■ %j

rv

s£a

Jt

8F

: |

;'jm

*»

SeT'

-

?*y

WFĄ

ii*

«-^'c

Uli

fflTT M

|i-.:

tik

gf*3*

-.'

* -t

pf

• < *

*;'V%

■ 4P

K^Se;

" •-r .

' ■ i£rŁ1

j#?

. •'''■•■» «££

“W,

c

Ul

*t

*

^ '

•' - <*#

fWBL

£S@

111111181 fig|f i® ■ I ¹

■ I

■■

V'7I

>

**

ńijfi

'

f.-#-

4?

fMW:

4*

*M

;7

Ti

s 4

ŁJSfc

v£v%

He

* ?ĘF -‘-WWi

i# i

^■/ja

sm

,i

f"i

■

§

#* *% ^

/

’ .' <1

s£ .

'^W:-k

Ł‘ ^

ih

m

JS? . #- :■*»

§* *

r , .•

.%

pap? .'7,

-9L .J*

mm ’

r »^-;i

*

m

*

:’4&S.

m

•ifi

7

f ®

.

-/■

f *^s

f

■

Mf

~

*s*m.»»

<•7

7

(■TOB

wmm

- -jwĘS^

I '•‘S i?

.1*1

.

i v!

*y<**7cr?

,-

igp

MM

mM

:

®Ł

jfe

sfe

w -

;;;r

. m

* r

i

F ;

*>'J!

«£

i j

*•" (H :«

•••" -vjg, JV

& U

7

■-.i.

■■ ■

md.

r

-:v;

7

rgf-.

mj

.

f-rTCl ^

Jr

.

;>:

-

r-: :r.7

Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

100000293389

' -., •<*. .»• ' • -• •-* - "•

i v-

- ■ ■ ■ "

-• aFt^iawfc..' .Vr-

'• w •»«.%*•

£2*fc - ' .^BmU ó-> - -. -’ 5SC^isia^^^ł«9S^..

--i-v.-'-TiV:?:-r•••••>.• -,---    ^2&*?Z*£ęt^r_______.. _____ - ______^    -,,r^v--

i .'••->-•    ~ -    nr■ d.4i|K^ffiii^rj >s^-**

'•*%*$$&y.^t* ;.ł--^ -

pgjgfeg*** ‘~<pipci".

- '■

.T^v .-    3ąi firn    y •ó**r*«jV

• >

$**»■ - -

*&**'-*

yiwSjfe -.--- V- -• źż&ŚHfrs -    mi*, >•

-;^•C; *>-.«-.-\ •:,-U; *

-> -•._*s; 1 ijflj^pljiiiifillill iif inij iT»>***£ w *

■    * **    -..- ~    ,. V. ,. *    .. V-..y-    .

..    „.* -&r.v^:.-;«s*r..*>--.-.•^*tóRr^'->    %«•,■•<.--' «:-•••;'*

•

■

-• -..- ..s- -

p*:*ś&ś -wi?s»«»r*-v

-r - ^-W»ć«Kg^V>^

?>    -    >**■,•-'*->•■*.-; '* ,. z~'^> ■■■:-■■**#>»*■- - 'T^ńtfrltitr-.r'

— V-    .....,, .- ^ ^--*    ,--    WiftfiiniiE ----------_.-

r;>- ^ -

l&tSue*.

- --.. .- r 1 n]|T|iiirift-

łv w ^1®S9|te^ęaŁ^5? i~-rv-; «~

'■• ;—v.. ■    W - -^«?-=-»-    - V .-.

a&ifc*ag»'

..-.    *•■■ --.-.>r^--.-.-,.^.. ^ - •;,..

-

Śftv

.-..---    .-y-r.if.- -..V^-™.*-.    . - .--..    .    ^    ■ -~SK»^*..' - ...

janfcjpWfC!!*?* »?ifegj3»»

■

•J-|jrr>>‘f ^Ti^P^l^'"ii^"~'^niirHfTftTl Ti^ illlarjriiiiiilf^^    ~ miiIWuii H ijrtTii’jipur

, --•#vs^>Ł;-r-.'.    --    ••-    .^.>- ,.-vy-r.~;-i_. . h .    - ^ -

,-»•> -    -Prut:.,    .-

^    ^ftfPWrT ~i rrfr|ir — - ‘ -\~"-*1.....■ -i rfi; jwrin 1 tiri ■- rn-m ?iśi§|—1    '' un‘i.j‘".Ty'j'

i*^:*??•-».•**.-; i«sB#r*.    " ~i~rmrAT'MjUli'mP*'i    jilf8|itri>ri<' i 11V f»jT|iij^;jr|^»' 11'ljgj^i i

f- -v -

*«»»    "'u-^

laDfiit-⁻? »^n» -*»tf> <swcv*«a!ł*>Wć'«- .-.■*g»CTi^.r-.-,

^tT^-i'^!il|>S)Bwii*wrK:mra ^ - 4^^-

»»t****»*»;'5 v., -1-*^ -i^

-- ji    ^~n THif'li^if1ti^~ai^agB^- ■

r-

»-. ' • . ••'• ' - --

-. jiiigi jai¹’^iV|rrmmTIpis Ti'%iitr^-;■ _ ,>-i_ lijffijtwfn^li|i 'nTiniiiffyj

-«M^-.'»^->C‘.Jg**-**-;. ■ •>-1.

-■ - - • - - ' - •- - '■ ' . • - • -' , , -

^Jljt^ i.Til^ »■ in> „ łBajfe*iiiii'<ti»i

l|n*Wrtfi'l>'llltel'lIW' 0’^'w i'1

■

■    --^^yłg-.... > .ąi.yn ■uiyi .11 .j-y. ^jwiiw. i    i

rr»iyWi-iws    wjWŁ>n>air■'- .^.-r    .^-    j^ąi^ifliii^rgijy i itan'f. i nTli|Si~ii'•''jijjjrjlilfiV vj

‘^iS=; ^vttWtS£&*r* ■*'-»•*    «...    *^«e^Vaa^ «..fe

■ T-.

■ -

:.***■>»,-*,* i —^t^pjifTyrartag^:rV-i^#-iji'■.:łó'iB^^slrf^;»iiwrai fn^i    t:u>) xin xr '- ~~i - ^

9h'jJ' hw. ^*^#••11^--.-. — ■-..-3frs«y>s^SfsiŁ""'Yjjj;-1 ta7..i 11pjf»<Bi4|f.'ii i, i bw■    ■■^■n yinT^ry^nM

’. ■ . - -■■- -

>-' • iwmgjląMfrtf i f. 7?-- - ”-

itao*"i 7?i*" iif- Tiy^trtRgj^jffigirtafi—' ^ > ~rTfjTnjTgaji;Cfg¹

.. i* .''"""i ifW:' r agr ii y p    i11 l'aaWFBaih

-lf j-, Y/fpn-

'rs*'-    ':

■ '>.>" isSrv .

^SK-?'' 'i^i 'lal' *$’*■'■ Jj#Sr%*i>!<^Vs» »*

Mp0Wśę$

-'-    -t^‘ -*r.- ■'^.> -. -~jhf|ffr^.i r'-

«MM>t

"

r**r*v#**zii*#-*$ *&*■&*#& . ■ .*. • 1 /.. •

^),y»y;y.-^‘. ■■i..<.f^.H.-------- -■■ r„—

fwgTnglS

•    •- -tałDtMC-i--^.rf»iir«-«i'rt.,|r^tfi-NĆgjte>ysai<S)>Ort£.**; "r^Hk^tfiB-,9i^iji-^S?^VT₅^»f^>Gj5*--jf.-»V -Ł.

-

.. - ■

&*

WUtóW^'-

--y— «»-itf    ^    jg.--.-it-;.-a»iwt. '•    .

■j^ąjiffi

>tóW..i»7.4 a.Wfc^łnar^tfrfri , Ijj «Mii»«»

■ J-,ł3* “ '! “'■ii ■>.j;iP.Vr₍-';" ,u. •    .*,    ^ł^ij&*r*^'iij4rr^ ■^t_-

*5«

. ’.hm* jtiMi.!    ... :i>n■«>m jtiiiOgiiHOTKr

<7^»łt...-aag»I.'Bi ufs&irreą^■- *-> ..7^*nK**iwi..:..-}pi

sr ..r -

..-., '/w-' i. Ui$smi^h!I£; -

r-*J^iv

iSBii-HIW '««<»|'.    „*».

yJWBjliai' JII Jlfir!«-.--»■)«• 7,3i-ii»llll1Mfi•• -'■ >7....'y...c^«. -. ..^.'. .^.;'    -y... • ■    mgWg-->j^! ' j 'Tjf • lii ■■ 7l1itŃl'| jjl-” i " ~r'r ~~ i iH .- -.-‘^ ..^. .

j.*4*^j~**~*m.->.-...syaife^-^iftNawfe^-...■ w    ''''Tai i y^Tlipjfllii;-~>f - .rfjt~— "? '''.[.

...    .■..- -, .--    ^pfe-... .^r-..-y'.ai>r.....,    .■•*-.^. ■ ^p'.7iry>~^rr. ffjjrt^tfrtin,'~ '.'jflp^ifflt*⁰^"' "^'Mur^y¹'^. .^3^ 'Vr^' Vp i ', yj r ■...>._.

Ww.faK-.gf.^iKfe' uittfghmjimm&t’--**** «<><10ŁT,~I||II'. I#M»|> Itf •

-ł*^' :va^_—»«Wx«

»J«»«l»;->*p...J.- ■ iKrtj>Ql>f’. .-^v

r^Ąłs^p... ...    . .i 7, ■

- —-

.

„WIEDZA MATEMATYCZNA"

ZBIÓR DZIEŁ Z DZIEDZINY MATEMATYKI CZYSTEJ I STOSOWANEJ, WYDAWANY PRZEZ ST. KWIETNIEWSKIEGO, ST. STRASZEWICZA i WŁ. WOJTOWICZA.

M. E. BRAHY.

DOKTÓR NAUK MATEMATYCZNO-FIZYCZNYCH.

Ćwiczenia metodyczne

Z RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO.

PRZEKŁAD Z NOWEGO WYDANIA przez

M. i J. KRASSOWSKICH.

Z ZAPOMOGI KASY POMOCY DLA OSÓB PRACUJĄCYCH NA POLU NAUKOWEM IMIENIA D-ra JÓZEFA MIANOWSKIEGO.

V*-

WA.R“S Z AWA

SKŁAD GŁÓWNY W KSIĘGARNI E. WENDE i S-ka.

1917

<z

oa

%/ioa#^

KATEDRA i ZAKŁAD

M A T B MAT VKI

WYDZIAŁU INŻYNIER!*

W

R A KjD W/l E

t <v\aa) •

- 7 6

BIBLIOTEKA

INSTYTUTU MATEMATYKI POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ

Etiftw,

---—    V-—

, ⁽<rJ

Cl.

)

cv

i ^

§

3ZDZ1AŁ I.

55

55

55

55

55

SPIS RZECZY.

Różniczkowanie funkcyi wyraźnych jednej zmiennej. . . . .

II.    Różniczkowanie    funkcyi    wyraźnych    wielu    zmiennych.....

III.    Pochodne kolejne funkcyi wyraźnych jednej zmiennej. . . . .

IV.    Pochodne kolejne funkcyi wyraźnych wielu zmiennych

Różniczkowanie równań.............

VI.    Rozwijanie funkcyi w szeregi...... . .

VII.    Zamiana zmiennych.............

VIII.    Rugowanie stałych i funkcyi..........

IX.    Wyznaczanie funkcyi, które przy pewnych wartościach stają się

nieoznaczone ............

X.    Maxima i minima.............

XI.    Styczne i normalne do krzywych płaskich . .    .    .

XII.    Asymptoty ................

XIII.    Punkty osobliwe krzywych płaskich......

XIV.    Krzywizna krzywych płaskich . .    .....

XV.    Powierzchnie..............

XVI.    Krzywe skośne..............

XVII.    Obwiednie linij i powierzchni........

XVIII.    Rozkładanie ułamków    wymiernych na    ułamki    proste

v.

i—i(NlOcOCNiOcOCN rH r-t CS CO    CD CO

89

100

138

148

158

172

182

193

205

ROZDZIAŁ I.

Różniczkowanie funkcyi wyraźnych jednej zmiennej.

Przypuszczamy, że czytelnik zna ogólne zasady rachunku pochodnych oraz różniczkowania; zdaje się jednak, że nie będzie bezcelowem przypomnieć w ogólnych zarysach twierdzenia o pochodnych i różniczkach tych funkcyi, z któremi spotykamy się w początkach rachunku różniczkowego.

W wysłowieniu tych twierdzeń oznaczamy przez u, v, w, funkcye zmiennej przez a zaś wielkość stałą.

1.

Pochodna stałej jest zerem.

2. Pochodna sumy algebraicznej kilku funkcyi równa się algebraicznej sumie pochodnych tych funkcyi.

Niech będzie

i t. d.

i t. d.

y = u — v-\- w-\-

Pochodna tego wyrażenia równa się

*    dy_dii dv . dw

dx dx dx ' dx

3. Pochodna iloczynu kilku funkcyi równa się sumie, otrzymanej przez dodanie do siebie iloczynów pochodnej każdej funkcyi przez funkcye pozostałe.

Jeżeli np.

y = uvw . .

wówczas pochodna równa się

dy da

dx dx VW '' ‘ ^

dv

dw

7— UW . . . -j—uv. . . -j- . . .

dx    ¹ dx

To twierdzenie łącznie z pierwszem daje następujące nowe twier

dzenie:

Ćwiczenia metodyczne z rachunku różniczkowego.

4. Pochodna iloczynu funkcyi przez wielkość stałą równa się iloczynowi pochodnej tej funkcyi przez wielkość stałą.

Stosując np. twierdzenie do funkcyi y = a a, mamy:

dy

da

dx a dx

5. Pochodną ilorazu dwóch funkcyi, lub też pochodną ułamka, którego każdy wyraz jest funkcyą zmiennej niezależnej, obliczamy, mnożąc mianownik przez pochodną licznika, odejmując licznik pomnożony przez pochodną mianownika, i dzieląc otrzymaną różnicę przez drugą potęgę mianownika.

Jeżeli np. y—~, gdzie u i v są funkcyami zmiennej x, wówczas

dii

dv

dy

v --a ~r

dx dx

dx

6. Pochodna funcyi funkcyi jest iloczynem pochodnych tych funkcyi, wziętych względem zmiennej, którą zawiera każda z nich.

Niechaj np. funkcya u, zawierająca zmienną będzie określona przez

równania

u = F(z), z =f (y), y==y(x)\

otrzymujemy

da du dz dy

dx    dz dy dx

co, po zastosowaniu znakowania Lagrange’a, można napisać w postaci następującej:

da

dx = F (z) ■ /' (y) • W

7. Pochodna funkcyi, złożonej z kilku funkcyi, równa się sumie pochodnych funkcyi złożonej, wziętych kolejno względem każdej z funkcyi składowych.

y = F (a, v, w ...)

Jeżeli np.

wówczas, na zasadzie twierdzenia powyższego otrzymujemy:

dy dy da . dy dv , dy dw ’

dx    da dx' dv dx ' ów dx

Uwaga. Jeżeli w wysłowieniu twierdzeń wyraz p o c h o d-n a zastąpimy wyrazem różniczka, to wszystkie powyższe twierdzenia stosować się będą także i do różniczek.

8. Pochodna funkcyi, będącej odwrotnością funkcyi, której pochodną umiemy znaleźć, równa się jedności, podzielonej przez pochodną tej drugiej funkcyi.

Jeżeli np.

y = F(x) i x = cp (y)

są to dwie funkcye odwrotne względem siebie, wówczas według twierdzenia mamy:

i (y)

F'(x) =

Tablica różniczek funkcyi zwykłych.

(Zarówno w tej tablicy, jak i w całej książce przez Log oznaczać będziemy logarytm przy dowolnej zasadzie, natomiast przez log oznaczać będzie logarytm neperowski, t. j. przy zasadzie e).

d . xm — mxm~¹ dx, skąd d V'x =

dx

2 ]/x

dx

d . Los: x

L—--    o*

d . log X

= Log e -x

dx

d . ax

d . ex

d . cos a:

= ex dx

= cos a: dx

— — sin x dx

d . tang x

dx

cos'² x

d . cotg x

dx

sin² x

d . sec x

sin x dx

cos² x

d . cosec x

cos x dx

sin² x

d . sin vers x = sin x dx *)

*) sin vers x = 1 — cos x = 2 sin²

d . arc sin a;

dx

VI —x²

d . arc cos a

dx

V i —x²

d . arc tang a;

dx

d . arc cotg a:

dx

1 -f- a:²

d . arc sec a

dx

a/a² — !

d . arc cosec a

dx

a/a² — 1

d . arc sin vers a

dx

]/ 2 X — A²

Dzieląc przez dx obie strony równań zawartych w powyższej tablicy, otrzymamy pochodne funkcyi zwykłych. Należy jednak zauważyć, co jest bardzo ważne, że w powyższej tablicy a oznacza nie tylko zmienną niezależną ale również wszelką funkcyę wyraźną zmiennej A.

Możemy więc zawsze w powyższej tablicy zamiast zmiennej a przez symbol powyższy rozumieć pewną dowolną funkcyę zmiennej A.

dx

Tak więc równość d . log a — — można wysłowić w następujący

sposób: różniczka logarytmu neperowskiego funkcyi równa się różniczce

funkcyi, podzielonej przez samą funkcyę. Ponieważ

d . log a 1

—, przeto

pochodna logarytmu neperowskiego funcyi równa się jedności, podzielonej przez samą funkcyę.

Podobne ćwiczenia są bardzo ważne, i całą ich doniosłość wykażą najlepiej następujące przykłady.

dx

PRZYKŁAD I.

Mamy do zróżniczkowania względem a funkcyę wyraźną tej zmiennej: y = sin ]/ o? — a²

Musimy więc szukać różniczki wstawy (sinusa) funkcyi

Y a² — a;²

Podług powyższej tablicy, różniczka sinusa funkcyi równa się cosinu-sowi funkcyi, pomnożonemu przez różniczkę samej funkcyi. Znajdujemy więc:

dy — cos y a²

(1)

x² . d .ya² — a:² . . .

Wiemy także, że różniczka pierwiastka kwadratowego funkcyi równa się różniczce funkcyi podpierwiastnej, podzielonej przez podwojony pierwiastek. Mamy tedy

d . ya² — x²

d . (a² — x²)

2 y a² —x²

(2)

podstawiając w (1) znalezioną wartość na d . V⁷a²—x², otrzymujemy:

y a² — x² d . (a² — x²)

dy

cos

(3)

2 ya² — x²

Wiemy również, że różniczka sumy algebraicznej funkcyi równa się sumie algiebraicznej różniczek tych funkcyi; na tej zasadzie'znajdujemy:

d .{a² — x²) = d . a² — d . x²

(4)

Stosując twierdzienie 1, otrzymamy, iż różniczka d . a², jako różniczka wielkości stałej, jest zerem; dalej podług przytoczonej tablicy, różniczka d . x² równa się 2 x dx, a więc

(5)

d . {a² — x²) = — 2 x dx

Podstawiając w (3) znalezioną wartość na d . (a² — x²), znajdujemy ostatecznie :

dy = —

* dx

cos

y a² — ;c²

y a² — x²

co jest szukaną różniczką. Pochodna zaś równa się

(6)

dy

dx

l a² — x²

COS

I ii- — X²

(7)

Przy pewnej wprawie, którą z łatwością zdobyć można, należy różniczkowanie oraz podstawianie wykonywać pamięciowo i rezultat poszukiwany, który stopniowo w naszym przykładzie odnajdowaliśmy, wyp^wać odrazu, a więc pisać odrazu wzór (6), nie pisząc wzorów pośrednich (1),

(2), (3), (4) i (5).

Istotnie, wystarczało napisać / a² — x² = z i szukać różniczki funk-

cyi funkcyi y -- sin z, gdzie z = } a% — x²; rezultat ostateczny otrzymamy prędzej, wykonywując w pamięci działania pośrednie, niż wypisując je kolejno.

PRZYKŁAD II.

Mamy znaleźć różniczkę funkcyi y — -Stosując twierdzenie 3, mamy:

x . a — arctg -x a

a-\-x

(i)

, a + x ,    a — x .    a — x

dy=7r=nd ■arctg +arctg d ■

Podług danej tablicy różniczek mamy:

— x\²

d . arctg -

d.

\a -j- xt

po zróżniczkowaniu zaś licznika drugiej części tej równości otrzymamy:

— {a -|- x) dx — {a — x) dx

d . arctg -

(a Ą- x)²

cl - j- x

(twierdzenie 5)

upraszczając znajdujemy:

d . arctg -

a² -j- x²

(2)

Oprócz tego mamy:

a -j- x {a — x) dx -j- {a -f- x) dx

'a — x    (a — x)²

(twierdzenie 5)

skąd

2 a dx

da + x ₌

a — x    (a — x)²

Podstawiając w (1) wartości, otrzymane z (2) i (3) na

da+-x, a — x

d . arctg -

a-f x

oraz

otrzymamy po uproszczeniu

a-j-x

Stąd z łatwością znajdujemy pochodną:

dy

2    a

a -f- x

,    .    ——    arctsr —

dx    a — x    \a    — x    a

Zresztą szukaną pochodną możemy otrzymać, stosując do danego wzoru twierdzenie o pochodnych oraz tabliczkę pochodnych funkcyi prostych.

Ważną rzeczą jednak jest zauważyć, że wprawa w posiłkowaniu się twierdzeniami i prawidłami różniczkowania pozwala odrazu znaleźć szukaną różniczkę danej funkcyi.

Np.:

— (a -f- x) dx — (a — x) dx

dy — -J a

a-f x

(g + x)²

I flrp+D. a~x 0a — X) dx + (a 4- x) df.

“T arctg a _j_ x {a —x)2

2b

= tg a: tg y . sin x sin y — cos a: cos y

y = z + * <p ty).

iduy

ROZDZIAŁ X.

■^=yz—y2 — Sx2 = 0,

2.

ROZDZIAŁ XII.

4^= + /2.

2 x ' y 3

F{x,y, a) — 0.

/(f ± 5 V- 1) = Cp (f ± 8 ]/- 1) + D„,

“T arctg a _j_ x    {a —x)²

wystarczy uprościć to wyrażenie, by otrzymać powyższy rezultat.

PRZYKŁAD III.

Mamy zróżniczkować funkcyę:

(x — 1)* (x — 3)^³

(x — 2)

Biorąc logarytmy obydwóch części równania, otrzymujemy:

c;    1S

log y =

Y log (x - 1) + y log (X — 3) — 8 log (X — 2)

Różniczkując, znajdujemy

dy _ 5 dx

13 dx    dx

~~ ⁸x — 2

albo:

dy

13

2(x — 1) ¹ 2 (x—3)    x —

— dx 2

co prościej możemy napisać:

x² -f 4 (x — 1) (x — 2) (x — 3)

(.x² + 4) {x — 1)2 (x — 3)“

dx

skąd

dy —

(x — 1)2 (X — 3) 2

{X — 1) (x — 2) (x 3)

(* - 2)

dx =

{x - 2) ^

Przykład ten wskazuje, że wygodnie jest postępować w podobny sposób wtedy, gdy funkcya dana jest iloczynem czynników, podniesionych do potęgi.

ĆWICZENIA.

1.

x²

x⁴

1.2.3

xn + 1

1. 2 . 3 . . . (n + 1)

dy

dx

4- — ex

2.

y — 35 (a — bx) ^ — 60 a {a — 6x)iF = 84 b²x (a — bx)%

dy

dx

3.

dy

, 3.4    5.1

= (ax² -|- bxs -j- cx⁴)²

i , 4 , i . 5 i - - ax² -f- — bx* -|- — cx%

ó    4

CC <M

dx

„ ,    3.4    5.1

2 (CLX^ + 6x3 -j- cxT)^

4.

y — log (sec x);

dy

y = (arc sin vers x)²;

dy

dx y = log (sin ”x)

2 arc sin vers x

y 2x—x²

LS

7.

dy

dx = n co tg x y = tang x -j- ~ tang³ x

O

dy

dx cos⁴ x

l/

8.

y = log [(<2 -(- bxH)² (a' -{- b' xm)²]

dy _ 2 n bx dx a 4- bx

2 m b' xm~x

t) nA l

Kjii & ^

a' 4- b' xm

Jl

Ci A A

9.

co

LO

to

-g

| co

s~.

to!

dy_

dx 2 (x² x 4- 1)

(a: log a — 1)

log² a

,\

dy

dx

— x ax

w.--

12

\T

y = !og [log (i + a²)]

dy _

dx ~~’ (1 -f- a²) log (1 -(- x²)

2 ć? (a4 — B x -f 6 x* — 6)

dy

-f- — x e

dx

14.

y = arc cos

1 — x²

1 + Jt²

dy _    2

dx 1 -j- x²

15. y = x

arc sec x

arc sec x

dx

]/x² — 1

log a: —j— arc sec x 1—

16.

eax (a cos bx -\- b sin bxj

dy

a² -j- b²

dx

= eax cos bx

17.

y — log

a:

dy

]/l+A²’

dx

a: (1    x²)

18.

y = x (a² — x²) ]/a² -\- x² ]

dy_ a⁴ — a² x² — 4 a⁴

dx

]/a² -j-a;²

19.

.V =

b — 2 cx

10

dy

b² -f- 4 a c

/a -f- bx — cx²

dx

2 (a -f- bx — cx²)%

20.

y — arc sec

1/5

2 ]/x² + jc — 1

dy

dx

a:

yx² -i- x — i

y —— g (1+a:²) aretg x

dy

—^=e 0+*²)arctga! (1 —|— 2 a: aretg x)

22.

y = log (x — a)

a (2 x — a)

(x — a)²

x² -f- a2 dx (x — a)²

23.

dy

sin x

i -j-tg X

CO

CO

co ►—* •

CO

Cn

a.

05

OS

cc

O)

Oj

4-

LO

rH

Oj

05

co

25.

= arc tang |arc sin

ć/a:

\/ a² — a:²    1 -f- jare sin

26.

sin {a b — ć) x

a -j- b — c

sin (a — b — ć) x

sin (cl —J— b -j- ć) x

ab -f- c

dy

= 4 cos ax sin bx sin cx

27.

COS⁴ X ‘ COS² X

sin a;

dy

dx    cos⁶*    cos x

28.

(* —1)T

— 2)ł

dy __ dx

x— 4

6 (x — M (x — 2)

CC) 4*-

29.

y==

rn

ax

dy

dx = n aX" X*~¹ log CL

30.

31.

2 arc sin a:

]/1 —x²

_y = arc tang tang —

+ log

— 11

dy

dy

2 x arc sin a;

(1 — x²)%

32.

3 cos a;

sin² x cos x sin² a:

dx (x -f- l)2 + 3 log tangy

dy

dx sin² x cos² x

33. y =

— x -J- 1

dy

dx

c* (a:⁴ -{- 2)

(X² — X + 1) j/x⁴ + X² + 1

34.

y = arctg

l/fl² — &² sin a;

dy

]/a² —b²

dx a -f- b cos x

35.

y = i°g

V a -j- bx — V a — bx

dy _

Va    bx a — bx

dx

xV a² — b² x²

36.

y = (log a: — 1) Va² -\- x² — log

Va² -f- x² -j- a

dy

x log a:

dx

V a²    x²

59

37.

y = log (3 a: — 8)"⁸"¹

_rX2_T*₊

(3x-f

dy_x² -f- 5 x -j- 4

dx~ (3 x 8)⁴

2744

243

38. y = log [(* — 3)2 -4- 4] [(x — 4)² -f 9]² -f y arctg ^y-? + 7 aretg ^ 4 dy

2 (3 x³ — 16 x² -f 24 jc + 70)

Jt⁴ — 14 a;³ + 86 Jt²

254 x -f 325

39.

y = log y

/ *

a:

Vab — ę&Ą- ]/bc -f- abx2 V ab — cd — V bc 4- bx²

dy

V ab² — bcd

dx

(b dx²) Vc -j- ax²

40. y =

sin⁵ x cos³ x sin³ a; cos³ a; 3 sin³ a: cos a; 3 sin x cos x .    3 a

16

64

128

128

dy

7— = sin⁴ a: cos⁴ a:

dx

ROZDZIAŁ II.

Różniczkowanie funkcyi wyraźnych kilku zmiennych.

Różniczka zupełna funkcyi kilku zmiennych równa się sumie cząstkowych różniczek tej funkcyi (twierdzienie 7 rozdz. I).

Niech będzie:

u — F (x, y, z,. . .);

U., *

oznaczamy tedy przez a funkcyę wyraźną zmiennych x, y, z, . . . Będziemy mieli:

F U, ;J

* 7^ d/c

du

da = dx -j-

da

dy

da

dy+di

PRZYKŁAD.

Mamy dane:

_a;² y -j- y² z z² x

U~ *+.y+ *

Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej funkcyi a względem a;, uważamy y i z za wielkości stałe, a tylko a; za zmienną.

13

Mamy tedy

da _ (x -f- y + z) (2 x y + z²) — (x² y + _y² z + z² x).

dx

(x + y + z)²

upraszczając, otrzymamy

da

(y + z) (z² + 2 xy) + y (x² —y z)

dx

(x^-y-j-z)²

Podobnież przy obliczaniu pochodnej cząstkowej a względem y, uważamy x i z zr stałe. Ta pochodna równa się

da

(z + x) (x² -j- 2 yz) + 2: (y² — xz)

dy

{x-\-yĄ-z)²

Pochodna cząstkowa a względem £ równa się

da _(x -|- y) (y² + 2 xz) x (z² — xy)

(x+y+ 2)²

dź~~

Moglibyśmy także dwie ostatnie pochodne otrzymać z pierwszej przez symetryę, gdyż funkcya dana jest symetryczna względem x, y i z. Różniczka zupełna da będzie ostatecznie:

da —

(y + z) (z² + 2 xy) +y (x² — yz)

+ +y/ + z)²

dx —[—

dy +

{z + x) (x² + 2 yz) + z (y² — xz)

(x -{-y + z)

(x+y) (y² + 2 + + x (z² — xy) (x+y + z)²

Gdy w tym wzorze zamiast dx, dy, dz podstawimy odpowiednio x, z, drugi wyraz tej równości, według twierdzenia Eulera, będzie się rów-ał 2 a. Twierdzenie to jest następujące: Jeżeli a jest funkcyą jednorodną ?0 stopnia zmiennych x, y, z , wówczas mamy związek następujący:

da

da

da

dx

dy

dz

z + . . = na

ĆWICZENIA.

a — xyex + 2y

du = ex + 2y [y (1 + x) dx + x (1 + 2 y) dy]

da = -

U {x² + y²)²

4 (x dx + y dy)

(x² +y²)³

jeżeli dx = x i dy = y, drugi wyraz równa się — 4 a.

3.

{x -j- a)n

(y + b)m

da —

4.

x² —y2 x² -j- y²

(x -f- a)n~x [n (y -f b) dx — m (x -f- a) dy]

~ 0/+“^r-

w. ! 'y-t

da =

2 x y (y dx — X dy)

(x²+y²)i ]/x²—y²

5.

da = -

6.

przy dx = x i dy = y drugi wyraz staje się równym zeru.

*+y

(y — a: — 2 ]/xy) Vy dx -{- (x — y — 2 ]/xy) Vx dy

2 ]/xy (x+y)²

przy dx = x i dy = y, drugi wyraz równa się--~u.

Z

a = log yx

X

da — log y . dx -j--dy

7.

u = log sin

da =

I (M

a.

a.

-g

CTQ

8.

u = log

ax -j- by ax — by

du —

ab (x dy —y dx)

a? x² — b² y²

9.

a = arctg —

— J'

^ __y dx — x dy

*²+.y²

10.

x² y

a² — z²

da =

2 .yy

x²

0² — Z²

— Z²

dy +

2 x² y z

(a² — z²)

idz *

11.

da =

m sin _y — n sm z p sin z — m sin x

m cos x (m sin y — n sin z) dx -j~ m cos y (p sin z — m sin x) dy -j-

(/? sin z — m sin x)²

12.

-j- m cos z (n sin x — p sin y) dz (p sin z: — m sin x)²

xy

a = arc sec —

^_yzdx -f- zxdy ^ xpdz

xy V x² y² — z²

13.

*

t-o

PO

fci.

du =

z dx — x dz

Yx² -f- y² -|- z²

+ z dz

14. u = log

y -f- yx² — 2²

y~&~— z²

du —

₉ x (y dx — a: dy) — z (y dz — z dy) {y² — a:² -f- z²) yx² — z²

15.

_ A;_y z t

a x y z ~Y t

dU —

(y -|- z -f-1) y z t dx (z + t -j- x) z t x dy -j- (t -f- x -j- y) t x y dz -f

{x + y -\-zĄ-t)²

Przy dx — x, dy = y, dz = z, dt = t, drugi wyraz równa się — 3 u.

1'"

‘-ć^==-

ROZDZIAŁ III.

U)

Kolejne pochodne funkcyi wyraźnych jednej zmiennej.

oOx

Rezultat różniczkowania zwykłymi sposobami pochodnej pierwszego rzędu funkcyi X, nazywamy pochodną drugiego rzędu tej funkcyi.

Pochodną trzeciego rzędu nazywamy wynik różniczkowania znanymi sposobami pochodnej drugiego rzędu i t. d.

Jeżeli daną funkcyę potrafimy rozłożyć na dwa czynniki, z których każdy jest prostszą funkcyą zmiennej a:, wówczas możemy otrzymać pochodną ng0 rzędu funkcyi danej, posiłkując się twierdzeniem Leibniza, według którego, jeżeli u i v są funkcyami zmiennej a;, możemy napisać:

dn u

v -3—

dxn

dn uv

n (n — 1) d² v dn~ dx² dxn -

dv dn -1 u 1 dx dxn _ 1

Jeżeli funkcya dana jest postaci:

,    {a -|- bx -(- cx²)m,

to aby otrzymać pochodną ng0 rzędu tej funkcyi, można rozłożyć trójmian a -j- bx -(- cx² na dwa czynniki pierwszego stopnia i zastosować twierdzenie Leibniza. Prościej jednak jest zastosować do tego zagadnienia dwa

dxn

^ + ...

(AK Aa.

Aa,v.¹4-    ~h Aa

Iw

Ad

twierdzenia Lagrange’a (Memoires de Berlin, 1772), które można wypowiedzieć w następujący sposób:

1°. Mamy

y — (a -j- bx -j- cx²)m

Jeżeli trójmian a -j- bx cx² oznaczymy przez zz, a jego pochodną b -j- 2 cx przez u', wówczas będziemy mieli

dn am

= m (ot — 1)... (ot — n -j- 1) r

u'n 1 -f

n{n — 1)

1 . (ot — n -j- 1) u'

cu

TTa H"

zz (zz — 1) (zz — 2)

1.2 (ot — n -|- 1) im — n -J- 2) u'

c² u²

r + etc.

(*)

2°. Przez u et u' oznaczamy trójmian a -)- bx -j- cx² i jego pochodną; podstawiając A ac — b² — ^², znajdujemy:

dn um

dxn

2 m (2 m — 1)... (2 m — « +1)

to

umn

n (n — 1) e2 1 2 m (2 ot — 1) zz'²

OT (OT — 1)

n{n — 1) {n — 2) (/z — 3)

2 ot (2 ot — 1) (2 ot — 2) (2 ot — 2) zz'⁴

etc. ...

(3)

W każdym poszczególnym wypadku można przy obliczaniu zzej pochodnej zastosować jeden z powyższych sposobów, jak to zresztą zobaczymy na następujących przykładach.

I.

różniczkując pierwszą pochodną drugą pochodną:

(a — x)

- zwykłymi sposobami, otrzymujemy

2.2 .a

d²y

dx² (a — x)'¹

różniczkując drugą pochodną

2.2 .a

(ia — x)

otrzymujemy trzecią pochodną

d:iy_2.2.3 .a

dx% (a — x)A ’

Pochodna ns° rzędu będzie tedy:

dn y_₉ (1 . 2 . 3.4 . .. n) a

dxn    (a — x)n +1

i t. d.

PRZYKŁAD II.

Mamy znaleźć pochodne funkcyi

(ia -f- bx)m

{a! -f- b' xy

Funkcyę tę można rozłożyć na dwa czynniki:

(ia' -f- b’ x)

czyli (a' Ą- b'x)-*>

W celu znalezienia pochodnej n%° rzędu tej funkcyi, możemy zastosować wzór Leibniza, kładąc:

u = (a bx)m v = (a' -f- b' x)

Różniczkując, znajdujemy:

du.

dx = mb (a + bx)m~¹

d? u

dx²i

— m (m — 1) b² {a -|- bx)m -²

d³ u dx³

= m (m — 1) (m — 2) bz (a    bx)m -³

dn u

= m (m — 1) ... (m — n -J- 1) bn (a -f- bx)m - n

dxn

Dla drugiego czynnika podobnie otrzymujemy:

dv

— p b' [a! -|- b' x)~

'iczenia metod;

pe%ne z rachunku różniczkowego.

d² v

dx²

— P (P + 1) b'² (<a' -j- b' x)-*>-²

= — p (p + 1) (p + 2) b'z {a' + b' x)~*

dH v

dxn

= (— \)Hp (p -f- 1) . . . (p -f- n — 1) b’n (a' -\-b' x)-p~n

Podstawiając wartości funkcyi u, v i ich pochodnych we wzór Leibniza, otrzymujemy

du u v

dxn

albo

dn y

dxn

(<a' -J- b' x)p

[m{m — 1) . . {m — n -f-1) bn {a -)- bx)m~n]

pb'

1    {a' -f- b' xy +²

\m (m — 1) ... (m — n -f- 2) bn~² (a -J- bx)m

— n -f

1 . 2 (a' + b' x)p + ²

[m (m — 1)... {m — n -J- 3) bn~² (a -f- bx)m~n+2] i t. d.

albo, kładąc

(ia -f- bx)m

(a' + b' x)p

otrzymamy

dn y_^ n pb'

dxn

A (a -j- bx)

1 a' -\- b' x b (m — n-\- 1)

A (a A- bx)²

b² (m — n 4- 1) (m — n -f- 2)

i t. d.,

co możemy inaczej napisać w postaci następującej:

pb'

dxn

n {n — 1)

a-\- bx

1 b (m — ti 4- 1) a! Ą- b' x

__p{p+l) b'²

b² {m — n 4- 1) {pi — n + 2) \a' 4- b' x

a 4- bx \²

i t. d.

Chcąc tedy otrzymać pochodną pierwszą, drugą, trzecią i t. d., trzeba w powyższym wzorze podstawić n = 1, 2, 3 i t. d.

PRZYKŁAD IY.

Mamy funkcyę

a³ 4 — b⁴ x⁴

Funkcyę tą można napisać w postaci następującej:

2a \a — bx' o-1-bx]

Teraz z łatwością znajdziemy kolejne pochodne różnych rzędów. dy _ b

dx 2 a {a — bx)⁴    (a -f- bx)⁴

(a — bxf

PRZYKŁAD III.

Mamy znaleźć pochodną n%° rzędu funkcyi:

\> —

(,ax -f- a:⁴)^

Funkcyę tę możemy napisać w postaci następującej:

= (ax -f- x⁴)    T2~

jest ona więc kształtu

(a -f- bx -f- cx⁴)m.

Możemy znaleźć jej pochodną, posługując się sposobem podanym we wzorze (3). W tym przypadku przez u oznaczmy wartość następującą

u = ax -\- x⁴,    skąd u' = a -|- 2 x

e⁴ = — a⁴.

oraz załóżmy

Podstawiając te wartości i kładąc m — —

3    */j. /fi

Y we wzorze (3), otrzy

mamy:

dn y (— 1)M 3 . 4 . . (n -f- 2) {a + 2 x)n

3 n (n — 1)

dxn

2 M (ax    x⁴)n +1

2 3.4

a —j— 2 x

LO i

n (n — 1) (n — 2) (n — 3)

« + 2x

i t. d.

tpy _ 1.2.3 b* dxz

(a — bx)* {a -f- bx)⁴

Ca

dn y

1.2.3.. nbn

dxn

(a — bx)

(a -f- bx)

Jeżeli n jest parzyste, mamy:

rl7~2. 3 . .

2 a (a² — b² x²)

jeżeli zaś n jest nieparzyste, znajdziemy:

1 . 2 . 3 . . n bn

2 a (a² — b² x²)n + 1

dn y

dxn

dn y _

dxn

j 1.    y = xm

Jeżeli 'fi =• m, wówczas

dn y

dxn

bn

[{a + bx)

ĆWICZENIA

+ {a — bx)n +

— (a — bx)n +

— m (m — 1) ... (m — n 4-1) xtn~n

dm y dxm

= 1.2.3 . . . m ,

możemy więc powiedzieć, że pochodna ms° rzędu funkcyi xm jest wielkością stałą, pochodne zaś rzędu wyższego od m równają się 0.

Log e

2.

y = Log X

dy

dx

dn y _ dn~x X-¹ Log e

dxn

dxn~¹

= (- l)w

1.2.3 ... (/z — 1) Log e

xn

n — 2, 3, 4, 5, ... .

Dla n = 1 znajdziemy

dy

dx

= 0, co jest mylne, bo jak wiemy

dy _Log e

dx a:

Z wyjątkiem więc pierwszej pochodnej funkcyi Log x, wszystkie następne pochodne dadzą się wyrazić przy pomocy wzoru ogólnego, dającego pochodną rzędu ng0. Jeżeli logarytmy, zachodzące we wzorze danym, są loga-rytmami neperowskimi, to ponieważ log e = 1, przeto n& pochodna funkcyi y = log x będzie:

dn y

dn-i x-t

dxn

dxn~¹

= (- l)łi-

i 1 • 2 . 3 . . (/z — 1)

xn

dn y

dxn

= (m log a)n a

rm

Jeżeli m — 1, to y — ax, pochodna zaś «s° rzędu będzie:

= (log a)n ax

dn y

dxn

Jeżeli oprócz tego a — e, to y = ex i wtedy pochodna ns° rzędu będzie:

= ex

dn y

axn

4.

y = sin mx

dy

dx

= m cos mx

= m sin (mx -f-

mi

d² y

dx²

= m² cos mx -f-

LO! ri

= m² sin

[mx + 2-^-j

dn y

dxn

= mn sin \mx -\- n

Jeżeli m = 1, to y = sin a pochodna ns° rzędu równa się

5.

G.

dn y

dxn

y — cos mx

sin [x n - - j

dn y

dxn

10 a

— mn cos

Gdy m — 1 i y — cos x, to

dn y

dxn

cos

x Ą- n

y = ex sin <* sin {x cos a)

dn y

dxn

. n Tc — n a + ~2

7.

y _ eax sm mx

„ __ eax (a gin mx _|_ m cos mxj — eax a ^gjn mx _|_ UL cos mxj TH    1

Podstawiając — = tang rp otrzymamy a = (a² -j- m²)Y cos cp; skąd dalej

otrzymujemy ^ — (a² -(- m²)^ eax sin (mx -(- 'f).

Postępując w ten sam sposób przy pochodnych następnych rzędów, otrzymujemy ostatecznie:

= (a² -(- m')2 eax sin imx -1- n rf)

dn y

dxn

y = (1 — x²)m, co można napisać inaczej: y — (1 -f x)m (1 — x)m stosując twierdzenie Leibniza, mamy: dn y _ (1 — x²)m

(1 + x)-

\y

dxn

1 m — n-f-1 1 — *

n (n — 1)

__m (m — 1)_ _

{m — n -f- 1) im — n -\- 2) ! 1 — a:

i t. d.

Jeżeli n = m, to

dmy

dxm

= 1. 2.8 ... m (1 — x)m 1 — m²

l-\-x ! m²(m — 1)²/1-)-a:\2 1 —a:

P . 2²

— i t. d.

9.

y == (a -j- bx)m log {a -j- bx)

Stosując twierdzenie Leibniza, mamy:

dn y

dxn

= m (m — 1) ... (m — n -f- 1) bn {a -f- bx)m~n log (a -f- bx) -(-

1 m — n —J- 1

n (n — 1)

1.2 (m — n + 1) (m — n -f- 2)

n {n — 1) {n — 2)

1.2.3

(m — n -f- 1) (m — n -f- 2) (m.— n -f- 3)

i t. d.

Jeżeli n = m, wówczas

dmy

dxm

= 1.2.3.. mbm log (a -}- bx) 4- ^ —

m [m — 1)

l²

(1 . 2)2

m (m — 1) {m — 2) 1 . 2

(1.2. 3)2

i t. d.

10.

y = (a — bx)m sin (a -f- bx) Podług twierdzenia Leibniza mamy:

dn y

dxn

— (— l)n m {ni — 1) . . . (m — n -f- 1) bn {a — bx)m~n [sin (a -f- bx) —

n a — bx 1 m — n -j- 1

sin |<2 -f- bx -j- —j -j- ,

n [n — 1)

(a — bx)²

(m — n -j- 1) (m — /z —(— 2)

sin ja + bx +

i t. d.

dm y

dxm

11.

Jeżeli n = m i b = 1, wówczas pochodna mg0 rzędu funkcyi y — (a — x)m sin {a -(- x) równa się:

= (— l)w 1.2.3 .m sin (a -f x) —

m (m — 1)

(1 • 2)²

™₂(a — x) sin ja -f * + yj +    ;

i t. d.

y — xm eax sin mx

Jeżeli napiszemy, że eax sin mx = a, xm = v, a oprócz tego wiemy, że (ćwiczenie 7)

dn u

— (a² -|- m²)2 eaa: sin (mx -|-n cp), wówczas z łatwością znajdziemy, stosując twierdzenie Leibniza, że:

dx¹¹

dn y

z=z (#2 __J_ /^2^ 2 £

-i i

fl

xm sin (mx —J— /z cp) --j- y mxm -

j sin \mx -J-{n — 1) cp]

az (/z — 1)

m {m — 1)

₂ sin [mx (n — 2) cp]

(a² -f- m>)%

(a² -f /zz²) 2 -j- i t. d.}

12.

y = eax x, gdzie a: jest funkcyą zmiennej x

Jeżeli założymy, że a = x i v = eax podług twierdzenia Leibniza mamy:

n (n

dn y

_- gax

dn x

dn~x x

d n~² x

dxn

dxn

dxn~l

dxn~²

-f- i t. d.

Rezultat ten możemy napisać inaczej: I d\n . Id \n-¹

W) ⁺ "aWi

dn y

= ć

dxn

n(n—l)

1.2 a

d \n~²

dx

-j- i t. d. x

albo:

dn y

— e

aa

dxn

dx

co daje

(£c + afx

—ax

d \ n

h\ {e™x)

dx

Wzór ten bywa bardzo użyteczny przy rozwiązywaniu równań różniczkowych.

13.

y = arc sin x ;

dy _

ax

= (1 - x²)~?

(1 — x²)^

Stosując wzór (3), otrzymamy:

dn y

d"-¹ (1— x²)~~^

1 . 2 . 3 . . {n — 1) X¹

dxn

dxn~¹

!+2

1 (/z—1) (n— 2) 1

X²

+ ₂ ' 4''

3 (n — 1) (n — 2) (n — 3) {n — 4) 1

7 -(- i t. d. xi 1

n= 2, 3, 4, 5 . . .

Jeżeli otrzymany powyżej wynik weźmiemy ze znakiem ujemnym, będziemy mieli wyrażenie na pochodną ti⁸° rzędu funkcyi: arc cos x.

. x

= arc tg — ; a

Wzór (P) daje:

dn y_ dnr-x {a² -(- x²)_1

a dxn~t

14.

dy

dx    a² -f- a;²

= a (a² -f- X²)-¹

dxn

= (— l)"-¹ 1.2.3 ...na

xn 1

{a² 4~ a:²)”

(n —

-1) (/z —

1.2.3    a:²

a:⁴

i t. d.

Wynik ten wzięty ujemnie, da nam wyrażenie na pochodną rzędu X

n⁸⁰ funkcyi arc cotg — •

15.

y — i°g

<M

dy__

dx

]/ a -j- bx 4- x2 Stosując wzór ((3), otrzymamy:

+ x + V a -{- bx Ą- x²1

— (a -f- bx -j- x²)~^

dn y dn_1 (<a 4- bx-\-x²) a

dxH

dxn-¹

= (-l)

H—1

1.2.3..(« —1)

(b + 2 x)n

2n—1 (a-|- bx -\-x²)“ł

1 (« — 1) (/z — 2) 4 a — £²

(# -j- 2 a;)² '    2 4

1 3 {n — 1) (/z — 2) (/z — 3) (/z — 4)

(4 a — &²)²

(6 + 2 x)⁴

i t. d. •

a² + a:²

Funkcyę tę można napisać w innej postaci:

sV —

2 a V— 1 \x 4- a ]/ — 1

a: —

Zastosowaliśmy tutaj rozkład mianownika na czynniki proste, podany w przykładzie IV.

Po różniczkowaniu otrzymujemy:

1.2.3 ...n \{x—aV/— 1)"⁺¹ — (x-f-a k — l)n+v

2aV— 1

dn y

dxn

== (— 1)"⁺¹

(<a² -{- x²)n+1

Podstawiając: cp = arc tang

* ?!

-, skąd x = V a² -f- x² cos cp oraz a = /a² -j- x² sin cp,

ostatecznie znajdujemy, że dn y

dxn

= (~ 1)”

1 . 2 . 3 . . n sin (/z -(- 1) cp

n +1

(a²-{-x²)^T

(LIOUY1LLK)

X

Ponieważ pierwsza pochodna funkcyi y — arctg — jest

dy

pochodna zaś /zg0 rzędu tej funkcyi jest

dn y

dn~x

dxn

a (ia² -j- x²)-1 dxn-x

zatem otrzymujemy również:

dn y dxn

₌ (— l)n-i 1 . 2 . 3    . (n— 1)

sin n cp

(a²    x²) 2

17.

a² -j- x²

Postępując podobnie jak w ćwiczeniu poprzedniem, otrzymujemy:

dn y

dxn

= (— 1)M 1 . 2 . 3 . .

^ cos (n -f- 1) cp

• ¹¹    n + l

(LIOUYILLE)

(,a² -j- X²) 2

Wyniki, otrzymane w dwóch ostatnich ćwiczeniach, często spotykają się w teoryi całek określonych.

18.

dzieląc 1 przez ex -(- 1 znajdujemy

y = er* — e~2x -f e-³* — e

-j- i t. d.

¹

RZYKŁAD

Mamy znaleźć kolejne pochodne funkcyi:

_ a + x y a — x

Pierwsza pochodna równa się

dy

dx    ((a — x)

²

n(n — l)p(p + l) b'2 1.2 {a' Ą-b' x)²

³

⁴ y 1.2 . b⁴

⁴

dx⁴

2b

= (— 1)” [lw e-x — 2n e~2x-j- 3n e~3x — 4ił e~ix + i t. d.]

różniczkując wzory otrzymujemy ostatecznie wzór następujący: dn y

dxn

LAPLACE znalazł odmienną postać pochodnej «g0 rzędu tej samej funkcyi (zob. Memoires de VAcademie, 1777, p. 108).

ROZDZIAŁ IV.

Kolejne pochodne funkcyi wyraźnych wielu zmiennych.

Niech we wzorze a = F (x y) symbol a oznacza funkcyę zmiennych x i y; bez względu na porządek w którym wykonywamy różniczkowanie cząstkowe, mamy:

dx dy dy dx

d³ u

d³ a

d² a

dx² dy dy dx² dx dy dx

dnu

d³ a

dy² dx dx dy² dy dx dy

d³ u

i t. d.

Różniczka zupełna «g0 rzędu funkcyi a równa się tedy: dn u

dxn

dxn -f- n

dn u

dxn-^ dy

dxn~¹ dy -f

n(n—\) dn u

dxn~² dy

- dxn~² dy² -j- i t. d.

co symbolicznie możemy napisać:

dn u —

du

dii

dx

dx Ą-^-dy

dy

Uważajmy jeszcze funkcyę n zmiennych x, y, z, u — F (.x, y, z). Podobnie jak wyżej znajdziemy:

d² u d² u d² a d² u,

dy dz    dz dy’    dz dx    dx dz

d³ u _ d³ u

dx² dy dy dx‘A dx dy dx ’

d³ u

dy² dz dz dy² dy dz dy '

d² u    d² u

dx dy    dy dx'

d³ u

d³ u

d³ u

1/

27

d³ « _ d³ u

dz² dx dr dz² dz d.r dz ’

d³ u

d* u

dx dy dz dx dz dy

dy dx dz

Qb

i t. d.

a więc bez względu na porządek różniczkowania otrzymamy następujący wzór symboliczny:

dn u =

du

Sx dx +

da

dy

dy -L-

du

dz

dz

Ilekolwiek więc zmiennych zawierać będzie dana funkcya, zawsze

W

dla pochodnych ns° rzędu tej funkcyi, znajdziemy podobne wzory.

,fe₀ : Jiir-    4 w -

l-+źw-Ęd*Ą

PRZYKŁAD

-f-

O o

fM

1 T p“7

Niech będzie Mamy:

u = xm yp.

du

= mxm~1 dx

(1)

oraz

du

dy

= pxm yp

(2)

Różniczkując (1) względem zmiennej y, a (2) względem zmiennej znajdziemy:

d² u

dx dy

yp~l =

d² u

dy dx

Różniczkując (1) względem zmiennej x, a wynik otrzymany różniczkując względem zmiennej y, otrzymujemy kolejno:

d² u

dx²

= m (m — 1) xm~²yp,

d³ u

dx² dy

P—1

i t. d.

Ten sam wynik otrzymamy, różniczkując dwa razy wyrażenie (2) względem zmiennej x:

d² u

dy dx

— m p xm-¹ yp-¹

skąd:

d³ u

dy dx²

= m p (m — 1) xm~²yp-¹

tH

² Ma ni

Jeżeli zaś będziemy szukać kolejnych różniczek zupełnych danej funk-cyi a = xmyp, wówczas, uważając dx i dy jako wielkości stałe, otrzymamy

da = m xm~¹yp dx -\- pxm yp~l dy,

d² a = m {m — 1) xm ~²yp dx² Ą-2mp xłM-¹y *~¹ dx dyĄ-p{p — 1) xm yp~x dy², d⁵ u = m (m — 1) (m — 2) xm~³yp dx³ -f- 3 m p {m — 1) xm~²yp~l dx² dy -f--\-%mp {p—1) xm~¹yp-² dx dy² -j- p (p—1) (p — 2) xmyp~* dy³ + i t. d.

Łatwiej jest różniczkować względem zmiennej x i y niż szukać cząstkowych różniczek i podstawiać je we wzór wyżej podany.

PRZYKŁAD II.

Mamy funkcyę

a = Vx² -f- y² -f- z²

Po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

da

dx

I x² -j- y² -j- z²

(1)

(2)

da

ty yx² Ą- y² z²

da

dz

yx² -[-y² -f- z²

(3)

Różniczkując odpowiednio (1) i (2) względem y i x, zaś (2) i (3) względem z i y, oraz (1) i (3) względem z i x, otrzymamy:

d² a

d² a

dx dy

(x² -J- y² -}- z²) *

dy dx

(X² -f-y² 4- z²)^

d² a

yz

d² a

dy dz

(.x² -j-y² + z‘²)²

dz dy

(x² -j-y² -j- z²)

d² a

d² a

dx dz

(x² -f- y² -[- z²) •*

dz dx

(x² -f- y²    z²) *

Otrzymane cząstkowe pochodne różniczkujemy w sposób następujący: pierwsze dwie względem zmiennej z, następne dwie względem x, ostatnie zaś dwie względem y. Wtedy znajdujemy:

d³ u.

dx dy dz

(x² -j- y² -f- z²) 2

dy dx dz dy dz dx dz dy dx

d³ u

d³ u

dx dz dy dz dx dy

Dla kolejnych różniczek zupełnych danej funkcyi:

znajdujemy:

a = ]/x² -j- y² -f- z²

du, =

x dx -j- y dy -f- z dz

x² y² z²

IM

Różniczkując powtórnie tę funkcyę i uważając dx, dy, dz j mujemy:

jhlco stałe, oiyży-

d² u.—

(x dy — y dx)² -f- (z dx — x dz)² -f- (y dz — z dy)²

i t. d.

ĆWICZENIA.

1.

d² u

dx dy

u = (sin ;c)sin y

= cos y cos x sin xsin J/_1 (sin y log sin x -f- 1) =

₂.

u — tang (xy)

d² a _xy~~¹ (cos xy -f- y log x cos xy -f- 2 y xy log x sin xy__d² u

dx dy

cos³ (xy)

dy dx

3.

u = exy arctg (x -j-y)

S'⁴l

d² u

dx dy \

f(l + xy) arctang {x + y) +    +y)²]² ~}

exy _

d² a

dy dx

t,

Sb

4.

x³ — y³

d² u

dx dy

x⁶ 7 x³ y³ Ą- y& •    (x* — y³f

a = arc tang

x² —y²

x²+y²

d² a

d² u

dx dy ~    ~ yiyi ~ dy dx

2 x³y

6.

dx dy

x+y

sin³ (x—y)

_ x i~y

U sin (x — y)

[1 + cos² (x—y)] =

dy dx

7.

u — yx² -f- y² -f- arc tang —

d² u

dx dy

x² —y² —xy yx² -\-y²

(x² -f- y²)²

dy dx

8.

u = arc sin

-y

d² a

d² u

dxdy ⁴ (xy-y*j dydx

u* co

9.

u = cos — arc cos —

d² a

dx dy

y / •

= arc cos — sin

y²

cos

)+

]/ x² —y²

2 . x . — sin--

d² u ■

² C0S y ~ dy dx

10.

y²

y yx² -f- y²

2 ;t²

“log

ry yx²'-\-y² —_y²

d² u

dx dy

3c³ +

d² a

11.

12.

u = y 2 xy -f-y²

x² -f- 2 y²

~dydx

d³ u = 12 (dx³ -f- dy³)

y² (y — x)

d³ u

dx² dy

(2 xy -j-y²)

13.

n = x tang y -(- y tang x

d⁴ u

2 (cos² x -j- 3 sin² a:)

d³ x dy

COS⁴ X

t-

u = log [(x + y)² (y + z)] d² u

dx dy (x yf

d² a

dy dx

d² u dy dz (y z)² dz dy

d² u.

dz dx

dx dz

cn

x² — z²

d² u _ z (x² -f- z²)_ d² u

dx dy    (x² — z²)² dy dx

d² u

x {x² -f- z²)

d² a

dy dz    {x² — z²)

dz dy

d² u dz dx

y (a:⁴ -\- 6 x² z² -j~ z4, _ d² u

dx dz

(X² — z²)²

Ci

d² u

u — log xv

d² u _ z y

dx dy a:    dy 'dx

d² u

dy dz

log x (1 ~\~ z log _y) =

d² u dz dy

d² a _y2:log y d² u

dz dx

dx dz

17.

dx dy²

d³ a

d³ u

dy² dx dy dx dy

d³ a

dy dz²    z² dz² dy dz dy dz

d³ u

dz dx²

x²

dx² dz

dx dz dx

,o _ / z dx3 d³ u — 2 I—

x dy³ . y dz³

dx dy² dy dz²'

x³

z³

z²

li ₌₌ gax + by + cz

c dz)n

dn u — eax + ly + cz (a dx -j- b dy

u — log (ax -f- by -f- cz)

19.

dn u = — (— l)n 1 . 2 . 3 ... (/z — 1)

20.

a = sin ax sin by sin cz d⁴ u = sin ax sin by sin cz (a⁴ dx⁴ -j- 6 a² b² dx² dy² 6 a² c² dx² dz² -j--j- b⁴    dy⁴ -j— 6    c¹    dy²    dz²    -(- c⁴ dz⁴)

21.

x² y²

z² -f t²

ds u

32 (38 z² t² — 5 z⁴ — 5 t⁴)

dx² dy² dz² dt²

(z² + t²f

dx² dy² dz² dt²

. . i t. d.

ROZDZIAŁ V.

Różniczkowanie równań.

PRZYPADEK PIERWSZY

Jedna ze zmiennych jest zmienną niezależną.

Niech będzie

równanie zawierające zmienne x i y, w którem ^ jest zmienną niezależną. Po pierwszem różniczkowaniu znajdujemy równanie:

.    , d F

y—| —

ox

z którego otrzymamy:    1° różniczkę zupełną dy,

i 2° pochodną

F (x, y) = 0

dy — 0

(2)

dy

dx

Powtórne różniczkowanie, w którem uważamy cye zmiennych x i y, a dx jako wielkość stałą, da nam:

d² F

d²F

d² F

dJl • ŻZ

dx dy

jako funk-

katedra i zakład

MATEMATYKI WYDZIAŁU INŻYNlERil

Z tego równania z łatwością otrzymamy: '    RAKÓW:-

1° różniczkę zupełną d² y ,

d² y dx² ’

2° pochodną

którą znajdziemy, dzieląc obie strony równania (3) przez dx², i podstawiając zamiast odpowiednią wartość, wyznaczoną ze związku (2).

oraz 2° pochodną

, i t. d.

Różniczkując trzeci raz ten sam wzór, otrzymujemy: 1° różniczkę zupełną d³ y; d³y

dx³

Przypuśćmy, że mamy Fl (x, y, z) = 0

F₂ (x, y, z) = 0

dwa równania zawierające zmienne y, z, w których tylko )z jest ną niezależną.    '

Różniczkując pierwszy raz, otrzymujemy:

dF'dx

zmien-

d F,

dx

dy

dy H dz — o

dF₂

dx

dx —[—

d F₂

dy

dy -|-

d F₂

—— dz = 0 ; dz

rugując z tych równań najpierw dz, potem dy, otrzymujemy:

1° różniczki zupełne dy i dz,

dy dz

oraz 2° pochodne ~r~ ,    , .

dx dx

Przy drugiem różniczkowaniu uważamy wielkości:

d Fx d Fx d Fx dF₂ dF₂ d_F2 dx dy dz dx ’ dy ' dz

iako funkcye ;c, y, z, zaś dx jako wielkość stałą i znajdujemy:

d²F\

d²Fi

d² F,

dx²

dx dy

dx dy -f- 2

dx dz

d²Fx

dy

r df + 2

d² F

óydzdydz +

$    V

d²F\

dz²

dz² -f-

d Fx

dy

d F

<Py + d² z = 0

d² Fc

d² F₂

dx²

dx dy

dx dy - j- 2

dx dz

dx dz -f-

d²F₂

dy

fdy² + 2

\ d*F, dy dz

dy dz -f-

d² F₂

dz²

dz² -f-

d F₂

dy

d²y +

d F₂

dz

d² z = 0

Rugując z tych dwu równań raz d² z, drugi raz d²y, otrzymujemy: 1° różniczki zupełne d² y, d² z\ d² z dx² ’

2° pochodne

d2y i

dx²

Aby otrzymać powyższe pochodne, należy podzielić obie strony każdego z dwu pierwszych związków przez dx² i podstawić zamiast ^ i ^

wartości znalezione z pierwszego różniczkowania.

Możemy tedy powiedzieć, że jeżeli mamy dane m równań, zawierających m -j- 1 niewiadomych, z których jedna jest zmienną niezależną, to, aby otrzymać różniczki i pochodne zupełne tych równań należy wogóle zawsze postępować w sposób powyżej wskazany.

PRZYPADEK II.

Dwie zmienne są niezależne.

Mamy równanie

zawierające zmienne y, z, z których x i y są zmienne niezależne. Po pierwszem różniczkowaniu otrzymujemy:

d F

F {x, y, z) == 0,

dx dx ^

ty

dy+ih

dz = 0.

Z tego równania z łatwością znajdziemy:

1° różniczkę zupełną dz\

2° i pochodne cząstkowe

dz dz

dx ’ dy '

Te cząstkowe pochodne są to współczynniki przy dx i dy w wyrażeniu na różniczkę zupełną.

d F d F d F dx ’ dy ' dz

z, zaś dx i dy jako stałe. W ten sposób otrzymamy:

Jjcy oCilcLl/ <Ux4ą

*<3 .

d f    Mamy równania

Różniczkując drugi raz, uważamy

jako funkcye x,y,

1° różniczkę zupełną d² z;

d² z d² z d² z dx²' dx dy' dy²

2° pochodne cząstkowe

i t. d.

Fx (x, y, z, u) = 0 F2 (x, y, z, a) = 0

Pierwsze różniczkowanie daje: dFx a i

wdx^

ÓF

ÓF,

dy

dy + dł dZ + da

da = O,

dF₂

dx

dx —j—

dF₂

dy

d-y+#‘fe + „«

da = 0.

Przez rugowanie otrzymujemy:

1° różniczki zupełne dz i da

2° pochodne cząstkowe

dz dz da da

dx ' dy ’ dx ’ dy

Pochodne cząstkowe są to spółczynniki przy dx i dy w różniczkach

zupełnych.

Różniczkując drugi raz, otrzymujemy równania, z których obliczamy różniczki zupełne i pochodne cząstkowe drugiego rzędu i t. d.

Od powyższych dwóch przypadków możemy bez trudności przejść do równań zawierających trzy, cztery i t. d. zmienne niezależne.

PRZYKŁAD I.

czyli

Mamy równanie Po różniczkowaniu otrzymamy:

4 x³ dx — 6 x y² dx — 6 x² y dy -f- 4 y³ dy =

2 x³ dx — 3 x y² dx — 3 x² y dy -f- 2 y³ dy — 0

0)

(2)

co nam daje:

dy —

3 xy² — 2 x³

2 y³ — 3 x² y

, x 3 y² — 2 x² , dx= — , „    ₀—^ dx

y 2 y² — 3 a:²

oraz

dy_ x 3y² — 2 x²

dx

y 2 y² — 3 x² ‘

Różniczkując wyrażenie (2) i uważając dx jako stałą znajdziemy: 6 x² dx² — 3 y² dx² — 12 x y dx dy — 3x² dy² — 3 x² y d² y -\--f- 6 y² dy² -f- 2 y³ d² y = 0.

Dzieląc przez dx² i upraszczając, znajdziemy:

dy

oraz

Zamiast

co

'JZ

d² y

-³ ** -¹² *y (!)+(• * ~³ (Ę+ <² ^

podstawiamy powyżej znalezioną wartość; po uproszczeniu otrzy-

-3 x²y)

dx²

^ = 0.

dy

dx

mujemy ostatecznie wzór następujący:

d²y

6 (2 y/⁸ — 7 x²yG Ą-1 xi yi — 1 x* y² -f 2 xs)

dx²

y³ (2 y² — 3 x²)³

PRZYKŁAD II.

Mamy równania: cos x -f- cosy; -}- cos z — 0 X³ -J- y³ -(- z³ = b

Różniczkując, otrzymujemy:

sin x dx -j- sin y dy -f- sin z dz = 0 x² dx + y² dy -j- z² dz = 0

Rugując z tj^ch równań dz, znajdziemy:

(z² sin x — x² sin z) dx -f- (z² sin y — y² sin z) dy = 0 Rugując dy, mamy:

(x² sin y — y² sin x) dx -J- {z² sin y — y² sin z) dz = 0

(1)

skąd:

dy —

x² sin z — z² sin x

z² sin y — y² sin z

dx ;

dz =

y² sin x — x² sin y

z² sin y — y² sin z

dx;

oraz

x² sin z — z² sin a; dx z² sin y — y² sin 0 '

dy

dz_ y² sin a; — x² sin y

z² sin y — y² sin z

dx

mujemy:

Różniczkując równania (1) i uważając dx jako wielkość stałą, otrzy

cos x dx² -f- cos y dy² -f- sin y d² y -j- cos z dz² -j- sin z d² z — 0 2 a: dx² -f- 2 y dy² -f- y² d² y -f- 2 z dz² Ą- z² d² z = 0

Dzieląc te wyrażenia przez dx², znajdziemy: cos x -j- cosy; -j- siny;

d²y

dx²

f- cos z

dz\²

d² z

dx

dx²

d² y

d² z

Podstawmy zamiast i dla krótkości połóżmy:

dy . dz dx dx

znalezione wartości, znieśmy mianowniki

ź² sin y — y² sin z — A x² sin z — z² sin x y² sin x — x² sin y = C

otrzymamy:

A² cos x -(- B² cos y -j- C² cos z -j- A² sin y

d²y

d² z

dx²

dx²

2 A² * + 2 B²y -f- 2 C² z-j- A² y

₂ d2y

dx²

+ A² z²

d² z

dx²

Z powyższych równań rugujemy pierwszy raz i otrzymujemy:

d² z ~dx2’

drugi raz

d²y

dx²

A² (z² cos x — 2 x sin z) B² (z² cos y — 2 y sin z) -f--j- C² (z² cos z — 2 z sin z) -f- A³    = 0

A² (2 x siny—y² cos x) -j- B² (2y siny—y² cosy)-f-

-(- C² (2 z siny —y² cos z) -|- A

8

dx²

skąd

d²y_A² (2 x sin z — z² cos x) -j- B² (2 y sin z — z² cos y) -\-

dx²

A³

-f- C² (2 z sin z — z² cos z)

A³

d² z_A² (y² cos jc — 2 x sin y) -|- B² (y² cos y — 2 y sin y) -f-

dx²

/l³

C² (y² cos z — 2 z sin y)

A³

Mnożąc te wyrażenia przez dx², otrzymamy ostatecznie różniczki zupełne d² y i d² z.

PRZYKŁAD III.

z² =. x ey -\- e²

Mamy równanie: Różniczkowanie daje nam:

Różniczkując równanie (1), uważając dx i dy jako stałe, znajdziemy: 2 dz² -f- 2 z d² z = 2 ey dx dy -f- x ey dy² -f- e* dz² -f- ez d² z

czyli:

skąd otrzymujemy:

dz =

ey

-dx -j-

— e³ 1

a: ey

2 z — e³

dy

a następnie:

dz

ey

dz

x ey

dx 2 z — ez ’

dy

2 z — ez

(2 z — ez) d² z — x ey dy² -j- 2 ey dx dy -|- (ez — 2) dz2 Zamiast dz podstawiając znalezioną powyżej wartość, otrzymamy:

(2 z — e²) d² z — x ey dy² -j- 2 ey dx dy -J-

+ («• - 2)

ey

2 z — ez

dx -f-

x ey ■    , \²

-*d*)

skąd z łatwością znajdziemy:

ez

d² z = e2y ~7^z—

x ey (ez — 2) -j- (2 z — ez)²

(2 z — e²y

dx dy

x ey

x ey (ez — 2) —f— (2 z — ez)²

(2 z — ez)³

dy²,

z tego zaś związku otrzymamy ostatecznie: d² Z

dx²

— e2y

e² •— 2

(2 z — ezf

d² z dx dy

d² Z

— 2 ey

x ey (e² — 2) —{- (2 z — e²)²

(2 z — e²)³

dy²

= x ey

x ey (e² — 2) -j- (2 z — e²)²

(2 z — e²)³

PRZYKŁAD IV.

Mamy równania: ax -\- by -\- cz -\- ku = l

a² x² -}- b² y² -f- c² z² -f- k² a² — m

Po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

a dx -f b dy -f c dz -|- k da = 0

a² x dx -\- b² y dy Ą- c² z dz k² u dii —

Rugując z obu tych równań du, znajdziemy:

{a ku — a- x) dx -f- (b ku — b² y) dy -f- (c ku — c² z) dz — 0

skąd

dz =

a² x — a ku

c ku — c² z

dx -f

b² y — b ku

c ku — c² z

dy

z, *

dz _ a (ax — ku)

dx c {ku — cz)

Rugując z równań (1) dz, otrzymujemy związek następujący:

{a² x — a c z) dx -j- {b² y — b c z) dy -f- {k² u — c k z) du = 0

dz _ b {by — ku)

dy

c {ku — cz)

skąd

du —

acz — a² x

k² u — c k z

dx -f

bez — b² y

k² u — c k z

dy

oraz

du_a {c z — a x)

dx k {ku — c z)

du _ b {c z — by)

dy k {ku — c z)

Różniczkując równania (1) i uważając dx i dy jako wielkości stałe, otrzymamy:

cd²z-{-kd²u = 0

a² dx² -f- b² dy² -(- c² dz² -|- k² du² -(- c² z d² z -(- k² u d² u — 0 Rugując z tych równań raz d² u drugi raz d² z, otrzymamy: c {ku — cz) d² z = a² dx² -(- b² dy² c² dz² -f- k² du2 k {cz — ku) d² u = a² dx² -j- b² dy² -J- c² dz² -f- k² du²

Jeżeli zamiast dz i du podstawimy wartości wyżej znalezione, otrzymamy następujące równania:

d² Z

a² {ku — c z)² Ą- {a x — ku)² -\- {c z — a x)²

d² u

dx²

{ku — c z)²

dx²

d² z

ab {ax — ku) {by — ku) -f ■ {cz — ax) (c z — by)_

d² u

dx dy c

{ku — c z)²

dx dy

d² z

b² {ku — c z)² -f- {b y — ku)² {c z — by)²

d² u

dy²

{ku — c z)³

dy²

1.

2.

3.

4.

Kładąc

ĆWICZENIA.

Ax² -}- Bxy -f- Cy² -f- Dx -j- Ey -f- F = 0 (Jest to równanie krzywych drugiego rzędu)

2 Ax -|- By -f- D dx Bx -f- 2 Cy -j- E

y⁴ -f 2 (x² -f C²) y² + (x² — c²)² — a⁴ = 0

dy _ a: c² — .X² — y²

dx~Y c² + *² ~ V²

(a;² -f- y² — 6 a;²) — a² (a;² -(- y²) = 0    (.Ślimak Pascala)

1 a² a; — (a;² -J- y² — foc) (2 a: - ^)

2 (a:² -f- y² — Ak) — a²

dy

dy

dx y

oraz

otrzymamy pochodną:

(a:² -f- y² — a²)² (a;² -j- y²) = 4 a² (a:² -f- y² — tz a:)2 a:² —f— _y² —    = ^4

x²Ą-y² — ax = B,

dy

2 Aa; (a;² -f- y²) -j- A² a: — i a² B (2 x — a)

dx y

8 a² B — 2 A (x² +y²) — A²

5.

x² log y — y² log a: = 0

dy _ y y² — 2x² logy

a; x² — 2 y² log a;

dx

6.

y\/— x% — y arc sin x — 0

dy _

dx

lyc² ]/1 — x² -f y

(3 y² — arc sin x) ]/1 — x²

7.

y sin x — x arctg y = 0

dy_(1 Ą-y²) (arctg y —y cos x)

dx

(1 -f- y²) sin a; — x

8.

dy

dx

]/\ - a;²

9.

A = a arc sin

]/2 ay — y²

(Cykloida)

dy

2 a—y

dx

d² y _

dx²

y² ’

d? y_2 a

dx% y

IV

10.

tang (a²    y²) = x² — y²

dy a    cos² (a² -f- y²) — 1

dx    y    cos² (a² -f y²) -f- 1

11.

x— a . arc cos

— I/ b² — (a — y)²

(Trochoida)

to

to

12.

y xy = arc sin a;

dy_a;—y ]/1 — a² . arc sin a

dx

A /l — A²

. arc sin a

1 Ą-y log a

13.

arcts7+^-arctg7+^ ⁼ *

14.

dy y² -f- a²

dx    x² a²

y = xy+x

dy

Xy+x ęXy + x

f log x -f 1)

dx

1 — Xy+x log A

15.

16.

17.

z² % z x² — a x y

a y — 6 a z j 3 (z² -f a²) dX

(a² y² -\- z²)² — a² (a² -f - y² — z²)

, 1    a² — 2 a³ — 2 y² — 2 z²

Z    z    a² -|- 2 a² -(- 2 y² 2 z²

(a — m z)²

dz =

3 (z² + A²)

dy

(a dx -)- y dy)

(y — n z)²

a²

b²

(Walec eliptyczny)

dz =

b² {x — m z)

m b² (a — m z) -j- n a² (y—n z)

dx —|—

a² (y - n z) __

mb²(x — mz)-\ n a² (y — n z)

dy

18.

*    12 tc \

j = tan§ (t z)

(Helisoida skośna)

2 TC

Podstawiamy ^ cos² a z

ay

19.

mamy:

(A x² + ,4'y² + /l" 2² — 1) (A a² + A' b² -f A" c² — 1) = {A a x -(- A! by -f- A" c z — l)2 Podstawiając: A a² -f- A' b² -f- A" c² — 1 — K

A a x -{- A' by A" c z — 1 — P,

A (Kx — Pa) j A' (Ky — Pb)

A" CKz — Pc)

dz = —

A" 0Kz — Pc)

dy

20.

X²

Z²

(.Elipsoida)

dz — —

C² X

a² x

dx

b² z

dy

d² z _ dx²

c² (a² z² -f- c² x²)

a⁴ z³

_ c⁴ x y dx dy    a² b² z³

d² z c² (b² z²    c² _y²)

d² z

dy²

b⁴ z³

21.

y²

z²

= x (Paraboloida hiperboliczna)

dz =

qy

pz

dy - dx J • 2

d² z == — -T dx² -j- 2

Z³

(j²y

p z³

dx dy -f (p z² — qy²) dy²

a xm -f- b yn -|- c z* = k a' xm‘ + b' yn‘ -J- ć z* = k'

dy

m a p' ć xm-¹zp,~¹ — m! a' p c xm'-¹ z*-¹

dx

n b p' c' yn-¹ zp‘~x — n! b' p c y”'-¹z*¹⁻¹

dz

dx

m a n' b' xm~¹yn'-¹ — m' a! n b xm'~x yn p c n' b' yn'_1 zp~l — p' ć nb yn_1 z?'

-x

23.

sin (x -{- y) -f- z = a sin (x — y) -f- z = b

dy

dX=^xlsy

dz

= tg a: tg y . sin x sin y — cos a: cos y

24.

dx

{u—y) (z — y)

*² -j- y*,+ z2, a² — b x² -j- y³ + 2³ -j- v? — c dy (a — x) {z — x)

Przez symetryę znajdujemy:

dz

(u — x) (y •— x) dx {u — z) (y — z)

(z — x) (y — z) (z — u) (y — u)

da

dx

Kładąc:

(£)'+(£)’+ (ą

\aX/ \aA/ \uxl

= B,

znajdujemy:

dx²

a wskutek symetryi mamy:

d² z_ A (a -J-y) — B

dx² {a — z) (y — z)

d²a_ A (z Ą-y) — #

dx² (z — u) (y — u)

*A-y

dz =

b (z — u)

dxAr

b (z — a)

dy,

du — —

by f - u

b (z — u)

dx —

bx -f- u

b (z — u)

dy,

2 (by -|- a) {by 4- z)

d² a

b² (z — uf

dx²

dx dy

b² (z — uf — (bx f- u) {by -f- z)— {by ~\~ u) (bx z)_

d² u

b² (z — u)

dx dy

2 (bx -f- u) (bx -[- z) _ d² u

b² (z — uf

dy²

26.

dz = —

x+y+z+u=a log x y z u = b

y u —

Zd>-

du — —

d² Z

dx² x² (u — z) d² z

dx dy    xy (u — z)

d² z

dy² y² {u — z)

- dy, u

3 [(« ~ z)² + (U — X)² + (z — a;)²] = —

d² u

dx²

3 [(« — x){u - y)+ {z — x) (z —y)] = —

3 [(« — z)² + (« —y)² -\~(z- y)²] = —

dy'

d² u

dx dy

27.

arc cotg -

uf-z — 1

-z + 1

du —

.y

a² -f (z — l)²

28.

y — x + i y + x — i

* — i u? + (z — i )² ,    ,

2— 1 y²f-(x—l)2 y^~z

= arc cotg

dx —

u , _1 dz

* + y + ² = log (« + *0 ■* + ^ + « = log (V + z) x + y + ® = i°g (z + u)

(Z -f- U) (Z -f- V -f 1) (U 4- V + 1) + (Z — u) (zf-u -t- 1)    _

dx (z -f- u -[- 1) (u -j- v -f- 1) — (z -f- v 4-1) [(z -j- u) {u -(- v) — 1] dy

dz

dz

Symetrycznie mamy:

du _ {u v) {u -j- z -f- 1) iV +z -j-1) -f {u — v) {u -\- v -1-1)

dx {u -f- v -f- 1) (v -f- z + 1) — (uf - z-\- 1) [(u -f- v) (•v -(- z) — 1] dy

du

(v -f z) (v -f u + 1) (z -f- u 4- 1) -f    — z) (v -f- z -f 1)

dx (V + z + 1) (z + u + 1) — (V + u + 1) [(V + z) (z 4- u) — 1]

dv

dv

dy

ROZDZIAŁ VI.

Rozwijanie funkcyi na szeregi.

Twierdzenie Taylora.

Mamy funkcyę y zmiennej x, np. y = F (x).

Przez h oznaczmy pewien dany i skończony przyrost zmiennej a; ; wtedy wzór wyrażający twierdzenie Taylora będzie miał następujący kształt:

F {x -f h) = F (x) + h F' (x) +

h²

F" {x) +

1.2.3

F'" (x) -f i t. d.

Wyraz ny tego szeregu równa się

yn

hn-l

1 . 2 . 3 . . (n — 1)

Fn~l (x)

Jeżeli zatrzymamy się na nym wyrazie, błąd popełniony przez nieuwzględnienie wszystkich następnych wyrazów będzie zawarty między największą i najmniejszą wartością wyrazów następujących:

hn

Fn (x -f- 9 h) albo gdzie 9 spełnia warunek 0 < 0 < 1.

hn (1 — 9)”-¹

1.2.3..

1 . 2 . 3 . . (n — 1)

F" {x -f 9 h)

PRZYKŁAD.

Mamy:

y = log (<a + X)

A więc F (a;) = log {a -f- x), F (x h) = log (a -\- x Ą- h) Różniczkując, otrzymujemy:

F' (;k) = +

{a + x)²’

F"' (.*) = +

FlY {x) = —

1.2.3

(a -f x)*

Podstawiając znalezione wartości we wzór Taylora, otrzymamy:

czyli

log (a -f x -f h) = log {a + x) -f h

1.2.3 (a -f- a:)³

h?

1.2 {a -j- x)

1 . 2 . 3 . 4 (a -J- x)

z "j⁻ i C

log (<*+* +A) = log (a + x) + -^-x-\ U^+

i—¹

Można zauważyć, że pochodne rzędów wyższych można było otrzymać odrazu, stosując wzór ogólny na pochodną rzędu ns°:

(a -j- x)n

y<n> = (— 1)

2, B, 4, . .

gdzie n przyjmuje wartości

Błąd, popełniony przez zatrzymanie się na nym wyrazie szeregu przedstawiającego funkcyę log (a -1— a: —J— h), zawiera się pomiędzy najmniejszą i największą wartością wyrażenia następującego:

^    ^ n \a -Ą- x -\- q h] ’

Najmniejsza wartość bezwzględna tego wyrażenia odpowiada wartości 9 — 1, największa zaś odpowiada 9 = 0; błąd więc zawiera się pomiędzy:

(-1)

n—1

n \aĄ-x Ą- h

i (-1)"-

n \a-\rx.

Granice te są ujemne dla n parzystego, dodatnie dla n nieparzystego; wynika stąd, że i błąd w tych wypadkach jest dodatni lub ujemny.

ĆWICZENIA.

mx

= (m log a)n a

Pochodna ns° rzędu (zob. rozdział III, ćwicz. 3) równa się: dn y

dxn

-i

Stosując wzór Taylora, znajdujemy:

tri¹ hr

am(x + h) _ amx [l

log a +

(log a)² +

(log a)³-}- i t. d.]

pomiędzy

Błąd, popełniony przez zatrzymanie się na nym wyrazie, zawiera się

hn

1.2.3.

— (m log a)n a

oraz

hn

1.2.3..

— (m log a)n am(x + h)

2.

y — {a Ą- bx)m

Ponieważ (zob. rozdział III, przykład II)

Fn (x) = m (m — 1) ... {m — n -}- 1) bn (a -j- bx)m~n,

[a-\-b{x-\~ h)]m = (a    bx)m [1 -j- ^r

zatem

m (m — 1)

bh

1 a -j- bx

a bx

■r+

m (m — 1) [m — 2)

1.2.3

j -f- i t. d.]

a bx

Granice błędu, powstałego przez zatrzymanie się na nym wyrazie, równają się

m im — 1). .. (m — n-(- 1)

bn hn [a -J- b (x -J- łi)]m~n

bn hn (ia -f hx)m~n

i!>

a -j- x

y = a

Znaleźliśmy (rozdział III, przykład I), że

9 U • ² • ³ . ⁴ . . n) a (a — x)n+l

Fn (x) =

Przy pomocy tego wzoru z łatwością otrzymamy:

a+xĄ- h _ a + x g a — x '

h²

-f- i t. d.

(a — x)³

Granice błędu, powstałego przez zatrzymanie się na nym wyrazie, równają się odpowiednio

{a — x)²

hn

hn

(a — x)w+1

(a — x — h)n+l

4.

y __ eax sin mx

Korzystając z wzoru, otrzymanego w ćwiczeniu 7, rozdziału III:

n

Fn (x) — (a²    m²) 2 eax sin    « cp),

znajdujemy:

sin m (x Ą- h) = e™ [sin mx -f- h {a² -|- m²)^ sin (mx -}- rp) -j-

/?2    o    /?3    o

(fl² -}- m²)^ sin (mx -j- ² ?) +    ₀    (a² -f- w²)sin {mx -(- 3 ę) i t. d.]

1 • u • O

Prz}r a = 1 i m — 1 mamy y = ex sin a: a wzór Taylora daje:

i    h²

ex+h sjn (x -[- h) = ex [sin x -j- 2 2 h sin (x -|- cp) -f- ——— 2 sin (x 2 cp)

1 . Z

h³

1.2.3

2^ sin {x B cp) -j- i t. d.].

5.

y = £oa: cos mx

Postępując podobnie jak w ćwiczeniu 7 rozdziału III, mamy:

dn y dxn

skąd z łatwością otrzymujemy:

ea(x+h) cos m (x -f-    = eax [cos mx -}- h (a² -f- w²)^ cos (mx -f- cp) -J-

(a²-{-m²)^ cos (mx-{-3 cp) -f- it.d.]

— (a² -f- m²) 2 ea:r cos (mx -(- n cp)

h²

1. 2

(a² -f- m²) cos {mx -j- 2 cp)

h³

1.2.3

Przy m = sin t i a = cos £ otrzymamy: cos [(;c -f- A) sin £] = £ h²

- cos (a; sin t -f- 2 -f

g(x + h) cos t

x cos t

h³

[cos (a: sin -j- A cos (a; sin t -f- t)

1.2.3

cos (x sin t -|- 3 t) -f- i t. d.]

6.

y — arc tang a:

dy

dx

1 + x²

Gdy a = 1, wówczas z wyniku ćwiczenia 16 rozdziału III otrzymujemy: dn arctg x

d-¹ (2 — x*)-ł

dxn

dxn~x

= (— l)”-¹ 1 . 2 . 3 . . . {n — 1)

sin n cp

(1 4- x²)T

gdzie

cs — arctg

Oprócz tego z powyższej równości otrzymujemy:

1

—— = sin” cp

n    *

= sin² cp

skąd

a więc:

(1 + X⁸)²

dn arctg x

dxn

= (— l)w—1 1 . 2 . 3 . . . {n — 1) sin n © sin” cp

Następnie:

h

arctg (x -j- h) = arctg x -j- y sin cp sin cp —

to I

sin 2 cp sin² cp -f-

h*

-j- — sin 3 cp sin³ cp    sin 4 cp sin⁴ cp -j-

O

Z tego rozwinięcia otrzymujemy:

i t. d.

-j- sin cp —j—sin 2 cp —|—sin 3 cp —(—    i t. d.

2    o

Różniczkując ten szereg, otrzymujemy:

O = — -)- cos cp -(- cos 2 cp —]— cos 3 cp —J— i t. d.

(Euler, Institut. cale. diff.).

7.

y = arc cotg x.

Moglibyśmy znaleźć rozwinięcie dla arc cotg (x -\- h) w ten sam sposób, jak je otrzymaliśmy dla arctg (x -j- h). Ale możemy również z rozwinięcia funkcyi arctg (x -j- h) otrzymać rozwinięcie szukane. Jakoż:

arc tg (x -f- h) = -— arc cotg (x -j- h)

arc tg x =

LO U

— arc cotg x =

— y-

Mamy także:

cp = arc tang — = arc cotg x =■ y.

Podstawiając te wartości w wynik poprzedniego ćwiczenia, otrzymamy:

'    h    /t²

arc cotg (x -J- h) — y--— sin y sin y -|—— sin 2 y sin² y —

JL    w

i t. d.

sin 3 y sin³ y -\-

8.

l/l — x²

h² 1 + 2 x²

/z³ 3x(3+2x²) , '

1 1—x²

1.2 (1 —x²)²

1.2.3 (1—x²)³

A⁴

3 (3 + 24 x² + 8 x⁴)

(1 — X²)⁴

|/l — (x-j-/z)² Vl — x²

15 x (15 + 40 x² + 8 x⁴)

(1 — X²)⁵

45 (5 + 90x² + 120x⁴ + 16xB)

1.2.3.4.5.6

(1 - X²)⁶

i t. d.

y — arc log tang x

\ 9. Mamy daną funkcyę:

to znaczy, że y jest lukiem, dla którego logarytm stycznej jest x, skąd x — log tang_y, a z tego równania otrzymamy łatwo pochodne funkcyi y jL , względem x.

Stosując następnie wzór Taylora, otrzymujemy:

'VU4^

ii

-- * !u C

10.

Aam,

arc log tg (a; + h) — y +

h% sin 2_y cos 4_y

1.2.3

hb

h sin 2 y

sin 2 y

h² sin 2 y cos 2 y

(cos 6 y — sin 2 y sin 4 y) +

Sm ~ ^ (cos 8 y — 2 sin 2 y sin 6 y) +

i t. d.

Kładąc b = 1 w wyniku przykładu IV rozd. III, otrzymamy:

7T=1?)"    K‘ + ")”+l ~    ^ <* -

f(n)

1.2.3..

Mamy tedy:

a² — x²

[{a + x)² — (a — x)²]

a² — (x + h)²    2 a (a² — x²)

+ + x)³ — (a —

— (a — x)⁴] 4- i t. d.

Twierdzenie Maelaunna.

Niech y == F (x) będzie funkcyą wyraźną zmiennej Jeżeli F (0), F' (0), F" (0), F"' (0) i t. d. są wartościami tej funkcyi i jej pochodnych przy x — 0, otrzymujemy następujący wzór, wyrażający twierdzenie Maclaurina:

F(x) = F (0) 4- f F (0) + F" (0) + i f ₃ K". (0) + i t d.

'Jeżeli zatrzymamy się na /zym wyrazie szeregu, wówczas suma R wyrazów następnych będzie:

xn

1.2.3..

— Fn (9 x) . n v '

albo

xn (1 — 9)”-¹

1.2.3... (n— 1)

Fn (9 x)

gdzie 9 jest ułamkiem zawartym między 0 i 1, czyli 0 < 9 < 1.

Aby to rozwinięcie przedstawiało daną funkcyę, trzeba żeby szereg uważany był zbieżny oraz aby przy n rosnącem nieograniczenie, R zmierzało do granicy równej 0. Pożytecznem będzie upewnić się o tern w przykładach następujących, podobnie jak to uczyniliśmy w dziale poprzednim, gdzie wyniki musiały spełniać te same warunki.

Szereg Maclaurina może służyć również do rozwijania funkcyi uwikłanych.

PRZYKŁAD 1.

Niech będzie:

Mamy:

Vl=lc'

F(x) =

zatem F (0) = 1.

Różniczkując zaś, otrzymujemy:

F'{x) =

2 (1 — x)&

skąd przy x = 0 mamy F' (0)    —

Z

F" {x) =

'"I'¹

F'" (.x) =

2²    (1—x) 1.3.5

2³    (1 — a:)^

(°) ^ ₂2

i t. d.

Podstawiając wartości F(0), F (0), F (0) i t. d. we wzór Maclau-r i n a, otrzymujemy:

11 — x

- = l — 4-

• 2 ' 2³

Ba:² .    5x³ , 35 x⁴

2⁴

27 h i t. d.

Gdyby pochodna ns° rzędu funkcyi danej była znana, wówczas, kładąc a; = 0, otrzymalibyśmy wyrażenie, z którego łatwo można by było otrzymać F' (0), F" (0) i t. d.

Mamy więc w naszym przykładzie:

Fn

1 . 3 . 5 . . . (2 n — 1)

2 w +1

2” (1 — x) 2

Przy a: = 0 znajdujemy

Fn (0) =

1 . 3 , 5 . . . (2 n — 1)

Kładąc

i t.

n = 1, 2, 3

otrzymamy z ostatniego wzoru wartośd na F' (0), F" (0), F"' (0) i t. d.

PRZYKŁAD II.

y³ — y x — 0.

Mamy równanie:

Należy rozwinąć funkcyę_y zmiennej x zapomocą wzoru Maclaurina. Obliczając kolejne pochodne, otrzymujemy:

dy

dx²

F (3 y² — 1)

⁶ (dx)+1Sy

dy d²y dx dx²

+ (3 y² 1)

dx³

f 18 A

d²y\²

90

dx

dy d³y dx . dx⁶

+ (3 y²— !)

d²y d³y dx² dx³

dx²

+ 24 y

F = 0

dx>

dx³

+ 60 J/

i t.

Jeżeli w danem równaniu położymy a: = 0, otrzymamy:

_y³ — y = 0 czyli y (y² — 1) = 0.

Ostatnie równanie jest spełnione przy y — 0, y — 1 oraz y = — 1.

Z otrzymanego rezultatu widzimy, że trzy wartości y odpowiadają wartości a; = 0. Wzór Maclaurina da nam tedy trzy możliwe rozwinięcia funkcyi y zmiennej a;.

1°. Podstawiając wartości

w kolejne pochodne danego rów-

00

'd²y\³

dx²

+ 360

ISS+»(s)'S+«»^(S)+^

d²y dxy dx² dxA

+ 36 y

dy cF y , dx dx:> '

⁽³-y2_i)S=o

6B0

id²yy d³y \dx²) dxA

-f 420

dy

aA y

dx \ dx³

²1 ₆₃₀ dy d~y d y . 19fi ldy\2 dby

+ 630 dx ~dx² d^ + ¹²⁶ [te]

-j- 210 _y

d'd y dxy dxi dxl

-f 126 y

d²y cF y dxr dxb

+ 42j/

dy d⁶y dx dx&

+ (3+~l)

d⁷y

dx⁷

= 0

{y = o

nania, otrzymamy, jako wyniki, równości następujące:

F (0) = 1, F' (0) = 0, F" (0) = 6, FlY (0) = 0, FY (0) = 360,

FYl (0) = 0, FYU (0) = 60480 i t. d.

Oprócz tego mamy F (0) = 0.

Podstawiając powyższe wartości we wzór Maclaurina, otrzymamy: y = x xz 3 xh 12 a;⁷-f~ i t. d.

2°. Wartości ^ dają nam:

F( 0) = 1# F' (0) = — skąd:

, F" (0) = —

, F"' (0) = —

48

i t. d.

y = 1-

3 a;²    8 a;³

16

i t. d.

[ A' — 0

1 y = - 1

F (0) = — 1, F (0) = —

3°. Wartości

dają:

F" (0) =

-, F” (0) = —

48

i t. d.

Ol

4-

skąd otrzymamy:

3 x² 8 x³ .    . . ,

— + i t. d.

1.

ĆWICZENIA.

y = (a -f- x)m

TTl

(a + x)™ = ar + r a”-¹ a: +

m (m — 1)

—A—-—- a

x² -j- i t. d.

Jest to wzór dwumianu Newtona.

Iw I—'

Gdy <2 = 1 i m =

j/l 4- x = ¹ + ~ x — -

Dla itl = — 1 otrzymalibyśmy:

(i--+

v a ¹

, otrzymujemy:

r-i

t-H ^3

a;²

x³

X⁴

2³ 1.2.3

2⁴ 1 . 2.3.4

i t. d.

x²

2.

3.

3 + i d.)

a + x

Dwa ostatnie rozwinięcia można bezpośrednio z łatwością otrzymać.

a²

y — ax

= 1 + y log a + lo§2 a 4

Kładąc a — e, znajdujemy:

X , X²

^⁼¹ +T + F72

ax

X³

1.2.3

log³ a -f-

i t. d.

x³

1.2.3

4~ i t. d.

Przy x = 1 szereg ten przechodzi w następujący:

*=1+1+

1.2.3

+ i t. d. = 2, 718281828 . . .

y = Log (a + x)

Log (a -f- x) = Log a -(- Log e

X²

X¹

X⁴

2 a² ' 3 a³ 4 a⁴

+ i t. d.

Gdybyśmy mieli y = log (a -j- x) t. j. gdyby chodziło o logarytm naturalny (neperowski), szereg uważany przedstawiałby się w postaci następującej:

log(a + AO = 10g« + f-^j+^5-j**j+ it.d.

Gdyby oprócz tego było a log (1 + x) =    -

to H

CO

r⁴'

4.

y — sin x

x³

xb

x¹

1    1.2.3 ¹ 1.2.3.4. 5    1.2.3.4.5.6.7

-f- i t. d.

Różniczkując obie strony powyższego równania, otrzymujemy:

cos x = 1

-j- i t. d.

To rozwinięcie w szereg, jak również i poprzednie, można łatwo otrzymać, korzystając z wzorów na pochodną ng0 rzędu funkcyi danej.

5.

y = tg x

6.

tang x

1.3.5

17 x¹

sec x

v*2

= 1 H———\-'1.2'

-f- i t. d.

7.

1    x³

arc sin X = x -I—— • ——1-r 2    3    ‘

1.3.5 x¹

2.4.6 7

-=—i t. d.

Ponieważ arc cos x =

U KM

— arc sin zatem z powyższego równania

otrzymamy:

TC

arc cos x = —--x —

1    x³ 1 . 3 x⁵ 1.3.5    ¹

2    3 ~ 2T4 X — 2TTTT

i t. d.

y = arc tang ;c

7C

Wynik ćwiczenia 6 rozdziału YI da nam dla = 0 i cp = —

Z

. .    ,    h³ hb    /z¹ .    .    ,

arc tg h    = h--— + —---— -f    1    t. d.

Zastępując h przez x, znajdziemy:

x³

arctg x = a: —

O

xr>

x⁷

~ + i t. d.

Aby otrzymać odrazu ten rezultat, należy skorzystać z wyniku ćwiczenia IG, rozdziału III.

Ponieważ arc cotg x =

— arc tg x, przeto znajdziemy:

arc cotg x =

to rl

i *³

~X + T

i t. d.

9.

sin x

10.

ex

COS X

ex

12 x⁺

35 x⁵

COS X

1.2.3

-f it.d.

11.

y = /1 -J- ex

ex —

/2 (l +

3 x²    7 x³

I² T72    I³ 1.2.3

x⁴

4⁴1 . 2.3.4

-j- i t. d.j

12.

y=

ex

ee

ee*=e(l+X^

2 x²

5 x³

15 x⁴

52 x⁵

1.2.3

—j~ i t. d.)

13.

V a -(- bx -(- cx²

Kładąc m =---— we wzorze ([3) rozdziału III otrzymujemy:

£

(b -(- 2 cx)n 2m (a -f- bx -f- cxi)n +1

,    1 ti (n — 1) 4 a c — b² .

— T 17 2 \b + 2 cx)² '

dn y

dxn

= (— ir i. 2.3...

1.3 n (n — 1) {n — 2) (n — 3) (4 a c — Z>²)²

(b -j- 2 cx)⁴

i t. d.

Wyrażenie to przy x = 0 przybiera postać:

Fn (0) = (— 1)« 1.2.3 .. .n

bn

i—¹

n{n — 1) 4 ac — b*

b²

1.3 /z (n — 1) (n — 2) (n — 3)    (4 a c — b²)²

+ 2³

i t. d.

Jeżeli w tym wzorze położymy n — 1, 2, 3 ..., otrzymamy F’ (0) Z⁷" (0), Z⁷'" (0) i t. d.; z tego zaś otrzymamy:

x-

ya -(- bx 4- cx²

12 a²

i t, d.

14.

1 — bx²

/!

1 -f- ax²

— bx²

= 1 -f- {a -j- b)

x²

- -f 3 (3 b² + 2 ab

a²)

X²

-f 5 . 3 . 3 (5 b* -f 3 b² a — b a² -f- a³)

x⁶

1.2.3.4.5.6

4- i t. d. (Newton)

15.

(a³ -f- a² x — X³)⁷ = a -f-

y = (a⁵ + a² x — X³)*

1 x

5 T

x²

x³

. ar’ 1.2

5³ a¹⁰ 1.2.3

-j- i t. d.

(Newton)

16.

y'¹ — x y — 1 = O

10 1—1

2² 1.2.3.4 —

l². 3².5

1.2.3.4.5

-f- it. d.

17.

y:> — b x y — 8 = 0

18.

y = 2 -J- x —

x³

x²

2 1.2.3

^=1 +

_y³ — x _y — 1 = O

X³ , X² 34 1" 35

CO

— i t. d.

Dwie drugie wartości y są następujące:

i t. d.

, _x__X³ _x^

⁷' ' 3 a ' 3J — 3 - a

gdzie:

19.

20.

y = a2 +

3 o² 3⁴

3⁵ a²

a² =

i t. d.

— i — y'— 3

sin y = x sin (a -|- _y)

x²

sin 2a-|-

1.2.3

2 sin a (3 — 4 sin² a) -f- i t. d.

y = 1 ax (2 n — 1)

yn log y = ax a² x²

-f- (3 /z — l)²

a³ x³

1.2.3

— (4 n — l)³

a⁴ x⁴

Twierdzenie Lagrang^a.

Jeżeli y jest określone za pomocą równania:

y = z -{- x y iy)

i jeżeli u = f (y), gdzie / i cp są funkcyami jakiemikolwiek, to zmienną u można rozwinąć w szereg według potęg x na zasadzie wzoru następującego:

d ■ {[<p (z)]²/' (z)} x²

u=f(z)Jry (z) . /' (z) . ^ +

twr (*)>.

dz

dz²

4- i t. d.

(T)

1.2.3

Jeżeli / (y) sprowadza się do y, to / (z) = z, /' (z) = 1 i otrzymujemy:

d [<p (z)]² x² , d² [cp (z)]³ x³

dz² 1.2.3

v = z + <p (2)

1.2

-j- i t. d. (8)

PRZYKŁAD I.

a log y -f- b — y = 0

Mamy równanie:

Załóżmy, że y mamy rozwinąć według wzrastających potęg a. Dane równanie można napisać w postaci:

y = b -f a log y

Porównywując to równanie z pierwszem równaniem w twierdzeniu Lagrangea, t. j. z równaniem:

¹

= arc sin x

Korzystając z wzoru na pochodną funkcyi ng0 rzędu (rozdział III, ćwicz. 3), otrzymujemy:

²

. 9 . 14

³

² . a¹⁵

y = z + * <p ty).

widzimy, że z = b, x = a, logy = cp (y), przyczem /(y) sprowadza się doy. Mieć więc będziemy:

cp (z) = log z = log b d • [<P O)]² _ d ■ (log zf

dz

az

log z =

ilog b

d² [cp (z)]³ _d² (log z)³

3 log z

dz²

dz²

z⁵¹

(2 log z) —

Podstawiając znalezione powyżej wartości na x, z, cp (z) i t. d. we wzór (§), otrzymamy:

2 log b

, | a    , a²

= *+ 7-108*1-172

to a

3 log b

(2 — log b) i t. d.

ci. [cp (z)]²

dz

^2    (2 — log &) + i t. d.

PRZYKŁAD II.

a ey — b y c = 0

Mamy równanie:

Należy rozwinąć yn według potęg ~.

Dane równanie można napisać w postaci następującej:

ej

c>;

Przez porównanie z równaniem postaci

znajdziemy, że:

z = -T-

oraz

<P (y) = ey

f(y) =yn

Z powyższego wynika tedy że:

oraz

cp (z) = ez = e b

f (z) = zn =

c \n

a stąd:

/' (z) = n z"-¹

Ostatecznie otrzymamy związki następujące:

CM

c

cp> (z) f (z) — n ez . zn~x = zz e* [cp (2)]² /' (z) = zz e-z. zn~x [cp (z)]:3 /' (z) == /Z Ć³ * . 2”“1 [cp (2)]⁴ /' (2) = n ex z . zn~x

skąd po zróżniczkowaniu znajdziemy:

**•{[? O)]²/'(z)}

— ne2z. zn~² [2 2 -f- (zz — 1)] == zz e &

d² {[? (z)]³/' (2:)}

dz²

= ne3z. zn~³ [3² 2² —j— 2 . 3 (zz — 1) 2 -f- (zz — 1) (zz — 2)] =

= zz et

(£) [32 (j) + ² •³ (" “ 1} T +⁽"

— 1) (« — 2)].

az³

= n eXz. 2”⁻⁴ [4³ 2³ -j- 3.4² (zz — 1) 2² -|- 3.4 (zz—1) (zz — 2) 2

-j- (zz — 1) (zz — 2) (zz — 3) = zz ei>

+ 3 . 4² (« — 1)

[- -j"+ 3 . 4 (n - 1) (n - 2)

CM

-[- (zz — 1) (zz — 2) (zz — 3)] i t. d.

Podstawiając wartości / (z), cp (2) /' (2), wzór (7), otrzymamy:

dz

i t. d. we

*C> Cl

n    2 c

• -7- + n e b

/z

yn —

4~ n e b

•Ci I O

CM O

1.2.3

f¹- Py + («-!)]

[32V 2 . 3 (B-1)    + (n-1) («-2)]

bV

CS O

4 c 1

r.2.3.4

[4⁵

4- 3 . 4² (zz — 1)

4-3.4 (zz—1) (zz — 2) -^-4-(« — !)(« — 2) (zz — 3)] 4- i t. d.

1.

2.

3.

ĆWICZENIA.

y ² — py ~b <7 — o

Rozwinąć y według wzrastających potęg • b

¹¹ ■+■ p>

"i +

1.2.3

3

e “h i t. d.]

_y³ — a y b = 0

Rozwinąć y w szereg według rosnących potęg --- •

b ,    , b-

y = — (i -f

a v 1

a²

+ ³^ + ¹²^ + ⁵⁵5S+ iid,)

—y -j- b — 0

Rozwinąć y w szereg według wzrastających potęg a.

v = b [1 —|- bn-x a 2 n b²

+ 3 n (3 n — 1) b³

az

1.2.3

-i- it.d.]

W powyższych przykładach otrzymane szeregi są to rozwinięcia najmniejszego pierwiastka danego równania. (Jeżeli chodzi o teoryę, to zob. „Equations mimeriques“ L agr an ge’a oraz „Memoires de Berlin“ 1768 r.)

ay² — by -f- c = 0

Jeżeli założymy, że y² — y, dane równanie będzie miało następującą

4.

postać:

skąd;

b l/y -j- c

Rozwijając Xy jako funkcyę

f/yi =y= b

= 0,

+ — fy>

¹ a

, otrzymujemy szereg następujący:

£ Ci

[1-

1 ' b²

1 . 2 * 2² a c ~ 1 . 2 . 3 . 4 2⁴ a² c²

1.1.3

bx

b«

i t. d.]

Szereg ten przedstawia dwie wartości danego pierwiastka równania:

jest dodatnie, dla drugiej wartości

dla jednej wartości jest wzięte z ujemnym znakiem.

5.

skąd

y* — py-\-q =⁰

Zakładamy że _y³ = yv równanie dane przyjmuje tedy postać:

—py^~f- g = o,

— q + py$

Rozwijając w szereg y^ według rosnących potęg p, otrzymujemy:

=(-?)* [i+4-

³ (-<?)³

yi

yi =

3*. 1.2. 3 (-?)

2.1.4

3⁴. 1 . 2 . 3 . 4

(- <7)¥

i t. d.]

Szereg ten daje nam rozwinięcie dla trzech pierwiastków danego równania, w którem (—q);! może przyjmować wartości następujące:

1 _ j/—3\ ,

i -f y.—3

6.

a yn — b y c = O

skąd

Zakładamy, że yn — yx \ równanie dane przybiera postać:

i

— tyi* + c = o,

ayY

^i= —

a i fi

y in

cenią

Następnie rozwijamy yn w szereg według potęg — e; otrzymujemy:

, kładąc dla skró-

1 b s. . (3 — n) b¹ s¹ (4 — ń) (4—2 n) b³ s³

1 . 2 . n¹- c¹

1 . 2 . 3 . n¹

c³

szereg ten daje nam n wartości pierwiastka danego równania; wystarczy bowiem w następującem wyrażeniu:

cos

k — 1, 2, 3, . . n

y² — 2 _y 1 = 0

11.

10.

sin 1 —

a³

a'

1.2.3

i t. d.

Rozwijamy w szereg ey :

3 <?²

^ = e (1 -j- £ -f-

42 es

5³ ć?⁴

1.2.3

-J~ i t. d.

9.

1 x | 2 =e+T+l

CO i

1.2.3

—j—    i t. d.

8.

7.

ay sm a —y -f- 1 = O

Rozwijamy y w szereg według potęg sin a:

a² sin² a ,

y= ² +

a sm a

-r ³² (l°g a)

₂ a³ sin³ a

y = e Ą- x logy

Rozwijamy y w szereg według potęg

a y — y 4-1 =0

Rozwijamy sin |l — yj w szereg według potęg a:

Rozwijamy w szereg log y:

log y — log -[- — -f-

1 . 2 . 2⁴

1 . 2 . 3 . 2⁶

-f- i t. d.

Najmniejszy pierwiastek danego równania możemy uważać jako równy 1; otrzymamy więc:

skąd:

log 1=0 = log * + ^2 +

l°g ² = 4 (1

1 . 2 . 2⁴

-f- i t. d.

2²

1 . 2 . 2²

1 . 2 . 3 . 2⁴

i t. d.)

•*

12.

Rozwinąć w szereg yn :

yn =

6 n (n + 3) 62 • I52 1    [    2    "541

n{n-f-4) (n-f 5) '6³

1.2.3

-j- i t. d.]

W danem zadaniu mamy yn = 2n, ponieważ 2 jest najmniejszym pierwiastkiem danego równania.

n (n 9) {n -f- 10) {n -f- 11)

i t. d.

14.

13.

_y³ — _y —j— 1 = O

Rozwińmy w szereg yH :

yn = 1 -j- n -|-

n (n -f- 5) , n(n~\- 7) {n 8)

4-

1.2.3

a y² 3 — k y c = O

Rozwinąć w szereg sumę /ztych ujemnych potęg pierwiastków tego równania. Lagrange udowodnił, że jeżeliy jest dane za pomocą równaniay—z-\-x y (y),

a ~ spełnia twierdzenie Lagrange’a, to suma wyrazów szeregu, zawierających ujemne potęgi z, jest sumą /ztych ujemnych potęg danego równania. Jeżeli więc a i [3 są pierwiastkami danego równania, to uwzględniając

w szeregu tylko te wyrazy, które zawierają dodatnią potęgę -^-albo, co jest równoznaczne, ujemną potęgą - -, znajdziemy:

an

r?

(i)'n -

na c b b

n (n — 3) a³ 1 . 2 ¥

CiX+ i t. d.]

n (n — 4) [n — 5) a³

1.2.3

Całkowite rozwinięcie w szereg wielkości y- będzie rozwinięciem w szereg najmniejszego pierwiastka danego równania.

15.

a yn — b y c — 0

Oznaczając przez s (a—,ł) sumę /ztych potęg odwrotności pierwiastków, otrzymamy wzór następujący:

s (a-w) =

ci <3*

<3* &

n (n — 2 m —J- 1)

<3* Cs

2 m—2 q2

b³

1.2.3

<3* 55

3 ~f—    i t. d.],

Dane równanie jest równaniem Keplera, mającem ważne zastosowania w astronomii; w tern równaniu t oznacza czas albo wielkość względem niego proporcyonalną; e oznacza mimośród eliptycznej drogi planety, u jej anomalię mimośrodową (ekscentryczną).

17.

(2 sin 4 t — sin 2 f)

1.2.3

-I- i t. d.

oraz:

sin 2 t e

16.

Rozwijając a i sin u w szereg według potęg funkcyi zmiennej znaj

dujemy:

li = t -j- sin t .

I r-H

-j- sin 2 t

*1.2

(8 sin 4 t — 4 sin 2 t)

f- (3 sin 3 t — sin t) —|—    i t. d.

1.2.3

e⁴

in u = sin ^ —)---

Jj

3 sin 3 t — sin t e²

1 . 2

1 -f ■ Vl — £?²

Rozwinąć yn w szereg według wzrastających potęg e.

Należy uważać

1 + l/l — e²

drugiego stopnia, którego drugim pierwiastkiem jest

jako jeden z pierwiastków równania

zaś równanie ma postać następującą:

1 — l/l —    ’

samo

y²

Z tego równania znajdujemy:

yn =

to

[1 +n

18. Rozwinąć

w szereg według wzrastających potęg

f 1 — 2 xz-\-x²

Zakładamy, że V1 — 2 x z -f- x² = 1 — x y. Z równości tej otrzymujemy:

dy dz

oraz

To ostatnie równanie ma postać równania Lagrange’a, przeto znajdujemy:

<e (y) = Y W - ‘)

dy

dz

Ze wzoru (§) przez różniczkowanie otrzymujemy:

d 'f (z) x d² [cp (z)]² x2 dz²    1 . 2

d? [? (z)]³

dz 1

dz³    1.2.3

-j- i t. d.

skąd mamy:

x d . (z² — 1)

x²

d² (z² — 1)

j/l — 2 xz-j-x²

dz

1.2.2-

-j- i t. d.

ROZDZIAŁ VII.

Zamiana zmiennych.

PRZYPADEK PIERWSZY.

Funkcye jednej zmiennej niezależnej.

Mamy dane wyrażenie:

F (x, y,

dy d² y d*y dx ’ dx² ’ dx³

i t. d.)

(a)

które zawiera funkcyę y zmiennej niezależnej x oraz kolejne pochodne funkcyi y względem zmiennej x.

Chcąc się dowiedzieć, co się staje z wyrażeniem (a), gdy za zmienną niezależną przyjmiemy y, należy obliczyć pochodne następujące:

d² x

(1)

dy_ 1 d² y

dx ~~ dx ’ dx²

dy²

dx

d? y

dx/'

₀ ld²x\² dx d'óx

W.

dy dy³

dx\'

i t. d.

dy

dy

dy

Chcąc dowiedzieć się, jaką postać przybiera związek (a) gdy za nową zmienną niezależną przyjmujemy zmienną t, związaną z x zapomocą równania cp (x, t) — 0, powinniśmy we wzorach następujących:

dt

dx

zastąpić

d~ x d x . . j    T 'j*    i.'* ur

dt’ dt²

,    , i t. d. przez odpowiednie wartości, obliczo

= 0,

(2)

dy

dy _ dt

dx

dx

dt

d? y _ dx²

dx d² y .dy d²x ~dt d¥ “ dt lit²

'dx\³

dt

dx ldx d%y dy d³ x dz y dt (dt dj? dt dt3 dx3 =

V    CJd²x ldx d² y dy d² x\

] ~ ⁶ dt² \dt dt² 77 ~dt dt²)

dxV

i t. d.

ne z równania cp (x, t) — 0. Otrzymane w ten sposób wartości pochodnych ~dx ’ li]?’    > i t. d. oraz wartość na a;, obliczoną z równania <p (a:, t)

podstawiamy do wzoru (a).

Jeżeli chcemy dowiedzieć się, jaką postać przybierze wyrażenie (a), gdy X i y zastąpimy przez u i t, i jeżeli te cztery zmienne są związane z sobą następującemi równaniami:

<pi (X y> t>) = ⁰

<p₂ {x, y, u, t,) — o

dx dy d² x d² y di’ dt’ dt²’ dt2 odpowiednie wartości, wyznaczone zapomocą zróżniczkowania względem t danych równań pomiędzy x, y, a, t. Znalezione w ten sposób wyrażenia na dy dr y d³y dx ’ dx² ’ dx³

wówczas we wzorach (2) należy zastąpić

i t. d. przez

podstawiamy w (a), jak również wyrażenia na a; i _y, uważane jako funkcye zmiennych u i t, które otrzymamy z równań cp₁ = 0,

<p8 = O-

PRZYKŁAD I.

d²y    ldy\²

Z    JC

dy \³

dx²

dx

dx

Jaką postać przybiera to równanie, gdy zmienną niezależną jest y?

Posiłkując się wzorami (1), które służą do zamiany zmiennych, otrzj^-mujemy równanie następujące:

gdy uwzględnimy w szeregu tylko te wyrazy, które zawierają dodatnie potęgi ułamka y ■

Gdybyśmy w danem równaniu zastąpili y przez

d²x

dy²

dx\³

— a:

dx\²

dx\³

= 0,

dy

dy

dy

zmieniając zaś znaki i usuwając mianowniki, otrzymujemy:

d²x

dx

dy

dy

PRZYKŁAD IJ.

x*dU

dx³

+ 'ixd3 + (a + 1)xI>c~y = 0

dy

Zamienić zmienną niezależną x na t, wiedząc, że

t = log X

Z ostatniego równania, łączącego obie zmienne x i t, pisząc, że x = e*, otrzymamy:

dx d²x_d³ x

dt ~ dt² ~ dt³

= et

Podstawiając we wzory (2) powyższe wartości pochodnych, znajdziemy:

dy_ = tdy_

dx

dt

—2 ł

dx²

d²y dy dt² ~ lit

d³ y

= e

'd³ y

dy

dx~

dt* + ² dt

₃ ŁĄ’

³ dt²1

i,

Zastępując w zadanem równaniu zmienną x i pochodne poprzednio otrzymane przez znalezione dla nich wartości, otrzymujemy ostateczny wynik w postaci następującej:

_ 3 *2 4. 3

AdP ⁺

d³y

dy

W + ² dt

d²y

dt²

dy

³ u +{a +l)

dy

dt-y=°-

czyli

d³ y

dy

dt³

dt~» = ę)

PRZYKŁAD III.

dy

Jak się zmieni to równanie, jeżeli zmiennemi niezależnemi będą a i t i jeżeli równania, łączące dawne zmienne niezależne z nowemi zmiennemi są:

x = a —f- t y = a — t?

Z tych równań otrzymujemy:

dx

da

dt di • ¹

dy_da

dt dt

Jeżeli podstawimy otrzymane w ten sposób wartości w pierwszy ze wzorów (2), znajdziemy:

da

dy_ dt

dx~ da

dt

Z równań pomiędzy dawnemi i nowemi zmiennemi otrzymujemy także:

x -f y = 2 a

Gdy podstawimy w danem równaniu zamiast x Ą-y i ^ odpowiednio znalezione wartości, dane równanie przybierze postać następującą:

da

(2 u — 6)

dt

da

-f 2«-f6 = 0

czyli

dt +¹

da

ĆWICZENIA.

1.

dyV

Wzór na promień krzywizny krzywych płaskich, gdy x jest zmienną niezależną, jest, jak wiadomo,

dx

d² y dx²

Jak się zmieni to wyrażenie, jeżeli za zmienną niezależną uważać bę

dziemy y?

Znajdujemy:

dx\²1 f

dy

d²x

dy²

2.

dx³

Jak się zmieni dane równanie, gdy zmienną niezależną będzie y? Odpowiedź:

d*x

dy

3~\~X

2 d²x

dxV

dy²

dy

3.

(1 -x)

Zastąpić zmienną niezależną x przez zmienną niezależną t, jeżeli

t= ¹ ~ł~ ^

1 — x

4.

Odpowiedź:

dy

-4- a t = 0 dt

(1 -j-x²) jc

d² y dy

dx²

dx

(1 — x²y V1 -f- x²) — x³ y² — O

Przyjąć jako zmienną niezależną t i położyć:

t = ]/1 + x²

dy

ta

Odpowiedź:

— y² = 0

5.

(1 - X’)

dx²

— 2 X (1 — x²)

2^ dy d -y

dx dx²

+(!)■+-»

Bierzemy za zmienną niezależną t, kładąc:

x — sin t.

Odpowiedź:

d² y\²

dt²

6.

(1 — X²)²

d-y

dx²

— 2 x (1 — x²)

dy

dx

Bierzemy za zmienną niezależną t, i uwzględniamy dany związek:

ć?²* — 1

7.

8.

Odpowiedź:

d? y

ć²'-f 1

-\- a (e2t -(- 1)_y = 0

„    .    ¹    '/-v .    d -v    0

y    '    x    dx'    dx²

dt²

Za zmienną niezależną przyjąć t, kładąc:

x² = 4 ^

Odpowiedź:

dy

dt ¹ dt²

dd=o

dy x .

dx

x+y

dy

<ix

(Fourier: Traite de la chaleur)

Jaką postać przybierze to wyrażenie, jeżeli zmiennemi niezależnemi będą r i t i jeżeli:

x = r cos t,

_y = r sin t

Odpowiedź:

dr

dt

dyV

9.

<ix

rfx²

Przyjąć t jako zmienną niezależną, mając dane związki następujące:

y = r sin t

x — r cos t,

Jako odpowiedź otrzymamy wyrażenie na promień krzywizny w spół-rzędnych biegunowych:

r² +

dr \²'

Lw)CO

dt

dt²

f- + 2 [ŚL - r ‘i.L

Przyjąć za nową zmienną niezależną s, spełniającą związek następujący:

*\² [dyY

dxf    ⁺ (<⁴/

Posiłkując się wzorami (2), otrzymujemy:

d? y dx    d - x dy

ds² ds    ds² ds '

11.

[(.x—y) ^X² — y2Jr(x— yY — 2y²]^ + (⁵+.V) Vx² — y² + x²+y² = 0

x = u² t2 y = 2 u t

Zamieniamy zmienne niezależne 3/ i x na //i które spełniają związki następujące:

Odpowiedź:

' du

10.

d²y

dx²

>+(£p

(u -j- t)²    (u — t)² — 0

12.

xy

d²y

dx²

Zamieniamy zmienne niezależne y i x na u i t, dane przez równania:

Odpowiedź:

X = e⁵ y — eu

eu+t — 0

d² u du

dt² dt

F |x, y, z,

(P)

Chodzi o to, jak się przekształci wj^rażenie ((3), jeżeli zmienne niezależne jc, y zastąpimy przez nową zmienną niezależną t, związaną z daw-nemi zmiennemi x, y równaniem:

<P (x, y,t) — 0

W tym celu w wyrażeniu ((3) podstawiamy, zamiast pochodnych cząstkowych, ich wartości otrzymane ze wzorów następujących:

dz dz dt

dx    dt dx

(3)

dz d²1 dt dx²

i t.d.

obliczamy, różniczkując równa-

dt dt d² t Pochodne cząstkowe:    > ~^ > ^.1

nia, łączące dawne zmienne x, y z nową zmienną t. Zagadnienie daje się rozwiązać tylko wówczas, gdy opierając się na tych równaniach, możemy wyrugować x i y.

Jeżeli chcemy się dowiedzieć, jak się zmienia ((3), gdy zmienne niezależne y zastąpimy przez zmienne niezależne t i v, związane z po-przedniemi zmiennemi za pomocą równań:

<pi (x, y, v, t) = 0 Cf 2 (x, y, v, t) = 0,

wówczas we wzorach

zamiast

(4)

dz dt dt dx

dz dz dv . dz dt

dy    dv dy' dt 7)y

dz dz dv

dx    dv dx

dv dt dv dt

dx ' dx’ dy ’ dy otrzymane z równań cpŁ = 0 i ęp₂ = 0.

i t. d.

i t. d. podstawiamy odpowiadające im wartości,

dz dz

i t. d. wsta-

Znalezione w ten sposób wartości pochodnych

wiamy do wzorów ((3). Dalej, posługując się równaniami ąą = 0, cp₂ = 0, wyznaczamy x i y jako funkcye nowych zmiennych v i t i otrzymane war-ości na x i y podstawiamy do tych samych wzorów ((3).

dx ’ dy

Uwaga. Jeżeli z równań, łączących dawne zmienne z nowemi, możemy odrazu wyrazić x i y jako funkcye zmiennych v i t, to możemy wyjść ze wzorów następujących:

dz dz dx

dv    dx dv

(5)

dz dx . di dx dt '

Oj

dz dy dy dv

dz dy dy d t

i t. d.

dx dy dx dy dv dv ’ dt ■ di

i t. cl., podstawiamy ich wartości

otrzymane przez różniczkowanie równań, łączączych zmienne niezależne.

dz dz

w których zamiast

Następnie z tych wzorów otrzymamy wartości na

i t. d.

dx ’ dy

Nakoniec uważamy przypadek, gdy zmienne niezależne x, y i sama funkcya z są zastąpione przez zmienne t, v i funkcyę a. Równania, które łączą te wielkości, są następujące:

We wzorach:

dii da dv

dx    dv dx

da dt dt dx

(6)

a _ du dv dy dv dy

Oj

-f-

da dt di dy

i t. d.

zastępujemy

u    dv dt da dv

dx ' dx ’ dx ’ dy ’ dy ’

Oj

i t. p. przez wartości znalezione

dla nich z równań danych. Następnie, z zmienionych w ten sposób równań

dz dz d² z dx ' dy ’ dx²

wstawiamy w (p), jak również i wartości na y, z jako funkcyi zmiennych a, v, t, otrzymane przez rozwiązanie równań cpx = 0, <p₂ = 0, cc₃ = 0.

Uwaga. Jeżeli z równań pomiędzy dawnemi a nowemi zmiennemi otrzymujemy łatwo wartości y, z, jako funkcye zmiennych a, v, t, to możemy wyjść z równań następujących:

dz __ dz dx dv dx dv

otrzymujemy wartości na

i t. d. Wartości tych pochodnych

dz dy dy dv

dz dy dy d t

Dalsze postępowanie będzie, jak wyżej.

(7)

dz dz dx

dt    dx dt

i t. d

Podobnie rozumować i postępować będziemy, gdy wyrażenie ((3) zawiera trzy zmienne niezależne.

PRZYKŁAD I.

d² z . d² z

dx²

dy²

Jak się zmieni to równanie jeżeli x i y zastąpimy przez r, mając dany związek następujący:

x² ~f- y² = r² ?

We wzorach (3) zastąpimy t przez r:

dz dz dr

dx    dr dx ’ dz dz dr

dy    dr dy '

Różniczkujemy równanie, łączące dawne zmienne z nową:

dr

x = r , co daje

dr

dx

dr

r dy

, co daje

dr

dy r

Podstawiamy znalezione wartości jemy:

dr . dr dx dy

w wyrażenia

dz . dz dx dy

, i otrzymu-

dz dz x

dx    dr r ’

Różniczkujemy drugi raz:

dz dr x dr dx r²

dz 1 dr r

d² z d² z dr x

dx²    dr² dx r

d² z d² z dr y

dy²    dr² dy r

dz 1 dr r

dz dr y dr dy r²

dr r

Albo podstawiając wartości na i —, znajdujemy:

d² z d² z x² dz I 1    jc²\

dx²    dr² r² ‘ dr I r    r³ '

dz 11

dr \ r r³1 '

d² z_a² z y²

dy² dr² r²

Podstawiając znalezione wartości w dane równanie, otrzymujemy:

*² + y²

y²

LO

dr²

Z tego zaś równania otrzymamy:

d² z ,    1 dz

dr² ' r dr

Równanie to spotyka się w badaniach nad ruchami cieczy.

PRZYKŁAD II.

dz

dz

X dy y dx

Jak się zmieni to wyrażenie, gdy ;c i y zastąpimy przez r i spełniające związki następujące:

x = r cos t, y = r sin t ?

We wzorach (5) zastępujemy v przez r

dz_ dzdx dz dy

dr dx dr ' dy dr ’

dz_ dzdx dz dy

dt dx dt ' dy dt '

Przez różniczkowanie równań, łączącj^ch dawne zmienne z nowemi, otrzymujemy:

dx

dr

= cos t,

dy

dr

= sin t,

dx

dy

dt

= — r sin t,

dt

= r cos t,

po uproszczeniu zaś otrzymamy:    ^

dz

Podstawiamy wartości tych pochodnych w poprzednie równania i otrzymujemy:

dz_ dz

dr dx

dz

dy

sin t,

dz

dz

dz

dt    dx

r sin t -j- 3- r cos t.

dy

Rugując z tych dwóch równań bądź

dz

dx

bądź

dz

dy

otrzymujemy:

dz_ dz

dx dr

dz_ dz

dy dr

cos t —

dz sin t

dt

.    , . dz cos t

sin< + si-r

Podstawiając w dane równanie znalezione wartości na pochodne, mamy: .    , , dz cos t]

sm t+*—,

r cos t

dz

dr

— r sin t

dz

cos t —

dr

dz sin t dt r

Taką zamianę zmiennych spotykamy w teoryi ruchu planet.

PRZYKŁAD III.

— ez — 0

¹ ldzY

x- )

1 [dzY2 y- Uyj

Zastępujemy zmienne z, y i x przez zmienne u, v i t. Równania, łączące dawne zmienne z nowemi, są:

u = x² -f y\

v — x² — y²,

lo g—t = z.

du dt dt dx ’

Mamy wzory (6):

Różniczkujemy dane równania najprzód względem x, następnie względem y.

Znajdujemy:

du

dx

— 2 x,

dv

dx

= 2 x,

dt

dx

= 2 e*

dz

dx ’

du

dy

= 2 y.

dv

dy

= -2 y,

dt

dy

= 2 e*

dz

dy'

Otrzymane wartości na pochodne podstawiamy w poprzednie dwa równania:

dz du dx dt ’

du

XlH,+e‘

y = —y

du

dv

dz du dy d t

Rozwiązując te równania względem

dz . dz

dx ¹ dy'

otrzymam}’:

dz

X [1 —

du

dv

dz

>(■+£)

dx

du

e* — dt

dy

du

ez —

dt

Otrzymane w ten sposób wartości nanie i znajdujemy:

. dz . dz dx ¹ dy

podstawiamy w dane rów-

dv

3'

duY

e2z

y-

du\²

— ez — 0

dt

dt

co po uproszczeniu sprowadzi się do równania następującego:

ir+i-o

du\²

dv

Ponieważ, na zasadzie trzeciego równania pomiędzy dawnemi a nowe-mi zmiennemi, ez =    1, przeto z poprzedniego równania otrzymamy:

¹

— +    sin

n

kłaść kolejno

i otrzymane w ten sposób wartości podstawić w nasz wzór zamiast e.

²

poszukiwali sumy odwrotności «tych potęg pierwiastków przekształconego w powyższy

³

sposób równania, wówczas suma ta byłaby sumą «tych potęg pierwiastków równania danego.

⁴

dz dz d² z d² z d² z dx ’ dy ’ dx² ’ dx dy’ dy²

które zawiera zmienne niezależne y, funkcyę ich z i pochodne cząstkowe różnych rzędów tej funkcyi, wzięte względem zmiennych niezależnych ;c, y.

⁵

RZYPADEK DRUGI.

Funkcye kilku zmiennych niezależnych.

Mamy dane wyrażenie:

du\²

dv

iduy

16 ^

Uwaga. Często bywa wygodniej zastąpić dopiero w ostatniem równaniu dawne zmienne przez ich wartości, wyrażone jako funkcye nowych zmiennych.

Zmienne x i y zastępujemy przez zmienną t, daną przez równanie na

stępujące:

X² — y² — e² K

Jak się zmieni dane wyrażenie? Odpowiedź:

1 d² z e2t dt²

1.

ĆWICZENIA.

idzy i dzy \dxj + [dyj

Jak się zmieni to wyrażenie, jeżeli zmienne x, y zastąpimy przez zmienną t, daną przez równanie następujące:

y x² -j- y² = log t ?

dz\²

Odpowiedź:

t²

dt

2.

d² z d² z

dx²

dy²

3.

3 °'Z

dx²

-f- 2 x² y²

d² z

dx dy

Jrx³y

d² z

dz

dz

dy²

dx

dy

Jak się zmieni to równanie, jeżeli zmienne x, y zastąpimy przez zmienną t, daną przez równanie następujące:

4.

Odpowiedź:

]/x² +y² = t?

d² z 1 dz dt²    t dt

dz

xdx+y

dz

dy

Jak się zmieni dane wyrażenie, jeżeli y zastąpimy przez tir, dane przez równania następujące:

Odpowiedź:

x — r cos t, y = r sin t?

dz

r dr •

Zmienne x, y zastępujemy przez t i r. Równania łączące dawne i nowe zmienne są:

x = r cos t y — r sin t.

Jak się zmieni dane równanie? Odpowiedź:

d² z , 1 d² z 1 dz dr² ' r² dt² ' r dr

5.

d² z , d² z

ĆX-

dy²

6.

Wi

te

c)y

dx dy

dy dx

== 0

Jak się zmieni dane równanie, jeżeli zmienne x, y zastąpimy przez t i v, dane przez następujące równania:

x = {t² -f- v²)2 y = (t² — V²)²?

Odpowiedź:

ćz

V³ -rr t²

ćz

dt

dv

= 0.

s<» ²

ĆZ \ ²

x’ W' +³ *²

Jak się zmieni powyższe wyrażenie, jeżeli zmienne x, y zastąpimy przez zmienne v i t, spełniające związki następujące:

x = ev+ł

y = e*-*?

d² z d² z dv² dt²

7.

dx²

dx

dy

dy

2-+^

Odpowiedź:

8.

ć² u

d² a

d² u

ćx²

dy

ćz²

Jak się zmieni powyższe równanie, jeżeli zmienne X, y, z zastąpimy przez zmienną r, spełniającą równanie następujące:

Odpowiedź:

x² -\- y² z² = r²?

Pu , 2 ću dr² ' r dr

Jak się zmieni to wyrażenie, jeżeli zamiast zmiennych z, y, x podstawimy zmienne u, v, t, spełniające związki następujące:

Odpowiedź:

9.

y — a;

O,

ci

u = log Vx² -j- y², v = arc tang z, t — x -\-y -f- z?

10.

d²u , d²u dUi^ ' dz²

dx²

dy²

Jak się zmieni powyższe równanie, jeżeli zmienne y, z zastąpimy przez zmienne t, r, y i jeżeli między niemi zachodzą związki:

x — r cos t y — r sin t sin y z — r sin t cos y

Wprowadzając zmienną pomocniczą p — r sin t, otrzymamy, że:

p = r sin t x — r cos t

\ y — P sin \ z — p cos y

Na zasadzie otrzymanego w ćwiczeniu 5 wyniku mamy:

d² u . d² u d² u , l d² u .    \ du

² ' p da

dy

2 I⁻

dz²

p²

(1)

er U

d² U d² U

ćx²    dr²

1 d² u, 1 dli r² dt² ' r dr

2)

Stosując zwykły sposób postępowania (zob. przykład II), otrzymamy:

1 du 1 du P dP

r dr

cotg t du, r² dr

Dodając równania (1), (2), (3), znajdziemy:

dx² ' dy² ^ dz² dr² ' r² dt²

p² dy

sT +

2 du , cotg t du r dr'

r² dt

Podstawiając na p jego wartość, otrzymamy równanie:

d² (u r) r-

da

d . sin t-

1 d-u sin² t dcp²

dt

sin t

Równanie to znalazł Laplace, jest ono bardzo ważne w fizyce matematycznej.

dr²

dt

ROZDZIAŁ VIII.

Rugowanie stałych i funkcyi.

Mamy równanie które zawiera stałą a.

Aby otrzymać równanie różniczkowe, nie zawierające stałej, musimy zróżniczkować równanie (1) i wyrugować stałą z równania danego i z jego pierwszej pochodnej, przyrównanej do zera.

Jeżeli równanie dane ma postać

F (x, y, a) = 0

(1)

F (x, y, a, b) = 0

czyli zawiera dwie stałe, to musimy obliczyć pierwszą i drugą pochodną danego równania, i wyrugować stałe a i b z trzech równań: danego równania (2) i równań otrzymanych przez przyrównanie do zera dwóch jego pochodnych. W ten sam sposób postępujemy w przypadku ilukolwiek stałych.

(2)

Mamy równanie

w którem cp jest funkcyą dowolną zmiennej a, zaś u jest oznaczoną funk-cyą zmiennych y, z.

Jeżeli chcemy otrzymać równanie różniczkowe nie zawierające funkcyi dowolnej, to różniczkujemy równanie (3) raz względem x, drugi raz względem y\ następnie z tych dwóch pochodnych i równania danego (3) rugujemy cp (u) i cp' (a).

Jeżeli dane równanie zawiera dwie funkcyę dowolne a i v, będące oznaczonemi funkcyami zmiennych, i spełniające równanie następujące:

F [x, y, z, cp (a), <|> (V)] = 0

to obliczamy pochodne cząstkowe dwóch pierwszych rzędów i następnie z obliczonych pochodnych i z równania (4) rugujemy cp (u), cp' (u), ty (v), ']/ (v). Postępujemy w podobny sposób w przypadku ilukolwiek funkcyi dowolnych.

F [x, y, z, cp (u)] == 0

(3)

(4)

PRZYKŁAD I.

Wyrugować stałe a i b z równania kuli:

(x — a)² -f- (y — b)² — R²

Różniczkując to równanie dwukrotnie, otrzymujemy następujące dwa

równania:

dy

{x — a) + (y — b) = 0

(2)

1 + (A - b)

d²_y

dx

(B)

’dy\²

Z równania (3) znajdujemy, że y — b = —

dx

d²y

dx²

podstawiając wartość y — b w równanie (2), otrzymujemy:

dy\²

dx

dy

d² y

dx

dx²

Dalej, podstawiając w równanie (l) znalezione wartości na y — b i x — a, znajdujemy ostateczną odpowiedź:

^y\²lł dx

d²y dx²

Jest to wzór na promień krzywizny krzywych płaskich.

PRZYKŁAD II.

Wyrugować funkcyę cp z równania:

y — n z = cp (x — m z)

Obliczając cząstkowe pochodne względem x i względem y, mamy równania następujące:

dz

()Z

dz

n -dy

= — y (x — m z) m

ÓZ

dy '

Dzielimy te dwa równania stronami; po uproszczeniu otrzymujemy:

dz

mdx+n

dz

dy

Równanie to jest równaniem różniczkowem powierzchni walcowych.

PRZYKŁAD III.

Wyrugować cp i <{> z równania:

Z = X cp (z) + y/ ty (z)

Po zróżniczkowaniu otrzymujemy dwa równania o pochodnych cząstkowych:

dz

dx

= 9 (z) + * ?' (z)

dz

dz

dx

dx '

dz

iTT = ł (Z) + y ?' (z)

dz

dy

dy/

-j- X cp' (z)

dz

dy'

albo po uproszczeniu:

dz

^ [1 — * 9' (z) — y f (z)] = 9 (z)

dz

t¹ — a: 9' (z) — y f (z)] = ']> (z),

dy

Dzieląc te dwa równania przez siebie, otrzymujemy:

dz

o.

9 (z)

dz <!> (z)

Kładąc

9 (z)

dy

<ł> (*)

— F (z), mamy:

dz

dx

dz

= ^(z)

dy

dujemy:

Różniczkując powtórnie, raz względem x, drugi raz względem y, znajdź ldz\²

dz d² Z dz d² Z dy dx² dx dy dx

= F\z)

dy

dz d² Z dz d² Z_F

dy dx dy dx dy² '

dz

dz

Mnożymy powyższe równania jedno przez

i odejmujemy od siebie; mamy ostatecznie:

dz\² d² z ₉ dz dz d² z dy ] dx² ~ dx dy dx dy

Jest to równanie różniczkowe powierzchni skośnych z płaszczyzną kierowniczą.

Uwaga. W celu uproszczenia wzorów wprowadza się zazwyczaj następujące symbole:

dy

drugie przez

dz\² d² z dx) dy²

= 0.

o-

dz

dz

= r,

d² z

d² z _

dx dy S ’ dy²

= t.

Jeżeli zastosujemy powyższe oznaczenia w dwóch ostatnich przykładach, wówczas rezultat otrzymany można będzie napisać w potaci następującej :

mp -f n q = 1,

ą² r — 2pqs-\-p²t = 0.

ĆWICZENIA.

1. Wyrugować stałą a z równania:

Odpowiedź:

dx

-w

dy

dx

-f- m = 0

2. Wyrugować stałą a z równania:

Odpowiedź:

x—y

x — 2 y -\-y

dy

dx

3. Wyrugować stałe ax, a₂, av ... . an z równania:

y — ax xn a₂ x,!_1 -f~ az xn ~² -(-••• -f- x

Odpowiedź:

dy    x² d² y

X dx 1.2 dx² 1 1 .

dA y

cc

dx³

dn y

— 1.2.3 . . . n

xn

4. Wyrugować stałe a, b, c z równania:

z = ax -j- by -j- c,

w którem y oznacza funkcyę zmiennej Odpowiedź:

d² y d³ 2    d² z dzy

dx² dx'A dx- dxz

Jeżeli warunek, wyrażony w tem równaniu, jest spełniony, wówczas z krzywej o podwójnej krzywiźnie otrzymujemy krzywą płaską.

5. Wyrugować stałą a z równania:

(a m -J- ń) (x² — a y²) — a k²

Odpowiedź:

nxy{-£i

-f- (m x² — ny² — &²)

dy

6. Wyrugować stałe a, b z równania;

_y² = a (b² — x²).

Odpowiedź:

d² y

<&C²

7. Wyrugować funkcyę logarytmiczną i kątową z równania:

_y = sin (log x)

Odpowiedź:

dy

dx²

+y = o

8. Wyrugować funkcyę wykładniczą z równania:

ex + e~x

ęx - e-x

Mnożymy licznik i mianownik lewej części równania przez ex\ z równania w ten sposób otrzymanego obliczamy wartość e2x, następnie logaryt-mując otrzymujemy wartość na 2 x, wreszcie otrzymujemy równanie, które po zróżniczkowaniu daje jako ostateczny wynik:

dy

dx

= 1 —y²

9. Wyrugować funkcyę wykładnicze i goniometryczne z równania:

y = a emx sin n x

dy

d² y

Odpowiedź:

dx²

10. Wyrugować stałe a, b, c, e i funkcyę kątową z równania:

y = a ex -f- b e~x -j- c sin (x -j- m) Różniczkując cztery razy, otrzymujemy:

-y = o

d⁴y

dx⁴

11.

Wyrugować <p z równania:

y — b

= ę (---

p (x — a) -j- q (y — b) = z — c Jest to równanie różniczkowe powierzchni stożkowych.

Odpowiedź:

12. Wyrugować cp z równania: z — <p (x² -j- _y²)

Otrzymamy równanie różniczkowe powierzchni obrotowych:

p y — q x = t)

13. Wyrugować © z równania:

I y² — x'²\ z = ^(—

Odpowiedź:

dz

óx

+ (*² +/)

dz

oy

14. Wyrugować cp z równania:

Otrzymujemy równanie różniczkowe powierzchni konoidalnych: p (x — m z) -f- q (y — n z) = 0

15. Wyrugować cp z równania:

z = —--

cp (x + a_y)

Odpowiedź:

Oj Oj

dz

d;c

16. Wyrugować cp z równania:

Odpowiedź:

yz

dz

óy

H- x z

dz

dx

17. Wyrugować cp i <[> z równania:

z_^{xĄ-ay) ty (x — ay)

Odpowiedź:

q² 4- r t — a² {p² -f- r z) = O

18. Wyrugować rp₂, <p₃ z równania:

u = cp₁ (a:² — y²) <p₂ (y² — z²) <p₃ (z² — a:²)

Odpowiedź:

dii

yz^+zx

dli

du

dy

+ xy dz

19. Wyrugować cp i ty z równania:

2: = ę (x -f- a y) -j- cp (x — a y)

Odpowiedź:

d² z ₂ d² z dy2 a dx²

20. Wyrugować cp i ty z równania:

2 = Xn cp

Odpowiedź:

Jz

x^+y

dz

dy

Jest to równanie różniczkowe funkcyi jednorodnych n%° stopnia.

21. Wyrugować cp i Ą z równania:

Odpowiedź:

Z=x<p (xy) + y ty (xy)

t y² -j- r x² — 2 sxy-\-qy-\-px — z

22. Wyrugować cp i ty z równania:

z = y (a y b x) ty (a y — b x)

Logarytmując, otrzymujemy:

log z = log cp {a y -J- b x) -f- log ty (a y — bx)

Ponieważ funkcye cp i ty są funkcyami dowolnemi, więc i logarytmy ich są także dowolne. Oznaczając tedy przez F, f funkcye dowolne, możemy położyć:

skąd:

log cp (a y -f- b a;) = F {a y -f- b x), log ty {a y — b x) —f (a y — b x),

log z — F{ay -ty b x) -ty- f (ay — b x).

Rugując F i /, ostatecznie znajdujemy,

że:

q²) = 0

23. Wyrugować cp, i £ z równania:

x <p («)    ^ («) -f 2 £ («) = 1,

w którem u jest funkcyą x i y, a z jest określone przez równanie x <p' (u) -f- y f (u) -f z £' (u) = O. Otrzymujemy równanie powierzchni rozwijalnych:

r t — s² = 0.

ROZDZIAŁ IX.

0 wyznaczaniu funkcyi, które przy pewnych wartościach zmiennej niezależnej stają się nieoznaczone.

Niech będzie dany ułamek

F(x)

/(*)

w którym licznik i mianownik są funkcyami zmiennej x. Jeżeli funkcye te są określone przy x = x₀, może się zdarzyć, iż przy tej wartości zmiennej

lub —. O ile obie

co

niezależnej ułamek przybiera postać nieoznaczoną —

funkcye posiadają pochodne przy x = x₀, prawdziwą wartością ułamka jest

F (*o)

^ f

j)

t. j. iloraz pochodnych, w których nadaliśmy zmiennej x wartość x₀.

Jeżeli funkcye F' (x₀), f (x₀) dąż$u obie do zera lub do nieskończoności, gdy x dąży do x₀, wówczas prawdziwą wartością danego ułamka jest

F" (x₀)

r (x₀) ■

Jeżeli drugie pochodne znów obie dążą do zera lub do nieskończoności, gdy x dąży do x₀, wówczas za wartość prawdziwą uważamy

i t. d.

F" (Xq)

Ten sposób postępowania zawodzi, jeżeli przy x = x₀ wszystkie pochodne funkcyi F (x) i / (a:) stają się zerami lub wszystkie dążą do nieskończoności. W tym wyjątkowym przypadku możemy zastąpić x przez W*^Łf ? x„-j- h, rozwinąć w szereg zarówno licznik jak mianownik danego ułamka, v a po wykonaniu wszelkich uproszczeń położyć h = 0. W ten sposób i    otrzymamy wartość prawdziwą ułamka.

Zdarza się, iż funkcya przybiera przy pewnych wartościach zmiennej

niezależnej inną postać nieoznaczoną. W takim razie staramy się przez odpowiednie przekształcenie sprowadzić ją do postaci -jj- lub —.

Przypuśćmy np., iż przy x = x₀ funkcya F (x) . f (x) przybiera postać nieoznaczoną 0 X co. Pisząc

F{x) _ f (x)

F(x) . f (x) =

/ (x) F (x)

otrzymamy dwa ułamki, które przy x = x₀ przybierają postaci —

Przypuśćmy jeszcze, iż przy x = x₀ funkcja F (x) — / (x) zamienia się w co — co. Kładąc

F(x) =

cno

Fx (x)'

przyczem (x₀) = fx (x₀)    0, mamy

/ (x) =

fi (*)’

F (x)    / (x) =

¹    ₌ fi (x) - FL (x)

Fi fx (x) Ft (x) . fx (x)

i przy x = x₀ otrzymujemy znów wyrażenie nieoznaczone

Jeżeli funkcya F {x)f(x) zamienia się przy x = x₀ w 0°, co⁰, 1°° lub t. p., wówczas logarytmujemy ją i znajdujemy wartość prawdziwą loga-rytmu. Niech v będzie tą wartością; w takim razie ev jest szukaną wartością prawdziwą funkcyi F{x)f(x).

PRZYKŁAD I.

Mamy dany iloraz:

x⁴ — 8 x³ -f 22 x² — 24 x + 9 x⁴ — 4 x³ — 2 x² + 12 x -4- 9 ’

o, o

Kładąc x = 3, otrzymujemy

Stosując sposób podany wyżej, czyli obliczając iloraz pierwszych pochodnych licznika i mianownika, mamy:

4 *³ - 24 x² -f 44 * — 24

co po uproszczeniu daje:

x³ — 6 a:² —11    — 6

x³ — 3 x‘² — * -j- 3

Kładąc w tym ilorazie x = 3, otrzymujemy znów , szukamy więc drugich pochodnych. Nowy iloraz równa się:

3 ;t² — 12 x -f 11 3 x² — 6 x — 1

Wartość tego ilorazu przy x = 3 jest -dziwą wartością danego ilorazu przy x = 3.

. Wobec tego - jest praw-

PRZYKŁAD II.

Mamy znaleźć prawdziwą wartość wyrażenia następującego:

1.

(x — a)m

przy x — a,

(A² — a²)n

przyczem m i n są liczbami całkowitemi i m < n. Przy x — a powyższy iloraz przybiera kształt

, natomiast ilorazy

CO

wszystkich pochodnych mają kształt . Wobec tego kładziemy = a -f- h.

Dany iloraz przybiera postać następującą:

*-r*' ⁰

i.

hm

hm

n-471 hm n

JL

[(a -j- h)'² — a²]w hn (2 a -j- h)n (2 a -j- h)n

Kładąc w tern wyrażeniu h = 0, otrzymujemy 0. Prawdziwa więc wartość danego wyrażenia przy x — a jest 0.

/PRZYKŁAD III.

Znaleźć prawdziwą wartość wyrażenia:

— a: tang X

przy a: = —

Kładąc X = zenie napiszemy w postaci:

, otrzymujemy 0 X ⁰⁰ ? jeżeli natomiast dane wyra-

--x

---a:

ctg a:

tg x

wówczas przy x = — otrzymujemy

Iloraz pochodnych obu wyrazów tego drugiego ułamka równa się

= sin¹ x — 1

sin¹ a:

Szukana więc wartość prawdziwa równa się 1. Pisząc dane wyrażenie w postaci

tg a; :

to rl

i kładąc x =    , otrzymujemy —.

Iloraz pochodnych dzielnej i dzielnika równa się

COS¹X

—--X

COS¹ X

przy

= 1.

7T

Kładąc x = — w ułamku

U l(M

, otrzymujemy

-; prawdziwą war-

COS¹ X

tość tego ułamka znajdujemy, obliczając iloraz pochodnych obu wyrazów

sin x

i kładąc x = -

. Otrzymujemy w ten sposób

sm

C\o Ł

— T,f'

ti ;<M

rl/o

%aJaaaJA/^ > inrt Cl*hU C ptOlm aj

«Ł "f*

Zatem prawdziwa wartość danego wyrażenia równa się

1X1 = 1.

PRZYKŁAD IV.

Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi (1 Kładąc x = 0, otrzymujemy 1°°. Natomiast logarytmując, mamy

m x)x przy a; = 0.

t /! .    \— log (1 4- m x)

log (1 -f- m x)x — ———---

;c

= 0 daje -5-.

Iloraz pochodnych licznika i mianownika tego ułamka równa się

co przy x

; kładąc w nim x = 0, otrzymujemy m.

1 -j- 171 X

Prawdziwa więc wartość funkcyi log (1 -j- m x)x przy x — 0 równa się m; z tego wynika, że prawdziwa wartość danej funkcyi równa się em.

ĆWICZENIA.

■X³ — 5 x* -\-l x — 3 a:³ — x² — 5 a: — 3 ’

znaleźć prawdziwą wartość tej funkcyi przy x = 3.

1.

Odpowiedź:

x³ — 4 a x² + 5 a² x — 2 aA a;³ — 3 a² x — 2 a³

znaleźć prawdziwą wartość tej funkcyi przy x = 2 a.

2.

Odpowiedź:    —.

1 -f- sin x — cos x 1 -f- sin p x — cos p x ’

znaleźć prawdziwą wartość funkcyi przy x = 0.

3.

Odpowiedź:    .

94

4.

sm x — cos x

sin 2 x — cos 2 x — 1?

znaleźć prawdziwą wartość funkcyi przy x =

Odpowiedź:

1 _ 6 x² + 5 x⁴.

1 — 4 x² — 5 x⁴ ’

znaleźć prawdziwą wartość funkc}Ti przy x = + —\=.

V5

5.

2

Odpowiedź:    -7

cotg x -j- cosec x — 1 cotg x — cosec x 1 ’

znaleźć prawdziwą wartość funkcyi przy x =    .

Odpowiedź: 1.

6.

7.

tang x — sin x

sin³ x

znaleźć prawdziwą wartość funkcyi przy x — 0.

Odpowiedź:

8.

a — \ a x

znaleźć prawdziwą wartość przy x = a. Odpowiedź: 3 a.

]/a² -}- a x -f- x² — Va² — a x -f- x². ]/ a Ą- x — V a — x

znaleźć prawdziwą wartość przy x = 0.

Odpowiedź:    ]/a.

9,

N/

v3f-

alog* — x

log X

znaleźć prawdziwą wartość przy x = 1. Odpowiedź: — 1 log a.

arc cos (1 — x) 1/2 x — x2 znaleźć prawdziwą wartość przy a: = 0. Odpowiedź:    1.

11.

12

a; e

— e2x— a: -j- 1

e2x — 1

znaleźć prawdziwą wartość przy x — 0. Odpowiedź: — 1.

IB.

ex — e~~x

log (1 — x) znaleźć prawdziwą wartość przj^ a; —- 0. Odpowiedź: 2.

14.

cos a x — cos a n

n- — a:²

znaleźć prawdziwą wartość przy x — n.

a sin a n

Odpowiedź:

15.

sin m x \²

Or¹

sin a;

znaleźć prawdziwą wartość przy a: = 0; m jest liczbą całkowitą. Odpowiedź: m².

16.

1 — cos a;

X log (1 -j- x) ’ znaleźć prawdziwą wartość przy x = 0.

Odpowiedź:

17.

(x — a)n

znaleźć prawdziwą wartość przy x — a.

Odpowiedź: Różniczkując 11 razy, znajdujemy następującą prawdziwą

mn e

wartość tego wyrażenia:

1.2.3 ... /z

następujące:

- V —46 '/ ,

/i/y~- £' / '/KsfiAć' i '

'*

v^rv

/Yr4dlAjQ '^AA

AA> S' 'i OOj -L iso./A ^ ii V

'    ‘ w^JśTaJL f

96

18. Wyrażenie następujące:

— (/z -{— 1) a:’,+1 -f- /z x,i+2

(1 - x)²

jest sumą pierw-

szych n wyrazów szeregu: ;c -j- 2 x² -[- 3 xz -f- . . . -j⁻ n Xn. Jaka jest prawdziwa wartość tej sumy przy x = 1 ?

Odpowiedź: naturalnego.

n{n -f- 1)

; jest to suma pierwszych n liczb szeregu

19.

x -\-xz — (2 nJ\-Y)x

2 n +1

(1 — x²)

-j- (2 n — 1) x

2 n +3

znaleźć prawdziwą wartość przy x = 1.

Odpowiedź: n².

20. Sumą n wyrazów szeregu: a: -j- 4 x² 9 x:i -j- • • • -j- n² xn jest wyrażenie x -j~ X² — (n -(- l)² xn+1 -f- (2 n² -j- 2 n — 1) xn+2 — n² xn+z

(1 - x)³

znaleźć prawdziwą wartość tej sumy przy x — 1.

Odpowiedź: n liczb szeregu naturalnego.

n (n -f- 1) (2 n -f-1)

; jest to suma kwadratów pierwszych

21.

x³ — 4 a x² -f- 7 a² x — 2 a² — 2 a² ]/2 a x — a²

x² — 2 a x — a² 2 a V 2 a x — a:²

znaleźć prawdziwą wartość przy x = a.

Odpowiedź: Różniczkując cztery razy to wyrażenie, otrzymujemy praw-

(Euler).

dziwą wartość — 5 a.

22.

(x² -j- a²) (x² — a²) 2

(3 x³ — a² x) {x² — a²)^ znaleźć prawdziwą wartość przy x = a.

Wzorując się na przykładzie II, zamiast a; kładziemy a -j- h\ stąd

2 ]/ 2

otrzymujemy prawdziwą wartość w postaci: . ......1.

3 a² VS a

23.

W

(a² — x²)i -)- (a — x) (a — x)% -f- (a³ — a;³) ²

znaleźć prawdziwą wartość przy x = a.

Zamiast a; kładziemy a — h i, stosując metodę powyżej wskazaną*

}//2 a

otrzymujemy:

1 + a l/3

„ ;• ;'■: -ji 'V /~/C

yt'

a więc prawdziwa wartość

Prawdziwa wartość drugiego czynnika jest

n

całego danego wyrażenia jest: — .

- P

27.

LO i-*

24.

znaleźć prawdziwą wartość przy x = a.

Zamiast x kładziemy a— h i znajdujemy dla danego wyrażenia nastę-

V 2 a

pującą wartość prawdziwą:

|/B a²

25.

2 X² tg 71X

znaleźć prawdziwą wartość przy x = 0.

Kładąc x = 0 -|- h i rozwijając daną funkcyę według wzoru znalezionego wyżej (ćwicz. 5, rozdział VI, dział II), następnie zakładając h = 0,

7l²

otrzymujemy jako prawdziwą wartość funkcyi:    .

26.

jęm _jęin+n

znaleźć prawdziwą wartość przy x = 1.

Daną funkcyę możemy napisać w postaci:

x"

1 — xn

1 -j- X*>    1 — X*

; przy

x = 1 pierwszy czynnik równa się

, drugi czynnik zamienia się w

cos ax — cos an

(n² — x²)m znaleźć prawdziwą wartość przy x = n.

Funkcyę tę możemy napisać w postaci

cos ax — cos an

(n + x)m (n — x)m

Przy x = n, pierwszy czynnik równa się:

drugi czynnik zamie-

₀    (2 nr’

ma się w Różniczkując m razy, znajdujenry jako prawdziwą wartość

(— l)w

drugiego czynnika:

am cos (an -f -- mx)

1.2 .    ... m

Na zasadzie tego prawdziwa wartość całego wyrażenia jest:

am cos (an -f- — mx)

(2 n)m .1.2.3 . .. m *

(— 1)“

xm

28. Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi

Różniczkując m razy, znajdujemy następującą wartość prawdziwą:

1 . 2 . 3 ... m

przy x = oo.

log x

29. Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi Odpowiedź:    0.

\y

przy x = oo.

3Q, Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi |

2x

IO fi

%j tg ^ przy x = - -.

funkcya przybiera postać nieoznaczoną 0 . oo.

Przy x =

2

Prawdziwa jej wartość =.—

7C

7tX

Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi sec-^- log — przy x = 1.

o    X

i

32. Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi 2X sin ~

Funkcya przybiera postać nieoznaczoną oo . 0.

Prawdziwa wartość = a.

31.

Prawdziwa wartość

71

V!

X = OO.

33^ Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi ^ a² — x² cotg

a -f x

przy x — a.

Funkcya przybiera postać 0 . oo, możemy ją jednak napisać inaczej, mianowicie:

l/— V a-\-x

tg

lZ*Z=*

Y a-\-x

+x).

Przy x = a granicą pierwszego czynnika jest 1; wartość drugiego

4 cl    .    4 a

czynnika jest —; prawdziwa więc wartość danej funkcyi jest

TC    7C

X

34. Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi -

y/    .    x

Funkcya przybiera kształt oo — oo; sprowadzając ułamki do wspól-

x log x — x -f-1 1) log * *

Funkcya napisana w tej postaci, przybiera przy x = 1 postać —, stosując więc zwykłą metodę, otrzymujemy prawdziwTą wartość: —.

TZX- 1

nego mianownika, otrzymujemy:

(x

log x

35. Funkcya

jest sumą szeregu:

2 + i t. d.

l² -{- x2 1 2² -(- x² 3² -f~ x

Jaka jest prawdziwa wartość tej sumy przy x = 0?

Przy x = 0 suma ma kształt oo -j- oo.

Postępujemy podobnie jak w poprzedniem ćwiczeniu i znaidujemy

TT²

jako prawdziwą wartość —-; jest to suma odwrotności kwadratów szeregu liczb naturalnych.

36. Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi ---

4 X

Funkcya dana jest sumą szeregu:

(EULER).

Tl

2 x (enx + 1)

przy x = 0.

l² + x²

2 “j⁻ i t. d.

3² -j- x²

Przy x = 0 funkcya przybiera postać nieoznaczoną oo — oo. Postępując podobnie jak w ćwiczeniu 34, znajdujemy, że prawdziwą

5² + x

wartością jest

Tl²

; jest to suma odwrotności kwadratów liczb nieparzystych.

(Euler).

37 Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi

xn

przy x = 0.

Funkcya przybiera postać nieoznaczoną oo°. Logarytmując, mamy: 1 \P”

l0g

— — nxm log x = —

log x

n —-—.

-/u , <

Xm

Prawdziwą wartością otrzymanej w ten sposób funkcyi przy x = 0 jest 0.

równa się e° — 1.

A więc prawdziwa wartość

; 1 \*m

danej fnnkcyi I —-

/U

«    . Ma.

Alt

AM ~ł

- yU

nu

zs.

LO r)

38. Znaleźć prawdziwą wartość cos a:

Funkcya przybiera postać nieoznaczoną: 0°.

Logarytmując, otrzymujemy, jako prawdziwą jej wartość, 1.

cos X

przy a; =

TC

39.    Znaleźć prawdziwą wartość funkcyi tgA'tg2a: przy a; = —. Funkcya przybierać postać nieoznaczoną: l⁰⁰.

Prawdziwa wartość jest: —.

40.    Znaleźć prawdziwą wartość

dy

dx

przy x = 0 i y = 0 z równania:

y⁴ — a¹ y² -f- 2 a² a:² — x⁴ = 0.

41.

Odpowiedź:

dy

Znaleźć prawdziwą wartość pochodnej

(y² -f- ax)² — x² (a² -f 2    — a;²) przy x = 0 i y = 0.

Odpowiedź: + 1.

dx

z równania

¹

--X

ROZDZIAŁ X.

Maxima i Minima.

§ 1. Funkcye wyraźne jednej zmiennej niezależnej.

Niech będzie y = F (x) funkcya wyraźna zmiennej a;.

Każdy pierwiastek rzeczywisty równania F' (x) = 0, dla którego F" (x) =ł= 0, jest wartością x, której odpowiada maximum lub minimum funkcyi y; a mianowicie, jeżeli dla znalezionej wartości x mamy F" (x) <Z0, wartość ta odpowiada maximum funkcyi, jeżeli zaś mamy F" (x) > 0, znaleziona wartość na x odpowiadać będzie minimum funkcyi. Jeżeli przy znalezionej wartości a: mamy F" (x) — 0, to nie zachodzi ani maximum ani minimum, chyba że mamy F"' (a:) = 0, oraz Fn (x) =4= 0, w tym wypadku mieć będziemy maximum, jeżeli F1Y (x) <C 0, minimum zaś, jeżeli FlY (x) > 0 i t. d.

W twierdzeniu tem zakładamy, że funkcya F (x) oraz jej pochodne są ciągle w pobliżu wartości (a:), znalezionej z równania F' (a;) = 0.

Istnieją wprawdzie wyjątki z tej reguły, lecz nie mają one znaczenia w zastosowaniach praktycznych.

PRZYKŁAD.

Mamy daną funkcyę: y = xb—axi -)- b, którą możemy przedstawić w postaci następującej:

F (yc) = x⁵ — axi -j- b.

Różniczkując dwa razy, otrzymujemy:

F' (x) = 5 a;⁴ — 4 axs F" {x) = 20 a? — 12 ax².

Pierwiastkami równania F' (x) = 0 t. j, równania x³ (5 x — 4 a) = 0 są liczby ^ i 0.

5*

64 a³

podstawimy w F" (x), otrzymamy ———. Pierwiastek ten

Z O

odpowiada mimimum funkcyi y, gdyż F" (x) > 0. Minimum to równa się 4&\4 ”5') '

Przy x = 0 mamy F" (x) = 0, różniczkując jednak dalej otrzymujemy: F"' (x) = 60 jc² — 24 ax FlY (x) = 120 x — 24 a.

Przy x== 0 mamy F" (x) — 0, lecz FlY (x) = — 24 a. Pierwiastek 0 wyznacza na y wartość maximum, mianowicie y = b.

Jeżeli x==

Ol £

cXl £

Im,

ĆWICZENIA.

>•

y = a* — 12 a:²+ 45 xJO. Odpowiedź: Przy x = 5, y osiąga minimum, Przy x — 3, y osiąga maximum.

■ SL

2.

y = a:⁵ — 75 a:³ + 1620 x — 1000.

Przy x ==■ 6, y osiąga minimum, Przy j X

y osiąga maximum,

\x = S

X — — 3, y osiąga minimum.

y = 10 a:⁶ — 12 xb -j- 15 Ad — 20 a:³ -j- 20. Przy x= 1, y = 13 mamy minimum,

Przy x — 0 niema ani maximum, ani minimum.

przy x = 1; y — 2 maximum, przy x = — 1; y — — 2 minimum.

4.

Przy x =3, y osiąga minimum.

1 — x (1 + *)² '

5.

x² — 3x-f2 -J- 3 x -\- 2 ’

12 V 2 — 17, minimum,

Przy x = ]/ 2 Przy x = — l/2, _y — — 12 ]/ 2 — 17, maximum.

aĄ-x a² x²

Po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

dy __ n² — 2 ax — x2 (a² -f- x²)²

Aby ta pierwsza pochodna była równą zeru, trzeba, żeby było a² — 2 ax — x² = 0.

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy dwa pierwiastki:

dx

x' = + a (]/ 2 — 1), — a(]/~2-fi).

x" =

Aby się przekonać, czy te dwa pierwiastki dają minimum czy też maxi-mum funkcyi, wystarczy zróżniczkować tylko licznik pochodnej

dy

dx ’ ponie-

waż mianownik, będąc stale dodatni, nie wpływa na znak drugiej pochodnej. Mamy tedy:

d . (a² — 2 Ctx — x²)

dx

= — 2 a — 2 x.

W otrzymanym rezultacie podstawiamy wartości x' i x" i znajdujemy, że gdy x' = a (]/ 2 — 1), y osiąga maximum,

y osiąga minimum.

przy

x" = — a (]/ 2 -f 1),

7.

x (x² -f 1)

(x² —l)² + x²'

Postępując w podobny sposób, jak w ćwiczeniu poprzednim, otrzymujemy, że

y = (x? — 1) (x* — 1).

10.

y = 1, maximum, _y = 0, minimum.

x³ — a; a:⁴ — a:² -f-1

W tym ćwiczeniu możemy także zastosować sposób postępowania wskazany w ćwiczeniu 6. Otrzymujemy:

1 + 1/6.

2    ;    2’

przy x

maximum.

przy x

L-O H-‘

(a -j- x) (b -f- a:) (ia — x) (b — x)

Przy x = Vab.

Vą-\-Vb \²

]/ a — V b

, minimum,

przy a: =

— Vab,

Va-Vb\²

Va + Vb

, maximum.

Zakładamy, że x^ — z; wtedy przy z = 0,

z= 1,

11

Przy a: =

CO

V ax — x². 3 ]/ 3

4~’ ^— 16

y = a:

a², maximum.

(M

y= + x

— a;

(Strofoida).

u    r 5 — i

Przy a: = — a-——, y maximum.

D

₌    ^ + F (H-*)_

(/    x)-\-2 a Vx -[- V (1 Ą-x) — 2 a Vx

Przy a = 1, y =

, minimum.

1 + /l — a²

Wartości x, otrzymane z równania sin x = 0, dają na y wartość w¹, która stanowi maximum funkcyi; wartości x otrzymane z równania sin mx — 0 dają na y wartość minimum; z równania m tg x = tg mx otrzymamy wartości x, przy których y osiąga minimum.

16

14

logx '

Przy x = e, y = e minimum.

15.

sin¹ mx

sin¹ x

ex

sin (x — a)'

Przy x — a -f- -

5 TC

Przy x = a -j —,

y = y 2 ./ +

y = -V2 ,ea+

, minimum.

, maximum.

ty

y = sin x cos (a — x). 1 sin a

, maximum.

18.

Przy x =

1 — sin a

, minimum.

y = ax+l — ax — x.

Przy x — —

log [{a — 1) log a]

log a

zależnie od tego czy a ■< 1 czy też a> 1.

, y będzie maximum, albo minimum,

19.

y _ tgrn X % tg« (,a — X).

m ,

— tg a, y osiąga maximum.

Gdy mamy tg (a — 2 x) = \\m 20. Znaleźć taką liczbę x, by ]/x było możliwie największe.

JL

Mamy znaleźć maximum funkcyi y — xx; otrzymamy, że przy x = e,

i

y = ee będzie maximum.

21. Mamy dany odcinek i prostą do niego równoległę. Znaleźć na prostej taki punkt, z którego dany odcinek byłoby widać pod największym kątem.

Niech punkty B i C będą końcami danego odcinka*); punkt A niech będzie punktem szukanym na prostej równoległej. Łączymy punkt A z punktami B i C; z punktu A prowadzimj/ prostopadłą AD do prostej BC. Zakładamy, że BC = b, AD = h, BD = x. Styczna kąta BAC równa się

styczna ta osiąga maximum.

bh

k² — bx -f- A

LO

Mamy dane dwa równe boki i jedną podstawę trapezu równoramiennego; wyznaczyć drugą podstawę trapezu tak, by pole jego było jaknaj-większe.

22.

Niech ABCD będzie trapezem, AB niech będzie większą, DC zaś mniejszą podstawą; AD niech będzie jednym z równych boków. Z punktu D prowadzimy prostopadłą DP do AB i zakładamy, że DC = a,

AD = BC — b, AP = a.

Pole trapezu równa się (a -)- x) /b² — a²; jest ono największe, gdy

)/fla -f 8 b²

Go staje się z polem trapezu, gdy

)/a² -f 8 b\

1° ₄

2° a = b;

B° a> b.

Gdy a — 0, trapez staje się trójkątem; maximum zachodzi przy a

(MAUPBRTUIS).

23. Wpisać największy prostokąt w odcinek danego koła.

Oznaczamy przez r promień koła, przez a odległość cięciwy odcinka

od środka koła, przez a: bok prostokąta prostopadły do cięciwy. Pole prostokąta równa się:

Przy a =

2 x]/r² — (a -(- a)². J/9 a²-f-8 (r² — a²) — 3 a

pole to osiąga maximum.

r

Jeżeli a = 0, wartość x, odpowiadająca maximum funkcyi, jest a pole prostokąta równa się r².

i/i’

*) Czytelnik winien w niniejszem i w następnych zadaniach wyrysować odnośną figurę według podanych przez nas wskazówek.

24. Podzielić liczbę a na takie dwie części, ab}^ iloczyn mteJ potęgi jednej części, przez nu> potęgę drugiej części był jaknaj większy.

ma

mĄ-n’

Zadanie to prowadzi do równania y — xm (a — x)n. Przy x y osiąga maximum.

25. Na jakiej wysokości nad płaszczyzną należy umieścić punkt świecący, aby punkt tej płaszczyzny, znajdujący się w danej odległości od rzutu świecącego punktu na tę samą płaszczyznę, był jaknajsilniej oświetlony?

Niech w L znajduje się punkt świecący, A niech będzie jego rzutem na płaszczyznę, P punktem płaszczyzny, znajdującym się w danej odległości AP od rzutu punktu świecącego. Łącząc te trzy punkty, otrzymamy trójkąt LPA, prostokątny przy A. Niech będzie AP = a, <£LPA = x, dzielność punktu świecącego oznaczmy przez /, ilość światła, padającą na element płaszczyzny, przez F(x); stosując prawo zmiany natężenia światła wraz z odległością, otrzymamy:

F(x) = sin a: cos² x.

Przy tg x =

funk-cya osiąga maximum; mamy wówczas

F(x) =

2/

3 J/S. a²

26. Pod jakim kątem należy mierzyć daną wysokość, aby błąd popełniony przy pomiarze był jaknajmniejszy?

Niech MP będzie mierzoną wysokością, w płaszczyźnie zaś poziomej, przechodzącej przez punkt P, niech znajduje się punkt O, z którego mamy dokonać pomiaru.

Poprowadźmy proste OP i OM, następnie na przedłużeniu MP w zwrocie od P ku M uważajmy punkt M', znajdujący się w nieskończenie małej odległości od M. Prowadzimy prostą OM', a z punktu M prowadzimy do niej prostopadłą MK•

Niech będzie MP=h, <£ MOP = x, <£M' OM = lx, MM! = A h. Z trójkąta MM' K mamy

KM = A h . cos ;c, czyli ——— A x — A h . cos x J sin x

skąd

sin x . cos x

Minimum A h otrzymamy przy minimum funkcyi

sin x cos x

a więc przy maximum funkcyi sin x cos x, ponieważ h i A x są stałe.

Przy x = ₉ ] 2, funkcya sin x cos ^ osiąga maximum. Przy mierzeniu wysokości należy tedy wybierać podstawę, z której wykonywamy pomiar, o ile możności równą wysokości mierzonej.

27.

Znaleźć najmniejszą elipsę, którą można opisać na danym trapezie. Niech 2 a i 2 a' będą równoległymi bokami trapezu, przyczem niech będzie 2 a <2 a'. Niech będą 2_y i 2 y' dwie średnice sprzężone elipsy, tworzące z sobą kąt 9; średnica 2_y przechodzi przez środek boków 2 a i 2 a'; niech c oznacza część średnicy 2 y, zawartą między równoległymi bokami trapezu, ax niech będzie częścią średnicy od środka elipsy do boku 2 a.

Przy powyższych oznaczeniach otrzymujemy:

y²

a²=^ (y² — x²),    a'² = — [y² — (c — x)²].

y²

Kładąc

a'² — a²

ez_Ą- c

znajdujemy:

/c² e² z² -j- z (4 a² 2 eć)

Zc² -J- e² z² -(- 2 (4 a² -f- 2 eć)

2 Z~z

Wzór na pole elipsy jest 7t sin 9 yy'; podstawiając w ten wzór wartości na y i y', otrzymujemy:

7i sin 9 ć² -j- e² z² -I- z (4 a² -j- 2 ec)

l/z

Przy

[2 Za'⁴ — a'²a²-\-a⁴— (a ² ~j- a²)] c²

3 {a’² —a²)²

czyli przy

_[a'² — 2 a² -j- Z a'⁴ — a’² a² -j- a⁴] c

3 (a'² — a²)

minimum pola elipsy będzie:

2 % c sin 9 \a'⁴ — 4 a'² a² -j- a⁴ -f- (a'² -|- a²) ]/a!⁴— a!² a²-\-a⁴

3 Z 3 (a'² —a²) Z2 Za'⁴ — a'² a²a⁴ — {a'² Ą-a²)

Jeżeli a' = a, trapez staje się równoległobokiem; wtedy wzór na pole elipsy przybiera postać nieoznaczoną ^ . W tym przypadku należy znaleźć prawdziwą wartość tego wyrażenia, którą jest ■Kac sin 9 (BOSSUT).

$ 2. Funkcye uwikłane jednej zmiennej niezależnej.

Niech y będzie funkcyą uwikłaną zmiennej określoną za pomocą równania F (x, y) = 0.

Równanie różniczkowe

dF

— 0 łącznie z równaniem danem da nam wartości na x, odpowiadające wartościom maximum i minimum, jak również

dx

i same maxima i minima.

d²F

Podstawiając w wyrażenie

dx²

dF

każdą parę wartości, otrzymanych na

dx

x i na y, będziemy mogli odróżnić maximum od minimum, a mianowicie funkcya osiąga maximum lub minimum zależnie od tego, czy wynik powyższego podstawienia jest dodatni czy ujemny.

Reguła ta nie jest kompletna: wymaga ona pewnych uzupełnień i omówień, analogicznych do tych, o których wspomnieliśmy przy funk-cyach wyraźnych.

PRZYKŁAD.

Mamy

(1)

F (x, y) = y³ — 3 x;² y -f- x³ — 3 = 0

Różniczkujemy względem i tę pierwszą pochodną przyrównujemy do 0. Mamy

dF

dx

= 3 x² — 6 xy = 0

2' ‘

Z równania (2) wynika, że x = 0 lub y =

Podstawiając wartości na x w równanie (1), otrzymujemy

skąd

y³ — 3 = 0

y = F3.

Podstawiając wartości na y w równanie (1), otrzymujemy

stąd

*³ + 8 = 0

2,

a więc

y — i-

Otrzymujemy tedy dwie pary wartości, czyniących zadość równaniom

(1) i (2)

y = -1-

Oprócz tego znajdujemy, że

d²F

ćx²

dF

6 x — 6 y 3y² — 3 x² ~

y+x'

dy

W wyrażenie to podstawiamy przedewszystkiem pierwszą parę war-

2    3/ -

tości na x i y\ otrzymujemy: —    , a więc przy x = 0, y = V3 funk-

cya osiąga minimum. Podstawiając drugą parę wartości na x i y, otrzy-, więc przy x = — 2, y = — 1 mamy maximum.

mujemy -|-

GW1GZENIA.

1.

y² — x²y -j- x — x³ = 0. Przy x= — 1, y = 1, maximum.

2.

y² -(- 2 x² y -f- 4 x — 3 = 0.

3.

Przy x = — ₉ , y= 2, maximum.

y —— 1, niema ani maximum, ani minimum. 2 mxy -(- x² — a² = 0.

Przy x = 1

y²

Przy x =

am

l 1 — ni²

I 1 — m²

, maximum.

4.

x³ -f- y³ — a² x = 0.

Przy x =

Y»

co

—, maximum.

przy x =

V'

3 1/3 ’

minimum.

5.

(Liść Kartezjusza).

x³ —j— y³ — 3 axy = 0.

Przy x = 2³ a, y — 4³ a, maximum.

Przy x = 0, y = 0, minimum.

W tern zadaniu nie możemy wyznaczyć minimum sposobami, wskazany ay—x²

dx y²—ax’

-, zarówno jak

nenii powyżej, gdyż z danego równania otrzymujemy pochodną

która przy x = 0 i y = 0 przybiera postać nieoznaczoną

i druga pochodna liścia, otrzymujemy:

d²y dx²'

Różniczkując jednak drugi i trzeci raz równanie

(y² — ax)

d² y

dx²

+*>(£)■

dy

dx

+ 2x = 0

(y² — ax)

d³y

dy

dx³

+ ⁹^dx

— a)

d² y

dx²

(£)+>-*

Kładąc w tych dwóch równaniach x = 0, y — 0, otrzymujemy z pierw-

d²y_ 2

dx² 3 a ’

n_y

szego równania % = 0 i y — 0 zachodzi istotnie minimum.

dx

== 0, z drugiego zaś ró wnania

a więc przy

6.

x⁴ — 2 a² x² -j- a² y² — 8 cd = 0.

Przy x = 0, y — -(- 2 a \ 2 , minimum. Przy x = 0, y = — 2 a ]/ 2 ,

maximum. Przy a; = -j- a, y = -]- 3 a, maximum. Przy x = -\-a, y = —- 3 a, minimum. Przy x — — a, y = -f- 3 a, maximum. Przy x — — a, y — — 3 a, minimum.

j/⁴ — 4 zz² xy -j- xi = 0.

7.

Przy x: = zz |/ 3 , Przy a: =

c-

aV 3,

2 , maxnnum. — ^27,

minimum.

8.

9.

y⁴ — 4 Ay; -j- *⁴ + ² = 0.

Przy a: = —1,    = —}— 1, niema ani maximum, ani minimum.

Przy a; =— 1, y— — 1, to samo.

Należy w tym przypadku postępować według uwagi w ćwiczeniu 5.

cos (y — x) — 2 siny; — cos a; = 0.

10.

.V =

Przy a: =

4 7T

>    ^ = -3

mamy maximum.

y² --j- mxy -j- a² -j- bx nx² = 0.

2 bn -j- m \ b² n -j- (m² — 4 zz) a² n m² — 4 zz

— bm — 2 \ b² n -j- (zzz² — 4 ń) a²

otrzymamy, że

zzzzz² — 4 zz

a przy x =

osiąga maximum,

2 bn —■ m f/b² n {ni¹ — 4 ni) a² n

n (zzz² — 4 n)

otrzymamy, że

— bm —2 ]/ b² n —J— (m² — 4 n) a² n

m² — 4 zz

osiąga minimum.

Jeżeli m = 0, to przy x = —

ga maximum, a y = —

y — + 2n

\ b² n — 4 a¹ n² osiąga minimum.

// 6² zz — 4 a² zz² osią-

Jeżeli n — 0, to X = oo, a y = —

; nie zachodzi tu ani maximum,

ani minimum.

Jeżeli zzz² = 4 zz, to dla x

a² m² -f- b²

a² m² — b²

bm²

2 &Z7Z

, mamy

minimum.

(Euler).

$ 3. Funkcye wielu zmiennych niezależnych.

Niech z będzie funkcyą wyraźną zmiennych x i y.

dz . dz

Pierwiastki rzeczywiste równań: ■ = O i ^ = O będą wartościami

x i y, przy których zachodzi maximum lub minimum funkcyi z, jeżeli dla każdej pary tych wartości jest spełniona nierówność następująca:

d² z V^ d² z d² z dx dy] dx² dy²

d² z . d² z

(1)

Nierówność ta wymaga, aby

₂ miały jednakowy znak. Jeżeli obie pochodne mają znaki ujemne, zachodzi maximum; jeżeli znaki są dodatnie, zachodzi minimum.

Jeżeli wartości x i y, otrzymane z równań

dx²

dy

dz

dz

dx

dy

= 0.

za-

mieniają wszystkie trzy pochodne drugiego rzędu w zero, wówczas nie zachodzi ani maximum ani minimum, chyba że przy tych samych wartościach na x i y trzecie pochodne równają się zeru, czwarte zaś są różne od zera i są tego samego znaku.

Niech a będzie funkcyą w}U’ażną zmiennych x, y i z.

Pierwiastki rzeczywiste równań:

dx

— o,

da

dy

= 0,

da

dz

są wartościami zmiennych x, y i z, odpowiadającemi największym lub najmniejszym wartościom funkcyi a, jeżeli każda grupa znalezionych wartości spełnia warunek następujący:

d² a d² a d² a d² a \2 dy dz dx² dx dy dx dz]

d² a d² a dx² dz²

dx² dy²

d² a \²‘

dx dz

dx dy

(2)

d² a d² a d² a

miały jedna-

Warunek ten wymaga, aby wielkości

kowe znaki. Jeżeli wszystkie trzy pochodne są ujemne, mamy maximum, jeżeli są dodatnie mamy minimum.

dx² ’ dy

dz²

da

da

Jeżeli wartości na y, z, otrzymane z równań da

—- = 0, czynią równemi zeru wszystkie sześć pochodnych drugiego rzędu, to postępujemy jak wyżej, w przypadku funkcyi dwuch zmiennych.

dx

= 0,

dy~~0.

Niech z będzie funkcyą uwikłaną zmiennych a: i y, określoną przez równanie F (x, y, z) = 0.

Równania ^

dF

— 0 razem z danem równaniem wyznaczają

°’ dy

wartości x i y, odpowiadające maximum i minimum funkcyi z\ z równań tych wyznaczamy również same maxima i minima funkcyi.

Podstawiając każdą grupę otrzymanych wartości na x, y, z w wyra-

dx

żenią:

d²/⁷

d² f

a²/⁷

dx²

dF ’

dx dy c)F ’

dy²

dF

dz

dz

dz

o ile spełniona jest nie-

(3)

wyznaczamy maximum lub minimum funkcyi z, równość

'd²Ff d² F d² F dx dy dx² dy dF <~dF ~dF dz dz dz

która wymaga, by

d² F

d²F

dx²

dy²

dF

dF

dz

dz

miały jednakowe znaki. Maximum zachodzi wtedy, gdy oba te wyrażenia są dodatnie, minimum zaś kiedy są ujemne.

Podobnie postępujemy w przypadku funkcyi wielu zmiennych nie

zależnych.

Wszystkie powyższe prawidła zakładają, że dana funkcya i jej pochodne są ciągłe w pobliżu uważanych wartości zmiennych, odpowiadających maximum i minimum. W zastosowaniach praktycznych rzadko zachodzi potrzeba rozważania funkcyi o więcej niż trzech zmiennych niezależnych.

PRZYKŁAD I.

Mamy daną funkcyę z — x³ -|-_y³ — 9 xy -f- 27. Różniczkując, otrzymujemy:

dz

— = 3 x² — 9 v,

dx

dz

dy

Przyrównując do zera obie pochodne, otrzymujemy dwa równania, które po rozwiązaniu dają następujące wartości na x i na y:

i *=

o o'

f X = 3

\ y = 3

Różniczkując dalej, otrzymujemy: d² z

dx²

= 6x,

d² 2:

dx dy

9,

d² 2:

dy²

6 y.

Jeżeh wstawimy pierwszą parę wartości x i y do drugich pochodnych, otrzymamy:

d² z

d² z

dx²

°,

dx dy

-9,

d² z

dy²

0,

A więc dla tych wartości x i y nierówność (1) nie jest spełniona. Z tego wynika, że wartościom x = 0, y — 0, z — 27 nie odpowiada ani maximum ani minimum funkcyi. Podstawiając drugą parę wartości na x i na y, otrzymujemy:

d² z

dx²

= 18,

d² z

dx dy

-9,

d² z

dy²

18.

Z łatwością możemy przekonać się, że te wartości na X i na y sprawek z

dzają nierówność (1). Ponieważ zaś Z — 0, x — 3, 3/ = 3 mamy minimum.

d² z

dx²

dy'

są dodatnie, przeto przy

PRZYKŁAD II.

Mamy daną funkcyę: u = xy²z³(a— x—y — z). Różniczkując, otrzymujemy:

du

dx

= y² z⁵ (a — 2 x —y — z),

du

dy

= xyz³ (2 a — 2 x — 3 y — 2 z),

du

dz

= xy² z² (3 a.— 3 x — 3y — Az).

Te trzy wyrażenia przyrównujemy do zera i rozwiązujemy otrzymane równania. Odrzucamy pierwiastki x = 0, y — 0, z = 0, ponieważ odpowiadająca im wartość a = 0 nie jest ani maximum, ani minimum funkcyi; otrzymujemy tedy:

x = -=-

2: —

Na drugą pochodną względem x otrzymujemy wartość

. H=-²^³-

Kładąc xyzz — v i 2 a — 2 x —3 y — 2 z = w, mamy

d² a_^

dy2 V dy

Ponieważ przy uważanych wartościach x, y, z funkcya w jest zerem,

da

ty

= vw, skąd

ów

■j-w

dv

dy'

zatym

czyli

d² u_ dw

dy2 V dy ’

d² u

dy²

3 xyzz.

W ten sam sposób znajdujemy, że d² a

dz²

— 4 xy² z²,

d² a

dx dy

— —y² zz,

d² a

dy dz

2 xyż\

d² u

dz dx

= — 3 xy² z².

Podstawiając znalezione wartości sześciu pochodnych drugiego rzędu w nierówność (2) i dzieląc obydwie strony przez xy⁶ z¹⁰, otrzymujemy:

x (4 z — 3_y)² cy (6 x —y) (8 z — 9 x).

Teraz łatwo możemy sprawdzić, że przy wartościach:

uważana nierówność jest spełniona.

są ujemne, mamy tedy maxi-

„    .    ,    . , d² u d² a d² u

Ponieważ pochodne

mum

a = 108

Często bywa wygodniej (jak np. w danym przykładzie), sprawdzić nierówność (2) po podstawieniu pochodnych drugiego rzędu w postaci ogólnej, wtedy rachunki bywają prostsze.

PRZYKŁAD III.

Mamy daną funkcyę: F (x, y, z) — z² -f- xyz — xy² — x³ = 0. Pochodne tej funkcyi F, obliczone względem x i y, przyrównywamy

¹

rzy x = y4---,

do 0:

dF

■^=yz—y² — Sx² = 0,

dF

-3— =    — 2 xy = 0.

dy

Odrzucamy wartości: a: = 0, y = 0, z = 0. Wszystkie trzy równania powyższe są spełnione przy

x = — 6 y = —6j/3 — 12]/3.

x = — 6,

• y = 6j/3, z =12 j/S,

d² F

d² F

Oprócz tego mamy, że: d² F

dx²

dF

2 z -f- xy ’

dx dy_ z — 2 y

dF ~2 z + xy’ t dF

dy²

2x

2 z —|— xy

dz

dz

dz

Podstawiając w te wyrażenia pierwszą otrzymujemy:

d² F

grupę wartości na x, y, z,

d² F

d² F

dx²

dF

= -1/3,

dF

dz

dz

CO

Wartości te spełniają nierówność (B), a ponieważ

di F d²F . dy2 dF dF

dx²

są uje-

dz

dz

mne, przeto mamy minimum z — 12 // 3, gdy x = — 6, y = 6 j/3.

Jeżeli podstawimy drugą grupę wartości na z, x, y, otrzymamy:

d² F

FF₌₀,

d² F

d² F

dx²

dy²

dF

ćF

dF

dz

dz

dz

d² F d²F

dx²

Te wartości również spełniają nierówność (3), a ponieważ

dy²

dF dF_ dz dz

są dodatnie, zachodzi maximum, mianowicie 2= — 12}/3, gdy x = — 6,

y = — 6 }3.

ĆWICZENIA.

1.

2.

3.

dla z.

z — x² — xy -f-y² — 3 y.

Przy x = 1, y = 2, z — — 3 minimum.

z — x⁴    2 x² y² — 8;c-{-8_y.

Przy x = l, y = — 1, z = — 12 minimum.

z =y⁴ — 8_y³ -j- 18y² — Sy -J- xz — 3 x² — 3 x.

Przy x—l~\- }2, y = 2 + } 3, z =

Przy x —1 — }/2, y = 2, z = 3 —J— 4 ] 2, maximum.

Przy x = 1 — y2, y = 2 + /3 niema ani maximum, ani minimum

6 — 4 |/2, podwójne minimum.

Przy x = 1 -\-V 2 , y = 2 niema ani maximum, ani minimum dla z.

4.

z = x⁴ -\-y⁴ — ax² y — axy² -f- c² x² -f- c² y². Przy x = y — O, z — O, mamy minimum.

3 a— ]/ 9 a²—32 c²

Przy x = y =

²⁷ a⁴+~a²c²-

256

— ^6 ^ a² — ^2    mamy minimum.

3a— \/9a² — 32ć²

Przy a: = _y =

27    Q    /7    »

256

ani minimum.

a⁴ 4- ^ a² c²--— 4- —— (9 a³ — 32 c²)^, niema ani maximum

16    2    256

(EULER).

Aby znaleźć inne jeszcze wartości na x i y, któreby dawały maxi-mum lub minimum z, należałoby rozwiązać równanie algebraiczne 6-go stopnia.

5. z¹ 2 = ax²    2 £xy -j- cy² — £X — fy (Równanie ogólne powierzchni dru

giego rzędu).

af — be

ce — bf .

2 (ac — b²)

jeżeli a i c są dodatnie i b²cac; jeżeli zaś a i c są ujemne i b² <c ac, z osiąga maximum. Niema ani maximum, ani minimum, jeżeli a i c są znaków różnych czyli b² > ac.

Przy a: —

2 (ac — b²)

z osiąga minimum,

(LAGRANGE).

6.

z = x²y (a⁴ -f- 2 ys — a)².

/TT

z osiąga maximum.

Przy x =

3 a .

w • y=

7.

_    x³_y³

Z~(x — a) (y — b)'

Zwykle funkcya z posiada maximum lub minimum, gdy log z osiąga maximum lub minimum.

Kładąc logz = z>, otrzymujemy:

z' — 3 log x -|- 3 logy — log (x — a) — log (y — b).

(&_ _3 dy~ y

Po zróżniczkowaniu otrzymujemy: dz'_ 3

y-y

dx x x — a ’

Te dwie pochodne cząstkowe przyrównywamy do zera i otrzymujemy:

2 x — 3a = 0,

2y — 3 # = 0.

Z tych dwóch równań znajdujemy, że

X= -TT-

Różniczkując drugi raz, otrzymujemy:

d²z' _    3__

dx²    x²    '    (x —    a)²

^=0 dx dy

d²z' _ 8 4y² ~ 3 b²'

Podstawiając w znalezione pochodne drugiego rzędu poprzednie wartości na a; i na y, mamy

d²z'_ 8 dx² 3 a²

d² z'

_ ₌ o dx dy

Otrzymane wyniki wskazują, że przy a: = ^ i y = ^,

/27    \²    12    \²

2'= logl—, a więc 2 = 1-^ a#l jest minimum.

Sposób wskazany w powyższem ćwiczeniu stosuje się często w przypadku, gdy funkcya dana jest iloczynem, lub gdy zawiera pierwiastki.

8.

Przy x = +

J/3

9.

Przy x = y — 60°, z

z = xy I a² b² — a² x² — b²y².

a² b2 8

z = sin x -j- sin y/ -j~ sin (x -|-y/). 3 1/3

———, maximum.

mi

podwójne maximum.

10.

Przy x=y = z

u = Ay/2 (#² — a:² —y/² — z²).

2 ab

yr

u — -j⁻

, maximum.

25 } 5

11.

2 a⁵

25 J/ 5 ’

u == aa;² — &Ay/ -f- *z +.yz.

Przy a: = y = 2 = 0, u — 0, niema ani maximum, ani minimum.

Przy x = y = z =

minimum.

J/5

12.

_    16 abxyz

(a -f- x) {x -f-y) (y H- z) (z “h c)

Postępujemy podobnie, jak w ćwiczeniu 7; kładąc

= - , otrzymujemy przy x = an, y = an², z = an% maximum funkcyi u, mianowicie

u = ab

ai 4- dl

14. Znaleźć wewnątrz danego trójkąta taki punkt, aby suma kwadratów jego odległości od trzech wierzchołków trójkąta była minimum.

Niech będą A, B, C wierzchołki danego trójkąta, zaś a, b, c przeciwległe jego boki; O niech będzie punktem szukanym.

Bierzemy wierzchołek A za początek spółrzędnych, prostą, na której leży bok c za oś odciętych; oznaczając przez a;, y spółrzędne prostokątne punktu O, przez u zaś funkcyę, której minimum mamy znaleźć, mamy

u = x² -\~y² -j-{c — x)² -f-y² -j- (b cos A — x)² -f- (b sin A —y)s.

c -f- b cos A .

Przy x

13.

a (a;³ +y -(- 2*) = x² yz -f- y² a:z -j- z² xy. Przy a: — y = a . 1,6 ....

z = a . 0,85 ...

minimum.

b sin A ,    .

—-—, tunkcya u osiąga minimum.

O

Przy znalezionych wyżej wartościach x i y odległości punktu O od trzech wierzchołków trójkąta równają się

AO

j/ 2 b³ -f 2 c² — a²

, BO =

f/ 2 a² -f-2 c² — b²

co = y 2 g}-\-2b² — c²

Punkt O jest środkiem ciężkości danego trójkąta.

15. Z pośród trójkątów wpisanych w dany trójkąt, znaleźć ten, którego obwód jest najmniejszy.

Niech A, B, C będą wierzchołkami danego trójkąta; a, b, c odpo-wiedniemi bokami; wierzchołki szukanego trójkąta niech będą: D na boku c, E na boku a, F na boku b. Oprócz tego niech będzie: BD = x, CE =y, AE = z, wreszcie przez u oznaczamy obwód trójkąta DEF.

Mamy:

u = [x² (a — y)² — 2x (a —y) cos    + [y² + (£ — z)² — 2y (b—z) cos C]

-j- [z² -f- (c — a;)² — 2 z (c — x) cos A]^.

Pochodne cząstkowe funkcyi u względem x, y i z przyrównywamy do zera i znajdujemy:

(c — x) — 2 cos A

a; — {a —y) cos B

[x² -f- (a —y)² — 2 x(a —y) cos B]²    [z² -j- (c — a:)² — 2 z (c — x) cos A]^

Oprócz tego otrzymamy łatwo jeszcze dwa inne równania, które możemy bezpośrednio napisać.

Jeżeli z punktów E i F poprowadzimy prostopadłe EP i FQ do AB, to poprzednie równanie mieć będzie postać następującą:

DP _ DQ DE ~ DE

czjdi cos BDE — cos ADF.

A więc kąty BDE i ADF są równe. Tym samym sposobem otrzymalibyśmy, że kąty BED i CEF, CEE i AFD są także odpowiednio równe.

Otrzymujemy tedy trójkąt szukany, łącząc ze sobą spodki prostopadłych, poprowadzonych z wierzchołków trójkąta danego na przeciwległe boki.

16. Dane są dwie przecinające się proste oraz dwa punkty, znajdujące się w kącie, utworzonym przez te proste. Znaleźć na prostych takie dwa punkty, aby suma odległości między temi punktami i punktami danymi było jaknajmniejsze.

Niech A będzie punktem, w którym przecinają się dwie proste AX i AY; D i E niech będą dwa dane punkty; G zaś niech będzie punktem szukanym na AX, a F punktem szukanym na AY. Prowadzimy prostopadłą EP z punktu E na prostą AX i prostopadłą DQ z punktu D na prostą AY] przeprowadzamy proste GE, GF i FD i oznaczamy:

AP — a, AQ — b, EP = p, DQ-—q, AG = x, AF=y

Niech u oznacza sumę odcinków GE, GF i FD.

Z warunków zadania znajdujemy:

u = [p2J\- {a — x)²]^ -f- [x² -f-y² — 2 xy cos A]^ -f- [q -f- (b —y)²]^ .

Przyrównujemy do 0 pochodne funkcyi u wzięte względem x, y i z:

x —y cos A

[P² + {a — x)²]

[x² -[-y² — 2 xy cos A]²

b-y

[<J² + ib — v)²]

tol-

[x² -f-y² — 2 xy cos A] ²

Interpretując otrzymane równania w podobny sposób, jak w ćwiczeniu poprzedniem, widzimy, że w przypadku minimum, kąty EGP i FGA, jak również kąty AEG i QED, są sobie równe. Rozwiązanie geometryczne tego zadania na zasadzie powyższych wskazówek nie przedstawia trudności.

17. Mamy dane trzy boki czworoboku; wyznaczyć kąty pomiędzy niemi w ten sposób, aby powierzchnia tego czworoboku była największą.

Dane boki niech będą kolejno a, b, c\ między bokami a i b mamy kąt % — 9; między bokami b i c mamy kąt % — 9'.

Powierzchnię czworoboku oznaczmy przez u; przy pomocy tych oznaczeń znajdziemy, że:

i—i <M

ac sin (9 -j- 9').

— ab sin 9 -J- — bc sin 9' -J-

Z    d

(1)

Pochodne funkcyi a względem 9 i 9' przyrównywamy do 0: b cos 9 -J- c cos (9 —j— 9')    0

(2)

b cos 9' -(- a cos (9 -j- 9') = 0

Z tych dwóch równań rugujemy 9' i otrzymujemy równanie 3-go stopnia, z którego wyznaczamy 9

cos³ 9 -j-

a² -f b² -f- c²

2 ab

cos² 9

c²

2 ab

0.

Podobnie postępujemy w celu określenia 9'.

Jeżeli przypuścimy że dany czworobok jest wpisany w koło w ten sposób, że bok nie dany w warunkach zadania jest średnicą koła opisanego, to warunki wyrażone w równaniach (1) i (2) będą spełnione i długość tego boku będzie:

(a² -f- b² -[- c² -f- 2 ab cos 9)^.

18. Znaleźć wewnątrz trójkąta taki punkt, aby suma odległości od tego punktu do trzech wierzchołków trójkąta była jaknajmniejsza.

Oznaczmy przez A, B, C wierzchołki trójkąta, przez a, b, c przeciwległe boki; niech O będzie punkt szukany.

Jeżeli z punktu O opuścimy prostopadłą OP na bok AB i jeżeli założymy, że:

AP — x, OP = y

to, oznaczając przez u sumę odcinków O A, OB, OC, znajdziemy że:

u = (x² -Ą-y²)^ -j- [(c — x)²    -f- [(x — b cos A)² —|— (_y — b sin A)²]^ .

Przyrównywując do 0 pochodne funkcyi tt, wzięte względem x i y, znajdziemy:

b cos A — x

(x² +y^

[(c-xy-+f]ł

[(* — b cos A)² -j- (y — b sin A)²] ^

b sin A —y

Zadanie to jest znane w historyi matematyki; J. Bertrand podał bardzo praktyczne rozwiązanie tego zadania w „Journal de Liouville“ tom VIII.

*) s =

Jeżeli oznaczymy kąty AOP i BOP przez 9 i 9, to równania poprzednie dadzą:

sin 9 — sin 9' = —

[(* — b cos A)² -f- (y — b sin A)²] ^ b sin A —y

[(x—b cos A)² -j-{y— b sin A)²]^ Podnosimy te równania do drugiej potęgi i dodajemy:

cos 9 -j- cos 9'

cos (9 -j- 9') = —

ŁOI

skąd znajdziemy:

9 —|— 9' == AOB = 120°.

W ten sam sposób można udowodnić, że każdy z kątów: AOC i BOC ma również 120°.

Przez t, v, w oznaczmy odcinki O A, OB, OC, otrzymamy:

t² -j- vt -j- v² — c2 v² 'uw -f-w² = a2 w² tw -f- t² — b².

Kładąc s = t -f- v w, otrzymamy z ostatnich równań następujące wartości na t, v, w:

CO co

b² -J- c² — 2 a²

ci² c² — 2 b²

35

s i

®=T +

a² -j- b² — 2 c²

35

• *)

(a² -f- b² -j- c²) -f- 2 1^3 m²; w wyrażeniu tem m² jest polem trójkąta.

§ 4. Funkcye, w których zmienne są związane ze sobą

równaniami.

Mamy funkcyę:

u —f (x,y, z, v, w . ...) zawierającą m-\-n zmiennych, związanych ze sobą n równaniami:

1 = 0, M = 0, N — 0 ....

Aby znaleźć wartości zmiennych, dla których funkcya u staje się maximum albo minimum, przyrównujemy do zera różniczkę zupełną funkcyi u, a równania (1) różniczkujemy względem wszystkich zmiennych w nich zawartych. Otrzymujemy w ten sposób n -j- 1 równań, z których rugujemy różniczki n zmiennych zależnych, w końcowym zaś równaniu przyrównujemy do zera każdy ze spółczynników przy pozostałych różniczkach. Mamy w ten sposób m równań, które, dołączone do n równań układu (1), pozwalają na wyznaczenie wartości szukanych.

Dla każdej grupy otrzymanych w ten sposób wartości poznajemy, czy zachodzi maximum czy minimum funkcyi, a to przez szukanie pochodnych drugiego rzędu funkcyi u i badanie znanych nierówności. Czasem możemy sobie zaoszczędzić tego żmudnego rachunku, jeżeli mianowicie z natury zagadnienia widać, czy mamy do czynienia z maximum czy z minimum.

PRZYKŁAD I.

Mamy znaleźć maximum i minimum funkcyi:

u = a sin² x - b sin² y, a: i y są związane ze sobą równaniem:

(1)

Różniczkę zupełną funkcyi u przyrównujemy do zera i równanie (1) różniczkujemy względem x i y:

a sin 2 xdx -f- b sin 2 ydy = 0, dy — dx — 0.

Z tych dwóch równań rugujemy dy, i przyrównujemy do zera spół-czynnik przy dx w końcowem równaniu:

(2)

a sin 2 x -j- b sin 2 y = 0.

Z równań (1) i (2) otrzymamy te wartości zmiennych, które dają maximum lub minimum funkcyi danej.

Otóż z równania (1) otrzymujemy:

y/ = x +

z tego zaś:

= cos 2

sin 2 y = sin 2 x -j-

t.

Podstawiając wartość sin 2 y w (2), otrzymamy :

tang 2 x = —

z tego zaś:

sin² X —

(<a² + b²)^ + a

2 (a² -f- b²)^

sin²y/

(a² -j- b²) ^ + b 2 (a²4-Z?²)^

u = \ [« + b i (a² -j- b²) ^ ].

Znak -I- daje maximum, znak zaś — daje minimum dla funkcyi u.

PRZYKŁAD II.

Przez dany punkt przeprowadzić płaszczyznę w ten sposób, aby ta płaszczyzna utworzyła z płaszczyznami spółrzędnych czworościan najmniejszy.

Niech O będzie początkiem spółrzędnych prostokątnych; A, B, C punktami, w których szukana płaszczyzna spotyka osie OX, OY, OZ; niech a, b, c będą spółrzędne danego punktu.

Kładąc OA = x, OB=y, OC = z; znajdziemy, że funkcya, dla której szukamy minimum, będzie:

xyz

Zmienne a:, y, z są związane między sobą równaniem:

Z danej funkcyi znajdujemy:

log u = log x + logy/ -j- log z — log 6.

Różniczkę zupełną tego wyrażenia przyrównujemy do zera i różniczkujemy równanie (1):

H--— o,

y ¹ z

dx dy . dz

X

adx

bdy

f- 4-

cdz

z²

o.

Z tych dwu równań rugujemy dz i znów w ostatecznem równaniu przyrównujemy do zera spółczynniki przy dy i dx. Możemy otrzymać również ten sam wynik, posiłkując się metodą czynnika nieoznaczonego.

W tym celu mnożymy pierwsze z ostatnich równań przez czynnik nieoznaczony X, otrzymane równanie odejmujemy od drugiego następnie przyrównujemy do zera spółczynniki przy dx, dy, dz i otrzymujemy:

Na zasadzie równania (1) mamy:

skąd otrzymamy, że:

x = S a, y = 3 b, z = 3 c, a u

9 abc

Z łatwością możemy się przekonać, że znaleziona wartość na u może być tylko minimum.

PRZYKŁAD III.

Rozłożyć liczbę n na takie trzy części, aby suma kwadratów tych części była maximum, i aby po pomnożeniu każdej z nich odpowiednio przez a, b, c, suma algebraiczna tych iloczynów była równa zeru.

Niech szukane trzy części liczby n będą y, z.

Będziemy więc musieli znaleźć maximum funkcyi następującej:

u = x² -\-y² -j-z².

Zmienne x, y, z są związane między sobą równaniami:

f x-\-y-\-z { ax-j- by -f- cz — 0.

(1)

= n

— 127 —

Przyrównywamy do zera pochodną zupełną funkcyi u i różniczkujemy równania (1):

xdx -\-ydy -f- zdz = 0 dx -f- dy -f- dz = 0 adx -f- bdy -f- cdz = 0

(2)

(3)

(4)

Z równań tych rugujemy dz i dy, następnie w równaniu ostatecznem przyrównywamy do zera spółczynnik przy dx. Do tego samego wyniku dojść łatwo możemy w sposób następujący:

Mnożymy równanie (3) przez — X, równanie (4) przez [r (jt i X są to czynniki nieoznaczone) i następnie dodajemy:

(5)

"j⁻ x — X, b[x, —j— y = X, ejjl —j— z = X

Z równań (5) i (1) należy wyznaczyć wielkości y, z, X i

Równania (5) dodajemy do siebie:

{cl —[- b —J— c) {r -j— n =■ 3 X.

Mnożymy je odpowiednio przez a, b, c i znów dodajemy:

{a² -j- b² -f- c²)    = (a -(- b -j- ć) X.

Kładąc a -|- b -j- c — sx i a² -f- b² -j- c² — s₂, nadajemy ostatnim dwom równaniom postać następującą:

skąd

nsl

ns₂

lJj 3 5₂ — Si

Otrzymane wartości na i X podstawiamy w równanie (5) i znajdujemy:

3    — sx² '

/z

^    3 5₂ — 5X²

Maximum funkcyi będzie, gdy

/z²

a = (35a_₅ 2)8 t(s2 — a5i)² + (⁵2 ~ fei)² +    — C5i)²]-

PRZYKŁAD IV.

Podzielić liczbę daną a na n części takich, aby ich iloczyn był jak-największy.

Niechaj szukane n części będą x, y, z, v, w.... ; zadanie sprowadza się do szukania maximum funkcyi

u — xyzvw ...

przyczem pomiędzy zmiennemi zachodzi równanie

(1)

xJryĄ-z + v^rw + .... = a

Różniczkę logarytmiczną funkcyi a przyrównujemy do zera i różniczkujemy równanie (1):

dx

dy , dz . dv . dw .

i £ I y 1    ^    - U,

dx -\- dy -\- dz dv dw    — 0.

Pierwsze równanie z dwu ostatnich mnożym}^ przez czynnik nieoznaczony — k, otrzymane równanie dodajemy do drugiego z ostatnich równań

oraz przyrównujemy do zera spółczynniki przy dx, dy, dz, dv, dw,.....

Jako rezultat otrzymamy:

skąd:

\z=x =y = z = v = w =..

A = ^.

lik = a,

A więc na zasadzie poprzedniego rezultatu będzie:

x=y = z = v = w = ..

oraz u —

a\n

Sposób wskazany przez nas w tem zadaniu pozwoli nam rozwiązać bez trudności wiele innych podobnych zagadnień.

Przyczem x y = c.

ĆWICZENIA.

a² . b2 u = —^ -j-

X²

Przy x = c

, mamy

a%-\-bi

2 2

—=    Ą-b^)³; ta wartość u jest minimum.

¹

^ ₌ __3__^__

²

dy²    y²    '    (y —    b)²    ’

2.

/    \ —|— 3 arc cos = 5 , 155    , maximum.

x i y są związane równaniem 4 sin a: — 3 cos_y = 0. Otrzymamy: u = 5 arc sin

3.

u = (mx -)- n) (ny + m),

równanie pomiędzy x i y jest:

amx ^ Ijny _ ^

Logarytmując i stosując metodę czynnika nieoznaczonego, otrzymamy:

że przy mx -f- n

log (an bmc)

2 log a

i przy ny -f- m =

log (an bmc)

2 log b ’

wartość u =

[log (an bm c)]²

4 log a log b

jest maximum.

4.

u = (x-\-a) {yĄ-b) (z + c).

x, y, z są związane równaniem:

ax by cz = k.

Postępujemy w tym przypadku podobnie jak w ćwiczeniu poprzed-niem i otrzymujemy wartości na x-f fl, y -j- b, z -f- c oraz na a wartość:

(log k aa bb cc)3 27 log a log b log c ’

będącą maximum.

5.

u = xy² z³.

Równanie pomiędzy zmiennemi jest:

-f- my² -j- nz³ — a.

Wprowadzając czynnik nieoznaczony, ostatecznie znajdujemy:

a³

27 mn

maximum.

6.

u = cos x cos _y cos z.

Równanie łączące zmienne jest:

x -j— y -j- z — Tc.

Różniczkę logarytmiczną tej funkcyi przyrównujemy do zera, wprowadzamy czynnik nieoznaczony i otrzymujemy:

tang x — tang_y = tang 2.

Skąd znajdujemy:

przyczem

maximum.

7.

u = (ax—1) (by—1) (cz — 1), y, z są dane równaniem następującem:

ax by cz — k.

Szukanrp różniczki logaiytmicznej funkcyi i wprowadzamy czynnik nieoznaczony, skąd:

u = (k% — l)³, maximum.

8.

ax+1 — 1

by⁺¹ — 1

cz+1 — 1

Równanie łączące zmienne jest:

ax by cz — A.

Postępując podobnie jak w ostatniem ćwiczeniu, otrzymamy maximum danej funkcyi przy wartości

(V Aabc — l)³ (a - 1 ){p — 1) (c — 1)

9.

u — xays z! f , zmienne x, y, z, t są związane równaniem:

x —[— 2 y —j— z —j— 4 t = ci.

Jeżeli założymj', że oc —|— t3 —{— 7 —}- d = n, to otrzymamy następującą wartość maximum funkcyi:

a \a

T / 0 \o

10. W trójkącie kulistym prostokątnym dany jest jeden z kątów różnych od prostego; wyznaczyć boki zawierające ten kąt tak, aby ich różnica była możliwie największa.

Niech a będzie danym kątem, cp i 9 bokami zawierającymi dany kąt a, cp niech będzie przeciwprostokątną.

Zadanie sprowadza się do znalezienia maximum funkcyi:

u = 'f — 9,

gdzie <p i 9 są związane z sobą równaniem:

tang 9 = cos a tang <p.

Maximum funkcyi « zachodzi przy wartości:

i tang 9 = (cos a)

tang tf = (sec a)²

11.

Śród wszystkich prostopadłościanów, mających stałą sumę krawędzi, znaleźć taki, którego objętość jest największa.

Niech x, y, z będą krawędzie schodzące się w jednym wierzchołku; sumę ich oznaczamy przez a.

Zagadnienie sprowadza się do znalezienia maximum funkcyi

u = xyz,

gdzie x, y, z są związane równaniem:

x -}-y -f~ z = a.

a³

jest maximum.

Ćwiczenie to można rozwiązać sposobem, wskazanym w prz}’kładzie IV. Przy x = y = z = — , wartość u =

12. Ze wszystkich walców prostych o podstawie eliptycznej, wpisanych w daną kulę, wybrać walec o największej objętości.

Niech x i y będą połówkami dwóch osi elipsy, będącej podstawą szukanego walca; z niech będzie jego wysokość; a promień kuli.

Należy znaleźć maximum funkcyi

u = %xyz.

Równanie łączące zmienne jest następujące:

x² -|-_y² -j-z² = a².

Logarytmując i wprowadzając czynnik nieoznaczony, otrzymujemy, że

z = -=

ys

przy x = y —

jest maximum.

wartość u —

za³

3 y 3

A więc podstawa walca musi być kołem.

13. Znaleźć najmniejszą odległość punktu od płaszczyzny. Niech spółrzędne punktu będą a, b, c.

Równanie płaszczyzny:

Zagadnienie sprowadza się do szukania minimum funkcyi:

a — J/(x — a)² -f- (y — b)² -{-(z — c)².

Równanie (1) łączy ze sobą zmienne x, y, z.

Różniczkę zupełną funkcyi a przyrównujemy do zera i różniczkujemy równanie (1); stąd:

(x — a) dx -(- (y — b) dy (z — c) dz — 0, A dx -j- B dy -j- C dz = 0.

Przy pomocy zaś czynnika nieoznaczonego znajdziemy

x — a_y — b.

2 — C

oraz na zasadzie znanych własności równych stosunków otrzymujemy:

(x — a)² -f- (y — b)² -j- (z — c)2 A(x — a) B (y — b) -f- C (z — ć)\

Y(x — af -\-(y — b)² -f- (z — c)2 J/A² + B² + O

albo

u²

(Aa Bb-y CcD)

J/A² -f B² + C²

Stąd ostatecznie otrzymujemy wartość na u:

Aa -j- Bb -fr Cc

ll =

± / A² 4- B² + C²

14. Znaleźć maximum i minimum odległości danego punktu od danej kuli.

Niech a, b, c będą spółrzędnemi danego punktu; x, y, z bieżące spółrzędne punktów na kuli; a, (3, 7 spółrzędne środka kuli; Z? jej promień. Mamy tedy znaleźć maximum i minimum funkcyi:

11— j/(x — a)² -j- (y — b)²-\- (z

c)².

Równanie kuli jest

(X — a)² y~ (y — [3)² (z — y)² = R².

O)

Stosując to, cośmy poprzednio powiedzieli, po zróżniczkowaniu znaj

dujemy:

(x — a) dx -f- (y — b) dy -J- (z — c) dz = 0 (x — a) dxJ\r(y — (3) dy Ą-(z — 7) dz = 0

Odejmując te dwa równania jedno od drugiego, otrzymamy zamiast równania (2) równanie następujące:

(a — a) dx —(— (b — [3) dy -J- (c — 7) dz = 0

co 10

(4)

Równanie (4) mnożymy przez czynnik nieoznaczony X i od przekształconego w ten sposób równania odejmujemy równanie (3) oraz przyrównujemy do zera spółczynniki przy odpowiednich różniczkach. Otrzymujemy wtedy:

f(x — *)- 4- (y — ft)² + 4 — t)2 V(a — a)² + (b — 4² 4- (c Jeżeli przez D oznaczymy odległość danego punktu od środka kuli, to:

y—P_z—J b-fi

V²

D = ]/(a — a)² + (6 — [i)² + (c — Y)²,

tak więc znajdujemy:

a: — a = 4-

(a — a),

jy — P = ±

{b - P),

skąd łatwo otrzymamy wartości na x — a, y — b, z — c. Podstawiając następnie te wartości, otrzymamy, że

Znak 4" odpowiada maximum, zaś znak — minimum.

15. Powierzchnia: (x²y²z²)'² = a? x²b² y² Ą-c² z2 jest przecięta przez płaszczyznę

(1)

ix 4- tny 4"nz — o.

Znaleźć maximum i minimum odległości środka powierzchni danej od punktu leżącego na obwodzie przekroju.

Oznaczmy przez r szukaną odległość; zagadnienie sprowadza się do odnalezienia wartości maximum i minimum funkcjo:

r² = x² -\-y² 4" 2:2-

Zmienne x, y, z są związane ze sobą dwoma równaniami: powierzchni i płaszczyzny. Postępując podobnie, jak w przykładzie III, znajdziemy, jako warunek wyznaczający szukane maximum i minimum funkcyi r, następujące równanie:

l²

r² — a²

ni¹

+ 7^

b-

-4

ń¹

r² — c²

= 0.

Równanie (1) jest równanierti powierzchni sprężystej; znalezione zaś równanie wyznacza nam prędkości fal, rozchodzących się w ośrodku kry-

stalicznym.

(FRESNEL i HERSCHEL).

16. Paraboloida eliptyczna jest przecięta płaszczyzną prostopadłą do osi. Znaleźć największy prostopadłościan, który można wpisać w część uważanej paraboloidy, odcięty przez płaszczyznę sieczną.

Niech a będzie odległością płaszczyzny uważanej od wierzchołka paraboloidy; x, y, z spółrzędne punktu wspólnego dla paraboloidy i rów-noległościanu.

Mamy znaleźć maximum funkcyi:

u = 4 (a — x) yz (objętość prostopadłościanu), przyczem x, y, £ są związane z sobą równaniem paraboloidy

z²

IO

Znajdziemy, że przy

ap\²

aq

LO

to

u = a- I pq osiąga maximum. Gdyby paraboloida była obrotową, wówczas byłoby

u = a² p.

17. Znaleźć pole przekroju hyperboloidy jednopowłókowej, wyznaczonego przez płaszczyznę przechodzącą przez jej środek.

Przecięcie będzie elipsą, której osie są największą i najmniejszą wartością promienia wodzącego:

r — Yx² -f y² + 2;2-

Zmienne x, y, z są związane z sobą równaniami:

i°

x²

a²

+ v-

y² z²

= 1, (równanie hyperboloidy);

2° lx my -Ą- nz = 0, (równanie płaszczyzny siecznej).

Postępując podobnie, jak w przykładzie III, otrzymujemy równanie następujące, które pozwoli nam wyznaczyć maximum i minimum funkcyi r:

b² m2 r² — b²

a²1²

c² n²

r² — a²

Porządkujemy równanie względem malejących potęg r², dzielimy je przez spółczynnik przy (r²)² i znajdujemy, że ostatni wyraz otrzymanego równania, będący iloczynem dwóch pierwiastków, jest następujący:

a² b² c² a-l² 4- b² m² — c² n²

Szukane pole równa się:

/ a²1² -|- b² tri² — c² /z²

18. Znaleźć pole elipsy, określonej następującem równaniem:

(1)

A (x — a)²    2 B (x — a) (y — p) -f- C (y — p)² -(- 1 = 0

gdzie a i p są spółrzędnemi środka.

Osie szukanej elipsy odpowiadają wartościom maximum i minimum promienia wodzącego. Kwadrat tego promienia równa się:

r² ~ (x — a)² -j- (y — p)² -j- 2 (x — a) (y — [3) cos 9,

9 jest to kąt między osiami; zmienne x i y są związane z sobą równaniem krzywej.

Pochodną zupełną funkcyi r przyrównujemy do zera i różniczkujemy równanie (1). Po wprowadzeniu czynnika nieoznaczonego i po przyrównaniu do zera spółczynników przy dx i dy, znajdziemy:

X [(x — a) -j- (y — ,3) cos 9]-\-A(x — a) -f- B (y — P) = 0, X [(y — p) -|- (x — a) cos 9] C* (y — p) -j- B (x — a) = 0.

Mnożąc pierwsze z ostatnich równań przez x — a, drugie przez y — p i dodając, otrzymujemy:

r² ’

X r² — 1 =0, skąd X =

Znalezioną wartość X podstawiamy w oba równania i otrzymujemy wynik, który możemy napisać w postaci następującej:

(}-2 + A J (x —a) + (72cos 9 + Bj (y — P) = °»

( ^C^y-?)

ię- cos 9 7- (x

= 0.

w tym celu wy-

Z tych równań należy wyrugować x — a i y — starczy zauważyć, iż prawe strony tych równań są zerami, przeto wspólny

mianownik wzorów na x — a i y — [3 musi też być równy zeru. Stąd otrzymam}⁷:

= 0.

+    +    cos(, + Bj

oraz:

{AC — B²) r⁴ {A C — 2 B cos 9) r² -f- sin² 9 = 0.

Dzielimy to równanie przez AC — B², i widzimy, że ostatni wyraz równania, będący iloczynem dwóch pierwiastków, jest

7i sin 9

sin² 9

AC—B²

, przeto szu-

kane pole elipsy równa się

/ AC— B² ’

19. Znaleźć objętość elipsoidy, wyrażonej przez równanie:

(1)

ax² -J- #'y² -f- a" £² —j- 2 byz -\- 2 b' xz 2 b" xy = c

Osie główne elipsoidy odpowiadają wartościom maximum i minimum promienia wodzącego, którego równanie jest:

(2)

r = ^ x² -f~y² -j- z².

Równanie (1) wyraża związek pomiędzy zmiennemi. Przyrównujemy do zera różniczkę zupełną równania (2), różniczkujemy równanie (1). Dalej wprowadzamy czynnik nieoznaczony i, przyrównując do zera spółczynniki przy dx, dy, dz, otrzymujemy następujące równania:

(3)

kx -}- ax -j- b' z -f- b" y — 0, )y -f- ay -|- bz -f- b" x = 0, Xz -j- a" z -f- by -f- b' x = 0.

Te równania odpowiednio mnożymy przez x, y, z i dodajemy do

' .    c

r² '

siebie, skąd otrzymujemy, że X == —

Otrzymaną wartość X podstawiam}’ w równania (3):

TU*

---a

x — b" y — b' z = 0,

b" x —

(---a'\ y + bz

= 0,

(4)

z — 0.

b' x -j- by — |

Zebj- w}⁷rugować x, y, z, postępujem}' w ten sam sposób, jak w ćwiczeniu poprzedniem, i otrzymujemy:

r²

ty

— a'

rr

b°-

r²

--a

— b'²

— a'

— b"² -ty — a" — 2 bb' b" = 0.

Po uporządkowaniu tego równania względem malejących potęg r2 zauważymy, że ostatni wyraz, będąc iloczynem pierwiastków, jest zarazem • iloczynem kwadratów głównych osi elipsy, wskutek tego szukana objętość elipsoid}^ wyrazi się przez wzór następujący:

4 71

³ {aa! a!' — ab² — a' b'² — a" 6"² + 2 bb' b") *

20. Znaleźć najmniejszą z elips, opisanych na danym trójkącie.

Niech OXY będzie trójkątem danym; OX=a, OY=b, kąt YOX—b. O bierzemy za początek spółrzędnych; OX i OY za osie x i y\ przez a i p oznaczamy spółrzędne środka szukanej elipsy; przy tych oznaczeniach równanie elipsy będzie:

(1)

A (x — a)² -f 2 B {X - a) (y/ — P) ty C {y — P)² ty 1 = 0

Ponieważ krzywa musi przechodzić przez punkty O, X, Y, przeto mieć będziemy trzy równania, wyznaczające wartości spółczynników A, B, C:

2 p — b

a (a/? ty pa — ab) ’

(2 a — a) (2 p — 6)

2 ap (a.b ty pa — ab) ’

P (a£ ty pa — ab)

Pole elipsy (1) równa się:

(zob. ćwicz. 18).

Tc sin 9

{AC— A²)?

Wyrażenie to osiąga minimum, kiedy AC — B- jest maximum. Wartości A, B, C podstawiamy w AC — B² i szukamy, które wartości na n. i p czynią powyższą wielkość największą; znajdujemy:

Szukane pole wyrazi się przy pomocy wzoru następującego:

2 71

Stąd

ad ’

2 ab

C= -

ab sin 9.

(EULER. Rozwiązanie Berarda).

ROZDZIAŁ XI.

Styczne i normalne do krzywych płaskich.

Oznaczamy przez x' i y' spółrzędne bieżące; przez ^ i y spółrzędne punktu styczności stycznej; przez St, Sn, T, N podstyczną, podnormalnąr styczną i normalną.

A. Przypadek spółrzędnych prostokątnych.

a) Równanie krzywej jest postaci y =f {x), wtedy:

(i)

dy

y' —y —    {x! — a:) jest równaniem stycznej;

(2)

y'—y =

— {x! — x) jest równaniem normalnej;

dy

dx

St

(3);

dy

S'l~=y dx

(4);

ldy\

\dx

(5);

/■+(£)'

(6);

Oznaczając przez p prostopadłą, poprowadzoną z początku spółrzędnych do stycznej, znajdziemy, że

dx

(7).

>+iir

189

£) Równanie krzywej jest postaci F (x, y) = 0; wówczas

(8)    (/—y)

dF

dy

+ (x'—x)

dF

dx

= 0 jest równaniem stycznej;

Cl- Cl,

— (x'—x)

dF

dy

— O jest równaniem normalnej;

dF

dF

St= — y

dy

(10);

dx

sn = —y —

dF

(ii);

dx

dy

dF

T=y

(12);

N=y

dx

dF

(13);

dy

dF

dF

(14).

dy

(M

B. Przypadek spółrzędnych biegunowych.

Niech t będzie kątem biegunowym, r promieniem wodzącym, ja kątem zawartym między styczną i promieniem wodzącym; wtedy:

T=

Si.

OT

A=

r²

dr

dt

(16);

T¹⁺dr

(17);

(18);

tang a = —

dr

(19);

r²

(20).

dt

4-

nanie:

PRZYKŁAD I.

Znaleźć elementy główne elipsy, wyznaczonej przez następujące rów

F=

— 1= 0.

Różniczkując, otrzymujemy:

ÓF

2x

ÓF

2y

dx    a² ’

Podstawiamy znalezione wartości dujemy odpowiednio:

1° Na zasadzie równania (8):

dy b - ’

ÓF . ÓF

dx dy

w odnośne równania; znaj-

2x

a-

xx'

yy'

czyli -w +

1; jest to szukane równanie stycznej do danej elipsy.

2° Na zasadzie równania (9) mamy:

(y'—y)

-y

ci

= o,

ty' —y) X

(X — x) y

a²

jest to szukane równanie normalnej.

3° Na zasadzie równania (10):

%y

St = —y — =

a² — x²

2x

4° Na zasadzie równania (11):

Sn = —y

a²

b²

---r- X.

2y

a-

r!’~

b²

5° Równanie (12) daje:

y_

x |/ a⁴

A²

6° Równanie (13) daje:

2x

d²

= b²

x²

y-

b²

7° Równanie (14) daje:

2x

2y

x -*+y-T'

y²

V-

— 4-d² ' b²

Te elementy mogą służyć do znalezienia elementów pozostałych. Kładąc w równaniu stycznej raz y' = 0, drugi raz x' — 0, znajdujemy, że odległości od początku spółrzędnych do punktów, w których styczna przecina osie x i y, są:

CL²

X' = —

Z tego wynika, że powierzchnia trójkąta, zawartego między styczną

a odcinek stycznej, odcięty przez osie

i osiami spółrzędnych, jest: spółrzędnych, jest:

d² b²

2 yx ’

a⁴

a;² ' y² *

Z równania na p otrzymujemy:

a więc znaleziony odcinek stycznej równa się

a¹ b²

p*y ’

długość zaś stycznej

jest

a²y

Odejmując, otrzymamy:

a² b² a² y _ pxy px pxy

CL²

— (b² — y²) —

b² x

py

Przeto iloczyn odcinków stycznej, zawartych pomiędzy osiami i punktem styczności jest:

a² y b² x_ a² b²

px ' py p²

Odległość ogniska od stycznej jest:

gdzie

p {a¹ 2 3 4 -f- ety ’

c = V⁷#² — b²,

odcięta zaś i rzędna punktu, w którym prostopadła p spotyka styczną, są odpowiednio:

a² ty - j- ty

a² y

a² -j- cx

Odległość środka elipsy od tego punktu jest:

a² -f- cx

a² ty-x)²

(a² -f- cx)² (a²-\-cx)² To samo wyrażenie zresztą jest już znane z geometryi analitycznej.

a.

PRZYKŁAD II.

Obliczyć elementy główne spirali logaiytmicznej, której równanie jest następujące:

r aemt.

dr

1° Z równania (15), ponieważ

^ =maemt, znajdujemy, że:

Sn = maemt — mr.

Można więc powiedzieć, że miejscem geometrycznem końców pod-normalnej do spirali logarytmicznej jest również spirala, podobna do danej.

2° Z równania (16) mamy:

St=

mr

— = — aemt. m ni

A więc miejscem geometrycznem końców podstycznej do spirali logarytmicznej jest spirala podobna do danej.

3° Równanie (17) daje:

T=r

5° Z równania (19) otrzymujemy:

mr

tang — r

A więc kąt pomiędzy styczną do spirali logarytmicznej i jej promieniem wodzącym jest stały.

6° Wreszcie korzystając z równania (20), otrzymujemy:

r²

P =    -=

\ r² -j- m² r²

]/1 ~\~m²

ĆWICZENIA.

1. Wykazać, że dla krzywej y = (V a — Vx)² suma odległości od początku spółrzędnych do punktów, w których stjuczna spotyka osie, jest wielkością stałą.

Szukana suma równa się a.

2. Wykazać, że styczna do krzywej:

= log

-j- a² —y²

ma stałą długość.

Znajdujemy, że T = a.

3. Wjdcazać, że dla krzywej, określonej równaniem:

ea = x² — a²,

suma stycznej i podstycznej jest proporcyonalna do prostokąta, zbudowanego na spółrzędnych punktu styczności.

Szukana suma równa się —.

a

4. W3rkazać, że w spirali hyperbolicznej, określonej równaniem:

miejscem geometiycznem końców podstycznej jest koło. Otrzymamy: St = — a.

5. Wykazać, że krzywa określona równaniem:

4 by = 4 abx — (a² -j- 1) x²

wyznacza z osią odciętych dwa kąty spełniające się.

lab

a²-{-l

x; dla powyższych wartości a: znajdujemy

są to odcięte punktów spotkania się krzywej z osią

dy

. dy

dx

-j- = — a. dx

6. Dowieść, że pole trójkąta, zawartego pomiędzy styczną do hyperboli, określonej równaniem xy = k², a osiami asymptotycznemi do niej, jest wielkością stałą.

Odpowiedź: pole trójkąta = 2 k².

7. Środek elipsy jest zarazem wierzchołkiem paraboli, a wielka oś pierwszej krzywej jest prostopadła do osi drugiej krzywej. Jaki winien być mimośród elipsy danej, aby ona przecinała parabolę pod kątem prostym? Równania elipsy i paraboli są następujące:

jt²

— 4-

a² ' b²

y/2

= i;

a:² = py.

Spółczynniki kierunkowe stycznych do obydwóch krzywych we wspólnym punkcie są odpowiednio:

śród e\

b² x a²y ’

Z warunku prostopadłości stycznych otrzymamy wartość na mimo-

dy

dx

dy

dx

-V

8. Wykazać, że w spirali, określonej równaniem:

rn = an sin nt,

kąt zawarty pomiędzy dwiema stycznemi, przeprowadzonemi przez końce cięciwy, przechodzącej przez biegun, jest stały.

Znajdziemy z łatwością, że ^ — nt\ oznaczając przez ;jć kąt odpowiadający kierunkowi t-f- ti, otrzymamy, że ;j/ = n (t- -f- tc). Różnica tych dwóch kątów jr i u/ czyli szukany kąt pomiędzy dwiema stycznemi jest = nn.

9. Udowodnić, że w hypocykloidzie, określonej równaniem:

2,2 2 -|-_y³ = a³,

odcinek stycznej, wyznaczony przez osie, jest wielkością stałą, oraz znaleźć wzór na prostopadłą, opuszczoną z początku spółrzędnych na styczną.

Odpowiedź: wzór na szukany odcinek stycznej jest następujący:

i

p = (axy)$.

10. Udowodnić że w kardioidzie, określonej równaniem:

r = a( 1

cos t) ,

kąt utworzony przez promień wodzący i styczną równa się połowie kąta utworzonego przez promień wodzący i oś biegunową, oraz, że cięciwy przechodzące przez biegun, są stałe.

Odpowiedź:    = Jeżeli przez r' oznaczymy promień wodzący,

mający ten sam kierunek co i promień r, ale zwrot przeciwny, wówczas otrzymamy:

skąd

r' = a [1 — cos (t -f- tt)] = a (1 -|- cos t), r -j- f — 2 a.

11. Znaleźć odległość bieguna od stycznej i kąt pomiędzy styczną a promieniem wodzącym w krzywej, określonej równaniem:

r =f= ci (sec t — tang t).

2 ar

a² -f r² ’

Odpowiedź:    tangu.

2 ar²

Ya4, -f- 6 a² r² r⁴

12. Znaleźć wszystkie elementy główne krzywej logarytmicznej, określonej równaniem:

y = cea.

Otrzymamy:

, równanie stycznej;

y'—y _

*    i    .

— , równanie normalnej;

S t — a ■,

s -y²

n —

—; T=l/a²+y²; N a

~    ya²+y²;

p = y(a — x)

y a² -|-y²

13. Znaleźć elementy główne cysoidy Dioklesa:

y² = — a

x³

y-y=

x~? (3 a— 2 x)

2 (a — x)*

(,x' — x) równanie stycznej;

y'—y =

2 (a — x)i

x* (3 a — 2 x)

(,x' — x) równanie normalnej;

St-

2    x {a — x) _

3    a — 2 x ’

Sn

x² (3 a — 2 x)

2 {a — x)²    ’

ax

4 a— 3x

ci — X ’

ax

2 (a — x)

j/x (4 a — 3 x);

x^

14. Znaleźć elementy główne cykloidy:

——— — y2 ay — y². a

x = a . arc cos

Otrzymam}^:

y —y=

2 a—y

(x' — x), równanie stycznej;

y-y = -\

2 a —y

(x — x), równanie normalnej;

St=y

S„ = y 2 ay —y²;

2 a—y*

N = y 2 ay;

y Vy — x\//2 a —y

y 2 a

15. Wyznaczyć elementy główne linii łańcuchowej:

y=

io O

(ea -j- e a).

Otrzymamy:

y' —y

]/y² — a²

X , równanie stycznej;

y'—y

x' — X

yy² — a²

, równanie normalnej;

2x

Sn — . (pa €

a)\

St

ay

y.

I y² — a²

y²

]/y² — a2 Gdy x = 0, p = a.

yy² — a².

16. Znaleźć elementy główne koła, przechodzącego przez biegun. Równanie koła w powyższym przypadku jest następujące:

r = a cos t,

gdzie a oznacza średnicę koła. Stąd:

Sn = — y a² — r²;

St= —

r-

Y a²— r²

ar

y a²— r²¹

N = a;

tang [x —

r²

Y a²—r²’

17. Wyznaczyć elementy główne lemniskaty, określonej równaniem:

r² = a² cos 2 t.

Oznaczając l a* — r⁴ przez R, znajdziemy:

Sn = -

St=-

r?‘

tang [x = —

18. Znaleźć elementy główne spirali eliptycznej:

Ya² — b² t = a

. arc cos

j/a²—b²

Oznaczając przez R wielkość Vr² — (a² — b²), otrzymujemy:

r y b² -j- r² .

Sn =

— R\

a

St =

ra

K = ~Vb* + rl;

tang [x = a

ar

yb²    r²

¹

+ -£-5- = — l/l + «²

²

/u “ /    tn

³

4° Uwzględniając równanie (18), otrzymujemy:

⁴

/V= ]/r²-j- m² r² = r j/l -f- m².

ROZDZIAŁ XII.

Asymptoty.

Niech y =f (a:) będzie równaniem krzywej w odniesieniu do osi spół-rzędnych prostokątnych.

Jeżeli f (x) możemy rozwinąć według malejących potęg x w ten sposób, że

y — cim xm -j- am—i xm 1 -j- • • • • -j- x -f- a₀ -j- i — -j- a_2    ~\~ i "t. d.

to przy x = oo wszystkie wyrazy, zawierające x w mianowniku, stają się zerami i równanie asymptoty przybiera postać:

y = am xm + am-1 xm~x

czyli jest to krzywa stopnia m.

Najważniejszym przypadkiem w zastosowaniach jest ten, gdy asymp-tota jest linją prostą. Wtedy równanie ogólne asymptot sprowadza się do równania:

y = ax x -j- a₀.

W tym przypadku można przy pomocy równania krzywej wyznaczyć spółczynniki ax i a₀, ponieważ zgodnie z określeniem asymptoty znajdziemy, że przy x = co

al = lim —

a₀ — lim (y — a₁ x).

Jeżeli będziemy uważali asymptotę prostoliniową jako granicę stycznej, gdy punkt styczności oddala się w nieskończoność, to możemy, kiedy znaleźliśmy już równanie stycznej do krzywej, wyznaczyć, jak się zmieniają odcięta i rzędna stycznej w początku, gdy % = oo. Wartości x i y w ten sposób znalezione pozwolą wyznaczyć położenie asymptoty oraz jej równanie.

Jeżeli asymptoty są równoległe do osi y, i jeżeli równanie krzywej może być sprowadzone do postaci y—f(x), to oznaczając przez k tę wartość x, dla której y — co, znajdziemy równanie asymptoty w postaci następującej :

x = k.

Jeżeli zaś równanie krzywej nie może być rozwiązane względem y,

X

wtedy szukamy granicy stosunku — dla y = co i, jeżeli granica ta równa się zeru, wówczas sprowadzając równanie asymptoty do postaci:

x = b{y -\-b₀

otrzymamy przez podstawienie tej wartości równanie asymptoty równoległej.

Postępując w sposób analogiczny, otrzymamy asymptoty równoległe

do osi

Gdy równanie asymptot jest postaci:

y = a₂ x* + atx-\-a₀,

to z równania krzywej przy ;c = co otrzymujemy:

a₁ = lim

a₀ = lim (y — a₂ x₂ — a₁ x) i t. d.

Niechaj F (r, t) = 0 będzie równaniem krzywej, odniesionej do spółrzęd-nych biegunowych. Jeżeli przez a oznaczymy kąt, zawarty między asymp-totą prostoliniową i osią biegunową, a przez § odległość asymptoty od prostej równoległej przechodzącej przez biegun, to przy r = co otrzymamy:

a = lim t,

8 = lim r (t—y).

Granice te, które wyznaczymy przy pomocy równania krzywej, wystarczą do wyznaczenia położenia asymptoty.

Jako zastosowanie powyższych sposobów, używanych w celu wyszukiwania asymptot prostoliniowych dla krzywych, otrzymujemy twierdzenia następujące, które były udowodnione w wykładach geometryi analitycznej.

1. Jeżeli równanie krzywej może być sprowadzone do postaci:

xm <p

-f- i t. d. = 0,

(m> n>p, i t. d.)

, t. j. wartości ax są rzeczywistymi

wówczas wartości graniczne stosunku pierwiastkami równania <p (aj = 0 i wtedjr otrzymujemy:

^Oi) ?'Oi)'

Jeżeli zaś (ax) = 0 i cp' {ax) = 0, to a wyznaczymy z równania:

Oi)

f f Oi) + X Oi) = ⁰ i t. d.

2. Gdy równanie krzywej stopnia m jest sprowadzone do postaci:

cp (x)yn + łp (.x)yn~¹ + x (x)yn~² + i t. d. = 0,

O < m),

wówczas pierwiastki rzeczywiste równania <p O) = 0, nie sprowadzające do zera równanie ó (x), wyznaczają zawsze asymptoty równoległe do osi y.

3. Jeżeli mamy dane równanie krzywej w spółrzędnych biegunowych:

(f (t) rm —j— 4* (^) P”⁻¹ + 7. {t) rm~~² + i t. d. = 0

to pierwiastki rzeczywiste równania (a) = 0 określają kierunek asymptot; wówczas znajdujemy:

lim r yt = a) = —

YKŁAD I.

/p£z:

Mamy znaleźć asymptoty krzywej, określonej równaniem:

x³—y (x— a) = 0.

Równanie to możemy napisać inaczej:

x³

x — a ’

Widzimy, że przy X — a mamy y = oo, a więc krzywa posiada asym-ptotę prostoliniową równoległą do osi y, której równanie jest x = a.

Jeżeli x³ podzielimy przez jc — a, otrzymamy:

y = x*-ł-ax + a²+ *r + -“₂+ 11 d-

Rezultat ten jest rozwinięciem y względem malejących potęg z tego wynika, że krzywa oprócz prostoliniowej asymptoty posiada jeszcze asymp-totę paraboliczną, określoną równaniem:

y = *2 -j- ax -f- a2 3 a²

y—r

czyli

(-+■ f

10 a

PRZYKŁAD II.

Znaleźć asymptoty krzywych drugiego rzędu, określonych ogólnym równaniem:

Ay² -j- Bxy -|- Cx² -j- Dy -j- Ex -f- F= 0.

Łącząc w jeden wszystkie wyrazy drugiego stopnia, oraz wszystkie wyrazy pierwszego stopnia, otrzymujemy:

xHAę₃ + BX + C) + x(D-y- + E) + F=0.

t. j.

Wartości na ax są to pierwiastki rzeczywiste równania:

Aat² -j- Ba₁ -f- C = 0,

ai =

— B + ]/'B² — 4 AC

W przypadku elipsy, B² —4 AC jest ujemne, a więc wartości na a1 są urojone: elipsa nie ma wcale asymptot.

Następnie mamy:

ci₀ —

Dax -j- E

przeto równanie asymptot będzie:

y = axx — ₇

2 Aax -j- B ’

w tym równaniu należy podstawić zamiast ax odpowiednie wartości.

W przypadku paraboli, B² 4AC = 0\ ax mieć będzie tylko jedną

Dla tej wartości ax ostatni wyraz w równaniu asymp-

wartość ax tot staje się = cxd.

Hyperbola tedy jest jedyną krzywą, z pośród krzywych drugiego rzędu, która posiada asymptoty.

2/1'

^/przykład iii.

Mamy znaleźć asymptoty krzywej, określonej równaniem:

y:1 == ax² -f- ^³-Równanie stycznej do tej krzywej jest:

2 ax-\- 3 x²

Wy²

Jeżeli założymy że = 0, to otrzymamy rzędną w początku 2 ax²    8 x³

Jeżeli w tem samem równaniu stycznej założymy, że y' = 0, otrzymamy odciętą w początku:

y'=y-

(x' — x).

3 (y* — x³) — 2 ax²

8 y²

x' =

X 2 ax -j- 3 x²

2 ax² — 3 (y³ — x³)

Ponieważ z równania krzywej otrzymujemy, że y³ — x³ = ax², zatem wartości na rzędną i odciętą mieć będą postać:

, a x²

^3/

x' = —

ax²

ir

Gdy x = co, to

co¹ a

•X » — 2^

—+ 3 a: ¹

jeżeli zaś jednocześnie y = co i a: — co, to ułamek — nicy 1, skąd

y²

zmierza do gra-

lim.

co! a

Cj ICO

, odcięta zaś w tym punkcie

Rzędna w początku asymptoty jest

jest —

co a

. Równanie asymptoty jest:

« co

co¹ a

= 1 czyli

y = A;+ -

co a

Jest to więc prosta, poprowadzona pod kątem 45° do osi a;.

PRZYKŁAD IV.

Znaleźć asymptoty krzywej, określonej przez równanie:

y⁴ — x⁴ -\-2 ax²y = 0.

= lim. z). Przy tem

Zakładani)’, że y = xz (skąd z = — i lim. założeniu równanie dane przybiera postać:

albo

x⁴ z⁴ — x⁴ -f- 2 axz z = 0 xz⁴ — x 4- 2 az — 0,

skąd:    x

2 az

1—z⁴

i następnie y =

2 az²

1 — z⁴ '

Z tych dwu wyrażeń widzimy, że gdy z = + 1, to a; i y stają się nieskończenie wielkiemi.

Mamy tedy

lim

i następnie, ponieważ równanie stycznej do krzywej jest:

2 x³ — 2 axy

y'—y =

2 y³ -f- ax²

(*' — x);

zatem przy x' — 0 otrzymamy, uwzględniając równania krzywej,

ax² y

2 (y⁴ — x⁴) -f- 3 ax²y

stycznej:

Podstawiając xz zamiast y, otrzymamy wzór na rzędną w początku

y’ =

ax³ z

az

2 x³ z³ -(- ax²

2z³-\-

Dla asymptoty, odpowiadającej x = co czyli z =    1, mamy

CL₀

Równanie więc asymptot jest:

Sposób podań}' w tem ćwiczeniu można często stosować.

PRZYKŁAD Y.

Stwierdzić, czy krzywa, określona równaniem:

x⁴y⁴ — (x² —y²)² -f y² — 1 = 0

posiada asymptoty równoległe do osi y.

Porządkujemy to równanie względem y:

(x⁴ — l)y⁴ -f (2 x² + 1)y² — x⁴ — 1 = 0.

Pierwiastki rzeczywiste równania x⁴ — 1=0 są + 1; nie czynią one równym zeru wyrażenia 2x²-(-l, przeto dana krzywa posiada dwie asymptoty równoległe do osi y, które są określone równaniami x = -\- 1 i x = — 1.

PRZYKŁAD VI.

Równanie hyperboli, odniesione do jednego z ognisk, jest:

b²

gdzie c — V a² -fb².

a — c cos t ’

Jeżeli napiszemy powyższe równanie w postaci następującej:

(a — c cos t) r — b'² = 0

to równanie a — c cos a = 0 wyznaczy nam kąty, utworzone przez asymp-toty i oś biegunową.

Będziemy tedy mieli:

cos a =

a ponieważ

lim r{t— a) = —

c sin a ’

przeto, pisząc zamiast sin a jego wartość

, znajdziemy

lim r (t — a) = b;

jest to odległość asymptot od dwu prostych równoległych, przechodzących przez ognisko.

ĆWICZENIA.

1.

2.

(a² — x²)y² = (a² + x²) x².

Istnieją dwie asymptoty równoległe do osi y: x = + a.

-j-    — ayz = 0.

Jedna asymptota równoległa do osi x: y=—a.

3.

(a -f- b -}- x)y = c (b -f- x).

Jedna z asymptot jest równoległa do osi y: x = — a — b, druga jest równoległą do osi x: y = c.

4.

(x —(— cl) y² — x —|— 2 a.

Jedna z asymptot jest równoległa do osi y: x == — a, dwie drugie są równoległe do osi x: V —+E

-j-y³ = a³.

5.

Równanie asymptoty jest następujące: y — — a:; jest to prosta, która

3 z

tworzy z osią a; kąt równy — .

6.

sm a:

y — a-

Asymptotą dla tej krzywej jest oś x; krzywa kolejno przecina asymp-totę z jednej i z drugiej strony i wreszcie w nieskończoności staje się do niej styczną.

7,

y = sm-.

Oś x jest asymptotą danej krzywej.

(x -f- l)y = (x — 1) x.

Postępując podobnie jak w przykładzie II, otrzymujemy następujące równania asymptot: dla jednej asymptoty: y — x — 2, dla drugiej asymptoty równoległej do osi y: x ——i.

8.

(x — 2)y = (x — 1) (x — 3).

Równanie jednej z asymptot: y — x-f-2 = 0 (Przykład II), druga jest równoległa do osi y: x = -f-2.

9.

10.

y² == COS — .

Istnieją dwie asymptoty równoległe do osi x: y = + 1.

x³ — 3 ax² -j- a? y ~~ x² — 3 bx -fT^² *

Istnieją dwie asymptoty równoległe do osi y: x = 2 b, x = b, i trzecia asymptota, której równanie: y = x — 3 (a — b) otrzymuje się przez rozwinięcie w szereg (Przykład I).

11.

12.

y²

(y — b)²

y² -j- x²

Asymptota jest równoległa do osi x: y = b.

(Konchoida).

xy² — y — ax³ -f- bx² -J- cx -j- e.

18.

Jedną asymptotą jest oś _y; postępujemj’ następnie jak w przykładzie II i otrzymujemy równania dwu drugich asymptot:

x Va

14.

y2 =

x³ -(- ax2 x—a

Rozwijamy y² w szereg podobnie, jak w prz}^kładzie I, następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy i otrzymujemy:

y = ± (x + a).

Jest to równanie dwu asymptot, przecinających się pod kątem prostym; istnieje trzecia asymptota, której równaniem jest: x = a.

15.

yi — 2 x² y² — x* -j- 2 axy² — 5 axz — 0. Postępując podobnie jak w przykładzie II, znajdujemy:

⁸ V\+Vi

x i i+1/2

<3 GO

31/2—4

Są to równania dwu asymptot.

V 1 -f \f2

16.

(x² — 1 )y = (x² -j- 1)

Mamy dwie asymptoty równoległe do osi y: x=+ 1 i trzecią y = x, którą otrzymujemy, postępując podobnie jak w przykładzie II.

17.

j/³ — ax² -f- x³ = 0. Równanie asymptoty jest następujące:

, a

-* + ¥•

(Przykład IV).

18.

(Liść Kartezjasza).

_y³ — 3 axy -(- x³ = 0.

Postępując według wskazówek podanych w przykładzie IV, otrzymujemy następujące równanie asymptoty: y —— x — a.

ax⁴ — by⁴ -f- cA xy = 0.

19.

Postępując podobnie jak w dwóch poprzednich przykładach, znajdziemy równanie asymptoty:

X.

20.

y'A — bxA -J- c² xy = 0.

Postępując podobnie, jak wyżej, otrzymujemy równanie asymptoty:

OT)-

y= a

cdi—i

21.

a sin²1

cos t

(Równanie biegunowe cysoidy).

Równania dwóch asymptot są (Przykład IV):

U <M

7. ------

22.

xy -f- az — 0.

Otrzymujemy równanie asymptoty parabolicznej.: y = x².

;t⁸

23.

x⁴ — y⁴ -{- a² xy = 0.

równanie:

Zakładając, żey⁴=y1} otrzymujemy z danego równania następujące

= x* + x.a*y₁ł,

Rozwijający/^ według twierdzenia Lagrange’a, otrzymujemy asymptotę hyperboliczną, określoną równaniem:

yi

4x

oraz asymptotę prostoliniową określoną równaniem: y = x.

24.

y% — 2 xy² -j- xly — a³ = 0. Otrzymujemy dwie asymptoty hyperboliczne:

y — xy-

i dwie asymptoty prostoliniowe:

y/ = x;

y — 0.

ROZDZIAŁ XIII.

Punkty osobliwe krzywych płaskich.

1. Punkty przegięcia.

Mamy równanie krzywej płaskiej y—f(x), albo F(x, y) — 0.

Spółrzędnemi punktu przegięcia są pary wartości rzeczywistych a: i y, spełniające jednocześnie równanie krzywej i jedno z następujących równań:

d²y

. . — oo.

dx²

*1 = 0 dx²

Punkt przegięcia istnieje, jeżeli:

1° dla dwu jakichkolwiek punktów krzywej, leżących nieskończenie blizko punktu określonego przez każdą taką parę, lecz z dwóch

d² y

różnych stron tego punku, pochodna

dx²

ma znaki przeciwne i

(Fy

dx*

2° jeżeli dla tych samych wartości a; iy pochodna Jeżeli pierwszy warunek nie jest spełniony, punkt przegięcia nie = 0, to punkty są określone równaniem krzywej

jest różna od zera.

istnieje, jeżeli zaś i jednem z równań:

d% y

dx³

*-1 = 0 dx*

d^y

dxi

oo i t. d.

Jeżeli równanie krzywej jest dane w spółrzędnych biegunowych, to punkty przegięcia są określone równaniem krzywej i równaniem:

dr

gdzie p jest to prostopadła, poprowadzona z bieguna do stycznej.

Punkt przegięcia istnieje, jeżeli ^ zmienia znak, przechodząc przez

zero.

|przypominamy że p

r²

MW

PRZYKŁAD.

Wyznaczyć punkty przegięcia krzywej:

y² = ax² -j- bx³,

gdzie b > O,

a = 0.

Różniczkując dane równanie, otrzymujemj⁷:

dy

2 a -j- 3 bx

dx

2 (a + bx)%

d²y _ b (4 a -[- 3 bx) dx²

4 (a -j- bx\*

_    3 b² (2 a -|- &x)

dx%

Punkty przegięcia, o ile istnieją, są określone równaniami:

4 a -|- 3 bx = 0, / y/2 — ^x² -f- bx³.

Otrzymujemy po rozwiązaniu tych równań następujące pary wartości:

36

4a

•V — + ₉£

(1)

(2)

JeżeM a > 0, y jest urojone i krzywa nie posiada punktu przegięcia. Jeżeli a = 0, to dla obydwóch par wartości mam}^ x = 0, _y = 0; ale

te znaczenia x i y nie wyznaczają punktu przegięcia, bo 3 bh 4x2/

padku równe

d²y

dx²

(w tym przy-

, staje się urojone dla wartości x <c 0.

■

Jeżeli a <c 0, wartości na y są rzeczywiste. Wtedy: io d*y

oN

dx²

zmienia znak dla wartości x trochę mniejszych, lub trochę

CO

większych od — - ,

2° dla tj^ch wartości x,

d'A y

nie jest zerem.

W tym ostatnim przypadku krzywa ma dwa punkty przegięcia, których spółrzędnemi są pary wartości (1) i (2).

dx³

ĆWICZENIA.

1.

(,m jest dodatnie).

Krzywa ta posiada nieskończenie wiele punktów przegięcia, leżących na osi x; odcięte ich są następujące:

L Z

X = + TT-, X

2 m

■ co

7C

5 Tl

— 2 m’

(2 n -J- 1) 7c

gdzie n jest jakąkolwiek liczbą całkowitą dodatnią lub ujemną.

2. Wyznaczyć odległość pomiędzy dwoma następującemi po sobie punktami przegięcia krzywych:

y = sin mx i y — tang px {m i p są dodatnie).

Szukana odległość jest:

nu

j)’

gdzie n dowolna liczba całkowita, dodatnia lub ujemna.

3.

Punkt przegięcia

y === £    a.x .

4. Wykazać, że jeżeli równanie:

Ax's -|- Bxl -j- Cx -j- D = O    (1

posiada tylko pierwiastki rzeczywiste, to krzywa określona równaniem:

y = Ax³ -j- Bx² -f Cx + D

posiada jeden punkt przegięcia, którego odcięta jest trzecią częścią sumy pierwiastków równania (1). Jakoż jeżeli oznaczymy przez a, b, c rzeczywiste pierwiastki równania (1), to krzywa może być określona przez równanie:

y = (x — a) (x — b) (x — c),

skąd z łatwością znajdziemy, że krzywa ta posiada jeden punkt przegięcia, którego odcięta posiada wartość:

..    ^ + b -f c

x— ₃

5.

x³ — axy — b² y — 0.

Punkt przegięcia znajduje się w początku spółrzędnych.

(Trójząb Newtona).

xy² -j- ax² -j- b'Ą = 0.

6.

Gdy a i b mają ten sam znak, krzywa ma dwa punkty przegięcia, których odcięte są:

V TV+ G2).

X = ~h b

Jeżeli a i b mają znaki przeciwne, to istnieją dwa punkty przegięcia, których odcięte mają następujące wartości:

(Ckamer).

7.

an y = xn+l.

Punkt przegięcia znajduje się w początku spółrzędnych; jest to punkt podwójny, jeżeli n — '2\ jeżeli n = 3, to istnieje punkt potrójny; i t. d.

8.

y = (ax -f- b) (ax — b)Q, Istnieją dwa punkty przegięcia:

<1 .

y = 0;

b %g—p a p Ą- q ’

4 bq

p-\-q

9.

r2 ₌

Różniczkując, otrzymujemy

r³

dt

2 a² ’

następnie zaś

2 a² r

(4 a⁴ + r⁴)^

różniczkując to wyrażenie, znajdziemy:

dp _2 a² (4 a⁴—r⁴)

dr

(4 a⁴ -j- r⁴)^

dp

Jeżeli założymy, że ~ = 0 i jednocześnie z tern równaniem uważać

będziemy równanie krzywej, to znajdziemy, że w punkcie r=2^a i t — krzywa posiada przegięcie.

Ćwiczenia metodyczne z rachunku różniczkowego.

10.

r² — a² cos 2 t.

(Lemniskata Bernoulli’ego).

Różniczkując, otrzymujemy:

dr

dt

j/a⁴ — r⁴

i następnie

r³

skąd

dp

3 r²

Z tego ostatniego wyrażenia znajdziemy’, że początek spółrzędnych jest punktem przegięcia dla obydwóch gałęzi krzywej.

dr a²

11.

y — a — b cos t x = at — b sin t.

Druga pochodna:

(Równanie trocko idy).

d²y

b (ia cos t — b)

dx²

(a — b cos ty '

Przyrównując ją do zera, otrzymamy’:

.    .    a² — b²

i następnie y = ———

Są to spółrzędne punktu przegięcia krzywej.

cos t =-

2. Punkty wielokrotne.

Niech

będzie równaniem algebraicznem i wymiernem danej krzywej, zaś

F(x,y) = 0

(1)

dF

dx

= 0,

dF

3— — 0 dy

(2)

pierwsze pochodne tego równania, wzięte względem x i y.

Wartości na jc i _y, czyniące jednocześnie zadość równaniom (1) i (2), są spółrzędnemi punktów wielokrotnych Jeżeli związki następujące:

d²F

d² F

dx dy ’ dynie są spełnione, wówczas znajdujemy wartości na ^ dla każdego punktu

podwójnego z drugiej pochodnej danego równania krzywej; pochodna ta, na zasadzie równania (2), ma postać:

d² F Idy \²    ₉ d² F dy.d²F__

² \dx J ' ~ dx dy dx ' dx²

dx²

dy

dy

W przypadku punktu potrójnego, o ile nie zachodzą jednocześnie

__0 ^L=0

dy³    ’ dy² dx ’ dy dx²

otrzymamy z wyrażenia trzeciej pochodnej równania (1), w której zakła-

0 -dx² ’ dx dy ’ dy²

W ten sam sposób postępujemy dalej.

Jeżeli równanie krzywej dane jest w postaci wyraźnej i zawiera pierwiastki o znaku podwójnym, wówczas wyznaczamy punkty wielokrotne przez znalezienie takich wartości na X, aby w równaniu krzywej zniknął jeden z wyrazów, zawierających znak pierwiastka, nie znikając jednak w pochodnej

Następnie równanie krzywej da nam odpowiednie wartości na y. Można również równanie krzywej uczynić wymiernym i postępować jak wyżej. Punkty wielokrotne występują w przypadkach następujących:

związki:

damy, że

d³F

d²F

d²F

dy

d A F    dy

— 0, ■ ■-- = () to wartości na

dx’    dx

= 0.

dy

dx '

1°. Jeżeli wartości na są rzeczywiste i różne, to znaleziony punkt wielokrotny jest punktem istotnie wielokrotnym.

2°. Jeżeli wartości na są rzeczywiste i równe i jeżeli, gdy a: albo y

przybierają różne wartości po obydwóch stronach uważanego punktu, odcięta i rzędna krzywej po jednej stronie punktu wielokrotnego są czywiste, po drugiej zaś stronie urojone, wówczas punkt znaleziony jest punktem zwrotu.

Punkt zwrotu będzie pierwszego rodzaju, jeżeli w punkcie uwa-d²y

rze-

żanym

dx²

ma znaki przeciwne dla obydwóch gałęzi krzywej. Punkt zwrotu

d² y

będzie drugiego rodzaju, gdy krzywej.

dx²

ma ten sam znak dla obu gałęzi

3°. Jeżeli wartości na

dy

są urojone, to punkt wielokrotny jest punk

tem odosobnionym lub sprzężonym.

PRZYKŁAD I.

Mamy krzywą, określoną równaniem:

F = yd —j— x>c — 2 ayz 2 bx² y = 0. Pierwsza pochodna danego równania jest:

(2 ys — 3 ay² -f- bx²)

dy

dx

-j- 2    -f- 2 bxy = 0.

Przyrównując do zera pierwsze pochodne cząstkowe [funkcyi F wzięte względem a; i y, otrzymujemy:

a; (a;² -j- by) = 0,

2 j/³ — 3 ay² -j- bx² = 0.

Ponieważ równania te, jak również i równanie krzywej są spełnione dla wartości rzeczywistych x = 0 i y = 0, przeto punkt określony przez te wartości x i y jest punktem wielokrotnym. Oprócz tego mamy:

d²F

dx²

= ⁴ (3 a:² + by),

= 4 bx,

d² F

dx dy

d²F

dy²

= 12 y (y — d).

Przy x = 0 i y = 0 pochodne powyższe stają się równe zeru, gdy przy tych samych wartościach x i y trzecie pochodne funkcyi F są różne od zera.

Aby wyznaczyć spółczynniki kierunkowe stycznych do różnych gałęzi krzywej, należy zbadać trzecią pochodną obliczoną z równania krzywej. W wyrażeniu na tę pochodną przyrównujemy do zera drugie pochodne cząstkowe funkcyi F, i kładziemy następnie x = 0 i y = 0. Wtedy trzecia pochodna przybiera postać:

a(dF\-bf = 0.

\dx) dx

dy

Równanie to jest spełnione przez następujące wartości ~ rzeczywi-

•    i

ste i rożne:

dy

dx

= 0,

dy

dx

+ yb

(Cramer).

Widzimy więc, że początek układu spółrzędnych jest punktem potrójnym; z trzech stycznych, poprowadzonych do trzech przecinających się gałęzi krzywej, jedna jest osią x, a dwie drugie styczne są jednakowo nachylone do osi a;.

PRZYKŁAD II.

Mamy krzywą, określoną równaniem:

(a² y — bx²)² = a⁴ (x — a)³.

Punkty wielokrotne możnaby wyznaczyć, stosując zwykłą metodę postępowania; lepiej jednak rozwiązać równanie dane względem y:

~ x2 Jr(x — a)%.

Z tego ostatniego równania widzimy, że;

dla każdej wartości x > a, y posiada dwie wartości rzeczywiste; że przy x = a mamy y = b; obie wartości y sprowadzają się

1°.

2°.

do jednej;

3°. przy x C a wartości y są urojone. Możemy tedy powiedzieć, że punkt o spółrzędnych x = a, y = b jest punktem podwójnym. Punkt ten jest punktem zwrotu, jeżeli obydwie gałęzie krzywej mają w tym punkcie wspólną styczną. Dalej znajdujemy:

x± y (* — aft-

dy _2 b

dx a²

Przy x = a, y = b otrzymamy na

dy

dx

dwie jednakowe wartości:

dy

dx

a więc znaleziony punkt, będąc punktem podwójnym, jest punktem zwrotu. Ponieważ:

d² y_2 b

dx²

a²

CO <M

(x — a)K

zatem dla każdej wartości x trochę większej od a mamy punkt znaleziony jest punktem zwrotu drugiego rodzaju.

d²y

dx²

> 0, przeto

PRZYKŁAD III.

Mamy dane równanie krzywej: F= ay² — x³ -f- bx² = 0. Pierwsza pochodna tego równania jest:

2 ay

dy

dx

Przyrównując do zera pierwsze pochodne cząstkowe funkcyi F, otrzymujemy:

y=o

x (3 x — 2 b) = 0.

Te dwa równania, jak również i równanie krzywej są spełnione gdy x = 0, y = 0.

Punkt określony temi wartościami x i y jest punktem wielokrotnym. Ponieważ dla tych wartości j>c i y drugie pochodne cząstkowe funk-

cyi F nie są zerami, zatem z drugiej pochodnej wyznaczymy wartość Druga pochodna jest

dy

dx *

stąd:

fl@)-3x+⁶⁼⁰

dy

dx

Przy x = 0, wartości jest punktem odosobnionym.

dy

dx

są urojone, a więc początek spółrzędnych

(CRAMER).

ĆWICZENIA.

(x² -\-y²)² -|- 2 a² (y² — x²) = 0.

Początek spółrzędnych jest punktem podwójnym; styczne poprowadzone w tym punkcie są dwusiecznemi kątów między osiami spółrzędnych.

1.

(Lemniskata).

y² = ax³.

Początek spółrzędnych jest punktem zwrotu pierwszego rodzaju. Oś odciętych jest wspólną styczną.

2.

(Rozwinięta paraboli).

y² = ax² -j- bxó.

W początku spółrzędnych istnieje punkt podwójny. Spółczynniki kierunkowe stycznych w tym punkcie są: ^- = 4- Va. Styczne są jednakowo nachylone do osi odciętych.

3.

(a i b są dodatnie).

y² (a — x) —    = 0.

W początku spółrzędnych znajduje się punkt zwrotu pierwszego rodzaju. Oś odciętych jest wspólną styczną.

4.

(Cysoida).

a⁶y² — 2 a⁴ x³y -f- a² x⁶ — X¹ = 0.

9.

(Liść Descartesa).

x³ — 3 axy -\-y³ = 0.

Początek spółrzędnych jest punktem podwójnym. Obie osie są styczne do dwu gałęzi krzywej.

5.

(y — x-)² = x(x — a)³.

Istnieje punkt zwrotu pierwszego rodzaju, którego spółrzędne są: x = a, y = a‘-. Spółczynnik kierunkowy wspólnej stycznej jest:

6.

^ = 2 a.

dx

7.

(x² -f-.y²)² = cl² x² -j- b² y².

W początku spółrzędnych mamy punkt odosobniony.

8.

x⁶ — 3 a⁴ x²    2 y³ — 3 ay² -|- a³ = 0.

Punkt podwójny: a: = 0, y = a.

£= + «*.

W punkcie tym

dx

Początek spółrzędnych jest punktem zwrotu pierwszego rodzaju, oś odciętych jest wspólną styczną.

10.

y = + (x — a) Vx — b. Punkt odosobniony: x — y = 0.

(ia < b).

11.

y = + (x² — a²) Vx — Punkt podwójny: x — a, y = — 2 a²

— 2a{\±]/a).

2 a³

dy

dx

12.

—• ax²y -f- axy² -j- * cl² y²

= 0.

Początek spółrzędnych jest punktem zwrotu drugiego rodzaju. Oś odciętych jest wspólną styczną.

y² -j- x — X (X — l)².

Początek spółrzędnych jest punktem odosobnionym.

xx — 2 axA |/2 —{— 2 a² x² — ay% — a² y² = 0. Początek spółrzędnych jest punktem podwójnym, przyczem

14.

15.

dx

4^= + /2.

y² — bxiA — ax².

W początku spółrzędnych znajduje się punkt odosobniony.

16. Gykloida posiada nieskończenie wiele punktów zwrotu pierwszego rodzaju, których spółrzędne są następujące:

y = o,

gdzie n jest liczbą całkowitą, dodatnią lub ujemną.

x = 2 na%.

17.

a? x§ + bA y Istnieją cztery punkty zwrotu pierwszego rodzaju:

(Rozwinięta elipsy).

c²

dy

b ’ dx

X = 0,

y= —

dy

= — co ;

dx

c²

~⁺~ci

y = 0-

dy

dx~°’

c²

dx

x-= —

y = 0;

& = o.

xy² -j- x²y -f- x² — y² -f- 3 x -f-    = 0.

Istnieją dwa punkty podwójne:

x=3,

SL = + i.

dx

dy

dx

a:⁴ — 2 ay³ — B a² y² — 2 a² x² -j- a⁴ = 0. Istnieją trzy punkty podwójne:

19.

x = a,

x = — a,

y = —a;

y = 0;

dy

dx

dx

dy

dx

CO

(Cramer).

20.

(x² —y²) ay — x⁴ = 0.

W początku spółrzędnych znajduje się punkt potrójny:

dy

dx~ + h

dy

dy

dx

dx

= 0.

21.

y⁴ -f- x⁴ — 2 «² x² — 2 a²y² -j- a⁴ = 0. Istnieją cztery punkty podwójne:

x = 0,

y = a;

dy

dx

x = 0,

y — — a;

dy

dx

x — a,

y = 0;

x — — a,

y = 0;

y t vi di=+VI

dx

dx

22.

y⁴ — axy² -j- x⁴ = 0.

Istnieje punkt potrójny w początku spółrzędnych. Dwie gałęzie krzywej, mające za wspólną styczną oś x, tworzą punkt zwrotu pierwszego rodzaju. Oś y jest styczna do trzeciej gałęzi krzywej.

23.

(Róża czwórolistna).

(x² -j-y²)³ — 4 a² x² y² = 0.

Początek spółrzędnych jest punktem poczwórnym. Krzywa składa się z czterech gałęzi; do każdej z nich osie x i y są styczne.

170 —

24.

y⁴ -j-x⁴ — 2bx²y = 0.

Początek spółrzędnych jest punktem potrójnym. Dwie gałęzie krzywej, dla których oś y jest wspólną styczną, tworzą punkt zwrotu pierwszego rodzaju; styczną do trzeciej gałęzi jest oś a;.

25.

a;⁵ — ay⁴ -)- 2 bx³ y b² xy² = 0.

Istnieje punkt potrójny w początku spółrzędnych. Dwie gałęzie krzywej, dla których wspólną styczną jest oś a;, tworzą punkt zwrotu drugiego rodzaju; styczną do trzeciej gałęzi jest oś y.

26.

a;⁶ -f- 2 a² x³y — b³y³ = 0.

W początku spółrzędnych znajduje się punkt potrójny. Dwie gałęzie krzywej, dla których wspólną styczną jest oś a:, tworzą punkt zwrotu drugiego rodzaju; trzecia gałąź przegina się w punkcie potrójnym. Styczną do tej gałęzi jest również oś a:.

27.

= ax⁴ -J- bxz y -j- cx² y² -j- dxy³ -|- ey⁴. Zakładamy, że y — nx\ wtedy równanie przybiera postać: a; = a -f- bu + ca² -j- da³ -\- ea⁴.

(1)

(2)

Równanie (2) przedstawia krzywą czwartego rzędu, która przecina oś rzędnych w tylu punktach, ile pierwiastków rzeczywistych posiada równanie:

(3)

a -}- ba -f- cu² -f- da³ -j- ea⁴ = 0.

Gdy mamy wykreśloną krzywą (2), to łatwo wykreślimy krzywą (1). Jeżeli wszystkie cztery pierwiastki równania (3) są różne i rzeczywiste, wówczas początek spółrzędnych jest punktem poczwórnym. Zbadać, do jakiej kategoryi należeć będzie punkt osobliwy, gdy pierwiastki powyższego równania będą równe; urojone; dwa rzeczywiste, dwa urojone i t. d.

(CR AMBR).

28.

x⁶ = axb -f- bx⁴ y -j- cx³y² -j- dx²y³ -f- exy⁴ -j- fyb.

W początku spółrzędnych mamy punkt pięciokrotny. Rozwiązanie podobne jak w zadaniu poprzedniem.

III. Punkt zatrzymania się. Ostrze.

Niech y = F(x) będzie równaniem krzywej.

Spółrzędne punktu zatrzymania się wyznaczymy, uwzględniając z pośród wartości a; te, które powodują w y raptowną zmianę od wartości

rzeczywistych do wartości urojonych. Wartość na y, odpowiadającą tym wartościom x, znajdujemy z równania krzywej. W celu wyznaczenia odciętej ostrza szukamy takiej wartości x, dla której F' (x) zmienia raptownie swoją wartość. Równanie krzywej daje następnie rzędną punktu szukanego.

PRZYKŁAD I.

Mamy krzywą, określoną równaniem:

log x ’

Przy dodatnich malejących wartościach x, wartości y są rzeczywiste; ale począwszy od x = 0, y staje się raptownie urojonem. Oprócz tego gdy x — 0, wówczas y = 0. Początek spółrzędnych jest więc punktem zatrzymania się.

PRZYKŁAD II.

Mamy krzywą określoną równaniem:

y = x arc tang —.

Różniczkując, otrzymujemy:

F (x) = arc tang —

a:

1+a:²'

Gdy x dąży do zera przez wartości dodatnie, wówczas pochodna dąży do granicy:

F' (0) =

i.o a

Granicą tej samej pochodnej, gdy x dąży do zera przez wartości ujemne, jest:

F' (0) = -

ostrzem.

Oprócz tego gdy x = 0, mamy _y=0;

początek spółrzędnych jest więc

ĆWICZENIA.

y = ex.

W początku spółrzędnych mamy punkt zatrzymania się.

1 -[- e

Punkt zatrzymania się: x=0, y=l.

4.

5.

3.

2.

1 Ą-ex

W początku spółrzędnych ostrze.

y — x log

Początek spółrzędnych jest punktem zatrzymania się.

(a > 1).

x = 0, y — — 1 są spółrzędne punktu zatrzymania się.

6.

1\²

— x² cos² x = 0.

y — x arc tang —

W początku spółrzędnych punkt zatrzymania się.

ROZDZIAŁ XIV.

Krzywizna krzywych płaskich.

Dział I. Promień krzywizny.

Wzór na promień krzywizny p dla krzywych płaskich jest nastę

pujący:

1° w przypadku spółrzędnych prostokątnych:

0)

¹+(£)’]*

d*y dx²

gdzie x i y są to spółrzędne bieżące, przyczem x jest zmienną niezależną;

2° w przypadku spółrzędnych biegunowych:

dr\² ]f

. \ dt

-+>(sr

d² r ~r~dP

gdzie r oznacza promień wodzący, t zaś kąt biegunowy, który uważamy jako zmienną niezależną.

Jeżeli p oznacza prostopadłą poprowadzoną od bieguna do stycznej, to promień krzywizny wyraża się za pomocą wzoru następującego:

(3)

P dp ’

dr

PRZYKŁAD I.

Mamy równanie linii łańcuchowej:

y = -c.

Różniczkując to równanie, otrzymujemy:

dy

i • d2y ₌ y

dx²    a²

dx ~~ 2 Y

W wyrażenie (1) podstawiamy znalezione wartości na

skąd:

x\² 1

¹+Tka

d-y

.f

Ytb t

PRZYKŁAD II.

SE

Mamy dane równanie spirali hyperbolicznej:

■'/

Z równania tego otrzymujemy:

dr

Ou

dt

d² r_2 a_2 r³

dt²    n²

mujemy:

Podstawiając znalezione wartości pochodnych w wzór (2), otrzy

3.

('+-J

r (n²+ r²)i

r²

a³

PRZYKŁAD III.

Równanie spirali logarytmicznej jest następujące:

p = mr.

Różniczkując, otrzymuj emy:

dr 1

dp

Na zasadzie wzoru (3) otrzymujemy:

ĆWICZENIA.

xy = k². (Równanie hyperboli, odniesionej do asymptot).

2.

— a a:

a;^ [«² +    + l)² (a² *²)nY

Przy n = 2 mamy

/z (n -f- 1) CLn x^ (4 -f 9 ax)i .

6a²

jest to promień krzywizny rozwiniętej paraboli.

Yax — x².

_ (n⁴-f 4 ax³ — 4 x*)% p 2 a² x³ (3 a — 4jc)

I a² — y².

o.

4.

—A²-

(Traktryca).

5.

dy _y b² — (a —y)²

dx

. {Równanie różniczkowe trochoidy).

[b² — a {a — 2 y)]^

a (a —y) — b²

6.

Jeżeli a = b: p = 2 \ 2 ay; p jest promieniem krzywizny cykloidj⁷.

2 , 2

mxi -j- ny* = q.

_ Hxy)_ x| _|_ m2 '

(1)

Aby znaleźć promień krzywizny hypocykloidy, której równanie jest następujące:

2,2 2

*7 _|_yr = aT,

wystarczy w równanie (1) podstawić wartości: m = 1,

/z — 1,

q — a^\

wtedy na promień krzywizny otrzymujemy wyrażenie:

p = 3 {axy)^.

Równanie rozwiniętej elipsy jest następujące:

x"3' 4- b* y?

Podstawiając w wyrażenie (1) wartości m = a%, n = b4 q — c otrzymamy następujący wzór na promień krzywizny rozwiniętej:

= c*.

3(xy)³

P    2    14

qJ fr? CS

Równanie rozwiniętej hyperboli jest następujące:

ay x* —b%y? = {a² -f b²)?.

{b* x% -j-a?y*)%.

— bi q = (a² -j- b²)^, otrzymamy na

2

Podstawiając m — as, promień krzywizny rozwiniętej hyperboli następując}⁷ wzór:

B (xyy*

(a² +

,, 4    2    ,    4    2    3

(6* ^ -\-a* y*)^.

r= a sm 2 t.

7.

(Róża czwórolistna).

_ (4 a² — 3 r²)^ ⁹ ~    8 a² — 3 r²~

8.

9.

r = a -j- b cos

(a² — 2 ar — £²)^ 2a² —3ar —2 6²'

a [1 -f-1/2 (1 — cos £)]•

1    (B r² -f- 2 ar 3 a²)T^

2    3 r² -[- 3 ar 6 a²

(Ślimak Pascala).

(Ślimak o dwu gałęziach)*).

10.

1 — e cos t

(Jest to równanie krzywych drugiego rzędu, gdzie p oznacza parametr, e mimośród)

e² r² sin²1\%

p2

Oznaczając przez a dopełnienie kąta, utworzonego przez promień wodzący i styczną, otrzymamy:

er sin t

tang a = —

Z tego wyrażenia znajdujemy prosty wzór na promień krzywizny:

O.

cos³ a ’

11.

br

P    (a²-fr²)^

(Jest to równanie spiralnych Gut es a, gdzie /? oznacza prostopadłą z bieguna do stycznej).

r (a² -f- r²)^ a² ń

12.

P% ~~

r² (r² — a²) c- — a²

c² — a²

(Epicy kloida).

C²

P=/7 .

(B r ah y).

*) Wątpię czy krzywa ta jest znana. Konstrukcja jej i kształt mają wiele podobieństwa z konstrukcją i kształtem ślimaka Pascala. Krzywa ta posiada dwie gałęzie. Możnaby ją nazwać ślimakiem o dwu gałęziach.

Dział II. Rozwinięte.

Niech x, y będą spółrzędnemi bieżącemi krzywej w układzie spółrzęd-nych prostokątnych, o. zaś i [3 spółrzędnemi środka krzywizny; mamy związki:

d²y

dx²

to

dy

dx

Ł | 55.

* C⁵

to! ^

v-[i

Aby znaleźć równanie krzywej rozwiniętej, należy z powyższych dwu równań i z równania krzywej danej wyrugować x i y. Jeżeli to rugowanie jest trudne lub niemożliwe, wystarczy wtedy utworzyć równanie różniczkowe rozwiniętej, zastępując w wyrażeniu:

1 ¹)

do.

dy

dx

x i y przez ich wartości, wyznaczone jako funkcye o. i (3.

Jeżeli p i r są spółrzędne bieżące krzywej, odniesionej do spółrzęd-nych biegunowych, zaś p i r' — spółrzędne rozwiniętej, oraz p — promień krzywizny, wówczas mamy związki:

dr r dp’

p’2 — r2 p2}

r'² = r² -j- p² — 2 p/7.

Aby otrzymać równanie krzywej rozwiniętej, wystarczy wyrugować r, p i p z powyższych trzech równań i z równania danej krzywej.

PRZYKŁAD I.

Znaleźć rozwiniętą paraboli y² = 2 px. Z równania tego otrzymujemy:

dy ₌ Ł

dx y ’

d²y

dx²

p²

A więc mamy:

*+(ff

Ihs

’p

d²y

dx

dx²

!hs

= — 2 x — p,

skąd:

a prócz tego:

y-P = -

d²_y

dx²

A²

■<3

skąd:

A = (-/>²P)ł-

Podstawiając otrzymane w ten sposób wartości x i y w równanie krzywej, otrzymujemy następujące równanie rozwiniętej:

P—P)

PRZYKŁAD II.

Mamy dane równanie różniczkowe linii łańcuchowej:

dy _]/y² — a²

dx

z którego otrzymujemy:

d²y_y

dx² a² '

j/y² — a²

do:

podstawiając zaś zamiast y/ jego wartość poprzednio znalezioną, otrzymamy:

do,i

Stąd znajdziemy:

dy\²

dx

dx²

a²

czyli że

Z wyrażenia

doi

dy '

dx

dy

jeżeli zamiast

podstawimy jego wartość, otrzymamy:

]/[i² — 4 a²'

Jest to równanie różniczkowe rozwiniętej linii łańcuchowej.

PRZYKŁAD III.

Znaleźć rozwiniętą spirali r — aS ^.

Równanie tej krzywej możemy napisać w postaci:

V1 + log a

Z tego równania otrzymujemy: dr — r ]/l + iog a ,

r dp

p’² — r² — p² — r²

r²

r² log a

1 -j- log a 1 + log a

y i -j- log a

r'² = r² -f- p² — 2 p/7 = r² -)- r² (1 -f- log a) — 2 r \! I -f- log a

— r² log a.

V1 -f log a

r'

Następnie:

P'²

r² log a

: r² log a =

1 -j- log a ’

(Jest to równanie rozwiniętej, która jest spiralą podobną do danej).

ĆWICZENIA.

1.

xy — 1.

(Hyper bola).

Równanie rozwiniętej jest:

2.

Otrzymamy następujące równanie rozwiniętej:

81 p² = 16 (2 + j/l — 6 a)² (±y 1 — 6 a — 1).

(Parabola Neila).

3.

a?

b²

= 1.

(Elipsa).

Równanie rozwiniętej jest:

(aa)* _|_ (&p)ł = (a² — 6²)*.

Jeżeli zamiast b podstawimy b ( —1, otrzymamy rozwiniętą hyper-

boli:

(aa)² — (bp)% = (a² + b²)%.

Jeżeli w tem ostatniem równaniu położymy b = a, otrzymamy rozwiniętą hyperboli równobocznej:

a! — pł = (2 aft.

4.

==a*.

(Hypocykloida).

Równanie rozwiniętej jest:

(a -f p)* +.(a — p)£ = 2 a^.

dy

5.

dx

Równanie to jest równaniem różniczkowem cykloidy; należy znaleźć równanie różniczkowe rozwiniętej tej krzywej.

Odpowiedź:

d§_ _

j/_2ag —p*

6. Znaleźć równanie różniczkowe rozwiniętej traktrycy, której równanie różniczkowe jest:

dy

dx

]/a² —y²

Odpowiedź:

d$ _ J/p² — o²

da

7.

y = aen.

Równanie różniczkowe rozwiniętej jest następujące:

(Krzywa logarytmiczna).

d[i

da + p + (p² — 8 a²) ^ == 0.

8.

p² = r² — a².

Rozwinięta tej krzywej jest kołem.

9.

p² =

c² (r² — a²) c² — a²

(Epicy kloida).

Rozwinięta jest także epicykloidą:

c² r'²--r-

P'² =

c²

c² — a²

ROZDZIAŁ XV.

Powierzchnie.

Mamy równanie powierzchni z = f (x,y)’, x', y', z' są spółrzędne bieżące; x, y, z — spółrzędne punktu styczności płaszczyzny stycznej. Podajemy poniżej wzory na elementy zasadnicze powierzchni; w wyrażeniach

, u    dz

tych p =

dz

dx’ q ~ dy '

Dla płaszczyzny stycznej mamy wzór:

2' — z =P (V — x) + q (/ —y). Równanie normalnej jest:

x' — x_y—y

-P

(I)

2' —Z

(2)

Spółczynniki kierunkowe normalnej. Przez 9, 9' i 9" oznaczamy kąty normalnej z osiami, albo kąty między płaszczyzną styczną

a płaszczyznami spółrzędnych; kładąc h= ]/1 -|- p² -f- q², znajdziemy rażenie następujące:

wy-

cos 9 _ cos 9' cos 9"

—p ~ q

Odległość początku spółrzędnych od płaszczyzny stycznej oznaczymy przez D; równa się ona:

(3)

px + qy —z

(4)

Główne promienie krzywizny. Promień krzywizny oznacza-

___~i~ p² h~ _

r cos² a -f- 2 5 cos a cos (3 -j-1 cos² (3 '

__d² z

S dx dy'

znajdziemy, że główne promienie krzywizny są pierwiastkami równania:

(rt — s²) p² — k [(1 -{- q²) r — 2 pqs -|- (1 -f- p²) t] p -j- k⁴ = 0.

Linie krzywiznowe. Równanie różniczkowe rzutu tych linii na płaszczyznę xy jest następujące:

my przez p:

Kładąc:

d² z

dx²

d² z

(5)

[(\Ą-q²)s-pqt\

dy

dx ~(1    5 +pqr = °‘

Punkty kołowe (ombiliki) znajdujemy z równań następujących:

(7)

lJrP² __PQ __ 1 JrQ²

oraz z równania płaszczyzny.

Jeżeli równanie płaszczyzny jest napisane w postaci:

F(x,y, z) — 0

to łatwiej jest wyznaczyć zasadnicze elementy za pomocą następujących wyrażeń:

Płaszczyzna styczna:

(x' — X)

dF

dx

+ (y'-y)

dF

dF

dy

+ (z'-z)^- = 0.

(8)

Normalna:

x' — x y —y z' — z

dF

dF

dF

(9)

dx

dy

dy

Spółczynniki kierunkowe normalnej: cos 9 cos 6' cos 9"

dF

dF

dF ±R

(10)

dx

dy

dz

gdzie:

/<£)•+(!)■+(£)■

Odległość początku spółrzędnych od płaszczyzny sty cznej:

dF

xdx+y

dF

dF

dy

-I- z — ¹ dz

±R

(11)

Główne promienie krzywizny są określone równaniem:

C£j ca.

— 2 w’ U V w —

j+vtr-i

— 2u'VW u — — — 2 v' UW v — — WUi'² — V²v'² — W²w'²-\-2 VW v' w' -\- 2 UW u' w' Ą-2 UV u' v' = 0 (12)

w równaniu tem wprowadziliśmy oznaczenia następujące:

dF

dF

dx

dy

= V,

dF

dz = ^

d²F

d²F

d² F

dy²

dz²

w,

d² F

dy dz

u',

d² F

dx dz

V,

d² F

dx dy

w'.

Punkty osobliwe. Spółrzędne tych punktów muszą spełniać jednocześnie równania:

dF

dx °’

dF

dF

dy

dz

(13)

i równanie powierzchni.

Oznaczając przez (u), (v), (w), («'), (v'), (w') wartości, które przybierają pochodne «, v, w, u', v', w' w punkcie osobliwym, otrzymamy następujące równanie miejsca geometrycznego prostych stycznych w tym punkcie:

(14)

(u) x² -f- (v) y² -f- (w) z² -(-2 (u') yz -j- 2 (v') xz -f- 2 (w') xy = 0.

UWAGA. Jeżeli równanie powierzchni przedstawia funkcyę jednorodną nrz° stopnia względem x, y, z równą stałej c, wówczas równanie płaszczyzny stycznej jest:

x'

dF . ,dF .dF

4-y

dx

dy

-j- z' = tlC. dz

(15)

Odległość początku spółrzędnych od płaszczyzny stycznej jest:

(16)

PRZYKŁAD.

Dane równanie elipsoidy:

X²

y²

F=——I-    4-

a²^ b²^

z²

— 1 = 0.

Otrzymujemy następujące wartości pochodnych:

dF 2 x    dF _2y    dF 2 z

dx    a² ’    dy ~~ b² ’    dz    c²

Podstawiając te wartości w odpowiednie równania, otrzymujemy: 1°) z równania (15):

x'

2x

a2 +-V b2

c²

czyli

xx'

y/

zz'

b²

1.

Jest to równanie płaszczyzny stycznej. 2°) z równań (9):

x' — x_y —_y_z' — z

2x

2z

a²

b²

czyli

c² (z' — z)

a:

co jest równaniem normalnej. 3°) z równań (10):

cos a

COS [3 _ COS 7

2a;

2y;

2z

a²

c²

<?'+

4_y²

4 z²

c⁴

czyli

cos a

COS p

cos y

z²

6’⁴

b²

Równania te wyznaczają spółczynniki kierunkowe normalnej czyli kąty pomiędzy płaszczyzną styczną i płaszczyznami spółrzędnych.

4°) z równania (16) otrzymujemy odległość początku spółrzędnych od płaszczyzny stycznej:

4x²

a⁴

-+L;

albo

]/

y-

Z²

ń⁴

c⁴

Z powyższego kształtu równania widać, że jeżeli D zachowuje tę samą wartość, to iloczyn głównych promieni krzywizny jest wielkością stałą.

6°) chcąc z równania (6) otrzymać równanie różniczkowe rzutów linii krzywiznowych na płaszczyznę xy, wyznaczamy z równania danej powierzchni następujące wielkości:

c⁴ ((b² —y²)

a² b² z³ ’

2.x;

2z

a² ’

ó² ’

c²

D = -!

stąd:

a²’

c² ’

z/ = 0,

Jeżeli równanie powyższe, które wyznacza główne promienie krzywizny, podzielimy przez

otrzymamy

czyli

u' == 0,

w' — 0.

16

a² b² c² D² p

x²

r(DP-a²) (Dp — b²) (Dp-c²)„

y²

z²

a² (Dp — a²) y (Dp — &²) c² (Dp — c²)    ^

p² -1(«²+*²+o - (*²+y+ *²)i £+

a² b² c²

D⁴

0.

5°) z równania (12) otrzymujemy: 4x² 12

a⁴

+¹,?

DrJ U²

Ponieważ:

c² x a²^’

r⁴ jyy

c⁴ (a² — a;²)

a²6²z³ ’

a² b² z³ ’

następnie te wielkości, jak również wartość na z² podstawiamy w (6); szukane równanie będzie miało postać następującą:

b² — c²

—r*

(!)'+

X²------v.r y² — (#²— &²)

b²

dy

dx

a² — c²

xy = 0.

7°) z równania (7), podstawiając wartości na p, q, r, s, t, otrzymujemy równania punktów kołowych:

b² m a⁴ z² -f- c⁴ x2 a2Z c⁴ {b² — y²)

_ a²    6⁴ z² -f- c⁴ y²

Z b2 Z c⁴ (a² — x²)

Równania te będą spełnione, gdy:

y = o,

a: = + a

i/ __

y a² — c² ’

— b²

z = -h c

/ ń² — c²

[/ ^

Powyższe wielkości są to spółrzędne czterech punktów kołowych.

Jeżeli równanie płaszczyzny stycznej napiszemy w postaci:

xf

z'

= 1,

spostrzeżemy, że spółrzędne punktów przecięcia się płaszczyzny stycznej z osiami są:

* I To

c²

Objętość ostrosłupa, zawartego pomiędzy płaszczyzną styczną i płaszczyznami spółrzędnych, jest:

a² b² c²

6 xyz

1    o² b^_ 1

¹

Porównaj inny sposób znalezienia krzywej rozwiniętej, wskazany w ćwiczeniu 14 w rozdziale XVII.

2    x ' y    3

Pole części płaszczyzny stycznej, ograniczonej przez płaszczyzny spółrzędnych, równa się objętości ostrosłupa podzielonej przez jedną trzecią odległości początku spółrzędnych od płaszczyzny stycznej:

a² b² c²

Z²

' ’ /!

_y²

Z²

c⁴

2 jęyz

c⁴ *

W celu wyznaczenia miejsca geometrycznego rzutów środka elipsoidy na płaszczyzny styczne, wystarczy wyrugować x, y, z z równań płaszczyzny stycznej i prostopadłej opuszczonej z początku spółrzędnych na tę płaszczyznę. Równania tej prostopadłej są następujące:

c² z'

b² y

a² x'

z nich otrzymujemy:

K.

<M

H.

to

Mnożąc odpowiednio wyrazy równania płaszczyzny stycznej przez te cztery równe wielkości, otrzymamy następujące równanie szukanego miej

sca geometrycznego:

x'² +/² + z'² = ^a² *'² + b²y'² + C² z'², Jest to równanie powierzchni sprężystej.

ĆWICZENIA.

1.

Znaleźć płaszczyznę styczną do konoidy, określonej równaniem: x² z² -[- a² y² — r² x² = 0.

Odpowiedź: (z² — r²) xx' -j- a² yy' -f- x² zz' = x² z².

Gdy z = r, y = 0 równanie płaszczyzny stycznej jest:

z' = r.

2. Znaleźć płaszczyznę styczną do powierzchni, określonej przez równanie następujące:

az = arc sin

Yx² -j-y² i

Równanie szukanej płaszczyzny:

2    (x'y — xy') -f- (z' — z) (x² -\-y²) a? = 0.

3. Znaleźć płaszczyznę styczną do powierzchni sprężystości, określonej równaniem:

a² x² -\-b² y²    c² z² = (x² -\-y² -f- z²)².

Znaleźć także odległość od środka tej powierzchni do szukanej płaszczyzny. Kładąc: r² = x²-\-y²z², otrzymujemy równanie płaszczyzny stycznej w postaci:

(2 r² — a²) xx' -f- (2 r² — b²)yy' -f- (2 r² — c²) zz' — r4 odległość zaś od środka powierzchni do szukanej płaszczyzny jest:

{x² -{-y² + 2²)2 ya⁴ x² 4- b⁴y² + c⁴ z²

4. Znaleźć punkt, w którym normalna do powierzchni obrotowej:

spotyka oś z.

Odpowiedź: Rzędna szukanego punktu jest:

z = 9 (x² 4-y²)

z'= z-\-x

dx

dz '

5. Wykazać, że płaszczyzny styczne do powierzchni z = xy l- -) przechodzą przez jeden punkt.    /

Równanie każdej płaszczyzny stycznej do tej powierzchni będzie:

z równania tego widzimy, że płaszczyzna przechodzi przez początek spółrzędnych.

Jakoż z = xcp    jest powierzchnią stożkową, której wierzchołek

jest początkiem spółrzędnych.

6. Znaleźć rzędną punktu, w którym płaszczyzna styczna do powierzchni, określonej równaniem:

xm (z -j- ]/x² -(- y² + z²) — cp | -j

spotyka oś z.

Rzędna szukanego punktu jest:

z' — (m -j-1) V*² -\-y² 4~ z²;

rzędna ta jest proporcyonalna do odległości punktu styczności od początku spółrzędnych.

7. Dane równanie powierzchni:

z (x² -(-y²) = a³;

znaleźć pole części płaszczyzny stycznej zawartej pomiędzy płaszczyznami spółrzędnych.

Na szukane pole znajdziemy następujący wzór:

9 aG } r² (r² 4~ 4 z²)

gdzie

2³ xyz² r²

r² = a:² 4-y²-

8. Znaleźć objętość ostrosłupa, zawartego pomiędzy płaszczyznami spół-rzędnych i płaszczyznę styczną do „cono-cuneus“ Wallisa:

a² y² — x² y² — c² z² — 0.

Szukana objętość:

x⁵y

6 c² z (x² — a²)

9. Znaleźć kąty pomiędzy osiami spółrzędnych a płaszczyzną styczną do helisoidy rozwijalnej, której równanie jest:

(a:²+y² — a²)^

.    [2 TTZ

i-

i-

x sin

Zakładamy, że

2 7C z

(x² -\-y² — a²)² ==Q

wtedy:

cos a

h fa sin 9 — x)

]/(x² -j-y² — a²) (h² —|— 4 tu² a²)

cos [3 =

h (a cos 9 —y )

-j-y² — a²) (A² + 4 x² a²)

cos y =

2 aw

]/A² -j- 4 71² a²

Płaszczyzna styczna tworzy z płaszczyzną Ay kąt stały.

10. Mamy dane równanie helisoidy skośnej:

a; cos    —y sin    = 0;

wyznaczyć płaszczyznę do niej styczną; znaleźć odległość D początku spółrzędnych od szukanej płaszczyzny stycznej oraz wyznaczyć główne promienie krzywizny tej powierzchni.

Oznaczając x² -j-y² przez r², otrzymujemy następujące równanie płaszczyzny stycznej:

xy' — x'y -f- nr² (z' — z) = 0.

Odległość początku spółrzędnych od płaszczyzny stycznej równa się:

nrz

y 1 -j- n² z²

Główne promienie krzywizny są określone przez równanie:

n² [j² — (1 -J- n² r²)² — 0.

Znaleźć miejsce geometryczne rzutów początku spółrzędnych na płaszczyzny styczne do powierzchni, określonej przez równanie:

11.

xyz = a³;

znaleźć główne promienie krzywizny, ombiliki czyli punkty kołowe powierzchni i linie krzywizny tej powierzchni.

równanie:

Odpowiedź. Szukane miejsce geometryczne jest kulą, określoną przez x² -j-y² -j-z² = 3 a²;

promień jej równa się aj/ 3.

Równanie głównych promieni krzywizny jest;

27 a6 Dr

p² + 2 (*² +y² + z²) Z _).

Spółrzędne punktu kołowego są; x =y = z = a.

Równanie różniczkowe rzutów linii krzywiznowej na płaszczyznę xy

= 0.

jest:

x² (x² yi — a⁶)

dy\²

dx

-j- 2 x³y³ (_y² — x²)

dy

dx

—y² (x⁴y² — a²) = 0.

12. Znaleźć elementy główne paraboloidy eliptycznej:

— z = 0.

x² , y2 2 a ' 2 b

Równanie płaszcz}rzny stycznej:

1T +

o*

= 2: -f- z'.

Równania normalnej:

a (x' — x)_b (y — y)_z' — z

_ — -- .

Dostawy kierunkowe normalnej;

cos a

cos p _ cos y

1/-

[/ a²

*2 + 1

Odległość D początku spółrzędnych od płaszczyzny stycznej:

Y+ -+1

Jeżeli a>b, wówczas spółrzędne dwóch punktów kołowych są;

y = + ]/b {a — b),

a — b

natomiast przy a < b mamy:

/

x = ±J/ a (b — a),

Równanie głównych promieni krzywizny jest:

abz⁴

p²— (a4-6 + 2z)^-P+

0.

y = °₅

jest:

Równanie różniczkowe rzutów linii krzywiznowej na płaszczyznę xy

axy

dy\²

dy

dx

+ [bx² — ay² + ab (a — b)] ^

bxy = 0.

13. Znaleźć punkty osobliwe powierzchni, określonej przez równanie;

(x² -j->'² -j- z²)² = a² x² -f- b²y² — c² z². Kładąc x² -Ą-y² -\- z² = r², znajdujemy:

U = 2 x (2 r² — a²), u = 2 (2 r² — a²) + S *², u' = 8 yz,

UZ=2z(2 r² + c²), w = 2 (2 r² -f- c²) -j- z²y w’ — 8 xy.

V = 2y (2 r² — b²), v = 2 (2 r² — b²) -f- 8 y², v' = 8 xz,

Równania U = 0, V= 0,    0 są spełnione przez wartości x = 0.

a² ,x:² -j- b²y² — c² z² — 0.

y = 0, z = 0, które spełniają także równanie powierzchni. Początek spół-rzędnych jest punktem osobliwym. Miejsce geometryczne wszystkich stycznych do powierzchni w tym punkcie znajdziemy przy pomocy równania (14), kładąc w niem zamiast U, V, W, u, v, w, u!, v\ w' wartości tych pochodnych przy x = 0, y = 0 i z = 0. W ten sposób otrzymujemy równanie:

Jest to równanie stożka, którego wierzchołek leży w początku spół-

rzędnych.

14. Znaleźć punkty osobliwe powierzchni, określonej przez równanie: z (x² -\-y² -j- z²) -f- ax² -f- by² — 0.

Początek spółrzędnych jest punktem osobliwym; równanie miejsca geometrycznego stycznych w tym punkcie jest:

ax² -j- by² = 0;

równanie to może przedstawiać tylko oś z.

15. Znaleźć punkty osobliwe powierzchni falowej, określonej przez równanie:

(x² -\-y² -j- z²) (a² x² -f- b² y² -j- c² z²) — a² (b² -f- c²) x² — b² (a² -j- c²)y² — — c² (a² -f- b²) z² -f- a² b² c² = 0.

Otrzymamy cztery punkty osobliwe o spółrzędnych:

y = ę>,

X = JrC

a² — b²

a² — c² ’

f b² — c²

V 1?

Równanie miejsca geometrycznego wszystkich stycznych w tym pun

kcie jest:

x²

b² — c²

4 a² c²

y² +

z²

a² b²

a² -f- c²

xz

y(a² — b²) (b² — c²) ac

= 0.

(Hamilton).

ROZDZIAŁ XVI.

Krzywe skośne.

Mając dane równania krzywej:

x — <p (z),

można wTyznaczyć elementy zasadnicze tej krzywej za pomocą następujących wzorów, w których x', y\ z' oznaczają spółrzędne bieżące, a x, y, z spółrzędne punktu styczności stycznej.

Równanie stycznej

x' — x_y'~~y

dx

dy

(i)

dz

dz

Pochodna luku krzywej. Oznaczając łuk przez s, mamj^:

ds

dz

/(£)'+ (!?+■-

(2)

Dostawy kierunkowe stycznej. Oznaczamy przez a, [5, y kąty, które styczna tworzy z osiami spółrzędnych; wtedy:

dx

cos a = —- , ds

cos P =

dy

ds ’

cos y =

dz

ds '

(3)

Płaszczyzna normalna jest wyznaczona przez równanie:

dx

dy

(x'-x)Yz + {y~y)dz

-(- (z' — z) = 0.

Płaszczyzna ściśle styczna określona jest przez równanie:

d²x

(x' — x)

d²y

dz²

(.yf—y)

dz²

f &-z)

'dy d²x dz dz²

dx d²y' dz dz

= 0,

(5)

zaś główna normalna przez równanie: x' — x

y'—y

z! — z

d² x

d² y

d² z

(6)

ds²

ds²

ds²

Dostawy kierunkowe normalnej głównej.

Oznaczając

przez X, [t, v kąty, które normalna główna tworzy z osiami spółrzędnycli i kładąc

/? = ±

mamy:

cos X =

ds²

cos (A = —

/? ’

cos V =

ds²

(7)

Kąt krzywizny. Oznaczając przez w ten kąt, znajdujemy, że

w = Rds.

(8)

Promień krzywizny jest

(9)

Promień krzywizny leży na normalnej głównej, zatem jego dostawy kierunkowe są określone przez równania (7).

Środek krzywizny. Niech X, Y, Z oznaczają spółrzedne tego środka; mamy:

X=x + p

d² x

ds²

Y = yJr P²

*<3

ds²

Z — z -f- p

₂ d2z

ds²

11)5

Miejsce geometryczne środków krzywizny. Równania, określające to miejsce, otrzymamy przez rugowanie x, y, z z trzech powyższych równań (10) i z równań krzywej.

Oś biegunowa. Następujące równania określają tę oś:

x'+-X

y-y

z'— Z

(U)

dy d²x dx d²y dz dz² dz dz²

W tych równaniach zamiast X, Y, Z należy podstawić ich wartości otrzymane z równań (10).

Powierzchnia biegunowa. Równanie tej powierzchni otrzymamy przez rugowanie x, y, z z równań krzywej oraz z równań, określających oś biegunową.

Krawędź zwrotu. Równania tej linji znajdujemy, szukając klawych obwiedni (zob. rozdz. XVII) rzutów osi biegunowych. Jeżeli znamy powierzchnię biegunową, wystarczy znaleźć równani jednej z krzywych obwiedni.

d²y

d²x

dz²

dz²

Równanie powierzchni biegunowej jest jednym

Rozwinięta.

z równań rozwiniętej. Drugie równanie otrzymamy przez rugowanie x, y, z z równania krzywej i z równań następujących:

di

d’f]

di

gdzie i, Yj, C są spółrzędnemi punktu styczności stycznej do rozwiniętej. Kąt skręcenia, który oznaczamy przez s, równa się:

d²y dzx d²x dsy\ ds\⁶ \ dz² dz³    dz² dz3 S‘

P²

(12)

dz

PRZYKŁAD.

Równania śrubowej (helisy) walcowej są:

ar

y = r cos — ;

ar

otrzymamy z nich:

x² -f-y² = r²;

gdzie r oznacza promień walca, a styczną trygonometryczną stałego kąta pomiędzy krzywą i tworzącą.

Po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

dx _ y

dy

dz

ar

dz

ar

d²x

dz²

a²r² ’

d²y_ y

dz²

a²r²

d*x

dz⁸    a³ r³’

d*y_

dz* a* f' '

a:

Po podstawieniu wartości tych pochodnych we wzory powyżej wymienione, otrzymujemy główne elementy danej krzywej,

1°. Styczna. Na zasadzie równań (1) mamy:

x' — x__y' — y

ar

ar

2°. Pochodną łuku krzywej znajdujemy z równania (2):

ds

y²

X²

dz

a² r²

a² r²

-\fl+a\ - ¹

y CL²

sinz/

3°. Dostawy kierunkowe stycznej są:

dx

dx dz

ar

ds

ds

dz

a²

r ]/a ²

y

— — cos v,

dy

dy _ dz

ar

ds

ds

dz

a²

r yiĄ-a²

--— COS Vy

dz 1

ds

ds

1 + a²

= sin v.

dz

a²

sin v

Stąd po uwzględnieniu wzorów (3) znajdujemy, że:

cos a =    - cos v,

COS P = —

COS V.

cos y = sin v.

Z tych równań wynika, że styczna tworzy z osią z kąt stały.

czyli

4°. Płaszczyznę normalną znajdziemy z równania (4):

(.xf — X)

ar

xy — xy' -j- (z' — z) ar = 0.

5°. Płaszczyznę ściśle styczną otrzymujemy, stosując równanie (5):

— (x' — x)

a² r²

czyli

+ (/ —y)    + (z' — z) |

f

x’ y — xy--— (z? —■ z) —

a;²

y²

a⁴ r

a³ r³

0.

6°. Normalna główna. Ponieważ

d² s

ds

dz sin v ’

zatem

dz²

= 0,

co pociąga za sobą:

d² x

d²x dz2 ds² ~~ jds^ ~ ~ 1 Ą-a² ~

a² r²

r² (1 + a²)

cos² v,

dz

a²

d²y

d² y_ dz²

ds²

a²r²

ds\² 1-|-a²    r² (1 —f-a²)

r²

COS² V,

dz

a²

d² z

ds²

0.

Podstawiając znalezione wartości w równanie (6), otrzymujemy:

z' — z

x' — a;

y' —y

-r- COS² V

COS² V

czydi

7°.

x y — xy' — 0

Dostawy kierunkowe normalnej głównej. Ponieważ

Z' =

mamy:

v²    v²

COS⁴ V

cos² u

przeto ze wzorów (7) otrzymujemy:

cos² v

cos X

COS²V

COS² V

COS

COS²V

cos v = 0.

Z powyższego widzimy, że normalna główna jest zawsze prostopadła do osi walca, jak to już zresztą było dowiedzione poprzednio.

8°. Kąt krzywizny otrzymujemy z wzoru (8):

COS² V

ds.

Krzywizna jest więc stałą.

9°. Promień krzywizny znajdujemy z wzoru (9):

COS² V '

10". Środek krzywizny otrzymujemy, stosując wzór (10):

—.    • —5- cos² v — — x tang² v = — ar x,

cos⁴ v r¹

r²

y=y—

cos⁴z/ * r* C°s2 V = —y tang² v — — a²y,

Z — z.

11°. Miejsce geometryczne środków krzywizny otrzymamy, rugując x, y, z z równań środka krzywizny oraz z równań krzywej. Równania tego miejsca są:

X = — a² r sin —, ar

Y— — a² r cos — .

ar

Z powyższych równań widać, że znalezione miejsce geometryczne jest drugą śrubową walcową o wspólnej osi z daną krzywą i o promieniu walca równym a² r.

12°. Oś biegunowa. Z równań (11) otrzymujemy: x' — X

z' — Z

a²r²

Jedno równanie osi biegunowej otrzymamy z pierwszego z powyższych równań, gdy zamiast X i Y podstawimy ich wartości. Równanie to jest:

xx' Ą-yy = — a² r² ;

jako drugie równanie tej samej osi można wziąć równanie płaszczyzny normalnej, mianowicie:

x' y — xy = — (z' — z) ar.

13°. Powierzchnia biegunowa. Należy wyrugować x, y, z z dwóch równań osi i z równania krzywej. W tym celu wystarczy podnieść do kwadratu obie strony poprzednich równań i dodać do siebie; w ten sposób otrzymujemy:

a² {z' — z)² = x'² -J~y² — a⁴ r².

Równanie powyższe rozwiązujemy względem z i znalezioną wartość podstawiamy w równania helisy, z nich otrzymujemy wartości x \ y, które podstawiamy w równanie:

xx' -j- yy' — — a² r²;

ostatecznie znajdujemy następujące równanie powierzchni biegunowej:

laz,±Yx’²-ł-y*

\    a² r

laz,Jr}/x'²-\-y'²— a⁴ r2 \    a² r

14°. Krawędź zwrotu. Jako rzut osi biegunowej na płaszczyznę xy otrzymaliśmy wzór następujący:

xx' -f-yy' = — a² r².

To samo równanie możemy napisać w postaci następującej:

X' sin

— a⁴ r²

+y cos

+ a²r = 0.

— a² r.

x' sin — 4- y cos — ar    ar

Krzywa, przedstawiana przez to równanie, posiada następującą ob

wiednię :

x'² -j~y² = a⁴ r².

(Patrz w rozdziale następnym sposób znalezienia obwiedni).

Jest to jedno z równań krawędzi zwrotu.

Drugiem równaniem jest równanie powierzchni biegunowej, które na zasadzie poprzedniego można napisać w następującej postaci:

x' sin

z'

ar

+/ cos

ar

= — a¹ r.

Te dwa równania krawędzi możemy sprowadzić do postaci:

z'

z'

y’ = — a² r cos —.

x' = — a³ r sin —, ar

Widzimy tedy, że równania krawędzi właściwie nie różnią się od równań śrubowej, będącej miejscem geometrycznem środków krzywizny krzywej danej.

15°. Kąt skręcenia otrzymujemy na zasadzie wzoru (12):

sin 2 v

ar

ds.

znajdziemy z nich

i t. d., a następnie, podstawiając znale-

UWAGA. Jakąkolwiek postać miałyby równania krzywej skośnej, dx dy d⁴x dz ’ dz ’ dz⁵

zionę wartości pochodnych we wzory ogólne, obliczymy zasadnicze elementy krzywej.

GWICZENIA.

1. Wyznaczyć elementy zasadnicze helis)⁷ walcowej, określonej przez równanie:

«    • z

— a¹ r sin -

, z — a¹ r cos

ar ’

Są to równania linij środków krzywizny śrubowej, którą badaliśmy w poprzednim przykładzie.

Pozostawiamy czytelnikowi wyznaczenie elementów głównych tej krzywej i porównanie otrzymanych wyników z wynikami znalezionemi poprzednio.

ar

Dla stycznej znajdujemy równania:

xx' -j- zź = a², yy' -J- zz' — b².

Dla płaszczyzny normalnej otrzymujemy równanie:

x'

z'

= 1.

Dla płaszczyzny zaś ściśle stycznej równanie:

b² a:³ x' — a²yzy' -f- (a² — b²) z³ z' = a² b² (a² — b²).

3. Znaleźć styczną i płaszczyznę normalną krzywej, utworzonej przez przecięcie się kuli z elipsoidą współśrodkową {Elipsa kulista).

Krzywą daną określają równania następujące:

x² -f-y² -\- z² = r²,

x²

y²

a²    b²

c²

Po zróżniczkowaniu każdego z tych równań otrz3unujemy:

dz +z —°’

dx , dy xTz+y-

c²

stąd znajdujemy:

dx

dz

a² (6² — c²) 2: c² (a² — &²) x ’

afy _ b² (c² — a²) 2:

ćfc c² (a² — &²)_y '

Podstawiając te wartości w równania ogólne, znajdujemy równania

st}’cznej:

x (x' — X)

a² (ń² — c²)

_ z (z' — z) b² {c² — a²)    c² {a² — b²) ’

oraz płaszczyzny normalnej:

a² {b² — c²)    + b² {c² — a²)^y^- + c² {a² — b²)

z' — z

= 0.

4. Znaleźć styczną i płaszczyznę normalną do krzywej, utworzonej przez przecięcie dwóch stożków prostych, których osie przecinają się pod kątem prostym.

Jeżeli jako początek osi spółrzędnych obierzemy punkt przecięcia się osi stożków, a same osie uważać będziemy jako osie spółrzędnych x i y,

wówczas, oznaczając przez h i h\ odległości wierzchołków stożków od początku spółrzędnych, oraz przez m i ni spółczynniki kierunkowe tworzących, znajdziemy następujące równania krzywej:

h — x ~ mV y² z², h'—y = m' Vx² -\-z².

Równania stycznej są:

x' — x

y—y

m² z [{m'² -j- 1) y — h'] ni² z [{m² —(— 1) jc — h]

z'— z (h — x) (h' —y) — m² ni² xy‘

Równanie płaszczyzny normalnej jest:

m² z {x' — x) \{m'² -j- 1 )y — h'] -f- m'² z (y' —y [(m² 4-1) x — h] -f- {z — z) [(h — x) (h' —y) — m² ni² xy] = 0.

5. Dana jest krzywa, według której przecinają się walce paraboliczne:

y² = 2 bz.

x² = 2 az,

Równania stycznej są:

x — x_y' — y_z' — z

równanie płaszczyzny normalnej:

z' — z = a -f- b\

równanie płaszczyzny ściśle stycznej:

bx

ay

oraz

Prócz tego znajdujemy:

(a -f- b + 2 z) ?

p =--— ,

(a -j- b)

X= —

2 yz

a+b’

a-\-b

Z — a -j- b -j- 3 z.

6. Dana jest krzywa przecięcia się walca kołowego z walcem parabolicznym:

y² = bz.

x²-j-z² = a²,

Otrzymujemy następujące równania stycznej:

xx' -j- zz' — a²,

/=

2y;

Spółrzędne punktów, w których płaszczyzna normalna spotyka osie są:

x' = —

bx

2 z%

y'=y,

Płaszczyzna ściśle styczna spotyka osie spółrzędnych w punktach:

X* =

„ z² {a² -f z²)

X’

4 !h~z[z2 (a2+z2) - *4]:

x⁴ — z² (a² -j- z²) z{2 a² Ą- x²)

Wzór na promień krzywizny jest:

y' =

z' =

_    (4 a² y² -f- b² x²)%

2 ab V/4 a² y² (4 z² -\-y²) -f- b² x² (4 z² -j- x²)

7. Dla krzywej, przecięcie się kuli

z walcem

a:² -\-y² -j-z² = r²,

(x — b)² 4-y² = d¹,

otrzymujemy równanie stycznej:

x' — X __ y(y' —y) z J/a² —y²

z' — z

Długość odcinka stycznej, zawartego pomiędzy punktem styczności a płaszczyzną xy, jest:

f- ]/b²y² -\- a² z².

by

Równanie płaszczyzny ściśle stycznej jest:

(x' — x) b [a² z² — by² l a² —y²] — (y' —y) b²y² -J- (z' — z) a² zs = 0.

W punktach o spółrzędnych

y = 0,

x = b — a,

z= y r⁶ — (b — a)⁶,

płaszczyzna ta staje się równoległa do osi y, i równanie jej przechodzi w następujące:

bx' -\-z' Vr⁶ — (b — a)⁶ = r⁶ -f- ab — a⁶.

8. Mamy następujące równania śrubowej stożkowej:

a⁶

X2Jry2=z__^a_zy.j

jdx\⁶ jdy\⁶ \dzj ^ [dz

= cotg⁶ v;

w których a oznacza promień podstawy stożka, h — wysokość stożka, v — stały kąt pomiędzy styczną i podstawą stożka.

Niech będzie

wtedy:

/ h²

k=y cotg⁶^—

1;

dx ky — a:    dy

dz    a — z ’ dz

kx-]-y

Z tych wzorów łatwo otrzymujemy pochodne rzędu wj^źszego względem z oraz pochodną łuku krzywizny:

ds

dz

Sili V

Równanie normalnej głównej są:

Wzór na promień krzywizny jest:

y' —y

z' = z.

Na kąt skręcenia mamy wzór:

ds.

k sin² v

a — 2:

UWAGA. W powyższych przj^kładach określiliśmy tylko niektóre elementy krzywej. Uczącym się zalecamy wyznaczenie pozostałych elementów na zasadzie wzorów ogólnych.

ROZDZIAŁ XVII.

Obwiednie linij i powierzchni.

Niech będzie dane następujące równanie krzywej, zawierające parametr zmienny a:

¹

Znaleźć styczną, płaszczyznę normalną i płaszczyznę ściśle styczną

²

dla krzywej skośnej, powstałej przez przecięcie się dwóch walców

³

prostych, których osie spotykają się pod kątem prostym.

⁴

Równania krzywej są następujące:

⁵

x¹ -j-z¹ = a¹,

⁶

(a — z) k sin 2 v

Środek krzywizny ma za spółrzędne:

x tang⁶ v,

— y tang⁶ v,

Z = z.

(1)

F{x,y, a) — 0.

Pochodna względem a jest:

dF

da

= 0.

(2)

Aby znaleźć obwiednię wszystkich krzywych, które otrzymujemy, zmieniając w sposób ciągły parametr a w równaniu (1), wystarczy wyrugować ten parametr z równań (1) i (2).

Jeżeli mamy równanie krzywej:

(3)

F(x,y, a, b) = 0,

zawierające dwa parametry zmienne a i pomiędzy którymi istnieje zależność:

(4)

<p (a, b) = 0,

wówczas, chcąc znaleźć obwiednię tej krzywej, stosujemy jeden z następujących dwóch sposobów:

1°. Jeżeli z równania (4) możemy w sposób prosty wyrazić jeden parametr jako funkcyę drugiego, to podstawiamy znaleziony wzór w równanie (3) i otrzymujemy równanie zawierające jeden parametr; z równaniem tem, jako zawierającem jeden parametr, postępujemy według powyższych wskazówek.

2°. Jeżeli rozwiązanie równania (4) jest trudne albo niemożliwe, albo też wzór, wyrażający jeden parametr jako funkcyę drugiego jest złożony,

db

wówczas różniczkujemy równanie (3) i (4) względem zmiennej a, zakładając że b jest funkcyą a i następnie z otrzymanych równań rugujemy

da

W ten sposób znajdujemy nowe równanie między zmiennemi a i b; z tego równania i z równań (3) i (4) rugujemy a i b. Dogodnie jest przytem stosować metodę czynnika nieoznaczonego. Podobne sposoby stosujemy i wtedy, gdy mamy wyznaczyć obwiednię krzywej, której równanie zawiera trzy zmienne parametry, związane z sobą dwoma równaniami i t. d.

UWAGA. Mając dane równanie (3), możemy zbadać, jaki związek powinien zachodzić między a i b, żeby zastępując w tern równaniu jeden parametr przez jego wartość, wyrażoną w funkcyi drugiego parametru, otrzymać jako obwiednię krzywą

(5)

f(x,y) = 0.

Aby znaleźć ten związek między a i £, należy rozwiązać równania (3) i (5) względem przyrównać do siebie znalezione wartości, a następnie wyrugować x i y z otrzymanego równania i z równań (3) i (5).

Przy szukaniu obwiedni powierzchni, stosujemy podobne sposoby, jak i w przypadku obwiedni krzywych.

Mamy równanie powierzchni:

(6)

f(x,y, z, a),

zawierające parametr zmienny a; obwiednię otrzymamy, rugując a z równania (6) i z równania pochodnej:

dF

da

= 0.

(7)

Jeżeli równanie powierzchni zawiera dwa parametry:

F(x,y, z,a,b) = 0;

przyczem mamy:

<p (a, b) = 0, ,

wówczas mamy do wyboru dwa sposoby, analogiczne do poprzednio wskazanych i t. d.

d²F

= 0 wyrugu-

da²

UWAGA. Jeżeli z równań (6), (7) i z równania jemy a, otrzymamy równania krawędzi zwrotu.

k cos¹ v

k COS¹ V

PRZYKŁAD I.

Znaleźć obwiednię prostych, określonych równaniem:

y=ax+Ł’

gdzie a jest parametrem zmiennym.

Równanie dane możemy napisać w postaci:

F=y — ax — -f- = 0;

2 a

(1)

po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

dF

da

(2)

Równanie (2) daje:

podstawiając tę wartość na a w równanie (1), otrzymamy, jako równanie ■obwiedni, parabolę:

y² = 2 px.

PRZYKŁAD II.

naniem:

Znaleźć obwiednię wszystkich elipsoid obrotowych, określonych rów

= 1,

(1)

przyczem między osiami zachodzi związek:

a² -f b² = k\

Różniczkujemy (1) i (2) względem a, uważając b jako funkcyę a otrzymujemy:

(2)

x² , y² -\-z² db_

fl2 '    ¥ da ~~ ’

(3)

db

a+b da

0.

(4)

Równanie (8) mnożymy przez czynnik nieoznaczony X; odejmując następnie równanie (4), znajdujemy:

X*.

y² -f- z²

a³

b]

db

skąd:

y² — z²

b³

b.

Dwa ostatnie równania mnożymy odpowiednio przez a i b, następnie na zasadzie równań (1) i (2) otrzymujemy:

X = k²,

skąd wynika, że:

X²

k²^r

a³

= a,

czyli

a² = + kx,

b²=±kVy²-\-z².

Powyższe wartości podstawiamy w równanie (2) i znajdujemy następujące równanie obwiedni:

+ a: + Vy²    z² = k.

PRZYKŁAD III.

Jaki związek musi istnieć pomiędzy parametrami a i b prostej:

= 1,

U)

żeby obwiednią jej było koło:

x² y² —y2-

(-)

Z równania (i) mamy:

dy

dx

z równania (2) mamy:

dy _ a:

dx

Przyrównywując do siebie obie wartości pochodnej, otrzymujemy:

a:

skąd:

x=bJ-.

Podstawiając tę wartość % w równanie (1), mamy:

a² b

a² -f b² ’

stąd:

ab²

a² b²

Szukany związek pomiędzy parametrami a, b znajdziemy, podstawiając powyższe wartości x i y w równanie (2); związek ten jest:

a² 1 b²

ĆWICZENIA.

Znaleźć obwiednię paraboli, określonej równaniem:

1 -f- a²

1.

y = ax -

gdzie a jest parametrem zmiennym.

Jako obwiednię znajdujemy drugą parabolę:

x² = A h (h —y).

Parabola dana jest torem punktu materyalnego, poruszającego się w próżni pod działaniem siły ciężkości, jeżeli a oznacza spółczynnik kierunkowy prędkości początkowej, rzędne zaś mają kierunek przeciwny do kierunku siły ciężkości.

x²

a ²

gdzie a jest parametrem zmiennym. Równanie obwiedni jest:

y²

{k — a)²

1,

3. Znaleźć obwiednię kół, określonych równaniem:

(x — a)² -|-y² --- b²,

przyczem parametry a i b są związane równaniem:

b² = 4 ma.

Równanie obwiedni jest:

y² == 4 m (x -j- ni).

4. Znaleźć obwiednię prostych, Określonych równaniem:

- + y = 1.

jeżeli między parametrami a i b zachodzi związek.

-Ci i s?

Równanie obwiedni jest:

= 1.

V ln+V ^

5. Znaleźć obwiednię elips, określonych równaniem:

x²

y²

a²    b²

jeżeli między parametrami zmiennemi a i b istnieje związek:

= 1,

a¹

-o +

m²

b²

= 1.

Szukane obwiednie są to cztery proste:

+ *.+ JV=t.

6. Znaleźć obwiednię odcinka stałej długości, który ślizga się po dwóch osiach spółrzędnych prostokątnych.

Oznaczmy przez l długość danego odcinka, przez a i b odległości początku spółrzędnych od punktów, w których ten odcinek przecina osie. Mamy znaleźć obwiednię prostej, określonej równaniem:

przyczem parametry a i b są związane z sobą równaniem:

a² + b² = l².

Szukaną obwiednią jest asteroida:

2.2 ,2

-f ys- = /*.

7. Znaleźć obwiednię cięciw, łączących końce średnic sprzężonych elipsy:

xr

spółrzędnemi końców drugiej średnicy, wówczas równanie cięciwy jest:

xf (y —

ba x) — / (x + -y)y + ab = 0.

Zadanie sprowadza się więc do znalezienia obwiedni wszystkich cięciw, określonych powyższem równaniem, przyczem parametry zmienne x' i y są związane ze sobą równaniem:

*'²

'2

a² b²

= 1.

Szukana obwiednia jest elipsą:

1.

Osie tej elipsy są:

2.

8. Przez punkt dany prowadzimy do danego koła dowolną sieczną, na otrzj^manej w ten sposób cięciwie, jako na średnicy, zakreślamy koło. Znaleźć obwiędnią wszystkich kół, otrzymanych w sposób powyższy. Początek spółrzędnych obieramy w danym punkcie, prostą zaś poprowadzoną od danego punktu do środka danego koła, uważamy za oś a;. Równanie koła o promieniu R ma wówczas postać:

(;c — ni)² -f-y² = R²,

równanie zaś siecznej jest:

y = ax.

Wskutek tego równanie koła, którego średnicą jest cięciwa, leżąca na tej siecznej, jest:

(x-Tf^] ⁺ (y

am

1+a²/.

= R²

m² a²

1 -j- a

Równanie obwiedni powyższej krzywej, zawierającej parametr zmien

ny a, jest:

(a:² — mx -j- m² -J- y² — R²)² — m² (x² -j- y²) — 0.

9. Przez dowolny punkt, obrany na krzywej drugiego rzędu, prowadzimy dwie styczne do elipsy danej, następnie łączymy cięciwą punkty styczności. Znaleźć obwiednię wszystkich otrzymanych w ten sposób cięciw.

Niech a i b będą spółrzędnemi punktu, leżącego na krzywej drugiego-

rzędu:

Ax² + 2 Bxy -J- Cy² -f- 2 Dx -J- 2 Ey -j- 1 = 0.

Równanie elipsy niech będzie:

y²

n²

= 1.

Jeżeli przez punkt (,a, b) poprowadziliśmy dwie styczne do elipsy,, wówczas równanie cięciwy, łączącej punkty styczności, jest:

by

ax , m² ' n²

= 1.

Zadanie sprowadza się więc do znalezienia obwiedni wszystkich cięciw, określonych przez ostatnie równanie, przyczem między a i b zachodzi związek:

Aa² -(- 2 Bab -f- Cb² -j- 2 Da -\-2 Eb -j- 1=0.

Jako równanie obwiedni znajdujemy:

(C — E-)    — 2 (B — DE)

xy

m² n²

+ {A — D²)

y²

rd

+ 2 {CD — BE)

-f 2 (AE — BD)    + AC — B² = 0.

Zadanie to jest przypadkiem szczególnym ogólnego zagadnienia biegunowych wzajemnych (PONCELET, Annales de Gergonne, t. VIII).

10.

Środek zmiennego koła porusza się po osi x. Znaleźć związek, który powinien zachodzić pomiędzy odciętą środka i promieniem, aby obwiednia była prostą, przechodzącą przez początek spółrzędnych. Równania koła i prostej są:

{x — a)² -J-y² = b², y = mx;

stąd znajdujemy szukany związek w postaci:

b² =

a² m²

— 213 —

11.

Rozwiązać podobne zadanie, zakładając, że obwiednia poruszającego się koła ma być elipsą:

A'²

= 1.

Otrzymamy:

b² = n² 11 —

m² — n²j '

12. Rozwiązać podobne zagadnienie, zakładając, że obwiednią zmiennego koła ma być parabola:

y² = 2 px.

Związek szukany ma postać następującą:

b² = p (2 a — p).

13.

Rozwiązać to samo zagadnienie, zakładając, że obwiednią koła jest hyperbola:

x²

y²

= i.

Znajdujemy związek następujący:

b² = n²

m² n²

14. Wyznaczyć obwiednię wszystkich normalnych do paraboli:

y² = 2 px.

Ponieważ równanie normalnej do danej paraboli jest:

K.

Zagadnienie przeto sprowadza się do wyznaczenia obwiedni wszystkich prostych, określonych przez powyższe równanie, w którem parametry zmienne y i x związane są z sobą równaniem:

y² = 2 px.

Równanie obwiedni jest:

1 \2{x'—p)V

Jest to znalezione poprzednio równanie rozwiniętej paraboli y² = 2 px. (Zob. rozdz. XIV, dział II, przykład I). Jakoż wiemy, że obwiednia wszystkich normalnych do krzywej danej jest zarazem rozwiniętą tej krzywej.

15. Z pewnego punktu rozchodzą się promienie światła we wszystkich kierunkach, znajdujących się w jednej płaszczyźnie. Promienie te są odbite przez krzywą, leżącą w tejże płaszczyźnie; znaleźć obwiednię promieni odbitych.

Punkt wyjścia promieni bierzemy jako początek spółrzędnych; przez x, y oznaczamy spółrzędne punktu, w którym promień spotyka krzywą; przez a oznaczamy spółczynnik kierunkowy stycznej do krzywej w punkcie (x, y)\ przez u. — styczną trygonometryczną kąta między promieniem i styczną do krzywej w tym samym punkcie (.*, y). Ponieważ kąt padania promienia świetlnego równa się kątowi odbicia, otrzymujemy przeto następujące równanie promienia odbitego w punkcie (x, y):

y'—y =

— (x' — x).

Stąd w zwykły sposób otrzymujemy obwiednię. Jeżeli np. krzywą odbijającą jest elipsa:

0)

(x — e)² , y2 a²    ' b²

i jeżeli początkiem spółrzędnych jest jedno z jej ognisk, w którym zarazem znajduje się punkt świecący, wówczas mamy:

b² (x — e) ci²    y

b²

w tym przypadku równanie promienia odbitego jest:

y'—y =

(x' — x).

(2)

Uważając w tern równaniu a", y jako parametry zmienne, związane z sobą równaniem (1), znajdujemy, że obwiednią jest punkt:

/ = o,

x' = 2 e;

jest to drugie ognisko elipsy.

Jest to zagadnienie z teoryi kaustyk przez odbicie.

16. Znaleźć obwiednię kul, których równanie jest:

n²

(x — a)² +y² + ź² = ~ (m² — a²),

przyczem a jest parametrem zmiennym.

Obwiednią jest elipsoida obrotowa:

x²

y² -f-

m² -j- n²

u²

1.

17. Znaleźć obwiednię płaszczyzn, przechodzących przez dany punkt i równoodległych od drugiego danego punktu.

Jako początek spółrzędnych obieramy drugi punkt dany, jako oś z, prostą przechodzącą przez dwa dane punkty; wtedy zagadnienie sprowadza się do znalezienia obwiedni płaszczyzn:

ax -J- by -(- z = m.

Parametry zmienne a i b są związane ze sobą przez odległość p, liczoną od początku spółrzędnych do każdej z płaszczyzn, t. j. przez wyrażenie :

P — ■ ■■■ ......................

f/a² + b² -f 1

Szukane równanie obwiedni jest:

{m² — p²) (x² -j- y²) — p² (m — z)² = 0. Jest to równanie stożka kołowego.

18. Znaleźć obwiednię danej kuli, której środek porusza się po danym kole.

W tern zadaniu musimy znaleźć obwiednię kul, określonych rów

naniem :

(x — a)² -f- (y — b)² -j- z² — R²;

w którem parametry zmienne a i b są związane z sobą równaniem:

a² + b² = k².

Równanie obwiedni jest:

{k±V x² Ą-y²) = R² — z².

19. Hyperboloidę jednopowłókową przecinamy płaszczyzną i przez wszystkie punkty krzywej przekroju prowadzimy płaszczyzny, styczne do hyperboloidy; znaleźć obwiednię tych płaszczyzn stycznych.

Mamy następujące równania hyperboloidy i płaszczyzny siecznej:

y²

c²

= 1,

Ax -J- By -|- Cz — D.

Równanie płaszczyzny stycznej do hyperboloidy jest:

xx'

yy'

zz'

c²

1.

Zadanie sprowadza się do znalezienia obwiedni tych płaszczyzn, przy-czem parametry zmienne x, y i z związane są z sobą przez dwa pierwsze równania.

Różniczkujemy wszystkie trzy równania względem X, y, z:

a²    b²

xdx

ydy

zdz

c²

= 0,

Adx -j- Bdy -f- Cdz = 0,

■ ydy ~r b2

x' dx

z' dz

' c²

0.

Mnożymy następnie te trzy równania odpowiednio przez X, 1, ;x, dodajemy do siebie, a następnie przyrównujemy do zera spółczynniki przy dx, dy, dz; w ten sposób znajdujemy

+¹¹ i?+^ ⁼ °’

fC = 0.

i z

X c² ^ c²

Mnożymy znowu ostatnie trzy równania przez x, y, z, dodajemy do siebie, a uwzględniając równanie hyperboloidy, płaszczyzny stycznej i płaszczyzny siecznej, otrzymujemy:

skąd:

X —j— [x —|— D = 0, X = — u. — D.

Wartość X podstawiamy w poprzednie równania:

Aa² — Dx = |x (x — x'), Bb² — Dy = (x (y —y'), — Cc² — Dz — [x (z — z').

Z tych trzech równań otrzymujemy:

albo

__ y—y' __

Ax² — Dx    Bb² — Dy    — Cc² — Dz

x — x’

z — z’

z! — z Cc² -f- Dz

= !J-

Mnożymy obydwa wyrazy każdego z tych trzech równych stosunków odpowiednio przez

x'

z'

a² ’ b² ’ nej własności proporcyi, że:

c²

; po redukcyi otrzymamy na zasadzie zna-

'a

2 + 1)2

z'²'

c²

Ax' + By' Ą-Cz' — D

Mnożym}’ obydwa wyrazy każdego stosunku odpowiednio przez A, B i C; mamy:

= l¹-

D — (Ax' + By' + Cz')

A² a² + B² b² — C² c² — D²

Dwie ostatnie wartości u, przyrównywamy do siebie i znajdujemy:

x'²

y'²

z'²

[D — (Ax' -f By' -j- Cz')]²

A² a² -j- B² b² - C² c² - - D²'

Jest to równanie szukanej powierzchni. Gdyby powierzchnią daną była elipsoida:

= 1,

x² , y² , z2 a² ' b² ' c²

wówczas równanie obwiedni byłoby:

*1 4- ^ a2 _r"

z”-²

4 ---i =

b² “ c²

[D — (Ajc* + By' -f Cz')]2 A² a² 4- B² b² 4 Ć² c² — D² *

20. Znaleźć obwiednią płaszczyzn, wyznaczonych przez równanie:

Ax 4- By -f- Cz = Z),

którego parametry zmienne A, B, C, D są związane z sobą równaniami::

oraz

A² -f- B² -\- C² — 1,

C²

D² — b²

0.

D² — c²

Te trzy równania różniczkujemy względem A, B, C; mnożymy odpowiednio przez X, 1, przyrównujemy do zera spółczynniki przy dA, dB, dC, dD i otrzymujemy:

,    ,    , M

A;C    T £)2 _ a2 ’

Xy/ = Zł[x —j—

(1)

D² — b² ’

(2)

Xz = C|x -j-

D² — c²'

(3>

A²

B²

C²

(D² — a²)²

(D² — b²)

(D² — c²)²

(4)

Mnożąc równania (1), (2), (3), przez £, C i dodając do siebie, otrzymujemy:

(5)

XD —

Następnie mnożymy te same równania przez x, y, z i dodajemy da siebie, oznaczając przez R² sumę:

x² -^y²    z².

W ten sposób znajdujemy:

XR² = Dy.

Ax

By

Cz

D²-

D² — b²

D² — c² '

Stąd, na zasadzie równania (3), mamy:

X (R² — D²) =

Ax

By

D² a² D² — b²

Cz

D² — c²'

(6)

Wreszcie podnosimy do kwadratu obie strony równań (1), (2), (3) i po dodaniu otrzymujemy:

X² R² = jx² -f

A²

B²

C²

(D² — a²)

(.D² — b²)

(D² — c²)²

Stąd, na mocy równań (4), (5), mamy:

D (R² — D²)

1* =

R² — D² ’

Wartości X i jjl podstawiamy w równania (1), (2) i (3). Rezultat tego podstawienia jest:

AD

R² — a² D² — a² ’

BD

R² — b²

D² — b² ’

CD

R² — c²    D² — c²'

Te trzy równania mnożymy odpowiednio przez x, y, z, dodajemy do siebie i na zasadzie równania (6) i wartości X otrzymujemy wreszcie równanie szukanej obwiedni:

X²

y²

= 1.

R² — c²

Jest to równanie powierzchni fal świetlnych, rozchodzących się w ośrodku krystalicznym (Zob. Fresnel, Memoires de 1’Institut, tom VII).

R² — a²

R² — b²

ROZDZIAŁ XVIII.

Rozkładanie ułamków wymiernych na ułamki proste.

Niech będzie dany ułamek

/(*)

którego wyrazy są funkcyami cał-

F (x) ’

kowitemi i wymiernemi zmiennej x, potęga zaś licznika jest różna od potęgi mianownika.

Aby podobny ułamek rozłożyć na ułamki proste, należy położyć F {x) — 0 i wyszukać pierwiastki tego równania.

1°. Jeżeli te pierwiastki są rzeczywiste i różne, wówczas piszemy:

/w

(1)

— _—d__i—

F{x) x — a ¹ x

gdzie a, b, c i t. d. są to pierwiastki powyższego równania, zaś A, B, C i t. d. spółczynniki stałe, które trzeba wyznaczyć.

2°. Jeżeli pierwiastki są rzeczywiste i różne, wtedy piszenry:

/(*)

A„

F(x)

(x — a}

{x — a)

(x — by

Bp—\

Cq

(x — by-¹ — '' " {x—b)

(x — cy

w założeniu, że równanie F(x) = 0 zawiera n pierwiastków równych a, p pierwiastków równających się b, q pierwiastków równych c i t. d.

Spółczynniki An, A są to stałe, które należy wyznaczyć

..Ą; B

Bp—\ • • • • Bl;

Cq— 1 . ... Ct

3°. Jeżeli pierwiastki są nierówne i urojone wtedy piszemy:

f (x) A-x ~h B ___

F(x) ~ (x — a)² -f £² ^ (x — r)² + 3² ^ (x — e)² -f 6² ^ ' ' ‘ '

W tym przypadku pierwiastki zespolone są następujące:

CxĄ-D

Ex A- F

(3)

i t. d.

zaś z4, 5, C, D, F, F i t. d. są to wdelkości stałe, które należy wj^znaczyć.

f(x)

F(X)

4°. Jeżeli pierwiastki są urojone i równe, wtedy piszemy:

AxxĄ-Bx

• * • •    (* _ o)2    £2

Ci A:-f- D!

- (A;_Y)2₊g2

x -j- Bn

[(X — a)² -f p²]

Cp a: -j- Dp

[(* - Ti² +

An—1 X —(- Bn—1

[(x — a)² -f £²]

n—1

Cp—\ x -j- Dp—i [(a: — y)² -j- S²]^⁻¹

Bą X —f- Fq ,

[{X — e)² -\- i²]q “T'-- *•

(4)

w założeniu, że równanie F(x) — 0 ma ti pierwiastków równających się:

a -j- P J⁷— 1 >

a — (3 V⁷— 1,

p pierwiastków równających się:

Y    + 8 ł⁷— 1,

Y    — 8 h—1,

q pierwiastków równych:

i t. d.

i t. d. są to wielkości stałe, które trzeba obliczyć.

W każdym z rozważonych przypadków przy pomocy rachunku różniczkowego można w następujący sposób obliczyć stałe.

W pierwszym przypadku:

f ia)

fib)

f(c)

F' {a) ’

F' ib)

F' (c)

i t. d.

W drugim przypadku:

f (a) A

■ 1 ’ A

An—i —

n-2

f"(a)

fn~x (a)

1 . 2 . 3 ... (/z — 1) ’

BP —fib),

Bp—i

fib)

, Bp-2

r {b)

fp-¹ ib)

1.2’

1.2.3... ip—\) ’

Cq= f ic).. .. i t. d.

W trzecim przypadku wyznaczamy A i B z równania:

zaś C i D z równania:

/Ka±p|/3T) + i3 = ±2p(/-l.^±ib=H;

/=v(*±Pl/ —<)

/(■! + 8N).

(T±SI/—i) ’

C(T+a/—i)4-d = + 2§//—i.

i t. d.

W czwartym przypadku w celu wyznaczenia stałych, rozwiązujemy układ równań:

/ (a + (3 j/— 1) = An (a ± (3    — 1) + B

f'(*±sV^T)

+ 2 (3 J/— 1 [^4

/Z—1

(a + (3 j/— 1) + Bn-1]

i t. d.

¹

(a — z) k sin 2 v

Środek krzywizny ma za spółrzędne:

x tang¹ v,

— y tang¹ v,

Z = z.

²

Znaleźć obwiednię elips, określonych równaniem:

/(f ± 5 V- 1) = Cp (f ± 8 ]/- 1) + D„,

f (t ± 8 y^l) =C„± 2 8 Y~[[Cp_, (t ± 8 y~1) + ZV_i], i t. d.

Jeżeli równanie /r(x) = 0 posiada różne rodzaje pierwiastków, wówczas piszemy najpierw, że dany ułamek równa się sumie ułamków, otrzymanych przez dodanie odpowiednio drugich wyrazów równań (1), (2), (3), (4), stosownie do rodzaju poszczególnych pierwiastków, następnie zaś wyznaczamy stałe z układu równań, zawierających po lewej stronie dany ułamek, po prawej zaś sumę ułamków, odpowiadających pewnej szczególnej kategoryi pierwiastków (Zob. przykłady Y i YI).

PRZYKŁAD I.

RY - 70%+ 98

Piszemy najpierw x³ — 9 x² + 26 x — 24 = 0 ; równanie to posiada następujące pierwiastki całkowite i różne: x = 2,

Możemy więc napisać:

12 x² — 70 x -j- 98 9 x² + 26 x — 24

x = 4.

X³

3+lc

Ponieważ mamy:

przeto musi być:

f (x) _ 12 x² — 70 x + 98 3 x² — 18 x + 26 ’

/(2) _ 12.2² — 70.2 + 98 ~3~+² — 18 .2 + 26

F'(x)

F (2)

= 3,

f(3)

f( 4)

F (3)

F (4)

5.

Dany ułamek po rozłożeniu przedstawi się w postaci następującej:

x— 2 ' x—3 ' x—4 ’

12 x² — 70 x + 98

X³ — 9 X² + 26 X — 24

PRZYKŁAD II.

(X² + l)²

(x-+ •

Równanie (x— l)⁶ = 0 ma ^ześć pierwiastków, z których każdy równa się jedności; piszemy więc: •

(x²+1)² A 6    |    A 5    i Aj i__+_ i A 2 i

(x — l)⁶ (x — l)⁶ ~r(x — l)⁵ ' (x — l)⁴ "t" (x — l)³ (x — l)² x

Różniczkując, otrzymujemy:

/(*) = * +2 x*+l,

f (x) = 4    -J- 4

f" (x) = 12x²-|-4,

/'" (X) = 24 /iv (X) ₌ 24.

Stąd znajdujemy dla stałych następujące wartości:

A₆=f(l) = 4,

r (i)

1.2.3

= 4,

/'(1)

= 8,

/1V (1)

= 1,

ro)_s

1.2

■ /v (1)

Al 1.2.3.4.5

= 0.

Po rozłożeniu ułamka, otrzymujemy:

(x - l)² *

(x — l)6 — (x - l)6 r (x — l)⁵ ' (x - l)⁴ ^ (x — l)³ ~

PRZYKŁAD III.

6 x² -j- 25 x — 9

x⁴ — 14 x³ -f 107 x² — 422 x + 850 ‘

Równanie x⁴ — 14 x³ -j- 107 x² — 422 x -f- 850 = 0 posiada następujące pierwiastki urojone sprzężone:

4 -f 5 V — 1

J 3 —J— 5 V— 1,

1 3 — 5 ]/— I ,

Możemy więc napisać:

Cx + D (x —4)²-f 9 '

6 x² -j- 25 x — 9

AxĄ-B

x⁴ — 14 x³ + 107 x² — 422 x + 850 ~ (x — 3)² + 25 Ponieważ w tym przykładzie:

/ (*)

F(x)

6 x² -f~ 25 x — 9

4 x³ — 42 x² 214 x — 422 *

zatem po podstawieniu wartości na x, otrzymamy:.

20 - 30 Y

/(3 -j- 5 V —^1) __ fil y~1—6 F'(3 + 5

Równanie, określające A i B (zob. równanie ogólne przyp. trzeci),.

ma kształt:

A (3 + 5 V— l) +B= 10 ]/— 1 .

61 Y— 1 — 6

20 —30)/—1

Stosując zwykły sposób, znajdujemy;

5=1.

A — — 3,

Podobnie w celu określenia C i D znajdujemy równanie:

skąd:

C(4 + 3 l/— 1) -f D = 6 t —1. —³ + ²¹⁹Ji^l

102 V— 1 — 36

D = - 1;

C=3,

Dany ułamek można rozłożyć w sposób nystępujący:

— 3x + 1

x⁴ — 14    -j- 107    — 422 x -f- 850 ~ (x — 3)² -f 25

(x — 4)² -f 9 *

PRZYKŁAD VI.

* (2 *² — x -f 5)

(*² + I)²

Równanie (j>c² —j— l)³ = 0 posiada dwie pary pierwiastków urojonych

sprzężonych, równych + V — !.

Możemy więc napisać:

2 x³ — x²-\- 5 x _ A₂ x -}- B₂

(A²+l)²    (x²4-1)

A₁x-\-B₁

x² -j- 1

Mamy:

f (x) = 2 x³ — x² 5 x, f (*) = 6 x² — 2 x -(- 5 ;

stąd otrzymujemy:

f(V-1) = 3|/-1 + 1,

/' (V'— 1) = — 2 Y— 1 — i.

Na podstawie pierwszego równania ogólnego w czwartym przypadku, otrzymujemy dla określenia A₂ i B₂ równania:

B₂ = 1.

B V— 1 + A₂ = 3,

Ai i Bt:

Równanie ogólne drugie da nam wyrażenie, z którego wyznaczymy

-2]/- 1 — 1 = 3 -f- (Ax Z— 1 -j- Bx) 2 V — 1

A = 2,

Bi = — 1.

A więc:

x (2 x² — a: —(— 5)    3 a: -f- 1

(a²-fi)²

(*²+l)

X²+l

UWAGA. W przypadku, gdy równanie F (x) = 0 posiada pierwiastki równe i urojone, wygodniej postąpić w sposób następujący:

wyjścia:

Uważajmy równanie następujące, które służyć nam będzie, jako punkt

2 x³ — x² -J- 5 * A₂ x -f B₂ | Ax -j- B (X² -fi)²    — (a² —j— l)2    1 a²-fl *

Po wyrugowaniu mianowników, otrzymamy:

2 a:³ — x² -f- ⁵ x — A₂ x -f B₂ -f (Ai x -f Bx) (a² -f1), stąd po zróżniczkowaniu, znajdziemy:

6 x² — 2 x —|— 5 = A₂ -j— (Ax x —j— Bi).2 x —(— Ax (a² —(~ 1).

Jeżeli w powyższem równaniu i w jego pochodnej

x = V-l,    ]

3 y— i —|— i=a₂ y— i -f- b2 —2 y— i — i = a₂ -j- (Ax y— i -j- Bx) 2 y— i.

Są to te same równania, które już poprzednio otrzymaliśmy.    ^ ę

Dalej postępujemy już jak wyżej.

otrzymamy:

oraz

Ćwiczenia metodyczne z rachunku różniczkowego.

:ymy:

li '-"N

15

PRZYKŁAD V.

x²

Równanie (a; -{- a)² {x² -j- a²) = O posiada dwa pierwiastki rzeczywiste i równe, dwa zaś urojone:

— a,

- a,

4- o v — i,

— a\ — 1.

Piszemy więc:

x²

^2

(x -|- a)² (x² -j- ci²) (* + a)

_ I A I ²    x-\-a

Ax-\- B

Otrzymujemy tedy, w celu określenia stałych, następujące dwie rów

ności:

x²

(a'Ar cl)² (x² —{— a²)

^2

(x + a)²

X -j- CL ’

_ __ Ax -f B

(x -f- cl)² (x² -(- cl²) x² -\-a²

X²

po odrzuceniu mianowników mamy:

x² = A₂ (x² -f- a²) JrA₁(x-\~ a) (x² + a²),

(1)

= (Ax B) {x -(- a)².

(2)

Z równości (1) i z jej pochodnej, podstawiając a; =— a, otrzymujemy:

a₂=

2 a'

Równość (2), po podstawieniu x a \—1, daje

nam:

5 = 0.

Stąd znajdujemy ostatecznie następującą równość:

x²

(x -f- a)² (x² -\- a²)    2 (a; -f- a)²

2 a {x -f- a)

2 ci (a² -j— a²) '

Ol

PRZYKŁAD VI.

X³ — 2x4-1

x³ (x— 2) (x²4- l)² ‘

Równanie x³ (x— 2) (x² -j- l)² = O posiada następujące pierwiastki:

O,

O,

2, V — 1,

-v-i,

v — 1,

— V — 1.

Możemy więc napisać:

x³ — 2*4-1    _ A₃

x³ (x — 2) (x² 4" l)²    -*³

_l A? i A j—A

‘ X² *    *    ' X

B₂ X 4~ ^*2

(*²4- l)²

B₁ x C1 x² 4-1    •

Z następujących równości wyznaczamy stałe:

........x\~2xJ~l_₌ A \Al\A

x³ (x — 2) (x²4~l)² x³ ' x² ' x , x³ — 2 *4“ 1

x³ (x— 2) (*2+ l)²    *— 2 ’

X³ — 2 * 4~ 1

x³ (x — 2) (x² 4- l)²    (x² 4~ 1)

B₂x C₂

- -4-2 ‘

Bxx-\- Cx x²4-1    '

Po odrzuceniu mianowników, otrzymujemy: x³ — 2 x 4" 1 = As (x — 2) (x² 4~ l)² 4- A₂ x (x — 2) (x² 4- 1)² 4~

(1)

+ ^x² (x — 2) (x²4-l)²,

x³ — 2 x 4-1 = 4x³ (x² 4- l)²,

x³ — 2 x -j- 1 = (B₂ x -j- C₂) x³ (x — 2) 4- (#i x 4- Cx) (x² 4- 1) (x — 2).

(2)

(3)

Kładąc x = 0, z równości (1) i z pierwszych jej dwóch pochodnych otrzymujemy następujące wartości stałych:

4₃ = -

11

A₁₌=~

Przy x = 2, równość (2) daje:

tości stałe:

Gdy x = }/—1 równość (3) i jej pochodna dają następujące war-

Ą = —1,

C₂ = — 1,

Bx = -

Cn —-1

C, = -

W rezultacie otrzymamy więc następującą tożsamość:

x³ — 2 xL _    1

x³ (x— 2)(x²-j-1)²    2x³

+ J_ + ¹¹

' 4 x²'

8 a:

40 {x — 2)

x -|- 1    7 a: -j- 4

(x² 4-I)²    5 (x² 4- 1) '

ĆWICZENIA.

1.

x²

x² -J- (a -f- b) x -f- ab

— 1 ~r

b²

(b — a) (x -(- a)

(a — b)(x-j-b)

2.

a (7 a:² — 28 ax -f- 24 a²)

________________________________________a____.__2 a

x³— 7 aa:²-]- 14 a² x — 8 a³ a: — a ' x

— 2a

3.

-j- (Va + l/b -j- l/ć) x² -f- (iab -j- Vac -j- Vbc) a: -j- ^afo

(i b — ta) (l/c — la) (x ta)

(Va— i^) (V-c _ V#) (x + Vfc)

(i!a — l/c) (i b — i c) (x + l/c)

4.

360x²— 126 x + 17 24x³—70x² — 3x + 1 “ 2x — 1

15

24

3 a: — 1

4 a;

5.

x² — 1

__ ₌_?............⁴___I____

(x + 2)³ (x + 2)³ (x + 2)² ^ x + 2 *

x² — xVa-f-³ _ 2a-J-³

(x + Ya)⁵

(x -f- K a)r' (x —V⁷a)⁴

(x    V⁷a)³

7.

(a 4~    _ (2 °)m

(a — bx)n (a — bx)n

m ,

-- b

(2 a)™-¹

(a—6x)

n—1

m—2

—    .    (2 a)

(a—£x)

n-2

m (m — 1) (m — 2) 1.2.3    ⁰

(2 a)

/n—3

(a — bx)

m—3

4 i t. d.

8.

x⁴ — (a -\- b) x² -(- ab (b — a) (x² -j- a)

9.

2 x² + 1 _ •*4_M2-+1 ~

to

10.

12 x³ — 7 x -j- 2 4x^f-21x⁴ + 21x²+4— 3 (x² —j— 1)

2 (8 x — 5)

15(x² + 4)

¹⁵K+t

11.

16 (x² -j- 4)

(4 x² —j— 4 x —j— 17)² ~~

4x-f 1

T2 +

(*+t)+⁴

12.

x⁵ -|- 4 x³ -f- 7 x — 4 _4 (x — 1)

(x² + l)³

' (x² + l)3 1 (x² + l)2 1 x²+l •

13.

X² — X -J- 1    _

(x² -j- x + l)³    (x² x -j- 1)

(x² + x+l)²*

14.

5 x² — 7 x

x⁴ — 3 x³ -j- x² -f- 3 x — 2 (x — l)²

x — 1 x+1

-I--—

' x— 2

15.

x⁵ + l

X⁶ -f- X⁴. X⁴

X -f- 1

x²-f 1 •

15 x⁵ -f 5 x⁴ -j- 58 x³ -f x² -f 37 x — 16

x⁶ -j- 4 x⁴ — x² — 4

X -j- 2 x² -4- 1

X -j- 1

17.

x²

(*² - 1)

8 (x -f-1)

16 (x-f-l)²

16 (x 4-1)

8 (x — l)³ “r 16 (x — l)²

16 (x — 1) '

18.

X² (X¹ — 1)

. x²

4 (je —1) ² 4(x—1) ² 2(1 —(— x²)

19.

xb -J- 1 _ 1

x⁶4~x1 ~~

x +1

x² 4-1

20.

x³ -j- (a -f~ 2 b) x² -f- b (2 a -|- b) x -f- ab²

b²

b²— 2 ab

(ia — b)² (a -*0

(a — b) (b -f- x)

21.

__ _L_ _i_ A__i_ A _i_

X³ (1 — X)² (1 -j~ -O X³ ‘ X² ' X '

2 (1—x)²

22.

4 x² (x¹ — x² — 1) x⁸ — 2 x⁶ — x¹ — 2 x² 4~ 1 x² 4~ x 4~ 1

x² — x 4- 1

x² 4~ x

23.

X³

x⁶ — 2 x⁵ 4" x¹ 4“ x* — 2 x 4" 1    2 (x — l)²

2 (x — 1)

x(l 4- V 2)

4 (x² — x V2 4- 1)

x (1 — V2) 4(x²4-x 1/ 2 4- 1)

24.

5x² — 2x³— 3x4-1

x⁶ — x⁶ 4- 3 x³ — 4x²4~3x — 1    (x² — x + l)²

x² — x 4~ 1

(2x4-1)/5 —5    (2x4-1) 1/5 4-5

25.

53 X³ — 10 x⁴— 121 a:² -f-197 a;— 287 {x² — 5 a; + 8)² (x² + 7)

(x² — 5 a; 4- 8)² x² — 5 X 4~ 8

'X² 4~ 7 *

26.

a -j- bx³

Dzieląc licznik i mianownik przez b, otrzymujemy:

a:

a:

4~*³

a -f- bx³

R + *:i

Równanie R³-Ą-x³ = 0 posiada jeden pierwiastek rzeczywisty = — R

27.

x²

a -j- bxi'

Możemy napisać dany ułamek w postaci:

x²

Jt²

x²

a Ą- bx⁴

R⁴ -\-x⁴

(*-/■ t)-

Odpowiedź:

x²

aJr bx⁴ 2 bR]/2 (x² — Rx V 2 4~ R²)

2bR]/2{x²Ą-Rx\,2 + R²)

a 4- bx⁵ *

Dzieląc przez b, mamy:

x³

x³

a;³

ł+*s

a 4- bxb

Rb 4- xb

232

Wiemy, że pierwiastki równania Rb -j- xh — 0, dane są przez wzór:

x = R cos

(2 k -f- 1) OT

+ R y — 1 sin

(2 k-\- 1) TC

gdzie k przybiera kolejno wartości: & = 0, 1, 2.

W naszym więc przypadku otrzymamy:

x = — R,

x = R cos 4; Ry — 1 sin .

x = R cos

x³

29.

a -f- bxh

5 bR(x-\-R)

2 a: cos

5 bR (x² — 2 Rx cos ~ + R²)

D

3 7C i _ j-i TC __ + 2/?cosx

3 TC

5 bR (x² — 2 Rx cos — -f- R²)

a 4- foc² -j- cx⁴

Mamy:

a -j- bx² -j- cx⁴

*²-f X

Z równania

•O I

*

to

otrzymujemy:

x² = — — + — I b² — 4 ac. 2 c — 2 c '

Jeżeli

]/b² — 4 ac > O,

wówczas kładąc:

otrzymujemy:

„    —    ^ b² — 4 ac = Al,

2 c 2 c

— 4 ac =■ N,

~Xi + Xt c

_Ax-\-B . Cx D ~~ x² + M + x² + N '

Stąd zaś, stosując zwykły sposób podany w trzecim wypadku, znaj

dujemy:

a + bx² -f c*⁴ c (N — M) (x² 4- M)

c (M — N) {x² -f N) ’

sposób:

Jeżeli, przeciwnie, } b² — 4 ac <c 0, to postępujemy w następujący

x² + x⁴

1 f — X² .    ^ + X⁴

V c 2\'ac

gdzie

R⁴ — 2 R² x² cos a -j- x⁴

4

/I

i — cos a

2 Vac

Równanie x⁴ — 2 R² x² cos a -J- R⁴ = 0 można rozłożyć na następujące dwa czynniki drugiego stopnia:

x²~r2 Rx cos *

możemy więc napisać:

AxĄ-B

CxĄ-D

x²

— 2 Rx cos Ą- -f- R²

x² -j- 2 Rx cos -j- R²

Postępując dalej metodą zwykłą, otrzymamy:

R sin a — x sin

Li

a -|- bx² -j- cxi

2 cRz sin a (x² — 2 Rx cos R²)

Li

R sin a -|- a: sin

Li

2 cRs sin a {x² -j- 2 Rx cos —|- R²)

Li

30.

xm-\

y, gdzie n jest liczbą parzystą. Pierwiastki równania xn—1 = 0 znajdujemy z wzoru:

xn —

X = cos

2 ku

+■ V — 1 sin

2 k%

to'

(k = O, 1,    .... i t. d.)

albo, kładąc 9 = — :

n

x = cos k 9 + V — 1 sin k 9.

Gdy k = 0 i k = ~, otrzymujemy: x = 1 i x = — 1; są to pier-

Li

wiastki rzeczywiste równania xn — 1 = 0; wszystkie inne pierwiastki są

urojone; otrzymamy je, kładąc k=l, 2, 8.. Możemy więc napisać:

i-¹-

xm~¹

xn— 1

+~

+?.[

Cx-\- D !    '

x² — 2 x cos k 9 -f-1

-w—1

Przez

, oznaczamy tu sumę par pierwiastków urojonych, od-

JLmik

powiadających wartościom k = 1, 2, 3 ...

4—1.

Posiłkując się metodą zwykłą, otrzymamy:

",

“2

xm~¹

i f!

(-1)"

xn— 1

n\x — 1

\x cos kmQ — cos (m — \) k&~\ | ' w jL-ik x² — 2 x cos &9    1

Jl

W przypadku n nieparzystego otrzymamy w ten sam sposób:

n — 1

xm~¹

1

1

2

xn— 1

n \x — 1

₉ pc cos kmQ — cos (m — 1) &Q] | ^—>k x² — 2 x cos &9 -j- 1

r

#§=4--

0^

£

u'

—i

&

25

e

%orv^

o

-iSŁESi    /    -

A

■

'

•A

J A

fi*) )

o

<J

/

⁼ /

i K

6

x

i

t

/

f

>

^ Ji

\

AA,

O X

/

Jr'

/

ć

/

<j

/\y\- X

U - I

*><£/

Un

M-

/)

Aa,

- /

v = aa,. ±u i

■ r J

r

u)

J

r

-u

ż

'

jux

/.

A,

-

w s

/U

fi AVA, -

/

/

J

M,

■ł ’

/UW

o

f

u

A*,—

//

"V - XX UM

y

«

*■1

V

O

>K

**%

^3

o

/

C\

v.rx-

.01

[S.$3

~> v

-■ :;^^!,isr^^-ia^0^^^-^f-~-- ■?■■'    ^....... .JĘ    .- ^JH„

. •

1 ,-l%^---*l> >'¹¹.. *jj>l<J,? ffiiiPliMfi¹ .1 JllWffJI¹- 'H*P"»" ‘ ***#>*’■■*> *&*&& ->•

- - ' *v«g$g • - - -*i«»f-..*,'-^---    ~~W*\ «£**(•*’«**'**.    -■'-    - ------    '    ***• ~ '*‘-':-''':

f^f^ę<r*H'    ■•;-•- --.-.Wv-    --; Nffe*~^ ---    -^r»»ęsss*a!»i^v>^^    - ?• *s**3|(S*«*

i *»ife&»    *£**-&«&$- • ■. «g£flfe«r V ;vJJ[»^*E^r

■9*9“

■

rjjnimi iihj i;rfi»jr ;njl'~ ui i "TlpilMi*^^!" ' tfft‘*ir."'fri ~ ~ f~fi_ --. -r s.--'U-ci-:^

£ss

-

*^.^..^v-ffr‘’*f^    -••■ -.^.^> *«8^' y»r^g*»i.-^--.-' ->’- .-^^ - ^jśii^-->^sb!^⁻^<-* ■^jiiinry^B^ąiin^    ny - igyrf ?irifljjp

#?««« * -<    -~.:-., ~ *^54fc-^-v. • ■    '«!»•»•■•..•»*- -V-». ; - -vigW    -.-- ,

-^-••>4i*p-- ->«N^iyKf< r<ri>^—-'--.    r^-*?-**^**^-* -*-:    .- - *

:rr&r+m-*

'    *--yr

-•

•»v *•*• v^jp^    ^ I_ aiip*ti;.^»nit»ii«rti^i i •    y,i. l"‘*lSyi.?$1g*#,-i    *>»■*% -    -'^- ■ - <*«•* •■ 'v>* -••

• .w - '.    -aa^yoy-i-g^wifit'^g^->•. .-^>

4wBd[^fci,^e^gg&iii^awr?.i^gi»gi^i»^gWjg^iBB8B8i''f«~»f*,',fl^>i'wiifMSjptfSaw*^-■j»UU»yB5L’ ..t^jp^gw >SB^i|fcgg^Tj!i^Ki^ja^g^^gBigaqj^pęjgB^ggSi*ś«B5«=    r

tf -----    -    .-- —r-- ' '•    -    •-    -    ^-.-. -■" - -    -    ‘--^ - - -.J-    -^r«y    -    --    ^,. ^-.    ...^    -    ' - -    -    --- -.t-.-.-„-: .- - -

*.** ■.— •■•- •- Pj0ei^,-y    ~ -    . .»■*?&»***; tSP

^ 1 rrnir-ft '~gFn '1    * ~

■«*.■*"«■ ■; - .--• &--*jijj£gg&pi^ - .-r-’-*-- • .-*•<*/+*-■ >«w    -jfełgrff ^sjh ?r-

-

srrrm

^>1 ■ jjwwi ■ - -

- e&ęjj?7*%tsf+ w#<gS*»F'

-- ^ - ~tf iwgii 1    *#*■<-*?**'' ■ ■*?■-*-**+**'- ■■■—-jvV— ****•?.

11~ Tl!^^fflClTl>**"'f . ren '

«•*»**'*

; ...

:ł~-- -    —.-^ ~-:.»*»i i’Ł>y-liW|j»syŁ^:^ ^ * w -r^.

ymge***:    *^w

nnrWT--^i^f^Vr;i~,^-nr^ ~. ^'^ifygy;

-    ^j^yąąąjT!    'r-«    - ^^ik.hF U •-- -*

: '‘TE*^-'^<»-^i^:**9%«^‘‘V>5^y --^-r!r^-: rsw^rr--.^.    :i^-

. ■>

•V—- •    «-■ -- '--'-w?**:-*• ..-,•»

f^wwBfec^aii

•^pą^ir jfa^- •—-

---•- - —'-^^^mifriFa

> - - -.'•    ■-'-    •'-<•; .-—_-<r\ -^'-    '- --

-

- * ;■■

Łr>    -*~**i0*tii ■-    * .*»śtrc*~Sfc

f^r.r&ar-rJ

^§^fś^e!»2 *2^5*^^    ^Sipww>i3g*sp^- : sr-f

- W--.    -^r-^c^«r ^

-s«S«4 -- - - ^---------    • lił^TlrW^i-r^rrr- '^^ir- ^irHTir^rirr iVi ~~r rf^iiijjfiriupur' "" Tii1-1iipir^ViiiTii"y- ---•-

- -,>s    : r^ąj^aif>y:    *

-.-:.<v .    ^Vł:*;    >-.;    fjjjrjSajgli i — ■

•"> ••-■ • •-•- - .-■    -^v.->-.^^-v...^.>H-s;,.—    :-:x^'v' '; -. —" •- -*&*&***    '-'" '*■:**-.*?£

- '• ■ -« - • - ■ • ' ■ ' -*** --

-r «>s-«flrr. -

'■*ś&m« -V

:«•**.-    °iw'~;iTiifTiiri'T~'*rfr

8^

-£^r.*=

•.-: -^^a*4^^|lii^|Ll».B||>j tf I.:, ■

--•• -.-—-• -■••-- - ' ■- •<r!^-- -    —- - -.-.w- ^    - - '    3^-

- ......-i— .-■■■

- -•

........

- *[-&M&i.&:yr ^iięspg

^gU^jSWlJl^jjC <l|1l ,LltW«'l|-jL^ f*

--. >ąv ~| li ii J| -    ^ I ./'^OjWi¹* ¹¹ ‘PJC.¹¹ "ly ¹11 rW ''"r⁻ ?■» ■/'■".;-----r-|f1~""' •■***»? 1^.lS*!pl!!|!?*i^ł^l"lU--Ul».^3^*5^ '<•:■. WgRliP.Ą©.¹^ ?

-..v...v , .^... N. ■> ,^--.-*-'.'W    ■-..-^ y ■--; -,*-jaB* •-..>-    -    .-.«', • .. -.*,v«r*w.>.-. .saH^seaąstor..*^— -    ' *i'.ijii»H¹IBiiir ".^ iJiil <i —*>*■'• -v'<«yj^’:?->'.-«>"” ^    ^-5^

•: ~:vso?.    ^f-rs^Nje^sg

->-k_vóŁ- *—    •&-■>■    i**4*mf

W**v :. .-rari^y-f¹^--- -^ 4^MK‘>v^-

r r>.<

,    . v nsem.'j|i» cffeyirw^jjyj

I m^wpip.».". jwwrsawi

ą^sayii^^W^ćiSŁ •-    ' *t ^.3*KS*Atf>

**Mj.;r jj .:' "'' ^ ^ ri^.|!^i!i^-''f!!i\'~^<T-CTii'r' "'¹    - *

>*&&**- '~*rnw    V    ^ow^»jgop^ yy^gfwyy^

.,- ,. .^, ...^    r^.. --X    jS»,■ tię^ii^gyfe&sr    .■+**■■-- **"• ~■ -    ‘••'.♦■y■'-.f- * -^•; ■ -V,-^ ----' -    >-

# ■>■» W ;.*a.-«~.'-a^-' W;^- -■

••y5JfS^4BaęX^i«^y^-v

.

'*^5 ■*■■'-

y «    ~^<r .Ojjpff- .—--r-^^^;.-;--S---    i**■*%&*

•-.

N

' '"

-:\*~-    ~    ■    -    ---    .....•;,..:,_.;4.v,y„>^-. .    -    '    .    -:-.    -    - -'    .'■    ‘

■4*-fti$tSg&f**?*    ^j^Oi ^'^K**>eV&:. J-ysWr -•--tSłNM**-v>" - ■- •fc-Słfc.'- •

■--?; r^r^,,—-W - >-.    ----- -    -    :- -- - ' -•    -    ^    " '•-" '-•••

-’■ -* '-''iw.- --.' -v' A-ifs'-.- —' -«».«- -**•- ■    '"- » ■'••.-•' *•-.-S-r - -    --•-.    '. ^--    ■- -..- -.-    - H-v*    .—'^’- . -

-v-/l

.

►dfcscaii* yr^g^gy^y^¹---^.

■ —'y. s-«.:- -^; r-^ęir - - .„’ "IT»'■".'.HmHWjrr¹    —*-* ~;-..r"-*• •%$&&&&£■

^ft^sar - -

•ł^-

3^:«?a»»»ra!Wę^- -. ?^-r-    -•• .•*'

--^t^?*---^-. >ay. --^fr>v vy^<€g|ycv'~-

. .ys*-:-'

- -. - - - - - ;

. *.- -V • -

f-^-*r^,,~- '^*°.-**r*y ‘.”^rV-:^; -—''t---

'

-v-.^

u#yH’ jk «fM

.' ■-:-'•

-*- . ' \ ...r- -., ;--- ■ . --■>--'-■-^-^y>';

- -

........ ■ ■ . -

. .-. --- ■

- .‘^v-    - ' • -' :'^^-

- - :-- . -.-i**.*- •-: >.-r^,-    --ł....w~-» .-•

^ .- - v.'    . .    ^    -«- •/,«a»W«c'.-->-_    - . .    .    .

•r'-“.--',-^r.-*,₃- .• ••.—"--V'-'.- -.- -.:

■ - -■ n«ł m ■-

.

' *    *r - %    ■

■ '

•:.... - ...... ' ■ Ł ■ ■'•

-• '•■•    * ■    •    «►.- ■    ■    -    i.-.,..    -.-    •-

.... - •

... V    ......    ........'    '    ....    --    '    "    ■ '    :    T* .    '

-    w    ■    :    ''l *    ‘'    • ■ tflfeggae    t. ..    -*-■ > v' ' :

-

' '

ess»i?“

w4

.... ..•>.'•

M&W-*

- . -

-.-■•■■■ ■' "• ......... ■■■ .......

.... . ■ ■ .- .'-. •

r>' --

«*w£*%bą»**

--i

^9S*«

SM

. . ■ .et .

V

- '

'-i

* js»« «><Se»'

• -    "••-*-    ■    ^    ••• •    v..,,    ..    .

V,-■*    'li.■"•:'■'"    '

-

•. ■ .-^v •

.. V - ' • - ***ą*H4!j&JE    ---    -H, . -*c

v    " -    '    — '    ^    -

s

i

••■ -■>-. -■ •'-'    -    .    ■ ■    . . r

'

\ \

n

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

(g

11-346772

f¹ ■

;•

r -

WLŁ

v

W’

W

ĘP

Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

E

100000293389

^ ■ w

# ^

■

¹

(1 —x)    4 (1 4-x) '

²

A x²