\h

»-i

£ pt™

w

•-

Ssi

b

[li

w

.1

W"

.

‘\

*'i

■

A

A

W

X*

ki

IŚ£h

l3

l;'v

«J

'

S

k.U

i

"'V.

£

-i 2^

łf

i-

4#'H

k J

’ 1

..i

.

171

j«r-

ra

r 3

/

■

N>** « ft^

IkH!¹

*

i

YS

#*1

-i

LI

U

j

K

r

3

i

i &M

•i

l’

i

k7\

k..

siis

W Ą W i

-i

r.

*E

P

:v^>

WH

'£

.i

Sa

k

;

■

;

V.

L3

■;

7*~-

W,;-!,

w

s?

F

Sfe

.

sra

ji

r i

%

Ł.

t

mt

4t^jg

. •

: ^ fcfi

Sa

«•*:

r.^i

3 Wmk

Bliii

J

P™

.

L

V

M

■■

*>■

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000293390

I

r

/;

%

-

/

:■

.

.

%

BIBLIOTEKA MATEMATYCZNO-FIZYCZNA,

wydawana przez

A. CZAJEWICZA i S. DICKSTEINA.

Z ZAPOMOGI KASY POMOCY DLA OSÓB PRACUJĄCYCH NA POLU NAUKOWEM, IMIENIA D-RA JÓZEFA MIANOWSKIEGO.

WSTĘP

DO

TEORYI RÓWNAŃ CAŁKOWYCH

r %

<p (®, i/) = ?! 0*0 <W («/) + <p2 (*) ła (y) -j- • • • + ?«0*0 ł« (i/) + x (®» y)i gdzie x (&> I/) oznacza funkcyę, która sprawdza równanie (6) i której ślad równa się 0; powiadam, że x (*, U) znika tożsamościowo. Istotnie,

j G^ ta y) O/*0 dy = 0

Ti 0*0» Ti 0*0 • Tw 0*0 > T« 0*0

¥i(a), ?2 Od

c.

t’r’ £)

TEORYI RÓWNAŃ CAŁKOWYCH

NAPISAŁ

Dr. TRAJAN LALESCO

z przedmową E. PICARDA.

PRZEŁOŻYŁ

Dr. STEFAN MAZURKIEWICZ.

WARSZAWA.

SKŁAD GŁÓWNY W KSIĘGARNI GEBETHNERA I WOLFFA.

1918.

Cena 3 mk. 50 fen-

.

1?

jfl

i

*

WSTĘP

DO

TEORYI RÓWNAŃ CAŁKOWYCH.

j6^

/br*k*faor\s

fZ, SfzS.

'

m

.

\

/*

\

.

f^"v

... ^

#

r * ł

*

\ .

a,

.;*- xr-«»

>\ w\ \ \

BIBLIOTEKA MATEMATYCZNO-FIZYCZNA,

wydawana przez

A. CZAJEWICZA i S. DICKSTEINA.

Z ZAPOMOGI KASY POMOCY DLA OSÓB PRACUJĄCYCH NA POLU NAUKOWEM, IMIENIA D-RA JÓZEFA MIANOWSKIEGO.

WSTĘP

DO

TEORYI RÓWNAN CAŁKOWYCH

NAPISAŁ

W'

Dr. TRAJAN LALESCO

z. przedmową E. PICARDA.

PRZEŁOŻYŁ

Dr. STEFAN MAZURKIEWICZ.

BIBUOTIHR®

JMSTYTUfU MATEMATYKI ęflpfKÓtfWKI KRAKOWSKO!

KATEDRA I ZAKŁAD

matę m a t y k i

WYDZIAŁU INŻYNIERII

WAKSZAWl ' RAKOWI

SKŁAD GŁÓWNY W KSIĘGARNI GEBETHNERA I WOLFFA.

1918.

et.

“40-

łj-yt&W

„Gepriift und auch fiir die Ausfuhr freigegeben“, Warschau den. 20. n. 1917. T. .Ns 8152. Dr. ,\® 410.

<

%

t

Druk Rubieszewskiego i Wrotnowskiego w Warszawie.

as

/

TREŚĆ.

Str.

Przedmowa E. Pi car da Wstęp.......

CZĘŚĆ PIERWSZA.

Równanie Yolterry.

I.    Badania V. Volterry...............

II.    Twierdzenie Volterry...... ........

III.    Wzór Volterry; jądro rozwiązujące..........

IV.    Związek między równaniem Volterry a równaniami różnicz

kowani liniowemi..............

V.    Równania Volterry o wielu zmiennych niezależnych. .    .    .

VI.    Układy równań Volterry..............

VII.    Uwagi końcowe..................

11

13

16

17

CZĘŚĆ DRUGA.

ROZDZIAŁ PIERWSZY.

Równanie Fredholma.

N2 tO >—*

©c ^ oc

I.    Wzory I. Fredholma .    .    . .

II.    Pierwsze twierdzenie I. Fredholma

111. Pierwiastki funkcyi 1) (1).....

ROZDZIAŁ DRUGI.

Badanie szczegółowe jądra rozwiązującego.

Funkcye ortogonalne i dwuortogonalne .    .....

Funkcye główne................

Drugie i trzecie twierdzenie I. Fredholma.....

Rozwinięcia rozmaite.........*.....

Jądra specyalne.

Str.

I.    Jądra symetryczne.....

II.    Jądra skośnie-symetryczne .    .

III.    Jądra symetryzowalne.    .    .    .

IV.    Jądra rozmaite......

63

73

78

86

ROZDZIAŁ CZWARTY. Równanie Fredholma pierwszego gatunku .

89

CZĘŚĆ TRZECIA.

Równania osobliwe.

Przykłady rozmaite.............

III. Równania całkowe wyższego rzędu........

Równania nieliniowe.............

Równania wyższego rzędu iteracyjnego......

Bibliografia.................

103

103

108

110

111

111

117

121

126

127

132

139

PRZEDMOWA.

Równania funkcyjne są już oddawna przedmiotem badań najznakomitszych matematyków, jak Laplace, Cauchy, Fourier i Abel. W wielu zagadnieniach, więc np. w teoryi funkcyj eliptycznych oraz funkcyj abelowych, nasuwają się związki funkcyjne szczególnego typu. Badań jednak systematycznych w tym kierunku nie było aż do czasów ostatnich i wysiłki analityków ześrodkowały się na specyalnej kategoryi równań, mianowicie na równaniach różniczkowych, gdzie znajdujemy zagadnienia, lepiej rozgraniczone i łatwiej poddające się klasyfikacyi.

W ciągu ostatnich piętnastu lat uwagę badaczy skierowały ku sobie pewne równania funkcyjne, w których funkcye niewiadome występują pod znakiem całki. W r. 1894 Le Roux przygodnie podjął w formie ogólnej pewne zagadnienie, rozwiązane w szczególnym przypadku przez Abel a; wkrótce potem V. Volterra rozpoczął badania nad pewną kategoryą równań funkcyjnych wymienionego typu, badania nad któremi od tej pory pracuje bez przerwy i które niedawno znacznie rozszerzył. Powszechną jednak uwagę zwróciła na siebie w szczególnej mierze kilkostronicowa praca I. Fredholma z r. 1900; szwedzki matematyk rozwiązał w niej równanie funkcyjne, stanowiące uogólnienie tego, które napotykamy przy rozwiązaniu zagadnienia Dirichleta za pośrednictwem potencyału warstwy podwójnej. Zastosowanie do tak słynnego zagadnienia nabrało wielkiego rozgłosu i wkrótce dostrzeżono, że do tegoż równania sprowadzić można wiele innych zagadnień Fizyki teoretycznej.

Mało która praca stała się klasyczną tak prędko, jak rozprawa, w której matematyk stockholmski rozwinął wyniki pierwszej swojej noty. Zasadnicze rezultaty badań Fredholma mają piękno rzeczy prostych i ostatecznych; aby je poznać, nie trzeba przytem żadnych przedwstępnych wiadomości specyalnych. Tak więc moda, która częstokroć wielki wpływ wywiera na kierunek badań naukowych, szybko skierowała się do tego typu równań funkcyjnych, i prace, które w ciągu

dziesięciolecia poświęcono zagadnieniu, po raz pierwszy rozwiązanemu przez Fredholma, mogłyby wypełnić bibliotekę.

Badania powyższe będą się pomału kondensowały: ukazało się już, lub też jest w przygotowaniu kilka poświęconych naszemu przedmiotowi prac dydaktycznych. P. Lal esc o, który w ciągu lat ostatnich uzyskał ciekawe wyniki w Teoryi równań całkowych, sądził, że jego rozmyślania mogą być użyteczne dla tych, którzy przystępują do studyowania tej teoryi. Zostawia on na uboczu w dziełku, które obecnie ogłasza, wszelkie zastosowania i ma na widoku jedynie teoryę ogólną. Prostota metod wybranych przez autora i jasny wykład, który udostępnia czytanie niniejszej książki, będą niewątpliwie ocenione przez wszystkich czytelników. Zasadnicze twierdzenia Fredholma przedstawione są w sposób bardzo wytworny, a przy głębszem badaniu jądra rozwiązującego korzysta autor nader zręcznie z prac Goursata i Heywooda nad funkcyami głównemi. Przypadek jądra symetrycznego jest szczegółowo przedstawiony i doprowadzony aż do zasadniczych twierdzeń Hilberta i Schmidta o rozwinięciach na szeregi.

Zaznaczamy dalej doskonale opracowany rozdział o równaniach całkowych pierwszego gatunku, tak odmiennych od równania Fredholma. Byłoby niepodobieństwem wyłożyć na kilku stronicach całokształt badań, dotyczących równań o jądrach*osobliwych; P. Lalesco wykazuje jednak na przykładach ciekawe okoliczności, które przedstawiają się w tym przypadku. Wreszcie następują wskazówki, dotyczące równań całkowych rzędu wyższego, oraz najnowszych badań Volterry nad ciałem funkcyj przemiennych.

Bibliografia podana przy końcu tomu oddać może duże usługi.

Znajomość dzieła P. Lalesco pozwoli czytelnikowi przystąpić bez trudu do studyowania licznych rozpraw, zawierających zastosowania równań całkowych do Teoryi równań różniczkowych i Fizyki matematycznej. Książka niniejsza zawiera wszystkie zasadnicze rezultaty czystej teoryi równań całkowych, zostawiając na stronie jedynie rozwiązanie równania Fredholma, za pomocą uogólnionych szeregów Fouriera, rozważane przez Hilberta i jego uczniów. Zresztą można przypuszczać, że obecnie badania winny się skierować w stronę zastosowań równań całkowych do Mechaniki i Fizyki matematycznej. Tam właśnie napotkać można nowe typy równań, tam również mogą zwrócić na siebie uwagę pewne cechy szczególne szukanych rozwiązań — cechy, wynikające z danych postawionego zagadnienia. Mamy tu bez wątpienia szerokie pole do pracy.

Emile Picard.

WSTĘP.

1. Badania nad pewną kategoryą równań funkcyjnych rozwinęły się w ciągu ostatniego dziesięciolecia tak bujnie i okazały się tak płod-nemi w zastosowaniu, iż w przyszłości stanowić będą niewątpliwie jeden z najpiękniejszych działów Analizy matematycznej. Obecnie dział ten jest w fazie stawania się; zdało się nam więc pożytecznem wyłożyć całokształt już ustalonych wyników, oraz wskazać drogi, wciąż jeszcze stojące otworem dla badaczy.

Można wspomniane badania scharakteryzować ogólnie, jako roztrząsanie przypadków szczególnych następującego zagadnienia.

Wprowadzamy nowe działanie, wykonywane na funkcyi <p (cc) i określone przez wyrażenie

(1)

N (x, s) cp (s) ds,

ab

byleby całka określona miała sens.

Działanie to jest w zupełności określone, jeżeli dana jest droga całkowania, oraz funkcya N(x, y), którą nazywać będziemy jądrem działania (1). Weźmy teraz pod uwagę związek między funkcyą cp (x), jej pochodnemi różnych rzędów i pewną liczbą działań, takich jak (1), i postawmy sobie zagadnienie znalezienia funkcyi, związkowi temu zadość czyniącej.

Otrzymamy nowy rodzaj równań, ogólniejszych niż równania różniczkowe (zawierają bowiem o jedno działanie więcej) i w przypadku ogólnym zupełnie od nich różnych; nazywać je będziemy całko wo-różniczkowem i, — w przypadku zaś, gdy nie zawierają pochodnych

funkcyi <p (x) — poprostu całkowemi. Przedmiotem naszej książki będą wyłącznie te ostatnie.

Zagadnienie więc ogólne, które mamy na widoku, polega na rozwiązywaniu równań całkowo-różniczko-wych, w szczególności zaś całkowych.

Pierwszem w historyi matematyki równaniem całkowem, które rozwiązano, było równanie:

<p (s) ds

(x— s)a

= F(x),    (0 < a < 1)    (2)

otrzymane przez Abel a przy badaniu pewnego elementarnego zagadnienia Mechaniki1}.

W kilkadziesiąt lat potem matematyk rosyjski N. Sonin ²⁾ zbadał równanie tego samego typu co równanie Abel a, nieco jednak ogólniejsze.

Sonin wyczerpał niejako zakres stosowalności użytego przez Abel a fortelu analitycznego i zdawało się, że sprawa jest zamknięta, gdy w r. 1896 Vito Volterra w szeregu not, przedstawionych Akademiom nauk w Rzymie i Turynie, rozpoczął uwieńczone zupełnem powodzeniem badania ogólne nad równaniem całkowem:

I N(x, s) (p (s) ds = F(;x),

posługując się metodą bezpośrednią, zaczerpniętą niejako u źródeł Analizy matematycznej.

Wkrótce po pięknych, uzyskanych przez niego wynikach, pojawiła się w r. 1900 świetna praca Ivara Fredholma, dotycząca równania całkowego

cp (x) -f-    N (x, s) cp (s) ds = F (x),

którego znaczenie dla całej Analizy wyświetlone zostało przez samego Fredholma, D. H i 1 b e r t a i E. P i c a r d a. Od tej pory prace, dotyczące równań całkowych, pojawiają się bez przerwy. D. Hi 1 bert,

') Abel N. H. 1.

²) Sonin, 1.

w szeregu not, przedstawionych Towarzystwu Naukowemu w Getyndze, użył za narzędzie badań swoich pewnej kategoryi równań liniowych o nieskończenie wielu zmiennych, wyświetlił rolę symetryi jądra, podał wreszcie szereg ważnych zastosowań. Jednocześnie E. Picard podkreślił znaczenie powyższego równania całkowego, wskazując na szeroką jego stosowalność do zagadnień Fizyki matematycznej.

Równanie całkowe nazywać będziemy Mniowem, jeżeli jest ono pierwszego stopnia względem działań całkowych, które zawiera.

Równania typu:

j N(x, s) cp (s) ds

x

y (x)-\- I N(x, s) y (s) ds = F(x),

= F(x),

. (3)

(3')

w których jedna conajmniej z występujących w działaniu całkowem granic całki jest zmienną, nazywać będziemy równaniami całkowe-mi liniowemi Volterry, lub poprostu równaniami Volterry, przyczem równanie (3) nazywać będziemy równaniem pierwszego gatunku, zaś (3') — równaniem drugiego gatunku.

Równania typu:

b

j N (x, s) cp (s) ds — F (x),

a

b

«p (a:) —|- I" N(x, s) <p (s) ds == F (:x),

(4)

(4') nazywać będziemy równaniami całkowemi liniowemi Fred-holma, lub poprostu równaniami Fredholma, przyczem (4) będzie równaniem pierwszego, (40 — równaniem drugiego gatunku.

Typy powyższe stanowią niejako nowe elementy analityczne; można dookoła nich zgrupować badania nad innemi rodzajami równań liniowych, które spotykamy w zastosowaniach i które rozpatrywane były przez różnych autorów.

Wykład podzielimy na trzy części. W pierwszej rozwijamy teoryę zwykłego równania Yolterry. Drugą część poświęcamy równaniom

całkowym Fredholma; w trzeciej wreszcie podajemy ogólne wskazówki, dotyczące równań całkowych osobliwych i równań nieliniowych, których badanie jest nietylko logicznie interesującem uogólnieniem, ale —jak się zdaje, — może być użyteczne w wielu zagadnieniach współczesnych.

W końcu tomu podajemy szczegółową bibliografię prac, dotyczących teoryi równań całkowych.

CZĘŚĆ PIERWSZA.

RÓWNANIE YOLTERRY.

I.

Badania 0. Dolterry.

1. Badania V. Volterry, ukazujące się od 1896 r., zawarte są w sześciu notach (z których cztery przedstawione zostały Akademii Tu-ryńskiej1}, dwie — Akademii dei Lincei)²⁾, w rozprawie zamieszczonej w „Annali di Matematica“³), wreszcie w dwu niedawno w formie książkowej ogłoszonych monografiach ⁴⁾.

Jest rzeczą ważną wyświetlić przedewszystkiem myśl zasadniczą tych badań.

W rozdziale niniejszym będzie mowa wyłącznie o funkcyach całkowalnych i ograniczonych. Założymy dalej, że zmienne są rzeczywiste i zawarte w pewnym przedziale skończonym; można zawsze założyć, że jest to przedział (0, 1).

Bierzemy teraz pod uwagę punkty:

(1)

i wyrażamy, że równanie

(2)

N(x, s) ę (s) ds = F (;x)

*) V. Volterra, 1.

²)    V. Volterra, 2.

³)    V. Volterra, 3.

⁴)    V. Volterra, Leęons sur les eąuations integrales et les eąuations integro-diffćrentielles. Paris (1913). Leęons sur les fonctions de lignes. Paris (1914).

zachodzi w punktach (1), jeżeli całkę zastąpić przez sumę przybliżoną, odpowiadającą tym właśnie punktom, jako punktom podziału.

Kładąc:

=*(£) ¹

jV — n [JL

* nl

otrzymujemy w ten sposób układ równań przybliżonych:

<P p

-Nn<?i=F

(3)

- (N„l ^Pl —j— .... —j— Fnn cp„) - Fn •

Tl

Jest to bardzo prosty układ n równań o n niewiadomych, który pozwala nam kolejno obliczyć przybliżone wartości naszej funkcyi niewiadomej cp (x) w punktach (1).

Nastręcza się myśl, że dokładność tych przybliżeń wzrasta nieogra-niczenie wraz z n i że, przechodząc do granicy, otrzymamy nieskończony zbiór liczb, które są wartościami funkcyi cp (x) w punktach wymiernych przedziału (0, 1) i funkcyę tę w całym przedziale jednoznacznie określają.

Otrzymany na tej drodze rezultat należy sprawdzić, trzeba więc

udowodnić: że kolejno uzyskiwane przybliżenia na cp |-~J są dla każdegozbieżne, że zbiór wartości cp j ~ j, otrzymanych przez przejście do granicy, rzeczywiście określa funkcyę ciągłą cp (x), wreszcie, że cp (x) sprawdza równanie (2).

Powyższa metoda techniczna przedstawia dokładną analogię z metodą, prowadzącą do definicyi całki, która również wymaga sprawdzenia. Pozwala nam ona dostrzedz dwie zasadnicze cechy zagadnienia: możliwość zastosowania mechanizmu przybliżeń kolejnych i konieczność wprowadzenia warunku N(x, x) 4=0.

W dalszym ciągu używać będziemy metody przybliżeń kolejnych w inny, bardziej bezpośredni sposób, idąc za wskazówkami E. Pi-carda !).

’) T. Lalesco, 2.

II. Twierdzenie Oolłerry.

2. Zakładamy, że zmienne są rzeczywiste i że jądro oraz funkcyu F (x) posiadają w pewnym przedziale (0, a) ograniczone i całkowalne pochodne. Różniczkując równanie (2), otrzymujemy:

iy*' (x, s) <p (s) ds = .F' (a?).

(4)

Jeżeli w przedziale (0, a) N(x, x) nie znika, to możemy podzielić równanie nasze przez jV(cc, x), przez co uzyskamy równanie kształtu:

<p (x) -j- f N₁(x, s) «p (s) ds = 2^ (cc)

(5)

Kształt tego równania szczególnie się nadaje do zastosowania metody przybliżeń kolejnych; wprowadzamy w tym celu przed znakiem całki po lewej stronie równania (5) parametr X i szukamy rozwiązania równania (5), któreby miało postać szeregu:

oo

(6)

=o

Funkcye <p₀(&), Ti (x„),..., <pH (2)... są przybliżeniami, które znaleść należy. W tym celu wstawiamy w równanie (5) wyrażenie (6) i otrzymujemy przez porównanie spółczynników przy jednakowych potęgach parametru X, równania:

To (x) = F₁ (x),

Ti (x) = — f Nt (%, s) To (s) ds

(7)

Tn 0*0 = —

j Nt (x, s) t«-i (s) ds,

z których szukane przybliżenia kolejno obliczyć można.

Szereg przybliżeń (7) jest jednostajnie zbieżny w przedziale (0, a). Istotnie, oznaczmy granice górne funkcyi 1^(2;)!, \N(x, s) I w tym przedziale odpowiednio przez M i N; otrzymamy wtedy nierówności:

I ?„ (*) I SS M,

|    (a;) | ^ M. Nx ^ M .Na,

<P« ix) | ^

MNvxn MNnxn

wykazują one, że szereg (6) przedstawia funkcyę całkowitą (8) zmiennej X, rzędu conajwyżej równego 1; w przedziale więc (0, a) szereg ten jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny.

Wobec jednostajnej względem zmiennej x zbieżności szeregu (6) występująca w równaniu (5) całka istnieje i jest jednoznacznie określona; z drugiej strony szereg powyższy jest bezwzględnie zbieżny, a formalnie czyni zadość równaniu (5). Wynika stąd, że <p (x) jest rozwiązaniem ograniczonem tego równania.

Zresztą jest to jedyne rozwiązanie ograniczone; istotnie, gdyby istniało inne, wówczas równanie jednorodne

(8)

? (*) “t" T -^1 (x> s) ¥ (s) ds = 0

miałoby rozwiązanie, nie będące tożsamościowo zerem; jest to jednak niemożliwe, odejmując bowiem (7) od (8), otrzymujemy:

<p (x) — cpM (aj) = —

I*    s) [<p (s) — cp„_! 0)1 ds

o

n = 1, 2...

Daje to nierówności analogiczne do poprzednich, w których jednak występuje <p (x) —    (r) zamiast <pn (a;).

Wynika stąd, w myśl poprzedniego rozumowania, że wyrażenie

ln [cp (x) — cpn (a:)]

jest n-tym wyrazem szeregu, przedstawiającego funkcyę całkowitą zmiennej X, wskutek tego zaś będzie:

lim [cp (x) — yn (a;)] = 0

cp (x) = lim cpn (x) = 0

w sprzeczności z założeniem.

n = oo

Od równania (5) lub (4) przejść można do równania pierwotnego (2) przez całkowanie, które daje:

(9)

j'N{x, s) cp (s) ds — F(x) — F(0).

Równanie (2) posiada więc rozwiązanie cp (x) jedynie w tym przypadku, gdy F (0) = 0. Warunek ten, konieczny dla istnienia rozwiązania ograniczonego, jest, jak to widzimy, zarazem dostateczny¹*.

Otrzymujemy tym sposobem następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcye N(x, s) i F(x) posiadają w przedziale (0, a) ograniczone i ciągłe pochodne wzgl.ędem zmiennej a; i jeżeli N(x, x)=$= 0 i F(0) = 0, wówczas równanie Vol-terry

= F{x)

I N (x, s) cp (s) ds

posiada w przedziale powyższym jedno i tylko jedno rozwiązanie ograniczone i ciągłe.

3. Jeżeli weźmiemy pod uwagę równanie Yolterry drugiego

gatunku

cp (x) -f- X j' N (x o

, s) ^ (s) ds = F (x),

(10)

wówczas ograniczające warunki powyższego twierdzenia nie są konieczne; równanie to jest więc prostsze od równania (2).

Dla uniknięcia nieporozumień zachowaliśmy jednak terminologię D. Hilberta.

III.

IDzór Uolferry; jądro rozwiązujące.

4. Można nadać funkcyi cp (x) prostszą postać drogą nastę-

pującą:

Mamy, w przypadku równania drugiego gatunku (10):

’) Twierdzenie powyższe udowodnił po raz pierwszy J. Le Roux w rozprawie doktorskiej: Sur les integrales des eąuations lin eaires aux deri-vees partielles du 2-e ordre a deux variables independantes (p. 19— 22). 1894, metodą przybliżeń kolejnych.

10

To 0*0 = F(x),

Ti 0*0 = —

I N{x

o

, o) F (a) do,

<p₂ (*) = (-1)2 J^(a, s) ds j N(s

o    o

, o) F (o) do ,

albo, stosując wzór Dirichleta:

przyczem:

l)² j F (a) do I N(x,

O    cj

x

j' Nt(x, a) F (a) do,

X

Nt (a?, y) = f N(x, s)N(s, y) ds. y

X

Nv(x, y) = | N(xf s) iVp_i ($ y

x

(—l)p j Np-1 (x, o) F {o) do.

Ta 0*0 = (—

s) iV (s, o) ds

Kładąc:

V) ds

otrzymujemy ogólnie:

Ti> 0*0 = (—

.A/p—₂ (s, o) F (a) da

, s) Np-2 (s, o) ds

<i

Jeżeli więc położymy:

^(a;, y\ X) = N(x, y) — \Nl(x, y) + ...+ {—\)pWNp (x, */)+... wówczas można będzie rozwiązaniu równania (10) nadać kształt:

<p (x) = F (x) — X | 9t (sc, s; X) F (s) ds.

(11)

11

Przedstawia się ono w formie analogicznej do strony lewej równania (10); z tego powodu nazywać będziemy    ?/; X) — jądrem

rozwiązującem równania (10).

Podobnież i jądra Np(x, y) grają w teoryi równań całkowych ważną rolę; nazywamy Np(x,y) jądrem iterowanem rzędu ]).

Dotychczas otrzymane wyniki streścić można w następującem twierdzeniu:

Równanie Volterry drugiego gatunku (10) posiada jedno i tylko jedno, ciągłe i ograniczone rozwiązanie, przedstawione przez wzór (11). Jest ono funkcyą całkowitą zmiennej X, rzędu niewiększego niż 1.

Równanie Volterry pierwszego gatunku posiada rozwiązanie ograniczone i rzeczywiste tylko przy pewnych warunkach.

ID.

Związek miądzy równaniem Dolferry a równaniami różniczkowemi liniowemi.

5. Między równaniem Volterry a równaniami różniczkowemi liniowemi istnieje ścisły związek; pożyteczne będzie wydobycie go na jaw.

Przedewszystkiem można każde równanie różniczkowe liniowe sprowadzić do równania Volterry.

Istotnie weźmy pod uwagę równanie rzędu w-tego:

dny dxn

przyczem zamiast y rozpatrywać będziemy, jako funkcyę niewiadomą, pochodną najwyższego rzędu:

+ 0*0

dn~ly

dxn~¹

(12)

dny

dxn

Jest wtedy:

dn~ly

dxn~l

+ ^7^2)!

Cn.

Związki te przekształcają równanie (12) na następujące:

12

(13)

z -f- ax (x) j* zdx -\- ... an (#) j zdxn = f(x)~j- 2 ^p fp (x) >

O    O*    P⁼¹

przyczem oznaczamy ogólnie przez fp (a;) wyrażenie:

CC

fp (x) = ap (x) -f —. ap+x (x)

xn~r

(n—p)!

a„ (x).

Wystarczy zastosować teraz znany wzór:

| cp (s)    = r

o    o

(x — s)n

(n— 1)!

?(s) ds,

aby otrzymać równanie Yolterry:

z (x) -f- f (^) +    (x) (%—s) + • • •

an {x) {x — s)”⁻¹

(n—1)1

z (s) ds

= f(x) + ^Gvfr(x). (14)

P=1

Zakładamy tu, rzecz prosta, że punkt x = 0 jest regularny dla wszystkich spółczynników ax (x). Zauważymy mimochodem, że wszystkie elementarne własności równań różniczkowych jednorodnych i niejednorodnych wypływają natychmiast z wyników powyższych.

Aby prawa strona wzoru (14) miała wartość określoną, potrzeba, by stałe G miały wartości dane. A więc odwrotnie: rozwiązanie równania Volterry (14) jest równoważne z rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego dla równania różniczkowego (12). Jednoznaczność rozwiązania równania Volterry odpowiada temu, że i zagadnienie Cau-chy’ego posiada w punkcie regularnym jedno tylko rozwiązanie.

6. Jeżeli położymy w równaniu różniczkowem (12) n = co, otrzymamy ciekawy wynik, który z pewnego punktu widzenia rzuca dużo światła na analityczną naturę równania Volterry. Otrzymamy mianowicie w ten sposób równanie różniczkowe liniowe rzędu nieskończonego:

n {x)J zdxn

z-\~ax (x) j" zdx -j- ctz (x)    zdx² -j- .

o    o*

co

f (x) 4" 2 ^'p

13

gdzie:

oo

fp 0*0 - Up+r {%) y, •

n=0

Równanie to równoważne jest równaniu Yolterry:

z-\-J al(x)--j- a₂ (x) (x

o

an (x) (x—s)n

(n 1)!

■j-...    (s) ds

oo

(15)

p—\

Przypuśćmy, że w przedziale (0, a) funkcye ap (x) są jednostajnie ograniczone, to znaczy, że

(p — dowolne)

\ap(x)\<L A

Warunek ten oczywiście pociąga za sobą:

Jeżeli więc szereg

[ fp (x) I ^ AeA*.

• W!

jest zbieżny, wówczas prawa strona równania (15) jest szeregiem bezwzględnie i jednostajnie zbieżnym w przedziale (0, a).

Podobnież i szereg, przedstawiający jądro równania (15), jest w tymże przedziale bezwzględnie i jednostajnie zbieżny.

Powyższe proste przejście do granicy wykazuje, że w pewnych przypadkach rozwiązanie równania Volterry równoważne jest rozwiązaniu zagadnienia Cauchy’ego dla równania różniczkowego liniowego rzędu nieskończonego. Uwaga ta pozwala nam ujrzeć we właści-wem świetle rolę i charakter tego nowego narzędzia analitycznego.

I).

Równania Dolterry o wielu zmiennych niezależnych.

7. Równania Volterry o wielu zmiennych niezależnych mają ważne zastosowania do teoryi równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych o charakterystykach rzeczywistych.

Rozpatrzymy równanie typu następującego:

14 —

x    y

<p («,*/) + M(a, V> s)<p(s, y)ds+ ( B(x, y, s)y{x, s) ds o    o

a 2/

+j [C(x

y, s, ż)cp(s, t)dsdt = F{x, y).

(16)

Odpowiada ono omówionym w paragrafach poprzednich równaniom drugiego gatunku.

Zakładamy, iż funkcye A (x, y, 0), 5 (#, y, 0) i C (x, y, s, t) oraz F(x, y) są w pewnym obszarze Z) całkowalne i ograniczone, mianowicie, że: \A(x,y,s)\, \B{x,y,z)\, \C(x, y, 0, t)\<M, \F(x, y)\^F.

Aby znaleść rozwiązanie równania (16), zastosujemy metodę przybliżeń kolejnych, kładąc:

?₂ («, z/j = --

j A(x, o

y, s)<pi(s, ■*/) ds —

J B(x, 0

y, s) (fi (a;, s) ds,

C(x, y, s, ^)cpi(s, t)dsdt = D[yl(x, y)\

(17)

<p«(a, z/) = 7>[rf«-i (®, ?y)|.

W prostokącie (1) o bokach Oa, Op, zawartym w obszarze I), mamy:

I Ti (*» Z/)l

Ta (^ > 2/) f śś 0® "h y 4" %y) ^ (a P "I⁻ °$) >

I ?s (x > y)

i ogólnie

M² A⁷ (a -j- p -(- ap) (a? -f- ?/ -j- a;?/) < FM² (ot —|— p —ap)²,

| rpn(:r, y) \ ^ (a -f- p + *$)n •

Wynika stąd, iż szereg przybliżeń jest w prostokącie (1) regularnie ł) zbieżny, jeżeli tylko a i p są tak małe, że

‘) To znaczy bezwzględnie i jednostajnie.

15

M(a-f P + «P)< 1 •

Otrzymujemy w ten sposób rozwiązanie naszego równania; rozwiązanie to jest zresztą jedyne, na mocy rozumowania, analogicznego do przeprowadzonego na str. 8.

Aby rozwiązanie to przedłużyć w obszarze D, weźmy pod uwagę prostokąt (2), przylegający z prawej strony do prostokąta (1) i zawarty w D Jeżeli wprowadzimy nowe zmienne;

y' = y,

x' = X — a; wówczas możemy równaniu (16) nadać postać:

x'

y

s) <p (8, yf) ds +JB₁ (x', yf, s) <p (xr, s) ds -\- f I @i (x'> y'i s» 0 <p (s, ż) (Zs dt — F -(- 4>

¥ (a?, 2/') + | y\

*' y'

Strona lewa jest zbudowana tak samo, jak lewa strona równania (16), <E> jest łatwą do obliczenia funkcyą; zależy ona od wartości <p (x, y) w prostokącie (1), które są nam już znane.

Można wskutek tego zastosować ten sam mechanizm przybliżeń kolejnych, zastępując tylko F przez F-j-<ł>; jeżeli znowuż M (a' -f- p' -j- a'P') < 1, to przybliżenia będą regularnie zbieżne, gdyż stała M ma tęsamą wartość, co w równaniu (16). Można tedy otrzymać po skończonej liczbie kroków wartość rozwiązania w każdym punkcie obszaru D. W ten sposób dochodzimy do twierdzenia:

Równanie (16) ma jedno i tylko jedno rozwiązanie w każdym obszarze, w którym funkcye A {x, y, z), B{x, y, z), C(x, y₎ z, t), F(x, y) są ograniczone i całkowalne¹).

8. V. Yolterra rozpatruje również równanie pierwszego gatunku:

(N(X,

0 ()

(19)

y; s, t) cp (s, t) dsdt = F(x, y).

Połóżmy:

N(x, y, s, t) = N(x, y)+N₁(x₁ y, s) (x - s) -j- Ns (x, y, t){y-t) Ą-Nz {x, y, s, t) (x - s) (y - t).

') Powyższa metoda podana została przez E. Picarda.

16

Równanie (19) przybiera wtedy postać:

N(x,

y) f f (s, t) ds dt -J- j I Nt (x, y, s) (x — s) (s , t) dsdt 0 0 0 0

+JJ    (x > y,») iy - t) <p (s, 0 dsdć

+ f I* ^3 O, y, », t) (y— t)(x - s)y(s, t) dsdt = F (x, y).

<j ó

Przyjmując, jako niewiadomą, funkcyę:

o; y

, t) dsdt,

możemy przedstawić równanie (19) w postaci:

y

s) ?i (s, y) ds+J

O

N, (x, y, s) cpiOc, s)

Nz(x, y\ s,    t)dsdt = F(x, y).

Dzieląc przez JV(a?, ?/), otrzymujemy równanie drugiego gatunku.

Ponieważ cp (0, 0) = 0, musi więc być F (0, 0) = 0. Podobnież warunek N(x, y) = N(x, y\ x, ?/)4=0 jest konieczny i dostateczny na to, aby spółczynniki równania drugiego gatunku były ograniczone. Tym sposobem odnajdujemy na innej drodze te same cechy szczególne, które występowały w równaniu Yolterry o jednej zmiennej. v

Dl. Układy róuinan Dolterry.

9. Metoda przybliżeń kolejnych pozwala rozwiązywać w równie prosty sposób układ n równań liniowych Volterry o n łunkcyach niewiadomych. Oznaczać będziemy tern mianem układ:

*) Można powyższą metodę stosować również w przypadkn jednej zmiennej.

17

(x) +

I Aip{x, ś) yp (s) ds = fc (x) (i — l,2...n).

p=l ó

?i0 (x) = fi (x)

Sposób zastosowania powyższej metody jest oczywisty; pierwszemi przybliżeniami będą:

równaniami zaś zwrotnemi: 0=1, 2... n).

Metoda, już kilkakrotnie stosowana, wykazuje, że szeregi przybliżeń są regularnie zbieżne, o ile spółczynniki Aik(x, y) są całkowalne i ograniczone.

10. Każdy układ równań różniczkowych liniowych rzędu skończonego, typu:

'a

dx

+ 2 aip(X)Zp(X) = fi(X)

0=1, 2 ... n)

p=l

sprowadzić można do układu równań Volterry, przyjmując zanie-d& ‘

wiadomą ut — -r-^. Można nawet rozpatrywać układy równań rzędu

CiOC

nieskończonego, do których stosuje się ta sama metoda, byleby warunki początkowe zapewniały zbieżność lewych stron równań uważanych.

011. Uwagi końcowe.

11. Rozdział niniejszy jasno wykazuje potęgę tego przedziwnego narzędzia analitycznego, którem jest metoda przybliżeń kolejnych, oraz płodność tej metody we wszystkich zagadnieniach o istnieniu, występujących w teoryi równań różniczkowych liniowych oraz całkowych liniowych, które są — jakeśmy widzieli — prawdziwem uogólnieniem tych ostatnich.

Równania całkowe dotąd rozpatrywane były regularne; poświęcimy równaniom osobliwym rozdział osobny, w którym jednocześnie omawiać będziemy równania Yolterry i Fredholma.

Teoryj

r %

..^jwnań całkowy*!

k?J>

CZĘŚĆ DRUGA.

ROZDZIAŁ PIERWSZY.

RÓWNANIE FREDHOLMA.

I. ŁDzory I. fredholma.

1. Równanie Fredholma drugiego gatunku jest pouczającym przykładem prawdziwego odkrycia matematycznego; znajdujemy tu wszystkie rysy zasadnicze takiego odkrycia, —a więc wyniki nowe i niespodziewane, śmiałe przejście do granicy, które Darboux i Picard słusznie uważają za jedno z najpiękniejszych w całej Analicie. Ciekawą jest rzeczą naszkicować w ogólnych zarysach tok tego pamiętnego odkrycia.

Weźmy pod uwagę równanie

oraz punkty podziału

<p (x) -f- X J N(x, s) <p (s) ds = f (x)

n—' 1

(1)

_1_    2_    3

n ’ n ’ n ’'

i zastąpmy w równaniu (1) całkę przez sumę przybliżoną, odpowiadającą punktom podziału (2); otrzymamy równanie przybliżone:

• •>

(2)

■p (*)+ X [#(«!, -X) ’h + N[x, X)    •■?„] =f(x). (3)

Wyrażając, iż związek (3) spełnia się w punktach (2), otrzymamy n równań liniowych:

19

(4)

?i 4~ x [Nn 14- N₁₂ <p₂ 4- • • • 4" Ni»?»] — A» ¥2 4~ x [iV₂₁ <pj4- n₂ 2^2 4- • • • 4“ Ai«<pw] = A >

<Pn + X [A>1 ępl4~ A»2 ^2    • • • "j"    - fn •

Rozwiązania tego układu są funkcyami wymiernemi ułamkowemi parametru X, o wspólnym mianowniku:

A, (X) =

1 XAU

X Ar₁₂. • • x^2i 1 4“ x .Ar₂₂ •..

XiVIn

XiV₂*

, 10

XiVnl

X A7j|₂ • • • 1 4“ X Au*

Jeżeli więc równanie całkowe (1) zastąpimy przez równanie przybliżone (2), teorya równań liniowych da nam wyniki następujące:

a)    Równanie (3) posiada w punktach (2) rozwiązanie dla każdej wartości X, dla której wyznacznik (5) jest różny od zera; niewiadome cpA są funkcyami wymiernemi ułamkowemi zmiennej X, o wspólnym mianowniku Dn(X).

b)    Dla pierwiastków funkcyi Dn (X) rozwiązalnem w punktach (2) jest jednorodne równanie (3)q

c)    Aby w tym ostatnim przypadku rozwiązalnem było również niejednorodne równanie (3) potrzeba i wystarcza, aby znikały wszystkie wyznaczniki, powstające przez zastąpienie którejkolwiek kolumny wyznacznika Dn (X) kolumną prawych stron równań (4). Aby od równania przybliżonego (3) przejść do równania (1), trzeba wykonać przejście do granicy lim n — 00.

Układ (4) stanie się wtedy układem równań liniowych o nieskończonej liczbie zmiennych, wyznacznik Dn (X) wyznacznikiem nieskoń-• czonym, a niewiadome cp* utworzą zbiór nieskończony, określający niewiadomą funkcyę ciągłą <p (x) w przedziale (0,1).

Zasługą I. Fredholma jest wykonanie powyższego przejścia do granicy i udowodnienie, iż zachowane zostaną przytem trzy wymienione własności. Pierwsza rozprawa Fredholma ukazała się w r. 1900 w Sprawozdaniach Akademii w Stockholmie; następnie pojawiły się dwie noty w Sprawozdaniach Akademii Paryskiej (w r. 1902), oraz obszerna

') I. Fred holm, 1, 2, 3, 4.

20

rozprawa w XXVII-ym tomie czasopisma „Acta Mathematica“, poświęconym pamięci N. H. Abel a (w r. 1903).

Metoda I. Fredholma jest bezpośrednia; rozpatruje on znane rozwinięcie wyznacznika Dn (X) według potęg zmiennej X i dowodzi, iż, kładąc n = oo, otrzymamy funkcyę całkowitą D (X) zmiennej X. Wynik ten zasadniczy, który wydawał się bardzo prawdopodobnym już na mocy pewnych prostych rozważań z teoryi wyznaczników nieskończonych, został ściśle udowodniony przez I. Fredholma przy pomocy pewnego twierdzenia Hadamarda.

Szeregi, otrzymane przez I. Fredholma, są wytworne i pozostaną niewątpliwie klasycznemi.

2. Nota Fredholma z r. 1900 niezwłocznie zwróciła na siebie uwagę profesora Getyngeńskiego uniwersytetu D. Hi 1 berta, który lat kilka poświęcił pracy nad udoskonaleniem teoryi równań całkowych^ , zarówno drogą wykładów uniwersyteckich, jak i badań osobistych. Punktem wyjścia było dla Hilberta spostrzeżenie następujące:

Wyznacznik Du (X) jest wyróżnikiem formy kwadratowej.

(Nvq = Nqp). (6)

| X    Wp q Xp Xq .

p=i

W ten sposób piękna teorya ,'orm kwadratowych i dwuliniowych, którą nauka zawdzięcza Weiersitrassowi, Sy 1 vesterowi, Kro-neckerowi i Frobeniusowi,-mogła przez przejście do granicy lim 7i = oo, nowe przynieść owoce; w ten sposób również ujawnia się rola symetryi jądra, który to przypadek Hilbert i szkoła jego badali przedewszystkiem. Sprowadzenie formy (6) do kształtu kanonicznego poddało D. Hilbertowi myśl uważania każdego równania całkowego za źródło pewnego ciągu funkcyj ortogonalnych i nawiązania przez to do teoryi równań całkowych badania nad rozwinięciem funkcyj dowolnie danych na szeregi funkcyj ortogonalnych. Uzyskane przez Hilberta wyniki mieszczą się w sześciu notach, przedstawionych Getyn-geńskiemu Towarzystwu naukowemu l), przyczem czystej teoryi poświęcone są noty 1-a, 4-a i 5-a; w pozostałych znajdujemy zastosowania. Wyniki te, o ile dotyczą teoryi, odnalezione zostały i uzupełnione przez jednego z uczniów Hilberta, E. Schmidta, metodą bezpośrednią. W swej rozprawie doktorskiej²) podał mianowicie Schmidt wykład

*) D. Hilbert, 1. ³) E. Schmidt, 1.

21

głównych własności równań całkowych o jądrze symetrycznem, odznaczający się niezwykłą wytwornością, który też szybko się rozpowszechnił i niejednokrotnie był użytkowany. Przypadek jądra asymetrycznego, również rozpatrywany przez Hilberta i Schmidta, wymagał jeszcze dalszych badań. Już w r. 1903 J. P1 e m e 1 j w bardzo wybitnej pracyl) odkrył ciągi funkcyj dwuortogonalnych, których szczególnym przypadkiem są funkcye ortogonalne. Funkcye te, przy pomocy prostej metody utożsamiania, odnalazł następnie B. Heywood²); dopiero jednak E. Gour-satowi zawdzięczamy podstawową w tej mierze pracę³⁾, w której odnajdujemy wszystkie zasadnicze pierwiastki zagadnienia, wynikające z głębszych badań nad jądrem rozwiązującem. Pojęcie jąder ortogonalnych jest przytem najdogodniejszein narzędziem badania, czyni bowiem zbędnem wszelkie przejście do granicy i pozwala na bezpośrednie roztrząsanie równań całkowych w przypadku najogólniejszym. Będziemy się posługiwali metodą mieszaną, korzystając z prac Fredholma, Goursata i Heywooda.

W części tej będzie mowa jedynie o funkcyach i jądrach ograniczonych i całkowalnych.

II. Pierwsze twierdzenie I. fredholma.

3. Gement analityczny rozwiązania. Weźmy pod uwagę równanie

całkowe:

(?)

¥ (x) 4" X j’ N(x, s) y(s) ds = f (x)

Stosując metodę przybliżeń kolejnych, podobnież jak przy równaniu Yolterry, otrzymamy szereg: cp (x) = f (x) — X I’N(as, s) f (s) ds + X² j iVj (x, s) f (s) ds -j-

a    a

b

+ (—1 )p^p I (x, s) f(₈) ds +...

') J. Plemelj, 1, 2.

²)    B. Hey wood, 2.

³)    E. Goursat5, H. Mercerl.

przyczem położyliśmy:

(9)

Np (x, y) = j’... j*N {pc,    N (Sj, s₂)... N(sp, y) dsx ds₂... dsp.

Wyrażenie (9) nazywać będziemy jądrem iterowanem rzędu p. Szereg (8) jest regularnie zbieżny w przedziale (a, b) dla dostatecznie małego X. Istotnie, wyrazy jego są kolejno mniejsze

co

od odpowiednich wyrazów szeregu M.Np\p (b — a)p , zbieżnego

p—o

22

dla X

N (b — a)'

Możemy wobec tego wzór (8) napisać w kształcie:

(10)

przyczem wyrażenie:

$l(x, y; X) = N(x, y) — XNl(x, y) + ... + (— \yi*Np (x, iy)-\~... (11)

nazywać będziemy jądrem rozwiązującem równania (7).

Forma (10), którą nadaliśmy rozwiązaniu, nasuwa uwagę następującą. Charakter analityczny rozwiązania, uważanego jako funkcya zmiennej X, zależy przedewszystkiem od jądra rozwiązującego; badanie rozwiązania sprowadza się tym sposobem do badania jądra rozwiązującego, przyczem, jak zobaczymy w następstwie, funkcya f(x) nie gra żadnej roli.

4. Równania całkowe jądra rozwiązującego. Zamiast badać szereg (11) wprost, zauważymy, iż z szeregu tego wynikają związki następujące:

y) X    (s, y) ..

(x, y\ X) = N (x, y) — X j N (x, s) [N (s

a

+ (— l)p~ł *2>~¹    1 (S, y) + • • •] ds

6

= N(x, y) —

X j N(x, s) dl (s, y; X) ds

oraz;

23

$i(x, y\ \) = N(x, y)~ X j' [N(x, s) —...

a

+ (— l)p_1    Np-1 (x, s)-f...] M (s, y) ds = N (x, y) — X ^ 91 (x, s; X) iV (s, ?/) ds.

Można więc powiedzieć, iż jądro rozwiązujące 91 (x, y\ X) sprawdza równania całkowe:

N (x, y) — 9fi (a;, y; X) = X j' N (x, s) 91 (s

b

= X (a;,

, 7/; X) ds

(12)

s; X) JV (s, ?/) ds.

Będziemy badali jądro rozwiązujące przy pomocy jednego z tych równań, przyczem, oczywiście rozwiązanie jednego z nich będzie zarazem rozwiązaniem drugiego, wskutek tego, że oba równania wypływają ze wspólnego źródła: mianowicie ze związku (11).

5. Równanie stowarzyszone. Do badania równania (7) dogodnie jest dołączyć badanie równania

(7a)

(a?) -J- X j" N (s, cc) cp (s) ds = f (cc),

które otrzymujemy z równania (7) przez przemianę zmiennych jądra. Równania (7) i (7a) nazywamy stowarzyszonemi.

Mają one wspólne jądro rozwiązujące. Istotnie, analogiczny do poprzedniego rachunek wykazuje, iż elementem analitycznym rozwiązania równania (7a) jest:

x; X) f (s) ds.

<1>(x) — f (x) — xj 91 (s

Można tym sposobem badać jednocześnie oba równania; sprowadza się to do badania jądra rozwiązującego.

6. Funkcye całkowite fredholma. Uwagi wstępne § 1-go nastręczają nam próbę rozwiązania równania całkowego:

24

94 (x, y, X) — N (x, y) — X / N (x, s) 94 (s, y; X) ds

(13)

przez funkcyę meromorficzną zmiennej X:

Ao {x, y)-\-XAl(x, y)-\-. ■ .JrXPAP(x, y)-f.... 1 -j~ ci^ X —|— .... cip \p —j— ....

_D(x, y; X)

(X)

Wstawiając wyrażenie to w równanie (13), otrzymamy:

94 (x, y\ X) =

(14)

D (x, y\ X) = N (x, y) D (X) — X j' N(x, s) D (s, y; X) cis,

a stąd, przez porównanie spółczynników przy jednakowych potęgach zmiennej X:

A₀{x, y) = N(x, y),

b

Al(x, y) = y N(x, y) — j N(x, s)A₀(s, y)ds,

(15)

(a?, ?/) = cipA {x, y) —

I N(x, s) Av_ i (s, ?/) ds

warunki:

Aby otrzymać stąd wzory I. Fredholma, wystarczy dołączyć

p - Cip —

Av_x (s, s) ds . '

(16)

Istotnie, otrzymamy wtedy

«i =

j N (s, s) ds

Ax {x, y) = N(x, y) I N (s, s) ds —

N (x, s) W (s, ?/) ds

N(x, y) N(x, s) J Af(s, y) N (s , s)

ds

25

Używając dogodnego znakowania, wprowadzonego przez Fredholma:

W(aą, y,) W (a;,, y₂)...    ?/„)

5 x

tO tO

W”(a?w, 2/,) N(xn, y₂).. • W(a?w, ?/«)

możemy napisać:

Z kolei mamy:

2 zl₂ (a?, «/) =

A («, y) = i n

'X, s

y, s.

ds.

b    b

N (x, y) I Ax (s, s) ds — 2 j' N (x, s) A₁ (s, y) ds,

lub też, pisząc ostatnią całkę dwa razy z rzędu i oznaczając w niej zmienną całkowania raz przez sn drugi raz przez s₂: 2A₂ (x, y)= I [N (ix, y) Ai (s, s)ds — N {x, sx) At (sv y) dsx— N(a;, s₂)

a

albo też:

X Ax (s₂, y) ds₂1

x *£ 3] *>*»

Wyrażenie pod znakiem całki jest rozwinięciem wyznacznika

> Sl) 5

gdyż

> s₂)

W(s!, ?y), iV(sl5 Si), iy(s1} s₂) N(s₂, «/), W(s₂,

!>

▼—I tH

co co

s₂

Tym sposobem:

(: )

rH y—>

co co

'SS X-

s₂

'a wskutek tego: j dslds₂ds₃

CO

26

Jest to prawo ogólne; w istocie:

b

p . Ap(x, y)= j¹'n(x, ?/) ^4p_i (s, s) ds — pj N (cc, s) Ap_i (s, «/) ds

a    a

b

=J \N (x, ?/) ^4p_i (s, s) ds — iV (as, sj Ap-i (st, x) ds

a

- N(aj, s₂)A_i(s₃, y) ds₂ — ... — N(x, sp) A (sp, y) dspj.

Zastępując ^4p_i przez jego wartość, otrzymamy pod znakiem całki rozwinięcie wyznacznika

^ i?

cc cc

H-*

W «

co CO

CO CO

Mamy więc w przypadku ogólnym:

ap (x, y) =

-rH    i—•

cc cc

cc* cc

oraz

_p!

r(

H ł—1

cc cc

, S₃ . . . . Sp

) Sj • t . . Sp

j ds₂.... dsp.

Tym sposobem otrzymujemy:

gdzie:

y\ 'k) =

D(x, y; X)

D(\)    ’

D(x,y;X) = N(x, y) + 4_f N{y', *')    i

X?

T—i y—i

cc cc

Co Co

to to

•cc* cc

’ ‘ j (fej . . .

• • •>

1 -J- xj2V (Sj, sj rfsx-(-

Xp

CO Co — *-*

o*

co CO

27

Funkcye (17) są funkcyami całkowitemi zmiennej X rzędu conajwyżej równego 2. Istotnie, według twierdzenia Hada-marda¹), wartość bezwzględna wyznacznika rzędu p, którego wyrazy

p

są niewiększe bezwzględnie od N, jest nie większa od Np (p) ². Wobec tego:

i av \ <

Npp²

p\

(b—a)p,

albo też, przy użyciu wzoru asymptotycznego Stirlinga.

p! co

a stąd:

ap | co

N PeP

to!

{b — a)p

p²V | ap j co eN(b — a) < A.

(18)

Nierówność (18) wykazuje,. iż D(X) jest funkcyą całkowitą zmiennej X, rzędu nie większego niż dwa.

Analogiczne postępowanie daje ten sam wynik dla D (x, y\ X), przytem dla wszystkich x, y zawartych w przedziale całkowania {a, b). 7. [Jednoznaczność rozwiązania. Otrzymane przez nas rozwią

zanie:

y{x) = f{x) — \ j'(x, s; X) f (s) ds

(19)

jest jedyne; wynika to natychmiast stąd, iż związki (7) i (19) są względem siebie odwrotne. Istotnie, załóżmy, iż istnieje drugie rozwiązanie cpj {x), dla którego

Tl (a) + X Jn(x, s) <Pi (8) ds = f (;X).

(20)

Podstawiamy we wzór (19) wartość f {x) z równania (20); daje to:

') Hadamard, Buli. sc. math. 1893 p. 240, Wirtinger ibid. 1907 p. 175, S. Zaremba Teorya wyznaczników i równań liniowych 1909 p. 117—127.

28

¥ 0*0 = Ti (») + >' | {#(«, s)

31 (xt s; X)]-f-X f 31 (x, t; X)

X N (£, s) dt | cpj (s) ds

jednakowoż, na mocy równań całkowych jądra rozwiązującego; wyrażenie pod znakiem całki znika tym sposobem:

cp (x) = <pŁ (a?)

co znaczy, że rozwiązania cp (x), cpj (x) są identyczne.

8. Pierwsze twierdzenie Fredholma. Możemy uzyskane w rozdziale tym wyniki streścić w następującem twierdzeniu:

Równanie

cp (x) -|~ X j’ N (x, s) cp (s) ds = f (x),

w którem funkcye /(a?), N(x, y) są w przedziale a, 6 ograniczone i całkowalne, posiada jedno i tylko jedno rozwiązanie cp (x), określone przez wzór:

cp (ai) = f(x) — X j 31 (x, s; X) f (s) ds,

przyczem 9^ (a?, s; X) jest ilorazem dwu funkcyj całkowitych zmiennej X rzędu niewiększego niż 2.

Na tern polega pierwsze twierdzenie Fredholma.

III. Pierwiastki funkcyi D(k).

9. Rozwinięcie funkcyi log Z) (X); ślady jądra. Wielkie usługi od- -da nam w następstwiepewien ważny wzór, który również zawdzięczamy I. Fredholmowi. Aby go wyprowadzić, zauważymy, że ze związku (16) wynika:

dD(X)_

dl

I D (s, s; X) ds,

(21)

lub też, jeżeli podzielimy przez D(k), w celu otrzymania po prawej stronie jądra rozwiązującego:

Aby obliczyć wyrażenie po stronie prawej, posługiwać się będziemy rozwinięciem jądra rozwiązującego na szereg Mac-Laurina (11); w ten sposób otrzymamy:

f 9!(s.

s; \) ds = nx~Xn^-1- ...-}-(— l)?-¹ X?-¹ nv -f . „.

przyczem np oznacza:

nv = j (s, s) ds.

Ze stałemi np często jeszcze spotykać się będziemy; nazywamy je śladami jądra N (sc, y).

6

Wstawiając w równanie (22) wzór na j 9c (s, s; X) ds i całkując,

a

otrzymujemy wzór szukany:

Xp+'...    (23)

29

D' (X)

D(X)

j' 9^ (s, s; X) ds.

(22)

log D (X) = nx X — n₂

stała całkowania jest zerem, gdyż D (0) — 1.

10. IDartości właściwe jądra. Znaczenie pierwiastków funkcyi D (X) wyjaśnia następujące twierdzenie:

Każdy pierwiastek Xp funkcyi D (X) jest biegunem jądra rozwiązującego. Istotnie, udowodniony w poprzedzającym paragrafie związek

D' (X) = j D (s, s; X) ds

wykazuje, iż, w razie gdy \p jest także zerem dla funkcyi D (x, y\ X), to w każdym razie zerem rzędu o jedność niższego niż dla funkcyi D (X); a więc i w tym przypadku jest Xp biegunem jądra rozwiązującego.

Zera te tworzą zbiór przeliczalny. Niechaj będzie X X₂, ..., Xp.. . ciąg zer tych, uporządkowanych według rosnących wartości bezwzględnych. Ponieważ rząd funkcyi D (X) jest conajwyżej równy 2, więc szereg:

X, !²+*

I X2 |2+S

Xp|2+£

30

jest zbieżny dla każdego s>0, co nam daje pojęcie o gęstości zer. W teoryi równań Fredholma zera funkcyi D (X) grają rolę zasadniczą. Nazywać je będziemy wartościami właściwemi jądra, funkcyę zaś D (X) nazwiemy funkcyą charakterystyczną lub wyznacznikiem jądra.

11. IDarunek nieistnienia wartości właściwych. Rozwinięcie wyznacznika D (X) na iloczyn nieskończony ma kształt:

oo

D (X) = e-W JJ E /Aj

p=l    ^

przyczem E

oznacza czynnik elementarny, odpowiadający zeru Xp.

a więc

Jeżeli D (X) zer nie posiada, wówczas:

D (X) == e*l+^ , log D (X) = a X -j- (3 X².

Przez porównanie ze wzorem (23) otrzymujemy stąd:

(24)

... = 0.

... = np =

Odwrotnie, jeżeli np — 0 (dla p 3), wówczas D (X) ma kształt (24), niema więc wartości właściwych.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby jądro nie posiadało wartości właściwych, jest, by jego ślady, począwszy od trzeciego, równały się zeru⁰.

12. Jądra o skończonej liczbie wartości właściwych. Jeżeli jądro posiada skończoną liczbę wartości właściwych, wówczas funkcya D (X) ma kształt:

(25)

skąd wynika:

log D (X) = aX -j- (3X³ -j- ^ log 11 — -J

przez porównanie zaś z wzorem (23)

(—1 )*np =

Xj*»

(.P > 2).

Odwrotnie, jeżeli zachodzi powyższy związek, wówczas można

31

D (X) przedstawićrprzez wzór (25). Widzimy, iż ślady jądra, począwszy od 3-go, muszą być równe sumom jednakowych potęg pewnych k liczb:

Xfc ’

liczb sprawdzają równanie zwrotne typu:

; wiadomo jednak, iż sumy jednakowych potęg k

a₀ 7lp -}-    -\- . . . . -f- djcTlp-^k — 0

i vice versa. ²)

Na to, by jądro miało skończoną liczbę wartości właściwych, potrzeba i wystarcza, aby ślady jego, począwszy od trzeciego, sprawdzały jednorodne liniowe równanie zwrotne:

d₀Hp -j- Up+i    -j- dicTlp+k — 0.

*) T. Lalescol.

²) E. Goursat 5. T. Lal es co 2.

ROZDZIAŁ DRUGI.

BADANIE SZCZEGÓŁOWE JĄDRA ROZWIĄZUJĄCEGO.

I. funkcye ortogonalne i diuuorlogonalne.

1. Określenia. Skończony lub nieskończony zbiór funkcyj:

Ti 0*0> T2 0*0> • • •» T« 0*0 • • •

tworzy układ ortogonalny, jeżeli spełnione są warunki:

I V< (s) ?k (s) ds — 8ik,

gdzie symbol 8ik oznacza zero dla i=ł=k, jedność zaś dla i — k.

Ciąg funkcyj tworzy układ dwuortogonalny, jeżeli można podzielić go na dwie grupy:

Ti 0*0 > T₂ (»>•••> T»0*0---4ń 0*0, 4*2 0*0, •

• •>

<!>n (a?) • • •

tak, aby spełnione były warunki:

Sit.

*) Plemelj 2, Heywood 2, Goursat 5, Mer cer 1, Landsberg 1.

33

Układ ortogonalny lub dwuortogonalny nazywamy zupełnym, jeżeli nie można dołączyć do niego żadnej nowej funkcyi lub pary funkcyj.

Funkcye ?p(aj), (aj) o tym samym wskaźniku nazywamy stowarzyszonemu

Funkcye układu ortogonalnego są liniowo niezależne, gdyż ze związku

2 c*?t'(a?) = 0,

k—l

mnożąc przez (aj) i całkując od a do b, otrzymalibyśmy c* = 0. Podobnież liniowo niezależnemi są funkcye należące do tej samej grupy układu dwuortogonalnego; dowód jest analogiczny do poprzedniego, należy tylko mnożyć przez ^ (aj).

2. Ortogonalizacya i dwuortogonalizacya danego ciągu funkcyj. Odwrotnie, jeżeli'dany jest ciąg n funkcyj liniowo niezależnych, wówczas możemy zawsze przez kombinacye liniowe utworzyć z niego ortogonalny układ n funkcyj. Oto postępowanie, wskazane przez E. Gour-sata.1}

Załóżmy, że dane są funkcye (aj), ?₂ (x),..., ?* (aj); kładziemy Oj (:x) =    (x) i dobieramy spółczynniki c₂, c₃,..c„ tak, aby było:

(p = 2, 3 ... ń)

f [?P 0) — Cp ?Ł (*)] ?t (s) ds — 0

Kładąc

otrzymamy ciąg:

?p 0*0 — cp?i (*) = ?p(a?),

ĆÓi (a?), ?₂    ?*(»),

(p — 2... n)

dla którego spełnione są warunki:

(p== 2 .... n)

Oi (aj) ?p (aj) dx = 0

Funkcye ?₂ (aj),. .., ?w (aj) są znowu liniowo niezależne; można zastosować do nich tę samą metodę i t. d.

*) Goursat, 1. c. p. 66.

Teorya równań całkowych

³

M AT E M AT V K i

WYDZIAŁU INŻYNIERII

w KRAKOWIE

należy jeszcze pomnożyć (cc) przez stałą:

// f*₉*(8)dS

r a

Układ ortogonalny (2), w powyższy sposób określony, nie jest jedynym, odpowiadającym warunkom zagadnienia Istotnie, funkcye

k= 1

tworzą również układ ortogonalny, jeżeli tylko wyznacznik j aik jest ortogonalny. Odwrotnie, jasną jest rzeczą, że biorąc na aik coraz to inne wyznaczniki ortogonalne, otrzymamy wszystkie układy ortogonalne równoważne układowi (1).

Weźmy teraz pod uwagę dwa ciągi, zawierające po n funkcyj liniowo niezależnych:

(3)

34

W końcu dochodzimy do układu:

Ol (x) , 0>₂ (a;),..O* (x)

(2)

spełniającego warunki:

Aby mieć także:

j' O i (s)    (a) ds — 0.

a

6

ij Op² (s) ds

(■i 4= A)

= 1,

?1 (»),•••. M®), ••••

zakładając przytem, że żadna kombinacya liniowa funkcyi yp (x) nie jest ortogonalna do wszystkich (x) jednocześnie.

Powiadam, że z układu powyższego możemy drogą kombinacyj liniowych otrzymać układ dwuortogonalny.

Istotnie, połóżmy: (x) =    (x) i oznaczmy przez Mi’₁ {x) pierw

szą z pomiędzy funkcyj (x) dla której:

j Ol (s) 'Fj (x) ds 4= 0

(funkcya taka istnieje zawsze).

35

Określmy następnie spółczynniki a₂,..

an, bbn tak, aby

było:

f (s) [<pP (s)—ap <$₁ (s)] ds = 0

(p = 2, 3 ... w)

i kładziemy:

cpp (a;) — ap {x) = yp (x), <1>p-i {x) — bp-11’₁ (a?) =    (x),

tyP(x) - bp 'Fj (x) = <j>p (a?),

Otrzymamy w ten sposób funkcye:

{P = 2,..., w)

(p = 2,..., pŁ)

(p = Pi-fl,. .W).

<f>» (X)

Oi (rc), cp₂ (a;), . .

^iM> S M* • • •> SM

między któremi zachodzą związki:

f &i (s) S (s) ds = 0,

b

/'

(s) Tp (s) ds = 0.

Funkcye:

?2 (X) > ?3 M. • • •> ¥*0*0

-o

(4)

2 0*0 ) 'K (^Ół • • J n {&)

są w każdej grupie liniowo niezależne; przytem, żadna kombinacya liniowa funkcyj yp (x) nie może być ortogonalna do wszystkich funkcyj <|>p (a?), ponieważ, bowiem jest ona w każdym razie ortogonalna do (a?), więc byłaby ortogonalna do wszystkich funkcyj cpp (x), w sprzeczności z założeniem.

Układ (4) posiada więc takie same własności, jak układ pierwotny (3); można tedy zastosować do niego tę samą metodę; w ten sposób otrzymamy w końcu n par funkcyj <X>P (a?),    {x\ czyniących zadość

warunkom:

y p (x)=2 bvr ^ (®)»

r= 1

wówczas funkcye <ł>p (cc), Wp (cc) stanowić będą również układ dwuortogonalny pod warunkiem, aby zachodziły związki:

2 air bkr = dik ,    (i, k— 1,2... w) (5')

r—1

oraz

— 36

i a>f(s) Wl(s)ds = O

a

b

j <&p (s)    (s) ds 4= 0.

dla i 4= k

Mnożąc wreszcie każdą parę Qp (cc), Wp (x) przez stałą otrzymujemy szukany układ dwuortogonalny.

// / Op (x) ^p (cc) dx

Nie jest on jedyny: jeżeli położymy:

‘Pp (CC)    dpr ⁽Br (CC).

r— 1

(p = 1, 2,...., n) (5)

Wyznacznik | d** | 4= 0 jest dowolny; skoro jest dany, wówczas związki (5') określają jednoznacznie wyznacznik bik i. Odwrotnie, podwójne podstawienie (5), które nazywać będziemy dwuortogonal-nem, daje nam najogólniejszy równoważny z układem (3) układ dwuortogonalny.

Omówione metody redukcyi stosowalne są oczywiście i w tym przypadku, gdy ciągi (1) i (3) są nieskończone ¹>.

3.

funkcpe typu ? (x, y) = 2    0*0 ^ (y)- Będziemy

w na-

p—i

stępstwie posługiwali się następującym twierdzeniem:

*) W sprawie ogólnej teoryi układów ortogonalnych por. Pell A. J. 1.

37

Jeżeli funkcya y {x , y), mająca ślad skończony, sprawdza równanie:

T 0», I/) = J T

s) T (s, y) ds

(6)

wówczas ma ona kształt:

(7)

Tl 0*0 4i (z/) + T2 0*0 4*2 (!/) + ••• + Tw 0*0 <!>» (l/)

przyczem funkcye cpp (a;) i % (x) stanowią dwie grupy pewnego układu dwuortogonalnego.

Zauważymy przedewszystkiem, że ślad musi być liczbą naturalną. W istocie, możemy rozpatrywać <p (x, y) jako jądro równania Fred-holma drugiego gatunku. Na mocy związku (6) wszystkie jądra itero-wane są identyczne, wskutek czego wszystkie ślady jądra równe są liczbie:

Ti —

Będzie więc:

l0g-DM = <p, [y-y+... + (-l)« a stąd:

SM⁵?

+ ••• =<pi log (i 4- X)

(8)

co dowodzi, iż cpx jest liczbą naturalną, którą oznaczymy przez n. Utworzymy teraz funkcyę:

T 0», 2/) ~

T (u;,, y) ę (x, //i) T l/i)

= Ti (®, '!/)•

Funkcya ta sprawdza również równanie (6), jej ślad jednak równa się n — 1.

W rzeczy samej:

b    b

T (s» I/)

TOB. //i) T s) T (^i > l/i)

ds = y(x, y)

T O, l/i) T («i, y)

T (®i> Vi)

T (z, l/i) T (^i. I/)

T(®i> l/i)

T (^i» Vi)

• T (®i > Vi)

= T(^> i/) -

T(g» l/i) T (%i >///). T (*i» l/i)

= TiO*> !/)•

38

Ślad równa się:

f Ti (s

s) =

b

j'cp (s, s) ds — -

s) <p(s, yt)ds

<P l/i)

Do funkcyi (cc, «/) możemy zastosować to samo postępowanie, co do funkcyi «p (a?, ?/). W ten sposób będziemy mogli napisać:

<p (®, i/) = ?! 0*0 <W («/) + <p₂ (*) ła (y) -j- • • • + ?«0*0 ł« (i/) + x (®» y)i gdzie x (&> I/) oznacza funkcyę, która sprawdza równanie (6) i której ślad równa się 0; powiadam, że x (*, U) znika tożsamościowo. Istotnie,

w przeciwnym razie jej jądro rozwiązujące równałoby się

xQe> I/) rn

i+x- ’

jest niemożliwe, gdyż Z>(X) = 1, jak to wynika ze związku (8). jeżeli położymy w nim cp₁ = 0; mamy więc / (oę, y) = 0. Dwuortogonalność funkcyi yp(x), (x) wynika natychmiast, jeżeli wyrazimy, że funkcya (7) sprawdza równanie (6). Otrzymujemy mianowicie:

2 'Pp 0*0 typ CV)' = 2 ^ 0*0 ^ (2/) f (s) ^ (s) »

», *=i    /

co istotnie dowodzi, iż warunki dwuortogonalności muszą być spełnione.

Odwrotnie, funkcya typu (7) sprawdza równanie (6) i ślad jej jest liczbą całkowitą. Można tedy streścić wyniki dotychczasowe w następujący sposób.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby funkcya mająca ślad skończony była typu (7), jest równanie (6).

II. funkcye główne.

4. Dądra ortogonalne. To podstawowe pojęcie zawdzięczamy E. Goursatowi¹* i B. Heywoodowi²); jest ono niezbędne, o ile uniknąć chcemy przechodzenia do granicy, takiego, jakie naszkicowaliśmy w Rozdz. II, § 1 — zresztą wynika ono w sposób zupełnie natu-

') E. G o u r s a t 3, 4. ²) B. Heywood, 1.

39

ralny z głębszych badań nad jądrem rozwiązującem. Przedstawimy je bezpośrednio, co jest użyteczne również ze względu na inne badania. Dwa jądra P (x, y), R(x, y) nazywamy ortogonalnemi, jeżeli jest tożsamościowo:

j'P (%, s) R (s, y) ds = 0

a

(9)

b

= 0.

I R (x, s) P (s, y) ds

Jeżeli zachodzi jeden tylko z tych związków, wówczas nazywamy jądra pół-ortogonalnemi. ń

Jeżeli jądra P (x, y) i R(x, y) są ortogonalne, wówczas:

J* P (x, s) Ot (s,

y\ X) ds =

J R{x, s)ty(x,

s; X) ds = 0.

Wystarczy tu przypomnienie wzoru:

Jt (xy; l) = R (x, y) - \Rl (x, y) -(— l)p K’RP (x, «/) + ...

Jądra ortogonalne mają następujące dwie własności:

I. Jeżeli jądra P (x, y) i R (x} y) są ortogonalne lub półortogo-nalne (Goursat) i jeżeli:

to:

N (x, y) = P (x, y) -f R (x, y)

Dn (^) = Pp (P) • Dr (^) •

II. Jeżeli jądra P (x, y) i R (x, y) są ortogonalne, wówczas

Ot (x, y\ X) = $) (x, y; X) + Ot (x, y; X).

Twierdzenie (I) wynika natychmiast, jeżeli wyraz po wyrazie dodamy do siebie związki:

log DP(k)=p₁\—p₂ — +    + (-1 )n~]p„ ~ + . •.

X²

Xw

logIMX) = rjX -r₂ -    - + • • •

J) Według terminologii E. Goursata.

40

otrzymamy:

co

\og Dr (k) Dr (k) = ^ (—l)”-¹ (pn-\-rn)

Zauważymy teraz iż:

kii=P₁~\~rl,

n₂= j' [P («!, S₂) -f P (sn s₂)] [P (s₂, sx) -f P (s₂, sj] dsx ds₂

a

b

— P2 + r2 + 2 .j' P (st, .s₂) R (s

sŁ) ds x ds₂

otóż, jeżeli jeden conajmniej ze związków (9) ma miejsce, to:

f P(s

s₂) R (s₂, sj ds₂ ds₂ — 0,

a więc:

n₂ =P, + r₂.

Wzór w, —pą -|- rą prawdziwy jest ogólnie. W rzeczy samej:

nq =

s₂) P (S1 1 S?)] [P (s2 5 S3) 4” P (S2 > s3)l ~\~ • ■ •

+ [P (Są , Sj) + P 0q , Si)] dSi ds₂. . . dsq = Pą + k q + V.r

przyczem o.r jest sumą całek, z których każda znika na mocy któregokolwiek ze związków (9). Mamy tedy:

log Dn (X) = log DP (X). Dr (X),

Dn (^) = Dp (X). Dr (X)

By udowodnić twierdzenie II, weźmiemy za punkt wyjścia równania, określające jądra rozwiązujące, t. zn. równania:

a więc

c. b. d. o.

V (x, y; X) = P (x, y) — X j P (x, s) $ (s, y, X) rfs,

a

b

(a?, y\ X) = P (cc, 1/) — X I* P (#, s) (s,

y; X) ds

41

dodając je stronami, otrzymamy:

ty (x, y; *) + di (x, y\ X) = p (x, y) + R (x, y)

(11)

— \ I [P (x, s)-ty (s, y\ X) -f R (x, s) di (s, y X)] ds

a

b

= P(x, y)-\-R (x, «/) —X j"[P(x, s)+i2 (x, s)][s^(s, y; X)-f 9i (s, y; X)] ds,

a

gdyż całki:

b

I (R (x, s) f (s, y\ X) ds

j P (x, s) di (s, y; X) ds

znikają.

Równanie (11), wyraża właśnie to, że jądrem rozwiązującem jądra

P(x, y)-\-R{x, y) jest SP (x, y; X) -f 37 (x, y; X).

5. Ogólne równanie całkowe jąder rozwiązujących. Widzieliśmy, że jądro rozwiązujące sprawdza dwa równania całkowe:

N (x, y) — di (x, y\ X) == X f]V (x, s) 91 (s, y; X) ds

(12)

a

b

— ^1 37 (x, s; X) W (s, y) ds.

Równania powyższe są szczególnemi przypadkami następującego równania całkowego: ^

97 (x, y\ X) — 97 (x, y; ja) = (p. — X) j 9t (x, s; X) 97 (s, y\ (i) ds (13)

Aby udowodnić, iż równanie to ma miejsce, odejmujemy od siebie wyraz po wyrazie równania:

') Zostało ono podane przez D. Hilberta i J. Plemelj.

42

N (cc, y) — 9c (cc, y\ \) = \ j N (cc, s) 9t (s, y; X) c£s

(14)

(14')

a

b

N(cc, y) - 9ł(x, y; p) = p f N(s, ?/) 91 (a;, s; p.) ds;

otrzymujemy:

91 (a?, V\ X) — 91 (a?, y; p.)

(i 12V (s, ?/) 91 (cc, s; jł) ds — X | IV (cc, s) 91 (s, y\ X) ds.

Aby nadać kształt odmienny prawej stronie, kładziemy w pierwszem z równań (14) x — t, mnożymy je przez [i9ł(cc, t\ jji) dt i całkujemy; podobnież w drugiem równaniu (14) kładziemy y = t, mnożymy przez X9c(£, y; X) dt i całkujemy, wreszcie odejmujemy od siebie tak przekształcone równania; otrzymamy:

([i — X) j 91 (cc, t\ p.) 91 (£, y; X) d t = ^ ij N (x, t) 91 {t, y\ p.) dt

a    a

b

— X I^JV(x, t) 91 (t, y; X) dt.

Łącząc powyższe równanie z równaniem (14'), otrzymujemy wynik, o który chodziło.

W równaniu (13) najbardziej interesującem jest to, iż nie występuje w niem zupełnie jądro N(x, y). Jest to równanie wszystkich jąder rozwiązujących, a więc równanie, które niejako określa pewne działanie analityczne in abstracto.

6. Część charakterystyczna jądra rozwiązującego, odpowiadająca danemu biegunowi. Niechaj będzie X₁ zerem w-tego rzędu funkcyi D (X), widzieliśmy, iż X₁ będzie biegunem jądra rozwiązującego rzędu m <; n (por. str. 29 § 10).

W otoczeniu punktu \ posiada jądro rozwiązujące kształt:

91 (x, y\ X) = Gą (a?, y\ X) + sj) (sc, y\ X) =

<Pi 0*, ?/)

(X—X)

(CC,

1-2    y)^—xi)p-

(X—X!)”¹-¹

00

p=0

43

Wyrazy, oznaczone w skróceniu przez G (x, y\ X), stanowią część charakterystyczną jądra rozwiązującego odnośnie do bieguna Xj.

Zadaniem naszem jest zbadanie funkcyj <p (x, y) i ty (x, y). W tym celu kładziemy:

X — X]i = h;

i wstawiamy wyrażenie (15) w równanie (13). Otrzymamy:

oo

<pm(a, y)

hm

(k-h) j

] + • • • + ?i (x* y)    —jA 4~ 2^' y)(hP~kP>)

J    j o

oo

-f -++2 ^ ^hP

o

w—1

+ • • • + 2 ^ 2/) kP ds’

km

hm

p=0

?m (s, y)

km

lub też, dzieląc obie strony przez k — h:

Tl «/)

TO — 1

.₊8t<*isy (*

p—0

łp (#> 2/)    -j- /r^2,_2 -j- • • • + kv~*1

6 6 : 2 7^ / ^ ^^    +2 7^ f ^ s) (». ?/) ^

p, <p— 1    ₀‘    p, 2    a*y

b    b

+2 {p f ?? (x>s) 'Pp (s> y)ds + 2    f ^&>) ^ (s> y)•

P? a"    PI    a

w—p— 1 /^p)

OO

P=1

(16)

Prawa strona zawiera cztery sumy. Biorąc pod uwagę pierwszą, zawierającą wyrazy, w których h i k występują jednocześnie w mianowniku, i utożsamiając ją wyraz po wyrazie z lewą stroną równania, otrzymamy związki:

(p-fę^m+1),    (17)

<Pp+«-i (ff» Z/) = I* Tp («, s) cp? (s, 2/) ds

44 j' Vp (%, s) cp? (s, y) ds = 0.

Wyrazy, wchodzące w skład drugiej i trzeciej sumy, mają h w mianowniku, k w liczniku, lub odwrotnie.

Lewa strona wyrazów takich nie zawiera; jest więc dla wszystkich par wskaźników:

6

(19)

f yP    s) <{>₉ (s, y) ds == f<l>p (x, s) cpg (s, «/) ds = 0.

To znaczy, że wszystkie funkcye <p (cc, ?/) są ortogonalne do wszystkich funkcyj <J> (x, y), innemi słowy: funkcye Gx(x,y,\) i (x, y; X) są ortogonalne dla wszystkich wartości X.

Wreszcie rozpatrując czwartą sumę, otrzymamy:

(20)

— <I>p+g+i (x, y) = £ % (#, s) i|>₉ (s, y) ds.

Odwrotnie, jeżeli spełnione są związki (17) i (18), wówczas Gx (x, y\ X) jest samo przez się jądrem rozwiązującem, sprawdza bowiem ogólne równanie jąder rozwiązujących; jest mianowicie G (x, y; X) jądrem rozwiązującem jądra.

Gi (a, y; 0)

(-K)

TO—1

:v)

— x.

które nazywać będziemy częścią jądra odnoszącą się do bieguna \.

Na mocy powyżej uczynionej uwagi, część ta ortogonalna jest do reszty. Wskutek tego można ją badać zosobna. Zauważymy też, iż Xx nie jest już wartością właściwą jądra sj) (x, y, 0).

7. funkcye główne. Aby znaleść wzory ogólne na funkcye <pp (x, y), trzeba rozwiązać równania:

?p+j-i {x, V)=j Vp s)    (s, y) ds

45

(21b)

o = f<pp (x, s) <p₂ (s, ?/) ds,

które funkcye te charakteryzują.

Połóżmy przedewszystkiem p = q = 1; otrzymamy równanie:

I/) ds.

Ponieważ ślad funkcyi <pj (x, y) jest skończony h, więc funkcya ta jest kształtu

<Pi (®, 2/) = ?i (®)    (?/) + •••• + <P» (#) ł» (*/)

przyczem funkcye <p i ^ tworzą dwie grupy układu dwuortogonalnego (por. str. 37, § 3).

Połóżmy następnie q = 2, p — dowolne, lub też p = 2, g — dowolne, otrzymamy związki:

<pp+i (aj. y) = fyp (®, S) tp₂ (s, y)ds= I' <P₂ (aj, s) <pp (s, ?/) rfs. (22)

Pierwszy z nich, dla p = 1, przybiera postać:

?₂ (®> V)= f<?i (®, s) <p₂ (s, t/) cte = I* <p₂ (a?, s) ^ (s, «/)

co dowodzi, iż cp₂ (aj, y) jest funkcyą dwudniową funkcyj cp i <|». Mamy tedy:

<p₂ («» y) = 2 ^ ^ (®) ł* (?/)•

(23a)

i, k= 1

Dalsze równania (22) określają wartości pozostałych funkcyj:

*) Wynika to stąd, że ślad funkcyi G(x, y\ \) jest dla \ =t= X, skończony; dokładniej, mamy:

/e(s,

s; l) ds —

a więc:

J fi (s, s) ds = n .

46

?s (x> y) = f?2 (x, s) ?a (s, 2/) ds,

a

b

(23b)

<p₄ (*, «/) = J <p₃ (a;, s) «p₂ (s, 7/) ds J <p₂ (a?, s) <p₃ (s, y) ds,

tpm (x, y) = f

^Pm—1

(x, s) cp₂ (s, y)ds= ^ <p₂ (a?, s) <p

(s, 7/) ds.

Powiadam,iżz równań tych wynikają pozostałe związki (21a). Istotnie, weźmy pod uwagę związek:

cp/,+ę_, (;X, t/) = I'<pp (a?, s) cp₉ (s, t/) ds.

Jeżeli zamiast (a?, 7/) podstawimy wartość funkcyi tej

b

f ?P-1 (®, «) ?2    ?/) ds,

a

otrzymamy:

b

<pP-*-i (a;, «/) = | <pp_i (a?, s) cp₂ (s, t) yą (t, y) dsdt

a

b

=    (a?, s) <pg+i (s, t/) ds.

Można więc zmniejszyć o jednostkę wskaźnik^, zwiększając o tyleż wskaźnik q; przez kilkakrotne zastosowanie tego działania sprowadzić możemy każde równanie (2la) do jednego z równań (23b).

Podobnież jest z pozostałemi równaniami, t. j. z równaniami (2lb); można przez kilkakrotne zastosowanie tegoż samego działania sprowadzić je do przypadku, gdy jeden ze wskaźników jest równy m.

Będziemy mieli m tożsamości:

CM

Co

.. m)

47

z których jedynie pierwsza:

(24)

I Tm (x, s) <p2 O, 2/) ds = 0

jest niezależna; pozostałe są jej wynikiem. Istotnie:

I T» (x> s) Tit (s, 2/) ds = ^ Tm (a?, s) t₂ («i 0 T*-i (*. 2/) dt — 0.

Aby w prosty sposób wyrazić uzyskane wyniki, nazwiemy przede-wszystkiem funkcye t 0*0 i <K#) funkcyami głównemi i zauważymy, iż wzory (23b) dowodzą, że jądra yic(x, y) dla k> 2 powstają z jądra t₂ V) drogą kolejnych iteracyj; warunek (24) zaś wyraża, iż (w — l)-e iterowane jądro funkcyi t₂ (®> 2/) jest tożsamościowo zerem. Można teraz w następujący sposób przedstawić wyniki otrzymane:

a) Funkcya Ti (x> 2/) jest sumą iloczynów stowarzyszonych funkcyj układu dwuortogonalnego; jest mianowicie:

(24')

Ti (*» 2/) = 2 ^ (*) łp (2/) •

b) Funkcya t₂(^> 2/) jest formą d w u 1 i n i o w ą funkcyj głównych, to znaczy:

T₂ (a, 2/) = 2 a<k V* (*) ł* 0*0 •

(24")

i, &=1

c) Pozostałe funkcye t* (x > 2/) są kolejnemi iteren-cyami funkcyi T2 > 2/)> przyczem, jeżeli w jest rzędem bieguna X1? to m—1-a iteracya jądra y₂(x> V) jest tożsamościowo zerem.

Odwrotnie, metoda, którą posługiwaliśmy się, dowodzi, że jeżeli dany jest dwuortogonalny układ 2n funkcyj t i $ oraz macierz kwadra-

(»«), taka, iż (m— l)-a iteracya jądra 2 «« T< (*) 'h (v)

towa

znika

tożsamościowo (m <*ri), wówczas funkcya Gx y), utworzona z tych danych sposobem określonym przez wzór (15), jest częścią charakterystyczną pewnego jądra, odnoszącą się do bieguna m-go rzędu.

48

III. Drugie i trzecie twierdzenie I. fredholma.

8.

Bezpośrednie badanie jąder kształtu ^ ap (x) bp (y); szczebel

p—i

wartości właściwej. Na czele tego rozdziału zamieścimy bezpośrednie badania jąder kształtu:

N (x. y) = ax (x) bx (y) -f ... + ap {x) bp (?/) + ... -j- an (x) bn (y), (25) przeprowadzone przez Goursata ń i Schmidta²!, zarówno ze względu na prostotę i łatwość przedmiotu, jak i na jego znaczenie.

Jądro Gx{x, y), odpowiadające biegunowi \ jest również kształtu (25). Skorzystamy z jego własności przy badaniu przypadku ogólnego.

Równanie Fredholma posiada w tym przypadku formę:

Kładąc

<p (a:) -f- X ap (x) j bp (s) <p (s) ds p=i

b

KP= f bp (s) <p (s) ds,

= f(x)

(25')

(26)

otrzymamy:

<p (x) = f (x) — X [Kx ax (x) + K₂ a₂ (x) + K₂ a₂ (x)... + Kn an (x)] (27)

+ Kn I*an(s) bp(s)= I f(s)bp(s)ds. (p= 1, 2... n). (28)

ń E. Gour sa t 2.

²) E. Schmidt 1. (Zweiter Teil).

Stosując do układu (28) teoryę równań liniowych, otrzymujemy wyniki następujące:

a)    Jeżeli wyznacznik charakterystyczny D (X) jest =1=0, to układ (28) jest jednoznacznie rozwiązalny; w tym więc przypadku równanie (25') Fredholma posiada jedno i tylko jedno rozwiązanie, przedstawione przez wzór (27).

b)    Jeżeli D (Xx) = 0, co ma miejsce dla n wartości parametru X, wówczas rozwiązalny jest układ liniowy, jednorodny (28). Jeżeli przy-tem rząd macierzy układu powyższego dla X = Xx równy jest n — r, wówczas ogólne rozwiązanie układu będzie miało postać:

(p=l, 2,..., n)

49

Wyznacznikiem układu tego jest:

1 -j- Xaa X a₂₁

D(k) =

X otn 1

Xa₁₂ . . . .

Xaln

X OC2 n

przyczem:

\tn2 • • • •    1 —1—X 0Cn

j’ av (s) bq (s) ds.

Kp = Pi ITi^p “I⁻ P2 ^2P ~I⁻ ‘ • • —ł⁻ Pr ^rp

p 1, p₂..., pr są stałe dowolne.

Wstawiając w wyrażenie (27) powyższe wzory na Kv i kładąc f(x) = 0, otrzymamy:

<P (*) = — X1 [Pl («) + P2 ?2 0*0 + • • • + Pr <pr (*)];

funkcye

cp₂ (a;) = m?1    (x) -[- mę2 a₂(x)    minan (x) (q = 1, 2... r)

są liniowo niezależne.

W tym więc przypadku równanie jednorodne posiada r liniowo niezależnych rozwiązań. Nazywamy je rozwiązaniami właściwemi równania całkowego (25')-

Nazywać będziemy szczeblem wartości właściwej liczbę liniowo niezależnych rozwiązań właściwych, które posiada dla X = \ równanie jednorodne. W naszym przypadku szczebel Xx równa się r.

50

c) Równanie stowarzyszone:

<i> (x) +    ai (s) bi (*)) ł (s)    = /■(£)

a

otrzymujemy z równania (25'), zastępując funkcye aq(x) przez funkcye bq(x), i odwrotnie. Ogólny wyraz wyznacznika charakterystycznego równania (25') jest:

*ik =

I a{ (s) bk (s) ds

dla równania więc stowarzyszonego będzie on równy:

= *ki ■

I bi (s) ak(s) ds

Wyznaczniki więc charakterystyczne są tożsamo-ściowo równe, gdyż jeden powstaje z drugiego przez przestawienie wierszy z kolumnami.

Równanie więc stowarzyszone ma te same wartości właściwe, przyczem każda z tych ostatnich ma ten sam szczebel i tę samą wielokrotność.

d) Rozpatrzmy teraz niejednorodne równanie (25') dla wartości właściwej \. Na to, aby układ (28) był rozwiązalny trzeba, aby szczebel macierzy

1 -f- Xan

X a₂₁

m j f (») b

a

b

^a₂« jf(s)b₂(s)ds

X at

(s) ds

X ct,„₂ . .

1—j—X ann jf(s)bn(8)ds

równał się n — r. Aby to miało miejsce, wyrazy wolne sprawdzać mu-

51

szą r niezależnych jednorodnych związków liniowych. Zamiast wyprowadzać związki te wprost metodą algebraiczną, zauważymy, że jeżeli pomnożymy równanie przez cj>p (cc) i zcałkujemy od a do b, wówczas otrzymamy:

f f (s) <!>P (s) ds = I <p (s) <|>p (s) ds -f- Xi | <j^ (a;) iV (a;, s) <p (s) ds dx

(p = 1, 2 ..., r).

Mamy tu r różnych warunków koniecznych, którym musi czynić zadość funkcya f(x)\ są one zarazem dostateczne, gdyż warunki, do których prowadzi metoda algebraiczna, mają tę samą formę i nie są liczniejsze.

9. funkcye właściwe; jądro kanoniczne. Powróćmy teraz do badania jądra G₁ (x, y). Widzieliśmy w rozdziale poprzednim, w jaki sposób dochodzi się do pojęcia funkcyj głównych. Funkcye te nie są oczywiście określone jednoznacznie: można je poddać dowolnemu przekształceniu dwuortogonalnemu; obecnie powstaje zagadnienie następujące: skorzystać z tej nieokreśloności w celu nadania układowi funkcyj głównych szczególnie prostej postaci. Zagadnienie powyższe sprowadza się metodą dziś już klasyczną, do zagadnienia redukcyi formy dwu-liniowej:

(29)

X <pi y) + <p₂ (x, y)

do kształtu kanonicznego

52

Można z łatwością wykazać, że wyróżnik tej formy: X —|— ct^

A (X) =

a ₂.

równa się tożsamościowo Xw.

Istotnie, weźmy pod uwagę równanie całkowe o jądrze cp₂ (x, y)\ według tego, cośmy już udowodnili, jego wyznacznik charakterystyczny będzie miał wyraz ogólny:

I <P< (s) ( 2 a*p ^ (s)j ds

n.

= aik

będzie więc równy X”A j|-J; z drugiej znów strony wyznacznik ten jest

równy jedności tożsamościowo, gdyż <p₂ (x, y) jest jądrem pozbawionym wartości właściwych, wobec tego, że jego n—1-e jądro iterowane jest tożsamościowo zerem. Jest więc istotnie A (X) = Xn.

W najprostszym przypadku wyznacznik A (X) ma jeden tylko dzielnik elementarny, wyznacznik kanoniczny o jednym dzielniku elementarnym ma postać:

a₂ . . . . O

(30)

a„-1

Istnieje więc w tym przypadku podwójne podstawienie liniowe, które przekształca formę (29) na:

p—i

p=i

Nowe funkcye <t> i tworzą również układ dwuortogonalny, gdyż (x, y) zachowuje swój kształt poprzedni; natomiast <p₂ (xt y) przybiera kształt kanoniczny:

53

?₂ (x, y) = 2 ^    (®) ¥i»+i (2/)

(31)

przyczem stałe są różne od zera, ale zresztą dowolne. Funkcye O i nazywać będziemy funkcyami właściwemi, przynależ-nemi do wartości właściwej Xt. Pozostałe funkcye yp(x, y) otrzymamy drogą iteracyi; mamy:

^3 iX) y) -    Mp+l (x) ^ p+2 (y)

P=1

CO

(x, y) = a₁ai... an-i (x)    (y),

<P«+i (x, y) = 0;

Xj jest więc w tym przypadku biegunem w-tego rzędu. Jądro, które otrzymujemy w ten sposób:

?»(#. 2/) i ?n-i (a?, 2/)

(—Xj)n

(33)

i które posiada jądro rozwiązujące

^ <?k {x, y)

A:=l

(*-*,)*

(33')

nazywać będziemy jądrem kanonicznem rzędu w-tego.

Rozwiązania właściwe. Jeżeli wstawimy wyrażenia (33) i (330 w równania jądra rozwiązującego:

y, \)ds

G (x, y) — G (x, y; X) = xJ' G (x, s) (7 (s,

b

X J G(x, s; X) ćr (s, y) ds

i przyrównamy spółczynniki przy

(X-Xi)”ł

wówczas otrzymamy:

54

<p» (as.

y) + \ I G (X, s) cp„ (a, I/) ds = O,

a

b

y)-\-Xi f ?n (x, s) (? (s, y) ds = O.

Jeżeli uwzględnimy wzór (32), wówczas związki powyższe wy

kazują, że:

0₁ (x) jest rozwiązaniem właściwem danego równania całkowego, (y) rozwiązaniem właściwem równania stowarzyszonego. Szczebel Xt równy jest w tym przypadku jedności, gdyż D (X) posiada jeden tylko dzielnik elementarny, są to więc jedyne rozwiązania. Tym sposobem jądro kanoniczne posiada własności następujące:

Rząd jądra równa się wielokrotności wartości właściwej; szczebel tej ostatniej równa się 1. Wzór, wyrażający jądro za pośrednictwem funkcyj właściwych, zawiera n—1 stałych dowolnych.- Tak więc jądro kanoniczne pierwszego rzędu ma postać:

x - Xj

jądro drugiego rzędu postać:

Ol (ac) (y)H-Oa (a?) ^2(y) , a^x{x)W₂{y)

X-Xx

(*-Xi )²

i t. d. Aby ogólnie wyrazić jądro kanoniczne przez układ funkcyj głównych, należy do funkcyj właściwych zastosować dowolne podstawienie dwuortogonalne.

11. Funkcye właściwe; przypadek ogólny. Obecnie możemy przejść z łatwością do przypadku ogólnego. Przypuśćmy, że wyznacznik ma r dzielników elementarnych:

XM = X"> Xłi* .... XWr

Wyznacznikiem kanonicznym o tych samych dzielnikach elementarnych jest:

P=1 nr—1

?2r) fo y)= 2 /rP °r (*) ^+i (y) •

P=1

55

D,

Dr

Dx, D₂.. . Dr oznaczają wyznaczniki kanoniczne, mające postać (30) o jednym tylko dzielniku elementarnym X”*, X"*. .. X"r odp. Będzie więc:

lax

lbx

\a₂

1b₂

Dx =

la,

X ani—i

~l bn^

<p₂ (*, y) przybierze w tym przypadku kształt kanoniczny:

p=\

przyczem:

w,—1

?2l) (®> 2/) = 2 O- (a:)

(i)

p+i

(?/),

Otrzymamy więc 2w specyalnych funkcyj głównych, które nazywać będziemy znowu funkcyami właściwemi. Rozpadają się one na r grup po 2nlt 2n₂,..., 2nr funkcyj, przyczem każda

56

nr, wchodzące w skład jądra danego.

grupa daje nam jądro kanoniczne rzędu odpowiednio równego n₁₎ n Istotnie, jeżeli utworzymy <p₈ (x, y) to otrzymamy:

?3 («> V) = T3⁽¹⁾ (X, V) + ?3⁽²⁾ (#. «/)+••• + T3(r) ta ?/) >

gdyż funkcye każdej grupy są ortogonalne do funkcyi stowarzyszonych, należących do innych grup.¹)

Mamy więc następujący wynik wielkiej wagi:

2) •

W przypadku ogólnym jądro Gt(x, y) jest sumą skończonej liczby jąder kanonicznych ortogonalnych do siebie, rzędu , n

gx ta y)= 2 £⁽ip)ta y),

(34)

v—i

n = n₁ n₂-\- ...-\-nr~

Rząd szczebla jako bieguna jądra rozwiązującego, równa się naj-

nr; jeżeli rząd ten oznaczymy przez m,

większej z liczb n wówczas ze związku (34) wynika nierówność:

n₂. .

n ^ m -j- r — 1.

Znak równości może tu występować w dwu przypadkach, jeżeli biegun jest pierwszego rzędu, oraz jeżeli istnieje jedbo tylko jądro kanoniczne rzędu m, a pozostałe są pierwszego rzędu.

Rozwiązania właściwe. Każde z pomiędzy jąder kanonicznych składowych ma jedną tylko parę rozwiązań właściwych. Ponieważ rozwiązanie O/p) (x) jest ortogonalne do wszystkich funkcyj występujących w innych jądrach kanonicznych, więc:

j G^ ta y) O/*⁰ dy = 0

dla wszystkich q=ł=p. A więc, wobec tego, że:

0 (p)

ta-j- Xj J*(r/p) ta s) ^i(p) («) rfs = o,

*) Stowaizyszonerri są te funkcye <I> i których oba wskaźniki są równe.

(x) -{- X j Gx (x, s) O/p) (s) ds = 0.

To samo rozumowanie stosuje się do 'F(p) (y).

Równanie jednorodne ma więc w przypadku ogólnym r liniowo niezależnych rozwiązań: są to pierwsze funkcye właściwe O każdej grupy.

To samo ma miejsce dla równania stowarzyszonego; rozwiązaniami są ostatnie funkcye ST każdej grupy.

Między funkcyami właściwemi istnieje tym sposobem układ 2r funkcyj, będących rozwiązaniami właściwemi, przyczem jest r rozwiązań danego równania całkowego i r rozwiązań równania stowarzyszonego.

Zauważymy jeszcze, że szczebel wartości właściwej równa się liczbie składowych jąder kanonicznych.

12. Przypadek pojedynczego bieguna. Jeżeli lx jest pojedyńczym biegunem, wówczas część charakterystyczna jądra rozwiązującego ma kształt:

<Pi to y)

X--Xj ’

przyczem:

y) = 2 ^ (x) ^ (y)-

p—1

57

będzie także

Jądro jest wtedy sumą n jąder kanonicznych pierwszego rzędu; funkcye cpx (x), <p₂    cpn (^) są więc rozwiązaniami właściwemi

równania całkowego danego, a funkcye ^ (y), (?/),..., (y) — równania stowarzyszonego.

W przypadku bieguna pojedynczego funkcye właściwe są zarazem rozwiązaniami właściwemi.

Dzięki tej ważnej własności, zresztą charakterystycznej dla tego przypadku, wyprowadzić możemy pewien sprawdzian, który pozwala rozróżnić przypadek bieguna pojedyńczego.

W tym celu zauważymy, iż w razie, gdy jądro składowe Gx(p) (x, y) jest rzędu wyższego niż pierwszy, rozwiązania (x) i W„p)(y) są

do siebie ortogonalne, ponieważ nie są one funkcyami właściwemi sto-warzyszonemi (np > 1). Stąd wynika, że funkcya    (x) jest ortogo-58

nalna do wszystkich rozwiązań właściwych równania stowarzyszonego. A zatem, w przypadku wielokrotnego bieguna istnieją rozwiązania właściwe, ortogonalne do wszystkich rozwiązań równania stowarzyszonego Dla jądra o biegunie pojedynczym niema to miejsca, gdyż każdemu rozwiązaniu <Dp {x) odpowiada rozwiązanie stowarzyszone Wp (y), dla którego:

b

= 1.

j' Oj, (x) yVp (x) dx

Warunek więc konieczny i dostateczny na to, aby biegun był pojedyńczy, polega na tern, aby każdemu, należącemu do tego bieguna rozwiązaniu właściwemu <t> (a;) danego równania, odpowiadało takie rozwiązanie IF(cc) równania stowarzyszonego, dla którego:

f O (s) W (s) ds 4= 0.

12. Przypadek biegunów wielokrotngch. W przypadku wielokrotnego bieguna możemy, kładąc:

y) =

l 2 ^ (x) 4 (y)i

¹    p=\ napisać jądro kanoniczne rzędu w-tego w postaci:

(4, y) + <e>₂(®, V)-

Powiadam, że składnik d>₂ (#, y) jest jądrem bez wartości właściwych. Istotnie, jeżeli utworzymy jądra iterowane funkcyi 0₂(a?, y), wówczas n — 1-e z pośród nich będzie identycznie równe zeru, wobec bowiem własności funkcyi (x, y) składa się ono z ite-racyj rzędu > n—1 jądra <p₂ (aj, y).

Uwaga powyższa pociąga za sobą wniosek następujący:

Jądro o skończonej liczbie n wartości właściwych, mających dowolną wielokrotność, możemy zawsze napisać w kształcie

^    0*0 % (y)

4-E(x, y)

p=i

przyczem E (x, y) jest jądrem bez wartości właściwych.

59

13. Drugie twierdzenie fredholma. Twierdzenie to zawiera się implicite w tem, cośmy już udowodnili. Wystarczy udowodnić, że z dwu równań

cp (a?) —}— Xj j N (x, s) cp (s) ds — 0

a

b

cp (cc) -|- \ I Gx (x, s) cp (s) ds — 0

(36)

(37)

pierwsze pociąga za sobą drugie, i nawzajem.

W tym celu zauważymy, że każde rozwiązanie cp (cc) równania (37) czyni zadość warunkowi:

6

I Px (x, s) cp (s) ds = 0;

związek ten otrzymujemy, mnożąc (37) przez (?/, a?) i całkując względem a; od a do b, gdyż jądra Gt (cc, y) oraz P, (cc, y) są względem siebie ortogonalne. A więc będzie także:

cp (a?) -f XŁ I*Gi (cc, s) + Px (x, s)] cp (s) ds;

jest to jednak właśnie równanie (36).

Odwrotnie, równanie (36) możemy napisać w postaci:

cp (cc) -\- Xx j'Px (cc, s) cp (s) ds = — X₁j" Gx (cc, s) cp (s) ds.

Ponieważ \ nie jest już wartością właściwą dla Px(x, y), więc równanie to możemy rozwiązać- Otrzymujemy w ten sposób:

cp (x) = — XŁ (7₁ (cc, s) cp (s) ds -f V I" (cc, s; X) Gx (s, ż) cp (ż) dsdt,

a więc właśnie równanie (37), gdyż drugi składnik po prawej stronie jest tożsamościowo zerem, wobec tego, że:

, s; X) Crj (s, t) ds = 0.

60

Mamy więc twierdzenie następujące:

Dla wartości właściwej o wielokrotności ni szczeblu r równanie jednorodne Fredholma posiada r liniowo niezależnych rozwiązań, które nazywamy rozwiązaniami właściwemi. Równanie stowarzyszone posiada tę samą liczbę rozwiązań właściwych.

Jest to drugie twierdzenie Fredholma.

14 Trzecie twierdzenie fredholma. Rozumowanie numeru poprzedniego wykazuje, że i równania:

<P (x) + \ J N (x, s) 9 (s) ds = f (x)

a

oraz

b

9 (x) +    j' Gx (x, s) 9 (s) ds = f(x)

wzajemnie wynikają jedno z drugiego, są więc rozwiązalne jednocześnie. Tym sposobem (§ 8, d. str. 50).

Warunkiem koniecznym i dostatecznym rozwiązal-ności niejednorodnego równania Fredholma dla wartości właściwej X — \x jestortogonalnośćfunkcyi f(x) do wszystkich rozwiązań właściwych równania stowarzyszonego przynależnych do Xx.    *

Jest to trzecie twierdzenie Fredholma.

II). Rozwinięcia rozmaite.

15. Budowa jądra o skończonej liczbie wartości właściwych. Wyniki poprzedniego rozdziału pozwalają nam przystąpić do następującego zagadnienia:

Wyznaczyć najogólniejszy typ jądra, mającego n wartości właściwych o danej wielokrotności i danym szczeblu.

W tym celu zrobimy przedewszystkiem następującą uwagę, w gruncie rzeczy zawartą w twierdzeniu już udowodnionem.

Składniki jądra, odpowiadające różnym wartościom właściwym, są ortogonalne do siebie. Istotnie, jeżeli położymy:

N (x, y) = Gx (x, y) -f G₃ (x, y) + Q O, y\

V    'i:\ j:; ' i

wówczas jądro Gx (x, y) ortogonalne do G₂ (x> y) -J- Q {xy y) jest or-61

togonalne również do Q(x, y)l); stąd wynika, iż jądra Gl(x, y) i G₂ (x, y) są do siebie ortogonalne.

Oznaczmy teraz przez Gp(x, y) najogólniejsze jądro, odpowiadające wartości właściwej Xp o wielokrotności i szczeblu przepisanym; jądro takie umiemy zbudować.

Oczywista, że jądro:

(x, V) + Qi (x, ?/) + ... + Gn (x, y)-\-E (x, y),

gdzie E(x, y) oznacza jądro bez wartości właściwych, będzie właśnie jądrem szukanem, pod warunkiem, aby poszczególne składki były do siebie ortogonalne, w myśl poprzedzającej uwagi.

W tym celu potrzeba i wystarcza: popierwsze, aby funkcye właściwe użyte przy budowie jąder Gv (x, y) tworzyły jeden układ dwuorto-gonalny; powtóre, aby E (;x, y) było ortogonalne do wszystkich jąder Gp (x, y).

16. Przypadek, u> którym jest nieskończenie miele martości młaścimych.

Rozumowanie powyższe rozciąga się bez trudu na przypadek nieskończenie wielu wartości właściwych, byleby szereg

oo p=i

był zbieżny i całkowalny wyraz po wyrazie względem zmiennych x i y.

Warunkiem koniecznym jest, aby wykładnik zbieżności wartości właściwych był conajwyżej równy 2, innemi słowy, aby szereg

oo

był zbieżny.

p—l

2 ;

17. Jądra bez martości młaścimych. Jądro

?2 y) = at <&₁ (x)    (y) + ... -f an~x Om_i (x) Wn (y)

stanowi przykład jądra bez wartości właściwych, z którym jużeśmy się zetknęli. Ogólniej, jeżeli szereg

oo

E (x, y) = ^ an$n (x) *F,₊i (y)

n=1

jest jednostajnie zbieżny, wówczas suma jego jest również jądrem bez

‘) Staje się to oczywiste, jeżeli naprzód wyodrębnimy składnik 0₂ (x, y).

62

wartości właściwych, gdyż wszystkie jej ślady znikają; zakłada się że funkcye i W tworzą dwie grupy układu dwuortogonalnego. Stosując do funkcyj tych dowolne podstawienie liniowe dwuortogonalne, otrzymamy bardzo rozległą klasę jąder bez wartości właściwych. Oto kilka przykładów.

Połóżmy:

<I>„ (x) = cos nx, otrzymamy jądro:l)

(y) = cos ny

oraz

oo

21an

= A-,

n =1

oo

2 an cos nx cos (n-f-1) V-

w=i

Połóżmy dalej:

0₂„ (x) = 'F2n (%) = sin nx, otrzymamy jądro: 1}

0₂„+1 (x) = *F2m+i (x) = cos nx\

oo

oo

2 a2n sin nx cos ny -j- 2 a2n-\ cos (n — 1) x sin ny.

n—1

') E. G o u rs a t 5, p. 87 88.

ROZDZIAŁ TRZECI.

JĄDRA SPECYALNE.

I. Jądra symetryczne.

1. Wyjaśnienie znaczenia, które w teoryi równań całkowych posiada symetrya jądra, jest zasługą D. Hilberta, który poddał dokładnej analizie przypadek jądra symetrycznego. Jego uczniowie, zwłaszcza E. Schmidt, nadali wynikowi jego badań szczególnie proste formy.

2 Twierdzenie Hilberta. Jądro symetryczne posiada jedną eonajmniej wartość właściwą.

Pierwszym, który powyższe twierdzenie udowodnił, był D. Hil-bert¹*; jest ono zasadniczem twierdzeniem w teoryi Schmidta ²C który udowodnił je, niezależnie od ogólnej teoryi równań Fredholma.

Dla dowodu wystarczy wykazać, iż n₄ 4= 0. Otóż:

n₄= j IA Oi, s₂)]² dslds₂.

a

b

Z drugiej strony jądro Nl(s₁, s) = j N(sl, s₂)N(s, s₂) ds₂ nie

a

może znikać tożsamościowo w przedziale całkowania, gdyż dla s = s4 mamy:

N Oi, Si) = j [A Oi, sa)]² ds₂,

a więc nK =4= 0.

*) D. Hilbert, 1. Erste Mitteilung. ²) E. Schmidt 1. Erster Teil.

64

Można twierdzenie to przedstawić w takiej formie: Jądro, nie posiadające wartości właściwych nie może być symetryczne.

Uwaga. Wyłączmy jądra nieciągłe, różne od zera jedynie w punktach pewnego zbioru o mierze powierzchniowej równej zeru, zawartego w przedziale całkowania; dla takich jąder twierdzenie nasze nie jest prawdziwe. Jako przykład weźmiemy jądro N (x, y), znikające wszędzie, prócz na głównej przekątnej oraz na skończonej liczbie prostych równoległych do osi i przecinających się parami na przekątnej, gdzie N(x, y)> 0. Jest wtedy: h

n₁ — fN{s

a

b

n₂ = f N(s₁, s₂)² ds₁ ds₂ = 0,

, s) ds = a²

oraz gdyż N(su s₂) jest różne od zera jedynie w punktach, leżących na skończonej liczbie prostych, a więc w punktach zbioru o mierze powierzchniowej zero.

Podobnież dla p >* 2, np — 0, a więc

DQ) = ea'x.

3. IDłasności wartości właściwych, a) Wartości właściwe są rzeczywiste. Załóżmy, że XŁ jest zespoloną wartością właściwą, <f₁(x) zaś odpowiedniem rozwiązaniem podstawowem Ponieważ jądro jest rzeczywiste, przezto X/¹) będzie również wartością właściwą, zaś cpŁ (x) odpowiedniem rozwiązaniem podstawowem zarówno dla danego równania, jak i dla stowarzyszonego. Gdyby teraz było X,4=X"i, wówczas mielibyśmy:

I <Pi C*0 <Pi 0*0 dx = O,

co jest niemożliwe, a więc do znaczy, że Xx, jest rzeczywiste.

b) Bieguny jądra rozwiązującego są pojedyńcze, gdyż rozwiązanie'właściwe cp, (x) jest zarazem rozwiązaniem równania stowarzyszonego. Ponieważ zaś:

’) Przez X, oznaczamy liczbę sprzężoną z liczbą X, .

I cp!² (x) dx 4= O,

więc bieguny są pojedyncze (por. str. 57—58).

c)    Tym sposobem funkcye właściwe sązarazem rozwiązaniami właściwemi, ponieważ zaś, z powodu symetryi, są one jednocześnie rozwiązaniami równania danego i stowarzyszonego, tworzą więc układ ortogonalny.

d)    Jądro symetryczne o skończonej liczbie wartości właściwych jest kształtu:

(i)

p=i

przyczem każda wartość występuje tyle razy, ile wynosi jej szczebel.

Odejmujemy w rzeczy samej od N (x, y) część charakterystyczną, odnoszącą się do biegunów \, X₂,..., Xn, to znaczy funkcyę (1).

Różnica będzie jądrem symetrycznem, nie posiadającem wartości właściwych, a więc tożsamościowo równem zeru.

4. nierówność Bessela. Jeżeli funkcye <pp (x) tworzą układ ortogonalny, f(x) zaś jest funkcyą całkowalną wraz z kwadratem 1}, wówczas zachodzi nierówność:

• + Cn ^ I’ f² (X) dx,

a

b

przyczem cv oznacza spółczynnik Fouriera / f (s)    (s) ds. Nierów

L.-

Ci² + c,»+..

ność Bessela wynika z oczywistej równości:

[f(x)~ Cj cp, (x) — c₂ cp₂ (x) — ... — cn <pM (x)f dx

b

= ( f² (x) dx — [C,² 4- c₂² 4-... -j- cK²],

której lewa strona jest napewno nieujemna.

Wypływa stąd ważny wniosek: szereg kwadratów spół-czynników Fouriera funkcyi całkowalnej wraz z kwadratem jest zbieżny.

b

‘) To znaczy, że f f² (x) dx istnieje.

66

5. Własności jąder iterouuanych. 1) Jeżeli Xx jest wartością właściwą jądra N (x, y), wówczas X₁*+¹ jest wartością właściwą jądra iterowanego ft-tego rzędu; rozwiązania właściwe, odpowiadające tym wartościom właściwym, są w obu przypadkach te same.

Istotnie, w równaniu:

<pi (a?) — X j N (x, s) <pŁ (s) ds = 0

zastąpmy cpj (x) pod znakiem całki przez jej wartość, otrzymaną z tegoż równania. Otrzymamy wtedy:

6

Ti {x) — Xj* I (x, s) (s) ds

= 0;

stosując zaś to samo postępowanie k razy z rzędu, dochodzimy do równania

Ti (£C) — X₁fc+¹1* (cc, s) <pj_ (s) ds*,

co było do okazania.

2° Odwrotnie, jeżeli p. jest wartością właściwą jądra Nr(x, «/), wówczas jeden conajmniej z Zc-j-l-ch pierwiastków z p, jest wartością właściwą jądra N{x, y).

Istotnie, oznaczmy przez a jeden z tych pierwiastków i połóżmy:

p—i

(cc, s) cpj (s) ds.

Mamy wtedy:

ty(x)

a j' N (x, s) ty (s) ds = cfą (x) — ak+¹ j’Nk (x, s) <px (s) ds — 0.

Otóż nie wszystkie funkcye ty (x) mogą znikać tożsamościowo, gdyż suma ich równa się nyx (x). Tym sposobem twierdzenie jest udowodnione.

całką jądra.

Ó W rozdziale tym piszemy równanie Fredholma ze znakiem — przed

67

X*.... jest ciągiem wartości właściwych jądra N(x,y), wówczas wartościami właściwe-mi jądra Nk(x, y) są liczby:

y+i, xa*+i..

3°. Jeżeli X,. X

Xk+K...

n

i tylko te liczby.

Wystarczy zastosować własności 1° i 2°.

6. Rozminięcia na szereg funkcgj młaścimgch. (Twierdzenie Hil-berta-Schmidta). Każda funkcya ci ągła f (x) typu

(a)

ij N (x, s) h (s) ds.

(gdzie h (x) jest funkcyą całkowalną wraz z kwadratem) daje się rozwinąć na regularnie zbieżny szereg funkcyj właściwych jądra N(x, y).

Uogólnionym spółczynnikiem Fouriera jest liczba

cn —

j N(s, t) fn (t) h (s) ds dt

f<pw (s) h (s) ds

hn

Xn

Tym sposobem, gdyby twierdzenie było prawdziwe, szukanem rozwinięciem byłoby:

co

n—1

Xw

Udowodnimy przedewszystkiem, iż szereg ten jest regularnie zbieżny. Zauważymy w tym celu, że:

hn f~pn (iZ*)

R¹ 2 =

±t> n. m

hm (X)

X,

XTO

jest spółczynnikiem Fouriera funkcyi N (x, y) zmiennej y. Na podstawie więc nierówności Bessela wyrażenie

<P n (x)

{x)

X«

N (x, s) cpw (s) ds

<P«² (x)

x;²

jest niewiększe 0(1 j [N(x, s)]²ćfó

68

więc niewiększe od pewnej stałej A. Tym sposobem:

R²

p~n •

oo

co, wobec zbieżności szeregu ^ dowodzi zbieżności bezwzględnej

i jednostajnej szeregu s (x).

Trzeba wykazać jeszcze, iż szereg ten przedstawia funkcyę f{x). Udowodnimy w tym celu, że funkcya

p=]

R (x) = f (:X) — S (X)

jest tożsamościowo równa zeru.

Z określenia rozwinięcia s(x), wynika, iż funkcya R{x) jest ortogonalna do wszystkich funkcyj właściwych naszego jądra; mamy więc:

I R² (ś) ds = I f(s) R (s) ds — j s (s) R (s) ds

I h (t) I N (s, i) R (s) ds &s 0,

gdyż:

*) Byłoby to oczywiste, gdyby rozwinięcie jądra było zbieżne. Można jednak przeprowadzić dowód drogą okólną, wprowadzając pierwsze jądro iterowane, a to w sposób następujący:

b

Jądro Nl{x,y) = j' N {x, y)N(s, y)ds jest typu (a), można więc zastosować

do niego rozumowanie tekstu. Wynika stąd, iż szereg:

Ti {as) Ti (V)

T« (*) T•• (V)

In*

jest regularnie zbieżny. Liczby X„- są jedynemi wartościami właściwemi jądra Ni (®, y)\ jądro więc Nx (x, y) — -V, (m, y) nie posiada wartości właściwych, a wskutek tego jest tożsamościowo zerem, to znaczy W, (x, y) == 8 (u?, ?/).

(a?, |/) =

69

I R (s) N (s, t) ds = O

a więc:

R(s) = 0.

7. Jądro domknięte. Jądro symetryczne nazywamy domknię-tem, jeżeli nie istnieje żadna taka funkcya h(x), całkowalna wraz z kwadratem, dla którejby było tożsamościowo:

I JSf (x, s) h (s) ds a 0.

(2)

Układ funkcyj właściwych jądra symetrycznego domkniętego jest zupełny, i vice versa. Istotnie, związek (2) pociąga za sobą:

<p„ (s) h (s) ds = 0 ,

i odwrotnie.

Jądro domknięte ma nieskończenie wiele wartości właściwych. Istotnie, gdyby liczba tych ostatnich była skończona, wówczas liczba funkcyj właściwych byłaby również skończona. Jednakowoż zupełny układ ortogonalny nie może być skończony.

8. Jądro określone. Jądro symetryczne nazywamy o kreśl o-nem, jeżeli nie istnieje żadna taka funkcya h(x), całkowalna wraz z kwadratem, dla którejby było:

j N (x, y)h(x)h (y) dx dy = 0.

(3)

Jeżeli teraz funkcya B (x) jest ortogonalna do wszystkich <p» (cc), to:

b    b    b    b

f N (cc, y), R (cc) R (y) dx dy= f ds f* N (cc, s) R (cc) dx f N (y, s) R (y) dy

l    CL    Oj    ^

b b

— f [ j" N (cc, s) R (cc) dcc]

a

b

f* N (cc, s) R (cc) dcc o

a wskutek tego:

² ds,

70

Jądro określone jest zawsze domknięte, gdybyśmy bowiem mieli:

j N (x, s) h (s) ds = 0

wówczas związek (3) zachodziłby również. Wszystkie wartości właściwe jądra określonego są tego samego znaku. W samej rzeczy, przypuśćmy, iż XM i XTO mają znaki różne. Jeżeli teraz

wówczas:

j N (x, y) h (y) dx dy

JM = 0.

Xn ⁺ Xm

Xn

(4)

jądro nasze nie byłoby więc określone.

Jądro iterowane jądra domkniętego jest określone. Istotnie, jeżeli

i?, y)=f N (x>s)N (s> v) ds>

wówczas nie może być:

I Nx (;x, y) h (x) h (y) dxdy = 0,

gdyż wynikałoby stąd:

a więc

ij IN (x, s) h (x) dx

b

j N (x, s) h (x) dx

ds =

= 0,

w sprzeczności z założeniem.

9. Jądro dodatnie; jądro quasi-określone Jądro symetryczne nazywamy dodatniem, jeżeli dla każdej funkcyi h(x) całkowalnej wraz z kwadratem jest:

j N {x, y)h (x) h (y) dx dy

71

Wartości właściwe jądra dodatniego są dodatnie. Istotnie, gdyby Xm i Xn miały znaki przeciwne, wówczas lekka zmiana postępowania § 8 dałaby nam funkcyę, dla której J N (x, y) łi (x) h (y) dxdy

byłoby ujemne. Jeżeli

N (x, y) h (x) h (y) dxdy = 0

wówczas jest:

j N(x, y) h (y) dy = 0.

Istotnie, na podstawie twierdzenia Hilberta-Schmidta, mamy:

j N (x, s) h (s) ds

_ A?! M I ⁷*2?2 0*0

^2

lin yn {x)

a wskutek tego:

| 2V (x, y) h (x) h (y) dx dy

V . h₂²

ir+t

f...+

/in³ 4

stąd zaś wynika a więc:

hn = 0

(n = 1, 2...)

72

Cx hx (cc) h₁ (y) -f C₂ h₂ (x) h₂ (//)+•••+ On hn (x) hn (y).

Istotnie, niech będą h^n)(x),..., hn(n) (x) funkcyami liniowo nieza-leżnemi, sprawdzającemi związek (4'). Zortogonalizujmy je; otrzymamy układ ht (aj),. .hn (x).

Wówczas jądro:

N (cc, y) + C, 0*0 h (?/) + ••• +    0*0 hn (y) Ct>0

nie będzie dla żadnej funkcyi h (x) spełniało równania (4'), będzie więc określone. Jądro ąuasi-określone ma tym sposobem nieskończenie wiele dodatnich wartości właściwych.

10. Rząd funkcyj D (X). Można udowodnić, iż w przypadku jądra symetrycznego rząd funkcyi D (X) jest mniejszy od 2. Rodzaj równa się conaj wyżej 1.

Istotnie, ze związku:

0*0 <Pi (y)

+ ...4

Ni (x, y)=

wynika natychmiast:

0*0 ?n (y)

oo

24 (s, t) ds dt = ^ —₂-.

(5)

p—1

Wzór Weierstrassa, mający w tym przypadku postać

OD

daje przez logarytmowanie:

£> (X) = eoX+ŁX2 ]J (l- -£)

en

00

I Nt (s, £) ds dt =    ^

łi=i

sobem:

Porównanie z wzorem (5) wykazuje, iż b — 0. Mamy tym spo

00

D(\) = e°‘ I]

*) W sprawie jąder dodatnich por. Mercer 2.

73

Uwaga. Jeżeli szereg

?i 0*0 t< (y)

fn (x) yn (y)

jest w przedziale (a, b) regularnie zbieżny, wówczas przedstawia on, jak to zaraz widzimy, jądro N (x, y).

Mamy więc w tym przypadku:

Analogicznie do poprzedniego rozumowanie wykazuje, iż funkcya D(X) jest w tym przypadku rodzaju zero.

11. Jądra skośnie-symetryczne.

Jądro N(x, y) nazywamy skośnie-symetrycznem, jeżeli

N{x, y) = — N (y, x).

Jądra te grają w teoryi równań różniczkowych liniowych nieparzystego rzędu taką samą rolę, jak jądra symetryczne w teoryi równań różniczkowych liniowych rzędu parzystego.

11. IDłasności wartości właściwych, a) Wartości właściwe są liczbami urojonemi kształtu vi.

W samej rzeczy, oznaczmy przez \ wartość właściwą, przez (x) jedno z odpowiadających tej wartości rozwiązań właściwych. Mamy:

Ti 0*0 — KjN (x, s) (s) ds = 0;

stąd:

Ti (®) + \ i N (s, x) cp, (s) ds == 0,

a więc:

= 0.

Ti 0*0 + xi / # 0> z) Ti («) ds

74

Gdyby było Xx =4= — Xj, wówczas funkcye <pt (cc) i cpŁ (cc) byłyby ortogonalne, co jest niemożliwe. Tym sposobem X₁ = — Xn a wskutek tego XŁ = + vi.

b) Bieguny są pojedyncze. Istotnie, jeżeli:

<p, (cc) — v i j N (x, s)    (s) ds = 0,

to:

6

= 0.

J N (s, x) ępŁ (s) ds

Wynika stąd, że każdemu rozwiązaniu <pŁ (cc) odpowiada rozwiązanie stowarzyszone cpt (cc), takie iż

f Ti (s) Ti (s) ds 4= 0

co dowodzi, że bieguny są pojedyńcze.

c) Jądro skośnie-symetryczne posiada conajmniej dwie wartości właściwe. W istocie, przedewszystkiem posiada ono conajmniej jedną, gdyż:

nA= j [Nt (sx, s₃)]² ds₁ ds₂

a

jądro zaś

b

s)]² ds

(s₁, s₁) = j' [W (Sj

nie może być tożsamościowo zerem.

Przytem będziemy mieli conajmniej dwie wartości właściwe, jeżeli bowiem vi jest wartością właściwą, to będzie nią również —vi. Odpo-wiedniemi rozwiązaniami właściweini będą cp₁ (cc) i cpx (cc).

Można powyższe twierdzenie sformułować tak:

Jądro, nie posiadające wartości właściwych, nie może być skośnie-symetryczne.

d) Jeżeli Ti ix) j e s t f u n kcy ą w ł a ś c i w ą, to ^ (cc) j e s t funkcyą właściwą stowarzyszoną. Ponieważ bieguny są poje-75 dyńcze, więc zbiór funkcyj właściwych jest identyczny ze zbiorem rozwiązań właściwych. Jeżeli funkcye cpx (a?), rf₂ (®)> • T«(a?) stanowią układ liniowo niezależnych rozwiązań odpowiadających wartości właściwej X w-tego szczebla, wówczas funkcye

Tl (®) , ?2 (*) ł • • • » T* (®)

stanowić będą układ liniowo-niezależnych rozwiązań równania stowarzyszonego.

Układy powyższe dwuortogonalizujemy metodą, wskazaną na str. 33. Zauważymy, iż położyć można:

gdyż:

(®) = Ti 0*0;

W, (ar) = *(»),

6

I* Ti 0*0 Ti 0*0 d® 4= 0;

pozatem stałe ait b{ są sprzężone, gdyż, jeżeli

to jednocześnie:

f Ti (s) [ Tp 00 — cpTi 0)1 ds = 0

a

h

f Tl 0) [Tp 0) - Cp Tl 0)] ds = 0.

Pozostałe więc funkcye będą znowu parami sprzężone:

Ta' 0*0

Ts' (x)> • • •> T«'0*0 Ta' (®) > Ta' (®) - • • •> T*' 0*0 •

Można, wobec tego, powtórzyć to samo postępowanie, co dowodzi prawdziwości naszego twierdzenia.

e) Jądro skośnie-symetryczne o skończonej liczbie wartości właściwych posiada kształt:

Ti 0*0 Ti (y)

T« 0*0 Tw (?/)

przyczem każda wartość właściwa występuje tyle razy, ile jednostek wynosi jej szczebel.

76

Celem udowodnienia tego twierdzenia zauważymy, iż, po odjęciu od jądra skośnie-symetrycznego części charakterystycznych, odpowiadających dwóm sprzężonym wartościom właściwym ±vi, pozostanie jądro wciąż jeszcze skośnie-symetryczne. Istotnie, niech częścią charakterystyczną, odpowiadającą wartości vi będzie wyrażenie:

II    • + T* 0*0 T* (y) .

vi

wówczas częścią charakterystyczną, odpowiadającą wartości —vi, będzie:

Ti 0*0 Ti (y) + ■ • • + T« (x) Tn (y)

— vi

Suma tych części:

Tl 0*0 Tl (y) — Tl 0*0 Tl (*/) + ••• + T« («) T» M - T« 0*0 T» (*/) jest funkcyą skośnie-symetryczną.

Jeżeli teraz od jądra, posiadającego skończoną liczbę wartości właściwych, odejmiemy części charakterystyczne, odpowiadające wszystkim tym wartościom, wówczas pozostanie jądro skośnie-symetryczne bez wartości właściwych, a więc jądro, które na mocy c) jest tożsamościowo zerem.

Jako przykład jądra skośnie-symetrycznego wymienimy jądro: sin n (x — y), którego jedynemi wartościami właściwemi w przedziale

-J- n x i

(0, 2tt) są: +—, funkcyami zaś właściwemi: e

7t

12. nierówność Bessela. W dziedzinie zespolonej uzyskać można nierówność analogiczną do nierówności Bessela.

Jeżeli

¹

ś (hn    • • • -Ą- hm)

²

Wyrażenie

³

N (x, s) h(s) ds = 0.

Jeżeli jądro dane jest dodatnie, wówczas liczba liniowo niezależnych funkcyj h (x), dla których:

⁴

N (x, y) k (x) h (y) dx dy = 0,

może być skończona, lub nie.

W pierwszym przypadku nazywamy jądro ąuasi-określonem; nazwa ta usprawiedliwiona jest przez to, że jądro takie różni się od jądra określonego tylko o sumę kształtu:

Ti 0*0» Ti 0*0 • Tw 0*0 > T« 0*0

jest układem funkcyj właściwych jądra skośnie-symetrycznego, zaś

cn =

f{$) cpM (s) ds,

wówczas zachodzi nierówność:

C1 |² + , C2 |² + - ’ • + i C* |²

77

Wynika ona z tożsamości:

I f(s)² ds — IICJ2 + .. . 4- jc„|²S

\f(s) — C₁cp₁ (s) — .. . — C»in 001

I f{s) — Cjcpj (s) - .. .\ds,

której strona prawa nie może być ujemna.

13. Rozwinięcia na szereg funkcgj podstawowych. Każda funkcya

b

f (x) typu fN{x, s)h{s)ds (gdzie funkcya h(x) jest całkowalna wraz

a

z kwadratem), daje się rozwinąć na regularnie zbieżny szereg funkcyj podstawowych jądra N(x, y).

Uogólnionemi spółczynnikami Fouriera są liczby:

b

cn = I N (t, s) li (s) <pn (i) dt ds

X»l

I h (s) (pn (s) ds

rf

hn

a więc:

cn —

X* ’

gdyby więc twierdzenie było prawdziwe, rozwinięciem szukanem byłoby:

oo

*0*0=2 f

w—1

hn tpn (a?) t hn ⁽pn {X)

XTC

A*

Udowodnimy przedewszystkiem regularną zbieżność tego szeregu zauważymy w tym celu, iż: b

'pm (X) ²

?» 0*0 ²

sm (x) — sM (x) j ^ [ | hn I² -f-. .. -f [7z.m]²J

’) Jestto zastosowanie nierówności:

(At Bi -(- Bi Al    . . -f- An Bn -f- An Bn)²    4 (-4., Al -j- .. . -p- An An) (Bi Bi -(-••■ -Sn -Bn),

którą otrzymujemy, wyrażając, iż forma kwadratowa:

(.4.2X -j- B{) (Ai X -j- Bt) —{— . • - —f~ (An X -f- Bn) (An X -(- Bn)

jest dodatnią, określoną.

78

Wychodząc z tej nierówności, przeprowadzić możemy dowód w taki sam sposób, jak w przypadku jądra symetrycznego.

Opierając się na własnościach c) i e), możemy wreszcie udowodnić, iż jądro skośnie-symetryczne domknięte ma nieskończenie wiele wartości właściwych.

III. 3ądro symetryzoiwalne.

14. Określenia; przykłady. Jądro nazywać będziemy symetry-zo wal nem, jeżeli staje się symetrycznem przez złożenie z pewnem jądrem symetrycznem i określonem; innemi słowy jądro N(x, y) jest symetryzowalne, jeżeli istnieje takie jądro symetryczne określone G (x, y), iż, conajmniej jedno z jąder:

a)

b)

H\ Oi V) — I G O, s) N(s, y) ds,

a

b

H₂ o, y). = f N O) s) G (s, y) ds jest symetryczne.

Na tę kategoryę jąder zwrócił uwagę J. Marty ń; zawiera ona wszystkie dotychczas zbadane jądra specyalne. Tak np. jądro biegunowe (Hilbert²⁾) A{x)G{x, y), gdzie jądro G (x, y) jest symetryczne, określone, jest jądrem symetryzowalnem; jądro bowiem

ij G (x, s) A (s) G (s, y) ds

jest symetryczne.³⁾

Ogólniej: jądro A(x)G(x, y) B (y) (Goursat) jest symetryzowalne, gdyż daje jądro symetryczne przez złożenie lewostronne z jądrem B (x) G (x, y) B (y), lub prawostronne z jądrem A (x) G {x, y) A (y).

’) Marty J. 2, 3, 4, 5.

*) Hilbert D. 1 Fiinfte Mitteilung, Hilbert dokładnie zbadał równania tego typu, w przypadku, gdy funkcya A (x) zmienia znak skończoną liczbę razy; nazywa on odpowiednie równanie całkowe równaniem całkowem bieg u nowe m, lub równaniem 3-go gatunku.

³) P. także Fubini G. 3. Pell A J. 2

79

Wymienimy jeszcze jądro (Marty) j'G(x, s) Gt(s, y) ds, gdzie

jądra G (:x, y), G₁ (x, y) są symetryczne, określone; możemy je uczynić symetrycznem przez złożenie lewostronne z Gx (x, y), lub prawostronne z G (.r, y).

15. Rozwiązania właściwe stowarzyszone. Dla jąder symetryzo-walnych ważna jest następująca uwaga.

Jeżeli (x) jest rozwiązaniem właściwem równania danego i jeżeli wyrażenie (a) jest symetryczne, wówczas:

f G(x, s)yt (s)ds

jest rozwiązaniem właściwem równania stowarzyszonego. Istotnie, pomnóżmy związek

<Pi 00 — K fw (*> s) cp₁ (s) ds = 0

przez G (x, t) dt i scałkujmy; otrzymamy:

<ją (X) — X

j*G(x, t) N (t, s) Ł (s) ds dt

= o,

lub też, wskutek symetryi jądra H₁ (x, y):

(#) — \ f G (s, t) N (t, x) <pj (s) dsdt = 0

lub wreszcie, uwzględniając symetryę jądra G (x, y):

c. b. d. o.

x) (t) dt — 0

Uwaga. Analogiczny dowód wykazuje, iż, jeżeli wyrażenie (b) jest symetryczne, to twierdzenie nasze będzie prawdziwe, o ile przemienimy wyrazy „dany“ i „stowarzyszony¹¹.

80 --

16. Własności luartości właściwych, a) Wartości właściwe są rzeczywiste. W istocie, jeżeli X₁ jest wartością właściwą, (x) odpowiedniem rozwiązaniem właściwem, wówczas X₁ również będzie wartością właściwą, zaś (x) odpowiedniem rozwiązaniem; wynika stąd, iż, dla \ 4= Xx, mielibyśmy:

= 0,

co jest niemożliwe, kładąc bowiem:

otrzymalibyśmy:

¥i (x)=p(x)-{-iq(x),

G (s, t) p (s) p (t) ds dt -{- j G (s, t) q (s) q (i) ds dt = 0,

a

b    b

I G (s, t) p (s) p (t) ds dt=j' G (s, t) q (s) q (t) ds dt — 0,

a

a więc l}

b

j G (s, t) ff t (t) dt = 0, co sprzeciwia się założeniu, że G (x, y) jest jądrem określonem.

b) Bieguny jądra rozwiązującego są pojedyncze,

gdyż rozwiązaniu właściwemu cpt {x) odpowiada rozwiązanie właści-

6

we równania stowarzyszonego f G (x, s) ępt (s) ds, przyczem

j G (x, s) cp₂ (s) tpj (x) dsdx 4= 0,

gdyż jądro G{x, y) jest określone.

Zbiór funkcyj właściwych jest tym sposobem identyczny ze zbiorem rozwiązań właściwych.

') P. własności jąder dodatnich str. 77.

81

Uwaga. W przypadku jąder biegunowych własności powyższe mają miejsce przy założeniu nieco ogólniejszem, mianowicie, jeżeli G(x, y) jest jądrem dodatniem. Istotnie, mamy wówczas:

i wskutek tego:

TiM

j' G (x, s) <pt (s) d s

a

b

I G (x, s) cp₁ (s) cpL (cc) tfe da; 4= 0 .

4=0

(6)

(7)

Natomiast dla ogólnych.jąder symetryzowalnych, założenie, że jądro G (x, y) jest dodatnie, nie wystarcza. Jeżeli np.

Ti 0*0 Ti (V)

G(x, y) =

a²

to położyć możemy:

N (x, y)=K (x, y) -f

ii 0*0 Ti (y) -

*i

przyczem K (x, y) jest jądrem dowolnem, którego funkcye właściwe są ortogonalne do (cc). Jeżeli

wówczas:

I Ti 00 ii 00 ds

a

b

I G (cc, s) N (s, y) ds -

= 1,

TiM Ti (2/)

6? (cc, s) N (s, ?/) cfe jest więc jądrem symetrycznem.

Jądro zatem N (x, y) staje się symetrycznem przez złożenie z jądrem dodatniem, tern nie mniej zawiera ono część K(x, y), której wartości właściwe mogą być zespolone, a rząd biegunów jądra rozwiązującego może być dowolny.

c) Jądro symetryzowalne ma jedną conajmniej wartość właściwą.l)

’) Marty J. 4, 5.

82

d) Jeżeli cpj_ (x) jest rozwiązaniem właściwe m, to

wówczas ^’₁

(x) = I O (x, s)    (s) ds

jest rozwiązaniem wła-

ściwem stowarzyszonem.

Ponieważ bieguny są pojedyncze, więc zbiór funkcyj właściwych jest identyczny ze zbiorem rozwiązań właściwych. Jeżeli wartości właściwej X₁, szczebla n odpowiada n liniowo niezależnych rozwiązań: <pj (a;),..., cpM [x), wówczas funkcye

(x) = I G (x, s)    (s) ds ,

będą stanowiły n liniowo niezależnych rozwiązań równania stowarzyszonego, gdyż jądro G (x, y) jest określone. Dwuortogonalizujemy teraz te układy metodą kilkakrotnie już używaną. Możemy wziąć przede-wszystkiem:

cpi (x) =    {x);

gdyż:

j G (x, y)    (x) cpj (s) dxds > 0.

Zauważymy teraz, iż związek:

b

— ap d>! (x)] dx = 0

i 0*0 [<Pp (z)

pociąga za sobą:

j G (x, s)    (s) [cpp (x) —    (#)] ds dx

a

b

—    (s)] ds = 0,

j(«) [t, («)

stąd zaś wynika, iż funkcye, które otrzymamy po uskutecznieniu pierw -szej operacyi dwuortogonalizacyjnej, będą miały ten sam kształt, co

(4')

83

funkcye pierwiastkowo dane; można będzie wobec tego powtórzyć n razy to samo działanie.

e) Jądro symetryzowalne o skończonej liczbie wartości właściwych jest kształtu:

<p« (*)    (y)

Istotnie, jeżeli odejmiemy od jądra części charakterystyczne, odpowiadające biegunom    Xn, a więc wyrażenie tylko co napisane,

wówczas otrzymamy jądro, które na mocy (d) będzie symetryzowalne i nie będzie posiadało wartości właściwych. Na podstawie więc (c) będzie ono tożsamościowo zerem.

16. nierówność Bessela. Niech będzie f(x) funkcyą, dla której istniej e całka:

(G)

I G (x, s) f (s) f (x) ds dx,

jeżeli av jest spółczynnikiem Fouriera:

G/p —

f f{s) <pP 00 ds,

wówczas zachodzi nierówność:

ai -f-    an

² <; ^ G(x, s) f (pc) f (s) ds dx.

Podobnież jak w przypadkach uprzednio rozpatrywanych nierówność ta wynika z tożsamości:

b

j' G (x, s) [f (x)

— ai Ti (a?) • • • — a>n (a?)J

\f (s) — ax (s)... — an cpn (s)] ds dx

6

I G (x, s)f (s) f (;x) ds dx

— ax² — axl — ... an²

której strona lewa jest zawsze dodatnia.

84

Stąd wynika, iż szereg

«i² ~b $2² ~b • • • ~b ^«² ~b • • •

jest zbieżny.

17. Twierdzenie o rozwinięciu na szereg funkcgj dwuortogonalngch.

Funkcya ciągła kształtu:

(a)

lub

(b)

I N (s, x) li (s) ds

daje się rozwinąć na szereg regularnie zbieżny funkcyj <pn(a?) w przypadku (a) lub funkcyj <|>„ (#) w przypadku (b).

N (x, y) oznacza tu jądro dwustronnie symetryzowalne; zakładamy przytem, że całka (G) istnieje dla funkcyj N (x, y) i h(x).

Dowód wzorować będziemy na dowodzie twierdzenia Hilberta-Schmidta. W przypadku (a) szeregiem szukanym będzie:

co

gdzie:

£(•*) = 2 Y~Vn (®), n=l

b

h„ = f f(s)    (s) ds.

Jestto szereg regularnie zbieżny; w istocie, ponieważ szereg kwadratów hn² jest zbieżny, więc można przeprowadzić to samo rozumowanie, co w przypadku symetrycznym.

Szereg S(x) przedstawia funkcyę f{x). Istotnie, weźmy pod uwagę różnicę:

R (x) = f{x) — 8 {x).

Mamy:

b    6

I G (x, s) R (x) R (s) dxds = j G (x, s) R (s) f (x) ds dx

%    a

b

— j' G (x, s) R (s) S (x) ds dx.

V¹ <{>n (X) ,

Ale:

oo

Sl (x) — I S (x) G (x, s) ds = 2

W=1

Xn

I G (x, s) R (s) S (x) dsdx — j R (s) St (s) ds = O

na mocy określenia funkcyi R (x). Z drugiej strony:

I G (x, s) R (s) f (:x) dsdx = j G (x, s) R (s) N (x, t) h (t) ds dx dt

a

b

= j’ H (s, t) R (s) h (t) dsdt = O,

a

gdyż:

b

j" H (x, s) R (s) ds = 0.

a

A więc:

b

j’ G (x, s) R (x) R (s) ds dx — 0

R(x) ^ 0.

- 85

a więc

i tym sposobem

18. 3qdro sijmetryzoiualne domknięte. Jądro symetryzowal-ne nazywać będziemy domkniętem, jeżeli jądro symetryczne H(x, y) jest domknięte.

Jądro domknięte ma nieskończenie wiele wartości właściwych.

Istotnie, związek:

I H (x, s) h (s) ds = 0

pociąga za sobą związki:

I* 'fn (s) h(s)ds = 0 ,

i odwrotnie. Jeżeli więc jądro H (x, y) jest domknięte, wówczas żadna funkcya nie spełnia tych związków, co dowodzi, iż funkcyj <pn (x) jest nieskończenie wiele.

86

I). Jądra rozmaite.

19. Jądra rozmaite L (a). Z pośród jąder ciągłych wyróżnić należy ważną kategoryę jąder L (a), które dla jednej ze zmiennych sprawdzają uogólniony warunek L i p sc h i t z a

A y — z |“

N (x, y) — N (x, z)

Jądra te mają własność następującą.

Funkcya D (X) jądra L (a) jest rodzaju 0 lub 1; dokładniej mówiąc rząd jej równa się conajwyżej

2 O 2a + l*

By udowodnić powyższe twierdzenie, udowodnimy przedewszyst-kiem nierówność:²⁾

p_

CM CM

8 S*

przyczem M jest pewną stałą. Mamy:

H «

to 60

(8)

oą) -N(xu x₂)    x₂)—N(xv xz) ...N(xv xp-i)—N(xi, xp) N (xv xp)

N(xp, x₁)—N(xp, x₂)N{xp, x₂)—N{xp, x₃). ..N(xp, xp_i )—N(xP) xp) N(xp, xp)

I CC

Wynika to ze znanego wyrażenia na iVj

\ X

tów każdej kolumny (prócz ostatniej) odejmiemy elementy kolumny następującej. Kładąc:

xlf ...

CC \

p , jeżeli od elemen-

. xp I

N(xk, y) — N (xk, z) + {y — z)a Nk (y, z) (|Nk (y, z) \ ^ A)

*) Lalesco 3.

²) Fredholm4.

j — (x^    a^)** (*^2    *^3) • ’ ■ (Np—1    Xp)a

N. (x₁, x₂) Nx {x₂, xt).... Nl (xp-i, xv) N (aą, xp)

Np (pC\ , ^2) Np (_x₂1 ^3) • • * • Np (xp—1, oCp') N (Xp , oCp)

Wyznacznik ten posiada elementy skończone, nie większe od pewnej stałej A'. Jego wartość bezwzględna jest więc na mocy twierdzenia Hadamarda niewiększa niż

p² A'p .

Z drugiej strony weźmy pod uwagę iloczyn

(iCj ^2) 0®2    ^s) • • • (Np—1    ^p)

w obszarze:

(9)

\ > xt ^ x₂... ^ xp ^ 0.

Suma czynników jego równa się xl—xp; dla stałych więc x^ i xp maximum iloczynu otrzymamy wtedy, jeżeli wszystkie czynniki będą równe.

Bezwzględne maximum nastąpi wtedy, gdy xt— xv jest maximum, a więc dla aą = 1, xv = 0.

wartość zaś maxi-

87

otrzymamy:

Każdy z czynników jest wtedy równy

mum jest:

(p — 1 y-¹ ‘

Wyznacznik (8) jest funkcyą syn etryczną zmiennych aą,..., x zbiór jego wartości jest identyczny ze zbiorem wartości, które przyjmuje w obszarze (9), można bowiem zawsze wykonać taką przemianę zmiennych, aby one były uporządkowane według wielkości malejących. Będzie tym sposobem:

p² A,p

a ponieważ

lim

(p~l)a

p—

CO \p    1

= e*, '

88

można więc wziąć jako granicę górną:

pa (P—1)

Oznaczmy przez up spółczynnik przy X? w rozwinięciu funkcyi D (X). Będzie:

iip |

p² M

a?

P P p\

lub też, stosując przybliżony wzór Stirlinga:

p! co

otrzymamy:

Up | <

Me

i tym sposobem

«+— p_

p ²V\Up\<M',

2

co dowodzi, iż rząd funkcyi D (X) równa się conajwyżej ^ ^    ^

dzaj zeru, lub jedności.

Uwagi. 1° Opierając się na znanych własnościach funkcyj całkowitych, możemy twierdzić, że wykładnik zbieżności szeregu

; jeżeli więc e ozna-

, a ro-

o wyrazach 1 : Xn będzie conajwyżej równy

CM

2 a —j— 1

cza dowolnie małą liczbę dodatnią, wówczas jest:

2a+l

lim n ²

: Xn — 0.

n =oo

2° Jeżeli jądro jest ciągłe i spełnia warunek Lipschitza (a = 1), wówczas na zasadzie powyższego rząd funkcyi D (X) będzie równy

cc to

a więc:

lim n³    : Xn = 0.*'

n = oo

b H. Weyl, 3 udowodnił, źe w przypadku gdy jądro jest symetryczne i posiada ciągłą pochodną, można opuścić e. Por. także S Mazurkiewicz, O wyznaczniku Fredholma II. Spr. Warsz. Tow. Nauk. VIII, 1910, gdzie wynik powyższy uogólniony jest na jądra niesymetryczne.

RÓWNANIE FREDHOLMA PIERWSZEGO

GATUNKU.

1. Równanie Fred hol ma pierwszego gatunku przedstawia przy badaniu trudności, zasadniczo odmienne od tych, któreśmy dotąd spotykali.

Jeżeli chodzi o zagadnienie istnienia, to znaczy o wyszukanie ogólnych warunków, przy których równanie posiada rozwiązanie, i to jedyne, wówczas nie wystarczy ograniczyć się do funkcyj rzeczywistych całkowalnych; niezbędne są warunki dodatkowe. Wywołane przez wprowadzenie tych warunków zwężenie zakresu, w którym mamy szukać rozwiązań, stanowi właśnie nową i najważniejszą cechę naszego zagadnienia.

Otóż teorya szeregów trygonometrycznych zdążyła już ujawnić rolę funkcyj rzeczywistych całkowalnych wraz z kwadratem i badania współczesne coraz silniej podkreślają wielkie znaczenie tej klasy fun-kcyi, która zdaje się pod względem doniosłości zajmować miejsce tuż za klasą funkcyj całkowalnych. Najbardziej interesującym szczegółem tych badań jest okoliczność, że najwygodniejszem, a nawet niezbędnem ich narzędziem jest nie już całka Ri eman na, ale całka Lebesgue’a. Jest to nowy i godny uwagi przykład tego, jak roztrząsanie czysto logiczne prowadzić może do wyników bezpośrednio zużytkować się dających.

W rozdziale mniejszym całki mają być rozumiane w sensie Le-besgue’a. Nazywać będziemy sumowalną każdą funkcyę całkowalną w tym sensie; oznaczymy dalej przez Q zbiór funkcyj rzeczywi-

90

stych sumowalnych wraz z kwadratem w przedziale (a, b), przyczem każdą taką funkcyę nazywać będziemy funkcyą fi.

E. Picard podał ważne twierdzenie, dotyczące równania pierwszego gatunku. Aby je udowodnić, podamy najprzód pewne wyniki badań ostatniej doby nad zbieżnością funkcyi zmiennej rzeczywistej.

2. Zbieżność przeciętna; określenia.

1) Ciąg funkcyi fi:

(1)

nazywamy przeciętnie zbieżnym w przedziale {a, b), jeżeli:

lim

m, n =

f [ fn O) — fm 0*)]² dX = 0 .

⁰⁰ ./

b) Nazywamy ciąg (1) przeciętnie zbieżnym dofunk-cyi granicznej f{x), jeżeli:

lim f [ f (x) — fm (x)]² dx = 0.

m—ooj

Dwie funkcye graniczne f(x) i <p(a;), które w przedziale (a, b) różnią się conajwyżej w punktach zbioru o mierze 0, uważamy za równe. Jest w tym przypadku:

² dx = 0,

i odwrotnie-    °

c) Ciąg (1) nazywamy zbieżnym prawie jednostajnie w przedziale (a, b), jeżeli dla każdego e > O^przedział powyższy zawiera zbiór punktów o mierze b<—a — e, w którym ciąg ten jest zbieżny jednostajnie.

3) bemmat.Przeciętnie zbieżny ciąg funkcyj fi posiada jedną i tylko jedną funkcyę graniczną.

Udowodnimy przedewszystkiem, że z ciągu (1) wybrać można ciąg prawie jednostajnie zbieżny w przedziale (a, b). Bierzemy w tym celu

9 Por. H. Weyl 2, M. Plancherel 2, F. Riesz 4, Egoroff 1.

²) Dowód podany w oryginale jest niezupełnie poprawny, został więc nieco zmodyfikowany.

oo

ciąg liczb dodatnich malejących, taki, iż szereg ^ % Jest zbieżny. Wyznaczamy następnie ciąg:

U" {x\ ....

91

A⁽¹⁾ (*)•••

w następujący sposób. Można znaleść taką liczbę że

Im, n -

^[/w (a?)    fmĄ-n (V)\ hfe P

m>m?.

Zbiór punktów dla których

| fm (a?)    f m-\-n    ^

posiada dla każdego w miarę p. < ^

p- Tj² < Ir

: w istocie:

m, n

< P-

Jeżeli więc położymy p — 7j³, to będzie p, < tj . Znaczy to, że do każdej liczby Trj>0 dobrać można liczbę m' tak, że miara zbioru, w którego punktach | fm (x) — fm+n (x) | > kj, jest niewiększa od tj, jeżeli m > m'.

Oznaczmy przez mk liczbę, odpowiadającą w ten sposób liczbie r^. Połóżmy następnie: f^l) (x) = fmi (#); A⁽¹⁾ (x) = pierwszej funkcyi ciągu (1), której wskaźnik jest większy zarówno od jak i od wskaźnika funkcyi {x) (k > 1). Powiadam, że tak wybrany ciąg (2) rozwiązuje zagadnienie. Wystarczy w tym celu udowodnić, że do każdej pary liczb £, 8 dodatnich dobrać można takie m₀, że zbiór punktów w których

\f^{x)    fq0)(x) | £8

posiada miarę niemniejszą niż b— a — e, jeżeli tylko p i q przekraczają liczbę m₀. Połóżmy:

oo

p—n

ponieważ lim rm = 0, więc możemy dobrać m₀ tak, aby zachodziły nie-

m = co

równości:

r»i₀ < 5,

Wyłączamy następnie z przedziału (ab) punkty, w których zachodzi jedna conajmniej z nierówności:

92

g = o, i, 2...

+?

I/£+,(*)- C+f+i (x)i>^

miara zbioru tych punktów nie przekracza liczby:

^o⁻!⁻ ^wi₀+l    = Tmo < 6 .

Zbiór więc It, który pozostanie, ma miarę nie mniejszą niż — a—8. Powiadam, że jeżeli p, q>m₀, wówczas w dowolnym punkcie tego zbioru jest:

Istotnie, jeżeli przypuścimy, że p<q} wówczas

q—p—l

fpo) (x)—ui) (x) i ^ 2 i (*) — f

u*

P+s+l

(*)i.

s=0

a więc, wobec określenia zbioru IE:

q—v—i

I /J!) 0*0 — /J1} 0*0 I ^ 2 ^+s =    ^ r^o < s (c- b- d- O.)

s=0

czyniący zadość warun-

2 y • •>

co

Niechaj teraz będzie dany ciąg , d kowi lim§„ = 0, oraz zbieżny szereg o sumie X: ^ e„. Do każdego

n = oo

w—1

8* i b„ dobieramy odpowiednie m₀ i budujemy zbiór Iv Punkty, należące do wszystkich I-n, tworzą zbiór, który oznaczymy przez Kx, i któ-

oc

rego miara jest nie mniejsza niż b — a — ^    ^ — a    OCZy-

ji^ 1

wiście, ciąg (2) jest w punktach zbioru Kx jednostajnie zbieżny do pewnej granicy f(x), która jest określona w całym przedziale, prócz może zbioru punktów o mierze 0, gdyż X jest dowolnie małe. Jest ona granicą ciągu (1) w sensie określenia b).

Przedewszystkiem f(x) należy do 8, gdyż¹' dla e = sx, np.:

/.

f(f"(x)Yax

2 f (/?’

h

_____ ^28(b — a)Ą-2M.

*) Jeżeli | a | < j b | -+- | c |, to | a¹ | < 2 j j -j- 2 | c² .

Tembardziej więc

!j( fn{i) ipc))² dx <; 2 § (b — a) --j- 2 M

*x

ponieważ zaś w punktach zbioru K\ — fn{l)(x) jest jednostajnie zbieżne do f(x), więc

/(/’(*))

dla każdego X. Istnieje więc lim / (f (x))² dx i na mocy definicy

Ax

X=0 J b

Tym sposobem f (x) jest funk-

funkcyi f (x) równa się f f²(x) dx. cyą Q.    “

Niech będzie dalej L\ zbiór punktów, nie należących do K\. Jest

wówczas

93

lim ( f² (x) dx — 0, x=o J

oraz, jeżeli m₀ jest stałe:

lim

x=o

n/i¹’(*)]**»=o,

a wskutek tego jak łatwo widzieć, że

lim I [f(x) —    (x)]² dx = 0.

4.

x=o . /

Mamy dalej dla m > m₀:

<to+2j [/(*)'- /“'(z)]² dx

AX

+ 2

/*"(.xWdx+2f\f(x)-C(x)Ydx

h

b

+ 2 ([/.(X)

*X

I [/(«)

Ax

- C (x)]2

94

Możemy tu dobrać nasamprzód m₀ tak aby 3-ci składnik był mniejszy od dowolnej naprzód danej liczby tj, następnie X, tak aby to miało miejsce dla drugiego składnika, wreszcie m, tak aby i pierwszy składnik był <; t\. Wynika stąd natychmiast:

lim i [f (x) — f{" (■x)]² dx = 0. m—0 J

Mamy dalej:

f [f(x) — fp(x)\

² dx 2

j\f(.x) - /?>(*)]» dx+2 fltf{x) - f,(*)1² dx.

Jeżeli teraz p nieograniczenie rośnie, wówczas obie całki po prawej stronie dążą do zera, a więc:

lim I [f (x) - fv {x)}² dx = 0,

p = oo J

co dowodzi, że f(x) jest istotnie granicą ciągu (1). Wreszcie jest ona jedyną jego granicą. Istotnie, przypuśćmy, że:

lim i [ f (s) fn O)]² ds = lim j [<p (s) — fn (s)]² ds — 0,

M = oo,/    n — oaj

wówczas będzie:

- fn (s)]² ds

lim ( r f (s) — 9 (s)]² ds

n=oo J

b

+ 2 lim f [cp (s)

n=ooJ

2 lim f lf(s)

n — ooj

— fn (s)]² ds = 0

a ponieważ lewa strona jest od n niezależna, więc:

² ds = 0;

t. zn. funkcye f(x) i cp (x) mogą różnić się conajwyżej w punktach zbioru o mierze 0 c. b. d. o.

95

4. Twierdzenie Fischera-Riesza. Niechaj

<p* (x)...

(3)

(4)

¥i(a), ?₂ Od

będzie układ zupełny funkcyj ortogonalnych, zaś:

stałe takie, że szereg:

IM⁸

fn²

jest zbieżny.

Istnieje wtedy jedna i tylko jedna funkcya f (x) całkowalna wraz z kwadratem, której spółczynnikami Fouriera względem funkcyi ciągu (3) są liczby fn. Zbieżność szeregu (4) jest warunkiem koniecznym i dostatecznym.

Ważne to twierdzenie udowodnili jednocześnie E. Fischer i F. Riesz¹).

W twierdzeniu tern streszcza się w formie dogodnej do zastosowań znaczna część najnowszych badań nad teoryą równań liniowych o nieskończenie wielu zmiennych.

Dowód wynika natychmiast z podanego w paragrafie poprzednim lemmatu. Weźmy pod uwagę ciąg:

Będzie wtedy:

a więc:

/■»(*)=2 /w*

n= 1, 2 .. . .

k=1

I [ fn (X) frn (x)]² <lX = ^ fk, a    k=n+1

b

lim    f [ fn {X)

= ooJ

n, m

fm (x)]² dx = 0.

Ciąg fn(x) jest więc przeciętnie zbieżny w przedziale (ab) i określa funkcyę f (x) w całym przedziale, prócz może punktów zbioru o mierze 0.

Jest to właśnie funkcya szukana. Aby to udowodnić, trzeba wyka

zać, że:

b Fischer E. 1, Riesz F. 1, 2.

96

Otóż mamy:

j[f(s) — fn (s)J yP (s)ds    ^ |*[ f (s) — fn OOP ds j <pp² (s) ds < e,

jeżeli n jest dostatecznie wielkie, a więc:

lim fn (s) cpp (s) ds= f (s)    (s) ds,

n — oo

Lecz, jeżeli n>p, to:

ostatecznie więc:

| fn (S)    (S) dS = /p,

a

b

I f(s) <fP (s)ds

= Za

istniej e zatemfunkcya,której spółczynnikami Fouriera względem ciągu (3) są liczby /*. Wobec założeń naszych jest ona jedyną. Istotnie, gdyby istniała druga taka funkcya (cc), wówczas różnica f(x) — ^ (x) byłaby ortogonalna do wszystkich funkcyj yn(%), co jest niemożliwe, gdyż układ (3) jest zupełny.

5. twierdzenie Schmidta o jądrach asymetrycznych. E. Schmidt podał w rozprawie doktorskiej uogólnienie swojego twierdzenia na przypadek jądra asymetrycznego.

Niechaj będzie N (x, y) jądro asymetryczne, należące do zbioru fi;

połóżmy:

N (x, y)= j'N (s, x) N (s, y) ds

oraz

N (aj, y) = N (x, s) N (y, s) ds.

Oba te jądra są oczywiście symetryczne; są one także dodatnie; istotnie jest:

97

b    6

ds;

2V (cc, ?/) /i (cc) h(y) dxdy — j j N (s, cc) łi (cc) dcc

to samo ma miejsce dla drugiego jądra N (x, y).

Wartości właściwe jąder W(x, y) i N(cc, y) są więc dodatnie. Są one te same dla obu jąder. Istotnie niechaj A„² oznacza wartość właściwą jądra N(cc, y), (cc) — zaś odpowiadające wartości tej rozwiązanie właściwe. Mamy:

Połóżmy

otrzymamy

(cc) — Xn²J N (cc, ż) cpw (ż) dt — 0

a

b

i>n ipc) = Xw pv (cc, ż) cpn (ż) d£;

- a

b

<?n (x) — An j'N (s,

(5)

(6)

cc) (s) ds = 0,

(7)

co dowodzi, że <J>„ (cc) nie może być tożsamościowo zerem. Zastępujemy dalej w związku (6) (cc) przez prawą stronę równości (7); otrzymujemy:

(8)

<!>« (a;) — An² (cc, s) ^ (s) ds = 0.

Jądro W (cc, ?/) posiada więc również wartość właściwą A„². Z drugiej strony związek (6) daje:

I* <!>n² (s) ds

— A«

j N(s, t) cpw (ż) <jłM

(s) ds d£;

podobnież związek (7):

y (s) ds = An I’N (s, ć) (0 (Jjw (s) ds dż;

a więc:

98

<|>» (x) jest zatem funkcyą właściwą jądra N{x, y), należącą do wartości właściwej An². Tym sposobem doszliśmy do następującego wyniku:

a) Jądra symetryczne N(pc, y) i N (x, y) mają te same wartości właściwe; te ostatnie są dodatnie; oznaczamy je przez Xw².

b) Jeżeli

yn{x)...

są funkcya mi właściwemi jądra N {x, y), wówczas funkcya mi właściwemi jądra N (x, y) będą:

gdzie

0*0.

-c-

₂(x). tyn 0*0

Przechodzimy teraz do twierdzenia Schmidta:

Każda funkcya ciągła, mająca kształt (a) lub (b):

(a)

j N (x, s) li (s) ds

(b)

j’N (s, x) h (s) ds

jest rozwijalna na regularnie zbieżny szereg funkcyj lub yn(x), zależnie od tego, czy jest kształtu (a), czy (b).

Udowodnimy pierwszą połowę tego twierdzenia; druga byłaby prostym powtórzeniem.

Spółczynnikiem Fouriera funkcyi (a) względem (x) jest

liczba:

I h (s) cpw (s) ds;

j" N (x, s) cj>n (x) h (s) ds dx

rozwinięcie więc szukane będzie postaci:

7l~l

oo b    b

(s) ds.

2 I (a:, s) cp„ (s) ds I h (s) «p*

n=l „    ''

Szereg ten jest regularnie zbieżny, co wynika z rozumowania analo-. gicznego do tego, któreśmy stosowali przy twierdzeniu Hilberta-Schmidta.

Funkcya S (x) ma jednak te same spółczynniki Fouriera, co funkcya (a), będzie więc:

j N (x, s) h (s) ds = S (x).

Twierdzenie to jest wielkiej wagi, gdyż daje ono rozwinięcia na-szeregi,’ postępujące według funkcyj (x) lub <\>n (x) dla obszerniejszej klasy funkcyi niż twierdzenie Hil berta-Schmidta, zastosowane wprost do jąder N (x, y) lub N(x, y).

6. Twierdzenie C. Picarda. Równanie całkowe pierwsze-gogatunku    b

j' N (;x, s) h (s) ds = f {x)

oo

posiada jedno i tylko jedno rozwiązanie w zbiorze &, jeżeli szereg

2 >*v»²

oo

99

i

(9)

n — 1

jest zbieżny. Zakłada się że jądro N (x, y) jest domknięte. Warunek powyższy jest konieczny i dostateczny.

W tern sformułowaniu stałe An² oznaczają wartości właściwe jądra N (x, y), zaś liczby fn spółczynniki Fouriera funkcyi f(x) względem funkcyj właściwych jądra N (x, y).²)

*) E. Pi card 5, 7.

²) W przypadku jądra symetrycznego jest N (x, y) — N (x, y) = {pc y). Jądro iterowane, jak wiadomo, posiada, jako wartości właściwe, kwadraty wartości właściwych jądra N (x, y). Te ostatnie są więc równe ± Xn . Funkcye właściwe jąder N (cc, y) i (x, y) są identyczne, można więc powiedzieć, że stałe fn są spółczynnikami Fouriera względem funkcyj właściwych jądra N{x, y).

100

By udowodnić nasze twierdzenie, obliczmy spółczynnik fn\ mamy

fn =

6 6 6 j' f (x) <|>w (x) dx= j'    (x) N (x, s) h (s) ds dx— -i- jh (s) cpn (s) ds,

a stąd:

(10)

Otóż, według twierdzenia Fischera-Riesza, warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia jedynego rozwiązania h (x), czynią-

oo

cego zadość równościom (10), jest zbieżność szeregu ^ K$fn²-

n=1

Tak określona funkcya li (x) sprawdza istotnie nasze równanie

6

całkowe. W samej rzeczy funkcye j"N(x, s)h(s)ds i f(x) mają, jak

a

to z definicyi h (x) wynika, te same spółczynniki Fouriera względem zupełnego układu (x): są więc one identyczne.

Lliuaga. Jeżeli układ funkcyj <{>» (sc) nie vjest zupełny, wówczas rozumowanie nasze daje nam tylko związek:

j N (a?, s) h (s) ds = / (x) -j- K {x)

(11)

przyczem K (x) jest funkcyą ortogonalną do wszystkich <{>„ (x). Żadne inne równanie typu:

r*

J N (x, s) hx (s) ds — f (as) -(- K (x) -j- Kx (x),

(12)

gdzie Kx (x) również oznacza funkcyę ortogonalną do wszystkich <{>„ (x), nie jest rozwiązalne w Istotnie, (11) i (12) pociągają za sobą:

j N (x, s) [,h (s) — hy (s)] ds = Ry (x),

co jest niemożliwe.

101

Jeżeli więc jądro N(x, y) nie jest domknięte, wówczas między równaniami

j" N (x, s) h (s) ds = f (x) -f- K (pc),

gdzie f{x) jest funkcyą nieortogonalną do układu ^„(cc), K(x) zaś dowolnąfunkcyą ortogonalną do wszystkich <j;n (x), jest jedno tylko rozwiązalne w ¹>

*) Lauricellal, 4.

CZĘŚĆ TRZECIA.

RÓWNANIA OSOBLIWE.

1. Określenia; uwagi historyczne. Równanie całkowe nazywać będziemy osobliwem, jeżeli jedna conajmniej z granic całki określonej w skład jego wchodzącej jest nieskończona, albo też, jeżeli jądro staje się nieskończonem w jednym conajmniej punkcie przedziału całkowania.

Do równań osobliwych zaliczymy również równanie Volterry pierwszego gatunku, jeżeli N (z, x) = 0 w jednym conajmniej punkcie przedziału całkowania.

Z badań nad równaniem osobliwem Volterry wymienimy prace: V. Volterry, Holmgrena, Hornab i Evansa²⁾.

Podobnież, pod wpływem prac D. Hilberta zbadane zostały równania osobliwe Fredholma, mianowicie przez Wey 1 a ³⁾, Hi 1 ba4) i Plancherela⁵⁾.

W badaniach tych spotykamy nadier ciekawe i rozmaite zjawiska analityczne; wymienimy tu najbardziej zasadnicze:

1)    Wartości właściwe nie tworzą naogół zbioru przeliczalnego, odosobnionego. W przypadku jądra symetrycznego np. mogą one wypełniać odcinki na osi zmiennych rzeczywistych. Mówimy w tym przypadku, iż jądro posiada widmo odcinkowe.

2)    Zamiast twierdzenia o rozwijaniu funkcyj dowolnych na sze-

ń Horn J. 1.

²) Evans G. 2.

») WeyI H. 1.

⁴)    Hilb E. 1.

⁵)    Plancherel M. 1,

103

reg Fouriera występuje twierdzenie o przedstawianiu funkcyj przez całkę Fouriera.

3)    Analityczny charakter rozwiązania, rozpatrywanego jako fun-kcya parametru X, zależy od prawej strony równania.

4)    Przy szukaniu rozwiązań rzeczywistych wprowadzać należy najrozmaitsze warunki ograniczające.

Metody współczesne ograniczają się przeważnie do dziedziny rzeczywistej. Wydaje się jednak, iż przy badaniu równań osobliwych niezbędne będzie wprowadzenie zmiennych zespolonych. Zostało to już uskutecznione dla równania Volterry. W przypadku równania Fredli o Ima próbować można również tego uogólnienia: w kilku niedawno ogłoszonych notach wskazał Picard płodną drogę w tym nowym kierunku badań.

Omawiany tu dział teoryi równań całkowych dopiero powstaje i, jak dotąd, nie ustalono jeszcze wyników bardzo ogólnych. Dlatego też, o ile chodzi o równania Fredholma, ograniczymy się do podania kilku przykładów oraz twierdzeń E. Picarda.

Obok równań osobliwych w ścisłem znaczeniu, zasługuje na uwagę ważna kategorya równań, których jądra mają kształt:

N (x, y)

(ar— yf '

Równania te, przy pomocy pewnego fortelu rachunkowego, badać można uprzednio wyłożonemi metodami; mają one własności analogiczne do równań regularnych.

I. Równanie osobliwe Dolterry.

Przypadek N (0, 0) = 0.

2. Twierdzenia Dolterry i Holmgrena. Przypadek powyższy zbadany został przez Volterrę i Holmgrena dla jąder analitycznych oraz ogólniej dla jąder typu:

(1)

N(x, y) = A₀xn-f A₁ a?*-¹ y -f    A,,yn -f    Q (x, y)

= P (x, y) -j- xn+] Q (x, y): (A₀-j-il.₁-f- ...-j-JM=ł=0).

Q (x, y) jest funkcyą ograniczoną w przedziale całkowania. Oto twierdzenie Yolterry, uzupełnione przez Holmgrena:

Na to, by równanie posiadało rozwiązania rzeczywiste, ograniczone w otoczeniu punktu zerowego, potrzeba i wystarcza, aby było

f(0) = f (0) = ... = /W (0) = 0.

Pod tym warunkiem posiada równanie (2) k-1-1 liniowo niezależnych rozwiązań, przyczetn k oznacza liczbę tych pierwiastków równania

A-n

(2')

104

__I—Aa_

r-\~n r -\-n    1

których część rzeczywista jest nieujemna.

Celem udowodnienia tego twierdzenia użyjemy znowu metody przybliżeń kolejnych, sprowadzając nasze zagadnienie do rozwiązania przy pomocy tej metody równania różniczkowego rzędu n. Przede-wszystkiem nadajemy jądru kształt.

a₀ (x) + cix (x)

.. .-\-cin{x)

(X — y)n

n\

(;X — y)nJrl

(n-f 1)!

P(x,y), (!')

uważająca?—?/ zamiast y jako drugą zmienną niezależną. Ponieważ wyrazy najniższego stopnia tworzą jednorodny wielomian stopnia n-tego, więc a₀ (x) posiada czynnik xn; a₀(x) = xn.b₀(x). Ogólniej av{x) zawiera czynnik xn~v. Przytem:

aQ (0) — A₀ -j- Ax -j- . .. -j- An =1= 0,

co wynika z (1) i (P), jeżeli położymy x = y.

Przy tych założeniach możemy równanie Volterry napisać w takiej formie:

j a₀ (x) + ax (x)

(x — s)

(x — s),r

71 !

<p (s) ds

P (;x, s) cp (s) ds — f (x).

,■ r (x — s)”⁺¹

M (71+1)1 0

Wystarczy teraz zastosować znany wzór:

(x — s)p

cp (s) ds =

J cp (s) dsv+l o

i przyjąć za funkcyę niewiadomą zamiast <p (as) funkcyę

z(x)— I cp (s) ćZsw+¹

aby otrzymać równanie:

dnz dxn t

a₀(a:)

+ a\ ix)

dxn~x

+-..4-an{x)z

-j- IP₁ (,x, s) 0 (s) cfe = /"(£) (3) ó

Jeżeli rozwiązanie cp (x) jest w punkcie zero ciągłe i ograniczone, wówczas po lewej stronie równania (3) wyraz najniższego rzędu zawierać będzie xn+l; koniecznie więc być musi:

f{x) = xnPfx (:x).

Przy tern założeniu stosujemy metodę przybliżeń kolejnych, przy-czem jako pierwsze równanie uważamy:

dnzx

D (zx) = a₀ (x)

dx

dn~x zx dxn~x

-f-an (a?) zx — f (x). . (4)

Jest to równanie różniczkowe liniowe Fuchsa rzędu n, którego rozwiązaniem ogólnem będzie wyrażenie:

Cy xr' Py (x) -J- C₂ xr* P₂ (x) -j- • • • + cn xVn Pn (x) -|- Qy (x), Pf (0) 4 0, (5)

gdzie r1} r₂..., rn są pierwiastki równania wyróżniającego; zakładamy na razie, iż są one odmienne od siebie, i ich różnice nie są liczbami całkowitemi; Qx (x) jest szczególnem rozwiązaniem równania niejednorodnego (4); można mu nadać zawsze kształt:

Qy (X) =

ai

2 Xri Pi 0*0 J

i — 1

Q(i) 0*0 f (#) dx

xri +¹

QF> (0) =*= 0 (5')

Proste rozumowanie dowodzi, że, jeżeli tylko całki, występujące w tern wyrażeniu, mają sens, to jest ono ograni-

czone i ma kształt xn+¹ q (x). W istocie, wyrażenie pod znakiem całki w wyrazie ogólnym posiada rząd nieskończonostkowy równy conajmniej liczbie R (n -f-1 —    — 1) = R (n — r.). Jeżeli R(n — r,-) > 1, wów

czas możemy wziąć a{ = 0; rząd nieskończonostkowy całki będzie równy conajmniej liczbie R{n — r;-j-l), cały więc wyraz będzie conajmniej rzędu n-j- 1. Jeżeli natomiast R (n — rt) <; — 1 wówczas granica dolna cii musi być dodatnia, zresztą jednak dowolna. Rząd nieskończonostkowy odpowiedniego wyrazu jest w tym przypadku >r, , ponieważ jednak R (r*) ;> n -j- 1, więc jest on conajmniej równy n -J— 1.

W każdym więc razie wyrażenie (5') daje nam rozwiązanie równania (4), skończone i mające rząd nieskończonostkowy conajmniej równy n-j-1. Jeżeli stałe «t =l=0 są dowolne, wówczas wyrażenie (5') daje nam najogólniejsze rozwiązanie równania (4), skończone i będące względem x rzędu conajmniej równego n-\~ 1. Zawiera ona tyle stałych dowolnych, ile jest pierwiastków równania wyróżniającego, czyniących zadość warunkowi R (r.) >n-j- 1.

Obecnie z łatwością możemy udowodnić regularną zbieżność przybliżeń kolejnych. Istotnie, w przedziale całkowania mamy:

(x)\ < Qi.

\f(x) \ < M £CM+\

Będzie wtedy:

xr{ Pi (x) I

' QW(x)f(x) clx

xri+i

^PtOiM

Xn+l

a więc, jeżeli oznaczymy przez p najmniejszą z liczb \n— Ti 4 11 i po-

n

łożymy ^ PiQi = N:

t=i

PM

l»i (®)l < —

r

£Cn+ł.

Drugie przybliżenie otrzymamy ze związku:

(**) = -

I Pl (a?, s) z (s) ds.

(6)

Zamiast z₂ weźmiemy znów wyrażenie (5'), w którem f(x) zastąpimy przez prawą stronę równości (6). Wobec nierówności:

j'Pt (X, S)    (s) ćfe

M Nxn+²

P 0 + 2)

Pi (a?, #)|

otrzymamy natychmiast:

W <P

M²iW £"+²

P(P+1) ^+2'

Tak samo będzie:

I s₃1 < P² -

MZN³

£'"+³

P(p + l)(p + 2) • (rc + 2)(rc+3)

\Zq | < Pł"¹-

M*N*

xnĄ-q

P (p 4“ 1) • • (P —1) (n ~h 2). .. (n -j- #)

Nierówności powyższe dowodzą regularnej zbieżności szeregu

przybliżeń.

— 1.

Rozwiązanie, któreśmy otrzymali, zawiera /r stałych dowolnych cii, przyczem k oznacza liczbę pierwiastków rt, których część rzeczywista jest ;> n-\-\ to znaczy takich, dla których R (n — r.)

3. Równanie wyróżniające. Pozostaje jedynie do udowodnienia, że równanie wyróżniające równania (4) powstaje z równania (2') przez wprowadzenie r — n—1 zamiast r. Zauważymy w tym celu, że równanie wyróżniające nie ulegnie zmianie, jeżeli spółczynniki (x) zastąpimy przez ich pierwsze wyrazy. Wówczas jednak równanie (4) redukuje się (jeżeli <p (x) będzie funkcyą niewiadomą) do postaci:

<5

(l4>

xn\-A₁x¹

którego równanie wyróżniające otrzymamy natychmiast, kładąc <p (x)=xr, co daje:

An

£w+r+i = O.

Związek

z (x) =

J cp (s) (ŻS"+¹

o dowodzi, że jeżeli xr — y(x), wówczas z (x) = axn+r+¹, aby więc otrzymać równanie wyróżniające równania (4), trzeba w równaniu

108

■A-n

___ I

r-j-l^r-f-2"¹"

zastąpić r przez r —11 — 1. Oczywiście, można pozostać przy równaniu (2'), o ile się zastąpi warunek R (r<) ^ n -]- 1 przez warunek R(rl) £0. W ten sposób dochodzimy do warunku, który występuje w sformułowaniu Volterry i Holmgrena.

Uwagi. 1° Przypadek pierwiastków, równych r* lub mających różnice całkowite, załatwia się w analogiczny sposób; wprowadzenie logarytmów zupełnie nie zmienia rzeczy.

2° Zagadnienie powyższe sprowadza się do znalezienia rozwiązań ograniczonych, w otoczeniu punktu zero na osi rzeczywistej, równania różniczkowego liniowego rzędu nieskończonego

a₀ (x) y a₁ (x) j ydx-. —j— an (x) j ydxn -|-

Jeżeli jądro jest wielomianem względem zmiennej s, wówczas równanie to będzie rzędu skończonego; natrafiamy wtedy na znane zagadnienie, którego uogólnieniem jest twierdzenie Volterry i Holmgrena.

Jądra osobliwe G.

4. Przypadek ogólny. Jądrem osobliwem G nazywać będziemy jądro kształtu:

(0 < 7. < 1).

G(P, V) {x — y Y'

Będziemy mówili, że jądro należy do wykładnika a, jeżeli G (x, x) 4= 0. Jądra powyższe spotykają się często w zastosowaniach; są one ciekawe z historycznego punktu widzenia, gdyż jądro, występujące w słynnem zagadnieniu Abel a, jest właśnie tego typu.

Weźmy pod uwagę równanie pierwszego rodzaju:

G (x, s) (x — s)

ds = f{x).

(7)

Aby je rozwiązać, mnożymy obie strony przez jemy względem x, w granicach 0, y\ otrzymamy:

(:y — a?)

i całku-

stąd zaś przez zastosowanie wzoru Dirichleta:

" f {x) dx

dx

1 — CC

' G (x, s) y (s) ds _

(x — s)a

f (x) dx (y — x)l-a

‘ G (x, s) dx .{y — x)l~a (x — s)a

Połóżmy:

f__G (s, y) ds

J (x — s)'-“ (s — y)a

= K{x y)

(7 a)

oraz

f {z) dz

{x — z)'~a

= F (x)

a otrzymamy równanie

y.

IK {y, s) cp (s) ds = F (y) o

(8)

Jestto równanie Volterry, którego jądro nie jest już nieskończone dla x—y. Istotnie, wykonajmy we wzorze (7a) podstawienie:

s — y = t {x — y)\

otrzymamy natychmiast:

K (x, y) =

G (y + t (x - y) y) dt (1 —^)l-a ta

co dowodzi, iż jądro K(x, y) jest dla x = y ograniczone.

Musimy teraz udowodnić, że odwrotnie, każde rozwiązanie równania (8) czyni zadość równaniu (7). Sprowadza się to do udowodnienia, że jedynem rozwiązaniem równania

h (s) ds {x — s)1_“

jest h(x)z= 0. Pomnóżmy równanie powyższe przez my od 0 do y i zastosujmy wzór Dirichleta; otrzymamy:

(y — x)

-, zcałkuj-

. -—- f h (s) ds = 0, sin a % ! w

skąd wynika, że h (x) = 0.

5. Zagadnienie flbela. Abel rozpatrywał równanie:

(s) ds

(x — s)“

(0 < a < 1)

Jest to przypadek szczególny jądra G, w którym G (x, y) = 1.

Wzory nasze są w tym przypadku szczególnie proste. Będziemy

mieli:

K (,x, 2/)

sin arc ’

F(a:) =

(x — s)

Ponieważ KJ (x, y)^0, więc rozwiązaniem zagadnienia A be la jest wzór:    ¹

r f’ (s) ds

J (X-S)

o

1—a

Przypadek, gdy a = oo.

6. Badania współczesne nad zjawiskami nieanalitycznemi²⁾ prowadzą do równania Yolterry:

oo

(e)

cp (x) -j- j'N (x, s) cp (s) ds = f (x)

(;X ^ a)

Aby otrzymać przypadek szczególnie prosty, założymy, idąc za pracami G. C. E v a n s a ³>, że całka

oo

J \ N (x, s) | ds

111

istnieje i dąży do zera, gdy x dąży do nieskończoności. Stosując metodę przybliżeń kolejnych, udowodnić można, że, podobnież jak w przypadku równań regularnych, szereg przybliżeń jest zbieżny i granica jego jest jedynem ograniczonem rozwiązaniem równania (e), jeżeli tylko x jest dostatecznie duże, np. większe niż b> a.

Aby otrzymać rozwiązanie równania (e) w całym przedziale -(a, -j-oo), można zastosować przedłużenie. Równanie powyższe możemy napisać w postaci:

oo

{x) -J- j'N (x, s) cp (s) ds = f(s) — Cn (x, s) cp (s) ds.

x    b

(10)

<p (a;) jest określone w przedziale (b, -j-oo), lewa strona równania (10) jest tym sposobem wiadoma. Równanie to jest więc równaniem regu-larnem Volterry drugiego gatunku, z którego otrzymać można tp (x) w przedziale (a, b).

Jeżeli założymy jedynie istnienie całki (9) i wprowadzimy w równanie parametr X przed znak całki, wówczas przybliżenia kolejne utworzą szereg zbieżny dla dostatecznie małych wartości X. Rozwiązanie, rozważane jako funkcya parametru X, jest tym sposobem holomorficzne w punkcie X = 0. Dokładne zbadanie zależności rozwiązania od parametru X byłoby bardzo ciekawe, gdyż równanie V o 11 e r r y z jedną granicą nieskończoną jest jednym z najprostszych typów osobliwego równania całkowego.

II. Równania osobliwe fredholma.

Jądra osobliwe G.

1. Składanie dum jąder osobliwych G. Jądro, złożone z dwu jąder osobliwych G, należących do wykładników a i p, jest jądrem osobliwem G, należącem do wykładnika

a + P — 1*

Składamy jądra w przedziale (a, b) i zakładamy, że a-|-p — 1 >0, w razie przeciwnym jądro złożone nie jest już osobliwem.

Niech będzie:

P(x, y) =

Gj (x, y) \x — y|a ’

G₂ (x, y) '

- 112 -

bierzemy pod uwagę jądro:

(p(x, s) Q (s, y)ds = f    (f^s’ yS>

— s\a |s — y\t

ds.

(11)

Przypuśćmy, że jest np. y<x\ podzielimy przedział całkowania ab na trzy podprzedziały: ay, yx oraz xb; oznaczmy odpowiadające tym podprzedziałom części składowe całki (11) przez IXt I₂, I₃ odpowiednio.

Przedewszystkiem oszacujemy I₂; jest:

r ^ f \G,{x, s)\\G₂ (s, y) I

²-J i*

— s\a\s — y

ds sS G² J

ds

(x — s)“ (s — y)V'

(12)

Jeżeli wykonamy zamianę zmiennych:

s = yJr(x — y)t,

wówczas całka, występująca w ostatnim wyrazie nierówności (12), przybierze postać:

przyczem:

{x — yy+P-1 . r dt

²⁼Jr-

o

(1 - tytr

Mamy więc:

A₂ G²

Taki sam rachunek jednocześnie wykazuje, że:

\Ii\^

Ą G²

\oc — y |a+3—¹ ’

^ dla dowolnych wartości x i y położonych we-

gdzie, kładąc at = —

X

wnątrz przedziału (ab), mamy:

(i - tytr

dt

(i — ty p

,,j    *

113

li

Wobec założenia iż a-}-p>l, Ax będzie skończone. Wreszcie analogiczne rozumowanie zastosować można do I₈ i i Mamy więc:

x — y |a+p

ft

I*P (x, s) Q (s, y) ds

T

<    (^1 żi₂ ~t~ ^₈)

co dowodzi prawdziwości naszego twierdzenia.

8. Własności jąder iterowanych. 1° Jądro iterowane rzędu k jądra osobliwego O jest tej samej postaci i należy do wykładnika (/c —j— 1) ot — k, jeżeli ten ostatni jest dodatni.

Istotnie, według twierdzenia poprzedzającego iteracya powiększa wykładnik o a — 1; po A;-krotnej iteracyi wykładnik będzie tym sposobem równy liczbie:

a -j- k (a — 1) = (k 1) a — k.

2° Ciąg jąder iterowanych jądra osobliwego G zawiera tylko skończoną liczbę jąder osobliwych.

wów-

Jeżeli k jest pierwszą liczbą naturalną większą niż ----,

czas jądro iterowane rzędu k nie jest już nieskończone dla x = y.

Istotnie, jeżeli k> ^wówczas (k-j-l)a— k< 0.

Możemy wynik powyższy przedstawić także w formie następującej.

Tl

Weźmy pod uwagę ciąg ułamków kształtu nj^

jest

; jeżeli ^

większe niż a, wówczas jądro iterowane rzędu k nie jest już nieskończone dla x — y.

h o 1 m a:

9. Inny wzór na rozwiązanie równania fredholma. Wzór Fred-

^ (*, y\ >0 =

D (x, y\ X)

D(k)

nie jest już stosowalny w przypadku jądra osobliwego G, gdyż jeden conajmniej ślad jądra G jest nieskończony. Otóż wzór:Ł)

D' (X)

oo

D (X)

(13)

Tc—1

') W rozdziale tym pisać będziemy równanie Fredholma ze znakiem —

przed całką.

-s-*

OO Xk

(14)

114

albo równoważny mu wzór:

D(k) = e i=l

dowodzi, że D (X) jest określoną w zupełności funkcyą śladów jądra.

Aby otrzymać wzór inny, stosowalny także w przypadku jąder O, postąpimy w następujący sposób.

We wzorze (13) na D (X) połóżmy Wj = w₂ = ... = nU-i — nk = 0 i oznaczmy funkcyę, którą otrzymamy, przez Dk (X). Wobec wzorów (13) i (14) jest rzeczą oczywistą, iż

xk

n,X    nk k

i +T"⁺---+nr

a więc:

A (X) = D (X). e

(15)

A' (X)

A (X)

OO

2 w?+ix?-

(16)

q — lc

Aby otrzymać w analogiczny sposób zmodyfikowaną funkcyę, figurującą w liczniku wyrażenia (x, y; X), posługiwać się będziemy związkami:

b

A («, 2/) =

N (iz, ?/) % + I* W (a?, s) A₀ (s, ?y) rfs

(17)

(a;, y) = N (x, y) ap -f j N (x, s) ^p_i (s, y) ds

gdzie liczby oznaczają teraz spółczynniki funkcyi A(X); w szczególności mieć będziemy = a₂ = ... = ak = 0. Wobec wzo-

oo

rów zwrotnych (17), funkcya ^ (cc, ?/) X», którą oznaczymy przez

p=0

A (cc, y\ X), jest identyczna z funkcyą, którą otrzymalibyśmy, kładąc we wzorze na D (x, y\ X) wprost Wj = n₂ = • • • = nk = 0.

W ten sposób otrzymujemy dwa szeregi, postępujące według potęg zmiennej X: A (cc, y; X) i A(X), których spółczynniki są w zupeł-

115

ności określone także i w przypadku takiego jądra Q, dla którego (A: —j— 1) a ^— Tc < 0; prócz tego wyrażenie

Bk{x, y\ X)

Dk (X)

formalnie sprawdza równanie Fredholma.

Trzeba więc tylko udowodnić, że funkcye nasze są całkowite. W tym przypadku mielibyśmy:

y\ X) =

B(x, y; X)

Dk(x, y\ X)

D{\)

Bk (X)

jeżeli zaś uwzględnimy związek (15):

np\P

Bk (x, y, X) = e

P=1

B (x, y\ X),

udowodnimy własność wymienioną dla Bk (X). Zauważymy w tym celu, że wzór (16) napisać możemy w postaci:

IV(X) ₌

Bk (X)

oo

oo

oo

2 npk-\-\ ^Vlt 4“ ^    Xpfc-f- . . . -j~ X* ¹ 2l nPk+k^VlC

P=1

p=l

=    (X*) —1~ X A₂ (X*)... + X*-*A* (X*).

(18)

Prawa strona wzoru (18) jest funkcyą meromorficzną zmiennej X. Istotnie, wyrażenie:

oo

(X, y\ X) - Npk-\-r—1 (X, ?/) X^fc

jest elementem analitycznym rozwiązania równania całkowego:

% (x, y\ X) = Nk+r-i (x, y) -f X* j Nk (x, s) % (s, y, X) ds

Jest to więc funkcya meromorficzną zmiennej X, w zupełności określona wobec tego, że jądro Nk (x, y) nie jest już osobliwe.

X* j' Nr (s, s) ds.

Ar(X) =

Funkcya Ar (X) jest więc również, funkcyą meromorficzną zmiennej X. To samo stosować się będzie do prawej strony wzoru (18), który jest sumą k funkcyj meromorficznych. Z drugiej strony jest ona pochodną 1 ogary tm iczną funkcyi Dk (X); ta ostatnia będzie więc funkcyą całkowitą

10. Rząd funkcyi Dk (X). Uogólnienie, teoryi fredholma na jądra osobliwe G. Aby wyznaczyć rząd funkcyi Dk (X), musimy przedewszyst-kiem udowodnić pewien wzór pomocniczy. Zastąpmy w związku:

oc

71 n X^

116 —

Z drugiej strony jednak:

log D (X) = - 2

p=i

X kolejno przez X, aX,..., aŁX, oznaczając przez a jeden z pierwiastków pierwotnych równania xk+l = 1. Dodajmy do siebie k -f- 1 równości, które w ten sposób otrzymamy; będzie wtedy:

co

log D (X) D (a X). . . . D (a*X) = — ^

n(k+l)p X(*+i) v

(19)

Niechaj Dk (X) będzie wyznacznikiem jądra Nk (x, y). Widzimy natychmiast, że prawa strona związku (19) jest równa funkcyi log Dk (X/£+¹). Przechodząc więc od logarytmów do samych funkcyj, otrzymamy:

D (X) . D (aX) . . . . D (a*X) = Dk (X*+i). Z drugiej strony ze związku (15) wynika natychmiast²)

Dk (X), Dk (aX).. . . Dk (a*X) = D (X).. .. D (a*X) = Dk (X*+i).

') H. Poincare 2, T. Lalesco 4

²) Można przy pomocy tej samej metody wyprowadzić wzór analogiczny dla (®, W; X); marny.

(®, y; X).    (®, y cci)... sjj (a?, ?/,    .==    (*, y, X4+J).

Stąd znów wynika analogiczny wzór na Dk(x, y, X).

117

Oznaczmy teraz przez m rząd funkcyi Dk (^). Ponieważ funkcye Dk (aSX) są oczywiście tego samego rzędu, więc i iloczyn ich będzie rzędu m. Z drugiej strony związek, któryśmy tylko co ustalili, dowodzi, iż rząd powyższego iloczynu równa się rzędowi funkcyi Dk (X*+¹), który, jak wiemy, jest nie większy niż 2k-\-2. Stąd wynika, że:

77i <; 2 k -f - 2.

Z wzoru

Rząd funkcyi Dk (X) jest więc conajwyżej równy 2/c—2.

Uk-ł-1W⁺¹

- log Dk (X) =

kĄ-1

możemy wyprowadzić twierdzenie następujące:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby jądro osobliwe G o wykładnikach a i k nie miało wartości właściwych, jest znikanie wszystkich śladów jądra, począwszy od 2Z;-|-3-go.

Cała teorya jąder regularnych da się teraz przenieść na jądra osobliwe G.

możemy z łatwością usunąć wprost czynnik we wzorach Fredholma. Wystarczy zastąpić

' rp rp rp    rp \

tAs -i    • • • tA/ p \

¹    H wyrazy

<y x₁ x₂... xv)

to —

Uwaga. W przypadku, gdy a

w każdym z wyznaczników n[Xi ’' ‘ Xp

J    J    \ rp    rp

\*A/^    . • • iA7p

stojące w przekątni głównej przez zera.

Wytworna ta metoda podana została przez D. Hilberta²⁾. Jej uogólnienie wydaje się trudnem.

Równanie Fredholma w dziedzinie zespolonej. 11. Weźmy pod uwagę równanie

Cp (x) —    N (x, s) (s) ds = f (x)

przyczem założymy na początek, że N (x, y) jest funkcyą całkowitą obu zmiennych x i y.

') Możemy tak nazwać jądro O o wykładniku «, jeżeli pierwszem jądrem ite-rowanem, które jest skończone dla x—-y jest jądro rzędu k.

²) Hilbert 1. Erste Mitteilung.

118

Zamiast przedziału rzeczywistego (ab), weźmiemy dowolną krzywą całkowania Cu przebiegającą między punktami a i b.

Rzecz jasna, że i w tym przypadku stosowalne będą wzory Fred-holma pod warunkiem, że całki rzeczywiste zastąpimy wszędzie przez całki brane w dziedzinie zespolonej, wzdłuż krzywej Cx. Tym sposobem otrzymamy funkcyę zmiennej zespolonej, określoną we wszystkich punktach krzywej Cx, którą oznaczmy ją przez

¥ (x\ at b).

Będzie to funkcya jednoznaczna zmiennej x i parametrów a i b. Istotnie, całki, występujące we wzorze, określającym cp (cc; a, b), nie zależą od krzywej Gx, jeżeli ustalimy punkty x, a i b, gdyż N (x, y) jest funkcyą całkowitą zmiennych funkcyą x i y.

Ważna ta własność nie będzie miała miejsca, jeżeli jądro nie jest funkcyą całkowitą. W tym przypadku (x; a, b) będzie funkcyą wieloznaczną; już ta okoliczność wskazuje na to, jak skomplikowane jest zagadnienie. Weźmy z E. Picardem1} najprostszy przykład jądra N (x, y) = —, t. zn. rozpatrzmy równanie całkowe

X

¥ (x) —

i'

-?(s) d8 = f(x)

lub też

X<p (x) —

y (s) ds = xf (x).

¹

GoursatE. 1.

²)    P. Picard E., La science moderne et son etat actuel.

³)    Evans G. 2.

c.

Rozwiązanie otrzymujemy natychmiast, kładąc:

= K-

• j ¥ (s) ds

otrzymamy:

¥ (x) = f(x) + — •

Całkując obie strony wzdłuż krzywej Cx, wyznaczyć możemy stałą K; będzie mianowicie:

jf(s)ds + K f ,

Cr

119

a stąd:

f f (s) ds c!

r ds I s

mamy więc ostatecznie:

i f (s) ds

<p (®) = f (a;) + -

/¥

0l

Jako końce a i b krzywej Cl weźmy dwa punkty rzeczywiste a i b, z których jeden położony byłby na osi dodatniej, drugi na ujemnej. Jest rzeczą jasną, że cp (x) jest funkcyą wieloznaczną, gdyż

-j- 2mii.

ab

Tym sposobem wartość funkcyi y (x) zależy od dowolnego całkowitego parametru n.

Droga całkowania nie może, rzecz prosta, przechodzić przez początek spółrzędnych. Jeżeli więc chcemy się posuwać wzdłuż osi rzeczywistej, to musimy punkt ten okrążyć, albo też, według wskazówki Pi-carda, wykluczyć przedział (— e, yj), a następnie przejść do granicy

£

dla s = 0, ri = 0 tak, aby stosunek — był stały; rozwiązanie będzie wtedy zależało od zupełnie dowolnego parametru.

12. Twierdzenie £. Picarda.Weźmy pod uwagę ogólniejszy

przypadek jądra — N y), gdzie N (x, y) oznacza funkcyę całkowitą

00

zmiennych x i y. Można udowodnić, że rozwiązanie odpowiadającego jądru temu równania Fredholma jest w dziedzinie zespolonej funkcyą wieloznaczną, zależną liniowo od dowolnego parametru całkowitego.

W tym celu wystarczy udowodnić, że D (x, y, \) i D (X) są funk-

120

cyami całkowitemi liniowemi jednego i tego samego całkowitego parametru n.

Zaczniemy od uwagi następującej:

Jeżeli jądro N{x, y) posiada pochodną, spełniającą

warunek Lipschitza, wówczas wyznacznik ivj ^ jest podzielny przez:

. • . OCp • Xp

i =%=k

a² =* (Xi — xky.

i, k — 1

Istotnie, zarówno wyznacznik powyższy, jak i pierwsza jego pochodna względem Xi znikają dla Xi = xk.

Weźmy teraz wyrażenie

Cr

ć>‘i , s₂. • •, Sp

cc cc

CO Co

(20)

Residuum tej całki względem zmiennej st jest:

Bp=f

-N

Cr

S2 • • • Sp

c^ oo*

a,

. . . dSp.

Na skutek wyżej wymienionej właściwości wyrażenie:

co co

jest podzielne przez s₂²s₃‘J... sp². Residuum Rp jest więc funkcyą jednoznaczną, która już nie zależy od wspólnej dla wszystkich zmiennych sl, s₂.. . Sp drogi całkowania C₁. Ponieważ z drugiej strony funkcya

co co

ł-Ł —

a ^ co co

si s₂ . . . Sp

jest symetryczna względem zmiennych sl5 s₂... sp. więc przy jedno-krotnem okrążeniu początku spółrzędnych w kierunku dodatnim, wyrażenie (20) wzrośnie o p — 2%iRp. Wskutek tego będziemy mieli w dziedzinie zespolonej:

kładąc:

D (X) =A (X) + 2icinXĄ (X),

Funkcye D₁ (X) i Z)₂ (X) są całkowite. Podobnież będziemy mieli jednocześnie:

gdzie:

oo

121

0,

0.

co CO

co co

J ds₁ ds₂... dsp.

D (x, y\ X) = Dy (x, y; X) -f 2ttircXD₂ (a;, j/; X),

OO

Z)₂ (a;, y\

SyS% . . . Sp

CO Co

co co

to w

a,

co CO

dSy ds2 • •. dSp.

Twierdzenie nasze jest tym sposobem udowodnione.

Przykłady rozmaite.

13. Na zakończenie niniejszego rozdziału podajemy dwa typowe przykłady, które bardzo dobrze unaoczniają nowe zjawiska, występujące w przypadku osobliwego równania Fredholma. Zamieszczamy również ważną uwagę Picarda, która wskazuje na to, że w przypadku tym analityczny charakter rozwiązania, jako funkcyi parametru X, zależy od wolnego wyrazu równania.

całkowe;

14. Przykład widma odcinkowego. Weźmy pod uwagę równanie

oo

<p0*0 —

X J e~ l • <p (s) ds — f (x)

(21)

i szukajmy warunku na to, aby równanie jednorodne

oo

<P 0*0 -

(22)

miało rozwiązania. W tym celu zróżniczkujmy dwukrotnie równanie (21); otrzymamy:

rp' (x)    X e~x j' e*y (s) ds — X ex J e~s cp (s) ds = f' (x),

0    x

y" (x) 4~ (2 x — i )y{x) = f"(x)-f(x).

(23)

(24)

122

Każde więc rozwiązanie równania (22) spełniać musi równanie:

<p" (sc) -f- (2 X — 1) cp (a?) = 0.

Odwrotnie: od równania (24) przejść można do (21), całkując dwukrotnie; aby stałe całkowania znikały, trzeba by było:

oc

(26)

<p' (0) - X l‘ e~s (s) ds = f (0), 0

oo

cp (0) — X j e~s <p (s) ds = f (0).

Związki te otrzymujemy, kładąc x = 0 w równaniach (23) i (21). Każde więc rozwiązanie równania (25), czyniące zadość warunkom:

oo

(27)

<p (0) = <p' (0) = X j e~s cp (s) ds,

będzie również rozwiązaniem równania całkowego (22). Musimy teraz rozróżnić dwa przypadki, zależnie od znaku liczby 2X — 1. a) Przypuśćmy nasamprzód, że jest:

to znaczy:

2X — 1 = ^,

\ < > < oo.

Rozwiązaniem równania (25), sprawdzającem warunki (27), jest wtedy, jak to łatwy rachunek wykazuje, funkcya

(28)

C. (sin [i x -f- cos x),

C — stała dowolna.

b) Jeżeli teraz 1 — 2X = pu², wówczas koniecznym warunkiem istnienia całki równania (27) jest nierówność {j. < 1, to znaczy:

0<X< i.

Rozwiązaniem jest w tym przypadku funkcya:

sh (i sc -j— (a ch [ix.

123

Rozwiązanie (28) jest ograniczone dla wszystkich wartości x, rozwiązanie (29) natomiast rośnie nieograniczenie wraz ze zmienną x. Mamy więc wynik następujący:

Równanie całkowe (21) ma widmo ciągłe, rozciągające się od zera do nieskończoności. Dla każdej wartości X, zawartej między 0 a równanie jednorodne posiada jedno tylko rozwiązanie, które nieogran-iczenie rośnie wraz z x; dla wartości zaś X, zawartych między £ i -j-oo, równanie jednorodne posiada jedno jedyne rozwiązanie, ograniczone w całym przedziale od 0 do -j-co.

15. Uujaga £. Picarda. b Przejdźmy teraz do niejednorodnego równania (21). Każde rozwiązanie równania (21) czyni zadość równaniu różniczkowemu (24); odwrotnie każde rozwiązanie równania (24), spełniające warunki (26), będzie rozwiązaniem równania całkowego (21). Warunkom (27) możemy nadać postać:

co

(30)

f ' (0) =    (0) — f (0) = xj e~s <p (s) ds.

o

Picard wykazał, że analityczny charakter rozwiązania równania całkowego (21) nie jest już tak prosty jak w przypadku regularnym, ale w sposób istotny zależy od wolnego wyrazu równania. Połóżmy nasamprzód:

CO

/ (x) = ^ A„ sin n x;

n—1

oo

przyczem stałe An mają być takie, aby szereg ^ n² A„ był bezwzględnie zbieżny. Jeżeli położymy

«=i

<p (x) = ^ an sin nx,

wówczas z równania (24) otrzymamy natychmiast

Ctfi - A-n

n² -f- 1

n² f 1 — 2X *

Ogólne rozwiązanie równania (24) będzie przy powyższych założeniach postaci

124 oo

- sin na:.

^2 1 _ |

A sin -j- B cos \^x -|- \ An ¹

"",nl W

n=l

miast:

Warunki (30) pozwolą nam wyznaczyć A i B; dają one natych

oo

i? — A [i -j- (1 + ^²) 2

u=l

n Au n² — [i²

Rozwiązanie ogólne jest więc funkcyą, mającą jeden punkt osobli-wy istotny X = ^ , oraz bieguny X — —.

Weźmy teraz drugi przykład E. Picarda:

oo

/» =

ij h (s) sin (xs) ds, o

przyczem li (x) ma być funkcyą, dla której istnieje całka: oo

J h (s) s² ds.

Kładąc

oo

cp (a?) = | h (s) (s) sin (a?s) ds,

otrzymujemy ze związku (24):

<Ks)

s²+ 1

s²-f i — 2X '

Rozwiązanie więc ogólne będzie miało w przypadku a postać:

oo

y (%) = A sin \l x B cos |i x -|- j

O

At, + (l+^)f

Warunki (30) dają:

o*

s² + l s² —

—₂ h (s) sin (xs) ds. V-

DO

s h (s) ds

Rozwiązanie więc ma kształt:

125

oo

cp (x) — A (sin [j. x -j- cos \lx)-{- f S₂-~^^ h (s) sin ixs) ds

J ⁸ t¹

o

OO

sds

l*²’

+ (1+^) f h (s) g!

Jeżeli h(x) nie jest funkcyą analityczną, cp (x) będzie miało, jako linię osobliwą, odcinek (£, oo).

16. Przykład jądra fouriera. Można b nazwać tak jądra, które mają wartości właściwe o nieskończenie wielu funkcyach właściwych. Wiadomo, że okoliczność ta nie może mieć miejsca w przypadku równania regularnego. Oto bardzo prosty przykład takiej osobliwości.

Weźmy pod uwagę równanie całkowe:

oo

<p (x) — X j sin (xs) cp (s) ds — f (x).

(31)

Mamy:

to a

/(kt

ó

sin (^s) ds

oo

ij e~as sin (xs) ds

albo też, wobec tego, że:

+/

o

oo

s sin (a;s) ds

a2 _j_ s2 ’

(a > 0)

oo

sin (scs) ds —

oraz

oo

s sin (xs) ds _ % n_ax

aJ + s² “ 2 ⁶

będziemy mieli:

oo

O—as _l_ 2 e +

a.L)si" (*«)ds=y

») H. Weyl 1.

126

co dowodzi, iż równanie (31) bez wolnego wyrazu posiada wartość właściwą j/do której należy nieskończenie wiele funkcyj właściwych:

a² x² . 7 / iz

Z -/ 2

Analogiczny rachunek wykazuje, że równanie (31) posiada również wartość właściwą —j/której odpowiadają funkcye właściwe:

a > 0.

X    7 / 7U

~2~e aX

III.

Równania całkowe wyższego rzędu.

17. Określenia, uwagi historyczne. W dwojaki sposób przejść można do bardziej ogólnych równań Volterry i Fredholma:

1) Funkcya niewiadoma występować może w równaniu w potęgach rzędu wyższego niż pierwsza, np.

<p (x) -f- X j'N (x, s) cpP (s) ds = f (x).

Są to równania całkowe nieliniowe.

2) Funkcya niewiadoma może występować w potęgach iterowa-nych rzędu wyższego niż pierwszy, np.

6 6

= f(x, y),

¥    2/) + * |*ŻV(as, ») ¥ 0, y)dsJr^jN (x, s) <px (s, ?/) ds

przyczem iterowaną potęgą w-tego rzędu nazywamy wyrażenie:

.. <p (s»_i, y)ds\. .. dsn—i.

¥« (as, y)= f (a?, Sj) ¥ (slt s₂).

Obie te kategorye równań badano z formalnego punktu widzenia; wynikiem zasadniczym wszystkich tych badań jest ciekawa analogia z teoryą funkcyj analitycznych, pojawiająca się w razie, gdy występujące w równaniach całkowych działania funkcyjne są analityczne.

127

Pierwsza kategorya równań powyższych rozpatrywana była przez E. Schmidta¹). Równania te mogą być użyteczne w teoryi nieliniowych równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych.

Jednakowoż druga kategorya równań wyższego rzędu, rozpatrywana z bardzo ogólnego punktu widzenia przez M. Volterrę,¹ przedstawia szerokie pole do nowych dociekań i jest szczególnie ciekawa zarówno ze względu na wytworność metod, jak i na możliwość zastosowań do badania zjawisk nieanalitycznych.

I tutaj ograniczymy się do wskazówek ogólnych.

Równania nieliniowe.

18. Równanie Oolterry. Weźmy równanie nieliniowe Yolterry:

(32)

<p(s) + (j F[x, <p («)] ds = f (x) o

Zrobimy następujące ogólne założenia:

1) W obszarze \ x\ i \ y \ <a, j « | <6 funkcya F (x, y, z) jest ciągła i ograniczona (górny kres jej wartości bezwzględnych oznaczymy przez m) i sprawdza względem zmiennej 0 warunek Lip-schitza:

| F {x, y, ą) — F (x, y, z₂) \

a dla n > 0.

% (p) = f(x),

(33)

(x)-\- j F \x, s, tpw_! (s)] ds = f (x). o

Drugie przybliżenie jest dane przez wzór:

') E. S ch midt 2.

²) Volterra 5, 6, 7, 8, 9, 10, Sini gagi i a 2, Lauricella 3, 4, 5, 6, Amoroso 2, 3, Picone 1, Fubini 3.

128 —

<Pi 0*0 =

fix) —J F(x, s, f{8)) ds

przyczem z założeń naszych wynika, że w przedziale | x | < a' będzie

Aby więc było

| <pi (x) | < (k -f- m) x.

wystarcza, by

I ?i 0*0 I < b,

, . 6

« < 7—i-•

k m

Jeżeli więc h oznacza najmniejszą z liczb a, a', czas w przedziale | sc | < h będzie napewno dla każdego n:

7—^—, wów-kĄ-m

| <p« (a?) i < b

wszystkie więc przybliżenia będą zupełnie określone.

związek:

Aby z kolei udowodnić zbieżność przybliżeń, wystarczy rozważyć

0*0 — <P

n—1

(x) -\-Jj F [x, s, cp„_i (s)] — F [x, s, cpw_₂ (*)] i ds = 0,

z którego wynika natychmiast:

przyczem:

i <p« (a) — «pn-i (a?) I < a

/'

o

<P«-1 (s) — Cpn_2 (s) | ds

Wobec tego:

I <Pi 0*0 —' ?o 0*0 i <

<p« (a) — cpn_! (a;) | <

m (a)n~x xn

co dowodzi; że funkcya:

<Pn (x) = rp₀ (*) + 2 [?* 0*0 — ?Ł-1 0*0]

(33')

4 = 1

dąży do granicy <p (x), która, na mocy związku (33), jest szukanem rozwiązaniem naszego równania.

Uwagi. 1° Dowód powyższy stanowi uogólnienie dowodu, podanego przez E. Pi car da dla równania różniczkowego:

129

a a,

= F(x, y).

To ostatnie równanie można zresztą zastąpić przez równanie cał

kowe:

y{x) -

fF(s, y 0)) ds o

= C\

wtedy z wyniku przez nas uzyskanego natychmiast wypływa twierdzenie E. Pi car da, jako przypadek szczególny.

2°. Można się uwolnić od założenia /‘(0)=0, jeżeli | f(0) \ = | l\<b. Jako pierwsze przybliżenie bierzemy w tym przypadku

b — 1S1 » m -j- k

przyczem

zastąpić należy przez

19. Równanie Fredholma. Weźmy pod uwagę nieliniowe równanie Fredholma:

(34)

cp (x) -f- X j" F (x, s, <p (s)) ds = f (x)

przy założeniach analogicznych do tych, które zrobiliśmy w poprzedzającym paragrafie.

Założenia te są następujące:

1) Funkcya F (x, y, z) jest dla x ^ a, y <; b, | z | < p ciągła i bezwzględnie <w; prócz tego spełnia ona warunek Lipschitza względem zmiennej z:

I F (a?, y, z,) — F (x, y, z₂) | ^ k \ zx — £₂1.

2) W przedziale (a, ó) jest | / (cc) | < /■.

W tych warunkach możemy znów zastosować metodę przybliżeń kolejnych. Rozumowanie analogiczne do poprzedniego wykazuje, że, jeżeli

m (b — a) ’

') Odnośnie do układów równań nieliniowych por. Cotton E. 1, Picone

M. 2, 3.

130 to wszystkie przybliżenia będą w zupełności określone. Będzie dalej: cpn (x) — cpw_i (x) | ^ m | X j nkn (b — a)n.

Jeżeli tedy

M<

k(b— a)

to szereg przybliżeń jest jednostajnie zbieżny do granicy, która jest właśnie szukanem rozwiązaniem.

Mamy więc wynik następujący:

Równanie (34) ma jedno i tylko jedno rozwiązanie, jeżeli X f jest dostatecznie małe.

Lluiaga. Zamiast metody przybliżeń kolejnych można użyć metody funkcyj zwyższających. Próbujemy mianowicie zadośćuczynić równaniu (34), kładąc:

CO

¥0*0 = 2

fc= o

Spółczynniki dadzą się obliczyć z łatwością; zbieżność szeregu i jednoznaczność rozwiązania wynikają stąd, że równanie

¥    (x, x, cp (a?)) = f (x)

posiada jedno i tylko rozwiązanie, znikające dla X == 0. Ogólniej możemy zastosować metodę powyższą do równania:

CO

t o)+2jNm o*\Si » s2, • •

Wl=l

•> Sm)

¥ (Sj)²* <p (s₂Y‘ ... <p (sm)amdsl.. .dsm = f{x),

(35)

lub do jeszcze ogólniejszego równania:

CO

¥ 0*0 -j- 2 ^^ (x

m—1

(? (Si), ¥ (s₂)... 9 (sw)) dst ds₂...    = f(x).

(36)

- 131 -

<p (a;) -f- ( N(x, s) cp (s) ds

a b

~f~    [n (x, sv

(37)

s₂.. sm) cp (s^⁰¹ h(s₂Y•... cp (s ,»)“*» h(smy™ dsx ds₂... dsm= O,

przyczem suma rozciągnięta jest na wszystkie wartości    dla któ

rych jeden conajmniej z wykładników af, (3» jest różny od zera. Funkcyą niewiadomą jest cp (jc).

Z punktu widzenia, na którym stoi Schmidt, równanie powyższe równoważne jest równaniu (35) pod warunkiem, że po lewej stronie tego ostatniego wprowadzimy wyraz

j N (x, s) cp (s) ds.

Celem rozwiązania równania (37) musimy rozróżnić dwa przypadki zależnie od tego, czy równanie

cp (x) -j- j N (x, s) cp (s) ds

(38)

posiada rozwiązania różne od zera, czy też nie. W drugim przypadku stosujemy do równania (37), napisanego w kształcie:

cp (x) f N(x, s) cp (s) ds — F (x),

(39)

pierwsze twierdzenie Fredholma; otrzymujemy wtedy równanie kształtu (35); tym sposobem powracamy do przypadku już rozpatrzonego.

Rozważmy z kolei pierwszy przypadek i przypuśćmy, że równanie

(38)    posiada jedno tylko rozwiązanie cpt (x). Rozwiązaniem równania

(39)    będzie wtedy funkcya:

y(x) — F (x) — I 91 (x, s) F (s) ds -(- a cp: (x),

gdzie a jest stałą dowolną, pod warunkiem, że

— 132 —

I F (s) <pj (s) ds — O.

(41)

Wyrugowanie funkcyi cp (x) z równań (40) i (41) jest możliwe, gdyż równanie (40) jest typu (35). Otrzymujemy tą drogą analityczne równanie dla stałej a; liczba rozwiązań równania (37) zależy więc w sposób istotny od natury tego równania. Wynik ten jest zupełnie równoważny rezultatowi badań Schmidta, który nazywa równanie dla a równaniem rozgałęzienia.1}

Metoda, którą wyłożyliśmy, stosuje się oczywiście bez trudności i w przypadku ogólnym.

Równania wyższego rzędu iteracyjnego.

funkcye przemienne; ich własności. Funkcye A(x, ij) i B(x, y) nazywamy przemiennemi w przedziale xy²\ jeżeli:

AB =

y    y

IA (x, s) B (s, y) ds = j B (x, s) A (s, y) ds = BA.

Wyrażenie AB = BA nazywamy iloczynem złożonym fun-kcyj A i B. Można ustalić następujące własności tego pojęcia.

a) Każda funkcya jest przemienna ze sobą. Własność ta jest oczywista. Wyrażenie

y

j A (x, s) A (s, y) ds

= Ą (*, y)

nazywamy kwadratem złożonym lub drugą potęgą iterowa-ną funkcyi A(x, y).

b) Nazwijmy iterowaną potęgą w-tego rzędu wyrażenie, określone przez wzór zwrotny

n {X, y) — ij A\ {x, s) An-i (s, y) ds.

b Levy P. 1, Bratu Q. 1.

²) Przemienaeini pierwizego gatunku, według V olterry.

133

Iterowane potęgi m-tego i w-tego rzędu funkcyi A (cc, y) są przemienne; ich iloczyn złożony równa się (m -j- w)"eJ iterowanej potędze funkcyi A(x, y).

Aby twierdzenie to udowodnić, wystarczy rozważyć przypadek m — 1, n = 2, t. zn. Ustalić związek

u    y

A₂ (z, s) Ax (s, y) ds,

I Ax (x, s) A₂ (s, y) ds = j

następnie zaś zastosować indukcyę zupełną. Mamy:

j A.x (x, s) A₂ (s, y) ds = j Ax (x, s) j Ax (s, t) Ax (t, y) dt

X    XX

y    t    y

f Ax (t, y) I Ax (x, s) Ax (s, t) ds = f A₂ (x, t) Ax (t, y)\

otrzymujemy ten wynik przez proste zastosowanie wzoru Dirichleta¹). Jest więc ogólnie:

Am+n (X, y) = j' Am (x, s) An (s, y) ds

c) Sumy funkcyj parami przemiennych są przemienne; iloczyn złożony otrzymujemy, stosując, jak w mnożeniu zwykłem, prawo rozdzielności.

Załóżmy, iż funkcye A (x, y), B (x, y), C (x, y), I) (x, y) są między sobą przemienne, i połóżmy:

p (x> y) = A (x, y)-\- B (x, y), Q (x, y) = C (x, y)-\-D (x, y).

Jest wtedy:

y    y

IP (x, s) Q (s, y)ds= I [A (x, s)JrB (x, s)] [C (s, y) + D (s, y) ds

x

= ACĄ-ADĄ-BCJrBD

y

c. b. d. o.

— CA -j- CB DA -j- DB —Jq (%> s) p (s» V)ds

0 Por. str. 10.

134

21. Ciało całkowe, twierdzenie zasadnicze. Można powyższe własności streścić i przedstawić w formie następującej.

Załóżmy, że mamy n funkcyj A (aj, y), B (x, y)... L (x, y), określonych w przedziale ab i przemiennych w przedziale xy. Zastosujmy do nich działania dodawania oraz mnożenia złożonego skończoną liczbę razy w porządku dowolnym. Wszystkie funkcye, które w ten sposób otrzymać można, tworzą ciało Z; funkcye A (aj, y)...L(x,y) tworzą podstawę tego ciała. Weźmy jednocześnie pod uwagę ciało k wszystkich wielomianów n zmiennych a, p,.. ., X bez wolnego wyrazu o dowolnych spółczynnikach liczbowych. Można między ciałami k i K ustanowić odpowiedniość jedno jednoznaczną w następujący sposób: przyporządkujmy każdej funkcyi, należącej do podstawy ciała K, zmienną ciała k] mnożeniu złożonemu w K, niech odpowiada zwyczajne mnożenie w k, dodawanie wreszcie'niech odpowiada samemu sobie.

Rozszerzamy teraz ciało k, dołączając doń zbieżne szeregi potęgowe zmiennych a, p,..., X, znikające w punkcie a=p = 7 = ... = X = 0. Na mocy wyżej ustalonej odpowiedniości otrzymamy w ciele K szeregi funkcyj przemiennych. Szeregi te będą, wobec oczywistej nierówności

Pn | x — y\n

Pn (x, y) \ <

n\

P (x, y)\ ^P

regularnie zbieżne w przedziale ab. Jest rzeczą oczywistą, iż szeregi te mają własności a), b), c), i możemy je wskutek tego włączyć do ciała K.

Tak uzupełnione ciało nazwać możemy całkowitem ciałem całkowe m o podstawie A(x, ?/),..., L{x, y).

tyczny:

/>, p,.., X) = 0,

Niech będzie teraz dany dowolny związek anali

za (0, 0... 0) = 0,

rozwiązalny przez regularną w pewnem otoczeniu punktu zerowego funkcyę analityczną'-

<p (0, 0 ... 0) = 0.

Wówczas, na mocy odpowiedniości ustalonej między ciałami k i K, wnosić możemy, iż równanie całkowe

a = ? (P, T, • •    >-),

f(A, B, C,..., L) = 0

posiada rozwiązanie

A = cp (B, C,.. ., L).

22. Zastosowania. Rozpatrzymy kilka przykładów:

a) Weźmy pod uwagę równanie całkowe jądra rozwiązującego równania Yolterry:

9i (x, y) = N (x, y) -f- X j N (x, s) 9? (s, ij) ds.

Wiadomo, że 91 (x, y) i N(x, y) są przemienne. Odpowiedniem równaniem w ciele analitycznem jest:

a stąd:

x = a-\- \ax,

-—= « + a2 ^ + • ■ • + aP+1 ^p + • • •

Będzie więc poprostu:

9] (x, y) — N {x, y) + X N₂ (x, ?/) + ••• + KNP+1 (x, y) + ..

jest to funkcya całkowita zmiennej X.

b) Weźmy równanie.

p2    V) = P(x, y)JrA (x, y).

Odpowiedniem równaniem w ciele analitycznem jest:

x² = x -j- a

x = 1 4- V1 — a

z którego wynika:

co

=o-2

1 . 3 ... (2p — 3)

p\

2 p-¹ ap .

Ze wzoru tego natychmiast otrzymujemy rozwiązanie równania całkowego w postaci:

co

P (x, y) = A (x, 2/) — 2

1.3... (2p — 3)

. 2P-¹    (a?, y).

p=2

Drugie rozwiązanie x₂ nic nie daje; w rzeczy samej rozwiązaniu temu odpowiadałaby funkcya, zawierająca wyraz wolny 1, a więc nie przemienna z A(x, y).

c) Rozpatrzymy wreszcie przykład zupełnie innego rodzaju, podany przez Yolterrę. Weźmy pod uwagę funkcyę:

Jest to funkcya całkowita zmiennej X, odpowiadająca funkcyi

e\a- 1 cjaJa JC

(eaX-(eaV— 1) = e«(X+M-)_eX«_ eV.a_j_ 1

= (e«(x+iO_ 1) — (eaX—1) — (ea^— 1). Będzie więc odpowiednio:

X²

Xn

V (x, y; X) = X A (x, y)    A₂(x, y) -j-... -j- An 2/) + • • •

Mamy:

y

V(x, y; x + |i) = V (x, y; X) + V (x, y\ p.) + J V (x> s; x) v (s> W x)ds

co stanowi dla funkcyi V(x, y; X) twierdzenie o dodawaniu całko wem.

23. funkcye przemienne w stałym przedziale.]) Jeżeli funkcye A{x, y) i B{x, y) spełniają warunek:

6 6 I A (a?, s) B (s, y)ds— j' B (x, s) A (s, y) ds

wówczas nazywamy je przemień nemi w przedziale ab.

Wszystkie własności wyprowadzone w 1-ym ustępie tego paragrafu będą przysługiwały także funkcyom tej kategoryi, o czem łatwo przekonać się można.

Możemy otrzymać wyniki analogiczne do poprzednio uzyskanych w następujący sposób:

Weźmy pod uwagę ciało k funkcyj całkowitych i mero-morficznych zmiennej X, znikających dla X = 0. Jednocześnie weźmy pod uwagę ciało K funkcyj, które otrzymujemy, zastępując w fun-kcyach ciała k potęgi zmiennej X, przez potęgi złożone funkcyi A (x, y).

Funkcye ciała K będą funkcyami całkowitemi lub mero-morficznemi zmiennej X. Jest to natychmiastowa konsekwencya pierwszego twierdzenia Fredholma. Istotnie, na mocy klasycznego twierdzenia Mittag Lefflera, najogólniejsza funkcya meromorficzna zmiennej X będzie miała postać:

J) Według terminologii Volterry- funkcye przemienne drugiego gatunku.

przyczem Pq (X) jest wielomianem, a /"(X) funkcyą całkowitą. Otóż na mocy pierwszego twierdzenia Fredholma funkcyą ciała K, odpo-

¹

Funkcya f (x) znika dla cc = 0; niechaj \x \ < a' będzie przedział, w którym | f (x) | <b. Funkcya ta spełnia również warunek Lipschitza

f(x) — f{y) \ < Je | x — y |.

Możemy w tych warunkach otrzymać rozwiązanie równania (32) metodą przybliżeń kolejnych, kładąc:

²

Badania Schmidta. W badaniach swoich nad równaniami nie-liniowemi E. Schmidt rozważa następujące równanie:

wiadającą ułamkowi--- jest funkcyą meromorficzna

ciq — x

Ai

t’r’ £)

og

Podobnież funkcyą, odpowiadającą ułamkowi

, będzie

q=i

X (aq— X)

2 + • • ' ~\

mq

(aq— X)mq

(a— ly

p-ta pochodna wymienionej funkcyi meromorficznej względem —, po-

aq

mnożona przez odpowiedni czynnik.

Wreszcie funkcyi całkowitej w ciele k odpowiada w ciele K również funkcyą całkowita.

Twierdzenie jest tym sposobem udowodnione. Stąd wynika, że ogólne twierdzenie § 21-go o rozwiązaniu równań całkowych jest prawdziwe i dla ciała K. Co więcej rozwiązania są meromorficznemi funkcyami zmiennej X.

24. Rozszerzenie dała K. Możemy w dwu przypadkach wyśledzić dalszą analogię między ciałami Kik, z następującego punktu widzenia.

Weźmy równanie algebraiczne:

F(x, y) = 0,

(F (0, 0) = 0);

w przypadku ogólnym cykle poszczególnych gałęzi y, znikających dla x = 0, będą dane przez twierdzenie Puiseux’a, i dla gałęzi tych będziemy mieli rozwinięcia według potęg ułamkowych zmiennej x. Nasuwa się teraz zagadnienie wyszukania w ciele K funkcyj analogicznych do tych gałęzi. Pierwszem zagadnieniem zasadniczem byłoby tu rozwiązanie dwumiennego równania całkowego

Pn(x, y) = A(x, y).

Następnie będzie można rozszerzyć odpowiedniość między ciała

n __

K i k przez przyporządkowanie liczbie V a funkcyi P(x, y), którą oznaczyć możemy przez symbol Ax (x, y).

n

Z tego punktu widzenia nastręcza się ciekawa analogia między teoryą równań algebraicznych Puiseux’a i teoryą równań różniczkowych liniowych Fuchsa. Ograniczamy się tu do krótkich uwag, odsyłając czytelników do dzieł V. Yolterry.

BIBLIOGRAFIA

Teoryi równań całkowych

(do r. 1914 włącznie).

Dzieła.

1.    d’Adhemar R. Exercices et leęons d’Analyse. Paris, 1908 (p. 121—184).

2.    d’Adhemar R. L’equation de Fredholm et les problemes de Dirichlet et Neumann. Paris, 1909.

3.    Bócher M. An introduction to the study of integral eąuations. Cam

bridge, 1909.

4.    Goursat E. Cours dAnalyse mathematiąue. Deuxieme edit. Tome III. Paris, 1915 (p. 324-537).

5.    Heywood et Frechet. L’equation de Fredholm et ses applications a la Physique mathematique. Paris, 1912.

6.    Hilbert D. Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integral-gleichungen. Leipzig, 1912.

7.    Horn J. Einfiihrung in die Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Leipzig, 1910 (p. 183-332).

8.    Kneser A. Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der ma-thematischen Physik. Braunschweig, 1911.

9.    Korn A. Ober freie und erzwungene Schwingungen. Eine Einfiihrung in die Theorie der linearen Integralgleichungen. Leipzig, 1910.

10.    Kowalewski G. Einfiihrung in die Determinantentheorie. Leipzig, 1909. (p. 455-505).

11.    Lalesco T. Introduction a la theorie des equations integrales. Paris, 1912.

12.    Pincherle S. Funktionaloperationen und Gleichungen. Encykl. d. Math. Wiss., tom II 1, zesz. 6, 1906.

13.    Poincare H. Sechs Vortrage aus der reinen Mathematik und mathe-matischen Physik. Leipzig, 1910.

14.    Poincare H. Leęons de Mecanique celeste. Tome III. Theorie des ma-rees. Paris, 1910 (p. 233—303).

15.    VolterraV. Leęons sur les equations integrales et les equations inte-gro-differentielles. Paris, 1913.

16.    Yolterra V. Leęons sur les fonctions des lignes. Paris, 1913.

Rozprawy (dotyczące Teoryi równań całkowych).

Abel N. H. 1) Auflosung einer mechanischen Aufgabe. Journ. r. ang. Math. 2 (1826).

d’Adhemar R. 1) Les fonctions implicites de Peąuation integrale non linę-aire. Buli. Soc. math. Fr. 36 (1907).

— 2) Sur les eąuations integrales de M. Yolterra. Atti IV Congr. Mat. Rzym

(1909).

A mor oso L. 1) Ricerche intorno alle eąuazione lineari di prima spezie. Ann. mat. p. appl. (1909).

— 2) Sulla risolubilita della eąuazione integrale di prima spezie. Atti Acc. Lincei

(1910)

—    3) Alcune osservazioni intorno alla teoria delle serie di Fourier-Hilbert-Schmidt. Atti Acc. Lincei (1910).

—    4) Sopra un nuovo tipo di eąuazioni integro-differenziali. Soc. Ital. Progr. Sc.

(1913).

Andreoli G. 1) Sulle eąuazioni integrali. Palermo Rend. 37 (1914)..

—    2) Sulle eąuazioni integrali miste ed integro-differenziali. Atti Acc. Lincei, (1914). d’Arone G. D. 1) Sopra un teorema della teoria delle eąuazioni integrali.

Giorn. mat. (1912).

Ba tern a n H. 1) Sur Peąuation de Fredholm. Buli. sc. math. 30 (1906).

—    2) A class. of integral eąuations. Trans. Cambr. phil Soc. 20 (1906).

—    3) The theory of integral eąuations. Trans. Cambr. phil. Soc. 20 (1906).

—    4) On the inversion of the definite integral. Proc. London math. Soc. (2) 4 (1907).

—    5) Notes on integral eąuations The Mess. Math. 38 (1909).

—    6) A formula for the solving function of a certain integral of the second kind. The Mess. Math. 37 (1908).

—    7) On a set of kernels whose determinants form a Sturmian seąuence. Buli. Amer. Soc. (2) 13 (1912).

—    8) Notes on integral eąuation. The Mess. Math. 41 (1912).

Błock H. 1) Sur la solution de certaines eąuations integrales. Ark. Mat. Astr. Phys. (1907).

Blondel A. 1) Sur une eąuation fonctionnelle lineaire. C. R. 150 (1910). Bócher M. 1) A simple proof of a fundamental theorem in the theory of integral eąuations Ann. of Math. (2) 14 (1902).

Boggio T. 1) Un theoreme sur les eąuations integrales C. R. 145 (1907).

—    2) Sopra alcune formoli fondamentali alle eąuazione integrali. Atti Acc. Lincei

(1908).

Bounitzky E. 1) Un systeme particulier d’equations integrales. Buli. sc. math. 31 (1907).

—    2) Sur une classe d’equations integrales. Buli. sc. math. 32 (1908).

Bratu G. 1) Sur les eąuations mixtes lineaires C. R. 148 (1909).

—    2) Sur certaines eąuations integrales non lineaires C. R. 150 (1910).

—    3) Sur Peąuation integrale exponentielle C. R. 152 (1911).

Browne P. 1) Sur ąueląues cas singuliers de Peąuation de Yolterra C. R.

154 (1912).

2) Sur ąueląues eąuations fonctionnelles C. R. 154 (1912).

B r o w n e P. 3) Sur le probleme generalise d’Abel et ses applicatłons C. R.

155 (1921).

— 4) Sur un probleme d’inversion pose par Abel. C. R. 155 (1912).

Bucht G. 1) Ueber nichtlineare Integralgleichungen mit unverzweigten Lo-sungen. Ark. Math. Astr. Phys. 8 (1912).

Ces aro E. 1) Sopra un eąuazione funzionale trattata da Beltrami. Rend. Acc. Napoli (1901).

C hic ca A. 1) Sulle eąuazione integrali di Fredholm a nucleo simetrico. Atti Acc. Torino (1909).

Cotton E. 1) Eąuations differentielles et eąuations integrales. Buli. Soc. math. Fr. (1910).

Crudeli U. 1) Contributo alla teoria di certe eąuazioni funzionali. Atti Acc. Lincei (1909).

37 (1914).

Daniele E. 1) Sui nuclei che si riproducono per iterazione. Palermo Rend.

Dixon A. C. 1) The solution of integral eąuations Proc. London math. Soc.

(1909).

Egoroff D. T. 1) Theoreme sur les suites mesurables C. R. 152 (1911). Evans G. C. 1) The integral eąuation of the second kind of Volterra with singular kernel. Buli. Amer. Math. Soc. 16 (1909).

—    2) Sopra T eąuazione integrale di Volterra eon un limite de Tintegrale infinito 1, 2, 3. Atti Acc. Lincei (1911).

—    3) Sopra Talgebra delle funzioni permutabili Atti Acc. Lincei (1911).

—    4) L’algebra delle funzioni permutabili e non permutabili. Palermo Rend. 33 (1912). Fischer E. 1) Sur la convergence en moyenne C. R. 144 (1908).

Franek P. 1) Sur Tevaluation approximative de la plus petite valeur cara-

cteristiąue de ąueląues eąuations integrales C. R. 158 (1914).

Fredholm I. 1) Sur une nouvelle methode pour la resolution du probleme de Dirichlet. Ófv. Forh. Ak. Stockholm (1900).

—    2) Sur une classe de transformations rationnelles C. R 133 (1901).

—    3) Sur une classe d’equations fonctionnelles C. R. 134 (1902).

—    4) Sur une classe d’equations fonctionelles. Acta math. 27 (1903).

Fu b i ni G. 1) Sull inversione degli integrali definiti Boli. Acc. Catania (1904).

—    2) Sopra una formola di Fredholm nell problema dell inversione degli integrali definiti Boli. Acc. Catania (1905).

—    3) Di alcune nuove classi di eąuazioni integrali. Atti Acc. Lincei (1810).

—    4) Eąuazioni integrali e valori eccezionali. Ann. mat. p. appl. (1910).

—    5) Sulle eąuazioni integrali di terza specie di Emile Picard. Atti Acc. Lincei (1912).

Fujivara M. 1) Einige Bemerkungen iiber die Theorie der linearen Integral-gleichung. Reports Tóhoku Imp. Univers. (1912),

Giorgi. 1) Sulla teoria delle eąuazioni integrali e delle loro generalizzate.

Atti Acc. Lincei (1912).

Goursat E. 1) Sur un probleme d’inversion resolu par Abel. Acta Math.

27 (1903).

— 2) Sur un cas elementaire de Teąuation de Fredholm. Buli. Soc. math. Fr.

35 (1907).

3) Sur les eąuations integrales C. R. 145 (1907).

— 142 —

GoursatE. 4) Sur un theoreme de la theorie des eąuations integrales C. R.

146 (1907).

10 (1908).

5) Recherches sur les eąuations integrales lineaires. Ann. Fac. Toulouse (2)

—    6) Sur ąueląues points de la theorie des eąuations integrales. Buli. Soc. math. Fr. 37 (1909).

—    7) Sur ąueląues eąuations integrales singulieres C. R. 147 (1913).

Greggi G. 1) Le formole risolutive e i teoremi di Schmidt per i sistemi di eąuazioni integrali Atti Ist. Veneto 71 (1912).

Hahn H. 1) Bericht ueber die Theorie der linearen Integralgleichungen. Jahr. D. Math. Ver. 20 (1911).

Hardy G. H. 1) On an integral eąuation. Proc. London math. Soc. (2), 7

(1909).

(1907).

Hertz P. 1) Die Integralgleichungen der Elektronentheorie. Math. Ann. 65

HeywoodB. 1) Sur ąueląues points de la theorie des fonctions fondamen-tales relatives a certaines eąuations integrales C. R. 145 (1907).

— 2) Sur Feąuation fonctionnelle de Fredholm J. Math. p. appl. (6) 4 (1908). Hilb E. 1) Ueber Integraldarstellung willkurlicher Funktionen. Math. Ann.

67 (1909).

Hilbert D. 1) Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Gott. Nachr. 1. Mitteilung (1904), 4 u. 5-e Mitteilung (1906).

Horn J. 1) Volterrasche Integralgleichungen und Summengleichungen I Teil J. f. ang. Math. 140 (1911).

Holmgren E. 1) Sur l’inversion des integrales definies. Bihang. Ak. Handl. Stockh. (1900).

— 2) La theorie des eąuations integrales lineaires. Ark. Mat. Astr. Fys. Stockh. 3 (1906).

—    3) Das Diricbletsche Prinzip und die Theorie der linearen Integralgleichungen. Math. Ann. 69 (1910).

Hurwitz W. A. 1) On the pseudoresolvent to the kernel of an integral eąuation. Buli. Amer. Soc. (2) 18 (1912).

—    2) On the pseudoresolvent to the kernel of an integral eąuation. Trans. Amer. mat. Soc. 13 (1912).

—    3) Notę on mixed linear integral eąuations. Buli. Amer. Soc. (2) 18 (1912). JentzschR. 1) Ober Integralgleichungen mit positivem Kern. J. z. ang. Math.

141 (1912).

Kellog O. 1) Zur Theorie der Integralgleichungen. Gott. Nachr. (1902).

—    2) Unstetigkeiten in den linearen Integralgleichungen Math. Ann. 58 (1904). Kneser A. 1) Ein Beitrag zur Theorie der Integralgleichungen. Palermo

Rend. 21 (1906).

—    2) Belastete Integralgleichungen. Palermo Rend. 37 (1914).

Kom A. 1) Sur Feąuation fonctionnelle de Fredholm C. R. 144 (1907).

—    2) Sur une classe importante de noyaux asymetriąues 1, 2, 3 C. R. 152, 153 (1911).

—    3) Sur les eąuations integrales a noyau asymetriąue C. R. 156 (1913).

—    4) Ueber die Entwicklungen nach Eigenfunktionen unsymmetrischer Kerne in der Theorie der linearen Integralgleichungen. Sitz. Beri. math. Ges. 11 (1912).

Korn A. 5) Eine Theorie der linearen Integralgleichungen mit unsymmetri-schen Kern. Tóhoku Math. Journ. (1912).

Kowalewski G. 1) Eine Eigenschaft der Yolterragruppe. Sitz. Ak. Wien

121 (1912).

Kryloff N. 1) Sur les developpements procedant suivant les polynomes hy-pergeometriąues C. R. 150 (1910).

—    2) Sur ąueląues proprietes des eąuations integrales a noyau non symetriąue Ć. R. 156 (1913).

La les co T. 1) Sur 1’ordre de    la fonction entiere D (X) C.    R. 144    (1907).

—    2) Sur l’equation de Volterra J.    Math. p. appl. (6) 4 (1908).

—    3)    Sur    les noyaux resolvants C. R. 151    (1910).

~    4)    Sur    les poles des noyaux resolvants    C. R. 151    (1910).

—    5)    Sur    les noyaux symetriąues gauches    C. R. 151    (1910).

—    6)    Sur    une eąuation integrale du type Volterra C.    R. 152 (1911).

—    7) Theoremes sur les valeurs caracteristiąues C. R. 153 (1911).

—    8) Sur une eąuation integrale du type Volterra. Buli. sc. Math. (1911).

—    9) L’etude des noyaux resolvants. Buli. Soc. math. Fr. (1911).

—    10) Quelques formules relatives a la variation des valeurs caracteristiąues. Buli. Soc. Roum. Sc. (1912).

—    11) Sur la variation des valeurs    caracteristiąues. Buli. Akad.    Roum.    (1913).

—    12) Sur Taddition des noyaux non orthogonaux. Buli. Acad.    Roum.    (1913).

ŁandsbergA. 1) Theorie der Elementarteiler linearer Integralgleichungen.

Math. Ann. 69 (1910).

Lauricella G. 1) Sopra alcune eąuazione differenziali lineari. Atti Acc. Lin-

cei (1908).

—    2)    Sulle eąuazioni    integrali. Ann. Mat. p. appl. (3)    15 (1908).

—    3)    Sull eąuazione    integrale di 1-a spezie. Atti Acc.    Lincei (1909—1910).

—    4) Sulla risoluzione dęli’eąuazione integrale di 1-a spezie. Atti Acc. Lincei (1911)

—    5) Sopra i nuclei reiterati. Atti Acc. Lincei (1911).

—    6)    Sopra le funzioni permutabili di 2-a spezie. Atti    Acc. Lincei (1913).

—    7)    Sopra 1’algebra    delle funzioni permutabili di 2-a    specie (1913).

Lebesgue H. 1) Sur la methode de Goursat pour la resolution de 1’eąuation

de Fredholm. Buli. Soc. math. Fr. 36 (1908).

—    2) Sur un theoreme de M. Volterra. Buli. Soc. math. Fr. 40 (1912).

Levi E. 1) Sulle eąuazioni integrali. Atti Acc. Lincei (1907).

Levy P. 1) Sur les eąuations integrales non lineaires. C. R. 150 (1910). Liouville J. 1) Sur le developpement des fonctions ou parties des fonctions en series dont les diverses termes sont assujettis a satisfaire a une meme eąuation diffe-rentielle du 2 e ordre contenant un parametre variable. J. Math. p. appl. 2 (1837).

—    2) Solution nouvelle d’un probleme d’Analyse relatif aux phenomenes termo-mecaniąues J. Math. p. appl. 2 (1837).

—    3) Premier inemoire sur la theorie des eąuations differentielles lineaires et sur le developpement de fonctions en series. J. Math. p. appl. 3 (1838).

Longley W. R. 1) Integral eąuations. Buli. Amer. Math. Soc. 19 (1913). Marcolongo R. 1) La theorie des eąuations integrales et ses applications Ann. Fac. sc. Toulouse (2) 10 (1909).

Marty J. 1) Transformation d’un determinant infini en un determinant de Fredholm. Buli. sc. math. (1912).

— 144 —

Marty J. 2) Sur une eąuation integrale. C R. 150 (1910).

3)    Developpements suivant certaines Solutions singulieres. C. R. 150 (1910).

4)    Existence des Solutions pour certaines eąuations de Fredholm. C. R. 150

(1910).

—    5) Valeurs singulieres d’une eąuation de Fredholm. C. R. 150 (1910).

Mer cer H. 1) Plemelj’s canonical form. Trans. Cambr. phil. Soc. 21 (1908).

—    2) Functions of positive and negative type and their connection with the the-ory of integral eąuations. Trans. Royal Soc. London 209 A. (1909).

Mollerup J. 1) Une remarąue sur les eąuations integrales de 1-ere espece. Palermo Rend. 29 (1909).

—    2) Sur 1’identite du determinant de Fredholm et d’un determinant infini de v. Koch. Buli. sc. math. (2) 36 (1912).

Moore E. H. 1) On the foundations of the theory of linear integral eąuations. Buli. Amer. Soc. (2) 18 (1912).

Myller A. 1) Sur les eąuations integrales. Buli. sc. math. (1907).

Myller-Lebedeff W. 1) Die Integralgleichungen in Anwendung auf einige Reihenentwickelungen. Math. Ann. 64 (1907).

Orlando L. 1) Sopra alcune eąuazioni integrali. Atti Acc. Lincei (1907).

—    2) Sulle eąuazioni integrali. Giorn. mat. (1908).

—    3) Sulla risoluzione delle eąuazioni integrali. Atti IV Congr. mat. Roma (1909). Pell A. J. 1) Biorthogonal systems of functions. Trans. Amer. math. Soc. 12

(1911).

—    2) Applications of biorthogonal systems of functions to the theory of integral eąuations. Trans. Amer. math. Soc. 12 (1911).

Perhave R. 1) Zur Fredholmschen Funktionalgleichung mit Flermitschen Kern. Sitz. Ak. Wien 121 (1912).

Peres J. 1) Resolution des problemes aux limites relatifs a une eąuation in-tegrodifferentielle de M. Volterra. Palermo Rend. 35 (1913).

—    2) Sulle eąuazioni integrali. Atti Acc. Lincei (1913).

—    3) Determination de toutes les fonctions permutables de premiere espece avec une fonction donnee. C. R. 156 (1913).

—    4) Sur les fonctions permutables analytiąues. Atti Acc. Lincei (1913).

Picard E. 1) Sur une eąuation fonctionnelle. C. R. 139 (1904).

—    2) Sur ąueląues applications de 1’eąuation fonctionnelle de Fredholm. Rend. Palermo 21 (1906).

—    3) Sur ąueląues problemes de Physiąue mathematiąue se rattachant a l’equa-tion de Fredholm. Ann. Ec. Norm. (1906).

—    4) Sur une eąuation fonctionnelle se presentant dans les theorie de certaines eąuations aux derivees partielles. C. R. (1907).

—    5) Sur un theoreme generał relatif aux eąuations integrales de 1-re espece et sur ąueląues problemes de Physiąue mathematiąue Palermo Rend. 29 (1909).

—    6) Sur une classe de developpements en series de fonctions fondamentales se. rattachant a certaines eąuations fonctionnelles. C. R. 149 (1909).

—    7) Sur les eąuations integrales de premiere espece 1, 2. C. R. 149 (1908).

—    8) Sur une classe de fonctions fondamentales et sur certaines developpements en series. Ann. Ec. Norm. 21 (1910).

—    9) Un theoreme generał sur certaines eąuations integrales de troisieme espece C. R. 150 (1910).

Picard E. 10) Sur une eąuation fonctionnelle singuliere du type Fredholm. C. R 151 (1910).

—    11) Un theoreme generał sur Ies eąuations integrales de troisieme espece. C. R.

152 (1911).

—    12) Sur une eąuation integrale singuliere. C. R. 152 (1911).

—    13) Un complement sur un theoreme relatif aux eąuations integrales de 3-me espece. C. R. 153 (1911).

—    14) Sur un excmple simple d’equation singuliere de Fredholm. Ann. Ec. Norm.

(1911).

—    15) Sur les Solutions continues des eąuations integrales de troisieme espece. C. R. 153 (1911).

—    16) Sur les eąuations integrales de troisieme espece. Ann. Ec. Norm. (1911).

—    17) Remarąues au sujet d’une eąuation integrale consideree par M. Charlier. C. R. 147 (1913).

Picone M. 1) Sopra un eąuazione integrale di prima spezie a limiti variabili. Atti Acc. Lincei (1910).

Pincherle S. 1) Sull’ inversione analitica degl’ integrali definiti. Rend. Acc. Bologna (1907).

—    2) Sull inversione degl’integrali definiti. Soc. Ital. sc. 15 (1908).

—    3) S»pra certe eąuazioni integrali. Atti. Acc. Lincei (1909).

Plancherel M. 1) Ueber singulare Integralgleichungen. Math. Ann. 67

(1909).

— 2) Sur la representation d'une fonction arbitraire par une integrale definie. C. R. 150 (1910).

—    3) La theorie des eąuations integrales. Ens. math. 14 (1912).

Platrier Ch. 1) Sur les mineurs de la fonction determinantę de Fredholm et sur les systemes d’equations integrales lineaires. J. Math. p. appl. (6) 9 (1913).

—    2) Sur les variations de la determinantę et de la resolvante de Fredholm avec le champ d’integration. Nouv. Ann. Math. (4) 13 (1913).

—    3) Contribution a un theoreme sur les eąuations integrales de Fredholm de troisieme espece. C. R. 154 (1912).

Plemelj J. 1) Ueber die Anwendung der Fredholmschen Functionalgleichun-gen in der Potentialtheorie. Sitz. Ak Wien (1903).

—    2) Zur Theorie der Fredholmschen Funktionalgleichung Monatsh. Math. Phys.

(1903).

148 (1909).

Poincare H. 1) Sur ąueląues applications de la methode de Fredholm. C. R.

2) Remarąues diverses sur Feąuation de Fredholm. Acta math. 33 (1910). Pompeiu D. 1) Sur une eąuation integrale. Math. Ann. 74 (1913).

Popoff K- 1) Sur les eąuations de Fredholm de premiere espece. C. R. 157

(1913).

Puzyna J 1) Zarys teoryi równań całkowych. Wektor 2 (1913).

144 (1907).

Riesz F. 1) Sur les systemes orthogonaux et T eąuation de Fredholm. C. R.

2) Ueber die lineare homogene Integralgleichung. Math. Ber. Ung. 27 (1909). Ritz W. 1) Zur Theorie der Serienspektren. Inaugural-Dissertation. Góttingen

(1903).

Przedruk w Oeuvres completes (1911).

Teorya równań całkowych.

Runge C. 1) Uber eine besondere Art von Integralgleichungen. Mat. Ann.

75 (1914).

Saurel P. 1) On Fredholm’s eąuation. Buli. Amer. Soc. 15 (1909).

Schmidt E. 1) Entwicklung willkiirlicher Funktionen nach Systemen vorge-schriebener. Inaugural Diss. Gottingen (1905).

—    2) Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Math. Ann. 63, 64, 65 (1907 08).

Severini C. 1) Sulle eąuazioni integrali di prima specie del tipo Fredholm 1, 2 Atti Acc. Lincei (1914).

—    2) Sulle eąuazioni funzionali. Atti Acc. Catania (5) 4 (1911).

Schur I. 1) Ueber die charakteristisfchen Wurzelm einer linearen Substitu-tion, mit einer Anwendung aut die Theorie der Integralgleichungen. Math. Ann. 66 (1908).

(1909).

2) Zur Theorie der linearen homogenen Integralgleichungen. Math. Ann. 67

S i 11 a L. 1) Sui sistemi di eąuazioni- integrali di prima specie Atti Acc. Lincei (1911).

SinigagliaL 1) Sulle eąuazioni dilferenziali lineari. Atti. Acc. Lincei (1908). — 2) Sulle funzioni permutabili di 2-a spezie 1—4 Atti. Acc. Lincei (1911—13). Sonine N. 1) Sur la generalisation d’une formule d’Abel. Acta math. 4(1884). Soula J. 1) Sur les fonctions permutables de 2-ieme espece. Atti. Acc. Lincei

(1913).

—    2) Sur certaines eąuations integrales. Atti. Acc. Lincei (1914).

Stekloff W. 1) Sur le developpement d’une fonction ar&itraire en serie de fonctions fondamentales. C. R. 150 (1910).

—    2) Une application nouvelle de ma methode de developpement des fonctions fondamentales C. R. 150 (1910).

—    3) Sur la condition de fermeture des systemes de fonctions orthogonales C. R.

150 (1910).

Ted one O. 1) Su alcune eąuazione integrali di Volterra risólubili eon un numero finito di derivazioni e di integrazioni. Atti. Acc. Liucei (1914).

Viterbi A. Sur la risoluzione approssimata delle eąuazioni integrali di Vol-terra e sul la applieazione di ąueste allo studio analitico delle curve. Rend. Ist. Lomb. (1912).

Yolterra V. 1) Sulla inversione degli integrali definiti 1, 2, 3, 4 Atti. Acc.

Torino (1896).

—    2) Sulla inversione degli integrali definiti 1, 2. Atti. Acc. Lincei (1896).

—    3) Sopra alcuni ąuestioni di inversione di integrali definiti. Ann. mat. p. appl. (2) 25 (1897).

—    4) Sulle eąuazioni integro-differentiali. Atti. Acc. Lincei (1909).

—    5) Questioni generali sulle eąuazioni integrali ed integro-differenziali. Atti. Acc. Lincei (1910).

—    6) Osservazioni sulle eąuazioni integro-differenziali ed integrali. Atti. Acc. Lincei (1910).

—    7) Sopra le funzioni permutabili. Atti. Acc. Lincei (1910).

8) Eąuazioni integro-differenziali eon limite constanti. Atti. Acc. Lincei (1910).

—    9) Contributo allo studio delle funzioni permutabili. Atti. Acc. Lincei (1910).

—    10) Sopra le funzioni permutabili di 2-a specie. Atti. Acc. Lincei (1910).

147

VolterraV. 11) Sur les eąuations integro differentielles et leurs applica-tions. Acta Math. 35 -(1912).

—    12) Sopra eąuazioni integro-diffenziali aventi i limiti costanti. Atti. Acc. Lincei

(1913).

12) Sopra eąuazioni integro-diffenziali aventi i limiti costanti. Atti.. Acc. Lin

cei (1913).

—    13) Osservasioni sui nuclei delle eąuazioni integrali. Atti. Acc. Lincei (1914).

—    14) Sulle eąuazioni alle derivate funzionali. Atti. Acc. Lincei (1914).

—    15) Eąuazioni integro-differenziali ed eąuazioni alle derivate funzionali. Atti. Acc. Lincei (1914).

Weyl H. 1) Singulare Integralgleichungen mit besonderer Beriicksichtigung des Fouriertheorems. Math. Ann. 66 (1908).

—    2) Convergenz von Reihen die nach Ortogonalfunctionen fortschreiten. Math. Ann. 67 (1909).

3) Ueber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte. Gott. Nachr. (1911).

—    4) Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Dif-ferentialgleichungen. Math. Ann. 71 (1912).

'5

/

F

*

s>

r

Kf

F

.

■

? -

•-

.

■

:

.

■

\

Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

11-346773

Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

100000293390