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LEÇONS

D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE.

PARIS, - IMPRIMERIE GAUTHIER-YILLARS

LEÇONS

D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE

a l’usage des élèves

DES CLASSES DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES,

PAR

Jules TANNERY.

&AT. MATEMATYKI Wydz. Bud. Lud.'

BIBLIOTEKA

Mat. Oçoliîej

PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE L’UNIVERSITE DE PARIS. SOUS-DIRECTEUR DE L’ÉCOLE NORMALE.

TOME PREMIER.

ES

KATEDRA l ZAKLAD M AT EMAT V K I W Y D ZI ALU INZYNIERII W KRAKOWiE

PARIS,

tsu-~

GAUTHIER-VILLA RS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE, Quai des Grands-Augustins, 55.

1906

(Tous droits réservés.)

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PRÉFACE.

J’ai essayé de rédiger les présentes Leçons dans un esprit conforme à celui des programmes de la classe de Mathématiques spéciales, tels qu’ils ont été arrêtés, en 1904, après entente entre les représentants des Ministères intéressés. Je me suis appliqué, de mon mieux, à rendre lesÆhoses visibles, à éviter les détours subtils et l’abus du formalisme, à écarter les propositions particulières qui n’intéressent que les curieux, ou les généralités sans application, à pousser enfin les théories jusqu’à la réalisation numérique.

Toutefois, lorsqu’il m’est arrivé de laisser de côté certains raisonnements, indispensables pour établir un théorème en toute rigueur logique, j’ai cru devoir en avertir le lecteur et lui signaler les difficultés ou les lacunes. J’ai horreur d’un enseignement qui n’est pas toujours sincère : le respect de la vérité est la première leçon morale, sinon la seule, qu’on puisse tirer de l’étude des sciences. Sans doute, il y a des démonstrations qui ne sont pas rigoureuses et qui sont excellentes, parce qu’elles laissent dans l’esprit une image qui ne s’efface pas, que l’on voit en même temps que la proposition, et dont la clarté suffit à guider dans les applications; si elles présentent quelque lacune, il faut le savoir, et il est bon de savoir où est cette lacune. Aussi bien dans la vie pratique que dans la spéculation, il importe de distinguer ce que l’on comprend avec certitude, ce dont on est justement persuadé, ce que l’on croit; il est bon de distinguer

PRÉFACE.

VI

les choses que l’on possède entièrement et celles dont on peut user, sous certaines conditions.

Je n’avais ni la place, ni les connaissances nécessaires pour indiquer partout, d’une façon sûre, la filiation historique des idées : je n’ai fait nulle histoire et je le regrette. Sauf quelques noms consacrés par l'usage, j’ai évité les noms propres; l’habitude d’accoler un nom à toutes les propositions me semble un abus qui n’a rien à faire avec l’histoire. Lors même que cette habitude est consacrée, elle ne va pas sans inconvénient : il est fâcheux qu’un élève de Mathématiques spéciales ne connaisse Descartes que par la règle des signes, Newton que par la méthode d’approximation ou la formule du binôme et qu’il soit tenté de regarder Ilolle comme un aussi grand mathématicien que Descartes ou Newton. Je n’ai point cité davantage, bien qu’ils fussent souvent d’excellents géomètres, les auteurs des démonstrations ou des améliorations à des démonstrations antérieures : il m’aurait été parfois difficile de distinguer entre les souvenirs de mes lectures, de mes conversations avec mes maîtres, mes collègues ou mes élèves (¹). Ne pouvant le faire partout, je ne l’ai fait nulle part.

N’ayant cité personne, je dois m’excuser d’autant plus d’avoir souvent renvoyé le lecteur à mon Introduction à la théorie des fonctions d’une variable (f). Ce dernier livre a été écrit avec des préoccupations tout autres que les présentes Leçons. Je me ¹

PRÉFACE.

VII

suis proposé d’y présenter les choses, sous une forme abstraite, avec une entière rigueur logique : cette rigueur est indispensable quand on veut pénétrer dans certains domaines de la Science, où celui qui prétendrait s’en passer commettrait à coup sûr les plus lourdes erreurs ; celles-ci ne sont guère à craindre, au moins actuellement, dans les applications des Mathématiques, et il n’est pas mauvais, en commençant, de ne pas se laisser paralyser par la terreur d’y tomber : quelques lecteurs, toutefois, peuvent désirer connaître le complément d’un raisonnement, la suite d’une théorie : c’est à ce désir possible que j’ai voulu répondre.

En achevant la rédaction, j’ai été quelque peu effrayé de la longueur de mon manuscrit : je voudrais me persuader que cette longueur tient à l’abondance des explications et au nombre des exemples : je serai heureux si le lecteur trouve trop facile la lecture de ces Leçons et s’il juge qu’il aurait bien pu traiter seul les exemples que j’ai développés. Toute brièveté a son mérite, même la brièveté verbale, que je n’ai nullement cherchée; mais la véritable brièveté n’est pas celle-là : le parfait enseignement serait, à mon sens, un enseignement tel que celui qui l’a reçu et qui se l’est complètement assimilé s’étonne du peu de place que tiennent dans sa propre pensée les principes fondamentaux, les théories qui s’en déduisent, les méthodes qui en résultent, parce que ces principes sont si clairs, ces déductions si naturelles, ces méthodes si aisées qu’il peut à chaque instant les retrouver sans effort. Est-il besoin de dire que je n’ai nullement la prétention de m’être approché de cet idéal, même de loin?

Jules TANNERY.

Berlholène, 16 septembre 1905.

LEÇONS

D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE.

CHAPITRE I.

NOTION DE COUPURE. NOMBRES IRRATIONNELS. CALCUL DES RADICAUX. EXPOSANTS FRACTIONNAIRES, NÉGATIFS, IRRATIONNELS.

§ 1. — DÉFINITION DES NOMBRES IRRATIONNELS. OPÉRATIONS SUR CES NOMBRES.

1. Je suppose acquises les règles relatives au calcul des nombres entiers, des nombres fractionnaires, des nombres relatifs (') dont la valeur absolue est un nombre entier ou une fraction à termes entiers. Ces nombres, y compris o, sont dits rationnels. De tels nombres, si on les combine par addition, soustraction, multiplication, division (la division par o étant exclue) reproduisent toujours des nombres rationnels.

Au point de vue pratique, ces nombres suffisent à la mesure des grandeurs; le problème pratique de la mesure d’une grandeur, de la longueur d’une droite limitée, par exemple, n’est pas complètement déterminé : on peut substituer à cette droite, qui n’est d’ailleurs qu’imparfaitement délimitée, une autre droite qu’on ne saurait discerner de la première : il y a ainsi une infinité de nombres rationnels, très rapprochés les uns des autres, qui peuvent servir à mesurer la

(') C’est sous ce nom que je désignerai les nombres positifs et négatifs.

T.

même longueur; comme le résultat des opérations arithmétiques change très peu quand on change très peu les données, peu importe celui des nombres que l'on choisit pour la mesure, lors même que ce nombre doit être soumis à certains calculs : c’est par des raisons de commodité qu’on décide le choix ; on ne conserve, par exemple, qu’un certain nombre de décimales.

Les nombres rationnels permettent aussi de résoudre avec telle approximation qu’on voudra des problèmes comme celui-ci : trouver un nombre dont le carré soit égal à u; mais les nombres rationnels ne suffisent à résoudre exactement ni ce dernier problème, ni le problème théorique de la mesure des grandeurs, puisque la Géométrie met en évidence l’existence de grandeurs incommensurables entre elles.

Les explications qui suivent (nos2,3, ..., 7) ont pour but de préparer la définition des nombres irrationnels, dont l’introduction conduit à une solution exacte de ces problèmes et d’autres analogues : ces nombres sont, comme on le verra, une façon de parler plutôt qu’une réalité; cette façon de parler, qui condense en un seul mot l’infinité des solutions approchées, permet de donner une forme simple à des raisonnements parfaitement rigoureux. Jusqu’à ce que la définition des nombres irrationnels ait été donnée (nos8, 9), les nombres dont il sera question seront des nombres rationnels.

2. Étant donné

un nombre rationnel positif (non nul), il est toujours possible de trouver un nombre rationnel positif plus petit que lui; il suffit, en effet, si le nombre proposé est donné sous forme d’une fraction à termes entiers, d’augmenter le dénominateur de cette fraction.

il y

a en particulier des nombres décimaux, autres que o, comportant un nombre limité de chiffres décimaux et plus petits que tel nombre positif a que l’on voudra : on peut prendre en effet le

nombre naturel (') n assez grand pour que l’on ait iow> ^^ <^a. Entre deux nombres rationnels distincts a, 6, il y a d'autres

C) Les nombres naturels sous les nombres de la suite naturelle i, 2, 3, ...,à l’exclusion du nombre o. Les nombres entiers sous les nombres o et ±i, ±2, ±3..... nombres rationnels; si l’on suppose a «< b, on les obtiendra en ajoutant à a un nombre rationnel plus petit que le nombre positif b — a.

Soit c un nombre rationnel compris entre a et b‘, l’Arithmétique enseigne à trouver des nombres décimaux (') qui diffèrent de c aussi peu qu’on veut, dont la différence avec c soit en particulier moindre que c — a et que b — c : un tel nombre est forcément compris entre aelb‘, entre deux nombres rationnels quelconques il y a des nombres décimaux.

3. Considérons un axe X'X, c’est-à-dire une droite indéfinie sur laquelle on a fixé l’unité de longueur et le sens positif. Cette unité et ce sens sont représentés par un vecteur unité UV placé sur la

Fig. i

X'

sur une parallèle à cette droite : la longueur de ce

(de U vers V) est le sens soit celui de la gauche vers la

droite X'X ou

vecteur est l’unité de longueur, son sens positif; je supposerai que ce sens droite. Je supposerai enfin qu’on ait pris sur l’axe une origine O. Un tel axe nous servira, tout le long de ce Chapitre, à figurer soit les nombres rationnels, soit ces nombres irrationnels qu’on se propose de définir.

Si l’on considère un point M de l’axe, autre que le point O, deux cas peuvent se présenter : ou le segment (²) OM est commensurable au segment UV, ou il lui est incommensurable.

Dire que les deux segments OM et UV sont commensurables, c’est dire qu’il existe un segment (leur commune mesure) qui est contenu

> où A est un nombre entier et n un nombre naturel.

(') En parlant ici et plus loin d’un nombre décimal, j’entends toujours parler d’un nombre comportant un nombre limité de chiffres décimaux. Un nombre décimal A

est de la forme —

10"

(²) Dans le cours de ce Livre, les mots segment d.e droite ou segment seront pris avec la signification de droite limitée, abstraction faite de tout sens de parcours. Un segment dont on distingue l’origine et l’extrémité, auquel on attribue ainsi un sens de parcours, devient un vecteur.

exactement un nombre entier de fois dans OM et dans UV, par exemple p fois dans OM et q fois dans UV ; la mesure du segment OM

est alors - •

<]

Le nombre relatif dont la valeur absolue est ^ et dont le signe

est + ou —, suivant que le point M est à droite ou à gauche du point O, est Vabscisse du point M : cette abscisse est rationnelle.

Dire que les segments OM et UV sont incommensurables entre eux, c’est dire qu'il n’existe aucun segment de droite qui soit contenu exactement un nombre entier de fois dans OM et dans UV : s’il en est ainsi, l'abscisse du point M n’est pas définie pour le moment.

A chaque point M, tel que le segment OM soit commensurable àUV, correspond un nombre relatif, son abscisse : ce nombre serait o si le point M était en O. Inversement, à chaque nombre relatif a correspond un point A, dont l’abscisse est a : si la valeur absolue

de a est

P > on obtient ce point A en divisant le segment unité UV

en q parties égales et en portant bout à bout sur l'axe p de ces parties, à partir du point O, vers la droite ou vers la gauche, suivant que a est positif ou négatif ; l’extrémité de la /?,eme partie est le point A. Si «, b sont deux nombres rationnels et A, B les points dont ils sont les abscisses, le point A sera à droite ou à gauche du point B suivant que l’on aura a >> 6, ou a <C b. Le nombre b — a est dans tous les cas l’équivalent algébrique du vecteur AB, e est-à-dire l’abscisse de B quand on prend A pour origine sur l’axe. Si A, B, G sont trois points d’abcisses rationnelles, on a

ÂC = AB+BC,

en désignant par AB, BC, AC les équivalents algébriques des vecteurs AB, BC, AC.

4. Supposons que le segment OM soit incommensurable à UV. Si a est un nombre rationnel quelconque, il sera l abscisse d’un point A qui ne pourra coïncider avec M, qui sera donc à gauche de M, ou à

(') J’emploierai, à l’occasion, les mots au delà ou en deçà avec la même signification que à droite ou à gauche.

droite : rangeons dans une première classe tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à gauche de M, dans une seconde classe, tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à droite de M; il est clair que chaque nombre rationnel a sa place dans l’une ou l’autre des deux classes, et que chaque nombre de la première classe est plus petit que chaque nombre de la seconde classe.

Je désignerai sous le nom de coupure (des nombres rationnels) tout procédé qui permet de séparer tous les nombres rationnels en deux classes, telles que chaque nombre de la première soit inférieur à chaque nombre de la seconde.

On verra tout à l’heure que, lorsque OM est incommensurable à UV, il n’y a pas dans la première classe de nombre qui soit plus grand que les autres nombres de cette classe, et qu’il n’y a pas dans la seconde classe de nombre qui soit plus petit que les autres nombres de cette classe.

Lorsque OM est commensurable à UV, le point M a une abscisse rationnelle m; on peut bien ranger tous les nombres rationnels autres que m en deux classes, contenant, comme tout à l'heure, l'une tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à gauche de M, c’est-à-dire les nombres rationnels plus petits que m, et l’autre tous les nombres rationnels qui sont les abscisses de points situés à droite de M, c'est-à-dire les nombres rationnels plus grands que m ; mais le nombre rationnel m échappe lui-même à la classification : on n’a pas une coupure au sens qui vient d'être donné à ce mot; pour obtenir une telle coupure, il faut placer le nombre rationne] m, soit dans la première classe, soit dans la seconde; tous les nombres rationnels sont alors séparés en deux classes, et chaque nombre de la première est plus petit que n’importe quel nombre de la seconde : dans le premier cas m est le plus grand des nombres de la première classe, dans le second, m est le plus petit des nombres de la seconde classe.

o. Soit UV'

un segment commensurable à UV et a le nombre rationnel positif qui en mesure la longueur; si l’on se donne le nombre a, on peut construire le segment UV'. On a vu plus haut que, si petit que soit un nombre rationnel e, il y a des nombres rationnels a plus petits que lui. De même, si l’on se donne un

segment de droite quelconque PQ, on peut trouver un segment UV', commensurable à UV, qui soit plus petit que PQ ; il suffira pour

Fig. a.

X'

A~2 A-,    0 A, A2 A^

U V'

cela de diviser UV en un nombre k de parties égales, assez grand pour que ces parties soient plus petites que PQ ('); l’une d’elles

pourra être prise pour UV', sa mesure sera a =

21

de l’autre, s’obtiennent en

A._ 2, U

-3 5 •

Ceci posé, imaginons qu’on ait marqué sur l’axe tous les points dont l’abscisse est de la forme n a, n étant un nombre entier positif, nul, ou négatif : je désignerai en général par A„, le point dont l’abscisse est na; A₀ n’est autre que le point O, les points A A;t, ..., d’une part, A

portant bout à bout à partir du point O, vers la droite, ou vers la gauche, des segments égaux à UV⁷; j’appellerai tous ces points les points A. Il J a des points A en deçà et au delà de n’importe quel point de l’axe (²). Un point quelconque de l’axe est compris entre deux points A consécutifs ou coïncide avec un point A.

Considérons sur l’axe deux points quelconques R, S; on peut supposer le segment UV' (commensurable à UV) plus petit que le segment RS; s’il en est ainsi, il y a forcément un point A entre R et S; l’abscisse de ce point étant rationnelle, on voit qu’il y a sur l’axe, entre deux points quelconques, aussi rapprochés qu’on veut, des points d’abscisse rationnelle ; il y a donc de tels points aussi près qu’on voudra d’un point de l’axe, soit en deçà, soit au delà. En particulier,

en prenant le nombre a de la forme —on voit qu’il y a, aussi près

qu’on voudra de n’importe quel point de l’axe, des points dont l’abscisse est un nombre décimal, avec un nombre limité de chiffres; c’est d’ailleurs ce qui apparaîtra clairement au lecteur s’il veut bien se

(‘) Que cela soit possible, c’est un postulat qui est contenu dans l’idée vague de ligne droite.

(²) C’est encore là un postulat du même genre que celui qui a été signalé plus-haut.

NOMBRES IRRATIONNELS.

représenter l’axe X'X comme une sorte de règle divisée en mètres, décimètres, centimètres, etc. Le mot mètre est pris ici avec le sens d’unité de longueur.

à UV)

Soit M un point quelconque de la droite; on vient de dire que ce point tombe entre deux points A consécutifs, ou sur un point A. Ce dernier cas ne peut pas se présenter quand OM est incommensurable à UV, et cela quels que soient le segment UV' (commensurable ou le nombre rationnel a.

Si le point M tombe entre deux points A consécutifs, je désignerai par A„ celui qui est en deçà de M, par A/<+, celui qui est au delà; les abscisses de ces points, situés l’un et l’autre à une distance du point M inférieure à UV', seront nx

et (n + i )x;

na est, par défini— tion, la valeur approchée de l’abscisse du point M, à x près, par défaut ; [n + i)a est la valeur approchée de l’abscisse du point M, à a près, par excès. Dans le cas exceptionnel où le point M tombe sur l’un des points V, sur le point A„, par exemple, dont l’abscisse est «a, on confond la valeur approchée de l’abscisse à x près, par défaut, avec la valeur exacte de cette abscisse; la valeur approchée, à x près, par excès, est toujours (n + i)x. Dans tous les cas la valeur approchée de l’abscisse du point M, à x près, par défaut, est le plus grand multiple de x qui soit l’abscisse d’un point de l’axe situé en deçà du point M, ou coïncidant avec le point M; la valeur approchée, à x près, par excès, est le plus petit multiple de x qui soit l’abscisse d’un point de l’axe, situé au delà du point M.

Dans les expressions n x, (/î + i)x de ces valeurs approchées, n est un entier positif, nul ou négatif; les mots plus grand et plus petit qu’on a employés plus haut ont leur signification algébrique, en sorte ([ue, si n est négatif, la valeur approchée par excès, (n + i)x, est plus petite, en valeur absolue, que la valeur approchée par défaut.

11 convient encore de remarquer que les valeurs approchées, à x près, de l’abscisse du point M sont ainsi définies avant que cette abscisse ait elle-même été définie, lorsque OM est incommensurable à UV. Lorsque OM est commensurable à UV, les nombres aix, (n + i)x sont bien les valeurs approchées du nombre ni, abscisse du point M, au sens de l’Arithmétique, au moins lorsque m est positif; lorsque m est négatif, l’extension est toute naturelle.

Plaçons-nous dans le cas où OM est incommensurable à UV, et reportons-nous à la séparation des nombres rationnels en deux classes, qui a été décrite au n° 4; quel que soit le nombre rationnel positif a, ou le segment U Y² 3 commensurable à UV, la valeur approchée par défaut, na, sera l’abscisse d’un point X„ situé en deçà de M; la valeur approchée par excès, (n + i)a, sera l’abscisse d’un point A//+) situé au delà de M : n a appartiendra à la première classe, ce sera le plus grand multiple de a contenu dans cette classe; (n -f- i)a appartiendra à la seconde classe, ce sera le plus petit multiple de a contenu dans cette classe; puisque a peut être pris aussi petit qu’on le veut, on voit qu'il y a dans la première classe d’une part, dans la seconde classe de l’autre, des nombres qui diffèrent entre eux aussi peu qu’on le veut.

Il n’y a pas dans la première classe de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe. Un nombre /• de cette classe est en effet l’abscisse d’un point R de l’axe situé en deçà du point M; entre R et M, il y a des points d’abscisse rationnelle : or l’abscisse d’un tel point est plus grande que r, et elle appartient à la première classe. De même, il n’y a pas, dans la seconde classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

il sera question d’une différence entre deux nombres, on devra entendre la différence entre le plus grand et le plus petit.

7. J’emprunterai à l’Arithmétique les propositions et notions que voici :

Il y a des nombres rationnels qui ne sont le carré d’aucun nombre rationnel ;

Étant donné

un nombre quelconque, on sait trouver sa racine carrée à une unité près, par défaut, c’est-à-dire le plus grand nombre entier dont le carré soit inférieur ou égal au nombre donné;

La racine carrée d’un nombre A, à a près, par défaut, est un nombre de la forme «a, où n est un nombre entier positif ou nul, qui vérifie les inégalités

(«a)2<A<[(n+,i)ap;

ce nombre entier n est entièrement déterminé quand on se donne A

A

et a; c’est la racine carrée, à une unité près, par défaut, du nombre — ou de sa partie entière ; (n + i)a est la racine carrée à x près, par excès.

Supposons, par exemple, qu’on prenne A = 2, le problème qui consiste à trouver un nombre rationnel dont le carré soit égal à 2 est insoluble.

que 2

plus grand que 2; il est clair que tout nombre de la première classe est moindre que n’importe quel nombre de la seconde, puisque le carré du premier nombre est moindre que le carré du second.

Le carré d’un nombre rationnel quelconque étant plus petit ou plus grand que 2, 011 peut ranger les nombres rationnels en deux classes dont la première contient tous les nombres dont le carré est moindre dont la seconde contient tous les nombres dont le carré est

Soit a un nombre rationnel quelconque; les racines carrées de 2, à a près par défaut et par excès, sont les nombres n a, (/? i)a, où n est un nombre entier positif ou nul tel que I on ait

(/ix)²< 2 < [(«-H l)a]².

[Il n’y a pas lieu, ici, d’écrire (n a)-^ 2, puisque l’égalité (/ia)²= 2 est impossible.] //a est le plus grand multiple de a qui figure dans la première classe, (/1 + i)a le plus petit multiple de a qui ligure dans la seconde; puisque a peut être supposé aussi petit qu'on veut, il y a des nombres appartenant à l’une et à l’autre classe et qui diffèrent entre eux aussi peu qu’on le veut.

Les différences entre 2 et les nombres (nx)² et [(«+ i)x]² sont moindres que (/i + i)²x²— n-a-= (2/U + x)x, moindres par conséquent que (afla + i)a, si l'on suppose x << 1 et, a fortiori, que (2« + i)a, si l’on désigne par a un nombre dont le carré est plus grand que 2 et qui, par suite, est plus grand que «a. Dans les raisonnements qui suivent on prendra pour a un nombre fixe quelconque, qui satisfasse à la condition précédente.

Pour que (2a+i)a soit inférieur à un nombre e, il suffit de

prendre a*<

1’

■1a

; pourvu qu’il en soit ainsi, la différence entre 2

et (flattant dans la première classe que dans la seconde, des nombres dont le carré diffère de 2 aussi peu qu’on le veut : si le problème qui consiste à trouver un nombre dont le carré soit égal à 2 est insoluble, il

ou (//,-f- i)²x², sera moindre que s; 011 peut donc trouver,

peut cependant être résolu avec l’approximation qu’on veut.

U n’y a pas dans la première classe de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe, car s’il y avait un tel nombre /•, on aurait /,2<C 2, puisque le nombre r appartient à la première classe; or, on pourrait trouver dans cette même classe un nombre r' tel que l’on eût 2 — /-,2< 2 — r², puisqu’on peut trouver des nombres dont le carré approche de 2 plus que ne fait r² : cette inégalité implique r'y> r. On démontrerait de même qu’il ne peut y avoir dans la seconde classe de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de celte classe.

Lorsque l’on se donne le nombre a, le nombre entier positif n qui vérifie la condition (n a)²< 2 < [(// -f- i)a]² est parfaitement déterminé, ainsi que les nombres ai x, (n-\- i)a, les racines carrées de 2, par défaut et par excès à a près; quand a change, tous ces nombres /1, /ia, (/«. —1 )a changent : les quantités 2 — /a²x², (n-\- i)a²—2 moindres que (2a + i)a, si a est moindre que 1, restent aussi petites qu’on le veut, pourvu qu’on prenne x suffisamment petit; c’est ce qu’on exprime en disant que 2 est la Limite des quantités (/1a)², (ai -f- i)²a² quand x tend vers o.

8. Définition des nombres irrationnels. — J’arrive maintenant à la définition des nombres irrationnels. Supposons qu'on donne une règle qui permette de décomposer tous les nombres rationnels en deux classes, telles que les nombres de la première classe soient plus petits que n’importe quel nombre de la seconde classe; on aura réalisé ce qui a été appelé plus haut une coupure. Il est à peine utile de formuler les trois observations suivantes, tant elles sont évidentes : si un nombre rationnel a appartient à la première classe, il en sera de même de tout nombre rationnel b plus petit que a \ car si b n’appartenait pas à la première classe il appartiendrait à la seconde et, par conséquent, a devrait être plus petit que lui. Si un nombre rationnel a! appartient à la classe supérieure, il en est de même de tout nombre rationnel U plus grand que a!. Tout nombre de la seconde classe est plus grand que n’importe quel nombre de la première.

Divers cas peuvent maintenant se présenter.

1. Il peut se faire qu’il n’y ait pas, dans la première classe, de nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe et qu’il n’y ait pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe; c’est ce qui arrive quand on range dans la première classe les nombres rationnels négatifs, le nombre o, tous les nombres rationnels positifs dont le carré est moindre que 2; dans la seconde classe tous les nombres rationnels positifs dont le carré est plus grand que 2.

11. Il peut se faire qu’il y ait dans la première classe un nombre

plus grand que tous les autres nombres de cette classe et qu’il n’y ait pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe. C’est ce qui arrivera si l’on range dans la première classe le nombre 3 et tous les nombres rationnels plus petits que 3, dans la seconde classe tous les nombres rationnels plus grands que 3.

un nombre quelconque de cette seconde classe : entre A et 3 il y a des nombres rationnels, qui appartiennent à la seconde classe puisqu’ils sont plus grands que 3 ; il y a donc, dans la seconde classe, des nombres plus petits que A : il ne peut pas y avoir, dans la seconde classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

Soit A

111. Il peut se faire qu’il n’y ait pas dans la première classe de nombre plus grand que les autres nombres de cette classe, mais qu’il y ait dans la seconde classe un nombre plus petit cpie tous les autres nombres de cette classe. C’est ce qui arriverai t si l’on rangeait dans la première classe tous les nombres rationnels plus petits que 3, dans la seconde le nombre 3 et tous les nombres rationnels plus grands que lui. Le même raisonnement que tout à l’heure montrerait alors qu’il ne peut y avoir dans la première classe de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe.

IV. Il ne peut pas se faire qu'il y ait à la fois dans la première classe un nombre A plus grand que tous les autres nombres de cette classe, et dans la seconde classe un nombre 13 plus petit que tous les autres nombres de cette classe. S’il en était ainsi, en effet, le nombre B, de la seconde classe, serait plus grand que le nombre A, de la première classe. Entre les nombres rationnels A et 13 il y aurait des nombres rationnels qui ne pourraient appartenir ni à la première classe, puisqu’ils dépassent le plus grand A des nombres de cette classe, ni à la seconde classe, puisqu’ils sont moindres que le plus petit B des nombres de cette classe. Tous les nombres rationnels n’auraient donc pas été rangés dans les deux classes.

9. Il convient de dire que, dans le cas II, la coupure définit précisément le nombre rationnel qui est le plus grand des nombres de la première classe; (pie, dans le cas III, la coupure définit précisément le nombre rationnel qui est le plus petit des nombres de la seconde classe; que, dans le cas I, la coupure définit un nombre irrationnel qui, par définition, est regardé comme plus grand que tous les nombres de la première classe, et comme plus petit (pie tous les nombres de la seconde classe, comme compris entre un nombre quelconque de la première classe et un nombre quelconque de la seconde classe.

Ainsi la séparation de tous les nombres rationnels en deux classes, dont la première comprend les nombres négatifs, le nombre o, les nombres positifs qui ont un carré moindre que 2, et dont la seconde contient tous les nombres positifs dont le carré est plus grand que 2, définit un nombre irrationnel, que l’on appelle la racine carrée de 2, et que l’on représente par le symbole y/2.

Bien entendu, il n’est pas actuellement permis de dire que le carré de ce nombre soit égal à 2 : on n’a pas encore dit ce qu’était le carré d’un nombre irrationnel.

De même, si l’on considère sur l’axe X'X un point M tel que le segment OM soit incommensurable à UV, ce point permet de définir une coupure appartenant au type 1 et, par conséquent, un nombre irrationnel : ce nombre est l’abscisse du point M.

Il ne sera pas inutile de remarquer qu’un point quelconque M sur l’axe X'X partage cet axe en deux demi-droites (D), (D') qui s’étendent indéfiniment, l’une vers la droite, l’autre vers la gauche : si l'on veut considérer ces deux demi-droites comme entièrement distinctes, comme n’ayant aucun point commun, il faut regarder le point M lui-même comme appartenant à l’une des demi-droites et n’appartenant pas à l’autre, ou bien comme n’appartenant ni à l’une ni à l’autre. Dans le premier cas, chaque point de l’axe X'X appartient à l une des demi-droites, et seulement à une. Dans le second cas, chaque point de l’axe, sauf le point M, appartient à l’une des demi-droites et seulement à une.

10. En adoptant la façon de parler que l’on a expliquée plus haut, on voit qu’à chaque point M de l’axe X'X correspond un nombre rationnel ou irrationnel. A un nombre rationnel donné correspond de même un point que l’on sait construire. Y a-t-il aussi un point qui corresponde à un nombre irrationnel donné, c’est-à-dire à une coupure du type I?

La réponse affirmative à cette question est, au fond, un postulat qu il n’y a pas lieu de démontrer, mais que l’on peut illustrer par une image, un peu grossière, qui suffira, sans doute, à convaincre le lecteur que ce postulat est conforme à l’intuition vague que nous avons de la ligne droite. Dans cette image, on parlera de points bleus, blancs, rouges. Il est à peine utile d’insister sur ce qu’il y a de vicieux dans cette façon de parler : un point géométrique, sans dimensions, ne peut être coloré.

Quoi qu'il en soit, supposons qu’on ait défini une coupure quelconque, qui permette de séparer tous les nombres rationnels en deux classes, chaque nombre de la première étant plus petit que 11’importe quel nombre de la seconde. Cette coupure peut d’ailleurs appartenir à l’un ou l’autre des types I, II, III.

J imagine qu’on marque en bleu chaque point de l’axe X'X dont l’abscisse est un nombre (rationnel) de la première classe, et qu’on colore en bleu toute la partie de l’axe qui est en deçà d’un tel point, puis qu’on marque en rouge chaque point de l’axe dont l'abscisse est un nombre (rationnel) de la seconde classe, et qu’on colore en rouge toute la partie de l'axe qui est au delà d’un tel point; enfin, que l’on appelle point blanc, tout point (s’il y en a) qui n’a été coloré ni en bleu ni en rouge.

Tout point d’abscisse rationnelle est rouge ou bleu.

Chaque point bleu est en deçà de n'importe quel point rouge; la partie bleue et la partie rouge n’empiètent pas l’une sur l’autre. Entre ces deux parties de la droite il n’y a pas d’intervalle blanc, il ne peut même pas y avoir deux points blancs, car entre ces deux points, s’ils existaient, devraient se trouver des points d’abscisses rationnelles, rouges ou bleus; s’il y avait, par exemple, un point bleu, celui des deux points blancs qui est en deçà de ce point bleu aurait dû être coloré en bleu :il ne peut donc y avoir sur l’axe qu’un seul point blanc.

Quoi qu’il en soit, la façon même dont la droite est séparée en une partie bleue et une partie rouge définit un point, soit qu’on regarde ce point comme étant bleu et limitant à droite la partie bleue (coupure du type II), soit qu’on le regarde comme étant rouge et limitant à gauche la partie rouge (coupure du type III), soit qu’on le regarde enfin comme étant blanc et séparant la partie bleue de la partie rouge (coupure du type I). Dans ce dernier cas, le seul qui nous intéresse pour la réponse à la question posée, le postulat que j’ai prétendu illustrer par cette image revient à affirmer l’existence de ce point blanc. Dans ce cas, au delà de chaque point bleu, il y a encore des points bleus; en deçà de chaque point rouge, il y a des points rouges.

(a < b)

11. J’ai supposé jusqu’ici que les coupures que l’on considérait, permettaient de séparer tous les nombres rationnels en deux classes : il est manifeste que, si l’on définit un moyen de partager tous les nombres rationnels compris entre les deux nombres rationnels a et b en deux classes telles que chaque nombre de la première classe soit plus petit que n’importe quel nombre de la seconde classe, il suffira d’adjoindre à la première classe le nombre a et les nombres rationnels plus petits que lui, d’adjoindre à la seconde classe le

nombre b et les nombres rationnels plus grands que b pour compléter les deux classes du n" 8, et définir ainsi un nombre rationnel ou irrationnel.

12. Il sera avantageux, pour l’uniformité du langage, de réunir en un même type les coupures des types II et 111 et de ne plus considérer que deux modes de décomposition des nombres rationnels : l'un en deux classes, l’autre en trois classes.

Si l’on a affaire à une coupure du type II ou du type III, on sépare les nombres rationnels en trois classes, dont l’une ne contient qu’un seul nombre, à savoir le nombre rationnel que définit la coupure, le plus grand de la première classe (type II), ou le plus petit de la seconde classe (type III) : ce nombre rationnel est alors supprimé soit de la première classe, qui ne contient plus que des nombres rationnels plus petits que lui, soit delà seconde classe, qui ne contient plus que des nombres plus grands que lui.

Je donnerai respectivement le nom de classe inférieure et de classe supérieure, à la première et à la seconde classe ainsi modifiées, et j’emploierai les mêmes mots pour désigner la première et la seconde classe d’une coupure du type I; la classe inférieure, telle qu’elle vient d’être définie, ne contient jamais de nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe, la classe supérieure ne contient jamais de nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe. Si l’on a affaire à une coupure du type I, les nombres rationnels sont ainsi séparés en deux classes; c’est cette séparation qui définit un nombre irrationnel. Si I on a affaire à une coupure du type II, ou du type III, les nombres rationnels sont séparés en trois classes : la classe inférieure, la classe supérieure, et la classe intermédiaire composée d’un seul nombre, le nombre rationnel que définit la coupure.

On peut modifier légèrement l’image du n° 10 de manière qu’elle corresponde à ce nouveau point de vue; s’il s’agit d’une séparation en trois classes, on imaginera que le point d’abscisse rationnelle que définit cette séparation soit blanc, que tout point dont l’abscisse appartient à la classe inférieure soit bleu ainsi que tous les points situés à sa gauche, que tout point dont l’abscisse appartient à la classe supérieure soit rouge ainsi que tous les points situés à sa droite.

Qu’il s’agisse d’un nombre rationnel ou d’un nombre irrationnel, ce nombre est l’abscisse d’un point blanc, à gauche et à droite duquel s’étendent une demi-droite bleue et une demi-droite rouge; le point blanc limite, en quelque sorte, ces deux demi-droites colorées, auxquelles il n’appartient pas. L’image est la même dans les deux cas. L’analogie entre les deux sortes de nombres ressort mieux, mais elle ne doit pas faire oublier leur différence essentielle : un nombre rationnel est un nombre entier, ou une fraction à termes entiers, qui n’est autre chose qu'un système de deux nombres entiers; il s’exprime ainsi au moyen d’un nombre limité de chiffres. Un nombre irrationnel n'est pas susceptible d'une pareille représentation, ce n’est qu’une coupure, une règle pour séparer les nombres rationnels en deux classes ; ce n’est pas un ou deux nombres entiers, c’est une infinité de nombres entiers ou fractionnaires, une infinité de chilfres qu'il faut pour le définir. Afin de pouvoir raisonner à la fois sur les nombres rationnels et irrationnels, ou, comme on dit, sur les nombres réels, on a introduit plus haut les classes inférieure et supérieure relatives à un nombre rationnel; mais cette introduction n’ajoute rien à l’idée d’un tel nombre et lui est, en quelque sorte, postérieure. Au contraire, d n’y a rien de plus, dans l’idée d’un nombre irrationnel, que ces deux classes inférieure et supérieure : c’est elles qui le constituent. On ne peut représenter un tel nombre que par un symbole, une lettre par exemple, ou une façon d écrire, comme y/a, qui, lorsqu'on va au fond des choses, doit toujours rappeler cette décomposition en classes à laquelle les pages précédentes ont été consacrées. Quand on a dénommé ainsi un nombre irrationnel, en parlant des classes inférieure ou supérieure relatives à ce nombre, on entendra parler des classes qui le définissent.

En disant qu’il est plus grand que le nombre rationnel «, et plus petit que le nombre rationnel b, ou encore qu’il est compris entre a et b, que la coupure qui le définit tombe entre a et b, au delà de a, en deçà de b, on entend simplement que a appartient à Ja classe inférieure, que b appartient à la classe supérieure. Au reste ces façons de parler peuvent évidemment s’employer pour un nombre rationnel aussi bien que pour un nombre irrationnel.

13. Je dois m’arrêter un peu sur la représentation décimale d’un nombre irrationnel ; le lecteur suivra sans peine les explications relatives à ce sujet, s’il veut bien se représenter l'axe X; X comme une sorte de règle divisée, indéfinie dans les deux sens, se reporter à la façon dont on mesure effectivement une longueur et imaginer qu’on puisse poursuivre indéfiniment des opérations qui, dans la pratique, sont forcément limitées. Pour nous conformer à des habitudes de langage qui lui sont familières, appelons mètre l’unité de longueur : sur l’axe X'X,

marqué o à l’origine, puis i, 2, 3, ... à droite, — i,

on a

on pourra lire facilement ou par excès de un centimère, un millimètre

— 2, — 3, ... à gauche, afin de distinguer les points qui sont à une distance de l’origine égale à un, deux, trois, . . ., mètres. L’axe est ainsi divisé en une infinité d’intervalles égaux chacun à un mètre ; chacun de ces intervalles est ensuite divisé en dix décimètres, chaque décimètre en dix centimètres, chaque centimètre en dix millimètres, ... Si l’on considère un point quelconque A de l’axe sur la règle divisée les valeurs approchées par défaut de son abscisse à un mètre,, un décimètre, près. Il est d’ailleurs clair qu’au lieu de diviser l’axe de cette façon, on peut le diviser et le subdiviser autrement; je supposerai toutefois que les subdivisions d’un certain ordre soient toujours égales entre elles.

Soit A un nombre irrationnel donné : il faut, comme on l’a déjà dit, entendre par là qu’on se donne coupure dans 1 ensemble des nombres rationnels, pour reconnaître si tel nombre rationnel que l’on veut appartient à la classe inférieure ou à la classe supérieure. Considérons la progression arithmétique indéfinie dans les deux sens

un

moyen pour pratiquer une

dont le nombre rationnel positif a est la raison et dont o est un terme. La coupure qui définit A tombe forcément entre deux termes consécutifs na, (« + i)ade cette progression; le premier de ces nombres est le plus grand multiple de a qui appartienne à la classe inférieure relative à A, c’est par définition la valeur approchée de A à a près, par défaut; le second (/? -f- i)a est le plus petit multiple de a qui appartienne à la classe supérieure, c’est la valeur approchée de A à a près, par excès.

insérons k —

arithmétique indéfinie dans les deux sens dont la raison soit S =    ,

et qui englobe la progression arithmétique de raison a; la coupure qui définit A tombera entre deux termes consécutifs de cette nouvelle progression; le plus grand de ces deux termes doit appartenir à la classe supérieure; il est, par conséquent, plus grand que «a; le plus

Entre deux termes consécutifs quelconques de cette progression, moyens, de manière à former une nouvelle progression

G>

3!

«fi.

CHAPITRE 1.

i8

petit doit appartenir à la classe inférieure; il est donc moindre que i)a ; autrement dit, il n’y a pas lieu de considérer les termes de

la progression indéfinie, de raison (3= qui précèdent ht. ou qui suivent (n -f- i)a, mais seulement la progression limitée que l’on obtient en insérant k— i moyens entre ny. = nkfl et (« -+- i)a — (nk + k) t3. La coupure qui définit A tombe nécessairement entre deux termes consécutifs de cette progression limitée : si l’on désigne ces deux termes par («Â'-j-r)(3 et (nk + r i) [3, le premier est au moins égal à /ta, le second est au plus égal à (n + i)a; ces termes sont les valeurs approchées de A, à [3 près, par défaut et par excès.

Remarquons en passant que, si l’on désigne par p [3 la valeur approchée de A à j3 près par défaut, on a

p = nk -t- r,

en sorte que n est le quotient entier de la division de p par k et / le reste (¹).

Il est clair qu’on peut continuer ainsi, insérer l — î moyens arithmétiques entre p\3 et (/» + i)|3, et former une progression arithmétique dont la raison soit y =

14. Arrêtons-nous sur le cas où l’on prend

/c = / = ...— i o ;

il correspond à cette sorte de règle divisée, dont on a parlé au début du précédent numéro.

Le plus grand nombre entier n qui appartienne à la classe inférieure est la valeur approchée de A à une unité près, par défaut (ou la partie entière de A); elle peut être positive, nulle ou négative; dans ce dernier cas, au lieu de placer le signe — en avant, il est

(') Lorsque p est négatif et n’est pas divisible par k, n s’obtient en prenant le quotient entier de la division par k de la valeur absolue de /», en augmentant d’une unité ce quotient entier et en affectant le résultat du signe —.

commode de placer le signe — au-dessus du dernier chiffre ; c’est une notation à laquelle le lecteur est sans doute habitué par l’usage des tables de logarithmes. La valeur approchée à un dixième près, par défaut, s’obtiendra en ajoutant à cette partie entière un certain nombre entier de dixièmes, q au plus ; on l’écrira en plaçant une virgule à la suite de la partie entière et en faisant suivre cette virgule d’un chiffre représentant le nombre de dixièmes que l’on doit ajouter à la partie entière ; le chiffre des dixièmes peut d’ailleurs être un zéro ; la valeur approchée à un centième près, par défaut, s’obtiendra en ajoutant à la valeur approchée à un dixième près un certain nombre de centièmes; on l’écrira en plaçant, à la suite de la valeur approchée à un dixième près, un chiffre représentant les centièmes, etc. On obtiendra ainsi une suite indéfinie de nombres décimaux dont chacun se déduit du précédent par l'adjonction d’un chiffre de plus, dont chacun est ainsi égal ou supérieur à celui qui le précède;

’ 10 ’ 10²

près. L’égalité entre deux termes consécutifs a lieu quand le dernier chiffre du second terme est un zéro. La suite des valeurs approchées

c’est la suite des valeurs approchées de A, par défaut, à

de A par excès à 1,    . . . près se déduit de la précédente en

ajoutant respectivement à ses termes 1, — > —>

•’    r    7 10    100

. . ou, comme l’on

dit, en forçant le dernier chiffre de chacun des termes, écrits sous la forme décimale. En vertu des explications données dans le numéro précédent, pour le cas général, on voit que chaque terme de la nouvelle suite est supérieur à n’importe quel terme de la première et que chaque terme de la nouvelle suite est supérieur ou égal à ceux qui viennent après lui; l’égalité entre deux termes consécutifs de la nouvelle suite a lieu quand, des deux termes correspondants de la suite des valeurs approchées par défaut, le second se termine par un 9. Les termes de la première suite appartiennent tous à la classe inférieure relative à A, les termes de la seconde appartiennent tous à la classe supérieure.

Au lieu d’écrire successivement les termes u₀, uK, m₂, ... de la suite des valeurs approchées par défaut à 1, à 0,1, à 0,01, . . . près, on se borne habituellement à écrire l’un de ces ternies u,n en prenant n suffisamment grand et en faisant suivre de points suspensifs le /î'eme chiffre décimal. Ainsi, pour le nombre tc que l’on définit en Géométrie, on écrira, en prenant n = 10,

3, i 415926535....

Cette notation, avec ses points suspensifs, est faite pour éveiller l’idée d’un symbole qui commencerait par les chiffres que l’on a écrits et qui se poursuivrait indéfiniment, de façon qu’en l’arrêtant à un chiffre décimal quelconque on obtint la valeur approchée du nombre considéré A, par défaut, à une unité près de l’ordre de ce chiffre; en forçant ce chiffre, on obtiendrait la valeur approchée, par excès, à une unité près du même ordre. Un tel symbole, avec son infinité de chiffres décimaux, est ce qu'on appelle la représentation décimale du nombre A; lorsqu’on se donne la coupure qui définit ce nombre A, chaque chiffre de la représentation décimale peut être calculé quand on connaît son rang.

Il convient de remarquer qu’en allant assez loin dans la suite u{,

..., u„, ... des valeurs approchées de A à ^

1

• y -»

IO"

10² ’

près, par défaut, on finit par dépasser tel nombre a de la classe inférieure qu’on voudra ; car on peut trouver un nombre b de cette même classe qui soit plus grand que a, puis, entre a et &, un nombre décimai S; si le nombre ô, plus grand que «, comporLe n chiffres décimaux, il sera inférieur ou égal à uu qui sera par conséquent plus grand que a, ainsi que u„+l, u/t+->, ... ; en particulier, il y a dans la suite u-,, ..., un, ... un terme plus grand que n’importe quel terme up de cette suite qu’on voudra ; il est donc impossible que, dans la représentation décimale de A, tous les chiffres qui suivent le p,eme soient des zéros, car, si tous ces chiffres étaient des zéros, on aurait

Il p — Il p-\-\ — llp-[-2 —

On voit de la même façon que, en allant assez loin dans la suite des valeurs approchées par excès, on finit par descendre au-dessous de tel nombre de la classe supérieure qu’on voudra; que, en particulier, il y a forcément, dans cette suite, des termes qui sont plus petits que tel terme que l’on voudra; que, ainsi, il est impossible que tous les termes de cette suite, à partir de l’un d’entre eux, soient égaux; que, enfin, il est impossible que, dans la représentation décimale de A, tous les chiffres à partir de l’un d’entre eux soient des 9.

J’ai supposé, dans ce qui précède, que A était irrationnel; les raisonnements s’appliquent lorsque A est rationnel; si ce n’est que, en procédant comme on l’a expliqué, il peut arriver, sous des conditions que le lecteur connaît, qu’011 tombe sur une valeur approchée par défaut qui soit égale à A; les suivantes se déduisent de celles-là en la faisant suivre de zéros; elle est la représentation décimale de A. Lorsque A ne peut pas être exactement converti en fraction décimale, sa représentation décimale est périodique, ainsi qu’on l’enseigne en Arithmétique. Il ne peut jamais arriver que tous les chiffres de cette représentation décimale, à partir de l’un d’eux, soient des 9.

lo. Inversement, imaginons qu’on se donne un symbole tel que ceux qu’on vient de décrire, formé d’une partie entière, qui peut d’ailleurs être positive, nulle ou négative, suivie d’une infinité de chiffres décimaux : dire qu’on se donne un pareil symbole, c’est dire qu’on se donne le moyen d’en trouver le /pème chiffre, quel que soit n.

Tel serait par exemple le symbole

o,123456789101112...,

où la partie décimale est obtenue en écrivant, sans séparation, la suite naturelle des nombres.

En excluant, conformément à ce qui a été dit dans le précédent numéro, le cas où tous les chiffres à partir de l’un d’eux seraient tous des zéros ou tous des 9, je vais indiquer comment un tel symbole permet de définir une séparation des nombres rationnels en classes, séparation qui définit elle-même un nombre rationnel ou irrationnel A, dont le symbole donné est la représentation décimale.

Après le /i,ème chiffre décimal donné, il peut y avoir quelques zéros, mais on finira par rencontrer un autre chiffre; le nombre décimal que l’on obtient en limitant le symbole après ce chiffre est alors plus grand que le nombre décimal obtenu en le limitant au /2,erae chiffre; ainsi chaque nombre décimal déduit du symbole, en le limitant quelque part, est certainement surpassé par un nombre décimal obtenu en le limitant plus loin. De même, après le /?ieme chiffre, il peut bien y avoir quelques 9, mais en continuant assez loin on rencontre un autre chiffre; en forçant ce chiffre et en s’arrêtant là, on obtient un nombre décimal plus petit que le nombre décimal obtenu en forçant le /i¹'¹™6 chiffre et en s’arrêtant là.

Ces remarques faites, j’arrive à la séparation des nombres rationnels en classes, que l’on déduit du symbole donné.

On rangera dans la première classe tous les nombres rationnels inférieurs ou égaux à l’un des nombres décimaux obtenus en limitant quelque part le symbole donné et dans la seconde classe tous les nombres rationnels supérieurs ou égaux à l’un des nombres décimaux obtenus en limitant le symbole quelque part et en forçant le dernier chiffre.

On voit de suite que chaque nombre de la première classe est inférieur à n’importe quel nombre de la seconde classe, et qu’il y a des nombres appartenant, l’un à la seconde classe, l’autre à la première, qui different aussi peu qu’on veut.

D’autre part, il n’y a pas, dans la première classe, de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette classe, car un nombre quelconque a de celte classe est inférieur ou égal à quelqu’un des nombres décimaux obtenus en limitant le symbole quelque part; en limitant le symbole plus loin, on trouve un nombre plus grand et, par conséquent, plus grand que a. De même il n’y a pas, dans la seconde classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de celte classe.

On serait sûr d’avoir défini une coupure et, par conséquent, un nombre A s’il était certain que la classification précédente n’a laissé échapper aucun nombre rationnel.

Or, si un nombre rationnel échappe à cette classification, c’est qu’il est, d’une part, plus grand que tous les nombres qui figurent dans la première classe, d’autre part, plus petit que tous ceux qui figurent dans la seconde : il est alors seul de son espèce, car, s’il y avait deux tels nombres a, [3(a<[ ,3), la différence entre un nombre de la seconde classe et un nombre de la première serait toujours supérieure à £ — y..

Si un nombre rationnel échappe à la classification, on a affaire à une séparation de tous les nombres rationnels en trois classes, telle qu’elle a été décrite au n° 12; le nombre rationnel unique qui échappe à la classification constitue précisément la classe intermédiaire : c’est lui qui est défini par la séparation précédente. Désignons-le par A. Puisque A est compris entre le nombre décimal obtenu en limitant le symbole donné au /i

chiffre décimal, et le même nombre dont on a forcé le

inné

dernier chiffre, ces deux nombres décimaux sont les valeurs appro-

chées de A, par défaut et par excès, à près; le symbole donné est donc la représentation décimale du nombre rationnel A; le symbole donné ne peut être que la fraction décimale périodique dont A est la fraction génératrice.

Si aucun nombre rationnel n’échappe à la classification, on a bien affaire à une coupure proprement dite. Cette coupure définit un nombre irrationnel A, puisqu’elle appartient au type 1 et, dans ce cas encore, on voit de suite que le symbole donné est la représentation décimale de A.

Le mode de raisonnement qu’on vient d’employer se rencontre assez fréquemment; en y réfléchissant un peu, le lecteur apercevra ce qu’il comporte d’essentiel, à savoir, les deux ensembles de nombres formés, dans ce cas particulier, l’un par les nombres décimaux déduits du symbole proposé en le limitant quelque part, l’autre par ces mêmes nombres dont on a forcé le dernier chiffre; tout nombre du premier ensemble est plus petit que chaque nombre du second; il y a des nombres pris respectivement dans les deux ensembles qui diffèrent aussi peu qu’on le veut : la coupure est formée en considérant d’une part les nombres rationnels inférieurs ou égaux aux éléments du premier ensemble, d’autre part les nombres rationnels supérieurs ou égaux aux éléments du second ensemble. On touche ici à une théorie très importante, celle des ensembles infinis, dans laquelle je ne pénétrerai pas davantage.

11 est à peine utile de parler des deux cas exclus au commencement du numéro. Si, dans le symbole donné, à partir d’un certain chiffre décimal, tous les chiffres sont des zéros, on ne tiendra aucun compte de ces zéros; on obtient ainsi un nombre décimai limité; c’est ce nombre que définit le symbole donné et dont ce symbole est la représentation décimale. Si tous les chiffres, à partir d’un certain rang, étaient des 9, comme dans le symbole 0,36999..., on reconnaît de suite que les termes de la suite indéfinie

0,369; 0,3699; 0,36999;    •••

s’approchent autant qu'on veut, pourvu qu’on aille assez loin dans cette suite, du nombre o, 37, obtenu en forçant le dernier des chiffres décimaux du symbole qui n’est pas un 9; c’est ce qu’on exprime en disant que cette suite a le nombre o,3^ pour limite : on pourrait bien dire qu’elle définit ce nombre; mais alors il ne serait plus exact de dire que le symbole, en le limitant au /îlème chiffre décimal, fournit la valeur approchée, par défaut, du nombre o,3^ qu’il définit : le symbole donné ne serait plus la représentation décimale du nombre qu’il définit. Aussi convient-il d’exclure complètement les symboles de cette sorte.

16. Égalité, inégalité des nombres irrationnels. — Ni l’égalité ou l’inégalité de deux nombres irrationnels, ni leur somme, leur différence, etc., n’ont encore été définies. Dans une exposition purement logique, toutes ces notions doivent être reprises l'une après l’autre, en s’appuyant uniquement sur cette notion de coupure qui sert à définir un nombre irrationnel (!); je ne toucherai que quelques points de cette théorie, de manière à faire comprendre comment elle peut se développer, et je ne craindrai pas d’avoir recours, au besoin, à l’intuition géométrique qui résulte de la représentation, sur l’axe X'X, des nombres rationnels ou non.

Je me placerai, dans ce qui suit, au point de vue du n° 12, où la définition d’un nombre A est obtenue par la séparation de tons les nombres rationnels en deux classes, s’il s’agit d’un nombre irrationnel, en trois classes, s’il s’agit d’un nombre rationnel. Je pourrai ainsi raisonner à la fois sur les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

Deux nombres A, B sont dits égaux quand leur définition est la même, quand les deux ou trois classes qui définissent l’un sont composées respectivement des mêmes nombres rationnels que les deux ou trois classes qui définissent l’autre. Ils sont le même nombre, ce que l’on marque en écrivant A= B. Ils sont représentés, sur l'axe X'X, par le même point, dont l’un ou l’autre est l’abscisse. Inversement, on a vu qu’à un point de cet axe ne correspond qu’un seul nombre,

(') C’est dans ce sens qu’elle est développée dans le premier Chapitre de mon Introduction à la Théorie des fonctions, xe édition, t. I, A. Hermann, 1904 J’aurai plusieurs fois à renvoyer le lecteur à cet Ouvrage, où les démonstrations sont présentées à un autre point de vue que dans les présentes Leçons. Ces renvois seront faits sous la rubrique : Intr.

son abscisse. Lorsque deux nombres sont égaux ils ont même représentation décimale : réciproquement, quand les représentations décimales de deux nombres sont les mêmes, ces deux nombres sont égaux.

Lorsque la définition des nombres A et B n’est pas la même, c’est que les classes qui définissent l’un des nombres ne sont pas les mêmes que celles qui définissent l’autre, que les points de l’axe X; X dont ces nombres sont les abscisses respectives ne sont pas les mêmes.

J’introduis ici la convention commode d’employer le même symbole, numérique ou littéral, pour désigner à la lois un nombre et le point de l’axe X'X dont ce nombre est l’abscisse. En mettant le mot nombre ou le mot point devant ce symbole, on évite toute confusion.

Si les deux nombres A, B ne sont pas égaux, c’est que les deux points A, B ne coïncident pas; l’un de ces points, B par exemple, est au delà de l’autre A; on dit alors que le nombre B est plus grand

Fig. 3.

X' 0

que le nombre A, que le nombre A est plus petit que le nombre B, et l’on écrit B A ou A < B; il y a entre les points A, B des points d’abscisse rationnelle ; si a est un tel point, on voit que le nombre rationnel a appartient à la classe supérieure relative à A, à la classe inférieure relative à B; réciproquement, s’il existe un tel nombre, le point dont il est l’abscisse est à droite du point A, à gauche du point B; le point B est à droite de A, le nombre B est plus grand que le nombre A. L’existence d’un nombre rationnel plus grand que le nombre A, plus petit que le nombre B, peut donc être prise pour la définition abstraite (J) de l’inégalité B>>A. Les inégalités B>> A, C> B entraînent C>> A, car le point B étant à droite du point A, le point G étant à droite du point B, il faut bien que le point C soit à droite du point A.

Un nombre est dit positif s’il est plus grand que zéro, négatif s'il est plus petit que zéro; les nombres positifs sont représentés par des ⁴ points situés à droite du point O; les nombres négatifs, par des points situés à gauche du point O.

Fig. 4.

X' A'

A tout point de l’axe correspond un point A', symétrique de A par rapport au point O. Les nombres A et A' sont dits symétriques (*); chacun d’eux est le symétrique de l’autre; le nombre zéro doit être regardé comme son propre symétrique. Des deux nombres A, A', s’ils ne sont pas nuis tous deux, l’un est positif, l’autre est négatif.

Si A désigne un nombre, on convient de représenter par -f- A le même nombre que A, par — A le symétrique de A.

Si le nombre A est défini par une coupure, il est bien aisé de voir quelle est la coupure qui définit le nombre symétrique A' : les nombres rationnels plus petits que A' sont les nombres rationnels plus grands que A changés de signe; les nombres rationnels plus grands que A' sont les nombres rationnels plus petits que A, également changés de signe; cette remarque contient évidemment la définition abstraite de deux nombres symétriques.

Celui des deux nombres A, — A qui est positif peut être regardé comme la valeur absolue commune à ces deux nombres.

17. Addition, soustraction. — Soient A, B deux nombres quelconques; la somme A + B de ces deux nombres est, par définition, un nombre plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques, respectivement plus petits que A, B et plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques, respectivement plus grands que A, B.

Voici comment on doit pratiquer la séparation des nombres rationnels en deux ou trois classes qui définit cette somme au sens du n" 12.

On range dans une première classe tout nombre rationnel égal ou inférieur à la somme de deux nombres rationnels, respectivement plus petits que A et

(') On dit plus souvent égaux et de signes contraires : outre qu’elle est longue, cette façon de parler est contradictoire ; si deux nombres sont égauÿ, ils ne sont pas de signes contraires. Il faudrait, pour la rendre correcte, l’allonger encore et dire égaux en valeur absolue et de signes contraires. Enfin on verra plus loin qu’elle ne peut s’appliquer aux nombres imaginaires, qui n’ont pas de signe.

que B: dans une seconde classe tout nombre rationnel égal ou supérieur à la somme de deux nombres, respectivement plus grands que A et que B. Il est clair que chaque nombre de la première classe est inférieur à n’importe quel nombre de la seconde classe.

Il n’y a pas, dans la première classe, de nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe, car, si le nombre c a été rangé dans la première classe, c’est qu’il est inférieur ou égal à la somme de deux nombres rationnels a, 6, respectivement plus petits que A, B; or, dans la classe inférieure relative à A, il y a un nombre rationnel a/ plus grand que a, dans la classe inférieure relative à B, il y a un nombre rationnel b' plus grand que b\ leur somme a'-h b' a dû être rangée dans la première classe de notre classification : or, elle est plus grande que a -+- b et, par suite que c. De même, il n’y a pas, dans la seconde classe, de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

Enfin il y a des nombres pris respectivement dans la première et dans la seconde classe, qui different aussi peu qu’on le veut : si l’on veut avoir deux pareils nombres, dont la différence soit moindre que e, il suffira de choisir deux nombres rationnels a et a1? l’un plus petit, l’autre plus grand que A et tels

que l’on ait ay— «< -> puis deux nombres rationnels 6, by l’un plus petit,

l’autre plus grand que B et tels que l’on ait by — b < a b appartiendra à la

première classe, ay-\-by à la seconde, et l’on aura {ay-\~ by)— (a-f-6)<e.

D’après cela, il ne peut échapper qu’un seul nombre rationnel à notre classification : en effet, un nombre rationnel x qui échappe à cette classification est forcément plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques, respectivement plus petits que A, B, c’est-à-dire que n’importe quel nombre de la première classe, et plus petit que n’importe quel nombre de la seconde classe; il ne peut donc y avoir deux nombres rationnels a, j3 (a <[ J3) qui échappent à la classification, puisque alors la différence entre un nombre de la seconde classe ( plus grand que J3) et un nombre de la première (plus petit que a) devrait être supérieure à — a.

S’il n’échappe aucun nombre à la classification, celle-ci définit une coupure du type I, c’est-à-dire un nombre irrationnel, qui satisfait manifestement à la définition de la somme qu’on a donnée au début.

S’il échappe un seul nombre rationnel à cette classification, c’est ce nombre rationnel lui-mème qui est la somme des nombres A, B. On est dans le cas de la séparation en trois classes.

La définition adoptée pour la somme de deux nombres A, B s’étend de suite à la somme d'autant de nombres A, B, C, ..., L que l’on voudra. Celle-ci est plus grande que la somme de nombres rationnels quelconques, respectivement plus petits que A, B, C, ..., L, et plus petite que la somme de nombres rationnels quelconques, respectivement plus grands que A, B, C, ..., L.

Que cette condition définisse une séparation des nombres rationnels en deux ou trois classes (n" 12), c’est-à-dire un nombre irrationnel ou rationnel, c’est ce qui résulte évidemment des raisonnements employés pour le cas de deux nombres.

11 résulte de cette définition, et de ce fait que la somme de plusieurs nombres rationnels ne dépend pas de l’ordre de ces nombres, que la somme des nombres A, B, G, ..., L ne dépend pas non plus de leur ordre, puisque, quel que soit cet ordre, les classes inférieure ou supérieure relatives à la somme seront constituées de la même façon.

Au lieu de définir tout d’un coup la somme des nombres A, B, L, on peut les supposer rangés dans un certain ordre, ajouter le second au premier, le troisième au résultat, le quatrième au nouveau résultat, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait épuisé tous les nombres. En se reportant au cas de deux nombres, on reconnaît de suite que la somme, ainsi définie, satisfait à la condition imposée par la première définition, en sorte que les deux définitions s >nt équivalentes.

Comme on peut amener aux premiers rangs tels termes de la somme que l’on veut, et que, d’après la seconde définition, on doit, pour effectuer la somme, ajouter d’abord entre eux ces premiers termes, on voit que, dans une somme quelconque, on peut remplacer tels termes que l’on veut par leur somme effectuée.

Pour figurer la somme de nombres représentés par des lettres ou des symboles quelconques, rangés dans un ordre déterminé, on commence par placer le signe -+- devant ceux de ces symboles qui n’ont pas de signe apparent, et l’on écrit les uns à la suite des autres ces symboles ainsi affectés de signes : toutefois l’habitude est de supprimer le signe qui précède le premier symbole, si c’est un signe -+-. Ainsi A — B -j- C représente la somme obtenue en ajoutant à A le nombre — B, puis le nombre C au résultat.

Les propriétés fondamentales de l’addition peuvent être résumées dans les formules suivantes :

(')

O)

A -h B = B +• A, A H-( B -4- G) = (A -+- B)

G.

(3)

A —f— o —■ A,

(4)

A — A = o.

Les deux premières se trouvent avoir été démontrées par ce qui précède : elle constituent ce que l’on appelle la propriété commutative et la propriété associative de l’addition.

En les admettant, et en regardant une conque de termes comme obtenue en ajoutant le second au premier, le troisième au résultat, etc., elles suffisent à montrer que, dans une pareille somme, on peut intervertir l’ordre des deux premiers termes, des deux derniers, de deux termes consécutifs; qu’on peut ranger les termes dans l’ordre qu’on veut, remplacer enfin tels termes que l’on

d’un nombre qnel-

somme

veut par leur somme effectuée. A cause des égalités (3) et (4), qui se démontrent sans peine en recourant aux définitions, on peut, dans une somme quelconque, supprimer des termes dont la somme est nulle et, en particulier, deux termes symétriques.

Deux nombres A et B étant donnés, la différence entre le nombre

A et le nombre B est, par définition, un nombre x tel que l'on ait

B -hx = A.

Supposons que ce nombre x existe, en ajoutant — B

T.

§ 2. — ÉTUDE D’UN POLYNOME A UNE VARIABLE POUR LES VALEURS DE LA VARIABLE VOISINES DE ZÉRO.

f(x) = {x — a)*g(x),

i.1. . .p

-h(xffa y fl, ■+■ *fl)p,

CHAPITRE III.

34

On a vu qu’à la racine a de ©(#), par exemple, cor

f(x)

CHAPITRE VI.

§ 2. — REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES IMAGINAIRES.

CHAPITRE VII.

z" =

C"= C"z Î + Cjï-G

Dans le cas où z ne figure pas dans Z2, qui se réd

3 s = 6,

Oi,pi)> (««> fh)i ••

Les n i polynômes du premier degré à n variables f

«2 a £*20 «2Ï ;

x — xxtx-4- ;r212,

¹

Ceux-ci ont été naturellement mes collaborateurs par les leçons que je leur entends faire à l’École normale, depuis plus de vingt ans. Par exemple, les nos 84 et 165-170 ont été rédigés d’après une leçon de M. Sibuet, que la mort a enlevé très jeune à l’enseignement et à la Science.

(²) Je dois remercier M. Hermann, l’éditeur de cette Introduction, pour la liberté qu’il m’a laissée de développer à nouveau plusieurs sujets que j’y avais traités.

²

Les considérations qui précèdent sont purement théoriques : les opérations que l’on a décrites ne sont pas réalisables; on ne peut pas diviser effectivement un segment donné en un nombre de parties égales aussi grand qu’on le veut : au-dessous d’un certain degré de petitesse on ne pourra plus distinguer le segment UV³ ; on ne pourra plus distinguer les points A„, Aw+t du point M ; les segments UV, OM ne peuvent pas être délimités exactement. C’est sur une droite idéale, sur une droite et des points géométriques, que l'on a raisonné, non sur des éléments réalisables.

³

11 y a quelque chose d’un peu choquant à parler d’opérations irréalisables comme si l’on pouvait les effectuer, et il y a lieu de reprendre les considérations précédentes sur un problème purement arithmétique, où on les retrouvera dans tout ce qu’elles ont d’essentiel. La définition des nombres irrationnels se trouvera ainsi convenablement préparée.

Dans le numéro qui suit, les nombres dont il sera question seront de ceux que l'on considère en Arithmétique; ils ne seront jamais négatifs; je me dispenserai de toujours dire nombres positifs; quand

⁴

C’est sur celte définition abstraite que, logiquement, la théorie de l’inégalité doit être fondée (Intrp. 17).

Supposons que ce nombre x existe, en ajoutant — B aux deux membres de l égalité précédente, on voit qu’on doit avoir

B -h x — B = A— B;

or, le premier membre est égal à x, d’après les remarques précédentes; le nombres, s’il existe, est la somme du nombre A et du symétrique — B du nombre B; d'ailleurs, si l'on ajoute B à cette somme A — B, elle devient A — B H-B ou A, en vertu des mêmes remarques; le nombre x existe, il est unique, et égal à A — B; ce dernier symbole représente aussi bien la différence entre A et B que la somme de A et de — B.

Je laisse au lecteur le soin de démontrer l’égalité

PR = PQ QR,

Fig. 5.

X'

où PR, PQ, QR sont les équivalents algébriques des vecteurs PR, PQ, QR situés sur l’axe X'X, dans le cas où ces vecteurs ne sont pas tous commensu-rables à l’unité de longueur. Cette démonstration, lorsque les nombres PR, PQ, QR sont positifs et mesurent ainsi les longueurs des segments PR, PQ, QR, résulte de ce que le segment PR est plus grand que les segments obtenus en plaçant bout à bout deux segments respectivement plus petits que PQ, QR et plus petit que le segment obtenu en plaçant bout à bout deux segments respectivement plus grands que PQ, QR, en sorte que le nombre qui mesure la longueur de PR doit être plus grand que la somme de deux nombres rationnels mesurant les longueurs de deux segments, commensurables à l’unité de longueur, respectivement plus petits que PQ, QR, .... On reconnaît la définition de la somme des deux nombres PQ, QR. La proposition, démontrée dans ce cas, s’étend ensuite, comme on le sait, à tous les autres, en examinant les diverses dispositions que peuvent avoir les points P, Q, R sur l’axe X'X.

18. Multiplication, division. — Pour définir le produit de deux nombres A et B, je supposerai d’abord que ces deux nombres soient positifs ; alors le produit AB de ces deux nombres est, par définition, un nombre positif plus grand que le produit de deux nombres rationnels positifs plus petits respectivement que A, B et plus petit que le produit de deux nombres rationnels plus grands que 4, B.

La séparation des nombres rationnels en deux ou trois classes, qui, d’après cela, définit le nombre AR, est pareille à celle qu’on a expliquée tout au long pour l’addition ; elle repose sur ce qu’un produit de deux facteurs augmente quand on augmente ces facteurs et sur ce qu’il varie très peu quand on modifie très peu les facteurs; je ne m’y arrêterai pas davantage.

Quand l’un des nombres A, B est nul, le produit AB est nul par définition.

Quand l’un ou l’autre des nombres A, B est négatif, on définit la valeur absolue du produit comme le produit des valeurs absolues de ces deux nombres, et l’on complète la définition du produit AB parla règle des signes, telle qu’on l’enseigne au début de l’Algèbre. Pour définir le produit de plusieurs nombres positifs A, B, G, ..., L rangés (ou non) dans un certain ordre, on peut procéder comme pour l’addition, définir ce produit tout d’un coup, ou de proche en proche. Dans le premier cas on suppose d’abord, comme pour deux facteurs, que les nombres A, B, C, . . ., L sont positifs et l’on complète la définition encore par la règle des signes.

Il est aisé de déduire des définitions les propriétés qu’expriment les égalités

AR = RA,

A(BG) = (AB) G,

(A -t- B)G - AC + CB,

A x i — A,

auxquelles je joins encore celle-ci :

A x o = o,

que j’ai signalée plus haut comme une définition.

(O

O)

(3)

(4)

(5)

Les égalités (i), (2) expriment ce que l’on appelle les propriétés commutative et associative de la multiplication, l’égalité (3) la propriété distributive relativement à l’addition.

Les propositions bien connues relatives à un produit de plusieurs facteurs se déduisent sans peine de celles qu’on vient d’écrire. 11 en est de même de celles qui concernent les exposants.

A chaque nombre A, non nul, correspond son inverse B, tel que l’on ait AB = 1. Supposons d’abord que A soit positif, la séparation des nombres rationnels en classes qui définit le nombre B s’obtiendra comme il suit : dans la première classe on range tout nombre qui est l’inverse d’un nombre rationnel plus grand que A, le nombre o et les nombres négatifs; dans la seconde classe, tout nombre qui est l’inverse d’un nombre rationnel positif plus petit que A.

Il est bien aisé de voir que cette définition implique l’égalité AB = 1 et qu’elle est nécessitée par cette égalité.

Si le nombre A est négatif, son inverse est un nombre négatif dont la valeur absolue est l’inverse de la valeur absolue du nombre A.

Si B est l’inverse de A, A est l’inverse de B. L’inverse de A se

représente par

Le nombre o ne peut avoir d’inverse, à cause de l’égalité (5).

Les deux nombres A, B étant donnés, et le second n’étant pas nul, le rapport de A à B, ou le quotient (exact) de A par B, est, par définition, un nombre x tel que l’on ait

B;r — A.

Ce nombre est unique et s obtient en multipliant A par l’inverse de B; c’est ce qu’on reconnaît sans peine en copiant Je raisonnement qui a été fait pour la soustraction : il se représente par ou A ; B. Les propriétés qu'expriment les égalités

CCI >

A m

B ni ’

Oi ce

A -b B

AA'

BB' *

AB'

~ A'B'

se démontrent comme dans les éléments de 1 Algèbre.

19. Le lecteur n’a pas manqué de remarquer que les définitions et démonstrations ont été données de façon à s’appliquer aussi bien aux nombres rationnels qu’aux nombres irrationnels, et que, quand il s’agit de nombres rationnels, les définitions des opérations sont d’accord avec les définitions classiques.

Les propositions fondamentales relatives au calcul des nombres rationnels s’étendent donc au calcul des nombres irrationnels ; il en est de même de toutes les conséquences qu’on en déduit dans les éléments de l’Algèbre, conséquences sur lesquelles je crois inutile d’insister.

En particulier, les règles élémentaires relatives aux combinaisons d’inégalités résultent de ces propositions. Voici quelques applications importantes de c?s règles au sujet qui nous occupe.

Si A est un nombre quelconque, il y a, parmi les nombres (rationnels) de la classe inférieure relative à A et ceux de la classe supérieure relative à A, des nombres (pii diffèrent de A aussi peu qu’on le veut : en effet, il y a dans les deux classes des nombres qui diffèrent entre eux aussi peu qu’on le veut et leur différence mutuelle est plus grande, en valeur absolue, que la différence de l’un ou l’autre d’entre eux avec A.

Si, en représentant par a un nombre rationnel positif, on désigne par n a et (n -|- i)a les valeurs approchées de A à a près par défaut et par excès, il est maintenant permis d’écrire, quel que soit A, les inégalités /ia£A<(n + i)!( et de dire que la différence entre /ia ou (/? i)a et A est, en valeur absolue, au plus égale à a. Chacune de ces différences, évidemment variables avec a, reste plus petite que tel nombre positif qu’on voudra, pourvu que a reste lui-même suffisamment petit; c’est ce qu’on exprime en disant que les valeurs approchées de A à a près, par défaut ou par excès, ont pour limite A, quand a tend vers zéro.

Plus particulièrement, si l’on désigne par uH la valeur approchée

de A à ^ près, par défaut,

on dira que un a pour limite A, quand n augmente indéfiniment, ou que la suite us, u₂, . . ., u,n ... a pour limite A, pour dire que la différence entre A et un reste, en valeur absolue, plus petite que tel nombre positif qu’on veut, pourvu que n soit suffisamment grand. La même façon de parler s’applique naturel-

lement aux valeurs approchées, à près, par excès.

On est assuré que les deux nombres A, I» sont égaux lorsqu'on peut prouver que leur différence A — B est moindre, en valeur absolue, que tel nombre positif s que l’on veut. En effet, si les deux nombres n’étaient pas égaux, leur différence ne serait pas nulle et, en prenant s inférieur à la valeur absolue de cette différence, il serait impossible que la valeur absolue de A — B fut moindre que s.

Plus particulièrement, comme l’on a, quel que soit a,

A-B = (A — a) — (B — «),

on est assuré de l égalité des deux nombres A, B, quand on est assuré de pouvoir trouver des nombres a dont la différence avec A et B soit moindre, en valeur absolue, que tel nombre positif que l’on voudra. Par exemple, si l’on sait seulement que les classes inférieures relatives aux nombres A, B sont identiques, sans rien savoir sur les autres classes relatives à ces deux nombres, on peut affirmer que ces deux nombres sont égaux; il y a, en effet, dans la classe inférieure commune à A et à B, des nombres rationnels a qui approchent autant qu’on le veut de A et de B.

C’est sur les propriétés fondamentales des opérations, ou sur les combinaisons d’inégalités résultant de ces propriétés, qu’on fonde en arithmétique la théorie des erreurs et des calculs approchés ; cette théorie s’applique sans difficulté aux nombres irrationnels dont on a des valeurs approchées ('). Connaissant des valeurs rationnelles a,

(*) Les mots valeur approchée peuvent être pris dans des sens différents, qu’il importe de distinguer.

Les valeurs approchées d’un nombre a, à a près, par défaut et par excès, ont été définies d'une façon précise aux numéros 5, 13.

Quand on dit une valeur approchée du nombre A, sans épithète, on entend simplement un nombre a qui diffère peu de A, un nombre tel que la valeur absolue de l’erreur A — a que l’on commet en remplaçant A par a soit petite: Sur le sens des mots petit et grand, je donnerai tout à l’heure quelques explications. Si l’on dit d’un nombre a qu’il est une valeur approchée de A avec une erreur moindre que le nombre positif oc, on entend que la valeur absolue de la différence A — a est moindre que x ou, ce qui revient au même, que A est compris entre a — i et a + a : a n’est pas nécessairement alors une valeur approchée de A à oc près, sauf dans le cas où a est de la forme nx, n étant un nombre entier, positif ou nul; si les représenta lions décimales des nombres a — a, a -+- a coïncident dans leurs premiers chiffres, ceux-ci appartiennent à la représentation décimale de A.

Voici maintenant quelques observations sur la signification des mots petit, grand, auxquels le lecteur est prié de se reporter à l’occasion : il ne s’agit ici que des va-

T.

KATEDRA I ZAKLAD jq ATEM AT V K 1 W Y D ZI A LU INZYNIF.RU

w krakowie

0₁ c, . . ., approchées de nombres quelconques A, B, C, ... et des limites supérieures des valeurs absolues des erreurs A — B C — c, . . ., on sait calculer une limite supérieure des erreurs commises en remplaçant dans une addition, une soustraction, une multiplication, une division, les nombres exacts par leurs valeurs approchées ; on sait trouver aussi, pour ces diverses opérations, une limite de l’erreur qu’il est permis de commettre sur les nombres approchés pour que l’erreur sur le résultat ne dépasse pas une limite donnée.

b,

Si, par exemple, on veut avoir le produit du nombre e = 2,7182818..

avec une erreur moindre que ---> on pourra substituer à ces nombres les va-

1000

leurs e' = 2,7188, rJ = 3,1416, approchées toutes les deux par excès avec une

leurs absolues. Il restera d'ailleurs, dans l’emploi de ces termes, une certaine imprécision.

Tout d’abord il est nécessaii’e de distinguer le sens absolu et le sens relatif des mots petit et grand. Quand ces mots sont employés au sens absolu, on doit regarder le nombre 1 comme n’étant ni petit ni grand; si maintenant il s’agit d’un nombre positif a, le plus simple pour évaluer, dans quelque mesure, sa petitesse ou sa grandeur, paraît être de se reporter à sa représentation décimale : si celte représenlation comporte une partie entière, non nulle, le nombre a ne sera pas petit; il ne conviendrait guère de le regarder comme grand si cette partie entière ne comporte qu’un chiffre; le nombre de chiffres de celle partie entière fournira une évaluation grossière de l'ordre de grandeur de a. On voit le vague qui subsiste dans cette définition, puisque deux nombres entiers, l’un de trois chiffres, par exemple, l’autre de quaire, peuvent différer très peu. Lorsque la partie entière est nulle, le nombre n’est pas grand. Il ne conviendra guère de le regarder comme petit si le premier chiffre décimal n’est pas un zéro : le nombre de zéros qui suivent la virgule avant qu’on rencontre un chiffre autre qu’un zéro fournira de même une évaluation grossière de l’ordre de petitesse du nombre, avec la même restriction que tout à l'heure. Il est clair que l’inverse d’un grand nombre doit être regardé comme petit, que l'inverse d’un petit nombre doit être regardé comme grand. En disant qu’un nombre a est voisin d’un nombre b, on entend que la valeur absolue de la différence a —b est petite. J’emploierai souvent l’expression un nombre voisin de o, pour dire un nombre dont la valeur absolue est petite, afin d’éviter la confusion entre les deux sens du mot petit, suivant qu’il s’agit, ou non, des valeurs absolues.

En disant maintenant qu’un nombre (positif) a est petit ou grand par rapport à un nombre (positif) b, on entend que le rapport - est petit, ou grand, au sens absolu que l’on vient d’essayer de préciser.

Disons de suite que les mots infiniment petit, infiniment grand, dont on fera ultérieurement usage, ont une signification tout autre; ils ne s’appliquent qu’à des variables : il s’agissait ici de nombres fixes.

l’erreur sur le produit 8,53981 128 sera en trop et

erreur moindre que moindre que

2.10⁴’

3_-f-_4    1

2.1o⁴ " 10⁴’

le produit cherché sera inférieur à 8,53982 et supérieur à 8,5 3g4; la valeur 8,53g est approchée à un millième près par défaut. On aurait pu se servir aussi, pour atteindre le même but, de la règle de la multiplication abrégée.

.)’ajoule enfin une dernière remarque.

Si l'on combine par addition, soustraction, multiplication ou division un nombre rationnel non nul a et un nombre irrationnel A, le résultat est un nombre irrationnel, comme on le voit de suite en raisonnant par l’absurde : si le produit a A, par exemple, était un nombre

rationnel b, l’égalité aA = b entraînerait A= A serait rationnel.

La proposition subsiste pour l’addition et la soustraction lors meme que a est nul.

Si les deux nombres que l’on combine sont irrationnels, le résultat peut être rationnel ou irrationnel. Par exemple le produit de y/2 par y/2 est 2, comme 011 le reconnaît en se reportant aux définitions de y/2 et du produit de deux nombres irrationnels : ce fait est d’ailleurs un cas particulier d’une proposition générale, qui sera démontrée au numéro suivant.

§ 2. — CALCUL DES RADICAUX. EXPOSANTS FRACTIONNAIRES, NÉGATIFS, IRRATIONNELS.

20. Définition de la racine    — Soient m un nombre naturel

autre que 1 et A un nombre positif quelconque, la racine mleme arithmétique de A est un nombre positif qui, élevé à la puissance />?, reproduit A. Un tel nombre, s’il existe, est évidemment unique, puisque la puissance mlème d’un nombre positif, plus petit ou plus grand que lui, est évidemment plus petite ou plus grande que A.

S’il y

a un nombre rationnel dont la puissance m,eme soit égale à A, c est le nombre cherché : ceci ne peut arriver que si A est lui-même rationnel, puisque le produit de plusieurs nombres rationnels est toujours rationnel.

Supposons maintenant qu'il n’y ail aucun nombre rationnel positif dont la puissance mîè,ne soit égale à A; alors les nombres rationnels positifs pourront se séparer en deux classes; on mettra dans la première tous ceux dont la nï'e'"e puissance est moindre que A, dans la seconde tous ceux dont la ni'eme puissance dépasse A : les nombres de la première classe sont tous plus petits que n'importe quel nombre de la seconde classe; on a donc défini une coupure dans l’ensemble des nombres rationnels positifs ; celte coupure définit elle-même un nombre B; le produit de m nombres rationnels positifs plus petits que B est au plus égal à la puissance nilème du plus grand d’entre eux, qui appartient à la première classe : cette puissance ni,ème est donc moindre que A : le produit de ni nombres rationnels positifs moindres que B est inférieur à A; de même le produit de m nombres rationnels plus grands que B dépasse A. A est donc, en vertu de la définition de la multiplication, égal au produit de m nombres égaux à B, égal à B/w. B est la racine mlèrae de A; cette racine se représente par y/A; Y indice m se supprime habituellement quand il est égal à 2.

Lorsque A est nul, sa racine mle,,,e est nulle aussi.

Lorsque A est négatif, il y a lieu de distinguer deux cas, suivant que m est pair ou impair.

Si A est négatif et m pair, il n’y a pas de nombre réel ( ') dont la puissance nilème soit égale à A, puisque la puissance m‘enie de o est o, et que la puissance mien,e d’un nombre positif ou négatif est un nombre positif. Le symbole "\f\. est dénué de sens.

Si A est négatif et m impair, il y a un nombre et un seul dont la puissance miè,,,e est égale à A, c’est le nombre négatif —"\/\ A| (²); il serait légitime de remplacer ce symbole par ⁷y/A; toutefois il nous sera commode, dans ce qui suit, de supposer que les nombres dont on prend la racine ne sont jamais négatifs.

ièitie

Remarquons enfin que, si A est positif, et si ni est pair, il y a deux nombres réels dont la puissance mle",e est égale à A, et seulement deux. "sJ A représentera toujours dans ce qui suit le nombre positif unique dont la puissance »iiei,,e est égale à A ou, comme 011 dit, la racine m ¹

arithmétique de A; la puissance m,èn,e du nombre négatif —™/A est aussi égale à A; c’est d’ailleurs le seul nombre négatif qui jouisse de cette propriété, puisque la puissance miènie de la valeur absolue d’un tel nombre doit être égale à A, en sorte que cette valeur absolue est Je nombre y/A, défini plus haut. Lorsque m est impair, il n'y a pas de nombre négatif dont la puissance    soit égale au nombre

positif A.

D’après les conventions qui précèdent, on doit écrire y/~a*=a ou \Ja¹ — — a, suivant que a est positif ou négatif : on a, dans tous les cas, y/«² = | a. |.

21. Je répète encore une fois que, dans ce qui suit, les nombres dont on écrira les racines seront toujours supposés positifs ou nuis, ainsique les racines elles-mêmes. Pour prouver qu’un nombre B est la racine mien,<; arithmétique d’un nombre positif A, il suffira de prouver que ce nombre est positif et que sa puissance miè,,,e est égale à A.

Pour extraire la racine tn'c'"a d’un produit de nombres positifs, ou du rapport de deux nombres positifs, on peut extraire la racine /nlèm,; de chacun des facteurs du produit, ou de chacun des termes du rapport : en d’autres termes, si «, 6, c, ..., /représentent des nombres positifs, on a

(0

(2)

mr—;--, mj— m /y />?/-    m/-r

yabc...l = y a y b yc... y /,

f—    ni /—

m/a    y a

\A = —

•yv

Dans les deux égalités, les deux membres sont essentiellement positifs; pour démontrer la première il suffit de prouver que la puissance mic,ne du second membre est égale à abc...l; or, cela résulte de ce que la puissance mièmc d’un produit s’obtient en élevant chacun des facteurs à la puissance m. La seconde résulte de même de la règle pour élever un rapport à la puissance m.

Si a et k sont des nombres positifs, on a

(3)

k "\[~â — ny~k^~â ;

en effet, le second membre d’après l égalité (i) est égal à "{/km \/a, et par conséquent à k"\ ci.

Par exemple 2 yj'i est égal à y 8.

L’égalité (3) permet de faire entrer un facteur positif sous un radical qui le multiplie; on fait passer le facteur sous le radical, en l'élevant à la puissance marquée par l’indice du radical; inversement on peut faire sortir d’un radical, dont l’indice est m, un facteur qui est une puissance mleme exacte, en extrayant la racine m,eme de ce facteur.

Si, a étant toujours positi f, k était négatif et si m était pair, km serait positif; on aurait alors

k m\fa ;

le dernier membre est positif comme le premier.

l soient

Si dans l’égalité (i) on suppose que les nombres «, /?, .. égaux et qu’il y aitp de ces nombres, elle devient

(4)

7^ = ('Vâ)".

Ainsi, pour élever à la puissance/?,emela racine m,emcd’un nombre positif, on peut élever ce nombre à la puissance p, et en extraire ensuite la racine mieme; on dit, dans le même sens, que, pour élever un radical d’indice m à la puissance /?, il suffit d’élever à la puissance p la quantité sous le radical ou, ce qui revient au même, de multiplier par p l’exposant dont est affectée cette quantité sous le radical.

Pour le même objet, on peut tout aussi bien, lorsque l’indice du radical est un multiple de p, diviser cet indice par p ; en d’autres termes, si l’on suppose m = pq, q étant entier, on a

(5)

les deux membres de cette égalité étant positifs, il suffit, pour prouver leur égalité, de montrer que leurs puissances q

puissance q emc du second membre est a, celle du premier est (/y/a)pq ou a.

Pour extraire la racine picme d’un radical, il suffit d’en multiplier l’Indice par/?; en d’autres termes

on a

ièmes

sont égales; la

(6)

mi>

va-

Il suffit en effet de prouver que les puissances mp'emes des deux membres sont égales ; celle du second membre est évidemment a ; celle

du premier peut s obtenir en l’élevant d’abord à la puissance />, ce qui donne "\J a, puis en élevant le résultat à la puissance /;?, ce qui donne encore a. L’égalité (6) entraîne évidemment la suivante

(7)

' / III r—

V \ Cl —

ni -

v/y/â,

qui peut s’énoncer ainsi : pour extraire la racine piéme d’un radical d’indice m, il suffit d’extraire la racinepieme de la quantité sous ce radical. Si la quantité sous le radical est une puissance yOien,e; si, en particulier, elle est mise sous la forme d’une quantité affectée d’un exposant qui soit un multiple de p, il suffira, pour extraire la racine p'em>', de diviser cet exposant par p. On a, en d’autres termes,

(8)

y/"ÿbïï="!jybïï=ybî.

Par exemple : ^2- = y/y/2² = y/2.

Si un radical porte sur une quantité affectée d’un exposant, si l'indice du radical et l’exposant de la quantité sous le radical ont un facteur commun, on peut supprimer ce facteur; en d’autres termes, on a

de \Jar(i ou de ar. un radical en divisant l’indice

ieme

le premier membre est en effet égal à la racine p Cette proposition permet de simplifier du radical et l’exposant de la quantité sous le radical par leur plus grand commun diviseur.

On a par exemple

Inversement, on peut évidemment multiplier par un même nombre naturel l’indice d’un radical et l’exposant de la quantité sous le radical.

Cette remarque permet, étant donnés plusieurs radicaux d’indices différents, de les remplacer par des radicaux égaux, et de même indice. On peut prendre pour l’indice commun le plus petit commun multiple des indices donnés. On élèvera la quantité placée sous chaque radical à une puissance dont l’exposant est le quotient du plus petit commun multiple par l’indice de ce radical.

Si, par exemple, on considère les radicaux y/3, \/i, y/â, v/7, on pourra les remplacer par

y*, y», y?-,

on aura, d’après l’égalité (i),

y/3 y/a y/5 y/7 = Ç/3¹².a⁸.5⁴.7³ ;

on aurait de même

y/3

a ⁶/3³

ï“VV

22. Exposants fractionnaires. — L’analogie entre la simplification des radicaux, la réduction de plusieurs radicaux à un même indice et la simplification des fractions, la réduction des fractions au même dénominateur est bien évidente; elle suggère naturellement la notation des exposants fractionnaires, cpie je vais expliquer.

Soit a un nombre positif : l’expression a'¹ est définie en Arithmétique comme le produit de 11 facteurs égaux à a\ elle 11’a de sens que si n est un nombre naturel; on va lui en donner un quand n est une

fraction — dont les termes sont des nombres naturels p, q : on a alors

par définition,

p

cfl — y/aP,

si q est plus grand que 1 ; lorsque q est égal à 1, on donne à la

même signifiration qu’à ctP. p

place par

Le symbole aq conserve la même valeur quand on rem une fraction égale.

En effet, supposons d’abord que p soit divisible par q et que l'on aitp=nq, n étant un nombre naturel; 011 a, par définition,

'PI

— 1/ a'"!,

et le second membre est égal à an : le résultat sera évidemment le

une autre fraction égale à n.

même si l’on remplace la fraction ^ par

Si p n’est pas divisible par q, soit la fraction irréductible égale

on aura p = p'/•, q = q'r, en désignant par r un nombre naturel;

égal à q\/aP'r — \/clP' ; le résultat sera évidemment le même si l’on remplace^ par n'importe quelle autre fraction égale, puisque celle-ci devra être égale à la même fraction irréductible

Avec cette notation, les règles relatives à la simplification d’un radical, ou à la réduction de plusieurs radicaux au même indice sont les mêmes que les règles relatives à la simplification d’une fraction, à la réduction de plusieurs fractions au même dénominateur.

Mais il y a plus, les autres règles relatives au calcul des exposants s’étendent à ces exposants fractionnaires : ces règles, que le lecteur traduira s’il le veut en langage ordinaire, s’expriment par les égalités suivantes, où a désigne toujours un nombre positif, où /->, q, pq' désignent des nombres naturels, d’ailleurs quelconques,

par définition, a ou a

'T⁷'

est

P'

q'

l'a

Si-

l'a

re

10

l'a

-«R

l'a

Considérons d'abord la première de ces égalités, elle a besoin de quelque explication : le second membre en effet n’a pas été défini : on n’a défini que les quantités affectées d’un exposant représenté par

une fraction à termes entiers. Il faut entendre que -+- A- est remplacé

P<ï + P 9

par la fraction à termes entiers

> qui, en vertu des règles de

est la somme des deux fractions -,

q q

• Ces explications une fois comprises, la dé-

qq'

l’Ari thmétique, fraction égale à

monstration de l’égalité (i) est immédiate : le second membre est, par définition,

ou par une

pq'+p'q

q q'

le dernier membre, d’après la définition des exposants fractionnaires, n’est autre chose cpie le premier membre de l’égalité à démontrer.

L’égalité (2) suppose, pour qu’elle ait un sens, que l’on ait >>

11 est bien aisé de voir que la règle qu’exprime l’égalité (i) pour deux facteurs s’étend à un produit de 3, 4? • • • facteurs.

ou pq'^> p'q ; on doit entendre le second membre, de la même faeo que le second membre de l’égalité (1), c’est-à-dire que l’expc

— -^1 doit être remplacé par la fraction à termes entiers

sant

, ou par une fraction égale; elle se démontre soit comme l’égalité (1), soit en constatant que, en vertu de l’égalité (1)? le*

pq'-p'q

qq' deux membres deviennent égaux quand on les multiplie par ctq.

L’égalité (3) est évidente si q et q' sont égaux à 1 ; la démonstration est immédiate si q' est égal à 1.

Je me borne au cas où q et q' sont plus grands que 1, le premier membre de l’égalité (3) représente, en vertu des définitions, la puis-

r _

sance p' de la racine q' de la quantité aq = \aP] en d’autres termes, ce premier membre est égal à

[Vî^

or, la quantité élevée à la puissance p' n’est autre chose que q^/aP,

et, pour élever cette quantité à la puissance //, il suffit de multiplier par p' l’exposant p de la quantité sous le radical; on obtient ainsi

ty/aPP': qui est la définition même du second membre.

Cette égalité (3) contient, comme cas particuliers, les règles suivantes, où r désigne un nombre naturel.

Pour élever une quantité affectée d’un exposant fractionnaire à la puissance /•, il suffit de multiplier par r le numérateur de l’exposant.

Pour extraire la racine rtèn,e d’une quantité affectée d’un exposant fractionnaire, il suffit de multiplier par r le dénominateur de l’exposant.

⁽1

Exposant zéro. — L’égalité (2) n’a pas de sens quand on a — elle reste toutefois vraie si l'on convient de regarder a⁰ comme

égal à i; c’est une convention qui sera adoptée dorénavant, il est clair qu’en adoptant cette convention, on a les égalités analogues aux égalités (i), (2), (3)

= «⁷,

a'J . a⁰ = a¹

£-0

P.

a¹ : «0 ₌ a'¹

= aq

U⁷

>’xo

= a° = 1 = (a⁰)⁷ , a⁰ x a° = a°+° = a° = i,

= a?

en d’autres termes, les règles de calcul relatives aux exposants se conservent, avec cette nouvelle extension.

Exposants négatifs. — Les exposants rationnels que l’on a considérés étaient des nombres absolus, entiers, fractionnaires ou nuis. Conformément aux conventions de l’algèbre, 011 confond, ici encore,

4-

ont, par

les nombres positifs avec leurs valeurs absolues; «⁺², a

3-

définition, le même sens que a², a~.

On va, maintenant, définir les puissances négatives d’un nombre positif a.

On a, par définition, en désignant par a un nombre rationnel positif (ou absolu)

(4) d’une façon plus explicite, si — est une fraction égale à a dont les

*7

termes soient des nombres naturels, on a l’égalité (4), qui peut s’écrire a~a.«a=i, pour s’énoncer en disant que, si l’on élève un même nombre positif a à deux puissances rationnelles qui soient des nombres symétriques a et — a, on obtient deux nombres inverses l’un de l’autre; on voit dès lors qu’elle subsiste, lors même que a est négatif. En se reportant à la définition de l’exposant o, on voit qu’elle est encore vraie quand a est nul.

Les règles relatives au calcul des exposants subsistent avec cette nouvelle extension, c'est-à-dire que l’on a, quels que soient les nombres rationnels a, {3 positifs, nuis ou négatifs,

».o «o

a*, ci? — «a+P,

aa : «P = ax_P,

(ax)P = aap.

On doit entendre la première égalité, par exemple, de la façon suivante : dans le second membre, a + [3 doit être remplacé par la fraction db — > à termes entiers positifs /?, q que l'on obtient en effectuant

la somme a + [3, d’après les règles de l’arithmétique et de l’algèbre

élémentaire, et aa+P doit être regardé comme égal à aP ou à ¹—

sfai'

suivant que la somme a + (3 est égale à + ~ ou à — ^• Si a + (3 était nul, «a+P devrait être regardé comme égal à i. Les autres égalités s’interprètent de la même façon.

Lorsque a et [3 sont positifs ou nuis, l’égalité (5) résulte des règles relatives aux exposants positifs ou nuis.

Si a est positif et si (3 = — [3' est négatif, le premier membre de l’égalité (5) est, par définition, égal à

ax :aP'.

Si [3’ est égal ou inférieur à a, le second membre est égal à ci*-'?' ; mais a — [if est alors égal à a + [3, l’égalité (5) est vérifiée. Si [if était supérieur à a, on aurait

aP'-*

a* : aP’ =

la dernière égalité résultant de la définition des exposants négatifs, puisque [3¹— a est positif; mais — (jü'— a) n’est autre chose que a+ [3; l égalité (5) est encore vérifiée.

Si a est négatif et [3 positif, l égalité (5) est encore vraie, comme on le voit en échangeant les deux nombres a, [3 : on est ramené au cas précédent.

Si a — — a' et (3 — — (3' sont tous deux négatifs, !e premier membre de l’égalité (5) est, par définition, égal à

= a~'(«'i-P') — aa.+$'

Enfin, on reconnaît sans peine que l’égalité (5) est encore vraie, quand l’un ou l’autre des nombres a, [3 est nul.

L’égalité (6) est contenue dans l’égalité (5) : en effet, on a, dans tous les cas, et, par suite

«P “

or le second nombre, en vertu de l’égalité (5), est égal à a élevé à la puissance a + (— (3) = a — [3.

Enfin l’égalité (7) se démontre encore, dans tous les cas, en remontant aux définitions et aux règles pour la multiplication des nombres relatifs.

23. Exposants irrationnels. — 11 reste, pour compléter ce sujet, à •définir quand a est irrationnel : on suppose toujours «7>o; je vais commencer par supposer a >* 1. Le nombre irrationnel a est défini par une coupure qui sépare les nombres rationnels en deux classes, la classe inférieure qui comprend tous les nombres rationnels plus petits que a, la classe supérieure qui comprend tous les nombres rationnels plus grands que a. Par définition, aa Sera un nombre plus grand que tout nombre obtenu en élevant a à une puissance dont l’exposant est un nombre (rationnel) de la classe inférieure, relative à a, plus petit que tout nombre obtenu en élevant a à une puissance dont l’exposant est un nombre (rationnel) de la classe supérieure, relative à a.

On montrera qu’il y a bien là une définition du nombre «a, en prouvant que chaque nombre obtenu en élevant a à une puissance rationnelle a'<<a est inférieur à n’importe quel nombre obtenu en élevant a à une puissance rationnelle a">>a, et que, parmi les nombres de la première et de la seconde espèce, il s’en trouve

qui different aussi peu qu’on le veut; on s’aidera enfin, pour compléter la démonstration, d’une image analogue à celle du n° 10.

24. i⁰ Je vais prouver que, si d et d' sont deux nombres rationnels,

dont le premier est inférieur au second et'

Ou<pü

on a

(«)

cette inégalité équivaut évidemment à la suivante :

aX

a*

a"— d est un nombre rationnel positif : l’égalité précédente sera donc établie si l’on montre qu’en élevant un nombre a plus grand que i à

une puissance rationnelle positive -, on obtient grand que i ; en d’autres termes, on a

Va,J> •;

un

nombre plus

ième

a P est le produit de p facteurs égaux à «, donc plus grands (pie i; a P est plus grand que i : l’inégalité précédente sera établie si l’on prouve que la racine q'eme d’un nombre A plus grand que i est elle-même plus grande que i; or elle ne peut être plus petite que i, puisque la puissance qleme d’un nombre plus petit cpie i est plus petite que i et ne peut donc être égale à A; la racine qlemc de A ne peut pas non plus être égale à i puisque la puissance qleme de i est î. La racine q de A est donc plus grande cpie i. La proposition énoncée et l’inégalité (i) sont établies.

2° Je vais prouver, en désignant par a', d'des nombres rationnels assujettis seulement à être inférieurs, en valeur absolue, à un nombre positif fixe /•, que les nombres a³¹', a*' sont aussi voisins qu’on le veut, pourvu que d soit suffisamment voisin de a" : on a, en supposant d <C a",

aa" — a*'=    — *)î

les deux facteurs du second membre sont positifs, puisque, d'—d étant positif, on a «a"~a/— i >> o; le facteur aX' est d’ailleurs moindre que a'\ puisque cd est plus petit que /•; on a donc en posant, pour

abréger, a"— a/=[3

o < a*" — «<*'< ar(aP— i);

pour établir la proposition énoncée, il suffit de prouver que la quantité qui figure dans le dernier membre des inégalités précédentes est plus petite que tel nombre positif î que l'on voudra, pourvu que ₍3 soit suf-lisamment petit.

Or, si l’on désigne par ni la valeur approchée de par excès, à une

F

unité près, on aura

XO.

P<“»

/Il

a$<Ca'n

ou

ni/—

y a

et, par conséquent,

o •< aP — i <i"î/a —

tout est donc ramené à montrer que le nombre positif ^/a — i est plus petit que e' = pourvu que I on prenne ni assez grand; en d'autres termes, que l’une ou l’autre des inégalités équivalentes est vérifiée, pourvu que l’on prenne le nombre naturel ni assez grand.

Le nombre (i+s')"* étant supérieur à î -\-ms! (*), il suffira de

(') Ceci se démontre de proche en proche : on a évidemment

(l + £ )²

l 4“ 2S4- S²< I 4“ 2 S

en admettant que, pour le nombre naturel n, on ait

(î 4- s)“> î H- ns,

on en conclut, en multipliant les deux membres par (i + e), que l’on a

H- (ft + î) E + 71 E⁵

(î 4- e)',+1>(i h- nt ) (î 4- e)

ou

eL, par suite

(î 4- «)ra+1> I 4-(/i 4- i)e;

la proposition est vraie pour n — 2,3,...; elle est générale.

CHAPITRE I.

48

prendre m assez grand pour avoir i + ms'>> «; de prendre, par exemple, m supérieur à la partie entière de

(a — i )ar

s'

Notons en passant que l’on a établi la proposition suivante :

Si a', cl" sont des nombres rationnels plus petits en valeur absolue que le nombre positif /*, on aura

| aa"— aa' | < t

pourvu que la valeur absolue de a"— a' soit inférieure à en désignant par m la partie entière de ——augmentée d’une unité. Sous cette forme la proposition ne suppose pas a'< a".

25. Revenons à la définition de quand a est un nombre quelconque. Si l’on désigne par a', a" des nombres rationnels tels que l’on ait

(0

a' < a < a",

et d’ailleurs quelconques, on aura

aa'< a*";

il y a des nombres rationnels a', a" satisfaisant à la condition (i) qui sont aussi voisins qu’on le veut, et tels, par conséquent, que arx' et ci%" soient aussi voisins qu’on le veut.

en

Imaginons que, sur l’axe X'X, on ait marqué en bleu tous les points dont l’abscisse est de la forme «*', en rouge tous les points dont l’abscisse est de la forme «a ; chaque point bleu est en deçà de chaque point rouge. Au delà de chaque point bleu, par exemple du point «a', il y a d’autres points bleus, par exemple le point aa 1 prenant pour a' un nombre rationnel satisfaisant aux conditions

a' < a', < a ;

de même, en deçà de chaque point rouge,

il y a d’autres points rouges. Colorons en bleu la partie de l’axe qui est à gauche de n’importe

quel point bleu, en rouge la partie de l’axe qui est à gauche de n’importe quel point rouge. Appelons point blanc tout point (s’il y en a) qui n’est coloré ni en bleu ni en rouge. La partie bleue n’empiète pas sur la partie rouge; entre les parties rouge et bleue il n’y a pas d’intervalle blanc, puisqu’il y a des points bleus et des points rouges aussi voisins qu’on le veut.

La partie bleue et la partie rouge ne peuvent être séparées que par un point, en deçà duquel sont les points bleus, au delà duquel sont les points rouges, qui ne peut être un point bleu, puisque au delà de tout point bleu il y a encore des points bleus, qui ne peut être un point rouge, puisqu’en deçà de tout point rouge il y a encore des points rouges. C’est ce point de séparation dont l’abscisse est, par définition, le nombre aa.

Cette image, toute grossière qu’elle est, donnera au lecteur une idée suffisante de ce qu’est le nombre «a quand a est irrationnel.

Quant à la définition abstraite de la coupure qui constitue la définition abstraite de «a, il suffira de dire, en conservant aux nombres a', a" la même signification que plus haut, qu’on range dans la classe inférieure tout nombre rationnel qui est inférieur ou égal à un nombre de la forme aa', dans la classe supérieure tout nombre rationnel qui est supérieur ou égal à un nombre de la forme aa". De ce qu’il y a des nombres de la première et de la seconde forme qui sont aussi voisins qu’on veut, on déduit sans peine que, si un nombre rationnel échappe à la classification, il est seul à échapper à cette classification, et constitue la classe intermédiaire du n° 12; ce nombre rationnel unique est alors ota. Si aucun nombre rationnel n’échappe à la classification, on a affaire au premier mode de classification du n° 12 ; il définit alors le nombre irrationnel aa. Il est aisé de démontrer, sous forme abstraite, que, dans un cas comme dans l’autre, le nombre aa est plus grand que tous les nombres de la forme plus petit que tous les nombres de la forme a*"..

Lorsque a' et y." sont très voisins de a, et, par conséquent, très voisins l’un de l’autre, les nombres a⁰¹', aa" fournissent des valeurs approchées de «a, par défaut et par excès, avec une errreur moindre que «a" — rta'; on a donné à la fin du numéro précédent une limite supérieure de cette erreur, qui peut être supposée aussi petite qu’on le veut, pourvu qu'on prenne a' et a" suffisamment voisins. Quant aux nombres ora', ora//, on peut les calculer avec telle approximation

¹

Je rappelle que les nombres réels sont le nombre o et les nombres relatifs donL la valeur absolue est un nombre rationnel ou irrationnel; les nombres réels ont seuls été définis jusqu’ici.

(²) Le symbole | A ] s'énonce et veut dire valeur absolue de A.

T.

que l’on veut, par des extractions de racines. La définition du nombre a* fournit ainsi un moyen de le calculer approximativement.

Quand on se donne l’un des nombres rationnels a', a", très voisin de a, on peut choisir l’autre aussi très voisin de a et, par conséquent, très voisin du premier. Il suit de là que l’erreur qui consiste à remplacer a* par ci*', ou a*", peut être supposée aussi petite qu’on le veut, pourvu qu’on suppose a', ou a", suffisamment voisin de a.

La propriété fondamentale qu’exprime l’égalité

(O

a*.ciP=

subsiste quels que soient les nombres a, (3. Si l’on désigne, en effet, par a', a" et (3', J3V des nombres rationnels tels que l’on ait

a' < a < a",

on aura

en vertu de ces inégalités et de la définition de aa, «P,

a*' < a« < ci*”,

aP' < a? < ap",

d’où il résulte que le produit a*.ci$ est compris entre les produits a*'. aV = a*'⁺$' et a*".a^"— a*"⁺$"\ mais a'-f- J3' et a" -f- [3" sont des nombres rationnels qui vérifient les inégalités

oé -f- <C * -+- P <C ot -f- p ,

et il résulte de la définition de «a+P que ce nombre doit, comme le produit a*.a$, être compris entre a*'+<?' et ci*"^"\ or, les nombres y/ et o. d’une part, j3' et de l’autre peuvent être pris assez voisins pour que les deux nombres oê+j3' et a"+(3" et, par suite, les nombres a*'⁺V et a*"+<?" diffèrent aussi peu qu’on le veut : il 11e peut donc y avoir aucune différence entre les deux nombres a*.a$ et «a+P, qui peuvent être compris entre des nombres aussi voisins qu’on voudra.

En supposant (3 = — a dans l'égalité ( 1 ) et en se rappelant qu’on a a⁰ = 1, on obtient

a*. a~a = 1,

a-« = — ; a*’

puis, en changeant dans la même égalité [3 en — [3, et tenant compte

NOMBRES IRRATIONNELS.

5i

de la propriété qu’on vient d’établir,

a*-P.

« aa aa.a~P = —T?

Pour la définition de «a, j’ai supposé a >> i ; cette supposition n'a rien d’essentiel. Si a est un nombre positif plus petit que i, on peut reprendre la suite des propositions qui aboutit à la définition de a'³-avec quelques modifications, dont la principale consiste en ce que l’on a, en désignant par a', et!' deux nombres rationnels, dont le premier est le plus petit, a⁰-' ]> a'³-' au lieu d’avoir a*'<< arj-". On évitera ce recommencement en remarquant que, si a est un nombre positif plus petit que i, il est l’inverse d’un nombre b plus grand que i, et, en définissant aa par l’égalité

aa =

b*’

la propriété fondamentale ( i ) subsiste encore.

Si a est égal à i, ia est regardé comme égal à i, quel que soit a; oa est regardé comme égal à o si v. est positif; ce symbole n’a pas de sens quand a est nul ou négatif. Lorsque a est négatif, le symbole ax n’a de sens que si a est un nombre entier, ou une fraction irréductible à dénominateur impair; il n’a pas de sens, en particulier, quand a est irrationnel.

11 resterait à montrer que la propriété qu’exprime l’égalité établie lorsque a, [3 sont des nombres rationnels, subsiste dans tous les cas; afin d’éviter quelques longueurs, je renverrai celte démonstration à un autre Chapitre.

On peut enfin remarquer, en revenant au cas où a est plus grand que i, que la proposition qui termine le numéro précédent ne suppose nullement que les nombres a', a" soient rationnels; la démonstration de cette proposition repose, en effet, sur des propriétés qui ont maintenant été étendues au cas des exposants irrationnels. Il en est de même de cette inégalité

a*' < a«",

qui a été le point de départ des explications du n°25; elle reste vraie, en supposant af< a", lors même que a' et a!' seraient irrationnels; elle équivaut, en effet, à l’inégalité a%"~^^>1, dans laquelle a"—a' est positif ; or «P, si [3 est positif, est plus grand que 1, puisque l’on a, en désignant par (3' un nombre rationnel positif plus petit que [3, ciV et que est plus grand que 1.

§ 3. - EXTENSION DE L’IDÉE DE COUPURE : ARCS, AIRES.

26. Le lecteur n’a pas manqué de remarquer que la définition de pour a irrationnel, reposait sur une extension de la notion de coupure; je n’exposerai pas ici les théorèmes généraux auquels donne lieu cette extension, dont je me contenterai de donner tout à l’heure quelques exemples.

cas

Auparavant, je veux faire une remarque. On n’a considéré jusqu’ici que des coupures pratiquées dans l’ensemble des nombres rationnels; on pourrait, tout aussi bien, considérer une coupure pratiquée dans l’ensemble des nombres réels, ranger tous ces nombres dans une première et dans une seconde classes, tous les membres de la première classe étant plus petits que chaque nombre de la seconde classe; une pareille coupure définit encore un nombre, comme on le voit, par exemple, en pensant à 1 image qui nous a servi plusieurs fois : seulement, ici, ce nombre a dû forcément être rangé soit dans la première, soit dans la seconde classe. On voit sans peine que, dans le premier il est le plus grand des nombres de la première classe et que, dans le second, il est le plus petit des nombres de la seconde classe.

Arcs et aires. — Soit à définir la longueur de la circonférence d’un cercle (G). Désignons, en général, par p le périmètre d’un polygone (p) convexe inscrit dans le cercle, par p' le périmètre d’un polygone (p') circonscrit au cercle; une proposition classique de géométrie élémentaire fournit de suite l’inégalité p <p' ; d’autre part, un raisonnement bien connu permet de montrer que, en choisissant pour les polygones (p) et (p') des polygones réguliers d’un même nombre de côtés, suffisamment grand, la différence p'— p peut être supposée aussi petite qu’on le veut. Ces deux remarques, en s’aidant de la même image qui nous a déjà servi aux nos 10 et 25, suffisent à définir la longueur de la circonférence comme un nombre plus grand que le périmètre d’un polygone convexe quelconque inscrit dans le cercle, plus petit que le périmètre d’un polygone quelconque circonscrit au cercle. Il suffira, en effet, d’imaginer que sur l’axe X'X on ait figuré en bleu, d’une part, les points dont l’abscisse est égale au périmètre d’un polygone convexe inscrit; qu’on ait figuré en rouge, d’autre part, les points dont l’abscisse est égale au périmètre d’un polygone circonscrit, qu’on ait coloré en bleu toute la partie de l’axe qui est en deçà d’un point bleu, en rouge toute la partie de la droite qui est au delà d’un point rouge, pour reconnaître que la partie bleue ne peut empiéter sur la partie rouge, et qu’il ne peut y avoir aucun intervalle entre la partie bleue et la partie rouge; ces deux parties sont séparées par un point dont l’abscisse est la longueur de la circonférence. Un polygone inscrit et un polygone circonscrit fournissent des valeurs approchées, par défaut et par excès, de cette longueur avec une erreur moindre que la différence entre les deux périmètres. Il va de soi que cette définition pourrait être présentée sous forme abstraite.

Elle s’étend à la définition de la longueur d’une courbe fermée

convexe, pourvu qu’on sache établir l’existence de polygones inscrits et circonscrits dont les périmètres diffèrent aussi peu qu’on le veut.

Elle s’étend aussi à la définition de la longueur d’un arc de courbe convexe, en particulier à la définition de la longueur d’un arc de cercle AB, celle-ci étant plus grande que la longueur de toute ligne brisée convexe inscrite dans AB, commençant en A, finissant en B, et plus petite que la longueur de toute ligne brisée circonscrite à l’arc et limitée aux mêmes points A, B.

Si l’on considère un troisième point G du cercle, tel que B soit compris entre A et C, et si l’on désigne respectivement par «, b, c les longueurs des arcs AG, AB, BC, on aura a = b + c.

peut faire en sorte que a', b\ c' dif-

on

Considérons, en effet, une ligne brisée convexe incrite dans l’arc AB, commençant en A, finissant en B, une ligne brisée convexe inscrite dans l’arc BC, commençant en B, finissant'en C, leur réunion constituera une ligne brisée inscrite dans l’arc AC; désignons respectivement par b\ c\ ci' les longueurs des lignes brisées inscrites dans les arcs AB, BC, AC; on aura a'— b'-\-c'\ or, en choisissant pour les lignes brisées des lignes brisées régulières d’un nombre de côtés suffisamment grand

fèrent aussi peu qu’on le veut de a, b, c; les deux nombres a et b + c sont donc égaux, puisqu’il y a des nombres a! — //+ c' qui diffèrent aussi peu qu’on le veut de l’un ou de l’autre.

L’aire d’un cercle (C) peut se définir de la même façon. Désignons par p l’aire d’un polygone (/?) dont la ligne fermée qui le limite ait tous ses points à l’intérieur du cercle G ou sur sa circonférence ; par p' l’aire d’un polygone (p') dont la ligne fermée qui le limite ait tous ses points à l’extérieur du cercle (G) ou sur sa circonférence ; on aura p p'. D’un autre côté, en prenant pour les polygones (p) et (p') des polygones réguliers d’un même nombre de côtés, suffisamment grand, il est aisé de voir que la différence p'— p peut être supposée aussi petite qu’on le veut.

L'aire du cercle peut, d’après cela, être regardée comme un nombre plus grand que l’aire de n’importe quel polygone (/>), plus petit que l’aire de n’importe quel polygone (p'). Cette propriété, en vertu d’une démonstration que je crois inutile de répéter, suffit à définir cette aire. Les nombres p et p en fournissent des valeurs approchées avec une erreur moindre que p' — p.

Il est évident que ce mode de définition s’étend à l’aire d'une courbe fermée quelconque, pourvu qu’on sache prouver que, parmi les polygones intérieurs à la courbe et les polygones extérieurs, il y en a dont les aires diffèrent aussi peu qu’on veut.

On pourrait ensuite démontrer, d’une façon analogue à celle dont on s’est servi pour les arcs, que, si l’on considère deux aires P, Q, limitées respectivement par les lignes ABG, DBG, qui ont une partie commune, les deux aires n'ayant pas de points communs en dehors de la limite commune BC, le nombre P + Q mesure l’aire totale, obtenue en supprimant la limite commune BG, et limitée ainsi par la courbe ABDC. On suppose, bien entendu, que la définition qui a été précédemment esquissée s’applique aux aires considérées.

EXERCICES.

1. Calculer les valeurs approchées à 0,01 près, par défaut, des nombres

l>9

rl I

en supposant

iz

3,i4i59..

2,71828

2. Soit a un nombre entier plus grand que i et n un nombre naturel quelconque; la valeur approchée à près, par défaut, d’un nombre quelconque À peut se mettre sous la forme

A    a2

A,t = a₀ -4-    -+-

â*

a«

a'¹

en désignant par a₀ un nombre entier et par ah a₂, .. ., des nombres entiers positifs ou nuis, moindres que a, et ne peut être mise sous cette forme que d'une seule façon.

En supposant a = 2, A „ = ^2, n = 10, calculer les nombres a₀, an a₂ ..., a₁₀.

3. En supposant qu’on ait obtenu, sous la forme indiquée dans l’exercice précédent, la valeur approchée à près de A, par défaut, quelle est la valeur

approchée de A, par excès, à près ? quelle est la valeur approchée de A par défaut, à près, en supposant que le nombre naturel p soit inférieur à ni

4. En conservant les mêmes notations que dans l’exercice (2), il est clair que, si l’on se donne les nombres A et a, le nombre art est déterminé, quelque grand que soit le nombre naturel n : Dans quel cas arrive-t-il que tous les nombres soient nuis à partir de l’un d’eux ? Dans quel cas arrive-t-il qu’ils se reproduisent périodiquement, à partir de l’un d’eux?

Quelle est la période des nombres aj, a₂, ..., a„, . .., quand on prend a = 2,

A — - ?

7

11 ne peut pas arriver que les nombres oq, a₂, ..., asoient tous égaux à a — 1, à partir de l’un d’eux.

5. Si l’on se donne, d’une part, le nombre entier a plus grand que 1 et, d’autre part, le nombre entier positif, nul ou négatif a₀, et la suite infinie (*) de nombres entiers positifs ou nuis et tous inférieurs à a,

aj, a₂,

(') En disant que la suite a,, a₂, ..., an, ... est infinie, on entend que chaque terme de cette suite est suivi d’un autre terme; en disant qu’on se donne cette suite, on entend qu’on se donne le moyen de calculer n’importe quel terme de cette suite quand on connaît son rang.

il existe un nombre rationnel ou irrationnel A dont la valeur approchée à — près, par défaut, est

.    a i a₂

an ’

A„_a₀-h - -H-, -H...

et cela quel que soit le nombre naturel n, pourvu toutefois que les nombres at, a₂,    a/(, ... ne soient pas, à partir de l’un d’eux, toujours égaux

à a — i. Si pour u'Z.p on a an — a— i, le nombre A„, quand n grandit indéfiniment, s’approche indéfiniment de la limite A/;-t- — •

6. On peut calculer la valeur de «a où a et oc sont des nombres positifs donnés, avec telle approximation que l’on veut, par des multiplications et des extractions de racines carrées : il suffit pour cela de remplacer a par sa valeur

approchée à — en prenant n suffisamment grand. Montrer comment le calcul

peut se faire en profitant de la forme indiquée à l’exercice 2.

Calculer de cette façon 3 ^ en se servant de la valeur approchée de s/->.

à près : Sur quelle approximation peut-on compter?

7. On donne une suite infinie oq, .. plus grands que i.

La valeur approchée d’un nombre A à

a„, ... de nombres entiers, tous

di et2... (tu

mettre, et cela d’une seule façon, sous la forme

près, par défaut, peut se

Cl\ Œ\ Ct/%

où a₀ désigne un nombre entier et ai, a₂, ..., a„ des nombres entiers tous positifs ou nuis, respectivement inférieurs à oq, a₂₅ • •., (in.

Calculer les nombres a₀, aj, a₂, a₃, av en supposant A = 2,7182818. . . et a, = 2, rt₂=3,    1, ....

Supposons, en revenant au cas général, qu’on ait mis la valeur approchée

de A à

a, «₂ • ■ •

ment peut-on mettre sous la même forme, la valeur approchée de A à

près, par défaut, sous la forme indiquée plus haut, com-

près, par excès, la valeur approchée de A à supposant le nombre naturel p inférieur à n?

al a₂..

- près, par défaut, en

. Clp

8. Si, dans l’exercice précédent, on suppose que n croisse indéfiniment, le nombre an est évidemment déterminé, pour chaque valeur de /?, quand 011 se

donne A. Montrer qu’il ne peut pas arriver que l’on ait pour toutes les valeurs de n égales ou supérieures à /?, a/t = atl— i.

Si l’on suppose, comme dans l’exemple numérique de l’exercice précédent, •que l’on ait

a i = 2,

«2= 3,

a u — il -l- i,

les nombres af, a₂, ..., a„ seront tous nuis à partir de l’un d’entre eux si V est rationnel, et seulement dans ce cas.

-près, par défaut, soit égale à

•

«i a₂ ..

9. Si l’on se donne, d’une part, la suite infinie de nombres entiers oq, a₂, .. ..., tous plus grands que i, d’autre part le nombre entier a₀, et la suite infinie de nombres entiers positifs ou nuis cq, a₂, ..., a„, ... respectivement plus petits que oq, a₂, .. ., a,t, il existe un nombre A tel que la valeur approchée de ce nombre à

. «1 A» — %o -j---+-

<X„

a,

CL\ Cl%

CL i CL O • • • CL

et cela quel que soit n, pourvu que l’on n’ait pas a,j= an—i pour toutes les valeurs de n supérieures ou égales à un nombre naturel p.

Dans le cas où l’on a oc,j= atl—i pour toutes les valeurs de n supérieures ou égales à /?, le nombre A,|, quand n grandit indéfiniment, s’approche indéfiniment de la limite Ap-f-

10. A quelle condition les nombres rationnels «, b, a\ b' doivent-ils satisfaire pour que l’expression

ci A —f— b

où A est un nombre irrationnel, soit un nombre rationnel ?

ne

11. Si a et b sont des nombres rationnels positifs, le nombre y/a -+- y/b peut être rationnel si a et b ne sont pas les carrés de nombres rationnels. Il en est de même de yla — y/é, en supposant a différent de b.

12. Si a, b sont des nombres rationnels et si l’on a b > o, les expressions (a-Hy/^)³, (a — y/b'Ÿ ne peuvent pas être des nombres rationnels, à moins que b ne soit le carré d’un nombre rationnel.

13. On ne peut pas avoir une relation de la forme a y/a² -+- b y/a -4- c = o,

est rationnel. On montrera que les quantités qui figurent sous les racines

— b³

cubiques sont les cubes d'expressions de la forme a -+- (3    —

où a, 6, c, a sont des nombres rationnels si a n’est pas le cube d’un nombre rationnel ou si a, 6, c ne sont pas nuis à la fois.

14. En désignant par a, & des nombres rationnels satisfaisant aux conditions a > o, a² >> 6, les conditions nécessaires et suffisantes pour que l’expression y/a4-y/ô-H\/a— y/6 soit un nombre rationnel consistent en ce que

a -+- y/ct² — b

a²— b doit être, ainsi que

> le carré d’un nombre rationnel.

15. On a

y/a 4- 2 /n y/a — /n² + /a — 2 i» y/a — mi = 2 m

ou

y fa

2 rn y/a — /a² -t- y/a — 2 m y/a — m² = 2 yla — /a²,

suivant que l’on a 2/u² > a >• m² oua> 2m².

16. Trouver deux nombres entiers a, (3 tels que l’on ait

y/ 7 -A- 5 y/2 = a -H [2 /a .

17. Si a, 6 sont des nombres rationnels tels que (a — 6³)6 soit positif, le nombre

V⁷

a -t

26³-+- a

— 6*

2 b²a

a — b³

36

36

> en dési—

gnant par a, ^ des nombres rationnels.

CHAPITRE IL

POLYNOMES.

§ 1. - PRÉLIMINAIRES.

27. Je rappelle tout d’abord quelques définitions.

.

Le monome prend une valeur numérique déterminée quand on attribue des valeurs numériques déterminées aux variables x, y, z, ... : c'est ce qu’on entend en disant qu’il est une fonction de ces variables. Si l’on n’attribue pas une valeur numérique déterminée à ces variables, le monome est une simple écriture, caractérisée, d’une part par son coefficient, d’autre part par le nombre de facteurs x, le nombre de facteurs y, ....

Si l’on considère une ou plusieurs lettres x, y, z, ... susceplibles de prendre telles valeurs qu’on voudra, un monome en x,y, z, .. . est un produit de facteurs dont l’un (coefficient) est un nombre, dont chacun des autres est représenté par quelqu’une des lettres x,y, . . : le nombre de ces derniers facteurs est le degré du monome.

Lorsque le monome est précédé du signe -f- ou du signe —, on regarde ce signe comme attaché au coefficient, que l’on écrit d’habitude avant les variables : — 3xxy est un monome dont le coefficient est — 3. Le coefficient d’un monome peut d’ailleurs être i ou — i : tel serait le cas pour les monomes xx, — xy.

Le coefficient d’un monome peut être représenté par une lettre que l’on choisira habituellement parmi les lettres de l’alphabet éloignées de celles qui représentent les variables. Axxy est un monome dont le coefficient est A. Sans doute cette lettre peut représenter des nombres distincts; mais, si on lui attribue des valeurs distinctes, on aura affaire à des monomes distincts. Dans un même monome, le coefficient, s’il est représenté par une lettre, est une constante ; cette lettre joue un rôle tout à fait différent de celles qui figurent les variables.

Deux monomes qui ne diffèrent que par le coefficient sont dits semblables. Deux monomes sont identiques si les coefficients sont les mêmes, et s’ils contiennent le même nombre de facteurs x, le même nombre de facteurs y, ....

Il est natui'el de grouper ensemble les facteurs égaux à x, ceux qui sont égaux à y, . . ., et d’employer la notation des exposants pour représenter les produits partiels des facteurs x, des facteurs y, . .. : ces exposants sont des nombres naturels : si le facteur x entre n fois dans un monome, si le facteur y entre p fois, . . ., le monome est dit du degré n en x, du degré/; eny, .... Le degré du monome en x, y, z, ... est la somme des exposants dont sont affectées ces lettres.

Une lettre x, y, z, ... qui n’entre qu’une fois comme facteur doit être regardée comme affectée de l’exposant i, qui ne s’écrit pas.

Il peut être commode de regarder celles des lettres x, y, z, .. . qui n’entrent pas effectivement dans le monome comme y figurant cependant et comme étant affectées de l’exposant o (n° 22).

Enfin, il peut encore être commode de regarder un nombre, ou une constante, comme étant aussi un monome en x, y, z, . . ., de degré o par rapport à chacune de ces variables.

La somme de plusieurs monomes en x,y, z, . . . est, par définition, un polynôme en x,y, z, ... ; un polynôme peut d’ailleurs se réduire à un seul monome; parmi les monomes qui constituent un polynôme (les termes du polynôme) peut figurer une constante. Un polynôme prend une valeur numérique déterminée quand on attribue des valeurs numériques aux variables x, y, z, ... ; c’est une fonction de ces variables. Quand on n’attribue pas de valeurs déterminées à ces variables, le polynôme est une simple écriture dont les éléments essentiels sont les coefficients et les exposants qui caractérisent chacun de ses termes. Le polynôme est dit réduit lorsqu’il ne contient pas deux monomes semblables; étant donné un polynôme, on peut toujours effectuer la réduction des termes semblables, c’est-à-dire remplacer l’ensemble des monomes semblables par un seul monome qui leur soit semblable et dans lequel le coefficient est la somme algébrique des coefficients des termes semblables, et supprimer les termes dont le coefficient serait nul : le polynôme que l’on obtient ainsi prend la même valeur numérique que le proposé quand on attribue aux variables xi y, z, ... des valeurs numériques, d’ailleurs quelconques.

Lorsqu’un polynôme en #, y, z, ... est réduit, son degré, en.r, est l’exposant le plus élevé dont est affectée la lettre x dans celui ou ceux des monomes constitutifs du polynôme qui la contiennent avec le plus fort exposant. De même pour les degrés en y, en z, .... Relativement à l’ensemble des variables x,y, z, ..., chaque texane du polynôme, que je suppose toujours l'éduit, a un degré, la somme des exposants dont sont affectées, dans ce terme, les lettres x: y, z, .... Le plus grand de ces degrés est le degi'é du polynôme en z, ... ; quand tous ses termes sont de même degré, le polynôme est dit homogène.

Deux polynômes sont dits identiques lorsque, étant réduits, ils sont composés des mêmes monomes. Leurs valeurs numériques sont alors les mêmes quand on attribue aux variables un système de valeurs numériques.

L’ordre dans lequel sont éci’its les termes du polynôme réduit n’importe pas. Toutefois, il est souvent commode de ranger ces teiunes dans un ordre déterminé, N ordonner le polynôme. Quand il ne contient qu’une variable, on range les termes par degrés croissants, ou décroissants; c’est ce qu’on appelle ordonner le polynôme par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de la variable.

On déduit des règles x'elatives à l’addition, à la soustraction, à la multiplication des nombres des règles qui permettent, deux polynômes étant donnés, de trouver un polynôme l'éduit dont la valeur numérique soit toujours égale, quel que soit le système de valeurs numériques attribuées aux vai'iables, à la somme, à la difféi'ence, ou au produit des valeurs numériques des polynômes donnés. Je ne reviens pas sur ces règles, bien connues du lecteur. Que la solution qu’elles fournissent des problèmes posés soit la seule possible, c’est ce qui sei'a établi tout à l’heure.

L’objet propre de l’Algèbre est l’étude des polynômes à différents points de vue; une des parties les plus importantes de cette étude est la recherche des systèmes de valeurs qu’il faut attribuer aux vai’iables pour que la valeur du polynôme soit nulle : c’est la théoi'ie des équations algébriques. Je commencei'ai par l’étude des polynômes à une variable, en me plaçant surtout au point de vue de la façon dont la valeur du polynôme dépend de la valeur de la variable. Il estintéi’es-sant, en particulier, de savoir si la valeur du polynôme croît ou décroît, quand la valeur de la variable croît; quel est le signe de la valeur du polynôme, etc.

Au lieu de dire valeur du polynôme pour une valeur déterminée de la variable, il m’arrivera fréquemment de dire simplement le polynôme par une ellipse un peu incorrecte. C’est ainsi qu’on dit : le polynôme est nul, il croit, il décroît, ....

28. L’élude de la variation a été faite dans les éléments pour les polynômes en x du premier et du second degré ax -\- b, ax- + bx -f- c {a, b, c sont les coefficients; a est supposé différent de o).

On sait de quelle commodité, pour cette étude, est la représentation graphique.

Après avoir fait choix d’un système d’axes coordonnés rectangulaires OX, OY, dont l’origine est le point d’intersection O, d’une

Fig. C.

NI

unité de longueur, d’un sens positif sur chacun des axes, on fait correspondre à chaque point M du plan ses coordonnées x,y, c’est-à-dire les deux équivalents algébriques des vecteurs OP, OQ dont les extrémités sont les projections orthogonales P, Q du point M sur les axes, et à chaque système de nombres relatifs .r, y le point dont ces nombres sont les coordonnées, le premier étant Y abscisse, le second Y ordonnée.

On sait que le lieu des points M, de coordonnées x, y, pour lesquels on a y = ax -f- b est une droite (dont on dit que .y — ax + b est l’équation) : a est le coefficient angulaire ou la pente de cette droite et de toutes ses parallèles; c’est l’ordonnée du point d’abscisse égale à i, pour la parallèle à la droite considérée qui passe par l’origine, parallèle dont l’équation esty = ax : cette parallèle est, ou non, située dans l’angle des coordonnées positives et dans l’angle opposé par le sommet suivant que a est positif ou négatif.

Fig. ₇.

fO m

CL

Si l’on suppose que le point variable P, d abscisses, se déplace sur l’axe des x de gauche à droite, que x croisse de — oo à + oo, on voit sur les figures comment l’ordonnée y = ax b du point M croît de — go à + oo, ou décroît de + oo à — oc, suivant que a est positif ou négatif. Le nombre y = ax + b est de signe contraire à «, tant

que x n’a pas atteint la valeur — ^ pour laquelle y est nul, c’est-

à-dire tant que le point P est à gauche du point A, où la droite rencontre l’axe des x ; y est au contraire du même signe que a lorsque x

a dépassé la valeur —■ quand le point P est à droite de A.

Il est commode d’imaginer que le point variable P, d’abscisse x: se meut sur l’axe des x d’un mouvement uniforme avec une vitesse égale à i, en passant à l’origine à l’époque o, en sorte que cette abscisse x représente le temps, mesuré avec une unité convenable. Le point Q, correspondant à x, se meut alors d’un mouvement uniforme sur l’axe desjp, avec une vitesse égale à a, en montant ou en descendant constamment suivant que a est positif ou négatif : il est en O quant le point P est en A : il se déplace plus ou moins vite suivant (jue la valeur absolue de a est plus ou moins grande, que la pente de la droite est plus ou moins forte.

Si l’on considère une droite quelconque (13), non parallèle à l’axe des y, les coordonnées x, y d’un point quelconque de cette droite vérifieront une équation y = ax + ù, dans laquelle les constantes a et b (la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite) caractérisent la posi-lion de la droite. Si celle-ci doit passer par un point de coordonnées x\y\ on doit avoir

b — y'— ax\

y — ax'-+- b, cl son équation peut, par suite, s’écrire

y — y— a(x-x');

telle est l’équation d’une droite dont la pente est a et qui passe par le point x\ y'.

on aura

Si x", y" sont les coordonnées d’un point de cette droite, autre que le point de coordonnées x\ y'

a = y-y.

x'-x"

ainsi la pente d’une droite qui joint deux points est égale à la différence des ordonnées de ces deux points, divisée par la différence de leurs abscisses. En particulier, la pente d’une droite qui joint l’origine

y'

au point dont les coordonnées sont xr,y' est⁻^*

La formule ^—— t qui donne la pente de la droite qui joint les

deux points de coordonnées x}, y' et x", y,r représente aussi la vitesse d’un point qui se mouvrait uniformément sur l’axe des y et qui, aux époques x', x", passerait aux points dont les ordonnées sont y', y¹'.

L’équation de la droite qui joint les deux points de coordonnées x',y et x", y", ou l’équation du mouvement uniforme sur l’axe des y du point qui, aux époques x\ x", passe aux points dont les ordonnées sont y', y", est dans le dernier cas, x représente le temps.

La variation du trinôme du second degré ax- + bx -f- c, la forme et la disposition de la parabole lieu des points dont les coordonnées x, y vérifient l’équation résultent aisément de ce qu’on vient de dire sur la variation d’un

POLYNOMES.

binôme du premier degré et de l’identité

4 ac — b’’-

4 a²

non plus qu’à la façon dont le point Q, d’or-l’axe des y, quand le point P d’abscisse x

je ne m’y arrêterai pas donnée y, se déplace sur se meut uniformément sur l’axe de x, de gauche à droite.

29. Considérons encore la fonction ax'¹, où a est un nombre différent de o, et n un nombre naturel.

Le cas où n est égal à i a été étudié plus haut : on peut l’écarter.

Comme le produit de deux ou plusieurs nombres positifs augmente quand ces nombres augmentent, il est clair que xn croît de o à + go, quand x croît de o à + oo : d’un autre côté, quand on change x en — x, xn se change en —xn, ou ne change pas, suivant que n est impair ou pair. Il suffit de ces remarques pour reconnaître, grossièrement, que la courbe définie par l’équation y = axn a l’une des quatre formes figurées ici.

Fig. 8, 9, io, u.

Les deux premières figures se rapportent au cas où n est impair, la première au cas où a est positif, la seconde au cas où a est négatif; l’origine est alors un

centre de symétrie pour la courbe, parce que deux points, dont les coordonnées sont des nombres symétriques, sont «eux-mêmes symétriques par rapport à l’origine.

Les deux dernières figures se rapportent au cas où n est pair, la troisième au cas où a est positif, la quatrième au cas où a est négatif. Dans ce cas l’axe desjK est, pour la courbe, un axe

Dans tous les cas, cix'¹ est nul pour.r = o; dans le premier (n impair, a >> o), pour x = o, axn est plus petit que pour les valeurs de x un

de symétrie.

cas

peu plus grandes que o, et plus grand que pour

T.

les valeurs de x un peu plus peliles que o : on dit que ax", pour x = o, est une fonction croissante. Dans le second cas (n impair, rt<o) pour x = o, «a?" est plus grand que pour les valeurs de x un peu plus grandes que o, et plus petit que pour les valeurs de x un peu plus petites que o : on dit que ax", pour x = o, est une fonction décroissante.

Dans le troisième cas (n pair, a>> o), pour x — o, ax" est plus petit que pour les valeurs de x voisines de o, positives ou négatives : on dit que pour x = o, ax" passe par un minimum ; clans le quatrième cas, enfin (n pair, «<o), pour x — o, ax" est plus grand que pour les valeurs de x voisines de o, positives ou négatives : on dit que ax", pour x = o, passe par un maximum.

Lorsque x est nul, ax" est nul; quand x est voisin de o, ax" est voisin de o. 11 est aussi voisin de o qu’on veut, pourvu que x soit lui-même suffisamment voisin de o. D’une façon précise, si l’on se donne un nombre positif a, aussi petit cpie l’on veut, on peut trouver un nombre positif [3, tel que ax" soit certainement plus petit que a, en valeur absolue, pourvu que x soit plus petit que (3, en valeur absolue, tel, en d'autres termes, que la condition | x | << [3 entraîne l’inégalité | ax" J << a.

Cette dernière inégalité, en effet, est vérifiée, pourvu que l’on ait

\æ I <

i*“i< rllr

il suffira donc de prendre |3 ⁼y j“| *

Le fait que ax" est aussi petit que l’on veut, en valeur absolue, pourvu que x soit suffisamment petit en valeur absolue, s’exprime en disant que ax" est infiniment petit avec x.

^ xP~" est infiniment petit avec x.

Pourvu que x soit suffisamment petit, bxP est petit par rapport à ax" (note du n° 19). Il est à peine utile de dire que les nombres a, b sont supposés différents de o.

Considérons, par exemple, les expressions ix-, iooo#⁵ et ne consi-

En supposant cpie le nombre naturel p soit plus grand que //, bxP est infiniment petit avec x, de même cpie ax". On dit cpie bxP est infiniment petit par rapport à ax", en entendant par là que le rapport bxP ax'¹

dérons que des valeurs de x moindres que 0,01 en valeur absolue; ix² restera, en valeur absolue, moindre que 0,0002 et 1000a;⁵, moindre que 0,0000001; si, sur une feuille de dessin, on voulait figurer les deux courbes dont les équations sont y — 2X²₁ y — 1 ooox⁵, en prenant le mètre pour unité de longueur, la portion de la première courbe dont les points ont une abscisse moindre qu’un centimètre, en valeur absolue, ne pourrait guère se distinguer de l’axe des x; la portion analogue, pour la seconde courbe, ne s’en distinguerait nullement; cette courbe ne paraîtrait guère se séparer de l’axe des x que pour les points dont l’abscisse serait comprise entre quatre et cinq centimètres.

En particulier, si n est plus grand que 1, axn esL infiniment petit par rapport à x, ou un infiniment petit d’ordre supérieur à x. Quand x est suffisamment petit, en valeur absolue, axn est, en valeur absolue, beaucoup plus petiL que x.

Considérons la courbe dont l’équation estjK = axn ; le rapport

— = axn~]

est la pente de la droite qui joint le point O au point M de la courbe, qui a pour coordonnées x et y = axn] pourvu que x soit assez petit en valeur absolue, pourvu que le point M soit suffisamment voisin du point O, cette pente est aussi faible qu’on veut, la droite qui joint le point O au point M s’écarte aussi peu qu’on veut de l’axe des x : c’est ce qu’on exprime en disant que l’axe des x est tangent à la courbe au point O. Ceci suppose n i> 1.

Lorsque n est impair la courbe traverse la tangente en O : le point O est un point d inflexion.

Lorsque n est pair, aux environs du point O, la courbe est tout entière d’un coté ou de l’autre de l’axe de x : c’était pour les anciens la propriété caractéristique de la tangente.

Dans tous les cas, la distance MP du point M à la tangente est beaucoup plus petite que OP, pourvu que P soit assez près de O.

Quand x est très grand en valeur absolue, axn est lui-même très grand en valeur absolue. D’une façon précise :

Quelque grand que soit le nombre positif A, on peut trouver un nombre positif B tel que la condition    entraîne l’inégalité | axn | >> A. On pourra prendre

On dit que ax¹¹ est infiniment grand avec x.

Si l’on suppose /> > n, bxP est infiniment grand par rapport à axn, c’est-à-dire que le rapport de bxP à axn finit par être aussi grand qu’on le veut, en valeur absolue, pourvu que x soit suffisamment grand, en valeur absolue. En particulier, si n est plus grand que i, ax'¹ est infiniment grand, par rapport à x.

Par exemple, on a vu que, pour les valeurs de x suffisamment voisines de o, la courbe dont l’équation estjK = iooo#⁵ est située entre l’axe des x et la courbe dont l’équation est y — ix², beaucoup plus près de l’axe que cette dernière; pour les grandes valeurs positives de x, au contraire, la première courbe monte beaucoup au-dessus de la seconde.

§ 2. — ÉTUDE D’UN POLYNOME A UNE VARIABLE POUR LES VALEURS DE LA VARIABLE VOISINES DE ZÉRO.

30. On verra tout à l’heure comment l’étude d’un polynôme en x, pour les valeurs de x qui avoisinent un nombre quelconque x₀, se ramène à l’étude d’un autre polynôme pour les valeurs de la variable qui sont voisines de o. C'est sur cette étude fort importante que je vais m’arrêter.

Lorsqu’on veut étudier un polynôme en x pour les valeurs de x voisines de o, il convient d’ordonner ce polynôme par rapport aux puissances croissantes de x, parce que, alors, chaque terme est petit, en valeur absolue, par rapport à ceux qui le précèdent, pourvu que x soit suffisamment petit en valeur absolue.

Considérons, par exemple, le polynôme

3 — 2 a? -h 4 27 2— 5x³ -+■ x^:

chaque terme sera plus petit, en valeur absolue, que le terme qui le précède, si x est, en valeur absolue, inférieur au plus petit des nombres

5,

c’est—à—dire plus petit que Supposons qu’on n’ait affaire qu’aux valeurs de x qui vont de — à -f tiennent à l’intervalle (') ( —

ou, comme on dit, qui appar-4"Tjjô); les termes —257, 4x2,

1 005

) 00’

— 5x³, x⁴ resteront tous petits; la valeur du polynôme sera à peu près égale à 3, c’est une première valeur approchée. Une valeur plus approchée sera fournie par celle de 3 — 25?, car l’erreur que l’on commet en substituant la valeur de 3 — ix à celle du polynôme, c’est-à-dire la valeur du polynôme 4 x~ — 05?³ + ^i sera très petite ; puisque les valeurs (absolues) de4#², —D57³, x⁴ sont petites par rapport à celle de x. 3 —* 257 est une expression approchée du polynôme, beaucoup plus facile à calculer que ce polynôme lui-même, et dont il suffira, dans bien des cas, de connaître la valeur. L’expression 3 — 25? -t- 4x* sera de même une expression plus approchée du polynôme, etc.

Si, par exemple, on veut calculer la valeur du polynôme pour ^ = 0,0025, en se servant des expressions approchées 3, 3 — 257, 3 — 257 -h 4x'², on trouvera les valeurs approchées

3,    2,9950,    2,995o25oo;

tandis que la valeur exacte est 2,996 024 921 9140620. Il n’y a pas de science d’observation, si précise soit-elle, où cette valeur exacte importe, ait même quelque signification; la première valeur approchée, bien souvent, et la seconde, presque toujours, suffiront amplement dans la pratique.

Ces observations semblent n’avoir qu’une valeur pratique; on va voir qu’elles ont une très grande importance théorique. Il est d’ailleurs clair qu’elles ont besoin d’être précisées, car elles tomberaient en défaut s’il y avait dans le polynôme un coefficient très grand; 3 — 257 ne fournirait pas, pour 57 = 0,0026, une valeur approchée du polynôme 3 — 257 -f- 4x-— 55;³+ io² ⁰ 57⁴.

Observons d’abord que si, dans un polynôme, on remplace tous les coefficients par leur valeur absolue et x par sa valeur absolue, ou un nombre plus grand, on ne peut qu’augmenter la valeur absolue du polynôme. Si, en particulier, on ne veut considérer que des valeurs

(¹ ) Si a, b sont des nombres distincts Vintervalle (a, b) est l’ensemble des nombres a, b et des nombres réels compris entre a, b.

de la variable qui soient, en valeur absolue, au plus égales à i, il est clair que la valeur absolue du polynôme sera au plus égale à la somme des valeurs absolues de ces coefficients. D’un autre côté lorsque, dans un produit de facteurs positifs, on remplace un des facteurs par un nombre plus grand, on ne peut qu’augmenter le produit.

Ces simples remarques nous fournissent un moyen simple d’évaluer des limites des erreurs que l’on commet en procédant comme on vient de l’expliquer.

Si, par exemple, on revient au polynôme

3 — ix -j- 4 x² — 5 a?³ 4- x'+,

et si l’on désigne par x' la valeur absolue de x: supposée inférieure à i, on voit que les erreurs que l’on commet quand on substitue au polynôme les expressions approchées 3, 3 — zx, 3 — 2^ + 4^²₅ à savoir les valeurs des polynômes

— ix 4- 4 x² — 5a?³ -+- x'* = x(— 2 — \x — 5x² 4- x³),

4x-— 5x³ -+- x’* — x²(4 — 5 a? 4-a?²),

— 5 x* 4- x'* = x³ (— 5 4- x ),

sont respectivement moindres, en valeur absolue, que

= lox¹'², = 6 a?'³,

x' (-2 4- 4 -+- 5 4- i) = 12.x', a-'²(4 + 5 4-i) a?'³ (5 4- i)

et par conséquent, si x' est moindre que 0,01, respectivement moindres que

0,12,    0,001,    0,000006.

Si l’on prenait le mètre pour unité de longueur, et si l’on voulait construire, sur une feuille de papier à dessin, la partie de la courbe définie par l’équation

y = 3 — 2x 4- 4x² — 5 x³ 4- x'*

qui correspond aux valeurs de x comprises entre —0,01 et 0,01, cette partie de courbe différerait peu de la droite dont l’équation est

y = 3 — ix,

POLYNOMES.

et ne pourrait pas se distinguer de la parabole dont l’équation est

y = 3 — ‘xx -h 4^r² •

31. Les propriétés des polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de x vont toutes se déduire du théorème suivant :

Si un polynôme en x ne contient pas de terme constant, ce polynôme, qui s'annule pour x — o, reste aussi petit qu’on veut, en valeur absolue, pourvu que x soit suffisamment petit en valeur absolue. En d’autres termes, un tel polynôme est infiniment petit avec x.

Quand il ne contient pas de terme constant, un polynôme est nul pour x = o; réciproquement, pour que la valeur d’un polynôme réduit soit nulle pour x = o, il faut évidemment que le terme constant soit nul; tel est, par exemple, le polynôme, ordonné suivant les puissances croissantes de x,

xx³ — x’*-\- 3 a:³ — 4a:⁶.

Si l’on désigne par x' la valeur absolue de x, la valeur absolue du polynôme ne peut dépasser

xx'³-h x"*-\- 3x'⁵-+- 4a:'⁶ = x'³(x + a:'+3a:'² + t\x'³),

ni a fortiori

(2 + 1+ 3 -t- \ )x'³— 10 a:'³,

si x' est moindre que 1.

Si a?'est très petit, il en sera de même de ioa?'³, a fortiori de la valeur absolue du polynôme; quand x reste voisin de o, la valeur du polynôme reste elle-même voisine de o; d’une façon précise :

Si l’on considère un polynôme en x, sans terme constant, et si l’on se donne un nombre positif a., aussi petit qu’on le veut, on peut fixer un nombre positif tel que le polynôme reste, en valeur absolue, moindre que a, pourvu que x soit moindre que (3 en valeur absolue.

Pour que le précédent polynôme, par exemple, reste moindre que 0,01, en valeur absolue, il suffira de supposer x' -< 0,1.

CHAPITRE II.

Si un poljnome en x contient un terme constant, sa valeur, pour x = o, est celle de ce terme constant : je vais montrer que, si preste voisin de o, la valeur du poljnome reste voisine de celle de ce terme constant.

Considérons, par exemple, le polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de x,

— 5 -t- -ix³— x'*-\- 3x⁵ — 4^6;

sa valeur, pour x = o, est —5 ; sa valeur, pour n’importe quelle valeur x₀ de x, s’obtient en faisant la somme de — 5 et de la valeur, pour.r = ;r₀, du poljnome ix* — x’* + 3x⁵—4^rS qui ne contient, pas de terme constant; cette dernière valeur sera voisine de o, si x est voisin de o. La différence entre la valeur du poljnome proposé et la valeur — 5 qu’il prend pour x = o reste, en valeur absolue, aussi petite qu’on le veut, pourvu que x reste suffisamment voisin de o. En d’autres termes, qui s’appliquent d’ailleurs, soit que le poljnome comporte un terme constant, soit qu’il n’en comporte pas :

Si l’on se donne un nombre positif a, on peut lui faire correspondre un nombre positif [3 tel que la différence entre les valeurs que le polynôme prend pour # = o et pour x = x₀ soit moindre que a en valeur absolue, pourvu que x₀ soit lui-même moindre que [i en valeur absolue.

C’est ce que l’on exprime d’une façon abrégée en disant que tout poljnome en x est une fonction continue de x, pour x = o.

Un polynôme en x, qui contient un terme constant, ne s'annule pas pour les valeurs de x suffisamment voisines de o; pour ces mêmes valeurs, il est de même signe que son premier terme.

11 suffira de prendre, dans l’exemple précédent, a inférieur à la valeur absolue 5 du terme constant, et de déterminer [3 de façon que la valeur absolue du poljnome 2X³ — x’'3x⁵—4^c soit moindre que a ; on sera certain que, si x est moindre en valeur absolue que [3, le poljnome

— 5 -+- nx³— x'*-\-3xh— \x*>

ne sera jamais nul, et qu’il sera toujours du signe de — 5.

POLYNOMES.

C’est ce qui arrivera, par exemple, si l’on prend

a = 4,

polynôme ordonné suivant les puissances croissantes

un

Pour les valeurs de x, autres que o, mais suffisamment voisines de o,

de x et ne contenant pas de terme constant ne s'annule pas et est du même signe que son premier terme.

Considérons, par exemple, le polynôme

•i.x³— 4^+ 5a?⁶.

Sa valeur est égale au produit de x³ par celle du polynôme

2 — 4 x -+- 5 a?² ;

celle-ci, pourvu que x ne soit pas nul et soit moindre, en valeur absolue, qu’un nombre positif convenablement choisi, est différente de o et du même signe que a; son produit par x³ sera donc, dans les mêmes conditions, du même signe que 2a:³, et 11e s’annulera que pour x — o.

Le polynôme 2 a:³— ^x'*    5x~a est nul pour x — o, positif pour 3?

un peu plus grand que o, négatif pour x un peu plus petit que o, de même que 2.x³] les valeurs qu’il prend pour des valeurs de x un peu plus grandes ou un peu plus petites que o sont respectivement plus grandes ou plus petites que celles qu'il prend pour x = o. C’est ce qu’on exprime en disant que le polynôme est, pour x = o, une fonction croissante de x (n° 29).

Soit, en général, axm le pi'emier terme d’un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de x, dans lequel ne figure pas de terme constant. Pour x = o, le polynôme sera nul, comme axm; pour x voisin de o, le polynôme sera du même signe que axm : le polynôme sera, comme axm, plus grand ou plus petit que la valeur qu’il prend pour x = o ; le polynôme, au point de vue de la variation, se comporte, pour x = o, comme son premier terme axm. Si m est impair, il sera croissant ou décroissant, suivant que a sera positif ou négatif. Si m est pair, le polynôme, suivant que a sera positif ou négatif, passera, pour x = o, par un minimum ou un maximum, c’est-à-dire qu’il sera, pour les valeurs de x voisines de o, positives ou né-

gatives, plus grand que pour x — o, dans le premier cas, plus petit que pour x = o, dans le second cas.

Si le polynôme contient un terme constant, ce terme constant n’influe pas sur le sens de la variation : on n’en tiendra pas compte, et l’on regardera seulement le terme cix"¹, du plus bas degré, en dehors du terme constant. Pour x = o, le polynôme sera croissant ou décroissant, présentera un minimum ou un maximum, dans les mêmes conditions que axm. Seulement, sa valeur, pour # = o, sera le terme constant, au lieu d’être o, comme dans le cas précédent.

Considérons, par exemple, le polynôme

2 — 2 x 4 x² — 5 a?³ -4- x'*

et la courbe définie par l’équation

y — 3 — ix -+- 4 a?² — 5 x³ h- x'*.

ou plutôt la portion de cette courbe qui correspond à des valeurs de x voisines de o.

Fig. i2.

A'

NI'

Pour x = o, y est égal à 3; 3 est l’ordonnée du point A de la courbe situé sur l’axe des jk; pour avoir les ordonnées des autres points il faut ajouter à 3 la valeur de — 2X -f- \x²— 5x³-t- x'¹ ; pour les valeurs de x voisines de o, la valeur de ce polynôme est positive si x est négatif, négative si x est positif; la valeur de y est d’abord un peu plus grande que 3, puis un peu plus petite; à gauche de l’axe desjK la courbe est au-dessus de la droite AA'; à droite, elle est au-dessous : pour x = o, le poljnome est décroissant. Considérons la droite dont l’équation est y = 3 — 2X, droite que le lecteur sait tracer; pour les valeurs de x voisines de o, l’ordonnée de cette droite diffère peu de celle de la courbe; à un point M⁷ de la droite correspond un point M de la courbe, de même abscisse x ; on obtient l’ordonnée de ce point M en ajoutant à l’ordonnée 3 — 2 x du point M' la valeur du poljnome /\x~— ox³-\- x' : cette valeur est l’équivalent algébrique du vecteur M'M, en prenant pour direction positive, sur les parallèles à l’axe desjj, la même direction que sur cet axe.

Le poljnome \x-— Sx^-l-x’' est positif, quand x est voisin de o : la courbe est au-dessus de la droite AB, de part et d’autre de A. Cette droite est tangente à la courbe, au sens que les anciens donnaient à ce mot; elle lui est encore tangente, dans le sens des modernes; en effet, la pente de la droite qui joint au point A, dont les coordonnées sont o et 3, le point de la courbe dont les coordonnées sont x et

3 — ix -+- 4 x² — 5x³ -4- x¹,

est (n° 28)

= — 2-+-4^-+-5a7²4-^³;

3 — zx -h 4 æ² — 5x³ -h x'+— 3

cette pente diffère aussi peu qu’on le veut de la pente de la droite AB, qui est égale à — 2, pourvu que x soit suffisamment voisin de o. C’est ce qu’on exprime en disant que la droite AB est la limite d’une sécante qui joint le point A à un point voisin de la courbe, quand ce point se rapproche du point A, ou encore en disant que la droite AB est tangente en A à la courbe.

Je n’ai pas tracé, pour ne pas compliquer la figure, la parabole dont l’équation est y = 3 — ix q- /\X-, qui, pour les valeurs de x voisines de o, semblerait presque se confondre avec la courbe, et qui est, elle aussi, tangente à la droite AB, en A; pour une même valeur de x l’ordonnée de la courbe s’obtient en ajoutant à l’ordonnée de la parabole la valeur du poljnome — 5a?;! + a?⁴, qui, pour les valeurs de x voisines de o, est positive si x est négatif, négative si x est positif. A droite de l’axe des y, la courbe est au-dessus de la parabole, à gauche elle est au-dessous : les deux courbes se traversent au point A, où elles sont tangentes.

La signification des expressions approchées que Ton peut substituer au polynôme apparaît clairement.

Dans le polynôme qu’on vient d’étudier, il y avait un terme du premier degré. Les choses se passeraient un peu différemment si ce terme n’existait pas, et suivant que le premier terme qui ne manquerait pas serait de degré pair ou de degré impair. Je me contente d’indiquer les résultats sur un exemple.

Si l’on considère le polynôme 2 -f- \x-— 5x³-\- x\ ou la courbe définie par l’équation

y — 2 -1- 4 x'¹ — 5x³ -+- x'*,

on voit que, pour x = o, le polynôme passe par un minimum, dont la valeur est 2 ; la tangente en A à la courbe est parallèle à l’axe desjy;

Fig. i3.

A'

la courbe est, dans le voisinage du point A, au-dessus de sa tangente; la parabole dont l’équation esty = 2 + 4x² a été figurée en ponctué; elle traverse la courbe en A tout en lui étant tangente.

Enfin, si l’on considérait le polynôme 2 — 5x³-hxi ou la courbe définie par l’équation

y = 2 — 5:r³-+-4aA

point A, dont les coordonnées sont o et 3, est

au

on voit encore que le polynôme est décroissant pour x — o ; la tangente à la courbe encore parallèle à l’axe des x ; la courbe est au-dessus de la tangente à droite de 1 axe des y, elle est au-dessous, à gauche. Elle serait au-

POLYNOMES.

dessus de la courbe, facile à tracer, dont l’équation est

y = 3 — 5a"³.

Le point A est un point d’inllexion des deux courbes.

Fig. i4.

Si l’on considère, d’une façon générale, le polynôme

A.0 —t— A, x —(— A? x³ —i— A3 a?³ -4-..

dans lequel on admet que certains des coefficients A₀, A puissent être nuis; la valeur du polynôme, pour x — o, est A„ ; elle est voisine de A₀, pour les valeurs de x voisines de o.

Pour ces valeurs le signe du polynôme est le même que celui du premier des termes A₀, Atx, A₂x², ..., dont le coefficient n’est pas nul. Le sens de la variation du polynôme pour x = o est donné par le premier de ces termes, autres que A₀, dont le coefficient n’est pas nul. Si le premier de ces termes est de degré impair, le polynôme, pour # = 0, est croissant ou décroissant, suivant que le coefficient du premier terme est positif ou négatif ; si le premier de ces termes est de degré pair, le polynôme, pour x — o, passe par un minimum ou un maximum suivant que le coefficient du premier terme est positif ou négatif.

Les expressions

Aq, A₀-t-Aja?, Aq -t- Aj x -t- A2 a?y ...

sont des expressions approchées du polynôme, pour les valeurs de x voisines de o ; on sait calculer une limite de l’erreur que l’on commet

y - A₀-t- Aj x

quand on substitue à la valeur du polynôme l’une de ces expressions approchées.

L’équation

est l’équation de la tangente à la courbe définie par l’équation y = Aq -+- Aj x -i- A₂ x- -+-. ..,

sur l’axe des y. Cette courbe est, un même côté par rapport à

point d’inflexion, si le premier

au point de cette courbe qui est dans le voisinage du point de contact, d sa tangente, si le premier des termes A.₂x-, A₃.r¹, A₄.r², ..., dont le coefficient n’est pas nul, est de degré pair; au-dessus, ou au-dessous, suivant que ce coefficient est positif ou négatif. Elle traverse sa tangente, le point de contact est un

terme dont le coefficient 11’est pas nul est de degré impair.

32. 11 nous sera très utile plus lard d’avoir observé que ces propositions s’étendent à des expressions qui ne sont pas des polynômes,

mais qui peuvent être mises venons de considérer.

sous une forme analogue à celle que nous

Reprenons l’expression

A₀-h Aj# -+- A₂a?²-f-...-+- A„_i x'l~l -+■ Xnx»,

servi jusqu’ici à représenter un polynôme. Je suppose que

qui nous a

toutes les quantités A₀, A, soient des constantes, sauf la dernière A„ ; quant à cette dernière, qui peut maintenant dépendre de x, je fais seulement sur elle l’hypothèse suivante : en désignant par a un

nombre positif plus petit que valeur absolue, moindre qu’un certain nombre positif fixe B, pourvu que x soit lui-même moindre que a, en valeur absolue. Telle serait, par exemple, l’expression

, convenablement choisi, A„ reste, en

il est

A„

clair que, si l’on suppose x' plus petit que a, la valeur absolue de l’expression

Ao -j- Aj x    An—i'Xn * Anxn

sera moindre que S en désignant maintenant par S la somme des nombres A^, A',    A^, et B. C’est une remarque de cette nature

qui a été notre point de départ; toutes les démonstrations peuvent être reprises sans changement, et les conclusions sont les mêmes.

Le lecteur n’aura, par exemple, aucune peine à prouver que, si l’on suppose x' <C l’expression —a -1-\x + ox- + x³ sin.r ne peut s’annuler et est du même signe que — 2 ; dans les mêmes conditions, l’expression — ix -f- \x- — 5x³ + xr‘ sin^r ne s’annule pas, sauf pour x — o] elle est du même signe que —ix] si l’on regarde —ix comme une expression approchée, l’erreur commise en la substituant à — "2.x    /\x²—ox³ + x⁴ sin3? sera moindre, en valeur absolue,

que x'²(/\ + 5 + 1) == io-r'².

On voit se reproduire toutes les circonstances des démonstrations précédentes, et je crois inutile d’insister davantage, pour montrer que les conclusions relatives à la continuité, à la croissance ou à la décroissance pour x = o, au signe pour les valeurs de x voisines de o subsistent : les mots continuité, croissance, décroissance doivent être entendus dans le même sens qu’on leur a attribué quand il s’agissait des polynômes.

Il convient toutefois de remarquer que les conclusions relatives au signe ou à la variation de l’expression considérée n’offrent d’intérêt que si, dans celte expression, le terme qui détermine soit le signe, soit le sens de la variation, n'est pas le dernier terme A.nxn, dont on sait seulement que le coefficient A« reste compris entre certaines limites quand x est suffisamment petit, mais bien un des termes précédents, à coefficient différent de o.

§ 3. — POLYNOMES IDENTIQUES.

33. Un polynôme réduit, à une variable, ne peut être nul pour toutes les valeurs de la variable que si tous les coefficients sont nuis : on dit alors que le polynôme est identiquement nul.

Cette proposition résulte immédiatement de ce qui précède.

Deux polynômes en x, réduits, ne peuvent prendre des valeurs égales, quelle que soit la valeur de x, sans être composés exactement des mêmes termes.

En effet, la différence des valeurs de ces deux polynômes est la valeur d’un polynôme dont les coefficients sont les différences des coefficients respectifs des polynômes proposés : ces différences doivent être nulles d’après la proposition précédente (').

Ces propositions, qui sont capitales, s’étendent de suite aux polynômes à deux, trois, ... variables.

Par exemple, un polynôme réduit à deux variables x, y ne peut être nul pour tous les systèmes de valeurs attribuées à la variable sans que tous ses coefficients soient nuis.

Un polynôme en x, y, en effet, peut être ordonné suivant les puissances d’une des variables, dey par exemple; en réunissant ensemble tous les termes qui contiennent y au même degré et en mettant en facteur la puissance de y qui figure dans tous ces termes, on parviendra à une expression de la forme

Po -+- Pi y •+• P₂yî-t-. • .-f- P«y",

(') Les propositions et leurs démonstrations subsistent pour ces sortes de polynômes que l’on a considérés dans le numéro précédent : Une expression de la forme

A₀+ A,x -+- A₂.r² + .. -4- A„_,xn~l + Anx",

où A₀, A„ ..., A„_, sont des constantes et où l’on sait que A„, qui peut d’ailleurs dépendre de x, reste compris entre deux nombres fixes, quand x reste compris entre — a et + a, ne peut être nulle pour toutes les valeurs de x comprises entre — a et 4-a que si les coefficients constants A₀, A„ ..., A„_, sont nuis et si A„ est nul pour tou Les ces valeurs de x.

Deux expressions de la forme

A₀ 4- A, x 4- Aj x' -i-... + A„_, x’¹-¹ -i- A„ xn, B₀ + B,x B₂æ;² 4-...4- B#i_,xn~l 4- \$nxn,

où les coefficients A₀, A,, ..., A„ que les quantités An, Bn, qui peuvent dépendre de x, sont comprises entre des nombres fixes quand x reste compris entre — a et + a, ne peuvent être égales pour toutes ces valeurs de x que si l’on a A₀ = B₀, A, = B,, An outre, An et Bn ont toujours des valeurs égales. Il convient toutefois d’observer que cette dernière proposition suppose que le nombre naturel n est le même dans les deux expressions. Il est aisé de s’arranger pour qu’i! en soit ainsi, en mettant dans les derniers termes de l’une des expressions une puissance convenable de facteur.

B₀, Bp ..., B j sont constants, et où l’on sait

-1

= B ,, et si, en

x en

où P₀, P₍, JL, ..IL sont des polynômes en x, dont les coefficients sont manifestement les coefficients du polynôme proposé en x, y. Supposons que ce dernier polynôme soit nui quelles que soient les valeurs attribuées à x, y. Si l’on attribue à x une valeur numérique x', les polynômes (enj) P₀, P,, Pw prendront des valeurs numériques P y, P', P;i et l’expression précédente deviendra un polynôme à une variable y

P' + P'^ + P^²

.., P7l = o, c’est-à-dire que chacun des poly-.., P„ doit s’annuler quand on remplace x encore que chacun de ces

nomes

La valeur de ce polynôme en y doit être nulle pour une valeur quelconque y' dey, puisqu’elle est évidemment la même que celle du polynôme proposé (en x,y) pour x = x\ y = y'; il faut donc que l’on ait P₍j = o, P' = o (en x) P₀, P

par un nombre quelconque x¹, c’est-à-dire polynômes est identiquement nul : tous les coefficients du polynôme proposé (en x, y) sont nuis.

Du cas de deux variables on passe au cas de trois variables, puis de quatre, etc.... Le théorème est général.

On en déduit que deux polynômes réduits, à n variables, ne peuvent prendre la même valeur pour tout système de valeurs de ces variables sans être identiques terme à terme.

34. La portée de cette proposition est considérable ; elle éclaire tout d’un coup les opérations de l’addition, de la soustraction, de la multiplication des polynômes, en montrant que ces opérations jouissent de propriétés que l’on a établies pour les nombres :

En parlant du polynôme qui est la somme, la différence, le produit de deux polynômes donnés, j’entendrai toujours parler du polynôme réduit que l’on sait former par les éléments de l’Algèbre et dont la valeur est égale, comme on sait, à la somme, à la différence, ou au produit des valeurs des polynômes proposés, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables ; d’après ce qu’on vient de dire, il n’y a qu’un seul polynôme qui puisse avoir cette propriété; tous les autres lui sont identiques terme à terme. Je me borne à énoncer les propositions suivantes, en me contentant de donner quelques explications sur la dernière, afin de bien fixer le sens qu’il faut leur attribuer à toutes.

T.

Plusieurs polynômes étant donnés, on peut les ajouter dans Pordre qu’on voudra, on retombera toujours sur le même polynôme (réduit).

Dans une somme de plusieurs polynômes, on peut remplacer tels polynômes que l’on veut par leur somme effectuée.

On peut multiplier plusieurs polynômes dans l’ordre que l’on veut ; le polynôme produit, après qu’on l’a réduit, est toujours le même.

Dans un produit de polynômes, on peut remplacer tels facteurs (polynômes) que l’on veut par leur produit effectué ; le produit final est toujours le même polynôme.

Le produit de plusieurs polynômes ne peut être identiquement nul que si l’un des facteurs est identiquement nul (³).

Pour multiplier la somme de deux polynômes P, Q par un polynôme R, on peut multiplier par R chacun des polynômes P, Q el ajouter les deux produits.

Ce dernier théorème s’exprime par l’identité

(P + Q)R= PR -+- QR.

Dans le premier membre, P + Q représente le polynôme obtenu en ajoutant, d’après la règle élémentaire, les polynômes P, Q; (P-t-Q)R représente le polynôme (réduit) obtenu en multipliant, d’après la règle élémentaire, le polynôme P + Q par le polynôme R ; dans le second membre PR, QR représentent de même les polynômes obtenus en multipliant le polynôme P par le polynôme R, le polynôme Q par le polynôme R; PR + QR représente le polynôme (réduit) obtenu en ajoutant les deux polynômes PR, QR; en disant que l’égalité écrite est une identité, on entend que le polynôme (réduit) (P -f- Q)R est le même polynôme que le polynôme (réduit) PR -f- QR.

Qu’il en soit ainsi, c’est ce qui résulte évidemment de la proposition précédente ; en effet, si l’on attribue aux variables des valeurs numériques quelconques, les polynômes P, Q, R prennent des valeurs numériques P', Q', R' et le nombre (P' + Q')R; est certaine-nement égal au nombre P'R'-j- Q'Rb Cela revient à dire que les deux

polynômes (P -f- Q)R et PR -f- QR prennent les mêmes valeurs numériques pour un système quelconque de valeurs numériques attribuées aux variables ; les deux polynômes, lorsqu'ils sont réduits, sont donc identiques terme à terme.

11 est à peine utile d’appeler l’attention du lecteur sur les conséquences de ce dernier théorème : si dans une somme de produits de polynômes figure, dans chaque terme de la somme, un même polynôme, on peut le mettre en facteur; pour multiplier une somme de polynômes par une somme de polynômes, on peut multiplier chaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde et ajouter les produits partiels; le polynôme ainsi obtenu est le même que celui qu’on aurait obtenu en effectuant la première somme, puis la seconde et en multipliant les résultats.

Si, en multipliant les deux polynômes A, B par le polynôme C, non identiquement nul, on trouve le même produit, c’est que les deux polynômes A, B étaient identiques ; en effet, le polynôme AC — BC étant, par hypothèse, identiquement nul, il en est de même du produit (A— B)C, qui lui est identique; si donc le polynôme C n’est pas identiquement nul, c’est que la différence A — B est identiquement nulle, ou que le polynôme A est identique au polynôme B.

§ 4. — ÉTUDE D’UN POLYNOME POUR LES VALEURS DE a-VOISINES DE a.

35. Après cette digression, arrivons à l’étude des valeurs d’un polynôme en x, pour les valeurs de x voisines d’un nombre donné a. Soit

J (^x'j — Aq —Ai x —i— A2 X“ -4—... —H A/ix

le polynôme proposé, ordonné suivant les puissances croissantes de x ; je suppose qu’il soit de degré n, c’est-à-dire que le dernier coefficient A„ ne soit pas nul- Quelques-uns des autres coefficients A₀, .., Aw_, peuvent d’ailleurs être nuis.

Pour ramener l’étude qu’on veut faire au cas, déjà traité, où la variable reste voisine de o, d suffit de poser x = a + /<, en regardant h nomme une variable qui restera voisine de o ; la valeur de a + /i, ou de x, restera voisine de a. Le polynôme proposé deviendra alors

J\ci -i⁻ /t ) — Aq -4— A1 ( 0, —J— h ) —l- A 2 ( ci -+- h • -+■ A « ( -i— /t

On sait, par de simples additions et multiplications de polynômes, développer le second membre et l’ordonner suivant les puissances ascendantes de A, de manière à le mettre sous la forme

Relativement à ce développement, je ferai d’abord quelques remarques, qui concernent surtout les deux premiers coefficients et le dernier.

Lorsque, en désignant par r un nombre naturel quelconque, on développe (a -f- h)r et qu’on l’ordonne suivant les puissances ascendantes de A, c’est-à-dire lorsqu’on effectue le produit de /'polynômes égaux à a + A, le premier terme (le tenue de moindre degré) est égal à ar, le terme du pins haut degré est hr, puisque ces termes s’obtiennent respectivement en multipliant les termes du plus bas degré, ou du plus haut degré dans les r facteurs; il est aisé d’avoir aussi le terme du premier degré en A : il est 2 ah, 3a-h, \a*h, ... dans les développements de (a + h)-, (a + A)³, (a + h)'¹, ... ; il est rar~K h dans le développement de (a + h)r ; si l’on admet, en effet, que la proposition soit vraie pour le nombre /', on aura

(a hy = ar-+- ra’’-¹ h -+■..

les termes non écrits au second membre contenant li², A³, ... ; si l’on multiplie les deux membres par a + h, les termes non écrits dans le second membre ne fourniront pas de termes du premier degré en h. Le terme du premier degré en h, dans le développement de (a -f- A) proviendra exclusivement du produit de ar -h rar~¹ A par a + A (¹ ) ~ il est (r -f- i)ar A ; la loi se continue donc.

11 résulte des remarques précédentes que, si l’on ordonne lepoly-

(¹) Il y a là une remarque générale qu’il est bon de faire : Lorsqu’on a à effectuer le produit de deux polynômes ordonnés par rapport aux puissances ascendantes de xy

a₀ ■+- a, x + a₂ x- -H...,

-H b^x H— b2X“ —}—....

et qu’on ne veut conserver au produit que les termes de degré m ou de degré inférieur, on pourra, dans les deux facteurs, effacer les termes de degré supérieur à my faire ensuite le produit, en supprimant, dans ce produit, les termes qui sont de degrés supérieur à m.

nome

-+- A) — Ao~H Aj(<z /t) -+- A2{ce 4- /i)- -4-. . .-+- An(^Cl    h)n

suivant les puissances ascendantes de h, on tombera sur un polynôme de la forme

(0

J(ci —H /t) — B₀ -1— Bi h H— B2 ii~ ~Jr~. . . -t— Bnh'¹,

où Bw est égal à A nisse un terme en h", et où l’on a

ni

puisque A-+- h)n est le seul terme qui four-

B₀.—- Aq -+- Aj ci -t- A2 ci- -+-... -+- A„ ci'¹,

B j = Aj —t- 2 A2 ci —H 3 A3 cfi —{—... -4— n A-/i d"~~^ j

quant aux autres coefficients, on donnera, un peu plus tard, une règle simple pour les calculer.

Dans le développement de f [a h), ordonné suivant les puissances croissantes de A, le terme constant B₀ est/(a) ; il s’obtient en remplaçante par a dans le polynôme proposé f(x) : ce résultat est d’ailleurs évident sur l’identité (1) elle-même ; il suffit, pour l’obtenir, de faire h = o dans cette identité.

Le coefficient B, de A, dont on verra bientôt toute l’importance, s’obtient en remplaçant x par a dans le polynôme

f(x) — A[ -f- iA.=>x -4- 3A₃a;² + .. .-t- n A„a?w_1,

le polynôme dé-

011

qu’on appelle la dérivée (') du polynôme f{x) rivé de f(x), et qui se déduit de ce dernier polynôme par la règle suivante :

On supprime le terme constant dans le polynôme proposé; on multiplie chaque coefficient par l’exposant de x dans le terme correspondant (²). On diminue enfin cet exposant d’une unité.

Au lieu de dire que j\a-\-li) se met sous la forme (1), il revient au même, en remettant x — a à la place de A, de dire que le poly- ⁴

CHAPITRE II.

nome f(x) peut se mettre sous la forme

(2)

f(x) = B₀-t-    — a) -+- B₂(:r — «)²-b.. .H- B„(a? — a)'¹.

peuvent être nuis, mais non le

C’est ce qu’on appelle ordonner le polynôme f(x) suivant les puissances de x — a.

... B,

11 •

dernier coefficient Bw, qui est égal, à A„.

Quand h est voisin de o, la valeur du polynôme (en h), f(ci + h), est voisine de la valeur B₀ que prend ce polynôme pour A = o ; le polynôme f{x) est voisin de la valeur B₀ = f(a) qu’il prend pour x — a ; la valeur du polynôme reste aussi voisine cpi’on veut de B₀ pourvu que x reste suffisamment voisin de «; c’est ce qu’on exprime en disant que le polynôme f(x) est une fonction continue (¹) de x pour x — a.

Pour les valeurs de A suffisamment voisines de o, le polynôme

Les coefficients B₀, B

f(a-\-h) est du signe du premier de ses termes B₀, B, A, B₂A², .. dont le coefficient n’est pas nul; pour les valeurs de x suffisamment voisines de «, le polynôme f(x) est du signe du premier des termes B₀, B, (x — a), B₂(# — c/.)², ... dont le coefficient n’est pas nul.

Laissons, pour le moment, B₍₎ de côté. Le premier des coefficients suivants B₍, B₂, .. ., B„, qui n’est, pas nul, joue un rôle important, c’est lui qui fixe en quelque sorte la façon dont le polynôme se comporte, pour les valeurs de x voisines de«. Soit Br ce coefficient : si r est impair, en sorte que le terme B,./*'', ou Br(.27 — a)r soit de degré impair, le polynôme f(x), lorsque Br est positif, est plus grand pour x = a que pour les valeurs de x un peu plus petites que a, plus petit que pour les valeurs de x un peu plus grandes que a : le polynôme f{x) est alors croissant pour x = a ; quand, au contraire, B,, est négatif, le polynôme f(x) est décroissant pour x = a.

Si r est pair, en sorte que B,.A⁷' ou B,.(3? — a)r soit de degré pair, le polynôme f(x) est plus petit, ou plus grand, pour x — «, que pour les valeurs voisines, suivant que B,-est positif ou négatif ; suivant

(') Pour peu qu'il veuille yréfléchir, le lecteur reconnaîtra que cette continuité est admise implicitement quand on admet que l’équation y = f(x) peut être représentée par une courbe. Quand un point décrit une courbe, l’ordonnée varie très peu, lorsque l’abscisse varie très peu. C’est donc prématurément que j’ai parlé de la courbe qui représente un polynôme.

POLYNOMES.

les cas, le polynôme f(x) passe, pour x — a, par un minimum ou un maximum.

Les expressions

B₀,    B₀-1-Bi(a? — a), Bo-t-B^a?— a)-4-B₂(a?— a)²,    ...

.., B„.

fournissent des expressions approchées de la valeur du polynôme f(x) pour les valeurs de x voisines de «; on sait calculer une limite de l’erreur commise en substituant au polynôme l’une de ces expressions : par exemple, si l’on choisit la dernière, et si l’on suppose que la valeur absolue de x — a soit inférieure à i, l’erreur commise sera moindre en valeur absolue que S (a?—«):î, en désignant par S la somme des valeurs absolues des coefficients B;l, B

Pour les valeurs de x voisines de «, la courbe dont l’équation est y = f(x) se rapproche de la droite dont l’équation est

y = B₀-!- B, (x — a) ;

quand Bo n’est pas nul, suivant que JL est positif ou négatif, la courbe est au-dessus ou au-dessous de cette droite, qu’elle affleure au point dont les coordonnées sont x — a, y = B₀= /'(«) I si B₂ est nul sans que B;, le soit, la courbe traverse la droite au même point.

Dans tous les cas, la droite est tangente à la courbe : en effet, la pente de la droite qui joint les deux points dont les coordonnées sont respectivement a et f{ci) = B₀, a h et a-\- h) — B₀+ B, h -h ...

est (n° 28)

f(a -+- h) —fia)

a -H h — a

= B₁₊ B₂/i + B₃/i² + ...;

et cette dernière quantité est aussi voisine de B₍ qu’on le veut, pourvu que h soit suffisamment petit; en d’autres termes, B, est la limite de la pente d’une sécante joignant les deux points, quand le second se rapproche du premier. C’est la pente de la tangente (') au point dont les coordonnées sont a et /*(«) = B₀ ; l'équation de cette tangente est

(') Par définition, la pente d’une courbe en un point de cette courbe est la pente de la tangente en ce point : on peut donc dire que la pente de la courbe définie par l’équation y = f(x), au point de cette courbe dont les coordonnées sont a et f(a),

est

B^ — A, —f- 2 A*> ci —H 3 A, cd —H... -n A It cin ’.

CHAPITRE II.

88

bien y — B₀ = B, (x — a) (n° 28). Ce résultat subsiste, ainsi que la démonstration, lors même que l’un ou l’autre des coefficients B₀, B, est nul. S’ils sont nuis tous deux, l'axe des x est la tangente à la courbe. Pour les valeurs de x voisines de «, la parabole dont l’équation est

a)²

y — B o —H B i ( x — ci ) —i— B 2 ( x

est très voisine de la courbe dont l’équation est y =f(x), etc.

Si, par exemple, le lecteur veut étudier le polynôme

f(x) — 3 — ix -i-    —■ Sx*y- x*,

pour les valeurs de x voisines de calculs,

, il trouvera, en effectuant les

f(i -+- h) — i — 5/i -1- 5A²— h³-h h'*, f(x) = i — 5 (a? — i) — 5 (a? — i)²— (x — i )³ —i— ( a? — i )⁴.

Pour x — i, le polynôme prend la valeur i ; pour cette valeur il est décroissant; au point dont les coordonnées sont x = i, y = i, la tangente à la courbe définie par l’équation

y — 3 — 2 a? -t- 4 x² — 5 a?³ -+- x’* — i — 5 (a?-— i) —...

o(# — i).

a elle-même pour équation y =

36. Il importe de se rappeler le rôle du coefficient B, dont la valeur s’obtient en remplaçant x par a dans la dérivée f'{x) du polynôme f(x) :

La pente de la tangente en un point de la courbe définie par Véquation y = f{x), dont l’abscisse est a, s’obtient en remplaçant x para dans la dérivée f' (x) du polynôme f( x ).

Lorsque le résultat f {et) de cette substit ution n'est pas nul, te polynôme f(x) est croissant ou décroissant pour x = a suivant que fi {a) est positif ou négatif.

37. Le cas particulier où le polynôme f(x) s’annule pour x = a mérite qu’on s’y arrête; on dit alors que a est une racine du polynôme f{x)\ B₀ est alors nul, et il peut se faire cpie plusieurs des coefficients suivants B,, Bo, ..., Ba_, soient nuis; je suppose que Ba soit différent de o. (On sait que tous les coefficients ne peuvent être

nuis.) On a alors

A+...4-B*A"-«),

f(a -t- h) = Ba/ia-i- Ba+1 Aa+1 -+-...-4- B„ hn = h%( Ba-i- B f{x) = (x — a)*[ Ba+ Ba+i(;p —    B ri(x — a)'l-*\ = (x — a)*g(x),

a+i

en posant

g{x) = Ba-+- Ba+1 (a? —    .-h B„(> — «)«-«;

le polynôme (en A) ne s’annule ni pour A = o, ni pour les valeurs de A voisines de o; le polynôme g(x) ne s’annule ni pour x — a, ni pour les valeurs de x voisines de a.

Dans ces conditions, on dit que a est une racine d’ordre de multiplicité a du polynôme f(x). Si a est égal à i, la racine a est dite simple. Si a est plus grand que i, la racine a est dite multiple : elle est double, triple, quadruple, ..., si a est égal à a, 3, 4? •••! c’est par un abus de langage, quand la racine est simple, que l’on dit que son ordre de multiplicité est i.

Un polynôme en x étant donné, on appelle racine de ce polynôme toute valeur de x pour laquelle il s’annule; si a est une racine, en remplaçant x par a -H h dans le polynôme, en ordonnant ensuite suivant les puissances croissantes de A, on obtient un polynôme en A, sans terme constant : le degré du premier terme de ce polynôme est, par définition, l’ordre de multiplicité de la racine a.

Le polynôme 2XS + 5x² \x — \, par exemple, s’annule pour x = i. i est une racine; en remplaçant x par i + A, le polynôme devient A²+2A³. i est une racine d’ordre de multiplicité 2, ou, si l’on veut, une racine double.

Lorsqu’un polynôme, ordonné par rapport aux puissances croissantes de x, ne contient pas de terme constant, o est une racine de ce polynôme. L’ordre de multiplicité de cette racine est le degré du premier terme.

On a vu plus haut que, si a était une racine du polynôme f(x),

CHAPITRE II.

d’ordre de multiplicité a, on pouvait mettre f{x) sous la forme (')

/O) = (x

a)* g{x)

g{x) étant un polynôme qui ne s’annule pas pour x — a, et que l’on a d’ailleurs appris à former.

Inversement cette forme même caractérise une racine d’ordre a de multiplicité : en d’autres termes, si l’on a réussi, n’importe comment, à mettre le polynôme f{x) sous la forme (x — «)“ g{x), g(x) étant un polynôme en x qui ne s’annule pas pour x — a, on peut affirmer que a est une racine de f{x), d’ordre a de multiplicité.

remplace x

on

En effet, si, dans l’identité f{x) = {x— a)ag[x) par a + h, elle devient

f(a-\- h) = Aa g (a -T- h);

si l'on développe le polynôme g{a + h) et qu’on l’ordonne suivant les puissances croissantes de h, le développement commence par un terme constant, g {ci), qui, par hypothèse, n’est pas nul. Le développement de f{a + h) commencera donc par le terme h* g {ci), qui est de degré a en h.

On peut tirer d’autres conséquences de ce dernier résultat : c’est précisément ce premier terme du développement de f{a-\-h) qui, d’après le numéro précédent, détermine la façon dont varie f{x) pour x = «, et la forme de la courbe dont l’équation estjK = f{x) aux environs du point A, d’ahseisse a, où cette courbe rencontre l’axe des x. Si a est impair, en particulier si a est racine simple, elle traverse cet axe en montant (lorsque x croît), ou en descendant, suivant que g (a) est positif ou négatif. Si a est pair, la courbe, aux environs du point A, reste au-dessus ou au-dessous de l’axe des x, suivant que g(ci) est positif ou négatif. Si a est plus grand que 1, elle est tangente à l’axe, au point A. Si a est égal à 1, si a est racine simple, la pente de la tangente en A, ou de la courbe, est g {a). Tout ceci résulte de la règle générale pour la détermination de la tangente.

38. Décomposition en facteurs d’un polynôme dont on connaît les racines. — Supposons toujours que a soit une racine d’ordre de

(¹ ) On entend parla que les deux polynômes f(x) et (x — a)"-g(x) sont identiques.

multiplicité a du polynôme

y ( x ) —- A o -4" At x —h A 2 x^ ~f". • •    A fi xn,

en sorte que l’on ait, avec les mêmes notations que précédemment,

¹

— ‘ix H- 4 a?²— 5x¹-{- x¹* sina7,

puisque la valeur absolue de sin,r est, au plus, égale a 1.

²

Alors toutes les conclusions précédentes subsistent : en elfet, si l’on désigne par x' la valeur absolue de x et par A',, Aj, ...,    les

valeurs absolues des coefficients constants A₀, A

³

Je rappelle à ce pi’opos que, lorsqu’on fait le produit de deux ou plusieurs polynômes en x, le terme du plus bas degré s’obtient en faisant le produit des termes du plus bas degré dans les différents facteurs; le terme du plus haut degré s’obtient de même en faisant le produit des termes du plus haut degré dans les différents facteurs.

⁴

La notion de dérivée a été déjà introduite dans les éléments, à un autre point de vue auquel je reviendrai plus tard. On verra, lorsqu’il sera question de polynômes à variables imaginaires, l’intérêt de la définition actuelle.

(²) Cetle dernière règle, appliquée au terme A₀ ou A₀x⁰,, conduirait à supprimer ce terme, comme ou doit le faire effectivement.

f(x) = {x — a)*g(x),

le polynôme g(x) ne s’annulant pas pour x = a\ puisque le produit des termes du plus haut degré dans [x — a)a et dans g(x) doit reproduire A,tx'¹, on voit que le terme du plus haut degré dans g[x) est AuX'¹*⁰¹ et que g{x) est de degré n — a.

Supposons maintenant que /(x) s'annule pour un nombre b, autre que «; il faudra que (b — a)* g (b) soit nul et, comme le premier facteur n’est pas nul, que le second g(b) le soit; b est donc racine de g(x)] je dis que b est une racine du même ordre de multiplicité pour g(x) que pour f(x).

g{x) = {x— A)P h(x),

Si, en effet, b est d’ordre de multiplicité (3 pour g(x): c’est que l’on peut poser

h(x) étant un polynôme qui ne s’annule pas pour x = b‘, le polynôme f(x) pourra donc se mettre sous la forme

f(x) = (x — 6)P[(<f — «)a AO)],

et comme le polynôme entre crochets ne s’annule pas pour x=b: b est bien une racine d’ordre de multiplicité [3 pour f(x). Le polynôme h(x) ne s’annule pas non plus pour x = a, sans quoi a serait une racine de g (x)' s’il y a un nombre c, différent de a et de 6, qui annule f(x), ce nombre estaussi une racine de A(0), du même ordre de multiplicité y pour f(x) cpie pour h(x), et l'on peut poser

y O) = (x — a)aO — b)fi(x — c)r k(x),

k(x) étant un polynôme qui ne s’annule pour aucune des trois valeurs a₁ b, c de x.

g(x) étant de degré n — a, h(x) est de degré n — a — [3, k(x) de degré n — a—[3 — y; dans chacun de ces polynômes, le terme du plus haut degré en a? a toujours pour coefficient Au.

11 est clair que le raisonnement peut se continuer, et que, si le

polynôme f(x) admet les racines distinctes a, 0, ..., /avec les ordres de multiplicité respectifs a, [3, .... A et n’en admet pas d’autres aura

on

f(x) = (x — a)*(x — />)P...(æ — /)A f (x),

rf(x) étant un polynôme de degré n — a— [3 —...— A qui ne s’annule plus pour aucune valeur de x, et dans lequel le coefficient de la plus haute puissance de x est An ; si l’on avait

on

aurait identiquement

Z>)P.. .(x — /)}>.

/(x) = A n(x — a)*(x

Il est bien clair que a + ^ +... + \ ne peut dépasser n et que, en particulier, le nombre des racines distinctes d’un polynôme de degré n ne peut dépasser n.

Ceci complète une proposition établie au n° 33; non seulement un polynôme en x, qui n’est pas identiquement nul, ne peut être nul pour toutes les valeurs de x, mais il ne peut pas avoir plus de racines différentes qu’il y a d’unités dans son degré. Il en résulte que deux polynômes dont le degré est inférieur ou égal à n ne peuvent pas, sans être identiques, être égaux pour plus de n valeurs distinctes dex, puisque leur différence s’annulerait pour ces valeurs de x.

39. Grandes valeurs de la variable. — Il me reste à dire quelques mots de l’étude des valeurs d’un polynôme pour de très grandes valeurs absolues de la variable.

Pour cette étude, il convient d’ordonner le polynôme par rapport aux puissances descendantes de la variable et de porter son attention sur les premiers termes, qui importent le plus; si la valeur absolue de la variable est assez grande, chaque terme est plus grand que ceux qui le suivent, et l’erreur relative que l’on commet en ne conservant que les premiers termes est faible.

;>

2. IoP

Si l’on veut avoir par exemple la valeur pour x = ioooo du polynôme 3xs—ix- x — i, les erreurs relatives que l’on commettra en calculant, au lieu de la valeur du polynôme proposé, celle des polynômes 3^c:i, ?>x'A— ix- seront respectivement plus petites que

2. io⁸

• Ceci va d’ailleurs être précisé.

Considérons en général le polynôme, ordonné suivant les puissances décroissantes de x,

f(x) = a₀x'l-h aixu~l-h...-f- an-ix an;

a₀, ort, . . ., au sont les coefficients : je suppose que le premier a₀ ne soit pas nul.

La valeur de ce polynôme, pour une valeur quelconque de x, autre que o, est égale au produit de la valeur de xn par celle de l’expression

(Iq Cl\ — —t— Ct 2 —— “4— . . . —I⁻ Ct/i+l

./•

X'l + 1

an — Xn

qui peut être regardée comme un polynôme, dont la variable s’appellerait -} ordonné suivant les puissances croissantes de cette variable; quand x est très grand en valeur absolue, est très petit en valeur

absolue, le lecteur prévoit bien qu’il va être ramené à un cas qu’il connaît déjà.

Posons

- = -s,

X

o(z) = ct\Z -+- a₂s²-+-.. .-t- anzn;

on

aura, pour toutes les valeurs de x autres que o,

le polynôme ®(z) s’annule pour £ = o; sa valeur absolue reste aussi petite qu’on veut pourvu que la valeur absolue de z soit assez petite,, que celle de x soit assez grande.

Désignons par x\ z’, a'u les valeurs absolues de x, z, ct₀. Donnons-nous un nombre positif s aussi petit qu’on voudra, moindre en particulier que a'₀. Supposons qu’on ne considère que des valeurs de x assez grandes absolument pour que la valeur absolue de f(z) soit moindre que s. 11 suffit pour cela que z' soit inférieur à un nombre positif que l’on sait calculer, que x' soit supérieur à l’inverse de ce dernier nombre. Dans ces conditions, la valeur absolue de a₀-j- f(z) sera évidemment supérieure au nombre positif ci'₀—s; a₀+c?(⁵) ne s’annulera pas et sera toujours du signe de a₀ ; le produit ne s’annulera pas non plus et sera du signe de a₀xny la valeur absolue de ce produit est supérieure à (ar₍₎—e)x'n et ce dernier nombre peut évidemment être supposé aussi grand qu’on veut pourvu que x' soit suffisamment grand.

Pourvu que la valeur absolue de x soit plus grande qu'un nombre positif P qu'on sait calculer, le polynôme f(x) ne s’annule pas, il est du même signe que son premier terme aaxn] sa valeur absolue est aussi grande qu'on veut, pourvu que la valeur absolue de x soit suffisamment grande.

Si l’on considère par exemple le polynôme

f{x) — 2a?⁵—    5a?²— 8a? -h 2,

le polynôme 9(3) sera ici

- 4-3²-+- 3 3³+ 83v+ 2 3⁵ = 3²( — 4 + 5.3— 83²-|- 2 3³);

pourvu que z' soit plus petit que 1, il est plus petit en valeur absolue que

193'*, que 2 par conséquent, si l’on suppose 3' <    a?'> 4- Si la valeur absolue

4

de x est plus grande que 4» le polynôme f(x) ne sera jamais nul, il sera du signe de son premier terme 2a?⁵, positif si x est positif, négatif dans le cas contraire, plus grand en valeur absolue que

iG’

x'

si l’on voulait déterminer un nombre positif 13 tel que la condition a?'>B entraînât |/(a?) | > 1000, il suffirait de prendre B >

1G 000

i3

y par exemple

B = 4,2.

En supposant a?'> \ ,ï le polynôme sera plus grand que 1000 si x est positif, plus petit que — 1000 si x est négatif.

L’erreur commise en remplaçant f(x) par son premier terme 2a?⁵ est a?³ç(3); l’erreur relative

x°ü{z) _    <p(z)

X⁵\ ‘2 -h o(z )\ ~ 2-t-cp(3)

est moindre en valeur absolue que

₍()3'²

3'²’

2 — 1Ç)

pourvu que 193'² soit plus petit que 2, ce qui arrivera sûrement si z’ est plus

I

petit que -• Si l’on voulait que cette erreur fut moindre que le nombre posi-

POLYNOM liS.

tof tj, il suffirait de supposer z' plus petit que - et que

■>'h

«90-‘- 'l)’

elle serait, par exemple, moindre que o,ooi si l’on supposait a?'>ioo.

Pour en revenir au cas général où l’on a

n— 1

f(x) — a₀x"-\- dix

on voit qu’on aura, comme au n ’ 31, à distinguer quatre cas suivant que n est impair ou pair et que a₀ est positif ou négatif.

Lorsque n est impair le polynôme est de signes contraires pour les valeurs positives ou négatives de x assez grandes en valeur absolue. Je me permettrai d’employer les expressions suivantes, suffisamment éclaircies par ce que je viens de dire :

Si l’on a    o, le polynôme est égal à -h cc si x est égal à + oc,

à — oo si x est égal à — oc. Si l’on a₀ << o, il est égal à — oc ou à + oc, suivant que x est égal à + oc ou à — oo.

Au contraire, lorsque n est pair, le polynôme est du signe de «₀, pour les grandes valeurs absolues de x\ il est égal à + oo ou à — oc, pour x =± oc, suivant que l’on a «₀>> o ou a₀<^ o.

11 est évident que ces dernières conclusions subsisteraient si le dernier terme an de l’expression a₀xn + at xil~K + ...+ a.n_K x + a,n au lieu d’être une constante, dépendait de x et si l’on savait que pour les grandes valeurs de x, ce dernier terme reste, en valeur absolue, inférieur à un nombre fixe. L’analogie avec ce que l’on a dit au n° 312 pour les petites valeurs de x est évidente.

Si l'on veut reconnaître le sens de la variation du polynôme f(x) pour de grandes valeurs (absolues) de x, il n’y a qu’à appliquer la règle du n" 3o. La dérivée du polynôme f{x) est

f'(x) — na₀xn~l -H (n — i)alxn~i    an-j ;

qui

n’est autre chose que la dérivée du premier terme aüx'¹ du poly-

suivant que pour une valeur x₀ de x ce dernier polynôme est positif ou négatif, le polynôme proposé est croissant, ou décroissant, pour x — x₀. Or, si x est suffisamment grand en valeur absolue, le polynôme dérivé f'(x) est du signe de son premier terme na₀xn

nome proposé. Par conséquent, pour# suffisamment grand en valeur absolue, le polynôme f(x) est croissant ou décroissant suivant que son premier terme est croissant ou décroissant; on voit l’importance de ce premier terme qui fournit une valeur grossièrement approchée du polynôme, le signe et le sens de la variation du polynôme.

Remarquons enfin, en supposant le degré du polynôme f(x) supé-sieur à i, que, si #est grand en valeur absolue, il en est de même de la valeur absolue de la dérivée; or la valeur de cette dérivée est la pente de la tangente, au point de la courbe, définie par l’équation y = f(x), dont l’abscisse est x; cette tangente est donc presque parallèle à l’axe des y, et cela est d’autant plus vrai que la valeur absolue de x est plus grande.

Le lecteur a tout ce qu’il faut pour comprendre les schémas suivants qui donnent quelque idée de la partie de la courbe qui corres-

Fig. i5.

Fig. 16.

Fig. 17.

Fig. 18.

pond à de grandes valeurs de l’abscisse suivant les quatre dérés : n impair, a₀> o et «₀<C °> n pair, a₀~y> o et a₀<C °-

cas consi-

Il convient de signaler ce qui manque à l’étude précédente : on a appris à reconnaître comment se comportait un polynôme pour les valeurs de x voisines d’une valeur donnée, en particulier pour les valeurs de x voisines de o, comment aussi il se comportait pour les grandes valeurs absolues de x\ on n’a pas appris à suivre ses variations comme on l’apprend dans les éléments pour les polynômes ax-\-b. ax- + bx + c, axn] sans traiter ce problème, sur lequel j’aurai à revenir, je crois pouvoir dire de suite que la question de savoir comment varie un polynôme f(x) quand x croît depuis A jusqu’à B revient à reconnaître quel est, dans ces conditions, le signe du polynôme f'(x). Si, par exemple, ce polynôme f'(x) est toujours positif dans ces conditions, c’est que pour chaque valeur de x appartenant à l’intervalle (A, B) le polynôme est croissant pour chacune de ces valeurs.

Est-il permis d’en conclure que le polynôme est croissant dans cet intervalle, c’est-à-dire que la plus grande valeur du polynôme correspond toujours à la plus grande valeur de la variable, ou encore que le rapport

x"— x'

est toujours positif pourvu que les nombres xb x" appartiennent à l’intervalle (A, B)? Le lecteur, s’il veut bien y réfléchir, reconnaîtra que ce point n’a pas été démontré, mais il sera certainement très disposé à l’admettre. Dès lors, il voit qu’il sera en mesure de suivre complètement la variation d’un polynôme dans tous les cas où il saura reconnaître quelles sont les valeurs de la variable pour lesquelles la dérivée est positive, celles pour lesquelles elle est négative; dans le cas, par exemple, où la dérivée est un trinôme du second degré, ou un trinôme bicarré; dans le cas où cette dérivée peut se mettre sous la forme

A (a? — ci)*(x — b)?(x — c)ï.. .(a7 — l)\

où A, a, b, c, / sont des nombres quelconques et a, [3, y, . . ., X des nombres naturels.

T.

§ 5. — DÉRIVÉES D’UN POLYNOME. PUISSANCES D'UN BINOME.

40. On a défini au n° 3o la dérivée d’un polynôme en x y ( x ) = A o -i— Aj x —H A ₂ a?² -1⁻ •.. —f- Xnxtl i

Lorsque, dans ce polynôme, on remplace x par x -f- A, que l’on développe el que l’on ordonne suivant les puissances de A, de manière à mettre f(x + A) sous la forme

(0

f(x -f- h) = P₀(a?) -1- /iPi(;r) 4- h²P₂(x) +. . .-t- h'¹ P„,

P₀(.r), P, (x), . . ., P/2 sont des polynômes en x dont le premier est identique à f(x), dont le dernier se réduit à la constante A,/, dont le second P, (x) est, par définition, la dérivée du polynôme f(x), et se représente habituellement paryy.r); son expression, comme on l’a vu au n° 3o, est

Pj(,r) = f'(x)=Xl-h‘2\2X-+-‘iA₃X^-¹r...-Jr Tl AnXn—¹.

On dit aussi que f'(x) est la dérivée du polynôme /(x) par rapport à x, pour rappeler simplement que x est le nom de la variable qui figure dans le polynôme f{x). On verra plus tard l’utilité de cette façon de parler.

poiy-

Si l’on veut regarder une constante numérique comme un nome en x, de degré o, il faut regarder la dérivée d’un tel polynôme comme identiquement nulle, puisqu’il ne change pas quand on y remplace x par x + A et qu’ainsi le terme en A fait alors défaut dans le second membre de l’identité ( i ).

La définition de la dérivée d’un polynôme permet de justifier immédiatement certaines règles de calcul, sur lesquelles j’insiste d’autant moins que j’aurai à y revenir en considérant les dérivées à un autre point de vue; je me contente de signaler celles qui suivent, où f(x), f(x) désignent des polynômes en x dont les dérivées sont f(x), o’(x) et où A, B désignent des constantes.

La dérivée du polynôme A f(x)~|-Bcp(x) est A f (x) h- B ®'(x) ;

La dérivée du produit f(x) ®(x) estf (x) (x).

On a, en effet, en remplaçant x par x -|- A, et en ordonnant sui-

POLYNOMES.

vaut les puissances croissantes de la variable h

/O 4- h) =/(a?) -h hf'(x) o(x -+- h) = <p(x) -h h y'(x)

les points suspensifs sont mis à la place des termes en /i², /b', . . on en conclut que, dans le développement de A f(x + h) + B ©(# +A), ordonné suivant les puissances croissantes de /i, le coefficient de h est A f'{x) -f- B <?'(x) ; que, dans le développement du produit f(x-\-li)o{x-\-h) ordonné de même suivant les puissances croissantes de h, le coefficient de h est f(x) '?'(&) + ^(x) f (x) : ces remarques, si l’on se reporte à la définition de la dérivée, justifient les propositions énoncées.

La première proposition contient comme cas particuliers les suivantes : la dérivée de A f(x) est A f(x)\ la dérivée de la somme de deux polynômes est la somme des dérivées de ces polynômes. Cette proposition et sa démonstration s’étendent évidemment au cas où la somme comporte trois, quatre, . . ., un nombre quelconque de polynômes. La règle même du n° 35 pour former la dérivée d’un polynôme consiste à faire la somme des dérivées des termes de ces polynômes; il convient de remarquer qu’elle conduirait à un résultat exact lors même que le polynôme proposé ne serait pas réduit.

De la règle relative à la dérivée d’un produit de deux polynômes on déduit sans peine une règle pour le calcul de la dérivée d’un produit d’autant de polynômes que l’on veut, d’une puissance naturelle d’un polynôme, etc.

j’ai besoin, pour ce qui suit, de la proposition que voici :

Soit a un nombre quelconque, je considère le polynôme en x

f (fl? -+- ci) = Ao-+- Ai(x a) \-2(x -+- <z)*-t-.. • -t- \n(x h- a

obtenu en remplaçant, dans le polynôme f{x), x par x + a : la dérivée de ce polynôme s’obtient en remplaçant x par x + a dans la dérivée f(x) du polynôme f{x)\ en d’autres termes, cette dérivée est le polynôme en x

J" {x —ci) — Ai2Ag(x -T- ci) -+- 3 A3(x -t⁻ ci)■ —1—... —11 A,j(x —h a)'¹ ^.

Si, en effet, dans l’identité (1), qui doit avoir lieu pour toutes les

CHAPITRE II.

IOO

valeurs de x, on remplace x par x -f- «, elle devient

f(x a h) = P₀(a7 -f- a) •+■ hP₁ (x -f- a) h'² P₂(a7 -f- a) -t-... -4- hn P„ ;

la forme même du second membre montre que P₍ (x + a) est le coefficient de h dans le développement, ordonné suivant les puissances croissantes de h, du poljnome qu’on obtient en remplaçant x par x + h dans le poljnome f(x-\-a)\ c’est la définition même de la dérivée de ce dernier poljnome.

Par exemple, la dérivée du poljnome i — 3a? -H a?² est — 3 H- ix\ d’après la règle précédente, la dérivée du polynôme

i — 3 (a? — 2) -t- (x — 2)²=io — 737-1- 37²

doit être

- 3-1-2(37 — 2)=- 7-I- 2 37.

C’est, en effet, le résultat qu’on trouve en appliquant au polynôme 10 — 737 -t- x2 la règle du n° 35 pour obtenir sa dérivée.

41. Le poljnome f(x) ou P₁ (a?), dérivée du poljnome

f(x) = Ao —t— Aj 37 —(— A₂ a?²-f-... —(— \n37w,

a lui-même une dérivée, qui se déduit de f(x) par la même règle qui permet de déduire f(x) de f(x)‘, cette dérivée du poljnome f {x) s’appelle aussi la dérivée seconde de f(x) et se représente par f"(x): elle est

f"(x) = 1.2 A₂ -1- 2.3 A₃ 37 -h 3.4 At37² -t-.. .-1- ( n — i)/iA/t37"-² ;

ce poljnome f"(x), du degré n — 2, a lui-même une dérivée, la dérivée deuxième de f(x), la dérivée troisième de/"(a?), à savoir :

/'"(a7) = 1.2.3 A₃-t- 2.3.4A₄ 37 -4- 3.4.5A₅a7²-i-.. .

-t- (/i — 2) (n — i)n\tlxn-³ ;

ce poljnome a une dérivée, la dérivée quatrième de /(a?), à savoir :

/Iy(a7) = 1.2.3.4 A4+ 2.3.4.5 A₅37-i- 3.4.5.6AG37²-t-...

-f- {n — 3) (n — 2) (n — i)nk,lx,l-'t.

La dérivée pUme (/?<</?) du poljnome f{x): définie de la même

façon, clc proche en proche, serait f[p)(x) = 1.2.3. . .pkp

-+- 2.3.4 • • • (p ~t~ l) Ap +1 X -h 3.4.5.. (P -4- 2 ) Ay;_|_2 X² -+- . . . -+-(«■ —/> + i)(n — /? -+- 2)...(n — 1) nknx'l-P\

c’est un polynôme de degré n—p\ ses termes proviennent des monômes de f(x) dont le degré est au moins égal àp.

La dérivée (n — i)ième est du premier degré; elle est

f («—*>(#) = 1.2.3... (n — 1)A/|_i + 2.3.4. • • nA,tx.

La dérivée nli'mG de f(x) est, toujours d’après la même règle,

f{-n)(x)= i.2.3...wA„;

eJle ne contient plus x, sa dérivée, ainsi que les dérivées suivantes du polynôme f(x), si l’on voulait les considérer, devraient être regardées comme nulles; un polynôme du /ilèmc degré n’a que n dérivées (non identiquement nulles) ; par exemple si l’on prend

f(x) — 4 — 5x rjxz — x³-+- 8x⁶,

les dérivées successives seront

f(x) — — 5-(-2ix²—5x⁴-i-48x⁵, f"(x) = 42X — 20X³-I- 240X⁴, f"(x) =42 — 6ox² H- 9G0X³, flv(x) = — 120a? -t- 2880X²,

/v(x) = —120 + 576027,

/VI(x) = 5760.

Dans le polynôme f(x), le premier coefficient est A₀, de même dans les polynômes f'(x), f"(x), ..., f^p^(x), ...,f(,l)(x) ordonnés suivant les puissances ascendantes de x, les premiers coefficients, ou les valeurs de ces polynômes, pour x = o, sont les coefficients A₍, .., An, du polynôme f(x), respectivement multipliés par les facteurs numériques 1, 1.2 d’autres termes, on a

Ao=/(o),

pi •

1.2en

A,

I .<1. . .p

A..m

i .2

_ /"(°) .

1.2 ...n’

A,j

lors donc que l’on connaîl les valeurs, pour x — o, d’un polynôme et de ses dérivées, on connaît, par cela même, les coefficients de ce polynôme.

42. Cette remarque, et celle qu’on a faite plus haut, relativement à la dérivée du polynôme f{a + .27), dérivée qui s’obtient en remplaçant a? par a -j-x, dans la dérivée f {oc) du polynôme f{ir), va nous permettre de résoudre immédiatement la question posée au n° 3o :

Etant donnés un polynôme

) — A-o -+- A1 x —|—. .. 1 A/t xn,

et un nombre a, trouver les coefficients B₀, B nome

)7 •

çf l ci —t— x i — B y —i— B, x —i— B2 x^    .. . —!— B/j x,

obtenu en remplaçant, dans le polynôme f{oc), oc par a + x et en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x.

Ces coefficients sont les valeurs pour x — o du polynôme f{a-\-x) et de ses dérivées ; on a vu au n° 40 que la dérivée f {a -f- x) de ce polynôme s’obtenait en remplaçant x par a x dans la dérivée f'{oc) de f{x)\ la dérivée de f'{a-\~x) s’obtiendra de même en remplaçant x par a + x dans la dérivée f {oc) de f'(x), ....

Les dérivées successives du polynôme f{a-\-x) sont f {a -h x), f"(a + x ), . ..,    {a + x) ; leurs valeurs, pour x = o, sont les va

leurs f {a), f" {a), ..(a) que prennent les dérivées successives f' {x), f {x), ..., fn {x) du polynôme f{x) quand on y remplace x par «, on a donc

B0=/O),

_ f{p)(a) - - ;

B/'

I .2

B _/(«)

» 1 — -’

B,j =

I .2

1.2 . . ./I

— A/j,

et, par suite

f(a-+- x) — f {a) H- - f {a) 4- -—f" (a)

-/</»(«)+...

xp

x'¹

1.2

Dans cette formule, les lettres a et x désignent des nombres quelconques. Elle restera vraie si l’on remplace les lettres par d’autres; en particulier, si l’on remplace a par x et x par h elle s’écrit alors

O)

f{p) O) +••• H

h»

t .2..

I.1...p

Si l’on reprend les notations du n° 40, on voit que les polynômes P₀(#), P< (#), ..., P P(x), ..., P«(^) de la formule (1) de méro ne sont autre chose que les polynômes

ce nu-

/O),

— A /i*

/'(*)

1.2... n

1.2...p

On voit apparaître en dénominateur, dans ces expressions, les produits tels que 1.2.. .p des p premiers nombres naturels : ces produits figurent dans beaucoup de formules, et il est commode d’avoir une manière abrégée de les énoncer et de les écrire : une des habitudes les plus répandues consiste à appeler factorielle p le produit 1.2 ...p des p premiers nombres naturels et de le désigner par la notation p !. Par convention, le symbole 1 ! désigne la même chose que 1 ; enfin, par une autre convention, qui ne sera justifiée que plus loin, on pose aussi o ! = 1.

Voici, à titre d’exemple, une application de la formule précédente :

On a donné plus haut les expressions des six dérivées du polynôme

/(a?) — 4 — 5 a? -f- 7a?³ — a?⁵ -t- 8a?⁶ ;

les valeurs, pour a?=i, de ce polynôme et de ses dérivées, respectivement divisées par 1 !, 2!, .. ., 61, sont 13, 59, 131, 137, 92, 8 : on a donc

4 — 5( 1 -t— j?) —t- 7(n-a?)³ — (i-f-a?)⁵-t- 8(1 -t- a?)⁶

= i3    5ga? 4- i31 a?² -t-157 a?³-t- 92a?⁴-t- 47 a?⁵ -+- 8 a?⁶ ;

ainsi qu’on pourrait d’ailleurs le trouver par un calcul direct ne comportant que des additions ou des multiplications de polynômes : ce dernier mode de calcul permet de prévoir que les coefficients du résultat sont des nombres entiers.

43. Formule du binôme. — O11 peut appliquer la formule qui

donne le développement de f(ci + x) au développement de ici -h-r)" ;

le polynôme f(x) est alors le monome xn, dont les dérivées successives sont

nxn~l

n(n —    -,    n(n — i )...(«—p-\-i)xn~P, n(n — i)...i

et l’on a, par conséquent, en vertu de la formule (i) du numéro précédent

(i)    ( a x)n = an-\- — an~l x -f-

1.2.../?

p-*~ 0

an—PxP . .-f-

I . 2 . . .11

xn.

Cette formule est connue sous l’appellation, un peu impropre, de formule du binôme. Je vais m’y arrêter un instant, en raison de son importance.

11 me sera commode d’y regarder les lettres a et x comme y désignant des variables; à ce point de vue, a + x, (a + x)n sont des polynômes à deux variables; a-\-x est un polynôme homogène du premier degré ; le produit de deux ou plusieurs polynômes homogènes étant évidemment un polynôme homogène dont le degré est la somme des degrés des facteurs, on peut prévoir que le développement de { a -f- x)'¹ sera un polynôme homogène du degré n, qui ne pourra pas contenir d’autres monomes que les monomes du degré n

an, an~lx, an-*x²,

a'l~PxP, ..

x"

multipliés par certains coefficients numériques; ces monomes, d’après la formule (i), figurent tous dans le développement; il y en a n -}- i ; chacun d’eux contient autant de facteurs x qu’il y a de termes avant lui, autant de facteurs a qu’il y a de termes après lui.

Les coefficients numériques doivent être évidemment entiers, puisque (a + x)n est le produit de n facteurs égaux à a -t- x. Dans le second membre de la formule (i), le coefficient de an~PxP, à savoir est le quotient par le produit des p premiers nombres naturels du produit dep nombres naturels consécutifs dont le plus grand est n et le plus petit n — p -f-1, d’où ce théorème d’Arithmétique :

Le produit de p nombres naturels consécutifs est divisible par le produit des p premiers nombres naturels.

Les coefficients numériques des monomes qui figurent dans Je second membre de l’égalité (i) sont respectivement

i,

n(n — i)

- y    •

I .2

• • •>

i.1. . .p

ils se retrouvent dans un assez grand nombre de formules et on les désigne souvent par les symboles

G y, C", C",    ..., C",    ..., G",

C" désignant ('), en général, le coefficient du monome au~PxP, ou le {p + i)"'mo coefficient numérique, celui qui en a p avant lui. 11 est à peine utile de dire que la lettre n qui figure en haut dans le symbole C" n’est pas un exposant, mais un indice, destiné à rappeler la puissance à laquelle on élève le Jjiuome a-\-x. On a =C“=i. Avec cette notation l’identité (î) s’écrit

(a -f- x)n = G" a'¹ -i- G Jlan~¹x -+-... -f- Gpan— pxp    ..-+• G^x'l\

en y échangeant les lettres a et x, elle devient

(x -f- a)¹¹ = G„ xn-h C'lxn—la H-..G'^xn~i’aP-{-...-+- G',\a,l\

.., et, d’une façon géné-; cette dernière égalité, en recourant à la définition

les deux premiers membres sont identiques; il doit en être de même des seconds, qui doivent donc être les mêmes, terme par terme ; on en conclut CJ = G®, C"= C"_J} 0"= C"_₂, . raie, C'lp=Cnn_p,

des symboles qui y figurent, s’écrit

n(n — i)...(n — /? -+- i) _ n{n — i )...(/? -t- î ).

■P

i.2...(n — p) ’

/ \

(') On emploie aussi, avec le môme sens, les notations {nf), ( y

elle devient évidente, en réduisant les deux membres au même dénominateur; G" et C" se présentent alors sous la forme

O)

nn_ nn _

V*/) — '~Jn—p —

1.2.    .71

••(n—p) p\ (n —p) !

Cette formule s’applique même dans le cas où p est égal à o ou à /i, si l'on convient de poser o ! = i.

La forme primitive de C", savoir

i .2.. .p x. I .2.

mQ —    — /> + a) n—p

1.2.../)

1.2. . .(p — I)

montre que l’on a

(3)

_ p/?

W — W>-i

d’où un moyen simple pour le calcul des coefficients numériques : le premier est i, le deuxième est /?, le troisième s’obtient en multi

pliant n par ’■ - - > le suivant en multipliant le résultat par -    , le

— 3

~7-’

multipliant le résultat par —

• par exemple, si l’on

prend n = io, les deux premiers coefficients sont i, io, les suivants s’obtiennent en multipliant successivement par 4? \i f> §, f, §, |, yj ; ils sont 45, 120, 210, 202, 210, 120, 45, 10, 1 : on a donc

suivant en

(a 4- a?)¹⁰ = a¹⁰-h 10 a⁹ x -+- 4 5 a⁸ a?²-4-120 a⁷ a?³ -1- 210 a⁶ xr* -H 2D2 a⁵ a?5 -+- 210 a’+x⁶ 4- i2oa!Æ,,+ 45a²a?⁸-1- 10 a a?⁹    a?¹⁰.

On vérifie, sur cet exemple, ce fait que les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux, en sorte qu’il suffit pour les avoir tous d’en calculer la moitié.

ou

C % est plus grand que le coefficient précédent, égal à ce coefficient

— p -1- 1

plus petit, suivant que —

est plus grand que 1, égal à 1,

plus petit que 1, ou suivant que l’on a

71    1

P>

On doit distinguer deux cas, suivant que n est pair ou impair.

Si n est pair, il y a un nombre impair de termes dans le dévelop-pemenl : il y a donc un terme au milieu, qui en a ^ avant lui,

après

lui. Tant que p est inférieur ou égal à le coefficient du terme qui

en a p avant lui est plus grand que le coefficient précédent; les coefficients vont en augmentant jusqu’au coefficient du terme du milieu, qui est le plus grand; ils diminuent ensuite, en reprenant les mêmes valeurs, en ordre inverse; c’est ce qu’on observe dans les développements

( a x)² = a'¹ -f- 2 a x -+- a?²,

{a -+- x)¹* — a’*    4 a³& -+- 6a².r²-+- 4 ax³-+- x¹

Si n est impair, il y a un nombre pair de termes dans le déve

loppement, il y a deux termes au milieu dont l’un a n ' termes

avant lui, dont l’autre a n 1 termes après lui. Jusqu’au premier de ces termes, les coefficients vont en augmentant; le second est égal au premier, puisqu’il y a précisément    termes avant ce premier,

puis les coefficients suivants vont en diminuant, c’est ce qu’on observe sur les développements

(a -f- x)³ = az -+- Zaïx h- 3 a x'¹4- xz.

(a -+- x)⁵ = a⁵ -+- 5akx -H 10a³a?² -+- ioaïxz 4- 5 ax'* x⁵.

Si l’on multiplie par a -1- x les deux membres de la formule (a -+- x)n = G" an -¹- G" a"—¹ x -+-... -H Cp an~PxP -h ... -f- C’,lxn,

on trouve

+1

= G" an+l H— ( G-+- C 0 ) a? —t-... —H ( G^ —l— Cp_, )an~P+l xp

comme on doit avoir d’ailleurs

= C,₀i + 1 an+x -h C“⁺¹ an x -+-... -4- C'p+{ an~P+i xp h- . . . ; on voit qu’on a, en général, pour p = 1, 2, . .., n,

C;5⁺¹ = C"-4- G"_t ;

(a -f- x)'¹

+1

(4)

formule qui donne une règle simple pour déduire le développement

de (« + x)n+i du développement de (a-yx)'¹, et pour obtenir les coefficients numériques dans les puissances successives du binôme lesquels figurent dans les lignes du triangle de Pascal :

Ut

A partir de la seconde ligne, chaque élément, autre que Je premier et le dernier, toujours égaux à i, est la somme de deux éléments consécutifs de la ligne supérieure, à savoir l’élément qui est placé sur la même verticale, et celui qui précède cet élément.

Si, dans la formule (i), on fait successivement a — puis a = i, x — — i, on trouve

la somme des coefficients est égale à 2"; la somme des coefficients de rang pair est égale à la somme des coefficients de rang impair; chacune de ces sommes est égale à la moitié de la somme totale, c’est-à-dire à 2n~¹.

§ 6. - POLYNOMES A PLUSIEURS VARIABLES.

44. En ce qui concerne la continuité, la méthode suivie pour les polynômes à une variable s’étend sans peine aux polynômes à plusieurs variables; c’est ce que je vais expliquer sommairement dans le cas de deux variables.

Supposons qu’un polynôme à deux variables f{x, y) soit ordonné de la façon suivante : on écrit d’abord le terme constant, s’il y en a un, puis, s’il y en a, les termes du premier degré en x, y, puis les termes du second degré, puis les termes du troisième degré, etc. Quant aux termes d’un même degré, qui forment un groupe homogène, on pourra, pour y mettre de l’ordre, les ordonner par rapport aux puissances ascendantes de l’une des variables, aux puissances

descendantes de L’autre variable : J’écris ci-dessous un poljnome du cinquième degré ordonné de cette manière,

3-1-2 27 —y    27²—y²-+- x³-b- x~ y — 27⁵-f- xj⁴—y³ ;

les groupes homogènes dont j’ai parlé plus haut, et qui sont respectivement des degrés o, i, 2, 3, 5, sont

3,

227—jk, 27² — y², x³-h x²y, —x³-hxj⁴ — y⁵:

les termes du quatrième degré font défaut.

Si l’on ne considère que des nombres x, y dont les valeurs absolues soient, au plus, égales à 1, la valeur absolue du poljnome est, au plus, égale à la somme de ses coefficients, pris en valeur absolue.

Un poljnome homogène en x, y, de degré />, dans lequel 3?, y sont moindres en valeur absolue qu’un nombre positif a, est plus petit en valeur absolue que la somme de ses coefficients multipliée par a P.

Par exemple, dans le poljnome en x, y précédemment écrit, si les variables x, y sont plus petites en valeur alisolue que le nombre positif a, les groupes du premier, du second, du troisième, du cinquième degré ont des valeurs qui restent respectivement moindres que 3a, 2a², 2a³, 3a⁵.

Le lecteur doit se rendre compte que, d’une façon générale, si les variables sont suffisamment petites en valeur absolue, le groupe des termes du premier degré est plus petit que le groupe des termes du second degré, celui-ci que le groupe du troisième degré, etc. Toutefois, il n’en est pas toujours ainsi : si l’on suppose, dans l’exemple précédent, que x soit égal à y, l’ensemble des ternies du second degré sera nul et aura ainsi une valeur absolue moindre que celle des termes du premier degré, si petits que soient x et y en valeur absolue. Il j a là une différence essentielle avec les poljnomes à une variable.

Un poljnome en x, y est nul pour x = o, y = o lorsqu’il ne contient pas de terme constant, il n’est nul que dans ce cas.

Quand un poljnome f(x: y) ne contient pas de terme constant, sa valeur reste aussi voisine de o que l’on veut, pourvu que a?, y restent suffisamment voisins de o.

Par exemple, si x, y sont assujettis a être moindres en valeur absolue que r,, le poljnome

est moindre en valeur absolue que

37] -I- 27]*-+- 27]³-+- 3 7]⁵

et, par conséquent, si l’on suppose Y] < i, moindre que lor,; si l’on veut que le polynôme reste plus petit que e, il suffira de prendre /]< ™

Pour des valeurs de x, y voisines de o, un polynôme en x, y reste voisin de la valeur qu’il prend pour x = o, y = o, à savoir de la valeur (nulle ou non) de son terme constant. D’une façon précise, quelque petit que soit le nombre positif s, on peut assigner un nombre positif'/] tel que les conditions j x | < 7), \y j << y] entraînent l’inégalité | f(x, y) — /(o, o) J <C e- Dans cette inégalité, /’(o, o) désigne la valeur que prend le polynôme pour x = o, y ~ o. La proposition est évidente puisque le polynôme f(x, y)—/"(o, o) ne contient pas de terme constant.

C’est ce que l’on exprime en disant qu’un polynôme est une fonction continue de x, y pour x — o, y = o.

Quand le terme constant n’est pas nul, on peut assigner un nombre positif a, tel que si x} y sont moindres en valeur absolue que a, le polynôme ne soit pas nul et soit du signe de son terme constant.

Si maintenant on veut étudier un polynôme f(x,y) pour les valeurs de x, y respectivement voisines des nombres «, b: on posera

y = i + /f,

■et l’on transformera le polynôme en un polynôme à deux variables /«, k, qui ne devront prendre que des valeurs voisines de o. Le terme constant du nouveau polynôme sera la valeur qu’il doit prendre pour h = o, k = o, c’est-à-dire f(a, b).

Un polynôme f(x,y) est une fonction continue de x, y pour je = y = b. Voici, au juste, ce qu’il faut entendre par là : quelque petit que soit le nombre positif e, on peut lui faire correspondre un nombre positif Y] tel que les conditions

\x— a | <7],

I y ~ b | < 7]

entraînent l’inégalité

l/Oi y) — /(«i b) | < s.

45. Un polynôme à plusieurs variables, par exemple un polynôme /(x, y, z) à trois variables x, y, z, donne naissance à des dérivées partielles, prises par rapport à ces diverses variables. On peut, si l’on veut, l’ordonner par rapport à x, le considérer comme un polynôme en x, et prendre sa dérivée, par rapport à x, d’après la règle du n° 35. On pourra l’ordonner par rapport à y, le regarder comme un polynôme dont la variable s’appellerait y et appliquer la même règle, pour obtenir la dérivée par rapport à y. De même, pour la dérivée partielle par rapport à z, .... Au reste, il n’est nullement nécessaire d’ordonner, comme je viens de le dire, le polynôme successivement par rapport à chacune des variables, puisque, en vertu d’une remarque antérieure, on peut appliquer la règle relative à la formation de la dérivée d’un polynôme à une variable sans avoir réduit ce polynôme.

Le polynôme proposé, s’il a trois variables, sera formé d’une somme de monomes dont chacun sera de la forme Ax*yPzY, a, (3, y étant des nombres entiers, positifs ou nuis : ce terme fournira dans les dérivées partielles, prises respectivement par rapport à x,j, z, des termes qui seront respectivement égaux à

a Axy-~¹y?z'{,    [3    sT, y A a^yP-sY"¹;

pour avoir l'une des dérivées partielles, la dérivée par rapport à x, par exemple, on fera la somme de tous les termes analogues à aAx*~Ky'èz'ïi déduits de chaque monome.

11 est à peine utile d’observer que si a était nul, si la variable x ne figurait pas effectivement dans le monome considéré, celui-ci n’introduirait aucun terme dans la dérivée partielle prise par rapport à x.

Les dérivées prises par rapport à x, y, z du polynôme f(x, y, z) dont on vient d’expliquer la formation se désignent respectivement

Par f ’x i f 'y i fz •

Si l’on a, par exemple,

y, z) = 3 -t- 2a? -hy +- x² — z²-h 3y*z,

on aura

fl =-23 + 3 y².

fy = ¹ +

Les dérivées du monome Ax^y^zl, qui est du degré a + (3 y, sont évidemment du degré a —j— [S —J— y — i, si aucun des exposants a, [3, y n’est nul; si quelqu’un des exposants est nul, une des dérivées partielles est identiquement nulle; on déduit de là facilement que, si un polynôme est de degré /i, ses dérivées partielles sont au plus de degré n — i.

La définition des dérivées partielles d’un polynôme à plusieurs variables peut être rattachée à la définition de la dérivée d’un polynôme à une seule variable.

Je continue de raisonner sur un polynôme f(x: y: z) à trois variables x, y, z. Je suppose que, dans ce polynôme, on remplace x, x, z respectivement par x + A, y + A, s + /; on peut développer chaque terme, et réduire ensuite le polynôme comme si x: y, s étaienL les constantes et A, A, / les variables; c’est-à-dire qu’on réunit ensemble les termes qui contiennent un même monome en A, A, 1 : on parvient ainsi à une identité de la forme

(0

f(x 4- h. y -h A, s -i- l) = N P h -+- QA -+- R l-\~...

o,

où N, P, Q, R, ... sont des polynômes en x, y, 5 qui ne contiennent pas A, A, /; les termes non écrits contiendraient des monomes en A, A, / qui seraient du deuxième, du troisième, ... degré. Cette identité, devant avoir lieu quels que soient A, A⁻, /, a lieu pour A = o, A = o, ce qui montre que N n’est autre chose que le polynôme f(x,y,z) lui-même; elle doit avoir lieu, quel que soit A, quand on suppose A' — o, l = o ; il en résulte que P est le coefficient de h, dans le développement, ordonné suivant les puissances croissantes de h, du polynôme f(x + A,y, z) obtenu en remplaçant x par x + A, dans le polynôme f(x,y,z) : P est donc, par définition, la dérivée partielle dn polynôme y, z) prise par rapport à x\ de même Q et R sont les dérivées partielles du même polynôme prises par rapport à y et à z.

Ainsi les dérivées partielles d’un polynôme f(x,y,z) sont les coefficients respectifs des termes du premier degré en A, A~, / dans le développement du polynôme en A, A, l obtenu en remplaçant dans f(x, y, z) x, y, 5 par x -f- A, y -f- A, z -h /.

Si l’on désigne par a, A, c des nombres quelconques, et si l’on remplace, dans l’identité (i), x, y, 5 respectivement par a + #, A+y, c —f— Zi on voit apparaître immédiatement la proposition suivante :

Les dérivées partielles du polynôme f(a-\-x, b-\-y, c-y z) par rapport à x, y, z s’obtiennent en remplaçant dans les dérivées partielles f'x, f'y, f'z du polynôme f(x, y, z) x, y, z par a H- x, b + y, c + z.

46. Les dérivées partielles f'x, f’y., f. du polynôme f(x:y,z) sont dites du premier ordre ; f'x, fÿ., fz sont des polynômes en x, y, z, admettant eux-mêmes des dérivées partielles par rapport à x, y, z : ces dérivées partielles sont dites les dérivées partielles du second ordre de f(x,y, z) : elles engendreront à leur tour des dérivées partielles du troisième ordre, etc.

Si le polynôme f(x, y, z) est du degré /i, ses dérivées partielles du premier ordre sont au plus de degré n — i, ses dérivées partielles du second ordre sont au plus du degré n — 2, ...; ses dérivées partielles du [n — i)lème orc{re sont au pjus ju premier degré ; quelques-unes de ces dérivées peuvent d’ailleurs être des constantes ou être identiquement nulles; en tous cas les dérivées partielles du uieme ordre sont certainement des constantes, dont quelques-unes peuvent être nulles ; les dérivées partielles d’ordre n -f- 1 sont identiquement nulles ainsi que toutes celles d’ordre supérieur à n.

La dérivée partielle fx, du premier ordre, admet trois dérivées partielles prises respectivement par rapport à a?, y, z; on les désigne respectivement par

/•//    /•//    xtr

J xx 5 Jxyy J xzu

Les dérivées partielles de f, prises respectivement par rapport à x, y, 5 se désigneront de même par

xn xn xn J y xi J yyi J y zi

les dérivées partielles de fz par rapportât, y, z se désigneront enfin par

xn xn xn Jzxi Jzyi J z •

Il semble donc qu’un polynôme à trois variables admette neuf dérivées partielles du deuxième ordre, vingt-sept du troisième, etc. Toutefois, tous les polynômes que l’on obtient ainsi ne sont pas distincts : par exemple, les deux polynômes f' et f sont identiques.

En d’autres termes, on peut, dans une dérivée seconde, intervertir l’ordre dans lequel on prend les dérivées.

Gomme la dérivée d’un polynôme s’obtient en faisant la somme des

T.

dérivées de ses termes, il suffit évidemment de constater la vérité de la proposition énoncée sur un terme Kx^y^z't du polynôme ou, si l’on veut, sur un polynôme réduit à ce terme.

La dérivée partielle prise par rapport à a? est aAx*~'yPzY; la dérivée partielle de ce résultat, par rapport à y₁ est a{3y$~{ z'i] on serait arrivé évidemment au même résultat en prenant d’abord la dérivée partielle par rapport à y, et la dérivée partielle du résultat par rapport à x. On a donc f'x=fxr fzx = f»xz, ....

Il n’y a, pour un polynôme en x, y, z, que six dérivées partielles du second ordre, que l’on peut désigner par

'* fxx 1 J y y J fzz*

en donnant respectivement à jf",, fU le même sens

Si l’on considère, par exemple, le polynôme homogène du second degré à trois variables x, y, z,

cp(Æ7, y, z) — ax^-h a' y²-{- a"z--h xb yz -+- xb' zx -+- xb"xy,

on aura

-4-b"y-hb’z), cp y = x(b" x -+- a! y -+- bz),

= x(b'x -t- b y -+- a" z),

•2 a, cpyi = 2 a\    = 2 a",

®ir=2 b".

//

?yz = *b,

Une dérivée partielle p]cme du polynôme f(x, y, z) sera définie quand on dira par rapport à quelles variables on doit successivement prendre chacune des dérivées : pour que l’on ait affaire à une dérivée ^>ième, il faut que l’on prenne p dérivées; mais peu importe l’ordre dans lequel se prennent ces dérivées, pourvu cjue l’on prenne toujours le nombre indiqué de fois la dérivée par rapport à x, par rapport à y, etc. Le théorème relatif à la possibilité d’intervertir l’ordre de deux dérivées s’étend en effet absolument comme le théorème relatif à l’interversion des facteurs dans un produit. La démonstration comporte les étapes suivantes :

Dans une dérivée partielle quelconque, on peut intervertir l’ordre dans lequel on prend les deux premières déri vées, l’ordre dans lequel on prend les deux dernières, l’ordre dans lequel on prend deux déri-

POLYNOMES.

vées consécutives quelconques, l’ordre dans lequel on prend les diverses dérivées.

De cette proposition résulte la notation pour désigner une dérivée p'ème ; on la représentera par un symbole tel que

fx“y?zh

où a, {3, y sont des entiers positifs ou nuis dont la somme est /?; supposons d’abord qu’aucun des nombres a, (3, y ne soit nul. On devra partir de f(x, y, z), prendre la dérivée par rapport à x, la dérivée du résultat par rapport à x, etc., et ainsi de suite a fois. On forme ainsi successivement les polynômes

fl fii fin    A a ).

J XI J J * * M J x* Î

on part du dernier, on en prend la dérivée par rapport à y, la dérivée du résultat par rapport à y, etc., et ainsi de suite fl de fois; on forme ainsi les polynômes

A a+i) /•( a-f-2)

Jxay ’ J

on

prend ensuite les dérivées par rapport à z, et l’on forme les poly-

nomes

.(a+p + 2)

/yy"

dont le dernier est celui que l’on cherche.

Si a était nul, le symbole/^.?^, où l’on devrait alors avoir [3 -+- y = p, aurait, par définition, le même sens que    etc.

47. Cherchons la valeur, pour x = o, y = o, z = o, de la dérivée p'eme d’unmonome Axay?zi, où a, fl, y sont des nombres entiers positifs ou nuis; il est clair que, si l’on doit prendre la dérivée par rapport à x plus de a fois, ou la dérivée par rapport à y plus de [3 fois, etc., le résultat sera identiquement nul ; si l’on doit prendre la dérivée par rapport à x moins de a fois, il restera dans le résultat un ou plusieurs facteurs x; ce résultat sera donc nul pour x = o.

Si donc aucun des nombres a, fl, y n’est égal à o, la seule dérivée du monome AxayPzY qui ne soit pas nulle pour x = o, y = o, z s’obtient en prenant a fois la dérivée par rapport à x, fl fois la déri-

CHAPITRE II.

vée par rapport à y, y fois par rapport à £ ; sa valeur est a (a — i)...ix P(P — i)... I X y(Y — ï) - • •¹ x A;

si a était nul sans que jâ, y le fussent, la dérivée devrait être prise p fois par rapport ky, y fois par rapport à z; elle serait

fi( $ — i)... ï x y(Y — 0- • •¹ x A.

On peut la représenter dans tous les cas, avec les conventions expliquées au n° 43 par le symbole a! [3! y! A.

Un polynôme réduit f(x, y, z) est la somme de monomes tels que Axv-yfizY, tous distincts. Il résulte de la remarque précédente que la dérivée d’ordre a + (3 y de ce polynôme, que l’on est convenu de représenter par le symbolemême dans le cas où l’un des nombres entiers a, [3, y est nul, se réduit pour x — o, y = o, z = o àa! [3! y ! A; inversement le coefficient numérique du monome x^-y^z't qui figure dans le polynôme s’obtient en divisant par a! jü! y! la dérivée    dans laquelle on a remplacé a?, y: z par o.

48. Je vais appliquer cette règle à la recherche des coefficients du développement du polynôme (x + y + z)'¹, n étant un nombre naturel. Ce polynôme en x, jy, z est évidemment homogène et du degré /z; quand il est développé, il est la somme de termes delà forme x*y$zY, où a, (3, y sont des entiers positifs ou nuis, dont la somme est égale à n, multipliés par des coefficients numériques que l’on détermine par la règle précédente.

etc.;

Les dérivées premières de (xyz)n, par rapport à .r, y, z, s’obtiennent par la règle d’après laquelle la dérivée de (.r-f quand a est une constante, est égale à n(x -j-a)"~‘. Ces trois dérivées partielles du premier ordre sont égales à n(x y z)'l~{, les dérivées secondes sont de mêmetoutes égalesà/i(/*— i)(x -\-y-\-z) toutes les dérivées /îièmes sont égales à n(n — ï) (/z — 2)...i = /i! Le coefficient de xayPzY est donc égal à

et le développement du polynôme [x + y + z)n est égal à la somme

de tous les monomes distincts de la forme

a ! p ! y !

([ue l’on peut former en prenant pour a, (3, y des nombres entiers positifs ou nuis dont la somme soit égale à n.

Si, par exemple, n est égal à 2, la somme des nombres a -|- (3 y devant être égale à 2, l’un de ces nombres peut être égal à 2, les deux autres étant nuis; deux des nombres peuvent être égaux à un, l’autre étant nul.

Autrement dit, il peut y avoir, dans le développement, des termes en x², en y², en s², en yz: en 'zx, en xy; il ne peut y en avoir d’autres. Le coefficient numérique des termes enx²,y²,z² estégal à

2!

2.

le coefficient numérique des termes en yz, zx, xy est égal à On a

(x -+- y -+- zY = x--+- jk²-+- -z² -4- 2yz -+- 2zx 2xy.

Si l’on suppose n = 3, on reconnaît de même qu’il doit y avoir, dans le développement, des termes en a:³, y³, z³ dont le coefficient est 1, des termes eny²z, z² y, x²z, z²x, x²y, y²x dont le coefficient est 3 ; un terme en xyz dont le coefficient est 6. O11 a donc

(x y -\- z)* — x³ + y* z* 3y²z 3z*¹ y 3 z-x    3x²z

-i-3x²y-h3y²x-h 6 xyz.

Le lecteur reconnaîtra sans peine que la méthode donnée pour obtenir le développement de {x + y y-z)n s’applique au développement de la puissance /ileme de la somme d’autant de variables que l’on veut; il pourra aussi retrouver par cette voie la formule

(x + y)n

xn

xn~¹ y

xn--y''-

y il

qui résulte d’ailleurs des formules (1) et (2) du n° 43.

49. Enfin, si l’on désigne para, 6, c trois nombres quelconques, la même méthode s’applique à trouver le développement du polynôme en x,y, z,f(ci 4- x, b + y, c + z), obtenu en remplaçant les variables x, y, z par a -h x, b -h y, c + £ dans le polynôme f(x, y, z).

Le coefficient du terme en xrJ- y?zY s’obtiendra en divisant par a! [3! y! la valeur pour x = o, y = o, z — o de la dérivée d’ordre a + £ + y du polynôme f(a + x, b + y, c + z) prise a fois par rapport à #, ^ fois par rapport ky: y fois Par rapport à 5. Or, en vertu d’une remarque antérieurement faite pour les dérivées du premier ordre, et qui s’étend de suite aux dérivées d’ordre quelconque, cette dérivée se déduit de la dérivée y+r) en y remplaçant x, y, z respectivement par a —|— xi b y, c -h z. Sa valeur pour x = o, y — o, z = o s’obtiendra donc en remplaçant, dans cette même expression ', x, y, z par a, b, c; on convient de représenter le résultat par le symbole

r tP⁺Y>

J a b^ i¹'

Avec cette notation, on voit que le coefficient du terme en x*yPzY s’écrit

/•(a+P + Y)

a ! p ! y !

et le terme lui-même peut s’écrire

fa-p + Y) />/A-

(0

a ! [j ! y !

le développement cherché est la somme de tous les termes distincLs de cette forme qui ne sont pas identiquement nuis.

Il est clair que l’on n’aura pas à écrire de termes pour lesquels a -f- p -f- y dépasse le degré n du polynôme f(x, y, z).

La règle précédente ne s’applique pas au terme indépendant de x, y, 5, mais on sait déjà que ce terme, qui peut s’obtenir simplement en remplaçant x,y, z par o dans f(a -y x, b -hy, c y- z) est f(a, b, c).

Il est naturel de grouper ensemble tous les termes qui ont le même degré p £ n enx,y, z : ces termes sont de la forme (i), en supposant a + [3 -f- y = p.

En supposant/? = i, leur ensemble est

xfa -+- y fb -+- xfct

o ii fa, fbi fé désignent les valeurs de /j., fz quand on y remplace x, y, z respectivement par a, 6, c; c’est, à part la différence des notations, une observation qui a déjà été faite au n° 45 ; l’ensemble des termes du second degré est

ï(tf*/«■-»- y*fb* + z-fc*+    2zxfla-’r ^xjfàb),

POLYNOMES.

i >9

où ff, fli, ./"s, f'lc, f "ca, fab représentent respectivement les valeurs des dérivées secondes />, fyz, fa fa quand on y remplace x, y, ^ par a, b, c; cet ensemble pourrait s’écrire symboliquement

\(xffa yffa Vé)*i

à la condition de remplacer, dans le développement de ce carré, effectué par la règle donnée dans le numéro précédent,

(.f'a)\ (fi,y, (fi)\ fi,fi, fcfâi faf'b

par

fa fa fa fa fa fa-

ième

Cette observa tion est générale, comme on le reconnaît en se reportant à la règle pour obtenir le développement de la puissance p d une somme de trois termes; l’ensemble des termes du pleme degré en x, y, z peut s’écrire symboliquement

-h(xffa y fl, ■+■ *fl)p,

en supposant que l’on a d’abord effectué le développement de la puis-puis que l’on y a remplacé le terme

sance p

ième

a ! [3 ! y !

(ffajifafa

où a H- [3 H- y est égal à /?, par

fab M

on

(a)

est enfin parvenu à la formule symbolique

/O -+- a?, b -+- y, c -h z) =f(a, b, c) + xf'a + yf'b+ zf'c

(xffayffazfcï¹

I .2

1.2.3

(xffa yffazfif

I . *2 . .

— O ffa yffa zf'c)p

• r

1.2..

— (xf + yffa zfc)n.

Cette formule, avec des modifications insignifiantes, s’applique à des polynômes à autant de variables que l’on veut.

polynôme du second degré à

au

Si on l’applique, par exemple deux variables

f(xT y) — A#² 4- 2Bæ^ 4- G y² 4- 2 Dec -h îE y 4- F,

dans lequel on a

fy = 2(B® + Cjk-+- E), B, /;₅=2G,

2(Aa? 4- B y 4- D ) fx* = 2 A,

on aura, symboliquement,

/( a + x, b 4- y ) =/( a, b ) 4- xfi 4- y fi 4- \{xfi •+■ Jf/* )², et, d’une façon explicite,

f(a + x,b+y)=f(a,b) + xf'a4- yf'h 4- \(x²ff 4- 24-.r²/^)

= /(«, 6)4-2;r(Aa4-B6 4-D)4- 2jr (B«4-Gè + E)

4- A x²4- 2 B .ry 4- C _y² ;

on voit, par cette formule, que l'ensemble des termes du second degré est le même dans le polynôme

/(a4-a?, b y) = A.(x a)²2B(x a) (y b) y + b)2 4- 2D(a? 4-a) 4- 2E(_y 4- 6) 4-F,

que dans le polynôme f(x, y) • cela était aisé à prévoir, les termes du second degré dans le développement de f(ci + x, b + y) proviennent des termes du second degré de f(x, y). Or, quand on développe A(x + «)², le seul terme du second degré est évidemment A#²; quand on développe 2B[x a) [y -f- 6), le seul terme du second degré est 2Bxy, etc. Ce résultat est général : si f(x:y, z) est un polynôme du degré n, l’ensemble des termes du degré n dans le développement du polynôme f(a x, b + y, c -f- z) est identique à l’ensemble des termes du degré n dans f\x,y, z).

La formule (2) s’applique sans modification à un polynôme homogène du nierae degré.

Je vais l’appliquer au polynôme homogène du second degré <$>(#, y, z) = ax² 4- a!y²4- a!'z² 4- 2 byz 4- 2 b'zx 4- 2 b"xy,

POLYNOMES.

en y remplaçant toutefois les lettres or, b, c par x₀, y₀. z₀ et en remplaçant x, y, z par kx, ky, kz : elle donne alors pour l’expression de ç(a?₀ + kx, y₀ + ky, £₀ + kz)

?Oo, y₀, *o) +    jrcp'roH- z<t'Zo)

-h

-+- y ( ^² <&8 + ^ <?"yî + ~²    ?y₀z₀ + 2 ** ?l-₀.,₀

?r’ •

ou cp'.o, cp'.o, ..cp"vro désignent ce que deviennent les dérivées partielles .z>"xr quand on y remplace x, y, z par x₀, yq>, s₀.

On a donné au n° 41 les valeurs de ces dérivées; en remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs, on obtient l’identité

(0

( <p(x₀ 4- kx, y₀ ■+• ky, z₀ -+- kz )

j = ?(awo}*o)+*(a??4#+^$#+    *2tpO>r>*);

au reste, que l’ensemble des termes du second degré en x,y, z dans le développement de cp(x₀-\-kx, y^-^r ky, z₀-\-kz), soit égal à À’²o(æ.*, y, z), c’est ce qu’on pouvait prévoir par le raisonnement utilisé à la fin du précédent numéro.

L’identité (i) a lieu quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres x₀, y₀, z₀, x, y, z : supposons qu’on prenne x₀ = x,y₀=y, z o = z. Le premier membre cp[a? (i + k),y(i + k), 5(1 -f- /r)] s’obtient en remplaçant, dans le polynôme homogène o(x, y, z), x, y, z par x(i -f- k), y( 1 + k), 2(1 + A¹); chacun des monomes qui constituent o(x,y, z) se trouve alors multiplié par(i + k)-, en sorte que le premier membre de notre identité n’est autre chose que o(x,y, z)(i + /r)²; elle devient donc

?(*» .7, *)(H- /0²= ?(*?> .7, *)-+-    * ¥3) + **<?(*> JK. 2);

cette dernière identité doit avoir lieu quel que soit le nombre k; si donc on ordonne suivant les puissances de k, les coefficients d’une même puissance de k doivent être les mêmes dans les deux membres. La comparaison des termes indépendants de k et des termes en k-n’apprend rien : la comparaison des termes en k donne l’identité

(2)

*?(*, y,z) = +y rfr -+- *<pi,

qui se vérifie immédiatement en remplaçant o'x, <py, <z'z par leurs expressions développées.

122

CHAPITRE II.

Le même mode de raisonnement s’applique à un polynôme homogène f(x,y,z) de degré n et conduit, comme le lecteur n’aura aucune peine à le voir, à l’identité symbolique

( xf'x    Y = n(n — i)(« — i) ... (n — p -+- i)f(x, y, z),

où p est l’un quelconque des nombres i, a, .. ., n. En particulier, pour p — i, on obtient l’identité suivante, qui est une généralisation immédiate de l’identité (2),

(3)

(4)

Xfx-t-yfyzf, — nf{x, y, z).

En raison de l’importance de cette identité, j’en indique une autre démonstration :

Elle se vérifie de suite en prenant pour J\x, y, z) un monome du degré /?,    dont les dérivées sont respectivement

a A.27a_1 y fi zl, [3    ^Y, '(AxZyfizY

en sorte que le premier membre se réduit à

( a -h p -+- y ) À xayfi z Y ;

comme un polynôme homogène f(x,y, z) est la somme de pareils monomes la proposition est évidente.

Le lecteur reconnaîtra sans peine que si un polynôme f(x, y, z) vérifie l'identité (4) il est homogène et de degré n ; il suffit, pour cela, de décomposer le polynôme en groupes homogènes.

Revenons à l’identité (1) relative à un polynôme homogène du second degré; le premier membre s’obtient en remplaçant dans

©O, y, z)

x,y, z par

Xq-\- kx, yo~^~ hy, Zq -+- kz,

ou

ce qui revient au même, par

MS

Mi'

ou encore, en multipliant chacun des monomes qui constituent

POLYNOMES.

z>(x,y, z) par k- et en y remplaçant ensuite x,y, z par

x₀

.ro}

1’

en d’autres termes, le premier membre peut s’écrire

, yo , z° \.

~k’ *^t)’

mais en vertu de l’identité (i) elle-même, dans laquelle on remplace k par ^ , x, y, 2 par x₀, y₀, z-₀ et x₀, y₀, s₀ par x, y, s, on a

/    y o

?[xyJiyy^

= ? (x,y,z)y j£(xo<?'x-*-yo'?'y+- *o9'z)-+- ji9(xo,yo,*o):

l’identité (i) peut donc s’écrire sous la forme

k*<?(x,y, z) y k{x₀^'xy y^'yy z₀<Pz)4- ?Oo,yo, *o)

=    <?(xo,yo,z₀)y k(x<f'Xo y y^y x^)y k'-?(x,y,z).

On en conclut, en comparant les termes en k, que l’on a identiquement, quels que soient x, y, z, x₀,y₀, z₀,

(5)

Ko «4Hr y0    + *0 iz = X fX() 4- J'f + 5 cp'.o.

Ce résultat, qui a une grande importance en Géométrie analytique, se vérifie d’ailleurs immédiatement en remplaçant©^., ©/., o'z parleurs expressions explicites ; le premier membre devient alors

2 x₀(ax -t- b" y -y b' z)-f-1 yü(b" x -+- a' y -+- bz)y 2z₀(b'x y by 4- a" z); il peut s’écrire

iaxçx y 7.a'y₀y ia'rz₀z -+- ‘2.b(y₀zy z₀y)

y ib'(z₀x y x₀z)y ‘zb"(x₀y yy₀x)-,

z.

sous cette forme, on reconnaît de suite que ce polynôme en x, y, z, x₀, y o, z₀ reste le même quand on échange les lettres x, y, z et x₀, y o, z₀. Cette même forme, d’ailleurs, met de suite en évidence l’identité (2), en supposant x₀ ~ x, y₀ =y, z₀ =

L’identité (5) est spéciale aux polynômes homogènes du second degré; elle est toutefois un cas particulier d'identités concernant les polynômes homogènes du /deme degré, qui se démontrent par la même méthode qui nous a conduits à l’identité (5) et que je me contente de transcrire. On a pour les valeurs î nombre p

du

(n—p)\

(xof 'x -+■ y*jy •+■ Zofz)n Vi

où les puissances ont le caractère symbolique sur lequel on a insisté à plusieurs reprises.

On a encore

,7, (xA+yfÿ + *f=t)n=A*, y> *)•

EXERCICES.

18. Soit a un nombre positif moindre que i, on a

Soient A la plus grande des valeurs absolues des coefficients du poly-

un nombre positif quelconque : la

si x' est moindre que i ; elle

nome f(x), x' la valeur absolue de x, B valeur absolue de f(x) est moindre que    —₇>

est moindre que B, si l’on a a?'< 7777 *

La valeur absolue de x²/(x) est moindre que B si l’on a

x' <

— B -+- v/B(B -h 4 A)

2A

19. Pour quelles valeurs de x la courbe (G), définie par l’équation (n° 31)

y — 3 — ‘ix \x^-\- 5x³    x’*,

est-elle au-dessus ou au-dessous de la tangente au point de la courbe située

POLYNOMES.

sur l’axe (les/, au-dessus ou au-dessous de la parabole définie par l’équation

Y = 3 — ix -4- 4a?²?

Déterminer la tangente à la courbe (G) aux points d’abscisses i et 4-

20. Déterminer un nombre positif a tel que, si la valeur absolue de a? est supérieure à a, la valeur absolue du polynôme 3 — nx -+- 4x²— 5x³-\- xk soit plus grande que iooo.

21. Si un polynôme /(x) a tous ses coefficients positifs, sa valeur augmente avec celle de x, quand x est positif. S’il ne contient que des termes de degré impair, sa valeur augmente avec celle de x, quel que soit a?; s’il ne contient que des termes de degré pair sa valeur diminue quand x augmente en restant négatif.

Si le nombre A est positif, la valeur de l’expression (a? —i— A)"—x'¹ augmente avec celle de x quand x est positif.

22. Si un polynôme f(x), de degré n, est positif ainsi que ses n dérivées, pour x = a, sa valeur va en croissant avec celle de x, quand x est plus grand que a : cette valeur, quand x est plus grand que a, reste donc toujours positive.

ne

23. Il est souvent commode d’introduire en avant des coefficients d’un polynôme de degré n les coefficients numériques G", G", ..., C" de la puissance ri]Kl d’un binôme; d’écrire, par exemple, les polynômes du deuxième et du troisième degré sous les formes

d,

ax² -+■ 2 bx -i- c, ax³ -t- 3 bx²    3 ex -+

et le polynôme du 7î'*me degré sous la forme

f(x) = a₀xn-1- C"a^xn~¹ -+- G"aixn—t-sr-...

où a₀, ai, ..

an sont des constantes.

Montrer que l’on a, en désignant par fW(x) la dérivée p

iè*me

de/O),

I .2 . .

— = Cp(a₀xn~P-\- G'i Palx‘l-J>-¹ -t- G^~paixn-P-²...-+- Gjjz

. p

24. En conservant les notations de l’exercice précédent, soit a la plus grande des valeurs absolues des constantes a₀,    ..., an; soient x' et h' les

valeurs absolues de x et de h, on a

I /''O) I

^    r)«-p,

| f(x -+■ h) —f(x) | ^a[(x' -1- A'-f- i)'J— (x' -+- i)'ll.

et de constater que, dans le produit des seconds membres, le coefficient de x’¹

est précisément la somme cherchée.

K/h-i

Calculer le rapport

K„

ll—l

126

CHAPITRE II.

Si l’on suppose que la valeur absolue de x reste inférieure au nombre positif A, le second membre de la dernière inégalité est plus petit que

a[( A A'-t- i)n— (A + 1)"].

Dans les mêmes conditions on aura, en désignant par s un nombre positif quelconque,

si l’on a

|/(a?-h A) —f(x) | < e;

A'<

— A —1.

23. Soit a la plus grande des valeurs absolues des constantes ct₍, a₂, .. ., an dans le polynôme

/(a?) = xn -+- C" «i x¹ -t- G 2 a%xn~² -+-... -h C',[ an ;

on a, pour toutes les valeurs positives de x,

f(x) ^ (a -h \)xn— a (a? -1- i)'* ;

le polynôme f(x) est positif pour toutes les valeurs de x qui vérifient l’inégalité

x>

26. Montrer que la somme

K/i = (G")² —i- (G'|)²-î- ... -t- (G")²

des carrés des coefficients numériques du développement de la puissance n,eme d’un binôme est égale au coefficient numérique maximum dans le développement de la puissance 2/iieme de ce binôme.

11 suffit de multiplier membre à membre les deux égalités

( 1 -t- x)n — G g -t- G '{ x (a?-H 1 )n = G"xn-1- C”x

-t- C'}x*

-t-C$a?«- 1-H... + C*,

27. Dans l’identité

(a? —1— 1) (a? —l— îi) (as* H— 3) — a?(a?-t-i)(a7-+- 2) — 3(x²-+- 3x ~h 2),

on remplace x successivement par 1, 2, 3, ...p et l’on ajoute les p égalités

ainsi obtenues. Déduire du résultat la formule

S₂ =

P(P -+- O (a/>

où S₂ désigne la somme des carrés des p premiers nombres naturels. Cette même formule peut se déduire, d’une façon analogue, de l’identité

(x 4- 1)³— x* = 3x²-h 3x -+-1.

Montrer que p est la racine cubique, à une unité près, de 3S₂. Montrer que la somme des cubes des p premiers nombres naturels est

28. Si l’on pose F₀(a?) = 1, F^a?) = x et, en désignant par n un nombre naturel quelconque,

Fre(a;) = x(x -H 1) .. . (x -4- n — 1),

on a, quels que soient x et «, Yn(x -4- a) =

G" F₀(a) Y n{x) -4- Cî F ! ( a ) Fw_!(a?) h- C" Fp(a) Fn-P(x) -H ... -+- C" F„(a) F₀(a?).

On constate que cette identité est vraie pour n — 1; on démontre que, si elle est vraie pour le nombre naturel n, elle est vraie pour le nombre suivant n -+-1, ce qui résulte sans peine de l’identité

Y,,(a) Yn-p(x) {a -+- x -+- n) —

F/j+i(<ï) Fw_y, (37) F/, ( ci) b n—j₎₊\ (x).

29. En posant PoO) = O

x(x -4- p

1.2

P» =

x(x -h 1) (x 1)... (x -h n — t)

on a identiquement

P„0 + l) = Yn(x) -t- P,t-iO — l),

Pra (iP -4- I ) =    P₀-4-Pi(#)-t-P₂ (#) + •.• 4- P«(#),

p«O H-a?)=    Pu(«) P«W + Pi(a) P»_i(a?)

■+" P’ ) P//—2 (X ) “t⁻ • • • + P « ( & ) 1*0 (&’)*

30. Si l’on pose

(x -t- 1) (x -4- 2)... (x -4-11 — :) = xn~x -4- AiXn~²-\- ...

-4- ApX”-!’-¹ -4- ... + An—iy

on a

O •+- l)re-b ki(x -I- i)*-¹ 4- . . . 4~ A„_J = {x -4- n) (xn~l-\- kxxn~'i-\-.. . -+- A

(* + i)

n—\

)•

Déduire de là les égalités

C? = A,

G" -+■ C",^.} Ai -4- CJ5_| A₂4- ... -4- C₂ /,+2 Ap_₂ — (p — i) Ap-x,

n—1 •

I -4- Ai -4- A2 -t- . . • -4- A,j_₂ — ( n — I ) A

Exprimer At, A₂, A₃ au moyen de n.

Montrer, en supposant que n soit un nombre premier impair, que les nombres entiers AÎ5 A₂,    A/j—₂ sont divisibles par n ainsi que Aw_i4-i; dans les

mêmes conditions, si x est un nombre entier non divisible par n, xn~x — 1 est divisible par n.

31. En conservant aux lettres Al5 A₂, ..., A„_t la signification de l’exercice précédent et en désignant en général par S,, la somme des riemes puissances des p premiers nombres naturels, on a

S/i—14- Ai S,i_₂-f-... -t-A,i—₂S) -4-p A,/—1

32. En conservant les mêmes notations que dans l’exercice précédent, montrer que l’on a

C1 S,i—1 -4- G 2 S/i-2 -4- ... -4- Cjj_i Si p — {p -4- i)rt—pn.

Calculer S₂, S₃, S4 en partant soit de cette relation, soit de la relation analogue indiquée dans l’exercice précédent.

33. Ordonner, suivant les puissances croissantes ou décroissantes de x, le carré du polynôme 1 -4- x 4- x² -4- ... -4- x'¹. Quel est, dans le développement, le plus grand coefficient numérique ?

34. Trouver un polynôme f(x) tel que l’on ait identiquement, en désignant par y'(a?) la dérivée de /(x),

(0

/<»— /'(a?) =

xn

1.2.3 ... n

On reconnaît aisément que le polynôme f(x) ne peut être d’un degré supérieur à n. On applique ensuite la méthode des coefficients indéterminés, c'est-à-dire qu’on pose f(x) = A₀-i- Ata? 4- A₂;r²4- ... 4- knxn ; en rempla-

POLYNOMES.

çant ensuite, dans l’équation (i), /(x) et f'(x) par leurs expressions développées. et en écrivant que, dans les deux membres, les coefficients d’une même puissance de x sont égaux, on trouve les relations

A₀ — Aj —• o,

Aj — 2 A₂ = o,

A,j—i    11 Kn —

A,j =

i.2.3 ...n

qui permettent de déterminer les coefficients Ad, Aj, .. ., A,

35. Ordonner suivant les puissances de x le polynôme

f(x) — {iax) (ia*x) (ia³x).. .(i -h a'¹ x).

En changeante en ax dans cette égalité, on trouve aisément la relation

f(x) (i -l- a'l+lx) = f (ax) (i -+- ax),

qui doit avoir lieu quel que soit x.

En remplaçant dans cette égalité f {x) et f {ax) par

Aq —1— A i x    ... -+- A,j xn, A o ■+■ A i a x -f-.. . —f— A nan xn,

égalant, dans les deux membres, les coefficients de xP, on trouve une relation entre Ap et Ap_i, d’où, en tenant compte de l’égalité A₀ = i, on tire aisément

pip -hi)

(i — a'¹) ( i — an~l )...([ — a"-—P + 1 ) (i — a) (i — «²)...(i — aP)

La définition même du polynôme f {x) montre que Ap doit pouvoir se mettre sous la forme d’un polynôme entier en a.

36. La relation

où n désigne un nombre entier au moins égal à 2, permet, quand on se donne deux polynômes A₀, Xl5 de trouver successivement les polynômes

X₂ = 2a?Xj — X₀,

A. 3 — 2 x A. ₂    X j,

X₄ = ..

qui la vérifient identiquement.

On supposera dans ce qui suit X₀ = i, X( = x.

Former explicitement les polynômes X₂, X₃, X₄, XB.

Montrer que X„ est un polynôme de degré n, ne contenant que des termes dont le degré est pair ou impair suivant que n est pair ou impair.

Trouver pour X„ le coefficient de xn et celui de xw~².

Quelle est la valeur du polynôme \n pour x = i et x — — i ?

Montrer que Xn, quand on y remplace x par cos a, devient égal à cos«a.

T.

37. Trouver tous les polynômes f (x ), de degré ai, qui satisfont identiquement à la relation

(i — xi)f'(x) — xf'(x) -t- Ai²/(a?) = o,

où f (x), /"(x) désignent les dérivées, première et seconde, de f (x).

On posera f(x) — A₀a?re-|-    -t-... -t- A„. En remplaçant, dans la rela

tion précédente f(x), f'(x), f"(x), par leurs expressions développées et en écrivant que, dans le premier membre, les coefficients de xn, xn~l, ...,xn—P, ... sont nuis, on aura tout ce qu’il faut pour montrer que A₄, A₃, A₃, ... sont nuis et pour déterminer A₂, A₄, A₆, ... au moyen de A₀; le polynôme f (x) est ainsi déterminé à un facteur constant près.

Montrer que, si l’on prend A₀= •in~*, le polynôme f {x) n’est autre chose que le polynôme X„ de l’exercice précédent.

38. Ordonner, suivant la puissance de x, le polynôme que l’on obtient en prenant la dérivée ai² de (x^—\)n et en divisant le résultat par le produit 2.4* • -2n des n premiers nombres pairs. En désignant ce polynôme par Pu(x), montrer que l’on a identiquement en x

nPn(x) — (2ai -+- i)a?P

(ai) -t- (ai — i)PM_₂(a?) = o, (l — X²)P"l(x) — 'IxP'n^x) -4- Al(Al -+- \)Pn(x) = O.

n—1

La première de ces relations permet de calculer successivement les polynômes P₂, P3, P₄, .. ., quand on suppose P₀ = 1, Pi — jx²—\.

Dans la seconde, P'n(x), P"n(x) désignent les dérivées pi'emière et seconde de P„(;r). Tout polynôme f {x) qui vérifie identiquement la relation

(1 — x-)f"(x) — ix f (x)    n(n    i)f (x) = o

est de la forme AP„(a?), en désignant par A une constante. Quelle est la valeur de Pn(x) pour x = 1, pour x — — 1?

39. Combien y a-t-il de termes, en supposant qu’il n’en manque aucun, dans un polynôme homogène du n'¹'"¹⁰ degré, à deux, trois ou quatre variables? Dans un polynôme non homogène? Combien dans un polynôme non homogène de degré ai, à trois variables, y a-t-il de termes où l’une des variables entre au degré p? On suppose toujours qu’aucun terme ne manque.

40. Soit f {x 0, xt, ..., xn-t) un polynôme réduit à n variables; soit g un nombre naturel supérieur au degré du polynôme f (x<>, xt,    par

rapport à l’une quelconque des variables; dans ce polynôme on remplace respectivement (*) x₀, xu ..., a?₂, xn-i par x, xs, xs³, ..., xsn~l\ soit F (a?)

(') Dans xxs³, ..., g² et g³ sont les exposants de la puissance à laquelle on élève x; le carré, ou le cube de x* se représentent par {xsy= x³s, (xs)³ = x³s.

POLYNOMES.

le polynôme en x auquel on parvient ainsi. Montrer, en s’appuyant sur ce qu’un nombre naturel ne peut s’écrire que d’une seule façon dans un système de numération dont la base est g, qu’à deux termes distincts du polynôme f (x^, xh ..., xn—i), correspondent deux termes distincts du polynôme F (a?) et comment, connaissant le polynôme F(x), on peut retrouver, terme par terme, le polynômef(x₀, xt, ..., x/t—₁).

41. Un polynôme f (x₀, xt, ...i) ne peut être nul pour toutes les valeurs entières attribuées aux variables sans être identiquement nul.

42. Un polynôme f(x₀, X\, ..., i) ne peut être nul pour toutes les valeurs des variables qui satisfont à la condition œ(a?₀, xt, ..., xn~\) > o, où o(ar₀, X\, ..., x„—i) désigne un polynôme donné, sans être identiquement nul.

La démonstration des propositions énoncées dans les exercices 41, 42 est immédiate quand il s’agit de polynômes à une variable.

L’artifice indiqué dans l’exercice 40 permet, en prenant g assez grand, de ramener à ce cas le cas d’un polynôme à n variables.

43. Montrer que tout polynôme f(x, y) à deux variables x, y tel que l’on ait identiquement f"Xy— o est la somme d’un polynôme en x, et d’un polynôme en y.

4L Déterminer le polynôme le plus général f(x,y) homogène en x,y, du degré «, tel que l’on ait identiquement en x, y

*11 *11 J— °-

Même question, en supprimant la condition relative à l’homogénéité.

CHAPITRE III.

DIVISION DES POLYNOMES.

§ 1. — DIVISION PAR UN MONOME.

50. Les monomes et poljnomes que Ton considérera clans ce Chapitre seront toujours, sauf au n°58, des monomes 011 poljnomes à une variable, cpie l’on désignera par la lettre x.

Si l’on considère deux monomes axn, bxP, dont le premier est dit dividende, et le second diviseur, il n’j a évidemment pas de polynôme, contenant deux termes ou davantage, qui, multiplié par le second, reproduise le premier. Il existe un monome cpii, multiplié par bxP, reproduise axn si p est inférieur ou égal à /z, à savoir le

monome

01 a

xn P, qui se réduit à ^ si n est égal à p \ on dit alors que

le monome ax,L est divisible par bxP, et le monome ~x,l~P est le

n’a pas de sens.

l’expression

quotient de la division de axn par bxP : sa valeur est toujours égale au quotient exact de la division de la valeur du monome dividende par la valeur du monome diviseur, sauf lorsque x est nul, auquel cas axn bxP

Quand n est plus petit que/>, il n’y a ni monome ni polynôme qui, multiplié par bxP, reproduise cixn : axn n’est pas divisible par bxP. Toutefois, il y a une expression, cl’une forme analogue à un monome, qui jouit de cette propriété : c’est l’expression

a .    ,

--= -ip-UJ-p)

b xP~n b

en posant m — n — p.

Malgré son analogie avec les monomes, on ne donnera pas le nom de monome à l’expression ax~m\ il sera toutefois commode, à l’occasion, de dire qu’elle est de degré négatif — m.

Considérons un polynôme A et un monome B. Existe-t-il un polynôme Q, tel que le produit par B de ce polynôme soit identique à A?

S’il existe un tel polynôme, le produit de chacun de ses termes par B devra reproduire identiquement un terme de A; chaque terme de A est donc divisible par le monome B, c’est-à-dire qu’il est de degré égal ou supérieur au degré du monome B : S’il en est ainsi, en divisant, comme on vient de l’expliquer, chaque terme de A par B, on obtient évidemment un polynôme Q qui, multiplié par B, reproduit le polynôme A : celui-ci est divisible par le polynôme B; le polynôme Q est le quotient de la division.

Sa valeur, quel que soit le nombre x (différent de o), est égale au quotient exact obtenu en divisant la valeur du polynôme A par la valeur du polynôme B.

Ainsi le polynôme 5 a?⁷—r6xG-\- ^x⁵ est divisible par le monome 3x³, le quotient est - x'¹ — x* + d x².

Lorsque A contient un terme de degré inférieur au degré de B, la division n’est plus possible, au sens que l’on vient de dire; toutefois, on peut encore diviser, comme on l’a expliqué plus haut, chaque terme de A par le monome B, quitte à introduire des termes ayant un exposant négatif. On obtient ainsi une expression analogue à un polynôme (à laquelle, toutefois, je ne donnerai pas le nom de polynôme), qui reproduit identiquement A quand on la multiplie par B, et dont la valeur, sauf pour x = o, est toujours égale au rapport de la valeur de A à celle de B. On l’appellera, si l’on veut, le quotient exact de la division de A par B.

En divisant, par exemple, le polynôme 2XS — ox--\-^x — i par 3x², on obtient ainsi l’expression

— IfO

il-

ojI w

Oi| «

Les expressions de la forme

A -t- B x? ... 4- L a?\

ana-

où A, B, . . ., L sont des constantes, et où a, [3, ..\ sont des nombres entiers positifs, mils ou négatifs, jouissent de propriétés

logues à celles des polynômes (on ne leur donne pas toutefois le nom de polynômes quand l’un des nombres a, (3, ..A est négatif).

On peut les réduire, les ordonner par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de la variable. Par exemple, l'expression précédente sera ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de x si l'on aa>^>...)>l. A.za sera alors le terme du plus haut degré, LaA le terme du plus bas degré.

O11 peut ajouter, retrancher, multiplier des expressions de celte nature, en opérant comme pour les polynômes ordonnés. On reconnaîtra même, dans le cours de ce Chapitre, sans que j'y insiste davantage, qu’on peut les diviser par les mêmes règles que les polynômes.

.le laisse au lecteur le soin de reconnaître qu’une expression de cette nature, quand elle est réduite, ne peut être nulle pour toutes les valeurs de x, sans être identiquement nulle; que deux expressions réduites de cette nature ne peuvent être égales pour toutes les valeurs de x sans être identiques terme à terme; qu’une telle expression, quand elle est réduite et qu’elle contient effectivement des termes de degré négatif, est très grande en valeur absolue, pour les valeurs de x voisines de o; qu’elle est, pour de telles valeurs, du signe de son terme du plus bas degré; que, si elle contient effectivement des termes de degré positif, elle est, pour les très grandes valeurs absolues de x, très grande en valeur absolue, et du signe de son terme du plus haut degré.

§ 2. —POLYNOMES ORDONNÉS SUIVANT LES PUISSANCES DÉCROISSANTES

DE LA VARIABLE.

51. La division des polynômes à une variable peut être considérée de plusieurs points de vue; du premier de ces points de vue l’opération, parfaitement déterminée, est analogue à l’opération de la division arithmétique au sens de la théorie des nombres entiers.

Etant donnés deux polynômes en x, A et B, dont on appellera le premier dividende et le second diviseur, on se propose de trouver deux polynômes Q et R, dont le second soit de degré inférieur au degré de B, et tels que l’on ait identiquement

DIVISION DES POLYNOMES.

j3â

le polynôme Q s’appelle le quotient, le polynôme R s’appelle le reste.

Si, par exemple, on avait

B = .z'³

A = 3 x⁵ — 2 x'* -+- 5 x³ — 7 a?² H- 8 jf — i,

on

satisferait évidemment à l’identité A — BQ + R en prenant

R = — 7 jz'² + 8 x — i.

La règle pour diviser monome xP de degré inférieur ou égal à n est évidente.

un

polynôme quelconque de degré n par un

Comme on le verra, le problème général que l’on a posé admet toujours une solution et une seule. Suivant l’ordre des questions auxquelles on a affaire, c’est le quotient, ou le reste, qui importe le plus.

L’analogie de cette opération avec la division des nombres entiers est évidente : on verra, d’ailleurs, qu’elle conduit à une théorie de la divisibilité des polynômes qui suit pas à pas la théorie de la divisibilité des nombres entiers.

Je supposerai le problème résolu et les polynômes A, B, Q, R ordonnés suivant les puissances descendantes de x.

11 importe d’abord de remarquer que, si le polynôme Q n’est pas identiquement nul, le terme du plus haut degré dans le produit BQ, terme qui s’obtient en multipliant les deux premiers termes de B et de Q, est de degré au moins égal au degré de B et ne peut, par conséquent, se réduire avec aucun terme de R : on voit alors que le produit des deux premiers termes de B et de Q doit être identique au premier terme de A.

Lorsque A est de degré inférieur à B, il ne peut pas y avoir de polynôme Q contenant effectivement x, ou même se réduisant à une constante non nulle pour lequel l'identité (i) puisse avoir lieu, puisque, autrement, le polynôme BQ, et, par suite, le polynôme BQ-4-R, serait de degré supérieur à A : la seule solution du problème posé est évidemment Q = o, R = A. Il faut, pour l’admettre, convenir de regarder o comme un polynôme (identiquement nul).

Je suppose maintenant que A soit de degré n supérieur ou égal au degré p de B.

Le produit du premier terme de B par le premier terme de Q étant identique au premier terme de A, le premier terme de Q

s’obtiendra en divisant, comme on l’a expliqué dans le n° oO, le premier terme de A par le premier terme de B. En désignant le monome quotient par ^₀, et par Q, le polynôme qu’il faudrait ajouter à qü pour reproduire Q, on devra avoir identiquement comme R est toujours de degré inférieur à B, la détermination de Q* est ramenée à la division du polynôme A, = A — Bq₀ par B. Dans le polynôme A₍, ordonné suivant les puissances descendantes de x, ne figure plus de terme de degré n : si ce polynôme est de degré inférieur au degré de B, l’opération est terminée, on a Q, = o, R = A Q = q₀. Si At est de degré supérieur au degré de B, on déterminera le premier terme qK de Qi de la même façon, et l’on aura

A1 — Br/1 = BQ₂+ R ~ A₂.

Qi — q\ + Qa?

On continuera de même jusqu’à ce qu’on parvienne à un polynôme A, qui soit de degré inférieur à B, ce qui ne manquera pas d’arriver, puisque les degrés des polynômes A, A,, A₂, .Ar vont en diminuant d’une unité, au moins, à chaque fois.

D’ailleurs, d’après la façon même dont on a opéré, on a identiquement et, par suite, en ajoutant,

/•)

et cette identité montre bien, puisque À,- est de degré inférieur au degré de B, qu’on est parvenu à la solution du problème posé, que le polynôme qQ-\- q\ + •..+ qr-\ est le quotient Q, et le polynôme A,, le reste R, que l’on cherche.

Chacun des termes du polynôme Q a été déterminé d’une façon nécessaire, le polynôme Q étant déterminé, le polynôme R = A — BQ est lui-même déterminé; on voit bien que le problème ne peut admettre qu’une solution.

Le degré du quotient Q, dont le premier terme s’obtient en divisant le premier terme de A. par le premier terme de B, est toujours égal à la différence entre les degrés de A et de B, sauf dans le cas où le degré de A serait inférieur au degré de B et où, alors, O serait identiquement nul.

La règle pour faire la division résulte des explications précédentes.

On écrit sur une même ligne horizontale le dividende à gauche, le diviseur à droite en les séparant par un trait vertical ; ces deux polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x\ on trace une barre horizontale sous le diviseur, pour le séparer du quotient que l’on écrira au-dessous de cette barre.

Le premier terme du quotient s’obtient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur : ce terme étant écrit, on écrit au-dessous du dividende les produits, changés de signe, des termes du diviseur par le terme obtenu au quotient, en ayant soin de placer chaque produit partiel au-dessous du terme du diviseur qui a le même degré. On écrit la somme du dividende et des termes écrits au-dessous de lui : celte somme est le premier reste partiel. Il convient d’avoir séparé ce reste partiel des deux lignes qui le précèdent en plaçant au-dessous de ces lignes un trait horizontal.

Le second terme du quotient s’obtient en divisant le premier terme du reste partiel par le premier terme du diviseur; au-dessous du reste partiel, on écrit les produits, tous changés de signe, des termes du diviseur par le second terme du quotient, et l’on ajoute au premier reste partiel; la somme est le second reste partiel, qui fournira le troisième terme du quotient, etc.

On continue de la même façon, en s’arrêtant quand on ne peut plus continuer, c’est-à-dire quand le premier terme du reste parliel auquel on est parvenu est de degré inférieur au diviseur. L’opération est alors terminée : le quotient est formé par l’ensemble des termes obtenus, le reste est le dernier res Le partiel.

Il convient de remarquer que, chaque fois qu’on a obtenu un reste partiel, le dividende est égal au produit du diviseur par le polynôme écrit au quotient, plus le reste partiel. La différence entre le degré du reste partiel et le degré du diviseur est moindre que le degré du dernier terme écrit au quotient.

Le lecteur pourra suivre cette règle sur l’opération écrite

Quand le reste de l’opération est nul, on dit que la division se fait exactement, que le polynôme dividende est divisible parle polynôme diviseur, ou encore que le polynôme diviseur divise (exactement) le polynôme dividende. Le dividende est alors identiquement égal au produit du diviseur par le quotient (').

es iro

138

CHAPITRE III.

ci-dessous, que je crois inutile de détailler davantage. 3 a?⁵— 2 x'"

x-— x

2 a?³ — 5x 3

— 3a?⁵

H--- x* —

- x- —

i5

■j.

i5

— 2a"⁴-l---a?⁵ — - x- —

iâ

— a?³ —

LO

—Itr.

*<T |

S’il en est ainsi, le dernier terme du dividende doit être égal au produit du dernier terme du diviseur par le dernier terme du quotient. Si donc on est amené à écrire au quotient un terme de degré moindre que le degré du quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur, ou un terme qui soit précisément de ce degré, mais qui ne soit pas égal au quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur, on est sûr que l’opération ne pourra se faire exactement; par exemple, dans l’opération écrite plus haut, dès qu’on a écrit au quotient le terme —x, et non — on est certain que la division ne se fera pas exactement.

Lors même que la division de A par B ne se fait pas exactement, il peut être utile de mettre le polynôme À sous la forme BQ + R, ou, ce qui revient au même, la fraction -jy sous la forme Q -f- —

(’) Quand le polynôme A est divisible par le polynôme B, on dit que B est un diviseur de A. J’écarterai, dans ce Chapitre, cette forme de langage qui pourrait créer des confusions.

On a souvent à calculer la valeur numérique que prend le polynôme A pour une valeur de x qui annule un autre polynôme B; au lieu de substituer cette valeur dans A, il est plus commode, surtout si elle est irrationnelle, de la substituer dans R, ce qui donne le même résultat, et est plus aisé. Le lecteur s’en rendra compte en pensant au cas où B est du second degré et où R est, par conséquent, au plus du premier degré.

D’un autre côté, on verra plus tard que pour les valeurs de x, qui sont très grandes en valeur absolue, la valeur de la fraction ^ est très

petite, en sorte que la valeur de ~ est à peu près égale à celle de Q, dont le calcul est plus facile.

Enfin, les notions qui précèdent conduisent à des propositions qui sont l'extension manifeste, aux polynômes, de théorèmes bien connus (l’Arithmétique, concernant les nombres entiers.

52. Quand on multiplie le dividende A et le diviseur B par un même polynôme G, le quotient Q n’est pas changé et le reste R est multiplié par le polynôme C. En d’autres termes, le quotient de la division de AG par BC est Q, comme celui de A par B, et le reste est RC.

L’identité A = BQ + R entraîne, en effet, AG = BCQ + RG et cette dernière identité, où le degré du polynôme RG est moindre que le degré du polynôme BC, permet d’affirmer que Q et RG sont le quotient et le reste de la division de AG par BC.

Quand le dividende A et le diviseur B sont divisibles par le diviseur C, le reste R de la division de A par B est aussi divisible par C; quand on divise le dividende A et le diviseur B par G, le quotient Q n’est pas changé et le reste est divisé par C.

Puisque G divise exactement A et B, par hypothèse, soient A' et B' les quotients, on aura identiquement A = A'C, B = B'C, et l’identité A = BQ + R pourra s’écrire

A'G = B'CQ-f- R,

R = ( A' — B'Q)C ;

la dernière forme montre bien que R est divisible par C et que le quotient de la division est le polynôme R/= A/— B'Q ; cette identité, qui sert de définition au polynôme IV, peut s’écrire A,= B'Q-f-R';

le degré de Pd, égal au degré de R diminué du degré de C, est inférieur au degré de R', qui est égal au degré de B diminué du degré de G; Q et R' sont donc Lien le quotient et le reste de la division de A' par B'.

Remarquons en passant que le poljnome G peut se réduire à une constante (non nulle) ; la division est toujours possible. Si l’on prend pour cette constante C le coefficient de la plus haute puissance de x dans B, on ramènera la division proposée à une autre dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de x, dans le diviseur, sera l’unité, ce qui peut être commode. On peut d’ailleurs se borner à diviser tous les coefficients du diviseur par le premier, sans toucher au dividende : le quotient est alors multiplié parle premier coefficient et le reste n’est pas changé.

On ne change pas le reste d’une division quand on ajoute (■) au dividende un multiple du diviseur :

L’identité A = BQ -h R implique en elfet l’identité

A + BC = B(Q + C)+R,

où G est un poljnome quelconque, et cette dernière identité montre que le quotient de la division de A+ BG par B est Q + C, et que le reste est R, puisque le degré de R est inférieur au degré de B.

Si le dividende est une somme ou un produit de deux polynômes, le reste de la division par un polynôme quelconque n’est pas changé, quand on ajoute un multiple du diviseur à l’un des termes de la somme ou à l’un des facteurs du produit. C’est une conséquence immédiate du théorème précédent. On voit ensuite qu’on peut aussi bien, sans changer le reste, ajouter aux deux termes de la somme, ou aux deux facteurs du produit, tels multiples du diviseur que l’on veut, puis que le théorème s’étend au cas où le dividende est une somme ou un produit d’autant de polynômes que l’on veut, ou encore une somme dont les termes seraient des produits de polynômes : on peut, sans changer le reste, ajouter un multiple du diviseur à l’un quelconque de ces polynômes et, en particulier, remplacer chacun d’eux par son propre reste, dont il ne diffère que par un multiple du diviseur.

(¹ ) Il est inutile de dire ou qu’on retranche, puisque la soustraction peut toujours être regardée comine une addition.

En particulier, si les deux termes d’une somme sont divisibles par un polynôme, il en est de même de la somme. Si un polynôme divise une somme et l’une de ses parties, le reste de la division de la somme et de l’autre partie seront les mêmes, puisque, lorsqu’on ne s’occupe que du reste, on peut supprimer la première partie. Si un polynôme divise une somme et l’une de ses parties, il divise l’autre. Tout multiple d’un multiple du diviseur est un multiple de ce diviseur, etc.

On voit combien toute cette théorie ressemble à la théorie de la divisibilité, en Arithmétique : on verra plus tard que l’analogie s’étend très loin.

53. Les remarques précédentes permettent, dans bien des cas, de simplifier la recherche du reste dans une division.

Si, par exemple, le diviseur est x — «, on remarquera d’abord que le reste de la division de x par x — a est a, puis qu’on ne change pas le reste de la division par x — a d’un polynôme quelconque en remplaçant, dans chacun des monomes qui constituent le polynôme, chacun des facteurs x par son reste «, c’est-à-dire en remplaçant x par a dans le polynôme ; le résultat que l’on obtient ainsi est de degré o, inférieur au degré i du diviseur; c’est donc le reste cherché.

Supposons que le diviseur soit x⁵⁴— i, a étant un nombre naturel quelconque; le reste de la division de x⁰⁴ par x⁵⁴—i est i ; on en conclut que le reste de la division par xa— i d’un monome xn esta?⁵⁴', en désignant par a! le reste de la division du nombre entier n par a ; car, si le quotient de cette division est q, on aura

n — o.q -4- a',

xn = (a?⁰⁴)?. x*',

et l’on peut, sans changer le reste dans la division de (x^.x*' par xa— i, remplacer x⁰⁴ par i ; le résultat xa/ est de degré inférieur au degré du diviseur. Le reste de la division d’un polynôme par x⁰⁴— i s’obtient en remplaçant, dans chacun des monomes qui constituent le dividende, l’exposant de x par le reste que l’on trouve en divisant cet exposant par a. En appliquant cette règle au cas où le dividende est xn—i, on reconnaît que la condition nécessaire et suffisante pour que xn—i soit exactement divisible par x%—i est que le nombre naturel n soit divisible par a.

Soit encore à chercher le reste de la division par x- -f-1 d'un poly-nome A; on verra au Cliapilre VI l’intérêt de ce reste. Dans chacun des monomes axP qui constituent A, il est permis, quand on ne se préoccupe que du reste, de remplacer tels facteurs que l'on veut par leurs restes : suivant que p est pair ou impair, est de la forme ik ou 2k —i, on peut regarder xP comme le produit de k facteurs x-, ou de k -f- i facteurs dont l’un est x et dont les autres sont égaux kx² ; puisque — i est précisément le reste de la division de x'- par x² + on remplace chacun des facteurs x² par — i, c’est-à-dire xP par (— i)* ou par (—i)*#, ou encore xP par i, x, —i, —x, suivant que p est un multiple de 4, un multiple de 4 augmenté de i, de 2 ou de 3; le reste ne sera pas changé; mais, après cette opération faite sur tous les termes de A, on obtient un résultat qui est au plus du premier degré en x; c’est le reste cherché.

L’opération que l’on vient de décrire s’appelle remplacer x-par —i dans A. La signification qu’il faut donner à ces mots est suffisamment éclaircie par ce qui précède.

Si l’on considère, par exemple, le polynôme

jx⁶— 8a?⁵-+- x’* — 7.x³— .r²-(- i, on voit que le reste de la division par x² + i est

— 7 — 8^ + 1 + 237 + 1 + 1 = — 4 — G x.

On observera, en passant, que si l’on considère la suite des puissances successives de x

X° = 1, X, X².

X³,

Xi, X³.

les restes de la division par x² -f- i, à savoir

x,

se reproduisent périodiquement de quatre en quatre : cela résulte aussi de ce que xh—i = {x²—i)(.r²-(-i) est divisible par x²-\-i, en sorte que le reste de la division par x² + i de x’¹ est i, d’où il suit que les restes de la division par x² + i sont les mêmes pour xP et xP⁺* = xP. x'.

54. Division par x — a. — Il convient de s’arrêter sur le cas où le diviseur est du premier degré en x : s’il est égal à ax+ [3, on peut,

en vertu d’une remarque précédente, le remplacer par x +

« rec

ou

a : on vient de voir comment on obtenait le reste de la divi-on va retrouver ce résultat et montrer

par x —

sion d’un polynôme par x — a ; aussi comment on obtient le quotient.

-|-...+ Au le polynôme proposé, que

Soit f(x) = A₀xn + A| x'1 l’on veut diviser par x — a.

On a vu, au n° 51, comment, lorsque a est nul, le quotient et le reste s’obtiennent immédiatement. On ramène le cas général à celui-là en ordonnant le polynôme par rapport aux puissances de x — a; il s’écrit alors

-i

= Aq (a? — ciyi-4- A| (x -— ctyi * -4-... -4- Aw_| (x — a) -4- An ;

on

voit de suite que le quotient est

Aq (x — a)'l~x -+- Ai (x — a)n-²-h.. .

n—\

et que le reste est A',, c’est-à-dire la valeur f(d) que le polynôme prend pour x — a : la condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme soit divisible par x — a est qu’il s’annule quand on y remplace x par a.

La valeur du reste s’aperçoit aussi bien sur l’identité fondamentale

/(a) = (a-o)Q(ar) + R,

où Q(a?) désigne le quotient de la division du polynôme f(x) par x — a et R le reste. Ce reste, en effet, doit être de degré o, puisque le diviseur est du premier degré; il ne contient pas x effectivement, c’est une constante, dont la valeur f(a) s’obtient en remplaçant x par a dans l’identité précédente. Au fond, ce raisonnement ne diffère pas de celui qu’on a fait au n° 35.

Quoique le procédé précédent fournisse l’expression du quotient et du reste, il y a lieu d’appliquer une autre méthode, ne fùt-ce que pour avoir le quotient ordonné suivant les puissances de x et non de x — a.

Le lecteur pourra, sans difficulté, appliquer simplement la règle de la division, il retrouvera ainsi les résultats que je vais obtenir par la méthode des coefficients indéterminés.

Le quotient doit être du (n — i)

ième

degré; désignons-le par

B₀a;"_1    -h..Bw_₂^4- B

n— 11

et désignons le reste (une constante) par B„. B₀, B,, ..., B, sont des coefficients qu’il faut déterminer. On y arrive en écrivant que le produit du quotient par x—■«, augmenté de B„, est identique terme à terme au dividende K₀xn + A₍ xn~' + ...-(- x + A„. On trouvera ainsi, en égalant à chaque coefficient de ce dividende, le coefficient de la même puissance de x dans le produit,

B₀a — Bt B ! a — B₂

Bu — Ao, — A

— A 2,

Bn—^ct B,j_i — A„_!,

B n—1 et    B/t

= A„ ;

ces égalités peuvent être regardées comme mettent de déterminer successivement B₀, B ti re

des équations qui per-et B„ ; on en

B₀ — A₀, B! = B₀ a B o = Bt a

H- A₂,

on en

tirerait, tout aussi Lien, en général,

B y. —• A₀«' + A i cif ^ “i-... —}— A j et A

ri

/î; mais cette formule,

r étant l’un quelconque des indices i, 2 quoique plus explicite, est moins avantageuse dans la pratique que les formules précédentes, qui permettent le calcul successif des quantités B₀, B,, ..., B/2_t et Brt, dont chacune s’obtient en multipliant la précédente par a, et en ajoutant le coefficient correspondant du dividende.

Soit, par exemple, à diviser par x — 3 le polynôme 2 x~a — 3    -+- x² — 7.

J’écris la suite des coefficients, en remplaçant par des zéros ceux qui manquent

2, o, — 3, i

et je trouve successivement, en appliquant la règle précédente, les coefficients du quotient

2, G, i5, 46,    138

et le reste 138 X 3 — 7 = 4°7-

En appliquant ce procédé, le reste doit-être égal à la valeur du dividende pour x — a\ c’est la meilleure manière pour calculer la valeur exacte d’un polynôme pour une valeur donnée de la variable.

Pour reconnaître si un polynôme est divisible par x-\-a, ou pour faire la division d’un polynôme par x + «, on n’aura qu’à changer a en — a dans les raisonnements ou les calculs qui précèdent.

xn— a" est toujours divisible par x — a; le quotient est égal à

xn~¹ -+- a x² -+- a² xn~³ -+-... -+- a,l~¹ x 4- a’¹ ;

x¹¹ H- an — xn — an -f- 2 a" n’est pas divisible par x — «, le quotient est le même polynôme qu’on vient d’écrire et le reste est 2a". xn — an est divisible par x + a quand n est pair et n’est pas divisible quand n est impair; dans les deux cas le quotient est

x 4- (— i)'*-¹ aw_1,

xn~¹ — «a?,i-2+ a²x'¹-³ —.. .4- (— i),l—2a

le reste est — ici'¹.

et, dans le second cas

xn-\- ci" est divisible par x + a quand n est impair et ne l’est pas quand n est pair; le quotient est, dans les deux cas, le polynôme que l’on vient d’écrire et, dans le second cas, le reste est 2 a".

Si un polynôme est divisible séparément par les binômes x — <2, x—6, x — /, où «, b, ..., I sont des nombres distincts, il est divisible par le produit (x — a) (x — b) ... (x — l) de ces binômes.

Il suffit de remarquer que le polynôme s’annule alors pour les nombres différents a, 6, ..., /; dès lors la proposition a été démontrée, sous une forme plus complète, au n° 38.

5o. Cas où les coefficients sont entiers. — Le cas où, dans une division, le dividende et le diviseur sont des polynômes à coefficients entiers, offre un intérêt particulier. On a alors à sa disposition un théorème qui permet souvent de reconnaître, sans la pousser jusqu’au bout, qu’une division ne peut s’effectuer exactement, et qui est d’ailleurs très utile quand on veut chercher quels sont les polynômes à coefficients entiers qui divisent exactement un polynôme à coefficients entiers. Je vrais m’arrêter un instant sur ce sujet, où le lemine suivant, relatif à la théorie de la multiplication de deux polynômes, est fondamental :

Le plus grand commun diviseur des coefficients du produit (réduit) de deux polynômes (réduits) P, Q, à coefficients entiers, est égal au produit du plus grand commun diviseur des coefficients du polynôme P et du plus grand commun diviseur des coefficients du polynôme Q.

Dans ce numéro, je désignerai sous le nom de polynôme primitif, un polynôme à coefficients entiers, dont les coefficients n’ont pas d’autre commun diviseur que i.

Je commencerai par établir la proposition suivante : Le produit de deux polynômes primitifs P, Q est un polynôme primitif.

Supposons, en effet, que les coefficients du produit (réduit) PQ aient un diviseur commun autre que i; ce diviseur admettra un diviseur premier a qui divisera aussi tous les termes du produit PQ. Posons

P = P, + P₂

Q — Qi-+- Q*,

en désignant par P, l'ensemble des termes de P dont les coefficients sont divisibles par a, par Qf l’ensemble des termes de Q dont les coefficients sont divisibles par a; au contraire, aucun terme de P₂, ni de Q₂, n’est divisible par a. 11 y a certainement des termes dans IL et dans Q₂, car s’il n’y avait pas de termes dans P₂, par exemple, c’est que tous les coefficients du polynôme P seraient divisibles par a : le polynôme P ne serait pas primitif.

D’ailleurs, on a identiquement

PQ — 1 * i Q i —t— Q -2 —1*2 Q i l’2Q₂ ;

tous les coefficients des termes de P,Q,, P,Q₂. P₂Q, sont évidemment divisibles par a; si tous les coefficients du produit réduit PQ sont divisibles par a, c’est qu’il en est de même des coefficients du produit réduit P₂Q₂, puisque chacun de ces coefficients, augmenté peut-être d’un multiple entier de a, provenant des autres produits partiels, fournit un coefficient de PQ. Or, le coefficient du premier

terme de P₂Q₂, ordonné suivant les puissances descendantes de x, est le produit des deux premiers coefficients de P₂ et de Q₂, ordonnés de même : aucun de ces coefficients n’est divisible par le nombre premier a; leur produit n’est pas divisible par a. Les coefficients du produit PQ ne peuvent être tous divisibles par un nombre premier a, ni, par conséquent, par aucun nombre entier, autre que i. Le produit PQ est primitif.

La proposition générale se déduit immédiatement du cas particulier qu’on vient d’établir.

Soient P, Q deux polynômes à coefficients entiers; soient p et q les plus grands communs diviseurs respectifs des coefficients de P d’une part, des coefficients de Q d’autre part. En désignant par P' et Q' les deux polynômes à coefficients entiers que l’on obtient en divisant par p les coefficients de P, par q les coefficients de Q, on aura

Q = ?Q\

PQ — pi P Q’;

P =pP',

mais les polynômes P' et O' sont primitifs, puisque, quand on divise un groupe de nombres entiers par leur plus grand commun diviseur, on obtient comme quotients des nombres entiers qui ont i pour plus grand commun diviseur. Le polynôme P'Q', lorsqu’il est réduit, est primitif, comme on vient de le démontrer : les coefficients ont i pour plus grand commun diviseur, les produits par pq de ces coefficients, ou les coefficients du produit réduit PQ ont donc pq pour plus grand commun diviseur.

Voici maintenant quelques conséquences de ce lemme dans la théorie de la division.

Convenons de dire, pour un instant, qu’un polynôme A, à coefficients entiers, est entièrement divisible par un polynôme B à coefficients entiers, s’il existe un polynôme C, à coefficients entiers, tel que l’on ait identiquement A. = BC.

Désignons, en supposant qu’il en soit ainsi, par a, b, c les plus grands communs diviseurs respectifs des coefficients de A, des coefficients de B, des coefficients de C, en sorte qu’on puisse poser

G = cC\

A = a A',

B = b B',

en

désignant par A', B', C'des polynômes primitifs; l'identité A = BC entraîne l'identité aiV = bc^'O le polynôme (réduit) B'C' est primitif comme A'; «est le plus grand commun diviseur des coefficients

du polynôme a A', bc est le plus grand commun diviseur des coefficients du polynôme 6cB'C' qui est identique à ah! ; on a donc

A'= B'C'.

a = bc

Ainsi le nombre b divise le nombre a et le polynôme 13' divise entièrement le polynôme Ab

Lorsque B est primitif, b est égal à i, B est identique à B' : un polynôme primitif ne peut donc diviser entièrement un polynôme à coefficients entiers, sans diviser entièrement le polynôme primitif que l’on en déduit en divisant tous ses coefficients par leur plus grand commun diviseur.

Lorsque A est primitif, a est égal à i ; les deux nombres naturels b, c, dont le produit est égal à i, sont certainement tous les deux égaux à i. Donc :

Un polynôme primitif ne peut être entièrement divisible par un autre polynôme à coefficients entiers que si ce dernier est primitif. Alors, le quotient, lui aussi, est primitif.

(¹)•

Supposons seulement, en désignant toujours par A et B des polynômes à coefficients entiers, que A soit divisible par B, sans l’être entièrement : le quotient Q sera un polynôme à coefficients rationnels, comme il résulte évidemment de la façon dont se fait la division

DIVISION DES POLYNOMES.

poiy-

un

En réduisant tous les coefficients au même dénominateur q, on voit que Q peut se mettre sous la forme — > où Qt désigne

nome à coefficients entiers; l’identité A = BQ entraîne <yA = BQ, : donc B divise entièrement q A..

Soit maintenant, comme plus haut, a le plus grand commun diviseur des coefficients de A et soit A = aA'\ le polynôme primitif B devant diviser entièrement le polynôme qaA', doit diviser entièrement le polynôme primitif A' et, a fortiori, le polynôme a Ai ou A. Donc :

Si un polynôme primitif à coefficients entiers divise un polynôme A à coefficients entiers, les coefficients du quotient doivent être des nombres entiers; si, dans le courant de la division, on est amené à écrire, au quotient, comme coefficient, une fraction irréductible, la division ne peut se faire exactement.

06. Extension de la division. — Bevenons au cas général. Quand on a terminé, conformément aux explications données dans le n° ol, la division du polynôme A, de degré «, par le polynôme B, de degré que I on est parvenu au quotient Q et au reste R, de degré /’< b, on peut, si l’on veut, continuer l’opération, de la même façon, en introduisant au quotient un terme de degré négatif r— />, et en sui\ant toujours la même règle; le nouveau terme du quotient s’obtient en divisant le premier terme de R par le premier terme du diviseur, le nouveau reste partiel s’obtient en retranchant de R le produit du nouveau terme écrit au quotient par le diviseur, etc. On peut continuer et l’on s’arrête quand on veut : Si l’on désigne par Q' l’expression écrite alors au quotient, et par R' l’expression écrite au reste, on aT toujours identiquement, A=BQ/+R/, en ce sens que, si l’on fait la .multiplication et l'addition indiquée au second membre, comme si l’on avait affaire à de véritables polynômes, on retombe sur A.

Cette identité montre, lorsque B se termine par une constante, non nulle, que IV ne peut être identiquement nul : si, en effet, IV était identiquement nul, le produit du dernier terme de B par le dernier terme de Q' serait de degré négatif, et devrait être identique au dernier terme de A. IV n’étant pas nul, on peut continuer l’opération qui, ainsi, ne se termine jamais.

Je laisse au lecteur le soin de démontrer que l’opération ne peut se terminer que dans le cas où B est de la forme B'x", B' étant un poljnome qui divise exactement A.

J’ai reproduit ci-dessous une division ainsi continuée.

x³—ix²-i-3 a?— i

a?²— 3a? -+- i

— x³-h 3 a?²— x

X -t- I

-l- 5x~¹ -+-1 Sx-'¹

a?² -+- ix — î

a?²-!- 3 a?— î

5x — i

— 5a?-)-i5— 5a?⁻¹

13 — 5 a?⁻¹

— 13 —i— 39.2?-* — 13#-²

34 a?⁻¹ — 13 a?-²

au moment où elle est ainsi arrêtée, on est parvenu à l’identité

x³ — 2x'² -h “Sx — r = (a?²— 3x-4- i)(a? -1- 1 -+- 5x~l ■+• i3a?⁻²)-)- 34a?⁻¹ — 13 a?⁻²;

je ne veux que faire pressentir ici l’utilité que peuvent présenter de pareils calculs, qui apparaîtra nettement plus tard. De l’exemple qu’on vient de traiter, on peut conclure que, pour toutes les valeurs de x qui 11’annulent pas x- — 3j + 1* on a

a?² — 3 x -h 1

= x -+- i -t- 5 a?-¹-)- i3a?~²-4-

34 x~¹ — t 3 a?-2 x² — 3 a? 1 ’

si x est très grand en valeur absolue, on voit sans peine que la fraction qui figure dans le second membre est très petite en valeur absolue; en sorte cpie le premier membre aura à peu près la même valeur que l’expression

a? -t- 1 -t- 5x~¹ -+-13a?⁻²,

plus facile à calculer. Si l’on suppose que la valeur absolue de x soit supérieure à 1000, 1 erreur sera moindre que

¹

Les remarques suivantes, qui ne supposent pas que A soit divisible par B, nous seront utiles :

Désignons par b₀ le premier coefficient de B; dans chaque division partielle, on a à diviser par b₀ soit le premier coefficient de A, soit le premier coefficient d’un reste partiel, en sorte qu’il s’introduit, en général, des coefficients fractionnaires dans le quoLient : les dénominateurs de ces fractions sont des puissances de b₀. De pareils coefficients fractionnaires s’introduisent aussi dans le reste. Mais si, avant de faire la division, on multiplie A par un nombre convenable a, on peut éviter tous les coefficients fractionnaires, tant dans les restes partiels que dans le quotient et le reste final. Observons d’abord que le nombre de divisions partielles est au plus égal à la différence entre le degré de A et le degré de B, augmentée d’une unité: désignons par p cette différence augmentée de i; multiplions A par btf et divisons par B; le premier terme du quotient est entier et divisible par bP~l : il en est de même de tous les termes du premier reste partiel; le second terme du quotient est entier et divisible par ij⁻², ainsi que tous les termes du second reste partiel, etc. Le quotient et le reste ont maintenant tous leurs coefficients entiers. On peut donc prendre a = b>‘; d’ailleurs il peut arriver qu’on atteigne le but en prenant pour a un nombre moindre. Dans tous les cas, les restes partiels, le reste final, le quotient de la division de «A par B sont les produits par a des restes partiels, du reste final, du quotient de la division de A par B, comme il résulte de l’opération même.

34

10³

io“

1 os — 3.1 o³ — 1

< —1

10⁸

le premier membre de l’inégalité précédente est, en effet, plus grand que la fraction qu’on veut évaluer, puisque l’on a remplacé le mimé-rateur par un nombre plus grand, le dénominateur par un nombre plus petit.

Lorsque l’on effectue une division sur les polynômes A, B ordonnés suivant les puissances décroissantes de #, d’après le procédé que l’on a d’abord expliqué au n° 51 et dont on vient de montrer comment il pouvait être poursuivi, on peut s’arrêter quand on veut, soit avant d’être parvenu au reste proprement dit, soit quand on a fini l’opération au sens du n° 51, soit après l’avoir poursuivie, lorsque la division ne peut se faire exactement : dans tous les cas on parvient, au moment où l’on s’arrête, à une identité de la forme A = BQ/+IV, où les expressions Q' et R' qui figurent respectivement à la place du quotient et du reste sont, soit de véritables polynômes, soit de ces expressions analogues à des polynômes qui contiennent des termes de degré négatif : Q' et R' sont aussi ordonnés suivant les puissances descendantes de x. Dans le cas où l’opération peut se poursuivre indéfiniment, on peut toujours s’arranger pour que le degré du premier terme de R' soit inférieur à tel nombre entier p, positif, nul ou négatif que l’on voudra, inférieur toutefois au degré a de A : imaginons qu’on s’arrête dès que cette circonstance se présente.

Soit toujours b le degré de B. Dans le reste partiel qui précédait R', le premier terme était, par hypothèse, au moins de degré p ; le dernier terme de Q' a été obtenu en divisant par le premier terme de B le premier terme de ce reste partiel : le dernier terme de Q' est donc au moins de degré p — b : en résumé, si l’on se donne le nombre entier p < «, on peut trouver un polynôme ou une expression analogue R’ dont le premier terme soit de degré inférieur à p et un polynôme ou une expression analogue Q' dont le dernier terme soit au moins de degré p — b, tels que l’on ait identiquement A = BQ' + R'.

D’un autre côté, si Ton cherche à déterminer des expressions Q' et R' qui satisfassent à ces diverses conditions, le raisonnement du n° 51 montre que les termes de Q' s’obtiennent les uns après les autres d’une façon nécessaire. Cela est évident pour le premier terme de Q' dont le produit par le premier terme de B, étant de degré supérieur à p — b b = p, ne peut se réduire avec aucun terme de R' et doit par conséquent reproduire le premier terme de A; c’est à ce cas qu’on est toujours ramené par le raisonnement du n° 51, que l’introduction de termes à degré négatif n’infirme en rien. Q' est donc entièrement déterminé, ainsi que R'= A—BQ'.

Il est aisé de voir que la proposition subsiste quand A est divisible par B, pourvu que l’on ait a

Enfin, on voit encore que la division peut se faire de la même façon quand A et B, au lieu d’être des polynômes ('), sont des expressions contenant des termes de degré négatif. La proposition qu’on vient de démontrer subsiste, en regardant alors <7, b comme les degrés, d’ailleurs positifs ou négatifs, des premiers termes des expressions A, B que l’on suppose toujours ordonnées suivant les puissances descendantes de x.

§ 3. - POLYNOMES ORDONNÉS SUIVANT LES PUISSANCES CROISSANTES

DE LA VARIABLE.

57. Deux polynômes A et B étant donnés, au lieu de les ordonner par rapport aux puissances décroissantes de la variable, et de les diviser d’après la règle du n° 51, étendue, si l’on veut, comme on vient de l’expliquer, on peut les ordonner par rapport aux puissances croissantes de la variable et faire la division de manière à obtenir les quotients et les restes partiels ordonnés par rapport aux puissances croissantes de x.

Pour simplifier un peu, je supposerai que le premier terme de B soit une constante.

Le premier terme qu’on écrit au quotient s'obtient en divisant le premier terme de A par le premier terme de B; on retranche ensuite de A le produit par B du terme écrit au quotient; on obtient ainsi le premier reste partiel, dont le premier terme est de degré supérieur au degré du premier terme de A; le premier terme de ce reste partiel, divisé par le premier terme de B, fournit le second terme qu’on écrit au quotient; on retranche ensuite du reste partiel le produit par B du second terme écrit au cpiotient; on obtient ainsi le second reste

(*) En se bornant au cas où A, B sont des polynômes, on peut procéder un peu autrement, de façon à éviter, dans le courant de l’opération, les termes à exposants négatifs. On multiplie d’abord A par xm, m étant un nombre naturel arbitraire, puis on fait la division par B du polynôme kxm par la règle ordinaire, de manière à parvenir à l’identité

Kxm— BQj-t- R t,

où R, commence par un terme de degré inférieur au degré de B; on divise ensuite chaque terme de Q, et de R, par xm. L’analogie avec l’opération d’arithmétique qui consiste à réduire en fraction décimale une fraction ordinaire est évidente.

partiel, et l’on continue de la même façon, aussi longtemps qu’on le veut, pourvu toutefois qu’on ne rencontre pas de reste nul.

Les degrés des premiers termes des restes partiels vont en augmentant à chaque fois d’une unité au moins, ainsi que les degrés des termes que l’on écrit successivement au quotient : au moment où l'on arrête l’opération, on a, en désignant par Q le poljnome écrit au quotient, par R le poljnome écrit au reste, l’identité A = BQ + R; dans le cas ou l’opération ne se termine pas, on peut s’arranger pour que le degré du premier terme de R dépasse tel nombre entier p que l’on voudra ; imaginons, en supposant toutefois p supérieur au degré a du premier terme de A, que l’on s’arrête dès que cette circonstance se présente; alors le degré du premier terme du reste partiel qui précédait R était inférieur ou égal à p, il en est donc de même du dernier terme de Q obtenu en divisant le premier terme de ce reste partiel par le premier terme de B, qui est une constante.

On peut donc alors, si l’on se donne le nombre entier p a, trouver deux poljnomes Q, R tels que le premier terme de R soit de degré supérieur à p, que le dernier terme de Q soit de degré inférieur ou égal à p, tels enfin que l’on ait identiquement A= BQ + R. Si l’on se propose maintenant de déterminer les poljnomes Q, R satisfaisant à ces diverses conditions, on reconnaît que le problème n’admet qu’une solution : il suffit de reprendre, comme tout à l’heure, le raisonnement du n° 51, mais en faisant porter ce raisonnement sur les termes du plus bas degré au lieu de le faire porter sur les termes du plus haut degré, on voit que les termes de Q se déterminent les uns après les autres, d’une façon nécessaire.

On a reproduit ci-dessous une division effectuée de la façon qu’on vient d’expliquer.

I — X -h 2 X²

— 3 3x — 6a?²

3 4- a? — 4 a?² — yx³

x — 5x² — x3 X -h X² — 2 X³

— 4 x² — 3 x³

\x² — 4a?³-+- 8 x'*

— 7a?³-1- 8a?⁴

-1- yx³— yx''-+- i\x³

aù-t- i\x³

CHAPITRE III.

i5f

Au moment où l'on s’est arrêté, le polynôme écrit au quotient est 3 + x — \x- — ’jx³ et le reste \x + i4#³1 on a l’identité

3 — ix -\- x²— x³ = (i — x ix-) (3 -+- x — 4^²— ~ x³) -+- x'*-\- \\x³.

On en conclut, par exemple, que pour toutes les valeurs de x, qui n’annulent pas le diviseur, on a

i — x -f- ix²

= 3 -+- x — \x²— 7 x³-+

X^-^-Y^X³

i — x -h 2a?² ’

pour les valeurs de x voisines de o, la fraction qui figure dans le second membre est très petite en valeur absolue, en sorte qu’on commet une faible erreur si, au lieu de calculer le premier membre, on calcule la valeur du polynôme 3 + x— \x-—'jx³. Si, par exemple, on suppose la valeur absolue x¹ de x moindre que l’erreur sera moindre que

ÎO⁸

lO¹⁰

io⁸

1--

10² IO⁴

Si l’on divise i par i —x par ce procédé, on parvient à I identité

i = (i -H x -+- x²-h.. .-H xn) (i — x) -y- a?,t+1,

ou, si l’on veut

--= i -H x    x² H-. .. -H x"

i — x

de même

1 -t- X

Il n’est pas inutile de remarquer que si, dans une pareille division on veut obtenir les termes qui, dans le quotient, sont de degré inférieur ou égal à n, on peut, dans le dividende et dans le diviseur, négliger les termes de degré supérieur à n, qui n’interviennent pas dans l’opération ainsi limitée.

Les polynômes X et 11 étant ordonnés par rapport aux puissances croissantes de x, la division de A par B, effectuée par le procédé

qu’on vient d’expliquer, ne se termine (on ne peut trouver un reste nul) que s'il existe un polynôme Q tel que l’on ait A = BQ; réciproquement, s’il existe un tel polynôme Q, on le trouvera nécessairement parie procédé précédent : le même raisonnement qu’au n° 51 montre que les termes de ce polynôme doivent s’obtenir l’un après l’autre par le procédé qu’on vient d’indiquer, et cela d’une façon nécessaire : l’opération se terminera quand on sera amené à écrire au quotient un terme dont le degré sera égal à la différence entre les degrés de A et de B : il devra être égal au quotient du dernier terme de A par le dernier terme de B et le reste correspondant doit être nul. Si quelqu'une de ces conditions n’est pas vérifiée, l’opération peut se continuer indéfiniment.

§ 4. — POLYNOMES A PLUSIEURS VARIABLES.

58. Dans tout le cours de ce Chapitre, on a regardé les coefficients du dividende et du diviseur comme des nombres, mais cette supposition n'est pas nécessaire pour effectuer, par exemple, les calculs décrits au n° 51.

Supposons maintenant que A, B soient des polynômes à plusieurs variables; on dira que le polynôme A est divisible par le polynôme B, s'il existe un polynôme C tel que l’on ait identiquement A = BC. La méthode du n" 51 permet toujours de reconnaître s’il en est ainsi, et de trouver le polynôme C.

Plaçons-nous d’abord dans le cas où A, B sont des polynômes à deux variables x,y; rien n’empêche d’ordonner les polynômes A, B suivant les puissances décroissantes de .r, et d’imaginer que C soit ordonné de la même façon; les polynômes A, B, C apparaîtront ainsi comme des polynômes en x dont les coefficients seraient des polynômes en y.

Supposons que l’on ait identiquement A = BC; le coefficient de la plus haute puissance de x dans A doit être identiquement égal au produit des coefficients des plus hautes puissances de x dans B et dans C; le coefficient de la plus haute puissance de x dans C s’obtiendra donc en divisant le coefficient de la plus haute puissance de x dans A, par le coefficient de la plus haute puissance de x dans B : on a à dixiser l’un par l’autre deux polynômes eny, opération que l’on sait faire : la division doit se faire exactement; on obtient ainsi le premier terme de C : c’est le produit du coefficient qu’on vient de calculer par une puissance de x dont l'exposant est la différence des degrés des plus hautes puissances de x dans A et dans B. On retranche ensuite de A le produit de B par le premier terme de C, on obtient le reste partiel, sur lequel on raisonne comme sur A. Chaque terme de C se détermine ainsi d’une façon nécessaire; à chaque division partielle, la division du polynôme en y qui constitue le coefficient de la plus haute puissance de x, par le polynôme en y qui constitue le premier coefficient de B, doit se faire exactement. Enfin l’opération doit se terminer avant que l’on ne trouve un reste dont le degré en x soit inférieur au degré de B, en x. Autrement A n’est pas divisible par B. Deux polynômes à deux variables étant donnés, on sait reconnaître si le premier est divisible par le second. Du cas de deux variables, on passe successivement au cas de trois, quatre, ..., variables.

Dans ce qui suit, je ne suppose plus que le polynôme A soit divisible par le polynôme B. Pour simplifier l’écriture, je raisonnerai suides polynômes à trois variables x, y, s; mais les raisonnements s’aj pliqueront sans difficulté quel que soit le nombre des variables.

Quels que soient les polynômes A, B, en x, y, z, on peut toujours les ordonner par rapport aux puissances décroissantes de ,r; les coefficients des diverses puissances de x (parmi lesquels on range le terme indépendant de x, le coefficient de x°) sont des polynômes en y, z; rien n’empêche de faire sur A et B, regardés comme des polynômes en x, les calculs indiqués au n" 51 ; ces calculs conduiront à une relation de la forme A = BQ + R, où Q et R auront la forme de polynômes en x dont les coefficients seraient, en général, des fractions dont les termes sont des polynômes en y, z : les dénominateurs de ces fractions seront, en général, des puissances de ce polynôme en y, z cpii est le coefficient de la plus haute puissance de x dans B. Le plus haut degré de x dans R sera inférieur au degré, en x, du polynôme B. La relation A = BQ + R aura lieu quelles que soient la valeur numérique de x et les valeurs numériques de y, s, pourvu que ces dernières n’annulent pas le coefficient de la plus haute puissance de x dans B.

Les calculs se simplifient dans un cas auquel je vais maintenant me limiter, celui où le coefficient de la plus haute puissance de x, dans B, au lieu d’ètre un polynôme en y, z, se réduit à une constante numérique. Dans ce cas, les calculs n’introduisent en dénominateur aucun polynôme en y, z et, dans l’identité A = BQ -h R, à laquelle on parvient, Q et R sont de véritables polynômes en x,y, z] les raisonnements du n° 51 s’appliquent sans difficulté pour prouver qu’ils sont les seuls polynômes dont le second soit, en x, de degré inférieur au degré de R qui satisfassent à cette identité : dans ce cas, la condition pour que A soit divisible par B est évidente : R doit être identiquement nul.

Si, en particulier, on suppose que B soit de la forme x — «, a étant un polynôme en y, z, le polynôme R ne devra plus contenir x, ce sera un polynôme en y, z et lç, même raisonnement qu’au n° 53 montre que ce polynôme s’obtient en remplaçant x par a dans A. Si le résultat est identiquement nul en y, z, ..., et seulement dans ce cas, A sera divisible par x — a. Plus particulièrement, la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme A (en x, y, z) soit divisible par x —y est que le polynôme en r, z, .. ., que l’on obtient en remplaçant x par y dans A, soit identiquement nul.

Supposons que le polynôme A s’annule identiquement quand on remplace x soit par y, soit par z, ou encore quand on remplace y par z. Puisqu’il s’annule quand on remplace x par y, il est divisible par x—y, et l’on peut poser A = (x—y)A,, en désignant par A, un polynôme en x, y, z dont le produit par x —y est identiquement égal à A; si, dans l’identité précédente, on remplace y par z, le premier membre est identiquement nul ; le produit de y— ; par le polynôme A' (en x, z) que l’on obtient en remplaçant dans A, y par z est donc identiquement nul; il faut, pour cela, que A' soit identiquement nul et, par suite, que A, soit divisible par y — z ; on peut alors poser A, = (y — z) A₂, A₂ étant un polynôme en x, y, z. Le raisonnement précédent prouve d’ailleurs que A₂ s’annule identiquement quand on remplace 5 par x; il en résulte que A₂ est divisible par z — x, et que l’on peut poser A₂ = (s — x) A^ ; des identités

A = (x—y) Al5

Ai = (j — *)A„

A₂ = (z — x) A 3,

il résulte qu’on a identiquement

A = (x— y) (y — z)(z — x)\₃-,

ainsi A est divisible par le produit (x —y) (y — z) (z — x).

D’une façon générale : si un polynôme à n variables devient identiquement nul quand on suppose que deux quelconques de ces variables soient égales, il est divisible par le produit de toutes les différences entre deux quelconques de ces variables.

EXERCICES.

4b. Vérifier que, si dans le polynôme x³ -+- x-—2X — i

remplace a?

par a?²—2, le polynôme du sixième degré que l’on obtient ainsi est divisible par a?³-4- x-— 2a? — i.

Démontrer que si l’on forme la suite des polynômes

on

xi

a-²—2,    (a?²—2 )²—2,

dont chacun s’obtient en remplaçant dans le précédent x par x-— 2, et que l’on divise ces polynômes par a~:i4-a?²—ix — i, les restes se reproduisent périodiquement de trois en trois.

46. Déterminer a : i° de façon que les deux racines de l’équation x- — a?-h a = o vérifient la condition a?⁴— 2a?³4- a?² 4- 2a? 4-1 — a² > o ; 2° de façon que la plus grande de ces deux racines vérifie seule cette inégalité.

47. Tout polynôme qui prend des valeurs égales quand on y remplace a? par les nombres inégaux at, a₃, ..., a„ est de la forme

Q(a? — «i) (x — ai)... (x — an) -t- K,

où If est une constante.

48. Calculer les valeurs que prend le polynôme

i6ar>5— 20 a?³-t- 5 a?--

quand on y remplace a? par une des racines de sa dérivée.

49. Effectuer la division du polynôme nx'¹—(n -t- i)a?"4- i, où H désigne un nombre naturel, par (a? — i)².

50. Soient À, B, C, P des polynômes; si l’on divise P par A (au sens du

n° 51), puis le quotient par B, puis le quotient par G, on trouvera le même quotient final qu’en divisant P par le produit ABC.

51. Montrer que si P = x'l-\- a\xn—¹ -+-... -t- an est un polynôme donné de degré ni on peut mettre, et cela d’une seule façon, un polynôme quelconque f (x) sous la forme A₀-+- A| P -t- A₂P²-|- ..., où A₀, Ai, A₂, ... sont des polynômes en x de degré moindre que n. En supposant que le polynôme f(x) ait été mis sous cette forme, quel est le quotient et quel est le reste de la division de f(x) par P ?

Pour obtenir les polynômes Ao, Ai, A₂, ..., on peut procéder comme il suit : partant de l’identité

(')

X'¹ — — «1 X

— a2xTl ²— ... — an-+- P,

on en conclut, en multipliant par x et en remplaçant, dans le second membre, x'¹ par le second membre de l’identité (i),

xn+1 = (' a | — a-2 ) x

tl—\

-t- ( at a-2 — a₃ ) xn~² -t- ... -f- Px ;

multipliant encore par x et remplaçant toujours x", dans le second membre,

.., on voit qu’on obtient aisément les exprès-

— a-, x

n—2_

par — ci[X

sions de x'¹, x'l+l, xn+2, ..., puis de f{x) sous la forme désirée. Les calculs se simplifient si l’on veut seulement avoir le reste de la division de f(x) par P ; on remplace alors partout P par o ; les calculs sont indiqués ci-dessous en supposant P — x* — x -f-1, f(x) — x*> — 2xs -+- 3x'* — x³-{- x² — î ; le signe = veut dire que les deux membres que séparent ce signe sont identiques, à un multiple près de P.

x-

X³

-X -h l,

II

/O)

52. Déterminer les coefficients At, A₂, A₃, ... d’un polynôme

f(x) = X'¹    \\X

n—i

-H A₂a7"-² -+- ... H- A„

qui soit exactement divisible par sa dérivée.

Le quotient ne peut être que du premier degré; on peut le mettre sous la

— (x-h a) : l’identité n

forme

nf(x) = (x + a)f(x)

permet ensuite de trouver les coefficients Als A₂, ... : on trouve ainsi

f(x) — (x -t- a)'¹.

53. On se donne la suite des nombres a₀, «i, a₂, .... Montrer qu’un poly-

nome donné f(x) peut se mettre, et cela d’une seule façon, sous la forme A₀4- Ax(x— a₀) -t- A₂(x — a₃)(x—ax)+..\n(x—a„) (x — ax).. .(x—an-₁),

où A₀, A₂, A„ désignent des constantes et n le degré de f(x) : A₀ est le reste de la division de f(x) par x— a₀ : si fi(x) est le quotient de cette division, Aj est le reste de la division de f\(x) par x — ax, etc.... Ceci ne suppose pas que les nombres ax, a₂, a₃, .. . soient distincts.

an, on peut calculer au plus du degré n et

Si l’on se donne les nombres distincts a₀, ax, <r₂, ..

A₀, A

connaissant les valeurs qu’il prend pour x = au, x — aj, ..., x — an. En supposant p < tï, les coefficients A₀, Aj, ..., A/; ne dépendent que de a₀, ap et des valeurs correspondantes du polynôme.

Trouver un polynôme de degré au plus égal à 3 qui prenne la même valeur

ii •

.., An sachant que le polynôme f(x) est

«ii ••

-, x —

que \Jx pour x

54. Montrer que le polynôme

yzn -i- zxn -t- xyn — ynx — zn x — x’¹ y,

où n est un nombre naturel, est divisible par le produit (y — z)(z — x) (x —y) ; trouver le quotient pour n = a, n — 3.

55. Montrer que le polynôme x³ -+-y³-+- z³ — 3 xyz est divisible par x -\-y-\- z. Trouver le quotient.

Le polynôme proposé peut-il s’annuler pour des valeurs de x, y, z qui ne vérifient pas la condition x y z = o?

un

56. Si les deux polynômes f(x, y), g(x, y) deviennent identiques à facteur constant près quand on y remplace y par ax -h b, il existe une constante k et un polynôme h(x, y) tels que l’on ait identiquement

y) — kg(x, y) — (y — ax — b) h(x, y).

57. Diviser i par (i — x)² en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x et en s’arrêtant, au quotient, au terme en x'¹.

58. Effectuer la division de i — abx² par i — (a-h b)x -h abx² en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x et en s’arrêtant, au quotient, au terme en xn.

On trouve, pour le quotient,

1-4- (a -+- b)x 4- (a² 4- b²)x- 4- ... 4- (a" 4- b'l)xn

et, pour le reste,

x'l+l [(i — bx)a,l+l 4- (i — ax)b'l+x J.

59. Effectuer la division de i — x% par i — ix cosô -t- *-² en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x et en s’arrêtant au quotient, au terme en xn.

On trouve, pour le quotient,

I -+- IX COSÔ ‘i.x- COS 2 0 -4 ... 4- IX'¹ COS7TÔ

et, pour le reste,

•IX

n+1

cos(/£ -t- Oô — 1Xn+^ COSttÔ.

Montrer que l’on a

j -4 cos 0 -4 cos 20 -4 ... -4 cos n Ô =

sin (n 4-2)0

sin^ô

60. Effectuer la division de cosa — a?cos(a— 0) par 1—ix cos0 H- a?² en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x et en s’arrêtant, au quotient, au terme en x".

On trouve, pour le quotient,

cosa 4- x cos(a -4 Ô) -4 x^ cos(a -4 26) -4 ... -4 x" cos(a -4 «0)

et, pour le reste,

cos [a -4 (« -4 i)0 ] — x'l+t cos (a -4 n 0).

Déduire de là des expressions simples de

cos (a 4- n 0),

cosa -4 cos (a -4 0) -4 cos (a -4 20) -4 ... -4 cosa — cos (a -4 0) -4 cos (a -420) — . .. -4 (— i)w cos (a -4 /t0),

sin (a 4 nô),

sin a -4 sin (a -4 0) -4 sin (a -4 20) -4 ... -4 sin a — sin|(a -4 0) -4 sin (a -4 20) — ... -4 (— 1)" sin (a -4 nô).

CHAPITRE IV.

DES FRACTIONS RATIONNELLES.

§ 1. — ÉTUDE D’UNE FRACTION RATIONNELLE EN x POUR LES VALEURS DE a? VOISINES D’UNE VALEUR DONNÉE.

59. On appelle fraction rationnelle en x une fraction dont les deux ternies sont deux polynômes en#. La valeur d’une telle fraction pour x = #₀ n’est définie cpie si x₀ n’annule pas le dénominateur.

Si x₀ n’annule pas le dénominateur, et si l’on donne à x des valeurs très voisines de x₀, le numérateur et le dénominateur prendront, comme on l’a vu au Chapitre 11, des valeurs très voisines de celles qu’ils prennent pour x = x₀; or, en général, quand les deux termes d’une fraction varient très peu, la valeur de la fraction varie très peu; on prévoit qu’une fraction rationnelle doit être une fonction continue de x pour les valeurs qui n’annulent pas le dénominateur. Il convient d’ailleurs de préciser ceci, afin d’éviter sûrement les valeurs exceptionnelles : on y parviendra en faisant pour les fractions rationnelles la même étude qu’on a faite pour les polynômes; on y gagnera d’ailleurs le moyen d’avoir des expressions approchées de la fraction, de reconnaître si elle est croissante ou décroissante, etc.

Supposons d’ahord qu’il s’agisse de valeurs de x voisines de o; on ordonnera le numérateur et le dénominateur suivant les puissances ascendantes de x.

Si le dénominateur de la fraction n’est pas nul pour x — o, la valeur de la fraction, quand x est suffisamment voisin de o, reste moindre, en valeur absolue, qu’un nombre positif fixe qu’il est facile d’évaluer. C’est ce qu’on exprime brièvement en disant que la fraction reste bornée pour les valeurs de x qui sont voisines de o.

Considérons par exemple la fraction

On choisira un nombre positif a plus petit que la valeur absolue du premier terme — 3 du dénominateur; puis on déterminera un nombre positif [3 tel que la condition \x\ << (3 entraîne l’inégalité

en

Le dénominateur ne pourra pas s’annuler et sera plus grand, valeur absolue, que 3 — a; le numérateur sera plus petit, en valeur absolue, que 2 + 3a + 5a;î + 7 a⁴, et la valeur de la fraction plus petite, en valeur absolue, que

•>. -i- 3 a 4- 5 a³ 7 a⁴

pourvu que x soit moindre que [3, en valeur absolue.

Si, par exemple, on prend a = 2, on pourra prendre (3 — — et être sûr que la fraction, pourvu que x soit moindre en valeur absolue que

~, sera certainement moindre en valeur absolue que

/, o

11³

H--T < 3.

Ceci posé, si l’on veut étudier, pour les valeurs voisines de o, une fraction rationnelle L, dont les deux termes sont des polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de x,

A = «r₀ -i- x -F-    -+- • •

13 — [)q + b\ x —}— b ) x~ + • . •,

dans le second desquels on suppose essentiellement que b₀ ne soit pas nul, on effectuera la division de A par B, au sens du n° 57 ; on trouvera un quotient

Q — c₀-h clx -4- c₂a?²-i-...

ordonné par rapport aux puissances croissantes de x et un reste B dans lequel on pourra mettre en facteur une certaine puissance de x, xn+l par exemple, et que l’on pourra écrire sous la forme Sa?/J+I, en désignant par S un polynôme. Q sera d’un degré au plus égal à n et l’on

aura

A = BQ Sa?,t+1

puis, pour toutes les valeurs de x qui n’annulent pas B,

tel >

cy

te| c/3

tel c/3

X,l+X

nelle

Pour les valeurs de x suffisamment voisines de o, la fraction ration-> dont le dénominateur ne s’annule pas pour x = o, reste

moindre en valeur absolue qu’un nombre positif fixe. Pour ces valeurs le second membre a donc cette forme qui ne diffère que par le dernier terme d’un polynôme de degré n + 1, sur laquelle on a apppelé l’attention au n° 32 (¹ ) ; pour x = o ie dernier membre est égal à c₀ ; pour les valeurs de x voisines de o, il est voisin de c₀ ; pour x = c», au point de vue de la variation, il se comporte comme le premier des termes c{x, c₂^², c₃.r³, . . cnxn qui n’a pas un coefficient nul.

On a d’ailleurs

c₀ =

b₀’

Ci =

a,

bo

La fraction rationnelle proposée est continue pour x — o, c’est-à-dire qu’elle reste aussi voisine qu’on veut de la valeur — qu’elle

prend pour x — o, pourvu que x reste suffisamment voisin de o.

Les polynômes c₀, c₀ + c₄ x, c₀ + ct x + c₂x-, . . . fournissent des

expressions approchées de la fraction et l’on a le moyen de calculer une limite de l’erreur que l’on commet en substituant l’une d’elles à la fraction.

Si l’on considère, par exemple, la fraction

I- 2X--\- X³

= i — x -f- 2 a?² -+

— 2 ~h 5 x — 2 a?²

1 — 2X'À-h- x³

a?³,

on

voit d’abord que le dénominateur n’est pas nul si l’on suppose-

te >

(') Il résulte de la note du n° 32 que la fraction forme que d’une seule façon, quand on se donne le nombre n.

ne peut se mettre sous cette;

| x ] << ^ ; si l’on suppose x plus petit que 0,1 eu valeur absolue,

la fraction

— 2 -l- 5 X — IX²

I - IX² -4- X³

sera moindre que

0,002

<3, en valeur absolue; l’erreur

i — 0,02 — o,oo3

commise en remplaçant la fraction proposée par i — x + ix- sera moindre que o,oo3. Pour x = o, cette fraction est égale à i, elle est décroissante, puisque — x est décroissant.

Si l’on considère la portion correspondante à de petites abscisses

I- X -+- X³

-"XX² -I- X³ ’

qu’elle passe par le point de l’axe des y dont l’ordonnée est i, et que la tangente en ce point a pour équation y = i — x (comme on le voit sans peine par un raisonnement analogue à celui du n° 31); la courbe est au-dessus de sa tangente; dans le voisinage du point de contact, elle se confond presque avec la parabole définie par l’équation y— i — x + xx-.

de la courbe définie par l’équation y =

on reconnaît

Le cas où le numérateur de la fraction — s’annule pour

x = o, sans

que le dénominateur s’annule, est compris dans ce qui précède; il convient de remarquer alors que la fraction est nulle pour x = o, et que c’est le monome obtenu en divisant le premier terme de A par le premier terme de B qui renseigne sur le signe de la fraction, pour les petites valeurs de x, et sur le sens de la variation.

Ainsi la fraction —

absolue, comme - x% ; elle est croissante pour x — o, du même signe que x, pour les valeurs de x voisines de o.

Les polynômes ^x², |x-—-~x... sont des expressions approchées de cette fraction.

— XX²

se comporte, pour x très petit en valeur

60. Examinons maintenant le cas où le dénominateur B s’annule

pour x — o, et supposons d’abord que le numérateur ne s’annule pas.

En posant comme plus haut A = a₀ + a{ x + a₂x² + ..., ci₀ devra être supposé différent de o. Au contraire, B commencera par un terme

contenant une certaine puissance de x que l’on pourra mettre en facteur; en d’autres termes

on

pourra mettre B sous la forme B = B'xr,

CHAPITRE IV.

i6f>

où B'= b₀ + bt x + b₂x- + ... est un poljnome en x qui ne s’annule

pas pour x — o.

Je suppose qu’on fasse la division de A par B' en s’arrêtant dès que le reste est divisible par xr; la partie écrite au quotient sera alors un poljnome de degré r — de la forme

au

plus, et l’on parviendra à une identité

A = B Q -4- Sa?»*.

est un polynôme en x,

r—\

OU \) — Cq —}-“ C\ X —)— C^X“ ~f“ . . . -f⁻ Cf__\ X

dans lequel le premier terme c₀= ~ n’est pas nul, et où S est un poljnome en on en conclura

(0

IV xr

7r

(on parviendrait d’ailleurs tout aussi bien à cette identité en faisant directement la division de A par B, quitte à introduire des termes de degré négatif, on s’arrête alors dès que le premier terme du reste est de degré nul ou positif).

L’égalité précédente suppose que x ne soit pas nul; il est d’ailleurs clair que la fraction proposée n’a pas de sens pour x = o ; on se propose seulement de reconnaître comment elle se comporte pour des valeurs de x voisines de o; dans ces conditions, B' n’est pas nul, et,

pourvu que x reste suffisamment près de o, la fraction rationnelle

dont le dénominateur n’est pas nul pour x — o, reste aussi voisine qu’on le veut de la valeur qu’elle prend pour x = o.

Si l'on pose ~ = z, l’expression

.r

prend la forme

t* ( Z ) — Cq Zr C i Z¹ * —f— . . . —|— C/. — j Z.

C’est un polynôme en z, de degré /*, ordonné suivant les puissances descendantes de ^ et ne contenant pas de terme constant.

Quand x est petit en valeur absolue, z est grand en valeur absolue ; il en est de même du poljnome P(3), lequel est alors du signe de

son premier terme c₀zr =    ; il en est de même de la fraction — •

Pourvu que s soit assez grand, en valeur absolue, ou, ce qui revient au même, pourvu que x soit suffisamment voisin de o, la valeur absolue de .P(2) est aussi grande qu’on le veut. Il en est de même de

la fraction c’est ce qu’on exprime en disant que cette fraction

devient infinie quand x tend vers o (on dit aussi, plus brièvement, qu’elle est infinie pour x = o).

Quant au signe, tout dépend de la parité de r et du signe de c₀.

Supposons r impair; si c₀ est positif, la fraction est négative pour x négatif, positive pour x positif ; on dit que, x croissant, elle passe, pour x — o, de — 00 à -h 00. Si c₀ est négatif, elle passe, au contraire,

de -f- 00 à — 00.

Lorsque r est pair, la fraction, pour des valeurs de x voisines de o, est du signe de c₀, que x soit positif ou négatif. On dit qu’elle passe par -f- 00 ou — 00 suivant que c₀ est positif ou négatif.

Considérons, par exemple, la fraction

I -h X

X³ (l — x)

*1-

S I LO

I *o

la courbe définie par l’équation y =

ou

a?³(i — x )

Lorsque x est très petit en valeur absolue, y est très grand en valeur absolue; le point de coordonnées x, y est très près de l’axe des y, très.

cij

Ci

loin de l’axe des x] la courbe, quand x est voisin de o, offre une disposition analogue à celle qu’indique la figure. Elle présente deux branches infinies, dont on dit qu’elles sont asymptotes à l’axe des y, l’une vers le bas, à gauche de l’axe des y, l’autre vers le haut, à droite : en disant qu’une branche de courbe est infinie, on entend qu’elle comporte des points dont l’une des coordonnées, au moins, est aussi grande qu’on le veut, en valeur absolue; en disant qu’une branche infinie est asymptote à une droite, on entend que ses points se rapprochent autant que l’on veut de cette droite, pourvu que leurs coordonnées, ou l’une au moins de leurs coordonnées, soient suffisamment grandes en valeur absolue.

On aura une disposition analogue, dans le cas général, pour les

Fig. 20.

valeurs de x voisines de o, si r est impair et si c₀ est positif; si r est impair et c₀ négatif, la disposition sera celle de la figure ci-dessus.

Fig. 22.

Fig. 2i.

Si r est pair, on aura l’une ou l’autre des dispositions ci-dessus, suivant que c₀ est positif ou négatif.

61. Revenons au cas général et à l’égalité (i) du numéro précédent; la différence

55, >

Co

.r

Cl

Xr—1

Ci

est égale à la fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule

pas pour x — o et qui, ainsi, est une fonction continue de x pour x = o. La différence précédente n’a pas, par elle-même, de sens pour

x — o, mais il suffit de lui attribuer, pour x — o, la valeur que prend,

S    ...

pour x = o, la fraction pour qu’elle devienne une fonction continue de x, pour x — o.

Ainsi, dans l’exemple traité un peu plus haut, la différence

égale (sauf pour x = o) à la fraction ■    ■ ? tend vers 2 quand x tend vers o; si, pour x = o, on lui attribue la valeur 2, elle devient, pour x = o, une fonction continue de x.

En écrivant

X³ ( 1 — X )

on a

décomposé le premier membre en deux parties, dont l une, le

polynôme en - sans terme constant

est la partie de la fraction qui devient infinie quand x tend vers o, dont l’autre partie, dans les mêmes conditions, reste bornée et tend vers 2.

Il est clair que cette partie de la fraction rationnelle qui devient ainsi infinie est la plus importante à considérer pour les valeurs de x voisines de o; en en substituant la valeur à celle de la fraction, on ne commet qu’une faible erreur relative, et c’est pour cela que j’ai supposé la division de A par B' arrêtée au moment où l’on avait obtenu cette partie. On peut, d’ailleurs, si cela est utile, pousser la division plus loin, de manière à obtenir des expressions de plus en plus rapprochées de la fraction. Je n’insiste pas sur ce sujet, qui a été suffisamment éclairci.

Les explications qui précèdent permettent d’énoncer la proposition suivante :

A

Si, dans la fraction rationnelle le numérateur est différent de o pour x = o, tandis que le dénominateur s’annule pour x — o, en sorte qu'il soit divisible par xr (et non par une puissance de x plus élevée), cette fraction devient infinie quand x tend vers o. Il existe un polynôme en z, P (s), de degré r, ne contenant pas de

terme constant, tel que Vexpression (lepolynôme en    > P (^)

A

la partie de la. fraction ^ qui devient infinie quand x tend vers o :

P    J s’approche indéfiniment d’un nombre fixe (¹ ),

soit

la différence

quand x tend vers o, nombre auquel on donne souvent le nom de

vraie valeur, pour x — o, de la différence ^

r(i>

En attribuant

sa vraie valeur, pour x — o, à cette différence, elle devient une fonction continue de x, pour x = o.

P reste bornée quand x

Le polynôme P(s), défini plus haut, est le seul polynôme en z sans terme constant, tel que la différence

tend vers o : si, en effet, un autre polynôme P'(.z), sans terme constant, jouissait de la même propriété, la différence

Cl,

resterait aussi bornée quand x tendrait vers o, ou quand z deviendrait infini; or cela est impossible si les deux polynômes Iv(s) et P(z) ne sont pas identiques.

(¹ ) Il suffit, pour plusieurs raisonnements qui suivent, d’observer que celte différence reste bornée quand x tend vers o, c’est-à-dire qu’il y a un nombre positif auquel elle reste inférieure, en valeur absolue, pour toutes les valeurs de x, autres que o, qui sont suffisamment voisines de o. Il est à peine utile de dire que, lorsque deux fonctions de x restent bornées, dans certaines conditions, il en est de même de leur somme, de leur différence, de leur produit, et que les mots « reste bornée » s’opposent à l’expression « devient infinie ».

62. Considérons enfin le cas où le numérateur et le dénominateur de la fraction rationnelle — s’annulent pour x = o; on pourra alors poser A = A⁷#?, B = B'x⁷', en désignant par q, r des nombres naturels, par A⁷, B⁷ des polynômes en x qui ne s’annulent pas pour 37 = 0. La fraction — n’a pas de sens pour x = o\ pour les autres valeurs de x, elle est égale à

A'

B⁷’

A' xi—r

B'

A'

B ' xr-i’

suivant que l’on a q /*, q = /•, q << r. On est ramené aux cas précédemment étudiés : dans les deux premiers cas, la fraction g- a une vraie valeur pour x = o (nulle si q est plus grand que r), dont elle s’approche indéfiniment quand x tend vers o ; en lui attribuant, pour x = o, cette vraie valeur, elle devient une fonction continue de a?, pour x = o. Dans le troisième cas, la fraction augmente indéfiniment en valeur absolue, quand x tend vers o; il existe un polynôme P(2)

de degré r — q, sans terme constant, tel que    s°it la partie de

la fraction qui devient infinie pour x = o, en entendant les choses comme on a fait plus haut.

... A 63. Supposons maintenant que l’on veuille étudier la fraction L

pour les valeurs voisines du nombre x₀ ; on remplacera dans les polynômes A, li, x par x{)-\- A, et l'on ordonnera suivant les puissances ascendantes de h. On est ramené à étudier une fraction rationnelle en h pour les valeurs de h = x — x₀ qui sont voisines de o. Les résultats suivants deviennent évidents.

sel >

Si x₀ n’est pas racine de B, la fraction

, pour les valeurs de x voisines de x(n restera voisine de la valeur qu’elle prend pour x = x₀‘, elle sera une fonction continue de x, pour x = x₀. Les méthodes précédentes permettent de reconnaître si elle est croissante ou décroissante pour x = x₀, si elle passe par un maximum ou un minimum, quel est son signe quand x est voisin de x₀ ; elles permettent aussi de trouver des polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de h ou de x—■ x₀, qui la représentent d’une façon très approchée, pourvu que x soit suffisamment voisin de x₀.

Si x₀ est une racine de B, d’ordre de multiplicité et si x₀ n’est

pas racine de A, la fraclion devient infinie pour x = x₀, et il existe un polynôme P(s) de degré /*, sans ternie constant, tel que la différence

tel >

P(-—)

\x — X₀ / tende vers une valeur lime quand x tend vers x₀ ; il n’existe d’ailleurs qu’un seul polynôme, sans terme constant, qui jouisse de cette propriété.

Si x₀ est en même temps racine d’ordre de multiplicité q pour le numérateur A, les choses se passent de la même façon lorsque q est plus petit que r, si ce n’est que le polynôme P(^) n’est plus que du degré r— q. Si q est égal à r, la fraction, quand x tend vers o, tend vers une valeur différente de o; si q est plus grand que r, elle tend vers o. On peut, dans les différents cas, reconnaître son signe, le sens de sa variation, on peut en former des expressions approchées, etc.

64. Supposons enfin qu’on veuille étudier la fraction lorsque x est 1res grand en valeur absolue. Appelons n et p les degrés respectifs des deux polynômes A et 11 et écrivons la fraction, en ordonnant ces polynômes suivant les puissances descendantes de x,

. . . -+-    —1 X -+- X,i

-f- p/j—\x    3/P

:7.₀x" -I- a, xn B 'pQXi’-'r i-f-

on

changera x en et l'on aura

Ko “I⁻ & 1 Z —I— CCj Z^ -f— . . . —OC h Zn

z il

B Po -H pl Z ~\~ P 2 ² *4” ... -I- ppZP

ou, suivant que l'on aura n << p, n = p, n^>p,

zP-’l(oc₀-+- ixiz -h ch₂z²-{- ...) Po "+" Pl ⁵ -H p2-2² •+" • • • oc₀ -4- a, z -f- oc₂ z² -1—.

Po —i— pl Z -+- Pî -Z*    • • •

0(0 "4“ OC | Z —t— OC2 Z~ —(— . . . Z"--P( po-t- 8t.S -f- p2^²-i-. . .) ’

on est ramené à des cas déjà étudiés, puisque, lorsque# est très grand en valeur absolue, z est très voisin de o.

On voit de suite que, si le degré du dénominateur de la fraction proposée (en x) est supérieur au degré du numérateur, la fraction tend vers o quand x augmente indéfiniment ; sa vraie valeur est o pour

x infini. Son signe est le signe de ~ zP~u ou de a°_ ; • Si le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur, la fraction s’approche de quand x augmente indéfiniment en valeur absolue; la

vraie valeur de la fraction est le rapport des coefficients des termes du plus haut degré ; enfin, quand le degré du numérateur l’emporte sur le degré du dénominateur, la fraction augmente indéfiniment, en valeur absolue, quand x augmente indéfiniment, en valeur absolue ;

elle est du signe de a£-xn~P.

Po

Dans ce dernier cas, il convient d’efi'ectuer la division du numérateur par le dénominateur au sens du n° 51 ; on a alors A — BQ + R, R étant un polynôme de degré moindre que B; on peut écrire encore

tel te

et, d’après ce qu'on vient de dire, ^ tend vers o quand x augmente indéfiniment, en sorte que le polynôme Q, pour x très grand, est une expression approchée de C’est le seul polynôme dont la différence avec ^ tende vers o quand x augmente indéfiniment en valeur absolue.

Considérons, par exemple, la fraction

x'* -+- x³ -i- 2 x — I

= x²-h X- 1 +

X² -1- I

et la courbe définie par cette équation, y s’obtient en ajoutant à x* —x — i la quantité — —₂- --- qui est, en valeur absolue, très petite

pour x très grand, qui est, d’ailleurs, du même signe que x. La courbe, quand x est très grand, en valeur absolue, est très voisine de la parabole dont l’équation est y — x- -f- x — î, un peu au-dessus-pour x positif,

peu au-dessous pour x négatif; on dit que la

un

courbe est asymptote à Ja parabole. Je laisse au lecteur le soin de la construire.

On obtiendrait une droite pour asymptote si le degré du numérateur était égal, ou supérieur d’une unité, au degré du dénominateur.

60. Décomposition en éléments simples. — Considérons une fraction rationnelle de la forme

f(x)

( x — a)*(x — b . . .(x —

où le numérateur x) est un polynôme quelconque, pouvant même se réduire à une constante, où «, 6, ..., L sont des nombres distincts et a, [3, ..., A des nombres naturels; en sorte que a est une racine du dénominateur d’ordre de multiplicité a, b une racine d’ordre de multiplicité (3, etc. Pour abréger, je désignerai le dénominateur par o(x). Quoique cela ne soit pas indispensable, je supposerai, afin de simplifier un peu ce qui suit, qu’aucun des nombres «, b, ..., / n’an

nule f(x).

On a vu qu’à la racine a de ©(#), par exemple, correspondait un polynôme en z, sans terme constant, qui, lorsqu’on y regarde s

comme égal à -    —? constitue la partie de la fraction qui devient

infinie quand x s’approche de a, la différence entre la fraction et ce polynôme restant bornée : il est le seul à jouir de cette propriété. Ce polynôme est de degré x si l’on suppose que a n’est pas racine

de f(x) : après qu’on y a remplacé 5 par ^ ¹ -, il est de la forme

A₀

a -1

(x — ap

(x

sont des constantes que l’on a appris à calculer,

où A₀, A

et dont la première A₀ n’est pas nulle; je désignerai cette expression

a— \

par Prt ^    ^ • C’est la partie de la fraction qui devient infinie quand

x s’approche de a.

Aux autres racines b: c, ..., L de x correspondent de même des

P*

dans des poly-

obtenues en remplaçant ^ par —

nomes P/,(Q, P c(z), ..., P/(s), dont les degrés sont respectivement [3, y, ..A, et qui. tous, manquent de termes constants. Chacune de ces expressions est la partie de la fraction rationnelle donnée qui devient infinie quand x s’approche de la racine de ®(x) qui lui correspond.

Si le numérateur f(x) est de degré supérieur ou égal au degré a + ^ +.. A de ©(#), il existe un poljnome E(#), la partie entière de la fraction rationnelle, que l'on obtient en prenant le quotient de la division de f(x) par cp(x), dont la valeur, quand x augmente indéfiniment, s’approche autant qu’on le veut de la valeur de la fraction proposée : c’est le seul polynôme qui jouisse de cette propriété. Quand le degré de f(x) est inférieur au degré de f(x), ce polynôme E(#) doit être regardé comme identiquement nul.

Mon objet est maintenant de montrer que la fraction proposée est égale, pour toutes les valeurs de x, à

-l- 15 (x).

/O)

Cette forme de la fraction

expressions

si l’on en admet pour un instant la

légitimité, met bien en évidence la façon dont elle se comporte quand x s’approche d’une des valeurs «, A, ..., i qui annulent son dénominateur, ou lorsque x devient infini. Lorsque x, par exemple,

s’approche de a, les parties autres que Pa \ x * ^ j restent bornées.

Lorsque x augmente indéfiniment, c’est la partie E(x) qui devient infinie; les autres parties deviennent nulles ou, plutôt, tendent verso. 11 est bien clair, par ce qui précède, que la fraction proposée ne peut être mise sous une pareille forme que d’une seule façon.

On va établir la légitimité de ce mode de décomposition en expliquant en même temps le procédé le plus pratique pour le réaliser.

Je rappelle d’abord que, pour obtenir Pa (—-—), on procède

\    CL J

CHAPITRE IV.

17(5

comme il suit : en posant x = ah et

cp, (a?) = (a? — b)$(x — c) Y...(a? — /)\

on a

f(x)

?0)

_ f (a    h)

(x — «)a<pi(a?)    h0, cp, ( a -+- h)

f(x)

On effectue la division de /(a + h) par cp, (a -f- /i), en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de h et en s’arrêtant dès que le reste est divisible par /<a; l'opération même conduit à une identité de la forme

f(a h- h)

h¹R(h)

(fi(a -+- h)

où R(/i) est un poljnome en h ; en divisant les deux membres par /ta, on obtient (¹ )

h)

■—- Ao —i— Aj /i —t-... —t- A

a—1

/( a -f- h)

/iaçi (a H- A) Aa

A₀ Aj

Aa— i

R(A)

/,a-i

<pi ( a -h h )

En remettant dans cette identité x — a à la place de h et en désignant par^ (a;) ce que devient R(A), on obtient

(O

/O) _ _^0

Â.1

a—1

?0)

(a? — a

(a? — a ja

/iO)

<pi(^)

a? — a

?lO)

Mx)

¥iO)

On opère sur la fraction comme on a opéré sur la fraction

relativement à 1a racine b de (x)y relativement à la racine a

f(x)

?0)

,/i (a?)

qui devient

de o(x), c’est-à-dire qu’on cherche la partie de infinie quand x s’approche de b : c’est certainement P^, (

P b    restant bornée quand x s’ap-

puisque, la différence

/O)

?0)

<?iO)

\x —

bY

proche de 6, il en est de même, en vertu de l’identité (i), de la différence

/l (*)

Or il n’y a qu’un seul polynôme en — la différence avec

-ri sans terme constant, dont b

A O)

?iO)

Le calcul de la partie de

puisse rester bornée quand x s’approche de b.

qui devient infinie quand x s’ap-

f\(x)

?iO)

proche de b₁ conduira donc à une identité analogue à l’identité (1)

O)

A O)

Ai*)

?iO)

?*(*)

On continue de la même façon; on détermine la partie de

devient infinie quand x s’approche dec; c’est P₆.

A(x)

?i(x)

qui

etc.

Finalement, en supposant qu’il y ait r nombres a, b, ..., /, on

fAx)

(x — /)>•’

qu’une seule racine distincte : on la traitera de la même façon; mais les calculs sont ici particulièrement simples : on ordonne fr{%) suivant les puissances de x — /; les premiers termes, de degré inférieur

1 les

termes suivants, s'il y en a, divisés par (x — /)\ fourniront un polynôme en a?, que je désignerai par E(.r), et l'on obtiendra l’identité

arrive à une fraction

dont le dénominateur n’aura plus

à X, donneront en divisant par (a? — les termes de ^ ■ ■ -¹ -'j

(3)

fri*)

(x — l ÿ'

= P/

en ajoutant membre à membre les identités (1), (2), ..., (3) rive à l’identité

on ar-

<4)

.f(x) _ p /

<?(*) U\

—i—... —1— P /

En vertu d’une remarque déjà faite, le polynôme E(a?) ne peut différer de la partie entière de la fraction proposée, puisque la diffé—

et E(.r) tend vers o quand x devient infini.

rence entre

/O)

y(x)

Si le degré de /(x) est égal ou supérieur à celui de ©(a?), il est commode de commencer par déterminer cette partie entière E(a?) en divisant, au sens du n° 51, f(x) par ©(a?), ce qu* conduit, en désignant par F(.r) le reste, à l'identité

on

/<>> ₌

?0)

F(£).

?0) ’

opère ensuite, pour trouver Prt ( ^

plus simple que la fraction : le résultat est le

* P*

• • • sur la

F (a?)

fraction

même, toujours pour la même raison; la différence

<pO)

fix)

o(x)

- P*

restant bornée quand x s’approche de «, il en est de même de la diffé-

rence

F(a?)

<?(x)

-P «

Mettre la fraction rationnelle

sous la forme (4), c’est ce qu’on

appelle la décomposer en éléments simples : ces éléments simples sont, d’une part, les termes du polynôme E(a?) et, d’autre part, les

Cp(a7)

termes des parties fractionnaires P„ ( •—E—]

\ & )

x — b ) ’

chacun de ces termes, formé d’une fraction dont le numérateur est une constante et le dénominateur une puissance de x — a, x—b, .. on donne le nom de fraction simple. La puissance la plus élevée à laquelle est élevé chacun de ces binômes est l’ordre de multiplicité de la racine correspondante dans cp(^r), à supposer, comme on l’a fait, que cette racine n’annule pas f(x). Si l’on supprime cette restriction et si a, par exemple, était une racine de f(x), d’ordre de multiplicité oé<^a, la partie de la fraction qui devient infinie quand x s’ap-

proche de a commencerait par un terme de la forme lieu de commencer par un terme de la forme

«•> au

(x — rt)a

; et, lors même

(x — a)a

qu’on n’aurait pas supprimé d’abord le facteur commun à f(x) et à ©(#), les calculs pourraient s’effectuer de la façon même que l’on a expliquée.

Soit, par exemple, à effectuer la décomposition de la fraction

x³ — x²-h r x³(x — 1 )'l(x — 2)

On a ici a = o, b = i, c — 2, a = 3, p = 2, y = 1. II n’y a pas de partie en-

tière. Pour déterminer la partie

qui devient infinie pour x — o, on

doit diviser, en ordonnant suivant les puissances croissantes, 1 — x² x3 par — 2 -+- 5 x — 4 x² -I- x³ ; on s’arrête dès que le reste est divisible par x³ et l’on parvient ainsi à l’identité

1 — x² -h x³

— 2 -t- 5 a? — 4 x² H- x³

*0 v-t

i3 —(37 — 42a? h- i3a?²)

— x²-h -,

8    —2-h 5 a?—\x²-\-x³

ou, en divisant par x³,

1 — x²-+- x³

i3 1

x³(x — i)²(;r — 2)

(x — i)²(x — 2)

On va maintenant, en partant de la fraction qui figure à la fin du second

qui devient infinie pour x — \ .

membre, déterminer la partie Pj ^—ï—

Faisons abstraction, pour un instant, du facteur on pose, dans la fraction

37 — 42a? -f- i3x²

x — \ -+- A, et l’on ordonne par rapport aux puissances croissantes de h, elle devient

8 — 16 A -f- 13 h²

---J H⁻ fi

on effectue la division, en s’arrêtant dès que le reste est divisible par h²; on parvient ainsi à l’identité

8 —16/1 + 13 A²

= — 8 —!— 8 /i —|—

— 1 —T⁻ h

on

en divisant par A², remettant x — 1 à la place de h et multipliant par trouve

- ( 37 — 42 x + 13 x² )

( X — ] )²

(x — l)²(x — 2)

il n’y a pas lieu d’aller plus loin, puisque la dernière fraction est sous la forme

voulue, et l’on a

x³(x — i)³(x — 2)

i3 r

8 x

(2 — i)²

1 [    5 1

2. x³    4 x2

66. Il convient de s’arrêter sur le cas où, a₁ b, c, ..., / étant toujours des nombres distincts, on a affaire à une fraction de la forme

f(x)

f(x)

cp(»

(x —• a) (x — b).. .(x — ()’

les nombres que l’on désignait dans le numéro précédent par a, [3, y, . .., \ étant tous égaux à 1. Dans ce cas, le polynôme en —-- que

l’on désignait par    se réduit à la fraction simple —    ^ • Le

polynôme que l’on désignait par cp, (x) se réduit à

(x — b) (x — c).. .(x — /) ;

A₀ est le premier terme du quotient de la division des polynômes (en h)    ©t(a + A), ordonnés suivant les puissances crois

santes de A, polynômes dont les premiers termes sont respectivement f(à) et cp, (a), en sorte que l’on a

Ao

_ fia) _ _/(a)_.

cpi (a)    (a — b) {a — c).. . (a—/)’

le nombre cp,(a) est la valeur, pour x = a, de la dérivée o'(x) du polynôme f(x) : on a, en effet, cp (x) = (x — a) cp, (a?) et, par suite,

cp(a-l-A)=;A(p₁(a-(-/i) = ^.ç₁(a)-i-...

en n’écrivant pas les termes h-, h³, ... ; on voit bien que le coefficient de h dans le développement de    ordonné suivant les

puissances croissantes de /i, c’est-à-dire (n° 3o) la valeur, pour x — a, de la dérivée de <p(.r), est cp, (a). On peut donc écrire aussi :

Cl)

A₀ —

Comme le même raisonnement s’applique aux autres racines b

/O) ₌ .fia) I ₊ fib) _I_    ___

(O

c.___, A⁻, / de ç>(.r), on peut écrire, en désignant par E(a?) la partie

entière de la fraction

.fin)

o(x)'

<p(x)    «p'(rt) x — a y'(b) x — b    cp'(l) x — l

/(«)

_JW__1_ ,

(b — a) {b — c) ... {b — l) x — b

f(l)

( / — «)( / — b)... (I — k) x — l

-i- E(a?).

67. En multipliant par o(a?) les deux membres de cette identité, elle devient

_ , f( h )

a ‘ ç' ( b ) x — b

■+■ E(x)y(x)

(0 fi*) =

fia) <p(x)

®'(a) x

= fia)

(x — b) (x — c)... (x — l)

{a — b) {a — c)... (a — l)

+ fib)

(x — a) (x — c). .. (x — l)

(b — a) (b — c) ... (b — l) ‘ " ’

+ /(/)

(x — a) (x — b) ... (x — k)

-H (x — a) (x — b) ... (x — /) E(a?) ;

cette formule, qui joue un rôle considérable dans diverses questions d’ordre pratique ou théorique, est connue sous le nom de formule (f interpolation de Lagrange. 11 ne faut pas oublier que le polynôme E(x) doit être regardé comme identiquement nul quand le degré de f (x) dépasse celui de f{x).

Elle fournit immédiatement la solution du problème suivant :

Étant donnés n nombres distincts    /, déterminer tous les

polynômes en x qui prennent des valeurs prescrites A, B, ..., L pour x = a, x = />, ..., x = /.

effet, o(x) = (x — a) {x — b)... (x — /), et si des polynômes cherchés, on devra avoir

Si l’on pose, en l’on désigne par f(x) un

f(a) — A, f(b) — B, ..., f{l) — L,

•et, par suite,

<*) /<» =

ç(a?) i B <p(a?)

cp'(a) x— a ' o\b) x — b '    o\l) —l

S -6

-+- E(a?) f(x)

A (g-o)(j;-c)---(g-0 (a — b) (a — c) ... (a— l)

(x — a) (x — c) ... (x — l) (b — a ) ( è — c) ... (b — /)

-h L

(x — a) (x — c) ... (x — k)

-+- E(a?) o(x).

Le raisonnement même montre que le polynôme cherché f{x) doit nécessairement avoir la forme qu’exprime le second ou le troisième membre de cette égalité, et la forme même du troisième membre montre effectivement qu’il prend les valeurs A, B, ..L quand on y fait x — a, &, .. ., L. Pour x = a, par exemple, le polynôme qui multiplie A se réduit à i, les polynômes qui multiplient B, ..., L s’annulent, ainsi que o(æt), et cela quel que soit le polynôme E(.r). Ce dernier peut donc être choisi arbitrairement.

Le produit E(#)o(#), quand E(#) n’est pas identiquement nul, est de degré au moins égal à n ; son terme du plus haut degré ne peut être détruit par les termes du second membre de l’identité (2) qui précèdent E(ar) <p(.r), termes qui sont au plus du degré n — 1.

Si donc on impose à f(x) la condition d’être de degré inférieur à n, E(æ:) doit être identiquement nul, en sorte qu’il y a un seul polynôme g(x), de degré inférieur à n, qui prenne des valeurs prescrites A, B, ..L pour x = «, b, ..., /, à savoir le polynôme

(3)

g(x) =

-4- L

A (x — b)(x — ç)...(x — l)

(a — b) {a — c).. .{a — l)

(x — a) (x — c)... (x — l)

(b — a) {b — c)... (è — l) (x — a) (x — b) .. . (x — k) ' ( / — «)( / — b) ... (I — k)

un polynôme quelconque qui prend ces valeurs prescrites est de la forme g{x) -f- E(.r) cp(a?), le polynôme E(#) étant arbitraire.

Au reste, on reconnaît directement que si les deux polynômes g(x), f(x) prennent l’un et l’autre les valeurs prescrites A, B, ..., L pour x = <2, b, ..., /, leur différence f(x) — g(x) doit être divisible par z(x) (n° 38); si les polynômes f{x) et g(x) doivent être de degré inférieur à n, cette différence doit être identiquement nulle : on voit ainsi que le problème consistant à trouver un polynôme de degré inférieur à n qui prenne les n valeurs prescrites A, B, ..., L pour les n valeurs distinctes «, b, ..., l de x ne peut admettre qu’une solution, solution qui est évidemment fournie par la formule (3), et que tous les polynômes, de degré quelconque, qui prennent ces valeurs prescrites, se déduisent de l’un d’eux comme on l’a expliqué.

Le problème de Y interpolation consiste, en général, à trouver une fonction qui prenne des valeurs prescrites pour des valeurs données de la variable. C’est un problème capital pour les sciences d’observation, où la loi d’un phénomène ne peut jamais être obtenue que par un nombre fini d’expériences : une série d’expériences, par lesquelles on cherche à reconnaître comment une variable y dépend d’une variable x, fournit un tableau de nombres où figurent les valeurs y y₂, ..., yn de y qui correspondent aux valeurs x,, x₂, ..., x„ de x. Si l'on a déterminé une fonction g(x), par exemple, comme tout à l’heure, un polynôme, qui pour x = x{, x₂₎ ..., xn prend des valeurs y,, y.₂, ..., yn, on admet que cette fonction g(x) fournira les valeurs de y pour les valeurs de x qui ne s’écartent pas trop des nombres x,, x₂, .... xu, soit que ces valeurs soient comprises entre le plus petit et le plus grand des nombres x,, x₂, ..., xn (interpolation proprement dite), soit qu’elles dépassent un peu, en dessus ou en dessous, le plus petit ou le plus grand de ces nombres (extrapolation).

On a vu, par la théorie précédente, comment, lors même qu'on se borne à des polynômes, le problème posé est indéterminé : il en est de même, d’ailleurs, du problème qui consiste à trouver une loi : deux lois d’un même phénomène, exprimées par des formules differentes, sont également vraies, lorsque les différences entre les nombres que fournissent ces formules sont de l’ordre de grandeur des erreurs d’observation. Parmi ces lois, on choisira celle qui est susceptible de l’expression la plus simple. Ce dernier mot aurait d’ailleurs besoin d’être précisé. S’il s’agit, par exemple, de deux polynômes, il est naturel de choisir celui des deux qui est de moindre degré.

X = Xf, x₂, .. pas égal à l’un de ces nombres, et sous

Le lecteur, enfin, ne peut manquer de se demander s il est vrai que deux fonctions qui prennent les valeurs prescrites pour xn aient toujours des valeurs voisines quand x n’est

quelles conditions cela est vrai. Je me borne à soulever ces questions qui ont fait l’objet d’un grand nombre de travaux.

(38. La formule (i) du numéro précédent, qui suppose seulement, que les nombres «, b, ..., i soient distincts, fournit une suite d’identités en égalant dans les deux membres les coefficients d’une même puissance de xje me borne à celle qui provient de l’identification des termes en    lorsque le polynôme f(x) est de degré inférieur

à n, et que, par conséquent, le polynôme E(.r) est identiquement nul ;

?(*•)

les coefficients de xn 1 dans les polynômes ^X^

1 J    x-G

étant évidemment égaux à i, on voit que, dans le second membre, le coefficient de xn~' est la somme

Al) ,

/(«) , A*)    _

?'(«)    • c?vr

cette somme, lorsque le polynôme f(x) est de degré inférieur à n, est donc égale au coefficient de xll~¹ dans f(x); elle est nulle en particulier quand f(x) est de degré inférieur à n — i; en prenant f{x) = xr, où r est l’un des nombres o, i, 2, ..., n — i, on a

ar

br

/'■

?'(«)

pour /■ = o, i, 2, ..

• •>

n — 2, et, pour r = n — i

a'¹-¹

bn~ 1

?'(«)    ?'(ô)    ?'(l)

= i,

I.

et cela, quels que soient les n nombres distincts a, b, ..

§ 3.

FONCTION HOMOGRAPHIQUE.

69. Je terminerai ce Chapitre par l’étude de la plus simple des fonctions rationnelles, à savoir la fraction

ax -y b a! x -t- b' ’

où a, b, a', b' sont des constantes et dont les termes sont du premier

degré en x. Elle joue un rôle considérable tant en Algèbre qu’en Géométrie.

En faisant la division du numérateur par le dénominateur (n"s ol, 64) et en posant, pour abréger,

fe

a' b — ab'

a' 2

on la met sous la forme

y~â'

a b — ab'

a' (a' x

b') a'

C’est l’application, à ce cas simple, de la méthode de décomposition en éléments simples exposée plus haut. Sur cette forme, la façon dont y varie avec x apparaît de suite.

Le binôme x — a croît depuis —go jusqu’à + co quand x croît de — co à + oc. Il s’annule pour x — a ; pour cette seule valeur de xr y n’est pas une fonction continue de x. Quand x croît de —co à une

valeur a — s, un peu plus petite que a,    décroît de o ( ' ) jusqu’au

nombre — ^ très grand en valeur absolue, quand x traverse la va-

leur a, —

x

— passe de — oo à -f- go ; quand x croît de a + e à + 00,

varie dans le

- décroît encore de -ï-jusqu’à o. La fraction

x —

même sens que    ⁰¹¹ dans le sens contraire, suivant que (3 est

positif ou négatif : la partie constante n’influe pas sur le sens de la variation. Par conséquent :

Lorsque x croît de — oo à H- oo, la fonction

croît toujours,

a' x -+- b'

ou décroît toujours, suivant que ab' — a'b est positif ou négatif: dans le premier cas, elle croît de ~ à + oo, puis de — oo à elle passe de + co à — oo quand x traverse la valeur — dans le second cas, elle décroît de à —oo, puis de + oo à elle passe de —oo

(') C’est une façon de parler pour dire que, lorsque x est très grand en valeur — est très petit en valeur absolue.

absolue

//

à + oo quand x traverse la valeur — Les variations de cette fonction sont figurées ci-dessous; la courbe est asymptote aux deux pa-

A deux

rallèles aux axes dont les équations sont y=

~âr

valeurs differentes de x correspondent toujours deux valeurs diffe-

rentes de

ax -t- b

Fig. 28.

Fig. 24.

Tout ceci suppose que (3= a'b — ah' n’est pas nul; dans le cas où p serait toujours égal à et ainsi ne dépendrait ; la fraction proposée n’a pas de

serait nul,

ax-\- b

a¹ x -1- b'

pas de x : toutefois, pour x = sens, et ^ n’est la valeur de cette fraction que par convention (¹). Lorsque les variables x, y sont liées par la relation

et que [i n’est pas nul, on dit que y est une fonction homographique

(¹ ) Quand ,3 devient de plus en plus petit, en valeur absolue, la courbe se rapproche de plus en plus de ses asymptotes; jusqu’à se confondre avec elles pour |3 = o.

de x, ou encore que la valeur de y est la valeur de x à laquelle elle correspond, transformée par l’homographie que déterminent les nombres «, b, a!, b'.

Une des propriétés les plus importantes des fonctions homogra-phiques apparaît sous la forme, précédemment obtenue, de l’équation qui lie x et y,

En désignant par x,, x₂, x₃, xh quatre valeurs distinctes de x: par y,, y2: y₃, y₄ les valeurs correspondantes de y, qui sont aussi différentes entre elles, on a évidemment

71—^3 =

$(xy — x₃)

- <*)(x₃—<x)’

yt—?k =

— ft(>| — Xj) (x, — oc) (#4— a) ’

y*—y ₃ =

— p(x₂ — x!t )

( Xo— a) (ar₃— a) ’

»)’

.ri

y 3 . 72—73

on désigne sous le nom de rapport anharmonique des quatre nombres x,, x->, x₃, xh rangés dans l’ordre qu’on vient d’écrire, la quantité

X\ x₃ % X-2 X₃

X\ xk ' X₂ X±

_ (x, — x₃)(x₂ — a?₄) ~ Ol — Xi) (x₂— x₃)’

et l’on exprime la propriété précédente en disant que, quandy est une fonction homographique de x, le rapport anharmonique de quatre valeurs de x est égal au rapport anharmonique des valeurs correspondantes de y. La proposition subsiste, comme il est aisé de le voir, dans le cas où a! est nul, qui échappe à la démonstration précédente.

L’intérêt de cette propriété consiste en ce qu’elle ne dépend que de la forme de la relation entre x et y, nullement des valeurs particulières des coefficients a, b, a', b'. Elle caractérise d’ailleurs la correspondance homographique : en d’autres termes, si à chaque valeur de x correspond une valeur de y, de façon que le rapport anharmonique de quatre valeurs quelconques de x soit toujours égal au rapport anharmonique des valeurs correspondantes dey, y est une fonction homographique de x.

Cela résulte de ce que, si l’on considère trois valeurs fixes de a?, à savoir X\, x₂, oc₃ et les valeurs correspondantes y,, y₂,    3 de JK, on

doit avoir, entre une valeur quelconque de x et la valeur correspon-dante dejp, la relation

(y — .raH.ri — y₃)

(y — y»){yi — y%)

(x — ,r₂ ) ( x 1 — x₂ ) (x — x₃)(x₁ — x₂)’

qui, résolue par rapport à y, permet d’exprimer y en fonction de x sous la forme

ax b

La démonstration même que l’on vient de faire prouve que, si l’on se donne trois couples de nombres correspondants (x^yt), (x₂y₃)j (x3: y₃), tels que les nombres xt, x₂, x₃ soient distincts, ainsi que les nombres y,, y», y₃, il existe une fonction bomograpbique de x, et une sexde, celle-là même qu’on vient de déterminer, qui prend les ₄ valeurs y,, y₂, y₃ pour x = x^ x₂, x₃.

Au lieu de dire que y est une fonction homographique de x quandy s’exprime au moyen de x par la formule

a x -+- b y = a'x-t-b’’

où b, ci', b' sont des constantes, on dit souvent que les deux variables x, y se correspondent homographiquement lorsqu’elles sont liées par une équation de la forme

A xy -4- B x -+- Cy -4- D = o,

où A, B, C, D sont des constantes (¹ ) dont quelques-unes peuvent d’ailleurs être nulles : cette équation, qui est du premier degré, soit

ne peuvent être égales pour toutes les

que les deux fractions

(¹) Il est bien entendu qu?on a affaire à la même fonction homographique quand on remplace les coefficients a, b, a', b' par des coefficients proportionnels, qu’on a affaire à la même correspondance homographique quand on remplace les coefficients A, B, C, D par des coefficients proportionnels. Je laisse au lecLeur le soin de démontrer ax -t- b <xx 4- p a'x + b'' a.'x -t- p'

valeurs de x sans que les coefficients a., p, a', p' soient proportionnels aux coefficients a, b, a', b'.

par rapport à y, soit par rapport à x, détermine l’une des variables, lorsqu’on se donne l’autre. On en tire

y-

— B x — D

A. x H— G ’

-Cy-D

A y -1- B

Chacune des deux variables est bien une fonction homographique de l’autre; mais, sauf le cas où l’on aurait B = C, chacune d’elles n’est pas la même fonction de l’autre. Si l’on a B =C, la relation est dite involutive.

Dans le cas où l’on aurait BC — AD = o, qui correspond au cas où l’on aurait, avec les notations antérieures, ab' — a!b = o, la correspondance homographique est dite impropre. Dans ce cas, l’équation d’homographie qui, lorsque A n’est pas nul, peut toujours s’écrire

ca

55

O

se réduit à (Ax + G) (Ay -f- B) = o. Elle est vérifiée en prenant ^ et y quelconque, ou en prenant y — — et.r quelconque,

elle ne peut être vérifiée autrement : A une G

autre que---> correspond la valeur unique de y, y =

valeur

valeur quelconque de x, vi à la

— de x correspond

Â

une valeur quelconque de y. A une

valeur quelconque de y, autre que — correspond la valeur unique ; à la valeur — de y correspond une valeur quel-

de x, x —

conque de x. Ces résultats sont d’ailleurs conformes à ceux que l’on

lorsque

a obtenus en étudiant la fonction homographique ab' — a’b est nul.

Dans le cas où l’on a à la fois AD — BC = o, A = o ; il faut que B, ou C, soit nul; l’une des variables disparaît de l’équation d’homographie, et peut être supposée quelconque, l’autre variable est déterminée.

Si l’on écarte les homographies impropres, on voit que la valeur de l’une des variables est déterminée par l’équation d’homographie quand on se donne l’autre et qu’à deux valeurs distinctes d’une variable correspondent deux valeurs distinctes de l’autre : afin d’éviter les exceptions résultant delà discontinuité, il est commode de dire, lorsque A n’est pas nul, que la valeur ce de y correspond à la valeur —

de æ, que la valeur — ^ de y correspond à la valeur 00 de x.

Les valeurs de l’une ou de l’autre des variables qui correspondent à la valeur infinie de l’autre sont égales dans le cas d’une relation invo-lutive et seulement dans ce cas. Lorsque A est nul, les valeurs correspondantes de x^ y deviennent infinies en même temps. De même, lorsque D est nul, les valeurs correspondantes de x, y deviennent nulles en même temps.

Si la variable 5 est une fonction homographique de la variable y, si cette variable y est une fonction homograpliique de x, à chaque valeur de x correspond une valeur de y, à celle-là une valeur de z, qui ainsi correspond à la valeur de x. La variable z est une fonction homograpliique de #, car des égalités

ay -r- p

Z~ xy^-p'’

résulte l'égalité

ax -h b

a'

a x -1- b

a’x b'

( a a. -t- p a')x -+- a b -t- 3 b'

(a! a -1- p' a' ) x -t- a' b -+- P' b' ’

on n’a pas à craindre que la dernière homographie soit impropre lorsque les deux homographies proposées sont propres, puisque, alors, à deux valeurs distinctes de x correspondent deux valeurs distinctes dejp, auxquelles correspondent deux valeurs distinctes de 5.

On peut dire encore que deux variables sont liées homographique-ment entre elles quand chacune d’elles est liée homographiquement à une troisième : ainsi, dans la démonstration précédente, les variables x et z sont liées homographiquement entre elles, parce qu elles sont liées homographiquement à. y.

Plus généralement, si chacune des variables x„, xu_{, ..., Xo-, x, est une fonction homograpliique (propre) de celle qui la suit, la première x„ est une fonction homograpliique (propre) de xt. Le théorème général résulte évidemment de celui qu’on a démontré.

Un cas particulier est le suivant : si deux variables sont des fonctions homographiques de deux variables qui sont liées homographi-

DES FRACTIONS RATIONNELLES.

i9‘

quement, les deux premières variables sont elles-même liées homo-graphiquement.

Lorsque dans l’équation d’homographie

Axy + Bï + Cy -+- D = o,

on suppose x=y, on obtient l’équation du second degré Aa?² + (B -4-C).r-H-D = o,

dont les racines s’appellent les éléments doubles de l’homographie.

Lorsque A est nul, il n’y a plus qu’un élément double, qui disparaît lui-même si 13 + Cest nul ainsi que A, auquel cas la différence x—y est constante. Conformément à des propriétés bien connues des équations du second et du premier degré, on dit, lorsque A est nul, qu’un des éléments doubles est infini, lorsque A et B + C sont nuis que les deux éléments doubles sont infinis.

Supposons que les racines de l’équation du second degré soient réelles et distinctes; désignons-les par a, [3; soient x, x' deux valeurs de la première variable,y,y' les valeurs correspondantes de la seconde : le rapport anharmonique des quatre nombres x, xa, [3 doit être égal au rapport anharmonique des quatre nombres y, y', a, [3: c’est-à-dire qu’on doit avoir

y — a y' — a

ou encore

y — a x'— a y'— a ^ — ? ’ y — x' — p ‘ y'-f

cette relation doit subsister en laissant x\ y' constants et en faisant varier les nombres x, y, que l’on suppose toujours vérifier l’équation d’homographie; d’où la conclusion suivante :

Le rapport anharmonique de deux nombres correspondants et des deux éléments doubles est constant.

EXERCICES.

61. On donne une sphère, un diamètre de cette sphère et un point M sur ce diamètre. On mène un plan perpendiculaire au diamètre qui rencontre la sphère suivant un cercle (G). Soient V le volume de la plus petite des deux parties dans lesquelles la sphère est décomposée par le plan Sécant et V' le volume du cône ayant le point M pour sommet et le cercle (G) pour base; on

V

demande la limite vers laquelle tend le rapport — quand le plan sécant tend à devenir tangent à la sphère.

62. Décomposer en éléments simples les fractions 1 — abx²

(i — ax) (1 — bx) ’

x~a— x²-+-1

(x² — i)²(x²— 4)

(x — l):i ( X- 2)

x,l{\ — x)' (x — a),l(x—b)

«, b désignent des constantes.

Dans les deux dernières, n désigne un nombre naturel quelconque.

63. Démontrer l’identité

G?

c;

c?

X -H I

X -4- 2

G»

Écrire explicitement cette identité pour n — 1, 2 et en déduire les formules

1 .2

x. o

1.2.3

2.3.4

•x ( n -4- i ) ( n -l- 2 )

où n désigne un nombre naturel.

64. Si a, p, ...,X sont des nombres naturels impairs et A, B, ..., L des nombres positifs, l’expression

(a? — a)*

décroît quand a? croît, dans tout intervalle qui ne contient aucun des nombres a, b, .... I.

Il en est de même, plus généralement, de l’expression (n° 60)

■+* P b

x — ir

P a (—— ) \x — aj

+ ...+ P/

si Pa(5), Pô(^), Pi\z) désignent des polynômes en z, sans terme constant, ne contenant que des termes de degré impair, à coefficients positifs.

OS. On suppose que dans la fraction

¹

On peut tout aussi bien parvenir à cette dernière identité en effectuant la division de /(a + A) par /tacp, (a -+- h), les deux polynômes étant ordonnés par rapport aux puissances croissantes de h : on introduit alors au quotient des puissances négatives de h, et l’on s’arrête dès que le reste commence par un terme en h dont l’exposant est égal ou supérieur à a.

f(x)

(x²— a'¹)'¹ cp(a?) *

/(x) et ç(a?) désignent deux polynômes en x qui ne contiennent que des termes de degré pair, et qu’aucun de ces polynômes ne s’annule pour x — a. Montrer que, si la partie de la fraction qui devient infinie quand x tend vers a

est

(x — a)'¹

Ai

( x — a )»—*

la partie qui devient infinie quand x tend vers — a est

(—O"

r~

L(j7 -t- a)'¹

Ai

A,

(X 4- a)"-¹

a\

fifi. Décomposer en éléments simples l’expression

en regardant les nombres a, b, c comme donnés, déterminer les constantes A, B, G de manière que, parmi les fractions simples, il n’y en ait aucune dont le dénominateur soit du premier degré.

07. Si a est une racine simple du polynôme <p(a?) qui n’annule pas le poly-

- qui devient infinie quand x tend

nome f{x), la partie de la fraction

/(»)

vers a est

/(«)

/'O)? '(g) — fia) y” (a)

[ç'(a)J² (x — a)²

[?'(«)]*

en désignant par f (oc) la dérivée de /(oc), par f'(x), /'(x) les dérivées première et seconde de ç(a?).

68. Si l’on suppose f(x) — (x — a)(x — b)...(x — l), les nombres a, b, I étant différents, la condition pour que la formule de décomposition

ne contienne aucune fraction simple

en éléments simples de la fraction

,f(x)

[cp(a;)]²

T.

i3

dont le dénominateur soit du premier degré est que le polynôme

/' (x)o'(x) —f(x)o"(x)

soit divisible par <p(#).

69. Déterminer un polynôme g(x) du troisième degré au plus qui, pour les valeurs données a, b de la variable, prenne des valeurs données A et B, tandis que sa dérivée prend les valeurs aussi données A' et B'.

La solution résulte immédiatement de la formule

g(*)

(x — a) ²(x — b y²

g(*)    '

(a — b)l (x ■— a)²

i

^ (a — 6)² (x — b f

g'(a){a — b)—‘ig(a)

(a — b)³

g'(b) (a — &)+ 2 g(b)

(a — b)³

Généraliser le problème posé et sa solution.

70. En supposant que les n -+-p nombres

av

a ₂,

«2,

soient distincts et en posant

f(x) = (x — ai)(x — a₂).. .(x — an),

<f(x) = (x — <Xi)(x — a₂)...(x — ctp),

montrer qu’il existe un système de polynômes F(a?) et <ï>(a?),et un seul, dont le premier soit de degré inférieur à n et le second de degré inférieur à/>, tels que l’on ait identiquement

F(#)çp(a?) + &(&)/(#) = i;

montrer qu’on peut obtenir ces polynômes en décomposant la fraction en fractions simples.

71. En regardant x, ai} a₂, a1} oc₂ comme des variables et en posant

<?(x) = (x — ai)(x-~ a₂),

f(x) = (x — at)(x — a₂),

A = ( *i — «î ) ( a! — a% ) ( a₂ — at ) ( a₂ — a₂ ),

il existe des polynômes F(a?), <P(x), en ,r, oq, «₂, «i, ^₂, du premier degré en x, tels que l’on ait identiquement, en x, au a₂,    a₂,

Cet énoncé se généralise facilement : la démonstration générale peut se faire au moyen de l’exercice précédent et d’une identité établie au n" 68.

72. Considérons l’équation

( ay ■+■ a! )x² -+- ( by -+- b' )x -+- cy -+- c' — o ;

soit vérifiée pour x

à chaque valeur x de x correspond une valeur y' de y telle que l’équation — x\ y—y'; réciproquement, si l’on donne à y la valeur y\ l’équation du second degré en x admet la racine x et une seconde racine x" que l’on peut faire correspondre à x'. Montrer qu’il y a une relation involutive A.rV'-t- B (a?'h- x")-+- C = o entre x' et x". Exprimer A, B, G au moyen de a, 6, c, a', b\ c .

CHAPITRE V.

PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR.

§ 1. — DÉFINITION ET RECHERCHE DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR.

70. Sauf dans le n" 81, les polynômes que l’on considérera dans le présent Chapitre seront des polynômes à une seule variable, que l’on désignera habituellement par x.

La recherche des polynômes qui divisent exactement un polynôme, ou, comme on dit, la recherche des diviseurs d’un polynôme est un des problèmes les plus importants de l’Algèbre : en particulier, la recherche des diviseurs du premier degré revient à la recherche des racines de ce polynôme (nHS 37, 38).

Si cette dernière recherche est difficile, il est au contraire aisé de ramener la recherche des diviseurs communs à plusieurs polynômes donnés, c’est-à-dire des polynômes qui divisent à la fois ces polynômes, donnés, à la recherche des diviseurs d’un seul polynôme, auquel on donne le nom de plus grand commun diviseur des polynômes donnés.

On est ainsi conduit à une théorie toute pareille à celle que l’on fait en Arithmétique, sur le plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres entiers donnés, théorie qui, comme on sait, conduit naturellement à des propositions capitales concernant la divisibilité. Il en sera de même en Algèbre.

Il est clair que, si le polynôme B est un diviseur du polynôme A,, le polynôme B multiplié par une constante quelconque non nulle sera encore un diviseur de A; on ne distinguera pas, dans ce qui suit, entre deux pareils diviseurs, qui ne dilFèrent que par un facteur constant : ils seront regardés comme le même diviseur.

71. Occupons-nous maintenant de la recherche des diviseurs communs à deux polynômes donnés A et B, pour prouver que ces diviseurs sont les mêmes que ceux d’un certain polynôme.

Si B divise A, en sorte que l'on ait A = BQ, en désignant par Q un polynôme en x, il est clair que tout polynôme qui divise B divise BQ ou A; en sorte que les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes que les diviseurs de B; tout est ramené à la recherche des diviseurs de B.

Si B ne divise pas A et est d’un degré inférieur ou égal au degré de A, la division de A par B, au sens du n° 51, conduit à une identité de la forme A = BQ + R, où Q est le quotient et R le reste, de degré inférieur au degré de B.

Les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes que les diviseurs communs à B et à R.

En effet tout diviseur de A et de B est un diviseur de A et de BQ, donc un diviseur de A — BQ ou de R; tout diviseur de B et de R est un diviseur de BQ et de R, donc un diviseur de BQ + R ou de A. Les diviseurs communs à A et à B sont communs à B et à Pu; les diviseurs communs à B et à R sont communs à A et à B; les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes polynômes que les diviseurs communs à B et à R.

Le problème est ramené à un problème plus simple, puisque R est de degré inférieur au degré de B et, par suite, au degré de A.

Si R ne divise pas B, la recherche des diviseurs communs à R et à B se ramène de même à la recherche des diviseurs communs à R et au reste R, de la division de B par R; celle-ci, lorsque R₁ ne divise pas R, se ramène à la recherche des diviseurs communs à R, et au reste R₂ de la division de R par R,, et ainsi de suite.

l’opération est

h— 11

Si R divise B, les diviseurs communs à B et à R et, par suite, les diviseurs communs à A et à B, sont les mêmes que les diviseurs de R; si c’était R, qui divisât R, les diviseurs communs à R, et à R, les diviseurs communs à R et à B, les diviseurs communs à B et à A, seraient les mêmes que les diviseurs deR| ; d’une façon générale, dès que l’on trouve un reste R/z qui divise le reste précédent R terminée : les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes polynômes que les diviseurs de R„.

On finit d’ailleurs par trouver un reste Rrt qui divise le précédent, puisque les degrés des polynômes B, R, R₍, Pi₂, ... a ont en diminuant au moins d’une unité à chaque fois; il est impossible qu’on puisse faire plus de divisions qu’il y a d’unités dans le degré de B : le degré d’un reste ne peut tomber au-dessous de o; ou bien on trouvera un reste, contenant effectivement x, qui divisera le précédent; ou bien on arrivera à un reste constant, non nul, dont on peut dire qu’il divise exactement le précédent; dans ce cas, les polynômes qui divisent à la fois A et B, devant diviser une constante, ne peuvent être eux-mêmes que des constantes; à proprement parler, A et B n’ont pas de diviseurs communs, on dit qu’ils sont premiers entre eux.

Dans tous les cas, le polynôme Rw, le premier reste qui divise le reste précédent, jouit de la propriété annoncée : les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes polynômes que les diviseurs de Rrt. R est le seul polynôme qui jouisse de cette propriété, car un autre polynôme S, qui jouirait de cette propriété, devrait diviser Rrt et être divisible par R„; il ne pourrait être d’un degré supérieur au degré de Rw, ni de degré inférieur; il serait de même degré; le quotient de la division de S par R„ se réduirait à une constante, S serait identique à R„, à un facteur constant près.

Tout polynôme qui divise A et B devant diviser Rrt est au plus du même degré que Rw ; s’il est du même degré que Rrt, il lui est identique à un facteur constant près.

Le polynôme R„, trouvé par la méthode précédente, est le polynôme du plus haut degré possible qui divise A et B ; c’est pour cette raison qu’on l’appelle le plus grand commun diviseur de A et de B.

Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes donnés A, B, dont le premier est de degré au moins égal au degré de B, on divise le premier par le second, puis le second par le reste obtenu dans la première division, puis ce reste par le reste de la deuxième division, puis le reste de la deuxième division par le reste de la troisième, et ainsi de suite : le premier des restes qui divise le reste précédent est le plus grand commun diviseur des deux polynômes proposés. Lorsque les deux polynômes A, B sont premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur est une constante quelconque, non nulle. On choisit d’ordinaire cette constante égale à i.

72. La remarque suivante, qui concerne la nature des coefficients du plus grand commun diviseur de deux polynômes A, B, est, dans certaines parties de l’Algèbre, d’une importance capitale : dans une division, les coefficients, soit du quotient, soit du reste, se déduisent des coefficients du dividende et du diviseur par des combinaisons d’additions, soustractions, multiplications, divisions effectuées soit sur les coefficients, soit sur les résultats d’opérations de la même nature déjà effectuées sur ces coefficients; il en sera de même des coefficients du plus grand commun diviseur, qui n’est que le dernier des restes d’une suite de divisions : c’est ce qu’on exprime en disant que les coefficients du plus grand commun diviseur sont composés rationnellement avec les coefficients des polynômes donnés, parce que les opérations précédemment énumérées sont qualifiées de rationnelles, par opposition à celles des opérations qui ne peuvent pas se réduire à une suite d’additions, de soustractions, de multiplications et de divisions, en nombre fini.

Par exemple, si les coefficients des polynômes A, B sont des nombres rationnels, il en sera de même des coefficients du plus grand commun diviseur. Si, en particulier, celui-ci est du premier degré, c’est que les deux polynômes A, B auront une racine commune, qui sera un nombre rationnel : on obtiendra cette racine par la résolution de l’équation du premier degré obtenue en égalant à o le plus grand commun diviseur.

Si les coefficients des polynômes A, B sont des nombres irrationnels de la forme a + [Ü y/2, où a, sont des nombres rationnels, les coefficients du plus grand commun diviseur sont aussi de la même forme; puisqu’il en est évidemment ainsi des nombres obtenus en ajoutant, retranchant, multipliant des nombres de la forme précédente, ou encore en divisant deux pareils nombres : on a, en effet,

yA _ (a H- P y/?.)(a'— fe'yA)

a'+p¹/²

a'*— ap'*

73. L’opération décrite au numéro précédent peut être un peu simplifiée par la remarque suivante : dans chaque division, c’est Je reste, non le quotient, qui importe; il n’y a pas d’inconvénient à fausser le quotient. D’autre part, quand on multiplie le dividende d’une division par une constante, sans toucher au diviseur, on multiplie le quotient et le reste par ce facteur constant . Cette remarque est utile si l’on veut éviter les dénominateurs dans les coefficients du quotient et du reste (n° oo, note); on peut l’utiliser au cours d’une division, et multiplier, ou diviser un reste partiel par un facteur constant, quitte à fausser le quotient.

Si, toutefois, on veut conserver aux coefficients du plus grand commun diviseur la propriété établie au numéro précédent, il importe de n’employer comme multiplicateurs que des nombres qui soient composés rationnellement avec les coefficients des polynômes proposés.

Les calculs pour la recherche du plus grand commun diviseur entre les polynômes

2 x'* — 8 a?³    9a?² — \x -+- 4,

a?⁴ — 3 a?³ — 2 a?² — \x 8

sont faits ci-dessous tout au long; en suivant ces calculs, le lecteur reconnaîtra qu’on a faussé les quotients, en multipliant ou divisant certains restes par des facteurs numériques.

x'* — 3 a?³ -t- 2 a?² — 4^ + 8

‘ix'—8 ü?³ —t— 9 a?²—\x-+- 4 — 2 x'* —)—6 x* — 4a?²-r- Sx — iG

— 2 a?³ -f- ^X²-^ [\X — 12

ix* — G#³-!- !\x²— 8a? —t— 16 — 2 x'* -+- 5 x³ -t- \x² 12 a?

—    a?³-!- 8a*²—20 a?-4-16

—    2a?³ -4- iGa?²— 4oa? -+- 32 -t- 2 a?³ — 5 .a?² — 4 x -+■ 12

na?²— 44a?    44

x²— ^x4

2a?³—5x²-4- 4^ + 12 — 2 a?³ -t- 8 a?² — 8 a?

a?² — 4 x -+* 4

2 a? -t- 3

3 a?² — 12 a? -l- 12 — 3 a?² + 12 a? — 12

Le plus grand commun diviseur cherché est x²— 4x -4- 4 = (a? — 1)².

Dans l’exemple suivant, relatif au plus grand commun diviseur entre les polynômes a?³-t-pa? -h q, 3a?²-4-/a, les divisions sont faites régulièrement : on

suppose p différent de o.

3 x--\- p

ipx

3^²

-h p

~Yx^q

JLX _

ip

■ip

\P*

--- X -t- p

27 </T² \P~ \p%g

4/>-

Si le nombre p³-+-q- 11’est pas nul, les deux polynômes sont premiers entre eux; s’il est nul, leur plus grand commun diviseur est x p- q. Si p était

nul, il est manifeste que les deux polynômes proposés ne pourraient avoir de diviseur commun que si q était nul ; dans ce cas le diviseur commun serait x³ : la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes aient un diviseur commun dépendant de x est 4y»³-f- 'X'jq³ — o.

Soit encore à chercher le plus grand commun diviseur de xa— 1 et de 1 ; on sait trouver le reste de la division de xa—1 par xP— 1 ; en appliquant la règle donnée au n° 34, on voit de suite qu’on est conduit à faire sur les nombres naturels a, (3 les opérations relatives à la recherche du plus grand commun diviseur de ces deux nombres, au sens de l’Arithmétique. Si 0 est ce plus grand commun diviseur, x&—1 est le plus grand commun diviseur algébrique de xx—u et de x?—1.

74. Si l’on considère trois polynômes A, B, C, on peut, dans la recherche des communs diviseurs à ces polynômes, remplacer deux d’entre eux, A et B par exemple, par leur plus grand commun diviseur A; les diviseurs communs à A, B, C seront les mêmes que les diviseurs communs aux polynômes A, G, puisque les diviseurs communs à A, B sont les mêmes que les diviseurs de A; les diviseurs communs à A, C sont les mêmes que les diviseurs du plus grand

commun diviseur A' de A et de C; les diviseurs communs à A, B, G seront donc les mêmes que les diviseurs de A'; il y a donc un polynôme A' dont les diviseurs sont les mêmes que les diviseurs communs à A, B, G; ce polynôme, évidemment unique d’après les raisonnements précédents, est, par définition, le plus grand commun diviseur des polynômes A, B, C.

Du cas de trois polynômes, on passe à celui de quatre, cinq, etc. Étant donnés des polynômes A, B, ..., L en nombre quelconque, il existe un polynôme (leur plus grand commun diviseur) tel que les diviseurs de ces polynômes soient les mêmes que les diviseurs de ce plus grand commun diviseur.

Pour l’obtenir on peut remplacer tels des polynômes donnés que l’on veut par leur plus grand commun diviseur A, et chercher ensuite le plus grand commun diviseur de A et des polvnomes que l’on a laissés de côté. Comme on sait trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes, on sait trouver le plus grand commun diviseur de trois, quatre, etc., polynômes.

Quand le plus grand commun diviseur des polynômes A, B, ..., L est une constante (l’unité si l'on veut), on dit que ces polynômes sont premiers entre eux, dans leur ensemble. On dit qu’ils sont premiers deux à deux, quand chacun des polynômes est premier à chacun des au très.

§ 2. — PROPRIÉTÉS DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. DIVISIBILITÉ.

75. Si A est le plus grand commun diviseur des polynômes A, B, et si G est un polynôme quelconque, le plus grand commun diviseur des polynômes AG et BG est AC.

La proposition est évidente si B divise A; dans le cas contraire, re- . prenons les notations du n°71 ; et supposons (pie les restes successifs, dans l’opération du plus grand commun diviseur, soient R, R,, ..., R„, le dernier reste Rrt étant le plus grand commun diviseur. Le reste de la division de AG par BG sera RG (n° 52); le reste de la division de BG par RG seraR,C, etc.; tous les restes sont multipliés par G, le dernier reste R„ C sera le plus grand commun diviseur de AG et de BC.

Si A est le plus grand commun diviseur des polynômes A, B, si G est un polynôme qui divise à la fois A et B, et si Von désigne par A' et B' les quotients de la division de A et B par G, le polynôme A sera divisible par G, et le quotient A' sera le plus grand commun diviseur entre A' et B\

Conservons en effet les même notations, pour ce qui concerne les polynômes A, B; R sera divisible par G (n° o2) et le quotient R' sera le reste de la division de A par B'; B et R étant divisibles par G, R, sera divisible par C, elle quotient R', sera le reste de la division de B'par R', etc., tous les restes seront divisés par G, le dernier reste Rw sera comme les précédents divisible par G et le quotient R'f sera le dernier reste dans la recherche du plus grand commun diviseur de A' et de B'; c’est ce qu’il fallait établir.

On énonce ces deux propositions sous une forme un peu abrégée en disant :

Quand on multiplie ou que Von divise deux polynômes par un troisième, le plus grand commun diviseur des deux premiers polynômes est multiplié ou divisé par ce troisième polynôme.

Ce théorème s’étend de suite à un nombre quelconque de polynômes.

En particulier les quotients de deux ou plusieurs polynômes par leur plus grand commun diviseur sont premiers entre eux, puisque le pl 11 s grand commun diviseur de ces quotients est i.

Si les polynômes A, B, C, ... sont premiers entre eux, les produits de ces deux polynômes par un polynôme B ont ce polynôme P pour plus grand commun diviseur. En effet, puisque les polynômes A, B, C, ... sont premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur est i, le plus grand commun diviseur des polynômes AP, BP, GP, ... est donc P.

76. Si C est un polynôme premier au polynôme B, le plus grand commun diviseur des deux polynômes A et B est le même que le plus grand commun diviseur des polynômes AC et B : En d’autres termes, on ne change pas le plus grand commun diviseur de deux polynômes en multipliant l’un d’eux par un polynôme premier à l’autre.

Soient en elfet A le plus grand commun diviseur de A et de B, A' le plus grand commun diviseur de AC et de B ; il faut prouver que A . est le même polynôme que A' ; or A, divisant A et B, par suite AC et B, divise leur plus grand commun diviseur A'; il suffit donc de prouver que A' divise A, c’est-à-dire A et B. On sait déjà qu’il divise B; il suffit de prouver qu’il divise A : on y arrive en faisant intervenir 1 hypothèse d’après laquelle C est premier à B, en sorte que B et C ont i pour plus grand commun diviseur : AB et AC ont donc A pour plus grand commun diviseur : A' qui divise AC et B, donc AC et Ail, divise leur plus grand commun diviseur A.

Le plus grand commun diviseur de VC et de B étant le même que le plus grand commun diviseur de A et de B, on peu t dire encore :

On ne change pas le plus grand commun diviseur de deux polynômes quand on divise l’un d’eux par un polynôme premier à l’autre : il est sous-entendu que la division se fait exactement.

77. Le théorème du numéro précédent contient deux cas particuliers importants, celui où B divise AC et se trouve ainsi être le plus grand commun diviseur de AC et de B et celui où B est premier à A.

Dans le premier cas, B étant le plus grand commun diviseur de AC et de B, qui est le même que celui de A et de B, doit diviser A.

En d’autres termes :

Si un polynôme B divise le produit AC de deux polynômes A, C et s’il est premier avec l’un d’eux C, il divise l’autre A.

Dans le second cas, B étant premier à A, le plus grand commun diviseur des deux polynômes AC et B est i, comme celui des polynômes A et B. En d’autres termes :

Si les deux polynômes A et G sont premiers au polynôme B, il en est de même de leur produit.

polynômes QQi et Q₂ il est premier produit QQ) Q2Q3, •••) au produit P₂, ..., P,M est pre-

Ce dernier théorème s’étend immédiatement : si un polynôme P est premier aux polynômes Q, Q₍, Q₂, ..., Q„, il est premier au produit QQi Q2 ••• Q« | car étant premier à Q et à Q,, il est premier au produit QQ, ; étant premier aux à leur produit QQ) Q₂, puis au QQ,Q₂...Q„ : si chacun des polynômes P, P

mier à chacun des polynômes Q, Qt, Q₂,    Q„, le produit PP,.. ,PW

est premier au produit QQ, Q₂... Q„, puisque ce dernier produit, étant premier à chacun des polynômes P, P,, P₂, .P/w, est premier à leur produit PPt P₂ ... P/M.

En particulier, si les polynômes P, Q sont premiers entre eux, il en est de même de Pwt et de Q", en désignant par m, n des nombres naturels.

78. Plus petit commun multiple. — Le lecteur n’a pas manqué de reconnaître l’identité de ces raisonnements avec ceux de l’Arithmétique. Je me contente de signaler les théorèmes suivants dont la démonstration peut encore se copier sur celle des propositions analogues de l’Arithmétique.

Si un polynôme P est divisible séparément par deux ou plusieurs polynômes premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit.

Si les polynômes A, B, ..., L sont premiers entre eux deux à deux, tout polynôme divisible par chacun de ces polynômes, ou, comme on dit, tout multiple commun de ces polynômes est, d’après ce que l’on vient de dire, un multiple de leur produit. On peut dire encore que les multiples communs des polynômes A, B, G, ..., E sont les mêmes que les multiples du polynôme produit ABC ... L.

Quels que soient les polynômes A, B, ..., L, il existe un polynôme M tel que les multiples communs des polynômes A, B, ..., L soient les mêmes que les multiples de M. En d’autres termes, les polynômes divisibles à la fois par A, B, ..., L sont les mêmes que les polynômes divisibles par M; ce polynôme s’appelle le plus petit commun multiple des polynômes A, B, C, ..., L; à supposer qu’il existe, ce polynôme M est évidemment seul à jouir de la propriété qui le définit : car, si un autre polynôme M' jouissait de la propriété qui définit M, M' devrait être divisible par M et M par M'.

Pour établir l’existence du plus petit commun multiple, on procède encore comme en Arithmétique :

On établit cette existence dans le cas de deux polynômes A, B, et l’on prouve, en désignant par A leur plus grand commun diviseur, que les multiples communs de A, B sont les mêmes que les multiples du

polynôme qui, ainsi, est le plus petit commun multiple de A, B.

que les multiples communs de et de C,

Les communs multiples de trois polynômes A, B, C sont les mêmes

ou que les multiples du

plus petit commun multiple de ces deux derniers polynômes; on •continue ainsi. Au reste, en général, on peut, dans la recherche du plus petit commun multiple de plusieurs polynômes, remplacer tels polynômes que l’on veut par leur plus petit commun multiple.

79. Fractions rationnelles. — J’ajoute quelques mots concernant les fractions dont les termes sont des polynômes en x.

Deux fractions rationnelles en x, ^ et ]p’ sont dites identiques

lorsqu’elles prennent les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de x .qui n’annulent pas B ou B'; l’égalité AB’ = A'B devant alors avoir lieu pour une infinité de valeurs de x₁ doit être une identité (n°33) : «qu’il en soit ainsi, c’est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux fractions proposées soient identiques.

Une fraction rationnelle en x, est dite irréductible, si les deux

polynômes A, B sont premiers entre eux.

On peut toujours remplacer une fraction rationnelle par une fraction irréductible qui lui soit identique, en divisant le numérateur et le dénominateur parleur plus grand commmun diviseur. Une fraction rationnelle en.r ne peut être identique à une fraction irréductible que si ses termes se déduisent respectivement des ternies de cette dernière en les multipliant par un même polynôme.

La théorie de la réduction au même dénominateur de deux ou plusieurs fractions rationnelles se transporte, à peu près sans changement, de l’Arithmétique à l’Algèbre.

80. Polynômes premiers. — Pour continuer une théorie de la divisibilité parallèle à celle que l’on développe en Arithmétique, il serait nécessaire d’introduire la notion qui correspond à celle du nombre premier absolu ; toutefois, cette généralisation, si naturelle qu’elle soit, comporte quelques difficultés.

S’il est, en ellet, facile, au moyen d’un nombre fini d’opérations, de reconnaître si un nombre entier est ou non décomposable en facteurs, la recherche de la décomposi tion d’un polynôme en un produit de facteurs est beaucoup moins aisée : On peutd’ailleurs diriger cette recherche dans des sens très différents suivant la nature des nombres que I on admet comme pouvant être les coefficients des polynômes diviseurs. On touche ici à un ordre d’idées qui a donné lieu à des développements considérables et dont je ne puis dire qu’un mot.

Supposons par exemple que l’on considère un polynôme en à coef ficients rationnels : on peut convenir de dire que ce polynôme est premier s’il n’admet pas de diviseurs à coefficients rationnels. Le polynôme x'¹ — ix — 1, dans ces conditions, serait un polynôme premier.

Il y a toute une branche de l’Algèbre, dont je ne m’occuperai pas ici, où l’on s’occupe de la recherche des diviseurs d’un polynôme donné, dont les coefficients sont composés rationnellement (n" 74) au moyen de nombres fixés à l’avance.

Je me bornerai ici à indiquer Y une des significations qu’on peut attribuer à ces mots polynôme premier, de manière à montrer comment, en adoptant cetLe définition, on peut étendre la théorie de la divisibilité.

Un polynôme P dont les coefficients sont des nombres réels, d’ailleurs quelconques, sera dit premier, s’il n’est divisible par aucun polynôme de degré inférieur à lui, à coefficients réels, et ne se réduisant pas à une constante.

Tel est évidemment un polynôme du premier degré, ou un polynôme du second degré qui n’a pas de racines réelles. On verra plus tard qu’il n’y a pas d’autres polynômes premiers que ces deux-là, dans le sens qu’on vient de dire.

Quoi qu’il en soit, il est clair que si un polynôme A, à coefficients numériques réels, n’est pas premier, il admet un diviseur premier; il admet en effet un diviseur B de degré inférieur à lui; si B 11’est pas premier, B admet un diviseur G de degré inférieur à lui; en continuant de cette façon, puisque les degrés des polynômes A, B, C, ... vont en diminuant, il faudra qu’on parvienne à un diviseur premier.

La détermination, exacte ou approchée, de ces diviseurs premiers est un problème qui nous occupera ultérieurement. Quoi qu’il en soit, il est clair qu’un polynôme qui n’est pas premier peut se décomposer en un produit de polynômes premiers. La décomposition ne peut se faire que d’une seule façon si l’on convient, comme on l’a fait déjà, de ne pas distinguer entre deux diviseurs qui 11e diffèrent que par un facteur numérique.

La démonstration est la même qu’en Arithmétique et repose sur ce fait qu’un polynôme premier est premier à tout polynôme qu’il ne divise pas et ne peut par conséquent diviser un produit de plusieurs polynômes sans diviser l’un d’eux.

Lorsque deux polynômes A, B sont décomposés en facteurs premiers, on sait reconnaître immédiatement si l’un est divisible par l’autre, ou non.

Les règles que l’on donne en Arithmétique pour la composition du plus grand commun diviseur ou du plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers s’étendent évidemment à l’Algèbre.

§ 3. — POLYNOMES A PLUSIEURS VARIABLES.

81. Je joindrai à ce qui précède quelques indications rapides sur la façon dont la théorie de la divisibilité s’étend aux polynômes à deux variables x, y.

On a expliqué au n" 58 comment on pouvait reconnaître si un polynôme j\x, y) à deux variables était ou non divisible par un autre polynôme g{x, y) à deux variables. Les propositions qui suivent sont évidentes.

Si le polynôme f(x, y) est divisible par le polynôme g(x, y), il en sera de même du produit du polynôme_/’(x, y) par un polynôme quelconque en x, y. Si deux polynômes /(a?, y), ffx, y) sont divisibles par le polynôme g(x, y), il en est de même de leur somme, ou de leur différence.

Convenons de dire qu’un polynôme à deux variables x, y, ordonné par rapport aux puissances dey, est primitif (¹ ), quand les polynômes en x, coefli-cients (²) des diverses puissances de y dans ce polynôme ainsi ordonné, sont premiers entre eux dans leur ensemble. Puisqu’on sait trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs polynômes, on sait reconnaître si un polynôme donné en x,y est primitif ou non, et, lorsqu’il n’est pas primitif, le mettre sous la forme d’un polynôme primitif, multiplié par un certain polynôme en x, qui n’est autre que le plus grand commun diviseur des coefficients des diverses puissances de y dans le polynôme proposé.

Ceci posé, on montrera, comme au n° 55, que le produit de deux polynômes en x, y ordonnés suivant les puissances dey', et que l’on ordonne lui-même suivant ces puissances, est primitif, ou non, suivant que les deux facteurs proposés sont, ou non, primitifs tous les deux. Dans le cas où ces deux poly-

(') Ce mot a été employé dans un autre sens au n° 55. Les polynômes en x tiennent ici le même rôle que tenaient alors les nombres entiers.

(²) Parmi ces coefficients, il faut ranger le terme indépendant de y, le coefficient de y⁰, si l’on veut. Il m’arrivera de dire, dans le même sens, les coefficients du polynôme en y : il est bien entendu que ces coefficients sont, à la vérité, des polynômes en x.

nomes 11e sont pas primitifs, le plus grand commun diviseur des coefficients des puissances dey, dans le polynôme produit, est le produit des plus grands communs diviseurs des coefficients dans le premier facteur par le plus grand commun diviseur des coefficients dans le second.

La démonstration, en effet, repose uniquement sur des notions et propositions qui ont été transportées de la théorie des nombres entiers à celle des polynômes en x. Parmi ces notions figure la notion de polynôme premier, que l’on entendra comme au n° 80.

Cette proposition une fois établie, les conséquences s’en dérouleront comme au n° ho. Je me contente de les énoncer.

Soient A, B des polynômes en a?, y ordonnés par rapport aux puissances de y, et regardés comme des polynômes eu y₁ dont les coefficients sont îles polynômes en x.

Soient A = a A', B = b B', en désignant par A', B' des polynômes primitifs et par «, b les plus grands communs diviseurs des coefficients des puissances dey dans A d’une part, dans B de l’autre. Si B divise A, le polynôme a est divisible par le polynôme b, le polynôme A' est divisible par le polynôme B'.

Lorsque B est primitif, le polynôme B ne peut diviser le polynôme A sans ■diviser le polynôme primitif A'.

Lorsque A est primitif, B ne peut diviser A sans être lui-même primitif.

En divisant le polynôme A par le polynôme B, supposé primitif, on ne peut arriver à un reste nul que si les coefficients du quotient sont des polynômes .en x (et non des fractions rationnelles irréductibles).

Arrivons maintenant à la recherche des diviseurs communs aux polynômes A, B; désignons par C un tel diviseur. Posons A = aA', B = 6B', C — cC en .conservant les notations expliquées plus haut pour A, B et en désignant par c le plus grand commun diviseur des coefficients de C, regardé comme un polynôme en y. C est primitif.

Puisque c C' divise a A' et 6 B'; c est un diviseur commun de a et de b\ C'est un diviseur commun de A' et de B'.

On obtiendra donc les diviseurs communs de A et de B en multipliant un •diviseur commun des polynômes primitifs A' et B' par un diviseur commun •de a et de b\ puisqu’on sait former ces derniers diviseurs, la solution du problème posé est ramenée à la recherche des diviseurs communs de deux polynômes primitifs.

Je suppose maintenant que les polynômes A et B soient primitifs.

Supposons que A soit, en y, de degré au moins égal au degré de B en y. Si B divise A, il est clair que les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes que les diviseurs de B.

Si B ne divise pas A, effectuons la division de A par B, les deux polynômes étant ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de y, ou plutôt commençons, avant de faire cette division, par multiplier A par un polynôme oc choisi de manière à éviter les coefficients fractionnaires, ainsi qu’on l’a expliqué dans la note du n° oh; oc représentait alors un nombre, c’est mainte-.tenant un polynôme en x, par exemple une puissance convenable du premier

T.

i4

coefficient de B. On arrivera à une identité de la forme aA — BQ -4- R, où, dans Q et dans R, les coefficients des puissances de y sont des polynômes en x\ si R n’est pas primitif, mettons-le sous la forme /’R', où R'est primitif; on aura a A = BQ -+- rR'.

Un polynôme en x, y, qui divise à la fois A, B, est nécessairement primitif, quand on l’a ordonné par rapport à y; d’après l’identité précédente, il divise /-R', et, puisqu’il est primitif, il divise R'; tout polynôme en x, y qui divise A et B divise aussi B et R'; un polynôme en x, y qui di\ise B et R' est primitif, il divise a A, donc A; les polynômes en x, y qui divisent B et R' divisent aussi A et B.

Les diviseurs communs à A et à B sont les mêmes que les diviseurs communs à B et à R'.

Il est manifeste que, si R' ne divise pas B, on pourra continuer l’opération sur les deux polynômes B et R', primitifs comme étaient A et B, et l’on prouvera ainsi l’existence d’un polynôme primitif RJ, tel que les diviseurs communs de A et de B soient les mêmes que ceux de RJt.

Ce sera, par définition, le plus grand commun diviseur des polynômes A et B, supposés primitifs.

Si les deux polynômes A, B n’étaient pas primitifs, on les mettrait sous les formes A = a A', B = b B', a et b étant des polynômes en x, A' et B' des polynômes primitifs. En formant ensuite le produit du plus grand commun diviseur des deux polynômes a, b et du plus grand commun diviseur des polynômes primitifs A', B', on obtiendra un polynôme dont les diviseurs sont les mêmes que les diviseurs communs à A et à B ; ce produit sera le plus grand commun diviseur de ces deux derniers polynômes.

Cette notion une fois acquise, l’extension aux polynômes à deux variables de toute la théorie développée dans les nos 74, 75, .. ., 85 se fait sans aucune difficulté. lît cette théorie, par voie d’induction, s’étend ensuite aux polynômes à trois, quatre, ... variables.

§ 4. — CONDITION POUR QUE DEUX POLYNOMES EN .r SOIENT PREMIERS. ENTRE EUX, POUR QU ILS AIENT UN DIVISEUR DE DEGRÉ ÉGAL OU SUPÉRIEUR A UN NOMBRE DONNÉ.

82. Soient A, B deux polynômes en x et A leur plus grand commun diviseur : il existe deux polynômes P, Q tels que don ait identiquement

PA -t- QB = A.

Supposons, en effet, qu’on ait fait sur les polynômes A, B la suite de divisions qui conduisent au plus grand commun diviseur (n° 71); ces

PLUS GRAIN'D COMMUN DIVISEUR.

opérations se traduisent par la suite d’identités

R/î-2 — i Q/j ■+■ R« 5

A = BQ -h R,

B = RQj-t- Rl5

R, R

.., Rw sont les restes successifs; le dernier R„ = A divise le précédent Rw_₄ : c’est le plus grand commun diviseur entre A et B. On en tire

R = A — QB,

R, = B - RQ, = B — (A — BQ)Q1 = — QtA -4- (QQ,+ i)B.

R et R) se mettent ainsi respectivement sous les formes

Ri = Pi A + q\ B,

y?, g, ]>i, cj| étant des polynômes; en transportant ces expressions de R et de Rt dans le second membre de l’identité

R2 — R — Ri Q₂,

on met R₂ sous la forme A -t- y₂B, en posant

Pz = P — QiPu

et l'on peut évidemment continuer de proche en proche jusqu’à R„ = A, que l’on mettra sous la forme voulue.

Le cas où les polynômes A, R sont premiers entre eux, en sorte que A se réduit à une constante que l’on peut prendre égale à 1, est particulièrement intéressant :

11 existe alors deux polynômes P, Q, tels que l'on ait identiquement

0)

PA+ QB - 1;

réciproquement, l’existence d’une telle identité prouve que les deux polynômes A, B sont premiers entre eux, puisqu'un diviseur commun à ces deux polynômes devrait diviser 1.

Si l’on applique la méthode précédente au second exemple (¹ ) traité au n” 73, où l’on avait

B = 3 .t² 4- p,

A = x³ -hpx 4- q,

(') On ne pourrait l’appliquer au premier exemple, où les quotients ont été faussés.

La méthode précédente permet de déterminer un couple de polynômes P, Q qui vérifient l'identité (1), lorsqu’on se donne les deux polynômes A, B premiers entre eux. On va voir qu’il y en a une infinité d’autres, aisés à trouver dès que l’on connaît un couple, et qu’on peut s’arranger pour que le polynôme qui multiplie A soit de degré inférieur au degré de B et que le polynôme qui multiplie B soit de degré inférieur au degré de A.

Si l’on désigne, en effet, par P', Q' deux autres polynômes, tels que l’on ait

(2)

on

P'A+ Q'B = 1,

en déduira, en retranchant membre à membre les identités (1) et (2),

(3)

(P — P')A = (Q'— Q)B :

A doit diviser le second membre comme le premier; il est premier avec B, il doit donc diviser Q'— Q; en d’autres termes, il existe un polynôme X, tel cpie l’on ait identiquement Q'—Q = XA, et, par suite, en remplaçant dans l’identité (3) Q'— Q par XA,

(P — P') A = XBA;

Q X A, en désignant par X un poly-

on trouvera

p = 9(3? — Px)

4/>³+27</²

4 7>² — <.) q x b p x-

4/>³    27 q²

les deux polynômes qui multiplient A doivent être identiques, comme les deux membres; on a donc identiquement P'—P =— XB. Réciproquement, si les deux polynômes P, Q vérifient l’identité (1) et si l’on prend P'= P — XB, Q nome quelconque, les deux polynômes P', Q' vérifieront l’identité P'A + Q'B =

Si l’on veut que P' soit de degré inférieur au degré de B, on doit prendre pour X le quotient entier de la division de P par B, P' est le reste de cette division : Q' est alors de degré inférieur au degré de A; car, autrement, le degré de Q'B serait supérieur au degré de P'A; dans le polynôme P' A -f- Q'B, le terme du plus haut degré provenant de Q'B ne pourrait se réduire avec aucun autre, le résultat ne pourrait se réduire à i. Il résulte de là que, lorsque À est le quotient de la division de P par B, — X est le quotient de la division de () par A.

Ainsi, quand A et B sont premiers entre eux, il existe deux polynômes P' et Q', dont les degrés respectifs sont inférieurs aux degrés de B et de A, et tels que Ton ait identiquement P'A + Q'B = i. Il résulte de ce qui précède, et il est aisé de montrer directement qu’il n’y a qu’un seul couple de polynômes à jouir de celte propriété.

En fait, c’est aces polynômes, dont les degrés sont moindres que ceux de B et de A, que l’on parvient par la méthode même que l’on a expliquée, comme il est assez facile de le voir en comptant, à chaque opération, les degrés des poly nômes auxquels on parvient. Je ne m’y arrêterai pas.

83. Supposons que les deux polynômes A et B, de degrés respectifs a et {3, aient un diviseur commun C de degré y; on aura identiquement

B = B'C.

A = A'C,

A' et B' étant des polynômes dont les degrés respectifs sont a — y et

B —

T’

on en conclut l'identité

B'A — A'B = o;

réciproquement, si l’on a une identité de celte nature, les deux polynômes A' et B' étant de degrés respectifs a — y, [3 — y, on peut affirmer que les deux polynômes ont un diviseur commun dont le degré est au moins égal à y (¹ ).

Supposons, en effet, d’abord, que les deux polynômes A', B'soient premiers entre eux; le polynôme A', en vertu de l’identité A'B = B'A, divise le produit B'A, il est premier avec B', il divise donc A; soit C le quotient, en sorte qu’on ait A — A'C, C est de degré

y) = y;

a — (a

en remplaçant dans l’identité précédente, et supprimant le facteur A' commun aux deux membres, on en conclut B = B'C. Les deux polynômes A, B ont un diviseur commun de degré y. Si A/ et B' n’étaient

(¹ ) Quand on aura introduit les nombres complexes, il en résultera immédiatement l’existence d’un diviseur de degré y.

pas premiers entre eux, ils auraient un plus grand commun diviseur A de degré ù au moins égal à i, et l’on pourrait poser _V= AffA, B'—B"A, Av et B;/ étant de degrés respectifs a — y— o, [3— y— o; en remplaçant A' et B' par les expressions précédentes dans l’identité A' B = B'A, et supprimant le facteur commun A, on obtient l’identité A"B = B"A; comme A" et B;/ sont premiers entre eux, cette identité prouve l’existence d’un diviseur commun à A et à B de degré y + 3.

84. Il convient d’établir la proposition précédente sons une forme un peu différente, dont tout l’intérêt n’apparaîtra que plus tard.

Supposons que les coefficients des polynômes A et B, ordonnés suivant les puissances descendantes de x, contiennent un ou plusieurs paramètres variables représentés par des lettres; on est déjà convenu de conserver le nom de polynômes en a? à de pareilles expressions; quoique, à proprement parler, A, par exemple, ne soit pas le même polynôme (en x) quand on attribue aux paramètres qui figurent dans ses coefficients des systèmes différents de valeurs numériques, il est commode d’attribuer à l’expression A une sorte d’individualité, de la regarder, si l’on veut, comme un même polynôme à des états différents; ce que l’on vient de dire s’applique aussi bien à B.

Dans ces conditions, il peut arriver que, pour certaines valeurs des paramètres, le degré de A, ou de B, s’abaisse, parce que les premiers coefficients sont nuis. Je suppose que les degrés de A et de B soient, en général, a et [3, mais qu’ils puissent descendre au-dessous de ces nombres.

Dans diverses circonstances, que l’on précisera plus tard, on est amené à regarder deux pareils polynômes dont les degrés s’abaissent respectivement aux nombres a — a',    — [3' comme ayant, de ce fait, une sorte de diviseur

commun dont le degré serait le plus petit des nombres a', [3', ou, si l’on veut, dont le degré serait le nombre des coefficients qui, à partir du premier, seraient nuis à la fois dans les deux polynômes A, B; dans ce compte, il ne faut pas oublier les termes qui manqueraient dans A ou dans B, et qui doivent être regardés comme affectés du coefficient o.

Ainsi, les deu^ polynômes en x

(m³— \)x°-\- (m²— i)a?³-i- mx² + 3x—-4,

(m

i)a?⁶-+- (m²— i)aA-+- (m³ — i)x³ — zx -h- 2,

dont les coefficients contiennent le paramètre m, sont, en général, l’un du cinquième, l’autre du sixième degré; pour m — i, ils se réduisent l’un au second, l’autre au premier degré. Le premier doit, être regardé comme ayant trois coefficients nuis, au commencement, les coefficients de xs, de x'*, de x³, le second comme ayant ses quatre premiers coefficients nuis, ceux de a?⁶, a?⁵, x'\ x³. On aurait ici a = 5, {3 = 6, a' = 3, (3' =

Pour m — i, les deux polynômes doivent être regardés comme les analogues de polynômes ayant un diviseur commun du degré 3, du fait que dans

chacun d’eux les trois premiers coefficients sont nuis. D’ailleurs, pour m = i, les polynômes proposés deviennent respectivement

— 2(a? —i),

x²-\- 3x — 4 == (a? — i) (a? H- 4),

et ils ont encore le diviseur commun x—i qui est du premier degré. Dans l’ordre d’idées que je viens d’expliquer, on les regarde comme les analogues de polynômes qui auraient un diviseur commun du degré 4 = 3-t-i.

Ces considérations prêtent à une ambiguïté de langage, qu’il faut éviter.

Convenons de dire, en général, que les deux polynômes A, B, dont les degrés respectifs sont inférieurs ou égaux aux nombres a, [3, ont un diviseur commun de degré rectifié y = y'H- r quand ils ont un diviseur commun de degré vrai y', et quand, en outre, si l’on désigne par a — a', J3— [3' les degrés vrais des polynômes A, B, le plus petit des nombres a', [3' est égal à r, en sorte qu’il y aurait r coefficients nuis au commencement de A et de B, si ces polynômes étaient écrits comme des polynômes complets de degrés a et [3. Ces conventions subsistent, même quand y' sera nul, et que, ainsi, les polynômes A, B n’ont pas, à vrai dire, de diviseur commun, mais qu’il y a r coefficients nuis au commencement de A et de B.

En adoptant ce langage, on peut remplacer le théorème du numéro précédent par celui-ci :

La condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes A et B aient un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à y consiste dans l’existence de polynômes A', B' dont les degrés (vrais) soient égaux ou inférieurs à a — y, p — y, et tels que l’on ait identiquement

A'B — B'A = o.

La condition est nécessaire : car, si les polynômes A, B ont un diviseur de degré rectifié y = y'+r, c’est, d’une part, que dans l’un et dans l’autre les r premiers coefficients sont nuis, en sorte que leurs degrés vrais sont respectivement égaux ou inférieurs à a — r, [3 — r, et que, d’autre part, ils ont un diviseur commun G de degré (vrai) y'; dès lors, les degrés (vrais) des quotients A', B' obtenus en divisant ces polynômes par G sont au plus égaux à

P —Y '~r

ou à a — y, j3 — y. Il en serait de même, a fortiori, si le degré rectifié du diviseur commun était supérieur à y'-F- r.

La condition est suffisante : supposons, en effet, que l’on ait identiquement A'B — B'A = o, et que les degrés (vrais) a — a", |3 — (3" des polynômes A' et B' soient respectivement inférieurs ou égaux à a — y, [3 — y, en sorte que l’on ait a"2; y, |3"^y. Il suffira, dans la démonstration, de considérer le cas où A' et B' sont premiers entre eux; car, s’ils avaient un diviseur commun, on pourrait, comme au numéro précédent, les remplacer par des polynômes dont les degrés seraient moindres, et, par conséquent, moindres que a — y, (3 — y. Si A' et B' sont premiers entre eux, l’identité A'B = B'A implique l’existence

d’un diviseur G commun à A et à B, le quotient de A par A' ou de B par B't dont le degré vrai est

a — a' — (a

*') = P-P'-(P-F);

le degré rectifié de G s’obtiendra en ajoutant à l’un ou à l’autre des nombres égaux a"—a' ou — (}' le plus petit des nombres a', (à' : ce sera oc", si, par exemple, oc' est inférieur ou égal à (â\ Gomme oc" est supérieur ou égal à y, la proposition est démontrée.

On a supposé, sans le dire, que les polynômes A', B' qui vérifient l’identité A'B — AB' = o n’étaient pas nuis identiquement. Si tous les deux étaient identiquement nuis, il n’y aurait rien à tirer de l’identité A'B Si l’on supposait, par exemple, que A' fût identiquement nul, mais non B', l’identité A'B—AB'=o entraînerait l’identité AB'= o et, par conséquent,, l’identité A = o, puisque B' n’est pas identiquement nul. Les deux polynômes A et B, dont le premier est identiquement nul, pourraient être regardés comme ayant le diviseur commun B de degré rectifié [3 ; puisque y ne peut dépasser le théorème subsiste, même dans ce cas, en l’entendant comme on vient de l’expliquer.

AB' — o.

EXERCICES.

73. Chercher le plus grand commun diviseur des polynômes

x^-hx³— x-—ix—2,    x'* -t- 2a?³-)- 3x--h ix -+- i ;

quelles sont les valeurs de x qui annulent l’un ou l’autre de ces polynômes?

74. Trouver les racines communes aux deux polynômes

x'*—2 x³ — x -t- 2, x⁴—\x³-hGx*—5iP-t-2.

75. 11 résulte de l’exercice 45 que, si a est une racine de l’équation

(O

X³-\- X^— 'IX — 1 = 0,

les nombres a²—2, (a²—2)²—2 sont aussi des racines de cette équation. Peut-il arriver, en supposant toujours que a soit une racine de l’équation (i), que deux des nombres

a, a%—2,    (a²—2)²—2

soient égaux ?

Le nombre [(«²— u)²— 2]²—2 est aussi une racine de l’équation (1); il est forcément égal à l’un des nombres a, a²— 2, (a² — ’2)²— 2. Auquel ?

76. Quel est le plus petit commun multiple des polynômes

x¹²— 1?

X³— I, X⁶— I

77. Quel est le plus grand commun diviseur des deux polynômes

(X² 3x-t-2)²(x²-h3x-h2)²(x- — l)(.2?—I— 3)

(X⁴ I )³ ( X² — 4)³(x²-+- 2 X 3 ) ?

78. Si Ion désigne par Aj, A₂, ..A„, Bj, B₂, ..B;, des polynômes en x, le plus grand commun diviseur (ou le plus petit commun multiple) des polynômes

33 33

33 33

oà"

>1

A„B

est le produit du plus grand commun diviseur (ou du plus petit commun multiple) des polynômes Aj, A₂, . .    A„, par le plus grand commun diviseur

(ou le plus petit commun multiple) des polynômes Bl5 B₂, . .., By,.

79. Le plus grand commun diviseur des polynômes A² et B² est le carré du plus grand commun diviseur des polynômes A, B.

80. En désignant par A, B, A', B' des polynômes, le plus grand commun diviseur des polynômes

AA', AB'-f- A'B, B B'

est le produit du plus grand commun diviseur des polynômes A, B par le plus grand commun diviseur des polynômes A', B'.

81. Si A et B sont deux polynômes en x premiers entre eux, et g(x) un polynôme quelconque, il existe deux polynômes Aj, B! tels que l’on ait identiquement

ou

g(x) A| B

AB

C’est une conséquence immédiate de l’identité (i) du n° 82, en multipliant

les deux membres par g(x) et en posant

Q g(x) — b,.

Si V, B, L sont des polynômes en x, premiers deux à deux, et g(x) un polynôme quelconque, il existe des polynômes Vt, Bt, ..., Lj, tels que l’on ait identiquement

g(n) _

AB... L A

Bj

tir

82. Quels que soient les polynômes g(x) et A, on peut mettre la fraction où t. désigne un nombre naturel, et cela d’une seule façon,

rationnelle sons la forme

g(v)

V« ’

«0

\a

y a— î

a«_l₊ E(*),

où «j, «j, ..aa_i désignent des polynômes en x, dont les degrés sont inférieurs à celui de A et où E(aQ est le quotient entier de la division de g(x) par Aa (voir Ex. al).

Si A, B, G, . .., L sont des polynômes premiers entre eux deux à deux et «, (3, ..., X des nombres naturels, on peut mettre la fraction rationnelle

sous la forme

g (oc)

Aa B ,3 . . . I,X

ffO) _

A«Bp... EX

«0

«1

ya-i

BP BP -i

T.X- 1

h-1

E(aQ,

où E(a?) désigne le quotient entier de la division de g(x) par AaBP...EX, . et où <7₀, . .., aa_i sont des polynômes don le degré est inférieur à celui de A, 6₀, ..., bfi-i des polynômes dont le degré est inférieur à celui de B, etc....

Que devient cette pro;> isition quand les polynômes A, B, ..., L sont du premier degré ?

83. Etant donnés le polynôme g(x) d’une part et, d’autre part, les polynômes 'f(x') et A, premiers entre eux, il existe un polynôme «, de degré inférieur à A, et un seul, tel que g(x) — a <p(a?) soit divisible par A.

g(x)

Aa ®(x)’

où a désigne un nombre

Déduire de là que la fraction rationnelle

naturel, peut se mettre sous la forme

#(*) _ _____ \a œ(a?) Aa

Ct\

a<x—\

A*-¹

ffi(v)

O (.T) ’

où g\(x), «05 a\i • •«a—î sont des polynômes en x dont les a derniers sont de degré inférieur au degré de A. Il n’existe qu’un seul système de polynômes gx(x), a₀,    «a_t, satisfaisant à cette dernière condition, tels que l’éga

lité précédente soit une identité.

En conclure une nouvelle démonstration de la proposition principale de l’exercice précédent, et montrer que, lorsqu’on se donne les polynômes g(x), A, B, ..., L et les nombres naturels oc, [3, . .., À, la fraction

g(x) \aBP ... LA

ne peut se mettre sous la forme indiquée que d’une seule façon, c’est-à-dire que les polynômes a₀, ...,    • ••, h-i sont entièrement déterminés, en

supposant que la condition relative au degré de ces polynômes soit vérifiée.

84. Si A et B sont deux polynômes en x premiers entre eux, il ne peut exister de polynômes en a?, y (dont l’un ne se réduise pas à une constante) tels que leur produit soit identique à A^ -t- B.

* 8o. Si A, B, G sont trois polynômes en a?, premiers entre eux dans leur ensemble, et tels que le polynôme B²— 4^G ne soit pas le carré d’un polynôme en a?, il ne peut exister deux polynômes en a?, y (dont l’un ne se réduise pas à une constante) tels que leur produit soit identique à Aj'² -+- By -t- G.

86. En désignant par m un nombre naturel, il y a deux polynômes (n° 82) _f(x) et g(x) de degré m— i, tels que l’on ait identiquement,

x"lf(x) -t- (i — x)'" g(x) = i ;

montrer que l’on a identiquement

/(i — a?) = g(x),

g(i — x)=f(x).

87. Si A est le plus grand commun diviseur des polynômes A, B, G, ..., L, il existe des polynômes A', B', G', .. ., L' tels que l’on ait identiquement

AA'-t- B B'-4- CC'-t- LL' = A.

88. Si les polynômes Ai, A₂, A₃ ont le même plus grand commun diviseur que les polynômes Bj, B₂, il existe des polynômes al5 ou, a₃, a), a₂, fit, (3₂,

Pi, p>, Pn P» tcls flue l’on ait

Bt = at Aj 4- a? A2 -4- a₃ A3, Bo —¹ a [ Ai —(— ^2 A2 —t— a., A3, Ai = Pi Bt -t- p2B₂.

A₂ = P', B,4- p' B,, A₃=PiB,+ P"B₂;

réciproquement, l’existence cle polynômes ai, . . p, vérifiant ces identités, implique que les polynômes Ai, A₂, A:5 aient le même plus grand commun diviseur que les polynômes Bt, B₂.

Généraliser cette proposition.

CHAPITRE VI.

NOMBRES IMAGINAIRES.

§ 1. - DÉFINITIONS : OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES IMAGINAIRES.

80. Les théories précédentes sont susceptibles de recevoir une extension considérable par l'introduction des nombres complexes (') ou imaginaires, dont je vais maintenant m’occuper.

Ces nombres ont leur origine dans la résolution de l’équation du second degré.

Soit

(•)

ax²    bx c = o

une telle équation, à coefficients réels. On sait que, si ces coefficients vérifient la condition b-—4ac^>o, l’équation a deux racines distinctes

O) ces deux racines deviennent égales quand b-—\ac est nul; lorsque b-— /\ac est négatif, les formules (2) n’ont plus de sens, et il n’y a aucun nombre réel qui vérifie l’équation (1).

Si, dans le premier membre de l’équation (1), on remplace x par l’une ou l’autre des expressions (2) et que l’on développe les calculs en remplaçant le carré de \/b-—4 ac par b'¹—4 ac, on trouve identiquement o; lorsque b-—\cic est négatif et que, par conséquent, le calcul que I on vient de décrire n’a pas de sens, peut-on attribuer quelque signification à ce résultat? ¹

Dans ce cas, b'¹—f\ac peut s'écrire (—i){/\cic — b²); le facteur 4 oc — b- est positif.

a eu

Lorsque a, (3 sont des nombres positifs, on peut écrire, en donnant aux radicaux leur signification arithmétique, y/a(3 = y/a y/jï. On l’idée d’employer la même formule lorsque a est négatif, plus particulièrement égal à — i, et d écrire

ac

le premier membre n’a pas de sens; dans le second membre, le facteur y/— i n’en a pas non plus; quoi qu’il en soit, les expressions(2), avee cette notation dénuée de sens, s’écrivent

— b ±    — 1 v/4 ac — b²

En remplaçant, dans ax'¹-b bx-f- c, x par l une ou l’autre de ces expressions, en calculant, d’après les règles ordinaires, et en remplaçant, dans le résultat, (y/— 1)' par — 1, on trouve encore o; ce calcul n’a pas plus de signification que le précédent, dont au fond il ne diffère pas; mais il devient facile de lui en donner une.

Le résultat de ce calcul peut en effet s’exprimer en disant que, si l’on désigne par i une variable réelle quelconque, et si l’on remplace, dans ax-~f- bx + c, x par l’expression

— b dr i v/4 ac. — b²

qui a une signification très claire dans le cas où nous nous plaçons (4ac — b-^> o), le résultat, qui est évidemment un polynôme du second degré en /, s’annule identiquement quand on y remplace 1-par — 1, c est-à-dire (n° 53) qu’il est divisible par f²+ 1. Au reste, la vérification est immédiate et l’on trouve que l’on a, identiquement en i,

4 ac — ù'²

ax%-\-bx-\-c —

— b ± i \j^ac — b¹

quand on remplace dans le premier membre x par

Cette remarque, au premier abord, paraît bien peu importante;

la démonstration de laquelle je reviendrai plus tard, un polynôme à deux variables # et /, dont les coefficients sont des nombres réels, il existe un binôme a + |j/, à coefficients réels a et [3, tel que si, dans le polynôme donné, on remplace# par a + ^', le résultat soit divisible parf²+i. La proposition subsiste quand, dans le polynôme donné, tous les termes qui contiennent i disparaissent, c’est-à-dire quand ce polynôme se réduit à un polynôme en #, à coefficients réels.

mais le lecteur soupçonnera tout au moins sa portée en lisant l’affirmation suivante, qui est une des formes que l’on peut donner à la proposition connue sous le nom de théorème fondamental de VAlgèbre et sur Étant donné

Le simple énoncé de ce théorème montre suffisamment que l'observation faite sur le cas d’un trinôme du second degré est loin d’être isolée.

Si, par exemple, dans le polynôme #³—2# + 45 ⁰¹¹ remplace # par 1 + /, il devient

(1 -+ i)³— 2(i + 0 + 4 = I».4- 3i* +1 + 3 = ( i '¹ -H 1 ) ( i+ 3 ) ;

/, il deviendrait évidemment

en y remplaçant de même # par (i²+ 1) (— i+ 3). Le polynôme proposé devient divisible par f² + quand on y remplace # par 1 + i ou 1 -— i.

Ainsi, quand on remplace dans le polynôme ax- + hx + c, où «,

condition é\ac — h- o, # par

/>, c sont des nom — b ± i \J\ cic — b²

5 ou, dans le polynôme #³— 2# + 4, # par

1 rt i,

c’est le reste delà division par «*+1 du résultat de la substitution

qui est nul. On sera en droit de dire que les polynômes s’annulent

— b ± i v/4 «c — b²

> ou#

respectivement quand on y remplace # par par 1 ± /, à condition de remplacer le résultat de la substitution par

ce reste.

86. O11 est ainsi amené à développer des règles de calcul relatives à des expressions de la forme a + a'i, où a et a! sont des nombres réels quelconques et où i désigne, pour le moment, une variable réelle, règles dans lesquelles les résultats obtenus d’abord en suivant les règles ordinaires du calcul algébrique sont systématiquement remplacés par les restes d’une division par i¹ + 1.

Les expressions de la forme a-\-a'i, lorsque l’on convient de les soumettre à ces règles de calcul, prennent le nom de nombres complexes ou de nombres imaginaires.

Règle générale. — Si l'on a à effectuer des additions, des soustractions, des multiplications sur des expressions de la forme a + a't, où a et ci sont des nombres réels, on commencera par effectuer ces opérations, d’après les règles habituelles du calcul des polynômes, comme si i désignait une variable réelle, puis on cherchera le reste de la division du résultat par f--+-i; ce reste sera, par définition, le résultat des opérations à effectuer sur les expressions de la forme a -h a! i.

Si le reste est nul, le résultat sera regardé comme égal à o.

par i + i ou par

entend en disant que ce polynôme admet les racines imaginaires i i — i. On trouve encore un résultat nul lorsque, dans le polynôme

On trouve, par exemple, un résultat nul quand on remplace x i dans le polynôme x³ — ix 4- 4 ; c’est ce qu’on

remplace x par l’un ou l’autre des deux

on

ax² -f- bx + c, où «, c sont des nombres réels vérifiant Ja condition 4 ac — 6²j> o,

nombres

s/ 4

et c’est ce qu’on entend en disant que, dans ce cas, l’équation ax--\- bx + c = o admet deux racines imaginaires, dont l'expression est écrite plus haut.

La lettre i tient ainsi un rôle très particulier : dans un polynôme où elle figure à la place d’une variable, on ne s’inquiète que du reste de la division par i- H- i; deux pareils polynômes sont regardés comme égaux quand les restes sont les mêmes, ou, ce qui revient au même, quand leur différence est divisible par i (•). En particulier, un polynôme en i est regardé comme égal à son reste. Plus particulièrement le polynôme i- est regardé comme égal à —i, qui est le reste de la division de i- par i'--J— i. Dès que l'on fait cette con-

(') Cette définition de l’égalité satisfait aux trois conditions que doit vérifier toute définition de l’égalité : un objet est égal à Iui-mème; si un premier objet est égal à un second, le second objet est égal au premier; si deux objets sont égaux à un troisième, ils sont égaux entre eux.

vention, il est clair qu’on ne peut plus regarder la lettre i comme une variable réelle.

Il faut se garder, partout où quelque confusion serait possible, d’employer la lettre i avec le sens qu’on vient de spécifier et un autre sens.

Un nombre imaginaire a -f- a!i est défini quand on donne les deux nombres réels a. a! au moyen desquels il est formé : ces deux nombres jouent un rôle très différent; l’un a s’appelle la partie réelle du nombre imaginaire, l’autre a' s’appelle le coefficient de i.

Deux nom lires imaginaires formés avec la même partie réelle et le même coefficient de i doivent naturellement être regardés comme le même nombre imaginaire; si, dans les deux nombres, les parties réelles ou les coefficients de i ne sont pas les mêmes, les deux nombres sont distincts.

En d’autres termes, deux nombres imaginaires a -f- a! «, b H- b'i, où a, a', b, b' sont des nombres réels, sont dits égaux et l’on écrit

a -H a! i = b -4- b' i,

lorsque l’on a a = a', b = b' et seulement dans ce cas; l’égalité unique a-\-a'i=b-\-b'i remplace en réalité deux égalités.

Cette définition de l’égalité de deux nombres imaginaires est la même que celle qu’on a adoptée plus haut pour deux polynômes en i, puisqu’un binôme aa!i, du premier degré en i, est le reste de la division de ce binôme par i'¹-\- i.

Lorsque, dans l’expression a -+■ ari, le coefficient de i est nul, on la confond avec le nombre réel a : les nombres complexes comprennent donc les nombres réels comme cas particulier. De même, en Arithmétique, une fraction dont le dénominateur est i est regardée comme la même chose que son numérateur.

Cette convention est légitime, puisque les calculs sur des nombres imaginaires dans lesquels les coefficients de i seraient nuis, effectués d’après la règle qu’on a donnée plus haut, se réduisent évidemment aux calculs effectués sur des nombres réels, d’après les règles qui concernent ces nombres. Cette observation s’appliquera à la division quand on l’aura définie.

Les nombres imaginaires comprenant les nombres réels, il est permis de dire un nombre, au lieu de dire un nombre imaginaire; cette convention, toute pareille à celle qu’on fait en Arithmétique quand on passe des nombres entiers aux fractions, est d’autant plus avantageuse qu’il est naturel d’opposer dans une certaine mesure les nombres imaginaires aux nombres réels, c’est-à-dire de sous-entendre, quand on parle d’un nombre imaginaire, que le coefficient de i, dans ce nombre, n’est pas nul.

Un nombre imaginaire dans lequel la partie réelle est nulle et qui, ainsi, est représenté par un symbole tel que a'i est dit purement imaginaire.

Lorsque la partie réelle et le coefficient de i d’un nombre imaginaire sont nuis l’un et l'autre, et seulement dans ce cas, le nombre imaginaire est dit nul; on le représente par o. Cette convention est contenue dans celle qui fait comprendre les nombres réels dans les nombres imaginaires.

Deux nombres imaginaires a + a'i, a — a' i dans lesquels les parties réelles sont les mêmes et les coefficients de i des nombres symétriques sont dits conjugués : deux nombres imaginaires conjugués ne peuvent être égaux sans que les coefficients de i soient nuis; un nombre réel est son propre conjugué.

ues.

Deux nombres imaginaires a + a'i, — a — a!i dans l’un desquels la partie réelle et le coefficient de i se déduisent de la partie réelle et du coefficient de i dans l’autre en les changeant de signe sont dits symétriques. L’expression égaux et de signes contraires que l’on emploie quelquefois est incorrecte, puisque le signe d’un nombre imaginaire n’est pas quelque chose de défini (<). Deux nombres symétriques ne peuvent être égaux que s’ils sont nuis l’un et l’autre. Deux nombres purement imaginaires conjugués sont symétriq

en-

un

8/. D’après ce qu’on vient de dire, un nombre imaginaire est tièrement défini par deux nombres réels a, a! qui jouent un rôle distinct; rien n’empêche, si on le veut, de regarder la lettre i comme simple signe accolé à l’un des deux nombres a, a' pour le distinguer de l’autre : on peut même la supprimer et, au lieu de a -+- a'i, écrire

que remplacer un nombre imagi-

(’) Il y a en réalité deux signes à considérer: le signe de la partie réelle, le signe de la partie imaginaire. Toutefois, j’emploierai à l’occasion l’expression changer de signe un nombre imaginaire avec le même sens naire par son symétrique.

par exemple (a, «'), en convenant d’écrire toujours le premier le nombre qui tiendra le rôle de la partie réelle et, le second, le nombre qui tiendra le rôle du coefficient de i; dans cette notation, le nombre réel a se représenterait par (a, o), le nombre purement imaginaire a'i par la notation (o, a'), le nombre i par la notation (o, i), le nombre o par la notation (o, o).

Le lecteur peut, s’il le veut, se représenter ainsi un nombre imaginaire comme un couple de nombres réels, de même qu’on peut, en Arithmétique, se représenter une fraction comme un couple de deux nombres entiers. Naturellement, sur ces nouveaux nombres (ces couples de nombres réels), toutes les définitions relatives à l’égalité, à l’addition, à la soustraction, à la multiplication, à la division doivent alors être reprises l’une après l’autre. Ce qui précède suffit évidemment à la définition de l’égalité.

Quant aux opérations d’addition, de soustraction, de multiplication sur les nombres réels ou imaginaires, je les définirai toutes par la règle du numéro précédent en insistant, pour chacune de ces opérations, sur la façon dont on calcule la partie réelle et le coefficient de i dans le résultat.

Rien n’empêcherait de prendre chacune des règles particulières à laquelle je parviendrai ainsi comme la définition, au point de vue qu’on vient d’indiquer, de l’opération correspondante, effectuée sur des couples de nombres réels, et d’établir ensuite les propriétés fondamentales de cette opération, qui, pour nous, résulteront de la considération des restes de la division par 1.

Avant d’entrer dans le détail des opérations, je dois faire observer qu’il n’y a aucun inconvénient à représenter par une seule lettre un nombre imaginaire : on s’est déjà souvent servi d’une lettre pour désigner tout un polynôme; il s’agira maintenant d’un polynôme en i, ou plutôt du reste de la division de ce polynôme par

88. Addition et soustraction. — Étant donnés deux ou plusieurs nombres (réels ou imaginaires)

A = a H- a' i,

B = b + b'i,

où a, ô, c, ..., a\ b\ c', ... sont des nombres réels, on doit, pour

effectuer leur somme, faire la somme

a -4~ ci i b    —r~    b i —t—    c —4 c i    —(—...■—-    ( cl    —t-    b —(—    c -4~ •. • ) 4“ ( ci -4- b    —t—    c *4“... ) i, comme si i était une variable réelle, puis prendre le reste de la division par t² + i ; puisque la somme est du premier degré, au plus, en t, elle est précisément le reste cherché : la partie réelle de la somme est la somme des parties réelles; le coefficient de i est la somme des coefficients de i. En se plaçant au point de vue du numéro précédent, ce serait là la définition de l’addition des nombres imaginaires.

Par exemple, la somme des nombres 2 + 3f, — f, |, 4i est | + 6f ; la somme des nombres 2 /, i — /, — i est i.

Il est manifeste que, dans une somme de deux ou plusieurs nombres, on peut ranger les termes dans l’ordre qu’on veut, remplacer tels termes que l’on veut par leur somme effectuée, ajouter o à un nombre sans le changer, supprimer les termes qui se détruisent. On peut dire encore que l'addition des nombres réels ou imaginaires, pour laquelle on adopte le même signe + que pour les nombres réels, obéit aux lois qu’expriment les égalités qui suivent :

A+(B + G) = (A+B) + C

= A,

qui constituent les propriétés fondamentales de l’addition.

Un nombre a + a! i peut être regardé comme la somme de sa partie réelle a et de sa partie (purement) imaginaire a' i.

La somme de deux nombres imaginaires conjugués est le double de la partie réelle de ces nombres.

La somme de deux nombres symétriques (réels ou imaginaires) est o; la somme de deux nombres ne peut être o que s’ils sont symétriques.

La différence A—B des deux nombres a + a'f, b + b'i est le nombre a— 6 + («'—b')i\ c’est le seul nombre qui, ajouté à B, reproduise A; elle est nulle si A est égal à B, et seulement dans ce cas.

On peut affecter du signe + ou du signe — une lettre qui représente un nombre imaginaire; + A désigne le même nombre que A,

—    A le nombre symétrique de A.

Dans une expression telle que A— B C — D, les signes —, +,

—    peuvent être regardés comme des signes d’opération : on a à retrancher B de A, à ajouter C au résultat, puis à retrancher D; ces signes peuvent être attachés aux lettres qui les suivent; l'expression précédente représente alors la somme des nombres A, — B, C, — D ; les deux significations sont équivalentes.

89. Multiplication. — Pour faire le produit de deux ou plusieurs nombres, des nombres

G = c-hc'i,

X — a -h a' i,

par exemple, on doit faire le produit des trois binômes, comme si i était une variable réelle; on obtient ainsi

abc -h (a' bc -t- ab'c 4- abc')i -t- {ab'c' -+- a!b c -t- a' b'c) i²a' b' c' i³ ;

ou à rem-

on a ensuite à chercher le reste de la division par i--\~ placer i- par — i, i³ par — /, ce qui donne

( abc — ab' c' — a' b c’— a b’ c) -H (a' b c -t- a b' c -+- a b c’ — a' b’ c' )i.

On ne modifie pas le reste de la division par i¹ i quand on intervertit l’ordre des facteurs, ou que l’on remplace deux ou plusieurs facteurs par leur produit effectué, ou encore par le reste de la division par /--i- i de ce produit partiel : dans un produit de facteurs imaginaires on peut intervertir l’ordre des termes, grouper les facteurs comme on veut. On ne change pas un produit en introduisant ou en supprimant un facteur égal à i, ou en supprimant un groupe de facteurs dont le produit est égal à i.

Lorsque, dans un produit de nombres réels ou imaginaires, un facteur est nul, le produit est nul : car le polynôme en /, obtenu en faisant la multiplication comme si / était une variable réelle, est divisible par /- -h i.

Réciproquement, si un produit de facteurs est nul, l’un des facteurs est nul. En effet, dire que le produit des nombres imaginaires a 4- ai, b -}- b¹ i, c -b c'i, par exemple, est nul, c’est dire que le polynôme en i

ü3o

CHAPITRE VI.

obtenu en développant

(a -h a' i) (b ■+■ b' i) (c -h c'i)

comme si i était une variable réelle, est divisible par i² + i. Restons un moment à ce point de vue; si aucun des binômes a + a! i₁ b + b' f, c + c'i n’est identiquement nul, c’est que chacun d’eux est premier avec f² + i ; il en est de même de leur produit (n° 76), qui, ainsi, ne peut être divisible par i² -+- i ; le produit ne peut donc être nul, si l’on se place au point de vue du calcul des nombres imaginaires.

Pour multiplier une somme de deux nombres imaginaires A, B par un troisième C, on peut multiplier successivement les deux nombres A, B par C et faire la somme des produits. En d’autres termes on peut écrire, en employant pour les nombres imaginaires les mêmes notations que pour les nombres réels,

(A-h B )C = AC + BC.

L’égalité est en effet évidente, quand on effectue simplement les opérations sur les binômes a + a'b b'i, c cr i, comme si i était une variable quelconque (n° 33); les restes de la division par i² -f- i des deux membres sont les mêmes; et le reste relatif au premier membre n’est pas changé quand on remplace A + B par son reste, le reste relatif au second membre n’est pas changé quand on y remplace A, B, C par leurs restes (n° 76).

La proposition et la démonstration s’étendent au cas où la somme contient autant de termes qu’on veut; elle s’applique aussi bien à une différence qu'à une somme, puisqu’une différence peut être regardée comme une somme. Elle s’applique en particulier à la multiplication d’un nombre imaginaire, 3 — 5 i par exemple, par un nombre réel ou purement imaginaire 3 i ; le produit est dans le premier cas, — 6 -j- iof, et, dans le second cas, gi — i5/², que l’on doit remplacer par 15 H- 91.

90. Arrêtons-nous sur le cas où il s’agit du produit de deux facteurs A = a -|- a i, B = b -h b' i.

Le produit développé de ces deux nombres est

ab -f- (ab' -h a' b) i -h a'b' i²

ou, en remplaçant i- par — i,

ab — a' b’ -h ( a b' -h a' b)i\

+ i est 12 + 2 i.

par exemple, le produit de n — 5i par

L’expression obtenue pour le produit des deux nombres imaginaires a-\-à i, b + b’ i pourrait, en se plaçant au point de vue du n" <S7, être regardée comme la définition du produit de deux nombres imaginaires; le produit de deux nombres imaginaires A, B étant défini, le produit de trois nombres A, B, C s’obtiendrait, par définition, en faisant le produit des deux premiers par le troisième d’après la même règle; ainsi, en supposant comme plus haut C = c + c'î, on aurait par définition

ABC — (ab — a' b' )c — (a b' -+- a' b) c' -+- [( ab — a b' )c' -1- ( ab' -+- a' b) c\i\

le résultat est naturellement le même que plus haut. En se plaçant à ce point de vue, on aurait à vérifier les égalités

AB = BA,

( AB )C = A(BC),

A x i = A,

A( B

G) = AB -i- AC,

qui constituent les propriétés fondamentales de la multiplication, et qui sont comprises dans les propositions générales établies au numéro précédent; ces propositions peuvent, inversement, être déduites des égalités qu’on vient d’écrire.

Signalons quelques cas particuliers :

Le produit de i par i est — i ; en d’autres termes on a i² =

Le carré d’un nombre imaginaire a + ai est a²— a'--\- iaa' i. il est réel quand le nombre dont on fait le carré est ou réel, ou purement imaginaire et seulement dans ces deux cas; il est positif dans le premier, négatif dans le second.

91. Valeur absolue d’un nombre imaginaire. — Le produit de deux nombres imaginaires conjugués aa!i, a — a!i est réel : c’est la somme a- + cl- du carré de la partie réelle et du carré du coefficient de i.

On désigne sous le nom de module ou de valeur absolue (' ) d’un nombre imaginaire a a! i, la racine carrée prise avec le sens arithmétique de la somme des carrés de la partie réelle et du coefficient de i. La valeur absolue de a -+- a'i est donc le nombre positif \Ja2, a'² ; si le nombre a -f- a' i est réel, c’est-à-dire si a' est nul, la valeur absolue se réduit au nombre positif y/a², c’est h-a, ou —a suivant que a est positif ou négatif; c’est, pour les nombres réels, la signification à laquelle le lecteur est habitué; la valeur absolue du nombre réel ou imaginaire A= a + a'i se représente par le symbole | A | ou | a -h a! i |.

La valeur absolue d’un nombre nul est o; si la valeur absolue d’un nombre réel ou imaginaire est nulle, on peut affirmer que ce nombre est o, puisque y/a² + a/2, où a, a! sont des nombres réels, ne peut être nul que si l’on a séparément a — o, a' — o.

Les valeurs absolues de deux nombres conjugués sont égales.

Le produit de deux nombres conjugués est égal au carré de la valeur absolue de l’un ou de l’autre.

La valeur absolue du produit de deux nombres est égale au produit des valeurs absolues de ces nombres. On vérifie en effet de suite l’identité

( ab — ci b' y¹ -t- ( ab' al b )² = (a¹ -h a'² ) ( b² -t- b'² )

qui exprime que le carré de la valeur absolue du produit des deux nombres a + a' f, b -b b'i est égal au produit des carrés des valeurs absolues de ces deux nombres : comme la valeur absolue est essentiellement positive, le théorème énoncé est démontré.

11 s’étend évidemment, de proche en proche, au cas de trois, quatre, .. ., nombres : au reste, on peut démontrer directement que, pour un nombre quelconque de facteurs, le carré de la valeur absolue du produit est égal au produit des carrés des valeurs absolues des facteurs, en faisant d’abord la remarque suivante, qui est importante par elle-même.

(') C’est le terme dont je me servirai, d’autant que le mot module a une foule de significations en mathématiques. Il est désirable d’en supprimer au moins une. Autrement on est amené à dire le module du module, en employant le mot module dans deux sens absolument différents.

La norme d’un nombre imaginaire a -t- a i est a'² -+- a'²; c’est le carré de sa valeur absolue.

Si, en effectuant des additions, soustractions, multiplications, suides nombres imaginaires, on a trouvé comme résultat le nombre imaginaire p -t-p't, (p et // réels), et que l'on effectue ensuite les mêmes opérations sur les nombres conjugués, on trouvera comme nouveau résultat le nombre p — p'f, conjugué du premier résultat.

Cette proposition devient évidente si l’on se reporte à la règle du nJ 86, et qu’on regarde i comme une variable réelle. Les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication, effectuées sur les nombres imaginaires donnés conduisent à un certain polynôme f(i) à coefficients réels; les mêmes opérations effectuées sur les nombres conjugués, qui se déduisent des premiers en changeant i en — i, conduiraient au polynôme —/), obtenu en changeant i en dans    dire que le résultat des premières opérations, effectuées

d’après la règle du n° 86, est p -h p' i, cela revient à dire que p H- p i est le reste de la division par f²+i de/’(«), en d’autres termes que l’on a, en désignant par ©(i) un polynôme en i à coefficients réels, l’identité en i,

f(i) =p+p'i-h(î*-+- t)<p(t);

si l’on change dans cette identité i en — /, elle devient

/(— i) =p —p'/ + (i* + i) «p(— i);

elle montre que p — p'i est le reste de la division de /*( — i) par i² -f- i ; c’est ce qu’il fallait établir.

Revenons, après cette remarque générale, au théorème concernant le produit de plusieurs facteurs. Considérons, par exemple, les trois facteurs aa'i, bb'i, c -h c'i et désignons leur produit par p +///; l’égalité

{a -|- a' i) ( b -+- b' i) (c -+- c' i) — p -H p' i

entraîne

(a — a' i) (b — b' i)(c — c' i) — p — p i ;

en multipliant membre à membre et en groupant ensemble les facteurs conjugués, on a

C’est ce qu’il fallait établir.

Celte proposition fournit une seconde démonstration de ce fait qu’un produit ne peut être nul sans qu’un facteur soit nul; en effet, si p // i est nul, c’est-à-dire si l’on a p=o, p'= o, le produit des nombres réels, a--+-a'², ùs-)-6/2, c-H-c'², est nul; l’un de ces nombres est nul; si c’est c/'²-|-a'², par exemple, il faut que l’on ait a = o, ci' = o, c’est-à-dire que a+ a' i est nul.

92. Il me reste à définir la division de deux nombres imaginaires : On appellera quotient de la division du nombre imaginaire a + a' i par le nombre b -f- b' i un nombre imaginaire c -+- ci dont le produit par b + b'i soit égal à a -j- ci'i.

L’égalité

(b -+- b' i) (c -+- c' i) = a -H a' i

équivaut aux deux égalités

b'c

bc — b' c' — a, bc' — a'\

ces deux égalités peuvent être regardées comme deux équations du premier degré dont les deux inconnues seraient c, c' ; le déterminant des deux équations est b'¹ -t- b'- ; il n’est pas nul, sauf dans le cas où le diviseur b + b' i serait nul; si l’on exclut ce cas, les deux équations admettent une solution et une seule; le problème posé admet une solution et une seule, à savoir le nombre imaginaire

i;

ab-h a'b' a'b—ab'

6* -t- 6'* par exemple, le quotient de la division de 3 -4- i par i i est 2 — i. L’égalité

(b -t- b' i) (c -t- c'i) = a 4- a' i,

en y changeant i en — i montre que, si c -+- c’i est le quotient de la division de a -h a’ i par b + b’ f, le quotient de la division de a — a’ i par b — b' i sera c — c' i.

Au lieu de dire « le quotient de la division de A par B » je dirai le plus souvent « rapport de A à B » et je représenterai ce rapport par

la notation ^ : c’est le nombre qui, multiplié par B, reproduit A. Les mots dividende et diviseur sont remplacés alors par les mots numérateur, dénominateur.

La valeur absolue d’un rapport est le rapport des valeurs absolues du numérateur et du dénominateur, ainsi qu'il résulte du théorème analogue relatif à la multiplication.

ou le nombre qu’il faut multiplier par B pour que le produit soit i, se représente, d’après la nota

L’inverse d’un nombre non nul B

tion précédemment expliquée, par g* En supposant B = b + b' i, on a

b'

B èî+ê'² b*--h b'²

to -

le rapport C de A à B est le produit de A par , comme on le vérifie sans peine et comme il résulte de l’égalité

ce

wl -

- ICQ

A = A.

Les propriétés des fractions à termes réels qui reposent sur la définition, en vertu de laquelle le numérateur est égal au produit du dénominateur par la valeur de la fraction, s’étendent sans changement aux fractions à termes imaginaires.

On peut, par exemple, multiplier ou diviser les termes d’une fraction à termes réels ou imaginaires, par un même nombre non nul.

Ce théorème donne le moyen le plus commode pour effectuer une

division; considérons par exemple la fraction

on multipliera

le numérateur et le dénominateur par le nombre b — b'i conjugué du dénominateur ; on trouve ainsi

a -+- a' i

(a -i- a' i) (b — b' i) ab -+- a' b' -+- (a' b — ab')i

6²-+-

6'²

On peut réduire deux ou plusieurs fractions au même dénominateur, ajouter des fractions qui ont même dénominateur.

Le produit de deux fractions se fait en divisant le produit des numérateurs par le produit des dénominateurs. Pour obtenir l’inverse d’une fraction, il suffit de la renverser. Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie la fraction dividende par l’inverse du diviseur.

93. Racine carrée. — On montrera bientôt comment on peut obtenir, en générai, la racine /i,eme d’un nombre imaginaire; je veux dire ici un mot de la racine carrée :

La racine carrée d’un nombre imaginaire a -b bi (a, b réels) sera, par définition, un nombre imaginaire x + iy {x, y réels) tel que l’on ait (x + iy)'² = a -b bi, ou

oxy — b.

(0

x- —JK² =

Supposons b différent de o, x et y devront être différents de o ; on tire de la seconde équation

ox

(2)

et en portant dans la première,

!\xk— \axr— b- = o.

L’équation en x'² ainsi obtenue a une racine positive

a 4- \J a² -h b '¹

et une racine négative, qu’il faut écarter, puisqu’on veut avoir pour x une valeur réelle; on aura ainsi deux valeurs symétriques pour x, à savoir

x — d=

t /a -h sfà¹ -t- 6²

V “

à chacune desquelles correspond une valeur de y par l’équation (2). On reconnaît immédiatement, en remontant la suite des calculs, que les valeurs ainsi trouvées pour x, y vérifient les équations (1).

Le problème admet deux solutions et deux solutions seulement : ces deux solutions sont des nombres symétriques qu’on peut écrire sous la forme

(3)

±7l(v'“

bi

a 4-

~b*

en donnant aux radicaux la signification arithmétique.

y/a    y/ a¹    b- y/ — a -t- y/a² -+- b'¹ = e 6,

en désignant par s un nombre égal à + i ou à — i, suivant que b est positif ou négatif; le facteur £ a été introduit afin que le second membre soit positif comme le premier (' ) ; on en déduit

y/a -t- y/a² -t- è²

on tire de suite

De l’égalité

( a -|- y/a² -4- b² ) ( — a -+- y/a² -t- è² ) = b²

= e y/ — a -t- y/a² -+- b* ;

d’où cette seconde forme de la solution

(4)

±4=(v/

y/2

y/a² h- è² -+- iey/-

qui est plus élégante, mais moins avantageuse pour le calcul numérique, puisqu’elle exige une extraction de racine carrée de plus que la première.

Enfin, si b est nul, c’est-à-dire si le nombre proposé est réel, la seconde équation (i) montre que l’un des nombres y, x doit être nul ; en vertu de la première équation, on doit avoir alors soit x-=a, soit = —a\ puisque x, y doivent être réels, on prendra y = o,

± y/a si a est positif, ^ = o,jK = ±y/ — a si a est négatif ; dans le premier cas, les deux solutions du problème proposé sont les nombres réels ± y/«; dans le second cas, les deux nombres purement imaginaires ± i y/— a.

Ces deux solutions sont d’ailleurs comprises dans la formule (4), puisque y! a¹ y-b- se réduit alors à y/a‘² , c’est-à-dire à a si a est positif, à — a si a est négatif.

x =

(¹ ) Le nombre s ainsi défini se représente souvent par le symbole sgn b ( signe de b).

Exemple. — Les deux nombres dont le carré est i -+- i sont

v/2

t V — 1    \/‘i ) ;

y/2

les deux nombres dont le carré est i sont ± — (i-t- i).

Si l’on applique les formules précédentes, dans le cas où a —— 1, b = o, on trouve que les deux nombres dont le carré est — 1 sont ± i. Si l’on convient de représenter en général par \Ja ■+■ bi un nombre imaginaire dont le carré est a -+- on sera conduit à poser

/ — 1 = i

et à écrire un nombre imaginaire a-(- (3« (a, [3 réels) sous la forme a + [3 \J— 1. On est ainsi ramené à la notation qui nous a servi de point de départ, mais qui, maintenant, est justifiée.

¹

L’expression nombre complexe s’emploie dans un sens plus général que celui qui sera défini dans le présent Chapitre.

§ 2. — REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES IMAGINAIRES.

94. Les nombres imaginaires sont susceptibles d’une représentation géométrique sur laquelle je vais maintenant insister. Mais, auparavant, je rappellerai quelques définitions.

Fig. 26.

M"

Considérons un plan rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires. Pour fixer, dans ce plan, une direction, il suffit évidemment de fixer la parai-lèle menée à cette direction, dans le même sens, à partir de l’origine : je ne considérerai donc que des directions partant de ce point; en particulier l’angle de deux directions sera l’angle des deux parallèles à ces directions, à partir de l’origine.

Pour fixer une direction à partir de l’origine O, ou, si l’on veut, une demi-droite ayant son origine au point O, il suffit évidemment de se donner un point A situé sur cette demi-droite (et non sur la demi-droite opposée), ou, ce qui revient au même, les coordonnées a, b de ce point. Le point unique M où la demi-droite considérée rencontre le cercle décrit de O comme centre avec un rayon égal à l’unité de longueur est particulièrement utile à considérer; ses coordonnées oc, j3 s’appellent les cosinus directeurs de la demi-droite considérée; elles vérifient la relation oc²-I-(3² = i. Inversement, deux nombres réels quelconques vérifiant cette relation sont les coordonnées d’un point unique sur le cercle et sont les cosinus directeurs de la demi-droite qui part de l’origine et aboutit en ce point.

Si l’on désigne par r le nombre positif qui mesure la longueur OA, on a

b = Br,

r    y/a²-t-

HDD

le radical est pris avec son sens arithmétique. Ces formules permettent, quand on se donne a, 6, de calculer a, fï sans ambiguïté.

Soient X, Y les points où les directions positives des axes des x et des y rencontrent le cercle; un mobile M, qui se meut sur le cercle toujours dans le même sens (sans oscillations), se meut dans le sens direct ou positif s’il se meut dans le même sens qu'un mobile qui partirait du point X pour aller vers le point Y en décrivant le quart du cercle; dans le cas contraire, il se meut dans le sens indirect ou négatif. Dans les mêmes conditions, on dit que le rayon OM, ou une parallèle quelconque à ce rayon, menée dans le même sens à partir d’un point fixe, tourne dans le sens direct ou dans le sens indirect.

Un nombre 0 quelconque peut être regardé comme Y abscisse circulaire d’un point M sur le cercle : on obtient ce point M en imaginant un mobile qui se meuve sur le cercle, sans osciller, en partant du point X (origine des arcs), dans le sens positif ou dans le sens négatif, suivant que 0 est positif ou négatif, et qui s’arrête lorsqu’il a parcouru, sur le cercle, un chemin dont la longueur est la valeur absolue de 0. Le point où le mobile s’arrête est le point M dont l’abscisse circulaire est 0. Son abscisse et son ordonnée sont, par définition, les nombres cos0 et sin0; tang0 est, par définition, la pente de la droite qui joint le point O au point M.

Inversement, à chaque position du point M sur le cercle correspondent une infinité de nombres dont chacun peut être regardé comme l’abscisse circulaire du point M : ces nombres forment une progression arithmétique, indéfinie dans les deux sens, dont la raison est j.tz. Tous ces nombres ont même cosinus, même sinus, même tangente.

Si l’on considère deux directions OM, OM', définies, comme on l’a expliqué plus haut, par deux points M, M' du cercle, et si l’on attribue un ordre à ces deux directions, en sorte que OM soit la première et OM' la seconde, l’angle (OM, OM') de ces deux directions, ou l’arc MM', sera, par définition, l’abscisse circulaire du point M', définie comme plus haut, mais en prenant le point M comme origine des arcs (et non le point X). Le sens positif reste celui qu’on a défini plus haut. Cet angle ou cet arc ne sont définis qu’à un multiple près de 2 tc.

En d’autres termes, toutes leurs déterminations s’obtiennent en ajoutant à l’une quelconque d’entre elles le produit de 2tt par un nombre entier quelconque : la valeur principale de l’angle (OM, OM') ou de l’arc MM'est celle de ces déterminations qui est comprise entre — tt et -H 7c ; elle est entièrement déterminée, sauf dans le cas où les deux directions sont opposées, où les deux points M, M' sont diamétralement opposés; elle peut alors être prise, à volonté, égale à tc ou à — tc. En écartant ce cas d’exception, la valeur principale de l’angle (OM, OM') est positive ou négative, suivant que l’angle de OM et de OM' considéré comme une figure géométrique a, ou non, la même disposition que l’angle ( OX, O Y) considéré aussi comme une figure géométrique.

La somme des deux angles (OM, OM') et (OM', OM) est nulle ou égale à un multiple de 2tc.

Si l’on considère trois directions à partir du point O ou, si l’on veut, trois points M, M', M" sur le cercle, il est clair qu’on peut se mouvoir sur le cercle, à partir du point M, de manière à rencontrer d’abord le point M', puis le point M"; on voit ainsi qu’il existe une détermination des angles telle que l’on

ait

(OM, OM") = (OM, OM') -h (OM', OM"),

et, par conséquent, on aura, pour n’importe quelle détermination des angles,

(OM, OM") = ( OM, OM') H- (OM', OM") ikiz, (OM', OM") h- (OM", OM ) + (OM, OM') = xhic,

k et h étant des nombres entiers dont la valeur dépend des déterminations choisies pour les angles, ou les arcs.

Si l’on se donne la direction OM, ou le point M, et l’une des déterminations de l’angle (OM, OM'), la direction OM'. ou le point M', sont déterminés sans ambiguïté.

En particulier, la direction OM, elle-même, peut être déterminée par l’angle 6 = (OX, OM); - —0 est alors une des déterminations de l’angle (OM, OY); les cosinus directeurs de OM sont

a = cos 0,

P=c°s(ï-(j)

= sin 0.

Lorsqu’on se donne les coordonnées a et b du point A, on a vu plus haut comment on pouvait calculer les cosinus directeurs de la direction OA ou OM, en désignant par M le point unique où le cercle est rencontré par la demi-droite OM; l’angle 0 est alors déterminé, à un multiple près de 2tt, par les

formules

cos 0 =

\J ci--+■ b'¹ ’

sinG =

\/a¹ -t- b²

Cela revient à dire que, si Ton se donne deux nombres a, b qui ne soient pas nuis à la fois, il existe un seul nombre positif ret un seul angle 0 (abstraction faite des multiples de 2tu) tels que l’on ait « = /-cosO, 6 = /-sin0. Si l’on veut choisir pour 0 sa détermination principale, comprise entre — tu

et TT, 0 devra être pris entre — —

2

entre o et

« I r)

— si a est posilif, entre o et — suivant que b est positif ou négatif; entre -

et —t—

ou

et tc ou entre

« rl

— et —-JT si a est négatif; dans le premier intervalle si b est positif, dans

le second si b est négatif: si b est nul et a négatif, la détermination principale peut être prise égale à tu ou à —tu. Dans ces conditions, les tables trigo-nométriques (centésimales, par exemple) permettent de trouver un angle exprimé en grades, compris entre o et ioo, dont le cosinus ou le sinus aient la même valeur absolue que cosG ou sinG, et les remarques précédentes permettent de calculer ensuite l’angle G.

Toutefois, il est préférable, quand on se donne les valeurs numériques de a et de b et que l’on veut calculer r et 0, de faire le calcul en partant de la fo rmule

a ! a-

tangO =

On cherche dans la table le nombre g de grades compris entre o et ioo, tel

que la tangente correspondante soit la valeur absolue de — ; on prend à la

même page le logarithme du cosinus ou du sinus du même arc, en sorte que

Ton ait en posant G' =

— ,

200

tangO =

cosG' = —

/*

sinO'= — •

l’une des deux dernières formules donnera r par un calcul facile, puisque l’on a déjà les logarithmes de ] a ] et de | b j. D’après les règles précédentes, si a est positif, on prendra G = G' ou 0 =— G' suivant que b sera positif ou négatif, et, si a est négatif, 0 = tï— G' ou G =— r-4-G' suivant que b sera positif on négatif ( ¹ ).

(l) Il convient de prévenir le lecteur, une fois pour toutes, que les angles ou arcs dont il sera question dans le présent Livre seront toujours exprimés en radiants (ou en parties du rayon) et non en grades ni en degrés. C’est pour appeler son attention •sur ce point et sur les précautions à prendre dans les calculs numériques, que j’ai insisté sur les détails que l’on vient de lire.

16

T.

J’ai cru utile de rappeler les définitions et propositions fondamentales qui précèdent; je me servirai d’ailleurs, sans revenir sur leur démonstration, des formules de trigonométrie élémentaire qui reposent sur ces définitions et sur l’emploi du théorème des projections.

Fig. 36.

9o. Imaginons un plan rapporté à deux axes de coordonnées rectangulaires Ox, O y.

Un nombre imaginaire a -f- bi est déterminé si l’on se donne les deux nombres réels a, b ; à ce couple de deux nombres réels a, b correspond un point À. donL l’abscisse est la partie réelle a et l’ordonnée le coefficient de i dans le nombre a -f- bi. Le point A sera, si l’on veut, Ximage du nombre a-\-bi. Inversement, à un point A, dont les coordonnées sont a, b, correspond le nombre imaginaire a -f- bi, qui est dit Xqffixe du point A.

Si b est nul, le nombre a-\-bi est réel : les nombres réels sont représentés par des points situés sur l’axe des abscisses; de même les nombres purement imaginaires sont représentés par des points situés sur l’axe des ordonnées : aussi ces axes sont-ils souvent appelés respectivement axe des quantités réelles, axe des quantités purement imaginaires, ou, plus brièvement, axe réel, axe imaginaire. Au nombre o correspond l’origine O des coordonnées. Le nombre positif /• = y/a²-j- b-, qui mesure la longueur du vecteur OA, est ce qu’on a appelé plus haut la valeur absolue du nombre a -f- bi, l’angle (OX, OA) de la direction positive prise sur l’axe des abscisses et de la direction du vecteur OA qui va de l’origine au point A, est Xargument trigo-nométrique (*) du nombre a + bi. Cet argument est déterminé à un multiple près de 2 7t, pourvu que a -f- bi ne soit pas nul, que le point A

(') On supprime cette épithète quand il n’y a pas de confusion possible avec quelque autre argument.

ne coïncide pas avec le point O. Quand a-\-bi est nul, la valeur absolue est nulle, et l’argument complètement indéterminé.

La valeur principale de l’argument est comprise entre — tï et tï ; elle est complètement déterminée, sauf dans le cas où b est nul et a négatif ou nul. Elle est nulle ou égale à ± tï si a -+- bi est réel (b = o), nulle si l’on a affaire à un nombre positif, égale à ± tï si l’on a affaire à un nombre négatif.

Elle est égale à dz ^ si a bi est purement imaginaire (a = o), à + - ou à — ^ suivant que b est positif ou négatif.

et tï, ou entre —

IV I îl

et — tï si

Elle est, en général, du même signe que b; elle est comprise entre — et + ^ si a est positif, entre -+-a est négatif.

Puisque l’on a a = r cos8, b = r sin 8, on peut écrire

a -t- bi = r(cos0 -i- i sin6),

le second membre, où la valeur absolue r et l’argument 8 sont mis en évidence, est ce qu’on appelle la forme trigonométrique du nombre a + bi.

En particulier, tout nombre dont la valeur absolue est i peut se mettre sous la forme cos8 + fsin8; pour mettre le nombre i sous cette forme, on pourra prendre 8 = o, ou 8 égal à un multiple de 2tï; pour mettre le nombre — i sous cette forme, on prendra 8 = tï ou 8 égal à un multiple impair de tï.

Deux nombres imaginaires égaux sont représentés par le même point; leurs valeurs absolues sont égales et leurs arguments ne peuvent différer que d’un multiple de 2tï; ces dernières conditions sont nécessaires et suffisantes pour que deux nombres imaginaires mis sous forme trigonométrique soient égaux, sauf dans le cas où l’une des valeurs absolues est nulle; dans ce cas, l’autre valeur absolue doit aussi être nulle; cela suffit pour que les deux nombres soient nuis.

Deux nombres imaginaires symétriques sont représentés par deux points symétriques par rapport à l’origine. Deux nombres imaginaires conjugués sont représentés par deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

96. Pour faire la somme de plusieurs nombres imaginaires a + bi,

ci'-\- b'f, cl" -+- b"i, . . ., représentés par clés points A, A', A",    , il

suffit de faire la somme géométrique des vecteurs OA, OA', OA", ... en lui donnant pour origine le point O; je rappelle la construction de cette somme géométrique : on regarde le point A comme l’origine d’un vecteur AA' équipollent au vecteur OA', le point A' comme l’origine d’un vecteur A'A" équipollent au vecteur OA", etc.; l’extrémité du dernier vecteur est l’extrémité de la somme géométrique cherchée; c’est le point qui figure la somme des nombres représentés par les points A, A', A", ...

Il suffira, pour démontrer cette proposition, de raisonner sur trois nombres a + bi, a!-1- b'i, a!' + b"i, représentés parles trois points A,

Fig. 27.

a;

A'

cl' cl

cl" X

A"

A', A". L’extrémité A' de la somme géométrique OA, des trois vecteurs OA, OA', OA" est, d’après la construction précédente, l’extrémité d’une ligne brisée O AA'A' dont les côtés OA, AA', A', A", sont respectivement équipollents aux vecteurs OA, OA', OA"; les projections O a, aa', a'a" des côtés de la ligne brisée sur l’axe des x sont respectivement équipollentes aux projections sur cet axe des vecteurs OA, OA', OA", projections dont les équivalents algébriques sont respectivement a, a', a". On a d’ailleurs, entre les équivalents algébriques O a, aa', a'a", O a" des vecteurs O a, aa', a'a", O a", la relation

O a" = Oa + aï'+a'a" = a a’■+- a".

L’abscisse Oa" du point A' est donc a a'-)- a"; son ordonnée est de même b + b' b" ‘ c’est bien là l’abscisse et l’ordonnée du point qui représente la somme a + a'+ a"+ (6 -f- b'-{- b")i des trois nombres a + bi, a’ b' i, a!' -1- b" i.

On sait qu’une somme géométrique est indépendante de l’ordre de ses éléments; au reste, ce résultat apparaît immédiatement sur la démonstration, puisque les coordonnées a -j- a!a", b + //-+- b" de l’extrémité de la somme ne dépendent pas de l’ordre des nombres réels a, d, a"] b, b', b".

Le nombre (positif) qui mesure la longueur du vecteur OA', c’est-à-dire la valeur absolue de la somme des nombres imaginaires donnés, est inférieur ou égal à la somme des nombres positifs qui mesurent les côtés de la ligne brisée O A A'A), c’est-à-dire à la somme des valeurs absolues des nombres donnés; pour qu’il y eut égalité, il faudrait que la ligne brisée se réduisît à une ligne droite et que les points A, A' fussent entre O et A' : il faudrait pour cela que les points A, A', A" fussent sur une même demi-droite partant du point O, c’est-à-dire que les arguments des nombres a H- bi, d + b' i, d -\- b" i fussent égaux (à un multiple près de 2~) ; l’argument commun de ces nombres serait aussi l’argument de leur somme.

D'après la notation adoptée au n° 91, on peut écrire

| a -f- bi -t- a' -4- b' i -+- a!' -+- b"i | £ | a -+- bi | 4- | a' 4- b' i | -+- | a"-+- b" i |.

Fig. 28.

A'

Dans le cas où l’on veut faire la somme de deux nombres a-F- bi, d -b b' i, représentés par les points A, A', cette somme est représentée par le point B, sommet opposé au point O du parallélogramme dont OA, OA' sont deux côtés. Dans le triangle O AB le côté O B est plus petit que la somme des deux côtés OA, AB plus grand que leur différence. Outre cette proposition déjà connue la valeur absolue de la somme de deux nombres est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ces deux nombres, nous obtenons donc celle-ci :

La valeur absolue de la somme de deux nombres est supérieure égale à la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs absolues de ces deux nombres.

OU

Il y aurait égalité dans le cas où les points A, A' seraient en ligne droite avec le point O, mais de part et d’autre du point O, ou, ce qui revient au même, quand les arguments des nombres a +• bi, a' -f- b'i diffèrent d’un multiple impair de tc.

On peut écrire

| a -t- bi -t- a! b' i | ^ | a -t- bi | — | a'-\- b' i ] ;

cette égalité restant vi’aie quand on a | a + bi | < | a' -g b' i |, puisque, alors, le second membre de l'inégalité est négatif.

Fig. 29.

A’,

A"

La différence (a. -f- bi) — (ar + b'i) entre les deux nombres a + bi, a' + b'i, représentés par les points A, A', sera représentée par l'extrémité C d’un vecteur OC, différence géométrique des vecteurs OA et OA'; ce vecteur est équipollent au vecteur A'A dont l’origine représente le point qui figure le nombre à soustraire, dont l’extrémité figure le nombre dont on soustrait. La figure montre nettement que le point A représente la somme des nombres représentés par A' et par C, que le point C représente la somme des nombres représentés d’une part par le point A, d’autre part par le point A" symétrique du point A' par rapport au point O, c’est-à-dire la somme des nombres a + bi, — a' — b' i.

Deux nombres imaginaires sont regardés comme voisins, comme

différant peu l’un de l’autre, quand la valeur absolue de leur différence est petite. Cette valeur absolue est mesurée par la distance des deux points qui représentent ces deux nombres : ces deux points sont donc voisins; a fortiori, la différence entre les abscisses des deux points, ou entre leurs ordonnées, qui est inférieure à leur distance, est petite, en valeur absolue.

La valeur absolue d'une différence est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ses termes, supérieure ou égale à leur différence.

Cette proposition ne diffère pas de celle qui concerne une somme, puisque les deux nombres symétriques abi, —a — bi ont même valeur absolue.

97. Considérons maintenant le produit des deux nombres imaginaires mis sous la forme trigonométrique (n° 96)

r'(cosô' -t- i sin0').

r(cos0 -t- i sinO),

En effectuant leur produit par la règle du n° 90, on trouve pour la partie réelle

rr' cos 6 cos 6' — rr' sin 6 sin 0' = rr' cos(0 -t- 0'),

et pour le coefficient de i

rr' cosO s i îv 6 ' —t— rr' cos0' sinO = rr'sin(0 0r).

Le produit se trouve donc mis sous la forme trigonométrique rr' [cos(0 -+- 6') h- i sin (6    0')].

C’est un nombre dont la valeur absolue rr' est le produit des valeurs absolues r, r' des deux facteurs, dont l’argument 0-4-0' est la somme des arguments des facteurs.

Du cas de deux facteurs on s’élève immédiatement au cas de trois facteurs /-(cosO i sinO), r' ( cos 0' -+- i sinO'), r"(cosO"-b i sinO") ; la valeur absolue du produit est le produit de rr' par /•", l’argument du produit est la somme de 0 —0' et de 0".

D’une façon générale, le produit d’autant de nombres que l’on veut, mis sous forme trigonométrique, est un nombre dont la valeur

absolue est le produit des valeurs absolues des facteurs et dont l’argi ment est la somme des arguments des facteurs.

Sur celte forme donnée à un produit, la possibilité d'intervertir les facteurs, de grouper ces facteurs comme on veut, est évidente.

Supposons ([ue le nombre /'(cosG + isinG), que l'on veut multiplier par le nombre 7>,(cos(f + i sinG'), soit représenté par le point A,

Fig. 3o.

Ar

B,

le multiplicateur étant représenté par le point h!. On aura alors

(OX, OA) = 0,

(OX, OA') = 6'.

On fera tourner la demi-droite qui porte le vecteur OA d’un angle égal à G'; elle prend alors une position OB telle que l’angle (OA, OB) soit égal à G’; on prend ensuite un point B tel que le nombre positif qui mesure la longueur OB soit égal au produit des nombres r, r' qui mesurent les longueurs OA, OA'. B représentera le produit

/•/■'[ cos (0 -+- 0') -f- i sin(0    0')].

Si, en particulier, la valeur absolue du multiplicateur est égale à i, la multiplication par cosG'-f- i sin G' revient à faire tourner de l’angle G' le vecteur dont l’extrémité représente le multiplicande ; l’extrémité du nouveau vecteur représente le produit.

Plus particulièrement, la multiplication par le nombre f, dont la valeur absolue est i et I argument revient à faire tourner le vecteur qui aboutit au point qui représente le multiplicande d’un angle droit, dans le sens direct; la multiplication par — i, dont la valeur absolue est i et l’argument ± tî, revient à faire tourner le même vecteur de deux angles droits dans un sens ou dans l’autre; la multiplication

par —i, dont la valeur absolue est i et l’argument — revient à faire tourner le même vecteur d’un angle droit dans le sens indirect.

Fig. 3i.

I'

I "■

Le nombre i est représenté par le point 1 situé sur la partie positive de l’axe des ordonnées à l’unité de distance de l’origine. En faisant tourner le vecteur O! d’un angle droit, dans le sens direct, puis encore d’un angle droit dans le même sens, etc., on l’amène successivement en 01', en 01", en OU, puis on le ramène en OI, etc.; c’est la traduction géométrique des égalités numériques

i'=i,

t² = i x i — — i

i³ — i²x i = — i,

i’* = i³ x i — i,

Lorsque le multiplicateur est un nombre réel, l’argument du produit esL égal à l’argument du multiplicande si le multiplicateur est positif, à l’argument du multiplicande augmenté ou diminué de ~ si le multiplicateur est négatif.

98. En regardant la division comme l’opération inverse de la multiplication, on voit de suite que la valeur absolue d’un rapport doit être le rapport de la valeur absolue du dividende à la valeur absolue du diviseur, et que l’argument du rapport doit être égal à la différence entre l’argument du dividende et l’argument du diviseur, afin que le produit du quotient par le diviseur soit égal au dividende; en d’autres

230

CHAPITRE VI.

termes, on peut écrire

= -, [cos(0 — 0') -+- i sin(ô — 0')],

/■( cosO -+- i sin 0) r'(cosô'-t- i sin6')

et cette égalité est susceptible d’une interprétation géométrique analogue à celle qu’on a donnée pour la multiplication.

pour l’expression

on a

En particulier, en supposant r trigonométrique de l’inverse d’un nombre

= —, (cosO'— i sin O') ;

/•'(cos0'-t- i sin0')

d’où résulte la construction suivante pour obtenir le point qui représente l’inverse du nombre figuré par le point Ab

On décrit du point O comme centre le cercle de rayon i; on prend le point A' qui serait l'inverse (¹) du point A' dans une inversion faite par rapport à ce cercle ; l’affixe du point A' est ^ (cosO' + i sinQ¹) ;

le point cherché A", dont l'affixe est — (cosO' — fsinO'), est le symétrique du point A' par rapport à l’axe des abscisses.

Plus particulièrement encore, en supposant r'= i, on voit que l’inverse d’un nombre dont la valeur absolue est i est le conjugué de ce nombre; pour que deux nombres conjugués soient inverses l’un de l’autre, il faut et il suffit que leurs valeurs absolues soient égales à i. Dans ce cas, les deux points A;, A' de la figure précédente sont confondus sur le cercle.

§ 3.

RACINES nu™es.

99. Cherchons à déterminer la racine nu‘

me

d’un nombre donné, que l’on peut toujours supposer mis sous la forme trigonométrique /•(cosO + i sinfi) ; il s’agit de trouver, s’il est possible, un nombre dont la puissance /i"'me soit égale à /¹(cos8 -+- i s i n 0 ) ; en supposant ce nombre mis lui-même sous la forme trigonométrique p (cos to -f- i sin to)

NOMBRES IMAGINAIRES.

25i

il s’agit de déterminer p et w de façon que l’on ait

[p(cosw -t- i sinon)]" — /'(cosO -+- i sin0);

mais, d’après la théorie de la multiplication, la valeur absolue du premier membre est p", son argument est «w; pour que deux nombres soient égaux, il faut et il suffit que leurs valeurs absolues soient égales et que leurs arguments ne diffèrent que d’un multiple de 27c; on doit donc avoir

p» = r,

rtü) = 0 -1- 2/«TTC,

en désignant par k un nombre entier quelconque; on en déduit

? = VÏ,

G -4- ‘ikn

11

inversement, ces valeurs de p, io, où \/r est la racine r?.lme arithmétique de /*, répondent à la question; en d’autres termes, la formule

0 -4- 2 h 7ü

Vr(

cos

0 -t- ikiz

fournit toutes les solutions du problème posé. Si, dans cette formule, on remplaçait 0 par quelque autre valeur de l’argument du nombre donné, on ne ferait que modifier le nombre entier k ; on ne changerait pas l’ensemble des résultats, puisque, pour avoir toutes les solutions du problème posé, on doit remplacer k par tous les nombres entiers possibles.

Si le nombre dont on veut chercher la racine nièmc était 1, il n’y aurait qu’à faire dans la formule précédente r = 1, 9 = o; on trouverait ainsi, pour l’expression des nombres dont la puissance n"'"lc est 1, ou, comme l’on dit, des racines nièmcs de l’unité, la formule

-H i si 11

2 /r TT

2 A" TC

l'os

où k est un nombre entier quelconque. On a d’ailleurs, en général (n° 97 ),

0 -+- 2À7

Vrl

co s

0 -I- 2 Iî TT

+- i sin

— "\Jr ^cos--1- i sin — 'j X (

2 k 7ï

11

.    .    2 k TT \

-+• 1 sin- ;

dans le second membre, le facteur '<!/r ( cos - 4-fsin-V est l’un des ⁷    * \ n    n/

nombres dont la puissance n“'ma reproduit r(cos9 + isinQ) ; c’est l’une des racines /iièmes du nombre donné; l’autre facteur

2/1 77

cos

de l’unité; on obtient toutes ces racines en donnant à k toutes les valeurs entières possibles. En d’autres termes :

On obtient toutes les racines nlèmes d’un nombre en multipliant Vune d’elles, choisie arbitrairement, par les diverses racines niemeS de Vunité.

est l’une des racines nu'

mes

100. Racines de l'unité. — C’est de ces dernières racines que je vais m’occuper maintenant.

T    ,    2 k T.    . . 2 k —

Le nombre cos- + i sin

pour valeur absolue et ihjl pour argument : les divers points qui figurent les nombres de cette sorte, où k est entier, sont tous situés sur le cercle de centre O et de rayon i ; ils correspondent aux arguments

il

O,

2 71 - •>

4 Ti

■-- 5

G-r

2 77

4 77

() 77

C’est d’abord les points A₀, A,, A₂, A₃, ... dont le premier, qui

Fig. 32.

An-]

An— 2

correspond à l’argument o, est le point du cercle qui se trouve sur la partie

NOMBRES IMAGINAIRES.

positive de l’axe des abscisses, point dont l’affixe est i ; les suivants A A₂, A3 s’obtiennent en portant bout à bout, à partir de A₀, dans le sens positif, des arcs égaux à à la n"'""' partie de la circonférence du cercle. Quand on a porté ainsi bout à bout n de ces arcs, on retombe sur le point A₀, puis, en continuant à tourner dans le même sens, les points A,, A₂, A₃, .... En portant bout à bout des arcs de la même longueur— > dans le sens négatif on retombe sur des points déjà obtenus A„

dans le sens inverse de celui où on les a obtenus d’abord; les points A₀, ainsi obtenus, qui représentent toutes les racines n distinctes de l’unité, sont les sommets d’un polygone régulier de n côtés. On voit ainsi qu’il y a n racines distinctes de l’unité, dont l’une, qui correspond au sommet A₀, est elle-même égale à i. Le polygone n’existe, à proprement parler, que pour /? >> 2 ; pour n = 2, la figure se réduirait au point A₀ et au point diamétralement opposé; les deux racines carrées de î sont

... A,

/-i

-i ?

11—21 •

.., mais on les rencontre successivement

i (‘lues

cos o -t- i sino = i,

COS TT -+• i sinir =

i;

pour /i = 3, la figure formerait un triangle équilatéral, les trois racines cubiques de l’unité sont

i,

2.71    . . 2 77

COS —--1- i S1U — =

o    3

4 77    . . 4 77

— -t- t sm -j- =

cos

v/o

— i

v/3.

pour n = 4, la figure serait un carré, les quatre racines quatrièmes de i seraient i, f, —i

Les résultats précédents, et quelques autres, s’obtiennent encore comme il suit :

Observons d’abord que la valeur absolue d’une racine /ïième de l’unité étant toujours égale à i, il suffit de s’occuper de l’argument qui est de la forme —• A chaque valeur entière de A'correspond une racine; pour que les deux racines qui correspondent à deux valeurs Art et Ao de A soient égales, il faut et il suffit que la différence entre les deux arguments soit un nombre entier de fois 27:, c’est-à-dire que la différence k₂ — k, soit un multiple de «; en particulier, on ne change pas la racine dont l’argument est -jp-> quand on remplace k par le reste de sa division par n ; on obtiendra donc les argu-ments des racines /ziemes distinctes en remplaçant dans l’expression^-^»

par n nombres entiers consécutifs quel-

k par 0,1,2

conques, ou encore par n valeurs entières k₀, kt, ..., kn_, qui, divisées par n, donnent n restes distincts, à savoir les restes o, i, 2 n — i, clans un certain ordre.

ou

■ ■,n— i,

Pour qu’une racine nième de l’unité soit réelle, il faut et il suffit que son argument soit un multiple de -, c’est-à-dire que 2 k soit un

n — i, les

multiple de n] si l’on donne à k les valeurs o, i, 2, . seules valeurs de k telles cpie 2k soit divisible par n seront k = o, et,

dans le cas où n est pair, À = à ces valeurs de k correspondent

les arguments o et tc, auxquels correspondent les nombres i et —i’;

de l’unité; c’est la seule racine /iième

ième

i est toujours une racine n réelle si n est impair; si n est pair, — i est une autre racine réelle; il ne peut pas y avoir d’autres racines réelles que i et — i.

Les racines /ïlcmes imaginaires sont conjuguées deux par deux : la

2 (n — k) tz

est conjuguée de la racine dont

racine dont l’argument est l’argument est    le produit de ces deux racines est i.

iemc

de

101. Une racine n'vme de l’unité peut aussi être une racine p l’unité ; il faut et il suffît pour cela cpie l’argument de cette racine

puisse être mis sous la forme ~~ > h étant un nombre entier comme A•; ceci exige c[ue l’on ait

on pourra toujours vérifier cette égalité en prenant pour p et h des

de l’unité :

mes

équi-multiples de n et de k\ on ne pourra la vérifier autrement si n et k sont premiers entre eux; d’où une distinction importante entre les racines nlà

La racine cos^^ + i sin^-U^ est dite une racine nieme primitive

lorsque k est premier avec n ; elle ne peut alors être une racine p

elle ne peut être une racine p

ièmc

de l'unité que si p est un multiple de n ; en particulier, de l'unité pour p << n.

i c ui e

La racine cos -f- i sin —est une racine n'vmo non primitive

si k et n ne sont pas premiers entre eux; si l'on désigne par d le plus grand commun diviseur de k et de n et si I on pose k — k'd, n = n'd, on aura

2 K 7T . .    2 k TT

cos----I- i sin-= cos

2 k' TZ

ti

de

en sorte que la racine /iicul° considérée sera aussi une racine n l’unité, n' étant moindre que n. Considérée comme racine n est d’ailleurs primitive puisque k' est premier à n'. Par exemple, est une racine quatrième de l’unité, c’en est aussi une racine carrée ; ce n’est pas une racine quatrième primitive, i est une racine n l’unité, quel que soit n >> i, ce n’est jamais une racine primitive.

/iï'ine

/ième

elle

ièmc

de

102. Si l’on multiplie les deux racines n

i (‘inos

de l’unité dont les

arguments sont^-^» ’ le produit aura une valeur absolue égale

2 (7c -f- k')iz

à i, comme les deux facteurs, et son argument sera la somme

des arguments des deux facteurs, c’est une autre racine n Le produit de deux racines niv

ièuic

de l’unité.

iomc .

; en particulier, le produit de deux racines conjuguées est i. Le produit d’autant de racines /îll“mes de l’unité que l'on veut est une racine /C'me de l’unité.

mes

est une racine n

Les puissances d’une racine n l’unité.

ième

sont aussi des racines /iièmcs de

2, .

• •)

En particulier, si l’on élève à la puissance r la racine d’argument on trouvera la racine d’argument ; on obtiendra donc toutes les racines /iieines de l’unité en élevant aux puissances o, i, n — i la racine d’argument

Si, plus généralement, on élève à la puissance r la racine d’argu-

ment

a/cîT    t    ikm ,

on trouve une racine d argument—— ; dans cet argument, on peut remplacer kr par le reste obtenu en divisant kr par n'r

or, si l'on considère la suite de nombres

o, À",    2 7c,    3    ..., (n — i)Z',

obtenus en remplaçant dans kr, /• par o, i, a, /? — i; les restes de la division de ces nombres par n, seront dans un certain ordre les nombres o, i

C’est-à-dire que, en supposant k premier à n, les n valeurs de    quand on donne à r les valeurs o, i, 2

2, .

.n — 1, en supposant que k soit premier à n.

n — 1, peuvent

être regardées comme les arguments des n racines de l’unité. Donc : Lorsque l’on élève une racine primitive /iieme de l’unité aux puis-11 — 1, on reproduit les n racines nlv

2,

sances o,

l’unité.

Si l’on multiplie une racine 11 racine /?lem<ide l’unité, d’argument

valeur absolue est 1, dont l’argument est donc une racine (np jie'"c de l’unité.

irmc

mes

de

de l’unité d’argument par une

, 011 obtient un nombre dont la 2 ( hp 4- h'n ) tt

np

: le produit est

Je me borne à énoncer les propositions suivantes, d’ailleurs aisées à démontrer : elles supposent que les nombres naturels n, p soient premiers entre eux.

En multipliant chacune des n racines /pomes distinctes de 1 par chacune des p racines distinctes p de 1.

Le produit d’une racine u'Kmc primitive par une racine p racine (np)":"'e primitive.

En multipliant chacune des racines n cines p

Le lecteur voit que la recherche des racines n taines propositions d’arithmétique et à la théorie des polygones réguliers. L’étude approfondie de ce problème comporte de très beaux développements que je laisse de côté.

iémes

icines

de 1 on obtient les np racines (np)

icines

distinctes

i ente

primitive estune

primitives par chacune des ra-primitives, on trouve toutes les racines (np)lL‘mes primitives.

de l’unité est liée à cer-

iêmes

ièmes

EXERCICES.

89. Montrer que l’on a

Quels sont les nombres z tels que z² soit égal au conjugué de z? Y a-t-il des nombres z tels que z² soit égal au conjugué de 2?

90. En posant montrer que l’on a, quels que soient les nombres réels a?, y, z,

( x — a ) ( a? — a² ) = a;² a? -H i,

{x — i ) ( a; — a ) ( x — a.-) — x³ — i,

x³ ~hy³ ■+• z² — 3 xyz =(x -h y -+- z)(x -+- aj -+- oc-zj)(x -t- a -y + a z) (¹).

91. Dans quel cas le quotient de deux nombres imaginaires est-il un nombre réel?

92. Y a-t-il un nombre purement imaginaire dont la puissance nieme soit égale à i ?

93. Si le cube du nombre a -t- bi (a, b réels) est réel, ou bien b est nul, ou

bien

~a eSl é«⁸' à ^ Le C"be de a + M P'"¹-¹' êl,e PUreme"¹ ² maS²na're?

94. Montrer, sans considérations géométriques, que l’on a, en désignant par a, &, b' des nombres réels,

v/(

a')⁹--+-(b -+- 6')²^y/«²-+- b² + y/a'²-1- è'², y/(a — a'y-h(b — b'y S \ \Ja¹ +è! - y/a'²-h b² |.

95. De l’identité (n° 91)

(a²-4- a'²)(6²-f- è'²) = (aè'-+- a by -\-(ab — a'6')²,

déduire la proposition suivante :

Le produit de plusieurs nombres entiers dont chacun est la somme des carrés de deux nombres entiers est lui-même la somme des carrés de deux nombres entiers.

96. Quelles sont les racines carrées du nombre ixi — 5? Calculer approximativement les racines quatrièmes du même nombre. On calculera les valeurs

(²) On reconnaîtra de suite, après avoir lu le Chapitre suivant, que ces identités ne supposent nullement la réalité des nombres x, y, z.

T.

approchées à 0,01 près de la partie réelle et du coefficient de i, pour chaque racine.

97. Calculer avec la même approximation les racines cinquièmes de g-i-ioi.

98. La condition nécessaire et suffisante pour que la racine carrée de i — x2 soit réelle est que x soit réel et appartienne à l’intervalle (— i, ■+-1), ou que x soit purement imaginaire. Conditions analogues pour que la racine carrée de i — x'² soit purement imaginaire.

99. En désignant par k un nombre réel positif, plus petit que i, à quelles conditions doit satisfaire le nombre x pour que la racine carrée de

(i — x²)(i — k²x²)

soit réelle, pour qu’elle soit purement imaginaire?

¹

C’est, comme on sait, le point où la polaire du point A' par rapport au cercle rencontre la droite qui joint les deux points O, A'; c’est encore le second point commun à tous les cercles qui passent par le point A' et qui sont orthogonaux au cercle de centre O : au lieu de dire que les points A', A', sont inverses par rapport à ce cercle, on dit souvent qu’ils sont symétriques par rapport à ce cercle.

²

7

CHAPITRE VII.

ÉTUDE DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLES IMAGINAIRES.

§ 1. — DÉFINITIONS. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE.

103. Le Chapitre précédent, consacré aux opérations sur les nombres imaginaires, a montré que les calculs effectués sur ces nombres se faisaient d’après les mêmes lois que les calculs sur les nombres réels. Les conséquences qui se déduisent de ces lois, établies pour les nombres réels, s’étendront naturellement aux nombres imaginaires.

On a rappelé au n° 27 la définition d’un monome, ou d’un polynôme, à variables réelles. Ces définitions s’étendent immédiatement, en admettant que les coefficients et les variables puissent être imaginaires. Chacune des variables x, y, z, ... pourra représenter un nombre imaginaire quelconque, c’est-à-dire que sa partie réelle et le coefficient de i pourront être des nombres réels quelconques. Les coefficients seront des nombres réels ou imaginaires fixes, qui peuvent d’ailleurs être représentés par des lettres. Quand on attribue aux variables des valeurs déterminées, le monome ou le polynôme prend une valeur déterminée que l’on sait calculer par les règles précédentes. Ainsi le polynôme en a?, y,

( i -h i)x- — ixy -+- y — i,

si l’on attribue à x la valeur f, à y la valeur i -)- f, prend la valeur i.

Il n’y a rien à changer à la définition du degré.

La valeur absolue d’un monome s’obtient en remplaçant dans ce monome le coefficient et les variables par leurs valeurs absolues.

La valeur absolue d’un polynôme est au plus égale à la somme des valeurs absolues des monomes qui le constituent; elle est au plus

égale à la somme des valeurs absolues de tous les coefficients, si les valeurs absolues des variables sont inférieures ou égales à i. Si, dans un polynôme, tous les coefficients sont des nombres réels et positifs, et si les variables x₁ y, z, ... sont assujetties à avoir respectivement des valeurs absolues inférieures ou égales aux nombres positifs a, c, ..., la valeur absolue du polynôme sera inférieure ou égale au nombre positif obtenu en remplaçant les variables x, y, z, ... par «, 6, c, ....

Par exemple, le polynôme ix² 3y² -j- 2 xy -f- x -f- i, si l’on suppose | x | < i, \y | <C 2, sera moindre, en valeur absolue, cpie 20.

C’est surtout des polynômes à une variable que j’aurai à m’occuper : d’ordinaire, je désignerai la variable par la lettre z, et je poserai z = x iy, en désignant par x et y des variables réelles. Cette con-\ention, qui est d’accord avec l’habitude qu’on a de désigner \rdrx,y les coordonnées d’un point, du point qui, suivant les conventions du n° 9o, représente z, n’a évidemment rien de nécessaire. Elle est commode en commençant; le lecteur, une fois habitué à l’emploi des variables imaginaires, ne craindra pas de les désigner par x,y, .. ou n’importe quelles autres lettres.

Une habitude commode, généralisation immédiate de celle qu’on a introduite au n° 10, consiste à employer la même lettre ou le même symbole pour désigner le nombre imaginaire d’une part et, d’autre part, le point dont ce nombre est l’affixe.

Par exemple, 1 —j— 2 i désignera à la fois le nombre imaginaire dont la partie réelle est 1 et dont le coefficient de i est 2, ou le point dont l’abscisse est 1, l’ordonnée 2. S’il y a lieu de craindre quelque confusion, il suffira, pour l’éviter, de dire le nombre 1 + 2 i, dans le premier sens, le point 1 + 2 f, dans le second sens. Cette façon de parler s’appliquera naturellement soit aux nombres réels, soit aux nombres purement imaginaires. Pour les nombres réels, représentés par des points de l’axe des abscisses, c’est la même convention qu’au n° 10. Le point O est l’origine des coordonnées.

Un polynôme

f(z) = (a₀-+-    («!-+- ib\ )zn~¹ -h-. .. H- an -+- ibn,

où a₀, C„ ..., a„, bn sont des nombres réels, est une fonction de la variable z — x iy₁ c’est-à-dire que, si l’on se donne la valeur nu-

mérique de 5 (ou plutôt les valeurs numériques réelles de#,y), on sait calculer la valeur numérique de /(s) (la partie réelle et le coefficient de i). L’étude de la façon dont varie f(z) avec 5 revient à l’étude de la variation simultanée de deux polynômes à coefficients réels en .r, y, quand ces deux variables varient simultanément. Ces deux polynômes s’obtiennent en remplaçant z par x -f- fy, dans le précédent polynôme en s, en effectuant les calculs indiqués, et en séparant la partie réelle et la partie imaginaire : f(z) se met alors sous la forme

*<}'(>,y) :

:p(#,y) et -i(#,y) sont les deux polynômes en question.

f(z): il revient au données #, y) correspond

Au lieu de dire qu’à chaque valeur de z correspond une valeur de même de dire qu’à chaque point z (de coor-un point f(z) [de coordonnées cp(#, y), ou que la fonction donnée (le polynôme) définit une correspondance entre le point z et le point f(z), un mode de transformation qui permet de passer du point z au point /(z) : étudier la fonction, c’est au fond étudier cette correspondance, ou cette transformation : on aura, en particulier, à traiter des questions comme celles-ci : quand le point s décrit un certain lieu, quel est le lieu correspondant décrit par le point /'(y); quand le point z est assujetti à rester dans une certaine région, dans quelle région le point correspondant f(z) est-il assujetti à rester?

10L Considérons quelques exemples simples :

Fig. 33.

x.

conque; d’après le n° 97, le point s -f- A se déduira du point z en lui faisant subir une translation définie par le vecteur qui va du point O au point A : En d’autres termes, le vecteur qui va du point £ au point z + A est équipollent au vecleur fixe qui va du point O au point A.

Quand le point 5 décrit une courbe quelconque, le point 5 + A décrit une courbe égale : on passe de la première courbe à la seconde par la translation qu’on vient d’expliquer; de même, quand le point z est assujetti à rester dans une certaine région, le point z + V est assujetti par là à rester dans une région égale, qui se déduit de la première par cette même translation.

Soit f(z) = A z. Désignons par a la valeur absolue de A : O11 commencera par déduire du point s un point zhomothétique du point 3

Fig. 34.

Ax

par rapport au centre O, le rapport d’homolhétie étant «; le point s' sera l’image du nombre ciz; puis on fera tourner le vecteur qui part du point O pour aboutir au point z' d’un angle égal à l’argument de A ; l’extrémité du vecteur viendra au point As ; c’est ce qui a été expliqué au n° 97 ; le point As se déduit donc par une homothétie, définie par son centre (le point O) et son rapport (le nombre positif a), suivie d une rotation effectuée autour du point O, rotation dont l’angle est l’argument de A, qui est fixe. Si le point s décrit une figure quelconque, la figure décrite parle point As s’en déduira par une homothétie, suivie d’une rotation; ce sera une figure semblable à la figure décrite par le point s, le centre de similitude (le point qui coïncide avec son homologue) étant le point O; elle lui serait homothétique si A était réel, directement si A était positif, inversement si A était négatif. Si le point s décrivait, dans le sens direct, un cercle ayant son

centre au point O, le point Az décrirait, dans le même sens, un cercle concentrique; le rapport des rayons des deux cercles serait a. Si le point s était assujetti à rester dans le premier cercle, le point Az serait assujetti à rester dans le second.

Soit f(z) — A z -f- B. On déduira le point As du point s, comme on vient de l’expliquer, puis on fera subir à ce point As une translation égale au vecteur qui part du point O et aboutit au point B; si le point s décrit une figure quelconque, le point As + B décrira une figure semblable, mais le centre de similitude ne sera plus le point O. Si le point s décrivait, dans le sens direct, un cercle ayant son centre en O, et de rayon égal à p, le point As -f- B décrirait, dans le sens direct, un cercle ayant pour centre le point B, et un rayon égal k a o, en continuant de désigner par a la valeur absolue de A. Si le point s était assujetti à rester à l’intérieur du premier cercle, le point As -f- B serait assujetti à rester à l’intérieur du second.

Soit f(z')=zu. Désignons par p et par 0 la valeur absolue et l’argument de s; la valeur absolue et l’argument de s" seront respectivement p" et nO ; si l’on considère les deux cercles décrits du point O comme centre avec les rayons p et p", le point s sera sur le premier, le point s" sur le second; s’il faut faire tourner de l'angle 0 la direction positive de l’axe des abscisses pour l’amener à passer par le point z, il faudra la faire tourner de l’angle «G pour l’amener à passer par le point zn.

Supposons que p, et par conséquent p", soit constant, et que le point 5 se meuve sur le cercle de rayon p, le point zn se mouvra sur le cercle de rayon p". Si le point z se meut dans le sens direct, il en sera de même du point zn ; si le point z décrit la /ilème partie du premier cercle, dans le sens direct, le point zn décrira, dans le sens direct, le second cercle tout entier; si le point s décrit le premier cercle tout entier dans le sens direct, le point zn décrira n fois le second cercle, dans le même sens; il passe alors n fois par un point quelconque de ce second cercle. Si, pour la position z₀ du point ^ sur le premier cercle, le point zn est au point Z₀ sur le second cercle, lorsque le point z aura décrit sur le premier cercle, à partir de z₀, la /ilorac partie de la circonférence, le point zn se retrouvera en Z₀, .. les n positions du point 5 sur le premier cercle pour lesquelles le point zn coïncide avec le point Z₀ sont les sommets d’un polygone régulier de n cotés inscrit dans ce premier cercle ; ils figurent les n valeurs de 5 pour lesquelles le nombre zn est égal à Z₀, les n racines /iièmes de Z₀, ces résultats sont bien conformes avec ceux des nos 99, 100. Si le point z était assujetti à rester à l’intérieur du premier cercle, le point zn serait assujetti à rester à l’intérieur du second. Les deux cercles coïncident si l'on suppose p = i ; le second cercle est intérieur au premier si p est plus petit que i, extérieur si p est plus grand que i.

Soit f(z) = Azn ; après avoir déduit le point zn du point z, on déduira le point Azn du point zn par une homothétie, dont le centre est le point O, dont le rapport est le nombre a — | A |, suivie d’une rotation autour du point O, rotation dont l’angle est l’argument de A. Si l’on suppose encore que le point z décrive, dans le sens direct, le cercle de rayon p dont le centre est le point O, le point A z¹¹ décrira, dans le sens direct, le cercle concentrique, dont le rayon est np'¹’ il le décrira n fois si le point z décrit une fois le premier cercle.

Soit enfin f(z) = Azn -+- B. Ayant construit, comme on vient de l’expliquer, le point Azn en partant du point z, on lui fera subir une translation définie par le vecteur qui va du point O au point B, et l’on aura ainsi le point A^"-)-B. Si l’on suppose toujours que le point z décrive, une fois autour du point O, le cercle de rayon p, dans le sens direct, le point A s" + B décrira n fois, dans le sens direct, le cercle déduit du point B comme centre avec le rayon a p", en passant n fois par chaque point de ce cercle; si le point 5 est assujetti à rester à l’intérieur du premier cercle, le point Azn -t- B sera assujetti à rester à l’intérieur du second.

§ 2. — ÉTUDE D’UN POLYNOME POUR LES VALEURS DE LA VARIABLE VOISINES D’UNE VALEUR DONNÉE.

105. Soit maintenant

J ( z ) — A o —f- A j z —t— A 2 z - —|—. .. —f- A n z¹¹

un polynôme en z, ordonné suivant les puissances ascendantes de z, (pie l’on veut étudier pour les valeurs de z voisines de o. Désignons par p la valeur absolue de z et par a₀, a,, ..., an les valeurs absolues des coefficients A₀, A,, A₂, ..., An : La valeur absolue de f(z) sera au plus égale au nombre a₀ H- a, p -f- . . . -f- an p", au nombre S₀ = a₀ -f- cit +... + si p est inférieur ou égal à i. L’expression a₀+ «| p . est un polynôme en p à coefficients réels et positifs; on sait comment elle varie avec

P-

Si, en particulier, les premiers termes du polynôme /'(s) manquent, si ce polynôme commence parle terme Apz-P, on pourra l’écrire

Ap+\z -f-.. .-r- Anzn~P).

Supposons p inférieur ou qui multiplie la valeur absolue du polynôme proposé l’on veut qu’elle reste inférieure à ment donné, il suffira de prendre

égal à i, la valeur absolue du polynôme sera au plus égale à Sp= ap-+- ap+i + ••• + ««;

sera au plus égale à S^p^; si un nombre positif s, arbitraire-?<v sy

Revenons au polynôme en supposant toujours qu’on ne considère que des valeurs de z voisines de o; de même que dans le cas où il ne s’agit que de variables réelles, les expressions

A-(b

A o —A i z, Ao H— A i z —f- A i z ~,    ...

constituent des expressions approchées de f(z). Considérons par exemple la dernière : la différence f(z) — (A„ + A,^ -f- A₂s²) n’est autre chose que le polynôme, commençant par un terme en5:!,

A₃~³-i- Ai5l + . .Anz>\

dont la valeur absolue, pourvu qu’on ait | s | ^ i, est au plus égale à S₃ p³, et reste inférieure à s si l’on suppose p < ^/ — ■

Notons encore que le polynôme f(z) pourra être mis sous la forme

f (z') = Ao —j—    -f- A 2 z^ -4— JVI z®,

M étant un polynôme en z dont on sait que la valeur absolue, pourvu (|ue la valeur absolue de z reste inférieure à un nombre positif fixe, reste elle-même inférieure à un nombre positif fixe que l’on sait calculer.

En particulier, pourvu que z soit suffisamment voisin de o, la différence entre f{z) et A₀ est petite en valeur absolue : le point /(z) est aussi voisin qu’on le veut du point A₀, avec lequel il se confond quand z est nul, pourvu que le point 5 soit suffisamment voisin du point O : c’est ce qu’on exprime en disant que le polynôme /(z) est une fonction continue de z, pour z = o. Pourvu que p soit moindre

que on a

I/O) — Âo| <S,

et le point f{z) reste à l’intérieur d’un cercle décrit du point A0 comme centre avec un rayon égal à s. Supposons que A₀ ne soit pas nul; on a pu alors choisir s <C «₀ ; dans ces conditions le point O est extérieur au cercle de rayon £ décrit de A₀ comme centre; le point f(z) ne peut donc venir au point O : En d’autres termes, s’il y a un terme constant dans un polynôme, ce polynôme ne peut s’annuler lorsque la valeur absolue de s reste inférieure à un nombre positif que l’on sait fixer.

En polynôme, dont tous les coefficients ne sont pas nuis et qui s’annule pour z = o, ne peut être nul pour les valeurs de 5 suffisamment voisines de o.

En polynôme, dont tous les coefficients ne sont pas nuis, ne peut être nul pour toutes les valeurs de 5. Deux polynômes ne peuvent prendre les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de z sans être identiques terme à terme (n° 33).

106. Je vais maintenant montrer que si un polynôme f(z) contient un terme constant A₀, on peut trouver des valeurs de 3, aussi voisines de o qu’on le veut, telles que, pour ces valeurs, on ait

I/O) I < I Ao |.

Cette proposition nous sera utile un peu plus loin.

Par hypothèse, le polynôme, ordonné suivant les puissances ascendantes de z, commence par un terme constant A₀ ; il peut manquer ensuite plusieurs termes; je suppose que le premier terme (non nul)

26 7

(|in suive A₀ soit Ap z-P ; le polynôme peut se réduire à ces deux termes et avoir la forme A₀ + Ap zP ; s’il y a d’autres termes, on pourra dans

Fig. 35.

A₀

tous ces termes mettre zP+i, au moins, en facteur et écrire le polynôme sous la forme

Z = A₀ -+- A.pzP-+-    ;

les valeurs ab-

api ?

je ne considérerai que des valeurs de z telles que l’on ait \ z | << 1 ; alors la valeur absolue du polynôme M restera inférieure à un nombre positif fixe m₁ à la somme des valeurs absolues de ses termes, par exemple. Je continuerai de désigner par aQ solues des coefficients A₀, Ap et de la variable

Quand 5 est petit en valeur absolue, les expressions

A-o?

/1 - A₀ -f- Ap zp

constituent des expressions approchées de Z. Lorsqu’on donne à s une valeur numérique, la valeur absolue de la différence entre les deux nombres Z, et A₀, la distance entre les deux points Z, et A0 est égale à ap oP ; on peut la supposer moindre que a₀ ; il suffit de

prendre pour cela p <<    l’erreur commise en substituant Z, à Z,

c’est-à-dire M;f+I, est moindre en valeur absolue que mpP+t ; en d’autres termes, la distance entre les deux points Z, et Z est moindre que mpP+l] on peut la supposer moindre que ctpoP\ il suffit de

prendre p < je supposerai p inférieur au plus petit des nombres

positifs d’ailleurs aussi petit qu’on le voudra.

Supposons que le point 5 décrive, dans le sens direct, un cercle de rayon p, et dont le centre soit le point O : le point Z, décrira p fois, dans le sens direct, un cercle (G) dont le centre sera le point An et dont le rayon appP sera moindre que a₀, en sorte que le point O sera certainement extérieur au cercle (C).

Soit K le point du cercle (C) situé entre O et A„ sur la droite qui joint ces deux points. Quand le point Z, est en K (il y passe p fois), le point Z, dont la distance au point Z, est toujours moindre que le rayon de (C), se trouve alors à l’intérieur d’un cercle décrit de R comme centre avec un rayon moindre que le rayon de (G) : ce cercle, de centre K, sera donc intérieur au cercle décrit du point O comme centre avec un rayon égal à a₀ ; cela revient à dire que le point Z est à une distance du point O moindre que a₀, ou que la valeur absolue du nombre Z est moindre que a₀, lorsque le point c est dans l une des p positions pour lesquelles Z, est en K.

107. Lorsqu’on veut étudier un polynôme

f(z) = A₀-i- Aiz -h A,z²-h. . .-y Anzn,

pour les valeurs de z voisines d’un nombre donné £₀, on ramène (nos. 3o, etc.) cette étude au cas où la variable est voisine de o, en posant ; = z₀ + h₁ puis en ordonnant le polynôme

f '(Zq 4- A) = Ao -t- Ai (Zq    /<-) 4- A2 (Zq 1 h)* -+-. .. -t- A/t (Zq 4- h)ra,

suivant les puissances ascendantes de h ; h sera alors regardé comme une variable imaginaire, petite en valeur absolue. Les résultats du Chapitre 11, fondés uniquement sur les règles relatives à l’addition et à la multiplication, s’appliquent sans changement. Si l’on désigne par

J" (z ) = Ai —i— a A2 z -t- 3 A₃ s² —h .. . —{— n A/t z,

/“(z) = 1.2Aj-i- ?..3A₂^ -y.. .4— (n — i)nA„2"-²,

( z ) = 1.2.. .p Ap -t- 2.3 ... (p -1- 1 ) A/H_! 34-...

-h (n —/>4-i)(n — p 4- 2 ) ... n A„ zn~i\

fM(z) = 1.2. ..n A„,

ÉTUDE DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLES IMAGINAIRES.

les n dérivées du polynôme f(z), dont la niè

me

est une constante, on a

f{zo-+- h) —f(z₀)

f"(z0)

1.2

A² -f-. . .

1.2 .. .p

A/M-

- A'*.

\ . ‘2 ... H

ou, si l'on veut,

f(z) —f(z0) -t-

/'Mo)

(•8 --So) + :

f'(z0)

I .2

(.3 — -Sy )²

I .2

en désignant par/(.s₀), f'(z ₀), ... les valeurs des polynômes f(z), f'(z), ..., quand on y remplace 5 par ^₀. Si h est petit en valeur absolue, si £ reste voisin de z₀, la valeur de f(z) reste voisine de f(z₀), aussi voisine qu’on le veut, pourvu que la valeur absolue de h soit suffisamment petite : c’est ce qu’on exprime en disant que le polynôme est une fonction continue de z: pour 5 = z₀.

Si le polynôme f(z) s’annule pour 5 = z₀, z{) est une racine de ce polynôme; l’ordre de multiplicité de cette racine est la plus haute puissance de h que l’on puisse mettre en facteur dans le polynôme f(z₀ -y- h) ordonné suivant les puissances de h ; c’est le degré du premier terme de ce polynôme qui n’est pas nul; pour que c₀ soit une racine d’ordre de multiplicité p du polynôme    il faut et il

suffit que ce polynôme s’annule pour 5 = ainsi que ses p — 1 premières dérivées, et que la plèm0 dérivée 11e s’annule pas. Si l’ordre de multiplicité p, défini comme plus haut, était égal à 1, la racine £0 n’est pas multiple; elle est simple; dans ce cas la dérivée f'(z) ne s’annule pas pour z~zn. Si est une racine d’ordre de multiplicité p pour le polynôme f(z), c’est une racine multiple d’ordre p—1 pour f'(z): puisque les/? — 2 premières dérivées du polynôme f'{z) s’annulent pour z = z₀, et que sa (/? — 1 ),omc dérivée 11e s’annule pas ; elle est d’ordre p — 2 pour f"(z), d’ordre 1 (une racine simple) pour f{P~'⁾(z)\ ce n’est pas une racine pour fW^z). On peut mettre alors le polynôme f{z) sous la forme f(z) = (z— z₀)p z>(z), ®(z) étant un polynôme qui ne s’annule pas pour z = zn. Réciproquement, si l’on peut mettre f{z) sous cette forme, le polynôme o(z) ne s’annulant pas pour z = z₀, on peut affirmer que z₀ est une racine de f(z), d’ordre de multiplicité /?. Si z, est une racine de f(z)* .autre que ^₀, z, est une racine de <z(z-): elle est du même ordre de multiplicité dans f(z) et dans

Si le poljnome f(z) ne s’annule pas pour z = j₀, il ne s’annule pas non plus pour les valeurs de z suffisamment voisines de z₀', mais on peut, d’après le numéro précédent, trouver de telles valeurs pour lesquelles on ait

108. Considérons maintenant Jes valeurs de la variable qui sont grandes en valeur absolue. Pour de telles valeurs, le polynôme est lui-même très grand en valeur absolue.

Supposons, en effet, que ce polynôme soit de degré n; en l’ordonnant suivant les puissances descendantes de 5 on pourra l’écrire

f ( Z ) — Bo Ztl “1— B i Zn *    . . . -f- B n—\Z —h* B ,i

= Zn

n-1

n— 1

-f-B

Le polynôme entre crochets, dans le dernier membre, est un polv-nome en -» ordonné suivant les puissances de \ ■> dans lequel le premier terme B₀ n’est pas nul.

On peut choisir la valeur absolue p de z assez grande, ou la valeur

absolue - de \ assez petite, pour que la différence entre le polynôme P z

•en - qui est entre crochets et son premier terme B₀ soit moindre en valeur absolue que tel nombre positif £ que l’on voudra. Dans -ces conditions la valeur absolue de f(z) sera supérieure à o'*(b₀— £), •en désignant par ba la valeur absolue de B₀, que l’on peut supposer plus grande que e. Or, il est clair que, pourvu que p soit assez grand, la valeur de pn(b₀—s) peut dépasser tel nombre positif que l'on voudra.

On voit, en particulier, que, lorsque le points est à l’extérieur cl’un •cercle décrit du point O comme centre avec un rayon suffisamment grand, le polynôme f(z) ne peut pas s’annuler.

§ 3. — EXTENSION DE DIVERS RÉSULTATS.

109. La formule du binôme (n° 43) s’applique aussi bien, qu’il is’agisse de nombres réels ou de nombres imaginaires. On peut, en

•AJI

particulier, rappliquer au développement de (a -f- bï)n, en supposant que «, b soient réels; on trouve ainsi

( ci —{— b 1 y* — A. —H B 1₅

A et B étant des nombres réels définis par les formules

(O

| A = a" ( B = G"a

— C"ctn~²è²-h C,lan-'*b’i —.— \)P Gjp 6 — C" a"~³ è³ -+- C" a,i_5 è⁵ —... — (— 1 )p    b%P~x -+-... ;

les coefficients numériques C", C", ... ont été définis au n° 43. Les derniers termes de A, B sont respectivement

(—j)-b"

— (— 1 )²naè"_1,

si n est pair et

» — t

(—1) ² nabn~l,

n-h 1

— (-0 ²

si n est impair.

En prenant en particulier a —cos8, 6=sin8 et en se rappelant (n“ 97) la formule de Moivre

( cos 0-+-1 sin 0 )n == cos n 0 -4- i sin n 0,

on obtient les relations

(2)

( cosn0 = cos"0 — C',' cos't-20 sin²0 -+- C" cos,t—40 sini0 —.. \ sinn.0 = C" cos,t_1 sin0 — C" cos"~³0 sin³0

dont les seconds membres sont des polynômes homogènes en cosO et sin8.

En posant cos 8 = x, on a

sin 0 = ± \J1 — x'¹,

et l’on reconnaît, puisqu’il n’entre dans le développement de cos/i8 que des puissances paires de sin8, dans le développement de sin8 que des puissances impaires, que cos/i8 est un polynôme en x et que sin«8 est un polynôme en x multiplié par 1 — x'² ; ces deux polynômes sont de degrés respectifs 11 et n — 1; les coefficients numériques des

termes du plus haut degré sont respectivement

C₀-+- C₂-t- C₄-+-..

Cl -+- G3 -1- C5 -4- . .

(n° 43).

c’est-à-dire qu’ils sont tous deux égaux à 2

Enfin, en divisant membre à membre les égalités (2) et en di\isant par cos¹¹ b les deux termes de la fraction que l’on obtient alors au second membre, on trouve

n—\

tang /t 0 =

G Y tan» 0 — G " tang³ 0 h- G" tang⁵ 0 —...

V! tang² 0 G" tang» 0 -+-. ..    ’

tangn8 est une fraction rationnelle en tang 9.

En combinant la formule de Moivre avec celle qu’on en déduit en changeant 0 en — 0, on voit qu’on peut aussi écrire

( cos 0 -1- i sin 0 )n -t- ( cos 9 — i sin 0 )»■

--y

2

( cos 0 -4- t sin 0)«— ( cos G — i sin 6 )"

-;- ,

cos/t9 =

sinnO -

tang«6 =

(1-4- i tang 0 y¹ — ( i — i tang 0 ) "

t[(i -i- i tangO)" -t- (1 — i tangO )" |

110. La théorie de la division des polynômes ordonnés s’étend sans aucun changement aux polynômes à coefficients et à variables imaginaires, puisqu’elle est fondée uniquement sur des règles de calcul qui s’appliquent aussi bien aux nombres imaginaires qu’aux nombres réels.

On appelle fonction rationnelle de z ou fraction rationnelle en z une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes en j. Les explications qui précèdent suffiront au lecteur pour étendre à ces fractions la plupart des propriétés qui ont été établies au Chapitre IV; il verra de suite, en particulier, comment, lorsque le dénominateur ne s’annule pas pour ; = o, on obtient des polynômes simples qui représentent, avec telle approximation que l’on veut, la fraction rationnelle; une fraction rationnelle est continue pour toute valeur de z qui n’annule pas le dénominateur. Si zu est une valeur de ^ qui annule le dénominateur sans annuler le numérateur, la fonction est très grande en valeur absolue pour les valeurs de ; suffisant-ment voisines de z₀ ; il en est de même si 3₀ annale le numérateur comme le dénominateur, lorsque est pour le dénominateur une racine d’ordre de multiplicité plus grand que pour le numérateur. On dit alors cpie la fonction est infinie pour z = 3₀, et cpie^o est un pôle de cette fonction; l’ordre de multiplicité du pôle est la différence des ordres de multiplicité de z₀ considéré comme racine du dénominateur et du numérateur. Si z₀ n’était racine que du dénominateur, l'ordre de multiplicité du pôle serait l’ordre de multiplicité de z₀ considéré comme racine du dénominateur. Si l’ordre de multiplicité du pôle était i, ce pôle ne devrait pas être regardé comme multiple, mais bien comme simple.

Si 5₀ est un pôle d’ordre de multiplicité p, il existe un polynôme

en

—-—> de degré /?, sans terme constant, et, par conséquent, de la

Z - Z₀ forme

ôo

{Z —z o )P

tel que la différence entre la fraction rationnelle et le polynôme peut être regardée comme une fonction continue de ; pour z = z₀\ ce polynôme en —-—» qui est d’ailleurs unique, se calcule comme il a été

Z - Z 0

expliqué au n° Go. Je continuerai de le désigner comme la partie de la fraction qui devient infinie pour z = z₀. Le coefficient Ap_t du

terme en —-— s appelle le résida du pôle z₀.

La théorie de la décomposition en éléments simples d’une fraction

subsiste sans chan-

rationnelle de la forme

A*)

{z — a)*(z — b)$...( z — /)'Â

gements.

n° 80.

U en est de même pour les théories de la divisibilité des polynômes, du plus grand commun diviseur, du plus petit commun multiple de deux ou plusieurs polynômes. Toutefois l’introduction des nombres imaginaires modifie profondément la notion de polynôme premier telle qu’elle a été présentée au

On y considérait alors comme premier tout polynôme qui ne pouvait se décomposer en un produit de polynômes : tel était par exemple le polynôme x² + i, impossible à décomposer lorsqu’on ne considère que des polynômes à coefficients réels, qui est égal au produit des facteurs du premier degré x — *, x -+- i, quand on introduit les nombres imaginaires. On verra tout à l’heure qu’au point de vue où nous sommes, les seuls polynômes indécomposables sont les polynômes du premier degré.

§ 4. — THÉORÈME FONDAMENTAL DE L’ALGÈBRE.

111. La proposition connue sous ce nom peut s’énoncer sous la forme suivante :

Tout polynôme en z du degré n est le produit de n facteurs du premier degré en s, à coefficients réels ou imaginaires.

La démonstration de cette proposition se ramène aisément à la démonstration de la suivante :

Tout polynôme en z à coefficients réels ou imaginaires admet au moins une racine réelle ou imaginaire.

Avant d’indiquer une démonstration de cette dernière proposition il convient d’en rappeler le sens précis.

Soit

f(z ) — ( <%o -+- i ) z'¹ -1- ( a y -4- b\ i ) zn 1H— ... —t— ( an -+- bni)

Cf 0 j CL j j    j du ^

.., bn étant des nombres réels; je n’exclus pas le cas où, ù₀, . .., bn étant nuis, les coefficients seraient réels.

un polynôme en z du degré n dont les coefficients sont les nombres complexes a₀-\- b₀i₁ aK -|- b, f, . . ., a„-(- b„ /, bo, b

Le théorème précédent veut dire qu’il existe un nombre zt — x K -\-iy ou plutôt deux nombres réels y, tels que si l'on remplace dans f(z) z par xK + iyt, et que l’on effectue les calculs d’après les règles du Chapitre précédent, le résultat soit nul, la partie réelle et le coefficient de i étant nuis séparément.

On peut encore présenter les choses ainsi : dans /(s) remplaçons z par x + «y, en désignant par x et y deux variables réelles.

Le polynôme /(s) prendra la forme (n° 103) en désignant parcp(x,y) et <j>(.r, y) des polynômes à deux variables réelles x, y et à coefficients réels. La proposition énoncée veut dire qu’il y a un couple de nombres réels xt, yt qui annulent les poly-

“2j5

ÉTUDE DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLE IMAGINAIRES.

ou encore que les deux équations, à coeffi-

nomes cients réels

admettent une solution réelle x — x,, y = y,.

112. La démonstration que je donnerai de ce théorème repose sur le postulat suivant que je prierai le lecteur d’admettre : il est d’ailleurs susceptible d’une démonstration parfaitement rigoureuse : c’est un cas particulier d’une proposition beaucoup plus générale.

Soit g (x, y) un polynôme à deux variables réelles x, y et à coefficients réels; parmi les couples de valeurs (réelles) de x, y qui satisfont à la condition x'² y- jk² = R², où R est un nombre positif donné, il y en a un^i, yt qui fait acquérir au polynôme g(x, y) une valeur minimum g(xt, y{) : c’est-à-dire que, pour tous les couples de valeurs de x, y qui vérifient l’inégalité précédente, on a certainement

g(¹ u    y)-

En d’autres termes, à l’intérieur du cercle (C) décrit de l’origine des coordonnées comme centre, avec le rayon R, ou sur la circonférence de ce cercle, il y a un point dont les coordonnées vérifient l’inégalité précédente.

La démonstration rigoureuse de ce théorème repose essentiellement sur ce qu’un polynôme est une fonction continue des variables qui y figurent : elle s’étend par conséquent aux fonctions continues autres que les polynômes. Quant au théorème lui-même, il parait peut-être au lecteur plus évident qu’il n’est en réalité : on sentira bien la nécessité de cette démonstration que je supprime, en observant que la proposition cesserait d’être vraie si l’on remplaçait l’inégalité x² -+-y²<R2 par l’inégalité x² -+- y² <! R², et ce dernier point est assez clair, puisqu’il peut arriver que ce soit précisément pour un couple de valeurs x,,y, vérifiant la condition x:\-\-y\ — R² [pour un point situé sur la circonférence du cercle (C)], quele polynôme atteigne la plus petite valeur possible.

Quoi qu’il en soit, si l’on admet ce postulat (¹ ), la démonstration de

CHAPITRE VII.

•276

l’existence cl’une racine pour le polynôme

f(z) —    b₀ 0zn -t- (a, -H I) 11) s'*-¹ -+- . ..

repose sur ce que, dans le voisinage de chaque valeur 3 qui n’annule pas/(s), d y a des valeurs de z pour lesquelles on a

(nos 105, 107).

Le postulat qu’on vient d’énoncer va être appliqué, en choisissant convenablement le cercle (G), au polynôme

où cp(.r, y), ’b(x, y) sont les polynômes à coefficients réels et à variables réelles que l’on déduit du polynôme f(z) quand onremplace s par x -h iy, et qu’on sépare la partie réelle et la partie imaginaire, ainsi qu’on l’a expliqué au numéro précédent : le polynôme g(x, y) représente le carré de la valeur absolue de f(z), pour z = x iy, ou, si l’on veut, le carré de la distance à l’origine du point /(s). Dire qu’il y a un point, de coordonnées x{, y,, situé soit à l’intérieur, soit sur la circonférence de (G) tel que l’on ait ^(x,, y, ) £g(x, y) pour tous les points de coordonnées x, y, situés soit à l’intérieur de (G) soit sur sa circonférence, revient à dire qu’il y a un point z, = xt -h iyt, situé à l’intérieur ou sur la circonférence de (G), tel que l’on ait, pour tous les points z = x -j- iy situés à l’intérieur ou sur la circonférence de (G), \f(zi)\^.\f(z)\. Ceci posé, soit z' une valeur quelconque de s qui n’annule pas f(z)\ soit P un nombre positif quelconque supérieur à \f(z')\\ soit R un nombre positif, tel que l’on ait |y(s)|>> P, si la valeur absolue de z est égale ou supérieure à R. On a montré, au n° 108, comment, lorsqu’on se donnait le nombre P, on pouvait déterminer R. On va prendre pour le cercle (G) le cercle de rayon R, dont le centre est à l’origine. Pour tout point z situé à l’extérieur ou sur la circonférence de (G), on a | f(z) | > P ; tous les points s pour lesquels on a \f(z)\ <P sont donc à l'intérieur de (G); tels sont en particulier le point z': les points z pour lesquels on a | f(z) \ ^ (,/(s/) |, le point zi défini plus haut; pour ce point la valeur absolue de f(zt ) est certainement inférieure ou égale à | f(z') |, puisque le point z¹ est à l’intérieur de (C).

11 en résulte que f(z\) est nul; si, en effet,f{z{ ) 11’était pas nul, il y aurait un point z pour lequel on aurait \/{z) \ < \ f{z\)- Cette iné-

'■*77

galité entraîne | f(z) | << P, elle exige donc que le points soit à l’intérieur de (C); mais alors elle contredit la supposition en vertu de laquelle on a | f(z{ ) | = | f{z) I pour tous les points z situés à l’intérieur de (C).

11 faut donc que l’on ait f(z{ ) = o, ou

<P(^ll JKl)= °>

et la proposition énoncée est établie.

113. On va maintenant montrer que tout polynôme du degré n à coefficients réels ou imaginaires est le produit de n facteurs de la forme z — «, où a est un nombre réel ou imaginaire, et d’un facteur numérique égal au coefficient de zn dans le polynôme.

Soit en effet

f( z) — Ao<s,l-t- A, z'¹ 1 ...-+- An~ i z    A;i

le polynôme proposé. En vertu du numéro précédent il admet une racine z, ; il est donc divisible par s — z, ; le quotient est un polynôme/’, (z) de degré n — i, qui commense par le terme AqS"⁻¹ ; ce polynôme /, (s) admet lui-même une racine z₂ ; il est divisible par z — z₂, et le quotient est un polynôme du degré n — 2 qui commence par le terme A₀zn~'²‘ en continuant ainsi, de proche en proche, on arrive à un polynôme /„_, du premier degré qui commence par le terme A₀s et que l’on peut écrire A₀(s— z„) en désignant sa racine par z„ ; la suite d’égalités

/ O) ,/iO)

= (z — z, )/t(z), = (z — z₂)f₂(z),

n—1

(z) = A ₀(z — zn),

en remplaçant dans la première /, (z) par (z — z₂) f₂(z\ puis dans le résultat />(s) par (z — z₂)f\(z), ..., entraîne l’identité

/(«) = AoO — Zi)(z — z,)(z — Z₃). . .(Z — zn),

que l’on avait annoncée.

Rien ne suppose dans le raisonnement précédent que les nombres z₂, ..., zn soient distincts. Si l’on désigne par a, b, ..., I les

nombres différents qu’on peut tirer de la suite z l'on suppose que a figure a fois dans cette suite, que b y figure [3 fois, . . ., que l y figure X fois, on peut écrire l'identité précédente sous la forme

2, • • • 1 %n, si

(0

f(z) = X₀(z — a):t’{z — b)P ... (z — Z)*;

les nombres a, [3, ..., X sont des nombres naturels; mais rien n’empêche qu'ils soient égaux à 1 ; on a d’ailleurs

n.

a -h [3 -t- ... -+- X =

Supposons qu’on se donne un polynôme /(«), c’est-à-dire qu'on se donne ses coefficients, et qu’on l’ait mis sous la forme précédente.

On voit, puisqu’un produit ne peut être nul sans qu’un de ses facteurs soit nul, que le polynôme f(z) ne peut s’annuler que pour les seuls nombres a, b, c, ..., /, qui sont en nombre au plus égal à n.

On voit aussi que le polynôme /(z) ne peut être mis que d’une seule façon sous cette forme, où tout est déterminé, les nombres a, b, c, ..., Z, qui sont les racines distinctes de f\z), les exposants a, (3, ..., X, dont chacun indique l’ordre de multiplicité de la racine correspondante, le facteur constant A, nécessairement égal au coefficient de z'¹ dans le polynôme f(z).

Au reste, on pourrait invoquer encore le théorème du n° 80, sur l’impossibilité de décomposer de deux façons différentes un polynôme en un produit de facteurs premiers : ces facteurs premiers sont ici, comme on l’a dit plus haut, les polynômes du premier degré.

Un polynôme de degré n ne peut s’annuler pour plus de n valeurs distinctes de la variable.

Si l’on sait d’un polynôme en z qu’il n’est pas de degré supérieur à n et qu’il s’annule pour plus de n valeurs distinctes de z, on peut affirmer que tous ses coefficients sont nuis, car, si l’un de ces coefficients n’était pas nul, le polynôme serait d’un certain degré p << n, ou bien il se réduirait à une constante, dans le cas où tous les coefficients seraient nuis, sauf le terme constant. Dans le premier cas il ne pourrait s’annuler pour plus de p valeurs distinctes de 5 ; dans le second cas, il ne serait jamais nul.

Deux polynômes en z du degré n au plus ne peuvent prendre des 279

valeurs égales pour plus de n valeurs distinctes de z sans être identiques terme à terme, puisque leur différence est un polynôme en z de degré n au plus qui s’annulerait pour plus de n valeurs de la variable. En d’autres termes, il 11’existe qu’un polynôme de degré inférieur ou égal à n qui prenne n 1 valeurs données pour n -+- 1 valeurs données distinctes de la variable.

On a appris à former ce polynôme au n ' 67, dont les conclusions s’étendent immédiatement au cas d’un polynôme à coefficients et à variable imaginaires.

114. Lorsqu’un polynôme a ses coefficients réels, à chaque racine imaginaire de ce polynôme correspond une racine imaginaire conjuguée, pour laquelle l’ordre de multiplicité est le même.

Soit

J"(z)—Ao*"+ A|^'¹ ¹-4-...-(-A,j,

le polynôme donné dans lequel les coefficients A₀, A,, . . ., A„ sont réels; supposons-le, en désignant par zt, z->, . . ., zn ses racines, chacune étant répétée autant de fois qu’il y a d’unités dans son ordre de multiplicité, mis sous la forme

f(z)= AoO — zx){z — z^... (z — zn);

dans cette identité, qui a lieu quel que soit z, regardons z comme un nombre réel; f(z) est alors un nombre réel.

Désignons par z\, z[,, ..., z'n les nombres conjugués de z,, z.₂, ..., zn. Le nombre A₀(5 — z\ ) (z — z'₂)...(z — z'n) est le nombre conjugué du nombre A₀(2 — z, ) (z — z₂)...(z — z„) (n" 91 ) : comme le dernier nombre est réel, le premier lui est égal; l’égalité

A₀(s — Zi)(z — z₂). . . (z — Zn) = AoO — z\ )(-S — z'ï) ■ • • (z — z'n)i

devant avoir lieu pour toutes les valeurs réelles de s, est une identité en 5. En d’autres termes, le polynôme f(z) peut aussi bien être mis sous la seconde forme que sous la première. Tout facteur qui se trouve dans un membre doit se trouver dans l’autre et le même nombre de fois. Cette remarque n'apprend rien pour ce qui concerne les racines réelles, identiques à leurs conjuguées. Mais si z,, par exemple, est une racine imaginaire d’ordre de multiplicité a, c’est-à-dire s’il y a dans le premier membre a facteurs identiques

à z — zK, il y en a le même nombre a qui sont identiques à s — z. : en d’autres termes le polynôme admet le nombre z\, conjugué de ^ comme racine du même ordre de multiplicité que ^

11 est alors naturel de grouper ensemble les facteurs qui correspondent à deux racines conjuguées a bi, a — bi; le produit

( z — a — bi)( z — a -+- bi)

de ces deux facteurs est égal à

(z — a )² -i- b- = z- — 2.az -h a - -+- b²:

c’est le trinôme du second degré en 3 à coefficients réels, dont les racines sont a -h bi, a — bi. En faisant de même pour chaque couple de racines conjuguées, on voit que tout polynôme f(z) peut se mettre sous forme d’un produit de facteurs réels; les uns sont du premier degré, ils correspondent aux racines réelles; les autres sont des trinômes du second degré à racines imaginaires; chacun d’eux a pour racines un couple de racines imaginaires conjuguées du polynôme proposé. Si, par exemple, le polynôme f(z), du degré /?, à coefficients réels, admet /• racines réelles s,, z₃, ..., zr et 2 s racines imaginaires, conjuguées deux par deux, et si l’on désigne par

z²-hptz -h qu z²-h p₂z —l— q,,    . .., z² -+- p, z -h qSl

les trinômes du second degré dont chacun admet comme racines un des s couples de racines imaginaires conjuguées, le polynôme peut se mettre sous la forme

\₀(z — Zi)(z — zi)...(z — zr)(z²-\-piZ-\-gl)(z²-^-p^z->r-qî).. .{z²-+-p? zq s).

A₀ est toujours le coefficient de zn dans /(z). Ici encore, on ne suppose pas que les facteurs du premier degré ou ceux du second soient nécessairement distincts : chacun figure autant de fois qu'il y a d’unités dans l’ordre de multiplicité de la racine correspondante, si elle est réelle, dans l’ordre de multiplicité commun aux deux racines conjuguées, s’il s’agit d’un facteur du second degré.

Ici encore, tout est déterminé dans ce mode de décomposition, lorsqu’on suppose que les facteurs du second degré n’ont pas de racines réelles. Au reste, on peut encore invoquer l’impossibilité de décomposer de deux façons un polynôme en facteurs premiers. Si l’on se place en effet au point de vue des nombres réels, si l’on ne veut considérer que des polynômes à variables réelles et à coefficients réels, il est clair que les facteurs du premier et du second degré qui figurent dans la formule précédente doivent être regardés comme des facteurs premiers.

l ia. La recherche des racines d’un polynôme donné /(#) est identique à la recherche des solutions de l’équation z) — o, ou, comme on dit, à la résolution de cette équation.

On sait effectuer cette résolution dans le cas où l’équation est du premier ou du second degré; dans ce dernier cas, en effet, la méthode cpie l’on enseigne dans les Eléments s’applique, que les coefficients soient réels ou imaginaires; on a à extraire une racine carrée, ce que l’on a appris à faire au n° 93.

Soit par exemple à résoudre l’équation

z² — (2+    + 3 + « = o;

on trouvera les deux racines sont

z' —

= 1 -t- 2 i,

¹

J’aurai l’occasion d’admettre plus tard la proposition analogue pour les fonctions continues à une seule variable (Introduction, p. 237).

z" =

et l’on peut écrire l’identité en 3

z²— (2 -t- i)z -t- 3 -+- i =(z — 1 — 7.i)(z — 1 -t- i).

116. On sait encore effectuer la résolution pour une équation binôme, c’est-à-dire pour une équation de la forme xn — A = o, c’est le problème qui a été traité aux n0s 99, 100, etc. Bornons-nous au cas ou A est égal à 1.

Les n racines de l’équation

zn — 1 = 0

ou les n racines /?iemes de l’unité s’obtiennent (n" 100) en donnant

à k. dans l’expression cos    / sin^-^, n valeurs consécutives.

¹    n    n

Elles sont toutes simples, puisqu’il y en a n qui sont distinctes.

Le polynôme zn— 1 est donc le produit de n facteurs de la forme

2 k TT    . . 2. k n

z — cos--1 sin-,

où k a n valeurs consécutives. On peut aussi appliquer la formule du n° 114 et obtenir une décomposition en facteurs réels. Supposons d’abord n impair; on pourra prendre pour les n valeurs du nombre k les n nombres consécutifs

o, 1,    .

la valeur o attribuée à k fournit la seule racine réelle de l’équation proposée, savoir z — 1; d’ailleurs, à deux valeurs symétriques de k répondent deux racines conjuguées : on peut dire que la racine réelle unique de l’équation proposée est z = 1, et que les n — 1 racines imaginaires, conjuguées deux par deux, sont contenues dans la formule

n -—- • Le produit de deux fac-

2 Ait \2 z — cos--

On a donc identiquement en z,

i)(*²

2-

- 2 Z COS - -1- I

X (z² — 7.Z COS ^

Z² — 2 Z COS

(n — i)7c

ce que l’on écrit souvent sous la forme

2 Ar

zn— 1 = (z — 1

Z²- 2 Z COS

le signe J J| indique qu’on doit faire le produit de facteurs qui se déduisent de l’expression écrite après ce signe, en donnant à k des valeurs consécutives, à partir de la valeur k= i, placée au-dessous

du signe, jusqu’à la valeur k= ———> placée au-dessus.

Lorsque n est pair on peut prendre pour k les valeurs

--5 | 2>

qui correspondent aux valeurs o et-> sont alors

les racines i et

réelles, les autres sont imaginaires conjuguées, et l’on peut écrire

Zn- I — ( Z'¹ — ) )

ri -

‘ikir

— '1Z cos -

Le problème de la résolution des équations ou de la décomposition des polynômes en facteurs du premier degré sera repris ultérieurement; je me borne pour le moment aux exemples qui précèdent et je vais poursuivre quelques conséquences de cette décomposition supposée effectuée.

117. Quand deux polynômes f{z) et f(z) sont décomposés en facteurs du premier degré, on sait reconnaître immédiatement si l’un est divisible par l’autre : f{z) sera divisible par 'f(z) si tous les facteurs du premier degré qui figurent dans le polynôme <p (z) figurent dans le polynôme f(z), autant de fois au moins : cette condition est nécessaire, comme on le voit de suite en supposant f{z) — f(z)J; (z), et le polynôme '}(«) aussi décomposé en facteurs du premier degré; elle est évidemment suffisante.

Dès lors, étant donnés deux ou plusieurs polynômes en z: décomposés en facteurs du premier degré, on saura former soit leur plus grand commun diviseur, soit leur plus petit commun multiple.

Le plus grand commun diviseur des polynômes P, Q, R, ... sera le produit des facteurs binômes qui figurent à la fois dans tous ces polynômes, chacun étant répété autant de fois que dans celui des polynômes P, Q, R,, .., où il est répété le plus petit nombre de fois.

Le plus petit commun multiple de deux ou plusieurs polynômes P, Q, R, ... décomposés en facteurs du premier degré s’obtiendra en faisant le produit des différents facteurs qui figurent dans ces rents polynômes, chacun de ces facteurs étant répété autant de fois que dans le polynôme où il est répété le plus grand nombre de fois:.

ditle-

Les démonstrations sont identiques à celles de l’Arithmétique, poulies théorèmes analogues concernant la recherche du plus grand commun diviseur des nombres entiers décomposés en facteurs premiers : ceux-ci sont remplacés, dans la théorie qui nous occupe, par les facteurs binômes.

Par exemple, le plus grand commun diviseur des polynômes

x³(x — i)²(æ- -+- iy(x — i — i), x²(x — i)(a- -t- i)³(x — 1-4- *),

(x — i)³(a? -4- i)²(x — i)

est

(x — i)(a? -t- i)².

Leur plus petit commun multiple est

x³(x — i)²(ir -+- i)⁴(a7 — i — t')(a? — i -4- i)(x — t).

118. Racines multiples. — La théorie précédente permet de reconnaître la composition du plus grand commun diviseur entre un polynôme f(z) et sa dérivée et de décomposer effectivement un polynôme donné f(z) en un produit de polynômes dont chacun n’admet plus que des racines simples.

On a vu plus haut qu’une racine z{ du polynôme f(z), d’ordre de multiplicité a, est une racine de la dérivée f'(z) avec l’ordre de multiplicité a — i ; dans le cas où a est égal à i, où 5, est une racine simple de f(z)i z, n’est pas racine de la dérivée. Réciproquement, si z, est une racine de la dérivée fr(z), d’ordre de multiplicité a', pour cette dérivée, et si zt est racine de f(z), on peut affirmer qu’elle est une racine d’ordre de multiplicité a'-h i pour f(z) : en effet, si a est son ordre de multiplicité pour f(z), cet ordre de multiplicité pour f'(z) doit être a — i ; on doit donc avoir a — i = a' (⁽ ).

(') Un nombre peut être racine multiple de la dérivée d’un polynôme sans être racine de ce polynôme : ainsi le polynôme z⁴ —i a pour dérivée l^z7, \ o est une racine triple de cette dérivée et n’est pas racine de s⁴ — i.

D’après cela, si un polynôme /‘(s) n’a que des racines simples, il n’a pas de racine commune avec sa dérivée /'(s); le plus grand commun diviseur de f(z) et de f'(z) est i. Réciproquement, si le plus grand commun diviseur d’un polynôme et de sa dérivée est i, on peut affirmer que ce polynôme n'a que des racines simples. Tel est, par exemple, le polynôme zn— i.

Si un polynôme f(z) a des racines multiples, et si on le suppose décomposé en facteurs du premier degré, on voit que le plus grand commun diviseur de ce polynôme et de sa dérivée est formé des facteurs correspondant aux racines multiples, chaque facteur figurant une fois de moins dans le plus grand commun diviseur que

dans f{z).

119. Supposons que le polynôme f(z) admette des racines simples, doubles, triples, ..., /?uplcs, mais non d’ordre de multiplicité supérieur à />. Groupons ensemble les facteurs binômes qui correspondent aux racines simples, facteurs dont chacun ne figure qu’une fois dans/(s) et soit Z, leur produit; soit de même Z₂ le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines doubles, . .., Lp le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines d’ordre de multiplicité /?, chacun de ces facteurs n’étant pris qu'une fois. On aura identiquement

/(z)=Z₁ZIZ3...Z£,

Le polynôme f(z), tout en admettant des racines multiples, peut fort bien ne pas avoir de racines multiples de tous les ordres, comme on l’a supposé dans la formule précédente : pour que celle-ci puisse embrasser tous les cas, il suffit de convenir qu’on remplacera par l’unité celui ou ceux des facteurs Z,, Z₂, .. ., qui doit manquer, Z₂, par exemple, s'il n’y a pas de racines doubles.

On peut, par une suite cCopérations rationnelles ejfectuées en partant de f(z), déterminer chacun des polynômes Z₍, Z₂, ..., Lp.

En effet, d'après ce qu'on a dit plus haut, le plus grand commun diviseur entre f(z) et sa dérivée f'(z) doit admettre comme racines simples les racines doubles de f(z), comme racines doubles les racines triples de f(z), etc. Il est donc identique à Z₂ Zi; Z* Z£-< tinuant d’adopter la convention par laquelle un facteur qui n’existe pas dans/’(2) doit être remplacé par l’unité.

en con-

Désignons par fK (z) ce plus grand commun diviseur, on a

f\(z) — Z₂Z| ... Zj[J

le plus grand commun diviseur entre f\{z) et sa dérivée sera de même

/*(*)—Z₃ 7,1 ... 7ifp ²,

et ainsi de suite. Le plus grand commun diviseur entre fps{z) et sa dérivée sera on sera prévenu qu’il faut s’arrêter, parce que, en cherchant le plus grand commun diviseur entre fP_\ (z) et sa dérivée, on n’en trouvera pas, puisque le polynôme rLp n’a pas de racines multiples. En d’autres termes l’ordre de multiplicité le plus élevé des racines de f(z) (le mombre p) sera le nombre de plus grands communs diviseurs qu’on aura eu à chercher, en comptant celui qui est égal à une constante.

Les identités

/(*)=Z₁Z3Z|...ZJS,

/i(*)=z,z*...zri,

■* • ?

fp—i (z) — Zp-x Z p,

fp—\(-*) — z p

conduisent aux suivantes

? *(*)

.AO)

J\z)

— ZtZ₂Z₃... Z p,

_ Ai*)

/«(*)

— Z₂Z₃... z p,

Zp—i Zp,

_ fp-t ( z ) _ fp-\{z)

?/>(■*)⁼ /p—i (•*) ⁼ Z/;,

ÉTUDE DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLE IMAGINAIRES.

puis à celles-ci

?i(*) _ z <ps(-*1    ¹

?«(*) _ ?»(*)

Zj,

_ z

<?/>(*)

p-1)

<?P(z) = Z

/>•

nomes Z,, Z₂, . . ., Z à trouver les racines d’un polynôme peut toujours être ramené au

P-i 1

En sorte que, par suite de divisions, on trouve isolément les poly-Zp. Par conséquent le problème qui consiste

cas où le polynôme n’a que des racines simples.

Supposons que f(z) ait ses coefficients rationnels; il en sera de même de la dérivée f'(z), et des coefficients des polynômes qu’on obtient par une suite de divisions; dans ce cas, tous les polynômes Z,, Z₂, ..., Zp ont leurs coefficients rationnels. Si l’un de ces polynômes se réduit au premier degré, sa racine sera donc un nombre rationnel. En d’autres termes, si un polynôme a ses coefficients rationnels, et s’il n’y a qu’une seule racine de ce polynôme à avoir un certain ordre de multiplicité, cette racine sera rationnelle.

Un polynôme du troisième degré, s’il a des racines multiples, ne peut avoir qu’une racine simple et une racine double, ou bien une racine triple : si les coefficients du polynôme sont rationnels, il en est de même de ces racines.

Un polynôme du quatrième degré, à racines multiples, peut avoir deux racines simples et une double, deux racines doubles, une racine simple et une racine triple, ou encore une racine quadruple. Si le polynôme a ses coefficients rationnels, la racine double dans le premier cas, toutes les racines dans le troisième et le quatrième cas, seront rationnelles; dans le second cas, le polynôme sera un carré parfait et il sera aisé de s’en apercevoir.

Appliquons par exemple la méthode exposée plus haut au polynôme on trouvera que le plus grand commun diviseur entre ce polynôme et sa dérivée est

z⁴ — z³ — z -1- 1.

Le plus grand commun diviseur entre ce polynôme et sa dérivée est z — 1. Ce dernier polynôme est premier avec sa dérivée. L’ordre de multiplicité le plus élevé est ici p — 3, et l’on a, en employant les notations précédemment

expliquées,

/(*)=Z,ZiZi

Z,Z|

/*(*) = z3

= Z⁸— -S⁶ — 2 2⁵+ 23³ -+- 3² — 1

= 3⁴- Z³--3-4-1,

<pl (z ) — z,z₂z₃

= 3 — 1,

3 ⁸ Z⁶ 2 3³-f- 2 Z³-h Z² — ]

3*— Z³- 3-4- I

= Z¹-h Z³— Z — I.

*a(z) — Z2 Z,

(■Z)⁼ Z3

z'-'-’r Z³ — Z — [

= 3 — 1,

= 3³ — I

Z.=

3i-t- 3³— 3 — 1

z₂ =

3 -4- I

= 3*-h 3 -4- I,

Z₃ = 3 — I,

f(z) = (z - l)⁵(3î4-34-I)î('! + l):

ainsi i est racine triple, les deux racines du trinôme 3! + 3 4-i, à savoir

± i y/3

—— -}

sont racines doubles de f{z), —i est racine simple.

EXERCICES.

100. Le point a — z est le point symétrique du point 3 par rapport au point - •

101. Lorsque t varie par valeurs réelles de o à i, le point 3₀ -t- i décrit le vecteur qui va du point 3₀ au point z{ ; pour quelle valeur de t le point

3q —I⁻ tZ\

est-il au milieu de ce vecteur?

102. Soient (G₀) et (Ci) les cercles de rayon i, dont les centres sont les points o et i, et ( D) la corde commune, supposée indéfinie, à ces deux cercles; en supposant que le point z décrive l’un des lieux (C₀), (Ci), (D), quels sont

104. Appelons transformé du point z le point z' tel que l’on ait

z' =

a' z -1- b' ’

<en désignant par «, ô, a', b' des constantes réelles ou imaginaires telles que ab'—a b soit différent de o; appelons transformée d’une figure décrite par le point z la figure décrite par le point z'.

Quelles relations entre les distances des points z, zi, z-₂, z₃ et les distances de leurs transformées jj, z'.,, S3, quelles relations entre les angles que font ■entre elles les droites qui joignent le points et le point z₂ aux points z-₂ et z:t, et les angles que font entre elles les droites qui joignent le point z' et le point z j aux points z'., et z'₃ résultent de la relation

Z Z 9 Z |    Z 2

— Z₃ ' Zi — Z-i

K l'UDE DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLES IMAGINAIRES, les lieux décrits par les points

S»

I.es lignes (C₀), (C[), (D) partagent le plan en six régions; en snppo ant que l’un des six points

Z1

- 1 >5

soit dans 1 une de ces régions, où sont les cinq autres?

103. La valeur absolue du rapport —

— S\

est le rapport des distances du

— Z1

point z aux points zi et la valeur principale de l’argument de ce rapport est l'angle (compris entre — tt et -4- tt) sous lequel on voit du point z le vecteur qui va du point z-₂ au point zi, cet angle étant regardé comme positif ou comme négatif suivant que le point z est situé d’un côté ou de l’autre de la droite qui joint les deux points zj, z-₂. Reconnaître le signe d’après la disposition de l’angle. — Où le point z doit-il se trouver pour que l’argument du rapport soit nul, égal à ± 7„? Quel est, en supposant fixes les points z{ et z->,

le lieu des points z tel que la valeur absolue de — que la valeur principale de l’argument de —

— Z\

— zï

— Zt

—

soit constante?

soit constante, tel

Z - S,    Z | — z

*    ^ 3    ~ 1    ^3    ^

On suppose que le point s décrive un cercle par rapport auquel les points z% et z-s soient symétriques (*), le point transformé décrira un cercle par rapport auquel les deux points z'₂, z'₃ seront symétriques. Cas particulier où le point z décrit une droite.

Quel est le transformé d’un cercle (ou d’une droite) qui passe par les trois points Zi, z », z 3?

Les transformées de toutes les droites du plan sont des cercles ou des droites qui passent parle point —, • Les cercles et les droites dont les transformées

sont des droites passent par le point —, •

Si le cercle (cr) est le transformé du cercle (c), le centre du cercle (c') est

ô'

le transformé du point inverse du point — — par rapport au cercle (c).

105. La relation

ci' b — al>

z' =

ci z -4- b

a'*-

ci¹ z b'

«Cl»

sj a

monlre que, si I on fait subir au point z une translation définie par le vecteur qui va du point o au point ^•, si l’on prend le symétrique du point ainsi obtenu par rapport au cercle dont le point o est le centre et dont le rayon > le symétrique du nouveau point par rapport à l’axe des abscisses, si, enfin, on fait subir au point ainsi obtenu une translation définie par le vecteur qui va du point o au point

La transformation considérée conserve les angles.

est

\A

a' b — ab'

a'*

i on tombe sur le point z'.

106. En conservant les mêmes notations que dans les deux exercices précédents et en désignant par a, (3 les racines supposées distinctes de l’équation du second degré

a'z--\-(b'— a)z — b = o,

montrer que le rapport des distances du point z' aux points a, [3 est égal au rapport des distances du point z aux mêmes points multiplié par une constante, que l’angle sous lequel on voit, du point z', le vecteur qui va du point a au point !3 est égal à l’angle sous lequel on voit le même vecteur du point z, augmenté d’une constante.

(]) Voir lu note du n° 9S.

ÉTUDE DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLES IMAGINAIRES.

291

107. Quelles sont les propositions qui, pour les polynômes à coefficients et à variables imaginaires, correspondent aux propositions énoncées dans les exercices 18, 24, 25?

108. En désignant par a?, y des variables réelles, on suppose que cp(a?, y) et ^(a?, y) soient des polynômes du second degré à coefficients réels

o(a?, y ) = Ax² -4- 2 Bxy -h C^² -+- 2 Da? -4- 2 Ey -t- F,

>^(a?, y)= A'a?²-4- 2B'xy -+- Cy²-h 2Ü'a7 -+- 2 E’y -4- F';

quelles relations doit-il y avoir entre les coefficients de ces polynômes pour que l’expression puisse être regardée comme un polynôme en z = x -+- iy, à coefficients imaginaires?

109. De la formule

......n — \

cos —■—h 1 sin —

■i

TJ

déduire des expressions simples des sommes

G'₀' -+- G 4 -t- G g

Gî-t-G'i + G»

C'₂' -+- G" -4- G'/q -1-...,

G^ + Gï + G?! + ....

110. Montrer que, si l’on pose cos/iO = A, les expressions

cosO — i sin 6 —

cosO -+- i sinO

sont des racines de l’équation

Z²'¹ — O.Azn-\- I = O.

Les diverses valeurs de cosO telles que l’on ait cosnO = A sont données par la formule

(0

dans laquelle on choisit arbitrairement la détermination dey/A²—1 et où l'on

rem

place successivement ^A -4- \/A¹— 1 par les n racines nil'mes de A -4- \/\² — Montrer que les n valeurs ainsi obtenues sont réelles si A est réel et moindre

que 1 en valeur absolue. Combien y en a-t-il de réelles quand A est réel et plus grand que 1 en valeur absolue?

Qu’arrive-t-il quand on change la détermination de y/A²—1?

111. Les valeurs de tangG telles que tangnO soit égale au nombre A vérifient l’équation

(1 -+- ix )n — (1 — ix)'1 ( 1 -+- ix_)H— (I —h- ix)'¹ ’

on les obtient en résolvant l’équation du premier degré en x

1 — ix

1 ix

où le second membre doit être remplacé successivement par les n racines n'''mt's 1 — i’A

de

; elles sont toutes inégales.

Montrer que les n valeurs que l’on obtient ainsi pour x sont réelles pourvu que A soit un nombre réel.

1 -i- i A

112. Décomposer z'*-+-1 en facteurs réels du second degré, soit en résolvant l’équation

z* -+-1 = o,

soit en partant de l’identité

5⁴-h I = (.S²-H i)² —

113. Résoudre l’équation

~⁴— 3(2i — i).s²— 2(3i -+- 4)=o.

114. Décomposer en fractions simples la fraction rationnelle

(3⁴-t- 1 )² [z⁶ — 3 ( 2 i—i)^¹ — 2(3 i -+- 4 )1

115. Décomposer en fractions simples la fraction rationnelle

^8 — z5 — ₂ Z³ -h 2 Z³ -H Z'¹--I ’

dont le dénominateur a été décomposé en facteurs au n" 119.

116. Décomposer, en appliquant la méthode du n° 119, le polynôme -10_H 3^8_|_    3^2    _

CHAPITRE VIII.

ARRANGEMENTS, COMBINAISONS, PERMUTATIONS, INVERSIONS. FORMULE DU BINOME.

120. Si l’on considère n objets distincts, il y a lieu souvent de considérer les différents groupes formés avec p de ces objets (/>£/«) rangés dans un certain ordre; les p objets qui figurent dans un groupe sont supposés différents; deux groupes sont regardés comme distincts s’ils diffèrent soit par la nature des objets qui y figurent, soit seidement, par leur ordre. Tous ces groupes forment ce que l’on appelle les arrangements des n objets pris p à p] chacun d’eux s’appelle aussi un arrangement p à p des n objets; il est bien compris qu’il faut entendre par là un arrangement où figurent p des n objets et p seulement.

Il importe de savoir former, sans omission ni répétition, tous les arrangements p à et de savoir en calculer le nombre, que je désignerai par A". (L’indice supérieur n n’est pas un exposant.)

On peut spécifier chaque objet par un signe, numéroter les objets au moyen des nombres i, 2, ..., /?, les désigner par les lettres a1 b, c, ..., / supposées en nombre égal à /?, puis substituer dans les raisonnements les signes aux objets : je me servirai ici des lettres a, />, ...,/.

Si dans l’un quelconque des arrangements p à p de ces n lettres, on supprime la dernière lettre de l’arrangement, il reste les p — 1 premières, qui sont toutes distinctes, c’est-à-dire un arrangement p—1 à p — i des lettres a, b, ..., I. Chaque arrangement p h p se déduit d’un arrangement p — 1 à p — 1 en le faisant suivre de l’une des n —(p —1) lettres qui n’y figurent pas : De cette façon chaque arrangement p — 1 à p — 1 donne naissance à n — p -f-1 arrangements p à /:>, que l’on peut disposer sur des lignes horizontales, en plaçant sur des lignes différentes les arrangements qui proviennent de deux arrangements p—1 à p — 1, distincts l’un de l’autre. Le tableau ainsi formé contient tous les arrangements p dp : aucun n’a été omis.

Aucun n’a été répété : car les arrangements qui sont sur une même ligne diffèrent par la dernière lettre, ceux qui sont sur des lignes différentes diffèrent par l’ordre ou la nature des p — 1 premières lettres.

Puisque le tableau contient A" lignes et que chaque ligne contient n — p + 1 arrangements, on a

Les relations

A" = n,

A" — {n — ,) A", A" = ( n— 2) A ",

A"= (n — p + 1) A»_j,

dont la première est évidente et dont les autres se déduisent de la dernière en remplaçant p par 2, 3, 4, • • •, donnent, en remplaçant de proche en proche A" par n, A" par (n — 1) n, ..., la formule

A" = n(n — i)(n — 2).. .(n — p + 1)

qui fournit 1 expression cherchée du nombre A".

Si, par exemple, n — 3, les trois, six et six arrangements un à un, deux à deux, trois à trois des lettres «, b, c sont donnés parle tableau suivant

te -cT cT

ab, ac, ba, bc.

ca,

cb\

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Lorsque p est égal à /?, les arrangements des n lettres ne peuvent différer que par l’ordre de ces lettres, qui figurent toutes dans chaque arrangement. Ces arrangements reçoivent alors le nom de permutations. On en désigne le nombre par la notation P/z ; c’est la même chose que A" ; ce nombre est donné par la formule précédente en y faisant p = //, il est

Ce nombre augmente rapidement avec n ; il est égal à 3628800 pour n = 10; ainsi il y a plus de trois millions de manières de ranger ro objets sur une même ligne. Le nombre 100! comporterait 158 chiffres.

121. Les groupes de p lettres distinctes prises parmi n lettres données, quand, pour chaque groupe, on ne tient pas compte de l’ordre mais seulement de la nature des lettres qui y figurent, s’appellent les combinaisons des n lettres prises p à p, on les combinaisons p à p des n lettres. Chaque groupe est une combinaison p à p ; on dit aussi un produit différent p à p, parce que ce groupe peut s’écrire comme un produit et qu’un produit ne dépend pas de l’ordre des facteurs.

Je désignerai par C" le nombre des combinaisons distinctes des n lettres prises p à p.

p fois ; les deux nombres A"

Dans le tableau des arrangements de n objets p à p figurent évidemment les combinaisons p à p; chaque combinaison se trouve même répétée autant de fois qu’il y a de manières de ranger les p objets qui la constituent, c’est-à-dire i .2.3

C" sont donc liés par la relation i .2.3.. .p C" — A"; d’où l’on déduit, en se reportant à la valeur de A ,

G f,=

n(n — i)...(n — p -f- r)

I . 2 ... p

Le nombre C" figure comme coefficient numérique dans la formule du binôme : la définition qu’on vient d’en donner montre qu’il est essentiellement entier (n° 43).

A chaque combinaison formée avec p des n objets considérés correspond évidemment la combinaison formée avec n — p objets qui n’y figurent pas; on doit donc avoir C "=    C’est ce qu’on a déjà

vu au n° 43.

En adoptant la définition précédente de C),, la formule Cp = C'' p n’a de sens que si p est au moins égal à i et au plus égal à n — i. Elle subsiste pour /; = oou/? = n en convenant de prendre C" = i (n° 43).

Pour former effectivement le tableau des combinaisons de n objets p àp, il serait assez fastidieux de former les arrangementsp à p. On peut procéder autrement.

Supposons formées les C" combinaisons p à p des n objets «, b, ..., l. Parmi ces combinaisons, les unes ne contiennent pas l’objet a, par exemple : ce sont évidemment les G"⁻¹ combinaisons p à p des objets

b,    c, ../, autres que a. Les autres contiennent «; si l’on supprime l’objet a, il reste évidemment les combinaisons de n — 1 objets b,

à p — 1 : en formant ces combinaisons en nombre

c,    ..I pris p

GpZ\t et en y introduisant la lettre «, puis en leur adjoignant les G"'¹ combinaisons p à p des objets b, c, k on obtiendra les C“ combinaisons cherchées.

On peut d’ailleurs se borner à former les combinaisons p à p pour lesquelles p est au plus égal à ^ • Si l’on avait p >> j> il serait, en

effet, plus facile, pour former les combinaisons p à p, de former d’abord les combinaisons n — p à n — p, puis de remplacer chacune de ces combinaisons par la combinaison des p objets qui y manquent.

Par exemple, si l’on veut former les C.! = 6 combinaisons des quatre objets a, b, c, cl deux à deux, on mettra la lettre a avant les combinaisons b, c, cl des trois objets b, c, cl, autres que a, pris un à un ; on obtiendra ainsi les combinaisons ab, «c,    on leur adjoindra les

trois combinaisons des mêmes objets b, c, cl pris deux à deux; à l’une doit manquer b, à l'autre c, à l’autre e/ÿ elles sont cd, 60?, &c. Les six combinaisons cherchées sont

ab, ac, ad, cd, bd, bc.

Quant aux C.j = 4 combinaisons des objets a, b, c, cl trois à trois, on peut les écrire immédiatement : l’une ne contient pas a, une autre ne contient pas b, etc. : elles sont bcd, cicd,    L’unique com

binaison des quatre lettres a, b, c, 0? quatre à quatre est abcd.

La façon même dont on vient d’expliquer la formation des combinaisons de n objets p à p, met en évidence la relation ( n° 43)

¹

osô -4- i sinO,

C"= C"z Î + Cjï-G

122. Le mot permutation est pris quelquefois dans un sens un peu différent de celui qu’on a indiqué au n° 120; c’est ce qui arrive quand on parle üeffectuer une permutation.

Considérons n objets distincts aK, a₂, ..cin qui figurent en totalité ou en partie dans une ou plusieurs expressions quelconques; si rtj, a'.,, ..., an désignent ces mêmes objets rangés dans un certain ordre, remplacer dans ces expressions «, par a'{, «o par .. a„ par cin s’appelle effectuer une permutation : l’acte lui-même prend aussi le nom de permutation, une telle permutation s’exprime d’une façon claire en écrivant sur une ligne horizontale les objets a,, • •., a„ et au-dessous de chacun d’eux l'objet qui doit le remplacer :

1 Oïl • • • 1 Cln • • -i an

i, al

L’ordre clans lequel sont inscrits les objets a,, «₂, ..

cin n importe

pas, ce qui importe, c’est la correspondance entre l’objet supérieur et l’objet placé au-dessous, qui doit le remplacer.

La permutation inverse de la précédente consisterait à remplacera' par «|, a[, par a2l ..., a'n par an.

Pour former chacun des symboles possibles de permutations, dans le sens que l’on vient d’expliquer, on écrira sur une ligne horizontale les objets «l5    .. ., a,t rangés de toutes les manières possibles; puis

au-dessus de chaque arrangement les mêmes lettres rangées dans un ordre arbitraire, mais toujours le même. On obtiendra ainsi 1.2.3...n symboles.

Par exemple, tous les symboles de permutation pour les trois lettres a, b. c seront

a, b, c è, c, a (a, b, c

a, è, c \ r, a, b J 5 a, è, c è, a, c

ai b-, c\ a, è, c/ ’ a, è, c \

<7, c, b) ’

Parmi ces symboles il y en a un qui signifie l’action de remplacer a, par a, b par b, c par c : c’est ce qu’on appelle la permutation identique, par laquelle rien n’est changé.

en-

Si l’on a dressé le tableau des arrangements, ou des combinaisons, p à p de n objets distincts quelconques, puis que l’on effectue, sur chacun de ces arrangements ou de ces combinaisons, une permutation quelconque, il est clair que le tableau ne sera pas changé dans son semble. En effet, tous les arrangements étaient distincts avant qu’on

effectuât la permutation, ils le resteront après : naturellement, si ces arrangements étaient placés dans un certain ordre, cet ordre sera modifié par la permutation.

Parmi les permutations, il convient de distinguer les permutations circulaires : les objets a{, a₂, ..., au étant rangés dans un certain ordre, une permutation circulaire effectuée sur ces objets consiste à remplacer le premier par le second, le second par le troisième, etc., l’avant-dernier par le dernier, le dernier par le premier.

Au lieu du symbole

Ci ni    O' 1

ah a:i, «4, ..

qui, d’après les conventions précédentes, devrait représenter une telle permutation, on emploie souvent le symbole

avec le même sens. C’est l’ordre seul dans lequel sont rangés les éléments qui importe dans ce dernier symbole, non l’élément qui figure le premier. Ainsi, s’il s’agit de trois éléments    a₂, «3, les trois

symboles

(a,,a₂. a₃),    (a₂, a₃, ai), (a₃, aucii)

ont le même sens.

Il peut être commode de se figurer les objets a₂, ..., atl rangés sur un cercle sur lequel on a choisi un sens de parcours, placés par exemple aux sommets d’un polygone régulier de n côtés. Alors il n’y a plus ni premier objet ni dernier, et la permutation circulaire revient à remplacer chaque objet par le suivant.

Enfin, parmi les permutations circulaires, il convient de signaler la plus simple, celle qui porte sur deux éléments seulement a<, a₂; elle consiste à remplacer at par «₂ et a₂ par at ; il n’y a évidemment pas, comme dans les permutations circulaires qui portent surplus de deux éléments, à tenir compte d’un ordre quelconque attribué aux éléments «₂ ; on donne souvent le nom de transpositions aux permutations de cette sorte : la transposition qui porte sur les éléments aK, a-₂ se représente par le symbole a->) ou (a₂, «,).

Etant données deux permutations de n objets distincts au sens du

n° 120, c’est-à-dire deux arrangements n à n de ces n objets, on peut passer de l’une à l’autre par une suite de transpositions, puisque, par une transposition, on peut amener un objet quelconque à la place qu’il doit occuper. On peut parvenir au même résultat en ne faisant jamais que des transpositions qui portent sur deux éléments consécutifs de l’arrangement auquel on est parvenu : c’est là une observation que l’on fait déjà dans les éléments de l’Arithmétique lorsqu’on veut prouver que, dans un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir comme on veut l’ordi’e de ces facteurs.

Par exemple, pour passer de l’arrangement 1, 2, 3, 4 à l’arrangement 2, 4? 3, 1 ; on peut effectuer successivement les transpositions (1, 2), (r, 4)5 ce qui donne successivement les arrangements

a, 1, 3, 4, a, 4)3, 1

ou les transpositions successives (1, 2), (3, 4), (1, 4)? (o 3), ce qui donne les arrangements successifs

2, i,3, 4,    2, 1,4,3, a, 4, i,3, a, -j, 3, r.

Pour arriver au même arrangement 2, 4, 3, 1 en partant du même arrangement 1, 2, 3, 4, on a fait dans le premier cas deux transposi-* tions successives, quatre dans le second.

On voit que pour effectuer la permutation

JO HH

qui consiste à remplacer i par a, a par 4, à laisser 3, à remplacer 4 par i, on peut transposer d’abord les éléments i et a, puis les éléments i, 4 ; ou bien transposer d’abord les éléments i et a, puis les éléments 3 et 4? puis les éléments i et 4, puis les éléments i et 3.

Pour effectuer une permutation quelconque on peut effectuer une suite de transpositions.

Par exemple encore, la permutation circulaire (i, a, 3, 4, 5) revient à la suite de transpositions (i, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5). En général une permutation circulaire, portant sur n éléments, équivaut à une suite de n — 1 transpositions.

123. Étant donné

un arrangement quelconque ata₂... ctn_K an de n objets, la transposition qui consiste à échanger les deux éléments

extrêmes et qui conduit ainsi à l’arrangement ana-₂.. .a„_, «, revient à une suite de m—3 transpositions, dont chacune porte sur deux éléments consécutifs de l'arrangement auquel on vient de parvenir, à savoir d’abord les n—i transpositions (a,, «₂), (at, a₃), ...,

( at, a„) qui amènent successivement l’élément «₍, à la seconde, à la troisième, etc., à la dernière place, en sorte qu’après avoir effectué ces transpositions successives on est parvenu à l’arrangement

«2«3«4 • • •

premières transposi-

puis les n— i transpositions successives, (aw, ««_,), (aw, «rt_₂), («w, «₂) qui amènent l’élément de l’avant-dernière place à la précédente et, finalement, à la première. Les n lions équivalent à la permutation circulaire

(<Zj,    « • •, Clfi — J,

Si l’on effectue maintenant une transposition quelconque dans un arrangement, on voit que cette transposition équivaudra toujours à un nombre impair de transpositions portant, chaque fois, sur deux éléments consécutifs de l’arrangement auquel on vient de parvenir. 11 suffit de négliger, par la pensée, les objets qui précèdent le premier des objets que l’on transpose et ceux qui suivent le second : on est ramené au cas précédent.

124. Considérons n objets distincts auxquels on attribue un ordre naturel; par exemple, n numéros différents dont on dira qu’ils sont, rangés dans l’ordre naturel, s’ils sont rangés par ordre de grandeur croissante, on n lettres dont on dira qu’elles sont rangées dans l’ordre naturel, si elles sont rangées dans l'ordre alphabétique. Je raisonnerai en supposant qu’il s’agisse de n numéros distincts.

Si, dans un arrangement quelconque de ces numéros, qu'on lit, suivant l’habitude, de gauche à droite, on considère deux d’entre eux, le premier que l’on rencontre peut être le plus petit, ou le plus grand; dans le premier cas on dit que, dans l’arrangement considéré,, les deux numéros ne présentent pas d’inversion; dans le second cas, on dit qu’ils présentent une inversion. On dit aussi que l'arrangement ne comporte pas d’inversion, ou comporte une inversion relativement à ce couple de numéros. Le nombre total d’inversions que comporte l’arrangement est le nombre de couples de numéros qui présentent une inversion.

Pour compter ce nombre d’inversions, on procédera comme il suit: on partira du premier élément (à gauche) de l’arrangement, et l’on comptera les inversions qu'il peut présenter avec le second, le troisième, etc., le dernier élément; on passera ensuite au second élément et l’on comptera le nombre d’inversions qu’il présente avec le troisième, le quatrième, etc., le dernier élément, etc.; enfin on examinera si l’avant-dernier élément et le dernier présentent une inversion : la somme de tous les nombres ainsi obtenus est le nombre total d’inversions présenté par l’arrangement.

4, 6, le premier élément 5 présente une inversion avec chacun des éléments 3, 2, 1,4 qui le suivent; il n’en présente pas avec 6; le second élément 3 présente une inversion avec 2, 1; le troisième élément 2 présente une inversion avec 1; aucun des éléments 1,4 ne présente d’inversion

Considérons par exemple l’arrangement 5, 3, 2,

avec ceux qui le suivent; on a en tout    inver

sions.

L’arrangement (1, 2, 3, ..., 11) ne comporte aucune inversion; l’arrangement (/i, n — 1, ..., 3, 2, 1) comporte

n(n — 1)

(n —    — 2)4-. .1- 2 -(-1 =

inversions; c’est évidemment l’arrangement de n nombres qui comporte le plus d’inversions.

125. Convenons de dire qu’un arrangement est de première classe s’il comporte o ou un nombre pair d’inversions, qu’il est de seconde classe s’il présente un nombre impair d’inversions.

Un arrangement change de classe quand on elïectue une transposition entre deux éléments de cet arrangement.

Par exemple l’arrangement 5, 3, 2, 1, 4? C est de seconde classe; transposons les éléments 3, 4? on obtiendra l’arrangement 3, 4, 2, i,3,6 et, en comptant les inversions d’après la règle du numéro précédent, on en trouve 4 + 3 H- 1 = 8 ; le nouvel arrangement est de première classe.

La proposition est évidente quand on transpose deux éléments consécutifs; en effet, on ne modifie pas alors les inversions que ces deux

éléments présentent, soit avec les éléments qui précèdent leur couple, soit avec ceux qui le suivent. Si dans l’arrangement considéré le premier élément du couple était plus grand que le second, il y avait, de ce fait, une inversion qu’on supprime par la transposition; au contraire, si les deux éléments du couple ne présentaient pas d’inversion, la transposition en introduit évidemment une. Dans les deux cas le nombre d’inversions est modifié d’une unité, l’arrangement a changé de classe.

Supposons que les deux éléments qu’on transpose ne soient pas consécutifs; on a vu plus haut que leur transposition équivaut à un nombre impair de transpositions, effectuées chaque fois sur deux éléments consécutifs de l’arrangement auquel on vient de parvenir; par chaque transposition, l’arrangement a changé de classe; il a changé un nombre impair de fois, il a finalement changé de classe.

Il résulte immédiatement de là que, si l’on considère les n ! arrangements possibles n à n des n numéros i, 2, 3, . . ., /?, il y a autant d’arrangements de la première classe que d’arrangements de la seconde classe. Car, si l’on suppose les arrangements distribués dans les deux classes et que l’on effectue une transposition quelconque, l’ensemble de tous ces arrangements ne sera pas changé par cette transposition; mais elle fera passer les arrangements de la première classe dans la seconde, ceux de la seconde dans la première : or il doit y avoir maintenant autant d’arrangements dans la première classe, ou dans la seconde, qu’auparavant.

On a vu au n° li23 qu’on pouvait passer d’un arrangement de n numéros n à n à un autre de ces arrangements par une suite de transpositions. Gela peut se faire d’une infinité de façons; mais, de quelque façon que l’on opère, le nombre de transpositions que l’on effectue conserve la même parité. Il est pair si les deux arrangements sont de même classe, impair s’ils sont de classe différente.

Considérons un arrangement [n à n) at a₂ . • . an des n numéros n. Si, de cet arrangement, on supprime le premier élément a 1, comment sera modifié le nombre d’inversions?

Il y a, dans l'arrangement, a{ — 1 numéros plus petits que a,, à savoir les numéros 1, 2, 3— 1 ; ils sont tous placés après a, ; avec chacun d’eux a, présente une inversion, et toutes ces inversions ont disparu de l’arrangement a»a₃.. ,an. On a donc supprimé a{ — 1 inversions.

126. Si l’on considère un polynôme à n variables x₂, . . x„ et si l’on effectue sur ces variables les ni permutations possibles, y compris la permutation identique, qui laisse le polynôme tel qu’il était, divers cas peuvent se présenter. Il peut se faire que les ni permutations conduisent à des polynômes qui soient tous distincts: c’est ce <|ni arrive, par exemple, pour le polynôme

ct\ X\ -f- ci 2 x% -f-... —H a n x fi

si ses coefficients , «₂, . . ., an sont tous diff erents, ou encore pour le monome x^'x*²..    si tous les exposants sont différents.

Il peut se faire, au contraire, que tous les polynômes auxquels on parvient ainsi soient identiques ; ce serait le cas pour le polynôme

Xf+- a?₂4-.. .-KFa

ou

pour le monome

X\ X-} • • • Xfi.

S'il en est ainsi le polynôme est dit symétrique par rapport aux variables x,, x₂, . . ., xn.

Pour reconnaître qu’un polynôme en a:,, x₂, . . ., xn (dans lequel je suppose qu’on ait effectué la réduction des termes semblables) est symétrique par rapport à ces variables, il suffit de constater que le polynôme reste identique à lui-même quand on transpose deux quelconques des variables, puisqu’une permutation quelconque peut toujours être remplacée par une suite de transpositions.

On a remarqué plus haut que l’ensemble des combinaisons p à j) de n objets ne changeait pas quand on effectuait sur ces combinaisons un arrangement quelconque; en supposant que ces objets soient les variables x^x*, ..., xchaque combinaison p kp peut être regardée comme le produit de p de ces variables; il est clair, d’après cela, que la somme des C" produits différents, p à /?, des n variables x,, x-,, ..., xn constitue un polynôme symétrique par rapport à ces n variables. Les polynômes que l’on peut ainsi former, à savoir sont au nombre de n₁ on leur donne le nom de fonctions symétriques élémentaires des variables x{, x₂, • •xn.

Par exemple, les fonctions symétriques élémentaires des quatre variables oq b, c, d sont

a —I— b -I- c H— cl.

ah -4- ac -+- ad -+- bc -+- bel 4- cd,

bed -l- acd -+- abcl -4- abc, abed.

Il est manifeste que, si bon désigne par jKi, JKa, • • •> }rn les n fonc

en xt, x2: polynôme symétrique en .rt, .r >, .. d’un polynôme eny,, y₂, ..., yn.

tions symétriques élémentaires des n variables x,, x₂, . .., x,l: tout polynôme en y,, y₂, . . .,yn sera, si l’on y remplace y,,y₂, .. .,yn par leurs expressions en x₂, ..., xn, un polynôme symétrique xn. On montrera plus tard que, réciproquement, tout xn peut se mettre sous la forme

Le cas où un polynôme en xK, x2: . . ., ne change pas quand on effectue une permutation sur les lettres x{, x₂, . . ., x„, celui où il .change toujours, sont deux cas extrêmes. Voici quelques exemples importants de cas intermédiaires.

Considérons le produit

(x₂— Xi) (x₃—x₂) (x:i — Xi) ( Xk — X₃ ) ( XW — X₂ ) (æ-4 — Xi )

(Xfi xn—\}(xn xn—₂s)ixn    Xn—3). . .(^Xti    X1 )

des

—0 différences que l’on peut former entre l’une quelconque

des variables a?,, x₂, . . ., xn et celles qui la précèdent. Ces

facteurs peuvent être regardés comme provenant des

combinaisons deux à deux des n lettres 3?,, x₂, . . ., xn ; une permutation quelconque effectuée sur ces lettres ne change pas l’ensemble de ces combinaisons, mais peut changer l'ordre des lettres qui figurent dans l’une d’elles, c’est-à-dire ici le signe d’un facteur, ou remplacer un facteur par quelque autre facteur, peut-être changé de signe. On voit donc que, par toutes les permutations possibles, le précédent poly-nome ou bien se reproduira, ou bien se reproduira changé de signe. Toutes les ni permutations ne produisent que deux polynômes distincts. 11 est d’ailleurs bien aisé de distinguer les permutations qui ne changent pas le polynôme de celles qui le font changer de signe. Si l’on attribue aux variables x,, x₂, .. ., x„ des valeurs numériques quelconques, mais distinctes, et que l'on convienne de dire, comme au n° 124, que, dans la suite x,, x-,: ..., x/n deux éléments xp, xq (/) < q) présentent ou non une inversion suivant que le premier de ces éléments est plus petit ou plus grand que le second, on reconnaît immédiatement que, dans le produit de différences, le nombre de facteurs négatifs est égal au nombre d’inversions de la suite x,, x₂, ..., x„; une transposition effectuée sur deux éléments de la suite modifie d’une unité le nombre des inversions et change le signe du produit. Les permutations qui ne le changent pas sont celles qui équivalent à un nombre pair de transpositions, celles qui lui font changer son signe équivalent à un nombre impair de transpositions.

Considérons encore, dans le cas de quatre variables a, 6, c. d₁ le polynôme ab-\-cd. Le lecteur reconnaîtra sans peine que les vingt-quatre permutations possibles ne produisent que les trois polynômes distincts

ab-h cd, ac-hbd, ad-\-bc\

huit permutations conservent le polynôme abcd, huit autres le changent en ac + bd, les huiL restantes le changent en ad q- bc.

Les propositions qui précèdent constituent le point de départ de recherches qui ont été poussées très loin et qui ont la plus grande importance pour la théorie de la résolution des équations algébriques.

127. Le lecteur n’a pas manqué de remarquer que les nombres C" de combinaisons de n objets p à p sont précisément les coefficients numériques du développement de (x + a)n\ c’est ce qu’il est aisé de voir directement, en fondant sur la théorie qui précède une nouvelle démonstration de la formule du binôme : cette démonstration s’appuie sur une formule qui a d’ailleurs de l’intérêt par elle-même.

Au lieu de considérer le produit (x -f- a)'¹ de n facteurs identiques à x + «, considérons le produit de n facteurs distincts

(x a) (x b).. .(x k)m,

développons ce produit et ordonnons-le suivant les puissances descendantes de x.

On obtient un terme quelconque du produit, en faisant le produit de n facteurs dont chacun est l’un des termes des binômes x + «, x H⁻ b, ..., x —k.

binômes le premier terme, et dans le

Le terme du plus haut degré s’obtiendra en faisant le produit de n facteurs égaux à x, c’est xu] les termes de degré n— i s’obtiendront en prenant dans n /pèmc pinome second. D’une façon générale, les termes du pième degré s’obtiendront en considérant une combinaison p à p des binômes x -+- a, x -f- b, ..., x + k et la combinaison complémentaire formée des n + p binômes restants. Le produit des premiers termes des binômes qui figurent dans la première combinaison, multiplié par les seconds termes des binômes qui figurent dans la combinaison complémentaire, fournira un terme de degré p, en x. Dans tous les termes analogues on mettra xP en facteur; le coefficient de xP sera la somme des produits différents n — p k n — p des termes a, 6, c, ..., k.

On aura ainsi

(x a) (x b) (x -y- c).. .{x k) = xn -t- [a 4- b c -+- ... 4- k)x

n—1

-+- (ab -4- ac -H... -+- hk)xn~% •+•... -H ab... k.

En supposant maintenant que tous les nombres <7, b, c, ..., k soient égaux et en se rappelant que C" désigne le nombre des combinaisons de n objets p à p, on obtient la formule

(x -i- a)n = xn -+- G'f axn—¹ -t- G'^a*xn-*...-f-G'han.

EXERCICES.

HT. Considérons n lettres a, è, ..., / et un groupe de p lettres dont chacune soit une des lettres a, b, ..., /, en sorte qu’une même lettre puisse être répétée plusieurs fois dans un même groupe. Ges groupes prennent le nom d'arrangements avec répétition de n lettres p k p, si l’on regarde comme distincts deux groupes qui diffèrent soit par la nature, soit par l’ordre des lettres qui y figurent, et de combinaisons avec répétition de n lettres p à p, si l’on ne regarde comme distincts que les groupes qui diffèrent par la nature des lettres qui y figurent.

Le nombre d’arrangements avec répétition de n lettres p à p est nP.

118. Le nombre (J", de combinaisons avec répétition de n lettres p à p est C"+'\

On peut parvenir comme il suit à l’évaluation du nombre (/'J.

Les ((" combinaisons avec répétition contiennent en tout p{)", leltres; chacune des n leltres devant figurer le même nombre de fois, la lettre a doit

figurer, en tout, — Q", fois : d’autre part, si on la retire une fois de l’une des

combinaisons qui la contiennent, il restera une des (j>"_₁ combinaisons des n lettres p — 1 h p — i; dans ces CJ"_t combinaisons la lettre a figure en tout

——— (jj fois; d’où la relation

119. Appliquer un raisonnement de la même nature que le précédent à la démonstration de la formule

i>-

et à la détermination du nombre G'/,

120. Lorsqu’il peut se produire, en tout, n événements que l’on regarde comme également probables et que p de ces n événements satisfont à une certaine condition, la probabilité pour que l’un des n événements, se produisant

au

hasard, satisfasse à la condition considérée est, par définition, la fraction — •

Par exemple, la probabilité pour que, en jetant un dé au hasard, on amène

un nombre donné est

On jette deux dés : quelle est la probabilité pour que les nombres marqués par les dés soient deux nombres donnés? 11 y a lieu de distinguer le cas où les deux nombres donnés sont pareils, et celui où ils diffèrent.

Quelle est la probabilité pour amener deux nombres formant une somme donnée (au plus égale à douze)? Pour amener deux nombres formant une somme supérieui'e à un nombre donné, inférieure à un nombre donné?

121. Une urne contient n boules marquées i, 2, 3, .., n. On prend p de ces boules; quelle est la probabilité pour qu’on amène les numéros 1,2, ...,/>? Si l’on prend ces p boules successivement, quelle est la probabilité pour qu’on amène successivement ces numéros 1,2, . .., p dans l’ordre 1,2, ...,/??

122. Parmi les C", combinaisons des n nombres 1,2, ..., n pris p à p, combien y en a-t-il qui soient formées avec a des nombres 1,2, ..., k et p — a des nombres i + i, ^ + 2, . .., nT

Établir la formule

m_ rn—knle i rn-kC'k ,    , pli-/: pk ,    , pn—kt^k

'J/j —    Ei₀ -h    Vjj -t-. . . -t- Vjp—cii E<a-1“ • • • -H '~‘p—/c y~‘k-

123. Une urne contient n boules, dont k blanches et n— k noires, on prend au hasard p de ces boules; quelle est la probabilité pour qu’il y ait a boules blanches et p — a boules noires?

124. Dans un jeu de 32 cartes on prend 12 cartes au hasard: quelle est lai probabilité de trouver parmi ces 12 cartes 8 cartes de la même couleur?

125. Dans un jeu de 32 cartes on prend 12 cartes, puis 5; on regarde les 12 premières cartes et l’on désire trouver a cartes déterminées parmi les 5 cartes; quelle est la probabilité pour qu’elles s’y trouvent effectivement?

126. En désignant par a, p deux nombres naturels premiers entre eux, on sait que, si l’on divise par p les termes de la suite

a,

2a,    3 a, ...,    (p — i)a,

on trouve les nombres 1, 2, ...,/»— 1 rangés dans un certain ordre. On peut se proposer de trouver le nombre d’inversions contenues dans cette suite. En supposant donné le nombrerésoudre le problème pour a = 2, a = 3.

127. Soit aia₂...a,j un arrangement n à n des numéros 1, 2, 3, ..., n. Soient 1 le nombre d’inversions contenues dans cet arrangement, A et A' les nombres respectifs d’inversions contenues dans les arrangements aja-i.-.a^ d’une part et aï+1aa+2 .. . an de l’autre; montrer que l’on a

a(a + i)

I = A -t- A' -t- ai -t- a₂ -+-... -t- aa —

aOL-hll a0L+2l • •

petits que a₂, etc.

On reconnaît sans peine que la différence I — A — A' ne dépend pas do l’ordre dans lequel sont rangés les nombres at, a₂, ..., aa-, et que, si l’on snppose les nombres rangés par ordre de grandeur, il y a, parmi les nombres a\ — 1 nombres plus petits que a₂—2 nombres plus

128. Montrer qu’une permutation donnée (au sens du n° 122), portant sur n éléments, peut être remplacée par un certain nombre de permutations cir-> culaires dont chacune ne porte, en général, que sur une partie des n éléments, les éléments qui sont changés par une de ces permutations restant inaltérés par toutes les autres. Si parmi ces permutations circulaires il y en a k qui portent sur un nombre pair d’éléments, le nombre de transpositions qui équivalent à la permutation donnée est de même parité que k — 1.

CHAPITRE IX.

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ.

128. Je commence par rappeler quelques notions et principes concernant les systèmes d’équations; je crois inutile de revenir sur

les principes qui se rapportent à une seule équation. Étant donné

un

système d’équations (')

X„ — o,

Xj = o,

X₂ — o,

•où X,, X₂, ..., Xw sont des expressions dont on sait calculer la valeur numérique quand on connaît les valeurs numériques des inconnues x, y, z, . . ., par exemple des polynômes en x, y, z, .. . ; on sait qu’on appelle solution de ce système d’équations tout système de nombres x₀, y₀, z₀, ... qui, substitués à la place de x, y, z, . .. dans X,, X₂, ..., Xw, annulent ces expressions.

Cette définition s’applique quand on a affaire à des équations purement numériques; mais il peut se faire que les expressions X X₂, . . ., X,; contiennent des coefficients représentés par des lettres <2, b, c, ... que l’on regarde comme des données : les coefficients a, b, c, . . . sont susceptibles soit de prendre toutes les valeurs possibles, soit de prendre seulement les valeurs qui satisfont à certaines conditions.

Dans ce cas on appellera solution du système proposé un

système

d’expressions en <2, b, c, . .. telles qu’en remplaçant x, y, z, ... par

(l) Pour simplifier un peu, j’ai supposé qu’on avait fait passer tous les termes dans un membre, mais cette supposition n’a rien d’essentiel, et le lecteur verra ■sans peine les légères modifications qu'il faudrait apporter au texte, si elle n’était ypas réalisée.

expressions, X1? X

. X„ deviennent nuis, quelles que soient les valeurs numériques de «, b, c, ..., vérifiant toutefois les conditions imposées à ces coefficients.

ces

25 •

Il peut aussi arriver qu’une solution du système proposé soit formée par des expressions qui contiennent une ou plusieurs indéterminées : on doit alors entendre que X,, X₂, .. ., X„, quand on y remplace x, y, z, .. . par ces expressions, s’annulent quelles que soient les valeurs numériques de ces indéterminées, au moins lorsque ces valeurs satisfont à certaines conditions qui peuvent leur être imposées.

Au fond, tous ces cas ne diffèrent pas essentiellement; on peut, afin de regarder une solution comme formée d'un système de nombres, imaginer qu’on a attribué soit aux coefficients, soit à ces indéterminées dont je viens de parler, des valeurs numériques; les expressions des inconnues x, y, z, .. ., au moyen des coefficients ou des indéterminées, deviennent alors des nombres qui doivent annuler X

X₂,.. ., X*.

On dit que deux systèmes d’équations en x,y:z, ...

(0

O,

O)

Y, = o,

x₂ — o,

Y2 = o,

sont équivalents quand les solutions de l’un sont les mêmes que les solutions de l’autre ; pour prouver l’équivalence de deux systèmes, il faut prouver que toute solution du premier est une solution du second, que toute solution du second est une solution du premier.

Lorsque toute solution du premier vérifie le second, on dit que le premier système entraîne le second. Pour prouver que deux systèmes sont équivalents, il faut prouver que chacun d’eux entraîne l’autre.

Il est clair que si, dans un système d’équations, on remplace une équation par une équation équivalente, on obtient un système équivalent au premier; de même encore, en remplaçant dans le système proposé un système partiel d’équations par un système équivalent.

Si a-₂, .. -, au sont des nombres dont le dernier n’est pas nul, Je système

X, = o,

X₂

X/t—i -— o,

Xrt = o

est équivalent au système

Xi = o,

X,;—1 - O,

x₂ = O,

(%i X, —t- ci% X, ... —i— &nX* ⁼ o.

Il est clair, en effet, quels que soient les nombres ai: a₂, ..., a,ii <|ne le premier système entraîne le second; quant au second, il entraîne évidemment le suivant

X, = o,

X₂ — o,

X,t_i = o,

«»X* — o,

c’est-à-dire le premier, lorsqu’on suppose que an n’est pas nul.

Cette proposition sera généralisée plus tard (').

Considérons un système, dont l une des équations, la première par exemple, soit résolue par rapport à l’une des inconnues x, laquelle se trouve ainsi, en général, exprimée au moyen des données et des autres inconnues y, z, .... On obtient un système équivalent au proposé, en reproduisant d’abord la première équation, puis en remplaçant dans les autres équations l’inconnue x par son expression en y, z, . ...

En effet, si l’on considère une solution quelconque de l’un ou de l’autre système, la valeur de x et celle de son expression au moyen des autres inconnues y, z, ... qu’on a substituée à x dans les équations du premier système pour former le second sont les mêmes, en vertu de la première équation commune aux deux systèmes; dire que les équations de l’un ou de l’autre des systèmes sont vérifiées, c’est dire la même chose (²).

(¹)    On peut observer de suite que la démonstration ne suppose nullement que les quantités alt a₂, ..., an_l soient des nombres : elle subsisterait évidemment si ces-quantités étaient des polynômes contenant les inconnues.

(²)    La proposition se généralise aisément; si l’on considère, par exemple, les équations

x-— y = 8 ;

donc la seconde peut s’écrire (x—y) (x■+■ y) — 8, on formera un système équivalent au système proposé en remplaçant dans cette seconde équation x— y par i ; ce n’est pas une inconnue que l’on a remplacée par sa valeur, ou par une fonction des autres inconnues, c’est une fonction de deux inconnues, x—y, que l’on a remplacée par un nombre qui doit lui être égal en vertu de la première équation. On peuL aussi supposer que 2, 3, ... équations du système aient été résolues par rapport à 2, 3, ... inconnues, que l’on remplacerait par leurs expressions dans les autres équations.

129. Mon objet essentiel est ici l’étude des équations du premier degré par rapport aux inconnues. Si l’on a fait passer tous les termes d'une telle équation dans le premier membre, ce premier membre est un polynôme du premier degré par rapport aux inconnues regardées comme les variables du polynôme ; il pourra s’écrire

Cl i X i H— Cl2 X2 —. • . “4“ Cl n X/i —f- Cln-x-\,

en désignant les inconnues par x, y, z, . . ., ou par x,, x-₂, ..., xn et les coefficients, que l’on regardera comme numériques, par «, b, c, . .., I ou par a{, a2l ..., an, «//+1. Le terme l ou all+i, qui ne contient pas d’inconnue (ou de variable) en facteur, s’appelle le terme indépendant des inconnues, le terme constant ou le terme tout connu. Ce terme peut être nul; le polynôme est alors homogène; je le désignerai dans ce cas sous le nom de forme linéaire en x, y, z, ... ou en x{, x₂, . . ., xu (¹ ).

Il m’arrivera souvent, comme je l’ai déjà fait d’ailleurs, de désigner les premiers membres par de grandes lettres telles que X, Y, Z, ou X|, X₂, .. ., Xj,; il doit être bien entendu que ce n’est là qu’une abréviation, et que le lecteur doit substituer, par la pensée, le polynôme tout entier à la grande lettre qui le représente.

On a souvent, en désignant en général par X|, X₂, . . ., X₇, des polynômes en x,, Xo, ..., xp, l’occasion de considérer des expressions telles que

où a,, a₂, ..

ot 1 X1    *2 X₂ -+- . • . ot p X !

rj.p sont des nombres : une telle expression est linéaire

)•>

(J) Le sens des mots forme et linéaire varie un peu suivant les auteurs; souvent le mot forme est pris simplement comme synonyme de polynôme et le mot linéaire comme synonyme de du premier degré. L’origine de ce dernier mot est dans la signification des équations du premier degré, en Géométrie analytique. Il ne me paraît pas que ces synonymes soient nécessaires, et, conformément à un usage d’ailleurs très répandu, je réserverai, dans le présent livre, le mot forme pour les polynômes homogènes, le mot linéaire pour les polynômes homogènes et du premier degré. Un polynôme du premier degré devra ainsi être regardé comme une forme linéaire à laquelle on a ajouté une constante. L’emploi des mots forme et linéaire me dispensera donc d’ajouter l’épithète homogène. Une équation linéaire sera une équation du premier degré sans terme constant; souvent on fait passer le terme constant dans le second membre; le premier membre est alors linéaire par rapport aux inconnues.

enX„ X

.Xy,; elle est obtenue en combinant linéairement X X₂, ..: c’est une combinaison linéaire de X,, X₂, ..X^,; en combinant linéairement plusieurs combinaisons linéaires de X X₂, ..,X,

X,,X₂, .

2l ‘

on retombe évidemment sur une combinaison linéaire de

X;>. Si l’on considère les équations X, = o,X₂ = o, .

Xjr, = o, toute équation obtenue en égalant à o une combinaison linéaire de X,, X₂, ..X/, s’appelle aussi une combinaison linéaire de ces équations

SiX₍, X₂,    X^, sont des polynômes du premier degré en 24,

x₂, . . ., xn, l’expression a, X, + a₂X₂ +. . .+ y.p\p est évidemment aussi, en général, un polynôme du premier degré en xt, x₂-, ■ • c’est une expression linéaire en a?,, x₂, ..., xn lorsque Xt, X₂, ..., X;, sont linéaires en«,, x₂, ..., xn.

Il faut, toutefois, remarquer que les variables peuvent disparaître de la combinaison linéaire a, X, -f- a₂X₂ +...+ a^X^, des polynômes X,, X₂, ..., Si par exemple on pose

x — 2y — z -s- 2, Z = 37-4-5 z — io,

et si l’on forme la combinaison linéaire en X, Y, Z

2X — 3 Y — Z,

en

on voit de suite, en remplaçant X, Y, Z par leurs expressions ordonnant par rapport à x, y, z, que les coefficients de ces variables sont nuis et que l’on a, identiquement en x, y, z,

2X

3 Y — Z = 2;

notons en passant que cette identité montre clairement qu’il ne peut exister aucun système de valeurs pour x, y, z telles que X, Y, Z s’annulent pour ces valeurs : en d’autres termes, on ne peut satisfaire à la fois aux équations X= o, Y = o, Z = o. Si, au contraire, en conservant à X, Y leur signification, on avait supposé Z = x -j- 5z — 8, on aurait eu, identiquement en x, y, 2,

2X — 3 Y — Z = o,

et il serait évident par là que tout système de valeurs de x,y, z qui annule X et Y, annule aussi Z; en d’autres termes, les équations X = o, Y = o entraîneraient l’équation Z = o.

Remarquons encore que, si X, Y, Z désignent en général des polynômes du premier degré en x, y, z, savoir

ax -+- by -4- cz-h d,    a!x -+- b'y -+- c z -h d!, a"x -+- b"y -+- c"z -+- d", et s’il existe une combinaison linéaire aX -f- Y -f-yZ, de X, Y, Z d’où les vai'iables x, y, z disparaissent, la combinaison linéaire aX'+ (3 Y' -j-yZ' des polynômes linéaires en x, y, z,

X' = ax -h b y + c;,    Y' = a’x -+- b'y -+- c z,    Z' = a!' x -\-b" y -t- c" z, obtenus en supprimant les termes constants d, d', d" des polynômes X, Y, Z, est identiquement nulle. En elïet, dans les deux expressions

et

aX' + P Y’-H y Z' ctX H- pY + YZ

les coefficients de x, y, z sont évidemment les mêmes : or, par hypothèse, ces coefficients sont nuis dans la première expression. Inversement, l’existence d’une relation de la forme aX'+jüY'-byZ'—o, identique en x,y, z, implique évidemment l'existence d’une combinaison linéaire aX + (3Y —t- y Z des polynômes du premier degré X, Y, Z, d’où les variables x, y, z disparaissent.

Ces résultats s’étendent à des polynômes du premier degré comportant autant de variables que l’on veut.

130. Il importe, pour ce qui suit, d’étudier l’application aux équations du premier degré du second principe que l’on a rappelé au n" 128; si l’on veut appliquer ce principe, il est clair qu’on a à effectuer successivement les deux opérations suivantes :

i° Résoudre l’une des équations données par rapport à l'une des inconnues x, qui, après cette résolution, se trouve, en général, exprimée au moyen des autres inconnues y, z, ....

a" Substituer dans les autres équations, à la place de x, son expression au moyen dey, z. . ..

On est ainsi amené à étudier ce que devient, par cette substitution, le premier membre de l’une quelconque de ces autres équations, lequel était primitivement un poljnome du premier degré en x, y, 5, ....

Je vais raisonner en supposant qu’il J ait trois inconnues x, y et s ; le lecteur reconnaîtra immédiatement que les résultats qui suivent ne dépendent pas du nombre des inconnues.

Considérons l’équation du premier degré

X = ax -+- b y + C2 + ^=o,

et soit

\ — a x -j⁻ b y —r* c z —H cl

un poljnome du premier degré en x, y, z; on va voir ce qu’il devient quand on résout l’équation X = o par rapport à l’une des inconnues et que l'on j remplace cette inconnue par l’expression que l’on a trouvée; «, b, c, d,    b', c', d' seront regardés comme des coeffi

cients numériques.

Si le coefficient a n’est pas nul, l’équation X = o est équivalente à l’équation X = o, ou

— — y--z —

a    a

sous cette forme, elle est résolue par rapport à x (’ ). On observera que les coefficients dey, z dans le second membre ne dépendent pas du terme constant d.

Si l'on remplace x par cette expression dans Y, on obtiendra un poljnome Yl5 du premier degré en y, z, à savoir

Y! = a'

-t- b'y H- c' z -t- d'

cla'

et 1 on vérifie de suite que l'on a identiquement en x, y, z

Yi = Y

a »,

X;

(¹ ) Il nous sera utile plus tard d’avoir remarqué que, quand on laisse tous les termes dans un même membre, la résolution d’une équation du premier degré par rapport à une inconnue revient à diviser le premier membre de cette équation par le coefficient de cette inconnue.

CHAPITRE IX.

en d’autres termes, le polynôme Y, est une forme linéaire en X, Y, dont les coefficients sont— ^ et î. Dans ce polynôme, les coefficients des variables y, z ne dépendent nullement des termes constants d₁ d\ mais seulement de la valeur des coefficients de x,y, z dans X et dans Y.

Si l’on considère les deux équations du premier degré X = o,

Y    = o, il est clair que leur système est équivalent au système X = o,

Y    — ^ X = o, en sorte que, dans le cas des équations du premier

degré, la seconde proposition du n° D28 est une conséquence de la première ; mais c’est sur un autre point que je désire appeler l’attention du lecteur.

Il peut se faire, après la substitution, que les inconnues^, z disparaissent, en sorte que Y, ne soit plus, à proprement parler, un polynôme en y et 5, mais se réduise à un nombre p, qui peut d’ailleurs être différent de o, ou nul. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit, dans l’exemple précédent, que l'on ait

, a! c

se réduit alors au nombre d'— ~y~} et l °n a identiquement en

a' d

Y — - X = d' — —

Si le second membre de cette identité n’est pas nul, il est clair qu’on ne peut avoir à la fois X — o, Y = o pour aucune valeur de xr y, z ; les deux équations X = o, Y = o sont incompatibles. Si, au contraire, le second membre est nul, il est clair que la supposition X = o entraîne Y = o; on vérifiera alors les deux équations X = o, Y = o, en attribuant k y et z des valeurs quelconques et en attribuant

à x la valeur qui en résulte pour — ^ y — ^ z —

Il convient de remarquer que ce fait exceptionnel, la disparition des inconnues dans Y,, ne dépend en aucune façon des termes constants d, d', mais seulement des valeurs des coefficients a, 6, c, b', c' des inconnues x, r, z.

131. Ces remarques faites, j’expliquerai la méthode de résolution des équations linéaires par substitution sur le cas de trois équations du premier degré à trois inconnues.

Soient

d = o,

(0

Y = a'x -t- b'y -f- c' z -+- d' — o, Z = a"x -+- b"y -+- c" z -h d" = o

ces trois équations. Elles peuvent s’écrire encore

Z' -+- d" = o,

X'-t- d = o,

Y'-f- d' = o,

en désignant par X', A', Z' les polynômes linéaires en x, y, g

a' x 4- b'y-y c' z,

ax -y b y -j- cz,

a"x -4- b"y -y c" z,

que l’on obtient en supprimant les termes constants d, d\ d" des po-Ivnomes X, Y, Z.

Supposons que l’un des coefficients des inconnues, a par exemple, ne soit pas nul; en résolvant l’équation X = o et en portant l’expression trouvée

a a-

"a i a

dans les deux autres équations, on parviendra aux équations

(a)

j Yt = A y -+- Bz -s- G = o, j Z, = My -y BY + Cf = o,

en posant, pour abréger,

ta',

a

b-„r

A = b' -

B = c' —

C — d' —

A '= b" —

B '=c"~

<!

G = d"— - a'.

Ainsi qu’on l’a déjà fait observer, les valeurs des coefficients A, B, A', B' dey, ^ dans Y, et Z, ne dépendent nullement des termes constants d, d', d".

On a d'ailleurs identiquement en x, y, z

(3)

Y, = Y -

-IA

Z,

a"

Z--X,

et le système des équations proposé est équivalent au système

o,

Z[ = o

— - JK

R.

dont la dernière équivaut à X = o.

En général, les inconnues y, z figurent dans Y,, Z,; si, par exemple, A 11’est pas nul, on résoudra l’équation Y, = o, par rapport

A’

à y et l’on remplacera, dans l’équation Z, — o, y par — -r- z —

Z,, après la substitution, deviendra

z₂ = Zj-

Yi = (lV

A'B

.s -l- C' —

AC

La valeur du coefficient de z dans Z₂ 11e dépend que de la valeur des coefficients A, B, A', B', et, par suite, des coefficients a, b, c, b', c', a!', b", c\ nullement de la valeur des termes constants d: d\ d\ A cause des relations (3), on a, identiquement, en x, y, z,

(4)

a"

Z₂ = Z--X —

■< H

a'

a Pi. a A

RIO

>\>

SJ

Z₂ est donc une forme linéaire en X, A, Z dans laquelle le coefficient de Z esL i.

Le système proposé est équivalent au système

Z₂ — o,

z--

Si, dans la première équation, le coefficient de z n’est pas nul, on pourra résoudre cette équation par rapport à z, et l’on en tirera une valeur unique z = A; le système proposé est équivalent au système

Mo

dont la solution est mise en évidence : dans ce cas le système proposé admet une solution, et une seule.

Tout en continuant de supposer que, dans \ ,, Z₍, l’un des coefficients des inconnues, A par exemple, ne soit pas nul, supposons que l’inconnue z disparaisse de Z₂ qui se réduit alors au nombre

G' — ~JT~’ L' raisonnement du numéro précédent montre que, si ce nombre n’est pas nul, les équations \ , = o, Z, = o sont incompatibles, et le système proposé impossible; si, au contraire, G⁷—

est nul, on n’aura plus à tenir compte de l’équation Z₂=o, qui se réduit à o = o, et l’on pourra dire que le système des Irois équations proposées est équivalent au système des deux équations

~ Â Z~Â’

—-y—~z —

ou

encore au système

fcl

c \<

il

6C

a i a.

Deux des inconnues y et x s’expriment alors comme des polynômes du premier degré en s, qui reste indéterminé. On peut attribuer à z une valeur numérique arbitraire; les valeurs de y, x qui résultent des formules ci-dessus satisfont aux équations proposées : inversement, dans toute solution du système proposé, les valeurs de y, x s’expriment par les formules précédentes au moyen de la valeur

de z.

Dans le cas où z ne figure pas dans Z₂, qui se réduit alors au G

nombre C'— -r A', on a identiquement-en x,y, z, en vertu de (4),

>\>

Y-h

A. a

A'G

il y a une combinaison linéaire de X, Y, Z qui se réduit identiquement A' c

au nombre C'— —— • L’identité précédente montre bien, quand

C'-

A’G

n’est pas nul, que les équations X = o, Y = o, Z = o sont A' G

incompatibles, et, quand C/— —est nul, que les deux premières entraînent la troisième.

S'il arrivait que les inconnues y, z ne figurassent ni l’une ni l’autre dans les équations Y, =o, Z| = o, c’est-à-dire si l’on avait

b ,

- a = o a

b’ —

c' — C a' =

o,

o,

c" — — a" =

o,

auquel cas Yt, Z, se réduiraient aux nombres cl— ^ a', d"— ^ ci¹'y

ou bien ces derniers nombres ne seraient pas nuis à la fois, et l’une des équations Y = o, Z = o serait incompatible avec l’équation X = o,

ou bien les deux nombres cl — - cl. cl— — a!' seraient nuis, et alors

a    a

l’équation X == o entraînerait les deux équations Y = o, Z — o. Dans ce dernier cas, le système des trois équations proposées serait équivalent à l’unique équation

's i s

y et z resteraient indéterminés; on peut leur attribuer telles valeurs que l’on veut, la valeur de x est donnée par la formule précédente; inversement, dans toute solution du système proposé, la valeur de x est liée par la relation précédente aux valeurs de y et de

on a

Lorsque y, z disparaissent des équations Y| = o, Z, = o entre X, Y, Z, à cause des identités (3), les relations, identiques en x, y, z,

Y - - X = d! —

d" —

-a",

qui mettent en évidence, quand les seconds membres ne sont pas nuis tous deux, l’incompatibilité de l’équation X = o avec l’une au moins des équations Y — o, Z = o, et qui, lorsque les seconds membres sont nuis, montrent que l’équation X = o entraîne les deux équations Y = o, Z = o.

Enfin, si dans les équations proposées, les coefficients de toutes les inconnues étaient nuis, en sorte que ces équations se réduiraient à d = o, d! = o, d" — o, ou bien l’un des nombres r/, d', d!' ne serait pas nul, et le système proposé serait manifestement impossible, ou bien c/, d\ d” seraient nuis et le système proposé serait vérifié quelles que fussent les valeurs de x, y, z.

En résumé, ou bien il y a une solution, et une seule; ou bien il y a impossibilité; ou bien une ou deux inconnues peuvent être prises arbitrairement, les deux autres ou la troisième s’exprimant au moyen de cette inconnue ou de ces inconnues arbitraires, ou encore, dans le cas très exceptionnel signalé tout à l’heure, les trois inconnues sont indéterminées. Enfin, dans les cas d’impossibilité ou d’indétermination, il y a entre les premiers membres des équations des relations (identiques en x, y, z ), qui manifestent cette impossibilité ou cette indétermination. Ces relations sont de la forme

aX + j3Y + YZ + ³ = °’

Y, Z,

l’un des coefficients numériques a, [3, y n’étant pas nul, puisque, dans les relations de cette nature que l’on a obtenues dans le cours de la démonstration, l’un de ces coefficients était toujours égal à i. On peut dire encore qu’il existe une combinaison linéaire aX + j3Y y Z des premiers membres des équations dans laquelle les coefficients a, ne sont pas tous nuis et d’où les inconnues disparaissent. Dans le cas très exceptionnel où ces inconnues ne figureraient pas dans X, on peut prendre pour a, jri, y des nombres quelconques. Ces relations identiques mettent en évidence l’impossibilité ou l’indétermination du système. On est certainement dans Je cas de l’impossibilité si û n’est pas nul.

D’autre part, l’impossibilité ou l’indétermination se manifestent toujours, après l’une des substitutions dont la méthode se compose, par la disparition totale des inconnues dans l’une des équations où l’on a fait cette substitution, et, ainsi qu’on l’a fait observer, cette disparition ne dépend en aucune façon des termes constants, mais seulement des valeurs attribuées aux coefficients des inconnues. Il suffit de se reporter aux raisonnements précédents pour reconnaître que l’indétermination apparaît en quelque sorte comme un cas particulier de l’impossibilité : qu’on laisse leurs valeurs aux coefficients de x, y, 5, dans les équations proposées, et qu’on modifie seulement les

termes constants, le système, s’il était impossible, peut, pour certaines valeurs de ces termes constants, devenir indéterminé. Considérons les équations linéaires en x, y, z

X'= o,

Y' = o,

Z' = o,

obtenues en supprimant les termes constants cl, d', cl" des premiers membres X, Y, Z des équations proposées. Ce système n’est jamais impossible : il est, en effet, évidemment vérifié pour x = o, y = o, z = o, en sorte qu i! arrivera de deux choses l’une : ou bien le système X;= o, Y'= o, 7d = o n’admettra que cette solution, ou bien ce système seraindéterminé,et deux inconnues s’exprimeront linéairement au moyen de la troisième; ou bien une inconnue s’exprimera linéairement au moyen des deux autres. Dans le cas où tous les coefficients seraient nuis, les trois inconnues seraient évidemment indéterminées. S’il y a indétermination, il existe entre X', Y⁷, 7J au moins une relation linéaire, identique en x, y, z, de la forme aX' + ^Y' -t-yZ'= o, relation dans laquelle l’un des coefficients numériques a, {3, y n’est pas nul. Si, par exemple, y n’est pas nul, la relation précédente peut être résolue par rapport à 77 qui apparaît ainsi comme une combinaison linéaire de X; et Y'. Enfin, je rappelle que l’existence d’une relation, identique en x, y, z, de la forme aX H- (3 Y yZ 8 = o, entraîne nécessairement l’identité aX' -h [3 Y' -f- y 77 — o, et réciproquement.

Si les équations X' = o, Y'= o, 77 — o n’admettent pas d’autre solution que x — o, y — o, z — o, le système n’est pas indéterminé et, quand on appliquera, pour résoudre les équations, la méthode de substitution, on ne se trouvera point dans le cas exceptionnel où les inconnues disparaissent totalement de quelqu’une des équations où l’on a fait la substitution ; on ne se trouvera pas non plus dans ce cas exceptionnel pour les équations X = o, Y = o, Z = o, et cela quelles que soient les valeurs numériques des termes constants d, d', d". Ces dernières équations admettront une solution et une seule. Si le système X/=o, Y' = o, 77=0 est indéterminé, c’est qu’après une des substitutions les inconnues disparaissent totalement de l’une des équations où l’on a fait la substitution. Il en est de même pour les équations X = o, Y= o, Z = o dont le système est alors impossible ou indéterminé; on se trouvera dans un cas ou dans l’autre suivant

les valeurs de d, d', d". Réciproquement, si le système X = o, Y = o, Z = o admet une solution unique, le système X' = o, Y¹ = o, 7J — o n’admet pas d’autre solution que x = o, y — o, 5 == o. Si le système X = o, Y = o, Z, = o est impossible ou indéterminé, le système X'= o, Y'— o, TJ = o est indéterminé.

132. Supposons qu’on applique la méthode de substitution aux équations du premier degré

Y = o,

Z = o,

X = o,

telle qu’elle a été décrite au numéro précédent, mais en ayant soin, quand on résout une équation, de tout laisser dans le premier membre, ce qui revient alors à diviser simplement par le coefficient d’une inconnue, et, quand on a fait une substitution, de tout laisser encore dans le premier membre. Le premier membre de l’équation qu’on vient d’écrire est une combinaison linéaire des deux premiers membres de deux équations, celle d’où l’on a tiré l’inconnue et celle où l’on a fait la substitution. Puisque, en combinant linéairement des combinaisons linéaires de X, Y, Z, on retombe toujours sur des combinaisons linéaires de ces expressions, il est clair que les premiers membres de toutes les équations que l’on écrit sont toujours des combinaisons linéaires de X, Y, Z, c’est-à-dire des expressions de la forme aX + {3 Y -h y Z, a, [3, y étant des coefficients purement numériques.

Supposons maintenant qu’on soit dans le cas où les équations X=o, Y = o, Z = o admettent une solution x{), y₀, 5₀, et une seule, la méthode conduit, uniquement par des résolutions d’équations du premier degré et des substitutions, à ces valeurs des inconnues, c’est-à-dire que son résultat final est de la forme

x — x₀ — o,

y— y o=o,

Z — Zo = o.

Les premiers membres de ces dernières équations doivent être, eux aussi, des combinaisons linéaires de X, Y, Z, c’est-à-dire qu’il doit exister neuf nombres a, (3, y, a', [3', y', a", [3", y" tels que l’on ait identiquement en x, y, z

^ x — x₀ — a X -i- ^ Y -h y Z. < r_ro=a'X+P'Y + Y'Z, f z — z₀ = a'X -+- P" Y -+- y"Z.

Réciproquement, supposons qu’on ait trouvé neuf nombres (3, . . . , y” tels que les relations précédentes aient lieu identiq ment en x, y, z ; il est clair qu’on ne peut avoir à la fois X = o, Y == o, Z = o sans que l’on ait x — x₀, y = y₀, z = z₀; si les équations X = o, Y= o, Z=oont une solution, celle-ci ne peut être que x₀, y₀, z₀’, mais on n’aperçoit pas de suite que ces nombres annulent effectivement X, Y, Z ; c’est pour l’établir que j’ai fait les remarques qui terminent le numéro précédent. En désignant encore par X', Y⁷, Z⁷ les formes linéaires en x, y, z qui deviennent X, Y, Z quand on supprime les termes constants d, d', d", les identités précédentes, supposées vraies, impliquent celles que voici

ue-

a X'-t- p Y'+y Z', y = a'X'-t- P' Y' + y'Z',

3 = a"X'-+- p"Y'+ y"Z',    '

puisque, dans les deux membres de chacune de ces égalités, les coefficients de x, y, z doivent être égaux en vertu des identités (i). Dès lors, X⁷, Y⁷, Z⁷ ne pouvant, en vertu de ces identités, être nuis simultanément sans que l’on ait x = o, y = o, z = o, il est clair qu’il n’j a pas indétermination pour les équations X⁷=o, Y⁷= o, Z⁷=o et que, par conséquent, il ne peut y avoir ni impossibilité, ni indétermination pour les équations X = o, Y = o, Z = o ; elles admettent une solution, et une seule, qui est certainement x — x₀, y=y0} z = Solde là une méthode pour la résolution des équations du premier degré, qui consiste à déterminer les coefficients a, j3, y de manière que, dans aX + [3Y yZ, les coefficients de y et de s soient nuis. Avant de donner un exemple de cette méthode (n° 134), je veux faire les remarques suivantes :

Quand on cherche à résoudre les équations X = o, Y = o, Z = o, on n’applique pas toujours la méthode régulière de substitution telle qu elle a été décrite au n° 130; on cherche à profiter de la forme spéciale de ces équations, on les combine par addition, après les avoir multipliées par certains facteurs; quelquefois, après avoir résolu par rapport à une inconnue, on fait une substitution. Tout cela revient, au fond, à former des combinaisons linéaires des équations; car le fait, que, dans le cours des calculs, on fait passer des termes d’un membre

dans un autre, est évidemment insignifiant. Si, en faisant toutes ces opérations dans un ordre quelconque, on arrive à un système d’équations de la forme

x = x₀,

y = yo,

Z = Z o,

où x o, r₀, z₀ sont des nombres, il est bien clair que le système proposé ne peut admettre d’autre solution que a?₀, y₀, z₀ ; mais le raisonnement précédent montre que x₀, y₀, s₀ constituent effectivement une solution, et il n’est pas nécessaire, au point de vue théorique, de constater que x₀, y₀, z„ annulent effectivement X, Y, Z. Cette vérification reste utile pour s’assurer qu’on n’a point commis de faute de calcul.

Pour peu que le lecteur veuille y réfléchir, il reconnaîtra sans peine que la méthode de substitution et les résultats qui précèdent s’étendent à la résolution d’un système de n équations du premier degré à n inconnues, et même, sauf quelques modifications, de /? équations du premier degré à p inconnues ; elle permettra toujours soit de parvenir à la solution unique si le système n’admet qu’une solution (ce qui suppose le nombre des équations au moins égal à celui des inconnues), soit de mettre en évidence l’impossibilité ou l’indétermination du système; dans le cas d’indétermination, certaines inconnues s’expriment par des polynômes du premier degré, dont les autres inconnues sont les variables. Les conclusions qu’on vient d’établir relativement aux combinaisons linéaires subsistent pour n équations du premier degré à n inconnues. Lorsque, en combinant linéairement ces équations, on parvient à n égalités, conséquences nécessaires des /?. équations, dont chacune fournit la valeur d’une inconnue, on est sûr que ces valeurs vérifient effectivement les équations. C’est d’ailleurs ce qui ressortira du Chapitre suivant.

Considérons, par exemple, les équations

— x y z — a, x — y -t- z — b, x -y- y — z = c,

on en tire, en ajoutant membre à membre

x-\-y-hz = a-{-b-^-c,

puis en retranchant membre à membre de celle-là chacune des équations proposées et en divisant par 2,

b -4- c — a

on n’a fait, au fond, que des combinaisons linéaires des équations; sans la théorie précédente, on pouvait affirmer évidemment que les équations proposées n’avaient pas d’autre solution que celle qu’on vient d’écrire ; la théorie précédente montre qu’on a bien eff ectivement là une solution.

J33. La méthode de substitution appliquée à deux équations du premier degré à deux inconnues

(0

^ ax-^-by-hc=o,

I a!x -H b'y -+- c' = o,

conduit à ce résultat essentiel, bien connu du lecteur : Lorsque la quantité ab'— ba! n’est pas nulle, le système (1) admet une solution, et une seule, qui s’exprime par les formules

ca' — ac'

(a)

ab' — ba!

bc'— cb' ab' — ba' ’

a' x -t- b' y - o

Notons en passant que, d’après cela, les équations linéaires en #, y ax -t- b y = o,

n admettent dans ce cas que la solution évidente x — o,_y = o.' En d’autres termes, si I on sait que x, y sont des nombres qui vérifient ces équations, on a, ou x — o, y =■ o, ou ab'— ba' = o.

Dans le cas où cette dernière relation est vérifiée, il y a des valeurs de x, y qui ne sont pas nulles toutes les deux et qui vérifient les équations proposées.

Considérons maintenant les deux équations linéaires en x,y, z

(3)

! ax-±-by-\-cz = o, f a!x -t- b'y -4- c z = o,

et cherchons à déterminer toutes les valeurs de x,y, z qui vérifient ces équations. Supposons d’abord ab'—ba! différent de o. Le sys-

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ.

tème (3), d’après ce qu’on vient de dire, équivaut au système

(bc'— cb')z ab' — ba' ’

(4)

( ca'— ac' )z ab'— ba' ’

c’est-à-dire qu’on obtiendra n’importe quelle solution du système (3) en donnant à 5 une valeur quelconque et en prenant pour x, y les valeurs qui résultent des formules (4); réciproquement, toute solution du système (3) peut s’obtenir de cette façon. Les formules (4) fournissent, en y laissant z indéterminé, la solution générale du système (3). Si nous posons z = (ab'—ba')l, il est clair qu’à chaque valeur de t correspond une valeur de 5 et que, réciproquement, à chaque valeur de z correspond une valeur de t\ on peut donc tout aussi bien dire qu’on obtient la solution générale du système (3) en prenant

x = (bc'— cb’ ,t,

y — ( ca'— ac' )t,

où t est une indéterminée. Les coefficients de t, dans les seconds membres, se déduisent du premier par une permutation circulaire des lettres a, b, c.

Notre raisonnement suppose que ab'—ba' n’est pas nul; mais, pourvu qu’une des trois quantités

(*)

z = (ab'— ba')t,

bc'—cb', ca'—ad, ab'—ba!

ne soit pas nulle, le résultat subsiste; si, par exemple, c’est bc'— cb' dont on sait qu’il n’est pas nul, on résoudra les équations (3) par rapport àjy, 5 au lieu de les résoudre par rapport à x, y, on retombera sur le même résultat.

Au lieu d’écrire la solution générale des équations (3) sous la forme (5), on peut, dans le cas où l’une des quantités bc'—cb', ca!— ac', ab'— ba' n’est pas nulle, dire qu’on obtient cette solution générale en prenant x, y, s respectivement proportionnels à ces quantités, et écrire

bc' — cb'

ca' — ac'

ab’— ba'

On doit donner à ces équations le même sens qu’aux équations (5); si, par exemple, l’un des dénominateurs est nul, il faut entendre que le numérateur correspondant doit être nul aussi.

Observons ce qui arrive quand deux des trois quantités bc'— cb', ca!—ac', ab'—ba!, les deux dernières par exemple, sont nulles : en regardant les deux égalités

ca' — c'a = o, b a'— b' a = o,

comme des équations linéaires par rapport à deux inconnues a, a', on voit, d’après une remarque antérieure, qu’elles entraînent soit a = o, a! = o, soit c(— b') — b (— c') ou bc'— b'c = o. Si l’une des inconnues x, y, z ne disparaît pas à la fois des deux équations (3), on peut dire que l’évanouissement de deux des quantités bc'—cb', ca!— ac', ab'— ba' entraîne l’évanouissement de la troisième.

Lorsque ces trois quantités sont nulles, c’est que les coefficients de l’une des équations (3) sont proportionnels aux coefficients de l’autre; l’une des équations entraîne l’autre. Deux des inconnues x, y, z peuvent alors être laissées arbitraires; la troisième, que l’on choisira de manière que son coefficient ne soit pas nul, s’exprime au moyen de ces deux-là.

Dans tous les cas les équations (3) admettent des solutions dans lesquelles les inconnues x, y, z ne sont pas nulles toutes les trois.

134. Les résultats précédents, relatifs à la résolution de deux équations linéaires à trois inconnues, sont souvent utilisés. Je vais les appliquer à la résolution des trois équations

/ X = a x b y -t-c z -t- d = o,

(>)

< Y = à x -h b' y -\-c'z -h d! = o,

\ Z = a"x -+- b"y -t-c"z -+- d" — o, en cherchant à déterminer trois nombres A, A', A", tels que, dans la combinaison linéaire AX + A' Y + A"Z des premiers membres, les termes en y, z disparaissent: il faut pour cela que les deux équations linéaires en A, A', A"

6 A -t- 6' A' -i- b" A" = o, cA + c'A' + c"A" = o

soient vérifiées; il faut donc, d’après le numéro précédent, prendre A, A⁷, A" proportionnels à b'c"—b"c', b"c — bc", bc'— b'c; rien n empêche de prendre A, A', A" égaux à ces quantités. On a alors identiquement

(•O

AX h- A'Y -T- A" Z = (A a -+- A ' a'+ A" a")x -+- Ad-h A'<f + A " d".

On déterminera de même deux systèmes de nombres B, B', B" et G, C, Cff tels que, dans les combinaisons linéaires BX + B'Y 4-B"Z, CX -f- C'Y + GVZ, les termes en x et z, les termes en x, y disparaissent, et l’on sera ainsi conduit aux identités

(²)

| BX B' Y -1- B"Z = (B6 -t-    B"é")jk + Brf+B'rf'+ B"d",

\ CX + C'Y+G'Z = (Ce 4- C'c' -4- C" c" ) z + Cd+ C'd'-+- C"d".

J’écris ci-dessous le tableau qui donne les expressions, au moyen des neuf coefficients a, 6, c, a', 6', c', a", //, c", des neuf quantités A,

B,..., G"

(3)

( A = b' c"— b" c', ■ A' = b"c - b c". I A" = b c' - b'c,

B =c'a"—c"a\ B' = c"a — c a", B" = c a! — c'a,

C = a' b"— a”b', C' = a!'b — a b\ C' = « b'—a'b-

pour retrouver rapidement ces formules, il convient de faire les remarques suivantes : dans l’expression de l’une quelconque des quantités A, ..., C" ne figurent que les petites lettres autres que la grande lettre dont on veut l’expression et autrement accentuées que celte dernière; ainsi, dans l’expression de A ne figurent que les lettres b, c (autres que a) et affectées d’un ou deux accents, tandis qu’il n’y en a pas dans A; en faisant une permutation circulaire sur les petites lettres, on produit une permutation circulaire sur les grandes lettres; ainsi B se déduit de A par une permutation circulaire effectuée sur les petites lettres. Une permutation circulaire sur les accents des petites lettres, ou, si l’on veut, une permutation circulaire effectuée à la fois sur les lettres <2, a', a", sur les lettres 6, b', b", sur les lettres c, c\ c", produit une permutation circulaire sur les lettres A, A', A", sur les lettres B, B', B", sur les lettres G, C’, C".

Enfin, on vérifie immédiatement que, dans les seconds membres des identités (2), les coefficients respectifs de x,y, z, c’est-à-dire

Aa+A'a'+A'a', B b H- B'è'+ B"b", Ce + C'c'+C"c",

sont égaux : leur valeur commune est

(4)

A = ab' c" — ab" c' -+- ct' b" c — a' bc" -t- a" bc' — a" b' c.

G, G', C" ne soient pas

ou

Supposons que A ne soit pas nul, ce qui implique évidemment que les trois quantités A, A', A" ou B, B', B'' nulles à la fois : on voit qu’on est conduit, par des combinaisons linéaires des équations proposées, aux suivantes

A^ + .Vi,+ A "dr A « H- A' a' -h A" a ’

(5)

Bd + B'd'-h B"d"

Bd-hB'd'-h B"d"

B b -h B'b'B” b" ’

Crf-t- G'rf'-t- G'd"

Ctd CJ d'G" d"

Ce h- CV h- G"c"

Il résulte du calcul même que, si les équations (i) admettent une solution, cette solution ne peut être autre que celle que donnent ces formules; mais le raisonnement du n° 132 s’applique ici et l’on est certain que les valeurs trouvées pour x, y, z vérifient les équations (i), et cela quels que soient les coefficients «,    c", pourvu que A ne

soit pas nul.

Ainsi, lorsque A n’est pas nul, les équations (i) admettent une solution, et une seule, que donnent les formules (5).

Il convient de remarquer, relativement à ces formules, que les trois dénominateurs sont les mêmes, et que les numérateurs se déduisent de A en y remplaçant, pour chaque inconnue, les coefficients de cette inconnue par les termes constants : ainsi le numérateur de la fraction qui, lorsqu’on en a changé le signe, donne la valeur de s’obtient en remplaçant, dans A, a, a', a!' par d, d!, d" ; cela résulte évidemment de la seconde forme de cette fraction et de ce que a, a', a" ne figurent pas dans les expressions de A, A', A.".

135. Regardons les quantités A, ..., G", A comme définies au moyen des données a, . . ., c" par les formules (3) et (4) du numéro précédent, elles pourront être regardées comme des polynômes où a, . .., c" seraient les variables; A, ..., G¹ sont alors des polynômes homogènes du second degré, A est un polynôme homogène du troisième degré : ces polynômes sont liés entre eux par des relations identiques très remarquables : les premières que je vais écrire se

trouvent avoir été démontrées par la façon même dont on a été conduit aux expressions de A, .    G", ou reproduisent une observation

déjà faite sur les trois formes que peut affecter le dénominateur commun A des valeurs trouvées pour x, jk, s

Ca + C'a'+G"a'= o Gb -h Cb' -t- G" b" = o Gc + G'c' -i- G"c" = A.‘

Ba+B'a'-t- B"a!'— o, B b + B'6'-+- B"b"= A, Bc+ B'c'-f- BV' = o,

i A a A' a' -+- SI' a!' = A,

(')

. A b -+- A' b' -+- Mb" = o,

( Ac +A'c' + A"c" = o.

A ces neuf identités, il convient d'en adjoindre neuf autres analogues, auxquelles on serait parvenu en suivant exactement la même marche que plus haut, si, au lieu d’écrire les équations à résoudre sous la forme (i) du numéro précédent, on les avait écrites sous la forme

ax-+- a' y -+- a"z -4- a = o. b.v b’ y -t- b"z -t- (J = o,

ex -+- c y +c*^ + S = o.

Au reste, le lecteur n’aura aucune peine à les vérifier sur la définition même des polynômes A, ..    G", A.

(a)

I Al a —t— B b —H G c — A. A a' -t- B b' -t- C c' = o, Aa"+Bè"+ Gc" — o,

Ma -+■ B'b h- G'c = o, Ma'-h B' b' -h Ce' = A, Ma"B'b"Ce" — o,

M'a -f-B"b + C"c = o, M'a'-h B"br-h G"c' = o, A"a"-+- B"b"-h G"c" = A.

Si l’on regarde pour un instant les deux égalités

Ba+B'a'+ B" a" = o, Ga + G'rt'+ G "a"= o.

comme des équations linéaires où B, B', B", C, G', CI' seraient les coefficients et a, a\ a!' les inconnues, on en conclut, d’après le n° 133, que a, a', a!' doivent être proportionnels aux quantités B'C"—B"G', B"G — BC", BC'—B'C; il est aisé de constater que le facteur de proportionnalité est A : en effet, si l'on remplace, dans B'C"—B"G', par exemple, B', G", B", C' par leurs expressions au moyen de a, ..., c", on reconnaît de suite que, dans l’expression développée, les monomes où a ne figure pas se détruisent, en sorte que a se met en facteur dans les termes restants et l’on constate que B'C"— B"C' est égal à Aa. C’est la première des neuf identités

qui suivent, les autres s’en déduisent par des permutations circulaires, lesquelles n’altèrent pas A,

A' B"— A" B' = Ac, A"B — A B"= Ac', A B'— A'B = Ac".

G' A" — G" A' = A b, G" A — G A" = A b', G A' — G' A = A//,

/ B' C"— B" G' = Aa,

(3)

¹ B" C — B C" = A a', i B C' — B' G = A a",

Le lecteur ne peut manquer d’être frappé par l’analogie qu’il y a entre ces relations et celles qui définissent les polynômes A, ..., C".

Enfin, si l’on multiplie par A, A', X" les identités qui figurent dans la première colonne du tableau précédent et que l’on ajoute membre à membre, on trouve, en tenant compte de la première des identités (6)

(4)

A (B'G"— B" G') -4- A'(B" G — BC") -t- A"( BG'— B'G) = A².

Le premier membre est formé au moyen des quantités A, ..., C" exactement comme A est formé au moyen des quantités a, ..., c".

Il résulte des identités (8) que, si A est nul, en vertu des valeurs attribuées à «, . .., c", les éléments de l’une quelconque des lignes horizontales qui figurent dans le tableau

a b b 02 èc cc < < <

sont proportionnels aux éléments correspondants qui figurent dans une autre ligne horizontale; de même, pour les lignes verticales; plus particulièrement, en supposant toujours que A soit nul, si l’un des éléments du tableau précédent est nul, ou bien tous les éléments de la ligne horizontale qui contient cet élément, ou bien tous les éléments delà ligne verticale qui le contient, sont nuis.

Les diverses propriétés des polynômes A, ..., G", A que l’on vient de développer appartiennent à une théorie dont on développera les éléments dans le Chapitre suivant; elles interviennent assez souvent pour qu’il soit utile de se familiariser avec elles, indépendamment du symbolisme propre à cette théorie.

136. Je me bornerai à faire une application des identités (2) du numéro précédent à la question même qui a été mon point de

départ, à savoir la résolution des équations X = o, Y = o, Z = dans le cas où A n’est pas nul. Récrivons les identités (2) (en x, y, z) du n° 134 sous la forme

(1)

en

AX + A'Y + A Z = Aï + P, BX+B'Y + B"Z = A/ + Q, GX + G'Y + C'Z = A2+R,

posant, pour abréger,

P = Ad-h A'rf'-t- A "d”, Q = Bd-+- B'd'4- B "d", R = Cd-t-GeT-h 01'd".

Les identités (i) montrent, comme je l’ai déjà fait observer, que les équations X = o, Y = o, Z = o ne peuvent être vérifiées si l’on ne prend pas

Â’

si I on ne veut pas faire appel au raisonnement du n° 132, il resterait à vérifier que ces valeurs de jc, y, z satisfont aux équations X = o, Y = o, Z = o; on peut éviter cette vérification, d’ailleurs aisée, comme il suit :

En multipliant les égalités (10) respectivement par a, b, c, ou par a', b\ c', ou par a", b'\ c", en les ajoutant et en tenant compte des relations (2), du numéro précédent, on trouve

i    AX = a ( Ax -h P ) -h ô (Ay 4- Q ) -+- c ( Az    -4- R),

U)

A Y = a' ( Ax -H P ) -|- b' ( A^- Q ) -4- c' ( As    4- R ),

,    I    AZ = a"(Aa?+ P) + è"(A/ + Q) + c"(Aa    + R),

ces égalités, où, comme dans les égalités (1), X, Y, Z doivent être remplacés par

ax 4- b y -t- cz -4 d, al x 4- b' y -t- c' z -4- d, a" x -4- b" y -t- c” z 4- cl",

sont, comme les égalités (1) d’où elles ont été déduites, des identités en a?, y, z ; elles montrent évidemment, sous la condition que A ne soit pas nul, que, si l’on attribue à x, y, z les valeurs qui annulent Ax 4- P, Ay 4- Q, Ae; 4- R, les polynômes X, Y, Z sont certainement nuis.

En résumé, quand A n’est pas nul, le système

Z = o,

X = o,

Y = o,

et le système

sont équivalents. Plus particulièrement, quand A n'est pas nul le système

ax-\-by-\~cz — o, a' cl? -h b'y -4- c'z = o, a"x -+- b"y -t- c"z = o,

et le système a? = o, y = o, z = o sont équivalents.

137. Si les formules générales qui donnent, en fonction des coefficients, les trois inconnues d’un système de trois équations du premier degré, ou plus généralement les n inconnues d’un système de n équations, conduisent, comme on vient de le voir et comme on le verra plus tard, à d’intéressants développements théoriques, il est très souvent avantageux, lorsqu’on a à résoudre un système particulier d’équations, de le traiter directement, sans avoir recours à ces formules générales, et de profiter de la forme particulière de ces équations.

Celles-ci peuvent présenter quelque symétrie dont on puisse tirer parti; on en a vu un exemple au n° 13*2; souvent, c’est une inconnue auxiliaire qu’on est amené à prendre.

Si l’on a affaire, par exemple, au système

abc A a? -t- B y -+- G z = D

on prendra pour inconnue auxiliaire la valeur t commune aux trois rapports qui figurent dans les deux premières équations, d’où l’on tirera

x = at,

y = bt

z — et,

et, en portant dans la dernière, on aura

(Aa + Bè-(-Gc)< = D,

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGUE.

en sorte que la solution des équations proposées sera

X Aa -t- B b -i- G c’

Aa + Bè + Ce’

cD

Aa + Bè + Cc’

en supposant que Aa+B^ + Cc soit différent de o. Considérons encore les équations

A.r — a(ax-fé/+C2H-rf)= P, B y — $(ax b y c z d) = Q, C z — y (a x b y c z d ) — R.

On voit que, si l’on connaissait la valeur de

on obtiendrait de suite les valeurs de x, y, z ; on est donc amené à substituer au système précédent le système d’équations à quatre inconnues

ax-\-by-\-cz-srd — u.

Cz —    = R ;

A x — a u — P,

ou, en supposant A, B, C différents de o

aa + P

H- b

_ $u -h Q - B ’

P u -t- Q

Y u -+- R * “ ~"C    ’

y« + r C~ = “;

que x +

la dernière équation détermine la valeur de a, en supposant toutefois +    — i soit différent de o; il ne reste plus qu’à sub

stituer cette valeur de u dans les expressions de x, y: z.

Lorsqu’on applique, soit partiellement, soit d’une façon régulière, la méthode de substitution à un système d’équations données, il y a évidemment intérêt à commencer la résolution par celle des inconnues qui fournira l’expression la plus simple au moyen des autres inconnues, soit parce que cette expression contiendra moins d’inconnues, soit parce que les coefficients se trouvent être des nombres entiers, ou pour toute autre raison analogue.

Considérons, par exemple, le système

y = v,

x -t- y — 2 = 3, 3 .z -t- 2y — 2 x — 6,

on

le remplacera de suite par les systèmes

y = x,

Z — 2.

■ix — z

3,

LO I «

3 s = 6,

Le lecteur reconnaît combien remploi des formules générales pour des cas comme ceux qu’on vient de traiter serait peu avantageux.

com-

138. Je ne me suis occupé dans ce qui précède que de la résolution exacte d’un système d’équations. Dans la pratique, il arrive fréquemment, d’une part, que les coefficients ne soient connus qu’imparfai-tement et, d’autre part, que ces coefficients, mis sous forme entière ou décimale, comportent un assez grand nombre de chiffres. Même lorsqu’il s’agit de questions purement théoriques, si les coefficients se trouvent être des nombres irrationnels, il faudra bien, pour effectuer les calculs, les remplacer par des valeurs approchées, et il est clair qu’on ne pourra obtenir que des résultats approchés pour les valeurs des inconnues. Enfin, il est à remarquer que si, en partant d’équations dont les coefficients, écrits sous forme décimale portent seulement quatre chiffres significatifs, par exemple, et qu’on effectue tous les calculs exactement, on obtiendra les inconnues sous forme de fractions dans lesquelles le numérateur et le dénominateur comporteront un très grand nombre de chiffres, chiffres dont les derniers n’auront aucune valeur, si les données dont on est parti ne sont pas sûres.

Il est alors raisonnable d’employer la méthode de substitution, en faisant au fur et à mesure les divisions, multiplications et additions dont on a besoin et en ne conservant pour chaque résultat qu’un certain nombre de chiffres; ce nombre de chiffres dépendra naturellement de l’approximation avec laquelle sont connus les coefficients et de celle qu’on veut obtenir : il est assez naturel de conserver, à chaque fois, un peu plus de chiffres qu’il n’est nécessaire, en sorte que les erreurs qui résultent des chiffres négligés soient petites devant l’erreurqui résulte de l’imperfection des données, ou au moins du même ordre. D’ailleurs, si l’on a des limites pour les erreurs dont sont entachées les données, des règles d’arithmétique bien connues (¹) permettent d’évaluer, à chaque opération, une limite de l’erreur dont est entaché le résultat, soit à cause des erreurs primordiales, soit à cause des chiffres négligés, en sorte qu’on parvient finalement à une limite de l’erreur dont peuvent être entachées les valeurs des inconnues.

Quand on procède de cette façon, il est recommandé, contrairement à ce qu’il est naturel de faire lorsqu’on procède à la résolution exacte, de résoudre d’abord par rapport à celle des inconnues qui a le plus gros coefficient, en sorte que, dans les formules intermédiaires que l’on obtient ainsi, les coefficients des autres inconnues soient des

(') Imaginons qu’on opère sur deux nombres (positifs) approchés A, B, au lieu d’opérer sur les nombres exacts A + a, B + P et désignons par a', ,3' des nombres positifs dont on sait qu’ils sont égaux ou supérieurs aux valeurs absolues des erreurs a, p : a', p' sont des limites supérieures de ces erreurs. On doit supposer a', [3' petits par rapport à A, B; lorsque A, B sont écrits sous forme décimale, a', p' sont, d’ordinaire, à peu près de l’ordre des unités des derniers chiffres. S'il s’agit d’une addition ou d’une soustraction, l’erreur commise sera moindre (en valeur absolue) que a'-t-P'; s’il s’agit d’une multiplication, l’erreur commise sera moindre que (B+pr) a'-t- AP'; on calcule grossièrement cette erreur en remplaçant A etB + p' par des valeurs plus simples, notoirement trop fortes, obtenues, par exemple, en forçant le premier chiffre significatif de A et de B. S’il s’agit d’une division, l’erreur

B ex — A [3

A + a

B + j3 B — B(B + P)

Cû

|cn_

+ h»

ICO.

est moindre en valeur absolue que

f(*' ⁺ B

où B' désigne un nombre positif inférieur ou égal à B+j3; pour calculer cette erreur, on remplacera B' par un nombre notoirement trop petit : on pourra, par exemple le plus souvent, ne conserver que le premier chiffre significatif de B et remplacer les

par un nombre notoirement plus grand,

suivants par des zéros: on remplacera

obtenu, par exemple, en forçant le premier chiffre du quotient.

Ces formules se simplifient un peu si l’on remplace a', ,3' par le plus grand de ces deux nombres. On peut d’ailleurs obtenir des résu Itats plus précis lorsque l’on connaît le signe de a et de [3.

Enfin, il ne faut pas oublier d’ajouter à ces erreurs celle qui provient de ce que l’opération ne se fait pas exactement, de ce qu’on supprime les chiffres à partir d’un cerLain rang.

nombres décimaux sans partie entière : on sait, en effet, que l’erreur (absolue) dont est entaché le quotient d’une division dont le diviseur est inexact est d’autant plus faible que ce diviseur est plus grand.

Aiin de mieux faire comprendre tout ceci, je vais faire les calculs sur un exemple numérique, dans lequel les coefficients ont d’ailleurs été pris au hasard.

Soit à résoudre les deux équations en x, y

32703? — 8243jk — 7420 = o,

O.

6287a? -t- 2724JK — 6232

Je suppose que les erreurs commises sur les coefficients soient moindres que = o,5. On tire de la première de ces équations

7425

8243’

y — ax — 6,

_ 3275 a 8243 ’

puis, en substituant dans la seconde

Aa? = B.

a? —

■>

A = 6287 -1- 2724 a,

B = 6a32 -t- 27246.

En appliquant au calcul de a et de b la règle que l’on a rappelée dans la note précédente, on voit de suite que les erreurs dont seront entachés les résultats, par suite de l’inexactitude des termes des deux fractions, seront moindres respectivement que les nombres

+-(o,5+o,5),

(o,5+ 0.4X0,5),

avec une erreur au

20000

nombres cherchés, sera moindre que

et, par conséquent, moindres que

plus égale à

£ooq- En calculant les quotients , l’erreur finale, pour chacun des

8000

20000

ôooo’

on trouve ainsi

« = 0,3973,

b — 0,9008.

Pour calculer A et B, on a à faire deux multiplications. Si on les faisait exactement, les erreurs sur les produits, provenant de l'inexactitude des facteurs, seraient moindres que

3ooo

5ooo

+- 0,4 x o,5,

3ooo

moindres, par conséquent, que o,8 et î, i. Il ne serait guère raisonnable, dans les produits, de chercher une approximation meilleure

que — = o,o5; on pourra, pour les évaluer, se servir delà méthode

o,5-t-o,8-t-o,o5 = i,35,

abrégée. En tenant compte de toutes les erreurs, on voit que A, B peuvent être connus ainsi avec des erreurs moindres respectivement que

o,5 H- i, î -+- o,o5 = i ,65.

On trouve en procédant ainsi A = 7869,2, B = 8685,8. Si donc on prend A =7869, B = 8686, les erreurs seront moindres que i,35 + o,2 et 1,65 +0,2; elles seront moindres que 2.

On aura ensuite à calculer x = . ; l’erreur qui résulte de l’inexactitude des valeurs précédentes de B et de A sera moindre que

—— ( 1 -+-1,2) < o ,ooo63.

7000

erreur

E11 calculant le quotient de la division de 8686 par 7869 avec une moindre que o,oooo5 on trouve 1,1787 : si donc on prend pour x la valeur 1,179, l’erreur sera moindre que

•    o,ooo63 -+- o.oooo5 -+- o,ooo3 <C 0.001.

11 reste, en adoptant cette valeur pour x, à calculer

y = 0,397257 — 0,9008 ;

dans le second membre, les coefficients sont connus avec une erreur moindre que    l’erreur totale, en supposant la multiplication faite

exactement, serait donc moindre que

— X I ,2 -t- 0,001 X oi + ~z ■— - 0,0002 X 2,2 4- 0,0004 = 0,00084-

5ooo ’    ’    5ooo

En calculant le produit o,3g^3 x 1,179 de manière que l’erreur, sur ce produit, soit au plus égale à o,oooo5, on trouve 0,4684, d’où, pour jp, une valeur — 0,4324 approcliée avec une erreur moindre que 0,0009; si l’on prend y = — 0,432 l’erreur sera sûrement moindre que o, ooi3.

En substituant à Ja place de .r, y dans les premiers membres des équations proposées les valeurs 1,179 et    on trouve (approxi

mativement) 2,8 et 3,5 : ces nombres sont petits par rapport aux coefficients et le résultat est satisfaisant.

Les calculs ont été dirigés de manière, d’une part, à éviter l’emploi de trop de chiffres, d’autre part, à tirer des données, je ne dis pas tout le parti possible, au point de vue de l’approximation des résultats, mais au moins un bon parti. Il y a évidemment quelque arbitraire dans la façon dont l’on peut apprécier ces deux avantages. On aurait pu, en poussant plus loin les opérations, avoir une approximation légèrement meilleure; on aurait pu faire les calculs plus grossièrement en se contentant d’une approximation moindre.

Dans la pratique, les calculs de cette sorte se feront le plus souvent en s’aidant soit d’une table de logarithmes, soit d’une règle à calcul. Si l’on se sert d’une table et qu’on veuille une bonne approximation, il sera naturel de faire les calculs avec un peu plus de précision qu’il n’est nécessaire. L’emploi d’une table à cinq décimales serait, pour l’exemple précédent, assez raisonnable, mais non d’une table à sept décimales. Les calculs faits au moyen d’une table de logarithmes et d’antilogarithmes à quatre décimales, dont on connaît la grande commodité, sont indiqués ci-dessous ; on constate que le résultat est satisfaisant.

log a — 3,5154 — 3,9161 = 1,0993, logé = 3,8707 — 3.9161 = 1,9546; log(2724«) = 3,435a -+- I , 5993 = 3,o345, log(2724è)= 3,4352 -t- 1 ,9546 = 3,3898;

2724 a = io83, 2724 b = 2454, logB = 3,g388, logA = 3,8675,

A — io83 -+- 6287 = 7870,

B = 2454    6232 = 8686 ;

\ogx = log B — log A = 0,0713,

^ = 1,179;

log(aa?) = 1,5993 -1- 0,0713 = 1 ,6706,    a^7= 4,4684, y = ax— b — 0,4323.

Revenons au calcul comme on l’a fait tout d’abord, de manière à

obtenir une limite certaine de l’erreur commise sur les résultats, quand on connaît une limite de l’erreur commise sur les données ; cette dernière limite, dans l’exemple traité, est voisine de 0,001 : il ne faut pas croire qu’on obtienne toujours d’aussi bons résultats quand on résout des équations du premier degré dont les coefficients ne sont connus qu’approximativement. Conservons les mêmes notations que plus haut,

y = ax — b,

pour les deux équations auxquelles on est amené en cherchant à résoudre un système de deux équations à deux inconnues : s’il arrivait que le nombre calculé pour A fût du même ordre de petitesse que l’erreur possible, il n’y aurait à peu près rien à tirer du résultat, puisque o se trouverait être une valeur possible de A ; les équations pourraient être impossibles, ou, si B était aussi du même ordre de petitesse que A, indéterminées. Dans tous les cas, la petitesse du nombre trouvé pour A doit éveiller l’attention : elle introduit, d’ordinaire, une incertitude notable dans les résultats.

quelle

sur

Il est à peine utile de dire que, si l’on a traité un exemple relatif à deux équations, la méthode s’applique à la résolution numérique d’un système de n équations à n inconnues; en procédant d’une façon analogue à celle que j’ai indiquée, on sait, à chaque pas approximation on peut compter.

EXERCICES.

129. Résoudre les systèmes

- x y    u) = 1,

I.

x -+■ y = z + u,

( 7 = 237, y -h -z -t-i.

a (x -j- u) -+- b (y -4- z) — c, a'(v+ u)b'( z x) — c\ a"(z 4- u) 4- b"(x 4-7) = c", x-\-y-\-z-\-u = d.

130. Résoudre le système

4? -1-jK    -t- -s =

x - z y -y- z-z — x -h oc'² y -t- z z — c,

où a, b₁ c désignent des nombres réels ou imaginaires donnés et où l’on sup-

pose z =

131. Résoudre le système

ax-hby-hcz = o, a!x -t— b'y -+- c'z = o, a?³ -h y

_•

-h z* = R'².

132. Le système

qz — ry = a, r x — pz = b.

P y    qx — c

admet-il des solutions ?

133. Résoudre le système

ax

q z — ry = a -y t, r x — pz — b -y-£,

P y — q X = c -y- t, b y —t-, c z -y- d = o.

134. Résoudre le système

x -t- a y -4- a-z -+- a3 x -t- b y -+- b'¹ z -v- b3 x c y c'¹x -+- c³

13o. Si l’on regarde x, y, z comme une solution de ce dernier système, le polynôme f en £, t³ -t- VLz -+- ty -t- x admet les racines «, 6, c.

De l’identité

on tire les valeurs de    y, 2 en égalant dans les deux membres les coeffi

cients des termes en £², en £ et le terme constant.

136. Résoudre le système

— 1 = 0,

X —i— ci

X -h b

X —|— c

p. -t- a

[A -t- b ' JJ. -I- c

— 1 = 0,

't a

v -t- c

— 1 = 0.

En regardant x, y, z comme une solution de ce système, on reconnaît que la fraction rationnelle en t

t —H ci t —f— b

doit s’annuler pour t = X, t = jj, t = v : on en conclut l’identité

( t — X ) ( t — p.) (t

v).

t -t- a t -4- b t -t- c (t -t- a) (t -t- b) (t c)’

en décomposant le second membre en fractions simples et en identifiant avec le premier membre, on trouve les expressions de a?, y, z.

137. Dans les neuf égalités (3 ) du n" 134, on regarde les neuf nombres A, B, C, A',B',C', A", B", G" comme des données, et les neuf quantités a.b,c, a',è',c', a",b",c" comme des inconnues. Résoudre ces équations; le problème n'admet, en général, que deux solutions.

138. Résoudre par rapport à x, y, z les trois équations

(0

^=z-

où cp'p, o'y, cpi désignent les dérivées partielles par rapport à x, y, z du polynôme homogène et du second degré

<p(a?, k, s) = cix^-\- a'yî -+• a z%-f- ibyz -t- 2 b'zx -+- 2 b"xy.

Si l’on pose

B = b'b"— a b, B'= b"b — a'b',

B" = b b' — a" b",

\ = aa' a" -t- 2 bb' b" - ab* — a' b'* — ci" b"*,

A = a a"— 6², A' = a" a — B'², A"= a a' —b"²,

et si l’on désigne par (X, Y, Z) le polynôme en X, Y, Z

AX² + A'Y²A*Z² +2BYZ + 2B'ZX + 2B"XY,

on tire des équations (1), dans le cas où A n’est pas nul,

- | (N

- I (N

Sous la même supposition (A différent de o), montrer que, si l’on regarde X, Y, Z comme représentant les premiers membres des équations (1 ), on a identiquement

139. En conservant les notations de l’exercice précédent, on a identiquement en a, a', a", b, b', b"

A = B' B"— AB, Aè' = B" B — A'B', A b" — B B' — A" B",

A a = A'A"—B²,

Aa' = AA — B'²,

A a" = AA' — B"²,

A² = AA'A'-t- 2BB'B"— AB²— A'B'²— A B"²,

A = Aa + B"è'+ B 'b' = B" b" + A'a'+Bè = B'b'-h Bb -+- M'a", o = A b'' Hh B "a + B'è=A6' + B "b h- B ' a", o = B "a ■+■ A' b" -h B b' = B"£'-t-A'6 +B«', o = B'a H-B b" + A "b'= B 'b"-h Ba' + Af6.

Toutes ces identités sont contenues, comme cas particulier, dans celles qu’on a démontrées aux n<>a 134 et 133.

Montrer que si a, a', a", b, b', b" sont des nombres réels et si A est nul, les quantités A, A', A" sont de même signe et que les égalités

entraînent

A = o,

A + A'+A"=o

A — o,

A'= o,

A" = o,

B = o,

B'= o.

B" = o.

Résoudre par rapport à a, a', a", b, b’, b" les équations

= a! an— b², = a" a — V², = aa' — b"'¹.

B = b' b"— ab,

B' = b" b — a'b', B" = bb' — a" b", où 1 on regarde A, A', A", B, B', B" comme des données.

140. En désignant par ah a2,..., an, b1,    ..., bn des nombres donnés

dont les n premiers sont différents de o, on propose de trouver la solution la plus générale des n équations à n -+-1 inconnues a?0î x\i x%i • • -i xn

xr= arxr-i~\- b,■

(où r prend les valeurs i, 2,... n).

Après avoir observé que cette solution, si    b₂, ..bn étaient nuis, serait

donnée par la formule

xr— a\a=i... arx₀,

(r = 1, 2,... n),

où x₀ reste arbitraire, on changera d’inconnue en posant

xr = ax «21 • • • . &ryr,

Les équations proposées prennent alors la forme

Y r — y r—\ “H

br

aja₂.. .ar

(/• = 1,2,... «),

d’où l’on déduit sans peine

b 1    6-2

y 1— y 0 — ■+■

ai

CL | 6^2 • • • CL y*

la solution la plus générale des équations proposées est donnée par la formule

Xr—a^a^... ar \ x₀H----1-

ax

b.

br

CL 1 CL 2 • • • CL f

141. Trouver toutes les valeurs de a?, jk, -s, s qui vérifient les trois équations

ax -y cy -1- b z — s z, ex -1- b y -+- a z — s y, b x -+- «jk +    = s z,

où l’on suppose qu’aucun des coefficients a, 6. c n’est nul. En ajoutant ces trois équations on trouve

(a -h b -h c — s) (x -h-y -h z) — o;

il faut donc que l’on ait soit s = a -h b -h c, soit x -\-y z — o.

- n’est pas nul, on satisfait aux équations est nul, on peut prendre arbitrairement

Dans le premier cas, si — a

en prenant x = y = z; si -—h —

deux des inconnues a?, y, z.

Si l’on suppose s différent de a -+- b 4- c, les trois équations proposées équivalent aux équations

z = — x — y,

(a — b — s) a: -+-(c — b) y — (c — a)x + (b — a — s)y =

On peut satisfaire à ces équations en prenant s quelconque et x, y, z nuis, on en supposant

a) (c — b) = o.

(« — b — s) (b — a — s) — (c

CHAPITRE X.

DÉTERMINANTS; ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ.

§ 1. — DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES DÉTERMINANTS.

139. Imaginons un carré, analogue à une table de multiplication, décomposé en n'¹ petits carrés ou cases. Ces n- cases forment n files ou colonnes verticales : imaginons que chaque ligne horizontale soit affectée d’un numéro, et que ces numéros aillent en croissant quand on descend vers le bas du carré ; les numéros seront, le plus souvent, les nombres i, 2, ..., n‘ dans tous les cas, la ligne du haut, celle qui est immédiatement en dessous, . . ., la ligne du bas s’appelleront respectivement la première ligne horizontale, la seconde ligne, . . la /Peme ligne. Imaginons de même que chaque colonne verticale soit affectée d’un numéro et que ces numéros aillent en croissant quand on va de gauche à droite : ees numéros seront, le plus souvent, les nombres 1, 2,    dans tous les cas la colonne de gauche, celle

qui la suit, . . ., la colonne de droite s’appelleront respectivement la première, la seconde, . . ., la /z,e,l,e colonne verticale.

Chaque case est alors déterminée par deux numéros : le premier sera le numéro de la file horizontale, le second sera le numéro de la file verticale, qui contiennent cette case. Je désignerai souvent une case par ces deux numéros mis entre parenthèses; si, par exemple, on se sert des nombres 1, 2, 3, ..., n pour numéroter les lignes et les colonnes, la case (2, 3) appartiendra à la seconde ligne et à la troisième colonne; les cases (1, 1), (2, 2), .. ., (/*, n) seraient traversées toutes par la diagonale qui va du sommet en haut et à gauche au sommet en bas et à droite; on dit souvent qu’elles appartiennent à la diagonale principale du carré.

Imaginons maintenant que, dans chaque case, soit placé un nombre : on a ainsi un tableau formé de n² nombres, distribués dans le grand carré. On va apprendre à déduire de ces n² nombres un autre nombre qui dépendra de leurs valeurs et de la place qu’il occupera : ce sera le déterminant des n² nombres.

î è in e

degré par rapport à l’ensemble

Ces n² nombres, ou quelques-uns d’entre eux, pourront être représentés par des lettres : la loi de formation du déterminant, que l’on va décrire, est indépendante de valeurs numériques attribuées à ces lettres; si l’on regarde les n² éléments (') du déterminant comme des variables distinctes, l’expression qu’on va apprendre à former sera un polynôme du premier degré par rapport à chacune des variables, un polynorne homogène et du n des n² variables.

Un déterminant formé au moyen de n² éléments rangés, comme on vient de l’expliquer, dans n lignes et n colonnes, est dit du nieme ordre.

Il est la somme de termes formés comme on va le dire.

Chaque terme est le produit, tel quel ou changé de signe, de n éléments pris respectivement dans n cases différentes du carré, deux de ces cases ne devant jamais appartenir ni à la même ligne horizontale ni à la même colonne verticale. Pour obtenir un système de cases qui satisfassent aux conditions que je viens de dire et qui, ainsi, renferment les facteurs d’un terme du déterminant, on peut procéder comme il suit : On choisit tout d’abord arbitrairement une première case; les autres cases ne devront plus jamais être prises ni dans la ligne ni dans la colonne qui contenaient cette première case ; sauf cette restriction, le choix de la seconde case est arbitraire ; les cases suivantes ne devront plus être prises ni dans la ligne ni dans la colonne qui contenaient cette seconde case; sauf les restrictions imposées ainsi par le choix des deux premières cases, le choix de la troisième est arbitraire, etc. Il est clair d’après cela que parmi les n cases d’où sortent les éléments qui sont les facteurs d’un terme, il y en a une, et une seule, qui appartient à la première ligne, une, et une seule, qui appartient à la seconde ligne, ... ; il y en a de même une, et une seule, qui appartient à telle colonne verticale que l’on veut.

(') J’emploie à dessein ce mot vague, qui peut désigner aussi bien un nombre, une lettre, une variable, une fonction.

Autrement dit, si les cases où sont pris les n facteurs sont respectivement déterminées par les n couples de numéros

Oi, Pi), O2, p*),    •••, (*«» p«),

la première lettre de chaque couple a étant réservée aux numéros des lignes, et la seconde aux numéros des colonnes, les numéros x,, a₂, . . , aH doivent être tous distincts et coïncider, abstraction faite de leur ordre, avec l’ensemble des numéros des lignes horizontales, en sorte que la suite a,, a₂, ..., constitue un arrangement (nk/i) de ces numéros; de même les nombres [3,, j3₂,    ne sont autre

chose, dans leur ensemble, que les numéros des colonnes verticales; la suite ₄3 ₄, {3₂, . . ., est un arrangement (n à n) de ces numéros.

fin

par

même de dire que, dans tous les cas, le produit considéré doit être

Ceci posé, le produit considéré, tel quel, est un terme du déterminant si les deux arrangements a,, a₂, ..., et appartiennent à la même classe (n° 12o); si ces deux arrangements appartiennent à des classes différentes, c’est ce produit multiplié qui constitue un terme du déterminant. Il revient au

multiplié par (— i)a+ô, en désignant par a le nombre des inversions contenues dans l’arrangement a,, a₂, ..., xu et par b le nombre des inversions contenues dans l’arrangement J3t, fi->, ..., ,3//. J'appellerai ce nombre (— 1 )aJrb le coefficient du terme considéré.

Le produit des éléments contenus dans les cases

(*1, pi), 0*2, P2).    •••, (*«. P«)

ne dépend évidemment pas de l’ordre dans lequel se succèdent ces cases ou les facteurs du produit; il en est de même du coefficient (— 1 )a+b dont ce produit doit être affecté.

Si, en effet, on transpose deux facteurs, on Lranspose par là même, dans l’arrangement a,, a₂, ..., a„, les deux numéros des lignes horizontales qui contiennent ces deux facteurs, et dans l'arrangement [3 (3₂, .. ., les deux numéros des colonnes verticales qui contiennent ces deux facteurs : chaque arrangement change de classe; les deux arrangements, s'ils étaient de même classe, restent de même classe; ils restent de classes différentes s ils étaient de classes différentes. Or, on peut, par de pareilles transpositions, amener tel facteur qu’on veut à la place qu’on veut.

On voit aussi qu’un terme du déterminant n’est nullement changé si, en laissant chaque élément à sa place, on modifie les numéros des lignes ou des colonnes, pourvu qu’on observe la règle relative à la façon dont ces numéros doivent croître : une telle modification, en effet, ne change point les nombres d’inversions contenues dans l’arrangement a,, a₂, ..., a„ ou [3,, |3₂, ...,

Le déterminant est la somme de tous les termes distincts que l’on peut former d’après la règle précédente.

Sont regardés comme distincts deux termes tels que tous les facteurs du premier ne proviennent pas des mêmes cases que tous les facteurs du second. Si tous les facteurs d’un terme proviennent des memes cases que les facteurs d’un autre terme, les deux termes sont regardés comme identiques, lors même que l’ordre des facteurs diffère : l’un d’eux seulement doit figurer dans le déterminant.

Le carré, avec ces n² cases dont chacune contient un élément du déterminant, sert à représenter celui-ci. Toulefois, on se dispense de figurer les lignes horizontales et verticales qui délimiteraient les n- cases : on ne conserve que les deux barres verticales qui limitent le carré à droite et à gauche. La place des cases, dont rien n’empêche de continuer à parler comme si elles existaient réellement, est suffisamment déterminée par la place qu’occupent les éléments. Par exemple, les symboles

4 —2

sont des déterminants du second et du troisième ordre. Pour en obtenir le développement, d’après la règle précédente, je supposerai que les lignes et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i, 2 pour le premier, au moyen des nombres i, 2, 3 pour le second.

Considérons d’abord le premier : Un terme du développement doit contenir deux facteurs dont l’un appartient à la première ligne, l’autre à la seconde, dont l’un appartient à la première colonne, l’autre à la seconde. L’élément 3 placé dans la case(i, i) ne peut être associé, pour former un terme du déterminant, qu’à l’élément — i placé dans la case (2, 2); le coefficient de ce terme est 1, puisque les arrangements formés respectivement par les premiers numéros des deux couples (1, 1), (2, 2) et par les deux seconds numéros de ces mêmes couples, ne comportent pas d’inversions; l’élément 4 placé dans la case (2, 1) ne peut être associé qu’avec l’élément 7 placé dans la case (1, 2); le coefficient du produit est —1, puisque les deux arrangements 2, 1 et 1, 2 comportent en tout une inversion. La valeur du déterminant est 3 x (— 2) — 7x4= — 34- La valeur d’un déterminant du second ordre est la différence entre le produit des éléments de la diagonale principale et le produit des deux autres éléments.

Considérons de même le second déterminant : l’élément a de la case (1, 1) ne peut être associé qu’avec des éléments appartenant l’un à la seconde ligne, l’autre à la troisième ligne, l’un à la seconde colonne, l’autre à la troisième; c’est-à-dire ou avec les éléments b', c" appartenant aux cases (2, 2), (3, 3), ou avec les éléments b", c' appartenant aux cases (3, 2), (2, 3); le produit ab'c" formé avec les éléments appartenant aux cases (1, 1), (2, 2), (3, 3) doit être affecté du coefficient 1; le produit ab"c' formé avec les éléments appartenant aux cases (1, 1), (3, 2), (2, 3) doit être affecté du coefficient — 1, puisque les arrangements 1, 3, 2, et 1, 2, 3 comportent en tout une inversion : les autres termes du déterminant doivent contenir soit l’élément a', soit l’élément a". L’élément a' ne peut être associé qu’avec les éléments b et c" ou les éléments b" et c; le produit a'bd' formé d’éléments appartenant aux cases (2, 1), (3, 2), (3, 3) doit être affecté du coefficient — 1 ; le produit a' b" c doit être affecté du coefficient + 1 ; enfin l’élément a!' ne peut être associé qu’avec les éléments b et c\ ou b' et c; les produits a!'bc' et a!'b'c doivent être alfectés des coefficients 1 et — 1 ; le déterminant est

ab' c" — ab"c' — a' bd' -+- a' b" c -+- a" bd — a!' b' c ;

c’est l’expression déjà étudiée au n° 135.

n. Considérons un terme

140. Revenons au cas général, à un déterminant du /i,e,ue ordre; je suppose que les lignes horizontales et les colonnes verticales soient numérotées au moyen des nombres 1, 2 quelconque du déterminant. Puisqu on peut ranger comme on veut les facteurs de ce terme, on peut s’arranger pour que les premiers numéros, tous distincts, des cases qui contiennent ces facteurs se succèdent dans un ordre déterminé, par exemple, dans l’ordre 1, 2

n\ les couples de numéros dont sont allectées les cases, rangées comme le sont les facteurs qu’elles contiennent, seront alors (

£.)•

(2, [3₂), .    (/?., (3„) en désignant par (3|, (3₂, .J3« les numéros 1,

2, . . ., n rangés dans un certain ordre, ou, si l’on veut, un arrangement (n à n) de ces numéros. Suivant que cet arrangement contiendra un nombre pair ou impair d’inversions, le produit des facteurs contenus dans les cases devra être affecté du coefficient 1 ou du coefficient — 1. Supposons que dans chaque terme du déterminant, les facteurs soient ainsi rangés.

A chaque arrangement (3l5 {3₂, ...    [3,, (/i à fl) des n numéros 1,

(1, [3,), (2, (3₂), ..

cases

O, §«)>

n correspondra un système un ternie du déterminant; à deux arrangements distincts

correspondront deux termes distincts; il y a autant de termes que d’arrangements, c’est-à-dire 1 . 2 ... n. Comme il y a autant d’arrangements de première classe que d’arrangements de seconde classe, il y a autant de termes affectés du coefficient 1 que de termes affectés du coefficient — 1.

Le terme dont les facteurs sont contenus dans les cases (1, 1), (2,2), ..., (n, n), que l’on appelle souvent terme principal du déterminant, a pour coefficient 1.

Si l’on considère deux systèmes de cases

x—s •-—^

(N ^

Cü.

îT cT

rangées comme on l’a expliqué, les termes correspondants du déterminant auront le même coefficient, ou des coefficients symétriques, suivant que les deux arrangements (/i à n) j3,, (3₂, ..., (3W et (3', [3',, ..., [3'w seront, ou non, de mêmes classes ou de classes différentes, ou, si l’on veut (nos 124, 125), suivant que l’on peut passer de l’un à l’autre par un nombre pair, ou un nombre impair de transpositions. Cette remarque est souvent commode pour reconnaître le coefficient d’un terme en le comparant à un autre terme, de coefficient connu, en particulier au terme principal.

Au lieu de ranger les facteurs d’un terme de manière que les premiers numéros des cases qui contiennent ces facteurs forment la suite 1,2, ..., n, on peut les ranger de manière que ce soient les seconds numéros qui forment cette même suite; les couples de numéros, dont sont affectées les cases, rangées comme le sont les

facteurs qu’elles contiennent, sont alors (a,, i), (a₂, 2), . . (aw, /?), en désignant par a,, ou, . . ., un arrangement (n à n) des nombres n. On pourrait répéter, sur cette seconde façon de ranger les facteurs de chaque terme de déterminant, ce que l’on a dit sur le premier mode.

141. Etant donné un déterminant, on peut en déduire un second déterminant en remplaçant l’élément situé dans une case quelconque par l’élément situé dans la case symétrique par rapport à la diagonale principale, ou, comme on dit d’une façon un peu brève, en échangeant les lignes et les colonnes : on entend par là qu’on remplace les éléments de la plème ligne par les éléments de la p“'me colonne et réciproquement. Bien entendu, après le changement, les éléments d’une ligne se trouvent rangés dans l’ordre qu'ds occupaient dans la colonne, etc.

11 est à peine utile de faire remarquer que, dans les deux déterminants, les éléments de la diagonale sont les mêmes.

2, .

ic me

Les deux déterminants, une fois développés, sont identiques terme à terme. .Je suppose en ellet que, dans les deux déterminants, les lignes et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres 1, n. L’élément qui, dans le premier déterminant, appartenait à la alème ligne et à la J3““rae colonne, appartiendra, dans le second, à la ligne et à la a'eme colonne; si l’on considère un terme du premier déterminant dont les facteurs figurent dans les cases (a,, J3t), (a₂, |3₂), . . ., (xw, du premier déterminant, ces mêmes facteurs figureront dans les cases ([3,, a,), (j3a, a₂), .. , ((3W, a;l) du second déterminant; ils fourniront, dans les deux développements, deux termes identiques, affectés du même coefficient (— i)a+6= (— i)6+<2; à chaque terme d’un déterminant correspond un terme identique de l’autre déterminant. Les deux développements sont identiques terme à terme.

On désigne sous le nom de déterminant symétrique un déterminant dans lequel les éléments placés symétriquement par rapport à la diagonale principale [les éléments placés dans les cases (a, [3), ((3, a)] sont égaux : tel est le déterminant

T.

23

Pour un pareil déterminant, le théorème précédent n’apprend évidemment rien. L’aspect de ce déterminant n’est pas changé quand on y échange les lignes et les colonnes.

On désigne sous le nom de déterminant symétrique gauche, un déterminant dans lequel les éléments de la diagonale principale sont nuis et dans lequel, de deux éléments placés symétriquement par rapport à la diagonale, l’un se déduit de l’autre en le multipliant par — i ; tel est le déterminant

Le théorème précédent montre qu’un déterminant symétrique gauche ne change pas quand on en multiplie tous les éléments par — i. Cela revient en effet, pour un tel déterminant, à échanger les lignes et les colonnes.

142. Lorsque, dans un déterminant quelconque, on remplace les éléments qui figurent dans une ligne par les éléments correspondants (*) d’une autre ligne, et, réciproquement, les éléments de cette autre ligne par ceux qui occupaient la place qu’on vient de leur attribuer, on forme un nouveau déterminant qui est égal au premier changé de signe.

Je vais montrer, en effet, que chaque terme de l’un des déterminants est identique à un terme de l’autre, changé de signe.

Supposons que les lignes et les colonnes soient numérotées au des nombres

1,2,

n et qu’on échange entre elles, au

moyen

sens qu’on vient de dire, la a^mc ligne et la a^me ligne. Considérons

un

les facteurs appartiennent aux cases

terme quelconque du déterminant proposé, dont

(ao fh)> (a2) ^2)1    • • • ?    (a/>> $i>)i    • • • ■>    (*?> P?)»    • • *i (*«»

(') En disant de deux éléments appartenant à deux lignes distinctes qu ils sont correspondants, j’entends qu’ils appartiennent à la même colonne; de même, deux éléments correspondants de deux colonnes différentes appartiennent à une même ligne.

mêmes éléments, dans le second déterminant, figureront dans

ces

les cases

ils seront encore les facteurs d’un terme du second déterminant, puisque les numéros a,, a₂, ..., a„ sont distincts, ainsi que les numéros [3,, (3₂, . .j3« ; mais le coefficient de ce terme, dans le

second déterminant, ne sera pas le même que dans le premier; en effet, l’arrangement (n à n) formé par les seconds numéros est le même, soit pour le premier déterminant, soit pour le second; mais les deux arrangements a,, a₂, . .

aqi • •

un

ou

V-p > • • • 1 9-qi • • •, et OC | , 0C₂, . ctpi ..., a„ n’appartiennent pas à la même classe (nu 124). On énonce brièvement ce théorème en disant qu’on multiplie déterminant par — 1 quand on échange entre elles deux lignes deux colonnes.

Il en résulte qu’un déterminant est nul lorsque les éléments qui figurent dans une ligne sont respectivement égaux aux éléments correspondants d’une autre ligne, ou, comme l’on dit, lorsqu’il a deux lignes identiques.

Si l’on considère, par exemple, le déterminant

ne peut évidemment être changée ; symétrique est nul; le déterminant proposé

dévelop-

la valeur numérique de ce déterminant doit, quelles que soient les valeurs numériques attribuées aux lettres <2, b: c, <2", b", c", être multipliée par — 1 quand on échange entre elles deux lignes quelconques; mais, si l’on échange entre elles les deux premières lignes, qui sont identiques, cette valeur numérique or, un nombre égal à son est donc nul quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres <2, 6, c, <2", b", c" : il est identiquement nul; tous les termes de son peinent doivent se détruire.

au

A.u reste, on voit très bien comment les termes se détruisent. D’une part, le déterminant proposé et le déterminant qu’on en déduit en échangeant les deux premières lignes conduisent évidemment même développement; d’autre part, en vertu de ce qu’on vient de dire,

chaque terme du second développement se déduit d’un terme du premier en changeant de signe son coefficient, c’est-à-dire qu’à chaque terme du déterminant proposé correspond un terme qui le détruit.

Le raisonnement est évidemment général; la vérification, pour l’exemple cité, est immédiate sur les formules du n° 135.

n\

143. Considérons un déterminant A, d’ordre /?, dont les lignes et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres i, a et regardons tous les éléments comme distincts; un élément de ce déterminant entre comme facteur dans plusieurs termes; il n’y entre d’ailleurs qu’une fois, en sorte que, si I on regarde cet élément comme une variable et qu’on le désigne pour un instant par a?, le déterminant sera du premier degré en x, et pourra se mettre, en l’ordonnant par rapport à x, sous la forme Ax +• B.

On appelle mineur d’un déterminant, relatif à un élément de ce déterminant, le coefficient de cet élément dans le développement du déterminant, ordonné par rapport à ce même élément.

Dans la notation précédente, A est le mineur relatif à l’élément x. Je vais donner une règle pour le calculer.

Considérons les termes du développement qui contiennent en facteur l’élément dont on cherche le mineur, et supposons qu’on ait, dans tous ces termes, placé en tête l’élément considéré. Les facteurs qui entrent dans un de ces termes appartiendront aux cases

(*n-,

Oi,pi)> (««> fh)i ••

TjC

sera

et, en vertu de l’hypothèse qu’on vient de faire, la case (a la même pour tous les termes considérés.

¹ J 2

même, les nombres i, a, .

3rt ; soient a' et b' les

Les numéros ou, a₃, ..., a„ sont, dans leur ensemble, les nombres d’où l’on a retiré a, ; les numéros (3₂, [3₃, ..., (3W sont, de «, d’où l’on a retiré [3,. Soient, comme plus haut, a et b les nombres respectifs d’inversions contenues dans les arrangements a,, ou, ..., an et [3,, [3 nombres respectifs d’inversions contenues dans les arrangements ou, a₃, ..., a.n et [3₂, [3₃, ..., (3W ; on a a = a' + a, — î, b = b' + (3, — i (n° 125). Le coefficient du terme considéré est

DÉTERMINANTS.

Le produit par (— i)®'"¹"⁶' des éléments contenus dans les cases

(**, P*), («3, Pa), • ••• (<*«, P»)

est un terme du déterminant A', d’ordre n — 1, qui se déduit du déterminant A en supprimant la ligne de rang a, et la colonne de rang (3,. Il suffit, pour s’en convaincre, de se reporter à la définition générale en supposant que, dans le déterminant du (n — i)ième ordre, les lignes et les colonnes conservent chacune le même numéro d’ordre qu’elles avaient dans le déterminant primitif. Cette même définition montre que, en prenant dans le développement de A tous les termes qui contiennent en facteur l’élément de la case (a,, {3₍), on obtient, de la façon qu’on vient de dire, tous les termes de Ah Le coefficient de l’élément de la case (a,, [3, ), dans le développement de A, est donc

(— i)*i+PiA'.

Ainsi, le mineur d’un déterminant relatif à un élément quelconque s’obtient en multipliant par une puissance de — 1 dont l’exposant est la somme des numéros d’ordre respectifs de la ligne et de la colonne qui contiennent cet élément le déterminant qui se déduit du proposé par la suppression de cette ligne et de cette colonne. Je rappelle que, dans le déterminant proposé, les lignes et les colonnes sont numérotées 1, 2, . .., n.

On reconnaît de suite, en se reportant à la façon, expliquée plus haut, de développer un déterminant du second ordre

= ab'— a' è,

que cette règle s’applique encore à un tel déterminant, si l’on convient de regarder un déterminant du premier ordre, qui se réduit à un seul élément, comme égal à cet élément.

144. D’après la définition d’un déterminant, il y a dans chaque terme un élément qui appartient, par exemple, à la pième ligne; si l’on regarde les éléments de la p,eme ligne comme des variables, le déterminant proposé sera une fonction linéaire des éléments de cettepième ligne, et l’on vient d’apprendre à déterminer les coefficients de cette fonction.

CHAPITRE X.

358

Considérons, par exemple, le déterminant du troisième ordre

A A »

O-

Développons-Ie suivant les éléments de la première ligne, de la seconde ligne, de la troisième ligne, on trouvera

A = A« + Bè + Cc = A 'a'-h B'6' + C'c'= Ara' + B " b"-+- c" c",

en posant, d’après la règle précédente,

6'' c"

O O.

i a' b' a" b" ’

A'

B' =

a" c" ’

C' = —

a!'    b"

A"

B"

On retrouve, en se reportant à la règle pour développer un déterminant du second ordre, les memes notations qu’au n° 135 et quelques-unes des identités établies dans ce même numéro.

Si l’on considère l’une des expressions de A, Aa-)- B6-)-Cc par exemple, on sait que les éléments a, b, c qu’on y a mis en évidence ne figurent pas dans les mineurs A, B, G, en sorte que, si, dans cette expression, on conserve la même signification aux lettres A, B, C et qu’on remplace a, 6, c par a, [3, y, le résultat Aa + B [3 + Gy ne sera autre chose que le déterminant proposé, où l’on a remplacé a, 6, c par a, jü, y, c’est-à-dire le déterminant en particulier l’expression Aa'-f-B^-b Ce' n’est autre chose que le déterminant à deux lignes identiques

c’est-à-dire o. On aura donc

A«' + Bè' + Gc' = o, A a" -H B b" +Cc'=o,

et les identités analogues (n° 13o).

Ce que l’on a dit des lignes vaut pour les colonnes et l’on aura de même

A = Aa + A'a'+A'a"^ Bè + B'è'+ B" b" = Ce + G'c'h- C"c", Aè + A'è'+ A" b" = o,

etc.

Le déterminant du quatrième ordre

a_    a.    a

<3~    O»    O    O»

5    =    -

C5_    CS_    O

^    a,    ^

serait de même égal à Art —|— B—|— Cc —1— üen posant

b' c' d

d c' d

b" c" d' b'"    c"' d"

d' c" d' d" c"' d"

b' d

d' b" d' d" b'" d"

puisqu’on sait développer chacun de ces déterminants du troisième ordre, on n’aura aucune peine à obtenir le développement complet du déterminant du quatrième ordre. On pourra tout aussi bien le mettre sous l’une ou l’autre des formes

A' d h- B' b' + C' c' -t- D' d, A" a" + B" b" -+- G" c" -+- D" d',

Si l’on veut par exemple l’expression de C', c’est-à-dire du mineur relatif à l’élément c' qui figure dans la seconde ligne et la troisième colonne; on voit, puisque (—i)2+:î est égal à

que ce mineur

etc.

A peut, de même, en le développant suivant les éléments d’une colonne, être mis sous l’une ou l’autre des formes

A a 4- A' d 4- A" a" 4- A'" a'",

B b + B'è' + B"è"+ B "'b'",

Ce + CV 4- C"c" 4- C'V",

D d 4- D'rf' 4- D" d"-h D'"<r.

Aa'+Bè'+ Ce'4- Dd'= o,

est

G' = —

a!'    b"    d" ,

a!" b'"    d"

Enfin il j a douze identités, analogues à celles qu’on a obtenues pour le déterminant du troisième ordre et s’établissant de même, telles que

et douze autres du type

A b 4- A' b' 4- A" b" 4- A'" b'" = o.

En d’autres termes, la somme des éléments d’une colonne, respectivement multipliés par les mineurs relatifs aux éléments correspondants d’une autre colonne est nulle, ainsi que la somme des éléments d’une ligne, respectivement multipliés par les mineurs relatifs aux éléments correspondants d’une autre ligne. On rappelle que le mineur relatif à un élément de A ne contient aucun élément représenté par la même lettre, ou accentué de la même façon que cet élément.

Lorsque tous les éléments d’une ligne, ou d’une colonne, sont nuis, il est clair, d’après ce qu’on vient de dire, que le déterminant est nul. Si tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne, sauf un. sont nuis, le déterminant se ramène immédiatement à un déterminant dont l’ordre est moindre d’une unité, comme on le voit de suite en le développant suivant les éléments de la ligne ou de la colonne considérée. Si, par exemple, on développe le déterminant

3467 o o 3 4

1    2 o 3

suivant les éléments de la dernière ligne, on voit que le mineur relatif à l’élément 2 de cette ligne est le produit de (— 1) déterminant

par le

3+4 —_j

347

004

1    2 3

Ce dernier déterminant admet encore une ligne dont les éléments sont nuis, sauf l’élément 4 auquel correspond le mineur

⁼ 6 -t— 4 ⁼⁼ 2 ;

la valeur du déterminant du quatrième ordre est 2 x 4 X 2 == 16.

145. Jusqu’à présent, lorsqu’un déterminant n’était pas écrit tout au long, je ne me suis servi, pour en désigner un élément, que du couple de numéros qui désigne la case où figure cet élément. Une notation fréquemment employée, et d’ailleurs très voisine de celle-là, consiste à désigner chaque élément par une même lettre affectée de deux indices, dont le premier est le premier numéro de la case cor

respondante. dont le second est le second numéro. Ainsi, en supposant que les cases et les colonnes soient numérotées au moyen des nombres 1, 2

i à ni e

n, l’élément appartenant à la a'em<! ligne et à la colonne pourra se représenter par aa^ ou ; dans la seconde notation, a n’est pas un exposant, mais un indice supérieur. C’est de la première notation que je me servirai le plus souvent. Avec cette notation, un déterminant du second ordre, ou du troisième, s’écri-

ront

a 1,1    «1,2

«2,1 ^2,2 ’

<*1,1    «1,2    CT1,3

a2,l    <^2,2    at,3

«3,1    «3,2    «3,3

On supprime souvent les virgules entre les deux indices, quand il n’y a pas de confusion à craindre.

ou certaines

Il importe toutefois de remarquer que l’on peut avoir d’autres raisons pour introduire ces symboles formés d’une lettre affectée de deux indices, afin de représenter certains nombres variables, et qu’on peut avoir à faire figurer ces symboles dans un

déterminant écrit à la façon ordinaire; on peut se trouver alors en contradiction avec la règle précédente : c’est toujours à la disposition des éléments dans le carré qui représente le déterminant et à la déjinition du n° 139 qu’il faut se reporter, et non à la règle que je viens de donner. Ainsi le déterminant

«1,2    «1,1

«2,2    «2,1

Cette observation s’applique en particulier quand, un déterminant étant écrit d’après la règle donnée au commencement de ce numéro on le développe suivant les éléments d’une ligne ou d’une colonne, quand on écrit par exemple

«Il «12    «13

«21    «22    «23

= «11

«22    «23

«31    «32    «33

«32    «33

- «21

«12    «13

«32    «33

+ «31

«12    «13

«22    «23

Dans le second membre, les déterminants qui multiplient respectivement «₍,, «21, «3i ont pour valeurs respectives

«22 «33— «23 «32}    «12 «33— «32 «13,    «12 «23- «13 «22-

11 convient d’adopter pour les mineurs relatifs à un élément une notation qui rappelle cet élément. C’est ce qu’on a fait, pour les déterminants du troisième et du quatrième ordre, en employant la même lettre (mais d’un autre type) et le même accent que pour J’élément.

Quand on emploie la notation précédemment expliquée qui consiste à désigner par «M)p l’élément qui appartient à jla a la 3iè

ic me

ligne et à

colonne, il convient, de même, de désigner par Aa;p le mineur correspondant. Aaip sera le produit par (— i)a+P du déterminant obtenu en supprimant la aiem0 ligne et la ^

ième

colonne.

Les éléments de la a,eme ligne sont respectivement    aa;2, ••

aa:,i et les mineurs correspondants Aa)(, Aaj2, ..., Aa)„. Les éléments de la [3,eme colonne sont respectivement    «₂,p, • ••,    et les

mineurs correspondants At)p, A2jp, Artjp; la règle précédemment établie pour développer un déterminant suivant les éléments d’une ligne ou d’une colonne, le fait qu’un déterminant est nul quand il a deux lignes identiques ou deux colonnes identiques, s’expriment par les identités suivantes, dans lesquelles A désigne le déterminant considéré, et dans lesquelles on suppose essentiellement, pour les deux dernières, que a est différent de [3,

A<x, 1 <2a, i -H Aa) 2 <*a, 2 ■+■ • • • ■+■ A*, n aa> n — A,

Ai,aai,a+ A₂, « #2, a • • •+■ A«, a a/t, a= A,

Aa, i «S, î ■+■ Aa,2 <*fî,î -H» • •-+- Aa, /t ap, n = o,

= O.

Ai, a a\, p ■+■ A₂, a a2, p ■+■ • • •-+■ Aa a/ti p

On peut condenser encore ces 2 n- identités en les écrivant sous la forme

Aa, 1 afi, 1 •+■ Aa, 2 a$, 2 -+* • • • -+- Aa> n apt « — ea, jî A,

Ai, a ®i, P ■+■ A₂, a a2, p -H. • • -I- An> a a«, p = Sa, p A,

où représente 1 ou o, suivant que a est égal à ou que a est différent de ,3.

On écrit encore, plus brièvement,

/•= 1

Aa>/— £a, P A,

V — Tl

Ar, a ar, j3 — £a, (3 A.

r~n

Dans les premiers membres, le signe ^

r — 1

depuis r = 1 jusqu’à r = n, veut dire qu’on doit faire la somme des termes qui se déduisent du terme écrit à la suite de remplaçant successivement ;* par 1, 2

qui s’énonce sigma

en j

n.

146. On a déjà fait ressortir quelques conséquences de ce fait qu’un déterminant est une fonction linéaire des éléments d’une ligne ou d’une colonne. En voici quelques autres.

Quand on multiplie tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne par un même facteur, le déterminant est multiplié par ce facteur. En particulier, si tous les éléments d une ligne sont égaux, ou tous les éléments d’une colonne, on peut remplacer tous ces éléments par i, quitte à mettre en facteur l’élément qui se répète tout le long de la ligne ou de la colonne.

On a, par exemple,

lin multipliant successivement les éléments de la première, de la deuxième, ..., de la «ieme ligne d’un déterminant du /d<me ordre par un même facteur 4, il est clair que le déterminant est multiplié par kuau reste, cela est évident sur la définition même d’un déterminant : si, en particulier, on multiplie par — i tous les éléments, le déterminant reste invariable quand n est pair, il est multiplié par — i quand n est impair. Il en résulte (n° 141) qu’un déterminant symétrique gauche d’ordre impair est nul, puisque la multiplication par — i de tous les éléments revient à changer les lignes en colonnes, et inversement, ce qui ne change pas le déterminant.

Quand les éléments d’une même ligne sont proportionnels aux éléments correspondants d’une autre ligne, le déterminant est nul. En etïet, les éléments de l’une des lignes s’obtiennent alors en multipliant respectivement les éléments de l’autre ligne par un même facteur k\ en divisant ces derniers éléments par Xr, le déterminant est divisé par k', mais il a alors deux lignes identiques : il est nul, ainsi que le proposé. Ce que l’on vient de dire des lignes s’applique évidemment aux colonnes ; on a, par exemple

3    6    5

= o,

2 O = 2 X — 2 4

puisque les deux premières colonnes du second déterminant sont identiques.

Quand chacun des éléments d’une certaine ligne est la somme de p quantités, que j’appellerai éléments partiels de cette ligne, le déterminant proposé est la somme de p déterminants du même ordre que le proposé, qui s’obtiennent respectivement en ne conservant dans la ligne considérée que les premiers éléments partiels, les deuxièmes éléments partiels, ..., les p

éléments partiels.

iemes

Supposons, par exemple, que dans le déterminant du quatrième ordre

d’ b" c" d7 d" b’" c'" d"

on ait

a — oc 1 -4- 0C2 -4- oc3,

je dis que l’on a

c — Yi Y2 + Y3

d — o, -4- o₂ -4- §3,

(I) A =

~ À5 AS ^ £ o ü 1

cO -Ci ^

8 *8

a'

c’

b'

a" b" c" d' d" b'" c" d"

a' b''

d"    b'"

Si, en elfet, on conserve les notations du n° 144, le déterminant A pourra s’écrire

A — A a —(— -B b -+- G c —i— D d — A ( ocj —t— &₂ •+■ K3 ) -t— B ( [h —[§2 a⁻ P3 )

■+■ G(yi + '[-2-+- y3) -+- D(Sj -+- §₂-+- 83)

Mais, dans la dernière forme obtenue, les quantités

A oc, -4- B Pj-h Cyi-4- D§!, Aa₂-e B [i₂-+-Cy2-t-Do₂, Aa₃+ B (§3-4- Cy3+ £>o₃

ne sont autre chose que les déterminants qui figurent dans le second membre de l’égalité (1), développés suivant les éléments de la première ligne.

Il est clair qu’il y a un théorème tout pareil pour les colonnes; la décomposition du déterminant est même plus visible; les éléments partiels forment alors, par leur disposition, des colonnes partielles, en quelque sorte, qui deviennent les colonnes des déterminants partiels : on a, par exemple,

a + P + ]’ b c

a'+P' + y' b' c' a"+p"+y" b" c"

- a' b' c'

a" b" c"

P' b' c'

b" c"

b' c' b" c"

S’il n’j avait pas le même nombre d’éléments partiels dans les éléments d’une colonne (par exemple), on pourrait introduire des éléments partiels nuis et parvenir à une décomposition analogue. On a ainsi

770

070

070

Le lecteur n’aura aucune peine à reconnaître que le second membre est égal à

0 — 7(3 x 8 — 6x4) — 4 x 7 x8 = — 224.

Si les éléments d’une colonne étaient chacun égal à la somme de p éléments partiels, si les éléments d’une autre colonne sont égaux chacun à la somme de q éléments partiels, il est clair que le déterminant sera la somme de pq déterminants.

147. On ne change pas un déterminant quand on ajoute aux éléments d’une ligne les éléments correspondants d’une autre ligne respectivement multipliés par un même facteur, les éléments correspondants d’une autre ligne encore aussi multipliés par un même facteur, etc. Je me dispense d’énoncer le théorème analogue pour les colonnes, que je vais démontrer sur un exemple.

Considérons le déterminant

b'

c'

d'

a" b" c" d" a b'" c'" d"'

je dis qu’il est identique au déterminant

A' =

Ce dernier déterminant, d’après les explications qui précèdent, est en effet égal à

a'

b' c' d

c'

d'

a" b" c" d" a'" b'" c'" d'"

a' la' a" la" c" d" a"' la"' c'"    d'"

% », ». »

"P "P "P "P

^ a, a.

le premier déterminant est A, les deux autres sont nuis identiquement parce que, dans le deuxième, les éléments de la deuxième colonne sont proportionnels aux éléments de la première, et que, dans le troisième, les éléments de la deuxième colonne sont proportionnels aux éléments de la quatrième. Les deux déterminants A et A', développés, sont identiques.

148. Lorsque, dans un déterminant, il y a une même relation linéaire entre les éléments correspondants de la première ligne, de la deuxième ligne, . .., de la dernière ligne, ce déterminant est nul. Le déterminant est encore nul quand il J a une même relation linéaire entre les éléments correspondants de la première colonne, de la deuxième colonne, ..., de la dernière colonne. On suppose, bien entendu, que les coefficients de la relation linéaire ne soient pas tous nuis.

Si, par exemple, la relation

OCX

est vérifiée quand on y remplace respectivement z, t par a, 6, c, <:/, par a!, b', C, d', par    b\ cv, d", par d" ₁ bcr", dle déterminant

». », s, a

b' c' d'

b" c" d" b'" c'" d"'

est nul.

a a (36-f-Ye-i-û<i = o,

Supposons en effet que a ne soit pas nul, on aura, en vertu de l’hypothèse

a' = —

- d\

- d".

d’où

« rcD

î-l »

-d

et, de même,

-d',

a'" = —

On peut donc écrire

cCL| « CQ_| 8

1 « CO I «

O-

Ci

a.

a. a.

è" c" a

b'"    c'" d"

Ê b" — ï c" — - dr a    a    a

£ è'" — — <y" — -rfro

a    a    a

Ce déterminant, d’après la règle du n° 146, se décompose en trois autres, dont chacun est nul parce que les éléments correspondants de deux colonnes sont proportionnels.

La réciprocjue de cette proposition est vraie : si un déterminant du /ie ordre est nul, il existe n coefficients, dont l’un au moins n’est pas nul, tels que, si l’on ajoute les éléments d’une ligne quelconque respectivement multipliés par ces coefficients, on obtient une somme nulle. De même, il existe n coefficients, dont l’un au moins n’est pas nul, tels que, si l’on ajoute les éléments d’une colonne quelconque respectivement multipliés par ces coefficients, la somme soit nulle.

La proposition est évidente lorsqu’il j a un mineur relatif à quelque élément du déterminant proposé qui n’est pas nul. Si, par exemple, il s’agit du déterminant du quatrième ordre

a, a, » »

o- ©«

5    ⁵    ~

DETERMINANTS.

36₉

où a, 6,    , d!" désignent des nombres quelconques, on a

A a -t-Bè -t-Cc +D d = A, Aa' + B6¹ + Ce' + Drf = o, A a" + B b" -+- G c" + D d" = o, A a"’ + B b’" h- G c’" -+- D d" = o,

en désignant par A, B, C, D les valeurs numériques des mineurs relatifs aux éléments a, 6, c, d. Si A est nul et si l’un des mineurs A, B, C, D n’est pas nul, il est clair que les éléments d’une même ligne vérifieront la relation A# + By -+- C z + D« = o. Comme on peut remplacer A, B, C, D par les mineurs relatifs aux éléments d’une ligne quelconque, la proposition est bien claire, pourvu que l’un des seize mineurs A, B, ..., Dw ne soit pas nul.

Si tous les mineurs sont nuis, la démonstration est en défaut. La proposition subsiste, comme on le verra plus tard (n° 159).

149. Voici maintenant quelques conséquences de la proposition établie au n° 147, d’après laquelle on peut retrancher des éléments d’une ou de plusieurs lignes (ou colonnes) les éléments correspondants d’une autre ligne (ou d’une autre colonne).

On peut ramener à un déterminant d'ordre n — 1 un déterminant d’ordre n dans lequel tous les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) sont égaux.

Considérons par exemple le déterminant

On penl retrancher les éléments de la première colonne des éléments de la seconde et de la troisième : on obtient ainsi le déterminant

= (b — a)(c'— a') — (c — a) (b'— a').

a' b' — a! c' — a'

La même proposition permet parfois de faire apparaître un facteur dans un déterminant dépendant de deux ou plusieurs variables.

T.

24

Désignons par exemple par f(x), g(x), h(x) trois polynômes en.r et par a, 6, c trois variables quelconques, et considérons le déterminant

/ (a) g {a) h (a) /( b ) g(b) h (b) /(c) g(c) h(c)

On reconnaît de suite que le déterminant est divisible par b — <2, car il s’annule identiquement quand on y remplace b par a, comme ayant alors deux colonnes identiques; il est de même divisible par c — b, a — c et, par conséquent, (n° 158), par (b — a) (c — b) (a — c). On fera, si l’on veut, apparaître successivement ces facteurs en écrivant d’abord le déterminant sous la forme

h(a)

g(a)

fka)

f^b)~f(a) g(b) — g{a) h(b) — h (a) . f(c)—f{a) g(c) g(a) h (c) — h (a)

En désignant par F(a, b), G(«, b), H(r/, b) les quotients, évidemment entiers, de la division par b — a des polynômes /(b) —

on voit que le déterminant proposé peut

g(b) — g(a), h(b) h (a) s’écrire

(b — a)(c — a)

/(«)

F (a, b) G (a, b) H(a,b) . F (a, c) G (a, c) H (a, c)

g(Ct)

h(a)

Dans le déterminant qui ligure dans cette expression on peut remplacer les éléments de la seconde ligne par

G(«. b) — G(a, c),

H(a, b) — H(a, c),

F(a, b) — F (a, c ),

et ces nouveaux éléments sont tous divisibles par b — c; le reste est évident.

Cette méthode s’applique, par exemple, au déterminant

o <> a

mais il est plus simple de remarquer ici que le déterminant est du troisième degré en «, b, c comme le produit (6 — c) (c — a) [a— b)]

le quotient du déterminant par ce produit, qui doit être entier en a, b, c, ne peut donc être qu’une constante; la comparaison d’un même terme bc², par exemple, dans les deux développements montre que l’on a

= (b — c) (c — a) (a — b) = bc² -h ca² -+- ab- — b²c — c²a — a² b.

1 c c-

Cette identité n’est d’ailleurs qu’un cas particulier de l’identité que je vais énoncer.

Le déterminant du Aiième ordre

1 x{    x\ ... x”~

I    .    ry-> fl —

1 U/ 2    «A/ 9    ••• i/t/ 9

I Xn X²    . . .

dont la loi de formation est suffisamment évidente, est identique au produit

( En 3'n—1 ) ( En    En—2 ) (*T/j    — &n—Z ) • • . ( Xn,    —    ),

(•*'«—1    Xn -2 ^ (xn— 1 Xn—3 ) - • . (3?

— ^l),

( Xn—<i    Xn—3 ) . . . ( Xn—i — Xy ),

n— 1

(a?2    — a?i)

de toutes les différences que l’on peut former entre l’une quelconque des quantités x,, x₂, ■ . ., xn et celles qui la précèdent. On reconnaît comme

plus haut que le déterminant s’annule si l’on suppose xp — xq, par exemple, en supposant que les nombres naturels /?, q soient différents entre eux et au plus égaux à n, qu’il est divisible par le produit de toutes les différences, enfin que le déterminant et le produit développés contiennent un même terme x₂xjj . . déjà ce produit au n° 126.

.xn

n-\

. On a rencontré

§ 2. — ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ.

150. Soient données n équations du premier degré à n inconnues

Æ'i, X'2f • - • )

OC ni

(0

Xi = o,

X₂ = o,

x„ — o,

Xt, X₂, . . •, X„ sont des polynômes du premier degré en x{, x₂, . • xn, que j’écrirai sous la forme suivante :

Xi = <*1,1 x\ -+■ a\,2 x2 "+■ • • • "+' a\,n Xtl-+-    ,

X₂ =    X\-\-    x₂-\-.. ci^^x xn^r-

(2)

X»— an,\X\ -+- an^x₂-\-. .an,nxn-\- an>n+\.

Les coefficients des inconnues, d’une part, les termes tout connus Mn,n+\i de l’autre, sont regardés comme des nombres

at ,«+< 5 • • • 1 donnés.

Désignons par A le déterminant du n,erae ordre

#»,1 al,2 • • • a\,n a2)l a2f2 • • • a2 m

I ani2 ■ • • anin

que l’on appelle habituellement Le déterminant des équations (1); désignons, comme au n° 14o, par Aaip le mineur de A relatif à l’élément aa>p, et supposons A différent de o. Si l’on multiplie respectivement par A, ₅p, A2?p, ..., AWip les égalités qui définissent X,, X₂, .. X„ et que l’on tienne compte des identités du n° 145, on trouve

Ai,pXj ■+■ A₂,p X₂ + ... -1-    = Aa?^-f- Bp,

(3)

en posant, pour abréger,

(4)

Bj} —    -|- A₂₎pa₂,7i+1 “)“•••+ An,$an,n+l‘

L’égalité (3) valable pour [3 = 1, 2, . . ., n est une identité en x xH, quand on regarde X,, X₂, ...,Xrt comme étant mis, seule-

X₂, •

ment pour abréger, à la place des seconds membres des égalités (2). Elle met en évidence ce fait que X,, X₂, ..., X,* ne peuvent être nuis

sans

que x$ soit égal à--en d’autres termes, les équations

Xt = o,

X₂ = o,

X„=o

entraînent les équations

(D

Xi = —

Eh

T’

X~i =-

B₂

T’

x„ — —

et ne peuvent donc avoir d’autre solution que celle de ces dernières, qui est évidente. Il reste à savoir si les valeurs trouvées ainsi satisfont effectivement aux équations proposées; c’est ce que l’on vérifie en y remplaçant x₂, . . xu par les seconds membres des éga-ou par le calcul suivant, qui revient au même :

lités (4)

Récrivons plus explicitement les a identités (3), à savoir

A-1,1 X, -i- A2ïj X₂ -t-... -+- A,(ii = Ax\ -+- B,,

Ai,2 X] -1- A₂,₂ X2    ATO)2 X/j = AXÿ-h B₂,

Ai,«Xt -h A₂₎»Xï-h. • .-t- A„)WX„ — Axlt-+- B„;

multiplions-les respectivement par aa>1, aaj2, . . ., aaj/l et ajoutons-les ; on obtiendra, en tenant compte des identités du n° 145,

(6) AXa — aa> 1 ( Ax\ —t— B1 ) —t— «ai2 ( Ao;₂ —t— B₂) —t-... —t—    ~+~ Brt ).

xn, quand on

n attribuée à

On a encore affaire ici à une identité en xt, x suppose X,, X₂, ..., XM remplacés par leurs expressions explicites (2). L’identité (6) montre que, si l’on suppose nulles les quantilés kxt + B,, A;r₂-f- B₂, . .., \xu + Bw, Xa est nécessairement nul, et ceci, d’ailleurs, quelle que soit la valeur 1, 2 l’indice oc. En d’autres termes, les équations

(4)

Axl —r- B ! = o,    Aa?₂-t-B₂=o. Axn B„ = o

entraînent les équations

X„ — o.

Xt = 0,

X-2 — O,

Les deux systèmes (1) et (4), lorsque A n’est pas nul, sont donc équivalents.

Lorsque le déterminant d’un système de n équations à n inconnues est différent de o, ce système admet une solution, et une seule.

Cette solution est formée d’un système de n fractions, toutes précédées du signe —. Le dénominateur commun de ces fractions est le déterminant A des équations, lequel ne dépend que des coefficients des inconnues, nullement des termes tout connus at M+), a₂₎«+i, ••

Le numérateur de la fraction qui donne la valeur de x$ s’obtient en remplaçant dans A les coefficients    a₂,p, • clude

cette inconnue par les termes tout connus a, )/i+1, ci₂,n+\, . • •, cin,n-\ \ •

Ce dernier point résulte de l’expression de Bp, qui s’obtient en remplaçant dans le développement

colonne,*les élé—

irme

du déterminant A suivant les éléments de la [3 ments p, a2jp, . .    a„:p de cette colonne, dont aucun ne ligure

dans les mineurs A^p, A₂₎p, ..., Art)p, par les termes tout connus

&\ ,71+1 1 ^2,H-H 1 • • •)    •

J’ai supposé, dans ce qui précède, que les coefficients des inconet les termes tout connus

nues cl{₅\, •••, ci/i^/i étaient des nombres ; il est clair que les résultats subsistent si l’on

<3) ,H-H >

• • •, ^h,h-H

regarde les lettres «, variables, pour toutes les valeurs de ces variables qui n’annulent pas A; au reste, il convient de remarquer que les égalités (3) et (6), d’où le résultat essentiel a été tiré, sont non seulement des identités

• •5 «h,ni • ••, «h,h-h comme désignant des

en Xi

x₂, ..., xn, mais encore des identités en x

<3h,h-h? pourvu qu’on y remplace non seu-

®l,0 •••} <3//, H 5 <3),H-f-M •

lement Xl5 X₂, ..., X,* par leurs expressions explicites (2 i, mais

encore le déterminant A et ses mineurs Aaîp par leurs expressions explicites en    ..., a,^n et les quantités B,, B₂, ..., Brt parles

seconds membres des égalités (4). Cela résulte clairement de la démonstration.

Il convient encore de remarquer, sur les formules (4), que les expressions des quantités B₍, B₂, ..., B/z sont linéaires en

<32 ,71+0    • • •?

de B,, B₂, .

«n,h-h I il en est de même, évidemment, des quotients B„ par le déterminant A, supposé différent de o, où ne figurent pas    <32?n+1, ..., an,/l+i ; il en est de même encore

des inconnues xK, x₂, ..., xn. Celles-ci peuvent être regardées comme

des formes linéaires enalj7H_,, <3₂,«₊₎, ..., a,^n+i dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de <3t,<> a1i2, ••• <3//,n- Si, en particulier, on attribue à ces dernières lettres des valeurs numériques qui n’annulent pas A, et si l’on regarde    a ₂,ra+i, .au,/l+i comme

des variables, les expressions de xt, x₂, ..., xn sont des formes linéaires en a

<32,h+i? <3//,«_h à coefficients numériques.

Enfin, il est à peine utile de dire que, lorsqu’il s’agit d’équations purement numériques, on peut, si l’on veut, se servir des formules générales établies plus haut (en supposant toujours A différent de o) pour calculer les valeurs numériques des inconnues. A la vérité, les simplifications dont les équations proposées sont susceptibles en raison de la forme spéciale qu’elles peuvent affecter, apparaissent souvent d’une façon moins facile sur ces formules que sur les équations proposées elles-mêmes, au moins quand on n’a pas l’habitude de manier les déterminants. Il convient de remarquer, toutefois, qu’aux combinaisons des équations dont on peut apercevoir la convenance sur les équations correspondent, le plus souvent, des combinaisons des lignes des déterminants qui conduisent à des simplifications équivalentes.

Les formules générales, quand on les applique à des équations numériques dont les coefficients ne sont connus qu’imparfaitement, montrent que, lorsque A est très petit, les erreurs sur les résultats qu’entraînent les erreurs sur les données peuvent être très considérables; si, par exemple, A se trouvait être du même ordre de petitesse que les erreurs possibles sur les données, il n’y aurait rien à tirer des équations.

Avant d’étudier le cas où A est nul et le cas où le nombre des équations diffère du nombre des inconnues, il convient d’introduire une notion nouvelle.

loi. Rang d’un tableau rectangulaire. — Considérons, en général, un tableau rectangulaire comprenant np éléments distribués dans p lignes horizontales, et n colonnes verticales

#1,1 ?    #1,2?    • • • »    #1mi

#2,1 î #2,2}    • * * }    #2

#P, 2}    #/>,7l«

Désignons par a un nombre naturel au plus égal au plus petit des nombres n, p, et supposons qu’on supprime n — a colonnes et p — a lignes du tableau, il restera a- éléments distribués dans a lignes et a colonnes; dans le cas où a serait égal à n, ce qui suppose n ^ /?, il faut entendre qu’on ne supprime aucune colonne et qu’on supprime p — n lignes ; de même, dans le cas où a serait égal à p, ce qui suppose pl^n, il faut entendre qu’on ne supprime aucune ligne et qu’on supprime n —p colonnes; si l’on avait a = /? = n, on laisserait le tableau carré tel quel.

Dans tous les cas, les a- éléments restants peuvent être regardés comme les éléments d’un déterminant du a1 mc ordre ; je dirai d’un pareil déterminant qu’il est tiré du tableau, en sous-entendant le procédé que je viens de décrire; les éléments mêmes du tableau seront regardés comme des déterminants tirés, du tableau par la suppression de n — 1 lignes et de p — 1 colonnes.

Si l’on considère, par exemple, le tableau

», » »

O; c-

s. a.

on peut en tirer quatre déterminants du troisième ordre par la suppression de la première, de la seconde, de la troisième ou de la quatrième ligne; le premier de ces déterminants est

b' c' d' b" c" d"

On peut en tirer dix-huit déterminants du second ordre par la suppression d’une ligne et de deux colonnes; tel est, par exemple, le déterminant

On peul en tirer enfin douze déterminants du premier ordre, à savoir les éléments mêmes du tableau.

Revenons au cas général, et observons d’abord que, si l’on considère un déterminant d’ordre a > t tiré du tableau, les mineurs relatifs aux éléments de ce déterminant seront des déterminants d’ordre a — i tirés eux-mêmes du tableau; inversement, tout déterminant d’ordre a — i tiré du tableau peut évidemment être regardé comme un mineur relatif à un élément de quelque déterminant d’ordre a tiré de ce tableau.

Ceci posé, supposons que les éléments du tableau soient des nombres. La plus grande valeur possible du nombre a telle qu’un déterminant d’ordre a tiré du tableau ne soit pas nul joue, comme on le verra, un rôle important : on appelle ce nombre le rang du tableau. On voit de suite comment se détermine ce rang :

On donne d’abord à a la plus grande valeur possible, à savoir le plus

petit des nombres /?, />; supposons, pour fixer les idées, p^n. Si l’un des déterminants d’ordre p tirés du tableau n’est pas nul, le tableau est de rang p. (Il n’y aurait qu’un pareil déterminant si l’on avait p = n.) Supposons que tous les déterminants d’ordre p tirés du tableau soient nuis, on examinera les déterminants d’ordre p — i qu’on peut tirer du tableau ; s’il y en a un qui soit différent de o, le tableau est de rang p — i. Lorsque tous les déterminants d’ordre p — i sont nuis, on examine tous les déterminants d’ordre p — 2; si l’un d’eux n'est pas nul, le tableau est de rang p — 2, ...

On observera que, si un déterminant d’ordre a tiré du tableau n’est pas nul, le tableau est certainement de rang égal ou supérieur à a; si, en particulier, l’un des éléments du tableau n’est pas nul, le rang du tableau est au moins égal à 1 ; le cas où tous les éléments du tableau seraient nuis échappe à la définition précédente, puisque alors, tous les déterminants tirés du tableau sont manifestement nuis; on dit alors que le tableau est de rang o.

Si tous les déterminants d’ordre a que l’on peut tirer du tableau sont nuis, on peut affirmer que le rang du tableau est inférieur à a; en effet, tout déterminant d’ordre a1 que l’on peut tirer du tableau est nul comme ayant ses mineurs nuis; de même tout déterminant d’ordre a -h 2, ...

Si le tableau est de rang a, un déterminant quelconque, non nul, d’ordre a, tiré du tableau comme on vient de dire, s’appelle un déterminant principal du tableau.

On voit, d’après ce qui vient d’être dit, comment écrire les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un tableau de np éléments, rangés dans n colonnes et dans p lignes, soit de rang inférieur ou égal à a : on écrira que tous les déterminants d’ordre a + 1 tirés du tableau sont nuis. Quelques-unes de ces conditions peuvent d’ailleurs rentrer dans les autres. Si l’un des déterminants d’ordre a tirés du tableau est différent de o, le tableau sera de rang a; si tous ces déterminants sont nuis, le tableau sera de rang inférieur à a.

Il est clair que le rang d’un tableau ne change pas quand on échange les lignes entre elles, ou les colonnes entre elles; supposons qu’on ait affaire à un tableau de rang a >> o : fixons notre attention sur un des déterminants principaux; on peut, par des échanges successifs, amener les a lignes qui en contiennent les éléments à être les a premières lignes du tableau, les a lignes du haut; on peut, de même, par

des échanges successifs de colonnes, amener les a colonnes qui contiennent les éléments du déterminant principal à être les a premières colonnes du tableau, les a colonnes de gauche; on voit ainsi que l’on peut s’arranger pour que le déterminant principal occupe le coin supérieur, à gauche du tableau.

Si l’on supprime d’un tableau rectangulaire quelques lignes ou quelques colonnes, le rang du tableau ainsi modifié sera égal ou inférieur à celui du tableau proposé : il lui sera égal, lorsque la suppression des lignes ou des colonnes aura laissé inaltéré quelque déterminant principal.

Lorsque le rang d’un tableau est égal à 2, les éléments de chaque ligne sont proportionnels aux éléments correspondants d’une ligne quelconque, de même pour les colonnes.

Il résulte évidemment de la définition du rang d’un tableau, qu’on ne modifie pas ce rang en introduisant dans le tableau des colonnes, ou des lignes, formées d’éléments tous nuis.

152. Si l’on considère un déterminant A, d’ordre /î, le rang de ce déterminant n’est autre chose que le rang du tableau carré formé par ses éléments. On a désigné, au n° 143, sous le nom de mineur de A relatif à un élément de ce déterminant, le déterminant (affecté d’un signe convenable) que l’on déduit de A par la suppression de la ligne et de la colonne qui contiennent l’élément considéré; on désigne aussi sous le nom de mineur de A tout déterminant qu’on en déduit par la suppression de a lignes et de a colonnes. Il est nécessaire de distinguer tous ces mineurs. Ceux que j’ai désignés jusqu’ici comme les mineurs relatifs à un élément sont ce qu’on appelle aussi les premiers mineurs; les mineurs obtenus par la suppression de a lignes et de a colonnes sont les a'''¹"®⁸ mineurs; ils sont des déterminants d’ordre n — a. Au lieu de premier, second, ..., a‘eme mineur, on dit aussi mineur du premier, du second,..., du alèmeordre; la confusion qui peut résulter, dans cette façon de parler, de l’ordre d’un mineur et de l’ordre du déterminant qu’est ce mineur rend cette façon de parler un peu gênante. Au lieu du mot mineur, quelques auteurs emploient le mot sous-déterminant.

Quoi qu’iJ en soit, dire qu’un déterminant d’ordre n est de rang r, c’est dire qu’il y a un mineur du déterminant qui, en tant que déterminant, est d’ordre r, un (n — r)lème mineur, si l’on veut, qui n’est pas nul, tandis que tous les déterminants d’ordre supérieur à r qu’on peut tirer du déterminant parla suppression de lignes ou de colonnes sont nuis. Dire que le déterminant est de rang n₁ c’est dire qu’il n’est pas nul; dire qu’il est de rang o, c’est dire que tous ses éléments sont nuis.

153. Considérons p polynômes du premier degré X₍, X₂, ..., X^, à n variables xK, x-,, ..., xn : on dit que ces polynômes sont indépendants lorsque l’on peut attribuer aux variables xt, x₂, . .., xn des valeurs qui fassent acquérir aux polynômes telles valeurs que l’on voudra. En particulier un polynôme du premier degré est indépendant quand le coefficient de l’une des variables, dans ce polynôme, n’est pas nul ; on pourra, en effet, donner aux autres variables telles valeurs que l’on voudra; il restera, pour lui faire acquérir la valeur A, à résoudre une équation du premier degré dans laquelle le coefficient de l’inconnue n’est pas nul.

X<x, ••• 5

sont évidemment indépendants.

Si les p polynômes X,, X₂, ..., X^ du premier degré en x xn sont indépendants, r polynômes choisis parmi ceux-là

En conservant la même supposition, et

que x;, x;

■11 •

en supposant de plus ... X' désignent soit des constantes, soit des polynômes du premier degré par rapport à des variables qui ne figurent pas dans X,, X₂, ..., Xp, les polynômes

X,-t-X', X₂+X'₂₎    ..., Xp+X'p

sont indépendants; en effet, on peut attribuer aux variables qui figurent dans X',, X!,, ..., \n des valeurs numériques arbitraires, puis à x{, x₂, ..., xn des valeurs qui satisfassent aux équations

x, = a.-x;,

quels que soient les nombres A,, A₂, ..., A„.

Les p polynômes du premier degré en xt, x->, ..., x

X-, a\,1Xsl + <*1,3^3    • • • “t⁻ a\ Xp,

X₂ -t- <^2,3X%    ai,p

X3 -+- ... -+-

X₂ = A₂ — X'.

X„= A„— X'„,

xP,

Xp,

pi

Xp -1 —1— Cf'p—l,pXp,

Xp,

où «!,2) <2i,3₅ • • • sont des constantes, sont indépendants : si, en effet, on égale ces différents polynômes à des constantes arbitraires, la dernière équation, qui ne contient que xp, sera toute résolue; la précédente donnera la valeur de xp_K, la précédente celle de xp_₂, . • • ; la même conclusion subsisterait évidemment si, la forme des polynômes restant la même, les variables xt, x₂, . ..,xp, au lieu d’avoir des coefficients égaux à i, avaient des coefficients numériques quelconques, dont aucun ne serait nul. Elle subsisterait encore, en vertu d’une remarque précédente, si l’on ajoutait aux polynômes considérés, soit des constantes numériques, soit d’autres polynômes du premier degré par rapport à d’autres variables.

154. On va apprendre à reconnaître si p polynômes du premier degré donnés sont indépendants ou non, et, plus généralement, combien, parmi eux, il y a de polynômes indépendants. Cela, comme on va le voir, ne dépend que des coefficients des variables, nullement des termes constants.

Supposons les polynômes du premier degré écrits les uns au-dessous des autres de manière que les coefficients d’une même variable figurent dans une même colonne verticale : les coefficients qui manquent étant remplacés par des zéros. Les coefficients de toutes les variables forment alors un tableau rectangulaire tel que ceux que nous avons considérés dans le n° loi. J’appellerai rang du système de polynômes ou, plus brièvement, rang des polynômes, le rang de ce tableau. Je vais montrer que le rang d’un système de polynômes est égal au nombre des polynômes de ce système qui sont indépendants.

Je supposerai d’abord que ce rang soit égal au nombre des polynômes, pour montrer que, dans ce cas, les polynômes sont indépendants.

Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de trois polynômes : si le rang du tableau est 3, ces polynômes contiennent au moins trois variables, puisque le rang du tableau ne peut être inférieur au nombre des colonnes, c’est-à-dire au nombre des variables dans les polynômes; supposons que ceux-ci contiennent cinq variables, et soient

X = ax -\-by -+-cz dt -t- eu -t- p,

c z —t— d t —t— e il —H p

Y = a'x ■+- b'y Z = a"x -1- b"y -+■ c" z -t- d" t+e'iH- p"

DETERMINANTS.

les trois polynômes : le tableau des coefficients est alors

a, a, a

Cf

et, par hypothèse, 1 un des déterminants du troisième ordre tiré de ce tableau, par exemple le déterminant

a' b' c' a" b" c"

n’est pas nul; si l’on veut que les polynômes X, Y, Z acquièrent les valeurs numériques A, A', A", on attribuera aux variables £, u, dont les coefficients ne figurent pas dans le précédent déterminant, des valeurs numériques quelconques et l’on résoudra les trois équations en x, y, z

ax -t- b y -i- c z -+- dt -t- eu -+- p — A = o, a' x -+- b'y -+- c' z d ' t -t- e' u -+- p' — A' = o, a x -t- b" y + c'j + d" t -t- e" a -+- p"— A" = o,

dont le déterminant n’est pas nul, et qui, par conséquent, admettent une solution. La proposition est démontrée. Il est clair qu’il n’y aurait rien à changer dans la démonstration, s’il n’y avait que trois variables x, y, z, si ce n’est qu’on n’aurait pas eu à attribuer à £, u de valeurs numériques.

loo. Considérons maintenant le cas où le rang du tableau est inférieur d’une unité au nombre des polynômes; je vais prouver que les polynômes ne sont pas indépendants et qu’il existe entre eux une relation identique du premier degré.

Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de quatre polynômes, et que leur rang soit égal à 3 : ces polynômes devront contenir au moins trois variables. Soient

polynômes : le tableau des coefficients est ici

ces

a » » a

O» O* <>

3    *

% » «

a. a. a. a.

3    =

Il est, par hypothèse, de rang 3, c’est-à-dire que l’on peut en tirer un déterminant du troisième ordre qui ne soit pas nul et que tous les déterminants du quatrième ordre que l’on peut en tirer sont nuis; je suppose que le déterminant du troisième ordre ne soit pas nul : on peut, comme on l a expliqué plus haut, en changeant au besoin l’ordre des polynômes et des variables, supposer que ce soit ce déterminant-là qui ne soit pas nul, du moment qu’il y a un déterminant du troisième ordre qui est différent de o.

Il résulte de l’hypothèse faite sur le déterminant A que les polynômes X, Y, Z sont indépendants.

Considérons le tableau

c,

(2)

obtenu en plaçant sous le déterminant considéré les coefficients a'", b"', c"' qui, dans le polynôme T, multiplient les variables x, y, z dont les coefficients figurent dans le déterminant principal A. Les trois colonnes de ce tableau peuvent être regardées comme les trois premières colonnes d’un déterminant du quatrième ordre, déterminant dont la quatrième colonne serait formée d’éléments arbitraires; désignons par X, X', X", Xw les mineurs de ce déterminant relatif aux éléments de cette quatrième colonne, à savoir

a"    b"    c" ,

a'" b'" c'"

X"' =

a a, a

A.

Il importe de remarquer, d’une part, que le mineur Aw= A n’est pas nul, par hypothèse, d’autre part que l’on a

X d + X' d’ -4- X"d" -+- X'" d!" = o, Xe + X'e' + À'e'+ X'" e'" = o,

puisque les premiers membres de ces égalités ne sont autre chose que les déterminants du quatrième ordre

% a a, a

o o»

s =*

o, es

^ a. a.

a'

b'

c' e'

a" b" c" e" a'" b'" c"’ e’"

tirés du tableau.

Ji *,

mineurs établies au n° 145. On parvient donc à la relation

Ceci posé, multiplions les égalités qui définissent les polynômes X, Y, Z, T par A, V, \\ V" et ajoutons-les : dans le second membre, les coefficients des variables £, a seront nuis, en vertu de la remarque qu’on vient de faire (’), il en serait de même des coefficients de x, en vertu des relations entre les éléments d’un déterminant et les

(3)

x x -h x' y + X" z + xm t = x P -h xy h- xy -+- xHy" ;

cette relation est une identité en x, y, z, t, h, quand on remplace, dans le premier membre, X, Y, Z, T par leurs expressions explicites. Dans cette identité V" n’est pas nul. Le second membre n’est autre chose que le déterminant que l’on obtient en adjoignant au tableau (2) une quatrième colonne formée des termes constants Pi P'i P'i P'"-

On tire de l’identité (3) la suivante

(4)

T = aX + ËY +VZ + 8,

C) Si les polynômes X, Y, Z, T ne contenaient que les trois variables x, y, z, il n’y aurait pas lieu de considérer les variables £, u\ mais tout le reste de la démonstration subsisterait.

s Xd-4- xy-4-x'y'+x>"'

0 = -r-77:- =

X'"

Si, par exemple, on considère les polynômes

x -\-y — z t -t- 1,

Z = — x -h-y -h z — u — t — 3,

x -h y -H z -t- 5,

en posant

X'

X"

~r’

Y--p>

T =

on reconnaît de suite que les trois premiers sont indépendants et que l’on a identiquement, en x, y, z, t, u,

T = X+Y + Z + g.

Le lecteur n’aura d’ailleurs aucune peine à retrouver cette relation par la méthode qu’on vient d’expliquer.

On observera que, dans l’expression (4) de T, les coefficients a, [3, y de X, Y, Z ne dépendent que des coefficients des variables dans les cpiatre polynômes, nullement des termes constants, qui n’interviennent que dans S.

De cette expression de T, il résulte évidemment que les quatre polynômes X, Y, Z, T ne sont pas indépendants, puisque la valeur de T résulte de celles des trois polynômes indépendants X, Y, Z. En particulier, pour des valeurs des variables qui annulent X, Y, Z, il est clair que T prendra la valeur 0, en sorte que, si 0 n’est pas nul, les équations X = o, Y = o, Z = o, T = o sont certainement incompatibles; c’est ce qui arriverait dans l’exemple numérique que l’on a donné. Au contraire, si ô est nul, les trois premières entraînent la dernière.

Dans ce qu’on vient de dire, se trouve contenue la solution de la question suivante :

156. On donne n équations du premier degré à n inconnues, dont le déterminant n’est pas nul, et un polynôme du premier degré dont les n variables sont désignées par les mêmes lettres que les inconnues des n équations, calculer ce que devient le polynôme quand on y remplace les variables par les valeurs des inconnues qui vérifient les équations.

Les n i polynômes du premier degré à n variables formés par le polynôme et les premiers membres des équations, dont le second membre est supposé nul, forment un système de rang n; il ne peut, en effet, être de rang supérieur, puisqu’il n’y a que n variables; il e^t bien de rang /?, puisque le déterminant des n équations n’est pas nul. La relation qu’on vient d’apprendre à former entre ces n -f- i polynômes fournit la réponse à la question posée.

Supposons, par exemple, qu’on donne les trois équations en a?, y, z

a’ x

ax-\-by-¹t-cz-\-p =o, b'y -+- d z p' = o, a!'x -t- b"y -+- c"z -+- p" = o,

dont on suppose que le déterminant ne soit pas nul, et qu’on veuille calculer la valeur du polynôme a!" x -f- b"'y + c'"z + p'". Désignons par T ce dernier polynôme et par X, Y, Z les premiers membres des équations; on est dans le cas qu’on vient d’étudier, de quatre polynômes de rang 3; il suffit, en conservant les mêmes notations que dans le numéro précédent, de supposer nuis les coefficients c/, d', du, d"r, e, e", e'", pour voir que les polynômes X, Y, Z, T sont liés par la relation identique en x, y, s,

T = aX -+- pY -+- yZ -+- 8

et que la valeur cherchée de T est ô ou

a b c p a' b c' p' a" b" c" p" a"'    b"'    c'"    p"'

c' c"

On voit, en supposant toujours que le dénominateur de la fraction

T.

25

b' c' p' a!' b" c" p a!"    b'"    c'"    p'"

= o,

et, cela reste évidemment vrai, lors même que le déterminant des trois équations X = o, Y = o, Z = o serait nul, pourvu que, parmi les quatre équations, il y en ait trois dont le déterminant ne soit pas nul, pourvu, en d'autres termes, [que le système des quatre polynômes X, Y, Z, T soit de rang 3.

On dit souvent que l’équation précédemment obtenue est le résultat de Vélimination de x, y, 5 entre les quatre équations X = o, Y = o, Z = o, T = o, c’est-à-dire la condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire les coefficients de ces quatre équations pour qu’elles admettent une solution en x: y, z. Ceci, toutefois, n’est exact que si les quatre polynômes du premier degré X, Y, Z, T sont de rang 3.

Ces résultats s’étendent, évidemment, à un système de n i équations du premier degré à n inconnues, quand le système des n i premiers membres est de rang n.

x„, savoir :

386

CHAPITRE X.

précédente ne soit pas nul, que la condition nécessaire et suffisante pour que les quatre équations, à trois inconnues,

Y = o,

admettent une solution est que l’on ait

X = o,

Z = o,

T — o,

157. Revenons au cas général; considérons les p polynômes du premier degré X,, X₂. ..., X^, à n variables x

X, ⁼ «1,1 #i -+- «itj a?2 “i“•••"*” «i,«3?»~t- «iin+i,

X₂ = a₂,1 Xl~t~ «2,2 X<l —I— . . .4- «2,« Xn 4- «4,71-1-1 j

Xp — Clpy\X\ -+- Clp^Xî 4-. . .4- ap,nXn-\1-

et le tableau

«1,1» «1,2; «2,4    «2,25

• • • j «l,7i> . . . , «2,«5

//,n

«P, Il «/J,2)

des coefficients des variables; soit r le rang de ce tableau, rang qui est au plus égal au plus petit des nombres n, p. Je vais montrer, d’une part, que, parmi les polynômes X,, X₂, ..., X«, il y en a /*, et seulement qui sont indépendants, et, d’autre part, que tous les polynômes s’expriment au moyen de ceux d’entre eux qui sont indépendants.

Si r est nul, tous ces polynômes se réduisent à des constantes; aucun n’est indépendant. Supposons r >> o. Parmi les polynômes Xl5 X₂, ..., X^, il y en a certainement r qui sont indépendants; à savoir ceux qui correspondent aux lignes du tableau où figurent les éléments de ce déterminant du r,ème ordre qui, par hypothèse, n’est pas nul. Rien n’empêche, quitte à changer l’ordre des variables et des polynômes, de supposer que ce déterminant soit

a2,l a2,2

ar, 1 &r, 2    • • • ar,r

Les polynômes Xl5 X₂, ..., Xr seront alors indépendants; si r est égal à p, les p polynômes considérés sont indépendants et l’on a certainement p'in. Supposons r <C.p\ si, aux r polynômes indépendants X,, X₂, . . ., Xr, on associe l’un des polynômes X^₊₁, X/+2, ..., XM, par exemple le polynôme X^, les /’ -f- 1 polynômes X<5 X₂, ..., Xr, Xj ne seront pas indépendants, puisque le rang r du tableau de leurs coefficients est inférieur d’une unité à leur nombre, et le dernier Xf pourra s’exprimer au moyen des /’ premiers par une formule telle que

où    aj ₂, ..., as r, a, r+, désignent des constantes numériques

r*

que l’on déterminera par le procédé expliqué plus haut; les deux membres de l’égalité précédente sont identiques en xx, xK. ..., xn quand on remplace X₍, X₂, ..., Xr, X, par leurs expressions explicites. En d’autres termes, X^ peut être regardé comme un polynôme du premier degré, dont les r variables s’appelleraient X,, X₂, ..., X Je dirai, dans le même sens, que X, s'exprime au moyen de Xt, X₂, ..., Xr en sous-entendant que l’expression est un polynôme du premier degré. Cette formule met en évidence la dépendance

des polynômes X,, X₂, ..., Xr, Xf, le fait que la valeur numérique de X, est déterminée quand les valeurs des polynômes X,, X₂, .. X,. sont déterminées. En particulier, il est clair que, si l’on attribue aux variables xf, x₂, ..., xn des valeurs qui annulent X,, X₂, ..., X la valeur de X₅ se réduira à a.î,/-₊i, en sorte que, si a^₅,.₊₎ n’est pas nul les équations

ri

X, = o,

X₂ — o,

X,= o,

X, = o

sont incompatibles, et que, si a^ r+, est nul, les /• premières équations entraînent la dernière. Je rappelle que oq dont le dénominateur est le déterminant A, et dont le numérateur est le déterminant du (/■-+- 1)

est égal à une fraction

ième

ordre

A*

: a i⁵

<M

®l,r

a2,l'    ^2,/M-l

ar,    1    “r, 2    • •

as,    1 as, 2

®r,r &r,n-t-i as,r as,n-\-1

s est an quelconque des nombres r + i, r + 2, . .    /i.

Les remarques que voici sont des conséquences faciles des explications qui précèdent :

La condition nécessaire et suffisante pour que p polynômes du premier degré soient indépendants est qu’ils soient de rang />. En particulier, s’il y a plus de polynômes que de variables, les polynômes ne peuvent être indépendants.

Si p polynômes du premier degré à n variables sont de rang /•, r de ces polynômes sont indépendants; il peut se faire qu’on puisse, p polynômes, former plusieurs systèmes de indépendants, mais on ne peut en trouver r -\- 1 qui soient indépendants, car, s’il y avait un

indépendants, ce système serait de rang /■-f- 1 : il y aurait donc déterminant non nul d ordre r + 1 tiré du tableau des coefficients des

un système de polynômes maximum de polynômes indépen-eux.

avec ces

polynômes

système de /• + 1 polynômes qui fussent

un

n variables. En d’autres termes, le rang d du premier degré est le nombre dants que l’on puisse trouver parmi

Si le système de polynômes X,, Xs, ..., X^ du premier degré en X\, x₂, ..., xn est de rang /• et si X,, X

.., Xr sont indépendants,.

DÉTERMINANTS.

38g

les autres polynômes Xr+I, X₇-₊₂, X^ s’expriment au moyen de ceux-là, comme on l’a vu, par des formules telles que

X| -(-    . .-h a^trXr-4- a^)r+1.

Les p — r polynômes du premier degré en X,, X₂, ..., X^

X,ç a₅₎i X | &s,î X₂ . . .    as,r X, %s,r-i-1

(s = /’-+- i, r -t- 2, ...,/?),

comme

qui deviennent identiquement nuis quand on y remplace X,, X₂, .. Xr par leurs expressions explicites en xt, x₂, ..., xn sont indépendants, lorsqu'on y regarde les lettres X désignant des variables, comme il résulte du n° 153. Ainsi, quand le système X,, X₂, ..., X^ est de rang >'<C.Pi il y a p — r polynômes du premier degré en X,, X₂, ..., X^, indépendants quand on regarde ces lettres comme représentant des variables, et qui s’annulent identiquement lorsqu’on remplace X,, X₂, ..., \p par leurs expressions explicites en .r,, x₂, ■ .., x„.

à coefficients non tous nuis, qui devienne identiquement nul quand on y remplace X,, X₂, ..., X^ par leurs expressions x,, x₂, ..., xn, ou, ce qui revient au même, l’existence d’une seule relation de la forme

p->

Réciproquement, l’existence d’un seul polynôme du premier degré en X,, X₂, ..., X

X] X i —H X₂ X₂ —I- . . . —|— À pXp Hh X p+\ — O,

dans laquelle tous les nombres X,, X₂, ...,    ne sont pas nuis, et

qui est identiquement vérifiée quand on y remplace Xl5 X₂, ..., X^ par leurs expressions explicites en x,, x₂, ..., xn, entraîne la dépendance de X,, X₂, ..., Xy»; car, si, dans cette relation, le coefficient de l’un des polynômes X,, X₂, ..., \p n’est pas nul, la valeur de ce polynome-là, en vertu de l’identité supposée, est déterminée par la valeur de tous les autres polynômes. D’ailleurs, dans cette identité, les coefficients de X1? X₂, ..., X^ ne peuvent être tous nuis, puisque, s’il en était ainsi, l’identité même exigerait que bp+t fût nul.

.., Pv v polynômes du premier degré en on y regarde Xt, X₂, ..., X^ comme les variables; lorsque, dans P,, P₂, ..., Pv, on remplace X

Désignons par P

.., Xp, de rang p, quand

X,, X

2l ■

P.

veut.

des polynômes en sont de rang p, on peut, en restant au même point de vue, supposer que P,, P₂, ..., Pp soient indépendants; les autres polynômes Pp+), Pp+2, ..., Pv s’expriment alors au moyen de P<, P₂, ..., Pp par des relations qui sont identiques en X₁, X₂, ..., Xp, qui le sont encore en x,, x₂, ..., xn, quand on a remplacé X X₂, ..., X.p par leurs expressions explicites. Mais Pt, P₂, ..., Pp, regardés comme des polynômes en x^x₂, ..., x/n sont indépendants, d’après ce qu’on vient de dire; les autres polynômes Pp+t, ..., Pv dépendent de ceux-là; la proposition énoncée est donc démontrée.

Si, maintenant, P,, P₂, ..., Pv, regardés comme

pi

xt, X₂, ..., X

Xp

Le rang p des polynômes P,, P₂, ..., Pv est égal ou inférieur à y», ainsi qu’il est évident lorsqu’on regarde, dans ces polynômes, X,, X₂, ..., X^ comme les variables : ceci subsiste, lors même que les polynômes (en x{, x₂, ..., xu) X,, X₂, ..., X^, ne sont pas indépendants, car s’ils sont de rang r, on peut, en supposant X,, X₂, .. Xr indépendants, exprimer les polynômes suivants Xr+I, Xr+2, ..., au moyen de X,, X₂, ..., Xr, puis remplacer Xr+,, Xr+2, ..., Xp parleurs expressions dans P₍, P₂, ..., Pv, qui deviennent alors des polynômes du premier degré en X|, X₂, ..., Xr, polynômes dont le rang, si on les considère comme des polynômes en X,, X₂, ..., Xr, ne peut dépasser /•; or ce rang reste le même quand on remplace les polynômes indépendants X,, X₂, ..., X₇. par leurs expressions expli-

x„.

X₂, ..., ILp par leurs expressions explicites en x₂, ..., x„, les polynômes P,, P₂, ..., Pv deviennent des polynômes du premier degré en x,, x₂, ..., xn; si, comme je le suppose dans ce qui suit, les polynômes X,, X₂, ..., Xp sont indépendants, les polynômes P P₂, ..., Pv, regardés comme des polynômes en x,, x₂, ..., xn, sont encore de rang p. C’est ce que je vais établir.

Supposons d’abord que P₍, P₂, ..., Pv, regardés comme des poly-X^, soient indépendants; je vais montrer qu’ils sont encore indépendants quand on les regarde comme des polynômes en x₄, x₂, ..., x„. En effet, on peut alors trouver des valeurs A,, A₂, ..., A^, pour X|, X₂, ..., X^, qui fassent acquérir à Pl5 P₂, ..., Pv telles valeurs que l’on voudra, puis des valeurs pour xn qui fassent ac

nomes en X

X₂, .

Æ I 5 ■2'2 5    • •

A,, A₂, ..., Ap, et, par suite,

cr .s

Xp les valeurs , P₂, ..., Pv telles valeurs que l’on

ir à X,, X

cites en x{, x₂, ..

Xp du premier

degré en a?₂, • •xn et de rang /*, qui, comme on l’a vu, peuvent s’exprimer au moyen de r polynômes indépendants, des r polynômes X,, X₂, ..., Xr par exemple, si ceux-là sont indépendants, ne peuvent certainement pas s’exprimer au moyen d’un moindre nombre de polynômes, puisque, si X,, X₂, . . ., Xr s’exprimaient au moyen de moins de r polynômes, ils ne seraient pas indépendants. Le rang d’un système de polynômes du premier degré est le nombre minimum de polynômes du premier degré au moyen desquels ils puissent s’ex-

il résulte de là que p polynômes Xt, X

2, • • *5

primer.

I08. Ce qui précède permet de compléter ce que l’on a dit plus haut de la résolution d’un système d’équations du premier degré.

Plaçons-nous de suite dans le cas le plus général, celui où l’on a affaire à p équations à n inconnues. Je désignerai, en conservant d’ailleurs les notations précédentes, par X<, X₂, ..., Xp les premiers membres de ces équations, et je désignerai par r le rang de ce système de polynômes du premier degré.

Si /• est égal à /?, les équations admettent certainement une solution; dans ce cas, on a nécessairement n^.p. Si n est égal à p, il y a une solution et une seule. Si le nombre n des inconnues dépasse le nombre p des équations, on considérera celles des inconnues dont les coefficients sont les éléments de ce déterminant du /èome ordre qui, par hypothèse, n’est pas nul : supposons que ces inconnues

on résoudra les équations par rapport à xp, comme si les n — p autres inconnues xp+[, x

soient x

x₂, ..

Xp]

X\ j X%) • • • 7

xn étaient connues, en appliquant la méthode du n° lof); c’est alors, dans chaque équation, un polynôme en xp+i, xp+2, ..., xu qui joue le rôle de terme tout connu; les expressions que l’on trouve ainsi

Xp étant linéaires par rapport aux termes tout

pour xt, x-2, ..

connus, sont des polynômes du premier degré en xp+i, xp+2, .... xn. D’ailleurs, d’après le n° loO, les équations qui expriment ainsi

xp au moyen de xpJri, x

x„ sont équivalentes au

% 15 ^2 ; • •

système proposé; en sorte qu’on vérifie ce système en attribuant à xp+\, xP+21    %n des valeurs arbitraires et en prenant pour x^

x2: ..., xp les valeurs qui en résultent et que, réciproquement, dans toute solution du système, les valeurs des inconnues doivent être liées par les relations auxquelles on est ainsi parvenu. En d’autres

termes, les équations qui expriment x₂, .. xp+1, xp+o,    xn fournissent la solution la plus générale du

moyeu de

au

système proposé.

Supposons /■</?; il y a, parmi les polynômes Xl5 X₂,    X^, r

polynômes indépendants; je suppose que ce soient les polynômes X,, X₂, .. Xr, et que le déterminant des coefficients des inconnues xtJ x₂, . .., xr dans ces polynômes ne soit pas nul; on résoudra, comme on vient de l’expliquer, les équations X, = o, X₂=o, Xr= o par rapport à xi: x₂, ..., xr, qui, dans le cas où r est inférieur à ai, s’exprimeront ainsi par des polynômes du premier degré en xr+\, xr+2, ..., x,n et l’on substituera ces polynômes, à la place de x,, x2: ..., xr, dans les équations restantes Xr+( = o, Xr+2 = o, . X^^o. Les inconnues xr+i, xr+2, ..., x„ disparaîtront d’elles-mêmes; en effet, si l’on désigne par X, l’un des polynômes Xr+t, .. X^. on a entre ce polynôme et les polynômes indépendants X X₂, ..., Xr une relation identique, à coefficients constants, de la forme

X.* — «,ç,i X, -(- ««,2X2 + ...+ a5,,.Xr+ a.ç,,.₊₁.

Quand on fait la substitution, X,, X₂, ..., Xr sont nuis, quelles ques soient les valeurs attribuées à xrJr^ xr+2, ..., xn ; X5 se réduit donc identiquement à la constante a^,r+,. Si l’une des constantes où s désigne l’un quelconque des nombres r 1, r -f- 2, ..., ai, n’est pas nulle, les équations proposées sont incompatibles; si toutes les constantes <xs r+i, ou tous les déterminants du (/’ H- i)leine ordre :

ai,\ **:,2 **2,1 a2,2

**1, r **i,ra-t-l **2 ,/• **2,re4-l

**r,l    ar, 2

**.«, 1    **.t,2

.., xn, que l’on a

r+2? •

auxquels on donne quelquefois le nom de déterminants caractéristiques du système d’équations, sont nuis, les équations Xt = o, X₂ =0, ..., Xr = o entraînent les équations Xr+) = o, Xr+2 = o, . ~Kp= o : donc la solution la plus générale est fournie par les expressions de x,, x₂, ..., xr au moyen de xr+i, x commencé par former.

On n’oubliera pas qu’on est certainement dans le cas /•</?, si l’on a n <p.

En résumé, un système d’équations du premier degré peut avoir une solution et une seule (p = n = /•), peut être impossible (/• <p, un déterminant caractéristique non nul), peut admettre une infinité de solutions; dans ce dernier cas, la solution la plus générale s’obtient en laissant n — r inconnues arbitraires, les r autres s’expriment au moyen de celles-là.

159. Les théories précédentes, relatives aux systèmes de polynômes du premier degré et aux équations du premier degré, se simplifient notablement quand on suppose homogènes tous les polynômes auxquels on a affaire, quand on suppose que, dans les équations, les termes tout connus sont nuis : les équations sont dites alors Linéaires ; au lieu de l’expression polynômes homogènes da premier degré j’emploierai l’expression formes Linéaires. Il suffira, pour se placer dans ce cas, sur lequel je vais maintenant m’arrêter, de supposer, dans les notations antérieures, que les quantités    a.,i/l+₍, .. ., appi+t

sonL toutes nulles. Les définitions de l’indépendance et du rang subsistent sans modifications.

On remarquera d’abord que, si les équations en x^ x₂, ..., xn,

X1 — o,

X-2 — O,

X/>=o

sont linéaires, au sens que je viens de dire, le cas d’impossibilité 11e peut se présenter, puisque ces équations sont évidemment vérifiées quand on suppose toutes les variables nulles. /Vu surplus, on reconnaît immédiatement que, dans ce cas, les déterminants que l’on a appelés caractéristiques sont tous nuis.

On remarquera ensuite que, si les formes X,, X₂, ..., X^ sont linéaires en xKl ..., x,n il ne peut exister entre elles de relation identique, à coefficients constants, de la forme

Xl X] -t- A₂X, -1- . . . -I- XyjX/, -I-    = O,

sans que    soit nul : en effet, la relation précédente doit être

vérifiée quand on suppose nulles toutes les variables et, par conséquent, toutes les formes X|, X₂, ..., X^; en d’autres termes, la relation considérée doit être elle-même Linéaire en X,, X₂, ..., X^ : on peut donc énoncer la proposition suivante : la condition nécessaire et suffisante pour que les formes X,, Xî? X^ soient indépendantes est qu’il n’existe pas de constantes)^,, X₂, Ap non toutes nulles telles que l’on ait identiquement, en x,, x₂, ..., xn,

=o.

X, X, —i— X₂ X₂ —... —|— XpXp

Au contraire l’existence de telles constantes est la condition nécessaire et suffisante pour que les formes considérées soient dépendantes.

.., X^ sont de rang r << p et .., Xr sont indépendantes, les p — r autres

En particulier, si les formes X,, X si les r formes X,, X

s’exprimeront linéairement au moyen de celles-là, et seront nulles pour toutes les valeurs des variables qui annulent X,, X₂, ..., X

•2: •

2l •

/’•

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que/? formes linéaires xn soient de rang inférieur ou égal à r consistent en

ordre tirés du Tableau des

en xt, x₂, . ce cpie les déterminants du (r-f-i) coefficients soient tous nuis.

ième

Revenons aux équations linéaires en .r,, x₂,

X,= o,

X₂ — o,

X/; - O.

Supposons d’abord que les formes X,, X₂, ..., X^ soient indépendantes, ce qui exige p^n. Si l’on a /? = /?, les équations n’admettent qu’une solution, à savoir la solution évidente xx = o, x.₂=o, ..., xn = o :

n équations linéaires à n inconnues dont te déterminant n’est pas nul n’admettent pas d’autre solution que la solution où toutes les inconnues sont nulles.

i<*me

Si l’on a /?<</?,/> inconnues, dont les coefficients, dans les formes X,, X₂, ..., Xp, sont les éléments d’un déterminant non nul du/? ordre, s’expriment linéairement au moyen des n—p autres, qui restent arbitraires, et l’on obtient ainsi la solution la plus générale du système d’équations. Que les expressions des p inconnues au moyen des n — p autres soient effectivement linéaires, c’est ce qui résulte évidemment des formules du n° 150.

Supposons maintenant que les p formes X

X₂, ..., X^ soient de rang /•<</?, et que les r formes X,,X₂, ..., Xr soient indépendantes.

DÉTERMINANTS.

Les p — r autres s’expriment linéairement au moyen de celles-là et s’annulent toutes quand les r premières sont nulles; le système des équations proposées est équivalent au système

X1 = o,

X,.= o;

X₂ = o,

r inconnues s’expriment linéairement au moyen des n — r autres, et l’on obtient ainsi la solution la ₍plus générale des équations proposées.

En particulier, si l’on a n équations linéaires à n inconnues, dont le déterminant soit nul, on peut satisfaire à ces équations en laissant certaines inconnues arbitraires. Le système proposé admet des solutions où toutes les inconnues ne sont pas nulles. La condition nécessaire et suffisante pour que n équations linéaires à n inconnues admettent une solution où toutes les inconnues ne sont pas nulles est que le déterminant de ces équations soit nul. C’est le sens précis qu’il faut attribuer à cette proposition : la condition obtenue en écrivant que le déterminant de n équations linéaires à n inconnues est nul est le résultat de l’élimination de ces n inconnues entre les n équations.

On observera qu’une proposition énoncée au n° 148 se trouve maintenant entièrement démontrée :

Quand un déterminant est nul, les éléments de toutes les lignes de ce déterminant vérifient une même équation linéaire, dont tous les coefficients ne sont pas nuis.

Il convient de remarquer que, si p est plus petit que a, les équations X₍ = o, X₂ = o, ..., Xp=: o admettent toujours des solutions où les inconnues ne sont pas toutes nulles.

160. Le cas où l’on a affaire à n — i équations linéaires à n inconnues se présente fréquemment et il convient de s’y arrêter un instant. On a déjà traité au n’ 133 des équations

ax -t- b y -h cz = o, a'x-h b'y-h d z = o,

et l’on a vu que la solution la plus générale de ces équations, dans le cas où les trois déterminants bd— b’c, ccé—c'a, ab'— a' b ne sont

pas nuis à la fois, c’est-à-dire dans le cas où les deux formes linéaires égalées à o sont du rang 2, s’obtenait en prenant x, y, s proportionnels à ces déterminants. Ceux-ci ne sont autre chose que les mineurs relatifs aux éléments de la troisième ligne d’un déterminant du troisième ordre dont les deux premières lignes sont

<>

Le fait que les trois mineurs, mis à la place de a?, y, z, vérifient les équations proposées est un cas particulier des relations entre les éléments d’un déterminant et ses premiers mineurs (n° 144). Si l’un des trois déterminants est nul, sans que les trois soient nuis, l’inconnue qui devrait être proportionnelle à ce mineur est nulle.

Si les trois mineurs sont nuis, et si l’on écarte le cas où tous les coefficients sont nuis, les deux formes linéaires sont de rang i ; on peut résoudre l’une d’elles par rapport à une inconnue dont le coefficient ne soit pas nul, en laissant les deux autres arbitraires, on obtient ainsi la solution la plus générale des équations proposées.

Considérons maintenant trois équations à quatre inconnues

ax by -t- cz -+- dt = o, a! x -t- b'y c' z -\- d't = o, a"x -+- b"y ^-c"z-h d” t - o,

et supposons que le tableau des coefficients

A a

O C'

CS CS O

ou les trois formes linéaires égalées à o, soit de rang 3. En regardant les trois lignes de ce tableau comme les trois premières lignes d’un déterminant du quatrième ordre, et en désignant par Aw, Bw, Cw, Dw les mineurs de ce déterminant relatifs aux éléments de la quatrième ligne, mineurs qui, par hypothèse, ne sont pas tous nuis, il résulte des identités établies au n° 144 que les équations proposées sont vérifiées quand on prend x,y, z, t égaux à Aw, Bw, Cw, D " et par conséquent aussi, à cause de l’homogénéité des équations, quand on prend

y, 3, t proportionnels à Aw, Bw, Cw, Dw; c’est là d’ailleurs la solution la plus générale; dans cette solution, en effet, l’une des inconnues#, y, s, t doit rester arbitraire; or, on peut choisir le facteur de proportionnalité de manière à faire acquérir à cette inconnue telle valeur qu’on voudra. Si l’un des déterminants Aw, Bw, Cw, Dw est nul sans que tous les autres le soient, cela signifie que l’inconnue qui lui est proportionnelle doit être nulle.

Si le tableau des coefficients était de rang 2, il y aurait, parmi les trois formes linéaires, deux formes qui seraient indépendantes, les deux dernières par exemple ; l’un des six déterminants du second ordre qu’on peut tirer du tableau de leurs coefficients, par exemple le déterminant b'c"— b"c', ne serait pas nul; on résoudrait alors les deux dernières équations par rapport à y et à 3; on en tirerait des formules telles que

= 'J.X

qui, en laissant x et t indéterminés, fourniraient la solution la plus générale des équations proposées. Si le tableau des coefficients des trois formes était de rang 1, il ny aurait qu’une forme indépendante; on résoudrait l’équation obtenue en l’égalant à o par rapport à l’une des inconnues, dont le coefficient n’est pas nul, cette inconnue s’exprimerait linéairement au moyen des trois autres, qui resteraient arbitraires.

§ 3. — MULTIPLICATION DES DÉTERMINANTS.

161. Considérons les trois formes linéaires

X j — <X\\X\ —}— <X 12 X2 -f- Cl 13 X3,

X<> — d2 | X1 -f- 1X2% X2 ~h" ^2 3 #3,

X3 = #31 X\    «32#2 ■+" CI33X3,

et supposons qu’on y remplace respectivement    #3 par

buyi-h bny2-\- b3iy3l b 1 %y 1 -t- b22y2 -t- b3iy₃i b\zY\ -+- b₂₃y2 —i— b₃₃y₃ ;

CHAPITRE X.

3₉8

elles se changeront en des formes linéaires en y,, y₂, y₃, savoir :

Yi = cltyi -+- Ci₂j^₂-+- ci₃jy₃,

Y₂ = c2ly, -+- c2!y₂-h c₂₃jk₃,

Y₃ = c₃|^i -+- c₃₂y₂ i c₃₃jk₃,

où l’on a posé

Ch = «ll^u-l- «12 ^12-i⁻ «13^13, C21 ⁼⁼ «21 Ùii -H «22 Ùl₂ —H «23^13, C₃1 = «31 &11 -1- «32 Ù]2 “C «33 «13î

Ci₂ = ci\i b-2i-+- a,\₂b₂₂ -t- «13b₂₃, C₂₂ = «21 ^21 d⁻ «22 ^22 -I⁻ «23 Ù₂3i C₃₂ = «31 b₂\ -+- «32 b22 -+- «33 b₂3,

C13 = «11 Ù31 -+- «12Ù₃₂-+- «13 O33,

C₂3 = «21 Ù31 -1- «₂₂ Ù₃₂ -h «23 b33, C33 = «31 b31 -+- «32 b₃₂ -+- «33 è₃₃ ;

soient maintenant

«11    «12    «13

«21

«22

«23

«31    «32    «33

Cs- O ÇJ- CS-

Cil Ci2 C₁₃

C₂1    C₂2    C₂₃

C₃1    c₃₂    c₃₃

Les formes Y,, Y₂, Y₃ en yi: y₂, y₃ sont indépendantes, lorsque les formes X₄, X₂, X₃ en x{, x₂, x₃ sont indépendantes ainsi que les formes en yK, jk₂, y₃ qu’on substitue à x,, x₂, x₃ (n° 157); elles ne le sont pas quand les formes Xt, X₂, X₃ ne sont pas indépendantes; elles ne le sont pas non plus quand les formes en yK, y2: y₃ que l’on substitue à xx₂, x₃ ne sont pas indépendantes ; car, si ces dernières formes ne sont pas indépendantes, elles peuvent s’annuler pour des valeurs non nulles de yt, y₂,y₃ et ces valeurs annulent aussi, nécessairement, les formes Y,, Y₂,Y₃ (').

En d’autres termes le déterminant C n’est pas nul quand les deux déterminants A, B sont différents de zéro; C est nul quand l’un de ces déterminants est nul. En d’autres termes encore, les valeurs des

(') On arrive à la même conclusion (n° 157) en remarquant que les trois formes yv jk₂, y₃ étant dépendantes peuvent s’exprimer au moyen de deux d’entre elles, au plus, en sorte que Y,, Y₂, Y,, s’exprimant linéairement au moyen de deux formes, ne peuvent être indépendantes.

coefficients    a₃₃, bn, ..., 6₃₃ qui annulent C, ou le produit

AB, sont les mêmes.

On peut, en suivant la voie que je me contente d’indiquer, montrer que l’on a C = AB; mais je préfère établir cette égalité en partant de la façon dont le déterminant C est formé au moyen des éléments de A et de B.

162. Chaque élément de ce déterminant C est la somme des produits des éléments d’une ligne de A par les éléments correspondants d’une ligne de B; l’élément crs, par exemple, est la somme arK^>s\ + ar2 bs-2 + &r3 bS3 des éléments de la ;,ierac ligne de A respectivement multipliés par les éléments correspondants de la s,ème ligne de B : cet élément crs appartient à la rieme ligne et à la sieme colonne de C.

Supposons C écrit explicitement, c’est-à-dire chaque lettre crs remplacée par la somme arK bsi + ar2 bs2 + ar3 bs:i qu’elle représente : chaque élément de C est ainsi la somme de trois termes. Convenons de regarder, dans une même colonne de C, dans la s“'me, par exemple,

«1 1 bs\ ■+■ «12 bs2 ■+- a \ z bs3,

<*21 b s 1 -T- «22 b s 2 -+- «23 bsz 1

«3 1 bgl -+- «32 b s 2 -+- «33 bs 3,

les éléments écrits les uns sous les autres comme formant une colonne partielle, et de regarder ainsi cette slème colonne de C comme la réunion de trois colonnes partielles. On voit que chacune de ces colonnes . partielles provient d’une colonne de A, dont les éléments sont tous multipliés par un même élément (bsi, bs2, ou 6J3) de B.

D’après ce que l’on a dit au n° 116, C peut être regardé comme la somme de 3 X 3 x 3 = 27 déterminants, dont chacun est formé en associant trois colonnes partielles prises respectivement dans la première, la seconde, la troisième colonne de C. L’un de ces déterminants sera, par exemple,

<*lot^ia    «îy&sy

Ca(3y⁼ «2a^ia <*2j3^2f3    «2y^3y •

azy.b\oL <*3[3^2j3    ^3y^3y

Il a été formé en associant la a,<,me colonne partielle de la première

colonne de C, la J3ième colonne partielle de la seconde colonne de C, la yième colonne partielle de la troisième colonne de C; chacun des indices a, [3, y est susceptible de prendre les valeurs i, 2, 3. Le précédent déterminant est égal au produit de bK a b-₂p b₃y par le déterminant

£*ia aifi a\'(

«2 a £*20    «2Ï ;

£*.3a az$ ai'{

si deux des indices a, [3, y sont égaux, le déterminant a deux colonnes identiques; il est identiquement nul. Les seuls déterminants de cette sorte qui ne sont pas nuis s’obtiennent en supposant distinctes les valeurs de a, [3, y : chacun d’eux correspond ainsi à l’un des arrangements trois à trois des nombres 1, 2, 3 : ils sont au nombre de six.

Le précédent déterminant, si l’on suppose que a, [3, y soient les nombres 1, 2, 3 rangés dans un certain ordre,'n’est autre chose que le déterminant A., dont on a rangé les colonnes dans un certain ordre ; pour ramener ces colonnes à occuper le même ordre que dans A, il faut opérer sur les numéros a, [3, y un certain nombre de transpositions, nombre qui ne diffère que par un nombre pair du nombre d’inversions qui se trouvent dans l’arrangement a(3y. Si l’on désigne par i ce nombre d’inversions, on voit que l’on aura

CaPf = (—

dans les six déterminants non identiquement nuis Capy, qui correspondent aux six arrangements trois à trois des numéros 1, 2, 3, on peut mettre ainsi A en facteur, l’autre facteur (— \)¹ h^b^b^, oh i est le nombre d’inversions de l’arrangement a[3y, est un terme de B; on obtient les six termes de B en considérant successivement les six arrangements trois à trois; l’égalité C = BA est donc démontrée.

La démonstration, bien que faite sur deux déterminants du troisième ordre, est générale, et l’on peut énoncer le théorème suivant :

Si l’on considère les deux déterminants du /i,ème ordre

£*11    £* 12

£*1 n

&-21 <^22

£*2 n

6u è₁₂ ... blu b21 è₂₂ •. . b-m

£*«1 an2

£*«/i

bn1 bn2    ... bnn

leur produit AB peut être mis sous forme d’un déterminant du //,ième ordre

Cl n

c2 n

Cil c12

C21 c22

Cnl C«2    • • • Cnn

dans lequel chaque élément

crs — ari bs! -+- arï b 12    arn bsn

s’obtient en ajoutant les produits des éléments de la rième ligne de A par les éléments correspondants de la s"'mc ligne de B.

U convient de s’habituer à appliquer cette règle, indépendamment de la notation précédente. On a, par exemple,

sç a

-CD “CO

a3_ cn_

-CO -CO

^ c< o«

CTL

-CD "CD

-V.

sa + o p    +    cy    a a -+-    b (3' -t-    c y'    a a'+é 3'+cy’

=    a'a+è'P    +    c'f    a! a'-t-    6' j3'+    c' y'    a'a" -h 6' (3"H- c'y"    .

a" a h- 6" j3    -4-    c"y    a" a' -+-    6" p' -+-    c" y"    a* a" Hr 6" J3" -h c"y"

Puisque, dans un déterminant, on peut intervertir les lignes et les colonnes, on voit que le produit de deux déterminants pourra s’écrire de façons diverses; on aura par exemple

TP TP

aa + a i a p a' fi' b’X -4- b' x' 6 fi +

+ «'^    6 a -+- 6' j3

a?+a'P' 6j3 + 6'j3' a a H- 6 a' a £} -|- 6 [J' a'a-t-6'a' a! [3 -+- b' B'

La formule qui donne l’expression du produit de deux déterminants s’applique évidemment au carré d’un déterminant; on a, par

( ab'— a' b)² = (a² -4- b² ) (a'²-b'²) — (aa'-t- bb')2 = (a² -4- a'²)( è² -4- 6'²) — {ab +a'6')²;

de même

ou

402

exemple,

CHAPITRE X.

a² -4- b²    aa'-4- bb

aa' -t- bb' a'² ■+- b"*

a² -+- a ² ab a' b' ab -4- a' 6' b² -+- £'²

», », »

a² -t- b² -t- c2 aa'-t- bb' -4- cc' aa!' -+- bb" -4- cc" a! a!'--t- b' b" -h c' c"

aa"-4- bb" -t- cc"

a’’²-4- b'² -4- c'²

a' a" H- b' b" -4- c' c"

a" ²+ b"² —|— c"²

a²-1- a'² -4-a"² ab -4- a' b' -t- a" b" ac -+- a' c' -t- a" c" ab a' b' -4- a"b" b²+b'²-hb"² bc -+- b' c' -h b"c" ac -t- a¹ c' -4- a!'c" bc -4- b' c' -4- b"c" c²-1- c'² -t-c"²

11 est clair que le carré d’un déterminant peut être mis sous la forme d’un déterminant symétrique du même ordre.

163. Le théorème sur la multiplication des déterminants est d’ailleurs susceptible d’extension. La même loi de formation qui permet de déduire les éléments du déterminant produit de deux tableaux carrés, peut s’appliquer à deux tableaux rectangulaires comprenant respectivement le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.

Considérons par exemple les deux tableaux

», »

<> O

dont chacun comporte deux lignes et deux colonnes; on peut en déduire un déterminant du second ordre

aa-t-ôp-t-cy «a'+è ^’+cy' I a'a + è’P + c'v a'a,'b'-h c'Y \

dont chaque élément est la somme des éléments d’une ligne du premier tableau respectivement multipliés par les éléments correspondants d’une ligne du second tableau. Ce déterminant du second ordre

peut être décomposé en neuf déterminants, par un procédé analogue à celui que l’on a employé dans la démonstration du théorème fondamental. En n’écrivant que les déterminants qui ne sont pas nuis identiquement, on trouve que le déterminant proposé est égal à

a'a 6'

a a c y' al* c'y'

6 [3 a a' 6'p a! a'

a a c' y al a'

c y ⁶ R c'y 6'3'

"CD -CP

ÎS

—i -i

<> O*

"XP TP

En d’autres termes, on a I identité

(aa. -h b$ cy) (a,¹ a' -f- 6' -4- c' y') — (aîi'+ è3'+ cf)(a'a + 6'^ + c'y)

= ( 6c' — b'c) ( py' — P'y)h-(c«' — c'a) (ya' — Y,a) "+" (a6' — a'b ) (a(3' — a' P) ;

et, en particulier,

(a²-t- 6²-+- c*)(a'*-H 6'²-i— c'²) — (aal-+- 66'-t- cc')2 = (6c'— 6'c)²-+- (ca'— c'a)²-!- ( a6'— a'6)².

'Cette dernière identité tient un rôle assez important en Géométrie analytique. Celle d’où elle a été déduite permet d’ajouter, à la formule du n° 161 relative au produit de deux déterminants du troisième ordre, des identités intéressantes concernant les premiers mineurs du déterminant produit. Si, en effet, on reprend les notations de ce n° 161 et si l’on désigne par A„, B„, C,* les mineurs des déterminants A, B, C relatifs aux éléments ars, brs, crs des déterminants A, B, C, on trouve sans peine la relation

Grs — A,.i B5I -i- A^2 B$2 -+- Ars B53)

qui en résume neuf autres, puisqu’on peut donner séparément aux indices r, s la valeur 1, 2, 3.

On désigne sous le nom de déterminant adjoint d’un déterminant donné le déterminant du même ordre dont les éléments sont les

n° 144, par A, B, C; A;, B', C⁷;

premiers mineurs du déterminant donné. Ainsi, en désignant, comme au

A", B", C" les mineurs du déterminant

a a, a

c>

relatifs aux éléments a, 6, c; a, b, c \ a!', b", c"; le déterminant adjoint de A sera

A B G I A' B' G' .

A" B" G"

Le produit de ces deux déterminants est

A' a -i- B' b -h G' c A 'a'

AD =

Aa + Bè+Gc A a'-+■ B b'-h C c' A B b"-h C c" B'ô'-f-G'c' A'a'+B'i’+G'c’ A" a •+■ B" b -t- C" c A" a' B" b' h- G" c' A" a" -s- B" 6" H- G" c"

ou, en tenant compte des identités du n° 144,

c- o

A³.

Si donc A n’est pas nul, on a D = A². Cette égalité, établie pour toutes les valeurs de a, 6, ..., c" qui n’annulent pas A, a lieu identiquement en a, b, ..., c".

L’adjoint d’un déterminant du troisième ordre est égal au carré de ce déterminant : l’adjoint d’un déterminant du /?u’mu ordre est la puissance (/i — i)lèulcde ce déterminant; la démonstration est la même.

On a signalé au n° 135 les relations de la forme B'G"— B" G' = A a,

qui lient les premiers mineurs du déterminant adjoint de A aux éléments de A. On démontre, d’une façon générale, que tous les mineurs du déterminant adjoint d’un déterminant A du /dème ordre, sauf les éléments mêmes de ce déterminant adjoint, sont divisibles par A. En particulier, si A est nul, tous les mineurs (sauf les éléments) du déterminant adjoint sont nuis.

§ 4. — MÉTHODES D ÉLIMINATION D’EULER, SYLVESTER ET BÉZOUT.

164. Un polynôme en x, de degré n,

a₀x" -t- ciix'¹-¹ -(- a^xn~² . .-H a„_₂Æ?²-f- a„-ixl-h- a„x°,

an sont des constantes numériques a le même aspect qu’une

où a₀, «i, ..

forme linéaire à n -h i variables, qui s’appelleraient x°, x¹, x², .. ., x'¹, et où les exposants seraient regardés comme des indices. Dans certaines questions, les relations qui existent entre ces variables et le fait que la première x° = i n’est pas une variable, n’interviennent pas. Quelques propositions de la théorie des systèmes de formes linéaires s’appliquent ainsi à la théorie des systèmes de polynômes en x.

Lorsque, en se plaçant à ce point de vue, on considère un système de polynômes en x comme un système de formes linéaires en x°, x>, ,r², ..., le nombre de ces variables est le degré, augmenté d’une unité, de celui de ces polynômes qui a le plus haut degré; quelques-unes de ces variables manqueront dans ceux de ces polynômes qui seront d’un degré moindre, c’est-à-dire que leurs coefficients devront être regardés comme égaux à o. Il est commode de regarder tous les polynômes d’un système comme étant d’un même degré, égal ou supérieur au plus haut degré de tous ces polynômes, quelques-uns de leurs premiers coefficients pouvant être nuis. Quand on parle du tableau des coefficients de ce système de polynômes, on suppose qu’ils soient tous écrits les uns sous les autres, de manière que les termes de même degré soient dans une même colonne verticale, et que les coefficients des termes manquants soient remplacés par des zéros. S’il s’agit par exemple des polynômes

-t— i,    #³-f-2;r², x²—x-^3

le tableau des coefficients sera

o CO

Ce second tableau est du même rang que le premier (n° loi).

165. On dit que p polynômes (en a?), X,, X₂, .. Xp sont linéairement indépendants quand il n’existe pas de constantes Xj, X₂,    non toutes

nulles, telles que l’on ait identiquement en x

Si de telles constantes existent, les polynômes sont linéairement dépendants. Cette identité implique que, dans le premier membre, les coefficients des diverses puissances de x, et le terme indépendant de x, soient nuis séparément. C’est exactement les mêmes conditions que l’on trouverait si l’on considérait les polynômes comme formant un système de formes linéaires en x°, xa?², ....

La condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes Xl5 X₂, . . Xp soient linéairement indépendants est que le tableau de leurs coefficients soit de rang p ; la condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes soient linéairement dépendants est que ce tableau soit de rang inférieur à p.

Supposons tous les polynômes de degré inférieur à n, et regardons-les, conformément à une convention antérieurement expliquée, comme étant tous du degré n — i.

Si l’on a p > n, les polynômes sont linéairement dépendants. Si l’on a p = n, le tableau des coefficients est un carré, que l’on peut regarder comme un déterminant; en écrivant que ce déterminant est nul, on écrit la condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes soient linéairement dépendants.

Si l’on a /> ■< n, les conditions nécessaires et suffisantes pour que les polynômes soient linéairement dépendants s’obtiendront en écrivant que tous les déterminants d’ordre p tirés du tableau sont nuis. Ces conditions étant vérifiées, si l’on veut déterminer les constantes X j, X₂, ..., X^, on a à résoudre un système d’équations linéaires dont ces constantes sont les inconnues, et qui admet certainement un système de solutions qui ne sont pas toutes nulles.

Considérons n polynômes (en x), Xt, X₂, ..., Xrt tous de degré inférieur à /t, que nous traiterons encore comme étant tous de degré n — i; supposons qu’ils aient un diviseur commun A de degré k ; les quotients Yt, Y₂, ..., Y„ obtenus en divisant Xj, X₂, ..., Xn par A seront de degré inférieur à n — k; par conséquent n — k 1 d’entre eux seront liés par une relation linéaire telle que

Xi Y| -4- X₂ Y₂ -+-... -+■ \n—/c+.i Y— o,

cette relation, identique en x, restera telle si l’on en multiplie le premier membre par A ; donc n — k -+-1 quelconques des polynômes Xj, X₂, ..., Xn sont linéairement dépendants; par suite, le déterminant, d’ordre /i, formé avec les coefficients des polynômes Xl5 X₂, ..., X„, sera au plus de rang n — k.

Qu’il en soit ainsi, c’est une condition nécessaire pour que les polynômes Xl5 X₂, Xn aient un diviseur commun de degré égal ou supérieur à k.

Si, en regardant toujours les n polynômes comme étant de degré n — i, on convient de dire qu’ils ont un diviseur commun de degré rectifié égal à k (n° 84), pour dire qu’ils ont un diviseur commun de degré vrai k — a, et que les a premiers coefficients sont nuis dans tous les polynômes à la fois, en sorte que chacun d’eux soit d’un degré vrai au plus égal à n — a — i, on peut encore affirmer que le tableau des coefficients des polynômes Xt, X₂, . . doit être au plus du rang n — a — (k — a) = n — k pour qu’ils admettent un diviseur de degré rectifié égal à k ; a fortiori cette condition doit-elle être vérifiée si les polynômes ont un diviseur de degré rectifié supérieur à k.

166. Mon but est maintenant d’obtenir, sous forme explicite, les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doivent satisfaire les coefficients de deux polynômes

f(x) = a₀xn -+- a\ x g{x) = b₀xP -t- bi xp~¹    bp-xx + b,,

n—l

-t⁻ cin—i x -i- an,

pour que ces deux polynômes aient un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à r; on entend ici, par le degré rectifié d’un diviseur commun des deux polynômes, le degré vrai du diviseur augmenté du nombre de coefficients qui sont nuis à la fois au début des deux polynômes regardés comme étant respectivement des degrés n et p (n" 84). Si, par exemple, le polynôme f (x) était réellement du degré n — 3, le polynôme g(x) du degré p — a, il y aurait deux coefficients nuis à la fois au début des deux polynômes; alors, s’ils étaient premiers entre eux, ils devraient être regardés comme ayant un diviseur commun de degré rectifié égal à a, et, s’ils avaient un diviseur commun, de degré vrai égal à 3, ils devraient être regardés comme ayant un diviseur de degré rectifié égal à 3 + 2 = 5.

On a démontré au n° 84 la proposition suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes f(x) et g {x) aient un diviseur commun de degré rectifié, égal ou supérieur à r, est qu’il existe deux polynômes F

n—r

(x), G

p—r

(x), non identiquement nuis, dont les degrés (vrais) respectifs soient au plus égaux à n — r, p — r et tels que l’on ait identiquement, en x,

(O

Fn-r(x) g(x) -I- G

(x)f(x)

— O.

Cette identité, si l’on y remplace F„_,.(a?) et G coefficients indéterminés

P—r

(x) par des polynômes à

F,i-r (X) — X₀a?'i-r -|- 'klxa-r~l -I-. . .-t- X/t_,.,

Gp-r(x)= fX₀xP~r-\- HiXP-r-l    iip_r,

équivaut à n -h p —    1 équations linéaires en À₀, Xi, . . ., X„_,., p₀, pi, . .

[Tp—;■ ; les conditions cherchées s’exprimeront donc en écrivant qu’un système de n -+- p — r h- i équations linéaires à n -+- p— 2/’ -h 2 inconnues admet une solution où toutes les inconnues ne sont pas nulles. C’est ce que l’on sait faire.

Il revient au même, pour obtenir ces conditions, de raisonner comme il suit :

L’identité (i) peut s’écrire

y-oXP-rf(x)-h [Tl xP-r-lf(    .-+-y.p-rf(x)

-+-X„-,.g(x)-h \n-r-\ xg(x) -4-. . .-t- l₀xn~r g (x) = o;

elle exprime donc que les polynômes

XP-rf(x), xP-r-\f(x ),    f(x),    g(x), Xg(x),    x’‘-rg(x) sont linéairement dépendants : en exprimant qu’il en est ainsi, on aura les conditions cherchées. Ces polynômes sont tous de degré inférieur à n 4- p — r h- i ; ils sont en nombre égal à n -i- p — -2/’ -+-2 ; on a donc à écrire qu’un tableau de n -i- p — 2 /’ -4-2 lignes et de n -h p — r -+-1 colonnes est de rang inférieur à n -t-p — 2/’ -t- 2.

En particulier, si l’on suppose r — 1, on aura, en écrivant que les n ■+■ p polynômes, de degré inférieur à n-h p

xP~xf O),    xP~*f(x),    ..., /O),    g(x),    ...,

x'i-i

g(x)

sont linéairement dépendants, la condition nécessaire et suffisante pour que les deux polynômes /(x) et g (x) aient un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à 1. Cette condition s’exprime en annulant le déterminant d’ordre n -h p, dont les éléments sont les coefficients des polynômes précédents regardés comme des polynômes de degré n-j-p — 1.

167. Ce déterminant, dont l’introduction est due à Sylvester, tient un rôle essentiel dans la théorie qui nous occupe. On peut lui rattacher les conditions nécessaires et suffisantes pour que les polynômes /(x) et g(x) aient un diviseur de degré rectifié au moins égal à r.

Il faut et il suffit pour cela que le déterminant de Sylvester soit de rang au plus égal à n -+- p — /•. La condition est nécessaire : en effet, si l’on regarde les n -t- p polynômes

xn~¹ g( x )

xP~l f(x),    ..., /O), g (.r),    ..

comme étant de degré égal à n-\-p—i,on voit de suite que, si les polynômes f(x) et g(x) ont un diviseur commun de degré rectifié égal à r, les n -t-p polynômes ont aussi un diviseur commun de degré rectifié égal à /•, au sens qu’on a donné à ce mot à la fin du n° 166; le rang du tableau de ces coefficients des n -+-p polynômes doit donc être au plus égal à n-\-p — r.

La condition est suffisante, car, si le rang du tableau est égal ou inférieur à n -+- p — r, il ne peut y avoir, parmi les n-h p polynômes, plus de n-+- p— r polynômes qui soient linéairement indépendants : n p — r -t- 1 polynômes pris parmi eux, par exemple les polynômes

xP-if(x), xP-'-f(x),    ..., /(a?),    g{x), xg{x),    ...,    x“-rg(æ),

ou

les polynômes

x'i-ig(x), x»~*g(x),    ...,    g(x), f(x), xf(x), ...,    xP-'-f(x) sont linéairement dépendants; en écrivant qu’il en est ainsi, on parvient à des identités de la forme

gp-\{x)f(x) -hfn-r(x) g(x) =

fn-l(x)ff(æ) -hgn-r (X)f ( X) ~

où les deux polynômes gp—i(x), f„—r(x)^ dont les degrés (vrais) respectifs sont au plus égaux à p — i et à n — r, ne sont pas identiquement nuis tous les deux: de même, les polynômes fn—\(x), gl,—r(x).

Ces deux identités vont nous permettre île reconnaître que les deux poly-nomes/^a?), g(x) ont un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à par un raisonnement pareil à celui du n° Si. Supposons qu’il y ait a coefficients nuis au début des deux polynômes /(x) et g(x) : je suppose qu’il y en ait exactement a au début de f(x) : il peut y en avoir davantage au début de g(x) : c’est à la première identité que j’aurai recours: si, au contraire, il y avait moins de coefficients nuis au début de g(x) qu’au début de /(x), c’est à la seconde qu’on recourrait.

Si les deux polynômes g,>-i(a?), fn-r(x) sont premiers entre eux, on voit, comme au n° 84, que la première identité entraîne l’existence d’un diviseur commun Q(x) aux deux polynômes f(x) et g(x), tel que l’on ait

Je degré vrai de 0(a?) est égal à la différence entre le degré n— oc def(x) et le degré de/„_r(r), qui est égal ou inférieur à n — /•; il est donc égal ou supérieur à (n — a)—(n —/■) = /• — a; par conséquent, 0 ( x ) doit être regardé comme un diviseur commun à f(x) et à g(x) de degré rectifié égal ou supérieur à r.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux polynômes f( x) et g {x) aient un diviseur commun de degré rectifié égal ou supérieur à /•, fournissent évidemment, lorsque l’un des deux coefficients a0î ne peut s’annuler, les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux polynômes aient un diviseur commun de degré vrai au moins égal à r. On montre, dans ce cas, que les conditions nécessaires et suffisantes peuvent être réduites à r; mais je ne m’y arrêterai pas.

168. Je me contente aussi d’indiquer les résultats suivants qui s’établissent à peu près comme ceux qui précèdent.

Supposons, en conservant les mêmes notations, que l’on ait n ^ /?, et posons, pour abréger l’écriture,

fo — #01 /i = a₀x-+- ai

go = b₀,

g\ = b₀x -h bu

-h.. .H- 6*.

Considérons les n polynômes, dont il est aisé de voir qu’ils sont tous de degré inférieur à n,

g(x), xg (a?)»    --i    a7«-#»-‘£-(ar),

xn~pfog(x)—gof{x), x»~Pfi g(x) — g,f(x),

x'l~pAg{x) — gtf(æ), ••

x"~pfv-1 £■<>) — <S>-i/(•*)•

La condition nécessaire et suffisante pour que les polynômes f(x) et g(x) aient un diviseur de degré rectifié égal à r est que le tableau des coefficients des n polynômes soit de rang égal ou inférieur à n—r. La condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à i s’exprime donc en égalant à o un déterminant d’ordre n (déterminant de Bézout) ; la condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait un diviseur commun de degré rectifié au moins égal à 2 s’exprime en écrivant que tous les premiers mineurs de ce déterminant soit nuis, etc. Le déterminant de Bézout est d’ordre moins élevé que celui de Sylvester, et il est, à cet égard, plus commode à manier; mais, d’un autre côté, sa forme est moins simple que celle du déterminant de Sylvester.

Lorsque les conditions pour l’existence d’un diviseur commun de degré rectifié égal à r sont vérifiées, on peut toujours trouver ce diviseur commun en cherchant le plus grand commun diviseur des polynômes f{x) et g(x); à la vérité, il est préférable, lorsqu’on applique l’une des méthodes précédentes, de profiter des calculs qu’on a faits pour obtenir le diviseur commun, mais je ne m’arrêterai pas à cette question.

Il convient de remarquer que les démonstrations qui précèdent ne supposent en aucune façon qu’on ait établi le théorème fondamental de l’Algèbre ( n° 111).

169. Éliminer x entre les deux équations f(x) = o, g(x) = o, c’est, par définition, trouver la condition nécessaire et suffisante pour que ces deux équations aient une solution commune. S’il en est ainsi, les deux polynômes f(x) et g(x) ont un diviseur commun; réciproquement, si ces polynômes ont un diviseur commun de degré (vrai) égal à /*, les deux équations f(x) = o, g(x)— o ont r racines communes, à savoir les r racines du diviseur commun. Si les deux polynômes f(x) et g(x) ont un diviseur commun de degré vrai r — a, et si les a premiers coefficients de f(x) et de g{x) sont nuis, en sorte que les deux polynômes aient un diviseur commun de degré rectifié égal à r, on dit souvent que les deux équations f(x) = o, g(x) = o ont r— a racines communes qui sont finies, à savoir les racines de leur commun diviseur et a racines communes infinies; cette dernière façon de parler, sur laquelle j’aurai à revenir, ne signifie rien de plus que ceci : les a premiers coefficients de /(x) et les a premiers coefficients de g(x) sont nuis. En adoptant cette façon de parler, on peut énoncer le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations f(x ) — o, g(x) aient (au moins) une racine commune finie ou infinie, ou, si l’on veut le résultat de l’élimination de x entre ces deux équations, s’obtient en égalant à o le déterminant de Sylvester, ou celui de Bézout, formé avec les coefficients des polynômes f(x) et g(x). Les racines (finies) communes aux deux équations s’obtiennent en cherchant le plus grand commun diviseur aux deux polynômes et en résolvant l’équation obtenue en égalant à o ce plus grand commun diviseur.

EXERCICES.

142. Quel est, dans le déterminant général de nième ordre, le coefficient du terme dont les facteurs sont les éléments situés sur la diagonale autre que la diagonale principale?

143. Un déterminant du reièrae ordre dans lequel tous les éléments situés au-dessus (ou au-dessous) de la diagonale principale sont nuis est égal au produit des éléments de la diagonale principale.

144. Développer le déterminant symétrique gauche

—y

et montrer qu’il est le carré d’un polynôme en a?, y, z, t, «, v.

14o. Résoudre les équations

CL —f- X

b -4- x

= o,

b -‘r- X

= o.

C -h X

d -h x

146. On a, quels que soient x, y, z.

x -y xy -y x² z y z j y -y xz -y x²x z x z -4- xx -+- x² y x y

montrer qu’on peut déterminer le nombre x de manière que les coefficients des trois formes linéaires

xx -y x² y -y z

soient proportionnels. Le problème admet trois solutions dont deux sont imaginaires. Décomposer le déterminant proposé en un produit de trois facteurs du premier degré en x, y, z.

147. Décomposer le déterminant

en un produit de quatre facteurs du premier degré.

148. Mettre les déterminants

c c³

a -sr- y

b -y x b -y y

c -y y

C -f- z

1 sina cosa i sinè cos b i sine cosc

i sina tanga i sin& tangè , i sine tange

sous forme d’un produit de trois facteurs s’annulant respectivement quand on suppose b = c, c — a, a = b.

Montrer, en s’appuyant sur l’identité à laquelle on est conduit en considé-

rant le dernier déterminant que, si a, (3, y sont trois nombres dont la somme est nulle, on a

sin x -t- sin fï -t- sin y h- 4 sin - sin - sin - = o.

149. La trigonométrie fournit, entre les éléments d’un triangle, les relations

- b cosG H- c cosB, = c cos A h- a cos G, c = a cos B -t- b cos A :

quelle relation doit-il y avoir entre A, B, G pour que les égalités précédentes, regardées comme des équations linéaires en a. b, c, admettent une solution autre que a = o, b = o, c = o?

150. Montrer que les relations

ope

a'²-f- 6'²+ c'² = i. a"2₊ è"²-+- c"²= I,

a'a"^ 6'6"+ c' c' = a"a -+- b" b -t- c"c -a a' b b' -+- c c' =

entraînent, en désignant par A le déterminant

», a a

O Cr-

% A. «

et par A, B, ..G" ses mineurs, les relations

A = A a, A' = A a', A'= A a",

B = A b, B' = A b\ B"= A b",

G = A c. G'= A c', C" = A c",

A = ± i,

a'¹ -1- a ² -+- a"² = i,

6² 4- b'2 4_ £"2 _ , 5 c² -+- c'² H- c"² 5=1,

6c + 6'c'+ 6"c" = ca -t- c' a! -+- c" a" = ab -H- a' b' -\- a" b" =

inversement les six dernières relations entraînent celles qui précèdent. On peut prendre comme point de départ le fait que les trois équations

traitées comme des équations du premier degré dont les inconnues seraient», è, c et dont les coefficients seraient les éléments du déterminant A, entraînent les relations

a A = A,

b A = B,

c A = C.

151. D’un tableau rectangulaire de np éléments rangés dans p lignes et n colonnes, combien peut-on tirer de déterminants d’ordre r. en désignant par r un nombre au plus égal au plus petit des nombres /i, p ?

152. Quelle relation y a-t-il entre les polynômes

O I O O I t,

NJ

o|s>

où a, 6, c, X, p sont des constantes différentes de o?

Au lieu d’appliquer la méthode développée dans le n° 153, il est plus commode ici d’employer le procédé suivant qu’on généralisera sans peine; on regardera les égalités précédentes comme des équations en x, y, z et X, Y, Z, T comme des quantités connues; on résoudra trois de ces équations par rapport à x, y, z et l’on portera les valeurs trouvées dans la quatrième. Les calculs qui suivent équivalent à ceux qu’on vient de dire.

TL

V|

-p I -

o,

(X — |x)-H-X— Z + U|I =

= o,

(p- —    3 -+- ^(Y — T) — X — |X

X — Z -t- X[jl( Y — T) = o.

Résoudre la même question en cherchant cinq nombres a, [3, y, o, s tels que l’on ait identiquement, en x, jk, 2,

ïX + [3 Y -+- yZ -+- ôT -t- s = o.

153. Soient Xt, X₂, ..., Xp des formes linéaires en X\, x₂, ..., xn. Si l’on connaît, d’une part, la solution la plus générale des équations Xt = o, X₂ = o, ..., Xp—o et, d’autre part, une solution particulière des équations Xj = al5 X₂ = a₂, ..., Xp = 0Lp, où s₍, a₂, ..., sont des nombres donnés, comment pourra-t-on en déduire la solution la plus générale des dernières équations ?

154. Si les polynômes Xh X₂, .. xn, sont de rang /■, il ne peut exister plus de p — r polynômes du premier degré en X₄, X₂, ..., Xp, indépendants quand on regarde ces dernières lettres comme figurant des variables, qui s’annulent identiquement quand on remplace Xl7 X₂, ..., Xp par leurs expressions explicites en xx, x₂, . .., xn.

Xp, du premier degré en xt, x₂, ..

155. Si Xl5 X₂, ..., Xp désignent des polynômes du premier degré en xx, x₂, ...,Xu et s’il existe q polynômes (et non davantage) du premier degré en Xi, X₂, ..., Xp, indépendants quand on regarde ces lettres comme figurant des variables, qui s’annulent identiquement lorsqu’on remplace X,, Xj, .. ., Xp par leurs expressions explicites en xt, x₂, ..., x„, les p polynômes Xj, X₂, ..., Xp sont de rang p — q.

Xp, du premier degré en xx, x₂, ..., xn,

156. Si les polynômes X₂, X₂, .. sont de rang r et si l’on peut les exprimer tous au moyen de r polynômes Xj, Xj, . .., X'r du premier degré en xt, x₂, ..., xn par des formules telles

que

Xj — a i'i Xj h- a i/2 Xj    a/,,. X'r -t- a i,r+i (i — 1>2, • • 1 p ),

où a/fi, a/,3, ... sont des coefficients constants, les polynômes X'lt X'₂, ..., X'r sont indépendants.

157. Si le tableau

£ .?

Sî s

est de rang -i et si les nombres situés dans une même ligne de ce tableau vérifient l’équation ax -t- b y -4- cz — o, la solution la plus générale de celte équation est donnée par les formules

X = X\ t{ -1- X-2 1₂,

y = Ji tx + yi t₂,

z = Zi t\ —t— z₂ t₂,

où tx, t₂ sont arbitraires. Si le tableau

O tl

*3 y 3    ^3    «3

est de rang 3 et si les nombres situés dans une même ligne de ce tableau vérifient l’équation ax -+- b y -+- cz -+- du — o, la solution la plus générale de cette équation est donnée par les formules

X — X1 tj —4 X%t% -4— X$ £3,

y = yi t\ -+* y 21*-+- y 3 ts,

Z = Z [ t1 4— Zv t₂ -I- Z3 t3, LC = U\t\ -4 U-2    —4 Ll3 t3,

où tj, t₂, t-i sont arbitraires.

158. Si le tableau

xx yx zx lli,

xi y% z% “2

est de rang 2, et si les nombres situés dans une même ligne de ce tableau vérifient les deux équations indépendantes

a' x -4 b’ y -4 c z -4- d! u —

la solution la plus générale de ces équations est donnée par les formules

x — xxtx-4- ;r₂1₂,

y — ^1 ■+■ y% h,

Z — 2] £1 —f- ,39 £o, ££ = //1^1 —I—

où t\ et t₂ sont arbitraires.

159. On considère les p équations Xi = o. X₂ = o, ..., Xp — o, linéaires en x,, x₂, . .    x„; convenons de dire qu’un système de n formes Ti, T₂, . . ., T„

linéaires en tx, £₂, ..., t,n vérifie ces p équations lorsque celles-ci sont vérifiées quelles que soient les valeurs de tx, £₂, .. ., tm quand on y remplace respectivement Xi, x*..,xn par T,, T₂, . . ., T„.

Si les équations données sont de rang r <[ n, on a vu au n" 159 que la solution la plus générale s’obtient en laissant n — r inconnues arbitraires, les autres inconnues s’exprimant linéairement au moyen de celles-ci. Cela revient à dire que la solution la plus générale est fournie par un certain système de n formes linéaires de rang n — r. Montrer que tout système de n formes T1; T₂, . .., T», linéaires en tx, t₂, ..., t,n et de rang n — r, qui vérifient les équations proposées, en constitue la solution la plus générale.

160. Sauf dans le cas où l’on a xx — x%, yx—y₂, le polynôme du premier degré en x, y, le plus général, qui s’annule quand on remplace x, y respecti-

O cO

DÉTERMINANTS.

4i7

vement par les nombres xx, y y ou 72,72 est, à un facteur numérique près,

£ £

Si Si Sî

161. Lorsque le tableau

Si s Si

h 1, Il

W

est de rang 3, tout polynôme du premier degré en x, y, z qui s’annule quand on y remplace a?,7, z par a?j,7i, z1: ou par x₂,y₂, z₂, est, à un facteur numérique près, de la forme

Xy y 1 Z y X₂ y 2 Z 2 I x3    73    *3

Quelle est la forme la plus générale d’un pareil polynôme quand le tableau (i) est de rang 2? — Ce tableau peut-il être de rang 1?

1(32. Soient (a?!, y y), (x₂, 72), (x₃, y3) des nombres réels ou imaginaires. On considère le tableau

1 xx yi 1    ^2    72    1,

i,

3 x'i 73

en écartant le cas où ce tableau aurait deux lignes identiques.

Montrer que, lorsque xx, 7y, x₂, y₂, x₃, 73 sont réels, le tableau est de rang 3.

Le rang ne peut se réduire à 2 que si les trois rapports

•>

72 —73

xx — x₃

7s — 71

X3 — X \

71—7-2

Xy — x₂

sont égaux à i ou à — i.

163. Trouver tous les polynômes de la forme

27

T.

ou de la forme qui s’annulent quand on remplace x, y par xt, y{ ou par x₂, y₂ ou par x3: y₃.

164. Dans un déterminant d ordre n, dont les lignes et les colonnes sont numérotées i,    n, on considère le terme dont les facteurs appartiennent

aux cases

(«1, Pl

P/H-1

(«2

( a/i+2l

• • • i (a/n P/i)>

+2)1    • • • 1 {%ni P/i)*

11 résulte de la proposition énoncée dans l’exercice 127 que le coefficient de ce terme est une puissance de — 1 dont l’exposant est

A -+- B -t- A -+- B -t- cl j -f- a ₂ -t— ... a p -+- p 1 -t- p 2 -t~ • • • -t- P p 1

en désignant par A, B, A', B' les nombres d’inversion contenus dans les arrangements

(*!, «2, •.    (Pu P2, • • -, P/,),

( ap+ll a/i+2i • • • 1 a7l )i ( P/1+11 P/1+21 • • • i P« )•

Montrer que la somme de tous les termes du déterminant dont p facteurs appartiennent à des cases qui se trouvent à la fois dans quelqu’une des lignes numérotées al5 a₂, ..., xp, et dans quelqu’une des colonnes numérotées pt, P2, . .., P,, est égale à

(— 1 )«i+*j-t-----i-ap+Pt+p^H-----Hpj, PP'?

en désignant par P le déterminant qui se déduit du déterminant proposé en supprimant les lignes numérotées    Zp+ï, . •., are et les colonnes numé

rotées P/>+i, P/n-21 • • - i P n-, et Par P" le déterminant qui se déduit du proposé en supprimant les lignes numérotées al5 a₂, ..clp et les colonnes numérotées Pi,

166. Soit A un déterminant d’ordre dont les lignes et les colonnes sont numérotées 1,2Supposons qu’on ait rangé sur une même ligne toutes les v = G p combinaisons des n nombres 1, 2,..., n pris p à p. Chacune de ces combinaisons se trouve ainsi avoir un numéro d’ordre. Considérons la alcme et la [3ieme de ces combinaisons; soient respectivement a et b les sommes de ceux des nombres 1,2, ..., n qui entrent dans ces dernières combinaisons. Soit le déterminant déduit de A en supprimant toutes les lignes dont les numéros ne figurent pas dans la altnie combinaison et toutes les colonnes dont les numéros ne figurent pas dans la pi‘,ine combinaison. Soit    le produit par (—1 )“+⁶

du déterminant déduit de A en supprimant au contraire toutes les lignes dont les numéros figurent dans la aie,ne combinaison et toutes les colonnes dont les numéros figurent dans la Slcme combinaison.

5^>i,p ■+■ =Aî>2,a «A»2,P + •••*+■ «'«’v.a «^>vip — eAoa,l dlo^l “t— aA9(x,2 cAop,2 “I⁻ • • • "4" oAoo^v «Aop,v ~

en désignant par s un nombre égal à o si a est différent de (3, à i si a = Écrire explicitement ces relations, dans le cas où l’on a n = 4, p = a

166. On considère deux tableaux (A) et (B) comprenant p lignes et n colonnes, numérotées au moyen des nombres 1,2,...,/?, d’une part, 1, 2,. . ., n de l’autre. Soient, en général, a,.jS et br>s les éléments de ces tableaux qui appartiennent à la ri<îme ligne et à la s'¹™⁶ colonne, et soit, en désignant par a, [3 deux des nombres 1, 2, ..., p

a ,n

bP,n-

On a

ca,8 = «a,i⁶P,i+ «a,2 &p,2-+- • •

Soit G le déterminant du p'ème ordre dans lequel cai<3 est l’élément qui appartient à la a‘eme ligne et à la [3le,ne colonne. Il résulte du n° 162 que, si l’on a n — p-, le déterminant G est le produit des déterminants A, B que définissent les tableaux (A), (B).

Montrer que G est nul, si l’on a n<ip.

Dans le cas où n est plus grand que /?, imaginons que toutes les v = Cp combinaisons des n nombres 1, 2, ..., n pris p à p soient rangées sur une même ligne et affectées ainsi chacune d’un numéro d’ordre. Désignons en général par Ar, Br les déterminants du p'eme ordre qui se déduisent respectivement des tableaux (A), (B) en ne conservant que les colonnes dont les numéros figurent dans la r'*me combinaison, on a

G — Aj Bj —J- A2B2. •. “H AVBV.

bSuoteJ.a

2akl. Mat. Ogolnei

FIN DU TOME PREMIER.

Préface

TABLE DES MATIÈRES

DU TOME PREMIER.

CHAPITRE I.

NOTION DE COUPURE. NOMBRES IRRATIONNELS. CALCUL DES RADICAUX. EXPOSANTS FRACTIONNAIRES, NÉGATIFS, IRRATIONNELS.

§ 1. —Définition des nombres irrationnels. Opérations sur ces nombres......

§2. — Calcul des radicaux. Exposants fractionnaires, négatifs, irrationnels...

§ 3. —Extension de l’idée de coupure : arcs, aires............................

Exercices.............................................................

Pages

35

52

54

CHAPITRE II.

POLYNOMES.

§ 1. — Préliminaires.........................................................

§2. — Étude d’un polynôme à une variable pour les valeurs de la variable

voisines de zéro...................................................

§ 3. — Polynômes identiques................................................

§4. — Étude d’un polynôme pour les valeurs de x voisines de a..............

§5. — Dérivées d’un polynôme. Puissances d’un binôme.....................

§6. — Polynômes à plusieurs variables.......................................

Exercices............................................................

⁵9

68

79

83

98

108

124

CHAPITRE III.

DIVISION DES POLYNOMES.

§ 1. — Division par un monome.............................................

§2. — Polynômes ordonnés suivant les puissances décroissantes de la variable. § 3. — Polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de la variable...

§4. — Polynômes à plusieurs variables......................................

Exercices............................................................

32

i34

l52

i55

i58

CHAPITRE IV.

DES FRACTIONS RATIONNELLES.

§ 1. — Étude d’une fraction rationnelle en x pour les valeurs de x voisines

d’une valeur donnée...............................................

§2. — Fonction homographique.............................................

Exercices...........................................................

Pages

' 162

184

192

CHAPITRE V.

PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR.

§ 1. — Définition et recherche du plus grand commun diviseur...............

§2. — Propriétés du plus grand commun diviseur. Divisibilité...............

§3. — Polynômes à plusieurs variables......................................

§4. — Condition pour que deux polynômes en x soient premiers entre eux, pour qu’ils aient un diviseur de degré égal ou supérieur à un nombre donné.............................................................

196

202

208

210

Exercices

216

CHAPITRE VI.

NOMBRES IMAGINAIRES.

§ 1. — Définitions: opérations sur les nombres imaginaires.. §2. — Représentation géométrique des nombres imaginaires §3. — Racines /ii4mes........................................

Exercices...........................................

221

238

25o

256

CHAPITRE Vil.

ÉTUDE DES POLYNOMES A COEFFICIENTS ET A VARIABLE IMAGINAIRES.

§ 1. — Définitions. Interprétation géométrique...............................

§2. — Étude d’un polynôme pour les valeurs de la variable voisines d’une valeur donnée........................................................

§3. — Extension de divers résultats..........................................

§4. — Théorème fondamental de l’Algèbre...................................

Exercices............................................................

25₉

264

270

274

288

CHAPITRE VIII.

ARRANGEMENTS, combinaisons, permutations, inversions. FORMULE DU BINOME.

Pages

Arrangements, combinaisons, permutations, inversions. Formule du binôme... 290

Exercices.

3o6

CHAPITRE IX.

ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ.

Équations du premier degré Exercices...........

? *3-

CO CO

CHAPITRE X.

déterminants; équations du premier degré.

§ 1. — Définition et propriétés fondamentales des déterminants §2. — Équations du premier degré

§3. — Multiplication des déterminants........................

§4. — Méthodes d’élimination d Euler, Sylvester et Bézout....

Exercices.............................................

1^    O M

CO CO CO

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES DU TOME PREMIER.

Paris — Imprimerie GAUTIIIER-VILLARS. Quai des Grands-Auguslins, 55.

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