J)a 91cv , = 0 und yx _ , = 0, so folgt aus Gl. 444:

isP(l-a).

Fig. 352.

(445

t—

a.s

t—

Eine weitere Gleichung liefert die Bedingung, dass 9E-X _

— f ist.

2

Diese Werte in Gl. 444 eingeführt, ergeben:

0 und

yx =

Hat-M

I C.

---a

oder, wenn der Ausdruck für A aus Gl. 445 eingesetzt wird,

UjSPl — iS» —iipi + SPa

I \ o    o    o    o

1 (jipi-iipa-iipi + jipa+ i|pa).

Durch Zusammenfassen des ersten und dritten, sowie des zweiten und vierten Summanden ergibt sich:

I I 4£Pa + lXPl-

I 1 O    1

oder

₂-/sPa-f-XP(l-a)|,

4-

4-

welcher Ausdruck gleichlautend ist mit Gl. 342, S. 281. Bei gleichmässig verteilter Belastung’ (Fig. 353) ist:

qe

(>-■)

und nach Gl. 446:

+ (e“y) (I

' bOl CD

) - A(

el —

tC¹

4—

4~

Für e = 1 ist

ql²

4-

4-

QO

Die elastischen* Formveränderungen können ans den Gleichungen 380, 384 und 385 gefunden werden. Die Umhüllnngslinien der Kämpferdrücke gelten in die Kämpfergelenkpunkte über und die Schnittlinien der Kämpfer-

Fig. 354.

Fig. 353.

Xu.

drücke bestehen.

wie leicht einzusehen, aus zwei sich im Scheitelgelenk schneidenden Geraden, den Verlängerungen der Verbindungslinien von Scheitelund Kämpfergelenken (Fig. 354).

§ 5. Der fachwerkförmige Bogenträger mit Kämpfergelenken.

Die Verticalcomponenten der Widerlagerreactionen sind (Vgl. S. 317) dieselben wie beim gleichbelasteten. mit den Enden frei aufruhenden Balkenträger. Zur Bestimmung des Horizontalschubes dient folgende Überlegung:

Die Belastung des Bogenträgers erzeugt in den einzelnen Constructions-teilen desselben Stabkräfte, durch welche Längenänderungen der Stäbe hervorgebracht resp. angestrebt werden. Die Formänderung jedes einzelnen Stabes hat eine Änderung der Lage sämmtlicher übriger Stäbe zur Folge, und die Summe sämmtlicher Deformationen wird sich in einer Verschiebung der Widerlager äussern. Sind die Widerlager unverrückbar, so ergibt sich aus der Bedingung, dass diese Verschiebung gleich Kuli sei, eine Beziehung zur Bestimmung von H.

Bei den hier in Frage kommenden Trägern, welche aus Gurtungen und Füllungsgliedern bestehen, sind die von den letzteren herrührenden Formänderungen gegenüber der Gesammtdeformation so gering, dass sie vernachlässigt werden können und demnach nur die Gurtungen als elastisch, die Füllungsglieder aber als starr zu betrachten sind.

Wir nehmen nun an, der Träger (Fig. 355) sei am linken Auflager A unbeweglich festgehalten, so dass die gesannnte Formänderung in der Veränderung der Lage des rechtsseitigen Gelenkpunktes B zum Ausdruck kommt. Dehnt sich nun ein Gurtungsstab C D von der Länge a um die Strecke D G = Aa aus, und wird zunächst noch vorausgesetzt, dass eine Längenänderung

der übrigen Stäbe nicht eintrete, so findet man die neue Lage des Knotenpunktes D als Schnitt D' der beiden, von E mit dem Radius ED und von C mit dem Radius a-f-Aa beschriebenen Kreisbögen. "Wegen der Kleinheit von DG- genügt es indessen, statt der Kreisbögen die beiden Geraden GD' senkrecht zu CG und DD' senkrecht zu E D zu ziehen. Die neue Lage des folgenden Knotenpunktes E ergibt sich jetzt, wenn von E aus mit der Länge EE und von D' aus mit der Länge DE Kreisbögen beschrieben werden, oder

Fig. 355.

!\

\\

wenn statt dessen FE' senkrecht zu EF gezogen und die unveränderte Länge DE = D'E' eingetragen wird. Durch D'E' ist auch die Lage der übrigen Knotenpunkte bestimmt, und man erkennt, dass der Punkt E (Schnittpunkt der Senkrechten ED und EE auf die augenblicklichen Bewegungsrichtungen der Punkte D und E) als augenblicklicher Drehpunkt für die Lagenänderung des rechts von ED befindlichen Trägerfragments auftritt.³)

Der Winkel <p, welchen D'E mit DE einschliesst, ergibt sich, wenn EK = t senkrecht auf CD gefällt wird, aus der Ähnlichkeit der Dreiecke DD'G und DEK.

Es ist nämlich;

DD' DG

DE

EK

*

oder da

DD'

DE

Aa

so hat man, da auch Winkel

Ist B' die neue Lage des Punktes B BEB' = <p,

und

A BLB' oo A JEB

BL =

BB'

BE

JE = cp y,

wenn mit y die Ordinate des Drehpunktes E bezeichnet wird. Setzt man für <p den obigen Wert ein, so erhält man:

Aa

BL = —y t J

(449

als Ausdruck der durch die Längenänderung des Stabes C D der oberen Gurtung hervorgebrachten Verschiebung des Auflagerpunktes B in horizontalem Sinne.

In ähnlicher Weise findet man, dass auch bei der Längenänderung irgend eines Stabes der unteren Gurtung immer der diesem Stab gegenüberliegende Knotenpunkt (Schnittpunkt derjenigen beiden Stäbe, welche ausser dem in Rede stehenden durch einen geraden Schnitt getroffen werden) als augenblicklicher Drehpunkt für das sich bewegende Fachwerkfragment auftritt, und es ergibt sich ganz analog die hiebei bewirkte Horizontalverschiebung von B.

Summirt man die durch sämmtliche Gurtstäbe erzeugten Horizontalverschiebungen, so lautet die Bedingungsgleichung zur Bestimmung des Horizontalschubes :

= 0.

(450

Wenn F den Querschnitt des Stabes bezeichnet und T die in demselben wirkende Kraft, so ist nach Gl. 1 :

Aa =

Ta

Fe

oder, da

GR

wenn öle das Moment- der äusseren Kräfte bezüglich des dem Stab zugehörigen Drehpunktes (gegenüberliegenden Knotenpunktes),

Sä    *

Setzt man diesen Wert in Gl. 450 ein, so erhält man:

(452

T9Kay ¹ [ s Ft² _

oder bei constantem Elasticitätsmodul e :

Ft²

Das Augriffsmoment ist gegeben durch :

91c

Ax — Hy — li³ (x — a)

oder, wenn Ax — IP (x — a) = 9tl* (Moment des gleichbelasteten Balken-

0

tfägers für x) gesetzt wird:

9F = 9H* — Hy.

Durch Einführung dieses Wertes in vorstehende Gleichung erhält man:

oder

Ft²

— Hi

sgi 93

r+ 'C

COI

r9K*ayl

sPWl

Srj S 93

CO

(453

In dieser Formel kommen die unbekannten Querschnitte F sämmtlicher Gurtstäbe vor. Man muss daher, um H zu finden, vorläufige Annahmen über diese Querschnitte machen, indem man den Träger entweder provisorisch, nach Massgabe ausgeführter Constructionen dimensionirt oder für die erste Berechnung einen Bogenträger mit drei Gelenken voraussetzt.

Einfluss der Temperatur.

Bezeichnet wie früher e die Längenänderung, welche ein Stab von der Länge = 1 durch eine Temperaturdifferenz von 1° C. erleidet, dann ist die durch einen Temperaturwechsel von +1° bewirkte Längenänderung A1 der Spannweite 1:

Al = + 1 et⁰.

Bei unverrückbaren Widerlagern tritt diese Änderung der Spannweite nicht ein, wogegen an den Gelenkpunkten Beactionen entwickelt werden, welche, wenn die Auflagerpunkte gleich hoch, als Horizontalkräfte = II auftreten. Dabei finden in sämmtlichen Gurtstäben Spannungen statt, welche man

sich auch dadurch entstanden denken kann, dass auf den einen Gelenkpunkt des mit dem anderen befestigten Bogens die Aussenkraft H wirkt. Die hiedurch hervorgebrachte Horizontalverschiebung der Widerlager ist nach Gl. 449 und 451 :

I“ 9F a y

- Vre

Al =

oder, da 91c = Hy,

Al =

CI)

\<

Sgl | VI

CO

Aus der Gleichsetzung beider Werte A 1 erhält raturveränderuug von t° hervorgebrachten Horizontalschub:

1 et⁰ e

man

den durch Tempe-

e-t- i

21

(454

Für Schmiedeisen ist s = 2000000 kg pro qcm, e = 0,0000118,

daher für t° — 30°:

708 1

(455

v, -

“ Ft²

§ 6. Der fachwerkförmige Bogenträger ohne Gelenk.

Beim Bogenträger ohne Gelenk sind unbekannt der Horizontalschub und die beiden Auflagermomente. Sind letztere bestimmt, so sind nach Gl. 389 auch die Verticalprojectionen der Widerlagerreactionen gegeben. Die Auflagermomente können aber nach Gl. 414 auch durch die Ordinaten w' und w" der Schnittpunkte der Widerlagerreactionen mit den Auflagerverticalen ausgedrückt werden.

Fig. 35G.

C\

■/X

\/

.7

ie

Nr'

v—

B’

Zur Bestimmung dieser -drei Unbekannten H, w', w" dienen nun bei festen Widerlagern die Bedingungen, dass eine Verschiebung der Kämpfer in horizontalem und verticalem Sinn nicht eintrete und dass auch die angestrebte Drehung der Bogenenden, d. i. die Änderung des Neigungswinkels der Endstäbe gleich Null sei.

Erleidet ein Gurtstab C D von der Länge a (Fig. 356) die Längen-ähderung Aa und bezeichnet t die Entfernung dieses Stabes vom Drehpunkt Ej so ist wie früher der Winkel, um welchen sich ED, also auch BM dreht,

gegeben durch cp — -j— und die horizontale und verticale Yerschiebung des

— x, wenn y und x die in Eig. 356 angegebene

Punktes B ist

ty resp.

Bedeutung haben.

Man hat daher die Bedingungsgleichungen:

TAa

= 0,

= 0.

fAa

x = 0.

Wobei die Summirung sich über sämmtliche Gurtstäbe zu erstrecken hat. Nach Gl. 451 ist:

Aa =

91t a

eFt

daher, wenn s constant,

[911 a]

- [w.

[91t ay

v --±

= 0,

Ft²

= 0,

= o.

[91t a xl

s w

Setzt man zur Abkürzung

(456

a _ ,

Ft² ’

welche Grösse ausschliesslich von der Form und den Dimensionen des Bogenträgers abhängig ist, so schreiben sich die vorstehenden Gleichungen: ⁴)

V [91t k] = 0,

S [®lt ky] = 0, I [91t kx] = 0.

(457

(458

(459

Der Coordinatenursprung kann beliebig¹ angenommen werden. Denn denkt man sich z. B. die X-Axe parallel der anfänglichen Richtung um die Länge n verschoben, so geht GL 458 über in:

d. i.

v [01t k (y -f n)] = 0, v [011 ky] + n S [01£k] = 0,

welche Gleichung, da S [01t k] = 0, identisch ist mit Gl. 458. Dasselbe gilt für eine beliebige parallele Verschiebung der Y-Axe.

Man berechne daher für eine vorläufig ganz beliebig angenommene Axe X'X' (Fig. 857) die Werte ky' sämmtlicher Gurtstäbe, wobei y' für jeden Stab die Ordinate des zugehörigen Drehpunktes bezeichnet, und nehme dann die definitive Axe X in einem Abstande

(460

S [ky']

v[k] über X'X', die Axe Y aber in der Scheitelverticalen des Bogens an.

Fig. 357.

TIPS

ie

Das Moment für irgend einen Drehpunkt E ist jetzt:

¹

Die Genauigkeit der Rechnung wird iu höherem Grad schon durch den Umstand beeinträchtigt, dass Bogenträger mit absolut festen Enden in Wirklichkeit nicht Vorkommen, der Grad der Verrückbarkeit aber niemals mit Bestimmtheit vorher festgestellt werden kann. Dies rechtfertigt die vorstehend im Interesse einer möglichst einfachen Darstellung begangenen Vernachlässigungen.

²

S. Weyrauch, Theorie der Bogenträger, Zeitschrift für Baukunde, 1878, und Separatabdruck, München bei Ackermann, 1879. Die Integration der vorkommenden

X    x

Summenausdrücke: 1 P (x — a), -P(x — a)² und ähnlicher anderer ist zuerst von 0    0

Weyrauch, Zeitschr. f. Math. u. Phys., 1874, gezeigt worden.

³

S. Frankel, Anwendung der Theorie des augenblicklichen Drehpunktes auf die Bestimmung der Formänderung von Fachwerken. Civilingenieur, 1875.

⁴

Winkler, Beitrag zur Theorie der Bogenträger, Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover, 1879, und Krohn, Beitrag zur Theorie der elastischen Bogenträger, Zeitschrift f. Baukunde, 1880.

(461 wenn P die Resultirende der äusseren Kräfte der links von E befindlichen

Lasten und p ihr Abstand von E.

Für den Angriffspunkt J" der rechtsseitigen Widerlagerreaction ist 01t = 0, daher:

Al — PoPo —H(w' — w") = 0,

wenn P₀ die Resultirende der Gesammtbelastung des Bogens und p₀ ihr Abstand von J".

Setzt man den hieraus sich ergebenden Wert von A in Gl. 461 ein, so ist:

911

Po Po

(—)

(w" — w')

1 — 2x

21

Der Wert:

Po Po

(M

—-Pp ist identisch mit dem entsprechenden

Angriffsmoment eines gleich belasteten, mit den Enden frei aufruhenden Balkenträgers ; wir bezeichnen denselben mit 91t*, dann ist:

(w" — w')

91t = 911* — H

2i +w'+y

Setzt man diesen Wert in die Gleichungen 457, 458 und 459 ein, so erhält man:

//

£ [911* k] - —

— w'

v [(1 — 2 x) k] — w' I [k] — v [k y] = 0,

H S [911* ky]

2 [0H*kx] — —

w" — w'

21

2 [(1 — 2x)ky] — w/ 2 [kyj — 2 [ky¹J = 0,

— w'

21-

V [(1

2 x) k x]

w'2 [kx] — 2 [kyx] = 0.

Da nach Gl. 460: d2 [k] = 2 [ky'] und y' = y-fd, so ist: d 2 [k] == 2 [ky].-|- d2 [k] oder 2 [ky] — 0.

Da ferner, wenn der Bogen symmetrisch zur Y-Axe, auch 2 [kxy] = 0 und Z [kx] — 0, so gehen vorstehende Gleichungen über in:

tH

-I[91t*k]-~|h^[k] = 0,

2 [91t* ky] — 2 [ky¹] = 0,

w' — w"

V [kx¹] = 0,

daher

2 [91t*ky]

s [ky¹]

(462

LITERATUR.

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Winkler, Festigkeitslehre. Prag, 1867.

Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der continuirlicheu und einfachen Träger. Leipzig, 1873.

„    Theorie der elastischen Bogenträger, München, 1879.

„    Die Festigkeitseigenschaften und Methoden dor.Dimensionenberechnuug von

Eisen- und Stahlconstructionen. Leipzig, 1889.

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Bauschinger, Elemente der graphischen Statik. München, 1880.

Br esse, Cours de mecanique appliquee. Paris, 1880.

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„    Resultate für die Berechnung eiserner Träger und Stützen. Berlin.

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CI aussen, Statik und Festigkeitslehre in ihrer Anwendung auf Bauconstructionen. Berlin, 1893.

Kgl. Hof- und Universitäts Buchdruckerei von Dr. (J. Wolf & Sohn, München.

(463

12 [9Tt * k x]

H2 [kx¹] ¹

aus welchen Gleichungen bei gegebener Belastung die Werte H, w' und w" berechnet werden können.

w' — w" =

(464

kraköw

Fig.2=/

O,

CL,

Bestimmung- der Momente und Verticalkräfte eines durch gleichmäfsig

ver

teilte Belastung

Taf.I

beanspruchten continuirlichen Trägers von 4 Öffnungen

sffc

—i-*---

Figl

M2&

•>

n.

5,5 rn'

—aie—5-—

o,

b’

Fig.^

Fig. 2.

L Fig. 2 2

Fig. Z^

o*

2>’

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£'

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’    r3

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Rj.3. B

*£■

FT

<4.

MaafstaL der Längen 1 der Kräfte 1 der Momente 1

))

mm

mm

mm

= 0,1⁷¹¹ (1:100) = 40 kg = 6 0 m kg.

2,"

Fig. 4.

-Z&D

Wittmann. Statik 1er Hochlj anconstructionen I.Th.N, Holz. vl Eisenccmstructionen I Auflage

%

.

■

w

X

s

V.

m

-

.

Bestimmung' der Momente und Verticalkräfte eines durah, fixe Einzellasten loeansprucKten continuirlicEen /j\.    •    /\ ^MTrägers von 5 Öffnungen

kv

Taf H

Ficpl.

CL

sookgr

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800kg.

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800 kg-,

I*---0,7 5”±-l\~-0,75--y--0,75,

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= 0,05m (4:50) = 50kg-,

= 50mkg.

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Wittmann, Statik der Hochkauconstructioner, IT.Th.

Holz- u. Eisenconstructionen, E.Auflage

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Bestimmung- der Stabkräfte eines durch, bewegliche Belastung- beanspruchten Fachwerkträgers.

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Kräffemaafsstak \ lmTrL= £00 kg.

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= 100 kg.

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= 400 kg.

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