o-    v

NC

4 A*r w

- \ *r i.

$"a ^*4»-^ %£$ f

,te    •

ly

» ^ à

* ■:;* i    ;>

« -

*    »    t

*    fF * tf ô «' *

Mfe -r-ł-

, -•*

i-5â

ŁT

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000293383

M

BIBLÏJOTEKA MATEMATYCZNO-FIZYCZNA

WYDAWANA POD BEDAKCYJA

M. A. BARANIECKIEGO

Z ZAPOMOGI KASY POMOCY DLA OSÓB, PRACUJĄCYCH NA POLU NAUKOWYM, IMIENIA JOZEFA MIANOWSKIEGO.

TOM II.

SERYJA IV.

ROZWIĄZYWANIE

RÓWNAŃ LICZEBNYCH.

NAPISAŁ

KAT. MATEMATYKI Wydz. Bud. Lqd.

BIBLIOTEKA Zakł. Mat. Ogólnej

•J (ycro

De. julijan śochocki,

PROFESOR UNIWERSYTETU W PETERSBURGU-

Z 2.

KATEDRA I ZAKŁAD MATEMATYKI WYDZIAŁU INŻYNIERII W KRAKOWIE

WARSZAWA.

W D R U K A UNI NOSKO W S K I 1*: G O.

BIBLIOTEKA

■SŁl. )Ê8*m

U*

J*—

IàWv.

< I • il

,II,03B0JieH0 IJ,eH3ypOK). BapmaBa

m 1884 r.

Ä M

• ••    A U.'>-S,ÏVVV

>. A >i

/ T -A

"T

Składał zecer F. Lewandowski. Drzeworyty ciął W. Bojarski. Papiér z papiérni w Pilicy.

SPIS RZECZY.

Str.

Przedmowa autora. Errata .....

XI

XII

ROZDZIAŁ I.

§ I. O PEWNYCH WŁASNOŚCIACH FUNKCYJ CAŁKOWITYCH......

I. Pojęcie o równaniu i jego pierwiastkach. — 2. Warunek podzielności funkcyi f(x) przez x — a. — 3. Wzór Lagrange’a. — 4. O pewnej własności funkcyi, nie posiadającej wyrazu stałego. Przykłady. — 5. Własności mod f(x) przy dostatecznie małym i dostatecznie wielkim mod x. Przykłady.

§ II. o równaniach ze spółczynnikami zespolonymi.......

6. Rozwiązanie równania ze spółczynnikami zespolonymi może być sprowadzone do rozwiązania równania ze spółczynnikami rzeczywistymi. — 7. O pierwiastkach rzeczywistych równania ze spółczynnikami zespolonymi. Przykład.

§ III. KRAŃCE DLA PIERWIASTKÓW RZECZYWISTYCH.........

8. Kraniec wyższy dla pierwiastków dodatnych. Przykłady. — 9. Inny sposób znalezienia krańca ^wyższego dla pierwiastków dodatnych. Przykłady.— 10. Oznaczenie krańca niższego dla pierwiastków dodatnych. Przykład. — 11. Oznaczenie krańców dla pierwiastków ujemnych. Przykłady.

11

ROZDZIAŁ II.

§ I. WZÓR TAYLOR’A.......................

12. Wywód wzoru Taylor’a. Przykład. — 13. Sposób Newton’a oznaczenia krańca wyższego dla pierwiastków dodatnych. Przykład.

§11. OBLICZANIE WARTOŚCI FUNKCYI CAŁKOWITEJ I JÉJ POCHODNYCH . .    19

14. O obliczaniu wartości funkcyi f(x) przy x — a. Przykład. — 15. Algorytm Horner’a. Przykład.

§ III. PIERWIASTKI WIELOKROTNE................

16. O stopniu wielokrotności pierwiastka. Przykłady.— 17. Twierdzenie d’Alem-bert’a.

§ 1Y. PRAWO CIĄGŁOŚCI.........•...........

18. Dowód ciągłości funkcyj całkowitych.— 19. Ciągłość funkcyj ułamkowych.

§ V. PRZYPADEK, KIEDY ZMIENNE x I f(x) SĄ RZECZYWISTE......

20. Wyniki prawa ciągłości. — 21. Przypadek, kiedy funkcyj a f(x) zmienia znak.—

17

21

23

26

Krótki zarys historyczny rozwoju nauki o równaniach algiebraicznych, który zostanie pomieszczony w tomie następnym «Bibi,», obejmie równania liczebne. Tu zaś, w odsyłaczach do odpowiednich miejsc «Spisu», podane są (przez Redakcyją) tylko wskazówki, gdzie można znalćść prace spółezesnyeh matematyków, uwzględnione w tym tomie.

Red.

22. Cecha wzrastania i zmniejszania się wartości funkcyi całkowitej. — 23. Przypa-dek, kiedy funkcyja f(x) wciąż wzrasta lub wciąż maleje od x — a do x — L. — 24. Przypadek, kiedy wiadome są wszystkie pierwiastki rzeczywiste równania pochodnego.— 25. O ilości pierwiastków rzeczywistych równania æ2w -f-px -j- q — 0. — 26. O ilości pierwiastków .rzeczywistych równania cc²«pl Ą-px -J- q — 0. — 27 i 28. Przykłady.

Str.

31

40

40

§ VI. PRZYPADEK, KIEDY ZMIENNE x 1 f(x) SĄ ZESPOLONE.......

29. Ciągłość modułu i ciągłość odchylenia.—30. O odchyleniu krzywej dowolnej.— 31. Przykład.— 32. Twierdzenie pomocnicze l-s/.e o możliwości zmniejszenia wartości mod /(&)■ — 33. Twierdzenie pomocnicze 2-gie, odnoszące się do przypadku, kiedy odchylenie krzywej zamkniętej jest równe zeru, — 34. Twierdzenie pomocnicze 3-cie, odnoszące się do przypadku, kiedy odchylenie krzywej zamkniętej jest równe liczbie 2it, pomnożonej przez stopień funkcyi.

§VII. PIERWSZY DOWÓD ISTNIENIA PIERWIASTKA..........

35.    Dowód istnienia pierwiastka, oparty na twierdzeniu pomocniczym art. 32-go.

§ VIII. DRUGI DOWÓD ISTNIENIA PIERWIASTKA..........

36.    Dowód istnienia pierwiastka, oparty na twierdzeniach pomocniczych art. 33-go i 34-go.

ROZDZIAŁ III.

43

§ f. ROZKŁAD FUNKCYI CAŁKOWITEJ NA CZYNNIKI LINIJOWE. O DZIELNIKACH FUNKCYJ CAŁKOWITYCH...............

37. O możliwości rozłożenia funkcyi całkowitej na czynniki linijowe. — 38. Przypadek, kiedy istnieją pierwiastki wielokrotne. — 39. Wyrażenie spółczyuników równania zapomocą jego pierwiastków. — 40. Przypadek, kiedy istnieją pierwiastki zespolone.— 41. O dzielnikach funkcyi całkowitej. — 42. Największy spoiny dzielnik funkcyi całkowitej i jej pochodnej.

48

§11. O PIERWIASTKACH WIELOKROTNYCH.............

, 43. Do czego się sprowadza rozwiązanie równania z pierwiastkami wielokrotnymi? —

44.    Przykład.

§111. ROZKŁAD FUNKCYI UŁAMKOWEJ NA UŁAMKI NAJPROSTSZE .... 51

45.    Dowód zasadniczego twierdzenia pomocniczego. — 46. Przykład. — 47. Uogól-

F

menie twierdzenia pomocniczego art. 45-go. Przykład. — 48. Rozkład funkcyi —■.

Przykład. — 49. Rozkład jakiejkolwiek funkcyi ułamkowej na ułamki najprostsze.—

50. Różne sposoby wyznaczania spółczynników w rozkładzie. Przykład. — 51. Przypadek, kiedy chcemy uniknąć liczb urojonych. Przykład

ROZDZIAŁ IV.

62

§ 1. O ILOŚCI PIERWIASTKÓW RZECZYWISTYCH RÓWNANIA, ZAWARTYCH MIEDZY DANYMI KRAŃCAMI................

52.    Dowodzenie twierdzenia zasadniczego

§ II. O RÓWNANIACH Z PIERWIASTKAMI RZECZYWISTYMI I PRZEGRADZAJĄCYMI SIĘ...........•..........

53.    Pojęcie o pierwiastkach przegradzających się dwu równań. — 54 — 56. Trzy twierdzenia pomocnicze.-^-57. Twierdzenie o warunkac ocznych i dostatecznych na to, aby pierwiastki dwu równań były rzeczywiste, pojedyńcze i przegradzające się. — 58. O pewnej własności liczników i mianowników ułamków zbliżonych funkcyi, rozwiniętej na ułamek ciągły —59. Własności liczników i mianowników ułam-

ko',w zbliżonych rozwinięcia. J/xl— 1 na ułamek ciągły. — 60. O funkcyjach Le-gendre’a. — 61. O funkcyjach Hermite’a !), czyli t. z. funkcyjach podobnych do fun-kcyj Legendre’a ²). — 62. O pewnym układzie równań z pierwiastkami przegradzającymi się, zauważonym przez Hermite’a i Biehler’a ³).

Słr.

74

§ UL- TWIERDZENIE KOLLE’A. . . •...............

63. Dowód zasadniczego twierdzenia pomocniczego. — 64. Dowód twierdzenia Eol-le’a.

75

§ IV. WZÓR LAGRANGE’A....................

65. Wyprowadzenie pewnego wzoru, jako wyniku z twierdzenia Rolle’a. — 66. Wyprowadzenie wzoru Lagrange’a.

78

§ V. TWIERDZENIE EOURIER’GO.................

67. Pewne zastosowania twierdzenia Rolle’a. — 68. Przypadek, kiedy druga pochodna nie zmienia swego znaku od x = a do x = b — 69. Szczególnie ważny przypadek. — 70. Dowód twierdzenia Eourier’go — 71 — 74. Przykłady.

§ VI. O RÓWNANIACH, NIE MAJĄCYCH PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH .    .    84

75. Dowód twierdzenia zasadniczego. — 76. O funkcyi Legendre’a. — 77. Warunki konieczne i wystarczające na to, aby wszystkie pierwiastki równania danego były po-jedyńcze i rzeczywiste. Przykład.

KOZDZIAŁ V.

§ F. O ILOŚCI ZMIAN ZNAKU W RÓWNANIU.............

78. Oznaczenie ilości zmian znaku w równaniu. — 79 — 81. Trzy twierdzenia pomocnicze.

§ II. TWIERDZENIE DESCAETES’A.................

82. Dowód twierdzenia Descartes’a. — 83. Uwaga, odnosząca się do stosowania twierdzenia Descartes’a. Przykłady. — 84. Kraniec wyższy dla ilości wszystkich pierwiastków rzeczywistych równania danego. Przykłady.

§ III. KRANIEC NIŻSZY DLA ILOŚCI PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH. ZASTOSOWANIA .......................

85. Wyprowadzenie nierówności zasadniczej. — 86. O pewnej własności ilorazu, otrzymanego z podzielenia    przez f(x).— 87. O pewnej własności mianowników

ułamków zbliżonych, otrzymywanych z rozłożenia J—^ na ułamek ciągły. Przykład.

§ IV. PRZYPADEK, KIEDY WSZYSTKIE PIERWIASTKI RÓWNANIA SĄ RZECZYWISTE .........................

88. Twierdzenie Descartes’a w tym przypadku, kiedy równanie nie ma pierwiastków zespolonych. Przykład. — 89. Inne zastosowanie twierdzenia Descartes’a w przypadku, kiedy równanie nie ma pierwiastków zespolonych. Przykład.

§ V. TWIERDZENIA LAGUERRE’A «).......,........

90. Dowód twierdzenia Laguerre’a o krańcu wyższym dla ilości pierwiastków, większych od danej liczby dodatnćj a. — 91. Twierdzenie pomocnicze. — 92. Dowód twierdzenia Laguerre’a o krańcu wyższym dla ilości pierwiastków, zawartych między dwiema liczbami dodatnymi a i b. — 93 i 94. Przykłady.

87

91

94

96

98

') Hermite w Comptes rendus akademii nauk w Paryżu (t. LVIII, r. 1864).

²) Czebyszew w «Zapiskach» akademii nauk w Petersburgu (t. XVI, 1870).

•) Hermite w Bulletin de la société mathématique (t. VII, r. 1879); Biehler w Journal /. d. reine u. ang. Math (t. LXXXVII, r. 1879).

•*) Laguerre w Nouvelles annales de mathématiques (seryja 2-ga, t. XVIII i XIX, 1.1879 i 1880).

Sir.

ROZDZIAŁ VI.

§ I. TWIERDZENIE BUDAN’A...................

95 i 96. Dwa twierdzenia pomocnicze. — 97. Dowód twierdzenia Budan’a. — 98. Uwaga o twierdzeniu Budan’a.

§ II. PRAWIDŁO ZNAKU PODWÓJNEGO...............

99. Na czym polega i jak się uzasadnia prawidło znaku podwójnego? — 100 — 103. Przykłady.

§ III. KRANIEC NIŻSZY DLA ILOŚCI PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH. PRZYPADEK, KIEDY RÓWNANIE NIE MA PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH . 104. Ilość pierwiastków zespolonych nie jest mniejsza od liczby 27t,— 105. Twierdzenie Budan’a dla przypadku, kiedy wszystkie pierwiastki równania są rzeczywiste.

§ IV. TWIERDZENIE DESCARTES’A JAKO WNIOSEK Z TWIERDZENIA BUDAN’A ..........................

106.    Inny dowód twierdzenia Deseartes’a.

§ V. SPOSÓB FOURIER’GO ODDZIELANIA PIERWIASTKÓW.......

107.    Określenie wskaźników funkcyj; własności wskaźników.— 108. Przypadek, kiedy grupa funkcyj Eourier’go składa się tylko z trzech funkcyj. — 109. Przypadek, kiedy grupa funkcyj Eourier’go składa się z ilukolwiek funkcyj. — 110 i 111. Przykłady.

§ VI. NIEKTÓRE UWAGI NAD TWIERDZENIEM BUDAN’A. ODDZIELANIE

PIERWIASTKÓW RÓWNANIA NIEZUPEŁNEGO..........

112. Warunki konieczne i wystarczające na to, aby twierdzenie Budan’a miało miejsce.— 113. Grupa funkcyj Eourier’go dla równania niezupełnego. — 114. Wyprowadzenie pewnego twierdzenia pomocniczego przy pomocy twierdzenia Rolle’a. — 115. Wyprowadzenie pewnego twierdzenia, zastępującego twierdzenie Eourier’go w przypadku równania niezupełnego. — 116 — 119. Przykłady.

§ VII. TWIERDZENIE SYLVESTER’A •)...............

120 Określenie funkcyj Sylvester’a. — 121 — 123. Trzy twierdzenia pomocnicze. — 124. Dowód twierdzenia Sylvestcr’a. — 125. Kraniec niższy dla ilości pierwiastków zespolonych. — 126. Przypadek, kiedy jedna lub więcej funkcyj Sylvestcr’a staje się równymi zeru. — 127 — 129. Przykłady.

§ VIII. TWIERDZENIE NEWTON’A.................

130. Wartości funkcyj Sylvestcr’a przy x=0, kiedy parametr, n' jest równy stopniowi n równania f(x) = 0. — 131. Dowód twierdzenia Newton’a. — 132 — 134. Przykłady.

106

113

. 116

. 118

119

128

138

150

ROZDZIAŁ VII.

§1. POJĘCIE O NADMIARZE FUNKCYI WYMIERNEJ..........

135.    Określenie dwu nadmiarów jakiejkolwiek fuukcyi ułamkowej między jakimikolwiek krańcami.

§ U. WŁASNOŚCI NADMIARÓW..................

136.    Zestawienie charakterystycznych własności nadmiarów. — 137. Sposób obliczania nadmiarów.

§ UJ. OBLICZANIE NADMIARÓW.................

138. Ogólne prawidło dla otrzymania wartości pićrwśzego nadmiaru jakiejkolwiek funkcyi. — 139. Uwaga co do tego prawidła. — 140. Przypadek, kiedy niektóre

154

157

158

z funkcyj, utworzonych dla obliczenia nadmiaru, stają się równymi zeru przy wartościach krańcowych zmiennej niezależnej.

§ IV. NAJWIĘKSZA WARTOŚĆ NADMIARU.............

141. W jakim przypadku nadmiar funkcyi ułamkowej osiąga największą bezwzględnie wartość? — 142. O funkcyjach Lcgendre’a i, wogóle, o funkcyjach z pierwiastkami przegradzającymi się.

§ V. TWIERDZENIE STURM’A.....-..............

143. Dowód twierdzenia Sturm’a. — 144. Warunki konieczne i wystarczające na to, aby wszystkie pierwiastki równania były rzeczywiste i różne.— 145. Twierdzenie Sturm’a dla przypadku pierwiastków wielokrotnych. — 146. Przykłady.

Str.

163

164

ROZDZIAŁ VIII.

§ I. TWIERDZENIE CAUCHY’EGO.................

147. Dwa twierdzenia pomocnicze. — 148. Dowód twierdzenia Cauchy’ego.— 149. Wniosek z twierdzenia Cauchy’ego. — 150. Szczególne założenie co do konturu.

§ 11. ODDZIELANIE PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH..........

151. Ogólny sposób oddzielania pierwiastków zespolonych. — 152. Przykład.

§ 111. TWIERDZENIE HERMITE’A >).................

153. Dowód twierdzenia Hermite’a.— 154. Zastosowanie odwrotne twierdzenia Hermite’a, — 155. Przykład.

167

172

178

ROZDZIAŁ IX.

§ I. O RUGOWNIKU.......................

156. Określenie rugownika i ważniejsze jego własności. — 157. Prawidło na obliczenie rugownika. — 158. Przykład.

§ II. NAJPROSTSZA POSTAĆ FUNKCYI WYMIERNEJ PIERWIASTKÓW RÓWNANIA DANEGO .....................

159. Dowód twierdzenia zasadniczego. — 160. Przykład.

§ III. PRZEKSZTAŁCENIE RÓWNANIA...............

161. Rozwiązanie zadania ogólnego o przekształceniu równania danego. —162. Inny sposób obliczania rugownika. Przykład. — 163. Pierwiastki równania danego wyrażają się wymiernie przez pierwiastki równania przekształconego.

§ IV. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ STOPNIA 3-GO I 4-GO........

164. Rozwiązywanie równań stopnia 3-go. — 165. Rozwiązywanie równań stopnia 4-go.

§ V. WARUNKI, ABY DWA RÓWNANIA MIAŁY KILKA PIERWIASTKÓW SPÓLNYCH........................

166.    Dowód twierdzenia Lagrange’a.

§ VI. NOWY SPOSÓB SPROWADZENIA FUNKCYI UŁAMKOWEJ PIERWIASTKA DO POSTACI CAŁKOWITEJ................

167.    Sposób sprowadzenia funkcyi ułamkowej pierwiastka do postaci najprostszej, oparty na ogólnej teoryi przekształcenia. Przykład.

§ VII. O WYRÓŻNIKU......................

168.    Określenie wyróżnika. — 169. Wyróżnik równania stopnia 4-go.— 170. Wyróżnik równania trójmiennego.

182

185

186

191

192

194

§ VIII. SPOSÓB LAG RANGE’Ą ODDZIELANIA PIERWIASTKÓW. .

171. Wyłożenie sposobu Lagrange’a oddzielania pierwiastków. — 172. Sposób Cau-cby’ego wyznaczenia krańca niższego dla modułu różnic pierwiastków równania danego. Przykład.

ROZDZIAŁ X.

§ I. WYZNACZENIE KRAŃCÓW DLA WARTOŚCI EUNKCYI CAŁKOWITEJ

MIĘDZY x = a l x = b....................

173. Ogólne rozwiązanie zadania o wyznaczeniu krańców niższego i wyższego dla danej funkcyi całkowitej w przedziale danym. — 174. Inny sposób rozwiązania zadania poprzedzającego. — 175. Przykład.

§ II. SPOSÓB NEWTON’A OBLICZANIA PIERWIASTKÓW........

176. Wyłożenie sposobu Newton’a. — 177. Własności przybliżeń kolejnych, obliczanych według sposobu Newton’a.

§ III. KRAŃCE WYŻSZE DLA BŁĘDÓW...............

178. Wyprowadzenie wzoru na kraniec wyższy dla m-go błędu. — 179. Uwaga co do wzoru poprzedzającego. Przykład. — 180. Sposób Newton’a można stosować także do obliczania pierwiastków zespolonych ¹).

§ IV. WYZNACZANIE PIERWIASTKÓW WYMIERNYCH, GDY SPÓŁCZYNNIKI SĄ LICZBAMI CAŁKOWITYMI.................

181.    Prawidło ogólne na odnajdywanie pierwiastków całkowitych. Przykład.—

182.    Przekształcenie równania takie, iżby pierwszy spółczynnik był równy jedności. — 183. Równanie ze spółczynnikami całkowitymi, w którym spółczynnik najwyższej potęgi niewiadomej jest jednością, nie może mieć pierwiastków wymiernych ułamkowych. — 184. Sposób ogólny odnajdywania pierwiastków wymiernych ułamkowych. Przykład.

Sir.

200

202

205

209

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ LICZEBNYCH.

rozdział i.

RÓWNANIA I ICH PIERWIASTKI. — UWAGI O WARTOŚCIACH SZCZEGÓLNYCH FUN-KCYJ CAŁKOWITYCH. — RÓWNANIA ZE SPOŁCZYNNIKAMI ZESPOLONYMI. — KRAŃCE DLA PIERWIASTKÓW RZECZYWISTYCH.

§ I. O PEWNYCH WŁASNOŚCIACH FUNKCYJ CAŁKOWITYCH.

1. Wielomian

Axn -|- A^n_1 -f- A₂xn~² + ... + A.n-iX -f A

w którym A, A1? A₂, . . . ^ spółczynnikami stałymi, x liczbą zmienną, n zaś liczbą dodatną całkowitą, nazywa się funkcyją całkowitą stopnia w-go zmiennej x. Przyjmujemy, że spółczynnik A jest różny od zera, gdyż inaczej fun-kcyja nie byłaby n-go, lecz niższego stopnia.

Przedstawiwszy jakąkolwiek funkcyją całkowitą stopnia w-go przez f(x), nazwiemy równanie f(x) — 0 równaniem stopnia n-go, każdą zaś wartość na x, czyniącą zadość temu równaniu, pierwiastkiem równania f(x)=z0, albo pierwiastkiem funkcyi f(x).

2. Dzieląc funkcyją całkowitą

f(x) — Axn+ A^»-¹ + ... + A»

przez dwumian x — a, gdzie a jest liczbą dowolną, otrzymujemy, jako iloraz, funkcyją całkowitą

y(x) = Axn~¹ + Aa £c*-² + A«² xn~³ -f ... + Aan~

+A₁a'ł-2

+ ...

+ A„_i

-f- À,®

+ A₂

Stąd wynika, że funkcyja f(x) tylko wtedy jest podzielna przez x — a, kiedy f(a) — 0, t. j. kiedy a jest pierwiastkiem równania f(x) = 0. A zatym np. funkcyja xn—an jest podzielna przez æ—a, funkcyja xn -j- 2xn~¹ — 2re+‘ przez x — 2, i t. d.

3. Przyjmijmy, że funkcyja całkowita stopnia n-go, f(x) — Axn + Axxn~x -j- . . . + A„,

staje się równą zeru przy pewnych n różnych od siebie wartościach x = a₀,

(ly , • » • , Cln — 1 •

Dzieląc funkcyją f(x) przez x — a₀, otrzymujemy

f(x) = (x—a₀)y(x),

gdzie y(x) przedstawia funkcyją całkowitą stopnia (n—l)-go ze spółczynni-kiem A przy xn~l. Przyjmując tu kolejno x=al, a₂ , . . . , an-i i zważając, ze f(al)=f(a₂)= • • • —f(an-1) = 0, otrzymujemy

y(aj = y(a₂) — . . . — cp(a„_i) = 0.

Pierwsze z tych równań, t. j. y(aj=z 0, wskazuje, że funkcyja y(x) jest podzielna przez X'—a,; możemy zatym napisać

<p(x) = (x — al)<p t(x),

gdzie r-pt(x) przedstawia funkcyją całkowitą stopnia (n— 2)-go ze spółczynni-kiem A przy xn~‘², czyniącą zadość warunkom

(fl(a₂) = ^t(a₃)=z . . .

Podobnie równanie yx(a₂) — 0 wskazuje, że funkcyja yx(x) jest podzielna przez x — a₂, tak iż możemy napisać

<Pi (v) = (x—a₂)y₂(x),

gdzie y₂(x) przedstawia funkcyją całkowitą stopnia (n—3)-go z tymże spół-czynnikiem A przy xn~³. W tenże sposób prowadząc dalej rozumowanie, dojdziemy do związków:

f(x) = (x — a₀) cp (x), tf(x) = (x — al) <pt(x), <Pi (x) = (x—a₂) yi(x),

_ ₂(x) =z(x—an _ i) A

z których wynika

(1)

f(x) — A(x—a₀) (x—aj... (x — an-\)>

Przypuśćmy, że funkcyja f(x) otrzymuje wartość zero przy innej jeszcze wartości zmiennej x, różnej od wartości a₀, a,, a₂, . . . , a»_i. Nazwawszy owę szczególną wartość przez an, otrzymamy, według (1),

A(an—aj (an — aj . . . (an — an-i) = 0.

Lecz, zgodnie z naszym przypuszczeniem, żaden z czynników an—a₀, an—aly.. nie jest równy zeru; przeto

A — 0.

A zatym, jeżeli funkcyja stopnia n-go f(x) jest równą zeru przy n-\- i różnych wartościach zmiennej x, to w tej funkcyi spółczynnik przy x¹¹ jest równy zeru, t. j. stopień funkcyj jest w rzeczywistości niższy, niż w-ty. Ale wtedy także Aj^O, gdyż inaczej mielibyśmy funkcyją stopnia (n — l)-go, która byłaby równą zeru przy pewnych n różnych wartościach zmiennej x. Z tegoż powodu i A₂ = 0. Słowem: wszystkie spółczynniki A, At, . . . , aż do ostatniego A„ włącznie, są równe zeru. A więc

Twierdzenie. Jeżeli funlicyja całkowita f(x), stopnia conajwyżćj n-go, staje się równą zeru przy n-\-1 różnych od siebie ivartosciach zmiennej x, to wszystkie spółczynniki tej funkcyi przy rozmaitych potęgach zmiennej x są równe zeru, t. j. funkcyja f(x) jest tożsamościowo równą zeru.

Wniosek. Dwie funkcyje całkowite, z których każda jest stopnia conajwyżćj n-go, otrzymujące wartości równe przy n j-1 różnych ivartosciach zmiennej niezależnej, są tożsamościowo sobie równe, t. j. w tych funkcyj ach spółczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej niezależnej są sobie równe. Różnica bowiem dwu takich funkcyj jest funkcyją całkowitą, stopnia conajwyżej n-go, która, otrzymując wartość zero przy n + 1 różnych wartościach zmiennej niezależnej, jest zerem dla wszelkiej wartości zmiennej niezależnej.

Wniosek 2. Jeżeli x₀, xx, x₂,'. . . , xn są n + 1 dowolnie wziętymi i różnymi od siebie liczbami i jeżeli utworzymy funkcyją stopnia (n + 1 )-go,

^(x) — (x — Xq) (x — xx) (x—x₂) . . . (x — Xn), a, przez yfx) oznaczymy funkcyją stopnia n-go,

— ~—~ — (x — xo) • • • (x’—Xi-i) (x — xi+1) . . . (x—xn).

natenczas każda funkcyja całkowita f(x), stopnia conajwyżćj n-go, może być tak przedstawioną:

f(x) — ;

%(x)

<PoW

fM +

Vx(x)

V»(X)

^n(Wn)

f(xn)

(wzór Lagrange’a). Dwie bowiem strony powyższego równania przedstawiają funkcyje całkowite, stopnia conajwyżćj n-go, wartości zaś tych funkcyj przy x~x₀, xt, . . . , x„ są sobie równe.

4. Twierdzenie. Jeżeli mamy funkcyją całkowitą

f(x) — Kxn-\-Kxxn~l-\- . . . +A„_iX

iv której wyraz stały A„ = 0, jeżeli a oznacza jakąkolwiek liczbę dodatną, nie mniejszą od modułu każdego ze spółczynników A, A,, A₂, . . . , Aw_1? i jeżeli k oznacza jakąkolwiek liczbę dodatną, natenczas przy każdej oddzielnej wartości x takiej, iż

istnieje nierówność

mod f(x)Ck.

Oznaczając, dla krótkości, moda: literą r, i biorąc pod uwagę, że moduł sumy nie jest większy od sumy modułów, mamy

mod f(x) rn mod A + rn -1 mod A, + . . . + r mod An

Gdy po prawej stronie tej nierówności, zamiast mod A, mod A,, . . . , podstawimy liczbę a, to

mod f(x) < arn -f- cirn ~¹ -f- . . . + ar,

czyli

arn~l

mod f(x) :<

Ponieważ, wskutek naszego założenia co do modułu zmiennej x, jest r<Z 1 więc, według ostatniej nierówności,

mod f(x)c^—

wynika

k

Z nierówności zaś r <--

a + k

ar

zatyin

mod f(x) <Zh.

Wniosek. Każda funkcyja całkowita me spółczynnikami rzeczywistym i f(x) — Axn -i- A^"-¹ + . . . -f Amxn~m

(m n),

iv której A i Am są różne od zera, jest, przy wartościach rzeczywistych zmiennej x, bezwzględnie dostatecznie wielkich, tegoż znaku, co wyraz pierwszy Axn, a przy wartościach rzeczywistych, bezwzgędnie dostatecznie małych, tegoż znaku, co wyraz ostatni Amxn~m. Nadając bowiem funkcji f(x) taką postać:

■    , Am 1

⁺ --- ⁺ x^

f(x) = Axn ^1 +

na mocy ostatniego twierdzenia widzimy bezpośrednio, źe wrazie, gdy

wartość bezwzględna — ^    ™,

x a “T J.

gdzie a jest jakąkolwiek liczbą dodatną, nie niniejszą jednak od wartości bez-

Am

wartość wielomianu

A A

W’fcglgdnéj każdego ze spółczynników — ,    , . .

A A

w nawiasie jest dodatna, i funkcyja f(x) jest tegoż znaku, co wyraz pierwszy Axn. Warunek, jakiemu x zadość czynić powinno, może być wyrażony w postaci:

wartość bez w. x >: a + 1.

Mamy więc stwierdzoną pierwszą część wniosku. — Nadając zaś funkcyi f(x) postać :

=    -f r *•»

\-£*-7n

Am

x + 1^ A

również na mocy ostatniego twierdzenia wnosimy, że jeżeli

wart. bezw. x <    ,

6 + 1

A,„

uv*'

gdzie 6 oznacza jakąkolwiek liczbę dodatną, nie mniejszą jednak od wartości

.AA

bezwzględnej każdego ze spółczynników -r~, —A

Am~ i

Am

to wartość wie-

lomianu w nawiasie jest dodatna, a funkcyja /(Ir) takiegoż znaku, co czynnik Amxn~m— co okazuje prawdziwość drugiej części wniosku.

Przykład 1. Dla funkcyi

f(x) = a:⁵ — (2 + 3 i)x³ — 2x² + 5 ix można przyjąć ci — 5; wskutek tego mamy

mod/(b?;<l;

dla mod x < -~-o

dla mod x < A

11

MM

dla mod # <

5m + l

mod f(x) < -

mo

Przykład 2. Dla funkcyi

f(x) -2x'— 3x⁵ + 9x² — 4x

możemy wziąć a — 9; wtedy

wart. bezw.    <; 1,

wart. bezw. /(±++<    •

Przykład 3. Funkcyja

3x°—7x* + 16&³— 5x

dla wartości zmiennej x, czyniących zadość nierówności x >r 6 -i-, otrzymuje wartości dodatne; dla wartości dodatnych zmiennej x, czyniących zadość nierówności x <    , otrzymuje wartości ujemne, a dla wartości ujemnych zmień-

r

nćj x, które czynią zadość nierówności x — rr, otrzymuje wartości dodatne.

Al

Przykład 4. Funkcyja

7x⁵ — 7x* 4~ 6a;³ — 5x — 2

dla x >: 2 otrzymuje wartości dodatne, dla x < — 2 otrzymuje wartości ujemne, dla wartości zaś zmiennej x, zawartych między — a -j- otrzymuje wartości ujemne.

5. Twierdzenie. Jeżeli, mając funkcyją całkowitą stopnia n-ego,

f(x) — Axn + A^"-¹ + . . . + A„_i.u 4- A„,

w której wyraz stały A„ jest różny od zera, przyjmiemy, że a jest jakąkolwiek liczbą dodatną, nie mniejszą od modułu każdego ze spółczynników A, A,, A₂,..., A„_i, że b jest jakąkolwiek liczbą dodatną, nic mniejszą od modułu każdego ze spółczynników A,, A₂, . . . , A„, a k jest jakąkolwiek liczbą dodatną, to dla każdej wartości zmiennej x, której moduł czyni zadość nierówności

k

mod x < y——,

k-\- a

będziemy mieli

mod f(x)^> mod An—k,

dla każdej zaś wartości x, której moduł czyni zadość nierówności

mod x^l

będziemy mieli

mod f(x)

mod x

y-    mod A — k.

Rozważając funkcyją f(x) jako summę dwu wyrazów

f(x) — An + (Aa?” 4- Axxn~l + • • • + An-\x),

mamy

mod f(x) >:mod An—mod (Aa:“ -f Atxn- ¹ + . . .    A„_ia:).

k

Jeżeli przyjmiemy, że mod x :< y——

k + a

będziemy mieli

, to, na zasadzie twierdzenia art. 4-go,

mod (Aa?”-f Axxn~l 4- . . . + A»_\x)<k,

a zatym

mod f(x) ;> mod A„ — k.

f(x) tak ;

Ażeby udowodnić drugą część naszego twierdzenia, napiszmy wielomian

f(x) = xn ^A + Aj

4-

> mod A — mod^At 1 ifc    &

Z tego wnosimy, że

mod f(x) mod xn

..+A„1\ XnJ

Przyjmując zaś mod — <    czyli m°d ^^1+t, według twierdzenia art.

CC    O “ rC    rC

4-go, mamy

mod ( A, — 4- . \ a?

••+ A"h)<k'

A zatym

mod f(x) mod x

Wniosek 1. Jeżeli x jest pierwiastkiem równania stopnia n-go f(x) = Axn + Alxn-l+ . . . + A„_iic-f A„ = 0, w którym wyraz stały An jest różny od zera, to

<! mod x <C 1 4*

mod A*

Gdy bowiem w poprzedzającym twierdzeniu przyjmiemy fczimod A„, to dla ' wartości zmiennej x, czyniących zadość nierówności

mod A„ a -j- modA„

mod A» a -f mod A„ ’

istnieje nierówność

mod f(x) > 0;

wtedy więc liczba x nie może być pierwiastkiem równania f(x) — 0, Przy-jąwszy zaś k — mod A, dostrzeżemy, że, przy

mod x^l-i--\ . ,

mod A

ma miejsce nierówność

mod f(x)^> 0,

wskutek której w tym przypadku liczba x także nie może być pierwiastkiem równania f(x) — 0.

Wniosek 2. Jeżeli wrazie, gdy H jest jakąkolwiek liczbą dodatną, a dowolna liczba dodatna k jest mniejsza od mod A, mod x jednocześnie zadość czyni dwu nierównościom :

to

!    , b

mod x ^ 1 -|—y,

rC

mod x >r

mod A — k

mod f(x)> H.

Wtedy bowiem z drugiej z wypisanych nierówności wypada

mod xn (mod A — li) H,

wskutek zaś pierwszej nierówności mieliśmy poprzednio

mod f(x)

mod xn

;>mod A — li.

Z tego wynika, że, z powiększaniem się wartości zmiennej x do oc, wartości funkcyi f(x) również powiększają się do oo.

Pezykead 1. f(x) — 7x⁵ —    + 8xy — 5x +16.

Jeżeli mod x < Q y- -

o “J⁻ A/

16

to mod f(x)7> 16 ■—k] jeżeli mod x + 1 + -j-, to mod /(+)    (7 — li) mod xn. Oznaczając przez x pierwiastek równania

7x⁵— 3x* + 8x³— 5x +16 = 0,

mamy

16

24

-i /»

<C mod x <C 1 +    ?

a więc tymwięcćj

-|<mod x<3j.

Pezykead 2. Jeżeli przez x oznaczymy pierwiastek równania 3x⁷—5x⁵ + 16æ⁴ — 5x 4- 18 = 0,

to

-i- <C mod x << 7.

W

Następnie, kładąc

f(x) — 3x⁷ — 5x⁵ + 16x* — 5x + 18,

dla wszelkich wartości zmiennej x, jednocześnie czyniących zadość dwu warunkom:

7

mod x + 10, mod x + [/ H,

będziemy mieli nierówność

mod f(x) + H.

§ II. RÓWNANIA ZE SPÓŁCZYNNIKAMI ZESPOLONYA1I.

6. Rozwiązanie równania ze spółczynnikami zespolonymi może być sprowadzone do rozwiązania równania ze spółczynnikami rzeczywistymi, i dlatego, ilekroć to się okaże pożytecznym, możemy ograniczyć się do przypuszczenia, że spółczynniki równania są rzeczywiste.

Istotnie, przyjmijmy, że spółczynniki równania

(1)

Axn 4 Axxn~l 4 • , • 4 An_i& 4 An==Q

są liczbami zespolonymi, a mianowicie:

■Ajji '—(Im ~b bml j (:Ml-0, !,••>, Ml,

gdzie am i bm oznaczają liczby rzeczywiste, oznaczmy przez y(x) i Ą(x) dwie funkcyje

tp(x) = a₀xn -|- axx,l~x + • • • 4* an—\x 4 a„ §(x) — b₀xn + btxn-¹ -f . . . 4- bn-ix 4- bn

i napiszmy dane równanie tak ;

y(x) -f i<l>(x)== 0,

Stąd a po podniesieniu obli stron do kwadratu,

cp(a;J² —-—ty(x)²}

albo

(2)

y(x)² + ty(x)²=z 0.

Stopień ostatniego równania jest dwa razy wyższy, niż stopień danego, ale za to wszystkie jego spółczynniki są rzeczywiste.

Jeżeli zaś znajdziemy jaki pierwiastek tego ostatniego równania, to on będzie pierwiastkiem równania (1). Gdy bowiem liczba x, zadość czyniąca równaniu (2), jest rzeczywista, to wtedy, oczywiście,

y(x) — 0 i Ą(x) = 0,

wskutek czego

cp(x) 4- ity(x) — 0.

Gdy zaś pierwiastek równania (2) jest postaci p-\- qi, to, przywodząc do zera iloczyn

l'ï(x) + ity(x)] [y(x) — i$(x)] = y(x)² -f <j>(x)²,

przywodzi zarazem do zera jeden z jego czynników, t. j. albo

<p(x) + i$(x) = 0,

albo

y(x) — i<p(x) = 0;

w pierwszym przypadku pierwiastkiem danego równania będzie liczba p + q i, zaś w drugim liczba p — q i, sprzężona z p 4 q i.

7. Wyznaczenie pierwiastków rzeczywistych równania ze spółczynnika-mi zespolonymi

albo, co wychodzi na jedno, pierwiastków równania

<p(x)² -f ty(x)² — 0,

sprowadza się do rozwiązania innego równania, stopnia niższego niż n-ty, ze spółczynnikami rzeczywistymi. To wynika z tego, że każdy z takich pierwiastków powinien jednocześnie zadość czynić dwu równaniom:

y(x) — 0 i ty(x) — 0.

Oznaczywszy przez D największy spoiny dzielnik funkcyj <p(x) i Ą(x), mamy trzy równania następujące :

y(x) X 4- ty(x) Y = D, (p(ir)=:DU, ty(x) — T)Y:

gdzie X, Y, U, Y oznaczają funkcyje całkowite, łatwo wyznaczyć się dające zapomocą zwyczajnego dzielenia. Pierwsze z tych równań wskazuje, że każda liczba æ, czyniąca zadość dwu równaniom : y(x) =■ 0 i ty(x) — 0, czyni także zadość równaniu D = 0; dwa zaś ostatnie z wypisanych równań wskazują, że, nawzajem, pierwiastek równania D = 0 czyni zadość jednocześnie obu równaniom y(x) — 0 i ty(x) = 0.

A więc, wszystkie pierwiastki rzeczyioiste rôivnania ze spółczynnikami zespolonymi

<p(x) + ity(x) = 0

czynią zadość równaniu

D = 0.

i nawzajem.

Jeżeli dwie funkcyje y(x) i <p(x) okażą się pierwszymi względem siebie, to D = 1 i równanie <p(x) 4- i<p(x)—0 nie ma pierwiastku rzeczywistego. Jeżeli zaś D jest funkcyją stopnia pierwszego lub wyższego zmiennej x, to równanie cp(a?) -|- i'\(x) — 0 możemy napisać tak :

D(U + »V) = 0,

i ■> Cl2, , . . tir

f(x) = A(x — ax) (x — a2) . . . (x — an),

, a2, . • . , an

54. Twierdzenie pomocnicze 1. Jeżeli dwa równania

1.2.. .(m—1)

(x 4 a) f(x) — A^“ + .,. -f- K,#* 4 Ma;m+1,

A, A, L, M;, . . , M*,

2li > 2&;

0,1

(VP)_i — 4, (VP)_2—4, (PP)—! — 2, (PP)—2 = 0,

(1)

(2) według bowiem tożsamości

(2R) 2

¹

jako resztę, liczbę stałą

f(a)~ A®« + A,«”-¹ + . . . + An.

Bibl. mat.-fiz., S. IV, T. II.

D(U + »V) = 0,

a rozwiązanie tego równania sprowadzi się do rozwiązania każdego z dwu równań:

D—0,

U + iV = 0,

z których drugie nie ma pierwiastka rzeczywistego.

Pezykład. Mamy równanie

a;⁵ -(- ix⁴ 4 2a:³ — (3 J- 5 ï)x² — 6— 14ï = (k

Oznaczywszy

(p(x) = x⁵-j-2x³ — 3x²—6,

ty(x) = xl — 5 a:² — 14, znajdziemy, jako największy spoiny dzielnik funkcyj y(x) i ty(x),

J) = x² + 2.

Równanie x² +2 = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych, zatym także równanie dane ich nie ma. Rozwiązanie zaś równania danego sprowadza się do rozwiązania równania

x² + 2 = 0

i równania

x² — 3 + i(x² — 7) = 0.

§ III. KRAŃCE DLA PIERWIASTKÓW RZECZYWISTYCH.

8. Ograniczając się do rozważania przypadku, kiedy wszystkie spółczyn-niki równania danego są rzeczywiste (art. 6), możemy wskazać kilka sposobów odnajdywania krańców, obejmujących pierwiastki rzeczywiste, dodatne lub ujemne, któreto krańce będą bliższe siebie, niż wynikające z twierdzenia art. 5-go (wniosek 1).

(1)

+ . . . — Amxn~m± . . . d=A„ = 0

Twierdzenie. Jeźeli w równaniu Axn + A iXn

spółczynnik A jest dodatny, zaś —Am jest pierwszym spólczynnikiem ujemnym, to wartość dwumianu

e |<q

gdzie a oznacza liczbę dodatną, nie mniejszą od wartości bezwzględnej każdego z ujemnych spółczynników równania danego, może być przyjęta za kraniec wyższy dla pierwiastków dodatny cli.

Oznaczmy przez f(x) funkcyją, stanowiącą stronę lewą równania danego’, i przypuśćmy, że zmiennej x nadaliśmy jakąkolwiek wartość dodatną; wtedy

f(x) >: Axn—axn—m—axn

— axn~

albo

f(x) >: Axn— a

albo jeszcze

f(x) > Axn

axn-m + i

Przypuśćmy następnie, że x~ż> 1, i odrzućmy tu wyraz ostatni na stronie prawej; otrzymamy

/Ó0>

Axn{x— 1) — axn~m+x

albo

f(x)>x"-m+x

Axm—¹(x — 1) — a

Ponieważ jednak, według założenia, x>x—1;>0, przeto xm gdzie znak = ma miejsce wrazie, gdy m—1 = 0; wskutek tego,

A(ar— 1)"—q

0>1).

Ta nierówność wskazuje, że jeżeli

A{x — l)m— a 0,

czyli

to wtedy

f(x)>0,

t. j. x nie może być pierwiastkiem równania (1). Innymi słowy, każdy pierwiastek dodatny równania f(x)~ 0, jeżeli istnieje, jest mniejszy od

m

v~

Przykład 1. Pierwiastki dodatne równania

xi+5x*-12x‘²-{-6x—27-.0

są mniejsze od od 1 pj/ 27, a więc mniejsze od 7.

Przykład 2. Pierwiastki dodatne równania

xT) + xi + X¹ p 5x—109 = 0

5

są mniejsze od 1 pj/ 109, a więc mniejsze od 4.

9. Inny sposób odnajdywania krańca wyższego dla pierwiastków doda-tnycli równania ze spółczynnikami rzeczywistymi opiera się na następującym twierdzeniu.

Twierdzenie. Niech A, A,, A₂, . . . , A,» będą jakimikolwiek liczbami, nie mniejszymi od zera, i (x) funkcyją postaci

y(x) = Axn p Axxn~l p . . . p Amxn~m—Am+iXn-m

gdzie m oznacza jedng z liczb 1, 2, ... , n. Jeżeli dla jakiejkolwiek ivartosci doclatnéj a zmiennej x jest y(a) > 0, to dla każdej ivartoéci zmiennej x, większej od a, ma miejsce nierówność y(x)>y(a), tak iż, tymwięcćj, ®(x)ę>0.

Zważmy bowiem, że dla x^>a^>0, mają miejsce obie nierówności:

Axm p A^”»-¹ P . . . p Aw> Aam P A!«“-¹ p ... P A

Am -pi, A„J -(- 2 , I    A n ^

m ' a    u² ' ’ * * ' cin ~m

. . . An,

A”t±ł.

X

An

X¹

xn~

a odejmując drugą od pierwszej, otrzymujemy

Aa;mP ... PAW—

An

xn~

~ A> Aamp... pA„,—

m-pl

A,

an~m

czyli

Jf(«)

«•" au

Xn~

skąd

/ t\u — m

CC

Ponieważ zaś, według założenia, <p(a) >r 0 i — > 1, przeto

Cl

V(x)>y(a).

W niosek. Jeżeli q{(x), 'ę₂fxj, . . . , ym(x) są funkcyjami takiej postaci, jak funkcy ja y(x) w twierdzeniu poprzedzającym; jeżeli a, b, ct . . . , d oznaczają takie liczby dodatne, iż odpowiednio mają miejsce nieróicności

¥i (a) ^ 0, y₂(b) > 0, . . . , ym(d) ^ 0,

k zaś jest liczbą dodatną, nie mniejszą od każdej z liczb a, b, c,..., d, to każdej wartości zmiennej x, większej od k, odpowiadająca wartość funkcyi

f(oc) = yi(x) -f <p₂(x) +----f- ym(x)

jest dodatna. Istotnie, według twierdzenia ostatniego, dla x ;> k każda z fun-kcyj (f>i(x), <p₂(x), . . . , f-pm(x)) a zatym i ich suma, otrzymują wartości dodatne. —

Przechodząc do jakiegokolwiek równania ze spółczynnikami rzeczywistymi, zakładamy, że spółczynnik najwyższej potęgi zmiennej x jest dodatny.

Jeżeli wszystkie pozostałe spółczynniki są również dodatne, to wtedy równanie f(x) = 0 oczywiście nie posiada całkiem pierwiastków dodatnych, a zatym w tym przypadku niómaco odszukiwać dla nich wyższego krańca do* datnego.

Jeżeli zaś równanie f(x) = 0 posiada jeden lub więcej spółczynników ujemnych, to wtedy możemy funkcyją/(ccj przedstawić jako sumę kilku funkcyj,

f(x) — (pt(xj + y₂(xj + cp₃(x) + . .

z których każda jest takiej postaci, jak funkcyja <p(x) w twierdzeniu ostatnim, a następnie możemy już łatwo znalćść takie liczby dodatne a, b, c, ... , któreby czyniły zadość odpowiednim warunkom

V\(a) ^ 0, tę₂(b) ^ 0, cp₃fc) ^ 0, . . ,

(patrz art. 4, wniosek). Największa z tych liczb może być przyjęta jako wyższy kraniec dla pierwiastków dodatnych równania f(x) = 0.

Przykład 1. Dla równania

x⁴ -f- 5æ³ — 12æ² + 6x — 27 = 0

mamy

<pl(x) = (x²+ 5x— 12)x², ^.l(x)z=z3{2x — 9);

?i(²)>0,    Ta(^)=°i

a zatym, jako kraniec wyższy dla pierwiastków dodatnycli można przyjąć liczbę 4 ^—gdy w art. 8-ym, mając toż samo równanie, mieliśmy, jako ów kraniec, liczbę 7. — Zważmy, że jeżelibyśmy tu oznaczyli

cft(x) = x(x³-j~-5x²— 12x—6), <p₂(x) = 3(4x—9),

to wtedy byłoby

?'(f)>0' ^(f)—0i

a przeto już liczbę 2 Ł można przyjąć jako kraniec wyższy dla pierwiastków

A

dodatnycli danego równania — zamiast liczby 4 ~.

Przykład 2. Strona lewa równania

x⁵ -f- ad Ą- x² +    —109 — 0

otrzymuje wartości dodatne przy x=z3\ a więc liczbę 3 można tu przyjąć jako kraniec wyższy dla pierwiastków dodatnycli.

10. Wyznaczenie krańca niższego dla pierwiastków rzeczywistych równania ze spółczynnikami rzeczywistymi bardzo łatwo sprowadzić można do zadania, rozwiązanego w art. poprzedzającym, t. j. do wyznaczenia krańca wyższego dla takich pierwiastków. Przyjmując bowiem, że x jest liczbą dodatną, zadość czyniącą równaniu

O)

Aocw-f- At£cra_1 + . . . -f A»_ \X 4- Afł = 0,

po podzieleniu obu jego stron przez xn, otrzymujemy

An

& +A,ł

Czyli, kładąc — — y₎

Anyn -j- A„_i2/” ¹ -f- . . . + Axy -f- A — 0.

Oznaczając zaś przez L kraniec wyższy dla pierwiastków rzeczywistych równania ostatniego, mamy ?/<;L, czyli —- <CL, skąd

x>17.

Ta nierówność wskazuję, że każdy pierwiastek dodatny równania (jeżeli równanie go posiada) jest większy od liczby ~~; dlatego liczba-^-- może być uważana za kraniec niższy dla pierwiastków dodatnycli równania (1).

Przykład. Chcemy znalćść kraniec niższy dla pierwiastków dodatnych

równania

xi + 5x³—12x² -f- 0x—27 = 0.

W tym celu znajdziemy naprzód kraniec wyższy dla pierwiastków dodatnych równania

27*p—6*/³ + 12*/²—5?,—1 = 0.

Kładąc

Vi(y) = %³ (9y—2), <pa (y) — l^—hy—l

znajdujemy

'p‘(ï)>⁰’ <Mf)>°;

zatym jest krańcem wyższym dla pierwiastków dodatnych równania z nie-

wiadomą y, a jest krańcem niższym dla pierwiastków dodatnych równania A

danego.

11. Ażeby wyznaczyć krańce dla pierwiastków ujemnych równania A.xn-f- A^xn~ ¹ -(- . . . -f- An_xx-f- Ara=^0,

w lewej jego stronie, zamiast x, podstawimy — y. Dla otrzymanego zaś równania

Ayn—• • • +(— l^-iA^^ + C— l)»An=0

znajdziemy, zapomocą powyżej wyłożonych sposobów, wyższy i niższy kraniec dla jego pierwiastków dodatnych. Jeżeli owe krańce są np. L i M, to, oczywiście, wszystkie pierwiastki ujemne równania danego (jeżeli tylko one istnieją) są zawarte między krańcami — L i •— M.

Przykład. Pierwiastki ujemne równania

x⁴ -f- 5x³ — 12a?² + 6x—27—0

są zawarte między krańcami — 5 i — 7.

Uwaga. Zdarza się niekiedy, że kraniec wyższy dla pierwiastków dodatnych jest mniejszy od niższego dla nich krańca. Wskazuje to, iż dane równanie nie ma żadnego pierwiastka dodatnego. Toż samo można powiedzieć i o krańcach dla pierwiastków ujemnych.

Np. Ażeby mieć kraniec wyższy dla pierwiastków dodatnych równania

x⁵—a;⁴—x² + 5x -f- 109=0,

kładąc

yi(x) = x²(x³—x²—1), <p₂(xj = 5x J-109,

znajdujemy    można więc ~ przyjąć jako szukany kraniec wyższy.

Ażeby zaś otrzymać kraniec niższy dla pierwiastków dodatnych tęgoź równania,

utworzymy równanie

109«/³ -f 5?/ł—y³—y + 1 = 0

i, kładąc

y(y)=y(iWy*-\-W—y²—!),

znajdziemy    zatym liczba 3 może być przyjęta jako kraniec niższy dla

pierwiastków dodatnych. Wypadło nam przeto, iż każdy pierwiastek dodatny równania

x⁵—cc⁴—x² -f- 5x + 109 = 0

o

powinien być mniejszy od i większy od 3. Ponieważ te warunki są z sobą

a

sprzeczne, zatym powyższe równanie wcale nie ma pierwiastków dodatnych. Stąd także wynika, że równanie

x⁵ -f xi + x² + 5x—109=0

wcale nie ma pierwiastków ujemnych.

ROZDZIAŁ IL

PIERWIASTKI WIELOKROTNE. — PRAWO CIĄGŁOŚCI I NIEKTÓRE JEGO NASTĘPSTWA. — DOWÓD ISTNIENIA PIERWIASTKA.

WZÓR TAYLOR’A. — OBLICZANIE WARTOŚCI FUNKCYI CAŁKOWITEJ I JEJ POCHÓD1 NYCH.

§ 1. WZÓR TAYLOR’A.

12. Mnożąc wyrazy funkcyi całkowitej

f(x) = Axn + A{xn~x + . . . +An-,.mxm-\- . . . + A„

odpowiednio przez

0x - ¹

mx

nx

(n-—l)#⁻¹, . . otrzymujemy nową funkcyją stopnia o jedność niższego f(x) = nAxH~ ¹ + (n—1) A^”-² + . . .    . . . -j-Aw_i,

która się nazywa pierwszą pochodną funkcyi danej f(x).

Pierwsza pochodna funkcyi f'(x) nazywa się drugą pochodną funkcyi f(x) i wyraża się tak :

f"(x) — n(n — 1)A xn~<i-\-(n — l)(w — 2)A,;r”⁻³-f- . . . -f-2A„

Trzecia pochodna funkcyi f(x) jest funkcyją stopnia (n— 3)-go, f"}(x)—n(n—1 )(n—2)Axn~zĄ-(n—1 )(n—2)(n—3)Apr”~⁴-}- . . . + 3.2A„_₃. Wogôle funkcyją stopnia (n — m)-go,

—ni—1

fm)(x)=n(n—1)... (n—m+1) A xn~m-f-(n—1 )(n—2)... (n—m)Alxn

-}-m(m—1)...2.1A

ą&jLtf&teie m -tą pochodną funkcyi danej f(x).

Z myślenia bezpośrednio wynika, że w-ta pochodna danej funkcyi f(x) Sjest liczbą jstałą,

fn>(x) =.n(n—1) . . . 2.1 A,

1 Z!

zystkie następne pochodne są tożsamościowo równe zeru.

Funkcyje pochodne powstają same przez się, jeżeli w danej funkcyi f(x) zamiast x podstawimy x-\-h, a wynik podstawienia,

f(x -p Tl) — A.(x -f- hjn -j* A.y(x -j- h)H 1 -f- . . • + A„,

uporządkujemy według potęg rosnących litery h. Jakoż, rozkładając każdy wyraz po stronie prawej według dwumianu Newton’a i łącząc wyrazy podobne, otrzymujemy

h    1>²

f(x + h) =f(x) + y f(x) +    + • . . 4

li“

1.2..

Jest to wzór Taylor’a.

Pisząc a zamiast x, zaś x — a zamiast h, możemy ten wzór tak przed

stawić :

(x—a)²

1.2

f'(a)+ ...+

(x—a)n

1.2.3..

-7nfiU)(a)-

Przykład. Kładąc

f(x)~x³— 2x -f- 5.

inainy równość

f(x) — a³— 2a ~f- 5 -f (x — a) (3a²— 2) -j- 3(x — a)²a -f- (x — a)³.

13. W przypadku szczególnym, kiedy wszystkie spółczynniki w wyrażeniu funkcyi f(x) są rzeczywiste, wzór

Zł    Ti 2

f(x + h)=f(x) + Y f(x) + Y2 f"(x) +•••■+

hn

1.2..

—M*)

Wskazuje, że, wrazie gdy dla pewnej wartości rzeczywistej a na zmienną x wszystkie liczby

f(a),f(a),f"(a), . . . , ßn)(a)

nie są mniejsze od zera, mamy, przy każdej dodatnéj wartości //,

f(a + h) > 0,

i dlatego żadna liczba większa od a nie może być pierwiastkiem równania

f(x) — 0.

Ta uwaga nasuwa nowy sposób odnajdywania krańca wyższego dla pierwiastków dodatnych równania o spółczynnikach rzeczywistych, znany jako sposób Newton’a. Żeby zaś wyznaczyć liczbę a, zadość czyniącą powyżej wskazanym warunkom, należy uprzednio założyć, że spółczynnik najwyższej potęgi niewiadomej x w równaniu f(x) — 0 jest liczbą dodatną; wtedy bowiem spółczynniki najwyższych potęg zmiennej x w wyrażeniu każdej z funkcyj

f(x),f(x),f'(x), . . .

będą dodatne, a, przy dość wielkiej wartości dodatnéj x — ci, wszystkie liczby f(a)tf(a.)J"(a),. . . ,/-»>(,a),f»(a)

będą również dodatne.

Najprostszy sposób, zwykle używany do wyznaczenia liczby a, jest następujący. Odnajdujemy naprzód taką liczbę dodatną an-i, dla której by fun-kcyja stopnia pierwszego, fKn~l)(x)^ była nie mniejszą od zera. Następnie wyznaczamy znak liczby /,i_2)(a„_i); jeżeli ta liczba jest ujemną, to szukamy innej liczby an-2>a»-i, która czyniłaby zadość nierówności /B-2)(aB_₂) ^ 0; jeżeli zaś ßn~^(an-i)>=0, to zostawiamy poprzednią liczbę an~i, t. j. przyjmujemy a«_₂ =zan-\. Podobnie dalej; obliczamy /',-^(a7ł_₂); jeżeli ta liczba jest ujemna, to wyznaczamy nową liczbę a„_₃^>a„_₂ taką, iżby /⁽”_3)(a„_₃) >r 0; jeżeli zaś    >^0, to przyjmujemy an-z — an-2. Postępując wciąż w po

dobny sposób, znajdziemy żądaną liczbę a, zadość czyniącą warunkom

f(a) 0, f(a) & 0,... ,    $=0.

Co się zaś tyczy liczby f{n)(a), to ona nie zależy od a, gdyż jest nią iloczyil 1.2.3 . . . nA, a więc ta liczba jest dódatna, gdyż, według założenia, A>*0. Przykład. Znalćść- kraniec wyższy dla pierwiastków dodatnych równania

olG + 3x⁵ — 12a;⁴ -f 6a;³ — 17x² — 481 = 0. Następująca tablica wskazuje sposób wyznaczenia tu liczby a.

f—%* -f- 3a;⁵— 12a;⁴ -j- 6a;³— 17a;² — 481 f — 6a;⁵ + 15a;⁴ — 48a;³ -j- 18a;² — 34a;

/" = 15a;⁴ + 30a;³ — 72a;² + 18a; — 17

1—lico

/"' = 20a;³ + 30a;² —48a; + 6 /IV =: 15a;² + 15a; — 12

’--l

120

/v — 6a;+ 3

rH

tc

co

Zaczynamy z dołu; przy a; = 0, znajdujemy/v(0)>0, /1V(0)<!0; przyjmujemy następnie x = l i znajdujemy /IV(1);>0, /'"(1)>0, /"(1)*<0; przy x = 2, /"(2)>>0, /'(2);>0, /(2)j<0; przy x—3, /(3)>0; a zatym liczbę 3 można przyjąć jako kraniec wyższy dla pierwiastków dodatnych równania danego.

§ II. OBLICZANIE WARTOŚCI FUNKCYI CALKOWITÉJ I JÉJ POCHODNYCH.

14. Dzieląc funkcyją

Axn -\- A vxn 1 -f- * . . -f- An^ ix -J⁻ -A«

przez x — a i przedstawiając iloraz przez

Ba;”⁻¹ + B^”⁻¹ -f . . . + Bw_₂cc -p B,

a resztę przez B», mamy następujące równania dla kolejnego wyznaczenia spółczynników B, Bt, . . . , B„ :

B—Aj Bj—(?B"J"A|j Bj—«B,-pA₂,...,B„—i—(iBfl—îj*Au—Bn—dBs—A(J.

Stąd wynika bardzo łatwy sposób otrzymania ilorazu i reszty z podzielenia funkcyi f(x) przez x — a.

Wypiszmy wszystkie spółczynniki danej funkcyi f(x) obok siebie, jeden za drugim, i pod pierwszym z nich, w drugim wierszu, napiszmy jeszcze raz pierwszy spółczynnik A. Uczyniwszy to, mnożymy liczbę A przez a i iloczyn dodajemy do drugiej liczby wiersza pierwszego, t. j. do A,; otrzymaną sumę przyjmujemy jako drugą liczbę wiersza drugiego. Tę liczbę mnożymy przez a i iloczyn dodajemy do trzeciej liczby Aviérsza pierwszego; suma będzie trzecią liczbą wiersza drugiego. Postępując w ten sposób do końca, otrzymamy av wierszu drugim wszystkie szukane liczby B, B,, . . . , B„ ; ostatnia z nich jest wartością funkcyi f(x) przy x — a, a najczęściej o tę tylko wartość nam idzie.

Przykład. Obliczyć wartości funkcyi

f(x) — xc> -p 3cr³—12cc⁴ -f- 6cc³— 17x² — 481 dla cc —3. — Postępując według powyższej reguły, znajdujemy — 12

CO CD

05

— 17

— 481

55

14.

Iloraz z podzielenia f(x) przez cc—3 jest

x⁵ -P 6cc⁴ -p 6x³ -p 24cc² -p 55cc -p 165

a reszta

A3) =14*

15. Wzór Taylor’a, przedstawiony w postaci

f(x) —f(a) +    f (a) -f

(x‘—a)²

1.2

f"(a) -f

(x—aj³

1.2.3

okazuje, iż:

Wskutek podzielenia funkcyi f(x) przez x — a, otrzymujemy iloraz

rp __ fi

(x•—aj²

1.2.3

i resztę

Wskutek podzielenia funkcyi y(x) przez cc —u, otrzymujemy iloraz

1.2

f"(a)+

(x — a)²

1.2.3.4

fv(a) -f . . .

i resztę

Wskutek podzielenia funkcyi <pt(x) przez x— a, otrzymujemy iloraz

'h(Z =

i resztę

^2 = Y^f"Ca)‘

I tak dalej, tak iż nakoniec, wskutek podzielenia funkcyi (p„-₂(x) przez x — a, otrzymujemy iloraz

—\(&0 1

i resztę

ßn~V(a).

1.2... (w— 1)

Ta uwaga często ułatwia wyznaczenie spółczynników rozmaitych potęg dwumianu x — a w rozwinięciu funkcyi według wzoru Taylor’a. W tym celu należy tylko n razy zrzędu zastosować prawidło, podane w art. poprzednim. Przykład. Rozwinąć funkcyją

f(x) =    +2x1 — 13 x^—x² —25 x+100

według potęg dwumianu x-\- 5. — Należy przyjąć a = —5, co doprowadza do następującej tablicy:

— 13

— 18

— 23

— 13

— 11

42    — 221

107

197

— 756

— 25

100

30    —50

1135

Liczby podkreślone są spółczynnikami szukanymi, t. j.

A“ 5) = -50,

f\— 5) = 1135,

i/"(-5) = —756,

, /lv(— 5) = — 23.

24: J '

6) = 197

Taki sposób obliczania wartości f(a), Z (a),    . . . podał Horner.

§ III. PIERWIASTKI WIELOKROTNE.

16. Jeżeli m oznacza którąkolwiek z liczb 1, 2, 3, . . . , n, to ze wzoru

nr*_ fi

f(x) —/(a) + —y— Z (a) P

(x — aZ

1.2

ZW + • • •

widoczna, że resztą z podzielenia funkcyi/(irj przez (x—a)m jest

(X — a)

1.2... (m—1)

ażeby więc funkcyja f(x) była podzielną przez (x—a)m, potrzeba i wystarcza, aby

f(a)=f(a) =

—ßm-V(a) — 0,

Jeżeli a czyni zadość tym warunkom i, prócz tego,ßm)(a) nie równa się zeru, to funkcyja f(x), podzielną przez (x—a)m, nie będzie podzielną przez (x — a)m+l. W takim razie funkcyja linijowa x — a nazywa się czynnikiem m-krot-nym funkcyi f(x), a liczba «pierwiastkiem m- krotnym równania f(x)~0.

Jeżeli m=l, to liczba a jest pierwiastkiem pojedynczym równania f(x) — 0, a funkcyja x—a czynnikiem pojedynczym funkcy i f(x).

Z tego, co wyżej powiedziano, wynika, że pierwiastek m-krotny równania f(x)~ 0 jest pierwiastkiem (m—l)-krotnym równania f'(x) — 0, (m— 2)-kro-tnym równania f”(x) =. 0, i t. d., nakoniec pojedynczym równania ßm~v>(x) ~ 0, a nie czyni już zadość równaniu fm(x)~ 0. Innymi słowy, jeżeli dwumian x—a jest czynnikiem w-krotnym funkcyi f(x), to jest zarazem czynnikiem (m—l)-krotnym funkcyi f(x) i t. d.

Przykład 1. Równanie

f(x) — xi -f- 4a.'³— 18æ² -f- 20x— 7 = 0 posiada pierwiastek, równy jedności; zważając, iż

/(!)=/(!) =/'(!) = 0,

wnosimy, że 1 jest pierwiastkiem trzykrotnym równania danego. Wskutek tego możemy je tak napisać:

(x — iy(x + 7)^0. Przykład 2. Równanie stopnia n-go

xn

1.2 .. n ⁺ 1.2...(n— 1)

nie ma pierwiastka wielokrotnego. — Oznaczając stronę lewą tego równania przez f(x), mamy tożsamość:

f(x) —f(x)

xn

1.2...»’

a zatym, jeżeli «jest pierwiastkiem równania danego, to

f(a) —

an

1.2...»’

i, jeżeli ten pierwiastek byłby wielokrotnym, to byłoby « = 0, a to być nie może, gdyż /(0) = 1.

Przykład 3. Jeżeli A nie jest różne od zera, to równanie xn — A = 0 nie ma pierwiastka wielokrotnego.

Puzykead 4. Aby równanie xn'—px -f- q — 0 miało pierwiastek dwukrotny, czyli, aby temu równaniu zadość czynił pierwiastek równania nxn~l —p = 0, t. j.

n— 1

potrzeba, aby

(p\n_( g y-¹. V n ) ~ U — 1/    ’

, czyli —

n — 1    n \n/

—I—, tak iź zamiast n — 1

możemy pisać

nq

(w—!>’

17. Niecli a -\-bi będzie jakakolwiek liczbą zespoloną,. Według wzoru Taylor’a mamy

bi

/(« + bi) —f(a) + y f'(a)

1.2

f"(a)

b³i

1.2.3

a wprowadziwszy oznaczenia :

M =f(a) —

\f(a)

ó²

1.2

f"(a) 4

1.2.3

ó³

1.2.3

f"(a) 4

^ •

Ol L

1.2.3.4.5

fY(a)~ . .

otrzymujemy

f(a-\- bi) = M -f- Ni,

/(a — & i) = M — Ni.

Jeżeli w wyrażeniu funkcyi f(x) spółczynniki są rzeczywiste, to, oczywiście, liczby M i N są również rzeczywiste; wówczas dwie liczby f(aĄ-bi) i f(a — bi) będą zespolone sprzężone, a jeżeli f(a-\-bi) —0, to także f(a— bi)— 0. Gdyby się zdarzyło, że i f'(a-)-bi) — 0, to, dla tejże przyczyny, byłoby również f'(a — bi) — 0, i t. cl.; jeżeli fltl)(a -\-bi) nie równa się zeru, to i ßm)(a—bi) także nie jest równe zeru. A więc:

Twierdzenie. Jeżeli równanie ze spólczynnikami rzeczywistymi posiada picneiastck m-krotny zespolony a+bi, to posiada ono także drugi pierwiastek a — b i, sprzężony z poprzednim i również m-krotny.

§ IV. PRAWO CIĄGŁOŚCI.

18. Wzór Taylor’a, napisany w postaci f(x + h) —f(x) = Y f(x) + Ï72 f"(x) + • • • 4

hn

1.2..

—/“W*

daje wyrażenie przyrostka, jaki otrzymuje wartość funkcyi całkowitej f(x), gdy zmienna x otrzymuje przyrostek dowolny h.

Rozważając tó wyrażenie jako funkcyją jednej zmiennej Ji, spostrzegamy, iż w nim niema wyrazu stałego, a więc do tego wyrażenia można zastosować twierdzenie art. 4-go. Oznaczając więc przez k dowolną liczbę dodatną,

a przez a liczbę dodatną, nie mniejszą od każdej z liczb: mod f'(x), —mod f"(x),

JL « A

. . . , dla Avszystkich wartości h, czyniących zadość nierówności

mod U <    — ?

k + a

mamy

mod [f(x -f h)—f(xj] < k.

Stąd bezpośrednio wynika następujące

Twierdzeni e. Przyrostek modułu funkcyi całkowitej f(x), odpowiadający przyrostkowi dowolnemu h zmiennej niezależnej x, jest mniejszy od dowolnie wziętej liczby dodatnćj, jeżeli wartość mod h jest dostatecznie mała.

Własność funkcyi, którą powyższe twierdzenie wyraża, nazywa się prawem ciągłości; ma ono miejsce dla wszystkich funkcyj całkowitych, przy wszelkich możliwych wartościach zmiennej niezależnej.

Prawo to może być wyrażone inaczej w ten sposób :

Gdy przyrostek zmiennej niezależnej zdąża do granicy równej zeru, to odpowiadający przyrostek funkcyi całkowitej f(x) również zdąża do granicy równej zeru.

Albo jeszcze:

Nieskończenie małemu przyrostkowi zmiennej niezależnej x odpowiada nieskończenie mały przyrostek funkcyi całkowitej f(x).

19. Ułamek, powstający wskutek podzielenia funkcyi całkowitej

f~ Axn + Axxn~l + . . . przez jakąkolwiek inną funkcyją całkowitą

cp ~Bxm -f-    ¹ -f- . . .

(wrazie jeżeli funkcyja / nie jest podzielna przez funkcyją cp), nazywa się f u n k c y j ą ułamków ą. Weźmy jakąkolwiek funkcyją ułamkową

F=: —

której licznik i mianownik są pierwsze względem siebie, co zawsze możemy przypuszczać, gdyż, wrazie przeciwnym, moglibyśmy ułamek skrócić.

Dla wartości zmiennej x, zadość czyniącej równaniu cp = 0, wartość odpowiednia funkcyi P równa się co. Wyłączmy spod uwagi takie wartości i przyjmijmy, że zmiennej x nadano wartość, przy której funkcyja cp nie równa się zeru. Jeżeli, zamiast poprzedniej wartości x przyjmiemy nową x-\-li, to/, cp i F otrzymują nowe wartości, które możemy odpowiednio tak oznaczyć:

/ -f A/, cp 4- Acp, F 4- A F; będziemy więc mieli

/Acp

cp (cp + A cp) *

Przypuśćmy, że a i 7c są dwiema liczbami dodatnymi, czyniącymi zadość nierównościom

AF =

a >r mod /,    a >: mod cp, k <

2a

mod cp ’

Na zasadzie twierdzenia art. 18-go, przy dostatecznie małej wartości mod h możemy przyjąć, iż jednocześnie

, . mod²cp mod Acp < —-¹ k.

Z tycli nierówności i z obu nierówności, którym, według przypuszczenia, czyni zadość liczba a, wynika, iż

wskutek czego

,    . , mod²cc ₇

mod cp A/< —k

mod (tp \f—/A cp) < m°g—? k ■

Ponieważ zaś z nierówności dla. Acp i z nierówności, której, według przy-

, awogólejest

puszczenia, czyni zadość liczba k: wynika, iż mod Acp<C —°ty -

A

mod (cp 4- A cp) >; mod cp — mod A cp, przeto mod (cp 4 A cp) >*    ^

A

, albo, po po

mnożeniu obu stron przez mod cp,

i /    , * n mod²cp

mod cp (cp -4- Acp)> —t.

Dzieląc tak otrzymane nierówności przez siebie, mamy

albo

cpAy~-/A? cp(cp +Acp)

<k

mod AF<L

Stąd wynika, że przyrostek funkcyi F może być tak małym, jak się podoba, byle wartość mod h była dostatecznie małą. Innymi słowy : funkcyja ułamkowa dla wszelkich wartości zmiennej niezależnej x, nie przywodzących mianownika tej funkcyi do zera, jest ciągłą.

Jeżeli funkcyja ~ dla pewnej szczególnej wartości x staje się oo, to w tym wykładzie mówić będziemy, że wtedy ma miejsce przerwa ciągłości.

§ V. PRZYPADEK, KIEDY ZMIENNE x I f(x) SĄ RZECZYWISTE.

20. Przystępując do wyprowadzenia kilku wniosków, które wprost wynikają z prawa ciągłości, przyjmiemy naprzód, że wszystkie spółczynniki funkcyi

f(x) — Axn -f- A!«“⁻¹ + . . . + An

są rzeczywiste, oraz że zmienna x otrzymuje tylko wartości rzeczywiste.

Jeżeli jakakolwiek liczba zmienna rzeczywista zmienia swoje wartości tak, że, przechodząc od pewnej wartości szczególnej do innej, otrzymuje wszystkie wartości pośrednie, to wtedy mówimy, że ona zmienia się w sposób ciągły. .

Z twierdzenia, udowodnionego w art. 18-ym, bezpośrednio wnosimy, że jeżeli zmienna niezależna x zmienia się w sposób ciągły, to i funkcyja całkowita f(x) zmienia się również w sposób ciągły.

Toż samo wyraża twierdzenie następujące :

Twierdzenie. Jeżeli k jest jakąkolwiek liczbą pośrednią między dwiema wartościami f(a) i f(b) funiccy i całkowitej f(x), to istnieje liczba c, pośrednia między a i b, która zadość czyni równaniu f(c) — k.

Wniosek 1. Jeżeli dwie jakiekolwiek wartości f(a) i f(b) funkcyi całkowitej f(x) są znaków różnych, to między krańcami a i b znajduje się taka liczba c, która czyni zadość równaniu f(x) — 0.

Wniosek 2. Każde równanie stopnia nieparzystego ze spółczynnikami rzeczywistymi ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Wartości bowiem funkcyi, stanowiącej stronę lewą takiego równania, przy dwu różnego znaku wartościach zmiennej x, bezwzględnie dostatecznie wielkich, są różnego znaku.

Wniosek 3. Każde równanie stopnia parzystego ze spółczynnikami rzeczywistymi, w którym spółczynniki wyrazów skrajnych są różnego znaku, ma przynajmniej dwa pierwiastki rzeczywiste, które wtedy są różnego znaku. Albowiem wartości funkcyi, stanowiącej stronę lewą takiego równania, przy x—0 i przy x dostatecznie wielkim dodatnym, jakotóź jej wartości przy æ=0 i przy x ujemnym, bezwzględnie dostatecznie wielkim, są różnego znaku.

Wniosek 4. Jeżeli funkcyja f(x) nie staje się zerem dla żadnej wartości zmiennej x, pośredniej między liczbami a i b: to ona przy wszystkich tych wartościach zmiennej x jest wciąż tego samego znaku. W przeciwnym bowiem razie posiadałaby pierwiastek zawarty między liczbami a i b.

21. Twierdzenie. Gdy zmienna x przechodzi przez wartośćr zeczy-wistą a (czy to od wartości mniejszych do większych, czy też od większych do mniejszych), będącą pierwiastkiem m-krotnym równania f(x) = 0, wtedy funkcyja f(x) zmienia swój znak, albo go nie zmienia, stosoivnic do tego, czy liczba m jest nieparzysta, czytćż parzysta.

YVskutek założenia o liczbie a, według wzoru Taylor’a mamy

f(a + h) —

hm

1.2..

—r+w,

. m jj v 7 m + 1

gdzie ßm)(a) jest różne od zera. Z tego zaś wynika, iż, przy wartościach h, bezwzględnie dostatecznie małych, znak wartości f(a-\-li) będzie taki, jak znak iloczynu hmßm)(a); a więc, jeżeli m jest liczby nieparzystą, to f(a—h) i f(aĄ-h) są różnego znaku, jeżeli zaś m jest liczbą parzystą, to f(a — h) i f(a -f h) są tegoż samego znaku. —

Mając wszystkie pierwiastki rzeczywiste równania f(x) — 0 i wiedząc, jaka jest wielokrotność każdego z nich, możemy wprost określić znak wartości funkcyi f(x) przy jakiejkolwiek szczególnej wartości zmiennej x. Jakoż, niech

i ■> Cl₂, , . . tir

oznaczają wszystkie r pierwiastków rzeczywistych równania f(x) = 0, uporządkowane według ich wartości rosnących, i niech

w,, m₂, . . . mr

oznaczają odpowiednie wielokrotności tych pierwiastków. Biorąc pod uwagę r + 1 przedziałów, wyznaczonych przez każde dwie sąsiednie z r + 2 liczb

— cc, a„ Oa, . . . , Or, + oo,

zauważymy naprzód, że znak funkcyi f(x), przy wszelkich wartościach zmiennej x, zawartych w przedziale pierwszym (—co, aj), jest taki sam, jak znak pierwszego jej wyrazu przy x — — co, przy wartościach zaś zmiennej x, zawartych w przedziale ostatnim (ar, + co), znak funkcyi f(x) jest taki sam, jak znak pierwszego jej wyrazu przy #= + 00. Przy wszelkich zaś wartościach zmiennej x, zawartych w drugim przedziale («,, a₂), wartości funkcyi f(x) są tegoż samego lub innego znaku, niż wartości jej, odpowiadające przedziałowi pierwszemu (—co, «,), stosownie do tego, czy liczba mt jest parzysta, czytćż nieparzysta; dla wszelkich wartości x, zawartych w trzecim przedziale (a₂, af), znak funkcyi f(x) jest taki sam, jak znak jej w przedziale poprzednim, lub też inny, stosownie do tego, czy m₂ jest liczbą parzystą, czytćż nieparzystą. Tym sposobem, przechodząc od jednego przedziału do drugiego, z.łatwością wyznaczymy znak funkcyi f(x) dla wszelkiej wartości zmiennej x.

22. Twierdzenie. Jcżeli dla każdej ivartoêci zmiennej x, zawartej między dwiema liczbami danymi a i b, wartość funkcyi pochodnej f'(x) utrzymuje iv ciąż tenże znak, to, w miarę powiększania się ivartoêci zmiennej x od krańca niższego a do wyższego b, wartości odpowiednie funkcyi f(x) wzrastają lub maleją, stosownie do tego, czy ivartoêci f unkcyi f'(x) są w owym przedziale dodatne, czytćż ujemne.

Przyjmijmy naprzód, że funkcyja pochodna f'(x) jest wciąż dodatna dla wartości x, zawartych w przedziale od x~a do x=-b, i że c przedstawia jakąkolwiek liczbę pośrednią między a i b\ wtedy równanie

f(x)—f(c) = 0

w przedziale od x = a do X — b ma tylko pierwiastek x—c. Gdyby bowiem to równanie miało w owym przedziale od x — a do x — b pierwiastek różny od c, i gdybyśmy taki pierwiastek, najbliższy liczby c, nazwali cl, przez h zaś oznaczyli liczbę dowolną, bezwzględnie dostatecznie małą, a tegoż znaku, różnica d—c, to dwie różnice

co

f(c + h)-f(c)    i f(d — h)—f(c)

byłyby jednakowego znaku, gdyż funkcyja f(x)—f(c) nie ma pierwiastka między x — c\x = d — gdy tymczasem równości

hl

f(c + h) -f(c) = Jif(c) + ~ f'(c) + . . f(d-h)-f(c)=-hf(d) + ^f"(d) +...

wskazują, iż owe dwie różnice są różnego znaku, albowiem, według założenia, wartości f(c) i f(d) są tegoż samego znaku. — Gdy więc funkcyja f(x)—f(c) nie staje się zerem dla wartości x w przedziale między x=zc i x — b, przeto od x=zc do x—b utrzymuje ona wciąż tenże sam znak. Że zaś, przy h do-datnym i dostatecznie małym, jest

h²

f(c + h) - f(c) = hf(c) + ^ f"(c) + . . . > o,

zatym, dla wszelkich wartości x od x~c do x~b, mamy f(x)—f(c)^>0, czyli

A więc, z uwagi, że c jest jakąkolwiek liczbą pośrednią między a i b, funkcyja f(x) w przedziale od x — a do x — b wciąż wzrasta.

Przyjmijmy następnie, że funkcyja f(x) od x — a do x = b jest wciąż ujemna. Wtedy funkcyja—f(x) od x — a do x zzz. b jest wciąż ujemną, i dlatego funkcyja ~^f(x) w tym przedziale wciąż wzrasta, funkcyja zaś f(x) w tymże przedziale wciąż maleje.

23. Jeżeli funkcyja całkowita f(x) dla wartości, zawartych w przedziale pomiędzy a i b, wciąż wzrasta albo wciąż maleje, to równanie f(x) — 0 nie może mieć więcej, jak jeden pierwiastek w przedziale między a i b, a jeżeli taki pierwiastek istnieje, to jego wielokrotność jest nieparzysta. Może się zdarzyć, że f(x) ma pierwiastek równy jednemu z tych krańców, np. liczbie a; wtedy wielokrotność tego pierwiastka może być albo parzysta, albo nieparzysta, ale już innego pierwiastka w przedziale między a i b, włączając w to i kraniec drugi b, być nie może.

Ażeby się dowiedzieć, który z tych przypadków ma miejsce, należy określić znaki wartości f(a) i f(b). Jeżeli każda z wartości f(a) i f(b) jest różna od zera i jeżeli one są jednakowego znaku, to równanie f(x) — 0 nie ma ani jednego pierwiastka, zawartego w przedziale a, b; jeżeli zaś owe wartości są różnego znaku, to w przedziale a, b równanie f(x) = 0 posiada jeden pierwiastek wielokrotności nieparzystej.

21. Jeźeli wiadome są wszystkie pierwiastki rzeczywiste równania f'(x) — 0, to łatwo można znalćść wszystkie pierwiastki rzeczywiste równania

f(x) — 0.

Mecli a, b, c, ... ,d będą tymi pierwiastkami rzeczywistymi równania f'(£c) = 0, których wielokrotność jest nieparzysta, i przyjmijmy, że a<Cb <C c . . . <Zd. Ponieważ w każdym z przedziałów

•— co, a; a, b; b, c; . . . ; d, -f- co,

funkcyja f(x) albo wciąż wzrasta, albo wciąż maleje, przeto łatwo się dowiedzieć, w którym z tych przedziałów przypada pierwiastek równania f(x)=. 0, a w którym niema pierwiastka. Wskutek tego będziemy wiedzieli ilość wszystkich pierwiastków rzeczywistych równania f(x) — 0, a dla każdego z nich będziemy mieli dwa krańce, oddzielające go od innych pierwiastków, jeżeli one istnieją.

Jeżeli w przedziale a, b przypada pierwiastek, to, dzieląc ten przedział na dowolną ilość nowych przedziałów, możemy się dowiedzieć, w którym mianowicie z tych ostatnich przedziałów pierwiastek się znajduje; otrzymamy więc dla niego krańce więcej zbliżone, niż pierwotne a i b. Podobnie postępując dalej, będziemy coraz więcej zbliżali krańce dla szukanego pierwiastka i możemy otrzymać jego wartość przybliżoną z błędem, nieprzewyźszającym dowolnie wziętej liczby, jakkolwiek małej:

25. Pezykuad 1. Oznaczyć ilość pierwiastków rzeczywistych równania stopnia parzystego

(1)

xm _j- a? -j- <2 = 0.

Jeżeli stronę lewą tego równania nazwiemy f(x), to równanie f(x) — 0 ma jeden tylko i pojedyńczy pierwiastek rzeczywisty

Mamy więc tu do rozważenia dwa przedziały:

— cc, a; a,od;

w każdym z nich funkcyja f(x) albo wciąż wzrasta, albo wciąż maleje. Zważmy, źe

Wn — II

tak iż, jeżeli np. /(’«)> 0, to wtedy

2»

-f.

L<o

2w — 1 czyli

2n— 1

(jlY*— ( q \

\2 n) \2 n—1/

albo, oznaczywszy stronę lewą tej nierówności przez P,

E<0.

Rozważyć należy następujące przypadki :

1)    kiedy R<!0, wtedy

/(— od) = + ^>, f(a) >0, /(+ oo) = -f- od,

t. j. równanie (1) nie ma pierwiastka rzeczywistego.

2)    kiedy R = 0, wtedy równanie (1) posiada jeden tylko pierwiastek rzeczywisty; jest on dwukrotny, jeżeli obie liczby: p i q są różne od zera.

3)    kiedy R>»0, wtedy równanie (1) posiada tylko dwa różne pierwiastki rzeczywiste, a każdy z nich jest pojedynczy.

26. Przykład 2. Oznaczyć ilość pierwiastków rzeczywistych równania stopnia nieparzystego

(2)

x2n+l + px + q — 0.

Jeżeli stronę lewą tego równania nazwiemy f(x), to równanie f’(x) = 0, ma tylko dwa i pojedyńcze pierwiastki rzeczywiste różniące się znakiem, wra-zie gdy liczba p jest ujemną; nazwijmy je wtedy a i b i niech a<Lb. Jeżeli więc w równaniu (2) spółczynnik p jest ujemny, to wypadnie nam rozważać przedziały

— cno, a;    a, b;

b,    -j- CNO.

Jeżeli wprowadzimy oznaczenie

li

( s. V"⁺¹1 ( i y

\2n + 1/    ' \2n) to przekonamy się, że wrazie :

1)    kiedy R<0, to f(a)^> 0, f(b) <C0, tak iż równanie (2) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, z których każdy jest pojedynczy.

2)    kiedy R = 0, to jedna tylko z dwu wartości f(a) i f(b) jest równą zeru, i równanie (2) posiada wszystkiego dwa różne pierwiastki rzeczywiste, z których jeden jest pojedynczy, a pozostały dwukrotny — jeżeli obie liczby: p i q są różne od zera.

3)    kiedy R;>0, to f(a)<i 0, f(b)^> 0, i równanie (2) posiada jeden tylko pierwiastek rzeczywisty.

27. Przykład 3. Równanie

xn

X¹

1.2

1.2... u

ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, jeżeli n jest liczbą nieparzystą; jeżeli zaś n jest parzyste, to równanie wcale nie ma pierwiastka rzeczywistego.—Przypuściwszy, że to ma miejsce dla pewnego n, można łatwo się przekonać, że ma to również miejsce dla wartości n o jedność większej.

28. Przykład 4. Dowiedzieć się, ile pierwiastków rzeczywistych posiada równanie

f(x) =    — 7x² + 5x — 1 - 0.

Równanie pochodne

^ f'(x) = x⁴ — 2,8 x + 1    0

posiada dwa pierwiastki rzeczywiste (art. 25); oznaczmy je przez a i b i przyjmijmy, że af>b.—Ażeby określić znaki wartości f(a) i f(b), napiszmy tożsamość

5 f(x) —xf(x) = — 21 æ² + 20 x — 5,

z której wynika-

5 f(a) —■— 21 a² + 20 a — 5, 5f(b) = — 21 b² + 20 b — 5. Z tego zaś, wziąwszy pod uwagę, że równanie

— 21^² + 20.cr — 5^0

nie posiada pierwiastków rzeczywistych, wnosimy, że obie wartości f(a) i f(b) są ujemne. Wiedząc to, łatwo okazać, że równanie dane ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, pojedynczy i większy od b.

§ VI. PRZYPADEK, KIEDY ZMIENNE x I f(x) SĄ ZESPOLONE.

29. W tym paragrafie wrócimy do przypuszczenia, że spółczynniki funkcyi

f(x) = Axn + A yx1l~x + . . . + A„

są jakiekolwiek, rzeczywiste lub zespolone, i że zmienna niezależna otrzymuje wartości zespolone.

Weźmy dwa układy spółrzędnych. Jeden z nich, XY, będzie nam służył do przedstawiania zapomocą punktów rozmaitych wartości zmiennej x, a drugi, UY, do przedstawiania odpowiadających wartości funkcyi f(x), tak iż każdemu punktowi x na pierwszej płaszczyźnie odpowiada jeden i tylko jeden punkt / na płaszczyźnie drugiej. Jeżeli punkt x porusza się po jakiejkolwiek krzywej ciągłej x x' x", to jednocześnie punkt / opisuje pewną odpowiadającą krzywą //' /", również ciągłą, gdyż dwu nieskończenie bliskim punktom krzywej xxkx" odpowiadać winny dwa nieskończenie bliskie punkty krzywej fff”.

ff—

Sn

Fig. 1.

Wmiarę zmieniania się x w sposób ciągły według krzywej xx'x"-, od x do a", mod f(x) będzie się zmieniał także w sposób ciągły i nako-nicc dosięgnie wartości mod f(x"), którą można wyznaczyć według wzoru wiadomego. Co się zaś tyczy drugiego argumentu funkcyi f(x), odchylenia, to on, oczywiście, takżo będzie się zmieniał w sposób ciągły, jeżeli wyłączymy wartości zmiennej x, przy których funkcyja f(x) staje się równą zeru. Odchylenie bo-wiém wartości zero jest nieoznaczone, tak iż, przy przejściu zmiennej x przez taką wartość, może zachodzić przerwa ciągłości odchylenia funkcyi f(x). Ażeby uniknąć takich przypadków, przyjmiemy nadal, że pośród punktów krzywej x x' x" niema takiego, w którymby odpowiednia wartość funkcyi f(x) była równą zeru.

Wyznaczenie wartości odcli f(x") przedstawia, wogóle mówiąc, więcej trudności, niż wyznaczenie wartości mod f(x"), i zwykle wymaga roztrząsali szczególnych. Odchylenie bowiem jakiejkolwdek liczby zespolonej zawiera w sobie, jak wiadomo, dowolną wielokrotność liczby 2tu. Lecz, jeżeli za początkową wartość odch f(x) w punkcie x przyjmiemy pewną jednę z nieskończenie wielu owych wartości, różniących się o wielokrotność 2tt, to natenczas wszystkim już następnym wartościom zmiennej x na krzywej xx' x" będą odpowiadały zupełnie określone wartości odch f(x). Jakoż, każdemu nieskończenie małemu poruszeniu się punktu x odpowiada nieskończenie mała zmiana wartości odchf(x), a całkowity przyrost odchylenia, odpowiadający skończonemu poruszeniu się punktu x na krzywej xx'x", może być uważany jako suma nieskończenie wielkiej ilości nieskończenie małych przyrostków tego odchylenia.

Wielokrotność liczby 2ir, zawarta w wartości odch f(x"), zależy od postaci krzywej x x' x", a wyznaczenie tej wartości przedstawia owę trudność, o której wyżej wspomnieliśmy.

30. Różnicę odch f(x") — odch f(x), wyznaczoną w tym przypuszczeniu, iż zmienna x, zmieniając się w sposób ciągły, przechodzi przez wszystkie punkty krzywej x x¹ x" od x do x", nazywać będziemy odchyleniem krzywej xx'x" względem funkcyi f(x), a dla skrócenia oznaczać ją będziemy przez odch f(xx'x"), gdzie znak / oznaczacza funkcyją/(ir). Samo się przez się rozumie, że linija x x' x" może być, w przypadku szczególnym, prostą lub łamaną.

Z określenia odchylenia krzywej wynikają wprost następujące własności symbolu odchyl x' x"):

1). Jeżeli początek krzywej przyjmiemy Za jej koniec, a koniec Za początek, to odchylenie, nie zmieniajcie swej wartości bezwzględnej, zmieni swój znak; a zatym

odch f(x x' x") z=z -— odch f(x" x' x)>

2). Odchylenie krzywej x x' xr, złożonej z dum krzywych, jest równe sumie odchyleń każdej z nich, t. j.

odch f(x x' x") — odch j(x x') -f odch f(xl x").

3). Odchylenie krzywej Zamkniętej, t. j. takiej, której początek i koniec razem się z sobą schodzą, nie zależy od tego, który punkt przyjęliśmy za jej po czątek; np.

odchj(x x¹ x" x"¹ x) — odch j(x' x" x'" x x') =. odch f(xnx'" x x' x").

4) . Odchylenie każdej krzywej zamkniętej jest 2 ku, gdzie k jest liczbą całkowitą, dodatną lub ujemną, albo zerem.

+ Y1

5) . Jeżeli krzywą zamkniętą abca (fig. 2) rozdzielimy na dwie części, a punkty podziału b i c połączymy z sobą krzywą dowolną cdb, to

odch/(abca) — oàcla. f(abdca) -j- odch/(bcdb).

Podobnie odch f(abca) — odch f(abda) + oàchy (bcdb) +

+ odch f(cadc),

i t. d.

6). Jeżeli funkcyja, wyznaczającaf(x), jest iloczynem dwu innych funkcyj, j\(x) i f₂(x), to

odch /(ab) — odch /Job) -f- odch/Job), jakąkolwiekby była krzywa ab.

Biorąc pod uwagę ciągłość funkcyj ułamkowych (por. art. 19), wnosimy, iż wszystko powyżej powiedziane o odchyleniu krzywej ma miejsce również w tym przypadku, kiedy zamiast funkcyi całkowitej f(x) weźmiemy jakąkolwiek

funkcyją ułamkową

y(x)

a.

Fig. 2.

pod warunkiem jednak, żeby ani y(x), ani ty(x) nie

stawały się równe zeru w żadnym punkcie rozważanej krzywej. Wskutek tego, kładąc

Hx)

y(x)

f(x) =

mamy, pod warunkiem wypowiedzianym,

odch /(ab) = odch ^(ab) — odch ^(ab).

31. W celu wyjaśnienia powyższego* przytoczymy tu przykład, w którym wyznaczenie odchylenia nie przedstawia żadnej trudności.

Przykład. Mając funkcyją całkowitą

f(x) — xn + a + bi

w której a i b są liczbami rzeczywistymi, chcemy wyznaczyć odchylenie luku xx' na okręgu koła, nakreślonego z początku spółrzędnych promieniem r. Kładąc

znajdujemy

skąd

Bibl. mat.-fiż, S. IV, T, II.

u—rnco$na. -f a, v=rnsmna + 6*    <£/ \> <

W: -

x~r (cos aj-i sin a), f(x) — U + iv,

(U — a)² -f- (v—b)² =. rln.

Powyższe równanie wskazuje, że wtedy, kiedy punkt porusza się po okręgu koła    (fig. 3), nakreślonego z początku spółrzędnych promieniem r. to

f/

X/

6>

O, *

Fig. 3.

odpowiadający mu punkt / w drugim układzie jednocześnie poruszać się będzie po okręgu koła, nakreślonego z punktu c promieniem rn. Oznaczając zaś kąt UÇf przez ß, widzimy, iź

ß = w a.

Biorąc to pod uwagę i zważając, że odch f(x) — fO U = 6, możemy łatwo Wy= znaczyć odchylenie jakiegokolwiek łuku na okręgu 0,0₂0₃0₄ względem funkcyi f(x). — Np. dla całego okręgu znajdujemy :

jeżeli    rn < }/ a¹ + b'¹,    to    odchy(0,0₂0₃0₄0, ) = 0>

jeżeli    rn > J/ a² + b²,    to    odch/(0₁0₂0₃0₄0₁) = 2wr.

32. Twierdzenie po mocniczè L Jeżeli funiccy ja całkowita f(x) dla pewnej wartości zmiennej niezależnej, x = a, przyjmuje wartość f (a) różną, od sera, to sawsse można snalćść talcą liczbę h, żeby wartość mod f(a Ą- h) była mniejsza od icartości mod f(a).

Przypuśćmy, że pośród liczb

/W, /W, • • • J(m)(a), • . . ,f(n)(a),

pierwsza, licząc    od strony lewej,    która nie jest równą zeru, jest f(m)(a);    jeżeli

więc f(a)    jest już różna od zera,    to    m = 1. Gdy przez h oznaczymy    przy

rostek dowolny, to

hm

f(a + h)=f(a) + r

hn

P"Xa)

skąd, po podzieleniu obu stron przez f(a)} otrzymujemy

(1)

/(a + h)

f(a)

—d -p

hm

f[m)(a)

1.2... m f(a)

Wyznaczywszy moduły i odchylenia spółczynników rozmaitych potęg li na stronie lewej równania (1) i nazwawszy przez R i Ö moduł i odchylenie przyrostka dowolnego h, mamy

1

1.2...m f(a)

= Tm (cos am -f i sin am),

/'W

co

= rn(cos a„ -(- i sin a„),

h — Ji (cos 0 + « sin 0).

Wskutek tego, można równanie (1) tak napisać:

f(a+h)

f(a)

[cos (m0 + am) -f i sin (md + am)J

+ Rm+Vm+1 [cos^(m+l)0+am+i^+isin^(rn+l)0f am+1^J

+ . . . + RV

„ [cos (n 0 -j- a„) + i sin (n 0    a„) J.

wartość

Ponieważ odchylenie 0 dotąd pozostawało dowolne, przeto nadajmy

mu

TT—a „i

, //

a jej odpowiednie wartości odchyleń (m -f 1)0 -f- am^i, . . . , nd + a„ oznaczmy rzez <p,, . . . , cp„ _ m ; w takim razie

f(a+h)

f(a)

=1— R”y„,+Rm+VWł+i (cos <pt -H sin <p, ) -p... -f RVW (cos    sin

Co do modułu R zaś zróbmy przypuszczenie, że

skąd mamy

R<^r¹₌.

Vrm

(2)

1 — Rmrm > Ö $

a według ostatniego równania jest

mod f(a Ą-h)

mod f(a)

Lecz z drugiej strony, jeżeli przyjmiemy, że R, prócz nierówności (2), czyni jeszcze zadość nierówności

ß^-TP

gdzie k oznacza jakąkolwiek liczbę dodatną, a k jakąkolwiek liczbę, nie mniej-1 szą od największej z liczb rłn+1, rm-p₂, . . . , r„, to

R + . * • + R ¹ Tn<Zki

k < r„

aby istniała nierówność

mod f(a + h) C mod f(a). A więc, dla wszystkich wartości li takich, że

7Z CLm

zatym

mod/(a + h)

mod f(a)

<1-Em(rm-k).

To wskazuje, iż wystarcza przyjąć

odcli h —

a mod It nie jest większy od mniejszej z dwu liczb

y rm

mamy

mod f(aĄ-h) <C mod f(a) co okazuje prawdziwość wypowiedzianego twierdzenia.

33. Twierdzenie pomocnicze 2» Jeżeli we wszystkich punkt ach > leżących na krzywej zamkniętej, albo wewnątrz niej, wartość modułu funkcyi całkowitej f(x) nie jest mniejszą od liczby dcdatnćj k, to odchylenie tćj krzywej względem funkcyi f(x) jest równe zeru.

*(f

j'

JS

*ł

TU

lii,

Fig. 4.

Oznaczmy przez R taką liczbę dodatną, żeby cała krzywa zamknięta abcda (fig. 4) znajdowała się wewnątrz okręgu koła, nakreślonego z początku pfdmienieffiF.E, i, kładąc

ni

f(x) = Axn fi-    A

mod A = a, mod A, = ax, . ,

wyznaczmy wartości :

Lj = mR,,_i + (n — l)a,Rn~² + . . n(n— 1)

L₂ =

1.2

«R

(n — 1 )(n — 2)

1.2

a.R’“-³ -f . .

L n = a,

Wówczas, oznaczając przez L jakąkolwiek liczbę clodatną, nie niniejszą od każdej z liczb L,, L₂, , . . , L„, w każdym punkcie x na linji ahcda, albo wewnątrz niej, będą miały miejsce następujące nierówności:

mod f'(x) < L, mod

f"'(x)

1.2

^L,..

mod

f(n)(x)

1.2 ...n

Poprowadźmy na płaszczyźnie spółrzędnych układ linij prostych, równoległych do osi odciętych, z którychby każda od bezpośrednio sąsiednich była oddalona niewięcój niż na

V'iß + L)

i drugi układ prostych, równoległych do osi rzędnych, zadość czyniących podobnemu warunkowi. Wskutek tego, pole, ograniczone krzywą abcda, podzieli się na pewną ilość elementów, pól składowych, jak rnsc, Imnr i t. d. Rozpatrzmy jeden z takich elementów, np. pole Imnr; to, co o polu tym powiemy, będzie się stosować do innych.

Jeżeli x i x h są dwiema wartościami zmiennej x, odpowiadającymi dwu punktom na płaszczyźnie spółrzędnych XOY, z których pierwszy leży wewnątrz prostokątu Imnr, a drugi na jego obwodzie, to ma miejsce nierówność :

mod [f(x -f- h) —f(x)\ < k.

Istotnie, ponieważ

mod h<Z J/ Im? Ą- mn?

\/ ż(k + L)

to

mod/i<rTL;

Na tej zasadzie, zważywszy, że liczba L jest mniejszą od każdej z liczb

mod f(x)

mod

f"(x)

1.2

wnosimy, iż wartość modułu wielomianu jest mniejsza od k, czyli

mod \f(x 4- h) —f(x)] <k.

Zestawiając tę nierówność z dwiema nierównościami mod f(x)    k,    mod f(x -f- li) >- Ic,

wynikającymi z założenia, widzimy, że punkt/, przedstawiający na płaszczyźnie spółrzędnycli UOY wartości funkcyi f(x), znajdzie się albo na, albo zewnątrz okręgu koła, zakreślonego z punktu O, jako środka, promieniem równym k, a wszystkim punktom, leżącym na obwodzie Imnr, odpowiadać będą punkty, leżące jednocześnie zewnątrz owego koła i wewnątrz okręgu koła, zakreślonego z punktu/, jako środka, promieniem Ic. Innymi słowy, linii łamanej zamkniętej Imnrl odpowiada pewna zamknięta krzywa /,/>/₃/,, cała zawarta wewnątrz pola ABCDA. To dowodzi, że odchylenie linii Imnr jest równe zeru; gdyż przy ruchu ciągłym punktu/po krzywej /,/₂/₃/, kąt /,OU, zmieniając się także w sposób ciągły, nie może powiększać się lub zmniejszać o 2i, tak iż, gdy punkt /,, przeszedszy całą długość krzywej /,/₂/₃/,, powróci do swego stanowiska początkowego, kąt /,OU dosięgnie także swojej wartości początkowej.

Na zasadzie jednej ze wzmiankowanych wyżej własności odchylenia jakiejkolwiek krzywej, mamy

odch y(abccła) = 2 odch/(Imnrl),

gdzie znak sumy na stronie prawej rozciąga się na odchylenia obwodów wszystkich pól składowych. A ponieważ, na mocy powyższego, dla każdego obwodu Imnrl mamy

odch /(Imnrl) — 0,

przeto

odch/(abccla) — 0,

czego należało dowieść.

34. Twierdzenie pomocnicze 3. Jeżeli mamy funkcyją całkowitą stopnia ndego,

f= Aæ”-f- Aj#”“¹ -f . . . +A»,

jeżeli przez a oznaczymy dowolną liczbę, dodatną, nie mniejszą od każdej z liczb

mod A

mod A₂, . . . , mod An,

a przez k dowolną liczbę dodatną, mniejszą od mod A, to, zakreśliwszy około początku spółrzędnycli krzywą zamkniętą ChO.OgChO,, jakiegokolwiek kształtu, lecz taką, żeby odległość każdego jej punktu od początku spółrzędnycli była

^ 1 -J-    , będziemy mieli

odch /(OjOaOgOłOj) — 2n%.

Weźmiemy pod uwagę funkcyją ułamkową

F — — — A -f- A, — -j~ • • • "f" A» — ,

X"    ¹ x    '    ” £C” ’

— y, za

i wyznaczmy odchylenie krzywej 0₁0₂0₃0₄0₁ (fig. 5) względem funkcyi F(x). Przyjąwszy ~

uważymy, że dowolnie wybranemu punktowi x odpowiada punkt y, leżący po drugiej stronie osi odciętych tak, iż kąt 0,0a’=: — 0,0y,

a odległość Oy=. ~

tego, gdy punkt x, poruszając się w sposób ciągły, opisuje krzywą 0,0^3 0*0, w kierunku strzałki, to odpowiadający mu punkt y opisze krzywą B,B₂B₃B₄B, w kierunku przeciwnym, a jego odległość od początku O, zgodnie z założeniem, będzie Jc

wciąż < ——y . a -F K

Oznaczywszy przez <p funkcyją

o,

Ox '

Dla-

Os

Bs

O JBt Oj +X

Fig 5.

<p = A + Axy + . . . Ą-Anyn która zależy od nowej zmiennej y, mamy

odchj.^OaOaOiO,) — odch ,f(B,B₂B₃B₄B,),

gdyż wartość funkcyi F w punkcie x na krzywej 0,0₂0₃0₄0, jest równa wartości funkcyi cp w odpowiadającym punkcie y na krzywej BjBjBaB^B,. A nadto wiadomo, że jeżeli to

mod cp (y) ^> mod A — h ;

wskutek czego, na mocy 2-go twierdzenia pomocniczego, wnosimy, że

odch ? (B, B₂ B₃ B₄ B, ) = O.

A zatym także

odch F (O^jOaOiO,) — O

albo, co wychodzi na jedno,

odch/(0₁0₂0₃0*0₁) — odcha.„(0,0₂0₃0₄0,)'=: 0.

Stąd zaś, gdy oczywiście

otrzymujemy

odclixM(0,0₂0₃0₄0,) = 2wu,

c. n. d.

odcli /(OjOgOaOaOj) = 2m,

§ VII. PIERWSZY DOWÓD ISTNIENIA PIERWIASTKA.

35. Twierdzenie. Kaście równanie jakiegokolwiek stopnia, ze spól-czynnikami lub rzeczywistymi zespolonymi, ma pierwiastek, rzeczywisty albo zespolony.

Istotnie, oznaczywszy przez f(x) stronę lewą równania danego,

f(x) — 0,

spostrzegamy, że pośród wartości, jakie otrzymuje liczba dodatna mod f(x), odpowiednio do wszelkicli moźebnycli wartości zespolonych zmiennej niezależnej x} istnieje jedna najmniejsza. Ta najmniejsza wartość odpowiada pewnej wartości skończonej zmiennej x, gdyż, z powiększaniem się liczby x do co, wartość mod x wzrasta także do cc. Niech więc a oznacza tę szczególną wartość zmiennej x, dla której mod f(x) otrzymuje wartość najmniejszą.

Jeżeliby przypuścić, że mod f(a) >* 0, to natenczas, według 1-go twierdzenia pomocniczego (art. 32), możnaby znalćść taką inną wartość a + li zmiennej niezależnej, dla której miałaby miejsce nierówność

mod/(a -j- h) <i mod f(a).

Lecz to przeczyłoby przypuszczeniu, że mod f(a) jest możebnie najmniejszą wartością mod f(x)\ a zatym

mod f(a) — 0,

a liczba a jest pierwiastkiem równania f(x) — 0.

§ VIII. DRUGI DOWÓD ISTNIENIA PIERWIASTKA.

36, Mając funkcyją całkowitą

f(x) — Axn + Alxn~¹ -f A₂x>1~'² + . . . + A„,

oznaczmy przez a i k toż samo, co w 3-im twierdzeniu pomocniczym (art.

34), t. j.

przez k dowolną liczbę dodatną, mniejszą od wartości mod A, przez a dowolną liczbę dodatną większą od każdej z liczb : mod A,, mod A₂, . . . , mod A„,

a prócz tego, przez m oznaczmy liczbę dodatną, całkowitą, nie mniejszą

CC

od wartości 1 + -p. Odłóżmy tak na osi odciętych, jak i na osi rzędnych, od początku spółrzędnych w obie strony, po m jedności, a przez tak wyznaczone punkty poprowadźmy dwa układy prostych, równoległych odpowiednio do osi rzędnych i odciętych. Skrajne z tych linij (t. j. m-te od początku) utworzą kwadrat, który nazwijmy ABCD.

Ponieważ odległość każdego punktu na obwodzie kwadratu ABCD od początku spółrzędnych

h

nie jest mniejszą od 1 -j- -, prze-

Ci

UL

to, na mocy 3-go twierdzenia pomocniczego (art. 34), mamy

odch ^(ABCDA) = 2 niz.

Jeżeliby się zdarzyło, że na jednej z 4m — 2 prostych, dzielących kwadrat ABCD, funkcyja f(x) stawałaby się równą zeru, to wtedy nie byłoby potrzeby dowodzić istnienia pierwiastka. Przypuśćmy więc, że to nie zachodzi; w takim razie zważmy, że

Fig. 6.

odch/(ABCDA)=;^odch j(gbcdg),

gdzie znak sumy na stronie lewej rozciąga się na obwody wszystkich 4m² kwadratów takich, jak gbcd; a zatym

Y odch f(gbcdg) — 2mz.

Stąd wnosimy, że pośród 4m² kwadratów takich, jak gbcd, znajduje się przynajmniej jeden taki, iż odchylenie jego obwodu jest różne od zera. Niechże to będzie kwadrat gbcd; przyjmujemy więc, że odchylenie jego obwodu jest 2kit, gdzie k oznacza pewną liczbę całkowitą, różną od zera.

Wartości mod f(x) wewnątrz kwadratu gbcd i na jego obwodzie nie mogą być wciąż większe od dowolnie wziętej liczby dodatnéj, gdyż w takim razie, wskutek 2-go twierdzenia pomocniczego (art. 33), mielibyśmy

odch f(gbcdg) — 0,

co przeczy tylkoco zrobionemu przypuszczeniu. A więc znajdują się wewnątrz pola gbcd dowolnie małe wartości modułu funkcyi f(x).

Podzielmy każdy z boków gb i gd np. na dziesięć równych części i przez punkty podziału przeprowadźmy dwa układy prostych, równoległych do osi spółrzędnych, ażeby pole gbcd rozłożyć na sto mniejszych kwadratów, takich jak glmn. Jeżeliby się zdarzyło, że na jednej z poprowadzonych teraz linij funkcyja f(x) staje się równą zeru, to nie mielibyśmy potrzeby dowodzić, że pierwiastek istnieje. Przypuśćmy więc, że to nie zachodzi; w takim razie odch j(gbcdg) — Y odch/(glmng),

V ocielij(glmng) = 2Ja:,

a wskutek tego

gdzie znak £ rozciąga się na obwody wszystkich stu kwadracików, wchodzących wskład kwadratu abcd.

Ostatnie równanie wskazuje, że pośród stu kwadratów, takich, jak glmn, znajduje się przynajmniej jeden taki, iż odchylenie jego obwodu nie jest równe zeru. Niech to będzie kwadrat glmn, i przypuśćmy, że

odcli f(glmng) — 2&r7t,

gdzie k! oznacza liczbę całkowitą, różną od zera. A więc znajdują się wewnątrz pola glmn dowolnie małe wartości modułu funkcyi f(x).

Rozumując dalej w podobny sposób, otrzymamy oczywiście: albo pierwiastek na jednej z prostych, które wypadnie prowadzić, albo będziemy się nie-ograniczenie zbliżać do pewnego punktu a takiego, iż wartość mocl ffa) będzie mniejsza od dowolnej liczby, jakkolwiek małej, innymi słowy, będziemy się nieograniczenie zbliżać do takiego punktu a, iż mocl f(a) = 0. Liczba a będzie pierwiastkiem danego równania f(x) — 0.

Istnienie pierwiastka jakiegokolwiek równania przedstawia twierdzenie zasadnicze algiebry wyższej.

Pierwszy d’Alembert dał dowodzenie istnienia pierwiastka. Po nim należy zaznaczyć dowodzenia Euler’a, Lagrange’a, a szczególniej dowodzenia Gauss’a i Cauchy’ego. Pierwszy z wyłożonych tu dowodów podał Cauchy,

ROZDZIAŁ III.

ROZKŁAD FUNKCÏI CAŁKOWITEJ NA CZYNNIKI LINIJOWE. — PIERWIASTKI WIELOKROTNE. — ROZKŁAD FUNKCYI UŁAMKOWEJ NA UŁAMKI NAJPROSTSZE.

§ I. ROZKŁAD FUNKCYI CALK0W1TÉJ NA CZYNNIKI LINIJOWE, O DZIELNIKACH FUNKCYJ CAŁKOWITYCH.

37. Udowodniwszy dla jakiegokolwiek równania istnienie pierwiastka, zajmiemy się teraz wyprowadzeniem wniosków, jakie z tego wynikają,

Niech f(x) przedstawia jakąkolwiek funkcyją stopnia M-tego,

f(x) — Axn + A,a;"-¹ -f . ... -f A„,

a liczba a, niech będzie jéj pierwiastkiem. Funkcyją f(x) jest podzieliła przez X — ax\ oznaczywszy iloraz przez f{(x). będziemy mieli

f(x) — (x — ax)fi(x).

Funkcyją ftx), stopnia (n—l)-go, posiada pierwiastek. Nazwawszy go a2f będziemy mieli tożsamość

f\(x) = (x — a₂)f₂(x),

w której f₂(x) oznacza funkcyją całkowitą, stopnia (n — 2)-go. Podobnie postępując dalej, otrzymamy nowe tożsamości:

f₂(x) = (x — a₃)f₃(x) fn-\(X) — (X — a„)fn(x)

w których «₃,    . . . są liczbami stałymi, zaś f₃(x), f^(x), . . . funkcyjami

całkowitymi stopnia odpowiednio (n — 3)-go, (n — 4)-go, .... Łatwo tu zauważyć, że w wyrażeniu każdej z funkcyj J\(x), f₂(x), . . . spółczynnikiem najwyższej potęgi zmiennej x jest liczba A, tak iż ostatnia funkcyją ßn)(x), będąc stopnia zero, jest równa A.

Z powyższych tożsamości wynika

f(x) = A(x — ax) (x — a₂) . . . (x — an),

co wyraża następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Każcla funkcyja całkowita stopnia n-go jest równa iloczynowi n czynników linijowych postaci x — a, pomnożonemu przez spółczyn-nik najwyższej potęgi zmiennej x w wyrażeniu tćj funkcyi.

Taki rozkład funkcyi na czynniki linijowe może być wykonany w jeden tylko sposób. Jakoż, przypuściwszy, iż jest możliwą tożsamość

A(x — aj) (x — aj) ... (x — aj) — B(x — bj) (x — bj) . . . (x — bn),

wnosimy wprost, iż pośród liczb b₂, . . . znajduje się liczba au gdyż strona prawa, a więc jeden z jéj czynników jest zerem przy x — a,; niech np. al — bi. Dzieląc obie strony przez x — a,, otrzymamy nową tożsamość

A(x — aj) (x — aj) . . . (x — aj) = B(x — b.j) (x — bj) . . . (x — bn),

która wskazuje, że pośród liczb b₂, b W ten sposób przekonywamy się, że liczby

«u a₂, a₂, . .

, . znajduje się liczba a₂. I t. d.

mogą od liczb

b\. b₂i b₂, . . . , bn

różnić się tylko następstwem, a nadto, że spółczynniki B i A są sobie równe, .38. Z równości

f(x) = A(x — ai) (x — aj) . . . (x — a„)

widoczna, iż funkcyja f(x) staje się równą zeru tylko przy następujących wartościach zmiennej x:

x = a j, a,,..

a ponieważ ich jest n, przeto równanie stopnia n-go f(x) z=. 0 nie może mieć więcej niż n pierwiastków.

Tylko w tym przypadku, kiedy wszystkie liczby

, a₂, . • . , an

są różne od siebie, równanie f(x) — 0 ma istotnie n pierwiastków; w przyjmd-ku iirzeciwnym ilość pierwiastków równania jest mniejsza od n. — Jeżeli się zdarzy, że wszystkie liczby a₂, ... , an są sobie równe, to wtedy równanie f(x) = 0 ma tylko jeden pierwiastek. Wogóle, przypuściwszy, że pośród liczb «i, a₂, ... ,an jest

a liczb

ß » b,

gdy już każde dwie z liczb a, bj...,l są różne od siebie, możemy napisać

f(x) — A(x — a)a (x — b)$ ... (x —    .

AVtedy czynnik«—a nazywa się a-krotnym czynnikiem funkcyi f(x), czynnik x—b jéj ß-krotnym czynnikiem i t. d.

Oczywiście, że to określenie wielokrotności czynników linij owych funkcyi f(x), wychodzi na toż samo, co określenie podane w art. 16-ym.

Przypomnimy, że pierwiastek a nazywa się a-krotnym pierwiastkiem równania f(x) = 0, a wrazie gdy a—1 pierwiastkiem pojedynczym. —

Jeżeli przyjmujemy w rachubę wielokrotność każdego pierwiastka, to ilość wszystkich pierwiastków równania f(x) — 0 jest równa jego stopniowi, gdyż a -f- ß -f- • . . -f- X = n.

39. Wykonawszy mnożenie, otrzymujemy

A(x—al)(x—a₂)... (x—an) — Axn—A^^^+Av,# gdzie, przez skrócenie, wprowadziliśmy oznaczenia:

d₃+ . . . -j-

— a{a₂ aia₂ -\- ... + ar.—\an)

2a= «1«2«3 •••«»•

Ponieważ wyrażenie ostatnie jest toźsamościowo równe wyrażeniu Axn +    + A₂æ”~² + . . . + A„,

przeto

A₂

t. j. wogóle

Am

dla wszystkich wartości wskaźnika m, od jedności do n.

Równania te wyrażają związki, zachodzące między pierwiastkami równa' nia i jego spółczynnikami, i dają możność napisania równania, gdy jego pierwiastki są dane.

Wskazują też one, że, jeżeli wszystkie pierwiastki równania są rzeczywiste i dodatne, to ani jeden spółczynnik w równaniu nie jest równy zeru, a każ* de dwa spółczynniki sąsiednie są różnego znaku.

40. Przypuśćmy, że wszystkie spółczynniki w równaniu f(x) = 0 są rzeczywiste; wtenczas ono albo nie ma pierwiastków zespolonych, albo ich ilość jest parzysta. W ostatnim przypadku pierwiastki zespolone grupują się parami, po dwa sprzężone, których wielokrotność jest takaż sama.

Podanie to, które wypowiedział d’Alembert, udowodniliśmy już w art. ] 7-ym; ono staje się prawie oczywistym (art. 6), jeżeli przyjmiemy na uwagę rozkład funkcyi f(x) na czynniki linij owe.

Przypuśćmy, że równanie f(x) == 0 posiada jednę, albo kilka par pierwiastków zespolonych sprzężonych, i weźmy pod uwagę jednę taką parę,

«i =P + üh a₂=p — qi.

Iloczyn odpowiadających im dwu czynników linij owych

(x — a,) (x — aj) = (x —p)² + q²

przedstawia funkcyją stopnia 2-go ze spółczynnikami rzeczywistymi, która pozostaje dodatną przy wszelkich wartościach rzeczywistych zmiennej x; tak, iż zamiast każdej pary czynników linijowych zespolonych możemy napisać jeden czynnik stopnia 2-go, który zawsze jest dodatny. Stąd wynika, że każda funk-ryja całkowita ze spółczynnikami rzeczywistymi rozkłada się na iloczyn czynników linijowych stopnia 2-go ze spółczynnikami rzeczywistymi, a przytym możemy przyjąć, że każdy z czynników stopnia 2-go jest dodatny przy wszelkich wartościach zmiennej niezależnej.

Taki rozkład funkcyi całkowitej jest dogodny w przypadku, kiedy chcemy uniknąć liczb zespolonych.

Przy jego pomocy, łatwo sprawdzić twierdzenie, udowodnione av art.

21-ym.

41. Funkcyją całkowita y(x), która dzieli bez reszty inną funkcyją całkowitą f(x), nazywa się jej dzielnikiem.

Oczywiście, że, jeżeli nie będziemy zwracać uwagi na czynnik stały, każdy dzielnik funkcyi f(x) jest iloczynem czynników linijowych, wchodzących do rozkładu funkcyi f(x). Jeżeli więc mamy rozkład funkcyi f(x) na czynniki linijowe, to możemy wypisać wszystkie moźebne dzielniki tej funkcyi, iioczyna-jąc od linijowych, a kończąc na samej funkcyi f(x)>

Istotnie, kładąc

f(x) = A(x -— a,) (x — a₂) • • • (x — an) i tworząc wszelkie moźebne iloczyny m czynników spośród funkcyj linijowych

00 ' ■ (ïj »    00    j à * • 2 OC Cl fi j

otrzymamy wszystkie moźebne dzielniki stopnia m-go funkcyi f(x). Ilość takich dzielników jest równa ilości kombinacyj z n elementów po m. Będą one wtedy tylko różnymi dzielnikami, kiedy wszystkie pierwiastki a,, a₂, • • • , an są różne; w przeciwnym razie ilość dzielników stopnia m-go będzie mniejsza.

Mając dwie funkcyje całkowite, F(x) i f(x), i dane wszystkie czynniki linijowe każdej z nich, możemy wypisać wszystkie dzielniki spólne tych dwu funkcyj, a więc i największy ich spoiny dzielnik.

Wyrażenie największego spólnego dzielnika może być otrzymane inaczej, bez pomocy czynników linijowych danych funkcyj, według wiadomego sposobu Euklidesa. Dlatego, wyznaczenie wszystkich spólnych dzielników dwu funkcyj sprowadza się do rozłożenia największego spólnego dzielnika tych funkcyj na czynniki linijowe.

Jeżeli największy spoiny dzielnik dwu funkcyj F(x) i f(x) jest jednością, to takie funkcyje nazywają się p i é r w s z y m i względem siebie; natenczas równania F(x) r=0 i f(x) — 0 nie mają pierwiastka spólnego.

Wogóle, jeżeli największy spoiny dzielnik dwu funkcyj F(x) i f(x) jest funkcyją stopnia m-go, którą oznaczmy przez D, to dwa równania „

F(x) = 0, f(x) = 0

maja m pierwiastków spólnych, czyniących zadość równaniu stopnia w-go

D = 0;

z tycli pierwiastków niektóre mogą być równe sobie.

Podobne uwagi możnaby zrobić o trzech, czterech i t. d. równaniach»

42. Znajdziemy największy spoiny dzielnik fimkcyi

f(x) = Axn -f Axxn~l    An

i jej pochodnej

+ Art_i

/'(on) = nAxn~l -j- (n — 1) A,a?w-² -f- .

w przypuszczeniu, że rozkład funkcyi na czynniki linijowe jest dany, mianowicie

f(x) — A (x — a)a (x — bp . . . (x — ljK

gdzie każde dwie z liczb a₎ b, . . . , l są różne od siebie.

W tym celu, nie biorąc pod uwagę wielokrotności czynników linijowych, napiszemy powyższe równanie tak :

f(x) =3 A(x    a^ (x — a₂) ... (x — a„).

Wstawiając w obu stronach x -Ą- h zamiast x, a strony tak otrzymanej równości dzieląc przez strony poprzedniej, będziemy mieli:

Obie strony téj tożsamości są funkcyjami całkowitymi względem h; spółczynni* ki przeto jednakowych potęg h są sobie równe. A gdy

7.    7,2

f(x + h) = f(x) + y f(x) -4- ~2 f"(x) + . .

zatym spółczynnik piérwszêj potęgi h na stronie lewej poprzedniej tożsamości jest

f(x) f(x)

a na drugiej

x — at

x — a₂

— a»

jest więc

f(x)

f(x) X — ÜI x — a₂

x — an

Przyjmując na uwagę wielokrotność pierwiastków, możemy tę równość tak napisać :

O)

f(x)

-ro

f(x) x — a x — b

kładąc zaś, przez skrócenie,

(x — a) (x •— b) . . . (x l) — <p(x)

i mnożąc obie strony równości (1) przez

f(x) = A(x — af~x (x — bß~x ...(x — l)l~x y(x),

otrzymamy

/'(#) — N(x — a)“' ¹ ... (x — l)

)X_t Tay(x) , ßcp^; |_a;—a

Dla ostatecznego rozłożenia funkcyi f(x), należałoby otrzymać rozkład funkcyi całkowitej

rjMx) , Wx)

\y(x)

= $(x)

& ■—a

na czynniki linijowe. Lecz dla naszego celu, dla odnalezienia największego spólńego dzielnika funkcyj f(x) i f'(x), dostatecznym będzie, gdy dowiedziemy, że do tego rozkładu nie wejdzie żadna z funkcyj linijowych

x — b, » . . , x — l

x — a,

czyli, innymi słowy, że funkcyje f(x) i ty(x) są pierwsze względem siebie. Ja-koź, jeżeliby te dwie funkcyje miały spoiny dzielnik linijowy, np. x — a, to mielibyśmy ty (a) — 0, czyli

(a — b) (a — c) . i . (a — l) = 0,

co niemoźebna, gdyż liczba a jest różną od liczb b, c, ... ,1. Zestawiając z sobą dwa wyrażenia:

f(x) = A (x ■— a)a (x — b)$ ... (x — f'(x) = A(x~ af~x (x — bf~x ... (x — l)l~x^(x),

i biorąc pod uwagę, że funkcyje f(x) i ty(x) są pierwsze względem siebie, wnosimy, że największy spoiny dzielnik funkcyi f(x) i jéj pochodnej f'(x) jest

(x— af*^ (x — b)$~x . . . (x — lj^~x.

Tym sposobem dochodzimy do następującego twierdzenia.

Twierdzenie. Największy spoiny dzielnik funkcyi całkowitej f(x) i jéj pochodnej f(x) jest iloczynem wszystkich różnych czynników linijowych, wchodzących do rozkładu funkcyi f(x), wziętych w potędze o jedność niższej od tćj, w jakiej one wchodzą do rozkładu funkcyi f(x).

Wniosek 1. m-krotny pierwiastek równania f(x) = 0 jest (m— ^-krotnym pierwiastkiem równania f'(x) — 0.

Wniosek 2. Ażeby równanie f(x) — 0 nie miało ani jednego pierwiastka wielokrotnego, jest warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby funkcyje f(x) i f(x) były pierwsze względem siebie.

§ II. O PIERWIASTKACH WIELOKROTNYCH.

43. Twierdzenie. Jeżeli równanie stopnia n-ego f(x)—0 ma pierwiastki wielokrotne, to rozwiązanie jego można sprowadzić do rozwiązania jednego lub JcilJcu równań, mających tylko pierwiastki pojedyncze i będących stopnia niższego niż n.

Oznaczmy przez X, iloczyn wszystkich różnych czynników linijowych pojedynczych, wchodzących do rozkładu funkcyi f(x), przez X₂ iloczyn wszystkich różnych czynników linij owych dwukrotnych i, wogóle, przez Xm iloczyn wszystkich różnych m-krotnych czynników linij owych. Jeżeli zaś się zdarzy, że pośród czynników linijowych funkcyi f(x) niema m-krotnych, to przez Xm będziemy rozumieć jedność. Przyjmijmy jeszcze, dla uproszczenia, że spółczyn-nik najwyższej potęgi zmiennej x jest jednością. Mamy więc równość

f(x) = Xi X₂² X₃³ . . . Xm”¹,

w której m oznacza największą wielokrotność różnych pierwiastków równania danego.

Oznaczymy przez D,, D₂, . . . , Dm największe spólne dzielniki, utworzone w taki sposób :

I), dla funkcyi f(x) i jej pochodnej f(x)

Da

D,

d₃

d₂

D.',

D₂',

Dm

D,

Dm_i'.

Otrzymując zaś, na mocy twierdzenia art. 42-go, oddzielne wyrażenia każdej z tych funkcyj, wypiszmy je wraz z powyższym wyrażeniem funkcyi f(x):

f(x) — XtX₂²X₃³ . . . Xmm

D₁ = X₂X₃²...XW—\ D₂ = X₃ X₄² . . . XOTm~²,

j )    _ V

-L,m—1 j

Dm = l.

Ilość tych równań jest określona przez to, że ostatni spoiny dzielnik jest jednością; na nim przerywa się odszukiwanie funkcyj D. Lecz ilość tak otrzymanych równań równa się ilości niewiadomych funkcyj Xt, X₂, . . . , Xm; więc wszystkie mogą być stąd otrzymane, i oto w jaki sposób.

Podzielmy kolejno: funkcyją f(x) przez D,, funkcyją Di przez I)₂, i t. d.; oznaczywszy ilorazy otrzymywane odpowiednio przez U,, U₂, . . . , będziemy mieli :

= X,X₂. . . X™,

2 —- X₂ X₃ . . . Xm,

Urn- X„, »

Stąd widzimy, że funkcyją Ut jest podzielna przez U₂, funkcyją U₂ przez U₃, i t. d.; uskuteczniając dzielenie otrzymujemy:

Bibl. mat.-Oa., 8. IV, T. II.

Takimto sposobem otrzymujemy wyrażenia wszystkich funkcyj X,, X₂,..., Xm, a możemy zauważyć, że otrzymujemy je zapomocą zwyczajnego dzielenia algiebraicznego.

Rozwiązanie więc równania f(x) = 0 sprowadza się do rozwiązania następujących równań;

Xi — o, X₂ — 0, . . . , Xm — 0.

Pierwsze z nich określa wszystkie pierwiastki pojedyncze, drugie określa wszystkie pierwiastki dwukrotne i t. d.

Jeżeliby się zdarzyło* źe równanie f(x) = 0 nie ma pierwiastków pojedynczych, to wtedy mielibyśmy X, = 1, i nie moźnaby napisać równania X, = 0, Toż samo można powiedzieć o pierwiastkach dwukrotnych i t. d.

44. Pbzykład. Dowiedzieć się, czy równanie

oc³ ■⁼— a?⁷ -— 4x° -f 6a;³ — 12a;³ -f 16a;² p 8x — 16 = 0

posiada pierwiastki wielokrotne.

Największy spoiny dzielnik dwu funkcyj :

f(x) z=zx*‘— a:⁷ — 4a>⁶ + 6a:³ — 12a;³ -f- 16x² + 8x — 16, f'(x) = 8a:⁷ — 7x° — 24cc³ + 30ccł — 36a;² -f- 32cr -P 8

jest

D, = xi — 4 cc² + 4;

największy spoiny dzielnik funkcyj

Dj' — 4x* — 8x

U₂

u₂

^ = x₂,.k

U₃

"U" 771—1 _ "Jt-

u»

OT—1 ;

uM = xw.

1), = xi — 4 a;² -p 4,

jest

D₂ = x² — 2;

nakoniec, największy spoiny dzielnik funkcyj

D₂ = a?² — 2, D₂ = 2x

jest

Wskutek tego, mamy

Uj = x* — x³ p 2x — 4

D₃ = l.

a stąd

U₂ = cr²— 2, XJ₃ — x² — 2,

Xt = x² — x p 2

X₂ = l

A więc równanie dane posiada dwa pierwiastki pojedyńcze, zadość czyniące równaniu

X₃ = a;² —2.

x² — x p 2 = 0

i dwa trzykrotne, zadość czyniące równaniu

cc²—2 = 0,

tak, iż możemy napisać ;

f(x) = (x² — 2)³ (x² — x -p 2).

•lO

§ III. ROZKŁAD FUNKCYI ULAMKOWÉJ NA UŁAMKI NAJPROSTSZE.

45. Ź rozkładu funkcyi całkowitej na czynniki linijowe wynikaj jakd wniosek, rozkład funkcyi ułamkowej na ułamki najprostsze («cząstkowe»);

Zauważymy naprzód, że jeżeli w wyrażeniu fuiikeyi ułanakowćj -j stopień

licznika jest większy albo równy stopnidwi iniańownika, to zńpoinocą zwyczaj-

P

nego dzielenia algiebraicznego można rozłożyć funkcyją — na sumę dwu innych

funkcyj, z których pierwsza będzie całkowita, a druga ułamkowa z licznikiem stopnia niższego od stopnia mianownika. Samo się przez się rozumie, że takie rozłożenie jednym tylko sposobem uskutecznione być może.

Weźmiemy pod uwagę taką funkcyją ułamkową

PQ

której mianownik jest iloczynem dwu funkcyj całkowitych, pierwszych względem siebie, a stopień licznika F jest niższy od stopnia mianownika PQ. Zauważmy, że, zapomocą zwykłego dzielenia algiebraicznego, możemy znalćść dwie funkcyje całkowite X i Y, zadość czyniące równości

QX + PY = 1.

Rozważając zaś te funkcyje jako wiadome, otrzymujemy

±=*+ ■ PQ P¹

a więc

P _FX F Y

PQ“ P ⁺ Q '

Oznaczając przez E i A część całkowitą i resztę, wynikające z podzielenia funkcyi FX przez P, a przez H i B część całkowitą i resztę z podzielenia funkcyi F Y przez Q, możemy poprzedzającą równość tak wyrazić :

e_p , n , ab

PQ —E + H+P ⁺ Q.

P

Lecz, według założenia, funkcyją nie przedstawia części całkowitej : więc

i    PQ

suma E + H jest toźsamościowo równa zeru; wskutek tego

PQ

>-ć\

PQ IG?

gdzie A i B są funkcyjami całkowitymi stopni odpowiednio niższych, niż funkcyje P i Q.

przedostatni ułamek zbliżony («redukt») jest

16

F

Rozkład funkcyi ułamkowej według poprzedzającego wzoru jest

możebny w jeden tylko sposób. Istotnie, jeżeli przypuścimy, że istnieją dwie źhnkcyje A' i B' stopni odpowiednio niższych niż funkcyje P i Q, a takie, iż ma miejsce równość

PQ-

«C w

to wtedy ma także miejsce równość

hdl

A'

«QIW

2 której otrzymujemy

(A — A')Q = (B' — B) P.

Gdy zaś funkcyje P i Q są pierwsze względem siebie, przeto z ostatniej równości wynika, że funkcyja A — A' jest podzielna przez P; a że nadto obie funkcyje A i A', a więc i ich różnica, są niższego stopnia niż funkcyja P, zatym różnica A — A' jest tożsamościowo równa zeru, t. j.

A'= A,

wskutek tego, również i

B'= B.

A więc nie można przypuścić, że funkcyje A' i B' różnią się od funkcyj A i B.

Z tego wynika następujące

Twierdzenie pomocnicze 1. Każda funkcyja ułamkowa, nie zawierająca w sobie części całkowitej, mająca jako mianownik iloczyn dwu funkcyj P i Q, pierwszych względem siebie, może być przedstawiona jako suma dwu ułamków, których mianownikami są funkcyje P i Q, a licznikami funkcyje stopni niższych niż odpowiednie mianowniki; taki rozkład funkcyi ułamkowej może być uskuteczniony w jeden tylko sposób.

46. Przykład. Rozłożyć funkcyją

(x² + 5) (x³ Ą- x — 1) ’

Rozwijając stosunek dwu czynników mianownika na ułamek ciągły, znajdziemy

x³-\-x—1

x² -f- 5

~x —

16

4x — 1 -f

81

4x -f-1

4x² — x— 16

4x — 1

4x — 1

jest więc

(x$ -f x — 1) {4x — 1) — (4x² -~x— 16) (x* + 6) = 81,

skąd

81

4 a? — 1

4x² — ar— 16

x² + 5

(x² 4- 5) (x³ + x — 1)

Pomnożywszy obie strony przez x i oddzieliwszy części całkowite w wyrazach na stronie drugiej, otrzymamy

— x — 20    x²-\-20x— 4

81 x

(x² + 5) (x³ + x — 1)

Można to otrzymać inaczej. Kładąc

_ ax²-\- axx -j- a-i , bx-\-bx (x³ + x—1) (x²-\- 5) x³ + x—1    x²-\-h'>

gdzie a, ax, a₂, b, i b{ oznaczają szukane spółczynniki liczebne, i znosząc mianowniki, otrzymamy

x= (a -f b)x* -f- (ol\ Ą- bjx³ 4- (5 a. 4- «a 4* b)x²    (5%—b -f b{)x-\- 5a₂ — b

Wskutek zaś przyrównania spółczynników jednakowych potęg x po obu stronach, mieć będziemy na wyznaczenie wprowadzonych pięciu spółczynników liczebnych układ pięciu równań :

a + 6 — 0, ai 4- bt = 0,

5 a 4- a₂ 4- b = 0, 5 a, — b 4- bx = 1 5 a-i — b, =0

z których znajdziemy:

a 8^1 ’

«.=1?

20

81

81’

a₂ — —

81’

47. Każda funkcyja ułamkowa

PQR . . . T’

której licznik jest stopnia niższego niż mianownik, a której mianownik jest iloczynem kilku funkcyj P, Q, R, . . . , T, pierwszych względem siebie, rozkłada się na sumę ułamków

hj| !>

<©l cd

PQR.. . T “

w których A, B, . . . przedstawiają funkcyje całkowite stopni niższych niż odpowiadające im mianowniki.

Taki rozkład może być uskuteczniony w jeden tylko sposób. — Opiera się on na kolejnym stosowaniu twierdzenia, udowodnionego w art. 45-ym.

PßZYKEAD, Kładąc

(1)

72

_ a 4 axx 4 a%x² b-Ą-bxx

x³(x — l)² (x 4 2)

x³

--1--£—

(x — l)²    x 4 2

możemy wyznaczyć wszystkie spółczynniki a, a1} . . . w sposób następujący, Mnożąc naprzód obie strony równości (1) przez x³ (x—1)²(#4 2),

otrzymamy

72 = (a 4- «i* + azx²) (x — l)'² (x 4* 2) 4 x³(p(x),

gdzie <p oznacza pewną funkcyją całkowitą. Z tej równości widoczna, że reszta z podzielenia funkcyi

(a + axx 4 arfc*) (x — l)² (x 4 2)

przez x³ jest 72, Dzieląc zaś funkcyją (x — l)² (x 4 2) przez #³, otrzymujemy resztę — 3x -|- 2; a więc reszta z podzielenia iloczynu

(a 4 axx 4 a₂x²) (— 3x 4 2)

przez x³ jest 72. Tworząc istotnie tę resztę, otrzymujemy równość (— 3ax 4 2 a₃)#²-— (3 a — 2a()x + 2 a = 72,

z której wynikają równania

3 ax — 2 «2 — 0 j 3 a — 2 ax — 0, 2a = 72,

a z nieb

a =-36, ax =54, a₂ = 81.

Pomnożywszy obie strony równości (1) przez x³(x 1)²(# 4 2), możemy podobnie otrzymany wypadek tak przedstawić ;

72 === (b 4 bxx)x³(x 4 2) 4 f#— l)²§(x),

gdzie tjł oznacza pewną funkcyją całkowitą. Stąd widoczna, że reszta z podzielenia funkcyi

(b + bxx)x³(x + 2)

przez (x— l)³ jest 72; a gdy reszta z podzielenia funkcyi x³(x-\-2) przez (x— l)² jest 10#— 7, przeto reszta z podzielenia iloczynu

(b 4 bxx) (10# — 7)

przez (x— l)² jest 72. Uskuteczniwszy istotnie dzielenie, otrzymujemy (10& 4 \3bx)x— 7& — 105t = 72;

stąd

106 4 13ó, = 0, Ib 4 10&, = — 72

b = 104

bx = — 80.

Ażeby, nakoniec, wyznaczyć wartość spółczynnika c, zauważmy, że z po-dzielenia funkcyi cx³(x— l)³ przez x -f- 2 jako resztę otrzymamy 72; a więo

c(-— 2)³(— 2— 1)³=: 72

C—'— 1.

Tym sposobem otrzymujemy następujący rozkład danego ułamka:

72

36    54 a? + 81,-r² , 104 — 80 x

x 2‘

x³(x — l)² (x -f 2)

48. Twierdzenie pomocnicze 2. Każdą funkcyją ułamkową po-. F

staci —, nie zawierającą części całkowitej, można rozłożyć na sumę m składników, według wzoru:

X³

(x — l)²

F_AA. A

yvn Jrn ”1" ym~ 1    ¹ fm—2

+ ... +

Am—x

gdzie A, A,, A₂, . . . , Am_x przedstawiają funkcyje całkowite, stopni niższych niż /; fa/ci rozkład może być uskuteczniony w jeden tylko sposób.

Jakoż, podzielmy funkcyją F przez f; część całkowitą oznaczmy przez Q, a resztę przez A; będzie więc

F=:/Q + A.

Następnie podzielmy funkcyją Q przez /; iloraz nazwijmy Q,, a resztę A,; a więc będziemy mieli

Q —/Qi + A,.

Dzieląc dalej w podobny sposób przez funkcyją /, otrzymamy szereg następujących tożsamości :

Qi —/ Q2 + A

Q2 — J Q3 + A₃,

Qm—3 -—/Q,»-2

Qw—2 —— Am—1 ,

+■ Am~2

których ilość, wogóle mówiąc, jest m — co wynika z następującej uwagi.

Ponieważ stopień funkcyi F jest niższy od mn, gdzie n przedstawia stopień funkcyi /, przeto

stopień funkcyi Q jest niższy od (m—1 )n

55    55    Ql 55

55    55    Q2 55

„ (m — 2)n „ (m — 3) n

55    55    —2 »

tak iż nie będziemy mogli funkcyi Q„t_₂ dzielić przez /, i na niej musimy działanie zakończyć. Lecz może się wydarzyć, że już wcześniej trzeba będzie za-

55 w,

przestać dzielenia, jeżeli któraś z poprzednich funkcyj Q{ jest stopnia niższego od n.

Dzieląc powyżej otrzymane tożsamości przez fm, /"»-¹, fm~², , . . , otrzy

mamy

cy

₌ _Q_ , Ą

fm—1    ' ym I

fm-l fr

„Ol..Al

■m—2    ' fm— 1 J

m—2

Q»-3_Qm-2 , A

ß ~ f    P ’

Qm—2 Am_i

/ “ /"'

Stąd zaś, wskutek dodania i zniesienia w obu stronach wyrazów jednakowych,

F

otrzymamy żądany rozkład funkcyi ~ .

Należy jeszcze udowodnić, że taki rozkład może być dokonany w jeden tylko sposób. Jest to prawie oczywiste. Jakoż, przypuśćmy, że istnieją dwa rozkłady,

Am_i

fm fm fm~x

fm fm ' fm—1

w których stopień każdej z funkcyj E, B,,.. . , E każdej z funkcyj A, A,, . . . , A jąwszy je od siebie, otrzymamy,

, A.-B,

czyli, po pomnożeniu obu stron przez fm,

A — B -j- (A, — B,)/-j-(A₂ — Ba)/² + . . .=0.

Ta zaś równość wskazuje, że różnica A — B jest podzielna przez /, a gdy obie funkcyje A i B są stopnia niższego od n, przeto ma miejsce tożsamość

«    ■ Bw_i

+ ■■■+—>

równie jak i stopień jest niższy niż stopień funkcyi /. Od-

m—1 j

■ Am_i . -i--

B = A.

Wskutek tego, poprzednią równość można napisać tak :

A, — B, + (A* - Ba)/+ (A, - Bj)/J +,...= 0,

z której bezpośrednio wynika, że

B, = A*.

Podobnie dalej B₂ = A₂ i t. d.

Zauważymy tu jeszcze, że w szczególnym przypadku, kiedy f=.x— a, rozkład funkcyi

F

(x — a)m wec^ug Powyższego wzoru wychodzi na jedno z roz-

kładem funkcyi F według wzoru Taylor’a.

Przykład.

x'°

— x — 1 (x² -f- x + l)³    (x² + x + 1)

x -f* 3

2 T x² -f- x -f 1

49. Niech będzie funkcyja ułamkowa zwiemy E, tak iż

f(x) ’

której część całkowitą na-

F(x)

f(x)

= E4

<p(x)

f(x)

gdzie już stopień funkcyi <p(x) jest niższy od stopnia funkcyi f(x).

W art. 43-im pokazaliśmy, że przy pomocy zwyczajnego dzielenia algebraicznego można wyznaczyć funkcyje całkowite X„ X₂, X₃, . . . , stanowiące iloczyny wszystkich pojedyńczych, dwukrotnych, trzykrotnych i t. d. czynników linijowych, wchodzących do rozkładu funkcyi/(#). Przypuśćmy, żeśmy istotnie wyznaczyli wszystkie te funkcyje, że więc mamy

/(e; = x₁ x₂²x₃³ ...x„r.

Ponieważ każde dwie z funkcyj X,, X₂, X₃, . . . , Xm są pierwsze względem siebie, przeto, na mocy 1-go twierdzenia pomocniczego (art. 45), możemy uła-

przedstawió tak :

mek

y(x)

f(x)

(1)

V(x) _ <pi (x) , y%(x) , ^(x) , f(x) X, ⁺ X₂2 + X₃3 + • •

gdzie yx(x), y₂(x), . . . oznaczają funkcyje całkowite stopni odpowiednio niższych niż X„ X₂², X₃³, . się zdarzy, że jedna z funkcyj X, np. Xt, jest tożsamościowo równa 1, to wtedy

%(x)= 0.

. . . Taki rozkład jest jeden tylko możliwy, a jeżeli

Dotychczas nie potrzebowaliśmy wyznaczać pferwiastków równania f(x) 0; ale jeżeli, nie zadawalniając się rozkładem dopiéroco otrzymanym, zechcemy rozłożyć daną funkcyją na ułamki jeszcze prostsze, to koniecznie potrzeba wyznaczyć pierwiastki funkcyj X1? X₂, . . . .

tj*) .

to> 00

-A-m

o nim powiemy, będzie się stosować i do wszystkich innych. Oznaczywszy przez ax, a₂, . . . ,a,i pierwiastki funkcyi Xm, mamy

Weźmy pod uwagę jeden z wyrazów w rozkładzie (1), np.

Xm = (x — ai) (x — a₂) . . . (x — aj, skąd, na mocy 1-go twierdzenia pomocniczego (art. 45),

VJX) _ Mx)

(x — Cif)

— ~h

m

<p₂(x)

(x — a₂)m ' ’ * ‘ ' (x — tti)m

gdzie Ąi(x), ty₂(x), . . . oznaczają funkcyje całkowite stopni niższych od m; taki rozkład tylko jeden jest możliwy. Wprowadzając następnie do drugiej strony ostatniej równości zamiast funkcyj tyfx),    • • • ich rozkłady według

wzoru Taylor’a,

Ąi(x) = tyifai) + —j    + • •

ty₂(x) — <p₂(a₂) -f X ₁ th y₂(ai) + . .

i nazwawszy, dla krótkości,

A*

_ 'Wh)M

1.2... h

B*

otrzymujemy

VJX)

Y ⁷¹¹

'A-m

(x — aj

m. 4~

771    ¹

A;

A₂

(x — aj

711 — 1

(x — aj¹

71—2

+ ...4

x — a,

B,

B₂

(x — a₂)m (x — a₂)

(x — aj)

m—2

x — a₂

Jest to właśnie ostateczny rozkład funkcyi ułamkowej na ułamki najprostsze.

Stąd wynika następujące twierdzenie. Twierdzenie. Każda funkcyja ułamkowapostaci

F(x)

(x — aß (x — bß ... (x — iß’

tv której a, b, ... ,1 są liczbami od siebie różnymi, może być rozłożona, jednym tylko sposobem, na sumę następujących ułamków najprostszych:

F(x)

A,

(x — aß (x — bß ... (x — l)⁷'

—h

(x — aß (x — a)

a—1

a—i

B,

(x—bß (x — bß ¹

Bß

L . + _k.

(x—iß (x — l)

f ... 4-

gdzie A, B, . . . ,L, A,, . . . oznaczają liczby stałe, a E część całkowitą funkcyi danej.

50. Wyznaczenie niewiadomych spółczynników w powyższym rozkładzie może być uskutecznione rozmaitymi sposobami, innymi niż sposób, wynikający z teoryi ogólnej.

Tak np., mnożąc obie strony wzoru powyższego przez iloczyn

(x — aß (x — bß,,.(x — iß

(x -— l)ß , . , (x — lfK = <p(x)f F(oo) — (x — aj“ (x — bß , , , (x ■— Iß E = *S>(x),

i kładąc, dla krótkości,

mieć będziemy

<P(x) = [A -j- Ax(x— aj 4- . . • 4* A,x-\(x — aj'*⁻¹] ffxjßfx— ą)aQ(x),

gdzie 0(x) przedstawia pewną funkcyją całkowitą, której wyrażenia niémaco wypisywać. Podstawmy w obu stronach ostatniej równości a + h zamiast x i rozłóżmy funkcyje <ł>(a + h) i y(a 4 li) według potęg h\ otrzymamy

h    h²

<P(a) + ßj:V(a) + fr2V'(a)+...

. J 4 h*Q(a + h).

— |^A 4 Axh 4 A ₂h² 4 • • J + y ß(a) 4 ~ y"(a) 4 ..

Stąd, przyrównywając spółczynniki jednakowych potęg h w obu stronach, wyprowadzimy następujący układ równości:

A<f (a) — <P(a),

A i<f(a) 4 Aß (a) = ®'(a),

A₂<p(aJ 4 Arf(ą)+Y2 M"(a) = &"(<*)i

Acp a~\a) == <ł>(a-1)(aj

Aa—j <p(a) 4 Aa_2 ß(a) 4 • • • 4-

1.2... (a — 1)

zapomocą których można kolejno obliczyć wszystkie spółczynniki A, Aj, . . Aa_i. — W podobny sposób należy utworzyć równania w celu wyznaczenia grupy spółczynników B, B,, . . . ,Bß_j, i t. d.

Przykład. Kładąc

27

A,

A₂

(x 4-1)³ (x — 2)² (x 4 l)³    (x+ l)²

x_____________+_2i_

x 4-1    (x ■— 2)² ~ x — 2

znajdujemy następujące równania dla wyznaczenia spółczynników A, A{ i A₂,

BiB,:

9A =27,

9At —6A = 0,

9A₃ — 6At -f A = 0,

27B = 27,

27B 4- 27B, = 0;

stąd

A = 3, A, = 2, A₂ = 1; B = 1, Bl = — 1.

51. Jeżeli wszystkie spółczynniki w wyrażeniach dwu funkcyj całkowitych B(x) i f(x) są rzeczywiste, a jeżeli, prócz tego, równanie f(x) = 0 ma

jednę albo kilka par pierwiastków zespolonych, to do rozkładu funkcyi

ułamki najprostsze, według twierdzenia art. 49-go, wejdfjj oczywiście liczby

F(xJ

f(x)

na

urojone. Sumę tych ułamków najprostszych, które zawierają w mianownikach pierwiastki zespolone, można przedstawić inaczej, bez liczb urojonych; należy tylko, zamiast czynników linijowych zespolonych, wprowadzić czynniki rzeczywiste stopnia 2-go (art. 40).

Jakoż, weźmy pod uwagę jakikolwiek wyraz na stronie drugiej równości

F(x)

= E -k

y₂(x)

f(x)

T 2

np.

i przypuśćmy, że funkcyja Xm rozkłada się na takie czynniki :

Xm=i(x— a) . . . (x — b) (x²-\-px -f q) . . . (x² -k rx -f s),

gdzie (x — a), ... ,(x — b) są wszystkie czynnikami rzeczywistymi linijowymi funkcyi XTO, a x² -k px + q, . . . ,x²-\-rx-\-s są iloczynami jej zespolonych sprzężonych czynników linijowych; wtedy będziemy mieli (art. 47)

<?,/%) _ ¥*)

X,™ ~(x — a)

-    • • * “H

m '    ¹

¥(x)

(x-b)

- ~k

m ¹

6(x)

e,(x)

(x² ~k px -k q)m    x² -k rx + 5 .

Rozwińmy na stronie prawej wyrazy pierwszej grupy według wzoru Taylor’a :

Am—i

¥x)

?A,

(x — a)m (x — a)

(x — a)m~l

gdzie A, A,, . . . są liczbami stałymi. — Co się tyczy wyrazów drugiej grupy, które w mianownikach mają czynniki stopnia 2-go, to rozłożymy każdy z nich tak, jak było wskazane w 2-im twierdzeniu pomocniczym (art. 48). A zatym, będziemy mieli

0(x)

Ma: + X

(x² -\-px -k q)m (x² kpx + q)m (x²-\-px + q)

gdzie M, X, M,, . . . oznaczają liczby stałe. — Tak postępując, otrzymamy na takie najprostsze ułamki, do których nie wejdą

%n(x)

rozkład wyrazu

liczby urojone.

Z powyższego wynika następujące twierdzenie. Twierdzenie. Jeżeli każde dwie z funiccyj

X— a, . .

x — b, x² -\-px 4 q, . . . ,x² + rx + s są pierwsze względem siebie, to każda funkcyja ułamkowa <ł>, postaci

<f> =

F(x)

(x — a)a . . . (x — b)$ (x² Ą-px Ą-ąf' . . . (x² + rx ~j s)^

rozkłada się na sumę ułamków najprostszych według wzoru :

4> = E -f-

A,

(x — a)a

(x — af~l

B,

(x — b)$    (x — b)$~x

Ma? -f- N (x¹ Ą-px -f- q)^    (x² ■^-px-’rq)^¹

M,a? + N

Pæ + Q

+ Qi

(x² + rx + sf (x² + rx + s/~l

gdzie E przedstawia część całkowitą funkcyi 3>, a A, Al7 . . . , M, N, . . . , P, Q, . . . są liczbami stałymi. Taki rozkład może być uskuteczniony to jedzeń tylko sposób; — do niego nie wchodzą liczby urojone, jeżeli ich niema w pierwotnym toyrażeniu funkcyi <ł>.

Przykład. Kładąc

<[> =

27

znajdujemy naprzód

(x² + 2)² (x — l)³ ’

<ł> =

9 —5a; + 2a;² —2a?³ , 9 — 8xf-2x²

a następnie,

(,x² + 2)²

(x— l)³

9 — 5a?-j-2æ² — 2a;³    5—x ,2 — 2a;

(x² + 2)2 9 — 8 a? + 2a;²

(x — l)³

(x² Ą- 2)² ' a;²-1-2

⁴ -+-*

² 1

(x — l)³ (x — 1)

tak iź ostatecznie

5 ■— x    2 — 2a?

(x² + 2)² ^ a?² + 2

(a? — l)³

(x ~~ l)²' x — 1 ‘

BOZDZIAŁ IV.

O ILOŚCI PIERWIASTKÓW RZECZYWISTYCH RÓWNANIA, ZAWARTÏCH MIĘDZY KRAŃCAMI DANYMI. — WARUNKI KONIECZNE I DOSTATECZNE, ABY PIERWIASTKI DWU RÓWNAŃ BYŁY RZECZYWISTE, NIERÓWNE I PRZEGRADZAJĄCE SIĘ- — TWIERDZENIE ROLLE’A. — WZÓR LAGRANGE’A. — TWIERDZENIE FOURIER’GO. — WARUNKI KONIECZNE I DOSTATECZNE, ABY PIERWIASTKI RÓWNANIA BYŁY RZECZYWISTE I RÓŻNE.

§ I. 0 ILOŚCI PIERWIASTKÓW RZECZYWISTYCH RÓWNANIA, ZAWARTYCH MIĘDZY DANYMI KRAŃCAMI.

52. Odtąd będziemy wciąż przyjmowali — chyba, że wyraźnie zrobimy inne zastrzeżenie — iż wszystkie spółczynniki równania danego są rzeczywiste (art. 6).

Niech będzie równanie f(x) = 0 stopnia w-tego, którego pierwiastki oznaczmy przez a,, a₂, a₃, , . . ,an, i przyjmijmy, że pośród nich jest m pierwiastków rzeczywistych, mianowicie: ay, a₂, . . . ,a,rf, pozostałe zaś są zespolone.

Funkcyją f(x) możemy napisać tak:

f(x) = A (x — cii) (x — a₂) ... (x — am) ¥(x),

gdzie A przedstawia spółczynnik przy xn w danym równaniu, ¥(x) zaś przedstawia iloczyn wszystkich czynników linijowych zespolonych, wchodzących do rozkładu funkcyi/óą). Funkcyją ¥(x) otrzymuje wartości dodatne przy wszelki cli wartościach rzeczywistych zmiennej niezależnej x (art. 40).

Nazwijmy przez a dowolną liczbę rzeczywistą, nie równą żadnemu z pierwiastków a,, a₂, . . . ,am, a przez r ilość tych pierwiastków równania f(x) — 0, które są większe od a. Z równości

f(a) ~ A (a — a,) (a — a₂) ... (a — am) F (a)

widoczna, że znak wartości f(a) jest takiź, jak znak liczby A(— l)r. — Taksa-mo, jeżeli przez b nazwiemy jakąkolwiek liczbę rzeczywistą, nie równą ani a, ani żadnemu z pierwiastków równania f(x) — 0, a przez r' ilość tych pierwiastków tegoż równania, większych od b, to znak wartości f(b) jest takiź, jak liczby A(— l)rf. — A więc znak stosunku jest określony przez (— l)r r'.

Stąd zaś, gdy zważymy, że bezwzględna wartość różnicy r — r' przedstawia ilość pierwiastków rzeczywistych równania f(x) — 0, zawartych w przedziale między a i b, dochodzimy do następującego twierdzenia.

Twierdzenie. Przy jakichkolwiek dwu liczbach rzeczywistych a i b, wrazić, kiedy dwie wartości f(a) i f(b) funkcyi całkowitej f(x), są tegoż samego znaku, równanie f(x) — 0 posiada parzystą ilość pierwiastków, zawartych między a i b, t.j. albo ani jednego, albo dwa i t. d.; wrazie zaś, kiedy wartości f(a) i f(b) są różnego znaku, równanie f(x) — 0 posiada między ai b nieparzystą ilość pierwiastków, t. j. albo jeden, albo trzy i t d.

Albo odwrotnie :

Jeżeli równanie f(x) — 0 posiada parzystą ilość pierwiastków, zaivartych między a i b, to wartości f(a) i f(b) są tegoż samego znaku; w przeciwnym zaś razie znaki tych wartości są różne.

Należy pamiętać, że w rachubie pierwiastków, zawartych pomiędzy a i b, powinna być uwzględniona wielokrotność każdego z nich: pierwiastek dwukrotny liczy się jako dwa pierwiastki; trzykrotny jako trzy i t. d.; to wypada wprost z dowodzenia twierdzenia.

Zauważymy jeszcze, że powyższe twierdzenie można wyprowadzić, jako wniosek, z twierdzenia art. 21-go.

§ IÎ. O RÓWNANIACH t PIERWIASTKAMI RZECZYWISTYMI I PRZEGRADZAJĄCYMI SIĘ.

1)3» jeżeli pierwiastki rzeczywiste każdej z dwu funkcyj P(x) i f(x) są pojedyncze i tak rozłożone, że między każdymi dwoma po sobie następującymi pierwiastkami funkcyi P(x) znajduje się, lecz tylko jeden, pierwiastek funkcyi f(x), i nawzajem, między każdymi dwoma po sobie następującymi pierwiastkami funkcyi f(x) znajduje się, jeden tylko, pierwiastek funkcyi P(x), to natenczas będziemy mówili) że pierwiastki rzeczywiste dwu równań J?(x) = 0 i f(x) — 0 przegradzają się.

W tym paragrafie wyprowadzimy wskazówki, przy pomocy których w każdym przypadku szczególnym będziemy mogli się dowiedzieć, czy dwa równania dane mają wszystkie pierwiastki rzeczywiste, od siebie różne, a nadto przegradzające się. —Takie dwa. równania, oczywiście, albo będą jednakowego stopnia, albotćż stopień jednego będzie się różnił o jedność od stopnia drugiego z tych równań.

54. Twierdzenie pomocnicze 1. Jeżeli dwa równania P(x)~0 i f(x) =z0, z których drugie jest stopnia niewyższego, niż pierwsze, mają wszystkie pierwiastki rzeczywiste, różne i przegradzające się, i jeżeli spółczynniki najwyższych potęg zmiennej x w wyrażeniach funkcyj P(x) i f(x) są dodatne, to po podzieleniu funkcyi F(x) przez f(x) otrzymamy w reszcie funkcyją stopnia o jedność niższego, niż stopień funkcyi f(x), a wszystkie jej pierwiastki będą rzeczywiste, różne i przegradzające się nawzajem z pierwiastkami funkcyi f(x).

Prócz tego, jeżeli stopień funkcyi f(x) jest niższy niż funkcyi P(x), to spółczyn-nik najwyższej potęgi zmiennej x w wyrażeniu reszty jest ujemny.

Oznaczmy przez — fy(x) resztę z podzielenia ¥(x) przez f(x), przez Q zaś część całkowitą; będzie więc

(1)

^(x)=f(x)Q — fi(x).

Nazwawszy pierwiastki funkcyj ~P(x) i f(x) odpowiednio al} a₂,. . • ; bu b₂,... , i przyj ąwszy, że one są ustawione w porządku rosnącym, mieć będziemy a{<.b^<Ca₂<.b₂ . • • > alb° b,<iax<ib₂<ia₂. . . .

Kładąc w równości (1) x = bt, a następnie x =. bi+1, otrzymamy

F(&<) = — /, (bi), F(6i+1) = —/,

Stąd, zważywszy, że wartości F(&,-) i F(&/+i) są różnego znaku, spostrzegamy, że wartości /,(&*) i /(&t+i) są także różnego znaku; równanie przeto ft(x) = 0 ma przynajmniej jeden pierwiastek, zawarty w przedziale bi, . Gdy zaś ilość przedziałów bt,b₂ ; b₂, b₃] . . . jest o jedność mniejsza od stopnia m funkcyi f(x), zatym równanie ft(x) — 0 ma conajmnićj m — 1 różnych pierwiastków rzeczywistych, wskutek czego stopień funkcyi ft(x) nie może być niższy od m — 1. Lecz stopień funkcyi fx(x) nie może być wyższy od m — 1; stopień bowiem reszty jest niższy od stopnia dzielnika. A więc funkcyj a fx(x) jest (im — l)-go stopnia.

Pozostaje jeszcze do udowodnienia druga część twierdzenia, odnosząca się do tego przypadku, kiedy funkcyja P(x) jest stopnia wyższego niż fun-kcyja f(x).

Z równości

widoczna, że znaki wartości /,(&,») i F(óm) są różne. Lecz F(&m)<!0, bo w przedziale bm, -f_c>c> równanie F(x) — 0 ma tylko jeden pierwiastek am+1 ; a więc /!(&„,);> 0. Gdy zaś równanie fx(x) = 0 nie ma ani jednego pierwiastka w przedziale hm, +oo, przeto /,(-f- od) > 0. To wskazuje, że spółczyn-nik przy xm~l w wyrażeniu f(x) jest dodatny, czego należało dowieść.

W przypadku, kiedy funkcyje F(x) i f(x) są tegoż samego stopnia, jest rzeczą obojętną, czy funkcyją F(x) dzielimy przez f(x), czytćź f(x) przez P(x); reszty otrzymywane z dzielenia, oczywiście, będą miały spółczynniki jednakowych potęg zmiennej x proporcyjonalne i różnego znaku, tak iż spółczyn-nik najwyższej potęgi x w wyrażeniu reszty może być dodatny lub ujemny, stosownie do tego, którą z dwu funkcyj ¥(x) i f(x) przyjmiemy za dzielną.

55. Twierdzenie pomocnicze 2. Niech dwa równania: f(x) — 0 i fx(x)c=.0 mają pierwiastki rzeczywiste, różne i przegradzające się, a stopień równania f(x) — 0 przewyższa o jedność stopień równania f\(x) ~ 0, spółczynniki zaś najwyższych potęg zmiennej x w wyrażeniach funkcyj f(x) i ffx) niech będą dodatne. Gdy utworzymy nową funkcyją P(x) według wzoru

F (x) = f(x) Q — /, (x),

w którym Q oznacza jakąkolwiek funkcyją stopnia pierwszego o dodatnym spół-czynniku przy x, to wtedy równanie F(x)=0 będzie miało wszystkiepieriviastki pojedyncze, rzeczywiste i przegradzające się nawzajem z pierwiastkami równa-nia f(x) — 0.

• • > bn—2 j bn—i ,

C\ i C2j C₃ , • • • ,    —2 j

pierwiastki równań odpowiednio f(x) — 0 i fx(x) = 0, przyjmując przytym, że bx Ci b₂ c₂ • • •    bn—2    cn—2 ■'•C bn _i.

Oznaczmy przez n — 1 stopień funkcyi/(ir), a przez , b₂, b₃, .

Z równości

(1)

^(x)=f(x)q—fx(x)

otrzymujemy

To wskazuje, że wartości F(ó,) i/,(/>,) są różnego znaku. Lecz znak wartości /,(&,) wyznacza (—l)”⁻², a przeto znak wartości F(ót) wyznacza (—l)”“¹. Zważmy jeszcze, że znak F(— od) jest takiż, jak znak (— 1)”; spółczynnik bowiem przy xn w wyrażeniu funkcyi F(x) jest dodatny. A więc wartości F(ót) i F(—od) są różnego znaku. Stąd wynika, że równanie F(x) — 0 posiada przynajmniej jeden pierwiastek mniejszy od bx.

W podobnyż sposób przekonamy się, że równanie F(x) — 0 posiada przynajmniej jeden pierwiastek większy od .

-i •

Należy jeszcze dowieść, że równanie F(x) = 0 ma po jednym pierwiastku w każdym z przedziałów bx, b₂, fe₂, 6₃; . . . ;ów_₂, bn Z równania (1) otrzymujemy

F(ój) = —/i(ó*)>    F(ó,-|-i) = —fi(pi+1)-

Zważmy, że funkcyją fx(x) w przedziale ól+.i posiada jeden tylko pierwiastek er, wartości przeto /,(&,) i fi(bi±i) są różnego znaku, a zatym i F(ó,) i F(ói_|_i) są także różnego znaku. To wskazuje, że funkcyją F(x) posiada przynajmniej jeden pierwiastek w przedziale h, bi-i-i.

Z powyższego wynika, że równanie F(x) = 0, mając przynajmniej po jednym pierwiastku w każdym z n -f- 1 przedziałów, utworzonych przez szereg liczb

od, bx, b₂, b₃, . • • ,bn—2, bn—i, -J- od,

i będąc stopnia równego ilości tych przedziałów, ma w każdym z nich po jednym pierwiastku.

Uwaga. Taksamo możemy się przekonać, że funkcyją Fx(x), utworzona według wzoru

Vx(x) =f(x) + Qfx(x),

będzie miała wszystkie pierwiastki pojedyńcze, rzeczywiste i przegradzające się z pierwiastkami funkcyi fx(x).

Blbl. mat.-fiz., S. IV, T. II.    5

56. Twierdzenie pomocnicze 3. Jeżeli diva równania; f(x) =. 0 i fi(x) = 0 posiadają pierwiastki pojedyncze, rzeczywiste i wzajemnie przegradzające się, i jeżeli utworzymy funkcyją F(x) według wzoru

F(x) — A f(x) + Bfx(x),

gdzie A i B są jakimikolwiek liczbami rzeczywistymi, to wszystkie pierwiastki równania F(x) = O będą pojedyncze, rzeczywiste i przegradzające się tak z pierwiastkami równania f(x) — O, jak i z pierwiastkami równania fx(x) — 0.

Przyjmujemy, że stopień n funkcyi f(x) nie jest niższy od stopnia funkcyi fy(x), i oznaczamy przez bt i bi+\ dwa po sobie następujące pierwiastki funkcyi f(x). Z równań

F(G) = B/,(G), F (G+0 = BA(bi+1)

widoczna, że wartości F(G) i F(ó*_pi) są różnego znaku. Stąd wynika, że w każdym z w—1 przedziałów: bx,b₂; b₂, b₃; . . . ;bn-1, bn równanie F(x) = 0 posiada po jednym pierwiastku pojedyńczym. Innymi słowy, wszystkie pierwiastki równania F(x) = 0 są pojedyńcze, rzeczywiste i wzajemnie się przegradzają z pierwiastkami równania f(x) = 0.

Toż samo stosuje się do pierwiastków równań F(x) =0 i fx(x) — 0, jeżeli ostatnie z tych równań jest w-go stopnia.

Jeżeli funkcyją F(x) jest wyższego stopnia niż funkcyją ft(x), to należy jeszcze okazać, że między każdymi dwoma po sobie następującymi pierwiastkami funkcyi F(x), np. między Ci i Ci+1, znajduje się jeden pierwiastek funkcyi fi(x); gdyż tylko wówczas będziemy przekonani, że pierwiastki funkcyj F(x) i fi(x) istotnie się przegradzają.— Gdy wartości /(ci) i /(c^i) są różnego znaku, przeto z równań

0 = A Ąc,) + B ffcć),

0 — A/(c/ą-i) -J- B/₁(c!ą-i)

widoczna, że wartości /,(cf) i ffci+ć) są także różnego znaku. A zatym, w każdym z przedziałów ct, c₂; c₂, c₃\ . . . funkcyją fx(x) ma po jednym pierwiastku pojedyńczym, c. n. d.

57. Twieedzenie 1. Mając dwiefunkcyje całkowite: F(x) i f(x), stopni odpowiednio n-go i (n—1 )-go, ze spółczynnikami dodatnymi w pierwszych wyrazach, podzielmy funkcyją F(x) przez f(x) i oznaczmy część całkowitą ilorazu przez Q, a resztę przez—fx(x); podzielmy następnie funkcyją f(x) przez fx(x), część całkowitą oznaczmy przez Q,, a resztę przez—f₂(x),it. d., dopóki w reszcie nie otrzymamy liczby stałej. Ażeby pierwiastki dwu równań: F(x) = 0 * f(x) ~ 0 były pojedyńcze, rzeczywiste i przegradzające się, potrzeba i wystarcza: popićrwsze, żeby stopnie funkcyj f(x), fx(x), f₂(x), . . . stopniowo się o jedność zmniejszały, i powtóre, żeby spółczynniki najwyższych potęg zmiennej x w wyrażeniu każdej z funkcyj fx(x), f₂(x), f₃(x), . . . ,fn—₂(x), fn-X były dodatne.

Wypiszmy wszystkie tożsamości, wynikające z wykonania wzmiankowanych dzieleń:

F(x)=f(x)q—fl(x), f(x) =/, (x)Qi—U(x),

fn—z(x) fn — i(x)Qn—2    fn—1}

i zastosujmy kolejno do każdego z nich pierwsze twierdzenie pomocnicze. Tą drogą bezpośrednio przekonywamy się, że stopnie funkcyj fx(x), f₂(x), ... są odpowiednio: n — 2, n— 3, . . . , oraz, że spółczynniki najwyższych potęg zmiennej x są dodatne.

Dla udowodnienia, iż owe warunki są wystarczające, zauważmy naprzód, że spółczynniki zmiennej x w wyrażeniach funkcyj linijowych Q, Q,, Q₂> • • • s% oczywiście dodatne; następnie, wypisawszy poprzednie równości w porządku odwrotnym :

fn—'i(x) —fn~-i(x) Q,j—2    fn—l j

fn—i(x) fn—3(x)Qn—3    fn—%(x)

x) — f(x) Q •—/j (x)

zastosujemy do nich kolejno twierdzenie pomocnicze drugie. Spostrzeżemy, że każde dwie po sobie następujące funkcyje:

fn—z(x): fn—i(x)} . . . , f(x), F(x)

mają wszystkie pierwiastki pojedyńcze, rzeczywiste i nawzajem się przegradzające.

Uwaga. Jeżeli dwie funkcyje: f(x) i F(x) są jednakowego stopnia, to, podzieliwszy jednę z nich przez drugą i oznaczywszy resztę przez f(x), na mocy pierwszego i trzeciego twierdzenia pomocniczego wnosimy, że dwa równania:

f(x) = 0, F(x) = 0

tylko wtedy będą posiadały wszystkie pierwiastki pojedyńcze, rzeczywiste i przegradzające się, kiedy wszystkie pierwiastki równań

f(x) — 0, fx(x) — 0

są pojedyńcze, rzeczywiste i przegradzające się. — A więc, przypadek, kiedy funkcyje f(x) i ~E(x) są jednakowego stopnia, sprowadza się w ten sposób do przypadku, kiedy te stopnie różnią się o jedność.

58. Twierdzenie 2. Mając ułamek ciągły

ax b —

axx + br

Ci

a-ix -}- b.₂ — . ,

skończony lub nieskończony, w którym x oznacza zmienną niezależną, a, b, c,... są liczbami stałymi rzeczywistymi, każda zaś z liczb a, at, a₂,.. ., c, c,, c₂,.. .

jest większa od zera, — oznaczmy przez Pn(x), Qn(x), albo, krócej, przez P„, licznik i mianownik n-go ułamka zbliżonego. Pierwiastki każdej pary róionań ; P» = 0 » Pn—i = O, Q* = O i Q„_i = O, P„ —O i Q„ = O są pojedyncze, rzeczywiste i przegradzające się.

Istotnie,

Q. = i,

Q₂ = aęx -f 6,,

Q₃ = (a-ioc + b₂) Q₂ — Cy Qi

P, = ax -f- b,

P₂ — (avx + by) (ax -f- b) — c,

P3 —— (a<j% -f- b₂) P₂ - cx Pj,

i wogóle

Pn- (ttn—1X ~ł~ bn—\) P n—i    Cji—2 P n—2 j

— (a,t—i x -j- bn—i) Q

Stąd, na mocy twierdzenia pierwszego, wnosimy, że pierwiastki dwu równań: P„—O i P„_i = O, również jak i pierwiastki dwu równań: Q„ —O i Q„_i = 0 są pojedyńcze, rzeczywiste i przegradzające się.

Ażeby dowieść tegoż samego dla pierwiastków równań Pft = 0 i Q„ = O, weźmy pod uwagę równość

P»Qn—i — Pw-i Q» — C,

gdzie C jest liczbą stałą, różną od zera, której wyrażenia niómaco wypisywać. Oznaczmy przez a?,-, x,+1 dwa po sobie następujące pierwiastki równania = 0. Według ostatniej równości,

Pn(Xi) Qn—l(Xi) Pn(Xi-j-i) Qn—\(X\Ą\) O.

A gdy wartości Qn-\(Xi) i    są różnego znaku, w przedziale bowiem

między xt i Xi+\ funkcyja Q„_i(x) posiada jeden tylko pierwiastek pojedyńczy, przeto wartości Pn(xi) i Pn(Xi+\) są także różnego znaku, a zatym między każdymi dwoma po sobie następującymi pierwiastkami równania Q„ = 0 znajduje się przynajmniej jeden pierwiastek równania P„ = 0. — Taksamo możemy się przekonać, że w przedziale między każdymi dwoma po sobie następującymi pierwiastkami równania P„ = 0 znajduje się przynajmniej jeden pierwiastek równania Q„=0.—Widzimy więc, że pierwiastki równań Ps = 0 i Qł{=0 wzajemnie się przegradzają.

59. Przykład 1. Równość

X + X² — ł

prowadzi do następującego rozwinięcia funkcyi \/x²— 1 na ułamek ciągły:

\/x² — 1 = x

[/x² — l — x —

2x

2x

2x —.

Oznaczywszy przez Y„ i U„ licznik i mianownik n-go ułamka zbliżonego, mamy

Yl = x,

Y₂ — 2x² — 1, V₃ = 4æ³ — 3x,

Uj = 1,

U₂ = 2x,

U₃ — 4x² — 1,

Yn — 2xYn-\~ Y

n—2 j

TJn — 2xU»-i — U

»-2-

Każde z równań

V» = 0 i U* = 0

ma wszystkie pierwiastki pojedyncze, rzeczywiste i przegradzające się z pierwiastkami odpowiedniego z równań

= 0.

V„_i — 0 i U„_i

Prócz tego pierwiastki równania Y» = 0 przegradzają się z pierwiastkami równania Ure = 0.

Łatwo okazać, iż wszystkie pierwiastki równania Yn — 0 są zawarte w przedziale między — 1 i +1. Wtym celu zauważymy naprzód, że

V„(+l) = l, Y„(— 1) = (— 1)”;

co można sprawdzić bezpośrednio, zapomocą powyżej wypisanych równości. Następnie, przypuściwszy, że wszystkie pierwiastki równania Y»_i = 0 są zawarte między — 1 i +1, postaramy się udowodnić, że wówczas pierwiastki równania Y» = 0 są również zawarte między — 1 i +1. Jakoż, gdy między każdymi dwoma po sobie następującymi pierwiastkami równania Y»_i = 0 przypada jeden pierwiastek równania Yn — 0? przeto tylko dwa pierwiastki skrajne tego ostatniego równania, t. j. największy dodatny i najmniejszy ujemny, mogą się znajdować zewnątrz przedziału ■—1, -fi. Jeżeliby największy pierwiastek dodatny równania Y« = 0 był większy od jedności, to równanie owo miałoby w przedziale między +1 i -(-co jeden pierwiastek pojedyńczy, i liczba Y»(+ 1) byłaby ujemna, co się sprzeciwia temu, że V„(-f-1) = 1. Taksamo możemy się przekonać, że najmniejszy pierwiastek ujemny równania Y» = 0 nie może być mniejszy od — 1. — Gdy zaś, istotnie, pierwiastek równania Yi = 0, x = 0, jest zawarty w przedziale —1,    1,

przeto, na mocy powyższego, wnosimy, że pierwiastki każdego z równań Ya^O, Y₃ = 0, . . . są zawarte w tymże przedziale.

Funkcyje Y» i U„ są znane w teoryi funkcyj kołowych, w której się dowodzi (zob. « Wstęp do analizy»), że

Y» = cos (wärecosU„

sin (wärecosæJ

y i—x2 1

co, zresztą, łatwo sprawdzić zapomocą związków, istniejących między trzema po sobie następującymi funkcyjami albo Yw albo U„.

Ostatnie wyrażenia funkcyj Yn i Ura pozwalają nam ponownie przekonać się o prawdziwości tego, cośmy powiedzieli o pierwiastkach równań V„ = 0 i Ura = 0.

Ostateczne wyrażenia funkcyj Yn i U„ są następujące:

•W.

2Yn = (2x)n — — (2x)»-² +

n(n — 3)

1.2

(2 z)

n—4

n(n — 4) (n — 5)

1.2.3

(2x)n-⁶ +

n(n — 5) (n — 6) (n •— 7)

1.2.3.4

(2#)”~⁸ —

TJn==(2x)n~¹

fy) _ O

—j— (2x)n~³ -f

(n — 3) (n — 4)

1.2

(2 æ)'*~⁵

(n — 4) (n — 5) (n — 6)

1.2.3

60. Przykład 2. w-ta pochodna funkcyi

(x² — 1)”

1.2.3... n. 2”

nazywa się funkcyją Legendre’a. Nazywając ją X?i, będziemy mieli

2n(2n — 1) ■ • . Q + 1)    _

2.4.6... (2 n)

(2n — 2k) (2n — 2k—l)... (n+l—2k)

'    2.4... {2k) .2.4... (2n — 2k)

X.=

n—1k

■f • •

czyli

X.

1.2.3...

n(n— 1)

2(2n — 1)

Xn~² -f ,

n(n— 1) (n — 2) (n—3) 274. (2 w— l)(2n— 3)

n(n— 1)... (n—5) 274.6(2 n — ])(2>r-3) (2 n — 5)

xn~⁶ -f- . . .J;

dla n = 0 przyjmuje się

X₀=l.

Przy pomocy ostatniego wyrażenia funkcyi X„, łatwo możemy się przekonać, iż ma miejsce tożsamość:

(1)

nX.n •— (2 n — l)a?X„_i + (n — l)Xrt_₂ = 0,

dla wszelkiej wartości wskaźnika n, poczynając od n = 2. Ta tożsamość wskazuje, że z podzielenia funkcyi X„ przez X„_i otrzymujemy w ilorazie (2 n — l)x

, i resztę— --- X

n

tak iż stopień reszty jest o jedność niższy

od stopnia dzielnika, a spółczynnik najwyższej potęgi x w wyrażeniu reszty jest ujemny. Na zasadzie tego wprost wnosimy, iż równanie X„=0 ma wszystkie pierwiastki pojedyńcze, rzeczywiste i przegradzające się z pierwiastkami równania X„_i = 0.

n—2 ?

Możemy dowieść, że wszystkie pierwiastki równania X„ = 0 są zawarte między — 1 i -j-1. — Aby tego dowieść, zauważymy naprzód, że

X,(+l) = l, X„(— 1) = (-!)«

gdyż równość (1) wskazuje, że każde z tych równań, mając miejsce dla dwu funkcyj Xr._₂ i X„_i, ma miejsce i dla funkcyi X»; o tym zaś, że one oba mają miejsce dla n—1 i 2, można się przekonać bezpośrednio. — Przypuśćmy, że wszystkie pierwiastki równania X„_i = 0 są zawarte między — 1 i 4-1, a dowiedziemy, że wszystkie pierwiastki równania X„=;0 są zawarte także między — 1 i -j- 1. Jakoż, wobec tego, że pierwiastki równania X„ — 0 przegradzają się z pierwiastkami równania X„_i = 0, tylko dwa pierwiastki skrajne równania X„ == 0 mogłyby być bezwzględnie większe od jedności. Przypuśćmy, że największy pierwiastek równania X„ = 0 jest większy od jedności; wówczas w przedziale +1, -J- cvd równanie to miałoby tylko jeden pierwiastek pojedynczy; gdy zaś X„(4- oo) ;> 0, zatym mielibyśmy X„(4- 1) <! 0, co być nie może, bowiem X„(-f 1) = -f 1. Jeżeli przypuścimy, że równanie X„ = 0 ma jeden pierwiastek ujemny, bezwzględnie większy od jedności, to wówczas wartość X»(— 1) powinna być innego znaku, niż wartość X»(—cso), a więc innego, niż (—1)'*, co być nie może, gdyż X„(-—1) = (—1)". Punkcyje Legendre’a mają bardzo ważne zastosowania w wielu zagadnieniach matematyki stosowanej. Gauss wskazał na inne ich zastosowanie przy przybliżonym obliczaniu pól (zob. «Methodus nova integralium valores per appro-ximationem inveniendi»).

61. Przykład 3. Hermite wskazał na funkcyją

n(n — 1) m

“1 *

Un = xn —

n(n — 1) (n — 2) (w — 3)

1.2 X

n(n — 1 )(n — 2) (n —3)(n — 4) (n — 5)

T.1T3    x

która z wielu własności jest podobną do funkcyi Legendre’a (otrzymuje się ona z funkcyi przestępnej e~xl przez zwykłe różniczkowanie).

Między trzema po sobie następującymi funkcyjami U„_₂, U„_i, U* istnieje związek linijowy

U„ — x\Jn-i + 2(n — 1) IA—2 = 0,

przy wszelkich wartościach wskaźnika n, poczynając od n — 2, jeżeli przyjmiemy U₀ = 1. Stąd widzimy, że z podzielenia U» przez U„_i otrzymujemy w ilorazie x i resztę — 2 (n — 1) U w wyrażeniu U„ jest zawsze dodatny, zatym równanie U„ = 0 ma wszystkie pierwiastki pojedyncze, rzeczywiste i nadto przegradzające się z pierwiastkami równania U

Wartość bezwzględną wyrazu z x

A ponieważ spółczynnik przy xn

= 0.

w wyrażeniu funkcyi U„ nazwawszy

Uic, mamy

Uk

(n— 2kĄ-V)(n — 2 Ic 4- 2)

Ponieważ liczba Jc jest zawarta między krańcami

przeto

2 :< (n — 2 Jc + 1) (n — 2 k + 2) ;< n(n — 1),

i- 5 (»-» +1K«-M±a < n(n _ 1);

4 ^ uk nx² "" ujc-i

gdzie pierwszy znak równości ma miejsce dla Jc =.    , a drugi dla Jc —

n(n — 1)

a zatym

wskutek tego

n(n — 1)

1.

czyli

Dla wartości zmiennej x, czyniących zadość warunkowi

x²

będziemy mieli

uk

U/c—l

fl

gdzie znak równości odnosi się tylko do &=—. To wskazuje, że wartość funkcyi jeżeli ją przedstawimy tak:

U, — (mq U\ ) -f- (u₂ — ^3) 4- . .

jako złożona z samych tylko składników dodatnych, jest dodatna, U„ 7> 0, a liczbę \/n(n — 1) można przyjąć jako wyższy kraniec dla pierwiastków dodatnych równania U„ = 0.

Dla wartości dodatnych zmiennej x, czyniących zadość warunkowi

x :<

V*

otrzymujemy

gdzie znak równości odnosi się tylko do Jc = 1. Jeżeli przedstawimy funkcyją U„ w postaci

U/j — Uq — (u\ '— U2) ~~~ (u§ -    u±) — • •

albotćż w postaci

U„ — (u₀ — ut) + (u₂ — u₃) -f- . . stosownie do tego, czy liczba wszystkich wyrazów w₀,    w₂? ... jest niepa-

rzysta czy też parzysta, to spostrzeżemy, że w pierwszym przypadku funkcyja U„ jest złożona z samych tylko składników dodatnych: zi₀, —(ux — u₂), . . a w drugim razie z samych tylko składników ujemnych: u₀ — ux, u₂ — u₃,... ;

2

w obu więc razach wartości funkcyi Ura nie mogą być równe zeru, a liczbę —=

V n

można przyjąć jako niższy kraniec dla pierwiastków dodatnych równania U„ = 0.

Co się tyczy pierwiastków ujemnych równania Un =: 0, to nićmaco nad nimi się zatrzymywać : co do wartości bezwzględnej są one równe pierwiastkom dodatnym.

».

Rozpatrywane tu funkcyje są szczególnymi przypadkami pewnej grupy fuukcyj całkowitych, doniosłego znaczenia przy rozwiązywaniu pewnych zagadnień, i dlatego dobrze znanych w analizie. Są to tak zwane «funkcyje podobne do funkcyj Legendre’a

62. Zakończymy ten paragraf wzmianką o pewnym układzie równań z pierwiastkami przegradzającymi się, zauważonymi prawie jednocześnie przez Hermite’a i Biehler’a.

przy x

Niech będą dwa równania: jedno F(x) — Q stopnia n-go, drugie f(x) = 0 stopnia («—l)-go, których wszystkie pierwiastki są pojedyńcze, rzeczywiste i przegradzające się nawzajem. Przyjąwszy, że spółczynnik przy xn w wyrażeniu funkcyi F(x) jest dodatny, i oznaczywszy przez a i b dwie jakiekolwiek liczby rzeczywiste, z których druga jest tegoż samego znaku, co spółczynnik w wyrażeniu funkcyi f(x), tworzymy iloczyn

\F(x) -f if(x)| (x+'a + bi) = Fx(x) + if\(x).

Otrzymujemy tu dwie nowe funkcyje, Fx(x) i fx(x), stopnia odpowiednio (n + l)-go i w-go, które są określone zapomocą wzorów’:

F, (x) — F(x) (x + a) — b f(x) A (x) — bF(x) 4- f(x) (x + a).

Z nich wynika

(3)

F(x) fi (x) — F i(x)f(x) — b (f(x)² + F(x)²).

Z równości (1) widzimy, że wszystkie pierwiastki równania F{(x) — 0 są pojedyncze, rzeczywiste i przegradzające się z pierwiastkami równania F(x) = Ö (art. 55). Równość zaś (2) wskazuje, że wszystkie pierwiastki równania f(x) = 0 są pojedyncze, rzeczywiste i przegradzające się z pierwiastkami równania f(x) = 0. Nakoniec, według równości (3), pierwiastki równania Fx(x) — 0 przegradzają się z pierwiastkami równania f(x) = 0.

Uważmy iloczyn

(x + at + bxi) (x + a₂ + b₂i) . . . (x + an + bni),

złożony z n dowolnych czynników linijowych, i przypuśćmy, że wszystkie liczby &i, ó₃, b₃, . . . ,bn są tegoż samego znaku. Wówczas, kładąc

(x + ^ + bxi) (x + a-A +    . . . (x + an + bJ) — Fn(x) -F,ifn(x),

dochodzimy do dwu równań Fn(x) = 0 i fn(x) — 0, mających wszystkie pierwiastki pojedyńcze, rzeczywiste i przegradzające się. Wynika to bezpośrednio z uwagi poprzedzającej, gdyż pierwiastki dwu równań:

F₂(x) = (x + a,) (x -f- Oa) — M2 = 0, fi(x) — {b\ + b₂)x -\- a{ b₂-\- a₂b{ =. 0

są oczywiście rzeczywiste i przegradzające się; takąż więc własność posiadają również pierwiastki dwu równań: F₂(x) = 0 i ß(x) = 0, i t. d.

Podobnie łatwo można dowieść twierdzenia odwrotnego :

Jeżeli pierwiastki równań F(x) — 0 i f(x)~ 0, z których drugie jest stopnia o jedność niższego, niż pierwsze, są pojedyńcze, rzeczywiste i przegradzające się, to wszystkie pierwiastki równania

F(x) f if(x) = 0

będą zespolone, a spółczynniki w składnikach urojonych będą jednakowego znaku.

§ III. TWIERDZENIE ROLLE’A.

63. Twierdzenie pomocnicze. Trzy przejściu zmiennej x przez pierwiastek rzeczywisty równania f(x) — O, od wartości mniejszych do wi§-

zmieniając odpowiednio swoj§ wartość, prze-

f(x)

kszych, funkctjja ułamkowa

chodzi od ujemnych przez zero do dodatnych wartości.

Oznaczając przez a jakikolwiek pierwiastek rzeczywisty równania f(x) — 0, przez m jego wielokrotność, a przez h dowolną liczbę rzeczywistą, wypiszmy następujące dwa rozwinięcia według wzoru Taylor’a:

ß(x)

hm

(1)    f(n + h) = — -

(2)    f(a + h) =

.. m

hm~¹

ßm)(a) +

hm+l

1,2... (m -f-1)

ßm+1)(a) + . .

1.2...(m— 1)

ßm)(a) H-

Âm

w których wartość ßm)(a) jest różna od zera, gdyż, w razie przeciwnym, pierwiastek a byłby już większej, niż m-ta wielokrotności. Dzieląc zaś obie strony równości (1) i (2) przez siebie i skracając, otrzymujemy

f(a + h) _ ß(a + h) m

(3)

W + 1

/w(o)+~/(m+W 'b--*

W

Stąd widoczna, że, przy dostatecznie małych wartościach bezwzględnych liczby

li. znak ułamka    :

ß(a-jrh)

jest takiż sam, jak znak liczby 7t, tak iż, jeżeli znak

64. Przechodząc do udowodnienia twierdzenia Rolle’a, które się opiera na poprzedzającym twierdzeniu pomocniczym, zauważymy, że ono może być także wyprowadzone, jako wniosek z prawa ciągłości, i dlatego stosuje się ono do wszystkich funkcyj ciągłych.

Twierdzenie. Jeżeli a i b są dwoma po sobie następującymi pierwiastkami rzeczywistymi równania f(x)—0, to równanie pochodne f (x)—0 posiada nieparzystą ilość pierwiastków, zawartych pomiędzy a i b.

Załóżmy, że a<Cb, i oznaczmy przez h nieskończenie małą liczbę dodatną. Na mocy udowodnionego twierdzenia pomocniczego, mamy

f(a + h) f'(a + h)

>0:

téj liczby h uwidocznimy, otrzymamy dwie nierówności :

f(a—h) f'(a—h)

w których h oznacza już tylko dostatecznie małą liczbę dodatną. Jeżeli zaś w równości (3) uczynimy h — 0, to otrzymamy

<0:

f(a + ty

f(a + h)

>0:

f(a)

f(a)

= 0.

o

f(

Wartości f(a -f- h) i f(b — h) są jednakowego znaku, bo, według założenia, równanie f(x) — 0 nie posiada ani jednego pierwiastka między a-\-h i b — h; ażeby więc powyższe nierówności miały miejsce, należy przyjąć, że wartości f(a-\-h) i f(b'—h) są różnego znaku. Stąd zaś wynika, że równanie f(x) — 0 między aĄ-h i b—h, albo, co wychodzi na jedno, między a i b, posiada nieparzystą ilość pierwiastków.

Jeżeli niewiadomo, czy a i b są bezpośrednio po sobie następującymi pierwiastkami równania f(x)~ 0, t. j. jeżeli niewiadomo, czy w przedziale między a i b znajdują się jeszcze inne pierwiastki równania f(x) — 0, czytćż ich już tam niema, to, w każdym razie, na mocy twierdzenia Rolle’a, wnosimy, że równanie pochodne f'(x) = 0 między a i b posiada conajmnićj jeden pierwiastek wielokrotności nieparzystej.

§ IV. WZÓR LAGRANGE’A.

65. Niech f(x) i Y(x) oznaczają dwie jakiekolwiek funkcyje całkowite, zaś a i b dwie dowolnie wzięte liczby rzeczywiste. Przyjmiemy, że równanie pochodne F’(x) = 0 nie posiada ani jednego pierwiastka, któryby był zawartym między a i b, i oznaczymy przez A wartość ułamka

f0>) —f(a)

F(b)-V(a) ‘

Nie może być A = oo, gdyż wówczas mielibyśmy F(b) = F(a) i równanie F (x) — F (a) 0 miałoby dwa pierwiastki : x — a i x — b, wskutek czego równanie pochodne F'!#) = 0 miałoby między a i b przynajmniej jeden pierwiastek, co się sprzeciwia założeniu. Równanie

f(%) —f(a) — A{F(x) — F (a)] = 0

ma dwa pierwiastki : x ~ a i x = b, a więc równanie pochodne, które można napisać tak :

f(x) — AF’(x) = 0,

ma przynajmniej jeden pierwiastek, zawarty między a i b. Oznaczywszy go przez c, będziemy mieli tożsamość

z której wynika

f(c) —¹ AF'(c) = 0,

f(c)

F'(c)

albo, po podstawieniu zamiast A jego wyrażenia,

m-f(a) _f(c) V(b)-f(a)    F'(c) '

Jeżeli jeszcze wprowadzimy oznaczenia:

b — a — h,

c — a = hx,

to hx będzie przedstawiać liczbę, zawartą między 0 i h, a równość poprzedzającą możemy napisać tak :

(1)

f(a + h) —f(a) _ F '(a + hx)

F (a + h) — F (a) ~ f(a + hx) *

Stąd wynikają godne uwagi wnioski.

Przypuśćmy, że a jest spólnym pierwiastkiem obu równań: f(x) — 0 i F(x) — 0, wielokrotności nie mniejszej, niż m-ta, t. j. przypuśćmy, że mają miejsce równania:

f(a) —f (a) —f"(a) == . . . =f"-')(a) = 0,

F (a) = F '(a) — F "(a) = . . . = F ^(a) — 0,

i, prócz tego, przypuśćmy, że ani jedno z równań

F’(x) = 0, F"(x) = 0, . . . , FM(x) = 0

nie ma pierwiastka, zawartego między a i a -f- h. W takim razie, stosując wzór (1) kilka razy zrzędu, otrzymamy następujący szereg równań:

f(o + h) _ f(a -f hi ) _ f"(a + K) __    _ f^(a + hm)

F (a + li) F'(ci + ń,)    F "(a + h₂)    F {m)(a + hm) ’

. . ,hm są liczbami jednakowego znaku, o zmniejszają-

25 •

w których h, hy, li

cych się wartościach bezwzględnych. — Oznaczając przez 6 pewną liczbę do-datną mniejszą od jedności, możemy przyjąć

i wtedy będziemy mieli

f(a -f h) _ ßm\a 4- 6 h) F (a + h) — F W(a + 6 h) '

Kładąc

F(x) — (x — a)m

mamy

F'(x) — m(x -— a)m_1, F"(x) — m(m — 1) (x — a)

m—2

F(m>(x) = m(m — 1 ) (m — 2) . . . 3.2.1.

Funkcyja F(x) czyni zadość wszystkim wymaganym warunkom, a więc

f(g + h)_ßm)(a+Qh) hm 1.2.3 ...m¹

czyli

(2)

f(a + h) =

Jim

1.2.3... w

Ten wzór ma miejsce dla wszelkiej funkcyi całkowitej f(x), jeżeli tylko liczba a czyni zadość warunkom :

f(a) —ß(a) = . . . z=ßm~V(a) — 0.

66. Weźmy pod uwagę wzór Taylor’a:

m—1

f(x)=f(a)+X-j?f'(a)+...

(x—a)

1.2.3 ...(m—1)

(x—a)m 1.2.3 ...m

ßm)(a) + . . .

Nadto, pochodne m-go rzędu funkcyj <p(x) i f(x) są tożsamościowo równe sobie, gdyż w wyrażeniach funkcyj f(x) i <p(x) wyrazy, zawierające zmienną x z wykładnikami większymi od m — 1, są jednakowe; dlategotćż

^m)(a + ®h) — ßm)(a + 6 h).

Wprowadzając do równania (1) zamiast <p(a + h) i ym(a -f- 6 li) powyższe wyrażenia i przenosząc niektóre wyrazy ze strony lewej na prawą, otrzymujemy

hm

f(a+h)=f(a)+Y/'(“) + ■■■

fW(a+bh)

hm 1

¹

przyjmijmy, że

1.2.. .(m—1)

gdzie 6 oznacza pewną liczbę dodatną, mniejszą od jedności.

Jest to wzór Taylor’a z wyrazem dopełniającym Lagrange’a. Dla m = 1,2,... z tego wzoru wynikają równania: f(a + h) =f(a) + y f(a + bh),

(2)!

1)    I)²

f(a + h) =f(a) + y f(a) + j y/’Y« + V') a w każdym z nich 6 oznacza pewną liczbę dodatną, mniejszą od jedności.

Zauważymy tu, że cechy wzrastania i zmniejszania się funkćyi całkowitej f(x), wyłożone w art. 22-im, można wprost otrzymać z pierwszego z równań (2).

§ Y. TWIERDZENIE FOURIER’GO.

07. Przechodzimy do innych zastosowań twierdzenia Polle’a.

Jeżeli funkcyj a pochodna f(x) dla wartości zmiennej x od x — a do x = b nie zmienia znaku, to funkcyja pierwotna f(x) w przedziale a, b, włączając w to i te krańce, albo zupełnie nie ma pierwiastków, albo ma tylko jeden, który, zresztą, może być wielokrotnym (nieparzystej wielokrotności).

To podanie, wynikające wprost z tego, co było powiedziane w art. 22-im i 23-im, można także wyprowadzić z twierdzenia Eolle’a.

Istotnie, jeżeliby równanie f(x) = 0 miało dwa, albo więcej różnych pierwiastków, zawartych we wzmiankowanym przedziale, i jeżeliby dwa z tych pierwiastków, bezpośrednio po sobie następujące, były a' i b', to, na mocy twierdzenia Eolle’a, wnieślibyśmy, iż równanie f(x) ~ 0 ma między a' i b' nieparzystą ilość pierwiastków, wskutek czego funkcyja f'(x) zmieniałaby swój znak w przedziale a, b, co się sprzeciwia założeniu.

Ażeby oznaczyć, który z wyżej wymienionych przypadków ma miejsce w rzeczywistości, potrzeba określić znaki wartości f(a) i f(b). I jeżeli jedna z tych wartości będzie równa zeru, to jeden z krańców, a albo b, będzie jedynym pierwiastkiem równania f(x) == 0, zawartym w przedziale a, b; jeżeli f(a) i f(b) są jednakowego znaku, to równanie f(x) — 0 nie posiada pierwiastka między a i b; jeżeli, nakoniec, f(a) i f(b) są różnego znaku, to równanie f(x)~0 ma między a i b jeden pierwiastek wielokrotności nieparzystej.

08. Weźmy pod uwagę trzy równania:

f(x) = 0, f'(x) = 0, f"(x) = 0,

i przyjmijmy, że w przedziale między a i b druga pochodna f"(x) nie zmienia swego znaku, a równanie f'(x) = 0 w tymże przedziale posiada jeden pierwiastek c, różny tak od a, jak i od b. Ten pierwiastek może być wielokrotny, lecz wtedy wielokrotność jego jest nieparzysta.

Zachodzi pytanie: co wtedy, opierając się na twierdzeniu Rolle’a, możemy powiedzieć o pierwiastkach równania f(x) — 0, zawartych między a i b?

Równanie f(x) = 0 w przedziale a, b, włączając w to i te krańce, nie może mieć więcej niż dAva różne pierwiastki. W przeciwnym bowiem razie równanie f(x) = 0 w tymże przedziale miałoby przynajmniej dwa różne pierwiastki, co się sprzeciwia założeniu.

Jeżeli równanie f(x) ~ 0 w przedziale a, b, włączając w to i te krańce, nie ma ani jednego pierwiastka, to f(a) i f(b) są jednakowego znaku.

Jeżeli równanie f(x) — 0 w przedziale a, b, włączając w to i te krańce, ma tylko jeden pierwiastek, równy liczbie c, to jego wielokrotność jest parzysta, a f(a) i f(b) są jednakowego znaku.

ma

Jeżeli równanie f(x) — 0 w przedziale a, 6, włączając w to i te krańce, jeden tylko pierwiastek, różny od liczby c, natenczas ten pierwiastek jest pojedyńczy, i, wrazie gdy on jest różny od każdego z krańców a i b, wartości f(a) i f(b) są różnego znaku.

Nakoniec, jeżeli równanie f(x) — 0 w przedziale a, b, włączając tu i te krańce, ma dwa pierwiastki od siebie różne, to żaden z nich nie równa się liczbie c, lecz jeden jest zawarty w przedziale a, c i może się równać liczbie a, drugi zaś jest zawarty w przedziale c, b i może się równać liczbie b. Obadwa są pierwiastkami pojedyńczymi, a wartości f(a) i f(b), jeżeli tylko różnią się od zera, są jednakowego znaku.

Z wszystkiego, co wyżej powiedziano, wypada, że jeżeli dwie wartości : f(ci) if(b) są różnego znaku, to równanie f(x) = 0 między a i b posiada jeden tylko pierwiastek pojedyńczy; jeżeli zaś wartości f(a) i f(b) są tegoż samego znaku, to równanie f(x) — 0 między a i b albo zupełnie nie posiada pierwiastka, albo ma dwa pierwiastki pojedyńcze, albo, nakoniec, ma jeden tylko pierwiastek parzystej wielokrotności. Przypadek, kiedy f(a) albo f(b) są równe zeru, możemy usunąć spod uwagi: można go bowiem uniknąć, zmieniając nieco jeden albo oba krańce a i b.

69. Szczególnie ważnym jest tylko ten przypadek, kiedy z funkcyj f(x)i f'(x): f'(x) ostatnia nie zmienia znaku w przedziale a, b, i kiedy wartości f'(a) i f'(b) są różnego, a f(a) i f(b) tegoż samego znaku.

Przyjmiemy, że funkcyj a f"(x) od x — a do x — b jest wciąż dodatna: w razie przeciwnym, zamiast funkcyi f(x), wzięlibyśmy funkcyją —f(x).

Kładąc w równaniu

f(x -f h) — f'(x) + hf"(x + dh)

naprzód x~a, h — c — a, a następnie x — b, h==. c — b, gdzie c przedsta wia pierwiastek równania f(x) =. 0, zawarty między a i b, otrzymamy

(i)

0 =f(a) + (c — a) f"(a + 6 (c — a)),

0 =f'(b) + (c- b)f\b -b 6 x(c-b)).

Przypuszczając zaś, źe b^>a, i biorąc pod uwagę nierówności

f"(a -f 6 (c — a)) > 0, /Y& +0J (c —ój)>0,    (a<c<b),

z równań (1) wnosimy, że

f'(a) < 0, f’(b) > 0.

Co się tyczy wartości f(a) i f(b), które, według założenia, są jednakowego znaku, to mogą zajść dwa odrębne przypadki: albo obie liczby f(a) i f(b) są ujemne, albo obie są dodaüie.

Jeżeli wartości f(a) if(b) są ujemne, to równanie f(x) — 0 nie ma zupełnie pierwiastka w przedziale a, b. To wynika z tego, że strona prawa równania

f(a + h) —f(a) -f hf(a + dli),

dla wartości h od 0 do c — a, składa się z dwu wyrazów ujemnych, jak również z tego, źe strona prawa równania

f(b — h) —f(b) — hf(b — dh)

dla wartości h od 0 do b — c, jest sumą dwu wyrazów ujemnych; tak iż ani w przedziale a, c, ani w przedziale c, b, funkcyja f(x) nie staje się równą zeru.

Jeżeli wartości f(a) i (b) są dodatne, to równanie f(x) = 0 w przedziale a, b albo zupełnie nie ma pierwiastka, albo ma dwa pierwiastki pojedyncze, albo ma jeden pierwiastek parzystej wielokrotności. Oznaczenie, który z tych trzech przypadków ma w rzeczywistości miejsce, jest zadaniem, które często spotkać można przy oddzielaniu pierwiastków równania. To oznaczenie bywa zwykle dość kłopotliwe.

Udowodnimy pewne twierdzenie Fourier’go, które dozwala, w bardzo wielu przypadkach, dokonać owego oznaczenia.

70. Twierdzenie. Jeżeli druga pochodna f'(x) nie zmienia znaku dla wartości zmiennej od x=^a do x — b i jeżeli, prócz tego, równanie dane f(x) — 0 między a i b posiada dwa pierwiastki różne, lid) jeden pierwiastek parzy stój wielokrotności, to wtedy ma miejsce następująca nierówność:

wart, bezwzg.

f(a)

f(a)

+ wart. bezw.

<C wart. bezw. (b — a).

W omówionym przypadku równanie f(x) — 0 ma między a i b albo dwa pierwiastki pojedyncze, a i ß, albo jeden pierwiastek wielokrotności parzystej, a — ß.

(x — a)mF¹

0.3... ßinßl)

Do rozkładu funkcyi y(x) na czynniki linijowe czynnik x — a wejdzie z wykładnikiem conajmniéj m; a zatym mamy

y(a) = ß(a) = . . . = ^m~X)(a) — O,

a to nam pozwala zastosować wzór (2) art. poprzedniego do funkcyi y(x) i napisać

(x — a)m

1.2.3 ...m

ßm\a) +

ßm+^(a) F . . .

(1)

y(a F li) ==

hm

1.2 ...m

V(œ) =f(*) —f(a) — f(a) * *

ztiajdujemy

VßF h) —f(a + h) — f(a) — y f(a) — . . . —₁₂    ^---₃ )

Z równości zaś

(x a)m~¹ ‘ ~ Î72...(m — 1)

ßm~X)(a)

hm~¹

ßm~V(a).

Niech a oznacza ten pierwiastek, który jest bliższy a, a, tymsamym, ß niech oznacza ten pierwiastek, który jest bliższy b, jeżeli tylko a nie =ß. Kładąc w równaniu

x = a, h = a — a, otrzymamy

0 =f(a) + (a — a) f(a) +.

skąd

öl — a ==

f(a) (* — a)%f"{ck + Q (a — a))

/W

f(a)

Ponieważ wartości f(a) i f'(a-\-Q(a — aj) są tegoż samego znaku, przeto także oba wyrazy na stronie prawej są jednakowego znaku; wskutek tego, mamy

(1) wart. bezw. fa—aj wart. bezw.

f(a)

f'(a)

f wärt. bezw.    «j)

f'(a)

Nietrudno się przekonać, że liczba /"(a -f 0 (a — aj), zachodząca w wyrażeniu po prawej, jest różna od zera. Istotnie, w razie przeciwnym, będziemy mieli

f(a) -f- (o — a) f (a) = 0,

a wtedy równanie

f(x) —f(a) — (x — a)f(a) = 0

miałoby dwa pierwiastki: jeden x = a, a drugi = A zatym równanie pochodne,

między a i ó miałoby przynajmniej jeden pierwiastek, prócz widocznego x = a. Drugie zaś równanie pochodne, f'(x)~ 0, powinnoby mieć pomiędzy a i ft jeden pierwiastek pojedynczy, albo, wogóle, wielokrotności nieparzystej, co się sprzeciwia założeniu o stałości znaku funkcyi f'(x) od x~a do x—b. A więc wartość /"(a -j- 6 (a — aj) jest różna od zera.

Wskutek tego, z równania (1) wynika, że

wart. bezw. (a — a) ;> wart. bezw.

f(a)

W podobny sposób można dowieść, że

wart. bezw. (b — ßj > wart. bezw.

fW

fW

Dodając zaś do siebie dwie ostatnie nierówności i zważając, że wart. bezw. (a — aj -f wart. bezw. (b — ßj < wart. bezw. (b — a)-, otrzymujemy :

wart. bezw.

f(a)

f'(a)

pwart. bezw.

<C wart. bezw. (b — a),

czego należało dowieść.

Bibl. mat.-fiz., S. IV, T. II

fi

Wniosek. Jeżeli, przy istnieniu wszystkich warunków twierdzenia poprzedzającego, okaże się, że

wart. bezw.

f(a)

f'(a)

f wart. bezw.

f'(b)

>: wart. bezw. (b — a),

to wtedy równanie f(x) = 0 między a i b nie ma pierwiastka. 71. Przykład 1. Weźmy funkcyją

f(x) ~ 5 a:⁴ -J- 4x³ + 3 a:² — 4^ + 2;

tu

-i- f(x) — 10a:³ -f 6x² 4* 3x — 2, ~ f"(w) ~ 10a:² -\-4x Ą-\.

A    t)

Równanie f'(x) — 0 nie posiada pierwiastków rzeczywistych; równanie f(x) = 0 ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, zawarty między 0 i gdyż /'(O) < Oj /' (1) >0. A gdy /(O) > 0 i /(-|) > 0, przeto równanie f(x) = 0

albo zupełnie nie ma pierwiastków rzeczywistych, albo ma ich dwa; one mogą być różne lub równe sobie, a oba są zawarte między 0 i . Lecz mamy tu

r—tl

/( 0) = 2, /'( 0)^-4

wart. bezw.

/(O) _ 1 /'(O) " 2

ä więc

Wart. bezw.

A")

-f- wart. bezw.

di)

r—i ;

/'(i) '

Widocznie więc równanie f(x) = 0 nie ma pierwiastka w przedziale 0,    ;

wskutek tego, ono zupełnie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

72. Przykład 2. Dane jest równanie

f(x) — x⁶ — 5 ad 4-15 x² — 10 x 4-4 = 0.

-i-f(x) — 3x³ — 10æ³ 4- 15a: — 5, ^f"(x) = x* — 2 a:² 4-1 •

Druga pochodna f"(x) otrzymuje wartości dodatne przy wszelkich wartościach zmiennej x. Dlatego, funkcyją f(x) może mieć jeden tylko pierwiastek rzeczywisty (pojedynczy lub nieparzystej wielokrotności); pierwiastek ten rzeczywiście istnieje, jest pojedynczy i zawarty między 0 i Zważmy jeszcze, że /(O) = 4,    =    ; przeto równanie f(x) = 0 albo nie ma pierwiastków

między 0 i —, albo ma ich dwa. Żeby tę wątpliwość rozstrzygnąć, obliczamy :

m

Tu

wart. bezw.

/(O) _ 2

/'(O) “ 5

wart. bezw.

/'(ł)

__ 157

172

stąd znajdujemy

to

/(O)

A zatym, równanie f(x) — O nie posiada pierwiastków w przedziale O, Łatwo się przekonać, że ono wcale nie ma pierwiastków rzeczywistych.

73. Przykład 3. Dla równania

wart. bezw.

/'(O)

pwart. bezw.

f(x) = x* — 14&³ -f- 24a;² — 288 a? — 101

maińy

i- f'(x) — 2 a;³ — 21 æ² + 24<r — 144 Równanie f'(x) = 0 ma dwa pierwiastki:

7-1/33    „ _ 7+1/33

Ci— g ’    ²“    2

Przyjmując to na uwagę, rozpatrzmy trzy przedziały: —od, c,; cn c₂; c₂, -f-oć-.

W przedziale —00, c, funkcyja f"(x) zachowuje wciąż znak dodatny. A gdy /'(—00) <0 i f'(Ci) <C O, to funkcyja /'(a^ w tym przedziale utrzymuje ciągle znak ujemny, wskutek czego funkcyja f(x) może mieć conajwięcćj jeden pierwiastek, nie większy od c,. — Ale /(—oo)>>0, zaś f(c{) <C 0; a zatym równanie /(ir) — 0 istotnie ma pierwiastek pojedynczy mniejszy od cy. — Pierwiastek ten jest zawarty między 0 i —1, gdyż /(0)-<0, a/(-l)>0.

Zauważmy, że, dla określenia znaków wartości /(c,), /(c₂), f'(cy), /'(c₂), należy uprzednio podzielić funkcyje f(x) i f'(x) przez f"(x)\ otrzymamy tą drogą równości :

~f'(x) -QJ"(x)- 33x —116,

w których Q i Q, oznaczają części całkowite. Stąd, oznaczywszy przez Ci jednę z liczb cif c₂, znajdujemy

f(x) — Qf"(x) — 463 a: + 15

— 463<* + 16

±.f(ct) = — 33cl— 116.

Zapomocą tych dwu równań łatwo możemy się przekonać, że dla obu wartości wskaźnika i jest

f(Ci) <0,    f'(Ci)< 0.

Teraz rozważmy drugi przedział cn c₂. W nim funkcyja f'j(x) jest wciąż ujemna. A gdy /'(c,) <c 0 i f’(c₂) <! 0, przetę także funkcyja f'(x) jest stale ujemna. Nakoniec, nierówności /(ct)-<0 i/(c₂)-<0 wskazują, że funkcyja f(x) wcale nie ma pierwiastków w przedziale Cy, c₂.

W ostatnim przedziale c₂, -j-00 funkcyja fu(x) jest wciąż dodatńa. Z nierówności zaś/'(c₂) <0 i /'(+ od)>0 wynika, że funkcyja f(x) ma tylko jeden pierwiastek, większy od c₂. Nakoniec, z nierówności f{c₂) < 0, /(+ oo) ;> 0 wnosimy, że równanie f(x) = 0 ma tylko jeden pierwiastek

większy od e₂. Ten pierwiastek jest pojedynczy i zawarty między 13 i 14, gdyż/(13)<0,/(14)>0.

A zatym, równanie dane ma tylko dwa pierwiastki rzeczywiste; oba są pojedyncze, jeden z nich ujemny, zawarty między 0 i ^— 1, a drugi dodatny, zawarty między 13 i 14.

74. Przykład 4. Weźmy równanie

ffxj=:x⁵ + 10a;² — 71# — 81 = 0;

tu

f'(x) = 6 z* -f 20 a; — 71, f"(x) = 20 (x* + 1).

Biorąc pod uwagę, że funkcyja f"(x) od x = — (x> do x — — 1 jest Wciąż ujemna i że

/'(“<*> )>o, /'(— 1) < o,

/(— OD) < 0,    /(— 1) < 0,

Wnosimy, że równanie f(x) = 0 albo nie ma pierwiastków mniejszych od — 1, älbo ma ich dwa, które zresztą mogą być równe. — Obliczając wartość /(— 2), znajdujemy /(— 2) ;> 0; to wskazuje, że równanie f(x) = 0 w przedziale — cc, — 1 posiada dwa pierwiastki pojedyncze. Jeden z nich zawiera się między — 2 i — 3, a drugi między — li — 2.

W przedziale —1, -f-oo funkcyja f"(,x) jest wciąż dodatna. A ponieważ wartości /'(— 1) i /'(+ od) są różnego znaku, zatym funkcyja f(x) posiada jeden tylko pierwiastek pojedynczy, większy od — 1. Nakoniec, ze względu na to, że /(—• 1) <C 0, /(-j- od) > 0, wnosimy, że równanie f(x) — 0 ma tylko jeden pierwiastek większy od — 1. Pierwiastek ten zawiera się między 2 i 3.

A więc, równanie dane ma trzy pierwiastki rzeczywiste: dwa ujemne i jeden dodatny; wszystkie «trzy są pojedyncze. Pozostałe dwa pierwiastki są zespolone.

§ VI. 0 RÓWNANIACH, NIE MAJĄCYCH PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH.

75. Twîerdzenie. Jeżeli wszystkie pienciastki równania f(x) = 0 są rzeczywiste, to wszystkie pierwiastki róiunania pochodnego f'(x) = 0 są także rzeczywiste.

Wynika to wprost z twierdzenia Bnlle’a. Jakoż, przypuśćmy, że üi<ia₂<i...<iak oznaczają pierwiastki różne równania f(x)=.0,    m₂,..,mks

odpowiednie ich wielokrotności, a n oznacza stopień równania f(x) = 0. Mamy więc

ml + m₂+ ... + nik = n.

Ëôwnanie pochodne f(x) = 0 ma mx — 1 pierwiastków równych ai xm₂ — 1 pierwiastków równych a₂, i . . , w* — 1 pierwiastków równych mk, i, prócz tego, posiada przynajmniej po jednym pierwiastku w każdym z przedziałów :

RÓWNANIA NIE MAJĄCE PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH. — 77.

85

au a₂; a₂, a₃; . . . ;a*_i, a*. A ponieważ ilość tak wyliczonych pierwiastków,

mx — 1 + m₂ — 1 + • • • + Wh —- 1 + — 1 = n — 1

równa jest stopniowi równania f(x) — 0, przeto równanie f(x) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, a w każdym z przedziałów

Cf'i, a₂ 5 a₂ 5 $3, • • • Q>k—i ? Q>k ,

posiada tylko po jednym pierwiastku pojedyńczym.

Uwaga. Z powyższego rozumowania okazuje się, że jeżeli m oznacza ilość pierwiastków jakiegokolwiek równania f(x) = 0, zawartych między a i b, a ni ilość pierwiastków równania pochodnego f(x) = 0, zawartych także między a i b, to zawsze

ni > m— 1.

76. Niech

2 fi—2

f(x) = (x² — 1)” = x2n — ~ X

równanie f(x) — 0 ma dwa w-krotne pierwiastki: jeden x=. — 1, drugi x = 1. Równanie pochodne, f(x) — 0, ma dwa (n — l)-krotne pierwiastki: x — — 1 i £c = l, i, prócz tego, jeden pierwiastek pojedyńczy, zawarty między •—li -j-1. Drugie równanie pochodne, f"(x) — 0, ma dwa (n — 2)-krotne pierwiastki, i, prócz tego, dwa pierwiastki pojedyncze, zawarte między —1 i -j-1. Prowadząc dalej w ten sposób rozumowanie, dojdziemy do równania n-go stopnia, f{n)(x) = 0, i dowiedziemy, że wszystkie jego pierwiastki są pojedyncze, rzeczywiste i zawarte między — 1 i -j-1.

Zauważmy, że funkcyja fln)(x) różni się tylko czynnikiem stałym od funkcyi Legendre’a X» (art. 60).

77. Jeżeli wszystkie pierwiastki równania f(x)zz. 0 są rzeczywiste i pojedyncze, to wszystkie pierwiastki równania pochodnego, f(x) = 0, są także pojedyncze, rzeczywiste i, prócz tego, przegradzające się z pierwiastkami równania f(x) = 0. Dlategotćż warunki konieczne i dostateczne na to, ażeby pierwiastki równań f(x) = 0 i f(x) = 0 były rzeczywiste i przegradzające się (art. 57), są jednocześnie warunkami koniecznymi i dostatecznymi na to, ażeby wszystkie pierwiastki równania f(x) = 0 były rzeczywiste i pojedyncze.

Te warunki, jak nam już wiadomo, wyrażają się zapomocą nierówności, których ilość równa się stopniowi równania, zmniejszonemu o jedność. Należy jednak zauważyć, że niektóre z tych nierówności mogą wynikać, jako następstwa, z pozostałych, tak iż ilość warunków niezależnych może być w rzeczywistości mniejsza od n— 1. Naprzykład, dla równania trzeciego stopnia istnieje tylko jedna nierówność warunkowa. —

Jeżeli jedna z pochodnych funkcyi f(x) ma przynajmniej jednę parę pierwiastków zespolonych, to równanie f(x) — 0 ma także przynajmniej jednę parę pierwiastków zespolonych. Tak np. równanie

Axn -j- Axxn~l -j- A₂xn~² -j- . . . j- A„ — 0

będzie miało jednę albo więcej par pierwiastków zespolonych, jeżeli ma miejsce nierówność

(h —7-1) Aj² — 2mAA₃<!0; wówczas bowiem (n — 2)-gie równanie pochodne,

n(n—\)A.xiĄ-2(n—l)A,a; + 2A₂—0

ma pierwiastki zespolone.

i'

ROZDZIAŁ Y.

TWIERDZENIE DESCARTE S’A. — O PEWNEJ GRUPIE RÓWNAŃ Z PIERWIASTKAMI ZESPOLONYMI. — ODDZIELENIE PIERWIASTKÓW RÓWNANIA, MAJĄCEGO WSZYSTKIE PIERWIASTKI RZECZYWISTE. — TWIERDZENIA LAGUERRE’A,

§ I. 0 ILOŚCI ZMIAN ZNAKU W RÓWNANIU.

78. W wyrażeniu jakiejkolwiek fimkcyi całkowitej f(x), uporządkowanym według rosnących lub malejących potęg zmiennej x, każde dwa wyrazy sąsiednie mają spółczynniki albo jednakowego, albotćż różnego znaku; w pierwszym razie one przedstawiają powtórzenie znaku, w drugim zaś zmianę znaku.

Zestawiając pierwszy wyraz z drugim, drugi z trzecim i t. d., naliczymy pewną ilość zmian znaku i pewną ilość powtórzeń znaku. Np. w pierwszej Z funkcyj

7 — 2>x -(- 5 xl -— 8 xA -j- x⁵ — ~ x°,

o

'x* -f- A x -f- 12,

— 7 — 3a² — lOat,

jest 5 zmian, 0 powtórzeń; w drugiej 0 zmian, 2 powtórzenia; w trzeciej 1 zmiana, 2 powtórzenia.

Pod wyrażeniem : ilość zmian albo powtórzeń znaku w równaniu f(x) = 0 rozumiemy ilość zmian albo powtórzeń znaku w wyrażeniu funkcyi f(x).

Z powyższego wynika, że :

ilość zmian (albo powtórzeń) znaku iv wyrażeniach dwu funkcyj: f(x) i — f(x) jest zawsze taż sama;

suma liczb, wyrażających ilość zmian i ilość powtórzeń znaku w wyrażeniu funkcyi f(x), jest równa liczbie, wyrażającej ilość wyrazów tej funkcyi, zmniejszonej o jedność;

jeżeli diva wyrazy skrajne f unkcyi f(x) są jednakowego znaku, to liczba zmian w jej wyrażeniu jest parzysta, i przeciwnie.

79. Twierdzenie pomocnicze 1. Jeżeli a jest liczbą dodatną, a f(x) jakąkolwiek funkcyją całkowitą, to ilość zmian znaku w iloczynie

(x— a)f(x) jest większa od ilości zmian w f(x), a różnica tych dwu liczi) jest nieparzysta.

Przyjmijmy, że funkcyja f(x) przedstawia v zmian znaku, i napiszmy

ją tak :

f(x) = (Axn + • • •) — (A,a;"i + • • •) 4- (A₂xn2 4-...) — ... 4- (— l)*’-(A„æM0 -f...),

umówiwszy się, że spółczynniki we wszystkich wyrazach w każdym nawiasie są jednakowego znaku. Możemy przypuścić, że one są dodatne, w przeciwnym bowiem razie zamiast f(x) moglibyśmy wziąć — f(x) Prócz tego, przyjmujemy, że wyrazy są uporządkowane według malejących potęg x, tak iż

— W iloczynie (x — a)f(x) jest u+2 wyrazów, mających znaki określone i niezależne od liczby a; owe wyrazy są na stronie prawej równości

(x — a) f(x) — Axn+X . .. ■—B^ni+! dh . .. + C&”2+¹ dr .. .

+ (— l)*Kæni>+¹ dz... -f (— 1 ./+¹ hax\

w której A, B, C, . . . ,K, L są liczbami dodatnymi, wyraźnie wypisane. Ostatni wyraz ostatniej grupy,

Avxnv 4-..

oznaczyliśmy tu przez hxl\ jeżeliby więc ta grupa składała się z jednego tylko wyrazu, to mielibyśmy L = A„, l—nv. — Nazywając odpowiednio wx, w₂₁.. wv, wv+x ilość zmian znaku w wielomianach :

A^n+i dz ... —

(i)!

-— Ba:wi+¹db ... 4“ Cæ"2+¹,

(— l)”KrvH dz .. . (— i)v+xljaxl,

a przez v' ilość zmian znaku w iloczynie (x — a) f(x), spostrzegamy naprzód, że każda z liczb wlf w₂, . . . jest nieparzysta, gdyż w każdym z wielomianów (1) dwa wyrazy skrajne są różnego znaku, i, po wtóre, że liczba v' równa się sumie wl 4- ivi 4- f . t 4-    . Kładąc

wx = 2Ä, 4-1,

w2 =: ‘2h₂ + 15

- 2/iy-f-l 4" 1 }

H = Äi 4- Äa 4- • • • P hVĄ.\,

gdzie każda z liczb hx, h₂,... , hv+1, H oznacza liczbę dodatną, całkowitą, albo zero, znajdujemy

wx 4-w₂ + ... 4-»41 = 2H4y + l)

czyli

v' =z 2H -\-v + 1.

Stąd

V' — V = 2H 4- 1

c. n, d.

80. Twierdzenie pomocnicze 2. Jeżeli a jest liczbą dodatną, a f(x) funkcyją całkowitą, to liczba, wyrażająca ilość zmian znaku w iloczynie (x 4 a) f(x), nie jest większa od liczby, wyrażającej ilość zmian znaku w f(x), a jeżeli jest mniejsza, to o liczbę parzystą.

Przypuściwszy, że to ma miejsce dla każdej funkcyi f(x), której stopień jest mniejszy od n, dowiedziemy, że ono ma miejsce i wtedy, kiedy stopień funkcyi f(x) równa się n. Tym sposobem twierdzenie owo będzie udowodnione, gdyż widoczna, że ono ma miejsce wtedy, kiedy funkcyja f(x) jest stopnia pierwszego.

Jeżeli Na;” jest w wyrażeniu funkcyi f(x) wyrazem o największym wykładniku przy x, to różnica

f(x) •— Na:” = y(x)

jest funkcyją stopnia niższego od n\ niech Ma:”* przedstawia jéj wyraz o najwyższym wykładniku przy x. Weźmy teraz pod uwagę wyrażenia czterech następujących funkcyj, przypuszczając, że wyrazy są uporządkowane według rosnących potęg zmiennej x :

(il!

<p(xj — Axa 4 . . . 4- Ma;”*, f(x) — Axa 4 • • • 4 Ma:”* 4 Na:",

(x 4 a) <p(x) = Axxa 4- • • • 4 Mo;”*+'¹,

(x 4 a) f(x) ~ A, a:“ 4 • • * 4 Ma;”^¹ 4- aNic" 4* Na:^¹.

Nazwijmy liczby, przedstawiające ilość zmian znaku w każdej z tych funkcyj, odpowiednio v, w, v', w’, i zważając na to, że, według założenia, różnica v — v' jest liczbą dodatną, parzystą, lub zerem, oznaczmy v —v' —2h.

Dla ułatwienia dowodzenia, lepiej oddzielnie rozważyć dwa przypuszczenia : kiedy m 4-1 <! n i kiedy m-\-l =zn.

Zacznijmy od pierwszego: m-\~\<in. Wtedy mogą mieć miejsce dwa przypadki, które będziemy roztrząsać osobno :

a. Spółczynniki M i N są jednakowego znaku. Wtedy równania (1) wprost wskazują, że

IV — V, w' — V',

skąd

I

w — w' = v — v' = 2 h, c. n. d.

mujemy

b. Spółczynniki M i N są różnego znaku. Wtedy z równań (1) otrzy-w = v 4 15 w' = v' 4 1;

a więc

c. n. d.

w — w' — v — v' — 2h

Przeszedszy do drugiego przypuszczenia : m \ n, zauważmy, że teraz, na stronie prawej ostatniego z równań (1), dwa wyrazy:    i aNa;” są

podobne i stanowią jeden wyraz (M4«N)a;m+¹J tak iż zamiast równań (1) mamy teraz grupę następującą:

y(x) — Axa 4    4 Ma;"¹,

(2)!

f(x) = Aæa + ... 4 Ma;”¹ + Na;"^¹,

¹

przyjmijmy, że

(x 4 a) f(x) — A^“ + .,. -f- K,#* 4 Ma;m+1,

(x-\- a) f(x)~ A,a;a 4 • • • 4    4 (M 4 «N) xm+l 4 Næw+².

Ażeby dowieść, że nasze twierdzenie mg, teraz miejsce, rozpatrzmy oddzielnie cztery następujące przypadki, jedyne, jakie tu mogą zachodzić;

a. Spółczyimiki M i N są jednakowego znaku, Równania (2) wska*

żują, źe

w — v, w' — v'\

a zatym

w — w¹ — v — v' = 2 h, c. n. d, .

AV ówczas

ó. Spółczynniki M i N są różnego, a M i M 4 «N jednakowego znaku.

iv — v 41

w' — v'Ą- 1;

a zatym

iv — tv' — v — v' = 2 h

c. n. d.

c. Spółczynniki M i N są różnego, a N i M 4 aN jednakowego znaku. Mamy wtedy

w’ ± 1 ;

znak przy jedności na stronie prawej równania ostatniego zależy od tego, czy dwa ostatnie wyrazy w wyrażeniu (x 4 ffxj są jednakowego, czytóż różnego znaku. Odejmując, otrzymujemy: wtedy, kiedy zachodzi znak górny,

w — w' — v — v'= 2 h

a jeżeli dolny,

w —w' — v —v' 4 2 = 2 (li -f-1), c. n. d. cl. Spółczynniki M i N są różnego znaku, zaś M 4 aN = 0. Natenczas

iv' — v' 4 1 ;

w — v 4 1 ;

znak przy jedności w równaniu ostatnim zależy znowu od tego, czy dwa ostatnie wyrazy iloczynu (x-j- a)y(x) są jednakowego, czytćż różnego znaku. Odejmując, dojdziemy do tegoż samego wyniku, co w przypadku poprzednim; a więc i teraz twierdzenie nasze ma miejsce.

81. Twierdzenie pomocnicze 3. Jeżeli wyraz stały w wyrażeniu funkcyi całkowitej f(x) nie równa się zeru, to suma dwu liczb, wyrażających, ilość zmian znaku w f(x) i ilość zmian znaku w f(— x), nic przewyższa stopnia funkcyi f(x), a jeżeli jest mniejsza, to o liczbę parzystą.

Niech będzie funkcyja

f(x) = Axn 4 Bxm 4 Cxr 4 • • • Ka;s 4 L ?

w której ani jeden ze spółczynników A, B, C, . . . ,K, L nie równa się zeru i n >» m r . . . . Każda z liczb

a — n — m — 1, ß = m — r — X, . .

wyrażać będzie ilość wyrazów, brakujących między odpowiednimi po sobie następującymi wyrazami funkcyi f(x). Oznaczmy jeszcze przez pa resztę pozostałą z podzielenia a przez 2, wziętą ze znakiem takim, jaki ma iloczyn AB; przez pß resztę pozostałą z podzielenia ß przez 2, wziętą ze znakiem takim, jaki ma iloczyn BC, i t. d. Nadto, oznaczmy odpowiednio przez v₂,.. . ,Vi ilość zmian znaku w każdym z dwumianów

Axn -f Bxm, Bxm + Gxr,. . . , Kxs + h, a przez r/, v₂', . . . ,Vi ilość zmian znaku w każdym z dwumianów (— 1)” Axu + (— l)m Bæw, (— l)m Bxm + (— l)r Caf,l)s Kxs -f- L, Między liczbami v{\ a, pa zachodzi związek:

(1)

n — m — (vx-\-Vx) = a + pa,

Zauważmy bowiem, że jeżeli a jest parzyste, to przy n parzystym, m jest nieparzyste, i naodwrót; wskutek tego iloczyny AB i (—l)m+n AB są różnego znaku; a zatym, albo: pa = 0, v{ = 1, v,' = 0, albotóź: pa = 0, t;, =0, v,'== 1; stosownie do tego, czy iloczyn AB jest ujemny, czy też dodatny. A jeżeli a jest nieparzyste, to liczby m i w są albo obie parzyste, albotćż obie nieparzyste, tak iż iloczyny AB i (—l)m+nAB są jednakowego znaku, i, gdy iloczyn AB jest dodatny, mamy pa —1, î7₁ = v₁,==0, gdy zaś iloczyn AB jest ujemny, mamy pa= — 1, v₁ = v₁,= l. Jest więc zawsze vt -f vx' + pa = 1, skąd, z uwagi, że a = n— m — 1, dochodzimy do związku (1).

Wskutek związku (1), mają miejsce równania

(2)!

r — (v 2-Ma'j = ß + pß,

s — (Vi + Vi) = X -f Px.

Dodając do siebie związki (1) i (2) i zważając, że suma

v = vt + v₂ -f . . . -f Vi wyraża ilość zmian znaku w f(x), a suma

v' = «V 4- < + • • • 4- vl ilość zmian znaku w f(—x), otrzymujemy

n — (v 4- v') = a -f pa 4- ß + pß -f . . . + X 4- px.

A gdy każdy z dwumianów a + p«, ß 4" Pß, - * * widocznie jest liczbą parzystą, dodatną, lub zerem, przeto nasze twierdzenie jest udowodnione.

§ II. TWIERDZENIE DESCARTES’A.

82. Opierając się na twierdzeniach pomocniczych, udowodnionych w paragrafie poprzedzającym, łatwo możemy dowieść następującego twierdzenia Descartes’a i, prócz tego, dodać kilka uwag, które w praktyce często wypada mięć na względzie.

Twierdzenie. Ilość wszystkich pierwiastków dodatnycli równania f(x) — O nie jest większa od ilości zmian znaku w funkcyi f(x), a jeżeli jest mniejsza, to o liczbę parzystą.

Oczywiście, że pierwiastek równy zeru nie powinien być zaliczany do pierwiastków dodatnych, bo, wskutek pomnożenia równania przez x, x², x³,..., nie powiększy się ilość zmian znaku.

am.

Niech m oznacza ilość pierwiastków dodatnych danego równania, któreto pierwiastki nazwijmy ax, a₂, . .

Funkcyja całkowita

f(x)

V(x) =

(x — aj) (x — a₂) . . , (x — am)

nie ma ani jednego pierwiastka dodatnegO; z tego wnosimy, że spółczynniki w dwu skrajnych jéj wyrazach będą- jednakowego znaku, gdyż przy dwu wartościach dodatnych zmiennej x, z których jedna jest dość mała, a druga dość wielka, odpowiednie wartości funkcyi F(x) powinny mieć znaki jednakowe. Stąd wynika, że ilość Zmian znaku w wyrażeniu funkcyi F(x) jest parzysta albo równa zeru.

Oznaczając ilość zmian znaku w wyrażeniu każdej z funkcyj F(x), (x—aj)F(x), (x—aj)(x—aj)F(x),...,(x—aj)(x—aj). ..(x—am)¥(x)

odpowiednio przez vm, vm-i, ... ,v i przyjmując pod uwagę pierwsze twierdzenie pomocnicze paragrafu poprzedzającego, otrzymujemy równania:

vm — 2 h j

Vm-\ — Vm = 2hx + 1 ,

Vrh—2    —1 —— żh% "4* ł j

V — vx == 2hm -f 1,

w których h, hx, h₂, . . . są liczbami całkowitymi, dodatnymi, albo zerami. Stąd, dodając, znajdujemy

(1)

v = m + 2H,

gdzie H == h -f- hx -f . . . + hm jest liczbą całkowitą, dodatną, albo zerem. Zważmy, że v oznacza ilość zmian znaku w iloczynie

(x — aj) (x — aj) ... (x — am) F(x),

albo, co toż samo, w funkcyi f(x); równanie (1) przeto wyraża twierdzenie Descartes’a.

83. Drugie z twierdzeń pomocniczych paragrafu poprzedzającego często daje możność otrzymania wyższego krańca dla liczby, wyrażającej ilość pierwiastków dodatnych równania f(x) = 0, mniejszego od tego, jakie daje twierdzenie Descartes’a.

Weźmy np. równanie

f(x) — x* — x'-\- 4x⁰ — 8x⁵ — X* 4- 7x³ — 22x² — 152a; — 450 = 0.

Według twierdzenia Descartes’a, ilość jego pierwiastków dodatnych jest nieparzysta i nie przewyższa 5-u. Mnożąc jednak obie strony przez # + 1, otrzymujemy

(x-\- 1)/(#J = #°+3#⁷— 4#°— 9#⁵ + 6#⁴—15a;³ — 174#²— 602# — 450 = 0,

skąd wnosimy, że ilość pierwiastków dodatnych równania f(x) = 0 nie przechodzi 3-ch. Mnożąc zaś powyższe równanie jeszcze raz przez x -f- 1, otrzymujemy

(X + 1 ff(x) = X¹⁰ + #° + 3#⁸ — x¹ — 13#° — 3#⁵ — 9#⁴ — 189 #³ — 776#² —

— 1052#— 450 = 0,

z którego widzimy, że ilość pierwiastków dodatnych równania f(x) = 0 nie jest większa od 1. A więc, równanie f(x) = 0 ma jeden tylko pierwiastek dodatny. Weźmy jeszcze jeden przykład. Równanie

F(x) = #⁵ + 2#⁴ — 7#³ + 30 #² + 6 = 0,

według twierdzenia Descartes’a, albo zupełnie nie ma pierwiastków dodatnych, albo ma ich dwa. Pomnożywszy jednak obie jego strony przez # + 4, otrzymujemy

#° + 6#⁵ + #⁴ + 2#³ + 120 #² + 6# + 24 = 0,

skąd widzimy, że równanie f(x) = 0 wcale nie ma pierwiastków dodatnych.

84. Ilość pierwiastków dodatnych równania f(— x) = 0 jest oczywiście równa ilości pierwiastków ujemnych równania f(x) — 0. Oznaczywszy tę ilość przez m\ a przez v' ilość zmian znaku w funkcyi f(— x), na mocy twierdzenia Descartes’a mamy

w! = v¹ — 2 h',

gdzie h{ jest liczbą całkowitą, dodatną, albo zerem. Dodając do tego równania stronami odpowiednimi równanie

m~v — 2 h,

które się odnosi do funkcyi f(x), otrzymujemy

m + m' = v + v' — 2 (h + h*),

skąd widzimy, że ilość wszystkich pierwiastków rzeczywistych równania f(x)=z0, różnych od zera, nic przewyższa sumy v + v' i jest parzysta albo nieparzysta, stosownie do tego₎ jaką jest suma v + v\

jeżeli ostatni wyraz w f(x) nie równa się zeru, to suma v + v' nie jest •Większa od stopnia równania f(x) = 0 i jest jednakowej z nim parzystości

(art. 81).

Dla przykładu, weźmiemy równanie

f(x) = #⁸ — #ł +,4#° — 8#⁵ — #⁴ + 7#³ — 22#² — 152# — 450 = 0. Podstawiając w nim —# zamiast #, otrzymamy

f(— x) = #⁸-f-#⁷ + 4#⁶ + 8#⁵ — #⁴ — 7#³ — 22#² + 152# — 450 = 0;

skąd widzimy, że równanie f(x) — 0 posiada albo jeden tylko, alboteź trzy pierwiastki ujemne.

Weźmy drugi przykład.

F(x) = x⁵ + 2x⁴ — 7 x¹ -j- 30 x² + 6 = 0.

Biorąc —x zamiast x, otrzymamy

F(—x)z=z — a:¹ -f- 2x* + 7æ¹ -f- 30#² -f- 6 = 0, skąd widzimy, źe równanie F(x) = 0 posiada jeden tylko pierwiastek ujemny.

§ III. KRANIEC NIŻSZY DLA ILOŚCI PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH.

ZASTOSOWANIA.

85. Oznaczywszy odpowiednio przez m, m', 2J ilość pierwiastków do-datnych, ujemnych i zespolonych równania

f(x) — Aa;” -f F>xv + . . . + L = 0,

a przez v i v' ilość zmian znaku w f(x) i w f(—x), na mocy twierdzenia De-scartes’a mamy

v -f- v' = m -j- m' + 2/«,

gdzie li oznacza pewną liczbę dodatną, lub zero. Zważywszy, że    —2J,

z ostatniego równania otrzymujemy

0)

2J = n — (v -{- v') -f* 2h.

W art. 81-ym zaś znaleźliśmy, że

(2)

n — Çv + v') = a + pa + ß + pß + . . . .

Z równań (1) i (2) wynika :

Stąd widzimy, że

2 J — a 4 pa 4 ß 4 Pß 4 • • • 4 2/i.

(3)

KRANIEC NIŻSZY DLA ILOŚCI PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH. — 87.

Ol

czyli

Xn+m— (j>(x) — f(x) <p(%).

Na, stronie lewéj téj równości brak przynajmniej m wyrazów, gdyż stopień funkcyi ty(%) jest mniejszy od n; i dlatego równanie

Xn+m-^(x) __ Q?

albo, co toż samo, równanie

f(x) y(x) = 0

ma przynajmniej m—1 pierwiastków zespolonych. Wszystkie te pierwiastki powinny zadość czynić równaniu y(x) = 0 stopnia m-go, gdyż, według założenia, równanie f(x) = 0 nie posiada pierwiastków zespolonych. A zatym, równanie y(x) = 0 będzie miało albo jeden tylko pierwiastek rzeczywisty, albotćż ani jednego, stosownie do tego, czy liczba m jest nieparzysta, czytćź parzysta.

87. Przyjmując, jak w art. poprzedzającym, że f(x) przedstawia fun-kcyją całkowitą, nie posiadającą pierwiastków zespolonych, i oznaczając przez

f(x)

m dowolną liczhę całkowitą, dodatną, rozwińmy stosunek na ułamek ciągły.

Licznik i mianownik jednego z ułamków zbliżonych nazwijmy P i Q, a r niech oznacza stopień mianownika Q. Kładąc

f(x) P __ ÿQ

Q Q ^

xm

mieć będziemy funkcyją całkowitą <p(xj stopnia nie wyższego od —r—1; na stronie przeto lewej równania

Vxm + (p =f(x) Q

między ostatnim wyrazem funkcyi Vxm i pierwszym wyrazem funkcyi cp brak przynajmniej r wyrazów. A zatym, równanie

Pxm + <f = 0

posiada przynajmniej r—1 pierwiastków zespolonych, któfe, oczywiście, powinny czynić zadość równaniu Q=:0. A ponieważ stopień funkcyi f(x) jest r, więc równanie Q = 0 będzie miało albo jeden tylko pierwiastek rzeczywisty, albotćż ani jednego, stosownie do tego, czy liczba r jest nieparzysta, czytćź parzysta. Tę uwagę zawdzięczamy Laguerre’owi; z niej wynika, jako wniosek, to, cośmy powiedzieli w art. poprzedzającym.

Puzykład. Funkcyją f(x) — x* — 2a;² — æ f 1 ma wszystkie trzy pier-

f(X )

wiastki rzeczywiste, bo f(-\- l)dO. Rozwijając funkcyją na ułamek ciągły, otrzymujemy

x* — 2 a?² — x + 1

25

hx— 11

16

20a?+ 19-f

25

4lX— 3⁴

Stąd zaś znajdujemy następujące wyrażenia mianowników ułamków zbliżonych:

Q,=#p2,

Q₂ = 5#²— -J- 3,

Q3 — 25 (4æ³ p, 3æ² p # p 1),

Q₄ = 16.25#*,

i spostrzegamy, że każde z równań Q₂ = 0, Q₃ = 0 powinno mieć po dwa pierwiastki zespolone, o czym nietrudno bezpośrednio się przekonać.

§ IY. PRZYPADEK, KIEDY WSZYSTKIE PIERWIASTKI RÓWNANIA

SĄ RZECZYWISTE.

88. W paragrafie niniejszym rozpatrzymy ten przypadek szczególny, kiedy zgóry. wiadomo, że wszystkie pierwiastki równania są rzeczywiste. Przyjmiemy tu, że ostatni wyraz w funkcyi f(x) nie równa się zeru.

Oznaczając stopień równania f(x) — 0 przez n, ilość jego pierwiastków dodatnych przez m, a ujemnych przez m', ilość zmian znaku w f(x) przez v, ilość zmian znaku w f(— x) przez v\ i, nakoniec, przez h, h’, hn pewne liczby całkowite nie mniejsze od zera, będziemy mieli cztery następujące równania:

m — v — 2h, m'~ v'— 2 h', v p = n — 2h", m p m'= n\

i tych równań wynika, iż

h p h¹ p h" — 0.

À gdy żadna z liczb h, h', h" nie jest mniejsza od zera, więc

h = 0, h' — 0, h" — 0,

a stąd

m = v, m' — v\

Te równania wyrażają następujące

T w ierdzenie 1. Jeżeli wszystkie pierwiastki równania f(x)=.0 są rzeczywiste i różne od zera, to ilość jego pierwiastków dodatnych jest równa ilości zmian znaku w f(x), a ilość jego pierwiastków ujemnych jest równa ilości zmian znaku iv f(—x).

Kaprzy kład, następujące równania, otrzymywane wskutek przyrównania do zera niektórych z funkcyj, podobnych do rozważanych powyżej w art. 58-ym,

P₃ = 3x* — 2x² — 10x P 5 = 0,

Pi==3x* — 2x³~ 13x² p 2x P 3 = 0,

P₃ — 6#⁵ — 13æ⁴ — 23æ³ P 45æ² p 10#— 14 = 0,

Q₃ = 3#²—2x — 7,

Q₄ = 3#³ — 2x² — 10# — 3,

Q₃ = 6#⁴ — l3#³— 17#² p 26# p 16

mają wszystkie pierwiastki rzeczywiste, a mianowicie: pierwsze — dwa pierwiastki dodatne, jeden ujemny, drugie — dwa pierwiastki dodatne, dwa ujemne, trzecie — trzy pierwiastki dodatne, dwa ujemne, czwarte—jeden pierwiastek dodatny, jeden ujemny, piąte — jeden pierwiastek dodatny, dwa ujemne, szóste — dwa pierwiastki dodatne, dwa ujemne.

89. Możemy teraz przejść do innego jeszcze zastosowania twierdzenia Descartes’a, w przypadku, kiedy wszystkie pierwiastki równania są rzeczywiste. Polega ono na tym, że daje możność oznaczenia, ile równanie ma pierwiastków, zawartych między dwoma dowolnie wziętymi krańcami: a i b^>a. Jeżeli oznaczymy pierwiastki równania f(x) = 0 przez a,, a₂, . . . ,a„, to pierwiastkami równania f(a Ą- y)~ 0, czyli równania

(1)

yn

1.2..

-Ma) = 0

będą liczby:

d\.    (L-)    Q>2 tt, . . . , dn d)

a pierwiastkami równania f(b -f z) s=z 0, czyli równania

(2)

m+Yfo>)+--- +

liczby :

ax — b,

dn b»

a₂ — b, . .

Ilość pierwiastków dodatnych równania (1) równa jest ilości pierwiastków równania f(x) — 0, przewyższających kraniec a, a ilość pierwiastków dodatnych równania (2) równa jest ilości pierwiastków równania f(x) — 0, przewyższających kraniec b. A więc, jeżeli przez m i m' oznaczymy ilość pierwiastków równania f(x)~ 0, przewyższających odpowiednio krańce a i b, a przez va i vb ilość zmian znaku w (1) i (2), to mieć będziemy

m = va, m = vb

skąd

va — vb — m — m'.

Różnica m — m\ oczywiście, wyznacza ilość pierwiastków równania f(x) — 0, zawartych między a i ó; a więc ostatnie równanie wyraża następujące twierdzenie :

Twierdzenie 2. Jeżeli wszystkie pierwiastki równania stopnia n-go, f(x) — 0, są rzeczywiste, to ilość jego pierwiastków, Zawartych między dwoma dowolnymi krańcami : ai b >► a, jest wyznaczona przez różnicę między ilością zmian znaku w grupie liczb

f(a), f(a), f"(a), . . . ,f(n)(a)

i ilością zmian znaku w grupie li czb

Wyrazy równe zeru, jeżeli takie się znajdą, nie przyjmują się tu pod uwagę. AYeźmy np. jedno z równań, przytoczonych w art. poprzedzającym:

f(x) — 6æ³ — 13 a:⁴ — 23 a:³ -j- 45 æ² 4- 10 x — 14 = 0.

Obliczając wartości funkcyi f(x) i jéj pochodnych dla x — 0, 1, 2, otrzymamy następującą tablicę znaków:

/ /' /" /"' fiy fy

x — 2 x — 1 x = O

Widzimy więc stąd, że równanie ma tylko jeden pierwiastek, zawarty między 0 i 1, i tylko jeden między 1 i 2.

§ Y. TWIERDZENIA LAGUERRE’A.

90. Laguerre rozciągnął twierdzenie Descartes’a na równanie przestępne; to go przywiodło bezpośrednio do dwu nowych twierdzeń, stosujących się do równań liczebnych, twierdzeń, zasługujących na uwagę ze względu na ich praktyczną doniosłość.

Wyprowadzimy je tu — lecz przy pomocy odrębnego rozumowania. Twierdzenie 1. Ilość pierwiastków równania

(1)

f(x) — Axn -f- A,«?"⁻¹ -f . . . -f A„ = 0,

większych od danej liczby dodatnćj a, nie jest większa od, ilości zmian znaku pierwszym wierszu algorytmu Horner'a (art. 14, 15)

An

A Ai A2 ... A

2,1 • •

(2)

2,2 • •

<1 <1

«-1,1

»—1,2

ABii

1,»-1

Ai,„

A-2,»—1

obliczonego dla x =2 a, a jeżeli jest mniejsza, to o liczbę parzystą. Przyjmujemy tu, że liczba a nie jest pierwiastkiem równania f(x) — 0.

Napiszmy układ wierszy

Ax,i

Aj₍2

A 1,3

A2,l

A2,i

A2,2

<| <j

3,1

3,1

3,1

<! <1

4,1    *    •    *    AW,1

4,1    •    •    *    Anjl

4,1    *    •    •    A„,1

l,n

2,n—1

A3,„_2

A^»—3. . . AH)i

według typu ogólnego

A Ai,* A2,i_i A2₎t_2 • • . A*—1,2 A*,i A*₊i,i A^₂,i • * • Aw_i,i A„]l?

i oznaczmy ilość zmian znaku w każdym wierszu kolejno przez vt, v%, v3i...,vn-Kładąc

fi-i(oc) = Aa?*⁻¹ + Ai,,--!«¹'-² + A₂^_₂£c!'~³+ • * • + A*_i,i,

Ąi(x) — Aæ* + Ai,*«*-¹ + A₂,,_ias<_2 -j- . . * + A<_i,sie + aAM|l)

mamy równość

tyi(x) = (x + a) (fi-1 (x),

z której wnosimy, iż ilość zmian znaku w wierszu

(4)

A Ai,i A2,t_i . . . Aj_i,2 Aj—1,1 nie jest większa od ilości zmian znaku w wierszu

(5)

(-1,1 j

l,t-l A₂,f_2 .

i różnica tych dwu liczb jest parzysta, albo równa zeru. Dopisawszy tak w wierszu (4), jak i w wierszu (5), grupę liczb

A,-,i Aj_j_i,i . . . Aw,i

otrzymujemy nowe dwa wiersze:

A Ai,,• A A Aw_i A

2,1-1 • •

(-1,2

A;,i . . . An,i ,

a-1,1

Aj,t . . . A„,i,

(—1,1

o których można powiedzieć toż samo, co o wierszach (4) i (5), t. j., że ilość zmian znaku w (6) nie jest większa od ilości zmian znaku w (7), a jeżeli te dwie liczby różnią się od siebie, to o liczbę parzystą.

Jeżeli w jakimkolwiek wierszu opuścimy jeden wyraz, dowolnie wzięty, byle nie skrajny, to, oczywiście, ilość zmian znaku w danym wierszu albo się nie zmieni, albo zmniejszy się o liczbę parzystą. Wykreślimy więc w wierszu (6) wyraz Aj_i,i ; on nie mógł być skrajnym, gdyż wyraz A„,i — f(a), według założenia, jest różny od zera. Wskutek tego, wiersze: (6) i (7) staną się wierszami i-tym i (i — l)-szym układu (3), i dlatego możemy napisać

2,i—2 • • •

(8)

Vi — Vi-1 — 2hi-1,

gdzie 7j,_i oznacza pewną całkowitą liczbę dodatną, albo zero. Równanie (8) wskazuje, że wszystkie liczby

V2 1 V35 * • • J Vn

są jednakowej parzystości i że każda od poprzedzającej ją nie jest większa.

Zauważmy jeszcze, że tożsamościowo (art. 15) f(x) — Aw,i-f Aw_i,₂(a?— a)~{~ Are_2,3(cc — $)²+ • • • + A*,„(a?— a)n~xĄ- A.(x — a)n,

tak iż pierwiastki równania f(x) = 0, większe od naszej liczby dodatnój a, są pierwiastkami dodatnymi równania o niewiadomej x — a, otrzymanego wskutek przyrównania do zera strony prawej wypisanej równości. A więc, według twierdzenia Descartes’a, ilość pierwiastków równania f(x) — 0, większych od a, nie jest większa od vn i z tą liczbą jest jednakowej parzystości, a tymsamym, na mocy tego, cośmy wyżej okazali, nie jest większa od żadnej z liczb vh v₂, v₃, . . . ,*V_i i jest jednakowej z nimi parzystości. Ten wynik naszego rozumowania obejmuje twierdzenie Laguerre’a.

91. Przy jakichkolwiek dwu danych liczbach a i b, różnych od siebie, każda funkcyja całkowita f(x) stopnia w-tego może być przedstawiona, jednym tylko sposobem, w takiej postaci:

(1)

f(x) — Kxn~'(x •—■ a) + y(x) (x — a) (b — x) -\- B(b — x),

gdzie A i B oznaczają liczby stałe, y(x) zaś pewną funkcyją całkowitą stopnia niższego od n    1.

Przyjmujemy nadal, że żadna z liczb a i b nie czyni zadość równaniu f(x) = 0; wówczas ani jeden ze spółczynników A, B w wyrażeniu (1) nie jest równy zeru.

Przypuszczając, że w wyrażeniu funkcyi

<p(x) — lixl + L,cch + . . . + L(Xli

wyrazy są uporządkowane według malejących potęg zmiennej x, i że b > a, weźmiemy pod uwagę ilość zmian znaku w grupie liczb :

A, L, Lj, . . . ,Lj, B

i, przez skrócenie, będziemy ją tu nazywali ilością zmian znaku w wyrażeniu (1). Tak np. powiemy, że wyrażenie

— 3x*(x — 1) + (x — 1) (2 — x) (5x³ — x — 1) -f- 4(2 ■— x) przedstawia trzy zmiany znaku.

Twierdzenie pomocnicze. Jeżeli f(x) jest funkcyją całkowitą stopnia n-go, a i b są dwiema liczbami dodatnimi i b^> a (zresztą a może nawet równać się zeru), zaś c jest liczbą pośrednią między a i b, to, wrazie gdy funkcyje f(x) i (x — c)f(x) przedstaivimy w postaci

f(x) — A.xn~l(x — a)-j- <p(x) (x — a) (b — x) + B (b — x),

(x — c)f(x) — Kxxn(x — a) + §(%) (% — a)(b — x) -f- Bx(b — x),

ilość zmian znaku w wyrażeniu iloczynu (x — c)f(x) jest większa od ilości zmian znaku to wyrażeniu funkcyi f(x) o liczbę nieparzystą.

Zauważmy uprzednio, że:

różnica między liczbami, wyrażającymi ilość zmian znaku w grupie

p, q, r

i ilość zmian znaku w grupie

jest albo 0, albo 2;

jeżeli liczby p i q są jednakowego znaku, to różnica między liczbami, wyrażającymi ilość zmian znaku w grupie

p, r,

p, q', r

i ilość zmian znaku w grupie

P, <h r,

jest albo 0, albo 2, Kładąc

y(x) = hxl + L{xh 4- . , . 4- Ljxli

znajdziemy

(x — c) y(x) — ~LiX¹^ Mj.rOTi + , . . 4- Mkxmk — chiXli

a zatym

(2) (x — c) f(x) = (b — c)xn(x — a)

-f

[“T*”'*

4- L x¹*¹ + . .

. — chixli 4- b]₍x — a)(b — x)

— B (c — a)(b — x).

Niektóre z wyrazów, objęty cl przez wielki nawias na stronie prawej, mogą być podobne; dlatego należy oddzielnie rozpatrywać następujące cztery przypadki.

a\ n— 1^>1 -f 1 i ?i>-0. AVowczas w owym wielkim nawiasie niema wyrazów podobnych, a w wyrażeriach (X) i (2) mamy dwie następujące grupy liczb :

Li,

W bd

u • • • ? u • • • i

Oznaczmy ilość zmian zn^u w każdej z nich odpowiednio przez v i v’ i, prócz tego : ilość zmian znakv w grupach

— B.

A, L — A, L

przez v, i vx'\ ilcść zmian znaku w grupach

L, Lj,. . . ,L L, M,,.. . ,M*, —Li przez v₂ i r₂r; nakoniec, ilość zmian znaku w grupach

Li, B

-L,, B, -B przez v₃ i v₃. Mamy więc następujące równania

v = vx 4* "h V3 3

v'=Vi'+v₂'+v₃,

Vy — vx — 2 ä„ v₂ — v₂ = 2h₂ +1 v₃ —v₃=. 2hs,

w których każda z liter h{, h₂, ha oznacza pewną, liczbę całkowitą, dodatną, lub zero. Z tych równań wynika

v' — v = 2h -|- 1,

gdzie h ==. ht + h₂ + A₃ i dlatego oznacza również pewną liczbę całkowitą, dodatną, albo zero. To zaś równanie okazuje prawdziwość naszego twierdzenia w przypadku rozważanym.

b). n—1 = lĄ-1,    0. Wówczas, na stronie prawej równości (2)

pierwsze dwa z wyrazów, zawartych w wielkim nawiasie, są podobne, wskutek czego należy przyjąć pod uwagę następujące dwie grupy liczb

A, L, Lj, . . . ,Lj, B,

(3)1

T Ac

l~tt

Mi, .. . , — Li, B, — B,

z których pierwsza niech przedstawia v zmian znaku, a druga v\ Weźmy tu jeszcze pod uwagę grupę

A, L, Mi, . .

—Li, B, —B,

różniącą się tylko wyrazem drugim od drugiej z grup (3), i oznaczmy przez w ilość zmian znaku, w niej zachodzących. Mamy

v' — io — 27^,

gdzie /ij oznacza jedność, albo zero. Zachodzi tu jeszcze związek

w — v — 2 h₂ + 1,

w którym h₂ jest liczbą całkowitą, dodatną, albo zeiam. A więc

v' — v =z 2h + 1,

gdzie litera h oznacza sumę ht-\-h₂, liczbę całkowitą dodatną, albo zero, c. n. d.

. . , L,, B,

—• cL, -j- B, — B.

c), n — 1 > l -f-1, h = 0. Wówczas mamy następujące dwie grupy : A, L

¹

J 5? ot 4" Pa 4 ß 4 Pß 4 • • • ?

i dlatego liczba a 4 pa 4 ß 4 Pß 4 • • • może być przyjęta jako kraniec niższy dla ilości pierwiastków. zespolonych równania danego.

Ze związku (3) wynikają nierówności

2J^a-fpa, 2J^ß+pß, ..

albo jeszcze, zważywszy, źe każda z liczb pa, pp może mieć jednę z trzech wartości 0, 1, —1, mamy

2.T a—1, 2J >: ß — 1, ....

86. Weźmy pod uwagę funkcyją całkowitą f(x) stopnia w-go, nie posiadającą pierwiastków zespolonych, i, oznaczywszy przez m jakąkolwiek liczbę całkowitą większą od 1, podzielmy funkcyją xn+m przez f(x). Wyrażając część całkowitą przez y(x), a resztę przez mieć będziemy

xn+m = f(x) <p(x) -j- $(&);

A, A, L, M;, . . , M*,

Oznaczmy ilość zmian znaku w każdej z nich odpowiednio przez v i v' i nadto weźmy jeszcze pod uwagę grupę

-B,

A,    A, L, M,,. . . , M*,    cL,,

która niech przedstawia io zmian znaku. Oczywiście, mamy tu dwa równania

v} — w =■ 2hi, w — v — 2h₂-\-l

>/ •— v = 2h 4-1, gdzie h oznacza liczbę całkowitą, dodatną, albo zero, c. n. d.

w których tak hx jak i h₂ oznacza liczbę całkowitą, dodatną, albo zero. Z nich znajdujemy

d). n — 1 = l + 1, li — 0. Mamy tu dwie grupy :

L, Lij. . . j Li, B,

Ac

A, Ł

weźmy jeszcze pod uwagę grupę

A, L, Mi, . • • , M^,

— cL

— B.

Oznaczmy ilość zmian znaku w każdej z nich odpowiednio przez v, v' Jest więc

w.

v' — w ~ 2hx, w — v — 2 h₂ -f- 1,

gdzie hx i A₃ oznaczają, liczby całkowite, nie mniejsze od zera. Stąd zaś wynika

gdzie h jest liczbą całkowitą, dodatną, albo zerem, c. n. d.

92. Twierdzenie 2. Gdy mamy dane równanie stopnia n-tego

w postaci

(1)

f(x) = A.xn~l(x— a) -j- y(x) (x — a) (b — x) (b — x) = 0, gdzie y(x) oznacza funkcyją

Lxl -f L,aA -f . . . -f LiXli

stopnia niższego od n—1, której icyrazy są uporządkowane według potęg malejących zmiennej x, zaś a i b są liczbami dodatnymi, nie czyniącymi zadość równaniu f(x) — 0, z których b >» a, to ilość pierwiastków równania f(x) — 0, zawartych w przedziale od a do b, nie jest większa od ilości zmian znaku w grupie liczb

A. L

13 *

...U, B

i jest z nią jednakowej parzystości.

Jeżeli równanie f(x) = 0 niema żadnego pierwiastka w przedziale mię* dzy a i b, to wówczas twierdzenie widocznie ma miejsce, gdyż wartości f(a) i f(b), a tymsainym i spółczynniki A i B są jednakowego znaku.

Przypuśćmy, że równanie f(x) — 0 posiada r pierwiastków w przedziale między a i b, a mianowicie :

Utwórzmy funkcyje:

¥r(x)

f(x)

(X — C,) (X — C₂) . . . (X •— Cr)

Br- \(X)

ffa)

(X — Cx)(x — cj) ... (x — Cr-1)

Bj (x) — ~

B (x)=f(x)

i„ sprowadziwszy każdą z nich do postaci (1), obliczmy ilość zmian znaku w jéj wyrażeniu. Niech vt oznacza ilość zmian znaku w wyrażeniu funkcyi J?i(x). Z tych liczb liczba vr jest parzysta, równanie bowiem ~Er(x) = 0 między aib nie ma ani jednego pierwiastka. Na zasadzie zaś powyżej udowodnionego twierdzenia pomocniczego, możemy napisać następujące równania:

vr—\ — vr — 2hi 4" 1 j Vr—2 vr—1 ⁼⁼ 2ih 4“ 1 ?

v — vv — 2kr + 1,

gdzie hlf h₂, . . . ,hr są liczbami całkowitymi, z których żadna nie jest mniejsza od zera. Dodając do siebie te równania i nazywając

2hy 4" 2Jh 4" • • • 4~ 2hr 4* vr — 2liy

otrzymujemy

v = r + 2Ä,

gdzie li jest liczbą dodatną, całkowitą, albo zerem, c. n. d.

93. Przykład 1. Weźmy równanie

(1)

x⁵ — Sx³ -j- x² — 8x — 10 = 0.

Obliczając sposobem Horner’a wartości wielomianu, stanowiącego stronę lewą tego równania, dla x = l, 2, 3, otrzymujemy następującą tablicę:

1    0 —3

1 —8 —10

X—1

1    1 —2 —1 —9 —19

12    1    3—2—14

1    3    6    19    49    137

Stąd widzimy, że równanie nie ma ani jednego pierwiastka większego od 3, tak iż ta liczba 3 może być przyjęta jako wyższy kraniec dla pierwiastków dodatnych równania (1). Ponieważ zaś w wierszu drugim, odpowiadającym wartości x = 2, jest jedna zmiana znaku, przeto wnosimy, że równanie (1) ma jeden tylko pierwiastek, większy od liczby 2; oczywiście, jest on zawarty między 2 i 3. Nakoniec, w wierszu pierwszym, odpowiadającym wartości x — 1, jest także jedna zmiana znaku; to wskazuje, że równanie ma jeden tylko pierwiastek, większy od 1, tak iż w przedziale między 1 i 2 równanie pierwiastka nie posiada. A gdy nadto, dla wszystkich wartości zmiennej a: od 0 do 1, ów wielomian jest ujemny, zatym w przedziale między 0 i 1 równanie pierwiastków nie posiada. Z tego widzimy, że równanie (1) ma tylko jeden pierwiastek dodatny, zawarty między 2 i 3.

94. Pezykead 2. Weźmy równanie

(1)

f(x) = x⁵ — 5xl — 16æ³ + 12&² — 2x — 5 = 0,

i sprowadźmy je do postaci

Ax*x -f <p(x)x(l — x) 4- B(1 — x) = 0.

Ażeby wyznaczyć A, B i y(%), zauważmy, że, gdy wielomian na stronie lewej nazwiemy /(cc), z tożsamości

f(x) — Aa:³ + y(x)x(l — x) -f- B(1 — x)

wynika bezpośrednio

A=/(l), B —/(O), (p(x) =

f(x) — Aa;⁵ — B(1 — x)

x(\ — x)

Uskuteczniając wskazane działania, otrzymamy

A = — 22,

<p(x) — — 23a:³ — 18a:² — 2x — 14.

Eównanie (1) przeto może być napisane tak:

22x⁵-\-(23x³ -f- 18æ² -f- 2x -f- 14)a;(l — x) -f- 5(1 — x) ~0. Stąd widzimy, że między 0 i 1 niema ani jednego pierwiastka.

ROZDZIAŁ VI.

TWIERDZENIE BUDAN’A. — SPOSOB FOURIER’GO ODDZIELANIA PIERWIASTKÓW RÓWNANIA. — TWIERDZENIE SYLVESTER’A. — TWIERDZENIE NEWTONA.

§ I. TWIERDZENIE BUDAN’A.

95. Twierdzenie pomocnicze 1. Jeżeli funiccy ja całkowita f(x) i kilka po sobie następujących jej pochodnych: f'(x), f"(x), . . . ,f(r~l)(x) przy x — a stają się równe zeru, to, przy dostatecznie małych icartościach dodatnych liczby h, grupa wartości

f(a — h), f(a-h),...,f^(a-h), f^(a-h) będzie przedstawiała same tylko zmiany znaku, grupa zaś

f(a + h), f (a -f h), . . . , fr~x\a -f h), f&(a + h) same tylko powtórzenia znaku.

Wynika to bezpośrednio z twierdzenia art. 63-go, na mocy którego wnosimy, że przy przejściu zmiennej x przez wartość a, od wartości mniejszych do większych, każda z funkcyj ułamkowych

f(x) f'(x)

ßr-x)(x) fW(x) ’

zmieniając się odpowiednio, przechodzi od wartości ujemnych, przez zero, do wartości dodatnych.

96. Twierdzenie pomocnicze 2. Niech a i b będą dwiema liczbami, nieprzywodzącymi do zera żadnej z funkcyj

f(x), f(x), f"(x),...,f*-V(x), fv>(x),

f(x) ’ f"(x) ⁵ ' ’

(1)

niech va i vb oznaczają ilości zmian znaku io (1) odpowiednio przy x~a i x — b, i przyjmijmy, że b >» a. Jeżeli, popiórwsze, funkcyja f(r)(x) nie zmienia swego znaku między a i b, i, powtóre, między a i b znajduje się, lecz tylko jedna, wartość x — c, przy której przynajmniej jedna z funkcyj (1) staje się równą zeru, to wówczas

va — vb — m -\-2h,

gdzie h jest pewną liczbą całkowitą dodatną, albo zerem, am w różnych przypadkach otrzymuje następujące wartości:

kiedy liczba c jest pierwiastkiem równania f(x) — 0, a wielokrotność tego pierwiastka jest większa od r, to m — r;

kiedy liczba c jest pierwiastkiem równania f(x) — 0, a wielokrotność tego pierwiastka nie jest większa od r, to m jest równe liczbie, wyrażającej wielokrotność tego pierwiastka;

kiedy liczba c nie jest pierwiastkiem równania f(x), to m—Q. Twierdzenie to wynika z poprzedzającego; ażeby je udowodnić, potrzeba rozpatrzeć oddzielnie rozmaite przypadki szczególne.

a. Wszystkie funkcyje (1) stają się równe zeru przy x — c\ innymi słowy, liczba c jest pierwiastkiem równania f(x) — 0, więcej niż r-krotnym.

Oznaczywszy przez a dość małą liczbę dodatną, spostrzegamy, że va=. vc_h; gdyż każda z funkcyj (1), nie posiadając pierwiastka w przedziale a, c — h, jest tegoż samego znaku przy x = a, co przy x — c — h. Z tejże przyczyny — vc+h. Wskutek tego,

r.a    — vc—ft    •

Ze zaś, według poprzedzającego twierdzenia pomocniczego,

vc-h = r, vc+h — 0,

przeto, na mocy powyższego równania,

va — vb = r, c. n. d.

b. Z funkcyi (1) staje się przy x = c równą zera albo sama tylko fun-kcyja f(x), albotóż funkcyja f(x) i kilka bezpośrednio po niej następujących pochodnych, lecz nie wszystkie.

Przypuśćmy, że f(c)~ f(c) = . . . = f{k~X)(c) — pozostałe zaś wartości f(k)(c), . . ,ßr)(c) nie są równe zeru. Oznaczywszy przez wx ilość zmian znaku w grupie

a przez ivx' ilość zmian znaku w grupie

ßk)(x), ßk+x)(oc),...

oczywiście będziemy mieli

vx=zwx-f wj.

Nadając dla x naprzód wartość a, następnie zaś wartość bf otrzymujemy

va — w a -f- w vb = wb + wb

skąd

Ponieważ ani jedna z funkcyj f(x), f(x), . . . ,ßl)(x) nie staje się równą, zeru ani w przedziale a, c — Ti, ani w przedziale c + Ti, b, zatym

W a — W ę—fi , Wfj — WcĄ-h ,    .    *

a więc

w a — wb — wc-u — ivc+h.

Ze zaś, według poprzedniego twierdzenia pomocniczego,

Wc—h Ti, Wc-\-h 0,

zatym

wskutek czego mamy

Wc—h    Wc-\-h — Ti,

w a — wb — Ti.

Zważmy jeszcze, że, zgodnie z założeniem, ani jedna z funkcyj f{k)(x), ßk~l)(x), . . . <f(r~x)(x), f(r)(x) nie staje się równą zeru dla żadnej wartości zmiennej x, zawartej w przedziale a, b\ jest więc

Wa' — Wb,

albo

w a Wb — 0.

AVprowadzając do strony lewej równania (2) zamiast wa — wb i w à — Wb do^ piéroco otrzymane ich wartości, znajdujemy

va — vb = h, c. n. d.

c. Z funkcyj (1) albo jedna tylko funkcyja, albotóż kilka sąsiednich funkcyj stają się równymi zeru przy x — c, lecz f(c) nie jest równe zeru.

Przypuśćmy, że, pośród wartości f(c), f'(c), . . . ,f{r)(c), następujące są równe zeru :

f®(c) —f^\c) = . . . —yW-Dfcj — 0;

wskaźnik i może otrzymywać wartości od 1 do r, wskaźnik zaś Ti od 1 do r -f 1 — i. Oznaczając ilość zmian znaku w grupach

f(x), f(x), . . .

odpowiednio przez wx i ivj, mieć będziemy

vx — wx + wj\

a stąd

Va — Vb = (Wa — Wb) + (W — Wb).

Eozważymy oddzielnie wyrazy, znajdujące się na stronie prawej tego równania. — Każda z funkcyj : f(x), f(x), . . . ,f(i~k)(x), nie posiadając ani jednego pierwiastka między a i b, jest tegoż samego znaku przy x = a i przy x~b\ wartości zaś f{i)(a) i f(i)(b) będą jednakowego albo różnego znaku, stosownie do tego, czy wielokrotność pierwiastka c, względem równania f{i)(x) = 0, jest parzysta lub nieparzysta, gdyż między a i b równanie to nie ma innych pier-

wiastków, prócz jednego c. A więc, jeżeli liczba c jest pierwiastkiem równania f(V>(x) —0 parzystej wielokrotności, to wa— wb — 0; jeżeli zaś jego wielokrotność jest nieparzysta, to iva —    = ± ]. — Co zaś do różnicy tva' — W,

zauważmy, że ona odnosi się do grupy w której zachodzić może jeden z dwu przypadków, rozpatrywanych wyżej; jeżeli więc liz=zr-\-1 — i, to iva’— wb —r— i, jeżeli zaś Jc<irĄ-1 — i, to Wa — W = Jc. — W tym przypadku, kiedy Jc ■=. r + 1 — i, wielokrotność pierwiastka c względem równania f®(x) — 0 przewyższa różnicę r — i o liczbę parzystą; jest to następstwem przypuszczenia, uczynionego na początku, że funkcyja f{r)(x) nie zmienia znaku między a i 5, wskutek czego liczba c może być pierwiastkiem równania f<rS>(x)~ 0 tylko parzystej wielokrotności. A więc, jeżeli różnica r—i jest liczbą parzystą, albo zerem, to, według tego, cośmy wyżej powiedzieli, mamy

w à — Wb =r — i,

wa — wb = 0,

skąd, po dodaniu do siebie, otrzymujemy

va — vb = r — i.

Jeżeli zaś różnica r — i jest nieparzysta, to

Wa—Wa —Wb — T — i, va — vb=zr — izh 1.

W obu przeto razach, różnica va — vb jest parzysta i nie mniejsza od zera, c. n. d. — W przypadku, kiedy Je <C r -f 1 — i, zgodnie z tym, cośmy wyżej powiedzieli, znajdziemy, że: jeżeli Je jest liczbą parzystą, to

Wa-Wb — 0. IVa ~ Wb = k,

a stąd

va — vb — Jc;

jeżeli zaś Jc jest nieparzyste, to

IV a — Wb ~ ± 1

IV à — IVb = Jc

i stąd

va — vb = Jcdh 1.

W obu więc razach, różnica va — vb jest parzysta i nie mniejsza od zera, c* n. d.

cl. Z funkcyj (1) przy x — c stają się równymi zeru: funkcyja f(x) i przynajmniej jedna z pozostałych funkcyj, lecz wskaźniki funkcyj stających się równymi zeru, nie tworzą nieprzerwanego ciągu liczb, jak w przypadkach poprzednich.

Przypuśćmy, że pośród liczb te, które są równe zeru, tworzą dwie grupy, oddzielone od siebie przez

jednę, albo kilka liczb, nie równych zeru; niech pierwszą taką grupę tworzy m liczb:

drugą zaś h liczb :

gdzie i >> m. grupach :

W, P⁺¹⁾(c), * • *

Wyrażając przez wx i wj ilość zmian znaku w odpowiednich

f(x), f(x), . . . ,Pm)(x), f(m)(x), f(m+V(x), . . . ,f{r)(x),

będziemy mieli

vx = wx + w

skąd

Va Vb = IV a Wb + Wc! ivb'.

Każda z owych dwu grup odpowiada jednemu z przypadków już rozpatrywanych; wskutek tego, bezpośrednio znajdujemy, że

wa — w₀ = m, wa' — W = 2 h,

gdzie oznacza pewną liczbę całkowitą, dodatną, albo zero. Dodając do siebie te równania, otrzymamy    ,

va—vb=zm-{-2h, c. n. d.—

Zauważmy, że jeżeliby pośród funkcyj (1) te, które stają się równymi zeru przy x = c, tworzyły nie dwie, ale trzy, lub więcej oddzielnych grup, to wówczas należałoby rozważać nie dwie, ale odpowiednio trzy, lub więcej obszerniejszych grup oddzielnych, z których każda zawierałaby tylko jednę grupę funkcyj, stających się równymi zeru przy x = c. Oczywiście, że ostateczne wyrażenie różnicy va ■— vb będzie odpowiednie powyższemu.

e, Z funkcyj (1), przy x—c funkcyja f(x) nie staje się równą zeru, ale kilka innych funkcyj, tworzących dwie, lub więcej oddzielnych grup, stają się równymi zerli.

Przypuśćmy, że pośród liczb :

f(c), f(c),. .. ,/»(ej

te, które są równe zeru, tworzą tylko dwie grupy następujące:

fm, Mv(c),... ,/«+*-'>(e), Mc), M"(c), ■ ■ ■

gdzie i >: 1, j i + Tc. Oznaczając przez wx i wx ilość zmian znaku odpowiednio w grupach:

f(x): f'(x), . . . J{i+k)(x)) f(i+k)(x), /(*+*+V(x), ■ . • ,f(ł'\x)

i zważając, że każda z tych grup odpowiada jednemu z przypadków już rozpatrywany cli , znaj dziemy

W a — Wo = 2 h, w à — Wo — 2

gdzie każda z liter h i h' oznacza pewną liczbę całkowitą dodatną, albo zero. Dodając do siebie te dwa równania, otrzymamy

va — vh = 2 (h + li'), c. n. d. —

W podobnyż sposób możemy się przekonać, że to twierdzenie ma miejsce także wtedy, kiedy te z funkcyj (1), które stają się równymi zeru przy x—c, tworzą więcej niż dwie oddzielne grupy.

Te pięć przypadków, któreśmy rozpatrzyli, są jedyne, jakie zachodzić mogą; zatym twierdzenie nasze jest udowodnione.

97. Przy pomocy tylkoco dowiedzionego twierdzenia pomocniczego, możemy uzasadnić następujące twierdzenie Budan’a.

Twierdzenie. Mając funkcyją całkowitą stopnia n-go, f(x), i kilka jćj pochodnych :

(1)

f(x), f'(x), f"(x),. . .

przypuśćmy, że ostatnia funkcyją f(r)(x) nie zmienia swego znaku między x — a i x — bf> a, i że żadna z funkcyj (1) nie staje się równą zeru ani przy x = a, anitćż przy x — h; oznaczmy przez m ilość pierwiastków równania f(x) — 0, zawartych między a i h, lecz liczonych w ten sposób, iż każdy pierwiastek, którego wielokrotność przewyższa liczbę r, jeżeliby taki pierwiastek się zdarzył między a i b, uwzględnia się tylko jako piericiastek r-krotny; nadto ilość zmian znaku w (1) nazwijmy vx; wtedy będziemy mieli następujące równanie:

va — vh — m -f- 2h,

w którym h oznacza pewną liczbę całkowitą, dodatną, lub zero, tak iż liczba m nigdy nie jest większa od różnicy va — vb, a jeżeli jest mniejsza, to o liczbę parzystą.

Jakoż, jeżeli między a i b niema takiej liczby, przy której przynajmniej jedna z funkcyj (1) stawałaby się równą zeru, to wówczas m — 0, i, powtóre, znak każdej z liczb

jest takiż sam, jak znaki odpowiedniej z liczb

f(b), f(b), . . . ,fW(b).

A zatym jest wtedy, zgodnie z twierdzeniem, va — vb — m — 0.

Przypuśćmy, że między a i b znajduje się przynajmniej jedna liczba, przywodząca do zera którąś z funkcyj (1), i wypiszmy wszystkie takie liczby według ich wzrastających wartości:

C, C\, C₂, . . . , Ck -1 •

W każdym z przedziałów c, cx\ c,, c₂; . . . ;c*_₂, c*-i wybierzmy po jednej dowolnej liczbie pośredniej i oznaczmy je odpowiednio przez a₂, . . » , a*_ 1, tak iż c <C a, <C ct <C! a₂ <Z c₂ . . . . Każdy więc z przedziałów

a, <7,; a,, a₂; .. . ;aA-_₂, a*_ 1; ak-1, b,

zawiera, lecz tylko jednę, liczbę, przywodzącą przynajmniej jednę z funkcyj (1) do zera.—Biorąc pod uwagę jeden z tych przedziałów, np. «t-, at_x, oznaczymy przez [X. ilość pierwiastków równania, zawartych między a* i , lecz tak liczonych, jakto było zaznaczone w wysłowieniu twierdzenia, t. j.

(i.. = 0, jeżeli f(d) nie równa się zeru;

ja. = wielokrotności pierwiastka cf, jeżeli c{ jest pierwiastkiem równania f(x) — 0, wielokrotności nie większej od r;

(i. = r, jeżeli c* jest pierwiastkiem równania f(x) = 0, więcej niż r-kro-

tnym.

Na zasadzie poprzedzającego twierdzenia pomocniczego, mamy

v<ii VaiĄ-\ — l¹,- d" ^ ^ j

gdzie hi jest liczbą całkowitą, dodatną, lub zerem. Kładąc kolejno i = 0, 1 2, . . . , otrzymujemy równania:

Va — vai = |a₀ + 2h₀, vai — Va₂ — {Aj + 2ÄJ,

—    {A^J + 2Ä»_1,

z których, po ich dodaniu do siebie, znajdujemy

—Vb —    m 4" • • • +    + 2 (h₀ + hi -f- . . . + hk—i).

Lecz widocznie [r₀ + m -f- • • • + [aa_₁ = m\ a zatym, kładąc h₀ -f- ht + . . .-f -j-    _13= 7?,, otrzymamy

= m -j- 2 h,

gdzie h jest liczbą całkowitą, dodatną, albo zerem, c. n. d.

98. Jeżeli równanie f(x) — 0 nie ma ani jednego pierwiastka, którego wielokrotność przewyższałaby r, to wówczas nie będzie potrzeby zwracać uwagę na szczególny sposób liczenia pierwiastków w twierdzeniu Budan’a, a liczba m wyrazi dokładnie ilości pierwiastków równania f(x) =. 0, zawartych w przedziale a, b.

Gdy np. funkcyja f(x) jest w-go stopnia i przyjmiemy r~n, t. j. wypi-, szemy wszystkie funkcyj e

(1)

f(x) = 0, to w owej chwili wielkość vx zmniejsza się o m-\-2h jedności, gdzie 1% oznacza liczbę dodatną, całkowitą, lub zero; jeżeli zaś zmienna x przechodzi przez pierwiastek jednej z funkcyj f'(x),f"(x),...,ßn~¹⁾(x), ale nie funkcji f(x), to wielkość vx albo się nie zmienia, albo zmniejsza się o liczbę parzystą. — Można toż samo tak wypowiedzieć: przy przejściu zmiennej x przez m-krotny pierwiastek równania f(x) — 0, od wartości mniejszych do większych, ilość zmian znaku w (1) zmniejsza się o m-f- 2 Ji, gdzie 2h oznacza pewną parzystą liczbę dodatną, lub zero; przy przejściu zaś zmiennej x przez pierwiastek jakiejkolwiek z funkcyj f'(x), . . . ,ßn~l)(x), który nie czyni zadość równaniu f(x) — 0, ilość zmian znaku w (1) albo pozostaje niezmienna, albotćż zmniejsza się o liczbę parzystą.

§ II. PRAWIDŁO ZNAKU PODWÓJNEGO.

99. W paragrafie poprzednim, przy dowodzeniu twierdzenia Budan’a, przypuszczaliśmy, że żadna z liczb ai b nie przywodzi do zera żadnej z funkcyj f(x), f(x), f"(x), . . . ,f{r)(x). W razie przeciwnym, np. jeżeli przy x~a niektóre z funkcyj f(x), f(x), . . . ,f(r)(x) stają się równymi zeru, należy tylko zamiast krańca a przyjąć a + h, gdzie h jest nieskończenie małą liczbą dodatną; i taksamo, jeżeliby przy x—b niektóre z funkcyj f(x), /' (x),..., f{r)(x) stawały się równymi zeru, wówczas zamiast b wzięlibyśmy b — h. Ilość pierwiastków równania f(x) — 0, zawartych między a i b, oczywiście jest równa ilości pierwiastków tegoż równania, zawartych w przedziale od a -f- h do b — li. a już tak przy x=.a-\-h, jak i przy x — b — h żadna z funkcyj f(x), f(x),.. f{r)(x) nie staje się równą zeru.

będzie równych zeru. Przypuśćmy, dla uogól-

Należy nam tylko okazać, w jaki sposób określają się znaki wartości f(a-\-h), f(a + h),..., albotćż znaki wartości f(b — h), f(b — h), . . . . W tym celu, przyjmując, że a oznacza którykolwiek z dwu krańców przedziału rozważanego, niższy albo wyższy, zauważmy, że jeżeli wartość f®(a) nie jest równa zeru, to wartość f^(a^h) będzie takiegoż znaku, jak wartość f(i)(a), niezależnie od tego, czy h jest dodatne, czy też ujemne. Jeżeli zaś wartość f{i)(a) jest równa zeru, to wtenczas może się zdarzyć, że i kilka następujących wartości: /ô'+bfa), nienia, że

f{l)(a) z^fV+Vfa) — ... — ftt’+k—Vfa) ~ 0,

V    *

a wartość ß'+^fa) nie jest już równa zeru. W takim razie, na mocy pierwszego twierdzenia pomocniczego (art. 95), bezpośrednio wnosimy, że grupa liczi) :

ßi)(a — h), ß*+V(a — h), . . . JW-lYa — h),    p+»(a — h),

przedstawia same tylko zmiany znaku, gdy tymczasem grupa liczb :

ßßa + h), ßl+l)(a + h), . . . :p+k~l\a + h), /«+»(a + h) przedstawia same tylko powtórzenia znaku; a więc, zależnie od znaku wartości

Blbl. mat.-fiz., S. IV, T. II.

f{i+k)(a), będącej tegoż samego znaku, co każda z dwu ostatnich liczb: f(HV(a — Ji) i f^+k)(a 4- h), możemy odrazu wypisać znaki wszystkich innych liczb w dwu ostatnich grupach.

Takie zastosowanie twierdzenia pomocniczego, podanego w art. 95-ym, nazywa się prawidłem znaku podwójnego.

100. Pezykead 1. Mając równanie

f(x) —    — 5a4 -f 10x³ — 10&² — 85x + 17 = 0,

znajdujemy :

f'(x) — 5 (a?⁴ — 4x³ -f- 6x² — 4x — 17), f"(x) = 20(x³ — 3x² + 3x — 1), f'"(x) = 60(x — l)²,

i spostrzegamy, że trzecia pochodna f"(x) jest wciąż dodatna. Określając znaki funkcyj

f(x), f(x), f"(x), f"(x),

przy x — — oo, 0, 1, 4- oo, otrzymujemy następującą tablicę:

/ /' /" r

+ oo

4-

l+/i

4- +o+ 4-

4-

-OD

gdzie zamiast wartości x = 1 potrzeba było przyjąć pod uwagę dwie inne : x = 1 — h i x = 1 4- h, i posiłkować się prawidłem znaku podwójnego. Z tej tablicy znajdujemy

VQ — Vi-h = 1, »i+Ä — V+'so — 1,    — V₀ = 1.

A zatym, równanie dane posiada tylko dwa pierwiastki dodatne, oba pojedyncze, jeden mniejszy, a drugi większy od 1; prócz tego posiada ono jeden pierwiastek ujemny, również pojedynczy.

101. Pezykead 2. Dane jest równanie

3æ⁴ — 5x³ -f11 æ² — 55a: + 100 = 0.

Z funkcyj

*

f(x) = 3a4    5x³ -jr Ha?² — 55x + 100

f(x) = 12a:³ — 15x² -f 22x — 55, f"(x) — 36a:² — 30x 4- 22

już druga pochodna f"(x) pozostaje dodatną przy wszelkich wartościach zmiennej x; można przeto twierdzenie Budan’a stosować do szeregu, składającego się z trzech funkcyj : f(x), f'(x), f"(x). Określając znaki tych funkcyj przy x = 0, 1, 2, dboo, otrzymujemy następującą tablicę:

-j- oc

I II + +

— oc

Z niéj widzimy, że

v-cv — V₀ — 0, v₀ — vl=0, Vt—V₂ = 2

v₂ — «+C« = 0.

A więc, dane równanie nie ma pierwiastków ujemnych, co jest zresztą widoczne; pierwiastków zaś dodatnych albo ono nie ma wcale, alboteż ma ich dwa, i wtedy oba są zawarte między 1 i 2.

102. Przykład 3. Dla równania

/= 3x⁵ + 5x* — 10x³ — 30x² + 51 x — 23 = 0 otrzymujemy następującą tablicę znaków:

/ /' /" /'" /1V P

+ + + +,

1—A

loi

-1+» — 1

Jest więc

V—(V)    V—i—h — 0,

»-1+Ä — «0 = 0,

®0 — «1—A = 2,

«1 -j-A «2 - lj

«2 ¹    «+cx> ¹—• 0.

A zatym, równanie dane nie posiada pierwiastków ujemnych; co się zaś tyczy pierwiastków dodatnych, to ono ma ich albo jeden, albo trzy: jeden zawarty w przedziale 1, 2, a pozostałe dwa, jeżeli istnieją, w przedziale między 0 i 1. 103. Przykład 4. Mamy równanie

f(x) = 48 a⁵ — 32 æ⁴ — 56a;³ + 72æ² — 29æ + 4 = 0.

Drugie równanie pochodne

P(x) = 20 o:³ — 8x² — 7x + 3 = 0,

ma jeden pierwiastek dwukrotny; wszystkie więc pierwiastki równania f"(x)=0 są wymierne, a tę drugą pochodną można tak przedstawić :

f'(x) = (5x + 3) (2 a? — l)².

Stąd widzimy, że funkcyja f"(x) przy wszelkich wartościach dodatnych zmiennej x pozostaje wciąż dodatną, stając się równą zeru przy x — -i-.

Wskutek

tego, stosując twierdzenie Budan’a do jakiegokolwiek przedziału między krańcami dodatnymi, będziemy mogli się ograniczyć do rozważania grupy, złożonej tylko z trzech funkcyj: f(x), f'(x), f"(x). Nadając zmiennej x wartości x = -f oo, 0, 1, otrzymujemy następującą tablicę znaków:

/ /' /"

+ où

z której widzimy, że równanie dane albo wcale nie ma pierwiastków dodatnych, albo ma ich dwa, a wtedy one zawierają się między 0 i 1. Te dwa pierwiastki, jeżeli tylko one istnieją, mogą być albo różne od siebie, albo równe sobie; w pierwszym razie oba są pojedyncze, w drugim zaś razie oba stanowią jeden pierwiastek, którego wielokrotność nie jest mniejsza od 2; gdyż wielokrotność 2, na którą tu wskazuje twierdzenie Budan’a, należy rozumieć warunkowo.

Jakoż, liczba i, przywodząca do zera funkcyją f"(x), jest zarazem pierwiastkiem dwu pozostałych funkcyj, f(x) i f'(x), tak iż równanie dane ma jeden czterokrotny pierwiastek, liczbę ~.

a    ¹

§ III. KRANIEC NIŻSZY DLA ILOŚCI PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH RÓWNANIA. PRZYPADEK, KIEDY RÓWNANIE NIE MA PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH.

104. Weźmy pod uwagę grupę funkcyj

(1)

f(x), f'(x), . . . ,fW(x),

utworzoną z funkcyi całkowitej f(x) stopnia «-tego i jej pochodnych, aż do «-tej włącznie, i, oznaczywszy przez a i b>a dwie jakiekolwiek liczby, zasto-

sujmy twierdzenie Budan’a do każdego z trzech przedziałów : b, + oo. Otrzymujemy tu trzy następujące równania:

- OD,

a; a, l>\

v—(v>¹— va = m' + 2h', va — vb — m-\-2h, vb —    = m" + 2 h",

w których każda z liter m, m\ m" oznacza ilość pierwiastków równania f(x) — O, zawartych w odpowiednim przedziale, a każda z liter h, h', h", oznacza pewną liczbę całkowitą, dodatną, albo zero. Dodawszy do siebie te równania stronami odpowiednimi, znajdujemy

v-co — fl+oo — m + m' + m" + 2 (h + h' + li")]

lecz widocznie

(X> - W} ®+CV3 — Oj

a więc

n = m + m' + m" + 2 (li -f- bH 4- li").

Oznaczywszy przez 2J ilość wszystkicłi pierwiastków zespolonych równania danego, mamy

n = m +    + «w" -f 2 J ;

z tego równania i z poprzedzającego wyprowadzamy

2 J = 2    -f- h' + h"),

stąd zaś, z uwagi, że żadna z liczb /i, li', Ji" nie jest ujemna, wnosimy, że

2 J >: 2 li.

(2)

Każdym razem, kiedy będziemy wiedzieli ilość pierwiastków równania f(x)—0, zawartych między a i b, będziemy jednocześnie wiedzieli, jaka jest liczba 2li\ a jeżeli 27i^>0, to między pierwiastkami równania f(x) — 0 znajduje się przynajmniej 2h pierwiastków zespolonych.

Nierówność (2) będzie miała miejsce również wtedy, kiedy zamiast grupy (1) weźmiemy tylko grupę funkcyj

(3)

f(x), f(x), . . . J{r)(x)

do której wchodzi mniejsza ilość funkcyj pochodnych. Istotnie, oznaczywszy przez ivx ilość zmian znaku w grupie (3), a przez wj ilość zmian znaku w grupie

(4)

ßr)(x), f(r+l)(x), • • • ,f(n)(x),

mamy równość

vx = wx +w

a stąd

(5)

Va    Vb —— IVa, Wb 4" Wq Wb •

Stosując następnie twierdzenie Budan’a kolejno do każdej z grup (1), (3), (4), otrzymamy

Va — Vb = rn + 2 h,

IVa - Wb — Wb¹ + 2 li ,

w'a — w'b — 2 w" + 2 j,

gdzie m oznacza ilość pierwiastków równania f(x) — 0, zawartych między a i b, zaś m' ilość pierwiastków tegoż równania, zawartych między a i b, ale tak rachowanych, iż każdy taki pierwiastek, którego wielokrotność jest większa od r, przyjmuje sfę jako pierwiastek r-krotny; 2mu oznacza ilość pierwiastków równania f^(x) = 0, zawartych między aib\ nakoniec li,k,j oznaczają pewne liczby całkowite, nie mniejsze od zera. Równanie przeto (5) możemy zastąpić przez następujące

2 h + m = 21 c + 2j + m' + 2m".

Lecz, oczywiście, m :< m’ + 2m"; a więc

¹

),    fW(x),

tak iż ostatnia, jak wiadomo, jest liczbą stałą, to, jakimikolwiek są dwie liczby a i b *> a, ilość pierwiastków równania, zawartych w przedziale od a do b, jest równa różnicy między ilościami zmian znaku w (1) przy x — a i przy X—zb, albotćż jest mniejszą od tej różnicy o liczbę parzystą. Uważając vx, liczbę wyrażającą ilość zmian znaku w (1), jako funkcyją zmiennej niezależnej x, wnosimy z tego, cośmy powiedzieli w art. poprzedzającym, że, przy wzrastaniu ciągłym zmiennej x od — oo do -f od, funkcyja vx zmienia swoję wartość tylko podczas przejścia zmiennej x przez pierwiastek jednej z funkcyj (1). Miano* wicie: jeżeli zmienna x przechodzi przez m-krotny pierwiastek równania

2li > 2&;

ponieważ zaś 2J >: 2/a, przeto, tymwięcćj,

2J 2 7s.

105. Jeżeli równanie f(x) — 0 nie posiada pierwiastków zespolonych, to na mocy nierówności

2J ^2k,

powyżej udowodnionej, wnosimy, że

k — 0,

jakimikolwiek są krańce a i b, gdyż li nie może być liczbą ujemną. A więc, w tym przypadku mamy

Wa — w b — m,

t. j. różnica między ilością, zmian znaku w grupie funkcyj przy x — a i ilością zmian znaku w tejże grupie przy x — b, równa się ilości pierwiastków równania f(x) — 0, zawartych między a i b, jeżeli tylko pierwiastki, których wielokrotność jest większa od r, są liczone jako r-krotnc.

Jeżeliby liczba r była równa stopniowi funkcyi f(x), to otrzymalibyśmy twierdzenie art. 89-go.

§ 1Y. TWIERDZENIE DESCARTES’A, JAKO WNIOSEK Z TWIERDZENIA

BUDAN’A.

106. Mamy funkcyją całkowitą

f(x) — &xn+'Bxm + VxrĄ-. . . +Kxs + L,

uporządkowaną według malejących potęg zmiennej x, w której wyraz stały nie równa się zeru, tak iż wartość/(O) nie jest równa zeru. Przyjmijmy, że żaden ze spółczynników A, B, C, . . . nie jest równy zeru.

Wypisując wyrażenia funkcyj pochodnych f'(x), f(x), . . . , spostrzeżemy, że wyraz stały w wyrażeniu i-tój pochodnej f{t)(x) jest równy iloczynowi 1.2.3...i, pomnożonemu przez spółczynnik xl w wyrażeniu funkcyi f(x)\ a zatym, jeżeli w wyrażeniu funkcyi f(x) niema wyrazu z potęgą x\ to /«(O) = 0. Z tego wynika, że znaki wartości

/(O), /'(O), . . . ,/<*>(0), . . . ,/M(0), . . . ,/(w>(0), . . . ,/<”>(0) są takież same, jak znaki odpowiednich spółczynników

L, 0,...,K,...,C,...,B,...,A.

Tu, dla uwidocznienia, przyjęliśmy, że /'(O) — 0, t. j. że w wyrażeniu f(x) niema wyrazu z pierwszą potęgą zmiennej x.

Żeby uniknąć tych zer, podstawiamy zamiast wartości x — 0 nieskończenie małą liczbę dodatną h, i, korzystając z prawidła znaku podwójnego, przekonywamy się, że znaki wartości

m, /w,...,/“w,...    • • • ,/<-w

są takież same, jak znaki odpowiednich liczb

L, K,. . . ,K,. .. ,C,... ,B,... , A,

gdzie wszystkie liczby między A i B są równe A, wszystkie liczby między B i C są równe B i t. d.

A zatym, oznaczając ilość zmian znaku w grupie funkcyj f(x), f'(x), . . . ,ßn)(x)

przez vx, a ilość zmian znaku w równaniu f(x) = 0 przez v, mamy

vh=zv.

Gdy jeszcze przez m oznaczymy ilość wszystkich pierwiastków dodatnych równania f(x) — 0, a przez 21c pewną liczbę parzystą, dodatną, albo zero, to, na mocy twierdzenia Budan’a, mieć będziemy

vh — =zm + 2Jc.

Wstawiając tu v zamiast vh i zważając, że ?;₊₀₀ = 0, otrzymamy

v — m -\-2h.

To równanie wyraża twierdzenie Descartes’a (art. 82).

§ V. SPOSÓB FOURIER’GO ODDZIELANIA PIERWIASTKÓW.

107. Opierając się na twierdzeniu Budan’a, Fourier podał sposób szczególny oddzielania pierwiastków rzeczywistych równania, zalecający się prostotą, a av większości przypadków dogodniejszy od innych dotąd znanych sposobów. Dzięki temu zastosowaniu, twierdzenie Budan’a jest doniosłej wartości.

Będziemy nazywali grupą funkcyj Fourier’go grupę

(1)

f(x), f’(x), . . . ,ßr)(x)

składającą się z funkcyi całkowitej f(x) i wszystkich jej kolejnych pochodnych do r-ej włącznie, w przypuszczeniu, że już funkcyja f{r)(x) jest wciąż tegoż samego znaku przy wszystkich wartościach zmiennej x, zawartych między dwoma danymi krańcami: a i b^> a. Jest to taż sama grupa funkcyj, do której się stosuje twierdzenie Budan’a.

Bóżnicę między liczbą, wyrażającą ilość zmian znaku w grupie (1) przy x — a, i liczbą, wyrażającą ilość zmian znaku w tejże grupie przy x = b, będziemy nazywali wskaźnikiem funkcyi f(x). Różnica między ilością zmian znaku w grupie funkcyi przy x— a i ilością, zmian znaku w tejże grupie przy x — b będzie wskaźnikiem funkcyi f'(x). Podobne znaczenie mają wskaźniki następnych funkcyj pochodnych, f"(x), f'"(x), . . . , tak iż np., wskaźnik funkcyi f(r~l)(x) jest różnicą między ilością zmian znaku w grupie

ßr~l)(x), ßr\x)

przy x — a i ilością zmian znaku w tejże grupie przy x — b. Wskaźnik ostatniej funkcyi ßr)(x) przyjmujemy zawsze jako równy zeru.

Oznaczając wskaźniki funkcyj f(x), f'(x), . . . ,f{r)(x) odpowiednio przez e, el: ... ,er i wypisując je kolejno obok siebie, otrzymujemy grupę wskaźników

6, 6\, 62 5 • • ■ j &r—1 ? Cr •

Ostatni wskaźnik, en zawsze równy jest zeru; każdy z pozostałych jest liczbą całkowitą, dodatną, albo zerem. Dwa jakiekolwiek obok siebie tu wypisane Avskaźniki mogą się od siebie różnić conajwięcej o jedność, tak iż ich różnica może być jedną z trzech liczb: 0, + 1, — 1. Wynika to wprost ze znaczenia tych wskaźników.

Jeżeli jedna z funkcyj f(x), f(x), . . . ,f{r~l)(x), np. funkcyja f{i)(x), jest tegoż samego znaku od x—a do x—b, to żaden ze wskaźników e, cl} e₂,..., Ct-i nie może być mniejszy od wskaźnika ej. Jakoż, wziąwszy j <i i, weźmy pod uwagę trzy grupy funkcyj,

pyx), f mm, ... ,/m, ■ • • j{rw\ /MW, f^\x),. î . ,/wr*;;

ßi](x), f(i+V(x), • • . J(r)(z),

i nazwijmy ilość zmian znaku w każdej z nich, odpowiednio vx, vj, vx". Mamy oczywiście

Va — Vb = Va' — Vb' -+ Va" — Vb",

albo

ej — Va — Vb' + Ci.

A ponieważ, na zasadzie tAvierdzenia Budan’a, va' — vb>:0, zatym ej e*.

ÏAvierdzenie przeto Budan’a może być tak AvysłoAvione :

Ilość pierwiastków równania f(x) — 0, zawartych miedzy a i b, nic jest większa od wskaźnika funkcyi f(x), a jeżeli jest mniejsza od niego, to o liczbę parzystą, przyczyni każdy pierwiastek równania f(x) — 0 więcej niż r-krotny, jeżeli taki pierwiastek znajdzie się między a i b, îvinien być liczony jako r-krotny.

Każdy więc ze wskaźników e, et, . . . jest krańcem Avyższyin dla ilości pienviastkôw odpoAviedniéj funkcyi, zaAvartych między a i b.

108. W przypadku, kiedy grupa funkcyj Fourier’go składa się tylko z dAvu funkcyj :

f(x), f(x)

tAvierdzenie Budan’a nic noAvego nie daje. Istotnie, ponieważ funkcyja f(x) nie ma zmieniać swego znaku od x~a do x — b, zatym funkcyja f(x) od

x — a do x — b albo ciągle wzrasta, albo ciągle maleje, a z tego wynika, że równanie f(x) — 0 nie może mieć więcej jak jeden pierwiastek, zawarty między a i b. Twierdzenie Rolle’a prowadzi do tegoż wyniku; niema więc potrzeby oddzielnie rozważać tego przypadku.

Przypuśćmy, że grupa funkcyj Fourier’go składa się z trzech funkcyj :

f(x), f'(x), f"(x).

W tym przypadku co do wskaźnika e możemy zrobić trzy następujące przypuszczenia :

a.    wskaźnik e = 0; wówczas równanie f(x) — 0 nie posiada wcale pierwiastka między a i b\

b.    wskaźnik e = l; równanie f(x) — 0 ma wtedy jeden pierwiastek pojedynczy między a i b\

c.    wskaźnik e = 2; wówczas równanie f(x) — 0 między a i b albo wcale nie posiada pierwiastka, albo ma ich dwa.

Przypadek ostatni przedstawia wątpliwość co do ilości pierwiastków, zawartych między a i b. Wtedy grupa wartości f(a)₄ f(a), fu(a) przedstawia same zmiany znaku, grupa zaś wartości f(b)r j'(b), f"(b) same powtórzenia znaku, wskutek czego otrzymujemy grupę wskaźników

2, 1, 0,

która wskazuje, iż względem trzech funkcyj: f(x), f(x), f"(x) są wypełnione wszystkie warunki, niezbędne, aby do tych funkcyj można było zastosować twierdzenie Fourier’go (art. 70).

Jeżeli, po obliczeniu wartości sumy

(i)

wart. bezw.

f(a)

-f- wart. bezw.

okaże się, że ona nie jest mniejsza od bezwzględnej wartości różnicy b — «, to wówczas równanie f(x) = 0 między a i b nie ma pierwiastka. — Lecz, jeżeli suma (1) okaże się mniejszą od wartości bezwzględnej b — a, to nic z tego wnieść nie będziemy mogli, i trzeba będzie rozdzielić przedział a, b na dwa niniejsze: a, c i c, b: gdzie c jest pewną liczbą dowolną, zawartą między a i b.

Jeżeli, obliczywszy wartość f(c), znajdziemy, że ona jest innego znaku niż f(a), to bezpośrednio wniesiemy, że równanie f(x)~ 0 między a i b posiada dwa pierwiastki pojedyncze. Jeden z nich będzie zawarty w przedziale a, c, drugi zaś w przedziale c, b, i oba będą już oddzielone. — Jeżeli jednak wartości f(a) i f(c) są jednakowego znaku, to znowu nic wnieść nie będziemy mogli. W tym przypadku wskaźnik funkcyi f(x) dla jednego z przedziałów a, c i c, b będzie 2, dla drugiego zaś 0; a zatym, pytanie poprzednie o ilości pierwiastków, zawartych między a i b, sprowadza się teraz do takiegoż pytania lecz względem przedziału mniejszego.

Postępując z tym nowym przedziałem taksamo, jak postępowaliśmy z przedziałem a, b, albo otrzymamy odpowiedź na nasze pytanie, albotćż spro-+ wart. bezw.

wadzimy je do takiegoż samego pytania, odnoszącego się jednak do przedziału jeszcze mniejszego.

Jeżeli w przedziale między a i b równanie f(x) = 0 wcale nie ma pierwiastka, to wciąż przechodząc od przedziału a, b do przedziałów coraz mniejszych, dojdziemy nakoniec do takiego przedziału Je, l, iż wartość sumy

wart. bezw.

/W

f(l)

okaże się nie mniejszą od bezwzględnej wartości różnicy l — Jc. W tym bowiem przypadku, wmiarę jak różnica l — Jc zdąża do zera, każdy z wyrazów powyższej sumy wzrasta do nieskończoności.

Jeżeli zaś równanie f(x) — 0 między a i b ma dwa pierwiastki pojedyncze, to przechodząc od przedziału a, b do przedziałów coraz mniejszych, dojdziemy wreszcie do takiego przedziału Je, l, iż wartość bezwzględna różnicy l — Jc będzie mniejsza od wartości bezwzględnej różnicy dwu pierwiastków równania f(x) — 0, zawartych między a i b. W takim przedziale równanie f(x) — 0 nie może mieć więcej, niż jeden pierwiastek; i jeżeli rzeczywiście ma ono jeden pierwiastek między Z i Jc, to wartości f(l) i f(k) będą różnego znaku.

Nakoniec, jeżeli się zdarzy, że równanie f(x) — 0 w przedziale a, b posiada jeden pierwiastek wielokrotności parzystej, to wówczas, jakkolwiek daleko będziemy posuwali zmniejszanie przedziału a, b, nie dojdziemy do takiego przedziału Jc, l, iżby miała mieć miejsce nierówność

wart. bezw.

f'(k)

j- wart. bezw.

f(l)

>r wart. bezw. (I—Jc),

czyli, ażeby wartości f(Jc) i f(l) były różnego znaku.

Aby ostatecznie rozwiązać nasze zadanie, należy wskazać, jakdalece wypaść może potrzeba conajwięcej zbliżyć do siebie krańce przedziału badanego. To, że sposób Fourier’go nie daje ku temu odpowiedniej wskazówki, przedstawia istotną jego wadę. —

Jeżeli więc doszliśmy do przedziału, którego krańce są znacznie zbliżone, i nie mogliśmy, zapomocą powyższych sposobów, dowiedzieć się, czy równanie f(x) — 0 ma w owym przedziale dwa pierwiastki, albo nie, wówczas należy zbadać, czy równanie f(x) — 0 nie ma w tym przedziale pierwiastka wielokrotnego (por. art. 43).

Jeżeli się okaże, że równanie f(x) = 0 wcale nie ma pierwiastka wielokrotnego, wtedy należy jeszcze dalej posunąć zmniejszanie przedziału, dopóki nie otrzymamy odpowiedzi żądanej.

Jeżeli zaś się okaże, że równanie f(x) = 0 posiada pierwiastki wielokrotne, to jego rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania innych równań, nie posiadających już pierwiastków wielokrotnych i będących stopnia niższego.

109. .Przechodzimy do zbadania przypadku ogólnego, kiedy grupa fun-kcyj Fourier’go,

(1)

f(x), f'(x), . . . JV>(x), składa się więcej niż z trzech funkcyj (największa ich ilość może być n + 1).

Wypiszmy kolejne wskaźniki

(2)

e, e„ . .

Cr*

Jeżeli e = O, to równanie f(x) — 0 w przedziale badanym a, b wcale nie ma pierwiastka; jeżeli zaś e = l, to równanie f(x) — 0 między a i b ma tylko jeden pierwiastek, który więc będzie oddzielny.

Przypuśćmy więc, że e^.2. Wówczas pośród liczb e, e,, . . . ,er znajdziemy przynajmniej jednę równą jedności, gdyż e>l, a e, = 0, dwie zaś z tych liczb, po sobie następujące, nie mogą się różnić więcej niż o jedność. Niech ei = 1 i niech już ani jedna z liczb e, e,, . . . ,e,_i nie równa się jedności, tak iż, jeżeli istnieje pośród liczb (2) kilka równych jedności, to e* oznacza pierwszą z nich (licząc od strony lewej).

Wskaźnik 1, oczywiście, jest równy 2, gdyż inaczej równałby się 0 albo 1, a to sprzeciwia się temu, cośmy powyżej co do e* i e przyjęli.

Co się tyczy wskaźnika    to możemy zrobić dwa przypuszczenia :

c,4-i = 0, albo Cj-j-i 0.

Gdy ei+1 = 0, równanie f^x)(x) — 0 nie ma pierwiastka zawartego w przedziale a, b\ możemy przeto zastosować twierdzenie Budan’a do grupy trzech funkcyj :

fWfr), f®(x), f(i+1)(%),

której, dla przedziału a, b, odpowiada grupa wskaźników:

2, 1, 0.

Przypadek ten jużeśmy powyżej szczegółowo rozważali. — Jeżeli się okaże, że równanie f(i~l)(x) — 0 między a i b wcale nie posiada pierwiastków, albo posiada jeden tylko wielokrotności parzystej, to wtedy funkcyja /<‘_1 \x) jest wciąż tego samego znaku od x — a do x = b i zamiast początkowej grupy funkcyj (1) możemy wziąć inną, do której wejdzie mniej funkcyj, mianowicie grupę

f(x), f’(x), . . . J^(X).

W grupie wskaźników, odnoszących się do tylkoco wypisanej grupy funkcyj, pierwsza jedność będzie bliżej początku (t. j. więcej wlewo), niż w grupie (2).— Jeżeli zaś się okaże, że w przedziale a, b równanie fv—¹)(x) = 0 posiada dwa pierwiastki pojedyncze, wtenczas, oznaczając przez c jakąkolwiek liczbę, zawartą między tymi dwoma pierwiastkami, podzielimy przedział ą, b na dwa : a, c i c, b. W każdym z tych ostatnich przedziałów będzie po jednym pierwiastku równania f{i~1](x) = 0 i, jeżeli dla każdego z tych przedziałów ułożymy odpowiedni szereg wskaźników, to wskaźnik funkcyi f^~x\x) tak dla przedziału a, c, jak i dla przedziału c, b będzie się równać jedności. W taki więc sposób będziemy tu mogli przesunąć pierwszy ze wskaźników, równych jedności, więcej wlewo, t. j. bliżej początku.

Przechodząc do drugiego przypuszczenia względem wskaźnika 6,4.1, mianowicie, przyjmując, że albo eą.\ = 1, albo ei+i = 2, spostrzegamy, że wtedy

funkcyja    między a i b ma albo jeden pierwiastek albo dwa. Oznaczmy

przez a pierwiastek fnnkcyi f{i)(x), zawarty w przedziale a, b, a przez ß pierwiastek funkcyi f^l)(x), zawarty w tymże przedziale. Jeżeli zaś ta ostatnia funkcyja między a i b będzie miała dwa pierwiastki, to przez ß będziemy rozumieć ten pierwiastek, który jest bliższy pierwiastka a. Przypuśćmy, że przedział a, b podzieliliśmy na kilka innych tak, iż różnica krańców każdego z nich, co do swej wartości bezwzględnej, nie przewyższa war. bezw. (ß — a), i weźmy pod uwagę jeden z tych przedziałów, np. I, h\ to, co o nim powiemy, stosować się będzie do wszystkich pozostałych. Pośród wskaźników, odnoszących do przedziału l, Jc,

(3)

Cj Cjj G 2 j • • • 5 G i—1} G i, G i-j-i, . . . , 6

wskaźnik e'i-\ będzie się równał jednej z liczb: 0, 1, 2, gdyż 2 = e*_i >:    —

Jeżeli e'i_i = 0, to w grupie funkcyj Fourier’go, jako ostatnią funkcyją, możemy przyjąć f^~^(x), i pierwszy ze wskaźników,' równych jedności, będzie przesunięty więcej wlewo, niż wskaźnik e% w grupie (2). — Jeżeli zaś e\-i = 1, to wówczas pierwszy ze wskaźników, równych jedności, w grupie (3), oczywiście, będzie się znajdował bliżej początku, niż wskaźnik ef w grupie (2). — Jeżeli, nakoniec, e,i_₁ = 2, to e\ — 1, a e't+1=:0, gdyż, jeżeli e'i+i^>0, to każde z równań f{i)(x) ~ 0, ßi+1)(x) = 0 miałoby po jednym pierwiastku w przedziale l, h, co przeczyłoby nierówności

wart. bezw. (I — h) <C wart. bezw. (ß — a).

Ten przypadek zbadaliśmy już wyżej.

Ze wszystkiego, cośmy wyżej powiedzieli, widoczna, że tak przy = 0, jak przy    zapomocą dzielenia przedziału a, b możemy pierwszy ze

wskaźników, równych jedności, przesunąć więcej wlewo.

Ażeby nierówności wart. bezw. (l ■— h) <C wart. bezw. (ß — a) można było zadość uczynić, należy mieć kraniec niższy wartości bezwzględnej różnicy ß—a, i im ściślejszy, tymlepiéj. Kraniec ów da nam także pojęcie o tym, oile, conajwięcej, wypadnie zmnjejszyć przedział dany, ażeby osiągnąć pożądane przesunięcie wlewo pierwszego ze wskaźników, równych jedności.

Przesuwając wciąż, według wyżej opisanego sposobu, pierwszy ze wskaźników, równych jedności, coraz więcej wlewo, osiągniemy to, że, zamiast pierwotnego przedziału a, b, będziemy mieli pewną ilość nowych przedziałów, a dla każdego z nich wskaźnik funkcyi f(x) będzie się równać zeru lub jedności; wówczas wszystkie pierwiastki równania f(x) = 0, zawarte w przedziale :t, b, będą oddzielone.

110. Pezykead 1. Weźmy równanie

f= 5x⁵— 7xi — 9æ³ -j- 16#²— l\xĄ- 51 = 0.

Obliczając wartości funkcyj pochodnych przy różnych wartościach zmiennej x, otrzymujemy następującą tablicę znaków:

/ /' /" f" /iv r

— 1 — 2

Stąd widzimy, że wszystkie pierwiastki rzeczywiste równania danego zawierają się między — 2 i +2, gdyż przy x ■=. 2 otrzymujemy same tylko powtórzenia znaku, a przy x = — 2 same tylko zmiany znaku.

Równanie /== 0 posiada jeden tylko pierwiastek ujemny, zawarty między — 1 i- —2; dla przedziału bowiem —1,0 wskaźnik e = 0, a dla przedziału — 1, — 2 wskaźnik e = 1.

Dla przedziału 0, + 1 znajdujemy następującą grupę wskaźników:

2, 2, 1, 1, 1, 0.

i przepisawszy

Ponieważ tu po pierwszym wskaźniku, równym jedności, e.₂ = 1, następuje wskaźnik e₃ = 1, zatym należy rozdzielić przedział 0, + 1 na kilka mniejszych. Obliczywszy wartości funkcyj FouriePgo dla x = dwa wiersze z tablicy poprzedzającej, otrzymamy nową tablicę znaków:

/ /' /" f" r r

"Wskaźnik funkcyi f(x) dla przedziału i, 1 równa się zeru; równanie

A

więc nie ma pierwiastka między ~ i 1.

A

Dla przedziału 0, -i otrzymujemy następującą grupę wskaźników:

A

2, 2, 1, 0, 1, 0,

w której po pierwszym wskaźniku, równym jedności, e₂ = 1, następuje wskaźnik <?₃ = 0. Wskutek tego, obliczamy sumę

-f- wart. bezw.

wart. bezw.

/'(O)

/'(!)

/"(O)

_11 , 59 32 ‘ 36’

f"{\)

Jest ona większa od -i . Na mocy tego, twierdzimy, że funkcyj a f’(x) wcale nie

• . 1

ma pierwiastków między 0i~. Przyjmując funkcyją pochodną f(x) jako

A

ostatnią w grupie funkcyj Fourier’go i tworząc grupę wskaźników, znajdziemy,

że wskaźnik funkcyi f(x) równa się zeru. A więc równanie /= 0 wcale nie ma pierwiastka, między 0 i -i-.

A

Pozostaje nam zbadać przedział między 4-1 i 4-2. Dla niego z tablicy pierwszej otrzymujemy taką, grupę wskaźników :

o.-

2, 1, 1, 0, 0,

Należy przeto przedział + 1, 4- 2 rozdzielić na przedziały mniejsze.

O

Kładąc x = i obliczając wartości funkcyj Fourier’go, otrzymamy też same znaki, co przy x — 2, tak iż musimy jeszcze dzielić przedział 1, ^ na przedziały mniejsze.

r

Kładąc x=z~ i obliczając wartości funkcyj Fourier’go, otrzymamy następującą tablicę znaków:

I-*    u>|w>

nie / = 0 nie posiada pierwiastka między 1 i

P o

Dla przedziału -j, ~ otrzymujemy grupę wskaźników:

T â

2, 1,    0,    0,    0,    0;

/(!)=

a gdy

1365

32 ’

/(!)=

133

przeto

wart. bezw.

to| w

f- wart. bezw.

►Her*

/'(!)

5T>Ï-

To wskazuje, że równanie / = 0 nie ma pierwiastka między ^ i

Widzimy zatym, że, z wyjątkiem jednego pierwiastka ujemnego, zawartego między — 1 i — 2, równanie dane nie posiada innych pierwiastków rzeczywistych.

111. Przykład 2. Weźmy równanie

f— 2x* + 6x⁵ — 5a4 — 20 x³ 4- 30a;² — 14æ -f 7    0.

Z ułożonej dla tego równania tablicy

/ /' /" f'" /IV /v /VI

+ +-+ +

widzimy, że wszystkie jego pierwiastki rzeczywiste, jeżeli one istnieją,, zawierają się między — 2 i -fi.

Dla przedziału 0, -f 1 otrzymujemy następującą grupę wskaźników:

4, 3, 2,    1,    1, 0, 0.

Po wskaźniku e₃ = 1 następuje wskaźnik = 1; przedział więc 0, 1 należy rozdzielić na dwa mniejsze.

Obliczywszy wartości funkcyj Fourier’go dla x —    , otrzymujemy na*

stępującą tablicę znaków:

/ /' /" r /IV /v /VI

+ + + + + + +. + + +

+ + — -

Dla przedziału 0, — mamy grupę wskaźników : A

2, 1, 0, 1, która wskazuje, że należy obliczyć sumę

1, 1, 0,

wart. bezw.

/(O)

/'(O)

4)

f wart. bezw. —.

4)

według której obliczamy sumę

wart. bezw.

f{\)

r{\)

wart. bezw. 7^=4 +i.

§ VI. NIEKTÓRE UWAGI NAD TWIERDZENIEM BUDAN’A. ODDZIELANIE PIERWIASTKÓW RÓWNANIA NIEZUPEŁNEGO.

112. Twierdzenie Budan’a jest bezpośrednim wynikiem pewnych własności, właściwych funkcyj om grupy

(1)

Suma ta jest mniejsza od -i-; a więc nie możemy stąd nic wnieść o ilości pier-

^ 1

wiastków, zawartych między

Z

Zanim przystąpimy do dzielenia przedziału

my pytanie: czy równanie /"(O) nie posiada pierwiastka dwukrotnego między

-i- i 1? Największy spoiny dzielnik funkcyj f" i f" jest x¹ + x —

A

f" — (x² -j- x — l)².

Stąd widzimy, że pochodna druga posiada istotnie jeden pierwiastek dwukrotny w przedziale 1 i, prócz tego, jest wciąż dodatna przy wszel-

kich wartościach zmiennej x. Przyjmując funkcyją /" jako ostatnią w grupie funkcyj Fourier’go, spostrzeżemy z tablicy ostatniej, że wskaźnik funkcyi / dla

przedziału , 1 równa się zeru; równanie więc f— 0 wcale nie ma pierwiastka między ~

i 1.

1 na mniejsze, postawi-

1, i

i 1.

Z pierwszej tablicy widzimy jeszcze, że wskaźnik funkcyi / dla przedziału 0, — 2 równa się zeru; równanie przeto f —0 nie ma pierwiastków ujemnych. A zatym, wszystkie pierwiastki równania danego są zespolone.

A...,/w.

Tych własności jest trzy, a mianowicie:

a.    Ostatnia z funkcyj (1), t. j. funkcyja /(r), nie zmienia swego znaku od x = a do x — b.

b.    Przy przejściu zmiennej x przez pierwiastek którejkolwiek z funkcyj (1), np. przez pierwiastek funkcyi /w, od wartości mniejszych do większych, stosunek

/w

zmienia swój znak, przechodząc od wartości ujemnych do dodatnych. Stosuje się to tylko do tych pierwiastków, które zawierają się między a i b.

c. Jeżeli liczoa c, zawarta między a i b, przywodzi do zera początkowych i funkcyj grupy (1),

f(c) —f(c) = . . . =.f«-V(ć) = 0,

ale f®(c) jest od zera różne, to liczba c jest «-krotnym pierwiastkiem równania /== 0; jeżeli zaś liczba c przywodzi do zera wszystkie funkcyje (1), to c liczy się jako tylko r-krotny pierwiastek równania/= 0.

Grupa funkcyj

(2)

fi fu fu • * • ifsi

z których każda może nie być pochodną poprzedzającej, może zastąpić szereg .(]), jeżeli tylko funkcyje (2) posiadają powyższe trzy własności.

Przypuśćmy np., że jedna z funkcyj pochodnych w grupie (1) może być przedstawiona jako iloczyn dwu funkcyj całkowitych,

/W = cp <p„

i że czynnik jest wciąż dodatny dla wartości zmiennej x od x=.a do x~b; wówczas grupę (1) można zastąpić przez następującą:

(3)

f, /', • • • ?/(<_1), <p, <p'> • • • ,¥m),

gdzie pochodna tp<m) nie powinna zmieniać swego znaku między a i b. Również, jeżeli jedna z funkcyj <p, <p', . . . w grupie (3), np. jest iloczynem dwu funkcyj całkowitych, a czynnik jest wciąż dodatny między a i b, to zamiast grupy (3) można rozważać grupę

(4)

<p',...,    <i>, <j»r,.

gdzie pochodna <|)W nie powinna zmieniać swego znaku od x — a do x ~ b.

113. Sposób Pourier’go oddzielania pierwiastków nie może być stosowany do grupy (2), dlatego, że twierdzenie Fourier’go (art. 70) może nie mieć miejsca dla funkcyj (2).

Założymy, że w wyrażeniu pierwszej pochodnej /' brak wyrazu stałego, i wyprowadzimy pewne twierdzenie, które w tym przypadku zastąpi w zastosowaniu twierdzenie Fourier’go.

Wówczas funkcyja /' może być przedstawiona jako iloczyn

/'=«”*?,

gdzie m jest pewną liczbą całkowitą, dodatną, a funkcyją całkowitą, która nie staje się równą zeru przy x = 0.

Mając na względzie warunek, ażeby twierdzenie Budan’a pozostawało w swej mocy, zauważymy, że:

jeżeli wykładnik m jest parzysty, to, jakimikolwiek są krańce ąi b przedziału rozważanego, zamiast grupy (1) można wziąć grupę

A

jeżeli zaś wykładnik m jest nieparzysty, to można to zrobić tylko wtedy, kiedy tak a > 0, jak i b >> 0;

Bibl. mat.-flz., S. IV, T. II

jeżeli, nakoniec, wykładnik m jest nieparzysty, a < 0 i b <C 0, to zamiast grupy (1) możemy wziąć grupę

f, —<?'

114. Twierdzenie pomocnicze. Jeżeli f(x) jest funkcyją całko* witą, a m liczbą całkowitą, dodatną, i jeżeli funkcyją 'pochodna f(x) jest po-dzielna przez xm, to, oznaczywszy przez y(x) funkcyją całkowitą

— y(x)

f(x)

xm

i przypuściwszy, ze dwie liczby dowolnie iczięte, a i a -j- h, są jednakotvego znaku, mieć będziemy równość:

- (a)

f(a + h) —f(a) +

(a + h)m+l — amJrl

(a 4- h)m+* \{m + l)/< -— a] -f- am+²

(m + 1) (ni 4- 2)

<p '(a + Üh),

w której 6 oznacza pewną liczbę dodatną, mniejszą od jedności. Jedna z liczb: «, a-\-h może być zerem.

Ażeby tego dowieść, nazwijmy uprzednio

(m + 1 ) \f(a 4- h) —f(aj] — \(a + h)m+l — cpfaj_ A

m-\- 2 ’

(a h)m+1 \ (m 1 ) h — a] + am+²

Zauważmy tu, że A nie może się stawać nieskończenie wielkim. Istotnie, jeżeliby

(a 4- h)m+l [(m + 1) h — a] + am+² — 0,

to równanie

(a 4- x)m+{ [(m    1) x — a] + am+² — 0

miałoby dwa pierwiastki: x =z 0, x -=.h\ a więc, równanie pochodne

(m 4* 1) (m 4- 2) x (a 4* x)m = 0

miałoby jeden pierwiastek, x = Xh, zawarty między 0 i h, i mielibyśmy

a 4~ kh — 0.

Stąd zaś. zważywszy, że X oznacza liczbę dodatną, mniejszą od jedności, otrzymujemy

a 4- h

co się sprzeciwia założeniu, że a i a 4- h są jednakowego znaku.

Weźmy pod uwagę funkcyją całkowitą. f(a + cc) —f(a)

(a + x)m+x •— am+l

m -j-1

<p(a)

j~Va + x)m+l \(m + 1) x — a\ + aM+²Jj.

(m + 1) (m + 2)

Posiada ona dwa pierwiastki: x = 0, x = h; funkcyja więc pochodna f'(a -f x) — (a-\- x)m <p(a) — A x(a + x)m,

czyli funkcyja

(a -f x)m [c[(a + x) — (p(ą) — A*],

posiada jeden pierwiastek, x = \h, zawarty między 0 i h. A gdy a + nie może równać się zeru, przeto

<p(a + ^h) —¹ ¥(a) — A.\h ==. 0.

Stąd zaś wyprowadzamy

y(a + \ h) — y(a)

Xh

czyli

A = y'(a -j- Qh),

gdzie 6 oznacza pewną liczbę dodatną, mniejszą od jedności. Wstawiając tu zamiast litery A to, co ona wyraża, otrzymamy żądaną równość.

115. Twierdzenie. Mając funkcyją całkowitą f(x), której pochodna f(x) jestpodzielna przez xm, przy m całkowitym i dodatnym, oznaczmy

f(x)

xm

Jeżeli a i b^> a są liczbami jednakowego znaku, a funkcyja pochodna f (x) niezmierna swego znaku od x — a do x — b, i jeżeli, prócz tego, równanie począt-kowe f(x) = 0 posiada między a i b dwa pierwiastki różne, alko jeden pierwiastek wielokrotności parzystej, to wówczas ma miejsce nierówność :

wart. bezw.

f(a)

y (a)

j- wart. bezw.

f(b)

y(V

<! wart. bezw.

bm+x — «”‘+l

m -f- 1

Ażeby tego dowieść, weźmy pod uwagę równość, dowiedzioną w art. poprzedzającym,

(p(a)

f(a + h) =f(a) +

(a -f- h)m+l — «“+¹

i zauważmy, że dwumian

(a + h)m+l \fm -j- 1) h — a] +

(m + 1) (m + 2)

cp'fa + 6 h).

(a + h)m+l [(% -f- 1) h — a\ + aw+², rozważany, jako funkcyja całkowita zmiennej h, ma taką pochodną:

(m -f-1) (m + 2) h (a + h)m.

Wskutek tego, gdy przez X oznaczymy pewną liczbę dodatną, mniejszą od jedności, możemy, posiłkując się wzorem Lagrange’a, napisać

(a + hjm+l \(m -j- 1) h — a\ +,am+² = (m Ą- 1) (m -f 2)Xh²(a + \h)m,

Z tego wynika, że równość poprzedzającą możemy tak przedstawić:

(1) f(a + h)—f(a)Ą

<p(aj + \h²(a + \li)m <p'(a -f*

Oznaczywszy przez a i ß >: a dwa pierwiastki równania f(x) — 0, zawierające się między a i b, podstawmy we wzorze (1) zamiast h różnicę a — a; otrzymamy

0 —-f(ą) +

<p(a) -f Xfa-— a)² (a + X(a — aj)m y'(a + 0(a — aj).

Podstawiając następnie w (1) b zamiast a i kładąc li — ß — ó, otrzymamy

o —f(b) -j-

ß™ fl-1

V(b) + XYß - b)² (Ó + x'fß — b)Y y\b + 6Yß - b)).

l)wa równania ostatnie możemy napisać tak :

am+1 — am+1

f(a)

(2)

m -f- 1 ¹ Ó”»+1 —ß»*H-i f(b)

y (a)

X(a — a)² (a + Xfa — aj)

m ?'0 + 6fa — aj)

<?(a)

m-\-1

l- XYß —    (?> + xvß —

vßj

gdzie X, X', 0, 0' oznaczają pewne liczby dodatne, mniejsze od jedności.

W tych równaniach wyrazy drugie na stronie prawej nie mogą równać się zeru. Jeżeli bowiem przypuścimy, że

to mielibyśmy

y'(a + 0 (a — aj) = 0,

f(a) +

<P(aJ = 0,

a równanie

xm+x — am+x mĄ-1

miałoby wówczas dwa pierwiastki : x = a, x = a; a zatym, równanie pochodne

f(x) —f(a)

<?(a) = 0

f'(x) — xm<p(a) = 0,

czyli równanie

<p(x) ~ <p(a) = 0

miałoby jeden pierwiastek między a i b. A gdy ono posiada pierwiastek x=za, to równanie pochodne

y'(xj = 0

miałoby między a i b jeden pierwiastek wielokrotności nieparzystej, co być nie może, gdyż funkcyja y’(x), według założenia, nie zmienia swego znaku od x—a do x=b. Taksamo możemy się przekonać, że wartość <p'(0+0Yß—b)) jest różna od zera.

Zgodnie z założeniami twierdzenia, w każdym z równań (2) dwa wyrazy na stronie prawej są jednakowego znaku, Dlatego mamy:

wart. bezw,

am+i — am+l

>» wart. bezw.

f(o) .

wart. bezw.

;> wart. bezw.

f(b)

'?(b) ’

Stąd zaś, dodając i zważając, że suma

+ wart. bezw.

wart. bezw.

a«+i am+1

m -f- 1

&W+¹ — p»»+i

m-\-1

nie jest większa od wartości bezwzględnej ułamka

bm+x ~ am+l m -f- 1

otrzymamy

wart. bezw.

bm+1 — am+¹

> wart, bezw.

j(a)

<?(a)

+ wart. bezw.

y(h) '

c. n. d.

116. Przykład 1. Oddzielmy od siebie pierwiastki równania 1484a?⁵ — 441 a;⁴ — 18 æ³ + 1161a:³ — 243 = 0.

Kładąc

f(x) = 1484a;⁵ — 441a:⁴— 18 a:³ + 1161a:²— 243, y(x) = 2 (3710a;³ — 882a;² — 27a: + 1161),

otrzymamy następującą tablicę znaków:

cp" cp,,r

/ <P <p'

0,1

Z niéj widoczna, że jeżeli dane równanie ma pierwiastki dodatne, to wszystkie one zawierają się między 1 i 0,1.

Dla tego przedziału mamy grupę wskaźników :

3, 2, 1, 0, 0.

Należy się tylko dowiedzieć, czy równanie y(x) = 0 posiada pierwiastki między 1 i 0,1. W tym celu, obliczamy

1153,19 92,1 *

wart. bezw.

9(0,1)

Ponieważ ta wartość jest większa od 1, przeto

wart. bezw.

<pW)

P wart. bezw.

?(!)

>1 — 0,1.

<Pr(l)

A zatym, równanie <p(x) — 0 między 0,1 i 1 nie ma pierwiastka. Ograniczając się tylko do dwu funkcyj,

f(x),    <f(x).

otrzymujemy dla przedziału 0,1, 1 następującą grupę wskaźników:

1, 0;

skąd wnosimy, że równanie f(x) — 0 ma tylko jeden pierwiastek dodatny, pojedynczy. —

Ażeby oddzielić pierwiastki ujemne równania f(x) — 0, wyznaczamy znaki funkcyj

dla x == 0, — 1, — 0,5, ... i otrzymujemy następującą tablicę znaków:

— <P

— tp' .— (p,r — <p"'

—    0,5

—    0,6

•p

Stąd widoczna, że równanie f(x) — O ma tylko dwa pierwiastki ujemne: jeden zawarty między — 0,5 i — 0,6, drugi zaś między — 0,6 i — 1.

117. Pezykead 2. Weźmy równanie

4x⁵ + 5x* — 30a;² -f- 23 = 0.

Kładąc

f(x) — 4x⁵ -j- 5x* — 30x² -f 23, <p(x) — 20 fx³ -f x² — 3),

mamy tu

y'(x) — 20x{3x + 2).

Funkcyja y'(x) raz tylko zmienia swój znak, mianowicie przy przejściu zmiennej x przez wartość — 4> ; możemy przeto ograniczyć się do grupy trzech fun-3

kcyj : f(x), y(x), i y'(x), stosując kolejno sposób Fourier’go do trzech przedziałów :

+ esc, 0;    0, —

Ccjto

<M|cO

Z tablicy

r-( o

widzimy, że dane równanie albo wcale nie ma pierwiastków dodatnych, albotóż ma ich dwa, a wówczas zawierają się one między 1 i ~. Ponieważ dla prze-działu 1, mamy grupę wskaźników':

2, 1, 0:

więc możemy tu stosować twierdzenie art. 115-go. Obliczywszy

/(-!)=

*(!)=,«

69

128’

165

/( 1) = 2,

?p(l) = — 20

mamy

wart. bezw.

A\)

?(- -)

Ot

+ wart. bezw.

/(!) _ 67 9(1)    440'

Mamy zaś tu

(:-r-

►Mot

a więc

i_v.

2    32’

wart. bezw.

/(ł)

/O)

(ir-

|--\- wart. bezw.

5 v

r

Widzimy przeto, że należy przedział 1, dzielić na przedziały mniejsze. Dla przedziału 1^, 1 jjj znajdujemy

*(ł)

9(1)

/    9 9f

1,2

1,15

7(1,15) = 0,11546, 9(1,15) = —3,1325 (1,2)* -(1,15)

■i

— 0,05875

wart. bezw.

7(1,2) = 0,12128, 9(1,2) = 3,36; P wart. bezw.

/( 1,15)

/( 1,2)

9(1,15)

9(1,2)

> 0,05875.

A więc, równanie wcale nie ma pierwiastków dodatnych.

Posiada ono jeden tylko pierwiastek ujemny, zawarty między 0 i ■— 1; jest to widoczne z następującej tablicy:

_<p    — <p'

wite o

— OD

118. Przykład 3. Weźmy równanie

3x⁵ + 7x* — 8x* + 11 = 0.

Kładąc

f(x) = 3x* + lx* — 8x³ + 11 ipfią) = 15#² 4- 28x — 24

utworzymy następującą tablicę :

a;

/ <P ?'    ?"

Z niej widoczna, że równanie dane ma jeden tylko pierwiastek ujemny, zawarty między — 3 i — 4.

Co się zaś tyczy pierwiastków dodatnych, to należy szukać ich tylko w przedziale między 0 i 1, dla którego otrzymujemy taką grupę wskaźników:

2. 1. 0, 0.

A gdy

wart. bezw.

/(O) _ n

cp(0) — 24

13_₀3_ i

3 “IP

to

wart. bezw.

/(O)

<p(0)

f wart. bezw.

/(l) ^ l³ — O³

<P(!)

co wskazuje, że równanie f(x) — 0 nie ma pierwiastków dodatnych. 119. Przykład 4. Weźmy równanie

ox°— 37 x⁵ + 50æ⁴ — 104 = 0.

utworzymy tablicę

<p"

O H-Ł tojOS to Ot ffl

+ + + + + + + + i I II + + I I + +

Kładąc

f(x) = 5x*— 37 x⁵ + 50 a;⁴ — 104, y(x) = 5(6x² — 37x + 40).

Widzimy z méj, że równanie f(x) — O w przedziale 5, 6 ma jeden pierwiastek; inne pierwiastki dodatne, jeżeli one istnieją, powinny się zawierać między

1 i

2

O

Dla przedziału 1, grupa wskaźników jest następująca:

2. 1, 0, 0.

Ponieważ

wart. bezw.

/C¹) _ 86

<p(l)    45

(ł)⁴-¹*

__ 65

64

więc

bo os

wart. bezw. —+ wart. bezw. ?(!)

/(łL i*

dl)

o

To wskazuje, że równanie f(x) ■=. 0 wcale nie ma pierwiastków między 1 i --.

Następująca zaś tablica wskazuje, że równanie f(x) — 0 ma jeden tylko pierwiastek ujemny

— cp"

-OD

Ponieważ /(—1) <! 0, /(—2) >> 0, przeto pierwiastek ujemny znajduje się między — li — 2.

§ VII. TWIERDZENIE SYLVESTER’A.

120. Twierdzenie Sylvester’a, podobnie jak twierdzenie Budan’a, daje kraniec wyższy dla ilości pierwiastków równania f(x) = 0, zawartych w danym przedziale.

Dowodzenie tego twierdzenia zasadza się na rozumowaniu podobnym do tego, jakim posiłkowaliśmy się przy dowodzeniu twierdzenia Budan’a : potrzeba tylko wziąć pod uwagę, oprócz już wiadomych własności funkcyj Fourier’go,

f(x), f'(x), f"(x), . . . ,/W(s). jeszcze odpowiednie im własności funkcyj

SfrJ, S,faJ, S₂(x), . . . ,Sn(x),

określonych w ten sposób:

S(x) =/(x)²,

Si(x)=f'(æ)²-Jhf(x)f"(x),

S i(x) =fW(x)² — Jcif'-l)(x)p+V(x),

S n(x) =ßn)(x)²,

gdzie n oznacza stopień danego równania f(x) = 0, a kx, k₂, . . .    są

liczbami stałymi, które określa wzór

n' — i -j- 1 n' — i ’

gdzie litera n¹ oznacza dowolnie wziętą liczbę dodatną >: n. Własności funkcyj S*(x), które niezbędnie potrzeba przyjąć pod uwagę, wyrażają następujące trzy twierdzenia.

121. Twierdzenie pomocnicze 1. Jeżeli dla x=za mamy fW(a) — f<*+V(a) = . . . z=fiP+™-')(a) = 0,

i obie wartości fip~l)(a) i fip+m)(a) są, różne od sera, to, przy dostatecznie małych loartościaćh h, znah wartości Sp(a-\-h) jest takiż, jak znak iloczynu •— hm~l przez f(p~l)(a) f(p+m)(a).

Jakoż, wskutek założenia, mamy równości:

f(p)(a + h) —

f^(a) +. .

hm

1.2.3... w

f(p-V(a Ą-h) zzzflP-^Ca) -f . .

f(p+V(a -f- h) —

hm~l

1.2 ...(m—1)

f(r+™)(a) -(- . .

których strony prawe są. uporządkowane według potęg rosnących h. Wprowadzając te wyrażenia do strony prawej wzoru

Sp(a + h)= f*)(ą + Ji)² — 7cPfp-l)(a -f h)ßp+^)(a 4 h) i porządkując je następnie według potęg rosnących h, będziemy mieli

Syfa 4 h) ~ — kp

Jhm-1

1.2. ..(m— 1)

Przy dostatecznie małych wartościach h, strona prawa jest tu tegoż samego znaku, co pierwszy jéj wyraz, a więc znak wartości Spfa 4 h) jest takiż, jak znak iloczynu —hm~l f{p~l)(a) f^m)(a), gdyż wszystkie liczby kx, k₂,...,kn-i są dodatne.

122. Twierdzenie pomocnicze 2. Jeżeli przy x=.a jest

ßp~')(a) — ßp\a) = . . • =■ ßp+m~l\a) = 0,

a wartość ßp+m)(a), (m 4 1), nie równa się zeru, to, przy dostatecznie małych wartościach h, każda z grupy wartości

$P(a 4 h), $pĄ-\(a -f- h), ... , Sp+m~i(a 4 h)

jest dodatna.

Wskutek bowiem założenia, mamy

f(p+m)(a) 4 . .

hm+¹

1.2... (m 4 1)

f(p)(a 4 h) =

f(p+1](a 4 h) —

hm

1.2. ..m

hm~l 1.2 ... (m — 1) gdzie strony prawe są uporządkowane według potęg rosnących h. Wprowadzając te wyrażenia do strony prawej wzoru

&p(a + h) —f^)(a 4 h)² — lcpßp-l)(a 4 h) ßpJpl)(a 4 h), i porządkując je następnie według potęg rosnących h, znajdziemy

(1) Sp(a + h) =

f(p+m)(aJ2 4 . . .

(W — m —p) h2m (1.2... m)² (m 4 1) (n' —p)

Stąd widzimy, że, przy dostatecznie małych wartościach h, wartość Sp(a 4 h) jest dodatna, gdyż n' >:n>: m p. To zaś, czegośmy dowiedli o Sp(a-\-h), oczywiście stosuje także do Sp+ifh 4 h), Sp+rfa Ą-h),..., aż do    4 h)

włącznie. Twierdzenie więc nasze jest udowodnione.

Uwaga. Przypadek szczególny, kiedy n’ — n i mĄ-p~n, zasługuje na osobne omówienie. Wzór (1) wskazuje, że wówczas wartość Spfa 4 h), a tymsamym i funkcyja Sp(x), są tożsamościowo równe zeru. Również wszystkie funkcyje pozostałe:    Sp+2(x),..., aż do funkcyi Sn-i(x) włącznie,

stają się tożsamościowo równymi zeru. W zastosowaniach unika się zawsze tego przypadku przez powiększenie wartości parametru n\

123. Twierdzenie pomocnicze 3. Jeżeli przy x~a mamy

&p(a) — i (a) — . . . — Sp-|_7n—i (a) — 0,

a wartości S^—i(a), Sp±m(a) są różne od zera, i jeżeli ani jedna z wartości f(p)(a), f(p+1)(a), . . . ,f(P+m~V(a)

nie jest równa zeru, to, przy dostatecznie małych wartościach h i przy wszelkich wartościach i od 0 do m — 1 włącznie, wartość

Sp-j.i(a -j- h)

jest tegoż samego znaku, co iloczyn

]lm-if(p+i)(a)f(p+m)(a) sp+m(a).

Weźmy tu pod uwagę grupę funkcyj fir, określonych w ten sposób: a), jeżeli i + r < n, to b). jeżeli i + r^n, to

tpir =f(i+l)(æ)rf(i+t)(x)r~¹ . . . f(n)(x)iJrr+l~n

Oczywiście, mamy

gdzie cp oznacza pewną funkcyją całkowitą. Prócz tego, oznaczmy przez «|>.r taką funkcyją całkowitą:

Pochodna r-go rzędu funkcyi St(x) wyraża się zapomocą wzoru takiej

postaci :

(O <Pi,r8f>(x) = üßtx) + U,Si+if^ + . . . + Ur_iSf+r_i(^; +

ki-(-1 ki-[-2 • . . kiĄ-r

gdzie U₀, U,, . . . oznaczają pewne funkcyje całkowite; przyjmujemy zaś, że i -f- r :< n. — Dowiedziemy naprzód, że wzór (1) ma miejsce w najprostszym przypadku, kiedy r— 1. W tym celu, rozwinąwszy obie strony równania

S i(x -f h) = f®(x + h)² — kip~V(x + h)f<*i)(x + h)

na szeregi według potęg rosnących litery h, przyrównajmy do siebie spółczyn-niki pierwszej potęgi h\ otrzymamy

SV») = 2 Mx) p+1](x) — ki [p-lJx) p+V(x) + P(x)p+V(x)].

Stąd zaś, zważając, że

ki+1

2 ~ki=~

ß'Yx)

f(i+l)(x) S\(x) z=z f{i+²⁾(x) Si(xJ +

h+1

co, oczywiście, jest zgodne ze wzorem (1). — Przypuszczając, że wzór (1) ma miejsce dla pewnej wartości szczególnej r, a przy wszelkich wartościach i, dowiedziemy, że ma on również miejsce dla następującej wartości r, o jedność większej. Podstawiwszy w obu stronach wzoru (1) x -p h zamiast x, a następnie, rozwinąwszy obie strony na szeregi według potęg h, przyrównajmy do siebie spółczynniki pierwszej potęgi h\ otrzymamy stąd równość:

s/r+i)f#j -p ii<r s/r)(x) = iy s yx) -p u₀s/y;

■P U,' St+if#) -P U,

wyprowadzamy

S 'i(x) = — kißi~lYx) ßi+2)(x) -p,

ß‘)(x) fW(x)

czyli

Ä'i+i

ßW(x) ßl+l)(x)

Mnożąc obio strony ostatniej równości przez ßi+l)(x), otrzymamy

S'ifxJ

Si(x) 4

ß%x)

k+ißi+1)(x)

sw*;.

"P U r—i    —l(xj -p Uf—i & i-j-r—lfx)

Si+r(x) 'p

&i+i... kiĄ-r

&.+1 • • • kiĄ-t

^ i-\-r(x).

Mnożąc obie jej strony przez

F    f^+²⁾(x) • • . ßi+r+¹⁾(%)

i zważając, że każdy z wyrazów

UoFS'ifa?;, u.FS'^r*;,... »Uf-iFS'i+r-i^;,

również jak i wyraz

F<f'ir Sß(x) — <p $YYx)ßi+r+1)(x), mogą być przedstawione w postaci wielomianu

ASjfPJ -p AjSi+picJ -p . . . -p ArS»+f(ią),

w którym A, A1? . . . oznaczają funkcyje całkowite (niektóre z nich mogą być równe zeru), i że, prócz tego,

îci+1.    ®l+r(x) — BSl+r^ +

• • • ki^.rĄ-\

gdzie B oznacza pewną funkcyją całkowitą, otrzymamy równość, która, po uporządkowaniu wyrazów, przyjmie postać:

?i,r+i s/r+1}(y}=u₀s, (a?; -p u,    p...-p    4

<iv+l

faj)

gdzie Up, U,, . . . oznaczają pewne funkcyje całkowite. Jest to wzór (1), w którego obu stronach zamiast r znajduje się r-pl. —Ma więc wzór (1) miejsce przy wszelkich wartościach r, pod warunkiem, aby i Ą- r < n.

Kiedy i -j- r >* n, to zamiast wzoru (1) mamy

(2)

<Pirs/rYxj — u₀syp) -p u,sf+1(ir; -p . . . -p

Szczególnej zaś uwagi wymaga przypadek, kiedy n'=n, gdyż wówczas lin — r>o, a ze wzoru (1) otrzymujemy

Vi,n-i^n~X)(x) — UoSifirj + u,si+.i^; +... + u„_i_i s„_i^;.

Stąd wnosimy, że przy wszelkich wartościach r, czyniących zadość warunkowi i -p r ^ n, ma miejsce wzór

(3)

cp.rS i^(x) = U₀S^; -f U iS,--)-! (x) + . . . -P U„_i_i S„_i(irj,

w którym U₀, U,, . . . oznaczają pewne funkcyje całkowite.

Przechodząc do udowodnienia wypowiedzianego twierdzenia, uprzednio zestawimy wypowiedziane założenia, a mianowicie:

a. wszystkie liczby grupy są równe zeru,

b.    żadna z liczb Sp_i(a), Sp^m(a) nie równa się zeru,

c.    ani jedna z liczb grupy

f{p)(a), f(p^¹⁾(a): • • • ,/(p+m_1)f«y)

nie równa się zeru. Oczywiście, że również żadna z liczb ßp~V(a), /(p+”*Y«J nie może równać się zeru, gdyż, w razie przeciwnym, wartość Sp-ifo) albo Spym(a) równałaby się zeru, co się sprzeciwia założeniu.

Kładąc we wzorze (1) x — a, i =■%), r~ 1,2,... ,m, otrzymamy

S\(a) — S np(a) = ... — S p{m~l)(a) — 0,

SpWfaJ

__fW(a)

JcHilep+2.\.Jcp+mf(P+mXa)

Stąd wnosimy, że w rozwinięciu funkcyi Sp(7* -\-h) według wzrastających potęg zmiennej li pierwszym wyrazem jest:

S p(ct ~p }i) -

hm

f™(a)

1-2 ...m 7cpą-i ... Łp+mf{p+m)(a)

SpĄ-m(d) “P • • •

m — 1, jednocześnie wstawić p-{-i zamiast p, a m — i zamiast m :

Możemy w obu stronach tego wzoru, oznaczywszy przez i którąkolwiek z liczb

0,1,2

hm-i

fiP+^a)

skąd widoczna, że przy dostatecznie małych wartościach li, wartość Sp-i(a-\rh) jest tegoż samego znaku, co iloczyn Jim-¹    f(pJrTn)(a) Sp+m(a)} c. n. d.

Prócz tego, przy pomocy wzoru (3) przekonywamy się, że dla wartości r>m mamy \

S pM(a) = 0.

A więc, w przypadku owym, funkcyja    jest toźsamościowo równa zeru.

Dla tejże przyczyny, każda z funkcyj następujących:    . . . , 8„_i(x)

staje się toźsamościowo równą zeru. Ażeby uniknąć tego przypadku dość jest powiększyć nieco parametr n'.

124. Utworzymy dwie grupy funkcyj :

/(*;, f(*h /'W,.. • ,/⁽*W;

&(%)} 8j ('^)i fa)} • • • ? ^n0%))

jednę ze wszystkich funkcyj Fourier’go, drugą zaś ze wszystkich funkcyj 8ylve-ster’a, i, przypuściwszy, że zmiennej x nadaliśmy jakąkolwiek wartość, nie przywodzącą do zera żadnej z funkcyj f(x), f(x), . . . ,S(x), 8t(x), . . zwrócimy uwagę na znaki dwu którychkolwiek wyrazów sąsiednich w pierwszej grupie, np. wyrazów f(x) i f'(x), i na znaki dwu odpowiadających im wyrazów 8(x) i w drugiej grupie. Mogą tu mieć miejsce następujące cztery przypadki :

a.    wyrazy f(x), f(x) przedstawiają zmianę znaku i wyrazy S(ir), 8,(x) również zmianę znaku;

b.    wyrazy f(x), f(x) przedstawiają powtórzenie znaku i wyrazy S(a?), S,^ również powtórzenie znaku;

c.    wyrazy f(x), f'(x) przedstawiają powtórzenie znaku, a wyrazy S(x) 8>i(x) zmianę znaku;

d.    wyrazy f(x),f'(x) przedstawiają zmianę znaku, a wyrazy S(x), 8, (x) powtórzenie znaku.

Przypadek pierwszy będziemy nazywali podwójnym powtórzeniem znaku; drugi podwójną zmianą znaku; trzeci powtórzeniem ze zmianą znaku; czwarty zmianą z powtórzeniem znaku. Rozważając wyrazy

f'(x), f"(x)\ Si (x), Sa(a?;,

następnie wyrazy

f’(x), f"(x)i S₂(xJ, S₃(x)

i tak dalej, nakoniec wyrazy

Uwaga. W przypadku szczególnym, kiedy n' = n, mĄ-p = n, oczywiście mamy

S'/fl) = SVa; =

=. SpM(a) = 0.

/(«-W, f(tt)(*);

—lfa)) 8 n(x)j

za każdym razem będziemy mieli do zauważenia jeden z powyższych czterech przypadków i porachujemy, ile razy każdy z nich się powtórzy.

Twierdzenie. Mając dane równanie stopnia n-tego, f(x) — 0,

i kładąc

$(x)=f(x)²-

8i(z) =fU(x)*— TtifW(x)fW)(x),

, (»=1, 2,..

n— 1);

, n' — *4-1

h—---V-

n— %

Sn(x) —fW(x)²,

gdzie n' oznacza liczbę dowolną, nie mniejszą od n, ułożymy divie grupy funkcyj.

(1)1

f(x), f(x), f"(x), . . . ,fW(x);

8(x), Sfx), S₂(x), . . . , S»(x)t

i zapomocą (PP)*, ( VP)x przedstawimy ilość podwójnych powtórzeń znaku i ilość zmian z powtórzeniem znaku w (1). Jeżeli a i b>a są dwiema dowol-nie wziętymi liczbami, nie przywodzącymi do zera żadnej z funkcyj w grupach (1), to, oznaczając przez r ilość pierwiastków róienania f(x) = 0, zawartych między a i b, będziemy mieli

(PP)&    (PP)« =: r 2h,

(VP)«-(YP *)₆ = r + 2ï,

zero.

gdzie każda z liter h, l oznacza liczbę całkowitą i dodatną, albo

Dowodzenie tego twierdzenia sprowadza się do prostego sprawdzenia go zapomocą twierdzeń pomocniczych, wyłożonych w trzech artykułach poprzedzających, i podobnie, jak przy dowodzeniu twierdzenia Budan’a, dość jest ograniczyć się do przypuszczenia, że między krańcami a i b istnieje jedna tylko liczba c, przywodząca do zera przynajmniej jednę z funkcyi w grupach (1).

Można, co do téj liczby c, uczynić kilka przypuszczeń, które wypada oddzielnie zbadać.

Przypuśćmy, że przy x — c mamy

^p(c) — kp-ł-ifc) — . . . =2    i(V) — 0, (p Oj,

i że żadna inna z funkcyj (1) nie staje się zerem. W tym przypadku grupa f*-1](c), fW(c), . . . ,f<P+™-V(c), ßp+mfc)

zawiera albo same tylko powtórzenia znaku, albo same tylko zmiany znaku.

Oznaczając przez h liczbę dodatną nieskończenie małą, zauważymy, że znaki funkcyj (1) przy x~a są też same, co przy x — c — h, a przy x — b też same, co przy x = c + h\ według założenia bowiem, żadnej z funkcyj (1) ńie przywodzi do zera wartość zmiennej x, zawarta między a i b, a różna od liczby c. A więc, zamiast wyznaczać znaki funkcyj (1) przy x=za i przy x = b, możemy je wyznaczać przy x = c — h i przy x = c + h.

Oprócz tego, zamiast dwu grttp (1) możemy wziąć następującej

f{p-l)(oc}₎ fW(x)> . ; . ,f^m~^(x)₎ ßP+nfxf fep—1 (&)j k)p(x)-, • • • , bz>pĄ-m—\(x)-,

gdyż każdy z wyrazów opuszczonych jest tegoż samego znaku dla x = a, co dla x — b, i dlatego nie ma wpływu na wartości różnic (PP)₆ — (PP)a lub (VP)« — (VP)&. Na zasadzie twierdzenia art. 123-go i na mocy przypuszczenia, że żadna z wartości f{p~l)(c), f{p](c), . . . ,/(r+w»-¹)(c/), f{pJrm)(c) nie jest równa zeru, wnosimy, że przy x — c — h znaki funkcyj (2) wyznaczają odpowiednio znaki wartości następujących:

Sp-.Ccj,iy-<fw>(e)f<**»(c) sr+m(c),. . . ,8^(c).

Ponieważ wskutek pomnożenia wszystkich wyrazów pierwszej albo drugiej grupy przez jakąkolwiek liczbę, nie zmieni się ani (PP)* ani (YP)*, przeto zamiast dwu ostatnich grup możemy wziąć takie :

(3)!

f™(c), ■ ■ ■

f^(c)Sp-,(c) Sr+m(cj,... ./f+'-Yc;.

Taksamo dojdziemy do tego, że przy x — c + h grupy (2) mogą być zastąpione przez następujące:

(4)1

• • . ,f(p+'Ho), . • • ,f(p+m)(c)] f(v+m)(c) Sp^(c) 8p+m(c), . . . ,ßr+'Xc), . . .

Ażeby z tych grup (3) i (4) wyznaczyć (PP)C_Ä, (PP)C+/1, (YP)C_A, (VP)c+/₍, a następnie sprawdzić twierdzenie w zrobionym tu przypuszczeniu co do liczby c, najdogodniej jest oddzielnie zbadać różne przypadki, jakie zachodzić mogą w grupach (3) i (4), a mianowicie :

same

a. Grupa wartości    fip)(c), . . . ,flp+m>(c) przedstawia

powtórzenia znaku, liczba m jest parzysta, a iloczyn    Sp+W(c) > 0.

W tym przypadku znajdujemy: z (3)

(VP)c_Ä = 0, (PP)

a z (4)

Jest więc

(Y P)c+Ä — 0, (PP)C^_Ä — ni J- 1 •

(YP)C_Ä —(YP)c+/( = 0, (PP)c-j-A — (PP)c—h = m

co, według twierdzenia, miejsce mieć powinno.

b. Grupa wartości f(p~l)(c), f(p)(c), . . . , f(p+m)(c) przedstawia same powtórzenia znaku, liczba m jest parzysta, a iloczyn S^-ifc) SP+m(c) C 0. Wówczas mamy:

(YP)c_ä = 0, (PP)c_ft=:0, (YP)c+a = 0, (PP)c+7ł = m ;

a więc

(VP)c-A- (YP)c+;i — 0,

jak być powinno.

Bibl. mat.-fiz., S. IV, T. II.

(PP)C+A — (PP)c—;t — m,

10

(YP)c-a — ffl + 1, (P P )c— h — 0, (YP)c-j-A = 0,

(PP)c+* —

c. Grupa wartości f(p~l)(c), f(p)(c), . . . ,f(p+m)(c) przedstawia same powtórzenia znaku, liczba m jest nieparzysta, a iloczyn Bp-i(c)    ;> 0,

Mamy wtedy

a więc

(VP)c-7j—0, (PP)C_A — 0, (YP)C+.Ä = 0, (PP)c4-7i — ni 4-1;

(YP)c_a — (YP)c+/ł nr 0, (PP)C+Ä — (PP),.-/, = m 4-1,

jak być powinno.

d. Grupa wartości ßp~1}(c), f(p)(c), • • • >/(j3+mYG przedstawia same powtórzenia znaku, liczba m jest nieparzysta, a iloczyn 8p„i(c) Sp+m(c) << 0. Wtedy

a więc

(VP)c-» = 0, (PP)fl_* = l, (YP>c_ń — 0, (PP)c+;i = m ;

(yp)c-a • (yp)c+a :r= o,

(PP)c+/ł — (PP)C_Ä — m— 1,

jak być powinno.

e. Grupa wartości f(p~l)(c), f(p)(c), • • • , f(p+m)(c) przedstawia same zmiany znaku, liczba m jest parzysta a iloczyn Sp^i(c) Sp±m(c) 0. Wtedy

a więc

(YP)c_ä — m-\-\, (PP)<--/<— 0, (YP)cfA — 1 ,

(PP)c+fi = 0;

(YP)c-a — (YP)cĄj = m,

(PP)c-j-A (PP)o-/i =: 0?

jak być powinno.

/. Grupa wartości f(p~l\c), f(p)(c), . . . ,f(p^m)(c) przedstawia same zmiany znaku, liczba m jest parzysta, a iloczyn Sp-ifcJ 8p+m(c) <0. Wtedy

a więc

(YP)c-a = m (VP)c+Ä = 0,

(PP)c-Ä - 0,

(PP)cf* = 0;

(YP)c_a — (YP)c+a = m (PP)c-(-A- (PP)c-A — 6,

jak być powinno.

g. Grupa wartości f(p~1](c), f'p)(c), • • • if 'pJrm)(c) przedstawia same zmiany znaku, liczba m jest nieparzysta, a iloczyn Sp_i(c)    ;> 0. Wtedy

a więc

(YP)c—a — (YP)c+7i — w + 1

(PP)c₊A-(PP)c_A = 0,

jak być powinno.

h. Grupa wartości fip~l)(c), Pp)(c), . . . ,f(pJrm)(c) przedstawia same zmiany znaku, liczba m jest nieparzysta, a iloczyn Sp_i(c) SPĄ.m(c) <Z 0. Wtedy

(YP )e_* = m (VP)c+* = l,

(PP)c—Ä = 0,

(PP)C+A = 0;

a więc

(YP)c_/j — (YP)c+a — m — 1 (PP)c+A (PP)tf—h — 0,

jak być powinno.

Widzimy więc, źe w zrobionym tu przypuszczeniu prawdziwość twierdze* nia jest okazana. —

Należy tylko jeszcze okazać, źe twierdzenie to jest prawdziwe również w dwu innych przypuszczeniach, mianowicie, kiedy

f(c) =f(e) —f"(c) = . . .    = 0, fW(c) ^ 0

i kiedy

_yte+m—— ₀, /(p+m)^ ^ 0>

Pozostawiamy czytelnikowi doprowadzenie tego sprawdzania do końca; ono w tych dwu ostatnich przypuszczeniach uskutecznia się owiele łatwiej.

125. Ilekroć wiemy, ile równanie dane ma pierwiastków, zawartych między a i b, możemy wyznaczyć wartości dwu liczb parzystych

2Ä — (PP)j — (PP)<* — r, 21 — (YP)a — (YP)ö — r,

a, oznaczając przez 2J ilość pierwiastków zespolonych równania danego, będziemy mieli

2J^27*, 2J>27.

Te nierówności wyprowadzają się z twierdzenia Sylvester’a zupełnie taksamo, jak w art. 104-ym nierówności (2) były wyprowadzone z twierdzenia Budan’a.

war

126. Przypuszczaliśmy dotąd, że żadna z funkcyj f(x), f'(x),... , St(x), S₂(ir),.. . , nie staje się zerem ani przy x — a, anitóż przy x ~b] w przeciwnym razie należy zmienić wartości niektórych z liczb: a, b, oraz n' (art. 120), nieskończenie mało je powiększając lub zmniejszając. Przy nowych tościach a, b, n\ nieskończenie mało różniących się od poprzednich, znaki iunkcyj f(x),f(x), . . . ,S(x), St(x), . . . , określają się bezpośrednio na zasadzie dowiedzionych wyżej własności funkcyj Fourier’go i funkcyj Sylvester’a.

zeni

co,

ma

Zauważymy tu, że wartość parametru n' należy zmieniać tylko wtedy, kiedy przynajmniej jedna z funkcyj Sylvester’a tożsamościowo równa jest jak już wiadomo, może się zdarzyć tylko przy n'~n, t. j. kiedy parametr n' najmniejszą wartość, a każdy z parametrów 7c₂, . .. ,1cn_x największą.

W wielu przypadkach twierdzenie Sylvester’a okazuje się dogodniejszym w zastosowaniu, niż twierdzenie Budan’a. Okażemy to na kilku przykładach.

127* Przykład 1. Weźmy równanie

5x⁵ — 7xl — 9^³ + 16a;²— lia;+ 51 — 0,

Kładąc

inamy

- y ^2 - ^    j ^4-

Obliczywszy wartości funkcyj Fourier’go i funkcyj Sylvester’a dla a? = 0, 1, 2, otrzymujemy poniższą tablicę znaków, w której w wierszu górnym pomieszczone liczby t = 0, 1, 2, . . . odpowiadają funkcyjom Fourier’go f®(x) i funkcy-jom Sylvester’a S/æ), a z każdych dwu wierszy, połączonych z sobą klamrą, górny odnosi się do funkcyj Fourier’go, dolny zaś do funkcyj Sylvester’a. Tablica ta jest:

fc

Przy jéj pomocy znajdujemy

a stąd

(VP)₀ = 2, (YP), = 2, (VP)a = 0, (PP)₀ = 1,    (PP), = 3,    (PP)₂ = 3;

(VP)„-(VP),=0,

(PP),-(PP), = 0.

le iownania wskazują, ze żaden z przedziałów 0, 15 1,2, nie zawiera pierwiastków. A więc, w tym przypadku twierdzenie Sylvester’a daje zupełne rozwiązanie zadania, gdy tymczasem twierdzenie Budan’a wskazuje tylko, że w każdym z przedziałów 0,1; 1, 2 może się znajdować conajwiecéj po dwa pierwiastki.

128. Przykład 2. Weźmy równanie

2x° -f 6#³ — 5xi ~ 20x³ + 30%² — I4,r F 7 = 0.

nam odrazu

Kładąc we wzorach dla funkcyj Sylvester’a n' 6, otrzymamy

, k₂ —

JL 1 — Â z- _

4 5    ^3 - g !    --

Obliczając z tymi parametrami wartości funkcyj Sylvester’a dla x = 0 i dla x = 1, mieć będziemy następującą tablicę znaków:

0    1    2    3    4    5    6

(l-A)

4 -4

Stąd znajdujemy

(VP)₀ = 2, (VP),=0, (PP)₀ = 2, (PP),=4.

(YP)₀-(VP)I = 2, (PP),-(PP)₀ = 2.

Każde z dwu równań ostatnich wskazuje, że w przedziale 0, 1 dane równanie nie posiada więcej niż dwa pierwiastki; tymczasem, według twierdzenia Bu-dan’a, kraniec wyższy dla ilości pierwiastków, zawartych w tymże przedziale, jest 4.

I)la x — ■— li dla x == — 2 znajdujemy następującą tablicę znaków: 0    1    2    3    4    5    6

4- 4

4- 4

Stąd

(VP)_i — 4, (VP)_2—4, (PP)—! — 2, (PP)—2 = 0,

(VP)_2 — (YP)-i = 0, (PP)_₁-(PP)^,=2.

Pierwsze z dwu ostatnich równań wskazuje, że dane równanie nie ma pierwiastka między — 1 i — 2; gdy tymczasem twierdzenie Budan’a daje liczbę 2, jako kraniec wyższy dla ilości pierwiastków równania, zawartych między — 1 i — 2.

129. Päzykead 3. Weźmy równanie

3#⁵ + 7xi — 8x³ f 11 = 0.

Kładąc

Jc — — 3 ’

i obliczając z tymi parametrami wartość funkcyj Sylvester’a dla x = a i dla x = 1, otrzymamy następującą tablicę:

(+»}

4-

Więc

i 4-

+ 4-

+ 4- 4-

(VP)₀ = 2, (VP), = 0,

(PP)₀=3, (PP)j = 3

(VP)₀-(VP)₁-2,

(PP)i — (PP)o — 0.

Ostatnie równanie wskazuje, że nasze równanie wcale nie posiada pierwiastka w przedziale między 0 i 1; tymczasem z twierdzenia Budan’a widzimy tylko, że to równanie może mieć conajwięcćj dwa pierwiastki między 0 i 1.

§ VIII. TWIERDZENIE NEWTONA.

130. Kładąc

f(x) — A₀xn + A^-¹ -f A^xn~² + • . • 4 A„, S i(x) =fW(x)² — liif{i^-l)(x)f{-i-l\x),

— i -f 1

i wypisując wyrazy skrajne w wyrażeniu funkcyi Si(x), mieć będziemy

= (n— l)² (n    —    1)² ^

A,²

2n .    . \

-- A₀A₂ I x

n-— 1    /

2»~2i—2

4-

4- (1.2... ą)² ^A²

Skąd widzimy, że kiedy parametry hv, Jc₂, . . . mają wartości największe, to wtedy stopień funkcyi S{(x) jest 2n — 2i—2, tak iż funkcyja przedostatnia Sn-i(x) jest wówczas równa liczbie stałej

AqA₂^ •

Przy xz=z 0, mamy

S<0) = (1.2 ...i

i)² ^A²w_i

(n — i p 1) (i + 1)

(n — i) i

'A

n-i— 1

Po zrobieniu tych uwag, łatwo z twierdzenia Sylwester’a wyprowadzić, jako wniosek, pewne twierdzenie, podane bez dowodu przez Newton’a. Otrzymuje się ono z twierdzenia Sylvester’a taksamo, jak twierdzenie Descartes’a z twierdzenia Budan’a (us. 106).

131. Twiebdzenie. Mając róimanie

(1)

A₀xn +    p . . . -f A„_,a? p An = 0,

utwórzmy chvie grupy liczb :

A0J i?

(2)1

—-iA„a₂,

<j

2?

A„,

2    3 (w — 1)

2(n — 2)

Ilość pierwiastków dodatnych równania (1) nic jest większa od ilości zmian z powtórzeniem znaku w (2), a jeżeli jest mniejsza, to o liczbę parzystą; ilość pierwiastków ujemnych równania (1) nie jest większa od ilości podwójnych powtórzeń znaku w. (2), a jeżeli jest mniejsza, to o liczbę parzystą.

Jakoż, stosując twierdzenie Sylvester’a do przedziału 0, p cc, otrzymamy

(VP)₀ —(VP)+»==mp2Ä,

gdzie m oznacza ilość pierwiastków dodatnych równania (1), a h pewną liczbę całkowitą, dodatną, albo zero. Lecz (VP)p;x> — 0, gdyż grupa funkcyj f(x), f'(x), . . . ,ßn)(x) przy x — p cc przedstawia same tylko powtórzenia znaku; zatym

(YP)₀ — m P 2 7*.

To równanie wyraża pierwszą część twierdzenia Newton’a, (YP)₀ bowiem oznacza ilość zmian z powtórzeniem znaku w (2).

Stosując twierdzenie Sylvester’a do przedziału 0, — cc i oznaczając przez m' ilość pierwiastków ujemnych równania (1), a przez 2h' pewną liczbę parzystą, dodatną, albo zero, otrzymamy

(PP)₀ — (PP)_^ =■ ml + 2h\

— cc

Lecz (PP)_*, — 0, gdyż grupa funkcyj f(x),f(x), . . . ,f{n](x) przy X — przedstawia same tylko zmiany znaku; więc

(PP)₀ == m' P 2 h’.

Równanie to wyraża drugą część twierdzenia Newton’a, (PP)₀ bowiem oznacza ilość podwójnych powtórzeń znaku w (2).

Uwaga. Przypuszczaliśmy tu, że żadna z liczb (2) nie jest równa zeru; w przeciwnym bowiem razie należy zamiast x=0 wziąć x — Ą-h albo x——h, gdzie h oznacza nieskończenie małą liczbę dodatną. Niekiedy bywa konieczną zmiana wartości parametru n'.

132. Przykład 1. Weźmy równanie

x⁹— X¹ +    — 8æ³ — xv 4* 7x³ — 22&² — 152# — 450 — 0,

toż samo, do któregośmy stosowali twierdzenie Descartes’a (art. 82).

Stosując do niego twierdzenie Newton’a, otrzymamy dwie grupy znaków

. 4- + 4-    4    + +

(YP) = 3, (PP) = 3,

tak iż ilość pierwiastków dodatnych jest równa albo 1, albo 3, a ilość pierwiastków ujemnych także jest równa albo 1, albo 3.

133, Przykład 2, Dla równania

æ⁵ 4-    — 7æ³ + 30^c² 4 6 = 0

otrzymujemy następujące znaki:

4-    +

4- 4-

Dla przedziału h, + <x> należy w wierszu pierwszym zamiast 0 napisać znak -f-; będziemy mieli

(VP) = 0,

co wskazuje, że powyższe równanie wcale nie ma pierwiastków dodatnych.

Dla przedziału •— h, — oo zamiast 0 w wierszu pierwszym należy napisać znak —; będziemy mieli

(PP) = 1,

skąd widzimy, że dane równanie ma jeden tylko pierwiastek ujemny. 134. Przykład 3. Dla równania

z⁵ __    ₊ ii x3 _ 2x² — 5x — 5 = 0

otrzymujemy następujące dwie grupy znaków :

4-    4-    +    +    0    +

Funkcyja S₄(4) staje się tożsamościowo równą zeru; a więc, zamiast

A, —6=7»

powinniśmy wziąć

6 — ż + d 5 — ź + d’

gdzie d oznacza dostatecznie małą, albo prościej — nieskończenie małą liczbę dodatną. Wskutek tego, każdy z parametrów klf . . , otrzymuje pewien nieskończenie mały przyrostek ujemny.

TWIERDZENIE NEWTON’A — 13 k

Al

w-

Jeżeli oznaczymy przyrostek parametru przez Mci: to nowa wartość wielkości S₄(0) wyrazi się tak:

S,(0) =/'v(0)² - (-f- 1- AJ,) /f"(0)/v(0) = - AJ₄/'"(0)/v(0),

skąd widzimy, że S₄(0) >0. A więc, zamiast 0, w wierszu drugim należy wziąć znak +, wskutek czego otrzymujemy

(VP) = 3, (PP ) = 2.

Toż samo nam daje twierdzenie Descartes’a.

ROZDZIAŁ VII.

O NADMIARZE FUNKCYI WYMIERNEJ. — SPOSÓB OZNACZANIA I GEOWNE WŁASNOŚCI NADMIARÓW. — SPOSÓB OBLICZANIA NADMIARÓW.—PRZYPADEK SZCZEGÓLNY, KIEDY NADMIAR OTRZYMUJE NAJWIĘKSZĄ MOŻLIWĄ WARTOŚĆ. — O RÓWNANIACH Z PIERWIASTKAMI PRZEGRADZAJĄCYMI SIĘ. — TWIERDZENIE ST URM’A.

§ I. 0 NADMIARZE FUNKCYI WYMIERNEJ.

135. Przypuśćmy, że mamy dwie funkcyje całkowite, v    Y, =A(X),

pierwsze względem siebie, i że są dane dwie liczby: a i b^>a, nie przywodzące żadnej z funkcyj Y i V, do zera.

Weźmy pod uwagę te pierwiastki każdego z równań

v = 0, V, =o,

które się zawierają między a i b, i rozdzielmy je na trzy «klasy», stosownie do trzech następujących przypadków:

Jeżeli, przy przejściu zmiennej x przoz jeden z tych pierwiastków, np.

y

przez c, od wartości mniejszych do większych, funkcyj a ułamkowa ^ zmienia

» i

swój znak, przechodząc od wartości ujemnych do dodatnych, to pierwiastek c zaliczymy do klasy pierwszej.

Jeżeli, przeciwnie, przy przejściu zmiennej x przez pierwiastek c, od war-

tości mniejszych do większych, stosunek

y,

zmienia swój znak, przechodząc od

wartości dodatnych do ujemnych, to wówczas pierwiastek c zaliczymy do klasy drugiej.

Jeżeli, nakoniec, przy przejściu zmiennej x przez pierwiastek c od warto-

nie zmienia swego znaku, to wówczas

ści mniejszych do większych, stosunek

pierwiastek c zaliczymy do klasy trzeciej. —

Przypuśćmy, że pośród pierwiastków równania Y = 0, zawartych między a i b, znajduje się l różnych, należących do klasy pierwszej, i V różnych, należących do klasy drugiej. Różnicę l — V będziemy nazywać pierwszym

y

nadmiarem stosunku ^ od a do b, i, przez skrócenie, będziemy go

y    *¹

oznaczali przez E« y-, albo krócej przez .

Przypuśćmy, że pośród pierwiastków równania y, = 0, zawartych między ai b, znajduje się m różnych, należących do klasy pierwszej, i w! różnych, należących do klasy drugiej. Różnicę m — m' będziemy nazywali drugim

nadmiarem stosunku y- od a do b, i, przez skrócenie, będziemy go

nadmiar tejże funkcyi ÿ-, wzięty od a do b i pomnożony przez — 1, t. j.

T7\a    T71&    T« T&

— — na, 1& ±a .

Jeżeli przypuścimy, że zmienna x, zmieniając się w sposób ciągły, przechodzi przez wszystkie wartości od x~a do x — b, to różnica między liczbą,

wskazującą, ile razy stosunek , stając się zerem, przechodzi od wartości ujemnych do dodatnych, i liczbą, wskazującą, ile razy tenże stosunek, stając się zerem, przechodzi od wartości dodatnych do ujemnych, równa się nadmiarowi Ea, tak wtedy. kiedy b > a, jak i wtedy, kiedy b << a. Również różnica mię-

y

dzy liczbą, wskazującą, ile razy stosunek ^-, stając się nieskończenie wielkim,

przechodzi od wartości ujemnych do dodatnych, i liczbą, wskazującą, ile razy tenże stosunek, stając się nieskończenie wielkim, przechodzi od wartości dodatnych do ujemnych, równa się nadmiarowi I«, tak ivtedy, kiedy bi>a, jak i ivtedy, kiedy b<ia.

Jeżeli pierwiastki równań y=0, Yx — 0, zawarte między a i b, są nam znane, to wyznaczenie wartości obu nadmiarów nie może przedstawiać szczególnego zadania. Np., kładąc

Y = (x — 2) (x + 1), V, = (x + 3) (2x — 3)(x — 5) (2x — U)², mieć będziemy

Ej

= 0, Ej

IÎ

5!    ^!<j

TT'³

JLo

Ie

<\< <\<

= 0.

Jest jednak rzeczą ważną, iż, nie znając wcale ani pierwiastków równania V = 0, ani pierwiastków równania yt = 0, możemy zawsze, zapomocą zwyczajnego dzielenia algiebraicznego, wyznaczyć wartości obu nadmiarów funkcyj

y.

przy dowolnie wziętych krańcach a i b.

§ II. WŁASNOŚCI NADMIARÓW.

136. Z określenia nadmiarów bezpośrednio wynikają, zasadnicze ich własności, które można wyrazić zapomocą następujących wzorów:

(i)

(2)

K^ + K

llZ+K

V.

<!! <<

= E‘ —^ I«

(3)

I«

V,

= Ea~

(4)

E&«

(5)

y,+vQ

gdzie Y, V|, Q oznaczają jakiekolwiek funkcyje całkowite, zaś a, b, c liczby dowolne.

Jeżeli od x — a do x — b mamy Q;>0,

wówczas

(6)

ttU> QY _ pîi

i-Ja Tr -

QY

E*

₆QY

p *    _ T& V _ T& '

a TT aQYl aY/

Jeżeli dwie funkcyje całkowite U i U, są pierwsze względem siebie, to wówczas

_ U , ^6 U,

--    TT + &a yu t

+ I»XE

(7)

(8)

(9)

(10)

E«

ÜÜ

T& V _ jö *-

aw;“ a~u

-TbX . T⁶Ił

—±a U ±a u, *

Do tych własności dodamy jeszcze jednę, którą przedstawia następujące Twierdzenie. Oba nadmiary jakiejkolwiek funkcyi X- , wzięte wzglęj

dem tychże samych krańców a i b, są z sobą związane równaniem

pu» Y t& Y ^«ÿj +¹« y

(H)

gdzie Ca określa się tak :

c^ = 0, jeżeli

V(b) . Y (a) Yi (b) ¹ \x(a)

są jednakowego znaku \

C« — 1, jeżeli

V(a)

Y, (a)

< 0, zaś

>0;

ca = — 1, jeżeli

Y (a)

V v(a)

>• 0, zaś

V(b)

<0.

W celu udowodnienia tego twierdzenia, zauważymy uprzednio, że z określenia symbolu eba wynika wprost następująca jego własność:

b , c    c

ßa r ßb Ca j

a stąd

b , c , d    d

ßa + ßb + Cc -ßa

i t. d.

Jeżeli przypuścimy, że między a i b obie funkcyje Y i Yt nie mają żadnego pierwiastka, albo, że jedna z nich nie ma ani jednego pierwiastka, a druga ma tylko jeden pierwiastek pojedynczy albo wielokrotny, to wówczas jeden z wyrazów na stronie lewej równania (11) równa się zeru, a twierdzenie staje się oczywistym.

Przechodząc do przypadku ogólnego, oznaczymy przez a₂, . . . ,ak różne pierwiastki równań Y = 0 i Yi = 0, zawarte między krańcami a i b, i przypuścimy, że one są napisane w porządku ich wartości rosnących, tak iż ax <ż a₂ <C a₃ <C . • • • W każdym z przedziałów a,, a₂‘, a,, a₃; . . . obierzmy po jednej liczbie dowolnej; niech tymi liczbami będą np. bx, b₂, . . . . Zważając, że, na zasadzie tego, cośmy wyżej powiedzieli, twierdzenie nasze ma miejsce dla każdego z przedziałów a, bx ; bx, &₂; . . . ; bk _i, b, napiszmy szereg równań :

EX4- +i?

V,

y + I»f

<!| <3

b.f

— ßbl

i—i y    ebk—\ *

Dodając te równania do siebie i mając na uwadze związki (1) i (2), jakotóż to cośmy powiedzieli o symbolu ea, otrzymamy :

c. n. d.

137. Korzystając z równań, wyprowadzonych w artykule poprzednim, łatwo możemy okazać, że można zawsze obliczyć nadmiar zapomocą elementarnych działań algiebraicznych.

Jakoż, równanie

Ea + Jay- —

wskazuje, że, jeżeli tylko wartość jednego z dwu nadmiarów E«, I«, jest wiadoma, to wartość pozostałego może być zaraz wyznaczona, tak iż pozostaje nam tylko pokazać, jakim sposobem można otrzymać wartość nadmiaru E«.

Jeżeli stopień funkcji V, nie jest mniejszy od stopnia funkcyi V, to, dzieląc V, przez Y i nazywając iloraz Q, a resztę V₂, otrzymamy

Ea

Y,

y₂+qy

= E &a4-

\r

tak iż obliczenie nadmiaru funkcyi -==- sprowadza się do obliczenia nadmiaru

Y    '¹

funkcyi która jest prostszą od poprzedniej. Jeżeli zaś funkcyja Vt jest

V    2

niższego stopnia niż funkcyja Y, to dzieląc Y przez Yi i nazywając iloraz Q, a resztę Y₂, mieć będziemy

"Y 6    T*¹ /o i    _ 6    tb V₂

V,

E„ YT — Ca    1 a d~ y J — Ca    J-a y_ ,

albo

Tr^& "Y _ b TTlfr I

Va

Ky^ — Ca — hj.^-

i obliczenie nadmiaru funkcyi sprowadza się do obliczenia nadmiaru in*

Y i

prostszej, niż poprzednia. Prowadząc w ten sposób dalej

obniżanie stopnia, sprowadzimy nasze zadanie do wyznaczenia nadmiaru funkcyi całkowitej. Lecz wówczas wyznaczenie nadmiaru wynika bezpośrednio z wzoru (11), gdyż, kładąc Yi = 1, otrzymujemy

E«V = ea.

nój funkcyi

V,

V₂

§ III. OBLICZANIE NADMIARÓW.

138. Dowiedziemy twierdzenia, obejmującego w sobie prawidło ogólne

na otrzymanie wartości jakiegokolwiek nadmiaru    Moglibyśmy je wy-

V i

prowadzić z uwag, uczynionych przy końcu poprzedniogo paragrafu, lecz wolimy tu skorzystać z wiadomych już metod, używanych przy dowodzeniu twierdzeń Budan’a i Sylvester’a.

Twierdzenie. Jeżeli, mając divie funkcyje całkowite, pierwsze względem siebie, Y i Y y, podzielimy Y przez Yt i oznaczymy przez V₂ otrzymaną stąd resztę, pomnożoną przez dowolną liczbę ujemną, następnie podzielimy funkcyja V, przez V₂ i oznaczymy przez V₃ resztę, pomnożoną przez dowolną liczbę ujemną, i będziemy powtarzali to postępowanie dotąd, dopóki nie dojdziemy do reszty Vr, będącej liczbą stałą, a ilość zmian znaku, zachodzących w grupie funkcyj

O)

V, V„ V₂,...,V

nazwiemy vx, to, jakimikolwiek będą liczby a i b, wartość nadmiaru y- wyznaczona będzie zapomocą wzoru :    ¹

T3* V

E« y- ~va — vh.

Dowodzenie tego twierdzenia zasadza się na następujących trzech własnościach funkcyj (1).

a.    Ostatniej z funkcyj (1) nie przywodzi do zera żadna z wartości zmiennej x, zawartych między krańcami a i b. Jest to oczywiste, gdyż Yr jest liczbą stałą, różną od zera.

b.    Dwie sąsiednie z funkcyj (1) nie mogą stawać się równymi zeru dla żadnej wartości zmiennej %, zawartej między a i b. Gdybyśmy przypuścili, że, przy pewnej wartości zmiennej x mamy

V =ył+1 = o,

to z tożsamości

V* = Q*Vł+1 —CV*₊₂

otrzymanej z podzielenia funkcyi V* przez Yt+ij wynika, że, dla tejże wartości zmiennej x, mamy

T. j., jeżeli, przy jakiejkolwiek wartości zmiennej x, dwie sąsiednie z funkcyj (1) stają się równymi zeru, to i następująca po nich funkcyja również stawałaby się równą zeru. Natenczas i wszystkie pozostałe, następujące po nich funkcyje, powinnyby także stawać się równymi zeru, tak iż mielibyśmy Yr = 0, co być nie może.

c. Jeżeli pośród funkcyj (1), przy pewnej wartości zmiennej x, zawartej między a i b, funkcyja    staje się równą zeru, to dwie obok niej stojące

funkcyje Xk i Y14-2 otrzymują wartości znaków różnych. To jest widoczne z równości

V* = Q*Y*₊i —CYm-2,

które, dla wartości x, przywodzących funkcyją Y*+i do zera, daje

V* = —CV*+a.

Przechodząc do udowodnienia naszego twierdzenia, naprzód ograniczymy się do tego przypadku, kiedy między a i b istnieje, lecz tylko jedna, liczba c przywodząca do zera jednę albo kilka funkcyj (1). Rozumie się samo przez się, że nie mamy potrzeby zatrzymywać się nad tym przypadkiem, kiedy w przedziale a, b żadna z funkcyj szeregu (1) nie ma pierwiastka; wtenczas bowiem twierdzenie nasze staje się oczywistym.

Można zrobić kilka przypuszczeń co do liczby c, które należy zbadać od

dzielnie.

Przypuśćmy, że c uie jest pierwiastkiem równania Y=:0, i że przy x~c z funkcyj (1) tylko jedna V/. staje się równą zeru. Oznaczając odpowiednio przez ivx, îv'x , w"x ilość zmian znaku w grupach

y, v„ ...,y*_i,

V*-i, Y*, Vipi,

Y*-1-15    ^ *-f-2} • • • , Yr?

mieć będziemy

vx = wx + w'x + w"x,

skąd

(2)

va— Vb = IVa — ivb -f w'a — iv'b + to" a — Wnb.

. (3)

Oczywiście, że

toa — tot t=z 0,

w" a w"b — 0.

Należy oznaczyć, czemu się równa różnica w'a — w\. W tym celu zważmy, że znaki wartości yk-i(a) i Y k-i(b) są jednakowe i takież same, jak znak wartości y*_i(c); podobnież, znaki wartości Yk+\(a) i Yi\.\(b) są jednakowe i takież, jak znak wartości Yk+\(c). Ponieważ zaś znaki wartości Vx-_i(c) i Yn+i(c) są.różne, zatym wartości Yk-\(a), Yk+\(a) są różnego znaku, i wartości Yk-ifi), Yk-\-i(b) są także różnego znaku. Stąd wynika, że

iv'a = 1 , W 6 = 1 ,

a zatym

(4)

w¹ a — to\ = 0.

Według (2), (3) i (4), otrzymujemy

Va — Vb = 0.

co wskazuje, że w przypadku rozważanym nasze twierdzenie ma miejsce.

W podobny sposób możemy się przekonać, że twierdzenie to utrzymuje się wówczas, kiedy liczba c, nie przywodząc do zera funkcyi V, przywodzi do zera więcej niż jednę z pozostałych funkcyj (1). Tak np., jeżeliby, spośród funkcyj (1), tylko dwie funkcyje: Y k i Y i stawały się równymi zeru przy x = c, to, przyjmując, że l>k, mielibyśmy    1, a oznaczając odpowiednio

przez ivx, w'xi to"x> to"'xi w}yx ilości zmian znaku w każdej z grup

V, V,.....V*-„

v*—i, v *, y*4-1,

y *4-i ? "v *4-2, » * » > y i—i, vH; v», W4-1,

ri

Y*+i, Vh->,...,V

mielibyśmy

U'a — Wb — 0,

iv'a — w\ ~ 0,

W" a — Wnb = 0, W'" a— WU\ — 0, WlYa-WlVb — 0,

Stąd zaś, po dodaniu, otrzymamy

va — vb — 0,

co jest zgodne z twierdzeniem.

Przypuśćmy jeszcze, źe liczba c jest pierwiastkiem równania V = 0. Oznaczając odpowiednio przez wx i io’x ilości zmian znaku w każdej z grup

V, V,;

Vi, ya,...,Vr,

i uważając, że wartość Yt(c) jest różna od zera, na zasadzie tego, cośmy wyżej udowodnili, wnosimy, źe

w'a — iv\ — 0,

wskutek czego mamy

va — vb = Wa-W&.

Naleźy wyznaczyć różnicę wa — wb. — Jeżeli czas iva = 1, wb = 0 i

Y(a)

V, (a)

<0, a

Y(b)

Y t(b)

>0, to wów-

W a — wb = 1 ;

a więc

Va — Vb— 1,

co jest zgodne z twierdzeniem, gdyż, w tym przypadku, oczywiście, nadmiar = 1. —Jeżeli zaś

Y (a)

Y, (a)

>0, a

Y (b)

Vi(b)

«<0, to wtedy wa = 0, wb = l i

w a — wb — — 1 ;

a więc

V.

Va — Vb = 1 = Ea ^7"

Y (a) . Y (b) Y{(a) ¹ Y x(b)

stosunki

co również jest zgodne z twierdzeniem. — Nakoniec, może się zdarzyć, źe oba są jednakowego znaku. Wówczas, oczywiście, wa—ivb,

a zatym

Va —

Vb — 0 — Ea-ÿ-

zgodnie z twierdzeniem.

Przypuśćmy teraz, że między a i b znajduje się nie jedna, ale jakakolwiek ilość wartości szczególnych

Cl, Cj , . . . , Cm ,

z których każda przynajmniej jednę z funkcyj (1) przywodzi do zera. Przyj* mijmy, źe te liczby są już wypisane w porządku ich rosnących albo malejących wartości, zależnie od tego, czy a<ib, czytćź a > b, i oznaczmy przez jaką-

Bibl. mat.-fiz., S. IV, T. II.

kolwiek liczbę, zawartą między a i cn przez a₂ jakąkolwiek liczbę, zawartą między cx i c₂, i t. d. Na zasadzie tego, cośmy wyżej udowodnili, twierdzenie nasze ma miejsce dla każdego z przedziałów

ß, (X\ 5 (Xx , $2 j • • • j —lj ^5

mamy więc następujące równania:

i?

E«¹ TT" =Va—Va

— vb.

V _

m—1

E«m_i -va

Dodając je do siebie i przyjmując pod uwagę wzór (1) w art. 136-ym, otrzymamy

^ Y

E a^—Va — Vb.

Jest więc nasze twierdzenie zupełnie udowodnione.

139.    Utworzenie funkcyj Y₂, Y₃, . . . według prawidła, wskazanego w art. poprzedzającym, wymaga, wogóle mówiąc, wiele zachodu; niekiedy jednak można otrzymać daleko prościej inną grupę funkcyj

(1)

Y, V,, U₂, U₃,. . . ,U„

posiadających też same trzy własności charakterystyczne funkcyj Y, Yj, Y₂, Y₃, .... Wówczas twierdzenie art. poprzedniego, jako będące wynikiem tych trzech własności, będzie również miało miejsce dla grupy funkcyj (1).

Jeżeli się zdarzy, że jedna z funkcyj Y, Y,, V₂, Y₃,..., np. Y*, nie ma żadnego pierwiastka między a i b, to wówczas można przerwać odnajdywanie następnych funkcyj Yi+i, Y*_|_2,..., przyjąwszy funkcyją Y* jako ostatnią. Oczywiście, że wtedy niema potrzeby przypuszczać, że funkcyje Y i Y, są pierwsze względem siebie.

Nadto, jeżeli przy tworzeniu funkcyj Y, Yt, V₂, Y₃,.. . zauważymy, że jedna z nich, np. Y*, jest iloczynem    dwu funkcyj całkowitych, a fun

kcyj a y(x) nie ma pierwiastka między a i b i pozostaje wciąż dodatną, to wówczas zamiast funkcyi Y* możemy wziąć funkcyją U* i tworzyć następne funkcyje przy pomocy Y*-i i U*.

140.    Dotąd przypuszczaliśmy, że żadna z funkcyj Y, Y1? V₂, Y₃,.. . nie staje się zerem ani dla xz=a, anitćż dla x = b. Nie trudno okazać, że w razie przeciwnym, kiedy jedna albo kilka spośród funkcyj V,, V₂, Y₃,... stają się równymi zeru przy x = a albo x = b, nićmaco, przy obliczaniu ilości zmian znaku, zwracać uwagi na wyrazy równe zeru, ale tak postępować, jakgdy-by ich wcale nie było. Jakoż, jeżeli V* = 0, to wartości Yt-i i Yi+i są różnego znaku; a więc, gdy zamiast krańca a podstawimy inny, a h, nieskończe-nie mało różniący się od a, to trzy wyrazy

"Vi—\(a + h), Yk(a + h), YtcĄ-\(a -f- h) przedstawiają jednę zmianę znaku — taksamo, jak i dwa wyrazy

y k -i (a) y /t+i (a) •

A zatym, aby oznaczyć ilość zmian znaku w grupie wartości

y (a    h), "V i (a -(- h), Y%(a -j- li),..., y r(a -f- h),

przy nieskończenie małym Ji i iv przypuszczeniu, że Y (a) nie = 0, należy obra-chować ilość zmian znaku w grupie wartości

Y (a), Y i(a), Y \(a),... ,Yr(a),

nie zioracając uwagi na zera, jakie się zdarzyć mogą.

§ IV. NAJWIĘKSZA WARTOŚĆ NADMIARU.

141. Rozkładając pierwiastki równania y■= 0 na klasy, jak to było wskazanem w art. 135-ym, i oznaczając przez l i V ilość pierwiastków, zawartych między krańcami a i b > a i należących do pierwszej lub do drugiej klasy, mamy równość

V.

która wskazuje, że wartość bezwzględna nadmiaru Ea nie jest większa od stopnia funkcyi y.

Oznaczywszy ów stopień przez n, spostrzegamy, że, w tym przypadku,

kiedy

V,

mamy

l — n, V — 0.

Równanie y = 0 ma wtedy wszystkie pierwiastki nierówne, rzeczywiste i zawarte między a i b\ wszystkie one należą do klasy pierwszej.

Jeżeli zaś okaże się, że

to wówczas

l — 0, V — n,

wszystkie pierwiastki równania V = 0 są różne, uzeczywiste, zawarte między a i b, i wszystkie należą do klasy drugiej.

142. AYziąwszy pod uwagę funkcyją Legendre’a X», łatwo spostrzeżemy, że grupa

O)

Xw

X», XWn_i, Xn_2, ♦ . • , X₂, X|, X₀ — 1 jest tą właśnie, którą należy utworzyć, według twierdzenia art. 138-go, w celu otrzymania wartości nadmiaru funkcyi „

X„_i

Ponieważ przy x — 1 grupa (1) przedstawia same tylko powtórzenia znaku, a przy x = — 1 same tylko zmiany znaku, zatym

E+¹_X!L_

—i X^B—x

= 0.

w—1

a więc wszystkie pierwiastki równania X„ = 0 są pojedyńcze, rzeczywiste i zawarte między — 1 i -J- 1; te pierwiastki widocznie przegradzają się nawzajem z pierwiastkami równania X

AYogóle, wszystko to, co w art. 57-ym było powiedziane o równaniach z pierwiastkami przegradzającymi się, mogłoby być wyprowadzone zapomocą teoryi nadmiarów.

§ V. TWIERDZENIE STURM’A.

kowćj

f(x)

143. Na szczególną uwagę zasługuje wyrażenie nadmiaru funkcyi ułam-którćj mianownik jest pochodną licznika; wówczas każdy pierwiastek rzeczywisty równania f(x) — 0 należy do klasy pierwszej, i, w przypuszczeniu, że równanie f(x) = 0 pierwiastków wielokrotnych nie posiada, jest

b f(x)

f(oc)

gdzie l oznacza ilość pierwiastków równania f(x) = 0, zawartych między a i ó > a.

Stąd wynika następujące twierdzenie Sturm’a:

Twierdzenie. Podzielmy funkcyją całkowitą Y — f(x) przez jéj pochodną Yl—f'(x) i oznaczmy przez V₂ resztę, pomnożoną przez dowolną liczbę ujemną; podzielmy następnie funkcyją Y, przez Y₂ i oznaczmy przez Y3 resztę, pomnożoną przez dowolną liczbę ujemną, i postępujmy taksamo dalej, aż dopóki nie dojdziemy do reszty Yr, będącej liczbą stałą. Jeżeli funkcyją Y nie posiada pierwiastków wielokrotnych, to liczba Yr jest różna od zera i wówczas różnica między ilością zmian znaku w grupie

0)

• Y, Yj, Y₂,...,Y,

przy x — a i ilością zmian znaku w tejże grupie przy x — b^> a jest równa ilości pierwiastków równania V = 0, zawartych między krańcami a i b.

Twierdzenie Sturm’a jest bezpośrednim wynikiem czterech własności, jakie posiadają funkcyje grupy (1), mianowicie:

a.    ostatnia funkcyja Yr ani razu nie staje się równą zeru między a i Zg

b.    dwie sąsiednie funkcyje grupy (1) nie mogą jednocześnie stawać się równymi zeru dla żadnej wartości zmiennej x, zawartej między a i b\

c.    jeżeli przy jakiejkolwiek wartości zmiennej x. zawartej między a i b, funkcyja V* staje się równą zeru, to wartości dwu funkcyj Y*_i i V*+i są różnego znaku.

d.    przy przejściu zmiennej x przez jakikolwiek pierwiastek równania Yr= 0, zawarty między ai b, od wartości mniejszych do większych, stosunek

y- przechodzi od wartości ujemnych do dodatnych.

Do każdej grupy funkcyj, które posiadają te cztery własności, twierdzenie Sturm’a jednakowo się stosuje, a funkcyje, tworzące taką grupę, nazywają się funkcyj am i Sturm’a.

144. Ażeby wszystkie pierwiastki równania V—0 były pojedyńcze i rzeczywiste, potrzeb'a i wystarcza, iżby

V—cv • V+cv -W;

gdzie vi oznaczają ilości zmian znaku w grupie funkcyj Sturm’a

Y, Y„ V₂,...,V r

przy x =— cno i przy ;r=r-f-oo, n zaś jest stopniem funkcyi Y. Ponieważ ilość funkcyj Y, Y1?. . ., Yr, oczywiście, nie przewyższa liczby n + 1, przeto v—03 n i x> c<n; a zatym, według (1),

V—cv> — W

(1)

— 6.

Te równania wskazują, że wtedy ilość funkcyj Sturm’a winna być równą liczbie n-1- 1, i że spółczynniki najwyższych potęg zmiennej x w ich wyrażeniach powinny mieć jednakowe znaki.

Nawzajem, jeżeli funkcyje Ya> V₃, . . . są odpowiednio (n — 2)-go, (n—3)-go,... stopnia, tak iż ilość wszystkich funkcyj V, Yi, Y2J... jest n + 1, i jeżeli spółczynniki potęg xn~², xn~³,... w wyrażeniach funkcyj Y₂, .. są takiegoż znaku, jak spółczynnik przy xn w wyrażeniu funkcyi Y, to wtedy ma miejsce równanie (1), a wszystkie pierwiastki równania Y = O są rzeczywiste i różne (art. 77).

145. Przypuśćmy, że tworząc zwykłym sposobem grupę funkcyj Sturm’a dla równania Y = O, doszliśmy do funkcyi Yi, toźsamościowo równej zeru. To wskazuje, że równanie Y = O ma pierwiastki wielokrotne, oraz, że wszystkie funkcyje grupy

(1)

V,.Y„ Y

2? •

• • ,Yi_!

są podzielne przez funkcyją Yi_i, która jest największym spoinym dzielnikiem funkcyi Y i jej pochodnej Y₍.

Nazywając

= U„..

Vi-1 '

zauważymy, że funkcyje grupy

(2) posiadają wszystkie cztery własności charakterystyczne funkcyj Sturm’a dla jakiegokolwiek przedziału a, ó; wskutek tego, oznaczywszy przez l ilość pierwiastków równania U = 0, zawartych między a i b, a przez vx ilość zmian znaku w grupie (2), mamy

va — vb = l.

Ilość zmian znaku w grupie (2) jest równa ilości zmian znaku w grupie (1), a l jest liczbą, wyrażającą ilość różnych pierwiastków równania Y = 0, zawartych między a i b. Wskutek tego, na zasadzie ostatniego równania, wnosimy, że twierdzenie Sturm’a, stosowane do równania z pierwiastkami wielokrotnymi, daje możność dowiedzieć się, ile równanie ma pierwiastków różnych, zawartych między danymi krańcami.

146. Z tego, cośmy powiedzieli w tym rozdziale i w poprzedzającym, wynika, że zadanie o oddzielaniu pierwiastków rzeczywistych równania — a tymsamym i zadanie o rozwinięciu pierwiastka rzeczywistego na ułamek dziesiętny albo na ułamek ciągły — należy uważać za rozwiązane w zupełności.

Pozostaje więc tylko oddzielanie pierwiastków zespolonych, czemu poświęcimy rozdział następujący; teraz zaś zastosujemy twierdzenie Sturm’a do kilku przykładów.

Pezykead 1. Dajmy na to, że potrzeba oddzielić pierwiastki równania xi -j- x* — 4x² — 4 a? -j- 1 = 0.

Tworząc funkcyje Sturm’a według ogólnego prawidła, otrzymamy

Y =xi-\-x* — 4x² —

Y, = 4x'J -f 3x² — 8x — 4,

Y₂ — 7x² + 8x~ 4,

Y₃ = 4&    5,

V₄ = 4- 1-

Stąd wprost widzimy, że wszystkie pierwiastki równania Y = 0 są rzeczywiste i nierówne. Zawierają się one między następującymi liczbami

-2,

-l|, 0, 1, 2. v

Pbzykead 2. Weźmy równanie

x~° -f- x* 4- Æ³ — 2x² 4- 2x — 1 = 0,

Znajdziemy tu

Y = #³ + xv 4- x³ — 2#² -j- 2#— 1 Y, = 5#⁴ + 4#³ 4- 3#² — 4# -j- 2, Y₂ = — 6#³ 4- 33#² — 44x + 27, Y₃ — — 67#² + 102# — 69.

Ponieważ funkcyja Y₃ nie posiada pierwiastków rzeczywistych, przeto możemy na niej się zatrzymać. Nadając zmiennej x wartości *— co, 0, -f eo otrzymujemy następującą tablicę znaków:

v v, v₂ y₃

+ CO

— co

Stąd widzimy, że równanie Y = 0 ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty; znajduje się on między 0 i 1, gdyż Y(0) *< 0, Y(l) > 0.

Pezykead 3. Weźmy równanie

#⁴ _ 12#³ + 55#² + 96 = 0.

Dla przedziału z krańcami dodatnymi możemy przyjąć

Y ~#⁴—12#³-f 55#² -f- 96, Yj = 2x² •— 18« -f- 55,

Y₂ = —348# — 329,

* y₃ = -i.

Stąd otrzymujemy następującą tablicę znaków :

V V, y₂ y₃

-j- co

z której widzimy, że nasze równanie nie ma pierwiastków dodatnych. Dla przedziału z krańcami ujemnymi mamy taką grupę funkcyj Sturm’a:

Y — #⁴ — 12#³-j-55#²-f 96; Y, — — 2#² + 18#— 55,

Y₂ = — 348# — 329,

Y₃ = 4-l.

Przy pomocy tych funkcyj układamy następującą tablicę:

V y, v₂ y₃

— os

z której widzimy, że równanie V = 0 nie ma również pierwiastków ujemnych, co zresztą można było wprost wnieść z tego, że wszystkie spółczynniki w wyrażeniu V(—x) są dodatne.

KOZDZIAŁ VIH.

WYZNACZENIE ILOŚCI PIERWIASTKÓW, ZAWARTYCH WEWNĄTRZ DANEGO KONTURU. — ODDZIELANIE PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH. — PRZYKŁAD. — TWIERDZENIE

HERMITE’A.

§ I. TWIERDZENIE CAUCHY’EGO.

147. W tym rozdziale przyjmiemy, że spólczynniki danego równania są niekoniecznie rzeczywiste, lecz mogą być zespolone.

Przy dowodzeniu twierdzenia o istnieniu pierwiastka w rozdziale 2-gim, rozważaliśmy wielkość szczególną, którą nazywaliśmy odchyleniem danej krzywej z z'z". Była tó różnica między wartościami wielkości odch f(z) w punktach z" i z, kiedy punkt bieżący z, poruszając się w sposób ciągły po krzywej z z' z", przechodzi od początku z do końca z", przy założeniu niezbędnym, iż krzywa z z'z” nie zawiera ani jednego takiego punktu, w którymby wartość funkcyi f(z) była równą zeru. Obecnie, ograniczając się wyłącznie do krzywych zamkniętych, zajmiemy się pytaniem, jaki istnieje związek między odchyleniem takiej linji krzywej a ilością pierwiastków równania f(z) = 0, zawartych wewnątrz niej.

Zaczniemy od udowodnienia następującego twierdzenia pomocniczego.

Twierdzenie pomocnicze 1. Odchylenie jakiejkolwiek krzywej zamkniętej, wyznaczone przez fun-kcyją Mnij ową, z—a, równa się 2tt albo zeru, zależnie od tego, czy punld a znajduje się wewnątrz krzywej zamkniętej, czy też zewnątrz niej.

Jest to wprost widoczne na rysunku. Istotnie, gdziekolwiek znajduje się punkt a (fig. 7), czy to wewnątrz, czytćż zewnątrz konturu z z'z¹', zawsze wartość odch f(z) równa się wielkości kąta zax i, o-czywiście, gdy punkt bieżący z,

Fig. 7.

poruszając się po konturze z g’ g" w kierunku dodatnym, wróci na pierwotne swoje stanowisko, to spółcześnie kąt zax, zmieniając się odpowiednio, otrzyma przyrost 2n albo zero, stosownie do tego, gdzie się znajduje punkt a, wewnątrz czy też zewnątrz konturu g z' z" z. A zatym, w pierwszym przypadku mamy

odcll (*_„) g g' g"g = 2 TC

odcli [z_a) g g' g”g — 0.

w drugim zaś

Twierdzenie pomocnicze 2. Ilość pierwiastków równania f(g)=■ 0, zawartych wewnątrg krzywej zamkniętej g g' g" g, równa sie odchyleniu krzywej g g' g" g o kierunku dodatnym, ioyznaczonemu przez funkcyją f(g), podzielonemu przez 2îi. Przypuszczamy tu, że kierunek krzywej g g'g" g jest dodatny, za jaki przyjmujemy kierunek od odciętych dodatny cli w stronę rzędnych do-datnych.

Wyraźmy funkcyją f(g) jako iloczyn czynników linijowych,

f(g) = A (g — at)(g — a₂) ... (g — an),

gdzie A przedstawia spółczynnik najwyższej potęgi zmiennej g w wyrażeniu funkcyi f(g), i oznaczmy, dla skrócenia, dwumian z — ai przez w,-. Mamy tu

odch fg g' g"g — odch H g g' g"g -f odch „₂ g g' g"g -f . . . + odch Un g g' g"g.

Lecz, według twierdzenia poprzedzającego, wartość odch„.£ g' g"g jest 271 albo zero, stosownie do tego, czy punkt ai znajduje się wewnątrz albo zewnątrz krzywej g g' g"g-, a więc, sürona prawa równania ostatniego równa się iloczynowi 2~ przez liczbę, wyrażającą ilość pierwiastków równania f(g) — 0, zawartych wewnątrz krzywej g g’ g"g, c. n. d.

148. Przy pomocy tylkoco dowiedzionego twierdzenia, łatwo możemy udowodnić następujące twierdzenie Cauchy’ego.

Twieedzenie. Mając jakąkolwiek funkcyją całkowitą f(z) zmiennej zespolonej z = x-\-iy, przyjmijmy, że

f(x + iy) = P (x,y) + iQ(x,y),

ydgie P(x,y), Q(x,y) są funkcyjami rzeczywistymi, całkowitymi. Jeżeli, przy poruszaniu się punktu z w sposób ciągły po całym konturze z z¹ z"z w kierunku

Q (x,y)

dodatnym, stosunek

przechodząc pewną ilość razy przez wartość zero,

P fay)

zmienia m -j- m' razy sivôj znak, przechodząc m razy od wartości ujemnych do dodatnych i m' razy od wartości dodatnych do ujemnych, to ilość pierwiastków równania f(z) — 0, zawartych wewnątrg konturu z z' z"z, jest ivyrażona przez połowę różnicy m — m’, w przypuszczeniu, że w żadnym punkcie konturu z z' z"z funkcyją f(z) nie staje się równą zeru.

W celu udowodnienia tego twierdzenia, zrobimy uprzednio następującą » uwagę. Jeżeli jakikolwiek kąt cp, zmieniając się w sposób ciągły, przechodzi od wartości <p₀ do wartości cp₀ -j- 27«;tc, gdzie k oznacza liczbę całkowitą, albo zero, to spółcześnie wielkość tgy, zmieniając się odpowiednio, przechodzi

pewną ilość razy przez zero, zmieniając swój znak jużto z — na +, jużtćż z -\-na •—, i, jeżeli oznaczymy przez m i m' ilość przejść pierwszego rodzaju i drugiego, to, oczywiście, będziemy mieli taką równość :

Kładąc

m — m — 2 Ic.

Q\0*W)

V(x:y) ’

przypuśćmy, że zmienna niezależna g, obchodząc cały kontur g g' g"g w kierunku dodatnym, wraca do swojej pierwotnej wartości; spółcześnie kąt cp, zmieniając się w sposób ciągły, powiększy się o 27crc, gdzie h jest liczbą całkowitą albo zerem, tak iż, na zasadzie powyższej uwagi, mamy

(p — odch f(g) = arc tg

h~

m'

przechodzi przez zero

J- (x:y)

od wartości ujemnych do dodatnych, a liczba m' wskazuje, ile razy taż sama wielkość przechodzi przez zero od wartości dodatnych do ujemnych. Lecz, według 2-go twierdzenia pomocniczego, liczba Jc, stanowiąca stronę lewą po- . wyższego równania, przedstawia ilość pierwiastków równania f(g) — 0, zawartych wewnątrz konturu gąg' g'\g. Jest więc twierdzenie dowiedzione.

149. Różnica m — m', o której mowa w twierdzeniu Cauchy’ego, stanowi to, co w rozdziale poprzednim nazywaliśmy pierwszym nadmiarem funkcyi; nadmiar ten umiemy wyznaczać, jeżeli dana funkcyja jest wymierna.

Ażeby mieć do czynienia wyłącznie z funkcyjami wymiernymi, dość jest przypuścić, że krzywa zamknięta g g'g"g jest taka, iż spółrzędne każdego jej punktu wyrażają się jako funkcyje wymierne zmiennej niezależnej t.

Zwykle bywa tak, że kontur g g¹ g"g składa się z kilku oddzielnych krzywych g g', g' g",... ; spółrzędne punktów na pierwszej krzywej otrzymać można ze wzorów

gdzie m jest liczbą wskazującą, ile razy tg rp =

-e-

X    ’    V~W(t)⁾

zmieniając zmienną niezależną t od t~t₀ do t=t'₀, przyczyni <p, <ł>, przedstawiają funkcyje całkowite; spółrzędne punktów drugiej krzywej otrzymują się z podobnych wzorów

-3-

V-_Æ    -

*\(ty J-'PI(t)

przez nadawanie dla t wszelkich możebnycli wartości od t=ztx do t i t. d. Wówczas szukany nadmiar równa się sumie

₀-₀-

fO

‘<y

p-ł

której każdy wyraz oblicza się sposobem, opisanym w rozdziale poprzednim.

150. Najczęściej zdarza się, że dany kontur składa się z obwodif prostokąta, którego boki są, równoległe do osi spółrzędnych. Obchodząc obwód takiego prostokąta w kierunku dodatnym, oznaczmy spółrzędno wierzchołków kolejno przez (a,b), (a',b), a',b'), (a,U), a przez r ilość pierwiastków równania f(z) — 0, zawartych wewnątrz tego prostokąta; wówczas mamy

tC l-j

Eï

+ 2E

Q (a\y) , 1 v P^⁺2E

« Q(os,b')

a'V(x,V)

+iE

O- Cr¹

'Ti cC

§ II. ODDZIELANIE PIERWIASTKÓW ZESPOLONYCH.

151. Przyjmijmy, że równanie dane f(s) — 0 nie posiada pierwiastków wielokrotnych, i oznaczmy przez B kraniec wyższy dla modułów jego pierwiastków. Na osiach spółrzędnych oddzielmy długości OF = OG — OH — Ol = E, (fig. 8), a przez punkty F, G, H, I poprowadźmy proste, równoległe do tych osi; otrzymamy kwadrat ABCD, wewnątrz którego znajdują się wszystkie pierwiastki równania f(s)~ 0. Przeprowadzając szereg prostych, równoległych

do osi spółrzędnych, rozdzielimy kwadrat ABCD na pewną ilość takich prostokątów, jak abcd, i, przy pomocy opisanego wyżej sposobu, oznaczymy, które z nich zawierają pierwiastki, a które ich nie zawierają. Te prostokąty, wewnątrz których jest zawartych więcej niż po jednym pierwiastku, będziemy w ten sam sposób rozkładali na mniejsze, dotąd, dopóki nie otrzymamy prosto-kątów, wewnątrz których jest niewięcćj jak po jednym pierwiastku; wówczas wszystkie pierwiastki równania f(s)—0 będą oddzielone.

2)

cl

li

Fig- 8

Może się zdarzyć, że równanie f(z) ~ 0 będzie miało pierwiastek na jednej z tak poprowadzonych prostych, np. na ad albo na ab, których równania niech będą odpowiednio x — a i y=^b. Wtedy dwie funkcyje P(a,y) i Q(a.y), albo P(x,b) i Q(x,b) będą miały spoiny dzielnik, posiadający pierwia-

Q (a,y)

F(a,y) ’

Należy jeszcze wskazać na kraniec, do którego dopro-

stek rzeczywisty; okaże się to przy poszukiwaniu nadmiaru funkcyi albo funkcyi

Q (x,b) P(x,b) '

wadziwszy rozkładanie kwadratu ABCD na niniejsze, będziemy już upewnieni, że wszystkie pierwiastki równania f(z) — 0 są oddzielone. Zajmiemy się tym w rozdziale następnym, a teraz objaśnimy na przykładzie to, cośmy tu dotąd ogólnie rozważali.

152. Przykład. Należy oddzielić wszystkie pierwiastki równania f(z) r=#⁵ —7#²-b5#—lc=0.

Jako wyższy kraniec dla modułów pierwiastków możemy tu przyjąć liczbę 3, gdyż, kładąc mod # >r 3, mamy

modf(z) >: mod⁵# — 7 mod²# — 5 mod# — 1 > 0.

Poprowadźmy proste równoległe do osi odciętych, w odległościach od początku spółrzędnych równych liczbom odpowiednio 1, 2, 3,

— 1, — 2, —3, i podobny układ prostych równoległych do osi rzędnych; otrzymamy 36 kwadratów (fig. 9) elementarnych, wewnątrz których zawierają się wszystkie pięć pierwiastków równania danego; należy oznaczyć, wewnątrz których z tych kwadratów znajduje się przynajmniej po jednym pierwiastku.

CD

CD

CD

CD

W tym celu, kładąc f(x+i y) = ?(x,y)+iQ(x,y).

Fig. 9.

wypiszemy wyrażenia funkcyj P i Q,

P(x,y) =zx⁵ — 7a?² -b 5x — 1 — (10a:³ -— 7) «/-    5xy*,

Q(x,y) — (5a;³ — 14x + 5) y — 10æ²«/³ -j- yT\ i poprowadzimy badanie w następującym porządku.

a. Wyznaczenie ilości pierwiastków, znajdujących się z prawej strony osi rzędnych.

Oznaczywszy tę ilość przez r, mamy

2^E^-a

o P (w, — 3)

-3

°Qfa3)

₃ Pfo3)

Ponieważ jednak do funkcyi Q(x$) wchodzą tylko nieparzyste potęgi zmiennej y, a do funkcyi P(x$) tylko parzyste, zatym

I- E

⁺³Q(%;

—s P(3 ,y)

-b E

Q(Q ,y) +3 P(0,y) ‘

³ Q(a\ 3)    Q(a;,3)

o Pf*,— 3}“ ₃P^3)j

³ Q(3,ył 0 ?/P(3,*/j

= 1 -I-2E

F⁺³ Q(³ ,y)

-»P(3 ,y)

Y    — 3) == — 5^ + 90^2+14^ — 86,

Y, = F(x, — 3) = x⁵—90x² — 7x² + 410a? + 62 Y₂— — Y = 5 a:⁴ — 90x² — Ux + 86,

Y₃ = 360 #³ -f 21a:² — 1964 a: — 310,

Y₄= 541773a:² -f 97508a: — 740870,

Y₅⁼⁼ 74593379993 a: + 18848644963,

Vft= + 1,

i wyznaczamy ich znaki przy a: = 0 i przy x~3\ otrzymujemy następującą tablicę :

V V, y₂ y₃ y₄ -v₅ v₆

4-

wskutek czego wzór poprzedni może być tak napisany :

⁸ 0(3,9)

» yP( %v)

W celu obliczenia pierwszego z trzech nadmiarów na stronie prawej, tworzymy grupę funkcyj

(1)

aQfo-3)

0 P(x, — 3)

}- 2E

4- E

~³Q(o ,y)

+3 P(0,yj '

4- + + + — ~ + +

Nićmaco wyznaczać znaku wartości Yn gdyż trzy wyrazy Y, Y|, Y₂ przedstawiają zawsze jednę zmianę znaku dla wszelkiej wartości x. A więc

p³ Qfo? 3) _ o pr«,—3)“ ‘

Ażeby- znalćść wartość drugiego nadmiaru na stronie prawej wzoru (1),

zważmy, że

— vi

y ~J

V(3,y) = 15ÿ* — 263y² + 194;

— 90 y² + 368

i dlatego

P³ Q(3 ,y) oÿP(3^5

⁹ y² — 90?/ + 368 o 15 y²— 263ÿ + 194’

Kładąc

R ~y² — 90?/4-368, lit —15 y² — 263 y 4- 194 Râ — 1087?/ — 5326,

R₃ — 4~ 1 ?

układamy tablicę

R Rj R₂ R₃

Oi O

4~    4~

4~    4-

4“

z której wnosimy, że

Ostatni nadmiar na stronie prawej wzoru (1) wyznacza się bezpośrednio; mianowicie :

—3

= 1.

T*    _ T?~³    % + 2/⁵

+₃P(0,y;    +3—1 + 7^

Wstawiając wartości otrzymane w stronę prawą wzoru (1) i dzieląc obie strony przez 2, będziemy mieli

r — 3.

To wskazuje, że równanie dane ma trzy pierwiastki, których części rzeczywiste są dodatne; pozostałe zaś dwa pierwiastki mają części rzeczywiste ujemne. — b. Wyznaczenie ilości pierwiastków, zawartych między osią rzędnych i prostą x = \.

Oznaczywszy tę ilość przez r, mamy

xQfo,-3)

0 P(X; — 3)

(2)

2r — \ +• 2E

b 2E

³ Q (1,2/J

oyP(hv)

—3

Q(Q ,9)

+3 P(0,y) ’

Ażeby wyznaczyć wartość pierwszego nadmiaru na stronie prawej, układamy tablicę

V V, v₂ v₃ v₄ v₅ v₆

~r +

i znajdujemy

*Qfo,-3) o P(x, ■— 3)

Drugi nadmiar na stronie prawej wzoru (2) może być przedstawiony tak :

v³ Q(i#) _y y² — iQy ~ 4

.ÿP(l,yj- o5y² — Sy — 2*

Wypisujemy funkcyje

8 — y² — 10 y — 4, S, = 5y»—3y -2 S₂=47y-f 18,

S₃ — + 1,

z których pomocą układamy tablicę

s s, s₂ s₃

03 O

+ 4-

a z niéj wnosimy, że

F³ Qa,y) ,_n

oy¥(l,y)~ '

Ostatni z nadmiarów, wchodzących do strony prawej wzoru (2), był znaleziony powyżej; jest on równy jedności.

Wstawiając wartości otrzymane we wzór (2), i dzieląc obie strony przez 2, będziemy mieli

r — 2.

Ponieważ równanie dane ma jeden tylko pierwiastek rzeczywisty, zawarty między 1 i 2, zatym otrzymany wypadek wskazuje, że ma ono dwa pierwiastki zespolone sprzężone, których część rzeczywista przypada między 0 i 1. —

c. Wyznaczenie ilości pierwiastków, zawartych wewnątrz prostokąta, utivorzonego przez proste: y = d= 1, a; = 0, x = l.

Oznaczywszy przez r tę ilość, mamy

¹ OTag, — 1)

o P(x, — 1)

W celu wyznaczenia pierwszego z nadmiarów na stronie prawej, przy pomocy funkcyj

(3)

r = 1 -f- E

ł-E

¹ Q q,y) o yP(i,y) '

U — Qfx, — 1) = — 5a:⁴ + 1.0a:² + 14a: — 6, U, :=: P(x, — 1) = x⁵ — 10a:³ — 7x² + 10a: -f- 6, U₂= — U == 5 a:⁴ — 10x² — Ux + 6,

U₃ = 40a;³ + 21 a:² —- 44 a: — 30,

U₄= 999 a;² + 4204a: — 1290,

U₅= — 978727 a; + 343443,

ü₆= —1,

układamy następującą tablicę znaków :

U U, U₂ U₃ u₄ u₅ u₆

z której otrzymujemy

¹ Qfay— 1) __

oP^-i)“

Ażeby otrzymać wartość drugiego nadmiaru na stronie prawej wzoru (3), bierzemy powyżej już utworzone funkcyje S, St, S₂, S₃ i określamy ich znaki dla ?/ —0 i dla yz=z\\ otrzymujemy

S S, S₂ S₃

rH O

Stąd znajdujemy

v' Q(i,y) _₀

VpT®

A zatym

co wskazuje na istnienie dwu pierwiastków zespolonych sprzężonych, w których spółczynnik części urojonej jest, co do wartości bezwzględnej, mniejszy od jedności.

d. Wyznaczenie ilości pierwiastków, zawartych wejwnątrz kicadratu, utworzonego przez proste : x~ — 1, x — — 2, ?/ — 1, y = 2.

Oznaczając tę ilość przez r, będziemy mieli

(4)

-¹ Qfr,l) Pfol)

-0(~M

iP(— ¹,v)

Ażeby wyznaczyć pierwszy z nadmiarów na stronie prawej, zauważymy, że

2r —

l-E

—2

F~*Qfr,2) , -i P(h?,2)

4- E

¹    Q(—

2    P(— 2,y; '

_,pr*,i) —    pr*,—u'

Układamy tablicę znaków

U U,

U₂ Ü3 u₄ u₃ u₀

i znajdujemy

Przechodząc do wyznaczenia następującego nadmiaru, przekształcamy naprzód jego wyrażenie; otrzymujemy

e² — e² r —¹⁰ y³ +²⁴ ?/

1 P(— 3 :V)    1 — 5 ?/ł E 17 y² — 14

- e4 ⁴)ry—⁶)

i — 5 ?/² E 17?/ — 14’

4    ?y2_10/y + 24

! — 5y² E 17«/— 14

Ponieważ funkcyja pod znakiem E staje się równą zeru przy y = 4, zatym z rozważanego teraz konturu należy oddzielić nieskończenie małą część, zawierającą punkt x~ — 1, y ~ 2, i rozważać ją oddzielnie. Odpowiednie krańce w drugim i trzecim z nadmiarów, wchodzących do wzoru (4), należy zmienić o wartość nieskończenie małą; tak iż, zamiast drugiego nadmiaru, potrzeba podstawić

E    lód)

i P(—1 ,y)

2—h

_Ir-⁶___- «

5?/² •*— 17^ E 14    *

gdzie oznacza nieskończenie małą liczbę dodatną.

Zamiast trzeciego nadmiaru na stronie prawej wzoru (4) podstawiamy

~²    Q(a>,2) _ ~² (x + 1) (5 æ³ — 5 a;² — 35 x + 21)

V(x,2)

—2

a;⁵ —40a:³—7a;²-f 85a; + 27 -5a:³-f5a² +35^ — 21 a;⁵ — 40 #³ — 7x² 4- 85 a; + 27 *

Bardzo łatwo, przy pomocy twierdzenia Budan’a, przekonać się, że funkcyja 5x* — 5a:² — 35#+ 21 nie ma ani jednego pierwiastka między —1 i —2; a więc

-² Qfr,2) _

pr*,a) “

Czwarty wyraz na stronie prawej wzoru (5) można przedstawić tak :

w-M - -F⁴ y²~⁴°y+n3

VP(-2,y)- ilOy³ — 87?/+ 71*

Przy przejściu zmiennej y od ł/=l do y = 4, funkcyja y² — 40?/ +113 zmienia swój znak raz jeden, przechodząc wówczas od wartości dodatnych do ujemnych, a funkcyja 10?/² — 87«/ -f- 71 pozostaje wciąż ujemną; wskutek tego,

e¹ §£__— i

₂ P(— 2,y) ~~

Nakoniec, ażehy wyznaczyć nadmiar, odpowiadający wydzielonemu punktowi x — — 1, y = 2, określamy znaki wartości

Q(—1,2 -h) Q(— 1 -h,2)

P(—1,2 — h)’ P(— 1 — ń,2)’

przy nieskończenie małym dodatnym h, i znajdujemy, że pierwsza z wypisanych wartości jest ujemna, druga zaś dodatna; a więc, szukany nadmiar jest równy 1.

Na zasadzie tak otrzymanych wartości nadmiarów, ze wzoru (4) otrzy

mujemy

r — 1.

To wskazuje, że dane równanie ma jeden pierwiastek zespolony, którego część rzeczywista jest zawarta między — li — 2, a spółczynnik części urojonej między 1 i 2. Temu pierwiastkowi odpowiada drugi, sprzężony.

Oddzieliliśmy więc wszystkie pierwiastki danego równania.

§ III. TWIERDZENIE HERMITE’A.

153. Poprowadźmy na płaszczyźnie spółrzędnych dowolną prostą i przez A i B oznaczmy dwa punkty na tej prostej, znajdujące się w nieskończenie wielkiej odległości po różnych jej stronach. Spółrzędne punktów na prostej AB mogą być obliczone ze wzorów

o){

• x — t cos a, y — t sin a -f- ó,

jeżeli będziemy zmiennej t nadawali wartości od t = — co do t — + co, przez a rozumieli kąt, utworzony przez kierunek dodatny prostej AB z kierunkiem dodatnym osi odciętych, przez b zaś odcinek osi rzędnych. W przypadku szczególnym, kiedy prosta AB jest równoległa do osi rzędnych, zamiast wzorów (1) należy wziąć

x — a,

y = t,

gdzie a oznacza liczbę stałą.

Zakładamy, że żaden z punktów, określających pierwiastki równania f(z) = 0, nie leży na prostej AB.

Oznaczywszy przez a,, a₂,... pierwiastki równania f(z) — 0, weźmy pod uwagę jeden z nich, np. ai: i przyjmijmy z — a,i — Ui. W przypuszczeniu, że zmienna t, wzrastając w sposób ciągły, przechodzi przez wszystkie wartości od t — — co do t =. + co, punkt z, odpowiadający zmiennej zespolonej z — x + iy, zmieniając odpowiednio swoje położenie, będzie się jednocześnie poruszał w kierunku dodatnym po prostej AB, w kierunku od A do B. Odchylenie funkcyi linijowój w* będzie się jednocześnie także zmieniało w sposób ciągły, i przyrost, jaki ono otrzyma przy przejściu punktu z od A do B, oczywiście, będzie się równał +tt albo —tc, stosownie do tego, czy punkt ch znajduje się nad, czytćż pod prostą AB. Wskutek tego, mamy równość

odcliMf AB =: ep,

gdzie d — 1, jeżeli punkt a, leży nad prostą AB, zaś e, en — 1, jeżeli punkt a leży pod prostą AB.

Kładąc w równaniu ostatnim kolejno i = 1, 2,... ,n i zważając, iż odchuj AB -f odchM2 AB -{-... + odch%AB = odchyAB,

otrzymamy

odchyAB = (ex + e₂ + • • • + en)K-

Jeżeli przez r oznaczymy ilość pierwiastków równania f(z) = 0, znajdujących się nad prostą AB, przez s zaś ilość pierwiastków tegoż równania, znajdujących się pod prostą AB, to, oczywiście, będziemy mieli

ei ~b frj + • • • +    = r — 5,

a więc

odch /AB — (r — s)%.

Gdy jakakolwiek liczba zmienna a, albo wciąż wzrastając, albotóź wciąż się zmniejszając, przechodzi od wartości a₀ do a₀ -f- tu, to wówczas tg a, zmieniając się odpowiednio, przechodzi raz jeden przez wartość zero od wartości ujemnych do dodatnych i raz jeden przez oo od wartości dodatnych do ujemnych. Na zasadzie tej uwagi, z ostatniej równości wyprowadzamy następujące:

E tg odch f(z) — r — s,

t~—(X)

I tg odch f(z) = s — r.

f(t( cos a +, i sin a) -j- b i) = <p(t) -f iffj,

Kładąc

mamy

*9- 9-

tgodch/Os) =

wskutek czego, dwa poprzedzające wzory mogą być napisane tak :

(1)

V(t)

— 5,

(2)

T+^ 'W) — s_

Oba te wzory są widocznie jednoznaczne wrazie, kiedy funkcyje y(t) i <J)(t) są jednakowego stopnia. Ale, jeżeli funkcyja y(t) jest wyższego stopnia niż fun-kcyja t), to należy stosować wzór (2); jeżeli zaś odwrotnie, funkcyja y(t) jest niższego stopnia niż funkcyja (Jft), natenczas należy korzystać z formuły (1). Zresztą, możemy zawsze przyjąć, że stopień funkcyi <J>(t) jest niższy od stopnia funkcyi aby to osięgnąć, dość jest podzielić funkcyją f(z) przez pewną liczbę zespoloną.

Wzór (2) dał Hermite; ten wzór wyraża następujące

Twierdzenie. Jeżeli f(z) jest funkcyją całkowitą i jeżeli przyjmiemy

¥(t)

f(t(cos a -(- i sin a) -j- bi) — y(t) + i t), gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość nadmiaru rt~

jest równa różnicy między liczbą, wyrażającą ilość pierwiastków równania f(z) = 0, znajdujących się pod prostą y = a; tg a + 5, i liczbą, wyrażająca, ilość pierwiastków tegoż równania, znajdujących się nad prostą y — x tg a -f- b — w przypuszczeniu, że prosta y = x tg a + b nie przechodzi przez żaden pierwiastek równania f(z) — 0, i że funkcyja <j>(t) nie jest icyższego stopnia niż funkcyja y(t).

Wyznaczywszy przy pomocy tego twierdzenia różnicę r ■—s, wyznaczymy tymsamym obie liczby r i s, gdyż r 4- s = n.

154. Ilekroć będą uprzednio wiadome liczby r i s, wartość bezwzględna różnicy r — 5 przedstawi kraniec niższy dla ilości pierwiastków rzeczywistych jednego z równań y(t) = 0 lub cj>(t) = 0.

Jeżeli np. przyjmiemy

G)

f(x) = (x — a, — b{i) (x — a₂ — h*) " • (% — a» — bj)

= y(x)-\-v\(x)

gdzie a,, a₂,..., 6,, b₂,... oznaczają liczby rzeczywiste, a ó, > 0, b₂ >* 0,.. ó„>0, i jeżeli przypuścimy, że prosta AB razem się schodzi z osią odciętych, to będziemy mieli r = n, s = 0 i

(2)

i+~    =- »

y(x)

skąd wnosimy, że równanie <p(x) — 0 ma przynajmniej n pierwiastków rzeczywistych i różnych. A ponieważ funkcyja y(x) jest n-go stopnia, więc wszystkie pierwiastki równania y(x) = 0 są pojedyncze i rzeczywiste. — Prócz tego, przyjmując pod uwagę, że funkcyja ty(x) jest (n—l)-go stopnia, z równania (2) wprost wniesiemy, że wszystkie pierwiastki równania $(x) = 0 są rzeczywiste, pojedyncze i przegradzające się z pierwiastkami równania <p(x) = 0.

Oznaczywszy przez p i q dwie dowolnie wzięte liczby rzeczywiste, mamy

(p + qi)f(x) =py(x) — q$(x) + i[p$(x) + qy(xj\.

Stosując do tej funkcyi twierdzenie Hermite’a, otrzymamy

t4-oü P'\(x)+qy(x) __

~°°py(x) — qty(x)

skąd wynika, że wszystkie pierwiastki równań

PV(xJ — qty(x) — 0, p\(x) + qy(x) — 0

są rzeczywiste, pojedyńcze i, prócz tego, przegradzające się nawzajem.

155. Przykład. Ażeby znalóść ilość pierwiastków równania

f(e) = z⁵ — 7z² + 5* — ! = 0,

znajdujących się po prawej i po lewej stronie osi rzędnych, przyjmiemy z — iy\ jest tu

f(iy) = 7 if — 1 + iy(yl + 5),

— i.

-c-h» y(y* + &)_

Ty² — i

A więc

. skąd otrzymujemy

r — 2, s = 3.

Równanie przeto nasze ma dwa pierwiastki po lewej stronie osi rzędnych i trzy po prawéj jéj stronie.

ROZDZIAŁ IX.

OBLICZANIE ILOCZYNU WSZYSTKICH WAKTOŚCI JAKIEJKOLWIEK FUNKCYI CAŁKOWITEJ PIERWIASTKA RÓWNANIA DANEGO. — OGÓLNA POSTAĆ EUNKCYI WYMIERNEJ JEDNEGO ALBO WIĘKSZEJ ILOŚCI PIERWIASTKÓW DANEGO RÓWNANIA. — PRZEKSZTAŁCENIE RÓWNANIA. — SPOSÓB TSCHIRNHAUS’A ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ 3-GO I 4-GO STOPNIA. — TWIERDZENIE LAGRANGE’A O RÓWNANIACH, MAJĄCYCH PIERWIASTKI SPÓLNE — ILOCZYN KWADRATÓW RÓŻNIC PIERWIASTKÓW RÓWNANIA.—SPOSÓB LAGRANGE’A ODDZIELANIA PIERWIASTKÓW.

§ I. 0 RUGOWNIKU.

156. Oznaczając przez x{, x₂,... ,xn pierwiastki równania f(x) = Axn + Aj a:”⁻¹ + .... + A„ = 0,

którego spółczynniki mogą być rzeczywiste albo zespolone, a przez F(x) jakąkolwiek funkcyją całkowitą zamierzamy obliczyć wartość iloczynu

Ffo) F(x₂) ... F(xn).

Iloczyn ten będziemy nazywali rugownikiem funkcyi F(x) względem r ó wnania f(x) — 0 i, dla skrócenia, będziemy go oznaczali zapomocą symbolu [F,/].

Istnieje kilka sposobów rozwiązywania tego zadania; przytoczymy tu tylko te, które opierają się na zasadach dobrze nam już znanych.

Wskażemy naprzód na trzy następujące własności symbolu [F,/].

Popiérwsze, przy jakimkolwiek stałym C, byle różnym od zera, jest

(1)

[F,/] = [F,C/], [CF,/] = C”[F,/]-

Po wtóre, jeżeli /, jest resztą z podzielenia funkcyi F przez funkcyją /, to

(2) według bowiem tożsamości

F(x)=f(x)Q,+A(x)

wyrażającej związek między dzielną, dzielnikiem i resztą, jest przy wszelkich wartościach wskaźnika i od i= 1 do i = n; stąd zaś bezpośrednio wynika, iż

F(xx) F(x₂) ... F(xn) =fl(xi)fi(x₂).. .fx(xn). Potrzecie, ma miejsce następująca równość:

B”

(3)

Jakoż, oznaczywszy przez x\, x'₂,...,x'm pierwiastki równania F(x) = 0, z równości

otrzymujemy

F(x) — B(x *— x\) (x ■— x'₂) ... (x — x'm) f(x) = A(x — x{) (x — x₂) . . . (x — xn)

P(Xi) = B(Xi —« X\) (Xi — x'₂) . . . (Xi — X'm), f(x j) = A(x'j    ^i) (x'j x₂) ... (x'j — xn)i

gdzie wskaźnik i i j mogą otrzymywać wartości :

— 1,2,3,.. Wstawiając te wyrażenia w strony prawe równań

n-

m.

[FJi = F(xx)¥(x₂)...F(xn), [/,F] =f(x\)f(x'₂)...f(x'm),

i oznaczając, dla skrócenia, przez H(Xi — x'j) iloczyn mn czynników xt — x' xi — x'₂,... ,xn — x'm, otrzymamy

[F,f] = BnH(Xi-x'j),

[/,¥] = AmU(x'j — xt)

skąd, jako wniosek, bezpośrednio wynika równość (3).

. wypa-

157. Przechodząc do rozwiązania naszego zadania, przypuśćmy, żeśmy wykonali szereg kolejnych dzieleń, prowadzących do odnalezienia największego spólnego dzielnika funkcyj F(x) i f(x), i oznaczmy przez ft(x), f₂(x),.. dające tu reszty. Otrzymujemy w ten sposób związki:

P =/Q+/i,

/ —/lQl fzi

fk—2    f 6—1 Qi—1    f k J

oznaczmy przez mx, m₂,... ,    1 stopnie funkcyj

a przez Bn B₂,...,BÆ_! spółczynniki najwyższych potęg

gdzie litery Q, Q,,... oznaczają odpowiednie ilorazy. —Przypuśćmy, że reszta J ic liczbą stałą i

f\i fii• • • ifk—ii

zmiennej x w ich wyrażeniach. Wówczas, na mocy wzorów, wyprowadzonych w art. poprzednim, możemy wypisać szereg równań:

Bi”

Ami

B₂^

B,"'²

B'"at²

1

T3to*—1

,fc-2

[/k—'vfk- l]>

[/*-> >4-J== B?_1.

z których znajdujemy

Affll

_ ( ly «*!+»»!m»2 + ---+»*-2»»*-₁

To równanie, do którego strony prawej wchodzą tylko liczby wiadome, przedstawia rozwiązanie naszego zadania.

158. Pezykead. Kładąc

f=x* — 2xA -j- %l — 1 F = x^ — 2x + 3,

znajdujemy dwie funkcyje

/, —. 3x² — 7x + 5 f₂ —2 x — 1,

czyniące zadość równaniom :

/=FQ+/„

f=/.q.+ -§-/;

U —AQi H' i ;

a zatym, mamy

— 3³

8².2² 3.3

— 2fl — 64.

2⁸.9

“3².4

§ II. NAJPROSTSZA POSTAĆ FUNKCYI WYMIERNÉJ PIERWIASTKÓW

RÓWNANIA DANEGO.

159. Powyższy sposób wyznaczenia rugo wnika [F, /] nie ujawnia niektórych jego bardzo ważnych własności, jak naprzykład tej, że: jeżeli wszystkie spółczynniki w wyrażeniach funkcyj F i / są, liczbami całkowitymi, a spółczyn-nik najwyższej potęgi zmiennej x w wyrażeniu fuukcyi/ jest równy jedności, to wartością rugownika jest liczba całkowita.

Żeby ten brak uzupełnić, w paragrafie następnym przedstawimy inny sposób rozwiązania tego zadania, polegający na pewnej własności wyznaczników, a jednocześnie i samemu zadaniu nadamy postać ogólniejszą.

Teraz zaś udowodnimy następujące

Twierdzenie. Każda funlicyja wymierna pierwiastka równania n-go stopnia f(x) — 0 może być przedstawiona w postaci funkcyi całkowitej tegoż pierwiastka, której stopień jest niższy od n, jeżeli tylko żadna z wartości funkcyj nie staje się nieskończenie wielką.

¥x)

jest nieskracalny, i, uważając x jako zmien-

¥x)

Przyjmijmy, że ułamek

ną niezależną, odnajdźmy dwie funkcyje całkowite ¥(x) i    czyniące za

dość równości

F(x) ¥x) — xF(x) f(oc) — C,

w której C oznacza jakąkolwiek liczbę stałą; jest to moźebne, gdyż funkcyje f(x) i ty(x) nie mają spólnego dzielnika. Nadając w tej równości zmiennej x wartość jednego z pierwiastków równania f(x) =; 0, otrzymamy

F(x) ¥x) — C,

wskutek czego mieć będziemy

¥x)

¥x)

— jt ¥x) F(x)•

Strona prawa tego równania ma postać funkcyi całkowitej pierwiastka x. — Jeżeli stopień iloczynu y(x)¥(x) nie jest mniejszy od n, to wówczas dzielimy funkcyją <f>fxj F(x) przez f(x), uważając przytym x jako zmienną niezależną; otrzymujemy równość

¥x) F(x) —f(x) Q + 0(xj,

w której d(x) oznacza resztę, t. j. funkcyją stopnia niższego niż w-ty. Stąd, nadając x wartość jednego z pierwiastków równania f(x)~ 0, otrzymamy

y(xj F(x) = dfx)

albo

Wniosek. Każda funkcyja wymierna a?a> * ‘

, zależąca od ktl-

tyfal ) &2i • m •)

lcu pierwiastków równania f(x) — 0, może być przedstawiona w postaci funkcyi całkowitej tych pierwiastków, stopnia niższego niż n-ty względem każdego z nich. Aby to udowodnić, należy zastosować powyższe twierdzenie kilka razy zrzędu.

160. Pkzykead. Przypuśćmy, że potrzeba sprowadzić do najprostszej postaci funkcyją całkowitą.

x³ — 2#² 4- 3 ’

gdzie x oznacza jakikolwiek pierwiastek równania

x⁵ —7 = 0.

xs_7

Rozwijamy funkcyją —--    na ułamek ciągły

X° — Z X* -p o

#⁵ —7

x³ — 2x² + 3

=. x¹ -f 2# 4- 4 -f

25

5x — 4 4

5041

355# — 421

96200

71#— 1

a oznaczywszy przez 25F i 25*P licznik i mianownik przedostatniego ułamka zbliżonego, mieć będziemy

F = 71#* 4- x³ 4- 271 #² + 329# 4- 655,

^ = 71#²— 141#+ 269,

(x³ — 2#² + 3) F — f#⁵ — 7j W = 3848.

Jeżeli przypuścimy, że # jest jednym z pierwiastków równania #³ — 7 = 0, to ta równość przyjmie postać:

(x³ — 2#² + 3) F = 3848,

z której znajdujemy

71#⁴ + x³ + 271#² 4- 329# -f 655

#³ — 2#² 4- 3

3848

§ III. PRZEKSZTAŁCENIE RÓWNANIA.

161. Niech będzie dane równanie

f(x) — xn Ą-pxxn~l + p₂xn~² + .. . Ą-pn = O,

którego pierwiastki oznaczmy przez #,, #₂,... ,#„. Wziąwszy pod uwagę jakikolwiek ułamek wymierny nieskracalny

<p(x)

y —

którego mianownik jest funkcyją pierwszą względem f(x), zajmiemy się utworzeniem równania stopnia w-go

F(y) = y* + Pj«/”-¹ + Paÿ""² + •.. + P» = 0, którego pierwiastki byłyby następujące:

• j y» ——

¥Xn) '

b_ï£l) ■■ — Tfe)

^ k^i) ’ ² łw ’ ' '

Ażeby podać rozwiązanie tego zadania, dość jest ograniczyć się do tego przypadku szczególnego, kiedy mianownik ty(x) tożsamościowo jest równy jedności, a stopień licznika y(x) jest mniejszy od n\ do takiej bowiem postaci sprowadza się wyrażenie wszelkiej funkcyi wymiernej pierwiastka równania danego.

Przypuśćmy więc, że

y =.aü + axx -f a₂x² + ... + an_xxn~x — <p(x),

gdzie a₀, an ai}... oznaczają jakiekolwiek spółczynniki, x zaś jeden z pierwiastków równania f(x) = 0. Iloczyn xy = a₀x + axx² + ... -f an-iXn sprowadzimy do postaci

xy — b o + bxx + b₂x² + ...+ bn-Xxn~l,

gdzie b₀, blf b₂,... oznaczają wielomiany całkowite stopnia pierwszego, tak względem a₀, at,..., jak i względemp{,p₂,..., któreto wielomiany są jednorodne względem a₀, a{, a₂,.... Iloczyn x²y = b₀x -f bxx² + . .. -f- \Xn ~l, sprowadzony do najprostszej formy, daje równanie

x²y — c₀ + cxx + c₂x² + ... -j- Cn-\Xn~x,

gdzie c₀, ct, c₂,... oznaczają wielomiany całkowite tak względem a₀, al}.. jak i względem pl} p₂,..., będące względem a₀, a{, a₂,... funkcyjami jednorodnymi linijowymi. Podobnego rodzaju wyrażenia będziemy tworzyć dotąd, dopóki nie dojdziemy do równania

xn-\y __    + kiX _j_    ₂. +    hn_lxn-li

w którym Jc₀, Jex, Jc₂,... oznaczają wielomiany całkowite tak względem a₀, al: a-i,..., jak i względem Pi,p₂,..., będące, prócz tego, względem a₀, a,, a₂,... funkcyjami jednorodnymi linij owymi. Tym sposobem otrzymujemy układ n równań, które wypiszmy tak :

(O!

r«o — y) + Uxx -f a₂x² + ... + an-i xn~x = 0. K P (bt — y)x-f b₂x² + .. . -f i xn~l — 0,

Je o + Je\X + Je₂x² + ... + (Jen—i — y)xn~x = 0.

Stąd, jako wniosek, wynika

Clo

(2)

a, ,..

h — y, • •

Un—1

bn—i

Je

gdyż w wyznaczniku (2) każdy z elementów pierwszej kolumny jest równy sumie elementów odpowiadających w kolumnach pozostałych, pomnożonych odpowiednio przez — x, — x² i t. d.

Jeżeli stronę lewą równania (2) uporządkujemy według potęg y, to otrzymamy równanie postaci

(3)

yn _j_ Pl2/»-l p P₂2/»-2 + . . . + P„ = 0,

w którym spółczynniki P,, P₂,... mają postać wielomianów całkowitych tak Avzględem a₀, a,,..., jak i względem p₂,. .. , i są jednorodne względem «o, a,,.. ., stopnia odpowiednio 1-go, 2-go,...

Ponieważ w równaniu (3) y oznacza jakąkolwiek z wartości

yi = ?fo)>    —    ...=

przeto, jeżeli pośród liczb «/,,    nie ma dwu równych sobie, to równa

nie (3), będąc stopnia w-tego, nie może mieć innych pierwiastków, prócz y—y{, y₂,.. . ,yn, a wówczas ma miejsce tożsamość

(4)

(2/ — (y — <pf#₂)) (?/ — y(xn)) — yn p P,?/”⁻¹ P... P P.,

Avskazująca, iż równanie (3) przedstawia szukane rozwiązanie naszego zadania. —

Równość (4) ma miejsce także w tym przypadku, kiedy pośród wartości 9^1)5 ^#2); • • •, y(%n) są równe sobie. Ażeby tego dowieść, rozważymy oddzielnie dwa przypuszczenia: jedno, że równanie f(x) — 0 nie posiada pierwiastków wielokrotnych; drugie zaś, że ono je posiada.

W przypuszczeniu, że wszystkie pierwiastki równania f(x) — 0 są pojedyncze, nadajmy spółczynnikom a₀, a,,. .. dowolne przyrostki: Aa₀, Aa,,. . . . IST ową wartość funkcyi y możemy napisać tak :

y P Ay — a₀ P Aa₀ P (aA P Aat)x P (a₂ p Aa₂)x² P .. tak iż odpowiadający przyrostkom spółczynników przyrostek y jest Ay = Aa₀ p Aaxx p Ao₂x² p ... p Aa"⁻¹#"-¹.

Posiłkując się wzorem Làgrange’a, Avy znaczymy spółczynniki Aa₀, Aa,,... tak, iżby przyrostki tych z wartości

V\, V 2

y z ? • • • 5 yn ?

które nie mają sobie rÔAvnych, były rÔAvne zeru, i żeby przyrostki pozostałych były równe różnym dowolnie wziętym liczbom    bezwzględnie dość ma

łym. Przy takich nowych wartościach spółczynnikÓAV a₀, a,,. . . , równość (4) będzie miała miejsce. Ponieważ jej obie strony mają postać funkcyj całkowitych zmiennych t, t’,. .. i są równe przy nieskończenie Avielu różnych Avar-tościach liczb t, t',... , niezależnych od siebie, przeto, oczywiście, pozostają one równymi przy Avszelkich wartościach    a więc przy ^ = 0, ł' = 0,....

Należy jeszcze okazać, że równość (4) ma miejsce av tym także przypadku, kiedy niektóre z pierwiastków xx, oc₂,... są sobie rÔAvne. W tym razie, nadajmy wszystkim pierwiastkom wielokrotnym równania f(x) — 0 przyrostki dowolne różne t, t', . . . , bezwzględnie dostatecznie małe, tak iż, zamiast pierwotnego równania f(x) — 0, będziemy mieli nowe równanie

xn -\-px Xn~l -f    +... + Vn — 0?

nie posiadające pierwiastków wielokrotnych, którego spółczynniki będą funkcy-jami całkowitymi względem t, t¹,.... Równość (4), utworzona dla tego nowego równania, ma miejsce nietylko przy wszelkiej wartości y, ale także i dla nieskończenie wielu różnych wartości każdej z liczb t, t',.. ., niezależnych od siebie. A ponieważ obie jéj strony są funkcyjami całkowitymi zmiennych t, t’,..., zatym pozostają one równymi i przy wszelkiej szczególnej wartości każdej z liczb t, t\ .... Kładąc t = 0, t' =. 0,..., otrzymujemy równość (4), utworzoną dla równania pierwotnego f(x) — 0 z pierwiastkami wiolokrotnymi.

A więc, równość (4) ma miejsce we wszystkich przypadkach, t. j. równanie (3) przedstawia ogólne rozwiązanie zadania, które nas tu zajmowało.

162. Zadanie o utworzeniu równania z pierwiastkami: y(x{) cpfx₂), . . . można uważać jako jednoznaczne z tym, które rozważaliśmy w paragrafie pierwszym niniejszego rozdziału, gdyż ono sprowadza się do utworzenia wzoru na obliczenie iloczynu

przy jakimkolwiek y. Kładąc w równości

a₀ — y,    a,

(y—y(x 0) (u—•. • 0/—(xn)) — (— i)«

b i — y, • •

(ln—J

bn _i

k₀

/i ,    ; * • •, kn—i    y

y = 0, otrzymamy wzór

o⁰

i⁵

rH    rH

z którego pomocą możemy wyznaczyć rugownik [<p, /]. Ten wzór wskazuje, że w tym przypadku, kiedy wszystkie spółczynniki tak w równaniu

f(x) =    fi- p₂xn~‘² + . .. -f pn — 0,

jakotćż w wyrażeniu funkcyi

y(xj — a₀ + a{x -f- a₂x² -f . .. -f- an~\xn~xx

są liczbami całkowitymi, wartość rugownika [<p,/] jest także liczbą całkowitą; wszystkie bowiem elementy b₀, bx,..., i przedstawiają wówczas, oczywiście, liczby całkowite.

zapomocą podstawienia

(3)

yz=za₀-\- axx 4- a₂x² -f ... + a»_i£Cn_1,

nazywa się równaniem przekształconym. Zasługuje ono na uwagę z tego względu, że, wiedząc jego pierwiastki, możemy obliczyć pierwiastki równania (2) zapomocą działań wymiernych—z wyjątkiem niektórych przypadków szczególnych. Istotnie, dołączając do równania (3) równania następujące:

x y = b₀ -f l)xx    b₂x² 4-... 4- bn~¹ xn~¹,

xn 4- pxxn~¹ 4- p₂xn~'² 4~ • • * 4-pn

Pezykead. Kładąc

znajdziemy

f(x) — x* — 2x³ + x² — 1 = 0, y — <p(x) = 3 — 2x -|- x³,

xy — 1 -j- 3x — 3x² -j- 2x³, x²y — 2 -j- x + x² 4- x³, x³y = 1 + 2x + 3a;³;

a więc mieć będziemy

czyli

= 0,

y¹ — 10«/³ + 36y² — 64y -f* 64 :r: 0.

Ostatni wyraz tego równania jest iloczynem jego pierwiastków, t. j.

[?,/] = 64.

1G3. Równanie

(1)

yn + Pi«/"“¹ + P ₂yn~'² + • • • + P« = 0,

otrzymane z równania danego xn Ą- pxx

(2)

n—1

ma spoiny dzielnik z funkcyją

ao — y + a i® + a₂#² + . •. + an-\Xn~l.

Ilekroć zdołamy dobrać dla liczb a₀, a{, a₂,... takie wartości, iź niektóre ze spółczynników w równaniu z niewiadomą y staną się równymi zeru, możemy powiedzieć, żeśmy dane równanie przekształcili na inne, prostsze. Taki sposób przekształcania równania był wskazany przez Tschirnhaus’a. Zauważymy jeszcze, że jeżeli przyjmiemy w równaniu danym (2)

«'=»+*>

to, widocznie, będziemy mieli Pj = 0, t. j. wskutek tego podstawienia, otrzymujemy równanie z niewiadomą y: w którym niema wyrazu z yn~¹.

§ IV. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ STOPNIA 3-GO I 4-GO.

164. Niech będzie dane równanie liczebne stopnia 3-go x³ Ą-p^² +^0? -\-p₃ = 0.

Przyjmijmy

y = a₀ -f- a{x -f- a₂Æ²,

a utworzywszy równanie

y³ + P,«/² + P \y + P₃ = O,

nadajmy dla a₀, a,, a₂ takie wartości, iżby one czyniły zadość dwu równaniom:

P, = 0, P2 — O,

odpowiednio pierwszego i drugiego stopnia. Wtenczas równanie z niewiadomą y przyjmie postać:

y³ + P₃ = 0.

J est to równanie dwumienne, którego pierwiastki są pierwiastkami sześciennymi z — P₃; z nich łatwo wyprowadzić wartości pierwiastków równania danego. W ten sposób można rozwiązać każde równanie stopnia 3-go.

Tą drogą możemy także dojść do wzorów dla pierwiastków równania stopnia 3-go postaci ogólnej.

165. Niech będzie dane równanie liczebne stopnia 4-go

Kładąc

Æ⁴ -fjppr³ -f p₂X² + p₃X³ + Pi — 0.

utworzymy rówhanie

y — a₀ + a{x -f ci₂x² -j- a₃x³,

yi + P^³ + P₂ t + Pa2/³ + Pi = 0;

Uważając liczby a₀, a1: «₂, a₃ jako niewiadome, mające czynić zadość równaniom

Pi — 0, P₃ — 0,

mieć będziemy dwa równania, jedno stopnia pierwszego, drugie zaś trzeciego, Kozwiązanie takich równań sprowadza się do rozwiązania jednego równania stopnia 3-go, co, według art. poprzedzającego, można uskutecznić zapomocą wyciągnięcia pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb wiadomych. Uskuteczniwszy to, będziemy mieli równanie z niewiadomą y postaci

2/⁴ + îV* + P4 = 0, .

które rozwiązuje się łatwo zapomocą wyciągania pierwiastków kwadratowych, a w funkcyi pierwiastków tego równania wyrażają się pierwiastki równania danego w sposób wymierny.

Tym sposobem możemy także dojść do wzorów dla pierwiastków równania stopnia 4-go postaci ogólnej.

§ V. WARUNKI, ABY DWA RÓWNANIA MIAŁY KILKA PIERWIASTKÓW

SPÓLNYCH.

166. Aby dwa równania

(1)!

f(x) — Xn +jViXn~x + PiXn~² + • • • +pn = o,

F(x) — xm -f qyxm~~l -f q₂xm~~ + . . . + qm — 0

miały przynajmniej jeden pierwiastek spoiny, potrzeba i wystarcza, aby wartość rugownika [F,/] była równa zeru; dlategoto wielkość [F, /] nazywa się rugownikiem dwu równań (1).

Przyjmując, że już jest utworzone wyrażenie rugownika [F, /] i że ostatnie wyrazy pn i qm w równaniach (1) nie mają określonych wartości, ale, przeciwnie, są uważane jako dwie zmienne niezależne, od których nie zależy żaden ze spółczynników pozostałych, mieć będziemy następujące twierdzenie Lagran-ge’a, podające warunki niezbędne, ażeby dwa równania miały kilka pierwiastków spólnych.

Twierdzenie. Jeżeli przez Y oznaczymy rugownik dwu równań

(1)

f(x) — xn 4-pyxn~l + • • • +Pn = 0,

(2)

F(x) = xm -f qyxm~l -j- ... 4- ÇLm— O?

a przez V'pn, V"pn, ... ,Y'qm, Y"qm,... pochodne różnego rzędu wielomianu Y, rozważanego odpowiednio jako funkcyja zmiennej niezależnej pn, lub jako fun-kcyja zmiennej niezależnej qm, to, aby równania f(x) — 0 i F(x) — 0 posiadały k pierwiastków spólnych, koniecznymi są następujące warunki:

(3)

Y~0’ Y'Pm — 0’ v^ = o,...,v« = o,

albotćż warunki

(4)

Y = 0, V'Qn = 0, Y"qn — 0, • • • , Y

k—i

⁽ln

= 0.

Jakoż, rozumiejąc przez x jakikolwiek pierwiastek równania f(x) = 0, przyjmijmy

g — — Xm — qxx

m—1

— ą₂x

m~ 2

czyli

i napiszmy równanie z niewiadomą #,

0” + P,aw-1 + P₂3n~² + . .. + P» = 0.

Pisząc w tym ostatnim równaniu qm — y zamiast g i nazywając, dla skrócenia,

v = 2” + p.îr¹ + P₂jr² +... + p.,

otrzymamy

(5)

V - f V',. + ^ V"2m    l)“r = 0,

gdzie

=»c¹ + —i) piCr² + • • v'—!) c²+    —2) p,g”-³

Jeżeli przez #₂,.. . ,xn oznaczymy pierwiastki równania f(x) = 0, to pierwiastki równania (5) będą następujące:

yi = Ffa), «/₂ = F(#₂),... ,yn=-¥(xn).

Stąd widzimy, że jeżeli pośród liczb

X\ ? X2 ? X3J • •

jest ß takicli, które czynią zadość równaniu ~F(x) = 0, to odpowiadające im pośród liczb

• ; xn

yi, y2

2^3 J • * * ? Vn

będą równe zeru, a równanie (5) będzie wówczas miało Æ pierwiastków równych zeru. Lecz dlatego potrzeba, aby wyraz stały i spółczynniki potęg y, y²,.. 2/Ł_1 równały się zeru, t. j. aby miały miejsce równania (4).

W podobny sposób możemy okazać, że jeżeli między pierwiastkami równania ~F(x) = 0 znajduje się Jc takich, które czynią zadość równaniu f(x) — 0, to mają miejsce równania (3).

Wszystko to czyni oczywistą prawdziwość twierdzenia Lagrange’a, co do którego można zrobić następujące uwagi:

a.    Jeżeli równanie (1) nie ma (4) są nietylko konieczne, lecz zarazem dostateczne.

b.    Jeżeli równanie (2) nie ma pierwiastków wielokrotnych, to warunki (3) są nietylko konieczne, lecz zarazem dostateczne.

c.    Jeżeli każde z równań (1) i (2) ma pierwiastki wielokrotne, to ani warunków (3), ani warunków (4), anitćź jednych i drugich jednocześnie, nie można uważać za dostateczne dla istnienia Jc pierwiastków spólnych.

Bibi, mat.-fiz., S. IV, T. IL

pierwiastków wielokrotnych, to warunki

13

§ VI. NOWY SPOSÓB SPROWADZENIA FUNKCYI ULAMKOWÉJ PIERWIASTKA DO POSTACI CAEKOWITÉJ.

167. Niech będzie równanie

(1)

xn + Vi%n~l + • • • +Pn = o

i funkcyja całkowita stopnia (n — l)-go

(2)

<p(x) = y = a₀ + axx-f ... + an-\ xn~l.

Oznaczając przez x{, x₂,... pierwiastki równania (1) i rozumiejąc przez x jeden z nich, utwórzmy równania

(3){

xy = b₀ + M +... + i xn~x,

xn~ly = Jc₀ + kxx +... + Ł-ixn~\

do których dołączmy równanie (2). W tak otrzymanym układzie równań uważajmy strony lewe, t. j. y, xy,... ,xn~ly jako liczby wiadome, a wszystkie potęgi x, wchodzące do stron prawych, od x° aż do xn~l, uważajmy jako liczby niewiadome.

Wyznacznik tego układu równań nazwijmy v,

a₀ ,    , ■. • •, dn—1

K, bXx...,ów—i

K , ^1 ) * • • , fon—1

i przypuśćmy, że v jest różne od zera; jest to jednoznaczne z przypuszczeniem, że żadna z wartości <p(x) nie równa się zeru, gdyż

(p(xt) <p(x₂) ... <p(xn) = ztv.

Lecz wówczas, rozwiązując równania (2) i (3) względem x°= 1, dojdziemy do takiego równania:

vx° = Ay + AXxy + A₂x*y + ... + Aw_i xn-ly,

gdzie A, A,, A₂,... oznaczają liczby, zależące od al} bx,... ,7cl} a₂, b₂,.. Jc₂,.... Stąd otrzymujemy

1 _A -f Ayx 4- A₂#² +... + A».!xn~l

2

Tym sposobem zawsze możemy funkcyją ułamkową — przedstawić w postaci funkcyi całkowitej stopnia niższego od n.    ^

Przykład* Weźmy równanie

x* — 7 = 0

i funkcyją

otrzymujemy

xy= 3x — 2x³ + Æ⁴, x²y = 7 + 3#² — 2x⁴, x*y = — 14 -i- 7x + 3æ³, xHy = — 14æ -f 7x² -f 3æ⁴;

rugując z tych pięciu równań x, x², #³, a?⁴, będziemy mieli

655 y + 329xy + 271 x²y + x³y + 71 x*y = 3848,

skąd

3_ _ 71æ⁴-j-3:³-f 271æ² -f 329# -f 655

3848

§ VII. O WYRÓŻNIKU.

168. Oznaczając przez xlf x₂,... ,x„ pierwiastki równania f(x) = xn +pvxn-' + p₂xn~² + ...4-^ = 0,

weźmy pod uwagę równość

f(x)

x — x₂

i uczyńmy w niej x~xi) gdzie i oznacza jakąkolwiek z liczb 1, 2, 3,.. otrzymamy równanie

rp    rp

tv<n

• î»;

/W — ór, —rr.) (Xi~~x₂) .*. (4?,- — #*_,) (a?,¹ — a?i+1) ... (xt — zapomocą którego znajdujemy »(»—!)

(— l) ² fMfM • •    = Ó»| — a?₂)² fal — æ₃)² • •. (xx — ag²

fa?₂ — x₃)² ... (x₂ — xn)²

albo, pisząc krócej,

(xn—1    XnJ²j

n(n—1)

(-1) - U',/J = nf*,-a^.

To wskazuje, że rugownik funkcyi pochodnej f(x), utworzony względem firn-

n(n—1)

kcyi pierwotnej f(x) i pomnożony przez (— 1) ² , jest równy iloczynowi kwadratów różnic pierwiastków równania f(x) = 0. À więc ten iloczyn może być

wyznaczony zapomocą jednego z opisanych wyżej sposobów; nazywamy go wyróżnikiem (dyskryminantem) równania f(x) — Q.

Jeżeli wyróżnik jest równy zeru, to równanie posiada pierwiastki wielokrotne, i nawzajem.

Gdy spółczynniki w równaniu f(x)~0 są rzeczywiste, to wartość wyróżnika jest także rzeczywista, i jest ona dodatna albo ujemna, zależnie od tego, czy ilość par pierwiastków zespolonych sprzężonych jest parzysta, czytóź nieparzysta.

Jeżeli w równaniu f(x) — 0 spółczynnik najwyższej potęgi zmiennej x jest równy jedności, a pozostałe spółczynniki są liczbami całkowitymi, to wyróżnik jest także liczbą całkowitą.

169. Przykład 1. Znajdźmy wyróżnik równania

/— cc⁴ -\-px² -j- qx + r = 0.

Kładąc

mieć będziemy

y = q -j- 2px + 4ce³,

xy~ — 4 r — 3qx — 2px²,

x²y — — 4 rx — 3qx² — 2pcc³,

x²y — 2pr +• 2pqx -J- 2(p²— 2r)x²— 3qx²\

a więc jest

— 2 p

2pq , 2(p² — 2 r), —3 q

2 pr

Rozwijając wyznacznik na stronie prawej i zważając, że dla równania stopnia 4-go, wyróżnik A jest tożsamościowo równy rugownikowi [/',/], otrzymamy

A = (— 27 q² — 4p³) q² + 144pq²r + 16 r (p² — 4 r)².

170* Przykład 2. Weźmy równanie stopnia w-tego

f— xn -\-px + q — 0.

Żeby utworzyć jego wyróżnik, podzielmy funkcyją nf przez pochodną /', a następnie funkcyją/' przez resztę fx — (n— 1 )px + nq, otrzymaną z pierwszego

dzielenia. Druga reszta jest liczbą stałą,

Oznaczywszy przez Q i Q, dwie funkcyje całkowite, mamy dwa równania

nq

(n — 1 )p

Ą-p.

w/=Q/r +A,

/' = Qi/i +/ai

przy których pomocy wyprowadzamy

[/', /] — n[nf, f] = »[/i, /'] = (n — 1    [/', /,]

= (w — l)"_1p _ ^— iy-¹nnqn~¹ -f- (n — l)n~lpn.

+*/.]

n(n— 1)

Stąd, zważywszy, że A == (— 1) ² [/', /], otrzymujemy

n(n—1)

(n—1) (»—2)

A = (-l)    ²

§ VIII. SPOSÓB LAGRANGE’A ODDZIELANIA PIERWIASTKÓW.

171. Przy oddzielaniu pierwiastków jakiegokolwiek równania f(x) — 0 z pierwiastkami pojedynczymi, spotykamy się z zadaniem o wyznaczeniu takiej liczby dodatnéj H, któraby nie przewyższała modułu różnicy każdych dwu pierwiastków równania f(x) — 0.

Istotnie, jeżeli na płaszczyźnie spółrzędnych, służącej do oznaczania liczb zespolonych, poprowadzimy dwa układy prostych, równoległych do każdej z osi spółrzędnych, tak, iżby odległość dwu po sobie następujących równoległych nie

H

była większa od liczby

vr

to wewnątrz każdego z prostokątów, utworzonych

przez te proste, nie może znajdować się więcej niż jeden pierwiastek równania f(x) = 0. Zapomocą metody, wyłożonej w rozdziale poprzednim, zawsze możemy dowiedzieć się, czy wewnątrz któregokolwiek z takich elementarnych prostokątów znajduje się pierwiastek równania f(x) = 0, czy też nie. Zbadawszy takim sposobem te prostokąty, których odległość od początku spółrzędnych nie jest większa od krańca wyższego dla modułów pierwiastków równania danego, oddzielimy tymsamym wszystkie jego pierwiastki.

Gdy wszystkie spółczynniki w równaniu f(x) — 0 są rzeczywiste, i idzie nam tylko o oddzielenie pierwiastków rzeczywistych, to wówczas należy tylko przedział między wyższym i niższym krańcem dla pierwiastków rzeczywistych rozłożyć na pewną ilość przedziałów mniejszych tak, iżby różnica krańców każdego z nowych przedziałów nie była większa od liczby H. Każdy z takich przedziałów nie może zawierać więcej niż jeden pierwiastek. — Żeby się dowiedzieć, czy pewien przedział zawiéra pierwiastek albo nie, należy określić znaki funkcyi f(x) dla wartości x równych krańcom a i b\ jeżeli znaki wartości f(a) if(b) są różne, to przedział a, b zawiera jeden pierwiastek; w przeciwnym razie przedział a, b nie zawiera pierwiastka. Zbadawszy takim sposobem wszystkie przedziały, dowiemy się, ile dane równanie posiada pierwiastków rzeczywistych, i każdy z nich będzie oddzielony.

Taki sposób oddzielania pierwiastków rzeczywistych nazywa się sposobem Lagrange’a.

Co się tyczy wyznaczenia liczby H, to ono wynika bezpośrednio z innego zadania, którego rozwiązanie po raz pierwszy dał Waring, a następnie, w formie zręczniejszej, Lagrange. Zadanie to polega na tym, aby utworzyć równanie, którego pierwiastki równałyby się kwadratom różnic pierwiastków równania danego; niższy kraniec dla modułów pierwiastków takiego równania może być przyjęty jako kwadrat krańca H.

¹

n~hj — h₀ 4- Jcxx 4- Ti^x² 4-... 4- Jcn_lxn~¹,

mieć będziemy n równań z n —1 niewiadomymi x, x²,..., xn~¹. Z tych równań możemy wyrazić każdą z niewiadomych x, x²,... w postaci funkcyi wymiernej liczby y. W niektórych przypadkach szczególnych może się x przedstawiać w postaci ^ ; wtedy nie można wyrazić x w funkcyi y w sposób

wymierny. Lecz, w każdym razie, jeżeli tylko jest wiadomy chociaż jeden pierwiastek równania z niewiadomą y, to rozwiązanie równania z niewiadomą x sprowadza się do rozwiązania innych równań, stopni niższych niż w-ty, gdyż funkcyja

(2R) ²

Ponieważ xt i a?₂ oznaczają dwa dowolnie wzięte pierwiastki równania f — 0, zatym z nierówności (2) wnosimy, iż, jako niższy kraniec dla modułów różnic pierwiastków równania f(x) = 0, możemy przyjąć liczbę

J/ mod A

»(»—!)_ ^

(2R) ²

Jeżeli wszystkie spółczynniki w równaniu f—xn -\-p{xn~¹ -f ... 4-pw = 0 są liczbami całkowitymi, a równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych, to wtenczas liczba A jest całkowita i mod A >; 1, wskutek czego możemy przyjąć

n(n—1)

Cauchy okazał, że zapomocą samego tylko wyróżnika równania danego, który przedstawia wyraz ostatni w równaniu z kwadratami różnic, można otrzymać kraniec H.

Wogóle, wyznaczając H zapomocą różnych sposobów, będziemy otrzymywali wartości różne, a największa z nich będzie dla nas najdogodniejsza; dlategotóż sposób podany przez Cauchy’ego na wyznaczenie krańca H, jakkolwiek zdaje się być owiele prostszy od sposobu Lagrange’a, to jednak w zastosowaniu okazuje się niedogodnym, gdyż daje dla H wartości nadto małe.

172. Nie będziemy tu teraz wykładali sposobów ułożenia równania z kwadratami różnic, lecz ograniczymy się tylko do wyprowadzenia niższego krańca dla modułu różnic pierwiastków według sposobu Cauchy’ego, mając na widoku nietyle praktyczną, ile teoretyczną jego wartość. Nazywając przez pierwiastki równania f(x) — 0, przez A jego wyróżnik, zaś

a?!, x₂ ? • • • ?

przez R wyższy kraniec dla modułów pierwiastków, mamy

(a?i x₂)² O^i ^j)² • • • (<En—i    — A ;

a zatym

mod ²(xl — x₂) mod ² (x, — x₃) ... mod ² (xn-x — xn) = mod A. Lecz dla modułu różnic dwu dowolnie wziętych pierwiastków mamy mod (Xi — xk) :< mod Xi -f mod xk <C 2R,

(1)

gdyż moda?, < R i modxk < R; a więc

mod²(xi — xk) <!4R².

Na zasadzie ostatniej nierówności z równania (1) otrzymujemy

»(»—!)—2

mod² (a?, —x₂) (2R)

;> mod A ;

albo

(2)

mod(a?t — a?₂) >

\ ' mod A

Pbzykład. Dla równania

x⁵ — 7x² + 5a? — 1 — 0

znajdujemy

II = 2,2 A = 148856

a więc

\/148856

(4,4)»

rr 0,000624 ...

ROZDZIAŁ X.

SPOSÓB NEWTON’A OBLICZANIA PIERWIASTKÓW.—KRAŃCE WYŻ8ZE DLA BŁĘDÓW.— PRZYKŁAD. — WYZNACZENIE PIERWIASTKÓW WYMIERNYCH RÓWNANIA ZE SPÓ2-CZYNNIKAMI CAŁKOWITYMI.

§ I. WYZNACZENIE KRAŃCÓW DLA WARTOŚCI FUNKCYI CALKOWITÉJ

MIĘDZY x = a I x = b.

173. Przy obliczaniu pierwiastków równania często potrzeba mieć dwa takie krańce, między którymi zawierałyby się wartości funkcyi całkowitej f(x), odpowiadające wartościom zmiennej x od x — a do x — b.

W jednym przypadku szczególnym można bezpośrednio otrzymać tak największą, jak i najmniejszą wartość funkcyi f(x) między a i b, mianowicie wtedy, kiedy wiadomo, iż pochodna f(x) nie zmienia znaku między a i b\ wówczas od x— a do x—b funkcyja f(x) wciąż wzrasta, albo maleje, a z dwu liczb f(a) i f(b) jedna jest największą, a druga najmniejszą wartością funkcyi f(x).

Jeżeli pochodna f(x) między a i b zmienia znak, ale tylko raz jeden, to wówczas jedna z dwu liczb f(a) i f(b) będzie albo największą albo najmniejszą wartością funkcyi f(x).

Wogóle, w celu otrzymania żądanych krańców, należy odszukać dwie takie liczby p i q, z których pierwsza byłaby albo większa od obu wartości f(a) if(b), a druga od nich mniejsza, i aby każde z dwu równań f(x)—p — 0, f(x) — q = 0

nie miało ani jednego pierwiastka między a i b\ wówczas, oczywiście, dla wszelkich wartości zmiennej x: zawartych między a i b, będziemy mieli

q<.f(x) <p-

174. Wyłożymy tu pewne postępowanie elementarne, którym można się posiłkować w celu wyznaczenia krańców p i q.

Przyjmując, że funkcyja f(x) jest n-go stopnia, przedstawmy ją w takiej

postaci :

f(x) — A.xn~l(x — a) -f [G xn~² + Ctx “T B (b — x):

n—3

+ • • • + C„_₂] (x — a) (b — x)

i weźmy pod uwagę równość bn~¹( b — a) =    — a)

4 ^»-2 _{_ bxn~³ 4 ... 4 &”⁻²] (a? — ą) (ń —• x)

4- bn~x(b — x).

Mnożąc obie strony téj równości przez liczbę dowolną k i dodając następnie do nich odpowiednie strony równości poprzedzającej, otrzymamy f(x) -f- żfcó”⁻¹(ń — a) = A'xn~¹(x — a)

4 [C'a?”⁻² 4 ... 4 Cf„_₂] (x — a) (b — x)

4    — x)y

gdzie

A' = A + Ä, Cr=:C + Ä, C', =C, Cra = C₂ 4 kb²,... ,B' = B + kb—¹.

Przypuśćmy, że k₀ i kt są takimi dwiema wartościami k, iż przy k — k₀ wszystkie spółczynniki A', C',... otrzymują wartości dodatne, a przy k = kt wartości ujemne; wówczas, oczywiście, mają miejsce nierówności

f(x) 4 kQbn-'(b — a) > 0, f(x) 4 kj)n~l(b — a) <C 0,

w przypuszczeniu że a? zawiera się między a i b. Z powyższych nierówności wyprowadzamy

k₀bn~l(a — b) <Lf(x) <i klbn~¹(a — b),

i tym sposobem żądane dwa krańce są odszukane.

175. Pkzykead. Znaleść krańce dla wartości funkcyi

f(x) = xi 4 2 x³ — a?² -f- 3

pod warunkiem, iż

* 0 < a? < 1.

Przedstawiając funkcyją f(x) w postaci

f(x) = 5a?⁴ 4- x(l — x) [4a?² 4 2 a? 4* 3] 4 3(1 — x),

spostrzegamy, że wszystkie wartości funkcyi f(x) między x — Q i x=l są dodatne. Zestawiając powyższe wyrażenie z tożsamością

1 =    4- x(l — x) [x² 4- x 4 1] 4 (1 — x)i

otrzymamy

2 Cf(x.) < 5.

Znaleziony tym sposobem kraniec wyższy jest równy wartości funkcyi f(x) dla x — 1. Co się zaś tyczy krańca niższego, to on różni się dość znacznie od najmniejszej wartości funkcyi f(x) między x = 0 i x = 1.

Dla równania

otrzymujemy następującą tablicę znaków:

F F' F" F'" FIV

i, prócz tego,

r-4    O

+ + + +,+

+ 4-    +

— +    +

-f

Fd)

Fd)

Stąd bezpośrednio wnosimy, że równanie

16*

nie ma pierwiastka między 0 i 1, i dlatego, przy istnieniu warunku 0 < x < 1 ma miejsce nierówność

05 OT

tak iż, zamiast otrzymanego powyżej krańca niższego 2, można wziąć bliższy, 2t •

§ II. SPOSÓB NEWTON’A OBLICZANIA PIERWIASTKÓW.

176. Przypuśćmy, że w przedziale między dwoma krańcami a i b, dość siebie bliskimi, równanie f(x) — 0 ma jeden tylko pierwiastek x. Każdy z krańców a i b może być przyjęty jako pierwsza wartość przybliżona pierwiastka szukanego.

Przyjmując liczbę a jako pierwiastek równania f(x) = 0, popełniamy

błąd

h— x — a.

który czyni zadość równaniu f(a -f- h) — 0, czyli

f(a) + hf(a) +

A²

1.2

f"(a) + • • • +

A"

1.2..

Ponieważ li jest liczbą bardzo małą, zatym możemy nie zważać na wyrazy, zawierające czynniki A², A³,... ; w takim razie, zamiast poprzedniego równania, otrzymujemy

skąd

f(a) -f hf (a) — 0,

h~ —

f(a)

f'(a) ’

Jest to przybliżona wartość błędu h. Wprowadzając ją do strony prawej równania x = a -f- h, otrzymamy drugą wartość przybliżoną pierwiastka x. Oznaczywszy przez ax to drugie przybliżenie, mamy

(1)

f(a)

f(a)'

Podstawiając na stronie prawej równania ostatniego av zamiast a, otrzymamy trzecie przybliżenie szukanego pierwiastka x. Oznaczywszy je przez az, mamy

fM

a'~7Kï

Wogóle, oznaczając (n Ą- 2)-gą przybliżoną wartość przez On+1 mieć bę

dziemy

CCn-\-1 —

„    /(O

a"~7W

Jeżeli zaś jako pierwsze przybliżenie pierwiastka x weźmiemy b, to stępne przybliżenia wyznaczymy ze wzorów

na-

1    — jj_

¹    f(b)'

b -1 /ftj)

²~bl /w

Ten sposób obliczania kolejnych przybliżeń pierwiastka jest najprostszy, a wskutek tego ze wszystkich sposobów obliczania pierwiastka, dotąd wiadomych, jest najwięcej znany i używany. Ten sposób podał Newton.

177. Widoczne jest, że dogodność powyższego sposobu zależy od runku, ażeby każde następujące przybliżenie rzeczywiście było bliższe pierwiastka szukanego, niż poprzedzające.

W zastosowaniu niezawsze to

Wa

rna miejsce, i dlatego należy zbadać, kiedy możemy być przekonani, że wmiarę obliczenia przybliżenia dalszego istotnie więcej się zbliżymy do pierwiastka szukanego.

Będziemy przypuszczali, że ani równanie f(x) = 0, anitćż równanie j"(x) = 0, nie ma pierwiastka między a i b. To zaś zawsze można osięgnąć, zbliżając dostatecznie krańce a i b, prócz tylko tego przypadku, kiedy szukany pierwiastek czyni zadość równaniu f(x) —. 0, albo równaniu f"(x) = 0; ale wówczas rozwiązanie danego równania f(x) — 0 sprowadza się do rozwiązania innego równania, stopnia niższego.

Ponieważ dwie wartości f(a) i f(b) powinny być różnego, wartości zaś f"(a) i f"(b) jednakowego znaku, zatym stosunki

f"(a) f"(b)

m’ m

są, różnego znaku. Umówimy się, aby przez a oznaczać ten z dwu pierwotnych krańców, dla którego mamy

im

f(a)

>0.

Mając to wszystko na uwadze, dowiedziemy, że: a. Oba drugie przybliżenia

at —

a f(a■) b _j f(V ° f(a)' m

są albo jednocześnie itieksze, albotćż jednocześnie mniejsze od pierwiastka x, zależnie od tego, czy a >> x, czytćż a<Żx.

b. Drugie przybliżenie a1} odpowiadające krańcowi a, zawsze jest bliższe szukanego pierwiastka, niż a.

Dla dowiedzenia tego, weźmy wzór Lagrange’a

h²

f(t + h)—f(t) + hf(t) + ~f"(t + 6ä;.

Kładąc t = a, h

x — ai zważając, że f(x) = 0, mieć będziemy

li²

f(a) -f- hf'(a) -|- —f"(a -f- Qh).— 0,

skąd znajdujemy

f(a)    Ji² f" (aQh)

/'(a)    2    f'(a)

albo

x — a -f-

albo jeszcze

f(a)    h²f"(a + 0Ä)

f(a)    2 f(a)

(1)

h² f"(a -f- Bh)

2 ~7W~ '

x — at — —

W podobny sposób otrzymamy równość

₂

6 i 6' oznaczają pewne liczby dodatne, mniejsze od jedności. Ponieważ, według założenia, żadna z lunkcyj f(x),f"(x) nie zmienia swego znaku między x~a i x = b, więc znaki wartości f(a), f'(b) są jednakowe, a także znaki wartości f'(a), f"(a-\-fth), f"(bĄ-b'li'), f'(b) są jednakowe. Wskutek tego strony prawe równości (1) i (2) są jednakowego znaku, a więc także i różnice x — ax i x — bx są jednakowego znaku, t. j. albo oba drugie przybliżenia a{ i ó, są większe od pierwiastka szukanego x, albotćż oba są od niego mniejsze.

Przyjmując pod uwagę to, cośmy wyżej powiedzieli o krańcu «, i zestawiając stronę prawą równości (1) ze stroną prawą równości

(2)

li'² f"(b + 67Q ;

f(a)

f(ą)

spostrzegamy, że różnice x — aĄ i a{— a są jednakowego znaku; a więc, albo

x <C «, <C a,

albotćź

x >■ CL\ > a.

W obu przypadkach drugie przybliżenie a, jest bliższe szukanego pierwiastka x, niż a, i znajduje się po téj saméj stronie tego pierwiastka, co przybliżenie a.

Tym sposobem udowodniliśmy oba powyższe podania, odnoszące się do drugich przybliżeń, obliczanych sposobem Newton’a.

§ III. KRAŃCE WYŻSZE DLA BŁĘDÓW.

178. Przypuściwszy, podobnie jak w paragrafiie poprzedzającym, że równanie f(x) = 0 między krańcami a i b posiada jeden tylko pierwiastek x, i że żadna z funkcyj f(x), f"(x) nie staje się zerem między x = a i x = b, odnajdźmy dla funkcyi f'(x) kraniec niższy dla jéj wartości bezwzględnych między x — a i x = b (por. § I), a dla funkcyi f"(x) kraniec wyższy dla jej wartości bezwzględnych między x — a i x~b, i, oznaczywszy pierwszy z nich przez A, a drugi przez B, przyjmijmy

2A

IZapomocą stopniowego przybliżania krańców a i b, zawsze możemy dosięgnąć tego, iż wartość bezwzględna liczb

a — b₎ M (a—b)

będzie mniejsza od pewnej dowolnej małej liczby. Przypuścimy, że

10>

wart. bezw. (a — b) <; —,,

*L

wart. bezw. M (a — b) <—-

10*

gdzie l oznacza liczbę całkowitą, nie mniejszą od zera, h zaś liczbę całkowitą nie mniejszą od jedności.

Przyjmując m-te przybliżenie am jako wartość żądanego pierwiastka, popełniamy błąd, który się równa

Podobnie mamy

C/n — X dm »

albo

C?n—1 X dm -1 j

X — dm—1 p Cm—1

a zatym

f(dm— 1 + Cm—l) ⁼ 0.

Ostatnie równanie możemy napisać tak :

C² m—1

skąd wynika

Gm-1 +

f(dm—\) _

J* (dm—l)

C²m-l f'(dm-\ + Qgm-l)

f(dm-l)

Zważając zaś, że Cm— 1 +

f(dm— l) _

f (dm—l)

dm— 1

f (dm—l) j_

f(dm-l)/~

dm — Cm 5

możemy poprzednie równanie napisać tak :

Cm-

e²m-1 f'(dm-\ + Qßm-l)

Stąd otrzymujemy

f(dm-1)

wart. bezw. em — e²m-i wart. bezw.

fn (dm— 1 ~ł~ Qem—l) .

a ponieważ

2f'(dm-i)

wart. bezw.

fU(dm—1 H~    l)

zatym

2f'(am-\)

<M

wart. bezw. em<Me²m-i.

Kładąc we wzorze (1) kolejno m = 1, m = 2,, otrzymamy nierówności

wart. bezw. ex <Me², wart. bezw. e₂ << Me,²,

0)

wart. bezw. em<cMe²m_i.

Podnieśmy obie strony pierwszej z powyższych nierówności do potęgi 2 strony drugiej nierówności do potęgi 2m~² i t. d.; otrzymamy

obie

. e₁²”⁻¹<M²    e²”,

•    ₂m-2

C-1

wart. bezw. em<C    •

Wskutek pomnożenia tych nierówności przez siebie, będziemy mieli, po skróceniu,

wart. bezw. em M²™

Jest to ta właśnie nierówność, którąśmy chcieli wyprowadzić; ona daje możność otrzymania wyższych krańców dla błędów, odpowiadających kolejnym przybliżeniom, i wskazuje, że z powiększeniem się liczby m błędy te szybko zdążają do zera. Istotnie, ponieważ, według założenia

wart. bezw. (d — b) <C wart. bezw. M(a — b) <C^. >

(2)

(d— h)² .

więc

wart bezw. M²™ (a — b)*™ <C

₁₀2 mk+l-k'

skąd widoczna, iż, przy dostatecznie wielkim m, liczba M²”*— l(a — bßm co do swój bezwzględnej wartości będzie dowolnie mała.

179. Wyprowadzając nierówności (2), przypuszczaliśmy, źe przybliżenia a,, a₂,... są zawarte między a i b, co zawsze będzie miało miejsce, jeżeli wartości f(a) i f"(a) są jednakowego znaku. Jednakże w zastosowaniu niekoniecznie należy się trzymać tego warunku : można zacząć rachunek od drugiego krańca ó; należy tylko pamiętać, źe, ilekroć otrzymamy przybliżenie am, nie zawierające się między a i b, powinniśmy zastąpić je przez inną liczbę a'm, zawartą między a i b, i taką, iżby dla niej kraniec wyższy dla błędu był takiź,

jak dla am, t. j. M²”*— ¹(a— b)²™. Oczywiście, źe liczba a'm, czyniąca zadość powyższym warunkom, może być zawsze bez trudności dobrana przy pomocy liczby am. A nawet przybliżenie amj chociażby ono zawierało się między a i b, może być zastąpione przez inną liczbę a'm, zawartą między a i b, pod warunkiem, ażeby kraniec wyższy dla błędu, odpowiadającego a’m, był równy

M²"¹— l(a — b»/”*; przez to nierówność (2), przy każdym m, oczywiście nie będzie naruszona.

IH

10

Pe^kład. Weźmy toż samo równanie, do którego Newton zastosował swój sposób, mianowicie równanie

f(x) = x* — 2x — 5 = 0.

Posiada ono jeden tylko pierwiastek rzeczywisty, zawarty między 2 i 2,1. Ponieważ

więc

L .2.

f'(x) = 3x² — 2 f"(x) = 6æ,

3.Z.-

f"(x) 3x 2f'(x) ~ 3 a;² —2 ~

3x--

skąd bezpośrednio widzimy, że, wmiarę wzrastania zmiennej x od # = 2

wciąż maleje; a zatym, największą jej wartością

do x = 2,1, funkcyja jest

f"(x)

2f(x)

/"( 2)

2/(2)

= 0,6,

tak iż dla przedziału a — 2,1, b = 2 możemy przyjąć M = 0,6. Mamy tu

10’

wart. bezw. em <

^(o,6r-

lO²”*

Przybliżeniem drugim jest at = 2,1 -

gdzie

m i)

= 2,0945..

ex < 0,006.

Szukany pierwiastek x zawiera się między krańcami 2,0885... < x <2,0945.. i, jako drugie przybliżenie, zamiast a,, możemy wziąć liczbę

a\ = 2,09,

która jest mniejsza od x, gdyż f(a\) <C 0.

Trzecie przybliżenie możemy wyznaczyć według wzoru

a₂ =

f(a\) .

otrzymujemy

a₂ — 2,09456 ..

przyczym

._3

^2^103’

a więc, szukany pierwiastek znajduje się między krańcami 2,09453 ...<£< 2,09456 ... i, jako trzecie przybliżenie, zamiast a₂ możemy wziąć liczbę

a\ = 2,09455.

Czwarte przybliżenie wyznaczamy ze wzoru

a₃ —

otrzymujemy

_r f(a'*) . ²    f(a\)

a₃ = 2,094551481 . .

przyczym

e3 < lQb >

tak iż szukany pierwiastek zawiera się między krańcami

2,094551478 ... < x < 2,094551481 ....

Stąd otrzymujemy następującą wartość pierwiastka:

x = 2,09455148,

z przybliżeniem do jednej-sto milijonowćj.

180. Sposób Newton’a można także zastosować do obliczania pierwiastków zespolonych, jeżeli znane nam są przybliżone ich wartości; ale wówczas wyznaczenie wyższego krańca dla modułów błędów, odpowiadających stopnio-

wym przybliżeniom, nie może być uskutecznione na zasadzie wzoru Lagrange’a, gdyż on był wyprowadzony wyłącznie dla funkcyj rzeczywistych.

Darboux, w rozprawie zatytułowanej: «Sur les développements en série des fonctions d’une seide variable» rozciągnął wzór Lagrange’a na funkcyje zmiennej zespolonej, uczyniwszy przytym pewną zmianę w samym wzorze.

Oznaczając przez f(x) jakąkolwiek funkcyją całkowitą zmiennej x, a jirzez h dowolny przyrostek, będziemy mieli, według wzoru Darboux, następujące równanie:

f(x + h) —f(x) -f\hf'(x + bh),

gdzie 6 oznacza pewną liczbę dodatną, mniejszą od jedności, X zaś pewną liczbę zespoloną, której moduł <1; w równaniu tym tak h i x, jak i spółczynniki w wyrażeniu funkcyi f(x), mogą być zespolone. Oczywiście, że powyższy wzór pozwala to wszystko, cośmy powiedzieli wyżej o błędach przy obliczaniu pierwiastków sposobem Kewton’a, zastosować także do tego przypadku, kiedy wyznaczany pierwiastek jest zespolony.

§ IV. WYZNACZANIE PIERWIASTKÓW WYMIERNYCH RÓWNANIA ZE SPÓECZYNNIKAMI CAŁKOWITYMI.

181. Rozwiązanie tego zadania należy do Teoryi liczb, t. j. do tej części Adgiebry, która bada własności arytmetyczne pierwiastków; wyłożymy je tu jednak dlatego, że opiera się ono na ogólnie znanych zasadach elementarnych. Przedewszystkiem wskażemy na

pierwiastków całkowitych równania ze spółczynnikami całkowitymi.

Niech będzie dane równanie

f(x) — Axn + A{x

pewne ułatwienia przy odszukiwaniu

(1)

+ • • • T    - 0,

w którym A, A,,...,A„ są liczbami całkowitymi, i przypuśćmy, że liczba całkowita a czyni zadość temu równaniu. Kładąc

71— l

f(x)

»-i,

x — a

zauważymy, że wszystkie spółczynniki B, B,,. . . ,B„_i są liczbami całkowitymi i czynią zadość równaniom

Rn—1

A,

a.

n—\

P -A

-H/j—2 - —

B„_3. —

77,—2

71—2

A, -p B,

B + A = 0.

Stąd wynika następujący sposób dowiedzenia się, czy liczba całkowita a czyni v zadość danemu równaniu, czytóź nie.

Liczba a powinna być dzielnikiem wyrazu stałego An\ w przeciwnym razie a nie może czynić zadość równaniu (1). Przypuśćmy, że liczba An jest po-dzielna przez a, i oznaczmy iloraz przez Brt_i. Suma B„_i + A„_i powinna być podzielna przez a; w przeciwnym bowiem razie a nie czyni zadość równaniu (1). Przypuśćmy, że suma Bw_i-f- Are_i jest podzielna przez a, i oznaczmy iloraz przez B„_₂. Suma B„_₂ -f- A„_₂ powinna być podzielna przez a\ w przeciwnym razie a nie czyni zadość równaniu (1). Przypuśćmy, że suma Bft_₂ + A„_₂ jest podzielna przez a i oznaczmy iloraz przez Bre_₃. Postępując w podobny sposób dalej, albo przekonamy się, że liczba a nie jest pierwiastkiem równania (1), albotóż dojdziemy do ostatniej liczby B. Jeżeli B+A=0, to a jest istotnie pierwiastkiem równania (1); w przeciwnym razie a nie czyni zadość równaniu (1).

Możemy jeszcze dodać do tego kilka innych warunków, niezbędnych, ale nie wystarczających. Tak np., liczba a powinna się zawierać między krańcami dla pierwiastków równania (1); liczba a —1 powinna być dzielnikiem liczby /(l); a liczba a + 1 dzielnikiem liczby/(— 1); liczba a — 2 powinna być dzielnikiem liczby/(2), a liczba a Ą- 2 dzielnikiem liczby /(— 2), i t. d.

Jeżeliśmy się przekonali, że f(a) — 0, to wówczas wszystkie pozostałe pierwiastki równania (1) są pierwiastkami równania

Bxk_1 B,#'*⁻² + ... + B„_i = 0.

PitzYKEAD. Weźmy równanie

f(x) = 3aA—50a;-—104;r—105 = 0;    ,

ono posiada dwa pierwiastki całkowite : x = 5 i x = — 3, o czym przekonywa nas następująca tablica, zawierająca rezultaty działań:

3    0 —50 — 104 — 105

a co

Ol

Pozostałe dwa pierwiastki otrzymamy z równania

3æ² -j—    -f- 7    0.

182. Przy rozwiązywaniu równania ze spółczynnikami całkowitymi możemy zawsze przypuszczać, że spółczynnik najwyższej potęgi niewiadomej jest równy jedności.

Jakoż, jeżeli w równaniu

(1)

Axn -f Axxn~l + ...+A

spólczynnik A nie jest równy jedności, to wówczas, mnożąc obie strony równania przez Aw—1, otrzymamy

(Ax)n + A^Axf-¹ + ....+ A”-lA„_! = 0;

a stąd, kładąc Ax = y,

(2)

= 0.

*r+A₁/-i + .., + A“-iA₁

Tym sposobem rozwiązanie równania (1) sprowadza się do rozwiązania równania (2), w którym spółczynniki są liczbami całkowitymi, a spólczynnik najwyższej potęgi niewiadomej jest równy jedności.

Można to niekiedy uskutecznić inaczej, nieco prościej; np., ażeby sprowadzić równanie

8æ⁴ -j- 12 æ³ + 10æ² -j- x—7 = 0 do żądanej postaci, dość uczynić 2x~y\ otrzymujemy yx + 3y‘³ + 5 y² + y — 14 = 0.

Każdemu pierwiastkowi wymiernemu równania (2) odpowiada pierwiastek wymierny równania (1), i nawzajem; dlategotćż zadanie o wyznaczeniu pierwiastków wymiernych równania (1) sprowadza się do wyznaczenia pierwiastków wymiernych równania (2).

183. Twierdzenie. Każdy pierwiastek wymierny rôivnania postaci xn + Axxn~l + ... + An = 0 ze spółczynnika.mi całkowitymi A1?. .., A„ jest liczbą, całkowitą.

Przypuśćmy, że równanie (1) ma pierwiastek wymierny x — ~, gdzie a i b są liczbami całkowitymi pierwszymi względem siebie; mamy

+ • • • + A» = 0,

(1)

(ł)'Wł)

11—1

skąd

an    b (— A, a”

albo, oznaczywszy przez H liczbę całkowitą H = — Ayan~l — . . .

an — b H.

. . . Anbn~¹).

A nbn-\

zna-

Ponieważ jednak liczby a i & są pierwsze względem siebie, zatym możemy lćść takie dwie liczby całkowite u i v, które zadość uczynią równaniu

au + bv = 1.

• Stąd, po podniesieniu obu stron do potęgi n-tej, otrzymamy

%

anun + — an~xbun~xv + ... + bnvn — 1,

albo, podstawiając BH zamiast a”,

b ^Hw” + ~ an~x un~x v + .. . + bn~l vn^ =. 1.

To równanie wskazuje, że liczba b jest dzielnikiem jedności, gdyż wartość wielomianu w nawiasie jest, oczywiście, liczbą całkowitą; a zatym b = 1, t. j. pierwiastek wymierny x = jest liczbą całkowitą.

184. Z tego cośmy powiedzieli w dwu art. ostatnich, wnosimy, że wyznaczenie pierwiastków wymiernych równania ze spółczynnikami całkowitymi sprowadza się do wyznaczenia pierwiastków całkowitych równania podobnego.

Pezykead. Równanie

3æ³ + x¹ + x + 35 = 0

nie posiada pierwiastka całkowitego; ażeby się dowiedzieć, czy nie ma ono-pierwiastków wymiernych ułamkowych, przyjmijmy 3x — y\ otrzymujemy równanie

y³ 4- y² + 3y + 315 = 0,

które ma jeden tylko pierwiastek całkowity y ~ — 7; a więc równanie z nie-

7

wiadomą x ma jeden tylko pierwiastek wymierny x —:---.

O

K0NIgätT. MATEMATYKI Wydz. Bucl. Lad.

BIBLIOTTK a Zakl. Mai. Loiir.e)

Redaktor i wydawca czasopisma «Bibi, mat.-fz Dr. Maryjan A. Baraniecki.

Sr

ZJ31)

ff

O

tfti

iS.93

' ■

HJ»

>ù

b

0,04

I

»

•w

...

■

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

ił

11-346777

Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

100000293383

¹

2 R) ²